в
МИРЕ НАУКИ '	И
ТЕХНИКИ
А. ЭМ ПА X ЕР
сила аналогий
ИЗДАТЕЛЬСТВО
„МИР-
ADAM В. EMPACHER
POT£GA ANALOGII
WIEDZA POWSZECHNA 1964
А. Эмпахер
СИЛА АНАЛОГИЙ
Перевод с польского Ф. Г. ХАЦЯНОВА
Под редакцией и с предисловием канд. техн, наук А. В. ШИЛЕЙКО
ИЗДАТЕЛЬСТВО „МИР*
Москва 1965
68Н42
В книге наглядно и живо рассказывается, как человек, зная свойства одних процессов, исследует другие, ему еще не известные, но чем-то сходные с первыми. Автор увлекательно и с большим остроумием показывает, как от изобретения в 1623 году простейшего аналогового устройства — логарифмической линейки — человек пришел к созданию сложнейших современных аналоговых машин и систем, моделирующих разнообразные физические процессы и позволяющих инженерам производить расчет мостов, холодильников и промышленных печей, математикам делать громоздкие вычисления, физикам имитировать работу атомных реакторов.
Яркие примеры, рисунки и фотоснимки, наглядно иллюстрирующие книгу, и изобилие сопоставлений дают возможность полнее ознакомиться с этими незаменимыми средствами исследования как школьнику-старшекласснику, так и инженеру и даже врачу (ибо аналоговые устройства находят применение и в медицине). Книга А. Эмпахера представляет большой интерес для лиц самых разнообразных профессий.
Редакция научно-фантастической и научно-популярной литературы
ПРЕДИСЛОВИЕ К РУССКОМУ ПЕРЕВОДУ
Пожалуй, наиболее характерным для книги А. Б. Эмпахера «Сила аналогий» является то, что она захватывает внимание читателя буквально с первой фразы. Удачно выбранные сравнения, ряд ярких, иногда даже неожиданных примеров, живой и образный язык — все это делает путешествие в «страну аналогий», которое автор совершает вместе со своими читателями, по-настоящему интересным. Однако познавательная ценность всякого путешествия в большой степени зависит также от правильного выбора маршрута. Именно поэтому нам и хотелось бы сделать несколько замечаний.
Начнем с основного, а именно с определения понятий «аналоговая машина» и «аналоговые вычисления». Этому вопросу автор уделяет довольно много внимания. Из его слов непосредственно следует, что в основу аналоговых методов вычислений положена якобы существующая аналогия между числами и физическими величинами (в простейшем случае — отрезками прямых линий). На самом деле это, конечно, не так. Само понятие числа было введено человеком прежде всего как средство для выражения понятия количества предметов. Действительно, говоря, например, о цифре 2, мы прежде всего представляем себе два камня (или два окурка, как шутил Маяковский), а то обстоятельство, что два камня, сложенные с двумя камнями, составляют кучку из четырех камней, и является реальным отображением простейшего арифметического действия.
Использование чисел для представления физических величин возникло значительно позже и осно-
О
вано на понятии меры. Действительно, говоря, что длина палки равняется 3 метрам, мы только устанавливаем тот факт, что, если сложить вместе три другие палки, длину каждой из которых мы условно принимаем равной 1 метру, то начала и концы нашей исходной измеряемой палки и полученной составной, вообще говоря, совпадут. Отсюда и неоднозначность такого представления. Действительно, утверждения, что длина данной палки равна 3 метрам, 120 дюймам или 10 футам, в равной степени справедливы. Следовательно, одна и та же физическая величина может представлять различные числа (а точнее говоря, любые числа) в зависимости от выбранной меры. Другими словами, здесь мы имеем дело не с какой-либо реально существующей в природе аналогией, а с искусственно введенной человеком системой условий. При этом мы, конечно, ничуть не умаляем важности этой системы, которой обязаны своим развитием такие науки, как физика, математика и большинство других. Мы хотим подчеркнуть, что если основываться только на возможности представления чисел физическими величинами при построении вычислительных устройств, то получаемые таким образом приборы будут весьма примитивными и, по всей вероятности, не превзойдут по своим возможностям обычную логарифмическую линейку.
На самом деле в основу аналоговых методов кладется аналогия между различными явлениями природы. Так, например, частицы воды, заключенной в трубе, испытывают определенное сцепление со стенками трубы. Кроме того, при движении воды частицы «трутся» о стенки трубы и друг о друга (так называемое вязкое трение). Поэтому для того, чтобы «заставить» воду течь по трубе, необходимо приложить определенное усилие, которым может быть, в частности, вес столба воды в сосуде, из которого эта вода вытекает. Скорость течения воды по трубе оказывается пропорциональной этой силе, а в случае, например, сосуда цилиндрической формы скорость пропорциональна уровню воды. По мере опорожнения сосуда скорость уменьшается, и, таким образом, сосуд опорожняется тем медленнее, чем больше воды из него
6
уже вытекло. Получается хорошо известная физикам «экспоненциальная» зависимость уровня вытекающей воды от времени.
Аналогичное положение будет иметь место, если мы замкнем проводником обкладки заряженного конденсатора. Для того чтобы «заставить» электрический ток течь по проводнику, также необходима некоторая сила, роль которой в данном случае играет так называемая разность потенциалов, или электрическое напряжение. Однако по мере разряда конденсатора напряжение уменьшается. Уменьшается и ток в проводнике, то есть скорость разряда. Здесь мы снова имеем «экспоненциальную» зависимость напряжения на конденсаторе от времени. Самое замечательное в этом, что если поставить эксперимент в чистом виде, то есть полностью защитить рассматриваемые явления от влияния различных внешних факторов, то они могут совпадать между собой сколь угодно точно. Кроме того, они будут совпадать независимо от наличия или отсутствия количественной меры. Действительно, во всяком случае, принципиально можно мыслить такие условия, при которых процессы опорожнения сосуда и разряда конденсатора, начавшиеся в один и тот же момент, будут протекать во времени совершенно идентично (например, в один и тот же момент времени количество воды в сосуде и количество электричества в конденсаторе уменьшается ровно наполовину), хотя при этом мы можем и не знать, каково на самом деле напряжение (например, в вольтах) или высота уровня воды (например, в миллиметрах).
Сила аналогий и заключена в подобном единстве различных явлений природы, которое проявляется объективно независимо от наблюдателя и, следовательно, независимо от наличия или отсутствия средств измерения. «Единство природы обнаруживается в «поразительной аналогичности» дифференциальных уравнений, относящихся к разным областям явлений» — это классическое наблюдение В. И. Ленина1 с предельной ясностью раскрывает сущность аналоговых методов.
1 В, И4 Л е н и н, Соч.г т, XIV, стр. 276,
7
Итак, принцип действия любой аналоговой машины основан на том, что некоторому исследуемому явлению природы (физическому процессу) ставится в соответствие другое, аналогичное ему явление (другой процесс), протекающее в системе в общем случае другой физической природы, но подобное исследуемому по своему характеру. Самое существенное здесь состоит в том, что физические величины, характеризующие оба явления, вообще говоря, могут и не подвергаться измерению. Так, например, если аналоговая машина предназначена для управления каким-либо объектом, то получаемая в результате ее работы физическая величина непосредственно используется для приведения в действие управляющего органа и все это совершается автоматически без какого-либо воздействия человека-оператора.
С другой стороны, в цифровых вычислительных машинах соотношениям между физическими величинами, характеризующими исследуемое явление, ставятся в соответствие соотношения между числами — результатами измерения этих величин. Здесь самым существенным является то, что любое измерение всегда занимает некоторое время, а его результат может быть получен только приближенно и представляется числом с ограниченным количеством цифр. Поэтому при работе цифровой вычислительной машины непрерывной в существе своем физической величине ставится в соответствие дискретный набор чисел, описывающих ее (да и то приближенно) только в отдельные моменты. О том, что происходит между этими моментами, можно только догадываться. Обычно для того, чтобы сделать эти догадки правдоподобными, используются так называемые методы интерполяции. Здесь уместно заметить, что приводимый автором известный рассказ о студенте, использовавшем логарифмическую линейку для ответа на вопрос: «Сколько будет дважды два?» — применительно к современным цифровым вычислительным машинам приобретает совершенно особый смысл. Действительно, для цифровой вычислительной машины будет правомочной только такая постановка вопроса: 2,00000x2,00000 = 4,00000 с точностью в 6 верных десятичных знаков (или в общем случае
8
столько верных знаков, сколько нулей записано после запятой).
Итак, всякая машина, оперирующая с числами (а не с величинами), будет цифровой (или дискретной) независимо от ее конструкции. Сохраняя стиль автора, можно сказать, что портной, который, снимая мерку с помощью сантиметра, измеряет фигуру человека в нескольких характерных местах, действует чисто цифровыми методами, в то время как сапожник, который для той же цели обрисовывает контур ступни на бумаге, выступает как представитель «аналоговой школы». То, что портной будет затем пользоваться выкройкой, а сапожник—колодкой, не меняет существа дела. Развивая этот пример, интересно отметить и то обстоятельство, что портной, работая на основе результатов произведенных им измерений, в дальнейшем будет пользоваться еще и примеркой; в то время как сапожнику примерка требуется весьма редко. Это последнее обстоятельство наводит на мысль о несправедливости прочно установившегося сейчас мнения (его неоднократно повторяет и автор), что аналоговые методы принципиально менее точны, чем цифровые. Невысокая точность вычислений, проводимых на аналоговых машинах, объясняется, во-первых, тем, что очень трудно воспроизвести некоторое физическое явление в чистом виде, без влияния всякого рода побочных факторов, и, во-вторых, тем, что при желании получить результат вычислений в его количественном выражении мы неизбежно обращаемся к измерениям со свойственной им неточностью. Однако сила аналогий состоит именно в том, что здесь мы имеем дело с самим явлением (или подобным ему), а не с некоторой искусственной схемой. Поэтому можно указать ряд задач, где аналоговый метод приводит к более точным результатам, чем цифровой. Ведь, в конце концов, любой физический объект можно рассматривать как аналог самого себя, и здесь получаемая точность будет зависеть только от существующих средств измерений.
Суммируя все сказанное выше, мы можем утверждать, что машина, выполняющая арифметические или любые другие операции над отдельными числа
9
ми, всегда с полным правом может быть отнесена к классу цифровых вычислительных машин, в то время как машина, в которой воспроизводится некоторый физический процесс, аналогичный исследуемому,— машина аналоговая. Определенная трудность при такой классификации возникает потому, что для описания процессов как в исследуемых системах, так и в машинах используются уравнения (в частности, дифференциальные). Именно совпадение уравнений, описывающих исследуемую систему и аналоговую машину, является формальным доказательством аналогичности, или подобия. Часто аналоговые машины используются для решения уравнений, и при этом оператора не интересует вопрос о том, описывает ли это уравнение какой-нибудь реальный процесс. Именно это обстоятельство и приводит к ряду неверных заключений, и в частности к утверждению автора о том, что аналоговый способ «дает представление чисел при помощи некоторых пропорциональных физических величин». Сила аналогий, которой и обязаны аналоговые машины своим столь бурным развитием, состоит именно в том, что она позволяет воспроизводить процессы, даже не обращаясь к их количественному представлению. Уравнения же в подавляющем большинстве случаев играют здесь только роль языка, описывающего процессы и помогающего установить аналогию между ними.
Один из ближайших практических выводов из сказанного выше, звучащий даже несколько парадоксально, это сомнительность отнесения логарифмической линейки к классу аналоговых машин. Во всяком случае, сложные линейки, состоящие из отдельных частей, уже содержат в себе все характерные черты цифровой вычислительной машины.
Путешествуя по стране аналогий, автор подчас уж слишком настойчиво оберегает читателя от крутых подъемов и других трудностей пути. Так, не совсем оправдан страх автора перед словом «интеграл», которое он вводит каждый раз в сопровождении многочисленных оговорок. С понятием интегрирования, или накопления, мы непрерывно сталкиваемся в на
10
шей повседневной жизни. Так, усталость после рабочего дня определяется интегралом затраченных за день усилий, а возвращаясь в выходной день с лыжной прогулки, каждый из нас отчетливо ощущает интегральный эффект от воздействия свежего воздуха, солнца и ярких впечатлений. При формулировании математического понятия интегрирования предполагают, что имеется некоторая переменная величина (независимая переменная, или переменная интегрирования) и другая величина, определенным образом зависящая от независимой переменной (подынтегральная функция), то есть, как говорят математики, представляющая собой функцию этой независимой переменной. Сама операция интегрирования определяет третью величину — величину интеграла. Она также является функцией независимой переменной, то есть каждому конкретному значению независимой ставится в соответствие определенное значение величины интеграла, и это значение в общехМ случае будет тем больше, чем больше изменилась независимая переменная на отрезке интегрирования и чем большими были на этом же отрезке значения подынтегральной функции. Если график подынтегральной функции нанесен на бумагу, то величина интеграла оказывается пропорциональной площади, ограничиваемой этим графиком (см. стр. 40). В простейшем случае независимой переменной является время, и с такой оговоркой пример автора с поездом, для которого полная величина пройденного пути является интегралом от скорости по времени, оказывается вполне оправданным.
Однако в общем случае в роли независимой переменной может выступать любая другая величина, а не только время. Так, например, можно решать задачу о полном количестве электроэнергии, потребленном электропоездом при прохождении некоторого участка пути. Подынтегральной функцией здесь будет так называемый удельный расход энергии, то есть, грубо говоря, количество киловатт, потребляемое при прохождении каждого километра дороги. Эта величина явно зависит от характера пути (при подъеме она больше, чем на ровном участке) и, вообще говоря, не зависит от времени, поскольку, когда
11
поезд стоит, время изменяется, а энергия не потребляется. Таким образом, здесь мы имеем дело с интегралом от удельного расхода энергии по пути. Существенно то, что в отличие от времени, которое не может останавливаться, а тем более двигаться в обратном направлении, величина пройденного пути может сколь угодно долго оставаться постоянной, уменьшаться и даже изменять знак.
Таким образом, совершенно ясно, что между физическими явлениями, приведенными в первом и втором примерах, нет полной аналогии. Вопреки утверждению автора (см. стр. 44) нет полной аналогии также и между поездом, интегрирующим скорость по времени, и работой интеграфа, вычисляющего площадь, ограниченную кривой, вычерченной на бумаге» Последний является более универсальным «интегратором», поскольку каретка, движущаяся вдоль оси абсцисс графика, может останавливаться и даже двигаться в обратном направлении, в то время как поезд в данном случае является «интегратором», способным интегрировать только по времени. Это различие является принципиальным и может служить хорошим примером тому, как формальные соотноше^ ния между числами (в данном случае результатами измерения времени, скорости, пути и т. п.) и ординатами графика еще не означают, что имеется полная аналогия между соответствующими физическими явлениями.
Интеграторы большинства современных электронных аналоговых вычислительных машин используют заряженные конденсаторы, поэтому такие устройства могут интегрировать только по времени, вследствие чего оказываются непригодными или могут быть применены только после выполнения ряда искусственных приемов в тех случаях, когда независимая переменная решаемой задачи существенно отличается от времени.
И, наконец, последнее. Как в разработке теории, так и в создании конструкций аналоговых вычислительных машин принимало участие большое количество ученых и инженеров различных стран. Один из первых дифференциальных анализаторов был создан в начале нашего века академиком Л. Н. Крыловым. 12
Серия электронных дифференциальных анализаторов ЭЛИ была разработана Л. И. Гутенмахером; подобные работы велись в сороковых годах И. С. Бруком Ч В настоящее время советские научные ч промышленные учреждения оснащены большим количеством электронных аналоговых вычислительных машин семейства ЭМУ, созданных под руководством академика В. А. Трапезникова и Б. Я. Когана, семейств ИПТ, МПТ и МН, созданных под руководством В. Б. Ушакова, А. А. Фельдбаума, Г. М. Петрова, И. М, Витенберга и других. С развитием мировой аналоговой вычислительной техники тесно связаны имена академика Н. Г. Бруевича, Н. Е. Кобринского, Б. Г. Доступова, Г. Е. Пухова, Г. М. Жданова, Л. Н. Фицнера, А. В. Михайлова, В. В. Солодовникова, А. Я. Лернера, В. А. Веникова, И. М. Тетельбаума, С. А. Гинзбурга и многих других советских ученых.
Однако в книге все это не нашло отражения. Поэтому редакция сочла необходимым дополнить книгу новой главой, в которой было бы рассказано о современном состоянии электронной аналоговой техники и перспективах ее развития. В главе использован материал о польских машинах, содержащийся в главе IV книги А. Эмпахера.
Заканчивая предисловие, нам остается только пожелать, чтобы читатель воспринял все сказанное выше как добрые советы перед предстоящим ему увлекательным путешествием в страну аналогий. Для тех, кого проделанное путешествие заставит более серьезно заинтересоваться вопросами аналоговой вычислительной техники, мы приводим в конце книги краткий перечень литературы. Подробную библиографию можно найти в указанной там книге Б. Я. Когана или в журнале «Автоматика и телемеханика», т. XVII, № 3 и 4 за 1956 г.
А. Шилейко
1 См. литературу в конце книги,
ОТ АВТОРА
Аналогии бывают разные; более того, само слово «аналогия» имеет различные значения.
Польский математик Стефан Банах в разговоре с другим математиком — Гуго Штейнгаузом — сказал: «Математик — это тот, кто умеет находить аналогии между утверждениями; лучший математик тот, кто устанавливает аналогии доказательств; более сильный математик тот, кто замечает аналогии теорий; но можно представить себе и такого, кто между аналогиями видит аналогии». Обоих собеседников смело можно причислить к этой последней наивысшей категории.
Однако в этой книжечке речь пойдет не об «аналогиях» такого рода (без сомнения, интересных) и не о пародирующих слова Банаха утверждениях, например, о медиках или, скажем, историках. «Сила аналогий» представляет собой своего рода путеводитель по странному и явно экзотическому для новичков краю, каким является таинственный мир аналоговых вычислительных устройств: разнообразных машин, комплексных систем автоматов, приборов, корректирующих систем, аппаратов, систем регулирования и других устройств так называемого недискретного типа...
В изданном четыре года назад популярном путеводителе по краю цифровых устройств 1 я предупреждал о большом «удельном расходе времени» при его чтении, поступая в этом случае, подобно редактору одного польского популярного журнала, назва-
’ А. В. Егор ас he г, Maszyny licza, same?, Wiedza Pows zechna, Warszawa.
15
ние которого тоже начинается с буквы «П»1. Но в «цифровом краю» преобладает высокогорный рельеф, прорезанный глубокими потоками и изобилующий предательскими пропостями- А в «аналоговом краю» рельеф самое большее холмистый, округленный, и поэтому данный путеводитель можно без признаков переутомления прочитать в течение
222 минут.
Если же читатель справится с этим быстрее, то он может считать себя опытным туристом, которому заслуженно полагается неофициальный титул «почетного адепта аналогий».
Пусть читатель простит мне эти наполовину шутливые, а на четверть несерьезные и бьющие на эффект формулировки — ведь предисловие это реклама всей книги. Унылое и серьезное только отбило бы охоту к прочтению ее, а тем, кто читает предисловия в конце, оставило бы плохое настроение, а это не входит в намерения автора.
Варшава, октябрь 1963 г.
А. Б. Э.
1 Автор, по-видимому, имеет в виду польский ежемесячный журнал «Пшекруй» («Przekroj») — обзор, где иногда бывает указано, сколько минут займет чтение той или иной статьи. — Прим, перев.
ГЛАВА I
ОТ ВЕКТОРА ДО АНАЛИЗАТОРА
Позвольте для начала рассказать вам басенку. Одного студента во время экзамена спросили:
— Сколько будет дважды два?
— Минуточку, — сказал взволнованный студент. С серьезным видом он вытащил из кармана логарифмическую линейку и, выполнив умножение, очень довольный прочитал экзаменаторам результат:
— Около четырех.
Как всякая басня, эта тоже имеет свою мораль: результат любых вычислений, выполненный при помощи линейки, всегда имеет приближенный характер.
Этим свойством обладают все без исключения аналоговые устройства, хотя приближения могут приводиться в разной форме и с разной точностью. Поэтому над символическими воротами в «Страну аналогий» можно было бы написать: «Входящий сюда пусть оставит всякую надежду на получение абсолютной точности». А если использовать более таинственное определение, то простирающуюся за этими воротами страну можно назвать «Страной плавающего нуля».
В «Стране плавающего нуля» понятие равенства чисел становится расплывчатым. Здесь можно говорить только о приближенном равенстве. Два числа равны, если их разность равна нулю, — это мы хорошо знаем. Если же нет «точного» нуля, то нет и «в точности равных» чисел. Однако, как мы увидим, такая «расплывчатость» чисел в «Стране аналогий»
2 А. Эмпахер
17
Р и с. 1. Цифровой способ записи (а) позволяет получить значительно большую точность по сравнению с аналоговыми способами (б, в), зато аналоговые способы позволяют наблюдать изменения величины во времени.
не становится слишком большим препятствием ни для ее жителей, ни для туристов.
Геометрическое мышление
Насколько цифровые устройства представляют собой как бы воплощение арифметики, настолько аналоговые устройства можно рассматривать как своего рода эквивалент геометрии. Во всяком случае, «геометрический способ рассуждений» здесь очень полезен.
Использование геометрических понятий имеет древнюю традицию, восходящую ко временам фараонов. Для египтян числа и их суммы или разности были отрезками, произведения двух чисел — площадями прямоугольников. И теперь еще иногда прибегают к интерпретации произведения трех чисел как объема некоторого параллелепипеда. Сложение чисел определяется как сложение отрезков, сложение произведений — как сложение прямоугольников или параллелепипедов.
Однако геометрический метод мышления ничего не дает, когда в произведение выходит больше трех сомножителей, так как в этом случае пришлось бы обратиться к чисто абстрактным пространствам высших размерностей. Такие абстрактные аналогии теряют всякую наглядность и становятся бесполезными. Поэтому не приходится слишком удивляться, когда некоторые техники, заслышав уже о четвертом 18
измерении, иронически поднимают брови и злорадно спрашивают незадачливого собеседника:
— А вы видели когда-нибудь четырехмерную доску?
Аналоговое и цифровое представление чисел
Число как таковое — это чисто абстрактное понятие; числа могут быть заданы только при помощи некоторых физических величин. Таким образом, с самого начала мы опираемся на аналогии между миром понятий и миром реальных предметов. В теоретических рассуждениях эти аналогии не играют большой роли, однако они немедленно дают о себе знать при использовании математических устройств.
Пока мы мысленно оперируем с числами, например считаем, сколько будет шестью семь, способ наглядного представления этих чисел нас не интересует. Но уже для регистрации результатов на бумаге необходимо выбрать какой-нибудь способ записи. Впрочем, необязательно пользоваться бумагой: можно, например, сделать соответствующее число зарубок на палке, отсчитать нужное количество жетонов или отпилить кусок палки определенной длины.
Все способы представления чисел можно разбить на две основные группы: цифровые и аналоговые. Цифровым способам отвечают зарубки на палке или жетоны, аналоговым — палки различной длины. При записи на бумаге роль зарубок играют цифры, роль палок разной длины — начерченные отрезки, или, в общем виде, векторы (так называемые «направленные» отрезки с положительным или отрицательным направлением). Пока мы имеем дело с целыми числами, оба способа кажутся одинаково удобными. Но с появлением дробей цифровой способ приводит к определенным трудностям. Имея палку длиной 1, легко разрезать ее на три равные части и получить палку длиной 7з (аналоговый способ). Но если один жетон обозначает число 1 (цифровой способ), то дробь Уз1 можно получить только путем «разменивания на ме-
2*
19
0*20
* ь'
B-3S-3
Р и с. 2. Легко обосновать геометрически формулу квадрата суммы, несколько трудней представить себе геометрическую аналогию куба суммы.
лочь», так как деление жетонов на кусочки не допускается.
Проведем еще одно сравнение. Используя имеющиеся в обращении банкноты и монеты, можно выплачивать только такие суммы, которые выражаются целым числом копеек. Если же для этой цели взять золотую фольгу в рулонах, то можно «выплатить» даже очень небольшую часть копейки, отрезав соответствующий короткий кусочек золотой ленты.
Этот второй способ именно потому и назван аналоговым, что он дает представление чисел при помощи некоторых пропорциональных физических величин. Аналоговый способ называют также непрерывным, поскольку при непрерывном изменении числа от одного значения до другого необходимо непрерывно изменять длину соответствующих отрезков ленты. Иначе говоря, плавным изменениям чисел соответствуют плавные изменения служащей аналогом физической величины (в нашем примере — длины ленты).
Цифровая запись этими свойствами не обладает. Если последовательные целые числа 1, 2, 3,... обозначаются нанесением зарубок на палку, то количество зарубок растет явно скачкообразно, а не непрерывно. В отличие от аналоговой записи, где можно плавно перейти от одного значения к другому через все промежуточные значения, цифровую запись приходится делать скачками. По этой причине цифровой способ научно называется дискретным — от латин-20
ского discretus, что переводится примерно как «раздельный». Аналоговый способ записи в противоположность цифровому можно было бы — для педантов— назвать недискретным1.
Спаси, физика!
Однако помимо длины существует еще много других недискретных физических величин: объем, вес, сила, давление, скорость, электрическое сопротивление, вязкость жидкостей, электрическое напряжение, момент вращения, угловая скорость и многие другие, за исключением тех, которые рассматриваются в квантовой физике. Каждая из названных величин изменяется (макроскопически) непрерывно, поэтому любую из них можно использовать для аналоговой записи. Это особенно удобно, если мы стремимся механизировать вычисления. Условимся представлять числа при помощи электрических токов (напряжений); тогда сложению чисел соответствует суммирование токов в узле электрической цепи в соответствии с первым законом Кирхгофа. С таким же успехом можно применять другие величины, которые легко измерять и изменять, как, например, перемещение, угол поворота вала, напряжение магнитного поля, высота уровня воды в бассейне и так далее. Используя подходящие физические системы, можно не только выполнять четыре основных арифметических действия (сложение, вычитание, умножение и деление), но и решать сложные математические уравнения. Если, например, условиться интерпретировать числа как веса, то можно собрать систему блоков с подвешенными на шнурах гирьками, при помощи которой удастся быстро1 2 решать систему десяти уравнений с десятью неизвестными или систему еще большего порядка. Положение гирек, при котором устанавливается равновесие системы, соответствует искомому решению. Другие системы, например гидравлические,
1 В оригинале игра слов: по-польски niedyskretny часто употребляется в значении «не вполне добросовестный», «не внушающий доверия». — Прим, перев.
2 Вычислитель решал бы такую систему уравнений несколько часов.
21
могут применяться для решения дифференциальных уравнений. Но об этом ниже.
Физические аналогии важны не только для вычислений, они также играют большую роль в преподавании. Возвращаясь в памяти к школьным годам, мы припоминаем различные аналогии, вводимые при изучении свойств относительных чисел. Наши учителя прибегали тогда к помощи кассиров и машинистов, желая показать, что «потеря долга есть прибыль» и что «отрицательная скорость в отрицательном времени дает положительный путь»...
Аналогии были полезны и на уроках физики при изучении электричества. Свойства электрического тока становятся совсем понятными, если представлять себе напряжение как высоту уровня воды, а силу тока как количество воды, протекающей за одну секунду (поток). Вода течет от более высокого уровня к более низкому—аналогично электрический ток «перетекает» до тех пор, пока существует разность потенциалов. Для того чтобы могла работать гидротурбина, необходима разница уровней воды, а чтобы мог работать электродвигатель, требуется разность электрических потенциалов (напряжение).
Впрочем, при проведении таких аналогий не следует заходить слишком далеко, так как только некоторые свойства гидродинамических течений и электрических токов совпадают и лишь часть законов гидродинамики и электродинамики имеют сходную математическую форму.
Язык графиков
В вычислениях мы сталкиваемся не только с числами: имеются еще и зависимости, или так называемые функции. Функции можно определять с помощью формул или таблиц, но самое наглядное представление дают графики. Правда, не для любой функции удается начертить график, однако наиболее часто встречающиеся функции, к счастью, относятся к категории «добропорядочных» — допускающих графическое представление. Задавая таблицу значений функции, мы определяем ее дискретным способом, а задавая график, — аналоговым способом. Оба эти
22
способа определяют функцию приближенно; единственный «точный» способ — это задание определяющего функцию аналитического выражения.
Все математические устройства делятся на дискретные (цифровые) и аналоговые. Посмотрим теперь, как в свою очередь классифицируются аналоговые устройства. Действие этих последних легче всего объяснить именно языком графиков, а не формул. Поэтому можно было бы даже выдвинуть несколько рискованное утверждение, что «аналоговые машины считают с помощью графиков».
Обычно турист быстро утомляется и с откровенней скукой рассматривает самые прекрасные виды, если во время непродолжительного осмотра экскурсовод старается провести его по всем тропинкам и показать все достопримечательности без исключения. Поэтому пусть читатель простит автора за то, что он ограничится простейшими случаями и будет рассматривать лишь шкалы и графики на плоскости в прямоугольных координатах (примеры даются на рис. 3).
Шкалы, изобретенные Декартом (XVII век),— это просто отрезки с нанесенной на них одинарной или двойной разметкой. С помощью такого рода двойных шкал можно представлять некоторые функциональные зависимости, а именно так называемые монотонные зависимости. Эти зависимости отличаются тем, что если одна из переменных возрастает, то другая либо тоже постоянно возрастает, либо, наоборот, постоянно уменьшается. Что касается графиков, то они годятся и для представления немонотонных-функций. Математики на своем мудреном языке выражают это следующим образом: шкалы пригодны только для представления обратимых функций.
Со шкалами мы часто встречаемся в повседневной жизни. Миллиметровые деления на линейке,
23
X	У
0,0	0,00
0,1	0,01
Д2_	0,04
0,3	0,09
-ОД	0,16
0,5	0,25
0,6	0.36
0.7	0,49
0,8	0,64
0,9	0,81
до	Тбо~
У х 1 0,4 0,3 0,2
0,9 0,8 О,? 0,6
0,5
X
- 0,4
0,1 Z. 0,0? = 0,05-0,04 -- 0,2 0,03-0,02-
0,3
0,01	0,1
У
о
0,1
0,2
0,3
04
0,5
0,6
о,?
0,8
0,9
1
О
У
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6 0,7 0,8 0,9 - 1
х

0.8
0.7
ОД 0.5 0.4 ОЛ
О
О 0,1 02 03 04 ОД 0,6 Q7 СД ф у
У
0,9 0,8 oj Об 0.5 0.4
ОД
0,2
од
0.2	0.3 04 0,5 0? ОД
0,8
О
О?
0,9

Р и с. 3. Несколько возможных личины площади квадрата (у)
способов графического представления зависимости ве-от длины его стороны (х), или представления функции у = Л'2.
шкала термометра — это примеры одинарных шкал. Но уже на логарифмической линейке шкалы не одинарные. То же самое можно сказать о различных шкалах электрических измерительных и других приборов. По-видимому, наиболее интересное применение шкал — это «считающие чертежи», или так-называемые номограммы, о которых речь пойдет дальше.
Графики встречаются, быть может, немного меньше, но не так уж редко. Имеются статистические графики, графики выпуска продукции, температуры больного, изменения атмосферного давления в течение суток и другие, включая графики, представляющие собой результаты вычислений на аналоговых машинах.
По сравнению со шкалами графики имеют одно важное преимущество — наглядность. Опытный техник, только взглянув на график с нанесенной на него характеристикой интересующего нас устройства, определяет его пригодность, оптимальные условия работы и тому подобное. Задача становится сложнее только в том случае, если взаимозависящих величин больше чем две; если их три, мы еще можем использовать пространственные чертежи, которые, хотя и с большим трудом, но все-таки можно начертить. Однако в случае четырех или большего числа величин приходится прибегать к различным комбинированным методам, так как трудно представить себе, например, пяти- или десятимерное пространство.
«Считающие чертежи»
Номограммы можно рассматривать как простейшие аналоговые устройства из тех, которые используются в качестве вспомогательных средств вычислений. Собственно говоря, любой график функции является своего рода номограммой; однако в обычной практике номограммами принято называть только графики, построенные с определенной точностью и позволяющие получать числа с точностью не менее двух значащих цифр. В частности, номограммами являются двойные шкалы — номограммы для двух переменных, — а также упомянутые графики функций. Однако наибольшее практическое значение
25
имеют те номограммы, которые нельзя заменить плоскими графиками функций, то есть номограммы для трех и большего числа переменных. Не следует забывать, что даже при обычном сложении имеются три переменные: два слагаемых и их сумма.
Номограммы получили распространение во второй половине XIX века. Их ввел Леон Лалан, который, применив неодинарные шкалы на параллельных осях, осуществил так называемую ректификацию графика (1842 год), где речь шла о получении графика прямолинейной формы, то есть о выпрямлении кривых. В наше время инженеры и техники охотно пользуются для построения графиков логарифмической бумагой, которую также ввел Лалан; применение логарифмических шкал на осях приводит к тому, что графики различных парабол, гипербол, степенных и показательных функций принимают удобную форму прямых линий.
Общая теория номограмм была создана только в конце XIX века. Отцом номографии везде считают другого французского математика, Мориса д’Окань, который с 1884 по 1890 год опубликовал ряд работ по теории «считающих чертежей», и именно он назвал их номограммами. Это название (по гречески номос — закон, грамма — запись) получило право на существование уже в 1890 году на Парижском математическом конгрессе.
26
Номография быстро завоевала признание практиков. Появились тысячи номограмм для представителей чуть ли не всех без исключения профессий: механиков, электриков, гидравликов, радиотехников, архитекторов, биологов, медиков, ветеринаров, зоотехников, ботаников, дендрологов, агрономов, фармацевтов, железнодорожников, экономистов, химиков
Р и с. 4. Определение полного сопротивления параллельной цепи (а), свойства лучевой номограммы (б), совместная производительность рабочих (в), зависимость между положением изображения и предмета в оптической системе (г) являются аналогами друг друга, так как всем им соответствует одна и та же формула гармонической суммы.
физиков и многих других. В изданном несколько лет назад каталоге важнейших американских номограмм можно найти даже номограмму для повара: зависимость густоты майонеза от температуры и скорости вливания оливкового масла во время перемешивания...
Один из наиболее распространенных типов номограмм, который, правда, не во всех случаях удается построить, — это многошкальная номограмма. Именно такая номограмма для вычисления полного сопротивления параллельной цепи (рис. 4, а) приведена на
27
рис. 4,6. На левой шкале отмечаем точку, соответ-» ствующую величине сопротивления Rit на правой—* сопротивления /?2; через отмеченные точки проводим прямую, и в точке пересечения ее со средней шкалой находим величину сопротивления связанную с Rt и /?2 соотношением
Таким образом, кропотливое сложение обратных величин заменяется буквально одним приложением линейки. Подобным же образом поступают и с другими номограммами; однако, если увеличивается число переменных, приходится чертить большее количество прямых.
Морис д’Окань отнюдь не исчерпал всего объема задач, связанных с номографией; после него немало исследователей занимались этими вопросами, и для будущих приверженцев номографии работы вполне хватит. Созданы более сложные номограммы, для разработки которых нужно было проявить большую изобретательность. Возникла теория номограмм, в которых вместо прямых вычерчивают окружности, параболы, гиперболы или другие кривые; тогда вместо линейки нужно пользоваться специальным лекалом. Создана теория номограмм с транспарантом, где кривые, нарисованные на прозрачном целлофане, определенным образом накладываются одна на другую. С помощью таких номограмм можно даже решать системы уравнений с 20 неизвестными! Для решения таких уравнений другими способами понадобилось бы несколько десятков часов, здесь же мы просто накладываем транспаранты один на другой и можем
28
сразу прочитать значения решений, правда, в грубом приближении.
Однако в основном не это ограничивает применение номограмм. Другой важный их недостаток — отсутствие универсальности. Для каждого типа расчетов необходимо создавать принципиально новый тип номограммы. Поэтому разработка номограмм окупается только при выполнении типовых расчетов. В других случаях цель не оправдывает средств — расчет и построение номограммы может потребовать больше усилий, чем непосредственное выполнение всех нужных вычислений.
Линейки
Ближайший родственник номограмм — счетная линейка. Большинство техников пользуется логарифмической линейкой при умножении чисел и возведении их в степень. Если бы им сказали, что на линейке можно только складывать — они, несомненно, удивились бы. Но это и на самом деле так. Ведь умножению чисел соответствует сложение логарифмов, а именно это и производит логарифмическая линейка.
Любую счетную линейку можно использовать исключительно для сложения или, при помощи обращения операций, для вычитания. Остальные действия, включая деление, возведение в степень и извлечение корней, — это уже «номографические штучки», основанные на применении специально подобранных преобразований и математических формул.
Действие линейки основано на механической аналогии геометрического сложения отрезков. Что мы делаем при сложении отрезков? Чертим прямую, выбираем на ней точку, затем от этой точки откладываем на прямой первый отрезок, потом от конца первого отрезка откладываем (в том же направлении) второй отрезок; полученная в результате точка дает искомую сумму. А как выполнить сложение на линейке? Перемещаем одну планку относительно другой, как показано на рис. 5, а, после чего без труда читаем результат на нижней шкале в соответ
29
ствии со следующей схемой:
О b
а а-\-Ь
Число нуль верхней шкалы ставим над числом а нижней шкалы, тогда под числом b верхней шкалы читаем величину суммы а + b на нижней шкале.
Однако счетные линейки для сложения малоэффективны, так как числа, в особенности многоразрядные, намного быстрее можно сложить на бумаге. Обычная счетная линейка длиной 25 сантиметров обеспечивает точность самое большее три десятичных разряда; линейка в десять раз большей длины дала бы в лучшем случае на один разряд больше. Поэтому даже обычные счеты при сложении имеют явное преимущество перед этой линейкой.
Зато широкое применение нашли логарифмические счетные линейки, позволяющие выполнять более трудные действия: умножение, деление, извлечение корней, тригонометрические вычисления и т. п. Отцом такого рода устройств считается Эдмунд Гюнтер, который спустя шесть лет после опубликования Джоном Непёром знаменитого трактата о логарифмах изобрел логарифмическую шкалу (1620 год). На этой шкале при помощи циркуля-измерителя можно было умножать, делить и возводить в степени. Однако собственно логарифмическая линейка была изобретена только тогда, когда две шкалы Гюнтера были наклеены на планки, перемещаемые одна относительно другой. К этой мысли пришли независимо друг от друга несколько математиков. По-видимому, первым из них был Вильям Отред, который осуществил это уже в 1623 году. Ему мы обязаны и введением знака X как символа умножения (1631 год)< Другой математик, Деламейн, изобрел круговую линейку со шкалами Гюнтера, нанесенными на два кружка, поворачивающихся один относительно дру* гого (1630 год); в течение многих лет он приписывал себе пальму первенства, так как работы Отреда были опубликованы его учеником Форстером только в 1632 году.
30
Конструкция логарифмической линейки основана на известном правиле, по которому при умножении
Р и с. 5. Две планки с равномерной шкалой образуют счетную линейку для сложения (а). На рисунке отмечено стрелками сложение 2 4“ 3 = 5. Мелкие деления на шкалах обеспечивают точность представления дробных чисел до одного знака после запятой. Две планки с неравномерной шкалой образуют счетную линейку для умножения (б). На рисунке отмечено умножение 4 X 32= 128. Если нужно умножать любые числа, а не только степени числа 2 (32 = 25), нужно сделать шкалу соответственно более частой — тогда получится логарифмическая линейка.
степеней одного и того же числа их показатели складываются. Но степенная шкала 1 содержит только не-
1 Шкалу, изображенную на рис. 5,6, правильней было бы назвать логарифмической, хотя на ней записаны только степени целых чисел. Разумеется, все остальные числа добавить невозможно — добавляют деления, соответствующие десятичным чис-
31
которые числа (рис. 5,6); дополнив ее остальными, мы и получим логарифмическую шкалу. При этом
умножению чисел соответствует следующая простая схема:
1 b
а а -Ь
Множимое а ставим под цифрой 1 верхней шкалы, а под множителем Ь верхней шкалы читаем — на нижней шкале — величину произведения а*Ь.
В дальнейшем эволюция счетной линейки шла уже менее бурно. В 1633 году Томас Браун сконструировал спиральную линейку, которая благодаря значительному увеличению длины шкал позволяла повысить точность вычислений. С другой стороны, конструкцию Отреда улучшил Биссакер (1654 год), поместив подвижную шкалу (движок) в паз основной планки, имеющий форму желоба. Существующую ныне форму логарифмической линейки установил Сет Партридж (1657 год); последующие усовершенствования состояли в добавлении новых шкал или в по
лам с одним, двумя или тремя разрядами после запятой в зависимости от требуемой точности. Шкалу называют логарифмической независимо от того, какова цена делений. — Прим, перев.
32
вышении точности путем увеличения длины шкал. Вскоре после этого мастерские точных приборов начали производство линеек для продажи (1683 год). Наибольший спрос на них возник у землемеров.
Точность линейки зависит от количества штрихов на шкалах и от точности их нанесения. Без применения увеличительных стекол было бы трудно различать штрихи, нанесенные на расстоянии менее чем около четверти миллиметра. Поэтому на шкале длиной 25 сантиметров можно нанести не более 1000 чисел. Это соответствует точности три знака.
У более точных линеек шкалы длиннее; в продаже имеются полуметровые и даже метровые линейки. Но особенно радоваться этому не стоит, так как чем больше линейка, тем она неудобнее в обращении. Уменьшить ее размеры можно путем свертывания шкал в кружок (круговая линейка) или в плоскую спираль. Круговая линейка диаметром метр имеет шкалы примерно трехметровой длины и обеспечивает точность до четырех значащих цифр. Но такую большую линейку должны обслуживать два человека; в связи с этим Фуллер изобрел винтовую линейку (1878 год), в которой шкалы навиты спирально на прозрачные стеклянные валики. Эту линейку — как один из любопытных экспонатов — можно увидеть в Британском музее среди большого количества других математических приборов и машин.
Изобретательность всяческих «линейкологов» была прямо-таки безграничной. Придумали даже линейки длиной несколько десятков метров, обеспечивающие точность до пяти значащих цифр. Но пользоваться многометровыми планками было очень неудобно, поэтому линейку разрезали на куски. Нестлер выпускал серийно счетные, или логарифмические, валики, в которых отрезки шкал были наклеены вдоль образующих валика; роль движка играла «корзинка» с копиями наклеенных шкал. Другим способом пытался решить эту задачу Фусс, который построил ленточную линейку (1933 год); вместо двух планок в нее входили две многометровые ленты с нанесенными шкалами; эти ленты можно было перемещать одну относительно другой или обе одновременно. Несколько подобных устройств построил в сороковых годах
3 А. Эмпахер
33
Штибиц— известный американский конструктор релейных цифровых машин типа «Белл». Однако ленточные линейки не нашли широкого применения, так как они не очень удобны и относительно громоздки (размер пишущей машинки). Разработанная профессором А. Вальтером и сотрудниками Института прикладной математики при Дармштадтской высшей технической школе современная многошкальная счетная
линейка (1934—1935 годы), называемая дармштад-ской, превосходит все другие линейки с точки зрения удобства обслуживания и разнообразия выполняемых вычислений.
Однако ошибаются те, кто думает, что теперь наступило затишье в области «линейко-конструкторских» изобретений. Так могло показаться, однако широкое распространение электрических арифмометров, обеспечивающих точность до десяти значащих цифр, не вытеснило полностью логарифмических вычислений. Хотя по существу эти способы вычисления стали уже несколько архаичными, мы все же являемся свидетелями появления новых типов линеек.
Уже после второй мировой войны фирма «Деннерт и Пэйп» начала выпускать логарифмические валики нового типа (1946 год). Хотя они и обеспечивают точность почти до пяти значащих цифр, покупателей было немного. Есть также оригинальное польское изобретение — кусочная линейка «Логоплан», обеспечивающая точность четыре-пять значащих цифр и запатентованная несколько лет назад одним из сотрудников Польского института авиации. Эта линейка имеет длину несколько метров; для удобства исполь
34
зования она разрезана на десять частей, которые в процессе вычислений нужно прикладывать друг к другу в определенном порядке. Однако до сих пор никто не заинтересовался производством «Лого-плана».
Какой же длины должна быть линейка, обеспечивающая точность десять значащих цифр? Оказывается, если бы один конец такой линейки находился в Варшаве, другой должен был бы быть в Мадриде, так как длина ее должна составлять около 2500 километров. Очевидно, создать такую линейку невозможно. Более того, даже если бы удалось построить такую шкалу, время установки линейки было бы очень большим: потребовалось бы перематывать тысячи километров ленты. Кроме этого, такая шкала вовсе не обеспечила бы верных девяти или хотя бы восьми значащих цифр. Под действием различных внешних факторов, таких, как колебания температуры и влажности воздуха, а также вследствие неоднородности материала, из которого линейка изготовлена, длина шкалы могла бы колебаться, к тому же неравномерно. Ведь в Париже могло быть +25°, в то время как в Кракове 0°. Из сказанного выше видно, что практически невозможно построить действительно точную счетную линейку.
Кривографы
К аналоговым устройствам относятся также различные чертежные приборы: линейки, циркули, приборы для вычерчивания параллельных линий, для копирования рисунков с изменением масштаба, или так называемые пантографы, и другие более или менее хитроумные приспособления.
Многочисленное семейство «кривографов» включает также группу самописцев: барографов, термографов, гигрографов, самопищущих вольтметров и других, предназначенных для регистрации графиков изменения давления, температуры, влажности или электрического напряжения. Но, видимо, наиболее интересная группа — это приборы для вычерчивания сложных математических кривых, которые можно назвать циркулями высшего порядка.
3*
35
В частности, такой сложной математической кривой может оказаться даже... окружность. Казалось
бы, нет ничего проще, чем чертить окружности, но попробуйте начертить хотя бы часть ее радиусом десять метров. У некоторых хватит смекалки воспользоваться длинным шнуром, но при таком способе результаты будут далеки от совершенства. Проще всего
Рис. 6. Инверсор Поселье — циркуль для вычерчивания кругов большого радиуса. Если плечи имеют размеры, обозначенные на рисунке, и расстояние между неподвижными осями OQ = 10,34 см, то точка прочерчивает круг радиусом г = 10 м.
использовать специальный математический прибор инверсор, изобретенный в 1864 году офицером французского флота Поселье. Как видно из рис. 6, этот 36
«циркуль» отличается не слишком простой конструкцией.
Мир сложных кривых не исчерпывается окружностями большого радиуса; бывают еще параболы, эллипсы, гиперболы, спирали, а также множество других кривых с такими удивительными названиями, как
Рис. 7. Конхоида Никомеда представляет собой плоскую кривую— геометрическое место точек, равноотстоящих по направлениям радиусов (из точки О) от данной направляющей прямой (а). Ее можно начертить с помощью так называемого циркуля Никомеда (6). Эллипс можно начертить с помощью двух гвоздиков, шнурка и карандаша для более точного вычерчивания эллипса служит эллипсограф (г).
конхоида, циссоида, квадратрисса, трактрисса, астероида, циклоида, кардиоида, лемниската... Для каждой из них, не говоря уж о заслуженных тригонометрических кривых — синусоиде или, скажем, тангенсоиде,— неутомимые механики сконструировали в течение столетий сотни разнообразнейших чертежных приспособлений. Некоторые из них пришли к нам еще из античных времен.
Настоящий расцвет кривографов наступил в XVIII и XIX веках. Особенно много удачных конструкций эллипсографов, параболографов, гипербо-
37
лографов, спирографов, эвольвентографов, циклоидо-графов и других появилось в XIX веке. Некоторые из этих приспособлений играют важную роль в механике, например эвольвентограф, или эвольвентный циркуль, служащий для вычерчивания профилей зубчатых колес так называемого -эвольвентиого типа.
Среди многочисленных кривографов немало и польских изобретений. Здесь можно вспомнить о знаменитом инженере Бруно Абданк-Абакановиче (1852—1900 годы), который построил несколько оригинальных приборов для вычерчивания парабол, показательных кривых и спиралей. Но наибольшую известность он приобрел изобретением интеграфа, предназначенного для вычерчивания интегральных кривых. Более близкое ознакомление с интеграфом откроет нам, наконец, последние ворота, ведущие в «храм высшего посвящения».
В давнее время в масонских ложах церемония «высшего посвящения», по-видимому, была связана с не очень приятными для посвящаемого испытаниями эмоционального характера. В нашем же посвящении не будет никакой магии, скелетов, потрясающих орудий пыток и других ужасов. Придется, правда, познакомиться с одним... змеем, но совсем не опасным, потому что это только печатный знак. Будь что будет, в конце концов, нужно чем-то платить за посвящение, не так ли?
ГЛАВА II
С ИНТЕГРАЛОМ ЗАПАНИБРАТА
Разрешите представить вам змея, о котором я уже говорил. Вот как он выглядит:
В самом деле, — грозно! Имя его тоже должно внушать почтение—ИНТЕГРАЛ.
Нельзя сказать, чтобы все любили интегралы, особенно студенты вузов, сдающие экзамен по интегральному исчислению. Однако после того, как экзамены позади, студенты обычно меняют мнение, убеждаясь в великой силе этого необычного символа. Между прочим, интегрирование определенным образом связано с понятиями объема и площади поверхности. Многие физические и технические задачи сводятся к определению объемов и площадей, поэтому интегрирование играет в прикладной математике важную роль.
Читатель находится в лучшем положении, чем студенты, так как ему не предстоит, прочитав эту книгу, сдавать экзамен по интегральному исчислению. Поэтому мы не будем надоедать ему формулами, а постараемся представить «господина интеграла» с наилучшей стороны.
Говоря об интегральном исчислении, обычно начинают от Адама и Евы, то есть от Ньютона и Лейбница. Однако для наших целей проще обойти все
39
Рис. 8. Если поезд движется с постоянной скоростью 50 км/час, то график скорости представляет собой горизонтальную прямую (а), а график пути — наклонную прямую, соответствующую монотонно возрастающей «текущей площади» под графиком скорости (б). Если же скорость изменяется (в), то график пути перестает быть прямой линией и становится криволинейным (г).
аналитические тонкости, связанные с интегрированием, и ограничиться одними только геометрическими аналогиями. Математиков наверняка возмутит «нестро-гость» рассуждений, но я надеюсь, что они не затаят глубокой обиды на автора, так как эти объяснения предназначены как раз для тех, кто не знаком с высшей математикой.
Призовем на помощь железнодорожного машиниста и дадим ему задание вести поезд с постоянной скоростью 50 км!час. Если в момент времени 0.00 этот поезд пройдет мимо нас, то в момент 1.00 он
40
будет находиться на расстоянии 50 км, в момент 2.00 — на расстоянии 100 км и т. д. Путь поезда мы вычисляем, умножая его скорость V на время /. Таким образом, для пути 5 получаем простое соотношение
S=V-1.
Но произведение двух чисел можно рассматривать условно как площадь некоторого прямоугольника — такой прямоугольник легко найти на графике скорости (рис. 8,а). Здесь кривая скорости представляет собой прямую, параллельную оси времени; все ее точки находятся на одной и той же высоте, потому что наш машинист идеально точен и старается поддерживать постоянную скорость.
Построим теперь график пройденного пути: для каждого момента времени вычислим площадь соответствующего прямоугольника. Для момента t=\4ac имеем 5 = 50X1=50 ot/для момента / = 3 час имеем 5=150 км и т. д. Теперь нанесем полученные данные на график в такой системе координат, где горизонтальная ось по-прежнему является осью времени (/), а вертикальная — осью пути (5). При этом мы получаем прямую линию, наклоненную под определенным углом к оси /. Эта линия показывает изменение пути (5) в зависимости от времени (рис. 8, б), тогда как предыдущая выражала «поведение» скорости (V) также в зависимости от времени.
Однако может случиться, что машинист перестанет выполнять условия и не будет поддерживать постоянную скорость. Тогда кривая скорости уже не будет горизонтальной прямой — она наклонится, на ней появятся в нескольких местах складки или изломы. Пример этого дается на рис. 8, в. Оказывается, что и в этом случае путь имеет определенный геометрический смысл — это так называемая текущая площадь под кривой скорости. Например, путь, пройденный за 5 часов (вертикальный отрезок 5D на рис.8,г), соответствует площади заштрихованной фигуры на рис. 8, в.
Ну вот, мы уже почти знаем, что такое интеграл. На геометрическом языке назовем кривую 5 интегралом кривой V, если кривая 5 представляет собой
41
график величины «текущей площади» под кривой V. Символом интегрирования служит значок J, возникший из искаженной буквы S. В математике этот значок применяют в сочетании еще с некоторыми символами, но для наших целей вполне достаточно символической записи
S = /IZ,
где молчаливо подразумевается, что речь идет о «текущей площади», зависящей от времени
Пойдем дальше. Раз мы уже знаем, что такое интегрирование, то теперь можно объяснить, что такое дифференцирование, или, иначе говоря, определение производных. Дифференцированием называется действие, обратное интегрированию. Дифференцирование по времени обозначается с помощью точки:
S = V,
что читается как: «V есть производная от S». Примеры применения интегрирования и дифференцирования в физике даются в следующей таблице:
'М"
Путь равен интегралу скорости
Скорость равна интегралу ускорения
Электрический заряд равен интегралу силы тока
Уровень воды в баке равен интегралу величины притока
Работа равна интегралу мощности
V = S
Скорость равна производной пути
Ускорение равно производной скорости
Сила тока равна производной электрического заряда
Величина притока равна производной высоты уровня воды в баке
Мощность равна производной работы
1 Математики называют это «определенным интегралом с переменной верхней границей» и применяют более сложное обозначение
t
S(O = S(O) + f V (t)dt.
о
42
Очевидно, во всех этих случаях молчаливо подразумевается, что проводится дифференцирование и интегрирование по времени.
(Заметим, что приведенное нами рассуждение чрезвычайно примитивно.)
Интегралы
Вычисление интегралов аналитическими методами на основании точных формул — отнюдь не простое дело. Поэтому колоссальное значение приобретают способы приближенного интегрирования. Один из таких способов — графическое интегрирование — мы показали на примере графика скорости и графика пути. Оно не вызывает особых трудностей в случае прямых линий, но становится весьма обременительным, если иметь дело со «складчатыми» кривыми. Чтобы все это упростить, математики построили приборы для вычерчивания интегральных кривых, называемые интеграфами. Принципы работы таких приборов основаны на физических аналогиях.
В электрическом интеграфе используется тот фактор, что электрический заряд представляет собой интеграл силы тока. В соответствии с этим мы изменяем силу тока во времени таким образом, чтобы ее график приближенно совпадал с графиком функции, которая нас интересует; тогда график изменения, скажем, заряда конденсатора во времени будет графиком искомой интегральной кривой. По такому же принципу можно построить гидравлический интеграф. Но, несомненно, самыми простыми в обращении являются механические интеграфы, непосредственно вычерчивающие интегральные кривые.
Идея механического интеграфа восходит к временам наших прабабушек. Теоретические исследования в этом направлении предпринимал еще Кориолис (1836 год), однако первые удачные с практической точки зрения конструкции появились только в восьмидесятые годы. К ним можно отнести, например, интеграф Бойса (1881 год), который, однако, является слишком сложным устройством, чтобы можно было осуществить его серийное производство в больших масштабах.
43
Первым интеграфом, в котором простота конструкции сочеталась с точностью действия, была модель, сконструированная уже упоминавшимся выше Бруно Абданк-Абакановичем (1886 год). Вслед за этим швейцарская фирма «Коради», специализирующаяся на производстве высокоточных механических приборов, завалила мировой рынок интеграфами такого типа, получая от этого большую прибыль.
Очевидно, позавидовав ее успеху, другие фирмы немедленно выпустили свои собственные модели интеграфов, такие, как «Аскания», «Отт» и др. Но в сравнении с интеграфом «Коради» эти приборы, хотя и более точные, были слишком громоздки, так что их едва ли можно было назвать портативными.
Интеграф Абданк-Абакановича (рис. 9) представляет собой систему подвижных звеньев; некоторые из них имеют шарнирное соединение, другие могут перемещаться относительно друг друга. Одно из звеньев, называемое ведущим, имеет на конце тонкий металлический обводный штифт, который нужно как можно точнее перемещать рукой вдоль интегрируемой кривой. В процессе перемещения обводного штифга другое звено интеграфа, называемое интегрирующим, перемещается в направлении оси у так, что укрепленный на его конце тонкий грифель вычерчивает искомую интегральную кривую. Постараемся теперь выяснить, как этот интеграф работает.
Механический интеграф действует так же, как наш паровоз, едущий с заданной скоростью. Роль паровоза выполняет здесь грифель, который перемещается вдоль оси у с большей или меньшей скоростью, в зависимости от положения ведущего звена. Если обводный штифт перемещать точно по оси х, то интегрирующее звено устанавливается в нулевом положении и остается неподвижным. По мере перемещения интеграфа вправо грифель вычерчивает горизонтальную линию, так как при нулевой скорости путь остается постоянным, то есть движущаяся точка остается на месте (постоянная высота прямой над осью х).
При горизонтальном перемещении обводного штифта грифель будет вычерчивать прямую тем более крутую, чем выше над осью х проходит кривая скорости (по которой перемещается обводный штифт)<
44
Если теперь начать перемещать обводный штифт вверх по наклонной, что соответствует графику скорости в равномерно ускоренном движении, то интегрирующее звено по-прежнему будет перемещаться вверх, но грифель начнет вычерчивать не поднимающуюся прямую, а параболу.
Возникает вопрос, как прореагирует грифель на движение обводного штифта по прямой, опускающейся к оси х? Такая кривая, как мы знаем, является графиком скорости в равномерно замедленном движении. В этом случае грифель тоже будет чертить параболу (в самом деле, пройденный путь возрастает даже при таком движении), но дуга параболы прогнется в обратном направлении, выпуклостью вверх (дуга ВС на графике рис. 8, г).
Предположим теперь, что, начиная с некоторого момента времени, обводный штифт будет перемещаться вдоль оси х. Тогда грифель начнет вычерчивать горизонтальную линию, так как вертикальное перемещение интегрирующего звена прекращается (нулевая скорость). А если заданная кривая принимает отрицательные значения, то есть часть ее оказывается ниже оси х, то грифель начнет чертить понижаю-
45
щуюся линию, поскольку интегрирующее звено при этом условии начнет перемещаться с отрицательной скоростью, то есть вниз. Чем ниже поставить обводный штифт, тем сильнее начнет опускаться интегральная кривая. Если значительная часть заданной кривой проходит в области отрицательных значений, то может случиться даже, что интегральная кривая достигнет нуля. В этом нет ничего удивительного, так как, двигаясь достаточно долго с отрицательной скоростью, можно спустя некоторое время вернуться в исходную точку; более того, интегральная кривая может достигнуть отрицательных значений, что соответствует движению через пункт отправления в обратную сторону.
Однако это утомительная поездка! Давайте лучше задержимся и займемся механизмом установления скорости — это как раз самое интересное. Не все конструкторы применяли рычажные механизмы. Например, в интеграфе Бойса использовалась коническая передача (рис. 10,а), применяемая также в автомат шинах для плавного переключения скоростей. Другие использовали тарельчатую передачу (рис. 10,6), которую теперь можно встретить почти во всех станках для намотки провода. Эти устройства были сделаны так, что поворот вала конуса (тарелки) приводил в движение маленький ролик, что в свою очередь вызывало соответствующее перемещение подвижной каретки с прикрепленным к ней самописцем. Очевидно, увеличение скорости (при этом ролик на рис. 10 перемещался от вершины конуса по его образующей или вдоль радиуса окружности к ее границе) приводило к тому, что ролик начинал вращаться все быстрее и, следовательно, все быстрее перемещалось пишущее устройство. Недостаток передачи такого типа — износ конусов (тарелок) при длительном использовании.
Абданк-Абаканович в своей конструкции применил передачу, которую можно назвать «угловой». Передачами такого же типа снабжены интеграфы марок «Аскания» и «Отт». Как действует «угловая» передача? Интеграф Абданк-Абакановича состоит из трех кареток: тяжелой основной каретки, перемещаемой вдоль оси х на обрабатываемом графике, и двух движущихся вдоль нее кареток, а именно: интегрирую-46
щей и ведущей, с прикрепленными к ним интегрирующим и ведущим звеньями. Основная каретка имеет два катка, укрепленные неподвижно один относительно другого на общей оси. Таким образом, если основную каретку поставить на чертежную доску так, чтобы
Рис. 10. Две различные схемы интегрирующего механизма, конического (а) и тарельчатого, т. е. конического с углом раствора, равным 180° (6).
общая ось была параллельна координатным осям у, то ее можно будет перемещать влево и вправо и она будет двигаться параллельно оси х, так как оба катка имеют одинаковый диаметр. Поэтому, когда обе малые каретки неподвижны, обводный штифт и грифель при движении всего механизма перемещаются вправо (или влево) по прямым, параллельным оси х.
Малые каретки соединены между собой таким образом, что угол поворота помещенного под интегри
47
рующей кареткой маленького ролика зависит от положения ведущей каретки, а не от положения интегрирующей. Если ведущая каретка находится в нулевом положении, то ролик стоит параллельно оси х. Тогда при перемещении всего механизма этот ролик препятствует перемещению интегрирующей каретки по отношению к основной. Однако если ведущую каретку отклонить от нулевого положения, то ролик встанет косо, и перемещение всего механизма вправо приводит к тому, что ролик увлекает за собой интегрирующую каретку в ту сторону, куда он повернут, и тем резче, чем больше угол поворота. Следовательно, интегрирующая каретка ведет себя подобно автомашине, которая, как мы знаем, тем быстрее смещается поперек дороги, чем круче повернуты передние колеса, то есть чем сильнее повернут руль.
Попутно мы выяснили, что след шины на шоссе — это интегральная кривая угла поворота автомобильного руля...
Планиметр
Вот мы и одолели описание интеграфа. Теперь основные трудности позади. Можно сказать, что это было трудное восхождение на вершину, откуда теперь мы будем любоваться прекрасными видами.
Интеграфы — не единственные приборы, применяемые для интегрирования. Им родственны интегримет-ры, предназначенные не для вычерчивания интегральных кривых, а для определения численных значений интегралов (так называемых интегралов с постоянными пределами). Интеграфы и интегриметры принадлежат к единому семейству интеграторов.
Одним из интегриметров является распространенный прибор планиметр, назначение которого приближенное вычисление площадей произвольных плоских фигур. Существуют также специальные стереопланиметры, позволяющие измерять площади поверхностей пространственных фигур, например территории стран, изображенных на глобусе.
Планиметр состоит из трех основных частей: двух рычагов и измерительного ролика. Один рычаг, называемый полярным, имеет на конце острую иглу, кото
48
рую втыкают в чертежную доску. Она служит осью вращения, или полюсом (рис. 11). Другой конец рычага имеет шарнирное соединение с обводным рычагом, к которому прикреплены обводный штифт и измерительный ролик, называемый также интегрирующим. Ось вращения этого ролика направлена по обводному рычагу.
Полярный рычаг
Обводный ~ Синтегрирующий) рычаг
Игла-ось
Шарнир
Обводный штифт
Интегрирующий ролик
змеряемая область
Рис. 11. Планиметр Амслера.
Планиметр этой конструкции носит название полярного; его изобрел Альфред Амслер (1854 год). Как сообщает «Британская энциклопедия», только в течение 30 лет с момента изобретения фирма «Амслер и К°» продала около 12 тысяч планиметров этого типа. С тех пор полярный планиметр подвергался лишь незначительным усовершенствованиям, например наряду с металлическими обводными штифтами теперь применяют также штифт в форме прозрачного стеклышка с намеченным посредине маленьким кружком, благодаря чему рисунок обводимой кривой постоянно виден, тогда как металлический обводный штифт всегда заслоняет часть рисунка.
Первый прибор такого рода, однако не являющийся полярным планиметром, сконструировал баварский инженер Герман. Затем он постепенно совершенствовался; большую роль в этом сыграли работы флорентийца Гонелля и швейцарцев Оппигофера и Ветли. Однако их конструкции не получили популярности ввиду чрезмерной сложности. Наоборот, планиметр Амслера,
4 А. Эмпахер
49
включающий наименьшее возможное число элементов, одержал верх и пережил даже своих более поздних конкурентов.
Лишь для специальных целей имеет смысл применять планиметры других типов. Так, например, метеорологи пользуются специальными планиметрами для определения площадей графиков барографа и термографа при вычислении средних значений давления и температуры. Механики также пользуются очень сложными планиметрами, позволяющими, например, одновременно определять площадь и момент инерции измеряемого сечения (за счет применения системы интегрирующих роликов). Можно было бы перечислить еще много разновидностей планиметров, но читателя, вероятно, больше заинтересует принцип действия этих устройств.
Как действует планиметр? После того как прибор установлен на чертежной доске и должным образом закреплен, нужно выбрать на контуре измеряемой области произвольную точку и установить на нее обводный штифт, а затем обвести весь контур. Разность показаний (начального и конечного) измерительного ролика дает нам в соответствующем масштабе величину площади. Обычно для достижения большей точ-» ности измерения повторяют несколько раз и вычисляют среднее арифметическое полученных результатов.
Как же простое обведение контура и перемещение ролика позволяют сразу найти величину площади? Исчерпывающий ответ на этот вопрос, к сожалению, можно получить только с помощью сложного аппарата высшей математики. Определенное представление о работе планиметра может дать геометрическая иллюстрация, помещенная на рис. 12 и 13. Отдельно представим себе обводный рычаг с измерительным роликом и двумя обводными штифтами на концах — что-то вроде скобы. Это тоже планиметр, только нужно знать, как им пользоваться. С точки зрения конструкции он еще проще планиметра Амслера, однако при работе с ним возникают определенные трудности.
Попробуем сначала показать, что такой скобой можно измерить площадь произвольной полосы... Что такое полоса? Это фигура, получаемая в результате перемещения по плоскости данного отрезка. Таким 50
образом, полоса ограничена двумя, вообще говоря, криволинейными, произвольными и различными боковыми сторонами и двумя прямолинейными основаниями (рис. 12,г). Частным случаем полосы можно считать прямоугольник, а также круг; прямоугольник полу-
Рис. 12. Измерение площади фигур с помощью планиметрической скобы (а, б, в) и планиметрическая лента (г).
чается в результате поступательного перемещения отрезка, а круг — в результате вращения отрезка вокруг одного из его концов. Если интегрирующий ролик расположен точно в середине скобы, то можно показать, что площадь полосы, вычерченной скобой во время ее произвольного перемещения по бумаге, равна произведению ширины скобы d на длину I пути, пройденного за это время измерительным роликом:
S = d-l.
Это уравнение планиметра. Пусть читатель проверит справедливость данного утверждения для прямо
4*	51
угольника, круга и параллелограмма (рис. 12,«—в). В последнем случае следует заметить, что измерительный ролик частично катится, частично скользит.
Для того чтобы осилить дальнейшее рассуждение, читателю понадобится некоторое воображение. Произвольную площадку на плоскости можно представить как разность двух полос соответствующей ши-
Направляющая кривая
Р и с. 13. Вычисление площади области S, при условии, что направляющая линия является произвольной кривой, охватывающей область К' а — разомкнутой; б — замкнутой.
рины. Так, например, чтобы определить площадь области S (рис. 13, а), достаточно вычесть площадь полосы А из площади /15. Заметим, что эти полосы имеют общие прямолинейные основания и одну общую криволинейную боковую сторону (так называемую направляющую кривую). Понятно, что форму этой общей стороны можно выбирать произвольно. Это может быть прямая, дуга окружности или любая другая кривая. Для полярного планиметра это как раз окружность, радиус которой равен длине полярного плеча.
При работе с планиметром не нужно самому находить разность площадей двух полос — это делает при
52
бор. В самом деле, когда мы обводим контур измеряемой площадки, интегрирующий ролик сначала перемещается в одну сторону, а потом, при возвращении к исходной точке (если направление обхода не меняется), — в противоположную. Таким образом, обороты ролика вычитаются сами, и, значит, формула планиметра остается в силе с тем лишь изменением,
Рис. 14. Топорик Притца — самый простой планиметр в мире. Ведя обводный штифт по измеряемому контуру, нужно прижимать лезвие к бумаге. Расстояние / = АА' — между начальным и конечным положениями лезвия,—умноженное на длину топорика d, дает приближенную величину искомой площади.
что теперь I представляет собой результирующий путь (алгебраическую сумму).
Однако полосы могут иметь общие только боковые стороны, а криволинейные стороны различные. Тогда направляющая кривая ограничивает некоторую область, скажем Л. Площадь этой области называют постоянной планиметра; ее прибавляют к величине, получаемой из решения уравнения планиметра (рис. 13,6).
Мы одолели принцип действия планиметра и в награду откроем читателю один секрет: при обводе измеряемого контура интегрирующий ролик совсем не обязательно должен находиться посредине скобы, если только другой конец скобы перемещается все
53
время вне площадки. Но чтобы это доказать, пришлось бы применить необычные для новичков виды математического «оружия»...
А можно ли представить еще более простой планиметр? Например, отказаться от интегрирующего ролика? Оказывается, можно. Этого добился Притц (1886 год), сконструировав знаменитый «планиметрический топорик». У этого топорика нет никаких измерительных элементов, что, впрочем, безусловно, является его недостатком, так как приходится в дополнение к нему пользоваться линейкой с миллиметровыми делениями — для измерения расстояния между начальным и конечным положениями ведомого наконечника (рис. 14). Этот наконечник имеет форму полумесяца с заостренной дугой — отсюда название топорик. Ясно, что топорик Притца дает небольшую точность измерений. Но от такого простого устройства нельзя и требовать многого.
Искусственные мозги?
Перечисленные выше виды интеграторов нашли применение в разнообразных математических приборах более сложной конструкции — в анализаторах, синтезаторах, а также в моделирующих машинах. Иногда ошибочно, а может быть, и для рекламы эти приборы возводят в ранг «электронного мозга» или «мыслящих машин».
Однако было бы неправильным каждое электронное устройство считать «мозгом». Действительно, несколько десятков лет назад «говорящий ящик» — радиоприемник — казался многим восьмым чудом света, пока он не стал привычным. Теперь уже и телевизоры считаются вполне обычными предметами; только цветное телевидение, может быть, еще представляет какую-то частичку чуда. Среди многочисленных электронных устройств вычислительные машины действительно составляют нечто новое, и нет ничего удивительного, что они вызывают сильнейшее изумление. Но можно надеяться, что лет через пятнадцать их будут считать настолько обычными и естественными, что наши потомки, читая о жизни середины XX века, просто не смогут поверить, что когда-то че
54
ловечество обходилось без них. Жизнь наших потомков, несомненно, будет связана с новыми изобретениями, еще более захватывающими, чем наши математические машины.
Поэтому оставим в стороне вопрос о чудодейственных «электронных мозгах», тем боле что мы будем говорить об аналоговых устройствах, принцип действия которых имеет очень мало общего с работой настоящего мозга. Если быть точным, то гораздо большая, хотя тоже только поверхностная, аналогия с действием мозга обнаруживается у электронных цифровых машин, и только они могут претендовать на титул «искусственный мозг».
Итак, в стране аналогий «мозгов» нет, хотя там и можно столкнуться с очень сложными устройствами.
Гармонизаторы
Один замечательный польский поэт, несчастливо влюбленный в математику, сильно страдал от беспомощности своего ума, в других отношениях великого, когда речь шла о проблемах, связанных с заданными его дочери арифметическими задачами о трубах и бассейнах, которые нужно было решать без помощи уравнений.
Итак, это была платоническая любовь без взаимности, но, может быть, именно поэтому совершенно необычная. Юлиан Тувим — речь идет именно о нем — с той же манией коллекционера, с какой он собирал литературные и графоманские курьезы, накапливал также разные любопытные математические «штучки»: оригинальные задачи, головоломки и другие. Хотя ему и редко удавалось самостоятельно найти решение, он все же старался по крайней мере понять ход рассуждений в готовом решении и крайне возмущался, когда вместо объяснения находил только окончательный ответ.
Великий лирик упомянут здесь не зря: большинство задач, решения которых у него не получались, можно было относительно просто решить с помощью гармонического среднего или так называемой гармонической суммы.
55
Гармоническое среднее позволяет очень легко составлять гармонограммы труда для рабочих с разной производительностью труда и определять среднюю производительность. Гармоническая сумма облегчает также вычисление времени работы для группы рабочих.
Гармонической суммой двух чисел называется обратная величина суммы их обратных величин. Таким образом, для чисел а и b эта сумма равна дроби
а b
которую можно записать также в форме
если привести сумму 1/а+1/& к общему знаменателю и устранить «многоэтажность» получаемой в результате дроби. Иногда удобнее первая форма, иногда — вторая. Приведем примеры.
Один рабочий копает яму для телеграфного столба в течение Vs дня, другой — в течение V? дня. Пользуясь гармонической суммой, подсчитываем, что, копая одновременно, они выполнят эту работу за Vj2 дня (сумма обратных величин отрезков времени равна 12). Здесь первая форма (1) оказалась удобнее, чем вторая (2).
В бассейн ведут две трубы. Первая наполняет бассейн в течение 8 часов, вторая — в течение 2 часов. Пользуясь формулой (2), легко определить время наполнения бассейна, если открыты обе трубы: 2 • 8
= 1,6 часа. Другие примеры использования гармонической суммы см. на рис. 4.
Средним гармоническим двух чисел1 называется удвоенная гармоническая сумма. Таким образом, для среднего гармонического двух чисел а и b мы имеем
1 В случае п чисел среднее гармоническое равно гармонической сумме, умноженной на п.
56
следующие простые выражения:
2	2-а- b
п----г-, или  т—г-.
_1__l JL	а-{-Ь
а 1 b
Вычислив по этой формуле среднюю производительность наших рабочих, получим 7б дня на копание ямы; среднее время наполнения бассейна окажется равным 3,2 часа.
После этого введения читатель может легко вычислить время поездки на катере по озеру, если известно, что поездка на такое же расстояние вверх по реке длится 3 дня, а вниз — только 2 дня. Несколько труднее найти время движения по этому же отрезку реки сплавщика, который плывет со скоростью течения, так как в этом случае нужно использовать уже понятие гармонической разности и разностного гармонического среднего, то есть в предыдущих формулах следует знак «плюс» заменить на «минус». Так, для разностного гармонического среднего мы имеем выражения
2	2•а- b
---j- , или
а b
Таким образом, сплавщик на плоту, уносимый реч-2*2*3
ним течением, будет путешествовать з_.2 = 12 дней.
Но оставим, наконец, в покое рабочих, бассейны и сплавщиков и перейдем, как было обещано, к гар-монизаторам, или, точнее, к гармоническим устройствам. Сделаем только еще одно пояснение. Как нетрудно проверить, числовая последовательность
______ 1 1
2 ’ 3’ 4 ’ 5 ’ 6’ 7 ’ • • • ’
b — a
1 1 1 1
то есть последовательность обратных величин ряда натуральных чисел, обладает следующим гармоническим свойством: каждый ее член равен среднему гармоническому соседних членов. Например, 7б— это среднее гармоническое чисел 7s и 7т. Благодаря этому свойству данную последовательность называют гармонической. Последовательность элементов вида а//г также является гармонической (и=1, 2, 3,...).
57
Теперь, когда терпеливый читатель уже до какой-то степени успел освоиться с «гармоническими понятиями», можно наконец перейти к гармоническим устройствам. Простейшими «гармонизаторами» являются, например, устройства, показанные на рис. 4, назначение которых — вычисление гармонических сумм и разностей. Путем изменения шкал их легко переделать для вычисления средних гармонических, но в дальнейшем речь пойдет не о таких устройствах. Мы перейдем к специальным приборам для исследования колебаний, называемых — мы сейчас объясним, почему именно, — гармоническими анализаторами.
Из всевозможных колебаний простыми называются те, графиками которых являются правильные синусоиды. Такого рода колебания совершает, например, маятник. Но известны и другие колебания, графики которых представляют собой более или менее сложные кривые. Если колебания регулярно повторяются во времени, то они называются периодическими. Периодом в таком случае называется время, в течение которого совершается одно полное колебание. Такие периодические колебания обладают одним интересным свойством, а именно каждое периодическое колебательное движение можно рассматривать как сумму простых колебаний, периоды которых образуют гармоническую последовательность.
Таким образом, произвольное колебательное движение, например с ритмом повторения в 30 секунд, можно рассматривать как сумму синусоидальных колебаний с периодами 30; 15; 10; 772; 6; 5; ...секунд.-Наиболее любопытно здесь то, что существует лишь одна система таких составляющих синусоидальных колебаний. Поэтому определение составляющих колебаний, называемых гармоническими составляющими, или, короче, гармониками, является типичной математической задачей. Точное ее решение можно получить только с помощью аналитического аппарата высшей математики. В связи с этим широкое практическое применение находят приборы для выполнения гармонического анализа, ибо именно так называется разложение сложного графика колебаний на гармонические составляющие.
58
Р и с. 15. Различные гармонические приближения прямоугольных колебаний с учетом: первой гармоники (а), третьей гармоники (б) и восьми гармоник (в). Приближение, представляющее собой сумму 18 гармоник, на глаз трудно отличить от «прямоугольных колебаний» (г).
Гармонический анализ — теория разложения периодических колебаний на составляющие — играет важную роль в таких областях науки, как механика, теоретическая электротехника, кристаллография, метеорология и др. Поясним это на примерах.
Допустим, что инженер-электрик разрабатывает «генератор прямоугольных колебаний» — электронный прибор, выдающий электрические импульсы прямоугольной формы, то есть прибор, вырабатывающий пульсирующий ток, для которого график имеет вид прямоугольной каймы (рис. 15,г). Если бы наш инженер не знал гармонического анализа, ему пришлось бы выполнить огромную работу: построить сотни генераторов и выбрать среди них такой, чтобы выраба-
59
тываемые им колебания как можно меньше отличались от заданных.
И не было бы ничего удивительного, что такое количество работы вынудило бы его вовсе отказаться от этого плана и обходиться исключительно синусоидальными колебаниями, которые получить гораздо легче.
Но наш инженер знает гармонический анализ. Знает, что если математическим путем определить составляющие, то, имея в своем распоряжении генераторы составляющих синусоид, он сможет без труда получить колебания нужной формы с помощью обычного суммирования токов. Иначе говоря, он сумел бы осуществить физический синтез требуемых колебаний, если бы только предварительно выполнил математический гармонический анализ именно с помощью анализатора.
Однако первым прибором для математического исследования колебаний был не анализатор, а синтезатор (лорд Кельвин, 1872 год). В основу его механической конструкции была положена система блоков. Прибор был предназначен главным образом для предсказания морских приливов и отливов.
Приливно-отливные колебания моря как раз имеют периодический характер с периодом повторения, близким к году. Кельвин открыл математическую зависимость между географическим положением и величинами гармонических составляющих приливных колебаний. Таким образом, он мог дать математические выражения для приливных кривых любого географического пункта. Сконструированный им синтезатор предназначался именно для вычерчивания этих кривых. Здесь стоит отметить, что синтезатор Кельвина давал большую экономию времени: построение кривой на основании длинной серии измерений, выполняемых на месте, длилось бы несколько лет, а при помощи синтезатора Кельвина приближенный график кривой приливов для такого же отрезка времени можно было бы получить всего за несколько часов работы. Более того, можно было вычислить кривую приливов на несколько лет вперед.
Идеи Кельвина снискали многочисленных последователей, построивших различные «предсказатели приливов» и «прилпвографы». Гармонические синтезато-60
Рис. 16. Дармштадтский приливограф Вальтера, Дрейера и Эстенфельда.
ры, разработанные в начале XX века, позволяли суммировать уже не восемь гармоник, как у Кельвина, а несколько десятков. Это давало возможность получать очень точные графики, выявляющие годовые изменения, которые упускались в первом приближении.
Спустя четыре года после создания синтезатора Кельвин разработал новое механическое устройство — гармонический анализатор. Правда, уже с помощью синтезатора можно было выполнять гармонический анализ — разложение колебаний на составляющие,— но, так сказать, методом инверсии — обращения. Нужно было сначала задать некоторые величины высот (амплитуд) первой гармоники и следующих, а затем проверить, совпала ли кривая, получаемая в результате их сложения, с заданной кривой. Если нет, то нужно было изменять амплитуды составляющих
61
колебаний, пока наконец не получался требуемый ре-» зультат.
Изобретенный Кельвином анализатор (1876 год) позволял разложить колебания на гармоники прямым путем, без повторений. С этим прибором работают так же, как с интеграфом: исследуемую кривую обводят
Рис. 17. Гармоническая каретка Генричи и Коради. На снимке виден обводный штифт, которым ведут по графику анализируемой кривой на протяжении одного периода.
специальным штифтом. В процессе обводки установленные соответствующим образом интегрирующие механизмы вычисляют амплитуды составляющих колебаний. После обводки вычисленные величины амплитуд можно прочитать на соответствующих шкалах.
В последующие годы конструкция гармонических анализаторов была значительно усовершенствована; примерно в годы первой мировой войны наряду с механическими появились электрические анализаторы. В конце тридцатых годов были изобретены фотоэлектрические и оптические конструкции; с начала пятидесятых годов стали распространяться электронные
62
анализаторы. Большинство этих устройств можно использовать для решения обоих типов задач: гармонического анализа и синтеза; поэтому и возникло название синтезо-анализаторы. Но оно не привилось, и была принята сокращенная форма — «анализатор», иногда с поясняющим добавлением «универсальный».
Особенно много разного рода анализаторов построено для удовлетворения нужд кристаллографов. Сначала они мечтали об устройствах, выполняющих анализ нескольких десятков гармонических составляющих, но по мере развития рентгеновской кристаллографии пришлось задуматься, как получить даже не сотни, а тысячи гармоник.
Этим требованиям не могли удовлетворять никакие аналоговые устройства, точность которых до сих пор не удавалось повысить больше чем до сотых долей процента. Но если точность аналоговой системы составляет, например, 0,1%, то десять таких систем могут дать суммарную ошибку порядка 1%, а сто дадут результат, отягощенный 10-процентной ошибкой, не говоря уже о тысяче таких устройств, дающих в наиболее неблагоприятном случае совершенно бесполезный результат — с погрешностью 100%. Даже если бы точность аналоговых устройств была в десять раз больше, то и тогда соединение 10 тысяч таких устройств угрожало бы появлением 100-процентной ошибки. Между тем точность результатов кристаллографических вычислений должна быть не хуже 1%.
Именно здесь мы сталкиваемся с границей возможностей аналоговых устройств. Требования кристаллографов смогли удовлетворить только электронные цифровые машины, которые когда-то даже строили специально для их целей (например, английская машина АРЕ(Х)С или советская КРИСТАЛЛ). Действительно, цифровая машина позволяет достигнуть практически произвольной точности, если только она достаточно большая и быстродействующая.
Эти же соображения точности ограничивают применение всех аналоговых устройств только «грубыми» типовыми задачами. Специальные и особенно сложные научные задачи, выходящие за рамки теории дифференциальных уравнений и требующие большой
63
точности вычислений, попали в «ведение» цифровых машин.
Однако выполнение всех расчетов только на цифровых машинах потребовало бы немыслимых денежных расходов. Эти машины дают большую точность, но их обслуживание и использование связаны с громадной трудоемкостью. Поэтому аналоговые устройства имеют широкую перспективу распространения в качестве прикладного средства в проектных организациях, конструкторских бюро, исследовательских лабораториях и институтах, не говоря уже об учебных кабинетах школ.
Алгебраизаторы
Когда-то говорили, что все дороги ведут в Рим. Подобно этому, можно сказать, что все анализаторы ведут к ... лорду Кельвину. Этот титул снискал английский физик и математик Вильям Томсон в знак признания его высоких заслуг на поприще науки. Сэр Вильям и его брат Джеймс Томсон изобрели, работая и вместе и раздельно, ряд вычислительных устройств, которые стали источниками вдохновения нескольких поколений математиков и конструкторов.
Так, например, прибор для вычерчивания графиков многочленов — изограф — создан перед самым началом второй мировой войны (Фрай, 1937 год), хотя этой проблемой занимался еще лорд Кельвин. При помощи изографа можно легко находить приближенные решения алгебраических уравнений до десятой степени. Изограф также механической конструкции, но несколько большего размера построили в то же время Браун и Вилер в институте Франклина. Только электромеханические конструкции Харта и Трэйвиса (1938 год), разработанные в том же институте, вышли за пределы конструктивных замыслов Кельвина, так же как и более поздние электрические системы.
Братья Томсоны очень интересовались системами блоков. Их идеи развил Вилбур, построивший машину для решения системы девяти линейных уравнений с девятью неизвестными (1936 год). Машина Вилбура, основанная на идее Кельвина, давала в десять раз большую скорость решения уравнений по сравне-
С4
Ь;
P и с. 18. Схема механического анализатора профессора Шмель-тера. Неизвестным величинам х соответствуют углы наклона люлек, коэффициентам а при неизвестных — расстояния от осей люлек до тяг, а свободным членам b — высота закрепления нижних рычагов.
нию с вычислителем, работающим на ручном арифмометре. Но точность решения была не слишком большой, и теперь машину Вилбура, имеющую размеры 200X130X75 см, можно встретить только в качестве любопытного экспоната в математическом кабинете какого-нибудь института.
Косвенно использовал идеи Томсонов также и Фэй-торн, построивший в Англии анализатор алгебраических линейных уравнений, составленный из одних только сцепленных друг с другом в определенном порядке зубчатых колес (1944 год). В совершенно новом направлении работал Шуман (1940 год); его анализатор представлял собой гидравлический прибор, в котором в качестве жидкости использовалась ртуть.
5 А. Эмпахер
65
Новое направление избрал также Боде (1937 год), построивший для решения систем уравнений электрическую цепь из конденсаторов и сопротивлений. Анализатор, построенный из одних только сопротивлений, изобрел другой немецкий инженер, Рек (1938 год). И еще один анализатор, собранный только из трансформаторов, изобрел англичанин Моллок еще в 1933 году. Изобретение Моллока замечательно тем, что его анализатор дает результат почти мгновенно, тогда как упомянутый анализатор Река сложен в управлении.
Однако иногда оказывается, что анализаторы не нужно изобретать — нужно только уметь их опознать. Так, профессор Шмельтер из Лодзи несколько лет назад заметил, что анализатор линейных алгебраических уравнений находится в ... каждом локомотиве — в виде тормозной системы. В самом деле, техническое требование, в соответствии с которым тормозные колодки должны прижиматься к колесам одновременно и с одной и той же силой, сводится к системе линейных уравнений. Упомянутый профессор Шмельтер разработал также вполне оригинальный образец анализатора систем линейных уравнений, который демонстрировался осенью 1957 года на Конференции по теоретической механике в Кракове.
Дифференциальные анализаторы
Здесь мы снова должны вернуться к идеям братьев Томсонов, относящихся к 1876 году. Именно тогда Джеймсу пришла в голову идея роликового интегратора, а Вильям разработал анализатор, составленный из таких интеграторов и позволяющий решать дифференциальные уравнения.
Что же это за уравнения? Это сложные математические уравнения, часто лишь с большим трудом поддающиеся решению, которые, однако, все чаще применяются в современной технике. Такое «объяснение», безусловно, не удовлетворит читателей, поэтому нам придется поговорить об этих таинственных уравнениях несколько подробнее.
Подобно тому как аналоговые устройства можно разбить на «числовые», и «функциональные», ту же классификацию удается провести и для математиче
66
ских уравнений. Дифференциальные уравнения принадлежат как раз ко второй категории, когда неизвестными являются уже не числа, а графики, точнее, когда появляются неизвестные функции.
В дифференциальном уравнении определены операции с графиками, но некоторые из этих графиков неизвестны, и их нужно сначала вывести из уравнения. Таким уравнением является, например, соотношение
S -j- сь = 0;
здесь требуется отыскать такое движение, то есть такую зависимость положения тела от времени, при котором сумма численных значений пути (S) и ускорения (а) в любой момент времени равна нулю.
Решив это уравнение, можно установить, что указанным свойством обладают только «неподвижность» и колебательное движение, которое совершает, например, маятник.
Однако аналитическое решение не всегда легко найти, особенно в случае более сложных дифференциальных уравнений. Тогда приходится остановиться на приближенных решениях, при вычислении которых анализаторы оказывают просто неоценимую помощь. «Не преувеличение ли это, — вероятно, спросит здесь читатель, — так ли уж „неоценима” эта помощь?»
На самом деле никакого преувеличения здесь нет. Роль анализаторов так велика потому, что все физические законы удается записать в точной математической форме только с помощью дифференциальных уравнений. Будь то гидродинамика, теория упругости или теория полета — везде мы встречаем дифференциальные уравнения. А тот, кто умеет хорошо предвидеть, подметит дифференциальные уравнения даже в биологии или в экономических науках, поскольку и там только они могут правильно передать изменения условий, взаимозависимость различных факторов и т. п. Инженер-электрик, вычисляя значения сопротивлений, индуктивностей и емкостей какой-либо электрической системы, должен решить описывающее эту систему дифференциальное уравнение. Принято даже такое математическо.е определение подобия: два физических явления математически подобны, если при
5*	67
подходящем выборе единиц измерения описывающие их дифференциальные уравнения идентичны. Таким образом, дифференциальные уравнения лежат в самой основе аналогий.
Но довольно славословий в честь дифференциальных уравнений! Займемся наконец дифференциальными анализаторами. Для краткости его можно было бы назвать просто дифференциатор.
Итак, возвращаемся к изобретению лорда Кельвина, относящемуся к 1876 году. Хотя Кельвин разработал проект своего дифференциального анализатора во всех деталях, уровень техники того времени не позволил ему, к сожалению, реализовать этот проект на практике. Кельвин хотел построить универсальный анализатор — пригодный для решения широкого класса дифференциальных уравнений, а не только уравнений определенного типа. Эта задача была очень трудной хотя бы потому, что в то время еще не были известны устройства для автоматического чтения начерченных кривых. Единственным способом чтения было обведение кривой штифтом вручную, если не считать трудоемкого метода металлических шаблонов. В конце 1910 года в России идеи Кельвина развил знаменитый русский инженер и математик—создатель научной теории корабля — академик А. Н. Крылов, построивший уникальный дифференциальный анализатор для Института кораблестроения (в котором он был директором). Но и ему не удалось в полной мере автоматизировать процесс «обведения». Устройство для полностью автоматического чтения графиков было разработано только в период между двумя мировыми войнами, и с этого же времени начинается хронология создания автоматических универсальных дифференциальных анализаторов.
Одним из первых, если не вообще первым, таким анализатором была машина, построенная по заказу отдела артиллерии штаба армии США (1929 год) и предназначавшаяся для решения баллистических уравнений. Но значительно большую известность приобрел анализатор MITDA-1, построенный в Массачусетском технологическом институте известным математиком Вениваром Буше^м (1930 год), ставшим позднее, во время второй мировой войны, руководителем всего
68
комплекса научно-исследовательских работ США. Употребляемое здесь сокращение MITDA происходит от английского названия этого устройства: Massachusetts Institute of Technology Differential Analyser.
По сравнению с анализаторами, построенными позже, MITDA-1 был «маломощным»: в него входили «только» шесть интеграторов, четыре системы автоматической обводки кривых и один прибор для вычерчивания результатов. Сложение и вычитание выполнялось при помощи механизмов соединения валиков через специальные системы зубчатых колес, так называемые дифференциалы. Труднее было с умножением и делением — для выполнения этих операций приходилось пользоваться интегрирующим устройством. Ничего не поделаешь, механическое множительное устройство было изобретено лишь спустя 10 лет.
По образцу анализатора Буша в 1930—1942 годах было разработано еще несколько подобных машин. Самой дешевой из них была UMDA, построенная Хартри и Портером в Манчестерском университете из нескольких комплектов популярного детского металлического конструктора «Meccano», стоивших меньше 30 фунтов стерлингов (1935 год). Год спустя подобный анализатор смонтировали в Кембриджском университете (Англия), причем была достигнута точность более двух десятичных знаков; одним из конструкторов этого анализатора, известного под названием UCDA, был профессор Уилкс, прославившийся позднее как создатель первой английской электронной цифровой машины EDSAC. Кроме США и Англии, механические дифференциальные анализаторы были построены также в Ленинграде (1940 год), в Норвегии— в Институте теоретической астрофизики в Осло (Росселанд, 1939 год) и в Германии — в Дармштадтской высшей технической школе (Вальтер, Де Боклер, Драйер, 1942 год).
В последние годы сообщения о проектах создания новых механических дифференциальных анализаторов не поступают. Эти устройства," правда, обеспечивают относительно высокую точность, достигающую при прецизионном исполнении четырех десятичных разрядов, но зато стоимость их изготовления баснословно
69
велика, а эксплуатация связана с большими трудностями. Настройка анализатора на решение заданного уравнения — это сложная монтажная работа, требующая многочасового труда нескольких механиков.
Буш сделал попытку упростить обслуживание механических анализаторов, создавая свою очередную модель MITDA-2 (1942 год), в которой он применил программное управление от трех перфолент. Одна лента служила для задания схемы соединений счетных валиков, вторая — для установки величин масштабных множителей и, наконец, третья — для ввода так называемых начальных условий, например величины пути в нулевой момент времени, величины скорости в нулевой момент времени и т. п. Благодаря применению современных телемеханических селекторных устройств так называемой координатной системы (кроссбар) была осуществлена относительно простая схема соединений.
MITDA-2 — один из самых больших существующих механических универсальных дифференциальных анализаторов: вся машина занимает большой зал и ее полный вес составляет несколько сот тонн — не меньше, чем вес гигантского станка. Для ее создания использовано свыше 300 километров провода, 3000 реле, 150 электродвигателей и 2000 электронных ламп. Весь объем работ выполнен с исключительно низкими затратами — всего 125 000 долларов, так как использовалась бесплатная работа дипломантов Массачусетского политехнического института. Во время войны на этом анализаторе был решен ряд уравнений, имевших большое военное значение; по этой причине строительство MITDA-2 было засекречено, и сведения о нем были опубликованы только после окончания войны.
Оба анализатора Буша по сей день работают в Кембридже, в Соединенных Штатах (не путайте с английским городом того же названия), но, несмотря на их довольно высокую точность, такие машины не получили большого распространения. Среди нескольких десятков существующих механических дифференциальных анализаторов ни один не выпускался серийно— все без исключения являются уникальными экземплярами. Правда, Бушу удалось преодолеть за-70
трудпения с настройкой машины, но высокая стоимость ее так и осталась. Это последнее препятствие смогли преодолеть только электрические и электронные анализаторы.
В механической конструкции нельзя ничего изгибать, нельзя произвольно изменять длины рычагов, сопряженные элементы необходимо тщательно подгонять, а электрические провода в принципе можно сгибать, растягивать и паять, просовывать и скручивать... Именно эта простота монтажа, не нуждающаяся в высококвалифицированных монтажниках, с которым вполне могут справляться даже молодые девушки после нескольких недель обучения, обеспечила снижение затрат и тем самым возможность серийного производства. Само собой разумеется, что при этом достигается большая экономия места и веса. Современный электронный анализатор весит в 10 тысяч раз меньше, чем второй анализатор Буша, правда, при точности только в 1%, то есть порядка двух значащих цифр. Но и в тех случаях, где нужна большая точность, тоже нет необходимости строить механические анализаторы. Идеальным устройством для решения уравнений с многоразрядной точностью являются электронные цифровые машины, быстродействие которых доходит до миллиона операций в секунду и в недалеком будущем достигнет миллиарда!
Разработкой первых дифференциальных анализаторов чаще всего занимались один-два человека. Над созданием современных устройств такого типа работают целые конструкторские бюро; в таких условиях трудно присвоить отдельным лицам «права отцовства». Едва ли нужно добавлять, что главная цель этих разработок—производство анализаторов для продажи. Это отнюдь не означает, что ассортимент моделей беден: можно насчитать около тысячи разновидностей. Разнообразие почти такое же, как среди автомашин, причем модели более старых выпусков быстро выходят из употребления, иногда уже после нескольких лет работы.
Во всем мире сейчас имеются около 100 тысяч аналоговых электронных машин; значительную часть их составляют специальные устройства для военных целей.
71
Вероятно, читатель пожелает узнать точную дату появления универсальных электронных дифференциальных анализаторов. Такой датой можно считать 1946 год, когда в США фирма «Reeves Instrument Со.» начала серийное производство анализаторов REAC, а в СССР профессор Гутенмахер разработал серию первых советских электронных анализаторов. Что касается других конструкторов, имеющих заслуги в этой области, то здесь можно упомянуть о работе Филбрика над созданием анализатора для расчета систем регулирования (1938 год), а также о работах Ловелла и Паркинсона во время войны, связанных с созданием электронного аналогового устройства М.-9 для управления огнем зенитных орудий — первого электронного аналогового устройства для военных целей, производившегося серийно. В это же время Хель-цер начал строительство электронного анализатора в Дармштадской высшей технической школе, которое, однако, было закончено только после войны. Союзники хорошо представляли себе значение математических машин, которые создавали немцы, и еще в 1943 году успешно разбомбили часть зданий этой школы.
Имитаторы и роботы
...Туман стелется по земле сплошным покровом, заполняя аэродром до самых верхушек сигнальных мачт. Ночь темная, безлунная, беззвездная. Но пилот, хотя его внимание напряжено, сохраняет полное спокойствие— автоматическое устройство XZ-47C безошибочно ведет самолет к цели, выполняя функции пилота даже при посадке.
«Универсальный автопилот XZ-47C обеспечивает полную безопасность полета!»
«Даже ребенок может самостоятельно управлять самолетом!» — кричат с обложек специальных журналов объявления фабрикантов автоматики...
...Шторм, яростно мчатся валы, подгоняемые мощными порывами ветра. Волны то и дело заливают палубу, море бросает корабли, как ореховые скорлупки. Но наш корабль, хотя волны и захлестывают его, почти не испытывает бортовой качки. Дело в том, что
72
на нем установлены специальные ласты, движение которых автоматически противодействует качке. Этим движением управляет аналоговая машина; решая дифференциальное уравнение движения волн, она заранее «предвидит» набегающую волну и с помощью ласт корректирует положение корабля...
Можно было бы насчитать десятки и сотни различных применений аналоговых машин для целей управления. Но что бы стало с управляемым объектом, если бы управляющее устройство действовало слишком медленно? Например, оно не успело бы исправить предыдущее отклонение, как возникло бы новое, потом еще большее, и управляемый объект вышел бы из-под контроля. Так может случиться, если управляющий автомат не очень точно рассчитан и недостаточно проверен в работе. Но в чем же сила аналогий? Чтобы проверить автомат, вовсе не нужно ставить его на самолет и совершать опасный испытательный полет. Достаточно иметь в своем распоряжении имитатор полета — аналоговое устройство, имитирующее поведение самолета, которым управляет робот. Создатель такого имитатора должен принимать во внимание целый комплекс факторов, чтобы это устройство как можно более точно отражало переменчивые условия, возникающие во время настоящего полета.
Один из самых больших имитаторов полета — знаменитая английская трехмерная аналоговая машина TRIDAC, построенная в пятидесятых годах английской фирмой «Эллиот» для нужд военно-воздушных сил. Моделирование полета состоит в том, что TRIDAC решает соответствующую систему дифференциальных уравнений, описывающих изменения высоты, скорости, направления полета самолета в зависимости от направления ветра, силы тяги двигателей, температуры воздуха, атмосферного давления, угла наклона элеронов и других факторов, характеризующих настоящий полет.
Желая проверить автоматическое устройство управления— «автоматического пилота», его демонтируют с самолета и присоединяют к машине TRIDAC, как схематически показано на рис. 20. После этого к автопилоту поступают различные сигналы, имитирующие
73
Рис. 19. Трехмерное моделирование полета с автопилотом — блок-схема машины TRIDAC.
радиопеленг, изменения скорости, ускорения и т. д., а он в свою очередь, как в настоящем полете, реагирует на них соответствующими перестановками рулей. Результаты такого исследования имеют вид графиков полета. Зная, как автопилот прореагировал, например, на имитацию резкого изменения ускорения, мы можем предположить, что он будет так же реагировать на настоящую бурю, часто вызывающую различные возмущения полета.
Собственно вычислительные устройства машины TRIDAC занимают только несколько больших комнат; в остальных помещениях находится аппаратура питания, охлаждения и вспомогательные электромеханические и гидравлические системы. Специальная система сигнализации не только обнаруживает повреждения машины, но и позволяет почти мгновенно локализовать их. Машина выдает результаты в виде дюжины графиков малого формата; их можно наблюдать также в виде кривых на экранах осциллографов и фотографировать, а в случае надобности можно получать большие графики (размером 200X100 см) при помощи двух специальных пишущих устройств. Наконец, результаты можно записать на магнитофонную ленту и отправить в архив, откуда их можно получить в любой момент и ввести обратно в машину. Такое сложное устройство, естественно, требует большого штата операторов и специалистов в области аэродинамики, не считая обслуживающего персонала.
74
Силовая подстанция Центральный щит управления
ВОСТОЧНОЕ КРЫЛО
Метеорологическая вышка
Кабинеты
Исполнительные механизмы
Воздушное охлаждение
Склад
ЗАПАДНОЕ КРЫЛО
Генераторы питания
Электр, трансформатор
Помещение эксплуа тацион-ников
Вентиляторы
Сборник масла
Насосы гидравлической системы
Рис. 20. Общий вид машины TRIDAC.
Р и с. 21. Агрегат из четырех электронных анализаторов SHORT на одном из британских промышленных предприятий.
Строить специальные имитаторы для решения нетиповых, редко встречающихся задач было бы расточительством; гораздо удобнее просто выполнить нужные соединения на коммутационном поле универсального анализатора. В случае необходимости можно также, соединив друг с другом несколько анализаторов, образовать более мощную машину, позволяющую решать весьма сложные задачи. По окончании работы машины разъединяют, и они могут работать отдельно. С другой стороны, если нужно решать несколько «маленьких» задач, то их можно решать одновременно на одном анализаторе, если только удастся набрать их все на коммутационном поле.
Таким способом можно моделировать любые физические процессы, происходящие в двигателях, ядерных реакторах, механических или гидравлических системах и т. п. Если бы еще можно было имитировать процесс понимания научно-популярной книги.
ГЛАВА III
АНАЛОГОВЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ
В разделе «Проблески гениальности» третьего тома сочинений Тувима можно найти следующий меткий афоризм, заимствованный, вероятно, у Шоу:
«Скажи человеку, что на небе 978 301246 569 987 звезд, и он поверит. Но если повесить табличку: «Осторожно, окрашено!» — он дотронется пальцем и испачкается».
Действительно, у людей есть какое-то врожденное 'по'чтение'к цифрам, доходящее почти до степени культа и наиболее сжато выражающееся в распространенной поговорке: «Цифры не лгут». Всякая нец’ифровая информация невольно внушает нам подозрения. Автора, например, всегда беспокоят красивые клише с графиками, которые должны иллюстрировать рост производства тех или иных товаров, редко встречающихся в магазинах, но когда он не видит никакого графика и читает в газете, что только в течение последнего года производство чего-нибудь возросло на 13,75%, то в первый момент готов поверить абсолютно безоговорочно. Только потом начинаются размышления: а можно ли этот рост измерить с такой точностью — вплоть до сотых долей процента? С математической точки зрения правильнее было бы написать «приблизительно 13,7%», или, еще осторожней, «около 13% >>. Но, как известно, употребление в обиходном языке слова «приблизительно» возбуждает недоверие к сообщаемой информации. Люди боятся приближений, хотя в повседневной практике имеют дело исключительно с приближенными числами.
77
Можно ли, например, говорить о «точной» длине стола? Допустим, кто-нибудь с помощью линейки измерил длину своего стола и убедился, что она равна 136,5 см. Всегда ли при измерении этого стола с помощью этой же линейки будет получен тот же результат? При измерениях такого рода можно легко потерять 1 мм, а при некоторых условиях погрешность измерения может достигнуть 5 мм. Способствуют этому множество факторов. В зависимости от влажности воздуха и изменений температуры наш стол либо несколько сжимается, либо, наоборот, расширяется; части, из которых он собран, перекашиваются. Конечно, подобным деформациям подвергается и наша деревянная линейка. Но даже если заменить ее металлической, все равно приходится иметь дело с деформациями, на этот раз с деформациями металла.
Пусть кто-нибудь из упрямства поместил стол в термостатном боксе, где обеспечено постоянство температуры и влажности, и взял очень точную металлическую измерительную линейку, сделанную из специального сплава, почти не подвергающегося деформациям. Но, как бы он ни старался зафиксировать условия измерений, выполнить идеально точное измерение он все равно не сможет.
Представим себе (на самом деле это уже совершенно нереально), что мы имеем в своем распоряжении измерительную линейку, позволяющую выполнять измерения с точностью до одной миллионной доли миллиметра. С помощью такой линейки можно было бы, конечно, измерять различные предметы, но только не стол. В самом деле, что такое длина стола? Расстояние между его боковыми краями, не так ли? Но разве эти края идеально параллельны? Так, может быть, выбрать какие-нибудь точки на этих краях, например на их серединах?
Это ничего не даст. Любая метка, самая маленькая точечка, имеет какие-то размеры — иначе ее нельзя было бы обнаружить. Достичь большей точности, чем размер метки, невозможно. Может быть, в таком случае выбрать какие-нибудь два атома где-нибудь на серединах сторон нашего стола?
78
Это ничего не даст. Ведь атомы непрестанно совершают колебательные движения, которые исчезают только при температуре абсолютного нуля. А что если заморозить наш стол? Температура абсолютного нуля — как предельная — недостижима в точности. Но допустим даже, нам удастся ее достигнуть и мы получим наконец два абсолютно неподвижных атома, расположенных на серединах двух противоположных сторон стола. Измерим расстояние между этими атомами или, еще точнее, расстояние между центрами этих атомов. Пусть даже удастся получить результат внушительной точности, например 136,49865476 см. Результат и в самом деле очень точный, но разве это искомая «точная» длина нашего стола? По-видимому, нет. Ведь совершенно ясно, что результат существенно зависит от выбора атомов-меток. Уточняя условия измерения, мы просто потеряли из виду длину стола и перешли к измерению расстояний между отдельными атомами.
К сожалению, так уж устроен наш мир, что все физические измерения могут быть только приближенными. И тут сделать ничего нельзя. Рассматриваемый стол, несомненно, существует, «причем независимо от нашего сознания», и, бесспорно, является материальным объектом. Этот стол имеет пространственную протяженность, длину, ширину и высоту — это его физические характеристики. К ним можно добавить еще вес, твердость и т. п. Но численные значения этих физических величин имеют смысл только в связи с определенным способом измерения и к тому же всегда являются приближенными величинами. Поэтому можно говорить только о наиболее вероятной длине стола как средней ряда измерений и при этом отдавать себе отчет в том, что, если даже будут выполнены тысячи и миллионы таких измерений, средняя величина все же останется приближенным числом. Таким образом, «точные» числа появляются только в чисто математических рассуждениях, а на практике мы должны пользоваться — хотим мы этого или не хотим — только приближенными числами.
Но довольно разговоров о длине стола, так как читатель, наверно, уже начинает терять нить
79
рассуждений. Вернемся к нашим аналоговым устройствам и к тайнам их электронного содержимого, где вычисления производятся также приближенно, потому что их действие основано на использовании физических законов, которые имеют характер статистических закономерностей.
Читатель может здесь спросить: «Неужели и в самом деле нет таких физических величин, численные значения которых можно определить совершенно точно? Например, число жителей?»
На первый взгляд может показаться, что этот пример опровергает наши предыдущие выводы, однако не следует забывать о рождении и смерти, которые приводят к тому, что «точное» число жителей подвергается быстрым изменениям, тем более быстрым, чем с большим числом жителей мы имеем дело. Поэтому результат даже самой точной переписи всегда содержит некоторую погрешность, зависящую от точности фиксирования моментов единичных рождений и смертей, а также времени прибытия иммигрантов и отъезда эмигрантов. Кроме того, всегда существует опасность «потерять» кого-нибудь при переписи, например людей, не имеющих постоянного места жительства, или охотников, которые как раз в это время ушли на промысел. Одно дело пересчитать несколько десятков людей, а другое— многомиллионное население, когда в среднем происходят одна смерть и три рождения в течение каждой минуты.
То обстоятельство, что на практике используются только приближенные числа, не приводит к каким-либо особым трудностям. Как уже было сказано, «идеально точные» величины нужны только математикам в их теоретических исследованиях. При решении же практических задач эти математики могут оперировать только приближенными числами, конечно, с необходимой им степенью точности. Нет смысла определять длину стола с точностью до 0,1 мм, если прямолинейность его сторон выдержана с точностью, например, 1 мм, а точность параллельности этих сторон составляет 5 мм.
В результате всего этого областью применения цифровых машин стали теоретические вычисления, 80
а также различные кропотливые или треоующие большой точности практические вычисления. Более же простые практические вычисления можно с успехом выполнять при помощи аналоговых машин. Точность таких приближенных вычислений может в особых случаях достигать четырех значащих цифр, обычно же она колеблется в пределах от двух до трех цифр. Это значит, что для аналоговой машины с промилльной1 точностью (0,1%), которой соответствуют три верные значащие цифры, число л равно 3,14. При решении задач, требующих большей точности, эта машина становится бесполезной, так как она не в состоянии воспринимать числа с большим количеством значащих цифр; она их просто «не понимает». Например, если бы нужно было ввести в такую машину число 3,1416, являющееся более точным приближением числа л, то после ввода первых трех цифр две оставшиеся были бы ни к чему.
Нашего «туриста» это не должно особенно удивлять, ведь мы находимся в «Стране плавающего нуля».
Умерла программа, схоронили мы ее...
Цифровые машины отличаются от аналоговых не только способом записи чисел, но и степенью автоматизации. В цифровых машинах программа, как и числа, хранится в памяти; так же как над числами, производятся операции над кодами программы. Характерно, что выполняемая в некоторый момент времени часть программы может изменять другую часть этой же программы, которая будет выполняться позже. Это можно выразить образно, сказав, что цифровые машины способны к «самопрограммированию». Поэтому их считают автоматами с наивысшим уровнем организации — с автономной организацией. Именно благодаря свойствам автономности на цифровых машинах можно выполнять блестящие кибернетические опыты по типу процессов «обучения», «эволюции» и «самовоспроизведения». Не обя-
1 Промилле равно 0,001 (так же как процент равен 0,01).— Прим, перев.
б А. Эмпахер
81
зательно строить для этого специальные цифровые машины; для кибернетических опытов пригодна любая крупная универсальная цифровая машина, а именно машина с так называемой запоминаемой программой.
Несколько столетий назад сторонники «машинного мышления» могли бы рассчитывать, что им придется встретиться на общем костре, теперь же они встречаются за общим столом во время кибернетических симпозиумов и с жаром обсуждают, что возможно и что невозможно для «программного мышления», обсуждают, программы самоисправляю-щиеся, самоорганизующиеся, самообучающиеся, эволюционные и самовоспроизводящиеся. Почему говорят об «обучении» программы, а не машины? Просто гораздо легче моделировать процесс обучения в памяти цифровой машины, чем строить для этой цели специальную машину. Для теоретических исследований этого вполне достаточно.
Запоминаемая программа обнаруживает динамические свойства: ее автоматически может изменять машина, управляемая другой или даже той же самой программой. Такую динамически изменяющуюся программу можно назвать «живой» в отличие от «мертвых» статичных программ, которые невозможно изменить без непосредственного вмешательства человека.
В цифровых машинах программа принимает абстрактную форму запоминаемых электрических импульсов. В аналоговых машинах программы как-то более материально ощутимы — это статичные программы в виде «мертвых» соединений между отдельными вычислительными устройствами машины, осуществленных с помощью проводов. Схему такой программы нетрудно нарисовать на листке бумаги, и опытный инженер или математик может быстро ее проверить. Именно этим полезным качеством не обладают цифровые машины: проверка динамичной программы требует значительных усилий, так как нужно проследить все возможные варианты «жизни» такой программы.
Аналоговая машина, однажды запрограммированная, может выполнять только ту программу,
82
которая в ней установлена. Она не сумеет сама изменить раз сделанных соединений; для этого необходимо вмешательство оператора. Вообще говоря, для аналоговых машин можно было бы устраивать специальные автономные приставки для автоматического изменения структуры соединений, однако до сих пор таких устройств нет, хотя при современном состоянии техники это было бы только вопросом стоимости L
Аналоговые машины по сравнению с цифровыми имеют еще одну особенность. Программа в цифровой машине выполняется последовательно, шаг за шагом. Получается, как при вязании на спицах,— каждая часть будущего изделия состоит из одиночных петель в различных сочетаниях. Аналогия здесь очень точная: ведь существуют справочники по вязанию на спицах, в которых содержатся детальные указания и расчеты в такой же непонятной для непосвященных форме, как и программы для цифровых машин. И только после скрупулезного и правильного выполнения всех пунктов этой программы в нужной последовательности появляются результаты решения, то есть вязаные изделия. Но если рассматривать отрывки программы, трудно догадаться об их назначении; так, например, следующая строка символов:
... Т2 В5 Т1327 Т13 F1337 U12 HW Т7 В12
Тб В12 Т2 ...
представляет собой отрывок программы для вычисления тригонометрических функций в программном коде одной из цифровых машин. Она имеет такой же непонятный вид, как и строка:
... ZP. 5Р. N.O.N. 5Р. N.O.N. 5Р. ZU. Р. ZP.
5Р. N. О. N. ...»
1 Устройства для автоматического изменения более или менее обширных частей программы имеются в большинстве современных аналоговых машин, например в советских машинах МН-11 и МН-7, но по сравнению с цифровыми машинами разнообразие возможных изменений аналоговой программы неизмеримо меньше. — Прим, перев.
6*
83
которая является отрывком программы для вязания на спицах салфетки с узором из листьев липы. Чтобы понять такие «дискретные» программы, нужно их тщательно проанализировать шаг за шагом.
Программу для аналоговой машины удобнее всего представить в виде графической схемы, которую можно охватить буквально одним взглядом, как эскиз выкройки в журнале мод. Каждая из начерченных линий важна и не может быть пропущена, однако для понимания всей схемы имеет решающее значение взаимное расположение всех линий. Иногда и дискретную программу удается представить в виде графической схемы, что, несомненно, дает более наглядное представление. Однако такая схема имеет последовательный характер, так как соответствующая ей программа выполняется на цифровой машине последовательно.
Более образно можно сказать, что на схеме последовательного действия «работает» только одна «черточка». На схемах аналоговых машин в каждый момент «работают» все «черточки», что соответствует одновременной работе всех вычислительных устройств машины. Такие программы мы будем называть программами одновременного действия в отличие от программ последовательного действия, выполняемых пункт за пунктом.
Отдельные части программы последовательного действия, собственно говоря, постоянно «на отдыхе», работают они только очень короткое время, когда приходит их очередь, и после этого опять «отдыхают». Напротив, все части программы одновременного действия постоянно заняты, неутомимо участвуя в общей работе. Приняв во внимание разницу в способах выполнения программ одновременного и последовательного действия, следует ожидать, что в общем они имеют различные области практического применения. Так что аналоговые машины применяются для иных вычислений, чем цифровые.
Работу программы одновременного действия можно математически описать при помощи дифференциальных и интегральных уравнений. Область использования этих уравнений и определяет область применения аналоговых машин. С другой стороны,
84
программу последовательного действия можно математически описать с помощью последовательностей алгебраических и логических формул — слишком общих и абстрактных, чтобы можно было резко очертить здесь границы применимости, особенно для «живых» программ. Трудно представить себе «живые» программы одновременного действия — это соответствовало бы некоторому физическому явлению, описываемому в каждый момент времени новым дифференциальным уравнением, то есть удовлетворяющему в каждый момент времени иному физическому закону. Именно поэтому аналоговые машины в основном программируют только «намертво».
Различие областей применения аналоговых и цифровых машин привело в последнее время к созданию систем математических машин, в которых сочетается работа цифровых и аналоговых устройств. Эти устройства, названные биологическим термином «гибридные», нашли особенно широкое применение в области автоматизации фабрик, средств транспорта и других объектов. Соединенные для совместной работы определенным образом цифровые и аналоговые устройства выполняют программы как одновременного, так и последовательного действия. В частности, цифровые устройства здесь могут программировать работу аналоговых устройств. Дальнейшее развитие гибридных систем может привести, таким образом, к «оживанию» программ одновременного действия, что значительно расширило бы возможности кибернетики.
Быть может, именно к этому ведет путь «высших применений» математических машин — распознавания образов, звуков, синтеза речи и других удивительных вещей. Выполнявшиеся до сих пор кибернетические опыты на цифровых машинах дали, правда, многообещающие, но пока еще очень скромные результаты, имеющие главным образом теоретическое значение. Во всяком случае, благодаря им никто не имеет оснований заподозрить в психической ненормальности человека, утверждающего, что представление о машине, по-настоящему воспроизводящей ход мыслей человека, не противоречит законам природы.
Составляем схемы
Работа человека по обслуживанию аналоговой машины одновременного действия состоит по существу из четырех операций:
выполнения сети соединений, то есть установки структуры решаемого уравнения;
установки поворотных ручек, то есть выбора нужных значений коэффициентов уравнения;
пуска машины;
остановки машины спустя некоторое время и извлечения листа бумаги с вычерченным на нем решением.
Если же мы работаем на специальной машине, то есть на машине, предназначенной для решения уравнений определенного типа, то первая операция отпадает и остается только установить параметры — коэффициенты. Отсюда видно, что работа оператора аналоговой машины не особенно сложна, исключая случаи, когда для задачи выбран неправильный масштаб и решение «уходит» за шкалу устройства записи решений. Тогда нужно выполнить такие математические преобразования заданного уравнения, чтобы график решения уместился на бумаге.
Таким образом, в течение всего времени работы выполняются именно математические операции, и технические особенности вычислительной машины не имеют существенного значения. Поэтому при составлении схемы соединений вычислительных устройств принимаются во внимание не все технические детали, а только непосредственно отраженные в программе. Таким образом, мы приходим к блок-схемам, которые легко доступны даже не слишком подготовленному читателю.
На языке схем одновременного действия числа обозначаются в виде линий. Образно можно представить себе такую линию, как провод, по которому «течет» физическая величина, представляющая в машине число. Примеры применения таких линий показаны на рис. 22.
Чтобы различать, какая линия какое число представляет, применяют буквенные обозначения (рис. 22,а). Алгебраической операции, например сло-
ва
Рис. 22, Алфавит схем одновременного действия; а — числа, обозначаемые линиями, б — схематическая запись операции сложения, в — перемножения, г — изменения масштаба, д — вычитания, е — деления, ж — графической регистрации результатов вычисления.
жению, соответствует присоединение двух линий к суммирующему устройству, обозначаемому треугольником (рис. 22,6); величину суммы представляет третья линия, являющаяся «выходом» сумматора. Подобным же образом обозначается умножение (рис. 22, в). Умножение на постоянную величину, или получение пропорционального числа, изображают еще проще, рисуя кружок, символизирующий изменение масштаба (рис. 22,г). Внутри кружка пишут значение постоянной. Вычитание (рис. 22, д) представлено с учетом порядка элементов разности, так как величина разности зависит от порядка вычитания. Линия вычитаемого подключена к устройству вычитания «сбоку». Аналогично, чтобы по ошибке не поделить в обратном порядке, делитель подключается к делительному устройству (рис. 22, е). Список элементарных устройств представлен почти полно — нужно только не забыть об устройстве для записи результатов. Мы будем обозначать его на схемах большим кругом (рис. 22, ж), В каждой блок-схеме
87
8
Р и с. 23. Результат сложения при помощи двухвходовых сумматоров (а и б) не зависит от порядка сложения, поэтому можно применять трехвходовый сумматор (в). Вычитающее устройство можно заменить сумматором, поставив масштабный множитель (число —1) на его втором входе (г).
должно быть по меньшей мере одно устройство записи, иначе нельзя сформулировать результат.
Теперь, когда мы уже более или менее знаем основной алфавит аналоговых машин, можно перейти к упражнениям. Для начала построим «сумматор для трех слагаемых». Для этого нужно только располагать двумя сумматорами: один из них будет вычислять сумму первых двух чисел, а второй — прибавлять сумму, полученную из первого сумматора, к третьему числу, и на его выходе появится окончательный результат (рис. 23, а). Его можно либо использовать для других вычислений, либо записать как решение.
Поскольку сложение обладает сочетательным свойством, значение результата не будет зависеть от способа присоединения сумматоров: можно сложить сначала второе и третье числа, и полученную сумму прибавить к первому. Новая схема соединений (рис. 23,6) графически отличается от предыдущей, но функционально эквивалентна ей. Для простоты можно обозначать сумматор нескольких слагаемых одним треугольником (рис. 23, в), без трудоемкого расписывания элементарных (двухвходовых) сумматоров.
Имея сумматор и устройство для изменения масштаба и знака, можно обойтись без вычитающего устройства, так как его можно сделать из сумматора и блока изменения масштаба (рис. 23,а). Здесь,
88
500
500 + 0,011
б
Рис. 24. Выполнение простейших вычислений при помощи аналоговых схем; а — вычисление длины прутка при различной температуре, б — схема аналогового вычисления гармонической суммы, в — схема, позволяющая безошибочно рассчитать цену кофейной смеси.
Рис. 25. Иллюстрация алгебраических преобразований; а, б — вынесение общего множителя за скобку; в, г — преобразование в случае разности квадратов; д, е— различные представления квадратного трехчлена. Если нужно реализовать квадратный
кстати, стоит добавить, что в электронных машинах обычно так и делается.
Теперь давайте перейдем к следующим страницам нашей книги, к ее более интересным разделам. Металлический стержень при температуре 0° имеет длину 5 м, а при нагревании до 1° удлиняется на 0,1 мм. Какова будет его длина при нагревании до t градусов !? Схема соединений для получения ответа в сантиметрах дается на рис. 24, а.
Рабочие копают ямы для телеграфных столбов. Старший выкапывает 10 ям в течение а часов, а
1 Это соответствует известной формуле теплового расширения
it	~И
Где /0—начальная длина стержня, Л — коэффициент линейного расширения данного металла, a It — длина стержня при температуре t. В нашем примере /о = 5 м = 500 см, /0Л = 0,1 мм ~ = 0,01 см.
90
трехчлен с изменяемыми коэффициентами без использования скобок (ж), нужно применить на один мультипликатор больше, чем при реализации выражения со скобками (з).
младший — столько же ям в течение b часов. За сколько часов они выкопают 10 ям, работая вместе? Здесь нужно применить схему для вычисления упоминавшейся уже выше (стр. 56) гармонической суммы и в соответствии с этой схемой соединить три устройства: сумматор, множительное и делительное устройства. Сумматор и множительное устройство имеют общие входы, а их выходы присоединены к входам делительного устройства, причем выход сумматора, соответствующий знаменателю, присоединен «сбоку» (рис. 24,6).
Ободрившись достигнутыми успехами, попробуем заняться продажей кофе. В магазин доставили а килограммов кофе по цене 180 злотых за килограмм и b килограммов кофе по цене 220 злотых за килограмм. Сколько будет стоить килограмм смеси? Для
91
точного решения (рис. 24, в) нужны два сумматора, одно делительное устройство и два блока изменения масштаба.
Алгебра цепей
Читатель, наверное, удивится, узнав, что язык схем пригоден для иллюстрации алгебраических преобразований. Правилу вынесения общего множителя за скобки соответствует замена двух множительных устройств с одним общим входом, помещенных перед сумматором, одним множительным устройством, помещенным за сумматором (рис. 25, а, б). «Разность квадратов» можно реализовать, имея два множительных устройства, один сумматор и один блок изменения масштаба (рис. 25, в, г); множительное устройство оказывается значительно более дорогостоящим, чем сумматор, поэтому для аналоговой машины разность квадратов двух чисел, равная произведению суммы двух чисел на их разность, менее удобна, чем это произведение.
Общим правилом для составляющего программу должно быть выполнение такого преобразования формул, чтобы в них оставалось наименьшее число операций умножения. Приведем пример: мастер получил заказ покрыть квадратный столик со стороной х пластиком по 100 злотых за квадратный метр; край столика нужно обвести алюминиевой лентой по 50 злотых за погонный метр; сколько потребуется денег, если только за работу мастер берет 120 злотых за столик? В этом примере мы приходим к квадратному трехчлену 100х2 + 200х + 120, который при помощи скобок можно записать как (100% + 200) х + + 120.
Соответствующие этим двум выражениям схемы незначительно отличаются одна от другой (рис. 25, б, е); для формулы без скобок нужен лишний блок изменения масштаба, зато сумматоров нужно одним меньше. Однако ситуация полностью меняется, если приходится иметь дело с ценами общего вида: а, Ь, с. В этом случае получаем выражение без скобок ах2 + Ьх + с и со скобками (ах+ &)%+,
92
б
Рис. 26. Замыкание схемы соответствует знаку равенства (я), наличие двух контуров в схеме соответствует системе уравнений (tf).
+ с. Более простым из них оказывается последнее, так как для его реализации нужны только два множительных устройства, тогда как первое требует уже три таких устройства (рис. 25, ж. з).
Рассмотренные нами схемы относятся к категории незамкнутых. Теперь ознакомимся с замкнутыми схемами, в которых содержатся так называемые контуры. На рис. 26, а дается пример контура. Если
93
нижний вход множительного устройства обозначить через %, то на его выходе появится величина 5%, а на выходе сумматора мы получим 5х — 2. Если теперь нижний вход множительного устройства соединить с выходом сумматора, то получится уравнение х = = 5х — 2. Это уравнение имеет решение х = 0,5, и именно такую величину можно прочитать на шкале самописца (кружок на выходе сумматора).
Итак, мы видим, что знаку равенства соответствует соединение, замыкающее часть схемы и образующее контур. Это справедливо и в случае иных уравнений — дифференциальных, для решения которых, как мы уже говорили, главным образом и создаются аналоговые машины. Построим здесь еще схему для решения системы двух уравнений с двумя неизвестными (рис. 26,6). Обозначая выход верхнего сумматора через %, а нижнего — через у, немедленно получаем систему уравнений
х = 5х-h бу — 26;
у = 7х— бу-\- 13.
Эта система, как легко проверить, имеет решение х = 2, £/ = 3; именно такое решение можно было бы увидеть на шкалах самопишущих приборов.
Однако уравнения могут быть несовместными, то есть вообще не иметь общего решения. В этом случае аналоговая схема начала бы, образно говоря, «буйствовать». Проявлением этого явилось бы ненормальное поведение подключенного к схеме самописца, который все время показывал бы новые значения и не мог «успокоиться».
Может также случиться, что аналоговая схема окажется удивительно «спокойной». Это произойдет, если решаемая система уравнений является неопределенной, то есть имеет бесконечное число решений. Тогда поведение подключенного к схеме самописца будет исключительно спокойным, он пассивно «соглашался» бы с любым предлагаемым значением решения. Это повлекло бы за собой стремление самопишущего прибора к сохранению прежних показаний, какими бы они ни были. Другими словами,
94
аналоговая схема в этих условиях находилась бы в состоянии безразличного равновесия.
Опытный вычислитель без труда находит выход из таких неприятных положений, наблюдая за поведением самописца (или только самого измерительного прибора) и определяя по нему характер решаемых уравнений.
Но пора уже войти в ворота, ведущие в «Страну дифференциальных уравнений», отныне речь пойдет главным образом о переменных величинах.
Интеграторы
«Страной дифференциальных уравнений» безраздельно владеет интегратор — аналоговое устройство для интегрирования. Если на входе интегратора (рис. 27, а) появится, например, переменная v, представляющая скорость некоторого движения, то на выходе интегратора окажется переменная S, представляющая пройденный путь. Устройства, выполняющие обратную операцию, — дифференциаторы — находят в «Стране дифференциальных уравнений» очень небольшое применение, поэтому описание их можно опустить без большого ущерба для читателя.
Интеграторы можно соединять между собой. Возьмем два интегратора и соединим их последовательно (рис. 27,6). Если на входе первого интегратора появится переменная а, представляющая, например, ускорение некоторого движения, то на выходе второго интегратора получим уже переменную S, представляющую пройденный в этом случае путь; как мы помним, скорость v равна интегралу ускорения.
А теперь попробуем сделать обратное соединение, заключив два интегратора в контур (рис. 27,в). Соединив проводом выход правого интегратора с входом левого, мы приравниваем переменную S к переменной а\ на схеме, однако, мы видим блок изменения масштаба, который умножает переменную S на —1, то есть изменяет ее знак на противоположный. В этом случае мы приходим к уравнению а = —S, то есть к уравнению движения, при котором
95
5
Рис. 27. Интегратор преобразует скорость в путь (а); два интегратора, соединенные последовательно (<7), преобразуют ускорение в путь, а замыкание контура через блок изменения масштаба дает уравнение колебательного движения, графиком которого является синусоида (в).
путь имеет величину, противоположную ускорению. С таким уравнением, записанным в виде <74-5 = 0, мы уже встречались в главе II.
Это — уравнение маятника или, в более общем случае, уравнение гармонического движения. Представленная схема красноречиво свидетельствует, что «контур с двумя интеграторами» должен играть важную роль в гармонических анализаторах. Чаще всего они используются для получения синусоидальных колебаний. Но и сами по себе интеграторы являются для нас полезным инструментом, так как в математических формулах, на которых основана разработка гармонических анализаторов, интегралы встречаются очень часто.
Однако не будем запугивать интегралами, ведь наши «туристы» не подготовлены к трудному высокогорному восхождению и предпочитают восхищаться красотами «Страны дифференциальных уравнений» с некоторого расстояния. Итак, мы остановимся еще только на вопросе подбора масштаба. С этим сталкивается, например, чертежник, когда в процессе работы он вдруг убеждается, что изображение не помещается на приготовленном листе. В таком случае нужно либо взять лист большего формата, либо уменьшить масштаб чертежа. Но каждое аналоговое вычислительное устройство имеет свой установленный «размер»; таким образом, при выполнении вычислений остается только уменьшить масштаб. Легко сказать, но если для решения системы уравнений требуется много вычислительных устройств, то каждое изменение масштаба приводит к громоздким преобразованиям, которые необходимо выполнить на бумаге. И что еще хуже, никогда заранее неизвестно, будет ли выполненное уменьшение масштаба достаточным. Ведь нельзя уж слишком уменьшать масштаб, чтобы при этом не потерять в точности.
Поэтому пусть читателя не удивляет, что процесс решения одного дифференциального уравнения может длиться иногда несколько дней, особенно если нужно исследовать ряд возможных вариантов значений коэффициентов. Ведь установка этих коэффици
7 А. Эмпахер
97
ентов производится вручную, сама машина «только» находит и вычерчивает решение. Хуже, когда входящие в уравнение коэффициенты являются не обычными числами, то есть константами, а переменными, то есть функциями. В таких случаях прибегают к сложным устройствам, называемым генераторами функций, но об этом позже.
Так в общих чертах выглядит переход от программы одновременного действия к системе аналоговых устройств, выполняющих эту программу.
Сумматоры
Простейшим сумматором, несомненно, является так называемый электрический узел. В соответствии с первым законом Кирхгофа, сумма сил токов, притекающих к узлу, равна силе тока, вытекающего из него. Так что достаточно спаять три кусочка провода— и сумматор готов (рис. 23, а). Другим примером узла могут служить три трубы. Количество воды, вытекающей из третьей трубы, равно суммарному количеству воды, притекающей по первым двум трубам. Если одна из входных труб будет не нагнетать воду, а отсасывать ее, то этот узел будет выполнять вычитание. Перекачивание воды в нужном направлении, по-видимому, легче всего осуществить при помощи вставленных в трубы поршней. Достаточно задать положение двух поршней; тогда третий сам примет нужное положение, указывающее величину суммы или разности (рис. 28,6).
Механический сумматор можно найти даже... в автомобиле. Это так называемый дифференциал (рис. 28, в). Если мы разберем задний мост автомашины, то увидим, что каждое колесо посажено на отдельную полуось, оканчивающуюся конической шестерней. Шестерни расположены таким образом, чтобы они могли входить в сцепление с двумя другими коническими шестернями — сателлитами. Сателлиты встроены в общую обойму — водило, которое скреплено с пятой конической шестерней — ведущей, имеющей форму тарелки.
Обладая хотя бы небольшим пространственным воображением, из рис. 28 легко увидеть, что полуоси
98
Рис. 28. Различные способы исполнения аналоговых
сумматоров.
могут вращаться даже в том случае, когда ведущая шестерня неподвижна, если только одна из полуосей будет вращаться вправо, а другая — влево; суммарное число оборотов (считая обороты вправо положительными, а влево отрицательными или наоборот) будет равно нулю, что соответствует неподвижной ведущей шестерне. Если же она вращается с угловой скоростью s, то эта скорость всегда равна среднему арифметическому угловых скоростей обеих полуосей. Таким образом, дифференциал является сумматором оборотов с коэффициентом пропорциональности, равным 72. Однако нетрудно превратить
7*	99
его в устройство, суммирующее без этого коэффициента. Для этого нужно сцепить с ведущей шестерней еще одну шестерню, с вдвое меньшим числом зубьев, которая, конечно, будет вращаться в два раза быстрее, чем большая, то есть со скоростью, равной сумме оборотов обеих полуосей.
Правда, в автомашине дифференциал работает в обратном направлении: ведущая шестерня выполняет роль привода, а обе полуоси вращаются, совершая вынужденное движение — с одинаковой скоростью на прямолинейных участках пути и с неодинаковой при движении по дуге (внешняя полуось делает при этом больше оборотов, чем внутренняя).
На том же принципе, что и дифференциал, создано простое устройство для сложения перемещений (рис. 28,а). Оно состоит из двух зубчатых реек с помещенной между ними одной сателлитной шестерней. Перемещения оси этой шестерни равны среднему арифметическому перемещений обеих реек.
В отличие от рассмотренных механических сумматоров, которые можно было бы назвать «уменьшающими», попробуем представить себе сумматоры, выполняющие умножение суммы на число, большее единицы, то есть «увеличивающие». Систему блоков (рис. 28,(3), выполняющую обычное сложение, легко преобразовать в удваивающую систему (рис. 28,а). Именно из таких и подобных им систем блоков Кельвин пытался строить свои анализаторы уравнений.
Кроме «удваивающих» и «половинных» могут быть также «комбинированные» сумматоры, дающие любую нужную комбинацию составляющих. Например, если использовать рычаг с отношением плеч 1 : 2, можно получить взвешенное среднее величины составляющих с отношением 1:2, то есть обратном к отношению плеч рычага. Можно получить среднее, например 21$а + Ь12, с помощью электрического устройства, которое называется делителем напряжения, и другими электрическими или механическими способами. Можно было бы назвать еще много различных конструкций.
Присоединив к «взвешивающему» сумматору соответствующий блок изменения масштаба, получим 100
суммирующее устройство, которое может образовывать любую «линейную комбинацию» (многочлен первой степени) составляющих. Таким образом, это устройство даст возможность получить не только взвешенное среднее, в котором сумма коэффициентов должна быть равна единице, но и произвольные суммы вида ma + nb, где т и п — произвольные числа.
Поэтому здесь удобно ввести специальный символ «комбинирующего» сумматора, помещенный на рис. 28 в центре и указывающий величины коэффициентов многочлена. Это тем более целесообразно, что в электрических и электронных устройствах было бы трудно отделить блоки чисто «масштабные» от чисто «суммирующих»; нередко и те и другие оказываются связанными в единое конструктивное целое.
Блоки изменения масштаба
Без сомнения, самыми простыми для понимания аналоговыми устройствами являются блоки изменения масштаба, то есть «увеличивающие» или «уменьшающие» устройства. Достаточно представить себе какие-либо две прямо пропорциональные физические величины — и нам понятен принцип устройства блока изменения масштаба. Несколько сложнее представить устройство блока изменения масштаба с регулируемой величиной изменения, но и здесь все будет хорошо, если для сравнения снова использовать автомобиль.
Имеющаяся в автомобиле коробка скоростей—это тоже своего рода устройство изменения масштаба (рис. 29, а). На четвертой скорости (а в некоторых автомашинах уже на третьей) масштаб не меняется — передаточное отношение равно 1 : 1. Это значит, что коленчатый и карданный валы вращаются с одинаковой скоростью. Однако если перейти на меньшую скорость, например вторую, то карданный вал начнет вращаться медленнее, хотя число оборотов коленчатого вала останется прежним.
Подобный передаточный механизм имеется на велосипеде, где полному обороту педалей соответствует несколько оборотов заднего колеса. Если у велосипеда имеется переключатель скоростей (рис. 29, б),то
101
a
Рис. 29. Различные способы исполнения блоков изменения
масштаба.
можно изменять коэффициент передачи; практически можно иметь два-три различных значения.
Имеются и электрические передачи, например при помощи трансформаторов (рис. 29, в). В механических передачах легко уменьшить масштаб путем включения электрического сопротивления соответствующей величины (рис. 29, г). В этом случае можно обойтись без трансформаторов, с которыми, безусловно, работать сложнее, а также и без переменного тока.
Изобретателем блока изменения масштаба, по-видимому, можно считать Архимеда. Его знаменитое правило рычага — это не что иное, как изменение масштаба сил. То же самое правило можно использовать и для изменения масштаба перемещений (рис. 29, д), 102
Легко также выполнить устройство изменения масштаба, применив блоки (рис. 29, е); здесь, используя два блока, получаем устройство для удвоения или для уменьшения вполовину.
Перечисленные устройства аналогичны коробке скоростей тем, что в них можно устанавливать лишь отдельные зависящие от конструкции значения коэффициента передачи. Однако возможны и механические устройства с плавным изменением масштаба; например, шарниры рычага можно перемещать плавно при помощи установочного винта. Но самый любопытный механический блок с плавным изменением масштаба можно найти опять-таки в автомобиле — это так называемая бесступенчатая коробка скоростей, принцип устройства которой см. на рис. 10. Она же применяется как интегратор.
Наибольшее практическое значение имеют электронные блоки изменения масштаба, в конструкции которых применяются электронные лампы или транзисторы. Так как эти блоки используются совершенно иначе, чем рассмотренные выше, мы опишем их несколько позже, при изучении электронных устройств.
Г енераторы
Слово генератор знакомо нашему читателю, так как он, наверное, слышал о генераторах электрического тока. Поскольку с математической точки зрения генераторы применяются для получения электрических импульсов, рассматриваемых как математические переменные-функции, удобно ввести понятие генератора функции.
Простейшим генератором такого рода был бы «подвижный график» в виде соответствующим образом изготовленного шаблона, который перемещается поступательно (рис. 30, а) или вращается (рис. 30, б) под специальным чувствительным элементом. Продольное перемещение этого элемента соответствует функции, представленной «шаблоном» в виде кривой. Такие и подобные направляющие кривые встречаются в различных механизмах, например в четырехтактном двигателе внутреннего сгорания (механизм привода клапанов), часах (механизм почасового боя), станках
103
Р и с. 30. Различные способы исполнения генераторов функции возведения в квадрат.
(различные направляющие шаблоны), в программных неоновых рекламах (распределительные коробки) и многих других устройствах, имеющих циклический режим работы.
Недостаток таких генераторов — отсутствие «гибкости». Чтобы изменить генерируемую функцию, нужно изготовить новый металлический шаблон. Может быть, кто-либо окажется настолько предусмотрительным, что приготовит заранее все шаблоны, какие только могут потребоваться. Но для их хранения не хватит и большого склада. Именно поэтому металлические шаблоны применяют только для многократного использования, где необходимость изменения установленной функции возникает относительно редко.
101
Большой интерес представляют гидравлические генераторы, в которых используются явления, связанные с перетеканием воды между сообщающимися сосудами или вытеканием воды из сосудов различной формы. Примером такого генератора может служить даже обычная кастрюля с дырявым дном (рис. 30, в). Если кастрюля цилиндрическая, то уровень воды в ней понижается пропорционально квадрату времени, остающегося до момента, когда она совсем опустеет. График этой зависимости имеет вид отрезка параболы. Другими словами, скорость снижения уровня воды в кастрюле сначала велика, а затем постепенно уменьшается, достигая нулевого значения к моменту, когда кастрюля полностью опустеет1.
ЛАы получим еще один генератор, если обеспечим постоянный приток воды в сосуд клиновидной формы (рис. 30,г). Уровень воды в таком сосуде будет повышаться сначала очень быстро, а затем все медленнее, и к моменту наполнения скорость изменения будет наименьшей. Зависимость между уровнем воды и временем здесь также параболическая, но несколько иного характера — истекшее время пропорционально квадрату высоты уровня, или, что то же самое, уровень воды повышается пропорционально квадратному корню из времени. График этой зависимости также имеет вид параболы, но расположенной несколько иначе. Применяя сосуды более разнообразных форм, можно получать очень сложные функции.
Менее наглядны, но зато более точны и удобны разнообразные электрические генераторы функций. По-видимому, простейшими из них являются так называемые нелинейные переменные сопротивления, от-
1 Естественнее всего предположить, что скорость истечения воды будет пропорциональна давлению в области отверстия и, следовательно, уровню жидкости. Тогда уровень воды будет зависеть ог времени по закону
/г = Не'0*,
где h — уровень воды в любой момент времени /, Н — начали ный уровень, а—постоянная, зависящая от размеров и формы отверстия. Это экспоненциальная, а не параболическая зависимость. — Прим, ред..
105
личающиеся от обычных тем, что их электрическое сопротивление не пропорционально перемещению ползунка, а выражено некоторым интегралом.
Если намотать провод не на прямоугольную, а на треугольную плату, сопротивление такого устройства будет пропорционально квадрату перемещения ползунка (рис. 30, д). Более сложные платы позволяют воспользоваться другими функциями; например, плата с параболическим краем даст сопротивление, пропорциональное третьей степени перемещения ползунка, плата с краем в форме одной четвертой части косинусоиды— сопротивление, пропорциональное синусу перемещения ползунка, и т. д. Разнообразие функций значительно увеличится, если ввести неравномерное движение ползунка, например синусоидальное или какое-либо другое (рис. 30, е).
Существуют также генераторы функций, в которых механическое движение вовсе отсутствует и используются свойства выпрямительных электронных ламп или полупроводниковых диодов.
Действие выпрямительной лампы, или вакуумного диода, основано на том, что она имеет большое сопротивление для токов, текущих в одном направлении, и свободно пропускает ток, текущий в обратном направлении. Точно так же действует полупроводниковый диод с той лишь разницей, что габариты его намного меньше и конструкция значительно более проста. Поэтому мы ограничимся рассмотрением генераторов функций, собранных на полупроводниковых диодах. Простейшими из таких диодов являются кристаллические детекторы, которые были распространены в довоенные годы и применялись для выпрямления токов в любительских радиоприемниках того времени.
Современный точечный диод является именно таким кристаллическим устройством в миниатюре с тем преимуществом, что не требуется выполнять вручную какие-либо манипуляции для получения хорошего контакта. Радиолюбителю двадцатых годов нередко приходилось в течение долгих минут прижимать различными способами тонкую проволочку к кусочку кристалла, пока он наконец не находил область с нужными выпрямительными свойствами. Но это устройство было очень чувствительным к толчкам, ко-106
торые изменяли положение проволочки, и все приходилось время от времени начинать сначала.
В современном диоде используются кристаллы, имеющие гораздо лучшие свойства, например германиевые кристаллы. Выбор нужной точки контакта производится уже на фабрике, и затем контактное острие закрепляется неподвижно, что обеспечивает устойчивость к толчкам.
О^х 1
1 Хх ^2
2^ х ^3
U-x.
Зх-2,
5х-4,
Рис. 31. Генератор ломаной линии (приближение параболы): а — схема генератора, б — форма графика.
Точка соприкосновения острие — германий имеет малое сопротивление в направлении от острия к кристаллу и большое от кристалла к острию. Другими словами, ток беспрепятственно проходит в одном направлении и почти совсем не проходит в обратном. На схемах диод обозначается как треугольник, касающийся углом толстой черточки; треугольник символизирует контактное острие, а толстая черточка — полупроводниковый кристалл. Кроме того, направление, указываемое треугольником, — направление проводимости, обратное—направление запирания. Другими словами, треугольник — острие соответствует аноду, а черточка — кристалл — катоду (об устройстве диода еще будет сказано на стр. НО).
Теперь, имея уже некоторое представление о диоде, мы можем рассмотреть цепь, показанную на рис. 31, а.
107
На схеме представлены три параллельно соединенные ветви. Средняя ветвь состоит из 1000-омного сопротивления; левая ветвь содержит 500-омное сопротивление, соединенное последовательно с одновольтовой батареей, которая установлена противоположно направлению проводимости подключенного к ней диода D1. Правая ветвь отличается от нее только тем, что батарея в ней имеет вдвое большее напряжение: 2 в. Точку Л, в которой соединяются все три ветви на катодной стороне диодов, мы заземляем (ю есть полагаем, что ее потенциал равен нулю). Точка В, в которой ветви соединяются на анодной стороне диодов, представляет собой вход устройства; к нему подводится заданное напряжение х.
А теперь немного внимания.
Если напряжение х, которое мы условимся считать положительным, не превышает 1 в, то оно не сможет преодолеть напряжений батарей1. На катодной стороне обоих диодов напряжение будет больше, чем на анодной стороне, поэтому диоды «заперты», и ток в цепи может течь только по средней ветви. В соответствии с законом Ома, согласно которому сила тока равна частному от деления напряжения на сопротивление, в данном случае по цепи течет ток, равный х/1000 а, то есть х ма (1 ма = 0,001 а).
Если входное напряжение х превзойдет 1 в, то на анодной стороне диода D1 появится напряжение, большее, чем на его катодной стороне, поэтому через этот диод будет проходить ток, соответствующий разности напряжений на концах сопротивления, которая составляет (х— 1) в. При сопротивлении 500 ом это дает ток силой 2(х—1) ма. Такой ток в сумме с током, проходящим через среднюю ветвь, дает полный! ток силой 2(х—1)+ х—(Зх—2) ма. Но нужно помнить, что другой диод (D2 все еще не проводит тока.
Однако если напряжение превысит 2 в, то будет «открыт» также и правый диод; к концам правого сопротивления приложено напряжение (х—2) в, что дает дополнительный ток 2(х — 2) ма, который вместе с
1 Ток может проходить через диод, если потенциал анода выше, чем потенциал катода.
108
токами предыдущих двух ветвей образует суммарный ток цепи
2 (х — 2) •+ Зх — 2 = (5х — 4) ма.
Поэтому цепь, показанная на рис. 32, а, реализует функцию, определяемую следующим образом: если напряжение х изменяется в пределах от 0 до 1 в, то ток растет от 0 до х ма\ при изменении напряжения от 1 до 2 в график тока у принимает вид у = 3х—2, и, наконец, на отрезке от 2 до 3 в функцию у можно представить в виде у — 5х — 4.
Таким образом мы получим (рис. 31, б) три отрезка прямой, которые, как легко убедиться из графика, являются приближением параболы т/ = х2 (очевидно, для напряжения х, изменяющегося от 0 до 3 в). Точность этого приближения небольшая, раз мы даже по виду отличаем на графике ломаную линию от параболы. Но если применить более мелкое разбиение и вместо трех использовать, например, двадцать сопротивлений, то погрешность приближения была бы незаметной — не толще линии на графике.
Преимуществом рассмотренного диодного генератора является легкость изменения установленной функции. Для этого достаточно соответственно изменить сопротивление, что не вызывает затруднений, поскольку имеются, например, ползунковые сопротивления с плавным скольжением. Установка произвольной функции в таком генераторе требует только настройки установочных ручек. При этом конструкция устройства не меняется.
Имеются также функциональные генераторы еще более простой конструкции, где не требуется установка ручек, а достаточно вставить в устройство начерченный на бумаге график заданной функции. Электронный датчик специальной конструкции «читает» ход начерченной линии и вырабатывает пропорциональную аналоговую переменную. Благодаря применению фотоэлемента датчик бежит точно по кривой; любое существенное отклонение от начерченной линии автоматически исправляется.
Устройство такого рода ведет себя совсем как радиолокационная станция, которая прослеживает движение наблюдаемого самолета и нацеливает на него
109
артиллерийский огонь. Преимуществом устройств такого рода является возможность применения графиков на больших листах, даже метрового формата. Недостатком является очень высокая стоимость; поэтому следящие генераторы используются только в прецизионных анализаторах типа описанной выше машины MITDA-2.
Одним из видов следящих генераторов являются устройства с электронно-лучевыми трубками, где заданная функция устанавливается шаблоном, вырезанным из черного картона. Однако точность такого генератора очень низкая, в лучшем случае порядка 1%, что существенно ограничивает область его применения.
Наконец, может быть, стоит упомянуть, что часто строят стандартные генераторы, предназначенные исключительно для реализации только одной функции. Имеются устройства для возведения в квадрат, для генерирования тригонометрических функций, а также дающие логарифмические и показательные функции...
Многие из перечисленных устройств часто применяются как элементы для создания более сложных вычислительных устройств, например множительных и делительных.
Судьба вакуумной колбы
Если бы один изобретатель проявил в свое время больше интереса к сделанному им открытию, то электронная лампа была бы теперь уже восьмидесятилетней старушкой. В 1883 году этот человек открыл эффект прохождения электрического тока через вакуум. Это произошло, когда он занимался усовершенствованием лампы накаливания. Томас Эдисон (речь идет именно о нем) заметил, что если в обычную лампочку (вакуумную колбу с нитью накала) впаять металлическую пластинку, то между нитью накала и этой пластинкой пойдет ток.
Эффект Эдисона только в 1904 году использовал Флеминг, построив вакуумную электронную лампу — диод. Спустя еще немного — в 1906 году появился и предшественник современного полупроводникового диода—кристаллический детектор. Его создателем 110
был Пикар. Эти два изобретения появились в совершенно различных условиях, и прошло немало лет, прежде чем выяснилось, что они могут иметь общее применение и что невзрачное устройство с отсвечивающим кристалликом тоже можно без преувеличения назвать диодом. Более ранняя их «встреча на общем пути» была невозможна, так как теория электронных ламп была разработана уже несколько десятков лет назад, в то время как явления, происходящие в полупроводниках, до недавнего времени оставались тайной.
Вакуумный диод — это стеклянная колба с двумя впаянными в нее электродами: анодом, сделанным из фольги, и стержневым катодом (обозначение катода и
Рис. 32. Принцип действия триода.
анода на схемах показано на рис. 32). Так как известно, что катод подогревается с помощью небольшой «печки», помещенной внутри него, или же непосредственно накаляется током, поступающим от специальной батареи, то эти детали обычно на общих схемах не помещают. Достаточно знать, что катод «каким-то образом» подогрет докрасна.
Раскаленный стержень катода испускает электроны, которые благодаря созданному в колбе вакууму могут в ней свободно перемещаться. Если теперь к другому электроду — аноду — приложить извне электрическое поле (например, соединить его с положительным полюсом батареи), то он начнет их притягивать и через диод пойдет ток. А если бы мы соединили
111
анод с отрицательным полюсом батареи, то он отталкивал бы электроны и в таких условиях диод не мог проводить ток. Хотя электроны движутся в лампе от катода к аноду, принято считать, что направление тока, проходящего через лампу, обратное, то есть от анода к катоду. Это необходимо для сохранения различных принципов и правил об электричестве, сформулированных еще до открытия электронов.
Однако вакуум в стеклянной колбе не давал покоя изобретателям, — а что произойдет, если туда поместить еще одну проволочку? Такая мысль пришла в голову нескольким инженерам почти одновременно, так что потом в течение многих лет длился спор о том, кому принадлежит первенство. Только в результате судебного процесса выяснилось, что заслуга изобретения вакуумной электронной лампы с тремя электродами, или триода, принадлежит американцу Ли де Форесту, создавшему эту лампу в 1906 году.
Первоначально триоды были объектом опытов, и только после того, как научились получать глубокий вакуум, Арнольд и Ленгмюр в 1912 году разработали триод, пригодный для практического использования. До этого времени свойства всех триодов оказывались различными, и даже сам изобретатель сначала не догадывался о важнейшем свойстве триода — способности усиливать изменения напряжения, подводимого к третьему электроду.
Третий электрод, называемый сеткой, помещается в триоде между анодом и катодом. На схеме (рис. 32) он обозначен пунктирной линией в середине лампы. В действительности это ажурный цилиндрик, окружающий стерженек катода и в свою очередь окруженный цилиндриком анода.
Какова роль сетки? Как уже было сказано, ток через лампу может течь только от анода к катоду, то есть в направлении, противоположном движению электронов. Оказалось, что сетка может «управлять» этим потоком в зависимости от того, какой потенциал к ней приложен. В частности, если это будет отрицательный потенциал (например, при соединении с отрицательным полюсом батареи), то сетка не позволит отрицательным электронам пройы к аноду, оттолкнет их; если же к сетке подвести положительный потен-112
Рис. 33. Внешний вид генератора ломаной линии на сопротивлениях и диодах (производства английской фирмы «Соляртрон»).
циал, она немедленно ускорит движение электронов от катода к аноду.
Что же случится, если мы присоединим к сетке какой-либо источник переменного тока? Тогда она будет то положительной, то отрицательной в такт изменениям потенциала тока и будет то ускорять, то замедлять движение летящих через лампу электронов. Таким образом, ток через лампу будет меняться пропорционально изменениям потенциала сетки, причем небольшим изменениям на сетке будут соответствовать большие в анодной цепи. Именно это нам и нужно. Разве можно представить себе лучший блок изменения масштаба? Входной аналоговой переменной в этом случае является напряжение на сетке, а выходной — напряжение на аноде. Для каждой данной лампы усиление постоянно; если нужно другое усиление, следует использовать другую лампу.
Однако можно сделать и так, что в одну лампу будет входить как бы несколько ламп. Для этого нужно добавить только еще одну сетку. Таким путем
8 А. Эмпахер
113
мы придем к четырехэлектродной вакуумной лампе, называемой тетродом, которая обладает свойством изменять коэффициент усиления.
Но дадим нашему туристу минуту покоя. Ведь для того, чтобы восхищаться красотой пейзажа, не обязательно предварительно знакомиться с геологическим строением района на глубину в несколько сот метров. Технические детали могут быть и даже наверное являются любопытными, но когда мы знакомим кого-нибудь с очаровательными византийскими миниатюрами, то не докучаем ему детальным описанием технологии изготовления красок того времени, так как это может отбить охоту к осмотру даже самого интересного. Итак, вперед на штурм!
Множительные устройства
Труднейшая для выполнения на аналоговых машинах операция — это умножение переменных. Умножение переменной на постоянную легко выполняют блоки изменения масштаба. Умножению переменной на переменную отвечало бы умножение при помощи управляемого блока изменения масштаба, в котором масштабный коэффициент меняется в соответствии с изменениями одной из множимых переменных.
Таким образом, мы нашли первую группу множительных устройств — так называемых следящих блоков изменения масштаба. Простейшим таким устройством, по-видимому, является реостат с ползунком, перемещаемым с помощью подключенного электродвигателя. Но это должен быть не обычный двигатель, который вращается без остановки. Хотя если применить специальное устройство, называемое следящей системой (сервосистемой), то вал двигателя будет поворачиваться только на небольшие углы (угол поворота пропорционален величине приложенного напряжения).
Множительное устройство, в основу конструкции которого положена сервосистема, показано на рис. 34, а. Его принцип действия основан на том, что пере-’ мещение ползунка, осуществляемое сервосистемой, пропорционально напряжению гц. Итак, достаточно приложить второе переменное напряжение (у2) к рео-114
Р и с. 34. Некоторые простейшие примеры выполнения мультипликаторов.
стату, чтобы в любой момент снимать с ползунка показания величины произведения обоих напряжений.
Недостатком таких множительных устройств является замедленность их действия, вызванная инерционностью механических элементов, а преимуществом—достаточно большая точность вычислений. Однако если перемножаемые величины изменяются слишком быстро, особенно если переменная, управляющая сервосистемой, сильно «скачет», то двигатель может не успеть поворачиваться с такой быстротой, с какой происходят изменения напряжения. Это устройство напоминает в какой-то мере самолет, который не реагирует на очень быстрые повороты руля туда и обратно и практически не меняет направления полета. Можно это выразить более научно, сказав,
8*	115
что любая сервосистема проявляет некоторую временную инертность и не реагирует на слишком кратковременные изменения.
В свое время, когда широко использовались механические анализаторы, применялись рычажные множительные устройства, принцип действия которых показан на рис. 34,6. Переменные здесь представлены перемещениями звеньев х, у и г. Звенья х и у удалены на расстояние единицы длины перемещения; выходное звено г, дающее величину произведения ху, перемещается перпендикулярно двум предыдущим. Перемещения входных звеньев отсчитываются от некоторой координатной прямой (пунктирная линия). На пересечении этой прямой с осью перемещения звена у находится штырь В, вокруг которого может вращаться угловой хомут L. Нижнее плечо хомута имеет подвижное соединение со штырем С, который прикреплен к звену х в месте, соответствующем нулевому смещению. Верхнее плечо хомута имеет подвижное соединение со штырем А, проходящим одновременно через прорези звеньев у и г. На рисунке показано, что движение звеньев х п у должно вызывать соответствующее движение звена г. Теперь, рассмотрев подобные треугольники, получим пропорцию 1 \x = y:z, или, иначе говоря, z = xy, что и требовалось.
К сожалению, выполненное таким образом устройство может на практике работать только в области относительно небольших перемещений. Одновременно с увеличением произведения z верхнее звено углового хомута образует все меньший угол с прорезью звена у\ в результате этого сопротивление сил трения приводит к тому, что точка А, представленная подвижным штырем, не сможет подниматься выше и тем более поднимать звено z. Вот почему этот штырь выбрасывали и заменяли его электрическим следящим устройством, которое перемещало звено z до тех пор, пока его прорезь не оказывалась на уровне точки А — пересечения углового хомута с прорезью звена у. Таким образом, мы опять вернулись к сервосистемам.
Самое трудное уже позади. Теперь рассмотрим более простые множительные устройства. Начнем с логарифмического. Как известно, умножение чисел можно заменить сложением их логарифмов. Может
116
быть, использовать подобный прием и при аналоговых вычислениях? Возьмем два логарифмирующих устройства (рис. 34, в) и подадим на их входы умножаемые переменные. Выходы обоих устройств присоединяем к сумматору, чтобы получить сумму логарифмов. Теперь нужно только использовать так называемый экспонентор, дающий величину показательной функции (обратной по отношению к логарифмической функции), и на выходе всего устройства получим искомое произведение. Стоит добавить, что входящий в состав такого множительного устройства генератор логарифмической функции не сложнее, чем рассмотренный выше генератор параболы.
Кстати, ведь можно умножать и с помощью парабол, для этого нужно только сначала выписать правило, согласно которому четвертая часть разности квадратов определенных двучленов равна произведению. Это можно записать в виде следующей формулы:
(х + у)2 — (х — у)2 =
4
Сказанное выше можно легко проверить. К тому же соответствующее множительное устройство, выполняющее умножение именно этим способом, показано на рис. 34,г.
Из числа рассмотренных нами типов множительных устройств чаще всего используются генератор логарифмической функции, генератор параболы и устройства с сервосистемами. Остальные в большей или меньшей степени имеют познавательное значение. Все же знакомство с ними позволило читателю узнать о некоторых хитрых приемах, которые и сами по себе довольно любопытны.
Однако погоня за такими приемами может увести нас в сторону; как раз по этой причине нужно отказаться от рассмотрения устройств, выполняющих деление. Упомянем только, что деление можно заменить умножением на обратную величину; для этого нужно иметь генератор гиперболы, выдающий обратную величину, и множительное устройство. Но это достаточно сложные веши, и читатель, который проходит первую стадию посвящения, может простить нам то, что мы их пока опускаем.
9 А. Эмпахер
117
Собираем результаты
Аналоговая машина, которая не может выдать результаты своих вычислений в понятной для нас форме, вряд ли на что-нибудь пригодна. Поэтому используются различные устройства вывода: регистрирующие приборы, самописцы и сигнализаторы. Регистрирующий прибор — это такой, по шкале которого можно произвести отсчет текущего значения измеряемой переменной. В нем нет ничего особо интересного. Зато чрезвычайно интересны самописцы. Вкратце остановимся на них.
Простейшие самопишущие приборы — самописцы с бумажной лентой. Вероятно, каждый из нас видел барограф или термограф — метеорологические приборы для построения графиков изменения давления и температуры в течение суток. Бумажная лента шириной в несколько сантиметров движется со скоростью порядка 2 мм/час, на которой стальное перо оставляет чернильную линию. Подобные самописцы можно использовать как выводные устройства аналоговых машин, но только желательно с большей скоростью перемещения ленты.
Значительно реже встречаются специальные самописцы, вычерчивающие графики на листах бумаги. Графики, выполняемые этим способом, могут иметь самую разнообразную форму, например образовывать петли. Это возможно, потому что пишущее перо может перемещаться независимо в двух перпендикулярных направлениях. Некоторые самописцы такого типа имеют гигантские размеры, позволяющие чертить графики на листах метрового и даже большего формата. Благодаря таким самописцам получение точности порядка сотых долей процента оказывается сравнительно нетрудным. Ясно, что обеспечить такой же порядок точности вычислений много труднее.
Однако во многих случаях вычислитель не нуждается в большой точности, и тогда его удовлетворит небольшой график. Неоценимую помощь оказывают в таких условиях электронно-лучевые трубки, подобные телевизионному кинескопу. На экране такой трубки наблюдается приближенный график интересующей нас функции, причем отражены все характерные 118
Рис. 35. Графики, получаемые на выходе аналоговых машин нередко имеют весьма сложные формы.
черты ее изменения. Исследуемая функция может изменяться очень быстро — имеются способы сохранить мгновенный образ на экране в течение некоторого времени. Для этого применяются лампы со специальными долго светящимися экранами. Картину, полученную на экране, можно сохранить навсегда, сфотографировав ее или, скажем, записав ход соответствующих напряжений на магнитофонную ленту. Впрочем, этот последний способ применяется очень редко.
о*
119
Р и с. 36. Электронно-лучевая трубка {а). Люминесцентный экран дает возможность визуально наблюдать за движением пучка электронов, который формируется специальной «электронной линзой» (анодом) и затем отклоняется двумя парами перпендикулярных по отношению друг друга пластин. Прецизионный электромеханический самописец «Вэриплоттер» (б).
120
Наконец, к аналоговой машине можно подключить электрическую пишущую машинку, записывающую цифрами значения переменных, измеренные в интересующие нас моменты времени. К этому добавляются
Атмосфера А
.Лед
Рис. 37. Аналоговое моделирование теплообмена в холодильной системе вагона-ледника (блок-схема).
различные контрольные лампочки, сигнализирующие о поведении машины.
Однако следует заметить, что существуют также аналоговые машины без пишущих выводных устройств, например различные устройства автоматического регулирования. К ним принадлежат, в числе других, автоматы, поддерживающие оптимальные условия работы электропечи в сталелитейном цехе, управляющие наводкой зенитного орудия или контролирующие уровень воды в паровом котле. Впрочем, и в таких случаях всегда имеются какие-нибудь регистрирующие приборы, чтобы обслуживающий эти устройства персонал всегда мог контролировать их работу.
Сила аналогии
Описание аналоговых машин будет неполным, если не привести хотя бы один конкретный пример их ис-
121
пользования. Только тогда можно оценить огромную практическую ценность этих устройств. Итак, допустим, что мы хотим свести к минимуму расход льда в вагонах-холодильниках.
Прежде всего необходимо сформулировать физическую задачу: определить, с какими величинами мы имеем дело и какие между ними имеются соотношения. Другими словами, нужно создать математическую модель задачи, принимая во внимание только важнейшие факторы и опустив второстепенные. Такая модель наглядно представлена на рис. 37. Мы видим здесь шесть тепловых «емкостей», обозначенных прямоугольниками, причем стрелками показаны потоки тепла. Потоки эти распространяются в соответствии со следующей схемой: лед принимает тепло, содержащееся в воздухе, заполняющем внутреннюю часть вагона, а воздух в свою очередь согревается под действием трех факторов: окружающей атмосферы, вентилятора, приводимого в действие электрическим двигателем, и перевозимого товара, которым является клубника. Нужно еще принять во внимание выделение клубникой тепла в результате медленного сгорания имеющегося в ней сахара.
Однако это не все. Нужно также знать некоторые характеристики вагона: коэффициент теплоотдачи стенок вагона, то есть постоянную теплообмена атмосфера— внутренность; затем выделение тепла двигателем, приводящим в движение вентилятор, то есть постоянную обмена вентилятор — внутренность; наконец, постоянные обмена внутренность — лед, товар — внутренность и сахар—товар.
Но и это не все, мы должны еще принять во внимание две так называемые обратные связи, показанные на схеме пунктирными линиями. Первая из них, связанная с потоком тепла в направлении внутренность— лед, обусловлена постепенным уменьшением этого потока по мере убывания тающего льда. Образующуюся при таянии воду можно не принимать во внимание, поскольку вагон-ледник сконструирован так, что эта вода непрерывно вытекает наружу. Данная обратная связь вызывается тем, что лед поглощает тепло из окружающей среды только через свою поверхность, которая по мере таяния льда умень-122
шается в соответствии с правилом «двух третей»: пло* щадь поверхности льда пропорциональна массе льда в степени 2/3, или, иначе говоря, куб площади этой поверхности пропорционален квадрату массы.
Вторая обратная связь, влияющая на поток сахар— товар, вызывается постепенным ускорением про-
Венти лятор
часть вагона
-Клубника I
Постоянная теплоотдача А^ВН
Постоянная теплоотдача К—ВН
Нерастаявший -£-лед -у

'Переменная, скорость таяния льда7 зависящая от количесюа оставшегося льда
Рис. 38. Упрощенная гидравлическая модель тепловых явлений, происходящих при охлаждении.
цесса сгорания имеющегося в клубнике сахара по мере увеличения температуры клубники. Именно эта последняя связь предопределяет необходимость охлаждения: такой товар, как клубника или, скажем, салат, если его хранить при слишком высокой температуре, не только увядает из-за испарения влаги, но и теряет часть содержащегося в нем сахара, что неблагоприятно сказывается на его вкусовых качествах.
Для полноты информации необходимо также знать текущее значение температуры атмосферы, внутреннюю температуру вагона, температуру товара, количество оставшегося льда, количество загруженного то
123
вара, время поездки и, наконец, температуру при доставке, то есть температуру, которую должен иметь товар по прибытии на место назначения. Только теперь можно перейти к вычислению количества льда, которое нужно погрузить вначале, чтобы к моменту окончания поездки в леднике оставался еще резерв, скажем 500 кг льда, на случай непредвиденного простоя.
Для вычисления мы воспользуемся гидравлическими устройствами (рис. 38) ввиду большой наглядности их действия. Температуру представим как давление воды, измеряемой высотой ее столба. Количество тепла будет выражаться количеством воды, поэтому расход тепла будет соответствовать расходу воды. При этом можно так подобрать величины отдельных параметров модели, чтобы динамические процессы в гидравлической системе протекали, скажем, в 120 раз быстрее, чем в настоящем вагоне. Таким образом, в течение 30 сек мы сможем проанализировать поведение вагона в течение одного часа, а за 24 мин — на протяжении двух суток.
Имеющимся в нашей математической модели шести тепловым емкостям будут соответствовать в гидравлической модели шесть сосудов с водой. Температуру атмосферы представляет высота уровня воды в левом сосуде, потому что с левой стороны сосуда прорезано отверстие, через которое удаляется избыток воды, а также потому, что обеспечен постоянный приток воды (кран), покрывающий ее расход, и уровень воды в этом сосуде независимо от перетекания ее в средний сосуд удерживается на постоянной высоте. Это соответствует тому вполне понятному обстоятельству, что вагон, хотя он и является относительно холодным объектом, практически не может вызвать понижения окружающей температуры; ведь его теплоемкость ничтожно мала по сравнению с теплоемкостью даже ближайшей части атмосферы.
Внутренний канал трубки, соединяющий левый сосуд со средним, соответствует постоянной обмена атмосфера — внутренность вагона; подобным же образом трубка, соединяющая средний сосуд с правым, представляет обмен товар — внутренность вагона.
124
Тепло, выделяемое вентилятором, можно приближенно считать постоянным; этому соответствует в нашей модели верхний сосуд, из которого вода вытекает под постоянным давлением п, следовательно, равномерно, пропорционально сечению данного отверстия.
Площадь горизонтального сечения среднего сосуда пропорциональна внутренности вагона, конечно, с некоторым масштабным коэффициентом теплоемкости. Чем больше сечение (теплоемкость), тем медленнее повышается уровень (температура) при одном и том же притоке воды (тепла). Подобным же образом выбрано сечение правого сосуда, представляющего теплоемкость товара, которая зависит от его вида и веса.
Тепло «дышащего» товара, то есть теплота «выдоха», образующаяся в результате постепенного окисления имеющегося в товаре сахара, поступает в товар тем больше, чем выше температура этого товара. Поэтому сосуд, символизирующий «сахар», соединен с баком «товар» при помощи специального клапана (поплавка, соединенного с регулирующим конусом), который — как показывает рисунок — замедляет пропуск воды через отверстие в дне верхнего правого сосуда, если уровень воды в нижнем правом сосуде начинает опускаться. И наоборот, при повышении уровня воды в правом сосуде поплавок поднимет регулирующий конус и увеличит пропуск воды. Это первая из упомянутых обратных связей.
Аналогичным образом нужно связать «лед» с «внутренностью», с той лишь разницей, что регулирующий конус должен быть обращен острием вверх. По мере повышения уровня воды в сосуде «лед»-поплавок поднимает конус вверх, уменьшая сток из среднего сосуда. Длина стержня, соединяющего поплавок с регулирующим конусом, выбрана так, чтобы повышение уровня воды до отметки, соответствующей таянию всего загруженного льда, полностью прекращало перетекание воды из среднего сосуда. Количество оставшегося льда измеряется расстоянием от фактического уровня воды в нижнем сосуде до этого предельного верхнего положения. При этом горизонтальное сечение нижнего сосуда выбрано так, чтобы 100 кг льда соответствовало разности высот в 1 см.
10 А. Эмпахер
125
График температуры Зависимость скорости окис-товара во времени ления от температуры товара
линейной функции
Постоянная тепло передача вагона
Тепловая мощность вентилятора
§ ^1
I 8 $ $
Тепло, израсходованное на рас топ.
Мгновенный поток тепла А-ВН
Температура внутр части вагона Текущая темп., 'внутри части Начальная вагона темп, внутр, части вагона
Мгновенный 9 поток тепла
Удельное тепло ВН-Л таяния льда .График расхода льда во времени
С) £ 3:
§'
£
Начальная температура товара д
J-!а ко плен-
~Г	\р ное тепло
ТеплоемкостьГ
товара
Текущая РазносГГ1Ь ^температур товара и внутр части вагона
Мгновенный поток тепла
ВН+Л
Таяние льда


Остающееся колич. льда ^ Начальное количество льда
Зависимость коэф теплоотдачи поверхности льда от его массы
Накопленное количество	Мгновенная тенте пл а. отданного товаром	лота окисления
Рис. 39. Готовая аналоговая схема процесса охлаждения в вагоне-леднике.
Итак, гидравлическая система для решения нашей задачи готова. Чтобы начать вычисления, нужно прежде всего приостановить движение воды в системе с помощью каких-нибудь дополнительных клапанов, затем наполнить все сосуды до заданных уровней и, наконец, одновременно открыть все клапаны. Для упрощения схемы эти клапаны не показаны.
А как с вычислением? Его нет. Нужно только следить за уровнями воды в сосудах. Допустим, что мы должны решить конкретную задачу: сколько останется льда из 2500 кг после 40 часов езды с грузом в 5,5 тонн салата, имеющего начальную температуру 20°, при условии, что температура атмосферы и внутри вагона одинакова.
Соединяем сосуды и трубки нужного сечения (от этого зависит скорость аналогового процесса), пускаем воду и через 20 минут определяем по уровням воды в сосудах, что льда останется 570 кг, а температура салата составит 11°. Однако для решения примера с несколько иными числовыми данными необходимо собрать другую систему, заменить сосуды и т. п. С этой точки зрения решение практических задач при помощи электрических или электронных анализаторов, более удобных для настройки, значительно проще.
В этом месте «турист» может потерять терпение и спросит, не проще ли было бы непосредственно решить соответствующие математические уравнения. Сверх того, он может обвинить нас, во-первых, в чрезмерном упрощении задачи теплообмена в холодильной системе вагона-ледника и, во-вторых, в том, что для более точных вычислений данной модели может оказаться недостаточно. Однако на практике лед грузят с точностью до 50 кг или даже меньшей, так что более точное решение не имеет практического смысла и рассмотренная модель, которую предложил французский инженер Ришар — специалист по холодильной технике, оказывается на практике вполне удовлетворительной. Впрочем, особенно точной модели вообще нельзя создать: для этого нужно было бы предварительно знать распределение температур воздуха на каждом участке пути на соответствующее количество часов вперед. Но такими данными не располагает еще ни один метеоролог.
10*
127
Зато первое обвинение было бы несправедливым. Модель Ришара описывается системой из восьми дифференциальных и алгебраических уравнений, решение которых обычными методами было бы невероятно грудным, — а на аналоговой машине длится самое большее минут двадцать. Именно по этой причине аналоговые вычислительные машины становятся все более необходимым орудием современного инженера, имеющим почти такое же всеобъемлющее значение, как логарифмическая линейка. Они абсолютно незаменимы при исследовании сложных динамических процессов, для которых цифровые машины слишком громоздки, конечно, если только не требуется очень большой точности вычислений.
ГЛАВА IV
ПОБОЛЬШЕ МАШИН ХОРОШИХ И РАЗНЫХ
Если задать специалисту-кибернетику вопрос о ближайших перспективах вычислительной техники вообще, то в ответ можно услышать много увлекательных и на первый взгляд даже фантастических рассказов. Прежде всего, как должна выглядеть современная машина? Специалисты технологи, работающие в области микроэлектроники, уже сейчас научились делать настолько миниатюрные элементы, что в одном кубическом сантиметре их помещается несколько сотен штук. Следовательно, недалек тот час, когда большая цифровая вычислительная машина будет занимать объем не больше современного телевизора или даже транзисторного радиоприемника.
Если понятие «субсветовая скорость» применительно к освоению космического пространства пока что бытует только в фантастической литературе, то для вычислительной техники оно уже стало реальностью. Сейчас уже серийно выпускаются машины, в которых одна операция выполняется за 300 наносекунд (0,0000003 сек). Отдельные элементы, построенные на так называемых туннельных диодах, могут выполнять свои простейшие операции за 10 и менее наносекунд (0,00000001 сек). Электрический сигнал, распространяющийся по проводу со скоростью света, пройдет за это же время 3 метра. Значит, если два таких элемента, соединенных между собой проводом, будут находиться на расстоянии порядка 3 метров, то электрический сигнал, распространяющийся со скоростью света, просто не успеет прийти вовремя.
Современные машины, «обученные» так называемым символическим или алгоритмическим языкам (на-
Глава написана А. В. Шилейко.
129
пример, принятому сейчас во всем мире языку Алгол-60), могут получать от своего «заказчика» условия задачи, записанные в обычной принятой среди математиков форме. Наконец, благодаря развитию той же микроэлектроники «память» цифровых вычислительных машин, то есть количество данных, которое они могут хранить и перерабатывать, становится настолько большой, что вполне реальной, например, становится задача создания машины, «обученной» курсу математического анализа или, скажем, курсу сопротивления материалов. Для того чтобы решить задачу, такая машина потребует от своего оператора не больше усилий, чем если бы он имел дело с квалифицированным математиком или инженером.
Писатели фантасты идут в своих мечтах значительно дальше. В научно-фантастических рассказах часто встречаешься с вычислительными машинами (конечно, цифровыми), которые полностью автоматически управляют полетом межпланетных кораблей, решают сложнейшие математические задачи, а в свободное время беседуют со своими операторами и даже влюбляются. Интереснее всего то, что во всем этом, за исключением разве только способности влюбляться, по существу, нет ничего фантастического. Например, совсем недавно демонстрировались опыты с машиной, включенной в телефонную сеть. Эта машина обычным человеческим голосом отвечала любому абоненту на один из стандартных вопросов, задаваемых путем набора определенной комбинации цифр на наборном диске телефонного аппарата.
Но при чем здесь аналоговые машины?
К сожалению, нередки случаи, когда такой вопрос заставляет задуматься увлекшегося кибернетика. Попробуем ответить на него, процитировав несколько фраз из известной мальчишкам всего мира книги Марка Твена «Том Сойер».
«Он подумал, что, пожалуй, стоило бы отыскать шарик, который он забросил, и терпеливо принялся за розыски. Но найти шарик не мог. Тогда он вернулся к тайнику, стал на то самое место, с которого бросал шарик, вынул из кармана второй шарик и бросил его в том же направлении, приговаривая:
— Брат, ступай ищи брата!
130
Он заметил, куда упал шарик, побежал туда и стал искать. Должно быть, шарик упал слишком близко или слишком далеко. Том проделал то же самое еще два раза. Последняя проба удалась: шарики лежали в двух шагах друг от друга.»
Интересно, как решил бы подобную задачу отдаленный потомок Тома Сойера, если бы он отправился в лес, снабженный последней моделью карманной цифровой вычислительной машины «настоящей Барлоу»? Такая машина могла бы оказать Тому массу неоценимых услуг, особенно на экзаменах в воскресной школе, но помочь найти шарик, отброшенный в сторону, она бы, наверное, не смогла. Действительно, для решения подобной «баллистической» задачи в машину необходимо было бы ввести начальные условия, то есть направление, в котором был брошен шарик, и его начальную скорость. В принципе это, конечно, возможно, однако для этого потребовалась бы измерительная аппаратура, во много раз более сложная, чем та примитивная «вычислительная машина», которой пользовался Том. Вот она, сила аналогий!
Все это, конечно, шутка, однако над многим в этом коротком рассказе, и особенно над тем, что шарик был найден только с третьей попытки, стоит серьезно задуматься. Специалист по аналоговой технике сказал бы, что с помощью своей «вычислительной машины» Том решал «краевую баллистическую задачу со случайными параметрами, используя при этом метод периодизации решений». Но не будем углубляться в терминологию. Напомним только еще раз, что аналоговая вычислительная машина, опираясь на существующие в природе аналогии, воспроизводит физический процесс именно так, как он происходит на самом деле, в то время как цифровая машина может только описать этот процесс, решая соответствующие математические уравнения, как правило, каким-либо приближенным методом. При этом точность такого описания целиком будет зависеть от точности, с которой введены исходные данные, и от точности самого приближенного метода.
Пусть, например, задача состоит в том, чтобы управлять каким-либо сложным объектом, скажем ядерным реактором, поведение которого наперед до
131
конца не известно. Один из путей к решению такой задачи состоит в том, чтобы использовать аналоговую вычислительную машину, которая будет воспроизводить процессы, происходящие в реакторе, но делать это со скоростью, в сотни или в тысячи раз большей, чем это происходит в натуре. Тогда за малый интервал времени, в течение которого в реакторе еще по существу ничего не изменится, можно перепробовать несколько вариантов поведения объекта на ближайшее будущее, выбрать из них наилучший и определить тем самым управляющее воздействие. Затем процесс повторяется снова и так далее.
Интересно отметить также и следующее. Большинство происходящих в реальных условиях процессов зависит от многих не поддающихся учету факторов. Другими словами, эти процессы в известной степени случайны. Для того чтобы описать такие процессы с помощью цифровой вычислительной машины, необходимо описать также и условия, в которых они происходят, то есть внести в работу машины элемент случайности. В специальной литературе сейчас насчитывается несколько сот работ, посвященных различным методам искусственного образования в цифровой машине так называемых «случайных последовательностей чисел». Однако все эти методы позволяют получить последовательность, которая оказывается только «приближенно случайной». С другой стороны, в аналоговой вычислительной машине истинно случайные процессы воспроизводятся сами по себе. Это и есть те самые помехи, или «шумы», которые неизбежно присутствуют в любой аналоговой схеме и являются причиной распространенного, но не всегда правильного мнения о малой точности аналоговых машин.
На основе всего сказанного выше можно провести следующее несколько рискованное сравнение. Если цифровая вычислительная машина — это машина-педант, опирающийся в своей работе только на цифры И факты, то аналоговая вычислительная машина — это машина мечтатель, опирающийся в основном на интуицию. Поэтому вряд ли стоит принимать всерьез встречающееся подчас утверждение о том, что цифровая вычислительная техника пришла на смену анало-132
говой, или, во всяком случае, о том, что существует конкурентная борьба между аналоговыми и цифровыми машинами. И те и другие средства хороши на своем месте. Более того, наиболее плодотворным здесь оказывается сотрудничество и разделение труда. Недаром в последние годы все больше внимания уделяется созданию так называемых комбинированных вычислительных систем, объединяющих в едином комплексе как аналоговые, так и цифровые устройства.
Какими же средствами обладает современная аналоговая вычислительная техника?
Подавляющее большинство аналоговых вычислительных машин использует процессы, происходящие в механических и электрических системах. Значительно менее распространены машины, использующие гидравлические и тепловые аналогии. Наиболее естественным представляется использовать механическую машину для воспроизведения процессов в механических системах, электрическую — для воспроизведения процессов в электрических системах и так далее. Подобная практика получила название «физическое моделирование». При конструировании современных самолетов и судов широко пользуются испытаниями уменьшенных моделей соответствующих конструкций в аэродинамических трубах и специальных опытных бассейнах. Здесь в полной мере используется метод аналогий, но, например, уменьшенную модель самолетного крыла, конечно, еще нельзя считать машиной.
При построении электрических аналоговых машин одной из первых была использована аналогия между протеканием процессов в различных электрических цепях. Машины такого типа строились для исследования систем электропередачи и получили название «расчетные столы переменного тока». Расчетный стол представляет собой по существу уменьшенную модель исследуемой линии электропередачи со всеми входящими в ее состав элементами. Различие состоит только в том, что сама линия, то есть система с распределенными по длине параметрами, заменяется набором сосредоточенных индуктивностей, емкостей и сопротивлений.
В СССР ряд расчетных столов переменного тока был построен под руководством доктора технических
133
наук В. А. Веникова. Аналогичные машины создавались в США и других странах. В частности, в Польше была выпущена серия анализаторов сетей постоянного и переменного тока, получивших название АПС (АПС-120, АПС-192, АПС-400), МСК и МС-1. В настоящее время расчетные столы постоянного и переменного тока практически больше не изготовляются, так как оказалось, что как раз задачи этого типа удобнее решать на цифровых машинах.
Однако свойства электрических цепей, и в первую очередь то обстоятельство, что с помощью электрической цепи, состоящей из небольшого количества пассивных элементов и только одного или нескольких усилителей, можно воспроизводить весьма сложные процессы, до сих пор привлекают внимание конструкторов аналоговых машин. Наиболее удобны электрические цепи для воспроизведения процессов, описываемых алгебраическими уравнениями. В Институте кибернетики АН УССР под руководством члена-корреспондента АН УССР Г. Е. Пухова была разработана серия аналоговых машин, получивших название «квазианалогов». Самое интересное в этих машинах состоит в том, что для воспроизведения некоторого заданного процесса (обычно процесса уравновешивания) строится электрическая цепь, описываемая уравнением, в общем случае отличным от уравнения, описывающего исследуемую систему. Отсюда и название «квазианалог».
Несколько упрощая, можно сказать, что если, например, нужно исследовать систему, работа которой описывается тремя уравнениями с тремя неизвестными, то в квазианалоге решаются четыре или пять уравнений с четырьмя или пятью неизвестными. Процесс решения длится до тех пор, пока одно или два лишних неизвестных не примут некоторые наперед заданные значения (чаще всего они становятся равными нулю). Так можно решать уравнения, неразрешимые никаким другим способом (неустойчивые). По методу квазианалогов построены аналоговые вычислительные машины для решения задач строительной механики серии МСС, машины для решения экономических задач и ряд других,
134
Наиболее многочисленно семейство аналоговых вычислительных машин, предназначенных для воспроизведения процессов в системах, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями. Долгое время эти машины были известны под названием «дифференциальные анализаторы».
Потребность в дифференциальных анализаторах наиболее остро проявилась во время второй мировой войны в связи с необходимостью конструирования всевозможных систем автоматического управления, и в первую очередь различных рулевых машин. Интересно заметить, что те же потребности послужили толчком к развитию ряда теоретических дисциплин, которые оформились затем в единую науку — кибернетику.
Смысл работы всякой системы автоматического управления состоит в том, что истинное состояние системы (например, курс корабля или самолета) сравнивается с некоторым наперед заданным и обнаруженное рассогласование или ошибка после соответствующего усиления используется для воздействия на исполнительный механизм (руль). Чем больше усилие, тем большим будет воздействие и тем скорее будет исправлена ошибка. Однако при слишком большом усилении система начнет совершать колебания, или, как говорят, потеряет устойчивость. Подобные системы описываются обыкновенными дифференциальными уравнениями, причем, чем больше подробностей в работе системы мы учтем, тем выше будет порядок дифференциального уравнения и тем труднее его решить.
Проблема исследования устойчивости резко облегчилась после появления дифференциальных анализаторов. Наиболее ценным здесь оказалось то, что дифференциальные анализаторы состоят из отдельных блоков, причем эти блоки можно строить так, что каждый из них будет воспроизводить процесс в одном из звеньев системы. Это дает возможность составить модель исследуемой системы, даже не зная описывающего ее уравнения.
Один из первых механических дифференциальных анализаторов был построен в 1936—1939 годах членом-корреспондентом АН СССР И. С. Бруком. Первый в Советском Союзе электронный дифференциальный анализатор типа ЭЛИ был разработан в
135
Р и с. 40. Электронная аналоговая вычислительная машина МН-14.
Рис. 41. Электронная аналоговая вычислительная машина
ЭМУ-10.
1946 году профессором Л. И. Гутенмахером. Начиная с 1948—1949 годов область дифференциальных анализаторов почти полностью была завоевана электроникой. В СССР это были машины ИПТ-4, разработанная в НИИСчетмаше, и ЭМУ-2, разработанная в Институте автоматики и телемеханики АН СССР. За ИПТ-4 последовали ИПТ-5, МПТ-9, МПТ-11, МН-1, МН-2, МН-7, МН-8, МН-10, МН-11 и МН-14. Соответственно машина ЭМУ-2 положила начало серии машин ЭМУ: ЭМУ-3, ЭМУ-4, ЭМУ-5, ЭМУ-6, ЭМУ-8 и ЭМУ-10. Был разработан также ряд других машин, получивших меньшее распространение.
Как уже отмечалось, исследование систем автоматического управления будет тем более добросовестным, чем выше порядок дифференциального уравнения. Поэтому наибольший порядок решаемого уравне-
137
Рис. 42. Аналоговая машина ЭМИРР.
ния является одним из главных показателей «мощности» машины. Так, например, наибольший порядок дифференциального уравнения, которое можно решить на машинах ИПТ-4 и МН-3, равен шести. При этом можно решать только линейные дифференциальные уравнения. Машина МПТ-9 позволяет решать линейные уравнения вплоть до шестнадцатого порядка. Машина МН-14 (рис. 40) позволяет решать дифференциальные уравнения до тридцатого порядка. Примерно тот же наибольший порядок решаемых уравнений у машины ЭМУ-10 (рис. 41). Машина МН-10 полностью выполнена на полупроводниковых элементах, что позволило резко уменьшить ее размеры. Среди машин, выпускаемых за рубежом, можно отметить машину РАСЕ фирмы «Electronic Associates» (США) и французскую машину ANALAC, работающую на переменном токе. В Польше были построены электромеханический дифференциальный анализатор типа ЭМИРР (рис. 42) и электронные дифференциальные анализаторы АРР и АТРА. Последний из них специализирован на решении дифференциальных уравнений, описывающих движение электропоезда.
Основным элементом всякой электронной аналоговой вычислительной машины является решающий усилитель. Поэтому качество таких усилителей в боль
138
шой степени определяет качество машины в целом. Решающие усилители — это так называемые усилители постоянного тока. Они работают при столь медленных изменениях входного напряжения, что практически это напряжение можно считать постоянным. Однако если входное напряжение усилителя постоянного тока совсем не изменяется, например просто равно нулю, то его выходное напряжение все-таки будет испытывать небольшие изменения. Это явление получило название «дрейф нуля» и объясняется тем, что параметры деталей усилителя, какими бы качественными ни были эти детали, всегда немного изменяются со временем, а также под влиянием изменения окружающих условий, например температуры. Дрейф нуля представляет собой чистую ошибку вычислений. ,Ocql бенно опасен дрейф нуля для интеграторов, в которых даже очень небольшая величина ошибки интегрируется, то есть увеличивается со временем. Поэтому проблема компенсации дрейфа нуля — это одна из основных проблем, стоящих перед конструкторами аналоговых машин.
В усилителях первых машин типа ИПТ-4, ЭМУ-3 и им подобных компенсация дрейфа нуля осуществлялась сравнительно простыми средствами. При этом величина дрейфа составляла несколько милливольт за час работы усилителя. В усилителях современных машин типа ЭМУ-8, ЭМУ-10, МН-11 и МН-14 используется метод автоматической компенсации дрейфа, состоящий в том, что в каждом решающем блоке имеются, по существу, два усилителя, из которых один выполняет основные функции, а другой компенсирует дрейф. Подобный метод позволил довести дрейф нуля у решающих усилителей машины ЭМУ-10 до 50 микровольт за час работы. При этом сравнительно простые линейные задачи можно решать с точностью порядка 0,1%. Есть все основания полагать, что подобная точность близка к предельной точности для аналоговых машин вообще, если только не применяются специальные меры — так называемые грубо-точные или комбинированные аналого-цифровые вычислительные системы. С другой стороны, точность в несколько десятых долей процента или в 1 % оказывается более чем достаточной для воспроизведения огромного большинства
139
реальных процессов, так как редко оказывается воз можным или целесообразным с большей точностью задавать начальные условия.
При конструировании электронных аналоговых вычислительных машин большое внимание уделяется удобству их обслуживания. У машин ранних выпусков все операции по соединению отдельных решающих блоков между собой (набор задачи), по установке постоянных коэффициентов и тому подобные выполнялись вручную. В настоящее время все эти операции стремятся автоматизировать. Так, например, в состав машины ЭМУ-10 входит устройство, позволяющее автоматически устанавливать до 64 постоянных коэффициентов, а также автоматически контролировать правильность соединений между решающими блоками. В США проводились опыты по дальнейшей автоматизации обслуживания. В частности, строились машины, в которых сами соединения между решающими блоками выполнялись автоматически по командам, зафиксированным на перфорированной бумажной ленте. Подобный процесс автоматизации можно и продолжить. Принципиально вполне реальным является создание аналоговой машины, задачи для которой задавались бы в форме уравнений, записанных на листе бумаги или даже по командам с голоса. Однако вряд ли это будет целесообразным. Одним из больших преимуществ аналоговых машин является возможность активного вмешательства оператора в процесс решения задачи.
Обычно решающие блоки аналоговых вычислительных"'' машин строятся таким образом, что каждый блок позволяет полностью воспроизводить процессы, происходящие в отдельных узлах исследуемых систем. Поэтому, изменяя настройку блоков или изменяя некоторые соединения между ними, оператор получает возможность ставить эксперимент, аналогичный эксперименту с самой системой. При этом выходные устройства аналоговой вычислительной машины, среди которых наибольшей популярностью пользуются электронные осциллографы и самописцы, вычерчивающие кривую на бумаге, позволяют непосредственно наблюдать результаты такого эксперимента. Так, например, вращая одну единственную ручку, оператор может 140
выбрать коэффициент усиления в системе автоматического управления, при котором система будет устойчива, а точность управления максимальна.
Кроме своего основного назначения — моделирования систем автоматического управления, электронные аналоговые вычислительные машины оказали и продолжают оказывать помощь при решении весьма широкого круга задач из различных областей науки и техники. Среди них в первую очередь следует отметить работу аналоговых машин при так называемых натурных испытаниях. Суть дела здесь состоит в том, что какая-нибудь отдельная часть сложной системы, например двигатель самолета или автопилот, испытывается на стенде в условиях, как можно более близких к реальным. Поведение всех остальных частей системы моделируется при этом с помощью аналоговой вычислительной машины.
Близкие задачи решаются в «тренажерах» — устройствах для тренировки пилотов, операторов ядер-ных реакторов и т. п. Тренажер для обучения пилотов оформлен в виде кабины самолета, снабженной всеми ручками управления и измерительными приборами. Каждое действие пилота вводится в аналоговую вычислительную машину, которая моделирует поведение самолета и вырабатывает сигналы, воспринимаемые пилотом как изменения показаний измерительных приборов.
Большую роль сыграли аналоговые вычислительные машины при изучении случайных процессов. При решении задач подобного типа существенным преимуществом аналоговых машин является уже отмеченная выше простота задания случайных возмущений. Электронные дифференциальные анализаторы с успехом используются также для исследования процессов, происходящих в системах, для которых существенным является распределение в пространстве, например процесс распространения тепла через толстую стенку.
Наконец, в последние годы все большее значение приобретает решение на аналоговых вычислительных машинах так называемых задач «математического программирования». Все задачи этого типа сводятся к отысканию наиболее экономичных способов выпол-
J1 А. Эмпахер
141
нения каких-либо работ, например способов организации перевозок при минимальных затратах.
Особую группу среди электронных дифференциальных анализаторов составляют так называемые машины с периодизацией, или с повторением решений. Смысл их работы состоит в том, что один и тот же процесс воспроизводится машиной многократно, иногда много раз в секунду. Перед каждым очередным решением слегка изменяются начальные условия или другие параметры процесса. Таким образом за сравнительно короткое время удается получить не одно решение задачи, а целое семейство решений и выбрать из них наилучшее.
Машины с периодизацией решений особенно удобны при решении задач оптимизации и исследования случайных процессов. Принципиально любая электронная аналоговая вычислительная машина может работать в режиме периодизации, если частота повторений не очень высока. Нужно только, чтобы машина «успевала» провести до конца каждое отдельное решение.
Современные машины снабжаются специальными устройствами, позволяющими автоматизировать работу в режиме периодизации. Подобные устройства входят, например, в состав машины ЭМУ-10. Они позволяют осуществлять работу в режиме периодизации с частотой до 1,5 решения в секунду. Специально разработанная для работы в режиме периодизации машина МН-11 (рис. 43) обеспечивает возможность воспроизведения процессов с частотой до 100 полных решений в секунду.
Идея периодизации решений получила дальнейшее развитие в так называемых машинах с многократным использованием решающих блоков. Вся полная задача при решении на такой машине разбивается на отдельные части. После того как решение одной части доведено до конца, его результаты запоминаются и то же оборудование переключается на решение следующей части и так далее. Это позволяет решать весьма сложные задачи на сравнительно простых машинах. Машины подобного типа строились в США и других странах.
Наконец, современные электронные аналоговые вычислительные машины снабжаются специальными
142
Р и с. 43. Электронная аналоговая вычислительная машина МН-11.
средствами для оптимизации. Задача здесь состоит в том, чтобы отыскать такое сочетание значений ряда параметров, при котором некоторая зависящая от этих параметров величина принимала свое наименьшее (или наибольшее) значение. Подобные задачи встречаются при конструировании систем автоматического управления, при математическом планировании и т. п. В качестве примера можно указать на конструирование системы автоматического управления, в которой процесс регулирования после воздействия каждого возмущения заканчивался бы в кратчайшие сроки (система, оптимальная по быстродействию).
Вообще говоря, подобная задача может быть решена, если вручную изменять значения всех параметров до тех пор, пока не будет найдено их наилучшее сочетание. Однако значительно удобнее автоматизировать этот процесс и проводить его таким образом, чтобы изменение каждого очередного параметра пооводилось в соответствии со значениями всех остальных. Машина ЭМУ-10 снабжена специальным релейным оптимизатором, позволяющим находить наилучшее сочетание значений вплоть до семи отдельных параметров. Специальные средства для оптимизации предусмотрены также в машине МН-11.
Следующий большой класс электрических аналоговых машин — это машины, предназначенные для решения дифференциальных уравнений в частных производных, или, что то же самое, для воспроизведения процессов в системах, для которых существенным является протяженность в пространстве. Подобные задачи возникают, например, при исследовании процессов просачивания влаги через грунт, что особенно важно при проектировании плотин и других гидравлических сооружений, при исследовании изгибов и других деформаций толстых балок и стержней в строительной механике, при исследовании процессов распространения тепла в сплошной среде, например при нагреве котла, при исследовании электромагнитных полей, и в частности распространения радиоволн, и во многих других случаях.
Описывающие их дифференциальные уравнения, так называемые дифференциальные уравнения в частных производных, решаются значительно сложнее, чем 144
обыкновенные дифференциальные уравнения. В настоящее время, по существу, еще не разработаны достаточно эффективные методы решения этих уравнений на цифровых вычислительных машинах. Поэтому в задачах подобного рода практически единственным средством, позволяющим получать достаточно качественные решения в приемлемые сроки, являются специализированные аналоговые машины.
При конструировании подобных машин используются два основных принципа. Первый из них состоит в том, что сплошная среда, в которой происходит процесс, условно рассматривается как состоящая из отдельных ячеек. Процесс в каждой такой ячейке воспроизводится специальной электрической схемой, состоящей из сопротивлений или из сопротивлений ’и конденсаторов. Эти отдельные схемы соединяются между собой точно таким же образом, как соединяются ячейки в исследуемой схеме. Условия на границах области, представляющей интерес, моделируются путем подключения источников электрического напряжения или тока к свободным выводам соответствующих схем, расположенных на границе. В результате получается одно-, двух- или трехмерная электрическая сетка, в которой распределение электрических токов или напряжений между точками соединений отдельных деталей схем оказывается аналогичным распределению соответствующих величин в исследуемой системе.
Чем большими выбраны относительные размеры отдельных ячеек, тем грубее аналогия. Поэтому при конструировании электрических сеток часто пользуются так называемым методом «электрической лупы». Сущность этого метода состоит в том, что область пространства, представляющая наибольший интерес, разбивается на более мелкие ячейки. Это позволяет исследовать процессы в этой области с большей подробностью. Специальное устройство, состоящее из схем, соответствующих более мелким ячейкам, может подключаться к различным точкам сетки. Это соответствует перемещению электрической лупы вдоль исследуемого пространства.
Предлагался также способ решения дифференциальных уравнений в частных производных с помощью одной-единственной электрической схемы, которая
145
единовременно может воспроизводить процесс только в одной ячейке. После того как процесс решения для одной данной ячейки полностью закончен, результаты этого решения запоминаются, а схема переключается на воспроизведение процесса в соседней ячейке и так далее. Машины такого типа строились в США. Они позволяют значительно снизить количество используемого оборудования, но при этом резко возрастает длительность решения задачи.
Одна из первых машин для решения дифференциальных уравнений в частных производных была построена в Советском Союзе под руководством профессора Л. И. Гутенмахера. Большие машины-сетки, содержащие несколько десятков тысяч ячеек, строились на пензенском заводе САМ под руководством Н. С. Николаева и Э. С. Козлова. Благодаря своим весьма большим габаритам и сложности машины подобного типа, как правило, не выпускаются серийно.
Второй подход к решению той же проблемы состоит в использовании сплошных сред. Наибольшее распространение получили так называемые электролитические ванны. Здесь распределению величин в исследуемой системе ставится в соответствие распределение электрических токов и потенциалов в электропроводящей жидкости (обычно подсоленная или подкисленная вода). Изготовляя сосуды с фигурным дном, а также вводя в электропроводящую жидкость специальные фигурные электроды, можно с большой степенью точности моделировать границы исследуемой области. Для снятия результатов используются специальные зонды, перемещающиеся над поверхностью жидкости. Довольно часто электролитические ванны снабжают автоматическими системами, перемещающими зонд вдоль заданных кривых, например вдоль линии с одинаковыми потенциалами. По мере перемещения зонда специальное устройство вычерчивает на листе бумаги соответствующую кривую.
В Советском Союзе, в США и других странах строились машины, в которых в качестве электропроводящей среды использовалась специальная электро^ проводящая бумага или другие «твердые» среды. Такие машины более компактны и несколько более удобны в эксплуатации по сравнению с электролити-146
Рис. 44. Специализированная аналоговая машина АРАЛ-111.
ческими ваннами. Значительно меньшее распространение получили машины для решения дифференциальных уравнений в частных производных, построенные на основе гидродинамических, тепловых и других аналогий.
К электрическим сеткам по своему принципу действия приближается специализированная аналоговая машина, предназначенная для решения систем алгебраических уравнений. Здесь также используются электрические схемы и сопротивления, но, кроме этого, главным образом для целей уравновешивания применяются также и решающие усилители постоянного или переменного тока. Подобные машины конструировались в ряде стран. В частности, в Польше были построены машина АРАЛ-1, предназначенная для решения семи уравнений с семью неизвестными, машина АРАЛ-П, предназначенная для решения системы из двенадцати уравнений, и наконец машина АРАЛ-Ш (рис. 44), обеспечивающая повышенную точность —
147
Р и с. 45. Метод спиральной развертки при отыскании корней многочлена.
вплоть до 0,1 %. Машины этого типа не получили большого распространения главным образом потому, что для решения систем линейных алгебраических уравнений с успехом могут быть использованы электронные дифференциальные анализаторы, снабженные оптимизаторами.
К машинам, решающим алгебраические уравнения, следует отнести также так называемые «корнеискате-ли», то есть машины, предназначенные для отыскания корней алгебраических многочленов. Принцип действия каждой такой машины основан на том, что сначала одним из известных способов (например, с помощью блоков умножения, потенциометров и так далее) строится схема, воспроизводящая заданный многочлен. На вход схемы поступает электрическое напряжение, которое непрерывно изменяется вручную или автоматически. Моменты времени, когда выходное напряжение схемы оказывается равным нулю, фиксируются, а соответствующие им значения входного напряжения замеряются. Это и есть корни многочлена.
Положение несколько осложняется, когда нужно найти не только действительные, по и комплексные корни. Тогда конструируют две схемы — отдельно для действительной и отдельно для мнимой частей переменной. Входные напряжения обеих схем изменяются по определенному закону. Если представить себе прямо-148
угольную систему координат (рис. 45) и предположить, что по горизонтальной оси отложены значения напряжения, представляющего действительную часть переменной, а по вертикальной оси —- значения напряжения, представляющего мнимую ее часть, то каждой паре таких значений будет соответствовать некоторая точка. Входные напряжения автоматически изменяются согласованно друг с другом и таким образом, чтобы изображающая точка описывала некоторую кривую (например, спираль), покрывающую исследуемую область плоскости координат. В моменты времени, когда выходные напряжения обеих схем оказываются равными нулю, замеряются значения обеих входных напряжений и таким образом определяются действительная и мнимая части очередного корня. Подобный метод получил название метода развертки. Он представляет значительный интерес не только при построении корнеискателя, но и при решении большого круга других задач, связанных с отысканием решений, зависящих более чем от одной переменной.
В Институте автоматики и телемеханики АН СССР Н. Н. Михайловым был разработан корнеискатель, в котором одновременно со спиральной разверткой входных напряжений также по спирали перемещается электронный пучок в электронно-лучевой трубке. Однако нормально на управляющий электрод трубки подается большое отрицательное напряжение и экран не светится. В момент отыскания корня, то есть в момент равенства нулю выходных напряжений обеих схем, запирающее напряжение с управляющего электрода трубки снимается и на экране в соответствующем месте координатной сетки появляется светящаяся точка. Подобный прибор позволяет наблюдать полную картину распределения корней многочлена.
Этот прибор снабжен также и другим автоматическим устройством, позволяющим наблюдать на экране электронно-лучевой трубки так называемые «корневые годографы», то есть траектории перемещения корней по координатной плоскости при изменении значений коэффициентов многочленов. Корнеискатели строились также и в ряде других стран. В Польше для этой цели были разработаны машина АВА (рис. 46), позволяющая отыскивать действительные и комплексные кор
149
ни многочленов вплоть до двенадцатого порядка, а также машина ПСАВАЛЬ, построенная в основном для учебных целей. В обеих этих машинах процесс отыскания корня осуществляется вручную.
Наконец, последняя группа аналоговых вычислительных машин, которая будет рассмотрена здесь, это
Рис. 46. Анализатор алгебраических многочленов АВА: а — блок-схема, б — внешний вид.
специализированные машины. Каждая из них предназначена для воспроизведения процессов в одном каком-либо реальном объекте. Большинство машин подобного типа строилось для тренажеров и для работы в составе систем управления. Специального упоминания
150
заслуживают также специализированные машины, предназначенные для моделирования процессов в ядерном реакторе.
Что же можно сказать о перспективах развития аналоговой вычислительной техники? Как и в случае цифровых вычислительных машин, это развитие прежде всего идет по пути совершенствования технологии. Внедрение полупроводниковой электроники позволяет строить аналоговые вычислительные машины, обладающие теми же характеристиками, что и их ламповые предшественники, но при этом во много раз меньшие по габаритам, потребляющие значительно меньше энергии и более надежные. В Советском Союзе первой машиной, полностью выполненной на полупроводниковых элементах, была уже упоминавшаяся выше машина МН-10. Полупроводниковые аналоговые машины строятся и в других странах. В Польше в Институте основных технических проблем построена полупроводниковая аналоговая вычислительная машина АКАТ-1. Эта машина содержит в общей сложности 500 транзисторов и 100 полупроводниковых диодов.
Внедрение полупроводниковой электроники позволяет также улучшить характеристики и упростить конструкции отдельных нелинейных решающих блоков. В первую очередь здесь следует отметить так называемые элементы Холла и магнеторезистивные элементы, позволяющие упростить конструкцию и повысить надежность множительных и делительных устройств, элементы тиристоры, позволяющие строить простые блоки образования произвольных функций, и т. п. С появлением качественных транзисторов и полупроводниковых диодов упростилась проблема построения электронных ключей, позволяющих выполнять в аналоговых машинах отдельные логические операции.
С точки зрения технологии элементов представляет интерес также французская машина ANALAC, в которой вместо электронных усилителей используются электромеханические вибрационные усилители. Это позволило резко снизить габариты машины и повысить ее надежность. То, что машина ANALAC работает на переменном токе, позволило широко использовать в схемах решающих блоков индуктивности и трансфор
151
маторы, а это в свою очередь позволяет реализовать ряд дополнительных возможностей. Так, например, с помощью трансформаторов можно осуществить умножение переменной величины на коэффициент, больший единицы, или изменить знак этой величины на обратный (умножить на —1). В машинах постоянного тока для выполнения таких операций требуется отдельный решающий усилитель.
Развитие машин с периодизацией решений потребовало создания быстродействующих усилителей и электронных ключей. В Институте автоматики и телемеханики АН СССР Д. Е. Полонниковым разработан стандартный ряд усилителей ТУ, которые одинаково хорошо работают как при медленно изменяющихся входных напряжениях, так и при входных напряжениях, изменяющихся по нескольку миллионов раз вч секунду. Им же разработаны образцы высококачественных транзисторных усилителей.
Одна из основных тенденций состоит сейчас в создании аналоговых вычислительных машин с минимальным числом решающих усилителей. Это может быть достигнуто в том случае, если каждый решающий блок, содержащий один или два усилителя, будет представлять собой развитую электрическую цепь, которая сама по себе может воспроизводить достаточно сложные процессы. Именно этот принцип используется при построении упоминавшихся в начале этой главы квазианалогов.
Несмотря на некоторые пессимистические прогнозы, область применений аналоговой вычислительной техники непрерывно увеличивается. Из числа новых применений наибольший интерес в настоящее время представляют использование аналоговых машин для решения экономических задач и задач планирования, исследования случайных процессов и систем, описываемых статистически, а также использование аналоговых устройств в системах управления с предсказанием. В последние годы появились также так называемые цифровые модели, объединяющие в себе отдельные свойства как цифровых, так и аналоговых машин. Наконец, больших результатов можно ожидать от сотрудничества аналоговых и цифровых устройств в единых комбинированных системах.
152
ЛИТЕРАТУРА
Бруевич Н. Г., Доступов Б. Г., Счетно-решающие устройства, Изд-во ВВИА, М., 1954.
Брук И. С., Машина для интегрирования дифференциальных уравнений, Изд-во АН СССР, М, 1941.
Гутенм а х ер Л. И., Электрические модели, Изд-во АН СССР, AL, 1949.
Доброгурский С. О., Титов В. К., Счетно-решающие устройства, Оборонгиз, М, 1963.
Кобринский Н. Е., Математические машины непрерывного действия, Гостехиздат, М., 1964.
Коган Б. Я., Электронные моделирующие устройства и их применение для исследования систем автоматического регулирования, Физматгиз, М., 1959.
Тетельбаум И. М, Электрическое моделирование, Физматгиз, М., 1958.
Чесноков А. А, Решающие усилители, Госэнергоиздат, М. —Л., 1963.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие к русскому переводу ..... ................ 5
От автора...........................................  15
Глава I. От вектора до анализатора . . ......... 17
Геометрическое мышление ......................•	. 18
Аналоговое и цифровое представление чисел	...... 19
Спаси, физика! .............................  •	. 21
Язык графиков ................................    .22
«Считающие чертежи» . ............................-25
Линейки ......................................... .29
Кривографы . ..................................    35
Глава II. С интегралом запанибрата ....	..... 39
Интегралы..........................................43
Планиметр .........................................48
Искусственные мозги?...............................54
Гармонизаторы ...................................  55
Алгебраизаторы .................................. -64
Дифференциальные анализаторы	............	66
Имитаторы и роботы ............................. .	72
Глава III. Аналоговые вычисления	............ 77
Умерла программа, схоронили мы ее..............81
Составляем схемы ..................................86
Алгебра цепей ...................................  92
Интеграторы......................................  95
Сумматоры .......................................  98
Блоки изменения масштаба .........................101
Генераторы .................................  •	103
Судьба вакуумной колбы...........................  НО
Множительные устройства...............  .	• . . . 114
Собираем результаты .............................-118
Сила аналогии .................... ............	121
Глава IV. Побольше машин хороших	и разных............ 129
Литература . ........................................153
А. ЭМПАХЕР
Сила аналогий
Редактор Г. В. Л ев е н шт е й н
Художник И. Б. Кравцов Художественный редактор Г. И. Мануйлов
Технический редактор В. П. Сизова
Корректор Е. Г. И а г о р н я к
Сдано в производство 19/V 1965 г.
Подписано к печати 12/VIII 1965 г.
Бумага 84хЮ8,Л2=2Л4 бум. л.
8 печ. л.
Уч.-изд. л. 7,31. Изд. № 12/3204 Цена 37 коп. Зак. 1532
ИЗДАТЕЛЬСТВО „МИР" Москва, 1-й Рижский пер., 2
Ленинградская типография № 2 имени Евгении Соколовой Главполиграфпрома Государственного комитета Совета Министров СССР по печати
Измайловский проспект, 29

37 коп.