в
МИРЕ !
НА7НИ
и |
ТЕХНИКИ
А. ЭМ ПА X ЕР
сила
аналогий

ИЗДАТЕЛЬСТВО
„МИР-

ADAM В. EMPACHER
POT^GA ANALOGII
WIEDZA POWSZECHNA
1964

И. Эмпахер
СИЛА АНАЛОГИЙ
Перевод с польского Ф. Г, ХАЦЯНОВА
Под редакцией и с предисловием
канд. техн, наук А. В. ШИЛЕЙКО
ИЗДАТЕЛЬСТВО „МИР*
Москва 1965

68H42
В книге наглядно и живо рассказывается, как
человек, зная свойства одних процессов, исследует
другие, ему еще не известные, но чем-то сходные
с первыми. Автор увлекательно и с большим остро¬
умием показывает, как от изобретения в 1623 году про¬
стейшего аналогового устройства — логарифмической
линейки — человек пришел к созданию сложнейших
современных аналоговых машин и систем, модели¬
рующих разнообразные физические процессы и по¬
зволяющих инженерам производить расчет мостов,
холодильников и промышленных печей, математикам
делать громоздкие вычисления, физикам имитиро¬
вать работу атомных реакторов.
Яркие примеры, рисунки и фотоснимки, наглядно
иллюстрирующие книгу, и изобилие сопоставлений
дают возможность полнее ознакомиться с этими не¬
заменимыми средствами исследования как школь¬
нику-старшекласснику, так и инженеру и даже врачу
(ибо аналоговые устройства находят применение и
в медицине). Книга А. Эмпахера представляет боль¬
шой интерес для лиц самых разнообразных профессий.
Редакция научно-фантастической и научно-популярной
литературы

ПРЕДИСЛОВИЕ К РУССКОМУ ПЕРЕВОДУ
Пожалуй, наиболее характерным для книги
Л. Б. Эмпахера «Сила аналогий» является то, что она
захватывает внимание читателя буквально с первой
фразы. Удачно выбранные сравнения, ряд ярких,
иногда даже неожиданных примеров, живой и образ¬
ный язык — все это делает путешествие в «страну
аналогий», которое автор совершает вместе со своими
читателями, по-настоящему интересным. Однако по¬
знавательная ценность всякого путешествия в боль¬
шой степени зависит также от правильного выбора
маршрута. Именно поэтому нам и хотелось бы сде¬
лать несколько замечаний.
Начнем с основного, а им.ённо с определения по¬
нятий «аналоговая машина» и «аналоговые вычисле¬
ния». Этому вопросу автор уделяет довольно много
внимания. Из его слов непосредственно следует, что
в основу аналоговых методов вычислений положена
якобы существующая аналогия между числами и фи¬
зическими величинами (в простейшем случае — отрез¬
ками прямых линий). На самом деле это, конечно,
не так. Само понятие числа было введено человеком
прежде всего как средство для выражения понятия
количества предметов. Действительно, говоря, напри¬
мер, о цифре 2, мы прежде всего представляем себе
два камня (или два окурка, как шутил Маяковский),
а то обстоятельство, что два камня, сложенные с
двумя камнями, составляют кучку из четырех кам¬
ней, и является реальным отображением простейшего
арифметического действия.
Использование чисел для представления физиче¬
ских величин возникло значительно позже и осно¬
5

вано на понятии меры. Действительно, говоря, что
длина палки равняется 3 метрам, мы только устанав¬
ливаем тот факт, что, если сложить вместе три дру¬
гие палки, длину каждой из которых мы условно
принимаем равной 1 метру, то начала и концы на¬
шей исходной измеряемой палки и полученной со¬
ставной, вообще говоря, совпадут. Отсюда и неодно¬
значность такого представления. Действительно, ут¬
верждения, что длина данной палки равна 3 метрам,
120 дюймам или 10 футам, в равной степени спра¬
ведливы. Следовательно, одна и та же физическая
величина может представлять различные числа (а
точнее говоря, любые числа) в зависимости от вы¬
бранной меры. Другими словами, здесь мы имеем
дело не с какой-либо реально существующей в при¬
роде аналогией, а с искусственно введенной человеком
системой условий. При этом мы, конечно, ничуть не
умаляем важности этой системы, которой обязаны
своим развитием такие науки, как физика, матема¬
тика и большинство других. Мы хотим подчеркнуть,
что если основываться только на возможности пред¬
ставления чисел физическими величинами при по¬
строении вычислительных устройств, то получаемые
таким образом приборы будут весьма примитивными
и, по всей вероятности, не превзойдут по своим воз¬
можностям обычную логарифмическую линейку.
На самом деле в основу аналоговых методов кла¬
дется аналогия между различными явлениями при¬
роды. Так, например, частицы воды, заключенной в
трубе, испытывают определенное сцепление со стен¬
ками трубы. Кроме того, при движении воды частицы
«трутся» о стенки трубы и друг о друга (так назы¬
ваемое вязкое трение). Поэтому для того, чтобы «за¬
ставить» воду течь по трубе, необходимо приложить
определенное усилие, которым может быть, в частно¬
сти, вес столба воды в сосуде, из которого эта вода
вытекает. Скорость течения воды по трубе оказывает¬
ся пропорциональной этой силе, а в случае, напри¬
мер, сосуда цилиндрической формы скорость пропор¬
циональна уровню воды. По мере опорожнения сосуда
скорость уменьшается, и, таким образом, сосуд опо¬
рожняется тем медленнее, чем больше воды из него
6

уже вытекло. Получается хорошо известная физикам
«экспоненциальная» зависимость уровня вытекающей
воды от времени.
Аналогичное положение будет иметь место, если
мы замкнем проводником обкладки заряженного кон¬
денсатора. Для того чтобы «заставить» электрический
ток течь по проводнику, также необходима некоторая
сила, роль которой в данном случае играет так на¬
зываемая разность потенциалов, или электрическое
напряжение. Однако по мере разряда конденсатора
напряжение уменьшается. Уменьшается и ток в про¬
воднике, то есть скорость разряда. Здесь мы снова
имеем «экспоненциальную» зависимость напряжения
на конденсаторе от времени. Самое замечательное в
этом, что если поставить эксперимент в чистом виде,
то есть полностью защитить рассматриваемые явле¬
ния от влияния различных внешних факторов, то они
могут совпадать между собой сколь угодно точно.
Кроме того, они будут совпадать независимо от на¬
личия или отсутствия количественной меры. Действи¬
тельно, во всяком случае, принципиально можно мыс¬
лить такие условия, при которых процессы опорож¬
нения сосуда и разряда конденсатора, начавшиеся в
один и тот же момент, будут протекать во времени
совершенно идентично (например, в один и тот же мо¬
мент времени количество воды в сосуде и количество
электричества в конденсаторе уменьшается ровно на¬
половину), хотя при этом мы можем и не знать, ка¬
ково на самом деле напряжение (например, в воль¬
тах) или высота уровня воды (например, в милли¬
метрах).
Сила аналогий и заключена в подобном единстве
различных явлений природы, которое проявляется
объективно независимо от наблюдателя и, следова¬
тельно, независимо от наличия или отсутствия средств
измерения. «Единство природы обнаруживается в «по¬
разительной аналогичности» дифференциальных урав¬
нений, относящихся к разным областям явлений» —
это классическое наблюдение В. И. Ленина1 с пре¬
дельной ясностью раскрывает сущность аналоговых
методов.
1 В. И4 Л е н и н, Соч.г τ1 XIV, стр. 276,
7

Итак, принцип действия любой аналоговой маши¬
ны основан на том, что некоторому исследуемому яв¬
лению природы (физическому процессу) ставится в
соответствие другое, аналогичное ему явление (дру¬
гой процесс), протекающее в системе в общем слу¬
чае другой физической природы, но подобное иссле¬
дуемому по своему характеру. Самое существенное
здесь состоит в том, что физические величины, ха¬
рактеризующие оба явления, вообще говоря, могут и
не подвергаться измерению. Так, например, если ана¬
логовая машина предназначена для управления ка¬
ким-либо объектом, то получаемая в результате ее
работы физическая величина непосредственно исполь¬
зуется для приведения в действие управляющего ор¬
гана и все это совершается автоматически без ка¬
кого-либо воздействия человека-оператора.
С другой стороны, в цифровых вычислительных
машинах соотношениям между физическими величи¬
нами, характеризующими исследуемое явление, ста¬
вятся в соответствие соотношения между числами —
результатами измерения этих величин. Здесь самым
существенным является то, что любое измерение все¬
гда занимает некоторое время, а его результат может
быть получен только приближенно и представляется
числом с ограниченным количеством цифр. Поэтому
при работе цифровой вычислительной машины непре¬
рывной в существе своем физической величине ста¬
вится в соответствие дискретный набор чисел, опи¬
сывающих ее (да и то приближенно) только в от¬
дельные моменты. О том, что происходит между
этими моментами, можно только догадываться.
Обычно для того, чтобы сделать эти догадки правдо¬
подобными, используются так называемые методы
интерполяции. Здесь уместно заметить, что приводи¬
мый автором известный рассказ о студенте, исполь¬
зовавшем логарифмическую линейку для ответа на
вопрос: «Сколько будет дважды два?» — примени¬
тельно к современным цифровым вычислительным
машинам приобретает совершенно особый смысл.
Действительно, для цифровой вычислительной маши¬
ны будет правомочной только такая постановка во¬
проса: 2,00000 X2,00000 = 4,00000 с точностью в 6
верных десятичных знаков (или в общем случае
8

столько верных знаков, сколько нулей записано после
запятой).
Итак, всякая машина, оперирующая с числами
(а не с величинами), будет цифровой (или дискрет¬
ной) независимо от ее конструкции. Сохраняя стиль
автора, можно сказать, что портной, который, сни¬
мая мерку с помощью сантиметра, измеряет фигуру
человека в нескольких характерных местах, действу¬
ет чисто цифровыми методами, в то время как са¬
пожник, который для той же цели обрисовывает кон¬
тур ступни на бумаге, выступает как представитель
«аналоговой школы». То, что портной будет затем
пользоваться выкройкой, а сапожник—колодкой, не
меняет существа дела. Развивая этот пример, инте¬
ресно отметить и то обстоятельство, что портной, ра¬
ботая на основе результатов произведенных им из¬
мерений, в дальнейшем будет пользоваться еще и
примеркой; в то время как сапожнику примерка тре¬
буется весьма редко. Это последнее обстоятельство
наводит на мысль о несправедливости прочно уста¬
новившегося сейчас мнения (его неоднократно повто¬
ряет и автор), что аналоговые методы принципиаль¬
но менее точны, чем цифровые. Невысокая точность
вычислений, проводимых на аналоговых машинах,
объясняется, во-первых, тем, что очень трудно вос¬
произвести некоторое физическое явление в чистом
виде, без влияния всякого рода побочных факторов,
и, во-вторых, тем, что при желании получить резуль¬
тат вычислений в его количественном выражении мы
неизбежно обращаемся к измерениям со свойствен¬
ной им неточностью. Однако сила аналогий состоит
именно в том, что здесь мы имеем дело с самим яв¬
лением (или подобным ему), а не с некоторой искус¬
ственной схемой. Поэтому можно указать ряд задач,
где аналоговый метод приводит к более точным ре¬
зультатам, чем цифровой. Ведь, в конце концов, лю¬
бой физический объект можно рассматривать как
аналог самого себя, и здесь получаемая точность бу¬
дет зависеть только от существующих средств изме¬
рений.
Суммируя все сказанное выше, мы можем утвер¬
ждать, что машина, выполняющая арифметические
или любые другие операции над отдельными числа¬
9

ми, всегда с полным правом может быть отнесена к
классу цифровых вычислительных машин, в то время
как машина, в которой воспроизводится некоторый
физический процесс, аналогичный исследуемому,—■
машина аналоговая. Определенная трудность при та¬
кой классификации возникает потому, что для описа¬
ния процессов как в исследуемых системах, так и в
машинах используются уравнения (в частности, диф¬
ференциальные). Именно совпадение уравнений, опи¬
сывающих исследуемую систему и аналоговую ма¬
шину, является формальным доказательством анало¬
гичности, или подобия. Часто аналоговые машины
используются для решения уравнений, и при этом
оператора не интересует вопрос о том, описывает ли
это уравнение какой-нибудь реальный процесс.
Именно это обстоятельство и приводит к ряду невер¬
ных заключений, и в частности к утверждению авто¬
ра о том, что аналоговый способ «дает представление
чисел при помощи некоторых пропорциональных фи¬
зических величин». Сила аналогий, которой и обя¬
заны аналоговые машины своим столь бурным раз¬
витием, состоит именно в том, что она позволяет
воспроизводить процессы, даже не обращаясь к их
количественному представлению. Уравнения же в по¬
давляющем большинстве случаев играют здесь толь¬
ко роль языка, описывающего процессы и помогаю¬
щего установить аналогию между ними.
Один из ближайших практических выводов из
сказанного выше, звучащий даже несколько пара¬
доксально, это сомнительность отнесения логарифми¬
ческой линейки к классу аналоговых машин. Во вся¬
ком случае, сложные линейки, состоящие из отдель¬
ных частей, уже содержат в себе все характерные
черты цифровой вычислительной машины.
Путешествуя по стране аналогий, автор подчас
уж слишком настойчиво оберегает читателя от крутых
подъемов и других трудностей пути. Так, не совсем
оправдан страх автора перед словом «интеграл», ко¬
торое он вводит каждый раз в сопровождении много¬
численных оговорок. С понятием интегрирования,
или накопления, мы непрерывно сталкиваемся в на¬
10

шей повседневной жизни. Так, усталость после рабо¬
чего дня определяется интегралом затраченных за
день усилий, а возвращаясь в выходной день с лыж¬
ной прогулки, каждый из нас отчетливо ощущает ин¬
тегральный эффект от воздействия свежего воздуха,
солнца и ярких впечатлений. При формулировании
математического понятия интегрирования предпола¬
гают, что имеется некоторая переменная величина
(независимая переменная, или переменная интегри¬
рования) и другая величина, определенным образом
зависящая от независимой переменной (подынте¬
гральная функция), то есть, как говорят математи¬
ки, представляющая собой функцию этой независи¬
мой переменной. Сама операция интегрирования оп¬
ределяет третью величину — величину интеграла. Она
также является функцией независимой переменной,
то есть каждому конкретному значению независимой
ставится в соответствие определенное значение вели¬
чины интеграла, и это значение в общехМ случае бу¬
дет тем больше, чем больше изменилась независимая
переменная на отрезке интегрирования и чем больши¬
ми были на этом же отрезке значения подынтеграль¬
ной функции. Если график подынтегральной функции
нанесен на бумагу, то величина интеграла оказы¬
вается пропорциональной площади, ограничиваемой
этим графиком (см. стр. 40). В простейшем случае
независимой переменной является время, и с такой
оговоркой пример автора с поездом, для которого
полная величина пройденного пути является инте¬
гралом от скорости по времени, оказывается вполне
оправданным.
Однако в общем случае в роли независимой пе¬
ременной может выступать любая другая величина,
а не только время. Так, например, можно решать за¬
дачу о полном количестве электроэнергии, потреблен¬
ном электропоездом при прохождении некоторого
участка пути. Подынтегральной функцией здесь бу¬
дет так называемый удельный расход энергии, то
есть, грубо говоря, количество киловатт, потребляе¬
мое при прохождении каждого километра дороги.
Эта величина явно зависит от характера пути (при
подъеме она больше, чем на ровном участке) и, во¬
обще говоря, не зависит от времени, поскольку, когда
11

поезд стоит, время изменяется, а энергия не потреб¬
ляется. Таким образом, здесь мы имеем дело с инте¬
гралом от удельного расхода энергии по пути. Суще¬
ственно то, что в отличие от времени, которое не
может останавливаться, а тем более двигаться в об¬
ратном направлении, величина пройденного пути мо¬
жет сколь угодно долго оставаться постоянной, умень¬
шаться и даже изменять знак.
Таким образом, совершенно ясно, что между фи¬
зическими явлениями, приведенными в первом и вто¬
ром примерах, нет полной аналогии. Вопреки утвер¬
ждению автора (см. стр. 44) нет полной аналогии
также и между поездом, интегрирующим скорость по
времени, и работой интеграфа, вычисляющего пло¬
щадь, ограниченную кривой, вычерченной на бумаге»
Последний является более универсальным «интегра¬
тором», поскольку каретка, движущаяся вдоль оси
абсцисс графика, может останавливаться и даже дви¬
гаться в обратном направлении, в то время как поезд
в данном случае является «интегратором», способ¬
ным интегрировать только по времени. Это разли¬
чие является принципиальным и может служить хо¬
рошим примером тому, как формальные соотноше^
ния между числами (в данном случае результатами
измерения времени, скорости, пути и т. п.) и ордина¬
тами графика еще не означают, что имеется полная
аналогия между соответствующими физическими яв¬
лениями.
Интеграторы большинства современных электрон¬
ных аналоговых вычислительных машин используют
заряженные конденсаторы, поэтому такие устройства
могут интегрировать только по времени, вследствие
чего оказываются непригодными или могут быть при¬
менены только после выполнения ряда искусственных
приемов в тех случаях, когда независимая перемен¬
ная решаемой задачи существенно отличается от
времени.
И, наконец, последнее. Как в разработке теории,
так и в создании конструкций аналоговых вычисли¬
тельных машин принимало участие большое количе¬
ство ученых и инженеров различных стран. Один из
первых дифференциальных анализаторов был создан
в начале нашего века академиком Л. Н. Крыловым.
12

Серия электронных дифференциальных анализаторов
ЭЛИ была разработана Л. И. Гутенмахером; подоб¬
ные работы велись в сороковых годах И. С. Бру¬
ком 1. В настоящее время советские научные ч
промышленные учреждения оснащены большим коли¬
чеством электронных аналоговых вычислительных ма¬
шин семейства ЭМУ, созданных под руководством
академика В. А. Трапезникова и Б. Я. Когана, се¬
мейств ИПТ, МПТ и МН, созданных под руковод¬
ством В. Б. Ушакова, А. А. Фельдбаума, Г. М. Пет¬
рова, И. М, Витенберга и других. С развитием
мировой аналоговой вычислительной техники тесно
связаны имена академика Н. Г. Бруевича, Н. Е. Коб¬
ринского, Б. Г. Доступова, Г. Е. Пухова, Г. М. Жда¬
нова, Л. Н. Фицнера, А. В. Михайлова, В. В. Со¬
лодовникова, А. Я. Лернера, В. А. Веникова,
И. М. Тетельбаума, С. А. Гинзбурга и многих других
советских ученых.
Однако в книге все это не нашло отражения. По¬
этому редакция сочла необходимым дополнить книгу
новой главой, в которой было бы рассказано о совре¬
менном состоянии электронной аналоговой техники и
перспективах ее развития. В главе использован ма¬
териал о польских машинах, содержащийся в гла¬
ве IV книги А. Эмпахера.
Заканчивая предисловие, нам остается только по¬
желать, чтобы читатель воспринял все сказанное
выше как добрые советы перед предстоящим ему
увлекательным путешествием в страну аналогий. Для
тех, кого проделанное путешествие заставит более
серьезно заинтересоваться вопросами аналоговой вы¬
числительной техники, мы приводим в конце книги
краткий перечень литературы. Подробную библиогра¬
фию можно найти в указанной там книге Б. Я. Кога¬
на или в журнале «Автоматика и телемеханика»,
т. XVII, № 3 и 4 за 1956 г.
А. Шилейко
1 См. литературу в конце книги,

ОТ АВТОРА
Аналогии бывают разные; более того, само слово
«аналогия» имеет различные значения.
Польский математик Стефан Банах в разговоре
с другим математиком — Гуго Штейнгаузом — сказал:
«Математик — это тот, кто умеет находить аналогии
между утверждениями; лучший математик тот, кто
устанавливает аналогии доказательств; более силь¬
ный математик тот, кто замечает аналогии теорий;
но можно представить себе и такого, кто между ана¬
логиями видит аналогии». Обоих собеседников смело
можно причислить к этой последней наивысшей ка¬
тегории.
Однако в этой книжечке речь пойдет не об «ана¬
логиях» такого рода (без сомнения, интересных) и не
о пародирующих слова Банаха утверждениях, напри¬
мер, о медиках или, скажем, историках. «Сила ана¬
логий» представляет собой своего рода путеводитель
по странному и явно экзотическому для новичков
краю, каким является таинственный мир аналоговых
вычислительных устройств: разнообразных машин,
комплексных систем автоматов, приборов, корректи¬
рующих систем, аппаратов, систем регулирования и
других устройств так называемого недискретного
типа...
В изданном четыре года назад популярном путе¬
водителе по краю цифровых устройств 1 я предупре¬
ждал о большом «удельном расходе времени» при
его чтении, поступая в этом случае, подобно редак¬
тору одного польского популярного журнала, назва¬
1 А. В. Егор ас h е г, Maszyny licza, sameP, Wiedza Pows∙
zechna, Warszawa.
15

ние которого тоже начинается с буквы ≪∏>>,. Но в
«цифровом краю» преобладает высокогорный рельеф,
прорезанный глубокими потоками и изобилующий
предательскими пропостями- А в «аналоговом краю»
рельеф самое большее холмистый, округленный, и
поэтому данный путеводитель можно без признаков
переутомления прочитать в течение
222 минут.
Если же читатель справится с этим быстрее, то он
может считать себя опытным туристом, которому за¬
служенно полагается неофициальный титул «почет¬
ного адепта аналогий».
Пусть читатель простит мне эти наполовину шут¬
ливые, а на четверть несерьезные и бьющие на эф¬
фект формулировки — ведь предисловие это реклама
всей книги. Унылое и серьезное только отбило бы
охоту к прочтению ее, а тем, кто читает предисловия
в конце, оставило бы плохое настроение, а это не
входит в намерения автора.
Варшава, октябрь 1963 г.
А. Б. Э.
1 Автор, по-видимому, имеет в виду польский ежемесячный
журнал «Пшекруй» (≪Przekr6j>>) — обзор, где иногда бывает ука¬
зано, сколько минут займет чтение той или иной статьи. — Прим*
перев.

ГЛАВА I
ОТ ВЕКТОРА ДО АНАЛИЗАТОРА
Позвольте для начала рассказать вам басенку.
Одного студента во время экзамена спросили:
— Сколько будет дважды два?
— Минуточку, — сказал взволнованный студент.
С серьезным видом он вытащил из кармана логариф¬
мическую линейку и, выполнив умножение, очень до¬
вольный прочитал экзаменаторам результат:
— Около четырех.
Как всякая басня, эта тоже имеет свою мораль:
результат любых вычислений, выполненный при по¬
мощи линейки, всегда имеет приближенный харак¬
тер.
Этим свойством обладают все без исключения
аналоговые устройства, хотя приближения могут
приводиться в разной форме и с разной точностью.
Поэтому над символическими воротами в «Страну
аналогий» можно было бы написать: «Входящий
сюда пусть оставит всякую надежду на получение
абсолютной точности». А если использовать более
таинственное определение, то простирающуюся за
этими воротами страну можно назвать «Страной пла¬
вающего нуля».
В «Стране плавающего нуля» понятие равенства
чисел становится расплывчатым. Здесь можно гово¬
рить только о приближенном равенстве. Два числа
равны, если их разность равна нулю, — это мы хо¬
рошо знаем. Если же нет «точного» нуля, то нет и
«в точности равных» чисел. Однако, как мы увидим,
такая «расплывчатость» чисел в «Стране аналогий»
2 А. Эмпахер
17

Р и с. 1. Цифровой способ записи (а) позволяет получить зна¬
чительно большую точность по сравнению с аналоговыми спо¬
собами (б, в), зато аналоговые способы позволяют наблюдать
изменения величины во времени.
не становится слишком большим препятствием ни
для ее жителей, ни для туристов.
Геометрическое мышление
Насколько цифровые устройства представляют
собой как бы воплощение арифметики, настолько
аналоговые устройства можно рассматривать как
своего рода эквивалент геометрии. Во всяком случае,
«геометрический способ рассуждений» здесь очень
полезен.
Использование геометрических понятий имеет
древнюю традицию, восходящую ко временам фара¬
онов. Для египтян числа и их суммы или разности
были отрезками, произведения двух чисел — площа¬
дями прямоугольников. И теперь еще иногда прибе¬
гают к интерпретации произведения трех чисел как
объема некоторого параллелепипеда. Сложение чи¬
сел определяется как сложение отрезков, сложение
произведений — как сложение прямоугольников или
параллелепипедов.
Однако геометрический метод мышления ничего
не дает, когда в произведение выходит больше трех
сомножителей, так как в этом случае пришлось бы
обратиться к чисто абстрактным пространствам выс¬
ших размерностей. Такие абстрактные аналогии те¬
ряют всякую наглядность и становятся бесполезны¬
ми. Поэтому не приходится слишком удивляться,
когда некоторые техники, заслышав уже о четвертом
18

измерении, иронически поднимают брови и злорадно
спрашивают незадачливого собеседника:
— А вы видели когда-нибудь четырехмерную
доску?
Аналоговое и цифровое представление
чисел
Число как таковое — это чисто абстрактное по¬
нятие; числа могут быть заданы только при помощи
некоторых физических величин. Таким образом, с
самого начала мы опираемся на аналогии между
миром понятий и миром реальных предметов. В тео¬
ретических рассуждениях эти аналогии не играют
большой роли, однако они немедленно дают о себе
знать при использовании математических устройств.
Пока мы мысленно оперируем с числами, напри¬
мер считаем, сколько будет шестью семь, способ
наглядного представления этих чисел нас не инте¬
ресует. Но уже для регистрации результатов на бу¬
маге необходимо выбрать какой-нибудь способ
записи. Впрочем, необязательно пользоваться бума¬
гой: можно, например, сделать соответствующее чи¬
сло зарубок на палке, отсчитать нужное количество
жетонов или отпилить кусок палки определенной
длины.
Все способы представления чисел можно разбить
на две основные группы: цифровые и аналоговые.
Цифровым способам отвечают зарубки на палке или
жетоны, аналоговым — палки различной длины. При
записи на бумаге роль зарубок играют цифры, роль
палок разной длины — начерченные отрезки, или, в
общем виде, векторы (так называемые «направлен¬
ные» отрезки с положительным или отрицательным
направлением). Пока мы имеем дело с целыми чис¬
лами, оба способа кажутся одинаково удобными. Но
с появлением дробей цифровой способ приводит к оп¬
ределенным трудностям. Имея палку длиной 1, легко
разрезать ее на три равные части и получить палку
длиной Уз (аналоговый способ). Но если один жетон
обозначает число 1 (цифровой способ), то дробь 1∕3,
можно получить только путем «разменивания на ме-
2*
19

0*20
* b'
B∙3S∙3
Р и с. 2. Легко обосновать геометрически формулу квадрата
суммы, несколько трудней представить себе геометрическую
аналогию куба суммы.
лочь», так как деление жетонов на кусочки не до¬
пускается.
Проведем еще одно сравнение. Используя имею¬
щиеся в обращении банкноты и монеты, можно вы¬
плачивать только такие суммы, которые выражаются
целым числом копеек. Если же для этой цели взять
золотую фольгу в рулонах, то можно «выплатить»
даже очень небольшую часть копейки, отрезав соот¬
ветствующий короткий кусочек золотой ленты.
Этот второй способ именно потому и назван ана¬
логовым, что он дает представление чисел при по¬
мощи некоторых пропорциональных физических вели¬
чин. Аналоговый способ называют также непрерывным,
поскольку при непрерывном изменении числа от
одного значения до другого необходимо непре¬
рывно изменять длину соответствующих отрезков
ленты. Иначе говоря, плавным изменениям чисел
соответствуют плавные изменения служащей анало¬
гом физической величины (в нашем примере — длины
ленты).
Цифровая запись этими свойствами не обладает.
Если последовательные целые числа 1, 2, 3,... обо¬
значаются нанесением зарубок на палку, то количе¬
ство зарубок растет явно скачкообразно, а не непре¬
рывно. В отличие от аналоговой записи, где можно
плавно перейти от одного значения к другому через
все промежуточные значения, цифровую запись при¬
ходится делать скачками. По этой причине цифровой
способ научно называется дискретным — от латин-
20

cκoro discretus, что переводится примерно как «раз¬
дельный». Аналоговый способ записи в противопо¬
ложность цифровому можно было бы — для педан¬
тов— назвать недискретным1.
Спаси, физика!
Однако помимо длины существует еще много дру¬
гих недискретных физических величин: объем, вес,
сила, давление, скорость, электрическое сопротивле¬
ние, вязкость жидкостей, электрическое напряжение,
момент вращения, угловая скорость и многие другие,
за исключением тех, которые рассматриваются в
квантовой физике. Каждая из названных величин из¬
меняется (макроскопически) непрерывно, поэтому
любую из них можно использовать для аналоговой
записи. Это особенно удобно, если мы стремимся ме¬
ханизировать вычисления. Условимся представлять
числа при помощи электрических токов (напряже¬
ний); тогда сложению чисел соответствует суммиро¬
вание токов в узле электрической цепи в соответствии
с первым законом Кирхгофа. С таким же успехом
можно применять другие величины, которые легко
измерять и изменять, как, например, перемещение,
угол поворота вала, напряжение магнитного поля,
высота уровня воды в бассейне и так далее. Исполь¬
зуя подходящие физические системы, можно не толь¬
ко выполнять четыре основных арифметических дей¬
ствия (сложение, вычитание, умножение и деление),
но и решать сложные математические уравнения.
Если, например, условиться интерпретировать числа
как веса, то можно собрать систему блоков с подве¬
шенными на шнурах гирьками, при помощи которой
удастся быстро1 2 решать систему десяти уравнений с
десятью неизвестными или систему еще большего по¬
рядка. Положение гирек, при котором устанавли¬
вается равновесие системы, соответствует искомому
решению. Другие системы, например гидравлические,
1 В оригинале игра слов: по-польски niedyskretny часто упо¬
требляется в значении «не вполне добросовестный», «не внушаю¬
щий доверия». — Прим, перев.
2 Вычислитель решал бы такую систему уравнений несколько
часов.
21

могут применяться для решения дифференциальных
уравнений. Но об этом ниже.
Физические аналогии важны не только для вы¬
числений, они также играют большую роль в препо¬
давании. Возвращаясь в памяти к школьным годам,
мы припоминаем различные аналогии, вводимые при
изучении свойств относительных чисел. Наши учи¬
теля прибегали тогда к помощи кассиров и машини¬
стов, желая показать, что «потеря долга есть при¬
быль» и что «отрицательная скорость в отрицатель¬
ном времени дает положительный путь»...
Аналогии были полезны и на уроках физики при
изучении электричества. Свойства электрического
тока становятся совсем понятными, если представ¬
лять себе напряжение как высоту уровня воды, а
силу тока как количество воды, протекающей за одну
секунду (поток). Вода течет от более высокого уров¬
ня к более низкому—аналогично электрический ток
«перетекает» до тех пор, пока существует разность
потенциалов. Для того чтобы могла работать гидро¬
турбина, необходима разница уровней воды, а чтобы
мог работать электродвигатель, требуется разность
электрических потенциалов (напряжение).
Впрочем, при проведении таких аналогий не сле¬
дует заходить слишком далеко, так как только неко¬
торые свойства гидродинамических течений и элек¬
трических токов совпадают и лишь часть законов
гидродинамики и электродинамики имеют сходную
математическую форму.
Язык графиков
В вычислениях мы сталкиваемся не только с чис¬
лами: имеются еще и зависимости, или так называе¬
мые функции. Функции можно определять с по¬
мощью формул или таблиц, но самое наглядное пред¬
ставление дают графики. Правда, не для любой функ¬
ции удается начертить график, однако наиболее ча¬
сто встречающиеся функции, к счастью, относятся к
категории «добропорядочных» — допускающих гра¬
фическое представление. Задавая таблицу значений
функции, мы определяем ее дискретным способом,
а задавая график, — аналоговым способом. Оба эти
22

способа определяют функцию приближенно; един¬
ственный «точный» способ — это задание определяю¬
щего функцию аналитического выражения.
Все математические устройства делятся на ди¬
скретные (цифровые) и аналоговые. Посмотрим те¬
перь, как в свою очередь классифицируются аналого¬
вые устройства. Действие этих последних легче всего
объяснить именно языком графиков, а не формул.
Поэтому можно было бы даже выдвинуть несколько
рискованное утверждение, что «аналоговые машины
считают с помощью графиков».
Обычно турист быстро утомляется и с откровен¬
ней скукой рассматривает самые прекрасные виды,
если во время непродолжительного осмотра экскур¬
совод старается провести его по всем тропинкам и
показать все достопримечательности без исключения.
Поэтому пусть читатель простит автора за то, что он
ограничится простейшими случаями и будет рассма¬
тривать лишь шкалы и графики на плоскости в пря¬
моугольных координатах (примеры даются на рис. 3).
Шкалы, изобретенные Декартом (XVII век),—
это просто отрезки с нанесенной на них одинарной
или двойной разметкой. С помощью такого рода
двойных шкал можно представлять некоторые функ¬
циональные зависимости, а именно так называемые
монотонные зависимости. Эти зависимости отличают¬
ся тем, что если одна из переменных возрастает, то
другая либо тоже постоянно возрастает, либо, наобо¬
рот, постоянно уменьшается. Что касается графиков,
то они годятся и для представления немонотонных-
функций. Математики на своем мудреном языке вы¬
ражают это следующим образом: шкалы пригодны
только для представления обратимых функций.
Со шкалами мы часто встречаемся в повседнев¬
ной жизни. Миллиметровые деления на линейке,
23

о

шкала термометра — это примеры одинарных шкал.
Но уже на логарифмической линейке шкалы не оди¬
нарные. То же самое можно сказать о различных
шкалах электрических измерительных и других при¬
боров. По-видимому, наиболее интересное примене¬
ние шкал — это «считающие чертежи», или так-назы¬
ваемые номограммы, о которых речь пойдет дальше.
Графики встречаются, быть может, немного мень¬
ше, но не так уж редко. Имеются статистические
графики, графики выпуска продукции, температуры
больного, изменения атмосферного давления в течение
суток и другие, включая графики, представляющие
собой результаты вычислений на аналоговых маши¬
нах.
По сравнению со шкалами графики имеют одно
важное преимущество — наглядность. Опытный тех¬
ник, только взглянув на график с нанесенной на
него характеристикой интересующего нас устройства,
определяет его пригодность, оптимальные условия
работы и тому подобное. Задача становится сложнее
только в том случае, если взаимозависящих величин
больше чем две; если их три, мы еще можем исполь¬
зовать пространственные чертежи, которые, хотя и с
большим трудом, но все-таки можно начертить. Од¬
нако в случае четырех или большего числа величин
приходится прибегать к различным комбинирован¬
ным методам, так как трудно представить себе, на¬
пример, пяти- или десятимерное пространство.
«Считающие чертежи»
Номограммы можно рассматривать как простей¬
шие аналоговые устройства из тех, которые исполь¬
зуются в качестве вспомогательных средств вычисле¬
ний. Собственно говоря, любой график функции яв¬
ляется своего рода номограммой; однако в обычной
практике номограммами принято называть только
графики, построенные с определенной точностью и
позволяющие получать числа с точностью не менее
двух значащих цифр. В частности, номограммами
являются двойные шкалы — номограммы для двух
переменных, — а также упомянутые графики функ¬
ций. Однако наибольшее практическое значение
25

имеют те номограммы, которые нельзя заменить пло¬
скими графиками функций, то есть номограммы для
трех и большего числа переменных. Не следует за¬
бывать, что даже при обычном сложении имеются
три переменные: два слагаемых и их сумма.
Номограммы получили распространение во вто¬
рой половине XIX века. Их ввел Леон Лалан, кото¬
рый, применив неодинарные шкалы на параллельных
осях, осуществил так называемую ректификацию гра¬
фика (1842 год), где речь шла о получении графика
прямолинейной формы, то есть о выпрямлении κpπ∙
вых. В наше время инженеры и техники охотно поль¬
зуются для построения графиков логарифмической
бумагой, которую также ввел Лалан; применение ло¬
гарифмических шкал на осях приводит к тому, что
графики различных парабол, гипербол, степенных и
показательных функций принимают удобную форму
прямых линий.
Общая теория номограмм была создана только в
конце XIX века. Отцом номографии везде считают
другого французского математика, Мориса д’Окань,
который с 1884 по 1890 год опубликовал ряд работ
по теории «считающих чертежей», и именно он на¬
звал их номограммами. Это название (по гречески
номос — закон, грамма — запись) получило право на
существование уже в 1890 году на Парижском мате¬
матическом конгрессе.
26

Номография быстро завоевала признание практи¬
ков. Появились тысячи номограмм для представите¬
лей чуть ли не всех без исключения профессий: ме¬
хаников, электриков, гидравликов, радиотехников,
архитекторов, биологов, медиков, ветеринаров, зоо¬
техников, ботаников, дендрологов, агрономов, фарма¬
цевтов, железнодорожников, экономистов, химиков
Р и с. 4. Определение полного сопротивления параллельной
цепи (а), свойства лучевой номограммы (б), совместная произ¬
водительность рабочих (в), зависимость между положением изо¬
бражения и предмета в оптической системе (г) являются ана¬
логами друг друга, так как всем им соответствует одна и та же
формула гармонической суммы.
физиков и многих других. В изданном несколько лет
назад каталоге важнейших американских номограмм
можно найти даже номограмму для повара: зависи¬
мость густоты майонеза от температуры и скорости
вливания оливкового масла во время перемешива¬
ния...
Один из наиболее распространенных типов номо¬
грамм, который, правда, не во всех случаях удается
построить, — это многошкальная номограмма. Имен¬
но такая номограмма для вычисления полного сопро¬
тивления параллельной цепи (рис. 4, а) приведена на
27

рис. 4,6. На левой шкале отмечаем точку, соответ-»
ствующую величине сопротивления Rii на правой-→
сопротивления R2, через отмеченные точки проводим
прямую, и в точке пересечения ее со средней шкалой
находим величину сопротивления Rπ,i связанную с Rι
и R2 соотношением
Таким образом, кропотливое сложение обратных
величин заменяется буквально одним приложением
линейки. Подобным же образом поступают и с дру¬
гими номограммами; однако, если увеличивается чис¬
ло переменных, приходится чертить большее количе¬
ство прямых.
Морис д’Окань отнюдь не исчерпал всего объема
задач, связанных с номографией; после него немало
исследователей занимались этими вопросами, и для
будущих приверженцев номографии работы вполне
хватит. Созданы более сложные номограммы, для
разработки которых нужно было проявить большую
изобретательность. Возникла теория номограмм, в ко¬
торых вместо прямых вычерчивают окружности, па¬
раболы, гиперболы или другие кривые; тогда вместо
линейки нужно пользоваться специальным лекалом.
Создана теория номограмм с транспарантом, где кри¬
вые, нарисованные на прозрачном целлофане, опреде¬
ленным образом накладываются одна на другую. С
помощью таких номограмм можно даже решать си¬
стемы уравнений с 20 неизвестными! Для решения
таких уравнений другими способами понадобилось
бы несколько десятков часов, здесь же мы просто на¬
кладываем транспаранты один на другой и можем
28

сразу прочитать значения решений, правда, в грубом
приближении.
Однако в основном не это ограничивает примене¬
ние номограмм. Другой важный их недостаток — от¬
сутствие универсальности. Для каждого типа расче¬
тов необходимо создавать принципиально новый тип
номограммы. Поэтому разработка номограмм оку¬
пается только при выполнении типовых расчетов. В
других случаях цель не оправдывает средств — рас¬
чет и построение номограммы может потребовать
больше усилий, чем непосредственное выполнение
всех нужных вычислений.
Линейки
Ближайший родственник номограмм — счетная ли¬
нейка. Большинство техников пользуется логарифми¬
ческой линейкой при умножении чисел и возведении
их в степень. Если бы им сказали, что на линейке
можно только складывать — они, несомненно, удиви¬
лись бы. Но это и на самом деле так. Ведь умноже¬
нию чисел соответствует сложение логарифмов, а
именно это и производит логарифмическая линейка.
Любую счетную линейку можно использовать ис¬
ключительно для сложения или, при помощи обра¬
щения операций, для вычитания. Остальные действия,
включая деление, возведение в степень и извлечение
корней, — это уже «номографические штучки», осно¬
ванные на применении специально подобранных пре¬
образований и математических формул.
Действие линейки основано на механической ана¬
логии геометрического сложения отрезков. Что мы
делаем при сложении отрезков? Чертим прямую, вы¬
бираем на ней точку, затем от этой точки отклады¬
ваем на прямой первый отрезок, потом от конца
первого отрезка откладываем (в том же направле¬
нии) второй отрезок; полученная в результате точка
дает искомую сумму. А как выполнить сложение на
линейке? Перемещаем одну планку относительно
другой, как показано на рис. 5, а, после чего без
труда читаем результат на нижней шкале в соответ¬
29

ствии со следующей схемой:
О b
а a-∖-b
Число нуль верхней шкалы ставим над числом а
нижней шкалы, тогда под числом b верхней шкалы
читаем величину суммы а + Ь на нижней шкале.
Однако счетные линейки для сложения малоэф¬
фективны, так как числа, в особенности многоразряд¬
ные, намного быстрее можно сложить на бумаге.
Обычная счетная линейка длиной 25 сантиметров
обеспечивает точность самое большее три десятичных
разряда; линейка в десять раз большей длины дала
бы в лучшем случае на один разряд больше. Поэтому
даже обычные счеты при сложении имеют явное пре¬
имущество перед этой линейкой.
Зато широкое применение нашли логарифмические
счетные линейки, позволяющие выполнять более труд¬
ные действия: умножение, деление, извлечение кор¬
ней, тригонометрические вычисления и т. п. Отцом
такого рода устройств считается Эдмунд Гюнтер, ко¬
торый спустя шесть лет после опубликования Джо¬
ном Непёром знаменитого трактата о логарифмах
изобрел логарифмическую шкалу (1620 год). На
этой шкале при помощи циркуля-измерителя можно
было умножать, делить и возводить в степени. Одна¬
ко собственно логарифмическая линейка была изоб¬
ретена только тогда, когда две шкалы Гюнтера были
наклеены на планки, перемещаемые одна относи¬
тельно другой. К этой мысли пришли независимо
друг от друга несколько математиков. По-видимому,
первым из них был Вильям Отред, который осуще¬
ствил это уже в 1623 году. Ему мы обязаны и введе¬
нием знака × как символа умножения (1631 год)<
Другой математик, Деламейн, изобрел круговую ли¬
нейку со шкалами Гюнтера, нанесенными на два
кружка, поворачивающихся один относительно дру*
гого (1630 год); в течение многих лет он приписывал
себе пальму первенства, так как работы Отреда были
опубликованы его учеником Форстером только в
1632 году.
30

Конструкция логарифмической линейки основана
на известном правиле, по которому при умножении
Р и с. 5. Две планки с равномерной шкалой образуют счетную
линейку для сложения (а). На рисунке отмечено стрелками сло¬
жение 2 4“ 3 = 5. Мелкие деления на шкалах обеспечивают точ¬
ность представления дробных чисел до одного знака после запя¬
той. Две планки с неравномерной шкалой образуют счетную
линейку для умножения (б). На рисунке отмечено умножение
4 × 32 = 128. Если нужно умножать любые числа, а не только
степени числа 2 (32 = 25), нужно сделать шкалу соответственно
более частой — тогда получится логарифмическая линейка.
степеней одного и того же числа их показатели скла¬
дываются. Но степенная шкала 1 содержит только не-
1 Шкалу, изображенную на рис. 5,6, правильней было бы
назвать логарифмической, хотя на ней записаны только степени
целых чисел. Разумеется, все остальные числа добавить невоз¬
можно — добавляют деления, соответствующие десятичным чис-
31

которые числа (рис. 5,6); дополнив ее остальными,
мы и получим логарифмическую шкалу. При этом
умножению чисел соответствует следующая простая
схема:
1 b
а а - b
Множимое а ставим под цифрой 1 верхней шкалы,
а под множителем b верхней шкалы читаем — на
нижней шкале — величину произведения a*b.
В дальнейшем эволюция счетной линейки шла
уже менее бурно. В 1633 году Томас Браун сконстру¬
ировал спиральную линейку, которая благодаря зна¬
чительному увеличению длины шкал позволяла
повысить точность вычислений. С другой стороны,
конструкцию Отреда улучшил Биссакер (1654 год),
поместив подвижную шкалу (движок) в паз основной
планки, имеющий форму желоба. Существующую
ныне форму логарифмической линейки установил Сет
Партридж (1657 год); последующие усовершенство¬
вания состояли в добавлении новых шкал или в по¬
лам с одним, двумя или тремя разрядами после запятой в за¬
висимости от требуемой точности. Шкалу называют логарифми¬
ческой независимо от того, какова цена делений. — Прим, перев.
32

вышении точности путем увеличения длины шкал.
Вскоре после этого мастерские точных приборов на¬
чали производство линеек для продажи (1683 год).
Наибольший спрос на них возник у землемеров.
Точность линейки зависит от количества штрихов
на шкалах и от точности их нанесения. Без примене¬
ния увеличительных стекол было бы трудно разли¬
чать штрихи, нанесенные на расстоянии менее чем
около четверти миллиметра. Поэтому на шкале дли¬
ной 25 сантиметров можно нанести не более 1000 чи¬
сел. Это соответствует точности три знака.
У более точных линеек шкалы длиннее; в продаже
имеются полуметровые и даже метровые линейки. Но
особенно радоваться этому не стоит, так как чем
больше линейка, тем она неудобнее в обращении.
Уменьшить ее размеры можно путем свертывания
шкал в кружок (круговая линейка) или в плоскую
спираль. Круговая линейка диаметром метр имеет
шкалы примерно трехметровой длины и обеспечивает
точность до четырех значащих цифр. Но такую боль¬
шую линейку должны обслуживать два человека; в
связи с этим Фуллер изобрел винтовую линейку
(1878 год), в которой шкалы навиты спирально на
прозрачные стеклянные валики. Эту линейку — как
один из любопытных экспонатов — можно увидеть в
Британском музее среди большого количества других
математических приборов и машин.
Изобретательность всяческих «линейкологов» была
прямо-таки безграничной. Придумали даже линейки
длиной несколько десятков метров, обеспечивающие
точность до пяти значащих цифр. Но пользоваться
многометровыми планками было очень неудобно, по¬
этому линейку разрезали на куски. Нестлер выпускал
серийно счетные, или логарифмические, валики, в ко¬
торых отрезки шкал были наклеены вдоль образую¬
щих валика; роль движка играла «корзинка» с ко¬
пиями наклеенных шкал. Другим способом пытался
решить эту задачу Фусс, который построил ленточ¬
ную линейку (1933 год); вместо двух планок в нее
входили две многометровые ленты с нанесенными
шкалами; эти ленты можно было перемещать одну
относительно другой или обе одновременно. Несколь¬
ко подобных устройств построил в сороковых годах
3 А. Эмпахер
33

Штибиц — известный американский конструктор ре¬
лейных цифровых машин типа «Белл». Однако лен¬
точные линейки не нашли широкого применения, так
как они не очень удобны и относительно громоздки
(размер пишущей машинки). Разработанная профес¬
сором А. Вальтером и сотрудниками Института при¬
кладной математики при Дармштадтской высшей тех¬
нической школе современная многошкальная счетная
линейка (1934—1935 годы), называемая дармштад-
ской, превосходит все другие линейки с точки зре¬
ния удобства обслуживания и разнообразия выпол¬
няемых вычислений.
Однако ошибаются те, кто думает, что теперь на¬
ступило затишье в области «линейко-конструктор¬
ских» изобретений. Так могло показаться, однако ши¬
рокое распространение электрических арифмомет¬
ров, обеспечивающих точность до десяти значащих
цифр, не вытеснило полностью логарифмических вы¬
числений. Хотя по существу эти способы вычисления
стали уже несколько архаичными, мы все же являем¬
ся свидетелями появления новых типов линеек.
Уже после второй мировой войны фирма «Деннерт
и Пэйп» начала выпускать логарифмические валики
нового типа (1946 год). Хотя они и обеспечивают
точность почти до пяти значащих цифр, покупателей
было немного. Есть также оригинальное польское
изобретение — кусочная линейка «Логоплан», обеспе¬
чивающая точность четыре-пять значащих цифр и за¬
патентованная несколько лет назад одним из сотруд¬
ников Польского института авиации. Эта линейка
имеет длину несколько метров; для удобства исполь¬
34

зования она разрезана на десять частей, которые в
процессе вычислений нужно прикладывать друг к
другу в определенном порядке. Однако до сих пор
никто не заинтересовался производством «Лого-
плана».
Какой же длины должна быть линейка, обеспечи¬
вающая точность десять значащих цифр? Оказывает¬
ся, если бы один конец такой линейки находился в
Варшаве, другой должен был бы быть в Мадриде,
так как длина ее должна составлять около 2500 ки¬
лометров. Очевидно, создать такую линейку невоз¬
можно. Более того, даже если бы удалось построить
такую шкалу, время установки линейки было бы
очень большим: потребовалось бы перематывать ты¬
сячи километров ленты. Кроме этого, такая шкала во¬
все не обеспечила бы верных девяти или хотя бы
восьми значащих цифр. Под действием различных
внешних факторов, таких, как колебания температу¬
ры и влажности воздуха, а также вследствие неодно¬
родности материала, из которого линейка изготов¬
лена, длина шкалы могла бы колебаться, к тому же
неравномерно. Ведь в Париже могло быть +25°, в то
время как в Кракове 0°. Из сказанного выше видно,
что практически невозможно построить действитель¬
но точную счетную линейку.
Кривографы
К аналоговым устройствам относятся также раз¬
личные чертежные приборы: линейки, циркули, при¬
боры для вычерчивания параллельных линий, для ко¬
пирования рисунков с изменением масштаба, или так
называемые пантографы, и другие более или менее
хитроумные приспособления.
Многочисленное семейство «кривографов» вклю¬
чает также группу самописцев: барографов, термо¬
графов, гигрографов, самопищущих вольтметров и
других, предназначенных для регистрации графиков
изменения давления, температуры, влажности или
электрического напряжения. Но, видимо, наиболее
интересная группа — это приборы для вычерчивания
сложных математических кривых, которые можно на¬
звать циркулями высшего порядка.
3*
35

В частности, такой сложной математической кри¬
вой может оказаться даже... окружность. Казалось
бы, нет ничего проще, чем чертить окружности, но
попробуйте начертить хотя бы часть ее радиусом де¬
сять метров. У некоторых хватит смекалки восполь¬
зоваться длинным шнуром, но при таком способе ре¬
зультаты будут далеки от совершенства. Проще всего
Рис. 6. Инверсор Поселье — циркуль для вычерчивания кругов
большого радиуса. Если плечи имеют размеры, обозначенные
на рисунке, и расстояние между неподвижными осями
OQ =≈ 10,34 см, то точка прочерчивает круг радиусом г = 10 м.
использовать специальный математический прибор
инверсор, изобретенный в 1864 году офицером фран¬
цузского флота Поселье. Как видно из рис. 6, этот
36

«циркуль» отличается не слишком простой конструк¬
цией.
Мир сложных кривых не исчерпывается окружно¬
стями большого радиуса; бывают еще параболы, эл¬
липсы, гиперболы, спирали, а также множество дру¬
гих кривых с такими удивительными названиями, как
Рис. 7. Конхоида Ннкомсда представляет собой плоскую кри¬
вую — геометрическое место точек, равноотстоящих по напра¬
влениям радиусов (из точки О) от данной направляющей пря¬
мой (а). Ее можно начертить с помощью так называемого
циркуля Никомеда (б). Эллипс можно начертить с помощью
двух гвоздиков, шнурка и карандаша (в); для более точного вы¬
черчивания эллипса служит эллипсограф (г).
конхоида, циссоида, квадратрисса, трактрисса, асте¬
роида, циклоида, кардиоида, лемниската... Для каж¬
дой из них, не говоря уж о заслуженных тригономе¬
трических кривых — синусоиде или, скажем, танген¬
соиде,— неутомимые механики сконструировали в
течение столетий сотни разнообразнейших чертежных
приспособлений. Некоторые из них пришли к нам еще
из античных времен.
Настоящий расцвет кривографов наступил в
XVIII и XIX веках. Особенно много удачных кон¬
струкций эллипсографов, параболографов, гипербо¬
37

лографов, спирографов, эвольвентографов, циклоидо-
графов и других появилось в XIX веке. Некоторые из
этих приспособлений играют важную роль в механи¬
ке, например эвольвентограф, или эвольвентный цир¬
куль, служащий для вычерчивания профилей зубча¬
тых колес так называемого -эвольвентиого типа.
Среди многочисленных кривографов немало и
польских изобретений. Здесь можно вспомнить о зна¬
менитом инженере Бруно Абданк-Абакановиче
(1852—1900 годы), который построил несколько ори¬
гинальных приборов для вычерчивания парабол, по¬
казательных кривых и спиралей. Но наибольшую
известность он приобрел изобретением интеграфа,
предназначенного для вычерчивания интегральных
кривых. Более близкое ознакомление с интеграфом
откроет нам, наконец, последние ворота, ведущие в
«храм высшего посвящения».
В давнее время в масонских ложах церемония
«высшего посвящения», по-видимому, была связана с
не очень приятными для посвящаемого испытаниями
эмоционального характера. В нашем же посвящении
не будет никакой магии, скелетов, потрясающих ору¬
дий пыток и других ужасов. Придется, правда, позна¬
комиться с одним... змеем, но совсем не опасным,
потому что это только печатный знак. Будь что бу¬
дет, в конце концов, нужно чем-то платить за посвя¬
щение, не так ли?

ГЛАВА II
С ИНТЕГРАЛОМ ЗАПАНИБРАТА
Разрешите представить вам змея, о котором я уже
говорил. Вот как он выглядит:
В самом деле, — грозно! Имя его тоже должно вну¬
шать почтение—ИНТЕГРАЛ.
Нельзя сказать, чтобы все любили интегралы,
особенно студенты вузов, сдающие экзамен по инте¬
гральному исчислению. Однако после того, как экза¬
мены позади, студенты обычно меняют мнение, убеж¬
даясь в великой силе этого необычного символа.
Между прочим, интегрирование определенным обра¬
зом связано с понятиями объема и площади поверх¬
ности. Многие физические и технические задачи сво¬
дятся к определению объемов и площадей, поэтому
интегрирование играет в прикладной математике
важную роль.
Читатель находится в лучшем положении, чем
студенты, так как ему не предстоит, прочитав эту
книгу, сдавать экзамен по интегральному исчисле¬
нию. Поэтому мы не будем надоедать ему формула¬
ми, а постараемся представить «господина интегра¬
ла» с наилучшей стороны.
Говоря об интегральном исчислении, обычно на¬
чинают от Адама и Евы, то есть от Ньютона и Лейб¬
ница. Однако для наших целей проще обойти все
39

Рис. 8. Если поезд движется с постоянной скоростью 50 KM∣tιac,
то график скорости представляет собой горизонтальную пря¬
мую (а), а график пути — наклонную прямую, соответствующую
монотонно возрастающей «текущей площади» под графиком
скорости (б). Если же скорость изменяется (б), то график пути
перестает быть прямой линией и становится криволинейным (г).
аналитические тонкости, связанные с интегрированием,
и ограничиться одними только геометрическими ана¬
логиями. Математиков наверняка возмутит «нестро-
гость» рассуждений, но я надеюсь, что они не затаят
глубокой обиды на автора, так как эти объяснения
предназначены как раз для тех, кто не знаком с выс¬
шей математикой.
Призовем на помощь железнодорожного машини¬
ста и дадим ему задание вести поезд с постоянной
скоростью 50 KM∣4ac, Если в момент времени 0.00
этот поезд пройдет мимо нас, то в момент 1.00 он
40

будет находиться на расстоянии 50 км, в момент
2.00 — на расстоянии 100 км и т. д. Путь поезда мы
вычисляем, умножая его скорость V на время /. Та¬
ким образом, для пути 5 получаем простое соотно¬
шение
S=V-1.
Но произведение двух чисел можно рассматривать
условно как площадь некоторого прямоугольника —
такой прямоугольник легко найти на графике скоро¬
сти (рис. 8,а). Здесь кривая скорости представляет
собой прямую, параллельную оси времени; все ее
точки находятся на одной и той же высоте, потому
что наш машинист идеально точен и старается под¬
держивать постоянную скорость.
Построим теперь график пройденного пути: для
каждого момента времени вычислим площадь соот¬
ветствующего прямоугольника. Для момента t=∖iiac
имеем 5 = 50×l=50 О1,*для момента / = 3 час имеем
5=150 км и т. д. Теперь нанесем полученные данные
на график в такой системе координат, где горизон¬
тальная ось по-прежнему является осью времени
(/), а вертикальная — осью пути (5). При этом мы
получаем прямую линию, наклоненную под опреде¬
ленным углом к оси /. Эта линия показывает изме¬
нение пути (5) в зависимости от времени (рис.8,б),
тогда как предыдущая выражала «поведение» ско¬
рости (V) также в зависимости от времени.
Однако может случиться, что машинист переста¬
нет выполнять условия и не будет поддерживать по¬
стоянную скорость. Тогда кривая скорости уже не
будет горизонтальной прямой — она наклонится, на
ней появятся в нескольких местах складки или изло¬
мы. Пример этого дается на рис. 8, в. Оказывается,
что и в этом случае путь имеет определенный геоме¬
трический смысл — это так называемая текущая пло¬
щадь под кривой скорости. Например, путь, пройден¬
ный за 5 часов (вертикальный отрезок 5D на
рис.8,г), соответствует площади заштрихованной фи¬
гуры на рис. 8, в.
Ну вот, мы уже почти знаем, что такое интеграл.
На геометрическом языке назовем кривую 5 интегра¬
лом кривой V, если кривая 5 представляет собой
41

график величины «текущей площади» под кривой V.
Символом интегрирования служит значок ∫, возник¬
ший из искаженной буквы 5. В математике этот зна¬
чок применяют в сочетании еще с некоторыми сим¬
волами, но для наших целей вполне достаточно сим¬
волической записи
s=fv∙
где молчаливо подразумевается, что речь идет о «те¬
кущей площади», зависящей от времени 1.
Пойдем дальше. Раз мы уже знаем, что такое ин¬
тегрирование, то теперь можно объяснить, что такое
дифференцирование, или, иначе говоря, определение
производных. Дифференцированием называется дей¬
ствие, обратное интегрированию. Дифференцирова¬
ние по времени обозначается с помощью точки:
S = V,
что читается как: «V есть производная от 5». При¬
меры применения интегрирования и дифференцирова¬
ния в физике даются в следующей таблице:
s = P
Путь равен интегралу скорости
Скорость равна интегралу уско¬
рения
Электрический заряд равен ин¬
тегралу силы тока
Уровень воды в баке равен
интегралу величины притока
Работа равна интегралу мощ¬
ности
V = S
Скорость равна производной
пути
Ускорение равно производной
скорости
Сила тока равна производной
электрического заряда
Величина притока равна произ¬
водной высоты уровня воды
в баке
Мощность равна производной
работы
1 Математики называют это «определенным интегралом с пе¬
ременной верхней границей» и применяют более сложное обо¬
значение
t
S(O = S(O) + f V (t)dt,
о
42

Очевидно, во всех этих случаях молчаливо подразу¬
мевается, что проводится дифференцирование и ин¬
тегрирование по времени.
(Заметим, что приведенное нами рассуждение
чрезвычайно примитивно.)
Интегралы
Вычисление интегралов аналитическими методами
на основании точных формул — отнюдь не простое
дело. Поэтому колоссальное значение приобретают
способы приближенного интегрирования. Один из та¬
ких способов — графическое интегрирование — мы
показали на примере графика скорости и графика
пути. Оно не вызывает особых трудностей в случае
прямых линий, но становится весьма обременитель¬
ным, если иметь дело со «складчатыми» кривыми.
Чтобы все это упростить, математики построили при¬
боры для вычерчивания интегральных кривых, назы¬
ваемые интеграфами. Принципы работы таких при¬
боров основаны на физических аналогиях.
В электрическом интеграфе используется тот фак¬
тор, что электрический заряд представляет собой ин¬
теграл силы тока. В соответствии с этим мы изме¬
няем силу тока во времени таким образом, чтобы ее
график приближенно совпадал с графиком функции,
которая нас интересует; тогда график изменения,
скажем, заряда конденсатора во времени будет гра¬
фиком искомой интегральной кривой. По такому же
принципу можно построить гидравлический интеграф.
Но, несомненно, самыми простыми в обращении яв¬
ляются механические интеграфы, непосредственно вы¬
черчивающие интегральные кривые.
Идея механического интеграфа восходит к време¬
нам наших прабабушек. Теоретические исследования
в этом направлении предпринимал еще Кориолис
(1836 год), однако первые удачные с практической
точки зрения конструкции появились только в вось¬
мидесятые годы. К ним можно отнести, например,
интеграф Бойса (1881 год), который, однако, являет¬
ся слишком сложным устройством, чтобы можно
было осуществить его серийное производство в боль¬
ших масштабах.
43

Первым интеграфом, в котором простота кон¬
струкции сочеталась с точностью действия, была мо¬
дель, сконструированная уже упоминавшимся выше
Бруно Абданк-Абакановичем (1886 год). Вслед за
этим швейцарская фирма «Коради», специализирую¬
щаяся на производстве высокоточных механических
приборов, завалила мировой рынок интеграфами та¬
кого типа, получая от этого большую прибыль.
Очевидно, позавидовав ее успеху, другие фирмы
немедленно выпустили свои собственные модели ин¬
теграфов, такие, как «Аскания», «Отт» и др. Но в
сравнении с интеграфом «Коради» эти приборы, хотя
и более точные, были слишком громоздки, так что
их едва ли можно было назвать портативными.
Интеграф Абданк-Абакановича (рис. 9) представ¬
ляет собой систему подвижных звеньев; некоторые из
них имеют шарнирное соединение, другие могут пере¬
мещаться относительно друг друга. Одно из звеньев,
называемое ведущим, имеет на конце тонкий метал¬
лический обводный штифт, который нужно как мож¬
но точнее перемещать рукой вдоль интегрируемой
кривой. В процессе перемещения обводного штифга
другое звено интеграфа, называемое интегрирующим,
перемещается в направлении оси у так, что укреплен¬
ный на его конце тонкий грифель вычерчивает иско¬
мую интегральную кривую. Постараемся теперь вы¬
яснить, как этот интеграф работает.
Механический интеграф действует так же, как наш
паровоз, едущий с заданной скоростью. Роль паровоза
выполняет здесь грифель, который перемещается
вдоль оси у с большей или меньшей скоростью, в за¬
висимости от положения ведущего звена. Если обвод¬
ный штифт перемещать точно по оси х, то интегри¬
рующее звено устанавливается в нулевом положении
и остается неподвижным. По мере перемещения инте¬
графа вправо грифель вычерчивает горизонтальную
линию, так как при нулевой скорости путь остается
постоянным, то есть движущаяся точка остается на
месте (постоянная высота прямой над осью х).
При горизонтальном перемещении обводного шти¬
фта грифель будет вычерчивать прямую тем более
крутую, чем выше над осью х проходит кривая ско¬
рости (по которой перемещается обводный штифт)<
44

Если теперь начать перемещать обводный штифт
вверх по наклонной, что соответствует графику ско¬
рости в равномерно ускоренном движении, то инте¬
грирующее звено по-прежнему будет перемещаться
вверх, но грифель начнет вычерчивать не поднимаю¬
щуюся прямую, а параболу.
Возникает вопрос, как прореагирует грифель на
движение обводного штифта по прямой, опускающей¬
ся к оси х? Такая кривая, как мы знаем, является
графиком скорости в равномерно замедленном движе¬
нии. В этом случае грифель тоже будет чертить пара¬
болу (в самом деле, пройденный путь возрастает
даже при таком движении), но дуга параболы про¬
гнется в обратном направлении, выпуклостью вверх
(дуга ВС на графике рис. 8, г).
Предположим теперь, что, начиная с некоторого
момента времени, обводный штифт будет перемещать¬
ся вдоль оси х. Тогда грифель начнет вычерчивать
горизонтальную линию, так как вертикальное переме¬
щение интегрирующего звена прекращается (нулевая
скорость). А если заданная кривая принимает отри¬
цательные значения, то есть часть ее оказывается
ниже оси х, то грифель начнет чертить понижаю-
45

щуюся линию, поскольку интегрирующее звено при
этом условии начнет перемещаться с отрицательной
скоростью, то есть вниз. Чем ниже поставить обвод¬
ный штифт, тем сильнее начнет опускаться интеграль¬
ная кривая. Если значительная часть заданной кри¬
вой проходит в области отрицательных значений, то
может случиться даже, что интегральная кривая до¬
стигнет нуля. В этом нет ничего удивительного, так
как, двигаясь достаточно долго с отрицательной ско¬
ростью, можно спустя некоторое время вернуться в
исходную точку; более того, интегральная кривая мо¬
жет достигнуть отрицательных значений, что соответ¬
ствует движению через пункт отправления в обратную
сторону.
Однако это утомительная поездка! Давайте лучше
задержимся и займемся механизмом установления
скорости — это как раз самое интересное. Не все кон¬
структоры применяли рычажные механизмы. Напри¬
мер, в интеграфе Бойса использовалась коническая
передача (рис. 10,а), применяемая также в автомат
шинах для плавного переключения скоростей. Другие
использовали тарельчатую передачу (рис. 10,6), ко¬
торую теперь можно встретить почти во всех станках
для намотки провода. Эти устройства были сделаны
так, что поворот вала конуса (тарелки) приводил в
движение маленький ролик, что в свою очередь вызы¬
вало соответствующее перемещение подвижной ка¬
ретки с прикрепленным к ней самописцем. Очевидно,
увеличение скорости (при этом ролик на рис. 10 пере¬
мещался от вершины конуса по его образующей или
вдоль радиуса окружности к ее границе) приводило
к тому, что ролик начинал вращаться все быстрее и,
следовательно, все быстрее перемещалось пишущее
устройство. Недостаток передачи такого типа — износ
конусов (тарелок) при длительном использовании.
Абданк-Абаканович в своей конструкции применил
передачу, которую можно назвать «угловой». Переда¬
чами такого же типа снабжены интеграфы марок
«Аскания» и «Отт». Как действует «угловая» переда¬
ча? Интеграф Абданк-Абакановича состоит из трех
кареток: тяжелой основной каретки, перемещаемой
вдоль оси х на обрабатываемом графике, и двух дви¬
жущихся вдоль нее кареток, а именно: интегрирую-
46

щей и ведущей, с прикрепленными к ним интегрирую¬
щим и ведущим звеньями. Основная каретка имеет
два катка, укрепленные неподвижно один относитель¬
но другого на общей оси. Таким образом, если основ¬
ную каретку поставить на чертежную доску так, чтобы
Р и с. 10. Две различные схемы интегрирующего механизма,
конического (а) и тарельчатого, т. е. конического с углом
раствора, равным 180° (б).
общая ось была параллельна координатным осям у,
то ее можно будет перемещать влево и вправо и она
будет двигаться параллельно оси xi так как оба катка
имеют одинаковый диаметр. Поэтому, когда обе ма¬
лые каретки неподвижны, обводный штифт и грифель
при движении всего механизма перемещаются вправо
(или влево) по прямым, параллельным оси х.
Малые каретки соединены между собой таким об¬
разом, что угол поворота помещенного под интегри¬
47

рующей кареткой маленького ролика зависит от по¬
ложения ведущей каретки, а не от положения инте¬
грирующей. Если ведущая каретка находится в нуле¬
вом положении, то ролик стоит параллельно оси х.
Тогда при перемещении всего механизма этот ролик
препятствует перемещению интегрирующей каретки по
отношению к основной. Однако если ведущую каретку
отклонить от нулевого положения, то ролик встанет
косо, и перемещение всего механизма вправо приво¬
дит к тому, что ролик увлекает за собой интегрирую¬
щую каретку в ту сторону, куда он повернут, и тем
резче, чем больше угол поворота. Следовательно, ин¬
тегрирующая каретка ведет себя подобно автомашине,
которая, как мы знаем, тем быстрее смещается попе¬
рек дороги, чем круче повернуты передние колеса, то
есть чем сильнее повернут руль.
Попутно мы выяснили, что след шины на шоссе —
это интегральная кривая угла поворота автомобиль¬
ного руля...
Планиметр
Вот мы и одолели описание интеграфа. Теперь ос¬
новные трудности позади. Можно сказать, что это
было трудное восхождение на вершину, откуда теперь
мы будем любоваться прекрасными видами.
Интеграфы — не единственные приборы, применяе¬
мые для интегрирования. Им родственны интегримет-
ры, предназначенные не для вычерчивания интеграль¬
ных кривых, а для определения численных значений
интегралов (так называемых интегралов с постоян¬
ными пределами). Интеграфы и интегриметры при¬
надлежат к единому семейству интеграторов.
Одним из интегриметров является распространен¬
ный прибор планиметр, назначение которого прибли¬
женное вычисление площадей произвольных плоских
фигур. Существуют также специальные стереоплани¬
метры, позволяющие измерять площади поверхностей
пространственных фигур, например территории стран,
изображенных на глобусе.
Планиметр состоит из трех основных частей: двух
рычагов и измерительного ролика. Один рычаг, назы¬
ваемый полярным, имеет на конце острую иглу, кото-
48

рую втыкают в чертежную доску. Она служит осью
вращения, или полюсом (рис. 11). Другой конец ры¬
чага имеет шарнирное соединение с обводным рыча¬
гом, к которому прикреплены обводный штифт и из¬
мерительный ролик, называемый также интегрирую¬
щим. Ось вращения этого ролика направлена по об¬
водному рычагу.
Полярный
рычаг
Обводный ~
fинтегрирующий)
рычаг
Игла-ось
Шарнир
Обводный
χ-uιmuφm
Интегрирующий
ролик
змеряемая
область
Рис. 11. Планиметр Амслера.
Планиметр этой конструкции носит название по¬
лярного; его изобрел Альфред Амслер (1854 год).
Как сообщает «Британская энциклопедия», только в
течение 30 лет с момента изобретения фирма «Амслер
и К°» продала около 12 тысяч планиметров этого
типа. С тех пор полярный планиметр подвергался
лишь незначительным усовершенствованиям, напри¬
мер наряду с металлическими обводными штифтами
теперь применяют также штифт в форме прозрачного
стеклышка с намеченным посредине маленьким круж¬
ком, благодаря чему рисунок обводимой кривой по¬
стоянно виден, тогда как металлический обводный
штифт всегда заслоняет часть рисунка.
Первый прибор такого рода, однако не являющий¬
ся полярным планиметром, сконструировал баварский
инженер Герман. Затем он постепенно совершенство¬
вался; большую роль в этом сыграли работы флорен¬
тийца Гонелля и швейцарцев Оппигофера и Ветли. Од¬
нако их конструкции не получили популярности ввиду
чрезмерной сложности. Наоборот, планиметр Амслера,
4 А. Эмпахер
49

включающий наименьшее возможное число элементов,
одержал верх и пережил даже своих более поздних
конкурентов.
Лишь для специальных целей имеет смысл приме¬
нять планиметры других типов. Так, например, метео¬
рологи пользуются специальными планиметрами для
определения площадей графиков барографа и термо¬
графа при вычислении средних значений давления и
температуры. Механики также пользуются очень
сложными планиметрами, позволяющими, например,
одновременно определять площадь и момент инерции
измеряемого сечения (за счет применения системы
интегрирующих роликов). Можно было бы перечис¬
лить еще много разновидностей планиметров, но чи¬
тателя, вероятно, больше заинтересует принцип дей¬
ствия этих устройств.
Как действует планиметр? После того как прибор
установлен на чертежной доске и должным образом
закреплен, нужно выбрать на контуре измеряемой
области произвольную точку и установить на нее об¬
водный штифт, а затем обвести весь контур. Разность
показаний (начального и конечного) измерительного
ролика дает нам в соответствующем масштабе вели¬
чину площади. Обычно для достижения большей точ-»
ности измерения повторяют несколько раз и вычис¬
ляют среднее арифметическое полученных результатов.
Как же простое обведение контура и перемещение
ролика позволяют сразу найти величину площади?
Исчерпывающий ответ на этот вопрос, к сожалению,
можно получить только с помощью сложного аппара¬
та высшей математики. Определенное представление
о работе планиметра может дать геометрическая ил¬
люстрация, помещенная на рис. 12 и 13. Отдельно
представим себе обводный рычаг с измерительным
роликом и двумя обводными штифтами на концах —
что-то вроде скобы. Это тоже планиметр, только ну¬
жно знать, как им пользоваться. С точки зрения кон¬
струкции он еще проще планиметра Амслера, однако
при работе с ним возникают определенные трудности.
Попробуем сначала показать, что такой скобой
можно измерить площадь произвольной полосы... Что
такое полоса? Это фигура, получаемая в результате
перемещения по плоскости данного отрезка. Таким
50

образом, полоса ограничена двумя, вообще говоря,
криволинейными, произвольными и различными боко¬
выми сторонами и двумя прямолинейными основаниями
(рис. 12,г). Частным случаем полосы можно считать
прямоугольник, а также круг; прямоугольник полу-
Рис. 12. Измерение площади фигур с помощью планиметриче¬
ской скобы (ai б, в) и планиметрическая лента (г).
чается в результате поступательного перемещения от¬
резка, а круг — в результате вращения отрезка вокруг
одного из его концов. Если интегрирующий ролик
расположен точно в середине скобы, то можно пока¬
зать, что площадь полосы, вычерченной скобой во
время ее произвольного перемещения по бумаге, рав¬
на произведению ширины скобы d на длину I пути,
пройденного за это время измерительным роликом:
S = d∙l.
Это уравнение планиметра. Пусть читатель прове¬
рит справедливость данного утверждения для прямо¬
4»
51

угольника, круга и параллелограмма (рис. 12,«—в).
В последнем случае следует заметить, что измеритель¬
ный ролик частично катится, частично скользит.
Для того чтобы осилить дальнейшее рассуждение,
читателю понадобится некоторое воображение. Про¬
извольную площадку на плоскости можно предста¬
вить как разность двух полос соответствующей ши-
Направляющая кривая
Р и с. 13. Вычисление площади области S, при условии, что
направляющая линия является произвольной кривой, охваты¬
вающей область К' а — разомкнутой; б — замкнутой.
рины. Так, например, чтобы определить площадь
области S (рис. 13, а), достаточно вычесть площадь по¬
лосы А из площади /15. Заметим, что эти полосы
имеют общие прямолинейные основания и одну об¬
щую криволинейную боковую сторону (так называе¬
мую направляющую кривую). Понятно, что форму
этой общей стороны можно выбирать произвольно.
Это может быть прямая, дуга окружности или любая
другая кривая. Для полярного планиметра это как
раз окружность, радиус которой равен длине поляр¬
ного плеча.
При работе с планиметром не нужно самому нахо¬
дить разность площадей двух полос — это делает при¬
52

бор. В самом деле, когда мы обводим контур изме¬
ряемой площадки, интегрирующий ролик сначала
перемещается в одну сторону, а потом, при возвра¬
щении к исходной точке (если направление обхода не
меняется), — в противоположную. Таким образом,
обороты ролика вычитаются сами, и, значит, формула
планиметра остается в силе с тем лишь изменением,
Рис. 14. Топорик Притца — самый простой планиметр в мире.
Ведя обводный штифт по измеряемому контуру, нужно прижи¬
мать лезвие к бумаге. Расстояние / = АА' — между начальным
и конечным положениями лезвия,—умноженное на длину топо¬
рика d, дает приближенную величину искомой площади.
что теперь I представляет собой результирующий
путь (алгебраическую сумму).
Однако полосы могут иметь общие только боковые
стороны, а криволинейные стороны различные. Тогда
направляющая кривая ограничивает некоторую об¬
ласть, скажем Л. Площадь этой области называют
постоянной планиметра; ее прибавляют к величине,
получаемой из решения уравнения планиметра
(рис. 13,6).
Мы одолели принцип действия планиметра и в на¬
граду откроем читателю один секрет: при обводе из¬
меряемого контура интегрирующий ролик совсем не
обязательно должен находиться посредине скобы,
если только другой конец скобы перемещается все
53

время вне площадки. Но чтобы это доказать, при¬
шлось бы применить необычные для новичков виды
математического «оружия»...
А можно ли представить еще более простой пла¬
ниметр? Например, отказаться от интегрирующего
ролика? Оказывается, можно. Этого добился Притц
(1886 год), сконструировав знаменитый «планиметри¬
ческий топорик». У этого топорика нет никаких изме¬
рительных элементов, что, впрочем, безусловно, яв¬
ляется его недостатком, так как приходится в допол¬
нение к нему пользоваться линейкой с миллиметро¬
выми делениями — для измерения расстояния между
начальным и конечным положениями ведомого нако¬
нечника (рис. 14). Этот наконечник имеет форму по¬
лумесяца с заостренной дугой — отсюда название то¬
порик. Ясно, что топорик Притца дает небольшую
точность измерений. Но от такого простого устройства
нельзя и требовать многого.
Искусственные мозги?
Перечисленные выше виды интеграторов нашли
применение в разнообразных математических прибо¬
рах более сложной конструкции — в анализаторах,
синтезаторах, а также в моделирующих машинах.
Иногда ошибочно, а может быть, и для рекламы эти
приборы возводят в ранг «электронного мозга» или
«мыслящих машин».
Однако было бы неправильным каждое электрон¬
ное устройство считать «мозгом». Действительно, не¬
сколько десятков лет назад «говорящий ящик» —
радиоприемник — казался многим восьмым чудом све¬
та, пока он не стал привычным. Теперь уже и теле¬
визоры считаются вполне обычными предметами;
только цветное телевидение, может быть, еще пред¬
ставляет какую-то частичку чуда. Среди многочислен¬
ных электронных устройств вычислительные машины
действительно составляют нечто новое, и нет ничего
удивительного, что они вызывают сильнейшее изумле¬
ние. Но можно надеяться, что лет через пятнадцать
их будут считать настолько обычными и естествен¬
ными, что наши потомки, читая о жизни середины
XX века, просто не смогут поверить, что когда-то че¬
54

ловечество обходилось без них. Жизнь наших потом¬
ков, несомненно, будет связана с новыми изобрете¬
ниями, еще более захватывающими, чем наши мате¬
матические машины.
Поэтому оставим в стороне вопрос о чудодействен¬
ных «электронных мозгах», тем боле что мы будем
говорить об аналоговых устройствах, принцип дейст¬
вия которых имеет очень мало общего с работой на¬
стоящего мозга. Если быть точным, то гораздо боль¬
шая, хотя тоже только поверхностная, аналогия с
действием мозга обнаруживается у электронных циф¬
ровых машин, и только они могут претендовать на
титул «искусственный мозг».
Итак, в стране аналогий «мозгов» нет, хотя там
и можно столкнуться с очень сложными устройствами.
Г ар ионизаторы
Один замечательный польский поэт, несчастливо
влюбленный в математику, сильно страдал от беспо¬
мощности своего ума, в других отношениях великого,
когда речь шла о проблемах, связанных с заданными
его дочери арифметическими задачами о трубах и
бассейнах, которые нужно было решать без помощи
уравнений.
Итак, это была платоническая любовь без взаим¬
ности, но, может быть, именно поэтому совершенно
необычная. Юлиан Тувим — речь идет именно о нем —
с той же манией коллекционера, с какой он собирал
литературные и графоманские курьезы, накапливал
также разные любопытные математические «штучки»:
оригинальные задачи, головоломки и другие. Хотя
ему и редко удавалось самостоятельно найти реше¬
ние, он все же старался по крайней мере понять ход
рассуждений в готовом решении и крайне возмущал¬
ся, когда вместо объяснения находил только оконча¬
тельный ответ.
Великий лирик упомянут здесь не зря: большин¬
ство задач, решения которых у него не получались,
можно было относительно просто решить с помощью
гармонического среднего или так называемой гармо¬
нической суммы.
55

Гармоническое среднее позволяет очень легко со¬
ставлять гармонограммы труда для рабочих с разной
производительностью труда и определять среднюю
производительность. Гармоническая сумма облегчает
также вычисление времени работы для группы рабо¬
чих.
Гармонической суммой двух чисел называется об¬
ратная величина суммы их обратных величин. Таким
образом, для чисел а и b эта сумма равна дроби
а + b
которую можно записать также в форме
⅛⅛∙ (2)
если привести сумму l∕α+l∕b к общему знаменателю
и устранить «многоэтажность» получаемой в резуль¬
тате дроби. Иногда удобнее первая форма, иногда —
вторая. Приведем примеры.
Один рабочий копает яму для телеграфного стол¬
ба в течение 1∕5 дня, другой — в течение 1∕7 дня. Поль¬
зуясь гармонической суммой, подсчитываем, что, ко¬
пая одновременно, они выполнят эту работу за
,∕12 дня (сумма обратных величин отрезков времени
равна 12). Здесь первая форма (1) оказалась удоб¬
нее, чем вторая (2).
В бассейн ведут две трубы. Первая наполняет бас¬
сейн в течение 8 часов, вторая — в течение 2 часов.
Пользуясь формулой (2), легко определить время на¬
полнения бассейна, если открыты обе трубы:
2 • 8
—1—- = 1,6 часа. Другие примеры использования
2 -j- о
гармонической суммы см. на рис. 4.
Средним гармоническим двух чисел1 называется
удвоенная гармоническая сумма. Таким образом, для
среднего гармонического двух чисел а и b мы имеем
1 В случае п чисел среднее гармоническое равно гармони¬
ческой сумме, умноженной на п.
56

следующие простые выражения:
2
Л
а 1 b
или
<2∙a∙b
a-{-b
Вычислив по этой формуле среднюю производи¬
тельность наших рабочих, получим 1∕6 дня на копание
ямы; среднее время наполнения бассейна окажется
равным 3,2 часа.
После этого введения читатель может легко вы¬
числить время поездки на катере по озеру, если из¬
вестно, что поездка на такое же расстояние вверх по
реке длится 3 дня, а вниз — только 2 дня. Несколько
труднее найти время движения по этому же отрезку
реки сплавщика, который плывет со скоростью тече¬
ния, так как в этом случае нужно использовать уже
понятие гармонической разности и разностного гар¬
монического среднего, то есть в предыдущих форму¬
лах следует знак «плюс» заменить на «минус». Так,
для разностного гармонического среднего мы имеем
выражения
а Ь
Таким образом, сплавщик на плоту, уносимый реч-
2 • 2 • 3
ним течением, будет путешествовать = 12 дней.
Но оставим, наконец, в покое рабочих, бассейны
и сплавщиков и перейдем, как было обещано, к гар-
монизаторам, или, точнее, к гармоническим устрой¬
ствам. Сделаем только еще одно пояснение. Как не¬
трудно проверить, числовая последовательность
1 ± ± 1 1 1 1
1, 2, 3, 4 , 5 ’ 6’ 7 ’ • • • ’
то есть последовательность обратных величин ряда
натуральных чисел, обладает следующим гармониче¬
ским свойством: каждый ее член равен среднему гар¬
моническому соседних членов. Например, 1∕6— это
среднее гармоническое чисел 1∕s и */?. Благодаря это¬
му свойству данную последовательность называют
гармонической. Последовательность элементов вида
а/п также является гармонической (n=I, 2, 3,...).
57

Теперь, когда терпеливый читатель уже до какой-
то степени успел освоиться с «гармоническими поня¬
тиями», можно наконец перейти к гармоническим
устройствам. Простейшими «гармонизаторами» явля¬
ются, например, устройства, показанные на рис. 4,
назначение которых — вычисление гармонических
сумм и разностей. Путем изменения шкал их легко
переделать для вычисления средних гармонических,
но в дальнейшем речь пойдет не о таких устрой¬
ствах. Мы перейдем к специальным приборам для
исследования колебаний, называемых — мы сейчас
объясним, почему именно, — гармоническими анализа¬
торами.
Из всевозможных колебаний простыми называются
те, графиками которых являются правильные сину¬
соиды. Такого рода колебания совершает, например,
маятник. Но известны и другие колебания, графики
которых представляют собой более или менее слож¬
ные кривые. Если колебания регулярно повторяются
во времени, то они называются периодическими. Пе¬
риодом в таком случае называется время, в течение
которого совершается одно полное колебание. Такие
периодические колебания обладают одним интересным
свойством, а именно каждое периодическое колеба¬
тельное движение можно рассматривать как сумму
простых колебаний, периоды которых образуют гар¬
моническую последовательность.
Таким образом, произвольное колебательное дви¬
жение, например с ритмом повторения в 30 секунд,
можно рассматривать как сумму синусоидальных коле¬
баний с периодами 30; 15; 10; 71/2; 6; 5; ...секунд.-
Наиболее любопытно здесь то, что существует лишь
одна система таких составляющих синусоидальных
колебаний. Поэтому определение составляющих коле¬
баний, называемых гармоническими составляющими,
или, короче, гармониками, является типичной матема¬
тической задачей. Точное ее решение можно получить
только с помощью аналитического аппарата высшей
математики. В связи с этим широкое практическое
применение находят приборы для выполнения гармо¬
нического анализа, ибо именно так называется разло¬
жение сложного графика колебаний на гармонические
составляющие.
58

Р и с. 15. Различные гармонические приближения прямоуголь¬
ных колебаний с учетом: первой гармоники (а), третьей гармо¬
ники (6) и восьми гармоник (в). Приближение, представляющее
собой сумму 18 гармоник, на глаз трудно отличить от «прямо¬
угольных колебаний» (г).
Гармонический анализ — теория разложения пе¬
риодических колебаний на составляющие — играет
важную роль в таких областях науки, как механика,
теоретическая электротехника, кристаллография, ме¬
теорология и др. Поясним это на примерах.
Допустим, что инженер-электрик разрабатывает
«генератор прямоугольных колебаний» — электронный
прибор, выдающий электрические импульсы прямо¬
угольной формы, то есть прибор, вырабатывающий
пульсирующий ток, для которого график имеет вид
прямоугольной каймы (рис. 15,г). Если бы наш ин¬
женер не знал гармонического анализа, ему пришлось
бы выполнить огромную работу: построить сотни ге¬
нераторов и выбрать среди них такой, чтобы выраба-
59

тываемые им колебания как можно меньше отлича¬
лись от заданных.
И не было бы ничего удивительного, что такое ко¬
личество работы вынудило бы его вовсе отказаться от
этого плана и обходиться исключительно синусоидаль¬
ными колебаниями, которые получить гораздо легче.
Но наш инженер знает гармонический анализ.
Знает, что если математическим путем определить со¬
ставляющие, то, имея в своем распоряжении генера¬
торы составляющих синусоид, он сможет без труда
получить колебания нужной формы с помощью обыч¬
ного суммирования токов. Иначе говоря, он сумел бы
осуществить физический синтез требуемых колебаний,
если бы только предварительно выполнил математи¬
ческий гармонический анализ именно с помощью ана¬
лизатора.
Однако первым прибором для математического ис¬
следования колебаний был не анализатор, а синтеза¬
тор (лорд Кельвин, 1872 год). В основу его механи¬
ческой конструкции была положена система блоков.
Прибор был предназначен главным образом для пред¬
сказания морских приливов и отливов.
Приливно-отливные колебания моря как раз имеют
периодический характер с периодом повторения,
близким к году. Кельвин открыл математическую за¬
висимость между географическим положением и вели¬
чинами гармонических составляющих приливных ко¬
лебаний. Таким образом, он мог дать математические
выражения для приливных кривых любого географи¬
ческого пункта. Сконструированный им синтезатор
предназначался именно для вычерчивания этих кри¬
вых. Здесь стоит отметить, что синтезатор Кельвина
давал большую экономию времени: построение кривой
на основании длинной серии измерений, выполняемых
на месте, длилось бы несколько лет, а при помощи
синтезатора Кельвина приближенный график кривой
приливов для такого же отрезка времени можно было
бы получить всего за несколько часов работы. Более
того, можно было вычислить кривую приливов на не¬
сколько лет вперед.
Идеи Кельвина снискали многочисленных последо¬
вателей, построивших различные «предсказатели при¬
ливов» и «прилпвографы». Гармонические синтезато-
60

Рис. 16. Дармштадтский приливограф Вальтера, Дрейера
и Эстенфельда.
ры, разработанные в начале XX века, позволяли сум¬
мировать уже не восемь гармоник, как у Кельвина, а
несколько десятков. Это давало возможность полу¬
чать очень точные графики, выявляющие годовые из¬
менения, которые упускались в первом приближении.
Спустя четыре года после создания синтезатора
Кельвин разработал новое механическое устройство —
гармонический анализатор. Правда, уже с помощью
синтезатора можно было выполнять гармонический
анализ — разложение колебаний на составляющие,—
но, так сказать, методом инверсии — обращения. Ну¬
жно было сначала задать некоторые величины высот
(амплитуд) первой гармоники и следующих, а затем
проверить, совпала ли кривая, получаемая в резуль¬
тате их сложения, с заданной кривой. Если нет, то
нужно было изменять амплитуды составляющих
61

колебаний, пока наконец не получался требуемый ре*
зультат.
Изобретенный Кельвином анализатор (1876 год)
позволял разложить колебания на гармоники прямым
путем, без повторений. С этим прибором работают так
же, как с интеграфом: исследуемую кривую обводят
Рис. 17. Гармоническая каретка Генричи и Коради. На снимке
виден обводный штифт, которым ведут по графику анализируе¬
мой кривой на протяжении одного периода.
специальным штифтом. В процессе обводки устано¬
вленные соответствующим образом интегрирующие ме¬
ханизмы вычисляют амплитуды составляющих колеба¬
ний. После обводки вычисленные величины амплитуд
можно прочитать на соответствующих шкалах.
В последующие годы конструкция гармонических
анализаторов была значительно усовершенствована;
примерно в годы первой мировой войны наряду с ме¬
ханическими появились электрические анализаторы.
В конце тридцатых годов были изобретены фотоэлек¬
трические и оптические конструкции; с начала пяти¬
десятых годов стали распространяться электронные
62

анализаторы. Большинство этих устройств можно ис¬
пользовать для решения обоих типов задач: гармони¬
ческого анализа и синтеза; поэтому и возникло на¬
звание синтезо-анализаторы. Но оно не привилось,
и была принята сокращенная форма — «анализа¬
тор», иногда с поясняющим добавлением «универсаль¬
ный».
Особенно много разного рода анализаторов по¬
строено для удовлетворения нужд кристаллографов.
Сначала они мечтали об устройствах, выполняющих
анализ нескольких десятков гармонических состав¬
ляющих, но по мере развития рентгеновской кристал¬
лографии пришлось задуматься, как получить даже
не сотни, а тысячи гармоник.
Этим требованиям не могли удовлетворять ника¬
кие аналоговые устройства, точность которых до сих
пор не удавалось повысить больше чем до сотых до¬
лей процента. Но если точность аналоговой системы
составляет, например, 0,1%, то десять таких систем
могут дать суммарную ошибку порядка 1%, а сто да¬
дут результат, отягощенный 10-процентной ошибкой,
не говоря уже о тысяче таких устройств, дающих в
наиболее неблагоприятном случае совершенно беспо¬
лезный результат — с погрешностью 100%. Даже если
бы точность аналоговых устройств была в десять
раз больше, то и тогда соединение 10 тысяч таких
устройств угрожало бы появлением 100-процентной
ошибки. Между тем точность результатов кристалло¬
графических вычислений должна быть не хуже 1%.
Именно здесь мы сталкиваемся с границей воз¬
можностей аналоговых устройств. Требования кри¬
сталлографов смогли удовлетворить только электрон¬
ные цифровые машины, которые когда-то даже строи¬
ли специально для их целей (например, английская
машина APE(X)C или советская КРИСТАЛЛ). Дей¬
ствительно, цифровая машина позволяет достигнуть
практически произвольной точности, если только она
достаточно большая и быстродействующая.
Эти же соображения точности ограничивают при¬
менение всех аналоговых устройств только «грубыми»
типовыми задачами. Специальные и особенно сложные
научные задачи, выходящие за рамки теории диффе¬
ренциальных уравнений и требующие большой
63

точности вычислений, попали в «ведение» цифровых
машин.
Однако выполнение всех расчетов только на циф¬
ровых машинах потребовало бы немыслимых денеж¬
ных расходов. Эти машины дают большую точность,
но их обслуживание и использование связаны с гро¬
мадной трудоемкостью. Поэтому аналоговые устрой¬
ства имеют широкую перспективу распространения в
качестве прикладного средства в проектных организа¬
циях, конструкторских бюро, исследовательских лабо¬
раториях и институтах, не говоря уже об учебных ка¬
бинетах школ.
Алгебраизаторы
Когда-то говорили, что все дороги ведут в Рим.
Подобно этому, можно сказать, что все анализаторы
ведут к ... лорду Кельвину. Этот титул снискал анг¬
лийский физик и математик Вильям Томсон в знак
признания его высоких заслуг на поприще науки. Сэр
Вильям и его брат Джеймс Томсон изобрели, работая
и вместе и раздельно, ряд вычислительных устройств,
которые стали источниками вдохновения нескольких
поколений математиков и конструкторов.
Так, например, прибор для вычерчивания графиков
многочленов — изограф — создан перед самым нача¬
лом второй мировой войны (Фрай, 1937 год), хотя
этой проблемой занимался еще лорд Кельвин. При по¬
мощи изографа можно легко находить приближенные
решения алгебраических уравнений до десятой сте¬
пени. Изограф также механической конструкции, но
несколько большего размера построили в то же время
Браун и Вилер в институте Франклина. Только элек¬
тромеханические конструкции Харта и Трэйвиса
(1938 год), разработанные в том же институте, вышли
за пределы конструктивных замыслов Кельвина, так
же как и более поздние электрические системы.
Братья Томсоны очень интересовались системами
блоков. Их идеи развил Вилбур, построивший маши¬
ну для решения системы девяти линейных уравнений
с девятью неизвестными (1936 год). Машина Вил¬
бура, основанная на идее Кельвина, давала в десять
раз большую скорость решения уравнений по сравне-
С4

b∣
Р и с. 18. Схема механического анализатора профессора Шмель-
тера. Неизвестным величинам х соответствуют углы наклона
люлек, коэффициентам а при неизвестных — расстояния от осей
люлек до тяг, а свободным членам b — высота закрепления
нижних рычагов.
нию с вычислителем, работающим на ручном арифмо¬
метре. Но точность решения была не слишком боль¬
шой, и теперь машину Вилбура, имеющую размеры
200×130×75 см, можно встретить только в качестве
любопытного экспоната в математическом кабинете
какого-нибудь института.
Косвенно использовал идеи Томсонов также и Фэй-
торн, построивший в Англии анализатор алгебраиче¬
ских линейных уравнений, составленный из одних
только сцепленных друг с другом в определенном по¬
рядке зубчатых колес (1944 год). В совершенно новом
направлении работал Шуман (1940 год); его анализа¬
тор представлял собой гидравлический прибор, в ко¬
тором в качестве жидкости использовалась ртуть.
5 А. Эмпахер	65

Новое направление избрал также Боде (1937 год),
построивший для решения систем уравнений электри¬
ческую цепь из конденсаторов и сопротивлений. Ана¬
лизатор, построенный из одних только сопротивлений,
изобрел другой немецкий инженер, Рек (1938 год).
И еще один анализатор, собранный только из транс¬
форматоров, изобрел англичанин Моллок еще в 1933 го¬
ду. Изобретение Моллока замечательно тем, что его
анализатор дает результат почти мгновенно, тогда как
упомянутый анализатор Река сложен в управлении.
Однако иногда оказывается, что анализаторы не
нужно изобретать — нужно только уметь их опознать.
Так, профессор Шмельтер из Лодзи несколько лет
назад заметил, что анализатор линейных алгебраиче¬
ских уравнений находится в ... каждом локомотиве —
в виде тормозной системы. В самом деле, техническое
требование, в соответствии с которым тормозные ко¬
лодки должны прижиматься к колесам одновременно
и с одной и той же силой, сводится к системе линей¬
ных уравнений. Упомянутый профессор Шмельтер раз¬
работал также вполне оригинальный образец ана¬
лизатора систем линейных уравнений, который
демонстрировался осенью 1957 года на Конференции
по теоретической механике в Кракове.
Дифференциальные анализаторы
Здесь мы снова должны вернуться к идеям братьев
Томсонов, относящихся к 1876 году. Именно тогда
Джеймсу пришла в голову идея роликового интегра¬
тора, а Вильям разработал анализатор, составленный
из таких интеграторов и позволяющий решать диффе¬
ренциальные уравнения.
Что же это за уравнения? Это сложные математи¬
ческие уравнения, часто лишь с большим трудом под¬
дающиеся решению, которые, однако, все чаще приме¬
няются в современной технике. Такое «объяснение»,
безусловно, не удовлетворит читателей, поэтому нам
придется поговорить об этих таинственных уравнениях
несколько подробнее.
Подобно тому как аналоговые устройства можно
разбить на «числовые», и «функциональные», ту же
классификацию удается провести и для математиче¬
66

ских уравнений. Дифференциальные уравнения при¬
надлежат как раз ко второй категории, когда неизве¬
стными являются уже не числа, а графики, точнее,
когда появляются неизвестные функции.
В дифференциальном уравнении определены опе¬
рации с графиками, но некоторые из этих графиков
неизвестны, и их нужно сначала вывести из уравне¬
ния. Таким уравнением является, например, соот¬
ношение
S -j- сь = 0;
здесь требуется отыскать такое движение, то есть та¬
кую зависимость положения тела от времени, при ко¬
тором сумма численных значений пути (5) и ускоре¬
ния (а) в любой момент времени равна нулю.
Решив это уравнение, можно установить, что ука¬
занным свойством обладают только «неподвижность»
и колебательное движение, которое совершает, напри¬
мер, маятник.
Однако аналитическое решение не всегда легко
найти, особенно в случае более сложных дифферен¬
циальных уравнений. Тогда приходится остановиться
на приближенных решениях, при вычислении которых
анализаторы оказывают просто неоценимую помощь.
«Не преувеличение ли это, — вероятно, спросит здесь
читатель, — так ли уж „неоценима” эта помощь?»
На самом деле никакого преувеличения здесь нет.
Роль анализаторов так велика потому, что все фи¬
зические законы удается записать в точной математи¬
ческой форме только с помощью дифференциальных
уравнений. Будь то гидродинамика, теория упругости
или теория полета — везде мы встречаем дифферен¬
циальные уравнения. А тот, кто умеет хорошо предви¬
деть, подметит дифференциальные уравнения даже в
биологии или в экономических науках, поскольку и
там только они могут правильно передать изменения
условий, взаимозависимость различных факторов
и т. п. Инженер-электрик, вычисляя значения сопро¬
тивлений, индуктивностей и емкостей какой-либо элек¬
трической системы, должен решить описывающее эту
систему дифференциальное уравнение. Принято даже
такое математическо.е определение подобия: два фи¬
зических явления математически подобны, если при
5*	67

подходящем выборе единиц измерения описывающие
их дифференциальные уравнения идентичны. Таким
образом, дифференциальные уравнения лежат в самой
основе аналогий.
Но довольно славословий в честь дифференциаль¬
ных уравнений! Займемся наконец дифференциальны¬
ми анализаторами. Для краткости его можно было бы
назвать просто дифференциатор.
Итак, возвращаемся к изобретению лорда Кельви¬
на, относящемуся к 1876 году. Хотя Кельвин разрабо¬
тал проект своего дифференциального анализатора во
всех деталях, уровень техники того времени не позво¬
лил ему, к сожалению, реализовать этот проект на
практике. Кельвин хотел построить универсальный
анализатор — пригодный для решения широкого клас¬
са дифференциальных уравнений, а не только уравне¬
ний определенного типа. Эта задача была очень труд¬
ной хотя бы потому, что в то время еще не были
известны устройства для автоматического чтения на¬
черченных кривых. Единственным способом чтения
было обведение кривой штифтом вручную, если не счи¬
тать трудоемкого метода металлических шаблонов.
В конце 1910 года в России идеи Кельвина развил
знаменитый русский инженер и математик—создатель
научной теории корабля — академик А. Н. Крылов, по¬
строивший уникальный дифференциальный анализатор
для Института кораблестроения (в котором он был
директором). Но и ему не удалось в полной мере ав¬
томатизировать процесс «обведения». Устройство для
полностью автоматического чтения графиков было
разработано только в период между двумя мировыми
войнами, и с этого же времени начинается хронология
создания автоматических универсальных дифферен¬
циальных анализаторов.
Одним из первых, если не вообще первым, таким
анализатором была машина, построенная по заказу
отдела артиллерии штаба армии США (1929 год) и
предназначавшаяся для решения баллистических урав¬
нений. Но значительно большую известность приобрел
анализатор MITDA-1, построенный в Массачусетском
технологическом институте известным математиком
Вениваром Буше^м (1930 год), ставшим позднее, во
время второй мировой войны, руководителем всего
68

комплекса научно-исследовательских работ США.
Употребляемое здесь сокращение MITDA происходит
от английского названия этого устройства: Massachu-
sett,s Institute of Technology Differeπtial Analyser.
По сравнению с анализаторами, построенными поз¬
же, MITDA-1 был «маломощным»: в него входили
«только» шесть интеграторов, четыре системы авто¬
матической обводки кривых и один прибор для вычер¬
чивания результатов. Сложение и вычитание выпол¬
нялось при помощи механизмов соединения валиков
через специальные системы зубчатых колес, так на¬
зываемые дифференциалы. Труднее было с умноже¬
нием и делением — для выполнения этих операций
приходилось пользоваться интегрирующим устрой¬
ством. Ничего не поделаешь, механическое множи¬
тельное устройство было изобретено лишь спустя
10 лет.
По образцу анализатора Буша в 1930—1942 годах
было разработано еще несколько подобных машин.
Самой дешевой из них была UMDA, построенная
Хартри и Портером в Манчестерском университете из
нескольких комплектов популярного детского метал¬
лического конструктора «Мессапо», стоивших мень¬
ше 30 фунтов стерлингов (1935 год). Год спустя по¬
добный анализатор смонтировали в Кембриджском
университете (Англия), причем была достигнута точ¬
ность более двух десятичных знаков; одним из кон¬
структоров этого анализатора, известного под назва¬
нием UCDA, был профессор Уилкс, прославившийся
позднее как создатель первой английской электронной
цифровой машины EDSAC. Кроме США и Англии, ме¬
ханические дифференциальные анализаторы были по¬
строены также в Ленинграде (1940 год), в Норве¬
гии— в Институте теоретической астрофизики в Осло
(Росселанд, 1939 год) и в Германии — в Дармштадт¬
ской высшей технической школе (Вальтер, Де Боклер,
Драйер, 1942 год).
В последние годы сообщения о проектах создания
новых механических дифференциальных анализаторов
не поступают. Эти устройства," правда, обеспечивают
относительно высокую точность, достигающую при
прецизионном исполнении четырех десятичных разря¬
дов, но зато стоимость их изготовления баснословно
69

велика, а эксплуатация связана с большими трудно¬
стями. Настройка анализатора на решение заданного
уравнения — это сложная монтажная работа, требую¬
щая многочасового труда нескольких механиков.
Буш сделал попытку упростить обслуживание ме¬
ханических анализаторов, создавая свою очередную
модель MITDA-2 (1942 год), в которой он применил
программное управление от трех перфолент. Одна
лента служила для задания схемы соединений счет¬
ных валиков, вторая — для установки величин мас¬
штабных множителей и, наконец, третья — для ввода
так называемых начальных условий, например вели¬
чины пути в нулевой момент времени, величины ско¬
рости в нулевой момент времени и т. п. Благодаря
применению современных телемеханических селектор¬
ных устройств так называемой координатной системы
(кроссбар) была осуществлена относительно простая
схема соединений.
MITDA-2 — один из самых больших существующих
механических универсальных дифференциальных ана¬
лизаторов: вся машина занимает большой зал и ее
полный вес составляет несколько сот тонн — не мень¬
ше, чем вес гигантского станка. Для ее создания ис¬
пользовано свыше 300 километров провода, 3000 реле,
150 электродвигателей и 2000 электронных ламп.
Весь объем работ выполнен с исключительно низки¬
ми затратами — всего 125 000 долларов, так как ис¬
пользовалась бесплатная работа дипломантов Масса¬
чусетского политехнического института. Во время вой¬
ны на этом анализаторе был решен ряд уравнений,
имевших большое военное значение; по этой причине
строительство MITDA-2 было засекречено, и сведения
о нем были опубликованы только после окончания
войны.
Оба анализатора Буша по сей день работают в
Кембридже, в Соединенных Штатах (не путайте с
английским городом того же названия), но, несмотря
на их довольно высокую точность, такие машины не
получили большого распространения. Среди несколь¬
ких десятков существующих механических дифферен¬
циальных анализаторов ни один не выпускался серий¬
но— все без исключения являются уникальными
экземплярами. Правда, Бушу удалось преодолеть за-
70

трудпения с настройкой машины, но высокая стои¬
мость ее так и осталась. Это последнее препятствие
смогли преодолеть только электрические и электрон¬
ные анализаторы.
В механической конструкции нельзя ничего изги¬
бать, нельзя произвольно изменять длины рычагов,
сопряженные элементы необходимо тщательно подго¬
нять, а электрические провода в принципе можно сги¬
бать, растягивать и паять, просовывать и скручи¬
вать... Именно эта простота монтажа, не нуждающаяся
в высококвалифицированных монтажниках, с кото¬
рым вполне могут справляться даже молодые девуш¬
ки после нескольких недель обучения, обеспечила сни¬
жение затрат и тем самым возможность серийного
производства. Само собой разумеется, что при этом
достигается большая экономия места и веса. Совре¬
менный электронный анализатор весит в 10 тысяч раз
меньше, чем второй анализатор Буша, правда, при
точности только в 1%, то есть порядка двух значащих
цифр. Но и в тех случаях, где нужна большая точ¬
ность, тоже нет необходимости строить механические
анализаторы. Идеальным устройством для решения
уравнений с многоразрядной точностью являются
электронные цифровые машины, быстродействие ко¬
торых доходит до миллиона операций в секунду и в
недалеком будущем достигнет миллиарда!
Разработкой первых дифференциальных анализа¬
торов чаще всего занимались один-два человека. Над
созданием современных устройств такого типа рабо¬
тают целые конструкторские бюро; в таких условиях
трудно присвоить отдельным лицам «права отцов¬
ства». Едва ли нужно добавлять, что главная цель
этих разработок—производство анализаторов для
продажи. Это отнюдь не означает, что ассортимент
моделей беден: можно насчитать около тысячи разно¬
видностей. Разнообразие почти такое же, как среди
автомашин, причем модели более старых выпусков
быстро выходят из употребления, иногда уже после
нескольких лет работы.
Во всем мире сейчас имеются около 100 тысяч ана¬
логовых электронных машин; значительную часть их
составляют специальные устройства для военных
целей.
71

Вероятно, читатель пожелает узнать точную дату
появления универсальных электронных дифференци¬
альных анализаторов. Такой датой можно считать
1946 год, когда в США фирма ≪Reeves Instrument
Со.» начала серийное производство анализаторов
REAC, а в СССР профессор Гутенмахер разработал
серию первых советских электронных анализаторов.
Что касается других конструкторов, имеющих заслу¬
ги в этой области, то здесь можно упомянуть о рабо¬
те Филбрика над созданием анализатора для расчета
систем регулирования (1938 год), а также о работах
Ловелла и Паркинсона во время войны, связанных с
созданием электронного аналогового устройства М.-9
для управления огнем зенитных орудий — первого
электронного аналогового устройства для военных це¬
лей, производившегося серийно. В это же время Хель-
цер начал строительство электронного анализатора в
Дармштадской высшей технической школе, которое,
однако, было закончено только после войны. Союзни¬
ки хорошо представляли себе значение математиче¬
ских машин, которые создавали немцы, и еще в
1943 году успешно разбомбили часть зданий этой
школы.
Имитаторы и роботы
...Туман стелется по земле сплошным покровом, за¬
полняя аэродром до самых верхушек сигнальных мачт.
Ночь темная, безлунная, беззвездная. Но пилот, хотя
его внимание напряжено, сохраняет полное спокой¬
ствие— автоматическое устройство XZ-47C безоши¬
бочно ведет самолет к цели, выполняя функции пило¬
та даже при посадке.
«Универсальный автопилот XZ-47C обеспечивает
полную безопасность полета!»
«Даже ребенок может самостоятельно управлять
самолетом!» — кричат с обложек специальных журна¬
лов объявления фабрикантов автоматики...
...Шторм, яростно мчатся валы, подгоняемые мощ¬
ными порывами ветра. Волны то и дело заливают па¬
лубу, море бросает корабли, как ореховые скорлупки.
Но наш корабль, хотя волны и захлестывают его,
почти не испытывает бортовой качки. Дело в том, что
72

на нем установлены специальные ласты, движение ко¬
торых автоматически противодействует качке. Этим
движением управляет аналоговая машина; решая
дифференциальное уравнение движения волн, она за¬
ранее «предвидит» набегающую волну и с помощью
ласт корректирует положение корабля...
Можно было бы насчитать десятки и сотни раз¬
личных применений аналоговых машин для целей
управления. Но что бы стало с управляемым объек¬
том, если бы управляющее устройство действовало
слишком медленно? Например, оно не успело бы ис¬
править предыдущее отклонение, как возникло бы но¬
вое, потом еще большее, и управляемый объект вы¬
шел бы из-под контроля. Так может случиться, если
управляющий автомат не очень точно рассчитан и не¬
достаточно проверен в работе. Но в чем же сила ана¬
логий? Чтобы проверить автомат, вовсе не нужно ста¬
вить его на самолет и совершать опасный испытатель¬
ный полет. Достаточно иметь в своем распоряжении
имитатор полета — аналоговое устройство, имитирую¬
щее поведение самолета, которым управляет робот.
Создатель такого имитатора должен принимать во
внимание целый комплекс факторов, чтобы это
устройство как можно более точно отражало перемен¬
чивые условия, возникающие во время настоящего
полета.
Один из самых больших имитаторов полета — зна¬
менитая английская трехмерная аналоговая машина
TRIDAC, построенная в пятидесятых годах англий¬
ской фирмой «Эллиот» для нужд военно-воздушных
сил. Л1оделирование полета состоит в том, что
TRIDAC решает соответствующую систему дифферен¬
циальных уравнений, описывающих изменения высо¬
ты, скорости, направления полета самолета в зависи¬
мости от направления ветра, силы тяги двигателей,
температуры воздуха, атмосферного давления, угла
наклона элеронов и других факторов, характеризую¬
щих настоящий полет.
Желая проверить автоматическое устройство упра¬
вления— «автоматического пилота», его демонтируют
с самолета и присоединяют к машине TRIDAC, как
схематически показано на рис. 20. После этого к авто¬
пилоту поступают различные сигналы, имитирующие
73

Рис. 19. Трехмерное моделирование полета с автопилотом —
блок-схема машины TRIDAC.
радиопеленг, изменения скорости, ускорения и т. д.,
а он в свою очередь, как в настоящем полете, реаги¬
рует на них соответствующими перестановками рулей.
Результаты такого исследования имеют вид графиков
полета. Зная, как автопилот прореагировал, напри¬
мер, на имитацию резкого изменения ускорения, мы
можем предположить, что он будет так же реагиро¬
вать на настоящую бурю, часто вызывающую различ¬
ные возмущения полета.
Собственно вычислительные устройства машины
TRIDAC занимают только несколько больших комнат;
в остальных помещениях находится аппаратура пита¬
ния, охлаждения и вспомогательные электромехани¬
ческие и гидравлические системы. Специальная
система сигнализации не только обнаруживает повре¬
ждения машины, но и позволяет почти мгновенно ло¬
кализовать их. Машина выдает результаты в виде
дюжины графиков малого формата; их можно наблю¬
дать также в виде кривых на экранах осциллографов
и фотографировать, а в случае надобности можно по¬
лучать большие графики (размером 200×100 см) при
помощи двух специальных пишущих устройств. Нако¬
нец, результаты можно записать на магнитофонную
ленту и отправить в архив, откуда их можно полу¬
чить в любой момент и ввести обратно в машину.
Такое сложное устройство, естественно, требует боль¬
шого штата операторов и специалистов в области
аэродинамики, не считая обслуживающего персо¬
нала.
74

Рис. 20. Общий вид машины TRIDAC.

Р и с. 21. Агрегат из четырех электронных анализаторов SHORT
на одном из британских промышленных предприятий.
Строить специальные имитаторы для решения не¬
типовых, редко встречающихся задач было бы расто¬
чительством; гораздо удобнее просто выполнить нуж¬
ные соединения на коммутационном поле универсаль¬
ного анализатора. В случае необходимости можно
также, соединив друг с другом несколько анализато¬
ров, образовать более мощную машину, позволяющую
решать весьма сложные задачи. По окончании работы
машины разъединяют, и они могут работать отдельно.
С другой стороны, если нужно решать несколько «ма¬
леньких» задач, то их можно решать одновременно
на одном анализаторе, если только удастся набрать
их все на коммутационном поле.
Таким способом можно моделировать любые физи¬
ческие процессы, происходящие в двигателях, ядерных
реакторах, механических или гидравлических систе¬
мах и т. п. Если бы еще можно было имитировать
процесс понимания научно-популярной книги.

ГЛАВА IΠ
АНАЛОГОВЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ
В разделе «Проблески гениальности» третьего
тома сочинений Тувима можно найти следующий
меткий афоризм, заимствованный, вероятно, у Шоу:
«Скажи человеку, что на небе 978 301246 569 987
звезд, и он поверит. Но если повесить табличку: «Ос¬
торожно, окрашено!» — он дотронется пальцем и ис¬
пачкается».
Действительно, у людей есть какое-то врожден¬
ное Люлтение к цифрам, доходящее почти до степени
культа и наиболее сжато выражающееся в распро¬
страненной поговорке: «Цифры не лгут». Всякая
нецифровая информация невольно внушает нам подо¬
зрения. Автора, например, всегда беспокоят краси¬
вые клише с графиками, которые должны иллюстри¬
ровать рост производства тех или иных товаров, редко
встречающихся в магазинах, но когда он не видит
никакого графика и читает в газете, что только
в течение последнего года производство чего-нибудь
возросло на 13,75%, то в первый момент готов по¬
верить абсолютно безоговорочно. Только потом начи¬
наются размышления: а можно ли этот рост изме¬
рить с такой точностью — вплоть до сотых долей
процента? С математической точки зрения правиль¬
нее было бы написать «приблизительно 13,7%», или,
еще осторожней, «около 13% >>. Но, как известно, упо¬
требление в обиходном языке слова «приблизительно»
возбуждает недоверие к сообщаемой информации.
Люди боятся приближений, хотя в повседневной прак¬
тике имеют дело исключительно с приближенными
числами.
77

Можно ли, например, говорить о «точной» длине
стола? Допустим, кто-нибудь с помощью линейки
измерил длину своего стола и убедился, что она рав¬
на 136,5 см. Всегда ли при измерении этого стола
с помощью этой же линейки будет получен тот же
результат? При измерениях такого рода можно лег¬
ко потерять 1 мм, а при некоторых условиях погреш¬
ность измерения может достигнуть 5 мм. Способ¬
ствуют этому множество факторов. В зависимости от
влажности воздуха и изменений температуры наш
стол либо несколько сжимается, либо, наоборот, рас¬
ширяется; части, из которых он собран, перекаши¬
ваются. Конечно, подобным деформациям подвер¬
гается и наша деревянная линейка. Но даже если
заменить ее металлической, все равно приходится
иметь дело с деформациями, на этот раз с деформа¬
циями металла.
Пусть кто-нибудь из упрямства поместил стол в
термостатном боксе, где обеспечено постоянство тем¬
пературы и влажности, и взял очень точную метал¬
лическую измерительную линейку, сделанную из
специального сплава, почти не подвергающегося де¬
формациям. Но, как бы он ни старался зафиксиро¬
вать условия измерений, выполнить идеально точное
измерение он все равно не сможет.
Представим себе (на самом деле это уже совер¬
шенно нереально), что мы имеем в своем распоря¬
жении измерительную линейку, позволяющую выпол¬
нять измерения с точностью до одной миллионной
доли миллиметра. С помощью такой линейки мож¬
но было бы, конечно, измерять различные предметы,
но только не стол. В самом деле, что такое длина
стола? Расстояние между его боковыми краями, не
так ли? Но разве эти края идеально параллельны?
Так, может быть, выбрать какие-нибудь точки на
этих краях, например на их серединах?
Это ничего не даст. Любая метка, самая малень¬
кая точечка, имеет какие-то размеры — иначе ее
нельзя было бы обнаружить. Достичь большей точ¬
ности, чем размер метки, невозможно. Может быть,
в таком случае выбрать какие-нибудь два атома где-
нибудь на серединах сторон нашего стола?
78

Это ничего не даст. Ведь атомы непрестанно со¬
вершают колебательные движения, которые исче¬
зают только при температуре абсолютного нуля.
А что если заморозить наш стол? Температура аб¬
солютного нуля — как предельная — недостижима в
точности. Но допустим даже, нам удастся ее дости¬
гнуть и мы получим наконец два абсолютно непо¬
движных атома, расположенных на серединах двух
противоположных сторон стола. Измерим расстоя¬
ние между этими атомами или, еще точнее, расстоя¬
ние между центрами этих атомов. Пусть даже уда¬
стся получить результат внушительной точности, на¬
пример 136,49865476 см. Результат и в самом деле
очень точный, но разве это искомая «точная» длина
нашего стола? По-видимому, нет. Ведь совершенно
ясно, что результат существенно зависит от выбора
атомов-меток. Уточняя условия измерения, мы про¬
сто потеряли из виду длину стола и перешли к из¬
мерению расстояний между отдельными атомами.
К сожалению, так уж устроен наш мир, что все
физические измерения могут быть только прибли¬
женными. И тут сделать ничего нельзя. Рассматри¬
ваемый стол, несомненно, существует, «причем неза¬
висимо от нашего сознания», и, бесспорно, является
материальным объектом. Этот стол имеет простран¬
ственную протяженность, длину, ширину и высоту —
это его физические характеристики. К ним можно
добавить еще вес, твердость и т. п. Но численные
значения этих физических величин имеют смысл
только в связи с определенным способом измерения
и к тому же всегда являются приближенными вели¬
чинами. Поэтому можно говорить только о наибо¬
лее вероятной длине стола как средней ряда изме¬
рений и при этом отдавать себе отчет в том, что,
если даже будут выполнены тысячи и миллионы та¬
ких измерений, средняя величина все же останется
приближенным числом. Таким образом, «точные»
числа появляются только в чисто математических
рассуждениях, а на практике мы должны пользо¬
ваться — хотим мы этого или не хотим — только
приближенными числами.
Но довольно разговоров о длине стола, так как
читатель, наверно, уже начинает терять нить
79

рассуждений. Вернемся к нашим аналоговым устрой¬
ствам и к тайнам их электронного содержимого, где
вычисления производятся также приближенно, по¬
тому что их действие основано на использовании
физических законов, которые имеют характер ста¬
тистических закономерностей.
Читатель может здесь спросить: «Неужели и в
самом деле нет таких физических величин, числен¬
ные значения которых можно определить совершен¬
но точно? Например, число жителей?»
На первый взгляд может показаться, что этот
пример опровергает наши предыдущие выводы, од¬
нако не следует забывать о рождении и смерти, ко¬
торые приводят к тому, что «точное» число жителей
подвергается быстрым изменениям, тем более быст¬
рым, чем с большим числом жителей мы имеем
дело. Поэтому результат даже самой точной пере¬
писи всегда содержит некоторую погрешность, зави¬
сящую от точности фиксирования моментов единич¬
ных рождений и смертей, а также времени прибы¬
тия иммигрантов и отъезда эмигрантов. Кроме того,
всегда существует опасность «потерять» кого-нибудь
при переписи, например людей, не имеющих по¬
стоянного места жительства, или охотников, кото¬
рые как раз в это время ушли на промысел. Одно
дело пересчитать несколько десятков людей, а дру¬
гое— многомиллионное население, когда в среднем
происходят одна смерть и три рождения в течение
каждой минуты.
То обстоятельство, что на практике используются
только приближенные числа, не приводит к каким-
либо особым трудностям. Как уже было сказано,
«идеально точные» величины нужны только матема¬
тикам в их теоретических исследованиях. При реше¬
нии же практических задач эти математики могут
оперировать только приближенными числами, конеч¬
но, с необходимой им степенью точности. Нет смыс¬
ла определять длину стола с точностью до 0,1 мм,
если прямолинейность его сторон выдержана с точ¬
ностью, например, 1 мм, а точность параллельности
этих сторон составляет 5 мм.
В результате всего этого областью применения
цифровых машин стали теоретические вычисления,
80

а также различные кропотливые или треоующие
большой точности практические вычисления. Более
же простые практические вычисления можно с успе¬
хом выполнять при помощи аналоговых машин. Точ¬
ность таких приближенных вычислений может в осо¬
бых случаях достигать четырех значащих цифр,
обычно же она колеблется в пределах от двух до
трех цифр. Это значит, что для аналоговой машины
с промилльной1 точностью (0,1%), которой соответ¬
ствуют три верные значащие цифры, число π равно
3,14. При решении задач, требующих большей точ¬
ности, эта машина становится бесполезной, так как
она не в состоянии воспринимать числа с большим
количеством значащих цифр; она их просто «не по¬
нимает». Например, если бы нужно было ввести в
такую машину число 3,1416, являющееся более точ¬
ным приближением числа π, то после ввода первых
трех цифр две оставшиеся были бы ни к чему.
Нашего «туриста» это не должно особенно удив¬
лять, ведь мы находимся в «Стране плавающего
нуля».
Умерла программа, схоронили мы ее...
Цифровые машины отличаются от аналоговых не
только способом записи чисел, но и степенью авто¬
матизации. В цифровых машинах программа, как и
числа, хранится в памяти; так же как над числами,
производятся операции над кодами программы. Ха¬
рактерно, что выполняемая в некоторый момент вре¬
мени часть программы может изменять другую часть
этой же программы, которая будет выполняться
позже. Это можно выразить образно, сказав, что
цифровые машины способны к «самопрограммиро¬
ванию». Поэтому их считают автоматами с наивыс¬
шим уровнем организации — с автономной органи¬
зацией. Именно благодаря свойствам автономности
на цифровых машинах можно выполнять блестящие
кибернетические опыты по типу процессов «обуче¬
ния», «эволюции» и «самовоспроизведения». Не обя-
1 Промилле равно 0,001 (так же как процент равен 0,01).—
Прим, перев.
б А. Эмпахер
81

зательно строить для этого специальные цифровые
машины; для кибернетических опытов пригодна лю¬
бая крупная универсальная цифровая машина, а
именно машина с так называемой запоминаемой
программой.
Несколько столетий назад сторонники «машин¬
ного мышления» могли бы рассчитывать, что им
придется встретиться на общем костре, теперь же
они встречаются за общим столом во время кибер¬
нетических симпозиумов и с жаром обсуждают, что
возможно и что невозможно для «программного
мышления», обсуждают, программы самоисправляю-
щиеся, самоорганизующиеся, самообучающиеся, эво¬
люционные и самовоспроизводящиеся. Почему гово¬
рят об «обучении» программы, а не машины? Про¬
сто гораздо легче моделировать процесс обучения в
памяти цифровой машины, чем строить для этой
цели специальную машину. Для теоретических ис¬
следований этого вполне достаточно.
Запоминаемая программа обнаруживает динами¬
ческие свойства: ее автоматически может изменять
машина, управляемая другой или даже той же са¬
мой программой. Такую динамически изменяющую¬
ся программу можно назвать «живой» в отличие от
«мертвых» статичных программ, которые невозмож¬
но изменить без непосредственного вмешательства
человека.
В цифровых машинах программа принимает аб¬
страктную форму запоминаемых электрических им¬
пульсов. В аналоговых машинах программы как-то
более материально ощутимы — это статичные про¬
граммы в виде «мертвых» соединений между отдель¬
ными вычислительными устройствами машины, осу¬
ществленных с помощью проводов. Схему такой про¬
граммы нетрудно нарисовать на листке бумаги, и
опытный инженер или математик может быстро ее
проверить. Именно этим полезным качеством не об¬
ладают цифровые машины: проверка динамичной
программы требует значительных усилий, так как
нужно проследить все возможные варианты «жиз¬
ни» такой программы.
Аналоговая машина, однажды запрограммиро¬
ванная, может выполнять только ту программу,
82

которая в ней установлена. Она не сумеет сама из¬
менить раз сделанных соединений; для этого необ¬
ходимо вмешательство оператора. Вообще говоря,
для аналоговых машин можно было бы устраивать
специальные автономные приставки для автоматиче¬
ского изменения структуры соединений, однако до
сих пор таких устройств нет, хотя при современном
состоянии техники это было бы только вопросом
стоимости 1.
Аналоговые машины по сравнению с цифровыми
имеют еще одну особенность. Программа в цифро¬
вой машине выполняется последовательно, шаг за
шагом. Получается, как при вязании на спицах,—
каждая часть будущего изделия состоит из одиноч¬
ных петель в различных сочетаниях. Аналогия здесь
очень точная: ведь существуют справочники по вя¬
занию на спицах, в которых содержатся детальные
указания и расчеты в такой же непонятной для не¬
посвященных форме, как и программы для цифро¬
вых машин. И только после скрупулезного и пра¬
вильного выполнения всех пунктов этой программы
в нужной последовательности появляются резуль¬
таты решения, то есть вязаные изделия. Но если рас¬
сматривать отрывки программы, трудно догадаться
об их назначении; так, например, следующая строка
символов:
... T2 B5 T1327 T13 F1337 U12 HW Т7 В12
Тб В12 Т2 ...
представляет собой отрывок программы для вычис¬
ления тригонометрических функций в программном
коде одной из цифровых машин. Она имеет такой же
непонятный вид, как и строка:
... ZP. 5P. N.O.N. 5P. N.O.N. 5P. ZU. Р. ZP.
5P. N. О. N. ...,
1 Устройства для автоматического изменения более или ме¬
нее обширных частей программы имеются в большинстве совре¬
менных аналоговых машин, например в советских машинах
МН-11 и МН-7, но по сравнению с цифровыми машинами разно¬
образие возможных изменений аналоговой программы неизме¬
римо меньше. — Прим, перев.
6*
83

которая является отрывком программы для вязания
на спицах салфетки с узором из листьев липы. Что¬
бы понять такие «дискретные» программы, нужно их
тщательно проанализировать шаг за шагом.
Программу для аналоговой машины удобнее все¬
го представить в виде графической схемы, которую
можно охватить буквально одним взглядом, как эс¬
киз выкройки в журнале мод. Каждая из начерчен¬
ных линий важна и не может быть пропущена, од¬
нако для понимания всей схемы имеет решающее
значение взаимное расположение всех линий. Иногда
и дискретную программу удается представить в ви¬
де графической схемы, что, несомненно, дает более
наглядное представление. Однако такая схема имеет
последовательный характер, так как соответствую¬
щая ей программа выполняется на цифровой машине
последовательно.
Более образно можно сказать, что на схеме по¬
следовательного действия «работает» только одна
«черточка». На схемах аналоговых машин в каждый
момент «работают» все «черточки», что соответствует
одновременной работе всех вычислительных устройств
машины. Такие программы мы будем называть про¬
граммами одновременного действия в отличие от про¬
грамм последовательного действия, выполняемых
пункт за пунктом.
Отдельные части программы последовательного
действия, собственно говоря, постоянно «на отдыхе»,
работают они только очень короткое время, когда
приходит их очередь, и после этого опять «отды¬
хают». Напротив, все части программы одновремен¬
ного действия постоянно заняты, неутомимо уча¬
ствуя в общей работе. Приняв во внимание разницу
в способах выполнения программ одновременного и
последовательного действия, следует ожидать, что в
общем они имеют различные области практического
применения. Так что аналоговые машины приме¬
няются для иных вычислений, чем цифровые.
Работу программы одновременного действия
можно математически описать при помощи диффе¬
ренциальных и интегральных уравнений. Область
использования этих уравнений и определяет область
применения аналоговых машин. С другой стороны,
84

программу последовательного действия можно мате¬
матически описать с помощью последовательностей ал¬
гебраических и логических формул — слишком общих
и абстрактных, чтобы можно было резко очертить здесь
границы применимости, особенно для «живых» про¬
грамм. Трудно представить себе «живые» программы
одновременного действия — это соответствовало бы
некоторому физическому явлению, описываемому в
каждый момент времени новым дифференциальным
уравнением, то есть удовлетворяющему в каждый мо¬
мент времени иному физическому закону. Именно
поэтому аналоговые машины в основном программи¬
руют только «намертво».
Различие областей применения аналоговых и
цифровых машин привело в последнее время к соз¬
данию систем математических машин, в которых со¬
четается работа цифровых и аналоговых устройств.
Эти устройства, названные биологическим термином
«гибридные», нашли особенно широкое применение в
области автоматизации фабрик, средств транспорта
и других объектов. Соединенные для совместной ра¬
боты определенным образом цифровые и аналоговые
устройства выполняют программы как одновремен¬
ного, так и последовательного действия. В частно¬
сти, цифровые устройства здесь могут программиро¬
вать работу аналоговых устройств. Дальнейшее
развитие гибридных систем может привести, таким
образом, к «оживанию» программ одновременного
действия, что значительно расширило бы возможно¬
сти кибернетики.
Быть может, именно к этому ведет путь «высших
применений» математических машин — распознава¬
ния образов, звуков, синтеза речи и других удиви¬
тельных вещей. Выполнявшиеся до сих пор киберне¬
тические опыты на цифровых машинах дали, правда,
многообещающие, но пока еще очень скромные ре¬
зультаты, имеющие главным образом теоретическое
значение. Во всяком случае, благодаря им никто не
имеет оснований заподозрить в психической ненор¬
мальности человека, утверждающего, что представ¬
ление о машине, по-настоящему воспроизводящей
ход мыслей человека, не противоречит законам при¬
роды.

Составляем схемы
Работа человека по обслуживанию аналоговой
машины одновременного действия состоит по суще¬
ству из четырех операций:
выполнения сети соединений, то есть установки
структуры решаемого уравнения;
установки поворотных ручек, то есть выбора нуж¬
ных значений коэффициентов уравнения;
пуска машины;
остановки машины спустя некоторое время и из¬
влечения листа бумаги с вычерченным на нем ре¬
шением.
Если же мы работаем на специальной машине, то
есть на машине, предназначенной для решения урав¬
нений определенного типа, то первая операция отпа¬
дает и остается только установить параметры — ко¬
эффициенты. Отсюда видно, что работа оператора
аналоговой машины не особенно сложна, исключая
случаи, когда для задачи выбран неправильный мас¬
штаб и решение «уходит» за шкалу устройства за¬
писи решений. Тогда нужно выполнить такие мате¬
матические преобразования заданного уравнения, что¬
бы график решения уместился на бумаге.
Таким образом, в течение всего времени работы
выполняются именно математические операции, и тех¬
нические особенности вычислительной машины не
имеют существенного значения. Поэтому при состав¬
лении схемы соединений вычислительных устройств
принимаются во внимание не все технические детали,
а только непосредственно отраженные в программе.
Таким образом, мы приходим к блок-схемам, кото¬
рые легко доступны даже не слишком подготовлен¬
ному читателю.
На языке схем одновременного действия числа
обозначаются в виде линий. Образно можно пред¬
ставить себе такую линию, как провод, по которому
«течет» физическая величина, представляющая в ма¬
шине число. Примеры применения таких линий пока¬
заны на рис. 22.
Чтобы различать, какая линия какое число
представляет, применяют буквенные обозначения
(рис. 22,а). Алгебраической операции, например сло¬
ве

Рис. 22, Алфавит схем одновременного действия; а — числа,
обозначаемые линиями, б — схематическая запись операции сло¬
жения, в — перемножения, г — изменения масштаба, д — вычи¬
тания, е — деления, ж — графической регистрации результатов
вычисления.
жению, соответствует присоединение двух линий к
суммирующему устройству, обозначаемому треуголь¬
ником (рис. 22,6); величину суммы представляет
третья линия, являющаяся «выходом» сумматора.
Подобным же образом обозначается умножение
(рис. 22, б). Умножение на постоянную величину, или
получение пропорционального числа, изображают
еще проще, рисуя кружок, символизирующий изме¬
нение масштаба (рис. 22,г). Внутри кружка пишут
значение постоянной. Вычитание (рис. 22, д) пред¬
ставлено с учетом порядка элементов разности, так
как величина разности зависит от порядка вычита¬
ния. Линия вычитаемого подключена к устройству
вычитания «сбоку». Аналогично, чтобы по ошибке не
поделить в обратном порядке, делитель подключает¬
ся к делительному устройству (рис. 22, е). Список
элементарных устройств представлен почти полно —
нужно только не забыть об устройстве для записи
результатов. Мы будем обозначать его на схемах
большим кругом (рис. 22, ж), В каждой блок-схеме
87

8
Р и с. 23. Результат сложения при помощи двухвходовых сум¬
маторов (а и б) не зависит от порядка сложения, поэтому
можно применять трехвходовый сумматор (в). Вычитающее
устройство можно заменить сумматором, поставив масштабный
множитель (число —1) на его втором входе (г).
должно быть по меньшей мере одно устройство за¬
писи, иначе нельзя сформулировать результат.
Теперь, когда мы уже более или менее знаем ос¬
новной алфавит аналоговых машин, можно перейти
к упражнениям. Для начала построим «сумматор
для трех слагаемых». Для этого нужно только рас¬
полагать двумя сумматорами: один из них будет вы¬
числять сумму первых двух чисел, а второй — при¬
бавлять сумму, полученную из первого сумматора,
к третьему числу, и на его выходе появится оконча¬
тельный результат (рис. 23,«). Его можно либо ис¬
пользовать для других вычислений, либо записать
как решение.
Поскольку сложение обладает сочетательным
свойством, значение результата не будет зависеть от
способа присоединения сумматоров: можно сложить
сначала второе и третье числа, и полученную сумму
прибавить к первому. Новая схема соединений
(рис. 23,6) графически отличается от предыдущей,
но функционально эквивалентна ей. Для простоты
можно обозначать сумматор нескольких слагаемых од¬
ним треугольником (рис. 23,«), без трудоемкого рас¬
писывания элементарных (двухвходовых) сумматоров.
Имея сумматор и устройство для изменения мас¬
штаба и знака, можно обойтись без вычитающего
устройства, так как его можно сделать из сумматора
и блока изменения масштаба (рис. 23,а). Здесь,
88

б
Рис. 24. Выполнение простейших вычислений при помощи
аналоговых схем; а — вычисление длины прутка при различной
температуре, б — схема аналогового вычисления гармонической
суммы, в — схема, позволяющая безошибочно рассчитать цену
кофейной смеси.

Рис. 25. Иллюстрация алгебраических преобразований; а, б —
вынесение общего множителя за скобку; в, г — преобразование
в случае разности квадратов; д, е— различные представления
квадратного трехчлена. Если нужно реализовать квадратный
кстати, стоит добавить, что в электронных машинах
обычно так и делается.
Теперь давайте перейдем к следующим страницам
нашей книги, к ее более интересным разделам. Ме¬
таллический стержень при температуре 0° имеет дли¬
ну 5 м, а при нагревании до 1° удлиняется на 0,1 мм.
Какова будет его длина при нагревании до t граду¬
сов !? Схема соединений для получения ответа в сан¬
тиметрах дается на рис. 24, а.
Рабочие копают ямы для телеграфных столбов.
Старший выкапывает 10 ям в течение а часов, а
1 Это соответствует известной формуле теплового расши¬
рения
≈= А? “Ь* ААА
Где /0—начальная длина стержня, λ — коэффициент линейного
расширения данного металла, а h — длина стержня при тем¬
пературе t. В нашем примере ⅛ = 5 м = 500 см, ∕0λ = 0,1 мм ==
= 0,01 см.
90

трехчлен с изменяемыми коэффициентами без использования
скобок (ж), нужно применить на один мультипликатор больше,
чем при реализации выражения со скобками (з).
младший — столько же ям в течение b часов. За сколь¬
ко часов они выкопают 10 ям, работая вместе? Здесь
нужно применить схему для вычисления упоминав¬
шейся уже выше (стр. 56) гармонической суммы и
в соответствии с этой схемой соединить три устрой¬
ства: сумматор, множительное и делительное устрой¬
ства. Сумматор и множительное устройство имеют
общие входы, а их выходы присоединены к входам
делительного устройства, причем выход сумматора,
соответствующий знаменателю, присоединен «сбо¬
ку» (рис. 24,6).
Ободрившись достигнутыми успехами, попробуем
заняться продажей кофе. В магазин доставили а ки¬
лограммов кофе по цене 180 злотых за килограмм и
b килограммов кофе по цене 220 злотых за кило¬
грамм. Сколько будет стоить килограмм смеси? Для
91

точного решения (рис. 24, в) нужны два сумматора,
одно делительное устройство и два блока изменения
масштаба.
Алгебра цепей
Читатель, наверное, удивится, узнав, что язык схем
пригоден для иллюстрации алгебраических преобра¬
зований. Правилу вынесения общего множителя за
скобки соответствует замена двух множительных
устройств с одним общим входом, помещенных пе¬
ред сумматором, одним множительным устройством,
помещенным за сумматором (рис. 25, а, б). «Раз¬
ность квадратов» можно реализовать, имея два мно¬
жительных устройства, один сумматор и один блок
изменения масштаба (рис. 25, в, г); множительное
устройство оказывается значительно более дорого¬
стоящим, чем сумматор, поэтому для аналоговой ма¬
шины разность квадратов двух чисел, равная произ¬
ведению суммы двух чисел на их разность, менее
удобна, чем это произведение.
Общим правилом для составляющего программу
должно быть выполнение такого преобразования фор¬
мул, чтобы в них оставалось наименьшее число опе¬
раций умножения. Приведем пример: мастер полу¬
чил заказ покрыть квадратный столик со стороной
х пластиком по 100 злотых за квадратный метр; край
столика нужно обвести алюминиевой лентой по
50 злотых за погонный метр; сколько потребуется
денег, если только за работу мастер берет 120 зло¬
тых за столик? В этом примере мы приходим к квад¬
ратному трехчлену 100x2÷200x+120, который при
помощи скобок можно записать как (100% + 200)% +
+ 120.
Соответствующие этим двум выражениям схе¬
мы незначительно отличаются одна от другой
(рис. 25, б, е); для формулы без скобок нужен лиш¬
ний блок изменения масштаба, зато сумматоров
нужно одним меньше. Однако ситуация полностью
меняется, если приходится иметь дело с ценами об¬
щего вида: а, bi с. В этом случае получаем выраже¬
ние без скобок ax2 + bx + c и со скобками (ах + b)х +j
92

б
Рис. 26. Замыкание схемы соответствует знаку равенства (л),
наличие двух контуров в схеме соответствует системе уравне¬
ний (tf).
+ с. Более простым из них оказывается последнее,
так как для его реализации нужны только два множи¬
тельных устройства, тогда как первое требует уже
три таких устройства (рис. 25, ж. з).
Рассмотренные нами схемы относятся к катего¬
рии незамкнутых. Теперь ознакомимся с замкнуты¬
ми схемами, в которых содержатся так называемые
контуры. На рис. 26, а дается пример контура. Если
93

нижний вход множительного устройства обозначить
через х, то на его выходе появится величина 5%, а на
выходе сумматора мы получим 5х — 2. Если теперь
нижний вход множительного устройства соединить с
выходом сумматора, то получится уравнение х =
= 5х— 2. Это уравнение имеет решение x = 0,5, и
именно такую величину можно прочитать на шкале
самописца (кружок на выходе сумматора).
Итак, мы видим, что знаку равенства соответ¬
ствует соединение, замыкающее часть схемы и обра¬
зующее контур. Это справедливо и в случае иных
уравнений — дифференциальных, для решения кото¬
рых, как мы уже говорили, главным образом и соз¬
даются аналоговые машины. Построим здесь еще
схему для решения системы двух уравнений с двумя
неизвестными (рис. 26,6). Обозначая выход верх¬
него сумматора через х, а нижнего — через у, не¬
медленно получаем систему уравнений
x = 5λ⅛6z∕ — 26;
у = 7х— 8z∕-(- 13.
Эта система, как легко проверить, имеет решение
х = 2, г/ = 3; именно такое решение можно было бы
увидеть на шкалах самопишущих приборов.
Однако уравнения могут быть несовместными, то
есть вообще не иметь общего решения. В этом слу¬
чае аналоговая схема начала бы, образно говоря,
«буйствовать». Проявлением этого явилось бы не¬
нормальное поведение подключенного к схеме само¬
писца, который все время показывал бы новые зна¬
чения и не мог «успокоиться».
Может также случиться, что аналоговая схема
окажется удивительно «спокойной». Это произойдет,
если решаемая система уравнений является неопре¬
деленной, то есть имеет бесконечное число решений.
Тогда поведение подключенного к схеме самописца
будет исключительно спокойным, он пассивно «со¬
глашался» бы с любым предлагаемым значением ре¬
шения. Это повлекло бы за собой стремление
самопишущего прибора к сохранению прежних пока¬
заний, какими бы они ни были. Другими словами,
94

аналоговая схема в этих условиях находилась бы в
состоянии безразличного равновесия.
Опытный вычислитель без труда находит выход
из таких неприятных положений, наблюдая за пове¬
дением самописца (или только самого измеритель¬
ного прибора) и определяя по нему характер решае¬
мых уравнений.
Но пора уже войти в ворота, ведущие в «Страну
дифференциальных уравнений», отныне речь пойдет
главным образом о переменных величинах.
Интеграторы
«Страной дифференциальных уравнений» безраз¬
дельно владеет интегратор — аналоговое устройство
для интегрирования. Если на входе интегратора
(рис. 27, а) появится, например, переменная υ, пред¬
ставляющая скорость некоторого движения, то на
выходе интегратора окажется переменная S, пред¬
ставляющая пройденный путь. Устройства, выпол¬
няющие обратную операцию, — дифференциаторы —
находят в «Стране дифференциальных уравне¬
ний» очень небольшое применение, поэтому описа¬
ние их можно опустить без большого ущерба для чи¬
тателя.
Интеграторы можно соединять между собой.
Возьмем два интегратора и соединим их последова¬
тельно (рис. 27,6). Если на входе первого интегра¬
тора появится переменная а, представляющая, на¬
пример, ускорение некоторого движения, то на вы¬
ходе второго интегратора получим уже переменную
S, представляющую пройденный в этом случае путь;
как мы помним, скорость υ равна интегралу уско¬
рения.
А теперь попробуем сделать обратное соединение,
заключив два интегратора в контур (рис. 27,в). Со¬
единив проводом выход правого интегратора с вхо¬
дом левого, мы приравниваем переменную S к пе¬
ременной а\ на схеме, однако, мы видим блок изме¬
нения масштаба, который умножает переменную S
на —1, то есть изменяет ее знак на противополож¬
ный. В этом случае мы приходим к уравнению
а = —$, то есть к уравнению движения, при котором
95

<5^
Рис. 27. Интегратор преобразует скорость в путь (л); два ин¬
тегратора, соединенные последовательно (<7), преобразуют уско¬
рение в путь, а замыкание контура через блок изменения мас¬
штаба дает уравнение колебательного движения, графиком
которого является синусоида (в).

путь имеет величину, противоположную ускорению.
С таким уравнением, записанным в виде <7÷S = 0,
мы уже встречались в главе II.
Это — уравнение маятника или, в более общем
случае, уравнение гармонического движения. Пред¬
ставленная схема красноречиво свидетельствует, что
«контур с двумя интеграторами» должен играть
важную роль в гармонических анализаторах. Чаще
всего они используются для получения синусоидаль¬
ных колебаний. Но и сами по себе интеграторы яв¬
ляются для нас полезным инструментом, так как в
математических формулах, на которых основана раз¬
работка гармонических анализаторов, интегралы
встречаются очень часто.
Однако не будем запугивать интегралами, ведь
наши «туристы» не подготовлены к трудному высоко¬
горному восхождению и предпочитают восхищаться
красотами «Страны дифференциальных уравнений»
с некоторого расстояния. Итак, мы остановимся еще
только на вопросе подбора масштаба. С этим стал¬
кивается, например, чертежник, когда в процессе ра¬
боты он вдруг убеждается, что изображение не поме¬
щается на приготовленном листе. В таком случае
нужно либо взять лист большего формата, либо
уменьшить масштаб чертежа. Но каждое аналоговое
вычислительное устройство имеет свой установлен¬
ный «размер»; таким образом, при выполнении вы¬
числений остается только уменьшить масштаб. Лег¬
ко сказать, но если для решения системы уравнений
требуется много вычислительных устройств, то каж¬
дое изменение масштаба приводит к громоздким
преобразованиям, которые необходимо выполнить на
бумаге. И что еще хуже, никогда заранее неизвест¬
но, будет ли выполненное уменьшение масштаба до¬
статочным. Ведь нельзя уж слишком уменьшать
масштаб, чтобы при этом не потерять в точ¬
ности.
Поэтому пусть читателя не удивляет, что процесс
решения одного дифференциального уравнения мо¬
жет длиться иногда несколько дней, особенно если
нужно исследовать ряд возможных вариантов значе¬
ний коэффициентов. Ведь установка этих коэффици¬
7 А. Эмпахер
97

ентов производится вручную, сама машина «только»
находит и вычерчивает решение. Хуже, когда входя¬
щие в уравнение коэффициенты являются не обыч¬
ными числами, то есть константами, а переменными,
то есть функциями. В таких случаях прибегают к
сложным устройствам, называемым генераторами
функций, но об этом позже.
Так в общих чертах выглядит переход от про¬
граммы одновременного действия к системе ана¬
логовых устройств, выполняющих эту программу.
Сумматоры
Простейшим сумматором, несомненно, является
так называемый электрический узел. В соответствии
с первым законом Кирхгофа, сумма сил токов, при¬
текающих к узлу, равна силе тока, вытекающего из
него. Так что достаточно спаять три кусочка про¬
вода— и сумматор готов (рис. 23, а). Другим приме¬
ром узла могут служить три трубы. Количество воды,
вытекающей из третьей трубы, равно суммарному
количеству воды, притекающей по первым двум тру¬
бам. Если одна из входных труб будет не нагнетать
воду, а отсасывать ее, то этот узел будет выполнять
вычитание. Перекачивание воды в нужном направле¬
нии, по-видимому, легче всего осуществить при по¬
мощи вставленных в трубы поршней. Достаточно за¬
дать положение двух поршней; тогда третий сам
примет нужное положение, указывающее величину
суммы или разности (рис. 28,6).
Механический сумматор можно найти даже... в
автомобиле. Это так называемый дифференциал
(рис. 28,в). Если мы разберем задний мост авто¬
машины, то увидим, что каждое колесо посажено на
отдельную полуось, оканчивающуюся конической ше¬
стерней. Шестерни расположены таким образом, что¬
бы они могли входить в сцепление с двумя другими
коническими шестернями — сателлитами. Сателлиты
встроены в общую обойму — водило, которое скреп¬
лено с пятой конической шестерней — ведущей, имею¬
щей форму тарелки.
Обладая хотя бы небольшим пространственным
воображением, из рис. 28 легко увидеть, что полуоси
98

Рис. 28. Различные способы исполнения аналоговых
сумматоров.
могут вращаться даже в том случае, когда веду¬
щая шестерня неподвижна, если только одна из по¬
луосей будет вращаться вправо, а другая — влево;
суммарное число оборотов (считая обороты вправо
положительными, а влево отрицательными или на¬
оборот) будет равно нулю, что соответствует непо¬
движной ведущей шестерне. Если же она вращается
с угловой скоростью s, то эта скорость всегда равна
среднему арифметическому угловых скоростей обеих
полуосей. Таким образом, дифференциал является
сумматором оборотов с коэффициентом пропорцио¬
нальности, равным 1∕2. Однако нетрудно превратить
7*	99

его в устройство, суммирующее без этого коэффи¬
циента. Для этого нужно сцепить с ведущей шестер¬
ней еще одну шестерню, с вдвое меньшим числом
зубьев, которая, конечно, будет вращаться в два раза
быстрее, чем большая, то есть со скоростью, равной
сумме оборотов обеих полуосей.
Правда, в автомашине дифференциал работает в
обратном направлении: ведущая шестерня выполняет
роль привода, а обе полуоси вращаются, совершая
вынужденное движение — с одинаковой скоростью на
прямолинейных участках пути и с неодинаковой при
движении по дуге (внешняя полуось делает при этом
больше оборотов, чем внутренняя).
На том же принципе, что и дифференциал, созда¬
но простое устройство для сложения перемещений
(рис. 28,а). Оно состоит из двух зубчатых реек с по¬
мещенной между ними одной сателлитной шестерней.
Перемещения оси этой шестерни равны среднему
арифметическому перемещений обеих реек.
В отличие от рассмотренных механических сум¬
маторов, которые можно было бы назвать «умень¬
шающими», попробуем представить себе сумматоры,
выполняющие умножение суммы на число, большее
единицы, то есть «увеличивающие». Систему блоков
(рис. 28, д), выполняющую обычное сложение, легко
преобразовать в удваивающую систему (рис. 28,а).
Именно из таких и подобных им систем блоков
Кельвин пытался строить свои анализаторы урав¬
нений.
Кроме «удваивающих» и «половинных» могут
быть также «комбинированные» сумматоры, дающие
любую нужную комбинацию составляющих. Напри¬
мер, если использовать рычаг с отношением плеч 1 : 2,
можно получить взвешенное среднее величины со¬
ставляющих с отношением 1:2, то есть обратном к
отношению плеч рычага. Можно получить среднее, на¬
пример 2∣za + b∣3, с помощью электрического устрой¬
ства, которое называется делителем напряжения, и
другими электрическими или механическими способа¬
ми. Можно было бы назвать еще много различных
конструкций.
Присоединив к «взвешивающему» сумматору со¬
ответствующий блок изменения масштаба, получим
100

суммирующее устройство, которое может образовы¬
вать любую «линейную комбинацию» (многочлен пер¬
вой степени) составляющих. Таким образом, это
устройство даст возможность получить не только взве¬
шенное среднее, в котором сумма коэффициентов дол¬
жна быть равна единице, но и произвольные суммы
вида ma + nb, где т и п — произвольные числа.
Поэтому здесь удобно ввести специальный символ
«комбинирующего» сумматора, помещенный на рис. 28
в центре и указывающий величины коэффициентов
многочлена. Это тем более целесообразно, что в элек¬
трических и электронных устройствах было бы трудно
отделить блоки чисто «масштабные» от чисто «сумми¬
рующих»; нередко и те и другие оказываются связан¬
ными в единое конструктивное целое.
Блоки изменения масштаба
Без сомнения, самыми простыми для понимания
аналоговыми устройствами являются блоки измене¬
ния масштаба, то есть «увеличивающие» или «умень¬
шающие» устройства. Достаточно представить себе ка¬
кие-либо две прямо пропорциональные физические ве¬
личины — и нам понятен принцип устройства блока
изменения масштаба. Несколько сложнее представить
устройство блока изменения масштаба с регулируе¬
мой величиной изменения, но и здесь все будет хоро¬
шо, если для сравнения снова использовать автомо¬
биль.
Имеющаяся в автомобиле коробка скоростей — это
тоже своего рода устройство изменения масштаба
(рис. 29,«). На четвертой скорости (а в некоторых ав¬
томашинах уже на третьей) масштаб не меняется —
передаточное отношение равно 1 : 1. Это значит, что
коленчатый и карданный валы вращаются с одинако¬
вой скоростью. Однако если перейти на меньшую ско¬
рость, например вторую, то карданный вал начнет вра¬
щаться медленнее, хотя число оборотов коленчатого
вала останется прежним.
Подобный передаточный механизм имеется на ве¬
лосипеде, где полному обороту педалей соответствует
несколько оборотов заднего колеса. Если у велоси¬
педа имеется переключатель скоростей (рис. 29, б),то
101

а
Рис. 29. Различные способы исполнения блоков изменения
масштаба.
можно изменять коэффициент передачи; практически
можно иметь два-три различных значения.
Имеются и электрические передачи, например при
помощи трансформаторов (рис. 29, в). В механических
передачах легко уменьшить масштаб путем включения
электрического сопротивления соответствующей вели¬
чины (рис. 29, г). В этом случае можно обойтись без
трансформаторов, с которыми, безусловно, работать
сложнее, а также и без переменного тока.
Изобретателем блока изменения масштаба, по-ви-
димому, можно считать Архимеда. Его знаменитое
правило рычага — это не что иное, как изменение мас¬
штаба сил. То же самое правило можно использовать
и для изменения масштаба перемещений (рис. 29, д),
102

Легко также выполнить устройство изменения мас¬
штаба, применив блоки (рис. 29, е); здесь, используя
два блока, получаем устройство для удвоения или для
уменьшения вполовину.
Перечисленные устройства аналогичны коробке
скоростей тем, что в них можно устанавливать лишь
отдельные зависящие от конструкции значения коэф¬
фициента передачи. Однако возможны и механиче¬
ские устройства с плавным изменением масштаба; на¬
пример, шарниры рычага можно перемещать плавно
при помощи установочного винта. Но самый любопыт¬
ный механический блок с плавным изменением мас¬
штаба можно найти опять-таки в автомобиле — это
так называемая бесступенчатая коробка скоростей,
принцип устройства которой см. на рис. 10. Она же
применяется как интегратор.
Наибольшее практическое значение имеют элект¬
ронные блоки изменения масштаба, в конструкции ко¬
торых применяются электронные лампы или транзи¬
сторы. Так как эти блоки используются совершенно
иначе, чем рассмотренные выше, мы опишем их не¬
сколько позже, при изучении электронных устройств.
Г енераторы
Слово генератор знакомо нашему читателю, так
как он, наверное, слышал о генераторах электриче¬
ского тока. Поскольку с математической точки зрения
генераторы применяются для получения электрических
импульсов, рассматриваемых как математические пе¬
ременные-функции, удобно ввести понятие генератора
функции.
Простейшим генератором такого рода был бы «по¬
движный график» в виде соответствующим образом
изготовленного шаблона, который перемещается по¬
ступательно (рис. 30, а) или вращается (рис. 30, б)
под специальным чувствительным элементом. Продоль¬
ное перемещение этого элемента соответствует функ¬
ции, представленной «шаблоном» в виде кривой. Та¬
кие и подобные направляющие кривые встречаются в
различных механизмах, например в четырехтактном
двигателе внутреннего сгорания (механизм привода
клапанов), часах (механизм почасового боя), станках
103

Р и с. 30. Различные способы исполнения генераторов функции
возведения в квадрат.
(различные направляющие шаблоны), в программных
неоновых рекламах (распределительные коробки) и
многих других устройствах, имеющих циклический ре¬
жим работы.
Недостаток таких генераторов — отсутствие «гиб¬
кости». Чтобы изменить генерируемую функцию, нуж¬
но изготовить новый металлический шаблон. Может
быть, кто-либо окажется настолько предусмотритель¬
ным, что приготовит заранее все шаблоны, какие толь¬
ко могут потребоваться. Но для их хранения не хва¬
тит и большого склада. Именно поэтому металличе¬
ские шаблоны применяют только для многократного
использования, где необходимость изменения устано¬
вленной функции возникает относительно редко.
101

Большой интерес представляют гидравлические ге¬
нераторы, в которых используются явления, связанные
с перетеканием воды между сообщающимися сосуда¬
ми или вытеканием воды из сосудов различной формы.
Примером такого генератора может служить даже
обычная кастрюля с дырявым дном (рис. 30, в). Если
кастрюля цилиндрическая, то уровень воды в ней по¬
нижается пропорционально квадрату времени, остаю¬
щегося до момента, когда она совсем опустеет. Гра¬
фик этой зависимости имеет вид отрезка параболы.
Другими словами, скорость снижения уровня воды в
кастрюле сначала велика, а затем постепенно умень¬
шается, достигая нулевого значения к моменту, когда
кастрюля полностью опустеет1.
ЛАы получим еще один генератор, если обеспечим
постоянный приток воды в сосуд клиновидной формы
(рис. 30,г). Уровень воды в таком сосуде будет повы¬
шаться сначала очень быстро, а затем все медленнее,
и к моменту наполнения скорость изменения будет
наименьшей. Зависимость между уровнем воды и вре¬
менем здесь также параболическая, но несколько
иного характера — истекшее время пропорционально
квадрату высоты уровня, или, что то же самое, уровень
воды повышается пропорционально квадратному кор¬
ню из времени. График этой зависимости также имеет
вид параболы, но расположенной несколько иначе.
Применяя сосуды более разнообразных форм, можно
получать очень сложные функции.
Менее наглядны, но зато более точны и удобны
разнообразные электрические генераторы функций.
По-видимому, простейшими из них являются так на¬
зываемые нелинейные переменные сопротивления, от¬
1 Естественнее всего предположить, что скорость истечения
воды будет пропорциональна давлению в области отверстия и,
следовательно, уровню жидкости. Тогда уровень воды будет за¬
висеть ог времени по закону
/г ≈ He~a∙t,
где h — уровень воды в любой момент времени /, Н — начали
ный уровень, а—постоянная, зависящая от размеров и формы
отверстия. Это экспоненциальная, а не параболическая зависи¬
мость. — Прим, ред..
105

личающиеся от обычных тем, что их электрическое со¬
противление не пропорционально перемещению пол¬
зунка, а выражено некоторым интегралом.
Если намотать провод не на прямоугольную, а на
треугольную плату, сопротивление такого устройства
будет пропорционально квадрату перемещения пол¬
зунка (рис. 30, д). Более сложные платы позволяют
воспользоваться другими функциями; например, пла¬
та с параболическим краем даст сопротивление, про¬
порциональное третьей степени перемещения ползун¬
ка, плата с краем в форме одной четвертой части ко¬
синусоиды— сопротивление, пропорциональное синусу
перемещения ползунка, и т. д. Разнообразие функций
значительно увеличится, если ввести неравномерное
движение ползунка, например синусоидальное или ка¬
кое-либо другое (рис. 30, е).
Существуют также генераторы функций, в которых
механическое движение вовсе отсутствует и исполь¬
зуются свойства выпрямительных электронных ламп
или полупроводниковых диодов.
Действие выпрямительной лампы, или вакуумного
диода, основано на том, что она имеет большое сопро¬
тивление для токов, текущих в одном направлении, и
свободно пропускает ток, текущий в обратном напра¬
влении. Точно так же действует полупроводниковый
диод с той лишь разницей, что габариты его намного
меньше и конструкция значительно более проста. По¬
этому мы ограничимся рассмотрением генераторов
функций, собранных на полупроводниковых диодах.
Простейшими из таких диодов являются кристалличе¬
ские детекторы, которые были распространены в дово¬
енные годы и применялись для выпрямления токов в
любительских радиоприемниках того времени.
Современный точечный диод является именно таким
кристаллическим устройством в миниатюре с тем пре¬
имуществом, что не требуется выполнять вручную ка¬
кие-либо манипуляции для получения хорошего кон¬
такта. Радиолюбителю двадцатых годов нередко
приходилось в течение долгих минут прижимать раз¬
личными способами тонкую проволочку к кусочку кри¬
сталла, пока он наконец не находил область с
нужными выпрямительными свойствами. Но это уст¬
ройство было очень чувствительным к толчкам, ко¬
106

торые изменяли положение проволочки, и все прихо¬
дилось время от времени начинать сначала.
В современном диоде используются кристаллы,
имеющие гораздо лучшие свойства, например герма¬
ниевые кристаллы. Выбор нужной точки контакта про¬
изводится уже на фабрике, и затем контактное острие
закрепляется неподвижно, что обеспечивает устойчи¬
вость к толчкам.
U-x>
)xr
3x~2f
5х-4,
O≤x ≤ 1
1 ≤ х ≤2
2 ≤ X ≤3
Рис. 31. Генератор ломаной линии (приближение параболы):
а — схема генератора, б — форма графика.
Точка соприкосновения острие — германий имеет
малое сопротивление в направлении от острия к кри¬
сталлу и большое от кристалла к острию. Другими
словами, ток беспрепятственно проходит в одном на¬
правлении и почти совсем не проходит в обратном. На
схемах диод обозначается как треугольник, касающий¬
ся углом толстой черточки; треугольник символизи¬
рует контактное острие, а толстая черточка — полу¬
проводниковый кристалл. Кроме того, направление,
указываемое треугольником, — направление проводи¬
мости, обратное—направление запирания. Другими
словами, треугольник — острие соответствует аноду,
а черточка — кристалл — катоду (об устройстве дио¬
да еще будет сказано на стр. НО).
Теперь, имея уже некоторое представление о диоде,
мы можем рассмотреть цепь, показанную на рис. 31, а.
107

На схеме представлены три параллельно соединенные
ветви. Средняя ветвь состоит из 1000-омного сопро¬
тивления; левая ветвь содержит 500-омное сопротивле¬
ние, соединенное последовательно с одновольтовой ба¬
тареей, которая установлена противоположно напра¬
влению проводимости подключенного к ней диода Dl.
Правая ветвь отличается от нее только тем, что ба¬
тарея в ней имеет вдвое большее напряжение: 2 в.
Точку Л, в которой соединяются все три ветви на ка¬
тодной стороне диодов, мы заземляем (ю есть пола¬
гаем, что ее потенциал равен нулю). Точка В, в кото¬
рой ветви соединяются на анодной стороне диодов,
представляет собой вход устройства; к нему подво¬
дится заданное напряжение х.
А теперь немного внимания.
Если напряжение х, которое мы условимся считать
положительным, не превышает 1 в, то оно не сможет
преодолеть напряжений батарей1. На катодной сто¬
роне обоих диодов напряжение будет больше, чем
на анодной стороне, поэтому диоды «заперты», и ток
в цепи может течь только по средней ветви. В соот¬
ветствии с законом Ома, согласно которому сила тока
равна частному от деления напряжения на сопротив¬
ление, в данном случае по цепи течет ток, равный
х/1000 а, то есть х ма (1 ма = 0,001 а).
Если входное напряжение х превзойдет 1 в, то на
анодной стороне диода Dl появится напряжение, боль¬
шее, чем на его катодной стороне, поэтому через этот
диод будет проходить ток, соответствующий разности
напряжений на концах сопротивления, которая соста¬
вляет (х— 1) в. При сопротивлении 500 ом это дает
ток силой 2(х—1) ма. Такой ток в сумме с током,
проходящим через среднюю ветвь, дает полный!
ток силой 2(х—1)+ х—(Зх—2) ма. Но нужно
помнить, что другой диод (D2 все еще не проводит
тока.
Однако если напряжение превысит 2 в, то будет
«открыт» также и правый диод; к концам правого со¬
противления приложено напряжение (х—2) в, что дает
дополнительный ток 2(х — 2) ма, который вместе с
1 Ток может проходить через диод, если потенциал анода
выше, чем потенциал катода.
108

токами предыдущих двух ветвей образует суммарный
ток цепи
2 (х — 2) ■+ Зх — 2 = (5х — 4) ма.
Поэтому цепь, показанная на рис. 32,«, реализует
функцию, определяемую следующим образом: если на¬
пряжение х изменяется в пределах от 0 до 1 в, то ток
растет от 0 до х ма\ при изменении напряжения от 1
до 2 в график тока у принимает вид у = 3х—2, и, на¬
конец, на отрезке от 2 до 3 в функцию у можно пред¬
ставить в виде у = 5х— 4.
Таким образом мы получим (рис. 31,6) три отрез¬
ка прямой, которые, как легко убедиться из графика,
являются приближением параболы τ∕ = %2 (очевидно,
для напряжения х, изменяющегося от 0 до 3 в). Точ¬
ность этого приближения небольшая, раз мы даже по
виду отличаем на графике ломаную линию от пара¬
болы. Но если применить более мелкое разбиение и
вместо трех использовать, например, двадцать сопро¬
тивлений, то погрешность приближения была бы не¬
заметной — не толще линии на графике.
Преимуществом рассмотренного диодного генера¬
тора является легкость изменения установленной функ¬
ции. Для этого достаточно соответственно изменить со¬
противление, что не вызывает затруднений, поскольку
имеются, например, ползунковые сопротивления с
плавным скольжением. Установка произвольной функ¬
ции в таком генераторе требует только настройки ус¬
тановочных ручек. При этом конструкция устройства
не меняется.
Имеются также функциональные генераторы еще
более простой конструкции, где не требуется установ¬
ка ручек, а достаточно вставить в устройство начер¬
ченный на бумаге график заданной функции. Элек¬
тронный датчик специальной конструкции «читает» ход
начерченной линии и вырабатывает пропорциональную
аналоговую переменную. Благодаря применению фо¬
тоэлемента датчик бежит точно по кривой; любое су¬
щественное отклонение от начерченной линии автома¬
тически исправляется.
Устройство такого рода ведет себя совсем как ра¬
диолокационная станция, которая прослеживает дви¬
жение наблюдаемого самолета и нацеливает на него
109

артиллерийский огонь. Преимуществом устройств та¬
кого рода является возможность применения графи¬
ков на больших листах, даже метрового формата. Не¬
достатком является очень высокая стоимость; поэтому
следящие генераторы используются только в преци¬
зионных анализаторах типа описанной выше машины
MITDA-2.
Одним из видов следящих генераторов являются
устройства с электронно-лучевыми трубками, где за¬
данная функция устанавливается шаблоном, вырезан¬
ным из черного картона. Однако точность такого гене¬
ратора очень низкая, в лучшем случае порядка 1%,
что существенно ограничивает область его применения.
Наконец, может быть, стоит упомянуть, что часто
строят стандартные генераторы, предназначенные иск¬
лючительно для реализации только одной функции.
Имеются устройства для возведения в квадрат, для ге¬
нерирования тригонометрических функций, а также
дающие логарифмические и показательные функции...
Многие из перечисленных устройств часто приме¬
няются как элементы для создания более сложных
вычислительных устройств, например множительных и
делительных.
Судьба вакуумной колбы
Если бы один изобретатель проявил в свое время
больше интереса к сделанному им открытию, то элек¬
тронная лампа была бы теперь уже восьмидесятилет¬
ней старушкой. В 1883 году этот человек открыл эф¬
фект прохождения электрического тока через вакуум.
Это произошло, когда он занимался усовершенствова¬
нием лампы накаливания. Томас Эдисон (речь идет
именно о нем) заметил, что если в обычную лампочку
(вакуумную колбу с нитью накала) впаять металли¬
ческую пластинку, то между нитью накала и этой пла¬
стинкой пойдет ток.
Эффект Эдисона только в 1904 году использовал
Флеминг, построив вакуумную электронную лампу —
диод. Спустя еще немного — в 1906 году появился и
предшественник современного полупроводникового
диода—кристаллический детектор. Его создателем
НО

был Пикар. Эти два изобретения появились в совер¬
шенно различных условиях, и прошло немало лет,
прежде чем выяснилось, что они могут иметь общее
применение и что невзрачное устройство с отсвечи¬
вающим кристалликом тоже можно без преувеличе¬
ния назвать диодом. Более ранняя их «встреча на об¬
щем пути» была невозможна, так как теория электрон¬
ных ламп была разработана уже несколько десятков
лет назад, в то время как явления, происходящие в
полупроводниках, до недавнего времени оставались
тайной.
Вакуумный диод — это стеклянная колба с двумя
впаянными в нее электродами: анодом, сделанным из
фольги, и стержневым катодом (обозначение катода и
Рис. 32. Принцип действия триода.
анода на схемах показано на рис. 32). Так как изве¬
стно, что катод подогревается с помощью небольшой
«печки», помещенной внутри него, или же непосред¬
ственно накаляется током, поступающим от специаль¬
ной батареи, то эти детали обычно на общих схемах
не помещают. Достаточно знать, что катод «каким-то
образом» подогрет докрасна.
Раскаленный стержень катода испускает электро¬
ны, которые благодаря созданному в колбе вакууму
могут в ней свободно перемещаться. Если теперь к
другому электроду — аноду — приложить извне элек¬
трическое поле (например, соединить его с положи¬
тельным полюсом батареи), то он начнет их притяги¬
вать и через диод пойдет ток. А если бы мы соединили
111

анод с отрицательным полюсом батареи, то он оттал¬
кивал бы электроны и в таких условиях диод не мог
проводить ток. Хотя электроны движутся в лампе от
катода к аноду, принято считать, что направление
тока, проходящего через лампу, обратное, то есть
от анода к катоду. Это необходимо для сохранения раз¬
личных принципов и правил об электричестве, сфор¬
мулированных еще до открытия электронов.
Однако вакуум в стеклянной колбе не давал покоя
изобретателям, — а что произойдет, если туда поме¬
стить еще одну проволочку? Такая мысль пришла в
голову нескольким инженерам почти одновременно,
так что потом в течение многих лет длился спор о том,
кому принадлежит первенство. Только в результате
судебного процесса выяснилось, что заслуга изобре¬
тения вакуумной электронной лампы с тремя электро¬
дами, или триода, принадлежит американцу Ли де
Форесту, создавшему эту лампу в 1906 году.
Первоначально триоды были объектом опытов, и
только после того, как научились получать глубокий
вакуум, Арнольд и Ленгмюр в 1912 году разработали
триод, пригодный для практического использования.
До этого времени свойства всех триодов оказывались
различными, и даже сам изобретатель сначала не до¬
гадывался о важнейшем свойстве триода — способно¬
сти усиливать изменения напряжения, подводимого к
третьему электроду.
Третий электрод, называемый сеткой, помещается
в триоде между анодом и катодом. На схеме (рис. 32)
он обозначен пунктирной линией в середине лампы.
В действительности это ажурный цилиндрик, окру¬
жающий стерженек катода и в свою очередь окру¬
женный цилиндриком анода.
Какова роль сетки? Как уже было сказано, ток
через лампу может течь только от анода к катоду,
то есть в направлении, противоположном движению
электронов. Оказалось, что сетка может «управлять»
этим потоком в зависимости от того, какой потенциал
к ней приложен. В частности, если это будет отрица¬
тельный потенциал (например, при соединении с от¬
рицательным полюсом батареи), то сетка не позволит
отрицательным электронам пройы к аноду, оттолкнет
их; если же к сетке подвести положительный потен-
112

а
Рис. 33. Внешний вид генератора ломаной линии на сопро¬
тивлениях и диодах (производства английской фирмы
«Соляртрон»).
циал, она немедленно ускорит движение электронов
от катода к аноду.
Что же случится, если мы присоединим к сетке
какой-либо источник переменного тока? Тогда она
будет то положительной, то отрицательной в такт из¬
менениям потенциала тока и будет то ускорять, то
замедлять движение летящих через лампу электронов.
Таким образом, ток через лампу будет меняться про¬
порционально изменениям потенциала сетки, причем
небольшим изменениям на сетке будут соответство¬
вать большие в анодной цепи. Именно это нам и
нужно. Разве можно представить себе лучший блок
изменения масштаба? Входной аналоговой перемен¬
ной в этом случае является напряжение на сетке,
а выходной — напряжение на аноде. Для каждой дан¬
ной лампы усиление постоянно; если нужно другое
усиление, следует использовать другую лампу.
Однако можно сделать и так, что в одну лампу
будет входить как бы несколько ламп. Для этого
нужно добавить только еще одну сетку. Таким путем
8 А. Эмпахер
113

мы придем к четырехэлектродной вакуумной лампе,
называемой тетродом, которая обладает свойством
изменять коэффициент усиления.
Но дадим нашему туристу минуту покоя. Ведь для
того, чтобы восхищаться красотой пейзажа, не обяза¬
тельно предварительно знакомиться с геологическим
строением района на глубину в несколько сот метров.
Технические детали могут быть и даже наверное яв¬
ляются любопытными, но когда мы знакомим кого-
нибудь с очаровательными византийскими миниатю¬
рами, то не докучаем ему детальным описанием тех¬
нологии изготовления красок того времени, так как
это может отбить охоту к осмотру даже самого инте¬
ресного. Итак, вперед на штурм!
Множительные устройства
Труднейшая для выполнения на аналоговых маши¬
нах операция — это умножение переменных. Умноже¬
ние переменной на постоянную легко выполняют блоки
изменения масштаба. Умножению переменной на пе¬
ременную отвечало бы умножение при помощи управ¬
ляемого блока изменения масштаба, в котором мас¬
штабный коэффициент меняется в соответствии с из¬
менениями одной из множимых переменных.
Таким образом, мы нашли первую группу множи¬
тельных устройств — так называемых следящих бло¬
ков изменения масштаба. Простейшим таким устрой¬
ством, по-видимому, является реостат с ползунком,
перемещаемым с помощью подключенного электро¬
двигателя. Но это должен быть не обычный двига¬
тель, который вращается без остановки. Хотя если
применить специальное устройство, называемое сле¬
дящей системой (сервосистемой), то вал двигателя
будет поворачиваться только на небольшие углы
(угол поворота пропорционален величине приложен¬
ного напряжения).
Множительное устройство, в основу конструкции
которого положена сервосистема, показано на рис.
34, а. Его принцип действия основан на том, что пере-’
мещение ползунка, осуществляемое сервосистемой,
пропорционально напряжению υb Итак, достаточно
приложить второе переменное напряжение (υ2) к рео-
114

Р и с. 34. Некоторые простейшие примеры выполнения мульти¬
пликаторов.
стату, чтобы в любой момент снимать с ползунка по¬
казания величины произведения обоих напряжений.
Недостатком таких множительных устройств яв¬
ляется замедленность их действия, вызванная инер¬
ционностью механических элементов, а преимуще¬
ством—достаточно большая точность вычислений.
Однако если перемножаемые величины изменяются
слишком быстро, особенно если переменная, управ¬
ляющая сервосистемой, сильно «скачет», то двигатель
может не успеть поворачиваться с такой быстротой,
с какой происходят изменения напряжения. Это
устройство напоминает в какой-то мере самолет, ко¬
торый не реагирует на очень быстрые повороты руля
туда и обратно и практически не меняет направления
полета. Можно это выразить более научно, сказав,
8*
115

что любая сервосистема проявляет некоторую времен¬
ную инертность и не реагирует на слишком кратко¬
временные изменения.
В свое время, когда широко использовались меха¬
нические анализаторы, применялись рычажные мно¬
жительные устройства, принцип действия которых по¬
казан на рис. 34,6. Переменные здесь представлены
перемещениями звеньев х, у и г. Звенья х и у удалены
на расстояние единицы длины перемещения; выходное
звено г, дающее величину произведения ху, переме¬
щается перпендикулярно двум предыдущим. Переме¬
щения входных звеньев отсчитываются от некоторой
координатной прямой (пунктирная линия). На пере¬
сечении этой прямой с осью перемещения звена у
находится штырь В, вокруг которого может вра¬
щаться угловой хомут L. Нижнее плечо хомута имеет
подвижное соединение со штырем С, который прикреп¬
лен к звену х в месте, соответствующем нулевому сме¬
щению. Верхнее плечо хомута имеет подвижное со¬
единение со штырем А, проходящим одновременно че¬
рез прорези звеньев у и г. На рисунке показано, что
движение звеньев х к у должно вызывать соответ¬
ствующее движение звена г. Теперь, рассмотрев по¬
добные треугольники, получим пропорцию 1 :,г = г/:г,
или, иначе говоря, z = xy, что и требовалось.
К сожалению, выполненное таким образом устрой¬
ство может на практике работать только в области
относительно небольших перемещений. Одновременно
с увеличением произведения z верхнее звено угло¬
вого хомута образует все меньший угол с прорезью
звена у\ в результате этого сопротивление сил трения
приводит к тому, что точка А, представленная подвиж¬
ным штырем, не сможет подниматься выше и тем
более поднимать звено z. Вот почему этот штырь вы¬
брасывали и заменяли его электрическим следящим
устройством, которое перемещало звено z до тех пор,
пока его прорезь не оказывалась на уровне точки А —
пересечения углового хомута с прорезью звена у. Та¬
ким образом, мы опять вернулись к сервосистемам.
Самое трудное уже позади. Теперь рассмотрим
более простые множительные устройства. Начнем
с логарифмического. Как известно, умножение чисел
можно заменить сложением их логарифмов. Может
116

быть, использовать подобный прием и при аналого¬
вых вычислениях? Возьмем два логарифмирующих
устройства (рис. 34, в) и подадим на их входы умно¬
жаемые переменные. Выходы обоих устройств при¬
соединяем к сумматору, чтобы получить сумму лога¬
рифмов. Теперь нужно только использовать так
называемый экспонентор, дающий величину показа¬
тельной функции (обратной по отношению к логариф¬
мической функции), и на выходе всего устройства
получим искомое произведение. Стоит добавить, что
входящий в состав такого множительного устройства
генератор логарифмической функции не сложнее, чем
рассмотренный выше генератор параболы.
Кстати, ведь можно умножать и с помощью пара¬
бол, для этого нужно только сначала выписать пра¬
вило, согласно которому четвертая часть разности
квадратов определенных двучленов равна произведе¬
нию. Это можно записать в виде следующей формулы:
(x + y)2-(x-y)2 =
4	У'
Сказанное выше можно легко проверить. К тому
же соответствующее множительное устройство, выпол¬
няющее умножение именно этим способом, показано
на рис. 34,г.
Из числа рассмотренных нами типов множитель¬
ных устройств чаще всего используются генератор
логарифмической функции, генератор параболы и
устройства с сервосистемами. Остальные в большей
или меньшей степени имеют познавательное значение.
Все же знакомство с ними позволило читателю узнать
о некоторых хитрых приемах, которые и сами по себе
довольно любопытны.
Однако погоня за такими приемами может увести
нас в сторону; как раз по этой причине нужно отка¬
заться от рассмотрения устройств, выполняющих де¬
ление. Упомянем только, что деление можно заменить
умножением на обратную величину; для этого нужно
иметь генератор гиперболы, выдающий обратную ве¬
личину, и множительное устройство. Но это доста¬
точно сложные веши, и читатель, который проходит
первую стадию посвящения, может простить нам то,
что мы их пока опускаем.
9 А. Эмпахер
117

Собираем результаты
Аналоговая машина, которая не может выдать
результаты своих вычислений в понятной для нас
форме, вряд ли на что-нибудь пригодна. Поэтому ис¬
пользуются различные устройства вывода: регистри¬
рующие приборы, самописцы и сигнализаторы. Реги¬
стрирующий прибор — это такой, по шкале которого
можно произвести отсчет текущего значения измеряе¬
мой переменной. В нем нет ничего особо интересного.
Зато чрезвычайно интересны самописцы. Вкратце
остановимся на них.
Простейшие самопишущие приборы — самописцы
с бумажной лентой. Вероятно, каждый из нас видел
барограф или термограф — метеорологические при¬
боры для построения графиков изменения давления
и температуры в течение суток. Бумажная лента ши¬
риной в несколько сантиметров движется со скоростью
порядка 2 мм/час, на которой стальное перо остав¬
ляет чернильную линию. Подобные самописцы можно
использовать как выводные устройства аналоговых
машин, но только желательно с большей скоростью
перемещения ленты.
Значительно реже встречаются специальные само¬
писцы, вычерчивающие графики на листах бумаги.
Графики, выполняемые этим способом, могут иметь
самую разнообразную форму, например образовывать
петли. Это возможно, потому что пишущее перо мо¬
жет перемещаться независимо в двух перпендикуляр¬
ных направлениях. Некоторые самописцы такого типа
имеют гигантские размеры, позволяющие чертить гра¬
фики на листах метрового и даже большего формата.
Благодаря таким самописцам получение точности по¬
рядка сотых долей процента оказывается сравни¬
тельно нетрудным. Ясно, что обеспечить такой же по¬
рядок точности вычислений много труднее.
Однако во многих случаях вычислитель не нуж¬
дается в большой точности, и тогда его удовлетворит
небольшой график. Неоценимую помощь оказывают
в таких условиях электронно-лучевые трубки, подоб¬
ные телевизионному кинескопу. На экране такой труб¬
ки наблюдается приближенный график интересующей
нас функции, причем отражены все характерные
118

Рис. 35. Графики, получаемые на выходе аналоговых машин
нередко имеют весьма сложные формы.
черты ее изменения. Исследуемая функция может
изменяться очень быстро — имеются способы сохра¬
нить мгновенный образ на экране в течение некото¬
рого времени. Для этого применяются лампы со спе¬
циальными долго светящимися экранами. Картину,
полученную на экране, можно сохранить навсегда,
сфотографировав ее или, скажем, записав ход соот¬
ветствующих напряжений на магнитофонную ленту.
Впрочем, этот последний способ применяется очень
редко.
о*
119

Р и с. 36. Электронно-лучевая трубка {а). Люминесцентный экран
дает возможность визуально наблюдать за движением пучка
электронов, который формируется специальной «электронной
линзой» (анодом) и затем отклоняется двумя парами перпенди¬
кулярных по отношению друг друга пластин. Прецизионный
электромеханический самописец «Вэриплоттер» (б).
120

Наконец, к аналоговой машине можно подключить
электрическую пишущую машинку, записывающую
цифрами значения переменных, измеренные в интере¬
сующие нас моменты времени. К этому добавляются
Атмосфера
А
.Лед
Рис. 37. Аналоговое моделирование теплообмена в холодиль¬
ной системе вагона-ледника (блок-схема).
различные контрольные лампочки, сигнализирующие
о поведении машины.
Однако следует заметить, что существуют также
аналоговые машины без пишущих выводных устройств,
например различные устройства автоматического ре¬
гулирования. К ним принадлежат, в числе других,
автоматы, поддерживающие оптимальные условия
работы электропечи в сталелитейном цехе, управляю¬
щие наводкой зенитного орудия или контролирующие
уровень воды в паровом котле. Впрочем, и в таких
случаях всегда имеются какие-нибудь регистрирующие
приборы, чтобы обслуживающий эти устройства пер¬
сонал всегда мог контролировать их работу.
Сила аналогии
Описание аналоговых машин будет неполным, если
не привести хотя бы один конкретный пример их ис-
121

пользования. Только тогда можно оценить огромную
практическую ценность этих устройств. Итак, допу¬
стим, что мы хотим свести к минимуму расход льда
в вагонах-холодильниках.
Прежде всего необходимо сформулировать физи¬
ческую задачу: определить, с какими величинами мы
имеем дело и какие между ними имеются соотноше¬
ния. Другими словами, нужно создать математиче¬
скую модель задачи, принимая во внимание только
важнейшие факторы и опустив второстепенные. Такая
модель наглядно представлена на рис. 37. Мы видим
здесь шесть тепловых «емкостей», обозначенных пря¬
моугольниками, причем стрелками показаны потоки
тепла. Потоки эти распространяются в соответствии
со следующей схемой: лед принимает тепло, содер¬
жащееся в воздухе, заполняющем внутреннюю часть
вагона, а воздух в свою очередь согревается под дей¬
ствием трех факторов: окружающей атмосферы, вен¬
тилятора, приводимого в действие электрическим дви¬
гателем, и перевозимого товара, которым является
клубника. Нужно еще принять во внимание выделе¬
ние клубникой тепла в результате медленного сгора¬
ния имеющегося в ней сахара.
Однако это не все. Нужно также знать некоторые
характеристики вагона: коэффициент теплоотдачи
стенок вагона, то есть постоянную теплообмена атмо¬
сфера— внутренность; затем выделение тепла двига¬
телем, приводящим в движение вентилятор, то есть
постоянную обмена вентилятор — внутренность; нако¬
нец, постоянные обмена внутренность — лед, товар —
внутренность и сахар—товар.
Но и это не все, мы должны еще принять во вни¬
мание две так называемые обратные связи, показан¬
ные на схеме пунктирными линиями. Первая из них,
связанная с потоком тепла в направлении внутрен¬
ность— лед, обусловлена постепенным уменьшением
этого потока по мере убывания тающего льда. Обра¬
зующуюся при таянии воду можно не принимать во
внимание, поскольку вагон-ледник сконструирован
так, что эта вода непрерывно вытекает наружу. Дан¬
ная обратная связь вызывается тем, что лед погло¬
щает тепло из окружающей среды только через свою
поверхность, которая по мере таяния льда умень-
122

шается в соответствии с правилом «двух третей»: пло*
щадь поверхности льда пропорциональна массе льда
в степени 2∕3, или, иначе говоря, куб площади этой
поверхности пропорционален квадрату массы.
Вторая обратная связь, влияющая на поток са¬
хар— товар, вызывается постепенным ускорением про-
Веити
лятор
часть
вагона
-Клубника |
Постоянная ×
теплоотдача А^ВН
Постоянная
теплоотдача K-*BH
Нерастаявший -t-
лед -у
'Переменная, скорость
таяния льда7 завися¬
щая от количесюа ос¬
тавшегося льда
Рис. 38. Упрощенная гидравлическая модель тепловых явлений,
происходящих при охлаждении.
цесса сгорания имеющегося в клубнике сахара по
мере увеличения температуры клубники. Именно эта
последняя связь предопределяет необходимость охлаж¬
дения: такой товар, как клубника или, скажем, салат,
если его хранить при слишком высокой температуре,
не только увядает из-за испарения влаги, но и теряет
часть содержащегося в нем сахара, что неблагопри¬
ятно сказывается на его вкусовых качествах.
Для полноты информации необходимо также знать
текущее значение температуры атмосферы, внутрен¬
нюю температуру вагона, температуру товара, коли¬
чество оставшегося льда, количество загруженного то¬
123

вара, время поездки и, наконец, температуру при до¬
ставке, то есть температуру, которую должен иметь
товар по прибытии на место назначения. Только те¬
перь можно перейти к вычислению количества льда,
которое нужно погрузить вначале, чтобы к моменту
окончания поездки в леднике оставался еще резерв,
скажем 500 кг льда, на случай непредвиденного про¬
стоя.
Для вычисления мы воспользуемся гидравличе¬
скими устройствами (рис. 38) ввиду большой нагляд¬
ности их действия. Температуру представим как дав¬
ление воды, измеряемой высотой ее столба. Количе¬
ство тепла будет выражаться количеством воды, по¬
этому расход тепла будет соответствовать расходу
воды. При этом можно так подобрать величины от¬
дельных параметров модели, чтобы динамические про¬
цессы в гидравлической системе протекали, скажем,
в 120 раз быстрее, чем в настоящем вагоне. Таким
образом, в течение 30 сек мы сможем проанализиро¬
вать поведение вагона в течение одного часа, а за
24 мин — на протяжении двух суток.
Имеющимся в нашей математической модели шести
тепловым емкостям будут соответствовать в гидра¬
влической модели шесть сосудов с водой. Темпера¬
туру атмосферы представляет высота уровня воды в
левом сосуде, потому что с левой стороны сосуда про¬
резано отверстие, через которое удаляется избыток
воды, а также потому, что обеспечен постоянный при¬
ток воды (кран), покрывающий ее расход, и уровень
воды в этом сосуде независимо от перетекания ее в
средний сосуд удерживается на постоянной высоте.
Это соответствует тому вполне понятному обстоятель¬
ству, что вагон, хотя он и является относительно хо¬
лодным объектом, практически не может вызвать по¬
нижения окружающей температуры; ведь его тепло¬
емкость ничтожно мала по сравнению с теплоем¬
костью даже ближайшей части атмосферы.
Внутренний канал трубки, соединяющий левый со¬
суд со средним, соответствует постоянной обмена
атмосфера — внутренность вагона; подобным же об¬
разом трубка, соединяющая средний сосуд с правым,
представляет обмен товар — внутренность вагона.
124

Тепло, выделяемое вентилятором, можно приближенно
считать постоянным; этому соответствует в нашей
модели верхний сосуд, из которого вода выте¬
кает под постоянным давлением п, следовательно,
равномерно, пропорционально сечению данного отвер¬
стия.
Площадь горизонтального сечения среднего сосуда
пропорциональна внутренности вагона, конечно, с не¬
которым масштабным коэффициентом теплоемкости.
Чем больше сечение (теплоемкость), тем медленнее
повышается уровень (температура) при одном и том
же притоке воды (тепла). Подобным же образом вы¬
брано сечение правого сосуда, представляющего теп¬
лоемкость товара, которая зависит от его вида и веса.
Тепло «дышащего» товара, то есть теплота «вы¬
доха», образующаяся в результате постепенного окис¬
ления имеющегося в товаре сахара, поступает в товар
тем больше, чем выше температура этого товара. По¬
этому сосуд, символизирующий «сахар», соединен
с баком «товар» при помощи специального клапана
(поплавка, соединенного с регулирующим конусом),
который — как показывает рисунок — замедляет про¬
пуск воды через отверстие в дне верхнего правого со¬
суда, если уровень воды в нижнем правом сосуде
начинает опускаться. И наоборот, при повышении
уровня воды в правом сосуде поплавок поднимет ре¬
гулирующий конус и увеличит пропуск воды. Это пер¬
вая из упомянутых обратных связей.
Аналогичным образом нужно связать «лед» с «вну¬
тренностью», с той лишь разницей, что регулирующий
конус должен быть обращен острием вверх. По мере
повышения уровня воды в сосуде «лед»-поплавок под¬
нимает конус вверх, уменьшая сток из среднего со¬
суда. Длина стержня, соединяющего поплавок с регу¬
лирующим конусом, выбрана так, чтобы повышение
уровня воды до отметки, соответствующей таянию
всего загруженного льда, полностью прекращало пе¬
ретекание воды из среднего сосуда. Количество
оставшегося льда измеряется расстоянием от факти¬
ческого уровня воды в нижнем сосуде до этого пре¬
дельного верхнего положения. При этом горизонталь¬
ное сечение нижнего сосуда выбрано так, чтобы 100 кг
льда соответствовало разности высот в 1 см.
10 А. Эмпахер
125

Итак, гидравлическая система для решения нашей
задачи готова. Чтобы начать вычисления, нужно
прежде всего приостановить движение воды в системе
с помощью каких-нибудь дополнительных клапанов,
затем наполнить все сосуды до заданных уровней и,
наконец, одновременно открыть все клапаны. Для
упрощения схемы эти клапаны не показаны.
А как с вычислением? Его нет. Нужно только сле¬
дить за уровнями воды в сосудах. Допустим, что мы
должны решить конкретную задачу: сколько останется
льда из 2500 кг после 40 часов езды с грузом в 5,5 тонн
салата, имеющего начальную температуру 20°, при
условии, что температура атмосферы и внутри вагона
одинакова.
Соединяем сосуды и трубки нужного сечения (от
этого зависит скорость аналогового процесса), пус¬
каем воду и через 20 минут определяем по уровням
воды в сосудах, что льда останется 570 кг, а темпе¬
ратура салата составит 11°. Однако для решения при¬
мера с несколько иными числовыми данными необхо¬
димо собрать другую систему, заменить сосуды и т. п.
С этой точки зрения решение практических задач при
помощи электрических или электронных анализаторов,
более удобных для настройки, значительно проще.
В этом месте «турист» может потерять терпение
и спросит, не проще ли было бы непосредственно ре¬
шить соответствующие математические уравнения.
Сверх того, он может обвинить нас, во-первых, в
чрезмерном упрощении задачи теплообмена в холо¬
дильной системе вагона-ледника и, во-вторых, в том,
что для более точных вычислений данной модели мо¬
жет оказаться недостаточно. Однако на практике лед
грузят с точностью до 50 кг или даже меньшей, так
что более точное решение не имеет практического
смысла и рассмотренная модель, которую предложил
французский инженер Ришар — специалист по холо¬
дильной технике, оказывается на практике вполне удо¬
влетворительной. Впрочем, особенно точной модели
вообще нельзя создать: для этого нужно было бы
предварительно знать распределение температур воз¬
духа на каждом участке пути на соответствующее ко¬
личество часов вперед. Но такими данными не рас¬
полагает еще ни один метеоролог.
10*
127

Зато первое обвинение было бы несправедливым.
Модель Ришара описывается системой из восьми диф¬
ференциальных и алгебраических уравнений, решение
которых обычными методами было бы невероятно
грудным, — а на аналоговой машине длится самое
большее минут двадцать. Именно по этой причине
аналоговые вычислительные машины становятся все
более необходимым орудием современного инженера,
имеющим почти такое же всеобъемлющее значение,
как логарифмическая линейка. Они абсолютно неза¬
менимы при исследовании сложных динамических про¬
цессов, для которых цифровые машины слишком гро¬
моздки, конечно, если только не требуется очень боль¬
шой точности вычислений.

ГЛАВА IV
ПОБОЛЬШЕ МАШИН ХОРОШИХ И РАЗНЫХ
Если задать специалисту-кибернетику вопрос о бли¬
жайших перспективах вычислительной техники во¬
обще, то в ответ можно услышать много увлекатель¬
ных и на первый взгляд даже фантастических расска¬
зов. Прежде всего, как должна выглядеть современ¬
ная машина? Специалисты технологи, работающие в
области микроэлектроники, уже сейчас научились де¬
лать настолько миниатюрные элементы, что в одном
кубическом сантиметре их помещается несколько со¬
тен штук. Следовательно, недалек тот час, когда
большая цифровая вычислительная машина будет за¬
нимать объем не больше современного телевизора или
даже транзисторного радиоприемника.
Если понятие «субсветовая скорость» примени¬
тельно к освоению космического пространства пока
что бытует только в фантастической литературе, то
для вычислительной техники оно уже стало реаль¬
ностью. Сейчас уже серийно выпускаются машины, в
которых одна операция выполняется за 300 нано¬
секунд (0,0000003 сек). Отдельные элементы, постро¬
енные на так называемых туннельных диодах, могут
выполнять свои простейшие операции за 10 и менее
наносекунд (0,00000001 сек). Электрический сигнал,
распространяющийся по проводу со скоростью света,
пройдет за это же время 3 метра. Значит, если два
таких элемента, соединенных между собой проводом,
будут находиться на расстоянии порядка 3 метров, то
электрический сигнал, распространяющийся со ско¬
ростью света, просто не успеет прийти вовремя.
Современные машины, «обученные» так называе¬
мым символическим или алгоритмическим языкам (на-
Глава написана А. В. Шилейко.
129

пример, принятому сейчас во всем мире языку
Алгол-60), могут получать от своего «заказчика»
условия задачи, записанные в обычной принятой
среди математиков форме. Наконец, благодаря раз¬
витию той же микроэлектроники «память» цифровых
вычислительных машин, то есть количество данных,
которое они могут хранить и перерабатывать, стано¬
вится настолько большой, что вполне реальной, на¬
пример, становится задача создания машины, «обу¬
ченной» курсу математического анализа или, скажем,
курсу сопротивления материалов. Для того чтобы ре¬
шить задачу, такая машина потребует от своего опе¬
ратора не больше усилий, чем если бы он имел дело
с квалифицированным математиком или инженером.
Писатели фантасты идут в своих мечтах значи¬
тельно дальше. В научно-фантастических рассказах
часто встречаешься с вычислительными машинами
(конечно, цифровыми), которые полностью автомати¬
чески управляют полетом межпланетных кораблей,
решают сложнейшие математические задачи, а в сво¬
бодное время беседуют со своими операторами и даже
влюбляются. Интереснее всего то, что во всем этом,
за исключением разве только способности влюб¬
ляться, по существу, нет ничего фантастического. На¬
пример, совсем недавно демонстрировались опыты
с машиной, включенной в телефонную сеть. Эта ма¬
шина обычным человеческим голосом отвечала лю¬
бому абоненту на один из стандартных вопросов, за¬
даваемых путем набора определенной комбинации
цифр на наборном диске телефонного аппарата.
Но при чем здесь аналоговые машины?
К сожалению, нередки случаи, когда такой вопрос
заставляет задуматься увлекшегося кибернетика. По¬
пробуем ответить на него, процитировав несколько
фраз из известной мальчишкам всего мира книги
Марка Твена «Том Сойер».
«Он подумал, что, пожалуй, стоило бы отыскать
шарик, который он забросил, и терпеливо принялся за
розыски. Но найти шарик не мог. Тогда он вернулся
к тайнику, стал на то самое место, с которого бросал
шарик, вынул из кармана второй шарик и бросил его
в том же направлении, приговаривая:
— Брат, ступай ищи брата!
130

Он заметил, куда упал шарик, побежал туда и
стал искать. Должно быть, шарик упал слишком
близко или слишком далеко. Том проделал то же
самое еще два раза. Последняя проба удалась: ша¬
рики лежали в двух шагах друг от друга.»
Интересно, как решил бы подобную задачу отда¬
ленный потомок Тома Сойера, если бы он отправился
в лес, снабженный последней моделью карманной
цифровой вычислительной машины «настоящей Бар¬
лоу»? Такая машина могла бы оказать Тому массу
неоценимых услуг, особенно на экзаменах в воскрес¬
ной школе, но помочь найти шарик, отброшенный в
сторону, она бы, наверное, не смогла. Действительно,
для решения подобной «баллистической» задачи в ма¬
шину необходимо было бы ввести начальные условия,
то есть направление, в котором был брошен шарик,
и его начальную скорость. В принципе это, конечно,
возможно, однако для этого потребовалась бы изме¬
рительная аппаратура, во много раз более сложная,
чем та примитивная «вычислительная машина», кото¬
рой пользовался Том. Вот она, сила аналогий!
Все это, конечно, шутка, однако над многим в этом
коротком рассказе, и особенно над тем, что шарик
был найден только с третьей попытки, стоит серьезно
задуматься. Специалист по аналоговой технике ска¬
зал бы, что с помощью своей «вычислительной маши¬
ны» Том решал «краевую баллистическую задачу со
случайными параметрами, используя при этом метод
периодизации решений». Но не будем углубляться
в терминологию. Напомним только еще раз, что ана¬
логовая вычислительная машина, опираясь на суще¬
ствующие в природе аналогии, воспроизводит физи¬
ческий процесс именно так, как он происходит на са¬
мом деле, в то время как цифровая машина может
только описать этот процесс, решая соответствующие
математические уравнения, как правило, каким-либо
приближенным методом. При этом точность такого
описания целиком будет зависеть от точности, с кото¬
рой введены исходные данные, и от точности самого
приближенного метода.
Пусть, например, задача состоит в том, чтобы
управлять каким-либо сложным объектом, скажем
ядерным реактором, поведение которого наперед до
131

конца не известно. Один из путей к решению такой
задачи состоит в том, чтобы использовать аналоговую
вычислительную машину, которая будет воспроизво¬
дить процессы, происходящие в реакторе, но делать
это со скоростью, в сотни или в тысячи раз большей,
чем это происходит в натуре. Тогда за малый интер¬
вал времени, в течение которого в реакторе еще по
существу ничего не изменится, можно перепробовать
несколько вариантов поведения объекта на ближай¬
шее будущее, выбрать из них наилучший и определить
тем самым управляющее воздействие. Затем процесс
повторяется снова и так далее.
Интересно отметить также и следующее. Большин¬
ство происходящих в реальных условиях процессов
зависит от многих не поддающихся учету факторов.
Другими словами, эти процессы в известной степени
случайны. Для того чтобы описать такие процессы
с помощью цифровой вычислительной машины, необ¬
ходимо описать также и условия, в которых они про¬
исходят, то есть внести в работу машины элемент
случайности. В специальной литературе сейчас насчи¬
тывается несколько сот работ, посвященных различ¬
ным методам искусственного образования в цифровой
машине так называемых «случайных последователь¬
ностей чисел». Однако все эти методы позволяют по¬
лучить последовательность, которая оказывается
только «приближенно случайной». С другой стороны,
в аналоговой вычислительной машине истинно случай¬
ные процессы воспроизводятся сами по себе. Это и
есть те самые помехи, или «шумы», которые неиз¬
бежно присутствуют в любой аналоговой схеме и
являются причиной распространенного, но не всегда
правильного мнения о малой точности аналоговых
машин.
На основе всего сказанного выше можно провести
следующее несколько рискованное сравнение. Если
цифровая вычислительная машина — это машина-
педант, опирающийся в своей работе только на цифры
И факты, то аналоговая вычислительная машина — это
машина мечтатель, опирающийся в основном на инту¬
ицию. Поэтому вряд ли стоит принимать всерьез
встречающееся подчас утверждение о том, что цифро¬
вая вычислительная техника пришла на смену анало-
132

говой, или, во всяком случае, о том, что существует
конкурентная борьба между аналоговыми и цифро¬
выми машинами. И те и другие средства хороши на
своем месте. Более того, наиболее плодотворным здесь
оказывается сотрудничество и разделение труда. Не¬
даром в последние годы все больше внимания уде¬
ляется созданию так называемых комбинированных
вычислительных систем, объединяющих в едином ком¬
плексе как аналоговые, так и цифровые устройства.
Какими же средствами обладает современная ана¬
логовая вычислительная техника?
Подавляющее большинство аналоговых вычисли¬
тельных машин использует процессы, происходящие
в механических и электрических системах. Значи¬
тельно менее распространены машины, использующие
гидравлические и тепловые аналогии. Наиболее есте¬
ственным представляется использовать механическую
машину для воспроизведения процессов в механиче¬
ских системах, электрическую — для воспроизведения
процессов в электрических системах и так далее. По¬
добная практика получила название «физическое мо¬
делирование». При конструировании современных са¬
молетов и судов широко пользуются испытаниями
уменьшенных моделей соответствующих конструкций
в аэродинамических трубах и специальных опытных
бассейнах. Здесь в полной мере используется метод
аналогий, но, например, уменьшенную модель само¬
летного крыла, конечно, еще нельзя считать машиной.
При построении электрических аналоговых машин
одной из первых была использована аналогия между
протеканием процессов в различных электрических
цепях. Машины такого типа строились для исследо¬
вания систем электропередачи и получили название
«расчетные столы переменного тока». Расчетный стол
представляет собой по существу уменьшенную модель
исследуемой линии электропередачи со всеми входя¬
щими в ее состав элементами. Различие состоит
только в том, что сама линия, то есть система с рас¬
пределенными по длине параметрами, заменяется на¬
бором сосредоточенных индуктивностей, емкостей и
сопротивлений.
В СССР ряд расчетных столов переменного тока
был построен под руководством доктора технических
133

наук В. А. Веникова. Аналогичные машины создава¬
лись в США и других странах. В частности, в Польше
была выпущена серия анализаторов сетей постоянного
и переменного тока, получивших название АПС
(АПС-120, АПС-192, АПС-400), МСК и МС-1. В на¬
стоящее время расчетные столы постоянного и пере¬
менного тока практически больше не изготовляются,
так как оказалось, что как раз задачи этого типа
удобнее решать на цифровых машинах.
Однако свойства электрических цепей, и в первую
очередь то обстоятельство, что с помощью электри¬
ческой цепи, состоящей из небольшого количества пас¬
сивных элементов и только одного или нескольких уси¬
лителей, можно воспроизводить весьма сложные
процессы, до сих пор привлекают внимание конструк¬
торов аналоговых машин. Наиболее удобны электри¬
ческие цепи для воспроизведения процессов, описы¬
ваемых алгебраическими уравнениями. В Институте
кибернетики АН УССР под руководством члена-кор¬
респондента АН УССР Г. Е. Пухова была разработана
серия аналоговых машин, получивших название «ква¬
зианалогов». Самое интересное в этих машинах со¬
стоит в том, что для воспроизведения некоторого
заданного процесса (обычно процесса уравновешива¬
ния) строится электрическая цепь, описываемая урав¬
нением, в общем случае отличным от уравнения, опи¬
сывающего исследуемую систему. Отсюда и название
«квазианалог».
Несколько упрощая, можно сказать, что если, на¬
пример, нужно исследовать систему, работа которой
описывается тремя уравнениями с тремя неизвестны¬
ми, то в квазианалоге решаются четыре или пять
уравнений с четырьмя или пятью неизвестными. Про¬
цесс решения длится до тех пор, пока одно или два
лишних неизвестных не примут некоторые наперед
заданные значения (чаще всего они становятся рав¬
ными нулю). Так можно решать уравнения, неразре¬
шимые никаким другим способом (неустойчивые). По
методу квазианалогов построены аналоговые вычисли¬
тельные машины для решения задач строительной
механики серии МСС, машины для решения экономи¬
ческих задач и ряд других,
134

Наиболее многочисленно семейство аналоговых вы¬
числительных машин, предназначенных для воспроиз¬
ведения процессов в системах, описываемых обыкно¬
венными дифференциальными уравнениями. Долгое
время эти машины были известны под названием
«дифференциальные анализаторы».
Потребность в дифференциальных анализаторах
наиболее остро проявилась во время второй мировой
войны в связи с необходимостью конструирования все¬
возможных систем автоматического управления, и в
первую очередь различных рулевых машин. Интерес¬
но заметить, что те же потребности послужили толч¬
ком к развитию ряда теоретических дисциплин, кото¬
рые оформились затем в единую науку — кибернетику.
Смысл работы всякой системы автоматического уп¬
равления состоит в том, что истинное состояние си¬
стемы (например, курс корабля или самолета) срав¬
нивается с некоторым наперед заданным и обнару¬
женное рассогласование или ошибка после соответ¬
ствующего усиления используется для воздействия на
исполнительный механизм (руль). Чем больше усилие,
тем большим будет воздействие и тем скорее будет
исправлена ошибка. Однако при слишком большом
усилении система начнет совершать колебания, или,
как говорят, потеряет устойчивость. Подобные системы
описываются обыкновенными дифференциальными
уравнениями, причем, чем больше подробностей в ра¬
боте системы мы учтем, тем выше будет порядок диф¬
ференциального уравнения и тем труднее его решить.
Проблема исследования устойчивости резко облег¬
чилась после появления дифференциальных анализа¬
торов. Наиболее ценным здесь оказалось то, что диф¬
ференциальные анализаторы состоят из отдельных
блоков, причем эти блоки можно строить так, что ка¬
ждый из них будет воспроизводить процесс в одном из
звеньев системы. Это дает возможность составить мо¬
дель исследуемой системы, даже не зная описываю¬
щего ее уравнения.
Один из первых механических дифференциаль¬
ных анализаторов был построен в 1936—1939 годах
членом-корреспондентом АН СССР И. С. Бруком.
Первый в Советском Союзе электронный дифферен¬
циальный анализатор типа ЭЛИ был разработан в
135

Р и с. 40. Электронная аналоговая вычислительная машина МН-14.

Рис. 41. Электронная аналоговая вычислительная машина
ЭМУ-10.
1946 году профессором Л. И. Гутенмахером. Начиная
с 1948—1949 годов область дифференциальных анали¬
заторов почти полностью была завоевана электрони¬
кой. В СССР это были машины ИПТ-4, разработан¬
ная в НИИСчетмаше, и ЭМУ-2, разработанная в Ин¬
ституте автоматики и телемеханики АН СССР. За
ИПТ-4 последовали ИПТ-5, МПТ-9, МПТ-11, МН-1,
МН-2, МН-7, МН-8, МН-10, МН-11 и МН-14. Соот¬
ветственно машина ЭМУ-2 положила начало серии ма¬
шин ЭМУ: ЭМУ-3, ЭМУ-4, ЭМУ-5, ЭМУ-6, ЭМУ-8 и
ЭМУ-10. Был разработан также ряд других машин,
получивших меньшее распространение.
Как уже отмечалось, исследование систем автома¬
тического управления будет тем более добросовест¬
ным, чем выше порядок дифференциального уравне¬
ния. Поэтому наибольший порядок решаемого уравне-
137

Рис. 42. Аналоговая машина ЭМИРР.
ния является одним из главных показателей «мощно¬
сти» машины. Так, например, наибольший порядок
дифференциального уравнения, которое можно решить
на машинах ИПТ-4 и МН-3, равен шести. При этом
можно решать только линейные дифференциальные
уравнения. Машина МПТ-9 позволяет решать линей¬
ные уравнения вплоть до шестнадцатого порядка. Ма¬
шина МН-14 (рис. 40) позволяет решать дифферен¬
циальные уравнения до тридцатого порядка. Пример¬
но тот же наибольший порядок решаемых уравнений
у машины ЭМУ-10 (рис. 41). Абашина МН-10 полно¬
стью выполнена на полупроводниковых элементах, что
позволило резко уменьшить ее размеры. Среди машин,
выпускаемых за рубежом, можно отметить машину
РАСЕ фирмы ≪Electronic А55ос1а1ез» (США) и фран¬
цузскую машину ANALAC, работающую на перемен¬
ном токе. В Польше были построены электромехани¬
ческий дифференциальный анализатор типа ЭМИРР
(рис. 42) и электронные дифференциальные анализа¬
торы АРР и АТРА. Последний из них специализиро¬
ван на решении дифференциальных уравнений, описы¬
вающих движение электропоезда.
Основным элементом всякой электронной аналого¬
вой вычислительной машины является решающий уси¬
литель. Поэтому качество таких усилителей в боль¬
138

шой степени определяет качество машины в целом.
Решающие усилители — это так называемые усили¬
тели постоянного тока. Они работают при столь мед¬
ленных изменениях входного напряжения, что практи¬
чески это напряжение можно считать постоянным. Од¬
нако если входное напряжение усилителя постоянного
тока совсем не изменяется, например просто равно
нулю, то его выходное напряжение все-таки будет ис¬
пытывать небольшие изменения. Это явление получило
название «дрейф нуля» и объясняется тем, что пара¬
метры деталей усилителя, какими бы качественными
ни были эти детали, всегда немного изменяются со
временем, а также под влиянием изменения окружаю¬
щих условий, например температуры. Дрейф нуля
представляет собой чистую ошибку вычислений. ,Oco1
бенно опасен дрейф нуля для интеграторов, в которых
даже очень небольшая величина ошибки интегрирует¬
ся, то есть увеличивается со временем. Поэтому про¬
блема компенсации дрейфа нуля — это одна из основ¬
ных проблем, стоящих перед конструкторами анало¬
говых машин.
В усилителях первых машин типа ИПТ-4, ЭМУ-3
и им подобных компенсация дрейфа нуля осуществля¬
лась сравнительно простыми средствами. При этом ве¬
личина дрейфа составляла несколько милливольт за
час работы усилителя. В усилителях современных ма¬
шин типа ЭМУ-8, ЭМУ-10, МН-11 и МН-14 использует¬
ся метод автоматической компенсации дрейфа, состоя¬
щий в том, что в каждом решающем блоке имеются, по
существу, два усилителя, из которых один выполняет
основные функции, а другой компенсирует дрейф. По¬
добный метод позволил довести дрейф нуля у решаю¬
щих усилителей машины ЭМУ-10 до 50 микровольт за
час работы. При этом сравнительно простые линейные
задачи можно решать с точностью порядка 0,1%. Есть
все основания полагать, что подобная точность близ¬
ка к предельной точности для аналоговых машин во¬
обще, если только не применяются специальные
меры — так называемые грубо-точные или комбиниро¬
ванные аналого-цифровые вычислительные системы.
С другой стороны, точность в несколько десятых до¬
лей процента или в 1 % оказывается более чем доста¬
точной для воспроизведения огромного большинства
139

реальных процессов, так как редко оказывается воз
можным или целесообразным с большей точностью
задавать начальные условия.
При конструировании электронных аналоговых вы¬
числительных машин большое внимание уделяется
удобству их обслуживания. У машин ранних выпусков
все операции по соединению отдельных решающих
блоков между собой (набор задачи), по установке по¬
стоянных коэффициентов и тому подобные выполня¬
лись вручную. В настоящее время все эти операции
стремятся автоматизировать. Так, например, в состав
машины ЭМУ-10 входит устройство, позволяющее ав¬
томатически устанавливать до 64 постоянных коэффи¬
циентов, а также автоматически контролировать пра¬
вильность соединений между решающими блоками.
В США проводились опыты по дальнейшей автомати¬
зации обслуживания. В частности, строились машины,
в которых сами соединения между решающими бло¬
ками выполнялись автоматически по командам, зафик¬
сированным на перфорированной бумажной ленте.
Подобный процесс автоматизации можно и продол¬
жить. Принципиально вполне реальным является со¬
здание аналоговой машины, задачи для которой зада¬
вались бы в форме уравнений, записанных на листе
бумаги или даже по командам с голоса. Однако вряд
ли это будет целесообразным. Одним из больших пре¬
имуществ аналоговых машин является возможность
активного вмешательства оператора в процесс реше¬
ния задачи.
Обычно решающие блоки аналоговых вычислитель-
ных~машин строятся таким образом, что каждый блок
позволяет полностью воспроизводить процессы, проис¬
ходящие в отдельных узлах исследуемых систем. По¬
этому, изменяя настройку блоков или изменяя неко¬
торые соединения между ними, оператор получает
возможность ставить эксперимент, аналогичный экс¬
перименту с самой системой. При этом выходные уст¬
ройства аналоговой вычислительной машины, среди
которых наибольшей популярностью пользуются элек¬
тронные осциллографы и самописцы, вычерчивающие
кривую на бумаге, позволяют непосредственно наблю¬
дать результаты такого эксперимента. Так, например,
вращая одну единственную ручку, оператор может
140

выбрать коэффициент усиления в системе автомати¬
ческого управления, при котором система будет
устойчива, а точность управления максимальна.
Кроме своего основного назначения — моделирова¬
ния систем автоматического управления, электронные
аналоговые вычислительные машины оказали и про¬
должают оказывать помощь при решении весьма ши¬
рокого круга задач из различных областей науки и
техники. Среди них в первую очередь следует отме¬
тить работу аналоговых машин при так называемых
натурных испытаниях. Суть дела здесь состоит в том,
что какая-нибудь отдельная часть сложной системы,
например двигатель самолета или автопилот, испыты¬
вается на стенде в условиях, как можно более близких
к реальным. Поведение всех остальных частей систе¬
мы моделируется при этом с помощью аналоговой вы¬
числительной машины.
Близкие задачи решаются в «тренажерах» — уст¬
ройствах для тренировки пилотов, операторов ядер-
ных реакторов и т. п. Тренажер для обучения пилотов
оформлен в виде кабины самолета, снабженной всеми
ручками управления и измерительными приборами.
Каждое действие пилота вводится в аналоговую вы¬
числительную машину, которая моделирует поведение
самолета и вырабатывает сигналы, воспринимаемые
пилотом как изменения показаний измерительных
приборов.
Большую роль сыграли аналоговые вычислитель¬
ные машины при изучении случайных процессов. При
решении задач подобного типа существенным преиму¬
ществом аналоговых машин является уже отмеченная
выше простота задания случайных возмущений. Элек¬
тронные дифференциальные анализаторы с успехом
используются также для исследования процессов, про¬
исходящих в системах, для которых существенным
является распределение в пространстве, например
процесс распространения тепла через толстую
стенку.
Наконец, в последние годы все большее значение
приобретает решение на аналоговых вычислительных
машинах так называемых задач «математического
программирования». Все задачи этого типа сводятся
к отысканию наиболее экономичных способов выпол¬
Л А. Эмпахер
141

нения каких-либо работ, например способов организа¬
ции перевозок при минимальных затратах.
Особую группу среди электронных дифференциаль¬
ных анализаторов составляют так называемые маши¬
ны с периодизацией, или с повторением решений.
Смысл их работы состоит в том, что один и тот же
процесс воспроизводится машиной многократно, ино¬
гда много раз в секунду. Перед каждым очередным
решением слегка изменяются начальные условия или
другие параметры процесса. Таким образом за срав¬
нительно короткое время удается получить не одно
решение задачи, а целое семейство решений и выбрать
из них наилучшее.
Машины с периодизацией решений особенно удобны
при решении задач оптимизации и исследования слу¬
чайных процессов. Принципиально любая электронная
аналоговая вычислительная машина может работать
в режиме периодизации, если частота повторений не
очень высока. Нужно только, чтобы машина «успева¬
ла» провести до конца каждое отдельное решение.
Современные машины снабжаются специальными
устройствами, позволяющими автоматизировать ра¬
боту в режиме периодизации. Подобные устройства
входят, например, в состав машины ЭМУ-10. Они по¬
зволяют осуществлять работу в режиме периодизации
с частотой до 1,5 решения в секунду. Специально раз¬
работанная для работы в режиме периодизации ма¬
шина МН-11 (рис. 43) обеспечивает возможность вос¬
произведения процессов с частотой до 100 полных ре¬
шений в секунду.
Идея периодизации решений получила дальнейшее
развитие в так называемых машинах с многократным
использованием решающих блоков. Вся полная зада¬
ча при решении на такой машине разбивается на от¬
дельные части. После того как решение одной части
доведено до конца, его результаты запоминаются и то
же оборудование переключается на решение следую¬
щей части и так далее. Это позволяет решать весьма
сложные задачи на сравнительно простых машинах.
Машины подобного типа строились в США и других
странах.
Наконец, современные электронные аналоговые вы¬
числительные машины снабжаются специальными
142

Р и с. 43. Электронная аналоговая вычислительная машина МН-11.

средствами для оптимизации. Задача здесь состоит в
том, чтобы отыскать такое сочетание значений ряда
параметров, при котором некоторая зависящая от этих
параметров величина принимала свое наименьшее
(или наибольшее) значение. Подобные задачи встре¬
чаются при конструировании систем автоматического
управления, при математическом планировании и т. п.
В качестве примера можно указать на конструирова¬
ние системы автоматического управления, в которой
процесс регулирования после воздействия каждого
возмущения заканчивался бы в кратчайшие сроки (си¬
стема, оптимальная по быстродействию).
Вообще говоря, подобная задача может быть ре¬
шена, если вручную изменять значения всех парамет¬
ров до тех пор, пока не будет найдено их наилучшее
сочетание. Однако значительно удобнее автоматизиро¬
вать этот процесс и проводить его таким образом,
чтобы изменение каждого очередного параметра
пповодилось в соответствии со значениями всех ос¬
тальных. Машина ЭМУ-10 снабжена специальным ре¬
лейным оптимизатором, позволяющим находить наи¬
лучшее сочетание значений вплоть до семи отдельных
параметров. Специальные средства для оптимизации
предусмотрены также в машине МН-11.
Следующий большой класс электрических аналого¬
вых машин — это машины, предназначенные для ре¬
шения дифференциальных уравнений в частных про¬
изводных, или, что то же самое, для воспроизведения
процессов в системах, для которых существенным яв¬
ляется протяженность в пространстве. Подобные за¬
дачи возникают, например, при исследовании процес¬
сов просачивания влаги через грунт, что особенно
важно при проектировании плотин и других гидрав¬
лических сооружений, при исследовании изгибов и
других деформаций толстых балок и стержней в стро¬
ительной механике, при исследовании процессов рас¬
пространения тепла в сплошной среде, например при
нагреве котла, при исследовании электромагнитных
полей, и в частности распространения радиоволн, и
во многих других случаях.
Описывающие их дифференциальные уравнения,
так называемые дифференциальные уравнения в част¬
ных производных, решаются значительно сложнее, чем
144

обыкновенные дифференциальные уравнения. В на¬
стоящее время, по существу, еще не разработаны до¬
статочно эффективные методы решения этих уравне¬
ний на цифровых вычислительных машинах. Поэтому
в задачах подобного рода практически единственным
средством, позволяющим получать достаточно каче¬
ственные решения в приемлемые сроки, являются спе¬
циализированные аналоговые машины.
При конструировании подобных машин исполь¬
зуются два основных принципа. Первый из них со¬
стоит в том, что сплошная среда, в которой происхо¬
дит процесс, условно рассматривается как состоящая
из отдельных ячеек. Процесс в каждой такой ячейке
воспроизводится специальной электрической схемой,
состоящей из сопротивлений или из сопротивлений ’и
конденсаторов. Эти отдельные схемы соединяются ме¬
жду собой точно таким же образом, как соединяются
ячейки в исследуемой схеме. Условия на границах об¬
ласти, представляющей интерес, моделируются путем
подключения источников электрического напряжения
или тока к свободным выводам соответствующих схем,
расположенных на границе. В результате получается
одно-, двух- или трехмерная электрическая сетка, в
которой распределение электрических токов или на¬
пряжений между точками соединений отдельных дета¬
лей схем оказывается аналогичным распределению со¬
ответствующих величин в исследуемой системе.
Чем большими выбраны относительные размеры
отдельных ячеек, тем грубее аналогия. Поэтому при
конструировании электрических сеток часто пользуют¬
ся так называемым методом «электрической лупы».
Сущность этого метода состоит в том, что область про¬
странства, представляющая наибольший интерес, раз¬
бивается на более мелкие ячейки. Это позволяет ис¬
следовать процессы в этой области с большей под¬
робностью. Специальное устройство, состоящее из
схем, соответствующих более мелким ячейкам, может
подключаться к различным точкам сетки. Это соответ¬
ствует перемещению электрической лупы вдоль иссле¬
дуемого пространства.
Предлагался также способ решения дифференци¬
альных уравнений в частных производных с помощью
одной-единственной электрической схемы, которая
145

единовременно может воспроизводить процесс только
в одной ячейке. После того как процесс решения для
одной данной ячейки полностью закончен, результаты
этого решения запоминаются, а схема переключается
на воспроизведение процесса в соседней ячейке и так
далее. Машины такого типа строились в США. Они
позволяют значительно снизить количество исполь¬
зуемого оборудования, но при этом резко возрастает
длительность решения задачи.
Одна из первых машин для решения дифференци¬
альных уравнений в частных производных была по¬
строена в Советском Союзе под руководством про¬
фессора Л. И. Гутенмахера. Большие машины-сетки,
содержащие несколько десятков тысяч ячеек, строи¬
лись на пензенском заводе САМ под руководством
Н. С. Николаева и Э. С. Козлова. Благодаря своим
весьма большим габаритам и сложности машины по¬
добного типа, как правило, не выпускаются серийно.
Второй подход к решению той же проблемы со¬
стоит в использовании сплошных сред. Наибольшее
распространение получили так называемые электроли¬
тические ванны. Здесь распределению величин в ис¬
следуемой системе ставится в соответствие распреде¬
ление электрических токов и потенциалов в электро¬
проводящей жидкости (обычно подсоленная или
подкисленная вода). Изготовляя сосуды с фигурным
дном, а также вводя в электропроводящую жидкость
специальные фигурные электроды, можно с большой
степенью точности моделировать границы исследуемой
области. Для снятия результатов используются спе¬
циальные зонды, перемещающиеся над поверхностью
жидкости. Довольно часто электролитические ванны
снабжают автоматическими системами, перемещаю¬
щими зонд вдоль заданных кривых, например вдоль
линии с одинаковыми потенциалами. По мере пере¬
мещения зонда специальное устройство вычерчивает
на листе бумаги соответствующую кривую.
В Советском Союзе, в США и других странах
строились машины, в которых в качестве электропро¬
водящей среды использовалась специальная электро^
проводящая бумага или другие «твердые» среды.
Такие машины более компактны и несколько более
удобны в эксплуатации по сравнению с электролити-
146

Рис. 44. Специализированная аналоговая машина АРАЛ-111.
ческими ваннами. Значительно меньшее распростране¬
ние получили машины для решения дифференциальных
уравнений в частных производных, построенные на ос¬
нове гидродинамических, тепловых и других аналогий.
К электрическим сеткам по своему принципу дей¬
ствия приближается специализированная аналоговая
машина, предназначенная для решения систем алге¬
браических уравнений. Здесь также используются
электрические схемы и сопротивления, но, кроме это¬
го, главным образом для целей уравновешивания при¬
меняются также и решающие усилители постоянного
или переменного тока. Подобные машины конструи¬
ровались в ряде стран. В частности, в Польше были
построены машина АРАЛ-1, предназначенная для ре¬
шения семи уравнений с семью неизвестными, машина
АРАЛ-П, предназначенная для решения системы из
двенадцати уравнений, и наконец машина АРАЛ-Ш
(рис. 44), обеспечивающая повышенную точность —
147

Р и с. 45. Метод спиральной развертки при отыскании корней
многочлена.
вплоть до 0,1 %. Машины этого типа не получили боль¬
шого распространения главным образом потому, что
для решения систем линейных алгебраических урав¬
нений с успехом могут быть использованы электрон¬
ные дифференциальные анализаторы, снабженные оп¬
тимизаторами.
К машинам, решающим алгебраические уравнения,
следует отнести также так называемые «корнеискате-
ли», то есть машины, предназначенные для отыскания
корней алгебраических многочленов. Принцип дейст¬
вия каждой такой машины основан на том, что сна¬
чала одним из известных способов (например, с по¬
мощью блоков умножения, потенциометров и так
далее) строится схема, воспроизводящая заданный
многочлен. На вход схемы поступает электрическое
напряжение, которое непрерывно изменяется вручную
или автоматически. Моменты времени, когда выходное
напряжение схемы оказывается равным нулю, фикси¬
руются, а соответствующие им значения входного на¬
пряжения замеряются. Это и есть корни многочлена.
Положение несколько осложняется, когда нужно
найти не только действительные, по и комплексные кор¬
ни. Тогда конструируют две схемы — отдельно для дей¬
ствительной и отдельно для мнимой частей перемен¬
ной. Входные напряжения обеих схем изменяются по
определенному закону. Если представить себе прямо-
148

угольную систему координат (рис. 45) и предположить,
что по горизонтальной оси отложены значения на¬
пряжения, представляющего действительную часть
переменной, а по вертикальной оси —- значения напря¬
жения, представляющего мнимую ее часть, то каждой
паре таких значений будет соответствовать некоторая
точка. Входные напряжения автоматически изме¬
няются согласованно друг с другом и таким образом,
чтобы изображающая точка описывала некоторую
кривую (например, спираль), покрывающую исследу¬
емую область плоскости координат. В моменты вре¬
мени, когда выходные напряжения обеих схем оказы¬
ваются равными нулю, замеряются значения обоих
входных напряжений и таким образом определяются
действительная и мнимая части очередного корня.
Подобный метод получил название метода развертки.
Он представляет значительный интерес не только при
построении корнеискателя, но и при решении большого
круга других задач, связанных с отысканием решений,
зависящих более чем от одной переменной.
В Институте автоматики и телемеханики АН СССР
Н. Н. Михайловым был разработан корнеискатель, в
котором одновременно со спиральной разверткой вход¬
ных напряжений также по спирали перемещается элек¬
тронный пучок в электронно-лучевой трубке. Однако
нормально на управляющий электрод трубки подает¬
ся большое отрицательное напряжение и экран не
светится. В момент отыскания корня, то есть в момент
равенства нулю выходных напряжений обеих схем, за¬
пирающее напряжение с управляющего электрода
трубки снимается и на экране в соответствующем ме¬
сте координатной сетки появляется светящаяся точка.
Подобный прибор позволяет наблюдать полную кар¬
тину распределения корней многочлена.
Этот прибор снабжен также и другим автоматиче¬
ским устройством, позволяющим наблюдать на экране
электронно-лучевой трубки так называемые «корневые
годографы», то есть траектории перемещения корней
по координатной плоскости при изменении значений
коэффициентов многочленов. Корнеискатели строились
также и в ряде других стран. В Польше для этой цели
были разработаны машина АВА (рис. 46), позволя¬
ющая отыскивать действительные и комплексные кор¬
149

ни многочленов вплоть до двенадцатого порядка, а
также машина ПСАВАЛЬ, построенная в основном
для учебных целей. В обеих этих машинах процесс
отыскания корня осуществляется вручную.
Наконец, последняя группа аналоговых вычисли¬
тельных машин, которая будет рассмотрена здесь, это
Рис. 46. Анализатор алгебраических многочленов АВА:
а — блок-схема, б — внешний вид.
специализированные машины. Каждая из них пред¬
назначена для воспроизведения процессов в одном ка¬
ком-либо реальном объекте. Большинство машин по¬
добного типа строилось для тренажеров и для работы
в составе систем управления. Специального упоминания
150

заслуживают также специализированные машины,
предназначенные для моделирования процессов в
ядерном реакторе.
Что же можно сказать о перспективах развития
аналоговой вычислительной техники? Как и в случае
цифровых вычислительных машин, это развитие пре¬
жде всего идет по пути совершенствования технологии.
Внедрение полупроводниковой электроники позволяет
строить аналоговые вычислительные машины, обла¬
дающие теми же характеристиками, что и их лампо¬
вые предшественники, но при этом во много раз мень¬
шие по габаритам, потребляющие значительно меньше
энергии и более надежные. В Советском Союзе пер¬
вой машиной, полностью выполненной на полупровод¬
никовых элементах, была уже упоминавшаяся выше
машина МН-10. Полупроводниковые аналоговые ма¬
шины строятся и в других странах. В Польше в Ин¬
ституте основных технических проблем построена
полупроводниковая аналоговая вычислительная ма¬
шина АКАТ-1. Эта машина содержит в общей слож¬
ности 500 транзисторов и 100 полупроводниковых
диодов.
Внедрение полупроводниковой электроники позво¬
ляет также улучшить характеристики и упростить кон¬
струкции отдельных нелинейных решающих блоков.
В первую очередь здесь следует отметить так называ¬
емые элементы Холла и магнеторезистивные элементы,
позволяющие упростить конструкцию и повысить на¬
дежность множительных и делительных устройств,
элементы тиристоры, позволяющие строить простые
блоки образования произвольных функций, и т. п.
С появлением качественных транзисторов и полупро¬
водниковых диодов упростилась проблема построения
электронных ключей, позволяющих выполнять в ана¬
логовых машинах отдельные логические операции.
С точки зрения технологии элементов представляет
интерес также французская машина ANALAC, в кото¬
рой вместо электронных усилителей используются эле¬
ктромеханические вибрационные усилители. Это по¬
зволило резко снизить габариты машины и повысить
ее надежность. То, что машина ANALAC работает на
переменном токе, позволило широко использовать в
схемах решающих блоков индуктивности и трансфор¬
151

маторы, а это в свою очередь позволяет реализовать
ряд дополнительных возможностей. Так, например, с
помощью трансформаторов можно осуществить умно¬
жение переменной величины на коэффициент, больший
единицы, или изменить знак этой величины на обрат¬
ный (умножить на —1). В машинах постоянного тока
для выполнения таких операций требуется отдельный
решающий усилитель.
Развитие машин с периодизацией решений потре¬
бовало создания быстродействующих усилителей и
электронных ключей. В Институте автоматики и теле¬
механики АН СССР Д. Е. Полонниковым разработан
стандартный ряд усилителей ТУ, которые одинаково
хорошо работают как при медленно изменяющихся
входных напряжениях, так и при входных напряже¬
ниях, изменяющихся по нескольку миллионов раз вч
секунду. Им же разработаны образцы высококачест¬
венных транзисторных усилителей.
Одна из основных тенденций состоит сейчас в со¬
здании аналоговых вычислительных машин с мини¬
мальным числом решающих усилителей. Это может
быть достигнуто в том случае, если каждый решаю¬
щий блок, содержащий один или два усилителя, будет
представлять собой развитую электрическую цепь, ко¬
торая сама по себе может воспроизводить достаточно
сложные процессы. Именно этот принцип используется
при построении упоминавшихся в начале этой главы
квазианалогов.
Несмотря на некоторые пессимистические прогно¬
зы, область применений аналоговой вычислительной
техники непрерывно увеличивается. Из числа новых
применений наибольший интерес в настоящее время
представляют использование аналоговых машин для
решения экономических задач и задач планирования,
исследования случайных процессов и систем, описы¬
ваемых статистически, а также использование анало¬
говых устройств в системах управления с предсказа¬
нием. В последние годы появились также так
называемые цифровые модели, объединяющие в себе
отдельные свойства как цифровых, так и аналоговых
машин. Наконец, больших результатов можно ожи¬
дать от сотрудничества аналоговых и цифровых уст¬
ройств в единых комбинированных системах. '
152

ЛИТЕРАТУРА
Бруевич Н. Г., Доступов Б. Г., Счетно-решающие
устройства, Изд-во ВВИА, М., 1954.
Брук И. С., Машина для интегрирования дифференциаль¬
ных уравнений, Изд-во АН СССР, М, 1941.
Гутенм а х ер Л. И., Электрические модели, Изд-во АН
СССР, ΛI., 1949.
Доброгурский С. О., Титов В. К., Счетно-решающие
устройства, Оборонгиз, М, 1963.
Кобринский Н. Е., Математические машины непрерыв¬
ного действия, Гостехиздат, М., 1964.
Коган Б. Я., Электронные моделирующие устройства и их
применение для исследования систем автоматического регулиро¬
вания, Физматгиз, М., 1959.
Тетельбаум И. М, Электрическое моделирование, Физ¬
матгиз, М., 1958.
Чесноков А. А, Решающие усилители, Госэнергоиздат,
М. —Л., 1963.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие к русскому переводу 		5
От автора	.	  15
Глава I. От вектора до анализатора . . ......... 17
Геометрическое мышление 		.	. 18
Аналоговое и цифровое представление	чисел	...... 19
Спаси, физика! 	  .	. 21
Язык графиков 		    .22
«Считающие чертежи» . 		.25
Линейки 		 .29
Кривографы . 		 35
Глава II. С интегралом запанибрата	....	..... 39
Интегралы	43
Планиметр 	  48
Искусственные мозги?	54
Гармонизаторы 		  55
Алгебраизаторы 	 -64
Дифференциальные анализаторы	............ 66
Имитаторы и роботы 	,	. 72
Глава III. Аналоговые вычисления	............	77
Умерла программа, схоронили мы	ее	81
Составляем схемы 		.86
Алгебра цепей 	 ...........	92
Интеграторы	   95
Сумматоры . ....... 		98
Блоки изменения масштаба 		101
Генераторы 	    103
Судьба вакуумной колбы			  НО
Множительные устройства	  .	. .	. 114
Собираем результаты 		.118
Сила аналогии	  121
Глава IV. Побольше машин хороших	и	разных		 129
Литература 	153

А. ЭМПАХЕР
Сила аналогий
Редактор Г. В. Л ев е н шт е й н
Художник И. Б. Кравцов
Художественный редактор
Г. И. Мануйлов
Технический редактор В. П. Сизова
Корректор Е. Г. И а г о р н я к
Сдано в производство 19∕V 1965 г.
Подписано к печати 12∕VIII 1965 г.
Бумага 84×108,A2=234 бум. л.
8 печ. л.
Уч.-изд. л. 7,31. Изд. № 12/3204
Цена 37 коп. Зак. 1532
ИЗДАТЕЛЬСТВО „МИР"
Москва, 1-й Рижский пер., 2
Ленинградская типография № 2
имени Евгении Соколовой
Главполиграфпрома
Государственного комитета
Совета Министров СССР по печати
Измайловский проспект, 29