домашний н репетитор
Дмитрий Письменный
\ -о

ДОМАШНИЙ ^ РЕПЕТИТОР
Дмитрий Письменный
ГОТОВИМСЯ
К ЭКЗАМЕНУ ПО
12-е издание
МОСКВА
АЙРИС ^^ ПРЕСС
2008

УДК [373.167.1:51](079)
ББК 22.1я727
П35
Серия «Домашний репетитор»® основана в 1996 году.
Все права защищены.
Никакая часть данной книги не может переиздаваться
или распространяться в любой форме и любыми средствами,
электронными или механическими, включая фотокопирование,
звукозапись, любые запоминающие устройства
и системы поиска информации,
без письменного разрешения правообладателя.
Письменный, Д. Т.
П35 Готовимся к экзамену по математике:
математика для старшеклассников / Дмитрий Письменный. —
12-е изд. — М.: Айрис-пресс, 2008. — 352 с: ил. —
(Домашний репетитор).
ISBN 978-5-8112-3407-3
Пособие содержит ответы на вопросы, предлагаемые на
устных вступительных экзаменах по математике в вузы.
В краткой форме представлены основные методы
решения примеров и задач, наиболее часто встречающихся
на письменных вступительных экзаменах по 14 разделам
математики. По каждому из разделов разобраны от 20 до
40 упражнений.
Приведены варианты Единого государственного
экзамена с ответами и решениями.
Пособие может быть полезным для всех, желающих в
кратчайшие сроки систематизировать свои знания по
основным вопросам математики.
ББК 22.1я727
УДК [373.167.1:51](079)
© ООО «Издательство
ISBN 978-5-8112-3407-3 «АЙРИС-пресс», 2002

Оглавление
ПРЕДИСЛОВИЕ 5
ОБОЗНАЧЕНИЯ 6
Часть I. ОСНОВНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ
И ОПРЕДЕЛЕНИЯ 7
Алгебра (8) Начала математического анализа. (12)
Тригонометрия. (15) Планиметрия. (19) Стереометрия. (22)
Часть II УСТНЫЙ ЭКЗАМЕН 25
АЛГЕБРА И НАЧАЛА АНАЛИЗА 26
Вопрос № 1. Свойства функции у = ах+Ь и ее график. (27) Вопрос
№ 2. Свойства функции у = кх и ее график. (28) Вопрос № 3.
Свойства функции у = ах2 + Ьх -f с и ее график. (30) Вопрос
№ 4. Формула корней квадратного уравнения. (33) Вопрос №> 5.
Теорема Виета. (35) Вопрос № 6. Разложение квадратного
трехчлена на линейные множители. (36) Вопрос № 7. Свойства
числовых неравенств. (37) Вопрос № 8. Формулы n-го члена и суммы
п первых членов арифметической прогрессии. (38) Вопрос № 9.
Формула n-го члена и суммы первых п членов геометрической
прогрессии. (40) Вопрос № 10. Сумма бесконечно убывающей
геометрической прогрессии. (41) Вопрос № 11. Логарифм произведения,
частного, степени. (43) Вопрос № 12. Свойства функции у = ха
и ее график. (44) Вопрос № 13. Свойства функции у = ах и ее
график. (47) Вопрос № 14. Свойства функции у = loga x и ее
график. (48) Вопрос № 15. Свойства функций у = sinx, у = cosx и
их графики (50) Вопрос № 16. Свойства функции у = tgx и ее
график (52) Вопрос № 17. Решение уравнений sinx = a, cosx = a,
tgx = a. (53) Вопрос №18. Зависимость между
тригонометрическими функциями одного и того же аргумента. (56) Вопрос № 19.
Формулы приведения. (58) Вопрос № 20. Формулы для синуса и
косинуса суммы двух аргументов. (59) Вопрос № 21. Формула
тангенса суммы двух аргументов (61) Вопрос № 22.
Тригонометрические функции двойного аргумента. (61) Вопрос № 23.
Тригонометрические функции половинного аргумента. (63) Вопрос № 24.
Производная суммы двух функций. (63) Вопрос № 25.
Производная произведения двух функций. (64) Вопрос № 26. Производная
частного двух функций. (65) Вопрос № 27. Производная функций
sinx, cosx, xn, ax, loga x. (66) Вопрос №28. Уравнение
касательной к графику функции. (70)
3

ГЕОМЕТРИЯ 71
Вопрос № 1. Свойства равнобедренного треугольника (72) Вопрос
№ 2. Свойства точек равноудаленных от концов отрезка. (72)
Вопрос № 3. Признаки параллельности прямых (73) Вопрос
№ 4. Сумма углов треугольника. Сумма внутренних углов
выпуклого многоугольника. (75) Вопрос № 5. Свойства средних
линий треугольника и трапеции. (76) Вопрос № 6. Признаки
параллелограмма (77) Вопрос № 7. Окружность, описанная около
треугольника. (78) Вопрос № 8. Окружность, вписанная в
треугольник. (79) Вопрос № 9. Касательная к окружности и ее
свойства. (80) Вопрос № 10. Измерение угла, вписанного в
окружность. (81) Вопрос №11. Признаки подобия треугольников. (81)
Вопрос № 12. Теорема Пифагора. (83) Вопрос № 13. Теорема
косинусов. (84) Вопрос № 14. Теорема синусов (85) Вопрос № 15.
Формулы площади параллелограмма, треугольника, трапеции. (86)
Вопрос № 16. Формула расстояния между двумя точками.
Уравнение окружности. (87) Вопрос № 17. Признак параллельности
прямой и плоскости (88) Вопрос № 18. Признак параллельности
плоскостей. (89) Вопрос № 19. Признак перпендикулярности
прямой и плоскости (89) Вопрос № 20. Теорема о трех
перпендикулярах (90) Вопрос №21. Признак перпендикулярности двух
плоскостей. (90) Вопрос №22. Теоремы о параллельностной
перпендикулярности двух плоскостей. (91) Вопрос №23. Формулы
площади поверхности и объема призмы. (92) Вопрос № 24. Формулы
площади поверхности и объема пирамиды. (93) Вопрос № 25.
Формулы площади поверхности и объема цилиндра (94) Вопрос № 26.
Формулы площади и объема конуса. (96) Вопрос № 27. Формулы
площади сферы и объема шара. (97)
Часть III. ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
ПИСЬМЕННОГО ЭКЗАМЕНА 99
Тождественные преобразования алгебраических выражений . . 100
Алгебраические уравнения -. 116
Уравнения содержащие модуль 126
Иррациональные уравнения 130
Системы алгебраических уравнений 141
Показательные уравнения и системы 156
Логарифмические уравнения и системы 168
Неравенства 181
Прогрессии 205
Элементы математического анализа 213
Задачи с параметром 229
Тождественные преобразования тригонометрических
выражений 244
Тригонометрические уравнения 257
Задачи по геометрии 278
Часть IV. ВАРИАНТЫ ДЛЯ ПИСЬМЕННОГО ЭКЗАМЕНА
ПО МАТЕМАТИКЕ • 303
Варианты заданий к Единому государственному экзамену 319

Предисловие
Настоящее пособие предназначено в первую очередь для
старшеклассников, готовящихся к поступлению в высшие
учебные заведения.
Оно дает возможность учащимся за короткий срок (3-4
месяца) ликвидировать имеющиеся пробелы в знаниях курсов
математики, не обращаясь к школьным учебникам. Материал
пособия ориентирован на систематизацию знаний
математических дисциплин и, таким образом, основательную подготовку
к выпускным, а затем и вступительным экзаменам.
Пособие имеет следующую структуру. Первая часть
содержит краткий справочный материал. Вторая — материалы к
подготовке устного экзамена, третья — посвящена методам
решения задач. Разделы второй части построены по принципу
ответов на вопросы устного экзамена. Третья (практическая)
часть разделена на четырнадцать основных блоков,
исчерпывающих (в основном) тематику задач письменного экзамена в
высших учебных заведениях. В каждом блоке показаны
основные методы решения задач и приведены примеры для
самостоятельного решения.
В конце пособия приведены образцы вариантов
вступительных экзаменов (из различных вузов).

Обозначения
П начало доказательства
Ш конец доказательства
О начало решения
♦ конец решения
N множество натуральных чисел
Q множество рациональных чисел
R множество действительных чисел
Z множество целых чисел
D(y) область определения функции
Е(у) множество значений функции
/* возрастание функции
^/ убывание функции
-> стремится
Vx для любого х
О равносильность
=> следует
G принадлежит
^ не принадлежит
0 пустое множество
U объединение множеств
П пересечение множеств
т арифметическая прогрессия
ту геометрическая прогрессия

ЧАСТЫ
ОСНОВНЫЕ
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ
ФОРМУЛЫ
И ОПРЕДЕЛЕНИЯ

Алгебра
Модуль действительного числа
1. По определению:
. . Г а, О О,
а = < если
1 ' [-а, а<0.
2. Свойства модуля:
|-а| = |а|, \а\2 =а2, \а • Ь\ = \а\ - \Ь\,
I =М |а + Ь|<|а| + |Ь|, |а-Ь|^|а|-|Ь|.
3. Свойства неравенств:
\х\ ^ о, а ^ О ^Ф^ —d ^ х ^ о»
х ^ а,
х ^ -а.
4. Корень четной степени:
Свойства степеней
Пусть а > 0, п £ N, m G Z.
1. По определению:
а0 = 1; а~п = —;
ап
Пусть а > 0, b > 0.

2. Свойства степеней:
(ах)у = аху, (ab)x =axbx.
Арифметический корень
Пусть а ^ О, b ^ 0, п G N, п ф 1, га G N, га ^ 1.
1. Арифметическим корнем степени п € N (п > 1) из
неотрицательного числа а называется неотрицательное число Ь
такое, что Ьп = а. Обозначается у/а — Ь.
3. Внесение под радикал:
г \ V^b,
xv о = < . если
Формулы сокращенного умножения
(а ± б)3 = а3 ± б3 ± ЗаЬ(а ± Ь),
а3±Ь3 = (а ± Ь){а2 ^аЬ + Ь2),
а?-Ь2 = {а-Ь)(а + Ь).
2. Пусть п £ N, тогда:
а" _ fc" = (а _ ^(а"-1 + ап~2Ь + ... + abn~2
а2п+1 +
3. а2 + Ъ2 = (а + б)2 - 2о6,
а2 + Ь2 = (а - Ь)2 + 2аЪ.

Корни уравнения 2-й и 3-й степени
1. Корни уравнения ах2 + Ьх + с = 0, где а ф О, 6, с —
числа, вычисляются по формуле:
_ -b±Vb2 -4ac
Xl'2 ~ Ъх "
2. Теорема Виета. Сумма корней уравнения ах2 + Ьх + с — О
равна — j|, произведение — равно ^, т.е.:
■** = -*>
_ с
~ ат
3. Теорема Виета для уравнения ах3 + Ьх2 + ex -f d = 0:
+ х2 +х3 = -|,
_ с
а'
4. Разложение на множители:
ах2 +Ьх + с = а(х — х\)(х — х2),
ах3 + 6х2 + сх + б? = а(х — xi)(x — х2){х — Хз),
где xi, х2, х3 корни уравнения ах3 + Ьх2 + сх + d = 0.
Логарифмы
1. Логарифмом положительного числа 6 по основанию а
(а > 0, а / 1) называется показатель степени х, в которую
надо возвести а, чтобы получить число Ь.
Обозначается: loga b — х.
2. Свойства:
flioga 6 _ ^ — основное логарифмическое
тождество;
logal = 0, logaa = l.
10

3. Теоремы:
loga xix2 = loga |xi| + loga |x2|, X!X2 > 0;
- = loga |xi| - loga |x2|, — > 0;
2 x2
loga xp = p log x, x > 0;
(logax2 = 21ogjx|, x
4. Формулы:
1°^а=Ш'с>0'
Прогрессии
Арифметическая прогрессия ai, a2, ..., аП1
1. По определению:
a/k = ak-\ +d, к G N, A: > 1,
d — разность прогрессии.
2. Сумма первых п членов:
ai + an
5n = — n, an = ai + d(n - 1).
3. Свойства:
Геометрическая прогрессия b\, 62, ..., 6n, ...,
1. По определению:
q — знаменатель прогрессии.
11

2. Сумма первых п членов:
Sn = *>l(11~(?n), Чф\, (при q = l,Sn =
1-q
bn = b1qn~1.
3. Свойства:
Ь\Ьп = b2bn-i = ... = ЪкЪп-к+1,
3. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия:
при |д| < 1, п ->• оо,
S — , 5 — сумма прогрессии.
1-q
Начала математического анализа
Функция
Зависимость переменной у от переменной х называется
функцией, если каждому значению х соответствует
единственное значение у.
Обозначается у = f(x).
Функция у = /(х), определенная на множестве D,
называется четной, если Vx £ D выполняются условия:
-x€D и /(-*)=/(*);
нечетной, если
-xeD и f(-x) = -f(x).
Если предел функции f(x) в точке х = а равен значению
функции в этой точке, т. е.
то функция называется непрерывной в точке х — а.
12

Функция f(x) называется периодической, если существует
число Т Ф 0 такое, что f(x) = f(x ± Т) для любых х, х ± Т из
области определения функции.
Точка xq называется точкой максимума (минимума)
функции /(х), если для всех х из окрестности точки хо
выполняется условие f(x0) ^ f(x) (/(я) ^ f(x0)).
Производная функции
1. Пусть функция f(x) определена в некоторой
окрестности точки xq. Производной функции f(x) в точке хо
называется предел отношения приращения функции Д/(хо) к
приращению аргумента Дх при Дх —> О и обозначается
/'(.о) = lim ^ = lim
Д)0 Дх Д>
^ l
Д1-)-0 Дх Д1->0 X — Хо
Операция нахождения производной некоторой функции
называется дифференцированием.
2. Геометрический смысл производной. Производная
функции f(x) в точке хо равна угловому коэффициенту
касательной к графику функции в точке Мо(хо,уо), т.е.
где k = tga.
3. Уравнение касательной к кривой у = /(х) в точке
М0(х0,уо) имеет вид:
У-Уо = f(xo)(x-xo).
4. Механический смысл производной. Мгновенная скорость
прямолинейного движения материальной точки в любой
момент времени t есть производная от пути S по времени £:
V(t) = S'(t).
5. Правила дифференцирования:
(u±v)f = u' ±v';
(uv)1 = u'v + ш/, (си)' = си';
/и\' u'v — uv' УЛ /с\' cv'
-) = 2 ' V^0' " = 2"-
\v/ v2 \v/ v2
13

Производная сложной функции: если
y = f(u), где и = <р(х),
у'х =Уиих-
6. Производные элементарных функций:
(с)'=0, (ип)' = пип-1-и',
(cos и)1 — — sin u • и1, (sin u)' = cos и • и',
(tg и)' = -V • и' (ctS и)' = - -Л
cos-* и si
V (S ) Л
cos-* и sin и
(аи)'=аи In а -и', (еи)'=еи-и',
Экстремум и монотонность функций
1. Если у = /(х) на [а, 6] имеет положительную
производную (у' > 0), то функция возрастает на этом участке, если
(у' < 0), то функция убывает.
2. Если /(ж) непрерывна при ж = ж0, /'(ж) > 0 (/4х) < 0)
в (а,жо) и /'(ж) < 0 /'(ж) > 0 в (жо,6), то точка жо является
точкой максимума функции /(ж) (точкой минимума
функции /(ж)).
3. Значение функции в точке максимума (минимума)
называется максимумом (минимумом) функции. Максимум и
минимум функции называются экстремумом функции.
4. Функция у = /(ж) называется возрастающей
(убывающей) в некотором промежутке (а, 6), если для любых х\ и
из (а,Ь) из условия Ж2 > Ж1 вытекает, что /(жг) > f(x\)
Формула Ньютона-Лейбница
f(x)dx = F(x)
ь
- F(a),
где -Р(ж) — первообразная для /(ж), т.е. -Р'(ж) = f(x).
14

Тригонометрия
Функции одного и того же угла
1. sin2 a + cos2 а = 1,
sin a cos а
2.
3.
4.
5.
6.
7. _ /
VI + tg2 а
Формулы сложения
8. sin(a ±/3) = sin а cos /? ± cos а sin /?,
9. cos(a ± /3) = cos а cos /? =f sin a sin /?,
10. tg(a±«= tga±tS^
cos a
tg a ctg a
2
+ tg
1 + ctg2 a
cos a ± —-
sina
= 1,
1
cos2 a'
1
sin2 a'
+ tg2a'
1
Формулы двойных, половинных,
тройных углов
11. sin 2a = 2 sin a cos a =
tg2a'
15

12. cos 2a = cos2 a — sin2 a =
= 2 cos2 a - 1 = 1 - 2 sin2 a =
1 - tg2 a
13.
14.
15.
16.
1 + cos a'
17. sin 3a = 3 sin a — 4 sin3 a =
24.
а
2
tg2c
а
. а
sin- =
J1
1 + tg2 а'
l 2tga
1 -t
/n
V
/l-
V
— cos a
+ cos a
sin a
g2a'
h cos a
2 '
-cos a
2 '
1 - cos a
sin a
= 4sinasin(60° -a)sin(60°
18. cos 3a = 4 cos3 a - 3 cos a =
= 4cosacos(60° - a) cos(60° + a),
3 - tg2 a
l-3tg2a
19. tg3a= л * tga.
Преобразование суммы функций
в произведение
20. cos a + cos /3 = 2 cos —-— cos —-—,
z z
a+ r В - a
21. cos a - cos/? = 2 sin —-— sin —-—,
a + В а-В
22. sin a + sinp = 2 sin—-— cos —-—,
z z
a + в а- В
23. sin a - sin/? = 2 cos—-—sin —-—,
16

Преобразование произведения функций
25. cos a cos/? = - (cos(a + /?) + cos(a - /?)),
26. sin a sin /? = - (cos(a - /?) - cos(a + /?)),
27. sin a cos /? = - (sin(a + /?) + sin(a — /3)).
Понижение степени
28. cos2 a = -(1 + cos 2a),
29. sin2 a = -(1 — cos 2a),
30. sin a cos a = - sin 2a.
Формулы, приводящие к виду, удобному
для логарифмирования
31. cos a + sin a = -\/2sin f — + aj ,
32. cos a - sin a = \/2sin (— - aj ,
2
oo. tga + ctga = — ,
sm2a
34. 1 -cosa = 2sin2 -,
35. 1 -hcosa = 2cos2 -,
nr> . ( a a\2 Л 9 /7г a\
06. 1 -h sin a = (cos — + sin — J —2 cos ( — - — J ,
or, ( a a\2 Л 2 Z71" a\
07. 1 — sin a = у cos — — sin — J —2 sin I — — — J .
Формулы приведения
Если угол а отсчитывается от горизонтального диаметра,
то название функции сохраняется; если от вертикального —
название приводимой функции заменяется на сходное.
17

Знак приведенной функции совпадает со знаком
приводимой функции.
Значение тригонометрических функций
некоторых углов
а
sin a
cos а
tga
ctga
0°
0
1
0
00
30°
1/2
уД/2
11 у/1
уД
45°
л/2/2
л/2/2
1
1
60°
VS/2
1/2
л/3
1Л/3
90°
1
0
00
0
180°
0
-1
0
— 00
270°
-1
0
—оо
0
360°
0
1
0
оо
Простейшие тригонометрические уравнения
1. sinx = а, \а\ ^ 1, х = (-l)n arcsina + тгп, п G Z;
/ ч • • Г ТГ ТП
arcsin(—а) = —arcsina, arcsina G — о"' о" "
2. cosx = а, |а| ^ 1, х = ± arccosa + 2тг&, к G Z;
arccos(—а) = тг — arccosa, arccosa G [0,тг].
3. tg x = а, х = arctg а + тг/, / G Z;
. / тг тг\
arctg(-a) = -arctga, arctga G ( ——, — 1 .
\ z z'
4. ctgx = a, x = arcctga + тгш, m G Z;
arcctg(-a) = тг - arctga, arcctga G (О,тг).
Частные случаи:
sin x = 0 1
\ => x — тгп, n G Z;
tgx = 0 J
cos x = 0 1 тг
=> x = — + тгп, n G Z;
ctgx = 0j 2
sinx = 1, x = — + 2тгп, n G Z;
cosx = 1, x — 2тгп, n G Z;
18

sinx = -l, x — — — + 27ГП, n G Z;
cosx = -l, x = 7Г + 2тгп, n G Z.
Основные тождества для обратных
тригонометрических функций:
arcsina + arccosa = —, \а\ ^ 1,
arctga + arcctga = —, a G R.
Планиметрия
Пусть:
S — площадь,
а, 6, с — стороны треугольника,
а, /?, 7 — углы, лежащие против сторон
а, 6, с (противолежащие),
р — полу периметр,
R — радиус описанной окружности,
г — радиус вписанной окружности,
ha — высота, проведенная к стороне а,
та — медиана, проведенная к стороне а.
Треугольник
1. Медианы треугольника пересекаются в одной точке и
делятся этой точкой в отношении 2:1, считая от вершины
треугольника. Медиана делит треугольник на два
равновеликих треугольника. Длина медианы:
2. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке,
являющейся центром окружности, вписанной в треугольник.
19

Биссектриса угла треугольника делит сторону треугольника
на части, пропорциональные прилегающим к ней сторонам.
3. Средняя линия треугольника параллельна третьей
стороне, и длина ее равна половине длины третьей стороны.
4. Теорема синусов
sin a sin /? sin 7
5. Теорема косинусов
с2 = а2 + Ь2 - 2a6cos7-
6. Треугольник
5 = -aha, S = -bcsina, S = rp,
z z
abc
7. Для равностороннего треугольника
Прямоугольный треугольник
1. Теорема Пифагора
2.
3.
c2=a2 + 62.
4. Соотношения между сторонами
а2 = с ас
h2c = ac
10

Выпуклый четырехугольник
1. S = -did2sin<p,
где di, d2 — диагонали четырехугольника, с/? — угол между
ними.
2. Выпуклый четырехугольник является вписанным в
окружность тогда и только тогда, когда сумма двух его
противоположных углов равна 180°.
3. В выпуклый четырехугольник можно вписать
окружность тогда и только тогда, когда суммы длин его
противоположных сторон равны.
Ромб
5 = a2 sin a = -did2.
Параллелограмм
1. Теорема
где а и b его стороны, d\ и d2 — диагонали.
2. S = absma = aha = - di
Трапеция
где / — средняя линия трапеции.
5=^
Окружность, круг
1. / = га,
где / — длина дуги сектора, а — радианная мера
центрального угла.
21

2.
5 = i
Теорема о произведениях отрезков секущих:
1. Если из точки 5 вне окружности проведена касательная
ST (Т — точка касания) и секущая, пересекающая
окружность в точках А и В, то SA • SB = ST2.
2. Если две прямые, проходящие через точку 5,
пересекают окружность в точках А и В, С и D соответственно, то
SASB = SC- SD.
Стереометрия
Пусть:
— боковое ребро,
р — периметр основания,
Н — высота,
V — объем,
5 — площадь основания,
£бок — площадь боковой поверхности.
Призма
V = SH, 5бок — ^сеч^-
Параллелепипед (прямоугольный)
V = аЪс, 5бок - РН,
где Р — периметр сечения перпендикулярного боковому
ребру /,
где d — диагональ параллелепипеда.
22

Пирамида
Для правильной пирамиды
где А — апофема.
Если в пирамиде все боковые ребра образуют с
плоскостью основания равные углы, то вершина пирамиды
проектируется в центр окружности, описанной около основания
пирамиды.
Если в пирамиде все боковые грани образуют с основанием
равные углы, то верцЛша пирамиды проектируется в центр
окружности, вписанной в основание пирамиды.
Усеченная пирамида
где Pi и Р2 — периметры оснований, А — апофема (высота
боковой грани),
V = \h{S1+S2 +
о
где S\ и S2 — площади оснований, пирамиды.
Цилиндр
5бок = 2тгЯ#, V = тгЯ2Я,
R — радиус основания.
Конус
L — образующая.
23

Усеченный конус
5бок = тг(Д1 + R2)L, V=l- тгЯ(Д? + R\
где jRi и jR2 — радиусы оснований.
Шар
где R — радиус шара.
Шаровой сегмент
5 = 2тгД/1, V = nh2
где h — высота сегмента.
Шаровой сектор

ЧАСТЬ II
УСТНЫЙ ЭКЗАМЕН

Алгебра и начала анализа
Вопросы устного экзамена
1. Свойства функции у = ах + Ь и ее график.
2. Свойства функции у — — и ее график.
х
3. Свойства функции у = ах2 + Ьх + с и ее график.
4. Формула корней квадратного уравнения.
5. Теорема Виета.
6. Разложение квадратного трехчлена на линейные
множители.
7. Свойства числовых неравенств.
8. Формула пго члена и суммы п первых членов
арифметической прогрессии.
9. Формула пго члена и суммы п первых членов
геометрической прогрессии.
10. Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии.
11. Логарифм произведения, частного, степени.
12. Свойства функции у = ха и ее график.
13. Свойства функции у = ах и ее график.
14. Свойства функции у = loga x и ее график.
15. Свойства функций у = sinx у — cosx и их графики.
16. Свойства функции у = tgx и ее график.
17. Решения уравнений вида sinx = a, cosx = a, tgx = a.
18. Зависимость между тригонометрическими функциями
одного аргумента.
19. Формулы приведения.
20. Формулы синуса и косинуса суммы двух аргументов.
21. Формула тангенса суммы двух аргументов.
22. Тригонометрические функции двойного аргумента.
23. Тригонометрические функции половинного аргумента.
24. Производная суммы двух функций.
25. Производная произведения двух функций.
26

26. Производная частного двух функций.
27. Производная функций sinx, cosx, хп, logax, ах.
28. Уравнение касательной к графику функции.
Свойства функции у = ах + b и ее график
Функция, задаваемая формулой у = ах + Ь, где а и Ь —
действительные числа, называется линейной.
Основные свойства функции у = ах + b
1. D(y) = R, выражение ах + b имеет смысл при любом
значении х.
2. Е(у) = R.
3. Функция у = ах + b есть функция общего вида, т.е. не
является четной, нечетной.
П Функция у = /(ж), определенная на множестве D,
называется четной, если для х Е D выполняются условия: —х Е D
и /(—х) = /(я); нечетной, если f(—x) = —f(x).
Заменяем х на — х: у(—х) = а(—х) + Ь, т.е. у{—х) = — ах + Ь.
Как видно, у(-х) ф у(х) и у(-х) ф ~у(х). Ш
4. При 6 = 0 функция у = ах + Ь принимает вид у — ах
и называется прямой пропорциональностью. Число а
называется коэффициентом пропорциональности. Прямая
пропорциональность характеризуется свойством: «С увеличением
(уменьшением) значения х в несколько раз соответствующее
значение у увеличивается (уменьшается) во столько же раз»,
т.е.
51 = У1
Х2 2/2*
Функция у = ах является нечетной. Ее график проходит через
точку 0(0,0) и представляет собой прямую линию.
5. Линейная функция есть непрерывная функция.
6. Функция у = ах + b дифференцируема на R.
При этом у' = (ax -f b)f = (ах)' + (Ь)' = а + 0 = а, т. е. у1 — а.
Отсюда следует, что:
если a > 0, то у1 > 0, функция возрастает,
если а < 0, то у' < 0, функция убывает;
если a = 0, то у' = 0, функция постоянна.
Функция у = ах + b экстремумов не имеет.
27

7. График линейной функции у = ах + b может быть
получен из графика функции у — ах параллельным переносом
последнего на Ь единиц вдоль оси OY. И так как графиком
у = ах является прямая, то и график функции у = ах + Ь есть
прямая линия. Она пересекает ось OY в точке М = (0,6),
наклонена к оси ОХ под углом а, тангенс которого равен а, т. е.
а = tga. Если а > 0, то а — острый угол, если а < 0, то а —
тупой угол.
Ниже изображены графики функций:
М(0,
Л
У
2)
а
У
/
/
0 х
у = 2
У\
М(0,2)
О
Замечание: если а = 90°, то уравнение прямой
записывается не в виде у = ах + Ъ (а = tga, tg ^ = оо), а в виде
X = С.
I 2 I Свойства функции у = - и ее график
Функция, задаваемая формулой у = ^, где к ф 0 —
действительное число, называется обратной
пропорциональностью.
28

Основные свойства функции у = ^
1. D(y) = (-00,0) U (0, оо), т. к. на ноль делить нельзя.
2. E(j/) = (-(x>,0)U(0,oo).
3. Функция 2/ = § является нечетной.
П Заменяем х на — х:
к к
X X
Отметим, что график нечетной функции симметричен
относительно точки 0(0,0) — начала координат.
4. С увеличением (уменьшением) значения х в несколько
раз соответствующее значение у уменьшается
(увеличивается) во столько же раз.
□ Из у = §, * ф 0 следует: ух = £ и у2 = £-. Тогда
2/2
А.
Х\
— J
к
т.е.
2/1 Х2
~ .
2/2 ХХ
5. Функция 2/ = х непРеРывна в промежутках (—оо,0) и
(0,оо).
6. Функция у = ах + 6 дифференцируема во всех точках
числовой оси, кроме х — 0. При этом:
х2'
Отсюда следует, что:
если к > 0, то у1 < 0, функция убывает;
если к < 0, то у1 > 0, функция возрастает.
Функция 2/ — § экстремумов не имеет.
7. График функции 2/ = х называется гиперболой,
состоит из двух ветвей. Согласно рассмотренным свойствам, имеет
вид:
29

если к > О
О
О
если к < О
Более точный график функции у = ^ приведен ниже:
а Свойства функции у = ах2 + Ьх + с и ее
график
Функция, задаваемая формулой у = ах2 + for + с, где а / О,
Ь, с — действительные числа, называется квадратичной.
Основные свойства функции у = ах2 + Ьх + с
1. D(y) — R, т.е. ах2 + Ьх + с имеет смысл при любых
значениях х.
2. Е(у) = R.
3. Функция у = ая2 + 6х + с есть функция общего вида.
Если b = 0, то у = ах2 + с есть четная функция.
30

П Действительно, заменяя значения х на —х, получаем:
у(-х) = а(-х)2 +с = t/(x),
т.е.
у(-х) = у(х).
4. Функция у = ах2 -Ь 6х + с есть непрерывная функция во
всех точках числовой оси.
5. Функция у = ах2 + Ьх + с дифференцируемая функция
в R = (—оо, +оо). При этом:
у' = (ах2 + Ьх + с)7 = (ах2)' + (6х)' + (с); = 2ах + Ь + О,
т. е. з/ — 2ах + 6.
Функция 2/ = ах2 + Ьх + с имеет экстремум в точке с абсциссой
х = ~^ (здесь 2/; = 0).
Экстремум оказывается:
максимумом, если а < О,
минимумом, если а > 0.
6. При Ь = 0 и с — 0 квадратичная функция принимает вид
у = ах*2. График этой функции называется параболой. График
проходит через точку 0(0,0), он симметричен
относительно оси Оу. Ветвь параболы расположена над осью Ох, если
а > 0; под осью Ох, если а < 0. График имеет следующий
вид:
а>0
а<0
О
7. Покажем, что график функции у — ах2 + Ьх + с является
также параболой; он может быть получен из графика
функции у = ах2 путем параллельного переноса.
31

Действительно, в квадратном трехчлене ах2 + Ьх + с (а ^ 0)
выделим полный квадрат, а затем функцию представим в
другом виде:
t/ = ааГ + Ьж + с = а ( ж + -ж + - ) =
V а а)
= а ж2 + 2 — + ТТ + ~ ~ 7"г ) =
\ 2а 4а2 а 4а2 /
= а
4ас-62
62-4ас
т.е.
= а[Х+2-а ~
4а
b2 - Aac
т.е. И — а
4а
2а)
Если теперь обозначить х + tjz — X, г, у + -—л с = У, то
функция у = ах2 + Ъх + с примет вид У = аХ2; такая функция
уже рассмотрена выше. Полагая X — 0 и У = 0, получаем
координаты вершины «новой параболы»:
(_Ь_ Ъ2-4ас^
Ul[ 2a'
формулы X = x + -J?-wY =
4а
есть формулы
параллельного переноса осей координат системы хОу\ точка О
переходит в точку О\.
Проиллюстрируем сказанное на примере.
Пусть у — х2 — 4х + 6. Здесь a = 1, Ь — -4, с = 6. Значит,
вершина параболы У = X2 находится в точке Oi(2,2).
1
2
О
У
\
\
\
i
1
У /
J
О\ X
2 х
32

Ниже приведены графики функций:
у = х2
4 I Формула корней квадратного уравнения
Квадратным уравнением называется уравнение вида
ах2 + Ьх + с — О,
где а Ф 0, 6, с — действительные числа.
Всякое число х = т, удовлетворяющее уравнению,
называется корнем уравнения.
Для нахождения корней квадратного уравнения поступим
так:
ах2 + Ьх + с = 0 — разделим на а ф О,
26 с
х н—хН— =0 — выделим полный квадрат,
а а
2 Ь Ь2 с Ь2
х + 2—х Н 1 = 0,
2а 4а2 а 4а2
Ъ2 - Аас
4а2
2а
2а
Ь
х + — Н
2а
=°'
2 - Аас"
2а
= 0.
2-8601
33

Таким образом:
Ъ у/Т) Ь y/D
х Ч- — = или х Ч = ,
2а 2а 2а 2а
-Ъ-у/Т) -b +
то есть xi = , х2 =
2а
, х2 ,
2а 2а
где D — Ь2 - 4ас есть дискриминант.
Итак, корни уравнения ах2 Ч- Ьх Ч- с = 0 находятся по фор»
муле:
-b±\/D
Xl'2 = ~^2а~'
Проведем небольшое исследование:
1) если D < 0, то уравнение действительных корней не
имеет,
2) если D = 0, то уравнение имеет два одинаковых корня:
3) если D > 0, то уравнение имеет два различных корня:
-b-y/D -b +
Х И *
Замечания:
1. Квадратное уравнение вида х2 Ч- рх Ч- q — 0 называется
приведенным. Его корни находятся по формуле:
Например: х2 - 4х Ч- 2 = 0, xi,2 = 2 ± \/4 - 2, т. е. ал = 2 - >/2,
х2 = 2 Ч- \/2.
2. Если квадратное уравнение имеет вид
ах2 + 2Ьх Ч- с = О
(второй коэффициент четный), то формула корней
квадратного уравнения принимает вид:

5 I Теорема Виета
Теорема. Сумма корней квадратного уравнения
ах2 + Ьх + с = 0
равна -|,а произведение корней равно §.
П Пусть уравнение ах2 +Ъх+с = 0 имеет два корня (D > 0):
-Ь-у/5 -Ъ+>Л5
Находим их сумму:
-b-y/D -Ъ+y/D
-26 Ь Ь
la a a
Находим произведение корней:
~l ~' ^ 2a } \ 2a ) 4a*
b2 — D Aac с с Ш
4a2 4a2 a' a
Отметим, что если уравнение имеет вид:
2 х\ 4- Х2 = —р,
х Н- рх -f g = 0, то
Х\ • Х2 = 9-
Замечания:
1. Имеет место теорема, обратная данной: если числа тп и
п таковы, что тп + п = —р, тп • п = д, то эти числа являются
корнями уравнения:
х2 + рх + q = 0.
D Имеем:
х2 - (тп + п)х + тпп = 0 =» х2 - тпх — пх + тп = 0 =>
х(х - тп) - п(х - тп) = 0 => (х - п)(х - тп) = 0,
2* 35

т.е.
х\ = m, х2 = п,
т. е. числа га, п являются корнями уравнения x2+px+q = 0. Ц
2. Обратная теорема позволяет составлять квадратное
уравнение по его корням.
Например, если х\ — 2, а х2 = -3, то х\ + х2 = — 1» а
£i#2 = -6. Следовательно, получаем х2 + х - 6 = 0.
И Разложение квадратного трехчлена
на линейные множители
Квадратным трехчленом относительно х называется
выражение вида ах2 + Ьх + с, где а ^ 0, 6, с — действительные
числа.
Корнем квадратного трехчлена называется всякое число
х = ш, обращающее квадратный трехчлен в нуль.
Корни квадратного трехчлена находятся из уравнения
ах2 + Ьх + с - 0.
Если оно имеет два корня х\ и х2 (D > 0), то в этом случае
квадратный трехчлен может быть представлен в виде
произведения а(х — х\){х — хг).
Итак, покажем, что имеет место равенство:
ах2 + Ьх + с = а(х — х\)(х — х2)-
и
( 1 Ъ с\
= a[xz + -x + -) =
\ а а)
1
ах2 + bx
= а(х2 - (х\ + х2)х -f xix2) = а(х2 — xix — хх2 -f
= а{х{х - xi) - х2(х - xi)) = а((х - хг)(х - х2)) =
= a(x-xi)(x-x2),
т.е. ах2 + Ьх + с = а(х — х\)(х — х2). Ш
Замечания:
1. При доказательстве теоремы воспользовались теоремой
Виета:
Ь с
+
а а
36

2. Аналогичное разложение имеет место и для многочлена
степени выше двух. Так,
ах3 + Ьх2 + сх + d = а(х - xi)(x - Х2)(х - х3).
| 7 | Свойства числовых неравенств
В математике принято считать:
• число а «больше» числа 6, записывают а > 6, если
разность а — Ь положительна;
• число а «меньше» числа 6, записывают а < 6, если
разность а — Ь отрицательна.
Соотношения а > Ь и а < Ь называются неравенствами,
знаки > и < — знаками неравенства, а и b — членами
неравенства.
Неравенства а > b и с > d называются неравенствами
одинакового смысла; а < b и с > d — противоположного смысла.
Свойства числовых неравенств
1. Если а > 6, то b < a.
□ а > Ь. Значит, разность а — b положительна. Но тогда
— (а — 6), т. е. b — а отрицательна. Значит, b < а. Ш
2. Если а > 6, b > с, то а > с.
П Сумма положительных чисел а — b и b — с есть а — с
положительное число, т. е. а > с. Ш
3. Если а > 6, с — любое число, то а + с > b -f с.
□ а - b = (а + с) - (Ь + с). Но а - b > 0. Значит, {а Л-с) -
- (Ь + с) > 0, т. е. (а + с) > (6 + с). ■
4. Если а > 6, с > 0, то ас > be.
П ас — be = с(а — 6),нос>0иа — 6>0. Значит, ас — Ьс> 0,
т. е. ас > be. Ш
Отметим, если с < 0, то ас < be. Ясно.
5. Если а > b и с > d, то а + с > b + d, т. е. неравенства
одинакового смысла можно почленно складывать.
П Разность а — b положительна, с — d —
положительна. Значит, их сумма (а — Ь) + (с — d) — положительна, т. е.
(а + с) — (6 -Ь d) — положительна, т. е. а + с > b + d. Ш
37

6. Если а > 6, с < d, то а — с > 6 — d, т. е. неравенства
тивоположного смысла можно почленно вычитать, оставляя
знак первого неравенства.
Оа>Ь=>а-Ь>0] c<d=>d>c (свойство 1), т.е.
d - с > 0. Но тогда (а - 6) + (d - с) > 0, т. е. а - с > 6 - d. Щ
7. Если аЬ > 0 и а < Ь, то - > 1
а о
8. Если а > 0, 6 > 0, а > 6, то ап > Ьп, n G N.
9. Если а > 0, 6 > 0, а > 6, то ^/а > \/б, n G N, n ф 1.
10. Если а > Ь, с > d и а > 0, Ь > 0, с > 0, d > 0, то ас > bd.
П а > 6 => ас > 6с (Свойство 4); с > d => 6с > bd, ведь
6 > 0. Но тогда, по Свойству 2, имеем: ас > be. Щ
Замечание: отметим, что свойство 3 оправдывает
возможность переноса любого члена неравенства из одной его части
в другую с противоположным знаком. Например, a -f 6 > с.
Прибавим к обеим частям (—6), а + 6 — 6>с — 6, т. е. а > с — Ь.
Итак, из a + b>c=>a>c — b.
а Формулы п-го члена и суммы п первых
членов арифметической прогрессии
Числовой последовательностью называется множество
чисел, занумерованных с помощью натуральных чисел в
порядке их возрастания, т. е. а\, аг, •.., ап,...
Арифметической прогрессией называется числовая
последовательность, у которой каждый последующий член равен
своему предыдущему, сложенному с одним и тем же числом,
называемым разностью прогрессии d. Обозначается '-.
Теорема 1. Общий член (n-ый член) арифметической
прогрессии определяется формулой ап = а\ -f d(n — 1).
□ Пусть дана '- аь а2,..., ап,...
По определению:
0/2
аз
а4
Оп-1
«п =
= ai +
= а2 +
= а3 +
= ^п-2
d,
+ c
fd.
38

Сложим почленно эти п - 1 равенства:
U2 + ЙЗ + «4 + • • • + Gn-l + Gn =
= а\ 4- «2 4- аз 4- ^4 + • • • + «n-i + «n 4- d(n - 1).
Отсюда ап = «i + d(n - 1). ■
Справедливость формулы общего члена можно доказать
методом математической индукции (см. Замечание).
Теорема 2. Сумма первых п членов арифметической
прогрессии определяется формулой
аг + ап
Sn = —2 п*
□ Пусть дана т аь а2,..., ап, • • • Тогда
Sn = ai +a2 + ... + an.
Перепишем это равенство иначе:
Складывая почленно эти равенства, получим:
25П - (а! + ап) + (а2 + an_i) + ... + (ап + <ц). (1)
Но ai -h an = а2 + an-i = • • • = а* + an_jfc+i- Действительно,
a2 + an-i = ai-h rf-hai-f d(n-l-l) = oi-f ai+d(n-l) = ai+an
и вообще:
ak + an_*+1 = ax + d(* - 1) + ai + d(n - fc + 1 - 1) =
= 2ax + d(* - 1 + n - к + 1 - 1) = ai + (ai + d(n - 1)) =
= ai 4- an.
Поэтому равенство (1) принимает вид:
= (ai + an)n, отсюда Sn = -^——- п.
Замечание:
an = аг 4- d(n - 1).
39

Докажем это методом математической индукции.
□ 1. При п — 1 эта формула верна, т. к. а\ — ап.
2. Предположим, что формула верна при п = &(^1),т.е.
ак = а\ + d(k - 1).
3. Проверим, верна ли формула при п = к + 1. По
определению арифметической прогрессии а^\ — ак + d. Но а* =
= а\ Н- d(fc — 1). Значит, а*+1 = ai + с?(/с — 1) -f d = а\ -f- dk. Но
это и есть формула ап = а\ + d(n — 1) при п — к + 1.
Из принципа математической индукции следует, что
формула общего члена арифметической прогрессии верна для
любого натурального п. Ш
Формула п-го члена и суммы первых
п членов геометрической прогрессии
Геометрической прогрессией называется числовая
последовательность, у которой каждый последующий член равен
своему предыдущему, умноженному на одно и то же число
q ф 0, называемое знаменателем прогрессии. Обозначается
кратко т:.
Теорема 1. Общий член (n-ый член) геометрической
прогрессии определяется формулой Ьп — b\qn~l.
□ Пусть дана ^ 6Ь Ъ2,..., Ьп, • • •
По определению:
= Ьз - <7,
Перемножим почленно эти п — 1 равенства
Отсюда:
bn = biqn-\ Ш
Справедливость формулы общего члена можно доказать
методом математической индукции (см. Замечание).
40

Теорема 2. Сумма п первых членов геометрической
прогрессии определяется формулой
□ Пусть дана ^ Ь\, Ь2,..., Ьп,... Тогда
5П = Ъх + 62 + bz + ... + 6П_! 4- Ьп. (1)
Умножим обе части этого равенства на q:
qSn = М 4- b2q + 6з9 + • • • + bn-i7 + bnq,
т.е. qSn = b2 + b3 + b4 + ... + bn + bnq. (2)
Вычтем последовательно из равенства (1) равенство (2)
Sn ~ qSn = bi - bnq, т. е. 5„(1 - g) = bi - bi^"1^
l9
Замечание: докажем формулу bn = b\qn~l методом
математической индукции.
матической индукции.
1. При п = 1 эта формула верна: Ь\ — Ь\.
2. Предположим, что формула верна при п = к ( ^ 1),
= bQk-1
т. е.
3. Проверим, верна ли формула при n = fc + 1. По
определению геометрической прогрессии &&+i = 6^g, но bk = b\qh~l.
Значит, 6fc+i = b\qk~1q, т.е. 6^_|_i = b\qk. Но это и есть
формула bn = biqn~l при п = к + 1. Из принципа математической
индукции следует, что формула общего члена геометрической
прогрессии верна для любого натурального числа п.
Сумма бесконечно убывающей
геометрической прогрессии
Бесконечная геометрическая прогрессия, знаменатель
которой удовлетворяет условию \q\ < 1, называется бесконечно
убывающей1 геометрической прогрессией. Кратко
обозначается бу^.
!Если q G (-1,0), то прогрессия не будет убывающей, однако в этом
определении имеется в виду убывание модуля.
41

Говорят, что последовательность а\, а2,.. -, ап,... имеет
сумму S, если предел суммы ее первых п членов равен 5 при
п ->• оо, т.е.
5 = lim 5n.
П—УОО
Теорема. Сумма бесконечно убывающей геометрической
прогрессии определяется формулой:
1-q
П Пусть дана бу^ Ьи Ь2, • • •, Ъп,..., \q\ < 1.
Как известно, сумма п первых членов геометрической
прогрессии находится по формуле:
Поэтомуг по определению:
S = lim 5n = lim (bi + Ь^ + ... + Ьп) =
п—>оо п>оо
п—юо 1 — q 1 — q n—юо
А так как lim qn = О при Ы < 1 (см. Замечание), то:
n-юо
-Ч, т.е.
Замечание: покажем, что
lim gn = 0 при Ы < 1.
п-юо
П Действительно, если q = 0, то lim qn = 0.
п—>оо
Если 0 < q < 1, то q = ^ где г > 1. Но lim rn = оо, если
' п—юо
г > 1. Действительно, если г > 1, то г = 1 4- а, где а > 0.
Тогда:
гп = (1 + а)п = 1 + па + гс^-^а2 + ... + ап > 1 + па,
т. е. гп > 1 + па.
42

Значит, при п -^ оо и 1 + па -> оо, поэтому lim rn = оо.
Стало быть, qn = 4г -* 0, при п -* оо, т.е. lim qn = 0. Если
Г п—>оо
— 1 < q < 0, то 0 < |</| < 1. Отсюда следует, что lim \q\n = 0. Я
Г771 Логарифм произведения, частного,
1 I степени
Логарифмом числа Ь (Ь > 0) по основанию а (а > О,
аф\) называется показатель степени х, в которую надо
возвести основание а, чтобы получить число 6, т. е. из ах = Ь
следует х = loga b и наоборот.
Теорема 1. Логарифм произведения двух положительных
чисел равен сумме логарифмов этих чисел, взятых по тому же
основанию, т. е. \oga(bc) = loga b + loga с, b > 0, с > 0.
□ Обозначим loga(6c) = х, loga 6 = xi, logac = x2. По
определению логарифма имеем: be = ax, b = a11, с = aX2.
Перемножим почленно два последних равенства. Получим:
be = aXlaX2, т.е. be = aXl+X2. Но be — ах (первое
равенство). Стало быть, ах = aXl+X2. Отсюда следует на
основании свойств показательной функции, что х = х\ + #2, т. е.
loga(bc) = loga 6 + loga с. ■
Теорема 2. Логарифм частного двух положительных
чисел равен разности логарифмов делимого и делителя, взятых
по тому же основанию, т. е. loga ^ = loga b - loga с, b > О,
О 0.
□ Пусть loga \ = х, loga Ь = xi, loga с = х2. Тогда | = ах,
b = а*1, с = аХ2. Из последних двух равенств следует, что
£ = «^i, k = aXl-X2. Но ^ = ax. Значит, ax = aXl~X2. Отсюда
с а с с
х = xi - х2, т. е. logQ | = loga 6 - loga с. ■
Теорема 3. Логарифм степени положительного числа
равен произведению показателя степени на логарифм
основания, т. е. loga bc = с loga 6, b > 0.
□ Обозначим logQ 6е = х, loga 6 = xi. Тогда 6е = ax, 6 = aXl.
Из последнего равенства следует bc = (aXl)c, т.е. 6е = aCXl. Но
Ьс = ах. Значит, ax = aCXl Отсюда х = cxi, т.е. loga6c =
= cloga6. ■
43

■
12 I Свойства функции у = ха и ее график
Функция вида у = ха, где а £ R, называется степенной.
Рассмотрим свойства степенной функции у = ха при наиболее
часто встречающихся значениях а.
Степенная функция с натуральным показателем
Функция у = хп, п eN.
1. D(y) = R.
2. Е(у) = R, если п = 2k +1 (т. е. нечетное); Е(у) = [0, oo),
если п — 2k.
3. При x = 0 имеем ?/ = 0. Значит, график функции
проходит через точку 0(0,0).
4. у > 0 при n = 2A; (х ф 0) и при 71 = 2А; + 1и:г>0;?/<0
при п = 2А;4-1их<0.
5. у — хп четная функция при п — 2к\ нечетная при
п = 2к+ 1.
П Заменяем х на — х. Получаем:
— четное,
— нечетное,
т.е.
у{—х) = у(х) при п = 2к, у(х) — четная,
у(—х) = —у(х) при п = 2А; + 1, ?/(х) — нечетная. I
6. Функция у — хп непрерывна в R.
7. Функция у — хп дифференцируема в R. При этом у1 —
= [хп)' = пхп~1, т.е. у' = пхп~1 Доказательство см.
вопрос № 27.
График функции у = хп имеет вид:
44

В частности:
-2-U
Степенная функция с целым отрицательным
показателем
Функция у = х~п = -тг п £ N.
1. D(y) = (-oo,0)(0,oo).
2.E(y) = (0,oo) прип = 2k; (-oo,0)U<0,oo) при п = 2fc+l.
3. Нулей функция не имеет, у ф 0.
4. у > 0 при n = 2fc и n = 2fc+ 1, ж > 0; у < 0 при п = 2к+ 1
и х < 0.
5. Функция ?/ = х~п = --тг четная при п = 2&; нечетная при
n = 2fc-hl. X
6. Функция ?/ = х~п = -^г непрерывна в (-оо, 0) U (0, оо).
7. Функция ?/ = х~п = -тг имеет производную во всех
точках, кроме х = 0. При этом
У ~\хп) ~
пхп
п
(хп)2
х-хп-хп
т.е.
-—
Отсюда следует, что при п = 2А; + 1 функция убывает при
£ £ (—оо, 0) и при х £ (0, оо) (т. к. у1 < 0); при n = 2A; функция
возрастает при х G (-оо, 0) и убывает при х G (0, оо).
45

График функции у = х п = — имеет вид:
Степенная функция с дробным показателем а. — —
п
у = Хп = #£, П в N, П / 1.
Ограничимся видом графика функции у = Vfx при
п = 2А;
У
Замечания:
1. Свойства функции у = Vfx можно «прочесть» с графика.
2. Аналогично можно рассмотреть степенную функцию с
показателем:
т _,
а = —, m,ra e N,
п
т
а — иррациональное число.
46

13 I Свойства функции у = ах и ее график
Функция вида у = ах, где а > О, а ф 1, называется
показательной.
Свойства показательной функции
1. D(y) = R.
2. ВД = (0, оо).
□ Если х = п £ N, то
ах = ап = а • а • ... • а > 0.
Если х = 21 > 0, то
ах =0,% = \/а™ > 0.
Если х — положительное иррациональное число, то,
обозначив через а\ > 0 и «2 > 0 приближенные рациональные
значения х по недостатку и избытку, имеем aai < ах < аа2,
если а > 1; если 0 < а < 1, то aai > ах > aa2, т. е. ах
заключено между положительными числами, т. е. ах > 0.
Если х отрицательное число, то х = -£, где t > 0.
Следовательно, ах = а~ь = -\ > 0. Ш
3. Если х — 0, то ?/ = 1. График функции у = ах пересекает
ось Оу в одной точке М(0,1).
4. Функция у = ах является функцией общего вида.
П Заменим х на —ж, получаем
т.е.
У(-я) # У0*0 и у(-х) ф -у(х).
5. Функция у = ах непрерывна в R.
6. Функция у = ах дифференцируема в R, при этом
(вывод см. вопрос № 27).
7. При a > 1 функция у — ах возрастает, при 0 < а < 1 —
убывает.
□ Пусть а > 1, у' = о In а. Но ах > 0 и In а > 0 (а > 1),
значит, у1 > 0, функция возрастает.
47

Если 0 < а < 1, то In а < 0. И значит, ах In а < 0, т. е. у1 < 0
функция у — ах — убывает. Ц
8. Если а > 1, то а1 > 1 при я > 0 и ах < 1 при х < 0. Если
же 0 < а < 1, то ах < 1 при х > 0 и ах > 1 при я < 0.
П Пусть а > 1.
Если х = п, п £ N, то
ах = ап = а • а • а • ... • а > 1.
Если х = Щ > 0, то
ах =
ах =0,% =
Если х — положительное иррациональное число, то и
тогда ах > 1 при а > 1, т.к. aai > 1, где ai — приближенное
рациональное значение я по недостатку.
Если х < 0, то х = —t, где t > 0. Следовательно,
"Х = "Г < 1- ■
а1
Если 0 < a < 1, то доказательство аналогично.
9. График функции у = ах имеет следующий вид:
1)
J/
М(0,1)
У =
о
о
114 | Свойства функции у = logax и ее график
Функция у = loga х, где a > 0, а ф 1, называется
логарифмической.
По определению логарифма из равенства у — loga x
следует равенство х = ау. Оба этих равенства выражают одну и ту
же зависимость между х и у.
48

Свойства логарифмической функции
1. £>Ы = (0>°°)-
D Из logax = у => х = ау, но ау > О, следовательно,
0 ■
2. £?(!/) = R= (-оо.оо).
3. Если ж = 1, то 2/ = 0. График функции ?/ = loga х
пересекает ось Ох в одной точке М(1,0).
4. Функция ?/ = loga х является функцией общего
вида т.е. не является ни четной, ни нечетной. Действительно,
у(-х)у£у(х) хотя бы потому, что х > 0, а (~х) £ D(y).
5. Функция ?/ = loga х непрерывна в (0, оо).
6. Функция у = loga х дифференцируема в (0, оо), при этом
у' = (loga x)' = ^L_ (вывод см. вопрос № 27).
7. При а > 1 и х > 1 выполнено неравенство loga x > 0; при
а>1иО<х<1 выполнено loga x < 0.
□ Из logax = ?/ => х = ау. Но известно, что при а > 1
выполнено ау > 1 при у > 0 и ау < 1 при ?/ < 0. Значит, при
a > 1 и х > 1 справедливо неравенство у = loga x > 0; а если
О < х < 1, то loga х < 0. ■
Аналогично, если 0 < а < 1, то logax < 0 при х > 1 и
loga х > 0 при 0 < х < 1.
8. При а > 1 функция у = loga х возрастает, при 0 < а < 1
функция убывает.
□ Пусть а > 1. Тогда у1 = -у-—. Нох>0и1па>0
X 1П 6Z
(а > 1), значит, ?/ > 0, функция возрастает. Если 0 < х < 1,
то In a < 0 и, значит, у' < 0, функция убывает. I
9. График функции у = loga x имеет следующий вид:
У = loga х
у = loga х
49

Свойства функций у = sinx, у = cosx
и их графики
Ордината точки Ра,
полученной при повороте около точки
0(0,0) на угол а начального
радиуса ОРо (Ро(1;0)),
называется синусом числа а (на рисунке
sin a = АРа).
Абсцисса точки Ра
называется косинусом числа (на рисунке
cos a = О А).
Свойства функций у = sin х и у = cos x
п/п
1.
2.
3
4.
5.
6.
7.
8.
9.
Свойства
D(y)
Е(у)
четность
основной
период
нули
функции
/(*) > 0
fix) < 0
fix)
интервалы
возрастания
интервалы
убывания
экстремум
Функция
sinx
R = (-00,00)
[-1,4
нечетная
2тг
тгп, п € Z
(27ГП + 0, 7Г + 2ТГП)
nez
(2тгп + 7г; 2тг + 2тгп)
cos я
(2тгп- \, ?j +27ГП)
n G Z
(2тгп+ 5> |тг + 2тгп)
max =1, х = 7^ -f 27гп
n G Z
min = —1, x = — 5 + 27rn
cosx
R
[-1,1]
четная
2тг
^ + тгп, n G Z
(2тгп- |; ^ +2тгп)
n € Z
(2тгп+ ^; |тг + 2тгп)
— sinx
(2тгп-тг; 0 + 2тгп)
n G Z
(27ГП + 0; 7г + 2тгп)
max = 1, x = 2тгп
n G Z
min ?= — 1, x = 7Г 4- 2-KJi
Практически все свойства функций непосредственно
вытекают из их определения.
50

График функции у - sin ж:
1
Зтг
О
2тг
1
График функции у = cos ж
У
Докажем свойство 3:
□ Построим на единичной
окружности точки Рх и Р_х. Как
видно, ординаты точек Рх и Р_х
одинаковы по модулю, но
противоположны по знаку, sin(—ж) =
— —sin ж.
Функция у = sin ж —
нечетная.
Абсциссы точек Рх и Р-х
одинаковы, т.е. cos(—х) = cosx.
Функция у — cos х — четная. ■
Поясним свойство 4:
□ Числах, ж±27г, ж±4тг,..., ж±2тгп, n G Z изображаются
на единичной окружности одной точкой. А поэтому
sin х = sin(x ± 2тг) = sin(x ± 4тг) = ... = sin(x ± 2тгп),
cos ж = cos(x ± 2тг) = cos(x ± 4тг) = ... = cos(x ± 2тгп).
А это и означает, что функции у = sin ж и у — cos ж —
периодические. Числа 2тг, 4тг, бтг,... являются периодами этих
функций.
Но может ли периодом функции являться число Т, которое
меньше 2тг, т. е. О < Т < 2тг?
51

Рассмотрим для примера функцию у — sinx. Если Т —
период, то sin(x-bT) = sin ж. Положим х = £. Отсюда следует,
что sin(^ + Г) = 1. Но это невозможно, если 0 < Т < 2тг.
Значит, Т = 2тг и есть основной (наименьший положительный)
период функций у — sinx, у — cosx. Щ
Замечание: вывод равенств (sinx)' = cosx, и (cosx)' =
= — sin х см. в вопросе № 27.
116 I Свойства функции у = tgx и ее график
Тангенсом числа а называется отношение синуса этого
числа к его косинусу: tga = coscr
Основные свойства функции у = tg x
1. D(y) = R, кроме х = £ + яп, п G Z.
2. Е(у) = R.
3. Функция у = tgx — нечетная.
П Заменяем х на — х:
ч sin(—x) sinx
y(,)=tg(a:) = = = *,,
т.е. у(-х) = -у(х).
Функция у = tgx нечетная. График ее симметричен
относительно 0(0,0). ■
4. Функция у = tgx периодическая с основным периодом
,-, sin(x-fTr) -sinx
U tg(x + 7Г) = т ; { = = tgX,
COS(x+7T) -COS Ж
т.е. tg(x -f tt) = tgx.
Следовательно, Г = тг период функции у = tg x.
Если посчитать, что периодом функции у = tgx
является число Т меньшее, чем тг, т. е. О < Т < тг, то равенство
tg(x + Г) = tga; не выполняется, например, при х = 0.
Получаем, tgT = 0. Отсюда Г = тгп, п е Z.^Ho, 0 < Т < тг, т. е. Т
не является периодом.
Итак, тг — основной период функции у = tgx. I
5. tgx = 0, при х = тгп, п е Z.
6. tgx > 0 при х е (тгп + 0, ^ + тгп), п G Z.
52

7. tgx < 0 при х в (пп - tj-, 0 + *гп), n G Z.
8. Функция у = tgx непрерывна и дифференцируема в
области определения. При этом
cos2 x + sin2 x
cos2x
cos^x
cosx • cosx + sinx • sinx
т.е. (tgx)' =
9. Из того, что
следует, что у1 > 0. Это означает, что функция у — tgx
возрастает в области определения.
Интервалы возрастания есть (тгп - ?j, ^ + тгп), п G N.
10. График функции у = tgx:
rrz~| Решение уравнений sinx = a, cosx = а,
LJ tgx = a
1. sinx — а. Уравнение имеет смысл при — 1 ^ а ^ 1. Так
как функция у = sinx имеет период 2тг, то достаточно найти
решение уравнения sinx = ана участке длиной 2тг.
г 7Г 37Г-, ^
Возьмем участок |~77>~7Г_|- ^н состоит из двух участков
2 2
53

г ТГ ТГ-. Г7Г ЗТГ-, г ТГ ТГ-,
1-~ 2*' ^ И 4F' Т-"' И Х G ^2' 2^Т
sin х — а является
х = arcsina, (1)
по определению арксинуса.
_ г ТГ ЗтГ-,
Ьсли х Е [~~ То "o"J» то УРавн^ние smx = а запишем в виде
sin(7r — х) —а. Это верно, т.к. sinx = sin(7r — ж), но аргумент
г ж жл
7Г — х G [--, — J, что вытекает из следующей цепочки:
тгЗтг Зтг /^ ТГ/ /Я"
2 ^ ж ^ у» -у ^ -ж < —2' "г" ^ * ~ х ^ "2 •
Из равенства sin(7r — х) = а, тг — х G ["~х> х] следует, что
тг — х = arcsin а, т. е.
х = тг — arcsin а. (2)
Все решения уравнения sin x = а получим, прибавив к
найденным решениям (1) и (2) выражение 2тгА:, к £ Z. Получим:
х = arcsina-b27rA; и х = — arcsin а+тг+2тгА:. Найденные решения
обычно записывают в виде одной формулы:
х = (—l)n arcsin а + тгп, n G Z.
(При п = 2к получается первое решение, при п = 2А: + 1 —
второе решение.)
2. cosx = а, — 1 ^ а ^ 1. Найдем решение этого
уравнения на участке [—тг,тг]. На второй его половине, (х G [О,тг])
решением уравнения cos x = а является
х = arccosa (3)
по определению арккосинуса.
Если х G [-тг,О], то уравнение cosx — а перепишем в виде
cos(—х) = а, т.к. cos(—х) = cosx, но при этом —х £ [0,тг]. По
определению арккосинуса находим —х = arccosa, т.е.
х = — arccos a. (4)
Прибавив к полученным решениям (3) и (4) числа 2тгк,
к е Z, получим все решения уравнения, а именно:
х = ±arccosa + 2irk, к G Z.
54

3. tgx = а. Найдем решение уравнения tgx = а на участке
длиной тг.
Возьмем участок (—-,-). Тогда из равенства tgx = a,
2 2
x = arctga, (5)
по определению арктангенса. Прибавив к найденному
решению (5) числа тгп, п G Z, получим все решения уравнения
tg х = а, а именно:
х = arctga + тгп, п G Z.
Замечание: немного об обратных тригонометрических
функциях.
1) у = arcsinx, если sinj/ = х и —— ^ у ^ —.
Z 2
График:
2/
-1
о
arcsin(—х) = — arcsinx
2) у = arccosx, если cos у = х и 0 ^у ^ тт.
График:
= [-1,1],
= [0,тг],
arccos(—х) = тг — arccosx
О I*
55

3) у = arctgz, если tgy = х и -- < у < -.
График:
У
О
= (-оо,оо),
arctg(-z) = — arctgz
Зависимость между тригонометрическими
функциями одного и того же аргумента
I. Основные тригонометрические тождества
и определения
У
Ра
sin2 a + cos2 a = 1 (1)
1 X
П Пусть а — произвольный угол. Отметим на единичной
окружности точку Ра (см. рис.). В треугольнике ОАРа:
О А = cos а, АРа = sin а, 0Ра = 1.
По теореме Пифагора О А2 + АР2 = ОР2, т. е.
cos2 a + sin2 а = 1. Я
sin а . тг _ /ЛЧ
tga = , а т= т: + 7ГП? n G Z по определению. (2)
cos a 2
=-^ , а ф 7гп, nGZ по определению. (3)
sina
56

Из (2) и (3) следует:
tga-ctga = 1 . аф —, п е Z. (4)
Разделив почленно (1) на cos2 а ф О, получим:
Разделив же на sin2 а ф О, получим:
l + t2
(6)
g2
sin a
II. Выражение одних тригонометрических функций
через другие
Из (1) следует sin (х = ±у/\ - cos2 a.
Из (б) следует
1
sin a =
±y/l + ctg2 a
Отсюда вытекает, что
tga
sin a = ,
±y/l + tg2a
т.к. ctga = Д- (см. (4)).
Из (1) следует cos a = ±\/l - sin2 a.
Из (5) следует
1
cos a =
Отсюда вытекает, что
т.к. tga= ^g^ (cm. (4)).
57

Понятно, что
tga =
sin a
±\Л -sin2 а
tga =
±\Д — cos2 а
tga =
cos a
1
ctga"
Заметим, что в формулах, содержащих радикалы, знак
следует брать в зависимости от того, в какой четверти
оканчивается угол а.
1191 Формулы приведения
Формулами приведения называются формулы,
выражающие тригонометрические функции от аргументов
—а, — ± а, тг ± а, — ± а, 2тг ± а
через функции от аргумента а.
Таблица формул приведения
sin
cos
tg
ctg
—a
— sin a
cos a
-tga
-ctg a
cos a
sin a
CtgQ
tga
f+a
cos a
— sina
-ctga
-tga
7Г—a
sin a
— cos a
-tga
— ctga
7r+a
— sin a
— cos a
tga
ctga
— cos a
— sina
ctga
tga
?f+a
— cos a
sina
-ctga
-tga
27Г—a
— sin a
cos a
-tga
-ctga
27r+a
sina
cos a
tga
ctga
При пользовании формулами приведения можно
пользоваться правилами:
1) если угол а откладывается от горизонтального
диаметра, то в обеих частях формулы функция имеет одно и то же
название; от вертикального — функция меняет название на
сходное;
58

2) знак приведенной функции совпадает со знаком
приводимой функции, т.е., чтобы определить знак, с которым
следует брать функцию в правой части, достаточно, считая угол
острым, определить знак по знаку левой части.
Формулы приведения в особом доказательстве не
нуждаются. Так, формулы первого столбца выражают свойства
четности и нечетности функции. Последние два столбца
получены с учетом периодичности тригонометрических функций.
Другие формулы вытекают из теорем сложения для
тригонометрических функций. И так далее...
Например,
/Зтг \ Зтг . Зтг .
cos ( Ь ос] = cos — cos a — sin — sin a = 0 4 sin a = sin a,
т.е.
/Зтг \
cos I — 4 а I =sma;
sin(Tr + a) = sin тг cos a 4- cos тг sin a = 0 — sin а = — sin a,
т.е.
sin(Tr 4 а) = - sin a;
• f37T \
. sm -— a
/Зтг_ \ _ V 2 J _ -
\2 a)~ /Зтг \ ~ -
V2 J
- cos a
*8(^-°)= /Зтг \=-T^=CtgQ'
COS Г
т.е.
/ _..
— -a =ctga.
[Wai Формулы для синуса и косинуса суммы
1 ■ двух аргументов
Рассмотрим единичную окружность с центром в 0(0,0), а
на ней точки PQ, Pa+/3> Р-р (см. рис. на следующей странице).
Им соответствуют углы a, a 4- /3, —/?. Очевидно, что
\РаР-0\ = \Р0Ра+Р\. (*)
Воспользуемся формулой расстояния между двумя точками
Mx(xuyi) и М2(х2,2/2): d = у/(х2 - хх)2 4 {у2 - У\)2-
59

У I
У нас
Ра (cos a, sin а), Р-р (cos /?, - sin /?),
PQ+/?(cos(a -f 0), sin(a + /3));
и теперь из равенства (*) получаем:
v/(cos(a + /3)- I)2 + (sin(a + /3) - О)2 =
= >/(cosa — cos/?)2 -f (sina + sin/?)2,
т.е.
cos2(a + /?) - 2cos(a + /3) + 1 + sin2(a + 0) =
= cos2 a - 2 cos a cos 0 + cos2 /? + sin2 a + 2 sin a sin /? -f sin2 /?,
т. e. -2 cos(a -f/3)+2 = 2 — 2 cos a cos /? + 2 sin a sin /3, т. е.
cos(a + >9) = cos a cos /3 — sin a sin /?.
Заменим /? на —/?, получаем:
cos(a - /3) = cos a cos /? + sin a sin /?.
Получим теперь формулу для синуса суммы двух
аргументов:
sin(a + /3) = cos (! - (a + /3)) = cos ((| - a) - /?) =
= cos f — - a j cos f3 + sin f — - a j sin /3 —
= sin a cos /7 + cos a sin /?,
60

т.е.
sin(a: 4- ft) = sin о: cos /3 4- cos a sin /3.
Заменяя ft на —/3 и учитывая, что sin(~/3) = -sin/3 и
cos(-/3) = cos/?, получаем:
sin(o: - ft) = sin a cos /3 - cos a sin /3.
211 Формула тангенса суммы двух аргументов
Имеет место формула
. 7Г _ . 7Г _ , 7Г
а ф - + тгп, /3 ^ - + тгп, a + /3 j£ - + тгп.
п . _ sin(a + /3) _ sin a cos /3 + cos a sin /3 _
cos(o: + /3) cos a cos /3 - sin a sin /3
sin a cos /3 , cos a sin ^
_ cos a cos /? cos a cos /3 _ tg a 4- tg ^3
~~ cos о; cos ft __ sin о; sin ft ~ 1 - tg a tg /3'
cos a cos /3 cos a: cos ft
При выведении формулы учитывали, что cos a cos ft ф 0, т.е.
функции tga и tg/З определены.
Заменяя /3 на -ft и учитывая, что tg(-/3) = - tg/З, получим
"ьч~ ^ l + tgatg/3'
Тригонометрические функции двойного
lfe<" I аргумента
1. cos 2a = cos2 a - sin2 a.
П cos 2a = cos(o; + а) = cos a cos a — sin a sin a =
= cos2 a — sin2 a.
Заменив cos2 а на 1 — sin2 a, получим
cos 2a = 1 - 2 sin2 a.
61

Заменив sin2 а на 1 — cos2 а, получим
cos 2а = 2 cos2 а - 1.
Наконец, получим еще одну формулу для косинуса двойного
угла:
cos 2a cos2 а - sin2 а 1 - tg2 а
cos 2а = —-— = — 2— — 9—
1 cos2 а + sin а 1 + tgz а
(разделили числитель и знаменатель на cos2 а ф 0), т. е.
1 - tg2 а , тг _
cos 2а = 2—j а 7^ —1~ 7rnJ n G Z.
2. sin 2а = 2 sin а cos а.
□ sin 2а = sin(a + а) = sin a cos a + cos a sin a =
= 2 sin a cos a. |
И еще:
2 sin a cos a 2 sin a cos a
sin 2a =
1 sin2 a + cos2 a
2tga
l+tg2a
(разделили числитель и знаменатель на cos2 a ф 0), т.е.
2tga , тг „
sin2a=- гт—, аф-+пп, п G Z.
1 + tg'6 a 2
3. tg2a= ^M , a^f+7rfc, a ^ f + |fc, ft G Z.
l tg a
□
2tga
l-tg2a' "
Заметим, что, аналогично рассуждая, можно получить
формулу
ctg2 a - 1
ctg2a = —£-- .
2ctga
62

ггг! Тригонометрические функции
1^1 половинного аргумента
Положим а — tj в формулах
cos 2а = 2 cos2 а — 1, cos 2а = 1 - 2 sin2 a.
Получим:
cos я; = 2 cos2 х - 1, cos х = 1 - 2 sin2 -.
Отсюда находим, что
cosz . х /1 - cosx
Sm±
Стало быть,
tgf = 1 =
cos-
— cos a;
cosa:
- cos я
+ COS X '
т.е.
4-
Знак перед радикалом зависит от, того в какой четверти
оканчивается угол а. Например:
sm 15 =
l-cos30°
= \
1 -
|24| Производная суммы двух функций
Теорема. Производная суммы двух функций равна сумме
их производных, если последние существуют, т. е.
где и = и(х) и v = и(ж) — дифференцируемые функции.
П Обозначим у = и + v.
63

1. Дадим аргументу х Е D(y) приращение Ах так, чтобы
х 4- Ах G D(y). Тогда функции и = и(х) и v = и(х) получат
приращение Аи = и(х 4- Ах) — и(х) и At; = v(x 4- Ах) — v(х),
а значит, их сумма получает приращение At/.
2. Находим приращение At/:
At/ = t/(x 4- Ах) - t/(x) = (и(х 4- Ах) 4- v(x + Ах))-
-(и(х) 4- г»(х)) = Аи 4- Ди.
3. Составим отношение At/ к Ах:
At/ _ Аи 4- Аи _ Аи At;
Ах ~" Ах ~ Ах Ах'
4. Находим предел отношения, когда Ах -* 0:
At/ Аи Аг;
hm -— = lim h hm -r—,
дхчо Ах Д1-+0 Ax д1->о Ах
т. e. t/' = v! + v', но t/ = и + и. Следовательно,
Замечания:
1. Теорема справедлива для любого конечного числа
слагаемых функций.
2. Аналогично можно получить:
(и - v)' = и' - t/.
I 25 I Производная произведения двух функций
Лемма. Если функция у = /(х) имеет производную в
точке х, то lim At/ = 0.
дх-+0
П Утверждение вытекает из следующей цепочки равенств:
At/ At/
lim At/ = lim -— Ax = lim -— lim Ax =
Д1->0 дг-^0 Дх Д1-+0 Дх Д1-+0
= у'. 0 = 0. ■
Теорема. (ui>)' = u'v -f ut;', где u = u(x), v = v(x) — две
дифференцируемые функции.
64

П Обозначим у — uv.
1. Дадим аргументу х Е D(y) приращение Да;. Функция
у = uv получит приращение Ау. Найдем это приращение
функции.
2. Ау = и(х 4- Ax)v(x 4- Дх) - u{x)v(x) — (и 4- Au)(v 4- Av) -
- uv = uv + uAv + г>Дг/ 4- Дг/Дг; - uv — uAv 4- vAu 4- AuAv.
3. Составим отношение Ay к Ах:
Ay uAv + vAu + AuAv Аи Av A Av
~ = = v—- + w-r— + Дг/^—.
Дх Дх Дх Дх Дх
4. Находим предел этого отношения при Дх -> 0:
v ДУ v ^W ,- ^^ I- &V
lim -— = v lim — h и hm — h hm —— lim Аи,
>0 Дх >0 Дх ^0 Дх дх-)-0 Дх Дх->-0
т. е. у' = u'v 4- г/гх 4- v' • 0, но у — uv. Следовательно,
(uv)'= uv'+ vu'. Ш
Замечания:
1. lim Аи = 0 согласно лемме.
дх-^0
2. Из теоремы следует, что (си)' = си;, где с = const.
3. Можно получить, что: (иглу)' = u'vw 4- пи'гу 4- uvw, где
и, и, г^ — три дифференцируемые функции.
I 26 I Производная частного двух функций
Теорема.
/и\' _ u'v — uv1
\v) ~ i^ '
где и = и(х) v = и(х) — две дифференцируемые функции,
причем v(x) ф 0.
П Обозначим у = %.
1. Дадим аргументу х из области определения функции
приращение Дх. Функция у — Ц получает приращение Ау.
2. Находим Ау:
и(х + Дх) и(х) _ и 4- Дг/ и _
г;(х4-Дх) г;(х) г; + Av v
_ uv 4- f Дг/ - uv - uAv _ vAu - uAv
v(v 4- Дг;) v2 4- г;Дг;
3-8601 65

3. Составим отношение Ау к Ах:
Ay vAu - uAv
Ах (v2 + vAv)Ax'
4. Находим предел составленного отношения при Дх -> 0:
л„, v lim ^z-u lim £&•
г --У- = ax-»o Ax дж-»о Дх
Дх v2 + v lim Дг;
0
/u\; u'v-v'u
Замечания:
1. lim Дг; = 0 по лемме (см. вопрос JV* 25).
2. lim г; = г; как предел постоянного.
дас-^О
3. Из теоремы следует, что:
/с\' со'
I- = г", ^ec=const.
\v/ v2
ГГГ1| Производная функций sinx, cosx, xn,
LJax, logax
Теорема 1. (sinx)' = cosx.
D 1. Дадим аргументу х приращение Дх. Функция у = sinx
получит приращение Ау.
2. Находим приращение Ау:
А . , АЧ . _.х + Дх-х х + Дх + х
Ay = sin(x + Дх) - sin х = 2 sin ~ cos =
о . Дх / Дх\
= 2sin — cos(x + — I .
3. Составим отношение Ау к Дх:
Дх / Дх
Дх Дх
66

4. Находим предел составленного отношения при Дх -> 0:
. Дх
Ay sinT ( &Л
lim -r— = lim —Л lim cos x 4- -г- ,
дх-^О Дх даг-^О 1дХ дх-^0 V 2 /
2
т.е. у' = 1 • cos я, но у = sinx. Значит:
(sin я)' = cosx.
При доказательстве теоремы воспользовались:
1) первым замечательным пределом: lim ^-^ = 1;
2) свойством непрерывности функции у = cos х, из которого
( ДаЛ
lim cos х 4- -г- = cosx;
дж-+0 у 2 /
3) теоремами о пределах.
Теорема 2. (cosx)' = — sinx.
□ Воспользуемся правилом дифференцирования сложной
функции:
Ух = »Х»
если у = /(tz), и = u(x), где /(и), ^(#) — дифференцируемые
функции.
(совх)' = (sin (| - х))' = cos (| - х) • (| - х)' =
= sin х • (0 - 1) = - sin х. ■
Теорема 3. (хп)' = пхп"1, п € N.
D 1. Дадим аргументу х приращение Дх. Функция у = хп
получит приращение Ду.
2. Находим Ду:
Ау = (х + Дя)п - *п =
= хп + пх'-1 Дх + n(n"1}x
= До;
67

3. Составим отношение Ay к Ах:
Ах (их»'1 + "("-^п-здз. + + Да.п-Л
А£ = V 2 J__
Ах Ах
= пж»-1 + п{-п-1)хп-2Ах + ... + Ахп~1.
4. Находим предел этого отношения при Ах —> 0:
lim %L = lim
Д
\ 2
т. е. у' = пхп~1 + 0 + 0 + ... 4- 0, но у = хп. Значит:
(я?п)|=пхп-1. ■
При доказательстве теоремы воспользовались формулой
бинома Ньютона:
п = ап + пап-1 "^ 1}
(а + Ь)п = ап + пап-1Ь
п(п - 1)(п — 2) _ о,о
4- — ^ ^ап"363 4 ... 4 6П.
о
Теорема 4.
□ 1. Перейдем от аргумента х G D(y) к х 4 Ах G D(y), где
= loga х. Функция у получит приращение Ау.
2. Находим Ду:
л 1 / л ч 1 1 £4 Ах Л Ах\
Ay = loga(x 4 Ах) - loga х = loga —-— = loga (1 4 — 1 •
3. Составим отношение Ay к Ах:
Ах ~ Ах ~ хАх
68
(-¥)■

4. Находим предел этого отношения при Ах -> 0:
lim —— = lim — loga I 1 H
т.е.
но у = loga х, loga e = Д-. Значит:
па
1
(bge*)' =
х\па'
В частности:
(1п«)' = \.
При доказательстве теоремы воспользовались вторым
замечательным пределом:
lim = (1 + а)« = е,
где е = 2,718...
Теорема 5. (ах)' = ах In a.
П Прологарифмируем функцию у — ах по основанию е:
\пу = xlna.
Теперь продифференцируем это равенство, помня, что In у —
сложная функция, (у = ах):
-yf = l-\na.
У
Отсюда: у' = у In a, но у = ах. Значит:
(ахУ = ах In a. ■
В частности:
(е*)' = е'.
Замечание: аналогичным способом можно получить, что
(ха)'= ах"'1, где а £ R.
69

Уравнение касательной к графику
функции
Как известно, касательной I к графику функции у = f(x)
в точке Мо(хо, Уо) называется предельное положение секущей
МоМ при стремлении М к Mq (cm. рис.). Угловой
коэффициент к касательной равен /'(х0), т.е. к — f'(xo) или иначе:
tga = f'(xo)- В этом состоит геометрический смысл
производной.
У
Уо
о9
Уравнение прямой /, являющейся касательной к графику
функции у — f(x) в точке Мо{хо,уо), запишем в виде
у = кх + Ь. (1)
Здесь к — f'(xo), a 6 — пока не известно. Для нахождения
значения Ь воспользуемся тем, что I проходит через точку
М)(^сь2/о)- И значит, координаты точки удовлетворяют
уравнению прямой (1):
уо = кх0 4- Ь. Отсюда: Ъ = у о - kxQ.
Поэтому уравнение касательной (1) к кривой в точке Mq
принимает вид:
у = кх + уо - кхо, у - уо = к(х - ж0),
т.е. с учетом у0 = /(ж0), * = f'(xo),
y-f(xo) = f'(xo)(x-xo).

Геометрия
Вопросы устного экзамена
1. Свойства равнобедренного треугольника.
2. Свойства точек, равноудаленных от концов отрезка.
3. Признаки параллельности прямых.
4. Сумма углов треугольника. Сумма внутренних углов
выпуклого многоугольника.
5. Свойства средних линий треугольника и трапеции.
6. Признаки параллелограмма.
7. Окружность, описанная около треугольника.
8. Окружность, вписанная в треугольник.
9. Касательная к окружности и ее свойства.
10. Измерение угла, вписанного в окружность.
11. Признаки подобия треугольников.
12. Теорема Пифагора.
13. Теорема косинусов.
14. Теорема синусов.
15. Формулы площадей параллелограмма, треугольника,
трапеции.
16. Формула расстояния между двумя точками плоскости.
Уравнение окружности.
17. Признак параллельности прямой и плоскости.
18. Признак параллельности плоскостей.
19. Признак перпендикулярности прямой и плоскости.
20. Теорема о трех перпендикулярах.
21. Признак перпендикулярности двух плоскостей.
22. Теоремы о параллельности и перпендикулярности двух
плоскостей.
23. Формулы площади поверхности и объема призмы.
24. Формулы площади поверхности и объема пирамиды.
25. Формулы площади поверхности и объема цилиндра.
26 Формулы площади поверхности и объема конуса.
27. Формулы площади сферы и объема шара.
71

Свойства равнобедренного треугольника
Треугольник называется равнобедренным, если две его
стороны равны. Эти равные стороны называются боковыми
сторонами, а третья сторона — основанием треугольника.
Теорема. В равнобедренном треугольнике:
1) углы при основании равны;
2) медиана, проведенная к основанию, является
биссектрисой и высотой.
□ Пусть ABC — равнобедренный треугольник, АС = ВС.
Проведем медиану CD. Тогда
треугольники ADC и В DC равны по
трем сторонам {CD — общая, AD =
= DB, АС = ВС). Из равенства
треугольников следует, что /.А = /.В и
ZACD = ZBCD.
Значит, CD — биссектриса; далее,
A D В UCDA = /.CDB, а это означает, что
они прямые, т. к. они равны и смежные; CD является высотой.
Итак, /.А — /.В, CD — биссектриса, CD — высота. I
Свойства точек, равноудаленных
от концов отрезка
Прямая, перпендикулярная отрезку и проходящая через
его середину, называется серединным перпендикуляром к нему.
Коротко: СП.
-Н-
I СП.
4-*
Теорема 1. Если точка лежит на СП. к отрезку, то она
равноудалена от его концов.
П Возьмем произвольную точку
М на С. П. и соединим ее с концами
отрезка АВ.
Пусть С. П.П АВ = О; ААОМ =
= АВОМ по первому признаку
равенства треугольников (ОА = ОВ,
ОМ — общая, ZAOM = /LBOM =
= 90°). Из равенства
треугольников следует, что MA = MB. Ш
72

СП.
Теорема 2. Если точка равноудалена от концов отрезка,
то она лежит на С. П. к нему.
□ Пусть MA = MB (см. рис.).
Тогда ААМВ равнобедренный. В нем
МО медиана. По свойствам
равнобедренного треугольника (см. JV* 1)
МО является высотой ААМВ.
Следовательно, прямая ОМ совпадает
с С. П. А это означает, что точка
МеС.п. Ш
Признаки параллельности прямых
Прямые а и 6, принадлежащие одной плоскости,
называются параллельными, если они не имеют общих точек или
совпадают.
Теорема 1. Две прямые, параллельные третьей,
параллельны друг другу.
Дано:
а || с, —2 .... М ____--
Ь || с. —* -="=
Доказать:
II
□ Допустим, что а не параллельна 6, тогда они
пересекаются в некоторой точке М, т. е. аПЬ = М. Но это невозможно,
ибо противоречит аксиоме о параллельности прямых:
«Через точку, не лежащую на данной прямой, можно
провести на плоскости не более одной прямой, параллельной
данной». Значит, а || 6. В
Теорема 2. Если внутренние накрест лежащие углы
равны (или сумма внутренних односторонних углов равна 180°),
то прямые параллельны (на рисунке внутренние
односторонние накрест лежащие углы отмечены одинаковыми
обозначениями).
73

□ Допустим, что а не параллельна 6, т.е. а П Ь = С.
Отложим на прямой Ь отрезок AD = ВС. АСВА = ABAD по
первому признаку равенства треугольников (АВ — общая).
Отсюда следует, что /.CAB = /ABD, но /CAB = /ABN —
как накрест лежащие. Тогда получаем, что /ABD — /ABN
но это невозможно: BD не совпадает с BN, т. к. точка D g q%
Следовательно, наше допущение неверно. А это означает,
что а || 6.
D
Теоремы 1 и 2 выражают признаки параллельности
прямых.
Замечания:
1. Если накрест лежащие углы равны, то сумма
внутренних односторонних углов равна 180° и наоборот. В этом можно
убедиться, глядя на рисунок.
2>©Т
2. Справедлива теорема, обратная теореме 2: «Если две
параллельные прямые пересекаются третьей прямой, то
внутренние, накрест лежащие углы равны, сумма внутренних
односторонних углов равна 180°».
3. Из теорем 2 и 3 следует: «Две прямые,
перпендикулярные третьей, параллельны» (см. рис.).
74

а Сумма углов треугольника.
Сумма внутренних углов
выпуклого многоугольника
Теорема 1. Сумма углов треугольника равна 180°.
□ Рассмотрим ДАВС. Пусть О — середина ВС.
Отложим отрезок OD = АО на продолжении отрезка АО.
Соединим точку D с В и С. ДАОС = ДИОВ по первому
признаку равенства
треугольников (АО = OD, OB = ОС,
ZAOC = Z.BOD как
вертикальные). Из равенства
треугольников следует, что Z АС О =
= IOBD, т.е. Zl = Z5. Из
равенства накрест лежащих углов
следует, что BD \\ АС. Но
тогда сумма внутренних односторонних углов равна 180°, т.е.
ZCAB + ZABD = 180°, т.е. Z2 + Z3 + Z4 + Z5 = 180°,
но Z5 = Z1. Значит, Z2 + Z3 + Z4 + Z1 = 180°, т.е.
/.А + ZB + Z.C = 180°. ■
Следствие 1. В треугольнике не может быть более одного
тупого или прямого угла.
Следствие 2. Внешний угол
треугольника равен сумме двух его внутренних
углов, несмежных с ним.
□ Zl + Z2 + Z3 = 180°, но Z4 + Z3= А яУч 4
= 180° Отсюда следует: Z4 = Zl + Z2.
Теорема 2. Сумма внутренних углов выпуклого
п-угольника равна 180° • (п — 2).
П Рассмотрим выпуклый п-угольник
(на рис. п = 5). Внутри него возьмем
произвольную точку О и соединим ее с
вершинами n-угольника. Получим п
треугольников с общей вершиной О.
Сумма углов этих п треугольников
равна 180° • п. Если из этой суммы
вычесть сумму углов треугольников при
вершине О, а она равна 360°, то получим
сумму внутренних углов выпуклого n-угольника. Эта сумма
равна 180° • п - 360°, т. е. 180° • (п - 2). ■
75

м
N
Свойства средних линий треугольника
и трапеции
Средней линией треугольника называется отрезок,
соединяющий середины двух сторон треугольника.
Теорема 1. Средняя линия треугольника:
1) параллельна третьей стороне.
2) равна половине длины этой стороны.
□ 1. Через точку М —
середину стороны А В — в
ААВС проведем прямую,
параллельную АС. Она, по
теореме Фалеса, разделит
сторону ВС пополам, т.е. пройдет
как раз через середину сторо-
/F ны ВС, т.е. через точку N.
Поэтому МАГ || АС.
2. Через точку N, середину стороны ВС, проведем прямую,
параллельную АВ. Она, по теореме Фалеса, разделит сторону
ВС пополам, т.е. пройдет через точку F — середину стороны
АС. Значит, AF = FC = \аС. Но MN = AF (т. к. AMNF —
параллелограмм). Следовательно, MN — к АС. И
Теорема 2. Средняя линия трапеции:
1) параллельна основанию;
2) равна полусумме длин оснований.
□ 1. Рассмотрим трапецию ABCD.
Пусть М — середина АВ, а, N —
середина CD. Разобьем трапецию
диагональю BD на два треугольника
(см. рис.). Через точку М проведем
прямую, параллельную AD. Она
пересечет BD в точке Т — середине
BD, по теореме Фалеса. По той же
теореме прямая пройдет через
середину CD, т. е. через точку N.
Следовательно, средняя линия трапеции,
т. е. MN, параллельна AD, т. к. лежит на прямой,
параллельной AD.
76

2. Далее, TN = \ВС, МТ = ]tAD (свойство средней линии
треугольника). Следовательно,
MN = MT + TN =^AD + ^BC, т.е.МЛГ = ]-
Замечание: сформулируем теорему Фалеса:
«Если параллельные прямые, пересекающие стороны угла,
отсекают на одной его стороне равные отрезки, то они
отсекают равные отрезки и на другой его стороне».
Признаки параллелограмма
Параллелограмм — это четырехугольник, у которого
противоположные стороны попарно параллельны.
Теорема 1. Если в четырехугольнике противоположные
стороны попарно равны, то этот четырехугольник —
параллелограмм.
□ Пусть в четырехугольнике
ABCD: AD = ВС, АВ = DC.
Проведем диагональ АС. Углы
при ней обозначим через 1, 2, 3
и 4 (см. рис.). AADC = АСВА
по трем сторонам. Отсюда следу-
ет, что: Zl = Z2, а это значит,
что AD || ВС (по равенству накрест лежащих углов Z1 и
Z2); Z3 = Z4, а это значит, что АВ \\ DC. Следовательно,
ABCD — параллелограмм. ■
Теорема 2. Если в четырехугольнике две противоцолож-
ные стороны равны и параллельны, то этот
четырехугольник — параллелограмм.
□ Пусть в четырехугольнике
ABCD: AD = ВС, AD \\ ВС.
Проведем диагональ АС. Углы
при ней обозначим 1, 2, 3 и 4
(см. рис.) Так как AD || ВС,
то Z1 = Z2. ACAD = ААСВ
по первому признаку равенства
треугольников. Отсюда следует, что Z3 = Z4. А это
означает, что АВ || DC. И по условию AD \\ ВС. Следовательно,
ABCD — параллелограмм. И
77

Теорема 3. Если диагонали четырехугольника
пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот
четырехугольник — параллелограмм.
□ Пусть в четырехугольнике ABCD:
ACDBD = О, ВО = OD, АО = ОС.
AAOD = АСОВ по первому
признаку равенства треугольников. Значит,
ВС = AD. ААОВ = ADOC.
Значит, АВ = DC. Следовательно, по
теореме 1, ABCD — параллелограмм. I
у Окружность, описанная около
I ■ треугольника
Окруоюностью называется множество всех точек
плоскости, равноудаленных от одной точки, называемой центром
окружности.
Окружность называется описанной около треугольника,
если она проходит через его вершины.
Теорема. Около всякого треугольника можно описать окру»
ность и притом только одну.
П Рассмотрим ААВС. Проведем к сторонам АВ и ВС
серединные перпендикуляры: С.П.1 и С. П.2. Пусть С.П.1П
ПС.П.2= О. Тогда, согласно свойству серединного
перпендикуляра (см. вопрос № 2), О А = О В и и В = ОС. Таким
образом, О А = ОВ = ОС, т.е. точка О равноудалена от
вершин треугольника ABC. Значит, все вершины треугольника
принадлежат некоторой окружности с центром в точке О.
Покажем, что эта окружность единственная. Пусть Ог — центр
некоторой другой окружности, описанной около ААВС. Тогда
О2А = ОчВ — О2С. Поэтому точка 0<i должна принадлежать
78

С П.1 (02А = 02В) и С.П.2 (02В = 02С). Но С.П.1
пересекается с С. П.2 в точке О. Следовательно, точка О2 совпадает
с точкой О. Это означает, что окружность, описанная около
треугольника, единственная. В
Отметим, что центр окружности, описанной около
прямоугольного треугольника, находится в середине гипотенузы.
I 8 I Окружность, вписанная в треугольник
Окружность называется вписанной в треугольник, если
она касается всех его сторон.
Теорема. Во всякий треугольник можно вписать
окружность и притом только одну.
В
D Рассмотрим А АВС. Центр вписанной окружности
должен быть удален от всех сторон треугольника на одинаковые
расстояния. Точками же, одинаково удаленными от сторон
угла, являются точки, лежащие на биссектрисе угла.
Пересечение биссектрис углов ВАС и ABC дает точку О. Точка О
равноудалена от всех сторон треугольника ABC, а поэтому
является центром окружности, вписанной в треугольник.
Покажем, что она единственная.
Пусть О\ — центр окружности, касающейся всех сторон
треугольника. Тогда О\ равноудалена от всех этих сторон,
а следовательно, принадлежит биссектрисам AT и ВР углов
1ВАС и /LABC.
Но AT П ВР = О. Значит, точка О\ совпадает с точкой О.
Поэтому вписанная в треугольник окружность —
единственная. В
Из теоремы следует: «Биссектрисы внутренних углов
треугольника пересекаются в одной точке — центре вписанной
окружности».
79

Касательная к окружности и ее свойства
Прямая, лежащая в одной плоскости с окружностью и
имеющая с ней только одну общую точку, называется
касательной к этой окружности.
Теорема 1. Касательная к окружности проходит через
конец диаметра окружности перпендикулярно к нему.
П Пусть АВ — диаметр
окружности, / — касательная, / П АВ = В.
Покажем, что / _1_ АВ. Допустим / не
перпендикулярна АВ, т.е. I _1_ MN,
где NM — другой диаметр окружности
(см. рис.). Рассмотрим симметрию
относительно прямой MN.
Окружность отобразится на себя,
т. к. диаметр MN лежит на прямой
MN — оси симметрии. Точка В
отобразится в точку В\ Е /, отличную от В
(В £ MN), т.к. I ± MN. Точка Вх
принадлежит и окружности.
Итак, прямая / имеет с окружностью
две общие точки В и В\.
Следовательно, / — не касательная, что
противоречит условию: / — касательная к
окружности.
Полученное противоречие и доказывает теорему. И
Теорема 2. Если прямая проходит через конец
диаметра перпендикулярно к нему, то она является касательной к
окружности.
□ Пусть / 1 АВ, 1Г\АВ = В (см.
рис.). Возьмем на / произвольную точку
М и соединим ее с точкой О — центром
окружности. Очевидно, что ОМ > ОВ
(ОМ — наклонная, ОВ —
перпендикуляр к /).
Значит, точка М лежит не на
окружности, а вне ее. Стало быть, прямая
имеет с окружностью только одну
общую точку В. А это и означает, что / — касательная к
окружности. И
80

Измерение угла, вписанного в окружность
Угол, вершина которого лежит на
окружности, а стороны пересекают эту
окружность, называется вписанным в окружность.
Угловой величиной дуги называют
величину соответствующего ей центрального
угла.
Теорема. Величина вписанного угла равна половине
угловой величины дуги, на которую он опирается.
□ Рассмотрим три случая.
1. Точка О — центр окружности, лежит
на стороне угла ABC.
Соединим точки О и С. По свойству
внешнего угла (см. вопрос JY* 4) ZAOC =
= 2/.В {АВОС — равнобедренный).
Отсюда /.В = ^/.АОС, но величина ZAOC = АС, по
определению (/.АОС — центральный). Стало быть, ZB =
2. Точка О лежит внутри угла ABC.
Проведем диаметр BD. Тогда, по
доказанному выше, ZABD = j AD, Z.DBC =
= ^ DC. Сложив эти равенства, получим:
•1 -I
ZABD + ZDBC = -AD+- DC, т. е. ZB =
AC.
3. Точка лежит вне угла ABC.
Проведем диаметр BD. Тогда: /.В =
= /LCBD - ZABD, но ZCBD = \ DC,
/-ABD - \dA. Значит, ZB = ^DC-^DA,
т. е. /.В = i AC. Ш
Следствие 1. Вписанный угол, опирающийся на диаметр,
прямой.
Следствие 2. Если два вписанных угла опираются на одну
дугу окружности, то они равны между собой.
Признаки подобия треугольников
Фигура Fi называется подобной фигуре F (F\ ~ F), если
существует отображение фигуры F на фигуру F\, при кото-
81

ром для любых двух точек М, N фигуры F и их образов
М\ и N\ отношение расстояний |M7V| и |MiiVi| есть величина
постоянная.
Число
к= \MN\
называется коэффициентом подобия.
Сформулируем три признака подобия треугольников.
1. Если три стороны одного треугольника
пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие
треугольники подобны.
2. Если две стороны треугольника пропорциональны двум
сторонам другого треугольника, а углы между этими
сторонами равны, то такие треугольники подобны.
3. Если два угла одного треугольника равны двум углам
другого треугольника, то такие треугольники подобны.
Докажем, например, второй признак подобия.
О Дано: A ABC, АА2В2С2,
/ |л2в2| \в2с2\
£А2В2С2 = /.ABC.
А С Ах С\
Преобразуем ААВС с коэф-
„ фициентом подобия
\А2В2\ \В2С2\
к =
\АВ\ \ВС\ ■
д q Получим ЛА\В\С\ (см. рис.),
у которого |-AiBi| = А;|ЛБ|,
|jBiCi| = к\ВС\, IB = ZBi. Но по условию \А2В2\ = к\АВ\,
\В2С2\ = к\ВС\. Следовательно, AAiBiCi = AA2B2C2, по
двум сторонам и углу между ними (1-й признак равенства
треугольников). Исходные же треугольники подобны, т.е.
ААВС ~ AAiBiCi.
Отсюда следует, что ААВС ~ АА2В2С2. Ш
Замечания:
1. Доказательство первого признака подобия аналогично.
Только теперь AA\BiC\ = AA2B2C2 по трем сторонам.
82

2. При доказательстве третьего признака подобия следует
ДABC преобразовать в AAiBiCi так, чтобы одна его
сторона (с углами) стала равной соответствующей стороне второго
треугольника. Тогда AA\BiC\ = АА2В2С2 по второму
признаку равенства треугольников.
Теорема Пифагора
Теорема. Сумма квадратов катетов прямоугольного
треугольника равна квадрату гипотенузы, т. е.
□ Рассмотрим прямоугольный треуголь-
ник с катетами а, Ь и гипотенузой с. Из
вершины прямого угла опустим на гипотенузу
с перпендикуляр hc. Проекции катетов а и Ь
на гипотенузу обозначим ас и Ьс.
Существует теорема: «Квадрат катета равен произведению гипотенузы
на проекцию этого катета на гипотенузу» (Теорема 1). Поэтому
Ь2 = с6с, а2 = сас.
Сложим почленно эти равенства: а2 4- Ь2 = с(ас 4- Ьс)> т.е.
а2 + Ь2 = с • с, т. е. а2 4- Ъ2 = с2. ■
Докажем вспомогательную Теорему 1:
□ ACBD ~ ДЛСВ (по двум углам).
Следовательно,
= асс.
ас а
— = -, с
а с
ACDA ~ А АС В (по двум углам).
Следовательно,
Дополнительно можно получить (из подобия
треугольников ACDB и ACDA):
83

1131 Теорема косинусов
Теорема. Квадрат стороны треугольника равен сумме
квадратов двух его сторон без удвоенного произведения этих
сторон на косинус угла между ними.
□ Пусть ABC — данный
треугольник. Длины его сторон
обозначим через a, ft, с, а углы — а /?,
7 (см. рис.). Введем в
рассмотрение вектора An, BU, Аи. Имеем:
A£-JLZ -*-^С
Отсюда Ви = Аи — An. Возведем это равенство в квадрат:
вв2 = А&2 - 2АЙА&+ АИ2,
т.е.
а2 =Ь2 -2ftccosa + c2,
а2 = Ь2 + с2 -2ftccosa. ■
Замечания:
1. Аналогично можно получить:
с2 = а2 4- Ь2 — 2aftcos7,
ft2 = a2 4-с2 -2accos/?.
2. При доказательстве теоремы воспользовались, в
частности, определением скалярного произведения двух векторов
а • Ь = \а\ • \Ь\ -cos(a,ft),
свойствами этого произведения (a2 = |a|2, где \а\ — модуль
вектора) и так далее.
3. Теорема косинусов позволяет, в частности, находить
величину угла по данным величинам его сторон, так
cos a =
ft2 + с2 - a2
2Ьс
4. Теорема Пифагора есть частный случай теоремы
косинусов: если 7 = 2> т0
0, т.е.
84

1141 Теорема синусов
Теорема. Стороны треугольника пропорциональны
синусам противолежащих углов.
□ Рассмотрим треугольник ABC
со сторонами а, Ь, с и углами а, /?,
7 соответственно (см. рис.). Опишем
около него окружность радиусом R
(см. вопрос JYfi 7). Проведем диаметр А
BD. Вписанные углы ВС А и BDA
опираются на одну дугу, и,
следовательно, /.BDA = 7 (см- вопрос № 10).
ABAD — прямоугольный, т.к. /.BAD = 90° (опирается на
диаметр, см. № 10).
Имеем: sin7 = тттт, т.е. sin7 = 57
577
т.е.
с =
Аналогично устанавливается, что:
а = 2Rsma,
b = 2Rsin/3.
Из этих равенств (1)-(3) следует:
(1)
(2)
(3)
sin 7
= 2Д,
т.е.
а
sin a
b
-2R,
С
sin/?
= 2Д,
sin а sin /? sin 7
= 2Д.
Замечание: подставим sin7 = —pz (из (1)) в формулу
2R
для площади ААВС:
1
5д = -
получим еще одно выражение для площади треугольника:
85

Формулы площади параллелограмма,
треугольника, трапеции
Теорема 1. Площадь параллелограмма равна
произведению его стороны на высоту, проведенную к этой стороне.
□ Рассмотрим параллелограмм
ABCD. Построим прямоугольник
ВС FT так, как это сделано на
рисунке. АВТА = ACFD, по
катету и гипотенузе. Следовательно,
Sabcd = Sbcft, т.к. Sabcd =
= Sbta + Sbcdt, a Sbcft =
= Scfd + Sbcdt-
Ho Sbcft = ВС • ВТ. Значит,
Sabcd = ВС • ВТ или, в обычных
обозначениях, Snap = a/i, где а = AD = БС, ВТ = h.
Аналогично рассматриваются случаи, изображенные на
следующих рисунках:
D
D(T)
Теорема 2. Площадь треугольника равна половине
произведения его стороны на высоту, проведенную к этой высоте.
П Рассмотрим треугольник ABC
Достроим его до
параллелограмма ABCD (см. рис.). ААВС =
= ADCB, по трем сторонам.
Следовательно, Sabc = \Sabdc- Но
Sabdc = AC • ВТ.
Следовательно, Sabc = \&C • ВТ или, в
обычных обозначениях, Sabc — ^ah,
где АС = а, ВТ = h. Ш
А Т
86

Теорема 3. Площадь трапеции равна произведению
полусуммы ее оснований на высоту.
П Рассмотрим трапецию ABCD. Диагональю BD
разобьем ее на два треугольника, ABD
и BCD. Тогда в с
Sabcd = Sabd + Sbcd =
Л+ \вС • h =
где /i — высота трапеции. Итак, в обычных обозначениях:
Sabcd =
-Л, где а —
Ь = ВС.
ГГ/П Формула расстояния между двумя
1 I точками. Уравнение окружности
1. Пусть на плоскости хОу заданы две произвольные
точки Mi(xi,2/i) и М2(х2,у2) (см. рис.). Считаем, что х\ ф х2 и
2/1 т^ 2/2- Найдем d — расстояние между Mi и М^-Рассмотрим
треугольник М1АМ2. В нем
М\А = х2 — х\, АМ2 = у2 -
По теореме Пифагора находим:
Отсюда:
У
У2
У1
0
Полученная формула расстояния
между двумя точками справедлива
при любом расположении точек М\ и М2- В частности, если
Х\ = Х2, ТО
+ (У2 - У1)2 = Л/(У2 " У1)2 = \У2 ~ 1/11,
т.е. d= |y2 — 2/11-
87

У1
М(х,у)
2. Составим уравнение окружности с центром в точке
A(a)b) и радиусом R. Напомним, что уравнением линии на
плоскости называется уравнение
с двумя неизвестными, которому
удовлетворяют координаты любой
точки линии.
Возьмем на окружности
произвольную точку М(х,у) и соединим
ее с центром окружности А (см.
ах х рис.). По определению
окружности (см. вопрос № 7) AM = R.
Расстояние AM найдем, используя формулу (*) (см. выше)
AM =
Получаем:
у/(х - а)2 + (у - б)2 = Я, т.е. (х - а)2 + (у - Ь)2 = Д2,
искомое уравнение окружности.
Отметим, что если центром окружности служит точка
0(0,0), то ее уравнение имеет вид: х2 + у2 = R2.
Признак параллельности прямой
и плоскости
Прямая и плоскость называются параллельными, если они
не пересекаются. Обозначается а \\ а.
Теорема. Если прямая, не принадлежащая плоскости,
параллельна какой-нибудь прямой в этой плоскости, то она
параллельна и самой
плоскости.
П Пусть а £ а, Ь £ а,
V^XM Ь || а, а — плоскость (см.
рис.). Покажем, что Ь \\ а.
Проведем плоскость /? через
прямые Ь и а. Она отлична от
а, т.к. 6 ^ а, /ЗПа = а.
Допустим 6 не параллельна а, т. е. /ЗПа = М. Тогда точка
М £ а и М £ /?. Значит, точка М £ а, по которой
пересекаются плоскости а и /?. Но это невозможно, т. к. по условию 6 || а.
Итак, прямая Ъ не пересекает плоскость а, а значит, b \\ а. Ш
/а'

Признак параллельности плоскостей
Две плоскости называются параллельными, если они не
пересекаются.
Теорема. Если две пересекающиеся прямые, лежащие в
одной плоскости, параллельны другой плоскости, то эти
плоскости параллельны.
D Пусть а £ а, Ь £ а,
аПЬ = М, а ||/?, Ь\\р.
Покажем, что а || /3.
Допустим, а не
параллельна /J, т.е. а П /3 = с (см. рис.).
Прямые а и Ь не пересекают
плоскость /? (а || /?, Ь || /?).
Следовательно, а и Ь не пересекают прямую с этой плоскости.
Но это невозможно по аксиоме параллельных прямых, т.к.
а £ а, Ь G а, с £ а. Следовательно, наше допущение, что а не
параллельна 0, неверно. Значит, а \\ 0. Ш
Напомним аксиому параллельности прямых.
«Через точку, не лежащую на данной прямой, можно
провести на плоскости не более одной прямой, параллельной
данной».
Признак перпендикулярности прямой
и плоскости
Прямая называется перпендикулярной плоскости, если она
перпендикулярна любой прямой в плоскости, проходящей
через точку пересечения данной прямой и плоскости.
Теорема. Если прямая, пересекающая плоскость,
перпендикулярна двум прямым в этой плоскости, проходящим через
точку пересечения, то она
перпендикулярна плоскости.
D Пусть ААг П а = О,
ААг _L ОС, ОС е a, AAi _L
-L ОБ, OB e а. Покажем, что
AAi _L а, (см. рис.). Проведем
в а любую прямую,
проходящую через точку О, например
OD. Покажем, что ААХ _L OD.
89

Отложим О А — ОА\ на АА\. Проведем произвольную
прямую СВ, пересекающую ОС, OD, ОВ.
1. A ABC = АА\ВС по трем сторонам (АВ = А\В по
свойству серединного перпендикуляра ОВ для отрезка -AAi,
АС = АгС, £С — общая) => /АБС = ZAi£C.
2. A AD В = AA\DB, по двум сторонам и углу между ними
3. AAOD = AA\OD, по трем сторонам => ZAOD =
= Z.A\OD, но они смежные, а значит, оба углы прямые, т.е.
АА\ _l_ OD. А т.к. OD — произвольная прямая, проходящая
через точку О, то АА\ _1_ а. В
Теорема о трех перпендикулярах
Теорема 1. Прямая, проведенная на плоскости через
основание наклонной перпендикулярно к ее проекции,
перпендикулярна и самой наклонной.
□ Пусть АО _1_ а, а —
плоскость, АВ — наклонная, ОВ —
проекция, / € а, / П ОВ = В,
I _1_ ОБ. Покажем, что / _1_ АВ,
Проведем через точку В прямую,
ВВ\ _1_ а. Через параллельные
прямые АО и В\В проведем плоскость /? (см. рис.). Так как
/ _1_ ОВ и / _1_ ВВ\, то / _1_ /? по признаку перпендикулярности
прямой и плоскости (см. вопрос № 19). Значит, / _1_ АВ, по
определению перпендикулярности прямой и плоскости. В
Теорема 2. Прямая, проведенная на плоскости через
основание наклонной перпендикулярно этой наклонной,
перпендикулярна и ее проекции.
□ Доказывается аналогично: / _1_ ВВ\ и / _1_ АВ. Значит,
/ _!_ /3. Тогда ILOB. ■
Признак перпендикулярности двух
плоскостей
Две пересекающиеся плоскости называются
перпендикулярными, если третья плоскость, перпендикулярная прямой
пересечения этих плоскостей, пересекает их по
перпендикулярным прямым.
90

Теорема. Если плоскость проходит через прямую,
перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости
перпендикулярны.
□ Пусть Ъ _L а, ЬПа = О,
b С (3, аП/3 = с (см. рис.).
Покажем, что a _L /3.
Проведем через точку О в
плоскости а прямую а А. с.
Через прямые а и b
проведем плоскость 7- Очевидно, что
7 1 с (с 1 а и с 1 6). Так как
прямые а и b перпендикулярны, то a J_ /?, по определению
перпендикулярности двух плоскостей. I
Теоремы о параллельности
и перпендикулярности двух плоскостей
Теорема 1. Если две параллельные плоскости
пересекаются третьей, то прямые пересечения параллельны.
П Пусть а || /3, у Г\ а = а,
7 П /3 = b (см. рис.). Покажем, что
а || Ь.
Прямые а и b лежат в одной
плоскости 7 и не пересекаются, так
как не пересекаются плоскости, их
содержащие (а и /3). Значит, а \\ b
по определению параллельных прямых. I
Теорема 2. Если в одной из двух перпендикулярных
плоскостей провести прямую, перпендикулярную прямой их
пересечения, то она будет перпендикулярна и другой плоскости.
□ Пусть а ± /3, аЩЗ =
= с, a 6 а, а А. с (см. рис.).
Покажем, что а А. /3.
Пусть а П с = О. Через
точку О в плоскости /3
проведем прямую b А. с. Через а и
6 проведем плоскость 7- Так
как claHcli, тос17-И
так как a J_ /3, то a A. b по определению. Поэтому прямая а
перпендикулярна плоскости /3, т.е. а А. 0. Ш
91

Формулы площади поверхности
и объема призмы
Призмой называется многогранник, у которого две
грани — равные многоугольники с соответственно
параллельными сторонами, а остальные грани — параллелограммы.
Теорема 1. Площадь боковой поверхности призмы равна
произведению периметра перпендикулярного сечения призмы
на боковое ребро.
П Перпендикулярным сечением
является многоугольник ABCDE,
полученный пересечением призмы
плоскостью, перпендикулярной боковому
ребру (см. рис.).
Площадь боковой поверхности
равна сумме площадей
параллелограммов; в каждом из них за основание
можно взять боковое ребро /, а за
высоту — сторону перпендикулярного сечения. Поэтому:
5бок = l-AB + l-BC + l-CD + l-DE + l-EA =
= l(AB + BC + CD + DE + ЕА) = 1р,
т. е. 5бок = 1р^ где р — периметр перпендикулярного сечения
призмы. I
Следствие. Площадь боковой поверхности прямой призмы
равна произведению периметра основания на высоту.
Теорема 2. Объем призмы равен
произведению площади ее основания на
высоту.
□ Рассмотрим сначала треугольную
призму. Достроим ее до параллелепипеда,
как указано на рисунке.
Объем параллелепипеда равен
произведению площади основания на высоту. Но
объем построенного параллелепипеда
равен удвоенному объему данной призмы.
Стало быть, объем исходной призмы
равен произведению площади ее основания
на высоту.
92

В случае произвольной призмы разбиваем ее на
треугольные призмы (см. рис.). Объем данной призмы равен сумме
объемов треугольных призм (из которых она состоит), т. е
V =
S2H
SnH = H(SX + S2
Sn) = HS,
т. e. V = 5Я, где 5 — площадь основания призмы, а Я — ее
высота. ■
ГГТ1 Формулы площади поверхности и объема
1 I пирамиды
Пирамидой называется многогранник, у которого одна
грань, называемая основанием, есть какой-либо
многоугольник, а все остальные грани, называемые боковыми, —
треугольники, имеющие общую вершину.
Теорема 1. Площадь боковой поверхности правильной
пирамиды равна произведению периметра основания на
половину апофемы.
П Пусть сторона основания пирамиды есть а, число сторон
равно п. Площадь боковой поверхности правильной
пирамиды равна сумме площадей равных равнобедренных
треугольников. Поэтому:
_ аА апА
5бок = -уп = -у-
рА
—
рА 1
= —, т.е. 5бок = -£
где р = па — периметр основания, А — апофема.
Теорема 2. Объем
пирамиды равен одной трети
произведения площади основания на
высоту.
П Пусть дана пирамида,
высота которой равна Я, а
площадь основания Q.
Для нахождения объема
пирамиды воспользуемся
формулой
V = Js(x)dx,
(*)
Q
93

где S(x) — площадь поперечного сечения тела, заключенного
между плоскостями х = а и х = Ь.
Выберем Систему координат так, как это показано на
рисунке. На расстоянии ж от О проведем поперечное сечение
пирамиды. Его площадь 5 = S(x).
Воспользуемся теоремой:
«Если пирамида пересечена плоскостью, параллельной
основанию, то площади сечения и основания относятся, как
квадраты их расстояний от вершины».
Можно записать:
S(x) х2
Q Я2'
01 сюда:
я
Q
s(x) - in*
По формуле (*) находим:
H H
о о
Я
т.е.
_ Q (& Л _ QH
"я* V з ~ )~ з '
= \qh.
Формулы площади поверхности
и объема цилиндра
Цилиндрическая поверхность (см. рис.) —
это поверхность, образованная движением
прямой АВ (образующей),
перемещающейся в пространстве параллельно самой себе и
пересекающей при этом данную линию
(направляющую) . Основаниями цилиндра
называют плоские фигуры, образуемые линиями
пересечения цилиндрической поверхности и
плоскостей.
Цилиндром называется тело, ограниченное
цилиндрической поверхностью и двумя параллельными плоскостями.
В
94

Если основаниями являются круги и они
перпендикулярны образующей, то цилиндр называют прямым круговым и
часто — просто цилиндром.
Теорема 1. Объем цилиндра равен произведению
площади его основания на высоту.
□ Воспользуемся формулой:
= Js(x)dx,
I
I
r
Я
где S(x) — площадь поперечно- У
го сечения тела, заключенного
между плоскостями я = а и ж = 6. и
Пусть дан цилиндр с радиусом основания R и высотой Я.
Возьмем систему координат так, как показано на рисунке.
Очевидно, что S(x) = 7гЯ2. Тогда, по формуле (*),
получаем:
я я
V = j тгЛ2 dx = тгЛ2 / dx = 7гД2х|" = тгД2Я,
о о
т.е. V = 7гД2Я,
или V — SH, где 5 = 7гД2 — площадь основания. I
Теорема 2. Площадь боковой поверхности цилиндра с
высотой Я и радиусом основания R равна 2тгДЯ, т.е.
»?бок =: 27ГЙЯ.
П Разверткой боковой поверхности цилиндра является
прямоугольник размером 2тгД х Я.
Я
Я
А
Я
2тгЯ
95

Площадь этой развертки принимается за площадь боковой
поверхности цилиндра 5бОК = 2-irRH. Ш
Замечание: за определение площади боковой
поверхности цилиндра можно взять:
п л AV
5 ^ (**}
т. е. «предел отношения приращения объема цилиндра к
приращению радиуса, когда последнее стремится к нулю».
Тогда, т.к. V = 7гД2#, то 5 = V = (тгД2#)' = 2тгД#, т.е.
= 2тг RH.
Формулы площади и объема конуса
Конусом называется тело, образованное всеми отрезками,
соединяющими данную точку, вершину конуса, с точками
некоторого круга — основания конуса.
Если вершина конуса проецируется в центр основания, то
конус называют прямым конусом и часто — просто конусом.
Теорема 1. Объем конуса равен одной трети произведения
площади основания на высоту.
П Рассмотрим конус с
высотой Н и радиусом R. Для
нахождения его объема воспользуем-
У
R
О
D
X
S(x)
/ в
и
)
\
Н
А
X
У
ся формулой:
V
= I S{x)dx
(*)
где S(x) — площадь поперечного
сечения тела, заключенного
между плоскостями х = а и х = Ь.
Выберем систему координат так, как показано на рисунке.
Очевидно, S(x) = тг • CD2. Из подобия треугольников OCD и
ОАВ следует:
CD AB
CD R
R
Стало быть, S(x) = тг-
нг ti2
о
. И, по формуле (*), получаем:
н
# 1 2
T - Гя я'
96

те. V = з«5-й\ гДе S = тгй2 — площадь основания конуса. I
Теорема 2. Площадь боковой поверхности конуса с
высотой Я и радиусом R равна irRL, где L — образующая конуса.
П Разверткой боковой поверхности конуса является
круговой сектор, площадь которого и принимается за площадь
боковой поверхности конуса.
о2
Площадь сектора вычисляется по формуле S = Q- • а, где
— радиус круга, а — радиа
нтрального угла. В нашем сл
Отсюда: а = f . Стало быть,
R — радиус круга, а — радианная мера соответствующего
Т2
центрального угла. В нашем случае S = Цу • а. Но 2тгД = La.
Итак,
[27 I Формулы площади сферы и объема шара
Шаром называется тело, состоящее из всех точек
пространства, находящихся на расстоянии не большем заданного
расстояния Я, от данной точки. Длину R называют радиусом
шара.
Теорема 1. Объем шара вычисляется по формуле
4-8601
3
97

5(х)
□ Воспользуемся
формулой:
ь
V = Js(x)dx, (•)
где S(x) — площадь
поперечного сечения тела,
заключенного между плоскостями
х = а и х = Ь.
Выберем систему
координат, как показано на рисунке.
Очевидно, что S(x) = жАВ2,
но АВ2 = О В2 - О А2 (из АОАВ по теореме Пифагора), т.е.
АВ2 = R2-x2. Стало быть, S(t) = тг(й2 -х2). По формуле (*)
получаем:
r r R
V = [ тг(Д2 - х2) dx = n f(R2 -x2)dx=7r (r2x -^t)\ =
, xfc V-frf.
Теорема 2. Площадь сферы вычисляется по формуле
П За площадь сферы принимается предел отношения
приращения объема шара, ограниченного этой сферой, к
приращению радиуса, когда последний стремится к нулю, т. е.
5= lim -г—.
ДЯ-+О ДЯ
Согласно данному определению S = V. Но объем шара
вычисляется по формуле V = ^7гД3. Следовательно:
5 = (
= 47гД2> те- s =

ЧАСТЬ
ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ
РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
ПИСЬМЕННОГО ЭКЗАМЕНА

Тождественные преобразования
алгебраических выражений
Тождественные преобразования алгебраических
выражений производят с целью, в основном, их упрощения. Для
упрощения алгебраических выражений наиболее часто
используют:
• формулы сокращенного умножения
(а + Ь)3 = а3 + Ь3 + ЗаЬ(а + Ь) и т.д.,
см. «справочный материал», стр. 5-6;
• свойства степеней
а*, а* =ах+*, (ах)у = аху,
aW = д/а™, а ^ 0, га,n € N, п/1ит.д.;
• свойства арифметических корней
Va-\/b, a>0, 6>0ит.д.;
• свойства модуля
|а-Ь| = |а|-|Ь|, |а| = | - а\ и т.д.;
• разложение многочлена на множители
ах2 + Ьх + с = а(ж - £i)(a; - £2),
xi, Ж2 — корни многочлена и т.д.;
• деление многочленов на одночлены и многочлены.
100

Основные методы преобразования
алгебраических выражений
I. Вынесение общего множителя за скобки, разложение на
множители. Отметим, что при разложении многочлена на
множители, кроме формул сокращенного умножения, часто
используют приемы:
• разбиения некоторого слагаемого на сумму двух,
например:
х3 - Зх + 2 = х3 - х - 2х + 2 = х(х2 - 1) - 2(х - 1) =
= х(х - 1)(х + 1) - 2{х - 1) = (х - 1)(х2 + х - 2) =
• выделение полного квадрата, например:
1)
х2 + 10i + 21 = х2 + 2 • i • 5 + 25 - 4 = (х + 5)2 - 4 =
= (х + 5 + 2)(х + 5 - 2) = (х + 7)(х + 3);
2) х4 + х2 + 1 = х4 + 2х2 + 1 - х2 = (х2 + I)2 - х2 =
= (х2 + х + 1)(х2 - х + 1).
Пример 1. Упростить выражение:
1 2х-2 4(х
% +
х3 — х2
( 1 2х-2 4(х +1) х ^
= [ Г Ч « 7> I « 1 X
чх-1 х —4 х 4-х —2 х — Зх + 2>'
/х3 — х2 — 4x4-4\ х
Х( хЗ + 27 ):х^^
л =
Решение.
1 2х - 2 4х -h 4
х - 1 (х - 2)(х + 2)
х
хх2(х~1)-4(х-1) х
(х + 3)(х2 - Зх + 9) ' х2 - Зх + 9
101

_ г(д - 2)(х + 2) + (2s - 2)(х - 1)
i (х - 1)(х - 2)(х + 2)
(4х + 4)(х-
(х - 1)(х - 2)(х + 2) J
(х - 1)(х2 - 4) х2 - Зх + 9 _
* (х + 3)(х2 - Зх + 9) ' х
х2 - 4 + 2х2 - 4х + 2 - 4х2 + 4х + 8 + х2 + 2х
(х - 1)(х - 2)(х + 2)(х2 - Зх + 9) _
(х + 3)(х2 - Зх + 9) • х
_ 2х + 6 _ 2(х + 3) _ 2
~ х(х + 3) ~ х(х + 3) ~ х'
Ответ: А = %■. ♦
X
Пример 2. Упростить выражение:
А =
Ху/Х + X + У/Х X2 — у/х
О Решение.
Пример 3. Упростить выражение:
л =( Зж3 JM.
Чх2 -ху-у2 х-у/ '
Ответ: А — а; - 1. ♦
у - \/^ - у/х3у2
(2х2 - ху - у2
102

О Решение.
Отметим, что х > О, у > О, х ф у (следует из условия).
Все арифметические корни запишем как степени с дробными
показателями. Разложим знаменатель первой дроби на
множители:
2х2 - ху - у2 = х2 + х2 - ху - у2 = (х - у)(х + у) +
+ х(х-у) = (х-у)(2х + у).
Итак,
{х-у){2х + у) х-
y~ff ■ Х2 • у1! • X • у? - 2/3 - Х2 • у
= х{3х2 - у(2х + у))
(х-у)(2х + у) '
= х(3х2 - 2ху - у2)
- 2жу - у2)
+ у) • 1 Х-у
_ х((х - у)(х + у) + 2х(х - у)) _
х-у
= = х(3х + у).
х-у
Ответ: А = х(3х + у), при х > 0, у > 0, х ф у. ♦
П. Освобождение от иррациональности знаменателя (или
числителя) дроби. Поясним суть метода на примерах.
Пример 4. Упростить:
Л=( " II )( 8 + » ).
^л/5-1 3 + 4л/5>^л/5-1 4 + %/5^
О Решение.
= /12(у/5 + 1) _^ 71(3~4у/5)\ /8(у/5 + 1) 11(4-у/5)\ =
V 5-1 9-80 / V 5-1 16-5 /
103

= (3(л/5 + 1) + 3 - 4л/5) • (2(л/5 + 1) + 4 - л/5) =
= (6 - л/5)(6 + л/5) = 36 - 5 = 31.
Ответ: А = 31. ♦
Пример 5. Упростить выражение:
А = f * . 1 \ . Л 1х + 1\
{у/х + у/х + 1 y/x-Jx-l'\ уж-1/
О Решение. Отметим, что х > 1.
= (-л/х -Н л/ж + 1 Ч- у/х + л/х- 1)
л/х-1 + л
(л/я + 1 + у/х- 1) • л/х^Т
= у/х - 1.
Vx - 1 + у/х + 1
Ответ: А = v^x — 1 при х > 1. ♦
III. Выделение полного квадрата под радикалом.
Выражения вида = у/А ± у/В можно преобразовать (упрощать),
используя формулу «Сложного радикала»:
^
М2 - Б I А-у/А2-В
Пример 6. Упростить у 11 + \/40.
О Решение.
11 -
- 40
111 + 9 /11-9
104

На практике удобнее пользоваться более простыми,
очевидными формулами: у/а + Ь± 2у/аЪ = \у/а ± y/b\. Так,
пример 6 можно решить и так:
= у 11 + 2л/10 =
+ 1 + 2 • \/10 • 1 =
= \J(VlO + I)2 = |\/10 + 1| = л/ТОН-1;
Ответ: %/lO Ч-1. ♦
Пример 7. Упростить \/2 — \/3.
О Решение. Перепишем у2 — \/3 в виде W "%* . Тогда
'2-V3 =
:-2\/3
- 2-\/3
11 .
у/6 - у/2
у/2
= =
V2 л/2 2
Ответ: ^-
Пример 8. Упростить: Л = y6i(5 + 2\/6)V3\/2x - 2-\/Зх.
О Решение. Очевидно, х ^ 0.
• \/2 • у/х{у/ъ -
• 6х(>/3 -
- \/2))2 = V
Ответ: Л = у/бх. ♦
Пример 9. Найти значение
A = yjx + 2y/x- 1 + \jx- 2\Jx - 1,
если х ^ 2.
105

Решение. Отметим, что х ^ 1.
A=\Jx-
~^\ • 1 + \Jx -
Здесь \у/х - 1 — 1| = — (>/ж^Т — 1), так как по условию
х ^ 2, стало быть, у/х — 1 —
Ответ: А = 2, при 1
2. ♦
IV. Преобразования алгебраических выражений,
содержащих модули, В этом случае используют определение модуля
. - _ Г о, если о ^ 0,
'а' " \-а, если а <0
и метод интервалов. Для этого:
1) приравнивают к нулю выражения, стоящие под знаком
модуля. Полученные значения переменных
откладывают на числовой оси;
2) исследуют алгебраическое выражение в каждом из
полученных интервалов.
Пример 10. Упростить:
- 6х + 9.
А = х + 1 + у/х2 + 10х + 25 -
0 Решение.
А = х + 1 + у/(х + 5)2 - V(z - З)2 = х + 1 + \х + 5| - |х - 3|.
Отмечаем на числовой оси числа х = -5 и х = 3 (тогда
соответственно я + 5 = 0, я-3 = 0). Исследуем выражение А
на каждом интервале, используя определение модуля:
а) если х < -5, то А = х + 1 - (х + 5) + {х - 3) =
106

б) если -5 ^ х < 3, то А = х + 1 + (х + 5) + (х - 3) =
в) если З^х, toA = x + 1 + (z + 5)-(z-3) =
{х - 7, если а; < -5,
Зх -I- 3, если - 5 ^ х < 3, ♦
х + 9, если 3 ^ х.
Пример 11. Упростить
а2-4
-4
Решение. Очевидно, о ^ 0.
а2 - 4 а2 - 4
/а^+8а2 + 16 л /а4 + 8а2 +
V 4а2 V 4а
16 - 16а2
2
а2 - 4 а2 - 4
/
V
а4 - 8а2 4-16 /(а2-4)2
4а2 \/ .J
4а*
?
а2 - 4 _ (а2 - 4) • 2|а|
|а2-4| •
а2-4
I 2а
Отсюда следует, что а2 — 4 ф 0, т. е. а ф ±2. Отмечаем на
числовой оси числа а = 0, а = —2, а = 2.
Исследуем Л в каждом из полученных интервалов:
а) если а < -2, то А = ^ ~ f ' 2<~а) = -2а;
а"4 -4
б) если -2 < а < 0, то А = (q2-4)-2(-°) = 2а;
- (а^ - 4)
в) если 0<а<2, тоЛ= ^ ~ f>' ** = -2а;
- (а^ - 4)
107

г) если 2 < а, то А = ^—«——~ = 2а.
а -4
Ответ- А = I 2а' 6СЛИ а G ("2'0) U (2j °°); 4
| -2а, если а G (-оо, -2) U (0,2).
V. Применение различных методов.
Пример 12. Вычислить значение
л (2 л Пх-2\ / . 2х2 + х + 2\
А= [х2 + 2х- -) : (ж + 1 —),
V Зх + 1/V Зх+1/'
при х = 7,(3).
О Решение. Упростим выражение А:
(ж + 1)(3ж + 1) - (2х2 + х + 2)
Зх + 1
Зх + 1 :
Зж2 + х + Зж + 1 - 2ж2 - х - 2
__ Зх3 + 7х2 - 9х + 2 Зх + 1 __ Зх3 + 7х2 - 9х + 2
" Зх + 1 х2 + Зх - 1 ~ х2 + Зх - 1
Разделим числитель на знаменатель «в столбик»:
Зх2 +7х2 -9х +2
3х3 +9х2 -Зх
-2х2-6х+2
х2 +Зх-1
Зх -2
Стало быть, А = Зх3 + 7х2-9х + 2 = Зх - 2.
х2 + Зх - 1
При х = 7,(3) = 7| = 7i = ^ получаем: А = 3 • ^ - 2 =
= 22 - 2 = 20.
Ответ: А = 20. ♦
108

Пример 13. Вычислить значение
/ л/1 + х 1-х \ t i—-—7 1\
А = (■ , Н . ) • ( V х~2 — 1 )
\y/l + x-y/l-x y/\-x2+x-l' V x)
для х > 0.
0 Решение.
Очевидно, что х < 1 (1 — х^О, но при х = 1 знаменатель
второй дроби равен 0). Стало быть, имеем 0 < х < 1.
/
А = (
_ д.2 _ /1 _TW
/1 — х • л/1 — х
— л/1 — х
1\ И- х
• X y/l — X \
л/1 + х - л/1 - х
(л/ГТх + л/Т^х)(л/1 + х +
X Х>
X
/1 - х2 - 1
(1 + х) - (1 - х) х
1 + х + 2^1 - х2 + 1 - х\ у/1 - х2 - 1
1+Х-1+Х / X
2(1 + vT^x2) -(I - vT^i2)
2х
X
1-1+х2
Ответ: А = -1. ♦
Пример 14. Упростить выражение
109

О Решение.
А
= /
= ^ • \Л>/б + 8 V3 + 4n/2 + 18 =
+ 2n/2(2%/3 + 2) + 2 =
Ответ: Л = i(2\/3 + 2 + у/2). ♦
Пример 15. Упростить выражение
1-хх3 + х - 2
х 1-х+х2
Решение.
_/ 1-Х X3 + X — 1 — 1 \
= U2(l + x-x2) ~ x(x4-x2-2x-l)i :
/ «1+Х 1-Х + Х2\_
: \х3(1+х + х2) X3 / ~
(х-1) + (х-1)(х2 + х +
х(х4-(х
Х2)(1 + X + Х2
/1+Х-(1-Х + Х2)(1 + X + Х2)\ _
Л Х3(1 + Х + Х2) /
_ / 1-х (х-1)(х2+х + 2) \
~U2(l+x-x2) x(x2-x-l)(x2+x+l)/ :
1 + X - ((1 + X2)2 - X2)
Х3(1 + Х + Х2)
по

(1-х)(х2+х
- x2) *(x2 + x + 1)(1 + ar- x2)) :
1 4- x - 1 - 2x2 - x4 + x2
x3(x2+x + l)
x2+x + 2\ x3(x2+x +
/1 x2+x + 2\ x3(x2
U " x2+x + l/ -x4~
x(l + x-x2) U " x2+x + l/ -x4~x2-hx
(l-x)(x2-hx-H-x3-x2-2x)»x3(x2-hx-hl)
__ (l-x)(l-x-x3) __ 1-х __ x-1
" (1 + x - x2)(l -х-х3)~~1 + х-х2~~х2-х-Г
Ответ: А = oX~~l—. ♦
x - x - 1
Пример 16. Упростить выражение
A = (x2 - x + 1) : J(x2 + ±У + 2(x + ^)2 - 3.
Решение. Упрюстим делитель, положив х+ — = t. Тогда
х
х* -\ 1-2 = Г, т.е.
Стало быть,
- 2)2 -h 2t2 - 3 =
- At2 + 4 + 2t2 - 3 =
= y/t4 - 2t2 + 1 = y/{t2 - I)2 = \t2 - 1|.
Из x2 + \ — t2 — 2 следует, что
- 1 = x2 + — + 1 > 0.
x2
111

Стало быть,
/2
= (х2
= (x2-z + l): =
(x2 - x + l)x2 _ (x2 - x + l)x2 _
I4 + X2 + 1 ~ (X2 + I)2 - X2 ~
(x2 - x + l)x2 x2
(х2 + 1 4- х) (х2 + 1 - х) х2 + х + 1'
Ответ: А = -^
х2
х2 + х + 1
Упражнения
Упростить выражения.
х (х - у)2 + ху . x5-hy5-hxV-hx3?/2
(х + у)2 - ху ' (х3 + у3 + х2у + ху2) • (х3 - г/3)
2 (л/i - л/у)h 2х2 :
хVx -h
/ 2 1
V n2
(n2_J_)\(ro_I)m-n
V m2/ V nJ
25 , 2a a3+25a2>\ /я г . 15a
5a + 25 + ^r5 a3 - 125 ) Ла " 5 + a - 5
5.
fi
- у/У !
Xy/y-yy/x) x + y x
112

,
(a2-a6)§ " aV^-bVb (a2 + 62)
-а-2/ 2 -
Зл/а-а-2/ 2 - л/Тба
10.
x3 - x 4- x"1 1 + x"2
11.
x • y/xy - (xy) * : \fx
х > 0, у > О, х ф ±у
12. ^(x-1 + 4x - 4)-1 - ,2J^ ^, x > 0
13 c+Vc2-4 + 2 , с-л/с2-4 + 2
' 0-4/02-4 + 2 c+\/c2-4 + 2
\/2(a -
15.
V 2a + 2 • \/o2 - 1
1 — Ух
17.
/a-1
- VaTT
/a 4-1
1 " (а - 1) Va+T - (а + 1)л/а~^~
= + а2-1
19.
a* +2-
-fe ; Л _ 2 3/I) _ J
+ 4bi V V аУ
113

91 1+X _ 1-Х
' 1 + %/1 + x 1-Vl-x'
22.
23.
24.
4x • (x + \/x2 - I)2
(x + n/x2 - I)4 - 1
25.
V 2x + 2 • %/x2 - 4
Vx2 - 4 + x + 2
26.
27. [_abLT.__^abi^+ aL
7. (-ЯЙ-,
28.
- vV
29
' U2 + 5
(a
+ , I .+—2b-
x2 + 5x + 6 x2 + 3x + 2 x2 + 4x + 3
30.
-3
_ fl _ x)
x2 - x + 1
31.
32.
33.
2| - x2 + 4
-h 2
114

34. х
- х
+ 18x + 9 V x ]f 2x-y/x
\/9-л/80
37.
.y-2 _ д-y-i
2x2 - j/5 - xy + 2xy2
[3?+x-2y/x
- V X + 2V5 +
39. x8+x4-2x2+6+2x2_2
x4 + 2x2 + 3
40.
у
x +
— 4 +
yx —
4%/x — 4
mJ ; 4. a-5, a^ 5; 5. x?;
6. xy; 7. 2; 8. 0; 9.
; 10. 1, x ^ 0; 11. -f—; 12. x, при
x -г у
0 < x < i и -x, при х > i; 13. -с; 14. 1, a ^ Ь; 15. v'a2 - 1,
a > 1; 16. 3, x ^ 0, x ф ±27; 17. л/а2 - 1, a > 1; 18. 2;
19. 0; 20. \%/T=~i - V£|, x 6 [0; 1]; 21. ^; 22. 1; 23. -7=^ ;
6 y/x2 - 1
24. 2x - 1, x ^ 1; 25. , l , x ^ 2; 26. 1^a2&; 27. 6(a + 6);
vx + 2
28. x - у; 29. 2; 30. 1-х, при x G (-00,-1); x - 1, при
ж €(-1,0)^0, lM^oo); 31,-|, при g 6 (-oo,-2); ^Y^»
; 33. y/x~ 4- 1; 34. x2
при x G (-2,oo); 32. A—
x — v 2x -t-1
35. з/izz^. 36. 3; 37. -A3, при у < 2x; --^3, при у > 2x;
38. 1 — y/£, при x G [0,1); y/x — 1, при x G [l,oo); 39. x4;
40. ~^j, при x G (4,8); ,2x , при х G [8,00).
115

Алгебраические уравнения
Под алгебраическим уравнением принято понимать
уравнение, которое может быть записано в виде
апхп + an-ix
n~l
+ ... +
+ оо = О,
где ап, ап_1?..., ао — заданные числа, х — неизвестное, п —
наибольшую степень неизвестного — называют степенью
алгебраического уравнения.
Основные методы решения
алгебраических уравнений
I. Линейные уравнения ах + Ь = 0, а ф 0. Такое уравнение
имеет один корень, нахождение которого не вызывает
затруднений: х = — ^.
II. Квадратное уравнение ах2 + Ьх + с = 0, а ф 0.
Квадратные уравнения решаются по готовой формуле
-Ь ±
- Аас
2а
используется теорема Виета: х\ + Х2 = — -, х\Х2 = -.
Пример 1. Решить уравнение:
7(х-2)(*-3)(*-4)
= -2.
(2х-7)(* + 2)(х-6)
0 Решение. Предложенное уравнение не является
алгебраическим. Более того, не любые значения неизвестной х
могут выступать в качестве корней этого уравнения.
Начинать решение таких уравнений необходимо с указания области
определения переменной х.
7(г-2)(х-3)(х-4)_
(2х-7)(х + 2)(х-6)
116
х + 2 ф 0,
х - 6 ф 0,
2х - 7 ф 0.
(1)

Теперь приводим уравнение к виду (7х — 14)(х2 — 7х + 12) =
_ (—4а; -f14) (х2 — 4х — 12) и раскрываем скобки: 7х3 — 49а:2 +
+ 84а; - 14х2 + 98а; -168+4а;3 - 16х2 - 48х - 14а;2 + 56х +168 = 0.
Приводим подобные слагаемые и получаем:
Их3 - 93х2 4- 190х = 0,
х(11х2-93х + 190) = 0,
= 0.
11х2-93х+ 190 = 0,
= 93 ± л/8649 - 8360 = 93 ±17
Х2'3 " 22 - —22"
т.е. х2 = 5, х3 =38/11.
Найденные значения х удовлетворяют соотношениям (1).
Ответ: xi = 0, х2 = 5, х3 = 38/11. ф
Задачи. Решить уравнения.
5) (х - I)2 - х(х + 2) = 2х - 3
г =
III. Уравнения степени большей чем 2.
А. Метод группировки. Путем группировки слагаемых,
применения формул сокращенного умножения привести (если
удастся) уравнение к виду, когда слева записано произведение
нескольких сомножителей, а справа — ноль. Затем
приравниваем к нулю каждый из сомножителей.
Пример 2. Найти корни уравнения.
х3 -(а + Ъ + с)х2 + (ab + ас + Ьс)х - аЬс - 0.
117

О Решение: х3 — ах2 — Ьх2 - сх2 + abx 4- асх 4- bcx — abc = О,
группируем: х2(х — а) — Ьх(х - а) — сх(х - а) 4- Ьс(х — а),
(х - а)(х2 - Ьх - сх 4- 6с) = О,
х - а = О*
= а.
х2 - Ьх - сх + be = О,
х(х - Ь) - с(х - 6) = О,
X — Ь = О, Х2 = 6,
(Х-Ь)(Х-С) =0 :i л
v м у х -с = 0, х3 = с.
Ответ: xi = а, хг = Ь, хз = с. ♦
Замечание: корни уравнения можно было легко найти,
пользуясь теоремой Виета для кубического уравнения: если
х3 4- рх2 + qx + г = 0, то
В нашем случае
х\ 4- х2 4- хз =
Х1Х2 4- Х2Х3 4"
Х1Х2Х3 = abc.
Х\ 4- Х2 4- хз = —р,
#2 4- Х2Х3 4- Х1Х3 = д,
Х1Х2Х3 = —Г.
; а 4- Ь 4- с,
хххз = ab + bc + ac, ==>
х\ = а,
Х2 = 6,
Хз = С.
Пример 3. Решить уравнение х3 — За; + 2 = 0.
0 Решение. Перепишем уравнение, записав —Зх = —х^5
х3 — х — 2х + 2 = 0, а теперь группируем
х(х2 - I) - 2(х - 1) = О,
■ 1) - 2) = О,
х - 1 = О,
Xi = 1.
х2 + х - 2 = О,
х2 = -2, х3 = 1.
Ответ: xi = хз = 1, #2 = —2. ♦
Задачи. Решить уравнения.
1) х3-8 + х-2 = 0
2) х3+х + 2 = 0
3) 2х4 4- х3 4- 4х2 4- х + 2 = 0 (положить 4х2 = 2х2 4- 2х2)
118

4) х4 - 5х3 + 20х - 16 = О
5) xs - 6х7 + 9х6 - х2 + 6х - 9 = О
Б. Метод подстановки. Ищем в уравнении некоторое
повторяющееся выражение, которое обозначим новой
переменной, тем самым упрощая вид уравнения. В некоторых случаях
очевидно что удобно обозначить. Например, уравнение
х х2 + х — 5
легко решается с помощью подстановки х ^ х ~* 5 = £,
получаем £+ 7+4 = 0. Или —z—— х2 + 4х = 6. Здесь можно
1 х — 4х + 10
сделать подстановку х2 — 4х = t. Тогда . _~ * — £ = 6 и т. д.
В более сложных случаях подстановка видна лишь после
преобразований: Например, дано уравнение
(х2 + 2х)2 - (х + I)2 = 55.
Переписав его иначе, а именно (х2 + 2х)2 — (х2 + 2х + 1) = 55,
сразу увидим подстановку х2 + 2х = t. Имеем t2 — t — 56 = 0,
ti = -7, t2 = 8. Осталось решить х2 + 2х = — 7 и х2 + 2х = 8.
В ряде других случаев удобную подстановку желательно
знать заранее. Например:
1) Уравнение (х + а)4 + (х + Ь)4 = с сводится к биквадратному,
если сделать подстановку х = t — а\ •
2) Симметрическое уравнение аохп + а\хп~1 + ... + а\х +
+ ао = 0 (коэффициенты членов, равноотстоящих от концов,
равны) решается с помощью подстановки х + — = t, если п —
X
четное; если п — нечетное, то уравнение имеет корень х = — 1.
3) Уравнение вида (х + а)(х 4- b)(x + c)(i + d) = / сводится к
квадратному, если аН-Ь = сН-с?ит.д.
Пример 4. Найти корни уравнения
(х - 4)(х - 5)(х - б)(х - 7) = 1680.
0 Решение. Перепишем уравнение в виде
(х - 4)(ж - 7) • (х - 5)(х - 6) = 1680, т. е.
(ж2 - Их + 28) (х2 - Их + 30) = 1680.
119

Обозначим х2 - llx + 28 = t, тогда t(t + 2) = 1680, t2 + 2t-
-1680 = 0, h = -42, t2 = 40. Поэтому
x2 - Их + 28 = -42 или х2 - Их + 28 = 40
х2 - llx 4- 70 = 0,
0.
х2 - Их - 12 = 0,
xi = 12, x2 = -1.
Ответ: xi = 12, x2 = -1. ♦
Пример 5. Решить уравнение 2x4 -f Зх3 — 1бх2 4- Зх + 2 = О
(симметрическое уравнение).
О Решение. Разделим обе части уравнения на х2 ф О,
получим 2х2 + Зх - 16 4- - + А = 0, т. е.
х
— зс h
X2 X
Обозначим х 4- А = £, тогда х2 4- 2х— 4- -t = t2, т. е. х2 + \ =
X X д; д:
= *2 - 2. Получаем 2(*2 - 2) + 3*- 16 = 0, т.е. 2*2 +3*- 20 = 0,
t\ = —4, ti = U. Следовательно, имеем
х -h 1/х = -4 или х -h 1/х = 5/2
х2 + 4х + 1 = 0,
si,2 = -2 ± \/3.
2х2 - 5х + 2 = 0,
х3 = 2, х4 = ^.
Ответ: xi,2 = -2±уД,х3= 2, х4 = 1/2. ф
Пример 6. Решить уравнение (х + З)4 + (х + 5)4 = 16.
0 Решение. Сделаем подстановку х = t — % , т.е. х =
= t - 4. Тогда получаем (* - I)4 + (t + I)4 = 16, т. е.
tA - 4*3 + б*2 - At + 1 + *4 + 4*3 4- б*2 + 4* + 1 = 16,
т. е. 2*4 + Ш2 -14 = 0, или t4 + б*2 - 7 = 0. Положим, *2 = z ^ 0,
тогда
z2 + 6z - 7 = 0 => zi = -7, z2 = 1.
С учетом t2 = z ^ 0 отбрасываем z\. Итак, z = 1, т.е. £2 = 1,
отсюда t\ = —1, ^2 = 1- Следовательно, х = — 1 — 4 и х = 1 - 4,
т.е. xi = —5, Х2 = —3.
Ответ: х\ = -5, хг = -3. ♦
120

Задачи. Решить уравнения.
1) 6- 2 21 = 4х-х2
4 х2 - 4х 4 Ю
оч s-З , х2 4 4х 4- 9 _
2) х244*49+ х-3 ~
3) 2х44х3-11х2 4x42 = 0
4) (x4l)(x4 2)(x4 3)(
7) х4-6х248 = 0
В. Метод подбора: при решении уравнений высших
степеней рациональные корни уравнения
апхп 4 an-ix71"1 4 ... 4 ахх 4 а0 = 0
ищем в виде 2 где р — делитель ао, q — делитель an, p и q
взаимно просты, р G Z, g G N.
Проиллюстрируем метод подбора на примерах.
Пример 7. Найти корни уравнения х3 — х2 — 8х 4- 6 = 0.
0 Решение. Здесь ап = 1, uq = 6. Поэтому, если данное
уравнение имеет рациональные корни, то их следует искать
среди делителей числа 6: ±1, ±2, ±3, ±6. Проверкой
убеждаемся, что х = 3, т. к. 2,7 - 9 - 24 4 б = 0.
Делим х3 — х2 — 8х 4 6 на х — 3.
хл -х<
х3-3х2
2х2
~2х2
—
-8х+6
X2
-8х
-6х
-2х+б
-2х+6
х-3
+ 2х-2
о
Тогда х3 - х2 - 8х 4 6 = (х - 3)(х2 4 2х - 2), т.е. данное
Уравнение можно представить в виде (х — 3)(х2 4 2х — 2) = 0.
121

Отсюда находим, что xi = 3 — решение, найденное подбором,
Х2,з = — 1 ± л/3 — из уравнения х2 + 2х — 2 = 0.
Ответ: xi = 3, х2|3 = *-1 ± \/3. ♦
Пример 8. Решить уравнение 4х4 + 8х3 -f х2 — Зх — 1 = 0.
t 0 Решение. Здесь оп = 4, оо = — 1. Поэтому рациональ-
ные корни уравнения следует искать среди чисел ±1, ±i, ±±,
(делители 4 есть ±1, ±2, ±4, делители —1 есть ±1). Если
х = +1, то 4 + 8+1-3-1 т*0; если х = -А то ^ -
— ^4-1-1-^ — 1 = 0, т.е. х = —^ корень уравнения. Делим
4х4 Н- 8х3 + х2 - Зх - 1 на х + i
4х4+8х3
4х4+2х3
6х3
6х3
—
+3х2
-2х2
-2х2
—
-Зх-1
-Зх
—X
-2х-1
-2х-1
ж+ 1/2
4х3 + 6х2 - 2х - 2
0
Данное уравнение можно представить в виде
(х + ^)(4х3 + 6х2 - 2х - 2) = 0.
Отсюда х\ = — i (решение, найденное подбором) или 4х3 +
+ 6х2 - 2х - 2 = 0, т. е. 2х3 + Зх2 - х - 1 = 0. Аналогично
находим корень этого уравнения: х = — i. Снова делим.
2х3+3х2 -х -1
"2х3 +х2
ж+ 1/2
2х2 + 2х - 2
2х2 -х
"2х2 +х
-2х-1
-2х-1
0
122

Т.е. имеем (х + А)(2х2 + 2х - 2) = 0. Отсюда х2 = -i,
Ответ: X! = -1 = х2, x3f4 =
Замечание: зная, что х = — i можно было не
заниматься делением, а просто выделить за скобки множитель (х + i).
Из
2х3 + Зх2 - х - 1 = 0
следует
2х3 + х2 + 2х2+х - 2х- 1 = 0, т. е.
2х2(х + i) + 2х(х + I) - 2(х + I), т. е.
(х + i)(2x2 + 2х - 2) = 0 => X! = -1, х3,4 = "1fv^.
Задачи. Решить уравнения.
1) х3-ЗхН-2 = 0
2) х4-х3-35х2 + 57х + 90 = 0
3) 2х3+х2-9 = 0
4) 4x4-h8x3-3x2-7x-h3 = 0
5) х5-х4-Зх3+5х2-2х = 0
Г. Нестандартный подход. Общих формул нахождения
корней алгебраических уравнений высоких степеней нет и
поэтому об их решениях говорят как об искусстве решать
пример нестандартно, придумать «свой метод», догадаться что-то
прибавить и отнять, выделить полный квадрат, на что-то
разделить и умножить и т. д.
Пример 9. Решить уравнение:
13х 2х
= о.
2х2 4- х + 3 2х2 - 5х + 3
123

О Решение. Область определения переменной х — все
действительные числа, кроме корней знаменателей, т. е.
\ 2х2 - Ъх + 3 ф 0.
Разделим числитель и знаменатель дробей на х ф 0:
13 . 2
2*
2i -
= о,
о I о п
обозначим 2х + — = t. Получаем *f~ + - = 6, т. е.
X Z ~\~ L Z — О
13* - 65 + 2t + 2 = б*2 - 24* - 30, т. е.
Ы2- 39* 4- 33 = 0, т.е. 2*2-Ш+11 = 0,
t2 = 5l.
Следовательно,
2х + 3/х = 1
2х2 - х + 3 = 0,
х е 0.
или
Or -I- Ч/т —11/2
4х2 — Их + б = 0,
хг = 2, х2 = 3/4.
Ответ: xi = 2, х2 = 3/4. ф
Пример 10. Решить уравнение: х4 — 2х3 Н- х — j = 0.
0 Решение. Выделим полный квадрат, прибавив и вычтя
в левой части уравнения х2:
х4 - 2х3 -К х2 - х2 4- х - | = 0, т. е.
(*2-*)2-(х2-х)-|=0.
Пусть х2 — х = £, тогда £2 — * — ^ = 0, £i = —i t2 = ^.
Возвращаясь к старой переменной, получаем
х2-а; = -1/2 или х2-х = Ъ/2
х2 - х + i = 0,
х е 0.
х- - х - 2 = 0,
Ответ:
= 1^.ф
124

Пример 11. Решить уравнение:
3(х2 - х + I)2 - 5(х + 1)(х2 - х + 1) - 2(х + I)2 = 0.
0 Решение. Это так называемое «однородное уравнение»,
т. е. уравнение вида ау2а + byaza + cz2a = 0, где а, Ь, с, а —
заданные числа, отличные от нуля; у = у(х), г = г(х) —
некоторые функции от х. Делим обе части уравнения на z2a ф 0.
Получаем &{%) +И f) + с = 0. Обозначив f^J = £,
получаем квадратное уравнение относительно t.
Разделим обе части данного уравнения на (х2 —х-\-1)2 ф 0:
-х
1 _
Пусть 2 ,
х — х И-1
Следовательно,
= t, тогда3-5t-2t2 = 0, T.e.ti = -3, t2 = A.
x-hl = 1
х1 - х + 1 2
2х 4- 2 = х2 - х 4-1,
х2 - Зх - 1 = 0,
или
x + 1 = -3x2 + 3x - 3,
3x2 - 2x + 4 = 0,
x e 0.
Ответ: х1у2 = 3±^. ♦
Пример 12. Найти корни уравнения
r2
2
х2 +
(9 + х)2
= 40.
0 Решение. Это уравнение определено для всех х, таких
что (9 И- х)2 ф 0, т. е. х ф 9. Воспользуемся формулой а2 И- Ь2 =
= (а - Ь)2 + 2аЬ.
+2х
In i ,
9-hx
«.2
= 40 ИЛИ
Пусть jrZ— = t. Тогда t2 + 18* - 40 = 0, *i = -20, t2 = 2.
У ~г X
125

Получаем два уравнения:
Т7 =
х2 - 2х - 18 = О,
х1|2 = 1 ± л/19.
х2+20х+180 = 0,
х€ 0.
Ответ: xif2 = 1 ± л/19.
Задачи. Решить уравнения.
1) (8х + 7)2(4х + 3)(х + 1)=4,5
2) (х2 - Зх + 1)(х2 + Зх + 2)(х2 - 9х + 20) = -30
3) х2 + —^у = 1
(1 + х)2
4) х4 - 8х + 63 = 0
5) 4х4 + бх3 - Юх2 - 9х + 9 = О
6) (х-4)3(х-5)3+2(х-5)3 + (х-4)3 = 0 (положить х-5 = t)
7) х4 - 2х2 - 12х - 8 = 0 (Ответ: xlj2 = 1 ± у/3.)
Уравнения, содержащие модуль
При решении уравнений с модулем используется
определение модуля и метод интервалов. Напомним, что
f(x)> если f(x) > °»
/(x), если/(х)<0.
Пример 1. Решить уравнение |1 — 2х| И- |3х + 2| И- |х| = 5.
0 Решение. Приравниваем к нулю выражения, стоящие
под знаком модуля, отмечаем на числовой оси полученные
значения, исследуем уравнение в каждом из полученных
интервалов:
126

2
"3
а) если х < — ^ то 1 — 2х > 0, Зх 4- 2 < 0, х < 0 и уравнение
переписывается так: 1 — 2х — Зх — 2 — х = 5, т. е. —бх = 6,
а: =-16 (-оо,-|);
б) если -| ^ х < 0, то 1 - 2х > 0, Зх + 2 ^ 0, х < 0 и поэтому
имеем 1 — 2х + Зх + 2 — х = 5, и т. к. 3 ф 5, то в промежутке
[-§,0) корней нет,
в) если 0 ^ х < i то получаем 1 — 2х И- Зх 4- 2 И- х = 5, т. е.
2х = 2, х = 1 £ [0, i); наконец,
г) если ^ ^ х, то — 1+2хН-Зх+2+х = 5, бх = 4, х = | (Е [А, оо).
Ответ: х\ = —1, х2 = 4. ф
Пример 2. Решить уравнение |х| + |х — 1| = 1.
О Решение:
О 1 х
а) х е (—оо,0), тогда — х — х + 1 = 1, —2х = О,
б) х е [0,1), тогда х — х + 1 = 1, 1 = 1, х — любое из [0,1);
в) х € [1, оо), тогда х + х - 1 = 1, 2х = 2, х = 1 € [1, оо).
Ответ: х G [0,1]. ♦
Пример 3. Найти корни уравнения |х2 — 141 = |х2 — 4|.
О Решение. Возведя обе части уравнения в квадрат,
получим эквивалентное уравнение
(х2-14)2 = (х2-4)2, т.е.
х4 - 28х2 + 196 = х4 - 8х2 + 16, т. е.
20х2 = 180, х2 = 9, Х1>2 = ±3.
Ответ: xi = 3, х2 = —3. ♦
127

Пример 4. Решить уравнение |5х + 2| = 3 — Зх.
О Решение. Это уравнение эквивалентно совокупности
систем
Г5х + 2 = 3-3х
3-3x^0
•"{
-5х - 2 = 3 - Зх,
3 - Зх > 0.
Отсюда находим, что xi = — ^, х2 = А.
Z О
Ответ: Xi = — |, х2 = i ф
Пример 5. Указать все корни уравнения |х — а\ = Зх — 1.
О Решение. Это уравнение с параметром а. Оно
эквивалентно совокупности систем
Гх-а = Зх-1, Г
\ Зх-1^0 И\
Находим, что xi = * Q, x2 = ^-Ф-^,
условие Зх — 1 ^ 0, т.е. х ^ ^ Стало быть,
-х + а = Зх - 1,
Зх - 1 > 0.
но должно выполняться
1 тр Л<1И
3' 3
I т е а> I
3' ^3'
При а = ^ имеем xi = х2 = ^
Ответ: если а ^ i, то х = ^ а; если а > i то х = а\ - ♦
Задачи. Решить уравнения.
2) 2|х + 6|-|х|-|х-6| = 18
3) х2 - 2х - 3 = |3х - 3|
4) |х2-6|х|+4| = 1
5) |х-б|=4-х2
6)
-1
+ 1
= 2
128

7) |х + а| = |2х — а\, а — параметр
8) |х2 - х - б| = х2 - х - б
9) х2 + |х-3| + |х-1| = 1
Упражнения
Решить уравнения.
Х-4.Х + 4 28_х-2,х
х-Зх+3 15~х-1х
4. (х + 1)2(х + 2) + (х - 1)2(х - 2) = 12
с ., 6 ■ 8 _ 1
- (х + 1)(х + 2) + (х-1)(х + 4)
1 - Ю
х2
7. 2о(^)5(Ц)+484
Vxhly Vxiy 2 - 1
8. (х - I)5 + (х 4- З)5 = 242(х + 1)
9. 27х3 + 9х2 - 48х + 20 = 0
10. (х - 2)6 + (х - 4)6 = 64
11. (х + 2)(х - 3)(х + 1)(х 4- 6) + 96 = 0
12. х4 + 4х - 1 = 0
13. (х2 - 5х + 1)(х2 - 4) = б(х - I)2
14. х4 - 4х3 - 18х2 - 12х 4- 9 = О
15. (х2 - Зх 4-1)2 + 3(х - 1)(х2 - Зх + 1) = 4(х - I)2
16- -2—if --24- 2 1\х о =0
х2 4- 2х Н- 3 х2 + 7х Н- 3
5-8601 Ш

17. х4 + бх3 4- 5х2 - 12х 4- 3 = О
18. |х|-2|х + 1| + 3|х + 2| = 4
19. х- |х- |х- 1||| = £
20. |х3-Зх + 1|=х3+Зх2-1
Ответы: 1. j-l,3,ij;2. |±2,±З^Ш;3. {-3,3};
4. {1}; 5. |-3,0,-3±2^}; 6. {-3,1}; 7. |з,|};
8. {-1,0,-2}; 9. X! = х2 = |,х3 = -|; 10. {2,4};
{
I1 ! 3l-2O (
" \6'2J2/J 20- \
|; 18. x = -4,x E [-1,0];
-3-л/ЗЗ -3±л/3з1
~' 4 /•
Иррациональные уравнения
Иррациональным уравнением относительно х называется
уравнение, содержащее искомую величину под знаком
радикала. Корни уравнения следует искать в ОДЗ для
неизвестного.
Напоминание:
2) из равенства 2у/х = а следует
а) х ^ 0, б) а ^ 0, в) х = а2п.
130

Основные методы решения
иррациональных уравнений
I. Уединение радикала и возведение в степень. Смысл
таких преобразований в сведении данного иррационального
уравнения к равносильному ему рациональному уравнению
(«рационализация уравнений»).
Пример 1. Найти корни уравнения \/15 — х + у/3 — х = 6.
О Решение. Область допустимых значений переменной
15 - х ^ О,
(1)
Уединим радикал у/1Б — х — 6 — у/3 — х, отсюда следует (по
определению арифметического корня)
6 - \/3~^х~ ^ 0. (2)
Возводим в квадрат обе части уравнения, получаем
15 - х = 36 - 12>/3 - х + 3 - х, т.е.
12^/3 - х = 24, т.е.
л/3 - х = 2.
Возводим в квадрат: 3-х = 4, х = — 1. Найденное значение х
удовлетворяет соотношениям (1-2).
Ответ: х = —1. ф
Пример 2. Найти корни уравнения у/х + 2 — ^Зх + 2 = 0.
0 Решение. ОДЗ: х + 2 ^ 0. Далее,
у/х + 2= V3x + 2
Возводим в шестую степень:
Зх + 2
(3)
(z + 2)3 = (3z + 2)2, т.е.
х3 + 6х2 + 12х + 8 = 9х2 + \2х + 4, т. е.
-f 4 = 0, т. е. х3 - Зх2 + 3 + 1 = 0,
группируем:
(х* + 1) - 3(х2 - 1) = 0,
(х + 1)(х2 - х + 1) - 3(х - 1)(х + 1) = 0,
131

или
(х + 1)(х2 -х + 1-Зх + 3)=0
х + 1 = О,
Хх = -1.
х2 - 4х + 4 = О,
х2 = х3 = 2.
Значение xi = — 1 не удовлетворяет соотношению (3).
Ответ: х = 2.
Задачи. Решить уравнения.
+ 3 = 1
1 - 4х + 2 = \/х2 - 6х + 9
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
II. Введение новой переменной (подстановка). Сущность
метода поясним на примерах:
Пример 3. Найти корни уравнения
+ >/х- у/х- у/х = |
х2 + Зх - 18 +
+ Зх - 6 = 0.
0 Решение. Обозначим х2 + Зх — 6 = t (можно х2 + Зх = t
или у/х2 + Зх - 6 = t ^ 0). Тогда получаем £ - 12 + 4>Д = 0,
т.е.
WU12-* =* 12'_>£0_} (4)
Возводим в квадрат:
24* + *2, т.е.
t2 - 40t + 144 = 0, h = 36, ^ = 4.
Значение *i = 36 не удовлетворяет соотношению (4). Итак,
х2 + Зх - 6 = 4, или х2 + Зх - 10 = 0.
Ответ: Xi = -5, Х2 = 2. ♦
132

Пример 4. Решить уравнение
у х + 8 + 2\/х + 7 + у х + 1 - л/х + 7 = 4.
О Решение. Обозначим у/х~+1 = ^ 0, отсюда х + 7 ^ О,
х = t2 — 7, получаем
- 7 + 8 + 2* + \Д2 - 7 + 1 - t = 4, т. е.
+ 2* + 1 + \/t2 - t - 6 = 4,
но t + 1 > 0 (так как t ^ 0), поэтому \Jt2 - t — 6 = 4 — £ — 1,
или
^Д2_t_6 = з_t =» *2-'-б^о, (5)
Возводим в квадрат: £2 - t — 6 = 9 - 6t + i2, т. е. 5£ = 15, или
t = 3. Найденное значение удовлетворяет неравенствам (5).
Стало быть,
Vx~T7 - 3, х + 7 = 9, х = 2.
Ответ: х = 2. ф
Задачи. 1. Решите уравнения, используя указанные
подстановки.
а) 3/-—^ + к = 2, подстановка v^ + 2 =
ух + 2 о
(или у/х = ^);
б) ^т=—Т7= — ^? подстановка х = t6]
у/Х — >/Х
в) \Jx2 + х + 4 -h \/x2 + х + 1 = л/2х2 + 2х -h 9, подстановка
х2 + х = t;
/18-7х-х2 , / 8 - 6х -h х2 _ 13 полгтоновка
л — — «—> \ / "~т; z 9 — ^Г j подстановка
V 8 ~ 6х + х у \S-7x-x2 б'
8 - бх + х2
133

2. Решить уравнения.
=2
- 1 + у/х - 2у/х -1 =
III. Уравнения, содержащие кубические радикалы.
Основным методом решения таких уравнений является
последовательное возведение в куб обеих частей уравнения, используя
формулы
(а 4- б)3 = а3 + б3 + Ш(а + Ь)
(а~6)3=а3-63-3а6(а-6).
Пример 5. Найти корни уравнения \/х + 45 — \/х — 16 = 1.
О Решение. Возводим в куб обе части уравнения
(^х + 45- fyx - 1б) = (I)3, т.е.
(х + 45) -(х- 16)-
-3 tyT
учитывая, что выражение в скобках равно 1 (см. условие),
получаем х + 45-х + 16-3- ^(х + 45)(х- 16) -1 = 1, или
3 • У(х + 45)(ж - 16) = 60, т. е. Щх + 45)(ж - 16) = 20.
Возводим в куб:
(х + 45)(х-16) = 8000, т.е.
х2 + 29х - 8720 = 0,
х\ = 80, х2 = -109.
Проверка. Подстановкой найденных значений в исходное
уравнение убеждаемся, что это корни уравнения.
Ответ: xi = 80, х2 = -109. ♦
134

Пример 6. Решить уравнение
tyxTb + УхТЪ = \/2эГ+Т1.
Решение. Приведем его без дополнительных пояснений.
(х + 5) + (х + 6)+
+3- ^х + 5
2х + 11 + 3
-(^х + 5 + ^хТб) = 2х + 11, т.е.
• tyx+H • ^2х + 11 = 2х + 11, т. е.
£2 = —6;
Проверкой убеждаемся, что это корни уравнения.
Ответ: х\ = -5, x*i — -6, хз = — 4р. ♦
Пример 7. Решить уравнение
v^3x + 24 - ^2хТб = v^.
О Ре1пение. После возведения в куб обеих частей
уравнения получим
х + 18-3
б) = х,
или, учитывая исходное уравнение, ^/х(3х + 24) (2х -I- 6) = 6.
Возводя в куб, получаем
х(х + 8)(х + 3) =36, т.е.
х3 + Их2 + 24х - 36 = О,
х3 - х2 + 12х2 - 12х + Збх - 36 = О,
х2(х - 1) + 12х(х - 1) -I- 36(х - 1) = О,
(х-1)(х2 + 12х + 36) = 0.
Отсюда находим, что хх = 1, х2 = х3 = —6. Проверкой
убеждаемся, что х = — 6 — посторонний корень.
Ответ: х = 1. ф
135

Задачи. Решить уравнения.
2)
3)
4)
5)
+ ^28 -х = 5
\/54 - д/i =
v'x + l = x ■ \/2 (Ответ: хг = 0, х2,з = ±1,
IV. Искусство: «подходим к примеру» нестандартно.
Пример 8.
V2x 4-15
Решение. Разделим обе части уравнения на х ф 0:
х . л/2х + 15
+ i = 2 =► « = 1,т.в.
= 1, т. е. V"2x +15 = х =$► х > 0,
2х + 15 = х2
Xj — Oj X2 — «5.
Так как хг < 0, то Х2 не является корнем уравнения.
Ответ: х = 5. ♦
Пример 9. у/х + 41 + v^41 -x = 4.
0 Решение. Введем две переменные:
v^x + 41 = и ^ 0,
^41 - х = v ^0,
(6)
(7)
136

Тогда и + v = 4. Второе уравнение получаем из (6) и (7).
Так как * + 41 = м4' u4 + v4 = 82.
41 - х = ir
Итак, имеем
и + v = 4, , .
Теперь, если первое уравнение системы подставим во второе,
получим (4 — v)4 + v4 = 82, или (v — 4)4 + v4 = 82. Это
уравнение можно решить, сделав подстановку v = t + 2 (см. тема
«Алгебраические уравнения», Б, п. 3).
Решим систему (8) другим путем, используя формулу а2 +
+ 62 = (а+6)2-2а6. ИзгИ+и4 = 82 следует (u2 +v2)2-2ti2t;2 =
= 82, т.е. ((u + v)2-2uv)2 -2u2v2 = 82. С учетом, что u + v = 4,
получаем
(16 - 2ш;)2 - 2u2v2 = 82, т.е.
256 - 64ш; + 4иV - 2u2v2 - 82 = 0, т. е.
2u2v2 - 64ш; + 174 = 0, т. е.
(uv)2 - 32(uv) + 87 = О,
uv = 3, uv = 29.
Итак, получаем две системы
(и + v = 4, (u + v = 4,
< или < о
(^ uv = 3 ^ ш; = 29.
Отсюда
или
(вторая система не имеет решения). Возвращаясь к (6) и (7),
получаем
< 4/Ji 1 или i АГлл о
[ V41 — х = 1 { v41 — х = 3.
Отсюда находим, что х\ = 40, #2 = —40.
Ответ: х\ = 40, хч = —40.
137

Пример 10. Найти корни уравнения
6 • v^x-3 + v^x-2 = 5 • У(х - 2)(х - 3).
0 Решение. Отметим сразу, что
(х-2)(х-3)^0. (9)
Считая, что х ^ 3, перепишем уравнение в другом виде:
О * у уХ —~ о) ~г "у \*^ — ") ~~ & * V \"^ )\Р^ ^/5
это однородное уравнение (см. тема «Рациональные уравне-
ния», V, п. 3). Разделим обе части уравнения на у/(х — З)2 ф 0.
= 5-
• Пусть
Получаем 6+
тогда 6 + t2 = 5t, т. е. t2 - 5t + 6 = 0 или ti = 2, t2 = 3. Значит,
- t > 0,
= 3, следовательно,
или
= 729
х - 2 = 729х - 2187,
728х = 2185, ^2 =
Оба корня удовлетворяют соотношению (9). Можно показать,
что при х ^ 2 данное уравнение корней не имеет.
Ответ: x1=f
Пример 11. Решить \/Зх2 + 5х + 8 - %/Зх2 + 5х -j-Т = 1.
0 Решение. Положим \/Зх2 + 5х + 8 + л/Зх2 + 5х Н-1 = t.
Тогда из равенств
\/Зх2 + 5х + 8 - \/Зх2 + 5х + 1 =
л/Зх2 + 5х + 8 + \/Зх2 + 5х + 1 = t
путем перемножения получаем
Зх2 + 5х + 8 - Зх2 - 5х - 1 = t, т. е. t = 7.
А теперь сложим равенства
>/Зх2 + 5х + 8 - л/Зх2 + 5х + 1 = 1,
%/Зх2 + 5х + 8 + л/Зх2 + 5х -f 1 = 7.
138

Получаем 2V3x2 + 5х + 8 = 8, т. е. \/3x2 + 5х + 8 = 4. Отсюда
Ответ: xi = 1, х2 = -§. ♦
Пример 12. Решить уравнение x2 — Ъх — 4^/ж + 13 = 0.
0 Решение. Это уравнение можно переписать так:
х2 - 6х + 9 + х - 4у/х + 4 = 0, т. е.
Это возможно лишь при условии, что
и система противоречива.
Ответ: Уравнение корней не имеет. ♦
Задачи. Решить уравнения.
2)
3)
/1 + 2ха/Г
V 2
^ = 1-2*2
4) Vix2 - 1 - у/Зх2 + 2х + 1 = Vx2 + 2i + 4 - Vx2 - x + 1
(Ответ: х = -1).
5)
^ = 27g
1 + x + \/2x + x2 y/2 + x-y/
Упражнения
(Ответ: x 6 0.)
Решить уравнения.
2.
16
= 6
139

3. у/х- %/х - Ух- у/х = 56
4. (х + 4) (ж + 1) - Зл/х2 + 5х + 2 = 6
5. y/xT~i + х/х^4 = 2х + 2л/х2 - 16 - 12
6. (х-
8. л/2х2 + 8х + 6 + у/х2 - 1 = 2х + 2
9. л/F^ + ч/4^х = х2 - 6х + 11
12. #97 - х + #х = 5
13. л/х2 - 9х + 24 - л/6х2 - 59х + 149 = |5 - х|
15. у/х - 2 + \/2х - 5 + лД + 2 + 3\/2х - 5 = 7%/2
16. х/
17.
-4)(2х + 3)-Зл/хТ8 =
4 - >/(х + 8)(2х + 3) + 3i/xT4
х + I)2 + 2 • ^^Т = 8 • У(х - I)2
х , л/12+^_ 64 т/-
х ' 12 3 v~
19. у/х + 3 - 4л/х - 1 + у/х + 8 - 6\/z -1 = 1
20. Vx2 - 8х + 7 -f 2л/х2 - 18х + 17 = 2л/х2 - 32х + 31
Ответы: 1. {0}; 2. |б,-|(1+ ^ij; 3. {1024}; 4. {2,-7};
5. {5}; 6. {1,-1}; 7. {-2}; 8. {±1}; 9.J3}; 10. {0}; 11. [-4,0];
12. {16,81}; 13. {5}; 14.
140

Системы алгебраических уравнений
Системой уравнений называют набор уравнений с несколь
кими неизвестными. Решением такой системы уравнений
называется совокупность значений неизвестных, обращающих
каждое уравнение системы в тождество.
Поиск решения осуществляется такими
преобразованиями уравнений системы, при которых множество ее решений
не изменяется. Система, получаемая в результате таких
преобразований и исходная система называются равносильными
(или эквивалентными). Перечислим основные
преобразования уравнений, приводящие к равносильным системам. Пусть
исходная система задана так: {Fi(x,y) = О, F2(x,y) = 0}.
Тогда равносильную систему можно получить, если
1) одно из уравнений заменить на линейную комбинацию
а • F\(ж,у) + /? • F2(x,у) = 0 для любых чисел а ф 0, 0 ф 0:
(Fl(x,y)=0, [ot
\F2(x,y)=0 \
x,y)+0-F2(x,y)=O,
F2(x,y)=0;
2) одно из уравнений можно представить в виде Fi(x,y) =
= д(х, у) ■ f{x, у) — 0, где д(х, у) ф 0 и заменить его на
уравнение f(x,y) = 0; кроме того, на д(х,у) можно разделить (или
умножить) другие уравнения системы:
9(х,у)^0,
/(*,у) = о,
F2(x,y)=0 \F2(x,y)g(x,y)=0
, у)д(х, у) = 0, * I /(*, у) = 0, & I f(x>у) -
Основные методы решения систем уравнений
I. Способ подстановки: из какого-либо уравнения
системы выражаем одно неизвестное через другие и подставляем в
оставшиеся уравнения системы.
141

Пример 1. Решить систему уравнений
2х + у + z = 7,
+ 2у + z = 8,
О Решение. Из первого уравнения находим, что
z = 7 - 2х - у. (1)
Подставляем это выражение для z во второе и третье
уравнения системы. Тогда
{ж + 2у + 7 - 2ж - у = 8, Г -ж + у = 1*
я + t/ + 14 - Ах - 2у = 9, Т"е* \ -Зх - у = -5.
Повторяем этот процесс:
У = ж + 1, (2)
то —Зх — а: — 1 = —5, т.«. —4а; = —4. Отсюда, х = 1.
Подставляем х = 1 в равенство (2): у = 2. Значения i = 1 и у = 2
подставляем в равенство (1): z = 7-2 — 2 = 3.
Ответ: х = 1г у = 2, z = 3. ♦
Пример 2. Найти все значения х и у, удовлетворяющие
системе уравнений
\ х + у = 28.
О Решение, t/ = 28 — ж. Тогда ^х-Ь v^28 — х = 4. Возводим
в куб:
жЧ-28-а:-ьЗ-^/аТ- ^28 - х( tyx + ^28 - ж) =t 64, т. е.
28 + 3 %х • ^28 -ж • 4 = 64, т. е.
(28 - ж) = 3, х2 - 28х + 27 = О,
xi = 1 ==> 2/1 = 27,
х2 = 27 => t/2 = 1.
Ответ: (xi = 1, 2/1 = 27), (ж2 = 27, у2 = 1). ♦
142

1)
Задачи. Решить системы уравнений.
2)
(х2 + у2 = 2(ху +:
\ х + у = 6
х+у-z=0
2) { 2х - у + 3z = 9
-За: + 4t/ + 2z = 11
,
j
. . ~ . „ - 2х + 3 = -х + 5
Зх - 2у = 5
Ответ: (3,2), (II, _И)
Г х2 - ху + Зу2 + 2х - Ъу - 4 = О
5) я
I х + 2у = 4
II. Способ алгебраического сложения поясним на примере.
Пример 3. Требуется найти решение системы уравнений:
1
х2у + ху2 = 20.
0 Ре1пение, Умножим второе уравнение на 3 и сложим с
первым уравнением
Г х2у + ху2 = 20,
\ (х + у)3 = 125
!ху = 4,
х + у = 5.
у х + у = 5,
Систему можно решить методом подстановки, но здесь и так
понятно, что
1=1' «ли (*2=]'
1 = 1 12/2=4.
Ответ: (4,1), (1,4). ф
143

Задачи.
i)
2)
3)
4)
5)
{
Г
1
{
{
{
У2 +
За; 4
*!;
2а; +
5х +
у2-
х2-
Решить системы уравнений.
У =
х =
■2у
■5у
2у =
Z'-
Ху-
1
1
= 1
= -6
= -1
= 7
= -12
= 28
III. Способ введения новых переменных. Суть метода
поясним на следующих примерах.
Пример 4. Решить систему уравнений.
Г х2 + у2 = ху + 13,
I х + у =
0 Решение. Воспользуемся формулой «суммы
квадратов», т. е. формулой а2 + Ъ2 = (аЧ-Ь)2 - 2аЬ; перепишем данную
систему иначе:
( (х + у)2 - 2ху = ху + 13, Г (х 4- у)2 - Зху = 13,
1 т.е. <
Введем новые переменные и и v, обозначим
Система принимает вид
Г и2 - 3v2 = 13,
I и - v = 3.
144

Далее ясно: и = v + 3. Следовательно,
(v + З)2 - 3v2 = 13, т.е. v2 + 6« + 9 - 3«2 = 13, т.е.
2«2 - 6« + 4 = 0, т. е. v2 - 3« + 2 = О,
wi = l => ui = 4,
«2 = 2 =Ф- U2 = 5.
Возвращаемся к старым переменным, см. (3):
Гя + 2/ = 4
ИЛИ
Решаем первую систему: у = 4 — я, тогда ж(4 — ж) = 1, т. е.
ж2 - 4z + 1 = О,
xi = 2 - л/3 => 2/1=2 4- л/3,
z2 = 2 + л/3 => 2/1=2 — л/3.
Решаем вторую систему: жз = 4, j/з = 1; ^4 = 1, 2/4 = 4.
Ответ: (2 - л/3,2 + л/3), (2 + л/3,2 - л/3), (4,1), (1,4). ♦
Пример 5. Найти решение системы уравнений.
х - ху у - ху о
7 3 6
х -ху у - ху
О Решение. Пусть
1 1
х* -ху 2/ - ху
Тогда получаем
+ 4z = --,
:-U-\.
Умножим первое уравнение на 3, а второе на 4 и сложим
почленно:
1 24 А€% 43 1
15t + 28t = -- + —, 43*=—, т.е. t=—.
2 5 10 10
145

А теперь избавимся от t (без слов):
It - Zz =
28z + 15z =-I - 6, т.е.
о
Подставляем t и z в равенства (4):
1 1
4.
o
x2-zy
У2 -ху
10'
6'
Сложим почленно уравнения системы: (х - у)2 = 4, т.е.
\х — у\ = 2. Последняя система распадается на две:
х{х -у) = 10,
(
х{х - у) = 10,
Решая их, находим х\ = 5, 2/i = 3 и x*i = —5, уъ = -3.
Проверкой убеждаемся, что найденные значения х и у являются
решением системы»
Ответ: (5,3), (-5,-3). ф
Задачи. Решить системы уравнений.
2)
3)
х2 + у2 + ху = 91
|(х + у-1) = 9
7 4
уя — 7
5
\/х~^7
/у~^6 3
_J 13
6
146

1 2a:2 + 3j/2 - 2x - 6y = 13
IV. Система содерэюит однородное уравнение (см. тема
«Алгебраические уравнения», Г, п. 3). В таком случае
удается выразить линейно одно из неизвестных через другое из
однородного уравнения.
Пример 6. Найти решения системы уравнений.
Г Зх2 - Аху + у2 = О,
\ х2 4- 2у2 = 19.
О Решение. Первое уравнение однородное. Разделив обе
его части на ж2 ^0, получим
х \x
Пусть ^ = t, тогда
t2 - At Л- 3 = 0,
tx = 1, *2 = 3.
Стало быть,
- = 1, т. е. у = х и - = 3, т. е. у = Зж.
а: ж
147

Исходная система распадается на две простейшие системы,
их и решаем:
у •=. ж,
2у2 = 19
или
х2 + 2х2 = 19,
Зх2 = 19, х2 =
3 '
_ Пк
3 '
Х2 = -.Ш
х2 + Чу2 = 19
ж2 + 2 • 9а;2 = 19,
19ж2 = 19, х2 = 1,
£з = -1 => 2/з = -3,
^4 = 1 => 2/4 = 3.
Пример 7. Решить систему уравнений.
{2х2 - Ъху + у2 = 3,
х2 + 2zt/ - 2t/2 = 6.
О Решение. Следует заметить, что левые части уравнений
системы — однородные многочлены одной и той же степени.
Исключим из системы свободные члены! Умножим обе части
первого уравнения на 2 и вычтем почленно второе уравнение
_ |4х2 - бху + 2у2 = 6,
\ х2 + 2ху - 2у2 = 6
Зх2 - 8ху + 4t/2 = О,
получаем однородное уравнение. Далее ясно:
3-8-*+4(я) =0' т'е-
4*2 - 8* + 3 = 0, где У- = t,
х
* _ з * _ 1
ti - 2> f2 - 2-
Получаем ^ = |, т.е. у = |я и ^ = i, т.е. у = ^х.
148

Решаем две системы
3
у= 2°
х2 + 2ху - 2у2 = 6
3*2-|*2=6,
-х2 = 12,
х е 0.
или ^ •*
2 + 2ху - 2у2 = 6
Зх2 = 12, х2 = 4,
а = -2 =► у! = -1,
12 = 2 =» У2 = 1.
Сделав проверку, пишем
Ответ: (-2,-1), (2,1). ♦
Задачи. Решить системы уравнений.
= 10
о
х2 - 2x2/ - 32/2 = 0
1)
2)
Г *2+2/2 =
\ х2 - Ьху 4- бу2 = i
Г 5х2-102/2 = 5
\ Зх2 - 2x2/ + %2 = 35
4)
5)
х2 + ху + 2/2 = 7
\ 2х2 + ху - у2 =
= 4
2
V. Искусство, т. е. систему уравнений решать
нестандартно, проявив определенную смекалку.
Пример 8. Решить систему уравнений.
I = у/х + У + у/х - У,
X
149

Решение. Перемножим почленно данные уравнения:
т.е.
8 = х + у - х + у, т. е. 2у = 8, у = 4.
Теперь сложим почленно данные уравнения:
20у /16* о /—-
х Д/ 5j/
отсюда, возведя в квадрат, получаем
), т.е.
Но у = 4. Стало быть,
f = х+4, т. е. — = 4г> отсюда
5 х 5
х2 = 25, a:i,2 = ±5. Проверкой убеждаемся, что решением
является х = 5, у = 4.
Ответ: (5,4). ф
Пример 9. Найти решения системы уравнений.
х + у + z = 6,
1 1 1 , е
- + - + - = 1,5,
х у z
xyz = 8.
О Решение. Перепишем систему в другом виде, а именно,
х + у
1
Z
ху =
3
2'
8
z
Становится понятно, что второе уравнение системы
преобразуется в уравнение с одним неизвестным:
6-z 1 _3
~8/7 + г~ 2*
150

Решаем его
z3 - 6z2 + 12z - 8 = 0, т.е. (z - 2)3 = 0.
Отсюда z = 2. Следовательно,
Г* + у = 4,
\ ху = 4.
Отсюда находим, что х = j/ = 2.
Ответ: (2,2,2). ♦
Пример 10. Решить систему уравнений.
(х-1 _У + 3_ г-1
J 2 - 3 " 4 '
1 2х + 3t/ - 5z + 19 = 0.
0 Решение. Первое уравнение перепишем, введя
коэффициент пропорциональности t:
х- 1 _ 2/ + 3 _ z-1
2 ~ 3 ~ 4 "" *
Отсюда
z = At + 1,
2/ = 3* - 3,
z = 2t + l.
При этих значениях х, у и z второе уравнение системы
принимает вид
4t + 2 + 9* - 9 - 20* - 5 + 19 = 0, т.е.
-7*+ 7 = 0, * = 1.
Стало быть, z = 5, у = 0, х = 3.
Ответ: (3,0,5). ♦
Пример 11. Решить систему.
ху = 12,
а* = 15/
yz = 20.
151

О Решение. Перемножим левые и правые части
уравнений системы: (xyz)2 = 3600. Отсюда
xyz = 60
ху = 12 => z = 5,
xz = 15 => у = 4,
yz = 20 => я = 3.
или xyz = — 60
аналогично получаем, что
z = -5, у = -4, я = -3.
Ответ: (3,4,5), (-3,-4,-5). ♦
Пример 12. Найти решения системы уравнений.
/х + у 12
О Решение. Отметим, что
х-у
Умножим первое уравнение системы на х — у и получаем
х2 - у2 - \/х2 - у2 - 12 = 0, при х - у > 0(5)
х2 - у2 4- \/х2 - у2 - 12 = 0, при х-у < 0.(6)
Из (5) по теореме Виета следует, что \/х2—у2 = — 3 (чего
быть не может) и у/х2 — у2 = 4, т.е. х2 —у2 = 16. Аналогично,
из (6) вытекает, что ух2 —у2 — — 4 (чего быть не может) и
V^^2 — у2 = 3, т.е. х2 —у2 = 9. Таким образом, получаем две
системы:
Г
*2-г,2 = 16,
xj/ = 15
или
= 15.
(7)
Решаем первую.
) а^ 16( т ех
х х
х2 = 25, х2 = -9 < 0 (невозможно),
a?i = 5, =» yi = 3,
х2 = -5, => у2 = -3.
152

Значения x<i = -5, уъ = —3 не удовлетворяют
соотношению (5). Стало быть, имеем х\ — 5, у± = 3.
Теперь (аналогично) решаем вторую систему (7).
хА - 9х2 - 225 = 0 =>
< 0 (^возможно)
■f
_ /9^ш =>|Л = _Ша.
V9 + V981
/э + %/981 _. .. _ -15л/2
о =?> 2/4 —
Значения х3, уз не удовлетворяют соотношению (6). Стало
быТЬ, #4 = ~1
Ответ: (5,3), [ - J&
w 9 + л/981>
Задачи. Решить системы уравнений.
(х(у + z) = 5
2/(x + z) = 8
г(х + у) = 9
(сложить уравнения системы)
5) ^2+у2-22 =37
153

Упражнения
Решить системы уравнений.
5
■lUi
{Xy/y + У Vx =
x2y + y2x =
[y/(x-
= 6
= 20
■■2 - 2х + Зу - 9 = 0
2j/2 +1 - 5j/ - 1 = О
7.
8.
2z + у + z = 6
Zx + 2y + z = 7
(i - I)3 + (у + 2)3 + (z - З)3 = 7
Г и + v+ у/и2 - v2 = 12
9- { ,
[ v ■ vV- v2 = 12
10.
154

■■!
!x3y 4- x3y2 + 2x2y2 4- x2y3 4- xy3 = 30
x2y 4- xy + x 4- у + ху2 = И
1
x4-y = 5
13.
у2 + ху - 5х + 7 = 0
|3|х| + 5у + 9 = 0
• \ 2x-|y|-7 = 0
Г xy
15.
x + y
xz
x + z
V + Z
4
5
" 6
15
8
16.
+ 1
= 78, х > 0, у > О
1? fx4 + 16y4=32
\ x + 2y = 4
Г x2 - 4x 4- у2 - Зу 4- 5 = 0
* \3х2-11х4-3у2-7у +10 = 0
19. <
{ x5 • y/x2 - 4y2 = 0
155

Ответы: 1. {(3,2), (-3,-2)}; 2. {(4,1), (1,4)};
{()()}
6. {(4,1), (1,4), (-4,-1), (-1,-4)}; 7. {(3,-2,6)};
я id -о о\ ^ \
о. s \о, л, &),
2 ' 2
}; 9. {(5,3), (5,4)};
) }
10. {(2,-1), (-1,2), (-2,1), (1,-2)}; 11. {(4,1)};
()}
13. j(2,o) ,(2,1)}; 14. |^,-f)}; 15. {(1,3,5)};
16. {(4,9), (9,4)}; 17. {(2,1)}; 18. {(1,2), (3,1)};
{()}{()(
Показательные уравнения и системы
Показательным ургшнением называется уравнение, в
котором неизвестное входит в показатель степени.
Основные методы решения
показательных уравнений
I. Простейшие, т.е. уравнения вида ах = Ь. Из этого
равенства следует: 1) а > 0, а ф 1; 2) Ь > 0; 3) х = loga 6.
Примеры 1—3.
1) 4х = 5.
0 Решение, х = log4 5.
Ответ: {log4 5}. ♦
2) 2х = -3.
0 Решение, х G 0, т. к. Ь — —3 < 0.
Ответ, решений нет. 4
156

3) 2х"1 = 1024.
0 Решение, а) х - 1 = log2 1024, т.е. х = 1 + log2 1024;
или б) Щ- = 1024, 2х = 2048, х = log2 2048; или в) 2х"1 = 210,
х - 1 = Ю, х = 11.
Ответ: {11}. ♦
Задачи. Решить уравнения.
1) 3х"4 = 1
2) 2х = Зх+1
3) 5х+1+ 3-5х-1-6-5х + 12 = 0
4) з2х+1 - 2 • 9х + 32х~1 = 5
5) 51х"1! = 7
II. Способ приведения к одному основанию. Способ
основан на следующем свойстве степеней: если две степени равны
и равны их основания, то равны и их показатели, т. е.
уравнения надо попытаться привести к виду а*1^ = а^х\ Отсюда
/i(x)=/2(x).
Пример 4. Решить уравнение.
i = 0.
0 Решение. Как видно, все степени можно привести к
степеням с основанием 2. Поэтому перепишем уравнение
следующим образом
т.е.
Отсюда получаем \ - J* = f Л ч — иррациональ-
-й 4у^ -f 10 2(v^ + 1)
ное уравнение. Пусть у/х = t ^ 0, тогда
1 5 _ 2
2 4*+ 10 ~ * + 1' те-
At2 + 10t + 4* + 10 - 10t - 10 = 16* + 40, т. е.
At2 - 12* - 40 = 0, t2 - St - 10 = 0,
h =5, *2 = -2.
157

Второй корень не подходит, так как t ^ 0. Итак, у/х = 5,
х = 25.
Ответ: х = 25. ♦
Пример 5. Найти корни уравнения 62х+4 = 33х • 21+8.
0 Решение. Перепишем уравнение в виде
o2x-f 4 . о2*+4 -_ оЗх . Ох^ т е
о2х+4 оЗх
лх+8 = о2х+4 »
далее 22х+4~х-8 = 33х^2ж"4, т.е. 2х"4 = 3*~4. (Уже ясно, что
х = 4.) Но перепишем уравнение иначе, разделив на Зх~4 Ф 0.
2Х~4 /2\х~4 /2\°
Зх~ \3/ \3/
Отсюда х — 4 = 0, т. е. х = 4.
Ответ: х = 4. ♦
Задачи. Решить уравнения.
1) 2х2-6х"2'5 = л/б!2
2) 32х2-5х+6 = 18 + 6 + 2 + ...
3) 16х = 4'х+11
4) 62х+1 = 23х • Зх+2
(О 9^
5) i^V— = 5-0,04х
V5
III. Способ подстановки. Введение новой переменной
(подстановка) обычно производится после преобразования
(упрощения) членов уравнения.
Пример 6. Решить уравнение 3 • Ъ2х~1 - 2 • 5х"1 = 0,2.
0 Решение. Перепишем уравнение иначе:
158

Обозначим 5х = t > 0. Тогда
2 . t2 - |. t = ±, т. e. 3t2 - 2t - 1 = 0.
Отсюда *i = 1, t2 = -А (не подходит). Итак, 5х = 1 = 5°,
Ответ: х = 0. ♦
Пример 7. Найти корни уравнения
Решение. Перепишем уравнение иначе:
-5
Обозначим (л/2)х+л/*2~4 = t > 0. Тогда
t — — -£ — 6 = 0, т. е. £i = 4, t<i = — —.
Так как £2 < 0, то подходит только первый корень. Итак,
ал Х+ \/Х2 — 4 л /~о 7 j
Отсюда —!—*75 = 2, т. е. \Jxz — 4 = 4-х — иррациональ-
ное уравнение. Отмечаем, что
х2 - 4 J> 0, 4 - х > 0. (1)
Возводим в квадрат:
х2 - 4 = 16 - 8х 4- х2, т.е. 8х = 20, х = -.
Найденное значение х удовлетворяет соотношениям (1).
Ответ: х = |. ♦
159

Задачи. Решить уравнения.
1) 52х - 5х - 600 = 0
2) 33 • 2х"1 - 4Х+1 = 2
3) 32х2 - 2 • Зх2+х+6 + 32(х+6) = О
(положить 3х = и, Зх+6 = v)
4) 3* -3^ =2
5) 31~х + 31+х + 9х + 9"х = 6
IV. Метод почленного деления. Этот метод применяют для
решения однородных уравнений (см. тема «Алгебраические
уравнения», Г, п. 3). Суть метода в почленном делении
трехчленного уравнения, члены которого представляют собой
степени с одинаковыми показателями и различными
основаниями, на одну из степеней.
Пример 8. Решить уравнение 6 • 4х - 13 • 6х 4- 6 • 9х = 0.
О Решение. Уравнение однородное, имеет вид
6-22х-13-2х-Зх+6-32х=0.
Разделим обе части уравнения на 22х = 4х / 0, получаем
2х
=0.
Обозначим [ £ I = t > 0. Имеем
(§) =
Получаем два уравнения (^1 =2И\5) = Ф Находим,
ЧТО Х\ = 1, Х2 = —1.
Ответ: Х\ = 1, х?, = —1. ф
160

Пример 9. Найти корни уравнения
5*+1 -7Ю* + 2-4* =0, z#0.
0 Решение. Данное уравнение — однородное, так как
51 - (б*)2 — 7-5* -2*+2- (2^) =0.
Перепишем его в виде
5-25* -7-10* + 2-4* =0.
Разделим обе части уравнения на 25 * ф 0:
Обозначим 1^1 = t > 0, тогда
2*2 - 7* + 5 = 0 => «1 = -, «2 = 1.
Отсюда (| J = |, т.е. a?i = -1 и ( IJ = 1, т.е. i = 0.
Этого быть не может.
Ответ: z = -1. ф
Задачи. Решить уравнения.
1) 4-81* -12-Збх н-9 1бх =0
2) 4х - 14* • 2 = 3 • 49*
3) 3 • 9х + 5 • б1 = 22ж+1
4) 3 • 4* - 7 • 10* + 2 • 25х = 0
5) 252х-*2+1 + 92х-*2+1 = 34 • 152*-*2
6-8601 Ш

V. Способ группировки. Поясним сущность способа на
примере. Пусть требуется найти корень уравнения
3 . 4х + - • 9Х+2 = б • 4Х+1 - - • 9Х+1.
О Решение. Преобразуем члены уравнения
3 • 4* + \ ■ 9х • 81 = 6 • 4* • 4 - I ■ 9х ■ 9.
Теперь перегруппируем слагаемые
3 4х -24 4х = -|-9х -27-9х, т.е.
4х • (3-24) = 9х(-| -27), т.е. - 21 • 4х = -Щ- 9х.
Запишем это равенство в виде пропорции
4х со / л \ х о
9х 2-21' \9J 2'
Отсюда 2х = —1, х — —1
Ответ: х = —^ ф
Задачи. Решить уравнения.
2) 731 + 9 • Ъ2х = Ъ2х + 9 • 73*
3) 6I+1 Н- 3I+1 = 31+2 - б1 + 3*
4) 52* - Iх - 17 • 52* + Iх • 17 = О
5) 41+2-10-Зх-2-31+3 + 11-221 =0
VI. Искусство заключается в нестандартном решении
данного уравнения. Требуется заметить какую-то особенность
исходного уравнения. Рассмотрим примеры решения не совсем
простых уравнений.
Пример 10. Найти решения уравнения 5х • ч/в1"1 = 500.
162

О Решение. Уравнение можно решать так: замечаем, что
х € N, т. е. решения данного уравнения следует искать среди
чисел 2,3,4,.._. Понятно, что при любом таком значении х
выражение у/8х'1 > 1. Замечаем, что при х = 4 выражение 5*
равно 625. И если его умножить на число, большее единицы, то
получим число, которое больше 500. Вывод: х < 4 (!). Итак,
корень уравнения следует искать среди чисел 2 и 3; х = 2
не подходит, левая часть уравнения заведомо меньше правой.
При х = 3 получаем тождество 53 • v^ = 125 • 4 = 500.
Ответ: х = 3. ♦
Пример 11. Решить уравнение
(J2 - у/ъ\ + (\/2 + у/г) = 4.
0 Решение. Можно заметить, что \/2 — у/3- yj2 + у/3 = 1.
Значит,
1
Обозначим (\/2 + у/3)х = t > 0. Получаем i + t = 4, т.е.
t2 - 4* + 1 = 0 => *i,2 = 2 ± \/3. Стало быть, (у/2 + у/зУ =
= 2 + уД и (>/2 + %/з) = 2 - \/3, т. е. xi = 2, х2 = -2.
Ответ: х\ — 2, х2 = -2. ф
Пример 12. Найти корни уравнения \\\ + ? = 2х.
0 Решение. Можно заметить, что при подстановке х — 1
получается ^ + ^ = 2, т.е. х = 1 — корень уравнения. Есть
ли другие корни?
а) Если х > 1, то имеем 2Х>2, а(|| +|<2
согласно свойствам показательной функции (2х — возрастающая, а
f 4 1 — убывающая функция). Значит, среди чисел х > 1
корней нет.
163

б) Если х < 1, то имеем 2х < 2, а ( ^ j > 3 и? значит,
I 4 1 + ^ > 2. Итак, среди чисел х < 1 корней уравнения нет.
Ответ: х — 1. ф
Пример 13. Найти решения уравнения
10(яг+1)(3*+4) _ з • lQ(a;+1)(a:+2) = Ю1"12"1.
О Решение. Разделим обе части уравнения на Ю"*2"1 ф 0.
Получаем
1Ох+Зх+2 _ 101хх
" * 2 — 2" » Т. С.
; __ 3 . ^Q22 2
104х2+8х+4 _ з .
Обозначим Ю2а;2+41+2 = « > 0. Тогда t2 -Zt-10 = 02 =» ti = 5,
£2 = -2 — не подходит (£ > 0). Следовательно, ю2а;2+4а;+2 = 5.
Отсюда
2х2 + 4х + 2 = Ig5, т.е. 2х2 + 4х + (2 - lg5) = 0
_ -2±y/4-4
^12 —
Ответ: Х1 =
Пример 14. Решить уравнение хж+1 = хх
0 Решение. Это уравнение показательно-степенное. Для
нахождения его корней следует рассмотреть четыре случая:
1. х 4-1 = х2 — 1 (показатели равны);
2. х — 1 (основание равно единице);
3. х — 0 (основание равно нулю);
4. х = — 1 (основание равно —1).
164

Решим первое уравнение: х2 — х — 2 = 0, х\ = 2, Х2 = — 1.
Проверка:
Х\ = 2, тогда 23 = 23 — верно;
х2 = -1, тогда (-1)° = (-1)° — верно;
хз = 1, тогда I2 = 1° — верно;
ха = 0, тогда О1 = О^"1) — не имеет смысла.
Ответ: х\ = 2, хъ = —1, хз = 1. ♦
Замечание: если в уравнении вида f(x)9^ = f(x)h^
считать, что f(x) > 0, то решение его сводится к рассмотрению
только двух возможностей:
1. д(х) — h(x) (показатели равны);
2. f(x) = 1 (основание равно единице).
В этом случае решением уравнения хж+1 = хх -1 следует
считать х\ — 2, хъ = 1.
Задачи. Решить уравнения.
2)
3) (^5 + л/24) + (\/5 - х/24) = 10
4) 4* - 4^+1 = 3 • 2I+v/*
5) 3IH-3"a: = 21-Vi7i:i
Системы показательных уравнений
Используются приемы решения систем алгебраических
уравнений (см. тема «Системы алгебраических уравнений»)
и методы решения показательных уравнений.
Пример 15. Решить систему уравнений
Г З2* - 2у = 725,
| 3х - 2у/2 = 25.
0 Решение. Введем новые переменные t и z, положив
3* = t > 0, 2у/2 = z > 0. (2)
165

Получаем
Г t2 - z2 = 725, Г
< т. е. <
\ t-z = 25, \
(t - z)(t + z) = 725,
t-z = 25.
~ (t-z = 25, „
Отсюда имеем < _ 0Q Сложив почленно, получаем
It = 54, t — 27. А значит, z = 2. Возвращаемся к
переменным x и у (см. (2)):
3х = 27, х = 3; 2у/2 = 2, у = 2.
Ответ: {(3,2)}.
Пример 16. Найти решения системы уравнений
Г 82l+1 =32-24у"1,
1 с сх-у _ г2у+1
I О'О — О
О Решение. Уравняем основания в обоих уравнениях:
Отсюда следует, что
Г бх Н- 3 = \у + 4, Г бх - \у = 1,
| е
Второе уравнение х = Ъу подставляем в первое и получаем
б • Ъу - 4у = 1, т.е. Ыу — 1, следовательно, у — jj и х = ^г.
Проверкой убеждаемся, что найденные значения являются
решениями системы уравнений.
Задачи. Решить системы уравнений.
Г 2х • Зу = 648
^ \ 3х • 2у = 432
166

2) { '
' \ 3х - 4у = 8
з) l93*^1
' \ Зу = 9-Зх
( 2х + 2 • Зх+У = 56
I Ч 0х J. Ч*+У+1 — 07
I O'i ТО — OI
5, ■ " -'-
(■"■
[ У • х2 = 1
Упражнения
Решить уравнения.
1. 7-. (v^1--(!) = О
2. 10* + 25х = 4,25 • 50*
3. 5х+6 - 31+7 = 43 • 51+4 - 19 • 31+5
4. 271 - 13 • 9х + 13 • Зх+1 - 27 = О
5. 5х"1 + 5 • 0,2х"2 - 26 = О
6. У|Х - 31х*1 = У\Х - 3|х"2
х 4
7. 5V^+2 -0,2^+2 = 125х"4 • 0,04х"2
8. (2-
9. 3х + 4х = 5х
10. \ ^ ']
( (0,37х"*)1 +ху
11. 2lx+2l - |2X+1 - 1| =
12. (Зб5*481)1 • б"2 tg* = 677Г1 'в
167

13. 1* - 1 = З2*"1
14. 2l2x~l - 46*"1 + 84*"1 = 1536
x-l
15. 4^+1'5 - 13 • 2 V^T + 20 = 0
16. 2*2-3l+2 = 3*"2
18. 2sin2 ж + 4 • 2cos2 x = 6
"' \2*=ЬУ
20. 27* + 12* = 2 • 8*
Ответы: 1. {-3; 1}; 2. j-±, ± 1; 3. {-3}; 4. {0,1};
5. {1,3}; 6. {2,4,11}; 7. {9}; 8. {1 - л/2,1,1 +л/5}; 9. {2};
10. 4(0,0), (8,-8), 3,Л ,(-4,-2) V; 11. {-3,х^ -1};
j ) |
12. ||,7rfc|; 13. {1}; 14. {1}; 15. {(log2 5 - 2)2};
16. {2,log23+1}; 17. {(1,1)}; 18. ||+тгп|;
{()}
Логарифмические уравнения и системы
Логарифмическим уравнением называется уравнение, в
котором неизвестное находится под знаком логарифма.
Логарифмом числа Ь (Ь > 0) по основанию а(а>0,а^1)
называется показатель степени ж, в которую надо возвести
основание а, чтобы получить число 6, т.е. из ах = Ъ следует
х — loga Ъ и наоборот. Основные формулы:
168

1. loga b = x <=> b = ax, a > 0, а ф 1, b > 0;
2. logaa = l;
3. loga 1 = 0;
4. loga(x!X2) = loga \xi\ + loga |x2|;
6. ^ахл = a-loga|z|;
loe 6
loga b — , bQ —
основанию с (с > 0, с ф 1);
loe 6
7. loga b — , bQ — формула перехода к логарифму по
9.
10. с = loga ac — запись числа через логарифм;
11. с = alog°с — основное логарифмическое тождество;
12. \ogafl(x)=\ogaf2(x) => Л(х) = /2(х),
(fi(x)i fa{x) > 0) — операция потенцирования;
13. alog<6 = blosca.
Основные методы решения
логарифмических уравнений
I. Простейшие уравнения вида loga х = b.
Пример 1. Решить уравнение log3 х(х - 2) = 1.
0 Решение: х(х — 2) = 3 (см. формулу 1). Отсюда Х\ — 3,
Х2 = —1. Проверкой убеждаемся, что оба корня
удовлетворяют исходному уравнению.
Ответ: Х\ — 3, Х2 = —1. ♦
Пример 2. Найти корни уравнения lg (si • \^Зх2~8х J = 0.
0 Решение: По определению логарифма
з4 • з

Отсюда 4 + х з 8ж = 0, т. е. х2 - 8х + 12 = 0 и хх = 2, х2 = 6.
Ответ: х\ — 2, х2 = 6. ф
Задачи. Решить уравнения.
2) Iog3(i2+4i +
3) Iog2(9 - 2х) =
4) (зх2-7-2*+3-9 - 9 • %/з) • lg(7 - i) = О
5) Iog
II. Метод потенцирования. Суть метода в следующем:
с помощью формул уравнение привести к виду logo f(x) =
= loga^(x). Это уравнение (при а > 0, а ф 1) равносильно
системе
f/(x)>0, g(x)>0,
\ f{x) = д(х).
Пример 3. Решить уравнение
3-log52 + 2-z = log5(3*-52-*).
О Решение. Отметим, что
Г - Ъ2~х > 0; (1)
используя формулы б и 10, получаем
log5 23 + log5 52 - log5 5х = log5 (3х - 52-1).
А теперь работают формулы 4, 5 и 12:
logs ^? = logs (З-Р), т.е. Ш = Zx- f, или
200 =15*-25, т.е. 15* = 152, х = 2.
При этом значении х условие (1) выполняется.
Ответ: х = 2.
170

Пример 4. Найти корни уравнения
lg(x3 + 8) - 0,5 lg(x2 + 4х + 4) = lg 7.
0 Решение. Должны выполняться условия:
х3 + 8 > 0 х2 + 4х + 4 > 0. (2)
Перепишем уравнение так:
lg(x3 + 8) - lg VW4X + 4 = Ig7 => lg = Ig7.
V x2 + 4x + 4
Потенцируем:
, = = 7, т. е. -j — = 7.
Знак модуля можно опустить, т. к. из первого условия (2)
следует, что х + 2 > 0. Поэтому имеем
х2 - 2х - 3 = 0, X! = 3, х2 - -1.
При этих значениях х условия (2) выполняются.
Ответ: xi = 3, Х2 = -1. ♦
Задачи. Решить уравнения.
1) 108,(4* + 4) = х + log2(2*+1 - 3)
2) lg(3z-2)-2=llg(z
3)
4) 0,5
5) log3 V2x2 - x + 3 • logV5+ix_xi 3 = 1
171

III. Метод подстановки. Обычно замену (подстановку)
производят после некоторых преобразований данного
уравнения.
Пример 5. Найти решения уравнения logx 9х2 • log2 х — 4.
О Решение. Используя формулы 2, 4, 8 и б, запишем
уравнение так:
(logx 9 + logx x2) • log2, x = 4, т. е.
(2 logx 3 + 2) ■ (logs *)2 = 4, (j^ + 2^ • (logs *)2 = 4.
Заменяем log3 х = t. Тогда f | + 2 J • t2 = 4, т. eJ2 + t - 2 = 0.
Отсюда ti = -2, ^2 = 1. Поэтому log3x = -2, log3x = 1.
Отсюда xi = 3~2, x2 = 3. Сделав проверку, можно убедиться,
что х\ и Х2 — корни данного уравнения.
Ответ: х\ = i X2 = 3. ♦
Пример 6. Найти корни уравнения
0 Решение. Отметим, что
х<0, log8(-x)^0. (3)
Упрощаем уравнение: ^/21og8(-x) - log8 |x| = 0, тогда с
учетом (3) имеем >/21og8(-x) - Iog8(-x) = 0. Обозначим
bg8(-z) = t. Тогда л/2^ - * = 0, т.е. y/Tt = t => * ^ 0
(см. (3)). Отсюда 2t = £2, т.е. ^ = 0, t2 = 2. Получаем
Iog8(-x) = 0 или bg8(-x) = 2
-ж = 8°, xi = -1. | -х = 82, х2 = -64.
Ответ: xi = — 1, х2 = —64. ф
Задачи. Решить уравнения.
2) ^1^9 = ^
172

3)
4^ * I 2 -1
4j 5-lgx + 1 + lgx -1
IV. Метод приведения к одному основанию. Обычно
условие примера подсказывает, к какому основанию следует
перейти. Используются формулы 7-9. Как правило, метод
приведения к одному основанию «работает» с методом
подстановки.
Пример 7. Решить уравнение log2 x 4- log4 x 4- log8 x = 11.
О Решение: х > 0, перейдем к основанию 2 (см.
формулу 9):
log2 х 4- log i х? 4- log i х3 = И, т. е.
4 2 8 «э
log2 х 4- ^ • log2 х 4- ^ • log2 х = 11.
Обозначим log2x = t. Тогда t 4- ht 4- \t = 11, т.е. ^t = 11,
£ = 6. Значит, log2 x = б, =>, х = 26 = 64.
Ответ: х = 64. ф
Пример 8. Найти корни уравнения
20 • log4l л/х 4- 7 • log16x х3 - 3 • log* x2 = 0.
0 Решение: Отметим, что х > 0, х ф j, x ф ^ х ф 2.
Переходим к основанию 2 (см. формулу 7):
logo y/x logo х3 logo х2
log2 4x log2 1бх
т. е. по формулам 4-6:
1 .
- • log2 х 7 • 3 • log2 x 3 • 2 • log2 x
log2 4 4- log2 x log2 16 4- log2 x log2 x - log2 2
173

Но так как log2 4 = log2 22 = 2, log2 16 = 4, то
10 • log2 x 21 • log2 х б • log2 x
2 -f log2 x 4 + log2 x log2 x - 1
Обозначим log2 x = t. Тогда
= 0.
t + 2 + t
Ufl__ + _21 6_Л = 0
t + 2 + t + 4 t-l) U'
Отсюда ti = 0 (т. е. log2 х = 0, или xi = 1) и
10 , 21
t + 2 t-f 4 t — l "" '
10t2 + 30t - 40 + 21t2 + 21t - 42 - 6t2 - 36t - 48 = 0, т. е.
25t2 + 15t - 130 = 0,
5t2 + 3t - 26 = 0 => tx= 2, t2 = -2,6.
Тогда
log2 x = 2, x2 = 4,
log2x = --g-, x = 2 т = ^i_ = -
Ответ: xi = 1, x2 = 4, x3 = 7-^- ♦
4 • v8
Задачи. Решить уравнения.
1) 31ogx4 + 21og4X4 + 31og16x4
2) log3 x + log9 x + log27 x = 5,5
3) у logx y/bx • log5 x = -1
4) log3x | + log2 x = 1
V. Метод логарифмирования. Обычно логарифмируют
уравнения вида /i (x)^2^ = /з(а;)- Поясним этот метод на
примерах.
174

Пример 9. Решить уравнение
О Решение. Логарифмируем по основанию 10:
lg (xlJL^ j = lg (lO5+1*x), т.е. (см. формулу 6)
Обозначим Igx = t. Тогда
£±& = 5 + t, т.е.
e + bt = 15 + St, т. e. *2 + 2t - 15 = 0,
t\ = —5 или ^2 = 3. Получаем
Igx = -5, lgx = 3 => xi = 10^5, x2 = Ю3.
Ответ: xi = 10"5, x2 = 1000. ♦
Пример 10. Найти решения уравнения
0 Решение. Отметим, что х > 0, х ф 1. Проведем
некоторые упрощения, используя формулы 9 и 11:
= 5-8.
Поэтому уравнение принимает вид
x6.5-iogx5 = 5~5.
Прологарифмируем обе части уравнения по основанию х:
loga. (х6 • 5"log-5) = log^ (5"5) , т. е. (см. формулы 4 и 6),
6 • logx х + (- logx 5) • logx 5 = -5 • logx 5,
б - logx 5 - logx 5 + 5 • logx 5 = 0.
Обозначим logx 5 = t. Тогда
6-*-£ + 5* = 0, т.е.
*2-5*-6 = 0, *i=6, «2 = -l.
175

Следовательно, logx 5 = 6 или logx 5 = — 1. Отсюда 5 = х6, т. е.
Ответ: х\ = \/b, х2 = \. ♦
= у/Ъ или 5 = х 1, т. е. хо — i •
о
Задачи. Решить уравнения.
2) (х + I)1****1) = 100(х + 1)
3)
4)
5)
Системы логарифмических уравнений
Используются приемы решения систем алгебраических
уравнений (см. тема «Системы алгебраических уравнений»),
основные логарифмические формулы 1-13 и методы решения
логарифмических уравнений.
Пример 11. Найти решение системы уравнений
У = 8,
^J = 0.
0 Решение. Отметим, что
х > 0, х ф 1, 2/ > 0, log1/9 - > 0. (4)
с/
По определению логарифма имеем
\log1/9f = 3° = 1, те-
I ху = х ,
< х _ 1 т.е.
I У 9'
Имеем х3 — 9х, т.е. х2 = 9, х = ±3. В силу (4) подходит
только х = 3. Но тогда t/ = 27. Найденные значения х и у
удовлетворяют соотношениям (4).
Ответ: {(3;27)}. ♦
176

Пример 12. Решить систему
Г Iog3(x - у) = 1 - Iog3(x + у),
1 4§+£=32.
0 Решение. Отметим, что
х -t- у > и, х>у, if и, у
Из первого уравнения получаем
luo3\x У) — шь3 ° 1иь3\*с * У)"> А.е. х
х2 - у2 = 3.
3
х + у
(5)
(6)
Второе уравнение исходной системы запишем так:
Обозначим У- - t. Тогда 2 U + 1 j = 5, т.е. 2t2 - 5t + 2 = 0,
или £i = 2, £2 = i- Значит,
1/ 1У 1
^ = 2 => у = 2х или - = - => х = 2у.
х х 2
С учетом (6) получаем две системы и решаем их:
{т2 7/2 - Ч Г т2 - ?у2 - ^
х — у — о, IX—у— о,
или <
у = 2х \ х = 2у
Пара чисел (—2, —1) не удовлетворяет соотношениям (5).
Ответ: {(2,1)}. ♦
177

Пример 13. Решить систему уравнений
Г y.xl0&vx=x2>b,
\log3y\ogy(y-2x) = 1.
О Реп1ение. Отметим, что
х > О, х ф 1; у > О, у ф 1; у > 2х. (7)
Из второго уравнения получаем
logv(y - 2х)
= 1, т.е. 1с«_(р-2г)=1о&,3.
Отсюда у — 2i = 3, или
у = 2х + 3. (8)
Прологарифмируем первое уравнение системы по
основанию х:
logx{yxlo&vx)=\ogx{x2*), т.е.
logx У + bgy ж * bgx ж = 2,5 • logx х, т. е.
\ogxy + \ogyx = |.
Обозначим logx у = t. Тогда 14- т = §• Отсюда £i = 2 и £2 = i-
Стало быть, logxy = 2 и \ogxy = i Следовательно, у = х2 и
у = у/х. Получаем две системы, с учетом (8):
Г у = 2х -f 3, Г у = 2х + 3,
\ у,= х2 И \ у = >/х-
Решал их, с учетом (7) получаем х = 3, у = 9.
Ответ: {(3,9)}. ♦
Задачи. Решить системы уравнений.
log2 х - log2 у = 2
1 log2xy =
178

2)
3)
4)
5)
4 у • log2 x =
og2 x + 2~2y =
clg2/ = 2
xy = 20
Og4 X - log2 t/ :
log5x + 3log3y
xy
Решить уравнения
1.
2.
1
log
i j
-^•Igx2_ 1
L Olrktr 9 . lrktr/
:4
:4
= 0
= 0
= 7
Упражнения
2
г=8
= =0
m ,л _ 2
4 3l0g2 X + xl0g3 X = 162
5. logx 3 + log3 x = log^ 3 + log3 y/x + 0,5
6. x • logx+1 5 • log Зя"(я + 1) = x ~
7* \2.(21ogy2z-logiy) = 5
9. logx+1(x3 - 9x + 8) • log^.^x + 1) = 3
| Iog3y-log3x = l
-2 Vog3X = 27
179

11.
12.
= 54
13 Г 27 З21-" + З*2 = 4>/3
' \ lg(y-4x) = 2-\g(2 + 2x-y)-
lgy
14. 2
15. х2 4- (х - 3) • log2 х = 4х - 3
( 2х ■ Зу = 6
17' I 31 • 4» = 12
18.
ху2 = 32
2(logix-21ogl2y) = -5
19. lg(x-5)2 + lg(x + 6)2 = 2
log2 sin x + log2 sin у = — 2
20.
log3 cos x + log3 cos у = 1 - log3 4
Ответы: 1. Ь,^!; 2. {^.Юо!; 3. {2,8}; 4. jl
5. jl.gj; 6. {1}; 7. {(3,9), (9,3)}; 8. {0,1; 2; 1000}; 9. {3};
10. |(3,9), (5,3)}; И- {5,-1,-11}; 12. {1000};
u.
15. {1,3}; 16. {100; 1000;0,01;0,001}; 17. {(1,1)};
18. {(2,4),(4V#}
20. |Г|
180

Неравенства
Совокупность двух выражений, соединенных между
собой знаком > (больше) или < (меньше), называется
неравенством.
Методы решения неравенств
Эти методы зависят в основном от того, к какому классу
относятся функции, составляющие неравенство.
I. Квадратные неравенства, т. е. неравенства вида
Будем считать, что а > 0. Если это не так, то, умножив
обе части неравенства на —1 и изменив знак неравенства на
противоположный, получим желаемое.
Чтобы решить неравенство, можно:
1. квадратный трехчлен разложить на множители, т.е.
неравенство записать в виде
а(х - хх)(х - х2) >0 (<0);
2. корни многочлена нанести на числовую ось;
3. построить «змейку», проходящую через корни.
Если квадратный трехчлен не имеет корней, то при а > 0
(и D < 0) квадратный трехчлен при любом х положителен.
Пример 1. Решить неравенства
а) х2 4- х - 6 > 0;
б) х2 - 8х 4-16 > 0;
в) х2 4- 4х 4- 20 < 0.
181

О Решение, а) Разложим квадратный трехчлен на
множители: (х + 3)(х — 2) > 0, строим «змейку».
Ответ: (-оо, -3) U (2, оо).
б) Имеем (х — 4)2 > 0. Это верно при любом х, кроме х = 4.
Ответ: (-оо,4) U (4,оо).
в) Здесь а = 1 > О, D < 0. Квадратный трехчлен
положителен при всех х.
Ответ: х Е 0. ♦
Задачи. Решить неравенства.
1) 1 + х - 2х2 < О
2)
3)
4) 2х2 - 12х + 18 > О
5) При каких значениях а неравенство х2 — ах > —
выполняется для любых х?
II. Алгебраические неравенства высших степеней (> 2),
т. е. неравенства вида
апхп + an-iXn~l + ... + aix + oo > 0 (< 0), п > 2.
С помощью методов решения рациональных уравнений (см.
тема «Рациональные уравнения») многочлен степени п > 2
разложить на множители, т. е. неравенство записать в виде
ап(х - хг){х - х2) •... • (ж - хп) > 0 (< 0).
При этом следует сокращать на заведомо положительные
выражения или отрицательные (в последнем случае знак
неравенства менять на противоположный). Затем по правилу
«змейки» найти решение.
182

Пример 2. Решить неравенство х4 — 6х3 + Их2 — 6х < О
О Решение.
х4 - 6х3 + 11х2 - 6х = х(х3 - 6х2 + Их - 6) =
= х(х3 - х2 - 5х2 + 5х + 6х - 6) =
= х(х - 1)(х2 - 5х + 6) = х(х - 1)(х - 2)(х - 3) < 0.
Строим «змейку»:
Ответ: (0,1) U (2,3). ♦
Пример 3. Найти множество решений неравенства
(х - 1)5(х + 2)(2х - 10 - х2) < 0.
0 Решение. Перепишем неравенство следующим образом:
(х - 1)(х - I)4 • (х + 2)(-х2 + 2х - 10) < 0.
Разделим почленно на (х — I)4 > 0 при х ф 1; обе
части неравенства умножим на -1. Получаем (х — 1)(х + 2) х
х (х2 - 2х + 10) > 0. Сокращаем на х2 - 2х + 10 > 0 (т. к.
а = 1 > 0, D < 0). Получаем (х - 1)(х + 2) > 0.
Ответ: (-оо, -2) U (1, оо). ♦
Пример 4. Решить неравенство 216х6 + 19х3 ^ 1.
0 Решение. Положим х3 = t. Тогда имеем
, т.е. 216 (*~^
Но t = х3, поэтому
183

т.к.
х2 + ^х + i ) > 0 при всех х,
с о У /
! — ^х 4- J 1 > 0 при всех х.
Строим «змейку».
Ответ: -П . ♦
Пример 5. Найти решения неравенства х2(х4-2)(х-3) ^ 0.
0 Решение. Переходя от данного неравенства к
неравенству (х + 2)(х — 3) ^ 0, отмечаем, что х = 0 (!)
удовлетворяет исходному неравенству. Поэтому к найденному решению
(х £ (-оо, -2] U [3, оо)) неравенства
(х 4- 2)(х — 3) ^ О следует добавить х = 0.
Ответ: х G (-оо, -2] U {0} U [3, оо). ♦
Задачи. Решить неравенства.
1) (5х-1)(2-Зх)(х4-3)>0
2) х3 + 5х2 4- Зх - 9 ^ О
3) (х-3)(х-1)2(3х-6-х2) <0
4) (х2-х)2+3(х2-х)+2^0
5) х4 - х3 - Юх2 + 2х + 4 < О
III. Дробно-рациональные неравенства. При решении
таких неравенств можно придерживаться следующей схемы.
1. Перенести все члены неравенства в левую часть.
2. Все члены неравенства в левой части привести к
общему знаменателю, т. е. неравенство записать в виде
3. Заменить дробное неравенство целым, т.е. записать его
в виде Л(х) • /2(х) > 0 (< 0), /2(х) ф 0.
4. Решить полученное неравенство по правилу решения
алгебраических неравенств высших степеней (см. II).
184

Пример 6. Решить неравенство
>
х-Ь ' 1-х'
Решение
4-х
1
> 0, т.е.
х — 5 1-х
4 — х — 4.x + х2 — х + Ь
Заменяем дробное неравенство целым
(х2 - 6х + 9)(х - 5)(1 - х) > 0, ж - 5 ф 0, 1 - х ф 0.
Умножая на —1, получаем (х — 3)2(х — 5) (ж — 1) < 0, а сокращая
на (ж - З)2 > 0, х ф 3: (ж — 5)(х — 1) < 0. Строим «змейку», не
забывая, что х ф 3(!)
Ответ: (1,3) U (3,5). ♦
Пример 7. Найти множество решений неравенства
3 25ж - 47 3
_ 15
4- 4
0 Решение. Выполняем действия 1-4 предложенной выше
схемы решения:
3
6х2-х
3
-12
25ж
Юх
-47
-15 '
25ж-
3
Зж +
47
4
4-
<
о,
т.е.
3
•И)И) »Н) »И)
100
188
5 - 2Ьхг 4- 47ж —х + —— 4- Юх - 15
»Н)И)
<0, т.е.
185

(75х2 - 71х - 158) (х -^
Строим «змейку»:
» т-е-
2 х
Ответ: (-oo,-|)U (-Ц,3,) U (2,оо). ♦
Задачи. Решить неравенства.
75'
(3-х)(2х
(х-2)(х
2)
3)
х-2'х-2
<0
_ 1
2
(8 - х*)(х3 - 27)
' (8 + x3)(x3+27)>U
5) -4т-^—-
1-2х
IV. Неравенства с модулем. При решении неравенств с
неизвестным под знаком модуля пользуемся определением:
/(х), если /(х) ^ О,
f{x)\ если /(х) < 0.
Полезно помнить, что решением неравенства \х\ < а, а > 0
является множество (—а,а), а решением неравенства \х\ > а,
а > 0 является множество (—оо, —а) U (а, оо).
Пример 8- Найти множество решений неравенства
|х2 - 5х| < 6.
О Решение- Это неравенство равносильно следующему:
—6 < х2 — 5х < 6. Двойное неравенство можно записать в виде
системы неравенств
Г х2 - Ъх < 6, Г (х + 1)(х - 6) < 0,
1 ж2 - 5* > -6 ^ 1 (х - 2)(х - 3) > 0.
186

Чтобы найти решение системы, на числовой оси нанесем
решение первого (сверху) и второго (снизу) неравенств (см.
рисунок). Решением системы будет их общая часть.
Ответ: (-1,2) U (3,6). ♦
Пример 9. Решить неравенство
|х-3| + |х + 2|-х>5.
О Решение. На числовой оси отметим значения, при
которых х-3 = 0их + 2 = 0.
-2 3 *
Рассмотрим неравенство на каждом из полученных
промежутков.
а) Если х < —2, то неравенство принимает вид
4
-х + 3-х- 2 - х > 5, т.е. - Зх > 4, х <--.
«J
Из соотношений х < — 2их<-^ следует, что х < —2
является решением данного неравенства.
б) Если — 2 ^ х < 3, то неравенство принимает вид
-х+З+х+2-х > 5, т.е. - х > 0,, х < 0.
Из соотношений — 2^х<Зих<0 следует, что —2 ^ х < 0
является решением данного неравенства.
в) Если х ^ 3, то х — 3 + х + 2 - х > 5, т. е. х > 6, является
решением данного неравенства.
Найденные решения данного неравенства на различных
промежутках удобно изобразить на числовых осях.
/////// /j
-2
-2
////// /^
0
X
X
J/ / / / / / У
6
Ответ:
X
("00,
0)
и (6,
00).
187

Задачи. Решить неравенства.
1)
2)
3)
4)
5)
4х2 - 1| < х + 2
х + 1| + |х-1| <4
х + 2|^|х|
х3 — х| ^ х
х2 - 5х + 4
х2-4
V. Иррациональные неравенства.
При решении иррациональных неравенств необходимо
помнить, что корни нечетной степени рассматриваются при всех
действительных значениях подкоренных выражений, а корни
четной степени — только арифметические, т.е. из 2Vfx = a
следует х ^ 0, а ^ 0.
С помощью методов решения иррациональных уравнений
(см. тема «Иррациональные уравнения») иррациональное
неравенство свести к простейшему виду
Дальше рассуждаем примерно так.
1. /i(x) ^ 0, решаем это неравенство.
2. Изучаем правую часть исходного неравенства:
а) если f2 (х) < 0, то решение примера заканчивается
выписыванием ответа, полученного в пункте 1 (левая часть
заведомо больше правой).
б) если /2 (х) ^ 0, то обе части исходного неравенства
возводим в степень 2п. Получаем /i(x) > (/2(2)) "\ Ре~
шаем это неравенство.
3. С учетом решения в пункте 1, выписываем ответ.
Замечания:
1. При решении неравенства 2y/fi (x) < /2 (x) рассуждаем
аналогично (см. примеры).
2. Для удобства получаемые решения изображаем на
числовых осях.
188

Пример 10. Решить неравенство у/х2 — 4х > х - 3.
0 Решение. 1. Решаем неравенство х2 — 4х ^ 0, получаем
х(х - 4) ^ 0. Изображаем на числовой оси (см. рис.).
2. а)если х - 3 < 0, т. е. х < 3, то получаем ответ 1: (-оо, 0];
б) если х — 3 ^ 0, т. е. х ^ 3, то получаем: х2 — Ах > [х - З)2,
т.е. 2х > 9, т.е. ответ 2: (|,оо);
JLLLLLL
9L_ X
2
Объединяя ответы 1 и 2, получаем окончательный
Ответ: (-oo,0]U(|,oo). ♦
Пример 11. Найти решения неравенства у/х + б < а: — 5.
0 Решение. 1. Решаем неравенство х + б ^ 0. Отсюда
х ^ —6. Изображаем на оси (см. рис.).
2. а) Если х — 5 < 0, т.е. х < 5, то исходное неравенство
решений не имеет (левая часть неравенства неотрицательна,
а правая отрицательна).
б) Если х — 5 ^ 0, т. е. х ^ 5, то получаем
х 4- 6 < (х - 5)2 => ж 4- б < ж2 - Юж + 25 =>
19 > 0, т.е.
х2 -
0.
С учетом решения в пункте 1 получаем
Ответ:
189
,ос).

Пример 12. Найти решения неравенства.
4 ~
уГГ^~
О Решение. Обозначим >/2 — х = £ > 0. Тогда получаем
,,<о, <о.
V Ъ
Отсюда 4 -t2 - 2t < 0 (ведь t > 0). Значит, t2 + 2t - 4 > 0, т. е.
(t - (-1 - V5)) • (t - (-1 + V5)) > 0.
_1_^5^—<-1 + ^5
Ho t = %/2 — x. Значит, у/2-х < — 1 — у/Ъ, а этого быть не
может, и V2 — х > у/Е — 1. Неравенство простейшего вида.
1. 2-ж^0 => ж^2.
2. Правая часть положительна, возводим в квадрат:
1)2 т.е. 2-
-х>А-2у/Е т.е. ж
С учетом решения в пункте 1, получаем
Ответ: (-оо,2л/5-4). ♦
Задачи. Решить неравенства.
1) уУх3 + 2х2 - Ъх + 3 < х
2) у/^^х ^ л/2ж- 1 - у/х- 1
3) (ж - 1) • \/я2 - я - 2 ^ 0
4) у/3-х > х - 2
5) у/х2 - 9х + 20
190

VI. Показательные неравенства. С помощью методов
решения показательных уравнений (см. тема «Показательные
уравнения и системы») показательное неравенство свести к
простейшему виду
а'<*> > Ь (о'<*> < б) .
Полученное неравенство записываем в виде а^х) > aloga b
и делаем выводы:
1. если а > 1, то f(x) > loga 6, решаем это неравенство;
2. если 0 < а < 1, то f(x) < loga 6, решаем это неравенство.
Аналогично поступаем при решении неравенства а^х^ < Ь.
Пример 13. Решить неравенство
2*+2 _ 2*+3
О Решение. Упрощаем, выносим за скобки.
2* . 22 - 2х • 23 - 2х • 24 < 51 • 5 - 5* • 52, т. е.
2Х(4 - 8 - 16) < 5*(5 - 25), т. е. 2х • (-20) < 5* • (-20).
Сокращаем на —20: 2х > Ъх или, деля на 51 > 0, получаем
— > 1 — простейшее неравенство. Далее, ( ^ J > I 2 J .
су
Отсюда х < 0, т. к. - < 1.
Ответ: (-оо,0). ф
Пример 14. Найти решения неравенства
0,008* + 51"3* + 0,04§(х+1) < 30,04.
0 Решение. Упрощаем:
\125j + ъ3х \1Ь) 25' те-
1.5.1 ^ 751
+ + ^ 25 •
Положим, 5~3х = t > 0.
751,^751
125(<15~'
191

Ho t = 5"3х < 5 = 51. Отсюда -Зх < 1, х > -А
о
Ответ: (-1,оо). ф
Задачи. Решить неравенства.
5х-1
1) 42i^T -> 64
2) 3 • 16х - 5 • 36х + 2 • 81х < О
3) 36х - 7 • 6х + б ^ О
4) й' Г"
5) O^-i+i— < ^/
VII. Логарифмические неравенства.
С помощью методов решения логарифмических уравнений
(см. тема «Логарифмические уравнения и системы»)
логарифмическое неравенство свести к простейшему, вида
loga/(*)>& (\oga f(x)<b).
Полученное неравенство записываем в виде loga f(x) > loga ab
и делаем выводы:
1. если а > 1, то f(x) > а6, решаем это неравенство;
2. если 0 < а < 1, то /(х) < а6, решаем это неравенство.
При выписывании ответа не забывать, что a > 0, a / 1 и
f(x) > 0 (!) Аналогично поступаем при решении неравенства
loga/(x)<b.
Пример 15. Решить неравенство log0 5 х + log0 5 х - 2 ^ 0.
0 Решение. Сразу отметим, что х > 0. Обозначим
log05 х = £. Тогда имеем t2 + £ - 2 ^ 0, (t + 2)(t - 1) ^0,
т. е. £ ^ —2, £ ^ 1. Но log0 5 x = t. Стало быть,
Г log0 5 х ^ -2» [ 1обо 5 х ^ log0 5 0,5"2,
л т. е. <
[ log0 5 X^l, { log0>5 X ^ Iogo75 0,5.
Отсюда получаем < ^ 'С учетом ОДЗ (х > 0),
х ^ 1/2.
х > 1/2.
выписываем ответ: | \, 41.
192

Пример 16. Найти множество х, удовлетворяющих
неравенству
Зх-1 Л
О Решение. Из условия следует, что
Зх-1
х > О, х / 1, -s > 0.
2Г + 1
Отсюда x>0,x/l,x>i Исходное неравенство записываем
о
в виде logx % > logx 1. Далее:
х + 1
А. Если 1 < х < 1, то $ ~ j- < 1. Решаем это неравенство.
о х + 1
Зх-1.1<0 Зх-1-х2-1<0
2 1 «ч и, 2,1 -Ч и, 1. е.
х + 1 х 4-1
-х2 4- Зх — 2 < 0, т. к. х2 + 1 > 0, следовательно,
х2 - Зх + 2 > 0, т. е. (х - 1)(х - 2) > 0.
,1
Ответ: А: ( ^>
Б. Если х > 1, то
3^~ 1 > 1, т. е. Зх - 1 > х2 4-1 ( учли, что х2 4-1 > 0),
х2-Зх + 2<0, (х-1)(х-2) <0, т.е.
и /////////
JL 11 11 I 11 1111 I I I I I -
Ответ: Б: х G (1,2).
7-8601
193

В итоге
Ответ
: (l, l) U (1,2). ф
iog2i-iog2x > 1
Решение. Отметим, что х > 0. Неравенство запишем в
Пример 17. Решить неравенство x2-iog2i-iog2x > 1
виде
А. Если 0 < х < 1, то
2 - log2 х - 21og2x < -1, т.е. log2 x + 21og2x - 3 > 0,
£2 + 2* - 3 > 0, где t = log2 x, т. е.
Отсюда следует, что х > 2 и х < i.
о
11 z *
8 Ответ А:
Б. Если х > 1, то
2 — log2 x — 2 log2 x > —1, т. е.
(t + S)(t - 1) < 0, где t = log2 x, т. е.
flog2x < 1,
I log2x>-3,
iI 11 114 11111
X
J /////]///// /Я
1 I 12 x
8 Ответ Б: (1,2)
С. Если х = 1, то неравенство принимает вид 1 > 1,
поэтому х ф 1.
В итоге
Ответ: (о, |j U (1,2). ♦
194

Задачи. Решить неравенства.
ij l + lgx + 1-lgx >Z
2) Iog2(x2 -5x + 4) < 2
3) logx_6(x2 - 6x 4- 5) ^ 0
4) logix>logx3-|
5) log2(x-l)2-log0)5(x-l)>5
VIII. Тригонометрические неравенства. С помощью
методов решения тригонометрических уравнений (см. тема
«Тригонометрические уравнения») тригонометрические
неравенства свести к простейшему виду:
sinx < а (> a), cosx < а (> a), tgx < а (> а).
Из sinx < а, —1 < а < 1 следует
2тга — 7г — arcsina < х < arcsina ■+■ 27гп, п (Е Z.
Из sinx > а, -1 < а < 1 следует
27гп + arcsina < х < тг — arcsina + 2тгп, п € Z.
Из cosx <а, — 1 < а < 1 следует
2тгп 4- arccosa < х < 2тг — arccosa 4- 2тга, n G Z.
Из cosx > а, —1 < а < 1 следует
2тга — arccosa < х < arccosa 4- 2тга, п G Z.
Из tgx < а следует
тг _
тгп — — < ^ < arctga + тгп, п Е Z.
Из tgx > а следует
тгп 4- arctga < х < — 4- тгп, п G Z.
7* 195

sinx < a
Пример 18. Решить неравенство л/3 • cos 2 х < 4tgx.
О Решение. Перепишем уравнение следующим образом
\/3 4 sin х
cos х cos х
Отметим, что cosx ф О, т.е. х ф ^ 4- тгп, п Е Z. Далее,
\/3 — 4 sin х cos x
cos2
0, т.е. (\/3-2sin2x)-cos2x < 0.
Сокращаем на cos2 х Ф 0 (cos2 x > 0):
г- г- >/3
V3-2sin2x<0, т.е. - 2sin2x <-V3, т.е. sin2x>—.
Отсюда
2тгп + arcsin Цу < 2х < тг - arcsin ^г 4- 2тгп, п £ Z, т. е.
2тгп + тг < 2х < |тг 4- 2тгп, п Е Z.
о о
Разделим почленно на 2: тгп + ^ < х < ^ 4- тгп, п Е Z.
/ \
Ответ: ( ^ 4- тгп, 5- + тгп I, п Е Z. ♦
\° ^ /
Пример 19. Найти все решения неравенства
cos3 х • cos Зх — sin3 x • sin Зх > -.
о
196

О Решение. Проведем следующие преобразования
cos2 х • cos x • cos Зх — sin2 x • sin x • sin Зх > §, т. е.
о
i(l +cos2z) • I(cos4z + cos2z) —
— i(l - cos2z) • i(cos2x — cos4x) > ^, т.е.
(1 + cos 2x) • (cos Ax + cos 2x) —
—(1 — cos2x) • (cos2x — cos4x) > ^, т.е.
cos Ax + cos 2x + cos 2x cos 4x + cos2 2x—
— cos 2x + cos 4x + cos2 2x — cos 2x cos Ax > ^, т.е.
2cos4x + 2cos22x > |,
2cos4x + 2- 1 • (l + cos4x) > |, т.е.
2cos4x + 1 + cos4x > ^, cos4x > 1
По выше приведенной формуле получаем
2тгп - ^ < 4х < тг 4- 2тгп, или
Ответ: -^ + ^тр, тт> + ^тг ), п
Задачи. Решить неравенства.
2) 2 sin2 х — sin x — 1
3) ctg 2x ^ \/3
4)
COS X
5) cos2x < sinx
197

IX. Доказательство неравенств. Основными методами
доказательств являются:
1. Метод от противного: чтобы доказать, что А > В,
полагаем, что это не так, т. е. А ^ В. Затем путем
тождественных преобразований прийти к невозможности
неравенства А ^ В.
2. Аналитический метод: с помощью тождественных
преобразований привести данное неравенство к очевидному.
Затем, исходя из очевидного неравенства, доказать
данное.
3. Выяснение знака разности между доказываемыми
частями неравенства: чтобы доказать, что А > В,
достаточно показать, что разность А — В положительна для
всех значений букв, входящих в неравенство.
4. Использование известных неравенств (справедливость
которых уже доказана) для доказательства данного
неравенства. В частности, используется известное
неравенство ^тМ ^ у/оЬ при а > О, Ь > 0.
5. Доказательство неравенств методом математической
индукции.
Пример 20. Доказать, что а ^ ^ y/ab при а > 0, Ь > 0.
0 Решение. Найдем разность
т.к. f у/а — y/bj ^ 0, причем равенство нулю возможно лишь
,i .—
при условии а = Ь. Итак, 1" — yah ^ 0. Значит,
г-
Vab.
Пример 21. Доказать неравенство
х2 + у2 + z2 ^ ху + yz + xz.
198

О Решение. Допустим, что оно неверное. А верно то, что
х2 + у2 + z2 < ху + yz + xz. Тогда, умножив обе части
неравенства на 2 и сгруппировав, получим
2х2 + 2у2 + 2z2 < 2ху + 2yz + 2хг, т. е.
х2 + х2 + ?/2 + у2 + z2 + z2 - 2ху - 2yz - 2xz < 0, т. е.
(х2 - 2ху + у2) + (х2 - 2xz + г2) + (у2 - 2yz + z2) < 0,
Но это невозможно! Следовательно, наше допущение неверно.
Верно то, что х2 + у2 + z2 ^ ху + yz + xz. ф
Пример 22. Доказать, что если р > 0 и q > 0, то
Решение. Воспользуемся известным неравенством
т. е. а + Ъ ^ 2y/ab, если а > 0 и 6 > 0. Можно записать
g + 2 ^ 2^/2(7,
Перемножим почленно эти неравенства.
(р + 2)(9 + 2)(р + g) ^ 8y/2p.2q.pq, т.е.
Пример 23. Доказать, что ? + - ^ 2 при аЬ > 0.
0 Решение. Данное неравенство приведем к следующему
виду:
а ъ с г, а2 + Ъ2-2аЪ п (а - Ъ)2 ^ _
- + --2^0 =» ^ 0 =» ^ г1- ^ 0.
6 а аЬ аЬ
А это очевидно, т. к. (а — Ъ)2 ^ 0, а аб > 0 по условию.
199

Возьмем очевидное неравенство (о — b)2 ^ 0. Разделим обе
части его на ab > 0.
аЬ
+>O
ab ab ab
Пример 24. Доказать неравенство 2n > 2n + 1, где n G N,
n^3.
0 Решение. Используем принцип математической
индукции.
1. При п = 3 неравенство справедливо; действительно,
23 > 2-3 + 1.
2. Допустим, что неравенство справедливо при п = к
(keN,k >3), т.е.
2* > 2к + 1. (1)
3. Проверим, справедливо ли данное неравенство при п =
= к + 1, т.е.
2*+1 > 2(Jfe + 1) + 1, (2)
при условии (1).
Перепишем (2) в виде 2 • 2к > 2к + 2 + 1, или 2к + 2* >
> (2А; + 1) + 2. Но это очевидно, т.к. 2к > 2к + 1 (см. (1)), а
2* > 2 (А; Е N, А; > 3). Исходя из принципа математической
индукции заключаем, что неравенство 2п > 2п + 1, п G N,
п ^ 3 верное. ♦
Пример 25. Доказать, что для сторон треугольника имеет
место неравенство а2 + Ь2 + с2 < 2(а6 + ас + 6с).
0 Решение. По свойству сторон треугольника
а > |Ь-с|,
6> |а-с|,
О |а-6|,
возведем почленно эти неравенства в квадрат и сложим их:
а2 + б2 + с2 > |Ь - с|2 + |а - с|2 + |о - 6|2, т. е.
а2 + Ь2 + с2 > Ь2 - 2Ьс + с2 + а2 - 2ас + с2 + а2 - 2аЬ + б2,
26с + 2ас + 2а6 > а2 + б2 + с2. ♦
200

Пример 26. Доказать, что при х > 1 выполнено
х2 - 1 > 21пх.
О Решение. Перепишем неравенство в виде х2 -1 - 2 Inx >
> 0. Пусть /(х) = х2 - 1 - 21пх. Тогда ее производная
равна /'(х) = 2х — -, т.е. f'(x) — — '-. При х > 1 имеем
X X
/'(х) > 0. А это означает, что функция /(х) = х2 - 1 - 21пх
возрастает (при х > 1). Но при х = 1 ее значение равно 0,
действительно, /(1) = I2 — 1 — 21nl = 0. Следовательно, при
х > 1 (функция возрастает!) значения функции
положительны, т. е. /(х) > 0. Значит, х2 - 1 - 2 In х > 0, т. е. х2 — 1 > 2 In x
при х > 1.
Пример 27.
1
71+ 1 ' П
0 Решение.
Доказать.
1 1
+ 2 п +
Очевидно
1
тг + 1
1
п + 2
1
, что
3 +
, что
п
п
1
+
1
+
+
п
п
1
1
2п >
1
2тг'
1
2тг'
- при п > 1.
1
п + (п-1) п + п 2п'
п + п 2п
Сложим почленно эти неравенства:
11 111 111
п + 1 п + 2 2п 2п 2п ' 2п 2п 2'
п слагаемых
Пример 28. Доказать, что если а > 0, Ь > 0, с > 0, d > 0,
то
a + 6 + c + d 4
^ у
201
abed.

О Решение
a+b c+d
a+b+c+d 2 2
mi + ?n2
= л / — — ^ yVab • Vcd = Vabcd.
В ходе доказательства обозначили Q ^ ^ = mi > 0 и
= m2 > 0 и воспользовались известным неравенством
=
, если р > 0, q > 0.
Задачи. Доказать неравенства.
1)
2) Доказать, что куб гипотенузы в прямоугольном
треугольнике больше суммы кубов катетов.
3) 5х2 - бху + by2 > 0 (я2 + у2 ф 0)
4) х5 + у5 - х4у - ху4 ^ 0, если х + у ^ 0
5) 2 < log3 2 + log2 3 < 3
Упражнения
Решить неравенства.
1. 5х - 20 ^ х2 < 8х
2. (х - 3)л/х2 + 4 ^ х2 - 9
3. При каких значениях а неравенство
(а + 1)х2 - 2(а - 1)х + За - 3 ^ 0
выполняется при всех значениях х?
4. х8 - 6х7 + 9х6 - х2 + 6х - 9 < 0
5. (х2 + 4х + 10)2 - 7(х2 + 4х + 11) + 7 < 0
202

6. (х - I)3 • (х - 2)2 • (х - З)5 • (х - 4) > О
7. х(х-1)(х + 2)(х-ЗК7
8.
Зх - 2 -
7х - 4 - Зх2
о 10 5-х 11 6 - х > 5(6 - х)
Зх-4 Зх-4^ х-2
Ю. { х - 1 1
11.
ЗхЧ-1
х-3
<3
2х + 1 . 1
х + 3 ^2
>5
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
(
|х2 - 4х| < 5
-1| < 1-х
2-х
1-3
-1 ■*'
3 • \/б + х- х2 > 4х - 2
/х + 3 < у/х - 1 + \/х - 2
6х / 12х о а! 12х ^ п
х-2 \/х-2 ^\/х-2>и
у/Ах - 7 < х
/х + 5 + \/5 - х > 4
<
25-lgx^7
1
2Ж - 4 3 • 2Х+1 - 2
9Х+1 - 13 • 6х + 4Х+1 ^ 0
203

27
64
24. (0,(4))* * > (0,(6))х +6
25. 4х ^ 3 • 2^/х+х + 41+^/х (разделить на 4х ф 0)
26. Iog3(log2(2 - log4 x) - 1) < 1
28. log,x_1,0,5>0,5
29. log1/5 x + log4 x > 1
30. logx y/xTT2 > 1
31. 0,5^ < 0,51-cos2x < o,5
32. sin 2x • sin 3x - cos 2x • cos 3x > sin lOx
33. л/sinx + i/cosx > 1
34. Доказать, что произведение суммы трех положительных
чисел на сумму обратных чисел не меньше 9.
35. Доказать, что ^ -t-a-r^ ^2, oGR.
V а2 + а + 1
36. Доказать, что (l + ^jfl + -j(l + -j > 8, (х > 0,
т/ > 0, z > 0).
37. Доказать справедливость неравенства
38. Доказать неравенство х2+Ау2+3z2H-14—2х —12у—6z > 0.
39. Доказать неравенство а2 + Ь2 + 1 ^ аЬ + а + Ь.
204

40- Доказать, что если х2 + у2 = 1, то — \/2 ^ х + у ^ у/2.
Ответы: 1. [0,8]; 2. f-oo,-| U[3,oo); 3. а ^ 1; 4. (-1,1);
5. (-3,-1); 6. (1,2) U (2,3) U (4,оо); 7. (±^fi, Н^);
8. (-оо,-1) U (|,2); 9. (-оо,2) U [3,5; 4) U [7,оо); 10. (о, |];
11. (-оо
15. (-oo,2)U{3}U(4,oo); 16. [-2,2); 17. ^2^1,сх)); 18. (2,8);
19. [1,75; 4); 20. [l, 108] U [Ю18,1025]; 21. (-oo, - log2 3)U(0,2);
22. [-2,0]; 23. (-1,3); 24. (-2^,2^); 25. [0,4]; 26. (2"28, l);
27. (0,2; 5); 28. (0; 0,75) U (1,25; 2); 29. (41обо,8 0,2?00). 30. (1?4);
Прогрессии
Числовой последовательностью называется множество
чисел, занумерованных с помощью натуральных чисел в
порядке их возрастания, т. е. а\, ач, аз? &4> • • •, ^п? • • •
Арифметическая прогрессия — это числовая
последовательность, для которой имеет место тождество an+i = an + d,
п G N, d — разность прогрессии.
Геометрическая прогрессия — это числовая
последовательность, для которой имеет место тождество an+i — an- q,
п G N, q — знаменатель прогрессии.
Основные формулы
Арифметическая прогрессия (АП):
Al. an = cli + d(n — 1);
205

А2. 5n = ^-±
A3. ак = *~р з +р, (р < *), в частности,
а* = —-—2— '
А4. ai + ап - а2 + an_i = a3 + an-2 = ... = a*
Геометрическая прогрессия (ГП):
11. an = a\ • q \
Г2. Sn = U1Q~P, q Ф 1 (если q = 1, то Sn = am);
i — q
ГЗ. a\ = ak-P • ak+p, (р<к),в частности, а\ = ak-i • ak+i',
Г4. gl\ • an = a2 ■ an_i = a3 - an_2 = ... = ak • an-k+i-
Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия (для
которой \q\ < 1):
Рассмотрим несколько примеров и задач на прогрессии.
Пример 1. При делении девятого члена арифметической
прогрессии на второй член в частном получается 5, а при
делении тринадцатого члена на шестой член в частном
получается 2 и в остатке 5. Найти первый член и разность прогрессии.
О Решение. Пусть а1? а2, аз> • • •, а>п, • • • — АП. По условию
— = 5, — = 2 (остаток 5), т.е.
О>2 а6
ag = 5а2, ai3 = 2a6 + 5.
Воспользуемся формулой А1, получим систему двух
уравнений с двумя неизвестными:
d),
12d = 2(ai + 5d) + 5.
206

Решаем ее.
Г 4ai = 3d,
\ ' т.е. 4(2d-5) = 3d, 5d = 20, d=4.
I ai = 2a — 5,
Значит, ax = 2 • 4 — 5 = 3.
Ответ: ax = 3, d = 4. ♦
Пример 2. Известно,что при любом п сумма Sn членов
некоторой арифметической прогрессии выражается формулой
Sn — 4п2 — Зп. Найти три первых члена этой прогрессии.
О Решение. По условию Sn = An2 — Зп (п — любое). Пусть
п = 1. Тогда Si = 4 — 3 = 1. Но S\ = а\. Следовательно, а\ = 1;
пусть п = 2. Тогда 52 = 4-22-3-2 = 10. Но Si = ах +а2. Значит,
a>i +а>2 = Ю. Отсюда находим, что а2 = 9, так как а\ = 1. А так
как п2 = а\ 4- d, то d = 8. Стало быть, аз = ci2 -I- d — 17.
Ответ: 1, 9, 17. ♦
Пример 3. Турист, поднимаясь в гору, в первый час
достиг высоты 800 м, а за каждый следующий час поднимался
на высоту, на 25 м меньшую, чем в предыдущий. За сколько
часов он достигнет высоты 5700 м?
0 Решение. Обозначим через п число часов подъема
туриста на высоту 5700 м. Выпишем последовательность
высот, на которые поднимался турист за 1-й, 2-й, 3-й и
т.д. час: 800, 775, 750,... Эти числа образуют
арифметическую прогрессию, у которой а\ = 800, d = —25.
Найдем 5„. Sn = т + ап . п (см. формулу А2). Но ап =
= 800 - 25(п - 1) (А1). Поэтому
800 + 800 - 25(п - 1)
S =П
Из условия задачи следует, что Sn = 5700. Получаем уравне-
1600-25п + 25
Решаем его: 1625п - 25п2 = 11400, т. е. п2 - 65п + 456 = 0,
следовательно, rii = 8, П2 = 57 (по смыслу задачи не подходит).
Ответ: За 8 часов. ♦
207

Пример 4. Решить уравнение
13
2х + 1 + х2 - х3 + х4 - х5 + • • • = —, где |х| < 1.
6
О Решение. Перепишем уравнение в виде
(2х + 1) + {х2-х3+х4-хь+ ■■■) = ¥-.
6
Во второй скобке — сумма бесконечно убывающей
геометрической прогрессии с q — —х. Следовательно, можно записать
х2
' l-(-x)
12x + 12z2 +
18x
-5±
От» J_ 1 _i_
— ZX T 1 "T
6z2 + 6z +
2 + bx - 7 --
V25 + 504
36
1
x2
1 + x
6 = 13 +
= 0,
-5±
7
13
6,T.e.
13x,
23
Ответ: Xi = A, x^ — — ^. ♦
Пример 5. Три числа образуют геометрическую
прогрессию. Если второе число увеличить на 2, то прогрессия станет
арифметической, а если после этого увеличить последнее
число на 9, то прогрессия станет снова геометрической. Найти
эти числа.
0 Решение. Обозначим искомые числа через а, Ь и с. По
условию
(ГП) а, Ь, с
(АП) а, Ь + 2, с
(ГП) а, Ь+2, с + 9.
Отсюда, согласно формулам ГЗ и A3, получаем систему из
трех уравнений
Ь2 — ас,
208

Решаем ее. (6 + 2)2 = ас + 9а, но ас — б2. Получаем Ь2 +
4- 46 + 4 = б2 + 9а, т. е.
« = ^. а)
Подставим в равенство б2 = ас^ получаем б2 = q • с. От-
сюда
962
с =
46 + 4'
(2)
Значения а и с (см. (1) и (2)) подставляем в равенство 6+2 =
а -\- с
26 + 4 = -—— +
9
+ .
9 46 + 4
Решаем это уравнение.
7262 + 1446 + 726 + 144 = 1662 + 326 + 16 + 8162, т. е.
2562 - 1846 - 128 = 0, 6i = 8, 62 = -Щ.
Подставив найденные значения 6 в равенства (1) и (2),
находим аг = 4, ci = 16 и а2 = ■—, с2 = ||.
Ответ: 1) 4, 8, 16; 2)^, -Ц, Ц. ♦
Пример 6. Пусть ai, аг, аз» • • •) ап,... — последовательные
члены геометрической прогрессии, Sn — сумма ее п первых
членов. Доказать, что
Sn = аюп •( — + — + ••■ + — ].
\аг а2 anj
0 Решение.
Sn — a>i + a2 + аз Н h fln-2 + a>n-i + ^n =
1 I Q2 I -ОД I | Qn-2 . Qn-1 .
an ^ aa aa aa aa
S2
+ + + + +
n an_i an_2 a3 a2
209

При доказательстве воспользовались свойством
геометрической прогрессии (см. формулу Г4). ф
Пример 7. Известно, что L, М, N — соответственно /-й,
m-й, п-й члены геометрической прогрессии. Показать, что
Lm-nMn-lNl-m = j
О Решение. По условию
Ь = сц, т.е. L — a\ql~l,
М = ат1 т.е. M = aigm-\
N = ап, т.е. N = aiqn~l.
Тогда
Lm-nMn-lNl-m _
(a/' J) (gra х) (a9n ^
_m—n+n—l+l—m Im—ln—rn+n+rnn—rnl—n+l+ln—l—mn+m
— Oi • и —
Пример 8. Найти сумму
Sn = 9 + 99 + 999 + • • • + 99^99.
n раз
О Решение. Перепишем каждое слагаемое суммы в
другом виде, получаем
Sn = (10 - 1) + (102 - 1) + (103 - 1) + • • • + (10п - 1) =
= (10 + 102 + 103 4- • • • + Юп) - (1 + 1 + 1 + •_+1) =
п раз
9 + 99 + 999 + - - - + 99. „ 99 = ^(10n+1 -10-9n).
п раз
При* нахождении суммы воспользовались формулой Г2.
210

Пример 9. Найти сумму
J _L _1_ 1
71 1-22-33-4 (n - 1) • n n • (n + 1)"
О Решение. Заметим, что
1 _ 1 1
71 • (n + 1) 71 71+ 1'
Тогда каждое слагаемое суммы представим в виде разности:
=1-
71-1 п) \п
п
п + 1 n-fl
Упражнения
1. В арифметической прогрессии ап — —, а ат = —
тть ть
(тпфп). Найти сумму ее первых m • п членов.
2. Арифметическая прогрессия. Sp = q, Sq = р, 5p+g = ?
3. Могут ли числа л/3, 2, л/8 быть членами арифметической
прогрессии?
4. Все члены арифметической прогрессии — натуральные
числа. Известно, что а2 = 12, 200 < 59 < 220. Найти а\
5. Найти три числа, составляющих геометрическую
прогрессию, зная, что их сумма равна 26, а сумма квадратов
этих чисел равна 364.
6. Геометрическая прогрессия: аш = А, ап = Б, а& =?
7. Известно, что геометрическая прогрессия возрастающая,
ai+an = 66, п2 - ап-\ = 128, Sn = 126. Сколько членов в
этой прогрессии?
211

8. Сумма членов бесконечно убывающей геометрической
прогрессии равна наибольшему значению функции
f{x) =х3 + Зх-9 на [-2,3],
а а\ — п2 = f'{0). Чему равен знаменатель этой
прогрессии?
9. Сумма членов бесконечно убывающей геометрической
прогрессии равна 243, а сумма ее первых пяти членов
равна 275. Найти прогрессию.
10. Найти четыре целых числа, составляющих
арифметическую прогрессию с d > 0, зная, что наибольшее из них
равно сумме квадратов всех остальных.
11. Решить уравнение 1+3+5+7Н Ьх = 625.
12. Найти сумму первых восьми членов геометрической
прогрессии, у которой а2 =4, а5 =32.
13. Найти знаменатель геометрической прогрессии, у
которой каждый член, начиная с третьего, равен сумме двух
предыдущих.
14. Сумма первых 5 членов бесконечно убывающей геоме-
трической прогрессии равна ^, а последующих 5 чле-
нов — 75^- Найти сумму всех членов прогрессии.
15. Найти сумму первых 15 членов арифметической
прогрессии, у которой аз + as = 24, аи — а$ = 14.
16. Найти арифметическую прогрессию, если а\ — 11,
сумма первых четырех членов равна 56, а сумма четырех
последних равна 112.
17. В геометрической прогрессии сумма первого и
четвертого членов равна 18, а сумма второго и третьего равна 12.
Найти разность между третьим и вторым членами этой
прогрессии.
18. Могут ли три числа одновременно составлять арифме-
- тическую и геометрическую прогрессии?
212

19. Найти d\ и q бесконечно убывающей геометрической
прогрессии, у которой S = 9, а сумма квадратов ее
членов равна 40,5.
20. Между числом 3 и неизвестным числом вставлено еще
одно число так, что все три числа образуют
арифметическую прогрессию. Если средний член этой прогрессии
уменьшить на 6, то получится геометрическая
прогрессия. Найти неизвестное число.
Ответы: 1. mn2+1; 2. -(p + g); 3. Нет; 4. 8, 4; 5. (18,6,2) и
к—т
(2, 6, 18); 6. А • f g J ; 7. п = 6; 8. |; 9. 405, -270, 180, ...;
10. -1, 0, 1, 2; 11. 49; 12. 510; 13. q = 1±<^Ъ\ 14. 4; 15. 255;
16. 11, 13, 15,..., 31; 17. ±4; 18. да, если числа равны между
собой; 19. аг = 6, q = 1; 20. 27.
Элементы математического анализа
I. Вычисления производных. Для вычисления производных
надо знать лишь правила дифференцирования и формулы
производных элементарных функций, строго соблюдать эти
правила при выполнении упражнений.
Правила дифференцирования.
Далее, обозначим с — const, u(x),v(x) —
дифференцируемые функции.
1. (с)' = 0
2. (« ± v)' = и' ± v1
3. (uv)' = u'v + uv'
4. (cu)' = cu'
213

7. Производная сложной функции: у'х = у'и • и'х\ если у =
= /(и), где и = <р(х), то у = f(ip{x)) — сложная
функция.
Таблица производных элементарных функций.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
(«n) =
(е-)' =
(в*)' =
(Юв.«)
(ln«)' =
(sin и)'
(cos и)'
пип~1 • и'
аи • In a • и'
еи-и'
, i
и -Ina
~ и
= cos и • и'
= — sin и -и'
16. (ctg«)' = r^-u'
sin u
17. (*)' = 1
Пример 1. Найти производную функции у = 2xcosx.
0 Решение.
у' = (2xcosx); =
(формула 4) = 2(xcosx); =
(формула 3) = 2{х' cosx + x(cosx)') =
(формулы 17 и 14) = 2(1 • cosx Ч- х • (— sinx)) =
= 2cosx —
Пример 2. Найти производную функции у = cos In12 2x.
214

О Решение.
у' = (форм. 14) = - sin(ln12 2х) • (In12 2х)' = (форм. 8)
= - sin(ln12 2х) • 12 In11 2x • (1п2х)' = (форм. 12)
- sin(ln12 2х) • 12 In11 2х ~ • {2х)' = (форм. 4 и 17)
2х
= -— • In11 2z • sin(ln12 2z). ♦
х
Пример 3. Найти значение производной функции у =
= х ■ \/х в точке х = 16
О Решение. у' = (z • ^i)' = (xt)' = | ■ i? = | • tyx-
Значит,у'(16) = |-^16=|-2 = |. ♦
Задачи. Найти производные следующих функций
1) у = 31п5(1-5х2)- ^2
2) У=(2х^+7Г
3) i/ = sin3 Ъх • cos2 ^
4) y =
5) y =
II. Применение производных.
а) Задачи геометрического характера. Используется
геометрический смысл производной: k = f'(xo) — tga — угловой
коэффициент касательной. Уравнение касательной к кривой
у = f(x) в точке М(хо,уо) имеет вид: у - у0 = к(х - х0),
где к = f'(xo). Условием параллельности прямых, имеющих
угловые коэффициенты к\ и &2 соответственно, является
равенство к\ — к2.
Пример 4. К параболе у = Зх2 — Ъх + 8 в некоторой точке
проведена касательная под углом 45° к оси абсцисс. Найти
точку касания.
О Решение. Пусть М(яо, Уо) есть точка касания. Точка М
принадлежит кривой у = Зх2 - Ъх + 8, следовательно, имеем
2/о = 3x1 - 5х0 + 8. (1)
215

По условию у'(хо) = 1 (tg45° = 1). Но у* — 6я — 5. Стало быть,
у'(х0) = 6х0 - 5,
6хо-5 = 1. (2)
Решая систему уравнений (1) и (2), находим: х0 — 1, уо — 6.
Ответ: М(1,6). ♦
Пример 5. Составить уравнение касательной к графику
функции у — х + в точке пересечения его с осью абсцисс.
х
0 Решение. Находим точку пересечения графика с осью
ОХ. Полагаем у — 0, тогда х "*~ = 0. Отсюда х3 +1 = 0, т. е.
х
х = —1. Итак, М(—1,0). Находим к:
/z3 + lV / 1\' 1
у1 = [ 1 = [ х2 Н— 1 =2х г-, следовательно,
\ х J \ xj х2
Значит, к = —3. Следовательно, уравнение касательной есть
Ответ: у — —3(х 4-1). ♦
Задачи
1)* Касательная проведена в некоторой точке к кривой
у = х4 — 4х параллельно оси абсцисс. Найти точку
касания.
2) Найти касательную, проведенную к кривой у = 2х5 —
— 5х2 в точке, абсцисса которой равна — 1.
3) При каких значениях а и Ь прямая у = 7х — 2 касается
графика функции у = ах2 + Ьх 4- с в точке А(1; 5)?
4) Под каким углом пересекаются графики функции у =
= 8 — х и у = 4у/х + 4 ?
5) Найти угловой коэффициент касательной к кривой у =
= х2 - Ах + 3 в точке М(0; 3).
216

б) Задачи физического характера. Используется
механический смысл производной: s' = v, т. е. производная функции
f(t) в точке t равна скорости движения, определяемого
законом движения 5 = f(t). Ускорение прямолинейного движения
находится по формуле 5" = а или v' = a.
Пример 6. Тело, выпущенное вертикально вверх,
движется по закону h(t) = St — bt2. Найти скорость тела в момент
соприкосновения с землей.
О Решение. На земле h = 0, т.е. О = St — bt2. Отсюда
ti = О, £2 = §• То есть тело соприкоснется с землей через ^ с.
о о
Находим скорость тела, v = /i', т.е. v = (8t - Ы2)' = 8 - 10t.
Значит, при t — ^ с имеем v — 8 — ' = — 8 (м/с),
о о
Ответ: -8 м/с. ♦
Пример 7. Материальная точка движется прямолинейно
по закону 5 = 60t - 5£3. Через сколько времени после начала
движения точка остановится? Найти путь, пройденный
точкой до остановки.
0 Решение. В момент остановки скорость точки
равна нулю. Находим v: v = (60£ - 5£3)' = 60 — Ш2.
Решаем уравнение 60 - 15*2 = 0, т.е. t2 = 4, tiy2 = ±2.
После начала движения, как выяснили, точка остановится
через £i = 2 с. Путь, пройденный точкой до остановки, составит
S = 60 • 2 - 5 • 23 = 120 - 40 = 80м.
Ответ: t = 2 с, S = 80м.ф
Задачи
1) Точка движется по закону S = StA - 4t3. Найти скорость
и ускорение точки через 2 с после начала движения.
2) Угол ф (рад) поворота тела вокруг оси изменяется от
времени t по закону ip(t) — 3£2 - 2t - 4. Вычислить
угловую скорость в любой момент времени t и определить,
при каком значении t (с) она окажется равной 40 рад/с.
3) Количество электричества, протекающее через
проводник, начиная с момента t = 0, дается формулой Q =
= 2£3 + 3£-Ы (кул). Найти силу тока в конце 5-й секунды.
217

4) Тело с массой т0 движется прямолинейно по закону
S — at2 + bt + с (a,b,c — постоянные). Доказать, что
сила, действующая на тело, постоянна.
5) Человек, рост которого 1,8 м, удаляется от
источника света, находящегося на высоте 12 м, со скоростью
50 м/мин. С какой скоростью перемещается тень его
головы? ^й
в) Нахождение интервалов монотонности функций.
Используется теорема, утверждающая, что: если f'(x) > 0 на
[а, 6], то функция возрастает на этом промежутке; если J'(x) <
< 0 — убывает.
Пример 8. Найти интервалы монотонности функции у =
= -х(х-3)2.
О Решение. Находим у1.
у' = (-х{х - З)2)' = -1 • (х - З)2 - х • 2{х - 3) • 1 =
-(х - 3){х -3 + 2х) = -(х - 3)(3s - 3) = -3(х - 1)(х - 3).
Изобразим на числовой оси точки, в которых у' = 0.
Исследовав знак производной слева и справа от каждой из
точек х\ = 1 и Х2 — 3, получаем:
у'>0 в (1,3);
у'<0 в (-оо,1) и (3,оо).
Ответ: Функция возрастает в (1,3),
убывает в (-оо, 1) и (3,оо). 4
Пример 9. Доказать, что функция 2х + sin а: возрастает
на всей числовой оси.
О Решение. Находим у': у' = (2х + sin я)' = 2 + cos я.
Очевидно, что у' > 0 при любом х (т. к. — 1 ^ cos а; ^1). ♦
Задачи. Исследовать функции на возрастание и убывание
218

г) Исследование функций на экстремум. Краткое правило:
1. Найти критические точки функции, т.е. точки, в
которых производная равна нулю или не существует,
выбрать из них те, которые являются внутренними
точками области определения.
2. Исследовать знак слева и справа от каждой из
критических точек: если знак меняется с минуса на плюс, то
данная точка — точка минимума; с плюса на минус —
точка максимума.
3. Найти экстремум функции, т. е. значение функции в
точках минимума и максимума.
Пример 10. Исследовать функцию
на экстремум.
0 Решение. 1. Находим критические точки.
_o3/7Z-^2 , 2(2x+l)_6(x-2)+4x + 2_10 x-1
= 2^(x-2)2 +
f'(x) = 0 при х\ = 1; f'(x) не существует при хч — 2. Итак,
имеем две критические точки х\ = 1 и Х2 — 2.
2. Исследуем знак f'{x).
219

Таким образом, х\ = 1 — точка максимума, х2 = 2 —
точка минимума.
3. Находим экстремум функции: /тах = /(1) = 3, fmm =
= /(2) = 0.
Задачи. Исследовать функции на экстремум.
1) у = (1-х2)3
2) у — х • у/1 — х2
3) у = х3 - За;2 + Зх
4) y = S-2x2-x4
5) У=^ + ?
д) Нахождение наибольшего и наименьшего значений
функции на заданном промежутке. Для этого:
1. Находим критические точки и рассматриваем те из них,
которые принадлежат заданному отрезку.
2. Вычисляем значения функции в этих точках.
3. Вычисляем значения функции на концах отрезка.
4. Среди вычислений, произведенных в пп. 2 и 3, выбираем
наибольшее и наименьшее значения и выписываем ответ.
Пример 11. Найти наибольшее и наименьшее значения
функции f(x) = х + -4 а) на [-2, -1]; б) на [1,3].
х
0 Решение, а) /'(*) = 1 - ^^ = 1 - Щ = х5~32.
Критическая точка одна: х\ = 2 (/'(xi) = 0), хг = 0 $ D{f),
ar2g [-2,-1]. Далее,
/(_2) = -2 + А = _3) /(_i) = _1 + 8 = 7.
Ответ: /нб = 7 при х = -1, /нм = -| при х = -2.
220

б) если рассматривать отрезок [1,3], то
2+ = ^ /(1) = 1 + 8 = 9> /(3) = з
Ответ: /нм = | при х = 2, /нб = 9 при х = 1. ♦
Задачи. Найти наибольшее и наименьшее значения
функций на заданных промежутках
1) у = хъ- Зх2 - 9х + 35 на [-4,4]
2) у = х2 - lnx на [1,е]
3) »=f+ J на [-5,-1]
4) 2/ = 2х + 3^х2 на [-1,5; 8]
5) у = 4х3-х-|х-2| на [0;3]
е) Решение задач на оптимум. Можно придерживаться
следующей схемы решения задач:
1. Исходя из условия задачи ввести удобные обозначения,
т. е. ввести некоторые переменные.
2. Связать эти переменные с заданными данными в виде,
прежде всего, равенств (неравенств).
3. Составить функцию величины, которую требуется
исследовать в данной задаче.
4. Сделать так, чтобы функция зависела от одной
переменной. Для этого использовать связи пункта 2.
5. Исследовать полученную функцию на экстремум.
Пример 12. Число 180 разбить на три слагаемых так,
чтобы два из них относились, как 1 : 2, а произведение трех
слагаемых было наибольшим.
0 Решение 1. Пусть искомые слагаемые есть х, у и z.
221

2. Из условия задачи следует:
= 180,
(4)
х + у + z = 180, (3)
х _ 1
У "2*
3. Произведение трех слагаемых обозначим через /. Тогда
/ = xyz.
4. Но из (4) следует, что у = 2х. Тогда f = х • 2х • z. Но
из (3) следует, что z — 180 — х — у. С учетом, что у = 2х
получаем z — 180 — Зх. Тогда функция / принимает вид
/ = 2х2(180 - Зх) = б • (60s2 - х3).
5. Исследуем ее на экстремум. /' = 6 • (120х — Зх2) =
= 18х(40 - х), /' = 0 при xi = 0, х2 = 40 (xi = 0 не
подходит по смыслу задачи), х = 40 — точ-
Н- — ка максимума. А так как экстремум один, то
40 х максимум совпадает с наибольшим
значением функции. Находим у и z: у — 2 • 40 = 80,
a z = 180 - 3 • 40 = 60. Итак, слагаемые 40, 80 и 60 числа 180
удовлетворяют условию (4) и дают наибольшее произведение.
Ответ: 180=40+804-60. ♦
Пример 13. Какие размеры нужно придать радиусу
основания и высоте открытого цилиндрического бака, чтобы при
данном объеме V на его изготовление пошло наименьшее
количество листового металла.
0 Решение.
1. Обозначим радиус основания через х, а высоту бака
через у.
2. По УСЛОВИЮ Убака = V, НО Цилиндра = T*R2 ' #• Имеем
равенство
V = тгх2у. (5)
3. Поверхность цилиндрического бака обозначим через 5,
она состоит из боковой поверхности цилиндра и основания.
Получаем S = 2тгху Н- тгх2 (по формулам SeOK = 2тгД/г,
Soch = *&)■
4. Из (5) находим, что у = -^-у. Функция 5 принимает вид:
7ГХ
п Л V 2 2V 2
5 = 2ттх • —ту 4- тгх^ = Ь тгх2.
7ГХ2 X
222

5. Исследуем функцию 5 на экстремум.
^з
2V 2(пх3-У)
о = «г 4- 2тгх = ту ,
S' = 0 при х = 43/ , т. е. х = 43/— — точка минимума.
у 7Г у 7Г
А так как экстремум один, то
минимум совпадает с наименьшим значени-
ем функции. Находим у:
У= ~
Итак, при х = у = ?/— на изготовление цилиндрического
бака (открытого) пойдет наименьшее количество листового
металла.
Ответ: R = H = з/И. +
Задачи
1) В какой точке надо провести касательную к графику
функции у = ^л/18 — х2, х £ (0,3>/2), чтобы она
образовывала с координатными осями треугольник
наименьшей площади?
2) Из куска проволоки длиной / согнуть прямоугольник,
чтобы его площадь была наибольшей.
3) Из данного круга вырезать такой сектор, чтобы, свернув
его, получить конус с наибольшим объемом.
4) Число 18 разбить на такие два слагаемых, чтобы сумма
их квадратов была наименьшей.
223

5) Расходы на топливо для парохода делятся на две
части. Первая из них не зависит от скорости и равна 480
р./час. А вторая часть расходов пропорциональна кубу
скорости, причем при скорости 10 км/час эта часть
расходов равна 30 р./час. При какой скорости общая сумма
расходов на 1 км пути будет наименьшей?
otc) Построение эскиза графика функции. При
исследовании функции можно придерживаться следующей схемы.
1. Найти область определения функции.
2. Найти точки пересечения графика функции с осями
координат.
3. Исследовать функцию на четность и нечетность.
4. Найти интервалы знакопостоянства функции.
5. Найти интервалы монотонности функции.
6. Исследовать функцию на экстремум.
7. Построить 1-2 точки для уточнения графика функции.
Затем построить график функции. Отметим, что не для
всякой функции надо выполнять все указанные действия. Для
более сложных функций полезно провести дополнительное
исследование: изучить точки разрыва функции, исследовать
ее на периодичность,
выяснить поведение функции при
х —> ±оо и т. д.
Пример 14. Построить
эскиз графика функции
5_
О Решение. Исследуем
ее по предложенной схеме:
1. D(y) = R, график
состоит из одной кривой;
М2 /—
-9,6
224

2. При х = 0, у = О. Если же у = О, то х5 - 20х2 = 0, т. е.
х2(х3 - 20) = 0, т. е. х\ = 0 и х2 = v^20. График пересекает ось
OY в точке 0(0,0), а ось ОХ — в точках 0(0,0) и Мг( ^20,0).
3. Функция общего вида, т.к. у(—х) ф у(х), у(—х) ф —у{х).
4. у > 0 при 1х5 - 4х2 > 0, т. е. хъ - 20х2 > 0, т. е.
х2(х3-20)>0 =►
(ж - ^20)(х2 + v^20x 4- ^400) > О,
т.е. х > v^20- График расположен над ОХ в (v^O,oo).
5. у1 = х4 - 8х = х(х3 - 8) = х(х - 2)(х2 + 2x4- 4). Функция
возрастает, если у1 > 0, т.е. х(х — 2)(х2 4- 2х 4- 4) > 0, значит,
х(х - 2) > 0.
Функция возрастает на (оо, 0) U (2, оо); убывает на (0,2).
6. у' = 0 при х\ — 0 и Х2 = 2. Как видно из пункта 5,
х\ = 0 — точка максимума, а х2 = 2 — точка минимума.
2/тах = 0, 2/min = 1 • 25 - 4 • 22 = Щ- - 16 = -9,6. Строим
график.
7. Прих = -1 имеем у = -i-4= -4,2, т.е. М2(-1; -4,2). ♦
о
Пример 14. Построить эскиз графика функции
1
О Решение. Проведем исследование, выполняя не все
рекомендованные действия 1-7.
1. D(y) = (—00,1) U (1,4) U (4, оо). График состоит из 3-х
ветвей.
2. График расположен над ОХ на участках (—оо, 1)U(4, оо).
3. у' = ~^2/~^ 2> У' = ° ПРИ х = § х = 2 ~~ точка
максимума, 2/тах = -|-
4- -
^ I ^ *х
2
8-8601 225

4. Если х -> ±оо, то у -> 0.
5. При х = 0, у = i
2,5
Задачи. Начертить эскизы графиков функций.
9
4
2) "=7ztn
4) у = г3 - Зх2 + 2
5) 2/ = х-4
X
Упражнения
1. Найти производные функций:
а) у = 3 sin 2х • tg v^S, б) у = х \/хг 4- 1,
в) У = log^ (4 -
2. Решить неравенство /'(я) < д'(х), если /(х) =
- i* + i
226

3. Найти сумму х 4- х2 4- • • • 4- хп, а затем сумму 1 4- 2х +
4-Зх2 + ••• + пхп"1.
4. Составить уравнения касательных к кривой у = х2 —
-4хН-3, проходящих через точку М(2, — 5). Сделать
чертеж.
5. s(t) = 8 - 2t 4- 24£2 — 0,3£5. В какой момент времени тело
имеет наибольшую скорость? Найти эту скорость.
6. Радиус шара г равномерно возрастает со скоростью 2 ^.
С какой скоростью возрастает объем шара? Найти эту
скорость в момент, когда г достигнет 10 см (г = 0 при
t = o).
7. Найти точки экстремума функции у — е~х — е~2х и угол
между осью ОХ и касательной к графику данной
функции в точке с абсциссой х = 0.
8. Найти экстремум функции и указать промежутки ее
возрастания и убывания:
(х-5)2 •
9. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на
заданном отрезке
у = хъ - х3 4- х 4- 2, х е [-1,1].
10. Найти число, которое превышало бы свой квадрат на
максимальное значение.
11. Среди равнобедренных треугольников с данной боковой
стороной а найти треугольник наибольшей площади.
12. Переменная у обратно пропорциональна переменной х.
Найти коэффициент к обратной пропорциональности и
заполнить таблицу
х
У
30
0,1
9,6
3,05
-. На графике
заданной обратной пропорциональности найти точку,
ближайшую к началу координат О(0,0).
227

13. Построить эскиз графика функций:
а)у = 0,5х4-4х2; г) у = ^;
X
х2 ' ''
B)y=v-L+2-
14. При каких х равна 0 производная функции
у = 3(sinx + v
15. На плоскости XOY вершина А прямоугольного
треугольника ABC (/.В = 90°) имеет координаты (-2,0),
а вершина В лежит на отрезке [2,3] оси ОХ, вершина
С — на графике у = х2 — 4х 4- 1. Каковы должны быть
координаты точки С, чтобы площадь треугольника ABC
была наибольшей?
16. Показать, что ех ^ 1 + х при х ^ 0.
17. Дана функция f(x) = (х2 -6)(3 — 2х). Сделать эскиз
графика функции и выяснить, сколько корней имеет
уравнение f(x) = а в зависимости от а.
18. Написать уравнение касательной к у = 2х — х2 в точке
х0 = 2.
19. Точка движется прямолинейно по закону s (t) = yi?.
Показать, что ее ускорение обратно пропорционально
квадрату пройденного расстояния.
20. При каких а уравнение х3 4- — = а имеет хотя бы одно
х
решение?
Ответы: 2. (-«,, 0) U (0, §); 3.
^ (1 - х)
4. у = 4х - 13, у = -4х + 3; 5. v{2) = 70м/с; 6. 800тг см3/с;
7. х = In2 — точка максимума, угол= 45°; 8. ути1 = -Щ
7 ( 7 \
при х = ^, возрастает на I ^,5 I; 9. 2/Наим = 1, 2/наиб = 3;
10. i; 11. прямоугольный треугольник с гипотенузой а\/2;
z
228

12. * = 29,28, х * 5,4, у » 5,4; 14. | + тг*;, fc G Z;
15. С ( |,-тг V> 17e * корень при а > 2, a < -25; 2 кор-
ня при a = 2, a = —25; 3 корня при —25 < a < 2; 18. у =
= -2z + 4; 20. |a| ^32.
Задачи с параметром
Рассмотрим ряд уравнений и систем, содержащих
буквенные коэффициенты (параметры).
Решить уравнение с параметрами — значит найти все
корни данного уравнения для каждой допустимой системы
значений параметров.
I. Линейные уравнения и приводимые к ним.
Пример 1. Решить уравнение (а2 - 9)х = а2 4- 2а - 3.
0 Решение. Уравнение имеет смысл при любых
значениях параметра. Запишем уравнение в виде (а — 3)(а + 3)х =
= (а 4- 3)(а — 1). Если а = —3, то уравнение принимает вид:
О • х = 0. Отсюда следует, что х G R, т. е. корнем уравнения
является любое действительное число. Если а ф — 3, то
уравнение принимает вид: (а —3)х = а—1. При а = 3 имеем 0-х = 2.
Уравнение корней не имеет. При а ф 3 имеем х — а~ \ • У рав-
нение имеет единственный корень (например, х — 3 при а = 4,
О
х = *г при a = —2 и т.д.).
и
Ответ: a = -3, х 6 R; a = 3, х £ 0;
1
^
Пример 2. Найти корни уравнения
0 Решение. Очевидно, (х -Ь 1) • а ф 0, т. е. х ф -1, а ф 0.
Преобразуем данное уравнение, умножив обе его части на
а(х + 1)ф0:
(z-4)a- 1 = -2(я + 1), т.е. (а + 2) • х = 4а - 1.
229

Если а = —2, то имеем 0 • х = —9. Следовательно, х Е 0. Если
а ф —2, то х = ~о. Но, как уже отметили, х ^ — 1- По-
этому надо проверить, нет ли таких значений а, при которых
найденное значение х равно —1.
4а- 1 1
— = —1, т.е. 4а — 1 =-а — 2, т.е. 5а=—1,а = — -.
а 4- 2 5
Значит, при а ф 0, а ф —2, а ^ — ^ уравнение имеет един-
ственный корень ~0 •
Ответ: х Е 0 при а Е {—2,0,—^};
о
II. Квадратные уравнения и приводимые к ним.
Пример 3. Решить уравнение (а — 5)х2 + Зах — (а — 5) = 0.
0 Решение. При а — 5 = 0, т. е. а = 5 имеем 15х — 0 = 0,
т.е. х = 0. При а — 5^0, т. е. афЪ уравнение имеет корни
-За ± у/9а2 + 4(а - 5)2
^ п к -За ± v/9a2 + 4(а - 5)2
Ответ: х = 0 при а = 5; х = Ъг,—_ -, при
Пример 4. Найти корни уравнения
1 1 а4-1
х — 1 х — а а
0 Решение. Отмечаем, что а(х — 1)(х — а) ф 0, т. е. х ^ 15
х ф а, а ф 0. При этих условиях данное уравнение после
упрощений принимает вид
(а 4-1) • х2 - (а2 + 4а 4- 1)х 4- (2а2 + 2а) = 0.
Если а + 1 = 0, т. е. а = —1, имеем, 2х = 0, т. е. х = 0.
Если а 4-1 ф 0, т. е. а ф — 1, то находим, что
а2 4- 4а + 1 ± у/а4 4- 2а2 + 1 _ а2 + 4а 4- 1 ± (а2 4- 1)
2(а + 1) " 2(а + 1)
230

т.е. si = а + 1, Х2 = ~-^гт- Найдем значения а, при которых
х = 1 и х = а, чтобы исключить их.
а + 1 = 1 => а = О — недопустимо по условию;
а+1 = а => 1 = 0 — невозможно;
2а
а+1
= 1 => 2а = а + 1, т. е. а = 1;
2а о
= а =Ф 2а = а + а, =>а=1иа = 0 — недопустимо.
а+1
Итак, если а ф — 1, а ^ 0, а / 1, то х\ = а + 1 и Х2 = j*« .
Теперь рассмотрим, что происходит с уравнением при а =
= 1. Найдем корни уравнения: х\ = 1 и х2 = 2, причем Xi = 1
не подходит по условию. Теперь выписываем
Ответ: Х\ = а + 1 и х2 = ~~^гт ПРИ о / 0, о ^ =Ы;
х = 0 при а = —1; х = 2 при а = 1. ф
III. Иррациональные уравнения. Решение должно
сопровождаться тщательной проверкой.
Пример 5. Найти корни уравнения у/х2 + ах — 2а = х +1.
0 Решение. Корень этого уравнения должен
удовлетворять условиям
х2 + ах - 2а ^ 0, (1)
х + 1^0. г (2)
Возводим в квадрат обе части уравнения: х2 + ах — 2а =
= (х + I)2. Как видно, любой корень этого уравнения
удовлетворяет условию (1),т. к. (х+1)2 ^ 0. Следовательно, с учетом
условия (2) имеем
{х2 + ах - 2а = (х + I)2, f (а - 2)х = 2а + 1,
т.е. <
1 \ ^1
Если а = 2, то 0 • х = 5 =Ф х Е 0; если а ф 2, то
2а+1

При каких же а выполнено ~^~* ^> — 1? Решаем это неравен-
ство.
(За-1)(о-2) ^0, а фЧ, т.е.
(а - ±)(а - 2) > 0.
Следовательно, о
Ответ: х = ~* ~ при а > 2
^ i; х G 0 при
Пример 6. Отыскать все решения уравнения
и а ^ 1; х е 0 при 1 < а ^ 2. ф
у а - у/а + х = х.
0 Решение. Допустимые значения неизвестного х и
параметра а описываются системой
Отсюда следует х ^ 0, а ^ 0 и а2 ^ а + х, т. е. х ^ а2 - а, т. е.
получаем
Г 0^х^а2-а выполнятся при а ^ 1,
]^ х = 0 при а = 0.
Возводим обе части уравнения в квадрат: а — ^а + х = х2, т. е.
у/а + х = а — х2. Отсюда следует
а - х2 ^ 0. (3)
Обозначим у/а~+1с = t. Тогда получаем систему уравнений
t = а — х ,
; + х = £2,
т.е.
а-х2 =t.
232

Вычтем почленно, получим х + х2 = t2 - t, т. е. х2 — t2
_1_ х _|_ t = 0 или (х + t)(x - t + 1) = 0. Стало быть, имеем
9 и <
а - х2 = t a-x2 =t.
Отсюда, с учетом условия (3), находим х =
а^ 1.
Ответ: х = 0 при а = 0; х = ~1 + ^4о~3 при а ^ 1. ф
IV. Показательные уравнения.
Пример 7. Решить уравнение ах+1 = Ь3~х.
0 Решение. По определению показательной функции
а > 0, 6 > 0.
Если а = 1, Ь = 1, то х € R;
если а = 1, Ь ф 1, то Ь3~х = 1, значит, х = 3;
если а ^ li Ь = 1, то ах+1 = 1, значит, х = -1;
Пусть а ф 1 и Ь ф 1. Тогда прологарифмируем данное
равенство по основанию а:
х + 1 = (3-х) -loga6, т.е. (1 + loga6)x = 31oga6- I.
Если 1 + loga b = 0, т. е. Ь = - (Ь ф 1), то имеем 0 • х = -4, т. е.
хе 0. EcnHl+logab^0,T.e. Ьф I (Ь ф 1),тох =
Ответ : х G R при a = 6 = 1;
х = 3 при а = 1, Ь / 1, 6 > 0;
х = — 1 при а ф 1, 6=1, a > 0;
'- l + logo6 ПРИ j a>0)6>0.
Пример 8. При каких значениях а уравнение
а (2х + 2"х) = 5
имеет единственное решение?
233

О Решение. Очевидно, а > 0 (т.к. 2х + 2~х ^ 2). Имеем
at + | = 5, где 2х = t, t > 0, т. е.
at2 - 5t + a = 0,
5 ± \/25 - 4а2
2~а '
Уравнение имеет единственное решение, если 25 -4а2 = 0, т. е.
« = §.
Ответ: а = |.
V. Логарифмические уравнения.
Пример 9. Найти все корни уравнения
О Решение. Должно выполняться а > О, а ф 1, х > -2,
х ф 0, т. е.
*€ (-2,0) U (0, оо). (4)
Преобразуем данное уравнение:
loga х2 + loga(x + 2)2 = loga a.
Отсюда х2(х + 2)2 = а, т.е. \х\(х + 2) = у/а.
а) Если -2 <; а; < 0, то уравнение принимает вид
-х(х + 2) = у/а, т.е. х2 -f 2х + у/а = 0, т.е.
xi)2 = -1 =Ь у 1 - у/а при 1 — д/а > 0, т.е. при 0 < а < 1.
Оба корня лежат в промежутке (—2,0).
б) Если х > 0, то уравнение принимает вид х(х + 2) = у/а,
т.е. х2 + 2х - v^a = 0. Отсюда х3,4 = — 1 ± т/l + у/а. Корень
х4 = -1 - v^l + л/S ^ (0, оо). Корень хз = -1 + у/l
G (0, оо) при условии, что а > 0.
Ответ :
+ л/я ПРИ 0 < a < 1;
+ >/^ при a > 1.

Пример 10. При каких значениях а уравнение
имеет четыре корня?
ф Решение. Отметим, что х > О, т. е. х Е (0,оо).
Рассмотрим два случая.
а) Если log3x ^ 0, т.е. х ^ 1, то данное уравнение
принимает вид 21og3x - log3x + a = 0. Отсюда (log3x)12 =
__ 1 ± у1 — Ьа ^ т е уравнение имеет два корня при 1 - 8а >
> 0, т.е. при а < 1:
л/1-8а . 1-л
— и log3x = .
Так как log3 x ^ 0, то должны выполняться условия
4 ' 4
Первое неравенство справедливо при а < ^ а второе еще и
о
при а ^ 0. Действительно, 1 — л/1 — 8а ^ 0, т.е. \/1 — 8а ^ 1,
т.е. 1 - 8а ^ 1, т.е. —8а ^ 0, т.е. а ^ 0. Итак, данное урав-
нение имеет два корня х\ = 3
б) Если log3 х < 0, т. е. 0 < х < 1, то имеем:
2 log3 х + log3 x + a = 0.
Отсюда
Уравнение будет иметь еще два корня х3 = 3
т. е. а > 0.
, т.е. л/1 - 8а < 1,т.е. 1-8а< 1,т.е. -8а < 0,
Ответ: 0 < а < i. ♦
о
235

VI. Тригонометрические уравнения.
Пример 11. Решить уравнение tg |x - 2| = а.
О Решение. Очевидно, что cos |х — 2| ф 0, т.е.
Irg* ___ ^9 I —JL. ___ I >7Г ** Т* £± ПР —г- J —г— I ^^ I утт* 4* I **• ^Z ^r f К\
Решаем исходное уравнение: |х - 2| = arctga + тгп, п G Z. Так
как |х - 2| ^ 0, то arctga + тгп ^ 0.
а) Если а ^ 0, то п = 0,1,2,3,4,...
б) Если a < 0, то п = 1,2,3,4,...
Из |х — 2| = arctga 4- тгп следует, что х = 2 ± (arctga + тгп).
Найденное решение удовлетворяет соотношению (5).
Ответ: х = 2 =Ь (arctga + тгп), п = 0,1,2,3,... при a ^ 0;
х = 2 =Ь (arctga + тгп), п = 1,2,3,... при a < 0. ф
Пример 12. Найти корни уравнения
(а — 1) cos х 4- (а + 1) sin x = 2а.
0 Решение. Запишем уравнение в виде
(а - 1) ( cos2 - - sin2 - j 4- (а + 1) • 2 sin - cos - =
= 2afcos2|+ sin2|J , т.е.
9X .9X 9*^ 9 •£
a cos - - a sin - - cos - + sin —4-
z z z z
X X X X 9 X . 9 Я
+ 2a sin — cos —h 2 sin — cos 2a cos 2a sin — = 0,
z z z z z z
(a + 1) cos2 - - 2(a 4- 1) sin - cos - 4- (3a - 1) sin2 ^ = 0. (6)
z z z z
а) Если За - 1 = 0, т.е. а = i, то уравнение (6) примет вид
4 „2* 8.x х „ х ( х Л . х
3™„ ---sin-cos-=0, т.е. cos-(cos--2sin-} =0
Отсюда cos ^ = 0, т. е. х = тг -f 2тгп и cos f; - 2 sin f; = 0, т. е.
| = i, т.е. x = 2arctgi
tg| = i, т.е. x = 2arctgi + 27rfc, k,n e Z.
236

б) Если За - 1 ф О, т.е. а ф 1 то (6) можно записать так:
Отсюда
/ х\ а + 1 ± л/2(1 - а2)
(tg2jli2 = 3^1 •
Уравнение имеет решение, если 1 - а2 ^ О, т.е. а2 ^ 1, т.е.
-l<a<l(a^i).
а + 1 ± >/2(1 - а2) о . . ^
i,2 = 2 arctg -¥—1 i -f 2тг/, I G Z.
оа — 1
Ответ: х = тг + 2тгп их = 2 arctg ^ + 2тг&, к, п G Z
при а = g;
3a^
при |а| ^ 1, аф 1. ф
VII. Системы уравнений.
Пример 13. При каких значениях а система уравнений
3 Л
аху + х-у + -=0,
имеет единственное решение?
О Решение. Умножим второе уравнение на а и вычтем его
из первого уравнения. Получаем равносильную систему
аху Л- х — у + - — ах — 2ау — аху — а = О,
2 т.е.
х + 2у + ху + 1 = О,
1-а)*-(2а+1)г,+ --а = 0, ^
х + 2у + ху + 1 = 0.
237

а) Если а = 1, то -ЗуЧ- А = 0, т. е. у = ^ Подставив это
значение во второе уравнение, находим единственное значение х.
Система имеет единственное решение.
б) Если а = -А, то система имеет единственное решение.
в) При остальных значениях а сведем систему к
квадратному уравнению; из первого уравнения системы (7) находим
(1 - а)х + - - а
У= 2оП '
подставляем во второе уравнение:
(2-2о)х + 3-2о d-^ + l*-»
Х+~ 27ГП + 21ГП + 1 = 0, т.е.
2ах + Зх - 2ах + 3 - 2а + х2 - ах2 + -х - ах + 2а + 1 = 0,
(1-а)х2+ (|-а)* + 4 = 0.
Уравнение имеет единственное решение в том случае, когда
дискриминант равен нулю:
2
■4-4(1-а) = 0, т.е.
(И-
2 , 17 п -7±4\/2
а +7а+ — =0, т.е. а= .
Ответ: а = 1, а = -^, а = —■
Пример 14. Решить систему уравнений
ху = а2.
0 Решение. Выпишем ОДЗ:
х > 0, у > 0, а ф 0. (8)
238

Прологарифмируем второе уравнение: lgx + lgj/ = lgo2.
Обозначив
\gx = t, lgy = z, (9)
получаем систему уравнений
t + z = lga2;
z — lg a2 - £ подставляем в первое уравнение:
t2 + lg2 a2 - 2f lga2 +12 = § lg2 о2, т. е.
2i2-2tlga2-^lg2o2=0,
*i,2 = 5 (iga2 ± V^lg'a' + Slg'a2) , т.е.
Стало быть, z\ = —Alga2, zi — 4lga2. Следовательно,
получаем две системы уравнений (см. (9)):
3i 2 (л 1 , о
\gx = £ g > l&x = --lga\
3
Отсюда, с учетом (8), находим
X! = |а|3, [х2 = —
1 и \ И'
2/1 = и U = i«i3-
Ответ:
VIII. Неравенства.
Пример 15. При каких значениях параметра а
неравенство ах2 + 4ах ^ 1 выполняется для всех х 6 R?
239

О Решение, а) Если а = О, то данное неравенство
справедливо для всех х.
б) Если а ф О, то для того, чтобы при всех х было
выполнено неравенство ах2 + 4аж — 1^0, необходимо и
достаточно, чтобы а < 0 и D = 16а2 + 4а ^ 0. Отсюда получаем
16а(а+ i) ^ 0.
Ответ: а Е [-т,0]. ♦
Пример 16. При каких значениях а неравенство
х2 + ах + а2 + 6а < 0
справедливо для всехх, удовлетворяющих условию 1 < х < 2?
0 Решение. Так как коэффициент при х2 положителен,
то трехчлен принимает отрицательные значения между
корнями, которые должны быть действительными и находиться
вне интервала (1,2), т.е. при х = 1 и при х = 2 трехчлен
должен быть неположительным (см. рисунок).
Итак, параметр а должен удовлетворять системе
неравенств
а2 - 4(а2 + 6а) > О, (D > 0)
1 + а + а2 + 6а ^ 0, (х = 1)
4 + 2а + а2 + 6а ^ 0, (х = 2)
а2 + 8а < 0,
Решаем:
а2 + 7а + 1
а2 + 8а + 4
а(а + 8) < 0,
0,
0.
а —
-7-3\/5N
а —
2 J \ 2 ) ^ '
^ (а - (-4 - 2л/3)) (а - (-4 + 2л/3)) ^ 0.
240

[ 11111111111111111111111111111 л
-8
и ///////// /j
-4-2л/3
Объединяя, получаем, что а 6 о > ~~^ ~*~ ^V^
Ответ: a G
, -4 + 2>/з] . ♦
Пример 17. При каких значениях 6 система
Зху = 462 4-26-1,
. х2 -f 9у2 ^ -462 4- 26 -f 2
имеет решение?
0 Решение. Из первого уравнения выражаем у через х:
у — "*"} ~ х. Второе уравнение принимает вид:
3x-2b+Q1~X=4b2+26-1, т.е.
О
х2 - (26 4- 1)х 4- 462 4- 26 - 1 = 0.
Чтобы оно имело решение, должно выполняться условие
D ^ 0, т.е. (2б4-1)2-4(4624-26-1) ^ 0. Решаем это неравенство.
-1262 - 46 4- 5 ^ 0, т. е. 12 (6 - \ ) ( 6 4- - ) ^ 0,
V 2/ V б/
(10)
241

Неравенство системы перепишем так:
(х 4- 32/)2 - 6z</ ^ -462 + 26 4- 2,
но х 4- Зу = 26 4- 1, а 6x2/ = 862 4-46 — 2. Следовательно, имеем
(26 4-1)2 - 862 - 46 4- 2 ^ -462 + 26 4- 2, т. е.
462 + 46 4-1 - 862 - 46 4- 2 4- 462 - 26 - 2 ^ 0 т. е.
1-26^0, т.е. 26^ 1 =>
be [1,оо). (11)
С учетом полученных результатов (10) и (11) заключаем:
система имеет решение при 6=4.
2
Ответ: 6 = i ♦
Упражнения
6pl
х 4-1 5
2 1 2 | 2а+ 1 1
а х — а х(х - а) ах(х - а)
3. \/х 4- а = а — у/х
4. ах - а~х = 2с
5. lg(x-a)-lg2=llg(x-6)
6. a sin2 х 4- cos x = 0
7. При каком значении параметра а система имеет
един3 • 2W 4- 5|х| 4- 4 = Зу 4- 5х2 4- За
ственное решение?
8. При каких значениях с неравенство
1 4- log2 (2х2 4- 2х 4- - J ^ Iog2(cx2 4- с)
имеет хотя бы одно решение?
242

9. При каких а и Ь система
xyz + z = a
xyz2 4- z = Ь
х2 4- у2 4- z2 = 4
имеет единственное решение?
10. При каком соотношении между параметрами а и Ь (а > 0,
Ь > 0) уравнение
2
1 4- Iog6(21ga - х) - logx 6 = ——
имеет хотя бы одно решение? Найти эти решения.
11. При каком значении а уравнение
х2 - 2а sin(cos х) + а2 - 0
имеет единственное решение?
12. При каких значениях а система
2
lg(5 - а - у) = lg(a - ж)
имеет решение?
13. При каких значениях а неравенство
(а + 2) • х2 -f 2x -h a < 1
выполняется для всех х?
14. Найти значения параметра р, при которых уравнение
(р - 3) • 4х - 8 • 2х -f (p -f 3) = 0
имеет хотя бы одно решение.
243

15. Найти значения а, при которых система уравнений не
имеет решений:
{2ах + у = а2 - 2а,
-10х 4- (а - 6) • у = 10а - 5а2.
Ответы: 1. ж =
ПРИ b Ф ~7' b Ф 2у х
b = -7, Ь - 2i 2. xi = 2а - 1, х2 = а 4-1 при а ^ 0, а
0 ПРИ
±1,
а ^ 1/2; х = 3/2 при а = 1/2; х = 2 при а = 1; х = —3 при
а = —1; х G 0 при а = 0. 3. х = 0 при а = 0; х =
при о ) 1; i 6 0 при а < 0, 0 < а < 1. 4. х G R при а = 1,
с = 0; х = loga(c 4- л/с2 4-1) при о > 0 (а / 1); i G 0 при а = 1,
с/0. 5. х = а 4- 4 при а = 6;х = а4-2± 2у/а — Ь 4-1 при
6-1 ^а < 6;х = а4-24- 2л/а — 6 4- 1 при а > 6; х G 0
при а < 6 — 1. 6. х = тг 4- тгп (п G Z) при а = 0; х =
= ±arccos i(l - л/1 4- 4а2) 4- 2тгА: (A: G Z) при а ф 0. 7. а= |.
i
8. 0 < с ^ 8. 9. а = -2, Ь = -2. 10. х = lga ± л/lg2 а - Ъ2
при а ^ 106. 11. а = 0, а = 2sinl. 12. a G Г-3, ^1.
13. aG (-00, ~1~2^}' 14--3<Р^5. 15. а = 5.
. aG (-00, ~1
Тождественные преобразования
тригонометрических выражений
Основные формулы
1. sin2 a 4- cos2 a = 1
2.
cos a
sin a
3. 1 4- tg2 a = —K— = sec2 a
cos a
244

4 1 + ctg2 a = —\— = cosec2 a
sin a
5. tga-ctga = l
6. sin(a ± fi) = sin a • cos /3 ± cos a sin /J
7. cos(a ± /?) = cos a • cos /? =F sin a sin )S
8. tg(a±^-
9. sin 2a = 2 sin a cos a = &?
1 + tg2 a
10. cos 2a — cos2 a — sin2 a = 2 cos2 a — 1 = 1 — 2 sin2 a =
_ 1 - tg2 a
1 + tg2 a
l-tg a
12. sin 3a = 3 sin a - 4sin3 a =
= 4sinasin(^ - a) sin(^ + a)
13. cos 3a = 4 cos3 a — 3 cos a =
= 4cosacos(^ — a) cos(^ + a)
14. sm& = ±J1-Z»a
15. cos% = ±A 1 + S?sa
16 tff — = ± /l - cos a = sin a _ 1 - cos a
6 2 у 1 + cos a 1 + cos a sin a
17. cos2 a = 1(1 + cos 2a)
18. sin2a= 1(1-cos2a)
(- sin a cos a = 1 sin 2a
19
245

20. cos a + cos 0 = 2 cos a t ^ • cos Q 9 ^
21. coSa - cos/3 = —2sin Q 1" ^ • sin Q ^
22.
23. sin a -sin 0 = 2 cos ^-y^ • sin ^-=-
24. sin(Q±^
25. sin a • cos 0 —\ (sin(a + 0) + sin(a - 0))
26. cos a • cos/3 = A (cos(a -f /3) -f cos(a — 0))
27. sin a • sin 0 = A (cos(a - 0) — cos(a 4- 0))
28. 1 + cosa = 2 cos2 ^
29. 1 - .
30. 1
31. 1 - sin a = 2 sin2 [ Ц- — % ) —
32. cos a 4- sin a = \/2sin f j 4- a
33. cos a - sin a = \/2 cos ( т + a )
246

35. Формулы приведения
sin
cos
tg
ctg
—a
— sin a
cos a
-tga
-ctg a
!-«
COS Of
sin a
ctg a
tga
f+a
cos a
— sin a
-ctg a
-tga
7Г — a
sin a
— cos a
-tga
-ctg a
7Г + a
— sin a
— cos a
tga
ctg a
|тг-а
— cos a
— sin a
ctg a
tga
|тг + а
— cos a
sin a
-ctg a
-tga
2тг-а
— sin a
cos a
-tga
-ctg a
Тождественным преобразованием называется замена
одного выражения другим, ему тождественно равным (например,
а2 — 2ab 4- Ь2 можно заменить на (а — б)2).
При решении примеров на упрощение тригонометрических
выражений производят ряд тождественных преобразований с
использованием формул 1-35.
При доказательстве тригонометрических тождеств
используются приемы:
1. Более громоздкая часть доказываемого тождества с
помощью тождественных преобразований приводится к
менее громоздкой, простой.
2. Если обе части тождества громоздкие (не упрощенные),
то их преобразуют до полного совпадения.
3. В ряде случаев удобно (целесообразно) найти разность
между доказываемыми частями тождества и
убедиться, что она равна нулю.
В отдельных случаях применяются специальные приемы.
Пример 1. Доказать тождество f^a+tgfff = ^
О Решение. Обозначим, для краткости записи, левую
часть доказываемого тождества через А, а правую — через
В и найдем их разность:
tg 2a tg 3/3 + ctg 3/? tg 3/3 - tg 2a ctg 2a - tg 2a tg 3/3
(ctg 2a + tg3/3)tg3/3
'-1
А~В =
tg3/3)tg3/3
значит, А = В. Тождество доказано.
247

Пример 2. Доказать тождество
3-4 cos 2а -f cos 4а 4
3-h4 cos 2а -f cos 4а
О Ре1пение. Преобразуем левую, более громоздкую, часть:
3 - 4 cos 2a -f cos4a _ 3-4cos2a + 2cos2 2a - 1 _
3 + 4 cos 2a + cos 4a 3 + 4 cos 2a + 2 cos2 2a - 1
tg2a
l + tg2a
1 + 2tg2 a + tg4 a - 2 + 2 tg4 a + 1 - 2 tg2 a + tg4 a
_ 4
1 + 2tg2 a + tg4 a + 2 - 2tg4 a + 1 - 2tg2 a + tg4 a
В ходе решения воспользовались формулой 10. Тождество
доказано. 4
Пример 3. Доказать тождество
cos(3tt - 2a) _
2sin2 f-7r + a
() Решение. Упрощаем левую часть доказываемого
тождества:
cos(3?r — 2a) cos(?r — 2a) _
2 sin2 (
§* + «) 2sin>(
— cos 2a - cos 2a
2 sin* (j
+ a) ^^(f
cos2 a - sin2 a
(cos a -Ksin a)
упрощаем правую часть
(a-Г
1-tga
1 + tga
U-tgU + J-c
(cos a - sin a) •
cos a • (cos a +
248
+ 2a")
cos a
cos a
*) = ~~
cos a
sin a)
-))
— cos 2a
1 + sin 2a
— sin a
+ sin a'
tg(j-a) =
cos a — sin a
cos a -f sin a

Как видим, левая и правая части одинаковы. Тождество
доказано. ♦
Пример 4. Доказать, что
2тг 4тг бтг 1
cos — + cos — + cos — = —-.
<} Решение. Применим искусственный прием: умножим и
зделим левую част]
зуемся формулой 25.
разделим левую часть тождества на 2sin у, а затем восполь-
2 sin j
. Зтг
Sin y-
2тг
COS у
2тг
COS у +
4тг
+ COSy
+
2 sin — cos
2 sin
. тг 5тг
- sin — + sin ——
2 sin
. тг
7
sir
J
cos
бтг _
7
— + 2sin
Зтг
ly
1
тг
1
+ sin тг -
бтг
COSy
. бтг
- sin —
Итак, тождество доказано. ф
Пример 5. Доказать, что tg20° • tg40° • tg80° = y/S.
О Решение. Преобразуем отдельно числитель и
знаменатель левой части тождества.
sin 20° • sin 40° • sin 80° = ^(cos 20° - cos 60°) • sin 80° =
= i (sin80° • cos20° - ^ sin80° J =
= i (5(sin 100° + sin 60°) - ^ sin80° J =
(воспользовались равенством sin 100° = sin80°).
249

оно ,по ono 2sin20° cos20°-cos40° cos80°
cos 20 • cos 40 • cos 80 =
2 sin 20°
= sin 40° cos 40° cos 80° = 2 sin 80° cos 80° _ 1 sin 160° _ 1
2sin20° ~ 2sin20° ~ 8 sin20° ~ 8'
Таким образом,
Тождество доказано. ♦
Замечание: если воспользоваться формулами 12 и 13
(последние равенства), то легко получить
tg3a = tga • tg(60° - a) • tg(60° -f a).
Положив здесь a = 20°, получаем сразу л/3 = tg20° x
х tg40o-tg80°.
Пример 6. Упростить
/3 \ / 3\
ctg -тг - a „ ,л ч tg a + -тг
6 V2 ) 1 - cos(4a - тг) _ 6 \ 2 )
~ 77 Л+ sin3 2a o . 2 ( 3 А'
2 cos2 I a - - j 2 snr I a - - тг 1
0 Решение. Обозначим, для краткости записи, данное
выражение через А. Прежде всего воспользуемся формулами
приведения.
_ tg a I -f cos 4a - ctg a _
2 sin2 a sin3 2a 2 cos2 a
1 1 -f cos 4a 1
+ . ^— +
2 cos a sin a sin3 2a 2 cos a sin a
1 + cos 4a 1 sin2 2a + 2 cos2 2a + sin2 2a
sin 2a sin3 2a sin 2a sin3 2a
_ 2 (sin2 2a + cos2 2a) _ 2
Итак, A = . £
si
sin3 2a sin3 2a"
sin-* 2a
250

Пример 7. Преобразовать в произведение
О Решение.
3-4sin2 ( - -a) =3-4cos2q = 3-4- -(1 +cos 2a) =
= 1-2cos2q = 2 ( - -cos 2a) = 2 (cos^ -cos 2a) =
\2 / У 3 /
2 • 2sin ( J + Q) Sin ( J " Q) = 4sin ( J + Q) Sin (Q " J
Ответ: 3 - 4sin2 Ы - a J = 4sin Г| + a J sin (a - | J . ф
Замечание: если воспользоваться формулой 13
(последнее равенство), то ответ можно упростить следующим
образом:
-4«n(J + a) sin(J - «) = -4cos(| - а) сов(| + а) =
-4 cos а cos [ а ] cos ( — + а ]
_ УЗ ) УЗ ) _ cos3q
cos а cos а '
Пример 8. Вычислить tg ( i arccos 2. — 2arctg(-2) J.
О Решение. Обозначим arccos ^ = а, по определению
арккосинуса, a E [0,7г], cos a = §; и положим arctg(-2) = /?, от-
o
сюда^е (-§,§), tg/? = -2. Тогда
tg
arccos | - 2arctg(-2) J = tg f | - 20J =
251

Находим отдельно tg тт и tg2/3.
tg 20 = -—^, поэтому tg 20 =
1 - tg P 1-43
a _ jl-cosa a _ /l -3/5 _ [2 _ 1
tg2 ~±Yl + cosa ^ tg2 "уГТз75~у8"2
Г ]
(знак «+», T.K.ae[0,7r]^f € 0,f ).
^ L ^J
1 4
Ответ: —h.i
Пример 9. Вычислить: а) sin 15°; 6) sin 18°.
О Решение.
а) sin 15° = sin(45° - 30°) = sin 45° cos 30° - cos 45° sin 30° =
л/2 л/3 л/2 1 л/6-л/2
б) sin 18° =
2 2 2 2 4
2 cos 18° sin 18° sin 36° cos 54°
2 cos 18° 2 cos 18° 2 cos 18°
cos(3 -18°) _ 4 cos3 18° - 3 cos 18° _ 4 cos2 18° - 3
2 cos 18° " 2 cos 18° " 2
4(1 - sin2 18°) - 3 _ 1 - 4 sin2 18°
т.e. sin 18° = l-4sm218° ? 4sin2 lgo + 2sin 18° - 1 = 0, отсюда
Пример 10. Упростить sin3 a cos 3a -f cos3 a sin 3a.
252

<0 Решение. Применим «метод отщепления», т. е. cos3 а
запишем в виде cos2 a cos а, также поступим с sin3 а. Итак,
sin3 a cos За + cos3 а sin За =
= sin2 а • (sin а cos За) + cos2 а • (cos а sin За) =
= -(1 — cos2а) • -(sin4а — sin2a)-f
-h-(l -f cos 2a) • - (sin 4a + sin 2a) =
= - (sin 4a — sin 2a — sin 4a cos 2a + cos 2a sin 2a-h
4
-f sin 4a -h sin 2a + sin 4a cos 2a + cos 2a sin 2a) =
— — (2 sin 4a -h - sin 4a + - sin 4a),
т. e. sin3 a cos 3a + cos3 a sin 3a = j sin 4a. ♦
Пример 11. Зная, что sin a-fcos a = га, найти sin6 a-hcos6 a.
О Решение. Зная сумму sin a и cos a (она равна га,
\m\ ^ %/2), можно найти произведение функций sin a и cos a:
(sin a-f cos a)2 = га2, т.е. 1 -f 2 sin a cos a = ra2, т.е.
sin a cos a = —-—. (1)
JL
Теперь упрощаем выражение sin6 a + cos6 a:
sin6 a -h cos6 a = (sin2 a)3 + (cos2 a)3 =
= (sin2 a -f cos2 a) (sin4 a — sin2 a cos2 a -h cos4 a) =
= (sin2 a -h cos2 a)2 - 2 sin2 a cos2 a - sin2 a cos2 a —
= 1 — 3 sin2 a cos2 a.
С учетом (1) получаем sin6 a + cos6 a = 1 — 3 [ m 2~ ) —
Ответ: 1 + 6га2-Зга4. ф
_ 1 + 6ra2 - Зга4
4
253

Упражнения
а) Доказать тождества.
l + ctgf2a--7rj ctg (-7Г + aj
3. cos 4a tg 2a - sin 4a = —j
4.
1
a - 1
— 2 UL
COS —
5. sin 5a = 16 sin5 a — 20 sin3 a + 5 sin a
6. tg4a - cos"1 4a = sin2a-cos2a
b sin 2a + cos2a
7. cos a + cos(120° - a) + cos(120° + a) = 0
8
sinl4o+sin28o-sin42o =
=
sin 42° + sin 14° - sin 56° 2 cos 14°
9. cos (ag _a) -cos (i -a) -cos ^ 4-a)
+ cos I jt: -f a I = sin a
10. sin Щс - sin ^ = 1
12. 8 cos4 a + 4 cos3 a - 8 cos2 a — 3 cos a + 1 — 2 cos ^a • cos ^
13. sin 10° cos 20° cos 40° = |
14. ctg(270° - 2a) + ctg(210° - 2a) + ctg(150° - 2a) = 3tg6a
254

. па . n -h 1
Sin — • Sin —-—Q
15. sin a -f sin 2a -f sin 3a H h sin na =
. a
sin-
б) Упростить.
16. 1
4 sin2 (a - 5тг) - sin2 (2a 4- тг)
7
7 3\
cos2 I 2a - -тг 1 -4 + 4 sin2 a
18. ctg(4a - тг) • Tcos4 (|тг - 2a) - sin4 (|тг - 2a) J
19. / cos 2a ~ 90o < Q < 1350
V ctg2a-tg2a'
20 tK615°-tg555°
tg795o + tg735°
21. sin(2z - тг) cos(x - Зтг) + sin rlx-ЩЛ cos (x + | j
22. sin /|тг + 4а] -sin6 ^|тг + 2а| + cos6 Цтг - 2a J
cos 2ж
— cos 2x
24. 4(sin4 x + cos4 x) - 4(sin6 x + cos6 x) - 1
25. (2cos2a-l) —
в) Вычислить.
26. —1 4 sin 70°
sin 10°
27. y = isi
255

28 3 sin a-cos а если tga = I
sin a + 2 cos a to 2
29. sin(55°-a),
если -125° < a < -100°, cos(25° - a) = -^
30. cos £ • cos 2?
о о
31. sin4 | + sin4 ^ + sin4 2£ + sin4 ^
32. у = 2 sin x - sin2 x + 2 cos2 x, 2/наиб = ? Унаим = ?
33. tg ( 2arcsin^ )
V i6J
34. tgf;, если sin x-Ь cos x = A
35. cos—x-^, если sina + sin/3 = —#f, tg—y^ — n?
|тг<а<3тг, -| <^<0
г) Преобразовать в произведение.
36. 3 + 4 cos 4a + cos 8a
37. 2cos2 Ы - Щ\ + \/3cos Г|т
38. /1 + sin | - ^/l-sin|, 0 < a ^ 180°
39. 2-tg4a-ctg4a
sin
40. -
in (-7Г - 2a J 4- 2 sin2 (2a - -тг j - 1
sin
in f 2a + - j - sin f 4a - - j + sin ( 6a - -тг j
Ответы: 16. isin~2a-; 17.-tg4a; 18. cos4a; 19.-1 sin2a;
20. ^; 21. sin3x; 22. isin8asin4a; 23. 1, если ctgx > 0; -1,
если ctgx < 0; 24. - cos2 2x; 25. 1; 26. 2; 27. |I; 28. i;
256

oq 24л/3-7. оП 1. о-, 27. on о. 7. oq 120. о4 9 w™
29. gQ 1 «>u. j, «51. yg, ^J. —«J, ^, oo. yyq, ,54. ^ или
_I; 35. J7 ; 36. 8 cos4 2a; 37. 2sinfa-|j; 38. 2sin|;
39# JL_.4sin2 ^-40^40. 7Г-Ц--
° sin 8a \^4 y' 2 cos 2a
Тригонометрические уравнения
Основные методы решений
I. Простейшие. К ним относятся уравнения вида sin ж = а,
cost = a, tgx = a, ctgx = а. Они решаются по формулам:
sinx = a, -1 ^ а ^ 1, ж = (—l)narcsina Н-тгп, n € Z;
cost = а, -1 ^ а ^ 1, х = ±arccosа + 2тг&, А: € Z;
tgx = a, ж = arctga-f тг/, / G Z;
ctgx = a, х = arcctga + тгш, m G Z.
В частных случаях при a = 0, a = l,a=—1 решение
уравнения можно находить не по готовой формуле, а исходя из
тригонометрического круга. Так,
cos ж = 0, ж = ^ 4- тгп, п е Z
(по формуле ж = ±^ -f 2тг/ь);
sin ж = 1, ж = ^ + 2тгп, n G Z
(по формуле ж = (-1)птг + тггг);
sin ж = —1, ж = — ?£ + 2ттп, n G Z;
cos ж = —1, ж = тг + 2тт, n E Z.
При использовании формул решения тригонометрических
уравнений учитывать, что
arcsin(—a) = — arcsina, arccos (—а) = тг — arccos а,
arctg(—а) = — arctga, arcctg(—а) = тг — arcctga.
9-8601 257

Пример 1. Решить уравнение tg3x = 1995.
О Решение. Зж = arctg 1995 + тг/, т. е. ж = \ arctg 1995 + Щ-,
о о
lez.
Ответ: I i arctg 1995 + ^, I e Z1 ♦
Пример 2. Решить уравнение cos (ж — ?) = —к.
О Решение.
ж — ± arccos(— -) + 2тгА; = ±(тг — arccos -) + 2тгА;, т. е.
ж - - = ±(тг - -) + 2тгА: = ±-тг + 2тгА;,
4 3 3
х = ^ ± -тг + 2тг*;.
4 3
Замечание: полученное решение можно записать в виде
двух формул:
= —тг + 2тгА: и ж = -— тг + 2тгА:7 A: G Z.
lz lz
Ответ: I f ± |тг + 2тгА:, к 6 Z \
I4 ^ J
Пример 3. Найти корни уравнения sin ^ж = Ц-.
О Решение, ж Е 07 т. к. ^ > 1.
Ответ: {0} ♦
Пример 4. sin(^ - ж) — А.
О Решение. Запишем уравнение иначе.
ж — — = (-l)narcsin(--) + тгп, т.е.
о 2t
z = 5 + (-i)"+1J + 7rn, nez.
3 О
258

Замечание: полученное решение можно записать в виде
двух формул:
если п — 2к (четное), то х — —Ь 2тг&;
о
если п = 2к — 1 (нечетное), то х = — — + 2тгА;, к Е Z.
Ответ: (f + (-l)n+1f + тгп, п 6 zl ♦
I*5 b J
Пример 5. Решить уравнение ctgx = -4=.
v3
О Решение: х = arcctg -к= + тгт, т. е. х = \ + тгт, т Е Z.
v3 ^
Ответ: < ^ -h тгт, т € Z > ф
Задачи. Решить уравнения.
Z) COSX = 1
3) 4б2х = 7тЪ2
4) cos 5 • cos x — sin 5 • sin x = ?
О DO
5) 2|x-2|cosx = x-2
И. Общий прием. Он заключается в том, что все
тригонометрические функции, которые входят в уравнение,
выражают через какую-нибудь одну тригонометрическую функцию,
зависящую от одного и того же аргумента.
Пример 6. Решить уравнение
2 cos2 х + 5 sin х — 4 = 0.
0 Решение. Заменяем cos2 х на 1 — sin2 x.
2(1 — sin2 х) + 5 sin х — 4 = 0, т. е.
2 sin2 х — 5 sin x + 2 = 0.
9*
259

Отсюда sin ж = 1 или sin ж = 2. Так как 2 > 1, то остается
только вариант sin ж = 4, из которого получаем
Ответ: ж = (-1)п • | + тгп, n G Z. ф
Пример 7. Найти корни уравнения
4 sin4 ж — 2 sin2 ж cos ж + 4 cos 2ж = 2 cos3 ж — sin2 2ж + 2.
О Решение. Перейдем к функции cos ж.
4(1 - cos2 ж)2 - 2(1 - cos2 ж) cos ж + 4(2 cos2 ж - 1) =
= 2 cos3 ж - 4 cos2 ж(1 - cos2 ж) + 2, т. е.
4 — 8 cos2 ж + 4 cos4 ж — 2 cos ж + 2 cos3 ж + 8 cos2 ж - 4-
-2 cos3 ж + 4 cos2 ж - 4 cos4 ж — 2 = 0, т. е.
4 cos2 ж — 2 cos ж — 2 = 0, т.е. 2 cos2 ж — cos ж — 1 = О,
созж = 1 или соэж = —-.
Ответ: ж = 2тгА;, fc 6 Z и ж = ±|тг + 2тгп, n € Z. ф
Задачи. Решить уравнения.
1) cos 2ж — 3 cos ж = 4 cos2 ^
2) 3 sin3 ж + sin2 ж + 3 cos2 ж = 2 cos 2ж — 3 sin ж cos2 ж
3) б ctg2 ж - 2 cos2 ж = 3
4) sin4 ж + cos4 ж - 2 sin 2ж + sin2 2ж = О
5) 8 sin6 ж + 3 cos 2ж + 2 cos 4ж + 1 = 0 (перейти к cos 2ж)
6) 2
III. Методы группировки. Путем группировки слагаемых
уравнение привести к виду, когда левая часть разложена на
множители, а правая часть равна нулю. Уравнение
распадается на несколько более простых уравнений.
260

Пример 8. Решить уравнение
sin х + sin 2x + sin Зх = 1 4- cos x + cos 2x.
<} Решение. Запишем уравнение в другом виде
(sin х + sin Зх) + sin 2x = (1 + cos 2x) + cos х, т. е.
2 sin 2х cos х 4- sin 2х = 2 cos2 x + cos х, т. е.
sin2x(2cosx + 1) - cosx(2cosx + 1) = О, т.е.
(2 cos х + 1) (sin 2x — cos x) = О,
но sin 2x = 2 sin х cos ж, поэтому
(2 cos х + 1) • cos x • (2 sin x - 1) = 0.
Отсюда
2 cos x 4- 1 = О
cosx = -1
|т
cos x = 0
X = — + ТГГС
x = ±|тг + 2тгА; х = (-l)m£ 4- тгт.
2sinx- 1 = 0
sin x = i
6
Ответ: х = ±4^ 4- 2тг&, fc^Z;
x = ^ 4- тгп, n £ Z;
х = (-1)т|+тгт, m€Z. ♦
Пример 9. Решить уравнение cos4 Щ — sin4 Щ — sin2x.
О Ре1пение.
/ о X . о Х\ ( оХ . о х\
I cos — Н- sin — I I cos sin —1=2 sin x cos x, т. e.
V 2 2/ \ 2 2y
1 • cos x - 2 sin x cos x = cos x(l - 2 sin x) = 0.
Отсюда cosx = 0 или sinx = ^ Следовательно, получаем
Ответ: х = \ 4- тгп, п € Z; x = (-l)mf + тгт, m € Z. ♦
Задачи. Решить уравнения.
1) 1 4- sin x 4- cos x + sin 2x + cos 2x = 0
261

2) 3sin2x = 5 sin я
3) sin x — 1 = sin x cos x — cos x
4) sin Sx + sin 4x 4- sin Ьх = О
5) sin3x = 2cos(| -ж)
IV. Уравнения, решаемые понижением степени. Если
тригонометрическое уравнение содержит sin x, cos x в четной
степени, то применим формулы понижения степени
sin2 а = -(1 - cos2a), cos2 а = -(1 + cos2a).
Пример 10. Найти корни уравнения
sin2 Зх + sin2 Ах = sin2 Ъх + sin2 6x.
0 Решение.
1 - cos 6х 1 — cos Sx 1 — cos 10я 1 — cos
2 + 2 2 + 2 '
т. e. 2 - cos 6x - cos 8x — 2 4- cos 10x H- cos 12x = 0, т. е.
(cos 10x + cos 12x) - (cos 8x + cos 6x) =
= 2 cos llx cos x — 2 cos 7x cos я =
= 2 cos x(cos llj- cos 7x) = —2 cosx sin 9x sin 2x = 0.
Отсюда
COS Я
т - 7L
2
= 0
+ 7ГП
sm9x
9х =
х =
= 0
жк
жк
9
sm2x
2х =
х =
= 0
2 '
Решение а: = ^ Н- тгп является частью множества корней
Ответ: х = ^, Jb G Z; х = ^, / G Z. ♦
262

Пример 11. Решить уравнение 4+2cosx = 3cos2 ( § - j )•
О Решение.
4 + 2cosx = 3- - f 1 + cos(z - -) j , т.е.
8 + 4cosx = 3(1 + sinx), т.е. 3sinx - 4cosx = 5.
Это уравнение можно решать разными способами (см. V).
Решим его, перейдя к функции cos я (см. II):
d=3\/l — cos2x - 4cosx = 5, т.е. 5 + 4cosx = 3v 1 — cos2x
(берем знак «+», т.к. слева выражение положительное).
25 + 40 cos х + 16 cos2 x = 9 - 9 cos2 ж,
25cos2x + 40cosx + 16 = 0, т.е. (5cosx + 4)2 = 0,
отсюда 5 cos а: + 4 = 0, cos ж = — ^ и получаем
Ответ: х = ± ( тг - arccos ^ I + 2тг/г, к G. Z. ф
Задачи. Решить уравнения.
1) cos2 | + cos2 \x = sin2 2я + sin2 Ax
2) 6tg2 x - 2cos2я = cos2x
3) cos4x + cos4(x-|) = i
4) sin Sx + sin bx = 2 (cos2 2x — sin2 2x)
5) sin^ f.4
V. Универсальная подстановка. При решении уравнений
вида a cos x + Ъ sin я = с удобно применять универсальную
подстановку tg | = t. Тогда
2* 1 -12
sin я; = г и cos я = -.
1 +12 1 + t2
263

Уравнение становится рациональным. После нахождения
его решения надо проверить, не удовлетворяют ли исходному
уравнению числа х = тг + 2тгп, п е Z. (Делая подстановку
tg ^ = 0, считаем, что cos Щ ф О, т. е. х ф тг + 2тгк.)
Замечание: универсальная тригонометрическая
подстановка может применяться и в других случаях. При этом
тригонометрическое уравнение сводится к алгебраическому,
решение которого при высоких степенях порождает свои
трудности. Однако, если уже испытаны известные способы и
решение не получается, универсальная подстановка в известной
степени может помочь найти выход.
Пример 12. Решить уравнение 3sinx — 4 cos ж = 5 (см. IV,
п. 2).
О Решение. Сделаем подстановку tg ^ = t (cos Щ ф 0).
Тогда
3 • 2* 4(1 - t2) c
ГТ^"ТТ?" = 5'те-
е - 6* + 9 = 0, (t - З)2 = 0, t = 3.
Значит, tg | = 3. Отсюда х = 2 arctg3 + 2тг&, к GZ.
Проверяем, является ли х = тг + 2тгп решением данного
уравнения:
3 sin(Tr + 2тгп) - 4 cos(tt + 2тгп) =4^5,
значит, не является.
Ответ: х = 2arctg3 + 2тг£, к е Z. ♦
Замечание: сравнивая найденный ответ с ответом в
предыдущем примере (IV, п.2), видим лишь внешнее различие.
Но если tg ^ = 3, то
ь 2 1-9 4
COS Ж = 7f = = — -•
i + tg2j 1 + ^ 5
Пример 13. Найти все корни уравнения
3 sin 5z — 2 cos 5z = 3.
264

О Решение. Можно положить 5z = ж, а затем сделать
fit 2(1 — t^)
подстановку tg | = t. Тогда Dt 2 - -^ ^- = 3. Далее ясно.
^ 1 -f" ь 1 -Ь1
Ответ: z=JL + 2j*>z=2 arctg5 + 2j*, fc € Z. ♦
Задачи. Решить уравнения.
2) 2sinz + cos2 | +2 + cosz = 0
3) \/3sinx + cosz - 2 = 0
4) sin Sx + 5 cos 3x = -1
5) 4 sin x 4- cos x = 4
VI. Однородные уравнения и приводимые к ним.
Однородные уравнения, т. е. уравнения вида
acosx + 6sinx = 0,
acos2x + b sin x cos x + с sin2 я = 0
и т.д. (у всех слагаемых сумма показателей одинакова)
приводятся к алгебраическим относительно tgx путем деления
обеих частей уравнения на cosx / Ои cos2 я ф 0
соответственно.
Некоторые уравнения можно сделать однородными путем
замены 1 на cos2 x + sin2 x, путем различных преобразований
функций, входящих в уравнение, и т.д. Например:
acosx + bsinx = с,
cosJ - - siiH -) + 26sin - cos - = c(cos2 - + sin2 -),
(a — c) cos2 — + 26 sin — cos - — (a + c) sin2 — = 0,
Z Z 2i Z
получили однородное уравнение (сравнить с V п.2, IV п.2).
Пример 14. Решить уравнение
sin2 х — 2 sin x cos x — 3 cos2 x = 0.
265

О Решение. Делим обе части уравнения на cos2 x ф О
(если cos я = 0, то получим, что и sinx = 0, что
невозможно: sin2 х + cos2 x = 1). Получаем
tg2x-2tgx-3 = 0, tgx = 3, tgx=-l.
Отсюда сразу следует
Ответ: х = arctg3 Н- тгп и х = — ? + тг&, fc,nG Z. 4
Пример 15. Решить уравнение 3 sin я cos я - 2 cos2 x = 0.
0 Решение. Это однородное уравнение, но делить на cosx
нельзя, т. к. cos x может быть равен 0. Запишем уравнение
иначе: cos x(3 sinx - 2 cosx) = 0. Отсюда cos а; = 0 (х = ^ + тггс)
или 3sinx — 2 cosx = 0 — однородное уравнение 1-й степени.
Разделим на cos x ф 0.
2 2
3tgx-2 = 0, tgx=-, x = arctg - + тгк.
Ответ: х = | + тгп, п G Z; ж = arctg | + тг/г, А: € Z. ♦
Пример 16. Найти решения уравнения
sin х cos x — cos2 x = 1.
0 Решение. Так как 1 = sin2 x + cos2 я, то уравнение
принимает вид
sin х cos x — cos2 x = sin2 x + cos2 x, т. е.
sin2 x — sinxcosx + 2cos2 x = 0;
это уравнение — однородное! Делим на cos2 x ф 0:
2 0 > tg xG0
2 = 0 > tgz , xG0.
Ответ: Решений нет.
Пример 17. Решить уравнение
2 cos3 х + sin x - 3 sin2 x cos x = 0.
266

ф решение. Это уравнение легко привести к однородному,
заменив sinx на sinx(sin2 x 4- cos2 x).
2 cos3 х 4- sin3 x 4- sin x cos2 x — 3 sin2 x cos x = 0
делим на cos3 x ф 0:
2 4- tg3 x 4- tgx - 3tg2 x = tg3 x - 3tg2 x 4- tgx 4- 2 = 0.
Перепишем это уравнение так:
tg3x - 2tg2 x - tg2x 4- 2tgx - tgx 4- 2 = 0, т.е.
tg2 x • (tgx - 2) - tgx • (tgx - 2) - (tgx - 2) =
= (tgx - 2)(tg2x - tgx - 1) = 0.
Отсюда
tg x = 2 или tg2 x — tgx—1 = 0
Ответ: x\ — arctg2 4- nk, к G Z;
х2,з = axctg ( 1=y 5 ) 4- тгп, n € Z. ф
Пример 18. Найти корни уравнения
40 (sin3 | - cos3 0
= sin t.
16 sin - — 25 cos -
0 Решение. Из условия следует
40 (sin3- -cos3 - J = f 16sin- -25cos-J sint,
t t t 25
16sin- ^25cos-, т.е. tg^ie*
Заменим sin t на 2 sin ^ • cos ^ Получаем
40 (sin3 - -cos3 - J = f 16 sin- - 25 cos-j • 2 sin- cos-,
20 sin3 - - 16 sin2 - cos - 4- 25 sin - cos2 - - 20 cos3 - = 0,
т. е. однородное уравнение. Делим на cos3 4^0:
267

20х3 - 16х2 + 25х - 20 = 0, где х = tg -;
4х2(5х - 4) + 5(5х - 4) = 0, (5х - 4)(4х2 + 5) = 0,
5х = 4 или 4х2 4- 5 = 0
х = g х Е 0.
Итак, tg ^ = ^, т. е. получаем
Ответ: t = 2 arctg | + 2тг£, fc G Z.
Э
Задачи. Решить уравнения.
1) sinx - 2cosx = 0
2) .1-3 cos2 x = sin 2x
3) cos6 x + sin6 x = | sin2 2x
5) 2 sin3 x = cos x
6) sin2 x — 3 sin x cos x + 2 cos2 x = 0
7) —-— = 4 sin x + 6 cos x
y cosx
VII. Способ подстановки. Рассмотрим уравнения, для
решения которых удобно применить различные подстановки.
Пример 19. Решить уравнение
sin4 х + cos4 x — sin 2x H— =0.
0 Решение. Воспользуемся формулой а4-Ьб4 = (а2Н-62)2 —
— 2а262 и перепишем данное уравнение иначе:
(sin2 х + cos2 x)2 — 2sin2 xcos2 x — 2sinxcosx + - = 0, т.е.
2 (sin х cos x)2 + 2 (sin x cos x) =0.
268

Обозначим sinxcosx = t, т.е. sin2x = 2t. Тогда получаем
2*2 + 2t - | = 0, т. е. At2 + At - 3 = О,
_ -2 ± у/А + 12 _1 __3
Тогда
sin2x = 1 или sin2x = — 3
I
Ответ: х = j -f тгЛ:, к € Z. ♦
Пример 20. Найти корни уравнения
5(1 - sin2x) - 16(sinz - cosx) + 3 = 0.
О Решение. В примере встречаются разность синуса и
косинуса и их произведение. Обозначим sin я — cosx = t. Отсюда
следует
sin2х — 2sinxcosx + cos2x = t2, т.е.
2sinxcosx = sin2x = 1 — t2.
Уравнение принимает вид 5(1 — (1 — t2)) — Ш + 3 = 0. Решаем
его. Ы2 - 16t + 3 = 0, «1 = 3, t2 = f- Стало быть,
о
sin х — cosx = 3, я G 0, т. к. | sin х — cos ж| ^ л/2
1 /г . / 7Г\ '1
или sinrr — cosx = -, т.е. v2sm [х— — =-.
5 V 4/ 5
Отсюда х — j = (-1)п • arcsin ^ 4- тгп.
Ответ: х = ^ + (~1)л * arcsin ^ + тгп, n G Z. ♦
Замечание: можно было бы сразу уравнение переписать:
5(sinx - cos ж)2 - 16(sina; - cos x) + 3 = 0,
т.к. 1 - sin2x = (sinx — cosx)2.
269

Пример 21. Решить уравнение
2(1 + sin2х) = tgf j+zj .
О Решение. Обозначим ж + ^ = t, т. е. х = t — ?. Тогда
получаем
2(l + sin(2t-|)J =tgt, т.е.
cost
Отсюда:
sin £ = 0, t = тг&, т. e. x = — — + тг&
4
или 4sin£cos£ = 1, sin2£= -, т.е.
• ( Л • Л Л 1
sin 2 I x + — 1 = sin I 2x H- — I = cos 2x = -,
2х = ±~ + 2тгА: т.е. x = ±^+7rfc.
3 6
Ответ: х = -| + тгк, х = ±| + тгк, к е Z. ♦
Задачи. Решить уравнения.
1) sin2x + 12 = 12(sinx — cosx)
2) i (sin4 x + cos4 я) = Sin2 x cos2 я + sin x cos ж
5) Sin(ib + T)=2sin(fe-f
VIII. Введение вспомогательного угла. Суть метода в том,
что некоторую величину представляют как
тригонометрическую функцию соответствующего аргумента <р, а затем
производят тригонометрические преобразования. Поясним на
примерах.
270

Пример 22. Решить уравнение \/3sinx - cos я = 1.
() Решение. Данное уравнение можно решить многими
способами: свести к однородному, применить универсальную
подстановку; сгруппировать и разложить на множители и т. д.
Решим уравнение следующим образом: введем угол <р такой,
что tg ip = \/3, т. е. <р = 60°. Тогда получаем:
tg 60° • sin x - cos x = 1, т. е.
sin 60° • sin x - cos x • cos 60° = cos 60°, т. е.
cosx • cos60° - sinz • sin60° = —-, т.е.
cos(x + 60°) = -i x + 60° = ±120° + 360°fc,
z
Гх = -180° + 360°А;,
или [ х = 60° + 360°fc.
Ответ: х = -60° ± 120° -h 360°fc, к 6 Z. ♦
Пример 23. Найти корни уравнения 8 cosх Ч-15 sinx = 17.
0 Решение. Разделим обе части уравнения на 15:
8 . 17
— cos х + sin х = —.
15 15
Введем угол у> такой, что tgip = —, т.е. tp = arctgy^ « 28°.
lo lo
Тогда получаем
17
tg^cosx -hsmx = —, т.е.
15
17
sin (р cos х + cos ip sin x = — cos <p,
15
(h)
но 1| cosy? = y| • , ^ = j| • й ^ = 1. Имеем:
15 15 /-htgV 15 л/1 + 64/225
sin(x + <p) = 1, т. e. x + (/? = Z + 2тгп, x = -<p + ? + 2тгп.
Ответ: х = - arctg ^ + | 4- 2тггг3 n 6 Z. ♦
271

Задачи. Решить уравнения.
1) 2sinl7x + \/3cos5x + sin5x = О
2) уД sin 2х + cos 2х - 2 = О
3) sin Ъх — cos 2х = \/3(cos Ъх + sin 2x)
4) 4 sin 2х - 3 cos 2x = 5
£ £ £
IX. Искусство. Ищем решение данного нестандартного
тригонометрического уравнения путем рассуждений, путем
сведения к системе уравнений и т. д.
Пример 24. Решить уравнение 2C0SX = cosx H —.
^ ^ J^ cosx
О Решение. Левая часть уравнения не больше 2, т.е.
2C0SX ^ 2, т. к. | cosx| ^ 1. Равенство возможно лишь при
условии, что cosx = 1.
Правая часть должна быть положительна, т.к. 2C0SX > О,
а значит, cosx > 0. Кроме того, из этого следует, что
cosx H ^ 2.
cosx
Равенство возможно лишь при условии, что cosx = 1.
Таким образом, исходное уравнение имеет решение только
при условии, что cosx = 1 (тогда 21 = 1 + у). Отсюда следует
Ответ: х = 2тгк, к G Z. ф
Пример 25. Найти корни уравнения sin2 Ъх + I = cos2 Зх.
0 Решение. Перепишем уравнение в виде sin2 Ъх + 1 -
— cos2 Зх = 0, т. е. sin2 Ъх + sin2 Зх = 0. Но это возможно
лишь при условии, что sin5x = 0 и sin3x = 0, т.е. данное
(sin5x = 0,
отсю-
[ Ъх - тгА:, к G Z,
да < т.е.
| Зх = тгп, п е Z,
(1)
~ ~з~' пе
272

Приравнивая правые части этих равенств, получаем
уравнение %£■ = ^тр, т. е. ЗА; = 5п, где кип — целые числа. Это
уравнение имеет решение < ', где / £ Z. Подставляя зна-
I п = 3/,
чения к и п в равенства (1), получаем х = тг/.
Ответ: х = тг/, / G Z. ♦
Пример 26. Решить уравнение cos3x + cos |x = 2.
О Решение. Так как | cos3x| ^ 1 и | cos ^х\ ^ 1, то сумма
cos3x + cos |х равна 2 только в том случае, когда cos3x = 1
и cos их = 1 одновременно. Следовательно, данное уравнение
равносильно системе уравнений
{2
х = -тгк,
л
х = -тгп.
Отсюда получаем ^тгА; = |тгп, т. е. 5А; = 6п, где кип — це-
о О
лые числа. Это уравнение имеет решение < _ .' где / € Z.
[п- 5/,
Следовательно, исходное уравнение имеет решение х = 4тг/.
Ответ: х = 4тг/, / G Z. ♦
Пример 27. Решить уравнение
/ 9 1 \ 9
cos х Н 5— I " (1 + tg 2У)' (3 + sin 3^) = 4.
V cos х/
О Решение. Очевидно, что
cos2 х Н J— ^2, 1 + tg2 2у ^ 1, 3 + sin Sz ^ 2.
cos х
Перемножив почленно эти неравенства, получаем
cos2 х + 5—) * (1 + tg2 2y) - (3 + sin Sz) ^ 4.
cos\ xj
273

Левая часть равна правой лишь при условии, что cos2 x = 1 и
tg2 2у = 0 и sin3z = -1 одновременно. Следовательно, данное
уравнение равносильно системе уравнений
cos2x = 1,
tg2 2y = 0, отсюда
sin3z = — 1,
Ответ: х = тгга, т G Z;
z = -| + |tt/ /GZ. ♦
Пример 28. Найти корни уравнения
(cos 4х — cos 2х)2 = 5 — sin2 Зх.
О Решение. Так как | cos4x — cos2x| ^ 2, то левая часть
уравнения не превосходит 4, т. е.
(cos4x — cos2x)2 ^ 4.
Правая часть уравнения не меньше 4, т. е.
5 - sin2 Зх ^ 4.
Равенство достигается при выполнении условий
(5 - sin2 Зх = 4, Г 4 + cos2 Зх = 4,
т. е. <
(cos 4х - cos 2х)2 =4, [ | cos 4x - cos 2x| = 2.
Система разбивается на две:
cos Зх = О, Г cos Зх = О,
cos4x = — 1, и < cos4x = 1,
cos2x = 1 [ cos2x = —1.
Легко убедиться, что первая система не имеет решения, а
решением второй является х = ^ + тгп.
Ответ: х = тт + тгп, п е Z. ф
274

Пример 29. Найти решение уравнения
х2 + 2х • cos(x - у) + 1 = 0.
<0 Решение, х2 + 2х • cos(x - у) Ч- cos2 (х - у) + sin2 (х — у) = 0,
т. е. (х + cos(x - у))2 + sin2(x — у) — 0, следовательно,
{х + cos(x - у) = 0,
sin(x — у) = 0.
Из второго уравнения находим х — у = тгА:, т. е.
х = у + тгА;, к G Z. (2)
При этом значении х первое уравнение принимает вид:
у + тгк + cos(y + пк — у) = 0, т. е. у + тгА: + cos тгА; = 0.
Отсюда у = —пк — costtA: = — тгк + (—1)*+1. Теперь находим х
(см. (2)): х = -тгк + (-1)*+1 + тгА: = (-1)*+1.
Ответ: х = (-l)fc+1; у = (-l)fc+1 - тгк, (к G Z). ♦
Задачи. Решить уравнения.
2) (sinx + \/3cosx) • sin4x = 2 (ответ: х G 0)
3) (2+ —L—) -(4-2cosx) = l4-5cos3x
V cos x /
cos x
4)
Упражнения
Решить уравнение.
1. ctg4 2x + sin"4 2x = 25
2. cos 3x — sinx = \/3 • (cos x — sin 3x)
275

3. 2 sin3 x + 2 sin2 x cos x — sin x cos2 x — cos3 x = 0
4. cos 9x — cos 7x + cos 3x — cos x = 0
5. cos 3x = 2 sin ( ^тг + x 1
6. 2 sin x — cosx = f
7. cos(2* - 18°) • tg50° + sin(2* - 18°) =
8. 2sin2x + tg2x = 2
9. tg(x - 15°) • ctg(x + 15°) = i
10. sin [ x + — 1 = sin x + sin —
11. cos x cos 2x cos 4x cos 8x = i
Id
12. tg4 3t = sin2 6t
13. 2 cos 13x + 3 cos 3x + 3 cos 5x — 8 cos x cos3 4x = 0
14. ctg4 x = cos2 2x — 1
15. sin2x-sin6x + 2 = 0
16. cos x + sin x = y/l — 2 cos2 x
17. cos2x = cos2 |x
18. cos2 ^2x + |) + cos2 (и " ж) =
19. 2(1 — sin x — cos x) + tg x + ctg x = 0
20. cosy/x — cosx
21. 5sin2x + 8cosx + 1 = |cosx| + cos2x
22. \/sin3 x — cos3 x = y/— cos x
276

23. \ sin (х + | j - cos (| - x\ = 0
24. cos2 x + cos | • cos2 x - cos | - 1 = 2(sin | - cos x)2
25. cos2x + 4sin2x = V3sin2x
26. Найти пары чисел (x,y), удовлетворяющих уравнению
sin тгх 4- sin 5тгх = у2 -h 2у + 3.
27. 2sin (х- Ц-) =3sin3x
V 6J
28. sin у 4- cos Зу = 1 — 2 sin2 у -Ь sin 2y
29. sin2 x + 1 sin2 Зх = sin x sin 3x
30 Сколько корней уравнения y/S sin x 4- 2 cos x = л/3 -h sin 2x
лежит на (0,2)?
Ответы: 1. ±^ + *J; 2. | + ^; ^ + тгА:; 3. -| + тгА;;
± arctg ^+7rfc; 4. ^; | + ^; 5. |+тгА:; ±|+тгА:; 6. 2 arcctg3+
+ 2тгА:; -2arctg7 + 27rfc; 7. -31°+ 180°A;; 89° + 180°fc; 8. | + ^;
9. 45° + 180°fc; 10. 27rfc; 2тгА: - i; 11. ?г£, fc ^ 15Z; ^ + ^тгА:,
A:^ 17/ + 8; 12. ^f; ^ + ^; 13. f|; 14. |+тгА:; 15. -f
16. | + 2nk] -| + тгА;; 17. 2тгА:; ±| + тгА:; 18. ^тг
; |т
19. -\ +7rfc; |±arccos vl^lQ+27rA:; 20. ! ± ^2+87rfc+2irfc;
fc = 0,1,2,3,...; 21. ±2тг + 2?rfc; 22. тг + 2тгп; |тг + 2?rfc;
23. -| + тгп; 24. 2тг + 8тгп; 25. | + тгп; 26. (i + 2n,-l);
27. |+7гп; ^ ± arcsin ^Р 4-Trfc; 28. 2тгп; |тг+^; -Ц 4-2тгш;
о 3 б о z z
29. тгп; (-1)*£ + 7rfc;30. 2.
о
277

Задачи по геометрии
Основные формулы (планиметрия)
Треугольник
1. S=±ah
2. 5= ±absinC
3. S = Фё, R — радиус описанной окружности;
4. 5 = р • г, г — радиус вписанной окружности, р —
полупериметр
5. S = ^p(p-a)(p-b)(p-c)
6. S = a У — для равностороннего треугольника
7. а2 = b2 + с2 — 2ab cos A — теорема косинусов
8. -Л— = . а = .с =2R — теорема синусов
sin a smp sin 7
9. а2 = с-ас, b2 = c-bc, h2 = ас-Ьс — для прямоугольного
треугольника
10. а2 + Ь2 = с2 — теорема Пифагора
Ромб
11. 5 = a2 sin a
Трапеция
1 г» СУ CL "г" О L
12. S=—h
278

Произвольный четырехугольник
13. S = k - d\di sin<£, d\,di — диагонали, tp — угол между
ними
Сектор
14. 5 = i • г2 • а, а — радианная мера центрального угла
15. I = r a
Основные формулы (стереометрия)
Параллелепипед
1. V = SH
2. 5б<ж = Р • I — Для прямого параллелепипеда, где р —
периметр основания, / — боковое ребро
Призма
3. V = SH
4. 5бок = Рсеч • I, где рСеч — периметр перпендикулярного
сечения
Цилиндр
5. V = ttR2H
6. 5бок = 2тг# • Я
Конус
7. V = I • тгД2 • Я
тгД • L, L — образующая
Усеченный конус
9 V = i
3 '7Г"
279

Ю. 5бок = тг(Д1 +R2)-L
Пирамида
11. V = ±SH
12. 5бок = А* Р ' а> — для правильной пирамиды (а —
апофема)
Усеченная пирамида
13. V = J • Я • (Si + 52 + y/ST7^)
14. S6ok = j(Pi +P2) а
Шар
15. К = |тгД3
16. S = 4тгД2 — для сферы
Шаровой сегмент
17. V = тг • h2 • (Д - 1 • /г), /i — высота сегмента
18. S = 2тгД • Л
Некоторые общие рекомендации
к решению задач
При решении задач по геометрии следует особое внимание
уделить чертежу. Правильный, не мелкий чертеж
значительно облегчает решение задачи. Полезно делать выносные
чертежи (грани, сечения, основания и так далее).
Решение задачи зачастую облегчается, если сделать
удачные обозначения неизвестных величин. Обычно переменную
вводят, если в условии задачи:
1. Нет известной линейной величины (длины ребра,
высоты и так далее).
280

2 Встречается отношение вида т : п.
3. Встречаются выражения вида 5бок = *?, VTejiaL = V и так
далее. Их можно рассматривать как уравнения с
введенным нами обозначением.
4. В задачах, где требуется найти какой-то угол, будем
обозначать его через 7 или другой буквой.
Ниже приведены краткие решения ряда типичных задач
по геометрии с применением тригонометрии. Полезно их
тщательно разобрать.
Решение задач
Задача 1. Угол между диагоналями основания
прямоугольного параллелепипеда равен а. Диагональ
параллелепипеда составляет с плоскостью основания угол /?. Найти
высоту параллелепипеда, если его объем равен V.
A D А
Дано: Упар_да = У, /.АгСА = 13, ZCOD = а.
Найти: ААХ.
О Решение. Обозначим длину высоты АА\ через х.
1. ААхАС =» tg/? = -^, т.е. АС = xctg/3.
2. АС — BD, см. выносной чертеж. По формуле 13
(планиметрия) Sqch = \ ' zctg/? • xctg ft - sin a.
3. Так как Упар-да = V, то, с учетом формулы 1
(стереометрия), получаем Ад2 ctg2 /3 sin а • х - V. Отсюда х - AAi =
= з
2V
ctg /3 sin а'
Ответ:
2V
ctg2 /3 sin а
281

Задача 2. Диагонали АВ\ и СВ\ двух смежных боковых
граней прямоугольного параллелепипеда ABCDA\BiC\Di
составляют с диагональю АС основания ABCD углы,
соответственно а и /?. Найти угол между плоскостью треугольника
АВ\С и плоскостью основания.
-У с
D А Т
Дано: /.ВхАС = а, Z.BXCA = /?.
Найти: /.ВгТВ.
О Реп1ение. Искомый угол обозначим через 7»
— 7); через х обозначим, например, В\Т, т.е. В\Т = х.
Сделаем выносной чертеж.
ААТВг : tga = -^- =»
tga
= xctga;
АСТВц tg^=^ =» ТС =
2) A ABC, Z.B = 90°, по формуле 9 (планиметрия) ВТ2 =
= AT ТС, т.е.
ВТ = v^ctga • хctg/3 = x
3)
cos 7
ЯГ x • v/ctga-ctg^ r-
±>i x
Значит, 7 = arccosy/ctga • ckgfi.
Ответ: arccos y/ctg a • ctg /3. ♦
Задача З. В основании прямой призмы лежит ромб с
острым углом а. Отношение высоты призмы к стороне осно-
282

вания равно А:. Через сторону основания и середину
противоположного бокового ребра проведена плоскость. Найти угол
между этой плоскостью и плоскостью основания.
Дано: АВ = ВС =
ВВг :ВС = к.
Найти: АВ2ТВ.
О Решение. Обозначим ВС = х, /В2ТВ = j (ВТ ± DC =>
=> В2Т _L DC по теореме о трех перпендикулярах).
1) ВС = х => ВВХ = кх => ВВ2 = Щ-.
2) АВТС:
3)
= 90°,
sina = ^2:
2 • х sin a 2 sin a
7 = arctg
(-
V2si
2 sin a )
Ответ: arctg
Задача 4. Основанием наклонной призмы АВСА\В\С\
служит равнобедренный треугольник, у которого АВ = а,
Л С = а и /.CAB — а. Вершина В\ верхнего основания
призмы равноудалена от всех сторон нижнего основания, а ребро
В\ В составляет с плоскостью основания угол /?. Найти объем
призмы.
Дано: АС = АВ = a, /CAB = а, /ВгВО = /5,
Найти: Кхриз
283

В М а А В
О Решение. Из условия задачи следует, что В\
проектируется в точку О — центр вписанной в треугольник окружности
(см. выносной чертеж).
2 4'
asm-
2) ABNA:
3) AONB: cos(45° ~ f) = §f
ТУ Г\
4)
*-!)'
COS
гО = OB
a
asm-
cos
tg/3.
5) 5ОСн = ia2 • sin а (формула 2, планиметрия)
а
1 asm2
= -а2 • sin а 7 ^ • tg/3.
COS
a sin a sm —
Ответ: z- -х- * tg/?. ♦
2 cos - - -
284

Задача 5. Отрезок прямой, соединяющий точку
окружности верхнего основания цилиндра с точкой окружности
нижнего основания, равен / и составляет с плоскостью основания
угол а. Найти расстояние от этой прямой до оси цилиндра,
если осевое сечение цилиндра — квадрат.
Ох
Дано: АВХ = /, /.ВХАВ = a, 2OB = ВВг.
Найти: NT.
О Решение.
АВгВА : ВВг =/-sina
OB = 0A = -sina;
AB — I • cos a =Ф> AM = - cos a.
2) AOMA: (ZOMA = 90°)
I2
OM = VO42^4M2 =
//2
= \l — sin2 a — V cos2 a = ^%/—cos 2a.
4 4 2
3) NT = OM =» NT = Ly/- cos2a =» a ^ |.
Ответ: ^V-
, | ^ a < |. ♦
Задача 6. Два конуса имеют концентрические основания
и один и тот же угол, равный а, между высотой и образующей.
Радиус основания внешнего конуса равен R. Боковая
поверхность внутреннего конуса в два раза меньше полной
поверхности внешнего конуса. Найти объем внутреннего конуса.
285

О R
Дано: ZOSiB = /LOSA = a,
Найти: V^on
О Решение. Изобразим на чертеже половину осевого
сечения конусов. Обозначим радиус внутреннего конуса через
я, т.е. ОВ = х.
: tga =
sin a =
tga
x
= x ctg a;
2) ASOA: sin a = -fir
' SA
sm a
= тгй2 + irR • — (формула 8), т. е.
sin a sma
2x2
sma
1 + sina
sma
1 + sin a
, т.е.
R
a
4)
f
■ coe( J - f
j • ctga.
Ответ: 1тг • R3 ■ cos3(| - |) • ctga. ♦
286

Задача 7. Отношение поверхности шара, вписанного в
конус, к площади основания конуса равно к. Найти косинус угла
между образующей конуса и плоскостью его основания и
допустимые значения к.
О
тт *^шара ?
Дано: q p = А;.
•^осн.кон.
Найти: cos(ZSAO).
О Решение. Изобразим на чертеже половину осевого
сечения конуса. Обозначим: ОО\ = я, Z.SAO — у.
1) Соединим точки О\ и A, /JD\AO = ?.
z
2) АОгОА: tg^ = ^ =»
3) Тогда получаем
4тгх2
tg2
(см. условие), т.е. 4tg2 ^ = А;, т.е.
1 — cos у к 4- к
= —. т.е. cos 7 = т г-
I + COS7 4 к + 4
Отсюда следует (т.к. 7 — острый угол), что к < 4, А; > 0 и
7 = arccos |^-|. Следовательно, cos(ZSAO) = £-=т| •
Ответ:
, 0 < fc < 4. ♦
287

Задача 8. Гипотенуза прямоугольного треугольника
равна с, его острый угол равен а. Треугольник вращается вокруг
биссектрисы внешнего прямого угла. Найти объем тела
вращения.
А Дано:
АВ = с, /.АОВ = 90°,
/.О2ОА = 45°, ZABO = а.
Найти:
^тела вращения*
0 Решение. 1) ААОВ : ОВ — с • cos а, О А — с • sin а.
2) АООгВ: OiB = OOi,=» ОгВ2 + ОгВ2 = ОВ2, т.е.
2-О1В2=с2 cos2 а =>ОгВ =
3) АОО2А : О2А = ОО2 => 2О2А2 = с2 sin2 а => О2А =
_ с-sin а =
вращения
формулы 7, 9)
он ~~ *1
кон ~~ *1 кон
« -1-0 еСТЬ (СМ.
_ 1 (с- cos а с • sin a \
вращения
с2 • cos2 а с2 • sin2 а с2 • cos a sin a \
V 2 2 2 У
1 с2 • cos2 а с • cos а 1 с2 • sin2 а с • sin а
7Г С
in а) — (1 + cos а sin а) — ——t=(cos3 а И- sin3 а) =
7Г С
(cos a + sin а) • (1 + cos a sin а - 1 + cos a sin a) =
7ГС3
• \/2sin(— -h а) sin2а.
Ответ: ^- • sin(^ + а) sin 2а. ♦
288

Задача 9. Основанием пирамиды служит прямоугольный
треугольник с острым углом а. Высота пирамиды равна Н.
Все боковые ребра составляют с плоскостью основания один
и тот же угол, равный /?. Найти объем пирамиды.
S
Дано:
/С В А = 90°, /CAB = a,
/SCO = /SAO = /SBO = 0.
Найти:
мтир*
0 Решение. Так как все ребра пирамиды наклонены к
основанию под одинаковым углом, то вершина пирамиды S
проектируется в центр О описанной около прямоугольного
треугольника окружности, т. е. в середину гипотенузы АС.
2) ААВС : cos а = ^ => АВ = 2Н • ctg/? cos a.
3) =» Soch = \ ' ABACsma =
_ 1
= к • 2Я - ctg/?cosa • 2# • ctg/?sina (формула 2).
4)
Ответ: Ц>- • ctg2 /3 sin 2a. ♦
Задача 10. Величина угла между боковым ребром
правильной четырехугольной пирамиды и плоскостью основания
равна величине плоского угла при вершине пирамиды. Найти
угол между боковой гранью и плоскостью основания.
Дано: /SAO = /DSC.
Найти: /STO.
0 Решение. Обозначим /SAO = a, /STO = 7, AD - х.
1) &ADC : /D = 90° => АС = у/х2 + х2 = хл/2 => АО =
2
10-8601
289

2) AAOS: tga =
tga.
3) ASTD: Z.DST = %, tg %
С _.
4) Л50Г: tg7 = $Q и COS7
_ ОТ
x-2 a
~ = *§ 77-
2x • ctg -
Из этих равенств исключаем угол а. Так как
1-tg2^
м то
= V2 '
2 cos 7
- cos2 7
Решаем полученное тригонометрическое уравнение.
tg7sin27 = 2\/2cos7, cos 7 ф 0 => tg7 * tg7 • sin7 = 2\/2,
tg27-—
Пусть tg2 7 = t ^ 0, тогда *3 - 8^ - 8 = *3 - \t - \t - 8 = 0, т. е.
t(t - 2)(t + 2) - 4(t + 2) = (t + 2)(^2 - 2^ - 4) = 0 =»
ti = -2 — не подходит (t ^ 0) и t2 - 2t - 4 = 0 =» ii =
= 1 + >/5 и *2 = 1 ~ >/5 — не подходит; то есть tg2 7 = 1 + \/Ь =Ф
tg 7 = v 1 + л/5 (так как 7 — острый угол). Получаем
окончательно 7 = £STO = arctg
Ответ: arctg v 1 + л/5- ▼
290

Задача 11. В основании прямой призмы ABCА\В\С\
лежит прямоугольный треугольник ABC, у которого больший
катет АВ равен а, а противоположный ему угол С равен а.
Гипотенуза ВС является диаметром основания конуса,
вершина которого лежит на ребре А\В\. Найти высоту конуса,
если АА\ = ^.
В
*' 1 /
" 1 /
т
.-у.
[Ах
ч
ч
ч
у
о
А В а
Дано: /А = 90° /С = а, АВ = а, ААХ = | =
= ССЬ ОБ = ОС, ВВг ± В А, ВВг ± ВС.
Найти: ОТг.
0 Решение. Выносной чертеж подсказывает, где
находится вершина наклоненного конуса.
1) ABAC : sina = ^ => ВС = -Д- ^ ВО = ^-^—.
7 #6 sma 2sma
2) /БГО = а, т. к. /Б = 90° - а.
3) АВОТ: tga=SU,T.e.OT = BOctga,T.e.
4)
2 sin a
\2=ОТ2+ТТ12,т.е.
а\2 а )/ctg2a + sin2a
J =—i^—
^ о • v/ctg2 a + sin2 a A
Ответ: 3t— . ф
2 sin a
Задача 12. Основанием пирамиды служит ромб с острым
углом а. Найти объем пирамиды, если ее боковые грани
образуют с основанием один и тот же двугранный угол /3 и радиус
вписанного в нее шара равен г.
291

Дано:
АВ = ВС
N
В
D
/.BAD = q,
Z.SMO = Z.SNO =
002 = r = 02T.
Найти:
♦'пир*
E
M
AND О М
О Решение. Так как все грани пирамиды образуют с
основанием одинаковый угол, то вершина 5 пирамиды
проектируется в центр О вписанной в основание окружности. Сделаем
для пояснения выносные чертежи основания и ASOM.
1) Соединим точки О2 и М. АО2ОМ : tg ^ = -ту
=> ОМ = rctg|.
2) Следовательно,
3) AAFD : sin a =
4) Значит, Sqch =
ла 11).
-туг*
= 2rctg ^, т.е. FD = 2rctg
, т.е.
4
sin a
sin q
SinQ =
sin a
sin а
(форму-
292

5) ASOM:
4г
2 20
6) Значит, Упир = ^—^^ г • ctg 2. tgyS.
ctg3f
Ответ:
Задача 13. В правильной треугольной пирамиде дана
сторона основания о, угол наклона а бокового ребра к плоскости
основания. Через центр основания проведено сечение
пирамиды плоскостью, параллельной двум непересекающимся
ребрам. Определить площадь сечения.
S
А ЧгЛ-
0 Решение. Проведем сечение через ООъ \\ AS и DE \\
|| ВС. Значит, DP \\ AS и EF \\ AS, т.е. DEFP —
параллелограмм. Проведем О^О\ J. плоскости ABC. А так как
ОО\ _L DE, то DE _L OO2 по теореме о трех перпендикулярах.
Значит, DEFP — прямоугольник. Sdefp = DE • ОО2.
ДАМС : AM = ^^ (теорема Пифагора)
2)
3)
АО = %АМ = 4=,
3 л/3
,T.e.DE = |o.
293

4) AASC ~ ADPC
з. 1
5)
т.е. DP = —7=5 . Следовательно,
3 v 3 cos q
Ответ: Ш^-
27 cos a
Решить самостоятельно
Параллелепипед
14. Стороны основания прямого параллелепипеда
относятся как 1:2, острый угол в основании равен а. Найти угол
между меньшей диагональю параллелепипеда и плоскостью
основания, если высота параллелепипеда равна большей
диагонали основания.
15. Найти боковую поверхность и объем прямого
параллелепипеда, если его высота равна Л, диагонали составляют с
основанием углы а и /?, а основанием служит ромб.
Ответ: 2h2y/oXg2 a + ctg2 /? и ^-ctgactg/?
16. Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна Z
и составляет с двумя смежными гранями углы а и /?. Найти
объем параллелепипеда.
Ответ: /3 sin a sin /3^/cos(a + /?) cos(a — /3)
Призма
17. Боковое ребро правильной треугольной призмы равно
стороне основания. Найти угол между стороной основания и
непересекающей ее диагональю боковой грани.
Ответ: arccos ^г-
294

18. Найти объем правильной четырехугольной призмы,
если угол между диагональю призмы и боковой гранью равен а,
а сторона основания равна о.
Ответ:
sina
19. Основанием наклонной призмы служит прямоугольник
со сторонами о и 6. Две смежные боковые грани составляют с
плоскостью основания углы а и /?. Найти объем призмы, если
боковое ребро равно с.
Ответ:
у/1 + ctg2 a + ctg2 /?
Цилиндр
20. Плоскость, проведенная параллельно оси цилиндра,
делит окружность основания в отношении т : п. Площадь
сечения равна 5. Найти боковую поверхность цилиндра.
Ответ: -£
7ГП
sin
ТП + П
21. Плоскость, проведенная через образующую цилиндра,
составляет с плоскостью осевого сечения, содержащего ту же
образующую, острый угол а. Диагональ прямоугольника,
полученного в сечении цилиндра этой плоскостью, равна / и
образует с плоскостью основания угол /?. Найти объем
цилиндра.
Ответ: *1 * sin 2f cos ?
8 cos a
22. Объем цилиндра равен V. Найти высоту цилиндра,
если известно, что диагонали осевого сечения цилиндра
пересекаются под углом, равным а, обращенным к основанию.
4^ ctg2?
Ответ: \
295

Конус
23. Найти угол между образующей и высотой конуса, у
которого боковая поверхность есть среднее пропорциональное
между площадью основания и полной поверхностью.
Ответ: arcsin
24. Через две образующие конуса, угол между которыми
равен а, проведена плоскость, составляющая с основанием
угол /?. Найти объем конуса, если его высота равна h.
Ответ:
3sinJ/T *>'
25. Отношение полной поверхности конуса к площади его
осевого сечения равно к. Найти угол между высотой и
образующей конуса и допустимые значения к.
Ответ: | - 2arctg |, к > тг
Шар и конус
26. Образующая конуса равна а, расстояние от вершины
конуса до центра вписанного шара равно 6. Найти угол между
образующей и плоскостью основания.
Ответ: 2 arctg -
CL
27. В конус вписан шар. Радиус окружности, по которой
касаются конус и шар, равен г. Найти объем конуса, если
угол между высотой и образующей конуса равен а.
Ответ:
3 cos2 а sin а
28. Найти угол между образующей и основанием
усеченного конуса, полная поверхность которого вдвое больше
поверхности вписанного в него шара.
Ответ: arcsin -4-
296

Тела вращения
29. Найти острый угол ромба, зная, что объемы тел,
полученных от вращения ромба вокруг его большой диагонали и
вокруг его стороны, относятся как 1 : 2>/5.
Ответ: arccos h
30. В треугольнике ABC угол А равен а, угол С равен /?, и
биссектриса BD равна /. Треугольник ABD вращается вокруг
прямой BD. Найти объем тела вращения.
,з 2 а + Р 2 - Q
7Г/ COS COS
2 2
Ответ: «
3 sin2 a
31. Радиус круга, вписанного в прямоугольную трапецию,
равен г, острый угол трапеции равен а. Эта трапеция
вращается вокруг меньшей боковой стороны. Найти боковую
поверхность тела вращения.
Ответ: «
sin a
Пирамида
32. Основанием пирамиды служит равнобедренный
треугольник, у которого боковая сторона равна а, а угол при
вершине равен а. Все боковые грани наклонены к плоскости
основания под углом /?. Найти объем пирамиды.
a3sin|tg/3
Ответ: ъ
о
33. Боковые ребра правильной треугольной пирамиды
попарно взаимно перпендикулярны. Найти угол между боковой
гранью и плоскостью основания.
Ответ: arccos Ц^
34. Из основания высоты правильной треугольной
пирамиды на боковую грань опущен перпендикуляр, равный о. Найти
объем пирамиды, если угол наклона бокового ребра к
плоскости основания равен а.
\/3a3v/(4tg2a + l)3
Ответ: *
4tg2a
297

35. Боковая грань правильной треугольной пирамиды
составляет с плоскостью основания угол а. Высота пирамиды
равна Н. Через сторону основания и середину
противолежащего бокового ребра проведена плоскость. Найти площадь
полученного сечения.
Ответ: ^H2ctgay/l + 16ctg2 а
36. Основанием пирамиды служит равнобедренная
трапеция, у которой боковая сторона равна а, а острый угол равен
а. Все боковые грани образуют с основанием пирамиды один
и тот же угол /?. Найти полную поверхность пирамиды.
о
2а sin a cos —
Ответ: ъ
cosp
Комбинации тел
37. Высота конуса равна Н, угол между образующей и
высотой равен а. В этот конус вписан другой конус так, что
вершина второго конуса совпадает с центром основания первого
конуса, а соответствующие образующие обоих конусов
взаимно перпендикулярны. Найти объем вписанного конуса.
Ответ: ^- sin2 a sin2 2а
38. Угол между высотой правильной треугольной
пирамиды и боковым ребром равен а (а < j). В каком отношении
делит высоту пирамиды центр описанного шара?
Ответ: cos 2а
39. Сторона основания правильной четырехугольной
пирамиды равна о, боковая грань составляет с плоскостью
основания угол а. Найти радиус описанного шара.
^ a(3 + cos2a)
Ответ: v л . о L
4 sin 2a
40. В шар, радиус которого равен R, вписан конус, в этот
конус вписан цилиндр с квадратным осевым сечением. Найти
полную поверхность цилиндра, если угол между образующей
конуса и плоскостью его основания равен а.
Ответ: 6тгД28т22а
(l + 2ctga)2
298

Упражнения
1. Ребра прямоугольного параллелепипеда относятся как
3 : 4 : 12. Через большее ребро проведено диагональное
сечение. Найти синус угла между плоскостью этого
сечения и не лежащей в ней диагональю параллелепипеда.
2. Основанием прямой призмы служит равнобедренный
треугольник, основание которого о, а угол при
основании равен а. Найти объем призмы, если ее боковая
поверхность равна сумме площадей оснований.
3. Одна из сторон основания прямой треугольной призмы
равна а, а прилежащие к ней углы равны а и /?. Найти
боковую поверхность призмы, если ее объем равен V.
4. Две вершины равностороннего треугольника со стороной
а лежат на окружности верхнего основания цилиндра, а
третья вершина — на окружности нижнего основания.
Плоскость треугольника составляет с образующей
цилиндра угол а. Найти боковую поверхность цилиндра.
5. Отношение объема шара, вписанного в конус, к объему
описанного шара равно А:. Найти угол между
образующей конуса и плоскостью его основания и допустимые
значения к.
6. Угол между высотой и образующей конуса равен а.
Через вершину конуса проведена плоскость, составляющая
угол /3 с высотой (/? < а). В каком отношении эта
плоскость делит окружность основания?
7. Диагонали осевого сечения усеченного конуса точкой
пересечения делятся в отношении 2:1, считая от
большего основания. Угол между диагоналями, обращенный к
основаниям конуса, равен а. Длина диагонали равна /.
Найти объем усеченного конуса.
8. Сторона ромба равна о, его острый угол равен а. Ромб
вращается вокруг прямой, проходящей через его
вершину параллельно большей диагонали. Найти объем тела
вращения.
299

9. Боковая поверхность правильной треугольной
пирамиды в 5 раз больше площади ее основания. Найти плоский
угол при вершине пирамиды.
10. Площадь боковой грани правильной
двенадцатиугольной пирамиды равна S. Плоский угол при вершине
равен а. Найти объем пирамиды.
11. Через вершину правильной треугольной пирамиды и
середины двух сторон основания проведено сечение. Найти
площадь сечения и объем пирамиды, если известны
сторона основания а и угол а между сечением и основанием.
12. Основанием пирамиды служит правильный
треугольник. Две боковые грани перпендикулярны плоскости
основания. Сумма двух неравных между собой плоских
углов при вершине равна ^. Найти эти углы.
13. В цилиндр вписан прямоугольный параллелепипед,
диагональ которого составляет с прилежащими к ней
сторонами основания углы а и /?. Найти отношение объема
параллелепипеда к объему цилиндра.
14. Радиус шара, описанного около правильной треугольной
пирамиды, равен апофеме пирамиды. Найти угол между
апофемой и плоскостью основания пирамиды.
15. Высота конуса составляет с образующей угол а.
Через вершину конуса проведена плоскость под углом /?
(/? > ^ — а) к плоскости основания. Найти площадь
сечения, если высота конуса равна h.
16. Три шара радиуса R лежат на плоскости, попарно
касаясь друг друга. Определить кратчайшее расстояние от
плоскости до поверхности четвертого шара радиуса R,
который лежит на трех первых шарах, касаясь каждого
из них.
17. В основании четырехугольной пирамиды — квадрат со
стороной а. Две боковые грани перпендикулярны
основанию, наибольшее ребро наклонено к основанию под
300

углом а. Найти объем вписанного параллелепипеда,
вершины верхнего основания которого лежат на боковых
ребрах пирамиды, а диагональ образует угол (3 с
высотой.
18. Основания двух конусов, имеющих общую вершину,
лежат в одной плоскости. Разность их объемов равна V.
Найти объем меньшего конуса, если касательные,
проведенные к окружности его основания из произвольной
точки окружности основания большего конуса, образуют
угол а.
19. Боковые грани треугольной пирамиды взаимно
перпендикулярны между собой и их площади соответственно
равны 2, 3 и 6. Найти объем пирамиды.
20. Конус с углом а между осью и образующей и радиусом
основания г рассечен сферической поверхностью, центр
которой находится в вершине конуса, так что объем
конуса разделен пополам. Найти радиус этой сферы.
Ответы: 1. |f; 2. %-tgatg^; 3. д-; 4. ±тга2 х
a sin — sin —
2 2
/ У"
x ctga(3sin2a + 1); 5. arccos *—* , 0 < к ^ \:
Z о
3> arccos(ctgatg^) ^sinasin &. 8. 27ra3sinasin^:
7Г - arccos(ctg a tg 0)' 54 2' 2
9. 2arctg^; 10. |^S /tg|sin(l5°+ |) sin(15° - f);
rno — «in3 1 й° "
cos — sin315
cos a sin2 /8
/ . . л\ з
( g sin q sin
V cos(a - /
; 14. arcsin vl^~1-
2ф
о
• 2
sin —

ЧАСТЬ IV
ВАРИАНТЫ ДЛЯ
ПИСЬМЕННОГО
ЭКЗАМЕНА
ПО МАТЕМАТИКЕ

Ниже приведены образцы вариантов по математике,
предлагавшиеся на письменном экзамене в различные вузы
страны. К наиболее сложным из них приведены ответы.
Вариант 1
1. Сумма первых пяти членов геометрической прогрессии
равна 93, а сумма следующих пяти членов равна 2976.
Найдите сумму первых семи членов этой прогрессии.
2. Решите уравнение 3-1-2 sin 2х = tg x + ctg x.
3. Решите уравнение Iog3(a: — 2) = 1 — log3 x.
4. Решите неравенство 31-v^ • 21+v^ - 3^ • 21-v^ < 1.
5. Составьте уравнение окружности наименьшего радиуса
с центром в точке А(4,5; 1,5), имеющей хотя бы одну
общую точку с параболой у = х2 — Зх.
6. В правильной треугольной пирамиде с боковым ребром /,
образующим с плоскостью основания угол 60°,
проведено сечение, параллельное одной из медиан боковой грани
и боковому ребру, не пересекающему эту медиану. Какое
наибольшее значение может иметь площадь этого
сечения?
Ответ: 1. 381; 2. (-1)пут> + ™, п е Z; 3. 3; 4. х > 1;
Вариант 2
1. Рабочий должен изготовить 40 деталей. После того, как
была выполнена половина работы, он стал
изготавливать на одну деталь в час меньше. За какое время он
должен был выполнить всю работу, если первые 30
деталей он изготовил за 6,5 часов?
2. Найти все решения уравнения
3 + cos 2x + Зл/2 cos x = 0,
принадлежащие отрезку тг, Ц1
I z
304

3 Решить уравнение ( I + log2 (| - х) 1 • log^ i = 1.
4. Решить неравенство 81* - 16х < | • 36я.
5. Решить уравнение Iog2(6z - х2 - 5) = х2 - 6х + 11.
6. Найти все значения параметра а, при которых система
уравнений
' 2у = \х\-х
{х - а)2
имеет решение.
7. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA\B\C\D\ с
ребрами АВ = 6, AD — 2, AAi = 1 через его диагональ
АС\ проведена плоскость так, что полученное сечение
имеет наименьшую сумму квадратов сторон. Найти
площадь сечения и угол между секущей плоскостью и
гранью ABCD.
Ответ: 1.8; 2.^; 3.1; 4. (-оо,1); 5.3; 6. а ^ -±;
7. 7; arccos =.
Вариант 3
1. Решить уравнение 31og2 sinx + Iog2(l — cos2x) = 2.
2. Решить уравнение ctg4 2x — cos2 4x + 1.
3. Решить неравенство х2 — 4|х| + 3>0.
4 Найти наибольшее и наименьшее значения функции
если х е [-2,1].
5 Найти угол между образующей и высотой конуса, у
которого площадь боковой поверхности есть среднее
пропорциональное между площадью основания и площадью
полной поверхности.
305

Вариант 4
1. Решить уравнение tgx + ctgx = 3 + cos4x.
2. Решить уравнение
(х2 + 1) + (2х2 + 3) + (Зх2 + 5) + • • • + (Юх2 + 19) = 4500.
2
3. Решить неравенство log0 2 log5 x j~,f < 0.
4. В какой точке касательная к параболе у = х2 — 1
параллельна прямой 6х - у — 10 = 0?
5. Основанием наклонной призмы служит равнобедренная
трапеция, у которой боковая сторона равна меньшему
основанию и равна а, а острый угол равен а. Одна из
вершин верхнего основания призмы равноудалена от всех
вершин нижнего основания. Найти объем призмы, если
угол между боковым ребром и плоскостью основания
равен /?.
Вариант 5
1. Основанием пирамиды служит равнобедренная
трапеция, у которой острый угол равен а, а площадь равна S.
Все боковые грани составляют с плоскостью основания
один и тот же угол (3. Найти объем пирамиды.
2. Решить уравнения.
(а) sin2z + 2ctgz = 3,
(б) х2 - 5|х| +6 = 0,
(в)
3. Решить неравенства
(а) 21ogx310 + lgz3 ^Iog2
(б) л/х2 - Зх + 2 > 2х - 5,
306

(в) jg^j S I-
4. Решить уравнение
1 2 _ 7
х +х + х + '" + х +'••- 2>
где |х| < 1.
5. Найти все решения уравнения
v3 sin x + 2 cos x = v3 + sin 2x,
принадлежащие интервалу (0,2).
Вариант 6
1. В правильной треугольной призме с высотой Я
проведено сечение через сторону основания и противоположную
ей вершину другого основания. Угол при вершине
полученного сечения равен 2а. Найти площадь сечения.
2. Решить уравнения
(а) cos4 х + sin4 x - 2 sin 2x + | sin2 2x = 0,
(б) \x-2\"'2-*'-i = l,
(в)
(г) 3-16х+2-81х =5-36х.
3. Решить неравенства
(а) \х + 2| + Зх < 5,
(б) sin(2x+|)^i,
(в) (4х2 - 16а; + 7) • Iog2(x - 3) ^ 0.
4. При каких а уравнение
cos2 Зх + (2а2 - -V cos Зх -I- а2 - 2 = 0
имеет ровно пять корней, расположенных на промежут-
307

5. Решить систему уравнений
\y-\og3x = 1.
Вариант 7
1. Найти область определения функции
У =
2. Построить график у = —-j-~ — 1.
X ~т~ Z
3. Найти максимум и минимум функции у = ^ • х4 — 8х2.
4. Три числа образуют геометрическую прогрессию. Если
ко второму прибавить 9, то получится арифметическая
прогрессия с разностью 15. Найти геометрическую
прогрессию.
5. Вычислить sin4 a + cos4 а, если sin а - cos а = ^
6. Решить неравенство у/х2 — Ах > х — 3.
7. Доказать теорему синусов.
8. На оси OY найти точку, равноудаленную от точек
Л(1,2,3) и £(-2,1,3).
9. Решить систему уравнений
Г 2 • log2 х - Зу = 15,
10. В правильной четырехугольной пирамиде, у которой
сторона основания равна а и двугранный угол при
основании равен а, через одну из сторон основания проведена
плоскость под углом /J к плоскости основания.
Определить площадь сечения.
308

Вариант 8
1. Решить уравнение л/зlog2, х - 1 - 9log2 2 = 5.
2. Решить уравнение sin2x + 2ctgz = 3.
3. Решить неравенство ч/9* - 31+2 > 3х - 9.
4. Параллельные стороны трапеции равны а и Ь.
Определить длину отрезка, параллельного им и делящего
площадь трапеции пополам.
5. Основанием пирамиды служит равносторонний
треугольник со стороной а. Одна из боковых граней —
также равносторонний треугольник и перпендикулярна
плоскости основания. Определить полную поверхность
пирамиды.
Вариант 9
1. Решить уравнение \х — 3|х ~х = (х — З)2.
2. Решить неравенство у/х + 3 + \Jx — 2 - у/2х + 4 > 0.
3. Решить уравнение tgx — ctgx = sin"1 x — cos"1 x.
4. В прямоугольную трапецию вписана окружность
радиуса г. Найти стороны трапеции, если ее меньшее
основание равно ^г.
5. В основании пирамиды лежит равнобедренный
треугольник, основание которого а, угол при Йершине равен а.
Две грани, содержащие боковые стороны,
перпендикулярны основанию, третья грань наклонена к основанию
под углом р. Найти объем пирамиды.
Вариант 10
1. Найти на оси ОХ точку, сумма квадратов расстояний
которой от точек А(2,4) и 5(8,2) имеет наименьшее
значение.
2 Решить уравнение 4 sin х + 3 cos x = 5.
309

3. Решить неравенство ,х ^ 0.
4. Решить неравенство |х2 - 8| > 1.
5. Упростить Q-/21 : ^ + | 4- 2а1/2.
6. Решить уравнение
log3 х • log9 x • log27 x • log81 x = -.
7. Осевое значение конуса — равносторонний треугольник.
Найти отношение объема конуса к объему шара,
вписанного в конус.
8. Три числа, среднее из которых равно 8, составляют
возрастающую арифметическую прогрессию. Если от
первого числа отнять 1, а к третьему прибавить 19, то
полученные новые три числа будут составлять
геометрическую прогрессию. Найти эти числа.
v/x2 4- х — 4
9. Решить уравнение -^ -^ = 2.
10. Найти промежутки возрастания и убывания функции
у = — ix3 — 4-х2 + х и ее экстремальные значения.
Вариант 11
1. Решить уравнение (х + 1)л/х2 + х — 2 = 2х -I- 2.
2. Решить уравнение 2 sin2 x + 4 cos3 2x — \.
3. Решить систему уравнений
Г log2(x2+2/2) = 5,
\ = 4.
4. Решить неравенство т——-ут—^ ^ |х — 1|.
|Х ~г" 11 Z
5. Решить неравенство 9-4^ +5-6^ ^ 4 • 9^.
310

6. Упростить
7. Построить график функции j/ = я • |я| + 1.
8. Если двузначное число разделить на сумму его цифр, то
получится 4 и в остатке 3. Если разделить на
произведение цифр, то получится 3 и в остатке 5. Найти число.
9. Найти числа а, 6, с, d, если первые три числа образуют
геометрическую прогрессию, а последние три —
арифметическую прогрессию. Сумма крайних чисел равна 21, а
сумма средних равна 18.
10. Определить объем тела, образованного вращением
прямоугольника около оси, проходящей через его
вершину перпендикулярно диагонали, образующей со
стороной угол а. Длина диагонали равна d.
Вариант 12
1. Решить неравенство %/Зх2 + 25х + 42 > х + 4.
2. Решить систему уравнений
6i-sin3x+7: _^
3. В первом и втором сосудах содержится кислота: в
первом сосуде — 5л 30%-ного раствора, во втором сосуде
— 7л 40%-ного раствора. Этими растворами наполнили
10-литровый сосуд так, что концентрация кислоты в нем
оказалась равной с%. Остальную кислоту слили в
четвертый сосуд. В каком из двух сосудов, в третьем или
четвертом, концентрация кислоты больше?
4. В прямой круговой конус вписана правильная
шестиугольная призма так, что нижнее основание призмы
лежит в плоскости основания конуса, а вершины
верхнего основания лежат на боковой поверхности конуса.
311

Известно, что площадь полной поверхности этой
призмы имеет наибольшее возможное значение. Найти
объем призмы, если известно, что длина образующей конуса
равна /, а угол при 'вершине осевого сечения конуса
равен а.
Ответ: 1. х е (-оо, -6]и(-2,оо); 2. |(-1)п+1| + ^, 2тгш|
(т,п е Z) при с = 85; 0 при с / 85; 3. при с Е [35,35^)
концентрация кислоты в четвертом сосуде больше, чем в третьем;
при с G (351,37] — в третьем больше; 4. V = Щ^- . /3 cos ^ х
Вариант 13
1. Решить уравнение 3х"1 • 2Х+1 + 2х"1 • 3х = X.
2. Решить уравнение
3. Решить неравенство
(logi х + 2)(2 - logi х2) ^ logi
4. Решить неравенство 2 • %/И — 2х -f х > 3.
5. Найдите cos(^ -f 2а), если известно, что ctg(a - 2тг) =
_ _1
" 3'
6. При каких положительных значениях Ъ уравнение
х2 + Ъх Л-1 + |1 — х2\ = 0 не имеет корней.
7. Ромб, длины диагоналей которого равны б и 8,
вращается вокруг стороны. Найдите объем фигуры вращения.
312

Ответ: 1. -1; 2.1; 3. (0,2] U [4,oo); 4. (-7,^]; 5. |;
6.(0,2); 7. SpTT.
Вариант 14
1. Решить уравнение 3 + 7—2ffw"3,—г = 2a: + 5Q.
JF (х-2)(х + а) х + а
2. Решить неравенство 3* ~25 ^ 3* ~~ 25.
Я/ "т* J. Я/ О
3. Решить уравнение cos x-sin 2x _ L
COS %jX
4. Правильная четырехугольная пирамида со стороной
основания, равной а, и двугранным углом при основании,
равным 2а, пересечена плоскостью, делящей пополам
двугранный угол при основании. Найти площадь
сечения.
5. Установить, при каких значениях а система уравнений
{sin х cos2 у = (а2 - 4)2 + 1,
cos х sin 2y = а + 2
имеет решение. Найдите все решения.
Ответ: 1. Х\ = 2а — 1, Х2 = 3 при а ф —3; i; ^; 2; х = —7 при
а = -3; х = 3приа= \'Л',Ъ; 2. (-l,21og3 5]U (3,oo); 3- тгп,
Вариант 15
1. Упростить выражение для f(x) и найти f'{x), если
313

2. Решить систему уравнений
{(log2 ж - log3 у)'1 + log2 ж = 1,
log2 x • log2 3 - (1 - log2 3 • logy ж) • log2 y2 = 0.
3. Сумма первого, удвоенного второго и утроенного
четвертого членов геометрической прогрессии равна 2; ее
первый член, знаменатель и второй член образуют
арифметическую прогрессию. Найдите знаменатель и первый
член геометрической прогрессии.
4. Найти корни уравнения
/-ч 2 ж Птг . / 16 5 \
(1 + v 3) • cos - + tg ——- = sin ж • sin — ж + sin -тг ,
2 4 \ 3 6 /
принадлежащие области определения функции
У = bgj (^—t
5. Сторона ВС ромба MBCN и основание ВС
равнобедренной трапеции ABCD и совпадают, причем
ВС = a, AD = Ъ {а<Ъ< 2а).
Найти площадь поверхности тела, образованного
совместным вращением трапеции и ромба вокруг прямой,
содержащей ВС, если острый угол трапеции равен 30°,
а острый угол ромба равен 60°.
Ответ: 1. /(ж) = ж + 1, ж > 0; /'(ж) = 1 - -L, ж > 0;
2. <(±^),(4,27)}; 3.«z=f " Г°
= ->/5-1; 4. |^L,^t,M,^};5. |(3 + 2V3)(6 - а)2
2т1л/3-а2.
Вариант 16
1. Найти область определения функции
у=у/(7-х*)-\х*-16\.
314

2. В геометрической прогрессии с положительными
членами сумма первых двух членов равна 4, а сумма первых
трех членов равна 13. Найти сумму пяти первых членов
прогрессии.
3. Решить уравнение 2 • \х 4- 3| — \х — 2| -f \x — 1| = 5.
4. Решить уравнение 3I+1 - 2 • 3х"1 - 4 • З1"2 = 17.
5. Решить уравнение |х — ^П + 1 = sin2x.
6. Сколько литров воды нужно добавить в 18 литров 40%-
ного раствора уксусной кислоты, чтобы процентное
содержание кислоты уменьшилось до 30%?
7. Решить неравенство \/2х + 3 > х.
8. Решить неравенство ,({ ^ 1, если f(x) = Зх2 -f 4ж+
+ 10, д(х) = 2х2 -2х- 21.
9. При каких значениях параметра а неравенство
1 + Iog5(x2 + 1) ^ Iog5(ax2 + 4х + а)
справедливо при всех х?
10. В треугольной призме стороны основания равны 5 см,
б см и 9 см, а боковое ребро, имеет длину 40 см и
составляет с плоскостью основания угол 45°. Найти объем
призмы.
Ответ: 1. {-4}и[-л/7; л/7]и{4}; 2. 121. 3. -4; [-2;1]; 4. 2;
5. |; 6. 6; 7. [1,5;3); 8. [-3;0,5); 9. а <Е (2;3]; 10. 100 см3.
Вариант 17
1. Найти область определения функции у = ,/cosa; — к на
отрезке [0,2тг].
2. Построить график функции у = —=Ц- -f 2.
X ~— J.
315

3. В каких точках касательная к графику функции у =
= ж + о образует с осью ОХ угол 135°?
X £
4. Стороны прямоугольного треугольника образуют
арифметическую прогрессию. Гипотенуза этого треугольника
равна а. Найти катеты.
5. Доказать тождество
\/2cosa: - 2 cos ( j + a 1
— - = tga.
2sin ( 7 + Q ) - V"2sina
sin Ы -fa) -
6. Решить неравенство у/2 — Зх ^ х — 1.
7. Доказать теорему косинусов.
8. Решить неравенство 3I+1 + 18 • 3~х ^ 29.
9. Даны координаты трех точек
Л(3;2;5), В(4;0-2), С(1;3;2).
Найти длину медианы CD в треугольнике ABC.
10. В конус вписан цилиндр, высота которого равна
радиусу основания конуса. Найти угол между осью конуса и
его образующей, зная, что полная поверхность цилиндра
относится к площади основания конуса как 3:2.
Вариант 18
2 1б! X
1. Решить уравнение , /г "—ту = 1.
lg(5x-4)
2. Решить неравенство 4х - 10 • 2х + 16 < 0.
3. Решить неравенство (х 4- 2)у/х2 — 2х — 3 ^ 0.
4. Сумма цифр двузначного числа равна 12. Если к
искомому числу прибавить 36, то получится число, записанное
теми же цифрами, но в обратном порядке. Найти число.
316

5. Решить уравнение л/1-2 cos x = sin я.
6. В шар вписан конус. Площадь осевого сечения конуса
равна 5, а угол между образующей и высотой равен а.
Найти объем шара.
7. Построить график функции
у = у/(х + 2)2 - у/(х - 2)2.
8. Решить систему
Г 2у - 2х - z = 1,
\ х2 + 2/2 4- 2уг + 1 ^ 0.
Вариант 19
1. Решить уравнение (2х — - — 1) logi (I - х2) = 0.
2. Решить неравенство
3. Решить уравнение 1 + sin2x = sinx -f cosx.
4. В арифметической прогрессии первый член равен 3,
разность равна 3. В геометрической прогрессии первый член
равен 5, знаменатель равен \/2. Выяснить, что больше:
сумма первых семи членов арифметической прогрессии
или сумма первых шести членов геометрической
прогрессии.
5. Решить неравенство log2 sinx — 31ogsinx 2 > 2.
6. Угол при вершине осевого сечения конуса равен 2а, a
сумма длин его высоты и образующей равна а. Найти
объем конуса.
7. Упростить выражение
(х-1)у/(х-1)2+4х
х2 -f I -f 2|х|
317

8. Решить неравенство
2 л/а:2 + Зх ^ 9 - 2х -
Вариант 20
1. Найти сумму всех значений параметра а, при каждом из
которых уравнение
(а - 2) • х2 - 2л/бх + а - 1 = 0
имеет ровно один корень.
2. Три целых положительных числа образуют
геометрическую прогрессию. Найти третий член прогрессии, если
ее второй член на 1 больше первого члена.
3. Изобразить на координатной плоскости множество
решений системы
У + 1 > 0,
4. В треугольнике с основанием 15 см проведен отрезок,
параллельный основанию. Площадь полученной
трапеции составляет 75% площади треугольника. Найти
длину этого отрезка.
5. Дан цилиндр с объемом V. Определить его высоту и
радиус основания, при котором периметр осевого сечения
цилиндра имеет наименьшее значение.

Варианты заданий к Единому
государственному экзамену
Вариант 1
Часть 1
При выполнении заданий этой части в бланке ответов под
номером выполняемого вами задания (А1-А16) поставьте
знак «х» в клеточку, номер которой соответствует
номеру выбранного вами ответа.
оЗ,5 . О"1'5
Представьте выражение — в виде степени с
основанием 2.
1) 28 2) 2"1 3) 25 4) 22
Вычислите: у/8 • 162.
1) б 2) 3^24 3) 36 4) 16\/3
А1
А2
A3 Найдите значение выражения 0,231og°'25.
1) 0,04 2) 15 3) 30 4) 125
б sin a • cos a
А4
Упростите выражение
cos2 a — sin2 a
А5
1) -3tg2a 2) 3sin2a 3) 6tga 4) 3tg2a
Укажите множество решений неравенства
Ъх >0
(2-х)(4х + 3) "~
1) (-|; О] U (2; +оо) 2) (-оо; -|] U [0; 2)
3) [-|;О] U [2;+оо) 4) (-оо; -|] U [0;2]
А6
Укажите промежуток, которому принадлежит корень
уравнения 4 • 2I+1 + 2х = 36.
1)(1;2,5) 2)[2,5;3] 3)(3;5) 4) [5; 7]
Решите уравнение х + 2 = у/Ъх + 16. Укажите верное
утверждение о его корнях.
319

А8
1) корней два, и они положительны
2) корней два, и они разных знаков
3) корень только один, и он положителен
4) корень только один, и он отрицателен
Решите неравенство logx ъ(2х + 5) < 1.
1) (-оо; 1,75)
3) (-2,5;-1,75)
2) (-2,5; 1,75)
4) (1,75;+оо)
А9 Найдите все решения уравнения cos3 x+sin2 x cos x = 0.
3)
4){|}u{7r*},*ez
А10 I Функция у = f(x) задана графиком на отрезке [—5; 6].
Укажите множество значений аргумента, при которых
функция положительна.
Л
5
/
1
/
1
\
\
1
.. 1.
\
v
У
1
0
Ч.
;
1
/
У = .
;\
IV
fix
1
У
/
/
1
/
/
/
:
X
)[)(]
3) [-5;-2] U (5; 6]
2) [-4;-2] U [1; 2] U [3; 6]
АН
Для какой из указанных функций областью
определения является промежуток (4; +оо)?
1) У = 1о&>д (8 - 2х) 2) у = log^(3a; - 12)
3) у = lg(10 - 2,5*) 4) у = logo,5 (4z - 1)
А12 I Найдите множество значений функции у — 2х — 3.
1)(-оо;+оо) 2)(0;+оо)
4)(-3;+оо)
320

Га13 График какой из перечисленных функций изображен
на рисунке?
А14
1) у = cos |
3) у = 2 cos x
2) у = |cosz
4) у = cos 2x
Найдите производную функции у = sin(4x — 7).
1) у' = I cos(4x - 7)
3) у1 = 4cos(4z-7)
2) у1 = icos4x
4) у1 = 4cos(x-7)
А15 I Тело движется прямолинейно, и его скорость
изменяется по закону V(t) = (2t — 3) м/с. В момент времени
t = 5 с тело находится на расстоянии S = 10 м от
начала отсчета. Укажите формулу, которой задается
зависимость расстояния от времени.
1) S(t) =t2-3t 2) S(t) = 2t2 - 3t + 10
3) S(t) = *2 - 3t - 20 4) 5(t) = t2 + St - 10
A16 На рисунке изображен график функции у = f(x) и
касательная к нему в точке с абсциссой х0. Найдите
значение производной в точке xq.
1
/=,
•; •;
\
■ -1 •
0
V
/?
S
•
1 х
\
\
0 \
X.
11-8601
321

1)6
2) 2
3)3
4) -2
Часть 2
Ответом к каоюдому заданию этой части будет некоторое
число. Это число надо записать в бланк ответов справа от
номера задания (В1-В10), начиная с первой клеточки.
Каоюдую цифру или знак минус отрицательного числа
пихайте в отдельной клеточке строго по образцу из верхней
части бланка. Единицы измерений (км, % и т. п.) писать
не нуоюно. Если ответ получился в виде дроби, то ее надо
округлить до целых.
В1 Пусть (хо;уо) — решение системы уравнений
\0,04" • 5* = 25.
Найдите разность хо -уо-
В2 I На рисунке изображен график функции f(x) = ах2 +
+ Ьх + с и четыре прямые. Одна из этих прямых —
график производной данной функции. Укажите номер
этой прямой.
\У
ВЗ Найдите значение выражения 2\/2 (cos 15° - sin 15°).
322

Г~134 Найдите наибольшее целое значение функции
-!*! + 11.
[В 5 Укажите наименьшее целое решение неравенства
Ах - 2Х+5 - 68 > 0.
В6
При каких значениях а функция
у = 1п(8 - ж) + ln(z + a)
имеет максимум в точке с абсциссой, равной —3?
В7 | Для наполнения газгольдера сжатым газом имеются
три компрессора. Первому компрессору для
наполнения газгольдера требуется времени вдвое меньше, чем
второму, и на 4 ч больше, чем третьему. Три
компрессора, работая вместе, наполнили бы газгольдер за
4 ч, но по технологическим требованиям одновременно
должны работать только два из них. Определите
минимальное время (в минутах) наполнения газгольдера.
(Производительность каждого компрессора постоянна
в течение всей работы.)
В8 I Одиннадцатый член арифметической прогрессии
равен —89, а сумма первых двадцати членов равна —1810.
Найдите число членов прогрессии, содержащихся в
интервале (0;1б).
В9 I Основанием прямой призмы ABC А\В\С\ является
прямоугольный треугольник с катетами АС = 3 и
С В — 4, а ее боковое ребро равно л/ГТ. В призме
проведены два сечения. Одно из них проходит через ребро
АС и вершину В\, а другое — через ребро СС\ и
середину ребра А В. Найдите длину отрезка, являющегося
общей частью этих сечений.
В10 I Окружность, вписанная в ромб ABCD, касается
сторон АВ и ВС в точках МиР, причем МР — ВР.
Найдите периметр этого ромба, если радиус
окружности равен \/3.
11* 323

Часть 3
Для записи ответов к заданиям этой части (С1-С4)
используйте выданные листы. Запишите сначала номер
задания (С1 и т. д.), а затем полное решение.
С1
Найдите координаты точек пересечения графиков
функций
у = \/х2 + 4х + у/х2 + 4х - 9 и у = \/2х2 + &г + 3.
С2
СЗ
С4
Решите уравнение 2 |2Я - 1| = 3 • 4* + 2*+2 - 1,75.
В усеченном конусе отношение радиусов оснований
равно 0,5. В него вписан другой конус. Основание
этого конуса совпадает с меньшим основанием усеченного
конуса, а вершина лежит в центре большего основания
усеченного конуса. Плоскость, параллельная
основаниям конусов, делит их высоту в отношении 2:3,
считая от большего основания усеченного конуса.
Определите отношение V\ : V2, где V\ — объем части
вписанного конуса, которая отсекается от него этой
плоскостью и прилегает к его основанию, a V<i — объем части
усеченного конуса, которая отсекается от него той же
плоскостью и прилегает к его большему основанию.
Найдите все значения а, при которых область
определения функции у — log17+a (in ) содержит отре-
V OX -\~ Qi J
зок длиной 5, состоящий из положительных чисел.
Ответы к заданиям варианта 1
Ответы к заданиям части 1
Номер задания
Номер ответа
Номер задания
Номер ответа
А1
3
А9
1
А2
1
А10
1
A3
4
All
2
А4
4
А12
4
А5
2
А13
2
Аб
1
А14
3
А7
3
А15
1
А8
3
А16
4
Ответы к
Номер задания
Ответ
В1
4
В2
3
заданиям
ВЗ
2
В4
4
В5
6
части I
В6
14
В7
288
2
В8
5
В9
3
В10
16
324

Ответы к заданиям части 3
Номер задания
Ответ
С1
(-6,3/3);
(2,3/3)
С2
-1
СЗ
117
488
С4
(-17;-16) U
U (-16;-15)
А1
Решения заданий А1-А16
Используя свойства степени ат • ап = a
_ ат-п^ ПОЛуЧаем:
_ 3,б+(-1,5)
т • ап = am+n, am : ап =
"3
Такой ответ среди приведенных ответов стоит под
номером 3.
Ответ: 3.
Ответ: 1.
A3 I Используя формулу п • loga fc = loga Ьп и основное
логарифмическое тождество aloga b = b, получаем:
= 53 = 125.
Ответ: 4.
А4
Используя формулы двойного угла
sin 2a = 2 sin a • cos a, cos 2a = cos2 a — sin2 a
sin a
и определение тангенса tga = COSQ:, получаем
6 sin a - cos a _ 3 • 2 sin a • cos a _ 3 • sin 2a _ «
cos* a — sin a
cos2a
cos2a
Ответ: 4.
A5 I Данное неравенство можно зайисать в виде
Ъх х. Л j. х .
7I
(х_2)(х + |
325

(разделили обе части неравенства на (~~ т) > изменив
знак неравенства). Применяя метод интервалов (см.
рисунок), находим множество решений данного
неравенства (-оо; -|) U [0;2).
Ответ: 2.
А6 1 Таккак4-2х+1+2х = 42х -21 -f 2х = 8-2х + 2х = 9-2х,
то 9 • 2х = 36 или 2х = 4 = 22 => х = 2 G (1; 2,5).
Ответ: 1.
А7 Возводим обе части уравнения в квадрат: х2 + \х + 4 =
= Зх + 16. Отсюда следует х2 + ж — 12 = 0, ari =
= -4, х2 = 3. Поверка: -4 4- 2 = ^3 • (-4) + 16, -2 =
= л/4 — равенство неверно, значит, х\ = —4 — не
корень; 3 + 2 = %/3 • 3 + 16, 5 = л/25, равенство верно,
значит, число 3 — корень уравнения. Следовательно,
данное уравнение имеет «корень только один, и он
положителен».
Ответ: 3.
А8 Запишем данное неравенство в виде logx Б(2х + 5) <
< logi 5 1,5. Так как 1,5 > 1, то функция у — logx 5 t
возрастающая, следовательно, данному неравенству
равносильна система неравенств
2х + 5 > О,
2х + 5 < 1,5.
Далее получаем
(2х > -5, (х > -2,5,
\2х < -3,5; \х < -1,75.
Решения данного неравенства составляют интервал
(-2,5;-1,75)
Ответ: 3.
А9| Выделим общий множитель cosx, получаем
cos x(cos2 x + sin2 x) — О,
326

откуда cosx 1 = 0; cosz = 0. Отсюда следует
х= | + тгк, keZ.
Ответ: 1.
АЮ I Точки с положительными ординатами (значениями
функции) расположены над осью Ох. Абсциссы этих
точек составляют промежуток [—5; —1) U (5; 6].
Ответ: 1.
АН Областью определения функции у = loga t (a > 0, а ф
Ф 1) является промежуток (0;-foo).
Промежуток (4; -foo) является, очевидно, областью
определения функции loga[fc(z — 4)] при Ь > 0. Среди
приведенных ответов такая функция стоит под
номером 2 (для нее а — л/5, Ь = 3).
Ответ: 2.
А12 I Областью значений показательной функции у = 2х
является промежуток (0; +оо), т. е. 0 < 2х < +оо.
Следовательно, -3 < 2х — 3 < +оо, т.е. множество
значений функции у — 2х — 3 есть промежуток (—3; -Ьоо).
Ответ: 4.
А13 I На рисунке изображен график функции у = - - cosx,
т. к. только для нее значение функции при х — 0 равно
к (для остальных функций при х = 0 имеем у = 1 или
2/= 2).
Ответ: 2.
А14 Используя правила дифференцирования получаем
(sin(4z - 7))' = cos(4a: - 7) • (4ж - 7)' = cos(4z - 7) • 4,
т.е. у' = 4cos(4z - 7).
Ответ: 3.
А15 I Очевидно, что среди приведенных ответов только
функция S(t) — t2 — 3t удовлетворяет условию S —
= 10 м при t = 5 с (10 = 52 - 3 • 5).
Иначе: уравнение движения точки есть
неопределенный интеграл от скорости S(t) = J(2t - 3) dt — t2 —
— Zt + C. Значение С найдем, используя условие
задачи 5(5) = 10: 10 = 52-3-5 + С, С = 10-10, т.е. С = 0.
Следовательно, S(t) = t2 — 3t.
Ответ: 1.
327

А16 Значение производной функции у = f(x) в точке Хо
равно угловому коэффициенту касательной к графику
функции в точке М(х0;/(х0)), т.е. /'(хо) = к = tga,
где а — угол наклона касательной к оси Ох.
Исходя из рисунка, имеем:
tg(180°-a) = |, т.е. -tga = 2, tga = -2.
Следовательно, /'(х0) = —2.
Ответ: 4.
Вообще, функция f(x) — убывающая, поэтому ее производная
отрицательна во всех точках, а отрицательный ответ стоит под
номером 4.
Решения заданий В1—В10
В2
В1 | Преобразуем последовательно каждое из уравнений
системы:
1) log3 х - log3 у = log3 3, log3 | = log3 3, | = 3, x = 32/;
2) 0,04* • 5* = 25, (±Y • 5* = 25, (5"2)^ • bx = 25,
b~2y+x = 52, x — 2y — 2. Получаем систему
равносильную заданной. Решением этой системы
является пара (6; 2), следовательно, х0 — у0 = б - 2 = 4.
Ответ: 4.
Точка х — 2 является точкой минимума функции
f(x) = ах2 + Ьх + с. Следовательно, ее производная
/'(2) равна нулю, т.е. /'(2) = 0. Этому условию
удовлетворяют прямые 1 и 3. При х > 2 функция f(x)
возрастает, значит, ее производная должна быть
больше нуля, т.е. f'(x) > 0. Этому условию удовлетворяет
прямая 3.
Ответ: 3.
328

В6
ВЗ Используя формулу cos a —sin а = л/2-sin ( j - а К
получаем: 2>/2(cosl5°-sinl5°) = 2-v^2-\/2sin(45o-15o) =
= 2- 2 -sin30° = 4-0,5 = 2.
Ответ: 2.
В4 Так как функция f(x) = \/ll + 5 • 5~lxl является
четной и ее график симметричен относительно оси Оу, то
достаточно рассмотреть эту функцию на луче [0; -Нею).
Так как функция Ъ~х — убывающая, то этим же
свойством будет обладать и функция f(x). А из того что
0 < 5"х ^ 1 (при х ^ 0), то 0 < 5 • Ъ~х ^ 5,
следовательно, 11< 11 + 5 • 5"* ^ 16 и л/ТТ < f(x) ^ л/16-
Отсюда вытекает, что максимальное значение f(x) равно
л/1б = 4.
Ответ: 4.
В5 Положив 2х — t, получим систему неравенств:
ft2 - 32t - 68 ^ 0, j(t- 34) (t + 2) ^ 0,
т. е. t — 34 ^ 0. Значит, исходное неравенство
равносильно неравенству 2х ^ 34. Наименьшим целым
решением неравенства является число 6, т.е. х — 6 (25 =
= 32 < 34 < 64 = 26).
Ответ: 6.
Функция у — 1п(8 — х) + \п(х + а) определена при всех
значениях х, удовлетворяющих неравенствам 8 — х > 0
и х + а > 0, т. е.
-а < х < 8. (1)
Найдем критические точки функции у(х):
-х v L'^ x + a x + a^ x-8
х -8 + х + а
а)(х-8)
2
т.е. у' = — —. Производная определена при
(х + а)(х — 8)
всех значениях, удовлетворяющих неравенствам (1),
329

В7
y' = 0, еслиаН — = 0, т.е. при х = — = ~ .
По условию задачи функция имеет максимум в точке
с абсциссой, равной -3. Стало быть, имеем равенство
—~— = —3, отсюда находим значение а — 14. Тогда,
т. е. при а = 14, производная у1 = — при
(х 4- 14) (ж - 8)
переходе через точку х = — 3 меняет знак с «плюса»
на «минус», т. е. точка х — —3 — точка максимума.
Ответ: 14.
Пусть 3-й компрессор наполнит газгольдер за х ч,
тогда 1-й — за (х 4- 4) ч, 2-й — за (2х + 8) ч.
За один час, работая вместе, они заполнят
часть газгольдера, что составляет -г часть
газгольдера. Получаем уравнение
1+ +-j- = i
х 2(х + 4) 1 + 4 4'
Решаем его:
2{х + 4) + х + 2х 1
2х(! + 4) =1
2(5,+ 8) =
т. е. х2 — 6х — 16 = 0, х\ — — 2, Х2 = 8. Отсюда следует,
что 3-й компрессор может наполнить газгольдер за 8 ч,
1-й — за 12 ч, 2-й — за 24 ч.
Очевидно (так как 2-й — самый медленный), что при
работе двух компрессоров минимальное время
наполнения газгольдера даст работа 3-го и 1-го
компрессоров, за 1 ч работы они заполнят - + — = ■£- часть
газгольдера, следовательно, заполняет газгольдер за
— = 4,8 ч, т. е. за -=- • 60 = 288 мин.
Ответ: 288.
В8 | Согласно условию, оц = -89, т. е. а\ 4- 10d = -89 (а\ —
первый член арифметической прогрессии, d — ее
разность), а 520 = -1810, т.е. Ql ~^Q20 • 20 = -1810, т.е.
ах 4- (аг 4- Ш) = -181, т. е. 2ai + Ш = -181.
330

Решая систему
В9
! — _39
. "Ш=-Ш, НаХОДИМ'ЧТОа1 =
= —119, d — 3; n-й член прогрессии имеет вид ап =
= -119 + 3 • (п - 1) = Зп - 122.
По условию задачи
О < ап < 16
122 < Зп< 138.
Отсюда следует, что 40^ < п < 46. Число целых зна-
чений п, удовлетворяющих этому неравенству, равно
5 (от 41 до 45 включительно).
Ответ: 5.
Пусть Р — середина ребра АВ, а отрезок МР —
пересечение второго сечения с гранью АА\В\В (см. рис.),
точка М лежит на А\В\.
М
А <г~
1) Так как СС\ \\ АА\ \\ ВВ\, то СС\ параллельна
плоскости АА\В\В, поэтому СС\ || МР и МР || АА\,
следовательно, М — середина отрезка А\ В\.
2) Пусть CN — отрезок, являющийся общей частью
двух указанных в условии сечений, т.е. N = ABiDMP.
Так как MN \\ АА\, то MN — средняя линия
треугольника AAiBi, значит, AN — NB\.
3) ANMBi — ANPA (по гипотенузе и катету NBi =
= NA, МВг = РА), значит, NP = NM = ^3.
4) В прямоугольном треугольнике ABC заданы два
катета, по теореме Пифагора А В — \/32 + 42 = 5. А
331

так как Р есть центр описанной вокруг ААВС
окружности, то РА = РВ = PC = 2,5.
5) ACPN — прямоугольный (МР _L CP, признак
перпендикулярности прямой плоскости). Следовательно,
NC =
PN2 = ^2р + ^ = ^ =
= 3,
т.е.
(Иначе: точка JV — середина гипотенузы АВ,
прямоугольного AACBi^jk так как АВ = у/9 + 16 = 5,
= yJ(VU)2 + 25 = л/36 = 6, то
)
= NC = 3.)
Ответ: 3.
BIO Пусть данная окружность касается стороны AD в
точке Т (см. рис.). Тогда ОТ =
М
1) ВЫ — ВР — как отрезки касательных к хжруж-
ности, проведенные из одной точки В\ значит, МР =
= ВР = МВУ т.е. АМРВ — равносторонний, угол
МБР равен 60°.
2) Проведем отрезок АР\, параллельный отрезку ТР\
очевидно, АРг =ТР = 2ОР = 2л/3, АРг ± СВ.
АРл
3) AAPiB — прямоугольный, sin(ZАВРг) = -г^, т.е.
2л/3
sin6(\° = -т-Б"? отсюда получаем
АВ
АВ =
sin G0°
= 4.
4) Следовательно, периметр ромба ABCD равен АВ +
+ ВС + CD + DA = 16 (для ромба АВ = ВС = CD =
= DA).
Ответ: 16.
332

Cl
Решения заданий Cl—C4
Для нахождения координат точек пересечения
графиков заданных функций решим систему уравнений
\у =
у = у/х2 + Ах + у/х2 + Ах - 9,
у = л/2х2 + 8х + 3.
Она равносильна системе
[у = у/х2 + 4х + \/х2 + 4х - 9 = \/2х2 + 8х + 3.
(2)
Сначала решим уравнение \Jx2 -f 4x -f %/x2 + 4х — 9 =
= у/2х2 + 8ж + 3. Положим х2 + 4х = t. Тогда
уравнение примет вид уД+y/t — 9 = \/2£ + 3. Оно равносильно
следующей системе
т.е.
т.е.
- 9i = 2« + 3,
ft ^ 9,
\<2-9t =
т.е.
-12)(t
т.е.
\t = 12,
\t= -3.
333

сз
Отсюда следует, что t = 12. Возвращаясь к старой
переменной (ж), получаем х2 + Ах = 12, т. е. х2 + 4х —12 =
= 0. Отсюда следует xi = -6, £2 = 2.
Подставляя найденные значения переменной х в
первое уравнение системы (2), находим значения
переменной у: 2/1=1/2 = л/27 = 3>/3.
Координаты точек пересечения графиков заданных
функции таковы (—6,3л/3) и (2,3л/3).
Ответ: (-6,3л/3); (2,3^3).
С2 Пусть 2* = £ > 0. Тогда исходное уравнение можно
записать в виде 2\t —1| = 3£2+ 4t—1,75. Очевидно, £ = 1
не является решением этого уравнения (0^7 — 1,75).
Если t > 1, то получаем 2(t - 1) = З*2 Ч- 4t - 1,75,
(|* - 1| = t - 1), т.е. З*2 + 4* - 1,75 - 2* + 2 = 0, т.е.
3£2 + 2£ + 0,25 = 0. При * > 1 это уравнение решений
не имеет (левая часть уравнения заведомо больше 0).
Если t < 1 (и t > 0), то получаем: -2(t - 1) =
= 3t2+4i-l,75 (|t-l| = 1-t), т.е. 3*2+4t-l,75+2t-2 =
= 0, т.е. 3t2 + 6* - 3,75 = 0, tlf2 = ^±^+3-3,75 =
-3±4,5 , 7,5 ^n/
= r ; ti = —5- < 0 (не удовлетворяет условию
С учетом того, что 2х = £, получаем уравнение 2х =
= i т.е. 2х = 2"1. Найденное значение х является
корнем заданного уравнения. В этом можно убедиться
и прямой проверкой.
Ответ: —1.
1) Пусть ВС и AD — диаметры оснований
усеченного конуса, лежащие в одном общем его осевом сечении
(см. рис.), О\ и Оз — центры большего и меньшего
оснований. Пусть Оъ — точка на отрезке О\Оз,
отсекаемая данной плоскостью, так как по условию * 2 =
о С/2^3
= ^, то обозначим О\Оъ — 2х, O2O3 = Зх, обозначим
о
также О\С = у, тогда, согласно условию, O\D — 2у.
334

2) Пусть O2N и O2Q — соответственно радиусы
сечений усеченного и вписанного конусов, лежащих в
определенной условием плоскости сечения (см. рис.)
Далее, ДСО3О1 ~ AQO2O1 (по двум углам), значит,
Ъх ~ 5У'
те
О2ОХ ' Зх + 2х " 2х
3) Используя формулу Vy4 KOH. = «тг(Д2+г24-.Дт)-#,
находим объем Vri чах:ти вписанного конуса,
прилегающего к его основанию:
= |«s2 (куб. единиц).
25+245+Ю
4) Найдем O2N. Проведем СЕ _L AD, точку
пересечения СЕ и О2AT обозначим через F. Тогда O2N =
= 02F + FAT, то 02F = 03С = у = OiF и,
следовательно, EZ) = 2у -у = у. ACFN ~ ACED (по двум
335

углам ^ значит ^ - QQ т е ^х - —
углам;, значит, pN - ^, т.е. pN - у ,
3xt/ ч ч й
= -г— = тУ- Следовательно, O2N = у + -у = |у.
5) Находим объем V2 части усеченного конуса,
прилегающего к его большему основанию:
_ 8
С4
25
!) =
•61
75
(куб. единиц).
6) Находим искомое отношение объемов: V\ : V2 =
= i-2
V2 488"
8тгху2 - 61 = 39 • тгх2у - 75 = 39-3
75 " 25 • 8тгху2 • 61 " 8 • 61
Ответ:
117
488'
488*
(а — х \
In ^——- )
ох ~\~ а /
задается следующей системой
17 + а>0,
17 + а#1,
Sx + a
Зх + а ф О,
lnf=f >0.
Ъх + а
Эта система равносильна следующей системе:
а #-16,
Зх + а > °'
а - х
^ За; + а
>1,
а> -17,
а/-16,
Х^ 3'
а — х
^Зх + а
т.е.
а/-16,
а > -17,
а #-16,
х Л^.
а ^ '
3
336

Очевидно, что а ф 0 (в противном случае получим
1 < 0). Если а > 0, то область определения заданной
функции не содержит положительных чисел.
0 х
Если а < 0 (а > -17, а ^ -16), то 0 < х < -f.
о
Требуется подобрать (найти) значения а, при
которых область определения функции содержала бы
отрезок длиной 5, состоящий из положительных чисел.
Длина полученного промежутка должна быть
больше 5, т.е. — ^ - 0 > 5, отсюда следует а < —15. С
о
учетом того, что а > -17, а ф -16, получаем ответ
ае (-17; -16) U (-16; -15).
Ответ: а <Е (-17; -16) U (-16; -15).
Вариант 2
Часть 1
При выполнении заданий этой части в бланке ответов под
номером выполняемого вами задания (А1-А16) поставьте
знак «у,» в клеточку, номер которой соответствует
номеру выбранного вами ответа.
А1
Найдите значение выражения 2 sin 2а — 2 sin а cos а +
+ 2 cos2 2а при а = ^.
1) 1,5 2) 2,5 3) 3 4) 4
А2 I Упростите выражение 2 .
6" 5
1) 6^ 2) б£ 3) Ь 4) б2
337

A3 Сократите дробь
1) 1 з 2)
3) 1ЧГ. 1 .^9 4)
А4 I Найдите значение Iog5(125c), если log5 с = 4.
1) 7 2) 12 3) 100 4) 500
А5 Укажите корень уравнения sin (77 ~ х) — —0,5, при-
Гтг 1
надлежащий отрезку -; тг .
1J 3 2j 4 ^6 4j 3
А6 Укажите промежуток, которому принадлежит корень
уравнения Iog7(2x — 1) = 1.
1) (-оо;-2) 2) (-2;±) 3) [-Щ 4) (2; +оо)
А7
/1\4х-2 1
Решите неравенство (■= ) — ^ ^ 0.
\^/ о
-oo;|] 3) [|;
1 х ~н 4
А8 Решите неравенство —— ^ 0.
Хуо — X)
1) (-оо; -4) U (0; 3) 2) [-4; 0) U (3; +оо)
3) [-4; 0] U [3; -boo) 4) [-3; 0) U [4; +оо)
А9 | Укажите промежуток, которому принадлежат нули
функции у = 2х — л/6 — 2х2.
1)(-оо;-1) 2)(-1;0) 3) (0; 1) 4) (1;+оо)
А10
Функция у = f(x) задана на промежутке [-6; 5].
Укажите промежуток, которому принадлежат все точки
экстремума.
338

I -
6
/
/
f
/
f
\
\
\
У
0
4
\
4 '
/
I
и- "*
Х-
l)[-6;0] 2)[-3;2] 3) [-2; 2] 4) [0;5]
All Найдите область определения функции
1) (-оо; -2] U [2; +оо) 2) (-оо; -1) U (1; +оо)
А12
Найдите множество значений функции у = cosx — 2.
1)[-3;-1] 2)[-2;0] 3) [-1; 1] 4)[-3;1]
А13 I Укажите график функции, заданной формулой у ■
1) '
3)
\
\
\
0
1
>
0
У
]
У
]
L
I
/
у
f
х\
х\
4)
л
' 1'
0
У
I
1
...
1
1
1
; о
\
]
....
У
1
X
: ^
"^—
339

А14
2х
Найдите значение производной функции у — л
точке хп = -.
4
А15 Укажите такую первообразную F(x) функции f(x) =
о
= -гна промежутке (0; +оо), что F(l) = 10.
Х 9
l)f(a:) = -f+ 8 2) F(a;)=21na;
3)F(x) = -4 4) F(z) =-! + 12
3
А16 При движении тела по прямой расстояние 5 (в метрах)
от начальной точки движения изменяется по закону
S(t) = 0,5t2 — At + 6 (t — время движения в
секундах). Через сколько секунд после начала движения
тело остановится?
1) 6 2) 2 3) 8 4) 4
Часть 2
Ответом к каждому заданию этой части будет некоторое
число. Это число надо записать в бланк ответов справа от
номера задания (В1-В10), начиная с первой клеточки.
Каждую цифру или знак минус отрицательного числа
пишите в отдельной клеточке строго по образцу из верхней
части бланка. Единицы измерений (км, % и т. п.) писать
не нужно. Если ответ получился в виде дроби, то ее надо
округлить до целых.
| В1 | Пусть (хо;уо) — решение системы
(Vl6-8z + z2 - у = -3,
Найдите сумму (х0 + у0)-
В2
Функция у = f(x) задана на отрезке [а; Ь]. На рисунке
изображен график ее производной у = f'(x).
Исследуйте на монотонность функцию у = f(x). В ответе
укажите количество промежутков, на которых
функция убывает.
340

i \
r \
: ! \
......
•....1
: i
: i
: i
: Ф
I
i
f
/
*'(x
\
\
\
У
0
V
\
/
1
/
f
/
f
J
\
x :
B3
B5
В6
B7
B8
Найдите значение выралсения 61oge-3 ( ^т 1 >
\n(a\\ =-8, logi(62) = 4.
если
B4 Найдите наименьшее значение функции
у = v^cos Sx cos 2x + sin Sx sin 2x — 26.
Найдите значение tgx0, где х0 — наибольший
отрицательный корень уравнения 5 4- 7 sin я • cosx = 3sin2 x.
(1 \ QX'
минимум в точке с аосциссои -г:
имеет
Банк предлагает вклад «студенческий». По этому
вкладу сумма, имеющаяся на 1 января, ежегодно
увеличивается на одно и то же число процентов.
Вкладчик вложил 1 января 1000 рублей и в течение 2 лет
не производил со своим вкладом никаких операций.
В результате вложенная им сумма увеличилась до
1210 рублей. На сколько процентов ежегодно
увеличивается сумма денег, положенная на этот вклад? (Знак
% в ответе не пишите).
Некоторые виды бактерий вредны для человека.
Обычно, если на 1 грамм пищи приходится более 10 млн
таких бактерий, то есть риск отравиться этой пищей. В
341

8 ч утра 1 грамм пищи содержал 1000 бактерий.
Известно, что на открытом воздухе каждые 20 минут
каждая бактерия делится на 2 бактерии. Через какое
наименьшее число минут пища может стать опасной
для человека?
В9 Найдите расстояние от вершины А треугольной
призмы АВСА\В\С\ до плоскости сечения А\В\С, если
объем призмы равен 60, а площадь сечения равна 10.
В10 I В треугольнике ABC проведены высота АН и
медиана ВЫ. Найдите площадь треугольника СЫН, если
АВ = 13, ВС = 14, АС = 15.
Часть 3
Для записи ответов к заданиям этой части (С1-С4)
используйте выданные листы. Запишите сначала номер
задания (С1 и т. д.), а затем полное решение.
| С1 I Решите уравнение
С2
При каких значениях параметра р уравнение
4л/1 + х2 -2p = U-
имеет более одного корня?
СЗ I Основание ABC правильной треугольной пирамиды
SABC вписано в нижнее основание цилиндра, а
вершина 5 расположена на оси О\Оч цилиндра (точка
О\ — центр верхнего основания). Найдите отношение
SO\ : SO2, если объем цилиндра равен 21тг, а объем
пирамиды равен Зл/3-
С4 I Найдите все положительные значения параметра а,
при которых в области определения функции у =
= (аж — ааж+1)~0'5 имеются четные натуральные числа,
но все они не делятся нацело на число 3.
342

Ответы к заданиям варианта 2
Ответы к заданиям части 1
Номер задания
Номер ответа
Номер задания
Номер ответа
А1
1
А9
3
А2
2
А10
2
A3
2
АИ
3
А4
1
А12
1
А5
4
А13
4
А6
4
А14
3
А7
3
А15
4
А8
2
А16
4
Ответы к
Номер задания
Ответ
В1
7
В2
1
заданиям
ВЗ
-60
В4
-3
В5
-1
части
В6
-1
В7
10
2
В8
280
В9
6
В10
27
Ответы к
Номер задания
Ответ
С1
-17; -7
заданиям части 2
С2
(-оо; -7) U (-4; + оо)
сз
3:4
С4
П. 51
V2'6.
Вариант 3
Часть 1
При выполнении заданий этой части в бланке ответов под
номером выполняемого вами задания (А1-А16) поставьте
знак «х» в клеточку, номер которой соответствует
номеру выбранного вами ответа.
З2'6
А2
А4
А1 I Представьте выражение _1 9—— в виде степени с
основанием 3.
1) З5 2) З4 3) З1'2 4) З2'2
Вычислите: ^25 • 135.
1) v^15 2) 3S/5 3) 15
4) 5S/3
A3 Найдите значение выражения 52+lo6s3.
1) 25
2) 75
Упростите выражение
1
3) 3 4) 9
cos a — sin a sin a + cos a
I)ctg2a 2)
2 sin a
sin а
3)±ctg2a
2 cos а
4)
1
sin 2а
343

А5 Укажите множество решений неравенства
(2-Зж)(5 + 2х)
4х ^
l)[-2l;0]u[|;+oo) 2) (-00;-2§] U (о; §]
3)(-oo;-2i]u[0;|] 4) [-21;о) U [|;
А6 Укажите промежуток, которому принадлежит корень
уравнения 9 • 3х + 3х"1 = 84.
4) (|;+оо)
А7
Решите уравнение 2 — х — \Jx -f 18. Укажите верное
утверждение о его корнях.
1) корень только один, и он положителен
2) корней два, и они разных знаков
3) корень только один, и он отрицателен
4) корней два, и они отрицательны
А8 Решите неравенство log0 2(3х — 2) > — 1.
•3) (0; 21)
А9
Найдите все решения уравнения sin3 x-f sin x cos2 x = 0.
1) f + пк, к е Ъ
2)-тг
3) {|+ 7гА:}и{-тг}, keZ
4) nk,keZ
А10 Функция у = f(x) задана графиком на отрезке [—6; 4].
Укажите множество значений аргумента, при которых
функция положительна.
344

1
1
i
к
\
\
\
\
V
i
/
/
/
1
л
\
1
1
1
\
4,
У
i
1
0
1
2/ =
i
/
/
/
=/(*) ;
/ ^
I \ k
4 :
1) [-6;-5] U [-4;-2] U [2; 4]
2) [6;-5] U [-4; 2] U [3; 4]
3)[-6;-4)U(-4;-l)U(3;4]
[
All
A12
Для какой из указанных функций областью
определения является промежуток (—оо;6)?
1) У = bg^(x - 27) 2) у = log, (24 - 4s)
3) у = log I (2s - 12) 4) у = ln(3s + 18)
б
Найдите множество значений функции у = 3х — 2.
1) (0; +оо) 2) (2; +оо) 3) (-2; +оо) 4) (-оо; +оо)
А13 I График какой из перечисленных функций изображен
на рисунке?
: х^
J
1
/
/
У
/
1
0
/
/
\
' " * Л
\
\
\
К.
\
:/
/
/
/
1
/
/
/
{....
X
1) у — sin2x
3) у — 2 sin х
2) у = -si
4)y = sin|
345

А14
Найдите производную функции у — cos(0,5x + 3).
1) у1 = -0,5 sin(0,5z + 3) 2) у1 = 0,5 sin(0,5z + 3)
3) у1 = -2 sin(0,5z + 3) 4) у' = 2 sin(0,5x + 3)
А15 Тело движется прямолинейно, и его скорость
изменяется по закону V(t) = (3t2 — 6£) м/с. В момент
времени t = 2 с тело находится на расстоянии 5 = 1 м от
начала отсчета. Укажите формулу, которой задается
зависимость расстояния от времени.
1) S(t) = t3 - З*2 + 4 2) S(t) =t3-3t2 + 5
3) S(t) = 3t3 - 3t2 + 1 4) S(t) = t3 + St2 - 20
А16 I На рисунке изображен график функции у = f(x) и
касательная к нему в точке с абсциссой х0. Найдите
значение производной в точке хо-
1)1
2) -5
4)5
Часть 2
Ответом к каэюдому заданию этой части будет некоторое
число. Это число надо записать в бланк ответов справа от
номера задания (В1-В10), начиная с первой клеточки.
Каждую цифру или знак минус отрицательного числа
пишите в отдельной клеточке строго по образцу из верхней
части бланка. Единицы измерений (км, % и т. п.) писать
не нужно. Если ответ получился в виде дроби, то ее надо
округлить до целых.
346

Bl I Пусть (хО]уо) — решение системы уравнений
{logj^ х + logi^ у = -2,
3 3
2у-з . 2* = 8.
Найдите значение выражения Зх0 + yo-
В2 I На рисунке изображен график функции f(x) — ах2 +
+ Ьх + с и четыре прямые. Одна из этих прямых —
график производной данной функции. Укажите номер
этой прямой.
У\
ВЗ
Найдите значение выражения
(cos 80° + cos 10°) - (sin 10° - sin 80°)
sin 70°
B4 | Найдите наибольшее целое значение функции у =
= >/42-М + 19.
В5 Укажите наименьшее целое решение неравенства
(1\2х /П
В6 I При каких значениях а функции
у = log 1 (х - 5) + log 1 (а - 2х)
2 2
имеет минимум в точке с абсциссой, равной 6,5?
347

В7 Для наполнения плавательного бассейна водой
имеются три насоса. Первому насосу для наполнения
бассейна требуется времени вдвое меньше, чем второму, и на
7 ч больше, чем третьему. Три насоса, работая вместе,
наполнили бы бассейн за 4 ч, но по условиям
эксплуатации одновременно должны работать только два
насоса. Определите минимальное время (в минутах)
наполнения бассейна. (Производительность каждого
насоса постоянна в течение всей работы.)
В8
Сумма первых сорока членов арифметической
прогрессии равна 6440, а двадцать первый член равен
159. Найдите число членов прогрессии,
принадлежащих интервалу (—17; 0).
Основанием прямой призмы АВСА\В\С\ является
прямоугольный треугольник с катетами АС — 3 и
СВ = 4, а ее боковое ребро равно 5%/3. В призме
проведены два сечения. Одно из них проходит через ребро
ВС и вершину А\, а другое — через ребро СС\ и
середину отрезка АВ. Найдите длину отрезка, по которому
пересекаются эти сечения.
К окружности проведены касательные МА и MB (А и
В — точки касания). Найдите длину хорды АВ, если
радиус окружности равен 20, а расстояние от точки М
до хорды АВ равно 9.
Часть 3
Для записи ответов к заданиям этой части (С1-С4)
используйте выданные листы. Запишите сначала номер
задания (С1 и т. д.), а затем полное решение.
В10
С1 | Найдите координаты точек пересечения графиков
функций у = VSx3 + 7 + у/х3 - 7 и у = Зу/х3.
С2 Решите уравнение
0,25х"1 + 5 • 0,5*+1 - 0,5 |0,5* - 1| = 0,5.
348

сз
С4
В усеченном конусе отношение радиусов оснований
равно 2 : 3. В него вписан другой конус. Основание
этого конуса совпадает с меньшим основанием усеченного
конуса, а вершина лежит в центре большего основания
усеченного конуса. Плоскость, параллельная
основаниям конусов, делит их высоту в отношении 1:3,
считая от большего основания усеченного конуса.
Определите отношение Vx :V2j где V\ — объем части
вписанного конуса, которая отсекается от него этой
плоскостью и прилегает к его основанию, a Vi — объем части
усеченного конуса, которая отсекается от него той же
плоскостью и прилегает к его большему основанию.
Найдите все значения а, при которых область
определения функции
содержит отрезок длиной 3, состоящий из
положительных чисел.
Ответы к заданиям варианта 3
Ответы к заданиям части 1
Номер задания
Номер ответа
Номер задания
Номер ответа
А1
2
А9
4
А2
3
А10
3
A3
2
АН
2
А4
1
А12
3
А5
4
А13
3
Аб
4
А14
1
А7
3
А15
2
А8
4
А16
1
Ответы к
Номер задания
Ответ
В1
12
В2
4
заданиям
вз
-1
В4
5
В5
-2
части
Вб
16
В7
280
2
В8
4
В9
5
В10
24
Номер
Ответ
Ответы
задания
к заданиям
С1
/7;3^)
С2
2
части
сз
252
397
(9
3
С4
; ю) и (Ю;
И)

По вопросам оптовых закупок обращаться:
тел./факс: (495) 785-15-30, e-mail: trade@airis.ru
Адрес: Москва, пр. Мира, 104
Наш сайт: www.airis.ru
Вы можете приобрести наши книги с II00 до 1730,
кроме субботы, воскресенья, в киоске по адресу:
пр. Мира, д. 104, 4 этаж, тел. (495) 785-15-30
Адрес редакции: 129626, Москва, а/я 66
Издательство «АЙРИС-пресс» приглашает к сотрудничеству
авторов образовательной и развивающей литературы.
По всем вопросам обращаться
по тел.: (495) 785-15-33, e-mail: editor@airis.ru
Учебное издание
Письменный Дмитрий Трофимович
ГОТОВИМСЯ К ЭКЗАМЕНУ
ПО МАТЕМАТИКЕ
Математика для старшеклассников
Ведущий редактор В. В. Черноруцкий
Редактор Л. В.Абламская
Художественный редактор А. М. Драговой
Иллюстрации А. Ю. Терская
Обложка А. М. Кузнецов
Технический редактор С. С. Коломеец
Компьютерная верстка Ш. Г.Амиранашвили, Е. Г. Иванов
Корректор 3. А. Тихонова
Подписано в печать 07.08.08. Бумага офсетная.
Формат 84x108/32. Печать офсетная. Печ. л. 11.
Усл.-печ. л. 18,48. Тираж 6000 экз. Заказ № 8601.
ООО Издательство «АЙРИС-пресс»
113184, Москва, ул. Б. Полянка, д. 50, стр. 3.
Текст отпечатан с готовых диапозитивов
в ОАО Владимирская книжная типография.
600000, г. Владимир, Октябрьский проспект, д. 7.
Качество печати соответствует качеству предоставленных диапозитивов.

подготовка к
РЕШЕНИЕ СЛОЖНЫХ ЗАДАЧ
единог
Книга адресована всем, кто готовится к выпускным
экзаменам в школе, к выполнению ЕГЭ, к поступлению
в вузы, учителям, руководителям факультативов, а также
всем учащимся, начиная с 9 класса, которые
интересуются математикой.
В пособии собраны эффективные методы решений
«проблемных» уравнений и неравенств алгебры и
математического анализа. Приведено полное решение около
300 задач, более 20 из которых - задачи с параметрами.
\ В книгу вошли задачи ЕГЭ последних лет, а также зада-
i чи вступительных экзаменов разных факультетов МГУ и
! МФТИ.
j^L~*iV: ЗС Ф *%к ЧГ ЭГ Ji^% JpjSSk*-'" •* * <J% - * -•" "■ ••Л* "*•■ '""-*•■ %-5'" ;: *" . "" ■• " . '""Лл"'.лч.

подготовка к
Г С ?й UX &
ШЖЖШШш
МАТЕМАТИКА
I ИНТЕНСИВНЫЙ КУРС ПОДГОТОВКИ
Актуальная книга, адресованная прежде всего
учащимся выпускных классов, желающим основательно
подготовиться к сдаче ЕГЭ. В пособии собраны эффективные
методы решения наиболее «проблемных» уравнений и
неравенств алгебры. Приводится 20 тренировочных
вариантов ЕГЭ. Даны решения многих заданий, в том
числе полностью двух вариантов, и ответы на все задания.
Книга может быть полезна при подготовке к
традиционным выпускным или вступительным экзаменам, а
также учителям и учащимся, начиная с 8 класса,
руководителям факультативов.
Автор книги много десятилетий преподает
математику в МФТИ, в заочной физико-математической школе
МФТИ, в средней школе.

■'*.-, . —. —. ■>-■
ДОМАШНИЙ 1 РЕПЕТИТОР
читрий Письменный
п
Систематизация знаний
по математике
Полные ответы
на 55 программных
вопросов устного экзамена
Основные способы
решения типичных задач
письменного экзамена
Примеры с ответами
для самостоятельной работы
по каждой теме
Варианты ЕГЭ с разбором
II