УДК 517
ББК 22.16
С23
Авторы:
В. С. ВЛАДИМИРОВ, А. А. ВАШАРИН, X. X. КАРИМОВА,
В. П. МИХАЙЛОВ, Ю. В. СИДОРОВ, М. И. ШАБУНИН
Сборник задач по уравнениям математической физики /Под ред.
B.C. Владимирова. — 4-е изд., стереотип. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. —
288 с. - ISBN 5-9221-0309-1.
Сборник задач, составленный коллективом преподавателей Московского
физико-технического института, базируется на обновленных курсах уравне-
уравнений математической физики, читаемых в МФТИ в течение многих лет.
В отличие от имеющихся задачников по уравнениям математической
физики, в данном сборнике широко представлены задачи, в которых исполь-
используется теория обобщенных функций и методы функционального анализа.
Третье издание — 2001 г.
Для студентов физико-математических и инженерно-физических специ-
специальностей вузов.
Ил. 4. Библиогр. 8 назв.
ISBN 5-9221-0309-1	© ФИЗМАТЛИТ, 2001, 2003, 2004

СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие к третьему изданию		4
Из предисловия к первому изданию		5
Основные определения и обозначения		6
Глава I. Постановки краевых задач математической фи-
физики 		9
§ 1. Вывод уравнений и постановки краевых задач 		9
§ 2. Классификация уравнений второго порядка		33
Глава П. Функциональные пространства и интегральные
уравнения		39
§ 3. Измеримые функции, интеграл Лебега		39
§ 4. Функциональные пространства		46
§ 5. Интегральные уравнения		66
Глава III. Обобщенные функции		89
§ 6. Основные и обобщенные функции		89
§ 7. Дифференцирование обобщенных функций		95
§ 8. Прямое произведение и свертка обобщенных функций		104
§ 9. Преобразование Фурье обобщенных функций медленного
роста		114
§ 10. Преобразование Лапласа обобщенных функций		122
§11. Фундаментальные решения линейных дифференциальных
операторов		126
Глава IV. Задача Коти		134
§ 12. Задача Коши для уравнения второго порядка гипербо-
гиперболического типа		134
§ 13. Задача Коши для уравнения теплопроводности		159
§ 14. Задача Коши для других уравнений и задача Гурса 		170
Глава V. Краевые задачи для уравнений эллиптического
типа		183
§ 15. Задача Штурма-Лиувилля		184
§ 16. Метод разделения переменных для уравнений Лапласа
и Пуассона		193
§ 17. Функция Грина оператора Лапласа		207
§ 18. Метод потенциалов		213
§ 19. Вариационные методы		232
Глава VI. Смешанная задача		241
§ 20. Метод разделения переменных		241
§ 21. Другие методы		271
Дополнение. Примеры решений некоторых типовых
задач		279
Список литературы		287

ПРЕДИСЛОВИЕ К ТРЕТЬЕМУ ИЗДАНИЮ
Третье издание сборника задач по уравнениям математической фи-
физики не отличается от второго A982 г.) по содержанию. Авторы лишь
исправили отдельные неточности в формулировках задач и устранили
опечатки.
Во втором издании было добавлено небольшое число задач (в ос-
основном в главу III) к первому изданию сборника A974 г.).
Авторы выражают глубокую благодарность коллективу кафедры
высшей математики Московского физико-технического института за
конструктивную критику, за предложения и замечания, которые спо-
способствовали улучшению сборника и позволили устранить неточнос-
неточности и ошибки в ответах. В первую очередь, авторы признательны
Т. Ф. Волкову, Ю.Н. Дрожжинову, А. Д. Кутасову, В. Б. Лидскому,
А. Ф. Никифорову, В. И. Чехлову.
Январь 2001 г.	Авторы

ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ
Широкое проникновение современных математических методов в
теоретическую и математическую физику потребовало пересмотра
традиционного курса «Уравнения математической физики». Это в
первую очередь относится к такому фундаментальному понятию, как
решение краевой задачи математической физики. Концепция обобщен-
обобщенного решения значительно расширяет круг рассматриваемых задач,
позволяет изучать с единой точки зрения наиболее интересные зада-
задачи, не поддающиеся решению классическими методами. С этой целью
на кафедре высшей математики Московского физико-технического
института были созданы новые курсы: «Уравнения математической
физики» B.C. Владимирова и «Уравнения в частных производных»
В. П. Михайлова.
Настоящий «Сборник задач по уравнениям математической
физики» основан на этих курсах и существенно дополняет их. По-
Помимо классических краевых задач в сборник включено большое число
краевых задач, имеющих только обобщенные решения. Исследование
таких задач требует привлечения методов и результатов из различ-
различных областей современного анализа. Поэтому в сборник включены
задачи по теории интегрирования по Лебегу, по функциональным
пространствам, в особенности пространствам обобщенно дифферен-
дифференцируемых функций, по обобщенным функциям, включая преобразова-
преобразования Фурье и Лапласа, и по интегральным уравнениям.
Этот сборник рассчитан на студентов вузов — математиков,
физиков и инженеров с повышенной математической подготовкой.
1974 г.	Авторы

ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ
1.	х = (жьж2,...,жп), у = B/1,2/2,-..,2/п) — точки п-мерного
вещественного евклидова пространства Rn.
2.	с?ж = dx1dx2...dx7lJ
J f(x)dx = f f(x1,x2,...,xn)dx1...dxn.
3.	a = (ai,a2,...,an) — мультииндекс (a^ > 0 целые);
! = a1!a2!...an!,
4.
г =
Х\ =
^У = у Ж1
5. U(xo; R) = {х : \х — хо\ < R} — открытый шар с центром в точ-
точке хо радиуса R; S(x0; R) = {х : \х - хо\ = R} — сфера Ur = С/@; Д),
6.	Множество Л будем называть строго лежащим в области
G С Дп и писать Л (е G, если Л ограничено и Л С С
7.	Функция /(ж) называется локально интегрируемой в области G,
если она абсолютно интегрируема по каждой подобласти G' (e G.
Функции, локально интегрируемые в Дп, будем называть локально
интегрируемыми функциями.
о тла f(~.\ 	 G J~(XijX2j---jXn)
*• и пх) ~ дх?дх?...дх$* •
9.	CP(G) — класс функций /, непрерывных вместе с производными
Daf, \а\ < р @ < р < оо), в области G С Rn. Функции / G CP(G),
у которых все производные Daf, \a\ < р, допускают непрерывное
продолжение на замыкание G, образуют класс CP(G); C(G) = C°(G),
C(G) = C°(G); функции / G CP(G) при всех р образуют класс C°°(G).
10.	Равномерная сходимость последовательности функций {/&} к
функции / на множестве Л обозначается
4f()	k
11. Л U 5 — объединение множеств Л и 5; Л П В — пересече-
пересечение А и В; Ах В — прямое произведение Л и В (множество пар (a, b)
(a G Л, b E В)); А\В — дополнение 5 до Л.

Основные обозначения и определения
12. Носителем непрерывной функции f(x) называется замыкание
множества тех точек ж, в которых f(x) ф 0. Носитель функции /
обозначается supp/. Если измеримая на области G функция f(x) об-
обращается в нуль почти всюду в G/G', где G' (е G, то / называется
финитной в G функцией; функция, финитная в Rn, называется фи-
финитной.
&	2	2	2
| 1
волновой оператор; ?]_ = ?; —— а2А — оператор теплопроводности.
ot
14. Г+ = {x,t : at > \x\} — конус будущего.
16. ие(х) =
X
"?' где С? = e~n", -
>?,
. .	\x
1
= e~1/A~x ">dx; uj? — ядро усреднения, «шапочка»,
о
17.	С — плоскость комплексного переменного.
A, х > О,
18.	в(х) — функция Хевисайда: в(х) = <
[О, х < 0.
г	2тгп/2
19.	ап = ds =	— площадь поверхности единичной сфе-
сферы Si в Rn.
20.	В CP(G) введена норма
21. Совокупность (измеримых) функций /(ж), для которых \f\p
интегрируема на G, обозначается через LP(G). Норма в LP(G) вво-
вводится так:
1/
1 < р < оо,
lg
Iloo(g) = vrai sup |/(ж)|, р = оо.
В L/2(G) вводится скалярное произведение
G
22. Пусть р(х) — непрерывная положительная функция в облас-
области G. Совокупность (измеримых) функций /(ж), для которых функция

Основные обозначения и определения
p(x)\f(x)\2 интегрируема на G, обозначим через Lt2,p(G); Lt2,p(G)
гильбертово пространство со скалярным произведением
V,9)l2JG) = fpfgdx.
G
23. Цилиндрические функции:
а) функции Бесселя
(+t)(H) Ы
б) функции Неймана
Nu(x) =	[Jv(х) costtz/ - J_u(x)], v
Sill 7Y1S
в)	функции Ханкеля
HW (х) = Jv (х) + iNv (х), Я<2> (х) = Jv (x) - iNv (x);
г)	функции мнимого аргумента
Iv(x) = е"™/2 J^ix), Kv{x) = Ц e*vil2H?\ix).

Глава I
ПОСТАНОВКИ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
§ 1. Вывод уравнений и постановки краевых задач
Условимся в следующих обозначениях:
р(х) = р — плотность (линейная, поверхностная, объемная);
Tq — натяжение струны, мембраны;
Е — модуль Юнга;
к — коэффициент упругости упругого закрепления концов струны,
стержня или края мембраны;
S — площадь поперечного сечения стержня, вала и т.д.;
7 = cp/cv — показатель адиабаты;
PjPo — давление газа, жидкости;
т, то — масса;
д — ускорение силы тяжести;
uj — угловая скорость;
к, к(х), к(х, и) — коэффициент внутренней теплопроводности;
а — коэффициент внешней теплопроводности (коэффициент теп-
теплообмена) ;
D — коэффициент диффузии.
Приведем несколько примеров на составление уравнений.
Пример 1. Задачи о поперечных колебаниях
струны. Струна длиной I натянута с силой То и находится в пря-
прямолинейном положении равновесия. В момент времени t = 0 точкам
струны сообщаются начальные отклонения и скорости. Поставить за-
задачу для определения малых поперечных колебаний точки струны при
t > 0, если концы струны:
а)	закреплены жестко;
б)	свободны, т.е. могут свободно перемещаться по прямым, парал-
параллельным направлению отклонения щ
в)	закреплены упруго, т.е. каждый конец испытывает со стороны
заделки сопротивление, пропорциональное отклонению и направлен-
направленное противоположно ему;
г)	двигаются в поперечном направлении по заданным законам.
Сопротивлением среды и действием силы тяжести пренебречь.

10 Гл. I. Постановки краевых задач математической физики
Решение. Пусть ось х совпадает с направлением струны в по-
положении равновесия. Под струной понимается тонкая нить, которая
не сопротивляется изгибу, не связанному с изменением ее длины. Это
значит, что если мысленно разрезать струну в точке ж, то действие
одного участка струны на другой (сила натяжения Т) будет направ-
направлено по касательной к струне в точке х. Для вывода уравнения коле-
колебаний выделим участок струны от х до х + Ах и спроектируем все
действующие на этот участок силы (включая и силы инерции) на оси
координат. Согласно принципу Даламбера сумма проекций всех сил
должна равняться нулю. Мы изучаем только поперечные колебания.
Поэтому можно считать внешние силы и силу инерции направленны-
направленными вдоль оси и. Примем во внимание также, что рассматриваются
малые колебания струны. Это значит, что в процессе вывода уравне-
уравнения мы будем пренебрегать квадратами величины ux(x,t). Длина S
дуги АВ выражается интегралом
ж+Дж
S= Г д/1 + uldxS* Ax.
X
Это значит, что удлинения участков струны в процессе колебания
не происходит и, следовательно, по закону Гука величина натяжения
То = \Т\ не зависит ни от времени, ни от х. Найдем проекции всех
а(х-\-Ах)
Т(х)
и.
^^
а(х)
0
X
^^Т(
^—'S ""
х-\-Ах
х+Дх)
1
X
Рис.1
сил в момент времени t на оси и. Проекция силы натяжения с точнос-
точностью до бесконечно малых (б. м.) первого порядка равна (рис. 1):
Л1_т Г tg о^ж + Лж)	tg a(x)
ux(x,t)
= Touxx(x,t)Ax.
Пусть p(x, t) — непрерывная линейная плотность внешних сил. Тогда
на участок АВ вдоль оси и действует сила р(х, t) Ax. Для нахожде-
нахождения силы инерции участка АВ воспользуемся выражением —тиц, где
m — масса участка. Если р(х) — непрерывная линейная плотность
струны, то m = pAx. Таким образом, проекция на ось и силы инерции
задается выражением —рицАх, а проекция всех сил на ось и имеет вид

§ 1. Вывод уравнений и постановки краевых задач
11
Следовательно,
[Тоихх + р(х, t) - р(х) utt] Аж = 0.
A)
Тоихх - р(х) utt + p(x, t) = 0.
Это и есть уравнение вынужденных колебаний струны. Если р =
= const, то уравнение принимает вид
ии = а2ихх +g(x,t),
где а2 = То/р, g(x,t) = p(x,t)/p. Кроме того, функция u(x,t) удов-
удовлетворяет начальным условиям u\t=o = <р(х), щ\г=о — Ф(х), гДе ^р(х)^
ф(х) — заданные функции.
Вывод краевых условий.
а)	Если концы струны жестко закреплены, то и\х=о = 0, u\x=i = 0.
б)	В случае свободных концов для получения условия при х = 0
спроектируем на ось и силы, действующие на участок КМ (рис.2).
Г@)
0 Ах
Рис.2
Так как натяжение в точке х = 0 действует лишь параллельно оси ж,
то проекция сил натяжения на участок КМ равна Toux(Ax,t). Про-
Проекция внешней силы равна р@, i) Ax, а проекция силы инерции равна
—pUtt(O,t) Ax. Приравнивая нулю их сумму, получим
Тоих (Ах, t) + p@, t) Ах - putt@, t) Ax = 0.
B)
Устремим Ах к нулю. Тогда вследствие непрерывности и ограничен-
ограниченности входящих функций получим условие их\х=$ = 0. Аналогично
получается условие на правом конце ux\x=i = 0.
в) Действие упругих сил заделки на левом конце дается выраже-
выражением —ku@, t). Приравниваем в этом случае проекцию всех сил, дейст-
действующих на участок КМ', на ось и нулю. К левой части уравнения B)
добавится член —ku@,t). Тогда имеем
Тоих(Ах, t) - ku@, t) + p@, t) Ах - putt@, t) Ax = 0,
а при Ах —у 0 получаем
(ux-hu)\x=o = 0, h = k/To.
На правом конце (рис. 3) проекция всех сил имеет вид

12 Гл. I. Постановки краевых задач математической физики
ТA-Ах)
-ТоихA - Ax,t) -ku(l,t)
поскольку
p(l,t) Ax - puu(l,t) Ax = О,
sina(/ - Ах) = их\х=1-Ах-
При Аж ->• 0 получим (иж + /ш)|ж=/ = 0.
г) и|ж=0 = fJ>i(t), u\x=i = jL*2(*), где функции /ii(f), /J2(t) определя-
определяют закон движения концов (/ii@) = у?@), /^г(О) = ^@)-
Пример 2. Задачи о колебании стержня. Упру-
Упругий прямолинейный стержень длиной / выведен из состояния покоя
тем, что его поперечным сечениям в момент t = 0 сообщены малые
продольные смещения и скорости. Предполагая, что во время движе-
движения поперечные сечения остаются параллельными плоскости, перпен-
перпендикулярной к оси стержня, поставить задачу для определения малых
продольных колебаний стержня при t > 0. Рассмотреть случаи, когда
концы стержня:
а)	закреплены жестко;
б)	двигаются в продольном направлении по заданным законам;
в)	свободны;
г)	закреплены упруго, т.е. каждый из концов испытывает со сто-
стороны заделки продольную силу, пропорциональную смещению и на-
направленную противоположно смещению.
Решение. Пусть ось х совпадает с направлением оси стержня
(рис. 4) и пусть х — координата сечения pq, когда оно находится в
0
р
X
Pi
х-\-Ах
1
X
Рис.4
покое. Мы изучаем малые продольные колебания стержня. Это зна-
значит, что внешние силы и силы инерции можно считать направленны-
направленными вдоль оси стержня. Обозначим через и(х, t) смещение этого сечения

§ 1. Вывод уравнений и постановки краевых задач	13
в момент t] тогда в рамках нашего предложения смещение сечения в
точке х + Ах будет
и(х + Ах, t) = и(х, t) + их(х, t) Ax.
Поэтому относительное удлинение стержня в сечении х будет рав-
равно их(х, t). По закону Гука натяжение в этом сечении равно
Т = ESux(x,t), где S — площадь поперечного сечения, Е — модуль
упругости материала стержня. Уравнение колебаний стержня полу-
получим, если приравняем нулю сумму всех сил, включая силы инерции,
действующие на участок pq, piqi. Равнодействующая сил натяжения
равна
T(x + Ax)-T(x) = ES[ux(x + Ax,t)-ux(x,t)] ^ ESuxx(x,t) Ax.
Пусть р(х, t) — объемная плотность внешних сил. Тогда на учас-
участок pq, piqi действует внешняя сила Sp(x,t) Ax и сила инерции
—р(х) Sutt(x, t) Ax. Сумма всех сил по принципу Даламбера равна ну-
нулю, т. е.
[ESuxx (ж, t) + р(х, t)S - р{х) Suu (ж, t)] Ax = 0.	A)
Отсюда
р(х) utt (x,t) = Euxx (x,t)+ p(x, t);	B)
кроме того, u(x,t) удовлетворяет начальным условиям u\t=o = <р(х),
ut\t=o = Ф(х), где (р(х),ф(х) — заданные функции. Если р(х) — р —
— const (однородный стержень), то уравнение принимает вид
utt = а2ихх +g(x,t),
где
а2=Е/р, g(x,t)=p(x,t)/p.	C)
Вывод краевых условий.
а)	В случае жесткого закрепления отклонения концов не происхо-
происходит, и, следовательно, и\х=0 = u\x=i = 0.
б)	и\х=0 = /ii(?), u\x=i = /i2<X), где fjLi(t),fjL2(t) — функции, опреде-
определяющие закон движения концов (/ii@) = у?@), /^г(О) = </?@)-
в)	В случае свободных концов составляем баланс действующих
сил для обоих концов. На левом конце равнодействующая упругих сил
натяжения равна Т(Ах) = ESux(Ax,t), внешняя сила Sp(O,t) Ax и
сила инерции —pSutt@, t) Ax. Сумма всех сил, действующих на выде-
выделенный элемент, равна нулю. Отсюда
ESux (Ax, t) + р@, t) SAx - pSuu@, t) Ax = 0,	D)
и при Ах —у 0 получаем их\х=о = 0. Аналогично рассуждая, на правом
конце получаем условие ux\x=i = 0.
г)	В левой части уравнения D) добавится сила —ku@,i). И после
перехода к пределу при Ах —у 0 получим

14 Гл. I. Постановки краевых задач математической физики
ESux(O,t)-ku(O,t) = O или (их - hu)\x=0 = 0, где h = k/(ES).
На правом конце
-ТA - Ах) = -ESux(l - Ax,t),
Sp(l, t) Ax — внешняя сила, —p{x) Suu(l, t) Ax — сила инерции. Тогда
имеем -ESux(l - Ах, t) - ku(l, t) + Sp(l, t) Ax - utt(l, t) Sp(x) Ax = 0,
и при Ах —> 0 получаем второе граничное условие (их + hu)\x=i = 0.
Пример 3. Задача о колебании мембраны. Мемб-
Мембраной называется натянутая пленка, которая сопротивляется растя-
растяжению и не сопротивляется изгибу. Работа внешней силы, вызываю-
вызывающей изменение площади некоторого участка, пропорциональна этому
изменению. Положительный коэффициент пропорциональности Т не
зависит ни от формы этого участка, ни от его положения. Он назы-
называется натяжением мембраны.
Выведем уравнение равновесия мембраны, предполагая, что в на-
начальный момент времени в положении равновесия мембрана совпа-
совпадала с областью G плоскости (xi,^2), ограниченной некоторой до-
достаточно гладкой кривой L. Работа внутренних сил упругости рав-
равна по абсолютной величине работе внешних сил и противоположна
ей по знаку. Пусть f(x) — плотность силы в точке ж, действующей
перпендикулярно к плоскости (ж1,Ж2)- Под действием внешней силы
мембрана перейдет в новое положение, которое описывается уравне-
уравнением и = и\х). Будем считать, что мембрана не сильно изогнута,
так что в рассуждениях будем пренебрегать членами и\х,и\^. Кро-
Кроме того, будем считать, что точки мембраны под действием внешней
силы перемещаются только по перпендикулярам к плоскости (xi,^2),
и, следовательно, координаты {х\,хъ) произвольной точки мембраны
при этом не меняются.
Работа внешней силы, вызвавшей перемещение мембраны из пер-
первоначального положения [и = 0, х G G) в положение, задаваемое урав-
уравнением и = и(х), х G G, равна
/ f{x) u(x) dx.
G
Изменение площади мембраны при этом перемещении равно
G
а работа внутренних сил упругости равна
-Т j [yj\ + ul1 +< -l]dx<* -|/ « +О dx.
G	G
Следовательно, сумма всех работ равна
[|«+<)+/«] da:.	A)
G
Вариация функционала A) выражается формулой

§ 1. Вывод уравнений и постановки краевых задач	15
6А(и) = I [-T(uXlSuXl +uX2SuX2) + fSu]dx.
G
Согласно принципу возможных перемещений в положении равновесия
S А (и) = 0 при всех допустимых 8и(х). Так как
/ (uXl6uXl + uX26uX2) dx = — Su dl —I AuSudx,
G	L	G
где n — вектор внешней нормали к контуру L, то
6А(и) = -Т J ^5udl + J(TAu + /) Su dx = 0.	B)
L	G
Так как любая непрерывно дифференцируемая в G функция, рав-
равная нулю на границе, является допустимой функцией, то, предполагая
функции и(х) и f(x) достаточно гладкими, из B) имеем
TAu = -f(x), xeG.	C)
Краевые условия.
а)	Закрепленная мембрана. Если край мембраны жестко закреп-
закреплен, то отклонения точек мембраны на границе L не происходит и,
следовательно, и\ь = 0.
б)	Края мембраны свободны, т. е. они могут свободно переме-
перемещаться по вертикальной боковой поверхности цилиндра с основани-
основанием L. В этом случае Su будет произвольной как в G, так и на L, и из
условия B) получаем —
= 0.
дп
в) Если к краю мембраны приложена сила с линейной плотностью
/i, то криволинейный интеграл в формуле B) в этом случае заменит-
заменится на
и вследствие произвольности Su на L получим (—Т —	Ь /i) =0.
г) В случае упругого закрепления края мембраны сила, дейст-
действующая на краю, имеет плотность — ки, где к характеризует жест-
жесткость закрепления мембраны. Для получения граничного условия
нужно в граничном условии [-Т —	Ь /i) =0 заменить Д на — ки.
Тогда получим
? 1 = 0' где h = T
Выведем уравнение движения мембраны. Пусть и = u(x,t) — урав-
уравнение, описывающее положение мембраны в момент времени t. Со-
Согласно принципу Даламбера функция u(x,t) удовлетворяет дифферен-
дифференциальному уравнению ТАи = —(/ — рщь) (/ = f(x,t) — плотность
внешней среды, —р(х)ии — плотность силы инерции). Таким обра-
образом, уравнение колебаний мембраны имеет вид

16 Гл. I. Постановки краевых задач математической физики
а2 Аи - ии = F{x, t), где а2 = Т/р, F = -/(ж, t)/p. D)
Из физических соображений ясно, что для однозначного описания
процесса колебаний, кроме уравнения D) и условия на границе L (од-
(одного из условий а)-г)), нужно задать начальное положение (форму
мембраны при t = 0) и начальные скорости точек мембраны.
Таким образом, имеем для уравнения D) задачу: найти дважды
непрерывно дифференцируемое решение u(x,t), х G G, t > 0, непре-
непрерывно дифференцируемое в G при t > 0, удовлетворяющее
а2Аи - utt = F(x,t), u\t=o = <р(х), ut
t=o =
где (f(x), ф(х) — заданные функции. Кроме того, в зависимости от
условий на краю мембраны, функция u(x,i) должна удовлетворять
одному из условий в)—г).
Пример 4. Уравнение неразрывности. Задача
обтекания. Уравнение акустики. Рассмотрим движе-
движение идеальной жидкости (газа), т. е. жидкости, в которой отсутствуют
силы вязкости*). Пусть v = (vi,V2,Vs) — вектор скорости движения
жидкости, p(x,i) — ее плотность, f(x,i) — интенсивность источни-
источников. Выделим в жидкости некоторый объем О, ограниченный поверх-
поверхностью S. Тогда изменение массы жидкости внутри О в единицу вре-
времени равно
С другой стороны, это изменение должно равняться приращению ко-
количества Qi жидкости, выделенной источниками, минус количест-
количество Q2 жидкости, вытекающее через поверхность S. Очевидно,
Qi = / /(ж, i) dx, Q2 — I p(v • n) ds = / div (pv) dx,
q	s	q
где n — внешняя нормаль. Таким образом, имеем
[pt + div (p-v) - f] dx = 0.
n
Вследствие произвольности О и непрерывности подынтегрального вы-
выражения необходимо
pt-\-div (р • v) = f(x,t).
Это и есть уравнение неразрывности движения идеальной жидкости.
Рассмотрим задачу об обтекании твердого тела О с границей S
потенциальным потоком несжимаемой однородной жидкости, имею-
имеющей заданную скорость ^о на бесконечности при отсутствии источни-
источников. Так как р = const и / = 0, то эта задача приводится к решению
уравнения
ижение жидкости рассматривается в эйлеровых координатах.

§ 1. Вывод уравнений и постановки краевых задач	17
divv = O	B)
при условии
vn\s = 0,	C)
где vn = (v,n), n — внешняя нормаль. Пусть и — потенциал скорос-
скоростей, т.е. v = gradu. Тогда уравнение B) принимает вид divgradu =
ди
= Аи = 0, а граничным условием становится ¦7г— = 0, так как
on s
/ \ / 1 \ ди
vn = (v,n) = (gradu,n) = —.
Из физических соображений ясно, что v(x) должна стремиться к ^о
при \х\ —У оо, где ^о — скорость потока на бесконечности.
Таким образом, указанная задача свелась к решению задачи
ди
~дп
= 0,	lim gradu =
S	|ж|-юо
Уравнения акустики. Предположим, что находящийся
в некотором объеме идеальный газ под действием внешних сил с
плотностью F(x,t) совершает малые колебания около положения рав-
равновесия и что движение газа адиабатическое, т. е. давление р(х, t)
и плотность р(х, t) связаны соотношением (уравнением состояния)
(У,	D)
Ро \ро/
где ро, ро — начальные давления и плотность, а постоянная j > 0.
Обозначим через u(x,t) = (ui(x,t),u2(x,t),us(x,t)) вектор сме-
смещения газа относительно положения равновесия, а через v(x,i) =
= (vi(x,t),V2(x,t),vs(x,t)) — вектор скорости:
ди	/гЧ
ж =v-	E)
В наших предположениях (р — ро, и, v и их производные малы) урав-
уравнение D) можно переписать в виде
а уравнение неразрывности A) — в виде
pt + podivv = 0	G)
(считаем, что интенсивность источников равна нулю).
В соответствии с законом Ньютона полный баланс сил, действую-
действующих на малый объем газа AV, равен нулю, т.е.
р ^ AV + gradp AV = FAV,
откуда после замены р на ро (в рамках нашего приближения) получаем
2 Под ред. B.C. Владимирова

18 Гл. I. Постановки краевых задач математической физики
po-^ = F- gradp.	(8)
Дифференцируя (8) по t и пользуясь соотношениями F) и G), находим
уравнение для вектора скорости v
— = agraddi™ + -—,	(9)
где a2 = poj/po.
Если предположить, что в начальный момент времени имеет мес-
место равенство divu = —1, то из G) и E) получим, что для всех по-
последующих моментов времени имеет место равенство р + ро divu = 0.
Отсюда и из E), F) и (8) вытекает уравнение для вектора смещения
^ = a2gmddivu + -F.	A0)
ot2	ро
Наконец, дифференцируя уравнение G) по t и используя F) и (8),
получим уравнения для плотности р и давления р
ри = а2 Ар - div F, ри = а2 Ар - a2div F.	A1)
Уравнения (9)—A1) называются уравнениями акустики.
Пример 5. Задачи о распространении тепла.
Вывод уравнения теплопроводности базируется на законе Фурье, со-
согласно которому количество тепла, проходящее за время At через ма-
малую площадку AS, лежащую внутри рассматриваемого тела, опреде-
определяется формулой
AQ = -к(х, и) ^^ AS At,	A)
где п — нормаль к площадке, направленная в сторону передачи теп-
тепла, к(х,и) — коэффициент внутренней теплопроводности, u(x,t) —
температура тела в точке х = (xi,X2,xs) в момент времени t. Пред-
Предположим, что тело изотропно в отношении теплопроводности. Тогда
к(х,и) не зависит от направления площадки. Для вывода уравнения,
которому удовлетворяет температура u(x,i), выделим внутри тела
объем О, ограниченный поверхностью S. Согласно закону Фурье ко-
количество тепла, втекающее в О через поверхность S за промежуток
времени [ti,^], равно
t2	я	t2
dt k-^-ds = dt div (к grad и) dx.
ti s	ti n
Если F(x,t) — плотность тепловых источников, то количество теп-
тепла, образованное за их счет в О за указанный промежуток времени,
равно
Г dt Г F(x,t)dx.

§ 1. Вывод уравнений и постановки краевых задач	19
Общее количество притекшего в О за время от t\ до t2 тепла можно
подсчитать также и через приращение температуры:
/ cp[u(x,t2) - u(x,ti)] dx — dt cp — dx,
где с(х) и p(x) — теплоемкость и плотность вещества. Следовательно,
Г dt Г (ср^- div (k grad и) - F(x, tj\ dx = 0	B)
(при этом предполагаем, что подынтегральная функция непрерывна).
В силу произвольности О и промежутка времени [ti, t2] из B) вытекает
равенство
срщ — div (&gradu) = F(x,i),	C)
называемое уравнением теплопроводности.
Если коэффициент теплопроводности к не зависит от температу-
температуры и, к{х,и) = к(х), то уравнение C) становится линейным. Если
тело однородно, то с(х) = const, р = const, к = const и уравнение
принимает вид
где а2 = к/(ср), f(x,i) = F(x,i)/(cp). Из физических соображений
следует, что для однозначного описания процесса распространения
тепла необходимо, кроме уравнения C) или D), задать начальную
температуру, т.е. u\t=o = </?(ж), и температурный режим на грани-
границе. Для случая когда на границе Г тела D поддерживается заданная
температура, граничное условие выглядит так:
и\т = ф.
Для случая когда на границе задан тепловой поток q, граничное усло-
условие выглядит так:
an г
где h = q/k, n — внешняя нормаль. В частности, если тело G тепло-
теплоизолировано на границе, то
ди _ ^
дп г
В случае если окружающее тело G пространство имеет заданную
температуру, считаем, что на границе происходит теплообмен по за-
закону Ньютона, т.е. д|г = а(щ — и)г, где q — тепловой поток, а —
коэффициент внешней теплопроводности (теплообмена), щ — темпе-
температура окружающего G пространства. С другой стороны, в едини-
единицу времени с единицы площади границы Г внутрь тела G по закону
Фурье идет тепловой поток q\ —к —. Эти потоки должны быть рав-
равны, т. е.	дп
= а(щ — и)\г, или	(—	\-1
г	Van
2*

20 Гл. I. Постановки краевых задач математической физики
Пример 6. Задачи о диффузии. Вывести уравнение
диффузии вещества в неподвижной среде, занимающей ограниченную
область О с границей Г, если задана плотность источников F(x,i) и
диффузия происходит с поглощением (например, частицы диффунди-
диффундирующего вещества вступают в химическую реакцию с веществом сре-
среды) , причем скорость поглощения в каждой точке пространства х Е О
пропорциональна плотности u(x,t) диффундирующего вещества.
Получить краевые условия для следующих случаев:
а)	на границе области поддерживается заданная плотность;
б)	граница непроницаема;
в)	граница полупроницаема, причем диффузия через границу про-
происходит по закону, подобному закону Ньютона для конвективного
теплообмена.
Вывод уравнения основывается на законе Нэрнста, согласно кото-
которому количество вещества, проходящее за малый промежуток времени
At через малую площадку AS, равно
D(x)^
on
где D(x) — коэффициент диффузии, п — нормаль к элементу AS,
направленная в сторону перемещения вещества. Пусть р(х) — коэф-
коэффициент плотности среды. Как и при выводе уравнения теплопровод-
теплопроводности, выделим некоторый объем О с границей S и составим баланс
количества вещества, пришедшего в О за промежуток времени [?]_, ^].
Количество вещества, пришедшего в О через границу S, согласно
закону Нэрнста равно
Г dt Г D(x) ^ds = f dt Г div (D gradu) dx.
h S	tt Q
Количество вещества, образовавшегося в О за счет источников, равно
[ dt Г F(x,t)dx.
Количество вещества в О уменьшилось на величину
dt q(x) u(x,i) dx
за счет поглощения среды (q(x) — коэффициент поглощения). По-
Поскольку приращение количества вещества в О за промежуток [^1,^2]
равно также
I p(x)[u(x,t2) — u(x,ti)] dx = dt p — dx,
n	h n
TO

§ 1. Вывод уравнений и постановки краевых задач	21
2
Г dt j{put - div (D gmdu) - F + qu) dx = 0	A)
(подынтегральная функция считается непрерывной).
В силу произвольности О и промежутка времени [^ь^] из A) вы-
вытекает равенство
рщ + qu = div (D grad и) + F.	B)
Это и есть искомое уравнение диффузии. Из физических соображений
ясно, что для однозначного описания процесса диффузии необходимо
знать начальное распределение плотности u\t=o = ф(х), х Е О, и
режим диффузии на границе области.
Как и в случае примера 5, краевые условия имеют вид:
а) и
г =
б) ?
= 0;
Г
в) D—
on
— и)\г, где uo,^i — заданные функции, а —
on
коэффициент проницаемости границы Г.
1.1.	Найти статический прогиб струны, закрепленной на концах,
под действием непрерывно распределенной нагрузки (на единицу
длины).
1.2.	Вывести уравнение малых поперечных колебаний струны с
насаженной на нее в некоторой внутренней точке хо бусиной массы т.
1.3.	Вывести уравнение колебания струны, колеблющейся в упру-
упругой среде.
1.4.	Крутильными колебаниями стержня называют такие колеба-
колебания, при которых его поперечные сечения поворачиваются одно от-
относительно другого, вращаясь при этом около оси стержня. Вывести
уравнение малых крутильных колебаний однородного цилиндричес-
цилиндрического стержня. Рассмотреть случаи:
а)	концы стержня свободны;
б)	концы стержня жестко закреплены;
в)	концы стержня упруго закреплены.
1.5.	Точкам упругого однородного прямоугольного стержня, жест-
жестко закрепленного на левом конце и свободного на правом, в начальный
момент времени t = 0 сообщены малые поперечные отклонения и ско-
скорости, параллельные продольной вертикальной плоскости симметрии
стержня.
Поставить краевую задачу для определения поперечных отклоне-
отклонений точек стержня при t > 0, предполагая, что стержень совершает
малые поперечные колебания.
1.6.	Труба, заполненная идеальным газом и открытая с одного
конца, движется поступательно в направлении своей оси с постоянной

22 Гл. I. Постановки краевых задач математической физики
скоростью v. В момент времени t = 0 труба мгновенно останавливает-
останавливается. Поставить краевую задачу об определении смещения газа внутри
трубы на расстоянии х от закрытого конца.
1.7.	Заключенный в цилиндрической трубке идельный газ совер-
совершает малые продольные колебания; плоские поперечные сечения,
состоящие из частиц газа, не деформируются и все частицы газа дви-
двигаются параллельно оси цилиндра. Поставить краевую задачу для
определения смещения u(x,i) частиц газа в случаях, когда концы
трубки:
а)	закрыты жесткими непроницаемыми перегородками;
б)	открыты;
в)	закрыты поршеньками с пренебрежимо малой массой, насажен-
насаженными на пружинки с коэффициентами жесткости v и скользящими без
трения внутри трубки.
1.8.	Начиная с момента времени t = 0 один конец прямолинейного
упругого однородного стержня совершает продольные колебания по
заданному закону, а к другому приложена сила Ф(?), направленная по
оси стержня. В момент времени t = 0 поперечные сечения стержня
были неподвижны и находились в неотклоненном положении. Поста-
Поставить краевую задачу для определения малых продольных отклонений
точек стержня при t > 0.
1.9.	Поставить краевую задачу о малых поперечных колебаниях
струны, закрепленной на обоих концах, в среде с сопротивлением, про-
пропорциональным первой степени скорости.
1.10.	Составить уравнение продольных колебаний стержня, у
которого площадь поперечного сечения есть заданная функция от ж,
считая материал стержня однородным.
1.11.	Поставить краевую задачу о продольных колебаниях упру-
упругого стержня, имеющего форму усеченного конуса, если концы стерж-
стержня закреплены неподвижно и стержень выведен из состояния покоя
тем, что его точкам в момент времени t = 0 сообщены начальные
скорости и продольные отклонения. Длина стержня равна /, радиусы
оснований R,r (R > г), материал стержня однороден. Деформацией
поперечных сечений пренебречь.
1.12.	Находящаяся в горизонтальной плоскости невесомая струна
с постоянной угловой скоростью ио вращается вокруг вертикальной
оси, причем один конец струны прикреплен к некоторой точке оси,
а другой свободен. В начальный момент времени t = 0 точкам этой
струны сообщаются малые отклонения и скорости по нормалям к этой
плоскости. Поставить краевую задачу для определения отклонений
точек струны от плоскости равновесного движения.
1.13.	Пусть в точке х = 0 бесконечной однородной струны нахо-
находится шарик массы то. Начальные скорости и начальные отклонения
точек струны равны нулю. Поставить краевую задачу для определе-
определения отклонений точек струны от их положения равновесия в следую-
следующих случаях:

§ 1. Вывод уравнений и постановки краевых задач	23
а)	начиная с момента времени t = 0 на шарик действует сила
б)	в начальный момент времени t = 0 шарик получает импульс ро
в поперечном направлении;
в)	шарик в случае б) закреплен упруго с эффективной жест-
жесткостью к2.
1.14.	Поставить краевую задачу о малых продольных колебаниях
однородного упругого стержня, один конец которого жестко закреп-
закреплен, а другой испытывает сопротивление, пропорциональное скорос-
скорости. Сопротивлением среды пренебречь.
1.15.	Во внутренних точках х = Х{,% = l,...,n, на струне со-
сосредоточены массы rrii, г = 1,...,п. Поставить краевую задачу для
определения малых поперечных колебаний струны при произвольных
начальных данных. Концы струны закреплены.
1.16.	Два полуограниченных однородных упругих стержня с оди-
одинаковыми поперечными сечениями соединены жестко торцами и со-
составляют один неограниченный стержень. Пусть pi, Ei — плотность
и модуль упругости одного из них, а р2, Еъ — другого. Поставить
краевую задачу для определения отклонений поперечных сечений не-
неограниченного стержня от их положения равновесия, если в началь-
начальный момент времени поперечным сечениям сообщены некоторые про-
продольные смещения и скорости.
1.17.	Тяжелая однородная нить длиной /, закрепленная верхним
концом {х — V) на вертикальной оси, вращается вокруг этой оси с по-
постоянной угловой скоростью и. Доказать, что уравнение малых коле-
колебаний нити около своего вертикального положения равновесия имеет
ВИД	д*и _ д ( ди\ ^ 2
дг2 дх \ дх)
1.18.	Поставить краевую задачу о поперечных колебаниях тяже-
тяжелой однородной струны относительно вертикального положения рав-
равновесия, если ее верхний конец жестко закреплен, а нижний свободен.
1.19.	Поставить задачу об определении магнитного поля внутри и
вне цилиндрического проводника, по поверхности которого течет ток
силой J.
1.20.	Кабель, имеющий потенциал г?о, при t = 0 заземляется на
одном конце через сосредоточенную емкость (или индуктивность);
другой конец изолирован. Поставить задачу об определении электри-
электрического тока в кабеле.
1.21.	Конец х = 0 круглого однородного вала закреплен, а к концу
х = / жестко прикреплен диск с моментом инерции Jq. В начальный
момент времени диск закручивается на угол а и отпускается без на-
начальной скорости. Поставить краевую задачу для определения углов
поворота поперечных сечений вала при t > 0.
1.22.	Тяжелый стержень подвешен вертикально и защемлен так,
что смещение во всех точках равно нулю. В момент времени t = 0

24 Гл. I. Постановки краевых задач математической физики
стержень освобождается. Поставить краевую задачу о вынужденных
колебаниях стержня.
1.23.	Пусть все условия предыдущей задачи остаются без изме-
изменения, за исключением условия на нижнем конце: к нему прикреплен
груз Q, причем за положение равновесия принимается ненапряженное
состояние стержня (например, в начальный момент времени из-под
груза убирается подставка и груз начинает растягивать стержень).
1.24.	Поставить задачу о движении полуограниченной струны
(О < х < оо) при t > 0, если при t < 0 по ней бежит волна u(x,t) =
= f(x + ai), а конец струны х = 0 закреплен жестко.
1.25.	Поставить краевую задачу о малых радиальных колебаниях
идеального однородного газа, заключенного в цилиндрической трубке
радиуса R настолько длинной, что ее можно считать простирающейся
в обе стороны до бесконечности. Начальные отклонения и начальные
скорости есть заданные функции от г.
1.26.	Поставить задачу об обтекании шара стационарным пото-
потоком идеальной жидкости (потенциальное течение). Привести электро-
электростатическую аналогию.
1.27.	Поставить краевую задачу о малых радиальных колебани-
колебаниях идеального однородного газа, заключенного в сферическом сосуде
радиуса R, если начальные скорости и начальные отклонения заданы
как функции от г.
1.28.	Поставить краевую задачу о поперечных колебаниях мем-
мембраны, к которой приложено нормальное давление Р на единицу пло-
площади, если в невозмущенном состоянии мембрана является плоской, а
окружающая среда не оказывает сопротивления колебаниям мембра-
мембраны. Рассмотреть случаи:
а)	мембрана жестко закреплена на границе L;
б)	мембрана свободна на L;
в)	на части Ь\ границы L мембрана закреплена жестко, а на ос-
остальной части L/2 границы L она свободна.
1.29.	Поставить краевую задачу о колебании круглой однородной
мембраны, закрепленной по краю, в среде, сопротивление которой про-
пропорционально первой степени скорости. В момент времени t = 0 к
поверхности мембраны приложена внешняя сила плотности /(г, </2,?),
действующая перпендикулярно плоскости невозмущенной мембраны.
Начальные скорости и отклонения точек мембраны отсутствуют.
1.30.	Закрепленная по краям однородная прямоугольная мембра-
мембрана в начальный момент времени t = 0 получает удар в окрестности
центральной точки, так что
lim / vo(x) dx = Л,
е-^о J
рая постоянная, vo(x
вить краевую задачу о свободных колебаниях.
o()	, х =
J
где А — некоторая постоянная, vo(x) — начальная скорость. Поста-

Постаt
§ 1. Вывод уравнений и постановки краевых задач	25
1.31.	Пусть электрическая цепь состоит из сопротивления R, са-
самоиндукции L и емкости С. В момент времени t = 0 в цепь вклю-
включается э.д.с. Eq. Показать, что сила тока i(t) в цепи удовлетворяет
уравнению
t
i{r)dr = EOj t> 0.
о
1.32.	Рассмотрим электромагнитное поле в некоторой среде. Ис-
Исходя из уравнений Максвелла вывести уравнения, которым удовлетво-
удовлетворяют компоненты векторов напряженности электрического и магнит-
магнитного полей для случаев:
а)	плотность зарядов р = 0, е — const, Л = const, /a = const,
J = \Е (закон Ома);
б)	среда — вакуум и токи отсутствуют.
1.33.	Поставить задачу о проникновении магнитного поля в пра-
правое полупространство, заполненное средой с проводимостью а, если
начиная с момента времени t = 0 на поверхности х = 0 поддержи-
поддерживается напряженность магнитного поля Н = Hq sin Ш, направленная
параллельно поверхности.
1.34.	Поставить краевую задачу об определении температуры
стержня 0 < х < I с теплоизолированной боковой поверхностью. Рас-
Рассмотреть случаи:
а)	концы стержня поддерживаются при заданной температуре;
б)	на концах стержня поддерживается заданный тепловой поток;
в)	на концах стержня происходит конвективный теплообмен по
закону Ньютона со средой, температура которой задана.
1.35.	Вывести уравнение диффузии в неподвижной среде, предпо-
предполагая, что поверхностями равной плотности в каждый момент време-
времени t являются плоскости, перпендикулярные к оси х. Написать гра-
граничные условия, предполагая, что диффузия происходит в плоском
слое 0 < х < I. Рассмотреть случаи:
а)	на граничных плоскостях концентрация диффундирующего ве-
вещества поддерживается равной нулю;
б)	граничные плоскости непроницаемы;
в)	граничные плоскости полупроницаемы, причем диффузия через
эти плоскости происходит по закону, подобному закону Ньютона для
конвективного теплообмена.
1.36.	Вывести уравнение диффузии распадающегося газа (коли-
(количество распавшихся молекул в единицу времени в данной точке
пропорционально плотности с коэффициентом пропорциональности
а > 0).
1.37.	Дан тонкий однородный стержень длиной /, начальная тем-
температура которого f(x). Поставить краевую задачу об определении
температуры стержня, если на конце х = 0 поддерживается постоян-
постоянная температура uq, а на боковой поверхности и на конце х = I про-

26 Гл. I. Постановки краевых задач математической физики
исходит конвективный теплообмен по закону Ньютона с окружающей
средой нулевой температуры.
1.38.	Поставить задачу об определении температуры в бесконеч-
бесконечном тонком теплоизолированном стержне, по которому с момента ? = 0
в положительном направлении со скоростью vo начинает двигаться
точечный тепловой источник, дающий q единиц тепла в единицу вре-
времени.
1.39.	Поставить краевую задачу об остывании тонкого однород-
однородного кольца радиуса R, на поверхности которого происходит конвек-
конвективный теплообмен с окружающей средой, имеющей заданную темпе-
температуру. Неравномерностью распределения температуры по толщине
кольца пренебречь.
1.40.	Вывести уравнение диффузии взвешенных частиц с учетом
оседания, предполагая, что скорость частиц, вызываемая силой тя-
тяжести, постоянна, а плотность частиц зависит только от высоты z и
от времени t. Написать граничное условие, соответствующее непро-
непроницаемой перегородке.
1.41.	Поставить краевую задачу об остывании равномерно нагре-
нагретого стержня формы усеченного конуса (искривлением изотермичес-
изотермических поверхностей пренебрегаем), если концы стержня теплоизолиро-
теплоизолированы, а на боковой поверхности происходит теплообмен со средой
нулевой температуры.
1.42.	Растворенное вещество с начальной плотностью со = const
диффундирует из раствора, заключенного между плоскостями х = 0
и х = /г, в растворитель, ограниченный плоскостями х = /г, х = /. По-
Поставить краевую задачу для процесса выравнивания плотности, пред-
предполагая, что границы х = 0, х = I непроницаемы для вещества.
1.43.	Внутри однородного шара начиная с момента времени t = 0
действуют источники тепла с равномерно распределеннной постоян-
постоянной плотностью Q. Поставить краевую задачу о распределении тем-
температуры при t > 0 внутри шара, если начальная температура любой
точки шара зависит только от расстояния этой точки до центра шара.
Рассмотреть случаи:
а)	на поверхности шара поддерживается нулевая температура;
б)	на поверхности шара происходит теплообмен (по закону Ньюто-
Ньютона) с окружающей средой нулевой температуры.
1.44.	Дан однородный шар радиуса R с начальной температурой,
равной нулю. Поставить краевую задачу о распределении температу-
температуры при t > 0 внутри шара, если:
а)	шар нагревается равномерно по всей поверхности постоянным
тепловым потоком q;
б)	на поверхности шара происходит конвективный теплообмен с
окружающей средой, температура которой зависит только от времени.
1.45.	Начальная температура неограниченной пластины толщи-
толщины 2/г равна нулю. Поставить краевую задачу о распределении тем-
температуры при t > 0 по толщине пластины, если:

§ 1. Вывод уравнений и постановки краевых задач	27
а)	пластина нагревается с обеих сторон равными постоянными
тепловыми потоками q\
б)	в пластине начиная с момента времени t = 0 действует источ-
источник тепла с постоянной плотностью Q, а ее основания поддерживают-
поддерживаются при температуре, равной нулю.
1.46.	Неограниченный цилиндр радиуса R имеет начальную тем-
температуру /(г). Поставить краевую задачу о радиальном распростра-
распространении тепла, если:
а)	боковая поверхность поддерживается при постоянной темпе-
температуре;
б)	с боковой поверхности происходит лучеиспускание в окружаю-
окружающую среду нулевой температуры.
1.47.	Дана тонкая прямоугольная пластина со сторонами /, т, для
которой известно начальное распределение температуры. Поставить
краевую задачу о распространении тепла в пластине, если боковые
стороны поддерживаются при температуре
и\у=о =
>j=m = ?>2 0),
и\х=о = i/>i(x), и x=i = ф2{х).
1.48.	Начальное распределение температуры в однородном шаре
задано функцией /(г, #,(/?). Поставить краевую задачу о распределе-
распределении тепла в шаре, если поверхность шара поддерживается при посто-
постоянной температуре щ.
1.49.	Два полуограниченных стержня, сделанных из разных ма-
материалов, в начальный момент времени приведены в соприкосновение
своими концами. Поставить краевую задачу о распределении тепла в
бесконечном стержне, если известны начальные температуры каждого
из двух полу ограниченных стержней.
1.50.	Поставить краевую задачу о стационарном распределении
температуры в тонкой прямоугольной пластине О АС В со сторонами
О А = а, ОВ = Ъ, если:
а)	на боковых сторонах пластины поддерживаются заданные тем-
температуры;
б)	на сторонах О А и ОВ заданы тепловые потоки, а стороны ВС
и АС теплоизолированы.
1.51.	На плоскую мембрану, ограниченную кривой L, действует
стационарная поперечная нагрузка с плотностью f(x,y). Поставить
краевую задачу об отклонении точек мембраны от плоскости, если:
а)	мембрана закреплена на краю;
б)	край мембраны свободен;
в)	край мембраны закреплен упруго.
1.52.	Дан цилиндр с радиусом основания R и высотой h. Поста-
Поставить краевую задачу о стационарном распределении температуры
внутри цилиндра, если температура верхнего и нижнего оснований
есть заданная функция от г, а боковая поверхность:

28 Гл. I. Постановки краевых задач математической физики
а)	теплоизолирована;
б)	имеет температуру, зависящую только от z;
в)	свободно охлаждается в среде нужной температуры.
1.53.	Поставить краевую задачу о стационарном распределении
температуры внутренних точек полусферы, если сферическая поверх-
поверхность поддерживается при заданной температуре /(</?,#), а основание
полусферы — при нулевой температуре.
1.54.	Шар радиуса R нагревается плоскопараллельным потоком
тепла плотности д, падающим на его поверхность, и отдает тепло
в окружающую среду в соответствии с законом Ньютона. Поставить
краевую задачу о распределении температуры внутренних точек
шара.
1.55.	Пусть n(x,s,t) — плотность частиц в точке ж, летящих
с постоянной скоростью v в направлении s = (si,S2,ss) в момент
времени t; обозначим через а(х) коэффициент поглощения и h(x) —
коэффициент умножения в точке х. Предполагая рассеяние в каждой
точке х изотропным, показать, что n(x,s,t) удовлетворяет интегро-
дифференциальному уравнению переноса
f n{x,s' ,t) ds1 + F,
J
v ot
\8'\ = 1
где F(x, s,t) — плотность источников, /3(ж) = a(x) h{x).
1.56.	Поставить краевую задачу для уравнения задачи 1.55,
считая, что задано начальное распределение плотности и задан
падающий поток частиц на границу S области G.
1.57.	Показать, что для решения n(x,s) стационарной краевой
задачи
(Sjgmdn)+a(x)n = ^р- [ п(х, s') ds' + F(x),
4тг J
\s'\ = l
n\s = 0, если (s,n) < 0,
где п — внешняя нормаль к 5, средняя плотность
по(х) = — / n(x,s)ds
4тг J
удовлетворяет интегральному уравнению Пайерлса
По(х) = 1. I e~J^J l2 j Ja[tx + (l-t)x'}dt)[{3(xf)n0(xf) + F(xf)]dxf.
1.58.	Разлагая решение п(х, s) стационарной краевой задачи 1.57
в ряд по сферическим функциям от s, удерживая только члены с ну-
нулевой и первыми гармониками, показать, что функция
1 Г
По (ж) = — / n(x,s)ds
4тг J
\s\ = l
есть решение краевой задачи (диффузное приближение)

§ 1. Вывод уравнений и постановки краевых задач	29
= о.
5
Ответы к § 1
1.1.	Tuxx + f(x) = 0, 0 < х < I, и\х=0 = u\x=i = 0, где f(x) —
плотность нагрузки.
1.2.	рии = Тоихх, 0 < х < I, х ф х0, t > О, и\х=0 = u\x=i = О,
и(х0 + 0, t) = и(ж0 - 0, f), их(х0 + 0, t) - их(х0 - О, t) = ^ ии(х0, t).
1.3.	/ж^ = Гижж — аи, 0 < х < /, ^ > 0, где а — коэффициент
упругости среды.
1.4.	ви = а2вхх, 0<х<1,0<1<оо, в(х,О) = f(x), 0t(x,O) =
= F(x), 0 < х < /, где O(x,i) — угол поворота сечения стержня с
координатой х в момент времени ?, а2 = GJ/Ф, где G — модуль сдви-
сдвига, J — полярный момент инерции поперечного сечения относительно
точки, в которой ось пересекает это поперечное сечение, Ф — осевой
момент инерции единицы длины стержня. Граничные условия:
а)	ex(O,t)=ex(l,t) = O;
б)	0(О,*)=0(М) = О;
в)	(вх - hO)\x=0 = 0, (вх + hO)\x=i = 0, где h = k/(GJ), k —
жесткость упругого закрепления.
1.5.	ии + а2ихххх = 0, 0 < х < /, t > 0, и(х,0) = /(ж), ^(ж,0) =
= F(x), 0 < х < I, u(O,t) = ^@,*) = uxx(l,t) = uxxx(l,t) = 0, где
а2 = EJ/(pS), J — геометрический момент инерции поперечного се-
сечения относительно его средней линии, перпендикулярной к плоскости
колебаний.
1.6.	ии = а2ихх, 0 < х < /, t > 0, а2 = jpo/po — скорость звука,
u(x,0)=0, ut(x,0)=v, 0<х<1, u(O,t)=O, ux(l,t) = O, t > 0.
1.7.	u« = a2uxx, a2 = jpo/po, 0 < x < I, t > 0, и(ж,0) = /(ж),
г^(ж,0) = F(x), 0 < x <l. Краевые условия:
а)	u(O,t) = u(l,t) = 0;
б)	ux(O,t)=ux(l,t) = O;
в)	(их - hu)\x=0 = 0, (их + Лгб)|ж=/ = 0, где h = v/(Sjp0), где 5 —
площадь поперечного сечения трубки.
1.8.	utt = а2ижж, 0 < х < I, t > 0, Ц0,*) = <p(t), ux(l,t) =
= Ф(*)/(Е5), * > 0, и (ж, 0) = 0, щ(х, 0) = 0, 0 < х < /, а2 = ?/р.
1.9.	и^ = а2ижж - 2v2uu 0 <х <l, t > 0, Цж, 0) = ^(жM щ(х, 0) =
= ^(ж), 0 < х < I, u(O,t) = u(l,t) = 0, t > 0, где 2г/2 = k/р, к —
коэффициент трения.
1Л0- тЛ^х)тЛ=а №'° =%¦•

30 Гл. I. Постановки краевых задач математической физики
а^ = а d
u(/,t) = 0, * > 0, и(х,О) = /(ж), ^(ж,0) = F(x), 0<х <1.
1.13.	гл« = а2ихх, х ф О, t > 0, а2 = Го//о, гл(ж,О) = 0, ^(ж,0) = О,
ж/О; условие в точке х = 0 имеет вид:
а)	-mow«@,t) +ToM+0,t) - ^(-0,*)] + Fosinta = 0, t > 0;
б)	u(-0,*) = u(+0,*), -mo^@,?) + ГоМ+0,*) -ux(-O,t)] = 0,
t > 0, u(-0,0) = u(+0,0) = 0, mout(-0,0) = тощ(+0,0) = po;
в)	U(-O,t) = u(+O,t), t>0, moutt@,t)+To[ux(+0,t)-ux(-0,t)]-
-k2u@,t) = 0, mout(-Q,Q) = moUt(+Q,Q)=po, u(-0,0) = u(+0,0) = 0.
1.14.	u« = а2ижж, 0 < ж < /, t > 0, а2 = E/p, u(x,0) = /(ж),
^(ж,0) = g(x), 0 <x <l, u(O,t) = 0, (ESux - kut)\x=i = 0, t > 0, где
fc — коэффициент трения для конца стержня х = I.
1.15.	мгг = а2ихх, х ф Xi, i = l,...,n, 0 < x < I, t > 0, u@,?) =
= u(/,t) = 0, u(xi -0,t) = u(xi + 0,t), иж^ + 0,*) - ux(xi -0,t) =
= ^-uttixijt), t>0, i = l,...,n; u\t=o =f(x), ut\t=o =F(x), 0<x<l.
uL = a2ul^, -oo < x < 0 I
Lie. 2 ; n	* > °' ul(°'*) = «2(°'*)'
uft = a^n^, 0 < x < +oo J
Eii4@,*) = ^2^@,*), t > 0, иг(х,0) = /(ж), ul(x,0) = F(x),
-oo < x < 0, и2(ж,0) = f(x), u2(x,0) = F(x), ж > 0, где и1,и2 —
смещение точек левого и правого стержней, а2 = Ei/pi, г = 1,2.
1.18.	^=9-^ (х^), 0<x<l,t>0, \u(O,t)\ < (X), u(l,t) = О,
t>0, «|t=0 = f(x), ut\t=0 = F(x), 0<x<l.
1.19.	ДФ« =0, r > R, ДФ(*) =0, 0 < r < Д, gradФ = Я,
Ф«|Г=Л, Ф^|Г=Л = (% + — Jhob)	, |Ф*@,*)| < 00,
— поверхностная плотность тока, а ф(г), Ф^ — потенциал
jnoB 7;^
ZTTXL
магнитного поля внутри и вне проводника соответственно.
1.20. Зх = -cvu vx = -LJt, 0 < х < /, t > 0, v|t=o = ^о, v(O,t) =
= - / Jdt на заземленном конце, vx(l,t) =0 — на изолированном.
о
1.21. 0и = а2вхх, 0 < ж < /, t > 0, 0|t=o = аж/I, ^|t=0 = 0, 0 <
х < I, 0\х=о = 0, вх\х=1 = —-r^Ottj
имеют тот же смысл, что и в задаче 1.4.
< х < I, 0\х=о = 0, вх\х=1 = —-r^Ottj где постоянные а2, Ф, J, G

§ 1. Вывод уравнений и постановки краевых задач
31
1.22.	utt = a2uxx+g, 0 < х < I, t > О, и(х,0) = щ(х,0) = О, 0 <
< х < Z, u(O,t) = О, глж(/,*) = О, t > О, а2 = Е/р.
1.23.	гл« = а2ихх + д, О < ж < Z, t > О, u|t=0 = г^=0 = О, О <
<х<1, и\х=0 = О, — utt\x=i = -#5иж|ж=/ + Q.
1.25. utt = a2 (urr + -ur\ О < г < R, t > О, u(r,0) = /(г),
г^(г,О) = F(r), О < г < i^, КО,*)| < оо, ur\r=R = 0.
1.26.
Or
r=R
=0, ?>0, lim v= lim grad^ =
r^oo	r^oo
= г?о, где ^о — скорость потока на бесконечности.
1.27. u« = a2 (urr+*Ur), 0 < г < R, t > 0, u(r,O) = /(г),
ixt|t=o = F(r), 0 < г < R, \u(Q,t)\ < оо, ur\r=R = 0, где а2 =
= 1Ро/ро-
1.29. u« + hut = а2Аи + t^E^L о < г < Д, 0 < у? < 2тг, * > О,
гф=о = ixt|t=o = 0, 1^@, у?, *)| < оо, u(R,<p,t) = 0, где а2 =
/;; = а/р, а — коэффициент упругого сопротивления среды.
1.32. а) ии ~ а2Аи + — щ = 0, а2 = —;
е	ер
;
ер,
—
е
где ^/ = (.?/]_, .?/2,-?7з) — напряженность электрического поля, Д =
= (i?i, i?2, Щ) — напряженность магнитного поля, р(х) — плотность
зарядов, е — диэлектрическая постоянная среды, р, — коэффициент
магнитной проницаемости среды, I(x,t) = (/1,/2,/з) — ток проводи-
проводимости.
В случае а) для компонент Е и Н получается одно и то же теле-
телеграфное уравнение.
Для случая б) вводится четырехкомпонентный электромагнитный
потенциал (ipo,<p), <p = (</?i, </?2, </?зM с помощью которого решение
уравнений Максвелла ищется в виде Е = grad о?о	^г, И — — rot (p.
с at	и
1.33.	Нхх = ^ Ht + ^ Htu x>0,t>0, H\t=o = 0, Ht\t=o = 0,
х > 0, i?|a;=o — ^о sinO^, t > 0, где с — скорость света.
1.34.	щ = а2ижж, 0 < х < /, t > 0, и(ж,0) = /(ж), 0 < х < /,
краевые условия:
а) и
0;
б)	-kSux\x=0 = qi(t), kSux\x=l = ^2(t), t > 0;
в)	их\х=0 = h[u(O,t) - <pi(t)], ux\x=i = -h[u(l,t) - ip2(t)], a2 =
= k/(cp) — теплоемкость, (fi(i), (f2(i) в случае а) — температура

32 Гл. I. Постановки краевых задач математической физики
концов стержня, в случае б) — температура окружающего простран-
пространства на концах стержня, qi — тепловые потоки на концах стержня.
1.35.	щ = Duxx, 0 < х < I, t > 0, и(х,0) = /(ж), 0 < х < I,
граничные условия:
а)	u(O,t)=u(l,t) =0, t > 0;
б)	ux(O,t)=ux(l,t) = O, t>0;
в)	их\х=0 = %@,*)-y>i(*)], t>0, ux\x=i = -h[u(l,t)-ip2(t)], где
a/D = h, а — коэффициент проницаемости на концах.
1.36.	щ = DAu — аи, t > 0, х — (жьЖ2?#з) ^ ^Зф
1.37.	щ = а2ижж - ^ щ 0 < ж < /, t > 0, u|t=0 = /(ж), 0 < ж < /,
и\х=о = uo, (их + /ггл)|ж=/ = 0, t > 0, р — периметр поперечного
сечения стержня, h = а/к, а2 = к/(ср).
1.38.	г^ = а2ижж + - 5(х - vot), -оо < ж < +оо, t > 0, и(х, 0) =
= у?(ж), а2 = к/(ср).
1.39.	и* = а2ихх - Ъ(и - и0), 0 < х < /, t > 0, и(ж,0) = /(ж),
С\ ^	^ 1	\	I	I	I	2	&	L	^^
0 < ж < /, и ж=0 = гб ж=/, пж ж=0 = их\х=1, а = —, b = —-, где
ср	срЬ
Р — периметр поперечного сечения кольца, х = R6, в — угловая
координата.
1.40.	щ = Duzz - vuz, z > z0, t > 0, (Duz - vu)\z=Zo = 0, t > 0,
где v — скорость оседания частиц.
х\2ди] 2аA-х/
i лл (л х\2ди 2д [Л х\2ди]
1.41. 1-— T7=a2F 1-- ^-
V HJ dt	дх [V if/ дх\
п	1
, 0 < х < I,
cprocosj
t > 0, гф=0 = гб0, 0 < х < /, иж|ж=0 = ^ж|ж=г = 0, t > 0, где
а2 = к/(ср), Н — полная высота конуса, 7 — половина угла раство-
раствора конуса, го — радиус большого основания, / — высота усеченного
конуса.
Г с0, 0 < х < /г,
1.42. ct = Dcxx, 0 < х < I, t > 0, с(ж,0) = <^
10, h<x<l.
1.43.	щ = a2(urr + -u^) + Q-, 0<r<R, t>0, u\t=o = f(r), 0<
V	r / cp
< t < R, \u@,i)\ < оо; граничные условия:
а)	u(R,t) =0;
б)	(ur + Hu)\r=R = 0, H = a/k, a2 = k/(cp).
1.44.	щ = a2 (urr + -ur\ 0 < r < R, t > 0, гф=0 = 0, 0 < r < R;
граничные условия:
а)	\u@,t)\ < oo, ur(R,t) = q/k, t > 0;
б)	\u(O,t)\ < oo, (ur + Hu)\r=R = <p(t), t > 0, Я = a/A;, a2 =

§ 2. Классификация уравнений второго порядка	33
1.45. а) щ = а2ихх, -h < х < h, t > 0, u\t=o = О, (kux + q)\x=-h =
= О, (-ких + q)\x=h = О;
б) щ = а2ижж + —, -h < х < /г, ? > О, гф=0 = О, u\x=±h = О,
со
а2 = к/(ср).
1.49. г^ = а(ж)ижж, ж ^ О, t > О, и(ж,0) = /(ж), u(-O,f) =
'af, x < О, 2 fc
i = 1,2.
§ 2. Классификация уравнений второго порядка
Уравнение
п
2^ aij(x)uxiXj + Ф(х,и,?га,Aи) = 0
в каждой фиксированной точке хо можно привести к каноническому
виду неособым линейным преобразованием ? = ВТх, где В — такая
матрица, что преобразование у = Вт] приводит квадратичную форму
к каноническому виду. (Любую квадратичную форму можно привести
к каноническому виду, например, методом выделения полных квадра-
квадратов.)
2.1. Привести к каноническому виду уравнения:
1)	ихх + 2иху - 2uxz + 2иуу + 6uzz = 0;
2)	4ихх - 4иху - 2uyz + uy + uz = 0;
3)	uxy - uxz + ux + uy - uz = 0;
4)	ижж + 2ижу - 2uxz + 2u^ + 2uzz = 0;
5)	^жж + 2uxy — 4:UXZ — 6uyz — uzz = 0;
6)	uxx + 2uxy + 2uyy + 2uy2 + 2uyt + 2uzz + 3u« = 0;
7)	ижу - иж^ + ^^^ - 2u2t + 2utt = 0;
8)	ижу + uxz + иж^ + uzt = 0;
9)	^жж + 2uxy — 2uxz — 4:Uyz + 2uyt + u^^ = 0;
10)	uxx + 2uxz - 2uxt + uy2/ + 2uyz + 2uyt + 2uzz + 2u« = 0;
n	n—1
11)	иЖ1Ж1 + 2 X) ^fciCfc - 2 X) ^^fc+i = 0;
к=2	к=1
n	n
12)	uXlXl-2 E (-1)ЧЖ,_1Ж, = 0; 13) ? Ь/ад+2 ? Ьзд = 0;
fe=2	k=l	l<k
n
14) ? иХкХк + ? Ьж/Ж, = 0;	15) ЕиХ1Хк=0.
k=l	Кк	Кк
3 Под ред. B.C. Владимирова

34 Гл. I. Постановка краевых задач математической физики
Уравнение
а(х, у) ихх + 2Ь(х, у) иху + с(х, у) иуу = Ф(ж, у, и, их,иу), A)
где \а\ + \Ь\ + \с\ ф О, принадлежит (в точке или области):
гиперболическому типу, если Ь2 — ас > 0;
параболическому типу, если b — ас = 0;
эллиптическому типу, если b — ас < 0.
Для уравнения A) характеристическое уравнение
a(x,y)(dyJ - 2b(x,y)dxdy + c(x,y)(dxJ = 0
распадается на два уравнения:
' + \/b2 - ас) dx = 0,	B)
C)
Уравнения гиперболического типа: Ь2 — ас > 0.
Общие интегралы ip(x,y) = ci, ф(х,у) = С2 уравнений B) и C) дейст-
действительны и различны. Они определяют два различных семейства дей-
действительных характеристик для уравнения A). Заменой переменных
? = ср(х,у), т) — ф(х,у) уравнение A) приводится к каноническому
виду
Уравнения параболического типа: Ь2 — ас = 0.
Уравнения B) и C) совпадают. Общий интеграл <р(х,у) = с урав-
уравнения B) определяет семейство действительных характеристик для
уравнения A). Заменой переменных ? = ip(x,y), г) — ф(х,у), где
ф(х,у) — любая гладкая функция такая, что эта замена переменных
взаимно однозначна в рассматриваемой области, уравнение A) при-
приводится к каноническому виду
Уравнения эллиптического типа: Ь2 — ас < 0.
Пусть ip(x,y) + i^{x^y) = с — общий интеграл уравнения B), где
(р(х,у) и ф(х,у)—действительные функции*). Тогда заменой пере-
переменных ? = (р(х,у), г] = ф(х,у) уравнение A) приводится к канони-
каноническому виду
2.2. В каждой области, где сохраняется тип уравнения, привести
к каноническому виду уравнения:
1)	ихх - 2иху - Зиуу + иу = 0;
2)	ихх - 6иху + Юиуу + их - Зиу = 0;
*^Если djbjC — аналитические функции, то существование общего ин-
интеграла уравнения B) вытекает из теоремы Ковалевской.

§ 2. Классификация уравнений второго порядка	35
3) 4ихх + 4иху + иуу - 2иу = 0;	4) ихх - хиуу = 0;
5) ихх - уиуу = 0;	6) хихх - уиуу = 0;
7) уихх - хиуу = 0;	8) х2ихх + у2иуу = 0;
9) У2ихх + х2иуу = 0;	10) у2ихх - х2иуу = 0;
11) (l + xi)uxx + (l + y2)uyy + yuy = 0; 12) 4у2ихх-е2хиУу = О;
13)	пжж - 2 sin жижу + B - cos2 x) иуу = 0;
14)	у2ихх + 2?/^ + иуу = 0;
15)	ж2ижж - 2хиху + Uyy = 0.
Пусть коэффициенты уравнения A) непрерывны в некоторой об-
области D. Функция и(х,у) называется решением уравнения A), если
она принадлежит классу C2(D) и удовлетворяет уравнению A) в об-
области D. Множество всех решений уравнения A) называется общим
решением уравнения A).
2.3.	Найти общее решение уравнений с постоянными коэффициен-
коэффициентами:
1) иху = 0;	2) ихх - а2иуу = 0;
3) ихх - 2иху - Зиуу = 0;	4) иху + аих = 0;
5) Зихх-ЬиХу-2иУу + Зих + иу = 2; 6) иху + аих + buy + abu = 0;
7)	иху - 2их - Зиу + 6и = 2ех+У;
8)	ихх + 2аиху + о?иуу + их + аиу = 0.
2.4.	Доказать, что уравнение с постоянными коэффициентами
иху + аих + Ьиу + си = 0
заменой и(х, у) = v(x, у) е~Ьх~ау приводится к виду vxy + (с — ab) v = 0.
2.5.	Доказать, что общее решение уравнения иху = и имеет вид
Ф, У) = f fH) Jo {2iy/y{x-t)) dt +
0	У
g(t) Jo {2iy/x(y-t)) dt + [/@) + ^@)] Jo
о
где Jo(z) — функция Бесселя, а / и д — произвольные функции клас-
класса С1.
2.6.	Доказать, что общее решение уравнения иху = F(x,y), где
F G С(\х — хо\ < а, \у - 2/о| < Ь), имеет вид
х у
где / и д — произвольные функции класса С2.
2.7.	Доказать, что общее решение уравнения иху + А(х, у) их = О,
где А(х,у) е Сг(\х - хо\ < а, \у - уо\ < Ъ), имеет вид
з*

36 Гл. I. Постановка краевых задач математической физики
X	( У
и(х, у) = f(y) + J g(?) exp < -J A(?, rj) dn
xo	^ Уо
где / и g — произвольные функции классов С2 и С1 соответственно.
2.8.	Доказать, что общее решение уравнения
иху	их Н	иу = О
х-у х-у
f(x) -\- а(у)
имеет вид и(х, у) = ^-^—^Л^ где j и g — произвольные функции из
класса С2.
2.9.	Доказать, что общее решение уравнения
п	, т
+
х — у	х — у
где пит — натуральные числа, имеет вид
и(х у) -
1 Х'У)~
х-у J
где / и g — произвольные функции из классов Сш+1 и Сп+1 соот-
соответственно.
2.10. Доказать, что общее решение уравнения
п	т _ п
ху х-у	х-у у '
где пит — неотрицательные целые числа, имеет вид
u(x v)-(x- v)n+m+1
и(х,у)-(х у)	dxnQym у ху j
где / и g — произвольные функции из классов Сп+2 и Сш+2 соответ-
соответственно.
2.11. В каждой из областей, где сохраняется тип уравнения, найти
общее решение уравнений:
1) yuxx + (x-y) uxy - хиуу = 0;	2) x2uxx - y2uyy = 0;
3) x2uxx + 2xyuxy-3y2uyy-2xux = 0; 4) x2uxx+2xyuxy + y2uyy = 0;
5) uxy — xux + u = 0;	6) uxy + 2xyuy — 2xu = 0;
7)	uxy + ux + yuy + (y - 1) u = 0;
8)	ижу + xux + 2^/u^ + 2ж^/и = 0.
Ответы к § 2
2.1. 1) u# + Uw + ^CC = °5 С = ж> r) = y-x, ( = x - -y + -z;
2)	u^ - г^ + ucc + u^ = 0; ^ = - ж, n= -x + y, ( = --x-y + z;
3)	ii?? - -M^ + 2ii? = 0; ^ = ж + у, r) = y-x, ( = у + z;

§ 2. Классификация уравнений второго порядка
37
4) и^ + uvr] = 0; ? = ж, г) = у-х, ( = 2х - у + z;
1
5)	Щ? - ит - исс = 0; С = ж, г) = у-х, (= -х - -у + -z;
6)	и^ + ит + и^ + urr = 0; ? = ж, т] — у — ж, С = ж — у + z,
т = 2х — 2у + z + t;
q\	^^		 pv> >• 	 ^^			> 	 с\ i^	i^ i
г = z — ^;
9) u^—Urw + u^ =0; ^ = ж, rj = у — х, ( = 2x-y + z, т = x + z + t;
n	к
) / j ^CfcCfc — ' ^k — / j Ж/ •) К — 1, Z, ...,?!/,
n
12) ?(
jfe=l
1=1
13)
= 0, ^i = жь ^ =xfe -ж/fe-i, A; = 2,3,...,n;
, A; = 2,3,...,n.
2.2. 1) Щг, - — (щ - uv) = 0, ^ = ж - 2/, ry = Зж + 2/5
= 0, ? = ж, 7у = Зж + 2/5
= 0, ? = x- 2у, г) = x;
— U? = 0, ^ = - (-
n^ + u^	^ = 0, ^ = ж, ту = 2v^, 2/ < 0;
6)	ucc - um - - щ + - иц = 0, ^ = y/\x\, г) = y/\y\
11
у > 0 или ж < 0, ^/ < 0); U?? + u^yy - -щ	uv = 0, ^
^ = л/Ы (ж > 0, ?/ < 0 или ж < 0, ?/ > 0);
7)	^ _ ицц + 1 ис - J- ^ = 0, i = \х\3/\ г]
11
у > 0 или ж < 0, ?/ < 0); U?? + u^ + — щ + — u^ = 0,
о^	от/
ж > 0, у < 0 или х <0, у > 0);
, у > 0;
(x > 0,
(х > О,
= |ж|3/2,

38 Гл. I. Постановка краевых задач математической физики
8)	и^ + ит — U? — uv = 0, ? = In |ж|, г] = In \y\ (в каждом квад-
квадранте);	i	i
9)	и^ + ит + — и^ + — иц — 0, i — y2, r\ — ж2 (в каждом квад-
квадранте);
^ ^ ° ^	2 2 = У2
(в каждом квадранте);
11)	Щ? + um- th?u^ = 0, ? = In (
12)	^	^ +
(g j)	(? у)
= у2 — ех (у > 0 или ^/ < 0);
13)	М?? + ицц + cos^ = 0, ? = ж, 7? = у - cos ж;
14)	гл^ - 2и? = 0, ? = 2х - у2, г] = у;
15)	ит - ?щ = 0, ? = же^, г/ = 2/;
2.3. 1) f(x)+g(y);	2) /(j/ + аж) +^(j/ - аж);
3) /(^ - г/) + ^(Зж + у);	4) /(j/) + g(x) е~аУ;
5) ж-2/ + /(ж-32/)+^BЖ + 2/)еC^)/7; 6) [f(x) + ^B/)] е^-^;
7) ея+^ + [/(ж)+^B/)]е3я!+2^	8) f(y-ax)+g(y-ax)e-x.
2.11. 1) /(ж + 2/) + (ж - 2/) ^(^2 - ?/2) (х > -у или ж < -2/);
+ д/1ж2/1 ^(~) (в кажД°м квадранте);
/ з\
3)	f(xy) + |ж^/|3//4^( — ) (в каждом квадранте);
\ у у
4)	xf( — )+g( — ) (в каждом квадранте);
\у/ \у/
X
5)	xf(y) — f'(y) + / (ж — ?) ^(?) e^yd? (Указание. Обозначая
о
их = v, получить соотношения и = xv — vy, vxy — xvx =0.);
1	yr	2
6)	2yg(x) + -g'(x)+ (y~O f(Oe~x ^d? (Указание. Обозна-
x	J
0	1
чая иу = v, получить соотношения и = — vx + yv, vxy + 2xyvy = 0.);
JiX
[У	"I
yf(x) + f'(x)+f(y-r])g(r])e-xr]dr]\ (Указание. Обо-
о	J
значая иу + и = г?, получить соотношения и = vx + yv, vxy + г?ж +
+ 2/% + 2/v = 0.);
[у	-I
yf(x) + f'(x)+ f(y-v)9(v)e~xr]dr]\ (Указание. Обо-
о	J
значая иу + хи = v, получить соотношения и = vx + 2^/v, (г?^ + жг>)ж +
+ 22/(% + жг;) =0.).

Глава II
ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
И ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
§ 3. Измеримые функции. Интеграл Лебега
1. Измеримые функции. Множество Е С Rn называется мно-
множеством (n-мерной) меры нуль, если по любому е > 0 можно най-
найти покрывающее его счетное множество открытых (n-мерных) кубов,
сумма объемов которых меньше е.
Пусть Q С Rn — область. Если некоторое свойство выполнено
всюду в Q, за исключением, быть может, множества меры нуль, то
говорят, что это свойство выполнено почти всюду в Q (п. в. в Q).
Заданная в области Q функция f(x) называется измеримой в Q, если
она является пределом п. в. в Q сходящейся последовательности функ-
функций из C(Q). Если f(x) = g(x) п. в. в Q, то говорят, что функции
эквивалентны в Q.
3.1.	Установить, что следующие множества являются множества-
множествами меры нуль:
1)	конечное множество точек;
2)	счетное множество точек;
3)	пересечение счетного множества множеств меры нуль;
4)	объединение счетного множества множеств меры нуль;
5)	гладкая (п — 1)-мерная поверхность;
6)	гладкая ^-мерная поверхность (к < п — 1).
В задачах 3.2-3.9 доказать утверждения.
3.2.	Функция Дирихле х(х) (равная 1, если все координаты точ-
точки х рациональны, и 0 в противоположном случае) равна нулю п. в.
3.3.	Функция f(x) =	j—г почти всюду непрерывна в Rn.
1 — |ж|
3.4.	Последовательность функций fn(x) = \х\п в шаре \х\ < 1 схо-
сходится к нулю п. в.
3.5.	Теорема. Для того чтобы множество Е было мно-
множеством меры нуль, необходимо и достаточно, чтобы сущест-
существовало такое его покрытие счетной системой открытых кубов с
конечной суммой объемов, при котором каждая точка Е оказыва-
оказывается покрытой бесконечным множеством кубов.

40 Гл. П. Функциональные пространства и интегральные уравнения
3.6.	Функция / Е C(Q) измерима.
3.7.	Если /(ж) и д(х) эквивалентны и д(х) измерима в Q, то /(ж)
тоже измерима в Q.
3.8.	Предел почти всюду сходящейся последовательности измери-
измеримых функций является измеримой функцией.
3.9.	Функция, непрерывная в Q за исключением подмножества,
составленного из конечного (или счетного) числа гладких ^-мерных
поверхностей (к < п — 1), измерима в Q.
3.10.	Установить измеримость следующих функций, заданных на
отрезке [—1,1];
а)	у = sign ж;
^ч	I sin -, ж ф 0,	ч	I sign (sin - ) , х ф 0,
б)	у=< ж' ^ '	в) у= I ь V J' ^ '
[0, ж = 0;	[0,	ж = 0;
{1	т
—,	если ж = — при взаимно простых т.п.
п
0,	если х иррационально.
3.11.	Пусть функции f(x) и д(х) измеримы в Q. Установить из-
измеримость следующих функций:
fix)
a) f(x)g(x)]	б) ^-^ (при условии д(х) /0, же Q);
в) \f{x)\;	г) (/(Ж))^
3.12.	Пусть /(ж) G C(Q) и в каждой точке ж G Q существует
производная fx . Доказать, что /ж измерима в Q.
3.13.	а) Пусть функции /(ж) и д(ж) измеримы в Q. Доказать из-
измеримость в Q функций тах{/(ж),д(ж)}, min {/(ж),д(ж)}.
б) Доказать, что всякая измеримая функция /(ж) есть разность
двух неотрицательных измеримых функций
/+(ж) =тах{/(ж),0}, f~(x) = min {0, -/(ж)}.
3.14.	Доказать, что неубывающая (невозрастающая) на отрезке
[а, Ь] функция измерима.
3.15.	Доказать, что если /(ж) измерима в Q, то существует после-
последовательность многочленов, сходящихся к /(ж) п. в. в Q.
2. Интеграл Лебега. Заданную в области Q функцию /(ж) бу-
будем считать принадлежащей классу L+(Q), если существует неубы-
неубывающая последовательность непрерывных в Q финитных функций
/п(ж), п = 1,2,..., сходящаяся к /(ж) п. в. в Q и такая, что последо-
последовательность интегралов (Римана) Г fn(x) dx ограничена сверху. При

§ 3. Измеримые функции. Интеграл Лебега	41
этом интеграл Лебега от функции f(x) G L+(Q) определяется равен-
равенством
(L) fdx = sup fndx = lim / fn dx.
J	n J	П-ЮО J
Q	Q	Q
Функция f(x) называется интегрируемой no Лебегу по области Q,
если ее можно представить в виде разности f(x) = fi(x) — /2 (х) двух
функций fi(x) и /2(ж) из L+{Q). При этом интеграл Лебега от функ-
функции /(ж) определяется равенством
(L) Jfdx = (L)J Л ds - (L) | /2 dx.
Q	Q	Q
Комплекснозначную функцию f(x) = Re f(x) + г1ш/(ж) будем
называть интегрируемой по Лебегу по области Q, если функции
Re/(ж), lmf(x) интегрируемы по Лебегу. При этом по определению
полагаем
(L) Г fdx = (L) [Refdx + i (L) flmf dx.
Q	Q	Q
Множество интегрируемых по Лебегу по области Q комплексно-
значных функций, отождествляемых в случае их эквивалентности,
обозначается L1(Q).
Функции из Li(Q) конечны п. в. в Q. Если функция интегрируема
по Риману, то она интегрируема и по Лебегу и ее интегралы Римана
и Лебега совпадают. Поэтому в дальнейшем будем опускать (L) перед
знаком интеграла; всегда под интегралом подразумевается интеграл
Лебега, а под интегрируемой функцией — функция, интегрируемая
по Лебегу. Более того, если функция абсолютно несобственно интег-
интегрируема по Риману, то она интегрируема и по Лебегу и ее интегралы
Римана и Лебега совпадают.
Следующие теоремы играют важную роль в теории лебеговского
интегрирования.
а)	Если функция f(x) измерима в Q и \f(x)\ < д(х), где g(x) G
G Li(Q), то f G Li(Q). В частности, измеримая ограниченная функ-
функция в ограниченной области Q принадлежит L\(Q).
б)	Теорема Лебега. Если последовательность измери-
измеримых в Q функций fi(x),..., /п(ж),... сходится к функции f(x) п. в. eQ
и \fn(x)\ < g(x), где g G Li(Q), mo f G Li(Q) и j fn(x)dx —у J f dx
при n —> oo.	Q	Q
в)	Теорема Фубини. Если f(x,y) G L\{Q x P), x = (xi,...
..., xn) G Q, У = B/i,..., Ут) ? P-, где Q и Р — некоторые области из
Rn и Rm соответственно, то
Jf(x,y)dx€L1(P), Jf(x,y)dyeL1(Q)
Q	P

42 Гл. П. Функциональные пространства и интегральные уравнения
J /(ж, у) dxdy = J dx J /(ж, y)dy = J dy J /(ж, y) dx.
QxP	Q P	P Q
Если f(x,y) измерима в Q x P, для п. в. x G Q функция \f(x,y)\ G
Li(Q), mo /(ж,у) e Li(Q x P).
В задачах 3.16-3.20 доказать утверждения.
3.16.	Если /(ж) > 0 и I f(x) dx = 0, то f(x) = 0 п. в. в Q.
Q
3.17.	Если /(ж) = 0 п. в. в Q, то / / dx = 0.
Q
3.18.	Если /,g G Li(Q), то oif + j3g ? L\(Q) при любых постоян-
постоянных а и /3.
3.19.	Если / G Li(Q), то |/| G Li(Q) и
Q
< /\
Q
\dx.
что
Г
= S
3.20.	Если / G Li(Q), то для любого г > 0 найдется такая финит-
финитная функция g? e C(Q), что f |/ - g?\dx < e.
Q
3.21.	Проверить, что функция Дирихле
1, если х рациональное,
0, если х иррациональное,
интегрируема по Лебегу на [0,1], но не интегрируема по Риману. Чему
равен ее интеграл Лебега?
3.22.	Найти интегралы по отрезку [0,1] от следующих функций
(предварительно доказав их интегрируемость):
Г ж2, если ж иррационально,
a) f(x) = <
{ 0, если х рационально;
{ж2, если ж иррационально и больше 1/3,
ж3, если ж иррационально и меньше 1/3,
0, если ж рационально;
{вштгж, если ж иррационально и меньше 1/2,
ж2, если ж иррационально и больше 1/2,
0, если ж рационально;
{1/п, если ж = ш/n, где т,п взаимно просты,
0, если ж иррационально;

§ 3. Измеримые функции. Интеграл Лебега
43
Д) /О*) =
~1//3, если ж иррационально,
х ,
если ж рационально;
е) /(ж) = sign (sin — j.
3.23. При каких значениях а интегрируемы по шару |ж| < 1 сле-
следующие функции:
№ = ^
в)
La
при-
3.24.	Пусть д(х) — измеримая и ограниченная функция в ограни-
ограниченной области Q. Показать, что функция /(ж) = Г L
надлежит С (Rn) при к < п — а.
3.25.	Пусть / G Li(Q). Показать, что функция
/(ж), если в точке ж |/(ж)| < N,
{
N, если в точке ж |/(ж)| >
интегрируема по Q и справедливо соотношение
lim / /ту(ж) dx — \ /(ж) с?ж.
Q
3.26. Пусть Q = @ < Ж1 < 1, 0 < Ж2 < 1), а функция /(ж) задана
в Q следующим образом:
a) f(x) =
б) f(x) =
в)
при (ж1,ж2) ^ (О,
при х\ = ж2 = О;
^ при (Ж1,Ж2)^@,0
при Ж1 = Ж2 = 0;
— при 0 < х\ < Ж2 < 1,
	2 при 0 < ж2 < Ж1 < 1,
О в остальных точках.
1)	Принадлежат ли эти функции пространству L\{QI
1	1
2)	Принадлежат ли Li @,1) функции //(ж1,ж2)с?Ж1, //(жъж2)с?ж2?
3)	Выполняется ли равенство
11
/ dxi I
о
11
= у dx2 J /(жьж2)<
о о

44 Гл. П. Функциональные пространства и интегральные уравнения
3.27. На отрезке [0,1] задана последовательность ступенчатых
функций/п(ж), га = 1,2,...
fn(x) = _
О для остальных ж G [0,1],
где целые числа п, &, г связаны соотношениями
Показать, что lim / fn dx = 0 и что /п(ж) —/» 0 при п —у оо
га-юо У
для ж G [0,1].
Множество измеримых в Q функций, квадрат модуля которых при-
принадлежит Li(Q), называется пространством L2(Q) (при этом, как
и в случае Li(Q); эквивалентные функции считаются отождествлен-
отождествленными) .
В задачах 3.28-3.33 доказать утверждения.
3.28.	Если /i,/2 G L2(Q), то аД +/З/2 G L2(Q) при любых посто-
постоянных а и /3.
3.29.	Если / G L2(Q) и Q — ограниченная область (или область
с ограниченным объемом), то / G Li(Q).
3.30.	Ни одно из включений Li(iT) С L2(Rn), L2(Rn) С Li(iT)
места не имеет.
3.31.	Если f,g G L2(Q), то /•# G Li(Q).
3.32.	Если /, # G L2(Q), то имеет место неравенство Буняковского
\V2
<
Q
Q	Q
3.33. Если /, д G L2(Q), то имеет место неравенство Минковского
\1/2	/	\1/2 /	ч1/2
3.34. Установить принадлежность к L2{Q) следующих функций:
a)t/ = x-V3, Q = [0,l]; б) у = ^|, Q = @,l);
ж~1//3 cos ж, ж иррационально,
ж рационально, ж^О, Q = [—1,1];
ж = 0,
'	Q	(||<l)

§ 3. Измеримые функции. Интеграл Лебега	45
f
I о,
При к
), если Q = {\xi\ + \х2\ > 1}?
3.35. При каких а и /3 функция /(ж) = ,—:	-т принадлежит
3.36.	При каких а функция г~а, г = (х\ + ж^I/2, принадлежит
L2(Q), если:
a) Q = (r<l); б) Q = (r>l)?
3.37.	При каких а функция
sin \х\
При \Х\ ^ U,	. 2	2	2Л1/2
О	при \х\ = О,
принадлежит Lt2(Q), если Q = (\х\ < 1)?
1 /9
3.38.	При каких а функция |ж|~а, где \х\ = (ж2 + ...+ж2) ,
принадлежит Z^Q)? если:
a) Q = (\х\ < 1); б) Q = (\х\ > 1); в) Q = Rnl
3.39.	Пусть функция д G Z^QX гДе Q — ограниченная область.
Показать, что функция f(x) = / 1— , dy для а < — принадле-
J \х — у\а	2
Q
жит пространству Ck(Q) при fc < - — а.
3.40.	Показать, что для функции / G L2(Q) (Q — ограниченная
область) по любому е > 0 найдется такая функция f? G C(Q), что
Ответы к § 3
З^а)!; б)Ц; в) \ + ^ гH; д)|; еI-21п2.
3.23. а) а < щ б) а < 1; в) а < 2га.
3.26. а) 1) Нет; 2) нет; 3) нет;
б)	1) нет; 2) да; 3) нет;
в)	1) нет; 2) да; 3) нет.
3.35.	а>0, C>0, -U-jj<l.
3.36.	а) а < 1; б) а > 1.

46 Гл. П. Функциональные пространства и интегральные уравнения
3.37.	а > -.
4
3.38.	а) а < -; б) а > -; в) ни при каких а.
§ 4. Функциональные пространства
1. Линейные нормированные пространства. Комплексным
(вещественным) линейным пространством называется множест-
множество М, для элементов которого определены операции сложения и
умножения на комплексные (вещественные) числа, не выводящие
из М и обладающие свойствами:
а)	/i+/2 = /2 +Д;
б)	(Л + /2) + /з = Л + (/2 + /з);
в)	в М существует такой элемент 0, что 0 • / = 0, для любого
/GM;
г)	(ci +с2)/ = ci/ + c2/;
Д) с(Д+/2)=сД+с/2;
е)	(cic2)/ = ci(c2/);
ж)	1 • / = / для любых /, Д, /2, /з из М и любых комплексных
(вещественных) чисел с, ci, C2.
Система элементов Д,..., Д из М называется линейной независи-
независимой, если равенство схД + ... + с^Д = 0 имеет место только при
ci = ... = q = 0. В противном случае система Д,..., Д. линейно зави-
зависима. Бесконечная система Д, Д,... называется линейно независимой,
если любая ее конечная подсистема линейно независима.
Линейное пространство называется нормированным, если каждому
его элементу / поставлено в соответствие вещественное число ||/||,
называемое нормой /, удовлетворяющее следующим условиям:
а)	II/H > 0, причем II/H = 0 лишь при / = 0;
б)	||/ + #||<||/|| + ||#||, (неравенство треугольника);
в)	||с/1| = \с\ II/H при произвольной постоянной с.
Для линейного нормированного пространства можно определить
понятие расстояния между элементами p(f,g) = ||/ — д\\ и понятие
сходимости по норме: последовательность Д,/2,... сходится к неко-
некоторому элементу / (/п —у / при п —> оо), если p(f,fn) —> 0 при
п —У оо.
Последовательность Д, Д,... линейного нормированного прост-
пространства называется фундаментальной, если для любого е > 0 сущест-
существует JV = N(e) > 0 такое, что ||/ш — /п|| < г при т,п > N.
Линейное нормированное пространство называется полным, если
любая фундаментальная последовательность элементов имеет в этом
пространстве предел. Полное линейное нормированное пространст-
пространство В называется пространством Банаха.

§4- Функциональные пространства	47
Множество R Е В называется плотным в В, если для любого
элемента / Е В существует последовательность Д, /2, ••• из R, сходя-
сходящаяся к / (/п —У / при п —У оо).
4.1.	Установить, что следующие множества являются линейными
пространствами:
а)	множество Ck(Q), 0 < к < оо;
б)	множество точек n-мерного пространства Rn\ множество точек
комплексной плоскости С;
в)	множество финитных в Q функций;
г)	множество ограниченных в Q функций;
д)	множество аналитических функций в области Q комплексной
плоскости С;
е)	множество функций из C(Q), обращающихся в нуль на некото-
некотором множестве Е Е Q;
ж)	множество C(Q\{x0}), где х° G Q;
з)	множество функций / из C(Q), для которых Г ftpdx = О,
где ср — некоторая функция из C(Q), a Q — ограниченная область;
и) множество функций / из C(Q), для которых Г fipds = О,
_	S
где (f — некоторая функция из C(Q), a S — ограниченный кусок глад-
гладкой поверхности, лежащей в Q;
к) множество функций, интегрируемых по Риману (по области Q);
л) множество принадлежащих Ck(Q) решений линейного диффе-
дифференциального уравнения
^2 Aa(x)Daf = 0, где AaeC(Q), \a\ < к;
\а\<к
м) множество измеримых в Q функций;
н) пространство Li(Q);
о) пространство Z^Q)-
4.2.	Убедиться, что следующие множества функций не составля-
составляют линейного пространства:
а)	множество функций из C(Q), равных 1 в некоторой точке
х° е Q;
б)	множество функций / G C(Q), для которых Г f dx = 1 (Q —
ограниченная область);	Q
в)	множество решений дифференциального уравнения Аи = 1.
4.3.	Доказать, что следующие системы функций линейно незави-
независимы:
а) 1, ж, ж2... на отрезке [а, Ь] (а < Ь);

48 Гл. П. Функциональные пространства и интегральные уравнения
б)	ха, \а\ = 0,1,2,..., в области Q;
в)	егкх, к = 0,1,..., на отрезке [а, 6];
г)	[/(ж)]^ к = 0,1,..., в области Q, где /(ж) — некоторая функция
из C(Q), / ^ const.
4.4.	Доказать, что множество C(Q) является линейным нормиро-
нормированным пространством с нормой:
1) \\f\\c(Q)= max\№\;	2) ||/||' = 13ma_x|/(x)|.
zeQ	v '	xeQ
4.5.	Доказать, что множество Ck{Q) есть линейное нормирован-
нормированное пространство с нормой
E	*/(*)|-	A)
4.6.	Пусть Е — некоторое множество из Q. Показать, что мно-
множество непрерывных в Q функций /(ж), обращающихся в нуль в
точках Е, есть линейное нормированное пространство с нормой A)
при к = 0.
4.7.	Установить, что следующие множества определенных в огра-
ограниченной области Q функций являются линейными нормированными
пространствами с нормой A) при к = 0:
а)	множество функций из C(Q), финитных в Q;
б)	множество C°°(Q);
в)	множество аналитических в Q и непрерывных в Q функций.
4.8.	Убедиться, что в Rn можно ввести норму следующим обра-
30М:	, п у/2
а\	гу*		 TY~1 Q "V Т* • *	^Л 1	Т* л. 	 I % ry* I •	ТЭ 1	Т* -*
J " "	Ki<n '	J " "	\^ г	J " "	'
		ч г=1 7	г=1
4.9.	Убедиться, что при любом р > 1 в i?n можно ввести норму
формулой
цт|| _ (у* т.
II lip \ / J г
„ „	Г II II	^
Найти lim ||ж||р.
4.10.	Показать, что при любом р > 1 в качестве нормы в C{Q)
можно взять выражение
B)
(область Q ограничена). Найти lim ||/|L.
р^оо
4.11.	Убедиться, что линейные пространства примеров 4.4, 4.5,
4.6, 4.8, 4.9 являются банаховыми (т.е. полными в соответствующих
нормах), а линейные нормированные пространства примеров 4.7, 4.10
при конечном р — неполными.

§4- Функциональные пространства	49
4.12.	Показать, что в пространствах Li(Q) и L2(Q) можно ввести
нормы
ll/lk(Q)=/|/|^,	C)
Q
.1/2
\f\2dx) .	D)
Q
Имеет место следующая
Теорема. Пространства L\(Q) с нормой C) и L2(Q) с нор-
нормой D) банаховы.
Подмножество В' банахова пространства В называется {банахо-
{банаховым) подпространством пространства В, если оно является банахо-
банаховым пространством с нормой пространства В.
4.13.	Пусть область Q ограничена. Показать, что:
а)	множество С (Q) функций из C(Q), обращающихся в нуль на
границе области Q, есть банахово подпространство C(Q) (с нормой A)
при к = 0);
б)	подмножество функций / из: 1) C(Q); 2) Li(Q); 3) L2(Q),
для которых / f{x) (fi(x) dx = 0, г = 1, 2,..., s, где (fi,..., (fs — некото-
некоторые функции из C(Q), есть банахово подпространство пространства
C(Q) (с нормой A) при к = 0), Li(Q) (с нормой C)) и L2(Q) (с нор-
нормой D)) соответственно.
4.14.	Показать, что счетное множество, составленное из линейных
комбинаций с рациональными коэффициентами одночленов ха, х =
= (#i, ...,жп), а = (ai,..., an), |a| = 0,1, 2,..., всюду плотно в:
а)	C(Q) (норма A) при к = 0);
б)	Li(Q) (норма C));
в)	L2(Q) (норма D)), где Q — ограниченная область.
2. Гильбертовы пространства. Пусть любым двум элемен-
элементам / и g некоторого комплексного (вещественного) линейного прост-
пространства Н поставленно в соответствие комплексное (вещественное)
число (f,g), называемое скалярным произведением этих элементов,
обладающее следующими свойствами:
в)	(с/, д) = с(/, д) при любой постоянной с;
г)	для любого / G Н число (/, /) вещественно и (/, /) > 0, причем
(/, /) = 0 только при / = 0.
4 Под ред. B.C. Владимирова

50 Гл. П. Функциональные пространства и интегральные уравнения
Пространство Н можно нормировать, положив, например, ||/|| =
= (/, /I//2. Эта норма называется нормой, порожденной скалярным
произведением.
Пространство Н называется гильбертовым, если оно полно в нор-
норме, порожденной скалярным произведением.
Последовательность элементов Д, /2, • • • из Н называется слабо
сходящейся к элементу / Е Н, если для любого h Е Н
(fk,h) —У (/, К) при к —юо.
Элементы / и g называются ортогональными, если (/, д) = 0. Эле-
Элемент / называется нормированным, если ||/|| = 1. Система ei,e2,...
называется ортонормир о ванной, если (е^,е^) = бц*, г = 1,2,...
Пусть / Е H, a ei, в2,... — ортонормированная система в Н. Чис-
Числа fk = (/, е^), & = 1,2,..., называются коэффициентами Фурье эле-
оо
мента /, а сходящийся в норме Н ряд J^ (/, е^)е^ — рядом Фурье
к=1
элемента f по ортонормированной системе ei,e2,...
Система ei,e2,... называется ортонормир о ванным базисом или
полной ортонормированной системой, если она является ортонорми-
ортонормированной и множество элементов с\е\ + С2в2 + ... + с^е^ при всевоз-
всевозможных постоянных ci,..., Ck и к всюду плотно в Н.
Ряд Фурье элемента / по ортонормированному базису сходится в
норме Н к /.
4.15.	Показать, что ^(Q) — гильбертово пространство со ска-
скалярным произведением
V,9) = ff9dx.	A)
Q
4.16.	Подмножество функций / G L2(Q), ортогональных к неко-
некоторым функциям (fi,...,(fk из L2(Q), образует подпространство
пространства L2(Q).
Пусть в области Q задана непрерывная и положительная функ-
функция р(х) (весовая функция). Обозначим L2,P(Q) множество измери-
измеримых в Q функций f(x), для которых p\f\2 E Li(Q).
4.17.	Показать, что L2,P(Q) — гильбертово пространство со ска-
скалярным произведением
f	B)
Q
4.18.	Доказать, что:
а)	L2(Q) С L2,P(Q), если р(х) ограничена в Q;
б)	L2,P(Q) С L2(Q), если р(ж) > р0 > 0 в Q (ро = const).
4.19.	Установить ортогональность в L2@, 2тг) тригонометричес-
тригонометрической системы 1, sin ж, cos ж, sin2x, cos2x,...

§4- Функциональные пространства	51
4.20.	Доказать, что системы функций sin (п + 1/2) ж, п = 1,2,...,
и cos (n + 1/2) ж, п = 1, 2,..., ортогональны в 2^@, тг).
4.21.	Доказать, что многочлены Лежандра
Кж -1) ]' " = 0,1,2,...,
образуют ортонормированную систему в L2(—1,1).
4.22.	Доказать, что система функций
[2
Тп(х) — \ - cosn(arccosx), n = 0,1,2,...,
V тг
есть система многочленов (многочлены Чебышева), ортонормирован-
наяв L21/VT^2(-1,1).
4.23.	Доказать, что система функций
есть система многочленов (многочлены Эрмита), ортогональная в
L2,e-2(-°0'00)-
4.24.	Показать, что отвечающие различным собственным значе-
ниям собственные функции оператора —-г^, заданного на функци-
функциях из С2(@,1)) П С1 ([0,1]) при граничных условиях (/ш — ux)\x=q =
= u\x=i = 0, h — постоянная, ортогональны в 1^@, !)•
4.25.	Показать, что отвечающие различным значениям собствен-
собственные функции оператора —А, заданного на функциях / G C2(Q) П С1 (Q)
при граничном условии и\г = 0 или ( ——\- д(х) и)\ =0, где д G С(Г),
ортогональны в LzyQ).
4.26.	Пусть р е C(Q), р(х) > ро > 0. Показать, что отвечающие
различным собственным значениям собственные функции операто-
оператора 	-г^- А, заданного на C2(Q) П C1(Q) при граничных условиях
р(х)
задачи 4.25, ортогональны в L2,P(Q).
4.27.	Пусть р е ^[0,1], q G С[0,1], р G С[0,1], р(ж) > р0 > 0.
Показать, что отвечающие различным собственным значениям собст-
собственные функции оператора
p(x) dx I	dx\ р(хУ
заданного на С2(@,1)) ПG1([0,1]) при граничных условиях их\х=0 = 0,
(их + Ни)\х=1 = 0 (Н — постоянная), ортогональны в L2,p@,1).
4.28. Пусть р G C^Q), q G C(Q), p G C(Q), р(ж) > Po > 0.
Показать, что отвечающие различным собственным значениям
собственные функции оператора —— div (pgrad) + q(x), заданного
р(х)

52 Гл. П. Функциональные пространства и интегральные уравнения
на C2(Q) nC1(Q) при граничных условиях задачи 4.25, ортогональны
в L2,P(Q).
4.29.	Показать, что принадлежащие C2{Q) П C1(Q) решения в Q
уравнения Аи = 0, удовлетворяющие при различных Л граничному
условию ( ——Ь Хи ) =0, ортогональны в ^(Г).
V on	/1 г
4.30.	Показать, что последовательность s'mkx, k = 1,2,..., схо-
сходится слабо к нулю в L2@, 2тг), но не сходится в норме L2@, 2тг).
В задачах 4.31-4.39 доказать утверждения.
4.31.	Если последовательность fn(x), n = 1,2,..., функций
из L2(Q) сходится к f(x) по норме L2(Q), т0 она сходится и слабо
к f(x).
4.32.	Если последовательность fn(x), n = 1,2,..., функций
из Ь2{0) сходится к / (х) по норме Ь2{О)ч т0 Г fn dx —У Г f dx,
п —У оо (Q — ограниченная область).	^	^
сю
4.33.	Если ик G L2(Q), к = 1,2,..., и ряд Y1 ик(х) сходится
оо	к=1
к и(х) по норме L2(Q), то ^2 Ukdx = udx (Q — ограниченная
область).	k=1 Q Q
4.34.	Если последовательность fn(x), n = 1,2,..., функций из
C(Q) сходится к f(x) равномерно в Q, то она сходится и по норме
^2{Q) (Q — ограниченная область).
4.35.	Если последовательность fn(x), n = 1,2,..., функций из
L2{Q) сходится слабо к f(x) G Z^QX T0 последовательность норм
\\fn(z)\\L2(Q)i n = 1,2,..., ограничена.
4.36.	Если последовательность fn(x), n = 1,2,..., функций из
L2(Q) сходится слабо к f(x) e L2(Q) и ||/п(ж)|| —У ||/(ж)|| при
п —У оо, то эта последовательность сходится к f(x) и по норме L2(Q).
4.37.	Для любой функции f(x) G L2(Q) имеет место неравенство
Бесселя	оо
где Д, fc = 1, 2,..., — коэффициенты Фурье функции / по ортонорми-
рованной системе е\, в2,...
4.38.	Любая ортонормированная система ei,..., еп,... в 1^2(Q) схо-
сходится слабо к нулю, но не сходится по норме Z^Q)-
4.39.	Для любой / G L2(Q)
mm
С1,...,Ста
f ~
k=i
/-?/*
k=i

§4- Функциональные пространства	53
(т. е. п-я частная сумма ряда Фурье наилучшим образом приближа-
ет f(x) в L2(Q)).
4.40.	Найти многочлен 2-й степени, наилучшим образом прибли-
приближающий в L2(—1,1) функцию:
а) ж3; б) sinvrx; в) \х\.
4.41.	Найти тригонометрический многочлен первого порядка,
наилучшим образом приближающий в L2(—тг,тг) функцию:
а) |ж|; б) sin |.
4.42.	Найти многочлен первой степени, наилучшим образом при-
приближающий в L2(Qi) функцию х\ — х\, где Qf.
а) круг х\+х\<\\ б) квадрат 0 < xi, X2 < 1.
4.43.	Установить полноту в 1^2 (Q) систем:
а)	s'mkx, к = 1, 2,..., Q = [0, тг];
б)	sinBA; + l)x, A; = 0,1,..., Q = [0,тг/2].
В задачах 4.44—4.50 доказать утверждения.
4.44.	Многочлены Лежандра (задача 4.21) и многочлены Чебы-
шева (задача 4.22) образуют ортонормированные базисы пространст-
пространства Ьг(—1,1) и L2 1/^1_ж2(—1,1) соответственно.
4.45.	Чтобы ортонормированная в Ьг(Ф) система ei,e2,... была
ортонормированным базисом Z^QX необходимо и достаточно, чтобы
для любой функции / G L,2{Q) выполнялось неравенство Парсеваля-
Стеклова	^
А;=1
4.46.	Если / е L2(a,b) и fxkf(x)dx = 0 для А; = 0,1,..., то
f(x) = 0 п. в. на (а, Ъ).
4.47.	Если / е L2 и f xaf(x)dx = 0 для всех а, \а\ = 0,1,..., то
/(яг) = 0 п. в. в Q.	Q
4.48.	Если /д. и дк, к = 1,2,..., — коэффициенты Фурье функ-
функций / и д из L/2(Q) по некоторому ортонормированному базису, то
к=1
4.49.	Всякая ортонормированная система ei, e2,..., еп линейно не-
независима.
4.50.	Для того чтобы система функций <pi,...,y?n из ^(Q) была
линейно независимой, необходимо и достаточно, чтобы определитель
Грамма det ||((/?i, (/?j)||, i,j = l,...,n, был отличен от нуля.

54 Гл. П. Функциональные пространства и интегральные уравнения
Пусть (fi,...,(pn — некоторая линейно независимая система функ-
функций из L/2(Q) (или L2,p(Q)). Функцию ei(x) определим следующим
образом: е\ —	. Подберем постоянные с\ и с2 так, чтобы функ-
ция е2 = с\е\ + с2</?2 была нормированной и ортогональной в L2(Q)
(в Lt2,p(Q)) к функции е\ и т. д. При условии, что построены функ-
функции ei,...,en_i, функцию еп будем разыскивать в виде еп = /3iei +
+ /32е2 + ... + /3n_ien_i + РпРп с такими постоянными /?i,...,/3n,
чтобы еп была нормированной и ортогональной к функциям е\,...
...,en_i. Этот способ ортонормирования системы ipi(х),..., ipn(x) на-
называется методом Грамма-Шмидта.
4.51.	Найти явное выражение функций е&, fc = l,2,...,n, через
функции y?i,...,y?n.
4.52.	Ортонормировать в L2,P(Q) методом Грамма—Шмидта сле-
следующие последовательности функций, предварительно убедившись в
их линейной независимости:
а)	1,х,х2,х3
б)	1-ж, 1 + ж2, 1 + ж3	(р = 1, Q = (-1,
в)	sin27nr, I, costtx	(p = 1, Q = (-l,
г)	1,ж,ж2	(р = е~ж, Q = @,oo));
д)	1,ж,ж2	(р = е~ж/2, Q = (-оо,+оо));
е)	1,х,х2	(р = Л/Г3^25 Q = (-l,l));
ж)	1,ж,ж2	(р = 1/у/Т=х*, Q = (-1,1)).
4.53.	Показать, что в результате ортонормирования системы
1, ж, ж2, ... методом Грамма-Шмидта в скалярном произведении
(f,g)=
О
получается ортонормированный базис пространства L2 1/Л/1_ж2 (—1,1),
состоящий из многочленов Чебышева Тп(ж), п = 1,2,...
4.54.	Ортонормировать систему многочленов 1, х\, Х2 в круге
|ж| < 1 со скалярным произведением
(u,v) = / uv dx.
\х\<1
4.55.	Ортонормировать систему многочленов 1,Ж1,Ж2,жз в шаре
|ж| < 1, ж = (ж1,Ж2,жз), со скалярным произведением
(и, v) = / иу dx.
\х\<1

§4- Функциональные пространства	55
4.56. Обозначим через L'2{—oo,oo) множество таких функций
f(x) Е L2,ioc(—оо, оо), для которых существует конечный предел
к '
1 Г
lim —- / \f\2dx. Показать, что L2(-oo, оо) — гильбертово простран-
А;—>-оо 2к J
-к
ство со скалярным произведением
1 f
/,#) = lim — / fgdx.
-k
4.57. Доказать, что система функций егах, где а — любое вещест-
вещественное число, является ортонормированной системой в L'2{—oo,oo)
(см. предыдущую задачу).
3. Гильбертовы пространства дифференцируемых функ-
функций. Пусть Q — некоторая ограниченная область пространства Rn
с гладкой границей Г. Пусть а = (ai,...,an) — мультииндекс (см.
обозначения). Функция f^ G Li,ioc(Q) называется обобщенной про-
производной (о. п.) порядка а функции / из Li^oc(Q), если для любой
финитной в Q функции g G C'a'(Q) имеет место равенство*)
gdx.	A)
j
Q	Q
Если функция / G Clal(Q), то о. п. f^a\x) существует и f^a\x) =
= Daf(x) п. в. Поэтому в дальнейшем о. п. порядка а функции f(x)
будет обозначаться через Daf.
Множество функций (будем считать их вещественными) / Е L2 (Q),
имеющих все о. п. до порядка к включительно, принадлежащие Z^Q)?
называется пространством Соболева Hk(Q). Hk(Q) — гильбертово
пространство. Скалярное произведение в нем можно задать формулой
DafDag)dx,	B)
а соответствующую согласованную с ним норму —
-,1/2
B')
При к = 0 пространство Hk{Q) совпадает с ^(Q) (H°(Q) =
= Lt2(Q))' Если граница Г достаточно гладкая, то пространство Hk(Q)
есть пополнение множества Ck(Q) по норме B').
*^Более общее определение см.: Владимиров В. С. Уравнения
математической физики. — 5-е изд. — М.: Наука, 1985.

56 Гл. П. Функциональные пространства и интегральные уравнения
Пусть / Е i?1(Q), /fc, k = 1,2,... — последовательность функ-
функций из C1(Q), сходящаяся в норме i?1(Q) к f(x). Для любой гладкой
(п — 1)-мерной поверхности S (состоящей из конечного числа кусков,
каждый из которых однозначно проектируется на какую-нибудь ко-
координатную плоскость), лежащей в Q, существует такая постоянная
с > 0, не зависящая от f{x) и Д(ж), к = 1,2,..., что
\h-fm\2ds<c\\fk-,
s
Из этого неравенства и полноты пространства L2 (S) вытекает, что по-
последовательность следов функций fk(x) на S сходится в норме Lt2(S)
к некоторой функции д Е L/2(S). Функция д(х) не зависит от выбо-
выбора последовательности, приближающей функцию /(ж), и называется
следом f\s функции f(x) на поверхности S E Q.
Множество функций на H1(Q), след которых на границе Г равен
нулю п. в. на Г, обозначим через H1{Q). Его можно получить попол-
пополнением по норме B') при к = 1 множества функций, имеющих непре-
непрерывные частные производные в Q первого порядка и обращающихся
в нуль на Г.
Для функции / Е Li(Q) свертка fh(x) = Jcoh(\x - у\) f(y) dy, где
Q
Uh(\x — у\) — ядро усреднения (см. обозначения), называется средней
функцией для /.
Пусть Xi = Vi(y), i_= 1,...,п, у = B/1,...,2/п) ~ k Раз непрерывно
дифференцируемое в Q взаимно однозначное отображение области Q
на область Q' с якобианом, отличным от нуля в Q. Тогда, если / Е
е Hk(Q), то
Два скалярных произведения (u,v)i и (u,v)u в гильбертовом про-
пространстве и соответствующие им нормы ||u||i и \\и\\ц называются эк-
эквивалентными, если существуют постоянные с\ > 0 и С2 > О
такие, что для любого и G Н справедливы неравенства ci||u||i <
< 1Н1п < c2|N|i.
4.58.	Установить, что смешанная о. п. не зависит от порядка диф-
дифференцирования .
4.59.	Показать, что из существования о. п. Daf не следует су-
существования о. п. Da f при а[ < cti, г = 1, ...,п, \а'\ < \а
Указание. Рассмотреть функцию /(#i, #2) —
где fi(xi) не имеют о. п. первого порядка.
4.60.	Показать, что если в области Q функция f(x) имеет о. п.
Daf, то и в любой подобласти Q' С Q функция f(x) имеет о. п. Daf.

§4- Функциональные пространства	57
4.61. Пусть в области Qi задана функция Д(ж), имеющая о. п.
Dafi, а в области Q2 — функция /2(ж), имеющая о. п. Da/2. Доказать,
что если Qi U Q2 — область и для х е Qi П Q2 fi(x) = /2(ж), то
функция	„ . .	^
имеет о. п. Daf в Qi U Q2j равную ?>a/i в Qi и Daf2 в Q2-
4.62.	Пусть
Г 1, если |ж| < 1, х2 > 1,
f(x1,x2) = <	.
I —1, если ж| < 1, Ж2 < 1.
Убедиться, что f(xi,x2) имеет обобщенные производные первого по-
порядка в каждом из полукругов, но не имеет о. п. по х2 в круге \х\ < 1.
4.63.	Доказать свойства средних функций:
а)	ЛеС°°(Дп);
б)	fh(x) сходятся при h —У 0 к /(ж) в L2(Q), если / G L2(Q);
в)	в любой строго внутренней подобласти Q' (e Q при достаточно
малом h имеет место равенство (Daf)h = Dafh, т. е. обобщенная про-
производная от средней функции равна средней функции от обобщенной
производной.
В задачах 4.64-4.72 доказать утверждения.
4.64.	Если у функции f(x) в области Q существует о. п. Da f =
= uj(x), а для функции и>(х) существует о. п. D^lu, to существует о. п.
4.65.	a) y = signx?H1(-l,l);
б) у = \х\ е Н\-1,1), у = \х\# Я2(-1,1).
4.66.	Если / G ^(а.Ъ) и о. п. f'(x) = 0, то f(x) = const п. в.
4.67.	Если / G Нг(а, Ь), то /(ж) эквивалентна на [а, Ь] непрерывной
функции.
4.68.	Если /(ж) G Я^-ос^оо), то lim f(x) = 0.
|ж|—>-оо
4.69.	Обозначим через Я1@,2тг) подпространство пространства
Я1@,2тг), состоящее из всех функций f(x) из Я1@,2тг), для которых
/@) = Д27Г).
Доказать следующее утверждение: для того чтобы функция f(x)
(из i?1@,27r)) принадлежала iJ1@,27r), необходимо и достаточно, что-
чтобы сходился числовой ряд с общим членом ^(а^ + Ь^), где
2тг	2тг
ап = / /(ж) cosnxdx, bn = / f(x)s\nnxdx, n = 0,1,2,...
о	о
Равенство

58 Гл. П. Функциональные пространства и интегральные уравнения
оо
k=0	_
определяет одну из эквивалентных норм Я1 @, 2тг).
4.70.	Для того чтобы функция /gL2@,tt) принадлежала .
необходимо и достаточно, чтобы сходился ряд с общим членом к2Ъ2к,
bk = — / /(ж) sin&xc&r. При этом
0	тг	сю
HL@,7r) J	I ^—'
0	А;=1
4.71.	Для любой / G Н1(а,Ь) имеет место неравенство (одномер-
(одномерный вариант неравенства Стеклова)
а	а
4.72.	Найти функцию /о(х) ^ 0, для которой неравенство зада-
задачи 4.71 превращается в равенство. Показать, что если f(x) ф с/о (ж),
где с — постоянная, то для f(x) имеет место строгое неравенство.
4.73.	Доказать, что для любой функции / G Я1@,2тг), для кото-
которой /@) = /Bтг), имеет место неравенство
2тг	2тг	/ 2тг	\2
fdx< f{ffdx + ±-[ I f(x)dx\.
о	о	V о	/
4.74.	Доказать, что для любой функции / G Я1@, 2тг) имеет место
неравенство (одномерный вариант неравенства Пуанкаре)
dx < 4 J(fJdx + ±.(Jfdx\
о	о	V о	/
Указание. Воспользоваться тем, что система cos (кх/2), к =
= 0,1, 2,..., является ортогональным базисом пространства Я1@, 2тг).
4.75.	Доказать, что существует двумерное подпространство
пространства Я1@,2тг), для всех элементов которого неравенство
задачи 4.74 превращается в равенство. Найти это подпространство
и доказать, что для всех элементов из Я1@,2тг), не принадлежащих
этому подпространству, неравенство задачи 4.74 строгое.
о
4.76.	Пусть / G Н (\х\ < 1), х\ — \х\ cosy?, X2 = \х\ sin у?, f{x) =
2тг
= /(|ж|, ф). Доказать, что Нт / /2(|ж|5 Ф) dtp = 0.
|ж|—>1— 0 ^
4.77.	Пусть / G Я1 (|ж| < 1), #i = |ж| cosy?, х2 = |ж| sin у?, /||ж|=1 =
, 0 < у? < 2тг. Доказать, что

§4- Функциональные пространства	59
2тг
lim [\h(<p)-f(\x\,<p)\2d<p = 0.
\х ->-1—О J
0
4.78.	Пусть / е Н1 @ < хг < 1, 0 < х2 < 1). Доказать, что
1
f2(xi,x2)dxi = о(х2) при ж2 —^ 0.
о
4.79.	Пусть х = (ж1,Ж2) = (pcoscp, psmtp) и функция
сю
/о) = у + ^2pk (ak cos *^+Ьк sin fe
принадлежит Н1 (\х\ < 1). Выразить через а^,6^ интеграл
4.80. Пусть
сю	сю
/ \ ^0 Ж "Л , .. 7 • 7 \	Ж "Л т / 2 7 2 \
"Фкф) —	1" > (ak cos кф + ^fe sm л^)	и / ^ (а^ + ^^) < °°-
Т \ Г / С\ / j \ 1Ъ Г iv Г /	/ J \ h, h, J
k=l	k=l
Доказать, что существует функция f(xi,x2) G H1 (\x\ < 1) такая, что
4.81.	При каких значениях а функция / = |x|~asin \x\ принадле-
принадлежит Я2(|ж| < 1), х = (xi,x2)?
4.82.	Доказать, что |xi|(|x|2 — 1) G Н1 (\х\ < 1), ж = (#i, Ж2, жз).
4.83.	При каких значениях а функция / = \х\~аеХ1~Х2 принадле-
принадлежит Н1 (\х\ < 1), х = (ж1,ж2,ж3)?
сю
4.84.	Пусть f{xi,x2) = J^ a^ sin^i е~^Ж2, 0 < xi < тг, ж2 > 0.
А;=1
При каких ctk функция / принадлежит Н1 @ < х\ < тг, х2 > 0)?
4.85.	Пусть / G i?1 (|ж| < 1), х = (xi,^2, ...,жп), п > 2. Обязана
ли функция /(ж) быть эквивалентной непрерывной функции в шаре
|ж| < 1 (ср. с результатом задачи 4.67)?
В задачах 4.86-4.90 доказать утверждения.
4.86.	Если / е HX{Q) и /(ж) = const п. в. в Q' С Q, то grad/ = 0
п. в. в Q'.
4.87.	Если / е HX{Q) и |grad/| = 0 п. в. в Q, то f(x) = const
п. в. в Q.
4.88.	Если / е Я1^), # G H1(Q), то для всех г = 1,2,...,га спра-
справедлива формула / fgXi dx = — / ^/ж. с?ж (формула интегрирования
по частям).	^	^

60 Гл. П. Функциональные пространства и интегральные уравнения
4.89.	Если / е Ях(д) и д е Я1^), то для всех г = 1,2,...,п
у /fe dx = - J gfx. dx + J fgcos (пж;) ds,
Q	Q	r
где под знаком интеграла по Г стоят следы функций / и д на Г.
4.90.	Я1(E) есть подпространство пространства Я1(E).
Пусть функция / Е 2^2(Q) продолжена, например, нулем вне Q.
Конечноразностным отношением f(x) по переменному ж^, г = 1, 2,...
...,п, будем называть при /г ф 0 функцию
..,xj + h,...,xn) - /О)
°iJ ~	h
также принадлежащую пространству Z^Q)-
В задачах 4.91-4.96 доказать утверждения.
4.91.	Для любой финитной на (а, Ь) функции / из Ьг(а, Ь) и любой
функции д G L2(a,b) при достаточно малых \h\ имеет место формула
«интегрирования по частям»
{Shf,g) = -(f,S-hg), г = 1,2,...,п.
4.92.	Для достаточно малых \h\ ф 0 для произвольной финитной
в Q функции / G 2^2 (Q) и произвольной функции ^ G 2^2 (Q) имеет
место формула «интегрирования по частям»
№f,g) = -(f,srhg), г = 1,2,...,п.
4.93.	Если финитная на (а, 6) функция / принадлежит Я1 (а, 6), то
при h —У 0 Shf(x) —У f'(x) в норме L2(a, 6).
4.94.	Если для финитной на (а, Ь) функции / G L2(a,b) при /г —»¦ 0
Shf —У f(x) в норме L2(a, Ь), то /(ж) принадлежит ^{а^Ь) и /(ж)
является о. п. функции /(ж).
4.95.	Если финитная в Q функция / G ^(Q) имеет о. п. /ж. G
G L2(a,b) при некотором г = 1,2,...п, то при /г —»¦ 0 Jf/ —У fXi
в норме Li2{Q).
4.96.	Если финитная в Q функция / принадлежит L/2(Q) и при
h —У 0 S^f —У fi(x) в норме Lt2(Q) при некотором г = 1,2,...,п,
то /(ж) имеет в Q о. п. по ж^, совпадающую с /г(ж).
4.97.	С помощью результата задачи 4.71 показать, что скалярные
произведения
(/, g)i = f(fg + f'g1) dx, (/, д)и = j f'g1 dx
о	о
в пространстве Я1@,тг) эквивалентны.

§4- Функциональные пространства	61
4.98.	Доказать с помощью задачи 4.74, что скалярные произведе-
НИЯ	2тг	2тг	/ 2тг	\ / 2тг \
(/,5)i = f(fg + f'g')dx, (/,«?)„ = ffg'dx + l ffdxM J gdx\
о	о	Vo / \o /
в пространстве i?1@,27r) эквивалентны.
4.99.	Множество i?1@,27r) функций / G i?1@,27r), для которых
2тг
/ f{x)dx = 0, есть подпространство пространства i?1@,27r). Пока-
о	_
зать, что в Я1 (О, 2тг) скалярное произведение можно определить соот-
2тг
ношением Aд)нцо,2п) = j f'g'dx.
о
4.100.	Пусть р(х) е C(Q) и р(х) > ро > 0. Показать, что форму-
формулой (/,д)\ = Гpfgdx, f,g€ l^QX определяется скалярное произве-
Q
дение в Z^QX эквивалентное скалярному произведению / fgdx.
Q
4.101.	Пусть р е C(Q), р(х) > 0 в Q\x° и р(ж°) = 0, где х° —
некоторая точка из Q. Тогда формулой для (/, д)\ задачи 4.100 опреде-
определяется скалярное произведение в Z^QX не эквивалентное скалярному
произведению I fgdx (Q — ограниченная область).
Q
4.102.	Пусть р G C(Q\x°), где х° — некоторая точка из Q и
р(х) > 0 для х G Q\x°, р(х) —у оо при х —у ж0, х G Q. Показать,
что в L,2,P(Q) можно ввести скалярное произведение j fgdx, не
г	Q
эквивалентное скалярному произведению / pfgdx.
Q
4.103.	Пусть / е Я1 (И < 1), х = (xux2) и f(x)\\x\=1 = h(ip),
х\ — \х\ cosy?, X2 = \х\ sin ср. Доказать, что существует такая не зави-
зависящая от функции f{x) постоянная с > 0, что
Г 2тг
I fdx<c
|ж|<1	L О	|Ж|<1
4.104.	Доказать существование такой постоянной с > 0, что для
любой / G H1 (Q) имеет место неравенство Стеклова
[ h2((p)d(p+ [ |grad/|2da; .
Г fdx <c f\gY<idf\2dx.
Q	Q

62 Гл. П. Функциональные пространства и интегральные уравнения
4.105.	Показать, что выражение /(grad/, gradg) dx задает ска-
Q
лярное произведение в Н (Q), эквивалентное скалярному произведе-
произведению J[fg + (grad/,gradg)] dx.
Q
4.106.	Пусть p, q G C(Q), p{x) > po > 0, q{x) > 0. Доказать, что
скалярные произведения в H1(Q)
U, 9) =
Q
Q
эквивалентны.
4.107. Пусть вещественные функции рц, Pij(x) = р^(ж), i,j =
= 1,2,...,п, и q принадлежат C(Q), q > 0, и для всех х G Q и всех
вещественных векторов ? = (?i, ...,?n) ? Rn имеет место неравенство
i,j=l	г=1
где постоянная 7о > 0.
Доказать, что в JH(Q) можно определить скалярное произведение
/ п	\
(/^)l = / 5Z Pijfxidxj + ^ ГЖ'
эквивалентное скалярному произведению
„,\dx.
Q
4.108. Пусть p,q e C(Q), р{х) > р0 > 0, q(x) > q0 > 0. Тогда
скалярные произведения в H1(Q)
U, 9) =
Q
Q
эквивалентны.
При решении задач 4.109, 4.113, 4.114, 4.118 полезна следующая
Теорема. Для того чтобы множество М С Н1 (Q) было
компактным в Z^QX достаточно, чтобы М было ограниченным
в норме i?1(Q), т. е. чтобы существовала такая постоянная с > 0,

§4- Функциональные пространства	63
что |Н|я1(<з) < с для всех и Е М. [Компактность М в L2 означа-
означает, что из любой бесконечной последовательности элементов из М
можно выбрать фундаментальную в L2 подпоследовательность.)
4.109. Пусть х° — произвольная точка из Q, a U = Q П
П {|ж — хо\ < г} при некотором г > 0. Доказать, что существует такая
постоянная с > 0, что для всех / Е i?1(Q) имеет место неравенство
Г fdx <c [ \gmd f\2dx + f fdx
Q	\-Q	и
4.110. С помощью результата задачи 4.108 показать, что скаляр-
скалярные произведения в i?1(Q)
Q
(f,g)n = f[qfg+p(gradf,gradg)]dx
Q
эквивалентны, если непрерывные в Q функции р(х) и q(x) удовлетво-
удовлетворяют условиям: р > ро > 0, q(x) > 0 и q(x) ф 0 в Q.
4.111. Если в условиях задачи 4.107 q(x) > qo > 0, то выражение
/
( ^2 ijfxiQxj + qfg I dx
Q \iji
можно принять за скалярное произведение в i?1(Q), причем оно будет
эквивалентным скалярному произведению A(grad/, gradg) + fg] dx.
Q
4.112. Если в условиях задачи 4.107 q(x) > 0 в Q и q(x) ф 0, то
выражение	,	ч
/ ( ^2 PijfXigXj + qfg I dx
/
можно принять за скалярное произведение в i?1(Q), причем оно будет
эквивалентным скалярному произведению f[fg + (grad/, grad^)] dx.
Q
4.113.	Показать, что существует такая постоянная с > 0, что для
любой / G i?1(Q) имеет место неравенство
[fdx <c ||grad/|2^+ [ fds
Q	\-Q	dQ
4.114.	Пусть х° — произвольная точка границы dQ, a U = dQ П
П{|ж — ж°|<г} при некотором г > 0. Доказать существование такой
постоянной с > 0, что для всех / G H1(Q) справедливо неравенство

64 Гл. П. Функциональные пространства и интегральные уравнения
[fdx <c /|grad/|2^+ Г fds
Q	\-Q	и
4.115. Доказать, что если a Е С (dQ) и а(х) > О, то выражение
(f,g)i = j(gr^df,gmdg)dx-\-fafgds
Q	dQ
задает в i?1(Q) скалярное произведение, причем оно будет эквива-
эквивалентным скалярному произведению
Q
4.116. Доказать, что если a G C(dQ), а(х) > 0, а(х) ^ 0, то в
(Q) можно задать скалярное произведение
(/j?)i = J (gra,df,gra,dg)dx + J afgds,
Q	dQ
эквивалентное скалярному произведению
Q
4.117.	Пусть p G C(Q), q G C(Q), a G C@Q), р(ж) > Po > 0,
#(ж) > 0 в Q, сг(ж) > 0 на 9Q, причем или q(x) ^ 0, или а(х) ^ 0.
Тогда скалярные произведения в H1(Q)
(f,g)i = J [P(grad/,grad#) + qfg]dx + J afgds,
Q	dQ
(f,g) = f[fg + (gra,df,gra,dg)]dx
Q
эквивалентны.
4.118.	Показать, что существует постоянная с > 0 такая, что для
любой функции / G i?1(Q) (<9Q G С1) имеет место неравенство (не-
(неравенство Пуанкаре)
ff2dx<c(jfdx) +J\gv&df\2dx .
Q
Q
4.119. С помощью результата задачи 4.118 показать эквивалент-
эквивалентность скалярных произведений
(f,g) =
Q
(/»g)i = J (grad /»grad g)dx + J fdx- J gdx
Q	Q	Q
в пространстве HX(Q).

§4- Функциональные пространства	65
4.120.	Показать, что множество ifI1(Q) функций / Е i?1(Q), для
которых f f dx = 0, образует подпространство i?1(Q).
Q
4.121.	Показать, что в подпространстве H1(Q) можно определить
скалярное произведение (/, д)\ = /(grad/, gradg) dx, эквивалентное
скалярному произведению	Ф
, grad ^)]б?ж.
Ответы к § 4
4.9.
г
4.10. max |/(ж) |.
4.40.	a) | x; 6) § *; в) Щ*- + ±.
7Г 4	8
4.41.	a)	cos ж; б) — sir
2	7Г	ЗТГ
4.42.	a) 0; 6) xx - x2.
n-l
4.51. en = „ " k=_\
4.52. a) Po, Pi, P2, Рз, где Pn — многочлены Лежандра (см. 4.21);
б)
ч 2 . 2	I* ( • 2	3\
в) — sin 7TI, W-Ism 7гх — -\, costtx;
г) 1, ж - 1, 1 - 2х + —-;	д) -т
У	2	У
)
2
/ о	/ о	/ о
е)	А/—5 \\—х-> \\ — Dж2 — 1) — многочлен Чебышева второго рода;
У 7Г у 7Г	у 7Г
ж)	То, Ti, Т2, Гп(ж) — многочлен Чебышева.
4.54.	-г=, —^4, —jL.
л -- л/3 л/Т^Ж1 л/Т^Ж2
4.55. 	, 	-=-, 	-=-.
4.72. sin ^Л.
Ъ — а
х
4.75. Подпространство с базисными элементами 1 и cos —.
5 Под ред. B.C. Владимирова

66 Гл. П. Функциональные пространства и интегральные уравнения
4.79. - ( ^ + Е ^ + ^ +2^ ;
4.81. а < -1.
4.83.	а < 1/2.
сю
4.84.	Ё Jk (а| + Ь|) < оо.
4.85.	Нет.
§ 5. Интегральные уравнения
Уравнение
f{x)	A)
G
относительно неизвестной функции ср(х) в области G С i?n называет-
называется линейным интегральным уравнением Фредголъма (второго рода).
Известные функции <Ж(х,у) и f(x) называются ядром и свободным
членом интегрального уравнения A); Л — комплексный параметр.
Интегральное уравнение
<p(x) = \J\Ж(х,у)<р(у)о1у	B)
G
называется однородным интегральным уравнением, соответствую-
соответствующим уравнению A), а интегральное уравнение (здесь <Ж*(х,у) = <Ж(у,х))
i/>(x)=\fjtr*(x,y)il>(y)dy	C)
G
— союзным к уравнению B), ядро <Ж*(х,у) называется эрмитово со-
сопряженным ядром к ядру сЖ(х^у).
Интегральные уравнения A)-C) иногда записывают в оператор-
операторной форме
(f = XK(f + /, (f = \К<р, ф = \К*ф,
где интегральные операторы К и К* определяются ядрами Jff(x, у) и
J^*(x, у) соответственно, т. е.
Kg = J Ж{х, у) g(y) dy, К*д = J <Ж*(х, у) д(у) dy.
G	G
Если при некотором значении параметра Л = Ло однородное ин-
интегральное уравнение B) имеет ненулевые решения из L2(G), то
число Ло называется характеристическим числом ядра <Ж(х, у)
(интегрального уравнения B)), а соответствующие решения уравне-
уравнения B) — собственными функциями ядра <Ж(х,у).
Рангом {кратностью) характеристического числа Ло называется
максимальное число линейно независимых собственных функций, от-
отвечающих этому числу Ло-

§ 5. Интегральные уравнения	67
Будем предполагать, что в уравнении A) область G ограничена
в Rn, функция / непрерывна на G, а ядро Ж{х,у) непрерывно на
GxG.
В задачах 5.5-5.7 используются следующие обозначения:
М= max _ \<Ж(х,у)\, v= dy.
xeG,yeG	J
5.1.	Показать, что интегральный оператор К с ядром Ж{х,у)
ограничен из L^iG) в LiiG), если
w/v м2 7 7	2 ^
GxG
5.2.	Показать, что интегральный оператор К с непрерывным яд-
ядром Ж{х,у) является нулевым в L/2(G) тогда и только тогда, когда
<Ж(х,у) = 0, х eG, у G G.
5.3.	Пусть ядро <Ж(х,у) интегрального уравнения A) принадле-
принадлежит L2 (GxG). Доказать сходимость метода последовательных при-
приближений для любой функции / G L2(G), если |А| < 1/|с| (постоян-
(постоянная с взята из задачи 5.1).
5.4.	Пусть К — интегральный оператор с непрерывным ядром.
Доказать, что операторы Кр = К(Кр~г), р = 2, 3,..., являются интег-
интегральными операторами с непрерывными ядрами Жр{х,у) и эти ядра
удовлетворяют соотношениям
JfTp(x, у) = I JfT(x, 0 JfTp-г (С, у) d?
G
5.5. Показать, что ядра <Жр(х,у), введенные в задаче 5.4 (они на-
называются повторными (итерированными) ядрами ядра Ж{х,у)\ удов-
удовлетворяют неравенствам:
СЮ
5.6. Показать, что ряд J^ AmJ^+i(x,^/), x e G, у е G, сходится
т=0
в круге |А| < ——, а его сумма &(х,у;\) (резольвента ядра Ж{х,у))
непрерывна в G x G x Ui/^mv) и аналитична по А в круге |А| < ——.
Показать также, что при |А| < 	 решение интегрального урав-
уравнения A) единственно в классе C(G) и для любой / G C(G) представ-
представляется через резольвенту &(х,у;\) формулой
<р(х) = f(x) + \J Щх, у; X) f(y) dy.

68 Гл. П. Функциональные пространства и интегральные уравнения
5.7. Показать, что резольвента Зё(ж, у] А) (см. задачу 5.6) непре-
непрерывного ядра сЖ(х,у) удовлетворяет при |А| < -—- каждому из урав-
уравнений:
а)	Я(х,у;\) = \JЛГ{х,
G
б)	&(х,у;\) =
в) дх
G
В задачах 5.8-5.13 рассматриваются интегральные уравнения вида
f(x)J	D)
f(x),	E)
О
которые называются интегральными уравнениями Волътерра перво-
первого и второго родов соответственно.
5.8. Пусть выполнены следующие условия:
а)	функции <Ж*(х,у) и Jtfx(x,y) непрерывны на множестве
О < х < у < а;
б)	<Ж(х, х) ф 0 для всех х;
в)	/еС1([0,а])и/@) = 0.
Доказать, что при этих условиях уравнение D) равносильно урав-
уравнению	х
о
5.9. Показать, что дифференциальное уравнение
у{п) + п1(х) у{п-1] + ... + ап(х) у = F(x)
с непрерывными коэффициентами а^(ж) (г = 1,2,...,п) при началь-
начальных условиях у@) = Со, у'@) = Ci, ...,?/n~1)@) = Сп-\ равносильно
интегральному уравнению E), где
71
^2{ХУТ
{1у.
т=1
f(x) = F(x) - Cn-iai{x) - {Cn-ix + Cn_2) a2(x) - ...
(	x	\
... - (Cn_i———у+ ...+С1Ж + С0) an(x).

§ 5. Интегральные уравнения	69
5.10. Пусть Jtfe С(х > 0), Ж(х) = 0 при х < 0. Доказать, что
обобщенная функция
где Я? = У^ JT* JT*... *
га раз
есть фундаментальное решение оператора Вольтерра второго рода с
ядром Ж{х,у) (см. E)), т.е.
Показать, что при этом ряд для 8%{х) сходится равномерно в каж-
каждом конечном промежутке и удовлетворяет интегральному уравнению
Вольтерра
Щх) = / Х[х - у) Щу) dy + Х[х), х > 0
о
(функция &(х — у) является резольвентой ядра <Ж(х — у) при Л = 1).
5.11.	Найти резольвенту интегрального уравнения Вольтерра E)
с ядром сЖ(х,у):
1) Ж{х, у) = 1;	2) Ж{х, у)=х-у.
5.12.	Решить следующие интегральные уравнения:
1)	ц>(х) =х + J(y-x) ip(y) dy;
2)	4>{x) =
о
х
о
х
3) (f(x) = Л J(x -у) (f(y) dy + x2.
о
5.13. Показать, что если д G С1 (х > 0), #@) = 0, 0 < а < 1, то
функция
7Г J (X — уI а
О
удовлетворяет интегральному уравнению Абеля
/	. аж = ^(ж).
J ух у)
о
В задачах 5.14-5.30 ядро <Ж(х,у) интегрального уравнения явля-
является вырожденным, т.е.
/71 1* 9/1 "=. Л	Т A* 1 Л (9/1
т=1
где функции fm(x) и дш{у) (т = 1,2,...,7V) непрерывны в квадра-
квадрате а < х, у < b и линейно независимы между собой. В этом случае
интегральное уравнение A) можно записать в виде

70 Гл. П. Функциональные пространства и интегральные уравнения
N
ф) = /(ж) + А ^2 cmfm(x),
га=1
где неизвестные ст определяются из системы алгебраических уравне-
уравнений.
5.14. Решить интегральное уравнение
1
о
в следующих случаях:
ф) = A J Ж{х, у) <р(у) dy + /(ж)
у)=х-1,	f(x)=x;
2)	Ж{х,у) =2ех+У,	f(x) = ex;
3)	Jf(x,y) = х + у - 2ху, f(x)=x +
5.15. Решить интегральное уравнение
1
<р(х) =\J Ж{х, у) <р(у) dy + f(
-i
в следующих случаях:
3)	<Ж(х, у) = ж4 + 5х3у, /(ж) = ж2 - ж4;
4)	Х[х, у) = 2хуъ + Ъх2у2, /(ж) = 7ж4 + 3;
5)	<Ж(х, у) — х2 — ху, /(ж) = ж2 + ж;
С\ \ 'Ьг I <У* О I I 	 ^Л I /I /у*п i 	 Q /у> 	 Ч^ / I Q /у» 0 1	Т I fY* I
5.16.	Решить интегральное уравнение
7Г
у?(ж) = A j Ж{х, у) <р(у) dy + /(ж)
в следующих случаях:	°
1)	<Ж(х, у) = sin Bж + у),	/(ж) = тг - 2ж;
2)	<Ж(х,у) = sin (ж — 22/),	/(ж)=С08 2ж;
3)	<Ж(х,у) = cos Bж + у),	/(ж) = sin ж;
4)	Ж{х,у) = sin (Зж + у\	/(ж) = cos ж;
с\ -^/ \	•	.	г/ \ 1 2х
kj \ (УО \ Jb ^ t/у 	 Dill t/ П^ t/ v^vJo «//5	J V / 		5
7Г
6)	<Ж(х,у) = cos2(ж — 2/),	/(ж) = 1 + соз4ж.
5.17.	Решить интегральное уравнение
2тг
</?(ж) = А у Ж{х, у) <р(у) dy + /(ж)
в следующих случаях:	°

§ 5. Интегральные уравнения	71
1)	J^(x,y) = cosx cosy-\-cos2x cos2y, f(x) = cos3x;
2)	сЖ(х,у) = cos ж cosy + 2sin2x sm2y, /(ж) = cos ж;
3)	<Ж(х,у) = sin ж s'my + 3cos2x cos 2?/, /(ж) = sin ж.
5.18. Найти все характеристические числа и соответствующие
собственные функции следующих интегральных уравнений:
2r \	П
1)	</?(ж) = А / sin (ж + з/) + -
О
2тг
2)	ф) = Х J [cos2 (ж + у) + i
о
о
з)
7Г
5) (f(x) = Л / (sin ж sin 4^/ + sin 2ж sin Зу +
0	+ sin Зж sin 2y + sin 4ж sin у) ip(y) dy.
5.19.	При каких значениях параметров а и Ъ разрешимо интег-
интегральное уравнение
1
ф) = 12 j (ху - Ц^- + 1) ^(у) dy + ах2 + Ъх - 2 ?
О
Найти решения при этих значениях а и Ъ.
5.20.	При каких значениях параметра а разрешимо интегральное
уравнение
(р(х) = л/15 /[2/Dж2 - Зж) + хDу2 - Зу)] (f(y) dy + ax + -?
о
Найти решения при этих значениях а.
5.21.	Выяснить, при каких значениях Л интегральное уравнение
2тг
(р(х) = Л j cos Bж - у) (f(y) dy + /(ж)
о
разрешимо для любой /(ж) G С([0,2тг]), и найти решение.
5.22.	Найти решения следующих интегральных уравнений при
всех Л и при всех значениях параметров а, 6, с, входящих в свободный
член этих уравнений:
тг/2
1) (f(x) = Л / (s/sinx + coss/) <рB/) с?2/+ аж + Ь;
-тг/2

72 Гл. П. Функциональные пространства и интегральные уравнения
7Г
2)	ip(x) = A f cos (ж + у) (р(у) dy + a sin х + b;
о
1
3)	ip(x) = Л /A + ху) (f(y) dy + аж2 + Ъх + с;
-1
1
4)	</?(ж) = Л Г(х2у + ж^/2) (/?(^/) dy + ах + Ьх3;
-1
1 1
5)	(f(x) =\f-(xy + x2y2) (f(y) dy + ax + b;
-l
l
6)	<р(ж) = Л J [bixyI!* + 7(xyJ/3] <p(y) dy
7)	ф)=
+ У
1
8)	<р(ж) = Л J (ffi + ^) y>B/) ф + аж2 + bx + c;
-l
l
9)	(f(x) = Л /(xy + x2 + y2 — Sx2y2) ip(y) dy + ax + b.
-l
5.23. Найти характеристические числа и соответствующие собст-
собственные функции ядра <Ж(х, у) и решить интегральное уравнение
1
-1
при всех Л, а, 6, если:
<р(х) = J Ж{х, у) <р(у) dy + /(ж)
у) = Зж + ху — Ьх2у2,	f(x) = ax;
2) Ж(х, у) = 3;п/ + Ьх2у2,	f(x) = аж2 + Ьх.
5.24. Найти характеристические числа и соответствующие собст-
собственные функции ядра сЖ(х, у) и решить интегральное уравнение
7Г
</?О) = Л J <Ж(х, у) ч>(у) dy + f(x)
при всех Л, а, 6, если:
1)	Ж{х,у) = ж cos ^/ + sin ж sin ^/,	/(ж) = а + 6 cos ж;
2)	^(ж, ^/) = ж sin ^/ + cos ж,	f(x)=ax + b.
5.25. Найти решение и резольвенту ^(ж,^/;Л) следующих интег-
интегральных уравнений:
1) (f(x) = Л J sin (ж + 2/) </?(?/) ф + /(ж);

§ 5. Интегральные уравнения	73
2)	ф) = А у A - 2/ + 2ж?/) ip(y) dy +
-1
7Г
3)	</?(ж) = А / (ж sin ^/ + cos ж) (f(y) dy + ах + b;
— 7Г
2тг
4) (f(x) = A (sin х sin у-\-sin 2x sin 2y) (f (у) dy-\-f(x).
о
5.26. Найти все значения параметров а, 6, с, при которых следую-
следующие интегральные уравнения имеют решения при любых А:
1
1)	ц>(х) = A j(xy + ж2?/2) <рB/) d2/ + аж2 + Ъх + с;
-1
1
2)	</?(ж) = A f A + Ж2/) у?B/) ^ + аж2 + Ъх + с, где а2 + б2 + с2 = 1;
-1
1
3)	</2(ж) = А / —г^^^= ^B/) ^ + ж2 + аж + Ъ]
4) у?(ж) = A J уху - -J
J
о
1
5) у?(ж) = А у (ж +
о
2тг
6) у?(ж) = A J cos Bж + 4?/) </?Ы ^ + еаж+6;
о
7Г
7)	(/?(ж) = A f (sin ж sin 2y + sin 2ж sin Ay) ip(y) dy + аж2 + bx + с;
о
l
8)	у?(ж) = А ГA + ж2 + у3) ф{у) dy + ах + Ъх3.
-1
5.27.	Найти все значения параметра а, при которых интегральное
уравнение
</?(ж) = А у (аж - у) ф(у) dy + /(ж)
о
разрешимо при всех действительных А и всех / G С([0,1]).
5.28.	Найти характеристические числа и соответствующие собст-
собственные функции следующих интегральных уравнений:
1) </?(жьж2) = \ J J |a;i +ж2 + — B/i +2/
-l-i

74 Гл. П. Функциональные пространства и интегральные уравнения
2) ф)=Х J (\x\2 + \y\2)ip(y)dy, х = (хих2);
3) ф)=Х fL±A<p(y)dy, х = (хих2,х3).
5.29. Выяснить, имеет ли интегральное уравнение
ф) = A J (\х\2 - \y\2)ip(y)dy, x = (хг,х2,х3)
вещественные характеристические числа, и если имеет, то найти со-
соответствующие собственные функции.
5.30. Найти характеристические числа и соответствующие собст-
собственные функции ядра Ж{х,у) = х\х2 + У\У2 и решить интегральное
уравнение
ф\,х2) = А / (xix2 + yiy2) <p(yi,y2) dyi dy2 + f(xi,x2).
-l-i
В задачах 5.31, 5.33-5.35 ядро <Ж(х, у) интегрального уравнения A)
является эрмитовым, т. е. совпадает со своим эрмитово сопряженным
ядром:
В частности, если эрмитово ядро является вещественным, то оно сим-
симметрично, т.е. <Ж(х,у) = <Ж(у,х).
Эрмитово непрерывное ядро Ж{х, у) ф 0 обладает следующими
свойствами:
1)	множество характеристических чисел этого ядра не пусто, рас-
расположено на действительной оси, не более чем счетно и не имеет ко-
конечных предельных точек;
2)	система собственных функций {<fk} может быть выбрана орто-
нормальной:
O) h
5.31.	Доказать, что если Ж{х,у) — эрмитово ядро, то характе-
характеристические числа второго итерированного ядра Jt^ix^y) (см. зада-
задачи 5.4—5.5) положительны.
5.32.	Доказать, что если ядро <Ж(х,у) является кососимметрич-
ным, т.е. <Ж(х,у) = —сЖ*(х,у), то его характеристические числа
чисто мнимые.
В задачах 5.33-5.35 предполагается, что характеристические чис-
числа Xk эрмитова непрерывного ядра Ж{х, у) занумерованы в порядке
возрастания их модулей, т.е.

§ 5. Интегральные уравнения	75
и каждое из этих чисел повторяется столько раз, сколько ему соот-
соответствует линейно независимых собственных функций. Тогда можно
считать, что каждому характеристическому числу Л^ соответствует
одна собственная функция (/?/,. Систему собственных функций {tfk}
будем считать ортонормальной.
5.33. Пусть <Ж(х,у) — эрмитово непрерывное ядро, Жр(х,у) —
повторное ядро ядра <Ж(х,у). Доказать формулы:
га=1
оо !	ЬЬ
2) Етг= \Jf(x,y)\4xdy;
т=1 лт J J
3)	(KfJ) = Y, \ > f eL2(G), К — интегральный опера-
тор с ядром <Ж(х,у);
оо -,	^
4)	Ет^ =
m=l
Пусть J(fn{x,y) — n-е повторное ядро для эрмитова непрерывного
ядра сЖ(х,у). Назовем величину
ъ
ап = J?n(x,x)dx, n = l,2,...
а
п-ж следом ядра <Ж(х,у).
5.34. Доказать:
1)	отношение 2п+2 не убывает и ограничено;
OL2n
2)	существует lim —^— и этот предел равен наименьшему ха-
рактеристическому числу ядра
оо -^
3) S т^" = ап (п > 2), где Ат, ш = 1, 2,..., — характеристичес-
кие числа ядра <Ж(х,у), |Ai| < IA2I < •••;
4) ——г = lim Л/	— = lim ^
|Ai| n—>-оо V С^2п	п—>-оо
5.35. Пусть А не является характеристическим числом эрмитова
непрерывного ядра Ж{х,у). Доказать, что (единственное) решение
уравнения	ъ
ip(x) = A J <Ж(х, у) ч>(у) dy + f(x)
а
можно представить в виде ряда

76 Гл. П. Функциональные пространства и интегральные уравнения
т=1
равномерно сходящегося на G, а для резольвенты &(х,у;\) имеет
место формула	^
где билинейный ряд сходится в L2(G x G).
5.36.	Найти характеристические числа и соответствующие собст-
собственные функции интегрального уравнения
1
Ф) = \f<
о
в следующих случаях:
( ж, если 0 < ж < у < 1,
1)	Х{х,у) = <	~	~
[ 2/, если 0 < 2/ < ж < 1;
ОА ^, ч /жA -2/), если 0 < ж < 2/ < 1,
2)	Jrf(x,y) = <
[2/A — ж), если 0 < 2/ < х < 1;
{2 — ^
——^ ж, если 0 < ж < 2/ < 1,
2 _
—-— у, если 0 < 2/ < ж < 1;
.ч ^( ч Г(ж + 1)(?/-2M если 0 < ж < 2/ < 1,
4) Jt(x,y) = <
[B/ + 1)(ж — 2), если 0 < 2/ < ж < 1;
кч ^, ч Г О + 1J/, если 0 < ж < 2/ < 1,
о) <Ж[х,у) = <
У v У \жB/ + 1), если 0<2/<ж<1;
х — е~х)(еу + е2-2/) , если 0 < ж < у < 1,
^ I /э	"^ I I /)У 	 /Э У 1	О/""* ТТТЛ"	I I ^"^ /? / ^"^ Т* ^"^ П •
f sin ж sin A — у), если 0 < ж < ?/ < 1,
1-7 \	i-//~ (	\	\	^	if / '				 if 		"
7) Jr (ж, 2/) = s
[ sin A — ж) sin 2/, если 0 < у < ж < 1.
5.37.	Найти характеристические числа и соответствующие
собственные функции интегрального уравнения с ядром Jff(x, у) в
следующих случаях:
+ ж)A — 2/), если — 1 < ж < 2/ < 1,
1)	Ж{х,у) = .
Ц1 — ж)A + 2/)э если -1 < 2/< я < 1;
f cos ж sin у, если 0 < ж < у < тг,
2)	Jt(x,y) = <
[cos 2/ sin ж, если 0 < у < ж < тг;

§ 5. Интегральные уравнения	77
( sin x cos у, если 0 < х < у < тг,
3) ЛГ{х,у) = < .
[ sin 2/ cos ж, если 0 < 2/ < ж < тг.
5.38. Найти характеристические числа и соответствующие собст-
собственные функции интегрального уравнения
ф) = A J ы(х + 2/) ф(у) dy
в следующих случаях:
1)	u(t) — четная 2тг-периодическая функция, причем u(t) = t, если
te [О,тг];
2)	o;(t) — четная 2тг-периодическая функция, причем u(i) = тг — t,
если t G [О,тг].
5.39.	Найти все характеристические числа и соответствующие
собственные функции интегрального уравнения с ядром Jff(x, у) =
= и(х — у), где u(t) — непрерывная кусочно гладкая четная 2тг-перио-
дическая функция, 0 < х < 2тг, 0 < у < 2тг.
5.40.	Решить интегральное уравнение
1
если/(ж) GC2([0,l]) и °
ж, если 0 < х < у < 1,
/, если 0 < 2/ < ж < 1.
Пусть <Ж(х, у) — непрерывное ядро интегрального уравнения
ь
ф) = ЛIХ(х,у) (р(у) dy + f(x).	F)
Выражение
(Тл То	Т \
I хг х2 ... хп \ _
\У1 2/2 ••• Уп )
называется символом Фредголъма, а функция
сю
71=1
где
ъ ъ /	\
Ап = [...[\Ж\ ' / '" " dh dt2...dtn,	(8)
а а	\	/
называется определителем Фредголъма ядра <Ж(х, у) или интеграль-
интегрального уравнения F).

78 Гл. П. Функциональные пространства и интегральные уравнения
5.41.	Доказать, что коэффициенты Ап определителя Фредгольма
удовлетворяют неравенствам \Ап\ < пп/2Мп(Ъ — а)п. Вывести отсюда,
что D(X) — целая функция от Л.
Указание. Использовать неравенство Адамара (см. [2]).
Минором Фредголъма называется функция
71=1
где
/r I X t\ to • • • tn \
...\ Х\ ^	I dt1dt2...dtn.	A0)
J \y ht2 ... tn I
5.42.	Показать, что если <Ж(х,у) — непрерывная в квадрате
L : {а < х, у < Ь} функция, то D(x,y;X) — непрерывная функция
переменных х,у,Х в L х С и D(x,y;X) (при фиксированных х и у)
является целой функцией от Л.
5.43.	Доказать, что коэффициенты Ап, функции Вп(х,у) и ядро
у) (см. G)—A0)) связаны равенствами:
ь
2) Bn(x,y)=An
Указание. Разложить определитель, входящий в подынтег-
подынтегральное выражение для Вп(х,у), по элементам первого столбца.
5.44. Доказать первое и второе фундаментальные соотношения
Фредгольма:
ь
D(x, у; Л) - \Ж{х, у) D{\) =\j Ж{х, ?) D(?, у; Л) df,
а
b
D(x, у; Л) - \Х{х, y)D(\) = \J X{?, у) D(x, ^ Л) <%.
Указание. Воспользоваться разложением (9), сравнить коэф-
коэффициенты при одинаковых степенях Л в левой и правой частях дока-
доказываемых равенств и применить результат предыдущей задачи.
5.45. Доказать формулы
ь	ь
Ап = / Bn-i(x,x) dx,	/ D(x,x]\) dx = —XD'(X).

§ 5. Интегральные уравнения	79
5.46.	Доказать формулу	= — ^2 осп\п~1 (коэффициенты ап
определены на с. 75).	п~
5.47.	Пусть определитель Фредгольма D(\) интегрального урав-
уравнения F) не равен нулю. Доказать, что в этом случае интегральное
уравнение для любой f(x) Е С ([а, Ь\) имеет решение и при том только
одно и что это решение дается формулой
ь
D{x^X) f(y)dy.
а
5.48. Используя представление решения интегрального уравнения
при |А| < ——	г через резольвенту &(х,у;\) (см. задачу 5.6) и
М{Ь — а)
результат предыдущей задачи, доказать формулу
(эта формула определяет аналитическое продолжение резольвенты,
заданной при |А| < -тттт	7 в виде ряда (см. задачу 5.6)).
5.49.	Доказать, что характеристические числа интегрального
уравнения с непрерывным ядром совпадают с нулями определителя
Фредгольма D(X) этого уравнения.
5.50.	Доказать, что ранг m характеристического числа Ао интег-
интегрального уравнения с непрерывным ядром <Ж(х, у) конечен и имеет
место неравенство
ъ ъ
ш<|А0|2 jj\X{x,y)\2dxdy.
5.51.	Доказать, что определители Фредгольма непрерывного ядра
, у) и союзного с ним ядра J^*(x, у) совпадают и, следовательно,
данное и союзное уравнения имеют одни и те же характеристические
числа (см. задачу 5.49).
5.52.	Показать, что ранг характеристического числа для данного
непрерывного ядра и союзного с ним ядра один и тот же.
5.53.	Доказать, что при |А| < 1 интегральное уравнение Милна
) Ч>(У) dV
имеет единственное решение tp = 0 в классе ограниченных функций
на [0, оо).
5.54.	Для интегрального уравнения Пайерлса
доказать оценку

80 Гл. П. Функциональные пространства и интегральные уравнения
Al A - e~aD) > a,
где D — диаметр области G С R3, Ai — наименьшее по модулю
характеристическое число ядра.
5.55. Доказать, что при Л < 1/2 решение интегрального уравне-
уравнения	^
— оо
единственно в классе ограниченных функций в^и выражается фор-
формулой	^
ф) = f(x) + -=L= f e-^^\x-y\f(y) dy.
Ответы к § 5
5.11.	1) еЛ(ж-^); 2) -±= shлД(х - у).
л/Л
5.12.	1) s'mx; 2) сп(\/Лж); 3) ^-
Л
5.14.	1) Если Л = —2, то решений нет; если Л ф —2, то <р(х) =
_ 2ж(Л + 1)-Л
Л + 2 ;	1
2)	если Л ф Ai, где \х = ^2 _ 1, то х _ w 2 _ 1ч; ПРИ А = Ах урав-
уравнение не имеет решений;
9ч	Л ,о Л / Л	12А2ж-24Аж-А2 + 42А	Л
3)	если А ^ 2 и А / -6, то 	 ^^ч/о—^л	5 при А = 2 и
л а	„ 6(А + 6)B -А)
А = — о уравнение не имеет решении.
5.15.	1) Если Л ф \ и Л ф \, то ^ + ^|ж2 + ж4; если А = |,
то Сх -\	х2 + ж4, где С — произвольная постоянная; при А = -
уравнение не имеет решений;
2)	12Л^Г5 E^ + 6Л) + ! " 6ж2> если Л # ±\[y2' ПрИ Л = ±\/5
уравнение не имеет решений;
оЧ 5BА — 3) д , ?	л/5 л/1,г7^,? 5д
3)	зE - 2А)	' еС™ ^ 2 И ^ 2'	~ 6
А = —, С — произвольная постоянная; при А = - уравнение не имеет
решений;
4)	J^ х2 + 7х4 + 3, если А ф | и А ф 1; 7ж4 + 3 - ^ ж2 + Саг,
1 — 2А	2	2	3
где С — произвольная постоянная, если А = -; при А = - урав-
нение не имеет решений;

§ 5. Интегральные уравнения	81
сч 3E-2А)ж з	л / , 3 1	з^2	^
о) ——,	{-,—Ь х , если А Ф ± -; - х + х + Сх , где С — произ-
; 5C+ 2Л)	'	^ 2' 5	'	F
3	3
вольная постоянная, если А = -; при А = — решений нет;
А	Z
6) если А = Ai = -, то С\ Л— х; если А = А2 = -, то G2Cж2 — 1) —
8	2	8
3	3
—	-Х (С\ и С2 — произвольные постоянные); при А = Аз = - урав-
2	8
Зж
нение не имеет решений; если А ф Xi (i = 1,2,3), то <р(х) = -——-.
о — 8Л
12Л	3	3
5.16. 1) 	—- sin2х + тг — 2ж, если А/ - и X ф —; тг — 2х —
о 4А	4	Zj
—	2sin2x + С cos2x, где С — произвольная постоянная, если А = —;
Л з	.	2
при А = - уравнение не имеет решении;
2)	^ sin х + cos 2ж, если А/--иА/--; cos 2х - -^- sin x +
3
-\-С cos ж, где С — произвольная постоянная, если А = —-; при
,3
А = — - уравнение не имеет решении;
О \	/	О	\	О
3)	sinx + ———- ( 2Acos2x + - sin2x), если А ф ±——; при А =
оЛ У V	Z	/	2у2
= =Ь—— уравнение не имеет решений;
, ч Лтг . о	л
4)	— sm3x + cos ж при всех значениях Л;
z
г\ -1 2ж	Лтг	л/|14 2ж|/О|
5)	г ~ V ~ б(ГТ^л) С08Ж' если А ^ ±2; з - V + (8 +
где С — произвольная постоянная, если А = -; при Л = — урав-
уравнение не имеет решений;
6)	-—	Ь 1 + cos 4ж, если А/-иА/-; cos 4ж - 1 + С\ cos 2x +
2 — Лтг	тг	тг
, где Ci и С2 — произвольные постоянные, если Л = —;
при Л = — уравнение не имеет решении.
тг
5.17. 1) cos3x, если Л ф -; cos3x + C\ cosx + C2 cos2x, где С\ и
С2 — произвольные постоянные, если Л = —;
тг
COS X	11
2) 	— если Л ф — и Л ф —; 2 cos ж + Csin2x, где С — про-
1 — Лтг	тг	2тг
извольная постоянная, если А = —; при А = — уравнение не имеет
2тг	тг
решении;
6 Под ред. B.C. Владимирова

82 Гл. П. Функциональные пространства и интегральные уравнения
3)	 если Л ф - и Л ф —; - sin ж + Ccos2x, где С — про-
1 — ТТЛ	ТГ	ОТГ 2
извольная постоянная, если А = —; при А = — уравнение не имеет
О7Г	ТГ
решении.
5.18. 1) Ai = —, sin ж + cosx, 1; А2 =	, cosx — sin ж;
ТГ	ТГ
12	2
2)	Ai = —, 1; A2 = -, cos2x; A3 =	, sin2x;
Z7T	7Г	ТГ
3)	Ai = -45, Зж2 - 2; A2 = -^, 15ж2 - 1;
8
4)	Ai = |, Зж2/5 +x-2/5; A2 = -?, Зх2/5 -ж/5;
8	2
2	2
5)	Ai =	, sin ж — sin4x, sin2x —sin3x; A2 = —, si
7Г	7Г
sin ж + sin4x.
5.19.	a = -12, 6 = 12, -12ж2 + dx + C2, где d и С2 — произ-
произвольные постоянные.
5.20.	a = л/15 - 3, С[4л/15ж2 + 3A - VTb)x] + - - Зх, где С —
произвольная постоянная.	х
5.21.	Уравнение разрешимо при любом А,
2тг
(f(x) = A J cos Bж - 2/) /(?/) ф + /(ж),
о
^ 12A-2А) SmX i_2A + аЖ + ' еС™ ^ 2 ^' ЛЮ"
бые); при А = - уравнение разрешимо в том и только в том случае,
когда а = Ь = 0, <р(ж) = d sin ж + С2, где Ci и С2 — произвольные
постоянные;
оЧ 2(о - 2А6) . , ,	л/|2/7	^ч	л2
2)	-1-—-—-sinx + o, если А т^ ±— (а, о любые); при А= —
2 + Атг	тг	тг
уравнение разрешимо при любых а и о и у?(ж) = 	 sin ж + 6 +
2
+ Ci cos ж, где С\ — произвольная постоянная; если А =	, то урав-
7Г
нение разрешимо в том и только в том случае, когда атг + 46 = 0 и
<р(ж) = 6 + С2 sin ж, где С2 — произвольная постоянная;
оЧ 2Aa + 3c , ЪЬ	, 2	л / 1 л / 3 ,
3)	3(Г^2А) + 3^2АЖ + аЖ ' еС™ Л Ф 2 И Л ^ 2 (а
бые); при А = - уравнение разрешимо, если а + Зс = 0,
3	3
= - Ъх + аж2 + Ci, где Gi — произвольная постоянная; при А = -
2	^2
уравнение разрешимо, если Ъ = 0 и </?(ж) = аж2 — - (« + с) + С2ж, где
С2 — произвольная постоянная;

§ 5. Интегральные уравнения	83
ЛЛ 2АEа + ЗЬ) 2 , 4А2Eа + ЗЬ) ,	, , 3	л _z _l_л/15 , ,
4) 15 - 4Л^ * + 5A5 - 4Л2) * + пХ + te ' ССЛИ Л Ф ±^~ ^Ь
любые); при Л = —— уравнение разрешимо, если Ъа + ЗЬ = 0, и
п	л	л/15
где С\ — произвольная постоянная; при Л =	уравнение разре-
2
шимо, если Ъа + ЗЬ = 0 и
*) =а(х-Ъ-х3)+С2[х- ^-х\
5)	 х -\—	-г- х2 + Ь, если А ^ 3 и Л ф 5 (а, 6 любые);
о — Л	о\Ъ — AJ
где С2 — произвольная постоянная;
ел За	ЪХЪ 2 , l
5) -—- х + -——— хг + Ъ, есл
3 — А	3E — А)
при А = 3 уравнение разрешимо, если а = 0, и r v_y
где Gi — произвольная постоянная; при А = 5 уравнение разрешимо,
о
если 6 = 0, и </?(ж) = G2ж2	аж, где G2 — произвольная постоянная;
^ч ЗОАа + 76 1/3 ,	л / 1 / ,	- ч	л 1
") "^г;	^rv ж + аж5 если А / т (а, 6 любые); при А = -
7A — 6А)	6	6
уравнение разрешимо, если Ъа + 7Ъ = 0, и </?(ж) = — 6ж Ч- (
о
+ С2Ж2/3, где Ci и Сг — произвольные постоянные;
7)
2 _ Лтг	2 - ЛD - тг)	'	^ тг	^ 4 - тг
2
(а,Ъ любые); при Л = — уравнение разрешимо, если an + 6D — тг) =
тг
= 0, и ip(x) = —(	г х + Ъх2 + G, где С — произвольная постоянная;
2 2(тг-2)
при Л = 	 уравнение не имеет решений;
4 — тг
оч 5ЛA4а + 36Л6 + 42с) 1/3 28Л2а + 30Л6 + 35	2 ь
8)	21E-12У) ^ + 7E-12^) + пХ + ^' еСЛИ
X Ф ±-\ - (а, о, с любые); при А = - W - уравнение разрешимо, если
2 у о	2 у о
п	л	1 /б
где d — произвольная постоянная; при Л = — -\ - уравнение раз-
2 у о
решимо, если 15л/3 6 - 7л/5 (а + Зс) = 0, и

84 Гл. П. Функциональные пространства и интегральные уравнения
<р(х) =ах2 +Ъх
где С2 — произвольная постоянная;
m 30(Ь-1)А 2 , ЗаЛ2 , 36А2(Ь-1)	. , 15
9) « + 8А^ + З^А* + A5 + 8Л)C-2А)' еСЛИ А * "Т "
3 15
Л ф - (а, 6 любые); при Л =	уравнение разрешимо, если Ь = 1, и
2	8
1 7
</?(ж) = — ах + 1 — 20а + G(ж2 + 1), где С — произвольная постоянная;
3
при Л = - уравнение разрешимо, если а = Ъ = 0, и </?(ж) = С\х + G2,
где Ci и С2 — произвольные постоянные.
5.23. 1) Л: = |, ^ = ж; Л2 = -1, у>2 = Зж - 4ж2; ф) =
еС ^ ^	^ ^	^ юбое)' при ^ = 2
— LA	Z	Z	Z
ние разрешимо, если а = 0, и </2(ж) = С1Ж (Gi — произвольная
постоянная); при А = — - уравнение разрешимо при любом а и
о
(р(х) = -ах + G2(Зж — 4ж2), где G2 — произвольная постоянная;
2) Ai = -, (f^ = ж, </^2) = ж2, </?(ж) = ах Ж, если А 7^ ~; ПРИ
Z	X Z/\	Z
А = - уравнение разрешимо, если а = 6 = 0 и </?(ж) = С1Ж2 + + С2Ж,
где Gi и С2 — произвольные постоянные.
1	2тг2Х2Ь
5.24.	1) Ai = —, (fi = sin ж; </?(ж) = а + 6 cos ж + АбтгжН	sin ж,
тг	1 — Атг
если А ф — (а, Ъ любые); при А = — уравнение разрешимо, если 6 = 0,
7Г	7Г
и (/?(ж) = а + G sin ж, где С — произвольная постоянная;
2) Ai = —, ю\ = ж; о?(ж) =	 + Ь + 2тг6Асо8ж, если А Ф
2тг	1 — 2тгА
Ф тг (а'Ь любые); при А = — уравнение разрешимо, если а = 0
2тг	2тг
и (f(x) = 6A + cos ж) + Gж, где G — произвольная постоянная.
7 sin (ж + у) + -^- cos (x — у)
5.25.	1) ф) = А/ —i	^Д^	i	-/(l/)d|/ + f(x), если
0	2	q
А (А) ф 0, где А (А) = 1 — А2 —-; при А = — уравнение разрешимо,
4	7Г
если Д + /2 = 0, где
7Г	7Г
Л = j f(y) cos У dy, f2 = f f(y^ sinydy,
о	о
2
у?(ж) = Gi (sin ж + cos x) -\— /1 sin ж + /(ж)
7Г

§ 5. Интегральные уравнения	85
2
(Ci — произвольная постоянная); при Л =	уравнение разреши-
П 2
мо, если /i—/2=0, и ip(x) = C^sinx — cos ж)	Д sin ж + /(ж),
где С2 — произвольная постоянная;
sin (ж + у) + -у cos (ж - 2/)
^(А)	^L
1 1-f А + ?/Bж-4Аж-1)
2) у>(х) = А /	3	^__	i /(j,) d2/ + /(ж), если Д(А) ф О,
~	( 4 \	1
где Д(А) = A - 2А)A - - А); при А = - уравнение разрешимо, ес-
если Д = З/2, где
Л = / /(^) dx, /2 =
-1	-1
3
(Ci — произвольная постоянная); при А = - уравнение разрешимо,
3
если /2 = 0, ip(x) = — - /i + /(ж) + С2(ж + 1), где С2 — произвольная
постоянная;
|
3) ф) = \ f (Y^^+cosxYay + b)dy + ах + Ъ = ^
+ 27r\bcosx + b, если А ф —- (a, 6 любые); при А = — уравнение
Z7T	Z7T
разрешимо, если а = 0, </?(ж) = 6(cosx + 1) +Сж, где С — произволь-
произвольная постоянная;
= -——^-
, у; А) = -——^- + cos ж;
1 — zttA
л\ ( \ \ Г sin ж sin 2/+ sin 2ж sin 2^/ г / ч j , -/ ч	л , 1
4) у?(ж) = А у 	^——	-f(y)dy + /(ж), если А ^ -;
о
при А = — уравнение разрешимо, если
7Г
2тг	2тг
У/B/) sinydy = J f(y) sin2y dy = 0, <p(x) = f(x
о	о
где Сi и G2 — произвольные постоянные;
^/ л ч _ sin ж sin у + sin 2ж sin 2y
Л{х,у;Л) -	^—j-	.
5.26. 1) 6 = 0, 3a + 5c = 0;
3	13	1
2) a = —=, 6 = 0, с =	^; a =	—, 6 = 0, с = ^^;
;	л/10	л/10	л/10	л/10

86 Гл. П. Функциональные пространства и интегральные уравнения
3) а = 0, Ь=-\;	4) а = 6;
5) а = О, Ъ = —1;	6) а, Ъ любые;
7) а, Ъ, с любые;	8) 7а + ЪЪ = О.
5.27.	- < а < 3.
о
5.28.	1) Ai = 1, </?i = 4(ж1 + ж2) + 1; А2 = -1, у>2 = 4(>i + ж2) - 1;
оЧ Л 4л/3-6	, , /о/ 2 . 2\ л
2) Ai = —	, (f! = 1 + л/3(ж| + ж|); А2 =
7Г
7Г
О	1
3) Л1 = i^' ^ = ТТ7'где r = Vxi + xl + xl
5.29.	Уравнение не имеет вещественных характеристических
чисел.
3	3
5.30.	Характеристические числа Ai = - и А2 = —-, соответству-
соответствующие собственные функции ipi = 1 + Ъх\х2 и у?2 = Ъх\х2 — 1. Если
А = ±5, то
,
[(Л +4А/2)ж1Ж2 + - АД +/2J
где
11	11
Л = // /B/1,2/2) c?2/i ф2, /2 =
1 fi	^
А (А) = 1	А2; при А = - уравнение разрешимо, если Д + 3/2 = О,
3
и </?(жьж2) = - x\X2J\ + /(ж1,ж2) + C(SxiX2 + 1), где Ci — произволь-
з
ная постоянная; при А = — - уравнение разрешимо, если Д — 3/2 = О,
и </?(ж1,ж2) = —-rX\X2J\ +/(^1,ж2) + С2(Зж1Ж2 - 1), где С2 — произ-
произвольная постоянная.
5.36. 1) Ап= (|+™) , <pn = sin(!+7m)a; (n = 0,1,2,...);
2)	Ап = п2тг2, ipn = sinvrnx (n = 1,2,...);
3)	Ап (п = 1,2,...) — положительные корни уравнения tg y/X =
= -л/А, (fn = sin/^ж;
4)	An = — - /i2 (n = 1, 2,...), где /in — положительные корни урав-
1 3
нения \i	= 2 ctg /i, ipn = sin /inx + \in cos /inx;
5)	Ao = 1, (fo = еж; An = —п2тг2 (n = 1,2,...), </?n = si

§ 5. Интегральные уравнения	87
лч л тг2Bп + 1J+4 .	.	. / 1\
6)	Лп = —8/1 + б2ч	 (гг = 0,1, 2,...), (рп = sin \ji + -J ттж;
^ч л	(П7Г) — 1	.	/	1 о \
7)	Лп = -—+-j—, (рп = smirnx (п = 1,2,...).
5.37. 1)
f
) = cos (| + тгп) ж (п = 0,1,2,...);
2)	Л„ = 1 - [п+ -J , </?„ = cos (n + -J х (п = 0,1,2,...);
3)	Хп= (п+|) -1, ^„ = sin (n + |) ж (п = 0,1,2,...).
5.38. 1) \(V = (^у^J, <Рп] = sinBn + 1)ж (п = 0, 1, 2,...);
2, ^2) =СО8Bп+1)Ж (п = 0,1,2,...); Ло = ±,
</?о = -ч
о\ л	1	1 \A)	Bп+1J	A)	/о . 1\ /
2) Ао = —- (У?о = 1; Лп =	—, (fn = COS Bn + 1) X (п =
= 0,1,2,...); а!2) = _ Bп + х) ; ^п2) = sin Bп + 1) ж (п = 0,1, 2,...).
5.39.	Ап = —, (fn = sinnx, (/?n = cosnx (n = 1,2,...), если
2тг	пп	2тг
ап—\ uj(t) cosnt dt ф 0; Ao = —, </?о = 1, если ао = / а;(?) d^ ф 0.
О
5.40.	ц>(х) = A J G(x,y) f(y) dy + /(ж), где
о
sin л/А ж cos л/А B/— 1)	.
л/А cos л/А	~
cos л/А (ж — 1)	.
—Р	7=	 ->	Х>У-
л/А cos л/А

Глава III
ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ
§ 6. Основные и обобщенные функции
Обозначим через О) = @(Rn) совокупность всех бесконечно диф-
дифференцируемых финитных функций в Rn. Последовательность {<fk}
функций из Q) называется сходящейся к функции (р (из З1) если:
а)	существует такое число R > О, что supp^ С UR;
б)	при каждом а
Da(fk(x) Хё=$ Da(p(x), К —> оо *).
При этом пишем ip^ —у ip, к —у оо в 3>. Совокупность 3> функций
с введенной сходимостью называется пространством основных функ-
функций Q).
Обозначим через 5? = S^(Rn) совокупность всех бесконечно диф-
дифференцируемых функций в Rn, убывающих при \х\ —у оо вместе со
всеми производными быстрее любой степени l^l.
Последовательность {<fk} функций из ^называется сходящейся к
функции (р (из «У), если для всех а и [5
При этом пишем ip^ —у ip, к —у сю в У. Совокупность 5^ функ-
функций с введенной сходимостью называется пространством основных
функций У.
6.1. Пусть ср G @. Выяснить, есть ли среди последовательностей:
1) 1ф); 2) \фх); 3) 1^(|);
к = 1,2,..., сходящиеся в О).
6.2. Пусть п = 1 и
A при -2е < х < 2е,
при \х\>2е.
Показать, что функция
= J Х(у) и?(х ~ у) dy,
По поводу обозначений см. с. 6-8.

§ 6. Основные и обобщенные функции	89
где ио? — «шапочка», является основной из ^(В1), причем 0 < rj(x) < 1,
rj(x) = 1 при —е < х < г, rj(x) = 0 при \х\ > Зе.
6.3. Пусть G2? = U U(x;2e) — 2г-окрестность ограниченной об-
xeG
ласти G и х(х) — характеристическая функция области G^e, т.е.
х(х) = 1, х Е G^e и х(х) = 0, ж G G2e- Доказать, что функция
= f x(y)u?(x-y)dy
основная из @(Rn), причем 0 < rj(x) < 1, rj(x) = 1 при х G G?; rj(x) = 0
При xeGze.
6.4. Пусть функция г)(х) удовлетворяет условиям задачи 6.2,
Н(х)= ? ф-еи), е(х) = ^-
Доказать, что Н е СОО{В1), Н(х) > 1; е G ^(i^1), 0 < е(ж) < 1;
сю
е(х) = 1 при \х\ < е и е(ж) = 0 при \х\ > Зе; ^2 е(х ~ ev) = 1-
6.5.	Доказать, что существуют такие функции ip$ Е S>{R}\ S > 1,
что ips(x) = 1 при \х\ < S — 1, ips(x) = 0 при \х\ > S и \<ру\х)\ < Са,
где постоянная Са не зависит от 5.
6.6.	Пусть непрерывная функция f(x) финитна: f(x) = 0, \х\ > R.
Показать, что функция
fe(x)= ff(y)We(x-y)dy	(б < R)
основная из 3!(Rn), причем /е(ж) = 0 при \х\ > R + e. Показать, что
Six),
6.7. 1) Доказать, что функция
т = 1,2,
=о
основная из ^(R1), где tp G ^(R1) и r\ G ^(R1), r\ = 1 в окрестнос-
окрестности ж = 0;
2) доказать, что функция
^W "	а(х)
основная из S>{R}\ где ip G S>{R}\ rj(x) — функция из задачи 6.7, 1)
и a G COO(R1), имеет единственный нуль порядка 1 в точке х = 0.
6.8. 1) Показать, что функция ц)\ из ^(R1) может быть представ-
представлена как производная от некоторой другой функции ip2 из ^(R1) тогда
и только тогда, когда она удовлетворяет условию

90	Гл. III. Обобщенные функции
сю
J ip1(x)dx = 0;
— сю
2) показать, что всякая функция <р(х) из S?(R}) может быть пред-
представлена в виде
4>(х) = ipo(x) J (f(x')dx' + <р[(х),
— сю
где (fi G ^(R1), а ipo(x) — любая основная функция из ^(R1), удов-
сю
летворяющая условию Г сро(х) dx = 1.
— сю
Указание. Воспользоваться задачей 6.8, 1).
6.9.	Показать, что ^ С У и из сходимости в Q) следует сходи-
сходимость в 5^.
6.10.	Пусть ip Е 5?. Выяснить, есть ли среди последовательностей:
1) \ф); 2) \фх); 3) \ч>A)\
к = 1,2,..., сходящиеся в 5?.
6.11.	Пусть ^УиР — полином. Доказать, что tpP G 5?.
6.12.	Пусть функция ф G COO(R1)J ф(х) =0 при х < а и ограни-
ограничена вместе со всеми производными. Доказать, что функция ф(х) е~ах
основная из ^(R1), если а > 0.
Обозначим через ЯI = ?}'(Rn) совокупность всех линейных непре-
непрерывных функционалов на пространстве основных функций Q). Всякий
функционал / G & назовем обобщенной функцией (из пространст-
пространства D').
Обозначим через У' = У'(Rn) совокупность всех линейных непре-
непрерывных функционалов на пространстве основных функций 5?. Всякий
функционал / G 5^ назовем обобщенной функцией медленного роста
(из пространства 5^').
Значение функционала / на основной функции ip обозначим через
(/,</?). Чтобы указать аргумент основных функций, иногда вместо /
и (/,?>) будем писать f(x) и (f(x),ip(x)).
Последовательность {/&} обобщенных функций из QI называется
сходящейся к обобщенной функции / (из ??'), если (fk,y>) —> (/?<р)?
к —У оо для любой <р из О). В частности, ряд из обобщенных функций
ui+v,2 + ...+Uk + ... называется сходящимся в S>1 к обобщенной функ-
сю
ции /, если для любой ip G ^числовой ряд ^2 (uk, Ф) сходится к (/, ф).
k=l
Сходимость последовательности и ряда в ^определяется аналогично.
Говорят, что обобщенная функция / равна нулю в области G, если
(/5 ф) = 0 для всех <р из @ с носителем в G. Обобщенные функции Д
и /2 называются равными в области G, если их разность Д — Д равна

§ 6. Основные и обобщенные функции	91
нулю в G; Д и /2 называются равными, если (Д, ф) = (/2, у?) для всех
Носителем обобщенной функции / называется множество всех та-
таких точек, ни в какой окрестности которых / не обращается в нуль.
Носитель / обозначается через supp /. Если supp / — ограниченное
множество, то / называется финитной обобщенной функцией.
Регулярной обобщенной функцией из Qi (Rn) называется всякий
функционал вида
,<p) = ff(x)<p(x)dx,
где / — локально интегрируемая в Rn функция.
Если f(x) — функция медленного роста в Rn, т.е.
при некотором т > 0, то она определяет регулярную обобщен-
обобщенную функцию из У1 (медленного роста).
Всякая обобщенная функция, не являющаяся регулярной, называ-
называется сингулярной.
Примером сингулярной обобщенной функции является ^-функция
Дирака, определяемая правилом
F,<р)=<р@), <pe@(Rn).
Обобщением ^-функции является поверхностная ^-функция.
Пусть S — кусочно гладкая поверхность и /j,(x) — непрерывная функ-
функция на ней. Обобщенную функцию /j,5s, действующую по формуле
ip
s
назовем простым слоем. В частности, если S есть плоскость t = 0 в
Rn~^1(xJt)J то /j,S(t=o)(x,t) обозначим /j,(x)S(t), так что
00) 5(t),<p) = J fi(x) <p(x, 0) dx.
Rn
При п = 1 простой слой SsR(x) на сфере Sr обозначим через S(R—\x\),
так что (<*(Д - |ж|), ф) = (f(R) + у?(-Д).
Произведением / из S>'(Rn) и функции а(х) G C°°(Rn) называ-
называется обобщенная функция а/, действующая по формуле (af,cp) =
Пусть f(x) e 3}'{Rn), A — неособое линейное преобразование
и Ь — вектор в Rn. Обобщенную функцию f(Ay + b) определим фор-
формулой
При А = I имеем сдвиг обобщенной функции / на вектор —Ь:

92	Гл. III. Обобщенные функции
Например,
E(х - хо),<р) = E, <р(х + х0)) = <р(х0)
— сдвиг S(х) на вектор xq. При А = — /, 6 = 0 имеем отражение
6.13.	Доказать, что S(x) — сингулярная обобщенная функция.
Дать физическую интерпретацию ее.
6.14.	Дать физическую интерпретацию обобщенным функциям:
N
1) 25(х-хо);	2) ^mk5(x-xk);
k=l
3) fjb(x)Ss(x)]	4) \x\SSr(x -xo);
5) 2S(R1 -\x- 1|) + ЩЯ2 -\х- 2|).
Найти их носители.
6.15.	Доказать, что:
1)	6(х - v) —)> 0, v —)> оо в ^'(Д1);
2)	Й5я(ж) —^ О, Д —)> оо в 0'.
6.16.	Доказать, что У' С ^' и из сходимости в t9?1 следует схо-
сходимость в Q) .
6.17.	Доказать, что:
1) exe^'(R1), ехёУ{В1)] 2) е1/* G ^'(Д1);
3)	e^sine^ ^У\В}).
6.18.	Доказать, что функционал ^-, действующий по формуле
х
— сингулярная обобщенная функция.
6.19. Вычислить пределы в ^'(В1) при е —У +0:
1) Л(*)= 'v " - ' 2)
I 0,	\x\ > e;
3) ^e-*2/De);	4)iSin|;	5) ± sin2 f.
6.20. Доказать формулу Сохоцкого
гО	х
6.21. Вычислить пределы в З1'(R1) при ? —у +оо:
5) tmeixt, m > 0.

§ 6. Основные и обобщенные функции	93
6.22. Найти предел 3?	, к —> оо, в ^'(Д1), где
х
сю
cos кх \ лт Г cos kx
?) Vp /
\ лт Г cos kx /чу
,</?) = Vp / 	(f(x)dx =
=lim [+[
\ —сю е /
СЮ
6.23.	Доказать, что ряд J^ a>k5(x — к):
к= — оо
1)	сходится в ОI при любых a,k]
2)	сходится в y?i', если |а^| < GA + |&|)т.
6.24.	Пусть >ф е @(Rn), ф>0, Гф(х)Aх = 1. Доказать, что
—У S(x), ? —У +0 в Q) (Дп); в частности, и?(х) —У S(x),
()
6.25. Показать, что функционал ^—, действующий по формуле
— сю
— сингулярная обобщенная функция.
6.26.	Показать, что:
1)	а(хM(х) = а@M(х), а е С°°(ДП); в частности, х5(х) = 0,
х е Д1;
2)	ж^*1 = 1;
X
3)	ж^^1 =жт~1, m > 1.
ж
6.27.	1) Пусть обобщенная функция / равна нулю вне отрезка
[—а, а]; доказать, что / = rjf, где rj G COO(R1) иг)(х) = 1в [—а — г, а + е],
г > 0 любое;
2) пусть / G 9'{Rn) иг] е С°°(ДП), 770) = 1 в окрестности supp/;
показать, что / = r\f и / G У'{Rn).
6.28.	Доказать, что ?(аж) = —^- ?(ж), а ^ 0.
6.29.	Доказать, что (a/)(x+h) = а(ж+/г)/(ж+/г), где а G С°°(ДП),
/ е ^(Дп), /г G Rn.
6.30.	Доказать, что обобщенная функция
= /	о , о dxdy + / -^-^
х2+у2<1	х2+у2>1
,2 , J\^	1
удовлетворяет уравнению (х2 + ?/2) Pf —	 = 1 в
х2 +у2

94	Гл. III. Обобщенные функции
6.31.	Пусть / е У' и Р — полином. Показать, что fP e У'.
6.32.	Пусть / Е ??'(В1) финитна и rj(x) — произвольная функция
из ^(Д1), равная 1 в окрестности supp/. Положим
Доказать, что:
Л
1)	f(z) не зависит от выбора вспрмогательной функции г];
А	_
2)	f(z) — аналитическая функция при z Е supp /;
3)	/(*) =
4) f(x + ге) - f(x - ге) —> /(ж), е-4+0в ^'(Д1).
6.33. Пусть / е ^'(R1), supp/ С [-а, а] и ту G ^(Д1), 77@ = 1 в
окрестности supp /. Доказать, что функция
не зависит от 77, целая и удовлетворяет при некотором т > 0 и любом
г > 0 оценке
6.34.	Пусть / G S>'(Rn) и supp/ = {0}. Доказать, что / однознач-
однозначно представляется в виде
/(*)= Y, CaDa6(x).
0<\a\<N
сю
6.35.	Пусть ряд J2 Q>vfi^v\x) сходится в &'{R}). Доказать, что
av — 0 при v > щ. и~°
Ответы к § 6
6.1. 1) Сходится к нулю; 2) и 3) не сходятся, если ip(x) ^ 0.
6.6.	Ясно, что f?(x) G @. Далее, так как f(x) непрерывна и фи-
финитна, то для любого а > 0 и при всех достаточно малых е > 0 имеем
\f(x) — f(y)\ < (У при \х — у\ < г, х,у G Д1, так что
\f(x)-f?(x)\ < I \f(x) - f(y)\u?(x - у) dy <а Г uo?(x-y)dy = a,
\х-у\<е
х е Д1.
6.7.	1) Решение. Очевидно, функция ф(х) финитна и беско-
бесконечно дифференцируема при х ф 0. Осталось доказать, что ф(х) бес-
бесконечно дифференцируема в точке х = 0. Пусть г](х) = 1 при \х\ < е.
Обозначив	т_1
получим

§ 7. Дифференцирование обобщенных функций	95
= lim ф(х) = lim М = 11^1Ш
^о	^о жт	га!
@) = lim -^-^—-^-^ = lim
= lim	=	^
х	х^о	хш+1	(т + 1)!
и т.д.
Таким образом, ф(х) G С°°, и, значит, ф е S>.
6.8. 1) Указание. Для доказательства достаточности прове-
проверить, что	х
<Р2(х) = / (fi(x)dx e S>.
— сю
6.10. 1) и 3) сходятся к нулю в «У;
2) не сходится в «У, если </?(ж) ^ 0.
6.19. 1) й(ж); 2) й(ж); 3) 5(х); 4) тгй(ж); 5) й(ж).
6.21.	1) 2<KiS(x); 2) 0; 3) 0; 4) -2т6(х); 5) 0.
6.22.	0.
§ 7. Дифференцирование обобщенных функций
Производной обобщенной функции / из @''(R1) называется функ-
функционал /;, определяемый формулой (f',(f) = —(f,(pr), ip G ^(R1).
Каждая обобщенная функция имеет производные любого порядка
и f(m)^ ттг > 1, есть функционал, действующий по формуле
В случае п > 1 формула (*), определяющая производную Daf, прини-
принимает вид
Пусть S — кусочно гладкая двусторонняя поверхность, п — нор-
нормаль к S и v(х) — непрерывная функция на S. Обобщенную функцию
— — (v8s), действующую по формуле
S
назовем двойным слоем на поверхности S. В частности, если S есть
плоскость t = 0 в пространстве Rn+1 переменных (x,t) = (xi,X2,...
...,xn,t), то — — Aу6^=0^(х^)) обозначим через —v(x)S'(t), так что
Пусть локально интегрируемая в Rn функция f(x) такова, что ее
классическая производная порядка а = (ai,...,an) — кусочно непре-

96	Гл. III. Обобщенные функции
рывная функция в Rn. Регулярную обобщенную функцию, опреде-
определяемую этой производной, обозначим через {Daf(x)} (в отличие от
обобщенной производной Daf(x)).
7.1. Дать физическую интерпретацию обобщенным функциям:
в R1 -8'(х),	-5'(х-х°);
7.2.	Показать, что E^т\х - ж0, ф)) = (-1)ту?(т)(яо), m > 1.
7.3.	Показать, что в D'(R1):
1)	р(хM'(х) = -р'@M(х)+р@M'(х), где р(х) е С1 (Я1);
2)	ж^т)(ж) =-шй^-1)^), ш = 1,2,...;
3)	хт5(т\х) = (-1)тт\5(х), т = 0,1,2,...;
4)	ж^(т)(ж)=0, т = 0,1,...,/с-1;
7.4.	Показать, что в' = ?, где в — функция Хевисайда.
7.5.	1) Показать, что в Qil'(R1)
(в(х)р(х))'=6(х)р@)+в(х)р'(х),
где р{х) G С1(Д1);
2)	показать, что в &'{R2)
^ @(t) р(х, t)) = S(t) p(x, 0) + 0(t) ^^,
где ре С1 (*>0).
Указание. Воспользоваться определением простого слоя (§ 6).
7.6.	Вычислить:
1) в'(-х);	2) в(т\х-х0), т > 1 целое;
3)	е(т\х0 -х), т> 1;	4) (signx)(m), ш > 1;
tj I I «/у ol&jll Jb I «	V/ у I «л/ у	• / / и •— ?j «
7) (в(х) sinxO;	8) (в(х) cosxO;
9) (|9(ж)жт+^)(т), ш> 1, А; = 0,1,2,...;
7.7.	Вычислить производные порядка 1, 2, 3 функций:
1) у = \х\ sin ж; 2) у = \х\ cos ж.
7.8.	Показать, что
(Daf)(x + h) = Daf(x + h), /G^', /iGiT.
7.9.	Доказать, что обобщенные функции 5, ?', E/;,..., S^ линейно
независимы.

§ 7. Дифференцирование обобщенных функций	97
7.10. Доказать:
1) — In |ж| = ^-, где & - определена в задаче 6.18;
dx
х	х
2) — & — — — <^ —, где <^ — определена в задаче 6.25;
ах х	х1	х1
X*
— сю
сю
7.11.	Показать, что ряд ^2 ak5<yk\x — k) сходится в ^'(R1) при
ЛЮбыХ CLk-	~°°
л	сю
7.12.	Показать, что если |а^| < А\к\т + Б, то ряд J^ а^егкх
сходится в y'iR1).	к=-°°
7.13.	Пусть /(ж) — такая кусочно непрерывная функция, что
/ е Сх{х <хо)ПС1(х >х0).
Доказать, что
f' = {f(*)} + [f]xoS(x-xo) в 9'iR1),	(**)
где [f]Xo = f(x0 + 0) - f(x0 - 0) — скачок функции / в точке ж0.
Доказать, что если классическая производная функции f(x) имеет
изолированные разрывы 1-го рода в точках {ж^}, то формула (**)
принимает вид
' {'()}
к
7.14.	Вычислить f^ для функций:
1) в(а - |ж|), а > 0; 2) [ж]; 3) sign sin ж; 4) sign cos ж;
Здесь [х] означает целую часть ж, т.е. наибольшее целое число, не
превосходящее ж.
7.15.	Пусть /(ж) — 2тг-периодическая функция, причем /(ж) =
= I ~ 7Г-, ° < ж < 27Г- Найти /;.
2 Z7T
7.16.	Пусть /(ж) = ж, -1 < ж < 1, — периодическая с периодом 2
функция. Найти f(m\ m > 1.
7.17.	Доказать, что
2тг
к= — оо
7.18. Доказать, что
- V cos BJb +
к=0	к= — оо
7 Под ред. B.C. Владимирова

Гл. III. Обобщенные функции
7.19. Пусть /(ж) е С°°(х < х0) П С°°(х > х0). Доказать, что
в ^'(R1)
fim)(x) = и(т
где
— скачок k-й производной в точке xq.
7.20. Найти все производные функций:
Г sin ж, х > О,	Г cos ж, х > О,
1J/=\0, х<0;	2J/=\0, х<0;
, -КЖ1,	Г1'	Ж^°'
~~	4)^ + 1, 0 < ж < 1,
¦О х<-1	1°' Ж"°'
" '	'ж2, 0<ж<1,
- 1\2 1 < г < 2
xz + 1, ™ ^ п-	'
(этж, —тг < ж < тг,	flsinxl, — тг < ж < тг,
7)!/= п lls	8)y =
105 fI > тг;	I о, fI > тг-
7.21. Доказать:
сю
= 2 Yl 5(x - ктг);
к= — оо
2) |со8ж|" + |со8ж| =2 Е
к=-оо
Указание. Воспользоваться задачей 7.14, 3) и 4).
Пусть
m
к=0
— линейное дифференциальное уравнение порядка m с коэффициен-
коэффициентами пк{х) G COO(R1) и / G ^'(R1). Его обобщенным решением на-
называется всякая обобщенная функция у G ^'(R1), удовлетворяющая
уравнению (*) в обобщенном смысле, т.е.
к=0	/	\ к=0

§ 7. Дифференцирование обобщенных функций	99
для любой (f Е ^(R1)*). Всякое решение уравнения (*) можно пред-
представить в виде суммы его частного решения и общего решения соот-
соответствующего однородного уравнения.
7.22. Найти общие решения в З' (R1) следующих уравнений:
1)	ху = 0;
2)	а(х) у = 0, где a Е COO(R1) и имеет единственный нуль в точке
х = 0 порядка 1;
3)	а(х) у = 0, где а е С и а > 0;
4)	(х-1)у = 0;	5) х(х-1)у = 0;	6) (х2-1)у = 0;
7) ху = 1;	8) ху = &р	9) хпу = 0, п = 2,3,...;
10) х2у = 2;	11) (ж + 1J2/ = О;	12)
7.23.	Найти общие решения в &' (R1) уравнений:
1) у' = 0; 2) j,(=0, m = 2,3,...
7.24.	Доказать, что общим решением в &'(R1) уравнения
хпу(т; =0, п > т, является обобщенная функция
га — 1	п—1	т — 1
у =
где ak,bk,Ck — произвольные постоянные.
7.25.	Найти общие решения в ^'(R1) уравнений:
1) ху' = 1;	2) ху'=<?р	3) х2у'=0;
4) х2у' = 1;	5) у" = 6(х);	6) (ж + 1) у" = 0;
7) (ж + 1)У = 0; 8) (х + 1) у'" = 0.
7.26.	Доказать, что общим решением в ^'(R1) уравнения ху =
= sign а; является обобщенная функция С5(х) + 2? -г-г, где
\х\<1	\х\>1
7.27. Доказать, что если / G З1'(R1) инвариантна относительно
сдвига, т.е. (/, ф) = (f(x),ip(x + /г)), где /г — любое вещественное
число, то / = const.
Указание. Доказать, что /; = 0, и воспользоваться зада-
задачей 7.23, 1).
'Иногда для краткости выражение «удовлетворяет уравнению в обоб-
обобщенном смысле» заменяется выражением «удовлетворяет уравнению в ?^'».
7*

100	Гл. III. Обобщенные функции
7.28.	Найти решение в ^'(Д1) уравнения:
af" + bf + cf = т5 + п5',
где а, Ь, с,т,п — заданные числа.
Рассмотреть случаи:
l)a = c = n = l, 6 = ?n = 2;
2)	Ъ = п = 0, а = т = 1, с = 4;
3)	6 = 0, а = п = 1, m = 2, с =-4.
7.29.	Доказать, что система -j- = А(х) у, где матрица А(х) е
Е COO(R1) имеет в ЯI только классическое решение.
7.30.	Доказать, что уравнение и' = / разрешимо в ??'(В1) при
любой / е ^'(Д1).
Указание. Воспользоваться задачей 6.8, 2).
7.31.	Доказать, что уравнение хи = / разрешимо в S>'(R1) при
любой / G ^'(Д1).
Указание. Воспользоваться задачей 6.7, 1).
7.32.	Доказать, что уравнение ж3?/ + 2и = 0 не имеет решений в
^(Д1) (кроме 0).
7.33.	Пусть 6(xi,x2, ...,жп) = #(ж1)...#(жп). Показать, что
=5(Х)=5(Х1,...,ХП)
. 5
dxidx2...dxn
в ^(Дп).
7.34.	На плоскости (ж, ?/) рассмотрим квадрат с вершинами
4A,1), ВB,0), CC,l), Z?B,2).
Пусть функция / равна 1 в ABCD и 0 вне его. Вычислить
f" _ f"
Jyy Jxx'
7.35.	Пусть область G С Д3 ограничена кусочно гладкой поверх-
поверхностью S и дана функция / G C1(G) П C1(Gi), где G\ — Rn\G. Дока-
Доказать формулу
в ^'(Д3), где п = пх — внешняя нормаль к S в точке ж G S, а [/]5 —
скачок функции /(ж) при переходе извне через поверхность S:
lim f(x') - lim f(x') = [/]5(ж), ж G S.
X —УХ	X —УХ
x'eGx	x'eG
7.36. Доказать, что если / G C2{G) П C2(Gi), где Gi = ДП\С, то
справедлива формула Грина

§ 7. Дифференцирование обобщенных функций
101
7.37. Доказать, что если /(ж,?) G С2 (t > 0) и / = 0 при t < 0, то
в Rn+1 справедливы формулы:
1)	?„/ = {?„/} + 6{t) ft(x, 0) + S'(t) f(x, 0);
2)	^-a2Af
Ответы к § 7
7 в Л — fi(r)-	2^ A(m-1)fr — rnV	^ — Л(т~1)Гг — rnV
4) 2E(т~1)(ж);	5) signж;	6) 2й(т~2)(ж);
7) |9(ж)со8ж;	8) S(x) - в(х) sin ж;	9) (m^j fe)! <9(ж) ж^;
]_0) (?тг — k)\ 5(k~1Ux);
1 1 Л >?(m-l)/r\ I nft(m-2)(r\ 4- 4- г7т~1ЛГг'1 4- nmfl(r) eax
±±y и	V / ^^ ixl/	V / ^^ *** ^^	V / ^^	v /
7.7. 1) 2/' = sign ж sin ж + |ж| cos ж, 2/" = 2 sign ж cos ж - |ж| sin ж,
2/" = 4Й(ж) — 3sign ж sin ж — |ж| cos ж;
2) з/ = sign ж cos ж — |ж| sin ж, ^/; = 2S(x) — 2 sign ж sin ж — |ж| cos ж,
у'" = 2E;(ж) — Зsigпж cos ж + |ж| sin ж.
7.10. 2) Решение.
IV
)'.-)=- к-')=
» (л/) ^)л=
(-е оо\
/ + / ^7 -
J J X2
/
- lim / + /
?^0 \ J J
\ — сю е
7.14. 1)
3) 2 ?
2)
fe= —сю
-,	сю
7.15. /' = -—+ ?
7.16. /' = 1-2
т = 2,3,...
к= — оо
к= — оо
-2А;-1),

102	Гл. III. Обобщенные функции
7.17.	Указание. Воспользоваться 7.15.
7.18.	Указание. Воспользоваться 7.17.
7.20. Указание. Воспользоваться задачами 7.13 и 7.19.
[т/2]
1) у' = в(х) cosx, 2/(т) = ? (-l)*~M(m~2*4s)+0(s)(
?тг = 2,3,..., где [т/2] — целая часть —;
[(ш
2) j/' = й(ж) - в(х) sinx, 2/(го) =
3) у' = 2вA-\х\)х + 5(х-1)-5(х + 1), у" =
1) + й'(я + 1) - й'(я - 1), 2/( = ?
х (ж + 1)-^т-^)(ж-1)], ш = 3,4,...;
4)	у1 = в(х) - 0(х - 1) + 2в(х - 1) ж, 2/" = й(ж) + 6(х - 1) + 2<9(ж - 1),
у(т) = 2д(т-з) (ж _ 1) + ^т-2)(ж - 1) + J(ro-2)(ar), ш = 3,4,...;
5)	2/' = 2<9(ж + 1)(х + 1) - 26>(ж), 2/" = -Щх) + 26>(ж + 1),
6)	^ = 2|9(ж)ж-4|9(ж-1)-2|9(ж-2)(ж-2), у" = 2в(х)-2в(х-2)-
-Щх - 1), 2/(т) = 2^т-3)(ж) - 2S^m-3\x - 2) - 4й(т-2)(ж - 1),
т = 3,4, ...;
[т/2]
7)	2/' = 6>(тг - \х\) cosx, ?/(т) = 6>(тг- \x\)(sinx)^ + ? (-1)Л х
х {5(т-2к\х + тг) -5(т-2к\х-тг)}, ш = 2,3,...;
cosx, 2/(m^ = ^(тг - |x|)signx sin^m^ x -
[т/2]
~ Е (-l)k{2S(m-2kXx)+S(m-2kXx + 7r)+S(m-2kXx-7r)}, ш = 2,3,...
А;=1
7.22. 1) Решение. Пусть решение у G ??' существует. Тогда
(у,х(р) = 0 для любой ip G @.	(*)
Найдем это у. Имеем (у, ф) = (у, <р@) г)(х) + (р(х) — <р@) г](х)), где rj G ^,
77(ж) = 1 в [—?,?] и гу(ж) = 0 вне [—Зе,3е],
^	(**)
где С = (у,г]) и ф(х) = ^ljlJ.—yv / /V / ^ ^ ^см< решение задачи 6.7).
В силу (*) (у,хф) = 0. Тогда из (**) имеем (у,ф) = (С8,ф) для всякой
(f G ^, т.е. у = С6(х). Осталось заметить, что С6(х) удовлетворяет
уравнению ху = 0;

§ 7. Дифференцирование обобщенных функций	103
2)	CS(x) (Указание. Воспользоваться задачей 6.7, 2).);
3)	0;	4) CS(x-l);
5) dS(x) + C2S(x - 1);	6) dS(x - 1) + C2S(x + 1);
7) C5(x) + 0>p	8)	^
m-l
9)	^2 Ck5^k\x) (Указание. Свести к решению уравнения вида
к=0
xz(x) = /(ж), обозначив последовательно хтп~1у(х) = z(x), хт~2у(х) =
= z(x) и т.д., и воспользоваться результатом задачи 7.22, 1).);
10)	CoS(x) +d8'(x) + 2& —, где ^ — — обобщенная функция из
задачи 6.25;
00
11) Сой(ж + 1) + dS'(x + l);	12)
7.23. 1) Решение. Пусть решение у G Й^ существует, т. е.
B/, у?') = 0 для любой ip G @.	(*)
В силу результата задачи 6.8 B) любая ip G S> может быть представ-
представлена в виде
сю
ip(x) =<po(x) J <p(x)dx + ip[(x),
— сю
где ipi G ^, а у?о (х) — любая основная функция из ^, удовлетворяющая
сю
условию f ipo(x) dx = 1. Следовательно,
[ = (у,<ро)
/
Так как, в силу (*), (y,(p'i) = 0, а (у,<ро) = С, то
сю
(y,ip) = С / ipdx = (С, у?) для любой <р е @,
— сю
т.е. ?/ = С;
2)	Со + Ci# + ... + Cm-ixm~1 (Указание. Свести к реше-
решению уравнения вида z' = /(ж), обозначая последовательно у(т~1"> = z,
у(т-2) — z и Тд5 и воспользоваться результатом задачи 7.23, 1).).
7.25. 1) d+C20(x)+\n\x\;	2) d + С2в(х) - 0>-;
3)	Ci + С20(ж) + C3S(x);	4) Ci + С2в(х)	^
5) Co + dz + 0(x)x; 6) С0 + С1Ж +
7)	Со + Cix + С2|9(ж + 1) + С30(х + 1)(ж + 1);
8)	Со + dx + С2х2 + С3<9(ж + 1)(х + IJ.

104	Гл. III. Обобщенные функции
7.28. 1) в(х)е-хA + х); 2) ^в(х) sm2x; 3) в(х)е2х.
Указание. Искать решение в виде в(х) z(x), где z Е C2(R}) —
искомая.
7.34. -28(х-1,у-1) + 28(х-2,у) + 28(х-3,у-1)-28(х-2,у-2).
§ 8. Прямое произведение и свертка обобщенных функций
Прямым произведением обобщенных функций f(x) Е @'' (Rn) и
g(y) e &'(Rm) называется обобщенная функция f(x) • д(у) из &'(Rn+m),
определяемая формулой
(f(x)-g(y),ip(x,y)) = (f(x),(g(y),ip(x,y))), <р ? 9{Rn+m). A)
Прямое произведение коммутативно, т.е. f(x) • д{у) = д{у) • f(x) и
ассоциативно, т.е.
Если / G y'(Rn) и g G yf(Rm), то /(ж) • g(y) определяется по
формуле A), где ср е y(Rm+n), и принадлежит y'(Rm+n).
Производная прямого произведения обладает свойством
DZ(f(x).g(y)) = Daf(x).g(y); D«(f(x).g(y)) = f(x)-Dag(y). B)
Если /jl(x) e &'(Rn) и и(х) е @'(Rn), то обобщенные функции
/л(х) • 8(t) и —v(x) • 8'(t) называются простым и двойным слоями на
поверхности t = 0 с плотностями fi(x) и г/(х) соответственно. В
случае непрерывных плотностей эти определения слоев совпадают с
определениями, приведенными в § б и § 7, т.е. /л(х) • S(t) = /л(х) S(t) и
-v(x)-8'(t) = -v(x)S'(t).
Обобщенную функцию 8(at — \х\), а > 0, из &'(R2) определим
равенством
8(at - \х\) = 6(t) 8(at + x) + 6(t) 8(at - ж),	C)
где обобщенные функции 6(t) S(at + х) и 6(t) S(at — х) есть резуль-
результаты линейных замен переменных t' = t, ? = at ± ж в 0(t') • й(^), т. е.
сю
@(t) 8(at + ж), у?) = / ip(-at',t') dt',
Ci)
@(*) J(at - ж), у?) = | ip(at',t') dt'.
о
8.1.	Доказать: supp (/(ж) • g(y)) = supp/ x supp^.
8.2.	Доказать, что в $'(Rn+I(x,t)):
1) (щ(х)

§ 8. Прямое произведение и свертка обобщенных функций 105
Указание. Воспользоваться формулой A).
8.3.	Доказать:
1)	0t(x,i) — простой слой на оси t = 0 плоскости (x,t) с плотнос-
плотностью в(х);
2)	—6ц(х, t) — двойной слой на оси t = 0 с плотностью в(х).
Указание. Воспользоваться задачей 8.2.
8.4.	Показать:
1)	в(х1) -0(х2) • ... -0(хп) = 0(ж1,Ж2,...,Жп);
2)	5(хг) -S(x2) •... -S(xn) = 5(х1,х2,...,хп).
8.5.	Показать:
{хи...,хп) = 6{ j _ д{ }. _ J( }_
ох
8.6.	Показать, что (f • д)(х + хо,у) = f(x + х0) • д(у).
8.7.	Показать, что a(x)(f(x) • д(у)) = а(х) f(x) • д(у), где а Е
G C°°(Rn).
8.8.	Доказать, что в ^(Я2):
§j	\x\) =aS(at- \x\);
2)	А 6>(а^ - |ж|) = 0{t) 6(at + |ж|) - 0(t) 8{at -
3)	(^ в(а* - |Ж|), ч>) = -a (S(at - \x\), ^);
4)	(^ в(о* - |z|), <p)=- F(t) S(at + x), g
+ F(tN(at-x), g).
Обобщенную функцию вида f(x) • 1(у) назовем не зависящей от у.
Она действует по правилу
(f(x) •l(y),tp)= f(f(x), ф, у)) dy.	D)
8.9.	Показать:
1) /(/(х),ф,у))с1у = (дх),f ф,у)ауу,
2) D»(f(x) ¦ l(j/)) = 0, где / е $>', \а\ ф 0.
8.10.	Пусть д(у) ? У\Rm) и <р е y(Rn+m). Доказать, что:
1)	ф(х)
2)	Dai/,(

106	Гл. III. Обобщенные функции
3)	если ipk —у </?, k —у оо в y{Rn+m), то фи —> Ф, к —у оо
4)	если / е y'{Rn) иде y'{Rm), то f(x) • д(у) е y'{Rn+m).
Сверткой локально интегрируемых в Rn функций f(x) и д(х) та-
таких, что функция
Кх) = J\f(y)g(x-y)\dy
также локально интегрируема в Rn, называется функция
(/ * д)(х) = J f(y) g(x -y)dy = J g(y) f(x -y)dy = (g* f)(x).
Последовательность {r]k(x)} функций из &{Rn) называется сходя-
сходящейся к 1 в Rn, если она обладает свойствами:
а)	для любого шара UR найдется такой номер N, что щ(х) = 1
при всех х G UR и к > N;
б)	функции {г]к} равномерно ограничены в Rn вместе со всеми
производными, т.е.
\Dam(x)\ <Са, xeRn, А; = 1,2,...,
а — любое.
Пусть {щ(х] у)} — любая последовательность функций из ??(R2n),
сходящаяся к 1 в R2n. Пусть обобщенные функции f(x) и д(х) из
@f(Rn) таковы, что для любой </? G @(Rn) числовая последователь-
ность
(/О)
имеет предел при к —у оо и этот предел не зависит от выбора после-
последовательности {щ}. Этот предел обозначим через
(/О) -
Сверткой f * д называется функционал
(/ *д,<р) = (/О) • д{у),у{х + у)) =
+ у)), tp e @{Rn). E)
k—^oo
Свертка коммутативна, т. е. / * д = д * /.
Дифференцирование свертки. Если свертка f * д
существует, то существуют и свертки Daf * д и / * Dag, причем
Daf*g = Da(f*g)=f*Dag.	F)
Свертка инвариантна относительно сдвига, т. е.
f(x + h) * д{х) = (/ * д){х + /г), h G Rn.
Достаточные условия существования сверт-
к и.
I. Если / — произвольная, а д — финитная обобщенные функции
в Q) , то / * д существует в Q) и представляется в виде

§ 8. Прямое произведение и свертка обобщенных функций 107
Ф + 2/))> Ч> ^ 0,	G)
где ?7 — любая основная функция, равная 1 в окрестности suppg.
П. Обозначим через @'+ множество обобщенных функций из
&'(R1), обращающихся в нуль при х < 0. Если /, g G S>'+, то их сверт-
свертка принадлежит Й^_ и выражается формулой
(f*g,<p) = (/О)
где
Таким образом, множество ^_ образует сверточную алгебру.
8.11.	Пусть f{x) и д(х) локально интегрируемы в Rn. Показать,
что свертка / * д является локально интегрируемой функцией, если:
1)	fngeLiiiry,
2)	/ или д финитна;
3)	/ = 0и# = 0 при х < 0; п = 1.
В случае 1) показать, что f*g G Li(Rn) и справедливо неравенство
У*9\\ь1<\\Л\ь1-Ы\ь1-
8.12.	Показать, что в условиях задачи 8.11, 3)
х
(f*9)(x) = ff(y)g(x-y)dy.	(9)
8.13.	Показать:
1) J*/ = /*J = /;	2) S(x-a)*f(x) = f(x-a);
3) й(ж-а)*E(ж-6) = E(ж-а-6);	4) jW*/ = /M;
5) <j(m)(a; - а) * f(x) = /(т)(ж - а).
8.14.	Вычислить в ^'(R1):
1)	в(х)*в(х);	2)	<9(ж)*6>(ж)ж2;
3)	е-1ж1 * e-W;	4)	е~аж2 * же~аж2, а > 0;
5)	0(ж) ж2 * в(х) sin ж;	6)	0(ж) cos ж * в{х) х3;
7)	0(ж) sinx * 0(ж) shx;	8)	0(а - \х\) * 6>(а - \х\).
В задачах 8.15-8.29 доказать утверждения.
8.15.	Если /а(ж) = 6>(ж)	е аж, а > 0 — целое, то fa* fp =
1 \а)
8.16.	Если fa(x) = -±==е-х2/^2\ а > 0, то /а */^ =
8.17.	Если /а(ж) = 2^_ , а > 0, то /а * //з = /а+/3.
8.18.	supp(/*#) С [supp/ + supp^].
Указание. Воспользоваться задачей 8.1.

108	Гл. III. Обобщенные функции
8.19.	Если/,#е 0|, Toeaxf*eaxg = eax(f*g).
8.20.	Если fe@', ч>е% то f*(p=(f(y),(p(x-y))eCoo(R1).
Указание. Воспользоваться формулой G) и задачей 8.9, 1).
8.21.	Если / е &'', / * д = 0 для всех ip е @ и supp</? G [ж < 0], то
/ = 0 при ж < 0.
8.22.	Если свертка / * 1 существует, то она постоянна.
8.23.	Для независимости обобщенной функции от Х{ необходима и
достаточна ее инвариантность относительно всех сдвигов по xi.
8.24.	Для независимости /(ж) G S>'(Rn) от Xi необходимо и доста-
точно, чтобы —— = 0.
OXi
8.25.	Если / Е @' не зависит от ж^, то и / * д не зависит от ж^.
8.26.	Решением уравнения Lu = S, где
ak G С00^1), в ^'(R1) является и(ж) = в(х) Z(x), Z(x) G
решение задачи
LZ = 0, Z@) = Z'@) = ... = Z(m-2)@) = 0,
8.27.	Решением уравнения Lu = /, / G Й^_, в @'+ является и =
= 6Z * /, где Z(x) — функция из задачи 8.25.
8.28.	Решением уравнения Абеля
X
г и(?) 7. / ч
/ т— ^ dt = а(ж),
J (х-Оа	У h
о
где д@) = 0, д G С1 (ж > О), О < а < 1, является функция
X
J (х-?У~а'
sin7m /
о
Указание. Уравнение записать в виде свертки и * в(х — а) =
= д(х) (считаем и = 0 и ^ = 0 при ж < 0) и воспользоваться зада-
задачей 8.15 при C = 1 — а.
8.29. Решением уравнения в(х) cos ж * / = д в SI (R}\ где g G
G С1 (ж > 0), g = 0 при ж < 0, является
8.30. Пусть электрическая цепь состоит из сопротивления R, са-
самоиндукции L и емкости С. В момент времени t = 0 в цепь включается
э.д.с. i?(?). Показать, что сила тока i(t) в цепи удовлетворяет урав-
уравнению Z * г = i?(?), где

§ 8. Прямое произведение и свертка обобщенных функций 109
Л/уЛ
Z = LS'(t) + RS(t) + -^r — импеданс цепи.
8.31. Пусть / е @'(Rn+1). Доказать:
1) [5(х - хо) • S(t)] * /(ж, t) = f(x -xo,t)]
О) А[ гр 	 тп i • Л^
d
8.32.	Вычислить следующие свертки в О)f(Rn):
1)	/ * SSr, где f(x) G С и SSr(x) — простой слой на сфере \х\ = R
с плотностью 1 (см. §6);
2)	f * Ш ^«' ГД6 f G Cl;	3) Ss* *
4) <5Sk * е~1ж1 , п = 3;	5) й5д * sin |ж|2, п = 3;
6) 6sn*TTw>n = 3>i
^ ы * ^s' п = 3; ln R *M<5s' n = 2;
8) -R * ^ (l/<5s)' n = 3; 1п |ж| * -L (l/<5s)' п = 2;
5 — ограниченная поверхность. Определение обобщенных функ-
функций ц83 и — — (y8s) см. в § б и § 7.
8.33.	Вычислить в 9'(В2):
1) <9(f) х * 0(ж) t;	2) 0(t - \х\) * 0(t - \х\);
3)	O(t)O(x)*O(t- \x\).
8.34.	Пусть /,# G ^'(Д^1), f(x,t) = 0 при t < 0 и # = 0 вне Г+.
Доказать, что свертка g * f существует в &'{Rn+1) и выражается
формулой
где rj(t) e COO{R1), rj(t) = 0 при t < -5 и rj(t) = 1 при t > -e
@<€ <5).
8.35. Пусть g{x,t)e3}'{Rn+1), g = 0 вне Г+ и и(х) е ?>'(Rn).
Доказать:
1) <7*м(ж)-?(?) = g(ж, ^)*и(ж), причем обобщенная функция g(ж, t) *
*и(ж) действует по правилу
(g(x, t) * w(ar), ф) = (^(^, *) • и(у), г](аН2 - |^|2) ^(^ + у, t)),
2) g*u(x).6W(t) = ^ (g(x,t)*u(x)) =

110	Гл. III. Обобщенные функции
8.36.	Вычислить в 3>'(R2):
1)	в (at - \х\) * [u(t) • S(x)], a > 0, где u(t) G C(t > 0) и u(t) = 0
при t < 0;
2)	0(at - \x\) * [0(*) • 6(x)];	3) 0(a* - \x\) * ^
4) 0(at - |ж|) * [0(t) - S'(x)];	5) 0(at - \x\) * [
6)	6>(a^ -|ж|)*|-[а;(я;)-^)], где u(x)eC(R') (Указание. Вое-
пользоваться задачей 7.5, 2).);
7)	e(at-\x\)*-^[9(x)-S(t)].
8.37.	Вычислить в ^'(Д2):
^L -,2/Da2t) ? a > о; 2) B(t) elx * Щ V
3)
8.38.	Пусть / е C°°(Rn\{0}) и д е $'(Rn) финитна. Показать,
что / * д Е C°° (i?n\supp g).
Указание. Воспользоваться формулой G).
8.39.	Пусть / е У' и д G Of1 финитна. Доказать, что f * д е У'.
8.40.	Доказать: если / Е @', то / * ио? —У /', е —У 0 в 0'.
Указание. Воспользоваться задачей 6.24.
Введем обобщенную функцию fa(x), зависящую от параметра а,
— оо < а < оо,
а > О,
а < 0, a + n>0, TV целое
(ср. с задачей 8.15).
8.41.	Доказать, что fa*fp = fa+p.
8.42.	Доказать, что
/о* = S*, f-n* = —*,
п раз
Сверточная операция /_а* при a > 0, а не равно целому числу,
называется (дробной) производной порядка а (эту производную обо-
обозначим через и^а\ т.е. и^ = f_a * u); /a* при а > 0 называется
первообразной порядка а (эту первообразную обозначим через и^,
Т.е. U(a) = fa *U).
8.43.	Вычислить производную порядка 3/2 от 0(ж).
8.44.	Вычислить первообразную порядка 3/2 от в(х).

§ 8. Прямое произведение и свертка обобщенных функций 111
8.45.	Вычислить производную порядка 1/2 от /(ж), / = 0 при
х < 0.
8.46.	Вычислить первообразную порядка 1/2 от /(ж), / = 0 при
х < 0.
8.47.	Обозначим через S>l пространство финитных обобщенных
функций со сходимостью fk —У 0, к —У оо в^', если:
а)	fk —У 0, к —У оо в ^';
б)	существует число R такое, что supp fk С UR при всех к.
Доказать теорему: если линейный непрерывный оператор L
из S1 в QI коммутирует с операцией сдвига, то L — оператор
свертки, L = /0*, где /0 = LS.
Ответы к § 8
8.8. 1) Решение. В силу формул C) и Ci)
-оо \х\/а
оо
оо /	i \	оо	оо
= Г (fix, -^)dx = a Г <p(-at', t') dt' + а Г (p{at',t') dt' =
-оо ^ а '	о	о
= (aO(t) 5{at + x) + aO{t) 5{at - х),ф) = {a5{at - |ж|), ф).
8.14. 1) Решение. В силу формулы (9)
X	X
е*е = I в{у) в{х -y)dy = в{х) fdy = в{х) х-
3	о	о
2) <9(ж)—;	3) е-1ж1A + |ж|);
4^ П? тр-ах2/2.	с:\ л / \ / 2 _ л -2 ^\
6) i9(x)Cx2+6cosx-6);	7) ^ (g
8) в{2а- |ж|)Bа — \х\).
8.21. Указание. Воспользоваться задачей 8.20, применив ее
к </?(—ж) и положив х = 0.
8.30.	Указание. Воспользоваться задачей 1.31.
8.31.	2) Решение. В силу формул B) и F) и результатов за-
задач 8.4, 2) и 8.13, 2)
8.32. 1) | f{y)dSv;
\x-y\=R
2) Решение. В силу формулы G) и определения двойного слоя
(см. § 7)

112
Гл. III. Обобщенные функции
3) I \y\2dSy = I \x-y\2dSy =
\x-y\=R	\y\=R
27Г7Г
= J J (\x\2 + R2-2R\x\ cos в) R2 sin Odd dtp = 4irR2(\x\2 +R2);
о о
4) ^
x\
6) M
.: 5) ^Sm
\x\
7)
ln
8.33. 1) He существует; 2) 0(* - \x\)
1
3) i O(t)[O(x
(ж + ^J + 0(x - t)(x - tJ - 20(x) x2}.
8.34. Решение. В силу задачи 6.27 f(y,r) = tj(t) f(y,r) и
g(?,t) = r](t)r](a2t2 — |?|2) #(?,?), так как ^(r) = 1 в окрестности
supp/(j/,r) С [r > 0] и 77(^O7 (a2^2 — |^|2) =1 в окрестности supp #(?,?) С
С Г+ (Г+ — область а2*2 - |^|2 > 0, t > 0). В силу формулы E)
= lim (ф) V(a2t2 - |^|2) g(?, t) ¦ ф) f(y, r),
Vk (C, t] y, t) <p(? + y;t + r) = lim (g(?, t) • f(y, r), rj(t) rj(r) x
x r? (a2i2 - |?|2) щ (e, t; у, r) y>(? + y, t + r)) =
= EЙ,t) ¦ f(y,т),ф)Ф)Ц (a2t2 -
так как ф) ф) r\ (a2t2 - \?\2)

§ 8. Прямое произведение и свертка обобщенных функций 113
8.35. 1) Решение. В силу формулы задачи 8.34, ассоциатив-
ассоциативности прямого произведения и формулы A)
(g*[u(x).6(t)],tp) =
= (g(Z, t) • и(у)М*) v (a2t2 - |?|2) <p(? + y,*)).
Далее, в силу задачи 6.27 g = rj(t)g, так как supp^(^,^) С [t > 0].
Следовательно,
(д * [и(х) • S(t)], ip) =
так как 77 (a2^2 — |?|2) у?(ж + ^, t) G ^(i^2n+1);
2) В силу формул B) и F) и формулы задачи 8.35, 1)
I = д*—- (u(x)-S(t)) = —- (g(x,t)*u(x)) = 9^> *и(х).
8.36. 1) Решение. В силу формулы задачи 8.35, 1)
/, <р) = @(at - \х\) • ш(т),Т1 {a2t2 - \х\2) ф, t + т)) =
= Г ш{т) ( [Г в (at - \х\) ф, t + r)dx dt) dr =
J	\JJ	J
Следовательно,
t-\x\/a
)
J
t'-\x\/a
' -\x\) I uj(r)dr)dxdt'.
\\
= 0(at-\x\) Г
2)	)
3)	0(at — \х\) (Указание. Воспользоваться задачей 8.35, 2).);
4)	-6
CL
5)	0(t)[0(x + at)(x + at) - 0(x - at)(x - at)];
6)	a0(t)[u;(x + at)+u;(x-at)];
7)	0(at- \x\).
8.37. 1) O(t)ex+a2t; 2) 0(t) x[el - 1);
8 Под ред. B.C. Владимирова

114	Гл. III. Обобщенные функции
8.43. Решение.
= /-3/2 * в = fU/2 * 0 = Л'/2 * в = (/1/2 * ^)/; =
^2
О
8.44. Решение.
^C/2) W =/з/2*#= ^Тзу / \/х-?,^ = в{х)—^-.
8.45. Решение.
8.46. ^^
л/ТГ
о
§ 9. Преобразование Фурье обобщенных функций
медленного роста
Операция преобразования Фурье F[<p] на функциях </? из «У опре-
определяется формулой
/i(€litV(a0da;-	A)
Преобразование Фурье F[f] произвольной обобщенной функции /
из yf(Rn) определим формулой
],<p) = (f,F[<p\).	B)
Оператор
^x)], fey'	C)
(обратное преобразование Фурье), является обратным для операто-
pa F, т.е. F-i[F[f}} = /, F[F-'[f}} = f, f e ^".
Справедливы следующие формулы (/,g G ^):
F[f(x-xo)]=e«*<>'VF[f],
(/ или д финитна).
Преобразование Фурье Fx по переменной х обобщенной функции
f(x,у) G y'(Rn+m), где х eRn, у е Rm, определим формулой

§ 9. Преобразование Фурье обобщенных функций	115
) = (f(x,y),F[^,y)](x,y)),
(о)
е y(Rn+m).
9.1.	1) Пусть /(ж) е ^{R1), к > О, и J \fa\x)\dx < оо, а < к;
доказать, что F[f] е С^Д1] и |f |*|F[/](f)| < a;
2) пусть f(x) e Ck(Rn), к > 0 и |ж|п+/|?>°7(ж)| < Ь, |а| < ik,
/ > 1 целое; доказать, что
F[f]eCl-\Rn) и \Z\k\DPF[№)\<b, H</-1.
9.2.	Доказать, что / = F^/]], где F определяется форму-
формулой C), для следующих /:
1)	f(x) G C(Rn), \x\n+e\f(x)\ < a, \t\n+?\F[f№\ < а, г > 0;
2)	/WGC2(tf), f\fW(x)\dx<oo, a<2;
3)	/(ж) G Cn+1(Rn), \Daf(x)\\x\n+1 < а, |а| < п + 1.
Проверить, что случай 3) вытекает из случая 1).
9.3.	Доказать, что
9.4.	1) Доказать, что если (/? G У, то и F[ip] G У;
2) доказать, что операция преобразования Фурье непрерывна из У
в У, т. е. что из (fk —> </?, к —У оо, в У следует F[tpk] —У F[ip] в У.
Указание. Воспользоваться задачей 9.3.
9.5.	1) Доказать, что если / G У, то и F[f] G У;
2) доказать, что операция преобразования Фурье непрерывна
из У1 в У1, т.е. из fk —> /, к —> оо, в J^ следует
3) доказать, что если / — функция медленного роста, то
= lim [ f{x)ei^x)dx в ^;;
4)	доказать, что если / G L2{Rn), то F[/] G L2(i2n) и
F[/](f)= lim f f{x)e^xUx в L2(^)
\x\<R
(теорема Планшереля);
5)	доказать, что если / и д G L2(Rn), то справедливо равенство
Парсеваля
Br(/)
6) доказать, что если / G L^R71), то F[/] G L^R71) П
выражается формулой

116	Гл. III. Обобщенные функции
» О, |?| —J- oo
(теорема Римана-Лебега), F[/ * 3] = **[/] F\g], /,S G
7)	доказать, что если / 6 ^' и <р ? У, то
F[f*<p]=F[f]F[<p];
8)	пусть / G Li(R1) — кусочно непрерывная функция такая, что
{/'(ж)} — также кусочно непрерывна; доказать формулу обращения
oo
1	С	с	1
— 	Vn / W\ f ](?\ р~г^хс\Р	т ?= R
2тг У
2
9.6. Доказать в
1) F[S(x - хо)] = е^^'ж°); 2) F[?] = 1; 3) /[1] =
N ^Г^(ж — хо) — Six
5) F^^^ь
9.7.	Доказать в У {Rn):
9.8.	Вычислить преобразования Фурье следующих функций
(п = 1):
1) 0(Д-|ж|); 2) е-Л2; 3) eia;2; 4) е~™2;
5) /(ж) = 0 при ж < 0, /(ж) = к, к < х < к + 1, А; = 0,1,...
9.9.	Доказать (п = 1):
|е"а1 = ^—7' а>°;
2)	F [0(-ж) еаж] = —^—, а > 0;
3)	F [е-а1ж1] = д22_^	а > 0;
4)	р\тгг^\ =2^е-а^1, а>0;
5) F \в(х) е~ах |—- = -—^——, а > 0, а > 0.
У L	r(a)J (a + *OaJ
9.10. Воспользовавшись формулой Сохоцкого (см. задачу 6.20) и
результатами задач 9.5 и 9.9, 1) и 2), доказать:
1) F[0(x)} =тг5(О+г^р 2) F[0(-x)] = тг5(?)i&

§ 9. Преобразование Фурье обобщенных функций	117
9.11. Вычислить преобразования Фурье следующих обобщенных
функций (п = 1):
1) ?(*), ? = 1,2,...;	2) в(х-а);	3) signx;
4) <?!;	5) —^-;	6) |ж|;
ж	ж ± гО
7) в(ж)жЛ, ? = 1,2,...; 8) \х\к, ? = 2,3,...; 9) ж*^, ? = 1,2,...;
10) хк5, ? = 1,2...;	11) хк5^т\х), т > ?;
12)	^—, где ^— определена в задаче 6.25;
13)	^ —, где ^— определена в задаче 7.10;
X	X
сю
14)	? afe<*(a;-fc), |а«|
15) ^^1//2^(ж) (определение дробных производных см. в §8).
9.12. Доказать, что
где
1	оо
/1 — cos и j Г cos и -.	~ „
	аи — 	аи — постоянная Эйлера,
и J и
а ^рг (ж G R1) определена в задаче 7.26.
9.13. Доказать, что
где обобщенная функция & —pj, x G R2, определяется формулой
х\
|Ж|2'^ " У и2 to+ У
||	||
1	оо
/" 1 - Jo(n) ,	/" Jo (и) ,
со = / 	^^ аи— I —-^ аи
J и	J и
о	1
и Jo — функция Бесселя.
9.14.	Решить в У' интегральное уравнение
сю
/ и(?) cos^xdx = 6A — х).
о
9.15.	Вычислить интеграл
сю
Г sin ax sinbx ,
/	dx.
J х2

118	Гл. III. Обобщенные функции
Указание. Воспользоваться равенством Парсеваля и зада-
задачей 9.8, 1).
9.16. Доказать, что
|»|Iашд|а	2
9.17. Доказать:
2) F[\x\~k] = 2n-feW2 K ,2UJ |^|fe-n, ? e Rn, 0 < к < п.
г(|)
Указание. Воспользоваться формулой B) при / = \х\ к в
У {В1) и^ = е-1ж12/2.
9.18.	Доказать, что F - = ——, ( = ^ + щ.
\- Z А	С,
9.19.	Вычислить преобразование Фурье обобщенной функции
-—- Sc , п = 3, определенной в § 6.
4тгл R
9.20. Методом преобразования Фурье доказать в ^'(В1), что:
1)	у = со?(ж) + С1($1(ж) + ... +сп_1E(^п~1^(ж) — общее решение урав-
уравнения хпу = 0, п = 1,2,...;
2)	"е а*ж*+ГЕ ЬкО(х)хт-к-1 + П'? ск8^к-ш\х)— общее реше-
ние уравнения хпу<уГП} =0, п > т.
Указание. Воспользоваться задачами 7.23, 2) и 7.24.
9.21. Доказать в У'(Rn+I(x,t)), где (ж,*) = (жь ...,xn,t):
3)	Fx[0(at - \x\)] = 20(t) sin ^5
4)	Fx[f(x) S(t)} = F[f](O S(t), f
9.22. Доказать в У (Rn+rn):
2) F,^	^
9.23. Доказать, что в y'(R2
Указание. Воспользоваться формулой C) и задачей 9.8, 2).

§ 9. Преобразование Фурье обобщенных функций	119
9.24. Доказать, что в y'(Rn+1)
F-1 [6>(t)e-a2l*l2*l =0(t)(^— )Пе-\-\2/(^\
Указание. Воспользоваться задачей 9.23.
9.25. Доказать, что в y'(R2)
-1
Указание. Воспользоваться задачей 9.8, 1).
9.26.	Доказать, что в У\В?)
/)/,\ oniU/|<^|t/ I f/ydt — X\j
U[t) 	г—	 = 	,	^^
o|f| J 2тгау/аН2 - \x\2
Указание. Воспользоваться задачей 9.16.
9.27.	Доказать, что в y'(R4)
(здесь Sat — {x '• \x\ — at}).
Указание. Воспользоваться задачей 9.19.
9.28. Пусть / — финитная обобщенная функция и т\ — любая
функция из ^, равная 1 в окрестности носителя /. Доказать, что функ-
а)	не зависит от 77;
б)	целая;
в)	]{х) = F[f].
9.29.	Доказать, что если / и д финитны и / *д = 0, то либо / = О,
либо д = 0.
Указание. Воспользоваться задачей 9.28.
9.30.	1) Доказать, что F[S(x) • 1(у)] = Bтг)т1(?) 5(<п);
2) обозначим ^-функцию на гиперплоскости (а, х) = 0 простран-
пространства Rn через S((a,x)), так что
Ща,х)),(р)= J <pds
(а,ж)=0
Доказать, что F[8{a\Xi + а2Х2)] =
9.8.
4) *
1) 2
2)
Ответы
v^ ~e/{
a C
к
§9

120
Гл. III. Обобщенные функции
5) Решение.
oo k+1
k = l
k=l
k=l
i; 3) 2г^;
— ряд сходится в &, так как ^2 ~г^~ сходится равномерно в Д1.
к=1 к
9.11. 1) (-iOk; 2) тг6(О+гег<
4) Z7rsign?;	5) =fztt + ivrsign^;	6)
7)	(-i)k \irS(€) + i^-} ;
8)	(—i)k27rS(k\?), к четное, (—i)k~12(^-j , к нечетное;
9) 2(-i)*-17rJ(*-1)(O;	10) 0;
^m-Л.	12) .^l^.
11) (-<)*+"*—^1
(m-fc)!
13)	Решение. В силу задачи 7.10, 4), второй из формул D) и
задачи 9.11, 12)
ГхЧ~ I 2dx^ хА~ 2 Y хА~ 2 '
14)	Решение. В силу результатов задач 6.25, 2), 7.12 и 9.6, 1)
- к)
. к= — оо
МО) =
ч k= — oo
/ oo
к= — оо	\к= — оо	/
15) Решение.
=F[f_1/2*e]=F[fi/2*e]=F[(f1/2*oy] =
= F
Mi)
9.14.	-
7Г ^
9.15.	- min(a, b).
9.19.

§ 9. Преобразование Фурье обобщенных функций	121
9.20. Решение. Из F[xny^] = 0, в силу первой из формул D),
^(n)^(m)j _ q Отсюда в силу результатов задач 7.23, 2), 9.7, 2) и
формулы C)
F[y(m\x)] = а0 + аг? + ... + ап^С~\
у№ =p0S(x) + 016'(х) + ... +(Зп-15(п-1\х).
Отсюда в силу результатов задач 7.23, 2) и 7.6, 10)
га —1	га —1	п—1
k=0	k=0	k=m
9.21. 1) Решение. В силу формулы E) и определения прямого
произведения (см. § 8)
2) Решение. В силу формулы E) и определения производной
обобщенной функции (см. § 7):
К-'). *>) = (-!)
9.27. F —г-р-^ при t > 0 и п = 3 вычисляется так:
[-1	Г	7Г
^^	= lim 2тг f psintp Г eirpcos0 sin в dO dp =
f I Я^оо J ^	^ J	Н
J	О	О
= —- lim —- / cos^p / eipududp =
Г R^oo dt J	Г J
0	-r
r R
= —- lim т^ / / costpeipudpdu =
г я^оо dt J J
-r 0
=	lim 7^-// cosp(u — t) + cos p[u + t) apau
Г Я-^оо Ot J J L
-rO
d Г \sinR(u-t) sinR(u + t)~\ , _
>^w[ it — ?	tt + ? J
7Г ,.
=	lim
2тг ^ л/ ч 2тг r/ ч 2тг г- / \	ii
= —— ~Qt 0(r - t) = — S(r -t) = — St(x), r = \x\.
Указание. При переходе к пределу воспользоваться зада-
задачей 6.19, 4).

122	Гл. III. Обобщенные функции
§ 10. Преобразование Лапласа обобщенных функций
Обозначим через @\_{а) совокупность обобщенных функций f(t) из
^'(R1), обращающихся в нуль при t < 0 и таких, что f(t) e~at G У1
при всех а > а.
Преобразование Лапласа ^(р) обобщенной функции / из @'+{а)
определяется равенством
[f()-^](-u;), a>a.
При этом / называют оригиналом, #"— изображением и этот факт
записывают так:
здесь р = а + ш. Функция <&(р) аналитична в полуплоскости а > а и
удовлетворяет следующему условию роста: для любых е > 0 и сто > а
существуют такие числа с?(ао) > 0 и т = т(сго) > 0, что
Справедливы следующие формулы:
a>a, m = 0,l,...;
a>a, m = 0,1, ¦¦¦;
f{t)ext ^_>^(p-A), <7>a + Re(A);
, a>a;
/(m)()^p,	>
где /(m) — т-я первообразная / из ?2>'+(а);
если
()	^()	ст > a;
— формула обращения для преобразования Лапласа, интеграл не за-
зависит от а > сто > a, m = ()
В задачах 10.1-10.9 и 10.11-10.14 доказать утверждения.
10.1. Если f(t) — локально интегрируема вй1, f(t) = 0, t < 0 и
оо, то / G @+{а) и
сю
= I f(t)e-ptdt, a>a.
о

§ 10. Преобразование Лапласа обобщенных функций	123
10.2. Если / Е ^|(a), f(t) <—У &(р), сг > а и функция ^(а + ш)
абсолютно интегрируема по и на R1 при некотором а > а, то в этом
случае формула обращения принимает вид
a+ioo
сг — гею
10.3.	1) ^|(ai) С @+(а2), если ax < a2;
2)	если / Е У П 0|, то / Е ^|@).
10.4.	Если / G ^|(а), то:
1) р/ е @+(а), где р — полином; 2) /(Art) G @+(ka), к > 0;
3)	/(^)eAt G ^|(a + ReA).
10.5.	Если /,g G ^_(a), то /*^ G ^_(a) и справедливо равенство
(/*^)e-^=(/e-^)*(^e-^), a>a.
Указание. Воспользоваться 8.20.
10.6.	Если / е @+(а), то:
1)	f(t-r)e^(a), r>0; 2) /(-) G ^|(a), ш = 1,2,...;
3) /(го) G^|(a), ш = 1,2,...
10.7.	1) J(t) ^—у 1;
2)	J(m)(t-r) ^^pme-r^, г >0, р любое, ш = 0,1,...;
3)	0(t) ^^ -, а > 0;	4) 0(t) eiu;t ^^ —^-, а > 0;
5) 0(*)е-*"*<—>—^, <т>0;	6) 6>ft)cos^^^ . Р ., а > 0;
р -\- гио	р2 + си2
7) е«)ешИ-^-^-;,с>0;
8)
9)
O()
V1 +^
10.8. Если / — функция из ^|(а), / G Cn (t > 0) и / ^—^ ^, то
п-1
д <—у &, то
t
10.9.	Если / и д — функции из ^_(а), д G Cx(i > 0) и / ^—»¦ е
^, то
f(r){g'(t - г)} dr <—у р#(р) &(р) - д(+0) &(р), а > а.
10.10.	Решить уравнение L -^ + Ri + — [ г(т) dr = e(t), где e(t) ¦
о
локально интегрируемая функция, e(t) =0, t < 0.

124	Гл. III. Обобщенные функции
10.11. Фундаментальное решение ё{?) уравнения
существует и единственно в классе @'+ (а) и удовлетворяет соотноше-
соотношению	1
а>а>
где в(р) = рш + aipm~1 + ... + am, a = maxRe Aj, Xj — корни полино-
полинома Q.	j
10.12. Если fa(t), -oo < а < оо, — обобщенная функция, введен-
введенная в § 8 (с. 110), то:
1)	fait) <—У —, сг > 0, где ра — та ее ветвь, для которой ра > О
рос
при р > 0;
2)	.Ше^^^ра
10.13.	Если |аЛ| < сA + к)ш, к = 0,1,..., то
сю	сю
к=0	к=0
10.14.	Если f(t) — Т-периодическая функция, абсолютно интег-
интегрируемая на периоде, то
т
0(t) № <—> г_1_рТ I № e-*dt, a>0.
о
10.15.	Найти решения уравнений в классе @+(а) (при надлежа-
надлежащем а):
1) @cos*) *<?=<*(*);	2) (Ot cos t) * <? = S(t);
3) S+2{ecost)*S=5{t); 4I 1 , 2~ U'
^ 0 * Ul + 0 * i/2 — 0.
10.16.	Пусть ё\ — решение уравнения д * ?[ = в в ^_(а), причем
<^i — локально интегрируемая функция, ^i G С1 (t > 0). Доказать, что
решение в ^_(а) уравнения ^*и = /, где / — локально интегрируемая
функция из @'+ (а), выражается формулой
t
u(t) = A (+0) f(t) + I f{r){4{t - r)} dr.
о
10.17.	Вычислить преобразование Лапласа функции
2к, к < t < к + 1, к = 0,1,...
сю
10.18.	Решить уравнение х * а = S 2^й(^ — fc) в ^_J_(ln2); функ-
функция a(t) определена в задаче 10.17. ~

§ 10. Преобразование Лапласа обобщенных функций	125
t
10.19.	Доказать формулу: sin? = I Jo(t — т) Jo(r) dr.
о
10.20.	Решить следующие задачи Коти:
1)	и' + 3u = e~2t,	u@) = 0;
2)	и" + Ъи1 + 6и = 12,	и@) = 2, гл'(О) = 0;
= 0,
Ответы к § 10
10.3. 2) Решение. Пусть 7? — любая функция класса COO{R1)
такая, что rj(t) = 0, t < —S, rj(t) = 1, t > --, S > 0 любое. Тог-
Тогда при всех а > 0, ??(?) е~°"^ G ^ / = 7у/, и поэтому /(t) e~at =
10.6.	Указание. Воспользоваться задачей 10.5 и формулами,
соответственно:
1) f(t-r)=f* 6(t - г); 2) /("•) = / * 6W;
3) f(m)= 1*^*0,*f-
m раз
10.7.	9) Указание. Воспользоваться уравнением Бесселя.
10.10. —= / \p+ep+{t T) -p_ep-{t т)\е(т)ат, p± =	± —,
yd J	2L 2L
10.15.	1) S'(t) -
3)	S(t) -2в(г)е\1-г),	а = 1;
4)	ui(t) = -J(t) - 0(t) e*, u2(t) = 0(t) e*,	a = 1.
10.16.	Указание. Воспользоваться формулой задачи 10.8.
Ю.17. г~е _ сг>1п2.
сю
ю.18. J2sf(t-k)-
к=0
10.19.	Указание. Воспользоваться задачей 10.7, 9).
10.20.	1) e-2t-e~3t; 2) 2;
^25в +5в +25в '~25в ~ Ъ С +25в

126	Гл. III. Обобщенные функции
§11. Фундаментальные решения линейных
дифференциальных операторов
Обобщенным решением в области G С Rn линейного дифференци-
дифференциального уравнения
т
L(x, D)u=Y^ aa(x) Dau = f(x),	(*)
Н=о
где аа(х) Е C°°(Rn), / Е i^', называется всякая обобщенная функция
и, удовлетворяющая этому уравнению в G в обобщенном смысле, т.е.
для любой (f Е @, носитель которой содержится в G, имеет место
равенство
||
Обобщенная функция и принадлежит классу CP(G), если в облас-
области G она совпадает с функцией щ(х) класса CP(G), т.е. для любой
(f G ^, supp ip E G, имеет место равенство
= / щ(х) (f(x) dx.
Пусть / G C{G) П ^;. Для того чтобы обобщенная функция и
удовлетворяла уравнению (*) в области G в классическом смысле,
необходимо и достаточно, чтобы она принадлежала классу Cm(G) и
удовлетворяла этому уравнению в обобщенном смысле в области G.
Фундаментальным решением (функцией влияния) линейного диф-
дифференциального оператора
т
L(D) =
\а\=0
с постоянными коэффициентами аа(х) = аа называется обобщенная
функция §, удовлетворяющая в Rn уравнению
L(D)?=6(x).
У всякого линейного дифференциального оператора L(D) сущест-
существует фундаментальное решение медленного роста и это решение удов-
удовлетворяет алгебраическому уравнению
Пусть / G ??' такова, что свертка <#** / существует в QI. Тогда
есть решение уравнения L(D) и = /. Это решение единственно в клас-
классе тех обобщенных функций и, для которых существует свертка с ё.

§ 11. Фундаментальные решения дифференциальных операторов 127
11.1. Доказать, что единственное в @'+ фундаментальное решение
оператора
+	+ +
выражается формулой задачи 8.26 (определение &'+ см. §8).
11.2. Доказать, что функция $(х) является фундаментальным ре-
решением оператора:
1) ?{х)=0{х)е±ах, ^-та;
dx
2) <Г(ж) = 6>(ж) ——, — + а2;
з) <?(*) = 0(ж^
11.3. Найти единственные в Q)^ фундаментальные решения сле-
следующих операторов:
I) _^!_+4— •	2) — -4— + 1-	я) ^ 13d I2-
.ч с? . d , г.	r\ c^	з.	r>\ d „ c? ^ c?
11.4. Доказать, что:
1)	§{х, у) = — = —	 — фундаментальное решение операто-
7TZ тг(ж + гу)
ра Коши-Римана — = - ( -—\- ъ — );
oz 2 \дх ду)
2)	§{х,у) =	—, к = 1,2,..., — фундаментальное решение
7Г1 (^/Cj 2^
оператора ( — —
3) <г?(х,у) =	—- 1пЫ, к,т = 1,2,..., — фундаментальное
7Г1 (/с) 1 (?77.)
решение оператора
dzkdz
4) i[x,y) — -—. Slgn "^ e ^a — фундаментальное решение обоб-
JiTTl У — \X
щенного оператора Коши-Римана -—h Л -—\- a, ImA^O.
дх ду
11.5. Доказать, что $(х) — -— In |ж| — фундаментальное решение
оператора Лапласа в R2. Выяснить физический смысл.

128	Гл. III. Обобщенные функции
11.6. Доказать:
1) ё{х) — —	г — фундаментальное решение оператора Лапла-
4тг
са в R3; выяснить физический смысл;
2)	S{x) — —-		п = 3,4,..., — фундаментальное ре-
(п-2)а„|Ж|«-2	2^/2
шение оператора Лапласа в Rn, где ип— \ dS — —,—т— — площадь
J	Г(п/2)
поверхности единичной сферы в Rn;	г
о\ & ( \ (-l)kT(n/2 - к) \2к_п .
3)	&щк(х) = 22feW2W) Ж'	фундаментальное решение
итерированного оператора Лапласа Ак при 2к < n, fc = 1, 2,...,
ln|ж|' n =
Указание. Воспользоваться задачей 9.17, 2).
eik\x\	_	e~ik\x\
11.7. Доказать, что <^(ж) = — —-— и §{х) = —	— фунда-
ментальные решения оператора Гельмгольца А + к2 в R3.
11.8. Доказать, что если функция и(х) удовлетворяет в R3 урав-
уравнению Аи + к2 и = 0 и условиям излучения
при \х\ —У оо, то и = 0.
11.9.	Доказать, что фундаментальными решениями оператора
Гельмгольца А + к2 являются функции:
1) g{x) = -г-Н^\к\х\) и ё{х,у) = г-Н{^\к\х\) в R2, где Н(ок),
к = 1,2, — функции Ханкеля;
2) s{x) = 4пе*]х] и ^(ж) = -4ue~ik]x] в д1-
11.10.	Доказать, что фундаментальными решениями оператора
А — к2 являются функции:
2) $(х) =	Ко(к\х\) в R2, где if о (О — ^ ~ Нп (г?) — функция
2тг	2
Ханкеля мнимого аргумента;
jL чп/2-1

§ 11. Фундаментальные решения дифференциальных операторов 129
11.11.	Доказать, что если $i(x,i) — фундаментальное решение
д	tk~x
оператора — + L(DX), то	?i(x,t) — фундаментальное решение
ОТ	1 \гь)
( д	\
оператора у— + L(Dx)j .
11.12.	Доказать, что:
е-\х\ /{Аа t) — фундаментальное решение
оператора теплопроводности —	а2 А в Rn; выяснить физический
смысл;	к_±
2) 	^-J=	е~\х\ /Dа *)—фундаментальное решение операто-
pa ^-a2
Указание. Воспользоваться задачей 11.11.
11.13. Доказать, что <?(ж,*) = -^L ect-(«+wJ/Da2t) _ фунда-
2Vt
д 2д2 , д
ментальное решение оператора —	a tt-j ~ о —	с.
11.14. Доказать, что:
1)	$i(x,t) =	j= ег<кХ /Dt)-7r/4) — фундаментальное решение
оператора Шрёдингера г — + -т—7 (Указание. Воспользоваться
формулой j еги du = ^— ег7Г//4. J;
оч „ ( °.ч	^(^) / mo W2 /. Г|ж|2 , , .пх тгп1\
2)	^п(ж, *) =	^ ( ^^ ) ехр \ г \ -Л- (ш + гО) - — | J> — фун-
фундаментальное решение оператора ih— + 7^— А; п любое;
3) 	^7=	 ехР \±\ о Н	г ) >, А; ^ 1, 2,.... — фундамен-
/ /9	\^
тальное решение оператора f — =Ь га2 А) в i?n (Указание. Вое-
пользоваться задачей 11.11.).
11.15. Доказать, что:
1) $i(x,t) = —0(at — |ж|) — фундаментальное решение одномер-
ного волнового оператора Ша; выяснить физический смысл;
2) $2(x,t) = 	^ *ж^ = — фундаментальное решение дву-
2тгад/а2?2 — \х\2
мерного волнового оператора Ша, ж = (^1,^2); выяснить физический
смысл.
Указание. Воспользоваться задачей 9.26.
9 Под ред. B.C. Владимирова

130	Гл. III. Обобщенные функции
11.16. Доказать, что:
^^42 ~ |Ж|2)' ГДе Sat : |Ж| = ^
является фундаментальным решением трехмерного волнового опе-
оператора Па, х = (ж1,Ж2,жз); выяснить физический смысл (Указа-
(Указание. Воспользоваться задачей 9.27.);
2)	-—- 6(at—\x\) — фундаментальное решение оператора П2 вй4;
3)	i	
тальное решение оператора П* в Rn;
4) фундаментальное решение оператора Па в R4 можно предста-
представить в виде	1
11.17. Доказать, что
1	-<n-3)/2[9(t)S(a2t2-\x\2)],
п > 3 нечетное,
e(at -
п четное,
является фундаментальным решением волнового оператора Па.
Указание. При нечетных п воспользоваться формулой
и задачей 9.27; при четных п применить метод спуска по перемен-
переменной Хп+1.
11.18. Доказать, что g(x,t) = ^ %? - \х\) eKo.t-x)/Ba2) _ фун_
даментальное решение оператора а
Указание. Воспользоваться формулой
ск+гоо
-L / — d^ = (9(т), а>0.
2ттг J z	K h
ot — ioo
11.19. Доказать, что:
1) (о(х^) = —6{tN{—x)eatJrbx — фундаментальное решение опе-
оператора	д2	д	д
-а-	Ъ — + ab, где Ъ > О
(см. указание к задаче 11.18);
2) ё{х, i) = 0(t) в(х) /о {2ту^ху) — фундаментальное решение опе-
гл2
О	2 о2
ратора -—	m в R .

§ 11. Фундаментальные решения дифференциальных операторов 131
11.20. Доказать, что фундаментальным решением оператора
?а — т2 является функция
2а	\ а
11.21. Доказать, что фундаментальным решением оператора
Клейна—Гордона—Фока Па + т являются функции
#, ,ч 9(at-\x\) Т (т rir^ «\
<?(ж, t) = 2а Jo (^— ya2t2 -х2 у п = 1;
cos
( ^ лДЛ2 - ж2 )
= 3,
4тга2
где Jo, Л — функции Бесселя.
11.22. Доказать, что фундаментальными решениями телеграфно-
телеграфного оператора Па + 2?тг —- являются функции
ot
1/ /	\
^ t) = — e-mtO(at - \х\) /о т\ t2 - ^ , п = 1;
2?у \	2 J
e-mte(at - \х\) ch (m Jt2 -\х\2/аА
, t) = 	. V		'-,	n = 2;
У	22^2||2/2
- \x\) h (m Jt2 - \x\2/a2)
v		L
n — з
где /о (С) = Jo(*?)j ^i@ = ~^Ji(^) — функции Бесселя мнимого ар-
аргумента.
Указание. Воспользоваться задачей 11.21.
11.23. 1) Доказать, что g{x,t) = vO(t) e~avtS(x - vts), где
сю
@(t) e~avt5(x - vts),ip(x,t)) = Г e-avt(f(vts,t)dt
о
— фундаментальное решение оператора переноса
i^^=E(x,^), \s\ = 1, г; > 0, а > 0; п = 3;
9*

132	Гл. III. Обобщенные функции
2) доказать, что
— фундаментальное решение стационарного оператора переноса
E,grad^°) + а<?° = 6(х), п = 3.
11.24.	Найти фундаментальное решение уравнения Z * § = ?,
где Z из задачи 8.30.
11.25.	Доказать, что если <?(ж,?) — фундаментальное решение
оператора переноса
L(D) = п1^- + ... + ап -?- + а, |а| ^ 0,
то
(Й + + uf'1 ?{ t)
— фундаментальное решение оператора Lk(D).
Указание. Воспользоваться индукцией по к.
Пусть f(x,t) e @'(Rn+1) и ip(x) e @(Rn). Введем обобщенную
функцию (f(x,i),(p(x)) G ^'(R1), действующую на основные функции
ф G ^(R1) по формуле
Из определения вытекает, что
= €,U{x,t),ip(x)), k = 1,2,...
Говорят, что обобщенная функция f(x,i) принадлежит классу Ср
по переменной t в интервале (а, Ь), если для любой </? G @(Rn) обоб-
обобщенная функция (f(x,t),ip(x)) G Cp(a,b).
11.26.	Для фундаментальных решений ^n(x,t), n = 1,2,3, вол-
волнового оператора, рассмотренных в задачах 11.15-11.16, доказать:
1)	gn{x,t) eC°° note [0,oo);
2)	in[x,t) -^ 0, dgn^t] —^ J(x), ^^ —^ 0 при t ^ +0
в ^'(iT).	^	^
11.27.	Для фундаментального решения ^(x,i) оператора тепло-
теплопроводности (см. задачу 11.12) доказать, что
g{x,t) -^S(x), t^+0 в Q)\Rn).
11.28.	Для фундаментального решения оператора Шрёдингера
(см. задачу 11.14) доказать, что
Si(x,t) —>-iS(x), t—> +0 в QJ\RX).
11.29.	Для фундаментального решения из задачи 11.18 доказать:
1) g{x,t) eC°° note [0,oo);

§ 11. Фундаментальные решения дифференциальных операторов 133
2) ${х t) 	> 0
в *'(#) '	' *
11.30. Для фундаментального решения из задачи 11.13 доказать,
?[x,t) —> й(ж), t —> +0 в
Ответы к § 11
11.1. Единственность. Очевидно, ?(х) Е @\_. Для и =
= S' — <#**, где <#** Е @\_ — другое фундаментальное решение, имеем
L(D)u = 0. Свертка и * «^существует (см. формулу (8), §8). Имеем
u = u*S = u* L{D) 8 = L{D) и * 8 = 0. Следовательно, <#** = ё.
11.3. 1) в(х) 1~е Х;	2) 6>(ж)жеж;
3) 6>(ж)(е-ж -е-2ж);	4) l9(x)e2a;sinx;
5)	т~2 ваЖ ~ е~аж/2(со8^--ж + л/3 sin^—ж) ;
ба I	\ z	z J\
6)	-у^A-ежJ;
7)	-^~y (sh аж — sin ax);	8) -^ (ж ch x — sh ж).
11.12. Решение. Применив преобразование Фурье Fx к равен-
равенству —	а2А? = й(ж,^), в силу результатов задачи 9.21, 1) и 2) и
формул из § 9 получим
л, I ^ isi ^ -"-vsy ^ \uj 1 где
Пользуясь формулой для ?(t) задачи 11.2, 1) с заменой а на а2|^|2,
заключаем, что <?(?,?) = O(t)e~a ^ г. Отсюда в силу задачи 9.24
g(x t) - F-l \g(t t\] _ W)	-\x\2/Da2t)
? L	J Bал/тг^)
11.15. Указание. См. решение задачи 11.12. Для искомой
Z(t) е С2 получим задачу Z" + a2?2Z = 0, Z@) = 0, Z@) = 1.
Отсюда Z(t) = —-^- и, следовательно
Далее воспользоваться задачей 9.25.
11.24. ^ е-^/BЬ) (cos^ _ Д_ Sin^Л, если 4L - Ci^2 > 0, где
_

Глава IV
ЗАДАЧА КОШИ
§ 12. Задача Коши для уравнения второго порядка
гиперболического типа
1. Задача Коши на плоскости. Задача Коши для уравнения
а(х, у) ихх + 2Ь(х, у) иху + с(х, у)иуу + d(x, у) их +
+ е(х, у) иу + f(x, у)и = F(x, у) A)
с условиями
I	ди
и\г=и0(х,у), — ^=Ul(x,y)	B)
состоит в следующем. Пусть в области D задано уравнение A) гипер-
гиперболического типа (Ь2 — ас > 0) и на кривой Г, которая принадлежит
области D или является частью границы области D, заданы функ-
функции щ(х,у), щ(х,у) и направление 1(х,у). Требуется найти функцию
и(х,у), которая в области D является решением уравнения A) и на
кривой Г удовлетворяет условиям B).
Если в каждой точке кривой Г направление / не является касатель-
касательным к кривой Г и касательное направление к кривой Г не является
характеристическим, то в области I), ограниченной характеристика-
характеристиками, проходящими через концы кривой Г, при достаточной гладкости
коэффициентов уравнения A) и данных условий B) существует един-
единственное решение задачи Коши A), B).
12.1. Пусть на интервале (а, Ь) заданы функции </? G С2, ip' ф 0,
щ G С2, и\ G С1. Доказать, что задача Коши
иху = 0, а < х <Ъ, с <у < d]
и\у=ч>(х) = ио(х), иу\у=<р(х) = ич(х)
имеет единственное решение
и(х,у)=ио(х)+
х
где с = mf(p(x), d = supy?(x), ^p~1{y) — функция, обратная к функ-
функции (f(x).

§ 12. Задача Коши для уравнения гиперболического типа 135
12.2.	Пусть на интервале (—1,1) заданы функции щ Е С2, щ Е С1.
Доказать, что задача Коши
ихх — иуу = 0;	и\у=0 = Щ(х),	Uy\y=o = U\{x)
имеет единственное решение в квадрате {\х — у\ < 1, \х + у\ < 1}.
Показать, что этот квадрат является наибольшей областью единст-
единственности решения поставленной задачи.
12.3.	Доказать, что решение задачи Коши
иху = 0, -оо < ж, у < оо;
и\у=О = U0(x),	Uy\y=O = Ul(x)
существует только тогда, когда ио(х) Е С^Д1), a u\{x) = const. По-
Показать, что при этом решение поставленной задачи не единственно и
все решения этой задачи можно представить в виде
и(х,у) = ио(х) + f(y) - /@) + y[Ul@) - /'@)],
где f(y) — любая функция из класса С2(it!1).
12.4.	Доказать, что решение задачи Коши
иху = 0, \х\ < 1, 0 < у < 1;
и\у=х2 = 0, иу\у=х2 = щ(х)
существует только тогда, когда щ(х) G С(—1,1), хщ(х) G С1(—1,1),
щ(х) — четная функция.
Показать, что при этом решение поставленной задачи единственно
у/У
и и(х, у) = 2 Г ?щ (^) d^.
х
12.5.	Доказать, что решение задачи Коши
иху = 0, \х\ < 1, \у\ < 1;
\У — Х	115	л 2/ — Ж
существует только тогда, когда а = 0 или а > 6. Показать, что при
этом решение поставленной задачи единственно и и(х,у) = |?/|а//3.
12.6.	Доказать, что решение задачи Коши
ихх -uyy = 6(x + ?/), -оо < ж, У < оо;
и\у=х = О,	^ж|^ж = Mi (ж)
существует только тогда, когда ui(x) — Зж2 = const. Показать, что
при этом решение поставленной задачи не единственно и все решения
этой задачи можно представить в виде
и(х, у) = х3 - у3 + f(x -у)- /@) + (х - i/)[ui @) - /'@)],
где f(x) — любая функция из класса С2(Д1).

136
Гл. IV. Задача Коти
В задачах 12.7-12.19 требуется найти наибольшую область, в кото-
которой поставленная задача Коши имеет единственное решение, и найти
это решение.
12.7.	иху = 0;
и\у=х2 = 0, иу\у=х2 = лДх\, \х\ < 1.
12.8.	иху + их = 0;
и\у—х = sinx, их\у—х = 1, |ж| < оо.
12.9.	ихх - иуу + 2их + 2иу = 0;
и\у=о = ж, ^у|у=о = 0, \х\ < оо.
12.10.	ихх - иуу - 2их - 2иу = 4;
и\х=о = -у, их\х=0=у-1, \у\<оо.
12.11.	ихх + 2иху - ЗиУу = 2;
^1^=0 = 0, иу\у=о = х + cosx, |ж| < оо.
12.12.	ижу + уих + жиу + ж^/u = 0;
Чу=зж = 0, иу\у=3х = е~5ж , ж < 1.
12.13.
2)
-иж = 0;
и\у=о = ж,
|у=о = 0, х > 0;
и|у=ж = sin ж, их\у=х = cos ж, ж > 0.
12.14. хихх + (х + у) иху + ^иУ2/ = 0;
у=1/х=х3, их\у=1/х=2х2, ж > 0.
12.15. ихх + 2A + 2ж) иху + 4жA + ж) г^ + 2иу = 0;
\у\<оо.
У < 0;
12.16.	1) х2ихх - у2иуу - 2уиу = 0;
^U=i = У, ux\x=i =У,
2) ижж - 4х2иуу	их = 0;
^U=i = 2/2 + 1, ^U=i=4, |2/| < 00.
12.17.	х2ихх — 2хуиху — Зу2иуу = 0;
и\у=1 = 0, uy\y=i = V^5 ж > 0.
12.18.	уихх + жB^ - 1) иху - 2х2иуу -^-их + -^— (их + 2хиу) = 0;
^0= ж2,
ж > 0.

§ 12. Задача Коши для уравнения гиперболического типа 137
X ~\~ U
12.19.	уихх - (х + у)иху + хиуу	(их — иу) = 0;
х у
и\у=о = х2, иу\у=о = х, х > 0.
Задачи 12.20-12.24 требуется решить методом Римана.
12.20.	иху + 2их +иу + 2и = 1, 0 < ж, у < 1;
и\х+у=1 = ж, ^ж|ж+2/=1 = х.
12.21.	хуиху + жиж - уиу - и = 2у, 0 < х, у < оо;
и\Ху=1 = 1-2/,	Uy\xy=1 =X-1.
12.22.	иху + ^^ (их +иу) = 2, 0 < ж, у < оо;
у=%
у=х — -L ~г~ X.
12.23.	ихх - uvy + - их - - uv = О, \х-у\<1, \х + у-2\<1;
х	у
u\y=i = мо(ж), Uy\y=1 = Mi (ж), Mo G С @,2), ui G С @,2).
12.24.	2мжу - е~хиуу = 4ж, -оо < ж, у < оо;
и\у=х = Ж5 COS Ж,	%|з/=я; = Ж2 + 1.
2. Классическая задача Коши. Классической зада-
задачей Коши для волнового уравнения называется
задача о нахождении функции u(x,t) класса C2(t > 0) ПС1^ > 0),
удовлетворяющей при t > 0 уравнению
utt = a2Au + f(x,t)	C)
и начальным условиям
м|г=0 = мо (ж), ut\t=o = ^1 (ж),	D)
где /,мо и Mi — заданные функции.
Если выполняются условия
/еСЧ^О), м0 е C2(lV-), Mi G СЧД1), га = 1;
E)
/GC2(*>0), no G С3(Лп), MiGC2(iT), га = 2,3,
то решение задачи Коши C), D) существует, единственно и выра-
выражается:
1) при п = 1 формулой Даламбера
м(ж, ?) = - [щ(х + at) + мо(ж - at)] +
z
ж+at	t x+a(t — r)
x-at	0 x-a{t-r)

138
Гл. IV. Задача Коши
2) при п = 2 формулой Пуассона
t
u(x,t) = -— /
О \?-X\<a(t-T)
1
2тга
2тга
*; G)
3) при п = 3 формулой Кирхгофа
\?-x\<at
4тга2
L \?-x\=at
(8)
12.25.	Пусть функция u(x,i) является решением задачи Коши
ии = а2ихх; u\t=o = uo(x), ut\t=o = ^i(^).
Доказать, что для любого Т > 0 существует решение задачи Коши
vtt=a2vxx, t<T, xeR1] v\t=T = u\t=T, vt\t=T = ut\t=T •
Показать, что u(x,t) = v(x,t) при 0 < t < T.
12.26.	Доказать, что если существует решение задачи Коши
utt = o?uxx] u\t=Q = uo(x), ut\t=o = ui(x),
то ueC2(t>0), uoGC2^1), uiGC^i?1).
12.27.	Пусть функция u(x,t) является решением задачи Коши
t
Доказать, что функция v(x,t) = I и(х,т) dr является решением за-
задачи Коши	°
vtt = a2Av; v\t=o = 0, vt\t=o = v(x).
12.28. Пусть функция u(x,t,to) при каждом фиксированном to > О
является решением задачи Коши
utt = а2Ащ
t=t0 = 0, ut
t=t0 =
Доказать, что функция v(x,t,to) = j u(x,t,r)dr является решени-
решением задачи Коши	to
vtt = o?Av + f(x,t); v\t=t0 = 0> ^t|t=to = 0-
12.29. Доказать, что если функции f(x),uo(x),ui(x) — гармони-
гармонические в Rn, a g(t) G Cx(i > 0), то решение задачи Коши

§ 12. Задача Коши для уравнения гиперболического типа 139
t=o =
utt = а2 Аи + g(t) f(x); u\t=o = ио(х), ut\
выражается формулой
u(x,t) = щ(х) +tui(x) + f(x) I (t - t) g(r)dr.
о
12.30.	Найти решение задачи Коши
ии = а2 Аи + /(ж); u\t=o = ио(х), ut\t=o = щ(х),
если ANf = 0, ANu0 = 0, ANUl = 0.
12.31.	Доказать, что для существования решения задачи Коши
ии = а2Аи, х е R2;
u\t=o = /Oi) + ^(ж2), ^|t=0 = F(x!) + С(ж2)
достаточно, чтобы функции f(x\) и ^(ж2) принадлежали классу С2(В}),
а функции F(x\) и G(x2) — классу С1^1). Найти это решение.
12.32.	Доказать, что для существования решения задачи Коши
utt = а2Аи, х G R3;
u\t=o = f(x1)g(x2,x3), ut\t=o = 0
достаточно, чтобы функция д(ж2,жз) была гармонической и / G С2(В}).
Найти это решение.
12.33.	Доказать, что для существования решения задачи Коши
utt = а2Аи, х G R3;
u\t=o = а(|ж|), ^t|t=o = /^(k|)
достаточно, чтобы a(r) G С3(г > 0), /3(r) G С2 (г > 0) и а;@) = 0.
Найти это решение.
12.34.	Доказать, что для существования решения задачи Коши
ии = Аи, х G R3;
u\t=o = 0A - \х\)\х\аA - \х\)Р, ut\t=o = 0
необходимо и достаточно, чтобы а > 2 и /3 > 3. Найти это решение.
Результат этой задачи сравнить с достаточными условиями E)
(с. 137) в случаях 2 < а < 3, C > 3 и а = 2, 2 < C < 3.
12.35.	Решить задачу Коши
utt = uxx; u\t=o = 0A - \х\)(х2 - IK, ^|t=o = 0.
Построить графики функций и(х, 0), и (х, -), и(х, 1), и(х, 2).
Решение задач 12.36-12.38 можно находить по формулам (б)-(8),
но иногда удобнее применить метод разделения переменных или вос-
воспользоваться результатами задач 12.27-12.32.
12.36.	Решить задачи (п = 1):
1)
2)
Utt
Utt
= uxx +
= ^uxx -
6;
\-xt;
и
и
t=0
t=0
= x2,
= x2,
ut\t=o
ut\t=o
= 4a
= x;

140
Гл. IV. Задача Коши
3)
4)
5)
6)
7)
Utt
Utt
Utt
Utt
Utt
= uxx Isinx;
= uxx + ex;
— 9uxx + sin a
= a2uxx + sin
= a2uxx + sin
u\t=o
u\t=o
•; ^|t=o
o;t; u\t=o
= sini,
= sini,
= 1,
= 0,
= 0,
Щ
Щ
Щ
Щ
Щ
12.37.	Решить задачи (п = 2):
1)	utt = Аи + 2;	u|t=o =
2)	u^t = An + 6xyt;	u\t=o =
3)	utt = Аи + ж3 — 3ж^
4)	utt = Аи-\-tsiny;
5)	u« =
6)	uu =
7)	utt = Au
8)	utt = a2/S
9)	u« =
ID) Uu — cl •
12.38.	Решить задачи (п = 3):
1)	Uu =
2)	u« =
3)	utt =
4)	utt = Au + 6texy^ sin у cos z;
w|t=o = ex+y cos^v^, ^|t=o =
5)	uu = a2Au;	^|t=o = ^t|t=o = '
w|t=o = e^cosu,
u\t=o = ж2,
t*|t=O — z«^ i/
• U=o = cos(
•|t=o = 0,
t=o = У2,
6)
8)
9)
г2е*; u\t=o = ut\t=o = 0;
cos ж smyez;
t=o = 0;
t=o = x + cos ж;
*=o = 1;
t=o = 0;
t=o = 0.
ut\t=o — e sin ж;
^t|t=o = sinu;
i/t |t=o — sin (bx + cu);
ut\t=o = 0.
ut\t=o =
Щ t=o = sin же
,V+z.
¦ же* cos (Sy + 4;
t=o = ^u cosz,
=o = Щ t=o = cos r.
12.39. Пусть выполнены достаточные условия E) (с. 137) для су-
существования решения задачи Коши
ии = а2 Аи;
и пусть при |ж| > S > 0
u\t=o =
т\х
а<и0(ж) <М|ж|а,
t=0 = ^l(^)
-1 < ui(x) < M\x
а-1
где а > 0, 0<m<M. Доказать, что для каждой точки жо су-
существуют положительные числа ?chCi5C2 такие, что при всех t > to
выполняется оценка

§ 12. Задача Коши для уравнения гиперболического типа 141
ta < u(xo,t) < C2ta.
12.40. Пусть выполнены достаточные условия E) (с. 137) для су-
существования решения задачи Коши
и^ — а Ащ u\t=o = щ(х), щ\г=о — Ui(x)
и пусть для а > О
г ио(х) л	,. ui(x) D
hm v y = A,	hm г—^- = B.
Доказать, что Hm v J ; = Сп и найти Cn, n = 1, 2, 3.
3. Обобщенная задача Коши для волнового уравнения.
Если решение u(x,t) классической задачи Коши для волнового уравне-
уравнения C), D) и функцию f(x,t) G C(t > 0) продолжить нулем при t < 0,
то эта функция u(x,i) удовлетворяет в Rn+1 уравнению (в обобщен-
обобщенном смысле)
utt = a2Au + f(x,t) +uo(x) -S'(t) +щ(х) -S(t).
Обобщенной задачей Коши для волнового уравнения с источником
F G ^/(JRn+1), F(x,t) = 0 при t < 0, называется задача о нахожде-
нахождении обобщенной функции и G ?}'(Rn+1), удовлетворяющей волновому
уравнению
utt = a2Au + F(x,t)	(9)
и обращающейся в нуль при t < 0.
Решение обобщенной задачи Коши (9) существует, единственно и
определяется формулой
u = Sn*F,	A0)
где ?п{х^) — фундаментальное решение волнового оператора,
Свертка Уп = <^n * F называется обобщенным волновым {запазды-
{запаздывающим) потенциалом с плотностью F.
В частности, если F = ^i(x) • J(t) или F = ^о(ж) • S'(i), то свертки
У„(о) = gn{x,t) * [щ(х) ¦ 6(t)} = gn(x,t)*Ul(x),
VP = gn{x,t) * [щ(х) ¦ S'(t)] = (?n(x,t) *uo(x))t
называются обобщенными поверхностыми волновыми (запаздываю-
(запаздывающими) потенциалами (простого и двойного слоя с плотностями щ
и щ соответственно).
Волновой (запаздывающий) потенциал Vn удовлетворяет уравне-
уравнению (9).

142	Гл. IV. Задача Коши
12.41.	Доказать, что если F(x,t) е S>'{Rn+1), F = 0 при t < 0, то
свертка ёп * F существует в &' {Rn+1).
12.42.	Доказать, что обобщенная задача Коши (9) имеет единст-
единственное решение в классе обобщенных функций из SI (RnJrX\ обраща-
обращающихся в нуль при t < 0.
12.43.	Доказать:
1)	Vn и Vn принадлежат классу С°° по t G @, оо);
2)	Vn и Уп удовлетворяют предельным соотношениям при
t —у +0
12.44.	Решить обобщенную задачу Коши (9) (ж G R1) со следую-
следующими источниками F(x,i):
1) (*(*) • (*(ж);	2) J(t - to) • 6(х - х0), t0 > 0;
3) 6(t)-6'(x);	4) rf'(t) -*(яг);
5) S'(t-to)-S(x); 6)
7) S"(t)-S(x);	8)
9)	S(t) • a(x) S(x), где a(x) G С и а@) = 0;
10)	S(t) -P(x)S(x), где /3(ж) G С и /3@) = 1.
Ниже при постановке обобщенной задачи Коши будем считать
источником функцию вида F(x,t) = f(x,t) + щ(х) • S'(t) + ui(x) • S(t),
/ = 0 при t < 0.
12.45.	Решить обобщенную задачу Коши со следующими источ-
источниками (х G R1):
1)	/ = oj(t) • 5(х), где	u(t) eC(t> 0),	u(t) = 0 при t < 0, и0 =
= ($0), щ = ?0);
2)	/ = 6(t) • 8(x),	uo = 5(x-xo),	Щ = x5(x);
3)	/ = 0(t) t • 6(x),	щ = EB - ж),	Щ = EC - ж); a = 1;
4)	/ = 0(t) sin? • E(ж-ж0), ^о = 0,	щ = xS'(x);
5)	f = 0(t)cost-5(x),	^o = 0,	Щ =ж2?"(ж);
6)	/ = 0(t) eat • S(x),	u0 = S(l - \x\),	щ = 0;
7)	/ = Щ.6B- x), u0 = 0,	wi = 6(R-\x\); a = 1;
8)	/ = 0(*) ^2 • й(ж),	u0 = С = const, ui = 6\R- |ж|); a = 1;
9)	f = 0(t)]nt-6(x),	^
10) /=fcil.EO), ^ = ^B-1x1), wi=0;	a = 1;

§ 12. Задача Коши для уравнения гиперболического типа 143
П) / = 0,	ио = 0, щ=9"B-\х\); а=1;
12)	/= MU. -6{х-1), г*0 = 0, иг =sinar<J'(ar-7r);
13)	/ = в {at - \х\), и0 = О, щ= 0;
14)	/ = 0(t)(at + f3) • х5'{х), щ = 0, щ= х5"{х)] а = 1.
12.46. Доказать, что если и\{х) — локально интегрируемая функ-
функция в Д1, то Vi (x,i) — непрерывная функция в R2 и выражается
формулой
x — at
12.47.	Доказать, что если ио(х) — локально интегрируемая функ-
функция в Д1, то Vi (x,i) — непрерывная функция в Д2 и выражается
формулой
V^\x,t) = Щ1 [ио(х + at) +uo(x- at)}.	A2)
Указание. Воспользоваться тем, что V^ — — [Si * щ(х)] в
силу задач 8.35 и 12.46.
12.48.	Доказать, что если f(x,t) — локально интегрируемая функ-
функция в Д2, равная нулю при t < 0, то потенциал Vi(x,t) принадлежит
С (В2) и выражается формулой
t х+а(г — т)
0 x-a(t-r)
12.49. Решить обобщенные задачи:
1)	utt = a2uxx + в(х) ¦ S'(t) + в[х) ¦ 5(t);
2)	ии = а2ихх + вЦ)(х - 1) + х ¦ S'(t) + sign (ж) • S(t);
3)	ua = a2uxx + 9(t) tx+Щ- Щ;
4)	utt = uxx + ^ + в(-х) ¦ 6(t);
5)	uu = uxx + 9(t - 2) lnt + \x\ ¦ S'(t);
6)	utt = a2uxx+e(t)tm+eB-\x\)-5'(t), m = l,2,...;
7)	utt = uxx + 9(t) ex+t + 0{x) e~* ¦ 6(t);
8)	utt = 9uxx + 6(t - тг) cosi + 9{x - 3) • S'(t) + l(x) ¦ 5(t);
9)	utt=uxx+9(t)9(x);
10)	utt = uxx + 29(t)9(x)x + eax ¦ S(t), a^0;
11)	utt = uxx + 0(t - l)(x + t) + \x\ ¦ 6(t);
12)	utt = uxx + 9(t - 2)t + 9(x - 1) Inx ¦ 5'(t);
13)	utt = uxx + 0(x)xm ¦ S'(t) + 9{x)xm ¦ S(t), m = 1,2,...;

144	Гл. IV. Задача Коши
14) utt = иХх Н—т^ + 0{х) cos ж • S(t);
15)	utt = uxx + 0(*) уДх + 6>(-ж) • <*'(*) + 0(-x) ж
16)	utt = uxx + 0{x) e"v^ • <*'(*) + ж2
17)	u^t = uxx + 0(t) sin (x + ?) + sin ж •
18)	Ti«=TiM+e(l-|a:|).J(t).
12.50. Доказать:
1) если u0 e С2(Яг) и щ e C1^1), то потенциалы Vi@) и УхA)
принадлежат классу C2(t > 0), удовлетворяют при t > 0 уравнению
?ам = 0 и начальным условиям:
^1A)|t=+o = «о(ж), (^1A))Jt=+o = 0
(Указание. Требуемые свойства непосредственно вытекают из
формул A1) и A2).);
2) если / G С1^ > 0), то потенциал V\ G C2(R2) удовлетворяет
при t > 0 уравнению Паи = f(x,t) и начальным условиям
(Указание. Требуемые свойства непосредственно вытекают из
формулы A3).).
12.51.	Пусть в задаче Коши (обобщенной)
ии = а2ихх + щ(х) • Sf(t) + щ(х) • S(t)
функции щ G С2 и и\ G С1 для всех ж, кроме х — Жо, где Uo,^i (или
их производные) имеют разрыв первого рода. Показать, что реше-
решение этой задачи является классическим всюду в полуплоскости t > 0,
кроме точек, лежащих на характеристиках, проходящих через точку
ж = жо, t = 0 (распад разрыва), для следующих случаев:
1)	и0 = 0{х) и(х), где си = С^Д1), и@) /0и^=0;
2)	и0 = 0, щ =6>(ж-ж0)о;(ж), где о; е С^Д1), о;(ж0) ^0;
3)	и0 = 6>(ж-1), щ =6>(ж-2).
12.52.	Для задачи Коши (9) убедиться в том, что:
1) от источника возмущения
F = щ(х) • Sf(t) = в(х0 - |ж|) /(ж) • S'(t), ж0 > 0,
/ G С2(Д1), возникают две волны, которые имеют в каждый момент
времени t > 0 передний фронт в точках ж = ±(а? + жо) соответственно
и в каждый момент времени t > — задний фронт в точках ж =
а
= =Ь(а? — Жо) (принцип Гюйгенса);

§ 12. Задача Коши для уравнения гиперболического типа 145
2) от источника
F = щ(х) • S(t) = в(х0 - \х\) f(x) • S(t), x0 > О,
/ Е C1(JR1), возникают две волны, которые имеют в каждый момент
времени t > 0 передний фронт в точках х = ±(а? + хо) и не имеют
заднего фронта (размыв заднего фронта волны или диффузия волн).
Указание. Воспользоваться формулами A1) и A2).
12.53. Решить следующие обобщенные задачи и доказать, что
полученные решения являются решениями и классической задачи
Коши C), D):
1)	ии = а2ихх + 0(t)(x + t) + eax • 5f(t);
2)	utt = a2uxx+O(t)t]nt + 3x'6'(ty,
3)	u« = а2ижж +0(t)(x2 +t2) +xm -5'(t), m = 1,2...;
4)	utt = uxx + 6(t)x2 + cos ж • ?'(?) + cos ж • S(t);
5)	u« = а2ижж + x2 In |ж| • S(t);
6)	u« = ижж + 0(t) cos (ж + t) +
7)	utt = ^жж + 0(t) sint +	2
8)	% = аЧж^
9)	«tt = uxx + (ax2 + p) ¦ 6'(t) + x4'z ¦ 6(t);
10)	иа = uxx + ln(l + ex) ¦ S'(t) + e~*2¦ S(t);
11)	utt = uxx + e(t)tmx + sinx ¦ S'(t) + xmS(t), m = 1,2,...;
12)	utt =uxx+e(t)arctgt +
13)	utt =4uxx+9(t) cosx +
14)	ми =«ж
15)	uu = ±uxx + e-x2-6'(t) + e~x sin a; ¦ 6(t);
16)	uu = uxx + sin2 x ¦ S'(t) + xe-W ¦ 6(t);
17)	utt =uxx
18) uu = uxx + 0A){хеь + tex) + -=L= ¦ S(t).
V1 + x2
12.54. Решить обобщенную задачу Коши для волнового уравне-
уравнения (х е R2):
1)	utt = а2Аи + 0(t) • 6(х) + 6(х) • S'(t) + 6(х) • J(t);
2)	u« = а2 Аи + 0(*) ^2 • 5(х) + |ж|тй(ж) • <*'(*) + й(ж - ж2) • 5(t), m =
= 1,2,...;
3)	utt = а2Аи + u(t) • 5(х) + е\х\5(х) • 5(t), где о; G С(* > 0) и и = 0
при t < 0;
4)	и** = а2Аи + 0(t)(at + /3) • 5{х) + й(ж - х0) • S(t).
10 Под ред. B.C. Владимирова

146	Гл. IV. Задача Коши
12.55. Решить обобщенную задачу Коши для волнового уравне-
уравнения (х е R3):
1)	ии = а2Аи + 0(t) • 6(х) + 6(х) • S'(t) + 6(х) • S(t);
2)	ии = а2 Аи + 0(* - t0) • 5(х - х0) + 5(х - х') • S(t), t0 > 0;
3)	Uu = a2Au + u;(t)-5(x) + \x\2?^-5f(t) + ^-5(t), k = 1,2,3,
где о; G С (? > 0) и о; = 0 при t < 0;
4)	w« = а2Аи + 6(t) sin^. 6(х) + е-1ж
^ 6(t).
ОХ к
12.56. Доказать, что если и\(х) — локально интегрируемая функ-
функция в Rn, п = 2, 3, то Vn — локально интегрируемая функция в RnJrl
и выражается формулами
' 2тга J д/о2*2 - Is - ?l2
Замечание. Так как V^ — — (ёп{х,i) * ^о(ж)), то, заменяя
в A4i) и A42) ^1 на щ и дифференцируя по t, получим
A44)
12.57. Доказать, что если f(x,t) — локально интегрируемая функ-
функция в Дп+1, п = 2,3, равная нулю при t < 0, то V2 — непрерывная
функция и Уз — локально интегрируемая функция в Rn+1 и они вы-
выражаются формулами:
12.58. Доказать:
1) если и0 е C3(Rn), щ е C2(Rn) при п = 2,3, то Уп@) и УпA),
п = 2,3, принадлежат классу C2(t > 0), удовлетворяют при t > О
уравнению Пам = 0 и начальным условиям

§ 12. Задача Коши для уравнения гиперболического типа 147
dVi
@)
dt
dt
= u1(x)J
t=+0
= 0;
t=+o
2) если f e C2(t> 0), то К GC2(t> 0), n = 2,3, удовлетворяет
при ? > 0 уравнению Пам = f(x,t) и начальным условиям
=+о = 0, -ж
= 0.
Указание. Требуемые свойства непосредственно вытекают из
формул A4) и A5), если в них сделать замену переменных ? — х = atr\
и ? — х = а(? — т)г) соответственно.
12.59.	Решить обобщенную задачу Коши для волнового уравне-
уравнения (х Е R ) и проверить, что полученные решения являются реше-
решениями классической задачи Коши C), D):
1)	f = 6(t),	щ = С,	m = С,	С — const;
2)	/ = fl(*)M2,
з) f = e(t)t2,
4) / = 6>(?)е-*|ж:
12.60.	Решить задачу Коши для волнового уравнения (ж Е R3) со
следующими данными:
1 \ ? л /j.\ I 12	г»	I 12
1) / = u(t)\x\ ,	щ = (J,	Ui = |ж| ;
3)	/ = o;(f), где и G С2 (? > 0) и о; = 0 при t < 0, u0 = 0,
a =
u0 =
u0 =
2, Uq =
1+ x 2,
ui = ж2;
^i = l +
ui = 0.
4) / = 0(*Iп|ж|, щ = 0,
i
6)	/ = 0,	Mo = sin|a;|2,
7)	f = 6{t)t,	uo = \x\2,
8)	/ = 6»(*)е-шы(ж), где w G C2,
9)	/ =
10)	/ = 0,
11)	/ = 0,	uo = e-^2
12)	/ = 9(t) sint,	щ = cos |ж
13)	/ = 0,	uo = C0(R-
14)	/ = 0{at-\x\),	uo = 0,
a =
= 0; a = 1;
a =
a =
a =
10*

148	Гл. IV. Задача Коши
Задачи Коши для уравнений 12.61-12.63 формулируются так же,
как для волнового уравнения.
12.61. Решить обобщенную задачу Коши для уравнения гипербо-
гиперболического типа
Паи = Ьих + -щ + F(x,t), а > О, Ь > О,
где	а
F(x,t) = f(x,t)+uo(x)-6'(t) + Шх) --щ(х)\ -
со следующими данными:
1) f = 0(t)-6(x), ио = ё(х),	Щ=6(х);
2)f = 6(t)x,	uo = 0,	и1=в(х)] а
3) / = 0{t) t,	uo = l,	щ=х;	а
ж,	ио = ах + C, щ = 0.
12.62.	Решить обобщенную задачу Коши для уравнения Клейна-
Гордона-Фока
Паи + т2и = f(x,t) +щ(х) -Sf(t) +иг(х) • 5(t)
со следующими данными:
1)	/ = 0,	щ = S(x), U\ = S(x), a = ?n = 1;
2)	f = u(t)-5(x), где wGC(t>0) и	о; = 0 при t < 0, щ = 0,
Mi = ж; а = m = 1;
3)	/ = #(?)? Mo = 1,	Mi = 1,	a = ?7i = 1;
4)	/ = 0,	мо = #(ж), Mi=6)(x), a = ш = 1.
12.63.	Решить обобщенную задачу Коши для телеграфного урав-
уравнения
?ам + 2?тшг = f(x,t) + uo(x) -5'(t) +иг(х) • S(t)
со следующими данными:
1)	/ = 0, м0 = 8(х), щ = 6(х), а = т = 1;
2)	f = u(t)-5(x), где wGC(t>0) и a; = 0 при t < 0, м0 = 0,
1^=0; a = ттг = 1;
3)	/ = 0, мо = 1,	Mi = в(х), а = ттг = 1.
Ответы к § 12
12.7.	l^/4-^/2); |аг|<1, 0 < у < 1.
О
12.8.	sinM - 1 + ех~у; — оо < х, у < оо.
12.9.	ж — 2/ — - + - е2у; ~°° < х, у < оо.
12.10.	- [1 - ж - Зм + (ж + у - 1) е2ж]; -оо < х, у < оо.
12.11.	ху + - sin -^ cos (ж + |); -оо < х, у < оо.

§ 12. Задача Коти для уравнения гиперболического типа 149
12.12. (у - Зх) e-(*W)/2; х < l5 у < з.
12.13.
4
2) ж3?/ + sin ж - - х4 - - х4у2; х > 0, у > О.
12.14.	—; х >О, 2/>О.
12.15.	2х + у - х2; — оо < х, у < оо.
12.16.	1) |- + ^; ж > 0, 2/ < 0; 2) ж4 + у2; х > 0.
Зж 3
12.17. ^
, у>0.
|
12.18.	ж2 + 2у2 + 1; ж > О, -i < у < х2.
12.19.	х2 + ху + у2; х > \у\.
12.20.	| + D - Зу) е1"*-*' -
12.21.	жу-у; Д=^.
12.22.	х-у + ху; R= ^1.
12.23.	^ [(х + ?/ - 1) щ(х + ?/ - 1) + (х - у + 1) щ(х - у + 1)] +
12.24. B/-ж)(ж2 + 1)
N-1
12.30. V
.2k + l
A4W + 7
12.31.	i [/Oi + at) + /(я?! - at) + #(ж2 + at) +
+^ / ^)«+^
Ж1- at	xi—at
12.32.	i ^(яг2, x3) [f(x! + at) + f(Xl - at)].
12.33.	щ [(\x\ + at) a(|x| + at) + (|s| - at) a(\\x\ - at\)] + -
|ж|+а*
x / rC(r)dr при |ж| т^ 0 и ЦО, t) = a(at) + ata'{at).
\\x\-at\
12.34. ^ [0A - \x\ - t)(\x\ +t)«+1(l - |x| - t)^ + 6A - ||x| - t|)x
x sign(>| -t)\\x\ -t|a+1(l- ||ж| -t\Y]
при \х\фЪ и u@, t) = 0A -t)taA -t)^-1 [(a + 1)A -t) -/3t].

150	Гл. IV. Задача Коши
12.35. i 0A - |ж +t|) [(ж +1J - I]3 + i 0A - |ж - t|) [(ж - tJ - l]3.
12 Я6 Л (r + 2/^2-	2^ r2 + r/ + 4/2 + -r/3"
6
3) sin ж;	4) жt + sin (ж + t) — A — cht) еж;
5) 1 + t + - A - cos3t) sin ж;	6) —^—^ A - cos auot) sin cox;
7)	 sinut.
12.37. 1) x + ty + t2;	2) xyt(l + t2) +x2 -y2;
3) -t2(x3—3xy2)+ex cosy+ tey sinx;	4) ж2 + t2 + tsiny;
5)	2ж2 - у2 + Bx2 +y2)t + 2t2 + 2t3;
6)	x2 + ty2 + i *2F + ж3 + y3) + t3 + | i4(x + j/);
8) cos (bx + c^/) cos (a^ \/Ъ2 + с2)-\	r^=^ sin (bx + c^/) sin (a^ \/Ъ2 + с2);
av&2 + c2
9)	(ж2 + у2JA + t) + 8a2i2(^2 + j,) (i + 11) + | a^ (x + ty
10)	(ж2 + у2 + 4a2)(e* - 1 - t) - 2a2t2 (l + 11).
12.38. 1) ж2 + y2 - 2z2 + i + i2xyz;
2)	y2 + tz2 + &t2 + lt3 + ±t*x2 + ^tQ;
3)	ж2у2^2 + txy + 3t2(x2 +y2+z2+ x2y2 + x2z2 + y2z2) +
l+x+y+z) +|i;
2	/5
4)	ех+У cos (zy/2) + ^е3^+4^ sin 5ж + ^Зеж^ sin у cos z;
5)	A + ^)(ж2+?/2 + ^2J
6)	(ж2 + у2 + z2 + 6a2)(e* - 1 - t) - a2^2C + t);
7)	— A — cos at) e2 cos ж sin 2/ +
p sh at sin ж + -^ sh (atл/2) + ?2ch (atл/2) ;
а	л/2 v y	J
8)	xy cos 2: cos at H—^/ze^sh at +
ж	/	1 \
H	 cos Cy + 4:z)(et — cos 5at	sin 5at);
1 + 25a2	V	5a	/
9)	(cos at + - sin at J cos \/ж2 + у2 + z2 +
\	a	/
H—	= sin Jx2 +y2 + z2 (tcosat - atsinat	sinat).

§ 12. Задача Коти для уравнения гиперболического типа 151
тг/2	тг/2
12.41. Решение. Свертка <?n * F существует в силу 8.34 и
определяется формулой этой задачи, где g = ёп и / = F, так как
FO,f) = 0 при t<0n supp<fn(M) С Г+ в силу 11.15-11.17.
12.42.	Решение. Для w = и - и*, где u*(x,t) е &(Rn+1),
и* = 0 при ? < 0, — другое решение задачи (9), имеем w е S>'(Rn+1),
w = 0 при t<0n гигг = a2 Aw. Свертка Sn *w существует в силу 12.41.
Тогда w = S * w = ((^п)и — a2A<^n) * u? = <fn * (^t — a2Aw) = 0.
Следовательно, и* = и.
12.43.	Решение. 1) <?п(ж, t) G С°° по t G [0, оо) в силу 11.26.
При каждом t > 0 носитель supp<fn содержится в шаре \х\ < at и,
следовательно, равномерно ограничен в Rn при t —У to > 0. Поэтому
в силу непрерывности свертки в 3>1 имеем
,оо), Л = 0,1,...	(*)
Для всех <р G 3}{Rn) (определение обобщенной функции (u(x,t),ip(x)) G
G ?}'(Rn) см. в конце § 11). Далее, в силу результатов задачи 8.35
GC[0,oo)
в силу (*). Следовательно, (Уп(О)(ж,^),(^(ж)) G С°°[0,оо), т.е. Уп@) G
по t G [0, оо). Аналогично для Vn ;
2) в силу 11.26 при * —У +0
Уп@)(ж,?) =^n(ar,t)*wi(ar) —^ 0 * wi =0 в ^'(Яп),
= d&n(x,t) ^и1ф _^s*Ul =иг(х) в ^(i^n).
12.44. Указание. Воспользоваться формулой A0) из § 12, за-
задачей 11.15, формулами C), Ci) из § 8 и задачами 8.31 и 8.8.
e(at\x\); 2) ±
2а	2а
3) ж = he{t) s{at + x)~h9^ s(-at ~

152
Гл. IV. Задача Коти
4) r?l = -
6) j^O(t)S(at
' Л+2	О ^J
5) -5(a(t-to)-N);
-^-в(*)«(о*-ж-аго);
9) 0;
12.45. См. указания к задаче 12.44.
10) ±9(at-\x\).
1) Решение. Уравнение (9) для искомой и(х, t) имеет вид
utt = а2ихх + f(x,t) +ио(х) • Sr(t) +ui(x) • S(t) =
= а2ихх + u(t) • S(x) + S(x) • Sf(t) + S(x) • 5(t).
В силу формулы A0)
и = Vi + V!A) + У!@) = ^i * [o;(t) • S(x)] +
+ A * [S(x) • Sf(t)} + & * [J(ar)
**)
В силу задачи 8.36, 1)
t-\x\/a
В силу задачи 12.44, 1) и 4)
«,(T)dT.
Подставив Vi, V± и V/ в (**), получим решение обобщенной задачи
Коши (*). Из 12.2 следует единственность задачи (*). Из задачи 12.43
следуют предельные соотношения u(x,i) —У ?(?), щ(х,г) —У S(i),
t-^0 в 0'(ДП);
1^1) + \
2) ^2
\
\
±
3)	\ 0(t - \x\)(t - ИJ + \ 0(t - \х - 3|) + ±6(t-
4)	^ 0(at-\x-xo\)\l-cos (t-^
з а н и е. xS'(x) = —S(x).);
x-
(У к a-
5)	-^ 0(at - \х\) [2 + sin (^-—)] (Указание. х25"(х) = 25(х).);
6)	2^<?(а*И||/)) ^	^
7)	6(t -\x-
8) \9(t - \x\)(t - \х\Г + C0(t) + ie(t-\x + R\) -\9(t-\x- R\)
(Указание. См. задачу 7.14, 1).);

§ 12. Задача Коти для уравнения гиперболического типа 153
9)	^ O(at - \x\)(t - М) In [е-1 (t - М)] + \ 5 (at - \х\);
10)	le(t-l-\x
11) \ 9(t) 6(t + х + 2) - \ 9(t) S(t - х - 2) - \ 9{t) 6(t + x - 2) +
A	A	A
-6(tM(t-x + 2) (Указание. См. задачи 7.14, 1) и 8.8, 2).);
А
12) 1- в (at -\x- 1|) In (l + t - J^—II) + 1- 9(at - \x - тг|);
zci	\	a / Aa
13)
- \x\
2 #2 z
at — x
4a2
14) -i 0(t - \x\)[a(t - \x\J
\x\)] - 0(t) S(t + x)
(Указание. Воспользоваться х8"(х) = — 2?/(ж) и задачей 8.8, 2).).
12.49. Указание. Воспользоваться формулами A0)—A3).
1) Решение. и = Vi +V1A) +У1@); Vi = 0. В силу формулы A1)
x-\-at
j
V x-\-at
x — at
x — at
L 0
- f
= в~р- [6(x + a*)(ж + at) - 0(x - at)(x - at)},
Aa
at
0(t) r
2a J
2)
2a
ж + at | — |ж — at |
2a
3) 0(t) [^ + -
[6a
In (t + 1) - t + i 0(t - x)(t - x) + i 0(-t - яг)
4)
(Указание. ^ = i 0(t - |s|) * ^ •
5) l9(t-
6) M
J 2
,m + 2
+ 0B - |ж + at\) + 0B - |ж - at\) ;
2 |_(m+l)(m + 2)
8) -0(t - тг)A + cost) + °-^- [0(x + 3t - 3) + 0(ж - 3t - 3) + 2t];
7) M
g) Ш щх + t)(x + tJ + 0(ж - t)(x - tJ - 26(x) x2];

154	Гл. IV. Задача Коши
10) ^ \в(х + t)(x + tK + в(х -t)(x- tf - 2в{х) х3 + ^ e
O;
11)	^^-(Зх +1 + 2)(t - iJ +
+ Ш [sign (x + t)(x + tJ - sign (x -t)(x- tJ];
12)	e-itp±(t + 4)(t-2J +
+ ^ Щх - 1 + t) \n(x + t) + 9(x - 1 - t) In(x - *)];
is) f
14) ^ [8i3/2 + 3<9(ж + t) sin (ж + t) - 39(x - t) sin (x - t)];
!5) 0(t)|4
15	v	'\2 4
16) M [бж2* + 2i3 + Щх + t)
17) -^ [cos ж sin t + 2 sin ж sin ? — ? cos (x + ?)];
18) M [0A + x + *)A + ж + t) - 0A + x -
(-l + ж - t)(-l + ж - t) - в {-I + ж + t)(-l + ж + *)].
12.53. Указание. Воспользоваться формулами A0)—A3), за-
задачей 12.50 и решением задачи 12.45, 1).
г л	5\	1 /	1
2)	0 m Ud I - In ? — — 1 + Зж en at\ Указание. V\ — — х
L \6	36/	J V	2а
xO(at- \x\)*e(t)tlnt-l(x).y,
4-j \ G16) Г / 	2\ J.4 i /°J_2 2 i /° / i _t\777 i /° /	_t\777"l
3)	-р-^ [A — а ) t + 6^ ж + 6(ж + at) + 6(ж — at) \;
4)	-р-^ [t4 + б^2ж2 + 12 cos ж • (sin t + cos ?)];
5)	-тг^ Г3(ж + а^K In |ж + at I - Six - atK In |ж - at\ - 6ax2t - 2a3t3];
18a L	J
0(t) Г	2X+1 - 2
6)	-^ t sin (ж + ?) - sin ж sin t -\	——
z	in z
Г	1	0^	1
7)

§ 12. Задача Коти для уравнения гиперболического типа 155
9) O(t)\a(x2 +t2)+f3
2
11) 0{t)
ж?т+2
(m+l)(m + 2
12) -^{(?2-l)arctg
13) Ш (cosx Sin2? +
2 V
14) -U
[2x(t-smt)-
+ A f (V + fO/3 _
14 ^ '
2ежсЬ^) + / e~z
x-t
1 Q1TI T* РПЧ / 1
J
^ + ^ — tin (t2 + 1) -
. л/1 _L fT _L 0/^2 1
dz
+ t)m+1 - (x -t)m+1
2(m + 1)
-1п[(^+Ж2 + 1J_4^2]}.
y/\ + {x-2t)*);
(x-
-iJe-l*-*l];
15)
. v p — x \p2t гпч [ T _ О/ _ ^ ) _ ^-^c гпч / T _i_ oy. _ ^_ \ I i .
e e cos i x zz; i e cos i x -t- li л )\h
16) 0(t) sin2 x cos2 ? + cos2 x sin2 ? +
ж + t\)
17) 0(t) \x (t arctg t - In \/l + ^2)
+ |a;-t|)-i,
1
4 - 2cos (x +1) ' 4-2cos(a;-t)
+ ¦
1
12.54. Указание. Воспользоваться формулой A0) и зада-
задачей 11.15, 2).
Л	j	\ dS2{x,t) _
1)
2)
0(at - \х\) Л at + УаЧ* - \x
4тга3
\2 _ UI2
3)
4)
27га
+ ^2(ж - Xo,t).
12.55. Указание. Воспользоваться формулой A0) и зада-
задачей 11.16, 1).

156
Гл. IV. Задача Коти
dt
где <f3 =
2)
3) Р е ш е н и е. и = V3 + F3(
@)
). В силу 8.35, 1)
Так как с?5ж d(at) = dx — элемент объема в й3, то
яз
4тга2|ж
4тга2|ж|
(x,i) dxdt.
Следовательно,
_ oo(t-\x\/a)	(о) _ dS'sjx.t)	(i) _ dS'sjx.t)
3~ 4тга2|Ж| '	3 " &c* '	Кз "	^ '
так как \х
4)
так как е
4тга2|ж|	dxkdtj "" ""	^ж/г	^ж/г
12.59. Указание. Воспользоваться задачей 11.15, формула-
ми A0), A40, A4з) и A5i).
2)	в{1)\^ + 1а
L 6 3
3)	в{1)[^ + 2-аЧ*
Uly ¦
4) 0(t)[| a2i3 + Da2 + \x\2){t - 1 + е"*) + 1 + |ж|2].
12.60. Указание. Воспользоваться задачей 11.16 и формула-
формулами A0), A42), A44) и A52).
2) *(*) ^-
И;

§ 12. Задача Коти для уравнения гиперболического типа 157
3) j'u(r)(t -r)dT + O(t)(aa2t3 + a\x\2t + f3t);
5)	^) (\x\ ft i Fl +at i f| - a^ \
6)	Щ- [(\x\ + t) sin (|x| + ^J + (\x\ - t) sin (И - ^J +
7) ^
12
8)
2е~1ж12 /" e-^sh 2/)|ar| dp + sin (|ж| + tJ - sin (|ж| - tJ
10) ^|
11) -^<
j 8Ы
- t) In A + O| - tJ) +
+ [(|ar| + tJ In (|ar| + tJ - (\x\ - tJ In (\x\ - tJ - U\x\]};
12) 9(t) (t -sint+ |ж|/а* cos (|ж| + atJ +
\	Л\Х\
x\ — at
2\x\
cos ж
-atJ);
13) ?^[(\x\-atN(R-\\x\-at\) + (\x\+atN(R-\x\-at)] (У к a-
2\x\
з a н и е. Решение зависит только от \х\ и t; подстановкой ui(r,t) =
= ru(r,t) свести задачу к задаче Коши для уравнения колебаний
струны и воспользоваться формулой A2).);
14) 0(at - \х\
(аН2 -
8а2
12.61. Указание. Воспользоваться формулой A0) и зада-
задачей 11.18.
1) Решение. и\ =V\ +V± +V± , где

158
Гл. IV. Задача Коши
V™ = $* Ых) ¦ S'(t)] = ^ * Щх) ¦ S(t)] = ?? =
_ Ь 0 8{at - \х\) f b(x-at)
~ Ya&+ 2	eXP	^—
где #(ж, i) определяется формулой задачи 11.18;
Г	f2
2) 6{t) (e* - 1)(ж + t - 3) + 3* - xt + - +
9(х + t) e* - 9(х -t)- 9(t - \х\) е^-^
3) 0(t)
4)
12.62. Указание. Воспользоваться задачей 11.21.
0(t-\x\)
Л
=:S(t-
2)
3)
9Jf f
x-t
2-
t) + 0(x - t)
\е~Щ- \х\) +е~Щ-
12.63. Указание. Воспользоваться задачей 11.22.
+ \
,	t-\A
2) ±0(t-\x\)e-* I cv(T)eTJ0(i^(t-Ty-x2)dr;
3)
0
-t

13. Задача Коши для уравнения теплопроводности	159
§ 13. Задача Коши для уравнения теплопроводности
Классической задачей Коши для уравнения тепло-
теплопроводности называется задача о нахождении функции u(x,i) класса
C2(t > 0)nC(t > 0), удовлетворяющей при х Е Rn, t > 0 уравнению
щ = а2Аи + f(x,t)	A)
и начальному условию
u\t=o = uo(x),	B)
где /и wq — заданные функции.
Если функция / Е С2 (t > 0) и все ее производные до второго
порядка включительно ограничены в каждой полосе 0 < t < Т, а
функция щ Е C(Rn) и ограничена, то решение задачи Коши A), B)
в классе функций u(x,i), ограниченных в каждой полосе 0 < t < Т,
существует, единственно и выражается формулой Пуассона
u(x,t) =
[2ay/irt) J	I 4a-z j
Rn	j.
' \*-i\2
d?dT.
13.1.	Пусть функция и(х, t, to) принадлежит классу С2 при
х G Rn, t > to > 0. Доказать, что функция u(x,t,to) при каждом
to > 0 является решением задачи Коши
щ = а2Аи, u\t=t0 =f(x,t0)
тогда и только тогда, когда функция
t
v(x,t,to) = u(x,t,r)dr
to
при каждом ?о ^ 0 является решением задачи Коши
vt = а2Ау + /(х^), v\t=t0 =0.
13.2.	Пусть Uk(xkjt) — решение задачи Коши
щ = а2 Аи, u\t=Q = fk(zk), к = 1,2,...,п.
п
Доказать, что функция u(x,t) = Y\ uk(xk,t) является решением за-
задачи Коши	k=1	n
щ = а2Аи, u\t=o = Д fk(zk)-
k=i
13.3.	Пусть функция f(x,t) G С2 (t > 0) является гармоничес-
гармонической по х при каждом фиксированном t > 0. Доказать, что функция
t
u(x,t) = f(x,r)dr является решением задачи Коши

160	Гл. IV. Задача Коши
щ = а2 Аи + /(ж, t), u\t=o = 0.
13.4. Пусть и0 е C°°(Rn), а ряд ? ^ АЧ0(ж), ? > 0, и все ря-
ды, полученные из него почленным дифференцированием до второго
порядка включительно, сходятся равномерно в каждой конечной об-
области. Доказать, что функция
ОО	ок и
к=0
является решением задачи Коши
щ = а2Аи, 0<t<—; u\t=o = щ(х).
Решения задач 13.5-13.8 можно находить по формуле Пуассона, но
иногда удобнее применить метод разделения переменных или восполь-
воспользоваться результатами задач 13.1-13.4.
13.5. Решить задачи (п = 1):
1)
2)
3)
4)
5)
6)
8)
13
1)
2)
3)
4)
5)
13
1)
2)
3)
4)
5)
щ = 4:UXX + t + e,
Щ = ихх +3t2,
щ = ихх + е~* cos ж,
щ = ихх+е*8шх,
Uf = Uxx -\- Sin 6,
^Uf — 'U>xx,
Щ = ихх,
.6. Решить задачи (п =
щ = Аи Л- е1,
щ = Аи + sin t sin ж sin у
Sut = Аи + 1,
2щ = Аи,
.7. Решить задачи (п =
щ = 2Au + tcosx,
щ = ЗАи + е\
А.щ = Аи + sin2z,
w* = Дм + cos (ж-2/ + *)
г^ = Ди,
и|
w|
u|
u|
u|
u|
u\
u\
2)
3)
t=o =
t=o =
t=o =
t=0 =
t=0 =
t=0 =
t=o -
t=o -
и
и
и
и
и\
и\
и\
и\
и\
= 2;
= sin ж;
= cos ж;
= sin ж;
= е~
= sin
|*=0
к=0
к=0
\t=0
\t=0
v-x2.
[X е .
= cos ж sin у;
= 1;
Г2 7/2
= хуе у ;
= е-(ж-2/J.
= СО8Ж2/.
= cos 2/ cosz;
= sin (x — y — z);
1 2
= - sm2z + e cos2^/;
— COS ( XII) Sin Z

§ 13. Задача Коши для уравнения теплопроводности	161
13.8. Решить задачу Коши
щ = Аи, u\t=o = щ(х), х е Rn
для следующих щ:
1	I2
2) Щ = е~|ж| ;
4)
= (sin ?
V к=1
Если решение и (ж, ?) классической задачи Коши A), B) и функцию
f(x,i) G С продолжить нулем при t < 0, то и u(x,t) удовлетворяет
в Rn+1 уравнению (в обобщенном смысле)
щ = а2 Аи + /(ж, *) + но (ж) • 8(t).	D)
Обобщенной задачей Коши для уравнения теплопроводности с
источником F(x,t) G ^/(JRn+1), F = 0 при ? < 0, называется задача
о нахождении обобщенной функции и G З1', обращающейся в нуль
при t < 0 и удовлетворяющей в it!n+1 уравнению теплопроводности
^ = a2Au + F(>,f).	E)
Если существует свертка <#** F, где
n exp |-
— фундаментальное решение оператора теплопроводности, то
есть решение обобщенной задачи Коши E). Это решение единственно
в классе обобщенных функций u(x,t), для которых существует сверт-
свертка <#** и.
Свертка V = <#** F называется обобщенным тепловым потенциа-
потенциалом с плотностью F.
В частности, если F = щ(х) • S(i), где uo??}'(Rn), то свертка
= g(x, t) * щ(х) • S(t) = ?(х, t) * ио(ж)
(если она существует) называется обобщенным поверхностным теп-
тепловым потенциалом с плотностью щ.
Тепловой потенциал V удовлетворяет уравнению E).
Обозначим через М класс всех функций, локально интегрируемых
в Rn+1, равных нулю при t < 0 и ограниченных в каждой полосе
О < t < Т, х G Rn.
11 Под ред. B.C. Владимирова

162	Гл. IV. Задача Коши
13.9. Найти решение обобщенной задачи Коши E) для следую-
следующих F:
1) 6(t)-6(x); 2) 6(t-to)-6(x-xo), *o>0; S^
4) 6'(t).6(x); 5) *(t-*0).^), *0>0; 6)
7) O(t)-S(x); 8) e(t-to)-6(x-xo), t0 > 0; 9)
10) w(*) • ?(ж), где и G C(t > 0), о; = 0 при t < 0.
13.10. Пусть f(x,t) G M. Показать, что свертка V = <^* /:
1) существует в М и представляется формулой
2) удовлетворяет оценке
\V(x,t)\<ts\it> \№,t)\, t>0;
3) представляет собой единственное в классе М решение (обоб-
(обобщенное) уравнения Vt = a2AV + f(x,t).
13.11. Пусть щ(х) — ограниченная функция в Rn. Доказать, что
свертка
1) существует в М и представляется формулой
2) удовлетворяет оценке
|
3) представляет собой единственное в классе М решение (обоб-
(обобщенное) уравнения V^ = a2AV^ + щ(х) • S(t).
13.12. Доказать, что решение обобщенной задачи Коши
щ = а2Аи + /(ж, t) + ио(х) - S(t)	(8)
выражается классической формулой Пуассона
если функция / локально интегрируема в Rn+1 и равна нулю при
t < 0, функция uo локально интегрируема в Rn и оба слагаемых в
формуле (9) локально интегрируемы в Rn+1.

§ 13. Задача Коши для уравнения теплопроводности	163
13.13. Доказать:
1)	если / Е С2 (t > 0) и все ее производные до второго порядка
включительно принадлежат классу М, то V = § * / Е С2 (t > 0) П
П С1 (t > 0) удовлетворяет при t > 0 уравнению Vi = а2 АУ + f(x,t) и
начальному условию 1/ t_+0 = 0?
2)	если ^о(ж) — непрерывная и ограниченная функция, то
у(°) = <f* u0 = С°° (* > 0) П C(t > 0)
удовлетворяет уравнению Vt = а2АУ^0^ и начальному условию
3)	при выполнении условий 1), 2) функция u = V-\-V^°\ где 1/,
определяются формулами F) и G), есть решение классической задачи
Коши A), B).
Указание. Требуемые свойства непосредственно вытекают из
формулы (8).
13.14.	Найти решение обобщенной задачи Коши
Щ = ихх + щ(х) • S(t)
для следующих щ:
1) 0(х);	2) 0A-х);	3) 0A - \х\);
4)	в(х)е-х] 5) 0(х)(х + 1)] 6) 6>(ж-1)ж.
Показать, что найденные функции u(x,i) при t > 0 принадлежат
классу С°° и удовлетворяют уравнению щ = ^Жж5 а при t —у +0
непрерывны во всех точках непрерывности функции щ(х) и в этих
точках удовлетворяют начальному условию u\t=+o = ^о(^).
13.15.	Найти решение обобщенной задачи Коши
Щ = ихх + f(x,t)
для следующих /:
1) 0(*-1)е*;	2) 0(t-7r)cost;	3) 0(t - 1) ж;
4) 0(t-2)ex;	5) 0(tH(x);	6) 0(*) • 0A - |ж|).
Показать, что найденные функции u(x,t) принадлежат классу
C(R2), удовлетворяют начальному условию гл|^=о = 0, а в точках не-
непрерывности функции f(x,t) принадлежат классу С2.
13.16.	Решить обобщенную задачу Коши (8) для уравнения теп-
теплопроводности (х G R1) с нижеследующими данными и проверить,
что полученные решения являются решениеями классической задачи
Коши A), B):
1)
2)
3)
4)
/
/
/
/
= 0(t)x,
= O(t)x2,
= 0(t) 2xt,
= 6(tKx2t2,
Uo = X]
u0 = x2;
uo=x3
u0 = еж,
) f (), 0 ,	а =
11*

164	Гл. IV. Задача Коши
5)
6)
7)
8)
9)
10)
13.
f = O(t)Vt,
п U[L 1
f = e(t)\nt,
Uq = sh ж;
uo = xex]
uq = x sin ж,
f = Q{t) X COS Ж, Uo = X COS Ж,
/ = 0(t) еж,
/ = 0(*) xex
,17. Решить
лопроводности (ж '
u0 = 0(x)x,
? uo = 0(ж) ж2,
обобщенную задачу
а = 1;
а = 1;
а = 1;
а = 1.
Коши (8) для уравнения теп-
Е й2) с нижеследующими данными и проверить,
что полученные решения являются решениями классической задачи
Коши
1)
2)
3)
4)
5)
A), B):
/ = 0(t) жуе*
/ = #(?) (a;2 +
/ = 0(t) 4xy,
f = 9(t) ex со
/ = o,
ио = х2-у2;
у2), ио = х2 + у2;
и0 = х2у2,
•su, uo = ех+у]
и0 = х cosy;
а = 1;
6) f = 0(t)xy,
13.18.	Решить обобщенную задачу Коши (8) для уравнения теп-
теплопроводности (ж G Д3) с нижеследующими данными и проверить,
что полученные решения являются решениями классической задачи
Коши A), B):
1)	f = 6(t)xyez,	uo = xeycosz;
2)	/ = 6(t)xy cosz,	uo = (x2-\-y2) cosz, a = 1;
J \	-f- 	 hi I T \ Wi I *У Г*Г\С± T	0 1^ 	 Wi I *У *-^ •
kj ) J — U \u j Ju U/6 KsKJo I/,	1*0 — Aiу /О ,
/1 | ^ ^— /Q[ + | (/y^1 	 2?/ —I— 7 | P	7/n ^^ T* —I— 7/ —I— ^ *
5) / = #(?) cos^ sin3x cos4ue5^, uo = sin 3x cos 4т/е4^, a = 1.
13.19.	Решить обобщенную задачу Коши (8) для уравнения теп-
теплопроводности (х G Rn) с нижеследующими данными и проверить,
что полученные решения являются решениями классической задачи
Коши A), B):
]\ f = QU\\X\2	и^ _ |ж|2.
п	п
2\ f — Q(+\ Y] ж3, Uo = Е ^35
,	Г n ^
S) f = 6(t) e ,	uo = exp < E ж^
U=i
n	Г n 1
zh f — n	7/n — V Ti, exn < V гь >•
/	n \
5) / = 0,	uo = (cos E xk ) exp
\k=l

§ 13. Задача Коши для уравнения теплопроводности	165
Уравнение щ — а2ихх — Ьих — си — /(ж, i), где а,Ь,с — постоянные,
заменой v(y,t) = e~ctu(y — bt,t) сводится к уравнению теплопровод-
теплопроводности.
13.20.	Найти решение задачи
щ - а2ихх - Ьих -си = /(ж, t), u\t=o = ио(х)
со следующими данными:
1) / = 1,	Uo = 1,	с = 1;
3)	/ = е*,	Uo = cos ж, а = у25 с = 2, 6 = 0;
4)	/ = hinx, Uo = 1,	ft = с = 1, b = 0;
5)	/ = 0,	u0 = e-*2;
6)	/ = w(t) G С1 (t > 0), uo G С и ограничена.
13.21.	Найти решение обобщенной задачи Коши
щ — а2ихх — Ьих —си — /(ж,t) + щ(х) • S(t)
со следующими данными:
2)/ = 0(*-1),	ио=вA-х),	с = 0;
3)	/ = 6>(^ - 1) е*,	и0 = 0A - |ж|),	с ^ 1;
4)	/ = 6>(^ - 1) е\	и0 = в(х) еж,	с = 1;
5)	/ = 0(t - 1) еж,	и0 = хв(х),	а = 2, 6 = с = -2;
6)	f = e(tH(x),	u0 =ж.
Исследовать гладкость полученных решений, как и в 13.14, 13.15.
13.22.	Решить обобщенную задачу Коши
щ — а2ихх — Ъих — си — /(ж, t) + ио(х) • S(t)
с нижеследующими данными и проверить, что полученные решения
являются решениями классической задачи Коши
щ — а ихх — Ьих — си = /(ж,^), м|г=о — ио(ж):
,	ио = ж,	а = 6 = с=1;
3) / = 0(t) tex,	uo = жеж,	а = 2, 6 = -1, с = -2;
5)	/ = 0(?) e^cos^ sin ж, u0 = ex cos ж,	а = 1, 6 = -2, с = 2;
6)	/ = 0(?) ж,	uo = ж sin ж,	а = 6 = с = 1.
13.23. Пусть u(x,t) — решение задачи Коши
щ = а Аи, iaU=o — ио(ж),
где u0 e C(Rn) и |ио(ж)| < Me-^l2, J > 0.
Доказать, что при всех t > 0, ж G i?n

166	Гл. IV. Задача Коши
\u(t,x)\ <
13.24. Пусть u{x,t) — решение задачи Коши
щ = а2 Аи, u\t=o = ио(х),
где щ(х) — финитная непрерывная функция. Доказать, что для лю-
любых Т > О, S <	существует М > 0 такое, что
\u(x,t)\ < Me~6\x\\ xeRn, 0<t<T.
13.25. Пусть и0 е C(Rn) и \ио(х)\ < Мдед\х\2, где S > 0. Доказать,
что при 0 < t < —^77 > х G Rn, функция
4а2о
принадлежит классу С°° и является решением задачи Коши
2	1
13.26.	Доказать, что если условие задачи 13.25 выполняется для
всех 5 > 0, то функция A0) принадлежит классу С°° при t > 0, х G Rn
и является решением классической задачи Коши
13.27.	Методом обобщенных функций решить задачу
и|ж=о = 0, где ио(х) eC(x>0).
Ответы к § 13
13.5. 1) 1 + е* + -t2;	2)
3) A + t) e~f cos ж;	4) ch^sinx;
о) 1 — cos t"
6)	A+j)-l/2-___ I 2Ж-Ж^+*
7)	жA + 4*)-
8) (l
13.6. 1) e*
) e* - l + e~
2) 1 4— sin ж sin ^/ B sin ? — cos t + e~2t);
о

13. Задача Коти для уравнения теплопроводности	167
3) si
ху
х2 + у2 [,
ехр
гг\	1	ХУ
5) лг-г-рг cos Т-ГП ехР
13.7.
\ A+1
2) е*-
3) Isi
4
ехр < — t —
1+tV
4) - cos (x — у + z)(l — е 3t) + ,
; 3 v у А	; л/1 + Ш
exp
1 + 12*
5)
cos
13.8. 1) e-**cos?>*; 2) A + At)~nI2 ехр (-тЩ- j;
k=l	I 1+ 4t J
3)	(i + ^-^
л\ (л , лЛ-п/
4)	A + 4*) V
5)
13.9. 1) ^(ж,*);
3) —^-g[x^
к, xl-2a2(t-t0)
2)
4)(
4a2t2 2t
2 -
^ 2
дхк '
7)
9)
8)
10)
0
13.14.
-?=);	2)

168
Гл. IV. Задача Коти
3)
5)
6)
Ф
V2iJ
4)
— ехр
тг Fl AJ-
- ехр -
13.15. 1) 0(*-1)(е*-е);	2)
3) 0(*-1)(*-1)ж;	4)
5) ^w / ф Шrfr; 6)
- тг)
ф
13.16. Указание. Для доказательства см. задачу 13.13, для
нахождения решения см. текст перед задачей 13.5.
l)x]	2) 0(t)(x2 +x2t + 2a4 + a2t2);
3) 0{t) [
4)
6)
6t(x + 2x2
5)
7) 6(t)[tint - t + (xsinx + 2tcosx) e~f];
9) 0(t) \ех(еь -I)-
10)
\V2tJ\
+ (x2 + 2t) Ф (^=\\.
\V2tJ\
\V2t
13.17.	Указание. См. указание в ответе к задаче 13.16.
1) 0(t)[x2 - у2 + ху(е* - 1)]; 2) e(t)[(x2 + y2)(t +
3) 0(t)(x2y2+2t(x + yJ + 4t2); 4) O(t)(tex cosy +
5) 6>(^)же^ cos г;	6) 0(t)(xyt + со8уе~аЧ).
13.18.	Указание. См. указание в ответе к задаче 13.16.
1)	0{t) [хеУ cos z + e~2xyez (еаЧ - l)];
2)	0(t) cos z [ж2/A - e~*) + (ж2 + ?/2 + 4t) e~*];
3)	0(t) [Ж2/2? sin t + x(y2 + 2a2t)(z3 + 6a2^)];
4)	0(t) [x + y2 + z3 + 2a2?(l + 3z) + (ж2 - 2y2 + z2) (e* - 1)];
5)	0(t) [ sin 3x cos 4^/e4^ (e~9t + sin ^e2)].

§ 13. Задача Коши для уравнения теплопроводности	169
13.19. Указание. См. указание в ответе к задаче 13.16.
2)
3)	6(t)
4)	6(t)
5)	6(t)
13.20.
3) ем -
5)	A +
6)
13.21.
2) 6(t-
6)	~г~
k=i
- 1 + exp I na2t + ^2 хъ
п \ /
2na2t + ^2 хк I ехр (па2^
cosl2a2nt +
1) 2е*-1;
exp
k=i
2) te*
4) e4-
<*-
1) ^6»(^-
с
\aV2iJ'
ал/21 /
Ф
4)	0(t
5)	0(t-
- 1) e*
_
16*
6)
13.22.
2)
3)
4)
6)
(ж + bt) ect + ё
5) 0(t) (cos ж + sin t sin ж)
sin (ж + t) + 2t cos (ж + *)

170	Гл. IV. Задача Коши
-"- =k 7-Ч-р (-Щ -•* №)] *•
§ 14. Задача Коши для других уравнений и задача Гурса
1. Задача Коши для уравнения Шрёдингера. Для уравне-
уравнения Шрёдингера постановка классической задачи Коши
Ut = iAu + f(x,t), u\t=o=uo(x)	A)
и обобщенной задачи Коши
аналогична соответствующим постановкам для уравнения теплопро-
теплопроводности (см. с. 159 и 161).
Фундаментальным решением уравнения Шрёдингера является
функция
Для задачи Коши A) справедливы результаты, аналогичные тем,
которые сформулированы в задачах 13.1-13.4.
Будем говорить, что функция u(x,t) принадлежит классу ^, если
она удовлетворяет оценке
\u(x,t)\ < сA + \х\)х, xeRn, t>0,
при некоторых с и Л.
14.1. Доказать, что если ио(х) G 5^{Rn\ то функция
qi(t f) —	/ р-ЩУ\ -ЧХ>У) / 11П(?}рЧ€>У) г\р Ни	С\}
Bтг)п J	J
является решением задачи Коши
u(x,t) G C°° (t > 0); и(х, t) G y(Rn) при каждом фиксированном t > 0;
для любых а и /3 функции х@Dau(x,t) равномерно ограничены по
х G Rn, t > 0.
14.2.	Пусть и(х, i) — решение задачи Коши D). Доказать, что для
любого Т > 0 функция v(x,i) = и(х,Т — i) является решением задачи
Коши
vt = -гДг;, 0 < t < Г; v\t=T =
14.3.	Пусть u(x,t) и v(x,t) — решения задач
щ = шжж, ^|t=o = ио(х)]
Vt = -iVxx^ 0<t<T, v\t=T =

§ 14- Задача Коши для других уравнений и задача Гурса	171
причем u(x,i) Е ^, а функция v(x,i) находится с помощью формул
задач 14.1 и 14.2. Доказать, что
/ щ(х) г?(ж, 0) dx = / и(х, Т) vo(x) dx.
R1	R1
Указание. В равенстве
т д
/ / v(x,t) <ps(x)[ut(x,t) - iuxx(x,t)] dxdt = 0,
О -6
где функция ips(x) та же, что и в задаче 6.5, интегрированием по час-
частям избавиться от производных функции u(x,t) и перейти к пределу
при 5 —у оо.
14.4. Доказать единственность решения задачи Коши E) в клас-
классе ^.
Указание. Воспользоваться результатом задачи 14.3.
Решение задачи Коши A) единственно в классе & (для п = 1
см. задачу 14.4). В задачах 14.5-14.10 рассматриваются решения
только из этого класса, причем существования щь не требуется.
14.5.
< М для всех а, \а\ < п + 1.
Доказать, что решение задачи Коши D) существует и выражается
формулой C), которую можно записать в виде
Rn
14.6. Пусть ио(х) е ^(R1), a > 2, ио(х) = 0 при \х\ > 1 и
|4г)(ж)| < М, г < а.
Доказать, что решение задачи Коши E) принадлежит классу
С°° (* > 0) и
для всех ж G Д1, ^ > 0.
14.7. Пусть но (ж) G С^Д1), |4Г)(ЖI < СA + 1Ж1)Л5 г < <*, а > 2,
Л < а — 5. И пусть г^(ж, t) — решение задачи Коши
Щ = шЖж? u\t=o = г^о(ж) е(ж - к),
где функция е(ж) та же, что и в задаче 6.4. Доказать, что решение
задачи Коши E) существует, выражается формулой

172	Гл. IV. Задача Коши
u(x,t) = ^2 uk(x,t)
А;= —оо
и \u(x,t)\ < Ci(l + \х\)а~2 для всех xeR1, t>0.
Указание. Используя результат задачи 14.6, показать, что
)\ <	<
)\ < A + |x_fc|)a_2 <	(l + |fc|)a-2	•
14.8. Пусть щ(х) G C1(JR1) и Г \xu'0(x)\ dx < oo. Доказать, что
R1
решение задачи Коши E) существует и выражается формулой
u(x,t) = \ [u0(+oo) +wo(-oo)] + -j=e~^4 Ju'o(O j eiy"dy d?.
R1	0
14.9.	Пусть щ(х) = еш1ж1 , где a — действительное число, х G i?n.
Доказать, что при a > 0 существует решение задачи Коши D), а
при а < 0 решение существует только при 0 < t < — —. Найти это
решение.
Результат этой задачи сравнить с результатом задачи 14.7 при
п = 1 в случаях а = О, =Ы.
14.10.	Решить задачи:
1)	щ = шжж + ?ж3;	u\t=o = ж4;
2)	г^ = шжж, 0 < ? < -	u\t=o = же~гж ;
3)	щ = iAu + xcost — у2 s'mt;	u\t=o=x2+y2;
4)	щ = гДи + бж + у2 + г^3;	гл|^=о = г (х3 + у3 + z3);
5)	ut = iAu;	u\t=o = е~\х\2, х е Rn.
14.11.	Найти решение обобщенной задачи Коши B) для следую-
следующих F e @'(Rn+1):
1) S(t).S(x);	2)	^
3) e(t)-5(x + x0), n = l; 4) 0(t - t0) • S(x), n = 1, ^0 > 0.
14.12. Найти решение обобщенной задачи Коши
Щ = гихх + /(ж,t) + ио(х) • S(t)
при ^ > 0 для следующих /и wq (/ = 0 при t < Ои задается только
для * > 0):
1) f = 0(x),	ио = в(х); 2) / = 0(*-l), TiO = e(l-|a:|);
3) f = 0(t — 7r) s'mt, щ = х2; 4) / = —=,	uo = cos ж;
5) / = ^(^ ~ l)(e ~ eX Щ = x s'mx.
Доказать, что функции u(x,i), найденные в задаче 14.12, 3), 4), 5),
являются решением классической задачи Коши.

§ 14- Задача Коши для других уравнений и задача Гурса	173
2. Задача Коши для уравнения Utt = — А2гг + f(x,t).
14.13.	Пусть u(x,t) G C4(t > 0). Доказать, что функция u(x,t)
является решением задачи Коши
utt = -A2u; u\t=o = р(х), ut\t=o = 0
тогда и только тогда, когда функция
t
w(x, t) = и(х, t) + i Au(x, t) dr
о
является решением задачи Коши
wt = i&w] w\t=v = р(х)-
14.14.	Пусть функция w(x,t) G С4 (t > 0) является решением за-
задачи Коши
Wt = iAw; w\t=o — ^(жM
где (^(ж) — действительная функция. Доказать, что функция и(х, t) =
= Kew(x^t) является решением задачи Коши
ии = -А2^; u\t=o = ^(жM ut\t=o = 0.
14.15.	Пусть функция f(x,t) G С4 (t > 0) является бигармоничес-
кой (А2/ = 0) при каждом t > 0. Найти решение задачи Коши
utt = -A2u + /(ж, *); u|t=0 = 0, ut\t=o = 0.
14.16.	Пусть щ(х) и ui(x) — бигармонические функции. Найти
решение задачи Коши
ии = -A2u; гф=0 = ио(х), ut\t=o = ^i(x).
14.17.	Пусть функция w(x,i) G С4 (t > 0) является решением за-
задачи Коши
wt = iAw; w\t=o = р(х),
где у?(ж) — действительная функция. Найти решение задачи Коши
ии = -А2щ u\t=o = 0, ut\t=o = ^(ж)-
14.18.	Пусть функция w(x,t) G С4 (t > 0) является решением за-
задачи Коши
wt = iAw; w\t=o = ^(жM
где (f(x) — чисто мнимая функция. Найти решение задачи Коши
ии = -А2щ u\t=o = <p(x), ut\t=o = 0.
14.19. Пусть uo(x)GCn+3(^n), \х\п+5\ио(х)\ < М,
< М, |а| <п + 3.
Доказать, что решение задачи Коши

174	Гл. IV. Задача Коши
utt = -A2u, u\t=o = ио(х), ut\t=o = О
существует и выражается формулой
7Ш?J{
cos
Указание. Воспользоваться результатами задач 14.5 и 14.14.
14.20. Решить задачи:
1) ии = -я~4 + 6^3' u\t=0 = °' ^t|t=o = ж4;
2)	utt = — А2и + ж?/е^;	^
3)	ии = -A2u + 6x2y2z2; и
^=о = 0,	ut\t=o = 0;
4) utt = ~7ГТ' 0 < ^ < -; n|t=o = cos ж2, ut\t=o = 0.
3. Задача Коши для уравнения —— = Pyi—— )u. Класси-
Классическая задача Коши для уравнения
ди ^(. д \	^ ^ гл	.. ^ ni	/g\
где Р(сг) = аосг^ + a\aN г + ... + aN, a$ ф 0, iV > 2, с начальным
условием
w t=o = ^о(ж)	G)
ставится в классе функций u(x,i) G С (t > 0), у которых при t > 0
существуют непрерывные производные — и
Задача Коши F), G) называется поставленной корректно в
классе У (определение класса У см. §9), если для каждой функции
щ(х) G ^существует единственное решение задачи F), G), которое
при каждом t > 0 принадлежит классу У и убывает при \х\ —У оо
вместе со своими производными, входящими в уравнение F), быстрее
любой степени l^l равномерно относительно t в каждом интервале
0 < t < Т < оо.
14.21. Пусть задача Коши F), G) поставлена корректно в клас-
классе Уи	оо
v(a, t) = F[u(x, t)] = I u(x, t) eixa dx,
— oo
где u(x,i) — решение задачи F), G). Доказать, что функция v(a,i)
при каждом t > 0 принадлежит классу У и является решением
задачи
%=P{p)v, v\t=0 = F[uo(x)}.	(8)

§ 14- Задача Коши для других уравнений и задача Гурса	175
14.22. Пусть ио(х) Е Уи
ReP(a) <C <оо	(А)
при всех действительных а. Доказать, что функция
сю	сю
,tP(a)-ix>
является решением задачи F), G), принадлежит классу С°° (t > 0) и
при \х\ —у оо убывает вместе со всеми производными быстрее любой
степени |ж|-1 равномерно относительно t > 0.
14.23.	Доказать, что условие (А) является необходимым и доста-
достаточным для корректности постановки задачи Коши F), G) в классе У.
Указание. Для доказательства необходимо показать, что если
условие (А) не выполнено, то существует такая функция щ(х) G У,
для которой решение задачи (8) не принадлежит классу У.
14.24.	Пусть задача Коши F), G) поставлена корректно в клас-
классе У. Доказать, что ее решение выражается формулой (9), которую
можно записать в виде
сю
u(x,t)= I uo(O G(x-Z,t)d?,	(Ю)
сю
G(x,t) =-^ f е*р^~^da.	A1)
— СЮ
Указание. Воспользоваться оценкой \G(x, t)\ < Ct~xlN.
14.25.	Пусть условие (А) выполнено, щ(х) Е CN+2(R}) и
dx < оо, к = 0,1,..., 7V + 2.
Доказать, что решение задачи F), G) существует, выражается
формулой (9) (или формулами A0), A1)) и функция u(x,i) ограни-
ограничена при t > 0 вместе со своими производными, входящими в уравне-
уравнение F).
4. Задача Коши для уравнения первого порядка.
14.26.	Решить задачи:
1)	щ + 2их + Зи = 0,	u\t=o = х2;
2)	щ + 2иж + и = ж?,	гл|^=о = 2 - ж;
3)	2щ = их + хи,	u\t=o = 1;
4)	2щ = их- хи,	u\t=o = 2xex /2;
5)	щ + A + х2) их — и = 0,	м|г=о = arctgx;

176	Гл. IV. Задача Коти
2х
7)	щ = их + 2 u,	u|t=o = 1;
8)	2fa/? + жиж — Зж2и = 0, i*|t=i — 5ж2.
5. Задача Гурса. Формулировку постановки задачи Гурса см.
в книге: Владимиров B.C. Уравнения математической фи-
физики. — 5-е изд. — М.: Наука, 1985.
14.27. Доказать, что задача Гурса
иху = О, 0 < у < ах, х > 0, у > 0;
и\у=о = /(ж), и\у=ах = 9(х)
имеет единственное решение
если функции /(ж) и р(ж) принадлежат классу С2 (ж > 0) П С (х > 0)
и ДО) =5@).
14.28.	Доказать, что задача Гурса
иху = 0, ж > 0, 2/> 0, u\y=o = f(x), и\х=о = д(у)
имеет единственное решение и(х,у) = f(x)+g(y) — f(O), если функции
f(x) и д(ж) принадлежат классу
С2(х >0)ПС(х >0) и /@)=^@).
14.29.	Доказать, что решение задачи Гурса
^жу = 0, ^/ > аж, х > 0, а < 0;
Чт/=аж = 0,	^|ж=0 = 0
не единственно. Показать, что множество всех решений этой задачи
имеет вид
u{x,y)=f{x)-f(?j,
где f(x) — любая функция из класса С2(В}), равная нулю при х < 0.
14.30.	Доказать, что задача Гурса
иху = 0, 0 < у < (f(x), х > 0;
имеет единственное решение
и(х,у) = f(x) + д (у-1 (у)) - / (<р-1(у)),
если функции /(ж), д(х), ip(x) принадлежат классу С2(х > 0) П С(х > 0),
/@) = #@)? <р@) = 05 ^'(ж) > 0' (Р~1(у) — функция, обратная к
функции (f(x).
14.31. Пусть функции </?(ж), ф(х) принадлежат классу С2(х > 0) П
ПС(х > 0) и (/?@) = г^@). При каких действительных значениях а
задача Гурса

§ 14- Задача Коти для других уравнений и задача Гурса	177
аихх +иуу = 0, х > О, у > О,
и\у=о = </?О)> гл|ж=0 = Ф(у)
имеет единственное решение? Найти это решение.
14.32. Для каких положительных значений параметра Ъ задача
Uft = а ихх\ 0 < t < Ьх^ х > О,
м|г=о = 0, u\t=bx = О
имеет только нулевое решение?
В задачах 14.33-14.55 требуется найти решение поставленной за-
задачи Гурса и доказать единственность этого решения.
1 д ЧЧ	а А- а — г	т > Г)	7/ > О
14.34.
14.35.
ху
гх|ж=о = 2/ ? ^ з/=о = ж •
ж2т/иж = 0, ж > 0, у > 0;
/ = 1, х > 0, 2/ > 0;
где функции ip(x), ф(х) принадлежат классу С2 (х > 0) П С (х > 0) и
@)=^@).
14.36.	ижу + жиж=0, ж > 0, 2/> 0;
где функции <р(х), ф(х) принадлежат классу С2 (х > 0) П С (х > 0) и
()^()
жж - 2иуу + их +иу = 0, 2/> И;
14.37.
14.38.
иху - иуу + их
= 0, —- х < у < х, х > 0;
у—х = 1 + Зж,	U 7/__т/2 = 1.
14.39. ижж + бижу + ЬиУу = 0, х <у <bx, х > 0;
где функции
принадлежат классу С2 (х > 0) П С (ж > 0) и
V()
14.40. ихх+уиуу + -иу = 0, --ж2<у<0, ж > 0;
и\у=-х2/4 = Ж2.
14.41.
= 0,
> е
х > 0;
х=О =
12 Под ред. B.C. Владимирова

178
Гл. IV. Задача Коши
14.42. уихх+(х-у)иХу-хиУу-их + иу = О,
х, х > 0;
14.43.
14.44.
,у=о = 0, и\у=х = 4ж4.
хихх + (ж - у) иху - уиуу = О, 0 < у < ж, ж > 0;
и\у=0 = 0, и\у=х = ж.
2/V™ + г^ = О, 2/3-8<Зж<2/3, 0<?/<2;
и\у=2 = Зж + 8, и\3х=уз = 2^/3.
о
14.45.	ж2ижж - у иуу = 0, У > х, ж > 1;
14.46.
14.47.
14.48.
14.49.
и|ж=1 = 1, и|у=ж=ж.
х2ихх-у2иуу-\-хих-уиу = 0, - <у < х, ж > 1;
ж + 2хуиху - у2иуу = 0, х <у < —=, 0 < ж < 1;
ж«3=1 = 2/
2ижж + 2хуиху - у2иуу = 0,
з/=я; = 0,
у=1 = COS
ихх - 2 sin хиху - cos2 жиУ2/ - cos xuy = О,
\у — совж! < ж, ж > 0;
U\y=x-\-cos х — COS Ж,	U\y= — ж+cos ж — COS Ж.
14.50. иху	— (их -
х у
х-у
и
у < -ж, ж > 2;
1 ,2
14.51.
^_ж =0, и\х=2 = 2 + 2у+-у2.
иХх - иуу + -ux = 0, 2/ > 1 + |ж|;
^1^=^+1 = 1 — ж, гл|2/=1_ж = 1 + ж.
4	2
14.52.	ихх - иуу + -глж + — и = 0, 2/> ж, ж > 1;
п|у=ж = 1, и\х=1 = у.
14.53.	иху = 1, ах < у < (Зх, ж > 0, 0 < а < C;
14.54.
	 4
y^x2 — Ж ^
ж2<2/<2ж2, ж > 0;
I		 2
^\у^2,х^ —

§ 14- Задача Коши для других уравнений и задача Гурса	179
14.55.	иху = 0, х4<у<х2, О < ж < 1;
U\y = x2 = О,	ЧУ = Ж4 = жA ~ Х).
6. Задача Коши для квазилинейных уравнений.
14.56.	Найти решение задачи Коши
щ + иих = О, t > 0; гф=0 = sign ж,
непрерывное для ? > 0, \х\ + t ф 0 и непрерывно дифференцируемое
при t ф \х\.
14.57.	Найти решение задачи Коши
Г а при х < 0,
щ + гшж = 0, t > 0; гф=0 = S
1/3 при ж > 0,
где а,/3(> а) — постоянные, непрерывное для ^ > 0, |ж| + ^ ф 0 и
непрерывно дифференцируемое вне прямых t = ж/а, t = ж//3.
14.58.	Доказать, что задача Коши для уравнения Бюргерса
щ + иих = а2ихх
с начальным условием
vt = a2vxx, v\t=o = exp
подстановкой и = —2а2 — сводится к задаче Коши
\ I X
-— J
l	о	)
14.59.	Пусть и — решение задачи Коши
щ + иих = еихх, u\t=o = sign ж,
непрерывное при ?>0, \х\ + t ф 0 и непрерывно дифференцируемое
при t > 0. Доказать, что это решение при е —У +0 стремится к
решению задачи 14.56 (теорема Э. Хопфа).
14.60.	Проверить, что решением уравнения Кортевега-де Фриза
щ + 6иих + иххх = 0
является функция
u(x,t) = 	у=	, а > 0,
2ch2 -^ (х — хо — at)
описывающая «уединенную волну» (солитонное решение). Показать,
что это решение с конечной энергией
сю
[ (и2 +u2x) dx < оо.
— сю
14.61.	Для уравнения Лиувилля
utt-uxx=geu, д>0,
проверить следующие утверждения:
12*

180
Гл. IV. Задача Коти
1) функция
u(x,i) = In
а2A-а2)
2gch2 [f (ж-жо-a*)] '
является решением при всех х и t;
2) функция
о'(х-\-1) ф'(х -t)
О < а < 1,
u(x,t) = In
является решением при любых (риф таких, что (р,ф Е С3,
3) функция
p' > 0;
u(x, t) = -
t) + ио(ж - t)] — In < cos2
x+t
является решением задачи Коши с начальными условиями
u\t=o = uo(x), ut\t=o = 0,
x+t
fl f e«o(
8 J
если
<!¦
14.62. Проверить, что для уравнения
utt ~uxx = -gsinu, g > 0
функция
u(x,t) = 4arctg exp (±^(жЖ°^1, 0 < a
I	/12 J
является решением с конечной энергией
сю
оо.
14.63. Проверить, что решением нелинейного уравнения Шрёдингера
гщ + uxx + v\u\ u = 0, v > О,
является функция
7\ (т — Тел — fit)] '
UL \Jb JLQ (JLLJ\
Ответы к § 14
а > 0.
14.9.
14.10. 1) x4 + t2 Q ж3 - 12^ + to A2ж + t2);
ехр

§ 14- Задача Коти для других уравнений и задача Гурса	181
3)	xsmt + х2 + у2 cost + 2i(t + sin?);
4)	i (x3 +y3 +z3) -t Fy + 6z-y2 - iz3) + t2(i - 3z);
5)
14.11. 1) <?(*,*);
3) jg{a
14.12. 1) -Le-™l*
V 7Г
, 0<агёл/ГТ4Й<|.
2) Six t)'
t-t0
4) J g{x,r)dr.
0
J e^dy + J J e^dydr);
-oo	0 — oo	/
2)
4=
3)	ж2 + 2it - 6(t - тг)A + cosf);
4)	2лД + совя;е~**;
5)	0(t - 1)(е1 - e - te) + (ж sin ж + 2itcosx)e~it.
t
14.15. f{t-r)f{x,r)dr.
14.16.	uo(x) ¦
14.17.	Re J w(x,r)dr.
о
14.18.	i1mw(x,t).
14.20. 1) txA + ^3 (ж3 - 4); 2) жV - 4?2 + ху(е* - 1 -
. l/ 1	ж2 , 1	ж2
V 9 I /	cos i—j- + /	cos i—
14.26. 1) (x-2tJe~3t;	2) 4 - ж - 2t + ж^ - 2е"*;
3) exp < - Dж + t) >;	4) Bx + t) exp < - x2 \;
18	J	12 J
5) (arctgx - t) e*;	6) 1 - e~* + exp j—ж + - tf
7)
1+Ж2
Г
2t
14.31.	<p(x-ay)-ip(-ay)+il;(y), a < 0.
14.32.	b< i.

182	Гл. IV. Задача Коши
14.33.	у2 + -
14.34.	|exp
о
14.35.	у + <ф(х) + [</?Ы - у>@) - у] е~х
14.36.
X
J
14.37.
14.38. 1 + (ж + 2у) ехр {^ (у - ж)}.
14.39.
14.40.
14.41.	ж2
14.42.	ж2
14.43.	?/.
14.44.	Зж
14.45.	х.
14.46.
14.47.	{/?
ж
14.48.	у cos —-.
22/
14.49.	- 1 + 2 cos - cos	.
14.50.	- (х + уJ. Указание. Сделать замену и =
2
14.51.	2 — у. Указание. Сделать замену и = — v.
х
v	1
14.52.	-. Указание. Сделать замену и = — v.
х	х2
14.53.	-±-^(у-ах)((Зх-у).
14.54.	^х4-х2+у-^у2.
14.55.	х-у/у.
X
14.56.	—1 при х < —t] +1 при х > t] — при х < t.
Указание. Искать решение в виде / (—).
14.57.	а при х < ta; C при х > tC; — при ta < х < tC.

Глава V
КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ
ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА
Пусть S — гладкая поверхность, ограничивающая область G Е Rn,
и пх — внешняя нормаль к S в точке х Е S. Функция и имеет правиль-
правильную нормальную производную — на S изнутри S, если существует
,.	ди(х') ди(х) ди
hm	-v ' = -^- = 1г~
х'^х	ОПХ	ОПХ	ОП
х' eGn(-nx)
равномерно по всем х G S.
I. Внутренняя задача Дирихле для уравнения
Лапласа: найти гармоническую в G С R3 функцию и G C(G), при-
принимающую на S заданные (непрерывные) значения Uq .
П. Внешняя задача Дирихле: найти гармоническую
в области G\ = R3\G функцию и G C(Gi), м(оо) = 0, принимающую
на 5 заданные (непрерывные) значения и^.
III.	Внутренняя задача Неймана: найти гармони-
гармоническую в G С R3 функцию и G C(G), имеющую на S заданную (непре-
(непрерывную) правильную нормальную производную щ .
IV.	Внешняя задача Неймана: найти гармоническую
в G\ функцию и G C(Gi), и(оо) = 0, имеющую на S заданную (непре-
(непрерывную) правильную нормальную производную uf.
Задачи I, II и IV однозначно разрешимы. Решение задачи III опре-
определено с точностью до произвольной постоянной, причем
u^dS = 0
S
— условие ее разрешимости.
Аналогично ставятся задачи I-IV в Д2, за исключением того, что
для внешних задач от решения требуется лишь ограниченность при
\х\ —У оо. Задачи I и II однозначно разрешимы. Решения задач III
и IV определены с точностью до произвольных постоянных, причем
s
условие их разрешимости.

184 Гл. V. Краевые задачи для уравнений эллиптического типа
§ 15. Задача Штурма—Лиувилля
Рассмотрим краевую задачу
Ьи = -(р(х) у'(х))' + q(x) у(х) = f(x),	A)
( а1у(а)-а2у'(а) = О,
\{ЗМЪ)+{32у'(Ъ) = 0,
где а\ +а22 ф 0, р\ + 0* ф 0, р е С\[а,Ь]), р{х) ф 0, qe C([a,b\),
f e С{а,Ъ) ПЬ2(а,Ъ).
Обычно в физических задачах выполняются условия
<xi<X2 > 0, PiP2 > 0, р(х) > 0, q(x) > 0.
Область определения ML оператора L состоит из функций у(х)
класса С2(a, fynC1 ([a, &]), у" G L2(a, b), удовлетворяющих граничным
условиям B).
Задача о нахождении тех значений Л (собственных значений
оператора L), при которых уравнение Ly = Xy имеет ненулевые
решения у(х) из области определения ML (собственные функции,
соответствующие этим собственным значениям), называется задачей
Штурма-Лиу вилля.
Если Л = 0 не есть собственное значение оператора L, то решение
краевой задачи (I) в классе ML единственно и выражается формулой
ь
где G(x,?) — функция Грина краевой задачи A)-B) или оператора L.
Функция G(x,?) представляется в виде
w{x) =
&{х,и =
k
где у\ (х) и у2 (х) — ненулевые решения уравнения Ly = 0, удовлетво-
удовлетворяющие соответственно первому и второму граничному условию B),
к = р(х) w{x) = р(а) w(a) ф 0, х е [а, Ь],
у1(х)у2(х)
у[(х)у'2(х)
— определитель Вронского.
Краевая задача	Т Л г
Ly = Ху + /,
где / G С(а,Ь) П L2(a, Ь) при условии, что Л = 0 не есть собствен-
собственное значение оператора L, эквивалентна интегральному уравнению
б	ь
у(х) = XI G(x, 0 у @ d? + I G(x, 0 № dt

§15. Задача Штурма-Лиувилля	185
Этот метод иногда можно применять и к задачам с вырождением,
когда р(х) обращается в нуль или бесконечность или q(x) обращается
в бесконечность на одном из концов отрезка [а, Ь].
15.1.	Найти функцию Грина оператора L на интервале @,1) в
следующих случаях:
1) Ly = -у",	у@) = 2/A) = 0;
2)Ly=-y",	y'(O)=y(O),	У'A)+УA) = О;
3)	Ly=-y",	y(O) = hy'(O),	h>0, 1,A) =0;
4)	Ly = -у" - у,	у@) = уA) = 0;
5)Ly = -y"-y, y(O)=y'(O),	y(l) = y'(l);
6)	Ly=-y" + y, 2,@) = 2,A) = 0;
7)	Ly=-y" + y, 2/'@) = 2/'A) = 0.
15.2.	Найти функцию Грина оператора L на интервале A,2) в
следующих случаях:
1)	Ly = -х2у" - 2ху',	у'A) = 0,	2/B) = 0;
2)	Ly = -xy"-y',	2/A)= 0,	2/B) =0;
3)	Ly=-x3y"-3x2y-xy,	2/A)= 0,	j,B) + 2j,'B) = 0;
4)	Ly=-xAy"-4x3y'-2x2y,	j,A)+j,'A) = 0,	j,B) + 3j,'B) = 0.
15.3.	Найти функцию Грина оператора L на интервале (О, — J в
следующих случаях:
1) Ly =-(cos2 х-у'У,	2/@)= 0,
3) Ly =-cos2х-у"+ sin2x-у', у(О)=у'(О), W(f) + »'(f) = °-
15.4. Найти функцию Грина оператора L на интервале @,1) в
следующих случаях:
1)	Ly = -(l + x2)y"-2xy',	2/@) = 2/@),	2/A) = 0;
2)	Ly = -(l + x2)y"-2xy',	2/@) = 0,	уA)+у'A)=0;
3)	Ly=-C + x2)y"-2xy',	у(О)=у'(О),	2/A) = 0;
4)	L2/ = -(z + lJ2/"-2(x + lJ/'+22/,	2/@) = 2/A) = 0;
6)	Ly = -D - ж2) у" + 2ху',	2/@) = 2/A) = 0;
7)	Lj, = -(ху'У + ^у,	2/@) = 2/A) = 0;

186 Гл. V. Краевые задачи для уравнений эллиптического типа
15.5.	Найти функцию Грина оператора L на интервале @, — ) при
/тг\
условии |2/@)| <оо, У [ — ) =0в следующих случаях:
1) Ly = -(tg2^ • у')'; 2) Ly = -(tg х ¦ у')'.
15.6.	Найти функцию Грина оператора L на интервале (О, — J в
следующих случаях:
1)	Ly = -cos2 x-y"+sin2x-y', y@) = 0,
2)	Ly = -sin2 х -у" -sin2x У, \у@)\ < оо,
3) 1л/ = -8т2Жу'-8т2Жу, |2/@)| < оо,
15.7. Найти функцию Грина оператора L на интервале @,1) при
условии 1^/@I < оо в следующих случаях:
1)	Ly = -х2у" - 2ху + 6у,	у'A) + 3i/(l) = 0;
2)	Ly = -y" + ^y,	2/A) = 0;
3)	Ly = -x2y" - 2ху' + 2у,	у'A) = 0;
4)	Ly = -(ху'У,	у{1) = 0;
5)	Ly = -xy"-yl,	I/'(l)+!/(!) =0;
6)	Ly = -х2у" - 2ху' + 2у,	2/A) + у'A) = 0;
7)	Ly = -х2у" - 2ху' + 2у,	2уA) + у'{1) = 0;
8)	Ly = -y" + ^^y, а>1,
9) Ly = -(xy')' + (l+x)y,	1/A) = 0.
15.8.	Найти функцию Грина оператора Ly = —х4у" - 4х3у' — 2х2у
на интервале A,3), если 2/A) + у'A) = 0, 2уC) + Зу'(З) = 0.
15.9.	Найти функцию Грина оператора L на интервале @,1) в
следующих случаях:
1)	Ly = - {е-*2/2у')' + е~*2/2у, у@) = уA) = 0;
2)	Ly = -ежУ - 2хех2у',	у@) = 2у'@),	уA) = 0;
3)	Ly = -у" + A + х2) у,	у@) = у'A) = 0.
Указание. Частное решение уравнения — у" + A + х2) у = 0
можно искать в виде у = ez^xK
15.10.	Найти функцию Грина оператора Ly = — (л/ху1)' + 3х~3/2у
на интервале @,2), если \у@)\ < оо, уB) = 0.
15.11.	Найти функцию Грина оператора Ly = — (ж + 1) у" — у', если
||/(-1)|<оо, 1/@) =0.
15.12.	Найти функцию Грина оператора Ly = —х2у" — ху' + п2у,
если \у@)\ < оо, ?/A) = 0.
15.13.	Найти функцию Грина оператора Ly = —[(ж2 — 1) у']' + 2^/,
если \уA)\ < оо, ?/B) = 0.

§15. Задача Штурма-Лиувилля	187
15.14. Свести задачу Штурма-Лиувилля к интегральному урав-
уравнению в следующих случаях:
1)	Ly = -A + ех) у" - eV = Хх2у, 0 < х < 1, у@) - 2у'@) = О,
2/A) =0;
2)	Ly = -(х2 + 1)у" - 2ху' + 2у = Ху, 0 < х < 1, у'@) = О,
3)	Ly = -л/1 + е2ж у" -
= vV(O), 2/A) = 0;
4)	Ly = -A - х2)у" + 2ху' - 2у = Ху, 0 < х < 1, у'@) = 0,
\уA)\ < оо;
5)	Ly = - cos4 ж • у" + 4 sin ж cos3 ж • у' = Хху, 0 < ж < ^-, 2г/@) —
-!/'@)=0,
6)	Ly= -x2y"-2xy'+Bcos2x + l)y = Ху cos2x,
|/'B) = 0;
7)	Ly = -у" = Ху, 0 < ж < 1, j/'@) = j/'(l) = 0.
15.15.	Свести к интегральному уравнению нахождение решений
уравнения	-2ху" - у> = 2ХуЪу, 0 < х < 1,
при граничных условиях lim (д/ж • у') = 0, 2/A) = 0.
ж—^0
15.16.	Свести к интегральному уравнению нахождение решений
уравнения —ху" + у' = \у, 1<ж<2, при граничных условиях уA) =
= 2/'B) = 0.
15.17.	Свести к интегральному уравнению нахождение решений
каждого из следующих уравнений при указанных граничных усло-
условиях:
1)	-A + х2)у"-2ху' + Ху = 0, у@) = у'A) = 0;
2)	-еху" - еху' + Ху = 0,	2/@) = 0, уA) + у'A) = 0;
3)	-y" + \y = f(x),	y(O) = hy'(O), h>0, 2/A) =0;
4)	-ху" -у' + Хху = 0,	|j/@)| < <х), j/(l) = 0.
15.18.	С помощью функции	Грина решить следующие задачи:
!)	^ = /(*) К ж < е
где е — основание натуральных логарифмов;
2) -x4y"-4x3y'-2x2y = f(x), 1<ж<2, уA) = 0, уB)+у'B) = 0;
3) -T^2/"-(i3^^'= ^(а;)' -Кж<0' 2|/(-1)+ |/'(-1) = 0,
"±) у± -Т bUb X) у "Г Dill X (/ — J yds), U ^ X ^ , l/^U^ Z(/ ^U^/ — U,
'(D^0; 2
PC Л	я." _|	я. 	 -f (rp\ 1 ^ /y» ^ О

188 Гл. V. Краевые задачи для уравнений эллиптического типа
15.19. Доказать, что краевая задача
-у" + q(x)y = f(x), y'(a)-hy(a) = c1, y'(b) + Hy(b) = с2
эквивалентна трем задачам Коши:
1)	g' + 92 =q(x), g(a) = -Л;
2)	Y'-g(x)Y = -f(x), r(o) = ci;
3)	y'+g(x)y = Y(x),
Указание. Факторизовать оператор
2	d
Ответы к § 15
(x(l - 0, 0 < x < ?,	x ((x + 1)B - 0, 0 < ж <
U(l-ar) ^<ar<l; 2 3 j(^
ar
ft
4)
1 f si
	<
sinl (^si
1 f sin ж sin A - Я, 0 < х < ?,
<
sinl (^sinA -ж) sin?, ^ < х < 1;
ftga:(l-tgO, 0<
15.3. ) ^

§15. Задача Штурма-Лиувилля	189
i ? (/2 i	1), ? < ж < —;
— sin ? (л/2 sin х —
f^	(-j), 0 < х <
15.4. I *Y	)
|arctgx(	—-arctg? + l), 0 < х < ?,
2) I	V 7Г + 2	У
I arctg? (^-
4
4) |^
U
60
15.5.
{In (л/2 sin ^), 0 < х < ?,
In (\/2sina;), ^ < ж < —;

190 Гл. V. Краевые задачи для уравнений эллиптического типа
15.6. 1)
(ctg
3)
2)
fctg ?, 0 < ж < ^,
ctgx, ?<х < |;
ctg х + 1, ? < х < |.
15.7. 1)
з)
5)
7)
9) <
15.8.
|f2a; + ^V ^<ж<
3 \	ж2/	-
2)
^
6)
8)
-1пж, ^ < ж < 1;
1
1-2а
1 e~2t
t	м с < т < 1
15.9. 1)
где
2)
+ f e~t
-[2+
, 0 < х <
- Ф@))(Ф(ж) -
e~t2dt
J e-t2

§15. Задача Штурма-Лиувилля
191
3)
КУ1(х)у2(О,
1/1 (ж) =
15.11.
15.12.
13
где К = е-1 + Г e-t2dt) ,
\ о	'
28л/2
2п
1
15.14. 1) y(x)=\fG(x,Oey(Odt,
где
где &(х,€)=
Г- In (е~х + л/1 + е-2ж) +1 + In A + л/2), 0 < ж <
+1 + In A + л/2), ?<ж<
{- In
4) y(x) = \[G(x,Z)y(Z)dZ, где
5)
0<а:<
, где

192 Гл. V. Краевые задачи для уравнений эллиптического типа
6)
где &(x,t) = —
15
1
7) y(x) = (\-a
О
1	(совл/аж • cos л/а(? - 1), 0 < х < ?,
где С(яг,0 =	_ _	<^	а>0,
у/а smу/а	[cosy/a^ • со$у/а(х - 1), ? < х < 1,
а ^ (тгпJ, п целое.
15.15. y(x) = \[G(x,Oy(S)dS, где
15.16. 2/(ж) = Л/гС(Ж,О^|2^, где	{;
1	^	i^
1517 1) у(х) \ G(xOy(Od? е G(x^)	// " "
.17. 1) у(х) = -\ G(x,Oy(Od?, где
2)	у(х) = —Л / G(x^)y(^) d^ где G(x,l
о
i	i
3)	2/(я;) = Л J G(x, О у(О <% + f G(x, I
о	о
где С(ж,?) =
\	fln?,
/I I 7 /1 Т* 1 ^з 	Л / ( т Т г\гг\\\г\ fir "Р 7ТР I т I Т* л" 1 ^^ ч
е
15.18. 1) г/(ж) =
где
2) у{х) = [G(x,Of(O С где G(x,0 = { )*
Щ

§ 16. Метод разделения переменных	193
о	(in |ж| — х — 1 < ж < ?
3)	у(х) = jG(x,?)f(?)(%, где G(x,0 = <
тг/2
4)	у(х)= I G(x,O№d?,
5) y(x)=/G(x,
§ 16. Метод разделения переменных для уравнений
Лапласа и Пуассона
1. Краевые задачи на плоскости. Решение краевых задач в
случае простейших областей (круг, круговое кольцо, прямоугольник
и др.) можно получить методом разделения переменных.
Изложим этот метод решения задачи Дирихле для круга: най-
найти функцию и = u(r,ip), удовлетворяющую внутри круга уравнению
Лапласа
Аи = 0	A)
и принимающую заданные значения на границе круга, т.е.
u\r=R = f(<f).	B)
Уравнение A) в полярных координатах (г, у?) имеет вид
1 д ( ди\ , 1 д2и
г дг \ дг / г2 д(р2
д(р2
Ищем частные решения уравнения C) вида
и = г(г)Ф(<р).	D)
Подставляя D) в C), получаем
Ф"(<р) + \Ф(<р) = 0,	E)
Так как u(r, у? + 2тг) = u(r, (/?), то Ф(ср + 2тг) = Ф(^), и из E) находим
л/А = п (п целое), а
Фп {ф) = ^п cos rup + Бп sin тр.
13 Под ред. B.C. Владимирова

194 Гл. V. Краевые задачи для уравнений эллиптического типа
Тогда из F), полагая Z(r) = га, получаем а2 = п2, а = ±п (п > 0) и,
следовательно,	Zn(r) = ar» + Ьг"».
При п = 0 (Л = 0) из F) находим Z(r) = Со In r + С.
Для решения внутренней задачи Дирихле нужно положить Zn(r) =
= агп (п = 1,2,...) и ^о(г) = С? так как г~п —У оо и In г —У — оо при
г —У +0. Решение внутренней задачи Дирихле ищем в виде ряда
v^ гп
и(г,р) =С + 2^ — (Ап cos п<р + Вп sin пф),	G)
п=1
где коэффициенты Ап и 5П определяются из краевого условия B):
cosпфdip, C=
Суммируя ряд G), получаем решение внутренней задачи Дирихле
внутри круга в виде интеграла Пуассона
г2 _
_ ф)
Решение внешней задачи Дирихле ищем в виде ряда
~ Rn
и (г, ip) = С + У_] ~^ (А-п cos П(Р + Вп sin пф).
п=1
Наконец, решение уравнения A) в области R\ < г < R2 при задан-
заданных краевых условиях на окружностях г = R\ и г = it^ ищем в виде
ряда
сю	сю
/	Ч	V^ / А	П	СП\	ST^ (ть	П	АЛ .
и (г, ip) = у, [А-пТ Н—— ) cos П(Р + ^, \Впг -\—— J sin тр + атг + о.
16.1.	Найти функцию, гармоническую внутри единичного круга
и такую, что u\r=i = /(</?), где:
1) f (ф) = cos у?;	2) f (ф) = sin у?;
3) /(</?) = cos4 ip;	4) /(у?) = sin6 ip + cos6 у?.
16.2.	Найти функцию, гармоническую внутри круга радиуса R с
центром в начале координат и такую, что:
ди
2) ?
r=R
ди
r=R
= sin3 ip.
16.3. Найти стационарное распределение температуры и(г,ф)
внутри бесконечного цилиндра радиуса R, если:
1) на его поверхности поддерживается температура
u(r,ip)\r=R =

§ 16. Метод разделения переменных	195
2) на одной половине поверхности цилиндра @ < ip < тг) поддер-
поддерживается температура —То, а на другой половине (—тг < (р < 0) —
температура Tq.
16.4.	Найти функцию, гармоническую в кольце 1<г<2 и такую,
что
где.	U\r=1 = /if»,	и\г=2 = /2(<р),
1)	Л(<р) = ^i = const,	/2(</?) = ^2 = const;
2)	Д(у?) = 1 + cos2 </?,	/2 (у?) = sin2 (p.
16.5.	Найти решение уравнения Аи = А в кольце R\ < г < R2,
если u\r=R1 = ui, u\r=R2 — U2 (А,щ,и2 — заданные числа).
16.6.	Найти решение уравнения Пуассона
Аи = — Аху (А = const)
в круге радиуса R с центром в начале координат, если u\r=R = 0.
16.7.	Найти решение уравнения Лапласа Аи = 0 в прямоуголь-
прямоугольнике 0<ж<а, 0 < у < Ь, если на границе этого многоугольника
и(х,у) принимает следующие значения:
и\х=ъ = Леш -р и\х=а = 0,
и\у=о = В sin ™, u|y=& = 0.
16.8.	Найти распределение потенциала электростатического поля
и(х,у) внутри прямоугольника [0 < х < а, 0 < у < Ь], если потенциал
вдоль стороны этого прямоугольника, лежащей на оси Оу, равен г?о, а
три другие стороны прямоугольника заземлены. Предполагается, что
внутри прямоугольника нет электрических зарядов.
16.9.	Найти распределение потенциала электростатического по-
поля и(х,у) внутри коробки прямоугольного сечения —а < х < а,
—b<y<b, две противоположные грани которой (х = а и х = — а)
имеют потенциал г?о, а две другие (у = Ь, у = —Ь) заземлены.
16.10.	Найти стационарное распределение температуры и(х,у) в
прямоугольной однородной пластинке 0<ж<а, 0 < у < Ь, если
ее стороны х = а и у = b покрыты тепловой изоляцией, две другие
стороны (х = 0, у = 0) поддерживаются при нулевой температуре, а
в пластинке выделяется тепло с постоянной плотностью q.
2. Краевые задачи в пространстве. Нахождение решений за-
задач 16.11, 16.12 методом разделения переменных требует применения
бесселевых функций (см. с. 247).
16.11.	Найти стационарную температуру u(r,z) внутренних то-
точек цилиндра с радиусом основания R и высотой /г, если:
1) температура нижнего основания и боковой поверхности цилинд-
цилиндра равна нулю, а температура верхнего основания зависит только от г
(расстояние от оси цилиндра);
13*

196 Гл. V. Краевые задачи для уравнений эллиптического типа
2)	температура нижнего основания равна нулю, боковая поверх-
поверхность цилиндра покрыта непроницаемым для теплоты чехлом, а тем-
температура верхнего основания есть функция от г;
3)	температура нижнего основания равна нулю, боковая поверх-
поверхность цилиндра свободно охлаждается в воздухе нулевой температу-
температуры, а температура верхнего основания есть функция от г;
4)	температура верхнего и нижнего оснований равна нулю, а тем-
температура в каждой точке боковой поверхности зависит только от рас-
расстояния этой точки до нижнего основания (т.е. от z);
5)	основания цилиндра теплоизолированы, а температура боковой
поверхности есть заданная функция от z.
16.12. Найти стационарное распределение температуры внутри
твердого тела, имеющего форму цилиндра с радиусом основания R и
высотой /г, если:
1)	к нижнему основанию z = 0 подводится постоянный тепловой
поток q, а боковая поверхность г = R и верхнее основание z = h
поддерживаются при нулевой температуре;
2)	к нижнему основанию z = 0 подводится постоянный тепловой
поток д, верхнее основание поддерживается при нулевой температуре,
а на боковой поверхности происходит теплообмен со средой нулевой
температуры.
Применим метод разделения переменных к уравнению Лапласа в
пространстве для шара радиуса R в случае, когда решение и не зави-
зависит от угла </?, т.е. и = и(г,в). Тогда
л	10/2 ди\ , 1 д ( . пди\ п	/сЛ
Аи = ~1 7Г г 7Г + о - а ^Б sm6> 7^ = °-	(8)
г2 дг V дг) г2 sin в дв V дв)
Полагая
u = Z(r)W@),	(9)
из (8) получаем
7 S (•*§)"*•
Вводя в A0) и A1) вместо Л новую произвольную постоянную г/,
где Л = v{y + 1), запишем уравнение A0) в следующем виде:
r2^Z+2rdZ_ I/(l/ + 1)z = 0.	A2)
arz	ar
Уравнение A2) имеет частные решения вида Z = га, где а± = v и
а,2 = — (у + 1). Следовательно,
Z(r) = Cir" + C2r-^+1).	A3)
Уравнение A1) заменой независимой переменной по формуле ? = cos#
приводится к виду

§ 16. Метод разделения переменных	197
^ + 1)У = 0,	A4)
где у = H^(arccos^). Уравнение A4) называется уравнением Лежанд-
ра; оно имеет ограниченные на отрезке [—1,1] решения в том и только
в том случае, когда v — п (п > 0 целое).
Решениями уравнения A4) при v = п являются полиномы Ле-
жандра	ап(с^ л\п
Приведем формулы для Рп@ при п = 0,1,2,3,4:
Рз@ = \E?3- Ю, Pi (О = I C5?4 - 30?2 + 3).
Полиномы Лежандра образуют ортогональную систему в L2(—1,1),
т. е.	1
= 0 (п ф т)
j
и, кроме того, ~г
-1
Отметим еще, что всякая функция / G Ьг(—1,1) разлагается в ряд
Фурье по полиномам Лежандра
сходящийся в L2(—1,1).
Из A3), A4) находим частные решения уравнения (8) вида (9)
ип(г,в) = [Anrn + Bnr-("+1>] Pn(cos0),
где Рп@ — полиномы Лежандра.
Функции ип(г,6) удобно использовать для нахождения решения
уравнения Лапласа в случае, когда краевые условия заданы на сфе-
сфере (внутренняя и внешняя задачи) или на границе шарового слоя
(i?i <r < Д2).
Решение внутренней задачи Дирихле (и других внутренних задач
для уравнения Лапласа) в случае, когда краевые условия заданы на
сфере г = R и зависят только от в, следует искать в виде
п=0
а решение внешней задачи — в виде
сю
п=0

198 Гл. V. Краевые задачи для уравнений эллиптического типа
Если краевые условия заданы на границе шарового слоя R\ < г < R2
и зависят только от #, то решение нужно искать в виде
сю
и(г,в) = Y, [Апгп + Bnr-(n+1'>] Pn(cose).
Коэффициенты Ап,Вп определяются из краевых условий.
16.13.	Найти функцию и, гармоническую внутри шара радиуса R
с центром в начале координат и такую, что
u\r=R = №,
где:
1) /@)=cos0;	2) /@)=cos20;
3) /(<?) = cos 20;	4) /(<?) = sin2 6».
16.14.	Найти функцию, гармоническую внутри шара радиуса R и
такую, что	/	ч.	.	о п
(и + ur)\r=R = 1 + cos2 0.
16.15.	Найти функцию, гармоническую вне шара радиуса R и та-
такую, что:
1) ur\r=R = sin20; 2) (и —ur)\r=R = sin20; 3) ur\r=R = AcosO.
16.16.	Выяснить, разрешима ли внутренняя задача Неймана для
шара радиуса R, если:
1) ur\r=R = AcosO; 2) ur\r=R = sin0.
Найти соответствующее решение.
16.17.	Найти гармоническую внутри шарового слоя 1 < г < 2
функцию такую, что
если:
U\r=l = /l (б),	U
r=2 =
2)	Д =cos26>,	/2 = 4cos26>- |;
3)	/1 = 1 - cos2(9, /2 = 2cos(9;
5) Д = 9 cos 2(9,	/2 = 3A -7 cos2 0).
16.18.	Найти стационарную температуру внутренних точек полу-
полусферы радиуса R, если сферическая поверхность поддерживается при
постоянной температуре То, а основание полусферы — при нулевой
температуре.
16.19.	Найти стационарную температуру внутри однородного
изотропного шара радиуса R, если на поверхности шара поддержи-
поддерживается температура
{щ при 0 < в < -,
U2 При — < 0 < 7Г.

§ 16. Метод разделения переменных	199
Уравнение Лапласа Аи = 0 в сферических координатах (г, у?, в)
имеет вид
1 д ( 2 ди\ , 1	д ( . л <9гЛ
г2 5г \ дг / г2 sin в дв \ дв)
Будем находить решения уравнения A5) методом разделения перемен-
переменных. Полагая u(r,6,(p) = Z(r)YF,(p), из A5) находим
r2Z" + 2rZ' -XZ =0,	A6)
Потребовав, чтобы функция У(#,</?) была ограничена на единичной
сфере, и учитывая, что У@, (р + 2тг) = У@, (р), будем искать решения
уравнения A7), полагая YF,ip) = W(в) • Ф(у?). Мы получим
Ф// + ^ф = 0, Ф(у? + 2тг) =Ф(у>),	A8)
откуда /i = m2 (ш целое) и
ФшМ = Сш cos my? + Dm sin my?	A9)
— решения задачи A8).
Функция W@) определяется из уравнения
J_ . * (тпв^Р\ + (\-*)w = 0,	B0)
sin 9 d9 \	d9 ) V sin2 0 /
она должна быть ограничена при 0 = 0 и в = тг. Полагая в B0)
? = cos# и обозначая W@) =X(cos#) =X(?), запишем уравнение B0)
в следующем виде:
Уравнение B1) имеет ограниченные на отрезке [—1,1] решения лишь
при Л = п(п +1), где п — целое. Частными решениями уравнения B1)
при Л = п(п + 1) являются функции
где Рп@ (п = 0,1,...) — полиномы Лежандра.
Возвращаясь к переменному в, найдем искомые частные решения
уравнения B0):
<Н	^ [Pn(cos0)},	B2)
причем Рп (cos в) = 0 при т > п. Функции Рп (cos0), определяемые
формулой B2), называются присоединенными полиномами Лежандра.
Таким образом, частные решения уравнения A7), ограниченные
на единичной сфере, имеют вид

200 Гл. V. Краевые задачи для уравнений эллиптического типа
п
Yn@,(f) = аоРп (cos 0) + ^2(ak cos k(p + bk sin k(p)p(k\cos6). B3)
Так как общее решение уравнения A6) имеет вид
то искомые частные решения уравнения A5) таковы:
ип(г,в,<р) = Zn{r)Yn{e,ip) = (Апгп + -^.) Yn(9,<p),
здесь YnF,ip) определяется формулой B3).
Рассмотрим внутреннюю задачу Дирихле для сферы радиуса R
с центром в начале координат: найти решение уравнения A5) при
условии, что	,
)-	B4)
Решение этой задачи (и других внутренних задач) следует искать в
виде	°° к
u(r,e,lp) = Y,(Ifi)Yk(e,ip),	B5)
причем в случае задачи A5), B4) в качестве функций Y/, (#,</?) в B5)
нужно взять те и только те функции, которые присутствуют в разло-
разложении f(O,(p) в ряд по сферическим функциям Уд.@,у?)
к=0
Решение задачи A5), B4) в точке Мо(го, во, у?о) можно представить
интегралом Пуассона
О О
где cos 7 = cos в cos ^o + sin в sin ^o cos (<p — (ро).
Решение внешней задачи Дирихле для сферы радиуса R (и других
внешних задач) следует искать в виде
к=0
Наконец, функцию, гармоническую в сферическом слое R\ < г < R2
и принимающую заданные значения на границе этого слоя, нужно
искать в виде
к=0 2	к=0
где Yfc@,y?) — сферическая функция вида B3).

16. Метод разделения переменных
201
Выпишем несколько присоединенных полиномов Лежандра и функ-
функций Y&@, (f) в явном виде для к = 0,1, 2, 3:
P3B)(cos0) = 15 sin2 0 cos 0;
P3C)(cos0) = 15 sin3 0;
Р2A) (cos в) = 3 sin 0 cos 0;
¦nil) t Лч . л 15 cos2 0 — 3
Р3 (cos 61) = sin0	;
->(п)
Bп)!
>(п)/ Лч B
А (cos 61) = ^
п
sin
Yo@,<p) = а0,
Y\ @, ф) = ai cos в + (bi cos ip + ci sin y?) sin 6>,
У2 (^? ^) = a2 C cos2 0 — 1) + F2 cos </? + C2 sin ip) sin 0 cos в +
+ (c?2 cos 2ф + е2 sin 2y?) sin2 в,
Y3 ((9, y?) = a3 E cos3 6> - 3 cos в) + (b3 cos y? + c3 sin ф) sin (9 A5 cos2 0 - 3) +
+ (cfe cos 2<p + e3 sin 2y?) sin2# cos в + (/3 cos 3ip + ^3 sin 3ip) sin30.
16.20. Найти функцию, гармоническую внутри единичной сферы
и такую, что:
1) u\r=i = cos \2ip -\— J sin2 0;
2)	и
3)	и
r=i = (sin 0 + sin 20) sin f ip + ^ j;
r=i = sin 0 (sin ip + sin 0);
4) ur\r=i = sin
10
r=o = 1.
16.21.	Найти функцию, гармоническую внутри сферы радиуса R
с центром в начале координат и такую, что:
1)	u\r=R = sin \2(р -\— J sin2 0 cos#;
2)	u\r=R = sin Гз^ + ^) sin3 0;
3)	u\r=R = sin2 0 cos \2(p - j J + sin0 sin</?;
4)	(u + ur)|r=jR = sin2 0 \y/2 cos^2y? + j W 2 cos2 <pj;
5)	(u + ur)|r=jR = sin0 (siny? + cosy? cos# + sin0).
16.22.	Найти функцию, гармоническую вне единичной сферы и
такую, что:
1) ur\r=i = sin ( j — ip\ s'mO; 2) u\r=i = cos2 0 s'mO sin up + ^ j.
16.23.	Найти функцию, гармоническую вне сферы радиуса R с
центром в начале координат и такую, что:
1) u\r=R = sin30 cos0 cos (з</?+^\ 2) u|r=jR = sin 1(%> sin1000;
3) (u - ur)\r=R = sin(9 cos2 - sin up + ^ V

202 Гл. V. Краевые задачи для уравнений эллиптического типа
16.24.	Найти функцию, гармоническую внутри сферического слоя
1 < г < 2 и такую, что u\r-i = Д@,у?), и\г=2 = /2@, у?), где:
1)	Д = sin0 siny?,	/2 = 0;
2)	/i=3 sin 2y? sin2 0,	/2=3 cos 0;
3)	/1 = 7sin0 cosy?,	/2 = 7cos0;
4)	Д = sin2 0C- sin 2y?),	/2 = 4Д;
5)	/i = 12sin0 cos2 - cosy?, /2 = 0;
Z
6)	Д = sin 2y? sin2 0,	/2 = cos 2y? sin2 0;
7)	/1 = cosy? sin20,	/2 = siny? sin20;
8)	Д = 31 sin 20 sin y?,	/2 = 31 sin2 0 cos 2y?;
9)	/1=Cos0,	/2 = cosy? A2sin0-15sin3 0).
16.25.	Найти функцию, гармоническую внутри сферического слоя
1 < г < 2 и такую, что:
1)	(Зи + ur)|r=i = 5 sin2 0 sin2y?, гф=2 = — cos0;
2)	u|r=i = sin0 sin у? E + 6cos0), ur\r=2 = 12 sin 20 siny?;
3)	u|r=i = 1, ur\r=2 = 15cosy? (cos2 0 sin0 + siny?sin2 0 cos0).
16.26.	Найти функцию, гармоническую внутри сферического слоя
1/2 < г < 1 и такую, что:
1)	u|r=i/2 = 0,	м|г=1 = б cos2 у? sin20;
2)	u\r=i/2 = 30 cos2 у? sin2 0 cos0, ^|r=i — 0.
Ответы к § 16
16.1.	1) - A+ r2cos2y?);	2) ^ C sin у? - г2 sin 2y?);
3)	- + Г— cos2y?+ ^- cos4y?;	4) - + -r4cos4y?.
о Z	о	о о
16.2.	1) Лгсо8у? + С; 2) —r2cos2y? + C;
2R
з) Г
Здесь С — произвольная постоянная.
16.3.	1) 4г sin(^
/ ^ \2n-\-l ^:„ /о^ i 1 \ ._ оф d2 _2
-Го-
2) -:
16.4.
16.5.
4Т0
тг
D
^2
«1 + ,
+ 4 ^
г \2n+1 sin Bn + 1
RJ 2n + l
/ ч lnr
2 t->2\ ^1 "" '{
Г JX2) \
2)
\L<2 ~\-
\x\ Я
2T0
7Г
3 lnr
Л(Я2 — R
•t д2"г2
*i)/4 . R2
r

§ 16. Метод разделения переменных
203
16.6.
Указание. и = г> + w, где г; = ~
АхУ
+ у2) = -:
частное решение уравнения Пуассона, a w — решение уравнения Лап-
А_
24
ласа, удовлетворяющее условию w\r=R = —- RA sin2<p.
16.7. А
sh
тг(а—ж)
sh-
sin
7ГЖ
Указание. Решение искать в виде и = v + w, где v и w —
гармонические функции такие, что и|ж=о = A sin —-, v\x=a = v\v=o =
о
= v\v=b = 0, w\x=o = w\x=a = w\y=b = 0, w;L=o = В sin —.
a
1 Bп+1)(а-х)тг . Bп+1)тт2/
16 8 *!l у 	*	sm	*
7Г ^_n
Bn + l)sh^^r
, Bп+1) тгж _
16.9. -^
16.Ю.
/о , -1 \ 1 2п+1
Bп + 1) ch —2Ь 7га
Е
ch
1-
2а
ch
Bп+1)тгЬ
2а
. Bп+1)тгж
sin	—,
2а '
к — коэффициент внутренней теплопроводности.
Указание. Задача сводится к решению уравнения Аи = — т
при условиях и\х=0 = и\у=о = 0, их\х=а = иу\у=ь = 0.
_ q
/xn2:
16.11. 1) Е ап
n=l
^j, где/in (п = 1,2,...) — положи-
2	f
тельные корни уравнения Jo(/i) =0, ап = 2—г / гщ(г) Jo [*-%-
it Ji y/J>n) J	\ it ,
2) E an S ^h Jo{^n^j, где fin (n = 1,2,...)
E
n=i
положитель-
ные корни уравнения
= 0, an =
^2j2—г
ruo(r) Jo y^jf
(Указание. Краевые условия имеют вид |м|г=о| < оо, u\z=o = 0,
r.=R = о, u\z=h =
3)
Er
n=l Sh
К
^VJo(^Tr), где \in (n = 1,2,...) — положитель-
2 / h2В2
ные корни уравнения /iJi(/i) — hiRJo(/j) =0, an = -— A H—Ц-
-1

204 Гл. V. Краевые задачи для уравнений эллиптического типа
ТУ
[Jo(P"n)\~2 I тио(г) Jo (^r) dr (Указание. Краевые условия име-
о
ют вид |гл|г=0|<оо, u\z=0 = 0, (ur + hiu)\r=R = 0, u\z=h = uo(r).);
.ч 2 ^ Г /тгпЯ Л!/ /" л/^ч . тгп? ,Д . nnz T fnnr Д
4) л ? [Jo (— *)J (/ m sm ^r dt)sm — Jo (— *> где
Jo(ix) — функция Бесселя нулевого порядка от чисто мнимого аргу-
аргумента;
К\	\~~у |т/" 1ь±ъ . \i it г / ?\	п 'bS, if \	п 11><ь Т I п 1Ь1 ' \ (Л1
h „ _-1 I \ h J\ \J	h I	h \ h J
з а н и е. Краевые условия имеют вид uz\z=o = uz\z=h = 0, u\r=R =
sn —-
16.12. 1) E«n^	-^—jote\rfle/in(n = l,2,...)—поло-
n=l	Ch ^	V Я У
жительные корни уравнения Jo(/i) = 0, an = -——-у—г-, /;; — коэф-
фициент теплопроводности (Указание. Задача сводится к реше-
решению уравнения Аи = 0 при краевых условиях — kuz\z=o = g, u\r=R =
= u\z=h = 0.);
/in(h—z)
= 1,2,...) — положитель-
n=i
ные корни уравнения /iJi(p,) — RhiJo(/i) = 0, hi — коэффициент
теплообмена, ап = 2h\E?qk~1(R2h\ + /j^l)~1[Ji(/j,n)]~1iJ,~2 (Указа-
(Указание. Краевые условия имеют вид (ur + hiu)\r=R = 0, — kuz\z=o = q,
u\z=h = 0.).
16.18.1) J совв;	2) i (l --J) +-J
9 c>2	c>4
16.15.	1) ——	h ^-3 (Зсов2^ - 1) + С, где С — произвольная
постоянная;
2)	С + (I - С) 7ЩТТ) ~ WTiW (cos2' - D' где С " произ"
вольная постоянная;
Л Я3
3)	С	• —т- cos^, где С — произвольная постоянная.
2 г2
16.16.	1) Задача разрешима: и = Ar cos 6, где С — произвольная
постоянная;
2) задача не имеет решения.

16. Метод разделения переменных	205
16.17. 1) l+3-^g^; 2) Ig-
К1 -;)+ п (? -г) Ы™» +
r2)p2(cos6>).
; Г'" Dп + 3)(^)
5) 2--5 +
16.18. Го Е
~	п=О
0<в < ?.
16.19. х ' z + —	— ЕС-1)"	v 	^Dп + 3)х
16.20. 1) г2 cos f2^+-) sin2 в;	2) (гsin0 + г2sin20) sin L + -\
V 3/	V 6/
2	г2	г10
3) - — — C cos 20 + 1) +rsin0 sin у?;	4) 1 + —— sin в sin 10</?.
3	6	10
16.21. 1) (-) sin B(f+-) sin2 в cos 0; 2) (-) sin (з</?+ -) sin3
3) (-^ ) sin2 (9 cosBy> - у ) + -^ sin (9 siny?;
[	]
(Указание. (ur + ^)|r=jR = - P22')(cos6))Bcos2(/? - sin2<p) + - -
V	о	о
-\P2 (cos 0), u = Л + Br2P2(cos0) + r2(C cos 2</? + L> sin 2y?) x
xP2B)
(cos <?).);
r4 2	r . . Л r2 sin ^ cos ^ cos ш r2 3cos29 — 1
5) 3 +	81ПУ81П^+	Т
зание. (и + ur)\r=R = sin у? Pf1^ (cos в) + - cos у? P2 (cos ^) + ^~
2
--P2(cosi9), u = A +В (^)sin(psmO + С (?=) cos </?P2A) (cos 0) +
16.22. 1) -^Lsin0sin(^-^;
2) [ib P3A)(cos^) + ± Р?\со8е)] sin
16.23.1) ^ sin3i9cosi9cos^+^; 2) ^) sin !(%> sin1009;

206 Гл. V. Краевые задачи для уравнений эллиптического типа
(Указание. (« - ur)\r=R = [^P^(cos9) + ^
sin
16.24. 1)
ox 12 / 1 \ л , / 96 3r2\ . o . 2д
3)	4 f r	j ) cos ^ + (~2 "" r) s^n ^ cos ^5
4)	A4 _ 12") p0(cos в) + r2(l - 3cos2 в - sin2 6> • s
,, 12	. л/4 r\ 12 / 8 r2\
5)	_ cos^ sine [^ - -) + -^ - -) cos^
— cos 2(f - — sin 2(fj r2 + — (- — cos 2^ + — sin 2(^JJ sin2(9;
^ч Г 2 /" 1	, 8 . \ , 1 /32	8 . Yj . o/3
^ [r v зТ cos ^ зТ sin v г» 1зТ cos ^ ~ зТ sin vJsin '
8) (p - r2) sin 20 sin y? + (^8r2 - -|) sin2 6> cos 2y?;
n4 1 / 8 \ л , 32 / з 1 \ 12 sin в - 15 sin3 в
9) 7 (й r)C0S^ + m
16.25. 1) (-i - r) cos 6> + [r2 - p) sin2 6> sin 2y?;
2)	IrH—- J sin 0 sin </? + 3r2 sin 20 sin </?;
3)	1 + ^ (r - 1) P[x) (cos 0) cos ^ + Щ (r3 - 1) cos ^ P3A) (cos 0) +
(cos в) (Указание. ur\r=2 = 2P3A) (cos 0) x
x cos</? + - P3B) (cos 0) sin2</? + 3PXA) (cos 0) cos</?, u = Гаг + -^Л х
x sini9 cos^ + С + ^ + (/r3 + Д) P3A)(cos6>) cos^ + [lr3 + ^
xPJ2) (cos 0) sin2y?.Y
16.26. 1)
T
(Указание. u\r=1 = 2-2P2(cos0) + P2B)(cos0) cos2</?.);

§17. Функция Грина оператора Лапласа	207
2) у^-'
xP3(cos#) (Указание. ^|r=i/2 — — 6Рз(со8#) + 6Pi(cos в) +
+ P3B)(cos6>) cos2(^, u = (ar +-^) Pi (cos 0) + (cr3+ —) P3B) (cos i9) cos 2(^ +
§ 17. Функция Грина оператора Лапласа
Функцией Грина (внутренней) задачи Дирихле для области G Е R3
называется функция @(х,у), ж Е G, у € G, обладающая свойствами:
1) &(х,у) = —:	\- g(x,y), где функция g — гармоническая
4тг|ж — у
в G и непрерывная в G по ж, при каждом у G G;
2) ^(ж, 2/)|Ж?5 = 0 при каждом у G G, где 5 — граница области G.
Для неограниченных областей G требуем, чтобы д(х,у) —У 0 при
\х\ —У оо.
Если G — ограниченная область и S — достаточно гладкая по-
поверхность, то ^существует, единственна, имеет правильную нормаль-
нормальную производную —— на S при каждом у G G и симметрична, т. е.
ОТЬх
= У(у,х), х G G, у € G; д(х,у) непрерывна по совокупности
переменных (ж, у) в G x G.
Если решение внутренней задачи Дирихле для уравнения Пуассона
Аи = —/(ж), u|s = ^о(ж), где / G C(G) и wq G C(S), имеет правиль-
правильную нормальную производную на 5, то оно определяется формулой
&(x,y)f(y)dy.	A)
5	V	G
Для ряда областей функцию Грина можно найти методом отра-
отражений.
17.1.	Построить функцию Грина для следующих областей в R3:
1)	полупространство жз > 0;
2)	двугранный угол Ж2 > 0, жз > 0;
3)	октант х\ > О, Ж2 > 0, жз > 0.
17.2.	Построить функцию Грина для следующих областей в R3:
1)	шар |ж| < R;
2)	полушар |ж| < R, х% > 0;
3)	четверть шара |ж| < R, X2 > 0, жз > 0;
4)	восьмая часть шара |ж| < i?, х\ > О, Ж2 > 0, жз > 0.
17.3.	Пользуясь методом отражений, построить функцию Грина
для части пространства, заключенного между двумя параллельными
плоскостями жз = 0 и жз = 1.

208 Гл. V. Краевые задачи для уравнений эллиптического типа
Ниже даны краевые задачи для уравнений Лапласа и Пуассона,
решения которых могут быть найдены с помощью соответствующей
функции Грина из задач 17.1-17.3 и формулы A).
17.4. Найти решение задачи Дирихле
Au = -f(x), х3 > 0; и\Хз=0 = ио(х),
для следующих / и щ:
1)	/, щ — непрерывны и ограничены;
2)	/ = 0,
3)	f = е~Хз s'mxi C08x2,	и0 = 0;
4)	/ = 0,	uo = 6>(
5)	/ = 0,	uo= A
6)	f = 2[xl + x22	2]-\	{
7)/ = 0'	Uo = l+i, *i>o.
17.5.	Найти решение задачи Дирихле
Аи = 0, х2 > О, ж3 > О, u|s = -мо(ж),
uo — кусочно непрерывна и ограничена.
17.6.	Решить задачу 17.5 со следующими щ:
жч^О — ^	Sin ОЖ2 5
1 , „2 , ^2\-3/2.
2) ^oU=o = 0,
х3=о =
3) ^о|Ж2=о = 0, ио\хз=о =
17.7.	Найти решение задачи Дирихле для шара \х\ < R:
Au = -f(x), \х\ < Д, и||ж|=я = ио(ж).
17.8.	Решить задачу 17.7 для следующих / и щ:
1)	j — а — const,	uo = 0;
2)	/ = |ж|п, п = 0,1,2,..., и0 = а;
3)	/ = е!ж1,	ио = 0.
17.9.	Решить задачу Дирихле для уравнения Лапласа для полу-
полушара \х\ < Д, жз > 0.
17.10.	Найти решение уравнения Пуассона Аи = —/(|ж|), / G
G С (а < |ж| < Ь) в шаровом слое а < \х\ < 6, удовлетворяющее крае-
краевым условиям	,	,
М||я;|=а = 1j	^||ж|=Ь = U-
Функцией Грина задачи Дирихле для области G С Д2 явля-
является	I	1
где z = х + iy e G, ? = ? + irj e G. @(z, С) обладает всеми свойства-
свойствами функции Грина в Д3 (см. начало § 17). Решение задачи Дирихле
Аи = —f(z), z G G\ u\s = uq(z) в Д2 (если оно существует) опре-

§17. Функция Грина оператора Лапласа
209
деляется формулой, соответствующей формуле A) в R2. В случае,
когда область G — односвязная с достаточно гладкой границей S и
известна некоторая функция w = w(z), конформно отображающая G
на единичный круг \w\ < 1, функция Грина находится по формуле
cat, л - _L lr, x	,,(* г\ - w(z)-w(Q
17.11.	Найти функцию Грина для областей:
1)	полуплоскость Imz > 0;
2)	четверть плоскости 0 < argz < -;
3)	круг \z\ < R;
4)	полукруг \z\ < R, Imz > 0;
5)	четверть круга \z\ < 1, 0 < aigz < —;
6)	полоса 0 < Imz < тг;
7)	полуполоса 0 < Imz < тг, Rez > 0.
17.12.	Найти решение задачи Дирихле
Аи = 0, у > 0; ^|у=о = и
для следующих ^о(ж):
1)	щ(х) кусочно непрерывна и ограничена;
2)	Tio(aO=0(s-a); °ч / ч ' ^ *
4) и°(ж) = ТТ^2'
6) по (ж) =
7) Uq(x) = COS Ж.
A+ж2J;
17.13. Найти решение уравнения Аи = 0 в первом квадранте
х > 0, ^/ > 0 со следующими краевыми условиями:
1) u\s = щ(х,у) — кусочно непрерывная, ограниченная функция,
где S состоит из полупрямых {х = 0, у > 0} и {у = 0, ж > 0};
2) и
4) и
6) и
,=о = 0,
,=о = 0,
и\у=о = 1;
3) и
5) w
х=о = а,
,=о = 0,
у=о =
у=о =
' х=0 = sm2/5 ^|у=0 = Sin Ж.
17.14. Найти решение задачи Дирихле для уравнения Аи = 0,
0 < у < тг со следующими краевыми условиями:
1) u\s = щ(х,у) — кусочно непрерывная, ограниченная функция,
где S — граница полосы 0 < у < тг;
2) и
4) и
6) и
>,=о = в(х), и\у=7Г = 0;	3) и\у=о =
и\у=7Г = в(-
17.15. Найти решение уравнения Лапласа Аи = 0 в полуполосе
0<2/<тг, ж > 0, со следующими краевыми условиями:
14 Под ред. B.C. Владимирова

210 Гл. V. Краевые задачи для уравнений эллиптического типа
1)
2)
3)
4)
u|
u\
u\
u\
\x=0
\x=0
\x=0
\x=0
= 1,
= 0,
= o,
= 0,
и
и
и
и
у=о = 0,	и\у=7Т = 0;
у=о = sin ж,	и\у=7Г = 0;
y=o=thx,	u\y=7T = thx;
у=о = 0,	и\у=7Г = thx.
17.16.	Найти решение уравнения Пуассона Аи = —f(z) в круге
z\ < R при краевом условии и||^|=д = uo(z) для следующих / и щ:
1) /, щ — непрерывные функции;	2) / = а,	щ = 6;
3)	/ = |z|n, n = l,2,..., и0 = 0;	4)/ = sin|z|, u0 = 0;
5) / = 0, no = cosy?, где ip = argz, 0 < ip < 2тг.
17.17.	Найти решение уравнения Лапласа Аи = 0 в полукруге
z\ < 1, Imz > 0, при условии и\s = ио(г),где S — граница полукруга,
для следующих Uo(z):
1)	Uq(z) — кусочно непрерывная функция;
2)	uo\r=i = sin у?, ио\(р=о = 0,	uo\(f=7r = 0, где г = |z|,
у? = argz, 0 < у? < 2тг;
4)	г^о|г=1 = cos ^, ^о|(^=о = лА*? ^о|^=тт = 0.
17.18.	Найти решение задачи Дирихле Au = 0, Rez>0, |z —5|>3;
Re z=0 = 0, u|u_5|=3 = 1-
Ответы к § 17
В ответах к задачам 17.1-17.10 введены обозначения
Утпк — ((~1) 2/15 V 1) 2/25 (~1) УЗ)-
47Г fe=o
-i	1
3) _L y
47r
\m+n+fe
17.2. 1) —- (
J 4тг
( г
4тг \\х-у\ \y\\x-y*
-Уопк\
, где, как и всюду в задаче 17.2,
Утпк = uiWb \Утпк\\Ушпк = Л ;
з) 4-
E
\у\\х~Уопк
1 1
4) __ Е (—i)m+n+fe
4тг
т,п,к=0
R
Х~Утпк\	\у\\Х~Утпк\)'

§17. Функция Грина оператора Лапласа
211
1
- yiJ
(жз - Bп
1
1
4:71 п=-ос
д/(ж1 - 2/iJ + (ж2 - 2/2J + (жз - Bп -
Указание (к задаче 17.4 и ниже). В случае, когда f и щ
кусочно непрерывны и ограничены, а поверхность S кусочно глад-
гладкая, постановка задачи Дирихле может быть обобщена таким образом,
чтобы решение ее также определялось формулой A).
17.4. 1) I»
2
\х-у\3
4тг
2/з >0
2) в"
.ч 1,1	А Х<2 — Х\
4 - + -arctg —=	;
2 тг	л/2жз
6) [Х2 + Ж2 + (жз + 1J]
Хо	Г	( 1
17.5. — / иоЫ
3)
5)
7) 1 arctg—.
7Г	Жз
1
У2=0
Уз>0
3 / dSV '
2/2 >0
2/3=0
17.6. 1) е-
о\ 1	, Ж2 + Ж1 , 1	Ж2 —
3) - arctg	-=- + - arctg	-
У тг 6 /2 тг 6 /
3жз sin 5ж2;	2) ж2 [яг? + х\ + (яг3 + IJ] 3/2 ;
^ 1 /* Я2
4тгЯ У \х
-у\3
1 /* / 1
y+T- / i
2/
где 2/* = 2
17 8
17.».
точка, симметричная точке у относительно сферы
рп+2 Ы^ + 2
lrl2V 21 г?!	~ |ж|
3) ея - el^l - 4 (ея - 1) + Л (е|ж| - 1).
1 7 Q ?/(тЛ — —
\y\<R
R2-\x\
4тгЛ
f
\y\=R
2/3 >0
где \x\ < R, хз > 0; у* и ^/** — точки, симметричные точке у относи-
относительно сферы \у\ = R и плоскости уз = 0 соответственно.
14*

212 Гл. V. Краевые задачи для уравнений эллиптического типа
17Л0-
17.11. 1) ±- In ji^|[, где z = х + гу, ( = ? + щ;
2ж \z - Q
27Г
5) Х
17.
.12. 1) Л 7 ^/j 2;	2) I + I
2)
4)
6)
2 А х
— arctg -
ТГ у
е~у sin ж
+
0
^ 2/2 - ж2 + 1
2ж?/
' " [х2 + (у - r,Y x2 + (y + Vy
2 (	у	х\
3) - [ a arctg - + Ъ arctg - ;
тг V	х	У J
к\ Х\У+Ч
/ Г™2 I /„. I 1 \212 '
17.14.
2) ---arctg	:
2 7Г	siny
„ч 2 , ,	1	sin2z
4) - arctg ctg ?/ - - arctg —
7г	7г	е2ж —
^ч cos x sh (тг — 2/)
оч 1 1 , shx
3) - + - arctg -—;
2 7Г	smy
кч 1 , 1 , thrc
—;	5) - + - arctg -—;
cos2y	2 тг	tg у
17.15. 1) l + l
2 тг
+ arctg^f;
2 тг	2sin2/shx
2)

§ 18. Метод потенциалов
213
sh.x
17Л6-
ch ж + sin у'
2^
.ч
ж sin 2?/+ ?/sh 2ж —
тг (ch 2ж + cos 2г/)
где z —
а / ^2 ji
1С1=Д
iy, С = С + Щ, С = W;
2) ^R2_r2)+b.
R
4) sin r — sin R + f
snip
ОД
5) —cosy?.
R
Указание. В задачах 17.16, 2)-5) воспользоваться формулой
задачи 17.16, 1), где перейти к полярным координатам z = гег(/?,
С = peie, 0 < <р, в < 2тт.
где z = ж + г^/
2) г sin у?;
17.18. -L
1пЗ
= С +
оч 2 .
3) -arctg^—f-;
7Г	Т	X
4)
§ 18. Метод потенциалов
Пусть p G S>['(Rn). Свертка Vn = —r^^- * p, n > 3, называется
ньютоновым потенциалом, a V2 = In г— * р, п = 2, — логарифми-
\х
ческим потенциалом с плотностью р (определение свертки см. в §8).
Потенциал Vn удовлетворяет уравнению Пуассона
AVn = -(n-2)anp, n>3; AV2 = -2тгр.
Если р — финитная абсолютно интегрируемая функция в Rn, то
соответствующий ньютонов (логарифмический) потенциал Vn назы-
называется объемным потенциалом (потенциалом площади).
Пусть 5 — ограниченная кусочно гладкая двусторонняя поверх-
поверхность в Rn, п — нормаль к S и pSs и — — (vSs) — простой и двойной
слои на 5 с плотностями \i и v (определение слоев см. в §6 и §7).
Свертки
J	^ -^*±(и63), п>3,

214 Гл. V. Краевые задачи для уравнений эллиптического типа
называются поверхностными потенциалами простого и двойного
слоя с плотностями \i и v. Свертки
У2@) = In -L * »6S и V™ = - In -L * ± (uSs), n = 2,
называются, соответственно, логарифмическими потенциалами прос-
простого и двойного слоя.
Если S — поверхность Ляпунова и v Е C(S), то в R3 предельные
значения потенциала двойного слоя V+ и У_ извне и изнутри S
выражаются формулами
^	A)
5	Х У{
где у?Ж2/ — угол между вектором х — у и нормалью пу в точке у G 5.
Если /i G C(S), то потенциал простого слоя имеет правильные
нормальные производные —— и —-— на Ь извне и изнутри Ь
\ on /+ V an /—
(см. определение в начале гл. V), причем на S
4- / МЫ ^ ^у, B)
S
где г/;Ж2/ — угол между вектором у — х и нормалью пж.
Аналогичные формулы для V± (х) и ( —— ) (х) справедливы и
в R2 с заменой 2тг на тг и |ж — ?/|2 на
18.1. Пусть р — абсолютно интегрируемая функция, р = 0 вне
G С Rn. Доказать:
а) объемный потенциал выражается формулой
G
6) Vn — гармоническая функция вне G;
G
Выяснить физический смысл этих потенциалов.
18.2. Пусть р — абсолютно интегрируемая функция, р = 0 вне
G С R2. Доказать:
а)	потенциал площади выражается формулой
Т^(ж) = / р(у) In	 dy;	D)
G
б)	У2 — гармоническая функция вне G;

§ 18. Метод потенциалов	215
в) V2(x)=ln±fp(y)dy + O(-^}, |Ж|—юо.
Выяснить физический смысл этих потенциалов.
18.3. Пусть S — ограниченная кусочно гладкая двусторонняя по-
поверхность и /i, v G C(S). Доказать:
а) потенциалы простого и двойного слоя выражаются формулами
з W-J ]^\dbv>
E)
s	s
где угол (fxy определен в начале § 18;
б)	V3 и У3 — гармонические функции вне S;
в)	vt{x)
Выяснить физический смысл этих потенциалов.
18.4. Пусть S — ограниченная кусочно гладкая кривая и /i, v G
eC(S). Доказать:
а) логарифмические потенциалы простого и двойного слоя выра-
выражаются формулами
F)
s	s
где угол (fxy определен в тексте;
б)	1/2 и \?2 — гармонические функции вне 5;
в)	^°)(ж)=1п^|МС)^ + 0(^), У2A)(х) = 0(^), |х|—>оо
х\	\х\	\х
Выяснить физический смысл этих потенциалов.
18.5.	1) Вычислить ньютонов потенциал Уз с плотностью SSr;
2) вычислить логарифмический потенциал V2 с плотностью SSr.
18.6.	Вычислить объемный потенциал Уз для шара \х\ < R со
следующими плотностями:
1) р = р(\х\) еС;	2) р = ро = const;	3) р = |ж|;
4) р=|Ж|2;	5) р=^;	6) p = e-W;
7) р =	¦—j;	8) р = sin \х\;	9) р = cos

216 Гл. V. Краевые задачи для уравнений эллиптического типа
18.7.	Для сферического слоя R\ < \х\ < Д2 вычислить объемный
потенциал Уз масс, распределенных с плотностями:
1) р = ро = const; 2) р = р(\х\) eC{Ri< \x\ < Д2).
18.8.	Пусть масса распределена в шаре г < R с плотностью р.
Найти объемный потенциал Уз в точке, лежащей на оси в = О
(О < в < тг) для следующих плотностей:
1)	р пропорциональна квадрату расстояния от плоскости в = —;
2)	p = cosl9;	3) p = sin</?;
4) Р = р(</?) — непрерывная, 2тг-периодическая функция; 0 < ср <
< 2тг.
18.9.	Пусть масса распределена с постоянной плотностью ро в ци-
цилиндре {х\ + х\ < Д2, 0 < жз < Н}. Найти объемный потенциал в
точках оси жз > Н.
118.10. Найти потенциал площади для круга г < Д со следующи-
следующими плотностями:
2) р = ро = const;	3) р = г;
8) p = sinr;	9) p = cosr;
11) р = cos (/?;
непрерывная, 2тг-периодическая функция.
18.11.	Найти логарифмический потенциал площади для кольца
R\ < г < Д2 со следующими плотностями:
1) р = ро = const;	2) р = p(r) e С([ДЬ Д2]).
18.12.	Пусть f(\y\) непрерывна при \у\ < Д и f(\y\) = 0 при
\у\ > Д, у G Д3. Доказать:
а)	объемный потенциал Vs(x) с плотностью /(|?/|) зависит только
от \х\ и
б)	для того чтобы Уз (ж) обратился в нуль при \х\ > Д, необходимо
и достаточно выполнение условия
1) р =
4) Р =
7) р =
10) /> =
12) р--
р(г)еС([0,Д]);
г2;
лА7;
= sin(/?, 0 <(/?< 2тг;
= р((/?) — непреры
ff(\v\)dy =
в) при условии (*) справедливо равенство
2тг
= -fff(\y\)\y\2dy.
Дать физическую интерпретацию полученных равенств.
18.13. Доказать: если функции fi(x) и /2(|ж|) непрерывны при
\х\ < Д; х G Д3, обращаются в нуль при \х\ > Д и удовлетворяют

§ 18. Метод потенциалов	217
то потенциал Vs(x) с плотностью /г(|ж|) обращается в нуль при
\х\ > R.
18.14.	Доказать результаты, аналогичные результатам задач
18.12 и 18.14 для потенциала площади, а именно:
1)	V2(x)=ln±- f f(\y\)dy, \y\>R;
Х\ J
\v\<R
2)	fV2(x)dx = -^ff(\y\)\y\4y, если Jf(\y\)dy = O.
18.15.	Распространить задачи 18.12-18.14 на случай, когда плот-
плотность / есть обобщенная функция. Под «интегралом» / f{x) dx для
финитной / Е З1' следует понимать число (/, 77), где г) Е ^, г) = 1 в
окрестности носителя / (это число не зависит от выбора вспомога-
вспомогательной функции г\).
18.16.	Найти потенциал простого слоя, распределенного с посто-
постоянной плотностью /io на сфере \х\ — R.
18.17.	В точке, лежащей на оси в = 0 @ < 0 < тг), найти потен-
потенциал простого слоя, распределенного на сфере г = R со следующими
плотностями:
1)	\i пропорциональна квадрату расстояния от плоскости в = тг/2;
2)	/i = sm -;
3)	/i = e^, 0 < (f < тг, и /i = e27r~^, тг < у? < 2тг.
18.18.	На круглом диске радиуса R распределен простой слой с
плотностью ц. Найти потенциал в точке, лежащей на оси диска для
следующих плотностей:
1) II = /i0 = const; 2) /i = г; 3) /а = г2;
4)	(л = /i(</?) — непрерывная 2тг-периодическая функция.
18.19.	Найти потенциал простого слоя, распределенного с плот-
плотностью \i на цилиндре
{х\ +xj = R2, 0 <х3 < Н}
в точке, лежащей на оси х% для следующих плотностей:
1)	\i — /Jo = const;
2)	fi = /i(</?) — непрерывная 2тг-периодическая функция.
18.20.	Найти потенциал двойного слоя с постоянной плот-
плотностью щ для сферы \х\ = R.
18.21.	На сфере г = R распределены диполи с плотностью
момента г/, ориентированные вдоль внешней нормали. Найти потен-
потенциал двойного слоя в точке оси в = 0 @ < в < тт), для следующих
плотностей:
1) z/ = cos#; 2) v — sin -;
3)	z/ = e^, 0 < у? < тг, и г/ = е27Г~^, тг < <р < 2тг;

218 Гл. V. Краевые задачи для уравнений эллиптического типа
4)	v — г/(ср) — непрерывная 2тг-периодическая функция;
5)	v равна квадрату расстояния от плоскости в = —.
18.22.	На круглом диске радиуса R распределены диполи с плот-
плотностью момента z/, ориентированные вдоль нормали, направленной в
сторону отрицательных х%. Найти потенциал двойного слоя в точке,
лежащей на оси диска, для следующих плотностей:
1) v = const; 2) г/ = г/(г) Е С([0,Д]);
3)	v = jy((f) — непрерывная, 2тг-периодическая функция;
4)	г/ = г + ip, 0 < ip < тг, и z/ = г + 2тг — </?, тг < <р < 2тг.
18.23.	Найти логарифмический потенциал простого слоя для
окружности радиуса R со следующими плотностями:
1) \i = /io = const;	2) /л = cos2 ip, R = 2.
18.24.	Найти логарифмический потенциал двойного слоя для
окружности радиуса R со следующими плотностями:
1) v — const;	2) z/ = sin</?.
18.25.	Найти логарифмический потенциал простого слоя для от-
отрезка —а^х^а, у = 0 со следующими плотностями:
1)	\i — const;
2)	ii = —/i0, -a < ж < 0, и /jl = /jlo, 0 < х < а;
3)	/i = ж.
18.26.	Найти логарифмический потенциал двойного слоя для от-
отрезка —а<х<а, у = 0 со следующими плотностями:
1)	у — const;
2)	v — —i/0, -а < ж < 0, и z/ = 1/0, 0 < ж < а;
3)	I/ = ж;	4) I/ = ж2.
Пусть р(ж) — финитная обобщенная функция. Свертки 1/ =
р и V = — 4тг<? * р, где
4тг|ж|'	4тг|ж|
— фундаментальные решения оператора Гельмгольца А + к2 в Д3,
являются аналогами ньютонова потенциала. Потенциалы V и V удов-
удовлетворяют уравнению Гельмгольца Аи + к2и = —4тгр.
Так же определяются аналоги потенциалов простого и двойного
слоев.
То же для оператора А — к . Здесь аналогом ньютонова потенциа-
е~к\х\
ла является V* = —4тг<^* * р, где <f* =	j—г- — фундаментальное
7 9 т^ч	4тгж
решение оператора А — к в Д .
18.27. Пусть р — абсолютно интегрируемая функция и р(ж) = О,
х G Gi = R3\G. Доказать:
1) У, V и V* выражаются формулами

§ 18. Метод потенциалов	219
eik\x-y\
/eik\x-y\	_	~ е-ък\х-у\
-—г р(у) dy, V(x) = J	р(у) dy,
G	e-H\*-v\ G	G)
G
2)	V, V и К С С1 (Я3) П C°°(Gi) удовлетворяют в области Gx
однородным уравнениям Аи + к2и = 0 и Аи — к2и = 0 соответственно;
3)	V и V удовлетворяют условиям излучения Зоммерфельда
и(х)=О(\х\-1),
=o(\x\),
оо и К(ж) —> 0, \х\ —> оо.
18.28.	Для оператора А + к2 вычислить потенциал V для шара
< R со следующими плотностями:
1)	р = р(\х\) е C(UR); 2) р = р0 = const; 3) р = е~\х\.
18.29.	Для оператора А + к2 вычислить потенциал V для сфери-
сферического слоя R\ < \х\ < R2 с постоянной плотностью ро.
18.30.	1) Для оператора А + к2 вычислить потенциал простого
слоя V(°\ распределенного с постоянной плотностью /io на сфере;
2)	для оператора А + к2 вычислить потенциал двойного слоя V^1),
распределенного с постоянной плотностью щ на сфере.
18.31.	Для оператора А — к2 вычислить потенциал V* для шара
г < R со следующими плотностями:
1)	р = р(\х\) е C(UR); 2) р = ро = const; 3) р = е~\х\.
18.32.	1) Для оператора А — к2 вычислить потенциал простого
слоя V* , распределенного с постоянной плотностью /io на сфере;
2)	для оператора А — к2 вычислить потенциал двойного слоя V* ,
распределенного с постоянной плотностью щ на сфере.
18.33.	1) Предполагая границу S области G С R3 поверхностью
Ляпунова, доказать, что	,
[ -4тг, х G G,
s ' Vl	{ 0, x€R3\G,
где угол (fxy определен в начале параграфа;
2) предполагая границу S области G С R2 кривой Ляпунова,
доказать, что
rix)
{х) = Г
И2 K*J ~ I u_y\ ™V
dSy = {-
{
s	у	У 0, xeR2\G.
18.34. Доказать:
1) подстановка и = v + V3, где
4тг

220 Гл. V. Краевые задачи для уравнений эллиптического типа
сводит внутренние краевые задачи для уравнения Пуассона Аи =
= — / к соответствующим внутренним краевым задачам для урав-
уравнения Лапласа, если / Е С1 (G) П С (G);
2)	то же справедливо и для внешних задач при дополнительном
условии, что / — финитная функция.
18.35.	С помощью потенциала двойного слоя решить задачу Ди-
Дирихле для уравнения Лапласа внутри и вне круга.
18.36.	Найти стационарное распределение температуры внутри и
вне бесконечного цилиндра радиуса R при условии, что на границе
поддерживается следующая температура щ:
1) щ = const; 2) щ = sin у?; 3) щ = cosy?;
4)	и0 = С = const при --<</?<-, и и0 = 0 при - < у? < —.
А	А	А	А
18.37.	Найти стационарное распределение температуры внутри
неограниченного круглого цилиндра 0 < г < R при условии, что в
цилиндре выделяется тепло с плотностью /(г, ф) и на границе г = R
поддерживается температура Uq (Д, ф) для следующих / и и^\
1) / = /о = const, Uq" = 0;	2) / = г,	u^ = 0;
3)	/ = r2,	Uq" = a;	4) / = e~r, Uo"=sin^;
5)	/ = sinr,	Uo~=cos</?;	6) f = simp, Uq = sin up-\-^\
7) / = cos </?, Uq" = cos (<P - ^)
18.38.	С помощью потенциала простого слоя решить задачу
Неймана для уравнения Лапласа внутри и вне круга.
18.39.	Найти плотность диффундирующего вещества при ста-
стационарном процессе U(r,(p,z) внутри и вне бесконечного цилиндра
радиуса R при условии, что источники вещества отсутствуют и
коэффициент диффузии D = const, а на границе поддерживается
заданный поток диффузии щ для следующих щ:
1) щ = const; 2) и\ — sin у?; 3) и\ — cos ср.
18.40.	Найти стационарное распределение температуры внутри
неограниченного круглого цилиндра радиуса R при условии, что в
цилиндре выделяется тепло с плотностью /(г, ф) и на границе под-
поддерживается заданный поток тепла и^ (R, ф) для следующих / и и^\
1)	/ = ./о = const, %- =	;
2)	/ = г, и^ = ——, коэффициент теплопроводности к = 1;
Х	ЬA + Д2)
3W
6>tYT^' Ul_ r ' *lf
4)	/ = sin</?,	u-l =sinip,	к = 1;
5)	/ = COS</2,	Uf =COS(/?,	fc = 1.
18.41. С помощью потенциалов простого и двойного слоя найти
стационарную температуру точек полуплоскости у > 0, если:

§ 18. Метод потенциалов	221
1)	на границе у = 0 поддерживается заданная температура щ(х);
2)	на у = 0 поддерживается заданный поток тепла, т. е.
ди
дп
у=о
Источников тепла нет.
18.42.	Найти распределение потенциала электростатического
поля внутри двугранного угла при условии, что его граница заряжена
до потенциала Vb = const для следующих случаев:
1) ж>0, у>0, -oo<z<oo; 2) 0<</?<</?0, </?о<|, 0<г<оо.
18.43.	С помощью потенциала двойного слоя решить задачу
Дирихле для уравнения Лапласа внутри и вне шара \х\ < R.
18.44.	Найти стационарное распределение температуры в шаре
г < R при условии, что в шаре выделяется тепло с плотностью / и
на границе г = R поддерживается температура Uq для следующих /
1)	/ = /о = const, Uq = 0;
2)	/ = г,	Uq = a;
3)	/ = >/r,	^ = |iJ5/2, fe = l.
18.45.	Доказать, что решение внутренней задачи Неймана для
уравнения Лапласа для шара г < R определяется формулой
о
где и — интеграл Пуассона для шара, т. е.
2тг тг	о
OV^l^iy (jR2+ 2_2Д	K/2
О О
где 7 — угол между радиусами-векторами точек (p,6,ip) и (R,6i,ipi)
ии~ - — -d
Указание. Доказать, что если и(р, О, ф), и@) = 0 — гармони-
гармоническая функция в области, содержащей начало координат, то и функ-
г	,
ция U(г, 0, ф) = — R Г и(р, в, ф) — является гармонической. Далее вос-
0	г -
пользоваться условием разрешимости задачи, а именно / и0 dS = 0.
r=R
18.46. Доказать, что решение внешней задачи Неймана для
уравнения Лапласа для шара определяется формулой
где и(р,6,ф) — решение внешней задачи Дирихле для шара, т.е.

222 Гл. V. Краевые задачи для уравнений эллиптического типа
и(р,о,ч>) = ? //<(Д	f~R
r=R=^=R'
_ <ю_
U° ~ дп
Указание. См. указание к задаче 18.45.
18.47.	Решить внутреннюю и внешнюю задачи Неймана для
г < R для Uq = uj = a = const.
18.48.	С помощью поверхностных потенциалов решить задачи
Дирихле и Неймана для уравнения Лапласа для полупространства
х3 >0.
18.49.	Найти и(ж1,Ж2,жз) — плотность диффундирующего вещест-
вещества при стационарном процессе при условии, что источники вещест-
вещества отсутствуют и коэффициент диффузии D = const для следующих
областей G и граничных условий u\s-
1) х3 > 0, и|Жз=о = г*о = const;
-1, хг < О,
[ +1, х\ > 0;
3) Ж2,жз > 0, —оо < х\ < оо, u\s = uo = const.
Краевые задачи для уравнений Гельмгольца Аи + к2и = —f(x) и
Аи — к2и = —f(x) в пространстве ставятся так же, как и для урав-
уравнения Пуассона. При этом решения внешних задач на бесконечнос-
бесконечности должны удовлетворять условию излучения (см. формулу (8)) для
уравнения Аи + к2 и = — / и обращаться в нуль для Аи — к2 и = —/.
18.50.	Решить задачу Дирихле для уравнения Аи + к2и = О
внутри и вне сферы \х\ = R при условии и||ж|=д = а.
18.51.	Решить задачу Неймана для уравнения Аи + к2и = О
внутри и вне сферы \х\ = R при условии —
18.52.	Решить задачу
= а.
внутри сферы \х\ = i? для следующих f и и$:
1)	/ = /о = const, u^~ = 0,	к = R = 1;
2)	/ = 1,	Ц- = л/^1-7^4) sin 1 - 1,	Jb = Д = 1.
18.53.	Решить задачу Дирихле для уравнения	Аи — к2и = О
внутри и вне сферы |ж| = R при условии и||ж|=д = а.
18.54.	Решить задачу Дирихле для уравнения	Аи — к2и = О
внутри и вне сферы \х\ = R при условии и||ж|=д = a cos в, 0 < в < тг.
18.55.	Решить задачу Неймана для уравнения	Аи — к2и = О
I I	D	<^
внутри и вне сферы \х\ = R при условии ——	= а.
an \\r
an
\x\=r

§ 18. Метод потенциалов
223
18.56.	Решить задачу
Аи - к2и = -/(ж), u\\x\=R = и^(х)
внутри сферы \х\ = R для следующих / и и^\
1)	/ = /о = const, u^~ = 0,	k = R=l;
2)	/ = 1,	Uq" = 1 -2e-1sh 1, k = R=l.
18.57.	Найти стационарное распределение концентрации неустой-
неустойчивого газа внутри бесконечного цилиндра радиуса R, если на поверх-
поверхности цилиндра поддерживается постоянная концентрация щ.
Ответы к § 18
18.3. Решение. В силу формулы G) из § 8 и определения прос-
простого слоя из 5 б
щ,
у)
dS
18.5. 1) В силу формулы E): 4?rit!, \х\ < R; 4тг^2/|ж|, \х\ > R;
2) -
p{r)rdr, \х\>Щ
< R; — 2тг In |ж|, \х\ > R.
18.6. Указание. Воспользоваться формулой C) и ввести сфе-
сферические координаты.
R	\х\	R
г, \х\ > Д; рг / р(г)г2 о
о
о
\х\
3|ж
2
> R; 2ttR2po —-тт\х\2р0, \х\ < R;
\х\ >R; - DД3 -
О
4тгЛ5
"ад"'
4)
5)	7|,| '
6)	?[2-
/ ) -г—г{К- ,
\х\
\x\>R; ^(i^4-^),
\х\>Щ g
л , 2A — е~|ж|)	R,
4тг М—	}- -e~R(
< Д;
< Д;
х\ < Д;
>Д; 4тг fl -

224 Гл. V. Краевые задачи для уравнений эллиптического типа
8)	-^[B-Д2)со8Д-2A-Д8тД)], |ж|>Д;
Г 2	1
4тг -— (cos \х\ - 1) + sin \х\ + sin R - R cos R , \х\ < Д;
I_F	J
9)	^ [2Д cos Д+(Д2 -2)втД], \х\ > Д;
/	2 sin |ж|	\
4тг cos \х\	j—р—- + Rsin Д + cos R , ж| < Д;
V	Fl	У
10)	±^-A21n2-5), \x\>R;
N<
18.7. 1) 2ir(R22 - Rj) Po, \x\<Ri;
R2
/
Л
\х\
R2
Л
< R\] -r—r / p(r) r dr + 4тг / p(r)rdr,
\X\ J	J
Ri
\x\
A
< \x\ < Д2; t4 / p{r)r2dr, \x\ > Д2.
Fl ^
2) 4тг /" p(r) r dr,
Ri
18.8.	1) — тгД4<
г < Д, С — коэффициент пропорциональности;
2)	~5~~2~> r>R'i -TrRr - тгг2, г < Д;
3)	0;Г
2/?3 2?Г	/	2\ 2?г
4)	^^ fp&)d^ r>R; (R2--) fp(<p)d<p, r<R.
о	о
18.9.	7г [(Я - x3) JR2 + (H -x3J + ж3 д/Д2 + ж2 + Я2 - 2Яж3
L
18.10.
In
^ ^	Vг + ri ~ 2rri cos (^i ~
2) -тгД2АIпг, г>Д; -тгр0 (д2 In Д - ^у^
Решение. Пусть г > R. Тогда
R
V2(r,ip) = po
R-
J
1
так как

§ 18. Метод потенциалов
225
-y?)
dX\
^7Г
-/
Г А
¦dX
Lo
2тг Г оо
	 Л ГI
22— cosn(</?i -ф)
0 ln=l
= 0,
где А = — < 1;
3)	-|тгД21пг, r>R- -^ [Д3A-31пД)-г3], т < Д;
4)	-|Д41пг,	r>R; ^ [Д4A-41пД)-г4], г < Д;
5)	-2тг [1 - A + Д) e~R] In г, г > Д;
-2тг
6) -2тг In r In л/ГТД2, г > Д;
-2тг In Д In л/Г
7) -1^
о
г, г>Д; -^
о
8) 2тг(Д cos R - sin Д) In г, г > Д;
/
2тг I Д In R cos R — lnR sin Д + sin г — sin R+ I
\	r
9) 2тг1пгA - RsmR-cosR), r > Д;
Г
2тг In г
sinri
n
г < Д;
п), г<Д;
10)
^3 sin ip
cos ср
12) -^
г > Д; тг ( гД - — ) sin у?, г < Д;
о
2г2
г > R; тг ( гД	— cosy? ), г < R;
о
2тг
p(<p)d<p, r<R.
15 Под ред. B.C. Владимирова

226 Гл. V. Краевые задачи для уравнений эллиптического типа
18.11. Указание. См. решение задачи 18.10, 2).
1)
R1<r<R2;
In r, r>R2; ттр0 (Д2 1пг-Д| 1пД2
\ \nR1 - R\ In R2
-4-2	/	'	-4-2	\
2) —2тг1пг fp(x)dx, r>R2; — 2тг I lnr fp(x)xdx + f p(x)xlnxdx I,
Ri<r<R2; -2тг f p(x)xlnxdx, r < R\.
Ri
18.16.
> Д;
Д.
Указание. Воспользоваться формулой E).
^, r>R; i
18 17 1) 47гД2с
С — коэффициент пропорциональности;
2) ^
9т2
Й? Ь г < Л,
(г - R?
3) — (е*-!), r>R; 2К(еж-1), г < R.
2) тгДд/ж! + Д2 - тгжз In
18.20. 0, |ж| > Д; -4тгг/0, |ж| < Д; -2тгг/0, |ж| = Д.
Указание. Воспользоваться формулой E).
1821!) г>д г<д г д
, г<Щ

§ 18. Метод потенциалов
227
3)	0, г > Д;
4)	0, г > Д;
5)	16rf ^
-4(еп-1), г < R; -2(еп-1), г = R;
2тг
-2 J i/(y>) dy>, г < Д; - | i/(y>) dy>, г = Д;
4тгД2
3)
4)
18.23. 1) -
- 1—г-21п
||
, r<R; -2тгД/хо1пг, г > Д;
г2
2) -2тг In 2 + - г2 cos 2<р, г < 2; -2тг In г + — cos 2y?, r>R.
18.24. 1) 0, г > Д; -тп/0, г = Д; -2тгг/0, г < Д;
Гг2-Д2
2)
2Дг
г2-Д2
2Дг
10,
г>Д;
18.25. 1) /i0 2а - j/ arctg
2y
^2+y_a2
Ь
2)	/i0 [^у^ In ((а + жJ + у2) - ^^- In ((а - хJ + 2/2) -
— х In (ж + 2/ j H— arctg
л2 - т2 +и2	(п Л- тJ +?/2
3)	л +У Ь Z L У, - ^2/arctg
у
y(x2+y2-a2)\
(а - жJ + у2
18.26. 1) -i/0 [arctg ^^ + arctg ^±
[	У	У
lim V2 =
[/У* y^f I Гр f* 	 Гр
2arctg	arctg	h arctg	 , у ^ 0; 0 при 2/ = 0;
t/ У У
x2 + у2 — a2
, ^ ^ 0; 0 при j/ = 0;
2/ —> =Ь05 — ^ < x < а;
lim У2A) =
• ±0, 0 < x < a; lim V^ = ±z/ott, у —> ±0, -a < x < 0;
15*

228 Гл. V. Краевые задачи для уравнений эллиптического типа
3) —x I arctg	h arctg ¦
у ,
+ ^ In
2
2/ т^ 0;
0 при ?/ = 0; HmV^ (х,у) = =F^tt, 2/ —> =Ь0, —а < ж < а;
4) (^/2 - х2)
О при ?/ = 0;
+ arctg
(х
+ жу In
0;
=Ь0, —а < ж < а.
4	я
18.28. 1) fpre^l^l [ гp(r) sin krdr, \x\ > Д;
(N	R	\
егк\х\ / rn(r) sinkr dr + sin k\x rp(r) егкг dr I, \x < R:
о	i\	J
sin kR\
?|т| /
47T/9Q [^.
l)eikR - |ж|], |ж| < Д;
оЧ 4тг/9о ju\r\ ( Re~R ^ . у,/ ?\
3) —р— ег/с|ж| <-——- (sin fe + A; cos к)
к\х	[ к2 + 1
+
2npoi [e-i
18.29.
k2\x\
\х\<1, k = R = 1.
sin kR<2 — sin kR{\
V-» 77-», sin kR<2 — sin kR{\ , . ^
-R2coskR2-\	;	 , \x >R2;
к	J
g^ [e'feW f
ni |ж| L	V
+ i\x\ sin
infc|x| j
18.30.
2)
- eikR sin k\x\, \x\ < Д;
i sinfefiY |ж| > Д;
гД8тА;|ж| - } smk\x\), \x\ < Д;
%kti I— smkR + — cos kR- - smkR), \x\ = R.

§ 18. Метод потенциалов
229
18.31.
л
-к\х\
R
к\х\
rp(r)shkrdr, \x\>R;
2)
x\	R	\
.^— I e-k\x\ f rp(r^ shkr dr + shk\x\ j rp(r) e~kr drV
k\x\ \	J	J	I
\x\	/
4тг
к\
\ iX,
3) i!L
к\х
18.32.
2)
k\x\
x\ > Д;
{к +1)
е"*д sh
-1.
= Д;
k
18.35. Указание. Воспользоваться формулами A), (9i) и D)
из § 8.
1з/1=Д	|з/|=д
18.36.	Указание. Воспользоваться задачей 18.35.
1) u0, г < R; и0, r>R; 2) |- sin о?, г < R; -simp, r > R;
к	г
г	R
3) — cosy?, г < R; — cosy?, r > R;
л \ с (л 2 Rr cos ю \	„ с Д 2	Rr cos у? \	^
4J « 1-Н—arctg —	— 1, г < К; -IH—arctg ——бг")? г > К.
18.37.	1) Решение. Задача Аи(х) = — ^, |ж| < Д; г*||ж|=д =
= Uq = 0, где ж = (ж1,Ж2) и & — коэффициент теплопроводности,
подстановкой и = г> + V2, где
1
In —	— cfo/l cfa/2 5
Y (ж1 — ?/iJ + (ж2 — y^iJ
сводится к задаче Av(x) = 0, \х\ < R; v\\x\=R = (и - У2)||ж|=д- В силу
задачи 18.11, 2) имеем

230 Гл. V. Краевые задачи для уравнений эллиптического типа
где (г, ф) — полярные координаты точки х. Тогда из формулы зада-
задачи 18.35 следует V(r,<p) = ^R2\nR. Итак, u(r,<p) = v + V2 = ^ х
9&	16&
4)	-^ sin^+i (е-я-е-г + 1п^-1пг- [ — dp\
ib	К \	J О	I
\	г
гЧ г	, 1 / .	. „ , /" sinp , \
5)	— cosy? + - I sin г — sin Д + / —l: dp I;
-ft	rC \	^	P	/
6) -8т
7) - cos ^ - -j + {^^^ - _
18.38. Указание. Решение искать в виде потенциала прос-
простого слоя (см. формулу F)). Затем воспользоваться формулой B) и
условием разрешимости задачи / и^(у) dSy = 0.
r=R
rR
- Г и7(у)\п-	г dS^ + const, \x\ < R; x = (xi,x2);
— I uf(y) In \x — y\ dSy + const, \x\ > R.
*\y\=R
18.39. Указание. Воспользоваться формулами задачи 18.38.
1) Неразрешима, так как f u\dS ф 0;
r=R
R
2) г sin у? + const, г < R;	siny? + const, r > R;
R2
R
3) rcos(/? + const, r < R;	cos ip + const, r > R.
18.40. Указание. Задача Аи = -^, г < R. ~^-
k —	dn
r=R
= иЛ
подстановкой и = v + V2 (см. решение задачи 18.37) сводится к крае-
dv
вой задаче Av = 0, г < R, т—
дп
_ д(и - У2)
r=R	дп
r=R
\ r2^2li^)+const; 2) \
I	У
ТУ
const;

2 г\ ( 2 т\
4) [r+-rR	I sinip + const; 5) lr+-rR	I cos</? + const.
§ 18. Метод потенциалов	231
2	r2\	f 2	г2\
-гД—— ) sin<p+const; 5) [r+-rR- —
о	о J	\ о	о
18.41. 1) f / (/_°^2+V; 2) I
— сю	—сю
[1
arctg —Ь arctg — ;
у	х\
сл\ vq ( , sincpo	, х \	у
2тг I	х	у
)^^o . = F(x,y,<po) при -
(y2 - x2) cos tpo - 2xy sin^o 7Г v'^'^^ *- ж
^ ( + F()) при |
1 r \x\2 — R2
1з1
18.44. См. указания к задаче 18.37 и результаты задачи 18.6.
г2); 2)а+^; 3H.
1)
18.47. Указание. Воспользоваться результатами задач 18.45
и 18.46.
	, г > R; в области г < R задача неразрешима.
18.48.fi f^%dSy; I-	&L
2тг J \х-у\3 у 2тг
2/
1».4У. 1) и0; 2) -arctg—; 3) — - +arctg	h arctg —
7Г	Хз	TV \ 2	Хз	Х2
18.50. тт . ' ' \х \< R] —г—т^, ж > Д.
|ж| smkR	\х\ егкК
Указание. Решения задач ищем в виде потенциалов двойного
слоя
r=R
Искомая плотность находится из интегральных уравнений
u\r=R = V±\x) = т2тгг/(ж) + / и (у) -—	г dSy = а, х G {г = Д}.
J	ОТЪу \Х — у\
r=R
Имеем v(х) = -—-—	—:——- для внутренней задачи и v(x) =
4ir(kR + г) smkR
4тг (cos kR — -jt^ sin kRj
для внешней.

232 Гл. V. Краевые задачи для уравнений эллиптического типа
18.51. Указание. Решение искать в виде потенциала простого
слоя.
aR2
sin k\x\
-, \x\ < Д; —-
x\
ik\x\
x\ > R.
x | (kR cos kR - sin kR)''
18.52.	См. указания к задаче 18.37 и результаты задачи 18.28, 2).
1) -—- I —;		Х\ II	Z) Л/ Z С ^	'
J \x\ V sinl	7'	J
18.53.	См. указания к задаче 18.50.
aR shk\x\	»ъ ^-^1Ж1
< Д; т-г
18.54. а[^-
R
\х\ е~кл
ch к\х\ — sh k\x
х\ > R.
kRchkR-shkR
\х\ < Д;
cos^, \x\ > Д.
18.55.
х\ kRchkR-shkR'
<Д; ~^-
\х\
kR '
18.57. «(*,*)= «о
Указание, и есть решение задачи Аи
u\r=R = и0.
>
= 0, г < R,
§ 19. Вариационные методы
Пусть в ограниченной области Q С Дп задано уравнение Пуассона
-Аи = /,	A)
а на гладкой границе Г — одно из граничных условий
и
ди
дп
г = 9,
= 9,
\дп
(I)
(П)
(III)
где a G С (Г). Функция и G i?1(Q) называется обобщенным решением
задачи A) при граничном условии (I), если ее след на Г равен g и она
о
удовлетворяет при всех v G H (Q) интегральному тождеству
/ (grad и • grad г?) dx = fvdx.	B)
Q	Q
Считаем, что функция g является следом на Г некоторой функции
из Я1(E), а / G L2(Q). Функция и G Я1(E) называется обобщенным

§ 19. Вариационные методы	233
решением краевой задачи A) при граничном условии (III) (или усло-
условии (II)), где g Е ?2(Г) и / ? ^(Q), если при всех г? Е i?1(Q) она
удовлетворяет интегральному тождеству
/ (grad u • grad v) dx + / сггш dS = fvdx -\- gv dS.	C)
Q	г	q	г
Если функции /, g, сг достаточно гладкие (например, непрерывно
дифференцируемые), то обобщенные решения являются классически-
классическими решениями соответствующих задач.
Важную роль при исследовании обобщенных решений краевых
задач играет следующая
Теорема Рисе а. Пусть на гильбертовом пространстве Н
задан линейный ограниченный функционал 1(и). Существует един-
единственный элемент h Е Н такой, что l(u) = (h, и) (здесь через
(h,u) обозначается скалярное произведение в Н элементов h,u).
19.1.	Пусть и(х) — классическое решение задачи A), (I). Пока-
Показать, что если и Е C1(Q), то и(х) является обобщенным решением
задачи A), (I).
19.2.	Пусть и(х) — классическое решение задачи A), (III)
(или (II)). Показать, что если и G C1(Q), то и(х) является обобщен-
обобщенным решением задачи A), (III) (или (II)).
19.3.	Если и(х) — обобщенное решение задачи A), (I) и и е
G C2(Q) П C(Q), то и(х) является классическим решением этой за-
задачи.
19.4.	Если и(х) — обобщенное решение задачи A), (III) (или (II))
huG C2(Q) П C1(Q), то и(х) является классическим решением этой
задачи.
19.5.	Доказать единственность обобщенного решения зада-
задачи A), (I) при 0 = 0.
19.6.	Показать, что если функция g является следом на Г неко-
некоторой функции из i?1(Q) (в частности, g G С1 (Г)), то обобщенное
решение задачи A), (I) существует.
19.7.	Пусть в области Q задано эллиптическое уравнение
L(u) = —div (pgradu) + q(x) и = /(ж),	D)
где р е C^Q), minp(x) = р0 > 0,q G C(Q), f G L2(Q). Принад-
Принадлежащая пространству i?1(Q) функция и(х) называется обобщенным
о
решением задачи D), (I), если при всех v(x) G H (Q) она удовлетво-
удовлетворяет интегральному тождеству
/ (р grad и grad v + quv) dx = I fv dx
Q	Q
и след ее на Г равен д. Доказать, что принадлежащее i?1(Q) класси-
классическое решение задачи D), (I) является обобщенным.

234 Гл. V. Краевые задачи для уравнений эллиптического типа
19.8.	Доказать существование и единственность обобщенного ре-
решения задачи D), (I) при q > 0.
Указание. Воспользоваться результатом задачи 4.106.
19.9.	Пусть в области Q задано эллиптическое уравнение
LW = - ? ?: Ыж) S + 9(х) и = f(x),	E)
г,3 = 1 3
где вещественные функции <рц е C1(Q), Pij(x) = Pji(x) (i,j = 1, ...,n)
и для всех х G Q и любых вещественных (?i,--.,?n) справедливо
п
неравенство ^ Pij(x)^j > 7о|С|2 с постоянной 7о > 0, q G C(Q),
f ? L>2{Q). Принадлежащая пространству Н1^) функция и (ж) называ-
о
ется обобщенным решением задачи E), (I), если при всех v(x) G H (Q)
она удовлетворяет интегральному тождеству
) dx = /
?(Ж) uxivxj + quv
и ее след на Г равен д. Доказать, что принадлежащее i?1(Q) класси-
классическое решение задачи E), (I) является обобщенным.
19.10.	Доказать существование и единственность обобщенного
решения задачи E), (I), если q > 0.
Указание. Воспользоваться результатом задачи 4.112.
19.11.	Обобщенным решением задачи D), (III) (или (II)) называ-
называется принадлежащая i?1(Q) функция и(х), удовлетворяющая при всех
v(x) G G i?1(Q) интегральному тождеству
/ (р grad и grad v + quv) dx + pauv ds = fv dx + / pgv ds.
Q	г	q	г
Доказать, что принадлежащее C1(Q) классическое решение зада-
задачи D), (III) (или (II)) является обобщенным.
19.12.	Доказать существование и единственность обобщенного
решения задачи D), (III) (или (II)) в предположении, что / G Z^QX
д G Ь2(Г), а(х) > 0 на Г, q(x) > 0 в Q, причем либо а(х) ^ 0, либо
q(x) ф 0.
Указание. Воспользоваться результатом задачи 4.117.
19.13.	Пусть L2(Q) и Я:(E) — подпространства пространств
L2{Q) и i?1(Q), состоящие из тех функций из L2{Q) и i?1(Q) соот-
соответственно, для которых I f dx = 0. Доказать, что при д(х) = 0,
~	Q
q{x) = 0, / G L2{Q) существует единственное обобщенное решение
задачи D), (II), принадлежащее Я1(E).
Указание. Воспользоваться результатом задачи 4.121.

19. Вариационные методы
235
Пусть р е C(Q), q e C(Q), о е С(Г), minp(x) = р0 > О, <г(х) > О,
q(x) > О и или q(x) ^ О, или а(х) ^ 0. Тогда (см. задачи 4.105 и 4.113)
в HX{Q) и HX{Q) можно ввести скалярные произведения, эквивалент-
эквивалентные обычным, следующими способами:
Q
• gmdg) + q(x) fg] dx,	(*)
U,g)m = J[p(x)(gT8idf • grad#) + qfg] dx + J pafgdS.	(**)
о Q	Г
Функция и G JH(Q), на которой функционал
рассматриваемый для v G i?1 (Q), достигает своего минимального зна-
значения, есть обобщенное решение задачи D), (I) при g = 0, если норма
порождается скалярным произведением (*).
Функция и G H°(Q), на которой функционал
E(v) = \\v\\hi -2(j»L2,
рассматриваемый для v G H1 (Q), достигает своего минимального зна-
значения, есть обобщенное решение задачи D), (III), при д(х) = 0, если
норма ||г?||#i порождается скалярным произведением (**).
Обозначим через Ai,..., Лп,... расположенные в порядке неубыва-
неубывания собственные значения, а через щ, ...,um,... — соответствующие
собственные функции задачи
—div (p(x) gradu) + q(x) и = Ли, х G Q, ^|г = 0.
Аналогично через \i\,..., /лт,... и г?1,..., vm,... обозначим собствен-
собственные функции задачи
—div (p(x) gradu) + q(x) и = /ш,
Тогда	2
inf „
ж G Q,
inf
(-~
Кроме того, при любом т > 1
II.
inf —
= 0.
19.14. Рассмотрим при / G ^(Q) функционал
Ei(г;) = (gT8idvJdx - 2 fvdx

236 Гл. V. Краевые задачи для уравнений эллиптического типа
на множестве функций v G Я1(E), для которых г?|г = #, где функ-
функция д(х) является следом на Г некоторой функции из Н1 (Q). Показать,
что функция и(х), на которой функционал E(v) достигает минималь-
минимального значения, есть обобщенное решение задачи A), (I).
19.15.	Рассмотрим при / G L2(Q), p G C(Q), q G C(Q), тшр(ж) =
= Po > 0, q(x) > 0 функционал
E\(v) = / p\gra,dv\2dx + / q(x) v2dx -2 I fvdx
Q	Q	Q
на множестве функций v G Я1(E), для которых г?|г = #, где функ-
функция д(х) является следом на Г некоторой функции из Н1 (Q). Показать,
что функция и(х), на которой функционал достигает минимума, есть
обобщенное решение задачи D), (I).
19.16.	Пустьр^-, i,j = l,...,n, q, f — функции, введенные в зада-
задаче 19.9. Рассмотрим функционал
Г п	1
(г?) = / 2^ PijvxiVXj \dx+l qv2dx — 2 I fvdx
Q Uj=l	J	Q	Q
на множестве функций v G Я1(E), для которых г?|г = д-> где функ-
функция д(х) является следом на Г некоторой функции из Н1 (Q). Показать,
что функция и(х), на которой функционал E2{v) достигает минимума,
есть обобщенное решение задачи E), (I).
19.17.	Рассмотрим при / G L2(Q), д(х) G Ь2(Г), a G С(Г), а > О
на Г, а(х) ф 0, функционал
E\(v) — \ |gradv|2c?x + / av2dS — 2 fvdx — 2 / gvdS, v G Я1(E).
J	J	J	J
Q	Г	Q	Г
Показать, что функция и(х), на которой функционал E\(v) достигает
минимума, есть обобщенное решение задачи A), (III).
19.18.	Пусть /GL2(Q), д(х)еЬ2(Г), peC(Q), q G C(Q), аеС(Г),
minp(x) = po > 0, q(x) > 0, a(x) > 0 и или q(x) ф 0, или а(х) ф 0.
Рассмотрим на Hx{ff) функционал
E2(v) = / p\gr&dv\2dx + / qv2dx + / apv2dS — 2 fvdx — 2 pgvdS.
Q	Q	T	Q	T
Показать, что функция и(х), на которой этот функционал достигает
минимального значения, есть обобщенное решение задачи D), (III)
(или (II)).
Указание. См. задачу 4.117.
19.19.	Рассмотрим при / G L2(Q), Г f dx = 0, р G C(Q), тшр(ж) =
= Ро > 0 функционал	Q
Ei(v) = p\gT8idv\2dx - 2 / fvdx
Q	Q

§ 19. Вариационные методы	237
на подпространстве i?1(Q) (определения множеств L2(Q) и i?1(Q) см.
в задаче 19.13; см. также задачи 4.118-4.120) пространства Я1(E).
Показать, что функция и Е i?1(Q), на которой этот функционал
достигает минимума, есть обобщенное решение задачи D), (II).
19.20.	Найти функцию г?о, реализующую минимум функционала
1	1
/ (г/2 +v2)dx + 2 f vdx в классе Я*@,1).
о	о
19.21.	Доказать, что для всех v E С1([0,1]) справедливо неравен-
неравенство Г (v1 + 2xv) dx + г>2@) + ^2A) > ~97П' Имеет ли место знак
о
равенства для какой-либо функции?
19.22.	Доказать, что для всех функций г? Е С1 [0,1], г?A) = 0 имеет
v dx < —- -\	)—?- + - / v' dx. Найти функцию из
24 4	4 i
о	о
этого класса, для которой достигается равенство.
19.23.	Найти inf J Г [(gradvJ + 2sin^i sina^v] dx l, где Q =
= {0 < XX < 7Г, 0 < X2 < 7Г}.
19.24.	Найти inf | /" [(gradvJ + 2|ж|2^] dx\, где ж =
19.25.	Найти inf	j |gradv|2c?x, где ж = (xi,X2), xi =
I x I <" 1
= |ж| cosy?, Ж2 = |ж| sin у?, и||ж|=1 = у?(тг — у?)Bтг — у?), 0 < (f < 2тг.
19.26.	Найти inf / |gradv|2c?x на множестве функций v E
Е Я1(|ж| < 1), х = (ж1,ж2), #i = |ж| cosy?, ж2 = |ж| siny?, удовле-
удовлетворяющих УСЛОВИЮ ^||ж| = 1 — У? j —/7Г < у? < 7Г.
19.27.	Может ли заданная на окружности |ж| = 1, х\ = cosy?,
Ж2 = sin у?, функция г^(у?) быть граничным значением какой-либо функ-
функции из Я1(|ж| < 1), если:
сю
а) ф((р) = sign у?, —тг < у? < тг; б) г^(у?) = J^ 2~ncos22ny?;
\ / / \ v^ cosn4y?
в) ip{(p) = 2^ 	g—E-.
п=1 п
19.28.	Пусть Q — квадрат {0 < х\ < 1, 0 < Ж2 < 1}. Доказать,
что для любой / Е H1(Q) имеет место неравенство

238 Гл. V. Краевые задачи для уравнений эллиптического типа
Q	Q
и установить, что постоянная в неравенстве точная.
19.29. Пусть Q — куб {0 < хх < 1, 0 < х2 < 1, 0 < х3 < 1}. Дока-
Доказать, что для любой функции / Е i?1(Q) справедливо неравенство
19.30. Пусть Q — кольцо {1 < \х\ < 2}. Найти
inf / / [(grad/J + 4/]ds + / fds\, x = (xux2).
/|,И| = 1=О K|-I<2	И2
19.31.	Пусть Q — квадрат {0 < х\ < 1, 0 < х2 < 1}. Найти
функцию, дающую минимум функционалу
I Г	Г
inf < / [(graduJ + 4sinxi sinx2n] dx + 2 /
{q	о	)
в классе функций u G Я1^), и|Ж2=0 = ^Ui=o = ^Ui=tt = 0.
19.32.	Пусть Q — круг {\х\ < 1}, ж = (xi,X2). Доказать, что для
любой функции и G H(Q) справедливо неравенство
19.33.	Доказать, что для всех функций и G С1 @ < х\ < 1, 0 <
< Х2 < 1), удовлетворяющих граничным условиям
справедливо неравенство
1 1
2	2
~~ 3
о о
Имеет ли место равенство для какой-нибудь из этих функций?
19.34.	Доказать, что для всех функций и G С'1(|ж| < 1), х =
= (ж1,Ж2) имеет место неравенство
/7Г	Г	о
~ 1152 У
|ж|<1	|ж|<1
19.35.	Доказать, что для всех функций и G С'1(|ж| < 1), х —
— (^1,Ж2,жз) имеет место неравенство
/ [(graduJ + и] dx > -^-.
\х\<1
Имеет ли место равенство для какой-либо из описанных выше функ-
функций?

§ 19. Вариационные методы	239
19.36.	Показать, что для всех функций v Е С1(|ж| < 1), х\ —
— \х\ cosy?, х2 — \х\ sin у?, удовлетворяющих условию г?||ж|=1 = sin у?,
где х — (ж1,ж2), справедливо неравенство
л 63
dx j> — тг.
- 64
Имеет ли место равенство для какой-либо из описанных выше функ-
функций?
19.37.	Доказать, что для всех функций и Е С1 @ < х\ < 1, 0 <
< х2 < 1, 0 < хз < 1), х — (ж1,ж2,жз), удовлетворяющих граничным
условиям
l*|a;i=0 — Х2Хз,	u\x2=0 =
справедливо неравенство
in
|2	7
| (ХХ\ (хх2 dx^ -^ —.
000
Имеет ли место равенство для какой-либо из описанных выше
функций?
19.38. Показать, что для всех функций v G С1(|ж| < 1), х =
= (ж1,ж2,жз), х\ — \х\ cos ip sin^, x2 = \х\ sin у? sin^, жз = |ж| cos^,
удовлетворяющих условию i?|ui=i = cos^, справедливо неравенство
Имеет ли место равенство для какой-либо из описанных выше функ-
функций?
19.39. Пусть Q — квадрат {0 < х\ < 1, 0 < х2 < 1}. Доказать,
о
что для любой функции v G H (Q), удовлетворяющей условию
sm.-KX2v{x) dx = 0,
/
Q
справедливо неравенство
19.40. Пусть Q — куб {0 < хх < 1, 0 < х2 < 1, 0 < х3 < 1}. Дока-
о
зать, что для любой функции v G H (Q), удовлетворяющей условию
г) dx = О,
/
Q
справедливо неравенство |М|? < ——г ||gradi?||? .
2 бтг2	2
19.41. Пусть Q — куб {0 < хх < тг, 0 < ж2 < тг, 0 < ж3 < тг}.
Среди функций u G H1(Q), принимающих граничные значения

240 Гл. V. Краевые задачи для уравнений эллиптического типа
«|ж1=О — и\Х2=о — 4\Xz=о — "|ж1=тг — Uj\X2=7T — и,
найти ту, которая дает минимум функционалу
7Г 7Г
/2	f f
J J
Q	0 0
19.42. Пусть Q — шаровой слой {1 < \х\ < 2}, х = (xi,X2,xs).
Среди функций и G H1(Q), принимающих граничные значения
и||ж|=2 = 0, найти ту, которая дает минимум функционалу
Е(и) = [ [(graduJ + 2u] dx + Г u2dS.
Q	\x\=i
Ответы к § 19
о. fZ /
19.20. -Ц
19.21.	Да, для |_-|(аг + 1).
19.22.	-з? + Ц±.
19.23.	-?.
19.24.	-^.
64
19.25.	144тг^А;-5.
1
оо
19.26.	16тгХ>-3.
1
19.27.	а) Нет; б) нет; в) да.
1930E1
19.31. — sin #1 sin #2 — 2
19.33. Да.
Ы2 — 1
19.35.	Да, для функции —	.
г4 -1
19.36.	Да, для г sin у? Н	——.
16
19.37.	Да, для х\Х2 + х\х% +
г2 - 1
19.38.	Да, для г cos (9 Н
1
19.41.i i
V 2 ch (v 2тг]

Глава VI
СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА
§ 20. Метод разделения переменных
1. Уравнения гиперболического типа. Изложим кратко су-
существо метода Фурье или метода разделения переменных, рассматри-
рассматривая задачу о колебаниях струны, закрепленной на концах. Эта задача
сводится к решению уравнения
— - а2 —	A)
при начальных условиях
ди
u\t=o = uo(x), — _ =щ(х)	B)
и граничных условиях
и\х=0 = 0, и\х=1 = 0.	C)
Будем сначала искать частные решения уравнения A), не равные
тождественно нулю и удовлетворяющие условиям C), в виде
u(x,t) =X(x)T(t).	D)
Подставляя D) в A), приходим к уравнениям
T"(t)+a2\T(t) =0,	E)
Х"(х) + \Х(х) =0,	F)
где Л = const, причем для получения нетривиальных (не равных тож-
тождественно нулю) решений вида D) необходимо найти нетривиальные
решения, удовлетворяющие условиям
Х@) = 0, ХA) = 0.	G)
Мы приходим к задаче Штурма-Лиувилля F), G) (см. с. 184).
Собственными значениями этой задачи являются числа
(и только они), этим собственным значениям соответствуют (норми-
(нормированные) собственные функции
лг / ч	/2 тг/сж
Хк{х) = W у Sin —.
При X = \к уравнение E) имеет общее решение
16 Под ред. B.C. Владимирова

242	Гл. VI. Смешанная задача
т /Л kirat 7 . kirat
Tk{t) = ак cos —	h bk sin ——,
поэтому функция
uk(ж, t) = Xk(x) Tk(t) = [ak cos —	h bk sin —— J sin —
удовлетворяет уравнению A) и граничным условиям C) при любых ак
и Ък.
Решение уравнения A), удовлетворяющее условиям B), C), ищем
в виде ряда	^
/ ,ч v-^v / knat -. . knat\ . ктгх	/оЧ
u(x,t) = 2_^ («fecos —	h O/feSin —j—J sin ——.	(8)
jfe=i
Если этот ряд сходится равномерно и его можно дважды почленно
дифференцировать, то сумма ряда будет удовлетворять уравнению A)
и граничным условиям C).
Определяя постоянные ак и Ьк так, чтобы сумма ряда (8) удовле-
удовлетворяла и начальным условиям B), приходим к равенствам
А;=1
csin^p,	(9)
bfcsin^;	A0)
k=i
формулы (9), A0) дают разложение функций щ(х) и щ(х) в ряд
Фурье по синусам в интервале @, /). Коэффициенты этих разложений
вычисляются по известным формулам
I	I
ак = — / щ(х) sin —-— dx, Ък = -— / и\(х) sin —-— dx.
I J	l	ктга J	I
о	о
В задачах 20.1, 20.2 нужно найти с помощью метода Фурье коле-
колебания струны, предполагая, что внешние силы отсутствуют.
20.1.	Решить задачу о колебании струны 0 < х < I с закреплен-
закрепленными концами, если начальные скорости точек струны равны нулю,
а начальное отклонение щ имеет форму:
1)	синусоиды щ(х) = Л sin —— (п целое);
2)	параболы, осью симметрии которой служит прямая х = -, а
вершиной — точка М (-, h);
3)	ломаной ОАВ, где О@,0), A(c,h), f?(/,0), 0 < с < I. Рассмот-
I
реть случаи с = -.
20.2.	Решить задачу о колебании струны 0 < х < I с закреплен-
закрепленными концами, если в начальном положении струна находится в покое
(щ = 0), а начальная скорость и\ задается формулой:

§ 20. Метод разделения переменных	243
1)	щ(х) = г?о = const, х Е [О,/];
(г>о, если ж G [а,/31,
2)	Wi х = п '	_ „' где 0<а<C<1;
{ О, если х Е [a,pj,
/ Л cos ^Х~ Хо), если х е [х0 - а, х0 + а],
[ 0,	если х G [жо — а, жо + а],
где 0 < жо — а < жо + а < /.
Уравнение A) описывает свободные продольные колебания стерж-
стержня. В задачах 20.3, 20.4 требуется найти продольные колебания
стержня, применяя метод разделения переменных.
20.3.	Решить задачу о продольных колебаниях однородного
стержня при произвольных начальных данных в каждом из сле-
следующих случаев:
1)	один конец стержня (х = 0) жестко закреплен, а другой конец
(х = I) свободен;
2)	оба конца стержня свободны;
3)	один конец стержня (х = /) закреплен упруго, а другой конец
(ж = 0) свободен.
20.4.	Найти продольные колебания стержня, если один его конец
(х = 0) жестко закреплен, а к другому концу (х = /) приложена сила Р
(в момент времени t = 0 сила перестает действовать).
20.5.	Найти силу тока i(x,t) в проводе длины /, по которому течет
переменный ток, если утечка тока отсутствует и омическим сопро-
сопротивлением можно пренебречь. Предполагается, что начальный ток в
проводе (при t = 0) равен нулю, а начальное напряжение задается
формулой v\t=o = Eq sin —-. Левый конец провода (х = 0) изолирован,
а правый конец (х = I) заземлен.
Задача о нахождении вынужденных колебаний однородной струны
0 < х < /, жестко закрепленной на концах, под действием внешней
силы с плотностью р приводится к решению уравнения
д2и 2 д2и ( ,\
э^ = ° а?+ »<*'*>
(д = р/р, где р — линейная плотность струны) при граничных усло-
условиях C) и начальных условиях B).
Решение задачи A1), B), C) ищут в виде суммы
и = v + w,
где v — решение неоднородного уравнения A1), удовлетворяющее гра-
граничным условиям C) и нулевым начальным условия
v\t=0 = 0, -
= 0,
t=O
16*

244	Гл. VI. Смешанная задача
a w есть решение однородного уравнения A), удовлетворяющее гра-
граничным условиям C) и начальным условиям B).
Решение v представляет вынужденные колебания струны (эти
колебания совершаются под действием внешней возмущающей силы
при отсутствии начальных возмущений), а решение w представляет
свободные колебания струны (они обусловлены начальными возмуще-
возмущениями).
Функцию v отыскиваем в виде ряда
^	A2)
к=1
по собственным функциям задачи F), G).
Подставляя A2) в A1), получаем
00 Г
N гг)
2	1
гг)Tk{t) sin -^г = д{х^-
к=1
Разлагая функцию g(x,t) в интервале @,/) в ряд Фурье по синусам
^	A4)
к=1
и сравнивая A3) и A4), находим дифференциальные уравнения
T'k'(i)+(^f)Tk(t)=gk(t),	A5)
где
i
9k(t) = jJg(U)^^fd^ (A; = 1,2,...).
о
Решая уравнения A5) при нулевых начальных условиях
Tfc@)=0, T^@)=0 (А; = 1,2,...),	A6)
находим Tk{t), а затем определяем v с помощью формулы A2). За-
Заметим, что решения Tk(t) уравнений A5) при условиях A6) можно
представить в виде
Tk{t) = ^ / 1д{^т) sin *Т {t ~ т) sin П^d4 dT'
о Lo	J
Решение задачи A1), B), C) представляется в виде
сю	сю
, ,ч v^ гп /л\ • кпх \-^ ( knat , . кпаг\ . кпх
u(x,t) = 2_^Tk(t) sin -у- + 2^ (a* cos ~/	•" ^ sm ~~j~) sm ~/~'
jfe=l	k=l
где функции Tjfe(x) определяются формулой A7), а коэффициенты
и bk — формулами
= - ио(х) sin —г— йж, fy. = -— / ui(ж) sin —г— da;.
о	о

§ 20. Метод разделения переменных	245
20.6.	Решить методом разделения переменных следующие сме-
смешанные задачи:
1)	ии = ихх + 26 (b = const, 0 < x < I), u\x=o = 0, u\x=i = 0,
u\t=o =ut\t=o = 0;
2)	Utt = Uxx + COS^ @ < X < 7Г), U\x=o = u\x=7r = 0, u\t=0 =
= ut\t=o = 0.
20.7.	Решить задачу о колебаниях однородной струны @ < х < /),
закрепленной на концах х = 0 и х = /, под действием внешней
непрерывно распределенной силы с плотностью p(x,t) = Ар sin cut,
uj ф —— (к = 1, 2,...). Начальные условия — нулевые.
20.8.	Решить задачу о продольных колебаниях стержня, подве-
подвешенного за конец х = 0 (конец х = / свободен), совершаемых под
влиянием силы тяжести.
Задача о вынужденных колебаниях ограниченной струны под
действием внешней силы в случае, когда концы струны двигаются
по некоторому закону, приводится к решению уравнения A1) при
граничных условиях вида
и\х=о = /ii(?), u\x=i = /J>2(t)	A8)
и начальных условиях B). Решение задачи A1), B), A8) ищем в виде
и = v + w,
где w = /Jii(t) + у (/J>2(t) — P>i(t)) — функция, удовлетворяющая задан-
заданным граничным условиям A8).
Тогда функция v(x,i) удовлетворяет нулевым граничным усло-
условиям v\x=o = v\x=i = 0, уравнению vu - a2vxx = gu где gi(x,t) =
= g(x,t) — (wtt — fl2wM), и следующим начальным условиям:
v\t=o = ио(х) - w\t=o, vt\t=o = иг(х) - wt\t=o-	(Щ
Мы пришли к задаче типа A1), B), C) для функции v.
Замечание. Иногда удается найти функцию v, удовлетво-
удовлетворяющую неоднородному уравнению A1) и заданным граничным
условиям A8). Тогда, отыскивая решение задачи A1), B), A8) в
виде и = v + w, находим, что функция w удовлетворяет однородному
уравнению A), нулевым граничным и начальным условиям A9).
20.9.	Решить следующие смешанные задачи:
1)	ихх = ии, 0 < х < I, и\х=о = 0, u\x=i = t, u\t=o = ut\t=o = 0;
2)	ихх = utt, 0 < х < 1, и\х=о = t + 1, и\х=1 = t3 + 2, гф=0 =
20.10.	Решить задачу о вынужденных поперечных колебаниях
струны, закрепленной на одном конце (х = 0) и подверженной на дру-

246	Гл. VI. Смешанная задача
гом конце (х = /) действию возмущающей силы, которая вызывает
смещение, равное Asmcut, где ш ф —— (к = 1,2,...). В момент вре-
времени t = 0 смещения и скорости равны нулю.
20.11.	Пусть стержень длиной /, конец которого х = 0 жестко
закреплен, находится в состоянии покоя. В момент t = 0 к его сво-
свободному концу х = / приложена сила Q = const, действующая вдоль
стержня. Найти смещение u(x,i) стержня.
20.12.	Решить задачу о продольных колебаниях однородного ци-
цилиндрического стержня, один конец которого заделан, а к другому
концу приложена сила Q = A sin cut, направление которой совпадает с
/ . airBk + 1) 7 п Л о \
осью стержня уио ф———	-, к = 0,1, 2,... ).
20.13.	Решить задачу о свободных колебаниях однородной струны
длиной /, закрепленной на концах и колеблющейся в среде, сопротив-
сопротивление которой пропорционально первой степени скорости. Начальные
условия нулевые.
20.14.	Решить следующие смешанные задачи:
1)	ии = ихх -Аи @ < х < 1); и\х=0 = и\х=1 = 0; u\t=o = х2 - ж,
ut\t=o = 0;
2)	ии + 2щ = ихх - и @ < х < тг); и\х=0 = и\х=7Г = 0; u\t=o =
= тгж - ж2, ut\t=o = 0;
3)	ии + 2щ = ихх-и @<ж<тг); их\х=0 = 0, и\х=7Т = 0; u\t=o = 0,
ut\t=o = х]
4)	utt + Щ = uxx @ < x < 1); и|ж=0 = t, u\x=i = 0; u|t=0 = 0,
ut\t=o = 1 - x]
5)	u« = uxx +u @ < x < 2); и|ж=0 = 2t, u\x=2 = 0; u\t=0 =
= ^|t=o = 0;
6)	utt = wra + и @ < x < I); u\x=o = 0, u\x=i = t; u|t=o = 0,
x
t=o = у
20.15.	Решить следующие смешанные задачи:
1)	ии = wo + x @ < ж < тг); и|ж=0 = и\х=7Г = 0; u|t=0 = sin2x,
t=o = 0;
2)	utt ~^~ Щ — uxx H~ 1 @ < ж < 1); и|ж=о — и х—\ = 0; ^|г=о =
= ut\t=o = 0.
20.16.	Решить следующие смешанные задачи:
1 I II-L-L 	 II —I— ^Уи J. ^^ Д-1* —I— Rp с*сло> 1* (С] <^ 1* <^ тг Iе) \ • 7/ гч ^^ *?/¦
X i Uj-f"f-	Ub ft* Ф I ^f Ct//" 	 ТЕ«ЛУ I OO i^Uu «ЛУ \ \J 	 JU 	 IX I ? I •	(jU sj* Ф	Г) 	 ? Ь m
2) utt-uxx-2ut=At(sinx-x)(O<x<n/2)] u\x=0 = 3, иж|ж=7г/2 =
= t2 + t; u|t=o = 3, ut\t=o = x + s'mx;

§ 20. Метод разделения переменных
247
3) utt ~
Зж
= ихх + и - жD + t) + cos — @ < х < тг);
1);
4)	г^ - 7ut = ижж + 2иж - 2t — 7x - е~х si
п|ж=7Г = nt; u\t=o = 0, ut\t=o = ^;
5)	и
@<ж<тг); и\х=0 = 0,
@<ж<тг/2); иж|ж=0=^,
6)	ии = ихх +
u\t=o =ut\t=o = 0;
7)	utt = ихх
гф=о =^t|t=o = 0;
8)	utt ~ 3ut = uxx + 2иж - Зж - 2t @ < x < тг);
= nt; u\t=o = е~ж sinx, ut\t=o = ж.
2 sin2 ж @ < х < тг); пж|ж=0
cosx @<х<тг/2);
= ^U=tt = 0;
= ^ж|ж=тг/2 = 0;
0 = 0, и\х=7Г =
В задачах 20.17-20.20 требуется применять метод разделения пе-
переменных для изучения колебаний мембраны. Задача о колебаниях
однородной мембраны сводится к решению уравнения utt — а2 Аи + /
при некоторых начальных и граничных условиях (см. с. 14-16).
В частности, задача о свободных колебаниях прямоугольной мем-
мембраны @ < х < р, 0 < у < q), закрепленной по контуру, сводится к
решению волнового уравнения
dt2
при граничных условиях
и\х=0 = и
и начальных условиях
2
= а
+
-—
ду2
у=о = и\у=я = 0
ди
~dt
_
= иг(х,у).
20.17. Решить задачу о свободных колебаниях квадратной мем-
мембраны @ < х < р, 0 < у < р), закрепленной вдоль контура, если
,	, . тгх . тгу ди
и\+=о = Asm — sin —-, ^г-
р	р dt
t=o
= 0.
20.18. Решить следующую смешанную задачу:
ии = А^ @ < х < тг, 0 < у < тг),
=0 = и\х=7Т = и\у=о = и\у=7Т = 0,
t=o =
20.19. Решить задачу о свободных колебаниях прямоугольной
мембраны @ < х < р, 0 < у < q), закрепленной вдоль контура,
ди
если u\t=o = Axy(x-p)(y -q), —
= 0.
t=o

248	Гл. VI. Смешанная задача
Задача о свободных колебаниях круглой мембраны радиуса R, за-
закрепленной по краю, приводится к решению уравнения
при граничном условии
u\r=R = 0	B1)
и начальных условиях
u\t=o = uo(r,ip), -^ ^_o =Ul(r,(p).	B2)
Применяя метод разделения переменных, положим
u(r,<p,t)=T(t)v(r,<p).	B3)
Подставив B3) в B0), получим уравнение для T(i)
T"(t)+a2\2T(t) =0	B4)
и следующую краевую задачу для г? (г, ф):
d2v , 1 dv , 1 ^2^ , л2 п	/о^\
в? + ;* + йв? + ь = 0"	B5)
Из физического смысла задачи вытекает, что функция г?(г, ф) является
2тт-периодической функцией от </?, т.е.
г;(г, ф) = г;(г, у? + 2тт),	B6)
и что эта функция ограничена в центре круга, т. е.
|г;|г=0| < оо.	B7)
Кроме того, из условия B1) следует, что
v\r=R = 0.	B8)
Применяя метод разделения переменных к задаче B5)-B8) поло-
положим
ь(г,ф)=Ф(ф)г(г)	B9)
и из B5) найдем, что
2	=0,	C0)
Z"(r) + I Z'(r) + (A2 - ?) Z(r) = 0,	C1)
причем в силу B7) и B8) должны выполняться условия
ад = о,	C2)
|Z@)| <oo.	C3)
Из C0) и B6) находим {у — п целое):
Фп (</?) — ^n cos тир + Бп sin тир.	C4)
Уравнение C1) подстановкой Лг = x(Z(r) = 2/(ж)) приводится к урав-
уравнению Бесселя

§ 20. Метод разделения переменных
249
х2у" + ху' + (х2 -1У2)у = О,
общее решение которого имеет следующий вид:
у„(х) =C1Ju(x)+C2Yu(x),
где Jv(x) и Yv(x) — функции Бесселя 1-го и 2-го родов v-vo порядка.
Свойства функций Jv (x):
1) корни уравнения	ад = Q	C5)
при v > — 1 — вещественные и простые (кроме, быть может, корня
1л = 0); они симметрично расположены на оси \i относительно точки
\i — 0 и не имеют конечных предельных точек;
!
C6)
где Ц{ и /ij — различные положительные корни уравнения C5);
3) функция f(x) при некоторых условиях разлагается в равно-
равномерно сходящийся ряд Фурье по системе функций Jv(nkx/R) (к =
= 1,2,...), где /ii,/i2,--- — положительные корни уравнения C5).
Вернемся к уравнению C1); его общее решение при v — п имеет
вид
Zn(r) = CnJn{\r) + DnYn(Xr).
Так как в окрестности точки х = 0 функция Jn{x) ограничена, а
функция Yn(x) является неограниченной, то в силу C3) Dn = 0, т.е.
Zn(r) = CnJn(Xr).
Из условия C2) находим Jn(XR) = 0. Полагая
C7)
C8)
приходим к уравнению C5); пусть /^п ,/4™
корни, т. е.
Jn(Ai?>)=0, (m = l
Тогда из C7)-C9) получаем, что функции
— ег0 положительные
C9)
(г\ —
R
являются решениями задачи C1)-C3).
Функции
Unm {r,<p,t) = Anm COS -*--	h Bnm Sin ^
LV	R	R
COS Пф +
cos
я
LLrnt
я
(n)
Jn ^—- D1)

250	Гл. VI. Смешанная задача
в силу B3), B4), B9), C4), C8), D0) являются частными решениями
уравнения B0) и удовлетворяют граничному условию B1).
Решение задачи B0)-B2) ищем в виде формального ряда
где функции ипт определяются формулами D1).
Задача сводится к разложению некоторых функций в ряд по
системе функций Jn{/Jbm r/R) (m = 1,2,...).
В силу C6) коэффициенты аш разложения
00	/ (")r\
m=1
определяются формулами
R
t=o —
V К J
20.20.	Решить задачу о свободных колебаниях однородной круг-
круглой мембраны радиуса R, закрепленной по краю, в следующих слу-
чаях:
1)	начальное отклонение определяется равенством u
где ilk — положительный корень уравнения Jo (/л) = 0; начальная
скорость равна нулю;
2)	начальное отклонение и начальная скорость зависят только
0ТГ'Т-6- «|t=0 = /(r), ut\t=0 = F(r);
3)	начальное отклонение имеет форму параболоида вращения, а
начальная скорость равна нулю.
20.21.	Найти решение смешанной задачи
Utt = Uxx + - Ux + f(t) Jo(VkX),
где ilk — положительный корень уравнения Jo(/i) = 0, 0 < х < 1,
u\x=i = u\t=o = ut\t=o = 0, |^U=o| < oo,
если:
1) f(t)=t2 + l] 2) f(t) = sint + cost.
20.22.	Найти решение смешанной задачи
utt = ихх + -их, 0 < х < 1,
X
и\х=о\ < оо, u\x=1=g(t), u\t=o = uo(x), ut\t=o = щ(х),
если:
1) g(t) = sin2 t, u0 (x) = \ [l - J-^\, u1(x)=0;
2) g(t) = cos 2t, uo (x) = ^1	щ (ж) = 0;

§ 20. Метод разделения переменных
251
3) g(i) = t — 1, щ(х) = Jo(/J>ix) — 1, где /ii — положительный
корень уравнения Jo(/i) =0, ^i(x) = 1.
20.23. Найти решение смешанной задачи
f(t) = ихх + -их,
0
\и\х=о\ <
если:
1) fit)
2) f(t)
з) fit)
оо, и\х=1
cost,
-sin3t,
- -2cos2i,
= 9(t),
uo(x)
a(t)
u\t=o = uo(x),
	 i Jo(x) ni ^^
Jo(l)' i
: Uo(x) 1, Mi (ж
Ml(x) 0, uo(z
, _ 1 Г JoCx)
3 L JoC)
v _ 1 rJoBz) 11
^ 2 1 Jnf2)
Jo(fJ'ix), где /ii — положительный корень уравнения Jo (/л) = 0.
20.24. Решить смешанную задачу
ихх + - их = utt + и,
| < оо, u
Jo (жл/3)
0 < х < 1,
=i = cos2^ + sin3^,
3J0 Bжл/2)
20.25.	Решить задачу о колебаниях однородной круглой мембра-
мембраны радиуса R, закрепленной по краю, если эти колебания вызваны
равномерно распределенным давлением р = р0 sina;?, приложенным к
одной стороне мембраны. Предполагается, что среда не оказывает со-
сопротивления и что и
корни уравнения Jo(/i) = 0 (нет резонанса).
20.26.	Решить смешанную задачу
р
-77^-, где цп (п = 1,2,...) — положительные
R
\и\х=о\ < оо,
если:
1)	ио(х) = J
2)	U0(x) = J
Здесь [ik и /im
1 и
=ихх + -их	-, 0 < х
X	X
и\х=1 = 0, u\t=o=uo(x),
+ JiiVrnx),	щ(х) = 0;
X),	Щ(х) = Jl(fJLmx).
два различных положительных корня уравнения
20.27. Решить смешанную задачу
ии = ихх + - их	 + et
где /ifc — положительный корень уравнения Ji(/i) =0, 0 < х < 1,

252	Гл. VI. Смешанная задача
\и\х=о\ < оо, и\х=1 = u\t=o = ut\t=o = 0.
20.28.	Решить смешанную задачу
1 и
ии = ихх + - их	j, 0 < х < 1,
X	X2
\и\х=о\ < оо, и\х=1 = sm2t cost, u\t=o = О,
I _ Ji (x) 3 JiCs)
20.29.	Решить смешанную задачу
1	4n
-их	-, 0
X	X2
\и\х=о\ < оо, и\х=1 = 0,
если:
1	3
2) но (ж) = 2 Jzi^kx), U!(x) = -
Здесь /ifc — положительный корень уравнения J2(/i) = 0.
20.30.	Решить смешанную задачу
1 4п
г*« = ихх + -их	г + /(*) J2(^ix), 0 < ж < 1,
где /ii — положительный корень уравнения J2(aO — 05
|^U=o| < оо, и\х=1 = u|t=0 = ut\t=o = 0,
если:
1) /(*) = «; 2) f(t)=cost.
20.31.	Решить смешанную задачу
1	9tt
^« = ихх + -их	-, 0 < ж < 1,
X	X2
и\х=о\ < оо, и\х=1 = 0, ^|t=0 = </з(/^1ж),
где /ii — положительный корень уравнения
J3(/i) = 0, u\t=o = ^о(ж),
если:
1) ио(х) = 0; 2) ио(х) = J3(fiix).
20.32.	Решить смешанную задачу
1	9п
г*« = wM + -^-^ + /(*) Jzi^kx), 0 < ж < 1,
|^U=o| < оо, и\х=1 = u|t=o = ut\t=o = 0,
где /ik — положительный корень уравнения Jz(ii) = 0, если:
e-*; 2) f(t)=t-t2.

§ 20. Метод разделения переменных	253
20.33.	Решить смешанную задачу
(хих)х = щи 0 <х < -,
\и\х=о\ < оо, и\х=1/4 = 0, u\t=o = JoityiVz), ut\t=o=0,
где /ii — положительный корень уравнения Jo(/i) = 0.
20.34.	Тяжелая однородная нить длиной /, подвешенная за один
из своих концов (х = /), выводится из положения равновесия и отпус-
отпускается без начальной скорости. Изучить колебания нити, которые она
совершает под действием силы тяжести; предполагается, что среда не
оказывает сопротивления.
20.35.	Тяжелая однородная нить длиной /, закрепленная верхним
концом (х = /) на вертикальной оси, вращается вокруг этой оси с
постоянной угловой скоростью и. Найти отклонение u(x,i) нити от
положения равновесия.
20.36.	Решить смешанную задачу
ии = (хих)х, 0 < х < 1,
и\х=0\<оо, их\х=1=0, u\t=o = 0, ut\t=o = Joi
где ilk — положительный корень уравнения Ji(/i) = 0.
20.37.	Решить смешанную задачу
Utt = XUXX + Ux + f(t) Jo (fJLiy/x),	0 < X < 1,
Мя;=о| < ОО,	U\x=1 = u\t=o = Ut\t=O = 0,
где ii\ — положительный корень уравнения Ji(/i) = 0, если:
1) /(«)=*; 2) f(t) = sint.
20.38.	Решить смешанную задачу
и
ии = хихх +их	, 0 < х < 1,
X
\u\x=q\ < оо, u\x=i = 0, u\t=o = 0, ut\t=o = ^2 (V
где /ifc — положительный корень уравнения J2(/i) = 0.
20.39.	Решить смешанную задачу
u« = xuxx + иж - —, 0 < ж < 1,
|^U=o| < оо, и|ж=1=0, u|t=0 = 0, ^|t=o = h (i
где /ii — положительный корень уравнения Jz(ii) = 0.
2. Уравнения параболического типа.
а) Задача о распространении тепла в тонком однородном стержне
О < х < I, боковая поверхность которого теплоизолирована, а концы
х = 0 и х = / поддерживаются при нулевой температуре, приводится
к решению уравнения теплопроводности
щ = а2ихх	A)
при граничных условиях

254	Гл. VI. Смешанная задача
и\х=0 = 0, и\х=1 = О	B)
и при начальном условии
u\t=o = uo(x).	C)
Применяя метод разделения переменных, ищем частные решения
уравнения A) в виде
V ; u(x,t) =X(x)T(t).	D)
Подставляя и из D) в A), получаем два уравнения
T"(t)+a2\T(t) = 0,	E)
Х"(х) + \Х(х) =0.	F)
Для нахождения нетривиальных решений уравнений A) вида D),
удовлетворяющих граничным условиям B), нужно найти нетривиаль-
нетривиальные решения уравнения F), удовлетворяющие условиям B).
Для значений Л, равных (см. § 20, п. 1)
К = {—)	(п = 1,2,...),
и только для этих значений, существуют нетривиальные решения
Хп(х) задачи F), B) и при этом
v ( ч /2 . ппх
хп(х) = Wy sin —.
Значениям Л = Лп соответствуют следующие решения уравнения E):
Tn(t) = ane-^na^2t.
Тогда функции
un(x,t) = Xn(x)Tn(t) = ane-t™^4 sin ^
удовлетворяют уравнению A) и граничным условиям B) при любых
постоянных ап.
Решение уравнения A), удовлетворяющее условию C), ищем в виде
формального ряда
Из
G)
«0
иC)
(х) =
СЮ
u(x,t) = 2_j un(*
71=1
находим
сю
= 2^anSin-p,
сю
= Y,
п=1
где
sin ^.	G)
п=1
1ГПХ	2 Г / ч . 7ГПХ ,
——, где ап = - / ио(х) sin —— dx.
б) Задача о температуре однородного стержня длиной /, боковая
поверхность которого теплоизолирована, а на концах его происходит
конвективный теплообмен со средами, имеющими соответственно по-
постоянные температуры щ и «2, сводится к решению уравнения A)
при начальном условии C) и граничных условиях вида

§ 20. Метод разделения переменных	255
их\х=о — hi [и\х=о — ui] = О,
(8)
ux\x=i + h2 [u\x=i - и2] = О,
где hi > О, h2 > О.
Если hi = h2 = 0, то условия (8) принимают вид
их\х=о = ux\x=i = 0.	(9)
Условия (9) означают, что концы стержня теплоизолированы.
Решение задачи A), C), (8) ищем в виде
и(х, t) = v(x) + w(x, t),
где v(x) — решение уравнения A) (v"(x) = 0), удовлетворяющее гра-
граничным условиям (8). Уравнение v"{x) = 0 имеет общее решение
v(x) = Cix + C2.	A0)
Определяя Ci и С2 из условий (8), получаем
С\ =	:	:—р-г,	С2 = Ui + -—.	A1)
hi + /г-2 + AiiAi2t	^l
Функция w(x,t) удовлетворяют уравнению A), начальному условию
Ht=o = u\t=o ~ v\t=o = uo(x) - v(x) = йо(х),	A2)
где v(x) определяется из формул A0), A1), и следующим однородным
граничным условиям:
(wx - hiw)x=0 = (wx + h2w)x=i = 0.	A3)
Решая задачу A), A2), A3) методом разделения переменных, полу-
получаем	2 2
1П (гр +\ — А ю~а ^nt Y (г\
где Л^ = ^-, \in (n = 1, 2,...) — положительные корни уравнения
1 / hih2l2
777ГГТ (^
/(All + Д2) V	fl
Хп(х) =^j- cos^j-x
п() j	j + i sin
Тогда
n=l
где коэффициенты Лп находим из начального условия A2), используя
ортогональность функций Хп(х) на [0,/]:
/й°(ж)(^~ cos y-^ + ^isin у"
||фп||2 = I (^_ cos /^ д.

256	Гл. VI. Смешанная задача
20.40.	Дан тонкий однородный стержень 0 < ж < /, боковая по-
поверхность которого теплоизолирована. Найти распределение темпе-
температуры u(x,t) в стержне, если:
1)	концы стержня ж = 0 и ж = / поддерживаются при нулевой
температуре, а начальная температура u\t=o = щ(х); рассмотреть
случаи:
а) щ(х) — A — const, б) щ(х) = Ах{1 - ж), А = const;
2)	конец х = 0 поддерживается при нулевой температуре, а на
конце х = I происходит теплообмен с окружающей средой нулевой
температуры, начальная температура стержня u\t=o = щ(х);
3)	на обоих концах стержня (ж = 0 и х = /) происходит теп-
теплообмен с окружающей средой, а начальная температура стержня
u\t=o =uo(x);
4)	концы стержня (х = 0 и х = /) теплоизолированы, а начальная
температура и|^=о = ^о = const;
5)	концы стержня теплоизолированы, а начальное распределение
температуры задается формулой
I
щ = const, если 0 < х < -,
u\t=o = <ь	ь
О,	если ^ < х < I;
2
изучить поведение u(x,t) при t —У оо;
6)	концы стержня теплоизолированы, а
——ж,	если 0 < х < -,
—— (/ — ж), если - < ж < /,
где uo = const; найти lim u(x,t).
t—^oo
20.41.	Решить следующие смешанные задачи:
1)	щ = ^жж, 0 < ж < 1, их\х=ъ = 0, гАж|ж=1 = 0, u\t=o = ж2 - 1;
2)	ихх = щ + и, 0 < ж < /, ^|ж=0 = г*|ж=/ = 05 ^|t=o = 1;
3)	щ = ижж — 4гх, 0 < ж < тг, и|ж=0 = ^|ж=тг = 0, u\t=o = ж2 - тгж.
20.42.	Дан тонкий однородный стержень 0 < ж < /, боковая по-
поверхность которого теплоизолирована. Найти распределение темпе-
температуры u(x,t) в стержне, если:
1)	концы стержня поддерживаются при постоянных температу-
температурах и\х=о = ui, u\x=i = U2, а начальная температура равна u\t=o =
= uq = const; найти lim u(x,t);
t-юо
2)	концы стержня имеют постоянную температуру и\х=о = г*|ж=/ —
= щ, а начальная температура задается формулой
гф=о = ио(х) = Лж(/ - ж),
где А = const; найти lim u(x,t);
t-юо

§ 20. Метод разделения переменных	257
3)	левый конец стержня теплоизолирован, правый поддерживает-
поддерживается при постоянной температуре u\x=i = u2, начальная температура
равна u\t=o = у ж, где А = const;
4)	левый конец стержня поддерживается при заданной постоянной
температуре и\х=о = ui, а на правый конец подается извне заданный
постоянный тепловой поток; начальная температура стержня u\t=o =
= ио(х).
20.43.	Дан тонкий однородный стержень длины /, с боковой по-
поверхности которого происходит лучеиспускание тепла в окружающую
среду, имеющую нулевую температуру; левый конец стержня поддер-
поддерживается при постоянной температуре и\х=о = щ. Определить тем-
температуру u(x,t) стержня, если:
1)	правый конец стержня х = I поддерживается при температуре
u\x=i — и2 — const, а начальная температура равна u\t=o = ио(х);
2)	на правом конце происходит теплообмен с окружающей сре-
средой, температура которой равна нулю; начальная температура равна
нулю.
В задаче о распространении тепла в стержне, концы которого под-
поддерживаются при заданных температурах, зависящих, вообще говоря,
от t, граничные условия имеют вид
и\х=0 = ai(t), u\x=i = a2(t).	(8a)
В этом случае решение задачи A), C), (8а) можно искать в виде
и = v + w, где функция w определяется формулой w = a\{t) + у х
x(a2(*)-ai(t)).
20.44.	Найти распределение температуры в стержне 0 < х < I с
теплоизолированной боковой поверхностью, если на его правом конце
х = / поддерживается температура, равная нулю, а на левом конце
температура равна u\x=q = At, где А = const. Начальная температура
стержня равна нулю.
20.45.	Решить следующие смешанные задачи:
1)	щ = ихх, 0 < х < /, их\х—о = 1, u\x—i = 0, и|г=о = 0;
2)	щ = ихх + и + 2sin2x sin ж, 0 < х < тг/2, их\х=о = и\х=7Т/2 =
= u\t=o = 0;
3)	щ = ихх - 2их + х + 2t, 0 < х < 1, и\х=0 = u\x=i = t, u\t=o =
= ех sinvrx*
4)	щ = ихх + и — х + 2 sin 2x cos ж, 0 < х < тг/2, и\х=о = 0,
их\х=7Г/2 = 1, u\t=o = х;
5)	щ = ихх + 4:U + х2 — 2t — 4x2t + 2 cos2 ж, 0 < х < тг, их\х=о = 0,
X X	77" 	 ^ *t ^ ч № ~?	Q 	 v7 ч
17 Под ред. B.C. Владимирова

258
Гл. VI. Смешанная задача
6) ut-
-t, 0 < х < тг, и\х=0 =
sin 2ж.
20.46. Решить следующие смешанные задачи:
1) щ -ихх-и = xtB -t) + 2cos?, 0<ж<тг, иж
=0 = ?2, их
|
2) г^ - ихх - 9и = 4 sin2 ? cos Зж - 9х2 - 2, 0 < ж < тг, иж |ж=о = О,
тг/2,
3)
4)
С = 0
5)
=1 =
= 2тг,
м* = ихх + е
= 1, w
ж=тг/2
м* = ^ж +
= 1, их
Ж = 7Г
Щ = ^жж + 4?
= 2? и
zQ =
= х2 + 2;
w + 2t(l -
= ^2 + тг/^
эй + ж2A -
= 2тг? + 1,
lx + ж - 4?
0.
3t)
+ i
t=o = ж;
— 2(? + Зж) + sin2x, 0 <
=0 = X]
+ е~2жсо82тгж, 0 < х < 1, u
Задача о распространении тепла в однородном шаре радиуса R
с центром в начале координат в случае, когда температура любой
точки шара зависит только от расстояния этой точки от центра шара,
приводится к решению уравнения теплопроводности
ди о {д2и , 2 ди^
при начальном условии
u\t=o = uo(r).	A5)
Если на поверхности шара происходит теплообмен с окружающей
средой нулевой температуры, то граничное условие имеет вид
(ur + hu)\r=R = 0.	A6)
Полагая v = та, получаем
dv 2 d2v
=a
v\r=o = 0, \vr + (h - i
= 0,
A8)
A9)
Таким образом, задача A4)-A6) приводится к задаче A7)—A9) о
распространении тепла в стержне, один конец которого (г = 0) под-
поддерживается при нулевой температуре, а на другом конце (г = R)
происходит теплообмен с окружающей средой (см. задачу 20.43).
20.47. Дан однородный шар радиуса R с центром в начале коор-
координат. Определить температуру внутри шара, если:
1) внешняя поверхность шара поддерживается при нулевой тем-
температуре, а начальная температура зависит только от расстояния от
центра шара, т.е. u\t=o = щ(г);

§ 20. Метод разделения переменных	259
2)	на поверхности шара происходит конвективный теплообмен по
закону Ньютона со средой, имеющей нулевую температуру, a u\t=o =
= ио(г);
3)	на поверхности шара происходит конвективный теплообмен со
средой, имеющей температуру щ = const, a u\t=o = щ = const;
4)	внутрь шара, начиная с момента t = 0, через его поверхность
подается постоянный тепловой поток плотности q = const, а началь-
начальная температура u\t=o = щ = const.
20.48. Дана тонкая квадратная пластинка @ < ж < /, 0 < у < I),
для которой известно начальное распределение температуры u\t=o =
= ио(х,у). Боковые стороны х = 0, х = / и стороны оснований
у = 0, у = / во все время наблюдения удерживаются при нулевой
температуре. Найти температуру любой точки пластинки в момент
времени t > 0.
Нахождение решений задач 20.48-20.52 требует применения бес-
бесселевых функций (см. с. 249).
В частности, задача о радиальном распространении тепла в бес-
бесконечном круговом цилиндре радиуса R, боковая поверхность которо-
которого поддерживается при нулевой температуре, приводится к решению
уравнения
ди 2 (д2и , 1 ди\	/опх
[ + )	B0)
при граничном условии
«1г=л = 0	B1)
и начальном условии
«|*=о = «о(г).	B2)
Применяя метод разделения переменных, найдем, что решение
задачи B0)—B2) можно получить в виде
71=1
где \in — положительные корни уравнения Jo(/i) = 0, а коэффициен-
коэффициенты ап определяются из начального условия B2).
20.49. Дан неограниченный круговой цилиндр радиуса R. Найти
распределение температуры внутри цилиндра в момент времени ?,
если:
1)	на поверхности цилиндра поддерживается все время нулевая
температура, а температура внутри цилиндра в начальный момент
равна u\t=o = AJq\j-^—\ где /ik — положительный корень уравнения
JoM=0;
2)	поверхность цилиндра поддерживается при постоянной темпе-
температуре щ, а начальная температура внутри цилиндра равна нулю;
17*

260
Гл. VI. Смешанная задача
3) с поверхности цилиндра происходит лучеиспускание в окру-
окружающую среду, температура которой равна нулю, а начальная тем-
температура равна u\t=o = щ(г).
20.50. Найти решение смешанной задачи
Щ =
-Ux - —
где ilk — положительный корень уравнения Ji(/i) = 0, 0 < х < 1,
х=0
< 00,
x=i = 0, u\t=o = О,
если:
2) f(t)=e-*.
20.51. Найти решение смешанной задачи
щ = игг + - иг + t Jo (/Air),
где /ii — положительный корень уравнения Jo(/i) =0, 0 < г < 1,
ею,
.=1 = 0, u\t=o = 0.
20.52. Решить следующие смешанные задачи:
1) щ = хихх +их - —u + tJx (/
где /j,k — положительный корень уравнения Ji(/i) = 0, 0 < х < 1,
оо,
х=1 = О,
t=0 = 0.
2) и* = жижж + их - — и, 0 < х < 1,
ж=о|
00,
где /х^ — положительный корень уравнения
= 0.
Ответы к § 20
20.1. 1) ^sin^ cos
1	. Bк + 1) тгж	Bк + 1) irat
sin
I
н и е. ио(ж) = -— хA - ж), j;
3) -з^
^ 1 . А;тгс .
2^ — sm —— si
cos
knat
(Ука
з а-
g^ oo
7Г2 tb
х sm
cos
?Q Bk + IJ
Bk + l)irat (	l\ (	. .
	r^	 ( при с = - 1 (Указание, щ (х) =
/гж	^ . .	/ ч /г(/ — ж)	. . , \
= — при 0 < х < с: uo(x) = —^	 при с < х < I. .
с	/ — с	/

§ 20. Метод разделения переменных
261
20.2. 1) ^* g
1)тгх .
Sm
тг2п ^ ОЬ-Ь-ЛЛ12	1
/I (Л и	П у?Гъ "т" -L /	»
/стга	/стг/5
о, 2^о ^ cos ~Г "cos ~Г . ктгх . ктгаг
2) ^— х,	г^	sm —г-sm —1—;
3)
20.3.
тгка . тгкхп
cos — sm ~~Г~ • тгкх .
cos
fc sin
sin
где
+ 1) тгж
da;,
Bk +1) тгж , /,,	,
x sm	y-	ax (Указание. и|ж=о =
2) у/МО"
+
E (a*
cos
7 . ктгаЬ\ ктгх
+ 6/. sm —-— ) cos ——,
2 } ( ч	А;тгж , ,	2 /• / ч	ктгх
()	b	/ ()
o
2 } ( ч	А;тгж , ,	2 /• / ч	ктгх , /лг
где ак = j uq(x) cos —— ax, bk = —- / щ(х) cos —— ax (У к а-
о
ж|ж=/= 0, u|t=0 = ио(х), ut\t=o = щ(х).);
t + 6nsinAna^) cosAnx, где An (n = 1,2,...) —
зание. иж
сю
n=l
собственные значения, а Хп(х) = cosAnx — собственные функции
краевой задачи: X"(х) + Х2Х = 0, Х'@) = 0, Х\1) + ftX(/) = 0 (Ап —
положительные корни уравнения tg XI = ft/A),
cosXnxdx, bn =
-nH аЛп
cosXnxdx,
h
(	к
(Указание. их\х=о = 0, их х=\ = —hu\x=i, ft = -=-, где Е —
модуль Юнга, о — площадь поперечного сечения стержня, к — ко-
коэффициент, характеризующий жесткость закрепления; u\t=o = щ(х),
ut\t=o =u1(x).J.
SPI °°
20.4. u(x,t) =
. B/с+1)тгж
sm	тг,	 cos
:(-i)fc	 ^ , ,л
21
-, где а —
площадь поперечного сечения стержня, Е — модуль Юнга.
Р х ди
Указание. и\х=0 = 0, ux\x=i=0, и\г=о = -^, ^т
Ь(Т Ot
= 0.
t=o

262	Гл. VI. Смешанная задача
20.5.	t{x,t) = -E0SjT cos- sm—, a =
Указание. Сила тока г (ж, ?) удовлетворяет уравнению LCiu =
= гжж, где L — самоиндукция, С — емкость, отнесенная к единице
длины провода. Начальные условия имеют вид i\t=o = 0, it\t=o —
ЕоТГ	7ГЖ	• I	г» -I	г»
= — т^~Г cos —-, а граничные условия таковы: гх\х=о = 0, i\x=i — 0.
2/Х/	2/
4/2Ь °° (-l)fesin ^ cos ^Ч
20.6.	1) Ьж(г - х) + ^ Е —	А	— (Указа-
н и е. Решение можно искать в виде и = v + w, где функция v =
= Ьх{1 — х) удовлетворяет неоднородному уравнению и нулевым
граничным условиям, а функция w удовлетворяет однородному урав-
уравнению, нулевым граничным и следующим начальным условиям:
v\t=o = Ьх(х - /), vt\t=o = 0.);
2 °° 4
2) - ? sin ? sin x + У" -;—7	г^т (cos t - cos kt) sin fcx.
7Г	^2 л7гA —к2)
2/c+l smut- — sm 	^		Oh+ Л\-п-г
	'	"—2H	sin / - где
cos B/c+l) irat . B/с+1)тгж
8 «(x t) ~ 9<2l-x) llt?	Sln ^]—
Указание. Задача сводится к решению уравнения
де д
ди
= а2ихх + д, где g — ускорение силы тяжести, при следующих усло-
виях:
= 0,
t=0
= 0. Решение этой задачи
:и дх
можно искать в виде и = v + w, где и = Ах2 + Вх + С (А, В, С
выбрать так, чтобы функция удовлетворяла неоднородному уравне-
уравнению и заданным граничным условиям).
on n i\ xt , ^ (-1J/ . А;тгж	. Ьгг
20.9.1) Т+Д1_^5_вт_ sm—;
2) t + 1 + ж(*3 -i + l) +
00 Г 2 Гб(—l)fc+1 I	f—l)fc12i
fe=i l {ккJ [ (тткJ	J	п3к3
sm-	2АШа °°	(-I)* sin ^2* sin ^2
20.10. А	^ ii ^ Е	'	'
^	' fc=i
а
Указание. Задача сводится к решению уравнения иц = о?ихх
при нулевых начальных и следующих граничных условиях: и\х=о = О,
^. Решение этой задачи искать в виде и = v + w, где

§ 20. Метод разделения переменных	263
v = Х(х) sin cut. Функцию v подобрать так, чтобы она удовлетворяла
уравнению и заданным граничным условиям.
{~1)k
20 11 и(х t) - Q x 8Ql T {~1) C0A2k + l)nat
20.11. U(x,t)-—х-^^^^—у2 cos	sin
х^^^^у2 cossin,
где Е — модуль упругости, а — площадь поперечного сечения
стержня.
Указание. Задача сводится к решению уравнения щь — о?ихх
при нулевых начальных и следующих граничных условиях: и\х=о = О,
их\х=i = —. Положить и = v + w, где v = Ах (А выбрать так, чтобы
Еа
функция v удовлетворяла заданным граничным условиям).
лп sin — xsmoot
20.12. и(х, t) = -=F	"	/	+
а . Bк+1)ж
2Ааси °° (-l)fc2/	sm	й	х	¦ Bk + l)-Kt
_|_ 	 \ v '		 S1T1 П —
Eal j^0 BА; + 1)тг о;2 - [BА; + 1) тга/B/)]2	21
Указание. Задача сводится к решению уравнения иц — а2ихх
при нулевых начальных и следующих граничных условиях: и\х=о = О,
^4
и\х=1 = т^ sino;^. Решение этой задачи можно искать в виде и = v + w,
Еа
где v = f(x) sina;?; f(x) выбрать так, чтобы функция v удовлетворяла
уравнению и заданным граничным условиям.
°о	ктгх
20.13. u{x,t) = e~at J2 (a>k cos fikt + bk^mfikt) sin ——, где
2 2 7 2
а 7г к
9
a
2 f / \ . ккх ,	,	a	2 f / ч . &7ГЖ 7
^ = у / ^о(ж) sin ^— da;, &fe = — ak + -— / иЦж) sin ^— da;.
о	о
Указание. Задача сводится к решению уравнения иц + 2ащ =
= а2ихх (а > 0 мало) при следующих условиях: и\х=о = м|ж=/ = О,
u\t=o=uo(x), ut\t=o = щ(х).
ОП1/) 1 ч 8 ^ sin Bк + 1) тгж
20.14. 1) -^gQ Bfc + l)a co
о —t СЮ	-i	г	-1	|
2) -—? Eшр hBfc+1} г+2-шsin Bfc+1}']sin
,, о _t S 1 Г/ 1 \fe	2 I • 2fe +1 , 2fe +1
CXD	1	Г	1	1
4) *A - x) + J] e~*/2 -—— 2 cos Afe^ + — sin \kt - 2 sin тг/сж,
j^_^	(/CTTj L	Ak	J

264	Гл. VI. Смешанная задача
5) B-
2
)*
2
20.15. 1) sin2x cos 2^+ Z) (-1)* т^ A -cos Art) sin to;
OO	г	/	-|	\ -i
2) -^cJ-l + e~t//2( cos fikt + -— sin/ifc?) sin Bfc + 1) тгж, где
к=0 L	V	2/ife	/J
Указание. Искать решение в виде ряда и(х, t) =
Замечание к 2). Можно искать решение в виде суммы и =
= v + w, где функция v = -х{1 — х) удовлетворяет уравнению и
заданным граничным условиям. Тогда
00 /	\
г4 (ж, ?) = —	 — 2_, ( cos Vkt H	sm A^fe^ ) е~^/2 sin Bfc + 1) тгж.
20.16.	1) 2ж^+ Bе* -е~* -3^е~^)со8ж;
2)	3 + ж(* + t2) + Ete* - 8е* + 4? + 8) sinx;
3)	яг(* + 1) + (\ е5*/2 - е*/2 + ^) cos 5 ж;
V о	0/2
4)	xt+(jo~le2t + Ть
5)	ж^ + A — е~* — te~
6)	I (e2* + e-2t} _ 1 ^
7)	i sina;(ch3i- 1) + sin3a;(chi - 1);
8)	xt + Bef -e2t)e~xsmx.
on Л „ А атгл/2 . . тгж . 7tv
20.17.	Л cos —— tsm — sin —.
P	P	P
20.18.	Scos^/Ets'mx sm2y + sinЫ sin3x
20.19. ™%±- g	B/+1KBг + 1/ - mmt, где

§ 20. Метод разделения переменных	265
20.20. 1)
2) f (ап cos ^at + bn sin ^- at) Jo (^?), где
0	0
положительные корни уравнения Jo(/jl) = 0);
3)	u(r't) =
где /in (n = 1,2,...) — положительные корни уравнения Jo(/i) = 0.
(Указание. Задача приводится к решению уравнения urr + - иг =
1	/ г \
= — и« при условиях u\r=R = 0, |u|r=0| < oo; u\t=o = All - —),
Л = const, щ\г=о — 0- При вычислении коэффициентов ряда (*) восполь-
зоваться следующими формулами: Г ? Jo (^) б?^ = хЗ\ (х), /" ^3 Jo (^) б?^ =
= 2x2J0(x) + (ж3 - 4яг) Ji(x
20.21.	1)
(Указание. Решение можно искать в виде и = г? + w, где г? =
= (at2 + c) Jo(/ijfex) — частное решение неоднородного уравнения, гу —
решение однородного уравнения, w|t_0 = —г?|^_0, ^t|t=o = —г;*|*=о-)'
2)	u(x,t) = (/i| - l)~1(cos^ + sin^ - cosfikt — fi^1 sinfikt) J0(fikx)
(Указание. Решение можно искать в виде и = v + w, где
v = (a sin ? + Ъ cos ?) Jo (/i^x) — частное решение неоднородного уравне-
уравнения, w = (Acos/iikt + В sin/ifc?) Jo(/j,kx) — решение однородного урав-
уравнения, гу|4=0 = -v\t=0, wt\t=0 = -^|^о-)-
20.22.	I)
3)	t — 1 + Jo(/JLix) COS/JLit.
3) I
20.24. —V _/ cos2iH	^—^- sin
Jo (л/3)	Jo Bл/2)

266
Гл. VI. Смешанная задача
20.25. Ц-
UJ2р
p0ojR3
n=i
где p — поверхностная плотность мембраны.
Указание. Задача сводится к решению уравнения
—
\и
+ r~1ur + р~х
0 < г < R,
г=о\ < оо, u\r=R = 0, u\t=o = ut\t=o = 0.
20.26.	1) Ji(fikx) cosfikt + Ji(fimx) cosfimt;
2) Ji(/jLkx) cos/ife^ + /i~1Ji(/imx) sin/im^.
20.27.	A + iil)-1^ - cosfikt - ill1 sinfikt) Ji{iikx).
20.28.	^y Л (ж) sin t + ^y Л (Зж) sin Ы.
20.29.	1) (cosiJkt +/j^1 sin/jkt) J2(/J,kx)',
2) (- cos/jkt+ -/j^1 sin/jkt) J2(/J>kx).
20.30.	1) (/i^-^sin/ii^) J2(/J>ix);
2) (/if - l)~1(cos^ - cos/iit) J2(/iix).
20.31.	1) fi^1 Js(fiix) sin/iit; 2) (cos/iit + 1
20.32.	1) [/ife(l + /i^)]-1(sin/ife^-
2) /i^2 B/i^2 +t -t2 - /i^1 sin/jkt - 2/i^2 cos/jkt) J^kx).
20.33.	Jo B^1^/5) cos/ii^.
Указание. Полагая u = Х(ж) T(t), получить уравнения
x" + — + — x = o,	(
т" + л2г = о.
Уравнение (*) подстановкой 77 = 2Ху/х свести к уравнению Бесселя
имеющему общее решение X(rj) = aJo(r]) + Ыо(^)-
f	l
s^, где А„ = uo(x)
2yl	^
-. оо	Jo (fln y/x/l )
20.34. j ? An \	У
1 n=i	Ji\^n)	^
x JoWnyj ) dx, \in (n = 1, 2,...) — положительные корни уравне-
уравнения Jo(/i) = 0.

§ 20. Метод разделения переменных	267
Указание. Задача приводится к решению уравнения щь —
— а2(хих)х, 0 < х < I, а — у/g, при условиях |м|ж=о| < оо, u\x=i = О,
u\t=o = ио(х), ut\t=o = 0.
00
20.35. J2 (An cos a\nt + Bn sin a\nt) JoyVnJj J, гДе
n=l	^ Ml/
jjin (n = 1,2,...) — положительные корни уравнения Jo(aO = 0.
Указание. Задача приводится к решению уравнения иц =
= а2(хих)х + lj2u, 0 < х < /, а = у/д, при условиях |м|ж=о| < оо,
u\x=i = 0, u\t=o = uo(x), ut\t=o = щ(х).
20.36.	—
20.37.	1)
2) 4(/i? — 4) ( sin? — 2/J71 sin
9
20.38.	— sin — ;
Mfe	2
20.39.	— sin f^-i
fii	2
on .Л -,ч ^	Г /птга\2,1 . тгпж	2 /" / ч . тгпж ,
20.40.	1) 2^ апехр< — (——) ^> sm——, где an = - Iuq(x) sin—— ax;
n=l	{ ^ l ' J	^	^ ^	l
если ^о(ж) — A — const, то
и(ж, f) = — 2^ ——- exp \ - (^	y1— jt^sm
k=0
рртттд о I n ( 1* i ^3 /\ 1* \ 1* 	 / I TO
Bfe + iK exP i ~ I 	Г	/ fSm "
о °°	(T2+ u2	( hi o\2 1 /v т
х sin —— dx, \in (n = 1,2,...) — положительные корни уравнения
tg jj, = — —, а = hi > 0 (Указание. Граничные условия имеют
вид и\х=о = 0, (их + hu)\x=i = 0.);

268	Гл. VI. Сметанная задача
о оо	( , ч 2 "I цп cos ^7— + a sin ^7—	J
3) f E^expl-^t} g(;+2)+/4 ' , где ft,, = fuo(X) x
x f\in cos ^-y—hcrsin ^—jdx, \in [n — 1,2,...) — положитель-
.	1 //i cr\	, , ( ч	|
ные корни уравнения ctg /i = - I —	, a — hi, uq(x) = uU=o
2 Vcr /x/
(Указание. Граничные условия имеют вид (их — hu)\x=o =
= (их + Лгб)|ж=/ = 0.);
4) щ (Указание. Граничные условия имеют вид их\х=о =
lim u(x,t) = -^-;
2 7Г2 fefо BA; + :
cos
lim u(x,t) = —.
on ^1 14 32 ~
20.41. 1) - 2о
o4 4 ~ 1	Г Г/BА; + 1Oг\ , -,1 Л •
о ОО	-1
3) -- Е fofrina exp{-Bfc + lJ}sinBfc
20.42. 1) П1 + ^^Ж + - Е -{(wo-w
'	7Г п=1 П
\1	f /^7Г«\2,1 . 7ГПЖ
-u0)} exp|-^-y-J t sm—,
X
lim u(x,t) = ui + (u2 - щ) -;
2
1) 7ГЖ
/ /BА; + 1Oга\Д . B/с + 1)тгж	, .
> ехр < —	-^— ^ > sm	-1—, lim u(x, t) = щ;
I V l J J	г	*^°°
Г N" 7
8A ~	1	Г /BА; + 1Oга\Л
^ ? c^wexp Г N" 7cos

§ 20. Метод разделения переменных	269
л\ <1Х ¦ ¦ ^ \	4 Bn+l)irui + lq/k]	Г
4) _ +ttl + ? ^_ _ Д1J j ехр |-
. BП + 1) 7ГЖ	2 /• , ч . BП + 1) 7ГЖ ,	/v
x sin	p	, где ап = - / ио(ж) sin	-1	ax (Указа-
Ah	i j	Ah
о
н и е. Граничные условия имеют вид u\x=o = ui, kux\x=l = д.).
2	(_!
l	l
Sh ^ /	l n=l\l
7ГПЖ	л 2	/7ГП\2
А; = (—J
х exp{-(aAn)z^} sin —^—, где А; = (^J
. 1ГПХ 1	/ЛТ	г,	°
х sm —— ах (Указание. Задача приводится к решению урав-
уравнения	2	у 2	/ \
щ = а ихх -пи	(*)
при граничных условиях и\х=о = ui, u\x=i = U2 и начальном условии
и|^=0 = ио(х). Решение этой задачи искать в виде u(x,t) = v(x) +
+ w(x,t), где v — решение уравнения a2v"{x) — h2v = 0, удовле-
удовлетворяющее заданным граничным условиям, а w(x,i) — решение
уравнения (*) при нулевых граничных условиях и начальном условии
Н*=о =и>о(х) -v(x).)]
h ch — (I — x) + h±a sh — (/ — x)	oo /2 , .2\
^^22 E ™^\}
2) «i 	^	j-}	^	 - 2Mla2
ft h M ft h M
h ch — + h±a sh —	n=i
a	a
, где /xn (n = 1,2,...) —
положительные корни уравнения tg Ifi = — ^- (Указание. Гра-
Граничные условия имеют вид и|ж—о = ^i, (иж + h\u)\x=i = 0. Решение
искать в виде u(x,t) = v(x) + w(x,t), где г?(ж) — решение уравнения
a2v"(x) — h2v = 0, удовлетворяющее краевым условиям г?|ж=о = Щ,
(vx + hiv)\x=i = 0, а w(x,t) — решение уравнения (*) (см. зада-
задачу 40.43, 1)) при условиях w\x=0 = 0, (wx + hw)\x=i = 0, ги|*=0 = -v(x).).
20.44.	Л^—	— Y, -т 1-ехр- — t sm ——.
/	7r3a2 7^1 n3 [	\ V / / J J	/
20.45.	1)ж-/ + - J(^TT	^^
2) ^cosx +- (e~8t-1) cos3x;	3) ж^
4) ж +1 sin ж + i A - e~8t) sin Зж; 5) tx2 + i (e4t -l)+t cos 2ж;
6) t + 1 + A - e"*) еж sin ж + ex~At sin 2ж.
20.46. 1) xt2 +ef + sint - cost-\-e~3t cos2x;
2) x2 + 2e9t + Bt - sin 2t) cos Зж;

270	Гл. VI. Смешанная задача
3) х + t2 + \ (еы - 1) cos х + \ A - e~3t) cos Зж;
СЮ
С2к-1 {1 e-6Bfe-D2*
4) *2* + х + Е r9fe_n2_e i1 " e-6^-1)^} sinB? - 1) x,
2
5) i(a; + 1) + e
сю
-2x V^
? ^ [1 e
{0,	если /;; = 2m,
1(И-Г + ИтТ + ^Ч)' если Л = 2m-1.
7Г \2m — 1 2m + l 2m —3/
20.47. 1) ¦— Y, dne~^na/R) ^sm —-, an = ruo(r) sin -5-dr;
—	0
2) ^S«n '1^; 2e-^/^sin^:, а„= f ru0(r) sin *f dr,
Kr n=i a{cr-\- ±) -\- fin	К	J	К
/in (n = 1, 2, 3,...) — положительные корни уравнения tg /л = — —,
a = hR- 1 (сг > -1);
hR2 °°	( , л2 nnr
r n=l	R
жительные корни уравнения tg fi — — —, a — hR —1 (a > — 1), /г —
коэффициент теплообмена в краевом условии [иг + /г(и — ^i)]|r=jR = О,
ап г= 	^-—^	•
л\	Я. (За2 j. 5г2-ЗЯ2 2R2\ ^ е-(«мп/яJ* ^
4) Uq -\	( 	t -\	I ) 	 8Ш 	 LLn [Tl =
kyR	10R	г J r^1 fin cos fin	R
= 1,2,3,...) — положительные корни уравнения tg fi — fi (Указа-
(Указание. Задача приводится к решению уравнения A4) (с. 258) при гра-
III	i	Q \
ничных условиях |u|r=o| < оо, ur\r=R = -f • )•
/v /
g f	WJ(i2+*2)
20.48. g f aifce-WJ(i2+*2)*sin ^ sin
sin —j- sin -p
4 p p
aJk = p JJ
00
Указание. Применить метод разделения переменных для урав-
уравнения щ = а2Аи при условиях и\х=о = u\x=i =
^|t=o =uo(x,y).
20.49. 1) Ae-(a^/flJ*Jof^;
2) M[	g J°(y/fi
n=l ^nJoyfJ'n)
ложительные корни уравнения Jo (/л) = 0;

§ 21. Другие методы
271
а„ц1
h /4
ТУ
j (»пг\	_ 1 f
JoUi' ""- J02(/in) У
rUn(r)x
х Jo(^~) dr, гДе l^n (п — 1,2,3,...) — положительные корни уравне-
ния /jlJq(ijl) + hRJo(ij) =0 (Указание. Граничные условия имеют
вид
20.50.	1)
2) (^-
20.51.	[/i
20.52.	1)
2) e-
, (ur + hu)\r=R = 0.).
+ ziD-^e-^+
+ МГ4(е"М?' " 1)]
§21. Другие методы
21.1. Доказать, что задача
utt = a2uxx, t > 0, ж > 0;
имеет единственное решение
и(хЛ) = <
0,
- а)'
х > at,
если 5 е С2 (t > 0), 5@) = g'@) = g"@) = 0.
21.2. Доказать, что задача
ии = а2ихх, t > 0, ж > 0;
ж=0 = 0
x+at
имеет единственное решение
1	1 " У
- [щ(х + at) + ио(ж - at)] + — J
u(x,t) =
x — at
at-\-x
+ at) -
- ж)] + —
x > at,
х < at,
at — x
если u0 G С2 (ж > 0), «iG С1 (ж > 0), ио@) = <@) = ui@) = 0.
Показать, что это решение можно получить из формулы Далам-
бера (с. 137), если функции щ(х) и т(х) продолжить нечетным
образом для х < 0.
21.3. Доказать, что задача
Uft = a uxx, t > 0, ж > 0;
м|г=о = 0, и/
имеет единственное решение

272
Гл. VI. Смешанная задача
О,
х > at,
/ ,\	I	t — x/a
U{X,t) = <	r
-a / д(т) dr, x < at,
l о
^(*>0)> ^@)=^'@) = 0-
21.4. Доказать, что задача
utt = a2uxx, t>0, x > 0;
u\t=o = щ(х), ut\t=o = ui(x), ux\x=q = 0
имеет единственное решение
- [^о(ж + at) + ^о(ж — at)] + — / m(^) d^, x > at,
1
u(x,t) =
x — at
- [щ(х + at) + uo(at - x)] +
1
2a
/
L о	о
если u0 G С2(ж > 0), ще Cx{x > 0), u'0@) = Ц@) = О. Пока-
Показать, что это решение можно получить из формулы Даламбера, если
функции щ(х) и т(х) продолжить четным образом для х < 0.
21.5. Доказать, что задача
utt = а2ихх, t > 0, 0 < х < /;
s=o = 0,
имеет единственное решение
°° г '. х 2nl\ -
„=о-	« ~^ :
=/ = 0
U
если geC2(t> 0), д@) = д'@) = д"@) = 0.
21.6. Доказать, что задача
utt = a2uxx, t > 0, 0 < ж < /;
u\t=o = uo(x), ut\t=o = m(x), u\x=o = 0,
имеет единственное решение
x+at
u(x,t) = - [й(х + at
- at)] + —
x — at
где функции йо(ж), 2i(x) — нечетные, 2/-периодические и совпадаю-
совпадающие с функциями щ(х), т(х) при 0 < х < I, если щ G С2[0,/],
т е С1 [o,q, wo@) = uo@ = wi@) = m(l) = <(o) = <(/) = о.

§ 21. Другие методы
273
В задачах 21.7-21.23 требуется доказать, что существует единст-
единственное решение поставленной задачи; найти это решение.
21.7. utt = a2uxx, t > 0, х > 0;
t=o = 0, ut\t=o = 0, (их - /Зи)\х=0 = g(t),
21.8.	utt = а2ихх, t > 0, x > 0;
гф=о = ^о(ж), ut\t=o = 0, (иж - /Зи)\х=0 = О,
Ti0GC2(a:>0), <@) -/3uo@) = 0.
21.9.	utt = а2ижж, t > 0, 0 < х < /;
=0 = 0,
^U=/= О,
g(Q)=g'(Q)=Q.
21.10. u« = а2ихх, t>0, 0 < ж < /;
21.11.
и0еС2([0,1}), иг еС1 ([0,1]),
ufo@)=uf1@)=ufo(l)=uf1(l) = 0.
2ижж, t > 0, 0 < х < /;
=о = 0, гл^и=о = 0,
g(O)=g'(O)=g»(O)=O.
21.12. ии = a2uxx, t > 0, 0 < ж < /;
u\t=o=uo(x),
и\х=о = 0,
g с1 ([о,г]),
21.13. ии = ихх, t>0, х > 0;
21.14.
21.15.
21.16.
ж + Ш2, t > 0, х > 0;
ж4, гб^=о =
x, t>0, x>0;
Ut\t=o =
>0, x>0;
= 0.
и\х=0 = t2.
u\x=0 =
u\x=0 =
u\t=o = x + cosx, гл^и=о = 1? ^ж|ж=о =
21.17. utt = uxxj t>0, x>0;
u\t=o = x, ut\t=o = l, ux\x=o = cost.
18 Под ред. B.C. Владимирова

274
Гл. VI. Смешанная задача
21.18. ии = $uxx + e*, t>0, ж > 0;
t=o = 1 + ж, ut\t=o =4- 3cos ^, ux\x=0 = 2 - cost.
о
21.19. utt = Зихх + 2A -
е~2х
, t > 0, ж > 0;
u\t=o = 1, ^|г=о = ж, (иж
21.20.	и** = ижж, t > 0, ж > 0;
м|г=о = 0, ^t|t=o = 05 (
21.21.	ии = ихх+4, t > 0, ж > 0;
гф=о = 1 -ж, ^|t=o = О,
=0 = -2 + t - At2.
+и)\х=о = -
21.22. utt =
t=0 = ж2
21.23.
ut\t=o = 0, (щ ~ u)\x=o = 2t- t2.
= uxx - 6, t > 0, ж > 0;
2)
t=o = x , гл^и=о = 0?
: 4ижж + 2, t > 0, ж > 0;
гф=о = 2 - ж,
^=o = 2, (u^ + Зиж)|ж=о = 3^ — el.
21.24. Найти наибольшую область, в которой поставленная зада-
задача имеет единственное решение, и найти это решение:
0 < ж < 2, и
t
х=0 —
0 < t < 2;
u\t=o = 2ж3, ut\t=o — 05 0 < ж < 4, и|^=зж — 05 0 < ж < 1.
21.25. Доказать, что задача
u^t = «2Au,
u\t=o = 0, ^|t=o = 0,
имеет единственное решение
. 0,	\х
u(x,i) =
х\ > 1,
если g е С2 (t > 0), ^@) = ^'@) = #"@) = 0- Показать, что ес-
если g(t) — финитная функция, то u(x,i) = 0 для любого фиксирован-
фиксированного ж, \х\ > 1, при достаточно больших t. В случае, когда g(t) ф 0
при 0<?<Т, ^(^)=0 при t > Т, найти момент времени ^ж, в
который через точку ж, |ж| > 1 пройдет задний фронт волны.
21.26. Найти решение задачи
ии = а2Аи, * > 0, |ж| > 1, х е R3;
u\t=o = а(|ж|), ut\t=o = /?(k|), гх||ж|=1 = 0,

§ 21. Другие методы
275
где а(г) еС2(г> 1), /3(r) е С1 (г > 1), аA) = 0, а"A) + 2а'A) = О,
/3A) = 0. Доказать, что если функции а (г) и /3(г) финитные, то
u(x,t) = 0 для любого фиксированного ж, |ж| > 1, при достаточно
больших t.
21.27. Найти решение задачи
R3;
u\t=o =
I	г»	^П
ut\t=0 = 0, ^
где д G С1 (t > 0), д@) = gf@) = 0.
Доказать, что если g(t) — финитная функция, то существует такая
функция с(ж), что |и(ж,?)| < с(ж) е~1, а для того чтобы u(x,t) = 0
для каждого фиксированного ж, |ж| > 1, при достаточно больших t,
сю
необходимо и достаточно, чтобы / etg(t) dt = 0.
21.28. Найти решение задачи
м« = Аи, t > 0,
"*|*=о=0(И), ^
= o,
С2 (г > 1),
Доказать, что если функции а (г) и /3(г) финитные, то существует
такая функция с (ж), что |и(ж,^)| < с(х) e~tJ а для того чтобы u(x,t) = 0
для каждого фиксированного ж, |ж| > 1, при достаточно больших ?,
сю
необходимо и достаточно, чтобы / rer[a(r) — /3(г)] б?г = 0.
21.29. Решить задачу	°
0,
Решить задачи 21.30-21.36.
21.30.	ut = a2uxx + f(x,t), t>Q
u\t=o = ио(х),
21.31.	ut = a2uxx, t > 0, ж > 0;
u|t=o = 0, г
21.32.	щ = а2ижж, t > 0, ж > 0;
t=o = щ(%) •)
-^)	= g(t),
С7П/||| 1
=0 = 0.
к = const.
ж=о — 0.
21.33. щ = а2ижж, t > 0, ж > 0;
u\t=o = 0, их\х=0 =g(t).
18*

276
Гл. VI. Смешанная задача
21.34.	щ = ихх, ? > О, ж > 0;
u\t=o = 0, (и- их)\х=о = 9(t).
21.35.	щ = а2ихх, ? > 0, ж > 0;
|ж=0 = 0, h > 0.
^ = 0, и\х=0 =
21.37. Решить задачу
щ = ol (ж) ихх, t > О,
где а(х) = а при ж < О, а(х) = 6 при ж > О;
= 0.
и\х=-о = U Ж=+О,	^ж ж=-0 = ^
Ответы к § 21
t-x/a
21.7.	О при х > at; -ae^x~a^ J eaf3rg(r)dr при х < at.
!	°
21.8.	- [щ(х + at) + ио(х - at)] при ж > at;
at — x
-[uo(x + at)+uo(at-x)]-f3e^x-aV [ uo(?) e^ d? при х < at.
21.9.
X
при ж < 0, /(ж) = —а / ^(r) dr при ж > 0.
0	ж+a
21.10. - [йо(х + at) +йо(ж - at)] + — /
=0
где функции
x — at
щ(х), ui(x) четные, 2/-периодические и совпадающие с функциями
^о(ж), щ(х) при 0 < ж < /.
*<О, g(t)=g(t), t>0.
~\. <~^	<~^	1 г <~^
21.12.	- [ио(х + at) + щ(х — at)] + — / ui(^)d^, где функции
x — at
йо(ж), Й1(ж) нечетные, совпадающие с функциями щ(х), щ(х) при
О < ж < /, а йо(ж — /), ui(x — I) —четные функции.
21.13.	ж2 +ж^ + ^2.

§ 21. Другие методы
277
21.14.	4?4 + 4t2x2 + -ж4 + sin 2t sin ж.
6	1	1
21.15.	9ж?2 + 27ж3 при ж > - t\ t3 + 27?ж2 при х < - t.
21.16.	x + t + t2 +cosxcos^.
21.17.	ж + ? при ж > t; 2t + sin (ж - t) при ж < ?.
21.18.
— 3sin? cos - при ж > 3t;
о
2ж + ef - 3 cos t sin - при ж < 3t.
21.19.	l + xt + t2e~2x.
21.20.	О при x>t; 1- - ef~x- -[sin(x-t) + cos(x-t)] при x<t.
1
21.21.	1 - ж + 2t2 при ж > t; 2t2 - t - - (ж - tJ + el~x при ж < t.
21.22.	ж2+?2.
21.23.	1) ж2 -2t2;
2) 2 + 2t - x + ^2 при ж > 2?; ж^ - ^ ж2 + 2е^ж/2 при ж < 2?.
21.24.	1) ж3 + Зж?2 при 0 < ж + t < 2, 0 < ж - t < 2; Зж2^ + ?3
при 0 < ж + ? < 2, -2 < ж - ^ < 0;
2) 2ж3 + 6ж?2 при 0 < ж + t < 4, 0 < ж - ^ < 4; (ж + fK + 8(ж - ^K
при 0 < ж + ^ < 4, -2 < ж - ^ < 0.
-1
21.25.	tx=T^
21.26.	-Ц [(|ж| + а^) а(|ж| + at) + (|ж| - а^) а(\х\ - at)] +
\x\+at
ц /
при \х\>1 + at;
\x\-at
-i-r [(|ж| + at) а(|ж| + at) - B - |ж| + at) aB - |ж| + at)] +
при К
21.27. О при
2—|
*+i-kl
JL e|^|-t-i Г eTg{r)dr
|ж|	У
при
21.28. -^| [(|ж| + t) a(\x\ + t) + (|ж| - t) а(|ж| - ;
|ж|+«
2-\X\+t
2-\x\+t
при

278
Гл. VI. Смешанная задача
21.29. О при \х
t+l-\x\
1 e(k+l)(\x\-t-l) J
при
exp
exp
4a (* ~
21.31. —-= / ^v з у exp^--—-dr.
2ал/тг У г3/2	[ 4a2r J
21.33.
a /* q(t — t)	f ж2 ] ,
	= / yv _ ; exp {--—-} dr.
л/тг J у/т	{ 4a2r J
21.34. *
0
2	*	°°	2
—=ex[g(t-T)eT f e~a2 da dr
л/7Г У	У
21-35-
exp -
и
X Г Q\t 	 Т)	I X	7Г \
V n	\	/
21.37.
(о + /ca) утг
- /
при ж < 0;
А;а
1 +
при

Дополнение
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЙ НЕКОТОРЫХ
ТИПОВЫХ ЗАДАЧ
§ 1. Метод характеристик
Задача 1. Найти решение задачи Коши для уравнения
У2иху + иуу	иу = 0	A)
в полуплоскости у > О, удовлетворяющее начальным условиям
и\у=1 = 1-х, иу\у=1=3.	B)
Решение. Сначала найдем общее решение уравнения A) в
полуплоскости у > 0. Для этого приведем уравнение A) к канони-
каноническому виду. Характеристическое уравнение —y2dxdy + {dxJ = 0
распадается на два уравнения dx = 0, —y2dy + dx = 0, для которых
х = С, Зх — у3 = С являются общими интегралами. Следовательно, в
уравнении A) нужно сделать замену переменных ? = ж, rj = Зх — у3.
Тогда % = -3y2Ur,, иху = -Зу2и^ - 9у2иГ]Г], иуу = 9у4иГ]Г] - буи^ и
уравнение A) приводится к каноническому виду щ^ = 0. Интегрируя
это уравнение, находим и = /(?) + #G7) = /(ж) + #Cж - у3).
Теперь воспользуемся начальными условиями B):
f(x)+gCx-l) = l-x,
-Зд'Cх - 1) = 3.
Решая эту систему, получаем f(x) = 2х + С, д(ж) = —х — С. Следо-
Следовательно, решением задачи A), B) является функция
и{х, у) = 2х + С + (-Зж + у3 - С), т. е. и(ж, у) = у3 - х.
Задача 2. Найти решение задачи Гурса для уравнения
ихх + Зижу - 4иуу - их + иу = 0	A)
во всей плоскости, удовлетворяющее условиям
Чз/=4Ж = 5ж + еж, ^=_ж = 1.	B)
Решение. Найдем общее решение уравнения A). Характерис-
Характеристическое уравнение (dyJ — 3dxdy — 4(dxJ = 0 распадается на два
уравнения dy + dx = 0, dy — 4dx = 0, для которых у + х = С,

280	Дополнение
у — 4ж = С являются общими интегралами. Заменой переменных ? =
у -\- х, г] = у — 4ж уравнение A) приводится к каноническому виду
и^	Urj = 0. Интегрируя это уравнение, находим
о
и = /(ту) е~^ъ + д(О = f(y - 4ж) е~^+х^ъ + д(у + ж).
Воспользуемся условиями B):
f(O)e~x +gEx) = 5ж + еж,
C)
/(-5ж)+#@) = 1.
Решая эту систему, получаем f(x) = 1 — g@), д(х) = х + еЖ//5 —
-/@)е~ж/5. Следовательно,
и(х, у) = [1 - 0@)] е-(ж+2/)/5 + х + у + е(ж+2/)/5 - /@) е-(ж+2/)/5.
Учитывая, что из системы C) при х = 0 следует равенство /@) +
= 1? окончательно находим решение задачи A), B): и(х,у) =
Задача 3. Найти решение смешанной задачи для уравнения
utt ~ ^ихх = 6xt	A)
в области х > 0, ? > 0, удовлетворяющее условиям
u\t=o=x3, ut\t=o = 0, u\x=0=t3.	B)
Решение. Общее решение уравнения A) имеет вид u(x,i) =
= f(x + 2t) + д(х - 2t) + xt3. Из условий B) получаем
f(x) +g(x) = ж3, ж > 0,
Г(х)-д'(х)=0,	х>0,	C)
Из первых двух уравнений этой системы находим /(ж) = - ж3 + С,
д(х) = - ж3 — С, ж > 0. Подставляя найденную функцию /(ж) в тре-
3
тье уравнение системы C), получаем д(х) = - ж3 — С, ж < 0. Следо-
8
вательно, решением задачи A), B) является функция
- (ж + 2tK + - (ж - 2tK + xt3, ж > 2?,
u(x,t) = )
I «л/ | ?и Ь )	|	I «л/	?и Ь )	| «л/ (/ •	«л/ — ?j и •
. 2	8
Задача 4. Найти решение смешанной задачи для уравнения
Lift У^жж — ^	V /
в области ж > 0, t > 0, удовлетворяющее условиям
u\t=o = ж + ж , ^г|г=о — — Уж , (и — иж)|ж—о = t — 1. B)

§ 2. Метод разделения переменных	281
Решение. Общее решение уравнения A) имеет вид u(x,i) =
= /(ж + St) + g(x — St) + t2. Из условий B) получаем
f(x) + g(x) = x + ж3,	х > О,
3/'(я) - 3?'(я) = -9ж2,	ж > О,	C)
fCt) + 0(-3t) - /'Ct) - g'(-3t) = -1, * > 0.
Из первых двух уравнений этой системы находим /(ж) = - х + С,
1
д(ж) = - ж + х3 — С, ж > 0. Подставляя найденную функцию f(x) в
2	11
третье уравнение системы C), получаем gf(x) — g(x) = С + - — - ж,
откуда #(ж) = Cie^ + - ж - С, ж < 0. Из условия непрерывности
1
функции д(ж) при ж = 0 находим С\ — 0, т. е. д(х) = - ж — С, ж < 0.
Следовательно, решением задачи A), B) является функция
()	, ж
u(x,t) = <
1 + г,	ж
§ 2. Метод разделения переменных
Задача 5. Решить смешанную задачу для неоднородного уравне-
уравнения гиперболического типа
utt-uxx = 2t, 0<ж<1, ^>0	A)
при начальных условиях
гф=о = 0, ut\t=o=x	B)
и граничных условиях
и\х=о = 0,	^ж|ж=1=^	C)
Решение. Подберем сначала такую функцию w, чтобы она
удовлетворяла граничным условиям C). Пусть, например, w = xt.
Тогда Wu — wxx=0, w\t=o = 0, Wt\t=o=x. Следовательно, функция
и (ж, t) = u(x, t) - xt	D)
удовлетворяет уравнению
vtt ~ vxx = 2t,	E)
однородным граничным условиям
vU=o = 0, г;я|я=1=0	F)
и нулевым начальным условиям
4=о = 0, vt\t=0 = 0.	G)
Применяя метод разделения переменных для решения однородного
уравнения vu — vXx = 0 при условиях F), G), положим v(x,i) =
= Х(х) T(t). Приходим к следующей задаче Штурма-Лиувилля:

282	Дополнение
Х"(х)+Х2Х = 0, Х@)=0, Х'A)=0.
Решая эту задачу, находим ее собственные значения Лп = — + тгп,
п = 0,1,2,...,и соответствующие собственные функции
Хп(х) = sinAnx.	(8)
Решение задачи E)-G) ищем в виде ряда
сю
v(x,t) = ^Tn(?) sinAnx,	(9)
где
гп(о) = о, г;(о) = о.	(ю)
Подставляя v(x,t) из (9) в E), получаем
сю
Y,(Tn(t) + %Tn(t)) sm\nx = 2t.	A1)
n=0
Для нахождения функций Tn(t) разложим функцию 1 в ряд Фурье
по системе функций (8) на интервале @,1):
сю
1 = ^2ansm\nx.	A2)
Так как	п=0
1	1
/ sin2 \nx dx = -, то ап = / sin \nx dx = —,
J	2	J	Хп
О	О
и из A1) и A2) получаем
г;'(*) + A'Tn(t) = i^-.	A3)
An
Общее решение уравнения A3) имеет вид
Тп (t) = ^ + A sin Xnt + Б cos Xnt.
Используя условие A0), получаем 5 = 0, А = — 4/А^. Подставляя
Лп Лп
в формулу (9) и используя D), находим искомое решение зада-
чиA)-C):
и = xt + 4: У^ — (An? - sin An^) sin Апж,
где Ап = - + тгп.
Задача 6. Решить смешанную задачу для неоднородного уравне-
уравнения параболического типа
Ut-Uxx=t(x + 1), 0 < х < 1, ?>0	A)
при начальном условии
«|*=о = 0	B)
и граничных условиях

§ 2. Метод разделения переменных	283
ux\x=0 = t2, u\x=1=t2.	C)
Решение. Функция w = xt2 удовлетворяет краевым услови-
условиям C), уравнению Wt — wxx = 2xt и начальному условию w\t=o = 0.
Поэтому функция
v = и- xt	D)
удовлетворяет уравнению
Щ ~ vxx = (l-x)t	E)
и условиям
v\t=o = 0, vx\x=0 = 0, v\x=1 = 0.	F)
Применяя метод разделения переменных для решения однородного
уравнения vt — vxx = 0 при условиях F), положим v = X(x)T(t).
Получим задачу Штурма—Лиувилля
Х"(х)+\2Х(х)=0, Х/@)=0,
собственными значениями которой являются числа Ап =	Ь тгп,
п = 0,1,2,...,а собственными функциями — функции
Решение задачи E), F) ищем в виде
сю
v(x,t) = ^Tn(?) cosAnx.	(8)
Подставляя v(x,t) из (8) в уравнение E), получаем
сю
Разложим функцию 1 — х в ряд Фурье по системе функций G) на
интервале @,1):	^
1 — ж = V^ an cos Апж.	A0)
Так как
/2
A — х) cos \nxdx = —-,
о
то из (9) и A0) находим
Решением уравнения A1) при условии Тп@) = 0 является функция
Tn(t) = 2А~ (еГ п + Xnt — l).	A2)
Из D), (8) и A2) находим решение задачи A)-C):
сю
и = xt2 + 2 ^^ А~6 (е~Л«* + А^ - 1) cos Апж,
где Ап = Ц- + тгп.

284	Дополнение
§ 3. Интегральные уравнения с вырожденным ядром
Задача 7. Решить интегральное уравнение
7Г
(р(х) = Л / (х sin у + у cos x) (f(y) dy + a sin x + Ъх	A)
— 7Г
при всех допустимых значениях а, 6, Л.
Решение. Обозначим
7Г	7Г
Ci = у sin у - (р(у) dy, С2 = J y<p(y) dy;	B)
— 7Г	—7Г
тогда уравнение A) примет вид
(р(х) = ACix + AC2 cos ж + a sin ж + 6ж.	C)
Из B) и C) получаем
7Г
d = f sin ^/ (\С\у + ЛС2 cos ?/ + a sin 2/ + fa/) cfa/,
—	7Г
7Г
С2 = J у (ХСгу + \С2 cosy + asiny + by) dy,
—	7Г
откуда находим
Ci = ACi • 2тг + атг + 2тг6,
Г ХГ 2^Ч 9 -и ь2^	D)
О2 = AGi ——h a • 2тг + 6 ——.
о	о
Систему D) запишем в следующем виде:
CiA-2ttA) =атг + 2тг6,
2^3 2^36	E)
-A— Ci + 62 = 2атг Н	—.
Определитель А (А) системы E) равен А (А) = 1 — 2тгА. Если А (А) ф О,
т.е. А/ —, то система E) имеет единственное решение при любых а
h-
И 0:	ап + 2пЬ	2тг3А(а7г
^ = 3A-2.А)
Подставляя Gi и С2 из F) в C), найдем при х ф — единственное
2тг
решение интегрального уравнения A).
Пусть А = —, тогда система E) примет вид
2тг
d - 0 = (а + 2Ь) тг,
-у Ci + С2 =
Система G) имеет решение тогда и только тогда, когда выполняется
условие

§4- Вариационные задачи	285
а + 26 = 0.	(8)
Условие (8) является необходимым и достаточным условием разре-
разрешимости уравнения A) при Л = —. Здесь — — характеристическое
число интегрального уравнения
7Г
(р(х) = А / (х sin у + у cos х) ip(y) dy.
— 7Г
Общее решение однородной линейной системы
Сг • 0 = 0,
соответствующей системе G), имеет вид
С\ — С, С2 = — С,
где С — произвольная постоянная.
В качестве частного решения системы G) можно взять
Поэтому общее решение системы G) имеет вид
Ci=C, С2 = уС + атгB-^).	(9)
Подставляя С\ и С2 из (9) в C), найдем все решения уравнения A)
при Л = — при условии (8). Эти решения можно записать формулой
( \	(л а\	\А^	(л ^Yl
ip(x) = [A——JX+ —	hall —— 1 cos ж + asm ж,
где А — произвольная постоянная.
§ 4. Вариационные задачи
Задача 8. Найти минимум функционала
dx2	A)
(jr
среди функций, принадлежащих классу G1(G), где G = {1 < \х\ < 3},
()
Решение. Известно, что существует функция г?о
G G1(G), дающая минимум функционалу A). Функция Vo(x) является
решением краевой задачи
Аи = -, ^||ж|=1 — ^||ж|=з — 0;
записав лапласиан в полярных координатах, получим

286
Дополнение
(rury = 2, и\\х\=1 = и\\х\=3 = 0.
B)
Решением краевой задачи B) является функция vo = 2(г — 1) — -—- In r.
Так как vq не зависит от у?, то
|grad^o|2 =
Тогда
dv0
4
2тг 3
О 1
с* Г (л	16 , 16 ! , о	о 16 1 А л
= 2тг / 4г - -— + —2-г - + 8г - 8 - —- In г) dr =
У V	In 3 In 3 г	In 3 /
Итак, минимум функционала A) равен 32тг (	1J.
\ 1П о	/

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1.	Арсенин В. Я. Методы математической физики и специальные функ-
функции. — М.: Наука, 1974.
2.	Беклемишев Д. В. Курс аналитической геометрии и линейной алгеб-
алгебры. — Изд. 8-е. — М.: Физматлит, 2000.
3.	Владимиров В. С. Уравнения математической физики. — Изд. 5-е. —
М.: Наука, 1985.
4.	Владимиров В. С, Жаринов В. В. Уравнения математической физи-
физики. — М.: Физматлит, 2000.
5.	Михайлов В. П. Дифференциальные уравнения в частных производ-
производных. — Изд. 2-е. — М.: Наука, 1983.
6.	Никольский С. М. Курс математического анализа. — Изд. 5-е. — М.:
Физматлит, 2000.
7.	Романко В. К. Курс дифференциальных уравнений и вариационного
исчисления. — М.-СПб.: Физматлит. Невский Диалект. Лаборатория
Базовых Знаний, 2000.
8.	Сидоров Ю. В., Федорюк М. В., Шабунин М. И. Лекции по теории
функций комплексного переменного. — Изд. 3-е. — М.: Наука, 1989.

Учебное издание
ВАШ АРИН Анатолий Алексеевич
ВЛАДИМИРОВ Василий Сергеевич
КАРИМОВА Хуршит Хусниевна
МИХАЙЛОВ Валентин Петрович
СИДОРОВ Юрий Викторович
ШАБУ НИН Михаил Иванович
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО УРАВНЕНИЯМ
МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
Редактор Е.Ю. Ходан
Корректор Л. Т. Варъяш
Оригинал-макет Л. К. Попковой
ЛР №071930 от 06.07.99. Подписано в печать 27.08.04. Формат 60x90/16.
Бумага офсетная №1. Печать офсетная. Усл. печ. л. 18. Уч.-изд. л. 19,8.
Заказ №
Издательская фирма «Физико-математическая литература»
МАИК «Наука/Интерпериодика»
117997 Москва, Профсоюзная, 90
E-mail: fizmat@maik.ru, http://www.fml.ru
Отпечатано с готовых диапозитивов
в ФГУП «Ивановская областная типография»
153008, г. Иваново, ул. Типографская, 6
E-mail: 091-018adminet.ivanovo.ru