Н. А. БРАЖНИЧЕНКО, В. Л. КАН,
Б. Л. МИНЦБЕРГ, В. И. МОРОЗОВ,
Г. Н. УШАКОВА

Сборник задач
по теоретической
механике

Издание второе,
переработанное и дополненное

Допущено
Министерством высшего и среднего
специального образования СССР
в качестве учебного пособия
для студентов высших технических
учебных заведений

ИЗДАТЕЛЬСТВО
«ВЫСШАЯ ШКОЛА»

Москва — 19В7
УДК 531

( 531

С—232

Рецензент
кафедра теоретической механики МВТУ
им. Баумана.

2-4-2
72-67
ПРЕДИСЛОВИЕ

Настоящий сборник задач предназначается в качестве
учебного пособия по теоретической механике для втузов
как дополнение к общеизвестному сборнику задач проф.
И. В. Мещерского и охватывает все темы учебной про-
граммы, рассчитанной на 200 — 220 часов.

В начале каждой главы (иногда в начале соответству-
ющего параграфа) приводятся основные формулы и урав-
нения, которые избавляют учащихся от необходимости
обращаться к другим источникам. Разумеется, наличие
какого справочного материала не исключает необходи-
мости глубокого изучения теории.

В соответствующих местах сборника даются методи-
ческие указания к решению задач, приводятся подробные
решения 122 типовых задач. Все задачи, за исключением
задач по расчету ферм и графическому исследованию
плоских механизмов, снабжены ответами.

Авторы благодарны рецензентам профессору Н. В. Бу-
тенину и доценту Н. Н. Никитину, кафедрам теоретиче-
ской механики Московского высшего технического училища
им. Баумана, Николаевского кораблестроительного инсти-
тута, Северо-Западного заочного политехнического инсти-
тута, а также Р. И. Шкадову за ряд существенных замечаний
и полезных советов, внесенных при рецензировании книги
и подготовке ее к печати. Особую признательность авторы
выражают доценту А. Ф. Захаревичу за ценные указа-
ния, сделанные им при редактировании книги.

Во второе издание книги внесены следующие изменения:
условий всех задач (как цифровых, так и буквенных)
приведены в соответствие с Международной системой еди-
ниц (СИ);
исправлены замеченные опечатки;

уточнены решения ряда задач;

введен новый параграф «Движение материальной точки
в центральном силовом поле».

В подготовке книги ко второму изданию активное
участие принимала Г. Н. Ушакова. В связи с этим она
включена в число авторов второго издания книги.

Авторы выражают глубокую благодарность всем лицам,
приславшим свои замечания и рекомендации, которые
возникли у них при чтении книги.

Авторы
ЧАСТЬ ПЕРВАЯ

СТАТИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА

ОБЩИЕ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ
СТАТИКИ НА РАВНОВЕСИЕ

Наиболее общим методом решения задач статики на равнове-
сие является аналитический метод.

Под равновесием твердого тела понимают состояние покоя
тела по отношению к окружающим его телам. Уравновешенность
сил, приложенных к свободному твердому телу, является необ-
ходимым, но не достаточным условием равновесия самого тела.
В покое твердое тело будет находиться лишь в том случае, если оно
было в покое и до приложения к нему уравновешенной системы сил.

Применяя аналитический метод решения, полезно придержи-
ваться следующего порядка. Прежде всего надо ясно понять
смысл задачи: установить, что задано и что требуется определить.
Затем следует иллюстрировать задачу чертенком. После этого
необходимо:

выявить объект (тело или точку), равновесие которого следует
рассматривать;

показать на чертеже задаваемые силы, приложенные к этому
объекту;

установить связи, непосредственно наложенные на тело, осво-
бодить тело от связей и изобразить на чертеже реакции отбро-
шенных связей;

проанализировать полученную систему сил (задаваемых и
реакций) с точки зрения расположения их линий действия в про-
странстве, установив тем самым число уравнений равновесия;

выявив число неизвестных в задаче, установить ее статичес-
кую определимость;

выбрать оси координат и составить уравнения равновесия
рассматриваемого тела под действием всех сил, в том числе и
реакций связей;

решить эти уравнения относительно тех неизвестных, которые
требуется определить по условиям задачи.

Уравнения равновесия лучше решать в общем виде. Найдя
ответ в виде некоторой формулы, выражающей искомую вели-
чину через заданные, следует, не производя числовых расчетов,
проверить правильность полученной величины с точки зрения
размерности. После пересчета всех данных в какую-нибудь одну
систему единиц можно приступить к числовым расчетам. При
расчетах рекомендуется пользоваться счетной логарифмической
линейкой.

В дальнейшем на конкретных примерах показано, как сле-
дует решать задачи статики на равновесие твердых тел.

В большинстве задач статики нельзя заранее указать не
только величину, по и направление той или иной реакции связи.
В таких случаях неизвестную реакцию разлагают на составля-
ющие, направленные вдоль соответствующих осей координат, и
вводят в уравнения равновесия в качестве неизвестных эти соста-
вляющие.

Если в результате решения уравнений величина какой-нибудь
из составляющих окажется отрицательной, то это означает, что
данная составляющая реакции в действительности направлена в
сторону, противоположную положительному направлению оси.
В тех случаях, когда истинное направление реакции не вызы-
вает сомнения, лучше, не считаясь с принятым направлением
оси, направлять реакцию в ту сторону, в которую она действует.

Если по условию задачи требуется определить действие тела
на какую-нибудь связь (давление, нат'яжение нити, усилие в
стержне и т. д.), то в уравнения равновесия следует вводить по-
прежнему реакцию связи. Искомая сила будет равна по вели-
чине и противоположна по направлению этой реакции.

В статике приходится иногда решать задачи на равновесие
нескольких тел, каким-либо образом связанных между собой. В
данном случае для каждого тела в отдельности составляются
уравнения равновесия с учетом сил, с которыми действуют друг
на друга тела, входящие в систему. Эти силы попарно равны
по величине и противоположны по направлению.

В некоторых случаях удобно рассматривать равновесие всей
системы связанных между собой тел как единого твердого тела
(что возможно на основании принципа затвердевания) и равно-
весие только некоторых из входящих в систему тел.

При определении усилий в стержнях жесткой идеальной кон-
струкции рекомендуется пользоваться методом сечений, предпо-
лагая при этом, что перерезанные стержни растянуты. Вследствие
этого реакции таких стержней будут, направлены в сторону
отброшенной части конструкции. Если в результате решения
задачи величина какой-нцрудь из реакций окажется отрицатель-
ной, то это означает, что соответствующий стержень в действи-
тельности сжат.

Иногда при решении задачи требуется знать какую-нибудь
величину, не заданную условиями задачи, например угол или
длину. В этих случаях данную величину необходимо обозначить
6
какой-нибудь буквой и ввести ее в уравнения равновесия. Если
в ходе решения задачи введенная величина не исключается, то
ее надо выразить через заданные величины.

В отделе «Статика» приняты следующие основные обозначения:

f, Q, Р, G и др. — силы;'
Fx, Fy, Fz — проекции силы
Г на координат-
ные оси Ох, Оу,
Oz;

f— коэффициент
трения покоя и
скольжения;

fc — коэффициент
трепня качения;

Л4, т — момент пары;

Мо — главный момент
относительно
центра О',
т0 (О — алгебраический
момент силы F
относительно
центра О;

то (^) — векторный мо-
мент силы F
относительно
центра О',
tnz(F) — момент силы(Л)
относительно
оси Oz;

N — нормальная ре-
акция;

q — интенсивность
распределенной
нагрузки;

F— главный вектор;

FA— полная реакция
опоры А;

Sx, Sy — статические мо-
менты площади;

S, Г — усилие в стерж-
не, натяжение
троса и др.;

ХА, УА, ZA—составляющие
полной реакции
RA, направлен-
ные по осям Ох,
Оу, Oz;

х, у, z — координаты то-
чек приложе-
ния силы;

ГС> У С’ гс — координаты
центра тяжести;
о — угол трения.
ГЛАВА I

СИЛЫ, СХОДЯЩИЕСЯ В ОДНОЙ ТОЧКЕ

Уравнениями равновесия твердого тела, находящегося под
действием сил, сходящихся в одной точке, являются

= 2^.v = °; 5^г = 0;	(1.1)

ft=l	fe=l

В (1.1) входят как силы задаваемые, так и реакции связей,
наложенных на тело. Если на тело действуют сходящиеся силы,
лежащие в одной плоскости, то уравнений равновесия будет два.

При решении некоторых задач можно использовать теорему
о трех силах:

Если твердое тело находится в равновесии под действием
трех сил и линии действия двух из этих сил пересекаются, то
линия действия третьей силы проходит через эту точку пересе-
чения, и все три силы лежат в одной плоскости.

Если на покоящееся тело наложены связи с трением, то к
уравнениям равновесия с учетом сил трения следует присоеди-
нить дополнительное условие

F^fN,	(1 2)

где f — коэффициент трения скольжения при покое,

N — величина нормальной реакции.

Задачи на равновесие твердого тела под действием системы
сходящихся сил можно решать геометрическим и аналитическим
методами. Первым методом удобно пользоваться лишь для плос-
кой системы и особенно в тех случаях, когда общее число сил,
действующих на тело, равно трем. При равновесии тела треу-
гольник, построенный на этих силах, должен быть замкнутым.

Аналитическим методом можно пользоваться также и для
пространственной системы сил при любом числе сил При этом
следует иметь в виду, что общее число неизвестных в задаче
должно быть не больше трех для пространственной системы
сходящихся сил и не больше двух для плоской системы сходя-
щихся сил.

§ 1. Плоская система сходящихся сил

Задача 1. Груз весом Р (рис 1 ,а) подвешен на гибком
нерастяжимом тросе ОМ, отклоненном от вертикали на угол а, и
удерживается в равновесии при помощи другого гибкого нерас-
тяжимого троса MtAM2, охватывающего идеальный блок А и
несущего на свободном конце груз А43 Считая, что при равно-
весии участок троса МГА горизонтален, определить величину Q
веса груза Л12 и натяжение троса OMlt Размерами груза и
весом тросов пренебречь.

Решение. Рассмотрим равновесие груза Задаваемыми си-
лами являются вертикально направленная сила Р и горизон-
тально направленная сила 7\, равная по величине весу груза Q,
так как идеальный блок А изменяет только направление силы.

На груз Мг наложена связь, осуществляемая тросом ОМг.
Освободим его от связи. Реакция связи 7\ направлена по тросу
вверх. Таким образом, груз ЛГ находится в равновесии под
действием плоской сходящейся системы трех сил P,Tt й Т3,
причем T<i = Q (рис. 1,6).

Решим эту задачу двумя способами- геометрическим и ана-
литическим.

Геометрический способ Поскольку точка Mi находит-
ся в равновесии под действием трех сил, то силовой треугольник,
построенный на этих силах, должен быть замкнутым (рис 1,в).
Построение силового треугольника следует начинать с заданной
силы Р. Изобразив вектор Р, проводим через его начало и конец
прямые, параллельные направлениям сил Л и Т2. Точка пересе-
чения этих прямых определит третью вершину силового тре-
угольника. Ориентация всех векторов должна быть такова, чтобы
силовой треугольник был замкнутым. Это дает возможность про-
верить правильность направления неизвестных реакций.

Из силового треугольника находим

Таким образом, вес Q груза Л'1>, равный Т3, будет
Q = Ptga,
а натяжение троса ОМ,

Аналитический
следует выбирать так,
простейший вид. Этого

численно равно

Т — Р

1	COS а'

способ. Выберем оси координат. Их-
чтобы уравнения равновесия имели наи-
можно добиться, проводя оси перпенди-

кулярно неизвестным силам, при этом оси могут оказаться неор-
гогональными (оси Муу и M^y'Y Обычно пользуются ортогональными
осямщ Проведем ось Муу перпендикулярно неизвестной силе Та,
а ось Mix—горизонтально.

Система приложенных сил Р, Т,,	— плоская

система, для которой имеют место два уравнения
В задаче две неизвестные величины: Т1, и Т2, т. е.
тически определима.

Составим уравнения равновесия в форме (1.1):

= Л — Ti sin 7 = 0;

2^=7, cos a— P — Q.

Отсюда находим

Т,=— ; r2=T1sina=Ptga.

COS а *	4	1	ъ

сходящаяся
равновесия,
задача ста-

Если воспользоваться осями М2у и Муу', то получим

cos а — Р = 0;

^Fkv' = Тз cos а — Р sin а — 0.

В каждое из этих уравнений входит только по одному неиз-
вестному, что упрощает их нахождение.

Задача 2. Однородный цилиндр А весом Р и радиусом г
(рис. 2,а) опирается на гладкую поверхность цилиндра В радиу-

Рис. 2

сом R, и удерживается в равновесии при помощи нити CD дли-
ной I, расположенной в поперечной плоскости симметрии. Опре-
делить натяжение нити и реакцию цилиндрической поверхности.
Решение. Рассмотрим равновесие цилиндра А. На него дей-
ствует сила Р, направленная вертикально вниз. Связями явля-
-ются гладкая цилиндрическая поверхность В и нить CD. Осво-
бодимся от связей. Реакция N (рис. 2,6) цилиндрической по-
верхности направлена по общей нормали к цилиндрам и, следо-
вательно, проходит через точку Oj. Реакция Т направлена по
нити CD. Поскольку на цилиндр А действуют три силы, то на
основании теоремы о трех силах, их линии действия должны
пересекаться в точке О,. Следовательно, цилиндр А при равно-
весии займет такое положение, при котором нить CD будет
являться продолжением его радиуса.

Построим силовой треугольник (рис. 2,в). Этот треугольник
подобен △OOjC. Из подобия треугольников имеем

Т _ Р N
COt со ~~ ОО(
или

Г _ Р _ ТУ
I -|“ г 7?	-j~ г

Отсюда находим

=	А = Р.

Аналитический метод для этой задачи привел бы к более гро-
моздким вычислениям.

Задача 3. Прямоугольная пластина со сторонами АВ = а и
ВС = b (рис. 3,а) шарнирно закреплена в вершине В, а верши-

ной А опирается на гладкую вертикальную стену ЕЕ. Пренебре-
гая весом пластины, определить реакции стены и шарнира, если
к вершине С пластины подвешен груз М весом Р.

Решение. Рассмотрим равновесие пластины. Задаваемой силой
является вес груза Р. Связями являются стена ЕЕ и шарнир В.
Реакция NA (рис. 3,6) гладкой стены направлена по нормали
к стене, реакция RB шарнира В заранее по направлению не опре-
делена. Поскольку пластина находится j равновесии под дейст-
вием трех непараллельных сил Р, NA, RB, то на основании тео-
ремы о трех силах заключаем, что линии действия этих сил
должны пересекаться в одной точке К — точке пересечения ли-
ний действия сил Р и NA. Тем самым вполне определяется линия
действия реакции RB. Для нахождения величин реакций следует
использовать условия или уравнения равновесия.

Решим задачу геометрическим способом. Составим силовой
треугольник (рис. 3,в). Он должен быть замкнутым. Для постро-
ения силового треугольника отложим от произвольной точки О
вектор Р, из его начала О и конца Ь проведем прямые, парал-
лельные линиям действия сил RB и NA. Пусть S — точка пересе-
чения этих прямых. Тогда LS — NA, SO~RB. Опустим из точки В
перпендикуляр ВТ на прямую АК, получим

следовательно,

или

/\ВТК^ &OLS,

OL ~LS — §2
вг~тк кв

вт~~ тк~~ вк'

(а)

Из /\.АВТ находим

ВТ = АВ sin а = а sin а,

где 7 — угол, составленный стороной АВ с горизонтом. Отре-
зок ТК является проекцией отрезка ВС, следовательно,

ТК = ВС sin а = b sin а.

Далее,

В к = V (ВТУ~У(ТКУ =	s in я.

Подставляя эти величины в (а), имеем

Р ___ У ___________У>.____

а sin а Ъ sm а yas + &г sm а ’
откуда

А а ’ о а

Заметим, чю величины реакций не зависят от угла на-
клона я.
Задача 4 (рис. 4). При съеме крышки корпуса турбины тре-
буется, чтобы она все время находилась в горизонтальном поло-
жении. В приспособлении, показанном на рисунке, горизонталь-
ность крышки достигается при помощи винтовых стяжек. Опреде-

лить усилия ТАВ и Т,

возникающие в стяжках АВ и СВ, если вес
крышки турбины 6 кн, а = 20°, 0 = 30°.

Ответ: Т—2,68 кн;

Тсв = 0,02 кн.

Задача 5 (рис. 5). Пассажирский
реактивный самолет движется равно-

СВ’

Рис. 5

мерно прямолинейно и поступательно под углом 8 = 25° к гори-
зонту. Сила тяги, равная по величине 100 кн, образует с напра-
влением движения самолета угол а = 5°. Определить величину
равнодействующей Q аэродинамических сил и угол у, составляе-

мый ею с направлением полета в момент, когда
вес самолета равен 200 кн.

Ответ: Q— 1001^3 =173,2 кн;

7 = 95°.

Задача 6 (рис. 6). К наивысшей точке глад-
кого неподвижного шара радиусом г ~6 см
прикреплена упругая нить, естественная (не-
напряженная) длина которой / = 3 см, а коэф-
фициент жесткости с— 100 н/см (т. е. для удли-
нения ее на 1 см необходима сила в 100 н).
После того как к нити была подвешена тя-

желая материальная точка, центральный угол а, соответст-

вующий дуге охвата нити, стал равным Найти вес точки и

давление, оказываемое ею на шар.

Ответ: Р —	—^- = 28,3 н;

ЯП а	’

N = c-&——=24,5 н.
tga

Задача 7 (рис. 7). Однородная цилиндрическая труба радиу-
сом г и весом 2Р подвешена горизонтально на двух тросах, охва-
тывающих трубу и расположенных в вертикальных параллель-
ных плоскостях симметрично относительно среднего поперечного
сечения трубы, как показано на рисунке. Определить усилия
в каждой части троса, если длины хорд, соответствующих дугам
охвата троса, равны Ь.

Рг

Ответ. Т —	•

Задача 8 (рис. 8). Подъемный кран АВО удерживается в рав-
новесии тросом ВС. Определить натяжение троса, а также вели-

Рис. 1

чину и направление реакции шарнира О, если вес подвешенного

груза М равен Р. Часть

ОВ стрелы вертикальна, а трос яв-
ляется продолжением АВ. Даны разме-
ры: АВ — а, ОВ = Ь, АО = с. Весом
стрелы пренебречь.

Ответ. Т = “-Р- Rn = crP.
О v и

Реакция Ro направлена по пря-
мой О А.

Задача 9 (рис. 9). Брусок АВ дли-
ной I, на конце которого прикреплен
груз М весом Р, опирается в точке А
на гладкую вертикальную плоскость,
а в точке С — на уступ. Определить,

пренебрегая весом бруска и трением, реакции опор и расстояние
АС при равновесии, если брусок образует с горизонтом угол а.

Ответ-. NA = Р tg а; Nc =

АС = 1 cos'2?..

Задача 10 (рис. 10). Судно стоит
на якоре. В точке А находится
скоба якоря, а в точке В — клюз
(отверстие в корпусе судна для
якорной цепи). Определить натя-
жения якорной цепи у скобы (Тд)
и у клюза (Тв), если вес Р цепи в
касательной, проведенной к цепной

Рис. 10

воде равен 2 кн, угол между
линии в точке А, и гори-
зонталью а = 10°, а угол между касательной в точке В и гори-
зонталью ^ = 45°.

Ответ-. ТЛ = -^Ц = 2,47 кн-	7'с ==3,43 кн.

л Stn(₽ —а) ’	’	Л ып('з —а)

Задача 11 (рис. 11). Судно стоит на якоре. Вес якорной цепи
в воде равен Р и действует по прямой, находящейся на расстоя-
нии I от клюза А. Разность высот между точками А и В равна h.

Рис. И

Рис. 12

Определить натяжения якорной цепи в точках А и В, а также
угол а, составленный касательной к цепи в точке А с горизон-
том, считая касательную в точке В горизонтальной.

Ответ: a==arctg*; Tx = !-L±A_p;	р

Задача 12 (рис. 12). Определить наименьшую величину гори-
зонтальной силы Q, которую надо приложить к верхней грани
кубического ящика весом Р при кантовании его по горизонтальной
поверхности. Чему равно давление D на упор в начале кантования?

Указание. В начале кантования на ящик действуют только три

Силы: Q, Р, Ra~ — D, которые должны пересекаться в одной точке.

р

Ответ: Q = 2 ; D =

Задача 13 (рис. 13). Воздуш-
ный шарик А с подъемной силой Q

удерживается невесомым тросом ОА длиной 1 и относится вет-
ром на расстояние ОВ — а. Определить натяжение Т троса и
силу F ветра, считая ее горизонтальной. Размерами шарика и
его весом пренебречь.

Ответ: Т =

IQ

У Р — а2

У Р — а3

Задача 14 (рис. 14). Теплоход ошвартован у бочки, удержи-
ваемой при помощи якорной цепи. Определить натяжения ТА

2
швартовного троса и Тв якорной цепи в точках А и В, если
бочка погрузилась в воду до половины и имеет форму цилиндра,
диаметр которого 1,2 м, длина 2 м, вес 3 кн. Удетьный вес
воды 10 кн/м\ а = 60°, р = 15°.

Ответ: ТА = 27,8 кн-, Тв = 31,0 кн.

Задача 15 (рис. 15). Шарнирный стержневой треугольник АВС

может свободно вращаться

вокруг горизонтальной оси, проходя-
щей через точку А. На стержне ВС
укреплен груз М весом Р. Опреде-

лить

в

условиях равновесия уси-

Рис 16

лия, возникающие в стержнях

АВ и

АС в зависимости от угла р,
с вертикалью, если угол при

образованного перпендикуляром AD

вершине А равен 2а и АВ — АС. Весом стержней пренебречь.

Ответ: ТА13 = Ь^=^~Р-,	=

лв sm 2а ’	sm 2а

Задача 16 (рис. 16). Точка М весом Р удерживается в рав-
новесии на внутренней гладкой поверхности полусферы с помощью
груза весом Q. Определить давление N точки на сферу и угол а,
образованный радиусом ОМ с горизонталью. При каком соотно-
шении между величинами сил Р и Q возможно равновесие?

cos а	2	4P	’

Задача 17 (рис. 17). К точке М весом Р, находящейся на
шероховатой кривой, уравнение которой y — sinx, приложена
сила Q, направленная по касательной
к кривой вверх. Определить вели-
чину этой силы, если точка находится
в равновесии при х=х|(. Коэффи-
циент трения равен /. Считать, что
при отсутствии силы Q равновесие
не имеет места.

Решение. Возможны два случая:
1) при отсутствии трения точка
стремится сдвинуться вверх;

2) при отсутствии трения точка стремится сдвинуться вниз.
Рассмотрим первый случай. На точку М, находящуюся в рав-
новесии, действуют силы Р п Q. Точка не свободна, связь осу-
ществляется шероховатой кривой. Применяя принцип освобож-
даемое™, введем реакции отброшенной связи: нормальную реак-
цию N и касательную реакцию—-силу трения Fip, направлен-
ную по касательной к кривой вниз.

Примем оси ни т за оси координат и напишем уравнения
равновесия

= — N + Р COS а = О,
£Fkz =Q — FTV~P sin я = О,
где а — угол наклона касательной к оси Ох, причем
. dy I	„	cos .г,	1

Б dx	‘	J I Leos1’a0	/14-cos*a-,.,

Присоединяя к полученным уравнениям неравенство

P^fN,
которое должно иметь место при равновесии, найдем
Q^P (sin cos я)
или

Q	p

1 “4 cos x:,

Во втором случае сила трения /?тр направлена по касатель-
ной вверх. Уравнениями равновесия будут

N — Pcosa —0;	Q-4-FTp — Р sin я — 0,

откуда

Q Р (sin a — f cos об.

Заменяя sin a и cos a их значениями, получим



(COS Х,—/) p
К I 4-COS*A (J

Итак, равновесие точки будет при условии

COS Xf, —/	Q COS Хп 4- f

JA1 4~cosl'ao Р |/14~cos2at,

Задача 18 (рис. 18). Шарик М весом Р находится на внут-

ренней поверхности неподвижной полусферы. Определить, прене-

брегая размерами шарика, наиболь-
ший угол а, образованный вертикалью
с прямой, проходящей через центр О
и шарик М, при котором послед-
ний может находиться в равновесии,
если коэффициент трения скольже-
ния равен f. Трение качения не учи-
тывать.

Рис. 18

Ответ: а = аге tg f.
Задача 19. Судно при спуске на воду движется по наклон-
ным спусковым путям. Определить необходимый угол наклона
путей, если коэффициент трения / = 0,087.

Ответ: а 5= 5°.

Задача 20. Катер весом 5 кн с железным килем надо пере-
двинуть по деревянному горизонтальному настилу при помощи
троса, составляющего угол 15° с горизонтом (коэффициент тре-
ния между килем и настилом равен 0,6). Можно ли использо-
вать для этого трос, выдерживающий нагрузку в 2,5 кн?

Ответ: нельзя.

Задача 21 (рис. 19). Тело Л1 весом Р лежит на наклонной
шероховатой плоскости, образующей с горизонтом угол а. К телу

прикреплен трос, огибающий идеальный блок О и несущий на
своем конце груз весом Q. Определить наибольшее значение Q
при условии равновесия тела, если угол трения равен 'р(у>а),
а участок троса ОМ горизонтальный.

Ответ: Qmax = P tg (® — а).

Задача 22 (рис. 20). Плита А весом Р удерживается в рав-
новесии на наклонной шероховатой плоскости при помощи двух
одинаково нагруженных тросов (один из ко-
р торых показан на рисунке). Определить веса
X грузов Qi =Q.3 = Q, действующих на тросы,
если угол трения равен <?, угол наклона
плоскости к горизонту равен а, участок тро-

Уп ’ха са АВ горизонтален, <р<Ся-
1	р	р

-------Г------ Ответ: tg (а — ?)sCQ«S2 tg(a-|~<?).

Задача 23 (рис. 21). Определить вели-

Рис. 21 чину силы Р, необходимую для удержа-
ния в равновесии тела А весом Q на на-
клонной плоскости при заданных углах а и р и угле трения <р,
считая а^><р.

Ответ:

Задача 24 (рис.22). На наклонной плоскости, образующей с гори-
зонтом угол а, находится груз А весом Q. Определить величину
наименьшей силы Р и угол р, под которым ее надо приложить,
чтобы сдвинуть груз вверх, если коэффициент трения равен /.
Какое при этом давление D будет оказывать груз на плоскость?

Ответ: p = arctg/; Р . =^50sa+sin_l)n;

*	° '	111111	у/ । । ye

Г) (cos a— /Sina) п

1 -|-Г

Задача 25 (рис. 23). Ползун А весом Р удерживается в рав-
новесии на вертикальном стержне с помощью нити, перекинутой

через идеальный блок В и натягиваемой грузом. Определить вес
груза Q, если коэффициент трения ползуна о стержень равен [,
а угол, образованный тросом со стержнем, равен а. Считать, что

при отсутствии груза Q равновесие не имеет места.
р	р

Ответ: ------j—?---- г; О т------— .

COsa-j-/sma	COS a—/ Sill я

Задача 26 (рис. 24). Точка А весом Р находится в равнове-
сии на внутренней шероховатой поверхности полусферы. Определить
при данном угле а величину наименьшей

силы Q, которую надо приложить к точке,
как указано на рисунке, чтобы привести
ее в движение, если коэффициент трения
/ = tg<p, причем	Блоки считать

идеальными.

Ответ: Q sin(? —О р
cos ’

Рис. 24

Задача 27. На шероховатой кривой, расположенной в верти-
кальной плоскости, находится тяжелая точка. Определить область
изменения аргумента х, соответствующую равновесному положе-
нию точки, если коэффициент трения / = 0,5, а кривая задана
Уравнениями:

1. y =

3. y — cosx(o^x-^^

5. у — 2x2(x2s0).

2. у = х1 — Зх(0-'х«--3)

4. у — х’’ (хэ=0).

6. у= 1 — е А (х-=; 0).
Ответ: 1. "	'• 2. 1,25	1,75.

3. O==sx=C^-. 4. 0-м хм: 0,409.

5. Ойх<‘-. 6. xS=0,693.
о

Задача 28. В конструкции, изображенной на рис. 25,а, стер-
жень АВ образует с вертикалью угол а, а стержни DC и ЕС -
углы Считая все соединения стержней шарнирными и прене-

брегая весами стержней, определить усилия в стержнях, если
стержень ВС горизонтален, а к узлу В приложена вертикальная
сила Р.

Решение. Рассмотрим равновесие узлов В и С в отдельности;
сначала—равновесие узла В (рис. 25,6). На этот узел дейст-
вует задаваемая сила Р. Связями, наложенными на узел В, яв-
ляются стержни АВ и ВС. Освобождаем узел от связей. Реак-
ции отброшенных связей, направленные по стержням АВ и ВС,
обозначим через Твл и Твс. Так как точка В под действием
трех сил Р, ТВА и Твс находится в равновесии, треугольник,
построенный на этих силах (рис. 25,в), должен быть замкнутым.
Из этого прямоугольного треугольника находим

Т*с = Р^.

Рассмотрим теперь равновесие узла С (рис. 25,г). На этот
узел действуют сила Тсв ——Твс (причем 7’св==7'вс) и реакции
стержней CD и СЕ, направленные по этим стержням. Обозна-
чим их соответственно через TCD и ТСЕ и предположим, что
стержни растянуты.

Направив координатные оси Сх и Су соответственно по гори-
зонтали вправо и по вертикали вверх, имеем следующие уравне-
ния равновесия узла С:

— ?св + ^cos’n Р~г ^CBsin ? =

T^cosp — 7’t£ cos — 0.
Из второго уравнения получим
^CD — Т'сЕ’

следовательно,

2Tcd s'n ? = 2^c£ s’n ? — T'cb — tg a.

Отсюда находим

'Т'	__ 'Г ___Р tg a

1 CD— 1 СЕ— 2 sin •

Так как величины всех реакций оказались положительными,
то все стержни действительно растянуты.

Усилия в стержнях В А, ВС, CD v<CE по величине соответ-
ственно равны модулям реакций ТВА, Твс, TCD, ТСЕ, но проти-

воположны им по направлению.

Задача 29 (рис. 26). К узлу А равносторон-
него шарнирного треугольника АВС приложена
вертикальная сила Р. Треугольник удерживается
в равновесном положении стержнями BE и CD.
Определить усилия во всех стержнях, если
стержень АС горизонтален, а стержни BE и
CD вертикальны. Весом стержней пренебречь.

Ответ: Твс —	г	2/3’  з	Р-,
тАС=	р.  3	’	Тве = 2Р‘,

Задача 30 (рис. 27). Стержневая система A BCD закреплена
шарнирно в неподвижных точках A щ D. В узлах В и С дей-
ствуют вертикальные силы Р и Q. Определить соотношение

между величинами этих сил при равновесии системы и усилия
в стержнях, если 3 = f = a.

Ответ: $ = cos 2a; ТАВ = Р cos a; Твс = Р sin a; TCD = Pcos a.

Задача 31 (рис. 28). К бочке В, на которую действует гори-
зонтальная сила Е, прикреплен якорь А с помощью троса АВ.
С целью увеличения сопротивления, оказываемого якорем, в не-
которой точке М троса подвешивают дополнительный груз. При
этом часть троса АМ располагается горизонтально, а угол, со-
ставленный с горизонтом касательной в точке М к части троса МВ,
равен р. Определить наименьший вес G груза, натяжения троса

в точках М и
ной к тросу в

В, угол а, составленный с горизонтом касатель-

точкс В,
«

а также величину Q силы плавучести,
действующей на бочку, если вес части
МВ троса в воде равен Р.

Ответ: G = Ftg^; Q~P -J-FtgP;

TB^VM + (P + Ftg№.

Задача 32 (рис. 29). Гладкий шар
радиусом R и весом Р, касаясь’ верти-
кальной стены, покоится на горизон-

тальном полу. С какой силой F следует прижать к нему брусок
высотой h, чтобы шар приподнялся над полом?

Ответ: F^>

PV2Rh — Л2
R — h

(считать h<^R).

Задача 33 (рис. 30). В прессе с приводом от шарнирного че-
тырехзвенника определить силу Q, сжимающую тело М в поло-
жении, когда звено АВ горизонтально, звенья ВС и BD обра-

зуют с вертикалью углы а = 60э и р = 30° соответственно, а вдоль
звена АВ от кривошипа ОА действует сила Р. Весом стержней
пренебречь.

Ответ: Q —

Задача 34 (рис. 31). В шарнирной стержневой конструкции,
расположенной в вертикальной плоскости, стержень ВС горизон-
тален, стержень СЕ вертикален, а стержни АВ и CD парал-
лельны друг другу и составляют с горизонтом углы а. Опреде-
лить усилия в стержнях, пренебрегая их весом, если к узлу В
подвешен груз М весом Р.

Ответ: ГВА=^-; Твс = — Pctgy,

— \ ТСЕ = —Р-
Sin а сс

T'cD---

Задача 35 (рис. 32). Стержневой шарнирный прямоугольный
треугольник АВС закреплен в точке В, а вершиной С- опирается
на подвижную опору. Определить уси-

лия в стержнях и давление на опору С,
если вес груза D равен Р, угол, со-
ставленный тросом и стержнем АВ,
равен а, /_АСВ = 3. Весом стержней
и тр'ением на блоке пренебречь.

Ответ: ТАВ = — Pcos»;
________________Р sm а .
св cos fl ’

7\c = Psina; Nc — P sin a tg p.

Задача 36. Определить усилия в
Стержнях и реакцию шарнира А в стерж-

Рис. 32

невой системе, изображенной на рис. 33, если Z. DC А = X. САВ —

= АВ = АС, а на узел В действует вертикальная сила Р.
Считать все соединения шарнирными, весом стержней пренебречь.

Ответ: 7?л=]/2 Р; (рА, АВ)TDC = P;

TBC = V2 Р-, TAlj — TA(:—-P.

Задача 37. В стержневой системе, изображенной на рис. 34,
шарнир С неподвижен, стержни АВ и DC горизонтальны,
а стержни AD, ВС и трос АЕ вертикальны АВ — ВС— AD = DC.

На узел В действует горизонтальная сила Р: Определить
Усилия в стержнях и тросе, а также величину реакции шарнира С,
считая все соединения шарнирными и пренебрегая весом стержней.

Ответ: /?с=|'2 Р\ ТАЬ = ТАп — ТB^ = TCD~ Р\
тАВ=0; Tbd=-PV2.
Задача 38. На узел D фермы, изображенной на рис. 35, дей-
ствует горизонтальная сила Q. Определить усилия в стержнях и
реакции шарнира А и подвижной опоры В, если AC = CB = 2CD
Весом стержней пренебречь.

Ответ-. ТАС = ТВС^=-^,	Твй = Ц®--

'г ___	1^5 Q _ гр __л. р ____Q. п ____ j/17 Q

1 AD--4 ,	1 cd —	— 4 , Ад------.

Задача 39. В стержневой шарнирной системе, изображенной
на рис. 36, стержни АВ и CD вертикальны, стержень ВС гори-

зонтален, шарниры А и D неподвиж-
ны. На узел В действует сила F,
параллельная стержню АС. Пренебре-
гая весом стержней, определить воз-

Рис. 3.1

никающие в них усилия и величину реакции шарнира А, если
/ ВС А = а.

Ответ.: ТAB = Fsin а; Твс =— Feos а;

Тдс = F; Тсо = — F sin а;

/?A = FF14-3sinJa.

Задача 40. В прессе, изображенном на рис. 37, найти силу,
действующую на тело Т, если к вертикальному штоку АВ при-

Рис. 37

Рис. 33

ложена сила Р. Углы, образованные одинаковыми распорками DC,
СЕ, МК, MN с вертикалью и стержнями ВС, ВМ с горизон-
талью, равны а = 5°. Весом распорок и штока пренебречь.

Ответ: S =	=
Задача 41 (рис. 38). Узел D шарнирной стержневой конст-
рукции нагружен силой Р, направленной вертикально вниз. Пре-
небрегая весом стержней, определить реакции шарнира А и под-
вижной опоры В, а также усилия во всех стержнях, считая их
одинаковыми по длине. _

„	„ 2Р|ЛЗ т РУз	рУз

Ответ: ТDB =------3—;	TDC = -^—;	Гсл = -^—;

РУз . т _ руз _зр „ __Р
1 св~ з > 1 ав— 6	"в—2”, «д — 2-

Реакция RA направлена вертикально вниз.

Задача 42 (рис. 39). На ферму в узлах Си Е действуют силы
Р и Q, направленные вертикально вниз. Определить усилия

в стержнях и реакции опор, если	CAF = 903, £DEF = v..

Весом стержней пренебречь.

Ответ: TBC — Q<A.gtr, TCF=TDF=0:

ТAF=TEF—~ Q cig Tac = -(P + Q)-
tcd=tde=^, RA=V(PToy+Qr^.

Задача 43 (рис. 40). Шарнирная стержневая конструкция удер-
живается в равновесии стержнями АВ, CD, СЕ. Узлы L и К
нагружены силами Р и Q. Определить усилия в стержнях, пре-
небрегая их весом.

Ответ: TLK=~^- TLA = ^- tka = P^-QV2-,
+ taf=0: 7>c = -(q + p-4I);

Tac = 2P + QV2: TAB = 2Q-y^fi-

TCD = -(Q-yPV2)- TCE = ^.

Задача 44 (рис. 41). Шарнирная стержневая конструкция
ABCED укреплена при помощи неподвижного шарнира Е и троса
ВОС, перекинутого через идеальный блок О. Узел А нагружен
вертикальной силой Р. Определить натяжение Т троса и усилия
в стержнях, пренебрегая их весом.

Ответ-. Т — РУ2\ Твс — Тbd — Tdc = 0;

'^de~'^ad= Р* Тсе~Тав~рУ%.

Задача 45 (рис. 42). На звенья А и В пружинного аморти-
затора, служащего для смягчения толчков, действуют силы’ Pi

Рис. 41	Рис. 42

и причем Pt = Pi — Р. Определить, какова должна быть жест-

кость пружины с (сила, потребная для деформации пружины на
единицу длины), для того чтобы равновесие имело место при
а = 60°, если при а —180° пружина не напряжена. Трением и
весом деталей пренебречь. Принять АС =
---------------= AD — СВ — BD — I.

Ответ: с = ~	.

Задача 46 (рис. 43). Два шарика А и В
весом Pi и Р3, соединенные между собой
невесомым жестким стержнем, находятся в
Рис. 43	положении равновесия внутри гладкой сфе-

рической неподвижной чаши радиусом R.
Определить давления Nt и N% шаров на чашу, усилие Т, возни-
кающее в стержне, и угол а, образованный стержнем с горизонтом,
если длина стержня 21. Размерами шаров пренебречь.

лл	'Т'	COS (3	D	Л 7	COS я у.

Ответ: Т — =7—- Р.;	=

SIH fl	sm?

Л, cosap =	---

Sin? - b	i/^-_p(ps + Pi)’

где cos P = .
i\

§ 2. Пространственная система сходящихся сил

Задача 47. Бочка А весом Р=3 кн (рис. 44, а) удерживается
от сноса течением при помощи двух якорей В и С, лежащих на
одной глубине. Объем подводной части бочки V = 0,33 л3; удель-
пый вес воды 7 = 9,81 кн!м\ Якорные тросы, принимаемые пря-
молинейными, образуют между собой угол р = 90° и лежат в пло-
скости, наклоненной к горизонту под углом а = 60°. Определить
натяжения тросов п величину горизонтальной силы Q, обуслов-
ленной течением воды, если эта сила лежит в вертикальной пло-
скости, делящей угол р пополам.

Решение. Рассмотрим равновесие бочки А. На нее действуют
подъемная сила F—V'(— Р = 0,33-9,81 — 3 = 0,24 кн, направ-
ленная вертикально вверх, и горизонтальная сила Q (рис. 44, б).
Связями, непосредственно наложенными на бочку, являются
тросы. Реакции связей, направленные по тросам, обозначим через
Г, и 7’,

Силы, F, Q, Ft и Т.2 можно ввиду малости размеров бочки
считать пересекающимися в одной точке А. Поэтому мы имеем
дело с равновесием твердого тела под действием пространственной
системы сходящихся сил, для которой имеют место три уравнения
равновесия. Неизвестных в задаче три: Т}, Тг, Q, т. е. задача
статически определимая. Начало координат поместим в точке А —
точке пересечения линий действия всех сил. Ось Ах направим
параллельно ВС, ось Ау— по линии действия силы Q, ось Аг—
вертикально вверх.

Составим уравнения равновесия бочки. Имеем *

Sin 45° — Tgsin 45° = 0;

= 7'1 cos 45° cos 60° + T2 cos 45° cos 60° — Q = 0;

XFkz = F — 1\ cos 45° sin 60° — T2 cos 45° sin 60° = 0.

* При проектировании сил Tl и 7'2 на оси Ау и Az применен метод
Двойного проектирования. Например, для того чтобы найти Т1у, следует
(ввиду того, что угол между Т2 и осью Ау неизвестен) сначала спроекти-
ровать силу 1\ на какую-либо плоскость, содержащую ось Ау (в данном
Из первого уравнения

найдем

Л =

В соответствии с этим из

третьего уравнения получим

Л = 7\ =

о-----... . лпт- = 0,19 кн.

2 cos 45 sin 60

Подставив значения 7\ и Тг во второе уравнение, имеем

Q = 27 cos 45° cos 60° = F ctg 60° = 0,14 кн.

Натяжения тросов равны по величине найденным реакциям, но
направлены противоположно.

Задача 48 (рис. 45). Шар А весом 5 кн и объемом 0,7 мя удер-

живается в подводном
С, D, расположенных

Задача 50.

Чаша

положении при помощи трех якорей В,
на одной глубине на одинаковых расстоя-
ниях друг от друга. Определить натяжение
каждого троса, если они образуют с верти-
калью углы в 45°. Удельный вес воды
10 Кн/л!3.

Ответ,'. 7 = 0,943 кн.

Задача 49. В условиях задачи 48 тросы
АВ м АС расположены в вертикальной пло-
скости, а трос AD образует с ними равные
углы. Найти усилия в каждом тросе, если все
они образуют с вертикалью углы, равные 45°.

Ответ: ТАВ = ТАС = 1,414 кн\ TAD = 0.
весов подвешена на трех нитях равной

длины I. Точки, в которых нити прикрепляются к чаше, являются
вершинами равностороннего треугольника, вписанного в окруж-
ность радиусом 7?. Определить натяжения нитей, если в середину
чаши положен груз весом Р. Весом чаши пренебречь.

Ответ: Т = —..

3 /Za — А3 •

Задача 51. В гладкой полусфере радиусом г находится одно-
родный равносторонний треугольник со стороной а и весом Р.
Определить давления вершин треугольника на сферу при его гори-
зонтальном равновесном положении.

Ответ: N — —~==г.

3 рЗг3 — а2

случае выгодно проектировать на плоскость yz). При этом получим вектор,
R

направленный по биссектрисе угла р и равный по величине TjCos-^-. Полу-
ченный вектор следует спроектировать на ось Ду. Получим Т1у = 1\ cos X
X cos а = П cos 45° cos 60°. Аналогично находятся другие проекции.
Задача 52. К бочке весом 2 кн, стоящей на якоре, прикреп-
лены тросами (швартовами) две шлюпки. Вследствие действия
ветра и течения якорная цепь и швартовы натянуты. Якорный
трос образует с горизонтом угол 60J и лежит в вертикальной пло-
скости, которая делит угол между швартовами, равный 60°, по-
полам. Удельный вес воды равен 10 кн/м1.
Определить натяжение Т якорного троса
и натяжения и 7\ швартовых, если объем
подводной части бочки равен 0,250 м\

Ответ: 7Й = 7\=167 н; Т = 577 н.

Задача 53 (рис. 46). К вершинам А и
В однородной квадратной пластины весом
Рик середине Е ее стороны CD шар-
нирно прикреплены невесомые стержни,
соединенные в точке О. Принимая, что
плоскость ОАВ перпендикулярна плоско-
сти пластины, 2. ВОА =90° и ОА=ОВ,

определить усилия в стержнях, которые возникнут, если систему
подвесить шарнирно в точке О.

~	- P/То	р

Ответ: Т0Е—	,	1 ов—1 ОА— 4 .

Задача 54 (рис. 47). К вершине С треножника ABCD прило-
жена сила Р — 2 кн, лежащая в вертикальной плоскости CDE и
образующая с вертикалью угол а = 30°. Определить усилия в ногах
треножника, если углы ^ = 45°, у = 30".

Ответ: TDC — —1,153 кн; ТАС = ТвС —— 0,816 кн.

Задача 55 (рис. 48). Крышка паровой турбины весом 15 кн
поднимается равномерно лебедкой. Ходовой конец троса состав-
ляет с горизонталью угол а = 45°.
Оттяжки СВ и DB лежат в гори-
зонтальной плоскости и образуют
углы с вертикальной плоскостью

АВЕ, равные 45°. Определить усилия в стреле и оттяжках,
если угол у между стрелой и свешивающейся частью троса ВК
Равен 30°. Блок В считать идеальным.

Ответ: Твл = —29,6 кн; TBC = TBD= 2,95 кн.
Задача 56. Груз весом 900 н подвешен на трех одинаковых
пружинах, концы которых закреплены в вершинах горизонтального
равностороннего треугольника со сторонами, равными 401^3 см.
Если груз поместить в центре этого треугольника, то пружины
придут в естественное ненапряженное состояние. Какова должна
быть жесткость с (см. задачу 45) этих пружин для того, чтобы
удержать в равновесии груз, опущенный на 30 см от плоскости
треугольника? Размерами груза пренебречь.

Указание. Сила в пружинах выражается формулой

Е = с(/-10),

где I — длина напряженной пружины;

/0 — ее естественная длина.

Ответ: с = 50 н'см.

Задача 57 (рис. 49). На гладкой наклонной плоскости, обра-
зующей с горизонтом угол а = 60°, лежит тело М весом Р=1кн.

От скольжения оно удерживается двумя веревками АМ и ВМ,
расположенными вдоль плоскости и образующими с линией наи-
большего ската МЫ углы = 30° и у = 60° соответственно. Найти
давление тела на плоскость и натяжения веревок. Размерами тела
пренебречь.

Ответ: ;V = Pcosa = 500 н;

г Ртяц=750

Sin (? + 7)

Р sin a sin 3
sin (3 + 7)

н;

434 н.

Задача 58 (рис. 50). Определить усилия, возникающие в стерж-
нях АВ и ВС и в горизонтальном тросе BE кран-балки АВС,
если груз Р весом 10 кн поднимается посредством троса, пере-
кинутого. через блок В и блок D, находящийся на середине от-
резка АС; А АВС = L DBE = 30°. Весом стержней и размерами
блоков пренебречь. Блок В считать идеальным.

Ответ: ТВЕ= 17,3 кн;

Тца = Тпс — ~ 15>6 кн-
Задача 59 (рис. 51). Электрический заряд пренебрежимо малого
веса находится в центре О куба. В двух соседних вершинах А
ц В нижнего основания помещены одноименные с ним заряды
et = e и е2 = 2е. Какие одноименные заряды нужно поместить

в двух остальных вершинах ниж-
него основания и в центре верх-
него основания, чтобы силы, дей-
ствующие на заряд, находящийся
в центре, уравновешивались?

Примечание. Силы отталки-
вания, действующие между зарядами,
пропорциональны их величинам, об-
ратно пропорциональны квадрату
расстояния между ними и направлены
по прямой, соединяющей заряды.

Решение. Ребро куба и вели-
чина заряда в точке О не даны.
Обозначим их соответственно
через а и q. Другие неизвестные
заряды обозначим через е3, е4, е8.
Силы взаимодействия направле-
ны по прямым О А, ОВ, ОС,

Рис. 51
систему, для которой
Неизвестных в задаче

OD, 00i- Данная система сил
образует пространственную сходящуюся
имеют место три уравнения равновесия.

три: е3, е4, е5, т. е. задача статически определима.

Для удобства проектирования поместим начало координат в О,
ось Oz направим по OOt, а оси Ох и Оу расположим в плоско-
стях АОС и BOD соответственно. Тогда, обозначив силы взаимодей-
ствия между зарядами через F\, Fit F3, F\, F3, получим, что силы F\
и F3 лежат в плоскости xOz, а силы F\ и F\ — в плоскости yOz.

Углы, образованные силами Л, /Д F3, с горизонтальной
плоскостью, равны между собой. Обозначив их через а, из пря-
моугольника AAiCtC имеем

АС ,/~2	. СС. 1

cosa = ^- — I/	511151=-^=-—

ACt V 3’	ACt |/ з •

Величины сил:

р — ei4 _ 4g(?.

1-~ (ОД)8 “За2’

Р ___ esq ____8eq'

ДЙ?)8 'За8’
р ___ e%q	 о

3~~	(ОС)2	—'	За2	’

р =	e*q	—-4М.

4	(ОО)2	За2	’

р _ е-.Я _____

8 ~ (ОО,)2 а2 •
Составим уравнения равновесия заряда, находящегося в точке О:

Vр = — У t COS a -J- F.> COS а — — 1 COS а 4" 4,;COS а = 0;

I	За2 I 3<j“

УFk, = Ft COS a — Fi COS a — If 1 COS а —	cos а = 0;

*“ -•	4	За2	За*

— F\ sin а-f- F3sin	sin a-|- /4sin a — Fs =

__ 12л? 4-4M+ 4^9 fiin„ 4M n
За2	a2

Из первого уравнения получим е3 — е. Из второго уравнения
находим е4 = 2е. Подставляя значения щ и е4 в третье уравнение,
найдем

2е

Заметим, что величины а и q не вошли в ответ. Поэтому их
и не следовало задавать.

Задача 60. В трех вершинах основания правильной треуголь-
ной пирамиды, боковые ребра которой наклонены к основанию
под углами, равными 60°, помещены одинаковые заряды е. Неко-
торый четвертый одноименный заряд помещен на высоте пирамиды
на расстоянии одной ее трети от основания. Какой пятый заряд
нужно поместить в вершине пирамиды, чтобы четвертый заряд
находился в равновесии? Весом зарядов пренебречь.

Примечание. Сила взаимодействия одноименных зарядов равна —,
где г — расстояние между ними, и направлена вдоль прямой, их соеди-
няющей.

„	Зе

Ответ: ев = -

Задача 61. Решить предыдущую задачу, считая, что боковые
ребра пирамиды образуют с основанием углы, равные а, а отрезки,
соединяющие вершины основания с зарядом, помещенным внутри
пирамиды, образуют с основанием углы, равные 8.

,	3 sin 3 • sin2 (a — 3)

Ответ: е. =---------5----— е.

°	cos- a

Задача 62. Стержневая система состоит из шести шарнирно
соединенных между собой стержней, расположенных по ребрам
и диагоналям куба, как показано на рис. 52, а. Узел D нагру-
жен силой Q, направленной вдоль диагонали LD. Узел С нагру-
жен вертикальной силой Р. Шарниры L, В, Н закреплены. Опре-
делить реакции стержней и опор, считая стержни невесомыми.

Решение. Рассмотрим сначала равновесие узла D, так как
в нем сходятся три стержня (рис. 52, б). Применяя метод выре-
зания узлов и обозначив реакции перерезанных стержней, которые
предполагаются растянутыми, через TDC, TDBt TDfI, будем иметь
следующие уравнения равновесия этого узла:

— Тус ~г TDB cos 45° Т DH cos 45° = 0;

XFky = — TDB cos 45° + Q cos 45° = 0;

= — TDH cos 45° Q cos 45° = 0.

Из этих уравнений получим

Тун = Т dB — Q\ Т Dc — Q ]/"2.

Составим теперь уравнения равновесия узла С (рис. 52,1 в)
в проекциях на те же координатные оси:

%Fkx = -TCD~TCL^==0-,

£Fkv = Тсв TCL —?= = 0;

= -tch-tcl^—p=o.

При проектировании силы TCL имелось в виду, что

cos (TCL, х) = — cos (£ CLM) == —	— pU- и т. д.

2 Н А. Бражниченко и др

33
Учитывая теперь, что TCD = TDC, найдем

TCL = -TCDV3 = QV6-

Tcb = -QV2-, Tch = -QV2~P.

Таким образом, стержни СВ и СН сжаты. Реакция опоры L
равна по величине TCL, т. е.

7?£ = Q]/6.

Для определения реакций опоры В (рис. 52, г) составим урав-
нения равновесия узла В под действием сил TBD =—TDB,
ТВс ~ ТСв и RB

Z^ = XB-TBDcos45° = 0;

Vfky = YB + TBD cos 45° + TBC = 0;

S^=zB=o.

Учитывая, что T BD = TDB; Т1!С = ТСВ, найдем
у ____________Q V 2 . у __Q |/ 2 _	„ _P

лв— 2 ’ 1B— 2 ’ ^B—U'

Следовательно,

RB=v X*B-[-Y*B + Zb = Q.

Для определения направления RB находим
cos(R^ х) = ^=Ь^-;
cos (iQ y) = ^-=Xb

cos (RB, z) = 0.

Следовательно, RB лежит в плоскости xy и составляет с осями х
и у углы, равные 45°.

Для определения реакции RH составляем уравнения равнове-
сия узла Н (рис. 52, г):

kX = Хц THD cos 45° = 0;

%Fky=YH = 0-,

=	THC + THD cos 45° = 0.

Отсюда

XH = ^- YH = 0-, ZH = P + ^.

Величина реакции RH будет

7?„=/Q8 + P’ + r2PQ.
Задача 63. Стержневая система состоит из шести шарнирно
собой стержней, расположенных, как пока-

соединенных между

зано на рис. j>3. На узел А дей-
ствует сила F, а на узел В —
сила Q. Определить усилия в
стержнях, пренебрегая их весами,
и величины реакций неподвижных
шарниров.

Ответ-. TAD=0; ТАЕ= — РУ2-,
'^ab = ^> ТВЕ= Q’,
Tbd = -FV2- tbc = f-

RC = F-, Rn = Fy 2\

Рис. 53

Задача 64 (рис. 54). Определить
усилия в стержнях и величины
реакций опор в стержневой кон-
струкции, считая все соединения шарнирными и пренебрегая ве-
сами стержней. Узлы А и В нагружены силами Р и Q = 2P
соответственно.

Ответ: Тас = —РУ2-, Tad==pV2- Тав = - Р-
ТВС = РУЗ-, ТВЕ=—Р; TDB = P-,
RD = VbP- Rc—Р\ Re=P.

Задача 65 (рис. 55). Определить опорные реакции и усилия
в стержнях пространственной шарнирной стержневой конструк-

ции в виде правильной пирамиды, ребра которой наклонены
к основанию под углом а. Верхний узел 4 нагружен вертикальной
силой Р, а вершины В, С, D находятся на гладкой горизонталь-
Цой плоскости. Весами стержней ’пренебречь.
Ответ: ТАВ — ТАС— TAD—	3 sm а;

T'bd ~ Твс ~ Tcd“	i NB = Nc = Nd — -j.

Задача 66. Шарнирный стержневой треугольник ЛВС удержи-

вается в положении, изобра-
женном на рис. 56, при по-
мощи пяти стержней, сое-
диненных с треугольником
и горизонтальным потолком
при помощи шарниров. Пло-
скости равносторонних тре-
угольников DAE и FBG
перпендикулярны к плоско-
сти треугольника АВС. К уз-
лу С приложена вертикаль-
ная сила Р. Определить

усилия в стержнях системы

при равновесии, если / ВАС— АВС = 30°. Весами стержней
пренебречь.

Ответ: ТАС = ТВС = Р’, TAb = —^Q-\

>р ___Т ____Т ____Т ____г V <> , гр _л

1 AD—1 АЕ—1 BF----1 BQ—	§ J 1 AF—и’

Задача 67 (рис. 57). В шарнирной стержневой конструкции
узлы А, В, С, D находятся в вершинах горизонтально располо-

женного квадрата,а узел
Е — на одной вертика-
ли с узлом В, причем

Рис. 57

BE —АВ. К узлу D приложена вертикальная сила Р. Опреде-
лить усилия в стержнях, пренебрегая их весами.

Ответ: TDE—PVr^', ТСА = Р ~\/~2; ТСЕ=ТАЕ = 0\

Тсв — Тва ~ Tda — Tkd = Tcl = Р.
Задача 68 (рис. 58). Шарнирная стержневая конструкция со-
стоит из девяти одинаковых стержней. Узел А укреплен непод-
вижно, к узлам В, С, D прикреплены горизонтальные тросы, на-
правленные соответственно по сторонам BD, ВС, CD. Определить
усилия в стержнях и тросах, если узел Е нагружен вертикаль-
ной силой Р.

Ответ: ТBF=TCQ = TDH = 0;

гр	гр   гр	Р 6

1	BE = 1 СЕ 1 DE  6 >

гр   гр   гр  Р К 6

1	ВЛ 1 СА 1 DA  § »

гр	гр _____ гр	Р б

у ВС — 1 CD 1 BD --------------g—
Г Л А В A II

СИЛЫ, РАСПОЛОЖЕННЫЕ В ОДНОЙ ПЛОСКОСТИ

Уравнения равновесия твердого тела под действием произволь-
ной плоской системы сил можно записать в одной из следующих
форм:

2	/^ = 0;

й_=1

(2-1)

S fn0(F/l) = Q-,

причем за центр моментов О принимают любую точку на плоскости;

2^ = 0;

£>^) = 0;
k=l

п

S тв(^)=°;

A=i

(2.2)

при этом прямая АВ, соединяющая центры моментов А и В, не
должна быть перпендикулярной к оси проекций х;

S ^а(^)=0;

А==1

У mB(F*) = 0;

У, mc(Ffe) = 0;

А=1

(2-3)

при этом центры моментов А, В, С не должны лежать на одной прямой.

Если все силы, расположенные в плоскости, взаимно парал-
лельны, то число уравнений равновесия сократится до двух. Эти
уравнения можно записать в одной из двух форм:

п

2 F„ = 0,

п _	'	(2.4)

2^o(^)=0;

k=i	)
где ось у параллельна силам;

S mA(Fk) = Q,
Л = 1

(2-5)

S тв(Л) = 0,

Л=1	)

при этом отрезок АВ, соединяющий центры моментов А и В, не
должен быть параллелен силам.

Для получения наиболее простых уравнений равновесия (если
это не усложняет ход решения в остальном) следует одну из ко-
ординатных осей проводить перпендикулярно возможно большему
числу неизвестных сил, а за центр моментов брать точку, в ко-
торой пересекается возможно большее число неизвестных сил.

При вычислении момента силы удобно иногда разлагать дан-
ную силу на составляющие и пользоваться теоремой о моменте
равнодействующей (теоремой Вариньона).

Если на тело наряду с силами действуют и пары, лежащие
в плоскости сил, то при составлении уравнений равновесия в
уравнения проекций пары не войдут, так как сумма проекций
сил пары на любую ось равна нулю. В уравнениях же моментов
к моментам сил алгебраически прибавятся моменты пар, так как
сумма моментов сил пары относительно любого центра равна мо-
менту пары.

При решении некоторых задач следует учитывать трение ка-
чения. Наибольшее значение момента трения качения опреде-
ляется по формуле

M — kN,	(2.6)

где k — коэффициент трения качения,

N — нормальное давление.

§ 1. Плоская система параллельных сил

Задача 69. Система, состоящая из трех грузов Mit М3 и
блоков, как показано на рис. 59, а, находится в равновесии.
Определить зависимость между весами грузов Pi, Pit Ря и уси-
лия в тросах, если вес блока 3 равен Q, радиусы блоков гь
ri» Гз, г$. Блоки 1 и 2, а также 4 и 5 попарно жестко соеди-
нены между собой.

Решение. Система состоит из нескольких тел и находится
в равновесии, следовательно, находятся в равновесии и блоки
1-2, 3, 4—5.

Рассмотрим равновесие спаренных блоков 1—2 (рис^ 59, б).
Непосредственно приложенными силами являются вес Pt груза
Mi и суммарный вес блоков Qt. Связями являются ось блока
01 и трос 2—3.

Реакция троса Тп направлена по тросу вертикально вниз.
Реакция оси Ni направлена вертикально вверх, так как все ос-
тальные силы вертикальны. Поскольку в задаче не требуется оп-
ределить N}, то следует составить уравнение равновесия, не со-



Рис. 59



держащее Nx. Таким уравнением является уравнение моментов
относительно точки Ор

У, mOi (Л) = ЛП — Т^гг — О,
откуда
'Г_____________________________Piri

1	ад —' _ •
' S

Рассмотрим равновесие блока 3. Кроме веса груза Р3 и веса
Q самого блока, на него действует сила T3t со стороны троса
2—3, направленная вертикально вверх и равная по величине Ti3
в силу аксиомы действия и противодействия. Связью является
трос 3—4, реакция которого Т31 направлена вертикально вверх.

Составим уравнения равновесия этого блока (рис. 59, а):

2	ьу — Рзз Тзз — Q — Рз = 0;

У1 mo3 (Pft) = Тз^з — Т3%г3 = 0.

Отсюда находим
__________________________гп  m  Pi^i.

7 34  -*33   7 23  ~ ,

Г 2

Q-]-P3 = 2T3l=^.	(а)

Рассмотрим равновесие спаренных блоков 4—5 (рис. 59, г).
На них действуют вес груза Ра, суммарный вес блоков и сила
7’43 со стороны троса 3—4, равная по величине T3i, но на-
правленна^ вертикально вниз. Связью является ось блока О2.
Реакция Ni этой оси направлена вертикально вверх. Поскольку
не подлежит определению, составим уравнение равновесия,
не включающее Nt. Таким уравнением будет уравнение момен-
тов относительно точки О<2:

У, то., {Fk) = Т43г4 — P.rt = О,

отсюда

___ Т43^4 __ Тз4Г4 __ РIrif4

~~ гъ ~	~ rtrt •

(6)

Соотношения (а) и (Ь) являются искомыми соотношениями
между весами грузов и блока 3 при равновесии.

Задача 70 (рис. 60). При расчете на изгиб поршневой палец
рассматривается как балка, свободно лежащая на двух опорах.

1«»Н!ИН!ИННННННИНН1!11

Рис. 60

Определить реакции опор, принимая нагрузку интенсивностью q
равномерно распределенной по длине I и расположенной симмет-
рично относительно опор. Весом пальца пренебречь.

Ответ: RA — RB = ^_

Задача 71 (рис. 61). Определить величину вертикальной силы
F, с которой нужно поддерживать тачку, если ее вес Р = 200«,
а вес груза Q = 700 н. Размеры указаны на рисунке.

Ответ: F = 153,6 н.

Рис. 62

Задача 72 (рис. 62). На однопролетном горизонтальном мосту
•ЯВ длиной 20 м находится автомобиль с нагрузкой на переднюю
0Сь в Ю кн и на заднюю — в 20 кн. Определить расстояние х
От оси заднего колеса автомобиля до опоры А, при котором дав-
ления на опоры Л и В будут одинаковы Расстояние между осями
автомобиля равно 2,5 м.

Ответ: х = 9 4- м .

О

Задача 73 (рис. 63). К концу А рычага пресса подвешен груз
М весом 300 н. Определить усилие S в штоке CD и давление NB
на шарнир В, если а = 100 см, 6=10 см.

Ответ: 3 = 3 кн-

jVb = 2,7 кн.

Задача 74 (рис. 64). Вертолет висит неподвижно. Приняв, что
подъемная сила хвостового винта составляет 5% от веса верто-

лета, найти расстояние d от центра тяжести вертолета до верти-
кали, проходящей через линию тяги главного винта, если рас-
стояние от главного до хвостового винта 1 = 4 м. Найти также

обе подъемные силы, считая их вер-
тикальными, если вес вертолета
В = 20 кн.

Ответ: d = Q,2 м\
Fi=l кн\
F^ = 19 кн.

Задача 75 (рис. 65). Поплавко-
вый регулятор состоит из поплавка
А, рычага ВО, штока CD и заслон-
ки DE. В горизонтальном положении
рычага ВО архимедова сила уравно-
вешивает собственный вес регуля-
тора. На какой уровень должна под-

Рис. 65	няться вода в регулируемом сосуде

от номинала, чтобы архимедова сила
поплавка могла поднять заслонку DE, если для поднятия ее тре-
буется преодолеть вертикальную силу В = 49 м? Поплавок счи-
тать цилиндрическим телом с поперечным сечением 3 = 100 см1',
ВО = 50 см; СО = 5 см. Удельный вес воды принять 7 = 0,0098 н!см\
Ответ: вода должна подняться на 5 см.
Задача 76 (рис. 66). Лестница ОВ длиной I и весом Р, за-
крепленная шарнирно в точке О, удерживается в равновесии вер-
тикально расположенным тросом АВ. По
лестнице перемещается человек, вес кото-

poro Q. В
определить
тяжение Т

Ответ-.

зависимости от длины ВС = s
реакцию Ro шарнира О и на-
троса.

п __р \ Qs.

Ко— 2 +т’

T = ^ + Q[l--r}.

Задача 77 (рис. 67). Найти реакцию
опор А и В балки АС, нагруженной рав-
номерно на участке ВС. Интенсивность нагрузки равна q. Весом
балки пренебречь.

Ответ-. RA = q-~; RB = qb

Задача 78 (рис. 68). На балку Л С действуют силы Р1 = 60кн,
Р<2 = 4 кн, и пары с моментами ОТ! = 40 кн • м и пъ>. = 30 кн • м так,

Рис. 67

Рис. 68

как показано на рисунке. Определить опорные реакции, пренебре-
гая весом балки, если а —2 м; ^ = 1 м; 13 = 0,5 м.

Ответ: RA = 24 кн; RB = 40 кн.

Задача 79 (рис. 69). На балку АС действуют равномерно рас-
пределенная нагрузка интенсивностью q, сила Р и две пары

Рис. 69

Рис. 70

с моментами тг и пи так, как показано на рисунке. Определить
опорные реакции RA, RB, если Р = 10 кн; тх = 5 кн-м; гщ =
= 2 кн-м; q = 8 кн/м; а = с = 2 м; Ь = 5 м. Весом балки пре-
небречь.

Ответ: Рд=11 кн; RB — 39 кн.

Задача 80 (рис. 70). Временный мост свободно опирается на
опоры С и D. Вес одного погонного метра покрытия равен 5/3 кн.
Определить наибольшую длину I консольной части моста, при
которой он не опрокидывался бы при проезде машины с нагрузкой
на переднюю ось в 20 кн и на заднюю — в 40 км, если расстояние
между осями равно 3 м. Расстояние между опорами CD = 2d=6 м.

Ответ'. / = 1 м.

Задача 81. Решить предыдущую задачу, считая, что расстоя-
ние между опорами 2d =12 м.

Ответ: 1 = 4,5 м.

Задача 82 (рис. 71). Однородный стержень О А закреплен
шарнирно в точке О. В точке В, находящейся на расстоянии
ОВ = Ь, подвешен груз весом Q. Стер-
жень удерживается в равновесии в го-
ризонтальном положении посредством
в	д	4	груза F. Какова должна быть длина

,,		-п	стержня, чтобы вес груза F был наи-

** itAth Д	(Аг меньшим, если вес единицы длины стерж-

ня равен 7? Блок считать идеальным.

Рис' 71	п t i/'ZQb

Ответ: 1=1/	.

Задача 83 (рис. 72). Однородная балка АВ длиной 200 см и
весом 400 н подвешена на двух пружинах. Пружины имеют в
ненапряженном состоянии одинако-	L

вую длину, но жесткость пружины ^7	f

DL в два раза больше жесткости	§	V?

пружины EF (жесткость пружины	Ц

равна силе, потребной для растяже-	Ц	§

ния пружины на 1 см). Определить вес	S	S

груза Р, который надо положить на	<

балку в точке К, чтобы балка за ня-	,— я РЖЗ	£

ла горизонтальное положение, если	к

AD =ВЕ = 30 см, DK = 20 см.	Рас. 72

Ответ: Р —350 н.

Задача 84. На балку AD на участке ВС (рис. 73, а) действует
нагрузка, распределенная по закону треугольника и достигающая

наибольшей интенсивности в точке С. Найти реакции опор, пре-
небрегая весом балки. Размеры указаны на рисунке.
Решение. Предварительно найдем равнодействующую распре-
деленной нагрузки. Поскольку мы имеем дело с параллельными
одинаково направленными силами, то их равнодействующая Q
параллельна им, направлена в ту же сторону и равна их сумме.
Линию ее действия найдем из условия равенства моментов (тео-
рема Вариньона). Поместим начало координат в точку В и на-
правим ось Вх вдоль ВС (рис. 73, б).

Так как

=	= —у,

то
ь

__	(* qxdx qb

о

Знак «минус» означает, что сила ^ направлена вниз.

Расстояние от линии действия силы Q до точки В обозначим че-
рез Xj. Тогда момент равнодействующей относительно центра В равен

тв (Q) = — Qxt = — у Xi.

Сумма моментов распределенной нагрузки относительно того
же центра составит
ь	ь

— х | q (х) | dx = — dx — —

о	о

Приравнивая найденные моменты, находим

Примечание. В случае, если к моменту решения этой задачи соот-
ветствующий раздел математического анализа еще не пройден, можно при-
нять без доказательства, что равнодействующая треугольной нагрузки чис-
ленно равна половине произведения максимальной интенсивности на длину
нагруженного участка, а линия ее действия проходит на расстоянии, равном
2/8 длины участка от конца, на котором интенсивность равна нулю.

В рассматриваемой задаче, заменяя распределенную нагрузку
ее равнодействующей, приходим к задаче об определении реак-
ций опор при действии на балку одной силы Q (рис. 73, в}.

Составим уравнения равновесия балки в форме уравнений мо-
ментов относительно точек А и D:

^mA(Fk) = -Q.AE-}-RD-AD = O,
^mD(Fll) = Q-ED — RA.AD = O.

Отсюда находим

г> _ (За—}— 2b) Q

^D— з(а + &4-с) ’

г> (b-+3e)Q

— з (д-|-J-J-c)’
Складывая равенства, получим RA-\~ RD — Q, как и должно
быть.

Задача 85* (рис. 74). При упрощенном способе расчета на
изгиб шатуна двигателя внутреннего сгорания шатун рассматри-
вается как балка, лежащая на двух опорах и нагруженная на-
грузкой, распределенной по закону треугольника. Определить
реакции опор, если наибольшая интенсивность нагрузки равна
q н)см, а длина шатуна / см. Весом шатуна пренебречь.

Ответ-. Ra=^h;	Rr = ~h.

Л о а 3

Рис. 74

Задача 86 (рис. 75). Определить опорные реакции для балки
АВ весом 4 кн, нагруженной так, как показано на рисунке, если
а = Ь = с = 2 м. Максимальная интенсивность нагрузки д=2кн)м.

Ответ: RA = b,4A кн\ RB = ^,3& кн.

Задача 87 (рис. 76). Определить опорные реакции для балки
АВ, нагруженной сплошной нагрузкой треугольного вида, до-

стигающей наибольшей интенсивности q на расстоянии а от опоры
А. Весом балки пренебречь.

Ответ: RA = ~ (а-\-2Ь)-,

RB=± (2а6).

Задача 88 (рис. 77). Определить опорные реакции для балки
длиной 1 = 2 м, нагруженной сплошной трапециевидной нагруз-
кой интенсивностью qi— 150 н/м на опоре А и д., = 300 н[м на
опоре В. Весом балки пренебречь.

Ответ: 7?Д = 2ОО м; RB = 250 н.

* При решении задач 85—89, связанных с треугольной нагрузкой, см.
примечание к задаче' 84.
Задача 89 (рис. 78). Однородная балка АВ длиной I и весом
Р концом А заделана в стену, имеющую толщину а<^- Счи-
тая, что реакции в заделанном конце
распределены по линейному закону,

определить наибольшие значения сил и q.,, приходящихся на

единицу длины балки.

Ответ-. ъ=^^-Р;

_(31 — 2а)Р
—--а*-

Задача 90 (рис. 79). Определить,

давит на неподвижный барабан
подвешен груз Р = 250 н. При-
нять АС — 74 см, ВС = 6 см,
а = 6 см, Ь—12 см. Весом
стержней пренебречь.

Ответ-. Q = 5 кн.

Задача 91 (рис. 80). Развет-
вленный механизм распределе-
ния давлений устроен так, что
ДВ:ВС=2:1, ОЕ:ЕЕ=:3:4;
GK : KN — 3 : 2. Груз Р весом

N,

с какой силой Q барабан М
если к концу А рычага ВА

Рас. 80

21 кн помещен посередине плат-

формы ML. Определить давления колес на грунт.

Ответ'. Л\ = 3,5 кн; N^ — 7 кн;

jV3 = 6 кн; Nt=l,8 кн; Ns = 2,7 кн.

Рис. 82

Задача 92 (рис. 81). Для того
СВаю М, сделана система рычагов.

чтобы выдернуть из земли
На каком расстоянии от А
следует поместить опору О, если к концу В прикладывается вер-
тикальная сила 0,6 кн, сопротивление выдергиванию сваи равно
10 кн, АВ = 4 м, СО} = 2 м, DOi = 0,2 м? Весом рычагов пре-
небречь.

Ответ: АО 'С 1,5 м.

Задача 93 (рис. 82). Система состоит из п горизонтальных
стержней одинаковой длины весом Р каждый, укрепленных при
помощи тросов.

При этом

_СпВп__ 1

^2^2	АпВп 4

Показать, что натяжение троса ДК при п->оо имеет преде-
2 D

лом величину

§ 2. Плоская система как угодно расположенных сил

Задача 94. Дана стрела АВ, вес Р которой равен 1,8 кн и
приложен к точке С, причем ВС = ~ АВ (рис. 83, а). Опреде-
лить натяжение троса AD, прикрепленного к концу А стрелы,
и давление стрелы на шарнир В, если углы а = [3 = 30°, а вес
подвешенного груза Q = 20 кн.

Рис. 83

Решение. Рассмотрим равновесие стрелы АВ. На стрелу дей-
ствуют силы Р и Q. Связями, наложенными на стрелу, являются
шарнир В и трос AD. Реакция троса Т направлена по AD, ре-
акция шарнира RB неизвестна ни по величине, ни по направле-
нию (рис. 83, б).

Разложим реакцию RB на две взаимно перпендикулярные со-
ставляющие — горизонтальную Хв и вертикальную YB. Направ-
ления этих составляющих примем совпадающими с направлени-
ями осей Вх и By. Таким образом, стрела находится в равнове-
сии под действием плоской системы пяти сил Q, Р, Т, Хв, Yв,
для которой имеют место три уравнения равновесия. Неизвестных
в задаче три: Т, Хв, Yв, т. е. задача статически определима.

Составим уравнения в форме (2.1). За центр моментов возь-
мем точку В, так как в ней пересекаются две неизвестные силы:
Хв и YB. Получим

Yfkx — Хв — Т cos а = 0;	(с)

^Fky=YB — Р — Q — Т sina = 0;	(d)

^mB(Fk) = ~ Р-ВС — Q-BA'-{-Т  КВ— Q. (е)

Из рисунка имеем

ВС — у АВ cos у, ВЛ'— ЛВ cos т; ВК = АВ smfi,

где [ = a Д- Р — 60°.

Подставляя эти выражения в (е) и сокращая на АВ, получим
р

— — cos 7 — Q cos у	Т sin 0 — 0,

откуда

Из уравнения (с) находим

ХВ = Т cos ?.= 17,8 кн.

Уравнение (of) дает

Y в = Р Ц-Q -\~Т sina = 32,l кн.

Примечание. Если бы какая-либо из величин Х„, Y„ оказалась
.	а а ______

отрицательной, то это означало бы, что соответствующая сила Xfi или
YB в действительности направлена не так, как показано на рисунке, а в про-
тивоположную сторону.

Зная Хв и YB, находим величину реакции RB:
RB=yXi^Y^=^,7

Эта реакция образует с осью Вх угол ф, косинус которого
найдем по формуле

D

откуда ф = 60°55'.

Давление стрелы на шарнир В равно RB, направлено в сто-
рону, противоположную RB, и приложено не к стреле В А, а к
шарниру.

Задача 95 (рис. 84). На коленчатый рычаг действуют силы:
Л =100 н, 7% = 150 н, Р3 = 200 н. Определить силу Р, необ-
ходимую для уравновешивания рычага, и величину реакции шар-
нира А. Весом рычага пренебречь.

Ответ'. Р = НО м; RA = 266 н.

Задача 96 (рис. 85). Балка АВ закреплена горизонтально при
помощи шарнира А и стержня DF, соединенного с ней шарнирно.

На балку действует сила Р под углом а к вертикали и пара сил
с моментом т. Пренебрегая весом балки и стержня, определить
усилие Т в стержне DF. Размеры указаны на рисунке.

Задача 97 (рис. 86). Ломаный рычаг АОВ имеет на конце В
противовес весом 100 н. К середине плеча ОВ шарнирно присо-
единен шток CD, конец которого D закреплен. Определить уси-

лие в штоке, если к концу А рычага перпендикулярно прило-
жена сила P = 4t)0 н. Принять а = 30°, 7 = 60°, АО = ОВ. Весом
рычага и штока пренебречь.

Ответ: 5 = 724 н.

Задача 98 (рис. 87). Стрела AD весом 3 кн укреплена шар-
нирно в точке А и поддерживается под углом а = 30° к гори-
зонту тросом ВС, причем ЛВ=ЛС = 0,6ЛП. Определить пре-
дельный вес Р груза Л1, подвешенного к концу стрелы, если
трос выдерживает усилие 27,5 кн.

Ответ: Р—15 кн.
Задача 99 (рис. 88). Клапан двигателя работает от кулачка
при помощи рычага АОВ. Определить давление Q кулачка на
ролик, если известно, что на клапан действует общее усилие
Р = 400 н. Весом рычага пренебречь.

Ответ: Q — 277 н.

Задача 100 (рис. 89). При испытаниях модель самолета за-
крепили так, чтобы она могла свободно вращаться вокруг гори-
зонтальной оси, проходящей через центр тяжести О. Благодаря
отклонению управляемого крыла К на угол (3 горизонтальный

поток воздуха вызывает поворот самолета в вертикальной пло-
скости на угол а (возникающие при этом колебания гасятся спе-
циальным устройством). Повороту модели препятствуют две оди-
наковые пружины жесткостью с каждая (см. задачу 45), прикре-
пленные на расстоянии b от центра тяжести и находившиеся
в естественном ненапряженном состоянии при горизонтальном

положении модели.

Пренебрегая отклонением пружин от вертикали и считая, что рав-
нодействующая сил, обусловленных потоком, проходит через центр
тяжести, определить силу подъема F, направленную перпендику-

лярно к крылу и приложенную на расстоянии а от центра тяжести.
п Ь'-с sin 2а

Ответ: г =------г- .

a cos fl

Задача 101. Определить уси-
лие Т в стержне АВ и реакцию
шарнира С в шарнирной стерж-
невой конструкции, изображенной
на рис. 90, если Pi = 500 м,

Р1000 н,

45°. Весом

стержней пренебречь.
Ответ: Т — 1500 м;

Хс=1500 м; Ус = 500 н.

Задача 102 (рис. 91). Определить усилие Т в стержне АВ и
реакцию шарнира С для шарнирной стержневой системы, если
Pj = l км, Pj = 0,5 км, Р3 = 0,5 км, а = 45°, —

Ответ: Т=1,25 км; Хс =—1 км; Ус = 2,25 км.
Задача ЮЗ (рис. 92). Руль судна состоит из баллера ABD и
пера П руля. Определить реакции - опорного А и упорного В
подшипников в среднем положении руля, считая, что его вес ра-
вен 6 кн и приложен в точке С

Рис. 91	Рис. 92

Задача 104 (рис. 93). На балку АВ, имеющую неподвижный
шарнир А и горизонтальную подвижную опору В, в точке С
действует сила F, равная по величине 1,5 кн и образующая
с вертикалью угол а = 60°. Определить опорные реакции, вызы-

ваемые этой силой, если ВС = 2АС, а угол, образованный балкой
с горизонтом, р = 30°.

Ответ-. NB = 0,§ кн-, Хл =—1,3 кн\ Ул = 0,25 кн.

Задача 105 (рис. 94). К треугольному ключу с сечением в виде
прямоугольного треугольника с катетами АВ = а и ВС = Ь при-
ложена пара сил с моментом М. Определить давления, произво-
димые вершинами А, В, С на грани гнезда замка. Трением пре-
небречь. Зазор между ключом и гнездом считать малым.

zi	Xi	Л4 .. Ма	Mb

Ответ: N . = -?====•	==.

А	’ в aM-i2 с +

Задача 106 (рис. 95). К концу Е стержня BE, укрепленного
в точке В при помощи шарнира, подвешен груз весом G. В точ-
ках С и D к стержню прикреплена гибкая нить, проходящая
через идеальный блок А. Считая BC = DE = CD и AC —AD,

определить реакции нити и шарнира. Весом
пренебречь. Углы а и (3 известны.

л	rr> Q cos 8

Ответ: Т — ——“;

Sin а ’

Хв~ G sin 2й;

Y в —— Geos 2р.

Задача 107 (рис. 96). Вершина С прямо-
угольной пластины, расположенной в верти-
кальной плоскости, закреплена шарнирно,
а к вершинам D и В приложены соответ-
ственно горизонтальная сила Pi~ 101^3 н
и вертикальная сила Р3=120 н. Пластина

стержня и трением

7

Рис. 95

удерживается в равновесии вертикальным

тросом АЕ в положении, при котором ее диагональ BE горизон-
тальна. Пренебрегая весом пластйны, определить натяжение
троса и реакцию шарнира, если /.BED = 60°.

Ответ: Т = 20 н; Хс=17,3 н;Ус=140 н.

Задача 108 (рис. 97). Однородный стержень ОА весом Р, за-
крепленный шарнирно в точке О, удерживается в положении

равновесия при помощи троса, перекинутого через гладкий
блок В и несущего груз Q. Определить угол р, составленный
стержнем с горизонтом, и реакцию шарнира О, если Р = 200 н,
Q= 100 н, а угол а, образованный частью нити ВА с балкой,
равен 60°.

Ответ: р = 30°, Хо = — 50]/3 = — 86,6 «; Yo — 150 н.

Задача 109 (рис. 98). Жесткая рама нагружена на участке CD
равномерно распределенной нагрузкой интенсивностью 7 = 5 кн:м.
Определить спорные реакции, обусловленные этой нагрузкой
если а = 45°, а = 2 м, 6 = 0,3 м, /.DBA = 45°.

Ответ: Хл = 4,35 кн,

Ул = 5,65 кн,

NB = 6,15 кн.
Задача ПО (рис. 99). Однородная балка АВ весом 3 кн при-
креплена к вертикальной стене посредством шарнира А и удер-
живается в горизонтальном положении при помощи троса ВС.
На балку действует пара сил с моментом т=1,2 кн-м. Опре-

делить натяжение троса Т и реакцию
шарнира А, если а = 30°, АВ = 2 м.
Ответ: 7=1,4/3 = 2,42 кн;

ХА = 0,7/3= 1,212 кн; Ул = 0,9 кн.

Задачи Ш—122 (рис. 100). Балки нагружены и закреплены
лак, как показано на схемах. Определить реакции связей, пре-
небрегая весами балок' Числовые данные взять из таблицы.

№ задачи	Схема	1, м	а, м	Ь, м	q, кн/м	F, кн	а, град	т, кн • м
111	а	4					2			30		
112	б	4	2	1	2	—	60	—
113	в	4	2	.—	2	—	30	2
114	г	4	2			2	—	45	—
115	д	3	2			2	—	30	3
116	е	3	1			2	—	45	—
117	Ж	3	1	1	2	4	60	—
118	3	2	1			3	1	30	—
119	и	3	1			—	4	60	6
120	к	4	2			—	4	45	1
121	л	5	2			2	—	60	
122	м	4	1	—	2	2	60	—

Ответы:

№ задачи	Хд, кн	Уд, .кн	R%. кн	Т, кн
111	2,31	4,00	4,62			.
112	4,76	3,25	5,50	—
113	0,86	2,50	1,73	.—
114	3,00	1,00	4,24	—
115	0,33	2,12	4,24			
116	—3,33	4,67			4,71
117	—2,00	2,64	2,82	—
118	—0,29	3,50	0,58	—
119	—1,73	3,00	2,00	—
120	—8,50	—4,50	—	12,02
121	—3,08	—1,33	—	6,16
122	1,00	2,09	7,64	—
Задача 123 (рис. 101). Определить опорные реакции для
жесткой рамы, возникающие от действия горизонтальной силы
Р — 2 кн и сплошной, распределенной по закону треугольника,

q

ч к и । гпrrm£ x

i —-—ч

Рис. 100

иагрузки, если наибольшая ее интенсивность д = 0,2 кн/м,
^=3,0 м, 1= 1,5 м.

Ответ: Хд = 4,2 кн, Хв = —4,2 км; У А =— 2,3 кн.

Задача 124 (рис. 102). В вибрографе, употребляемом для за-
писи вертикальных колебаний, стержень весом Р и длиной
О A —I несет на конце А груз весом Q и удерживается в гори-

зонтальном положении спиральной пружиной. При закручивании
пружины на один радиан возникает упругий момент, равный с.
Определить, на какой угол за-
кручена пружина.

Задача 125 (рис. 103). Однородный куб с ребром а и весом Р
одной гранью опирается на гладкую вертикальную плоскость,
а одним из своих ребер — на гладкую наклонную плоскость,
образующую с вертикальной плоскостью угол а. Найти реакцию

наклонной плоскости, равнодействующую (V8 реакций верти-
кальной плоскости и точку К ее приложения при равновесии
куба.

р

Ответ'. N,=------; N.,= Р ctga.

Sina ’

Точка К находится на расстоянии ВК = ytga.

Равновесие возможно, если 0 -С a sgarctg2.

Задача 126 (рис. 104). Однородный куб с ребром а и весом Р
ребром В упирается в гладкую вертикальную плоскость, а гранью
лежит на гладкой наклонной плоскости, образующей с горизон-
тальной плоскостью угол а. Найти реакцию Nt вертикальной
плоскости, равнодействующую IVg реакций наклонной плоскости
и точку К ее приложения при равновесии куба.

р

Ответ: — Р tea-, N9=-------.

1	° а COS а

Точка К находится на расстоянии

А К = а	cos a - cos (45° — а).

равнобедренного

Задача 127. На рис. 105 показана мачта, служащая для кре-
пления проводов электрической железной дороги. Верхний про-
вод имеет натяжение Р, а нижний
натягивается при помощи груза М
и троса ECDK, перекинутого через
неподвижный блок С и подвижный
блок D. Высота проводов над уров-
нем опор равна соответственно а и Ь,
кратчайшее расстояние от опоры В
до свешивающейся части троса СЕ
равно с, расстояние между опорами
2d, вес мачты G, вес груза Q. Опре-
делить натяжение нижнего троса и
вертикальную составляющую реакции
в опоре А, если мачта симметрична
относительно прямой т — п. Трением
и размерами блоков пренебречь.

Ответ: TDL — 2Q‘,

v — Q(c —2^) + Gd —Ра

2d

Задача 128 (рис. 106). Пластина в виде

треугольника ABD с боковой стороной I и углом а закреплена

в р

в вертикальной плоскости
посредством шарнира в вер-
шине А. На вершину В
действует горизонтальная си-
ла Р. Вес пластины прило-
жен в точке пересечения
медиан; вес единицы пло-

Рис 106	щади пластины равен q.

Найти максимальный угол а,
при котором не произойдет опрокидывания пластины вокруг
шарнира А.

ЪР — l‘q

Ответ: amax = arccos —.

П Г) Чр

При Р _> равновесие невозможно.

о

Задача 129 (рис. 107). Ящик с поперечными равмерами 26
и 2с и весом Р втаскивается по наклонной плоскости, составляю-
щей с горизонтом угол а, при помощи груза М. Каков должен
быть вес Q этого груза, для того чтобы ящик опрокинулся в тот
момент, когда вершина А будет находиться на одной горизон-
тали с блоком В, находя-
щимся выше точки С на ве-
личину а? Трением прене-
бречь.

Ответ: Q ~ [6 sin а -ф-
4-с cos а — а ctga].

Задача 130 (рис. 108).
На колесо с цевками дей-
ствует пара сил с моментом т.
К фиксатору АО прикреплена

Рис. 107	пружина, упругая сила кото-

рой F = cA, где Д — удлине-
ние пружины по сравнению с ее недеформированной длиной,
которая имеет место при а =45° (коэффициент с называется
жесткостью пружины). Определить наименьшее значение жест-

Рас. 108

кости с, при котором колесо остается в равновесии, если a = 90°,
р = 45°. Размеры указаны на рисунке. Трением пренебречь.

Указание. Считать, что колесо А давит только на правую
цевку.	_ _

Ответ: cmin = ^3	= 2,21 (K3b-4-d)m.

|/2 —У 2-/2

Задача 131. На однородную балку АВ длиной 2a = 2 м и
весом Р=1 кн, вкопанную концом А в землю под углом a = 60°
к горизонту (рис. 109, а), действует равномерно распределенная
нагрузка интенсивностью q~ 0,5 кн)м. Определить реакцию
в заделке при равновесии балки.

Решение. Рассмотрим равновесие балки АВ. На балку дей-
ствуют задаваемые силы: вес балки Р и равномерно распределен-
ная нагрузка, равнодействующая которой Q = 2aq (рис. 109, б)
приложена в середине балки и направлена перпендикулярно
к ней. В точке А на балку наложена жесткая связь (заделка),
препятствующая этой точке перемещаться в горизонтальном и
вертикальном направлениях и лишающая балку возможности по-
ворачиваться вокруг точки А. Действие такой связи на балку
эквивалентно действию одной силы реакции RA и некоторой пары,
сил — реактивной пары.

Реакцию RA представим в виде двух составляющих сил: ХА
и Ya, направленных вдоль соответствующих осей координат
в положительном направлении, и учтем, что реактивная пара
сил препятствует повороту балки по ходу часовой стрелки. Момент
этой пары обозначим через тА. Таким образом, балка находится
в равновесии под действием четырех сил Р, Q, ХА, YA и реак-
тивной пары сил с моментом тд. Эти силы образуют плоскую
систему произвольно расположенных сил, для которой имеют
место три уравнения равновесия. Неизвестных в задаче три: ХА„
YА, тА, т. е. задача статически определима.

Составим уравнения равновесия балки

= ХА	Q sin а = 0;

%Fky = YA — Р~ Qcosa = 0;

(Fk) — тА — Ра cos а — Qa — 0.

Отсюда находим

ХА — — Q sin a = — 2aq sin a;

YA == P -f- Q cos a = P 4~ 2aq cos a;

mA = a(P cos a4- 2aq).

Знак «минус» у величины ХА указывает на то, что в действи-
тельности составляющая ХА действует в направлении, противо-
положном направлению оси Ах.
Подставив соответствующие числовые данные, получим

ХА = —0,866 кн;

YA—i,5 кн;

тА=\,5 кн.

Полная реакция в точке А

^Л = ]/Х^+П = 1,73 кн,

причем

cos(r2x)=^ = ~ 1,

\ УА /3

СО8(#д,у) =^.==2—

Следовательно, вектор RA соста-
вляет с положительным направле-
нием оси Ах угол 120°, а с осью
А у — угол 30°.

Задачи 132—134. Консольные бал-
ки нагружены так, как показано на
рис. ПО. Определить реакции в точке

А, пренебрегая собственным весом балок. Данные взять из сле-
дующей таблицы:

№ задачи	Схема	1, м	а, м	q, кн/м.	F, кн	т, кн * м.	а, град
132	а	2		2	4		30
133	б	2	1	2	—	—		
134	в	2	1	2	2	2	—
Ответы:							
№ задачи		Хд, кн		?А	, кн	тА-	кн . м
132			-2,00	7,46		10,93	
133			0,00	2,00		3,00	
134			0,00	4,00		7,00	

Задача 135. Две балки АВ и ВС (рис. 111, а) одинаковой
длины 2а соединены между собой шарниром В. Конец А балки АВ
заделан в горизонтальную плоскость, а конец С балки ВС опи-
рается на горизонтальную подвижную опору. Углы, образованные
балками с горизонтом, одинаковы и равны 60°. В середине
балки ВС перпендикулярно к ней действует сила Определить
реакции опор А и С, а также шарнира В, если вес каждой
балки равен Р.

Решение. Система двух балок АВ и ВС находится в равно-
весии, следовательно, и каждая из них также находится в равно-
весии.

Рассмотрим равновесие_ балки ВС (рис. 111,6). На нее дей-
ствуют задаваемые силы Р и Q. Связями являются шарнир В,

Рис. 111

через который передается действие балки АВ на балку ВС, и
подвижная опора С.

Реакция подвижной опоры на балку ВС направлена по нор-
мали к поверхности опоры. Обозначим ее через N. Реакция шар-
нира В не известна ни по величине, ни по направлению. Пред-
ставим ее в виде двух составляющих Хв, Yв, направленных
в сторону положительных направлений выбранных координатных
осей. Таким образом, балка_ ВС находится в равновесии под дей-
ствием пяти сил Р, Q, jV, Хв, Yв, расположенных в одной пло-
скости.

Составим уравнения равновесия балки ВС:

£Fkx — XB — Q cos 30° = 0;

£ Fky = YB + N — P — Q cos 60° = 0;

S mB (Fk) = N2a cos 60° — Qa — Pa cos 60° = 0.

(g)

Из этих уравнений можно определить N, Хв, Yв.

Теперь рассмотрим равновесие балки АВ. На нее действует
сила Р. Связями являются шарнир В, передающий действие
балки ВС, и заделка конца А. Реакцию шарнира В на балку АВ
представим в виде двух составляющих Хд и Y'g, которые согласно
третьему закону Ньютона равны по величине и противоположны
по направлениям соответственно силам Хв, YB, т. е.
Действие жесткой связи (заделки) в точке А равносильно
действию силы RA и пары сил (см. задачу 131).

Реакцию RA представим в виде двух составляющих ХА и Y А,
а пару сил будем считать действующей против хода часовой
стрелки. Момент пары обозначим через тА.

Таким образом, балка ЛД находится в равновесии под дей-
ствием пяти сил Р, Х'в, Y'b, Ха, Ya и пары сил с моментом тА.
Составим уравнения равновесия балки АВ:

ZFkx = XA-XB = 0-,
^Fky=YA-P-Y'B=Q-,
^mA^k) = mAJr в2а sin 60° —
— Y'b • 2а cos 60° — Ра cos 60° — 0.

(h)

Решая системы (g), (А) и учитывая, что Хв=Х'в, Yb = Y'b,
найдем

хя=М1-	х,=хь=Ц1.,

ГЛ = ^=«; Г, = ГЬ = £=®;

тА = а(Р~ 2Q).

Так как реакции шарнира В на балки АВ и ВС направлены
противоположно друг другу, то окончательно получим

Хв = ±

= ±

О/з.

2 ’

р-0

2 •

Примечание. Вместо того чтобы рассматривать равновесие каждой
балки в отдельности, можно было бы составить уравнения равновесия лишь
для одной из балок и для всей системы в целом, рассматривая ее как еди-
ное твердое тело. При составлении последней системы уравнений необхо-
димо иметь в виду, что силы Хв, Х'д, Ув, У'в образуют уравновешенную
систему внутренних сил и, следовательно, не войдут ни в одно из уравне-
ний равновесия.

Задача 136 * (рис. 112). Балка АВ укреплена шарнирно
в точке А и удерживается в горизонтальном положении при по-
мощи 'тросов DE, EK, EF. Определить натяжение троса DE,
если на балку действуют сила Р и пара сил с моментом т. Ве-
сом балки пренебречь. Размеры указаны на рисунке.

Ответ: TDE = Р-^т.

Задача 137 (рис. 113). Балка АВ укреплена шарнирно
в точке А и удерживается в горизонтальном положении тро-
сами KE, EF, ED. На балку действуют сила P и две пары сил
с моментами тх и Определить натяжение троса DE, прене-
брегая весом балки. Размеры указаны на рисунке.

Рис. 112

Рис. 113

Задача 138 (рис. 114). На звено ОА шарнирного четырех-
звенного механизма действует пара сил с моментом Опреде-

лить момент т.2 пары сил, которую надо приложить к звену
ОХВ, для того чтобы механизм находился в равновесии при

а = 90°,	^ = 30°, если ОА = а,

ОХВ=^Ь. Весом звеньев и трением
пренебречь.

Решение. Механизм находится в
равновесии, следовательно, и каж-
дое звено находится в равновесии.
Рассмотрим равновесие звена АВ
(рис. Н4). На него действуют две
силы St и передаваемые шарни-
рами А и В от звеньев ОА и OtB.
Так как звено АВ невесомо, то
S2 = — Si и обе эти силы направле-
ны вдоль АВ.

Рассмотрим равновесие звеньев О А и ОХВ. На звено О А дей-
ствуют сила S3 =— S! = S.2 со стороны стержня АВ, реакция

шарнира О и пара сил с моментом тх. На звено ОХВ действуют
сила §4 = —£2 = 51 со стороны стержня АВ, реакция шар-

нира Ох и пара сил с моментом т2.

Поскольку реакции шарниров О и Ох нас не интересуют, то
усилия Sj и найдем из уравнений моментов относительно
центров О и Оь составленных согласно условиям равновесия
звеньев О А и ОХВ.

Имеем:

для звена О A: £m0(Fk) = — mi-\-Sl-OA=0',
для звена О2В: '^imol (Fk) = m2 — S2- OiB-sin [1 = 0.
Так как Sj — St, находим

mt т2

О A	OtB • sin р

ИЛИ

ОгВ • sin р Ь
mi = m1-^r^ = ^mi.

Ответ: т^ — ~ mt.

Задача 139 (рис. 115). К
звенника под прямым углом в

звену АВ шарнирного четырех-
точке А приложена сила F. Опре-
делить величину силы Q, кото-
рую надо приложить перпенди-
кулярно к звену CD в точке D
для того, чтобы система находи-
лась в равновесии при данных
значениях углов а и р. Трением и

весом звеньев пренебречь. Принять:
OiD=d.

Ответ:

bd sin а

ОА—а; ОВ = Ь; О1С=с-,

Задача 140 (рис. 116). В реечном подающем храповом меха-
низме одностороннего действия длины плеч рычага подобраны
так, что EC — ADC. Какой величины силу Р следует приложить
перпендикулярно к рычагу СЕ в точке Е, чтобы сдвинуть с места
рейку, на которую действует горизонтальная сила Q, если
Z.FDC = <?, Е.ВСЕ = ф? Опоры А иВ гладкие, весом деталей
механизма можно пренебречь.

Ответ: Р	—р- Q.

4 cos (<р — ip)

Задача 141 (рис. 117). В кривошипно-кулисном механизме на
кулису с горизонтальными направляющими С и D действует го-
ризонтальная сила Р. Определить в зависимости от угла пово-
рота кривошипа а момент М пары сил, которую надо к нему
приложить, чтобы механизм находился в равновесии, если длина
кривошипа ОА=г, £АВС = $. Весом частей механизма и тре-
нием пренебречь.

Ответ'. M = Pr Cos .

sin Р

Задача 142 (рис. 118). На штангу АВ шатунно-балансирного
механизма действует сила F. Определить момент т пары сил,

которую следует приложить к балансиру ОЕ для того, чтобы
уравновесить механизм в том его положении, когда £ОЕА = $,
/_ЕАВ = а., если длина балансира ЕО равна а. Весом звеньев и
трением пренебречь.

a sin в „
Ответ'. т =-------F.

cos а

Задача 143 (рис. 119). Определить момент mt пары сил, кото-
рую надо приложить к кривошипу АВ кривошипно-кулисного

механизма для его равновесия в том
положении, когда АВ I АС, если к ку-
лисе CD приложена пара сил с момен-
том т, /_АСВ — а., АВ = а. Трением и

весом частей механизма пренебречь. Каковы при этом величины
реакций шарниров Л и С?

Ответ'. /Hi = /nsin2a;

D D tn sin a
Кд — Kc — ——.

Задача 144 (рис, 120). Передача вращения коромыслу DE от
Рукоятки АВС осуществляется при помощи двух шарнирных па-

3 Н. А. Бражниченко и др.

65
раллелограммов ABKL и MNDE со взаимно перпендикулярными
сторонами, причем шарниры М, К, L, N образуют квадрат.
Определить при условии равновесия системы усилия в тягах ME
и ND, если к рукоятке в точке С
приложена сила F, ОС —а, ОА =
= OB — b, /.OAL — a.. Трением и
весом звеньев пренебречь.

Рис. 120

Ответ:

/р	0	иР

^DN — ^МЕ — 2077-

Задача 145 (рис. 121). На ше-
стерни А и В, находящиеся в за-
цеплении с шестерней С, действуют
пары сил с моментами mt и т.2. Опре-
делить момент тл пары, которую надо
приложить к шестерне С, чтобы си-
стема находилась в равновесии, если
радиусы шестерен Л, В и С соот-
ветственно равны /у, г2 и /3. Тре-
нием пренебречь.

Ответ:

Задача 146 (рис. 122). Лебедка состоит из барабана диаметром
d = 50 мм и двух шестерен диаметрами Dt = 750 мм и D.2 =
= 150 мм. Длина рукоятки / = 400 мм. Какой груз Q может
поднять лебедка, если на рукоятку дей-

ствовать с силой Р= 150 н?

Ответ: Q=12 кн.

Задача 147 (рис. 123). Два одинако-
вых однородных стержня АВ и CD дли-

р

В*

Рис. 122

ной 120 см и весом 0,6 кн каждый шарнирно прикреплены
к стене и поддерживаются двумя тросами BE и DG оди-
наковой длины. Между стержнями и стеной лежит однород-
ный цилиндрический вал весом 4 кн и радиусом г = 9]/~3 см.
Определить натяжения тросов, если а = 60°, АВ — АЕ. Трением
пренебречь.

Ответ: TUE = TDa —0,9 кн.
Задача 148. На рис. 124 показана схема испытательного
стенда. Динамометр М показывает натяжение троса Т. Опреде-
лить величину реактивной силы F и реакции опор С и D, считая
все крепления шарнирными. Расстояние между опорами С и D

Рис. 124

равно 2Ь, расстояние между линией действия силы F и прямой АВ
равно a; CL = h, АС —И. Отклонением стоек АС и BD от вер-
тикали и их весом пренебречь. Вес двигателя и стола N равен Р,
причем его линия действия проходит посередине между стойками.

Ответ: F = Хс = (1 —
н 	\	11)

v Р ahT у	v __Р .ahT

Гс~'2	2ЬН' ло —и’ Y D— 2 ' 2Ы1’

Задача 149 (рис. 125). В прессе с приводом от шарнирного
четырехзвенника определить усилие, сжимающее тело Л4, в поло-

Рис. 125

женин, когда звено АВ горизонтально, звенья ВС и BD обра-
зуют с вертикалью углы а = 60° и р —30° соответственно,
плечо ОА вертикально, а в точке Е рукоятки рычага перпенди-
кулярно к ОЕ приложена сила Р = 500 н. Плечи рычага:
ОЕ = 100 см, ОА — 10 см.

Ответ: Q = 4,33 кн. ,

Задача 150 (рис. 126). Найти величину усилия <2, сжимаю-
щего тело М. в прессе, если к концу В прямоугольного_ ры-
чага О АВ, имеющего неподвижную ось О, приложена сила Р под
прямым углом к АВ\ ОА=АС, в рассматриваемом положении
ось О и точка В лежат на одной горизонтали, а угол а = 30°.
Весом частей пресса пренебречь.

Ответ: Q = УЗР.

Задача 151 (рис. 127). Однородный куб А с ребром а и ве-
сом Q установлен на горизонтальной плоскости, имеющей упор С.

Рис. 127

Рис. 128

Другой куб В с ребром b и весом Р положен на гладкую на-
клонную плоскость, образующую угол а с горизонтальной пло-
скостью, причем ребро куба В упирается в грань куба А. При-
нимая плоскость рисунка за вертикальную плоскость материаль-
ной симметрии кубов, определить, при каком весе куба В
произойдет опрокидывание куба А. Размерами упора С пре-
небречь.

Ответ: при Р 5? щ<)Я- а- Q.

Задача 152 (рис. 128). На гладкой горизонтальной плоскости,
касаясь упора С, покоится однородный куб А с ребром 2а и ве-
сом Q, а на гладкой плоскости, наклоненной под углом а к го-
ризонту, находится цилиндр В радиусом R и весом Р, касаясь
грани куба так, что плоскость рисунка является вертикальной
плоскостью материальной симметрии цилиндра и куба. Опреде-
лить давление цилиндра на куб и на наклонную плоскость,
а также наименьший вес куба, при котором он не опрокиды-
вается вокруг точки С. Размерами упора С пренебречь.

р

Ответ: Nп=---------; Nлп = Р tga;

/?tg a ctg (45" —

Qmin =---------А------р.
Рис. 129

Задача 153 (рис. 129). На двух гладких наклонных плоско-
стях, образующих с горизонтом углы аир, покоятся два одно-
родных куба А и В весом Р и Q, причем ребро куба А упи-
рается в грань куба В. Приняв плоскость рисунка за вертикаль-
ную плоскость материальной сим-
метрии, найти зависимость между
величинами Р и Q при равнове-
сии, а также равнодействующие
реакций плоскостей и давления
кубов друг на друга.

Ответ-. Р = ^C0S(a+.^)..Q
Sina

N А = Д^-Q.

Nc = Qcos^; lVXB = Qsinp.

Задача 154 (рис. 130). Двуплечий угловой рычаг АВС соеди-
нен с рычагом OjD тросом, огибающим идеальный блок К. Опре-
делить силу Q, которую следует приложить в точке А параллельно
O(D для равновесия рычагов, если в точке D подвешен груз М

Рис. 130

весом Р; ОК±ОхО, ОС ±СК, ОВ±ВК, ОхК=а, ОхО = Ь,
ОК —с, OA — d, ХОК В = г, Z.OKC — fi. Весом рычагов, трением
и размерами блока К пренебречь.

cb tg

Ответ-. Q = P-------7---.

ad

Задача 155 (рис. 131). Две однородные балки АВ и ВС со-
единены шарнирно между собой в точке В, составляя одну пря-
мую, перпендикулярную стене АЕ. Балка АВ прикреплена к стене
шарниром А. Система находится в равновесии благодаря двум
°ттяжкам ED и ЕС, составляющим с балками углы а и ji. При-
нпмая AD = DB=^ ВС, а вес каждой балки равным Р, опре-
делить реакции шарниров и ^усилия в оттяжках.

„	„ Р т 2Р

Ответ-. Тс = -г~.;; * п = ——;
G 2 sin 3 и sin а ’

Y — Р ±_2Р . V — Р . Y _ -4- Р v _ , Р

*А	1 lg’’ Ya 2'	~ 2tg3 ’ Yfl “2‘

Задачи 156 —169. Определить реакции опор А и В и
промежуточного шарнира С для балок, изображенных па
рис. 132. Весами балок пренебречь. Числовые данные взять
из таблицы.

X? задачи	Схема	1, м	а, ч	Ь, w	С, ч	?, ЭТТ/К	т, кн • ч	а. град	Л кн
156	а	2	1	1					3
157	6	2	2	1	—	0,5 1	—	—	—
158	в	2	1	1	—.		—	—.	2
159	г	1	2	1	—-			—	30	2
160	д	6	2	1	—.	1	—	45	2
161	е	2	2	—	—.	—	2	30	—-
162	ж	6	3	—	—	2	4	30	—
163	3	6	2	2	—	0,5	—	30	
164	и	6	2	1	2	—	2	45	3
165	к	4	2	—	—	—	3	—	-
166	л	6	2	2	-—	0,5	2	60	—
167	ж	6	2	2	—	1	—	45	—
168	н	6	9	2	—	1	—	45	—
169	О	6	2	1	—	I	—	30	—

Ответы:

Js® задачи	Лд , кн	VA- кн	тд ,кн-м	Хс, км	Yc- кн	Pg, ’•»	/?£>, КН	Т, кн
156	0,00	—3,00	—3,00	0,00	±3,00	6,00		
157	0,00	0,37	0,75	0,00	±0,37	1,1'2	—	—.
158	0,00	1,00	0,50	0,00	0,00	4,00	—	-
159	0,58	1,00	2,00	±0,58	±1,00	1,15	—	—
160	0,50	3,50	5,00	±0,50	±1,50	0,71	—	—
161	—0,58	1,00	6,00	±0,58	±1,00	—1,16	—	-
162	3,46	6,00	22,00	±3,47	±6,00	6,93		—
163	0.29	—1,50	—	±0,29	±0,50	2,00	0,58	-
164	1,50	—5,50	—	±1,50	±1,50	7,00	2,12	—
165	0,00	0,75	4,50	0,00	±0,75	—0,75	-		—
166	 1,73	0,50	—	±1,73	±1,00	1,50	2,00	
167	1,00	—5,00	—	±1,00	±1,00	12,00	1,41	—
168	- 1,00	—3,00	—	±1.00	±1,00	4,00	.—	1,41
169	-0,87	-4,00	—	±0,87	±0,50	10,50	—	1,00
Рис. 132
Задача 170 (рис. 133). Однородная горизонтальная балка АВ
весом Р прикреплена одним концом к стене шарниром А и опи-
рается на опору С. К другому ее концу В шарнирно прикрепле-
на однородная балка BD весом Q, опирающаяся на выступ Е

и образующая с вертикалью

>л а. Определить реакции шар-
нира А и опор С и Е, если
АС = ~АВ, BE — -.BD.

о	о

3

Ответ: NE= ~Qsin а;

X4 = -|-Qsin 2а;

YA = |[^-2Q(l-4sin4.)];
A/c = 4[^ + 2Q(l-4sin3a .

Задача 171 (рис. 134). Однородная балка АВ длиной I и ве-
сом Р жестко заделана в стену, образуя с ней угол а. На балке
лежит однородный диск весом Q, касающийся стены в точке С и
балки в точке D. Определить давления Д/с и Д7О диска на стену
2
и балку, а также реакцию заделки, если BD = ^l.

\	*5

Ответ: Wc = Qctga; ND = ~^,	ХА = — Qctga;

УЛ = Р + Р;

2Q4- ЗР sin2 a
тл = - ------------

А 6 Sin a

I,

где тА — момент заделки.

Задача 172 (рис. 135). Однородная горизонтальная балка АВ
весом 3 кн опирается на гладкую опору Е и имеет шарнирное

крепление в точке А, а однородная балка CD весом 6 кн с шар-
нирным креплением в точке С опирается на балку АВ в точке
В и несет на конце D груз М весом 1,2 кн. Определить реакции
шарниров Л и С и опоры Е, если СВ = 3 м, BD = \ м, BE —
= М, £АСВ = 45°:

Ответ: Хл = 2,80 кн; YA —— 0,65 кн; Хс — — 2,80 кн;

Ус = 4,40 кн; Д/£ = 6,45 кн.

Задача 173 (рис. 136). Две однородные балки АС и СК сое-
динены шарнирно. Определить усилие в стержне AD, реакции
опоры В и шарниров С и К, если
веса балок АС и СК соответственно
равны 500 н и 100 н; АС = 4 м,
ВС= \ м.

Ответ: TAD — 0;	кн;

Хс = 0; Хк = 0; Yc = ±0,3 кн;

YK — 0,3 кн.

Задача 174 (рис. 137). Однород-
ная балка АВ весом 500 н опирается

на две гладкие опоры А и
с балкой BD, вес которой

С, а в точке В соединена шарнирно

1

Рис. 137

кн. В точке Е на балку АВ дей-
ствует сила F= \ кн. Определить
реакции опор А и С, шарниров
В и D, если а —60°, АВ — 4 м,
АС — Зм, АЕ—1 м.

Ответ: YA —— 411 н;

Х£ = ±500 н; Xd —— 500 н,
Yc — 44,1 н; Уд = 0; YD—1 кн.

Задача 175 (рис. 138). Однород-
ная горизонтальная балка АВ ве-
сом 1 кн опирается на гладкую

опору С и поддерживает однородную балку DE весом 2 кн. На бал-
ку DE в точке Е действует вертикальная сила Q, равная по вели-

чине 0,5 кн. Определить реакции шарниров D и В, опоры С и
Давление в точке А, если AD= a~DE, АВ — Зм, ВС — 1м, а,—30°.
Ответ: XD~ 1,50]^3 =2,60 кн', YD—1 кн: Хв — — 0,15 Уз =
=— 0,26 кн: Yв —— 3,50 кн, Nл = 3 кн: Nc — f> кн.

Задача 176 (рис. 139). Решить задачу 175 при условии, что

сила Q направлена горизонтально.

Ответ: NA —3,73 кн: Nc = 7,\0 кн: Хв =—3,23 кн:

Ув= —4,23 кн: ХО = 2,73 кн: Yо~0,134 кн.

Задача 177 (рис. 140). Однородная балка ВС весом 3 кн опи-

рается в точке D на гладкую опору и соединена шарнирно с од-
нородной балкой АВ весом 1,5 кн, на которую действует посред-

Рпс 140

Задача 178 (рис. 141).

ством нити, перекинутой через
идеальный блок, груз F весом
0,9 кн. Определить реакции шар-
ниров В и С, опор А и D, если
а = 60°, АЕ = ВЕ, ВС~4 м,
BD—1 м.

Ответ: Л7А= 1,53 кн:

Nd=1,9Q кн: Хв = ±0,9 кн:
= ±30 н; Хс =— 0,9 кн:

Yc = 1,01 кн.

Три однородные балки соединены

между собой шарнирами, причем горизонтальная балка АВ весом

500 н опирается точкой К на глад-
кую опору. Балка CD в ее середине
нагружена горизонтальной силой Q,
равной по величине 200 н. Каждая из
балок ВС и CD весит по 300 н. Опре-
делить .реакции всех шарниров и опо-
ры К, если АВ = 4 я, ХВ=1 м.

Рис. 141

Ответ: ХА — — 200 н: Y4 = 50 н: Хв = ± 200 н; YB = ± 350 н:
Хс = ± 200 «; Уг = ± 50 н; Хр = 0; Уо = 250 н,
NK = 800 н.

Задача 179 (рис. 142). Горизонтальная балка АВ весом Р заде-
лана концом А в стену, а шарниром В соединена с вертикальной
балкой ВС того же веса, опирающейся на подвижную вертикальную
опору своим концом С. Определить реакции в точках^Л, В, С,
если на балку ВС действует пара сил с моментом т, а АВ — ВС = а

Ответ: Хл = -	; УЛ = 2Р; тл = * аР: Хв = ^^-

YB^±P: Nc=-^.
Задача 180 (рис. 143). Две однородные балки — АВ весом
Р и СВ весом Q — соединены между собой шарнирно. Балка АВ
горизонтальна и концом А заделана. Балка СВ составляет с

балкой АВ угол а и концом С посредством катка свободно опи-
рается на стену. Определить реакции опор, если АВ = 2а.

Ответ: Хл = — $ ctg a; Y А = Р Q; тА — (Р -j- 2Q) а;

XB=T_4ctga; VB=:'Q; X^^ctgo-.

Задача 181 (рис. 144). Две однородные горизонтальные балки
АВ и CD соединены с вертикальной балкой ВС при помощи шар-
ниров. Конец А балки АВ заделан в стену, а конец D балки CD

закреплен шарниром. Определить реакции шарниров и заделки,

если вес каждой балки равен Р, а длина 2а.

Ответ: Хл = 0; YA = ^-\ тд = ЬаР\
Хв = 0; YB = ±^- Хс = 0;

Кс = ±4; Хо = 0; Yd= { .

Задача 182 (рис. 145). Две однородные
балки — АВ весом Р и ВС весом Q — шар-
нирно соединены между собой и закреп-

лены на концах при помощи шарниров	Рис- D5

так, что балка АВ горизонтальна, а ВС

вертикальна. На шарнир В действует сила F под углом 7 = 30''

к вертикали. Определить реакции шарниров А, В и С, считая,

что сила F в одном случае приложена непосредственно к балке
АВ, в другом — к балке ВС.

Ответ: в обоих случаях:

=	=	*с=0; yt=Q-i-P+^;
в первом случае:

Хв = 0, FB = ±1(P + FK3);
во втором случае:

Задача 183. Труба АВ длиной I опирается концом А на гори-
зонтальную плоскость, а точкой С — на гладкую вертикальную
опору высотой а — ~ (рис. 146, а). Найти наименьшую величину

коэффициента трения между трубой и плоскостью, при котором

возможно равновесие, если угол наклона трубы
к горизонту а = 60°.

Решение. Рассмотрим равновесие трубы. На
трубу действует задаваемая сила — вес Р. Свя-
зями являются опоры в точках А и С (рис.
146, б). Реакция Rc в точке С направлена,
перпендикулярно к АВ. Реакция в точке А
имеет две составляющие: нормальную Лгл и ка-
сательную — силу трения F. Выбрав координат-
ные оси, как показано на рисунке, имеем сле-
дующие уравнения равновесия трубы:

^Fkx = F — Rc sin a = 0;

= Na - P + Rc cos a = 0;

£mA (Fk) = — P — cos Rc- AC = Q.

Из этих уравнений определим

n Pl COS a Pl COS a sin a
Kc — ~2AC~ ~~ Га ’

„г,	Pl cos a sin2 a

г = Rc- Sin a —=----------------

n n	n Pl COS2 a Sin a

Na = p — Rc cos a = P----------------T------

Напишем условие равновесия при наличии трения

Следовательно,

Pl cos я sin2 a
2a

< ___I cos2 я sin a'

1 2a

отсюда

I COS a sin2 a
2a — I cos2 a sin a ’
-r	I

Так как а = -^, то

Г COS a Sin2 а

'	1 — COS2 2 sin а 

Подставляя численные значения, найдем искомый коэффициент
трения

/5=0,48.

Задача 184. Доказать, что балка, прислоненная к вертикаль-
ной стене, не может находиться в равновесии, если между ней
и полом нет трения, а трение между балкой и стеной существует.

Задача 185. Однородная балка опирается одним концом на
гладкий пол, а другим — на негладкую наклонную плоскость,
образующую с горизонтом угол а. Найти, при каком угле а балка
будет находиться в равновесии, если коэффициент трения ее о
наклонную плоскость равен f.

Ответ- a^arctg/.

Задача 186. Решить предыдущую задачу, считая, что пол яв-
ляется негладким, а стена — гладкой. Угол, образуемый балкой
с полом, равен р.

Ответ-.

при	равновесие будет при любом а.

Задача 187 (рис. 147). На эксцентрик кулачкового механиз-
ма действует пара сил с моментом т. Определить, какую силу

F надо приложить к штоку (в зависимости от угла <р поворота
эксцентрика) для равновесия системы, если коэффициент трения
Между эксцентриком и штоком равен f, радиус эксцентрика г,
®ксцентриситет е. Трением между направляющими и штоком и
весом частей механизма пренебречь. При каком угле сила F
имеет наименьшее значение?

Ответ: F =--------~ гР, Fmm при <p = arctgf

е cos <р -j- (г е sin ф) / ’	г г ° '

Задача 188 (рис. 148). Двойной клиновой захват для деталей
с отверстиями состоит из трех клиньев А, В и С. Каким должен
быть угол а скоса клиньев, чтобы можно было поднимать детали,
коэффициент трения которых о клинья А и В равен /? Трением
клина С о клинья А и В пренебречь.

Ответ: asgarctg/.

Задача 189 (рис. 149). Определить суммарное усилие в рас-
порках захвата, несущего максимально возможный груз Р, если

распорки параллельны между со-
бой, а детали АВ и CD верти-
кальны. Коэффициенты трения
по плоскостям соприкосновения
АВ и CD равны /. Весами де-
талей захвата пренебречь.

Рис. 149	Рис. 130

Ответ: суммарное сжимающее усилие во всех распорках равно

РУ 1 +/-
4f 

Задача 190 (рис. 150). Ящик М весом Р удерживается сила-
ми трения с помощью клещевого захвата. Определить давления,
производимые концами D и Е захвата на ящик, если ширина
ящика О£ = 2а; АВ = ВС = 2а\ Н = 4а; /. ОАВ = £ ОСВ =
/ АОС= 120°.

Каким должен быть наименьший коэффициент трения? Весом
деталей захвата пренебречь.

Ответ.: ND=NЕ—^Р\ /Шт = 0,8.

Задача 191 (рис. 151) Ящик М весом Р удерживается сила-
ми трения с помощью клещевого захвата. Определить давления
78
на ящик в точках Е и F, а также сжимающее
нительном стержне CD, если расстояние между

усилие в

CD

2а, ширина ящика

= DB = h,
АО В — 60°.

EF = 2c- СА =

L ОАС= Z =90;
Высота захвата ящика

над уровнем соединительного стержня
равна Ь. Весом деталей захвата и кри-
визной участков АС и BD пренебречь.

Ответ: NP=N

2/J 3 — 3(а —с)

6b

Р-,

s___ /3 (&	2/г) — 3 (а — с) р

'	6й

Задача 192 (рис. 152). Клиновой
захват состоит из двух клиньев А и В,
распираемых цилиндром С. Каким дол-
жен быть коэффициент трения клиньев
о поднимаемую деталь, чтобы при
заданном угле а = 5° скоса клиньев можно

соеди-
равно

осями

Рис. 151

было ее поднять? Ве-

сом клиньев, цилиндра, трением скольжения и качения цилиндра
пренебречь.

Ответ: / 2= tg а = 0,0875.

Задача 193 (рис. 153). Два однородных кубических ящика А
и В весом Р и Q установлены один на горизонтальной шерохова-
той плоскости с углом трения ®,

Рис 152

другой — на
наклоненной

гладкой плоскости,
горизонту под

Рис 153

углом а. Ящик В ребром касается грани ящика А, причем пло-
скость рисунка является вертикальной плоскостью материальной
симметрии. Определить зависимость между весами ящиков при
равновесии. Где находится точка К приложения равнодействую-
щей нормальных сил реакций горизонтальной плоскости, если
ребра ящиков равны а и b соответственно?

Ответ: QtgassPtg?; О/С = у-р р—

Задача 194 (рис. 154). На барабан ворота намотан трос, к
Концу которого подвешен груз весом 4,5 кн. Определить наимень-
шую величину силы Р, приложенную к рукоятке колодочного
тормоза при равновесии барабана, если коэффициент трения
скольжения равен 0,5. Размеры указаны на рисунке. Весом ру-
коятки пренебречь.

Ответ: Р=150 н.

Задача 195 (рис. 155). Какие равные по величине силы Fi и
F<i следует приложить к рычагам колодочного тормоза, чтобы
удержать в равновесии вал, к которому приложен вращающий

момент т= 160 н-м, если коэффициент трения равен 0,2? Раз-
меры указаны на рисунке.

Ответ: F 2^800 н.

Задача 196 (рис. 156). Какой силой F надо прижать фрик-
ционный шкив А к шкиву В, чтобы шкив В находился в равно-
весии, если вес груза Р равен 500 н, коэффициент трения равен
0,5 и ~ =2?

Ответ: F^500 н.

Задача 197 (рис. 157). На цилиндрические катки, образующие
фрикционную передачу, действуют равные по величине прижи-
мающие силы Qi и Сф Определить	f

величину этих сил в условиях

Рис. 157	Рис. 158

ток / действует пара

между катками равен
Ответ:

сил с моментом коэффициент трения
/, радиус катка 1 равен 7?ь
Задача 198 (рис. 158). Колесо тормозится двухколодочным
тормозом с уравнительным механизмом нажатия колодок. Опре-
делить тормозной момент, если на конец рычага OiB действует
перпендикулярно к нему сила Р, равная по величине 200 н.
Коэффициент трения колодок о барабан f = 0,5; 2R — OlO> =
= KD =DC = OtA =KL = O,L = 50 cm; OvB = 75 cm; AC = OiD =
— O^K — \OQ cm; ED —25 см. Весом деталей тормоза и размера-
ми колодок пренебречь.

Ответ: /Ит = 300 н-м.

Задача 199 (рис. 159). В двухколодочном тормозе определить
при указанном направлении вращения барабана тормозной мо-
мент, приложенный к барабану, если
на рычаг CD действует пара сил с мо-
ментом /п = 200 н • м. Коэффициент тре-

Рис. 159

ния колодок о барабан /==0,5; ОД = ОВ = 30 см; AC — AD =
= 10 см, радиус барабана 7?=15 см, /_ВАС = 60°; £.ADE =
= /_АСР — ‘УУ. Весом деталей тормозного устройства и разме-
рами колодок пренебречь.

Ответ: МТ = 173,3 н-м.

Задача 200 (рис. 160). В тормозе с внутренними колодками,
прижимаемыми к ободу барабана посредством рычага ОА, опре-
делить при указанном направлении вращения барабана тормозной
момент, если длина рукоятки ОЛ=а, стержни ВО и СЕ парал-
лельны и образуют с рукояткой О А углы 30°, OK — OF — OL —
= ОМ = г, ОВ = ОС — Ь, коэффициент трения колодок о барабан/.
Сила, действующая на рычаг, равна Р. Весом деталей и разме-
рами колодок пренебречь.

Указание. Считать усилия в оттяжках BD и СЕ по величине

одинаковыми.

Ответ: МТ

__a/(r—&/3) р

Задача 201 (рис. 161). В тормозе с внутренними колодками
определить при указанном направлении вращения барабана тор-
мозной момент, если на рычаг АОВ действует сила Р=- 450 н,
коэффициент трения колодок
отжимающая рычаги OJD и

Рис 161

= Z ОВС = 90°, а в точке

о барабан f ==0,5, сила пружины,
0>Е при торможении, равна 100 н,

OA — 5Qcm, О В = 25 см, O\N —
=OlK=OiOi=4QcM, ОМ=20см,
плечи /г = 60 см, р = 90°, у=а =
= 60°. Весом деталей и размера-
ми колодок пренебречь.

Ответ'. МТ =1,413 кн-м.

Задача 202 (рис. 162). В тор-
мозе с внутр°нними колодками
К и L, прижимаемыми к ободу
барабана посредством рычагов
АО В, OiD, ОхЕ и конуса С,
длины плеч рычагов ОА и ОВ
равны соответственно а и Ь. Угол
при вершине конуса 2а, радиус
барабана г, коэффициент трения
колодок о барабан f. Определить
тормозной момент, если Z АОВ =
А перпендикулярно О А действует

сила Р. Весом рычагов и размерами конуса пренебречь.

Ответ: МТ =	Р.

Задача 203 (рис. 163). Для торможения вращающегося бара-
бана применяется Тормоз с внутренними колодками. При указан-
ном направлении вращения барабана определить силы трения ко-

Д U----Р

Рис. 162

лодок о барабан, если к концу рычага ACD приложена сила
Р = 320 н; сила пружины, отжимающая рычаги ОА и ОВ с ко-
лодками М и N, при торможении равна 100 н. Коэффициент тре-
ния колодок о барабан/ = 0,5; АС = ВС — a, CD —2а, ОК — 4а,
О,Л1 = ОО1 = О1М = 2,5а; Z ВАС= Z ЛВС = 30°, Z ЛСС = 120с.
Размерами колодок и весом деталей механизма пренебречь.

Ответ-. FM = 320 н;

Fa = 768 н.

S2
Задача 204 (рис. 164). Тормозной предохранитель для подъемни-

ков работает от пружины L. Канат, на котором подвешена гру-
зовая клеть, прикрепляется в точке С. В случае обрыва каната
или поломки лебедки подъемни-
ка пружина, разжимаясь, повора-
чивает вокруг точек А и В
рычаги и D.2K, которые при-

жимают колодки к направляю-
щим клети Найти наименьшую
величину упругой силы F пру-

жины, достаточную для удержа-
ния клети в равновесии, если вес
ее с грузом равен Р, коэффициент
трения колодок о направляющие

клети равен /,
между рычагами
ми клети равен
= 4ЕД = 4В£

Ответ: Fmin =

а острый угол
и направляющи-
а, ADj=D>B =

Р (COSа—/sin а)
4/ sm а

Рис. 16-t

Задача 205. На рис. 165 показан клиновой зажим для каната.
Определить предельный угол скоса клина а, необходимый для
защемления каната, если углы трения металла о канат и метал-
ла о металл равны соответственно cpt и ©2. Весом зажима пре-
небречь.

Ответ:

Задача 206 (рис. 166). Груз М весом Q поднимается при по-
мощи клиньев А и В, имеющих угол скоса а. Определить паи-

Рис 166

меньшую силу Р, которую следует приложить к клину А при
подъеме груза, если угол трения между клиньями равен а
угол трения между клином А и горизонтальной направляющей
равен <р2. Трением в вертикальных направляющих и весом клиньев
пренебречь Принять

Ответ:	.

sm (а — <? J
Задача 207 (рис. 167). Цилиндр радиусом перемещается по
горизонтальной плоскости под действием некоторой силы Q, при-
ложенной в конце его вертикального диаметра. Коэффициент тре-
ния качения цилиндра о плоскость равен k. Определить, каков
должен быть коэффициент трения скольжения f, для того чтобы
цилиндр под действием данной силы Q катился без скольжения.

Рис. 167

Указание. Для того чтобы цилиндр катился без скольжения,
необходимо, чтобы Q<^Frp.

Ответ:

Задача 208 (рис. 168). Определить величину горизонтальной
силы Р, под действием которой тележка весом G движется рав-
номерно по рельсовому пути, если веса всех колес равны Q, их

Рис. 169

Участок нити АВ составляет

радиусы Д, а коэффициент тре-
ния качения колес о рельсы ра-
вен k. Принять АО — ОВ.

Ответ: Р = ——.

Задача 209 (рис. 169). Ка-
тушка радиусом R и весом Р
находится в равновесии на го-
ризонтальной плоскости. На
среднюю цилиндрическую часть
катушки радиусом г намота-
на нить, переброшенная через
идеальный блок А и несущая
на своем конце груз D весом Q.
с вертикалью угол а. Опреде-

лить момент сил трения качения и реакцию плоскости в точке
касания С.

Ответ: M=Q(7?sina— г) (при А1^>0 пара трения качения
стремится вращать катушку против хода часовой стрелки).

XC = ~Qsin a; YC — P~Qcos г.
§ 3.	Расчет плоских ферм

Рассчитать ферму — значит определить реакции опор и уси-
лия во всех стержнях фермы. Для того чтобы ферма была стати-
чески определимой, необходимо, чтобы число неизвестных состав-
ляющих опорных реакций не превосходило трех, а число стер-
жней $ и число шарниров (узлов) и были связаны соотношением
s = 2h — 3.

Расчет ферм можно производить графическим и аналитическим
методами. На примере решения нижеследующей задачи демонстри-
руется наиболее распространенный графический метод Максвел-
ла—Кремоны и аналитический метод Риттера.

Задача 210. Дана ферма, изображенная на рис. 170, а. Опре-
делить реакции опор и усилия в стержнях, если Pi—2 кн, Рг =
— 2 кн, Рл = 1 кн.

Решение.

Графический метод

1.	Установим, является ли данная ферма статически опреде-
лимой. Число неизвестных составляющих реакций равно 3 (в
опоре N неизвестна только величина реакции; в опоре М реак-
ция не известна ни по величине, ни по направлению). Число стерж-
ней фермы s=ll, число узлов и = 7. Ферма статически опре-
делима.

2.	Определим опорные реакции графически, путем построения
силового и веревочного многоугольников. Для этого прежде все-
го выберем масштаб сил и построим незамкнутый многоугольник
задаваемых сил Pj, Р2, Р3, приложенных к ферме (рис. 170, б).
Через точку В4 проводим прямую, параллельную линии действия
силы RN. Соединим вершины этого многоугольника с произвольной
точкой О на плоскости (полюсом) лучами а —1,1 — 2,2 — 3, 3 — 4.

В данном случае задаваемые силы непараллельны. Поэтому
построение веревочного многоугольника следует начинать с шар-
нира неподвижной опоры. Из точки М проводим прямую, парал-
лельную лучу а — 1, до пересечения с линией действия силы Pt
(точка Ai на рис. 170, а). Из А проводим прямую, параллель-
ную лучу 1 — 2, до пересечения с линией действия силы Р3 (точ-
ка Л2), затем проводим прямую, параллельную лучу 2 — 3, до пере-
сечения с линией действия силы Р3 (точка Л3), наконец, проводим
прямую, параллельную лучу 3 — 4, до пересечения с линией дейст-
вия реакции RN (точка Л4). Полученную точку Л4 соединим
с точкой М прямой 4 — 5, параллельно которой из полюса О
(рис. 170, б) проводим луч 4 — 5 до пересечения с линией дей-
ствия силы Rn в точке Ва. Вектор В4В5 в принятом масштабе
равен Rn, а замыкающий вектор BSBX= RM. Пользуясь масшта-
бом, найдем /?Л = 4 РЛ1 = 2,25 кн.
3.	Перейдем к построению диаграммы Максвелла — Кремоны.

Разобьем плоскость, в которой расположена ферма, на обла-
сти, ограниченные стержнями и линиями действия сил (рис. 170, в).

4.	Выберем положительное направление обхода (например, по
движению часовой стрелки) и построим замкнутый многоугольник
внешних сил (на рис. 170, г он изображен жирными линиями).
Начало и конец каждой силы обозначим теми буквами, какими
обозначены две смежные области, разграниченные линией действия
этой силы. При этом последовательность букв от начала к концу силы
должна соответствовать принятому направлению обхода. Напри-
мер, сила Pi будет обозначена RL, сила RM — OF и т. д.

5.	Строим силовые многоугольники для каждого из узлов
фермы, начиная с того узла, где сходятся два стержня, напри-
мер с узла OF А. Силовой треугольник для этого узла состоит из
силы RK, изображенной отрезком OF, и реакций стержней АО и
FA. Для нахождения этих реакций проводим через точку О пря-
.мую, параллельную ОА, через F — прямую, параллельную FA.
Точка пересечения этих прямых будет А. Длины отрезков ОА и
FA в масштабе определяют усилия в соответствующих стержнях.

Перейдем к следующему узлу, где сходятся не более двух
стержней с неизвестными усилиями, например к узлу ABLO. Для
нахождения точки В на диаграмме надо провести через точку А
прямую, параллельную АВ, а через L - прямую, параллельную
BL. Точка пересечения этих прямых и будет В. Теперь можно
перейти к узлу AFGCB, затем к узлам CDLB, DCGK.E. Предпос-
ледний узел КЕЕ является контрольным. Прямая КЕ на диаг-
рамме должна быть параллельна соответствующему стержню.

6.	Из диаграммы найдем величины усилий во всех стержнях
фермы Остается определить характер этих усилий. Для этого
следует установить направления реакций стержней на узлы. Если
данный стержень растянут, то реакции его на узлы направлены
от узла по стержню, а при сжатии — в обратную сторону.

Возьмем, например, стержень CD. Если рассматривать узел
CDLB, то, обходя его в принятом направлении, перейдем из обла-
сти С в область D. Направление вектора реакции данного стержня
на рассматриваемый узел будет соответствовать направлению пе-
ремещения от 'С к D, т. е. стержень CD сжат. Аналогично оп-
ределяется характер усилий в остальных стержнях. Окончатель-
ный результат приведен в следующей таблице (усилия сжатия
даиы со знаком «минус»).

Стержни	АО |	AF	АВ	ВТ	ВС	са	CD	DE	DI	EL	LK
У силие, кн	-2,о|	1,0	4,5	8,0	10,0	11,2	-11,3	0,0	2,0	—2,0	2,8

Аналитический расчет

1.	Определим реакции опор. Составим для этого уравнения рав-
новесия фермы как одного твердого тела (рис. 170, д):

Етм(Рк) = Р,2а | УЛ а-Р,2а - Pi3a-=Q.
Л'з задачи 211 212 213 214 215 216 217 218 219
/0)

Рис. 1716 (продолжение) (10—11)

Схема 10 11	12 13 14	15 16 17 18 19

№ задачи 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229
№ задачи 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240
Решая совместно эти уравнения, найдем

Хм = 2 кн; УA. = 2P3-; -3Pt -2Р, = 4 кн; У„ = — 1 кн;

отсюда RM— 1^5 = 2,24 кн.

2.	Определим усилия в стержнях фермы по методу Риттера.
Мысленно «разрежем» ферму на две части так, чтобы при этом
оказались перерезанными не более трех стержней. Рассмотрим
затем равновесие одной из частей фермы, причем действие отбро-
шенной части заменим действием реакций перерезанных стер-
жней. Будем условно предполагать, что все стержни растянуты,
тогда их реакции будут направлены в сторону отброшенной час-
ти, «Разрежем» ферму, например, по стержням GC, CD, DL
(рис. 170, е) и рассмотрим равновесие правой части фермы. Для
составления уравнений равновесия воспользуемся уравнениями
моментов относительно точек пересечения линий действия реакций.

Имеем

^тО1 (Ffc) = — Тща- Р2а = 0;

%mot (Fk) = T GChi — Р.а ~ Pt2a = 0;

^тОз (РА) = — TCDh2 - P.2a - P2 3a = 0.

Отсюда получим

TDL — Pt = 2 кн;

TGc = (Pi^r 2P2) ]/5=5ф 5 кн;

Тсо = ~(2Р.)-фЗР1)/2=-~8у'2 кн.

Знаки «минус» означают, что стержни DL и CD сжаты.

Задачи 211—240. Графическим способом определить реакции
опор и усилия в стержнях ферм, изображенных вместе с дейст-
вующими на них силами на рис. 171, 1—30 соответственно но-
мерам задач, если а = 30°, /ф = 1 кн; Р, = Р-,\ = 2 кн, Р4 = 3 кн,
Р6 = Р>=1 кн. Аналитическим методом определить реакции опор
и усилия в трех-четырех стержнях фермы.
ГЛАВА III

СИЛЫ, КАК УГОДНО РАСПОЛОЖЕННЫЕ В ПРОСТРАНСТВЕ

Произвольная система сил может быть в общем случае приве-
дена к одной силе R (главному вектору), равной геометрической
сумме всех сил и приложенной в произвольном центре приведения —
О, и к одной паре, момент которой Мо, называемый главным мо-
ментом, равен геометрической сумме моментов всех сил системы
относительно этого центра:

^РР, м0= £m0(Fk).

*=i	*=1

При изменении центра приведения главный вектор сохраняет
свою величину и направление (первый вариант), главный же мо-
мент изменяется, но так, что скалярное произведение Mo-R со-
храняет одно и то же численное значение для всех точек приве-
дения (второй инвариант).

Частные случаи:	_

1.	Система приводится к равнодействующей, если Л1о = 0,
R 0 или M0±,R.

2.	Система приводится к паре сил, если J? = 0, Л1о^0.

3.	Система приводится к динаме, если Л4о^0, R^O и эти
векторы не перпендикулярны друг другу. При аналитическом
задании сил ось динамы имеет уравнения:

_ Moy-(zRx-XRz) __M0-(xR-yRx)_

~	.1}

R-MQ

где р = ——параметр динамы.

4.	Система находится в равновесии, если Я = 0, (Мо) = 0.
Таким образом, для равновесия произвольной пространственной
системы сил необходимо и достаточно, чтобы для какого-либо
центра приведения О главный вектор R и главный момент Мо
были равны нулю.

Эти условия аналитически выражаются шестью уравнениями:

=	£^ = 0; £	=

n~l	(3.2)

mx(Fk) = Q-, ^my(Fk) = Q-, ^тг(Рк)^0.

к=1	Л = 1	k = \

Если на тело действует пространственная система параллель-
ных сил, то, направив ось Oz параллельно этим силам, будем
иметь следующие три уравнения равновесия:

2^ = 0;	j>,(^) = 0;	^my(Fk) = 0.	(3.3)

6=1	fe=i
Примечание. При решении пространственных задач следует имен,
в виду, что могут встретиться такие частные случаи расположения сил, что
некоторые из уравнений равновесия обратятся в тождества. Это произойдет,
например, в случаях, когда все линии действия сил пересекают какую-тибо
одну ось, либо все силы перпендикулярны какои-либо оси, и в некоторых
других случаях. Число неизвестных в таких задачах при их статической оп-
ределенности должно быть менее шести (см, например задачи 257 259, 261,
263, 265, 266, 267, 268, 272, 275).

Для нахождения момента силы относительно оси следует
спроектировать силу на плоскость, перпендикулярную к оси,
после чего найти алгебраический момент полученной проекции
относительно точки пересечения оси и проведенной плоскости.
Момент силы относительно оси считается положительным, если
при наблюдении с положительного конца оси кажется, что сила
стремится повернуть тело против движения часовой стрелки.

Если сила параллельна оси или ее линия действия пересекает

ось, то момент силы относительно оси равен нулю.

Значительно облегчает нахождение момента силы относитель-
но оси применение теоремы Вариньона, согласно которой момент
равнодействующей равен сумме моментов составляющих. Для при-
менения этой теоремы силу, момент которой требуется определить,

раскладывают на составляющие, одна из которых параллельна
данной оси, а другие две перпендикулярны. Нахождение момен-
тов этих составляющих обычно труда не представляет.

Если сила задана аналитически (т. е. заданы ее проекции и
координаты точки приложения), то для определения моментов

силы относительно координат-
ных осей пользуются формулами

mx(F) = yFz — zFl,
my(F) — zFx — xFz,
mz (F) - xFу yF x,

(3.4)

где x, у, z— координаты точки
приложения силы.

Задача 241 (рис. 172). На
прямоугольный параллелепипед
действуют силы Р и Q. Опреде-
лить моменты этих сил относи-
тельно координатных осей, если
О А —Зсм, ОС — 4 см, OL — Scm,
а величины сил равны 3 н.

Решение. Найдем тх(Р),
пользуясь определением момента

силы относительно оси. Для	Рис. 172

этого проектируем вектор Р на

плоскость ABED, перпендикулярную к оси Ох. Полученная проею
дия будет направлена по BE и равна по величине

Рх — Р COS а.
Учитывая, что

BE 5
cos Я = -ктх = —Z= ,

В К	/34

получим

Далее имеем

тх (Р) = тА (Pt) = АВ Pi =	— 10,28 н см.

Найдем теперь mv(P) Поскольку сила Р лежит в плоскости
ВЕКС, перпендикулярной оси Оу, то

т( (Р) = тс(Р).

В свою очередь

тс (Р) — — Ph,

где h — длина перпендикуляра, опущенного из точки С на линию
действия силы Р.

Для определения h заметим, что

S&kbc= KB-h = ‘ КС-ВС,

откуда

Таким образом,

mv(P) — — -^~— — 7,72 н-см.
''	/34

Аналогично найдем

т, (Р) == т0 (Pi) = -7= = 6,18 н-см.

Определим теперь тх(@). Для этого проектируем силу Q на
плоскость LKCO, перпендикулярную к оси Ох. Получим вектор
Q, направленный по диагонали LC и равный по величине



_ 3/41

— /50

н.

(а)

Согласно определению момента, имеем
tnx (0) = т0 (@) = — h&,
где hx — длина перпендикуляра, опущенного из точки О на ли-
нию действия силы О'.
Для определения ht заметим, что

5дОдс = \ hrLC= ’ OL ОС,
откуда

.	20

п. =----см.

| 41

Таким образом,
mx(Q) = — 6y'2 —— 8,49 н см.

Аналогично найдем момент силы Q относительно оси Оу:
ту(0)~-у =6,36 н-см.

Что касается m.(Q), то он равен нулю, так как линия дейст-
вия силы Q пересекает ось Oz

Решим теперь эту задачу, используя теорему Вариньона. Для
этого разложим силы на составляющие, параллельные осям.

Так как

p=Pi

то

Но тх(Ръ) — 0, так как линия действия силы Р<> параллельна
оси Ох, следовательно,

тх(Р)=тх(Р1) = АВ- Pi — 10,28 н-см.

Разложим теперь силу Q на составляющие, направленные па-
раллельно координатным осям:

Q—Q'

где Qi — составляющая, параллельная оси Ох.

Силу Qi, направленную по диагонали LC, разложим на две
составляющие: Qt - - по линии LK и Q, — по линии LO.

Таким образом,
$ = & + & + &.

Величину Qi определим из подобия треугольников:

Ql __ DL
Q LB '

откуда

Q'=Q^ = 9H)2 == 11273 «•

Далее найдем
Пользуясь (а), имеем

п 3/41	4	6 /2~	. спс

02 = —• -7=^- = —~— = 1,696 н,
/50 /41	•’

<2з = 3' ^=^L~=^=2,12w.

х LC /5о	/41	2

По теореме Вариньона,

тх (Q) = тх (СУ + тх (&) + т* (QQ-

Силы Qt и Qi моментов относительно оси Ох не дают, следо-
вательно,

тл (Q) — тх (Q,) = — OL-Qi = — 6/2 = — 8,49 н  см.

Аналогично определяются моменты относительно других осей.

Эту же задачу можно решить, используя формулы (3.4). Пред-
варительно найдем проекции силы Q:

Qx=Qi> Qy — Qf, Qz — — Qi

и координаты точки ее приложения:

Рис 173

*т = 0; yL = 0', zL — b.

По (3.4) имеем

тх (С) = yLQi — zi.Qi = — 6/2 =

—— 8,49 н-см,

mv (Q) = zLQi — xLQi =	=

= 6,38 н-см.

Аналогично находятся остальные мо-
менты.

Задача 242 (рис. 173). Определить
моменты сил, приложенных в вершинах

прямоугольного параллелепипеда, относительно координатных
осей. Размеры указаны на рисунке.

Ответ:

Момент си1ы	Силы			
	F1	Fa	F3	Fi
тх (FQ	0		Л8Й COS а	—7\с cos P
ту <-Тк)	-С/	0	— Psa COS а	Ftc sm p
тг (Fk)	0	0	Fib sina	0
Здесь

с	b

cos а = -	• cos В = -—	•

j/аЯ-с2	И"2 И*

sin а — —— ----• sin 3 = а

j/aa-^-c2	^a2-^-b2

Задача 243. Две одинаковые по величине силы F и F' направ-
лены соответственно по двум скрещивающимся осям х и х До-
казать^ что момент силы F относительно оси х' равен моменту
силы F’ относительно оси х.

Задача 244 (рис. 174). Дана треугольная призма, в основании
которой лежит прямоугольный равнобедренный треугольник Оп-

ределить моменты силы F, направленной по диагонали BD гра-
ни ABCD, относительно координатных осей, если DL — LC~a-,
Z BDC = 30°.

Ответ mx(F) — ~-, my(F) — 0, m,(F) — —•

Задача 245 (рис. 175). Дана правильная пирамида, в основа-
нии которой лежит квадрат со стороной а, а в углы наклона
ребер к плоскости основания равны а По ребру ВО действует
сила F, а по стороне основания ВС — сила Q. Определить момен-
ты этих сил относительно боковых ребер, сторон и диагоналей
основания

Ответ-.

Сила	Оси					
	АО	СО	DO	CD	AD	AC
F	0	0	0	Fa sin a	— Fa sm a	Fa |<2  2 Sin“
Q	Qa sin а	°	Q a sin я	0	0	0

4 Н, А. Бражниченко и др

97
Задача 246. На куб со стороной а =-10 см действуют силы,

показанные на рис.

176. Величины всех сил одинаковы и равны

Л=10н. Привести эту систему сил
к простейшему виду.

Решение Задачу будем решать
аналитически. Проведем систему осей
Ах, Ay, Az, взяв за начало коорди-
нат точку А. Определим координаты
точек приложения сил:

Xi — а;  Хз = а;	У1 =• а-,	г3 = а;
х^ = а-,	Уз=-0;	г( = 0;
х4 = 0;	Ui = а;	z,L = а;
Хг, — 0;	Уъ = 0;	г8 = 0.

Найдем проекции сил Fk на оси координат:
Flv = 0^ F)v = 0; _Flz = F-,

F.lx = -F^ F3,=F^; Fiz=0-,

r _ г 1^2 .

lix--F-r,

Fix — F;
,, 1
F—FVc

F„=F^-- F„=0;

F^ = 0; Fie = 0;

f'-=F4

Для нахождения проекций Fs эту силу разложили предвари-
тельно на составляющие вдоль AD и АМ и учли, что

Р2
cos « = -=

4'3

I
sm г=—-
/з

Найдем проекции главного вектора на координатные оси:

^=^=/=(-^-^-4-’+^) =0,163/-'== 1,63 Н-,
Rv = ^Fky^F^ + ^--Y^}=\,^\F=^^\ Н-

Рг = ^Fkz = F [ 1 _ы	= 1,577F = 15,77 н.

Определим главные моменты системы относительно координат-
ных осей:

МАх = S {ykFbz - zkFky) = 0,293/щ = 29,3 н  см-,
МАу = S (zkFkx - xkFkz) = - 0,707Fа = -70,7 н  см-
(xkFky -ykFkx) = 0,4147а = 41,4 н-см.
Таким образом, главный вектор и главный момент оказались
отличными от нуля. Составим скалярное произведение главного
вектора на главный момент (второй инвариант):

-}— R-уМду —(- /?гЛ1д2 = — 0,70 /аП = — 707 н2 • см.

Отсюда видно, что векторы R и МА не перпендикулярны друг
другу, следовательно, система сил приводится к динаме. Уравне-
ния оси динамы (3.1):

29,3 — 15,Пу 4-19,91 z _ — 70,7 — 1,63г 4-15,77г _ 41,4 — 19,91x4- l,63j>

1,63	—	19,91	~	15,77

Найдем параметр динамы по формуле

R  МА R- МА
Р = =

Имеем

707	1 ПО1

Р = — -647J = — 1 >091 см-

Задача 247. Система сил задана проекциями сил и координа-
тами точек их приложения (силы — в килоньютонах, расстоя-
ния — в метрах).

k		I	2	3	4	5	6
Проекции сил	Fkx	0	2	1	2	0	1
	Fky	2	0	1	1	—1	—1
	kz	—3	—1	0	1	2	—2
Координаты точек приложения сил	xk	1	1	—1	0	0	—1
	Ук	2	2	—1	2	0	1
	Zk	1	3	0	—1	2	0

Привести систему к простейшему виду.

Ответ: система приводится к динаме, уравнения оси которой:

9x~p3t/ + 20z —25 = 0;

4х — 15г/ — 2г 4~ 19 = 0.

Главный вектор R = 1 кн. Параметр динамы р =— ~ м.
Задача 248. Система сил задана проекциями сил и координатами то-
чек их приложения (силы — в килоньютонах, расстояния — BMcipax;.

k		1	2	3	4
	Fkx	0	1	—1	—2
Проекции сил	fev -	1	0	1	— 1
	Fk!	2	—1	0	1
	xk	1	2	0	—2
Координаты точек приложения сил	Уь	—1	0	1	—1
		0	1	2	0

Определить статические инварианты системы сил. Привести
систему сил к простейшему виду.

Ответ: R = 3 кн; R  Мо=15 кн2-м. Система приводится к
динаме, уравнения оси которой:

4х — 2у 5z 5 — 0;
х-[-4у — z + 5 = 0.

Параметр динамы р = ~ м.
и

Задача 249 (рис. 177). По ребр

пипеда действуют четыре силы:

Р> =

2 кн,

ам прямоугольного параллеле-
Р2 = 3 кн, Р3 = 4 кн,
Р4 — 5 кн. Определить статиче-
ские инварианты этой системы сил.
К какому простейшему виду мож-
но привести эту систему? Размеры
указаны на рисунке.

Ответ: R = 3,74 кн,
R-M0 — l кн*-м.

Систему можно привести к ди-
наме, уравнения оси которой:

6х — Зу 5г — 36 = 0;

10% + 2у + 6z - 39 = 0.

Параметр динамы р = у м.

Задача 250. Определить, будет ли уравновешена система сил

Pk (&=1; 2; ...; 6), приложенных к центрам мотылевых шеек ко-
ленчатого вала и направленных от оси вала перпендикулярно к
нему, если величины всех сил одинаковы и равны Р, а расстоя-
ния между центрами мотылевых шеек равны а. Мотыли распо-
ложены так, как показано на рис. 178.

Рис. 178

Решение: Для того чтобы установить, будет ли данная систе-
ма сил уравновешенной, определим главный вектор и главный
момент системы, взяв за центр приведения начало координат.

Найдем проекции главного вектора:

Rx = Жх = — Р* cos 30° + Р3 cos 30° — Р8 cos 30J +

Д-Р6 cos 30° = 0; Rv = £Fky = 0,

так как все силы перпендикулярны к оси Оу,

R? = £Ркг — Pi — Ръ cos 60° — Ра cos 60° — Pt 4- Р8 cos 60° Д-

-|-Pe cos 60° = 0.

Таким образом,

7? = 0.

Далее найдем проекции главного момента (алгебраическую
сумму моментов всех сил относительно соответствующих осей):

Мх = £тх (Fk) = — Рш cos 60° — 2Р3а cos 60° — ЗР4а -|-

-|- 4аР8 cos 60° -f- 5аР6 cos 60° = 0;

^ = ^(/4)= 0,
так как все силы пересекают ось Оу.

М2 = Хт2 (Fk) = Рш cos 30° — 2Р3а cos 30°

-|- 4аР8 cos 30° — 5аРв cos 30° = — РаК3 .

Таким образом, главный момент Мо направлен по оси Oz в
отрицательную сторону и имеет величину

М0 = РаУ^З.

Система данных сил приводится к одной паре.
Задача 251. Решить задачу 250 при условии, что мотыли
шестицилиндрового четырехтактного двигателя расположены по
схеме, указанной на рис. 179.

Ответ: система уравновешена.

Задача 252. Решить задачу 250 при расположении мотылей
по схеме, указанной на рис. 180.

Ответ: система не уравновешена, так как R = 0, Л40 = РоКз.

Задача 253. Решить задачу 250 при расположении мотылей
восьмицилиндрового четырехтактного двигателя по схеме, указан-
ной на рис. 181.	_

Ответ: система не уравновешена, так как R — 0, М0 = 2Ра\/2 .

Задача 254 (рис. 182). Станковый пулемет установлен на тре-

ноге ОАВС, причем двугранный
основанием равен ср. Вес пу-
лемета равен Р и приложен
в точке О. Ствол пулемета

угол между плоскостью О АС и

Рис. 182

составляет с горизонтом угол а и повернут по азимуту на угол
₽<^90° (по отношению к плоскости ВОЕ). Определить макси-
мальную силу отдачи F, при которой не происходит опрокидыва-
ния пулемета. Весом треноги пренебречь.

Ответ:
р =____________________________Р________

max COS a cos Р tg <? — sin а

Задача 255. На барабан шпиля весом 1,6 кн намотана якор-
ная цепь, имеющая натяжение Т =у20 кн (рис. 183, а). Барабан
удерживается в равновесии силой F, приложенной к шестерне С
и направленной по касательной к ней параллельно Т. Определить
величину этой силы и реакции подпятника А и подшипника В,
если радиус шпилевого барабана fi = 20 см, радиус шестерни
г, = 40 см, расстояние центра шестерни от подпятника равно
10 см. АВ —120 см. а линия

действия силы Т отстоит от пло-
скости шестерни на расстоянии
40 см. Толщиной шестерни пре-
небречь.

Решение. Рассматриваем рав-
новесие шпиля. На шпиль дей-
ствуют силы Р, F, Т. Связями
являются подшипник В и под-
пятник А. Освободимся от свя-
зей. Цилиндрический подшип-
ник не препятствует перемеще-
нию тела вдоль оси Аг, и,
следовательно, его реакция ле-
жит в плоскости, перпендику-
лярной к оси Аг. Разложим эту
реакцию на две составляющие,

Рис. 183

параллельные осям, Хв и YB

(рис. 183, б). Подпятник препятствует, кроме бокового смещения,

вертикальному перемещению, поэтому его реакцию можно разло-
жить на три составляющие ХА, YA, ZA.

Таким образом, барабан находится в равновесии под действием
сил Т, F, Р, ~ХВ, Yв, ХА, YА, ZA. Для этой системы сил, рас-
положенной произвольным образом в пространстве, имеют место
шесть уравнений равновесия. Неизвестных в задаче шесть: ХА,
Ya, Za, Хв, Yв, F — задача статически определима

Составим уравнения равновесия. Ось Ау направим параллель-
но силам F и Т. Имеем

"SJ7kx — ХА	Хв — 0;

^=^a + ^b + 7,-F = 0;

%Ркг = гА-Р = 0-,

£mx (Flt) = 10F — 50T — 120Ув = 0;

Zmv(F*) = 120XB = 0;

У/?гг(/'';4 = 20Т--40Т = 0.

Решая эту систему, получим

F=10 кн, ХА — 0, Ya = — 2,5 кн'. ZA—\,6 кн,
Хв = 0, Yв — — 7,5 кн.

Знаки «минус» для реакций YA и YB означают, что действи-
тельные направления этих реакций противоположны принятым.
Задача 256. Прямоугольная плита ABCD весом Р укреплена
в горизонтальном положении с помощью шарнира А, стержней
CN, СК и троса BS (рис. 184, а). Пренебрегая весом стержней
и считая все соединения шарнирными, определить реакцию в точ-
ке А, усилия в стержнях и тросе, если к точке В подвешен груз
М весом О. Точки А, В, С, D, L, Е, F, К расположены в вер-

шинах прямоугольного параллелепипеда со сторонами GD — За;
СВ — 4а; СЕ —5а. Точка S крепления троса находится на про-
должении линии FD и Z SBD = 45°.

Решение. Рассмотри^ равновесие плиты. На нее действуют
задаваемые силы Р и Q. Связями являются шарнир А, стержни
CN, СК и трос*2?5 Освободимся от связей. Направление реак-
ции шарнира А заранее не известно. Поэтому разложим RA на
три составляющие: ХА, УА, ZA, направленные по осям, указан-
ным на рис. 184, б (заметим, что от выбора осей существенно
зависит простота составления и решения уравнений равновесия).

Поскольку весом стержней пренебрегаем и крепления счи-
таем шарнирными, то реакции стержней направлены вдоль этих
стержней, т. е. стержни будут находиться в условиях либо сжа-
тия, либо растяжения (но не изгиба, кручения и пр.). Удобно
принять условно, что все стержни, например, растянуты. Прини-
мая это предположение, направим реакции в сторону отброшенных
стержней и_ обозначим их через 7} и Тл. Реакцию троса обозна-
чим через Tt.

Таким образом, плита находится в равновесии под действием
пространственной системы сил Р, Q, ХА, УА, ZA, Tlt Тг, Tit
для которой имеют место шесть уравнений равновесия. Неизвест-
ных в задаче шесть: Хд, Y А, ZA, Tit Тъ Л —задача статически
определима. __

Силы Tt и Т3 удобно предварительно разложить на составля-
ющие, направленные вдоль выбранных координатных осей. Именно:

т3=7* + т3,

причем сила Т2, направленная по BD, в свою очередь расклады-
вается на составляющие:

т$ = т^г2.

Замечая, что cos Z_DBC = z ; cos / DBA = у, будем иметь

р» р J/2 _ р. р* 3  3/2 р .

* 2	1 2 2 ? * 2	$ 5	* 2»

fptf   гр-& 4   2)/^2 гр . rprtf   2 гр

i 2   h J “5— 7 2, 1 2   “2” * 21

Далее,

Л=П + Л",

причем сила Т*, направленная по диагонали С А, в свою очередь
раскладывается на составляющие:

т^п+тг

Замечая, что

cos / АСК = cos Z.DCA=~, cos Z.ACB = 4-,
Z	о	о

будем иметь

рж р '	1^2 р . р' р* 3	_ 3 ]/2 р .	рж 4_2^2 р

/з —Ъ—-у-Ъ» уз —-Gy —	;з’ уз — G у — -у- Ъ

(направления составляющих указаны на рисунке).

Составим уравнения равновесия плиты:

2^ = Хд + Т3 + Тз = Хд + ^- Л + ^Дтз = 0;

^=гд+л+т;-п=гд-[- т1+ф-л-^т3=о

^Fkz =.ZA~P~Q + T'i’-T3=ZA-P-Q +

^mx (Fk) = -~ P2a — T3 Aa = — 2Pa — 2/2 Ta = 0;

2m,(/) = P^--ZA.3a = 0;

(Fk) = YA3a - T34a = ЗУД a —	T3a — 0.
Рис. 185

Решая эту систему уравнении, получим

Л =	Л = Т3 = -^ Р;

хл = —YA = -^P; ZA = ^.

Знаки «минус» 7\ и Т3 показывают, что соответствующие стерж-
ни не растянуты, как это предполагалось, а сжаты.

Задача 257 (рис. 185). Лестница опирается на гладкую стену
на высоте h и концом D упирается в выступ, находящийся на
гладком полу и отстоящий от стены на
расстоянии а. Определить реакции в точ-
ках А, В, С, D, если вес лестницы равен
Р и приложен в ее центре.

Omeenv. ZA = ~; Y B=Q; Yc = ^;

Y ——7 —IL
2h' n— 2 •

Задача 258 (рис. 186). На токарном
станке обтачивается цилиндрическая де-
таль. Считая вес детали равным 400 «,
определить, какой вращательный момент
М должен быть приложен к детали, чтобы
удержать ее в равновесии, если на нее
со стороны резца действует сила F, при-
ложенная в точке К, лежащей на гори-
зонтальном диаметре детали. Эта сила
оси Ах, Ау, Аг, равные соответственно

Fx =— 3 кн, Fv = 2,4 кн, F^—12 кн. Найти также реакции
в точках А и В в зависимости от координаты х, определяющей

имеет пооекнии на

положение резца относительно точки А. Трением пренебречь.
Размеры указаны на рисунке.

Ответ: М — 480 н-м; Хд = 3 кн; Уд = (30х— 2550) н;

ZA = (—11,8-f-O,\5х)кн; Хд + Хв = 3 кн;

Ув = (150—ЗОх) н; Z£ — (200 — 150х) н;

х — в сантиметрах.
Задача 259 (рис. 187). Храповое колесо и барабан лебедки
жестко насажены на общий вал АВ длиной 80 см. На барабан
намотана веревка, несущая
груз М весом 3 кн. Опре- 1 г
делить опорные реакции
подшипников Л и В и уси-
лие в стопорной собачке
ED, составляющей с гори-
зонтом угол а —60°, если
свешивающаяся часть ве-
ревки делит барабан по-
полам. Радиус барабана
10 см, радиус храпового
колеса 20 см, вес барабана
с валом 2 кн. Края бара-
бана удалены от подшип-
ников на 10 см. Расстоя-
нием между храповым колесом и барабаном, весом собачки, хра-
пового колеса и веревки пренебречь.

Ответ-. SED = 3 кн-, ХА =—1,312 кн; ZA = 4,77 кн;

Хв =— 0,1875 кн; ZB — 2,82 кн.

Задача 260 (рис. 188). При повороте шлюпки на ее руль дей-
ствует сила давления воды Q = 400 н, направленная перпендику-
лярно к плоскости пера руля и приложенная в точке F. Вес
руля Р— 100 н и приложен в точке Е. Определить в условиях

равновесия реакции опор Л и В, а также величину силы X, при-
ложенной к румпелю CD под углом 3 = 120° и лежащей в гори-
зонтальной плоскости, если ДК = 30сж, АВ — 60 см, СВ — 20 см,
CD = 60 см, ЕК=15 см, ЕЕ = 30 см.

Ответ; 5 = 346 н; Хл = 300 н; Yл = 33 н; ZA= 100 н;

Хс = 400 н; YB = — 206 н.

Задача 261 (рис. 189). Однородная пластина весом 9 кн, имею-
щая форму равностороннего треугольника, петлями А и В зак-
реплена на горизонтальной оси, а вершиной С опирается на
гладкую вертикальную стенку, параллельную отрезку АВ. Пло-
скость АВС составляет с горизонтальной плоскостью угол 30°.
Определить реакции петель и стенки, зная, что точка приложе-
ния веса пластины находится в точке пересечения медиан. Раз-

мерами петель пренебречь.

Ответ: Nc — 5,2 кн; УА =— 2,6 кн; ZA = 4,5 кн;

Ув = —2,6 кн; ZB = 4,5 кн.

Задача 262 (рис. 190). Тело весом Р, подвешенное к самолету,
имеет форму цилиндра и удерживается тремя захватами Л, В, С
и стопором D. Захват А удерживает тело только от падения и

Рис. 190

бокового смещения и располо-
жен на верхней образующей на
расстоянии с от вертикали, про-
ходящей через центр тяжести К.
Захват В, имеющий то же наз-
начение, что и Л, и захват С,
препятствующий только паде-
нию, расположены симметрично
верхней образующей на расстоя-
нии d друг от друга в плоско-
сти, отстоящей на расстоянии b
от захвата Л. Стопор D, пре-
пятствующий только продоль-
ному смещению, расположен на
верхней образующей.

Определить реакции захватов

и стопора при равномерном пря-
молинейном горизонтальном полете самолета, если на тело при
этом действует сила лобового сопротивления Т, направленная
вдоль его оси, а в точке Е на оси, удаленной на расстояние а
от центра тяжести К, приложены вертикальная подъемная сила Q
и боковая аэродинамическая сила F. Вертикальным смещением
точек В и С от верхней образующей пренебречь. Принять для
расчета Р = 50 кн; Q = 5 кн, F—Ikh, 7 = 0,8 кн, г = 8 см,
d = 6 см, а =10 см, с = 20 см, Ь = 40 см.

Ответ: УА =— 0,25 кн; ZA — 23,91 кн; Ув = — 0,75 кн;

ZB — 9,212 кн; 7^=11,878 кн, XD — Q,8 кн.

Задача 263 (рис. 191). Однородная прямоугольная крышка
люка весом 600 н удерживается в равновесии под углом а = 30°
силой F, приложенной перпендикулярно к крышке в точке Е.
Определить величину- этой силы и реакции подшипников Л и В,
если СЕ = 20 см, DC = 60 см.

Ответ: В = 260 н; Хл = 43,3 н; Z4 = 225 н; Хв = 86,6 н;
ZB — 150 н.

Задача 264 (рис. 192). Коленчатый вал может вращаться в
подшипниках А и В. На конце вала насажена шестерня радиу-
положенного колена
перпендикулярной к

сом R = 20 см. В центре D мотылевой шейки горизонтально рас-
приложена сила F, лежащая в плоскости,
оси вала, под углом а — 30° к вертикали

Рис . 191

Определить величину силы Q, приложенной к шестерне парал-
лельно оси Ау при равновесии вала, и обусловленные силами F
и Q реакции подшипников А и В, если Е = 20 кн, ED=15 см,
а =15 см, Ь = 20 см, с —25 см.

Ответ: Q— 12,99 кн, Yл = — 22,9 кн: ZA~Q,64 кн,
Yв——111 н, ZB = 7,70 кн.

Задача 265 (рис. 193). Коленчатый вал может вращаться в
подшипниках А и В. На него действует сила Р, равная по вели-

чине 30 кн, направленная под углом а= 10° к вертикали и ле-
жащая в плоскости, перпендикулярной оси вала. Определить мо-
мент Л1 пары сил, которую следует приложить к валу для его
равновесия, а также реакции подшипников А и В, если плоскость
DEGF образует с горизонтальной плоскостью угол = 60°, DE =
= 20 см, FB = AD—FD — 40 см. Весом, вала пренебречь.

Ответ'. Л1 = 3,86 кн-м: Y A = Y а =— 2,61 кн;

ZA — ZB — 14,8 кн.

Задача 266 (рис. 194). Симметричный кран весом Р = 20 кн
удерживается тросом EF, составляющим с горизонтом угол а =
= 30° и имеющим натяжение, равное 28 кн. Вылет крана Ь — 2 м,
расстояние от его центра тяжести G до вертикали, проходящей
через неподвижный шарнир С, а = 0,6 м. Определить реакции
шарнира С и подвижных опор А и В, если ДВ = 1,2 м, КС —
= 1,5 м, KF = 0,9 м, Q=15 кн.

Ответ: Хс = 0, Yc — 24,2 кн, Zc = 38,6 кн, Nд = Кв = 5,2 кн.

Задача 267 (рис. 195). Мачта ОА весом 1,2 кн закреплена в
подпятнике А и подшипнике В. К вершине мачты прикреплены

тросы ОС, OD и ОЕ, натяжения которых соответственно равны:
TC — TD = 600 н; Т£ = 300 н. Кроме того, дано: ЛВ = 0,8 м.
ОД = 4 м, углы а=р = 60°, у = 30°. Определить опорные реак-
ции.

Ответ: ХА — 0, Yд= 1,038 к«; ZA — 2,39 кн: Хв = 0;

YB = — 1,298 кн.

Задача 268. Решить задачу 267 при условии, что Тг — 600 н,
То = 800 н.

Ответ: ХА —— 400 и; YA = 1,038 кн: ZA = 2,56 кн,
Хв = 500 н: YB = — 1,298 кн.

Задача 269 (рис. 196). Коленчатый стержень ACDE изогнут
так, что плоскость колена ACD горизонтальна, а плоскость ко-
лена CDE вертикальна. Стержень закреплен в точке А с помощью
неподвижного шарнира, в точке В свободно проходит через под-
шипник, а в точке Е удерживается горизонтальным тросом ЕК,
параллельным АС. Определить реакции шарнира А, подшипника
В и натяжение троса, если стержень нагружен вертикальной си-
лой Р и парой сил, лежащей в горизонтальной плоскости и имею-
щей момент т.

Принять: АС —40 см; ВС = 20 см; CD = 60 см; DE — 40 см;

Р =100 н; т = 600 н-см; Z, ACD — 2. CDE = 90°. Весом стерж-
ня пренебречь.

Ответ: Г = 200 н; Хл = — 430 н; YA — 0; ZA= — 200 н;

Хд = 630 н; ZB = 300 «.

Задача 270 (рис. 197). Коленчатый стержень ADEK укреплен
в горизонтальной плоскости в подшипниках А, В, Си нагружен

лить реакции подшипников, если Z. ADE— DEK — 000,
AD = 20 см, BD — 10 см, ED — 25 см, ЕС — 20 см, ЕК = 30 см,
Р = 200 н, Q — 400 н. Весом стержня пренебречь.

Ответ: ХА — 50 н; ZA = — 600 н; YB =— 200 н, Zb=1000h;
Х^ = -50 н* Zc = 0.

Задача 271 (рис. 198). Коленчатый стержень ABCD изогнут
так, что плоскость колена АВС горизонтальна, а плоскость ко-
лена BCD вертикальна, /_ АВС — 2. BCD = 90°. В точке £) стер-
жень удерживается неподвижным шарниром, а концом А поме-
щен в подшипник. На стержень действуют три пары сил в пло-
скостях, соответственно перпендикулярных АВ, ВС и CD. Считая
известными величины моментов пар и та, определить величи-
ну mlf а также реакции шарнира и подшипника, если АВ —а,
BC = b, CD=c. Весом стержня пренебречь.

Ответ: Ya==--L; Za = -2: X' =0; У', = ~
a	a ’	A a '	D ’	a '

„ m,	b , c

ZD = --~;	= —	m3.

Задача 272 (рис. 199). Однородная балка АВ весом Р и дли-
ной 1 — 4Ь прикреплена к вертикальной стене сферическим шар-
ниром А и удерживается перпендикулярно к стене растяжками
DE и CG, причем DE лежит в горизонтальной плоскости, a CG

Рис. 199

составляет с этой плоскостью
угол а. к концу В балки под-
вешен груз М весом Q. Опреде-
лить реакцию шарнира А и на-
тяжения растяжек, если AD =
= AE = DC = b, AF — 2b.

Ответ: TDE— 2(Р- [-2Q) ctg а;
Т P + 2Q.
со sin а ’

XA = -^-(P + 2Q)ctga;.

VA = 3^(P + 2Q)ctga;

zA=-Q-

Задача 273 (рис. 200). Однородная балка AL весом 1 кн ук-
реплена шарнирно в точке А и удерживается в горизонтальном
положении двумя тросами DE н DF, составляющими с горизон-
том углы р = 30°. Определить реакции шарнира и натяжения

тросов, если к балке в точке К подвешен груз М, вес которого
равен 1,2 кн, AL = 5 м, LK — 1 м, AD = 2 м, ADC — at - 45°,
Z. ЛОВ = а2 = 60°.

Ответ: TFD — 3,28 кн: TED = 4,02 кн: Хл = 3,18 кн: Уд = 0,
ZA —— 1,45 кн.

Задача 274 (рис. 201). Однородная плита АВС весом Р имеет
форму прямоугольного треугольника и представляет собой по-
ловину квадрата ABCF. Плита прикреплена шарнирно вершиной
А к неподвижному основанию и удерживается в горизонтальном
положении при помощи невесомых стержней BD, BE и СЕ, ук-
репленных в точках D и Е, лежащих на одной вертикали с точ-
ками А и F соответственно. Определить реакцию шарнира А и
усилия в стержнях, если EF = AD = AF.
Указание. Вес Р приложен в точке пересечения медиан тре-
угольника АВС.

Откк. Тт = №;

^ = -<; !-л=4'. z*=4-

Задача 275. Для подъема крышки паровой турбины весом Р ис-
пользовано приспособление, показанное на рис. 202. Тросы прикреп-
лены к крышке в точках Ль Д3, и лежат в вертикальных
плоскостях, проходящих соответственно через отрезки AtA3 и

Рис. 202

Точки Ль Д9, Да, At лежат в горизонтальной плоскости и обра-
зуют прямоугольник со сторонами Л1Л2 = 2а; А1А3 — 2Ь.

Определить при условии равновесия крышки веса грузов Pt,
Pi, Р3, Pt и ординату ус центра тяжести, если известно, что его
абсцисса равна хс, тросы, несущие грузы Pj и Р2, наклонены к го-
ризонту под углами, равными а, а два других троса — под углами,
равными р.

n Р /1 । ЛтЛ cos В

Ответ: Pt = -и- 1 4- — . , । 0.;

1	2 \	1 а / sin (а В) ’

Р __ Р f 1 _COS 3 Р _______________ Р ( i I хс\ COS а

2	2 \	a / sin (а-f-3) ’	8	2 \ ' а /	sin (а-f-p) ’

D ___ Р It	хс\ cos а .	,, ___ Ь sin (а — В)

4	2 \ а ) sin (а В) ’	sin (а -j- В) ’

Задача 276 (рис. 203). Тетраэдр закреплен петлей А, сфери-
ческим шарниром В и свободно опирается вершиной С на каток.
Определить реакции опор, вызванные действием силы F, прило-
женной в вершине тетраэдра и параллельной стороне АС.

Ответ: УА = -Р^;2А = -^;	= YB = -^;

ZB = 0;

7 _P/6
zc ——3-
Задача 277. Решить задачу 261 при условии, что петля А
заменена сферическим шарниром, петля В снята и пластина опи-
рается непосредственно в точке В на негладкую горизонтальную
плоскость. Считая коэффициент трения между пластиной и пло-
скостью f = 0,1, определить наименьший угол а наклона пласти-
ны к горизонту, при котором возможно равновесие, а также
реакции опор при этом угле.

Ответ: ctgamin = 0,3; amln = 73°18'; Vc = 900 «;

Д//; = 4,5 кн; ХА = 0; УА ——450 н, ZA = 4,5 кн;
Ув — — 450 н.

Задача 278. На вал I зубчатого редуктора (рис. 204, а) дей-
ствуй вращающий момент Л41. Определить величину момента Mit

Рис. 204

который надо приложить к валу IV для того, чтобы редуктор
был в равновесии. Трением в подшипниках пренебречь. Размеры
указаны на рисунке.

Решение. Система состоит из трех тел — вала / с колесом /,
вала II с колесами 2 и 3 и вала IV с колесом 4. Рассмотрим
равновесие каждого тела в отдельности.

Вал I с колесом 1 (рис. 204, б). На этот вал действуют:
вес Pj, пара сил с моментом ЛВ, реакция подшипника и реак-
ция 5’31 колеса 2. Реакция подшипника, если пренебречь его раз-
мерами, приложена в точке А. Реакция колеса действует в
плоскости, перпендикулярной к оси вала I. Разложим эту силу
114
на две составляющие, направленные по касательной к окружности
колеса 1 (Т<ц) и по его радиусу (/?2i), т е.

= Тп -j- Rn-

Считаем эти силы приложенными в точке D колеса 1.

Поскольку величины реакций подшипников не подлежат оп-
ределению, следует использовать такие уравнения равновесия, ко-
торые этих реакций не содержат. Легко видеть, что таким урав-
нением будет уравнение моментов относительно оси вала I (ось г).
Таким образом, имеем

£щг(Л)==Л41— Т31 ri = 0,
откуда

'Г __

Вал 77 с колесами 2 и 3 (рис. 204, в). На колесо 2 в
точке D действует со стороны колеса 1 сила

5t'2 — Т’п Ч- 7?и,
причем

512 = — 52i;	Т’1з=:—Т<ц",	/?12 =—R2l.

Реакцию подшипника обозначим RB, вес колес — Р2з, реакцию
колеса 4 на колесо 3 — через 5«. Эту реакцию разложим на со-
ставляющие: по касательной — Т13 и по радиусу колеса — Ri3. Эти
силы приложены в точке Е. Из всех уравнений равновесия снова
используем только уравнение моментов относительно оси вала 77
(ОСЬ 21).

Имеем

Snizi (Еь) — ЕцГ2	Т 43г3 = О-;

откуда
/тт ____ 'Т' Г9
1 43------------------------- L П " ,

а так как
'Т'	'Т' Alj

1 12= 1 21 =	,

r 1

ТО

<Т»	_ 2

43 “ >44?

Вал IV с колесом 4 (рис. 204, г). Пусть М4 — искомый
момент. Тогда, аналогично ранее рассмотренным случаям, получим

Тв4г4-М4 = 0,
откуда окончательно
Задача 279 (рис. 205). В зубчатой передаче к ведущему валу
А приложен вращающий момент МА. Определить величину мо-
мента М3, который следует приложить к ведомому валу В для равно-
весия системы. Трением пренебречь. Размеры указаны на рисунке.

Ответ-. М„ = -~МА.

Задача 280 (рис. 206). Лебедка с двухступенчатой передачей
предназначена для подъема груза весом Р. Определить, какой

величины вращающий момент М следует приложить к ведущему
валу для удержания груза в равновесии. Задачу решить в двух
предположениях: 1) когда ведущим валом является вал Л; 2) когда
ведущим валом является вал В. Радиус барабана R, радиусы
колес: гь гг, r3> rt.

Ответ-. 1) MA = r-^ PR-, 2) Мв = ^ PR- МА = ^ Мв.

•V 3	~1	гз

Задача 281. Решить задачу 279, имея в виду передачу с ко-
ническими колесами, изображенную на рис. 207.

Ответ-. Мв = р- /Ил.
Задача 282 (рис. 208). В машине для испытаний на кручение
величина крутящего момента измеряется по показаниям динамо-
метра. Определить величину крутящего момента, а также давле-
ния на подшипники D и Е, если динамометр показывает усилие F.
Весом деталей пренебречь. Стержень ВС считать параллель-
ным валу, ВК — КС, угол а = 90°, KL = a, LD = b, DE = c.

Ответ-. M = 2aF; ND = 2F (1 Д- NE=~.

Задача 283 (рис. 209). В двухдисковой фрикционной передаче
на ведущий вал / действует вращающий момент М2. Определить
необходимую величину сил нажатия & и Q* (Qt = Q> = Q) при

равновесии, если коэффициент трения между дисками и роликами
равен/, расстояния от оси Л В до точек касания роликов равны «1 и а2,
радиусы роликов г. Какой момент М-> передается при этом на вал //?

Ответ: Q =	М2 = ^-.

mJ	<*2

Задача 284 (рис. 210). Два одинаковых однородных стержня,
весом Р каждый, шарнирно соединены между собой в точке В, а
концами А и С шарнирно прикреплены к полу и к стене так,
что стержень АВ вертикален, а ВС горизонтален. К середине D
стержня АВ приложены сила G, параллельная ВС, и сила Q,
перпендикулярная к плоскости АВС. Система удерживается в рав-
новесии тросом ЕЬ, перпендикулярным к плоскости АВС. Опре-
делить натяжение троса и реакции шарниров.

Ответ: T — Q-, Х4 = 0; Ул = -у; ZA — -у-;

Хв = 0;	= ZB=±J; Хс==0; Yc = ^-
Задача 285 (рис. 211). Два одинаковых однородных стержня
АС и СВ, весом Р каждый, соединены между собой под прямым
углом шарнирно и прикреплены к стене неподвижными шарни-
рами А и В. Благодаря наличию невесомого вертикального стерж-
ня DE система удерживается в равновесии так, что плоскость
треугольника АВС горизонтальна. Определить реакции шарниров
Л, В, С и усилие в стержне DE, если AD—DC.

Ответ-. S = 2P, ХА = 0; УА = 0; ZA = —Хв = 0;

УЛ = 0;	=	= Vc = 0; Zc = ±4-

Задача 286 (рис. 212). Однородная прямоугольная плита ве-
сом Р укреплена при помощи петель А и В и удерживается в го-

ризонтальном положении однородным стержнем CD, прикреплен-
ным к плите и к стене шарнирами С и D, причем шарнир С
расположен на одной вертикали с петлей В. Вес стержня CD
равен Q. Определить реакции петель и шарниров, если 2. BDC =
— /_ BCD — 45°. Удостовериться, что при Q = 0 реакции шарни-
ров С и D направлены вдоль CD.

Ответ: Хд = 0; ZA—Хв =— ZB —0;

V ___у _____________л. у ____Р . у Q-pP,

Ус = 0; Zc = Q+4-

Задача 287. Два однородных стержня АВ и ВС весом Р и Q
соответственно закреплены шарнирно в точках А и С, а соеди-
нительным шарниром В свободно опираются на гладкую верти-
кальную стену, плоскость которой параллельна АС (рис. 213, а).
Определить реакции шарниров Л и С, а также реакцию стены Л/,
если плоскость треугольника АВС наклонена к горизонту под
углом 45°, /.В АС = 90°.

Решение. Если рассматривать всю систему как одно твердое
тело, то получим статически неопределимую задачу, так как чис-
ло неизвестных равно семи (шесть составляющих реакций в шар-

нирах А и С и реакция стены). Поэтому следует расчле-
нить систему, рассматривая равновесие отдельных ее частей
(АВ и ВС).

Рассмотрим равновесие стержня АВ (рис. 213, б). На этот
стержень действует вес Р, приложенный в середине стержня D. Свя-
зями являются сферические шарниры А и В. Реакции этих свя-
зей Ra и RB не имеют заранее определенных направлений в про-
странстве. Поэтому разложим искомые реакции на составляющие
вдоль осей: ХА, YA, ZA, Хв, YB, ZB. Стена будет являться связью
для стержня АВ только в том случае, когда этот стержень не-
посредственно ее касается. В зависимости от конкретного уст-
ройства шарнира В может оказаться, что реакция стены будет
непосредственно приложена только к стержню АВ или только
к ВС либо стена будет действовать на оба стержня одновре-
менно.	_

Допустим, что реакция стены N приложена только
к стержню АВ. Составим уравнения равновесия для стерж-
ня АВ.
Имеем

—- ХА	— 0;

£Fliy = YA-[-YB + N=0-
^Fkz = ZA + ZB-P = Q-

limx(Fk) = ~(N-\-YB)h-^ArZAh = Q-

Xmy(Pj') = XBh = 0-,
XFh(Fk)==~ XAh = 0,
где

ВО = ЯО = /1.

Рассмотрим равновесие стержня ВС (рис. 213, в). На эТот
стержень действуют: вес <5, реакция Rc шарнира С и реакция R'B
шарнира В. При этом R'B = — RB, т. е. Хв = —Хв и т. д.

Уравнения равновесия стержня ВС имеют вид

^Fkx^Xc-X'B = Xc-XB^

^Fky=Yc-YB = Q\

£F ьг=:	У в Q = 0;

£тх (Fll) = YB-OB — Q-OE zc-OA= 0;

±mv (Fk) = ~ XR-0B ~~Q-EL~\~Zr-AC = 0;

(Л) = - Xc  О A - Yc • AC - 0,
причем

OB — OA = 2OE, Eb = ~ .

Решая систему уравнений (6) и (с), получим
.N^p±Q. Хл = 0; Ул = -^; zA = P-h-.J;

Хв = 0; Ув = 0; ZB = -%-, Хс = 0; Ус = 0;

7 —

ZC— 2 '

Если теперь принять, что сила N приложена к стержню ВС,
то вместо (Ь) и (с) получим

Хд + Хв = 0; Ул + Ув = 0; ZA + ZB-P = 0n

~YBh — ~^ZAh = Q; XBh = Q; — XA/i = O;J (&)

Xc-XB = 0; Yc-YB + N = 0~,
ZC-ZB-Q = O-,

(YB — N) • OB — Q • OE + Zc • О A = 0;
- XB-OB — Q-ELArZc-AC = 0-,
— XcOA — Yc-AC = 0.

(e')
Решая эту систему, имеем

Хл = 0; Ул==_£±$; гл = Р+0;

Хв = 0; УВ = -±Л	=	Хс = 0;	(d'>

Ус = 0; Zc = 4-

Сравнивая эти ответы с (d), убеждаемся, что изменение точки
приложения силы N сказывается только на реакциях шарнира В.

Итак,

Л/ = ^; Хл —0;

гл = Р + 4;

*с = 0; Ус = 0; Zc = %.

Задача 288 (рис. 214). Два
одинаковых стержня АВ и ВС,
весом Р каждый, соединены
шарнирно между собой под пря-
мым углом, а шарнирами А и
С прикреплены к стене. Стерж-
ни удерживаются в равновесии

в горизонтальной плоскости при
помощи троса DB, составляющего с ней угол 45° и равные.

углы со стержнями.

Определить натяжение троса и реакции шарниров А и С. Ре-
шить задачу дважды, считая в первом случае, что реакция тро-
са непосредственно приложена к стержню АВ, во втором —
к стержню СВ. Сравнить результаты.

Ответ: в обоих случаях

Т = Р/2- Хл = —; Ул = |;	=	Хс^-;

__ Р „ _Р_
с— 2 ’ Zc— 2 •

Задача 289. Решить задачу 288, считая, что трос закреплен
в точке D, находящейся на одной вертикали с точкой А, и по-
прежнему образует с горизонтальной плоскостью угол 45°

~	'г d /о	v Р/2	v Р^2	„ р

Ответ: Т — Ру2; ХА = —; Ул = -^—; ZA — -^-,

XC = Q-, Ус = 0;
ГЛАВА IV

ЦЕНТР ТЯЖЕСТИ

Координаты центра тяжести тела определяются по формулам

п

У XkPk

п

Уд Xk^k

k^]_____

т

п	п

Уд ykPk	У ykWk

__k=l ________k= 1

Ус — р — т

(4.1)

п	п

У. zkpk	У, zhmk

„ __* = 1 _______* = 1

zc~~ Р т

Суммы, стоящие в числителях, называют статическими момен-
тами веса (массы) относительно плоскостей уОг, хОг, хОу соот-
ветственно.

Если тело однородно, то координаты его центра тяжести оп-
ределяют по формулам
п	п	п

У Xli&k	У yk^k	У Zkyk (Л

хс — v ' Vе — v ’	— v ’

Координаты центра тяжести тонких однородных поверхностей
(имеющих постоянный вес единицы площади) определяют по фор-
мулам
п	п	п

У XfaSfr	У yk$k	У %1г$к /л о\

__А = 1	____________________А=1

хс —	$	’ Ус S ’ zc~ S

Координаты центра тяжести пластины (оси Ох, Оу располо-
жены в плоскости пластины) будут

yc = -s>	(4-4)

п	п

где Sx = У yksk, Sy — У xksk — статические моменты площади
fc=i	fc=i

относительно осей Ох и Оу.

Аналогичные формулы применяют для определения координат
центров тяжести тонких однородных стержней (имеющих постоян-
ный вес единицы длины).

В формулах (4.2), (4.3) vk, sk — объемы и площади тех частей,
на которые разбиваются имеющие сложную форму тела (поверх-
ности), Mk (xk, yk, zk) — центры тяжести этих частей.

При нахождении центра тяжести тела (фигуры) с отверстиями
можно применять формулы (4.1), (4.2), (4.3), считая веса, объемы
или площади, соответствующие вырезанным частям, отрицатель-
ними. Для криволинейных тел (фигур), разбиваемых на беско-
нечно малые элементы, суммы в выражениях для статических
моментов и масс (объемов, площадей) заменяют интегралами.

Задача 290*. Корабль водоизмещением 9000 т имеет центр
тяжести в точке с координатами хс =— 4,2 м, г/с = 0, zc —8,4 м
(ось Ох направлена в нос, ось Оу— на левый борт, ось Oz — вверх).
С корабля снимают часть груза массой 300 т координаты центра
тяжести которого: Xj==6 м, ух~ 0,8 м, z2 = 6 м. Определить
новые координаты центра тяжести корабля.

Решение. Обозначим массу корабля после снятия груза;
х2, Уч — искомые координаты центра тяжести.

Используем формулы (4.1)

хс— т ’ Ус~~ т ’	т

Отсюда находим

хт — хуп,	ут — ууп!

хг — —---------= — 4,55 м; у2 — ~ ...-------= — 0,03 м;

111%

z m-zyn,
---------^8’5 М-

Таким образом, центр тяжести корабля сдвинулся к корме,
к правому борту и вверх.

Задача 291. Танкер водоизмещением 20 000 т в результате
полученной подводной пробоины принял 600 т забортной воды
в танк (отсек) с координатами центра тяжести х, = 20 м, щ = 8 м,
= 2 м относительно координатных осей с началом в старом
центре тяжести танкера. Для частичного выравнивания крена и
дифферента (т. е. для устранения поворота судна вокруг продоль-
ной и поперечной осей) было принято дополнительно 400 т воды
в танк, имеющий координаты центра тяжести х2 = —25 м,
у2 — —10 м, г2 — 1 м. Определить новые координаты центра тя-
жести танкера.

Ответ,: хс = 9,5 см; ус = 3,8 см; zc — 7,6 см.

Задача 292. Судно имеет водоизмещение 1500 т. Определить
новые координаты центра тяжести судна при заполнении носовой
цистерны забортной водой плотностью р = 1,03 т(м3, если объем
цистерны V = 40 м3, а координаты центра тяжести цистерны
х = 2 м, у = 30 м, г=1,5м. До заполнения цистерны центр
тяжести судна находился в начале координат.

Ответ: хс — 0,053 м; ус = 0,8 м; zc — 0,04 м.

Задача 293. Как изменится абсцисса хс общего центра тяжести
корабля водоизмещением 1500 т, если поменять местами два груза

* Здесь и в дальнейшем под водоизмещением корабля понимается масса
вытесненной им воды.
находящихся в диаметральной плоскости и отстоящих друг от
друга по горизонтали на расстояние з= 15 м? Массы грузов
равны 10 т и 2 т (ось Ох направлена на нос, более легкий груз
был ближе к носу).

Ответ-. Ахс = 8 см (к носу).

Задача 294. На какое расстояние по горизонтали в диамет-
ральной плоскости корабля можно переместить груз 60 т, чтобы
общий центр тяжести корабля сместился не более чем на 0,1 мР
Водоизмещение корабля равно 12000 т.

Ответ: на 20 м.

Задача 295. Определить координаты центра тяжести однород-
ного тела, изображенного на рис. 215.

Рис. 215

Решение. Применим метод «разбиения». «Разобьем» рассматри-
ваемое тело на три части: I — ABD'E', И — EDLF, III—LKHG.
Найдем координаты центров тяжести отдельных частей и их объемы.

Данные сведем в следующую таблицу:

Части тела	Координаты центров тяжести частей			Объемы частей
	хк	Уь	*к	ък
1	а  2	<1	b  2	abd
11		4-	d  “2	acd
III	3  л а		d	acd  4
Определим координаты центра тяжести всего тела по форму-
лам (4.2):

_________________а(8&-(-7с)

Хс~ V	~~ 4(4& + Зс)’

__М+уа+УЛ  8W+ 12сДг — - 5<?а

Ус~~	V ~	4 (4& —Зе)

„ __ гл + здфгЛ ___ 4й2 + 3сй

с	V ~2(46+3с)'

Эту же задачу решим методом «отрицательных» объемов. Для
этого представим себе, что тело состоит из трех частей: I — АВ1УЁ',
II—EDK.M и III — FGHM — части с «отрицательным» объемом.
Имеем

Части тела	Координаты центров тяжести частей			Объемы части
	xk	Ук	гк	ък
1	а  ~2	d  Т	ъ  2	abd
II	а "2"	"+1	d  2	acd
III	а	СО ’тГ + *<3	d	acd
	4		2	4

Найдем координаты центра тяжести всего тела:

Задача 296. Определить координаты центров тяжести стержне-
вых систем, изображенных на рис. 216, а, б, в, г, д (поперечны-
ми размерами	стержней	пренебречь).

,	.	аа	Z»3

Ответ-, а) хс — 2 Ус — 2 (аЬ)'

б)	х -з	.	у	.

7	с 2(a + & + J/^4-&s) ’	Ус 2 (а + &4-‘|/'а3-|-&2) ’

.	„ о а	а sin а . al^3

в)	хс = а cos9 у; ус=—2~; г) хс = 4>—;

в(2 —/3)	. „	в/3	А

=	д) хс = -%-; Ус = $-
Задача 297 (рис. 217). От пластины в виде прямоугольного
треугольника О АВ отсечен треугольник CD В. Определить црнтр
тяжести оставшейся части OADC, если ОА = ОВ — сг, СВ—^-а.

5а	13а

Omeetn. х^	,

Рис. 216

Задача 298 (рис. 218). Из однородной пластины в виде квад-
рата ABCD со стороной а вырезан квадрат ABiCtDi так, что
стороны обоих квадратов параллельны. Какова должна быть сто-

рона ах меньшего квадрата для того, чтобы центр тяжести остав-
шейся после выреза части совпал с точкой С\?

Ответ: ai=— а = 0,618 а.
Задача 299 (рис. 219). В однородном диске радиусом R = 2a
сделан вырез в виде прямоугольного треугольника О АВ. Опреде-
лить центр тяжести оставшейся части ди-
ска, если ОА — ОВ—а.

Ответ:

х(- = ус = з (8П_1) =	0,0138 а.

Задача 300. Определить статические
моменты и координаты центров тяжести
изображенных на рис. 220, а, б, в пло-
щадей относительно координатных осей
Or и Оу, если а = 90 мм, 6 = 60 мм,
d = 10 мм, /1=100 мм.

Ответ: a) Sv, = 43 см3; 8^ = 22 см3; хс = 3,07 см; ус = 1,57 см;

б)	Sv = 0; SA= 128,5 см3; xc = Q; ус = 5,6 см;

в)	Sv = 62,5 см3; 8Л= 128,5 см3; х(—2,72 см;
ус = 5,6 см.

Задача 301 (рис. 221). Балка состоит из прямоугольной полосы

и двух уголков, размеры которых

в миллиметрах указаны на
рисунке. Определить поло-
жение центра тяжести се-
чения.

Ответ: хс = 69,5 мм;
ус = 10,3 мм.

Рис 221

Задача 302 (рис. 222). В первом приближении погруженную
часть диаметральной плоскости корабля можно принять за тра-
пецию. Определить статические моменты этой площади и коорди-
наты ее центра тяжести относительно указанных координатных
осей, если а = 50 ж; 6 = 47,9 м; с = 3 м; d = 3 м.

Ответ; Sv = 230,8 м3; хс = 23,7 м; Sv = 3590 м3; ус=1,53 м.

Задача 303 (рис. 223). Однородное тело состоит из куба с реб-
ром а и четырехгранной пирамиды SABCD, основание которой
совпадает с верхней гранью куба, а вершина 8 лежит на про-
должении ребра АА'. Найти длину ребра AS пирамиды и поло-
жение центра тяжес-Ги всего тела, если известно, что он лежит
на верхней грани куба.

Решение. Система состоит из двух тел: 1 — пирамиды SABCD
и II — куба. Проведем оси так, как показано на рисунке.
Имеем согласно (4.2)

у   х^ + х^ _	__ У^+уМ . ,  ZiVi+ziflii

с	4-	’ ^с. »i +	’ С "V,4 «а '

где т1! .и — объемы пирамиды и куба соответственно: xlt ух zt —

координаты центра тяжести пирами-
ды; Xt, у.., z8— координаты центра
тяжести куба.

Определим координаты центра тя-
жести пирамиды*. Для этого рас-
смотрим элементарный объем, полу-
ченный сечением пирамиды плоско-

Рис. 222

стями, параллельными плоскости xSy, на расстояниях г и z-\-dz
от вершины. Имеем

dVi — IPdz,

где b — сторона полученного в сечении квадрата.
Очевидно,

п-

таким образом,

Объем пирамиды

* Учащемуся, незнакомому с интегральным исчислением, можно восполь-
зоваться окончательными формулами, опустив вывод.
Далее имеем

Zi =

h

$ zdoi

о

3

Пусть х и у — центры тяжести элементарного объема. Из по-
добия треугольников найдем

X   Z	у	Z

a	h'	a	h ’

Т	~2

откуда
az
х — у — ^.

' lh

Теперь
л	л

\xdvY	\ydt)\

о	3	о	3

х, =---------= -о- а; У1 =-------------= о а.

1	8	8

! 3

Итак, центр тяжести пирамиды находится в точке СЦ-g-a;

^-а; ~j. Центр тяжести куба — в точке С2

Объем куба —а'.

По формулам (4.2) имеем

За (4а 4- й)	„ За (4а -1-й)	3 (2а2 -I- 4ah -4- й2)

Хс~ 8(За-}-й) ’ Ус ~~ 3(3a-\-h) ’	~	4/За-|-йГ

По условию, общий центр тяжести
ABCD, т. е. должно быть гс = й.

Отсюда получим

должен лежать в

плоскости

h = a]^6.

При этом условии имеем

у —» — "(6-V6)
хс — Ус — g

Задача 304 (рис. 224). Из однородной правильной треуголь-
ной пирамиды SABC высотой h вырезана правильная пирамида
SiABC с тем же основанием. Какова должна быть высота этой

*) Этот же результат имеет место для любой пирамиды, т. е. центр тя-
жести пирамиды находится на расстоянии, равном 1/4 высоты пирамиды, от
соответствующего основания

б Н, А. Бражвиченко а др

12»
пирамиды, чтобы центр тяжести полученного тела совпадал с вер-
шиной выреза?

Указание. См. сноску на стр. 129.

Ответ: hi = ~.

з

Задача 305 (рис. 225). Однородное тело состоит из куба с
ребром а и прямой трехгранной призмы, одна из боковых гра-

Рис. 226

ней которой совпадает с верхней гранью куба, а основание
представляет прямоугольный треугольник. Найти координаты
центра тяжести тела и второй катет b основания призмы, если
известно, что центр тяжести тела лежит
в плоскости верхней грани куба.

Ответ: Ь = а}^3\ хс=~\

а /з

Ус~~~; гс = а.

Задача 306 (рис. 226). В однородной
у сфере с радиусом Р = 2а и центром О
имеется сферическая полость с радиусом
г=а и центром ^0; у; Опреде-
лить центр тяжести данного тела.

Ответ: хс = 0, ус = — гс = — ~.

Задача 307 (рис. 227). К противоположным концам диаметра
основания однородного кругового конуса весом Р и высотой й
припаяны два тонких однородных стержня, перпендикулярных
основанию и имеющих вес Q каждый. Какова должна быть дли-
на I этих стержней для того, чтобы конус, опертый на вершину,
оставался в безразличном равновесии?
Указание. Центр тяжести системы должен совпадать с вер-
шиной конуса.

Ответ: / = й/2-4-|£).

Задача 308 (рис. 228). Найти центр тяжести плоской фигуры,
ограниченной гиперболой ху=-^ и прямыми х — а, у = а.

Решение. Так как фигура АВЕ имеет ось симметрии — бис-
сектрису координатного угла, центр тяжести должен лежать на
этой биссектрисе. Таким образом,

хс — Ус-

Для нахождения хс применим формулу

где S — площадь фигуры;

S« — статический момент площади относительно оси у.

Обе величины вычисляют с помощью интегрирования.

Абсциссы крайних точек фигуры суть хв = ~ (пересечение ли-

„	а*\

нии у=а и ху = -^\ и хл = а.

Имеем

*4	а

s= $ (№ — yjdx — J (a — ^dx = ^(3 — In 4);

4

VA	°	з

— § x(y3 — yi)dx— \х{а~1~Ух=9~-.
хв

4
Таким образом, получим

Хс — Ус — 8 (з1Д1п4Г ^°-697 а.

Задача 309 (рис. 229). Обводы поперечного сечения судна
имеют форму половины эллипса, уравнение которого

где В — ширина сечения;

Т — осадка.

Определить статические моменты Sv, Sy изображенной пло-
щади.

Ответ: Sv —	Sx = 0.

У 3

Задача 310 (рис. 230). Носовая часть ватерлинии задана урав-
нением

, В I, , itx\

У—±(J Ч-cos

причем	Определить статический момент Sy площади,

ограниченной этой частью ватерлинии и осью Оу, относительно

Рас. 229

Рас. 230

оси Оу, если ширина В = 12 м, а длина носовой части ватер-
линии А = 64 м.

Ответ: Sy = 0,15BZ.2 = 7320 лЛ

Задача 311. Найти центр тяжести площади, ограниченной ли-
нией, уравнение которой y = bcos~p и осями координат, если
а = 80 м, Ь = 9 м.

/	2 \

Ответ: xr = а 1---29 м:

\	я /	’

Ус^^3,53 м.
ЧАСТЬ ВТОРАЯ

КИНЕМАТИКА

В «Кинематике» приняты следующие обозначения:

г — радиус-вектор точки;
s—дуговая координата;
t — время;

v — скорость точки;

tfrt Vy, Vg — проекции скорости на
оси цилиндрических ко-
ординат;

Уф v ,	— проекции скорости на оси

9 сферических координат;
и у,	— проекции скорости на

декартовы оси;

w—-ускорение точки;
^jWcor — ускорение Кориолиса;
wn — нормальное ускорение;
wBp — вращательное ускоре-
ние точки тела при его
вращении вокруг оси;

—	центростремительное
ускорение точки тела
при его вращении во-
круг оси;

—	осестремительное уско-
рение точки тела при
его вращении вокруг не-
подвижной точки;

ws — вращательное ускорение
точки тела при его вра-
щении вокруг неподвиж-
ной точки;

—	касательное ускорение;

Wg — проекции ускорения на
оси цилиндрических ко-
ординат;

Wr, — проекции ускорения на
оси сферических коор-
динат;

wXj wyt w2 — проекции ускорения
точки на декартовы
оси;

г, <р— полярные координаты;

г, z— цилиндрические коорди-
наты;

$ — сферические координа-
ты;

va, wa', 7оа — кинематические харак-
теристики абсолютного
движения;

vr> wn Фг — кинематические харак-
теристики относитель-
ного движения;

vef we, — кинематические характе-
ристики переносного
движения;

х, у, z—декартовы координаш;
е—угловое ускорение;

р—радиус кривизны;

со—угловая скорость;

tp, $ — углы Эйлера.
ГЛАВА V

КИНЕМАТИКА ТОЧКИ

§ 1. Координатный и векторный способы задания движения точки
Уравнения движения точки. Траектория

При координатном способе задания движения положение точки
в пространстве в любой момент времени t определяется декарто-
выми координатами *:

х = х(Гу, y = y(f)-, z=z(t).	(5.1)

Уравнения (5.1) называют уравнениями движения точки. При
векторном способе задания движения положение точки в любой
момент времени определяется ее радиусом-вектором:

r = r(t\

Исключив из уравнений (5.1) параметр t, получим непара-
метрические уравнения кривой, по которой движется точка. Тра-
екторией точки может быть вся полученная кривая или ее часть.
Для определения траектории следует установить области изме-
нения координат х, у и г по заданным уравнениям движения,
считая время движения t существенно положительной величиной.
При известном уравнении кривой, по которой движется точка,
траектория во многих случаях может быть выделена заданием
области изменения только одной координаты. При исследовании
траекторий точек механизмов следует учитывать также конструк-
тивные особенности данного механизма, ограничивающие его дви-
жение.

Задача 312 (рис. 231). Движение точки в плоскости хОу за-
дано уравнениями

x = asin/, 1

„	„ }	(а)

у — 2а cos 2t, J	‘ '

где a — постоянная (a^>0);

t — время.

Определить траекторию точки и исследовать ее движение.

Решение. Заданные уравнения движения точки (а) являются
уравнениями траектории в параметрической форме. Для получе-
ния уравнения кривой, по которой движется точка, в непара-
метрической форме следует из этих уравнений исключить пара-
метр t. Имеем

у = 2а cos 2t = 2a(l —-2 sin’/).

* Если заданы только два уравнения x — x(t) и y—y(t), то подразу-
мевается, что точка движется в плоскости хОу, т. е. г = 0.
Из первого уравнения (а) найдем

•	. X

sin t — —,
а ’

тогда

у = 2а(1-^).	(Ь)

Это уравнение параболы, вершина которой находится в точке
(0,2а), а ветви направлены вниз. Однако не вся полученная па-
рабола является траекторией точки.
Действительно, из (а) следует, что
| х | -С а, | у |	2а, т. е. траекторией

точки является часть параболы, заклю-
ченная внутри прямоугольника со сто-
ронами 2а и 4а. Таким образом, урав-
нением траектории точки является
/	2л-2\

у = 2а 11—при — а<х<а

Найдем начальное положение точки.

При t — 0 имеем

х^_о = О; y|z_0 = 2a,
т. е. точка в начальный момент нахо-
дилась в вершине параболы. При воз-
растании t от 0 до -у сек абсцисса х
увеличивается, а ордината у уменьшается, т. е. точка движется
по параболе вправо. При t = = ~ сек имеем

«•> «/!<-<! ==—2a.

В промежутке ~ сек	сек точка движется по параболе

влево, проходя ее вершину в момент t = t2 = K сек. Начиная с мо-
,	, Зя

мента t —13 = у сек, точка снова движется вправо, проходя на-
чальное положение в момент t — ti, — 2Tz сек, и т. д. Таким об-
разом, точка совершает с течением времени колебательное дви-
жение вдоль параболы.

Задача 313 (рис. 232). Зубчатое колесо / радиусом г обкаты-
вается внутри неподвижного зубчатого колеса II радиусом R — 2г
с помощью кривошипа OiO3, угол поворота которого <р задан как
функция времени: v — kt (k — постоянная). Определить уравнения
движения и траекторию конца А отрезка АВ длиной I, неизменно
связанного с колесом / и расположенного вдоль его радиуса. При
t — Q колесо I занимало нижнее положение (показанное на ри-
сунке пунктиром) и точка В совпадала с центром колеса //
Решение. Рассмотрим положение механизма в некоторый те-
кущий момент времени t. Колесо / займет при этом положение,
показанное на рисунке.

Пусть С — точка колеса /, которая в начальный момент t = 0
находилась в Со — месте зацепления колес. Из условия отсутствия
скольжения (благодаря на-
личию зубцов) имеем

CD=C~D

Рис. 232

или

R<? = п,

где

7 = L COiD.

т Имея в виду, что
R — 2г, получим у = 2'i.
Обозначим через ф острый
угол, составленный диамет-
ром СВ с вертикальной
осью 0$у. По теореме о
внешнем угле треугольни-
ка, имеем

7 = ? + Ф = 2-?,
откуда ф = <р.

Отсюда легко заключить, что точка С в процессе всего дви-
жения будет перемещаться вдоль оси О.,у.

Обозначим координаты точки А через хну. Введем радиус-
вектор р — 0>А. Из рисунка ясно, что

Р — O.2Oi -Д- OtA.

Проектируя это векторное равенство на оси, получим
х — О>ОХ sin ср -I- OiA sin ф = (2г Д-1) sin	|

у —— О2О[ cos ф OiA cos ф = I cos ®.	J

Отсюда следует, что точка В в процессе движения переме-
щается вдоль оси Орс, так как ув = уА — Zcos<f> = 0.

Подставляя в (с) y = kt, получим уравнения движения точки А:
х=(2г-|-1) sin kt, у —I cos kt,
которые одновременно являются и уравнениями траектории точки
в параметрической форме. Исключая время t, получим уравнение
кривой, по которой движется точка, в непараметрической форме.

Для исключения t перепишем уравнения движения в виде

А' ---sin fef; = cos kt.

2r-\-l	I
Пользуясь тождеством

sin2 kt -J- cos9 kt — 1,

получим

_____________i 3’t _ i
(2r + /)a____K

(d)

независимо друг от друга вокруг

Это эллипс с полуосями a = 2r-j-Z, b = l и центром в начале
координат. При изменении t от 0 до сю абсцисса х изменяется
в пределах —а<х<а. а ордината у — в пределах — b^y&zb,
и, следовательно, точка в своем движении обходит весь эллипс.
Таким образом, в данной задаче вся кривая определяемая урав-
нением (d), является траекторией точки.

Задача 314. В инверсоре, изображенном на рис. 233, стержни
АС, СВ, BD, DA соединены шарнирно между собой и со стерж-
нями ОС и OD, вращающимися
оси О. Шарнир А при помощи
ползуна перемещается по прямо-
линейной направляющей MN.
Найти уравнения движения и
траекторию точки В механизма,
если угол, образованный прямой
ОА и перпендикуляром ОЕ к на-
правляющей MN, изменяется
по закону <z = kt, АС = СВ —
— BD—DA=a, OC=:OD = b,
OE — l (k = const).

Il рпмеч а н и о. Конструкция
механизма такова, что угол не мо-
жет неограниченно увеличиваться,
поэтому рассматриваемое движение
механизма возможно лишь в течение
ci рапичениого времени.

Решение. Выберем оси координат, как показано на рисунке.
Точку пересечения диагоналей ромба ACBD обозначим Ох. Вслед-
ствие симметрии точка В лежит па прямой ОА. Кроме того, оче-
видно, что ВОХ — OiA. Обозначив текущие координаты точки В
через х и у, из рисунка найдем

Х — ОВ COS ср,
у—ОВ sin ср.

(е)

Для определения ОВ рассмотрим произведение ОВ ОА. Имеем

ОВ • ОА = (ОО, - О,В) (00, + О,Л) = 001 — 01В2,
но

OO'i =	ОХС\ О.В1 = а2 — 0,С2,

следовательно,

О В • О А = &2 - а2
(это равенство показывает, что произведение расстояний от то-
чек Л и В до точки О постоянно при любом положении меха-
низма и характеризует геометрическое преобразование — инверсию,
чем и вызвано название механизма).

Из рисунка видно, что

COS<p ’
а тогда

= cos?.	(/)

Принимая во внимание равенство (/) и <p = fe/, из (е) получим
х——j—cos3 kt =—— (1 4 cos 2й/);

S2—	а2 . .,	й2 —a2 . o,,

у =-----Sin kt COS kt = —2)— Sin 2^-

Эти выражения представляют собой уравнения движения точ-
ки В. Исключая из них время t с помощью тождества

sin3 2kt cos3 2kt = 1,

получим уравнение кривой, по которой движется точка,

Таким образом, траекторией точки В является дуга окруж-
ности, проходящей через начало координат и имеющей радиус
г = —. Центр этой окружности лежит на оси Ох и делит по-
полам расстояние от точки О до положения точки В, отвечаю-
щего значению ® = 0 *.

Задача 315. По заданным в векторной форме уравнениям дви-
жения точки определить ее траекторию:

1.	r = (2/-L-l)Z4-(2 —30/;

2.	r=(2 4-3Z)Z-|-(1 — 2Z) 7 4-(2-4-о

3.	r = /V-4(5---2Za)/e;

4.	r = 3 cos z 4-fl3sm

5.	f= ^24-sin	4~2cosy)£;

6.	f = 6 cos 2t/-{- tk\

7.	r — (3 2 cos 2t) 74 (2 — 3 sin 2i) j;

8.	r — 3 sin /•*/2 cos t3k‘,

9.	r — ti 4 (2t — t'2) j;

10.	f = cos 2/74sin

* Очевидно, что траектория не зависит от закона изменения с (t).
Ответы:	1. Зх-[-2г/=7; ? = 0	(1 ^х<^оо);

2	=	(2<х<оо);

3.	2x-j-? = 5,1 z/ = 0	(0^х<^оо);

4.	х2-Ну~ 1)2 = 9; г=0;

5	(х-2)’ + ^=-*18=1; у = 0;

6.	y = 6cos2z; х = 0	(0й5г<оо);

7 <х-3)3 I О’-2)2 —у 7_п.

8.	4+т=1’ *=°->

9.	у = 2х— х3; z — Q	(0-сс x<f оо);

10.	х=1—2z2; у=0	(-1-sxsSl).

Задача 316. По заданным уравнениям движения точки найти
ее траекторию в плоскости хОу и начальное положение.

1.	x = 2sin^;  2.	x = 3cosZ;  3.	x = ]/Z;	у = 3 cos ;  y — 3 — 5 sin /;
4. x=Z3 j-2;	y = 2>
5. x = 2cos2Z;	y — 3 sin z;
6 x —4sm2Z;	y = 2cos f,
7. x = 2tg42;	y = 3sint (^<CU)
8. x = 3tg~ ;	y = cos/ (ZCTC);
9. x = 3Z;	y — 6t —

Ю. х — c’(s>infe/- cos kty, у = b (sin kt — coskt)\

11.	x = 2sin/2;	y —3cos/2;

12.	x — a -J- r cos и/;	y = rsinu)Z;

Ответы:

+	При / = 0: xo = O; yft = 3;

2.	При Z = O:xo==3; t/0 = 3;

3.	y = e'-~ (0^gx<oo). При Z = 0:xl) = 0; y0 = 1;

4.	x-j-#=5 (2-cx<^oo). При/ = 0 : x0 —2; y0 = 3;

5.	y2 = ~(2 — x) (— 2-<x?c 2). При Z = O:xo = 2; yo = O;

6 x2 —4y3 (4	y3) (-4x< 4). При / = О:хо = О; y0 = 2;

7-	412Л;:- (0<л-<оо). При / = 0:xn = 0; t/o = O;

*~г г
8.	(°-sSx<c<j). При / = О:хо = О; уа=1;

9.	у = 2х —	(Ог<х<^оо). При t = O:xa — 0; уа — 0’,

w. ^+^7 =1- При / = 0:хв = а; у0 — — Ь:

11.	При 1 — 0: хо — О; t/0 = 3;

12.	(х— а)3у2 — г2. При i = 0:x( = fl-j-r; Уо~О.

Задача 317. Точка движется по окружности радиусом г про-
тив хода часовой стрелки так, что проходимая ею дуга изменяется
по закону s = kt. Найти уравнения движения точки по отноше-
нию к системе хОу с началом в центре окружности, если гори-
зонтальная ось Ох проходит через начальное положение точки.

„	kt	-kt

Ответ: x = rcosy; t/ = rsin^.

Задача 318 (рис. 234). Кулиса ОМ длиной I приводится в
движение кривошипом OtA, вращающимся по закону <p — kt-.
Составить уравнения движения конца кулисы М, если О1О = О1Л.

„	, . kts	, kt2

Ответ: x = istn-Fr; y = lcos — .

2 ’	2

Задача 319 (рис. 235). Стержень АВ длиной I движется так,
что одна из его точек описывает окружность радиусом
а сам стержень проходит через неподвижную точку N, лежащую
на той же окружности. Составить уравнения движения точки В,
если ср = ш/.

Ответ: x — r cos wt -f- I sin ;

•	,	1 tot

у — Г Sin 0)/ — I COS-2 .

Задача 320 (рис. 236). В V-образном двигателе угол между
осями цилиндров а = 90°. Коленчатый вал вращается по закону
= Составить уравнения движения пальцев В и С, если
длина кривошипа OA — R, а длины шатунов АВ и АС равны L.

Ответ:

OB — Rcos	"|/~ 1 — р- sin2 <4;

(9C = 7?sinwi!4-A|/ 1—pcos2w/.

Задача 321. В V-образном двига-
теле угол а между осями цилинд-
ров равен 60°. Коленчатый вал
вращается по закону = Со-
ставить уравнения движения паль-
цев В и С по направляющим, если
длина кривошипа ОА равна R,

а длины шатунов АВ и АС равны 2R. Определить положение
пальца поршня В в тот момент, когда поршень С находится
в крайнем верхнем положении (рис. 236).

Ответ: ОВ = R cos <ot -|- 2R 1 —;

/	• *1л Д

- / ып- I -=- - <i>f

OC = Rcos ~ — ш/1 + 27? I/ 1--------------------

\ 6	/ ' Т	4

ОВ^ = 2,307?.

Задача 322 (рис. 237). Стержень АВ длиной I поворачивается
около точки В так, что угол ср изменяется по закону <р == а

ползун В совершает гармонические колебания согласно уравнению
s — a-\-b sin uit. Определить траекторию точки А.

Ответ:	-4-~ = 1 (эллипс).

Задача 323 (рис. 238). Стержень АВ длиной I движется так,
что конец А скользит по неподвижной прямой Оу, а ось стержня
АВ все время проходит через неподвижную точку С, отстоящую
от оси Оу на расстоянии ОС = а. Найти уравнение кривой, по
которой движется точка В.

„	.2 (х— а)2(12 — х-)

Ответ: у ----------А-------.

Задача 324 (рис. 239). Кривошип ОА вращается так, что угол
его поворота « = 20~А Длина кривошипа ОД ==20 см, длина
шатуна ЛВ = 100 см. Определить
уравнения движения точки М ша-
туна, отстоящей от точки А на
расстоянии АМ = -|-АВ.

И

I

Рис. 240

Ответ: х = 20 cos20it/-L8]/25 — sin22(W см,
у — 12 sin 20я/ см.

Задача 325 (рис. 240). Составить уравнения движения точки У
реборды колеса, если оно катится без скольжения по горизон-
тальной рейке и имеет скорость центра, равную у0. В начальный
момент точка У занимает наинизшее положение. Радиус колеса г,
радиус реборды R.

Ответ: xN=v9t — 7?siny; yN — r — Reos —.

Задача 326 (рис. 241). Зубчатая рейка АВ обкатывается по
неподвижному зубчатому колесу радиусом R так, что угол между

радиусом ON, проведенным в точку касания N, и горизонталью
изменяется по закону <? = kt. Составить уравнения движения
точки М рейки, занимавшей в начальный момент положение Мв.

Ответ:

х —R cos kt }-kRt sin kt', y — Rsinkt — kRt cos kt.
Задача 327. В механизме, изображенном на рис. 242, линей-
ка А В движется так, что ее концы А и В во все время движе-
ния скользят по прямолинейным направляющим, которые образуют
между собой угол а. Определить траекторию точки М линейки,
если АМ—а, ВМ — Ь.

Ответ: дуга эллипса, уравнение которого
[?-^M+£=i

(эта кривая второго порядка может быть только эллипсом, так
как из уравнения видно, что всегда |t/|^&).

Задача-328 (рис. 243). Кривошип ОА поворачивается вокруг
неподвижного шарнира О гак, что <p — kt, и имеет , на конце А
ползун, заставляющий кулису АХ перемещаться в направляющих £.

При этом ползун С с двумя взаимно перпендикулярными направ-
ляющими приводится в движение по прямой KL благодаря стерж-
ню ВМ, шарнирно соединенному с кривошипом ОА в точке В.
Определить уравнения движения точки С и ее траекторию, если
ОА=а, ОВ — Ь.

Ответ: xr = a cos kt', yc — bsmkt',
Ь	л-2 Ь V2

траектория — эллипс: ^-|-<г=1.

Задача 329 (рис. 244). Кривошип ОА длиной а поворачивается
вокруг неподвижного шарнира О. На конце А он имеет ползун,
заставляющий кулису KL перемещаться в направляющих Е. При
этом по прямой KL перемещается ползун D, соединенный шар-
нирно с кривошипом ОА стержнем BD. Определить траекторию
точки D, если BA—BD — b.

у2

Ответ: эллипс & 4" — 2ьу = 

Задача 330 (рис. 245). Линейка АВ длиной 2а скользит своими
концами А и В по двум взаимно перпендикулярным направляю-
щим. В середине С линейки, под прямым углом к ней, прикреп-
лен стержень CD, длина которого равна а. Показать, что конец D
стержня движется по биссектрисе угла между направляющими.
Задача 331. Считая в задаче 330, что длина стержня CD
равна с (причем с Ф а), определить траекторию точки D, отнеся
движение к осям, являющимся биссектрисами углов между
направляющими.

Указание. Принять за параметр угол, составленный CD
с осью Ох.
к-	V2

Ответ: эллипс -I-	— 1.

(а-ус.Н 1 (а — с)2

Задача 332 (рис. 246). Стержень BCD, изогнутый под прямым
углом, перемещается таким образом, что точка В скользит по

прямолинейной направляющей, a CD все время проходит через
неподвижную точку А. Считая, что ВС = ОА = а, определить урав-
нения движения точки С и ее траекторию, если угол ср изменяется
по закону <? = kt в пределах 0< <р <Су-

kt
Ответ: x = acos kt\ y = acos kttg-^.
Траектория — дуга строфоиды

у2  а — х

Xs	а х ’

причем Q^x^a.

Задача 333 (рис. 247). В механизме Сомова ползуны А и С
перемещаются по общей направляющей, а шарнирный четырех-

угольник EDBF представляет собой ромб со стороной а. Механизм
приводится в движение кривошипом OEF, вращающимся вокру!
точки О так, что AOE — q = kt. Определить уравнения движе-
ния точек В и D и их траектории, если ОЕ ~ ВС = АВ — Ь.

Ответ: xB = (bJr 2а) cos kl\ ув = b sin kt.

xD — (b + а) cos kt", yD = (b — а) мп kt.

Траектория точки В — эллипс

__ii____= i

(/> + 2а)2

Траектория точки D — эллипс

—11-----1---11__— I

(b-rar । (b — aY

Задача 334. В эллипсографе, изображенном на рис. 248, опре-
делить траекторию точки D при вращении кривошипа OtA вокруг

точки Оь если ОМ —a, О|О-—За, АС = АВ = 4а, А К = АЕ =
— KD — DE — a

Ответ: эллипс ~ -f-	= 1

Задача 335. В гиперболографе, изображенном на рис. 249,
ползун А движется по прямолинейной направляющей MN. Найти
уравнение кривых, по которым движутся точки Е и D, если
О1Д = О2Л=а, OtE = 0>Е = OtD — 0,0 — Ь, а угол, образованный
направляющей MN с осью Ох, равен а.

Ответ: гипербола х-—	= — а1.

Задача 336. На рис. 250 показан механизм Гершгорина. В точ-
ках D и С двух одинаковых зубчатых колес на расстояниях
и Гч от их центров присоединены одинаковые по длине стержни DF
и CF, соединенные между собой шарниром. К серединам этих
стержней шарнирно присоединены стержни КМ и LM так, что
фигура KMLF образует ромб. Определить траекторию точки М при
движении механизма, если в начальный момент точки D, С и М
лежали на прямой, соединяющей центры колес А и В.
Указание. Углы, образованные отрезками DA и СВ с пря-
мой АВ, будут все время равны между собой. Точка М все время
находится на середине отрезка DC.

Vs

Ответ: эллипс	Л «= 1.

I ri + rsV 1 (— гя
\ 2 ,1	\ 2 /

Задача 337. В механизме, изображенном на рис. 251, найти
уравнение движения точки В, если кулиса ОАВ вращается так,

Рис. 251

что угол <р — u>t, а расстояние от точки О до направляющей
стержня OOi — b, длина О А равна а. Угол ОАВ — прямой.

Ответ: у = —4- b tg art.

s cos «г 1	°

Скорость и ускорение точки

При задании движения точки в прямоугольных декартовых
координатах скорость и ускорение точки определяются по их проек-
циям на неподвижные оси:

dx .	dy .	dz .

v^=Tt=x' vv=Tt=y' ^=dt=z'	<5'3)

dvx ..	dvv ..	dv, ..

/=y; di=z- (5.4)

У =	+ +	(5.5)

w = }^wx-j-Wv-{-We;	(5.6)

cos (v, x) = ~; cos (0, y) = 4;
cos (6, z) —

cos (w, x) = —;	cos(®, u) = ^;

. Wz

cos (w, г) = -

(5.8)
Уравнениями годографа скорости в параметрическом виде
являются

х> = ил~ -И yl=^Vy—ij, z1=^-v. = z,	(5.9)

где xit yit г,—текущие координаты точки, вычерчивающей годо-
граф, а оси O|Xi, Oii/ь О,/, соответственно параллельны осям Ох,
Оу, Ог.

Задача 338. Даны уравнения движения точки:

х = ^; у = 4-^
о

(х, у — в сантиметрах; t — в секундах).

Определить: 1) траекторию точки; 2) скорость точки в момент
t— 1 сек-, 3) годограф скорости; 4) ускорение точки при t — 2 сек.

Решение. 1. Исключая t из уравнений движения, получим
уравнение кривой, по которой движется точка,

(полукубическая парабола). Траекторией является часть этой
параболы, соответствующая хЗьО.

2.	Находим проекции скорости точки на оси координат по
формулам (5.3):

vx = jc = 2t-, vv — y~P,

откуда	_

v = tV~4P-tr.

Следовательно,

v сек= К5 =2,24 см/сек.

Направление скорости определяется направляющими косину-
сами (5.7):

cos (у, х) =Vx = , 2 ..; cos (у у) = —	t-7~.

v ' v T4-J-/2	v

При t=l сек имеем

cos (jCx) =	; cos (ofy) =	•

Таким образом, скорость в момент t—1 сек составляет с ося-
ми Ох и Оу соответственно углы, равные 26°34' и 63°26'.

3.	Находим уравнения годографа скорости в параметрическом
виде по формулам (5.9):

Х1 = ул = 2/; y^Vy — P.

Исключая /, получим

Л1
Годографом скорости точки является часть этой параболы,
соответствующа я

О - ' *1 <^со.

4.	Находим проекции ускорения на оси координат по фор-
мулам (5.4):

гр, -dVx -<) т ,---dVy --

wx— dt — 2, wy = dt —Zf.

Отсюда

^ = 2]/“! 4-/\
следовательно,

«№=21^5 =4,47 см]секг.

Направление ускорения определяется направляющими косину-
сами по формулам (5.8):

cos (и>, х) =	cos (а», у) = —=£

’ ’ И1 -\-Р	|/1|

При / = 2 сен получим
1	2

cos (w, х) =	; cos (w, у) =— .

Г5	У о

вращается вокруг неподвижного

Рис. 252

Ось этого ползуна закреплена

Таким образом, вектор ® в момент / = 2 сек образует с осями Ох
и Оу соответственно углы 63с26' и 26с34'.

Задача 339. В механизме, показанном на рис. 252, стержень OL
шарнира О по закону =
(со — постоянная) и проходит
в точке В через поворотный
ползун I, соединенный шар-
нирно с другим ползуном II,
движущимся по вертикаль-
ной направляющей СМ, ко-
торая может перемещаться
лишь поступательно. К пол-
зуну I прикреплен стержень
ВК, перпендикулярный к его
оси и ’проходящий в точке А
через поворотный ползун III.
на стержне CD на расстоянии

СА — 2р от точки С.

Найти кривую, по которой движется точка В, а также ско-
рость и ускорение этой точки.

Решение. Выберем оси координат так, как показано на рисунке.
Обозначив текущие координаты точки В через х и у, из прямо-
угольного треугольника АСВ найдем
i/ = 2pctgcp,
а из треугольника ОС В —

x = yctg'? = 2р ctga р.
Принимая во внимание, что <р = <о/, получим уравнения движе-
ния точки В:

x = 2pctgW, y = 2pctg«)Z.

Исключая время t, находим уравнение искомой кривой:
у2 — 2рх (парабола).

Заметим, что конструктивно угол <р не может увеличиваться
беспредельно, и потому движение точки В фактически происходит
по части параболы. Скорость точки В определим по (5.3):

их = х — — 4ры ctg <ot cosec2«/; vy — у = — 2p o> cosec2 wt.

По (5.5) найдем величину скорости:

v = Vvi-i-vl =	Fl + 4 ctg2 Wt.

По (5.7) можно найти направление вектора v. Выразим v так
же, как функцию абсциссы х. Имеем

ctg2 oj/ — 4-; cosec2 = 1 -4- 4;

следовательно,

v = 44- (2p + x) /2х - - p.

VP

Для определения ускорения воспользуемся формулами (5.4).
Получим после простых преобразований:

wx = vx = 4p о? cosec2	(1	3 ctg2 и/);

wy — vy = 4p oj2 cosec2 <s>t • ctg wt.

Проекции ускорения можно выразить и как функции координат.

Получим

Wx == J (2р 4- Зх) (2р И - х);

wy =	+ У^= ? &Р + '

Из этих формул видно, что wx, wv увеличи-
ваются с возрастанием х и у. По (5.6) теперь
легко найти величину ускорения, а по (5.8) —
направление вектора ®.

Задача 340 (рис. 253). Груз С поднимает-
ся по вертикальной направляющей при по-
мощи троса, перекинутого через неподвиж-
ный блок А, отстоящий от направляющей

Рис. 253

на расстоянии АО —а. Определить скорость и ускорение груза С
в зависимости от расстояния ОС — х, если свободный конец троса

тянут с постоянной скоростью и.
Решение. Из треугольника АОС имеем

x = V(AQ‘> — cP.

Пусть Со — начальное положение груза. Обозначая АС9 — 1,
получим

АС = 1 — ut,

и уравнением движения груза С будет

x = V(l~ ut)1 — cP .	(g)

Находим проекцию скорости на ось Ох:

___dx___	и(1 — ut) _ (I — ut) и
х ~^dt~~ уц — щуЛ^ ~ ~ ' х •

Из (g) найдем	_____

I — ut— V х*cP,
следовательно,

vx = — ^ Vx^-^d1.	(h)

Знак «минус» указывает на то, что точка движется в сторону
уменьшения абсциссы х, т. е. вверх.

Находим проекцию ускорения точки на ось Ох:



их ~[ __ иа3£

х/Л-р J ~ х3 *

Так как x = vx, то окончательно получим

w

и-а-

Знак «минус» указывает на то, что ускорение точки направлено
также вверх. Таким образом, движение груза является ускоренным.

Задача 341 (рис. 254). Два судна А и В идут взаимно пер-
пендикулярными курсами с постоянными скоростями, равными по
величине 20 узлам (узел — единица ско-
Гроста, равная миле в час). Определить
/ДО	закон изменения расстояния s между ними,

\.	если в начальный момент суда занимали по-

в	ложения Ло и Во, причем ОЛ0 —ОВ0 —3

0 X.	мили.

\.	.	Ответ: 5 = ]/2(3 4~20/)миль(£ — в часах).

gl .	г4> Задача 342 (рис. 255). Курсы двух судов

Л и В, идущих с постоянными скоростями
Рис. 254 vA — 25 узлов и i>B=15 узлов, пересекают-
ся в точке О под прямым углом. Опреде-
лить, в какой момент времени расстояние s между судами
будет наименьшим, а также момент времени когда это рас-
стояние снова станет равным начальному расстоянию /40B0 = s(l,
если ОД0 = 2,2 мили, а 0Вс = 2 мили.

Ответ: tl = 6 мин\ ^=12 мин.

Задача 343 (рис. 256). Из пункта А, находящегося на берегу
моря, нужно попасть в пункт В, отстоящий от берега на расстоя-
нии 9 км. В каком пункте С

нужно высадиться на берег со
шлюпки, идущей со скоростью
и, —1,5 м'сек, чтобы в крат-

Рис. 256

чайшее время прибыть в пункт В, если средняя скорость ходьбы
о2=1,2 м[сек, а расстояние АВ = 41 км?
Ответ: АС = 28 км.

Задача 344 (рис. 257). Человек получил задание в кратчайшее
время добраться из пункта А, находящегося на берегу, на остров В,
отстоящий от берега на расстоянии

17,3 км. В каком месте С человек	....________

должен пересесть на катер, если ско-	—

рость катера 36 км/час, а скорость ----------- ------ VKs*—

автомобиля, на котором он передви-	У ।-----

гался по участку АС, равна 72 км, час? =-о	1	'

Ответ: DC =10 км.	л

Задача 345. Какое минимальное	Рис. 257

время потребуется самолету для его
полета на расстояние 1000 км, если горизонтальные составляющие
ускорения в начале и в конце движения не должны превосходить
(для удобства пассажиров) 1 м^ек*?

Ответ:	= 33 4- мин.

Задача 346. Движение точки М задано уравнениями
x = a(sin fe^-j-cos kty,	i/ = a(sin kt — cos kt),

где auk — постоянные величины.

Определить величины скорости и ускорения точки.

Ответ: v = aky~2‘, w = ak*y^2.

Задача 347. Движение точки В механизма (см. задачу 319)
задано уравнениями

х = г cos coZ —J—1 sin -g-; y = rsmu>t—Zcosg,
где w — постоянная.
Определить величины, скорости и ускорения точки В.

Ответ: v = «>	rl sin у;

8 т Г я . /2 rl . at
r’+ie-ysiny

Задача 348 (рис. 258). Кулиса ОМ длиной I приводится во
вращение кривошипом 0tA, угол поворота которого <^~=kt(k—
постоянная). Определить величины

скорости и ускорения точки М, если
OiO — OtA.

„	lk ik"

Ответ: v= . • w = -r.
2 ’	4

Задача 349. Даны уравнения дви-
жения точки М (см. задачу 326):

х = R cos kl-\- k Rl sin kt,
y = Rsinkt — kRt cos kt,
где k — постоянная.

Определить величины скорости и ускорения точки М как
функции времени.

Ответ: v = fe2/?/; w = k2R V 1 Д- k^f1.

Задача 350 (рис. 259). Два стержня ОА и OiB, соединенные
крестообразным ползуном D, могут вращаться вокруг точек О и
Oi соответственно, образуя между собой все время угол 90°.

Определить величины скорости и ускорения точки D, если OOj = a,
а 2. AOOi = <? — kt, где k — постоянная.

Ответ: v = ak, w — Zati1.

Задача 351 (рис. 260). В кулисном механизме штанга АВ
движется вверх с постоянной скоростью и. Составить уравнения
движения точки С кулисы и определить величину скорости этой
точки в момент, когда { = если в начальный момент <? = 0,
длина ОС = а, расстояние OD — L.

al

aut

аи

'С — 2/ •

Ответ: хс =

V FA-usP Ус /72 + «2/2’ J<

Задача 352. На рис. 261 показан механизм Антонова. Кресто-
образный ползун А перемещается

правляющей QQ' с постоян-
ной скоростью и. С центром
этого ползуна шарнирно сое-
динена втулка D, через ко-
торую проходит изогнутый
под прямым углом рычаг
L0M, вращающийся вокруг
точки О, отстоящей на рас-
стоянии а от направляю-
щей QQ'. Другой стержень
СВ, проходящий через пол-
зун А, заканчивается ползу-
ном В, скользящим по стороне

на-

вверх по прямолинейной
а’

м

Рис. 261

ОМ рычага LOM. Определить

траекторию точки В и величину ее скорости в момент, когда
QA = a. В начале движения ползун А находился в точке Q.

Ответ: дуга параболы yi = ax‘ и=и^ 5.

Задача 353 (рис. 262). В механизме проектора ползуны А и
С движутся друг от друга со скоростью v каждый. Определить

х

Рис. 262

в момент, когда t_BDE = y, ско-
рости шарниров В, Е, F, D, если

AE = CF = a,
= FD — l.

Ответ: vDx

BE = BF = ED —

= 0;

__ I а ,

^х = 0; oBJ, = otg<p;
vl

VEx —~vEx — ~- ~lZZ~a ;
va ,

VFy VE_V - [_a tg ?'>

ve = vF=	V 11-}-аЧёЦ.

Задача 354 (рис. 263). Проек-
тор Делоне состоит из двух шар-
нирно соединенных между собой
стержней АВ и ВС длиной I

каждый, с которыми шарнирно соединены два других стержня ED
и DF так, что фигура BEDF образует ромб со стороной а. Опре-
делить скорость точки D в зависимости от угла ? — Z ВАС, если
точка А неподвижна, а точка С движется по прямой, перпенди-
кулярной к BD, со скоростью v.

Ответ: vDx — ;

v (2а — I)
ay—ctg?;

и л =	~ 4а (/ — a) cos’?.

и 21 sin <р г	'	'	~

Задача 355. Даны уравнения
движения точки:

х = 44-6/’; у==зр_1

Рис. 263	(х, у —в сантиметрах, t — в се-

кундах).

Определить: 1) траекторию точки; 2) величину скорости точки;

3) годограф скорости; 4) величину ускорения точки.

Ответ: 1) У = ^—3 (4 <_х</ оо); 2) и = 6/'К 5 сл/сек;

3) г/! = 0,5х1 (0 -.';xt	оо); 4) и! = бУ 5 см/сек1.

Задача 356. Даны уравнения движения точки:

х = 2	у = ~ 3^4-4

(х, у — в сантиметрах, t — в секундах).

Определить: 1) траекторию точки; 2) величину скорости точки;

3) годограф скорости; 4) величину ускорения точки.

Ответ: 1) у = — Зх-|- 10(2 ==сх<^оо); 2) v = 3/’j/^Ю см/сек\
3) У1 = — 3%! (0 «о'х, оо); 4) ш = 6/]/10 см/сек1.

Задача 357. Даны уравнения движения точки М:

о, 2

х = 3/; у —-г
° t

(х, у—в сантиметрах, t — секундах).

Определить: 1) траекторию точки; 2) момент времени, когда
величина скорости точки равна 5 см/сек-, 3) величину скорости
точки А, вычерчивающей годограф скорости.

Ответ: 1) У = -~. (0<х<оо); 2) t=¥~ сек-,

3) иА~ wM — ~ см/сек1.

Задача 358. Движение точки задано уравнениями

х = 2/; y = evsin4t
Определить: 1) уравнение траектории; 2) моменты времени,
в которые скорость точки параллельна оси Ох; 3) моменты вре-
мени, в которые точка пересекает ось Ох.

Ответ: 1) i/ = e'8Jfsin2x(0==gx<oo);

Задача 359. Движение точки происходит в вертикальной пло-
скости и задано уравнениями

x — t; r/ = sinf2

(х, у — в сантиметрах; /— в секундах).

Определить: 1) величину скорости точки в ближайший после
начала движения момент времени, когда точка пересекает ось Ох;
2) величину ускорения точки в этот момент; 3) величину скоро-
сти точки в ее наивысшем положении на траектории.

Ответ: 1) v = 3,68 см!сек;

2)	ш = 2 см/сек?.

3)	v = 1 см)сек.

Задача 360. Даны уравнения движения точки:

х = 3/; у—At— З^2

(х, у — в сантиметрах, t — в секундах).

Определить: 1) траекторию точки; 2) моменты времени, в ко-
торые точка находится на оси Ох; 3) момент времени, в который
величина скорости точки имеет наименьшее значение; 4) угол
между направлениями скорости и ускорения точки при t = 1 /6 сек.

Ответ: 1) у =	(0^х<^оо);

2) ^i = 0; t^= $ сек;
о

О

3)/ = 4сек; 4) а =135°.

О

Задача 361. Даны уравнения движения точки:

х = 1/2; у = 1/з

(х, у — в сантиметрах; t — в секундах).

Определить моменты времени, в которые угол между скоростью
3
и ускорением точки a = arccos — .

Ответ: Л = 1 сек; = 1 /2 сек.
Задача 362. Движение точки в интервале	задано

уравнениями

х —tg/; t/ = cos2£

(х, у — в сантиметрах, t — в секундах).

Определить: 1) траекторию точки; 2) величину начальной ско-
рости точки о0; 3) уравнение годографа скорости.

Ответ: 1) у — г-г—» («локон» Марии Аньези) (0-сх<^оо);

1 -р- л-

2)	Oo = 1 см сек-,

3)	=

Л1

Задача 363. Движение точки в интервале 0 t я задано
уравнениями

x = tg-2; y = sint

(х, у~в сантиметрах, t — в секундах).

Определить: 1) траекторию точки; 2) уравнение годографа
скорости.

Ответ: 1) у — 7	;

2) ух = ----1 (гипербола).

•*1

Задача 364. Движение двух точек и задано соответ-
ственно уравнениями

1)	x = t; y = 2t‘t; 2) х = /2; у = 2^

(х, у — в сантиметрах, t — в секундах).

Определить: 1) траектории точек; 2) время Т, по истечении
которого одна из точек догонит другую; 3) величины скоростей
точек в этот момент; 4) величины ускорений точек в этот момент.

Ответ: 1) у — 2х* (О^х^оо);

2)	Т — 1 сек;

3)	Dj —4,12 см)сек; о2 = 8,25 см! сек;

4)	Wi — 4 см/сек*; Ws — 24,1 см!сек?.

Задача 365. Брандспойт имеет расход воды q мУсек. Площадь
отверстия брандспойта равна а м\ Под каким углом а следует
направить струю, чтобы она падала на расстоянии s метров?

Указание. Считать, что капли воды летят независимо друг от
друга с ускорением свободного падения. Начальную скорость
определить исходя из расхода.

Ответ: а —у arcsin^-(g—9,8 .и/сек2).

Задача 366. Точка движется из начала координат с ускоре-
нием w = — al-{-а],	имея начальную скорость =
Найти уравнение траектории и величину минимальной скорости
точки.

Ответ: (х 4- у)'2 =	; уш1п =	.

Выбрав новые оси, повернутые на а —45°, можно показать,
что полученная кривая является параболой.

Задача 367. Точка движется с постоянной по величине ско-
ростью в плоскости хОу. Вектор скорости v образует с осью Ох
переменный угол a. = at (а — постоянная). Определить траекторию
точки и величину ее ускорения, если в начальный момент точка
находилась в начале координат.

Ответ: окружность

о I / V \l Vs
х--- у-----= w = au.

al a2 ’

Задача 368 (рис. 264). Шток может свободно перемещаться
в направляющих С и D при помощи шатуна АВ длиной I, ко-

Рис. 265

нец А которого, движется по закону ОА =x = osin u>t. Опреде-
лить скорость штока в зависимости от абсциссы х ползуна А.

Ответ: v — w I xl Л ..

1	К/2 — Л-2

Задача 369 (рис. 265). Источник света А опускается по вер-
тикали со скоростью и — const. На столе имеется стойка высо-
той h, отстоящая от этой вертикали на расстоянии а. Определить
величины скорости и ускорения конца М тени по столу в зави-
симости от высоты источника света.

_	ahu	2a!iir

Ответ: v =	w =

Задача 370 (рис. 266). Гибкая нерастяжимая нить ABCD одним
концом закреплена в точке D, а другим перекинута через непод-
вижный блок В, находящийся на той же высоте, что и точка D,
причем расстояние BD — a. В точке С нити закреплен груз М,
DC — b.
Определить вертикальную составляющую скорости груза М.
в зависимости от угла образованного частью нити CD с вер-
тикалью, если конец А нити тянут с постоянной скоростью и.

Ответ: vy =	Vа*— 2а& sin у.

Задача 371 (рис. 267). Точка М при помощи стержня АВ,
перемещающегося поступательно с постоянной скоростью й, пер-

Рис. 267

пендикулярной к оси Оу, приводится в движение по параболиче-
ской направляющей, уравнение которой {/* = 2рх. Определить ве-

личины скорости и ускорения точки в зависимости от величины
перемещения стержня.

Ответ: v = и 1/~ 1	.

У 1 2х ’	4х У х

Задача 372 (рис. 268). Кольцо М приводится в движение

по параболической направляющей, уравнение которой уг = 2рх,

Рис. 268

при помощи стержня ОА, вращаю-
щегося вокруг точки О по закону
<р — u>t (со — постоянная). Определить
величину скорости кольца М в зави-
симости от координаты х.

Ответ: v =	(^ + 2р)	+ р-

Задача 373. Точка движется по
эллипсу, уравнение которого

х»
as

। Уг

1

= 1.

Найти те положения точки, в которых величина ее скорости
больше величины проекции скорости на ось Ох в два раза.

„	. а2 / 3

Ответ: х = ±  ______'______

|/д24-За2
Цилиндрические, полярные и сферические координаты

Цилиндрические координаты точки г, ср, г (рис. 269) связаны
с декартовыми соотношениями

х — rcos<p; t/ = rsin<p; z = z.	(5.10)

Уравнениями движения точки в цилиндрических координатах
являются

г = г(^); ? = <р(0; z = z(t).	(5.11)

Если г = 0 во все время движения, то цилиндрические коор-
динаты превращаются в полярные на плоскости хОу.

Рис. 269	Рис. 270

Уравнениями движения точки в полярных координатах будут
r = r(t)\ <p = <p(^).	(5.12)

Если движение задано в полярных координатах, то скорость
и ускорение точки можно определить через их проекции на оси
полярных координат (г) и (<р):

vr = f\ у? = гф;	(5.13)

v — У Пг +	(5.14)

wr = 7 —	=	(5.15)

w = Vwf~y	(5.16)

Если движение задано в цилиндрических координатах, то до-
полнительно появятся проекции на ось (z), а именно:

vz = £; wz = S,
и тогда	____________

и = У
Сферические координаты /?, ср, & (рис. 270) связаны с декар-
товыми формулами перехода:

x = 7?sin & cos ср; у = 7?sin & sin ср; z = 7?cos&.	(5.17)

Проекции скорости на оси сферических координат (7?), (ср), (&):

1^ = 7?;

vv =7?sin&-<p;

— 7?&;

v=V

Проекции ускорения на оси сферических координат:

wR — 7? — 7?&2 — 7? sin2 & • ср2;

w& = 7?'&4~	— 7? sin & cos &• <р2;

wv — 7?'р sin & 4- 27?<р sin & -ф 27?&ср cos&.

(5.18)

(5.19)

(5.20)

Задача 374. Движение точки в плоскости задано параметриче-
скими уравнениями в полярных координатах:

г — а (1 4- ^); cp = arctgZ

(г в сантиметрах, ср — в радианах, t — в секундах).

Найти уравнение траектории, скорость и ускорение точки.

Решение. 1. Найдем кривую, по которой движется точка, для
этого исключим t из уравнений движения. Имеем

/ = tgcp; r = a(l 4-tg2?) =^,

следовательно, уравнением искомой кривой является г = -^^7.
Для преобразования этого уравнения к декартовым координатам
воспользуемся (5.10). Имеем

г2 cos2 ср = аг
или

х2 = а Ух2 4" У2-

Возводя в квадрат, получим

№ =	—а2),

отсюда

у = ± -у Ух2 — а2.

Эга кривая состоит из двух ветвей. Точка при движении описы-
вает только правую верхнюю ветвь (так как 1^- 0), которая и
является ее траекторией.
2.	Для определения скорости найдем ее проекции по (5.13)
vr = г = 2at,
у^ = г^=а.

Отсюда величина скорости

v =	= a У I	4А

Направление скорости определяется углом а, который она
образует с полярным радиусом:

Таким образом, с возрастанием времени скорость растет по вели-
чине, а угол, образуемый ею с полярным радиусом, стремится
к нулю, т. е. направление скорости приближается к направлению
полярного радиуса.

3.	Найдем проекции ускорения по (5.15)

а .n a(l-4-2i2)	.. . n.. 2at

величина ускорения будет

a VW + 8i- +1

W — У W3r-\-Wy =

1-Н2

Направление ускорения определяется углом р, который оно

образует с полярным радиусом:

tgp— w-— 1^-2г!2 •

Таким образом, вектор w, как
и v, при возрастании t стремится
совпасть по направлению с по-
лярным радиусом.

Задача 375. В механизме, изоб-
раженном на рис. 271, стержень
LC проходит через поворотный
ползун в точке А, а в точке В

шарнирно закреплен на ползуне,	Рис. 271

движущемся по прямолинейной

вертикальной направляющей MN. Найти кривую, по которой
движется точка С, а также скорость и ускорение точки, если

2VWj_Ax, АО —а,
ВС — b,	=

где w — постоянная.

6 Н. А. Вражниченко и др.

161
Решение. Введем полярную систему координат с полюсом
в точке А и полярной осью АО. Тогда полярный радиус точки С
будет

. । а
г — b 4—----.

1 COS<p

Это и есть уравнение кривой, по которой движется точка С,
в полярных координатах. Эта кривая называется конхоидой Нико-
меда.

Подставляя значение

<р = о>/,

(О

получим

г = Ь-\-

а

COS СО/ ’

(/)

Уравнения (i) и (/) представляют собой уравнения движения
точки С в полярных координатах.

Для нахождения скорости определим ее проекции по (5.13)

. а<л sin tiit

V,— г —--------=-т-;

. i. 1 аа>

v,. = r^ = b(D -4----г.

т т	1 COS tilt

Отсюда величина скорости по (5.14):

v — —“	4- 2ab cos3 mt 4- b3 cos* mt.

COS2 ti>t *	1	1

Найдем проекции ускорения по (5.15):

2ato2 sin2

Wr = ? — г<ра

Ьт\

^ = /•^4-2^

cos3 mt

2a«i2 sin <>>t

COS2 tilt ’

так как ф —0.

Отсюда величина ускорения по (5.16):

w = V4а3 sina wt — 4ab s ina mt  cos3 mt 4- b3 cos® mt.
cos3 at	1

Задача 376. Даны уравнения движения точки в сферических
координатах:

= <р = 2/; 6=4

(R — в сантиметрах; t — в секундах; <р, 6 — в радианах).

Найти величины ее скорости и ускорения в момент / = ~ сек.
Решение. 1. Определим проекции скорости по (5.18):

о = R sin 8- • ф = 2 sin t •
v^ = R^ = et.

Отсюда величина скорости будет

v = e‘ K4sin2z‘ 4- 2;

п| к = c2 Кб = 11,8 см!сек.
t = -g- сек

2.	Найдем проекции ускорения по (5.20):

wR = R — RW — R sin2 8  ср2 = — sin21\
= R& 4- 2R& — R sin 8- cos 8 • cp2 = 2e* (1 — sin 2/);

= Rr? sin 8 4“ 21?<p sin 8 4- 2/?8<p cos 8 = 44 (sin 14- cos t).

Величина ускорения

и.' = 241/*5 4~ 4 sin / cos /4~ 4 sin24

и» I я —6e2 = 28,9 см/сек?.

t=-^-ceK

Задача 377. В механизме, изображенном на рис. 272, линейка
ВС, имеющая на концах ползуны В и С, остается все время пер-
пендикулярной к стержню.ОА, вращающемуся вокруг точки О,

благодаря крестообразному ползуну D. Принимая точку О за
полюс полярной системы, а направляющую ползуна С — за поляр-
ную ось, определить в полярных координатах траекторию точки D,
а также величины ее скорости и ускорения в момент, когда
<р = , если стержень О А вращается так, что <р = kt (k — постоян-
ная), а ВС —2а.

Ответ: г = OD — a sin 2? — четырехлепестковая роза,
т — ak;	х — 5ak\

Задача .378 (рис. 273). Конхоидограф представляет собой стер-
жень QQ', шарнирно скрепленный с кривошипом ОА и проходя-
щий через неподвижную точку В. На стержне находится точка М,
причем расстояние АМ — b. Принимая точку В за полюс поляр-
ной системы, а прямую ВО — за полярную ось, определить урав-
нения движения точки М. в полярных координатах, уравнение ее
траектории, а также скорость и ускорение, если полярный угол
у —kt (k — постоянная), а ВО= АО = а.

Ответ: уравнения движения

q = kt\ г — b -j- 2а cos kt.

Траектория — конхоида окружности (улитка Паскаля):

r = b4-2acos©; у =/г]//'4а2-' b2-L 4ab cos/г7;

w = kKV 16a’2 -j- b* -ф- 8ab cos kt.

Задача 379 (рис. 274). Два стержня AD и СК соединены между
собой под прямым углом и движутся так, что стержень AD все

время проходит через неподвижную точку О, а стержень СК —
через точку В, причем 0В — 2а. Принимая точку О за полюс
полярной системы, ОВ — за полярную ось, определить в поляр-
ных координатах траекторию точки D, удаленной от С на рас-
стояние CD —2а, а также величины ее скорости и ускорения, если
полярный угол y = kt (k — постоянная).

Ответ: траектория — дуга кардиоиды:

г — 0D — 2а (1 -ф-cos 9); n = 4afejcosy |;

w — 2afe2 ^5 -j- 4 cos kt.
Задача 380 (рис. 275). Шестеренка радиусом R обкатывается
без скольжения по неподвижной шестеренке с тем же радиусом
при помощи кривошипа OiA. вращающегося так, чтоа = ^(& —
постоянная). Найти полярные уравнения движения той точки
обода подвижной шестеренки, которая в начальный момент была
точкой соприкосновения с неподвижной шестеренкой, принимая
начальное положение точки за полюс, а начальное положение диа-
метра, проходящего через эту точку подвижной шестеренки, — за
полярную ось.

Ответ-, г = 4/? sin2 <? = kt.

Задача 381. Движение точки задано в декартовых координа-
тах уравнениями:

x — at* cos kt*-, у = at* sin kt*

(a, k — постоянные величины).

Определить проекции скорости и ускорения на оси полярных
координат, выбрав за полюс начало декартовых координат, а за
полярную ось — ось абсцисс.

Ответ-. vr = 2at\ v^ — 2akt'>-, wr = 2a(l—2k*t*); W^—lOakt*.

Задача 382. Точка движется по гиперболической спирали г = — ,
причем радиальная скорость ее удаления равна и. Найти величину
полной скорости точки в зависимости от угла <р.

Ответ: v — иУ 1 -ф-

Задача 383. Точка движется в плоскости по логарифмической
спирали r = aek,f, причем <р — <»t (ш — постоянная). Найти вели-
чины скорости и,ускорения точки, выразив их как функции г.

Ответ: v — <»гУ1 -ф- k*\ . w — в>*г (I -ф- /г2).

Задача 384. Самолет равномерно набирает высоту, поднимаясь
на 7000 м за 1 мин 40 сек, и двигается при этом со скоростью
900 км/час по винтовой линии, расположенной на вертикальном
цилиндре радиусом 10 км. За самолетом следит луч радиолока-
тора, помещенного на оси винтовой линии. С какой быстротой ф
должен при этом изменяться угол поворота антенны вокруг вер-
тикальной оси?

Указание. Использовать цилиндрическую систему координат.

Ответ: ф —24-10“3 рад/сек.

Задача 385. Радиолокатор обнаружил на расстоянии 1000 км
тело, радиальная скорость которого vR — d км/сек, причем угол 9
луча локатора с вертикалью в этот момент равен 30°. При сле-
жении за телом быстрота изменения угла поворота локатора около
вертикальной оси ф = 0,006 рад/сек, а быстрота изменения угла
с вертикалью — 9 — 0,002 рад/сек. Найти величину скорости
тела.

Ответ: v — 7 км/сек.
Задача 386. Движение точки задано в сферических координа-
тах уравнениями

R = t, <f = t, » = <

— д сантиметрах, <р, & — в радианах, t— в секундах).

Определить величины скорости и ускорения точки в момент
t =у сек.

Ответ, v — j/"2^-я- = 2,44 см/сек-,

U7 = -(/-гс2	8 = 4,23 см!сек*.

Задача 387. Движение судна задано уравнениями
ср = 1Г — kt\ '\—kt,
где ср — долгота;

ф — широта места, занимаемого судном на земной поверхности;
k— постоянная величина.

Определить величины скорости и ускорения судна в любой
момент времени.

Указание. Сферическая

радиусом, проведенным из ее
<0 2 г-	 —

Ответ: w = -g- У I 4- sin5

где R— радиус Земли.

□ордината Я будет равна ~—ф, так
как широта отсчитывается от эк-
ватора.

Ответ: v = kR]fI	cos2 kt,

w = k*R V 4 -J- sin2 kt,
где R — радиус Земли.

Задача 388 (рис. 276). Судно
движется равномерно со ско-
ростью v, образующей с геогра-
фическим меридианом постоянный
угол а. Принимая судно за точ-
ку, определить величину его уско-
рения в функции угла 6, заклю-
ченного между осью Земли и
центра в точку, занимаемую судном.
a ctga 8-,

§ 2. Естественный способ задания движения течки
Уравнение движения точки по траектории. Скорость точки.

Уравнение движения точки по траектории имеет вид

s = s(t),	(5.21)

где $ — дуговая координата, отсчитываемая от выбранного начала
отсчета на траектории.
Знак s определяют в соответствии с выбранным положением
•отсчета дуг.

При задании движения точки естественным способом ее ско-
рость находят по формуле

ds

v =	(5.22)

где т —единичный вектор касательной, направленный в сторону
возрастающих значений s.

Скорость точки, как алгебраическую величину, определяют по
формуле*

n =	(5.23)

При и^>0 точка движется в сторону возрастающих, а при п<^0 —
в сторону убывающих значений s.

Если известна зависимость v = v (Z), то дуговую координату
находят по формуле

t

s = \v(t)dt-\-s9,	(5.24)

о

где s0 — значение дуговой координаты при / = 0.

Если начало отсчета дуг совпадает с начальным положением
точки, то so = O, и тогда

t

s = \v(f)dt.	(5.25)

о

Так как движущаяся точка может изменить направление дви-
жения по траектории, то путь П, пройденный точкой за проме-
жуток времени (0, t), определяют как сумму длин дуг отдельных
участков, на каждом из которых скорость и сохраняет свой знак.

Таким образом,

П — | Sj — 1 —]— | — $i |	1 s — sn I, (5.26)

где sb s2..... sn — значения дуговой координаты в моменты вре-

мени Zi, /2, ..., tn, в которые скорость изменяет свой знак.

Задача 389 (рис. 277). Нерастяжимый трос сматывается с не-
подвижного барабана радиусом /?, все время оставаясь в натяну-
том состоянии. Определить уравнение движения по траектории
точки троса, находившейся в начальный момент времени на бара-
бане, если угол <р, определяющий положение радиуса, проведен-
ного в точку W схода троса, задан как возрастающая функция
времени (<р^>0).

* Там, где это не вызывает недоразумений, под v понимается также аб-
солютная величина скорости.
Решение. Проведем ось Ох через центр барабана и начальное
положение рассматриваемой точки Л10. В силу нерастяжимости

троса длина смотанного конца равна длине
соответствующей дуги барабана, т. е.

nm='nm9=r^.

Из рисунка найдем

х = ON cos ср 4- NM sin <р =

= Р cos tp -L p-р sin ср;

y = — ON sin <p NM cos <p =
= — sin <p—f~cos <p.	(/?)

При сматывании троса угол ср = <р(/), следовательно, уравнения
(k) являются уравнениями движения точки М.

Найдем проекции скорости точки на выбранные оси:

их==х = — Я <р siп <р -1- R <p sin <р -f-R ср ф cos <р — Rсрф cos <р;
vv = — R ср cos <р -J- R ф cos ср — R <рф sin ср = — R<p<p sin ср,

следовательно,

p = K^+vJ = R<p^ = 4 i	(0

Считая, что ср = 0, s = 0 при t — Q, по формуле (5.25) найдем

s== С vdt — ^-

Если вместо ср подставить известную функцию <р = ср(^), то
имеем

т. е. получим уравнение движения точки по траектории.
Задача 390. Движение точки по траектории задано уравнением

* =	12 cos ~

1	о

(s — в метрах, t — в секундах).

Определить значение дуговой координаты s в момент t— 15 сек
и путь П, пройденный точкой за первые 15 сек.

Решение. Определим скорость точки

ds	п . nt

V —	— к — 2тс sin .

dt	6
Найдем моменты времени tt, .... в которые скорость точки
изменяет свой знак. Имеем

О — я — 2it sin-^-,
О
откуда

6гл = (—1)п + 6 п сек (n = 0; 1; 2; ...).

Следовательно, в течение первых 15 сек скорость изменяет
свой знак в моменты времени: —1 сек, /2 = 5 сек, /З=13 сек.

Определим значения дуговой координаты s в эти моменты вре-
мени, а также в момент 4 = 0 и в момент 4=15 сек:

s0 = 12 м;

si = s|z= 1 „,. = 7г '-6)/3 м;

S2--S|/ = 5 сек-5 тс 6 4^3 М,

S3 = S[/ — 13 сек:== 13тс 6 V3 Mi

S4--sj/ — 15 сек- 15тС М.

Пользуясь формулой (5.26), найдем путь, пройденный точкой
за первые 15 сек.:

Л =) U 4-6/3 — 12 I + 15тс — 6 Уз — к — 6Уз I -|- |13те + 6 /3 —
— 5тс-[-6/3|~Н !5тс— I Зтс — б/З | = 59,7 м.

Задача 391. Определить уравнение движения точки по траек-
тории, если даны ее уравнения движения в декартовых координа-
тах:

х = a (2cos t -|- cos 27);

у = a (2sin/ — sin2Z).

Дуговую координату отсчитывать от начального положения точ-
ки в сторону первоначального движения.

Решение. Заданные уравнения представляют собой параметри-
ческие уравнения гипоциклоиды, т. е. линии, которую описыва-
ет точка окружности радиусом а, катящейся внутри окружности
радиусом За, причем t равно углу поворота линии центров от
ее начального положения .

Для определения s найдем v (Z). Имеем

их = х — — 2а (sinZ Д- sin2Z),

v., — у — 2а (cost — cos 2t),

•отсюда и2 = ха4~У2= 16a2 sinay.

Заметим, что величина v (t) всегда положительна, так как
точка не меняет направления своего движения. Это следует из вы-
шеуказанной интерпретации движения. Аналитически в этом можно
убедиться, если рассмотреть изменение угла ср, образованного ра-
диусом-вектором точки с осью абсцисс. Имеем

tg? = ^; ? = arctg^-,

отсюда

ф== ^-у*

*	х2+у2

Знаменатель и числитель всегда положительны, так как

ху — ху = 8а3 sin3

Таким образом, точка всегда движется в одном направлении
(<р растет) и скорость сохраняет постоянный знак, который сов-
падает с ее первоначальным знаком:

v (f) = 4a sin -у .

Для s(t) получим
t	t

s(t)= v(t) dt — 4ai | sin-^-pt
о	о

Этот интеграл не может быть вычислен в элементарных функ-
циях (для произвольного t). Вычислим его по участкам.

При 0 sg / имеем

О
I - 3* I . 3t
ршт| = sm т,
тогда
t

л С „ 3*	8«	„ 3t р 16а . » 3t , .

s(Z) — 4а \ sin -ъ-dt —-cos	sin3 • (tn)

Л £	о & [О о	4

В частности, при t = -x~ имеем
о
! 2л \ •	16а

sh •

Применять формулу (иг) при больших t нельзя. Например,
при/ = -у она привела бы к нелепому результату: s — О. При
2п , _ 4л
имеем
3	3
Тогда

2я
t	"Т	t

.s (/) = ^ 4a I sin I dt = ( 4a sin d/	4a (— sin	dt —

J I " |	"	t) \	Z у

О	О	21Г

16a . 8a 3£ R 16a । 16a	,7 3/

__-+ 3 cos-2-|^=-3 +-cos*-4-.

3

Задача 392. Определить уравнение движения точки по траек-
тории, а также значение дуговой координаты s и пройденный
путь П к моменту t — 5 сек,, если ее скорость задана уравнением:

1.	v=10 см/сек-,

2.	v = 2 см/сек (0^/ss3);

v — (5 — t) см/сек (3 - -л t sS 5);

3.	v = (2/ + 1) см j сек;

4.	t> = (3 — t) cm/cck;

_	it . 8r.£	/

5.	v = s- sin	см) сек;

□ Ю

6.	a = (з + -J cos	см!сек\

7.	v = [тс 2ir cos	см/сек:,

8.	u = (/2 — 3/4-2) см/сек-,

Ответы:

I.	S=io/ CM', S |f=5 сек = 50 CM', П|/=5 ceK = 50 CM',

2.	s = 2t cm (0s£/s£3); s|z=6 сгк=8 см;

s= [st—у — 4,5^ см (3sS/sg5); П|/=& сек —8 cm;

3.	s — (/* 4~ t) cm; s |/=5 сек —30 см; П сек — 30 см;

I i2 \

4-	S = (3Z— CM", S |/=5 сек ~~~ 2,5 CMf П |/=5 сек - 6,5 CM*,

r	3 /,	\	।	9 т-r t	n I

6.	S — -g- ( I —- COS	j CM\ S |/ =t5 сек — CM\ 11 (Z=5 сек — 2 CM J

6.	5= [stysincm; s |/=sсек — 15 см; П |^=5сгк= 15 см;

7.	S ~ ^it/ —j— 5 Sin	i 8 [t=5 сек 5lt CMj П|/=«5сек —

= (-у-4-10/з)сл»;

o te 3i2 , o,\	.	85	.	29

8,	S— r-g-----2 Г” 2* j CM, S 1/15=5 сея- 0 CM, 11 |/=5 сек — CM.

Задача 393. Определить уравнение движения точки по траек-
тории, если даны уравнения ее движения в декартовых коорди-
натах. Дуговую координату s отсчитывать от начального положе-
ния точки в сторону первоначального движения:

1.	x = 3/24-5; z/ = 4f2 + 3;

2.	х=1—t; y — t—1;

3.	x = 2sin2/; // = 2 cos 2/.

4.	x = a4~r cos a>/; y = rsinu>t;

5.	v — 3cos/2; y = 3sin/2;

6.	x = ^cos/; y = ?sin/; г = ё;

7.	x = 4a cos'2 w/; у = За sin2 <o/;

8.	x = acos9/; y = asin8/;

9.	x = a(t — sin/); y = a(i—cost);

10,	x = acost; y — asin/; z — ct.

Ответы:

1.	s = 5^

2.	s = K2/;

3.	s = 4/;

4.	s — r<s>t;

5.	s = 3Z2j_

6.	s=K3(ef—1);

7.	s = 5asin2a>/;

8.	s = -^ sin4|o=^/<; у (см. задачу 391 )J;

9,	s = 4a^l—cos )[0t =с2л(см. задачу 391)J;

10.	s — tV

Задача 394. Колесо радиусом R катится без скольжения по
горизонтальному рельсу со скоростью центра п0. Определить,
уравнение движения по траектории точки обода колеса, находив-
шейся в начальный момент в точке касания с рельсом. Какое
расстояние Si будет пройдено точкой по траектории от начала
движения до наивысшего положения?

Ответ: s = 8/?sin2Si = 4/?.

Выражение для s справедливо только до момента t = - 21Ij^.
(при котором s = 8R). После него нужно вычислять s так же„
как в задаче 391.

Ускорение точки. Равномерное и

равнопеременное движение

При естественном способе задания движения ускорение точки
определяют формулой

© =	-f- ш„п.	(5.27>
При этом

w — lAw/ + wn>	(5.28)

где
dv

w.= dt— алгебраическая величина касательного ускорения*,

(5.29)
a v = s — алгебраическая величина скорости точки;

---нормальное ускорение;	(5.30)

—единичные векторы главной нормали и касательной.
Если точка движется равномерно, то

v = const; аут = О; s = So+ot.	(5.31)

При равнопеременном движении u>T=const.

В этом случае

v = v0-\-w.t',	(5.32)

s = s0 + u0/ + ^f,	(5.3'3)

а также

(5.34)

s=:s«+^r--	<5-35)

Задача 395. При прямолинейном движении судна его скорость
в пункте А была 10 узлов, а в пункте В стала 30 узлов. Рас-
стояние между пунктами Л и В равно 2 милям. Считая в первом
приближении движение судна равноускоренным, определить вре-
мя Т движения судна на данном расстоянии, а также величину
его ускорения (узел — единица скорости, равная миле в час или
0,5144 м/сек).

Решение. Если взять начало отсчета в начальном положении,
то

so = O;	с0 = Ю узл.;

v = 30 узл.;	s = 2 мили.

По формуле (5.34) найдем

1

T=F+-^ = io4ac = 6 мин-

* Там, где это не вызывает недоразумений, под wx понимается также
величина касательного ускорения.
Пользуясь (5.32), получим

wx =	= 220 узл./час.

Так как движение прямолинейное, то wx — w.

Задача 396. Искусственный спутник обращается вокруг Зем-
ли на высоте 500 км по круговой орбите. Определить время об-
ращения и скорость спутника, если известно, что его центростре-
мительное ускорение должно быть равно ускорению свободно
падающего тела.

На данной высоте g = 8,5 м/сек*, а радиус Земли 7?	6370 км.

Ответ: у = 7,64 км/сек.

Т = 1,56 час.

Задача 397. Считая движение снаряда в канале ствола рав-’
ноускоренным, определить изменение величины скорости снаряда
при выходе из канала, если ствол укоротить в п раз.

Ответ: скорость уменьшится в Vп раз.

Задача 398. Ракета, движущаяся вертикально вверх равноус-
коренно, в момент окончания процесса горения рабочего вещества
(активный участок траектории) достигла высоты 30 км, имея
скорость 7200 км/ч. Считая дальнейшее движение ракеты равно-
замедленным с ускорением, равным по величие 9,2 м/сек*, опре-
делить время Т и полную высоту Н подъема ракеты, если в
начальный момент ее скорость была равна
и	нулю.

Ответ: Н — 247 км; Т — 4 мин 7 сек.

/ [ \	Задача 399 (рис. 278). Скорость катера

/	задана графически. Определить его макси-

------L—Л - t мальную скорость, если он прошел расстоя-
ние s = 0,5 мили за время 7 = 2 мин.

Рис. 278	2s ОА

Ответ: vmax = -^=30 узл.

Задача 400. Точка движется по окружности радиусом R рав-
ноускоренно из состояния покоя и совершает первый полный обо-
рот за Т сек. Определить величины скорости и ускорения точки
в конце этого промежутка времени.

Ответ: v —	w = УI -ф- 16тс'2.

Задача-401. Точка движется по окружности равноускоренно
из состояния покоя. Определить отношение величины полного
ускорения точки после того, как она обойдет всю окружность т
раз к ее ускорению, приобретаемому после первого оборота.

/1 + 1б^7п2
V 1 + 167t2

Ответ:

W11’

Задача 402. Точка движется равноускоренно, из состояния
покоя по окружности. Доказать, что между углом а, .составляе-
мым полным ускорением точки с касательной к окружности, и
центральным углом р, соответствующим пройденной дуге, суще-
ствует следующая зависимость:

tga = 2p.

Задача 403 (рис. 279). Точка М, выйдя
из положения Л40 (0; R), движется по окруж-
ности (х — R)3 (у — равноускоренно
против хода часовой стрелки с начальной
скоростью и0. В то же время из начала ко-
ординат (х = у = 0) вышла другая точка W,
двигаясь по оси Ох равноускоренно без на-

чальной скорости. Каково должно быть касательное ускорение
точки М и ускорение точки N, чтобы в пункт К (R-, 0) обе точки
пришли одновременно с одинаковыми по величине и по направле-
нию скоростями? -

„	(4 — п) v$

Ответ-. =

Произвольное движение точки

Задача 404. При проворачивании гребного вала угол его пово-
рота пропорционален кубу времени. Зная, что вал за время
t^ — 4 сек. сделал М=10 полных оборотов, определить уравнение
движения точки лопасти винта, отстоящей от оси вращения на
расстоянии 7 = 0,4 м, а также скорость и ускорение точки в этот
момент времени.

Решение. По условию,

<Р = kt3,

где k — пока неизвестный коэффициент пропорциональности.
Тогда

S = ly — lkt3.

К моменту времени I* дуговая координата s = 2~lN, следова-
тельно,

, 2vN

и уравнение движения точки по ее траектории будет

/ / \а
s—2-xlN .

Найдем скорость точки по (5.23):

ds
v==~di

MNP
Далее по (5.29) и (5.30) получим
dv 12л/№	va 36--7Л”г:4

Wx~ dt ~ t% ’ Wn~~ p —

Таким образом, полное ускорение точки

т	f	12idNt Г. , 9ns№t"

=	----I/ 1-|---------.

При / = /*

»| / = /;? =	— 18,85м/сек:;

и / = ^ = ~^Vl+97tW2 = 888 м/сек*.

Задача 405. При движении точки по окружности радиусом R
касательное ускорение пропорционально квадратному корню из
нормального ускорения (коэффициент пропорциональности k^>Q).
Найти зависимость величины скорости точки от времени и урав-
нение ее движения по траектории, если начальная скорость рав-
на ц0, а дуговая координата отсчитывается от начального поло-
жения точки в направлении ее первоначального движения.

Решение. По условию, имеем

= k Vrwn.	(ri)

Согласно (5.29) и (5.30)

w.

V1

W* = ~R'

Пользуясь (ri), получим

k

W

(о)

Из (ri) следует, что	поэтому в (о) v всегда положительно.

Разделяя переменные в (о), имеем

dv

V

dt,

откуда, интегрируя, получим

1п-г’-
»о

k

и, следовательно,

k

v(t) = v6e^R .

Пользуясь (5.25), найдем уравнение движения точки по траек-
тории:
t	t kt	kt

s(t) — f v(t)dt — V vae C# dt ——^-^(e^R —1).
Задача 406. Точка движется по окружности радиусом 10 см
согласно уравнению s = 20^Ocm. Определить касательное и нор-
мальное ускорения точки после того, как она один раз обойдет
всю окружность.

Ответ: wr = 40~ см/сек1; wn= 160ка см! сек*.

Задача 407 (рис. 280). Угол поворота зубчатого колеса 1 редук-
bt2

тора изменяется по закону ф1 = -^- (6 — постоянная). Найти за-

кон движения по траектории
точки М, находящейся на ок-
ружности колеса II, а также
определить ее скорость и уско-
рение. Расстояние s отсчитывать
от начального положения точки
в направлении ее движения.
Радиусы колес соответственно
равны fj и л2.

Ответ: s = ^--,	v = ribt;

w = r±V г^цЬЧ*.
Г 2

Задача 408. Две точки и М2

Рис. 280
движутся по одной и той же

окружности в одну сторону согласно уравнениям

Sj = 8	2/'2; s3 =

(s — в сантиметрах, t — в секундах), причем начало отсчета рас-
стояний Sj и sa взято в одной точке.

Определить время Т первой встречи обеих точек и величины
их скоростей и ускорений в этот момент, если радиус окружности
равен 16 см.

Ответ: Т —2 сек, vt = 8 см/сек-, о, = 32 cMfceK-,
ц\ = 4 У"2 см!секъ\ —80 см/сек*.

Задача 409. Точка движется так, что пройденное расстояние s
пропорционально разности начальной скорости и скорости в дан-
ный момент. Определить зависимость ускорения от скорости,
если движение прямолинейное. Коэффициент пропорциональности
равен k.

Ответ: w.= — у , где v = s.

Задача 410. Точка совершает криволинейное движение так,
что величина скорости ее в зависимости от времени выражается
уравнением

V = In (1 +0-

Найти зависимость между касательным ускорением точки и ее

скоростью.

Ответ: wx = e~v.
Задача 411. При небольшой отрицательной плавучести скорость
вертикального погружения подводной лодки выражается уравнением
v = а (1 — е~ь<),

где а и Ь — некоторые постоянные величины.

Определить закон изменения расстояния, проходимого под-
водной лодкой, в зависимости от времени и ускорение лодки
в зависимости от ее скорости.

Ответ: s = ap—у(1—w — b(a — и).

Задача 412. Величина скорости судна, движущегося прямолиней-
но, за 2 мин уменьшилась с 30 до 5 узлов. Считая, что величина уско-
рения при этом была пропорциональна квадрату скорости, опреде-
лить величины скорости и ускорения судна к концу четвертой минуты.

Ответ: v = 2,73 узла, к; = 37,1 узл./час

Задача 413. В момент, когда парашют раскрылся, парашю-
тист, летящий по вертикали вниз, имел скорость 40 м/сек, а че-
рез 10 сек после раскрытия парашюта его скорость стала 10 м/сек.
На какое расстояние s опустился парашютист за это время, если
величина ускорения при его падении все время была пропорцио-
нальна величине скорости?

Ответ: s = 216 м.

Задача 414. В течение 20 сек скорость судна, совершающего
движение по дуге круга радиусом 200 м, падает с 15 м/сек
до 12 м!сек. Предполагая, что величина касательного ускорения
судна в рассматриваемом промежутке времени пропорциональна
квадрату скорости, определить пройденный им путь за первые Юсек.

Ответ: s= 141 м.

Задача 415 (рис. 281). Прямоугольный рычаг АОВ имеет не-
подвижную ось вращения О. К концам А и В рычага прикреп-
лены тросы, перекинутые через
блоки С и D. Точки D, О, С

Рис 281	Рис. 282

что ОА—ОС — а\ OB = OD =b. Определить скорость v груза Р
в зависимости от угла ср, образованного плечом О А с.вертикалью^
если конец троса АС имеет скорость и.
Указание. Выразить расстояния АС и BD через угол <р и найти
скорости тросов при помощи дифференцирования.

b cos —

Ответ: и = и------------.

Я OJS (Д' —у)

Задача 416 (рис. 282). Груз Л1 поднимается вертикально вверх
по направляющей при помощи троса, проходящего через непод-
вижные блоки А и В, находящиеся на одном уровне,' и подвиж-
ный блок С, причем О А = 0В — а. Концы троса имеют заданные
постоянные скорости и й2. Определить скорость груза v в функ-
ции от расстояния OM = h и время Т подъема груза на высоту
М0О = Н.

Ответ: v = V+ Т = 2

2л	1	’	u, -f- м2

§ 3. Определение радиуса кривизны траектсрии

Радиус кривизны траектории движущейся точки определяют
по формуле

Vs
р = — •

Если даны уравнения движения точки в координатной форме:
х = х(/); у = y(t)\ z=z(t),
то для определения р находят:

1. vx = x\	= о =	4-ц"4-ц|;

о	dV

2’	dt ’	______________

3.	wx = x\ wy=y\ шг = 2; w = ]/rwx 4- a>y 4~ w%;

4.	w„—vw2 — w‘.	5. p — —.

Задача 417, Движение точки задано уравнениями
х — а(3 cos t -f- cos 3/),
у — а (3 sin/ -J- sin 3t)

(а — постоянная величина).

Определить радиус кривизны траектории как функцию времени
в промежутке 0^/^у сек.

Решение. Определим проекции скорости точки на координат-
ные оси:

их — х = — За (sin 14~ sin 3/),
vy = р = За (cos t -|- cos 3/),
179
следовательно,

v* = 18а2(1 -|-cos 2/) = 36а2 cos3/,
откуда v = 6а cos t.

Касательное ускорение
do „ . ,
W- — -ту = — 6а sin t.
1 at

Найдем проекции ускорения точки на координатные оси:

wx = vx = —За (cos С(- 3 cos 3/),
wy = vy = —За (sin/-^-3sin3/),
отсюда

ьуа=18а2 (5 4-3 cos 2/).

Определим нормальное ускорение точки:

Wn — w* — йУ? — 144а2 cos21,
откуда

wn — 12а cos t.

Искомый радиус кривизны траектории будет

Р =— — За cos t.
г “'п

Наибольший радиус кривизны ртах = 3а.

Задача 418. Точка движется в плоскости хОу с постоянным
ускорением ®, равным по величине 2 м!секг и направленным парал-
лельно оси Ох. Определить радиус кривизны траектории точки
в момент /=1 сек, если в начальный момент точка имела ско-
рость So, равную по величине 2 м{сек и направленную под уг-
лом а = 30° к оси Оу.

Решение. Согласно условиям задачи, ускорение © постоянно
по величине и направлению. Поэтому в любой момент времени t
будут иметь место соотношения

x = wx — 2; y — wy=Q.

Интегрируя эти равенства, получим

% = 2/-4Ci; у — С%.

Так как при t — 0

= о = Л = о» sin a; = 0 = у„ = u0COS а,

ТО

Ci = sin а,= 1;	= и0 cos а = У"3 .

Следовательно,

vx — x — 2t-j-l; Vy — y — ]^3 .
Теперь найдем величины скорости

v =	+	= /(2/ + I)2 + 3’

и касательного ускорения

w — 2^ + 1)
х	V(2t + I)2 + 3 

В момент t=l сек, получим

ф = \сек — 2]/^3 м/сек;	= iceK = ]/"3 м/сек*.

Так как w — 2 м/сек*, то при t= \ сек имеем

wn\t = 1Се« = ]/ад2 — w* = 1 сек = 1 м/сек*.

После этого найдем

Р|/ = \сек =	.	= 12Л.

Wn = 1 сек

Задача 419. Движение точки задано уравнениями
х — 3/; у —4t — "it*

(х,у — в сантиметрах, t — в секундах).

Определить радиус кривизны траектории точки в те моменты,.

когда она пересекает ось Ох.

Ответ: p^G,94 см.

Задача 420. Движение точки задано уравнениями
x — t*; y — t3

(х, у — в сантиметрах, t — в секундах).

Определить радиус кривизны траектории в точке (1; I).

Ответ: р = 7,81 см.

Задача 421. Движение точки задано уравнениями
x — akt — b sin kt;

у —а— b cos' kt (a<^b).

Определить радиус кривизны траектории точки в момент
пересечения ею оси Ox (а, b и k — постоянные величины).

Ответ: р — ]/b2 — а*.

Задача 422. Движение точки задано уравнениями (см. зада-
чу 326)

x = /?cos kt-\-kRt sin kt,
y — R sin kt — kRt cos kt,

где R и k — постоянные величины.

Определить: 1) радиус кривизны траектории точки в момент t,
2) геометрическое место центров кривизны.

Ответ: 1) p — kRt; 2) окружность радиусом R.
Задача 423. Движение точки в вертикальной плоскости зада-
но уравнениями
,	vat

x—v9t — г sin -4- ,
Л.

y = R — г cos ,
где и0, г и R — постоянные величины.

Определить радиус кривизны траектории точки в наивысшем
ее положении.

Ответ: р —	——.

Задача 424. Движение точки задано уравнениями (см. зада-
чу 319):

X — г cos «it 1 sin ;

у — — I cos r sm «>t,

где r, I, «> — постоянные величины.

Определить радиус кривизны траектории точки в момент t= —.

Ответ: р =	.

Задача 425. Движение точки задано уравнениями
х — a cos® t, у — a sin® t,
где а — постоянная величина.

Определить радиус кривизны траектории точки в момент t.

Ответ: р = у а | sin 2t|.

Задача 426. Движение точки задано уравнениями
х — 2а cos t — a cos 2t,
у = 2а sin t — а sin 2t,
где а — постоянная величина.

Определить наибольший радиус кривизны траектории точки.

Ответ: ртаХ = 4-а.

О

Задача 427. Движение точки задано уравнениями
x=t; у—= sin
(х, у — в сантиметрах, t — в секундах).

Определить радиус кривизны траектории точки в ближайший
после начала движения момент времени, в который точка пере-
секает ось Ох

Ответ. р = 25,1 см.
Задача 428. Движение точки задано уравнениями
x = /cos/, у — /sin/, z = H~2t,

где постоянная величина Н и х, у, г — в метрах, t — в секундах.

Определить радиус кривизны траектории точки в момент
t — 2 сек.

Ответ; о = 3,27 м.

Задача 429. Движение точки задано уравнениями

x~t— sin/;

у = 1 — cos /;

л • t

z = 4sin-y

(х, у, г — в сантиметрах, /— в секундах).

Определить радиус кривизны траектории точки в момент /.

Задача 430. Движение точки задано уравнениями

x = e'cos/; t/ = e!‘sin/, z — e*.

Определить радиус кривизны траектории точки в момент /.

Ответ: р = 3

Задача 431. Точка движется в пространстве с постоянным
ускорением w, направленным параллельно оси Ох и равным по
величине 5 м/сек? В начальный момент точка имела скорость v0,
равную по величине 5 м/сек и образующую с осями Ох и Оу
соответственно углы а = 60° и 9 = 45° Определить радиус кри-
визны траектории точки в момент /=1 сек.

Ответ: р —30 м.

Задача 432. Угол поворота винта судна диаметром 120см изме-
няется по закону <р= Юк/ радиан (/ — в секундах). Судно движет-
ся прямым курсом с постоянной скоростью, равной 10 м/сек.
Определить радиус кривизны траектории точки винта, наиболее
удаленной от оси

Ответ: р = 0,77 м.

Задача 433. Колесо радиусом R катится без скольжения по
прямолинейному рельсу со скоростью центра оо = const. Опре-
делить радиус кривизны траектории точки на ободе колеса
в тот момент, когда оно сделает 1/4 оборота, если в начальный
момент данная точка совпадала с точкой касания

Ответ: р = 2R ]/2.

Задача 434. Из условий задачи 433 определить радиус кри-
визны траектории точки при повороте колеса на угол 120°.

Ответ: р = 2R КЗ.
Задача 435. Мост имеет форму параболы х1 — 200// (х, у — в
метрах). Определить ускорение автомобиля, находящегося в дан-
ный момент в середине моста (в вершине параболы) и движуще-
гося с постоянной скоростью v = 36 км/ч.

Ответ: w = wn= \ м/сек2.

Задача 436. Движение точки по кривой г/= х2 задано урав-
нением

—4/

(х, у, s — в метрах, t — в секундах). При ^ = 0 x = t/ = 0.
Определить: 1) характер движения точки в моменты: /О==0;
^=1 сек и /3 = 2 сек-, 2) величины скорости, касательного и
нормального ускорений точки в момент / = 0.

Ответ: 1) при t — О и /=1 сек движение замедленное, при
t — 2сек — ускоренное; 2) v = 4 м/сек; wz = 3 м/сек?; wn = 32 м/сек?.

Задача 437. Движение точки задано уравнениями

x = t; у = 1?

(х,у — в метрах t — в секундах).

Определить скорость и ускорение точки, а также радиус кри-
визны траектории в момент, когда последний достигает своего
наименьшего значения.

Ответ: t> = l м/сек; w = 2 м/сек?; р = 0,5 м.

д-2 V2

Задача 438. Определить радиусы кривизны эллипса -	~ — 1

в его вершинах.

Указание. Представить уравнение эллипса в параметрической
форме и принять параметр за фиктивное время.

Ответ: Р1 = —; p2=-g-.

Задача 439 (рис. 283). Перемещение грузов по подвесному
тросу осуществляется с помощью люльки, подвешенной к под-
вижному ролику С. Точки А

Рис. 283

и В крепления троса находятся
на одной горизонтали на рас-
стоянии ЛВ = 40 м. Считая
части троса АС и ВС прямо-
линейными, определить радиус
кривизны траектории ролика С,
если наибольшее провисание
троса равно 4 м. Найти также
нормальное ускорение ролика
в тот момент, когда он прохо-

дит середину троса со скоростью 3 м/сек. Размерами ролика
пренебречь.

Ответ: р = 100 м;

wn = 0,0865 м/сек2.
Задача 440. Движение точки задано параметрическими уравне-
ниями в полярных координатах

r — r9ea>, <? = at,

где а и г0 — постоянные.

Найти траекторию, радиус кривизны траектории, а также ве-
личины скорости и ускорения точки.

Ответ: траектория — логарифмическая спираль

'=v'p;	_

о = га]/’2; w = wf = 2га2; р = г]/"2.

Задача 441. Движение точки задано в
динатах уравнениями

о. ? .
г = 2; ? =

z з

(г, г — в сантиметрах, ср — в радианах,
t — в секундах).

Определить радиус кривизны траекто-
рии точки в момент t=\ сек.

Ответ: р —2,28 см.

Задача 442 (рис. 284). Кран имеет вер-
тикальную неподвижную ось вращения,
вокруг которой он поворачивается так,
что угол поворота <p = atf(a> = const),
а угол р между осью вращения и стрелой
крана остается постоянным. Одновременно
с постоянной скоростью и.

цилиндрических коор-

Рис. 284

груз Р поднимается

Определить траекторию, скорость, ускорение и радиус кри-
визны траектории центра груза, если в начальный момент груз
находился в горизонтальной плоскости хОу на оси Ох, а вылет
крана равен I.

Ответ: траектория — винтовая линия;

V — V/V-I-

w = la?-,	р'= I .

9 Г	I ^2
Г Л А В A VI

ВРАЩЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА ВОКРУГ НЕПОДВИЖНОЙ ОСИ

§ 1. Уравнение вращения. Угловая скорость и угловое ускорение
тела. Равномерное и равнопеременное вращение тела

Уравнение вращения тела вокруг неподвижной оси имеет вид

<P = ?W,	(6.1)

где — угловая координата тела.

Угловая скорость <о и угловое ускорение е соответственно
равны *

о> — ™ рад/сек,	(6.2)

г =	— ^-рад/сек\	(6 3)

Если в данный момент времени ео>^>0, то в этот момент тело
вращается ускоренно, если же го> 0, то вращение замедленное.

При вращении тела в одном и том же направлении угол по-
ворота тела ф за промежуток времени t — определяют по фор-
муле

ф = |<р — (р0|,	(6 4)

где <р и — значения угловой координаты в моменты t и /й.

Угол ф поворота тела связан с числом оборотов тела N зави-
симостью

ф —2пУ.	(6.5)

В технике угловую скорость тела выражают числом оборотов
в минуту. Переход от п (рб)мин) к ю (рад: сек) осуществляют по
формуле

При равномерном вращении тела a> = const, е — О В этом слу-
чае уравнение вращения тела имеет вид

? — ?в •	(6 7)

При равнопеременном вращении тела е —const. В этом случае
о> = о>0 -ф- st,	(6 8)

и уравнение вращения тела принимает вид

? =	(6 9)

* Там, где это не вызывает недоразумений^ под и и е понимают также
абсолютные величины угловой скорости и углового ускорения.
Задача 443 (рис. 285). Крен судна на спокойной воде описы-
вается уравнением

п nt

? = 1TCOS То	<«)

(t — в секундах, <р — в радианах)

Определить моменты времени, в которые судно имеет макси-
мальный крен, и моменты, когда его угловая скорость достигает
максимальных значений, а также про-
межутки времени, когда вращение судна радиан)

ускоренное и когда замедленное.

Решение. Для исследования движе-
ния определим w и г.

Имеем согласно (6 2) и (6.3)

я2	nt	...

W==-l80 Slnl0'’

7t3	nt	, ,

e"	1800 cos To •



Из уравнения (а) видно, что макси-
мальный крен судна равен и имеет
место в моменты времени Л,= 10л сек
(л = 0; 1; 2; ...)

В эти моменты времени, как следует
из (6) и (с), угловая скорость равна
нулю, а угловое ускорение имеет экстре-

t(C8«)

Нсек}

Рис 285

мальные значения

Угловая скорость приобретает максимальное значение, равнее
рад)сек в моменты времени Zm = 5(2rn-L 1) сек (m = 0; 1; 2; .. ).

Рассматриваемое движение имеет периодический характер (пе-
риод Т = 20 сек), поэтому достаточно провести исследование за
время одного периода. Из графиков функций <р, о>, г следует, что

в начальный момент (/ — 0) судно имело крен <р0 =—, движе-
ние началось без начальной угловой скорости с угловым ускоре-
нием е0 = — padjceK*

В интервале 0<7<5 сек угловая координата ср уменьшается,
качка судна является ускоренной, так как ше^>0 При / = 5 сек

угловая скорость достигает экстремального значения, а угловое
ускорение равно нулю В интервале 5 сек <4 <40 сек вращение
судна замедленно При ?=10 сек угловая скорость равна нулю,
затем меняет знак, т. е. происходит изменение направления вра-
щения судна.

В интервале 10 <w<4<45 сек о>е^>0, поэтому вращение
ускоренное, а в интервале 15 се/с<4<40 сек а>е<0, и вращение
снова замедленное.
При / = 20 сек. судно возвращается в первоначальное положе-
ние, и процесс качки повторяется.

Задача 444. Угол поворота диска, вращающегося вокруг не-
подвижной оси, изменяется согласно уравнению

ф = kP 4- л/3

(k — постоянная величина, ф— в радианах, t — в секундах).

Определить угловую скорость и угловое ускорение диска че-
рез 4 сек после начала движения, если за первые 2 сек он сде-
лал N = 8 оборотов.

Решение. Вращение диска согласно заданному уравнению про-
исходит в одном и том же направлении. Поэтому можно считать

ср = ф = kP	пР.

Согласно (6.5), имеем

16г: = 8k 4- 4тг,
отсюда найдем

k = ^- рад jсек?,
таким образом,

Используя (6.2) и (6.3), получим

е = 9nt 4~ 2п.

В момент времени / = 4 сек имеем
(о1<=4СРК==8Отс рад/сек1,
е|<== 4 сек = 38тс рад: сек?.

Задача 445. Гребной винт судна, имевший угловую скорость
<о0 = 20г: рад; сек, останавливается через 20 сек вследствие сопро-
тивления воды и трения в подшипниках. Считая вращение винта
равнопеременным, определить угловое ускорение и число оборо-
тов винта до остановки.

Решение. Так как вращение винта является равнопеременным,
то пользуемся формулами (6.8) и (6.9)

Приняв сро = О, имеем

СО == СОд 4“

f/2
?==(йо/_|-
В соответствии с условиями задачи получим
О = о>0 Д- еТ,

<р = а>в/

где Т — время вращения винта до остановки. Отсюда найдем

е = — ~ = — гс рад, сек\

ср =	= 200гс рад.

Так как в процессе вращения со и е имеют разные знаки, то
вращение является равнозамедленным.

До остановки винт сделал

N —	= 100 оборотов.

Задача 446. Колебание маятника задано уравнением

{t — в секундах, ср — в радианах).

Исследовать характер движения маятника за период колеба-
ния. Построить графики изменения угловой скорости и углового
ускорения.

2	4

Ответ: В интервалах	сек и	сек враще-

о	о

ние маятника ускоренное, в интервалах	сек и 2<

о "	о

. 8

<1<сек — замедленное,
о

2

В моменты = у сек и / = 2 сек угловое ускорение равно ну-
лю, а угловая скорость достигает экстремума.

Задача 447. По заданным уравнениям вращения тела опреде-
лить угловую скорость, угловое ускорение и характер вращения
тела в моменты времени, указанные в следующей таблице.

<р = <р (0, рад	t, сек	Ответ		Характер вращения
		рад  <л,	  сек	рад  ' сек*	
<[> = /’ — 3/	1	—1	2	Замедленное
? = /3 —2/2	2	4	8	Ускоренное
<р = 2/3 —9/2+ 12/	0	12	—18	Замедленное
<р==2/3 — 9/2-f-12/	3	12	18	Ускоренное
Продолжение

f = <f> (t), рад	Л сек	Ответ		Характер вращения
		pad  <0, -— сек	pad  ’ сек2	
<f = 3< —	(Cs£Zs£3)			— 1 (Osgz<3)	Мгновенная оста- новка с последую-
	| 3	U	+ 1(^>3)	щим вращением в
<P = — 3t (t>3)				том же направлении
<f = 2Z — H	1	0	-2	Мгновенная оста-
				новка с последую- щим вращением в противоположном направлении
r, nt f — 2 sm — T	4	4		0	Величина угловой скорости имеет мак- симальное значение
v = (t — 2}3	2	0	0	Мгновенная оста-
				новка с последую- щим вращением в том же направлении
<P — (t — I)1	1	0	0	М1новенная оста-
				новка с последую- щим вращением в противоположном направлении

Примечание,
координаты у»

При <0 > 0 вращение тела происходит в сторону возрастания угловой

Задача 448 (рис. 286). Устройство, предназначенное для фото-
графирования облачного покрова Земли, движется горизонтально
со скоростью 7,55 км/сек на вы-
соте 800 км и при этом равно-
мерно вращается вокруг своей
оси. Аппарат, оптическая ось ко-
торого перпендикулярна к оси
устройства, делает автоматически
снимок каждый раз в момент,
когда его объектив, занимает наи-
низшее положение. С какой угло-
вой скоростью должно вращаться
устройство вокруг своей оси, что-
не перекрывались соседние кадры,

если угол съемки а=1°?

Ответ: 3,40 рад/сек = 32,5 об/мин.

Задача 449. На рис. 287 показана кинематическая часть
устройства прибора, служащего для изменения длительности
посылаемых сигналов. Мотор М вращается с угловой скоростью
о>о и при помощи шестерен I и II с числами зубцов zt и г2 соот-
ветственно вращает вал, составленный из двух усеченных цилинд-
ров Bi и В> разных радиусов, но имеющих общую ось. В зави-
симости от того, к какому цилиндру прижимается контакт К,

включается генератор частоты Л или Определить время
передачи сигнала частоты /3 в зависимости от положения кон-
такта, если АК—х", АС — 1.

j. 2z„	2х \

Ответ: 4 — —- arccos (1-------г .

2^(00	\	I У

Задача 450. Ротор турбины имел угловую скорость, соответ-
ствующую 3600 об/мин. Вращаясь затем равноускоренно, ой
удвоил свою угловую скорость за 12 сек. Определить, сколько
оборотов сделал ротор за это время.

Ответ: 1080 оборотов.

Задача 451. Компрессор, вращаясь равнозамедлепно, умень-
шил угловую скорость с 14000 об/мин до 10000 об/мин, совер-
шив при этом 9000 оборотов. Определить время, в течение кото-
рого произошло снижение угловой скорости.

Ответ: / = 45 сек.

Задача 452. Ротор турбины, вращаясь равноускоренно, в мо-
менты времени /( и имел соответственно tii = 1300 об/мин и
л2 = 4000 об/мин. Определить угловое ускорение е и число обо-
ротов У ротора за промежуток времени t — — ^ = 30 сек.

Ответ: е = 3тс рад/сек\

N =1325 оборотов.

Задача 453. Вал двигателя, вращаясь равноускоренно с угло-
вым ускорением s = rc рад/сек\ за промежуток времени /t =
== 10 сек совершил 100 оборотов. Определить число оборотов
вала в минуту в моменты времени и г“2.

Ответ: ^ = 450 об/мин",
л2 = 750 об/мин.

Задача 454. Ротор, имея угловую скорость рад/сек, вра-
щался в течение сек равномерно, затем — равнозамедленно до
Остановки в течение сек. Зная полное время движения Т и
Число оборотов N за все это время, определить Т\ и 7V

4nN
“о

Ответ:

гр ___

1 “о

7\ = 2Т
Задача 455. Ротор сначала вращался равноускоренно из
состояния покоя и, достигнув некоторой угловой скорости, начал
вращаться равнозамедленно до остановки. Зная полное время
движения Т сек и совершенное число оборотов N, определить
максимальную угловую скорость ротора.

Ответ: «>тах = -у-.

Задача 456 (рис. 288). Разводной мост поворачивается в го-

ризонтальной плоскости на 90°

до 30°

, Считая, что при повороте от О

мост вращается равноускоренно, при повороте от 30 до

Рис. 288

тора возрастает от нуля

60° — равномерно и при повороте от
60 до 90° — равнозамедленно, опре-
делить время полного поворота, если
известно, что максимальная скорость
конца В равна 1 м)сек, а длина
ОВ = 50 м.

Ответ: Т = 2 мин 10,7 сек.

Задача 457. При пуске в ход ги-
рокомпаса угловое ускорение его ро-
пропорционально времени. По про-

шествии 5 мин ротор имеет 18000 об j мин. Сколько оборотов
сделал ротор за это время?

Ответ: 30000 оборотов.

Задача 458. В период разгона из состояния покоя угловое
ускорение ротора турбины за время t равномерно убывает от
начального значения е0 до нуля, после чего ротор вращается
равномерйо. Определить максимальную угловую скорость ротора.

Ответ: wmax=y.

Задача 459. Самолет, летящий с постоянной скоростью v
прямолинейным горизонтальным курсом, сопровождается лучом
прожектора. С какой угловой скоростью должен поворачиваться

луч прожектора, если кратчайшее'расстояние между прожектором

и курсом самолета равно й?

Ответ: о> -- ~ cos2 ср,
h
где — угол между лучом прожек-
тора и перпендикуляром, восста-
вленным из точки нахождения про-
жектора на курс самолета.

Задача 460. В кулисном механиз-
ме, изображенном на рис. 289, опре-
делить угловую скорость и угловое

ускорение кулисы ОС в момент, когда <$ = ^рад, если штанга АВ
движется с постоянной скоростью и. В начальный момент <р = 0.

Ответ:	е = —	.
Задача 461 (рис. 290). Движение поршня двигателя задано
уравнением s — R sin kt. Определить угловую скорость коленча-

того вала двигателя в момент, когда поршень занимает среднее
положение, если длина шатуна АВ равна L, а длина криво-
шипа ОА равна R.

п	k (2L2 — /?*)

Ответ: и> =--- 

L/4L2 —	’

если b^>R, То <»^k.

Задача 462 (рис. 291). Кулисный механизм приводится в дви-
жение кривошипом ОС. Определить угловую скорость и угловое

I

Рис. 290

ускорение кулисы BD, если кривошип ОС вращается с постоян-
ной угловой скоростью шив начальный момент занимал верти-
кальное положение, а отношение расстояния между осями О и В
к длине кривошипа у равно X.

л	1 —I— X Cos oit

Ответ: -шво =	ш;

_ Л (1 — >-ц) sin coZ »

во (1 4-2Xcos6>« 4-Х2)2 •

§ 2. Скорости и ускорения точек тела

Величину скорости точки тела, отстоящей от оси вращения
на расстоянии h, определяют по формуле

р = |	-h.

(6.10)

Ускорение любой точки тела равно геометрической сумме
центростремительного и вращательного ускорений;

где

W - ®!ц ®вр,

w"'=

шв₽ = |г|./1.

7 Н. А. Бражннченко и др,

(6.И)

(6.12)

193
Вектор ®’ц всегда направлен по перпендикуляру к оси враще-
ния (в сторону оси), вектор ®пр направлен по касательной
к траектории точки в ту же сторону, что и скорость, если вра-
щение тела ускоренное, и в обратную, если оно замедленное.

Величину ускорения находят по формуле

(6.13)

Острый угол между w и ®ц будет

a = arctg(jJ.	(6.14)

Задача 463. При наличии крутильных колебаний вращение
вала описывается уравнением

tp	u>ot —|— сро sin kt,

где <р0, ш0, k — постоянные.

Определить величины скорости, вращательного и центростре-
мительного ускорений точки вала, если ее расстояние до оси вала
равно г.

Решение. Определим угловую скорость и угловое ускорение
вала по (6.2) и (6.3):

ш =	= u>Q<fok cos kt; e—^= — <oQk2 sin kt.

Найдем величину скорости точки по формуле (6.10):

и = \т\г — | -(- <fok cos kt | r.

Максимальная величина этой скорости будет достигаться в те
моменты времени, для которых cos kt =1, т. е.

Umax — (ша	tpo^) г 

Найдем величину центростремительного ускорения по (6.12):

да» = ш'2г = (u>0 -ф- o(J/e cos kt'f- г.

Оно имеет максимум одновременно со скоростью, следовательно,
№тах==(Шо+^)2/'-

Определим величину вращательного ускорения:

= | е | г — ср0/гаг| sin kt |.

Максимальное значение его

= Фог/г’.
ш ах	‘ и

Задача 464. По проекту Циолковского, для создания искус-
ственной тяжести на обитаемых искусственных спутниках, имею-
щих форму кольца (тора), предполагается им сообщить враща-
тельное движение вокруг оси симметрии. Определить период
такого вращения, необходимый для того, чтобы находящиеся на
нем тела имели земной вес, если их расстояния до оси вращения
равны 39,2 м (g = 9,8 л/се№).

Ответ: Т — 4™ сек.

Задача 465. Для безопасной работы» маховика необходимо,
чтобы ускорения его точек не превосходили некоторого предель-
ного значения tomax. Определить предельное значение угловой ско-
рости, считая ее постоянной, если радиус маховика равен R.

/®max

—р-.

Задача 466 (рис. 292). На какое расстояние 8 = Л0Л переме-
стилась муфта А регулятора, если известно, что ускорение центра

Рис. 293

каждого шара В равно 288 м/сек2, угловая скорость регулятора
постоянна и равна 60 рад/сек, а Л(| — положение муфты при
а=0. Длины стержней 10 см. Расстоянием ОО} пренебречь.

Ответ: s = 8 см.

Задача 467 (рис. 293). В центробежном регуляторе при вра-
щении вокруг вертикальной оси ОО' рычаги АСВ и А'СВ' пово-
рачиваются вокруг горизонтальных осей С и С' и отжимают
муфту М. Зная перемещение муфты s, длины плеч рычагов:
ВС = В'С' = г, АС=А'С' — 1 и угловую скорость регулятора
<о = const, определить ускорения шаров А и А'. При отсутствии
вращения ВС и В'С перпендикулярны к оси ОО', а АС и А'С
параллельны этой оси. Расстояние СС равно 2Ь.

Ответ: w = (b Ц- .

Задача 468. Корабельный зубчатый редуктор, схема которого
показана на рис. 294, состоит из трех зубчатых колес. Первое
колесо имеет диаметр 20 см и делает 7200 об/мин. Второе колесо
делает 4000 об!мин, а третье, вращающее гребной вал, совершает
600 об; мин. Определить диаметры второго и третьего колес.

Ответ: da = 36 см;

Рис. 295

Рис. 294

Задача 469, На рис.
ния рулевой машиной.

295 изображена схема привода управле-
Определить вертикальное перемещение s
рейки АВ при повороте штурвала
на 45°, если /у = 20 см, г2 = 10 см:,
г3 = 15 см.

Ответ: s = 23,6 см.

Задача 470 (рис. 296). В двухсту-
пенчатом редукторе ведущее зубчатое
колесо 1 делает 3000 об/мин.

Определить число оборотов в ми-
нуту ведомого вала, если числа зубцов
колес соответственно равны 2^ = 20;

Рис. 296	— 40; 2з-----30; z^— 60.

Ответ: 750 об/мин.

Задача 471 (рис. 297). Определить передаточное число кони-

ческой зубчатой передачи, если углы при вершинах конусов
равны соответственно 2сц и 2а.2.

___Sin a2
sm '

Ответ: й, 2

Рис. 297

Рис. 298

Задача 472 (рис. 298). Определить передаточное число редук-
тора, составленного из конических колес, имеьощих общие верши-
ны, если углы при вершинах соответственно равны 2a1( 2яа, 2аз, 2а4.

Ответ:

«I_____sin Я a sm «4

n4 sin «4 sin я3 ‘
Задача 473. На рис. 299 показана схема фрикционного вариа-
тора скорости. Конус А приводится во вращение вокруг оси
при помощи ролика В, вращающегося вокруг оси OiOj. Опреде-
лить передаточное число от ролика к конусу, если радиус
ролика р, радиусы оснований конуса г и R, а точка сцепления М
находится на расстоянии s от меньшего основания конуса. Ось
ролика находится в одной плоскости с осью конуса. Длина обра-
зующей равна I.

Ответ: ii, 2 = — —	(^ —г) _

“2

Задача 474 (рис. 300). Кривошипы К радиусом 2г, вращаясь
равномерно с угловой скоростью а>0, приводят в движение зубча-

Рис. 299

Рис. 300

тое колесо / радиусом г через посредство зубчатого колеса //,
наглухо скрепленного со спарником АВ. Определить ускорение
любой точки внешней окружности колеса /.

Ответ: w = 4n»%.

Задача 475. Во фрикционном вариаторе скорости, описанном
в задаче 473, принять, что ось OjOt параллельна образующей
конуса и ролик В может перемещаться вдоль этой оси с постоян-
ной скоростью о=18 см/сек. Определить при в — ~ величины
ускорений Wt и w2 точек ролика и конуса, находящихся в этот
момент в соприкосновении, если г = р = 3 см; R = 2r; 1 = 8 г;

= 120 рад/сек = со п st.

Ответ: ^ = 432 м/сек1;

щ) = 288 м/сек1;

w^=l,8 м/сек1.

Задача 476. Колесо сепаратора радиусом 80 см, вращающееся
в период разгона равноускоренно из состояния покоя, совершило
за некоторое время 750 оборотов. Зная, что величины скоростей
точек на ободе колеса достигли при этом 200 м/сек, определить
время разгона.

Ответ: 1 = 87,7 сек.

Задача 477. Ротор турбины вращается равноускоренно из
состояния покоя таким образом, что его точка М, отстоящая от
оси вращения на расстоянии 0,4 м, имеет в некоторый момент
ускорение ©, равное по величине 40 м/сек? и направленное под
углом 30° к радиусу. Определить уравнение вращения ротора, а
также величины скорости и центростремительного ускорения
точки в момент / = 5 сек.

Ответ: <р —25^; о =100 м/сек\
да11 = 25000 м/сек*.

Задача 478. Ротор турбины делает 6600 об/мин. После при-
крытия маневрового клапана он стал делать 3600 об/мин. Про-
межуток времени, в течение которого произошло уменьшение
угловой скорости, равен 8 сек. Считая вращение ротора равно-
замедленным, определить скорость, вращательное и центростре-
мительное ускорения точки лопатки ротора, отстоящей от оси

Рис. 301

вращения на расстоянии 0,5 м, спустя
4 сек после прикрытия клапана.

Ответ: о = 267 м!сек\
даВ1’= 19,62 м/сек1-,
щц= 142,2 км/сек?.

Задача 479 (рис. 301). На бара-
бан А радиусом R =15 см односту-
пенчатого зубчатого редуктора ле-
бедки намотан трос, на конце кото-
рого подвешен груз М. В течение
5 сек груз поднимается с постоянным
ускорением &yo = O,2- м/сек?. Опреде-
лить, сколько оборотов сделает веду-

щий вал за этот промежуток времени, если начальная ско-
рость груза = 0,1 тс м/сек, радиус ведущей шестерни гг — 10 см,
а ведомой г3 = 20 см.

Ответ: 20 оборотов.

Задача 480. Диск вращается вокруг неподвижной оси в тече-

ние некоторого промежутка времени так, что ускорения всех его точек
составляют с их скоростями одинаковые углы, равные 45°. Опре-
делить угловую скорость диска как функцию времени, если
в момент / = 0 она была равна о>0.

Ответ: о> = -.---°  (для сек].

1 — «М \	“о 1

Задача 481. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси

задано уравнением

<Р = 1,5^ —4/

(«р —в радианах, t — в секундах).

Определить: 1) характер вращения тела в моменты ^ = 1 сек и
/3 = 2 сек\ 2) величины скорости и ускорения точки тела, отстоя-
щей от оси вращения на расстоянии 0,2 м, в эти моменты времени.

Ответ: 1) при /=1 сек вращение замедленное; при t — 2 сек
вращение ускоренное; 2) щ = 0,2 м/сек\ д\ = 0,633 м/сек*-, vs =
= 0,4 м/сек\ w* = 1,0 м/сек*.
Задача 482 (рис. 302). Груз М поднимается по наклонной

длина

плоскости при помощи ворота так, что проходимое им расстояние
д = 2тс/3 -см. Определить скорость и ускорение конца рукоятки А
после одного оборота, если радиус барабана г = 27 см, а
рукоятки / = 54 см.

Ответ: v = 3,39 м/сек-,
w = 21,3 м/сек*.

Задача 483. Вращение винта ко-
рабля в период пуска задано урав-
нением

<Р = 15кГ 4- 3070 (e~kt — 1)
(k— величина постоянная).

Определить наибольшую угловую скорость винта (об/мин).

а также ускорение

точки, отстоящей от оси винта на расстоя-
нии 0,8 м, в момент t = 0, если начальная
угловая скорость винта равна нулю. Опре-
делить также момент времени Т, когда винт
будет делать 270 об!мин.

Ответ: /гтах = 450 об^ин.’,
= 0,58 м{сек?-.

ки С рычага в
CD = 2a.

Т = 60 сек.

Задача 484 (рис. 303). Стержень АВ,
двигающийся вниз в вертикальных напра-
вляющих с постоянной скоростью и, сколь-
зит своим концом В по стороне CD прямо-
угольного рычага CDO, благодаря чему по-
следний поворачивается вокруг точки О,
лежащей на оси направляющей. Опреде-
лить величины скорости и ускорения точ-

зависимости от угла поворота f, если OD = a\

Ответ: ' vc = v 1^5	;

с	Sin ср ’

wc = ^~7Г~ ct83 ? Vl + 3 sin3 ср.
ГЛАВА VII

ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА

§ 1. Уравнения движения и скорости точек плоской фигуры

Уравнениями движения плоской фигуры в неподвижной системе
координат являются

хо = хо(0, ’
Уо~Уо (О,

<Р = <Р (0, •

(7-1)

где х0 и у0 — координаты произвольной точки О, принятой за
полюс;

ср — угол между неподвижной осью Otx и осью ОУ, неизменно
связанной с фигурой (рис. 304).

Уравнения движения любой точки плоской фигуры имеют вид

х = х0 У cos ср — г/ sin ср,
У=Уо+^ Sin ср Ц-у'COS ср,

(7.2)

где У, t/ — координаты этой точки в системе, скрепленной с фигурой.
Скорости двух любых точек плоской фигуры О и Л связаны

между собой зависимостью (рис. 305)

° а — $о+0ло>	(7-3)

где	__

ило = ^ХОА	(7.4)

— вращательная скорость точки А относительно О, направленная
перпендикулярно отрезку ОА в сторону вращения фигуры и
равная по величине

vAO = m-0A.	(7.5)
В этих формулах и есть мгновенная угловая скорость плоской
фигуры.

Если за полюс О принять мгновенный центр скоростей Р,
т. е. точку, скорость которой в данный момент равна нулю, то
скорость любой точки А будет перпендикулярна к отрезку РА,
направлена в сторону вращения фигуры и равна по величине

Рд = ш.рЛ.	(7.6)

Таким образом,

va = ^XPA-	(7 7)

Для нахождения мгновенного центра скоростей достаточно
знать направления скоростей двух каких-либо точек плоской
фигуры: мгновенный центр скоростей находится на пересечении
перпендикуляров, восставленных из данных точек к направле-
ниям их скоростей. Если эти перпендикуляры сливаются в один,
то для нахождения мгновенного центра скоростей надо дополни-
тельно знать,величины скоростей Мгновенный центр находится
в этом случае в точке пересечения общего перпендикуляра и
прямой, соединяющей концы векторов скоростей. Если же пер-
пендикуляры параллельны, то мгновенного центра не существует.
В этом случае ш = 0, а скорости всех точек плоской фигуры
одинаковы по величине и по направлению.

Если плоская фигура, ограниченная некоторым контуром,
катится без скольжения по другому неподвижному контуру, то
точка их соприкосновения в данный момент является мгновенным
центром скоростей этой фигуры

Имеет место теорема: проекции скоростей двух точек плоской
фигуры на прямую, соединяющую эти точки, равны между собой,
т. е.

“РлА=“РЛ	(7.8)

Проекции. вектора v на оси, связанные с фигурой, определяют
по формулам'

иХ' = иОХ' — ">ур, 1

Vy' = V Оу' ~|~	. /

Задача 485. Кривошип ОА механизма, показанного на рис. 306,
вращается с угловой скоростью о>0. Определить скорости точек В
и С, угловую скорость звена BD в том положении механизма,
когда а = 30°, 8 = 60°, а шатун ВС занимает вертикальное поло-
жение Принять ОА = АВ — а; BD — аУ^З.

Решение. Механизм совершает плоское движение. Ведущим
звеном, движение которого задано, является кривошип ОА, совер-
шающий вращение вокруг оси О. Определим скорость конца
кривошипа, т. е. скорость точки А. Имеем

vA —— ojg О А — чу^а.
Вектор VA перпендикулярен к ОА и направлен в сторону
вращения кривошипа. Перейдем к звену АВ. Найдем скорость
точки В. Вектор vB направлен перпендикулярно BD, так как

точка В принадлежит одновременно и звену BD, которое может

вращаться вокруг точки D. Мгновенный
центр скоростей звена АВ находится в
точке Р пересечения перпендикуляров к
и vB.

Из Л АВР находим

= АР = ~.
2	2

По формуле (7.6) имеем

иА~ШАВ' ^Р,

откуда

ШАВ — др—^ша-

Пользуясь этой же формулой, определим

VB = ШАВ вр - “о» Кз.

Перейдем к звену BD. Зная скорость точки В, найдем

VR
шво — вВ — шо-

Далее рассмотрим движение звена ВС. Используя теорему
о проекциях скоростей двух точек, получим

отсюда

првсУв — пРвс^ — vc>
vc — vB cos 30° = у ao>o-

Направления скоростей vB и ffc показаны на рисунке»
Задача 486 (рис. 307). Стержневой механизм состоит из четы-

рех стержней, причем стер-
жень OiA вращается с угло-
вой скоростью <1>1, а стержень
О$В — с угловой скоростью
о>2 в указанных на рисунке
направлениях. В рассматри-
ваемый момент стержень OtA
вертикален, стержни АС и
0%В горизонтальны, а стер-
жень ВС образует с вер-
тикалью угол 30°. Опреде-
лить в этот момент величину
0^4 = Ь/З.

скорости точки С, если О$В — Ь,
Решение. Найдем скорости точек А и В Имеем

Од = од • О А = u>ib ]/Л3; ов = о>2- О2В = а>2&,

Направления скоростей г>л и vB указаны на рисунке.

Точка С одновременно принадлежит звеньям АС и ВС. Поль-
зуясь (7.3), находим, с одной стороны,

с другой —

УС = Ул + $СА.

= + ®св-

(а)

(Ь)

Приравнивая правые части (а) и (Ь), получим векторное
уравнение

0д + бсл = Ув-4-®св-	(с)

Векторы осл и осв перпендикулярны соответственно к СА
и к СВ, однако направления и величины их неизвестны. Примем
условно, что эти векторы направлены так, как показано на ри-
сунке. Проведем координатные оси и спроектируем на каждую
из них обе части равенства (с). Получим

/3

VA-- VCB 2 ’

— Усд = -ув-Нсв4-

Из первого уравнения найдем

2va
VCR~-----А-

св /з

Знак «минус» указывает на то, что вектор vCB в действитель-

ности имеет направление, противополож-
ное принятому.

Из второго уравнения

1

VCA — VB~VCB у— Ув+ j/^==(u)l + u)2)^-

Так как vA и vCA взаимно перпенди-
кулярны, то согласно (а)

или_____________________________

Vc==byr4а>1 -L- о>| -4- 2о>(О).2.

Задача 487 (рис. 308). Цилиндр ра-	Иис-

диусом R обмотан тросом, перекинутым
через блок О. Конец троса тянут со скоростью в то время как
центр цилиндра имеет скорость Определить угловую скорость
цилиндра, считая участок троса от цилиндра до блока вертикаль-
ним. Найти величины скоростей точки В на горизонтальном диа-
метре цилиндра и точки С на вертикальном диаметре.

Ответ:	pb = Pi + 2v8; vc— Уи$-4- (yt о2)2.

Задача 488 (рис. 309). Подъем трубы производится при по-
мощи талевого ступенчатого барабана А, вал которого делает

Рис. 309	Рис. 310

10 об}мин. Определить скорость подъема трубы, если г = 5 см,
7?=15 см. Участки тросов BE и DC считать вертикальными.

Ответ: о = 5,24 см{сек.

Задача 489 (рис. 310). Через блок А радиусом 7? перекинут
трос, к одному концу которого подвешен груз Mb а к другому —
блок В. Через блок В перекинут второй трос, несущий на кон-
цах грузы Мч и Л13. Определить скорости грузов Mi и М3,
если блок А вращается с угловой скоростью о>0, а груз М2 под-
нимается по отношению к неподвижному основанию со скоростью v$.
При каком значении о>0 груз М3 будет опускаться?

Ответ: щ — 7?w0; о3 = | 2/?о>0 — рг

Груз М3 будет опускаться при	-

Задача 490 (рис. 311). Кривошип ОА = г, вращающийся рав-
номерно вокруг неподвижной оси О с угловой скоростью о>0>

Рис. 312

Рис. 311

передает через посредство шатуна Л73 = 3г движение ползуну В,
который соединен с зубчатым сектором, перемещающимся по не-
подвижной рейке. Определить скорость точки С механизма в момент,
п	I

когда угол а=-к-, если в этот момент B = 2arccos—^. Расстояние
2	/Ю

ВС равно радиусу дуги сектора, величиной зубцов пренебречь.

Ответ: vc =vcJ_PC.

Задача 491 (рис. 312). В эпициклическом механизме кривошип
ОА вращается с угловой скоростью о>0 и приводит в движение
колесо 1 радиусом г, которое находится во внешнем зацеплении
с колесом II радиусом R — 2r. С колесом I жестко связан диск III
радиусом р = 2г. Какова должна быть угловая скорость колеса//,
чтобы точка С диска III, находящаяся на прямой ОА, соединяю-
щей центры колес, имела бы скорость, равную нулю?

Ответ- колесо II должно вращаться в том же направлении,
3

ЧТО и Кривошип, с угловой скоростью (В —^-(й0.

Задача 492 (рис. 313). В планетарном механизме кривошип
ОА вращается с угловой скоростью о>0 и приводит в движение

шестерню I радиусом г, которая находится во внутреннем за-
цеплении с 'шестерней II радиусом R. Определить скорости то-
чек Mt и М2 шестерни I, находящихся на концах ее диаметра,
перпендикулярного кривошипу, если шестерня II вращается
с угловой скоростью
р

Принять: r=-~; <Aj = 3w0-

О

Ответ: при противоположных направлениях вращения колеса
II и кривошипа

5/5 п

VM1 — V№a ~

При одинаковых направлениях вращения
/53 D
WMj =Ум2 ==-г-з-о>оК-

Задача 493. Поршень приводится в движение при помощи
кривошипного механизма с зубчатой рейкой и зубчатым сегментом.
Определить скорость поршня в положении механизма, указанном
на рис 314, если при этом а = 30°, р = 60°, а угловая скорость
кривошипа равна Размеры даны на рисунке

_	21/ Зага>„

Ответ: v = -	.

Ос?

Задача 494. Определить величину скорости точки D шатуна
в положении механизма, изображенном на рис 315, когда
коромысло OiN перпендикулярно к шатуну NK. и параллельно
направляющим ползуна В, а скорость ползуна В равна о При-
нять DK = ~NK.
О

„	2

Ответ: vD — -~v.

Задача 495 (рис. 316). В механизме паровой машины криво-
шип 0-4 длиной г вращается с угловой скоростью о>0. Опреде-

лить угловую скорость звена
в тот момент, когда <р = 90°,

CD и величину скорости точки С
если при этом точки О, В, С, лежат
на одной прямой, а отрезок BD
перпендикулярен ОВ. Расстояние
BD равно Ь, длина CD равна а.

Ответ:

Задача 496. Определить вели-
чину скорости точки D и угловую
скорость звена CD механизма,
изображенного на рис. 317, если
в рассматриваемый момент а = 30°,
звенья ED и АВ находятся в го-

Рис 317	ризонтальном положении, а криво-

шип ОА, вращающийся с угловой
скоростью (й0, занимает вертикальное положение Принять ОА = г,
DC = 6r Звено ВС жестко скреплено с муфтой

Ответ: vD ~; Ш£}С —	.
Задача 497 (рис. 318). В механизме инверсора при вращении
звена ОС вокруг точки О ползуны А и В движутся вдоль одной
направляющей. Принимая АС —СВ, доказать, что в любой мо-
мент времени

va •' ив — ОА • ОВ.

Задача 498 (рис. 319). Механизм инверсора занимает в дан-
ный момент положение, при котором а = р = 60°, 7 = 30°. Опре-

делить
зун А

величину
имеет при

скорости ползуна
этом скорость и, а

OD .
ос~х-

Ответ: vB — 2lv.

Задача 499 (рис. 320). Ведущее звено О А антипараллелограмма
в момент, когда L А001 = 90°, а ВАО— Z. 6010 = 45°, имеет

угловую скорость, равную о>0. Определить в этот момент угловую
скорость звена BOt, если BOi = AO.

“о /2

Ответ: ыВОг — -^—.

Задача 500 (рис. 321). В механизме Чебышева шатун АВС
изогнут под углом 120°, длина кривошипа О^А = г, АВ = ОВ — ВС.
Определить величину скорости точки С в тот момент, когда кри-
вошип имеет угловую скорость о>0 и занимает крайнее правое
положение, если при этом а = 45°.

„	го>0(1/3—1)

Ответ: vc — —
Задача 501. В механизме, изображенном на рис. 322, шатун
АВМ изогнут под углом в 150°, а кривошип О А вращается
с угловой скоростью (й0. Определить величины скоростей то-

чек В, М, D и угловую скорость звена DM в тот момент, когда
кривошип ОА занимает крайнее правое положение, если в этот мо-
мент Z ОЛВ = 45°, а точки С, М. и D лежат на одной прямой.
Принять ОА= щ AB = BM — MD = CB — b.

w„al^2	А	a>oal/2

Ответ: vB = vM = -^—; пр = 0; u>DM = -°-~—.

Задача 502 (рис. 323). В реверсивном парораспределительном
механизме угол между направляющими ползунов равен 60°, а кри-
вошип ОА длиной г вращается с угловой скоростью о>0- Опре-
делить величины скоростей ползунов В и D в изображенном
на рисунке положении механизма, если при этом шатун АВ за-
нимает горизонтальное, шатун
BD — вертикальное положение,
йд.	а кривошип ОА параллелен на-

/_^Ч^	правляющей ВС.

//г ^Ч.	л	J/3

/Ч ^Ч^	Ответ: nB = r«>n£g-;

I	гюо V 3

X»	^Ч.	Vd 6	•

------------------------------------'	Задача 503 (рис. 324). Меха-
низм Чебышева занимает в дан-
Рис 324------------------ный момент такое положение,

при котором a=90°, р = 60°,
7 = 90°. Определить в этот момент величины скоростей точек
В и С, если скорость точки А равна v, а ВС — — АВ.
О

v	и]/3

Ответ: vB — у; vc = —$—.
Задача 504 (рис 325). Линейка АВ длиной а шарнирно сое-
динена с двумя ползунами А и В, которые могут двигаться
в направляющих, образующих между собой угол а. Определить
центроиды линейки.

Ответ-. неподвижная центроида — окружность с центром
в точке О и радиусом = подвижная центроида — окруж-
ность, проходящая через О, А, В, радиус ее

Задача 505 (рис. 326). Кривошип ОЛ = /? реверсивной пере-
дачи с качающейся кулисой АВ в виде зубчатой рейки равномерно

Вращается вокруг оси О с угло-
вой скоростью («о- Определить
угловую скорость «о шестерни /

Рис 325

Рис. 326

радиусом г = -£- в момент, когда угол а —60°. Размерами зубцов
пренебречь.

Ответ: ш = р/~Зш0.

Задача 506. При вращении кривошипа ОА механизма, изобра-
женного на рис. 327, стержень АС благодаря наличию поворотной
втулки все время проходит через неподвижную точку В С втул-

Рис 328

кой неизменно связан стержень BD длиной /, перпендикулярный
стержню АС. Определить скорость точки D в тот момент, когда
Z Л <76=90°, / Л60 = 30°, а угловая скорость кривошипа равна ш0.

Ответ: скорость vD направлена перпендикулярно BD влево
и равна по величине =
Задача 507 (рис. 328). Толкатель АВ, двигающийся со ско-
ростью и, поворачивает благодаря ползуну В стержень ОС вокруг
точки О. Со стержнем ОС в точке D шарнирно соединен шатун
DE. Определить скорость ползуна Е в том положении механизма,
когда £. DOE = 60°, а £.£>£0 = 30°, если расстояние между
направляющими АВ и ОЕ равно b, a OD — a.

V3au

Ответ: v—.
с /п

Задача 508 (рис.
станка кривошип ОА

329). В механизме продольнострогального
длиной г вращается с угловой скоростью («о.

Определить величину скорости штока BE в момент, когда
<P=l90°, fl = 60°, если при этом DC:BC=1:2, а отрезок ОС
параллелен штоку BE. Длина шатуна АС равна 2г.

Ответ: v = 3'rwu

Задача 509. Механизм пилонасекательной машины устроен,
как показано на рис. 330, и имеет размеры ОА — r; АВ=а;
ВС = 2а; CD = R; DE = RV^3. Определить угловые скорости
звеньев и величину скорости точки Е рычага DE в положении
механизма, при котором Z.OAB = 90°,	£ AOF =/_ BCD—

=/_ АВС = 30°, OjC — OiB, а угловая скорость кривошипа О А
равна а>(|. Стержень СВ свободно проходит через поворотную
втулку Ор

„	о	“<,Г	2а>0г	2а>0Г

Ответ: vE=2^r\ швс = -^--	- aCDE = ~~^-.

Задача 510 (рис. 331). Кривошип О А планетарно-кулисного
механизма, вращаясь вокруг оси О с угловой скоростью а>0,
приводит в движение сателлит D, связанный шарнирно со стерж-
нем BF. Стержень BF в своем движении все время проходит
через неподвижную точку С. Определить величину скорости точки
стержня BF, совпадающей в данный момент с точкой С, если
в этот момент кривошип ОА занимает вертикальное положение,
угол и = 30°, £.6X0 = 90°. Радиус неподвижной шестерни 2г,
подвижной — г, АВ — г]/"3.

Ответ: ис — ЗгУ'3 о>0.
Задача 511. Определить скорость штока СО механизма, изобра-

женного на рис. 332, в тот момент, когда X. AVOC = А2ОС,

если ОА1 — ОА2; AlBI = A.iB2;
вращается вокруг точки О.

BiC = B2C, а ломаный рычаг ЛхОА

Рис 332

Указание. Доказать сначала, что vBi и ив параллельны CD,
затем воспользоваться теоремой о проекциях скоростей (7.8).

Ответ: ис = 0.

Задача 512 (рис. 333). Стержневой механизм занимает в дан-
ный момент положение, при котором а = 30°, р = 90°, у —30°.

Зная, что в этот момент величины
скоростей шарнира А и ползуна
С равны vA — vc = v, определить
величину скорости точки В. Напра-
вления вращения кривошипа ОА
и движения ползуна С указаны
на рисунке.	__

Ответ: vB — v V13.

Задача 513. В механизме, изображенном на рис. 334 («рим-
ская передача»), ведущее зубчатое колесо I вращается с угловой
скоростью и>0. Определить скорость штока CD в момент, когда

Рис. 334	Рис. 335

а = 90°, если при этом шарниры At и лежат на прямой, про-
ходящей через центры О\ и 0.2 и параллельной звену В{В2. Радиусы
колес соответственно равны и и г3; Ор^ — а^, О2А2 — аг-, CBi — CB*.

Ответ: v —	(а2г.2 -J- a2ri).
Задача 514. Доказать, что отношение скоростей поршней В,
и в механизме компрессора, изображенном на рис. 335, в лю-
бой момент времени такое же, как и отношение расстояний от них
до центра вращения кривошипа, если OAt = OA2, а Л1В1 = Л2Вз-

Указание. Использовать равенство углов Z. A^Bfi и Z. А3В3О.

Задача 515. На рис. 336 изображен механизм газового двига-
теля. Определить угловые скорости зубчатых колес в момент,
когда звено ВгВ3 параллельно линии центров, шток ЕС — гори-

зонтален, а точки крепления тяг Аг и А3 занимают наинизшие

положения, если в этот момент скорость поршня равна и. Дано-
OiXi = ai; О3А3 = а3; СВ\ = Ь{\ СВ^ = Ь3, радиусы и г2

(аАЬ.,г>	a2btr i).

У 1 I *» * Д •	У J- I '	*

— asrlbl ’	2 «1ГЛ — a2ribt

Ответ: ш.

(если знаменатель положителен, то колесо I вращается против

движения часовой стрелки).

Задача 516 (рис. 337). Два катка положены на наклонные
плоскости, образующие между собой угол у, так, что они могут
катиться по этим плоскостям без скольжения. Центры катков А и В
шарнирно соединены со стержнями АС и ВС, имеющими общий
шарнир С. Определить величину скорости точки С в момент,

когда стержни параллельны соответствующим плоскостям, если

при этом центры катков имеют скорости vA и vB соответственно.

„	-2v,V„COS7 I V„----0.1

Ответ: vr = ' А в----------4 в ‘ = Ьв-----Д1.

sm 7	sm 7

§ 2. Ускорения точек плоокой фигуры

Ускорения двух любых точек плоской фигуры А и В связаны
между собой соотношением (рис. 338)

®в = ®д + ®вд + ®в₽д>	(7Л°)

где — центростремительное ускорение точки В — направлено
от В к А по линии ВА и по величине равно

ayu = ш*-ВА;	(7.11)
о> — мгновенная угловая скорость плоской фигуры; — вра-
щательное ускорение точки В по отношению к точке Л; он»
перпендикулярно к ВА и направлено в сторону вращения фигуры,
если это вращение ускоренное, и в обратную сторону, если оно
замедленное.

Величину этого ускорения определяют по формуле

даврд = 1£|5Л,	(7.12)

где е—мгновенное угловое ускорение плоской фигуры.

Если известен мгновенный центр ускорений, т. е. точка Q,
ускорение которой в данный момент равно нулю, то ускорение
любой точки А находят по формуле

(7ЛЗ)

причем

шА = Л “4. (7Л4)

Если в некоторый момент
известно ускорение точки А,
а также величины о> и е,
то для нахождения Q следует
повернуть вектор wA в на-
правлении вращения фигуры,
если оно ускоренное (и в об-
ратном— если замедленное),
формулой

Рис 338

на острый угол а, определяемый

(7-15)

, е I
a=arctg~2 .

На полученной полупрямой следует отложить отрезок

(7 16)

Конец Q этого отрезка и будет мгновенным центром ускорений
в данный момент.

Проекции ускорения ® на оси, связанные с фигурой, имеют вид

WX' = WQx' — еу' — u>lx',
Wy’ = WOy’ + ex' — ы*у'.

(7.17)

Задачи на определение ускорений точек плоской фигуры можно
разделить на четыре основных типа.

Задачи типа I. Известны (или могут быть найдены) ускорение
какой-либо точки А и мгновенная угловая скорость ш в любой
момент времени. Требуется определить мгновенное угловое уско-
рение е и ускорение любой другой точки В плоской фигуры.
Поскольку известна зависимость о> от t, то е находят путем
простого дифференцирования со. Величины неизвестных составляю-
щих искомого вектора ®>в находят согласно (7.11) и(7.12). После
этого по (7.10) определяют ®в. Величину ®в удобнее всего на-
ходить путем проектирования (7.10) на взаимно ортогональные
направления.

Задача 517 (рис. 339). Центр колеса, которое катится по на-

плоскости без скольжения, движется по закону

клонной

s = 4/2+16

(t — в секундах, s — в санти-
метрах).

Определить ускорение точ-
ки касания колеса с плос-
костью в момент / = 2 сек,
если радиус колеса R = 16 см.

Решение. Так как центр
колеса О движется прямоли-
нейно, то его скорость и уско-
рение находят по формулам
ds	dv„

v0 = ddst = 8f,	=

При 1 = 2сек п0=16 см/сек\
w0 = 8 см[сек\

Ввиду отсутствия скольжения мгновенный центр скоростей
находится в точке касания колеса с плоскостью. Следовательно,
мгновенную угловую скорость о> получим по формуле
oe t

W~OP~ 2’

т. е. она представляет собой известную функцию времени. Диф-
ференцируя по времени о>, найдем

da> 1
8

Итак, в рассматриваемый момент

<0=1^;

сек’ 2 сек

Определим ускорение точки Р. Имеем по (7.10)
дар=®о + ®'ро + ®рро1

где

№«,0 I/-2 сек = 0)3'0Р — 16 См/свК*,
причем ©“q направлено от Р к О, а

= = 8 см/сек"-
Так как колесо вращается ускоренно (s и о> одного знака),
то вращательное ускорение направлено перпендикулярно
к РО в сторону вращения фигуры вокруг полюса О.

В данном случае

®рРО + ®О = 0»
следовательно,

т. е. 0Ур=16 CMjceK*.

Вектор wP направлен к центру колеса О.

Замечание. Таким же образом определяют е и в случае, когда
в некоторый данный момент I* заданы произвольным образом
скорость б0 и ускорение центра. Обозначим переменную ско-
рость центра через v(t), его ускорение — w (/), причем в момент I*,
рассматриваемый в задаче,

П(/*) = ПО; w (/*) =

Тогда в любой момент времени

v (О

Отсюда найдем
___________________________du> __ I dv
£ ~dt ~R~df

Ввиду того, что центр движется прямолинейно,

и, следовательно,

1S)

При t — t* получим

Задача 518. Эпициклический механизм состоит из двух оди-
наковых зубчатых колес II и III радиусом г и колеса У, которое
имеет ось вращения, проходящую через центр неподвижного колеса
III (рис. 340, а). Колесо I вращается в данный момент с угловой
скоростью оц и угловым ускорением е(. Определить величины
ускорений точек и Р колеса II, находящихся в данный мо-
мент в зацеплении с колесами I и III.

Решение. Ведущим является колесо I. Определим скорость
точки Л1 как точки, принадлежащей этому колесу. Имеем

VA = 3оцг.
Рассмотрим движение колеса II. Оно катится без скольжения
по неподвижному колесу Ill, поэтому мгновенный центр скоростей
этого колеса находится в точке Р соприкосновения колес И и III.

Так как скольжение между колесами / и // также отсутст-
вует, то

где —точка колеса II, находящаяся в зацеплении с колесом I.
Мгновенная угловая скорость колеса II будет

, __ VAS ____За>,Г 3

2— Д2Р — 2г ~~ 2 Ш1’

(d)

Полученное соотношение между угловыми скоростями колес I
и II имеет место в любой момент времени.

Рис. 340

Дифференцируя это соотношение, получим зависимость между
угловыми ускорениями *

___3

— yep

Примем за полюс центр О3 колеса 11. Найдем его скорость
и ускорение (рис. 340,6). Имеем

рО2 = ш.2.О2Р = 4гш1’ ®0, = ®тО®я0,.

где

„.	_vO2_9r®!	Зге,

Wno2 — о2О3~ 8 ’ “’'О, at ~~ 2 •

Определим ускорение точки Р (рис. 340, в). По формуле (7.10)
имеем

+ ®%2 + ®%2 = ®гО. +	+ ®%2 +	(е)

где

* Чтобы не вводить новых обозначений, будем понимать под о>„ а>2, е,
и г. д. не только значения этих величин в данный момент, но и функции
времени t.
При этом вектор ®“Оа направлен от точки Р к О2, а век-
тор перпендикулярен к ®^Оа и направлен в сторону враще-
ния колеса II вокруг полюса 02, так как оно вращается ускоренно.

Для удобства перенесем все векторы, находящиеся в правой
части (е), в точку Р (рис. 340, в). Так как =	а

векторы ®\Оаи ®ррОа направлены противоположно друг другу, то
wP=w'po, - wnOs=4 <r - 4 <r=I •

Следовательно, вектор wp направлен от P к O2 (рис. 340, a).
Рассмотрим теперь точку А*. За полюс можно принять не только
точку О2, но и точку Р, поскольку ее ускорение уже известно. Имеем

wa, = wp + wa3p + Hp>
где

• А*Р = 4 ш‘г;

wB^p = ^-A2P = 3slr.

Направления векторов показаны на рис. 340, г. Вектор на-
правлен перпендикулярно к AtP в сторону вращения колеса И
вокруг полюса Р, так как вращение этого колеса ускоренное.

Складывая векторы геометри-
чески, получим

®А, = V Нр — WP)* + V =
— Зг Ц “1 + 61 •

Заметим, что

и>Л1 = Зг + q,

следовательно,

“’а/

Задачи 519-529 (рис. 341). С шатуном АВ шатунно-кривошипного
механизма жестко связан треугольник ABD. Определить ускорения
точек В и D, если кривошип ОА вращается с постоянной угловой
скоростью <«(>. Данные взять из таблицы; принять ОА — АВ — а.

№ задачи	Z ABD	Z, BAD	<р	№ задачи	Z АВО	Z, BAD	<р
519	45”	45”	о	523	30”	90”	0
520	30”	90°	30’	524	60’	60’	30’
521	45”	45”	45”	525	90’	45”	45’
522	60’	90”	60’	526	60’	60’	60’
Указание. Предварительно доказать, чтО(йдв = <й0 для любого?.
Ответы:

задачи	wBx	wDx	wDy	
519	—2a<s>l	3	,  —-2’аю»		«<0?	/То  2
520	— /Зххш?,	2/3	.  	аЧ и		/21  Q <2^0 о
521		— У 2		/Тб . ~Г «“о
522	— «“1	—	— /3	/7аа>“
523	— 2;х«5	—	/з , 	  и	2/3 , з а“°
524	— У 3 а<»1	— УЗ аа>|	—	2аш®
525	— у 2 (Хш;;	3/2	2  2 a“J	/2  2 а““	|/ 5
526	—				/3 ао>^

Задача 527. Диск движется в своей плоскости так, что его
центр О описывает окружность радиусом /? с постоянной по ве-
личине скоростью ®0, и вращается вокруг своего центра с постоян-
ной угловой скоростью (ю0. Найти положение мгновенного центра
ускорений диска.

Ответ: мгновенный центр ускорений Q находится на прямой,
соединяющей центры окружности и диска, причем OQ = ~^~.

Задача 528. В условиях предыдущей задачи центр диска имеет
в данный момент то же значение скорости и0 и обладает каса-
тельным ускорением wz. Какое угловое ускорение е. надо сооб-
щить диску (при прежней угловой скорости w0), чтобы мгновен-
ный центр ускорений Q находился на прямой, соединяющей центры
окружности и диска? На каком расстоянии от центра диска О
будет при этом находиться мгновенный центр ускорений?

со2

Ответ: е = Д-L. При ускоренном движении центра диск
должен вращаться ускоренно в ту же сторону, в которую дви-
жется центр, или замедленно в обратную сторону. При замед-
ленном движении центра — все наоборот. Расстояние OQ = -^g 
(сравните с ответом предыдущей задачи).

Задача 529. Колесо радиусом R катится без скольжения по
прямолинейному рельсу, имея в данный момент скорость центра

(и произвольную величину ускорения центра). Определить
218
нормальное ускорение точек на ободе колеса в зависимости от
центрального угла ф между радиусами, проведенными в данную
точку и точку касания.

Ф

sm ,
Ответ • wn =------—.

Задача 530. Колесо радиусом R катится без скольжения по
неподвижному рельсу. Зная, что ускорение точки касания в дан-
ный момент равно w, определить в этот момент величину скоро-
сти диаметрально противоположной точки.

Указание. Предварительно доказать, приняв центр колеса за

полюс, что ускорение точки касания
Использовать также замечание к
задаче 517.	__

Ответ: и = 2 ]/ %>/?.

Задача 531 (рис. 342). Сумми-
рующий механизм состоит из зуб-
чатого колеса радиусом г и двух
параллельных зубчатых реек, дви-
жущихся в одном направлении
с постоянными скоростями г»! и й2.
Определить величины ускорений
точек Л1 и Л2 зубчатого колеса,
цепления с рейкой.

Ответ: wAl =	=	.

направлено к центру колеса.

Рис. 342
находящихся в местах за-

Задача 532. Решить задачу 531,
в противоположных направлениях.

Ответ: эдЛ1 = и>Лг = (^-+Рг)2 .

считая, что рейки движутся

Задача 533. Решить задачу 531, считая, что рейки движутся
в одну сторону, имея в данный момент скорости и и уско-
рения и соответственно.

Ответ- wAl = |/~1 wAc^ ]/"^ -г ^Х~Д2>4.

Задача 534. Доказать, что центры кривизны траекторий различ-
ных точек обода колеса, катящегося без скольжения по прямому
.рельсу, расположены симметрично этим точкам относительно точки
^Касания колеса с рельсом.

г Задача 535. Колесо радиусом г, катящееся без скольжения
по неподвижному колесу радиусом R, приводится в движение
кривошипом, соединяющим центры колес. Определить угловую

скорость кривошипа, если известно, что ускорение точки подвиж-
ного колеса, находящейся в данный момент в зацеплении, равно w
.(см. указание к задаче 530).

Ответ.

__ -if wr

“°- к та-
Задача 536 (рис. 343). Катушка радиусом 7?, которая катится
без скольжения по горизонтальной плоскости, приводится в дви-
жение при помощи груза М. Груз, привязанный к нити, намо-
танной на барабан катушки, движется вниз, имея в данный мо-

мент скорость v и ускорение ш. Опре-
делить величины ускорений точек С и В
катушки, находящихся в рассматривае-
мый момент на вертикальном диаметре,
если радиус барабана г.

Указание. Взять за полюс центр
катушки, предварительно найдя его
ускорение.

Ответ:	—

с (/? —г)- _________

Задача 537. В условиях задачи 536 определить ускорение
точки катушки, совпадающей с точкой схода нити.

Ответ: wD = ]/”tp ^гр

Задачи типа II. В некоторый момент времени известны величина
и направление ускорения какой-либо точки А плоской фигуры, мгно-
венная угловая скорость ш и прямая, вдоль которой направлено
ускорение другой точки В. Определить угловое ускорение & и уско-
рение точки В (а затем и любой точки фигуры) в рассматри-

ваемый момент времени.

Если прямая, по которой направлено ускорение ®в, не пер-
пендикулярна к АВ, то wA и <о могут быть заданы произвольно.
Если wsJ_AB, то задача может иметь решение лишь только в
том случае, когда угол между wA и Л В не тупой и при наличии
определенной зависимости между wA и о>. Для решения задачи
типа II следует векторное равенство (7.10) спроектировать на ось,
перпендикулярную к ws. В правой части этого равенства два
первых вектора (wA и ®вл) известны и по величине, и по на-
правлению. Вектор wba перпендикулярен к АВ, но направление
этого вектора неизвестно. Оно обычно указывается предположи-
тельно. При проектировании (7.10) получим, таким образом, одно
скалярное уравнение, из которого находится величина w$A. Если

эта величина окажется отрицательной, то это будет указывать
на то, что предполагаемое направление вектора w^A противопо-

ложно действительному. Зная шв^А, находим е, а проектированием
(7.10) на прямую, по которой направлен вектор ©в, находим ве-
личину и направление (по знаку проекции) вектора wB. Зная wA,
«о и г, можно по (7.10) определить ускорение любой точки С.
При этом следует иметь в виду, что вектор ©^л ориентирован по
отношению к А так же, как и
Задача 538. Коленчатый вал (рис. 344, а) в период пуска вра-
щается с угловой скоростью со0 и угловым ускорением е0. Опре-
делить ускорение поршня В и угловое ускорение шатуна АВ при
крайнем верхнем и крайнем правом положениях мотыля О А, если
длина мотыля г, а длина шатуна I.

Рис. 344

Решение. Ведущим звеном механизма является мотыль О А.
Движение его задано. Определим скорость и ускорение точки А.
Имеем

иА = шог,

.—	—ц .  во

WA — Wa -J- ® А

где

Wл — <а’о Г, Шлр = V

Направления этих векторов для первого положения механизма
указаны на рис. 344, б.

Рассмотрим движение шатуна АВ. За полюс примем точку А,
так как ее скорость и ускорение известны. По (7.10) имеем

©в = ®Л +	— ®Л + ®АР + ®ВЛ +	(f)

причем по (7.11) и (7.12)

wba =<а3 • AB — oi-P, w"ba — ^- АВ =

где <а и г — угловая скорость и угловое ускорение шатуна АВ.
Вектор ©вл направлен от точки В к полюсу А, а вектор
— перпендикулярно АВ. Направим его предположительно так,
как показано на рис. 344, б. Так как мгновенный центр скоро-
стей шатуна в рассматриваемом положении механизма находится
в точке В, то

Формула (g) определяет угловую скорость шатуна только
в данный момент времени, соответствующий рассматриваемому
положению механизма, поэтому е не может быть получено диф-
ференцированием по времени и>, найденного из (g).

Для определения е воспользуемся тем, что линия действия
искомого ускорения точки В известна; wB направлено по пря-
мой ОВ.

Поэтому, проектируя векторное равенство (/) на ось Вх, пер-
пендикулярную направлению ©в, получим

Отсюда

®вРл = £</
и, следовательно,

Так как wttPA^>0, то предположение о направлении этого вектора
верно.

Проектируя равенство (/) на ось By, найдем проекцию уско-
рения точки В на эту ось

®A Д’ ®ВЛ — OJ0 Д ~j~] •

Так как wBy^>0, то вектор wB направлен в положительном
направлении оси By.

Величина ускорения точки В в первом положении механизма
будет

wb = Д (I + у) 

Рассмотрим теперь крайнее правое положение мотыля
(рис. 344, в). Обратимся снова к равенству (/). Так как перпен-
дикуляры к скоростям точек А и В параллельны, то угловая
скорость <а шатуна АВ равна нулю и, следовательно, се^л = О.

Ускорение ®В^А, перпендикулярное АВ, предположительно на-
правим так, как показано на рисунке. Проектируя (/) на ось Вх*
получим

wBX ~0 = wuA — cos a,
отсюда
________________________"Д _ «о г
S = •------------------------= —.

I cos a Y
Так как Wbpa^>0, то предположение о направлении wba верно.
Проектируя (/) на ось By, имеем

Way — w^~ wbpa sin а = sor

Если s0

У Г2 — г2 ’

то ©в>>0, т. е. в этом случае wB направ-

лено вниз.

Величина ускорения wB будет

у 12—г'2 /

В рассматриваемый момент поршень движется ускоренно вниз,
так как wB и vB совпадают по направлению.

Если

го

У /2 — г2 ’

то ®в направлено вверх и по величине будет равно

wR — r [ --

в Wl-

М-

В этом случае поршень движется вниз замедленно, так как
и vB имеют противоположные направления.

Задачи 539—547. С шатуном АВ шатунно-кривошипного ме-
ханизма жестко связан треугольник ABD. Определить угловую
скорость и угловое ускорение треугольника, а также ускорения
точек В и D, если кривошип О А вращается с постоянной угло-
вой скоростью <а0; ОА— а\ АВ = 2а. Данные взять из следующей
таблицы (см. рис. 341):

№ задачи	Z. лво	Z. BAD	
539	30°	30’	0’
540	30”	90’	90’
541	60”	60’	180’
542	60’	30’	0’
543	60’	60’	90’
544	30’	90’	180’
545	90’	30’	0’
546	90’	30’	90’
547	90’	30’	180’
Ответы:

№ задачи	ш	£	wBx	wDx	wDy	
539	“о  2	0	3 „ *  —2 а“»	~4а““	Уз „  — 12 «“5	/57 s  6 а“°
540	0	/3 2 3 "°	15^  О	/з a  3 a“°	— -X- о	V7~   /T""'’
541	“о 2	0	"2~			
542	“о  2	0	3'	3  — 2 «“о	11	a  	-g- «“i>		
543	0	/з „  3 “°	0	0	0	^“5
544	COq	0		«“o	/з .  6 а“5	/39 „ 6 a“°
545	“о 2	0	3 а	3 s  —2 a“o	/3	2  6 au>a	/21 s -y-a^o
546	0	/з а  3 “°	УЗ 2  -у-	0	~3 aw“	1 3  3 a““
547	“о  2'	0	1 а  "2 а“°	у «“os	-4^	/3 2 з

Задача 548 (рис. 345). Определить скорости и ускорения порш-
ней двигателя с /-образным расположением цилиндров в момент,

Рис. 345

когда <р — 90°, если ОА = 10 см,
АВ — АС = 10]/2 см и криво-
шип ОД вращается с постоянной
угловой скоростью шо=1О-^-.
Угол между осями цилиндров ра-
вен 90°.

Ответ: vB = 0; ис = 100 см) сек-,
wc —1000 см)сек\
wB = 1707 см/сек*.

Задача 549. В кривошипно-ша-

шипа г и длина шатуна

тунном механизме
I связаны соотношением

ределить угловую скорость и угловое ускорение
момент, когда он составляет с кривошипом прямой
ловая скорость кривошипа постоянна и равна <а0.

Ответ: со = ; е =	.

3 ’	9 у з

длина криво-
/ = г]/3. Оп-

шатуна в тот
угол, если уг-
Задача 550. В механизме, изображенном на рис. 346, криво-
шип О А длиной г вращается с постоянной угловой скоростью <а0.
Определить проекции ускорений точек В и С па оси в тот мо-
мент, когда Z.DOA если AD = AB — 2r, ВС~4г.

Ответ: wBX — Лр га>о‘, wBy = — 2rwCx = гУЗш$.

Задача 551 (рис. 347). Кривошип О А длиной г парораспре-

делительного механизма вращается
угловой скоростью <а0. Определить
скорость и ускорение ползуна С
для положения, изображенного на

равномерно вокруг оси О с

рисунке, если при этом <р = 60°; -[ = 90°. Принять АВ —6г,
ВС = ЗУЗг.

п	3	ГУ 3

Ответ: vc - у rw0; wc —	—2 •

Вектор vc направлен вниз, вектор wc— вверх.

Задача 552 (рис. 348). Колесо радиусом катится без сколь-
жения по горизонтальной плоскости с постоянной скоростью
центра у0 и приводит в движение ползун В при помощи шатуна АВ
длиной I. Определить величину ускорения ползуна В при крайнем
верхнем и крайнем нижнем положениях точки А, если ОА — ~-.

Ответ: в крайнем верхнем поло-
жении

ЭД

в 2 1Л 47й — ад2
в крайнем нижнем положении

Рис. 348

в	2 У 4Р — Л2

Задача 553 (рис. 349). Со стойкой ОЕ кривошипно-шатунного
механизма связано неподвижное колесо I радиусом 2г, по кото-
рому без скольжения катится колесо// радиусом г. С колесом //
наглухо скреплен поводок BD длиной г, а шатун ВС связывает
поводок с ползуном С. Определить ускорение ползуна С и угло-

8 Н* А. Бражниченко и др.

225
вое ускорение шатуна в момент, когда а = 30°, если известно,
что в этот момент точки О, А и В находятся на одной горизон-

тальной прямой. Кривошип ОА вращается
с постоянной угловой скоростью (1>в.

Ответ: wc = l\/r?> г<а|;	е =	ч>о-

Вектор wc направлен вдоль вертикали вниз.

Задача 554 (рис. 350). Кривошип ОА
приводит'в движение тележку на катках.

На общих осях с катками вращаются свободно два ролика, на
которые натянут ремень, прикрепленный в точке К к станине.
Определить угловые скорости и ускорения катков и роликов
в момент, когда кривошип ОА образует с горизонтом угол 60°
и X. ВАО = 90°, если 04 = 4г, радиус ролика г, радиус каждого
катка 2г, угловая скорость кривошипа ю0 = const.

Ответ:

__ 4<п0 /3 .	___8<ooy3.	__ 8 г

“кат--’ з i ®кат---- g i “рол-- g 1 ®рол g “о-

Задача 555. На рис. 351 показан механизм, преобразующий
вращательное движение в поступательное. Кривошипы ОА и 0}В

механизма спарены с шестернями, которые имеют одинаковые ра-
диусы. Кривошип О А соединен шатуном AD с тележкой, пере-
мещающейся по горизонтальной плоскости на катках. На общих
осях с катками свободно укреплены ролики с натянутым на них
ремнем, некоторая точка Е которого связана с кривошипом OfB
посредством шатуна BE. Кривошип ОА вращается с постоянной
угловой скоростью ш0.
Определить угловые скорости катка и ролика и угловое уско-
рение катка тележки в тот момент, когда кривошипы ОА и
занимают вертикальное нижнее положение, если радиусы роликов
равны г, радиусы катков 2r, AD~4r, ОА — г, 0,3 —2г.

Ответ. шкат 2 ^кат	^0» ^po.i

Задачи типа III. В некоторый момент времени известны вели-
чины и направления ускорений двух точек А и В плоской фигуры.
Определить в этот момент мгновенную угловую скорость <а, мгно-
венное угловое ускорение е и ускорение любой точки С.

Задачи этого типа разрешимы только в том случае, когда
угол между векторами ВА и разностью wB — wA не является
тупым. Решение задачи осуществляют путем проектирования (7.10)
на две взаимно перпендикулярные оси (лучше всего на ось, на-
правленную по АВ, и на ось, перпендикулярную АВ). Из полу-
ченных при проектировании двух скалярных уравнений находят
неизвестные величины wB?A и w'^A, из которых определяют е и <а.
При этом величина w'BA может быть только положительной, в то
время как знак w^A зависит от предположительного направления
вектора так как известна лишь прямая, по которой направ-
лен этот вектор.

Задача 556. Ползуны А и В, соединенные стержнем длиной I,
движутся вдоль направляющих, которые образуют между собой

угол 60° (рис. 352, а). Определить ускорение середины С стерв ня
в момент, когда О А — ОВ, если известно, что в этот момент уско-
рения точек А и В имеют величины

©., = 3©, wB — w

и показанные на рисунке направления.

Решение. Условия разрешимости задачи выполнены. Для оп-
ределения ускорения точки С по формуле

WC —	+ WCA + W(?A

{h)
необходимо знать угловую скорость и> и угловое ускорение е
стержня.

Эти величины найдем из соотношения между ускорениями то-
чек А и В:

(О
где

©“л = <а2-ЛВ, w^A — s -АВ,

причем wba направлено от В к A, a wbbva перпендикулярно к В А
и предположительно направлено так, как показано на рис. 352, а.

Проектируя (<) на выбранные оси Вх и By, получим два ска-
лярных уравнения

— wB cos 60° = — wA cos 60° -|- wBa ,

wB cos 30° = — wA cos 30° -f- ©/Л.

Отсюда

42) —42)	42) 4-W	_ ________

~ = w'<	—-/3 = 2w j/3,

следовательно,

Так как e^>0, то w^a направлено в действительности так,
как указано на рисунке. Заметим, что вектор w^a «стремится»
вращать фигуру вокруг полюса А по движению часовой стрелки.

Обратимся к формуле (/г). Имеем

w*a=^.ac=%-,

—8  ас = © Уз.

Вектор wca направлен от С к А, а вектор направлен
перпендикулярно к АС так, чтобы он, как и вектор ж’/Д, «стре-
мился» вращать фигуру вокруг полюса А по движению часовой
стрелки (рис. 352, б).

Для нахождения wc проектируем равенство (/г) на оси Вх и
By. Имеем

wCx — ~wA cos 60°	wca = — w,

c\f\O I BD _ W I* 3

wcy = — wA cos 30° + Wca =  -?>—.

Величина ускорения ®>c равна

/7

wr — W .
Задача 557 (рис. 353). В эпициклическом дифференциальном
механизме кривошип и колесо / вращаются с некоторыми угло-
выми скоростями и ускорениями. В данный момент известно, что
ускорение точки А колеса //, находящейся в месте зацепления,
равно по величине a>t и направлено к центру колеса II, а уско-
рение диаметрально противоположной точки В равно по вели-
чине и направлено под острым углом р к диаметру ВА. Оп-

ределить в этот момент угловые скорости и
угловые ускорения кривошипа и колеса II.
Установить, при каком угле р колесо I будет
в этот момент иметь угловую скорость, рав-
ную нулю. Радиусы колес равны соответ-
ственно Г, и л2.

Ответ:

____-1 /" W2COS₽—W, .		 w3 Sin Р _
к₽— И 2(г, + гг) ’	2^ + ^)’

/w, cos 3-к-w,	a), sm р

2Fs ’	2r3 ;

л	Л о ®i О । 2r«\

Oj, = 0 при условии COS Р =	.

Задача 558. Однородный свободно падающий стержень АВ
длиной I —1,5 м вращается в вертикальной плоскости вокруг
перпендикулярной к нему оси. Найти величину угловой скорости

и углового ускорения стержня, а также ускорение левого его

конца в тот
жении, если
по величине
отсчитанный

момент, когда он находится в горизонтальном поло-
в этот момент ускорение его правого конца равно
wB — 6 м/сек2 и образует со стержнем угол а = 60°,
от направления АВ против хода часовой стрелки.
Припять, что середина стержня имеет
ускорение g = 9,81 м/сек2.

Ответ: ш

‘2w cos а

—--------= 2 рад/сек\

г =

2 (g — 1S)„ sin а)
---------------= 6,15 рад/сек2;

wA =У 4g2 -j- Wb — 4g wB s i n a= 14,7 м/сек2.

Задача 559 (рис. 354). Определить
положение мгновенного центра ускоре-
ний линейки эллипсографа в момент, когда а = 30', если уско-
рения точек А и В имеют указанные на рисунке направления и

величины, связанные соотношением

wA — УЗ wB.

Длина линейки равна Z.
Ответ: мгновенный центр ускорений Q находится на расстоя-
нии у от точки В и имеет координаты

1 /3 з/

XQ — 4 ’	4 •

Задача 560. Решить задачу 559, считая, что направление ускоре-
ния точки В заменено на противоположное Определить, кроме того,
ускорение средней точки С линейки

Ответ: мгновенный центр ускорений находится в точке О;
ускорение wc направлено к точке О и численно равно wB

Задача 561. Ускорения концов А и В стержня длиной / па-
раллельны между собой, направлены в противоположные стороны,
составляют острые углы со стержнем и имеют величины wA и
шв Определить угловую скорость и угловое ускорение стержня,
а также его мгновенный центр ускорений.

. Г(w +«r )cos? . (да + w ) sm ₽

Ответ: <a = у —=-----ф-----, s = — .

Мгновенный центр ускорений находится в точке пересечения
прямой АВ и прямой, соединяющей концы векторов wA и wB

Задача 562. Колесо катится по неподвижному рельсу без
скольжения, причем в некоторый момент ускорение его центра
равно w0, а ускорение точки обода, находящейся в этот момент
в соприкосновении с рельсом, равно Wi- Определить величину
ускорения точки, наиболее удаленной от рельса (см. указание
к задаче 530).

Ответ, w — V4w$ -|- wf .

Задача 563. Сохранив условия задачи 562 и приняв =
определить положение мгновенного центра ускорений.

Ответ: мгновенный центр ускорений Q отстоит от центра и
О

от точки касания на расстоянии г = и расположен так, что

(w0, OQ) —45°.

Задачи типа IV. В некоторый момент времени известны мгно-
венная угловая скорость плоской фигуры I, величина и направле-
ние ускорения какой-либо ее точки А. Некоторая точка В этой
фигуры одновременно принадлежит и другой фигуре II, движу-
щейся в той же плоскости. При этом ускорение точки О
и мгновенная угловая скорость фигуры II известны (в частности,
точка О может быть и неподвижной). Определить угловое ускоре-
ние фигуры I и ускорение точки В.

До решения задачи данного типа следует согласно (7.10) на-
писать выражение для ускорения точки В как точки, принадле-
жащей каждой плоской фигуре в отдельности;

^в — ^аЧ-^ва + ^вл; _

wB — w0 -j- wB0 +
Приравнивая правые части этих равенств, получим векторное
уравнение, в котором известны величины и направления векто-
ров wA, ®0, wba и ®во (так как известны угловые скорости от-
дельных фигур). Неизвестными являются величины и w^0
прямые же, по которым направлены векторы и wbo, известны.
Проектируя полученное векторное уравнение на выбранные оси,
будем иметь два скалярных уравнения, из которых найдем иско-
мые величины, а затем Sj и е3 Для определения wB восполь-
зуемся одной из формул (/').

Задача 564 (рис. 355) Четырехзвенник расположен в данный
момент так, что звено ОА занимает верхнее вертикальное поло-
жение, а точки О, В, Oj находятся на одной горизонтали. Опре-

делить в этом положении ускорение точки В, если угловая ско-
рость звена О А равна <а0, его угловое ускорение е0 = toj КЗ;
ОА = г, AB — 2r\ О1В = 2г]/3.

Решение. Так как точка В принадлежит шатуну АВ и зве-
ну 0{В, то ее ускорение может быть найдено двояким образом:

wb^wa-Twba + wBbpa '
и

®В = ®ЙО1+^О1-	•

При этом

®. ==©« -|- ®в₽.
А А 1 А

В этих формулах
= г®й;

w^A = i»2 • А В = 2г ш2;	= 2г г,

_	vi

wbo1—BO1 “2rJ/3 ’

(k)

(О

где oj и s — соответственно мгновенная угловая скорость и мгно-
венное угловое ускорение шатуна.
Ускорение wB^A направлено перпендикулярно к АВ, а —
перпендикулярно к В0Р Предположим, что эти векторы направ-
лены так, как указано на рисунке.

Так как мгновенный центр скоростей шатуна АВ находится
в точке О, то мгновенную угловую скорость w шатуна АВ опре-
делим по формуле

va _

щ — “°-

Зная <а, найдем скорость точки В:

vB ~ w  О В = шог 3,
а также

Из (k) и (/) имеем

®^01 + ^01 = ®л + ®^ + ^л + ®врл-	(")

В этом векторном равенстве неизвестны величины wB^0 и ,
которые определим из двух скалярных уравнений, получаемых
проектированием («) на оси Вх, By. Имеем

аЛ.п = — WV — ©“ cos 30° -4- ©X cos 60°;
t>U\	А НА	1 оА	’

-	® л + cos 60° 4- ШХ cos 30°,

riUl	А 1 ИА	। НА	'

отсюда

®вл = 5/3 го>2; ^01 = —

Знак; «минус» показывает, что вектор в действительности
направлен в сторону, противоположную указанной на рисунке.

Зная и w”p0 , найдем величину ускорения точки В:

©s = rwjj ]/57.

Задача 565. Шатуны СА и СВ двух кривошипно-шатунных
механизмов соединены между собой шарниром С. Кривошипы (91У4
и О2В длиной г каждый вращаются в одну сторону с равными
постоянными угловыми скоростями <а0. Определить скорость и
ускорение точки С в момент, когда кривошипы расположены на
одной прямой, как показано на рис. 356, а, если в этот момент
2 CAOt = СВО2 = 45‘. Расстояние 010<1 = 2г.

Решение. Определим скорости точек А и В ведущих звеньев.
Имеем
Направления векторов vA и vB показаны на рис. 356, б.
Поскольку точка С одновременно принадлежит шатунам АС и
СВ, то

0С = 0д + ЭСА’ ЭС = $в + бсв,	(о)

где VCA и vCB — вращательные скорости точки С относительно А

и В. Приравнивая правые части этих равенств, получим вектор-
ное уравнение

+ 0СА ~ ° В + ®СВ-

Проектируя это уравнение на оси Сх и Су, найдем два скаляр-
ных уравнения:

1/2	1/2	|/2	। К2

V’ иА — ^СА ~Т^~

Отсюда

VcA=:VCB = V2 °V.

следовательно,

Для определения скорости точки С проектируем первое из
равенств (о) на оси Сх и Су:

/2	/2	..

иСАг = УСАГ2- = Ш0Г; VCy = VA — VCA

отсюда vc = wor. Вектор vc направлен параллельно O^Oi вправо.
Определим ускорения. Имеем

WA=WB = O^r.

Для определения ускорения точки С воспользуемся (7.10).
Имеем

®с = ®д + ®сд + ®срл: ®С = ®в + ®&в + ®й>
отсюда получим

®л + ®сд + ®с^ = ®в + ®св + ®срв-	(Р>

По (7.11) имеем

На рис. 356, в показаны направления векторов wA, wg,
и Направления векторов и те)£рв неизвестны и показаны
предположительно. Проектируя (р) на оси Сх, Су, получим

®д - ®сл ^-+	®в + ®^в	— ®сРв ;

л ДГ +	= ®2в Ц- +	’

отсюда найдем

Знак «минус» показывает, что направления векторов ®£р и
W®PB в действительности противоположны указанным на рисунке.
Зная и получим

,  .  “о
еСЛ SCB  4"

(по абсолютной величине).

Для нахождения ®>с воспользуемся выражениями

wr = пл +®«л +^р

Сх Ах I САх ел* о 2	2	2	2 --

I ,,	.	/2 ]/2	/2 • 1/2 п

WCy = WA v + ®СА V + ®СРД V =	......^2-2  == °’

следовательно, wc = Q.

Таким образом, точка С является в данный момент мгновен-
ным центром ускорений как для шатуна АС, так и для шатуна ВС.
Заметим, что мгновенные центры скоростей шатунов находятся
в данный момент в точке 0.
Задача 566 (рис. 357). Определить угловую скорость и угло-
вое ускорение кривошипа О А в момент, когда у = ~, если в этот
момент поршень движется со скоростью v и ускорением w. Длина
кривошипа равна г, длина шатуна I.

Л	V	W I	Vs

Ответ: шАП =—; ел0 = — -1-----------

г ’	г 1 г 1 / /2 р

(вращение ускоренное).

Задача 567 (рис. 358). Определить ускорение точки А (центра
мотылевой шейки) в момент, когда мотыль О А и шатун АВ

взаимно перпендикулярны, а угол а = 30°, если при этом скорость
поршня В имеет максимальное значение, равное и0. Длина О А = г.

„	V 21 v*

Ответ: wA —	.

Задача 568 (рис. 359). Ведущее звено 0tA четырехзвенника
вращается с постоянной угловой скоростью <а0. Зная, что 0[А —

а	5

= OjlB = a; =	ЛВ = уа, определить угловое ускорение

ведомого звена ОаВ в случаях: 1) когда OtA занимает крайнее
правое положение; 2) когда 02В занимает крайнее левое положение.

Ответ: 1) sosb3!I='T (BPauJeHHe замедленное);

2) еОзВ —(вращение замедленное).

Задача 569 (рис. 360). Ползун В движется равномерно в пря-
молинейных горизонтальных направляющих со скоростью v и при-
водит в движение стержень АС и балансир О А. Определить уско-
рения точек Л и С в тот момент, когда точка В находится на
одной вертикали с неподвижной точкой О, если в этот момент

2 О АС — 90°. Длина кривошипа OA = R, расстояние шарнира О

до направляющих ползуна равно h, расстояние ВС равно а.
t>-	v2a

Ответ: w. — -г; wr — —=	.

Л Л’ С Л|/Л8_Л2

Задача 570 (рис. 361). В четырехшарнирном антипараллело-
грамме звено ОЛ имеет угловую скорость <а0 и угловое ускорение

ео = О в том положении механизма, когда а = р = 45°. Определить
величину ускорения точки В в этом положении, если

ОЛ = О!В = /; АВ = ОО1 — -1.

У‘2

Ответ: = ]/5 /%.

Задача 571 (рис. 362). В антипараллелограмме ведущее звено ОА
вращается с постоянной угловой скоростью <а0. Определить отно-
шение величин ускорений точек В и Л
v	в момент, когда Д AOOi = 90°, Z, ВЛО =

с	= 45°, 2ВО1(9 = 45°, если OA=OtB.

wb /2
Ответ:	—

I	%

gi\	Задача 572 (рис. 363). В механизме

Чебышева шатун ЛВС изогнут под углом

I	в 135°. Определить проекции ускорений

в] каК точек В и С на оси Ох, Оу, если криво-
Д А	шип ОА длиной г вращается с постоян-

ной угловой скоростью % и занимает
Рис-	в данный момент крайнее правое положе-

ние, образуя с АВ угол а = 45°. Где
находится в этом положении механизма мгновенный центр ускоре-
ний шатуна? Принять АВ = О\В —г 1^2; ВС = 2г.

Ответ:	wBy=fy wCx = fr, wcy = —

Мгновенный центр ускорений находится на продолжении АВ
в сторону В на расстоянии г\^2 от точки В.
Задача 573 (рис. 364). В кривошипно-ша гунном механизме
с круговой направляющей кривошип ОА имеет в данный момент
угловую скорость <а0, угловое ускорение е0 и составляет с гори-
зонталью угол 60\ При этом ОАВ = 90°, OtBA — 30°, где

С\— центр кривизны направляющей. Определить в этот момент
касательное и нормальное ускорения ползуна В, если ОА—а;
ЛВ = 2аИЗ; 0iB = 2a.

Ответ.: wn = 2awJ; wT = а (— 2е(| -j- w* j/3)•

Задача 574 (рис. 365). Круговой направляющий механизм
Чебышева для самокатного кресла расположен в данный момент
так, что стержни АВ и CD занимают соответственно горизонталь-

1 »	31/.( „

WCx = ~4 “ог ’> Wcy = |6-	;

7 .

™ВУ

9/3 2
16

2) при вращении ОА по ходу часовой стрелки:

5 ,	3/3 „	19 „

®cx = -[6-(V;	=

/3 „

wBy

Задача 575 (рис. 366). Ползуны А и В движутся ускоренно
навстречу друг другу по прямолинейным взаимно перпендикуляр-
ним направляющим и шарнирно соединены двумя стержнями — АС
длиной а и ВС длиной Ь, имеющими общий шарнир С. Определить
величины скорости и ускорения точки С в момент, когда стержни
перпендикулярны соответствующим направляющим, если в этот
момент ползуны имеют скорости vA и vB и произвольные ускорения.

1 Гт?А vfa

Ответ: uc = 0; wc= у	•

Рис 366	Рис. 367

Независимо от кривошипа ползун С движется по направляющим
в указанном направлении. Определить вращательное и центростре-
мительное ускорения точки В относительно С в момент, когда
стержень ВС вертикален, ВОД =60°,	6-40 = 90°, а точки В

и О находятся на одной горизонтали, если в этот момент скорость
с	ползуна vc — 2 ]Лз см j сек, а его уско-

рение wc = 2 см/секК Дано: ОА = 6см;
3/3

~~2 СМ‘

Ответ: w"c==^^- см!сек\

4	5	&а^с = 6 см! сек?.

рчс 36S	Задача 577 (рис. 368). Механизм

состоит из четырех стержней, из
которых АО и ВО длиной г каждый вращаются вокруг общей
оси О с одинаковой и постоянной угловой скоростью <а0. Опреде-
лить мгновенные угловые скорости и угловые ускорения стерж-
ней С А и СВ длиной г/2 каждый, а также ускорение соеди-
нительного шарнира С в том положении механизма, когда АО и
ВО горизонтальны.

Ответ: 1) если вращения стержней АО и ОВ происходят
в разные стороны, то

юдс = шсд = 0; 8ДС = 8СВ = со^; wc =

причем wc направлено вверх;
2) если стержни вращаются в одном направлении, то
tuCB==0J'l> SAC = SCB = O> даС~(й0/">
ускорение wc направлено вниз.

§ 3. Графическое определение скоростей и ускорений

Графическое определение скоростей и ускорений точек меха-
низмов, совершающих плоскопараллельное движение, осущест-
вляется путем построения планов скоростей и ускорений. Приве-
денная ниже задача иллюстрирует применение этого метода

Задача 578. Определить скорости и ускорения точек В, С и D
механизма в положении, изображенном на рис 369,а, если
кривошип OiA вращается с постоянной угловой скоростью

<а0 — 10 рад/сек;	0^=30 мм; АВ — 80 мм, О2В = 80 мм-,

О3С = 60 мм; CD =100 мм; ^ = 90°; а= / ВО£ = 60°.

Решение. Для определения скоростей точек В, С и D построим
план скоростей. Прежде всего определим скорость точки А:

vA — <а0 • О, А — 300 мм/сек.

Вектор vA направлен перпендикулярно к кривошипу ОХА
в сторону вращения

Выбрав масштаб скоростей, примем произвольную точку S за
полюс (рис 369, б) и от нее проведем вектор Sa = vA. Затем из
полюса S проводим прямую, параллельную г>в (т. е. перпендику-
лярную коромыслу ОгВ}, а из точки а — прямую, перпендикуляр-
ную шатуну АВ. Пересечение этих прямых определит вершину b
плана скоростей для шатуна АВ. Скорость точки В по величине
и по направлению определяется вектором Sb. Пользуясь масшта-
бом, получим

ив = 315 мм/сек.

Вектор ab определяет вращательную скорость точки В вокруг
точки А. Пользуясь масштабом, получим

vBA — 230 мм/сек.

Поскольку vba — ®ab-AB, то мгновенная угловая скорость
шатуна АВ

wAB —^- = 2,88 рад/сек.

Перейдем к звену ВОгС. Имея в виду, что это звено совершает
только вращательное движение вокруг точки О3, найдем скорость
точки С из пропорции

°с СО,
vB — ВО, ’
откуда vc = 235 мм‘сек. Вектор vc направлен по перпендикуляру
к ОаС. Угловую скорость звена ВО^С определим по формуле

V и

шво> = ВО1=Ъ>~ = 3’93 рад1СеК-

Теперь построим план скоростей для звена CD. Скорость точки D
известна по направлению, поэтому из полюса S проведем прямую,

параллельную vD, а из точки с—прямую, перпендикулярную
шатуну CD. В пересечении этих прямых получим вершину плана d
скоростей шатуна CD.
Вектор Sd определяет по величине и по направлению скорость
точки D, а вектор cd — вращательную скорость точки D вокруг С.
Пользуясь масштабом, получим

od = 340 мм/сек-, vDC = 200 мм^ек.

Мгновенная угловая скорость шатуна

шсо = ^ = 2 репеек.

Для определения ускорений точек механизма строим план
ускорений. Прежде всего определим ускорение точки А. Так как
кривошип вращается равномерно, то wA направлено к точке Ot
и равно по величине

= <о”. О,Д = 3000 мм/сек2.

Выбрав масштаб ускорений, примем произвольную точку Sj
за полюс (рис. 369, в) и от нее проведем вектор 51а1 = дал.

Так как точка В одновременно принадлежит и шатуну АВ и
коромыслу О^В, то ее ускорение можно представить с одной сто-
роны в виде

= + + (?)

а с другой стороны — в виде

®8 = ®802+®ВВР02.	(И

где направлено от В к А и численно равно
w^A = <o2Al} - ДВ —665 мм! сек1,
а направлено перпендикулярно к АВ, но неизвестно по
величине;

®во3 — центростремительное ускорение точки В во вращатель-
ном движении коромысла вокруг точки О2 — направлено от В к О3
и численно равно

— а>|Оэ • ВО2 — 1235 мм/секг\

— вращательное ускорение точки В во вращательном дви-
жении коромысла вокруг точки Оа— направлено перпендикулярно
к ВО,.

В соответствии с формулой (q) из точки проведем век-
тор aqi, параллельный и равный вектору д (т. е. направленный
параллельно В А от В к Л). Из точки п проведем прямую, парал-
лельную (т. е. направленную перпендикулярно к ВД).

На основании (г) из точки проведем вектор -Stm, парал-
лельный и равный а из полученной точки tn — прямую,
параллельную до пересечения с направлением Полу-
ценная точка пересечения bt и будет являться искомой вершиной
плана ускорений, т. е. =

а)	5)

Рис 370, а, б, в, г, д, е

Пользуясь масштабом, получим

wB = 2680 мм!сек\

Вектор nbi = w$a, откуда

щвр = 710 мм)сек1.

Далее, ап61 — ®во2, откуда

и^2 = 2410 мм! сек1.

Так как точки В и С принадлежат одному звену, вращаю-
щемуся вокруг точки О2, то

wc _СО3

wB ВО2 ’
отсюда найдем

wc = 2010 мм j сек1.
Рис. 370, ж, з, и, к, л, м, н, о
Вектор Siq получен на плане ускорений путем поворота Sibi
на угол а = 60°. Направление этого поворота должно соответст-
вовать направлению поворота отрезка О,В до совмещения с направ-
лением отрезка О2С.

Рис. 370, п, р, с, т, у, ф

Перейдем к определению ускорения точки D. Направление'
ускорения этой точки известно. Рассматривая шатун CD, имеем

= ®С +	+ ®/Зс-	(8)

где направлено от D к С и численно равно

w^c = ч>‘(о  CD = 408 мм/сек^,
a w]pc направлено по перпендикуляру к CD. Величина этого
ускорения неизвестна.

В соответствии с (s) из точки с, проведем вектор Citii = WDC
(т. е. направленный параллельно DC от D к С). Из точки п2 про-
ведем прямую, параллельную (т. е. направленную перпен-
дикулярно к DC), до пересечения с прямой, проведенной из
полюса Sj, параллельно ускорению wD. Полученная точка пере-
сечения di является вершиной плана ускорений шатуна CD.
Вектор Sidi определяет величину и направление ускорения точки D.

Пользуясь масштабом, найдем

ffi’D = 3050 мм/сек*.

Используя планы ускорений, можно определить угловые уско-
рения звеньев. Имеем

&АВ =^^ = 8,88 рад}сек\ гВО2 — -^^- — 30,1 рад/сек3;

sCD =	= 9,98 рад'сек1.

Задачи 579—604. Для изображенных на рис. 370 механизмов, путем
построения планов скоростей и ускорений, определить скорости и
ускорения точек В, С, D, угловые скорости и угловые ускорения
всех звеньев, если ведущий кривошип OiA вращается с постоян-
ной угловой скоростью, соответствующей 30 об/мин, СМ = 30 мм,
АВ =150 мм, ОчВ — 50 мм, 0103 = 100 мм. Размеры прочих
звеньев взять из таблицы, приведенной ниже. Положение меха-
низмов определяется углом <p = 30°n (n = 0; 1; 2;

№ задачи	Схема	OiC, мм	CD мм	АС, мм	Z ВО^С, град	Л, мм
579	а	30	80			
580	б	—	80	20	—	—.
581	в	—	90	130	—	—
582	г	—	100	130	—	—.
583	д	—	100	20	—	—.
584	е	—	100	140	—	—
585	ж	—	80	30	—	—
586	3	—	100	70	—.	—
587	и	—	100	70	—	—
588	к	—	120	70	—	—-
589	л	—	80	20	—	—.
590	м	—	90	60			
591	н	—	100	20	—	—-
592	О	—	100	10	—	—_
593	п	30	90	—.	—	—
594	р	75	130	——	—	—
595	с	40	150	—	90	——
596	т	40	100	—	90	—.
597	у	40	120	—	30	—
598	ф	—	100	40	—	—
599	X	—	100	70	—»	20
600	ц	—	100	150	—	100
601	ч	—	120	30	—	20
602	ш	—	100	150			100
603	э	—	110	150	—	—
604	ю	—	ПО	80	—	120
ГЛАВА Vlll

ВРАЩЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА ВОКРУГ НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКИ

Уравнениями вращения тела вокруг неподвижной точки яв-
ляются

ф = ф(О; » = »(/);	? = <?(/),	(8.1}

где ф, <р — углы Эйлера, определяющие положение системы
Ох'у'/, скрепленной с телом, по отношению к неподвижной
системе Охуг.

Проекции вектора мгновенной угловой скорости ш на непод-
вижные оси определяют по формулам

и>х = <р sin ф sin &	& cos ф,

U)v = — ф COS ф sin &	& Sin ф,

Шг — ф COS & 4 4

а проекции <« на оси, связанные с телом, — по формулам

Шд.. = ф sin & Sin <J> 4- & COS <J>,
U)y == ф Sin & COS tp — & Sin <p, У

— ф cos & 4- ф.	I

Величина угловой скорости

oj == г7" фа 4" ii2 4- + 2фФ cos &.

(8-2)

(8.2')

(8.3)

Вектор (о направлен вдоль мгновенной оси, представляющей
собой геометрическое место точек, скорости которых в данный
момент равны нулю. Если тело представляет собой конус, катя-
щийся без скольжения по другому неподвижному конусу, то
мгновенной осью в данный момент является общая образующая
этих конусов.

Уравнениями мгновенной оси в неподвижных осях являются

Вектор мгновенного углового ускорения г определяют как
скорость конца вектора й, т. е

е=-

da>

di

(8-5)
Если обозначить через а>0 единичный вектор мгновенной оси,
то	следовательно,

где

г — е, е2)

е — j/®!	е.2-

(8-6)

(8-7)

Вектор et направлен по мгновенной оси и характеризует ско-
рость изменения вектора ш только по величине. Вектор харак-
теризует скорость изменения ш только по направлению. Если
обозначить через угловую скорость вращения вектора <5, то
du>„

^’ = <О1Х®. и

ё2 = Ш|Хш.	(8.8)

Векторы (о и е считаем приложенными в неподвижной точке О.
Скорость любой точки М тела определяют по формуле

V = (в X Т,	(8.9)

где Т — радиус-вектор точки М, проведенный из неподвижной
точки тела.

Величина вектора v определяется равенством

v = U)hto,	(8.10)

где ш — величина вектора <»,

— расстояние от точки М до мгновенной оси.

Проекции скорости v на неподвижные оси Oxyz
формулам

ул-= ?">v — УЧ.,

у ——

находят по

(8.П)

= Ушх ~ хшу

Ускорение любой точки Л1 тела равно геометрической сумме
вращательной ws и осестремительной составляющих:

W = 4-

(8-12)

Величины wa и находят по формулам

шт==о)2/га>,

— &h„

(8.13)

(8-14)

где hs — расстояние от точки М до прямой, по которой направлен
вектор ё.
Вектор дат направлен перпендикулярно к мгновенной оси из
рассматриваемой точки. Величину и направление вектора да,
определяют векторной формулой

те>Е = гХг.	(8.15)

По аналогии с (8.9) можно утверждать, что да, направлено
так, как была бы направлена скорость точки, если бы тело вра-
щалось вокруг линии действия вектора ё, как вокруг оси. Если

® = + 4,

ТО

— Хг-НзХ ^ = да£14-дае2.	(8.16)

Проекции ускорения да на неподвижные оси координат соот-
ветственно равны

да*. = ггу — уег 4- шх (хшх	ушу -f- га> J — W,

Wy = х&г — zex -{- Шу (хшх	ушу гшг) — уш\

wz = уе.х — хгу шг (хшх	ушу гшг) — z<»'2.

(8.17)

Аналогичные формулы имеют место для проекций ускорения
на оси, связанные с телом.

Задача 605 (рис. 371). Коническая шестерня / радиусом г,
находящаяся в зацеплении с неподвижной шестерней // радиу-

сом /? = 2г, приводится в дви-
жение кривошипом III, вра-
щающимся вокруг неподвижной
оси по закону р = Опре-
делить величины угловой ско-
рости <5 и углового ускорения ё
шестерни / в момент t = 1 сек.

Решение. Мгновенной осью
шестерни / в данный момент
является прямая ОВ. Вектор
(5 направлен вдоль этой пря-
мой.

Обозначим центр подвиж-
ной шестерни буквой А. Тогда,
рассматривая точку А как точку,
имеем

принадлежащую кривошийу,

vA = р • О А — 6rt.

С другой стороны, рассматривая точку А как точку шестерни /,
получим по (8.10):

vA — mha — ш  АС = 2шг cos а.
Сравнивая, получим

ш —	-- .

cos а

Поскольку

Л

C0S7. —
о ’

то

<0 = 31^5 Л

В момент t — 1 сек

«>Ь=1 «к = 3 У5 рад/сек.

Для определения ё воспользуемся формулой (8.6):

® = ®1 +

Вектор et направлен так же, как и вектор <б. По величине
он равен:

£! —	= 3 /5 рад [сек*.

Для определения ёг воспользуемся (8.8). В данной задаче
<ot = причем вектор направлен по 0D вниз. Поэтому век-
тор направлен перпендикулярно к плоскости ОАВ парал-
лельно скорости vA. Величина этого вектора

г2 = (й(о1 sin (®1; «>) = pwsina= 18/2.

При t— 1 сек

е3 |<==i сек= 18 рад {сек*.

Окончательно получим

е |z==i сек = У45у 182 = 3]/41 рад]сек\

Задача 606 (рис. 372). Прямой круговой конус К' с радиу-
сом основания г —2 см катится без скольжения по неподвиж-
ному конусу К так, что его вершина О остается неподвижной,
а центр основания А движется со скоростью vA = t см!сек.
Определить в момент / = 2 сек величину ускорения точки С— конца
вертикального диаметра основания конуса К’, если углы при вер-
шинах О обоих конусов одинаковы и равны 2a = у.

Решение. Так как подвижный конус катится по неподвижному
без скольжения, то его мгновенной осью в данный момент яв-
ляется образующая ОВ. Мгновенная угловая скорость а> направ-
лена вдоль этой образующей в сторону, определяемую направле-
нием скорости точки А.

Величина о> равна;
VA t /2/ д,
w = 75 = rcosT = 2 PadlceK-

Поскольку вектор «> изменяется и по величине и по направ-
лению, то мгновенное угловое ускорение ё определим по (8.6):
ё ё] е2.

Вектор направлен по ОВ в
По величине он равен:
et - ~ рад! сек*.

Для определения восполь-
зуемся (8.8). В данной задаче

ту же сторону, что и вектор «>.

X

Рис 372
конуса К вниз.

где h — AD — расстояние точки
А от оси конуса К- Так как
а = -^-, то h — ОА. Таким обра-
зом,

“1 =	= рад'сек.

Вектор направлен по оси
По (8.8) имеем

ТС t’£

eq = o)<»1sin-^- = -% padicetd.

Вектор направлен перпендикулярно к плоскости 04В и
параллельно вектору vA.

Для определения ускорения точки С воспользуемся (8.12) и
(8.16):

Wc = Wei-^W£2-^Wa.

Вектор ®et = s1XOC приложен к точке С, направлен по пер-
пендикуляру к плоскости, проходящей через векторы и ОС, в
сторону, определяемую правилом правого винта, т. е. он парал-
лелен вектору Величина вектора wB1 равна

wei = • ОС  sin 90° = 2 см/сек*.

Вектор ®\а = е., • ОС, приложенный в точке С, направлен по
перпендикуляру к ОС в плоскости СОВ и по величине равен

= га • ОС =	t*.

Вектор направлен по образующей конуса СО от точки С
к точке О, так как ОС L0B, и по величине равен

= ОС =
Так как векторы шш, w:i и wtl взаимно ортогональны в дан-
ной задаче, то величину ускорения ®с определим по формуле

We2 -|-	4 ---Н~ 2/* .

В момент t=2 сек получим

1<=2 сек — 2 К11 см)сек\

Задача 607. Движение твердого тела, имеющего неподвижную
точку О, задано уравнениями

Л Л , л л	л ,

»=з-;

(t— в секундах, углы — в радианах).

Определить величины скорости и ускорения точки М тела,
координаты которой по отношению к неподвижной системе в
данный момент времени равны 0; 0; 32 (в сантиметрах).

Решение. Используя (8.2), определим проекции мгновенной
угловой скорости тела «> на неподвижные оси координат Oxyz:

тс 1/3	nt	тс 1,Л3 nt	тс

u)x —— COS ' (Оу-	$ S1OT; (Ог—

Отсюда найдем проекции мгновенного углового ускорения
тела ё на те же оси:

.	л21/3 л£	.	л2 1/3 nt	.	~

е.г = шл: =---32~Sln ej' = (By =-----32~COST; ^ = ^ = 0-

По формулам (8.11) определим проекции скорости v точки М
на оси Oxyz:

vx— — 4 КЗ тс sin vy =—4}/ЛЗтс cos у; иг — 0.

Таким образом, величина скорости

V — 4]/3 тс см/сек.

Для определения ускорения точки М воспользуемся форму-
лами (8.17):

3 УЗ ТС2 nt	з Уз ТС2 . nt	Зтс2

wx —----— cos 4 ; wy= — sin -j-; шг = —	.

Следовательно, величина ускорения

W — У&Х 4- Шу Д- = Зтс5 см)секг.

Задача 608. Твердое тело вращается вокруг точки О, приня-
той за начало неподвижной системы координат Oxyz. Определить
в данный момент времени скорость точки N (у; |/3; 2) тела,
если мгновенная ось проходит в этот момент через точку М
]/3; 3) и образует с осями координат острые углы, а вели-
чина мгновенной угловой скорости равна 8 рад/сек. Координаты
точек даны в сантиметрах.

Ответ: vN = 8 см/сек’, cos (Э, х) = — 4-; cos	у) ——

cos (у, z) = —Т—.

Задача 609. Ось вращения Земли, образующая с перпендику-
ляром к плоскости эклиптики (земной орбиты) угол 8'0 = 23°,
описывает вокруг него конус (конус прецессии) в течение 1\ —
= 25700 лет. Найти угловое ускорение Земли, считая, что период
ее вращения вокруг оси 7’0 = 24 час.

Ответ: е =	= 2,20-10 16 рад/сек1

•* о М

(То и Tj выражены в секундах).

Задача 610 (рис. 37.3). Шестерня I радиусом г, находящаяся
в зацеплении с неподвижной шестерней II радиусом R = 2r,
приводится в движение валом III, вращаю-
щимся равноускоренно с угловым ускорением
е9 = ~ рад'сек*, имея в начальный момент вре-
мени угловую скорость <1>о = 'л: рад/сек. Опреде-
лить в момент t = 1 сек угловую скорость, угло-
вое ускорение и скорость точки В подвижной
шестерни.

Ответ: <o = ?J^? к рад/сек-,
е= 5 4- 81ха рад/сек1’, t? = 6w.

Задача 611. Твердое тело, вращающееся
вокруг неподвижной точки, в некоторый момент
времени имеет угловую скорость <л = 2 рад/сек

и угловое ускорение е = 3 рад^ек1, причем векторы й и г взаимно
перпендикулярны. Найти величину ускорения точки тела, от-
стоящей от неподвижной точки на расстоянии h = 4 см, если
линия, соединяющая эту точку с неподвижной точкой, перпенди-
кулярна плоскости, в которой расположены векторы угловой ско-
рости и углового ускорения.

Ответ: w = 20 см/сек1.

Задача 612. Движение твердого тела, имеющего неподвижную
точку О, задано уравнениями

Рис. 373

(ф, 8, <р —- в радианах, t — в секундах).
Определить величину ускорения точки тела, лежащей в дан-
ный момент времени на мгновенной оси на расстоянии от непод-
вижной точки О, равном 2р З см.

Ответ: =	см [сек1.

Задача 613. Сохранив условия предыдущей задачи, опреде-
лить величину скорости точки М тела, имеющей в данный момент
времени координаты: 0; 0; У 7 (в сантиметрах), а также величину
ускорения той точки тела, которая в этот момент совпадает с
основанием перпендикуляра, опущенного из точки М на мгно-
венную ось.

Ответ: v = —— см/сек\ w = —— см: сек1.

Задача 614. Проекции угловой скорости твердого тела, вра-
щающегося вокруг неподвижной точки О, на неподвижные коор-
динатные оси Oxyz выражаются формулами

(ох = 2/; <оу = /2; (ог. = /3.

Определить в момент /=1 сек величины скорости и ускоре-
ния точки тела, имеющей в этот момент координаты: 1; 0; 0 (в
сантиметрах).

Ответ: v= 1,41 см/сек-, ® = 6,71 CMiceK1.

Задача 615 (рис. 374). Прямой круговой конус с углом 2?

при вершине катится без скольжения
скости, имея угловую скорость <»! во вра-
щательном движении вокруг оси, пер-
пендикулярной этой плоскости. Через
центр А основания конуса проведена

по горизонтальной пло-

прямая AD, параллельная образующей ОВ. Определить величину и
направление ускорения точки М на этой прямой, зная ее расстоя-
ние s от точки At — проекции точки А на образующую ОВ.

Ответ:

wM лежит в плоскости ОСВ и направлено перпендикулярно к AtM
вниз.

Задача 616 (рис. 375). Вал I, вращающийся вокруг непод-
вижной горизонтальной оси с постоянной угловой скоростью а>в,
приводит в движение шестерню II радиусом 4 см, находящуюся
в зацеплении с неподвижной шестерней III. Определить величины
ускорений точек В и С шестерни II, если углы при вершинах
начальных конусов подвижной и неподвижной шестерен равны
соответственно а = 60° и 120J, а центр А подвижной
шестерни движется с постоянной по величине скоростью, рав-
ной 4 см/сек.

Ответ: wc = -^- см/секг-, wB = 8 см/сек2.

Задача 617. В механизме, рассмотренном в предыдущей задаче,
вал I вращается с постоянным угловым ускорением ев =
= 0,5 рад/сек*, имея в начальный момент угловую скорость о>0 =
= 1 рад/сек. Определить в момент 1—1 сек ускорения точек С
и В подвижной шестерни.

Ответ: wc = 18КЗ см/сек*-,
wB = 21^741 см/сек1.

Задача 618 (рис. 376). Определить величину ускорения точки С
подвижной шестерни I радиусом г, находящейся в зацеплении

с неподвижной шестерней И, если вал III имеет в данный
момент угловую скорость ш0 и угловое ускорение г0 = ‘во-
Углы при вершине О начальных конусов обеих шестерен
равны по 60°.	__

Ответ: оу. = JA3O го>'.

Задача 619 (рис. 377). Коническое зубчатое колесо радиусом R,
катящееся по плоской опорной шестерне, приводится в движение
водилом AD, которое соединено с колесом в точке А шаровым
шарниром. Водило имеет угловую скорость о»!, а опорная ше-
стерня вращается с угловой скоростью = у в том же на-
правлении. Считая, что ось колеса проходит через центр О опор-
ной шестерни, определить скорость и ускорение точки С, диамет-
рально противоположной точке касания В, если OB = OC = R,
a Z СОВ = 60°.

1Л 3

Ответ: vc = 0; wc = ^~ Rtx>\.

Ускорение ®>с лежит в

Рис. 378

этого колеса, диаметрально

плоскости рисунка и направлено
под прямым углом к ОС вниз.

Задача 620 (рис. 378). Коническое
зубчатое колесо / радиусом R вра-
щается с постоянной угловой ско-
ростью <»! Зубчатое колесо II при-
водится в движение с помощью
кривошипа, имеющего угловую ско-
3

рость o>j = y (»! и то же направление
вращения, что и колесо /. Опреде-
лить мгновенную угловую скорость
и угловое ускорение колеса II, а так-
же скорость и ускорение точки С
противоположной точке касания А,

если угол 204= 120°, угол 2х2 — 60°, а оси колес пересекаются

в точке О.

Ответ: ш = |/3 ш,;

з |Лз „

о	aiR V ^7

vc = 2Rwl-, wc — - 2~------
ГЛАВА IX

СЛОЖНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ И ТЕЛА

§ 1.	Скорость точки в сложном движении

Скорость точки в сложном движении определяют по формуле

va = vr + se,

(9.1)

где va— скорость точки относительно условно неподвижной си-
стемы отсчета (абсолютная скорость);

vr— скорость точки относительно подвижной системы отсчета
(относительная скорость);

— скорость той точки подвижной системы отсчета, через
которую в данный момент проходит рассматриваемая
точка (переносная скорость).

Задача 621. В кривошипно-кулисном механизме с поступательно
движущейся кулисой (рис. 379, а) кривошип ОА длиной г вра-
щается с постоянной угловой скоростью <»0 и приводит в движение

Рис. 379

кулису ВВ, прорезь которой образует с направлением ее пере-
мещения постоянный угол, равный 60°. Определить скорость
кулисы и скорость скольжения камня А в прорези кулисы, если
в начальный момент времени кривршип занимал левое горизон-
тальное положение.

Решение. Движение камня А можно изучать по отношению
к двум системам отсчета: по отношению к неподвижной си-
стеме Оху (абсолютное движение) и по отношению к подвижной
системе О'х'У, связанной с кулисой (относительное движение).
Абсолютным движением камня является его движение по окруж-
ности с центром в точке О, и, следовательно, абсолютная ско-
рость иа направлена перпендикулярно к кривошипу ОА и равна по
величине шог. Относительное движение — это скольжение камня
по прорези кулисы, поэтому относительная скорость йг точки А
направлена по кулисе.

9 Н. А. Бражниченко и др.

257
Переносным движением камня А в данный момент является
движение той точки кулисы, с которой в этот момент совпадает
камень. Так как кулиса движется поступательно, то переносная
скорость ve параллельна прямой СС.

По теореме сложения скоростей (9.1) имеем

Va = Vr + У-

Из параллелограмма скоростей (рис. 379, б) найдем

	Рг	__ Уд ___	Уе  1 ТС	\	.тс	. 1	ТС \ ’  sm 1 у — ® \	sm у	sm 1 ср — у]
откуда	2va cos <p 2®0r }/ 3		  vr = —°	r	— COS  /3	3  2®0г У 3 - /	Я \  sin^	6).
Так. как	<p = <v,
то	2<o0r V 3	,  vr=——cos о  2“or V 3 . I . я \ ve =	2—	Sin	.
В моменты	времени, когда  тс .  6
имеем	ve = 0,

и, следовательно, в эти моменты кулиса изменяет направление
своего движения.

Задача 622. В механизме, изображенном на рис. 380, а,
рейка / имеет скорость у, = 20 см! сек, рейка // — скорость
и,— 40 см/сек, расстояние между рейками равно 50 см. Опреде-
лить угловую скорость рейки III, а также скорость рейки IV
в тот момент, когда АС=ВС и угол а между рейками III и IV
равен 60°.

Решение. Рассмотрим движение точки В. С рейкой /// свяжем
подвижную систему координат Dx'i/. С неподвижным основанием
механизма свяжем неподвижную систему осей Оху. Точка В дви-
жется по отношению к обеим координатным системам. Абсолютным
движением этой точки является прямолинейное движение со ско-
258
ростью щ вдоль оси Ох. Относительным движением является прямо-
линейное движение вдоль прорези рейки III. Переносным движе-
нием будет движение той точки рейки III, которая в данный

момент совпадает с точ-
кой В.

По теореме сложения
скоростей (9.1) имеем
(рис. 380, б)

Vea = Vi — ®Вг + ®Ве-

Для определения пере-
носной скорости vBe поль-
зуемся формулами кинема-
тики плоского движения
(7.3) и (7.5):

= +

= АВ,

где иА = Si — скорость точ-
ки А, приня-
той за полюс;

vBA — вращатель-
ная скорость
вокруг полю-
са А — точки
рейки III, с
которой в
данный мо-
мент совпа-
дает точка В.

Итак,

Рис. 380

==z)1 -J- Vftr vBA. (а)

Относительная скорость vBr направлена по прорези рейки III,
а скорость vbaA_AB. Направления этих скоростей наперед не-
известны. Согласно (а), изобразим все составляющие векторы на
рис. 380, б. Направления векторов оВг и vBA указаны предполо-
жительно. Векторное равенство (а) равносильно следующим двум
скалярным, полученным проектированием (а) на оси Bxf'y", парал-
лельные осям Оху:

И 3
о2 = овгЛ2-

Ь + VBA у’,

п 1 Из

0--VBr 2 VBA •
Отсюда найдем

vBA =1,2 ~P1 = 10 см!сек,
vBr — У3vBA = 10У 3 см!сек.

Знак «плюс» в ответах указывает на то, что направления век-
торов vBr и vBA выбраны правильно.

Зная vBA, найдем угловую скорость рейки 111:

—	— Р^д/сек.

Рассмотрим движение точки С (рис. 380, в). Абсолютная ско-
рость точки С определится векторной суммой

^Са — ^Сг~1~^Се — ^Сг~{~^АЧ~^СА’	(&)

где вращательная скорость

vCA — <яя/ • у А В = 5 см'[сек,

vCr—относительная скорость точки С, направленная вдоль
рейки 111; ffA = vt.

Вектор vCA перпендикулярен к АС и направлен в ту же сто-
рону, что и вектор vBA. Направление вектора vCr дано предполо-
жительно. Векторное равенство (&) равносильно двум скалярным,
полученным проектированием (6) на оси , параллельные
осям Оху:

л Уз ,	,	1

Vcar = 0 = — VCr -у- 4- vt + vCA

1 Кз

VCay  VCr~2	VCA ~2~ •

В первом равенстве проекция скорости vCax равна нулю по-
тому, что абсолютная скорость точки С, равная скорости рейки IV,
направлена вдоль вертикали. Из этих урав-
.	нений найдем

оСг=15УЗ см/сек;

vcay — —ЮР 3 см/сек.

_	Знак «минус» указывает на то, что ско-

рость точки С в рассматриваемый момент
-----направлена вниз.

^й Величина абсолютной скорости точки С
Рис W ь’с“ = 10КЗ см/сек.

Задача 623 (рис. 381). Два корабля идут
прямыми расходящимися курсами, образую-
щими между собой угол а. Скорость одного корабля равна
Какую скорость v2‘должен иметь второй корабль, чтобы первый
находился все ‘ время у него на траверсе, т. е. на перпендикуляре
к его курсу? С какой скоростью и будет увеличиваться при этом
расстояние между кораблями?

Ответ-. v2 = Vi cos а;
и = Vi sin а.

Задача 624. Судно движется на юго-восток со скоростью и.
Флюгер на судне составляет угол 90° с его диаметральной пло-
скостью, причем ветер дует с левого борта. Определить истинную
скорость ветра и его направление, если относительная скорость
ветра равна скорости судна.	_

Ответ: ветер дует с севера со скоростью о = и]/2.

Задача 625. Тело, запущенное на экваторе вертикально вверх,
приобрело скорость 2 км, сек относительно места пуска. Какова
его скорость относительно системы координат, поступательно дви-
жущейся вместе с Землей по отношению к неподвижным звездам?
Движение центра Земли за небольшой промежуток времени считать
равномерным и прямолинейным. Высотой тела над поверхностью Зем-
ли пренебречь. Радиус Земли R — 6400 км.

Ответ: v = 2,06 км/сек.	$

Задача 626 (рис. 382). Призма А дви-	/Р

жется поступательно со скоростью 3 м/сек,	//

а груз В движется по грани призмы так, что	// |гцс

расстояние s — OB изменяется по закону	ш ш

s = B (t— в секундах, s — в метрах). Опре-	/

делить при 1 = 2 сек величины абсолютных	/ д

скоростей грузов В и С, связанных не-	/-------*•

растяжимой нитью.	/\0"

Ответ: ов = 3,62 м/сек-,	чпттятылшлт

ис = 5 м/сек.

Задача 627. Вращение диска вокруг	Рис- 382

своей оси соответствует закону ср = 1,5В рад.

Вдоль радиуса диска в направлении от центра к его ободу дви-
жется точка М. Определить величину абсолютной скорости этой
точки в момент 1=1 сек, если ее движение относительно диска
задано уравнением

s = ОД4 = (1 -Д В) см.

Ответ: v = 2 /10 см/сек.

Задача 628. Определить величину абсолютной скорости точки
ротора паровой турбины, ось которого горизонтальна и лежит
в диаметральной (продольной) плоскости судна, идущего со ско-
ростью 40 узлов (узел — единица скорости, равная 1 миле в час,
или 0,5144 м/сек). Расстояние данной точки до оси вращения
равно 60 см. Ротор делает 3000 об/мин.

Ответ: v = 189 м/сек.

Задача 629 (рис. 383). Ползун А перемещается по прямоли-
нейным направляющим при помощи рычага, который вращается
вокруг неподвижной оси О. Определить скорость ползуна в зави-
симости от угла поворота рычага <р, если он имеет в данный
момент угловую скорость <о, а расстояние от оси О до направ-
ляющих равно h.

_	<оЛ

Ответ-, v — —s-.

Sin2

Задача 630 (рис. 384). Кулисный механизм с вращающейся
кулисой приводится в движение кривошипом ОС. Определить ско-
рость ползуна С относительно кулисы, в момент времени

где <о — постоянная угловая скорость кривошипа, если в началь-
ный момент кривошип занимал правое горизонтальное положение.
Принять b = aV2.

Ответ: vr—au>.

Задача 631 (рис. 385). Стержень ОА длиной I может повора-
чиваться в плоскости рисунка вокруг точки О при помощи толка-

Рис. 385	Рис. 386

теля, движущегося со скоростью й. Определить величину скорости
конца Л стержня в зависимости от расстояния х от толкателя
до точки 0, если высота стойки равна а.

Ответ: vA = ^^.

Задача 632 (рис. 386). Стержень О А длиной I приводится во
вращательное движение вокруг неподвижной точки О кулачком,
имеющим форму полуокружности радиусом г — Определить
V &

угловую скорость стержня в тот момент, когда он составляет
угол <р = 30° с горизонталью, а кулачок движется поступательно
со скоростью й.

„	2и

Ответ-. ш =—==------г.

/ (Кз+1)

Задача 633 (рис. 387). Частица М пара попадает на рабочую
лопатку колеса осевой турбины со скоростью у, равной по вели-
чине 1200 Афек и образующей с плоскостью ВВ, перпендикуляр-
ной к оси вала, угол а = 20°, а с радиусом ротора — угол 90°.

Определить величину относитель-

ной скорости частицы пара, если
эта скорость образует с плоскостью

ВВ угол р = 45°. Каково при
число оборотов колеса, если
стояние от частицы до оси
равно 1,2 At?

Ответ: or = 581 м]сек,\
п = Ы<2Л o6jMUH.

этом
рас-
вала

Задача 634. Флюгер корабля,

двигавшегося на север, откло-

няется из-за ветра и составляет с направлением движения корабля
угол 135°, отсчитываемый против хода часовой стрелки. При из-
менении курса корабля на северо-восток угол между направле-

нием движения корабля и флюгером стал равным <р = « — arctg

Определить истинное направление ветра, считая, что величина
скорости корабля при изменении курса сохранилась прежней.

Указание. Проектировать векторные уравнения на направления
северо-восток и северо-запад.

Ответ: ветер дует с юго-востока.

Задача 635. Движение точки в плоскости хОу задано уравне-

ниями

Х=Г 4~r cos kt,
у — г sin kt,

причем сама плоскость хОу вращается по ходу часовой стрелки
вокруг оси Ог с постоянной угловой скоростью <n = k. Определить
величину абсолютной скорости точки в момент t = сек.

Ответ: v — rk.

Задача 636. Точка движется в плоскости хОу по эллипсу
согласно уравнениям

x = a4~acos kt',
y = b-\- b sin kt,

а сама плоскость вращается против движения часовой стрелки
вокруг оси Oz с угловой скоростью ш. Ойределить величину абсо-
лютной скорости точки в те моменты, когда она находится в
вершинах эллипса.

Ответ: v{ = j/-f- (2но> -J- bk)2;

и2 = V o>V	(2bo> -J- ak)2;

v3 = b k2; vt -- a ]Л1>* k2-

Задача 637. Точка движется в плоскости хОу согласно урав-

нениям

Х = /; y=2t2

(х, у — в метрах, t — в секундах), а сама плоскость вращается
вокруг оси Oz с угловой скоростью u> = 2 рад: сек. Определить
величину абсолютной скорости точки в момент времени t = 1 сек.

Ответ: при вращении плоскости против движения часовой
стрелки v=6,71 м[сек', при вращении плоскости по ходу часовой
стрелки о = 5,39 м[сек.

Задача 638 (рис. 388). Реверсивная передача с зубчатым сек-
тором радиусом 7? приводится в движение от кривошипа ОА, вра-
щающегося вокруг неподвижной оси О с угловой скоростью 0>в.

Цапфа А кривошипа скользит в качающейся кулисе. Определить
D

угловую скорость и колеса II радиусом г = — в момент, когда

-тг	.4

а = -тг, если OOi — тг О А.

6 *	2

Ответ: <о = 2,28<о0.

Задача 639 (рис. 389). В кулисном механизме поперечно-стро-
гального станка кривошип ОА делает п об/мин. Определить ско-
рость перемещения стержня ВС в момент, когда угол между кри-
вошипом ОА и кулисой равен а, а угол между стержнем ВС и
кулисой равен р. Принять ОА = г, О^А — АВ = 2г.

„	ЛИГ COS а

Ответ: v= 1С . 0

15 sm В
Задача 640 (рис. 390). В кулисном механизме поперечно-стро-
гального станка кривошип ОА вращается с угловой скоростью <т>0.
Определить скорость ползуна С и угловую скорость коромысла 0J3
в указанном на рисунке положении механизма, если

ОА—гУЗ, О1К — О1В = г, ВС —4г.

Ответ: пс = 3шог; woiB = 3o)0.

Задача 641 (рис. 391). В кулисном механизме поперечно-стро-
гального станка кривошип ОА вращается с угловой скоростью а>0.

Рис. 390

Найти скорость ползуна С и угловую скорость коромысла О,В
в тот момент, когда кривошип и коромысло горизонтальны, если
расстояние от точки О до направляющей ползуна С равно а, а от
точки 01 до той же направляющей —2а, OA—R, О1В = г,

<5

Ответ: пс —	У 3;	=

Задача 642. В механизме, изображенном на рис. 392, криво-
шип ОА вращается с угловой скоростью юп. Определить угловую
скорость in кулисы M.N в момент, когда
она составляет угол а. с горизонтом,
если при этом DM = 2a, CD I CO
и кривошип ОА занимает правое гори-
зонтальное положение. Кроме того,
дано:

ОА=ОС = а-, BC — AB = BD = b.

\/b2 — as .	Рис. 392

Ответ: ш =	— sin а.

Задача 643 (рис. 393). В шатунно-кривошипном механизме
кривошип ОА вращается с угловой скоростью <о. Связав с кри-
вошипом подвижную систему отсчета, определить величины пере-
носной, относительной и абсолютной скоростей ползуна В в тот
момент, когда 0В = 2а, ОА = АВ = I.

указание. Относительная скорость ползуна В должна быть пер-
пендикулярна к шатуну АВ, так как в относительном движении
точка В движется по окружности с центром в точке А.

Ответ,: ие = 2н<о; vr — 2lu>-, иа = 2<о!Л/'2 — а®.

Задача 644 (рис. 394). Шестерня радиусом R, катящаяся по не-

подвижной шестерне с тем же радиусом,
кривошипом ОА, вращающимся вокруг
точки О с угловой скоростью Свя-
зав с кривошипом подвижную систему
отсчета, определить величины перенос-

Рис. 393

ной и относительной скоростей точек
лежащих подвижной шестерне.

Ответ: vei = ^R",	—

приводится в движение

Рис. 394

Mit М:!, Mlf принад-

ves = 3a>e/?; цГ1 = рГ! = г>г, = рГ1 = <ов/?.

Задача 645
которого равен

(рис. 395). Круговой конус, радиус основания
10 см, а высота 20 У" 2 см, катится без скольже-
ния по неподвижной гори-
зонтальной плоскости так,
что его вершина О остается
неподвижной. Вдоль высо-
ты конуса просверлен ка-
нал, по которому в напра-
влении от центра основа-
ния А к вершине движется
точка М по закону s =
= АМ = 10 V 2tcM. Опре-
делить в момент времени
t — 1 сек. величину абсолют-

ной скорости точки М, если в этот момент скорость точки В конуса,
наиболее удаленной от плоскости, равна 20 V2 см[сек.

Ответ", v = 51^10 см! сек.

Задача 646 (рис. 396). Колесо 1 радиусом 20 см катится без
скольжения по внутренней поверхности неподвижного колеса II
и приводится в движение кривошипом ОА длиной 30 см, вра-
щающимся вокруг неподвижной оси О с угловой скоростью, равной
0,5 рад/сек. Вдоль радиуса подвижного колеса в направлении отего
центра движется точка М со скоростью 5 см'сек. Определить вели-
чину абсолютной скорости точки М
в момент, когда она находится на рас-
стоянии 10 см от центра колеса, если
в этот момент радиус, вдоль которого
движется точка, перпендикулярен к кри-
вошипу.

Ответ: ve= 12,5 см[сек.

Задача 647 (рис. 397). Кривошип 0At
суммирующего механизма имеет в дан-
ный момент угловую скорость <ot и со-
ставляет угол оц с горизонтальной
осью Ох. В этот же момент кривошип
ОА$ имеет угловую скорость о>.2 и со-
ставляет с той же осью угол а2. Опре-

делить в этот момент величину скорости стержня CD, если пря-
мая, по которой он движется, делит расстояние между направ-

ляющими М и N в отношении Длины кривошипов равны ri и г,
соответственно, их направления вращения указаны на рисунке.
„	I nrjMj sin	sin «s I

vmeem: v — |	|.

Задача 648 (рис. 398). В множительном механизме рейка /
движется со скоростью vt, а рейка II — со скоростью в ука-
занных направлениях. Определить скорость рейки /// и угло-
вую скорость кулисы IV в зависимости от перемещений х и у
реек I и II. Расстояние между направляющими реек // и III
равно а.

_	ау а — х

Ответ-. у8 — Vj ~

(если у8)>0, то III движется вниз);

“л/

vty — vsx
хе4-№

(если o>;v)>0, то вращение кулисы происходит против хода часо-
вой стрелки).

Задача 649 (рис. 399). Рейки I и II суммирующего меха-
низма движутся в одном направлении со скоростями и соот-

Рис. 398

Рис. 399

ветственно. Определить скорость рейки III, угловую скорость
кулисы IV, а также скорости ползунов Л и В относительно

кулисы в тот момент, когда угол, составленный прямой АВ
с горизонталью, равен а. Расстояния между направляющими стерж-
ней / и III, II и III равны соответственно и

Ответ: vs —

V. —v„ а

(й = -±-,-5-COS’a

I2 ’ aj+a,

(при кулиса вращается по ходу часовой стрелки);

vAr

___(vt — vs) а1 sin a
а1 4“

(0Дг направлено от Л к О при Vi^>n2);

('t/1 —1»3) as sin a

(pBr направлено от В к О при
§ 2.	Ускорение точки в сложном движении

Ускорение точки в сложном движении определяют по формуле
wa =	-J- -L	(9 2)

где ®а — ускорение точки относительно условно неподвижной си-
стемы отсчета (абсолютное ускорение),

—	ускорение точки относительно подвижной системы от-
счета (относительное ускорение);

—	ускорение той точки подвижной системы отсчета, через
которую в данный момент проходит рассматриваемая
точка (переносное ускорение),

—	поворотное ускорение или ускорение Кориолиса, выра-
жающееся формулой

®с = 2(шеХ^)>	(9-3)

здесь а>с — мгновенная угловая скорость подвижной системы от-
счета;

vr — относительная скорость точки.

Задача 650. Окружность радиусом R— 1 м вращается в вер-
тикальной плоскости вокруг неподвижной оси О против хода часо-
вой стрелки по закону ср = тс/ (t — в секундах; <р — в радианах),

где <р — угол, составляемый диаметром окружности О А с горизон-
тальной прямой (рис. 400, а). По окружности из точки О дви-
жется точка М по ходу часовой стрелки согласно уравнению s~~t
(t— в секундах; s — в метрах). Определить абсолютное ускорение
точки в моменты времени ц = -^- сек и /3=1 сек.

Решение. Точка М совершает сложное движение. Свяжем по-
движную систему координат с окружностью. Тогда движение
точки М по окружности будет относительным. Переносным движе-
нием точки в данный момент является движение той точки окруж-
ности, через которую в этот момент проходит точка М.
Найдем положения точки М в указанные условиями задачи
моменты времени:

,	1	п

при / = у сек, Si = -g- м;

при = 1 сек = п м.

Следовательно, к моменту Л = -§- сек точка М пройдет чет-
верть окружности, а к моменту ^=1 сек — половину окружности
от начального положения. Для этих моментов времени угол по-
ворота окружности будет равен соответственно у и к (рис. 400, б, в).
Согласно (9.2), имеем

4- ®е.	(с)

Определим сначала относительное ускорение ®г:

где касательное ускорение

dvr d"s n

а’-=-йс“л»=0’

а нормальное

vr

Wrn — ~R—	м/сек*,

так как относительная скорость
ds ,
vr — ^ — Tt м/сек.

Таким образом, относительное ускорение в любой момент вре-
мени направлено к центру окружности и по величине равно
wr — к* м/сек*.

Найдем переносное ускорение точки М. Так как переносное
движение вращательное, то, следовательно,

®с — ®’Р 4- -
здесь

== $в  ОМ; w/ — . ОМ,

где ОМ — расстояние от точки М до оси вращения окружности;

<ов и se — угловая скорость и угловое ускорение вращающейся
окружности.

Имеем

ОМ	м; ОМ\(=.^=2 м.
Угловая скорость и угловое ускорение ев соответственно равны:

<ов = ф = те const; =

таким образом,

We = W^ = <4 • ОМ.

В момент ti = -^ сек wei = ^V^2 м/сек3, в момент /2=1 сек
wes = 2‘Ki м/сек3. Ускорения wet и йД, направлены к оси О.

Найдем теперь ускорение Кориолиса по (9.3). Вектор угловой
скорости <ое перпендикулярен к плоскости рисунка и направлен
к читателю. Относительная скорость vr направлена по касатель-
ной к окружности в сторону движения часовой стрелки. Следо-
вательно, угол между векторами и vr в любой момент движе-
ния равен у. Поэтому в обоих случаях величина ускорения Ко-
риолиса

wC1 = wCs = 2aevr sin ^ = 2к3 м/сек3.

Направления вектора в моменты Ц и 4 показаны на рисунках.

Для определения применим метод проекций. Проектируя
правую и левую части векторного равенства (с) на выбранные
оси координат, получим для t = tx:

wax=wrt — wC14- wei =w9— 2те9 4- те9 = 0;

Way = -Wei^- = —^.

Отсюда видно, что

= м/сек3

и вектор	направлен вниз.

При t = ti все векторы ускорений направлены по одной пря-
мой, следовательно,

Wa |/=/s = wr.2 4- Wes — Wc, = те3 4- 2те3 — 2n9 = К9 м/сек3.

Вектор wa\t=ts направлен вправо.

Задача 651. В механизме, изображенном на рис. 401, а, рейка
I движется ускоренно вверх, имея в момент, когда а — 30°,
скорость у, =1^3 см/сек и ускорение Wi = 1^3 см/сек3. В этот
же момент конец рейки II удален от направляющей рейки I на
расстояние В0 = 3 см, а рейка II имеет скорость о2 = 5 см/сек
и замедление ге»9=1 см/сек3. Определить в этот момент угловое
ускорение кулисы III и ускорение камня В относительно кулисы.
Решение. Рассмотрим движение точки В. Эта точка участвует
в двух движениях: по отношению к неподвижной системе ху,
скрепленной с основанием механизма (абсолютное движение), и
по отношению к системе х'у, скрепленной с кулисой (относитель-
ное движение). Оба эти движения прямолинейные, поэтому vBa
и vBr направлены вдоль прямых ВО и ВА (направление вектора

vBr по прямой В А наперед не известно и показано на рис. 401, б
предположительно); пВо = й2. Переносным движением для точки
В в данный момент является движение той точки кулисы, с кото-
рой совпадает в этот момент точка В. Так как кулиса совершает
плоское движение, то по формуле (7.3) получим

= + = + ________________________________

где вращательная скорость vBA направлена перпендикулярно АВ
(предположительно в сторону, указанную на рис. 401, б). По
теореме сложения скоростей (9.1), имеем

&ва = ®Вг~\~ &ве,
т. е.

(d)
Это векторное уравнение эквивалентно двум скалярным, полу-
ченным проектированием (d) на координатные оси (например, В?4:

COS а = — Vj sin а -|- VBA;	v2 sin а = vBr -j- Vi COS a,

отсюда

VBA ~ vicos a + П1 Sin a — ЗКЗ см)сек\
vBr = Па sin a — Oj cos a = 1 cm/сек.

Знаки «плюс» показывают, что направления векторов vBA и
vBr выбраны правильно.

Зная vBA, найдем угловую скорость кулисы (переносную угло-
вую скорость)

VBA /3
а>е==~ВА =-2~ Рад1сек-

В соответствии с полученным направлением vBA заключаем, что век-
тор йе направлен перпендикулярно к плоскости рисунка к читателю.

Перейдем к ускорениям (рис. 401, в). По (9.2) имеем

®ВА = ®Вг + ®Ве+&Вс>

гд.еюБа — Мъ,&Вг— направлено по В А (предположительно от В к Д).

Ускорение Кориолиса

Зная направления векторов ше и vBr, найдем, что wBC направле-
но так, как показано на рисунке. Величина ускорения Кориолиса
wBc — 2uevBr sin 90° = )'Л3 см/сек?.

Переносное ускорение ®ве определим по формулам (7.10),
(7.11), (7.12), т. е.

®ве = ®д + ®^д + ®и/д>

здесь ©4 = ®/, й)'вд направлено от В к А и по величине равно
= -АВ — 4,5 см[сек\

Направление указано на рисунке предположительно.
Итак,

©а = ®вг + ®1 + ®вд + ®й1 + ®вс-	(е)

Проектируя (е) на оси 5, т], получим

— W2 COS a = — Wi sin O' -|-

— W2 sin a = wBr 4- W^A 4- w2 COS a,
отсюда

©вд — wBc -J- sin a — w2 cos a = )'Л3 см'сек1-,
wBr — — w2 sin a — cos a — w^A — — 6,5 см/'сек1.
Зная w'$A, по формуле (7.12) найдем

£ =

рад/сек*.

Знак «плюс» для гд>дрл показывает, что направление этого век-
тора выбрано правильно. Кулиса III в данный момент имеет ус-
коренное вращение, так как имеет то же направление, что
и уйд. Точка В вдоль прорези движется замедленно, так как от-
носительное движение прямолинейное и wBr и vBr направлены в

противоположные стороны.
Задача 652 (рис. 402).
типа толкатель с роликом

Р

Рис. 402

В кулачковом механизме барабанного
движется поступательно параллельно
оси вращения барабана и благо-
даря винтовому пазу с шагом h
заставляет вращаться барабан.
Определить ускорения точек на по-
верхности барабана, если ско-
рость толкателя и = const и радиус
барабана 7?. Размерами ролика
пренебречь.

_	4л2»2/?

Ответ: w=—г»—.

Л2

Задача 653. Поршень горизонтальной паровой машины дви-
жется в диаметральной (продольной) плоскости судна, имея в
данный момент относительную скорость vr= 15 м/сек. Определить
величину ускорения Кориолиса поршня, если судно совершает
круговую циркуляцию за время Т = 3 мин.

Ответ: wc —	— 1,045 м/сек*

Задача 654. Судно, двигаясь с постоянной скоростью, испы-
тывает бортовую качку, имея в данный момент угловую скорость
о)е = 0,5 рад/сек. Определить в этот момент ускорение Кориолиса
наивысшей точки на окружности диска турбины радиусом 0,8 м,
если он делает 3000 об/мин вокруг горизонтальной оси, лежащей
в диаметральной (продольной) плоскости судна.

Ответ:	направлено по радиусу диска турбины к центру,

если вращение турбины и качка судна происходят в одну сторо-
ну, и направлено от центра при противоположных вращениях:
wc — 251 м/сек*.

Задача 655. Судно испытывает килевую качку согласно урав-
нению

л . nt
^~18 Sln ТО '

Определить наибольшее значение ускорения Кориолиса точек ро-
тора, совершающего 6000 об/мин, если его ось вращения гори-
зонтальна и лежит в диаметральной плоскости судна. Радиус
ротора равен 40 см.

Ответ: wcmax~^-ne м/сек*.

Задача 656 (рис. 403). Деталь кулисного механизма состоит
из кулисы, вращающейся вокруг оси О, и ползуна А, который
может двигаться в направляющих кулисы. Кулиса вращается
с постоянной угловой скоростью ы — 2 рад!сек. Движение ползуна
по кулисе соответствует закону
5 = 04=2 + 3/*

(t — в секундах; s — в сантиметрах).

Определить величину абсолютного ш

ускорения ползуна при /=1 сек.	Рис. 403

Ответ: &уа = 27,78 см/сек*.

Задача 657 (рис. 404). Крановая тележка А движется по стре-
ле крана равноускоренно из состояния покоя и, пройдя расстоя-
ние О А = 2 м, имеет скорость 2 м/сек относительно стрелы. Оп-

Рис. 404

ределить в этот момент величину абсолютного ускорения тележки,
если кран вращается равномерно, делая п = -^- об/мин.

Ответ: о)а = 4,12 м/сек*.

Задача 658. Решить задачу 657 при условии, что кран вра-
щается ускоренно, имея в данный момент угловое ускорение е=
— 4 рад/сек*. __________

Ответ: wa = К148 — 12,17 м/сек*.

Задача 659 (рис. 405). В поршневом двигателе с качающимся
цилиндром кривошип ОА делает 300 об/мин. Связав подвижную
систему координатных осей с цилиндром, определить величину
ускорения Кориолиса поршня в тот момент, когда кривошип и
цилиндр образуют с горизонталью углы в 30° и 15° соответствен-
но. Длина кривошипа ОА = 10 см.

Ответ: auc = ^^ = 51,l м/сек*.
Задача 660 (рис. 406). Квадратная рама со стороной а вра-
щается вокруг оси АВ с постоянной угловой скоростью . Вок-

руг оси ВС, совпадающей с диагональю рамы, вращается диск

В

Рис. 406

радиусом R = —— с постоянной угловой ско-
ростью 0)2 = 0), 1^2. Определить величину абсолют-
ного ускорения точки М диска, лежащей в дан-
ный момент в плоскости рамы.

„	/29	3

Ответ:

Задача 661 (рис. 407). В регуляторе числа
оборотов турбины грузы Ai и А2 при заданном
предельном числе оборотов ротора занимают по-
ложения, указанные на рисунке, а вал регулятора
вращается с угловой скоростью <». При уменьше-

нии нагрузки турбины в некоторый момент времени вал регуля-

тора приобретает угловое ускорение г, а грузы начинают расхо-
диться, вращаясь вокруг точек C*i и О2 с угловыми ускорениями

Рис. 407

Определить величины абсолютных ускорений точек Сг и С2 грузов
в этот момент, если 0lCl — 0>Ci = a, ОгО2 = 2Ь.

Ответ: wa = (г,а — e72byl.

Задача 662. Тело поднимается вертикально вверх с пункта,
находящегося на северной широте 60°, и имеет относительно
Земли постоянную скорость, равную 6000 км)час. Определить ве-
личину абсолютного ускорения тела на высоте 500 км по отно-
шению к осям, движущимся поступательно вместе с Землей отно-
сительно неподвижных звезд. Считать, что центр Земли движется
прямолинейно и равномерно, радиус Земли принять равным
6400 км.

Ответ: шя=1590 км/час^.

Задача 663 (рис. 408). Башенный кран вращается равномерно
с угловой скоростью а) = 2 рад^ек. По стреле перемещается
276
крановая тележка А с постоянной скоростью 3 м/сек. Груз В
движется вертикально вниз равноускоренно из состояния покоя;
пройдя расстояние 2 м, он имеет скорость, равную 2 м/сек.
Определить величину абсолютного ускорения груза В, если в рас-
сматриваемый момент О А = 2 м.

Ответ: wa=^\4.,№ м/сек?.

Задача 664. Башенный кран (рис. 408) вращается равномерно
с угловой скоростью (о = 2 рад/сек. Тележка А имеет в данный
момент скорость ^ = 3 м/сек и ускорение да1 = 4 м/сек* по отно-
шению к стреле ОС. Груз В опускается равномерно вертикально
вниз. Чему равна величина абсолют-

ного ускорения груза в тот момент,
когда расстояние О А = 3 м?

Ответ: wa— 14,42 м/сек?.

Задача 665 (рис. 409). Кран дви-
жется с ускорением Wj по прямо-
линейным рельсам и одновременно
вращается вокруг своей оси с по-
стоянной угловой скоростью си. Длина
свисающей части троса изменяется
w

по закону I »= /0---(/0 и 10-2 — по-

стоянные). Вылет крана О А равен В- Определить величину абсо-
лютного ускорения груза в момент, когда стрела ОА параллельна

рельсам.

Ответ: и>а=]А(и>1 — Rw4)4 -f - w$.

Задача 666. Плоскость хОу, в которой движется точка соглас-

но уравнениям

х = а cos kt,

y—b sin kt,

(a, b, k — постоянные), вращается вокруг осн Oz с постоянной
угловой скоростью (о. Определить величины абсолютных ускоре-
ний точки в моменты пересечения ею координатных осей Ох и Оу.

Ответ: в точках пересечения оси Ох

wa = a (k* -1- си4) ± 2kbw;

в точках пересечения оси Оу

(k?	(й4) ± 2fea<n

(знак «плюс» — при вращении плоскости вокруг оси Oz в поло-
жительном направлении).

Задача 667. Плоскость хОу, в которой движется точка соглас-
но уравнениям

х = г -|- г cos kt\ у = r sin kt
(г и k — постоянные), вращается равномерно вокруг оси Ог по
ходу часовой стрелки с угловой скоростью ш = /г. Определить аб-
солютное ускорение точки в любой момент t.

Ответ: wa = — k^rl,

где I — орт оси Ох.

Задача 668. Плоскость, в которой движется точка согласно
уравнениям

,	9

х = /; у = -Т

(х, у — в сантиметрах, t — в секундах), вращается вокруг ори Ог
против движения часовой стрелки с постоянной угловой скоростью
<о=1 рад/сек. Определить величину абсолютного ускорения этой
точки в тот момент, когда она находится на кратчайшем рассто-
янии от оси вращения.

/10	, 3

Ответ: wa = -~- см/сек‘.

Задача 669. Плоскость хОу, в которой движется точка сог-
ласно уравнениям

у = 4 —J

(х, у — в сантиметрах, t — в секундах), вращается с постоянной
угловой скоростью 2 рад/сек вокруг оси Ог. Найти величину
абсолютного ускорения точки, когда она находится на кратчай-
шем расстоянии от оси вращения.

Ответ: при вращении плоскости по движению часовой стрелки
wa=17,2 см/секя;

при вращении в противоположном направлении

wa — 6,325 см'сек?.

Задача 670. Используя условия задачи 637, найти абсолютное
ускорение точки, считая, что плоскость вращается по ходу часо-
вой стрелки. ________

Ответ: wa — 4|/ 13 см: сек?.

Задача 671. Движение центра тяжести снаряда задано урав-
нениями

х = vat cos а; 1
, . gt* f
y = Vat Sina —

(coa, g — постоянные).

Снаряд вращается вокруг оси, совпадающей с касательной к
траектории, с постоянной угловой скоростью <о. Определить в наи-
высшем положении снаряда величины абсолютных ускорений тех
точек на его поверхности, кориолисово ускорение которых макси-
мально, если диаметр снаряда равен 27?. Вращение Земли не

учитывать.

Ответ:

™а = ё У М

4а2/?2

COS2 а

<о4/?2
g* '

Задача 672 (рис. 410). По трубке, изогнутой в средней части
по полуокружности CD радиусом 7?, движется точка М с постоян-

ной относительной скоростью vr. Трубка вращается
в подшипниках А и В с постоянной угловой ско-
ростью, поворачиваясь на пол-оборота за время,
пока точка перемещается из С в D. Определить
величину абсолютного ускорения точки в зависи-
мости от угла ®.

»2 .----------

Ответ: wa —	4 -|- sin3 <р.

Задача 673. Движение поршня горизонтальной
паровой машины катера задано уравнением

х = а sin wt

Рис. 410

(ось х направлена к носу).

Определить абсолютное ускорение поршня в его среднем поло-
жении, если катер движется по окружности радиусом 7? с посто-

янной скоростью и.

Л	и2 , 2ати

Ответ: wa = -^-±—^-

(знак «плюс» — при совпадении направлений скоростей поршня и
катера).

Задача 674 (рис. 411). Диск вращается в своей плоскости
вокруг точки О с некоторой постоянной угловой скоростью, а
точка М равномерно движется по окружности диска, обходя его
два раза за время одного оборота. Зная, что абсолютное уско-

Рис. 411

рение точки 7И в момент, когда ср = 90°, равно У82 л^сек1, опре-
делить угловую скорость диска <о, если его радиус равен 1 м. Напра-
вления движения точки и вращения диска указаны на рисунке.

Ответ: w = I рад)сек.

Задача 675 (рис. 412). Диск радиусом г вращается вокруг
своего диаметра так, что его угловое ускорение е = ш2 (ш — угло-
вая скорость). По окружности диска движется точка М с пере-
менной относительной скоростью vr = ru. Определить те положе-
ния точки М, в которых она имеет абсолютные ускорения, лежа-
щие в плоскости диска. Каковы величины этих ускорений?

Ответ: при a = arctg2; wa — 2,28ruA.

Задача 676 (рис. 413). Шестерня /, вращаясь с постоянной
угловой скоростью а), приводит во вращение шестерню II. Шес-
терни имеют одинаковые радиусы R. Связав с шестерней / под-

Рис, 413

вижную систему отсчета, определить величины относительной и
переносной скоростей, а также величины переносного, относитель-
ного и кориолисова ускорений точки М колеса II в положении,
указанном на рисунке.

Ответ: Щ = 4/?ш; пр = 3/?о); юе = 3/?<о3; шг = 6/?о>2; wc — 8/?аЛ
Задача 677 (рис. 414). В шатунно-кривошипном механизме
кривошип ОА вращается с постоянной угловой скоростью а>.
Связав с кривошипом подвижную систему отсчета, определить
величины относительного, переносного и кориолисова ускорений
ползуна в момент, когда ОВ — 2а, если 0А = АВ = 1.

Указание. В относительном движении скорость точки В пер-
пендикулярна к АВ.

Ответ: wr=M^‘, we=2a^\ wc = ihA.

Задача 678. Используя условия задачи 644, определить
величины переносного, относительного, кориолисова и абсо-
лютного ускорений точек Мх и Л43.

\ Ответ: wF1 = wri = Wj/?; wCl =
=2o)o/?; ayai = 2w^; .ше2 =
wr, =<7?; wC2 = was = 2K52?o>o-

Задача 679 (рис. 415). Шток AD,
двигаясь в направляющих, приводит в
, движение стержень АС, который все
Л ....	" время проходит через неподвижную точ-

рис. 415	ку В. В момент, когда _/.СЛ£> = 30о,

шток имеет скорость 10 см)сек и уско-
рение 2 ]'Л3 см/сек?. Определить в этот момент угловую скорость
и угловое ускорение стержня АС, а также относительное уско-
рение и ускорение Кориолиса точки В, предполагая, что подвиж-
ная система отсчета х'у связана со стержнем. Расстояние от
точки В до направляющей штока равно 5 см.
Указание. Учесть, что абсолютные скорость и ускорение точки
В равны нулю. Для vBe, wBe использовать формулы плоскопарал-
лельного движения.

Ответ: <»=у рад/сек: е = -ЦрЕ- рад/сек?-,

W3r = -Y см/сек2; wBc = 5 Уз см/сек?.

Задача 680 (рис. 416). В кулисном механизме поперечно-стро-
гального станка кривошип вращается с постоянной угловой ско-
ростью %. Определить угловую скорость и угловое ускорение

стержня OyD, а также ускорения точек стержня ВС в момент,
когда кривошип занимает горизонтальное правое положение. При-
нять:	_	_

ОЛ = г; ОО1 = г]ЛЗ; й = 2гУз.

Указание. Связать подвижную систему отсчета со стержнем Ор.

<о0	<•>,-J/.3	2 2

Ответ: ш = --; г — —4—; w=-Tr^.
4	о	о

Задача 681 (рис. 417). Кривошип ОА кулисного механизма
поперечно-строгального станка вращается с постоянной угловой
скоростью о)9. В момент, когда кривошип занимает правое гори-
зонтальное положение, определить скорость ползуна С и ускоре-
ние Кориолиса точки А, если подвижная система отсчета связана
с кулисой ВС. Принять ОА — г; OOi—гУЗ; Н~2гУз. Точки
О и 01 находятся на одной вертикали.

Л	2]/3	5]/3 г

Ответ: vc = ~--<oor; wAC = и>у.

Задача 682 (рис. 418). В механизме автопилота руль АОВ
автоматически перекладывается в нужном направлении при помощи
железных тяг AtA и BtB, втягиваемых электромагнитами и име-
ющих на концах А и В ползуны, которые могут скользить в про-
резях, сделанных в руле. Определить угловую скорость и угло-

при его отклонении от среднего положения

вое ускорение руля

Рис. 418

на угол а, если в этот момент
магнит втягивает тягу AtA со
скоростью v и ускорением w.
Расстояние между осями тяг
равно 2а.

Ответ: ш = — cos2a;
а

е = — cos2a-----s- cosd a sin a.

a	a*

Задача 683 (рис. 419). В сум-
мирующем механизме оба криво-

шипа О Ai и 0А3 имеют одинаковые длины, равные полрвине рас-
стояния между направляющими М иУ. В некоторый момент, когда

углы 04 — 02 = ^ = 30°, оба кривошипа имеют одинаковые направ-

ления вращения, равные угловые скорости % и угловые ускоре-

ния, равные нулю. Определить в этот момент угловую скорость
и угловое ускорение звена ЕК.

Указание. При использовании теоремы Кориолиса для точки
К переносное ускорение определять по формулам плоского дви-
жения

1,3	. ,	3/3<oJ

Ответ: <о = -^- <о,е = г .,г> 
(вращение замедленное).
Задача 684. Круговой конус с прямым углом при вершине и
радиусом основания, равным 7?, катится без скольжения по горизон-
тальной плоскости так, что скорость v центра основания постоянна
по величине. Вдоль прямолинейного канала, проведенного из вер-
шины конуса в центр его основания, равномерно движется точка
со скоростью, величина которой также равна v. Определить величину
абсолютного ускорения этой точ-
ки в момент, когда она попадает
в центр основания.

„	v!l/6	\	,

Ответ: ша——.	/—	7

Задача 685 (рис. 420). Кру- /	/

говой конус с неподвижной вер- / о	/

шиной О и радиусом основания /	/

8 см катится без скольжения по ....................—'

плоскости. Центр основания дви-	Рис. 420

жется со скоростью It см/сек.

Около центра А вдоль диаметра основания ВС совершает гармониче-
ские колебания точка М по закону s = AM — 2cosсм. Опре-
делить величину абсолютного ускорения точки М и величину абсо-
лютного углового ускорения конуса в момент / = 1 сек, если
угол при вершине конуса равен — .

Ответ: еа — ~ рад/сек*-, =	18см/сек*.

§ 3. Сложение вращений

Если тело вращается вокруг некоторой оси с угловой ско-
ростью «Ц а эта ось в свою очередь вращается вокруг другой
(неподвижной) оси с угловой скоростью ше, то абсолютную угло-
вую скорость определяют по формуле

= +

(9-4)

Если имеется плоский эпициклический механизм, состоящий
из двух колес и водила, то между абсолютными угловыми ско-
ростями колес и о>2 и угловой скоростью водила и>0 существует
соотношение (формула Виллиса)

<i>3	<•>,,	’

(9.5)

где rt и г5 — радиусы колес;
и — числа зубцов.

Знак «плюс» относится к внутреннему зацеплению, знак «ми-
нус» — к внешнему, о>л, о>2, о>0 — алгебраические значения угловых
скоростей. Эти величины следует брать с одинаковыми знаками,
же направлении, что и

Рис. 421

если соответствующие вращения происходят в одном направлении,
и с разными — при противоположных направлениях вращения.

В эпициклических механизмах, состоящих из трех и более
колес, формулу (9.5) следует применять отдельно к каждой паре
зацепленных между собой колес.

Задача 686 (рис. 421). В дифференциальном эпициклическом
механизме колесо VI неподвижно, водило О А имеет угловую ско-
рость о)0, а колесо IV — угловую скорость и>4 и вращается в том
водило. Определить угловую скорость
колеса V, если гх=10 см, г* = 4 см,
г8 = 4 см, г4 — 8 см.

Решение. Используем формулу
(9.5) для пары колес (/, VI). Имеем
«>1—^0 _ ге	..

“в —“о Л	V)

(в формуле взят знак «плюс», так как
зацепление внутреннее). По условию,
о>в — 0, а из рисунка ясно, что

г8 = га 2гц — 24 см.

Из (/) получим при этих данных

7
т| = —уШ0.

Знак «минус» показывает, что колесо I вращается в сторону, про-
тивоположную направлению вращения водила.

Применим (9.5) к паре (I, II):

— мо 211

(00

Подставляя числа, получим

= 7%.

Для системы колес III, IV, V роль водила играет стержень
OiB, вращающийся с угловой скоростью о>2.

Применим формулу (9.5) к паре (III, IV), имеем

W4~	’

здесь u>a = 7«>0; задано. Получим

«з = 21ш(, — 2w4.

Наконец используем (9.5) для пары колес (III, И):

юа —	_ Г-,

м5 — “з Га ‘
Из рисунка следует, что rs — 2r3 -f-ri — 16 см. Подставляя
числа, получим

21<0л---СО.

2

Если	2к»,,, то колесо V имеет то же направление вращения,

что колесо IV и водило О А.

Задача 687. В дифференциальной передаче, изображенной на
рис. 422, водило и колесо I с внутренним зацеплением вращаются

Рис. 423

Рис. 422

в одну сторону и совершают соответственно п0 и п, об/мин. Опре-
делить, сколько оборотов в минуту делает колесо III, если =
— 5 см, г3 — 10 см.

Ответ: = Зп0 — 2п,

(при п3)>0 вращение колеса III происходит в ту же сторону,
что и колеса /).

Задача 688. В дифференциальной передаче, изображенной на
рис. 423, колесо I неподвижно, радиусы колес равны соответст-
венно: гх — 5 см, г.2=15 см, г3— 10 см, гд — 5 см. Водило совер-
шает п0 об/мин. Сколько оборотов в ми-
нуту делают колеса IV и V/?

.,2	8

Ответ: n[v =	nv[ = пл.

Задача 689 (рис. 424). В дифференциаль-
ном механизме водило делает 160 об/мин.
Сколько оборотов в минуту (и в какую сто-
рону) должно совершать колесо /, чтобы вал
колеса IV был бы неподвижным? Радиусы
колес: г1=10 см, л, —15 см; г3 — 8 см.

Ответ: п,~7б об/мин (при этом ко-
лесо I должно вращаться в ту же сто-
рону, что и водило).

Задача 690. В зубчатой передаче вращений, представленной
на рис. 425, водило имеет угловую скорость wL,, а колесо // обка-
тывается по неподвижному колесу V. Найти угловые скорости зуб-
чатых колес I и IV. Радиусы колес соответственно равны гь га, г8-
Ответ: ш/=2шв(1+^);

Задача 691 (рис. 426). Планетарный редуктор авиационного
двигателя состоит из двух подвижных колес I и II с числами
зубцов ?! и z2 и одного неподвижного колеса III с числом зубцов
z3. Определить отношение числа

Рис. 425

оборотов пв винта к числу обо-
ротов п; шестерни I.

Рис. 426

Задача 692. Период обращения искусственного спутника вокруг
Земли в плоскости меридиана—1,5 ч. Найти, на сколько про-
центов относительная угловая скорость спутника больше его аб-
солютной угловой скорости. Подвижную систему координат свя-
зать с Землей, абсолютную — с «неподвижными» звездами.

Ответ: приблизительно на О,2°/о-

Задача 693. Искусственный спутник, находящийся от Земли
на большом расстоянии, вращается вокруг нее по круговой ор-
бите, плоскость которой наклонена к плоскости экватора под
углом а = 45°. Обращаясь в ту же сторону, что и Земля, спут-
ник делает один оборот за 24 ч. Найти отношение угловой ско-
рости спутника по отношению к системе координат, вращаю-
щейся вместе с Землей, к угловой скорости Земли

Ответ: — = 0,766.

“о

Задача 694. Искусственный спутник, вращающийся вокруг
Земли по круговой орбите, находится в некоторый момент на пря-
мой, соединяющей центры Земли и Луны, и имеет период обра-
щения вокруг Земли, равный Tt. Зная, что период обращения
Луны вокруг Земли равен Та, определить, через какое время Т
спутник снова окажется на прямой Земля — Луна, если плоскость
его «орбиты совпадает с плоскостью лунной орбиты. Периоды 7\
и 'Л вычислены по отношению к системе, движущейся вместе
с центром Земли поступательно относительно звезд.
т т

Ответ.: Т =	— при противоположных направлениях дви-

жения спутника и Луны относительно Земли; Т =	— при

I 11—*а|
одинаковых направлениях их движения.

Задача 695. Период вращения экваториальных солнечных пятен
(синодический), наблюдаемый с Земли, равен 26,9 суток. Опреде-
лить истинный (сидерический) период вращения этих пятен, зная,
что Солнце вращается в ту же сторону, в которую обращается
вокруг него Земля. Год принять равным 365 суткам. Считать
земную ось перпендикулярной к плоскости эклиптики.

Ответ: 25,0 суток.

Задача 696. Искусственный спутник движется вокруг Земли
со скоростью va (по отношению к системе, поступательно переме-
щающейся вместе с центром Земли относительно «неподвижных»
звезд) в направлении вращения земли по круговой орбите, пло-
скость которой составляет угол р с плоскостью экватора. Опре-
делить величину угловой скорости спутника относительно Земли
(о>г), а также величину его наименьшей относительной линейной
скорости vr, если радиус Земли R, высота орбиты Н.

Указание. Определив вектор можно найти Ъг по формуле
vr — Mrh, где h — расстояние спутника от линии действия век-
тора

„	Г . / v„ V	2<о va cos р

Ответ: <»r=]/ “о+---------------R+JT’

где % — угловая скорость Земли.

vr min =va — (R H) % cos p и имеет место в точках, наиболее
удаленных от плоскости экватора.

Задача 697. Сохранив условия предыдущей задачи и имея
в виду, что va = j/~(вторая космическая скорость), опре-
делить, на какой высоте И должен двигаться спутник, чтобы его
скорость относительно Земли (0Г) была все время перпендику-
лярна к плоскости его орбиты. Найти Н при £3 = 60°.

Указание. Необходимо, чтобы вектор шг лежал в плоскости
орбиты.

77	3 /---j?--

Ответ: = у	

При этом скорость vr обращается в нуль в точках, наиболее уда-
ленных от плоскости экватора.

Если р = 60°, то Н = 9,517?.

Задача 698 (рис. 427). Конический каток I с углом при вер-
шине а = 60° катится без скольжения по конической поверхно-
сти II, вращающейся вокруг неподвижной оси в направлении,
указанном стрелкой, по закону ср = 2/2 (/ — в секундах, ср — в
радианах). Определить в момент t=l сек величину абсолютной
скорости той точки В катка /, которая в этот момент наиболее
удалена от поверхности //, если скорость vr центра А катка по
отношению к вращающейся поверхности II имеет указанное на
рисунке направление и по величине равна 2t см/сек, ОА = 16 см.

Ответ: vna = fX) см)сек.

Задача 699 (рис. 428). Коническая шестерня /, высота началь-
ного конуса которой ОА=8 см, а угол при вершине конуса

а = 60°, находится в зацеплении с конической шестерней II, вра-
щающейся вокруг неподвижной оси в направлении, указанном
t2

стрелкой, по закону (t— в секундах, <р — в радианах). Оп-
ределить в момент t= 1 сек величину абсолютного ускорения точки
В шестерни /, наиболее удаленной от шестерни II, если скорость
V. центра А шестерни I по отношению к шестерне II имеет ука-
занное на рисунке направление и по величине равна 21 см/сек.

Ответ: wBa = V8 см/сек*.

Задача 700 (рис. 429). Круговой конус, вершина которого А
все время находится в центре колеса I радиусом г, катится без

скольжения по поверхности этого колеса. Образующая конуса
равна г, угол при его вершине а = у. Колесо /, приводимое в
движение кривошипом ОА, вращающимся вокруг неподвижной
оси О с угловой скоростью о>0, катится без скольжения по непо-
движному колесу II с тем же радиусом. Определить абсолютное
ускорение точки В конуса в момент, когда точки О, А и С нахо-
дятся на одной прямой (ОС^>ОД), если центр D основания ко-
нуса движется по отношению к колесу / равномерно со скоростью
— Направления вращений указаны па рисунке стрелками.

Ответ:

wBa — 2rws0V5.

10 Н. А. Бражниченко и др.
ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ

ДИНАМИКА

В «Динамике» приняты следующие основные обозначения-

А — работа	N_— мощность;
с — коэффициент жесткости	Q—количество движения;
(квазиупругий коэффи-	Qj — обобщенная сила;
циент);	qj—обобщенная координата;
Jx— момент инерции системы	Rie^ — главный вектор внешних
материальных точек от-	сил;
носительно оси Ох~,	—
	S — импульс силы;
] — сила инерции;	Т — кинетическая энергия
]с —сила инерции Кориолиса;	материальной точки; си-
— переносная сила инерции;	стемы материальных то-
k—круговая частота колеба-	чек;
_	ния;	й — относительная скорость
I О, Lx— момент количества дви-	присоединяющихся или
жения системы матери-	отделяющихся частиц;
альных точек относитель-	xCt Ус, гс— координаты центра инер-
но центра О, оси Ох;	ции;
Мг— гироскопический момент;	Sy, Sep — возможные перемещения;
A1<J>	— главный момент внешних	х—коэффициент восстанов-
сил относительно центра	ления при ударе;
О, оси Ох;	П — потенциальная энергия;
т, А1 — масса точки, системы то-	т — период колебания;
чек;	Ф — реактивная сила.
ГЛАВА X

ОСНОВНЫЕ ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ ТОЧКИ

§ 1. Первая задача динамики точки

К первой задаче динамики точки относятся задачи, в которых
по заданному движению точки требуется определить равнодейст-
вующую всех сил, приложенных к точке (в том числе и реакций
связей, если точка не свободна). Решение этой задачи сводится
к определению ускорения и, следовательно, к дифференцированию
по времени заданных уравнений движения точки.

Если движение точки задано уравнением в векторной форме
то

Тогда по второму закону Ньютона

е - <Ff
г =tnw = m -^77-.
at2

Если движение точки задано уравнениями в координатной
форме

x=x(t)\ y = y(f)\ z — z(t),

то предварительно находят проекции равнодействующей F всех
сил, приложенных к точке, по формулам

Fx — mwx — mx,
Fv — mwv — my,
Fz = mwz — niz, .

(Ю.1)

а затем определяют величину и направление самой равнодействую-
щей по формулам

F^VF^ + F^ + Fi,	(10.2)

cosa = ^-; cosj3 = -^’’-; С08?=~-.	(10.3)

Если движение точки задано в естественной форме, то нахо-
ds	р

дят и = и далее проекции F на естественные оси координат:

r	dv

Fx = mwx = m ;

Г	1

Ffr = 0.	)

(Ю.4)
Решение первой задачи можно осуществить также, используя
метод кинетостатики. Для этого вводят силу инерции / = — mw,
которую условно прикладывают к движущейся точке, после чего
считают, что геометрическая сумма всех сил: задаваемых, реак-
ций связей и силы инерции — равна нулю:

F-}-N-\-] = 0,	(10.5)

где F — равнодействующая всех задаваемых сил, приложенных
_ к точке;

N — равнодействующая реакций связей, наложенных на точку.

Задача 701. Материальная точка массой т = -| кг совершает
движение согласно уравнениям

х = 0,3 cos 3/; у —0,1 sin 3?

(х, у — в метрах, t — в секундах).

Определить силу F, под действием которой происходит дви-
жение точки, и показать, что она направлена в сторону, прямо
противоположную радиусу-вектору г точки.

Решение. Найдем сначала проекции Fx, Fy силы F на коор-
динатные оси Ох, Оу.'Согласно (10.1), имеем

Fx = nix = — 0,9 cos 3/ = —Зх;

Fy — ту — — 0,3 sin 3/= —Зу,

следовательно, по (10.2) и (10.3) найдем

F = Kfi + FJ = КО,81 cos3 3/4-0,09 sin33/ = З/хЯ7? = Зг;

Рх	х	о	Fv	у

cosa=-*- =------•: cos 3 = -д- =— —,

F	г	’	1	/•	г	’

а так как

F = ZFx + JFy,
то

F — — 3xi — Зу] = ~3 (xi 4-уГ) = — Зг.

Отсюда видно, что сила F и радиус-вектор г направлены в про-
тивоположные стороны.

Задача 702. Движение материальной точки массой т с неко-
торого момента происходит по окружности радиусом г согласно
уравнению

s~a-\-2r In/,

где а — постоянное число.

Определить величину равнодействующей F сил, приложенных
к точке, как функцию времени t.
Решение. Так как закон движения точки задан в естествен-
ной форме, то следует воспользоваться уравнениями (10.4). Имеем
г т dt) .. '2mr „ v- ms- 4тг г Л

=	—	—-----Fn — m — =-----------Fb = 0,

at	t- ' n r r F '	0

следовательно,

F = VFl + F* + Ft =

Задача 703 (рис. 430). Самолет в период взлета (набора вы-
соты) движется поступательно и прямолинейно с постоянным

ускорением w, образующим с гори-
зонтом угол р. Определить величину
этого ускорения, если известно, что
нить ОМ математического маятника,
находящегося на самолете, отклоне-
на от вертикали на угол а. Каково
при этом натяжение нити? Масса
маятника равна т.

Решение.

I способ. На материальную
точку М действуют сила тяжести Р и
реакция нити Т. По закону Ньютона
mw ~ Р -\-Т.

получим

Проектируя это равенство на оси Ох и Оу,

— mw sin {3 = Р — Т cos а;
mw cos р — Т sin а,

(а)

откуда найдем, учитывая, что P = mg,

g sin а _	_______ mg cos p

cos (a -J- P) ’ cos (a + ?) '

II способ. Воспользуемся методом кинетостатики. Условно
прикладывая к точке М силу инерции j = —mw, по (10.5) имеем

Проектируя это векторное равенство на координатные оси, полу-
чим

Р -|- j sin j3 — Т cos a == 0;
— / cos p sin a == 0.

Учитывая, что по величине j = mw, придем к уравнениям (а).

Задача 704. В центробежном тахометре шарик массой m поме-
щен на конце стержня АВ, шарнирно укрепленного на вращаю-
щейся вертикальной оси BE (рис. 431, а). Шарик удерживается
упругой нитью ACD, конец которой' D укреплен в трубке CD.
Естественная (ненапряженная) длина нити равна длине трубки
CD, коэффициент упругости нити (сила, потребная для растяже-

ния нити на единицу длины) равен с. Принимая АВ = СВ = I
и пренебрегая массой стержня, определить зависимость угловой'
скорости оси тахометра от угла отклонения а, а также усилие
в стержне АВ.

Решение. На точку А действуют силы: Р — вес шарика,
F — упругая сила нити, S — реакция стержня (рис. 431, б).

Рассмотрим установившееся вращение тахометра, т. е. пред-
положим, что и> и а — постоянные. Найдем ускорение точки А.
Поскольку е — 0, то

=	®л = ©д.

Таким образом, ускорение точки А направлено перпендикулярно
к оси вращения и равно по величине

wA — wil sin а.

Введем силу инерции j=~mwA. Эта сила направлена противо-
положно вуд, т. е. является центробежной силой. Величина этой силы

/ = тшА = пи»21 sin а.

Упругая сила направлена по нити и по величине равна

/• — с- СА = 2cl sin у.
В соответствии с методом кинетостатики имеем

Г+₽ + $-Н = 0.	(Ь)

Проведем через точку А оси Ах и Ау и спроектируем на эти
оси векторное равенство (Ь), получим

I -|- S sin а — F cos у = 0; S cos а 4- A sin — Р~0.

Подставляя значения j и F, имеем

moFl sin a-j-5 sin a — 2cl sin-|-cos-|- = 0;

S cosa2с/ sin2 ~ — P — 0.

Если sin a 0, то из первого уравнения найдем

S = /(c— mu>2).	(с)

Из второго имеем

S cos a cl (1 — cos a) — P = 0,
или, используя (с),

— mu>2/ cos a 4- cl — mg,
откуда 

f ml cos a

Такова искомая зависимость угловой скорости от угла а. Так

как cosa<4, то установившееся вращение

''у ml

Если же ш <4 у/~то a = 0.

Задача 705. Судно движется равноуско-
ренно по спусковой дорожке стапеля, имею-
щей наклон 1 : 15, и проходит ее за 31 сек.
Чему равен коэффициент трения, если длина
спусковой дорожки 90 м?

Ответ: f —

Задача 706 (рис. 432). Груз М массой т поднимается при

помощи троса, наматывающегося на ворот радиусом R, который
вращается с угловым ускорением е. Определить натяжение троса.

Ответ: Т = m(g-]-&R).

Задача 707.* Используя условия задачи 706, определить до-
пустимое число оборотов в минуту ворота, которое он может иметь
в конце первой минуты, если трос выдерживает усилие Т; а ворот

вращается равноускоренно из состояния покоя.

1800 /Г— mg\

Ответ: п=-п-\—~—\об мин.
Задача 708. Мостовой кран движется равноускоренно и дости-
гает скорости 2 м'сек через 1,5 сек после начала движения. Опре-
делить в этот момент угол а отклонения троса, несущего груз,
от вертикали, пренебрегая весом троса.

Ответ: а = 7°45'.

Задача 709. Для определения ускорения летательного аппа-

рата, движущегося равноускоренно вертикально вверх, произво-
дится взвешивание груза на пружинных весах. Показание весов
на поверхности Земли Р, а в момент взвешивания в аппарате
Определить ускорение аппарата, если на данной высоте ускоре-
ние, обусловленное силой тяжести, равно gt, а на поверхности
Земли g.

Ответ: w = P^g— g,.

Задача 710. Груз поднимается вертикально вверх равноуско-
ренно при помощи 'подъемного крана так, что из состояния покоя
за первые t сек он проходит s м. Определить предельную массу
Iруза, если разрывное усилие каната Т.

Ответ: т =
2s &

Задача 711. Пароход, взяв на буксир баржу водоизмещением
1000 т, развивает ход равноускоренно и через 80 сек имеет ско-
рость 16 узлов. Определить натяжение буксирного троса в тот момент,
когда сила сопротивления воды движению равна 1200 кн (узел —
единица скорости, равная 1 миле в час, т. е. 0,5144 м'сек).

Ответ: Т= 1303 кн.

Задача 712. Груз массой 2 т поднимается равноускоренно
вертикально вверх посредством троса. Определить натяжение
. троса, если известно, что за первые 4 сек груз подняли на 8 м.

Ответ: Т — 21,6 кн.

Задача 713. Ленточный подъемник поднимает руду при угле

наклона ленты к горизонту, равном а. Каков должен быть коэф-

фициент трения, чтобы руда не соскаль-
зывала с ленты, когда она движется
с ускорением да?

Ответ: f "> ———1— tg а.
1 geos а 1 ь

Задача 714 (рис. 433). Груз М мас-
сой т поднимается при помощи лебедки
по наклонной плоскости, образующей
с горизонтом угол а. Определить натя-
жение троса, если барабан лебедки ра-
диусом г вращается по закону ^ = -~аР

(I — в секундах, <р — в радианах), а коэффициент трения груза
о плоскость равен f.

Ответ: Т = mg sin a —(—/cos а-|- —).
\	SI
Задача 715. Аэростат массой т (с балластом) опускается вер-
тикально с постоянным ускорением w. Определить массу М бал-
ласта, который следует сбросить за борт, чтобы аэростат получил
такое же по величине ускорение, но направленное вверх. Сопро-
тивлением пренебречь.

Ответ: М =-2”га) .

g-)-w

Задача 716. Судно водоизмещением 1800 т движется прямым
курсом с ускорением = м/сек*, имея в данный момент ско-
рость 20 узлов. Сопротивление движению корабля пропорцио-
нально квадрату скорости и при скорости в 1 м/сек равно 4,9 кн.
Определить упорное давление гребных винтов в рассматриваемый
момент времени (узел — единица скорости, равная 1 миле в час,
т. е. 0,5144 м/сек).

Ответ: F = 3460 кн.

Задача 717 (рис. 434). На шероховатой грани АВ треуголь-
ной призмы АВС находится тело М массой т. Призме сообщается -

Рис. 434

постоянное ускорение w, направленное горизонтально. Определить
величину наибольшего ускорения w, при котором тело будет на-
ходиться в покое по отношению к призме, и величину давления
тела на призму при этом ускорении, если коэффициент трения
равен /, причем /<^ctga.

Ответ: w =	N =-----L.

COS а—/sin а ’	COS а—/ Sin ct

Задача 718. На рис. 435 приведена упрощенная схема акселе-
рометра— прибора, предназначенного для измерения ускорений.
Определить вертикальное ускорение погружающегося батискафа,
если прибор показывает отклонение стрелки от горизонта на
угол ®. Пружина имеет жесткость с, расстояние от оси стрелки
до груза массой т равно I. Массой стрелки пренебречь. Угол ®
считать малым.

Ответ: w = ~.

Задача 719 (рис. 436). Прибор для определения ускорений
(акселерометр) состоит из инертной массы т(1), прикрепленной
к двум одинаковым пружинам жесткостью с каждая. К потенцио-
w

Рис. 436

метру 11, полная длина которого!, подведено постоянное напря-
жение С/о. Определить величину ускорения прибора w по снятому
напряжению U между движком
потенциометра и его средней точ-
кой. Прибор движется поступа-
тельно и прямолинейно. Демпфер
III служит для гашения колебаний.

„	2ULc

Ответ: w =	.

Uam

Задача 720. Движение мате-
риальной точки массой т по пря-

мой линии, принятой за ось Ох, задано уравнением

x==aln(l /),
где а и о'о — постоянные.

Определить силу F, действующую на точку, как функцию
времени и как функцию скорости.

Ответ-. Р = ~ P = -n'fl.

Задача 721. Под действием некоторой силы величина скорости
точки, масса которой равна т, меняется по закону v — aln~-
{а, b — постоянные). Найти силу как функцию скорости, считая
движение точки происходящим по оси Ох.

Ответ: Р = — ~£~еа I.

Задача 722. При проникновении снаряда в броню зависимость
пройденного расстояния от скорости выражается формулой Дидиона

5 з 111

где — начальная скорость;

v — скорость по прохождении пути s;

г — радиус снаряда;

р — средняя плотность снаряда;

а, ,8 — коэффициенты, зависящие от материала брони;

с — числовой коэффициент.

Найти зависимость величины силы сопротивления от скорости
снаряда, если его масса равна т.

Ответ: F = (а ₽о2).

Задача 723. Движение материальной точки массой т задано
уравнениями

x = acos(o/; z/ = asinw/; z~bt.

Определить силу Р, действующую на точку.
Ответ: F = (xi -ф у]).
Задача 724. Движение материальной точки массой т проис-
ходит по окружности радиусом г согласно уравнению s = re*‘.
Определить величину равнодействующей сил, приложенных к точке,
как функцию времени. _______

Ответ: F — Атгё'-1 V1	.

Задача 725. Искусственный спутник выведен со скоростью на
круговую орбиту вокруг Земли радиусом г = R Н, где R — радиус
Земли, Н — расстояние от спутника до поверхности Земли. Считая
силу притяжения спутника к Земле обратно пропорциональной
квадрату расстояния от него до центра Земли, определить высоту Н.

Ответ: Н = g/?~pg R.

^0

Задача 726. Определить наименьший радиус мертвой петли,
совершаемой самолетом, если скорость самолета v ~ const, а допу-

стимая для организма нагрузка равна учетверенному весу летчика.

Ответ: P = jj^-

Задача 727. Определить радиус виража самолета в горизон-
тальной плоскости, если плоскости крыльев наклонены к гори-

зонту под углом а, а величина скорости самолета
постоянна и равна и.

Указание. Подъемная сила направлена перпенди-
кулярно к плоскости крыльев.

Ответ: R = —r—.

gtga

Задача 728 (рис. 437). Шарик М массой т скреп-
лен шарнирно с двумя одинаковыми невесомыми
стержнями МА и МВ длиной I каждый. Система вра-
щается с постоянной угловой скоростью вокруг
вертикальной оси АВ. Определить усилия в стер-
жнях, если расстояние АВ равно 2а.

Ответ: Тдм = ~l- (^а + g); Твм = g (<Лг — g)

Рис. 437

стержень АМ растянут, стержень ВМ растянут при и>>1/ —]•

Задача 729. Подъемный кран, подняв груз так, что длина
свисающего троса равна 3 м, разворачивается вокруг вертикаль-
ной оси. С какой угловой скоростью должен
J вращаться кран, чтобы отклонение груза от
вертикального положения троса не превосхо-
/|5	дило 1 м, если расстояние точки подвеса троса

/	“	от оси равно 4 м?

qV.----—Ответ:	0,833 рад сек.

Рис. 433	Задача 730 (рис. 438). Материальная точка М

массой т движется равномерно в сторону воз-
растания х со скоростью vu по шероховатой кривой, заданной
уравнением у=у(х) и расположенной в вертикальной плоскости,
На точку действует сила F, направленная все время по касатель-
ной к кривой в сторону движения точки. Определить как функции
от х нормальное давление на кривую и величину силы F, если
коэффициент трения точки о кривую равен f.



mv%y"

Ответ: N =

mgy’

mg
(1+У2)

Задача 731. В условиях предыдущей задачи материальная
точка М массой т=1 кг движется равномерно со скоростью
и0=1 м1сек по шероховатой кривой y = ~j х*. Определить нор-
мальную реакцию N кривой и величину силы F в тот момент,
когда х=1, если коэффициент трения точки о кривую f = 0,5,
а ось Оу направлена вертикально вверх.

Ответ: М = 7,29 н; F— 10,58 н.

Задача 732 (рис. 439). Груз А массой т поднимается по глад-

кому вертикальному стержню при помощи троса, перекинутого

Рис. 439

через малый идеальный блок В, от-
стоящий от стержня на расстоянии I.
Определить натяжение Т нити в зави-
симости от расстояния х, если трос на-

матывается с линейной скоростью на равномерно вращаю-
щийся барабан.

Ответ: Т

1 gxz

х \

Задача 733 (рис. 440). Груз А массой т перемещается по пря-
молинейной направляющей при помощи троса, наматываемого
с постоянной угловой скоростью и на ворот радиусом г. Опре-
делить натяжение троса в зависимости от расстояния ОЛ=х.

Трением пренебречь.

гт1	/72 (О

Ответ: 1 =--------

§ 2.	Вторая задача динамики точки

Ко второй (или обратной) задаче динамики точки относятся
те задачи, в которых определяется движение точки по заданным
силам. Силы, действующие на точку, могут быть как постоян-
ними, так и заданными функциями времени, координат и скоро-
сти точки, т. е.

Fx = Px{t, х,	у,	z,	х,	z);

Fy = Fy(t, х,	у,	z,	х,	г);

Fz = Fz V, х,	у,	z,	х,	у,	г).

Решение второй задачи сводится к интегрированию системы
дифференциальных уравнений движения точки в координатной
форме:

тх = Fxt
ту = Fу,
mz — F3

(10.6)

или в естественной форме:

(Ю.7)

0 = ^.

В этих уравнениях под F понимают равнодействующую всех
сил, действующих на точку, в том числе и реакций связей, если
точка не свободна. При интегрировании системы уравнений (10.6)
в общем случае появляются шесть произвольных постоянных,
которые определяют по начальным условиям. Под начальными
условиями движения точки понимают значения координат и про-
екций скорости точки в начальный момент движения, т. е. при
Z = 0:

х — х8;
У=Уо,
г —z0;

^ = Л’О;

Vy = Л;

Если движение точки происходит в плоскости, то число урав-
нений (10.6) сокращается до двух, а число начальных условий —
до четырех. При движении точки по прямой будем иметь одно
дифференциальное уравнение и два начальных условия.

При решении задач второго типа полезно придерживаться
следующей последовательности:

1.	Составить дифференциальные уравнения движения. Для
этого нужно:

а)	выбрать координатные оси, поместив их начало (в боль-
шинстве случаев) в начальном положении точки; если движение
точки является прямолинейным, то одну из координатных осей
следует проводить вдоль линии движения точки;
б)	изобразить движущуюся точку в произвольный текущий
момент t и показать на рисунке все действующие на нее силы,
в том числе и реакции связей; при наличии сил, зависящих от
скорости, вектор скорости направить предположительно так, чтобы
все его проекции на выбранные оси были положительными;

в)	найти сумму проекций всех сил на выбранные оси и под-
ставить эту сумму в правые части уравнений (10.6) или (10.7).

2.	Проинтегрировать полученные дифференциальные уравне-
ния. Интегрирование производят соответствующими методами,
зависящими от вида полученных уравнений.

3.	Установить начальные условия движения материальной точки
и по ним определить произвольные постоянные интегрирования.

4.	Из полученных в результате интегрирования уравнений

определить искомые величины.

При интегрировании дифференциальных уравнений иногда
целесообразно определять значения произвольных постоянных по
мере их появления. В некоторых случаях удобно при интегри-
ровании дифференциальных уравнений пользоваться определенными

интегралами.

Задача 734 (рис. 441). Телу М массой т, принимаемому за

материальную точку и находящемуся на гладкой наклонной пло-

скости, образующей с горизон-
том угол а, сообщена начальная
скорость и0, направленная под
углом р к линии наибольшего
уклона. Определить уравнения
движения тела по наклонной
плоскости.

Решение. Так как точка со-
вершает движение по наклонной
плоскости, то для решения зада-
чи достаточно выбрать систему
из двух координатных осей, ле-
жащих в этой плоскости. Поме-

стим начало системы осей Оху в начальном положении тела, ось Ох
направим по линии наибольшего уклона вниз, а ось Оу — перпен-
дикулярно к ней.

Изобразим тело в произвольном положении. На него действуют
две силы:_сила тяжести Р, направленная вертикально вниз, и
реакция N наклонной плоскости направленная по перпендику-
ляру к этой плоскости.

Составив суммы проекций на оси Ох и Оу всех сил, действу-
ющих на тело, и подставив их в правые части уравнений (10.6),

имеем

откуда

тх = mg sin а, ту — 0,

Jv = gsina; у — 0.
Проинтегрировав эти уравнения, получим
x = g/sin a-j-Сь у —
Интегрируя еще раз, найдем

х = а~Ь 4~ Q>; У— Git -{-Ci.

Установим начальные условия движения тела. При / = 0:
х = хо = О; у = у9 = 0-

х = х0 — v0cosp; у —yo = yosinp.
Следовательно,

Ct=u0cosp, Ci — yosinp,
c3=o, c4=o,
таким образом,

x = y0/cosp-|_§o*sina’> У — W|/sinfL

Это и есть искомые уравнения движения тела. Видно, что траек-
торией движения тела является парабола с осью симметрии,
параллельной оси Оу.

Задача 735 (рис. 442). Судно водоизмещением т, движущееся

прямым курсом, в момент включения двигателя имело скорость и0.
Считая, что величина силы упора
винтов Q пропорциональна времени

(Q = kt), а сила сопротивления воды о |;	о~	о *

Т = const, определить путь s, прой-	b.Q°	*	11	*

денный судном за время если

за это время его скорость увели чи-	Рис 442

лась в два раза.

Решение. Примем судно за материальную точку, а направле-
ние движения — за ось Ох, взяв начало координат в начальном

положении судна.

На _судно действуют: вес Р, выталкивающая сила (архимедова
сила) D, сила упора винтов Q, сила сопротивления Т.

Составим дифференциальное уравнение движения в проекциях
на ось Ох. Имеем

mx = FX — Q — Т,
или

mx — kt — Т.

Интегрируя, получим

mx = $ {kt — Т) dt + Ct
или

dx	'T'4. I z-1	/

m dt — У “ Tt + CI-	W
Интегрируя еще раз, найдем

kts	П8 , г . , п	..

тх — -g---2 Ч- С.2.	(е)

Установим начальные условия движения:

х|(-о = О; *к-о = ио-

Используя начальные условия, из уравнений (d) и (е) получим

my0 = Ci; 0 = С2,
таким образом,

kt* Tt* ,	. dx kt* .

тх—с-------^-+-mvnt\ т-г7= ----------Tt-4-mva.

6	2 1 и at 2	1	°

Эти формулы определяют пройденный путь и скорость судна
в любой момент времени.

Так как при /=/ь v = vx — 2ц>, то

2/то0 =	— 7%

откуда найдем значение коэффициента й:

Окончательно

,	4	, Tt?

5 — x\t==tl —	5^-.

Задача 736. Материальной точке, находящейся на поверхности
Земли (радиус Земли равен /?), сообщена начальная вертикальная
скорость v0 = ]/2gP (вторая космическая скорость). Определить
уравнение движения точки, пренебрегая силой сопротивления
воздуха.

Решение. Направим ось Ох вдоль линии движения точки.
Начало координат поместим в центре Земли (в данной задаче это
удобнее). На точку действует лишь сила притяжения к Земле,
по величине обратно пропорциональная квадрату расстояния от
точки до центра Земли:

Для определения k заметим, что при x = R сила F = mg.
Следовательно,

k = mgR\
и тогда

р = mgR1

= хг ‘
Составим дифференциальное уравнение движения точки в форме

(10.6). Имеем	Xй
Для интегрирования	этого уравнения преобразуем левую часть:  ..	. dx  тх = тх , dx’
после чего получим	. dx 	gRs  dx ~	л2 

Разделяя переменные и интегрируя, имеем

	(f)

Установим начальные условия движения точки: при ( = 0
x = R, i = /2g7?.

Подставляя в (/), получим Ст = О.

Таким образом,

2 х ’
отсюда*

х dx = lr2g Rdt.

Интегрируя, получим

=/2i/?/4-C3.	(g)

Пользуясь начальными условиями, найдем

С9=|/?’/*.

Подставляя это значение Сг в (g), имеем

Таково искомое уравнение движения точки.

Задача 737. Свободная материальная точка массой т, имею-
щая начальную скорость и0, движется_ прямолинейно. На точку
действует только сила сопротивления F, направленная в сторону,
противоположную скорости, и rto величине равная F = k-^v(k—

*) При извлечении корня взят знак «плюс», так как рассматривается
только движение вверх.
постоянное число). Определить время tu прошедшее от начала
движения точки до остановки, и путь s, пройденный точкой.

Решение. Примем прямую, вдоль которой происходит движение,
за ось Ох, а начало координат выберем в начальном положении
точки. На точку действует только одна сила F.

Следовательно, дифференциальным уравнением движения точки
будет

mx — Fx =— kyf v.

Так как точка движется по прямой, то

_ dv
dt ’

и уравнение примет вид

md~t== — kV~v.	(Л)

Это дифференциальное уравнение допускает разделение перемен-

ных:	-J7—= — kdt, у V
откуда, интегрируя,	получим  (* dv	,, . „  ГП \  kt -т- Ct  J у V
или	A rmf'» = — kt 4- Ср

Так как при / = 0 t> = o0, то отсюда найдем

	Ci

Следовательно, имеем

или	— ти2)' — ~	— kt  Va/a—vJ/« —(i) °	Зт	' '

Эта формула определяет скорость точки в любой момент времени.

Так как в момент (остановка точки) и = 0, то из преды-

дущего равенства	. Зт 2,
Для того чтобы найти х как функцию t, уравнение (i) перепишем

в виде

dx

Tt

2,	2kt\z а

V /з--------

°	З/n У

откуда, интегрируя, получим

X —

ЗЯ1 f 2 ,
-----V 'з —

5k Г“

2kt \ 5/а

Зш /

С3.

Так как при t = Q х = 0, то

z> Зт

таким образом,

Зт ..

Y     7)V3  

57г "

Зт f а,	2kt\Vs

— цг/з-------

5k \ °	Зт J

(J)

Это уравнение определяет закон движения точки вдоль пря-
мой Ох.

В момент остановки t = tit следовательно,

।	Зи ,.

Таков путь, пройденный точкой до остановки.

Задача 738. В условиях предыдущей задачи определить зави-
симость скорости от пройденного расстояния, т. е. и = о(х).

Решение. Обратимся к уравнению (й) предыдущей задачи.
Умножая обе части этого равенства на dx, получим
mvdv — —k у7"v dx.

Разделяя переменные, имеем

mv'^dv — — kdx.

Интегрируя, получим

—	= — kx Ct.

При х = 0 и = о0, следовательно,

С, = | tnv^.

Таким образом,

Эта формула и определяет искомую зависимость и от х. В момент
остановки и = 0, следовательно,

, Зт 5,
s = xb=o = -^o/s,

т. е. пришли к тому же результату, что и в задаче 737.
Задача 739 (рис. 443). Материальной точке Л4 массой т, на-
ходящейся в однородном поле силы тяжести, сообщена начальная
скорость и0, направленная горизонтально. Определить уравнения

движения точки, если при ее дви-
жении действует сила сопротивления
F = — kv, где k — положительный коэф-
фициент.

Решение. Поместим начало О систе-
мы координат Оху в начальном положе-
нии точки М. Ось Оу направим верти-
кально вниз, ось Ох — горизонтально.
На точку М действуют две силы: сила
тяжести Р и сила сопротивления F.
Предполагая, что скорость точки имеет

положительные проекции, составим уравнения движения точки
в форме (10.6). Имеем

тх = Рх — FK = — kv Y — — kx;
my-Pv-\-Fv—P — kvy = P — ky.

Разделяя переменные, получим

md.t	dy ,,

= — kat\ m ~—-r-. = dt.

X	’ P — ky

Интегрируя, найдем

mlnx = — kt-\-Ci; —"'k In (P —- ky) = ^ + Сг.

При t = Q: x = x9 = vn; y — yo = O.
Следовательно,

Ci = mlno0, C2 =— ^InP,
таким образом,

m In x = — kt-}- tn In o0; — In (P — ky) = t — In P
или

v0 tn’ P	m

Отсюда найдем

ft/	kt

x = vne m; y = P^~e~m).

Интегрируя еще раз, получим

w	_	м
При t — 0: х=хв = 0, у = y(f = Q. Следовательно,

----kT' С

Рт

k1 ’

таким образом,

kt	kt

х =	/=?,<-"(1

Примечание. Если в этих уравнениях перейти к пределу при k—<• 0,
то, раскрывая неопределенности, имеем

_4/

1 --ё т	t

х = vnm lim--------г---— v„m  — — v,,t;

4—»o	к	“ m

_ kt	_kt

kt — m (1—e m) .. t — te m

у = mg Inn------------------- = /ng-lim --у----

k^O	«	4—>0	^k

m 2m ~ 2

Получились известные уравнения движения точки под действием силы тя-
жести при отсутствии сопротивления воздуха.

Задача 740. Тело движется вниз по наклонной плоскости, об-
разующей с горизонтом угол а. Найти время движения тела,
.если в начальный момент его скорость равнялась нулю, коэффи-
циент трения равен / = const, а длина пути L.

._- Г 21.

Ответ: 1= I/ —у~.-----?-—-.

У g(sma—/COS a)

Задача 741. Поезд общей массой т движется по прямолиней-
ному горизонтальному пути и имеет в момент начала торможе-
ния скорость п0. Определить суммарную силу торможения, считая
ее постоянной, если длина тормозного участка пути равна s.

Ответ: R =

Задача 742. Груз, сброшенный с пикирующего самолета на
высоте /г, имеет начальную скорость ип, направленную под уг-
лом а к вертикали. На каком расстоянии (по горизонтали) от
точки сбрасывания груз упадет на землю, если пренебречь сопро-
тивлением воздуха?

Ответ: s —(V Vicos'1 а-\-2gh — o0cosa).

Задача 743. Показать, что движение материальной точки без
начальной скорости вдоль любой из хорд сферы, имеющих общим
началом верхнюю точку (полюс), под действием силы тяжести
происходит за одно и то же время.

Задача 744. На тело массой т, находящееся на горизонталь-
ной шероховатой плоскости, в течение сек действует горизон-
тальная сила Q — const. Определить расстояние s, пройденное
телом до остановки, если коэффициент трения его о плоскость
равен f. Начальная скорость тела равна нулю. ‘

л	Q (Q—

Ответ: s =	' 1 .

2fm*g

Движение возможно, если QJ>fmg.

Задача 745. Для аварийной остановки атомного реактора
стержень длиной I падает в канал под действием собственного
веса Р и добавочной силы $, действующей на начальном участке
падения /Р Падению стержня препятствует сила трения F, при-
нимаемая постоянной. Найти время полного погружения стержня
в канал, длина которого равна длине стержня, если первоначаль-
но нижний конец стержня находился у верхнего среза канала и
стержень освобождается без начальной скорости. Найти также
скорость стержня в момент достижения им дна. Принять массу
стержня т = 25 ка; Q = 245 «; £ = 49 н; / = 250 см; /j = 30 см.

Ответ: / = 0,622 сек;

о = 6,71 mJ сек.

Задача 746. Найти уравнения движения материальной точки
массой т, притягиваемой однородным горизонтальным перемен-
ным магнитным полем, если сила этого поля £= A sin ю/, где
А и <о — постоянные. Принять начальное положение точки за на-
чало координат, ось Ох направить по горизонтали, а ось Оу—
по вертикали вниз. Начальная скорость точки равна нулю.

п	А ... At	gt‘

Ответ: х—-—=—sin<o/~-------; у = ч^.

Задача 747. Решить задачу 746 для случая вертикального
магнитного поля.

Ответ: х — 0;
gt* । At А .	.

у— ч-----------s— sm <в/.

Задача 748. Электрон массой т, имеющий скорость и0, вле-
тает перпендикулярно плоскостям электродов в тормозящее
электрическое поле с напряженностью £ = £0sino>/. Найти, ка-
кой должна быть амплитуда напряженности поля £0, для того
чтобы электрон по истечении полупериода (т. е. к моменту Т =
= £-j вернулся в исходное положение. Какое максимальное
расстояние / должно быть между плоскостями электродов, чтобы
этектрон долетел до второго электрода? Сила, действующая на
электрон в поле, есть £ = — еЕ.

Ответ: Е, = п^; I =г'°.

Задача 749. Частица массой т, несущая заряд q электри-
чества, находится в переменном электрическом поле с затухаю-
щим напряжением, которое изменяется по закону £ = Ене "1 sin pt
(£о, а, р — постоянные). Сила, действующая на частицу, равна
F = qE и направлена в сторону напряжения £. Определить дви-
жение частицы, если она находилась в начальный момент в по-
кое в начале координат. Силой тяжести пренебречь, ось Ох на-
править параллельно вектору Е.

Ответ:

( pt	2ар . еас	„	,Л

х~' т 1<2а 4-р1	(а24-р2)2 + (<224-ра)2^а — р )sinp/ + 2apcosp/]|.

Задача 750. Принимая силу сопротивления воздуха * в сво-
бодном полете планера равной F~kv, где k — коэффициент про-
порциональности, v — скорость планера, определить расстояние,
которое пролетит планер за t сек от момента, когда его скорость
была равна ив. Считать, что движение планера происходит по
горизонтальной прямой. Масса планера равна т.

_kt

Ответ: s=~(l —е т).

Задача 751. Сила тяги винтов вертолета массой т при его
вертикальном подъеме в 1,5 раза более его веса. Сопротивление
воздуха выражается формулой

R = kSv,

где k — постоянная, S— площадь поперечного сечения.

Какова предельная** (максимально возможная) скорость вер-
толета?

Ответ: опр=-$&-

Задача 752. Парашютист опускается без начальной скорости.
Масса парашютиста равна 90 кг, площадь проекции раскрытого па-
рашюта на плоскость, перпендикулярную направлению движения,
5 = 64 л2. Определить предельную (максимальную) скорость опу-
скания парашютиста, если сила сопротивления K = CpSv3, где
постоянная С = 0,45, а плотность воздуха р = 1,226 кг/м3.

Ответ: оПр=5 м/сек.

Задача 753. Парашютист массой т совершает прыжок с неподвиж-
ного вертолета. Сила сопротивления воздуха равна R = kSv, где
k — постоянный коэффициент, aS — площадь проекции раскрытого
парашюта на плоскость, перпендикулярную направлению движе-
ния Определить величину S, необходимую для того, чтобы

* Учащийся должен иметь в виду, что в этой и последующих задачах
законы сопротивления среды упрощены в учебных целях. В действитель-
ности эти законы значительно сложнее, и сила сопротивления, как правило,
не может быть представлена одним аналитическим выражением на всем ин-
тервале времени движения.

** В этой и других задачах под предельной скоростью понимается
= limo. Если при ооо монотонно изменяется, то опр можно опреде-
р Z-*oo	1

do

лить, не интегрируя уравнение, из условия
скорость парашютиста не превышала заданной величины цпр.

Ответ: s .

Задача 754. В момент раскрытия парашюта скорость падения
парашютиста равна о0. Парашют испытывает сопротивление воз-
духа, пропорциональное первой степени скорости. Определить
скорость падения парашютиста в зависимости от предельной ско-
рости и времени.	gt

Ответ: v = ипр — (ипр — и0)е ’'"р •

Задача 755. Сила упорного давления винтов судна водоизме-
щением т равна Q. Определить величину предельной скорости опр,
которую может развить судно, а также зависимость величины его
скорости от времени и опр, если сила сопротивления движению
по величине равна, mk'-tf. Начальную скорость судна принять
равной нулю, а его движение считать прямолинейным.

n	I т/с?	е^—\

Ответ: vnn = I/ - ; v — u„D - -,
пр k г т ’ ”р I ’
где a=2A4vnp.

Задача 756. Модель реактивного самолета массой 85 кг разви-
вает силу тяги, равную 9,8 кн, и имеет начальную скорость
150 MjceK. Зная, что предельная скорость при данной тяге равна
250 м)сек, и считая силу сопротивления воздуха пропорциональ-
ной квадрату скорости, найти время, по истечении которого ско-
рость модели будет отличаться от предельной на 5 м[сек. Дейст-
вием силы тяжести и изменением массы модели пренебречь.

Ответ: t = 3,48 сек.

Задача 757. Батискаф, обладая постоянной отрицательной
плавучестью, погружается вертикально, испытывая сопротивление
воды, пропорциональное квадрату его скорости. Определить, с ка-
кой глубины погружения h движение аппарата можно считать
равномерным с относительной ошибкой р = —> если п —
^пр	и

предельная скорость погружения при данной плавучести, а отно-
шение плавучести к весу батискафа равно X. Начальная скорость
равна нулю.

V2

Ответ: h = — In (2р. — р-).

Задача 758. Используя условия предыдущей задачи, опреде-
лить время-, по истечении которого погружение можно практи-
чески считать равномерным.

Ответ: t = р 1 п -—-.

Задача 759. Материальная точка, двигаясь по горизонтальной
прямой, имела в некоторый момент скорость о0- Определить ее
скорость по истечении следующих t сек, а также пройденный ею
путь, если сила сопротивления движению равна 7? = femo3, где
312
т — масса точки, k~ постоянная Остановится ли точка под
действием указанной силы?

Ответ: v = t ; s= & In (1 -j-Точка не остановится
(v -> 0 при t -> со).

Задача 760. Автомобиль массой т движется по горизонтальной
прямолинейной дороге. Принимая силу тяги мотора постоянной
и равной Q, а суммарное сопротивление движению =
(k - постоянная), определить скорость автомобиля по прошествии
им пути s, если в начале этого пути он имел скорость, равную у0.

Ответ: v — у [Q — (Q — kv‘„) е т ].

Задача 761. Для взлета самолетов с судна применяют спе-
циальные катапульты, уменьшающие длину свободного пробега
самолета. Считая, что действие катапульты эквивалентно допол-
нительной тяге, равной 4,9 кн, определить, на сколько сокра-
тится длина взлетной дорожки, если масса самолета Зт, тяга
винта 14,71 кн, взлетная скорость 130 км’ч, а сопротивление
воздуха равно 1,962 &н (о — ж/сек).

Ответ: на 90,3 м.

Задача 762. Материальная точка массой т, получив начальную
скорость, равную о0, движется затем вдоль горизонтальной пря-
мой, испытывая силу сопротивления, пропорциональную квадрат-
ному корню из величины скорости (коэффициент пропорциональ-
ности равен k). Определить время движения точки до остановки,
пройденный ею путь, а также среднюю скорость за время дви-
жения.

Ответ: t = 2	s = ^y’z«; urp=-|=	ц#.

Задача 763. Судно, двигаясь прямолинейно со скоростью и0,
после остановки двигателей через некоторое время замедлило
свой ход до скорости о, = Т2 . Определить среднюю скорость
судна за это время, если сила сопротивления воды пропорцио-
нальна его скорости.

Ответ: уср = -g-~- = 0,72у8.

Задача 764. Решить задачу 763 при условии, что сила сопро-
тивления воды пропорциональна квадрату скорости.

Ответ: oip = O(|ln2 = 0,693o0.

Задача 765. Пуля, пробив доску толщиной h, изменяет свою
скорость от значения у2 до значения у.2. Считая силу сопротивле-
ния пропорциональной квадрату скорости, определить время дви-
жения пули в доске.

Ответ: t =	.

, vi
v,vs In - -
va
Задача 766. Две точки Mt и Мг с одинаковыми массами, рав-
ными т, находятся на одной вертикали: точка на поверхно-
сти Земли, точка М3 — на высоте Н. Определить время встречи
точек, если точке сообщена начальная скорость и0, направлен-
ная вдоль вертикали, а точка Л43 падает без начальной скорости.
Поле силы тяжести считать однородным, сопротивление воздуха
принять пропорциональным скорости (k — коэффициент пропор-
циональности). При каком значении начальной скорости воз-
можна встреча точек?

„	. т , пюа	kH

Ответ: t — т- 1п ---встреча возможна- при t'0~>—.

Задача 767. Самолет массой т в момент приземления имел
скорость ив. Определить, какое расстояние он пройдет до оста-
новки при выключенных моторах, если суммарное сопротивление
движению выражается формулой

R — kv-^-kiV*,

где k и fej — постоянные;

V-—скорость самолета.

Ответ: s = in (1 -f-	.

Задача 768. Сила, действующая на автомобиль массой т в
первое время после начала движения, выражается формулой
F — a— bv, где а и b — постоянные, v — скорость автомобиля.
Выразить силу F как функцию времени.

_*£

Ответ: F — ae т.

Задача 769. В момент прекращения работы двигателей судно
имело скорость ив. Определить время, прошедшее до остановки
судна, если его водоизмещение равно т, а сила сопротивления
R = c-irkv (с и k — постоянные), v — скорость судна.

Ответ: Т = '"1п(1

Задача 770. Пользуясь условиями предыдущей задачи, опре-
делить пройденный судном путь до остановки при известном вре-
мени торможения Т (постоянная с считается неизвестной).

_	„ mv0	vaT

Ответ: s = ---------~----•

е* — 1

Задача 771. С поверхности Земли брошено вверх тело со ско-
ростью о0. Определить, с какой скоростью тело упадет об-
ратно на землю, если сила сопротивления воздуха /? = /ийц3,
где k—постоянная, т — масса тела.

Ответ: Vi =—.

рЛ+f
Задача 772. При измерении заряда электрона изучают паде-
ние масляной капли в воздухе. Найти уравнение движения капли,,
если на нее действуют сила тяжести, сила сопротивления воздуха,
равная блрао (р. — вязкость воздуха, а — радиус капли, v — ско-
рость капли), и постоянная сила со стороны электрического поля,
равная qE и направленная вверх (q — заряд капли, Е = const —
напряженность поля). Принять, что капля имеет форму шара,
плотность р и начальную скорость, равную нулю.

Ответ: х = k [tb {е ь — 1)],

где

2а2
к= -----д-------: b=-i~.

отгра ’	9(1

Задача 773. В условиях предыдущей задачи измеряют один

раз предельную скорость падения капли при отсутствии электри-
ческого поля, а в другой раз, поместив каплю в электрическое
поле, подбирают его напряженность так, чтобы капля находи-
лась в равновесии. Считая известными только р, р, опр, найти
q - величину электрического заряда капли.

Ответ:

9/2

(7 р 1/, I/,
Ер '-g

Задача 774. После достижения судном скорости ц0 движение
продолжается при постоянной мощности двигателя N, т. е. при
силе упора винтов ?=£. Считая силу сопротивления R постоян-
ной, определить величину предельной скорости судна опр и про-
межуток времени по истечении которого будет достигнута
скорость Ор Водоизмещение судна равно т.

rt	N , /лГ	. ЛС N—ОоЯ'1

Ответ: ипр =	= $|и0-vt + $In

Задача 775. В условиях задачи 774 определить путь, Прой-
денный судном за - время, в течение которого его скорость изме-
нилась от о0 ДО оР

п	s\|7V.	.	№ . N —

Ответ: s = т ](и? — о?) + —. (ue — Vj) —	In	•

Задача 776. После достижения поездом скорости г»0 движение
продолжается при постоянной мощности паровоза N, т. е. прини-
мается, что сила тяги равна Сила сопротивления складывается
из силы трения F, не зависящей от скорости, и других сопро-
тивлений /?, пропорциональных первой степени скорости (R = kv).
Найти предельную скорость опр.

Ответ: vnp =---211	.
Задача 777 (рис. 444). Точка М массой т движется по гори-
зонтальной хорде окружности радиусом R. под действием силы,
обратно пропорциональной расстоянию от
«	точки до центра окружности (коэффициент

tj а I /\ пропорциональности й). Кратчайшее расстоя-
Г f\ Z \	ние от хорды до центра окружности рав-

_1   _ь—4 —4-	но г. Найти скорость точки в момент про-

\	г	/	хождения середины хорды, если в начальный

X.		/	момент она занимала крайнее положение и

I	была	отпущена без начальной скорости.	Тре-

\	нием	пренебречь.

444	г.	т Г4k , /?

Ответ: v = I/ - In .
V т г

Задача 778. Решить задачу 777 при условии, что сила обратно
пропорциональна квадрату расстояния от точки до центра.

Ответ:

Задача 779. Материальная точка притягивается к неподвиж-
ному центру с силой, обратно пропорциональной кубу расстояния
между ними, причем коэффициент пропорциональности равен й.
Найти, через сколько времени она попадает в центр притяжения,
если ее масса т, начальное расстояние х0, а начальная скорость
равна нулю.

Ответ: t ~ j/~

Задача 780. Материальная точка М притягивается к центру
О с силой F = ^”, где ^ — ОМ, т — масса точки, й — постоян-
ная. В начальный момент расстояние СШ(| = х(| и точка не имеет
начальной скорости. Определить скорость точки в момент, когда

Ответ: v = —-—.
у Зл-„

Задача 781. На тело массой т, принимаемое за материальную
точку, действует сила, пропорциональная времени (коэффициент
пропорциональности й). Кроме того, на тело действует сила сопро-
тивления /? = — р-о, где у. — постоянная величина. Найти закон
изменения величины скорости тела в функции времени, если в на-
чальный момент его скорость была равна нулю. Движение счи-
тать происходящим по горизонтальной прямой.

~	kt । km f —	1 ч

Ответ: v~ ——ч (е т — I).

Задача 782. Тело, принимаемое за материальную точку мае-
kt

сой т, движется прямолинейно под действием силы F = -, где
й — постоянный коэффициент, t — время, v — величина скорости
точки. Определить в момент t = I сек, величину скорости тела,
если в начальный момент она была равна с0.

Ответ: v = j/ + ^ •

Задача 783. Решить предыдущую задачу при условии, что
г &
г = ^.

„ \г , । за

Ответ: о = I/ уо +	•

Задача 784. Последней ступени ракеты' массой т сообщили
некоторую вертикальную скорость на высоте h над Землей.
Определить, какова должна быть величина этой скорости для
того, чтобы ракета поднялась на высоту Н от поверхности Земли,
если сила сопротивления воздуха прямо пропорциональна квад-
рату ее скорости и обратно пропорциональна квадрату расстоя-
ния до центра Земли (коэффициент пропорциональности й). Ка-
кова должна быть величина о0 для того, чтобы ракета удалилась
в бесконечность (Я->со)? Радиус Земли равен R.

Указание. Учесть, что сила притяжения, равная па поверх-
ности Земли mg, изменяется обратно пропорционально квадрату
расстояния от центра Земли.

Ответ: v9 = ]/ -^-(е -1), где Х =

/2*

При й = 0	о0= у — вторая космическая скорость.

Задача 785 (рис. 445). Материальная точка М массой т при-
тягивается к двум центрам Oj и О2 с силами Л~тй2Л4О1

и Fi = mk^MOi соответствен-
но (й— постоянная). Определить
траекторию точки, если МйО =
= О1О = ОгО=а (Л40 — начальное
положение точки), а начальная
скорость точки б0 параллельна оси
Ох. Размерами точки и силой тя-
жести пренебречь.

„ 2й2л-а , у2 , , ч
Ответ: —s—г ^2 “ ’ (эллипс).

Задача 786. Материальная точка движется в горизонтальной
плоскости под действием центральной силы, пропорциональной
расстоянию от точки до притягивающего центра (коэффициент
пропорциональности равен й2т, где й — постоянная, ат — масса
точки). Принимая центр притяжения за начало координат, опре-
делить уравнение траектории точки, если в начальный момент
она имела координаты х = 0; у = 1 и скорость и0, составляющую
угол а с осью Ох.

„ (у— .г te a';2 । / xk \2	. ,	.

Ответ: И—+	| =1 (эллипс).

Задача 787. Внутри трубки, расположенной в вертикальной пло-
скости и изогнутой в виде окружности радиусом /?, помещен шарик.
В нижнем положении шарику сообщается начальная скорость и0.
Найти зависимость скорости шарика от дуговой координаты s,
если он испытывает силу сопротивления, пропорциональную квад-
рату скорости с коэффициентом пропорциональности km, где k —
постоянная, а т — масса шарика. Считать отклонения шарика
от вертикального положения малыми.

Ответ: v* =	- -^)е (А.- з).

Задача 788. Материальной точке, находящейся в неподвижной
круглой трубке, занимающей горизонтальное положение, сообщена
начальная скорость г»0, направленная по касательной к средней
окружности трубки. Определить путь з, пройденный точкой до
остановки, если радиус трубки г, а коэффициент тренйя точки
о трубку равен f.

„	Г .	+ У V* 4 gsr2

Ответ: s = п '— г———------.

V	gr

Задача 789. Сила, действующая на электрон массой т при
его нахождении в электромагнитном поле,

Г = -г[Ё4-1(пХЯ)],

где Е — вектор напряженности электрического поля;

Н — вектор напряженности магнитного поля;

в — заряд электрона;

о —скорость электрона;

с — скорость света.

Найти уравнения движения и траекторию электрона, который
в начальный момент находился в начале координат и имел ско-
рость, равную нулю, если напряженность электрического поля
постоянна и направлена по оси Ох, а напряженность магнитного
поля постоянна и направлена по оси Ог. Силой тяжести пре-
небречь .

„	тс2Е ! еН . Л

Ответ: х =	> cos тс t - 1';

Траектория — циклоида в плоскости хОу.

Задача 790. На электрон массой т в электромагнитном поле
действует сила

f==_e[E+J (вХЯ)],
где Е — вектор напряженности
Н — вектор напряженности
е — заряд электрона;

у — скорость электрона;

электрического поля;

магнитного поля;

с — скорость света.

Найти уравнения движения электрона, если векторы напря-
женности обоих полей постоянны и направлены по оси Ог.
Электрон находился в начальный момент в начале координат и
имел скорость и0, направленную по оси Ох.

„ „	vomc . eHt vomc f, еН д	eEt2

Ответ: х — -bs-sin—; w =	1 — cos — t ; z = —	.

еН тс ' s еН \	me p	2m

Траектория представляет собой винтовую линию с увеличи-

у ftl/J

вающимся шагом, находящуюся на цилиндре радиусом од-

ной из образующих которого является ось Oz.

Задача 791 (рис. 446). Электрон влетает в плоское
ское поле, образованное двумя наклоненными друг к

углом 2а электродами, с начальной
скоростью ц0, направленной по оси сим-
метрии системы. Разность потенциалов
между электродами равна U, а напря-
женность электрического поля напра-
влена перпендикулярно к оси симметрии
и равна Е=-^, где а — расстояние
между пластинами, взятое по перпен-
дикуляру к оси симметрии. Найти угол,
на который отклонится электрон после

электр и не-
другу под

пролета между пластинами, если
на соответствующего пространства
на I, а наименьшее расстояние

Указание. Сила, действующая

пластинами равно t/0.

дли-
рав-
между

на электрон, равна еЕ. Счи-

тать, что вне пространства между пластинами поля нет.

Ответ:	= =	—In (1 + —•

&'	1>х	2о» tg а \	1 da ]

Задача 792. В конце пускового участка ракета имеет скорость,
величина которой равна о0, а угол наклона к горизонту а0.
В дальнейшем движение ракеты регулируется таким образом, что
величина скорости остается постоянной. Найти уравнение ее

траектории, считая, что сила тяги направлена по направлению
скорости. Поле силы тяжести считать однородным, массу ракеты
постоянной; аэродинамической подъемной силой и сопротивлением
воздуха пренебречь. Начало координат взять в начальном поло-
жении ракеты, ось Ох направить горизонтально, ось Оу — вер-

тикально вверх.

{	gX

,	cos	I а0 -7

Ответ: z/ = —In--------------—

я - g	COS а0
Задача 793. С поверхности цилиндрического провода радиу-
сом а, по которому протекает ток I, вылетает электрон массой т
с начальной скоростью б0, перпендикулярной к поверхности про-
вода. Найти, на какое максимальное расстояние он удалится от
оси провода, прежде чем повернет обратно под действием магнит-
ного поля тока. Напряженность магнитного поля па расстоянии г
от оси провода равна Н — ~ и направлена по касательной к ок-
ружности с центром па оси провода. Сила, действующая на
электрон в магнитном поле, есть F = — jpxfty весом пре-
небречь.

Указание. Использовать цилиндрическую систему координат.
Учесть, что координата не изменяется. Составить дифферен-
циальные уравнения движения электрона в плоскости (г, г).

Ответ: гшах = аеь, где b =	.

Задача 794. В магнетроне электрон массой т, вылетающий из
цилиндрического провода радиусом а с начальной скоростью о0,
перпендикулярной поверхности провода, движется далее в одно-
родном магнитном поле напряженностью Н, параллельной оси
провода. Сила, действующая па электрон в магнитном поле, F —
=—-(vXH). Действием силы тяжести пренебречь. Определить
максимальное расстояние г, на которое может удалиться элек-
трон от оси провода.

Указание. Ввести цилиндрические координаты. Доказать, что
z = const. Дифференциальное уравнение, отвечающее координате <р,
умножить на г и проинтегрировать, С помощью полученного ин-
теграла исключить ф из уравнения, отвечающего координате г.

Ответ: rmax = —. гДе ь = ^с-

Задача 795. В условиях предыдущей задачи начальная ско-
рость о0 = 0, но имеется второй цилиндрический электрод радиу-
сом R^>a, к которому приложен потенциал V по отношению к
первому электроду, что вызывает появление радиально направлен-
ного электрического поля напряженностью Ег —-----^5--—.Сила,

1п--

а
действующая на электрон со стороны электрического поля, равна
? — — еЁ. Найти, при какой величине потенциала V электрон
долетит до второго электрода. См. указание к предыдущей за-
даче.

Ответ: V ~~ (/? — а2)2, где & =
ГЛАВА XI

КОЛЕБАНИЯ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ

§ 1. Собственные колебания

Пусть на точку действует упругая или квазиупругая сила,
т. е. сила, стремящаяся вернуть точку в положение равновесия
и по величине пропорциональная отклонению точки от этого по-
ложения. Если движение точки происходит вдоль оси Ох, а О —
положение равновесия, то

Fx = — сх,
где с — коэффициент упругости (жесткости).

Дифференциальное уравнение движения точки в этом случае
имеет вид
тх = — сх
или

x-^-k^x — Q,	(11.1)

.где

Решением этого уравнения будет

х = Ci cos kt C2 sin kt — a sin (kt -J- a),	(11 -2)

где Ci и C2 (или a и a) — произвольные постоянные, определяе-
мые по начальным условиям движения;

a — амплитуда колебания;

a — начальная фаза;

k — круговая частота.

Период колебания определяется формулой

=	(11.3)

Колебания точки в этом случае являются незатухающими и гар-
моническими.

Если, кроме упругой (квазиупругой) силы, на точку дейст-
вует сила сопротивления среды, пропорциональная первой сте-
пени скорости и направленная противоположно скорости, т. е.

Rx — — bx,
то дифференциальное уравнение движения точки
тх = — сх — Ьх
или

х -j- Inx k-x — 0,	(11.4)

где

11 Н. А Ьражниченко и др.

321
При решении этого дифференциального уравнения возможны
три случая.

Случай I. n<^k («малое» сопротивление среды). Решение
дифференциального уравнения (11.4) имеет вид

где

х = ае nf sin (МД-а),

(11 5)

ki =Vk2 - п\

(11 6)

а и a — произвольные постоянные, определяемые по начальным
условиям.

Движение точки в этом случае носит характер затухающего
колебания с условным периодом (промежуток времени между двумя
последующими наибольшими отклонениями точки в одну сторону)

2л 2л

1 — ki ~ У —	'

(11 7)

ПТ1

Величина е 2 характеризует отношение величин двух после-
довательных экстремальных отклонений (в разные стороны) и на-
зывается декрементом, а



(11 8)

— логарифмическим декрементом

Случай II. n^>k («большое» сопротивление среды). Реше-
нием дифференциального уравнения (114) будет

х = С<(я+^)/ + С<(я"^)\

(Н 9)

1де Ci и — произвольные постоянные, а



В этом случае точка совершает апериодическое затухающее

движение, т. е.

Игл х = 0.
/—>00

Случай III. n = k
ния (11 4) примет вид

(«предельный» случай). Решение уравне-

х — (СД —С2) е

(11.10)

где Ci и — произвольные постоянные.

В данном случае имеет место также апериодическое затухаю-
щее движение.
Задача 796 (рис 447). На гладкой плоскости, наклоненной
к горизонту под углом а = 30°, находится груз М массой т = 1 кг,

прикрепленный к пружине, жесткость
Определить уравнение колебаний груза,
если он отпущен без начальной скоро-
сти из положения, при котором пру-
жина не деформирована

Решение. Направим ось Ох по на-
правлению движения груза вдоль на-
клонной плоскости Начало координат
примем в положении статического рав-
новесия. На груз М действуют силы
Р — вес груза, F — упругая сила пру-

которой с = 4,9• 108 «/.«.

жины и N-—нормальная реакция плоскости. Дифференциальное

уравнение движения груза имеет вид

тх = —F Д- Р sm а.

Упругая сила пружины

F=cM,

где А/ — удлинение пружины по сравнению с ее естественным
(ненапряженным) состоянием, т. е.

Д/ = /Д-х,

где f — удлинение пружины при равновесии,

следовательно,

F = c(f + x)

Итак, уравнение движения

тх —— c(f -Дх) Д- Р sin а.	(а)

При х = 0 имеет место равновесие, т. е. при этом х = х — 0.
Из предыдущего уравнения имеем *

0~—cf Д-Р sin а	(Ь)

При учете (Ь) уравнение (а) упрощается и принимает вид

тх — — сх
или

тх -|- сх = 0.

Обозначив k^ — получим уравнение собственных незатухающих
колебаний (11.1)

х Д- feax = 0.

Решение уравнения возьмем в виде

х = Ci cos kt Д-С251пй/.	(с)

* Это уравнение можно получить также из условия равновесия.
Определим произвольные постоянные Ct и С2, для чего уста-
новим начальные условия движения. Имеем

x|i-o = — f,
так как пружина была при этом не деформирована;

хк-о = О,

так как груз был отпущен без начальной скорости.
Подставляя в (с) начальные условия, получим

С1 = -Д

Дифференцируя (с) и снова подставляя начальные условия,
имеем

С3 = 0.

Таким образом,
х= — fees kt,

и, пользуясь (Ь), получим уравнение движения
те sin а	Г с ,

х~------°---cos I/

с у in

Подставляя числовые данные, найдем

х = — 0,1 cos 70/ см.

Следовательно, амплитуда колебаний

а = 0,1 см,

а период колебаний по (11.3) будет

t = ” = 0,0898 сек.

К 9

Задача 797 (рис 448). Тяжелая материальная точка М мас-

сой т поддерживается

плоскости, a P = mg.

во взвешенном состоянии над горизонталь-
ной плоскостью отталкивающей силой,
обратно пропорциональной расстоянию до
плоскости (коэффициент пропорциональ-
ности X). Найти период малых вертикаль-
ных колебаний точки около положения
равновесия.

Решение. Составим дифференциальное
уравнение движения точки. Проведем ось
Ох вертикально вверх, поместив начало
О в положении равновесия На точку
действуют сила отталкивания F, напра-
вленная вертикально вверх, и вес Р.
При этом Р — ~^, гДе — расстояние до

Уравнением движения точки будет



(d)
Так как при равновесии х==х = х = о, то

A = mg; Ло = А,	(е)

где hn — расстояние от точки до плоскости при равновесии.

Поскольку рассматриваются малые перемещения, то разложим
величину силы в ряд по степеням малого отклонения и сохраним
только член, пропорциональный первой степени х («квазиупру-
гий член»). Учитывая (е), имеем

В соответствии с этим согласно (d) получим

•• С х\	mgx	...

mx = mg\\ — yj — tng = — -%-	(f)

или

J + ^x = 0.

Это уравнение собственных гармонических колебаний (I I. I) имею-
щих круговую частоту k — j/.

Искомый период малых колебаний

т = ^ = 2тг1/^ = ^ 1/1
k V g gym

Примечание. Следует иметь в виду, что колебания действительно
будут иметь место только в том случае, когда в уравнении (/) справа стоит
знак «минус». Наличие знака «плюс» указывало бы на неустойчивость рав-
новесия. Если бы линейные члены сократились, то это указывало бы на
существенно нелинейный характер колебаний или на безразличное равнове-
сие (в зависимости от наличия или отсутствия членов высшего порядка по
отношению к х)

Задача 798 *. К пружине подвешен груз. Статическое удли-
нение пружины равно /. Определить колебание груза, если в на-
чальный момент пружина была растянута из ненапряженного
состояния на длину, равную 3/, а груз был отпущен без началь-
ной скорости.	_

Ответ: x = 2f cos "|/у t.

Задача 799. Груз массой 100 г подвесили к концу недеформи-
рованной пружины и отпустили без начальной скорости. Длина
недеформированной пружины равна 65 см, а при равновесии груза

* В задачах данной главы за начало координат принимается положение
статического равновесия; g= 9,8 м‘секг.
на пружине ее длина равна 85 см. Определить: 1) уравнение
движения груза; 2) амплитуду и период колебаний; 3) наиболь-
шую упругую силу пружины.

2

Ответ: 1) х = — 20 cos It см\ 2) а ==20 см\ х—-^-ксек\

3) Fmax=l,96 н.

Задача 800. К концу пружины жесткостью 98 н/л подвешен
груз массой 2 кг. В начальный момент груз находился в положе-
нии равновесия и получил некоторую начальную скорость i»0.
Зная, что амплитуда колебаний равна 2 см, определить величину
начальной скорости.

Ответ: v0=14 см/сек.

Задача 801. Статическое удлинение пружины под действием
данного груза равно 20 сж- В начальный момент груз, находясь
в положении равновесия, получил начальную скорость и стал
совершать незатухающие колебания с амплитудой, равной 4 см.
Определить величину начальной скорости.

Ответ: и0 = 28 см/сек.

Задача 802. Статические удлинения пружины под действием
двух грузов порознь соответственно равны Д и Определить ча-
стоту свободных незатухающих колебаний, если к концу пружины
подвесить оба груза.

Ответ: й = 1/	.

г fl -\-fz

Задача 803. Пружина расположена вдоль гладкой наклонной
плоскости с углом наклона а. К концу недеформированной пру-
жины подвешен груз массой т и отпущен без начальной
скорости. Определить наибольшую величину упругой силы пру-
жины

Ответ: Fmsa — 2 mg sin а.

Задача 804. Груз подвешен к концу недеформированной пру-
жины и получил начальную скорость у0, направленную вверх.
Определить, через сколько времени после начала движения груз
впервые пройдет через положение равновесия, если статическое
удлинение пружины для данного груза равно f.

Ответ: t = ~\f —(it — arctg.
Г g\	)

Задача 805. На вертикально расположенной пружине подве-
шены два равных груза, в результате чего она получила стати-
ческое удлинение f. После этого один из грузов оборвался.
Найти уравнение движения второго груза, пренебрегая массой
пружины.

Ответ: х~^ cos

Задача 806. Тело массой М подвешено на вертикально распо-
ложенной пружине. Период его колебаний равен х. Если при-
соединить к нему в положении равновесия массу т, то удлине-
326
ние пружины увеличится на I. Найти ускорение g свободно па-
дающего тела. Массой пружины пренебречь.

л	4r? Ml

Ответ: g =-----н—.

6 тт2

Задача 807 (рис. 449). Определить период вертикальных ко-
лебаний груза М массой т, подвешенного на трех пружинах
с коэффициентами жесткости С! = с, с2 = 2с и с3 = Зс
так, как показано на рисунке.

Ответ: т —<С|

Задача 808. В гладкой трубке, изогнутой в виде s
окружности радиусом R и занимающей вертикальное
положение, помещен тяжелый шарик. Находясь в
нижнем положении, он получил начальную скорость и0. т*
Определить колебания шарика в трубке, считая от- < ,
клонения его от положения статического равновесия <Сз
малыми.	w/mm/

п Пё  -1	.	р“с ^49

Ответ: s =	|/ — sin у ~t.

Задача 809. По горизонтальной хорде вертикального круга
движется точка массой 4 кё под действием силы притяжения,
пропорциональной расстоянию от точки до центра, причем коэф-
фициент пропорциональности равен 196 н/м. Определить закон
движения точки и ее давление на хорду, если в начальный мо-
мент она находилась в крайнем правом положении и была отпу-
щена без начальной скорости. Принять расстояние от центра до
хорды равным 30 см, а радиус окружности — 50 см.

Ответ: х = 40 cos It см (от середины хорды);

N = 98 н (const).

Задача 810. Материальная точка массой т, находящаяся под
действием упругой силы (коэффициент жесткости с), выводится
из состояния равновесия постоянной силой F, действующей в те-

чение промежутка времени 4- Найти амплитуду
прекращения действия силы.

колебаний после

2F

Ответ: а= -—

С

2

Задача 811. Однородный конус высотой Н и плотностью
погружен в жидкость плотности	так, что его вершина

находится над поверхностью жидкости, а основание — параллельно
этой поверхности. Определить период малых вертикальных соб-
ственных колебаний конуса, пренебрегая сопротивлением воды.

2^/1 Гц

Ответ:	!--г— I/ j-.

ъ'Чи- Xi) 3 ' Зг

Задача 812. При равновесии шара радиусом R в жидкости
высота погруженного шарового сегмента равна h. Определить
период малых вертикальных собственных колебаний шара, пре-
небрегая сопротивлением воды.

Ответ; т^2х]/~	•

Задача 813. Материальная точка массой т, несущая электри-
ческий заряд q, находится на одной горизонтальной прямой
с двумя равными одноименными зарядами qt, посередине между
ними. При отклонении вдоль этой прямой точка начинает коле-
баться. Найти период этих колебаний, считая их малыми. Сила
взаимодействия зарядов равна (закон Кулона). Расстояние
между неподвижными зарядами равно 21.

Ответ: т = тс/1/

Т

Задача 814. Сосуд объемом Уо, наполненный воздухом при
давлении р0, равном наружному давлению, заканчивается ци-
линдрической трубкой, имеющей площадь сечения S и закрытой
поршнем с массой т. Найти период свободных колебаний поршня
при его малых смещениях, если давление и объем газа в сосуде
связаны соотношением pV7 = const. Массой газа по сравнению
с массой поршня и трением пренебречь (см. задачу 823).

„	2л Г i'.m

Ответ: т = — I/ —2—,

8 V

Задача 815. Материальная точка массой т прикреплена к тон-
кой горизонтальной нити, имеющей натяжение N и закрепленной
на концах. Расстояния от точки до концов нити равны а и Ь.
Считая, что натяжение не изменяется в процессе колебаний, найти
период малых поперечных колебаний точки.

Ответ: т =

Задача 816. В трубке, изогнутой в виде окружности радиу-
сом 49 см и расположенной в вертикальной плоскости, помещен
тяжелый шарик. Из нижнего положения равновесия ему сооб-
щается скорость 20 см/сек. Определить закон движения шарика,
учитывая силу сопротивления, пропорциональную первой -степени
скорости (R — 4mv, где т — масса, v — скорость). Считать откло-
нения шарика от равновесного положения малыми. Принять
g = 980 см) сек*.

Ответ: s= Se isin4/ см.

Задача 817. Решить задачу 816, если сила сопротивления
равна 12 ти.

Ответ: s = у (е-2/ — е-ш) см.

Задача 818. Статическое удлинение пружины под действием
груза массой т равно f. На колеблющийся груз действует сила
сопротивления среды, пропорциональная скорости (R = bv). Опре-
делить наименьшую силу сопротивления, возникающую при ско-
рости, равной единице, при которой процесс движения будет
апериодическим.

Ответ: Ь — 2т ~.

Задача 819. Используя условия задачи 818, определить дви-
жение груза, если в начальный момент он находился в положении
равновесия и имел скорость направленную вниз.

Ответ: x — v^te * f ’

Задача 820. По горизонтальной хорде вертикального круга
движется точка массой 1 кг. На точку действует упругая сила,
пропорциональная расстоянию от нее до центра и направленная
все время к центру (коэффициент пропорциональности с = 16 н/м).
Кроме того, на точку действует сила сопротивления, пропорцио-
нальная первой степени скорости, причем коэффициент пропор-
циональности 7= 10 н-сек/м.

Определить закон движения точки, если в начальный момент
она находилась в крайнем правом положении и была отпущена
без начальной скорости. Принять расстояние от центра до хорды
равным 30 см, а радиус круга 50 см.

Ответ: х — ~ (4е~^ — е~8/) см.

Задача 821. Решить задачу 820, если масса точки 0,5 кг,
£=12,5 н/м, у = 4 н-сек{м.

Ответ: х = e~lt [3 cos 3t 4- 4 sin 3/] см.

§ 2. Вынужденные колебания

Если, кроме квазиупругой силы и силы сопротивления среды,
на точку действует внешняя сила, зависящая от времени, — так
называемая возмущающая сила Q, проекция которой на ось х
есть

Qx = Н sin pt,

где Н — амплитуда силы (ее наибольшее значение),
р — круговая частота силы,

то дифференциальным уравнением движения точки будет

тх = — сх —- bi -f- Н sin pt,
или

x^-2nx-\-k!l‘x = h?,inpt,	(11-11)

где

, Н	Ь , а С

т ’	2т’	т
Решение этого дифференциального уравнения имеет вид

X == X] —Ху,

где Xi — общее решение однородного уравнения (11.4);

Ху — частное решение уравнения (11.11), которое можно полу-
чить в виде

x3 = asin(pZ — Р),	(11.12)

где

h

а= г_______ . - •

/ (Й2—p2)2 + 4naj»a



(11.13)

Частное решение Ху называют вынужденным колебанием.

Если п # 0 (т. е. имеет место сопротивление среды), то
при / со, и поэтому интерес представляют только вынужденные
колебания.

Если /1 = 0, то

a — -j-——-•	Ху = —-^—;sinp/	(11.14)

й2—р- ’	й2—р- '	'	'

и

х = a sin (kt —|- «) —|— -fe3 2^ sin pt-	(11.15)

Если p = k, т. е. частота возмущающей силы совпадает с ча-
стотой собственных незатухающих колебаний, то наступает явле-
ние резонанса. В этом случае при отсутствии сопротивления

Ху = — — cos kt,	(11.16)

т. е. происходит нарастание амплитуды.

При наличии сопротивления при условии резонанса (р = &)
уравнение вынужденных колебаний имеет вид

х2 = — ^cos/tf.	(П-17)

При фиксированных h и п максимум амплитуды вынужденных
колебаний имеет место при

р1 = й]/1-2^.	(1118)

.Если у<С1, т° ПРИ p = k амплитуда близка к максимальной.

Задача 822. При прямолинейных колебаниях точки в сопро-
тивляющейся среде экспериментально найдены: частота kv свобод-
ных затухающих колебаний и частота pi возмущающей силы, при
которой амплитуда вынужденных колебаний имеет максимум.
Определить собственную частоту k, коэффициент затухания п и
логарифмический декремент 8.
Решение. По (И 6) и (И. 18) имеем

kf = k2 — п!, p‘i = k‘! — 2n\
отсюда

п = у — pi;	k = у 2kf — pl.

По (11.8) найдём

nt:1
T

Задача 823 (рис. 450). На поршень А, закрывающий сосуд
с газом, имеющим давление р0 (равное внешнему), действует из-
быточное Давление, изменяющееся по закону p = gosin(»/ (д^ —

максимальное значение давления, о>— круговая частота). Измене-

ние состояния газа происходит адиабатно, т. е.	= const, где

р — давление в сосуде; р — плотность газа; у — показатель ади-
абаты

Определить движение поршня, если его масса т, площадь S.
Объем сосуда равен 1/0. Трением пренебречь. В начальный момент
поршень находился в покое.

Решение. На поршень, выведенный из положения равновесия,
действуют горизонтальные силы: Fi = pS, обусловленная -внут-
ренним давлением; Fv — pBS, обусловленная внешним давлением,
кроме того, на поршень действует возмущающая сила F3 = gS —
— q^S sin ш?, обусловленная избыточным давлением q.

Проведем ось Ох горизонтально, как показано на рис. 450, б,
поместив начало координат в равновесном положении поршня.
Тогда дифференциальным уравнением движения поршня будет

тх~1\ — Рг -

или

тх = (р — ро) S — qQS sin о>Л

(g)
Так как

Р —Р°.	JL —К»

рт рГ	₽» v’

где V — переменный объем газа;

р0 — плотность газа при давлении р0,
то

Считая, что поршень движется в прямом цилиндре, получим

Таким образом,

V^V^-Sx.

откуда

-

Р-Ро==Ро[(ц^У - 1].

Считая перемещение х малым, разложим величину (-у.

в ряд, ограничиваясь членом первого порядка малости. Имеем

4 У — f 1 ।	. i s'(x

.Eo + Sx/—Ц, ’

следовательно,

P — Po

Pt>Six

n •

Подставив значение p — pn в (g), получим

mx 4~ S ° x — — q№S sin w/.

Vхo

Это уравнение можно переписать в виде

X 4~ №х = — h sin i»t,
где	___

k = S]f^-,	h~c~.

Т У,, in’	т

В соответствии с (11.15), в котором вместо р следует взятью,
получим

х — a sin (kt 4- а) —	—s- sin not.

Продифференцировав по времени предыдущее равенство, получим

x = ak cos (kt 4- а) — cos со/.
Начальные условия движения

х|/_о=о.

В соответствии с начальными условиями имеем
0 = a sin а;

v = ak cos а —	---г-,

А/ —- coa ’

отсюда

0/IUJ
; а — -,
k (fe2 — to2)

Таким образом, имеем следующий закон движения поршня:

, h 	,

X =	---Д Sin kt-7-а-Г Sin wt.

к (R-— coy	R* —

Если имеется хотя бы очень малое сопротивление, то по (11.14)
приближенным уравнением движения поршня будет

Л

X = — 75--г SIH (О/.

К2 -

При этом амплитуда вынужденных колебаний имеет значение



А

Задача 824. Материальная точка совершает движение вдоль
оси Ох. На точку, кроме упругой силы пружины, действуют
еще сила сопротивления R — —0,2а и возмущающая сила Q,
направленная вдоль оси Ох, проекция которой на эту ось
Ql==4sinp/ (R, Q — в ньютонах, и— в м/сек). Изменяя ча-
стоту р возмущающей силы, добиваются появления резонанса
при р — 20г: Х'сек. Определить амплитуду а вынужденных коле-
баний при резонансе.

Ответ: « = 0,318 м.

Задача 825. Электромотор установлен на упругой балке, при-
чем статический прогиб балки равен f. Ротор мотора имеет
смещение центра тяжести по отношению к оси вращения на вели-
чину г. Определить амплитуду а вынужденных колебаний электро-
мотора, если ротор мотора имеет массу т и вращается с постоян-
ной угловой скоростью ш. Масса мотора вместе с ротором равна М.
Массой балки пренебречь. При каком значении угловой скорости
может наступить явление резонанса?

„	mru>af

Ответ: а = -гГ7-—з-»г-.

Резонанс наступит при


Задача 826 (рис. 451). Пружина А скреплена со штоком
поршня, который находится в камере В. В эту камеру попере-

менно сверху и снизу поступает сжатый воз-
дух, вследствие чего сила, действующая на
поршень, изменяется по закону F = 2,3 sin8^/
(/ — в секундах, F— в ньютонах). Определить
вынужденные колебания поршня, если его
масса равна 0,5 кг, а жесгкость пружины
с = 200 н/м.

Ответ: х = — 1,98 sin 8тг/ см.

Задача 827. Точка колеблется на пружине
в среде, сопротивление которой Д = bv (b — по-

Рас 451 стоянная, v — скорость точки). На точку дей-
ствует возмущающая сила F — Hsixipt. Опре-
делить амплитуду силы по измеренной амплитуде а вынужденных
колебаний при наличии резонанса.

Ответ: Н = Ьра

Задача 828. В условиях предыдущей задачи, изменяя частоту
возмущающей силы, добиваются появления максимальной ампли-

туды вынужденных колебаний ат„ при р — рх. Зная, что масса
точки равна т, определить амплитуду силы Н.

Ответ: H = bpxamn^f 1 +д^р

Задача 829. Показать, что амплитуда скорости вынужденных
колебаний имеет максимум при p = k и при наличии сопротивле-

ния среды.

Задача 830, Двигатель массой т, установленный на упругом
фундаменте, совершает п оборотов в минуту. Вследствие неурав-
новешенности частей двигателя фундамент совершает вынужденные
колебания с амплитудой а. Определить наибольшее значение Н
возмущающей силы, если статическая осадка фундамента равна /.
Сопротивлением пренебречь.

/-> и IS n2ns\

Ответ: п ~ат -7- —1.

\ j	У1Ю у

Задача 831. Бочка массой 4m находится на поверхности воды,
уровень которой в месте нахождения бочки изменяется вследствие

волнения по закону

4 . 3t

S=-g Sin ~2

(t— в секундах; s — в метрах).

Считая горизонтальное сечение бочки постоянным по высоте
и равным 5 м\ определить ее вертикальные колебания относительно
уровня спокойной воды, если плотность воды равна 1 т[м\ В началь-
ный момент бочка находилась на уровне спокойной воды, и ее абсо-

лютная скорость была равна нулю. Сопротивлением воды пренебречь.

„	/	7 . It , 49	3t\

Ответ: х~ — sin -= -С — sin -=- м.

\ OV Z VU	& 1
Задача 832. По условиям предыдущей задачи определить уста-
новившиеся колебания бочки относительно колеблющегося уровня
воды, если сила сопротивления воды пропорциональна первой
степени скорости бочки, причем коэффициент пропорциональности
равен 16 кн-сек!м.

3 \

Ответ: х = 0,32 sin -к-— arctg .-; м.

\ Li	О J

Задача 833. Электромотор массой М (вместе с ротором) уста-
новлен на упругом фундаменте, снабженном демпфером. Статиче-
ский прогиб фундамента равен f. Ротор мотора имеет массу т,
а центр тяжести его смещен по отношению к оси вращения на
величину г. Определить угловую скорость ш ротора, если ампли-
туда вынужденных колебаний замерена и равна а. Демпфер обу-
словливает появление силы сопротивления, пропорциональной
скорости, п сконструирован так, что при выключенном моторе
имеет место предельное апериодическое движение фундамента.

Ответ: w

f(mr — Ma) ‘

Задача 834. На стержне, имеющем при данной температуре То
равновесную длину /0, подвешен груз массой т. Температура
окружающей среды начинает колебаться по закону Т — То s\npt.
Определить вынужденные колебания груза, если коэффициент рас-
ширения стержня равен а, а коэффициент жесткости с не зависит
от температуры. Массой стержня пренебречь.

Указание. Упругая сила пропорциональна разности между
действительной длиной стержня и его номинальной длиной при
данной температуре. За номинальную длину при данной темпе-
ратуре принять

~	claab sm pt

Ответ: х = —-—-4-.

с — тр2
ГЛАВА XII

ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИ

§ 1. Теоремы о движении центра инерции
и об изменении количества движения

Центром инерции (масс) системы материальных точек назы-
вают геометрическую точку, положение которой определяется
радиусом-вектором

4= k=\	(12.1)

или координатами

У, mkxk
_____
ХС — М
п

п

У, mkzk

___

'с— М

п

где М = У mk — масса системы.

fe = l

Уравнение движения центра инерции имеет вид

или в координатной форме

Мхс =

Myc = Rf, 

М'2с=Це\

(12.3)

(12.4)

где — главный вектор внешних сил.

Таким образом, центр инерции любой системы движется так,
как двигалась бы материальная точка, имеющая массу, равную
массе всей системы, если бы на нее действовала сила, равная
главному вектору всех внешних сил, приложенных к данной
системе.

Если /?(е) = 0, то vc — const; если Ц^ — 0, то vCx = xc = const.
Количеством движения точки называют вектор, равный то, а
количеством движения системы — геометрическую сумму векторов
количеств движения всех точек системы, т. е.

Q= У = Мос.	(12.5)

Производная по времени от количества движения системы
равна главному вектору всех внешних сил, действующих на систему,
т. е.

— D(e)

•di V

(12.6)

Приращение количества движения системы за конечный про-
межуток времени равно импульсу главного вектора всех внешних
сил, действующих на систему, за этот же промежуток времени, т. е.

t

Q—Q0 = ^R^dt	(12.7)

О
или в проекциях на оси:

о

О

Для материальной точки

t

то— mo0 = ^Fdt	(12.8)

о

или в проекциях на оси координат
t
т{ох~ и0А) = \Fxdt,
б
t

т (Оу — о^у) =\Fydt,
б

t

т (рг - иОг) = $ F, dt,
О

(12.9)

где и0 — скорость точки в начальный момент;

о — скорость точки в момент t\

F — равнодействующая всех сил, приложенных к точке.
Задача 835. Скорость судна водоизмещением т = 25 000m за
время / = 50 сек после прекращения работы турбины уменьши-
лась на 5 узлов. Определить среднюю силу сопротивления воды,
считая движение корабля прямолинейным (узел — единица скоро-
сти, равная 1 миле в час, или 0,5144 м}сек).

Решение. Рассматриваем корабль как материальную точку,
движущуюся вдоль оси Ох. По первой формуле (12.9) имеем

t

т (vx — х) = ^Fxdt = Fxср/,
о

откуда

Р ____m(vx — vOx) _ — 25000-5-0,514 _	1f)09

* хер—	—	5Q	— 1ZOZ кн.

Задача 836. Горизонтальный поршневой двигатель установлен

без крепления на горизонтальном гладком фундаменте (рис. 452).
Кривошип ОЛ длиной г вращается

с постоянной угловой скоростью ш.
Принимая длину шатуна равной
длине кривошипа и считая, что мас-
сы движущихся частей приведены
к двум массам тх и т2, сосредото-
ченным в пальце кривошипа и в

центре поршня, определить горизон-
Рис- 452	тальное движение корпуса двигателя,

если его масса равна т3. В началь-
ный момент поршень занимал крайнее левое положение, а корпус

находился в покое.

Решение. Рассмотрим двигатель как систему, состоящую из
трех_ масс тл, т2, т3. На нее действуют внешние силы:

Pi, Pi, Р_з — силы тяжести;

N — нормальная реакция гладкого фундамента.

Поскольку требуется найти горизонтальное движение корпуса,
воспользуемся первым уравнением (12.4):

шс=р(хе).

(а)

Пусть Xi, х2, х3 — абсциссы масс системы в текущий момент t.
Тогда абсцисса центра масс системы будет

„ __	-j- /п2х2 -j- tnsx3	...

хс—	М	*

Выразим все абсциссы через искомую х3, имеем

хг = х3 I — г cos о>/,
== х3 / — 2г cos wt,

где 1= const — разность абсцисс точки О и массы т3.
Подставляя эти абсциссы в формулу (Ь), получим

хс —

[т1 -ф- т2 4" ш8) х, mJ -j- m2l — mtr cos "it — im2 cos at
M

— x3

I mi 4~ ,,:n t
M

2m,) r	,

--JT COS »>/.

Дифференцируя xc дважды по времени и подставляя в (а),
будем иметь дифференциальное уравнение движения центра масс
корпуса двигателя:

Mx3 = R(x —(/«!—[— 2m2) rw8 cos ut.	(a')

В данной задаче = так как при выбранных осях все
внешние силы параллельны оси О^у. Уравнение (d) примет вид

х’а

(т, Ч-2/лЛ г®2	,

s-J---v—— cos о>4

т2 -j— та —т3

Интегрируя, найдем

х3

(mt-\-2ma) га1

rcosin <o/-|-Ci,

(mt -|- 2;na) r cos at
Г1Ц —“4 ^3

4ci^ -J~c2'

Учитывая начальные условия движения корпуса (х3 !Ьо =
х3 |f О = 0), получим

Ci — 0;

„ _ „о __ mt + 2OT, „

2	3 mL -|- ;па Д- т. ' ’

где х3— начальная абсцисса корпуса двигателя.
Итак,

>,=4- 44^-4a-co*..о.
fill nig f/l^

Это и есть искомое уравнение движения корпуса двигателя.
Таким образом, корпус двигателя будет совершать гармонические
колебания с амплитудой

т, 4- 2т„
d Z  ---i—!--±  /•

рц + т2 + т3

и с круговой частотой <о.

Задача 837. Используя условия предыдущей задачи и полагая,
что корпус двигателя закреплен при помощи болтов, определить
суммарное горизонтальное усилие на болты и давление на фун-
дамент.

Решение. Воспользуемся уравнениями (12.4):

Шс = /^>; Мус = ^\
Так как

v ___ xtm, -fzxa/n2 + x8;n3	____j!1m1 +УгШг +ysm,

хс— М > Ус— м

то

- ___ A»»i + ^2/ns + A»Ja . п ________ j’i»h+j’s»»s+.5’i>''»3

хс— м ’ Ус— м

Имеем

х, == Xi 4~ г — г cos ш/;

х2 = х2 Ц- 2г — 2r cos со/;

х3 = Х3 = const;

f/i = y'i + r sinw/;

№ = </2 = const;

Уз = Уз = const.

Следовательно,
,, га- (m, Ч-2/n»)	,	.. ra^m, 	,

-4? =---4r~—COSMt’ Ус =-----------^sinco/.

Таким образом,

Rx} = (mj -L 2m<i) no2 cos u>/;	= — m^co2 sin co/.

Поскольку, с другой стороны,

R^ = N — (mi —zzta ~H тз) g,

то давление на фундамент будет

N = (пц + m2 4~ m3) g — sin <o/.
Суммарное усилие, срезывающее болты,

Т ~ | Rx I = (mi 2m./) ru>1 I cos со/ j.

Задача 838. На покоящейся непривязанной шлюпке массой т
находятся два человека, массы которых равны тх и т2. Что про-
изойдет со шлюпкой, если первый человек переместится по на-
правлению к корме на расстояние /ь а второй — к носу на рас-
стояние /4? Сопротивлением воды пренебречь.

Ответ: шлюпка переместится на расстояние

s _ I m,/i —|
mi 4- mi 4~

Задача 839. Лодка с находящимся на ней человеком имеет
скорость v0. Определить, пренебрегая сопротивлением воды, пере-
мещение s лодки вследствие движения по ней человека с отно-
сительной скоростью и по направлению к носу, если масса чело-
века т, а масса лодки М. При каком значении и лодка не будет
перемещаться?

„	v„ (т-1-Л4) — ти .	л ,

Ответ: s— °	лодка не бУДет перемещаться

v0 (т4-М)
при ц =	1 —

г	т
Задача 840 (рис. 453). Эллиптический маятник состоит из
тела А массой ть которое может перемещаться поступательно
по гладкой горизонтальной плоскости, и груза В массой mit свя-'
занного с телом стержнем длиной I. В на- у
чальный момент стержень отклонен на угол	|

<р0 и отпущен без начальной скорости. Пре-
небрегая весом стержня, определить смеще- УХ///Х///////^х//Х * j
ние тела А в зависимости от угла откло-	„

J	1 у ()"

нения ср.	• 1

Ответ: = -Рис- 453
mt ms

Задача 841. Однородный прямой конус высотой h, имеющий
угол 2а при вершине, поставлен вершиной на гладкую горизон-
тальную плоскость. Найти расстояние s, на которое переместится
вершина конуса к моменту его падения на плоскость.

Ответ: s = -rh cos а.
4

Задача 842 (рис. 454). В полом цилиндре радиусом R и мас-
сой М находится тяжелый шарик массой т. Цилиндр может
поступательно перемещаться по гладкой горизонтальной плоскости.

Рис. 454

А

uTb8

Рис. 455

Определить уравнение движения центра тяжести цилиндра. Раз-
мерами шарика пренебречь. В начальный момент <р = 0, скорость
шарика равна у0, а цилиндр находится в покое.

М-\-т

Задача 843 (рис. 455). К тележке А массой М подвешен маят-
ник, который колеблется по закону <р = <р0 sin kt. Определить
уравнение движения тележки, если масса маятника т, а длина
стержня маятника равна I. Трением скольжения и массой стерж-
ня пренебречь. В начальный момент тележка находилась в покое.

Ответ: x==^at^^mkt)\^

Задача 844. Используя условия предыдущей задачи, опреде-
лить давление N тележки на горизонтальный фундамент.

Ответ: N = (М т) g т1у$* [cos (<р0 sin kt) • <р0 cos3 kt —
— sin (<f>0 sin kt) sm kt ].

Задача 845 (рис. 456). Тяжелый круглый цилиндр В массой т
посередине обмотан тонким гибким тросом, конец которого за-
креплен в неподвижной точке А. Цилиндр падает так, что уско-
рение его оси равно w. Найти натяжение нити Т.

Ответ: Т = m(g— ш).

Задача 846 (рис. 457). На однородный цилиндр А, могущий
свободно вращаться вокруг горизонтальной оси, намотан трос,

Рис. 456	Рис 457	Рис. 458

на свободном конце которого подвешен груз В массой т. Опре-
делить давление на ось цилиндра, если груз опускается с уско-
рением w, масса цилиндра равна М.

Ответ: N = (M-\-tn)g— mw.

Задача 847 (рис. 458). Грузы и /М3 массами ту и ш2
{ту^>тА подвешены к концам троса, перекинутого через неве-
сомый блок А. Определить давление блока на ось
///////////// г

Л А ПРИ Движении грузов, если ускорения грузов равны ау.
Ответ: N = (/rat Ц- m.2)g — (тх- т.г) w.

J Задача 848 (рис. 459). Груз массой т, под-
нимается при помощи блочного приспособления.
(Цмг Определить величину реакции оси блока /, если
груз ЛЦ массой опускается с ускорением ш. Тре-
нием и массой блоков пренебречь.

Ответ: N — (тх -{- ma) g — [пц— -у'®.

Задача 849. Горизонтальная паровая машина
Рис. 459 установлена на неподвижном фундаменте.t Масса мо-
тыля mlt масса шатуна тг, масса поршня т3. Найти

максимальное горизонтальное давление машины на крепления при
ее работе, если мотыль вращается с постоянной угловой ско-
ростью <о0, а отношение у 1, где г — длина мотыля, I — длина
шатуна. Мотыль и шатун считать однородными стержнями.

Ответ: Мтах = ф -Ц 2 (т2 Ц- т3)	у (т2 -Ц 2т3) j.

Задача 850. Железнодорожный состав массой 1000 т передви-
гается равномерно по горизонтальному пути со скоростью 36 км/ч
паровозом массой 100 т. После разрыва сцепки между паровозом
и составом вагоны прокатились на 95 м за 10 сек. Считая, что
ни сила тяги, ни сйла трения при разрыве не изменились, найти,
на каком расстоянии от вагонов находится в тот же момент

паровоз.

Ответ: х = 55 м.

Задача 851. Две массы ту и связаны нерастяжимой нитью
длиной I и лежат на абсолютно гладкой горизонтальной плоскости.
Массе сообщается скорость vlt перпендикулярная нити. Найти
натяжение нити.

Ответ: Т

/ (т^т2) ‘

Задача 852 (рис. 460). Однородная квадратная рама ABDC
со стороной а вращается вокруг оси АВ с постоянной угловой

Рис. 460

скоростью «>. Вокруг оси СВ, совпадающей с диагональю рамы,
вращается однородный диск массой тх. Определить количество

движения системы, если масса рамы равна т2-

Ответ:	.

2

Вектор Q направлен по перпендикуляру к плоскости рамы

в сторону ее вращения.

, Задача 853 (рис. 461). Однородная шестерня / радиусом г

катится по неподвижной шестерне II с таким же радиусом при
помощи кривошипа ОА, вращающегося с по-
стоянкой угловой'скоростью	/I

Определить количество движения системы,	1]

если масса шестерни / равна mlt а кривошип
представляет собой однородный стержень	yzn

массой т2.	_ _____	и

Ответ: Q =	пи), Q1_OA.	II

Задача 854. Кулисный механизм, пока- влК JJ
занный на рис. 462, приводится в движение
кривошипом ОС, вращающимся с постоянной рис
угловой скоростью о>0 вокруг оси О. Опреде-
лить количество движения механизма в момент t = -~ сек, если
4о>0

й начальный момент кривошип занимал крайнее правое положе-
ние. Массы кривошипа, ползуна и кулисы соответственно равны
rrii, m3 и m3. Расстояния: ОВ = а; ОС = аУ 2; АВ — 2а. Криво-
шип и кулису считать однородными стержнями.

Ответ: Q = ш(|а j/"mJ -J- 2 (у + т^ 4- 2т31	-f- тг\.

Задача 855. Точка массой т движется по окружности с по-
стоянной по величине скоростью v. Определить величину импульса
силы за четверть и пол-оборота.

Ответ: за 1/4 оборота S — тс\/Г2; за 1/2 оборота S = 2mv.

Задача 856. Точка массой т брошена с начальной скоростью
под углом а к горизонту. Определить, пренебрегая сопротивлением
воздуха, полный импульс силы тяжести за время движения точки.

Ответ S = 2mt>0sma.

Задача 857. Точка массой т движется в плоскости хОу со-
гласно уравнениям

x — acos kt; y = bsinkt.

Определить импульс силы за время, в течение которого точка
находится в положительном квадранте.

Ответ • S = mk Р.

Задача 858. По настилу, наклоненному под углом 30° к гори-
зонту, опускается груз без начальной скорости. Определить ско-
рость груза по истечении 3 сек, если коэффициент трения сколь-
жения равен 0,5

Ответ: v— 1,97 MjceK.

Задача 859. Телу, находящемуся на наклонной плоскости,
образующей с горизонтом угол 45°, сообщена начальная скорость,
параллельная плоскости, равная 9,81 м/сек и направленная вверх.
Определить время движения тела до остановки, если коэффи-
циент трения равен 0,2.

Ответ, t = 1,18 сек.

Задача 860 (рис. 463). Тяжелая точка помещена на наклон-
ную плоскость I с углом наклона aj и отпускается без началь-

Рис 463	Рис 464

ной скорости. Дойдя до наинизшего положения, она поднимается
затем по наклонной плоскости II с углом наклона а3. Зная вре-
мя спуска tit определить время подъема пренебрегая трением.

Ответ:	.

‘	1 SHI as

Задача 861 (рис. 464) Тело А массой 10 кг перемещается по
горизонтальной плоскости под действием постоянной силы Q, об-
344
разующей с плоскостью угол а = 30°. Определить величину си-
лы Q, если за 5 сек скорость тела возросла с 2 м/сек до 4 м/сек,
а коэффициент трения / = 0,15.

Ответ: Q = 20 н.

Задача 862. Под каким углом а должна быть приложена к
телу сила Q, чтобы она была минимальн&й, если все прочие дан-
ные задачи 861 остаются неизменными? Какова при этом вели-
чина силы Q?

Ответ: a = arctg/ = 8С32'; Qmin= 18,52 н.

Задача. 863 (рис. 465). Ползун М массой 20 кг перемещается
вдоль вертикального стержня АВ под действием силы Q — 70Q н,

Рис 465

направленной под углом а = 60° к стержню. Определить время t,

в течение которого скорость ползуна увеличится на 2 м/сек,
если коэффициент трения / = 0,2.

Ответ: /=1,227 сек.

Задача 864 (рис. 466). Решить задачу
стержень АВ образует с горизонтом угол
Q — угол а = 45°.

Ответ: / = 0,12 сек.

Задача 865 (рис. 467). На тело М
массой т, лежащее на шероховатой го-
ризонтальной плоскости, действует си-
ла Q, направленная под углом а к гори-
зонту. Определить скорость тела по

863 при условии, что
р = 30°, а с вектором

Рис 467

истечении / сек, если величина силы

изменяется по закону Q = at, где а — постоянная величина. Коэф-
фициент трения скольжения равен /.

Ответ: о = 0 для 0^/sgj^,

v

_ (kat — fmgY

2ka

при
r ka ’

где fe = cosa — /sin a.

Задача 866. Электрон массой tn влетает в переменное электри-
ческое поле, изменяющееся по закону E — E^sin u>t, и летит в на-
правлении поля. Найти изменение его скорости за половину
периода iO сЛ • Сила, действующая на электрон, равна еЕ.

>еГ

Ответ: kv = —.
та

Задача 867. На покоящейся лодке массой /И находится чело-
век, масса которого равна т. С какой скоростью v будет пере-
мещаться лодка, если человек начнет двигаться по ней с относи-
тельной скоростью й? Сопротивлением воды пренебречь.

Ответ: v —-------у-ттИ-

Задача 868. Матрос весом P = mg перемещается по шлюпке
массой М с относительной скоростью и. Определить скорость
шлюпки в зависимости от времени, считая сопротивление воды
постоянным и равным R. В начальный момент матрос и шлюпка
находились в покое.

Задача 869. Считая в условиях предыдущей задачи, что шлюпка
получила в начальный момент скорость у0, определить, через
сколько времени ее скорость станет равной нулю? Какому усло-
вию должна отвечать длина шлюпки /, чтобы задача имела реше-
ние при любом значении относительной скорости и?

Ответ: / =	+	+

R	’	wiR.

Задача 870. Корабль водоизмещением 10 000 т, двигающийся
со скоростью. 36 км!ч, производит залп из шести орудий по на-
правлению, образующему с направлением движения угол 30°.
Определить, на сколько процентов изменится скорость корабля
в первый момент после выстрела, если считать, что поперечная
составляющая отдачи уничтожается сопротивлением воды. Масса
каждого снаряда 250 кг, а его начальная скорость равна 800 м)сек.

Огпвет: Скорости корабля уменьшится на 1,04%.

Задача 871. Снаряд противотанковой пушки, имеющий массу 6 кг,
ударившись о лобовую броню танка, масса которого равна 30 т
под углом к ней 30°, рикошетирует. Найти изменение скорости
танка, если скорость снаряда равна 500 MjceK.

Ответ: Скорость танка изменится на 0,1 MjceK,.

§ 2. Теорема об иеменении кинетического момента.
Дифференциальное уравнение вращения твердого тела

Кинетическим моментом системы называют главный момент
количеств движения всех точек системы:

п

(12.10)
*=i
Кинетический момент твердого тела относительно неподвижной
оси его вращения определяют формулой

=	(12.11)

где Jz — момент инерции тела относительно оси вращения;

«> = ф— алгебраическая величина угловой скорости.

Производная по времени от кинетического момента системы
материальных точек относительно неподвижного центра равна
главному моменту всех внешних сил, действующих на систему,
относительно того же центра, т. е.

=	(12.12)

Производная по времени от кинетического момента системы
относительно неподвижной оси равна главному моменту всех внеш-
них сил относительно той же оси, т. е.

=	(12.13)

с* 4	с* 4	UL

Для твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси Oz,
последняя формула примет вид

(12.14)
где е= <» = ?.

Если	то из (12.12) имеем закон сохранения кинети-

ческого момента:

Lo = const.	(12.15)

Если Мх> = 0, то Lx — const.

Теорема об изменении кинетического момента справедлива и
для случая относительного движения точек системы по отноше-
нию к поступательно движущимся осям с началом в центре масс
(центре инерции) системы, т. е.

(12.16)

Задача 872 (рис. 468). В экспериментальной установке для
определения моментов инерции испытуемая деталь укрепляется
на шпинделе АВ, на котором насажен барабан радиусом R. На
барабан намотана нить, к концу которой прикреплен груз мас-
сой т. Пренебрегая трением и сопротивлением воздуха, опреде-
лить момент инерции детали, если груз, будучи отпущен без
начальной скорости, проходит расстояние h за время t. Момент
инерции вала с барабаном равен Jft. Принять, что центр тяже-
сти С детали находится на оси шпинделя.
Решение. Рассмотрим систему, состоящую из детали, барабана
с валом и груза. Воспользуемся третьим уравнением (12.13).
Имеем

(d)

Кинетический момент системы равен сумме кинетических
моментов детали, вала с барабаном и груза, т. е.

Рг = Lz	Ч- '•

Поскольку

L\ = Jw, L1} = Jnw; L™ — mvR,

где J — искомый момент инерции детали;
v~u>R— скорость груза, то

^ = (/ + Л4-т/?2)^.

Внешними силами (рис. 468, б), действующими на систему,
являются вес Р_ падающего груза; вес Q детали, вала и бара-
бана; реакции NA и подшипников А и В.

°)	4х

Рис 468

Пренебрегая трением в подшипниках и их размерами, полу-
чим	_	__

УИг(^) = ;И2(ЛУ = 0.

Поскольку центр тяжести вращающихся тел лежит на оси, то

Мг($) = 0,

следовательно,

Mf = PR.

Подставляя полученные величины в уравнение (d), имеем
(J + Jo + mR*) — mgR,

откуда

^=	^^ COnst.
Интегрируя дважды это выражение и учитывая начальные усло-
вия получим

и . mgRV
ri~ 2(/+4-j_,n^) -
откуда

Задача 873. Винт судна имеет момент инерции J и приво-
дится во вращение из состояния покоя вращающим моментом М.
Винт испытывает силы сопротивления воды, момент которых про-
порционален квадрату угловой скорости, т. е. Alconp = W, где
k — постоянный коэффициент. Определить среднюю угловую ско-
рость винта за промежуток времени, по истечении которого угло-
вая скорость его станет равной «ч-

Решение. Применим дифференциальное уравнение вращения
твердого тела (12.14):

Jzz = МТ-

Внешними моментами являются вращающий момент М и мо-
мент Л4сопр. Таким образом,

— krf.	(е)

Искомая средняя угловая скорость может быть найдена по фор-
муле

wcp=J-	(О

Для нахождения ср и t проинтегрируем уравнение (г). Разде-
ляя переменные, получим

	Jdm 	 ,,  М — №
Обозначим	М t  ~k~a ’
тогда	Jdm 	

Интегрируя, будем иметь

J
2ak

|“=“i
а — |ш=о

=t,

откуда

2ak а — <б1
Найдем <р как функцию а>. Для этого умножим (е) на d<$, получим
Jwdw = (М — ku1') d<f.

Разделяя переменные, имеем

Интегрируя, найдем
I .	г. =

— ~~ In (а2 — w3)	=<р,

2k v '|ш=о т

отсюда

Согласно (/), имеем

J 1 а2

У~2к Па2—<ef-

, «2
л2 2
а2 — <о?
ш.п — а-----------------1—L

а — <л1

Задача 874. Ротор гироскопа массой 30 кг в момент выклю-
чения делал 12 000 об]мин. Определить момент относительно оси
вращения сил сопротивления, приложенных к ротору, считая их

постоянными, если ротор остановился
через 30 мин. Осевой радиус инерции
ротора равен 10 см.

Ответ: Л1,= "- = 0,209 н-м.
г 1а ’

Задача 875 (рис. 469). Шкив М,
вращающийся с угловой скоростью w0,

Рис. 469	тормозится при помощи ручного тор-

моза. С какой силой Р надо прижать
рукоятку, чтобы шкив остановился через t сек, если коэффициент
трения Д длина рукоятки а, ОК~Ь, момент инерции шкива J,

а его радиус г.

Ответ: P = J^.

Задача 876. Используя условия задачи 875, определить число

оборотов, совершенных шкивом до его остановки.
Ответ: N =	=

Задача 877. Однородному стержню длиной 21, лежащему на
горизонтальной плоскости, сообщена угловая скорость ю0 вокруг
оси, перпендикулярной стержню и проходящей через его центр.
Определить время вращения стержня до остановки, считая его
давление на плоскость равномерным, а коэффициент трения
о плоскость равным Д

Ответ: t = ^~.
Задача 878. Однородный диск радиусом R, вращающийся
с угловой скоростью <«0 вокруг оси, перпендикулярной к плоско-
сти диска и проходящей через его центр, помещен на шерохова-
тую горизонтальную плоскость. Найти время, прошедшее до
остановки диска, считая давление диска на плоскость равно-
мерным, а коэффициент трения скольжения равным

Ответ:

‘igf

Задача 879. Маховик, момент инерции которого J, в начале
торможения имел угловую скорость и>0. Определить, через сколько
времени его угловая скорость уменьшится в два раза, если момент
сил сопротивления пропорционален квадрату угловой скорости
(коэффициент пропорциональности равен fe).

Ответ: t = Mr.

“о»

Задача 880. Используя условия предыдущей задачи, опреде-
лить число оборотов, совершенных маховиком за указанный про-
межуток времени. Какова при этом средняя угловая скорость?

Ответ: N = "уП,-~; ш = we In 2.

2,nk ’

Задача 881. Винт судна имеет момент инерции J и приводится
во вращение из состояния покоя постоянным вращающим момен-
том М, встречая при этом сопротивление воды, пропорциональ-
ное его угловой скорости. Зная предельную угловую скорость wnp,
определить, через сколько времени после начала движения вра-
щение винта можно считать равномерным с относительной ошиб-
кой не более ).= ^—

шпр

Ответ: через / =	In-!-.

Задача 882. Маховик, имеющий угловую скорость а>0, тормо-
зится силами, момент сопротивления которых пропорционален
корню квадратному из угловой скорости. Определить среднюю
угловую скорость за время торможения.

Ответ: и>ср = у.

Задача 883. Движущий момент сериесного электродвигателя
в некоторых условиях обратно пропорционален квадрату угловой
скорости вращения вала. Принимая момент сил сопротивления
постоянным и равным /И, определить, через сколько времени
угловая скорость мотора утроится, если начальная угловая ско-
рость <«0 вчетверо меньше предельной. Момент инерции ротора
равен J.

Ответ: t = 0,87	.

Задача 884. При работе дизеля с отключенным винтом и без
регулятора движущий момент Л4Д =— А -ф- Вы (Л ф>0; В^>0;
w — угловая скорость). Определить закон изменения угловой скоро-
сти с течением времени, если приведенный момент инерции равен J.

Начальная угловая скорость —.

. , в/

~	А । / А \ -г

Ответ: =и +' “о-------к- е *

D ‘ \	D /

Задача 885. На тормозящийся вал действуют постоянный мо-
мент сил трения подшипников и момент сил сопротивления М2,
вызываемый электромагнитной муфтой и изменяющийся по закону
М, = МТ (1 — е~*'),

где Л1Т — наибольшее значение момента сопротивления,

k — постоянная, зависящая от параметров муфты.

Определить угловую скорость вала как функцию времени, если
его начальная угловая скорость равна w0, а момент инерции равен J.

Ответ, ш = «>0 — (— j—~ I t —	~ ’)•

Задача 886. Для уменьшения ошибок в показаниях гироско-
пических приборов, вызванных движением судна, приборы кон-
струируют так, чтобы период собственных колебаний был равен
периоду колебаний математического маятника, имеющего длину,
равную радиусу Земли (/? = 6400 км). Определить этот период.

Ответ: т?«84 мин

Задача 887. Однородный диск радиусом R подвешен так, что
может совершать колебания в вертикальной плоскости вокруг
горизонтальной оси, проходящей через точку на его окружности.
Определить период малых колебаний диска.

Ответ: т = 2тс Л/

V 2g

Задача 888 (рис. 470). В сейсмографе однородный стержень

массой т удерживается в горизонтальном положении при помощи
вертикальной пружины с жесткостью с,
У	прикрепленной в точке М к стержню

>	на расстоянии 0М = а. Определить пе-

>	риод собственных колебаний стержня

>	в вертикальной плоскости, если длина

л гм	его Равна /.

..‘	Ответ: т = 2п ~
а у de

Рис. 470	Задача 889. Однородный стержень

длиной 21 может колебаться в верти-
кальной плоскости около одной из своих точек, как физический
маятник. Найти, где должна быть расположена точка подвеса,

чтобы период колебаний был наименьшим.

Ответ: расстояние от точки подвеса до серёдины стержня
равно X
.Задача 890 (рис. 471). Однородный диск массой Л4 может
вращаться вокруг перпендикулярной к нему горизонтальной оси О.
К точке А диска прикреплена пружина с жесткостью с, как ука-

Рис. 471

зано на рисунке. Определить период
горизонтальном положении радиуса

_ Ответ: т = 2тс 1/

колебаний диска, если при
ОА пружина ненапряжена.

Задача 891 (рис. 472). Тонкий стержень, изогнутый по дуге
окружности радиусом /?, подвешен на нитях так, что он может
колебаться в своей плоскости вокруг горизонтальной оси, совпа-
дающей с центром окружности. Определить период малых коле-
баний стержня, если X. АОВ — 2а.

Ответ: т

«R
gsma'

Задача 892 (рис. 473). В горизонтальном сейсмографе ось АВ

составляет весьма малый угол я.
груза М отстоит от оси вращения
на расстоянии I. Определить пе-
риод малых собственных колебаний
сейсмографа. Массами стержней
пренебречь.

Ответ: х = 2я1/
v ga

Задача 893 (рис. 474). Тонкая
однородная пластина A BCD мас-
сой 1 кг может колебаться вокруг
оси АВ, составляющей с верти-
калью угол а= arcsin 0,2. Каждый

Центр тяжести

вертикалью.

Рис. 473

Рис 474

элемент площади dS при этом испытывает силу сопротивления
среды, равную kvdS, где v — скорость, a k = 200 н • сек/м*. Найти
условный период затухающих колебаний пластины при малых
начальных возмущениях, если ДВ = Ь = 20 см, AD — a — 10 см.
Ответ: т = 1,25 сек.

12 Н. А Бражниченко и др,

353

с
Задача 894 (рис. 475). Прибор Рэлея для измерения звукового
давления состоит из тонкого диска радиусом а и массой т, под-
вешенного на кварцевой нити При воздействии на диск звуковой
волны появляется момент

М = ^-pa'ui

О

(р — плотность воздуха, и = sin ю/ — скорость волны), вызываю-
щий крутильные колебания нити. Определить амплитуду вынуж-
денных колебаний диска, считая упругий коэффициент нити при кру-
чении равным с, а момент сил трения равным t/ф (а — постоянная).

Ответ: А ==—-==Л==- ,

— 4<о2)2

где

= ь=^аи\

и zna2’ та2 ’ Зт

Задача 895 (рис. 476). Груз М массой тх прикреплен к тросу,
намотанному на сплошной цилиндрический барабан, который мо-

жет вращаться вокруг горизонтальной оси. Определить ускорение
груза при его падении, а также суммарное давление барабана
на подшипники, если масса барабана равна т2. Массой троса
и трением пренебречь.

2т, е	л г	Зт.т2А~т%

Ответ: w — 5—У2—; N —	—- g.

2mt т2 ’	2т1 ms s

Задача 896 (рис. 477). Четыре одинаковых точечных груза
массой Ш| каждый вращаются на крестовине в вертикальной пло-

скости. Расстояния от грузов до оси вращения одинаковы
и равны I. Крестовина приводится во вращение при помощи
груза массой т2, прикрепленного к нити, намотанной на барабан.
Определить натяжение Т троса, если радиус барабана, на кото-
рый он намотан, равен г. Массой барабана, крестовины и троса,
а также трением пренебречь.

Ответ: Т ==	Г ё-

4т J2 -ф т2г~ь
Задача 897 (рис 478). Груз М массой mt поднимается при

помощи ворота. Масса барабана ворота
бана R, длина рукоятки ОА — I. Счи-
тая силу 6, приложенную перпендику-
лярно к рукоятке барабана, постоян-
ной по величине, определить закон дви-
жения груза М и натяжение Т троса,
если в начальный момент скорость гру-
за была равна нулю. Барабан считать
сплошным однородным цилиндром. Мас-
сой рукоятки пренебречь.

n	(GI — mtgR) t1

R ’

ГГ> _ WJj (W2g/? —

(m2-\-2mt)R ’

равна m2, радиус бара-

Задача 898 (рис 479). На однородный сплошной цилиндр ра-

диусом г и массой ть который может вращаться вокруг непод-

Рис 479

при условии,
Ответ: е =

вижпой горизонтальной оси, намотан в один ряд
трос длиной I и массой тг. Определить угловое

ускорение цилиндра в зависимости от длины све-
шивающейся части троса х. Трением в подшип-
никах и толщиной троса пренебречь. Считать, что
центр тяжести намотанной части совпадает с цен-
тром барабана.

Ответ:

Задача

__ 2xm2g
rl

899. Используя условия предыдущей

задачи, определить угловое ускорение цилиндра
что к концу троса подвешен груз массой т3.

2g (msl т2х)

г2 (пг2 -J- w3)J

Задача 900. Тонкий однородный диск массой 20 кг и радиу-
сом 0,8 м вращается в горизонтальной плоскости вокруг закреп-
ленной точки О, отстоящей от его центра на расстоянии 0,4 м.
Опредёлить величину горизонтальной составляющей реакции в за-
крепленной точке через 1 сек после начала движения, если
к диску приложен вращающий момент, равный 30 н • м. В на-
чальный момент диск находился в покое.

Указание. После определения е и <в использовать теорему

о движении центра инерции.

Ответ: R — 82 н.

Задача 901 (рис. 480). Однородный сплошной цилиндр радиу-
сом г и массой т может свободно вращаться вокруг неподвиж-
ной оси АВ. На цилиндр намотан нерастяжимый трос, к концам
которого прикреплены грузы и М9. Определить закон изме-
нения угловой скорости и угла поворота цилиндра как функции
от t, если в начальный момент цилиндр был в покое. Масса

груза Mi равна тх, масса груза ЛЦ равна т2. Трением в под-
шипниках и массой троса пренебречь.

Принять mC^m-i-

Ответ- w —	.

Ответ. <» — (2W1+2m2+/»)r’

™	(2.тг	2т2-}-т)г ‘

Задача 902. Цилиндр радиусом R и
массой М, имеющий радиус инерции р,

Рас. 480	приводится во вращение вокруг гори-

зонтальной оси при помощи навитого

на него троса, на конце которого прикреплен груз массой т.

Вращению цилиндра препятствует спиральная пружина, для за-
кручивания которой на 1 радиан необходимо приложить момент,
равный с. Определить закон вращения цилиндра и наибольший
угол его поворота, если в начальный момент система была в по-

кор, а пружина не деформирована

Ответ- <р —	(1—cos kt); —	,

где

k — 1/~ с______

к~у Mf-p-mR2'

Задача 903 (рис. 481). Однородная тяжелая
прямоугольная пластина шириной 2Ь и высо-
той а вращается без трения вокруг вертикаль-
ной оси АВ На этой оси закреплен шкив ра-
диусом г с намотанной на него нитью, которая
переброшена через идеальный блок £) и несет
на конце груз Е. Считая, что каждый элемент
пластины dS испытывает перпендикулярную
к нему силу сопротивления R = kvdS (/г — коэф-

фициент пропорциональности, v — скорость элемента), определить
массу т груза Е, при которой предельная угловая скорость пла-
стины равна <«0. Массой шкива и блока пренебречь.

Л	2ku>0abs

Ответ: т = ——.

3rg

Задача 904. В задаче 903 определить закон изменения угло-
вой скорости с течением времени, если в начальный момент ско-
рость груза Е была гравна нулю, а масса пластины равна М.

Ответ: о, == о>0 (1 — ^), где =

Задача 905. Снаряд, имеющий осевой момент инерции, рав-
ный 15 кг-м\ выходит из ствола орудия с угловой скоро-
стью 200рад;сек. Считая, что снаряд движется в канале ствола
равноускоренно в течение 0,02 сек, найти внешний момент М,
действующий на снаряд Определить разность давлений на колеса
орудия, если расстояние между ними 1,5 м, а ствол составляет
с горизонтом угол 60°.

Ответ Л4 = 150 кн-м; Ni— ЛГ3=100 кн.

Задача 906 (рис. 482). Полому кольцу радиусом R сообщена
некоторая угловая скорость вокруг вертикального диаметра.
Внутри кольца из наивысшей точки движется шарик М мас-
сой т. Найти отношение наибольшей угловой скорости кольца
к наименьшей, если момент инерции кольца относительно оси
вращения равен J.

“max ।	।

Ответ: ----= 14-----т~-

“min

Задача 907 (рис. 483). Однородный горизонтальный диск ра-
диусом г и массой mi может вращаться вокруг неподвижной

Рис 482	Рис 483	Рис 484

вертикальной оси АВ, проходящей через его центр О. По ободу
диска движется материальная точка М массой т3 по закону
аР

s = МаМ =	. Определить угловое ускорение $ диска, если в на-

чальный момент диск был неподвижен. Трением пренебречь.

г,	2ат,

Ответ: е = -----,	, .

(2иг2 wij) г

Задача 908 (рис. 484). Однородный диск массой тх и
диусом г вращается вокруг оси АВ с угловой скоростью

ра-
«>0.

В некоторый момент от центра диска по его радиусу начинает
двигаться материальная точка Л4 массой т2 с постоянной ско-

ростью и. Определить угловую скорость и> диска по истечении
времени t после выхода точки из центра, а также в момент
когда точка дойдет до конца диска. Трением пренебречь.

Ответ: ш =	“i = OT1 + 2ma-

Задача 909. Однородный диск радиусом г и массой тх может
свободно вращаться вокруг вертикальной оси, проходящей через
его центр. На диске в точке, отстоящей от оси вращения на рас-
стоянии Л = -|-г, находится человек массой та. Определить
О
угол у поворота диска при перемещении человека вдоль кон-
центрической окружности радиусом h на половину ее длины.
Трением пренебречь.

Ответ: у — Q 8-,'”2о—.
т Утх 4* 8т2

Задача 910 (рис. 485). По горизонтально расположенной пло-
ской пластинке, которая может вращаться вокруг вертикальной
оси, движется по окружности с постоянной по величине скоростью
материальная точка М с массой т. Центр этой окружности Ot
расположен на расстоянии I от оси вращения, радиус ее равен г.

Рис 486

Найти зависимость угловой скорости пластинки ю от угла у,
определяющего положение точки М на плоскости, если момент
инерции пластинки равен J, а ее угловая скорость в момент,

когда точка дальше всего отстоит от оси вращения, равна нулю.
Трением в осях и сопротивлением воздуха пренебречь.

Ответ- ш =______________________

итвет. w	^_|_г2 + 2/гcosy)’

Задача 911 (рис. 486). Деревянная доска длиной I и массой т
может вращаться без трения вокруг горизонтальной оси ООХ.
В середине доски застревает пуля, летевшая перпендикулярно
к доске со скоростью у0. Определить угловую скорость, которую
приобретает доска в момент попадания пули, если масса пули

равна mi.

Ответ: ы

I (4ги —|— 3 wij) ’

§ 3. Теорема об изменении кинетической анергии

Кинетическую энергию материальной системы определяют
формулой

Т =	(12.17)
Для систем, совершающих сложное движение, кинетическую
энергию определяют по формуле Кёнига:

Mv>.

Т = -^Л-Т',	(12.18)

где Т — кинетическая энергия системы в ее относительном дви-
жении по отношению к поступательно движущейся системе коор-
динат с началом в центре инерции.

Для твердого тела, движущегося поступательно,

MvZ

Т = -2£,	(12.19)

где М — масса тела;

ус — скорость центра инерции (или любой друюй точки).
Для твердого тела, вращающегося вокруг оси,

Т=^-,	(12.20)

где J г — момент инерции тела относительно оси вращения,

<и — угловая скорость.

Для общего случая движения твердого тела (в том числе
и для плоского движения)

Mv*r

m __ С

'	2 ’

(12.21)

где Jc — момент инерции тела относительно мгновенной оси, про-
ходящей через центр инерции (для плоского движения
эта ось перпендикулярна плоскости движения);

ю — мгновенная угловая скорость.

Элементарную работу силы, приложенной к материальной
точке, на бесконечно малом перемещении определяют формулой

8Д = F  dr — Fds cos (F, x)==FxdK-\~Fydy-\-Fzdz. (12.22)

Работа силы на конечном перемещении материальной точки

А = ^F-dr = FTds = ^ {Fxdx-{- Fydy-[- Fzdz). (12.23)
l	L	L

Работа постоянной силы на прямолинейном участке пути s

A =Fs cos (F, s).	(12.24)

Работа сил тяжести любой системы

Л13(Р) = Р(гС1-гС2),	(12.25)

где Р — вес всей системы;

гс и zc — аппликаты центра инерции в начальном и конечном
положениях системы.
Работа упругой силы Fx= — cx при прямолинейном переме-
щении точки

Элементарную работу сил, приложенных к твердому телу, пе-
ремещающемуся произвольно, определяют по формуле

8Л = и?.0о4-Мой]Л,	(12.26)

где R и Л40 — главный вектор и главный момент приложенных
к телу сил;

О — произвольная точка тела.

Работа сил, приложенных к твердому телу, вращающемуся
вокруг оси,
fa

bA=Mzd<f, Ап = \МгЛ<?,	(12.27)

V1

где Мг — главный момент всех сил относительно оси вращения Ог.

Сумма работ всех внутренних сил в твердом теле равна нулю.
Мощность силы, приложенной к точке,

N = ^ = F-V=Fxv = F^-\-Fyy^ Fzi.	(12.28)

Мощность сил, приложенных к твердому телу,

M =	(12.29)

Для сил, приложенных к твердому телу, вращающемуся вокруг
неподвижной оси,

N==Mzu>.	(12.30)

В общем случае работа силы на криволинейном участке пути
зависит от формы кривой Ь, по которой перемещается точка.
Если силы, действующие на точку, таковы, что

&Fx_dFy dFx__dFz dFy__dFz
ду дх ’ dz дх ‘ dz ду ’
то работа не зависит от формы траектории точки, и поле сил
называют потенциальным. В этом случае

М = —йТТ;	—П8,	(12.31)

где П (х, у, z) — потенциальная энергия точки;

П1 и П2 — значения П(х, у, г) в начальном и конечном
положениях точки.

Потенциальная энергия поля силы тяжести

П = Ргс4~ const.	(12.32)

Если выбрана нулевая поверхность уровня, то получим

П = ±РЛ,	(12.33)
где h — высота центра тяжести относительно нулевой поверхности,
причем знак «плюс» имеет место в случае, когда центр тяжести
расположен выше этой поверхности.

Потенциальную энергию пружины (линейной и спиральной)
выражают формулой

ГЛ2

П=-2-,	(12.34)

где для линейной пружины:

с —жесткость, равная величине силы, вызывающей изменение
длины пружины на единицу длины;

Д — изменение длины пружины по сравнению с ее недефор-
мированной длиной;

для спиральной пружины:

с —жесткость, равная величине момента силы, вызывающего
закручивание пружины на 1 радиан;

Д — угол закручивания от недеформированного состояния.

Приращение кинетической энергии системы при перемещении
ее из одного положения в другое равно сумме работ, произведенных
на этом перемещении всеми силами, приложенными к системе, т. е.

Т\ — Т\ = Ап.	(12.35)

Если система неизменяемая, то

Т.,~ 1\ = А^,	(12.36)

где Л^’ — сумма работ внешних сил.

Производная от кинетической энергии системы равна сумме
мощностей всех сил, действующих на эту систему, т. е.

(12.37)

сумме кинетической и по-

Рис. 487

Если система движется в потенциальном силовом поле, то
полная механическая энергия, /:
тенциальной энергий, остается
постоянной, т. е.

Т 4- П = const. (12.38)

Задача 912 (рис. 487). Груз М
массой т помещен на неглад-
кую наклонную плоскость,
образующую с горизонтом угол а,
и прикреплен к концу пружины
с жесткостью с, другой конец
которой закреплен неподвижно.

Определить максимальное растяжение s пружины, если в началь-
ный момент пружина была недеформирована, а груз отпущен
без начальной скорости. Коэффициент трения тела о плоскость
равен f, причем /<^tga.
Решение. Согласно (12.35), имеем
tm',	mv'i	л

~2	2“	/112‘

На груз М действует вес Р, упругая сила F, нормальная реак-
ция плоскости N и сила трения Ртр, направленная как F.

Так как

Vi~ иг = 0, то =
т. е	_	_	_

= Д1а (Р) 4- Л12 (Ртр) + Д12 (Р) + А12 (ЛО = 0.
Здесь

Ртр  fP cos a, F — сх, Р = mg.
Далее найдем

Дн (Р) = Ps sin а; Л12 (Ртр) = — PTps = — fPs cos у;
ч

A13(F) = — <\cxdx =—	Л12(Л^) = 0.

о

Следовательно,

Ps sin а — Psf cos а — ~ = 0,
откуда

__2mg { sin а — f COS а)
с

Задача 913 (рис. 488). Редуктор скоростей состоит из трех
зубчатых колес /, II и III радиусами гг — г^ — г, г3 —Зг Пер-
вое колесо насажено на ведущий вал, второе свободно насажено
на раму, связанную с ведомым валом В, третье неподвижно.

Принимая колеса I и II за однородные

сплошные диски массами mt и т2 соответ-
ственно, определить зависимость между угло-
вой скоростью ведомого вала и углом по-
ворота ведущего вала, если к ведущему
валу приложен момент МА, а к ведо-
мому— момент сопротивления Мд В началь-
ный момент система находилась в покое,
а центр колеса II занимал верхнее поло-
жение Трением и массой рамы пренебречь.

Решение. Воспользуемся теоремой об из-
менении кинетической энергии системы
(12 35), имеем

Т,-Т\ = Ап	fe)

Так как в начальный момент система была в покое, то 71 = 0.

Найдем Та


где Tt и Тц—кинетические энергии колес 1 и II. Согласно
(12.20) и (12 21)

т __^1«>Г__Л“д

1 I 2	2 >

1 и~ 2 “Г 2 ’

Установим зависимость между угловыми скоростями. Для
точки D имеем

vD = о>1Г1 = 20),^,
отсюда

;— 2(0$

Найдем скорость точки С и угловую скорость вала В:

__0>3

ис = ш2гъ = шъ/-, «>д = 7~рг=у,
отсюда

шл = (01 = 4<ов;	(Л)

to2 = 2toB; vc~2uBr.

Поскольку колеса принимаются за однородные диски, то

, mtr2 г m2H тегг

Таким образом,

Т$ = (4mj 4- Зт2) г2о>Ь.

Вычислим работу. Так как система состоит из твердых тел
и трение отсутствует, то

Дц =	(Л4л) 4- Ai$ (Мв) 4_ Дis (Р0-

Имеем

Д13 (Мл) = Мл<рл;

^ia (Мв) = — Мв<рв;

Дп (Pi) — i?hgh — 2tthgr (1 — cos <рв).

Найдем зависимость между <рд и <рл. Из (Л) получим

?д = 4?в>

таким образом,

Д13 = Мдсрд — Мв 4- 2т^г(1 — cos .
Пользуясь (g), найдем

(4mt + 3ffi2) r3o>b —

откуда

(4Л4д— Мв) <рл + 8т3£г (1 — cos

Задача 914. Тело, принимаемое за материальную точку, дви-
жется прямолинейно по закону x = kit\ где ky— постоянная ве-
личина. Сила сопротивления среды пропорциональна квадрату
скорости тела, причем коэффициент пропорциональности равен k9.
Найти работу силы сопротивления при перемещении точки из
положения х — 0 в положение х = а.

Ответ: А — — ~	.

Задача 915. Материальная точка подвешена на невесомом
стержне длиной I. Какую начальную скорость следует сообщить
точке, чтобы при прохождении ее через верхнее вертикальное
положение стержень не испытывал бы усилий растяжения или
сжатия?

Ответ: v — V^gl.

Задача 916. Шлюпка вместе с гребцами имеет массу 800 кг.
Считая, что каждый гребец прикладывает к рукоятке весла

силу 100 «, перемещая ее при этом на 1 м, найти, какую ско-
рость сообщают шлюпке восемь гребцов после пяти размахов.
Сопротивлением воды пренебречь.

Ответ: о —3,16 м!сек.

Задача 917 (рис. 489). Тело скользит по наклонной плоско-

сти I без начальной скорости и, пройдя путь до точки С, под-

Рис. 489

нимается по наклонной плоскости II.
Считая, что в точке С вследствие не-
большого закругления не происходит
потери скорости, определить, какое
расстояние s3 по плоскости II пройдет

тело до остановки, если углы наклона
плоскостей соответственно равны оч

и аз, а углы трения тела о плоскости равны и <?«> причем

Ответ: & = $i	~.

COS<?1 sm (а2+ч>»)

Задача 918 (рис. 490). В трубке, изогнутой в виде окружности
радиусом 7? и расположенной в вертикальной плоскости, помещен
гладкий весомый шарик. Найти скорость шарика в зависимости
от угла ср, образованного нижним вертикальным радиусом и ра-
диусом, проведенным в точку, соответствующую положению ша-
рика в данный момент времени, если в начальный момент шарик
был отклонен на уюл ©0 и отпущен без начальной скорости.
Размерами шарика пренебречь.

Ответ: v — V2gR (cos ср — cos <р0).

Задача 919 (рис. 491). Точка М может скользить без трения
по вертикально расположенной параболической направляющей,

Рис. 490	Рис. 491

уравнение которой у^=-.. В некоторый момент точку помещают
в положение Л(хл — — 2х0) и отпускают без начальной скорости.
Дойдя до конца направляющей В (х3 = х0), точка далее летит
свободно под действием силы тяжести. Определить наибольшую
высоту t/maxj на которую поднимается точка.

г.	Л';; (4л^-4- о8)

Ответ: утлх — <> , 3 > 'iv-

Задача 920. Судно должно спускаться со стапеля на воду по
наклонным спусковым путям длиной s. Определить угол а наклона
путей к горизонту так, чтобы скорость судна в конце спуска не
превосходила v, если угол трения <р = const.

_	. V2 cos ®

Ответ: a<q)-4-arcsin——I.

w ।	2gs

Решение возможно, если

v2 cos 7

 №

s

Задача 921. Телу, находящемуся на наклонной плоскости,
сообщена начальная скорость б0, направленная вдоль плоскости
вверх. Определить, с какой скоростью тело вернется в исходное
положение, если угол трения скольжения © = const, а угол на-
клона плоскости а, причем а^>у.

_	-1/sin(a—о)

Ответ: v = v0 ]/

Задача 922 (рис. 492). Тело М массой т
лежит на шероховатой горизонтальной плос-
кости (коэффициент трения скольжения ра- Рис- 492
вен f) и прикреплено к недефор миров ан ной
пружине с жесткостью с. Затем тело отводят вправо, растяги-
вая пружину на длину I, и отпускают без начальной скорости.
Какова должна быть величина коэффициента жесткости с, чтобы
тело, двигаясь сначала влево, затем изменило направление своего
движения?

~	3mgf

Ответ: с { .

Задача 923 (рис. 493). К ползуну М, который может переме-

щаться в горизонтальных направляющих, прикреплена пружина,
имеющая естественную (ненапряженную) длину 1а = АВ. В неко-
торый момент ползун помещают в положение Мо так, что пру-
жина при этом имеет длину 2/0, и отпускают без начальной ско-
рости. Определить, при каком коэффициенте трения ползун оста-
новится в точке В, если пружина такова, что под действием силы,

равной весу ползуна, она имеет статическое
удлинение, равное /0.

Ответ: f = 0,5.

Задача 924 (рис. 494). Груз М массой
т может свободно скользить по стержню
АВ, жесткость которого на растяжение

А

Рис. 494

Рис. 493

равна Ср Конец стержня В упирается в пружину жесткости са.
Пренебрегая массой стержня и пружины, определить наибольшее
удлинение 8 стержня при падении груза без начальной скорости
с высоты h, если в начальный момент пружина и стержень
находятся в педеформированном состоянии.

ответ: а==_^_Гд -4-д/'i+Wl±^1.

ci Н- L г	т8 J

Задача 925. Груз падает с высоты h на горизонтальную упру-
гую балку и остается в дальнейшем на ней. При этом наиболь-
ший прогиб балки оказывается равным s. Пренебрегая сопротив-

_ w	лением и массой балки, определить пе-

риод собственных колебаний груза на
; и,	балке, если упругая реакция балки

। ч,	пропорциональна ее прогибу.

р I	Ао п	2r.s

a и I--------------ч Ответ : t=-===.

।	Задача 926 (рис. 495). Ползун А

Рис. 495	массой т может двигаться без трения

по горизонтальной направляющей A0D
под действием пружины жесткостью с, закрепленной в точке М.
Определить, с какой скоростью ползун придет в точку D, если
в начальный момент он не имел скорости и находился в положе-
нии Ло, причем AaD=a. Принять, что, когда ползун находится
в положении D, пружина не деформирована и ее длина равна I

Ответ: v = (yrP-{-a‘i—0]/^-

Задача 927. К концу недеформированной упругой нити, кото-

рая может выдержать максимальное натяжение Q, подвешивается
груз массой m и отпускается без начальной скорости. Найти,
при каком значении т нить оборвется и какова будет скорость
груза в момент разрыва. Коэффициент жесткости нити равен с.

„	\ Q	I /~ Q	— Q)

Ответ: т > , , v = I/
2g' у ст

Задача 928. Определить, какую скорость необходимо сообщить
ракете на высоте И над Землей, чтобы она удалилась в беско-
нечность. Сопротивлением среды и притяжением других космиче-
ских тел пренебречь. Радиус Земли равен R.

Г R~
Ответ: v=~y

При Н = 0 v=\'2gR

(вторая космическая скорость).

=«11,16 км: сек.

Задача 929. На материальную точку массой т действует сила

отталкивания от неподвижного центра О, обратно пропорциональ-

ная кубу расстояния между ними (коэффициент пропорциональ-
ности равен k). Найти наименьшее расстояние между точкой и
центрам, если точке, помещенной от центра О на расстоянии х0,
сообщена начальная скорость у0, направленная к этому центру.

Ответ: хт1п— г ~.
Vk + mvlx*

Задача 930 (рис. 496). В установке для получения высоких
давлений поршень сжимает газ в замкнутом цилиндрическом объеме.
На поршень действует в течение всего процесса постоянное внешнее
давление рх. Какова должна быть величина р,, чтобы газ был сжат

Рис. 496

Рис. 497

до максимального давления ртя^ Принять, что давление газа об-
ратно пропорционально его объему (т. е. процесс сжатия является
изотермическим). Начальная скорость поршня равна нулю, началь-
ное давление в цилиндре р0. Трением и утечкой газа пренебречь.

Ответ: pi~

РоРтах

/’max ~ А	/о
Задача 931 (рис. 497). В условиях предыдущей задачи при-
нять, что внешнее давление равно рх только в начале движения
(когда начинает двигаться поршень), в дальнейшем оно убывает
из-за расширения занимаемого газом объема I. Найти необходи-
мую начальную величину рг для достижения требуемого ртах в
объеме //. Давления считать обратно пропорциональными объемам.
При давлениях, равных pi и р0, длины занятых газом объемов
равны соответственно ZOi и /04.

Ответ:

p\=Pnk

где

Задача 932. В условиях задачи 930 сжатие газа (вследствие
быстроты протекания процесса) происходит не изотермически, а
адиабатически. Поэтому зависимость давления р от объема газа V
имеет вид

P = P^v)*'

где у — показатель адиабаты;

ро — начальное давление;

Vo — начальный объем.

Найти искомую величину pi при следующих данных:

Ро=1О5 н/м?-, ртах = 10s н/л?; ^=1,4.

х-1

(/’max) 1	_।

Ответ: Pi = yP_^ • р°---------— = 3,47 • 106 н/м1.

!	/ Ро

\Pmax/

Задача 933. (рис. 498). Точка М массой т удерживается в
вертикальной плоскости при помощи невесомого стержня АМ и
троса МВ. Определить величину усилия N в стержне в момент,
когда трос будет оборван, и в момент прохождения стержнем
вертикального положения. В начальный момент стержень обра-
зует с вертикалью угол а.

Ответ: AZ1 = mg'cosa; Ni = mg(3 -f-2 cos а).

Задача 934. Сплошной однородный шар радиусом 7? и плот-
ностью fl помещен в жидкость, плотность которой равна у (т^> Ti),
так, что его центр в начальный момент находится на глубине
Н	и затем отпущен без начальной скорости. Определить,

при каком условии шар полностью поднимется над поверхностью
жидкости и какова будет при этом наибольшая высота подъема h
его центра. Силой сопротивления жидкости пренебречь.

Ответ:	R при 15= 1 4-т,;	—

'	71	и	\Yi 1

Задача 935. Решить предыдущую задачу, считая шар пусто-
телым и тонкостенным с толщиной стенки В. При решении пре-
небречь членами, содержащими и В3.

Ответ:	при -Г- ^Л8Л =	1).

1 7i RH ' \звТ1 ;

Задача 936. Система, изображенная на рис. 499, находится
в равновесии при x = h. Определить изменение потенциальной

Рис. 499

энергии системы при отклонении груза в положение, при кото-
ром х = 0. Груз М и блок А имеют одинаковые массы, жесткость
пружины равна с.

Ответ: ДП — .

Задача 937. Пята вертикального вала радиусом г и массой т
упирается в плоский подпятник. Принимая, что вес вала распре-
деляется равномерно на всю поверхность опоры, определить ра-
боту сил трения при одном обороте вала, если коэффициент
трения вала об опору равен f.

Ответ: А = —frr.mg.

Задача 938. В троллейбусе с инерционным двигателем на каждой
промежуточной стоянке маховик разгоняется в течение трех минут
от 1500 до 3000 об/мин, после чего, вращаясь по инерции, он при-
водит в движение троллейбус. Масса маховика 1,5 т, диаметр 1,6 л.
Считая маховик однородным диском, найти среднюю мощность
двигателя, разгоняющего маховик. Сопротивлением пренебречь.

Ответ: Mcp = 98,7 кет.

Задача 939. Принимая в условиях предыдущей задачи, что
после полного разгона маховика троллейбус может двигаться
6 км, определить среднюю величину силы сопротивления.

Ответ: F — 3,92 кн.
Задача 940. В некоторых проектах «центробежного» пулемета
предполагалось сообщить пуле, расположенной на ободе быстро
вращающегося диска, скорость 900 м/сек. Считая диск однородным,
имеющим массу 20 кг и радиус 0,5 м, найти, какова должна
быть средняя мощность двигателя, чтобы разогнать диск из со-
стояния покоя в течение одной минуты до указанной скорости.
Трением пренебречь.

Ответ: AZrp = 67,7 кет.

Задача 941. Искусственная межпланетная станция спроекти-
рована в виде диска диаметром 40 м, вращающегося для созда-
ния искусственной тяжести с угловой скоростью а> —0,5 рад'сек.
Считая, что масса М станции распределена по ободу диска,
найти среднюю мощность двигателя, который должен сооб-
щить станции соответствующее вращение в течение 1 час, если
м = 10 000 т.

Ответ: AZcp = 139 кет.

Задача 942. Однородный цилиндр, получив начальную ско-
рость центра, равную и0, катится без скольжения вверх по на-
клонной плоскости. Пренебрегая трением качения и сопротивле-

нием воздуха, определить, на какую высоту поднимается центр
цилиндра.

Ответ: п=

Задача 943. На наклонной плоскости помещены цилиндр (таким
образом, что его ось перпендикулярна линиям наибольшего ската)
и шар, массы которых одинаковы. Центру шара и оси цилиндра
сообщены одинаковые скорости, направленные вверх по наклон-
ной плоскости. Сравнить расстояния, пройденные ими до оста-
новки, если качение тел происходит без скольжения. Тела счи-
тать однородными, трением качения пренебречь.

Ответ: =
5Ц 1а

Задача 944 (рис. 500). Два тяжелых однородных стержня дли-
ной Zt и /2, имеющие одинаковую плотность и одинаковое попе-

конца меньшего стержня

речное сечение, жестко связаны между
собой под прямым углом. Эти стержни
могут вращаться в вертикальной плос-
кости вокруг перпендикулярной к ним
горизонтальной оси О, проходящей
через точку их соединения. В началь-
ный момент больший стержень распо-
ложен горизонтально и отпущен без
начальной скорости. Найти скорость
в момент, когда он займет горизонталь-

ное положение. Трением пренебречь.

Ответ: = Z2 1/"
Задача 945 (рис. 501). Прямоугольная дверь шириной а и
массой М закрывается при помощи груза массой т, веревки и
идеального блока Определить угловую ско-
рость двери в момент закрытия, если в мо-
мент, когда она была открыта на угол
с = 60’, груз был отпущен без начальной
скорости. Принять АВ = АС, трением пре-
небречь.

Ответ: и = 1/".=.
У (3/п-|-Л4)в

Задача 946 (рис. 502). По рельсам, обра-
зующим в вертикальной плоскости петлю
в виде кругового кольца радиусом /?, скаты-
вается вагонетка массой М. Определить, как
изменится начальная высота h центра тяже-
сти вагонетки, необходимая для того, чтобы
она обошла всю петлю, не отделяясь от нее,

в двух случаях: если учитывать и если не учитывать вращение
колес. Масса каждого из четырех колес равна т. Колеса считать
однородными дисками, сопротивлением воздуха пренебречь.

Ответ: при учете вращения колес начальная высота должна
быть больше на величину

Rm

~М [-4т-

Задача 947 (рис 503) Колесо / массой т, может катиться
без скольжения в вертикальной плоскости внутри неподвижной
шестерни //и приводится в движение кривошипом АВ, длиной I

и массой т. В начальный момент кривошип составлял угол а = 60°
с вертикалью и был отпущен без начальной скорости. Определить
его угловую скорость в момент прохождения через равновесное
положение. Кривошип считать однородным стержнем, колесо I —
однородным диском. Трением пренебречь.

Ответ- а>=1Л3g+

итвет. а> у Z (2/и —9/»х) *
Задача 948. Тело, имеющее форму цилиндра радиусом г, имеет
массу М и момент инерции относительно оси цилиндра J. Центр
тяжести цилиндра смещен на величину а от его оси. Цилиндр
положен на горизонтальную плоскость так, что его центр тяжести
занимает наивысшее положение. Вследствие небольшого толчка
цилиндр катится по плоскости без скольжения. Определить ско-
рость оси цилиндра в момент, когда его центр тяжести занимает
наинизшее положение.

Ответ: v = 2г	.

Задача 949. На однородный сплошной цилиндр массой m и
радиусом г, который может вращаться вокруг неподвижной гори-
зонтальной оси, намотан в один ряд трос длиной L и массой М.
В начальный момент цилиндр находится в покое, а длина свеши-
вающейся части троса равна Zo. Определить угловую скорость
цилиндра в момент, когда конец троса опустится на длину 2кг.
Трением пренебречь.

Ответ- ш — 2 1/^ЛЦ/рЦ-яг)

ответ. «>—- г у z(OT-|-2M) '

Задача 950. Решить задачу 949, считая, что свешивающийся
конец троса опустился на длину, равную «г, и что в начальный
момент длина намотанной части троса была кратна длине окруж-
ности цилиндра. Принять /0 = 2г.

Ответ:

Задача 951. В кривошипно-шатунном механизме к кривошипу
длиной г приложен постоянный вращающий момент М. Определить,
какую угловую скорость приобретет кривошип после одного обо-
рота, если в начальный момент система находилась в покое,
а кривошип занимал горизонтальное положение. Кривошип и
шатун считать однородными стержнями с массами /щ и соот-
ветственно, трением и массой ползуна пренебречь.

Ответ: ш = —	-- .

г г т14- т*

Задача 952. Решить задачу 951 при условии, что в начальный
момент кривошип занимал вертикальное положение.

„	2 •./ ЫГ

Ответ:	— I/ ---г-=—.

г f т1-\-Зт2

Задача 953 (рис. 504). На кривошип О А кривошипно-кулисного
механизма действует постоянный вращающий момент М. В началь-
ный момент механизм находился в покое, причем Z АОВ = <р0.
Какую угловую скорость приобретет кривошип после одного
оборота, если его длина г, момент инерции относительно оси вра-
щения J, а масса кулисы т. Принять, что сила трения в направ-
ляющих постоянна и равна F, массой камня А пренебречь.

о -| Г «Л! — 2Рг

Ответ: ы = 2 I/ -п---,—.

Г J-j-mr2 sin2 <р0
Задача 954 (рис. 505). Шатунно-кривошипный механизм рас-
положен в горизонтальной плоскости и состоит из кривошипа ОА
массой тг и шатуна АВ массой т2. принимаемых за однородные

стержни. В момент, когда ВО А = 90°, точка А имеет скорость й.
Определить ее скорость в момент, когда ползун занимает крайнее
правое положение, если к кривошипу приложен постоянный
момент Л4. Трением и массой ползуна пренебречь.

Отмп: vA = /

Задача 955 (рис. 506). Шатунно-кривошипный механизм рас-
положен в вертикальной плоскости и состоит из кривошипа ОА
длиной г и шатуна АВ длиной I, кото-
рые можно принять за однородные
стержни. В момент, когда кривошип
занимает верхнее вертикальное положе-
ние, точке А сообщают ничтожно малую
скорость вправо. Определить скорость

этой
шип
если

точки в тот момент, когда криво-
займет горизонтальное положение,
на ползун В действует постоянная

сила торможения F, равная по величине 1/4 суммы весов криво-
шипа и шатуна. Массой ползуна и трением пренебречь.

Ответ: ид = ~~-------------"£

Задача 956. Шатунно-кривошипный механизм расположен
в вертикальной плоскости. Определить, какую угловую скорость
(против движения часовой стрелки) следует сообщить кривошипу
при его горизонтальном правом положении для того, чтобы он
дошел до вертикального положения. Шатун и кривошип считать
однородными стержнями; массой ползуна и трением пренебречь.
Длина кривошипа равна г.

Ответ:	5= j/~у.

Задача 957. Сплошной однородный шар радиусом г и массой т
катится без скольжения по наклонной плоскости, образующей
с горизонтом угол а. Его центр, пройдя путь I, приобретает
скорость v Определить момент сил трения качения, если шар
в начальный момент был в покое.

Ответ: М = ™ (g/ sin а — 0,7уа).

Задача 958 (рис. 507). На однородный сплошной цилиндр
массой М навит трос, к концу которого подвешен груз массой т.

Груз соединен с неподвижным основанием пружи-
/"ной с жесткостью с. Поворачивая цилиндр, груз
I	о I	поднимают до положения, при котором пружина

I ,	растянута на длину s, и отпускают без начальной

скорости. Определить скорость груза в том его
пп положении, при котором упругое усилие в пру-
Ц" жине отсутствует. Массой троса пренебречь.

I	Ответ:

г	Задача 959 (рис. 508). Однородный стержень

АВ длиной 2а может вращаться без трения вокруг
Рис 507 горизонтальной оси А. К стержню прикреплена
спиральная пружина, жесткость которой подобра-
на так, что стержень может находиться в равновесии в гори-
зонтальном положении; при вертикальном же положении стержня
пружина не напряжена. Определить, с какой угловой скоростью

1'! в<

Рис 508

стержень пройдет через горизонтальное положение, если в началь-
ном вертикальном положении ему была сообщена ничтожно малая
угловая скорость.

Ответ: ад = 0,567 j/

Задача 960. Используя условия предыдущей задачи, опреде-
лить, какую угловую скорость следует сообщить стержню в верх-
нем вертикальном положении, чтобы он повернулся на пол-оборота.

Ответ: ш0 = 1,308 j/ -у.

Задача 961 (рис. 509). Сплошной однородный цилиндр массой т
катится без скольжения по цилиндрической поверхности из поло-
жения, определяемого углом <р0. Найти величину нормального
давления цилиндра на поверхность как функцию угла ср, если
374
в начальный момент цилиндр был в покое. Трением качения
пренебречь.

Ответ: N =	(7 cos « — 4 cos у(|)

О

Задача 962 (рис. 510) По двум параллельным горизонтальным
рейкам катится без скольжения тонкостенный цилиндр массой М
при помощи груза, подвешенного на нити, намотанной на цилиндр.

Гис. 510

Определить скорость оси цилиндра в момент, когда груз опустится
на расстояние h, если масса груза равна т, а система в началь-
ный момент находилась в покое. Во все время движения нить
с помощью особого устройства удерживается вертикальной.

Ответ Uc=|/-^_

Задача 963 (рис 511). В условиях задачи 962 принять, что
рейки наклонены к горизонту под углом а. Определить, при каком
значении угла а цилиндр будет двигаться вверх. Найти при этом

условии зависимость между ско-
ростью оси цилиндра и пройденным
путем.

Ответ: sina<>^s;

v _ 1 /rgs~[M~— (М -I- т) sin «1
Г М т — т sin а

Задача 964 (рис. 512). Редуктор
судового турбозубчатого агрегата со-
стоит из трех колес, радиусы кото-
рых соответственно равны га, г3.
На ведущие колеса I и II от турбин

передаются моменты и М2. Определить угловое ускорение
гребного вала, если на винт действует момент сопротивления Мл.
Принять моменты инерции ведущих колес равными и J2,
а момент инерции колеса III с валом и винтом Ji.

Решение. Воспользуемся формулой (12.37)

dt

= N.
Определим кинетическую энергию системы. Имеем



Так как

то
или



где приведенный момент инерции

Найдем мощность Л7:

М   7И 1	714”— 7ИgO)g = (Л4J   7И2 — ---Л43 j Wg

\	'1	'2	/

Из выражения для Т находим

</Г	,

di — 4P«W

Следовательно,

JпрШЗеЗ — [Mi у- -j~ ТИ2   TMg'j Wg,
отсюда

ТИх^ + ТИ^-ТИ,
* __ ' 1	'2	_

Задача 965. Для регулирования ядерного реактора нужно
сообщить управляющему стержню массой 50 кг колебательное

,,м движение вдоль горизонтальной прямой с ампли-
ТУД0® а = 30 см и периодом т = 0,5 сек. Какова
///111^^^	потребная максимальная мощность двигателя,

***	приводящего в движение стержень?

Ответ: Л7тах —4,46 кет.

Задача 966 (рис. 513). Однородный диск
1г^ радиусом 7? и массой т насажен на цилиндри-
ческий вал радиусом г и поддерживается
Рас. 513 двумя нитями, намотанными на вал (маятник
Максвелла).

Определить ускорение центра диска и натяжение каждой нити
при его опускании. Массой вала пренебречь.

Ответ ’ w————" N —---------------

итеет. ш— «2, «	2 (/?“ + 2г2) ’

2г2
Задача 967. Тележка, имеющая четыре колеса массой т каж-
дое, находится под действием постоянной силы F, направленной
параллельно рельсам. Найти ускорение тележки, считая колеса
однородными дисками, катящимися без скольжения. Масса тележки
(без колес) равна М. Трением качения пренебречь.

Р

Ответ: w — ^—

би 4-М

Задача 968 (рис. 514). На однородный сплошной цилиндр,
который может вращаться вокруг вертикальной оси ДВ, намотан

канат, переброшенный через идеальный блок С. К концу каната
подвешен груз М. Определить предельную массу груза, если
канат может выдержать натяжение, равное Q (масса цилиндра
равна т).

Ответ: тх =	.

Задача 969 (рис. 515). Груз М, падая по вертикали, посредст-
вом невесомой и нерастяжимой нити, переброшенной через идеаль-
ный неподвижный блок В, заставляет катиться без скольжения

однородный цилиндрический каток А, масса которого в 5 раз
более массы груза. Пренебрегая массой блока и нити, определить
ускорение оси катка, если коэффициент трения г/////м
качения k = 0,02г, где г — радиус катка, а учас-
ток нити АВ горизонтален.

Ответ: w — ^g.

Задача 970 (рис. 516). Нить, один конец
которой закреплен неподвижно, огибает под-
вижный блок с массой М, радиусом г и момен-

том инерции J и неподвижный блок с тем же рис. 516
радиусом и моментом инерции Jl. На свобод-

ном конце нити подвешен груз с массой т. Найти ускорение
груза; считая, что свободные участки нити вертикальны.

Ответ: w

2rag (2m — М)
J+^Ji + r2 (4mМ)’
Задача 971 (рис. 517). Груз А посредством бесконечного ремня
и ворота поднимается при помощи мотора, на валу которого
развивается постоянный момент М. Пренебрегая массой ремня,

Рис. 517

определить ускорение груза,
если его масса т, радиус бара-
бана ворота >г, радиус шкива
радиус приводного колеса мо-

Рис. 518

тора р, момент инерции вращающихся частей мотора момент
инерции ворота и барабана

f— — mg\ r®p4

Ответ:

Задача 972 (рис. 518). Доска АВ, к которой прикреплены две
одинаковые пружины жесткостью с каждая, лежит на двух оди-
наковых тонкостенных цилиндрах. Считая, что скольжение между
доской и цилиндрами, а также между цилиндрами и горизонталь-
ной плоскостью отсутствует, определить период колебаний системы,
если масса каждого цилиндра равна т, а масса доски М.

Ответ: т = 2к 1/^	.

г ZC

§ 4. Движение материальной точки в центральном силовом поле

Задачи на движение материальной точки в центральном сило-
вом поле решают, используя первую и вторую формулы Бинэ:

(12-39)

Ч = —(12.40)
а также формулы

=	(12.41)

rv sin а = С,	(12.42)

где С — произвольная постоянная;

1

« = у,

а — угол между направлением полярного радиуса-вектора г
и скоростью v точки Л4;

Fr— проекция центральной силы F, приложенной к точке М,
на направление полярного радиуса;

<р — полярный угол.
Задача 973. Л1атериальная точка Л4 массой т под действием
центральной силы F описывает эллипс с полуосями а и Ь, центр
которого совпадает с центром силы О. Определить зависимость
величины силы F от расстояния г точки М до центра силы, если
в начальный момент точка имеет координаты ха = а, уй = 0 и
начальную скорость Эо, параллельную оси Оу.

Решение. Уравнение эллипса в координатной системе Оху:

। £-1

aatfi2 1'

Найдем уравнение эллипса в полярных координатах, поместив
полюс в центре. Так как

x = rcos<?, y = rsin<p,
то

Г2 COS2 ср , Г2 Sin2 ср   .

' а2 ' Ь2	1•

Следовательно,

У1 — е2 cos2 ср

/а2 — &3

где е=-—-----------эксцентриситет эллипса.

Замечая, что

____ 1 _У1 — е2 cos2 ср
и г_____Ь	' ’

найдем

— = ^(1—е2 cos3 ср) 2 sin 2<р,

rfcp 26 '	т/	т’

2^ [2 cos 2ср (1 — е3 cos2 ср) 2—у sin2 2ср (1—е2 cos2 ср) 2].

Согласно второй формуле Бинэ (12.40) имеем

2	_ £

т?	1—е2 cos2 ср [(1—е2 cos2 ср) 2 , е2 cos 2ср (1—е2 cos2 ср) 2

Fr — — тс р	ь ~1

з

е4 sin2 2ср (1 — е2 cos2 ср) 2 Я___ тС2 (1 — е2 cos2 <р) ч,

4^	J —	р	X

_1	_2

(1 — е2 cos2 <р) 2 (1—е2 cos3 ср-|-е2 cos 2ср) е4 sin2 2<? (1—е2 cos2 ср) 2
b	~	45

—f-f08 — [4(1 — е2 cos2 ср) (1 — е2 sin2 ср) — У sin2 2<р] —

1

mC2 (1— е2 cos2 ср) 2

_	тС2(1— е2)г

(0
Постоянную С определим, используя начальные условия дви-
жения точки М. Так как при Z = 0 r = a, u = va, а = у, то
согласно (12.42) C = ava.

Подставив его в равенство (/), получим
г-   masv% (1 — es) г
l'r

откуда
р _ । рг । 	—е2)г

Это и есть искомая зависимость величины силы F от рассто-
яния г.

Задача 974. Период обращения первого советского искусст-
венного спутника Земли в первый день его движения составлял
Т = 96,2 мин. Считая траекторию спутника близкой к круговой,
определить среднюю высоту /7ср спутника над поверхностью Зем-
ли. Радиус Земли принять равным 6370 км, сопротивлением пре-
небречь. *

Ответ: #ср = 672 км.

Задача 975. Точка М под действием центральной силы опи-
сывает окружность радиусом R, причем центр притяжения О
находится на этой окружности. В момент, когда точка находится
на расстоянии 27? от центра притяжения, ее скорость равна v0.
Определить скорость точки как функцию расстояния г = 0М.

Ответ: v = —.

Задача 976. В условии предыдущей задачи определить силу,
действующую на точку, как функцию радиуса-вектора г, если
масса точки равна т.

~	р 32mRlv% я

Ответ: F~--------рв—-г.

Задача 977. Материальная точка Л4 массой т движется под
действием центральной силы F—-^~, направленной к неподвиж-
ному центру О, где г — расстояние точки М от центра О, а —
постоянный коэффициент. В начальный момент г = г^, v~ ve = 0.
Определить промежуток времени t — /0, по истечении которого
точка М достигнет центра О.

Ответ: t — 70 = —.
” а

Задача 978. Точка движется по кривой, уравнение которой
в полярных координатах имеет вид г = у (а = const), под дейст-
вием центральной силы с центром в начале координат. Зная, что при
г = а скорость точки v0, определить ее скорость для произвольного г.

Ответ: v = — -——.

г Р'2
Задача 979. В условии предыдущей задачи определить силу,
действующую на точку, если масса точки равна т
„	и	nia2v2 _

Ответ: F =----2г'* Л

Задача 980. Комета движется по эллипсу, эксцентриситет ко-
торого е. В перигее (точке, ближайшей к притягивающему цент-
ру— фокусу эллипса) скорость кометы равна по величине о0 и
перпендикулярна к прямой, соединяющей эту точку с Солнцем.
Найти скорость кометы как функцию полярного угла ср.

Ответ: v —	1 cos ? + е’-

1-гй

Задача 981. В условии предыдущей задачи найти силу при-
тяжения кометы к Солнцу, зная, что параметр эллипса равен р,
а масса кометы т.

Ответ: Р =

Задача 982. Комета движется по параболической траектории,
параметр которой равен р, а фокус совпадает с Солнцем. В пери-
гее (ближайшей к Солнцу точке) скорость кометы равна о0. Оп-
ределить модуль скорости кометы как функцию расстояния от
Солнца.	___

Ответ: у = у0‘|/'~ .

Задача 983. Период обращения второго советского искусствен-
ного спутника Земли Т= 103,75 мин. Наибольшая, высота его
подъема над поверхностью Земли Н = 1670 к.м. Определить тра-
екторию и модуль начальной скорости спутника, считая, что его
начальная скорость ортогональна к начальному полярному ра-
диусу г0- Радиус Земли принять равным 6370 км, сопротивле-
нием пренебречь.

Ответ: траекторией спутника является эллипс с полуосями
а = 7320 км, Ь = 7260 км; = 8,17 км/сек.

Задача 984. Материальная точка М массой т движется под
действием центральной силы притяжения Р, модуль которой об-
ратно пропорционален кубу расстояния от движущейся точки до
центра притяжения О, причем коэффициент пропорциональности
равен mv&P, где а — начальное расстояние точки М от центра О,
Со— начальная скорость точки, направленная под углом а =
= arctg-^- (k — постоянная величина) к прямой, соединяю-
щей центр О с начальным положением Л40 точки М. Приняв
центр притяжения О за полюс и проведя полярную ось
через начальное положение точки, определить траекторию
точки М.

Ответ: траекторией точки М является логарифмическая спи-
раль, определяемая уравнением г — ае^.
§ 5. Движение твердого тела параллельно неподвижной плоскости

Дифференциальными уравнениями плоскопараллельного дви-
жения тела (параллельно плоскости хОу) являются:

ЛПС = 7?^,
Myc = Rf,
JC4 = MW,

(12.43)

где М — масса тела;

хс, Ус — координаты центра масс;

ср — угловая координата;

7?^\ 7?^> — проекции главного вектора внешних сил на оси коор-
динат;

Jc — момент инерции тела относительно оси, проходящей
через центр масс и перпендикулярной к плоскости
движения тела хОу;

— главный момент внешних сил относительно той же оси.

Задача 985 (рис. 519). Однородному диску, поставленному
ребром на горизонтальную шероховатую плоскость, сообщено

поступательное движение со скоростью
0О, параллельной плоскости. Опреде-
лить скорость центра диска в тот мо-
мент, когда начнется качение без сколь-
жения.

Решение. На диск действуют силы:
вес Q, равный по величине_т§, нор-
мальная реакция плоскости N и сила
трения F. Напишем уравнения движе-

ния диска в форме (12.43) непосредственно после толчка:

тхс = — F; тус = Q

N-

т

2

d&	г.

где -----момент инерции диска относительно оси, проходящей

через центр диска перпендикулярно к его плоскости.

Так как ус = 0, то Q — N. Следовательно, сила трения
F = fQ,

где f — коэффициент трения диска о плоскость.

Таким образом, уравнения движения диска принимают вид

%c = ~fS>

dv>
dt

2fg
г '
Интегрируя, найдем

•*с= — fet+v^ <о= — ^/4-Wo>	(k)

где и0— начальная скорость центра диска;

шо = О — начальная угловая скорость диска.

Качение без скольжения характеризуется тем условием, что
скорость точки касания диска с плоскостью равна нулю. Следо-
вательно,

vPx = хс юг = О
или

— fe'TV' 2fgt = 0.

Отсюда найдем время, по истечении которого начнется качение
без скольжения:

, _ V

l~3fg

Зная tlr из (k) определим скорость центра диска в момент,
когда начнется качение без скольжения:

vc к = ц — *с к = и —	= з" Не-

задача 986. К пластине, лежащей в покое на горизонтальном
гладком столе, приложена пара сил с постоянным моментом /VI
Зная, что центральный момент инерции равен Jc, определить пе-
ремещение пластины за время t.

Ответ: центр инерции пластины останется на месте; пластина
повернется вокруг центра инерции на угол

Задача 987. Однородный стержень длиной I и массой т дви-
жется в плоскости хОу. На стержень действуют постоянный мо-
мент М и сила F, приложенная в его середине, величина которой
пропорциональна угловой скорости стержня (коэффициент пропор-
циональности k), а направление параллельно оси Ох. Найти
уравнения движения стержня, если его середина С находилась в
начальный момент в начале координат и имела скорость у(|, на-
правленную по оси Оу. Начальная угловая скорость стержня
равна нулю.

_	2Mk ,,	,

Ответ:	хс=-^-Г; yc~v»t.

Задача 988. Однородный стержень длиной I и массой т дви-
жется в плоскости хОу. На стержень действует постоянная сила
F, параллельная оси Ох и приложенная в его середине, и момент,
пропорциональный абсциссе хс середины стержня (коэффициент
пропорциональности равен k). Найти уравнения движения стерж-
ня, если в начальный момент стержень находился в покое и был
расположен вдоль оси Ох так, что его середина совпадала с на-
чалом координат.

kFt4	Ft*	г.

Ответ: =	=	Ус = 0.

Задача 989. Однородная равносторонняя треугольная плас-
тинка массой т движется в плоскости хОу под действием шести

сил, три из которых, равные по величине F, параллельны оси
Ох и приложены в серединах сторон. Остальные три, равные

F
/Г

приложены в вершинах и параллельны противоположным сто-

ронам, при этом они стремятся вращать треугольник против хода
часовой стрелки. Найти уравнения движения треугольника, если
его сторона равна а. В начальный момент пластина находилась
в покое, центр тяжести совпадал с началом координат, а ось у

направлена по высоте треугольника.
3/^2

Ответ: хс=-^-\ Ус = ®> ? =

6Ft*
та*

Задача 990 (рис. 520). Однородная тонкостенная труба массой

т поднимается при помощи идеальных блоков, как показано на

рисунке. Определить угловое ускорение трубы и время ее подъ-
ема на высоту й, если к концам тросов приложены силы F\ и Рг.
Радйус трубы равен г. Массами блоков пренебречь.

\Fi — Fi' ,	->/ 2тЛ

Ответ:	t~ I/ —г-ё--------.

Задача 991 (рис. 521). Однородная круглая катушка радиусом
/? и массой т в средней части барабана радиусом г обмотана

нитью так, что концы нити рас-
ходятся в разные стороны и на-
тягиваются постоянными гори-
зонтальными силами Д и

Рис. 521

С каким ускорением будет двигаться ось катушки, если момент
инерции катушки относительно ее оси равен J? Считать, что
катушка катится без скольжения.

Ответ:

Задача 992. Однородный стержень длиной 21 и массой т на-
ходится на горизонтальной плоскости. В начальный момент стер-
жню сообщена угловая скорость а центр масс получил ско-
рость v0. При своем движении каждый элемент dx стержня испы-
тывает силу сопротивления dF —— vbdx, где b — постоянный
коэффициент пропорциональности; v — абсолютная скорость эле-
мента dx. Определить, как будут изменяться со временем вели-
чина скорости центра масс и угловая скорость стержня.

Ответ: vc = v^at‘, <o = io0e'"', где а =

Задача 993 (рис. 522). Однородная тонкая пластина, имеющая
форму квадрата, закреплена шарниром А и удерживается упором
В так, что сторона АВ вертикальна. Опреде-
лить реакцию шарнира А сразу после того,
как убран упор В. Вес пластины равен Р.

зр . у —5Р
8 ’ Уа 8

Ответ: ХА

Задача 994. Один конец однородного стер-
жня весом Р закреплен шарнирно, а другой
опирается на упор. В некоторый момент упор
убирают. Определить в этот момент величину
полной реакции шарнира, если в началь-
ный момент стержень составлял с горизон-
том угол а.	____________

Ответ: R = P

15	2

cos2 а.

16

Рис. 523

Задача 995 (рис. 523). Центру С однородного сплошного ци-
линдра радиусом г, находящегося на шероховатой плоскости,
сообщена начальная скорость й0, параллель-
ная плоскости; одновременно самому цилиндру
сообщено вращение в направлении, указанном
стрелкой, с начальной угловой скоростью ш0.
Принимая, что ®0r<Zvo, определить момент
времени t, начиная с которого центр С будет
двигаться с постоянной скоростью (т. е. ка-
чение будет происходить без скольжения).
Найти также величину этой скорости, если

коэффициент трения скольжения между цилиндром и плоскостью
равен f.

Ответ: t =	цс = 2-М^_

Задача 996. Решить задачу 995 при условии, что ^or^>va.

Ответ: t =	=

3fg ’ с 3

Задача 997. Решить задачу 995 при условии, что в начальный
момент цилиндру сообщено вращение с угловой скоростью <oft
в направлении, противоположном указанному на рис. 523.

Ответ: t =

13 Н. А Бражниченко и др.

385
Задача 998. При движении реактивного аппарата его поворот
происходит вследствие вращения камер двигателей Принимая,
что это вращение происходит с постоянной угловой скоростью о>ь
определить закон изменения угла поворота аппарата, если его
центральный момент инерции J скорость истечения vr и секунд-
ный расход массы р считаются постоянными. Движущей силой
аппарата является реактивная сила Р = — pvr, приложенная в
точке на оси симметрии, отстоящей от центра инерции на рас-
стоянии ft.

Ответ:	-------— .

,'<й1 \	“1 У
ГЛАВА XIII

МЕТОД КИНЕТОСТАТИКИ ДЛЯ МАТЕРИАЛЬНОЙ СИСТЕМЫ. ДАВЛЕНИЕ НА ОСЬ
ВРАЩАЮЩЕГОСЯ ТЕЛА

§ 1. Метод кинетостатики для системы

При движении системы в любой данный момент времени гео-
метрическая сумма задаваемых сил, действующих на каждую точку
системы, реакций связей, наложенных на эту точку, и силы инер-
ции точки равна нулю, т. е.

Л +	+ = 0 (fe=l; 2; ... ; п),	(13.1)

где Fk — равнодействующая задаваемых сил, действующих на
точку Mk системы;

Nk — равнодействующая реакций связей, наложенных на эту
точку;

]k— сила инерции точки Mk.

Если все силы, действующие на систему, в том числе и реак-
ции связей, разделить на силы внешние и внутренние (будем
обозначать их соответственно индексами е и i), то, используя
свойства внутренних сил, из (13.1) получим

2 (Ae)+Me, + W=o,

*=i

<13 2)

2

fc—1	J

или в проекциях на оси:

2

Й=|

2 (^+^’+^)=о,
fc=i

s те+п;+)..>=°.

2 [^(т+^да+^(/й)]=о,

2 1ту + ту	4- ту (JJ] = О,

2

Л=1	)

(13.3)

Где суммирование произведено по всем точкам системы.
Уравнения (13.3), называемые уравнениями кинетостатики,
упрощают процесс решения динамических задач, так как они не
содержат внутренних сил. Эти уравнения подобны уравнениям
равновесия, полученным в статике.

Если все силы расположены в одной плоскости, параллельны
или сходятся в одной точке, то число уравнений (13.3) соответст-
венно уменьшается. Заметим, что, как и в статике, может встре-
титься необходимость рассмотрения кинетостатического «равнове-
сия» не только всей системы в целом, но и отдельных ее частей.
В частности, так следует поступать для определения внутренних
сил, а также в тех случаях, когда число уравнений оказывается
недостаточным для определения всех неизвестных величин. При
этом, как и в статике, могут встретиться «кинетостатически»
неопределимые системы.

Задача 999. Буксир А водоизмещением пц тянет две баржи
В и С, водоизмещения которых соответственно равны и т3
(рис. 524, а). Определить силу упора винтов буксира Q, если
он движется прямолинейным курсом с ускорением Общая
сила сопротивления движению системы равна /?.

Рис. 524

Решение. Система состоит из трех тел, которые примем за
материальные точки. Внешними силами являются силы тяжести
Plt Pi, Рз, силы выталкивания (архимедовы силы) Db £Х2, D3,
сила сопротивления R и сила упора винтов Q (рис. 524, б).
Приложим к точкам силы инерции ]k — — fnk^k.

Используя уравнение (13.3) в проекциях на горизонтальную
ось Ох, направленную в сторону движения системы, получим

Q~R —S /й = 0

1

отсюда найдем

Q = R-\- S I*-
Буксир и баржи движутся прямолинейно и поступательно
с одним и тем же ускорением w, поэтому

jk = mkw,

следовательно,

Q — R (^i “Ь ~г ^з) ® •

Задача 1000. Три груза Mt, и М3 с массами щь гщ и
т3 соединены невесомой и нерастяжимой нитью, переброшенной
через идеальный неподвижный блок А (рис. 525, а). Два груза
лежат на гладкой горизонтальной плоскости, а третий подвешен
вертикально. Определить величину ускорения грузов и натяже-
ние нити, соединяющей грузы М2 и Мл, если блок представляет
собой однородный диск массой т.

Рис. 525

Решение. Система состоит из трех грузов и блока. .Внешними
силами являются силы тяжести Pif Р$, Р3 грузов и Р блока
реакции Nit плоскости и реакция N3 закрепленной точки О
блока А (рис. 525, б). Присоединим к силам, действующим на
каждый груз, силы инерции /\, /2, /3. Рассмотрим сначала груз
Mi (рис. 525, в), т. е. мысленно разрежем нить, соединяющую
грузы М.2 и М2. Реакция Т2] этой нити, являясь внутренней си-
лой для всей системы, по отношению к грузу AIt является силой
внешней. Воспользуемся вторым из уравнений (13.3). Получим

At — Л = 0,

откуда Nl==Pl. Аналогично, рассматривая груз получим,
что М2~Рг.

Рассмотрим теперь всю систему в целом и воспользуемся
уравнением моментов относительно оси Oz, перпендикулярной
плоскости рисунка и проходящей через ось блока А. Тогда, учи-
тывая, что для всех сил mz (F) = т$ (F), имеем

т0 (ДО + то (Ji) + т0 (J2) Ц- т0 (/3) + = 0,	(а)

где ЛТ7' = ^т0 (JJ — главный момент сил инерции частиц Mt
блока А относительно центра О; при составлении этого уравне-
ния учтено, что тс (М)-|-т0(Р1) — О,

т0(Л4)-]-то(Р2) = О, то(Р) = О

и то(Л4) = О.

Имея в виду, что /г равна геометрической сумме центробежной
силы инерции jin и касательной силы инерции /(-т =—
(рис. 525, г), а также замечая, что силы jin не дают момента от-
носительно точки О, получим

М^ = ^тл()1г).

Так как w™? = | & | г;, то

S Г‘т‘ I s I = I 6 I S r^mi = H A.

где Jz — момент инерции блока относительно оси Ог.

Подставляя в (а), получим

-- РгГ “Г Г (/1 + Л Л) + Л18 I — 0.

Заменяя здесь |е| на у, a jk на mkw, имеем

— gnw 4- rw (mi + m2 + m3) +	= О,

отсюда найдем

Л + (»»1 + m3 + ms) г’’

Так как Jz то окончательно получим

m-F2(ms +

Для определения натяжения нити, соединяющей грузы и
М3, мысленно разрежем эту нить и рассмотрим отдельно груз
7И,( (рис. 525, д). Внешними силами, действующими на этот груз,
будут вес Р3 и реакция нити Р23, направленная вверх.

Присоединим силу инерции J3 и воспользуемся вторым из
уравнений (13.3). Получим

Та — Рз 4~ /з — О,
откуда

Ti3 == Р3 — /з — m3 (g — w).
Подставив сюда полученное выше значение w, найдем
т _ gws[m + 2(ff?14-ffie)|

23 т + 2 (ml + та + ms) '

Искомое натяжение нити по величине _равно реакции Тм, но
направлено в сторону, противоположную Тгз.

Задача 1001. Однородный стержень АВ длиной I и массой т
прикреплен шарниром А к горизонтальному стержню С А, жестко
•связанному с вертикальным валом, вращающимся с постоянной
угловой скоростью (рис. 526, а). Определить величину натя-
жения Т нити BD, удерживающей стержень АВ под углом а
к вертикали, если угол ₽ = а С А —а.

Решение. Пользуясь методом кинетостатики, присоединим к дейст-
вующим на стержень АВ силам Р, 7\ ХА, УА центробежные
силы инерции djn элементов стержня (так как вращение равномер-
ное, то касательных сил инерции не будет). Проведем вдоль
стержня АВ ось (рис. 526, б). Тогда величина центробежной
силы инерции будет определяться выражением

|d/n)‘==(a-|-£ sin a) l~d^.

Взяв за центр моментов точку А, имеем

i

tngl .	. С , , . . \	cos <х >	„

----sin а 77 — \ (а £ зш а) —-------------№. = 0,

О

отсюда
____________________т Гл. •	1 з 1 sin 2л 1

/ — j g sm а cos a Ч-----------.

При а —0 получим

т таи>1
Рис. .527

Рис. 528

Задача 1002 (рис. 527). Груз ЛГ массой mt находится на ше-
роховатой горизонтальной плоскости. К нему прикреплена
нерастяжимая нить, перекинутая через
идеальный блок А, на другом конце ко-
торой прикреплен груз М3 массой пг.2.
Пренебрегая массой блока и нити, опреде-
лить коэффициент трения / груза М} о пло-
скость, считая его постоянным, если грузы
движутся с ускорением, равным по вели-
чине W.

Ответ:
'	inig

Задача 1003. Решить задачу 1002 при условии, что масса
блока А равна т и распределена равномерно по его ободу.

Ответ: f =	+

Задача 1004. Грузовик массой т (кг) движется вместе с при-
цепом массой mi (кг) из состояния покоя равноускоренно с
ускорением w (м/сек1). Определить мощность мо-
тора грузовика в момент, когда грузовик имеет
скорость v (м/сек), если движение системы про-
исходит прямолинейно. Общая сила сопротивления
при движении равна R (н).

Ответ: N = [R-\-(m-!rmi)w]v вт.

Задача 1005 (рис. 528). Электромотор мас-
сой М установлен на горизонтальном фундаменте.
Центр тяжести ротора С смещен от оси враще-
ния О на расстояние г. Определить максимальное

и минимальное давления мотора на фундамент, если ротор вра-
щается с постоянной угловой скоростью w и имеет массу т.

Ответ: Nmax = Mg -ф- mvAr\ Nmm = Mg — muAr.

Задача 1006. На рис. 529 представлена схема моментного
центробежного вибратора. Две одинаковые неуравновешенные

шестерни А и В массой т каждая вращаются вокруг своих осей
с одинаковой угловой скоростью « в одном направлении. Цент-
ры тяжести их удалены от осей на расстояние г и в начальный
момент расположены на одной горизонтали по разные стороны от
соответствующих осей. Расстояние между осями равно а. Опре-
делить момент пары, образуемой силами инерции.

Ответ: М = amuAr sin uit.

Задача 1007. Три материальные точки А, В, С массой т
каждая расположены на гладкой горизонтальной плоскости и
соединены тремя одинаковыми пружинами жесткостью с. Система
вращается с постоянной угловой скоростью ш0 вокруг вертикаль-
ной оси, проходящей через центр треугольника АВС. Найти рас-
стояния I между точками в положении относительного равнове-
сия, если при отсутствии вращения эти расстояния были равны /0.

Ответ: I = -5-——.

Зс — /па;-

При ч>1/ — относительное равновесие невозможно.

Задача 1008. Шарнирно-стержневой ромб A BCD с поперечным
стержнем BD вращается с постоянной угловой скоростью и>0
вокруг оси, проходящей через вершину А и перпендикулярной
к его плоскости. В вершинах В, С и D находятся равные точеч-

ные массы т. Найти натяжения в стерж-
нях, вызываемые вращением, пренебрегая
силой тяжести и массой стержней, если
AB = BC = BD = CD = DA = l.

Ответ: TBC=TCD—mu>^l', TAI}=TAD=
= Чтш11\ SHr> = mwll (сжатие).

Задача 1009. На рис. 530 показана
схема регулятора, состоящего из жесткого
равнобочного угольника АОВ(£АОВ =
— 90°), на концах которого укреплены
грузы А и В массами /щ и т2 соот-
ветственно (т1^>т2). Угольник может по-
ворачиваться вокруг горизонтальной оси О
и вместе с нею вокруг вертикальной
оси CD. Определить угловую скорость ш

установившегося вращения, если при этом Z, AOD = ^ — const;

ОА — ОВ = 1. Массой угольника и трением пренебречь.

Ответ:

(т, — т3) I sin 2<f

Задача 1010. Упрощенная схема одного из типов тахометров
{прибора для измерения угловой скорости) показана на рис. 531.
Груз Л массой т укреплен на конце стержня АВ длиной I,
который может поворачиваться вокруг горизонтальной оси В.
К стержню в точке С, находящейся на расстоянии от точки В,
прикреплена пружина CD, имеющая естественную длину и
коэффициент жесткости с. При вращении прибора вокруг верти-
кальной оси стержень отклоняется от вертикали на угол а. Опре-
делить угловую скорость тахометра при установившемся вращении,
считая пружину расположенной горизонтально и пренебрегай

массой стержня АВ.

«1

Ответ: ю2

2 [mgl sm а с (Zt sin а — х0) cos
tn Is sm 2a

Рис. 531

Задача 1011 (рис. 532). Однородный стержень АВ длиной I и
массой т вращается с постоянной угловой скоростью и вокруг
вертикальной оси, проходящей через конец А, образуя с этой
осью неизменный угол а. Определить равнодействующую сил
инерции.

Ответ: равнодействующая сил инерции равна по величине
, ттЧ sin a	,

j = —------ и проходит через точку, отстоящую от конца А

на расстоянии, равном у/.

Задача 1012. Используя условия предыдущей задачи, опреде-
лить изгибающий момент в месте соединения стержня с осью
вращения, считая это соединение жестким. При какой угловой
скорости вращения а>± изгибающий момент будет равен нулю?

Ответ: М = ^£^11 [3g— 2/w'2 cos a];	=	.

6	°	Г Zl COS a

Задача 1013. Решить задачу № 1010 при условии, что стер-
жень АВ имеет массу тх и является однородным.

— ;igl (2,п + sin а +	(0 s<n » — х0) cos a

итвет. ш —	(3m + Z3 sin 2a

Задача 1014. Однородный стержень массой т и длиной I вра-
щается с постоянной угловой скоростью <о в горизонтальной пло-
скости вокруг вертикальной оси, проходящей через его конец.
Определить усилия в сечениях стержня в зависимости от расстоя-
ния х от этих сечений до оси вращения.

Ответ: Т =	(Г1 — х4).

Задача 1015 (рис. 533). Однородный стержень АВС согнут
под углом а и равномерно вращается вокруг вертикальной оси
394
€>iO3 так, что участок его ВС остается в
скости. Определить, при какой угловой
отсутствовать изгибающий момент в точке В.

Принять ВС —а и AD = ~.

горизонтальной пло-

скорости <о будет

Ответ:	.

F 2а tg а

Задача 1016 (рис. 534). Однородный стер-
жень АВ длиной I и массой т концом А
прикреплен шарниром к горизонтальному стерж-
ню СА длиной а, жестко связанному с вертикаль-
ным валом, вращающимся с постоянной угловой
скоростью о>0. Конец В стержня АВ связан
с пружиной DB, имеющей естественную длину,

равную а. Определить, какова должна быть

жесткость пружины с, чтобы стержень АВ при данной угловой
скорости отклонился от вертикали на угол а. Пружину считать

расположенной горизонтально.

Ответ: с —

т [<о2 (За + 2Z sin а) cos а — 3g sin а]

31 sm 2а

Задача 1017 (рис. 535). Однородный стержень АВ длиной I
и массой т прикреплен концом А с помощью цилиндрического
шарнира к горизонтальному стержню ОА, который вращается
около вертикальной оси, проходящей через точку О. Второй
конец В стержня связан пружиной с точкой О. Пружина имеет
в нерастянутом состоянии длину а0, ее жесткость равна с. Найти,
с какой постоянной угловой скоростью следует вращать эту систему,
чтобы стержни ОА и АВ были бы взаимно перпендикулярными.
Определить также усилие в стержне О А, если его длина равна 3/4I.
Считать а0</-р

л	т /2с (51 — 4а0) гр Зт1и>с

Ответ:	|/	тА0 = —^—.

Задача 1018 (рис. 536). На гладкой горизонтальной плоско-
сти, вращающейся с угловой скоростью « вокруг вертикальной
оси, проходящей через точку О, помещен составной стержень
АВС, состоящий из двух жестко связанных между собой однород-
ных стержней АВ и ВС одинаковой длины I. Массы стержней равны
т и 2т соответственно. Стержень АВС может вращаться в гори-
зонтальной плоскости вокруг шарнира В и удерживается нитью
ОС в положении, при котором Z ОВС = 90°, a Z ВСО = 60°. Опре-
делить натяжение нити и реакцию шарнира, обусловленную вра-
щением.

Ответ: Тос — тыЧ-,	—

Рис. 538

Задача 1019 (рис. 537). Пластина, имеющая форму равнобед-
ренного треугольника высотой h и массой т равномерно вращается
вокруг оси АВ, совпадающей с основанием упомянутого треуголь-
ника. Определить равнодействующую усилий в сече-
нии пластины, параллельном ее основанию и отстоя-
щем от него на расстоянии х.

Ответ: Т — n^(h-\-2x)(h— х)г.

Задача 1020 (рис. 538). В вертикальном двигателе
мотыль ОА вращается равномерно с угловой ско-
ростью <о. Определить усилие в штоке ВС поршня,
когда последний находится в верхнем «мертвом» по-
ложении, если масса поршня равна т, давление
газов на поршень F, длина мотыля ОА равна г,
а шатун АВ имеет длину I.

Указание. Определить ускорение поршня по фор-
мулам плоского движения.

Ответ: T — mgA-F — тыАг 1 Ц-у

121. Решить предыдущую задачу в случае горизон-

тального положения мотыля.

Ответ: 1'— nig -F А~

Задача

|Л/2 —г3 '
Задача 1022. Диск укреплен на конце упругого вала, другой
конец которого закреплен неподвижно. С целью создания вы-
нужденных крутильных колебаний на диске установлен момент-
ный вибратор, описанный в задаче 1006. Пренебрегая массой вала
и сопротивлениями, а также моментом инерции вибратора, опре-

делить предельную амплитуду <р0 вынужденных ко-
лебаний при очень большой угловой скорости <«, если
момент инерции диска равен J. Данные взять из
задачи 1006.

„	таг

Ответ: <р0=—j~-

Задача 1023 (рис. 539). Однородная прямоуголь-
ная пластина со сторонами а и b вершиной А укреп-
лена на валу АК с помощью цилиндрического
шарнира, ось которого перпендикулярна плоскости
пластины. Вал АК вращается с постоянной угловой
скоростью <о, а вершина D удерживается в наиниз-
шем положении с помощью сферического шарнира.
Определить угловое ускорение $ пластины в ее отно-
сительном вращении вокруг оси шарнира А в тот

Рис. 53'J

момент, когда сферический шарнир убирают.

Указание. Предварительно найти сумму моментов

сил инерции

относительно оси А, пользуясь формулой МА (]) =	Jху, где

7—плотность, ось Ах направлена по AD.

„	<о2 ab (а2— &2)

Ответ: е = . .	.

4 (a2 -j- о2)2

§ 2. Давление на ось вращающегося тела

При вращении твердого тела вокруг неподвижной оси могут
возникнуть дополнительные давления, обусловленные силами инер-

ции точек тела.

Свяжем оси координат Охуг с телом так, чтобы ось Ог была
осью вращения тела. Пусть А и В — закрепленные точки тела.
Тогда проекции на координатные оси дополнительных динамиче-
ских реакций и NB определяются из уравнений:

nax + NBX = — вРМхс — гМус,

NАу-[~ NВу— —	Мус -ф- гМхс,

N Аг~}~ Nвг — 0,

тх (Л^л) 4- тх (NB) = шЧуг — ахг,

>Пу л) 4~ "Ь	в) = (О Jxz	SJyZ! 

(13.4)

где <о и е—угловая скорость и угловое ускорение тела;

хс, ус — абсцисса и ордината центра масс тела;

М — масса тела;

Jxz> Jyz — центробежные моменты инерции тела.
Если в точке А имеется цилиндрический подшипник, то
Млг = 0, а тогда и Л/Вг = 0

Для того чтобы найти полные реакции в закрепленных точках
тела, следует к найденным величинам добавить статические реак-
ции, обусловленные приложенными внешними силами. Дополни-
тельные динамические реакции не возникают только тогда, когда
главный вектор и главный момент всех сил инерции равны нулю,
или, что равносильно этомуж в том случае, когда ось вращения
является главной центральной осью инерции, т. е., когда

Ус О,	J хг J yz О'	(13.5)

Замечание. При решении ряда
задач вместо уравнений (13Л) удоб-
нее использовать метод кинетоста-
тики непосредственно.

Задача 1024 (рис. 540). Махо-
вое колесо, насаженное посере-
дине вала с небольшим переко-
сом а = 1° ' pad'j к поперечной
оси, вращается с постоянной угло-
вой скоростью <о (и = 3000 об/мин).
Определить добавочные динами-
ческие давления на подшипники

вала, считая массу маховика т — 100 кг, центр тяжести рас-
положенным на оси вращения вала, радиус маховика Р== 1 м,
расстояние между подшипниками а—1 м. Массу считать равно-
мерно распределенной по ободу.

Решение. Воспользуемся уравнениями (13.4). Выбрав оси
координат Oxyz, как указано на рисунке, и учитывая, что ма-

ховое колесо вращается равномерно, а центр тяжести его нахо-

дится на оси вращения вала, получим

или

ах Н~ N вх — 0;

_^ау ^ву — 0‘>
тх (МА) -j- тх (Ng) = wVv,;
mv д) Шу (Nв) —	0)1 •/хг

NАх “Г Ngx = 0;

^ау + NBy — 0;

~2 (‘'•цу NАу) =

~(Nax-nbx) = -^jxz,

(а)
отсюда

Л7    Л7   '"'-Rz .

/VAv  л Их 

nbv=~nAv=~^.

ну	лу а	*

(Ь)

Для вычисления центробежных моментов инерции Jxz и Jyz
введем в рассмотрение главные оси инерции Ox1ylz1 (рис. 540).

По известным формулам геометрии масс имеем

Jxz = 0,

так как ось Ох, совпадающая с Охь есть главная ось инерции,

J\г — ~2 №-I	У1^	2 а,

где Jv JZl — моменты инерции колеса относительно указанных
главных осей.

Поскольку

то

7^ = — sm 2а.

Подставляя значения центробежных моментов инерции в фор-
мулы (Ь), получим окончательные выражения для добавочных ди-
намических реакций подшипников:

Ал — N вх = 0;

iVBj = -^ = ^sin2a.

"Если а мало, то

NBy = -NAy^^^ =9,^,2 кн.

Полученные результаты показывают, что в данной задаче вслед-
ствие неуравновешенности система реакций эквивалентна одной
паре, стремящейся повернуть колесо так, чтобы угол а стал рав-
ным нулю.

Динамические давления на подшипники численно равны най-
денным реакциям и противоположны по направлениям.

Задача 1025. Однородный тонкий стержень массой М, имею-
щий форму дуги одной четверти окружности радиусом R, одним
концом неизменно связан с валом, находящимся с ним в одной
плоскости (рис. 541, а). Вал вращается с постоянной угловой
скоростью <0. Определить координаты х,, ух добавочной массы ть
с присоединением которой устраняются добавочные динамические
давления на подшипники.

Рис. 541

Решение. Воспользуемся методом кинетостатики. К каждому
эпементу стержня и к добавочной массе приложим силы инерции.

Для того чтобы подшипники не испытывали добавочных ди-
намических реакций, необходимо и достаточно, чтобы совокупность
всех сил инерции представляла собой уравновешенную систему
сил.

Выделим элемент длины стержня ds = Rda.. Элементарная сила
инерции d] (центробежная, так как вращение равномерное) равна
по величине

| dj | dm,
где h — R cos а — расстояние от элемента до оси;

, 2М ,
dm = — da.

Я

Таким образом,
а/ =------------------------------cos a da,

1 ’	я

Вектор d] направлен от оси вращения перпендикулярно к ней.
Сила инерции Jt присоединенной массы параллельна dj и по
величине равна

Составим уравнения равновесия полученной системы парал-
лельных сил инерции:

Я	ГС

Т	2

S//«= —/1 + $ ^/1=0, £ fflo (Д) = Ml — $Р^/1=0,
о	о

где p = /?sina.
Подставляя в эти равенства значение dj и интегрируя, получим

О . , 2Л4а>2/? п

— х, Н-------------- = 0:

1 к	’

, I ।	AW/?2

W»ki |У1-----------~ =о.

Отсюда найдем требуемые величины:

т е — 2М/? ,, __А

: 11 nmt ’	1 пт1 '	2 '

Задача 1026 (рис. 542). Однородный тонкий стержень ОС дли-
ной I и массой т соединен с вертикальным валом посредством
цилиндрического шарнира. Определить полные
реакции подшипников А и В при установившемся 11

относительном равновесии стержня, если вал вра-
щается с постоянной угловой скоростью <«, а рас-
стояния от шарнира О до подшипников одина-
ковы. Ось Oz выбрать совпадающей с осью вра-
щения, а ось Ох лежащей в плоскости, которая
проходит через стержень и ось вращения.

Ответ: NВг = mg: NAv = N;J. = 0;

Na v = NBX = -	K4/W-9^ .

Задача 1027 (рис. 543). Однородный тонкий
стержень длиной 21 и массой 2т посредине изогнут
под прямым углом и одним концом прикреплен

Рис. 542

жестко к вертикальному валу так, что его

плоскость составляет с этим валом прямой угол. Вал вращается
с постоянной угловой скоростью w в подшипниках А и В, от-

стоящих на расстояниях а от точки
крепления стержня. Определить полные
реакции подшипников, считая верхний
подшипник цилиндрическим.

Ответ: NАх= —	(g + aw3);

л^=-^(£+^г); Nh*=

=	NBy=-ir(g — a^y,

N az — 2mg.

Задача 1028 (рис. 544). Однород-
ная тонкая прямоугольная пластина со
сторонами 2а и 2Ь и массой т закреп-

лена на валу, проходящем через ее
центр, так, что составляет с валом неизменный угол а. Вал вра-
щается с постоянной угловой скоростью <о в подшипниках А и В,
удаленных от точки крепления пластины к валу на расстояния I.
Определить добавочные динамические реакции подшипников.

Ответ: NАх==NBx = 0; N ву = -NAy =	.

Задача 1029 (рис. 545). Однородный тонкий стержень ОС мае*
сой т и длиной I приварен концом О под углом а к валу, вра-
щающемуся в подшипниках А и В под действием внешнего мо-
мента М. Определить добавочные динамические реакции подшип-

ников в момент, когда угловая скорость вала станет равной ш,
если расстояния от подшипников до точки крепления стержня
равны а.

Указание. Определить е из уравнения sJx = MlP.

Ответ: NAx = ^^^-,	N Вх =+	

АХ 4al sin а ’	4al sin а ’

.г т&Ч sin а /п,	о ,	т&4 sin а ,п.	, п .

NAy = —j-2-— (2/ cos а — За); N ву —---— (2Z cos а -|- За),

Задача 1030. Однородная тонкая пластинка, имеющая форму
прямоугольного треугольника с катетами а и Ь, вращается вокруг
оси, расположенной в ее плоскости. Как должна быть располо-
жена эта ось, чтобы динамические давления на подшипники от-
сутствовали?

Ответ: ось должна проходить через центр тяжести треуголь-
ника и составлять с катетом а угол

1	, ab

“ Т агс Ь*~а? ’

Задача 1031 (рис. 546). Однородная тонкая пластина массой М,
имеющая форму кругового сектора радиусом R с центральным
углом 90°, вращается вокруг вертикальной оси с постоянной уг-
левой скоростью. Определить положение добавочной массы т,
присоединение которой устраняет добавочные динамические дав-
ления на подшипники.

„	4Ж 3 п

Ответ: х —---5—; у~ „ R.

Зпт ' а 8

Задача 1032 (рис. 547). Однородная тонкая пластина массой М,
имеющая форму прямоугольного треугольника с катетами а и Ь,
вращается равномерно вокруг оси, совпадающей с катетом Ь. Опре-
делить положение добавочной массы т, присоединение которой
устраняет добавочные динамические давления пластины на под-
шипники.

Рис. 548

Ответ: масса должна быть присоединена в точке с координа-
та	1 ,

тами: х — ~
Зт ’ "	4

Задача 1033 (рис. 548). Однородный стержень АВ жестко при-
креплен к вертикальному валу OOi под некоторым углом и вращает-
ся вместе с ним с постоянной угловой скоростью. Для динамического
уравновешивания к валу присоединены на одинаковых от него
расстояниях две точечные массы С и D, расположенные в одной
плоскости с валом и стержнем, так что
СВ I 00, и DA J_ 00]. Определить отно-
шение величин этих масс.

Ответ: -- = 2.
тв

Задача 1034 (рис. 549). Три невесомых
стержня скреплены своими концами в од-
ной точке и находятся в одной плоскости.
К другим концам стержней прикреплены
точечные массы mt, т2 и т3. Система
вокруг оси, лежащей в плоскости стержней и проходящей через
точку их пересечения, причем массы т{ и т2 находятся по одну
сторону от оси, а масса т3—по другую. Каковы должны быть
отношения масс т{ и пц к массе т3, чтобы подшипники не ис-
пытывали динамических давлений? Длины стержней соответственно
равны Zi, It 1з, а углы, образованные ими с осью вращения,
равны я1; а2, (причем углы а, и а2 острые).

Ответ:

nii ___ ls sin а8 (Z2 COS а2— I ° COS а3) .	ms _____ Z3 sm a3 (Zt COS a, 4- Is cos a8)

111..	Z, sm a, (Z3 COS at-|-Z2 Cos a2) ’	m3	Za sin a2 (Zj COS a,Z2 cos a2) '

Решение невозможно в случае острого угла a3, если /3со5а3Дэ
^Z2cosa2, и в случае тупого угла а3, если Z3cosa3^— /jcosap

Задача 1035 (рис. 550). Два тонких однородных стержня / и
// длиной I каждый, имеющие массы Л1, и скреплены под

прямым углом в точке О, делящей каж-
дый из стержней в отношении 1 :2.
На коротком конце первого стержня
находится точечная масса ть а вдоль
короткого конца второго может пере-
двигаться точечная масса /п3. Какими
должны быть массы mt и т2 и расстоя-
ние h до второй массы от точки пере-
сечения стержней О, чтобы при враще-

нии системы вокруг любой оси, проходящей через эту точку и
лежащей в плоскости стержней, подшипники не испытывали
динамических давлений? В каких границах должно находиться

отношение масс стержней,
ным (т. е. чтобы масса т2
конца второго стержня)?

л	х, /М1	2 \ ,

Ответ: п =	— -yj Z;

Решение задачи возможно

чтобы решение задачи было возмож-
но оказалась за пределами короткого

Л1.	Ml

т'~ 2 ; mt— 2(ЗМ1 —2Л[2) •

при выполнении условия

2_ _ ЛД ।
3
ГЛАВА XIV

ПРИНЦИП ВОЗМОЖНЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ И
ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ ДИНАМИКИ СИСТЕМЫ

§ 1.	Принцип возможных перемещений

Возможными перемещениями называют воображаемые беско-
нечно малые перемещения, которые могут быть у точек системы
в данный фиксируемый момент времени без нарушения связей,
наложенных на систему.

Если данное положение системы, подчиненной идеальным ста-
ционарным и удерживающим связям, является ее положением равно-
весия, то сумма работ всех, задаваемых сил на любом возможном
перемещении равна нулю, т. е.

M(F)= 2	S	=	(М.1)

ft— 1	k = i

Наоборот, если сумма работ всех задаваемых сил на любом
возможном перемещении равна нулю и начальные скорости всех ее
точек равны нулю, то система с указанными связями находится
в равновесии.

В обобщенных координатах элементарная работа на возможном
перемещении системы

(14.2)
7=1

Принцип возможных перемещений в независимых обобщенных
координатах (при голономных связях) выражается следующим об-
разом:

= O (/=1; 2; ...; S),	(14.3)

где Qj — обобщенная сила, соответствующая обобщенной коорди-
нате qt;

s — число степеней свободы системы.

Обобщенные силы определяют как коэффициенты при 8<?7-
в выражении (14.2) или по одной из следующих формул:

<1= 2 F>wr 2	<l4-4>

k—1	/>!— I

=	04.5)

где 8Ay — элементарная работа всех задаваемых сил, действующих
на систему, па таком возможном перемещении системы, при кото-
ром изменяется только данная обобщенная координата а для
консервативных систем

=	(14.6)

где П — потенциальная энергия системы.

Если ввести понятие возможных скоростей

й* =

Vk dt '

то вместо (14.1) получим

2 ^'^ = 0.

/г = 1

(И.7)

Задача 1036

(рис. 551). В винтовом зажиме тело D сдавли-

вается губкой А,

которая перемещается винтом В Определить
давление Q на тело, если к штурвалу винта
приложена пара сил с моментом М —120 н-м,
передаточное число конического зубчатого за-
цепления fe = ^ = 4, шаг винта h = 20 мм.

 ' 1

Трением пренебречь.

Решение. Рассмотрим систему, состоящую
из штурвала, зубчатых колес, випта и губки.
Введем в рассмотрение силу Р~ — Q, с кото-
рой сжимаемое тело D действует на губку.
Величину этой силы определим из условия рав-
новесия системы. Таким образом, задаваемыми
силами, действующими на систему, будут сила Р
и пара сил с моментом М. Система имеет
теперь одну степень свободы. Сообщим ей воз-

Рис 551 можное перемещение, мысленно повернув штур-
вал на угол Sep в сторону действия момента. При
этом губка опустится на некоторую величину За.
Так как связи считаются идеальными в силу отсутствия трения

и твердости тел системы, а также стационарными и удерживаю-
щими, то, согласно принципу возможных перемещений (14.1),

8А (М) + ЗЛ (Р) = 0,

где 8А (Л4) — элементарная работа пары сил;

8А (Р)— элементарная работа силы Р.
Очевидно,

8Л (Л4) = Л18=р; 8А(Р) = — РЪа,
таким образом,
Л48? —Р8а = 0.	(а)
Так как система имеет одну степень свободы, то величины 8а-
и связаны между собой некоторой зависимостью. Установим ее.

При повороте штурвала на угол В? шестерня I получит угло-
вое перемещение

8'pi = В<р.

Угловое перемещение В<р2 шестерни II найдем из соотношения

lli = £1 — fe
6<f2	’

откуда

Такое же угловое перемещение будет иметь и винт.

При повороте винта на угол 2л губка опускается на величину
шага винта h. При повороте винта на угол В<р2 губка опустится
на величину

Таким образом,

Подставляя это значение 8а в (а), имеем
М8?_ pAsT=o.

В силу произвольности 8<р получим

М — — = 0

откуда
р 2яАЛ4

Подставляя числовые данные, найдем
Р= 150,8 кн.

Следовательно, Q = P = 150,8 кн.
Задача 1037 (рис. 552). Пресс состоит из шести одинаковых
стержней и винта АВ с гайкой А, укрепленной па корпусе.

Определить при равновесии силу давления пресса, если на винт
действует пара сил с моментом М = 80 н-м, а = Р—10°, шаг

винта /г =12 мм. Весом стержней и
плиты, а также трением пренебречь.

Решение. Рассмотрим систему, со-
стоящую из винта, стержней и плиты.
Введем в рассмотрение силу Р, с кото-
рой сжимаемый предмет действует на
плиту. Величину этой силы следует
определить из условия равновесия
системы.

Таким образом, задаваемыми силами
являются пара сил с моментом М и
введенная сила Р. Система имеет теперь
одну степень свободы. Принимая, что
все стержни абсолютно твердые, и учи-
тывая отсутствие трения, связи можем
считать идеальными (кроме того, эти
связи стационарные, удерживающие).

Введем оси координат, показанные

на рисунке. Дадим системе возможное

перемещение, мысленно повернув винт в направлении действия
пары на угол 8р. При этом плита получит вертикальное смеще-
ние Ьук. Согласно принципу возможных перемещений,

8Л (М) + 8Д(Р) = 0

или

М8р—Р8^ = 0.

(&)

При этом работа силы Р определена по формуле

3Л (Р) = РхЪхк + РуЪук + Рг8гА- = - Р8^.

Ввиду того, что система имеет одну степень свободы, заклю-
чаем, что величины 8р и Ъук взаимно связаны. Найдем эту зави-
симость. Для этого определим координаты точек В и К. Обозна-
чив длины стержней через /, имеем

yB = lcoSa — I sin Р; ук = yE = 2l COS л.

Углы а и р в свою очередь связаны между собой соотношением

I cos р -J- / siп а = EK = const.

Варьируя полученные соотношения, найдем

8ун = — I sin а8а — / COS р8р;

tyK= — 21 sin аЗа;

— / sin р8р —/ COS аЗа = 0,
Из последнего равенства найдем зависимость между 8а и 8р;

8₽==^8а.

1 sin ₽

Подставляя это значение 8р в 1ув, получим

Ъув = — I sin а8а

I COS p COS a

Sin P

•>	I COS (а — В) «

оа==----------Ц-—г/ 8а.

sin р

С другой стороны, Ъув
При повороте на угол 2л
винта h, а при повороте на
тельно,

связано с углом поворота винта 8<р.
винт опускается на величину шага
угол 8<р — на величину 8ув, следова-

2тг -	2л/ COS (а — В)

oa.

Подставляя полученные выражения для 8<р и 1ук в (Ь), получим

— м 2л/с°\(а—J) _i_2Р1 sin «8а = 0.
h sm р	1

В силу произвольности 8а

р__ Мт cos (а — Р)

h sm р sin а

Подставив численные данные, найдем

Р = 694 кн.

Задача 1038 (рис. 553). Дифференциальная передача состоит

из двух шестерен / и Ill, вращающихся
вижной оси О, и бегающей шестерни 11,
приводимой в движение водилом О А.
К водилу приложена пара сил с момен-
том Мв.

Пренебрегая трением, определить
моменты Mi и /VI3 пар сил, которые надо
приложить к шестерням I и III, чтобы
уравновесить механизм. Радиусы колес I
и /// равны соответственно и га.
Механизм расположен в горизонтальной
плоскости.

Решение. Система имеет две степени
свободы и находится в равновесии под
действием трех пар сил (задаваемые силы)

непод-

вокруг общей

III

Рис. 553

с моментами

до,

и М-л- Примем за обобщенные координаты — угол поворота
водила и <?! — угол поворота шестерни I.

Дадим системе возможные перемещения 8<р0 и в сторону,
определяемую действием пары с моментом При этом шестерня II
получит угловое перемещение 8<р2, а шестерня III — угловое пере-
мещение 8<р3. Направления этих перемещений зависят от 8<р0 и Bcpj.
Согласно принципу возможных перемещений, имеем

8А (Me) + 8А (Mi) + 8А (Мг) = 0
или

Mo8<po + ^i8c?i -f-M38<p3 —0.	(с)

При этом предполагается, что пары сил с моментами Mj
и М3 стремятся повернуть соответствующие шестерни в направ-
лении угловых перемещений 8<р, и 8<р3.

Введем в рассмотрение возможные угловые скорости <о/
(i=0; 1; 2; 3).

Тогда вместо (с) получим

M0<o* + M1(a*-|-M3«)* = 0.	(J)

Угловая скорость оф зависит от «о и ш*. Установим эту зави-
симость, пользуясь формулой (9.5):

<>1 — ю*   Г2 .	оф — СО* _ Гд

со* со*	Г, 1	со* со*	Г а

Перемножая эти равенства, найдем

Подставляя это значение в (d), получим

|м0 + Л1311 + £ У1 <4 + Гм, - мЛ10)^0.
L	\ гз/J L	ч!

Здесь wo и «ф — взаимно независимые величины в силу независи-
мости 8<р0 и Sep,.

Поэтому можно положить: 1) «>*	0; оф = О и 2) о>£ = 0;

оф 0. Тогда получим

Мо + М8(1 + ^ = О; М, —М3~ = 0,
отсюда найдем

Знаки «минус» указывают на то, что при равновесии системы
действия пар, приложенных к шестерням / и III, имеют проти-
воположные направления действию пары, приложенной к водилу.
Рис. 554

Задача 1039 (рис. 554). Два однородных стержня AtBt и
веса которых равны соответственно Рх и Р2, опираются концами
Л1 и Ая_ на гладкие вертикальные стенки, а концами Bi и
Bi — на гладкую горизонтальную плоскость.
Определить зависимость между углами на-
клона стержней и <f2 при равновесии
системы.

Решение. Система состоит из двух стерж-
ней^ Задаваемыми силами являются веса
и Р2.' В силу отсутствия трения связи
будут идеальными. Будем считать, что изо-
браженное на рисунке положение системы
есть положение равновесия. Дадим системе

возможное перемещение и воспользуемся принципом возможных
перемещений, выраженным в виде равенства (14.1):

У, (Вkx^xk Ч- Fkytyk + Fь^2ь) — 0-	(е)

*=i

В нашем случае n = 2; Fkx = Fky = (F, Fkz — — Pk.

Согласно (с), имеем

-PiSz, — P28z2 = 0,	(/)

где Zi и Zi'—аппликаты точек приложения сил Pt и Р2.
Так как

	z1 = /1sin<p1; z2 = /2sin>p2,
то	8Z1 = ~Z1C0S ' 5<p1’ dz  Bz2 =	cos cp3  S<₽9..

Здесь 2/j и 2/9 —длины стержней.

Установим зависимость между 8<р, и 8<р2. Имея в виду-, что
расстояние между стенками постоянно, получим

2/j cos -j- 2/2 cos = const,

отсюда имеем	— 2Zr sin	— 2/2 sin <р9 • 8<р2 == 0,
следовательно,	5,	/( SIU <f>! «  \ sin?2
Далее найдем	= — /j	cos * Sepp  sm<f>2	т	т
Подставляя в (f) значения 8z( и Ъгъ получим

- Pih cos ?18?1 + cos ?2В?1 = О,
bill <р2

откуда
tg ?i=р ъ-

Такова искомая зависимость между углами <pj и <в2 при рав-
новесии системы.

Задача 1040. Определить при условии равновесия величины
моментов Mi и Мг, приложенных к барабанам lull подъем-
ного механизма, изображенного на рис. 555, а. Вес груза А ра-
вен Рд, вес подвижного блока В равен Рв, коэффициент трения
между грузом А и наклонной плоскостью, образующей угол а
с горизонтом, равен f. Радиусы барабанов равны t\ и г2, трением
в осях пренебречь.

Решение. Система имеет две степени свободы. За обобщенные
координаты примем углы поворотов барабанов и <р8. Определим
предварительно обобщенные силы как функции обобщенных коор-
динат. Для этого составим выражение для элементарной работы
задаваемых сил на возможном перемещении:

8/1 — Qi 8<pi

Задаваемыми силами являются веса Рд и Рв и пары сил с мо-
ментами Mi и Мг. Следует рассмотреть два случая.

Первый случай. Предположим, что при отсутствии трения
груз А стремится двигаться вверх. В этом случае при наличии
трения сила трения будет направлена вниз вдоль наклонной пло-
скости (рис. 595, б). Включая силу трения в число задаваемых
сил, имеем

ВЛ = MiBcpj -ф- Л12&ср2 -ф- PB$Si -ф- РдЪз2 sin a -ф- ^pBs^,
где $! — расстояние от оси неподвижного блока С до оси блока В;

s2— расстояние от оси неподвижного блока D до груза А.

Выразим Bsj и Bs2 через приращения независимых обобщенных
координат 8<р! и 8срг. Для этого напишем уравнения связей. Обозна-
чив длину нити BCI через получим (рис. 555, в)

Si -ф- d q —
или

Si 4-^ = Const.	(g)

Если длина второй нити равна Lt, то (рис. 555, г)

Ь — Si -ф- С — Sj -ф- т.гв -ф- Г-ф-	= Д2,

где lD — длина участка нити, охватывающего блок D.

Таким образом,

s2 — 2sr -f-	= const.	(/i)
0


Варьируя полученные соотношения (g) и (h), получим
8s ।	г 1— 0; Bs4— 2Bsj —{— f 48^р4 -— О,

отсюда

8sj = — r^cp,; 6S2 — — r98<p2 — 2r1B<p1.

Подставив эти величины в выражение для 8 А, имеем

8Д =	— PBrt — 2PAri sin a — 2riFrp) 8T1

-j- (M4 — r3PA sin a — r2FTp) 8?ъ
таким образом.

Qj = Mi — Рвп — 2PAri sin a — 2rjPTf);
Q9 — M2 — P Ar3 sin a — r2FTp.

При равновесии	fN = fPA cos a и, согласно (14.3), Qj =

= Q9 = 0, следовательно,

Mt < PBri 4- 2PAri sin a ZrifPA cos ai
M2 PAr3 sin a -)- r3fPA cos a.

Во втором случае предположим, что при отсутствии трения
груз опускается (рис. 455, д). После аналогичных выкладок по-
лучим

Mi РВГ1 2PAri sin a — 2rifPA cos a;

M3 PAr3 sin a — rtfPA COS a.

Итак, при равновесии системы

PBri 4- 2РЛГ1 sin a — 2PArif cos a «С Mv	PBri 4~

4~ 2PAri sin a -f- 2PArif cos a;

PAr3 sina — PAr3f cos a M3 PAr3 sin a 4-

4- PAr3f cos a.

Задача 1041 (рис. 556). Лебедка состоит из барабана, зубча-
той шестерни /, жестко скрепленной с барабаном, зубчатой
шестерни II, находящейся в зацеплении с шестерней 1, и руко-
ятки О А, приваренной к шестерне II. Опре-
- делить минимальную величину силы F, ко-
/1	р торую надо приложить перпендикулярно

\\ 0^	к КОНЦУ рукоятки ОА, чтобы поднять груз М

V	А весом Р, подвешенный к тросу, если числа

зубцов шестерен соответственно равны г(
и z9, длина рукоятки равна I, радиус бара-
цг-п]	бана равен г. Трением пренебречь.

п с fz2P
п тс	Ответ: F~-^-,

Рис. 556	lZi
Задача 1042 (рис. 557). К штурвалу рулевой машины прило-
жена пара сил, величины которых — н. Определить вели-
чину вертикального усилия 5, передаваемого на рейку ЛВ, если
радиус штурвала R = 45 см, а радиусы барабанов 1 и 2 и ше-
стерни 3 соответственно равны: /д = 16 см, г2~10см, г3=\5см.
Трением пренебречь.

Ответ: 5 = 300 н.

Задача 1043 (рис. 558). Редуктор составлен из четырех кони-
ческих колес, имеющих общую вершину начальных конусов, углы

при которых соответственно равны 2аь 2о^, 2а3, 2а4. К ведущему
валу I приложен вращающий момент М;. Определить момент,
передаваемый на вал II, пренебрегая трением.

М =М, sin .
<<	‘ snuj’smi)

1044. В гидравлическом прессе, изображенном на
перпендикулярно к рычагу ОА в точке А действует

Ответ:

Задача
рис. 559,

сила В. Площадь левого поршня равна Slt площадь правого — 5а.
Определить величину усилия Q, сжимающего тело М, если
О А—а; ОВ = Ь. Трением пренебречь.

„	„ aSaF

Ответ: Q~~—.

Задача 1045 (рис. 560). Два горизонтальных стержня шарнирно
закреплены в точках Л и В, а их свободные концы соединены
тросом, перекинутым через блок С. Длины стержней равны R и /8.
На расстояниях at и от закрепленных концов к стержням
подвешены грузы весом Pt и Рг соответственно. Пренебрегая тре-
нием и весом стержней, найти соотноше-
ние между величинами «j и о2, если
система находится в равновесии.

Ответ: — =	.

а2

Задача 1046. Решить предыдущую за-
дачу, учитывая веса стержней ф и Q2.
Считать стержни однородными.

в С Ответ: 2Р^.га1 — 2Р^11аъ=— Qi) 1^.
ic	Задача 1047 (рис. 561). В двухколо-

дочном тормозе с уравнительным механиз-

мом определить давления колодок на ко-
лесо, если к рычагу ОА приложена горизонтальная сила Q.
Весом частей механизма пренебречь. Принять: ОА=а; ОВ — Ь;
DC —с, DE — d. Найти, при каком условии ось Oj не испытывает

давления.

Ответ:	=	N D ^=Qa d}.

Ось не испытывает давления при ас= bd.

Задача 1048 (рис. 562). В двухколодочном тормозе определить
давления колодок на колесо, если к рычагу приложена верти-

Рис. 562

Рас. 563

кальная сила Q, BC — BD — c, KL — A0 = a, LE = OD—b. Весом
частей механизма пренебречь.

Ответ: NK = ^- NA^b-=EQ.

Задача 1049 (рис. 563). Для распора параллельных плоско-
стей с — с и d — d используются встречные клинья Л и В, ко-
торые приводятся в движение звездочкой О радиусом г. Опреде-
лить величины сил Qi и Qt, с которыми производится распор,
если со звездочкой скреплена рукоятка длиной I, к концу которой
приложена вертикальная сила F, а угол скоса клиньев равен <?.
Угол поворота звездочки считать настолько малым, что сцепле-
ние между звездочкой и клиньями не нарушается. Размерами
зубьев и трением пренебречь.
Считать Qi = Q.2.

IF

Ответ: Ql = Qi =	.

'c*	2r tg щ

Задача 1050 (рис. 564). Четыре одинаковых однородных

стержня, соединенных между собой шарнирно, расположены в вер-
тикальной плоскости. Противоположные вершины А и В по-
лученного ромба связаны между собой нитью. Нижняя

вершина С закреплена при помощи неподвижного
шарнира, а верхний шарнир D может свободно
перемещаться . по вертикальной направляющей.
Определить натяжение нити, если острые углы при
вершинах ромба равны 2<р, а вес каждого стержня
равен Р. Весом ползуна D и трением пренебречь.

Ответ: Т = 2Ptg <р.

Задача 1051. В условиях предыдущей задачи,
заменив нить пружиной, естественная длина ко-
торой равна длине стержня I, определить жест-
кость с пружины, если при равновесии острые
углы при вершинах ромба равны 2?, причем
?>30°.

Рис. 564

Ответ:

__ 2Р tg tp

С Z (2 sin ср— 1) ‘

Задача 1052 (рис. 565). Однородный стержень АОВ весом Р
изогнут под прямым углом так, что OA = llt ОВ = 12. Стержень
подвешен в точке сгиба О и может вращаться около нее в верти-
кальной плоскости, опираясь концом В на горизонтальный одно-
родный стержень CD, шарнирно закрепленный в точке С и

Рис. 565	Рис. 566

удерживаемый пружиной в точке D. Найти натяжение пру-
жины, если вес стержня CD равен Q, СВ =±-CD, а = 45°. Тре-
О

нием пренебречь.

Л г- Q , Р (А —

Ответ. F

Задача 1053. В механизме, показанном на рис. 566, ползун D
весом Q может скользить вдоль гладкой неподвижной направляю-
щей АВ, образующей с горизонтом угол а = 30°. Кривошип АС
и шатун CD имеют одинаковые длины и веса, в два раза большие

14 н. А. Бражниченко и др.

417
веса ползуна. Определить при равновесии системы угол у, обра-
зованный кривошипом с направляющей АВ. Трением пренебречь.

Ответ: <з = 30°.

Задача 1054 (рис. 567). Система состоит из двух одинаковых одно-

родных шарнирно скрепленных стержней АВ и ВС весом Р каждый.

Стержень АВ шарнирно закреплен в точке А
и к середине его подвешен груз М весом Q.
Стержень ВС опирается на гладкий гори-
зонтальный пол. Какую горизонтальную
силу F следует приложить в точке С, чтобы
система накопилась в равновесии, если
/ О А В = / ОСВ = 60°? Трением пренебречь.

Ответ: F — (Q 2Р).

Задача 1055 (рис. 568). Два одинаковых однородных стержня
АВ и ВС соединены между собой шарниром В. К концу С

стержня ВС приложена горизонталь-
ная сила F, равная по величине по-
ловине веса стержня. Определить
в положении равновесия системы
углы аир, пренебрегая трением.

Ответ:	a = arc tg 1 /3 = 18°25';

P = 45°.

Задача 1056. В стержневой си-
стеме, изображенной на рис. 569,
стержни АВ, ВС, CD соединены шар-
нирно друг с другом и с неподвижны-
ми опорами. Определить зависимость
между величинами сил Q и F при

равновесии, если ср! = <р4 =

= Y- Весом стержней пренебречь.

Ответ: JF = Qtg<p.

Задача 1057 (рис. 570). В кулисном механизме, расположен-
ном в горизонтальной плоскости, определить соотношение, имею-

Рис. 569
щее место при равновесии, между моментами, приложенными

к кривошипу и к колесу II, если длина кривошипа г, а радиус
колеса II равен г2. Трением пренебречь.

Ответ: Я

М„ rs

Задача 1058 (рис. 571). Редуктор скоростей состоит из непод-

вижной шестерни ] радиусом г1(
бегающих шестерен 2 и 3 с ра-
диусами г2 и га и шестерни 4,
сидящей на ведомом валу IV.
К ведущему валу I приложен
вращающий момент Л4,. Прене-
брегая трением, определить мо-

двух спаренных между собой

Рис. 572

Рис. 571

41»

мент Л43 сил полезного сопротивления, приложенных к валу IV,
при условии равномерного вращения механизма.

Ответ:	~	.

Vi“Tr2) Vs— rs)

Задача 1059 (рис. 572). В блоке системы «Триплекс» на валу
а — а жестко насажен цепной блок Д; на том же
валу заклинена шестерня I. При вращении шестер-
ни / бегающие шестерни III катятся по непод-
вижной шестерне IV и посредством водила В
приводят во вращение цепной блок С. Числа
зубцов шестерен соответственно равны: ?1 = 12;
z2 —28; ?3= 14; z4 —54. Определить массу под-
нимаемого груза т, если на цепь, надетую на
блок А, действует сила F= 100 н, а радиус R,
блока Ав 10 раз больше радиуса г блока С.

Связи считать идеальными.

Ответ: т — — ——=: j 02 т.
gr

Задача 1060 (рис. 573). Кривошипно-шатунный
механизм расположен в вертикальной плоскости.
Определить, какой вращающий момент М пере-

14*
дается на кривошип, когда он образует угол <р с вертикалью, если
результирующее давление пара в цилиндре равно F. Кривошип
и шатун считать однородными стержнями равной длины I и
весом Р каждый. Трением и весом поршня пренебречь.

Ответ: М — 21 (F -)- Р) sin <р.

Задача 1061. На поршень двигателя действует сила F.
Определить в зависимости от углов <р и <|> вращающий мо-
		мент Л4 на коленчатом валу, если длина
кривошипа г. Весом частей пренебречь
(-------------------------(рис. 573).

Ответ: М = sm ^~^^-Fr.

ТГГТТТУТ^ТГГТТТТТТТГГГГГ	COS ф

Рис. 574

Задача 1062 (рис. 574). Колесо ра-
диусом Р равномерно катится без сколь-
жения по горизонтальному рельсу под

действием пары с моментом М. С центром колеса шарнирно свя-
зан стержень, другой конец которого скользит по направляющим,
параллельным рельсу. Определить силу трения F в направляю-
щих. Трением качения пренебречь.

Ответ: F — ~ri .

F\

Задача 1063 (рис. 575). На кривошип 0,4 кулисного меха-
низма, расположенного в горизонтальной плоскости, действует

Рис. 575

Рис. 576

вращающий момент Л1,. Определить, какой момент М.2 следует
приложить к кулисе, чтобы уравновесить механизм в момент,
когда АО1Оч = ^‘, Z0i0H = ¥- Трением пренебречь.

Ч Л4,

Ответ:	= —Л .

а sin2 <р

Задача 1064 (рис. 576). К коромыслу ОгА четырехзвенного
механизма приложен вращающий момент Mt. Определить момент Мс,
передаваемый на коромысло OJ3, в положении механизма, изобра-
420
женном_ па рисунке, если Ор4 = 6 см, OiO* = V 3 см, 0*В =
= 1V 3 см, £ AOiO\ = WP, z В0201= 120°.

7
Ответ: М, = — М,.

6	1

Задача 1065 (рис. 577). Пресс приводится в действие при
помощи кулисного механизма, причем к кривошипу ОА приложен

Рис. 578

Рис. 577

момент М. Найти давление, оказываемое прессом в зависимости
от угла ср, если длина кривошипа равна I. Трением и весом
частей пренебречь.

Ответ: F=-j-^—.

I Sin ср

Задача 1066 (рис. 578). Для перемещения ползуна А по на-
правляющим применяется рычаг, длина которого I, расстояние
оси вращения до направляющих равно h. К концу рычага пер-
пендикулярно к нему приложена сила F. Определить величину
горизонтальной силы R, которую следует при-
ложить к ползуну, чтобы уравновесить меха-
низм. Весом частей механизма и трением пре-	~ t

НебреЧЬ‘ Fl

Ответ: /? = -г- s i п8 <р.	"

Задача 1067 (рис. 579). Две тяжелые точки Рис- 57i>

Mi и М*, соединенные между собой невесомым
жестким стержнем длиной I, находятся внутри гладкой сферы
радиусом R=l. Определить при равновесии угол а, образованный
стержнем с горизонтом если вес точки Mi равен Р, а вес точки Мг
равен 2Р.'

т/”5

Ответ: а = arc tg == 10°53'.
Задача 1968. В кратных полиспастах, изображенных на рис. 580,
определить зависимость между величиной силы Q и весом груза Р
при равновесии, если число блоков с подвижными осями равно п.
Весом блоков и трением в осях пренебречь. Считать все части
тросов между блоками параллельными.

Ответ: a)	б)

Задача 1069. В дифференциальном полиспасте, изображенном
на рис. 581, определить зависимость между величиной силы Q

а)

Рис. 580

1ГГПМ

Рис. 581

и весом Р груза М при равновесии, если радиус большого блока
равен R, а радиус верхнего малого блока г. Весом блоков и тре-
нием в осях пренебречь.

Ответ: Q —

Лгу

Задача 1070 (рис. 582). Однородная стремянка с шарниром С
стоит на горизонтальной шероховатой плоскости. При каком пре-

дельном угле наклона а стремянка будет находиться в равнове-
сии, если коэффициент трения ее о плоскость равен /?

Ответ. a=arctg^.

Задача 1071 (рис. 583). С какой силой сжимают тиски обра-
батываемую деталь, если к концу В рукоятки приложена пер-
пендикулярная к ней сила F, шаг винта равен h, а длина руко-
ятки /?

Ответ: Q —
h

Задача 1072, Для подъема легкового автомобиля применяется
домкрат, изображенный на рис. 584. Считая, что АО — ОВ —
— CE = ED=a’, CB — AD = 2a и угол а = 60°, определить не-

обходимый шаг винта, если усилие, приложен-
ное к рукоятке, равно 80 «, а масса подни-
маемого груза равна 1 т. Расстояние от ру-
коятки до оси винта равно 20 см. Трением
пренебречь. Стержни СВ и AD шарнирно скреп-
лены посередине.

Ответ: й = 4,44 мм.

Задача 1073 (рис. 585). В винтовом руле-
вом приводе силовой мотор развивает на своем
валу вращающий момент Мй. Пренебрегая
трением, определить момент 7ИЬ передаваемый
на руль, в зависимости от углов а и <р, пока-
занных на рисунке, если шаг винта равен h,
длина О А — г. Крепления в точках А кВ шарнир-
ные. Передаточное число, т. е. отношение углов
поворота вала мотора и винта, равно k.

Ответ:

1 /г cos а ”

Рис. 584

Задача 1074. В прессе, показанном на рис. 586, на махови-
чок А действует пара сил с моментом М. Благодаря различным
нарезкам гайки В и С одновременно сходятся или расходятся.

С в м

Рис. 585	Рис. 586

Определить сжимающее усилие S, развиваемое прессом,
положении механизма, когда стержни BD и OD образуют

тикалью углы 6 и а соответственно. Весом частей пресса
нием пренебречь. Шаг винта равен 1г,
Ответ: S =

h sin 4 COS а

в том
с вер-
и тре-
Задача 1075 (рис. 587). Пресс состоит из двух рычагов, со-
единенных в точке А шарнирно, и из винта с правой и левой
резьбой, который может ввинчиваться в гайки В и С. Определить
величину усилия F, создаваемого прессом, если к рукоятке винта
приложен вращающий момент М. Шаг винта равен h, длины плеч

Рис. 587	Рис 588

рычагов соответственно равны а и b; ВАО= £ CAOi — №°;
£ AOOt — y. Весом частей пресса и трением пренебречь.

Задача 1076 (рис. 588). К рукоятке ОВ домкрата приложена
перпендикулярная к ней сила Р. При вращении рукоятки ше-

стерня I, закрепленная на ее оси, приводит во вращение ше-
стерню //; через шестерню II проходит ходовой винт, которому

она сообщает

A2R к

Рис. 589

продольное поступательное перемещение вверх.
Шестерня III, скрепленная с шестерней I, нахо-
дится в зацеплении с шестерней IV, которая может
поворачивать винт, не препятствуя его продоль-
ному перемещению, благодаря наличию на ней
пальца, скользящего в прорези. При этом винт,
ввинчиваясь в неподвижную гайку А, опускается.
Определить вес поднимаемого груза Q, если шаг
винта h, а радиусы шестерен соответственно равны
fi, г3, г3, ц. Длина рукоятки ОА равна Д.

2r.PR

Ответ: Q

и соотношение

'О

Задача 1077. Определить момент М пары сил,
которую необходимо приложить к вороту А,
между весами грузов для того, чтобы система, изо-

браженная на рис. 589, находилась в равновесии, если радиус
ворота равен Д. Весом блоков и трением пренебречь.
Ответ: М = P3R; Pi = 4Ра.
, как ука-

Рис. 590
и момент М<

Задача 1078 (рис. 590). Система состоит из двух невесомых
блоков: неподвижного А и подвижного В, и из трех грузов
Мч, М3, подвешенных с помощью нерастяжимых нит
зано на рисунке. Определить соотношение между
весами грузов в условиях равновесия системы. Весом
блоков и трением пренебречь.

Ответ: Р, = 2Ра = 2Р3.

Задача 1079. В системе, изображенной на рис. 591,
определить соотношение между весами грузов /\
и Р, при их равновесии. Весом блоков и трением
пренебречь.

Ответ- Рг — 4Ръ.

Задача 1080. Четыре груза Л11( М2, Мя, Mit
подвешенные посредством системы блоков, изобра-
женной на рис. 592, находятся в равновесии. Опре-
делить зависимость между весами грузов, прене-
брегая весом блоков и трением.

Ответ: 2Рг = Pi = 2Pl = Р3.

Задача 1081 (рис. 593). Определить вес Р груза А

пары, который необходимо приложить к вороту // для того,
чтобы система находилась в равновесии, если к вороту / прило-

Рис 591

жена пара с моментом Вес подвижного блока равен Q, а ради-
усы воротов одинаковы и равны R. Весом блоков и трением пре-
небречь.

„	n Ml —Q/?	„ Ml— QR

Ответ: Р~ ор —;	— —-а-	.

Z/\	Z

§ 2. Общее уравнение динамики системы

При идеальных удерживающих связях, наложенных на систему,
имеет место общее уравнение динамики:

п

У («А-

й=1

(14 8)
или

It

2 [(mhxk — Fkx) bxk 4- (mkyk — Fhy) byk 4-
fe=l

4-(ад — Fkz} &zJ = O.

(14.9)

Уравнение (14.8) можно переписать в виде

8Л (^) 4-ЗЛ (/) = 0,	(14.10)

т. е. при движении системы с идеальными удерживающими свя-
зями сумма элементарных работ задаваемых сил и сил инерции
равна нулю на всяком возможном перемещении системы из любого
ее положения.

Работу сил инерции твердого тела, вращающегося вокруг не-
подвижной оси, при элементарном повороте Вер вокруг оси вра-
щения определяют формулой

М (/) — —

(14.11)

Задача 1082 (рис. 594).
двух точечных масс А и В,

Рис. 594

где Jz — момент инерции тела относительно оси вращения;
s — угловое ускорение.

В случае наличия сил трения их нужно причислять к зада-
ваемым силам.

Центробежный тахометр состоит из
соединенных между собой стержнем,
муфты С, скрепленной с массой А
при помощи стержня АС, и спираль-
ной пружины. Стержень АВ может
поворачиваться вокруг оси О, перпен-
дикулярной к оси тахометра О,Ог.
При отсутствии вращения стержень
АВ образует с осью тахометра угол
Определить зависимость угловой ско-
рости вращения тахометра от угла <р,
если масса тА — тв = т, а масса
муфты равна гщ. Жесткость спи-
ральной пружины принять равной с
и считать О А = О В = А С = I. Весом
стержней и трением пренебречь.

Решение. Система состоит из точеч-
ных масс Л и В и муфты С. Зада-
ieca и упругие силы пружины, момент

последних А4уПр = с(ср — <р0). Приложим условно к точкам системы
силы инерции:

ваемыми силами являются

1а = ~ mwA-	JB — — mwB.

Так как

wA — и>ц4- ®’"₽,
a &DBP = O в силу равномерности вращения, то ®'Л = ®|Ц, т. е.
wA == со2/ sin <р.

Таким образом,

]А = 1в = тыЧ

При этом силы инерции являются центробежными и направлены
перпендикулярно к оси вращения.

Если не пренебрегать размерами муфты, то к каждой частице
муфты будет приложена сила инерции //, также являющаяся
центробежной. Приложив силы инерции, сообщим системе воз-
можное перемещение 8ср, повернув мысленно стержень АВ вокруг
точки О в плоскости рисунка. Определим элементарную работу
задаваемых сил и сил инерции.

При повороте твердого тела

8Л =тг (F) Sep.

Обозначая РА = Рв — Р — mg — веса грузов, имеем

ВЛ (Рл) = — PI sin срВср;

8Л (Рв) = Р/ sin срЗср;

cos<p8<p;

M(/B) = jB/cos<p8<p.

Работа упругих сил

М (^Упр) = —с (? — ?о) 8(Р-

Работу веса Pt муфты С найдем по формуле
8Л (Р1) = Р^г,

где Вг— изменение расстояния муфты от точки О.

Так как

г = 21 cos ср,
го

8г = ~ Sep = —2/sin ср Вер

и, следовательно,

ВЛ (Р^ — — 2/Р, sin <р Sep.

Работа сил инерции на возможном перемещении равна
нулю, так как эти силы перпендикулярны к элементарным пере-
мещениям.

Таким образом, согласно (14.10), имеем

ВЛ (Р) -J- ВЛ (]) = jAl COS ср Вер jBl COS ср Вер - -
— 2/Pt sin tp Sep — c (tp — cp0) Sep = 0.
Подставив найденные значения, получим

2тм-11 sin ср cos у Зср — 21РХ sin ср 8<р — с (® — р0) 8ср = О,
отсюда

,.	1 Г2«lmi sin? + c(? —?о)

У	m/2sin2<p

Задача 1083. Система состоит из четырех масс mb т2, т3, т1г

соединенных попарно и подвешенных при помощи блоков А, В,

С, как показано на рис. 595. Определить, при
каком соотношении масс груз с массой т4
будет оставаться на месте, если в начальный
момент система находилась в покое. Весом бло-
ков, нитей и трением пренебречь.

Решение. Система имеет три степени свободы.
Обозначим абсолютные координаты грузов
через i/i, у2, у3, yt. Задаваемыми силами яв-
ляются веса. Согласно уравнению (14.9),
имеем

(тщ — rthg) St/! 4- (m^Wi — m%g) 8y2 -ф-
+ (m3w3 — m3g) 8t/3 + (m4ay4 — m4g) Sy4 = 0. (£)

Puc. 595	Установим зависимость между перемеще-

ниями Si/!, 8t/a, Ъуз, bylt для чего составим урав-
нения связей. Так как все нити предполагаются нерастяжимыми,
то, обозначая через Llt L$, Т8 длины нитей, получим

У1 — «14- № — Si + тт д — /д;

si	4~ ~г в ~ Р*;

г/8 — s.2 + уц — &t-\-tzrc = L3.

Умножая второе уравнение на 2 и складывая все три уравне-
ния (чтобы исключить и s.>), имеем

У1 4~ У*	Уз Н- Ui ~	— 2кгв 4- 4 — лгл 4- Рз ~~ ягс = const

(поскольку система имеет три степени свободы, это единственное
уравнение связи). Варьируя, найдем

4- ty* 4- ьуз 4~	— о,	(/)

а дважды дифференцируя по времени, получим

ид 4 wi 4 w3 4 — 0-

(й)
Заменяя в (i)Bys его выражением через 8yt, Ву,, Ву3 из (/), имеем
lmt (u>t ~g) — mi (Wi _ g)j gy, 4- [m, (Wi ~ё) — пц (wt — g) J By, 4-

4- [m3 (w3	(Wi — g)] By3 = 0.

Так как вариации 8yt, By,, 8у3 взаимно независимы, то коэф-
фициенты при них должны быть равны нулю, отсюда

Ш1 (ш, — g) = m4 (Wt — g);

w, (®, — g) = m4 (Wt — g);

m3 (w3 — g) — mi (Wt, — g).

Умножая эти равенства соответственно на m,m3, т^щ, и
складывая, а также учитывая (k), получим

___	(/п1/иа + т1я,з4-т2от8) — 3mim2m3

Wl /»1т2ш34- m1msm14-/n1m8m44'м2щ3т4

Для того чтобы груз массой т4 при от<
скорости не двигался, необходимо, чтобы
ш4 = 0, т. е.

mt (три, 4* гпгт3 4~ тгт3) = Згщ1щт3.

Разделив обе части этого соотношения
на т^т^т^ можем представить его в виде
т4 1 "5 ।	__з

mt т2 "i ms '	г~

Это и есть искомая зависимость между
массами грузов.	

Задача 1084 (рис. 596). К ведущему
барабану / радиусом R подъемного меха-
низма приложен постоянный вращающий
момент М.

Не учитывая масс вращающихся ча-
стей и тросов и пренебрегая трением в
осях, определить ускорение поднимаемого

груза А, если радиусы барабанов // и III соответственно равны
г, и г3, передаточное число — — k, а масса груза равна т.

„	Mr,k

Ответ: w = —~------g.

mRr, s

Задача 1085. Решить предыдущую задачу с учетом масс вра-
щающихся частей механизма, приняв моменты инерции: ведущего
барабана барабана II с зубчатым колесом барабана III
с зубчатым колесом J3.

Ответ:

,__ (Mr2k — mgRr-A Rrs

~~ mR^l 4- (Ari + АА2) й2 4- ЛА2 •

Задача 1086 (рис. 597). На трех сплошных однородных валах,
к каждому из которых приложен вращающий момент М, нахо-

/ ш

Ж

Рис. 596
дится балка массой т%. Определить ускорение балки, если масса

каждого вала равна mi, а радиус равен г, считая, что между

валами и балкой скольжение отсут-
ствует. Трением в осях пренебречь.

г,	6М

Ответ: w = -^------—г—.

(З/Й! -|~2»12) г

Задача 1087 (рис. 598). Зубчатый
редуктор состоит из двух зубчатых

Рис. 598

Рис. 597

колес I и II, массы которых равны т( и т2, а радиусы г и R
соответственно. На первое колесо действует момент М, приводящий
его в движение, а на второе колесо — тормозной момент L = ^- М.
Определить угловые ускорения st и е, колес, считая их однород-
ными дисками, если /?=12 г. Трением в подшипниках прене-
бречь.

Л	15М	5Л1

Ответ: е. — -о ------=--г-;	= - „ . .--;--г.

1	32rs (mL + ms)

Задача 1088 (рис. 599). На транспортере находится груз А
массой т. К ведущему шкиву приложен вращающий момент М.

Рис. 599

Ведомый и ведущий шкивы имеют одинаковые массы, распреде-
ленные по ободу, и радиусы, равные г. Лента транспортера счи-
тается однородной, имеет массу mt и натягивается роликом С,
массой которого пренебрегаем. Определить ускорение груза А,
если масса каждого шкива равна пц, а угол наклона ленты к го-
ризонту равен а.

Трением в осях пренебречь.

м	М — mgr sin а

Ответ: w = —-----,—-----г—.

Задача 1089 (рис. 600). Два сплошных однородных вала 7 и
II массами mi и та вращаются без трения около параллельных
осей при помощи бесконечного ремня так, что скольжение отсут-
ствует. К первому валу приложен вращающий момент М, а на

второй вал наматывается трос, к концу которого привязан груз
массой т3. Определить ускорение груза, пренебрегая массой ремня

Ответ:

и троса. Радиус вала I равен г.
----------------	2 (М — m,gr>
W___________________'7^. ГТГ. । а \	•

Задача 1090. В регуляторе, показанном на рис. 601, опреде-
лить угол раствора « при установившемся вращении с угловой

скоростью ад, если масса каждого шара равна т, масса муфты Е
равна 7W, ОС —ЕС = ЛС = а. Массой стержней, размерами шаров
и муфты, а также трением пренебречь.

„	Mg	1 j Г .Tfff

Ответ: cosa==1—=-s-, если	|/ -->

4am«>s ’	2 у та'

о	__1 л 7 Mg

а=0, если J/

Задача 1091. В центробежном регуляторе, изображенном на
рис. 602, каждый из грузов А и В имеет массу т, а муфта
С — массу М. Пренебрегая массой стержней, определить, на
какую высоту поднимется муфта, если регулятор равномерно
вращается с угловой скоростью <о. Считать, что при отсутствии
вращения <р = 0. Найти также, при какой угловой скорости «ч
муфта вовсе не поднимается. Трением и размерами муфты пре-
небречь.

Ответ: х = 2а (1 — ё) ;

0)1 С 7 V т *
Задача 1092. В регуляторе, изображенном на рис. 603, грузы А

и В имеют массы по 1 кг каждый, масса муфты 3 кг, длины

стержней 10 см. Определить число оборотов в минуту, которое
совершает регулятор, если муфта С поднялась при этом на рас-

стояние s = 2 см, а при отсутствии вра-
щения угол а равен нулю. Размерами
грузов и муфты, а также трением пре-
небречь.

Ответ: «=129 об/мин.

Задача 1093 (рис. 604). Косинусный
регулятор представляет собой угловой
рычаг, на концах которого прикреплены
два точечных груза А и В с одинаковыми
массами. Длины плеч рычага равны соот-
ветственно li и 1ч (li^ С), причем угол,
под которым согнут рычаг, равен 90°.
Пренебрегая массой рычага и трением

в оси, определить, при какой угловой

скорости регулятора прямая, соединяющая центры грузов, будет
горизонтальной.

Ответ: о>® =	1 g.

4*2

Задача 1094. Определить угловую скорость, с которой враща-
ется регулятор, изображенный на рис. 605, если при установив-

шемся вращении ф = 30°; <р = 60°. Масса каждого груза D равна т,
масса муфты А равна М (М <^3m); AB = CD = l-, ВС = ~=~‘,
Z BCD = 90°.

Массами стержней и ползуна В, а также трением пренебречь.

Ответ:

1 1 /~'2 (3w ~ ДН
3 г у 31т
Задача 1095. При вращении регулятора, показанного на
рис. 606, шары А и В, расходясь, сжимают при помощи рычагов
АОС и BOJ) пружину, жесткость которой равна с. Установить

зависимость угловой скорости w от угла а отклонения рычагов,
если массы грузов равны т, АО = ВО{ = 1, расстояния центров

вращения рычагов О и Ог от оси
регулятора равны г, а расстояния от
этих центров до роликов равны Ь.
При а = 0 пружина не напряжена,
при этом центры вращения рычагов
и ролики находятся на одной гори-
зонтали. Массой рычагов и трением
пренебречь.

Ответ: =	^ + 2гпё1)^

2ml (r-j-l sm а)

Задача 1096. При вращении цен-
тробежного регулятора, изображен-
ного на рис. 607, прямоугольные
рычаги АСВ и А’СВ’ поворачивают-

Рис. 606

ся вокруг горизонтальных
При отсутствии вращения

осей С и С'

и отжимают муфту М.

плечи рычагов ВС и В'С перпенди-

кулярны к оси вращения,
О'

Рис. 607

пружина при этом недеформирована.
Зная массы т грузов и пренебрегая
массой рычагов, муфты и пружины,
а также трением, определить, какова
должна быть жесткость пружины с,

для того чтобы рычаги регулятора при заданной угловой ско-
рости w отклонялись на заданный угол а, если СС — 2а, ВС =
— В’С' = г, АС = А'С' = 1.

Ответ:

__2ml [g sin а	cos a (a -|- / sin я)]

Г2 sin а COS а

Задача 1097 (рис. 608). Шарнирный четырехзвенник ABCD,
расположенный в вертикальной плоскости, имеет неподвижное
звено AD. Каждое подвижное звено представляет собой однород-
ный стержень длиной I, причем все стержни имеют одинаковые
массы. Определить период колебаний системы при малых откло-
нениях от равновесного положения.

Ответ: т = 2it 1/~~.

Г 6g

Задача 1098. Определить период малых крутильных колеба-
ний системы, изображенной на рис. 609, считая колеса однород-
___	ными дисками с массами т{ и т2. Пру-

Xх 'Х . жины имеют жесткости с1; с2 и при горизон-
та О, Vтальных положениях радиусов О, А и ОзВ
А V	не напряжены.

Л 1 Ответ: т = 2тс 1/~

> Т	>	г 2(С1 + с2)

>	1	5 Задача 1099 (рис. 610). Однородный

?	сплошной цилиндр массой М может вра-

щаться без трения вокруг неподвижной
Рис. 609	оси q Через цилиндр перекинут трос,

один конец которого несет груз А массой т,
а другой прикреплен к пружине с жесткостью с. Считая, что
трос не проскальзывает по цилиндру, определить период малых
вертикальных колебаний системы.

Ответ: т = 2л

Задача 1100 (рис. 611). Два ползуна А и В массой т каждый
шарнирно скреплены с двумя одинаковыми стержнями, которые

Рис. 610

соединены шарниром в точке С. Ползуны могут скользить по
горизонтальным направляющим без трения. К точке соединения
стержней подвешен груз D массой М и отпущен без начальной
скорости. Каково будет ускорение груза D в начальный момент
движения, если стержни образуют в этот момент угол а с гори-
зонтом и движутся в вертикальной плоскости? Массой стержней
пренебречь.

Ответ: w М = M+StiX-
Задача 1101 (рис. 612). К концам горизонтального рычага АВ
прикреплены два вертикальных каната, перекинутых через блоки
С и D. К свободным концам канатов подвешены грузы F и Е
с массами т, и т2 соответственно, которые отпущены без началь-

ной скорости. Найти начальное ускорение груза F, если отноше-
ние плеч рычага АО :ОВ— k. Массами рычага, блоков и трением

пренебречь.

Ответ: ©Flz=0

kg(mjk — mJ
т2к“ —/1^2

Задача 1102 (рис. 613). Стержень, на середине которого укреп-
лен груз М массой mlt одним концом может скользить по глад-

кой вертикальной стене, а другим шарнирно
прикреплен к ползуну В с массой т>, который
может двигаться без трения в горизонтальных
направляющих. Найти ускорение ползуна в на-
чальный момент движения из состояния покоя,
если стержень образует в этот момент с горизон-
том угол а. Массой стержня и размерами груза
пренебречь.

Ответ:

,	__ m, sin 2а

®®Ь=0 /nt COS2 а-(-4/П2 sin2 а

Задача 1103 (рис. 614). Груз А с массой т Рис. 614
поднимается при помощи воротов I и II, имею-
щих равные радиусы R и равные моменты инерции J. Опре-

делить ускорение груза, если к воротам приложены пары с мо-
ментами Mi и М2 соответственно. Массами блоков и трением
пренебречь.

Ответ- w _(2^ + M3-5mgR)R

итвет. wA	j-y^mR*

При wA~^>0 груз поднимается.

Задача 1104. Система, изображенная на рис. 615, находилась
в начальный момент в покое, а затем была предоставлена дейст-
вию сил тяжести. Считая свободные участки тросов вертикальными
и пренебрегая массами блоков и трением, определить, какова
должна 'быть масса т3, для того чтобы она оставалась во все

Задача 1106.

время движения системы в покое (по отноше-
нию к неподвижной системе отсчета), если т2 —
= 21 кг, т^= 14 кг.

Ответ: т3 = 6 кг.

Задача 1105. В системе, изображенной на
рис. 616, определить натяжение Т троса CD и
величины ускорений грузов ЛЛ и массы
которых соответственно равны mi и т2, считая
свободные участки тросов вертикальными и пре-
небрегая массами блоков, а также трением.

Ответ- Т —	• Ю| — (mi ~4от^ g-

итвет. 7 сг>—Wi^_i6,n2 > W1~ mi4-i6m2 ’
™ — 4(4ma —mjg
2	16m2

В системе, изображенной на рис. 617, опреде-

лить величины абсолютных ускорений грузов Mi и Л42, массы
которых связаны соотношением mi = 4m2, если к вороту А, пред-
ставляющему собой однородный цилиндр массой т2 и радиусом R,

Рис. 616

Рис. 618

приложена пара сил с моментом М. Массами блоков, тросов и
1рением пренебречь.

„	2 (m2Pg — Л4)

Ответ: Wi = w2 = -	—

Задача 1107 (рис. 618). К вороту А, представляющему собой
цилиндр с моментом инерции J и радиусом R, приложен враща-
ющий момент М. Определить угловое ускорение е ворота, если
массы грузов Л-1, и М2 соответственно равны и т2. Массами
блоков, тросов и трением пренебречь.

Ответ- г = М ('«a + 4m,)-3g^mtm2

J (тц + 4/щ) -|-	'
ГЛАВА XV

УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА ВТОРОГО РОДА

Для системы с голономными идеальными и удерживающими
связями уравнения Лагранжа имеют вид

d / дТ\	дТ п /	1 о х	/it

dt \dg})	dqj — Q 0—h 2,   «),	(15.1)

где (?!, q3, ..qs — обобщенные координаты системы;

s — число степеней свободы системы;

у1(	4 s— обобщенные скорости;

Т — кинетическая энергия системы;

Qi, Q?, , Qs — обобщенные силы.

Для систем, движущихся в потенциальном силовом поле, урав-
нения Лагранжа будут:

где L = T — П — функция Лагранжа.

Для составления уравнений Лагранжа следует:

установить число степеней свободы и выбрать обобщенные
координаты;

предположив, что система движется так, что все обобщенные
координаты увеличиваются, составить выражения для кинетиче-
ской энергии системы, при этом все переменные величины, входя-
щие в Т, должны быть выражены через обобщенные координаты
и обобщенные скорости, т. е.

T = T(qh qit ..., qs, fa, fa, fa; t) (15.3)

(в случае стационарных связей время
определить частные производные

d j дТ\

ные Ip.- ), считая все переменные,

t не входит в выражение Ту
дТ

; определить производ-

1	дТ ,

входящие в функциями

времени /; найти обобщенные силы по (14.4), (14.5), (14.6); под-

ставить все найденные величины в (15.1).

Задача 1108. Прямоугольная призма А может скользить по
гладкой горизонтальной плоскости. На наклонной гладкой грани
призмы помещен однородный цилиндр В, на который намотана
нерастяжимая нить, перекинутая через идеальный блок С. К концу
нити прикреплен груз D массой т. Принимая массу цилиндра
равной 2m, а массу призмы Зт, определить движение системы,

если в начальный момент она находилась в покое, а угол а=30°.
Размерами и массой блока пренебречь.
Решение. Система имеет три степени свободы. Выберем обоб-
щенные координаты (рис. 619, а):

qx — x— расстояние от оси блока С до центра тяжести груза D;
qi — y — расстояние между осями блока С и цилиндра В;

<7з — z — перемещение призмы.

Рис. 619

Предполагаем, что все обобщенные координаты изменяются
в сторону их увеличения.

Определим кинетическую энергию системы. Имеем
t=ta+ts+td,
где ТА — кинетическая энергия призмы;

Тв — кинетическая энергия цилиндра;

TD—кинетическая энергия груза.

Призма движется поступательно со скоростью ua = z, следо-
вательно,

Груз D участвует в двух поступательных движениях: относи-
тельном (по отношению к призме) со скоростью гц — х и перенос-
ном (вместе с призмой) со скоростью v3 = z. Поэтому абсолютное
движение груза является также поступательным со скоростью, рав-
ной геометрической сумме указанных скоростей (рис. 619, б), т. е.

^о = 51 + 5з,
следовательно,

t^ = n1a4-v3a = x«-|-z’.

Таким образом,
Цилиндр совершает плоскопараллельное движение. Его кине-
тическую энергию определим по формуле Кёнига:

'Р __ В О I О о

1 в----

где — абсолютная скорость оси цилиндра;

шв — угловая скорость цилиндра;

Jn — момент инерции цилиндра относительно его оси О.

Скорость точки О согласно теореме Сложения скоростей равна
геометрической сумме относительной и переносной скоростей
(рис. 619, в), т. е.

Vq— Г'-2 Из,

где — относительная скорость оси цилиндра, следовательно,
Vo — vl -f- — 2u3V3 COS a =j)'2	z2 — 2j)z COS a.

Определим Так как движение призмы А является посту-
пательным, то угловую скорость шв следует определить лишь
в относительном движении цилиндра по отношению к призме А.
Известны относительные скорости двух точек цилиндра О и Е
(рис. 619, а):

= vOr=$.

Относительный мгновенный центр скоростей цилиндра В
находится в точке К, поэтому

в— ок~ ЕК'

Составляя производную пропорцию, получим
... — VQr + VEr	*

в ОК+ЕК R ’
где R — радиус цилиндра.

Момент инерции цилиндра

Jo=-^- = mR\

следовательно,

Тв =/л (у2-j—z2 — 2yz cos a)-j—“ (x-j-t/)2.

Кинетическая энергия всей системы

T =	+ f (x2 + z2) + m(y2 + z2-2yzcosa) + -J-(x + y)\

Найдем частные производные:

Ц = тл-|-т(.г + у); ^ = 2m(y — 2cosa)-|-m(x4-t/);

= 3/nz -|- mz -j- 2m (z — у cos a).
Так как обобщенные координаты х, у, г непосредственно не
входят в выражение для Т, то

дТ__дТ _дТ __ -
дх ~ ду ~~ dz ~ и’

далее

d [дТ\ ...	....... о •• г

dF(aj)==mx + m^ + ^==2/Z?x + m!/’

~	— 2m (у — z cos а) m (х у) = тх Зту — 2mz cos а;

~	j = 3mz mz 2т (z — у cos а) = — 2ту cos а -j- dtnz.

Определим обобщенные силы.

Для нахождения Qx воспользуемся формулой

О — —1

йх ’

где Mi — элементарная работа задаваемых сил в предположении,
что 8x^0; 8y = 8z = O, следовательно,

ЗЛц = Рп §x = mg 8х,

откуда

Qx = mg.

Аналогично найдем

где 8А2 — элементарная работа задаваемых сил при перемещении

8х = 8г = О.

Очевидно,

8А3 = Рв by sin а = 2mg sin а8у,
тогда

Qv = 2mg sin а.

Если же

Ъх — $у = 0', 8z zfi. 0,
то

8А3 = 0,

и, следовательно,
Замечание. Обобщенные силы можно легко определить и по
формуле

7 dq}-

В нашей задаче

П == — PDx — Рв у sin а const,
следовательно,

<?П п	„	<?П п	п

Qx = —=	= Qy = ~ fy = PB sina = 2mg sin a;

Qz = — ^ = 0.

^•г dz

Подставляя все найденные величины в уравнения Лагранжа,
получим

2тх ту — mg', mx-[-3my— 2mz cos a. — 2mg sin a;
— 2my cos a-ф- 6mz — 0.

Принимая во внимание, что a = 30°, найдем

2^4~i/ = g; x-f- 3y — VSz = g; —/3 i/4-62 — 0.

Эти уравнения представляют собой дифференциальные уравнения
движения системы в обобщенных координатах.

Умножая второе уравнение на 2 и вычитая из него первое,
получим

5i/ —2]<3z = g.

Решая это уравнение совместно с третьим, найдем

..з	„1	.. /з

Интегрируя, получим

•	3	. |	.	1	, | ГЛ . Из I I гл

х— -g^ + Ci; у—z —

Постоянные Сь С2, С3 равны нулю, так как в начальный момент
x = y = z = ti.

Интегрируя еще раз и отбрасывая несущественные постоян-
ные, получим искомые уравнения движения системы:

г=лг^2-

Задача 1109. Однородный стержень АВ длиной I движется
в вертикальной плоскости под действием силы тяжести так, что
его конец А скользит без трения по наклонной плоскости, состав-
ляющей с горизонтом угол я (рис. 620, а). Составить дифферен-
циальные уравнения движения стержня и установить, может ли
он двигаться таким образом, чтобы угол ср отклонения стержня
от вертикали был постоянным.

Рис. 620

Решение. Система имеет две степени свободы. Примем за
обобщенные координаты: qi = x— смещение точки А по наклон-
ной плоскости; qt = <f— угол отклонения стержня от вертикали.

Уравнения Лагранжа имеют вид

dt \дХ) дх ”* ’ dt \<)а>) ду	' '

Предполагая, что х и ср увеличиваются, составим выражение
для кинетической энергии системы Т:

Здесь «> — ср; Jc = ~[2> М— масса стержня.

Для определения vc воспользуемся теоремой сложения ско-
ростей (рис. 620, б). Имеем

где относительная скорость vCr есть скорость центра инерции
стержня в его относительном вращении вокруг точки Д; она
направлена перпендикулярно стержню и по величине равна

VCr = -1?-

Переносная скорость vCe направлена параллельно плоскости и
равна

vce = x.

Из параллелограмма скоростей найдем

Z2

V2C = Xs	— xl Ф cos (я — Ср),

таким образом,

т = 2	— 1хч cos (я — ср)j -2- ср®.
Вычислим производные, входящие в уравнения (а),
^_.о. дт~ Mi Mlil cos<“ —<f) .

d.r~u' дх~мх	2	’

чГ 1 .... .  ,	>

^ = — -2-sm (a — ?);

dT__Ml-i MIX cos (a—<p) . MPy,

d} ~~~4	2	' 12 ’

(b)

Mx —— Mly cos (я —ср) —-1 Ml^ sin (a —<P);

d (dT\ Ml2..	1 .....	.	.

— •=— =—-® — Mix cos (a.— <p)
dt \d^	4 ‘	2	хт/

Ml.i-i sin (a — <f)
' 2

MP<f

12 ’

Определим обобщенные силы по формулам

Qi =

м I

Вх | г<р=о ’

О

8<р

йл = 0 *

Имеем

_ Р Зх sin а п .

Qt =------»------= Р sin a;

Y	ox

P^-sin^ pi

& =-----=-Ts,n?’

где P-=Mg— вес стержня.

Подставив все найденные величины в (а), после упрощений
получим

/Ер	X cos (а — <р) . g sin <р	п

3	2	“1	2	U’

/5	li2	'	(С)

х-----£ cos (а — <р)--sin (а — ср) — g sin а — 0.

Таковы дифференциальные уравнения движения стержня.
Исключая х, найдем дифференциальное уравнение для координаты ср;

/S	cos (я — <р) Г/Ер cos (я — <р) . /<₽2 sin (а — <р) .	. I । g . л /

у-------[ —2—~ ------------------2----- + Ssln а I + у sm <Р=0. (d)

Определим теперь, может ли стержень двигаться так, чтобы
угол ср оставался постоянным. Положив в уравнении (d) ф и %
равными нулю, получим

COS (а — ср)	.	. g .	п

-----2 g sin а у sin ср = 0,

откуда

<р = а = const.

При этом из (с) следует, что x = gsina.

Исследуем характер движения стержня вблизи положения от-
носительного равновесия ср = а. Положим в уравнении (d) a — ср =
= 3, где р —малый угол. Тогда, имея в виду, что
cos (a —- ср) = cos р ₽« 1; sin (я — <р)»=4; sin ср sin я — pcosa,
и пренебрегая малыми второго и высших порядков, после упро-
щений получим

Z8 J-6gfi cosa = 0.

Это дифференциальное уравнение гармонических колебаний с

периодом

t = 2гс л/~ —-—

У 6g COS a

Задача 1110 (рис. 621). Тележка скатывается без скольже-
ния по наклонной плоскости, образующей с горизонтом угол а.

Масса тележки без колес равна М, масса всех
колес т. Считая колеса сплошными однород-
ными дисками, определить ускорение тележки.
Трением качения, а также трением в осях

-----Cfrbib- пренебречь.

Рис- 621	Ответ: w =	.

2М 4- Зт

Задача 1111 (рис. 622). Груз М, массой mlt спускаясь вниз
по гладкой неподвижной наклонной плоскости, образующей угол a

с горизонтом, приводит в движение посредством невесомой и
нерастяжимой нити идеальный блок А, имеющий массу т3 и ра-
диус г, и груз Л1-, массой т3. Определить угловое ускорение е

блока, считая его сплошным диском.

Ответ:

о__ 2 (mt sma—mz)g

“ г (2mj + 2тг т8)'

Задача 1112 (рис. 623). К ведущему шкиву I ременной пере-
дачи приложен вращающий момент М, а на ведомый шкив //

действует момент сопротивления Мс.
Натяжение ремня осуществляется роли-
ком III. Определить угловое ускорение
ведущего шкива, если моменты инер-
ции шкивов /,= 10/,	радиу-

сы = 6г, 7^а = 3г, где J, г — момент инерции и радиус ролика.
Массой ремня пренебречь.

_	М — 2М.

Ответ: е, = —.
1	66/

Задача 1113 (рис. 624). В редукторе скоростей колесо I радиу-
сом г насажено на ведущий вал А; два колеса II с тем же
радиусом свободно насажены на раму, жестко связанную с ведо-
мым валом В; колесо III с внутренним зацеплением неподвижно
К ведущему валу приложен вращающий момент МА, а к ведо-
мому — момент сопротивления Мо. Колеса I и /1 считать одно-

Рис. Ь24

родными дисками с массами гщ и соответственно. Определить
угловые ускорения валов, пренебрегая массой рамы.

4Л1 — М	4М — М

Ответ: ел — -Цт^-Зт^г^’	=	‘

Задача 1114 (рис. 625). В полиспасте, состоящем из п идеаль-
ных блоков с подвижными осями, груз массой mi поднимается
при помощи падающего груза Мг массой /и,. Определить ускоре-
ния грузов, пренебрегая массой блоков и тросов. Участки све-
шивающихся частей тросов считать вертикальными.	Xzzzzz

2пт, — т(	2" (т, — 2пт2) Л К

Ответ: Wl=-jj^^i-g-,	ЛА

(если Wi 0, то вектор направлен вверх).	' I

Задача 1115. В предыдущей задаче определить X
ускорение груза Mt, полагая, что вместо груза М2	2

на трос действует вертикальная сила F.

F

Ответ: Wi — 2n-----g.

ttl 1

Задача 1116 (рис. 626). Груз Mt массой 2 кг под- лп m
нимается дифференциальным полиспастом с помощью ШШи|*и
падающего груза Мг массой 3 кг. Определить уско- Рис. Ь26
рение поднимаемого груза, если радиусы спаренных
блоков, вращающихся вокруг неподвижной оси О, соответственно
равны 15 см и 5 см, а участки свешивающихся частей троса
вертикальны. Масса малого блока равна 1 кг, масса блока с под-
вижной осью — 2 кг, масса наибольшего блока — 3 кг. Все
блоки считать однородными дисками.

Ответ: w1 = -^g.

Вектор направлен вверх.
Задача 1117. Решить предыдущую задачу, заменив вес груза

силой F— 3g н. Сравнить результаты.

„	'	5

Ответ: wl — ^g-,

w[

Wi-

Задача 1118 (рис. 627). В полиспасте, состоящем из п блоков

с подвижными

Put. 627

осями, груз массой тг поднимается при по-
мощи падающего груза М2 массой т2. Полагая,
что все блоки имеют одинаковые радиусы и оди-
наковые массы т, равномерно распределенные по
ободам, определить ускорения грузов. Участки
свешивающихся частей троса считать вертикаль-
ными. Массой троса пренебречь. Исследовать ответ
ПрИ

Ответ- w — 3g [2» (w-m2) - m + от,]

umeem. wMi — 3 (22tlm2 -j- mJ -j- m (5 • 2sn — 2) ’

__ 3g2re [2™ (m2—— от,]
J~(2snms -i-mJ~j-m(5-2sn — 2) ’

при n->oo ayMi->0, wMi

3g ( m2 — m)
3ms-]-5/n ’

Задача 1119 (рис. 628). В механизме фрикционной передачи
колесо II приводится во вращение колесом I, имеющим горизон-
тальную ось вращения, продолжение которой проходит через ось
колеса //. К ведущему колесу 1 приложен вращающий момент
а на ведомое колесо 11 действует момент сопротивления Мг.

Рис. 629

Радиус колеса / равен г, момент инерции момент инерции
колеса // равен Л, а расстояние от его центра до точки касания
колес равно г0. Определить уравнение вращения колеса //, если
в начальный момент механизм находился в покое.

„	НМщо — Л12г) Р

Ответ: <р =...2(Лгр-/2Н...

Задача 1120 (рис. 629). Механизм стрелочного индикатора

расположен в горизонтальной плоскости. Движение зубчатой рей
ки мерительного штифта 1 передается шестерне 2, на оси которой
укреплена шестерня 3, сцепленная с шестерней 4, несущей стрел-
ку. Штифт имеет массу /пик нему приложена сила F~Hs\nkt
(Н и k — постоянные). Шестерни считать однородными дисками
с одинаковыми толщинами и удельными весами, их массы /п4 =
= 2/п; т3 — 8т; п^ = т. Радиус шестерни 2 равен г. Опреде-
лить движение стрелки, пренебрегая ее массой и трением в осях.
Считать, что в начальный момент система была в покое.

„	У2 И :	sin kt\

Ответ:	----

Задача 1121 (рис. 630). На конце В рычага АВ, длины плеч
которого OA = li и OB — li, подвешен груз М с массой т. Ры-

чаг удерживается с помощью нерастяжимой нити, намотанной на
барабан радиусом г. К барабану прикреплена спиральная пру-
жина, дающая при повороте на один радиан упругий момент с.

Зная, что равновесие имеет место при горизонтальном положении

рычага, найти период малых колебаний груза.
Момент инерции барабана равен J, массой ры-
чага и трением пренебречь.

Л	о т Сш/?г2 +JZf

Ответ: -г = I/ —

Задача 1122 (рис 631). Тяжелый однород-
ный стержень длиной 21 может скользить кон-
цами по гладкой внутренней поверхности
неподвижного цилиндра радиусом R, оставаясь
во все время движения в одной и той же
вертикальной плоскости. Определить период
малых колебаний стержня около его положения
равновесия.

Ответ: т =	~[Л3^ дг2/2

у 3g •

Задача 1123 (рис. 632). Однородный стер-
жень длиной 21, двигаясь под действием силы

тяжести, скользит одним концом по винтовым направляющим,
параметрические уравнения которых: х= 2l cos у; z/ = 2Zsin?;
z — hy, а другим — по оси г, оставаясь все время к ней перпен-
дикулярным. Найти расстояние, на которое опустится стержень за
время Л если в начальный момент он находится в покое. Трением
пренебречь.

Ответ: Н= 2 (ЗЛ*+4/3) ’

Задача 1124 (рис. 633). Два ползуна А и В с равными мас-
сами, соединенные стержнем длиной I, движутся один по верти-
кальной, другой по горизонтальной на-
। ।	правляющим. Составить дифференциальное

Йр	уравнение для угла	ср, образуемого	стерж-

Ек	нем с горизонтом,	пренебрегая	массой

в стержня и трением.

-------I 	Ответ: ср + -уcos <р = 0.

I	Задача 1125 (рис. 634). Однородный

стержень О А длиной /, шарнирно закреп-
ленный на одном конце, опирается на
прямоугольный ящик, который может
Рис. 633	скользить по горизонтальной плоскости.

Написать дифференциальное уравнение для
угля <р, если масса стержня равна т, масса ящика mlt а вы-
сота h. Трением пренебречь.

Ответ: 2 (mF sin4 ср + ЗпцИ?) ср — 12т^^ ctg ср +
+ 3mg/ cos ср sin4 ср = 0.

Задача 1126 (рис. 635). Кривошипно-шатунный механизм рас-
положен в горизонтальной плоскости и состоит из кривошипа

Рис. 634	Рис. 635

и шатуна, представляющих собой однородные стержни с одина-
ковыми длинами I и массами т. На ползун В действует сила F.
Момент сил сопротивления, приложенных к кривошипу, равен М.
Составить дифференциальное уравнение для угла ср поворота
кривошипа, пренебрегая массой ползуна В.

Ответ: -д- (1 + 3 sin2 ср) т/’2(р + т?%* sin 2ср = 21F sin ср — М.

Задача 1127 (рис. 636). Гладкая призма с массой М может
скользить по горизонтальной плоскости. Два груза 4 и Вс оди-

М

наковыми массами, равными -н-, соединены нерастяжимои нитью
Лл
и скользят один по наклонной, а другой по вертикальной грани
призмы. Определить ускорение призмы, относительные ускорения
грузов, а также давление [руза А на наклонную грань призмы.
В начальный момент система была в покое.

Рис. 636	Рис. 637

Ответ: призма движется вправо с ускорением

(1 — sin a) cos а

Wa? 8 —COS2 а

Груз В опускается, а груз А поднимается с относительным ус-
корением

4 (1 — sinti) '
W' = 8-cos^S,
NA=™“C±^LMg.
л	2 (8 — cos2 a) °

Задача 1128 (рис. 637). В теле А с массой mt сделан паз,
образующий угол а с горизонтальными направляющими, по кото-
рым тело движется под действием некоторой силы, параллельной
этим направляющим. По пазу может перемещаться ползун В
с массой 1Щ. Определить отношение величины ускорения wr тела А
при застопоренном ползуне к величине его ускорения в слу-
чае, когда ползун может свободно перемещаться в пазу. Трением и
действием силы тяжести пренебречь.

Ответ:	О

w2	т1 + т.А ’

® 1 О2 •	777777^77^7777777777^77^7-

Задача 1129 (рис. 638). На

гладкой горизонтальной плоскости	Рис. 638

находится доска массой ти а на

доске — тонкостенный цилиндр массой тг. Предполагая, что сколь-
жение между цилиндром и доской отсутствует, определить абсо-
лютные ускорение доски Wi и оси цилиндра wt, если к доске
приложена сила G.

г.	2G	G

Ответ: w,=-r,----;--;	= х---j---.

15 Н. А. Бражииченко и др.

449
Задача ИЗО (рис. 639). Однородный цилиндр с массой М
катится без скольжения по наклонной плоскости, составляющей
угол а = 30° с горизонтом. На цилиндр намотана нить, переки-
нутая через блок А и заканчивающаяся блоком В. Через блок
также перекинута нить, к концам которой привязаны грузы С
и D с массами тс и mD соответственно. Пренебрегая массами

нитей и блоков, а также трением в осях, определить ускорения
грузов и оси цилиндра, если система была в начальный момент
в покое. Принять:

mc = p,; mD = ~-, M = 2u..

Ответ: цилиндр движется вверх с ускорением оси
ay0 = °,2g;

Рис. 641

груз С движется вниз с ускорением wc — Q,6g',

груз D движется вниз с ускорением №D = 0,2g.

Задача 1131 (рис. 640). Цилиндр А обмотан нитью, конец
которой навит на цилиндр В, жестко связанный с цилиндром С.
На цилиндр С в свою очередь намотана нить, конец которой за-
креплен в точке D. Радиус цилиндра С равен R, радиус инерции
р

его вместе с цилиндром В равен у; радиус цилинд-
ра В равен у. Считая, что цилиндр А тонкостен-
ный, а масса его в два раза меньше массы цилинд-
ров В и С, вместе взятых, определить абсолютные
ускорения осей цилиндров, если система предостав-
лена самой себе.

Ответ: w^-^g; wA = ^g.

Задача 1132 (рис. 641). Решить предыдущую
задачу, считая, что цилиндр В отсутствует, а нить,
обмотанная вокруг цилиндра А, закреплена на оси
цилиндра С. Масса цилиндра А в два раза меньше массы ци-
линдра С. Радиус инерции цилиндра С равен

п 5 11

Ответ: wc = -^g-,	wA=-^g.

Задача 1133 (рис. 642). Два цилиндра с радиусами R об-

мотаны нерастяжимым тросом, переки-
нутым через идеальный блок. Масса
первого цилиндра равна тг и распре-
делена по его поверхности. Второй
цилиндр сплошной, масса его равна т2.
Первый цилиндр катится без скольже-
ния по горизонтальной плоскости, вто-
рой падает вертикально вниз. Опреде-
лить: 1) ускорения осей обоих цилинд-
ров; 2) угловые ускорения цилиндров;

Рис, 642

3) натяжение Т троса.

Ответ' 1) в»!

2) et

w2g . w  2 (г»! -f- m2) g.

m2g	__	2m,g

(3m,-|-2m2) ’ 2 R (3m! -j-2m2) ’

3) T =

mim2g
3m, -J— 2fti2

Задача 1134 (рис. 643). На сплошной однородный цилиндр А

радиусом г и массой тх намотан
трос, перекинутый через идеальный
блок. Конец этого троса прикреплен
к грузу В массой т2, который нахо-
дится на негладкой горизонтальной
плоскости (коэффициент трения равен
/ = const). Считая, что в начальный
момент система находилась в покое,
определить: 1) коэффициент трения,

при котором груз

2) ускорение груза;
цилиндра; 4) угловое ускорение цилиндра; 5)
при движении груза В.

будет двигаться;
3) ускорение оси
натяжение троса

Ответ: 1)

3)

4)

5)

Wi .	9\ т _<ml — 3fm2)g .

'	3m2 ’	' в ml-j-3fn2 ’

— ('»1+2т2—/m2)g.

°	?п,-|-3?п2	’

e_.2w2 (!+/)£.

(т!-)-Зт2) г ’
у = т,т2 (l+/)g

т^Зт,

Задача 1135 (рис. 644). Два одинаковых сплошных однород-
ных цилиндра А и В массой т и радиусом г каждый обмотаны
тросом, перекинутым через идеальный блок С. Цилиндр А имеет
неподвижную ось вращения и находится под действием пары сил

с моментом М. Определить ускорение w оси цилиндра В и натя-

жение Т троса. Найти также, при каких усло-
виях ось этого цилиндра будет подниматься,
если в начальный момент система находилась
в покое. Массой блока С пренебречь.

Ответ: w = ^г~М} ;	Т = mgr + 2M .

5тг ’	5г

Цилиндр В будет подниматься при М )>

Задача 1136 (рис. 645). Два одинаковых
сплошных однородных цилиндра А и В радиу-
сом R и массой mt каждый обмотаны тросом,
несущим на свободном конце груз С массой пц.
Цилиндр А имеет неподвижную ось, а ци-

Рис 644 линдр В падает под действием силы тяжести.
Определить ускорение груза С и натяжение Т
участка троса CD. При каком соотношении масс цилиндров груз С

будет оставаться на месте, если его начальная скорость равна
нулю? Доказать, что как бы велика ни была масса груза С, ось

цилиндра В будет опускаться.

Ответ: wc = 2I3™8	SI

N = - 7№...о.

5/»!	6m2 s

Груз С будет оставаться на месте, если m1 = 3m2.

Задача 1137 (рис. 646). Сохранив условия предыдущей задачи,
заменить вес груза С силой F. Найти ускорение оси цилиндра В

и определить, при какой величине силы F эта ось будет подни-
маться, если в начальный момент система была в покое.

Ответ: ускорение оси цилиндра

4m1g'—2F

w=—4-------•

Ось будет подниматься при
Задача 1138 (рис. 647). Дифференциальный механизм с внеш-
ним зацеплением расположен в горизонтальной плоскости и

состоит из шестерни / радиусом ri
и массой ть шестерни // радиусом
г2=у и кривошипа О А. Шестерни
принять за однородные диски оди-
наковой толщины и плотности.
кривошипу приложен вращающий мо-
мент Л43, а к шестерне / — вращаю-
щий момент Alt противоположного
направления. Определить угловые

ускорения
небречь.

Ответ:

Задача

кривошипа и шестерни I. Массой кривошипа пре-

__8(10^2 — 341!)	__ 8Л42 — 36М1

£к₽— 63mtr? ’	е’~	21™^	‘

1139 (рис. 648). Система состоит из призмы А и тонко-
стенного цилиндра В, масса которого в 3 раза меньше массы

призмы. Цилиндр обмотан гибкой нерастяжимой нитью, закреп-
ленной на призме так, что участок нити ВС параллелен линии

наибольшего ската наклонной грани призмы. Определить ускоре-
ние wt призмы и ускорение a/g оси цилиндра по отношению
к призме, если угол наклона грани к горизонту ср —45°. Трение
между призмой и горизонтальной плоскостью, а также между
цилиндром и призмой отсутствует.

Л	1	4/2

Ответ: Wi = ^g-,	wi=-^-g.

Задача 1140 (рис. 649). Тонкостенный цилиндр, обмотанный
гибкой нерастяжимой нитью, и груз М, привязанный к другому
ее концу, положены на грани гладкой равносторонней неподвиж-
ной призмы с углами при основании я = 30° так, что соответ-
ствующие части нити параллельны линиям наибольшего ската.
Считая блок А идеальным, определить движение груза М и оси
цилиндра, если масса цилиндра в два раза больше массы груза,
а система в начальный момент находилась в покое. Массой блока
пренебречь.
Ответ: груз М останется неподвижным, а ось цилиндра будет
опускаться с ускорением w — -^g.

Задача 1141 (рис. 650). Тонкостенный цилиндр А массой т и
груз В массой соединенные между собой посредством нити,
конец которой намотан на цилиндр, положены на стороны непод-
вижной гладкой призмы, как указано на рисунке. Найти уско-
рения груза и оси цилиндра, пренебрегая массой блока С, если
углы, образуемые гранями призмы с горизонтом, соответственно

Рис. 650

Рис. 651

равны я и (3. При каком соотношении масс цилиндр будет вра-
щаться, оставаясь на месте, если в начальный момент система
была в покое? Трением в блоке пренебречь.

Л „	2т. sin а — т sin 8

Ответ: wR = —Ц,---------г——- g

(при wB">0 груз будет опускаться);

_____ (т ttij) sin ₽ — иц sin a
Wa___2m, m S

(при дал)>0 ось цилиндра будет опускаться). Ось не будет пере-
мещаться, если

mi	sin ₽

т	sin а — sin 3 '

Задача 1142 (рис. 651). Зубчатая шестерня радиусом г и мас-
сой т, распределенной по ободу, находится между двумя парал-
лельными зубчатыми рейками с массой гт каждая. К рейкам
приложены силы Р и Q, направленные в противоположные сто-
роны вдоль реек. Найти ускорение оси шестерни w0, угловое
ускорение шестерни и ускорения реек. Трением между рейками
и направляющими пренебречь.

„	Р — Q

Ответ: wn — —

P+Q	2Р

(т 2mt) г ’	т -f-2mt

 2Q
Задача 1143. Решить задачу 1142 в предположении, что силы
действуют в одном направлении.

Ответ: w0=-	;	г = д—Я~^Я~ ;

и /п—]—2т1 ’	(т (-2m,) г ’

2Р	2Q

Wl т-\-2т1 ’ W,t m-i-imj ’

Задача 1144. В механизме, описанном в задаче 1142, к оси
зубчатого колеса приложена сила F, направленная параллельно
рейкам. Найти движение реек, если их массы равны т, и т;;, а
начальные скорости равны нулю. Трением пренебречь. Колесо

..	ttl

заменить однородным диском с массой т, причем тг=-^;
ти=т.

„	5FP 3Ft-

Ответ: х,=-тл-\	.

Задача 1145 (рис. 652). На гладкой призме, помещенной на
гладкой горизонтальной плоскости, находится тонкостенный
цилиндр А с намотанной на него нитью,
к концу которой привязан груз М, как ука-
зано на рисунке. Считая, что массы ци-
лицдра и груза равны между собой, опреде-
лить ускорение призмы, если угол а=45°.	/а/ X.

В начальный момент система была в покое.

Указание. Цилиндр катится со сколь-
жением.	Рис. 652

Ответ: призма будет оставаться на
месте, ось цилиндра и груз будут опускаться с равными уско-
рениями:

Задача 1146. Решить задачу ИЗО, считая, что между цилинд-
ром и наклонной плоскостью отсутствует трение, так что цилиндр
по отношению к плоскости проскальзывает.

Ответ: цилиндр опускается с ускорением оси

груз С опускается с абсолютным ускорением

2

груз D опускается с абсолютным ускорением
нерастяжимой нитью, перекинутой

Задача 1147 (рис. 653). Два цилиндра, обмотанные гибкой
через блок А, положены на
стороны неподвижной равно-
бедренной гладкой призмы
с углом наклона я = 30° так,
что соответствующие части
нитей параллельны линиям
наибольшего ската. Считая,
что блок А приводится во
вращение нитью без сколь-
жения и без трения в оси,
определить ускорения осей
цилиндров, если массы ци-

линдров и блока распределены по ободам, причем массы цилинд-
ров соответственно больше массы блока в два-три раза. Радиусы
цилиндров и блока одинаковы, массой нити пренебречь.

Ответ: оси цилиндров имеют ускорения

Задача 1148 (рис. 654), Через блок А перекинута нить, один
конец которой прикреплен к блоку В, а другой навит на тонко-
стенный цилиндр С с массой т3, имеющий свободную ось Через

блок В также перекинута нить, несущая грузы ЛЛ и с мас-
сами, равными mi и пи соответственно. Определить ускорения
грузов и оси цилиндра (по отношению к неподвижному основа-
нию прибора), если /и, = 2 кг; т2=1 кг; т3 = 2 кг. Массами
блоков и нитей, а также трением в осях пренебречь. В началь-
ный момент система находилась в покое.

Ответ: грузы и ось цилиндра опускаются с ускорениями
^1=^: w* = Y[s'	w3 = ^g.

Задача 1149 (рис. 655). На гладких гранях призмы, которая
может скользить без трения по горизонтальной поверхности, нахо-
дятся груз А и тонкостенный цилиндр В, связанные между собой
посредством нити, перекинутой через идеальный блок, конец
которой намотан на цилиндр В так, что участки нити во все
время движения системы остаются параллельными линиям наи-
большего ската соответствующих граней призмы. Найти ускоре-
ние призмы, относительные ускорения груза и оси цилиндра,
если массы груза, цилиндра и призмы относятся как 2:1:3.
Массой блока С пренебречь. В начальный момент система нахо-
дилась в покое.

Ответ: призма движется вправо с ускорением

®nP=|g;

цилиндр скатывается вниз с относительным ускорением оси

2/2
wor=~^~g’>

груз опускается с относительным ускорением



45

g-

Задача 1150 (рис. 656). Груз А массой т прикреплен пру-
жиной с жесткостью с к платформе, по которой он может дви-
гаться без трения. Платформа имеет четыре колеса, принимаемых

Рис. 656

за однородные диски радиусом г. Масса платформы равна 8 т,
масса каждого колеса у. Считая, что колеса катятся без сколь-
жения, определить движение платформы, если груз в начальный
момент был отклонен от положения равновесия на расстояние s
и отпущен без начальной скорости. При 7 = 0 х = 0, х —0. Тре-
нием качения пренебречь.

Ответ:

Задача 1151 (рис. 657). Полый цилиндр / установлен на под-
ставке, которая может поступательно перемещаться по гладкой
горизонтальной плоскости. Внутри этого цилиндра может кататься
без скольжения тонкостенный цилиндр //. Определить зависи-
мость ускорения цилиндра / от угла ® (при малых ср), а также
амплитуду а и период т малых колебаний этого цилиндра около
положения равновесия, если расстояние между осями цилиндров
равно I, масса цилиндра I (с подставкой) равна /иь а масса
цилиндра II равна т.2. В начальный момент система была в покое,
а цилиндр // отклонен так, что ср = <р0.

Ответ:

п— .

W1 х--------i—Fi-- Ф, U---------;---,

г g (п»1 + т2)

Задача 1152 (рис. 658). Два сплошных однородных цилиндра,
оси которых связаны упругой нитью, лежат на гранях призмы,
составляющих с горизонтом углы наклона соответственно 30° и

45°. Нить перекинута через
неподвижный идеальный блок.
Считая, что цилиндры катятся
без скольжения, и пренебрегая
трением нити о блок, найти

□ 8

Рис. 659

Рис. 658

уравнения движения осей цилиндров. В начальный момент нить
не была растянута, а система находилась в покое. Массы цилинд-
ров соответственно равны 5 кг и 7 кг, коэффициент жесткости нити
равен 70 м/л, g = 9,8 м)сек%.

Ответ: xt = 0,288(1 —cos 4/)— 0,67/2;

= 0,202(1 — cos 4/)+ 0,67/*

(хь x-2 — в метрах, t — в секундах).

Задача 1153 (рис. 659). Материальная точка 4 массой ть
движущаяся по гладкой горизонтальной плоскости, связаца нерас-
тяжимой нитью, пропущенной через отверстие в плоскости, с гру-
зом В. Груз имеет массу т2 и может двигаться только верти-
кально. Найти дифференциальные уравнения движения системы,
приняв за обобщенные координаты г и ср. Трением пренебречь.-

Ответ: (пц + т2) Р — mtr^ = — m2g;

4	=
откуда

т,г2ф — rrijr^o — const,
где г0 и ё0 — начальные значения г и ф.

Задача 1154. Сохраняя данные предыдущей задачи, удостове-
риться что при начальных условиях 4 = 0 и <?0 = I/ точ-
ка А описывает окружность радиусом г0. Найти период малых
колебаний точки А около этой окружности.

Указание. Исключив ф в уравнениях предыдущей задачи,
положить г = г0-|-р. Считая р малым, в уравнении пренебречь
членами второго порядка.

Ответ: т =	+

То г Яиц
ГЛАВА XVI

МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ

§ 1. Малые колебания системы с одной степень» свободы

В положениях равновесия потенциальная энергия консерва-
тивной системы П ((ft, q2, ..., qs) имеет экстремальное значение,
т е. если при q! = a.] консервативная система находится в равно-
весии, то

(3,-,=° </=1’2..........s)-	(161>

Равновесное положение консервативной системы с голономными
идеальными и стационарными связями является устойчивым, если
потенциальная энергия системы имеет в этом положении изолиро-
ванный минимум (теорема Лагранжа — Дирихле).

Для системы с одной степенью свободы условиями устойчи-
вости положения равновесия будут

W =0; (Ж >0.

\dq jq=rz	\ 0q2)q=M^

Приближенное выражение потенциальной энергии консерва-
тивной системы с одной степенью свободы (вблизи положения
равновесия q = а) с точностью до малых второго порядка имеет
вид

П^с^-а)3,	(16.2)

причем при условии устойчивости положения равновесия

c=OL>0-	(16-3>

Если на систему с одной степенью свободы наложены стацио-
нарные связи, то ее кинетическая энергия имеет вид

T = ^A{q)q\	(16.4)

Для q, близких к положению равновесия (q — a),

T^±aq\	(16.5)

где

а=Я(а).	(16.6)

Уравнения Лагранжа дают (вблизи положения равновесия,
соответствующего q — a)

aq-}-c(q— а) = 0,	(16.7)

а при а = 0; aq -|-cg = O.
При с^>0 система совершает незатухающие гармонические
колебания с периодом

т = 2«]Л£-.	(16.8)

При наличии сил сопротивления среды

^й = —НЛ	(16.9)

обобщенная сила сопротивления при малых q и q имеет вид

Qconp=-^=-M,	(16.10)

где функция рассеяния

(i6.il)

Уравнения Лагранжа дают в этом случае

а5 + ^ + с^ = 0.	(16.12)

При решении задач на определение положения устойчивого
равновесия консервативных систем с ’одной степенью свободы
полезно придерживаться такой последовательности:

1.	Выбрать обобщенную координату системы.

2.	Составить выражение для потенциальной энергии системы.

3.	Найти положения равновесия системы. Для этого следует
приравнять нулю первую производную от потенциальной энергии
системы по обобщенной координате и найти корни полученного
уравнения.

4.	Пользуясь теоремой Лагранжа — Дирихле, исследовать
найденные положения равновесия на устойчивость. В положении
устойчивого равновесия системы (7 = а) должно выполняться
условие

Если с<^0, то, по теореме Ляпунова, равновесие неустой-
чиво.

Если по условиям задачи требуется, кроме того, найти период
собственных колебаний системы вблизи положения устойчивого
равновесия, то далее необходимо:

5.	Определить значение инерционного коэффициента а. Он
равен множителю, стоящему при в приближенном выраже-
нии кинетической энергии системы (16.5).

6.	Пользуясь формулой (16.8), найти значение периода т.
Задача 1155 (рис. 660). Однородный стержень АВ длиной I
и массой концом А укреплен шарнирно. К концу В стержня

прикреплен нерастяжимый трос,
перекинутый через блок С и несу-
щий груз массой тг =—у=-.

Принимая, что АС = АВ, и
пренебрегая трением, определить
угол ср в интервале (0; тс), при кото-
ром стержень будет находиться в
положении устойчивого равнове-

сия, а также период его малых
колебаний около этого положения.

Решение. Система имеет одну степень свободы. За обобщен-
ную координату примем угол ср. Найдем потенциальную энергию
системы. Имеем

П^П^Пз,
где

П[ - : —	+ const — — Pt у sincp const,

П2 = — Р.2у.2 -f- const,

Pt — mig и Pt — m2g — веса стержня и груза.

Так как

= Т — 21 sin

где L — длина троса,
то

П — — Pt у sin ср 21Р^ sin const.

Найдем угол ср, при котором система находится в равновесии.
В соответствии с (16.1) имеем

— — Pt ~ cos <р U\ cos X = 0.

Оу	2	‘ 1	2

Учитывая условия задачи, получим

]/3 COScp — cos-|-=0.

Решая это уравнение, найдем

Я

?=-з-

Исследуем устойчивость найденного положения равновесия.
Имеем

т. е. данное положение равновесия устойчиво.
Вычислим кинетическую энергию системы. Имеем

7 = ^ + ^ = ^- + ^.

Здесь
т	m, Z3	,	.	,. v

Ji	=	= —Ар cos,

таким образом,

Т =	(2/3 + 3cos2 4).

12/3 \	1	2/

Сравнивая это выражение с (16.4), найдем

А (?) = 2^[2]/3 +3cos2-t).

'	6/3 \	2/

Согласно (16.6)

д М —(8/3 + 9)
\ з )	24 /3

По (16.8) определим искомый период колебаний:

г = 2~ 1/"- = 2тс 1Л8/3+9_Г = 7,75 1Л-.

Г С Г 15 g ’ V g-

Задача 1156 (рис. 661). Тонкий однородный стержень АВ
длиной I и массой m шарнирно закреплен в точке А и удержи-

вается в вертикальном положении горизон-
тальной пружиной с жесткостью съ прикреп-
ленной в точке О, причем ЛО —у. Другой
конец пружины закреплен неподвижно.
Когда стержень находится в вертикальном
положении, пружина не напряжена. При
движении стержня на каждый его_элемент ds
действует сила сопротивления dF =— $dsv.
Считая коэффициент р постоянным, опреде-
лить значение жесткости сь при котором
вертикальное положение стержня будет поло-
жением устойчивого равновесия. Найти также
значение коэффициента р, при котором стер-
жень будет совершать малые затухающие

Рис. 661

колебания около вертикального положения.

Решение. Система имеет одну степень свободы. За обобщенную

координату системы примем угол ср отклонения стержня от верти-
кали. Составим выражение для потенциальной энергии системы:

П = П, + П2,

где П, — потенциальная энергия системы в поле силы тяжести;
Па — потенциальная энергия системы в поле упругих сил.
Приняв за нулевую эквипотенциальную поверхность горизон-
тальную плоскость, проходящую через точку А, имеем П( =
Pl	г>

— cos ср, где P = mg— вес стержня, далее,
п-Ы-
—-2-,

где А — изменение длины пружины по сравнению с ее недефор-
мированной длиной, следовательно,

n Pl > е1Д2

П = ТСО8ср + -^.

Ограничиваясь малыми второго порядка, примем
,	<Р2 л I

COS ср ^1-у, Длйуср.

В соответствии с этим получим

П —

18

.2

Приравняв произвольную нулю, имеем
дП	Pl Л

Отсюда видно, что при <р = 0 стержень находится в положе-
нии равновесия. Чтобы это положение было положением устойчи-

вого равновесия, необходимо, чтобы выполнялось

с

ср =0

CtP Pl

9	2

условие

Таким образом, при вертикальном положении
находиться в положении устойчивого равновесия,

. ЭР

С1 > 2Z •

стержень будет
если

Составим выражение для кинетической энергии стержня:
гт. __________________ 1 т • » _ШР . а _ 1 .а

т = г'-7'? =-0-?	>

откуда

тР

Определим функцию рассеяния. Согласно (16.9) pk = $ds.
По (16.11), заменяя суммирование интегрированием, получим

Ф == у \ и3 ds.
Так как

то

t> = s$,

.	0/SiS

Ф = Т \ s ds= 6 •

Сравнивая с (16.11), найдем

в/3
[1	-д-.

По (16 12) получим
т/2.. . ₽/3 . . 2cJs — 9mgl п
;Г? + Тт + -^-1Г-*-У = 0.

(а)

Вводя обозначения

2п==^~- h* = 2cd ^~9mS
т ’	<зт1

вместо (а) имеем

? -ф- 2пф 4~ kirp = 0.

Это дифференциальное уравнение движения стержня вблизи

вертикального положения равновесия. Движение будет носить
колебательный (не апе-
риодический) характер,

если

Подставив в это нера-
венство значения п и k, „
о	л

П0ЛУЧИМ_______________

о/1 1/ 2nt(2cJ —9nig)

P \ I F 3/

Задача 1157 (рис.

662). Однородный ци-
линдр радиусом г и
массой т, который мо-

жет вращаться вокруг вертикальной оси ООЬ охватывает невесо-
мая нить. Концы нити связаны с концами Л и С горизонтальных
пружин АВ и CD, имеющих одинаковую жесткость, равную с,.
Конец В пружины АВ закреплен неподвижно, а конец D пру-
жины CD связан с ползуном, совершающим прямолинейное дви-
жение по закону s = b sin <л/, где b— малая величина. В начальный
момент пружины находятся в недеформированном состоянии,
а цилиндр — в покое. Пренебрегая сопротивлением, определить
амплитуду вынужденных колебаний цилиндра.

Решение. Система имеет одну степень свободы. За обобщенную
координату примем угловую координату ср цилиндра. Составим
выражение для кинетической энергии цилиндра:

T = -J	=

7	2г‘	4 '

Потенциальная энергия пружины будет определяться вы-
ражением

П =	+ EiM = (д« + Д2}>

где Дг— приращения длин пружин АВ и CD по сравнению с их
недеформированной длиной.

Ограничиваясь в П малыми второго порядка, имеем

Д	— rep = b sin mt— г?,

и, следовательно,

П = у [г2ср2 (Ь sin mt — гср)2].

Подставив значения Т и П в уравнение Лагранжа
±(дт\_дт_ _^п
dt \di ]	д<? d'i ’

получим

= — 2c1r2cp crrb sin mt
или

+ 2сггср == cxb sin mt.

Обозначив

имеем следующее дифференциальное уравнение движения цилиндра:
ср &2ср = /г sin mt.

Отсюда следует, что амплитуда вынужденных колебаний
равна [см. (11.14)]

__ h	2Cib

<Р° — *2—— Ц4С1_т<л^ 
Задача 1158 (рис. 663). На шероховатой поверхности не-
подвижного цилиндра радиусом 7?, ось которого горизон-
тальна, симметрично расположена однородная доска толщиной а.
Определить соотношение между R и а, при котором доска в ука-

Рис. 664

занном на рисунке положении будет находиться в устойчивом
равновесии. Считать, что трение достаточно для предотвращения
скольжения доски.

Ответ: R>-^.

Задача 1159 (рис. 664). Однородная полусфера радиусом г
расположена на неподвижной шероховатой полусфере радиусом R.
Считая трение достаточным для предотвращения скольжения, оп-
ределить критерий устойчивости полусферы для показанного
на рисунке положения.

Указание. Центр тяжести полу-

,	3

сферы находится на расстоянии у г от
центра 01-

Ответ: R^>-^-.

Задача 1160 (рис. 665). Три одина-

ковых однородных стержня длиной I и	Рис. 665

массой т каждый соединены шарнирно

и могут двигаться в вертикальной плоскости. К стержню АВ на
расстоянии от неподвижной точки Л, а к стержню CD на рас-
стоянии /5 от неподвижной точки С прикреплены пружины жест-
костью Ci каждая. Пренебрегая трением и массой пружин, опре-
делить величину с1( при которой вертикальное положение стерж-
ней АВ и CD будет положением устойчивого равновесия, если
при этом пружины не напряжены. Найти также период малых
колебаний системы около этого положения.

Ответ:	t =	j/"3[Ci _ 2mgij 

Задача 1161. Четыре стержня длиной / и массой т каждый,
находящиеся в вертикальной плоскости, образуют систему, пока-
занную на рис. 666. Система удерживается в вертикальном поло-
жении при помощи двух спиральных пружин. Пренебрегая тре-
нием и считая все соединения шарнирными, определить, при
каком значении жесткости с2 второй пружины вертикальное по-
ложение системы будет положением устойчивого равновесия,

Рис. 666

Рис. 667

а также период малых колебаний системы вблизи этого положе-
ния, если жесткость первой пружины равна и при вертикаль-

ном положении системы пружины не напряжены.

Ответ:	т =	2

Задача 1162 (рис. 667). Однородный стержень массой т и дли-
ной 2Z концами А и В может скользить по гладким взаимно-
перпендикулярным направляющим. В точке В к стержню при-
креплена пружина BD жесткостью с1; естественная длина которой
равна OD. Определить углы а, при которых стержень будет на-

ходиться в положении равновесия, и период его малых коле-

ней 21 концами А и В

баний около устойчивого положения
равновесия. Массой ползунов и пру-
жины, а также трением пренебречь.

Ответ: a = arcsin-^- (неустойчи-
вое);

а = у(устойчивое при

о -> Г 4ml

Х V 3(4c1Z — mg)'

Задача 1163 (рис. 668). Однород-
ный стержень АВ массой mt и дли-
может скользить по гладким взаимно-

перпендикулярным направляющим. В точке В к стержню при-
креплена нить, перекинутая через идеальный блок, другой конец
которой несет груз М массой mi = Vr2ml. Определить угол а0,
при котором система находится в" положении устойчивого равно-
весия, и период малых колебаний около этого положения. Мас-
сами ползунов и блока пренебречь.

Ответ: «о = arctg^-; т = 5,08	.

Задача 1164 (рис. 669). U-образная трубка с одинаковой пло-
щадью поперечного сечения по всей длине открыта с двух концов.

Трубка содержит две несжимаемых и несме-
шивающихся жидкости с плотностями pt и р2.
Определить период собственных колебаний
системы около положения устойчивого равно-
весия, после того как она была выведена из
этого положения, если длина части трубки,
занимаемой жидкостью плотности рь равна /ь
а длина части, занимаемой жидкостью плот-
ности р2, равна Z2. Трением пренебречь.

Ответ: т = 2тс 1/”.

Задача 1165. Однородный сплошной цилиндр радиусом г мо-
жет катиться без скольжения внутри полого неподвижного ци-
линдра радиусом R. Найти период малых колебаний оси цилиндра.

Ответ: х - 2тс 1/ 3	.

F

Задача 1166 (рис. 670). С физическим маятником неизменно
скреплен цилиндр А радиусом г, который может катиться, без

скольжения внутри неподвижного ци-
линдрического подшипнику В радиу-
сом R, причем оси обоих цилиндров
параллельны и горизонтальны. Зная,
что расстояние от центра тяжести маят-

Рис. 671

ника до геометрической оси цилиндра А равно s, а центральный
радиус инерции маятника равен рс, определить период его малых
колебаний.	__________

п	о Г Рс + (г —s)2

Ответ: т = 2тс •» / . ГД..'_

l/ I । г2 V

Задача 1167 (рис. 671). Два одинаковых однородных стержня
длиной I каждый соединены между собой в точке А шарнирно,
а концами В и С могут скользить без трения по горизонтальной
направляющей. К шарниру А присоединена вертикальная пру-
жина, длина которой в недеформированном состоянии равна I,
а жесткость такова, что равновесие системы имеет место при
ср = 30°. Определить период малых колебаний системы около этого
положения равновесия, пренебрегая массами ползунов.

„	4п -• Г I

Ответ: т = у

Задача 1168 (рис. 672). Механизм, расположенный в верти-
кальной плоскости, состоит из однородного стержня АО массой mlt
однородного стержня АВ длиной I и массой т3 и штока ВС мас-
сой т3, который может перемещаться лишь поступательно. В по-
ложении, когда стержень АО горизонтален, а стержень АВ вер-

Рис 672

Рис 673

тикален, пружина CD не напряжена. Определить, какова должна
быть жесткость пружины cit для того чтобы указанное положе-
ние системы было положением устойчивого равновесия. Чему ра-
вен период малых колебаний системы около этого положения?
Трением пренебречь.	________________

Ответ  с "Ъ о- - —	1/~ 2Z(ms-]-3m3)

Ответ.	2Z g, т — у 3[2lCl —ms) g\ ‘

Задача 1169 (рис. 673). Два одинаковых однородных стержня
ОА и АВ длиной b каждый соединены между собой шарнирно
и могут перемещаться в вертикальной плоскости. Конец О стер-
жня О А закреплен шарнирно, а конец В стержня АВ поддержи-
вается нитью ВС длиной /, закрепленной в точке С. Определить,
при каком соотношении длин b и I положение системы, показан-
ное на рисунке, будет устойчивым. Найти также период малых
колебаний системы около этого положения равновесия.

Ответ: при ~>2.

't—4тс|/ sg(b~2iy
Задача 1170. При расчете боковой качки судна для учета
инерционных сил воды момент инерции судна принимают равным
J-{—р-, где J — собственный момент инерции судна, а ц — так на-
зываемый присоединенный момент инерции. Для определения р,
динамически подобную модель судна подвергают воздействию
внешнего гармонического момента М„ sin pt (Мй — постоянная).
Изменяя частоту р, добиваются появления максимальных ампли-
туд (при p~Pi максимальная амплитуда равна а). Принимая, что
восстанавливающий момент равен mghy (т — масса судна, h — так
называемая метацентрическая высота) и что момент сопротивления
пропорционален угловой скорости судна при качке, определить
присоединенный момент инерции р..

ym2g2h2a2— М2 Т

Ответ: и. = -—-—»------- —J.

<Ц>1

Задача 1171 (рис. 674). Определить период собственных коле-
баний сейсмографа Голицына, если угол между вертикалью и осью
вращения АВ равен а, а расстояние от инертной массы М до

оси АВ равно I. Масса стержня CD равна т, момент инерции
относительно оси вращения равен J, а расстояние от центра тя-
жести до этой оси равно а. Размерами массы М и трением
пренебречь.

Ответ: т = 2~ 1/"-------------

Г (Mlу-та) g-sma

Задача 1172. Маятниковый вертикальный сейсмограф устроен
так, как показано на рис. 675. Определить период собственных
колебаний сейсмографа, если масса инертного груза А равна т,
жесткость пружины равна съ ОА — 1, ООХ = ОВ = Ь, в положении
равновесия /, OfiB равен р0, а стержень О А горизонтален
Массой рычагов ОВ и ОА пренебречь.

Ответ.

2т

2&sCj cos2 — mgl tg
Задача 1173 (рис. 676). Усеченный конус с весьма малой
высотой (его .можно принять за однородный диск радиусом г)
подвешен на нити, прикрепленной к центру основания, причем
другой конец нити совпадает с вершиной конуса и закреплен
на вертикальной стене. Считая, что при отклонении от равновес-

Рис. 676

ного положения конус катится по стене без скольжения, опреде-
лить период его малых колебаний. Угол при вершине конуса
равен 2?..

Ответ: т — к 1/	1>г.

Г	g Sin а

Задача 1174 (рис. 677). Однородный стержень АВ длиной I
и массой т, один конец которого закреплен при помощи шар-
нира, удерживается в вертикальном положении спиральной пру-
жиной, жесткость которой равна ct. На каждый элемент длины
стержня ds при его вращении действует сила сопротивления, про-
порциональная скорости этого элемента и его длине и направлен-
ная в сторону, противоположную скорости этого элемента, т. е.
dP~ — fivds. При вертикальном положении стержня пружина
находится в ненапряженном состоянии. Принимая р = const, оп-
ределить, при каком значении жесткости ту вертикальное поло-
жение стержня будет положением устойчивого равновесия. Найти
также значение коэффициента £, при котором стержень будет
совершать малые затухающие колебания вблизи вертикального
положения.

Ответ:	]/"бт (2<?! — mgl).

Задача 1175 (рис. 678). Однородный стержень АВ массой т
закреплен при помощи шарнира в точке С, отстоящей от точки А
на расстоянии, равном у его длины. В конце А стержня при-
креплена пружина с жесткостью clt а к концу В прикреп-
лен трос, переброшенный через блок и несущий железный стер-
жень М, помещенный в катушку соленоида. В положении рав-
новесия стержень АВ горизонтален, пружина находится в неде-
472
формированном состоянии и ток в соленоиде отсутствует. При
протекании по катушке соленоида переменного тока на стержень М
действует вертикальная сила F, величина которой изменяется
по закону F — b sin wt (b — малая величина). Определить ампли-

туду вынужденных колебаний стержня М, пренебрегая массой
пружины, троса и блока и сопротивлениями.

Ответ- а =

Задача 1176 (рис. 679). Диск радиусом г и массой т насажен
на свободный конец вала, другой конец которого закреплен не-
подвижно. К точке А обода диска, лежащей на горизонтальном
диаметре, прикреплена длинная пружина с жесткостью сх. Дру-
гим концом В она прикреплена эксцентрично к валу электромо-
тора в точке, отстоящей от оси вала О( на малом расстоянии е.

Считая, что мотор вращается с угловой скоростью и и что
при горизонтальном положении отрезка OiB пружина АВ нахо-
дится в недефбрмированном состоянии, определить амплитуду
вынужденных колебаний диска, если на него действуют силы со-
противления, момент которых относительно оси вращения про-
порционален угловой скорости диска (р, — коэффициент пропор-
циональности). Массой вала и отклонением пружины от верти-
кали пренебречь; коэффициент жесткости вала на кручение

принять равным с3.



Ответ: а —

У [2 (Cs-j-Cjr2) — №<о2]а Д- 4ц2и>г'

Задача 1177 (рис. 680). На сейсмограмме, записанной пером
сейсмографа, помещенным в точке В, амплитуда колебаний полу-

чилась равной Н, а частота р. Опре-
делить амплитуду а истинных верти-
кальных колебаний почвы, если длина
стержня АВ равна I, инертная масса
в точке В равна М, жесткость пру-
жины Ci, AD~b.
Массой стержня А В пренебречь *.
n	И (с^2 -  MZ2»2)

Ответ: а= v 1	

Задача 1178 (рис. 681). Горизонтальный сейсмограф Голицына

записал при землетрясении пером D
колебания с амплитудой Н и часто-
той р. Найти амплитуду а колеба-
ний земной коры, считая их проис-
ходящими в горизонтальной плоскости
так, что перемещения точек Земли пер-
пендикулярны равновесному положе-
нию стержня СО, если расстояние ТИС
равно г, угол наклона оси вращения АВ
к вертикали равен а, длина CD — 1.

Массой стержня и размерами инертной

массы пренебречь.
И (g Sina — гр2 COS2 a)

Ответ: а=——---------------------

1р-

Задача 1179. Решить задачу 1177 при наличии в точке В силы
сопротивления, пропорциональной первой степени скорости (коэф-
фициент пропорциональности равен р).

Ответ: а = ~У(& — р2)24-4п2р2;	п = ^

§ 2. Малые колебания консервативной сиотемы
с неоколькими степенями свободы

Исследование малых колебаний консервативной системы с не-
сколькими степенями свободы вблизи ее положения устойчивого
равновесия удобно проводить, используя уравнения Лагранжа
второго рода.

При нахождении кинетической энергии системы следует поль-
зоваться приближенной формулой

S

I,

где коэффициенты а1}— постоянные величины, удовлетворяющие
соотношениям: a;7- = a;-; при j, i — 1; 2; ,s.

Если в положении- равновесия системы qj = O, то потенциаль-
ная энергия с точностью до малых второго порядка может быть

*) В задачах 1177—1179 принять, что колебания почвы происходят
по закону з = a sin pt. Приложив к инертной массе силу инерции Ms, счи-
тать далее, что основание прибора неподвижно.
представлена в виде

I,	2 мм- /=1	(16.13)
где коэффициенты _/ \ „  С'; \dqidqjjq=o jt		(16.14)
Для системы с двумя степенями свободы имеем		
Г — (au^i 2а13()1ф! 4-		(16.15)
где  Он > 0;	<211 <21'2	(16.16)
П^у(Сц^-	Oai Oja  - 2cl=lqiqi 4-c2i'7i)»	(16.17)

при условии устойчивости положения равновесия

С21 С22

(16.18)

При решении задач на малые колебания системы с двумя сте-
пенями свободы полезно придерживаться такой последователь-
ности:

1.	Выбрать обобщенные координаты системы.

2.	Составить выражение для потенциальной энергии системы
и дать ее приближенное значение с точностью до малых величин
второго порядка (16.17).

3.	Составить выражение для кинетической Энергии системы и
дать ее приближенное значение с точностью до малых величин
второго порядка (16.15).

4.	Составить уравнение Лагранжа второго рода.

5.	Найти частное решение полученной системы дифференци-
альных уравнений в форме

q( = A sin(&/—]—a);	= В sin (kt а),	(16.19)

где А, В, a, k — постоянные, подлежащие определению.

При этом будет получена система уравнений

А (си — k*an) -j- В (с12 — Рац) = 0, |

А (с12 — kta.^) В (см —	= О, J

которая имеет нетривиальное решение относительно неизвестных
А и В только тогда, когда определитель системы равен нулю,

т. е.

Д(^) =

Сц — №ац — №ап

сц — Сц —

(16.21)
(16.23)

Уравнение (16.21) называется уравнением частот. *

6.	Найти, используя (16.21), главные частоты kt и k^.

7.	Найти коэффициенты распределения:

Р1— ~д— — r —.bin > Ра—д'— —U6.22)
Zlj	egg Л1“22	Л2	с22 rt2u22

где Аь — значения постоянных, соответствующих частоте ki,
А3, В-2 — значения постоянных, соответствующих частоте k^.

8.	Написать закон изменения каждой обобщенной координаты
в виде

Ai sin {k\t —ct|) —р- Аз sin	—f-сс$);

<7 2 = Pl^l sin (&1^ 4“ al) 4”	sin (kijf (Xj).

9.	Определить, используя начальные условия движения, по-
стоянные At, А2, а,, а2.

10.	Исследовать, если требуется условиями задачи, формы
главных колебаний.

Задача 1180. Два груза ЛД и Л42 с одинаковыми массами т
образуют систему, показанную на рис. 682. Определить частоты
главных вертикальных колебаний грузов, если пружины имеют
одинаковую жесткость, равную с. Массой блока, пружин и нити,
а также сопротивлением пренебречь. Найти уравнения движения
грузов, если из положения равновесия грузу Л12
была сообщена начальная скорость 0О, направ-
ленная вниз.

Решение. Система имеет две степени свободы.
За обобщенные координаты примем абсолютные
вертикальные перемещения st и s2 грузов из по-
ложения статического равновесия. Составим выра-
жение для потенциальной энергии системы:
П — mgst — mgs% +	А1) +

+ C.(S2-S21+M2 const;

где Дь Д2— статические удлинения пружин, отсюда найдем
= mg 4- с (si + ДО — с (Sj — Sj 4- Д2),

= — mg 4- с (s2 — s, 4- Да)-

В положении равновесия Si = s2 = 0.

Согласно (16.1),
Д1 = 0; Д2 = ^.

дП п	Л

= 0 При 8!=82 = 0.

Отсюда получим

* При выполнении условий (16.16) и (16.18) корни этого уравнения
(главные частоты) вещественны.
Далее найдем
I о». „	д2П I	. „ д2П I

С11 ds'i |s=o ’	13 dsj ds2 |s=o C’ 22 ds| |s=o

Составим выражение для кинетической энергии системы:
j, ms?  ms?

1	2 ' ~‘Г'

Сравнивая это выражение с (16.15), найдем
an = m; а12 = 0; а^ = т.

Таким образом, согласно (16.21), уравнением частот будет
A (fc3) = (2с — k3m) (с — fc3m) — с3 = О
или

^-3^£. + (±У = 0.

tn ' \ т)

Отсюда найдем квадраты частот главных колебаний:

зд-Кб с

2,618 —,
т ’

следовательно,

61 = 0,618 тЛ-; ^=1,618 1/-^.	(6)

у II*	у III

По (16.22) определим коэффициенты распределения амплитуд:

=--------------= — 0,618.

2	с — 2,618 — т
tn

В соответствии с (16.23)

Si = Aj sin {kit —j— ctf) —j— A% sin {k<£ —0!$)',

$2== sin (k\t сц) Ц- P2A2 sin (k$t аз)*
При / = 0; s1 = s3 = 0; si=0; sa = u0, следовательно,
0 = Ai sin 04 A* sin 0^;

0 =	sin ccj —j—	sin

0 —Ai^i cos сц —j— A%k% cos
== iPl^l COS СЦ —j—	COS X2J

отсюда	__

«, = „ = 0;

л-=яяг-°'276"'/'-
Таким образом, уравнения движения грузов примут вид
5[ = О,725ио ~|/ ~ sin k^t — O,276vo j/"~ sin k3P,
s.2 = 1,17p0 |/"y sin £,/-4-0,17^0 j/"sin k3t,

где ki и k2 определяются no (&).

Задача 1181. Материальная точка массой т находится на
гладкой неподвижной горизонтальной плоскости и прикреплена
к двум пружинам, концы которых закреплены неподвижно. В по-
ложении равновесия обе пружины не напряжены и образуют
между собой прямой угол. Определить частоты малых колебаний
точки, если жесткости пружин равны соответственно с, и с3.

Ответ:	k3=V^.

у II»	у II»

Задача 1182 (рис. 683). К середине упругой невесомой балки
с коэффициентом жесткости с присоединен математический маят-

А

Рис. 684

ник массой т и длиной I. Определить малые колебания системы.
Трением и сопротивлением пренебречь.

Ответ: о = Л) sin	х—Аг sin +

где Д], А3, «1> “а — произвольные постоянные.

Задача 1183. Используя условия задачи 1180, определить
частоты главных колебаний системы с учетом массы блока т2 =
считая ее равномерно распределенной по ободу блока.

Ответ: ^ = 0,60й3 = 1,52

Задача 1184 (рис. 684). К однородному цилиндру А с момен-
том инерции J и радиусом г, имеющему неподвижную горизон-
478
тальную ось вращения О прикреплены с двух сторон две верти-
кальные упругие нити с коэффициентами жесткости с, и с2. Конец
первой нити закреплен неподвижно в точке В, а на конце вто-
рой нити висит груз М с массой т. Найти частоты собственных
колебаний системы около положения равновесия, пренебрегая
трением. Принять cl = 2ci-, J — 2mri.

Ответ: k, = ]/^; k, =	.

Задача 1185. Решить задачу 1181, если в положении равно-
весия пружины образуют между собой угол 60° и имеют одина-
ковые жесткости с.

Ответ: ^1 = ]/^;

ki

~	2т'

Задача 1186 (рис. 685). Система состоит из трех грузов, массы
которых т2 = т2 — М; тя = 2М. К грузам прикреплены верти-

кальные пружины с жесткостями соот-
ветственно с1 = с2 = с; с3 = 4с, причем
в положении равновесия системы пру-
жины не деформированы. Определить

Рис. 685

Рис. 686

частоты вертикальных колебаний грузов с массами т2 и т2 и
коэффициенты распределения амплитуд этих колебаний, прене-
брегая массами блоков, тросов и сопротивлениями.

Ответ: =	?i = — 1; ?2=1.

Задача 1187 (рис. 686). Стержень О А на одном конце имеет
горизонтальную ось вращения О, а на другом — точечную массу т,
к которой при помощи пружины подвешена такая же масса.
Стержень удерживается в горизонтальном положении вертикаль-
ной пружиной, прикрепленной к его середине. Определить
частоты главных колебаний системы, считая жесткости пружин
одинаковыми и равными с. Массой стержня пренебречь.

Ответ: ^ = 1,46 1/~—; ^ = 0,34 1/^—.

Гт’	у т
Задача 1188. Однородная балка массой т подвешена горизон-
тально на двух вертикальных пружинах жесткостью с каждая,
прикрепленных к ее концам. Определить частоты главных коле-
баний балки в вертикальной плоскости, принимая, что ее центр
масс движется по вертикали.

Ответ: ki—
у til	у II»

Задача 1189 (рис. 687). Частица массой т, имеющая электри-
ческий заряд q, расположена в центре квадрата со стороной 2а,

Указание. Сила

в вершинах которого расположены четыре
неподвижных заряда того же знака, два
из которых имеют величину qlt а два
других — величину qt, причем одинако-
вне заряды расположены в несмежных
вершинах. Частица может совершать ко-
лебания около центра квадрата в его пло-
скости. Найти частоты и направления глав-
л -	17

ных колебании частицы, если qi= — ql.
Весом частицы пренебречь.

взаимодействия зарядов q и qr равна ~.

Ответ: ki — b-,	= где Ь* — —г .

Эта3 у 2

Главные колебания направлены по диагоналям квадрата.

Задача 1190 (рис. 688). Две материальные точки с одинако-
выми массами т и зарядами q могут колебаться без сопротив-
ления вдоль отрезка прямой, на
концах которого неподвижно за-	_____ Д?

креплены одноименные заряды qx — у У---------------О----\ )

4	гч	СТ	(Г / \

— — q. Длина отрезка равна За. w/z

Показать, что если все заряды	Рис. 688

находятся на равных расстояниях,
то имеет место положение равновесия. Найти частоты главных
колебаний при отклонениях средних зарядов от положения рав-
новесия. Найти типы движения, соответствующие главным колеба-
ниям.

 Ответ: =	й2 = ]/7&, где № =

Главные колебания соответствуют движению синфазно (т. е. оба
заряда движутся в одну сторону, сохраняя постоянное расстоя-
ние) и противофазно (т. е. оба заряда движутся в противополож-
ные стороны, отклоняясь одинаково от своих положений равно-
весия в разные стороны).
Задача 1191. Три материальные точки, массы которых соот-
ветственно равны т, 2т, т, связаны между собой одинаковыми
пружинами жесткостью с, как показано на рис. 689. Определить

Рис. 689

частоты главных колебаний системы, пренебрегая сопротивлениями

и массами пружин.

Ответ: = 1/ — • /?.> = 1У 
1 У т' ’ г 2т '

Задача 1192 (рис. 690). На свободно
укреплены три маховика, моменты инерции
которых соответственно равны Jt, Ja.
Определить главные частоты крутильных
колебаний, если коэффициент жесткости на

вращающемся валу

Рис. 690

кручение на участке между маховиками 1 и 2 равен съ а на
участке между маховиками 2 и 3 равен с2.

/Ь -I- у'Ь-— 4ас
--------~2а-----’

где а = JiJ.Hy, b = С; (Д J2) J3 -|- c2 (J2	J%) J1;

c = CjC2 (

Задача 1193 (рис. 691). Диск радиусом R укреплен на конце
упругого горизонтального вала, заделанного на другом конце,
и совершает вынужденные крутильные колебания под действием
возмущающего момента М — Hsin pt. К диску в его верхней
точке шарнирно прикреплен астатический маятник с точечной
массой m и длиной /, удерживаемый спиральной пружиной, не
показанной на рисунке. Считая, что при вертикальном положе-
нии маятника пружина не напряжена, и пренебрегая трением,
определить жесткость пружины, необходимую для того, чтобы
маятник служил динамическим гасителем (т. е. чтобы амплитуда
вынужденных колебаний диска была равна нулю). Найти также
наибольший угол отклонения маятника относительно диска.

Ответ: c = tnl(g-\- рЧ); ашах = —г.—,	<vr.

I Г />	(/?4- Г)\
ГЛАВА XVII

ДИНАМИКА ОТНОСИТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ

По отношению к системе отсчета Охуг, движущейся произ-
вольным образом относительно инерциальной системы О'х'у'г',
уравнение движения материальной точки в векторной форме
имеет вид

mwr = P-\-]e-\-]c,	(17.1)

где	т — масса точки;

— ускорение точки по отношению к
системе Охуг-,

F — равнодействующая приложенных
к точке сил (задаваемых и реак-
ций связей);

— — mwe — переносная сила инерции;

]с = — mwc~ — 2т(шеХ®г)— кориолисова сила инерции.

Условие относительного равновесия материальной точки можно
записать так:

^ + L = 0.	(17.2)

Если система, состоящая из п материальных точек, движется
по отношению к системе Охуг, которая равномерно вращается
вокруг оси Ог, совпадающей с неподвижной осью О'г', то пере-
носные силы инерции всех точек системы обладают потенциалом

П(с’ = —1JX-	(17.3)

где Jz— момент инерции системы относительно оси Ог.

Для консервативной системы-с потенциалом П в этом случае
имеет место закон сохранения энергии в относительном движении

Т1г)4~П(г) = const,	(17.4)

где

(175)

— кинетическая энергия системы в относительном движении;

П(н = П+П(е).	(17.6)

Если положение системы точек в относительном движении
определяется координатами q^,	..., qs и при qj-v-j система

находится в положении относительного равновесия, то условия
относительного равновесия приобретают вид

=0 (/ = 1; 2; ...; s).	(17.7)
Положение относительного равновесия системы является устой-
чивым, если функция П*''1 имеет в этом положении изолированный
минимум.

Для систем с одной степенью свободы это условие устойчи-
вости имеет вид

dqi

19=а

>0.

(17.8)

Для консервативной системы в рассматриваемом случае урав-
нения Лагранжа в относительном движении имеют вид

dt \ dq, j dqj dq, 1	'

где обобщенная сила Кориолиса Qjc> определяется выражением

а

—2 mft (и X иЛг)-

*=|

дгь
dqj‘

Замечание. Сила для стационарных связей обращается в
нуль в следующих частных случаях:

для систем с одной степенью свободы;

для систем, каждая из точек которых имеет одну степень
свободы;

для систем, относительные траектории точек которых лежат
в одной плоскости с осью Ог.

Во всех этих случаях кориолисовы силы инерции перпенди-

кулярны к возможным относительным перемещениям.

Задача 1194 (рис. 692). Внутри прямолинейной гладкой трубки,
вращающейся в горизонтальной плоскости вокруг вертикальной

оси, проходящей через ее
конец, находится шарик
массой т = 0,2 кг. К ша-
рику прикреплена пружи-
на, другой конец которой
закреплен в начале трубки.
Жесткость пружины с =
4 кн[м, ее ненапряженная
длина а = 3 см. Опреде-
лить, по какому закону
должна изменяться угло-
вая скорость о) труб-
ки, чтобы шарик дви-

гался относительно нее с постоянной скоростью ог~1 см)сек,
если он в начальный момент находился на расстоянии b = 5 см
от начала трубки. Найти также боковое давление шарика на
трубку в момент / = 1 сек.
Решение. Свяжем с вращающейся трубкой систему отсчета Охуг,
как показано на рисунке Относительным движением шарика
является прямолинейное движение его вдоль оси Ох. Напишем
уравнение динамики относительного движения (17.1)'

mwr = РFNNi-\--г-j;,	(а)

где	Р — вес точки;

Г — упругая сила пружины;

N — вертикальная составляющая реакции труб-
_ ки;

Ni — горизонтальная (боковая) составляющая
реакции трубки;

/« =—— центробежная переносная сила инерции;

Рр = —	— вращательная переносная сила инерции;

Jc = — 2m(®eX0r) — сила инерции Кориолиса;

— ускорение точки в относительном движении,
направленное по оси Ох.

Проектируем (а) на оси Ох и Оу Получим

тх = Fx 4- рх-, 0 =	+ 1 "р 4- jcy.	(6)

Далее,

Fx = — сх\ jpx = mw^ =	(х 4~ л);

/“р = — тс (х 4- а); jcy — — 2mwvr.

Подставляя полученные выше выражения в (Ь), имеем
тх==— сх 4- mw1 (х 4- а);	1

О = Nt — me (х 4- а) — 2mwvr. |

По условию задачи,

х = Хд 4~

где хл = Ь — а — начальная абсцисса шарика.

Рассмотрим первое уравнение (с). Так как Л —О, ибо vr —
= const, то

ю==-|/_ ..сД5^Е^ _
Г «(c0-[-a4-t'rO'

Таков искомый закон изменения угловой скорости. Используя
второе уравнение (с), найдем

Ni = те (х 4“ Р) 4— 2mwr.

Определим угловое ускорение е:

vral/~—

__ du>_______________r f m__________

2 (a-[-xQ-{-vrt)p(xQ^-vrt) (a4~A'o4~ vr0
Подставляя в выражение для значения со, е и х, после
простых преобразований получим

Л7 ... vrVcm [4 (л-р 4- vrt) + а | _

1 2 ]/ (л0 + V/) (а + + v/) '

В момент t = 1 сек имеем

Ni = 0,5 н.

Задача 1195. Плоскость S равномерно вращается с угловой
скоростью о) вокруг вертикальной оси Ог, образуя с ней прямой
угол (рис. 693, а). К точке А плоскости, отстоящей от оси вра-
щения на расстоянии а, шарнирно прикреплен стержень длиной
Ь, несущий на своем конце материальную точку М массой т.

Определить период малых колебаний точки вблизи ее положения
устойчивого относительного равновесия, пренебрегая трением.
Определить также усилие в стержне при прохождении этого поло-
жения, если в момент, когда стержень был отклонен на угол
от линии ОА, его угловая скорость была равна нулю. Массой
стержня пренебречь.

Решение. Рассмотрим относительное движение точки М в
плоскости S. Согласно (17.1), имеем

mwr — Р -j- Ni -j- N -j- ]e /с,	(d)

где $1 — нормальная реакция плоскости;

N — реакция стержня, направленная вдоль стержня;

]с —- кориолисова сила инерции, причем

]с = — 2m (w \иг);

эта сила направлена также вдоль стержня, так как вектор
перпендикулярен к плоскости S, а вектор относительной скоро-
сти 0г лежит в этой плоскости и перпендикулярен АМ (рис. 693, б);

/е — переносная сила инерции; она является центробежной
и направлена от центра вращения по прямой ОМ, величина ее

/е = то)а  ОМ — т^г.

16 Н. А. Бражиичакко и др,

485
За обобщенную координату примем угол ср, составленный
стержнем с продолжением линии О А.

Спроектируем (d) на касательную (т) к относительной траек-
тории, имея в виду, что

wn — bz — Ы?-, N. — 0-, /4 = 0; /„ = — Л sin а,
где

а = £ ОМА,
получим

mby = — т<л*г sin а.

Из △ ОАМ найдем
г sin а — a sin ср,
следовательно,

sin ср — 0.	(ё)

Как известно, решение этого уравнения дается в эллиптиче-
ских интегралах.

Для того чтобы найти положение равновесия, достаточно по-
ложить в этом уравнении <р = 0. Получим sincp==O, откуда
®i = 0; сра = к.

Для малых ср уравнение (е) приближенно примет вид

6 Ф	ао)2ср = 0,	(/)

а для ср, близких к it, полагая 0 = - — ср, получим

— Ь<Ь	ао>2ф — 0.	(g)

Общие решения уравнений (/) и (g) имеют соответственно вид
ср = At sin kt Bi cos kt-,
ф — A 2 sh kt 4- Bi ch kt,

где k = ‘o’j/'-y • .

Первое из этих уравнений отвечает гармоническим колебаниям
около положения ср = 0, во втором же уравнении при /->оо
ф —> оо.

Таким образом, при ср == 0 стержень находится в положении
устойчивого относительного равновесия, а при ф = 0 (cp = it)—
в неустойчивом.

Период малых колебаний около положения устойчивого рав-
новесия будет
Для нахождения усилия N спроектируем (d) на нормаль п
к относительной траектории, получим

m^b i=N — jc — je cos а.

Но

jc = 2тЬфа>; je cos а — ты1 г cos а — m<i>s (b a cos e),
следовательно,

N = mtfb Zmby<o -f- mu- (b a cos <p).	(h)

Для нахождения ф обратимся к уравнению (е). Умножая
его на ф и интегрируя, получим

b ----яо? cos ® = С.	(i)

Из условия, что ф = 0 при <р = ср0, найдем
С — — аш2 cos «0.

Решая (t) относительно $ в момент, когда <р = 0, имеем
H=o = 2o)j/'sin-—-.

Подставляя это значение в (/г), после преобразований получим

N |¥=o=mo>2|a442y~asin tf2°-



Задача 1196 (рис. 694). Линейка АВ длиной I и массой т

своим концом А может скользить
вдоль вертикальной оси Oz, а
концом В — вдоль горизонтальной
оси Ох, вращающейся вокруг
оси Oz с постоянной угловой ско-
ростью о). Перемещению конца В
препятствует пружина, которая при
вертикальном положении стержня
не напряжена. Определить поло-
жения относительного равновесия
линейки и исследовать их на ус-
тойчивость. Найти также период
малых колебаний около положе-
ния устойчивого равновесия.

Решение. За обобщенную координату возьмем угол а. Опре-

делим потенциальную энергию системы

т-т сД2 । mgl

П ——2—|—cos а,

где Д = I sin а — деформация пружины.
Вычислим П(е) по (17.3). Имеем

ПМ = —

Для вычисления
нии s от А. Имеем

выделим элемент стержня ds на расстоя-

dJ, = 7 ds • s2 sin2 а,

где т — масса единицы длины стержня.
Интегрируя, получим'

i

Jz = 7s2 sin2 a ds — 7 sin2 а у

0

тР
ДГ

sin2a.

Таким образом,

ГР> = —

sin2 а.

тРи>*

Составим выражение (17.6):

т-[(г,_т-t । т-[(е,_cP sin2 а , tngl cos а тРыг sin2 а

U —11-г 11	—	2	2	g

„	dri'”

Определим

дП1''1	[ cP тРвР \ _ .	mgl sin а	...

“йа-=\~2--------^’|2smacosa--------.	(у)

Приравнивая это выражение нулю согласно (17.7), считая
а<у, найдем

А

й! = 0; cos а2 = ,	(k)

где

Л = ^-; В = с/*--"
л	о

далее,

д2П1Г|

д 8 = В cos 2а — A cos а.

При а = й! = 0

и, следовательно, вертикальное положение равновесия стержня
согласно (17.8) будет устойчивым, если В>Л, т. е. при

mg , m<»2

С'> 21 "г 3 ’

и неустойчивым, если В<(Л.
Исследуем теперь положение равновесия а = а2, найдем

д2П|/') I

|	= В COS 2йа — A COS х2 — В (2cOS3a2 — 1) — A cos а2.

Согласно (k), угол а.3 существует лишь при условии

А<^В.	(т)

Поэтому

-^г-|а=К2 — В\2 В’ *У— В —~~В	<-' •

Таким образом, положение относительного равновесия =
является неустойчивым.

Составим теперь дифференциальное уравнение относительного
движения в форме (17.9). Найдем сначала Т(г). По теореме Кё-
нига имеем

, ч mv2Cr
рИ —______	(

где С — центр масс стержня.

Далее,
	пс	г till2

ш,. = а; vCr ~ сог • PC =	; Jc = ~,

таким образом,

mlW.

Так как система имеет одну степень свободы, то обобщенная
сила Кориолиса равна нулю, и уравнение (17.9) с учетом (/)
принимает вид

1	/ cP mls<i>2 \ . о , mgl .

-^пгга—— —-------й— sin 2а Д—sin а.

о	\ Л	е О /	Z

При малых а (вблизи положения устойчивого равновесия)
имеем

|mpg + [c/3__^_^]a==0.

При условии (/) это уравнение гармонических колебаний с
периодом

Т ~	— 2т/<й2 — 3tng ’

Задача 1197. На шероховатую горизонтальную плоскость,
вращающуюся вокруг вертикальной оси с постоянной угловой
скоростью о), помещена тяжелая точка. Где может находиться
эта точка в положении относительного равновесия, если коэффи-
циент трения равен f?
Ответ: в пределах круга радиусом г = —° с центром на оси
вращения.

Задача 1198 (рис. 695). Гладкий стержень АВ равномерно
вращается вокруг вертикальной оси, составляя с ней неизменный
угол а. Определить наибольшую величину угловой скорости
стержня <о, при которой колечко М, надетое на стержень, будет
находиться в относительном равновесии в наинизшем положении
А, если при этом его расстояние до оси вращения равно а.

Ответ: <omax= j/” —^ga .

Задача 1199. Сохранив условия предыдущей задачи, опреде-
лить, каков должен быть закон изменения угловой скорости
стержня АВ, чтобы колечко М перемещалось по стержню с
постоянным по отношению к этому стержню ускорением wr,
если начальная относительная скорость была равна нулю.

Ответ:	1/-.

Г sin а (2а -|- wi-ts sin а)

Задача 1200 (рис. 696). Трубка вращается с постоянной угло-
вой скоростью о) вокруг вертикальной оси, составляя с ней все

время прямой угол. В трубке находится шарик массой т, скреп-
ленный с ней посредством пружины жесткостью с. В начальный
момент шарик находился на расстоянии а от оси трубки и был
отпущен без начальной скорости; пружина при этом была не де-
формирована. Определить последующее движение шарика вдоль
трубки, совместив начало координат с начальным положением
шарика. Трением пренебречь.

Ответ: если (l)<' |/r, то х=-^°-(1— cos kt),
где k==l/'cm —
если

<й> ]Z~ , то x = -~(chkit— 1),
где kt = j/"»)3 —	;

если

1 Г С

СО — I/ — , ТО Х =---X-,

Г т ’	2

Задача 1201 (рис. 697). Точка М может двигаться по глад-
кому стержню ОА, который вращается с постоянной угловой
скоростью <о вокруг вертикальной оси, составляя с ней неизмен-
ный угол а. В начальный момент точка находилась на расстоянии
а от точки О и не имела относительной скорости. Определить

Рис. 697

Рис. 698

закон движения точки по стержню. При каком значении со точка
будет двигаться вверх и при каком вниз?

„	Л W S’ COS а I (	g COS а \ . . . . ,

Ответ:	ОМ =	,—На---f „ 1 ch («/ sin а).

<0- sin2 а 1 \	o>2 sin2 а/ ' '

n	Mag cos а	I/ ag cos a

При щ3> a sing точка будет двигаться вверх, при со а----------

вниз.

Задача 1202 (рис. 698). По гладкой трубке, изогнутой в виде
полуокружности радиусом R и вращающейся вокруг вертикаль-
ной оси с постоянной угловой скоростью со, может двигаться
тяжелая точка М массой т. Определить относительную скорость
точки в зависимости от угла ср, составленного радиусом ОМ с
осью вращения, если в начальный момент <р =?= <р0, фо = О.

Ответ: vr = R у/"со3 (sin3 ср — sin3 ср0)	(cos — cos _

Задача 1203 (рис. 699). В диске, вращающемся с постоянной
угловрй скоростью со вокруг вертикальной оси О, перпендику-
лярнои к его
окружности,

Рис. 699

плоскости, сделана криволинейная канавка в виде
проходящей через центр диска и имеющей диа-
метр а. Вдоль канавки может без трения двигать-
ся материальная точка М массой т, которая
в начальный момент находится на конце А диа-
метра окружности АВ, перпендикулярного к ООГ,
и имеет в этот момент относительную скорость
vr = -у=-, Определить в дальнейшем движении
V £

точки ее относительную скорость, а также давле-
ние на стенки канавки, как функции расстоя-
ния ОМ = г.

Указание. Спроектировать (17.1) на касательную и нормаль

к окружности.

Ответ: yr = wr;

а

г (Зг гр: 2а)

(знак «минус» имеет место при указанном направлении вращения,
знак «плюс» — при противоположном).

Задача 1204 (рис. 700). По диску, вращающемуся вокруг не-
подвижной вертикальной оси с постоянной угловой скоростью о>,
может скользить без трения вдоль хорды АВ материальная точка М

массой т. Точка М скреплена с точками А и В хорды двумя пру-
жинами с одинаковой жесткостью с. Определить период колебаний
точки М в ее относительном движении, если она в средней точке
хорды находится в положении относительного равновесия.

Ответ: независимо от расстояния между хордой и центром
диска

т =	—-—-	.

г 2с — пи»-1 ’	у т

Задача 1205 (рис. 701). Круглая трубка радиусом г вращает-
ся с постоянной угловой скоростью о) вокруг своего вертикаль-
ного диаметра. Внутри трубки находится шарик М. Определить

положения устойчивого относительного равновесия шарика по

отношению к трубке, пренебрегая трением и раз-
мерами шарика.

Ответ: при	a — arcsin-^- (в ниж-
ней половине трубки), при	а = у.

Задача 1206 (рис. 702). Направляющая в виде
полу параболы n-го порядка (t/ = fexn) вращается
с постоянной угловой скоростью ад вокруг верти-
кальной оси, совпадающей с осью Оу. По на-
правляющей может двигаться без трения колечко М.

Определить, при каких п существует положение

устойчивого относительного равновесия колечка, отличное от на-
чала координат, и найти это положение.

1

Ответ: при п)>2 хв = (-^—)

\ gRU }

Задача 1207. Сохранив условия задачи 1205, определить пе-
риод7 малых колебаний шарика вблизи положения устойчивого
относительного равновесия.

„	1 Г g	2яГ<Л

Ответ: если J> I/ , то

У г	ga

если о) < 1/ — , то т = 2те 1/ —.
- г г ’	у g—

Задача 1208. В условиях задачи 1206 определить период ма-
лых колебаний колечка вблизи положения устойчивого отно-
сительного равновесия.

„	2г.-. Г 1/гэи2л'2'1—2

Ответ: т = —I/ _______!_____»___.

“ г п — 2

Задача 1209. Регулятор Уатта вращается с некоторой постоян-

ной угловой

скоростью так, что в относительном равновесии
углы отклонения всех стержней от вертикали
равны а. В результате возмущений возникают
относительные колебания шаров регулятора в вер-
тикальных плоскостях. Определить период этих ко-
лебаний, считая их малыми. Длины всех стержней
равны I. Массой стержней, муфты и трением пре-
небречь.	_____

„	2~ - Г I cos а

Ответ: т=——I/ —-—.
sm а г g

Задача 1210 (рис. 703). Центробежный регу-
лятор состоит из четырех одинаковых шарнирно
соединенных стержней длиной I каждый. Опреде-
лить угол отклонения стержней от оси вращения,
если угловая скорость <о = const. Массой, размерами муфты С,
а также трением пренебречь.

Ответ: при

а = 0;

при О)

3^
а — arccos1T^r

Задача 1211 (рис. 704). Точка подвеса маятника, имеющего
вид однородного стержня длиной /, движется горизонтально с
постоянным ускорением w. Определить угол отклонения стержня

W

Рис. 705

в относительном равновесии и период малых колебаний стержня
около этого положения.

Ответ: tg а = —; т — 2- 1/" —.

Задача 1212 (рис. 705). Плоскость вращается с постоянной
угловой скоростью ад вокруг перпендикулярной к ней вертикаль-
ной оси. К плоскости в точке А, отстоящей от оси вращения на
расстоянии OA — R, шарнирно прикреплен однородный стержень
длиной I. Пренебрегая трением, определить период малых коле-
баний стержня около положения устойчивого относительного
равновесия.

Ответ: положение относительного устойчивого равновесия бу-
дет при <р = 0:

2г. Г1Г
V •

Задача 1213. На рис. 706 изображена ракета.

Из бака А по направлению к соплу движется газовая струя
с постоянным секундным расходом p. = p«S (р — плотноиь, и —
494
относительная скорость частиц газа, S — площадь сечения). В не-
который момент на ракету начинает действовать постоянный вра-

щающий момент М.

Составив дифференциальное
уравнение вращения ракеты в ее
относительном движении по отно-
шению к центру инерции, найти
угловую скорость ракеты как функ-
цию времени. Момент инерции
ракеты относительно центральной

оси принять постоянным и рав-

ным J, экстремальные расстояния частиц газа от центра инерции
равны а и Ь. Сопротивлением среды пренебречь.

Указание. Учесть силы инерции Кориолиса частиц газа, воз-
никающие вследствие вращения ракеты.

М _

Ответ: ш==—-------=т[1— е J 1.

ц (о- — a-)	J
ГЛАВА xvn:

ПРИБЛИЖЕННАЯ ТЕОРИЯ ГИРОСКОПОВ

В приближенной теории гироскопов вектор Lo кинетического
момента относительно неподвижного центра О предполагается
направленным по оси гироскопа и равным

Е0 = Л®,	(18.1)

где ./г —момент инерции относительно собственной оси гироскопа;

® — собственная угловая скорость гироскопа.

Движение оси гироскопа определяется движением конца век-
тора 10. Согласно теореме Резаля,

вА = М<‘\	(18.2)

гдеол — скорость конца А вектора Zo;

— главный момент внешних сил относительно неподвиж-
ного центра.

Гироскопический момент определяют по формуле

М'Г) = —	“j,

(18.3)

где — угловая скорость прецессии.

Задача 1214 (рис. 707). Уравновешенный гироскоп в карда-

новом подвесе имеет собственную угло-
вую скорость <о и момент инерции Jz.
Он установлен так, что его внутрен-
няя рамка составляет с горизонтальной
плоскостью угол а. Определить угло-
вую скорость прецессии, если к оси
гироскопа на расстоянии г от центра
подвешен груз М массой т. Трением
и массой рамок пренебречь.

Решение. По (18.3), имеем

— Дн = Л(йХ®1)

или

rXP^=Jz (Ш1 Xй),

(а)

Рис. 701

где P = mg — вес гироскопа.

Вектор <5 направлен по оси гироскопа, вектор “| — по непо-
движной оси Ог'. Согласно (а), имеем

Pr cos я — Jz cos а,

откуда



mgr
Такова угловая скорость прецессии. Из полученной формулы
следует, что эта угловая скорость не зависит от угла наклона а.

Задача 1215 (рис. 708). Ротор турбины, ось которого распо-
ложена в диаметральной плоскости судна и параллельна про-
дольной его оси, вращается со

скоростью /1 = 3000 об; мин.
Масса ротора т = 4000 кг, его
радиус инерции относительно
оси вращения р = 0,6 м, рас-
стояние I между подшипниками
А и В равно 2 м. Судно имеет
килевую качку с амплитудой <р0=
= ~ и периодом t — 8 сек. Опре-
OV

Рис. 708

делить величины максимальных

гироскопических давлений на

подшипники.

Решение. В данной задаче осью собственного вращения яв-
ляется ось ротора. Собственная угловая скорость <о равна по вели-

чине

о/ — = 100* рад/сек

и направлена по оси ротора.

Прецессией является килевая качка. Согласно условию, угло-
вая координата ®, характеризующая килевую качку, изменяется
по закону

2тт:£

<? = ?osin — .

Угловая скорость качки (угловая скорость прецессии) по вели-
чине равна

I ш1! = I <? I

2?ок

nt I
cosT|.

Вектор “j направлен по оси вращения судна Ozt так, как
показано на рисунке, если в рассматриваемый момент судно
поворачивается вокруг этой оси против движения часовой стрелки.
При изменении направления качки вектор изменяет свое на-
правление на противоположное.

Вычислим гироскопический момент. По (18.3), имеем

А?(Г, = Л(®Х^).

Вектор тИ(Г> направлен так, как показано на рисунке, т. е. по
перпендикуляру к плоскости, проходящей через векторы ® и
в сторону, определяемую векторным произведением.
Так как w и взаимно перпендикулярны, то величина век-
тора ЛТ" равна

Л1' ’ ' — Jг WlUj.

Имея в виду, что

Jг = Л1р2= 1440 кг-м*,

получим

ЛГг>= 1200-ir31 cos ~ I нм.

I 4 I

Гироскопический момент ЛТГ| обусловливаем появление дав-
лений на подшипники А и В. Реакции NA и NB этих подшип-
ников, численно равные давлениям, но противоположно им на-
правленные, образуют пару, момент которой уравновешивает
гироскопический момент. Следовательно, величины реакций Л'л
и NB будут:

Na =	=600-31 cos | h.

В моменты Z, для которых cosj = ±l, эти величины получат
максимальные значения, равные

УЛтах = Л/дтах = 600те3 = 18,61 КН.

Задача 1216. Ротор турбины, вращающийся вокруг горизон-
тальной оси с угловой скоростью о)0= 1000 рад хек и имеющий

момент инерции относительно оси вращения
J = 750 кг  лР установлен на широте г. Ленин-
града. Определить величину гироскопического
момента ротора, возникающего вследствие
вращения Земли, если вектор угловой ско-
рости ротора направлен точно на север.

Ответ: М{Г}= 71	° ="47,4 нм.

ou4uU

Этот момент уменьшает давление на под-
шипник, расположенный ближе к северу.

Задача 1217 (рис. 709). Угловая скорость
прецессии волчка, имеющего форму прямого

кругового конуса, опирающегося своей вер-
шиной на плоскость, равна шр Определить собственную угловую

скорость о) волчка, если радиус основания конуса равен г,
а высота h.

Ответ: ш —
Задача 1218 (рис. 710). Однородный тонкий стержень длиной
2/ за середину подвешен на нити. На один из концов стержня
надет однородный сплошной диск, который вращается вокруг
СТерЖНЯ С боЛЬШОЙ ПОСТОЯННОЙ УГЛОВОЙ CKO-	/ZzxZztw

ростью w. Определить угловую скорость пре-
цессии стержня с диском, если радиус диска
равен г. Сопротивлением нити на кручение
пренебречь.

Ответ-.	^Г\

Задача 1219 (рис. 711). Ротор гирогори- у
зонта представляет собой турбинку, вращаю-
щуюся вокруг вертикальной оси струей воздуха, Рис. 710
который выходит затем через отверстия А, на-
половину прикрытые маятниковыми заслонками В. При отклонении
оси ротора от вертикали (вследствие возникающих моментов сил
трения в подшипниках) одна из двух противоположно расположен-
ных заслонок полностью открывается, другая же полностью за-
крывается, в то время как остальные две не смещаются. При
этом возникает реактивный момент, обусловленный действием
струи воздуха и направленный противоположно скорости струи.

Рис. 711

Рис. 712

Пользуясь теоремой Резаля, показать, что ось гироскопа
будет восстанавливать свое вертикальное положение.

Задача 1220 (рис. 712). Квадратная рама ABDC вращается
вокруг вертикальной оси АВ с постоянной угловой скоростью Юр
Вокруг диагонали рамы ВС с постоянной угловой скоростью со
вращается ротор, представляющий собой сплошной диск радиу-
сом г и массой т. Определить гироскопические давления на под-
шипник Е и подпятник F, если сторона рамы равна а.

Ответ: NP — NP=—4—-----------.

с, f
Задача 1221 (рис. 713). В полом кольце радиусом R с малым
поперечным сечением движется жидкость с большой постоянной
по величине скоростью и, а само кольцо вращается вокруг оси
АВ с постоянной угловой скоростью wj. Считая массу жидкости
в трубке равной т, определить гиро-
скопические давления на подшипники
А и В, обусловленные движением
жидкости н вращением кольца, если
АС = ВС = а.

родныи

Ответ:

д/ — д/ tnRu<i>t

Задача 1222 (рис. 714). Вал, вра-
щающийся вокруг вертикальной оси
OOt с угловой скоростью «>1, приво-
дит в движение каток А массой т
и радиусом R. Приняв каток за одно-
диск и считая, что он по горизонтальной плоскости не

скользит, определить усилие S, возникающее в валу от действия
гироскопического момента.

Ответ: S =

Задача 1223 (рис. 715). Между статором однофазного генера-
тора переменного тока и фундаментом установлены четыре пру-
жины по две с каждой стороны, имеющие одинаковую жесткость,

Рис. 715

равную с. Определить деформации Л пружин, вызванные дей-
ствием гироскопического момента ротора, вращающегося вокруг
горизонтальной оси с угловой скоростью о), если в рассматри-
ваемый момент времени платформа, на которой находится гене-
ратор, вращается вокруг вертикальной оси с угловой скоростью Wj.
Момент инерции ротора относительно его оси равен J, осевое
расстояние между пружинами равно I.

Ответ: & =	.

4с1

Задача 1224 (рис. 716). Ось ротора гироскопического указа-
теля поворотов совпадает с направлением горизонтального полета
500
самолета. Определить угловую скорость «ц виража самолета, если
момент инерции ротора равен J, его собственная угловая ско-
рость равна <о, жесткость каждой из пружин равна с, а изме-

рит. 71b

Рис. 717

ренный угол отклонения оси ротора от горизонтали равен а (счи-
тать этот угол малым). Расстояние между пружинами равно а.

Ответ:

2j4>

Задача 1225 (рис. 717). Однородный диск радиусом г и мас-
сой т вращается с большой угловой скоростью со = const вокруг
стержня ОА, имеющего в точке О сферический шарнир, и в
то же время прецессирует вследствие наличия момента силы
тяжести. Определить приближенное значение горизонтальной
составляющей реакции шарнира О, если расстояние от него до
центра диска равно I, а угол между
стержнем и вертикалью равен а. Массой
стержня СМ пренебречь.

Указание. Найдя угловую скорость
прецессии, применить теорему о движении
центра инерции.

Ответ: Дгор = sin а.

Задача 1226. Для определения скорости
летательного аппарата в период старта
(по вертикали) используется интегратор,
схема которого показана на рис. 718.

Ротор гироскопа помещен в кожухе А, который может вращаться
вокруг горизонтальной оси 00. В момент старта конец В оси
гироскопа освобождается от опоры и кожух оказывается висящим
на оси 00. При этом моменты веса и силы инерции создают
прецессию относительно вертикальной оси О^.

Зная угол поворота <|> вокруг этой оси за время t, определить
скорость подъема в этот момент, если масса ротора с кожухом
равна т, расстояние от их общего центра тяжести до оси 00
равно а, момент инерции ротора J, а его собственная угловая
скорость равна <о.

Рис. 718

"17 Н. А. Бражничеико и др.

501
t

Указание. Проинтегрировать ф, учитывая, что$ wdt = v.
о

Ответ: v —	— gt.

та °

Задача 1227 (рис. 719). Невесомый стержень АВ длиной I,

на конце которого находится точечная масса т,
закреплен с помощью цилиндрического шарнира
на вертикальной оси, вращающейся с угловой
скоростью и. При отклонении стержня АВ на
малый угол сро от положения относительного
равновесия он начинает колебаться около этого
положения с круговой частотой, равной wsina,
где а — угол, при котором имеет место относи-
тельное равновесие (см. задачу 1209).

Найти добавочные гироскопические давления
на подшипники при прохождении стержнем поло-

Рис. 719 жения относительного равновесия, если расстоя-
ние между подшипниками равно I.

Указание. Определить угол а из условия относительного рав-

новесия.

Ответ: N =	.

Решение возможно при

Z^>g.
ГЛАВА XIX

ТЕОРИЯ УДАРА

Приращение количества движения системы за время удара
равно главному вектору всех внешних ударных импульсов, дейст-
вующих на систему *, т. е

(19.1)

Приращение за время удара кинетического момента относи-
тельно неподвижного центра (или центра инерции) равно глав-
ному моменту всех внешних ударных импульсов, действующих
на систему, относительно того же центра, т. е.

(19.2)

В случае вращения твердого тела вокруг неподвижной оси
имеем

=	(19.3)

При ударе точки о неподвижную поверхность связь между
углом падения 04 и углом отражения устанавливается формулой
tg«9 = J-tgai,	(19.4)

где х — коэффициент восстановления, равный отношению абсо-
лютных величин нормальных проекций скоростей точки после
удара и до удара, т. е.

х = 1М.	(19.5)

I Vln I

Зависимость между величинами скоростей точки до удара и
после удара такова

0sl = 0iC0Saj'Kx34-tgaai.	(19.6)

При прямом центральном ударе двух тел А и В, центры тя-
жести которых движутся вдоль оси Ох, проекции скоростей тел
АВ
после удара vix, щх связаны с проекциями скоростей этих тел
до удара иД, cfx (при отсутствии внешних ударных импульсов)
следующими соотношениями:

А _	vlX+mB О +7-) Vlx

ix	тл + тв	'	(19.7)

в _ (тВ ~	+ тА (1 +

У- ---------------—------------

* В этой главе все кинематические величины непосредственно до удара
обозначены индексом <1>, а после удара — индексом <2>,
Имеет место теорема Карно: кинетическая энергия, теряемая

1—X

1+х

при ударе, равна

доле кинетической энергии, соответствую-

щей потерянным скоростям, т. е.

A7’ = TJ — т2 = |^Т*,	(19.8)

где

Т* = ^тА (4 - 4)2 + тв (4 - и* )*.	(19.9)

Если удар является абсолютно упругим, то х=1 и ДТ —0.
Если удар является абсолютно неупругим, то х = 0 и ДТ = Т*;
при этом следует иметь в виду, что v^x = vfx.

Уравнения Лагранжа для случая удара имеют вид

h

(/= 1; 2; Л ; s),

где — обобщенные импульсы ударных сил, которые можно
найти по формуле

Задача 1228 (рис. 720). На гладком горизонтальном столе
покоится мяч М массой т. В некоторый момент по мячу произ-
водится удар, импульс которого S направлен горизонтально.

Рис. 720

Определить расстояние между двумя первыми точками падения
мяча на пол, если высота стола равна h, а коэффициент восста-
новления равен х. Сопротивлением воздуха и размерами мяча
пренебречь.

Решение. Определим скорость й0, приобретаемую мячом в ре-
зультате удара. Пользуясь (19.1), имеем

Qi — Qi — S.
Учитывая, что Q( =0; Q3 = mo0, получим

S
Ро = --
т

Скорость у0 направлена так же, как и вектор S. Найдем
скорость падения Для этого составим уравнения движения
мяча как точки, движущейся под действием силы тяжести,
,	gt2

x — vat\	у=^.

В момент падения у=п, т. е. у и скорость vt най-
дем по формуле

01 = V & + У*	= V2gh. + vl;

направление скорости
Так как

определяется углом at.

tg“i=?U-

то

tgaj =

V^g/T

Пользуясь (19.6) и
мяча после удара о пол

(19.4), найдем скорость 0.2 отражения
и угол отражения:

= vt cos at Ух2 tg2a, = vy Ух2 tg2a( =
= V2gh ]Л2+g=у^+2^х2.

tga.2 = -^-

z]/2gA-

Уравнениями движения мяча на участке АВ будут
st2
х? = cos у — vrf sin ~.

В момент падения (в точке В) у' — О, откуда / — 2v-	, и,

следовательно,

д О __ vj sin 23а _ vj sin 2д3 __ 2og tg аг __	.

g	g g-(i-Hg4) ~' °z V 2g‘

Задача 1229. Боек молота массой тд = 10 т падает со ско-
ростью v = 5 м/сек на наковальню, масса которой вместе с от-
ковываемым металлом игв = 240 т. Определить коэффициент по-
лезного действия молота, считая удар упругим с коэффициентом
восстановления х = 0,3.
Решение. Удар считаем прямым и центральным. Соударяю-
щимися телами являются боек молота (тело Д) и наковальня
с отковываемым металлом (тело В). Направим ось Ох в сторону
движения бойка, т. е. вниз. Согласно принятым обозначениям,
Vix — скорость бойка до удара, т. е. v*x = v, vfx — скорость на-
ковальни до удара; так как наковальня была неподвижна,
Vix = 0. Определим по формулам (19.7) скорости v2x и оД после

удара:

А

V2X



(тА — ч-тв) v*x (тА —wjv
тл+тв ~ ,па + ”1в ’

_ >ПА (1 + *)	_ тА + Х) V

тА + тв ~ тл + тв ’

Найдем по (19.9) кинетическую энергию, соответствующую
потерянным скоростям:

Т*_ стаГ('"а-^в)р ,.Р f тв

2 L тА + тв	J 2 L тА + тв I

__тА vsm‘B (1 4-7.)2 t твт% (1 Д-х)2 Vs_(1Д-х)2 mAtnfj v*
“ Т (тдД-тв)2 1 2(тдД-я«в)2 ~ 2(тдД-отв) '

Потеря кинетической энергии при ударе согласно (19.8) будет

АТ

(1 — %2) >nAmBvs
2(идД-тд)

109 кдж.

В этой задаче полезной является потерянная кинетическая
энергия АТ, затрачиваемая на деформацию отковываемого ме-
талла. Следовательно, коэффициентом полезного действия молота
будет

я» -V

где 7\ — -~-----вся затраченная энергия, равная кинетической

энергии бойка молота.

Подставляя численные значения, получим

»)

_(1—xs) тв
~ тА + тв

= 0,874.

Задача 1230 (рис. 721). Однородный диск радиусом R нахо-
дится в покое на гладкой горизонтальной плоскости. В некото-
рый момент по ободу диска наносится удар, импульс которого
лежит в плоскости диска и направлен вдоль прямой, отстоящей
на расстоянии а от его центра. Определить положение мгновен-
ного центра скоростей в момент окончания удара.
Решение. Воспользуемся (19.1). Учитывая, что Qt = О, получим

Qi — Mvc^ = S,

где М —масса диска.

Следовательно, скорость центра масс непосредственно после

удара направлена параллельно импульсу S и
равна по величине

S	, ,

(«)

Применим формулу (19.2) по отношению
к оси, проходящей через центр масс и перпен-
дикулярной к плоскости диска. Учитывая, что
Lc =0, получим

Lc = Sa 
или

Рис. 721

J — Sa.

Отсюда угловая скорость диска непосредственно после удара

равна

__Sa__ 2Sa
тс~"мг?-

(Ь)

Пользуясь (а) и (Ь), найдем, что мгновенный центр скорос-
тей Р сразу после удара находится от центра С на расстоянии

CP = -^==q-.

<о2 2a

Задача 1231. Эллиптический маятник состоит из ползуна
массой М, который может скользить вдоль горизонтальной на-
правляющей, и однородного стержня АВ массой ш и длиной /,

Рис. 722

скрепленного с ползуном посредством цилиндрического шарнира
(рис. 722,а). В некоторый момент, когда система находится в рав-
новесии, по ползуну производится удар с импульсом S. Опреде-
лить скорость ползуна йг и угловую скорость стержня непо-
средственно после удара.

Решение. Исподьзуем уравнения Лагранжа (19.10):
Система имеет две степени свободы. За обобщенные коорди-
наты примем: = х — перемещение ползуна; q.>_ — ср — угол пово-
рота стержня (рис. 722,6), отсчитываемый против движения часо-
вой стрелки.

Определим кинетическую энергию системы:

Т — Т -4- Т
1 --- * полз ИГ 1 ст

Л1Х2 .	. Jc^

2 + 2 ~Г 2

(кинетическая энергия стержня определена по формуле Кёнига).
По теореме сложения скоростей имеем

Vc = ^Cr-VvCe.

Относительная скорость vCr перпендикулярна к АС и по ве-
личине равна

Zco Zi

Vcr== 2 = 2'

Переносная скорость vCe параллельна оси Ох и по величине
равна

vCe~x.

Таким образом,

v2c =	-ф- х2 -ф- !<?х cos ср.

,,	r ml2

Учитывая, что Jc — ^, получим
. ml2 .о । rnJi-V1 i .а , .. .	,

Т =	+ -24 <?* + 2 I 4 + х +l'fX COS

Найдем обобщенные ударные импульсы Ry:



—	= s- Р'л = I = О

8у = о	’	2 Bep |8jf = o

Вычислим при ср = О; х = 0.
Имеем

11=^+.)^ + ?;	= +

Учитывая, что при t = t^ ср = х = О, пользуясь (19.10),
получим

(М -ф- иг) 4-	— S,

2т/и>аЗто2 = 0,

откуда найдем

4S	_ 6S

V2 — '4M-i-m’	ш,1—	Z(4M-|-m)-
Знак «минус» показывает, что стержень в результате удара начнет
вращаться по направлению движения часовой стрелки.

Задача 1232. Шар падает из состояния покоя с высоты h,
ударяется о пол, подпрыгивает, снова падает и т. д. Принимая
коэффициент восстановления равным *, определить время, по
истечении которого шар остановится.

Ответ: t = -!-i2Ll/ 2/1 .

1—х Г g

Задача 1233. Шарик ударяется в вертикальную стенку, дви-
гаясь в нормальной к ней плоскости так, что его скорость в момент
удара составляет угол 30° с вертикалью, направлена снизу вверх
и по величине равна о0. Определить, на каком расстоянии от
стенки шарик упадет на горизонтальную плоскость, если коэффи-
циент восстановления при ударе равен *, а высота места удара
над горизонтом равна /г.

Г,	(»о V з +	+ SgA)

Ответ: х = —

4g

Задача 1234. Ядро атома, имеющее массу т и скорость й0,
ударяется в другое неподвижное ядро атома, имеющее ту же
массу п находящееся в возбужденном состоянии. При ударе
выделяется энергия Ей (удар второго рода). Найти скорость
обоих ядер после соударения.

Г,	VVo + 4а — v„	-ф 4а -I- v„

Ответ:	v^ = -—-Ч,—, где а =-°.

Скорость щ направлена противоположно ув, скорость совпадает
по направлению с пв.

Задача 1235. Неподвижное ядро атома массой М обстрели-
вается частицами массой т, имеющими кинетическую энергию Ти.
При слиянии частицы с ядром образуется новая частица, однако
реакция будет происходить только при условии, что внутренняя
энергия, равная потере кинетической энергии при ударе, возра-
стет не менее чем на величину Ео (порог реакции). Определить,
какова должна быть кинетическая энергия То.

Ответ: То	£ о •

Задача 1236. п материальных точек с массами тл, т^,...,т„
находятся на одной прямой. Первой из них сообщается скорость
вдоль этой прямой. Считая удары точек абсолютно неупругими,
определить скорость точек после последнего удара.

Ответ:	ип =—л—,--------------.

л т1 +	... -ф- тп

Задача 1237. Определить, с какой высоты h должен падать
без начальной скорости боек молота массой 0,5 т, чтобы при
ковке детали ее толщина после каждого удара уменьшалась на
5 лои. Считать, что среднее усилие, потребное для этой деформа-
ции детали, равно 980 кн{ а коэффициент полезного действия
молота равен 0,8. Найти также коэффициент х восстановления
при ударе. Массу наковальни считать весьма большой по сравне-
нию с массой бойка.

Ответ: к—1,25 м, х = 0,45.

Задача 1238. Паровая баба двойного действия массой 0,6 т
опускается без начальной скорости с высоты 2 м, испытывая
среднюю суммарную силу давления пара, равную 9 кн. Опреде-
лить перемещение а забиваемой сваи при ударе, считая среднюю
силу сопротивления грунта равной 900 кн. Коэффициент полез-
Т

ного действия бабы = Удар считать абсолютно не-
упругим.

Ответ: а ^2 см.

Задача 1239. Два тела, получив встречные ударные импульсы
St и S2, соударяются. Считая удар абсолютно неупругим, прямым
и центральным, определить скорости тел после удара, если их
общая масса равна М. Трением и сопротивлением пренебречь.

г.	- S, — S2

Ответ: и, = п3 =	..2-.

1	* м

Задача 1240. Два тела I и II с массами тх и т2 соответ-
ственно лежат в покое на горизонтальном негладком столе на
расстоянии li друг от друга. В некоторый момент к телу / при-
кладывают ударный импульс S, направленный вдоль прямой,
////7 соединяющей центры тяжести тел. Определить, на
\j‘ какое расстояние /.< переместится тело II после удара
° о него тела I, если коэффициент восстановления равен х,
а коэффициент трения скольжения равен f. Размерами
сОт8 тел пРенебРечь-

Ответ: l3— „	Т—; — 2g//, .

2gf (mt + т2у \mt

Задача 1241 (рис. 723). Стержню AB массой M и
д длиной а, подвешенному на шарнире А и занимающему
'Я'П в начальный момент нижнее вертикальное положение,
। . сообщена начальная угловая скорость а>0. Проходя
р] через верхнее вертикальное положение, он ударяет
I I	г,	М

J груз С массой т=~-, подвешенный на невесомом

Рис. 723	а

жестком стержне ОС длиной у, сообщая ему враща-
тельное движение вокруг шарнира О. Считая удар абсолютно
неупругим, определить, какова должна быть величина угловой
скорости <о0, чтобы стержень ОС сделал четверть оборота.

Ответ: <о0 = "|/	.

Задача 1242. Доска длиной I положена на стол так, что ее
конец длиной b свободно свешивается. На конце доски, лежа-
щем на столе, находится груз массой т, а к свободному концу
прикладывается ударный импульс S, направленный вертикально
вниз. Определить высоту, на которую подскочит груз в резуль-
тате удара, пренебрегая массой доски и сопротивлением воздуха.

b2S2

Ответ: Н =	(/ —ft)2’

Задача 1243. Однородный стержень АВ лежит на гладком
горизонтальном столе. В некоторый момент по его концу А перпен-
дикулярно к стержню в плоскости стола производят удар. Где
будет находиться мгновенный центр скоростей Р стержня непо-
средственно после удара? Каково соотношение между величинами
скоростей точек А и В в этот момент?

Ответ: АР = ^АВ-,	—

Задача 1244. Микрометеорит, массой которого можно прене-
бречь, ударяет в искусственный спутник Земли, имеющий форму
тонкостенного однородного шара радиусом R и массой М, центр
которого движется со скоростью сам шар вращается с угло-
вой скоростью вокруг центральной оси, перпендикулярной
к скорости. Найти скорость центра шара, направление оси
вращения и угловую скорость непосредственно после удара,
если количество движения микрометеорита равно q и направлено
противоположно Рр Считать, что удар приходится в точку пере-
сечения оси вращения с поверхностью шара и является абсолютно
неупругим.

Указание. Момент инерции тонкостенного шара относительно
2
диаметра равен

Ответ: = у, —	; <os = ]/"«>’	.

Новая ось вращения находится в плоскости, перпендикуляр-
ной к направлению движения, и образует со старой осью
угол a = arctgl^.

Задача 1245. Кривошипно-шатунный механизм состоит из
кривошипа и шатуна, принимаемых за однородные стержни с общей
массой т. В момент, когда кривошип находится в покое в край-
нем правом положении, на него действует ударный импульс,
момент которого относительно оси вращения кривошипа равен
М (S). Определить угловую скорость, которую приобретет криво-
шип сразу после удара, если его длина равна г.

Задача 1246. В кривошипно-шатунном механизме кривошип и
шатун представляют собой однородные стержни, длины I и массы т
которых одинаковы; масса ползуна равна Л-1. В момент, когда
угол, составленный кривошипом с направляющими ползуна,
равен 30°, по ползуну производится удар, имеющий импульс S,
направленный противоположно скорости ползуна. Найти угловую
скорость кривошипа непосредственно после удара, если в момент
удара она равна со(.

Ответ- =

Задача 1247 (рис. 724). Стержень АВ длиной I и массой т
концом А закреплен при помощи цилиндрического шарнира.
Повороту стержня препятствует спиральная пру-
жина с жесткостью с, которая при вертикальном д/!
положении стержня не напряжена. В некоторый

Рис. 724	Рис. 725	Рис 726



момент по стержню в точке В наносится удар, импульс которого
перпендикулярен к стержню. Определить величину этого импульса,
если известно, что стержень после удара отклонился от верти-
кали на угол а.

. / (са2 -I- 2mgl sm2 2-1 т

Ответ: 5=1/ \_________________22-

Задача 1248 (рис. 725). Два маятника в виде однородных
стержней длиной I и массой т каждый соединены шарнирно
таким же стержнем. Когда система находится в равновесии,
по шарниру А производится удар, импульс которого S направлен
вдоль стержня АВ. Определить, на какой угол ф отклонятся
стержни.

Ответ: sin 2 = —5 l^3....

2	2m V 10g/ '

Задача 1249 (рис. 726). Система, состоящая из трех желез-
ных масс, подвешенных при помощи нитей и блоков, находится
в равновесии. В некоторый момент включается на очень малое
время мощный электромагнит А, помещенный снизу, в резуль-
тате чего на каждую массу в этот момент действуют импульсы
Sb St, S3, направленные вертикально вниз. Какую начальную
скорость приобретут грузы, если их массы соответственно равны
mt = 2M; т2 = т3 = М? Массами блоков и нитей пренебречь.

Л .	8,—S2—S3 .	3S2 — Sj — S3

Ответ'.	4Д{	»

• __ 3S8 Sj S2

'Гз	4M
ГЛАВА XX

ДИНАМИКА ТОЧКИ ПЕРЕМЕННОЙ МАССЫ

Движение точки переменной массы описывается уравнением
И. В. Мещерского:

= ? +	(20.1)

где т — масса точки в данный момент;

F — равнодействующая сил, приложенных к точке;

Ф — реактивная сила, определяемая формулой

Ф = ^й;	(20.2)

й — относительная скорость присоединяющихся или отделяющихся
частиц по отношению к движущейся точке.

Если масса точки убывает вследствие отделения частиц, то
dm г.

и> следовательно, реактивная сила направлена при этом
в сторону, противоположную относительной скорости отделяемых
частиц й.

При увеличении массы точки вследствие присоединения частиц
din ч г\

11 реактивная сила направлена в ту же сторону, что и
относительная скорость присоединяющихся частиц.

Если одновременно происходит и присоединение, и отделе-
ние частиц, то

т = ти — mt,
где та — начальная масса;

т,— масса частиц, отделенных к данному моменту;

т2 — масса присоединенных частиц (к этому же моменту вре-
мени).

В этом случае

5 = 0,4-®,,	(20.3)

где

®1 = —ф2 = _—?и2)	(20.4)

й, и й3 — соответственно относительные скорости отделяющихся
и присоединяющихся частиц.

Если внешние силы отсутствуют и точка, получив начальную
скорость й0, движется прямолинейно при постоянной относитель-
ной скорости отделяющихся частиц й, то величина ее конечной
скорости определяется по формуле Циолковского:

й, = и04-й1пг,	(20.5)
где число Циолковского г равно отношению начальной и конеч-
ной масс, т. е.

«о

(20.6)

Из (20.5) следует, что

г’1 — 'пр
z = е “

(20.7)

Задача 1250. Для исследования верхних слоев атмосферы
употребляется трехступенчатая ракета. Принимая отношение по-
лезного груза данной ступени к оставшейся массе ракеты без
топлива этой ступени s — 1 /2 и относительную скорость истече-
ния газов «= 2500 ле/сек, найти полную начальную массу ракеты,
если конечная скорость ее должна быть пя = 8000 м!сек, а масса
аппаратуры т = 60 кг. Сопротивлением воздуха и действием силы
тяжести пренебречь.

Указание. Под полезным грузом данной ступени понимается
начальная масса всех последующих ступеней, а для последней
ступени — масса спутника.

Решение. Введем следующие обозначения:

т —масса аппаратуры (полезный груз третьей ступени);

т3 — масса ракеты без первой и второй ступеней н без топлива
третьей ступени;

т30 — начальная масса третьей ступени с аппаратурой (полезный
груз второй ступени);

пц — масса ракеты без первой ступени и без топлива второй сту-
пени;

—	сумма начальных масс второй и третьей ступени и аппара-
туры (полезный груз первой ступени);

tth — масса ракеты без топлива первой ступени;

т10 — начальная масса ракеты;

—	конечная скорость третьей ступени;

Vi — скорость, достигнутая второй ступенью;

Vt —скорость, достигнутая первой ступенью.

В соответствии с данными задачи имеем

Согласно определению числа Циолковского,

— _L- —3—-L	(b)

mlt> ’ т20 z2 ’	И1„о z3 ’	' '

где Zi, z8, z3 — соответственно числа Циолковского для первой,
второй и третьей ступеней.
Перемножая все равенства (а) и (Ь), получим

т

W10



отсюда

т10

£3

(с)

mz<z.z.

Поскольку конечная скорость первой ступени является началь-
ной скоростью для второй, а конечная скорость второй ступени —
начальной скоростью для третьей, то по (20.7) имеем

ZIj	— Vi

z1=e « ; z2 = e u
Согласно (с) и (d),
у»
en
m1№ = m-r.

^8 —

z3 — e “

Подставив в правую часть этого равенства численные данные,
получим

нг1в = 11,8 т.

Задача 1251. Космическая четырехступенчатая ракета, пред-
назначенная для исследования ионосферы, стартует с Земли вер-
тикально. Необходимая конечная скорость щ—11500 м[сек.
Считая полезный груз четвертой ступени т=100ка, относитель-
ную скорость и истечения газов во всех ступенях одинаковой и
равной 2500 м{сек, найти начальную массу ракеты, если отношение
массы полезного груза каждой ступени к массе полного груза
е= (см. предыдущую задачу), а время горения топлива во
всех ступенях /=102 сек. Сопротивлением воздуха, изменением
силы тяжести с изменением высоты и вращением Земли пренеб-
речь. Найти также массу топлива, если числа Циолковского для
всех ступеней одинаковы.

Решение. Вводя те же обозначения, что и в предыдущей
задаче, имеем

т	тю	mw . mi9 ________ . mt 1

- = £ ' -----= £ * --------6,--------- £,-------------’

mk	z^ 9

m:. __ 1 m> _______ 1 mt ________ 1

mTT 7?	~ z2 ’	m10	W

Рассмотрим движение одной из ступеней. Проектируя урав-
нение Мещерского на ось, направленную вертикально вверх, по-
лучим

откуда

dv = — и ~----gdt
Интегрируя от t9 до t, имеем

п0 = — и ln~—g(t — f„).

Вводя число Циолковского z и время горения т, получим

v — п0 = и In г — gt,

отсюда

— 'п» + gx

z — е 11	.	(f)

Перемножая эти числа для всех ступеней, найдем

•°i + g (ч 4 ч -4-41	14 +

2i?2z3Z4 = e	«	~е “ ,	(g)

где t—полное время горения топлива во всех ступенях.
Перемножая выражения (е), получим

т   е’

/л10	21г3г5з1

Отсюда согласно (g) найдем

pi + gt
т —-—
/"ю = -т е и .

Подставляя численные значения, имеем

ты — 237,5 т.

Масса всего топлива равна сумме масс топлива во всех ступе-
нях, следовательно,

ттопЛ — /"ю — т1~\~ 1П:1ч — nii mia — т3 -f- т1а —

Так как число г для всех ступеней одно и то же, то из
выражений (е) имеем:

гпц = -~т; ты =-^ т =т; т3~-^ т= ^,т;

Z3Zi	Z'	Z.Z,	Z3

/"зо = -7^/"==-yr"21 mi = т = 'еГт’

ZtZ.Z.	zs	z,z.,z.	z3

/"20=—р-— /" = е,- /";	/"1 = --л т =	т’>

ZjZ^ZjZ, г’
ты== т.

Таким образом,

ттонл = 7(г—l)/n + -J-(z—1)/п+|’ (z-l)m+ J (г—l)m==
T>i+gt

Согласно (g), при zl — zi — z-t = zi — z имеем z‘ = e “ или
*4 — gt

z — e 4“ .

Подставив заданные величины, получим z=3,490, следовательно,

«С011., = 197,6 т.

Задача 1252 (рис. 727). Как должна изменяться масса тела,

Рис. 727

для того чтобы оно двигалось вертикально вверх
с постоянной скоростью у0, если относительная ско-
рость истечения газов постоянна и равна «. Учесть
изменение с высотой силы притяжения Земли (ра-
диус R). Силой сопротивления воздуха пренебречь,
начальная масса тела равна та.

Решение. Поместим начало координат в центре
Земли. Сила притяжения к Земле

где у —всемирная постоянная тяготения;

М — масса Земли;

т —масса тела,

z —расстояние от тела до центра Земли.

При т = пг1) F = mag, где g— ускорение свободно
падающего тела на поверхности Земли.

Отсюда имеем

Мпп

и, следовательно,

у/VI = g/?'2.
Таким образом,

р g^m

Воспользуемся (20.1) и (20.2):

dv , dm _
tn —v- = г -+- и.

dt 1 dt

Проектируя на ось z это векторное уравнение и учитывая,
что -f- = 0, а й и F направлены вниз, получим
n gRsm dm
° = ~S---------------------------“уГ

илн
dm   gR-m
dt	иг2 '
Умножая обе части этого уравнения на dz и разделяя пере-
менные, найдем
dm	gR* dz

v — = —  -----, ,

т и z1

dz
так как —-- — v.
dt

Интегрируя, имеем

откуда

/1 1 \
т — тае U я

Таков закон изменения массы с высотой.

Если учесть, что z =	vt, то получим закон изменения

массы в функции времени:

m = mbe uR(R+vt)t _

Задача 1253. По какому закону должна изменяться масса тела,
чтобы оно двигалось горизонтально с постоянным ускорением ®,
если относительная скорость истечения газов й = const, а началь-
ная масса равна т„? Сопротивлением воздуха пренебречь.
wt

Ответ: т = гще и.

Задача 1254. Решить предыдущую задачу при вертикальном
подъеме тела в однородном поле силы тяжести, т. е. не учитывая
изменения силы тяжести с высотой.

Ответ: т = тйе № .

Задача 1255. Ракета движется вверх в однородном поле силы
тяжести с постоянным ускорением w — 3g. Определить, через
сколько времени масса ракеты уменьшится вдвое, если относи-
тельная скорость истечения газов равна 2000 м/сек.

Ответ; через 35,4 сек.

Задача 1256. Ракета массой 12 700 кг выпущена при помощи
вертикальной катапульты. В момент остановки ракеты начинается
истечение газов, происходящее с относительной скоростью, равной
2000 м/сек. Сколько топлива потребуется для того, чтобы ракета
висела в пространстве в течение 10 сек?

Ответ: 607 кг.

Задача 1257. Воображаемая ракета состоит из двух ступе-
ней. Число Циолковского для второй ступени za = 3,3, а отно-
сительные скорости истечения газов из первой и второй ступеней
соответственно равны н1==2000 м/сек, иа = 2400 м/сек. Опреде-
лить общую массу топлива, необходимого для обеспечения ско-
рости второй ступени п2 = 5060 м/сек, если масса корпуса вто-
рой ступени вместе с научными приборами равна М, а масса
корпуса первой ступени Л41 = 2М. Сопротивлением среды и влия-
нием силы тяжести пренебречь: начальную скорость ракеты при-
нять равной нулю.

Ответ: т ==12,.9 М.

Задача 1528 (рис. 728). В трехступенчатой ракете массы
корпусов соответствующих ступеней равны Л4Ь Л1а = 0,5Л1ь

ЛЛ = О,5М2, а

Рис. 728

числа Циолковского г, и г.2 для первой и в горой
ступеней одинаковы и равны 4. Определить общую
массу т топлива, необходимого для обеспечения
скорости третьей ступени о3 = 8 км/сек, если
относительная скорость истечения газов в каждой
ступени п —2000 м/сек. Сопротивлением воздуха
и влиянием силы тяжести пренебречь; начальную
скорость ракеты считать равной нулю.

Ответ: т = 23,9

Задача 1259. Сохранив условия задачи 1250
и считая, что первая ступень достигает скорости
t'i = 2000 м/сек, вторая —- — 5000 м/сек и
третья — окончательной скорости vs — 8000 м/сек,
найти общую массу топлива.

Ответ: общая масса топлива равна 8,62 т.

Задача 1260. На активном участке траектории
ракеты расходуется большое количество топлива
на преодоление силы тяжести. Для исключения
влияния силы тяжести в некоторых фантастиче-

ских проектах предложено разгон одноступенчатой
ракеты осуществлять по горизонтальным направляющим. Каковы
должны быть длина L этих направляющих и число Циолков-
ского, для того чтобы сообщить ракете параболическую скорость
V— 11,2 км/сек, если она при разгоне имеет постоянное ускоре-
ние w— 100 м,сек*'? Скорость истечения газов считать постоян-
ной и равной 2000 м/сек. Трением и сопротивлением воздуха
пренебречь. Землю считать неподвижной.

Ответ: Ь = 627 км; z = e5'6№270.

Задача 1261. Ракета запущена с поверхности Земли верти-

кально вверх из состояния покоя так, что ее масса изменяется
по закону т = тйе~ , где а — постоянная. Скорость истечения
газов постоянна и равна и. Определить зависимость скорости от
расстояния х между ракетой и центром Земли, учитывая измене-
ние силы притяжения с изменением высоты и пренебрегая сопро-
тивлением воздуха. Радиус Земли равен R.

Ответ:	2ш (х — R) -4- 2gR'2 j.

Задача 1262. По одному из проектов, межпланетный пассажир-
ский корабль с атомным двигателем стартует вертикально. Счи-
тая конечную массу корабля равной 10 т, скорость истечения
газов равной 100 км/сек, найти начальную массу корабля, если
в целях безопасности пассажиров его ускорение во все время
старта поддерживается ,равным 12,8 м)сек*, а конечная скорость
равна 12,8 км [сек . Учесть изменение силы тяжести с изменением
высоты (радиус Земли равен 6400 км). Сопротивлением воздуха
пренебречь.

Ответ: начальная масса равна 12,1 т.

Задача 1263. Решить предыдущую задачу, не учитывая изме-
нения силы тяжести с изменением высоты, т. е. считая поле
тяготения однородным.

Ответ: начальная масса равна 12,54 т.

Задача 1264. Считая, что в условиях предыдущей задачи
корабль стартует без людей, благодаря чему допускаемое ускоре-
ние увеличивается в 25 раз, найти начальную массу корабля.

Ответ: начальная масса 11,41 т.

Задача 1265. Материальная точка, масса которой изменяется
вследствие отделения от нее материальных частиц, движется в без-
воздушном пространстве без воздействия внешних сил. Считая,
что частицы отделяются с постоянной скоростью й, определить
скорость точки в момент t и путь, пройденный ею с начала дви-
жения, если масса отделяющихся частиц в единицу времени по-
стоянна и равна ц. Начальная масса равна т0, а начальная
скорость направлена противоположно й.

Ответ: v = о0 + и In —-°  :
“ 1	tna — qt ’

s = (M -|_ o0) t - -^>~^ In J—.

1 ”	q	m0 — qt

Задача 1266. Ракета, масса которой изменяется по закону
m = mlle-at, где т0 и а — постоянные, движется вертикально
вверх в однородном поле силы тяжести. Определить полную
высоту подъема ракеты Н, если относительная скорость отделяю-
щихся частиц равна и и направлена вниз, масса запасенного
горючего равна тъ а начальная скорость цо = О. Сопротивле-
нием воздуха пренебречь. Считать au~^>g.

Ответ: Н=~ In———1 • (——-V
2 т0 — z/t, !	\ g a )

Задача 1267. Используя условия предыдущей задачи, найти,
при каком значении коэффициента а длина Hi активного уча-
стка траектории ракеты будет наибольшей и определить эту
длину.

Ответ: a = -g-  Hi = ~ Г In——— ] .
и ’ 8g [ т0 — mt J

Задача 1268. Свободная материальная точка переменной мас-
сы движется вследствие отделения частиц так, что относительная
скорость отделяемых частиц имеет постоянную величину и и по-
стоянное направление. Определить, по какому закону должна
изменяться масса точки и каким должно быть направление от-
носительнрй скорости, чтобы точка двигалась с постоянным ус-
корением по прямой, составляющей угол а с горизонтом. Поле
силы тяжести считать однородным.

awt cos а

Ответ: масса должна изменяться по закону т = тае	“

где та— начальная масса;

а=лГ 1 + (£+

У 1 \ W COS а j '

Относительная скорость й должна составлять с горизонтом
угол

ft = arccos—.

г	а

Задача 1269. Свободная материальная точка, масса которой
изменяется вследствие отделения от нее материальных частиц,
движется в однородном поле силы тяжести согласно уравнениям
г ——
х— 6 , у— 2 , z — 2 .

Как должна изменяться масса точки со временем и каким
должно быть направление реактивной силы, чтобы обеспечить
заданное движение точки, если скорость отделяющихся частиц
и = const?

Ответ: т = тае Зи ;

cos (Ф, х) = J.— ; cos (Ф, у) =	•

/118	/118 ’

cos (Ф, z) =	.

/118

Задача 1270. Ящик, опускаясь по шероховатой наклонной
плоскости, составляющей угол ft с горизонтом, наполняется пес-
чинками, имеющими абсолютную скорость, равную нулю. По ка-
кому закону должна изменяться масса ящика для того, чтобы он
двигался равномерно со скоростью v, если коэффициент трения
f = const?

g (sin [3 — / cos 3) t

Ответ: m = mae v

Задача 1271. По шероховатой наклонной плоскости, составляю-
щей угол ft с горизонтом, спускается тело без начальной ско-
рости. Масса тела уменьшается по закону m = m0(l — а/), где
а — постоянная величина. Определить скорость тела в момент
если абсолютная скорость отделяющихся частиц равна ну-
лю. Коэффициент трения равен f, причем tgft^>f.

at

Ответ: у = g (sin ft— fcos ft)

Задача 1272. По какому закону должна изменяться масса го-
ризонтально движущегося ракетного автомобиля, чтобы^движение
происходило из состояния покоя с постоянным ускорением w,
если на него действует сила сопротивления, пропорциональная
скорости (коэффициент пропорциональности £)? Скорость истече-
ния газов постоянна и равна и, а начальная масса автомобиля
равна
wt

~	(	AU \ U	1-J. I

Ответ: т = (та-------^~)е	— «м------

Задача 1273. Ракета движется вертикально вверх в однород-
ном поле силы тяжести с постоянным ускорением w. Найти раз-
ницу в расходах массы топлива за одно и то же время при на-
личии и отсутствии сопротивления, если сила сопротивления про-
порциональна первой степени скорости. Относительная скорость
истечения газов постоянна и равна и. Начальная скорость ракеты
равна нулю.

„	.	kwu rl _	kwt

Ответ: &т =	:--7 [1 — е “ ] —,---,—г.

(w + gf L	J (W + g)

Задача 1274. Определить закон изменения массы ракеты за
счет отделения от нее материальных частиц с постоянной отно-
сительной скоростью и, если она движется с постоянным уско-
рением w в сопротивляющейся среде. Силу сопротивления среды
принять пропорциональной квадрату скорости (коэффициент про-
порциональности равен k). Считать, что, кроме реактивной силы
и силы сопротивления, на ракету никакие другие силы не дей-
ствуют. Начальная скорость ракеты уо = О.

„	/	. 2 ku2 \ ~~	, ,, , о ,,	2 ku2

Ответ. т — \та н----е “ — kwt14- 2 kut--------

\	1 W /	1	W

движение ракеты возможно лишь в течение определенного проме-
жутка времени, так как при больших t величина т становится
отрицательной, что невозможно.

Задача 1275. Ракетный автомобиль движется по горизонталь-
ному пути. Считая суммарное сопротивление движению пропор-
циональным нормальному давлению (коэффициент пропорциональ-
ности равен f), найти: 1) расход горючего, необходимый для
того, чтобы при постоянном ускорении w9 автомобиль мог достиг-
нуть скорости если начальная скорость была равна нулю;
2) расход горючего, необходимый для того, чтобы, двигаясь затем
равномерно с этой скоростью vlt автомобиль мог пройти путь s.
Начальная масса автомобиля равна та, скорость истечения га-
зов u=const. Сопротивлением воздуха пренебречь.

Ответ: 1) ^тх— me[l — е "	®»/];

2J Дт3=тое №о/[1—е ВР»].
Задача 1276. В сильный снегопад от железнодорожного соста-
ва, идущего со скоростью у0, оторвалась платформа. Считая, что
на платформу выпадает за единицу времени q кг снега, опреде-
лить время, прошедшее до полной остановки платформы, если
ее начальная масса равна т0, а сила сопротивления движению
равна fP, где P = mg— вес платформы в данный момент.

Ответ:	m*fg .

fgq

Задача 1277. На судне установлен реактивный двигатель, вы-
брасывающий q единиц массы в 1 сек с относительной скоростью и.
Сила сопротивления воды F = kv'1. Найти скорость судна через
i сек после начала движения из состояния покоя, если его
начальная масса вместе с горючим равна Л1о. Движение считать
прямолинейным.

{ Ма \ я	---

1/^.

Ответ: и— а-—2—	-—> где а— V k

Задача 1278. Решить предыдущую задачу при условии, что
сила сопротивления пропорциональна первой степени скорости,
т. е. F = kv.

k

Ответ: v = -^-Г1 —	4 I •

k L \ Мо I J

Задача 1279. Самолет с воздушно-реактивным двигателем со-
вершает прямолинейный горизонтальный полет. Определить ско-
рость самолета как функцию времени, считая, что масса q отбра-
сываемых частиц в единицу времени равна массе присоединяющихся
частиц воздуха (т. е. пренебрегая массой впрыскиваемого топлива).
Принять абсолютную скорость присоединяющихся частиц возду-
ха равной нулю, а относительную скорость отбрасываемых час-
тиц— постоянной и равной и. Начальная масса самолета ти.
Силами сопротивления пренебречь.

_ vL

Ответ: v — u (1—е т»).

Задача 1280. Считать в предыдущей задаче двигатель прямо-
точным и принять в связи с этим, что относительная скорость
отбрасываемых частиц u=c-\-v, где v — скорость потока
воздуха в двигателе, равная скорости самолета, a c = const —
добавочная скорость, создаваемая за счет сгорания топлива.
Определить скорость самолета как функцию времени.

Ответ: v = -^-.

т0

Задача 1281. Точка пере'менной массы движется прямолинейно
по гладкой горизонтальной плоскости. Относительная скорость
отделяющихся частиц пропорциональна израсходованной в данный
момент массе (коэффициент пропорциональности k). Определить
скорость точки в моменты, когда ее общая масса уменьшится в два
и в четыре раза по сравнению с начальной массой, равной тл.

Ответ: 1) u = O,193femo; 2) и — 0,636 km0.

Задача 1282. Тепло переменной массы движется поступательно
и прямолинейно по гладкой горизонтальной плоскости и состоит
из неизменяемого корпуса массой mi и отделяемой массы, рав-
ной 4 тг. Относительная скорость отделяемых частиц в каждый
момент времени прямо пропорциональна количеству оставшейся
отделяемой массы (коэффициент пропорциональности k). Опреде-
лить скорость тела в момент, когда его полная масса будет равна
половине первоначальной.

Ответ: v = l,81fem1.

Задача 1283. Ракета состоит из неизменяемого корпуса массой
mt и отделяемой массы, равной в начальный момент 5 mt. Относитель-
ная скорость отделяемых частиц в каждый момент времени прямо
пропорциональна количеству оставшейся отделяемой массы (коэф-
фициент пропорциональности k). Определить, через какое время
масса ракеты уменьшится в два раза по сравнению с начальной,
если ракета движется в однородном поле силы тяжести по верти-
кали вверх с постоянным ускорением w = 3g. Какова будет ско-
рость ракеты в этот момент?

Ответ: / = 0,576 -^—-; v =1,728 km.i.

Задача 1284. Падение капли воды происходит в неподвижной
среде без сопротивления. Скорость увеличения массы капли вслед-
ствие конденсации паров подчиняется закону -^- — kr, где k —
постоянное число, г — радиус капли. Определить закон измене-
ния величины скорости капли в функции ее радиуса, если в на-
чальный момент величина ее скорости равна г0, начальный ра-
диус равен г0, а начальная масса равна тп.

Ответ: v = -Ц «о О? +	(г* ~ го8)].

Задача 1285. Решить предыдущую задачу, считая, что ско-
рость увеличения массы пропорциональна площади поверхности
dm , „
капли, т. е. —п-=	•

at

Ответ: v =-'8 [ ц, г03 -ф-	(г1 — г/)].

Задача 1286. Кольцо радиусом R с равномерно распределен-
ными по внешнему ободу отверстиями заполнено жидкостью. Оно
вращается из состояния покоя под действием постоянного мо-
мента Мг вокруг вертикальной оси, совпадающей с осью сим-
метрии, в результате чего жидкость радиально выбрасывается из
отверстий. Момент инерции кольца с жидкостью в начальный
момент равен /0. Считая секундный расход массы постоянным
и равным |л, определить закон изменения угловой скорости коль-
ца, пренебрегая его поперечными размерами. Перейти к пределу
при р. -> 0, т. е. пренебречь изменением массы.

Ответ: ш =	.

При |i->0	что и должно быть для тела постоянной

массы.

Задача 1287. Межпланетная станция имеет форму кольца с
внешним радиусом R. Для создания искусственного поля тяжес-
ти станция приводится во вращение вокруг оси симметрии.
С этой целью на внешнем ободе кольца на противоположных
концах диаметра установлены два реактивных двигателя. Отно-
сительная скорость й истечения газов в двигателе направлена по
касательной к кольцу и постоянна по величине. Считая, что об-
щий секундный расход массы [» = const, определить, через сколь-
ко времени t тела на станции преобретут искусственный вес, рав-
ный земному, если начальный момент инерции станции вместе
с горючим равен /0.
.

Ответ:	—е “ ).

Задача 1288. Материальная точка М, находящаяся под дейст-
вием квазиупругой силы, совершает движение вдоль оси Ох.
Определить уравнение движения этой точки, если ее масса вслед-
ствие отделения от нее материальных частиц с относительной
скоростью, равной нулю, изменяется по закону m = m0(l—.а/),
где тй и а — постоянные величины. Считать, что при / = 0, на-
чальная скорость точки М равна нулю, а х = х0.

Ответ: x = ~bVs х0 {Уо (26)/1	s) — /0 (26) Yt (26)^s )},

где b = ~l/~-~ , s=l—
a T m0 ’	’

li, Vo, Yi — функции Бесселя;

с — квазиупругий коэффициент.

Задача 1289. Решить предыдущую задачу при условии, что
масса точки М изменяется по закону m = moe-cl< , где т0 и а —
постоянные величины.

Ответ:

Л)

где л =}/>_•,

Л. го, Yi — функции Бесселя;

с — квазиупругий коэффициент.
ПРИЛОЖЕНИЕ

Международная система единиц (СИ) и соотношения единиц международной и технической систем

J6 п. п.

Наимено-
вание
величины

Единица
измерения
в системе

СИ

Кратные и дольные единицы

Соотношения единиц

Определение основной единицы

1	Масса	килограмм (кг)	тонна (т)  1 т —1000 кг грамм (г)  1 г = 0,001 кг	1 кг = 0,102 т. е. м.  1 т. е. м. = 9,81 кг	
2	Сила	ньюгон («)	килоньютон (кн)  1 кн = 1000 н	1 ц = 0,102 кг 1 кГ = 9,81 н	1 ньютон — сила, сообщаю- щая массе в 1 кг ускорение 1 м/сек2
3	Работа	джоуль . (дж)	килоджоуль (кдж)  1 кдж = 1000 дж ватт-час (вт  ч)  1 вт  ч = 3,6  103 дж	1 дж = 0,102 кГм  1 кГм = 9,81 дж	1 джоуль — работа постоян- ной силы в 1 н на перемеще- нии в 1 м, направление кото- рого совпадает с направлением силы
4	Мощ- ность	ватт (вт)	киловатт (кет)  1 кет — 1000 вт	1 вт = 0,102 кГм/сек — = 0,00136 л. с.  1 кГ.и/сек = 9,81 вт, 1 л. с. = 735,5 вт	1 ватт—мощность, при ко- торой за 1 сек совершается работа в 1 дж
5	Давле- ние	н/л2	бар (бар)  1 бар = 105 н/м*  100 кн!мг	1 н!мг = 0,102 кГ/л2  1 кГ/№ = 9,81 «/№  1 ит=\ к Г/ см2 = 98100 н/м2	
Стр.

Предисловие ................................................... 3

ЧАСТЬ ПЕРВАЯ

Статика твердого тела

Общие методические указания к решению задач статики на равновесие 5

Глава 1. Силы, сходящиеся в одной точке........................ 8

§ 1.	Плоская система сходящихся сил................ .	8

§ 2.	Пространственная система сходящихся сил............... 26

Глава 11. Силы, расположенные в одной плоскости............... 38

§ 1.	Плоская система параллельных сил...................... 39

§ 2.	Плоская система как угодно расположенных сил.......... 48

§ 3.	Расчет плоских ферм................................... 85

Глава III. Силы, как угодно расположенные в пространстве...... 92

Г л а в а IV. Центр тяжести...................................122

ЧАСТЬ ВТОРАЯ

Кинематика

Глава V. Кинематика точки ....................................134

§ 1.	Координатный и векторный способы задания движения точки . 134

§ 2.	Естественный способ задания движения точки............166

§ 3.	Определение радиуса кривизны траектории...............179

Глава VI. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси.......186

§ 1.	Уравнение вращения. Угловая скорость и угловое ускорение
тела. Равномерное и равнопеременное вращения тела..........186

§ 2.	Скорости и ускорения точек тела.......................193

Глава VII. Плоскопараллельное движение твердого тела..........200

§ 1.	Уравнения движения и скорости точек плоской фш уры....200

§ 2.	Ускорения точек плоской фигуры........................212

§ 3.	Графическое определение скоростей и ускорений.........239

Глава VIII. Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки .... 247

Глава IX. Сложное движение точки и тела.......................257

§ 1.	Скорость точки в сложном движении..........•..........257

§ 2.	Ускорение точки в сложном движении....................269

§ 3.	Сложное вращение......................................283
ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ
Динамика

Глава X. Основные задачи динамики точки........................291

§ 1.	Первая задача динамики точки..........................291

§ 2.	Вторая задача динамики точки...........................300

Глава XI. Колебания материальной точки.........................321

§ 1.	Собственные колебания.................................321

§ 2.	Вынужденные колебания..................................329

Глава XII. Общие теоремы динамики..............................336

§ 1.	Теоремы о движении центра инерции и об изменении количе-
ства движения..............................................336

§ 2.	Теорема об изменении кинетическою момента. Дифференциаль-
ное уравнение вращения твердого тела.......................346

§ 3.	Теорема об изменении кинетической энергии..............358

§ 4.	Движение материальной точки в центральном силовом ноле . . 378

§ 5.	Движение твердого тела параллельно неподвижной плоскости . 382

Глава XIII. Метод кинетостатики для материальной системы. Давле-
ние на ось вращающегося тела....................................387

§ 1.	Метод кинетостатики для системы.......................387

§ 2.	Давление на ось вращающегося тела.....................397

Глава XIV. Принцип возможных перемещений и общее уравнение ди-
намики системы..................................................405

§	1.	Принцип возможных перемещений........................405

§	2.	Общее уравнение динамики системы.....................425

Глава	XV. Уравнение Лагранжа второго рода ..................437

Г л	a	а	XVI. Малые колебания механической системы.............460

§	1.	Малые колебания системы с одной степенью	свободы.....460

§ 2.	Малые колебания консервативной системы с несколькими сте-
пенями свободы.............................................474

Глава XVII. Динамика относительного движения...................482

Глава XVIII. Приближенная	теория гироскопов..................496

Глава XIX. Теория удара........................................503

Глава XX. Динамика точки	переменной массы...................514

Приложение.....................................................527
Н. А. Бражниченко, В. Л. Кан,
Б. П. Минцберг, В. И. Морозов,
Г. Н. Ушакова

СБОРНИК ЗАДАЧ

ПО ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ

Художественный редактор И К. Гуторов
Редактор Ю. Ф. Бочарова
Художник В. К. Васильев
Технический редактор Э .И. Чижевский
Корректор Л И. Гурычева

Т-02827. Сдано в набор 8/1X66'г. Поди,
к печати 10/11*67 г Формат 60X90’/je. Объем
33,25 печ. л. Уч -изд. л. 27,3. Изд.
№ ОТ-8/65. Тираж 25000 экз. Цена 86 коп.
Зак. № 581.

Тематический план издательства
«Высшая школа» (вузы и техникумы)
на 1967. Позиция № 72

Москва, К-51, Неглинная ул., д. 29/14.

Издательство «Высшая школа»

Ордена Трудового Красного Знамени Ле-
нинградская типография № 1 «Печатный
Двор» имени А. М. Горького Главлоли-
графпрома Комитета по печати при Совете
Министров СССР, г. Ленинград, Гат^
чинская ул.. 26.