А.И.Маркушевич
ТЕОРИЯ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
ТОМ II. ДАЛЬНЕЙШЕЕ ПОСТРОЕНИЕ ТЕОРИИ
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие ко второму тому 5
Глава пятая
Конформные отображения. Применение к вопросам приближения
функций многочленами
§ 1. Отображения посредством аналитических функций. Критерии 7
однолистности
§ 2. Теоремы существования Римана и Гильберта. Свойства однолистных 27
функций
§ 3. Соответствие границ. Строение границы односвязной области 62
§ 4. Теорема С. Н. Мергеляна. Многочлены Фабера и теорема С. Н. 92
Бернштейна. Многочлены, ортогональные по площади области
Глава шестая
Гармонические и субгармонические функции. Гидромеханический смысл
аналитических функций. Функции ограниченного вида
§ 1. Гармонические функции. Задача Дирихле и функция Грина для 143
односвязной области
§ 2. Гидромеханический смысл аналитических функций комплексного 171
переменного. Профили Жуковского — Чаплыгина
§ 3. Субгармонические функции. Обобщенный принцип максимума 193
модуля и его приложения
§ 4. Формула Пуассона — Иенсена 214
§ 5. Функции ограниченного вида 226
§ 6. Граничные свойства функций ограниченного вида 235
Глава седьмая
Целые и мероморфные функции
§ 1. Рост целой функции. Порядок и тип 243
§ 2. Разложение в бесконечное произведение. Связь между ростом целой 272
функции и ее нулями
§ 3. Разложение мероморфных функций на простейшие дроби 290
§ 4. Гамма-функция 303
§ 5. Периодические функции 324
§ 6. Эллиптические функции и функции, связанные с ними. Тета-функции 337
§ 7. Характеристическая функция Т (р) 406
Глава восьмая
Понятие римановой поверхности. Аналитическое продолжение
§ 1. Понятие поверхности. Абстрактная риманова поверхность 436
§ 2. Триангуляция поверхности. Внутренние отображения 446
§ 3. Риманова поверхность в собственном смысле слова 457
§ 4. Аналитическое продолжение. Полная аналитическая функция и 474
аналитический образ

§ 5. Продолжение вдоль кривой. Теорема о монодромии. Прямолинейная 484
звезда элемента. Аналитический образ как риманова поверхность
§ 6. Особые точки. Алгебраические функции 520
§ 7. Принцип симметрии. Отображение полуплоскости на произвольный 543
многоугольник
§ 8. Модулярная функция. Критерий нормальности. Большая теорема 562
Пикара и прямые Жюлиа
Приложение. О базисе в пространстве аналитических функций 574
Литература ко второму тому 618
Предметный указатель 621
Предметный указатель
Абеля метод суммирования 166
Абстрактная риманова поверхность
441
Адамара теорема 282
о трех кругах 202
Алгебраическая точка разветвления
524
Алгебраические функции 541
Аналитическая функция,
гидромеханический смысл 171
, полная 477
, элемент 476
Аналитические отображения,
теорема о сохранении области 7
Аналитический образ 483
Аналитическое продолжение 475
непосредственное 474
Аргумента обобщенный принцип 88
Базис в пространстве аналитических
функций 574
узком смысле слова 580
широком смысле слова 570
Бернштейна теорема 123
Бернштейна — Уолша лемма 121
Бесконечного порядка функция 214
— типа функция 245
Бибербаха гипотеза 58
Бляшке произведение 226
— функция 226
Большая теорема Пикара 569
Бореля преобразование 581
— теорема 285
Вейерштрасса дзета-функция 372
— теорема 272
, обобщение 301
Векторное топологическое
пространство 501
Верхняя подобласть 91
Вихрь скорости 173
Внутреннее отображение 449
Вращения теоремы 50
Выделенная окрестность 440
Гамма-функция 303
Гармоническая мажоранта 198
Гармонические функции 144
сопряженные 144
Гармонический многочлен степени п
145
Гарнака теорема 158
Гаусса формула 310
Гидромеханический смысл
аналитических функций 171
Гильберта теорема 60
Граничные значения функции
радиальные 236
угловые 238
Граничный элемент 77
второго рода 82
первого рода 82
третьего рода 83
четвертого рода 83
Грина функция 168
Двойные логарифмические спирали
183
Двойственности принцип в задачах
полноты и единственности 583

Двоякопериодическая функция 327
Двумерное многообразие 438
Двухсторонняя поверхность 450
Дефект значения 412
Дефектное значение 411
Дзета-функция Вейерштрасса 372
Римана 372
Дирихле проблема 160
Дополнительный модуль функции
Якоби 398
Достижимая дуга границы 90
— точка границы 72
Дроби простейшие 294
Дуга жорданова свободная 90
Единственности теорема для
конформных отображений 36
радиальных граничных
значений 239
Естественная граница функции 479
Жор данов интервал 78
— криволинейный полуинтервал 62
Жуковского теорема 193
Жуковского — Чаплыгина профиль
190
Жюлиа лучи 572
Звезда элемента прямолинейная 491
Значение дефектное 411
Иенсена неравенство 220
Иенсена — Пуассона формула 215
Инварианты функции°D(z) 358
Индикатриса роста функции 257
— функции 263
Интеграл Пуассона 151
, ядро 151
Интегральная теорема Коши
обобщенная 100
Исключительное значение 411
Каратеодори область 125
— теорема об областях с
переменными границами 39
Келдыша теорема 100
&-листная функция 10
Комплексный потенциал 174
Конец простой 77
Конечного порядка функция 244
— типа функция 245
Конформный радиус области 36
Криволинейный полуинтервал 62
жорданов 62
, предельное множество 62
Круг элемента 482
Куранта теорема 92
Лаврентьева теорема 104
Лапласа уравнение 144
Лежандра соотношения 374
Линделефа — Фрагмена теорема 206
Линия тока 175
Лист Мёбиуса 439
Логарифмическая точка
разветвления 524
Логарифмические спирали двойные
183
Локальный параметр 440
Лучи Жюлиа 572
Мажоранта гармоническая 198
Максимального типа функция 245
Максимум модуля целой функции
243
Малая теорема Пикара 565
Мёбиуса лист 439
Мергеляна теорема 105
Мероморфная функция 290, 292, 302
первая основная теорема 410
, разложение на простейшие
дроби 290
, характеристическая функция
411
Минимального типа функция 245
Миттаг-Леффлера разложение в
прямолинейной звезде 495
теорема 294
, обобщение 300
m-листная поверхность 462
Многолистная функция 10
Многообразие двумерное 438
Многочлен гармонический степени»
я 145
Многочлены Фабера 114

Модель римановой поверхности 460
Модуля обобщенный принцип
максимума 197
Модулярная функция 565
Монодромии теорема 488
Неориентируемая поверхность 451
Непосредственное аналитической
продолжение 474
Неразветвленный элемент 482
Неразрывности уравнение 173
Нижняя подобласть 91
Нормального типа функция 245
Норма, соответствующая
равномерной сходимости
внутри области 501, 574
Нормальное семейство 567
, критерий 567
Области с переменными границами,,
теорема Каратеодори 39
Область Каратеодори 125
— существования полной
аналитической функции 477
— элемента 476
Обобщенная интегральная теорема
Коши 100
Обобщенный принцип аргумента 88
максимума модуля 197
Обращение эллиптического
интеграла 363
Ограниченного вида функция 228,
240
Однозначная ветвь функции 477
Однолистная функция 10
, предел равномерно
сходящейся
последовательности 26
Однолистности условия 13
Однопериодическая функция 325
Односторонняя поверхность 451
Окрестность выделенная 440
Ориентация треугольника 446
Ориентированный треугольник 446
Ориентируемая поверхность 450
Ортогональные и нормированные по
площади многочлены 133
Основной параллелограмм периодов
327
Особые точки 520
Особый недостижимый граничный
элемент 529
Отображение внутреннее 449
Параметр локальный 440
Парсеваля равенство 136
Пенлеве метод 495
Период основной 325, 327
— функции 324
Периодическая функция 324
Периодов основной параллелограмм
327
— полоса 329
Пикара теорема большая 569
малая 565
Площадей теорема 43
Поверхности триангуляция 447
Поверхность двухсторонняя 450
— /и-листная 462
— неориентируемая 451
— односторонняя 451
— ориентируемая 450
— риманова 459, 462
абстрактная 441
— топологическая 438
Подчиненные элементы 483
Подчиненный элемент 477
Показатель сходимости
последовательности 278
Полная аналитическая функция 477
, область существования 477
Полнота системы аналитических
функций 579
Полоса периодов 329
Полуинтервал криволинейный 62
жорданов 62
Порядок целой функции 244
Последовательность областей, ядро
38
Потенциал комплексный 174
— скоростей 174

Потенциала равного кривые 175
Поток 172
Правильная аналитическая кривая
462
Предельное множество
криволинейного полуинтервала
62
Продолжение аналитическое 475
вдоль кривой 484
Простейшие дроби 294
Простой конец 77
Простопериодическая функция 325
Пространство аналитических
функций, базис 574
— векторное топологическое 501
Профиль Жуковского — Чаплыгина
190
Прямолинейная звезда элемента 491
Пуассона — Иенсена формула 215
Пуассона интеграл 151
— метод суммирования 166
Радиус области конформный 36
— элемента 482
Разветвления точка 461
алгебраическая 524
логарифмическая 524
трансцендентная 524
Разветвленный элемент 482
Разложение рациональной функции
на простейшие дроби 294
Решетка параллелограммов 326
Римана дзета-функция 372
Римана — Шварца принцип 543
Риманова поверхность 459, 462
абстрактная 441
, модель 460
функции 468
Род целой функции 288
Ряд сверхсходящийся 500
Свободная жорданова дуга 90
Семейство нормальное 567
Сигма-функция 374
Симметрии принцип 543
Соотношение дефектов 412
Сопряженные гармонические
функции 144
Спирали логарифмические двойные
183
Стерлинга формула 323
Субгармоническая функция 193
Суммирование, метод Пуассона (ил»
Абеля) 166
— ряда 166
Существования теорема Римана 32
Сходимость в среднем 132
Счетная база 437
Тета-функции Якоби 394
Течение, характеристическая
функция 174
Тока линия 175
Тока функция 175
Топологическая поверхность 438
Топологическое пространство 436
Трансцендентная точка разветвления
524
Треугольника ориентация 446
Треугольник ориентированный 446
Триангуляция поверхности 447
Тригонометрический многочлен 333
Уолша — Бернштейна лемма 121
Усиленная линейная независимость
577
—Фабера многочлены 114
, производящая функция 117
Фату теорема 237
Фрагмена — Линделёфа теорема 206
Функции максимального типа 245
— с интегрируемым квадратом
модуля 132
— Функция бесконечного порядка
244
типа 245
— Бляшке 226
— гармоническая 144
сопряженная 144
— Грина 168
— двоякопериодическая 327
— и-мерная 10

— конечного порядка 244
типа 245
— мероморфная 290, 292, 302
— минимального типа 245
— многолистная 10
— модулярная 565
— нормального типа 245
— ограниченного вида 228, 240
— однолистная 10
— однопериодическая 325
— периодическая 324
— простопериодическая 325
— субгармоническая 193
— тока 175
— экспоненциального типа 252
Функция эллиптическая 327
Фурье коэффициенты 134
— разложение 136
целой периодической функции
333
Характеристическая функция
мероморфной функции 411
течения 174
Христоффеля — Шварца формула
549
Центр элемента 482
Целая функция, порядок 244
, род 288
Цепь элементов 476
Циркуляция скорости 173
Чаплыгина — Жуковского профиль
190
Чаплыгина формула 192
Чебышева многочлены 116
Шварца формула 153
Шварца — Римана принцип 543
Шварца — Христоффеля формула
549
Эйлера постоянная 306
— формула 310
Эйлеров интеграл 310
Экспоненциального типа функция
252
Элемент аналитической функции 476
— граничный 77
— круговой 481
—, прямолинейная звезда 491
— функции 477
Эллиптическая функция 327
Ядро интеграла Пуассона 151
— последовательности областей 38
Якоби тета-функции 394
— эллиптические функции 387

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие ко второму тому 5
Глава пятая ,
Конформные отображения. Применение к вопросам
приближения функций многочленами
§ 1. Отображения посредством аналитических функций. Критерии
однолистности 7
§ 2. Теоремы существования Риыана и Гильберта. Свойства одно-
однолистных функций 27
§ 3. Соответствие границ. Строение границы односвязной области 62
§ 4. Теорема С. Н. Мергеляна. Многочлены Фабера и теорема
С. Н. Бернштейна. Многочлены, ортогональные по площади
области 92
Глава шестая
Гармонические и субгармонические функции. Гидромеханический
смысл аналитических функций. Функции ограниченного вида
§ 1. Гармонические функции. Задача Дирихле и функция Грина
для односвязной области 143
§ 2. Гидромеханический смысл аналитических функций комплекс-
комплексного переменного. Профили Жуковского — Чаплыгина .... 171
§ 3. Субгармонические функции. Обобщенный принцип максимума
модуля и его приложения 193
§ 4. Формула Пуассона — Иенсена 214
§ 5. Функции ограниченного вида 226
§ 6. Граничные свойства функций ограниченного вида 235
Глава седьмая
Целые и мероморфные функции
§ 1. Рост целой функции. Порядок и тип 243
§ 2. Разложение в бесконечное произведение. Связь между ростом
целой функции и ее нулями 272

4 ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 3. Разложение мероморфных функций на простейшие дроби . . 290
§ 4. Гамма-функция 303
§ 5. Периодические функции 324
§ 6. Эллиптические функции и функции, связанные с ними. Тета-
функции 337
§ 7. Характеристическая функция Т (р) 406
Глава восьмая
Понятие римановой поверхности. Аналитическое
продолжение
§ 1. Понятие поверхности. Абстрактная риманова поверхность . . . 436
§ 2. Триангуляция поверхности. Внутренние отображения 446
§ 3. Риманова поверхность в собственном смысле слова 457
§ 4. Аналитическое продолжение. Полная аналитическая функция
и аналитический образ 474
§ 5. Продолжение вдоль кривой. Теорема о монодромии. Прямоли-
Прямолинейная звезда элемента. Аналитический образ как риманова
поверхность 484
§ 6. Особые точки. Алгебраические функции 520
§ 7. Принцип симметрии. Отображение полуплоскости на произ-
произвольный многоугольник 543
§ 8. Модулярная функция. Критерий нормальности. Большая тео-
теорема Пикара и прямые Жюлиа 562
Приложение. О базисе в пространстве аналитических функций .... 574
Литература ко второму тому 618
Предметный указатель 621

ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ТОМУ
Во втором томе, помимо необходимых исправлений и частичных
изменений, произведенных в разных местах, сделаны и суще-
существенные дополнения по сравнению с первым изданием.
Так, в § 2 главы пятой включена теорема Гильберта о конформ-
конформном отображении любой многосвязной области на плоскость
с разрезами, а в § 4 той же главы — теорема Мергеляна о равномер-
равномерном приближении функций комплексного переменного многочлена-
многочленами. В главе шестой изменен порядок следования параграфов
и добавлен § 6 о граничных свойствах функций ограниченного
вида. В главу седьмую включен § 7, посвященный изучению харак-
характеристической функции Т (р) и ее важнейшим применениям к теории
мероморфных функций. Наконец, в § 5 главы восьмой включено
построение многочленов Пенлеве — Фредгольма, приближающих
функцию A — ш) в разрезанной плоскости, и на этой основе
доказана наша теорема об аналитическом продолжении функций
в ее прямолинейной звезде.
К книге приложена наша статья «О базисе в пространстве ана-
аналитических функций» (Матем. сб., т. 17 E9), 1945), которая, как
нам представляется, может ввести читателя в круг вопросов полно-
полноты и единственности теории аналитических функций. Список лите-
литературы ко всему тому составлен заново; как правило, в него входят
только монографии.
Автор

Глава пятая
КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ.
ПРИМЕНЕНИЕ К ВОПРОСАМ
ПРИБЛИЖЕНИЯ ФУНКЦИЙ МНОГОЧЛЕНАМИ
§ 1. Отображения посредством аналитических функций.
Критерии однолистности
1.1. Займемся изучением отображений, осуществляемых посред-
посредством аналитических функций.
Теорема о сохранении области при ана-
аналитических отображениях. Если f (z) ф. const —
функция, аналитическая в области G, за исключением, быть может,
полюсов, то образ f (G) этой области также является некоторой
областью расширенной плоскости.
Заметим, что связность образа / (G) не вызывает никаких сомне-
сомнений, так как, если L есть непрерывная кривая, соединяющая точки
Zi и 22 области G и принадлежащая G, то ее образ / (L) есть также
непрерывная кривая (расширенной плоскости), соединяющая / (zt)
и / (z2) и принадлежащая / (G). Итак, / (G) есть связное множество
(см. п. 4.1 гл. первой). Остается доказать, что каждая точка
w0 = f (z0), где z0 6 G, является внутренней точкой множества / (G).
Пусть сначала z0 ф оо и w0 Ф оо. Построим принадлежащий
области G замкнутый круг | г — z0 |-<p0 столь малого радиуса,
чтобы во всех его точках, отличных от z0, значения / (z) отличались
от wQ = f (г0). Если обозначить через у0 окружность \ z — г0 | == р0,
то ее образ / (у0) в плоскости w будет находиться на положительном
расстоянии б от точки wQ, где 8 = min | / (z) ¦— / (z0) |.
zevo
Покажем, что окрестность \ w —¦ w0 | < б точки w0 целиком
принадлежит множеству / (G). Отсюда и будет вытекать, что w0 есть
внутренняя точка этого множества.
Пусть Wi — произвольная точка указанной окрестности:
| Wi — w0 I <; б. Тогда в точках окружности 7о будем иметь:
и, следовательно, по теореме Руше (см. п. 3.5 гл. четвертой), урав-
уравнения
f(z) — wo = O и (f(z)

8 КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ [ГЛ. 5
имеют одинаковое число корней внутри у0. Но / (z) — ш0 = О имеет
по крайней мере один корень внутри у0 (z = г0). Следовательно, '
уравнение / (z) — wt = 0 также имеет по крайней мере один корень
внутри 7о, т. е. существует такая точка zx в окрестности г0, что
/ (zi),= Wi. Итак, Wi принадлежит / (G), чем и заканчивается дока-
доказательство для случая, когда zQ и w0 = f (z0) ¦—конечные точки.
В случае, когда z0=oo, a w0^oo, мы прибегаем к вспомо-
вспомогательному преобразованию ?=1/2, которое взаимно однозначно
и непрерывно отображает окрестность бесконечно удаленной точки
на окрестность начала координат, причем функция f(z), аналити-
аналитическая в окрестности zo — <x>, заменяется функцией / f-p-J =/*(?),
аналитической в окрестности ? = 0 и принимающей здесь те же
значения, что и функция f (z) в окрестности бесконечно удаленной
точки. Из того, что точка /* @) = / (оо) = w0 является внутренней
для множества значений /*(?), следует тогда, что эта же точка
является внутренней и для f{G).
В случае, когда z0=7^oo, a wQ = oo, f(z) имеет полюс в точке z0,
и, следовательно, функция t = , имеет здесь нуль. Применяя
к функции -тут- и точке z0 доказанное выше утверждение, нахо-
находим, что ^ = 0 —значение -jTT в точке zo является внутренней
точкой для множества значений . . Но так как вспомогатель-
вспомогательное преобразование t = . = — взаимно однозначно и непре-
непрерывно переводит окрестность точки t= 0 в окрестность точки
w = со, то отсюда следует, что w = со есть внутренняя точка для
множества / (G).
Наконец, в случае, когда z0=co, и w0 = oo, достаточно вы-
выполнить вспомогательное преобразование ?= 1/г, чтобы свести воп-
вопрос к только что разобранному случаю.
Итак, во всех случаях точка wQ = f (z0) является внутренней
точкой множества / (G).
Внимательное рассмотрение проведенного доказательства пока-
показывает, что из него можно вывести некоторые важные заключения.
Прежде всего из доказанной теоремы вновь получаем принцип
максимума модуля. А именно, если / (z) ф const и точка z0 ? G
не является полюсом функции / (г), то модуль | / (z) \ не может
иметь максимума в точке z0. В самом деле, образ любой окрестности
точки z0 покрывает некоторую окрестность точки w0 = / (г0); сле-
следовательно, в любой окрестности точки z0 найдутся точки z, образы
которых / (г) будут отстоять от начала координат дальше, чем
/ (г0), т. е. такие, что | / (г) | > | / (z0) |.

§ 1] ОТОБРАЖЕНИЯ ПОСРЕДСТВОМ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 9>
Если допустим, что / (г0) ф О, то обнаружим* что в любой окре-
окрестности точки 20 имеются точки г', образы которых /(г') лежат
ближе к началу координат, чем / (г0). Следовательно, в точке %
модуль | / (z) | не может иметь и минимума (если / (г0) ф 0).
Итак, принцип максимума (и минимума) модуля является про-
простым следствием из того, что аналитическая функция преобразует
внутренние точки во внутренние.
Ограничимся для получения дальнейших следствий случаем,
когда 20 и w0 = / (z0) — конечные точки. Случаи, когда z0 = °о
или w0 = оо или, наконец, z0 = w0 — оо, легко сводятся к этому
посредством простейшего дробно-линейного преобразования, как
это было указано выше.
Допустим, что z0 является ^-кратной да0-точкой (k > 1) функции
/ (г). Это означает при k = 1, что /' (г0) ф 0, а при k> 1, что
/' (г0) = 0, . . ., p-D B0) = 0, но /<ft> (z0) ф 0.
При доказательстве теоремы было установлено, что если число-
Ро > 0 взято столь малым, что в круге \г — z0 |<р0 уравнение
/ (z) — w0 = 0 не имеет других корней, кроме г = г0, т. е. количе-
количество корней его внутри у0: | z — z0 \ = ро совпадает с k (что будет
при всех достаточно малых р0), то для б, равного расстоянию от
точки w0 до кривой / (у) и для каждой точки wit принадлежащей
окрестности \ w — w0 I < б, уравнение / (z) — k)i = 0 имеет столь-
столько же корней внутри у0, сколько их имеет уравнение / (г) — w0 =0,
т. е. тоже k корней.
Заменим р0 меньшим положительным числом р так, чтобы образ-
окрестности Up : | z — z0 | < р целиком заключался в окрестности
\ w — w0 | < б. По доказанному, этот образ является областью.
Кроме того, в силу выбора чисел б и р, каждая точка wit принадле-
принадлежащая образу окрестности Up, имеет одно и то же количество про-
прообразов, а именно, k в круге \ z — z0 \ < р0. Правда, некоторые
из этих прообразов могут совпадать между собой в одной кратной
точке Zi, в которой необходимо /' (z±) = 0; но если выбрать р0 столь
малым, чтобы производная /' (z) не обращалась в нуль в точках
круга \ z — z0 | <С ро, отличных от z0, то прообразы каждой точки
Wi ф Wo все будут различны между собой.
Итак, справедливо следующее предложение:
Теорема. Если для аналитической функции f (z) точка z0-
является k-кратной f (г0)-точкой (k>l), то существует окрест-
окрестность Up : | г — z0 I < р точки z0, которая отображается этой
функцией на соответствующую область f (Up) так, что каждая
точка w 6 / (Up) имеет не более k прообразов в Up, причем точки,,
достаточно близкие к w0, имеют k прообразов в Up (различных, если
ЪОф Wo).
Напомним (см. п. 5.1 гл. второй), что функция f (г) называется
однолистной в области G, если она является однозначной и

]0 КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ [ГЛ. 5
аналитической в 'этой области, за исключением, быть может,
полюсов, и если в различных точках области G она принимает
различные значения:
если ъ^фъг, zu z2?G.
Из этого определения непосредственно вытекает, что однолистная
функция не может иметь более одного полюса.
Из последней теоремы следует, что если f (z0) Ф 0, то k = 1
и / (г) является однолистной функцией в некоторой окрестности
точки 20. Если же k> 1, то функция не будет однолистной или,
как говорят, будет многолистной, а именно k-л и с т н о й
в каждой достаточно малой окрестности точки z0.
Отметим следующее предложение, вытекающее из той же теоре-
теоремы: Если аналитическая функция f (г) является однолистной в обла-
области G, то все точки области G являются для нее простыми. В частно-
частности, должны быть простыми ее нуль и полюс (если они существуют
в области G) и производная /' (г) не должна обращаться в нуль
в конечных точках области G.
Обратное предложение несправедливо. В качестве примера при-
приведем показательную функцию ег, производная которой не обращает-
обращается в нуль ни в одной точке плоскости и которая, однако, не является
однолистной в плоскости, так как ег+2я{ = ег.
Покажем, что каждая аналитическая функция, однолистная
в конечной плоскости, должна быть дробно-линейной (в частности —¦
целой линейной).
В самом деле, пусть / (г) — такая функция. В силу однолистно-
однолистности она не имеет в конечной плоскости другой особой точки, кроме,
быть может, единственного полюса (простого).
Бесконечно удаленная точка может быть для нее правильной
точкой, полюсом или существенно особой точкой. Покажем, что
последнее невозможно. В самом деле, эта функция отображает
единичный круг | г | < 1 на некоторую область g плоскости w.
Если w0 g g и Uo — некоторая окрестность точки w0, принадлежа-
принадлежащая g, то, в силу однолистности, / (г) не может принимать вне
единичного круга ни одного значения, попадающего в Uo. Поэтому
не может существовать последовательности {гп}, сходящейся к оо,
такой, что lim / (zn) = w0. Отсюда по теореме Сохоцкого — Вейер-
штрасса (п. 3.1 гл. четвертой) и следует, что оо не есть существенно
особая точка функции / (г).
Итак, точка оо является правильной точкой или полюсом для
/ (г). Но если она есть полюс, то этот полюс должен быть простым.
В противном случае в некоторой окрестности точки оо функция
/ (г) принимала бы каждое значение по нескольку раз, что несовме-
несовместимо с ее однолистностью. Убедимся в том, что если / (г) имеет
конечный полюс zi, то она не может иметь полюс в бесконечно уда-

$ 1] ОТОБРАЖЕНИЯ ПОСРЕДСТВОМ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 11
ленной точке. В самом деле, окрестность \ z — Zi | < 1 точки zt эта
функция отображает на некоторую область gu содержащую точку
w = оо, и если Ui — окрестность точки w = оо, принадлежащая gi,
то / (z) вне круга \ z — Zj | < 1, в силу однолистности, не может
принимать значений, попадающих в Ui, и, следовательно, остается
ограниченной по модулю. Итак, / (г) в расширенной плоскости
не имеет других особых точек, кроме, быть может, единственного
простого полюса. Очевидно, этот полюс необходимо должен суще-
существовать; в противном случае мы имели бы / (z) = const, что проти-
противоречит однолистности функции.
Если полюс находится в бесконечности, то f(z) — целая функ-
функция с простым полюсом в бесконечности, т. е. f (z) =az+b(a^=0) —
целая линейная функция. Если же полюс находится в конечной
а<
точке %i и — главная часть соответствующего лорановского
z — zi
разложения, то / (z) —— не имеет особенностей в расширенной
плоскости и, следовательно, / (z) —— = const == bu откуда
Z—Zj
вытекает, что / (z)— дробно-линейная функция. Этим заканчивается
доказательство.
Докажем еще, что отображение области G, осуществляемое
посредством произвольной однолистной функции, является конформ-
конформным во всех точках области.
В самом деле, если z0 ? G и z0 Ф оо, так же как и / (z0) = wQ ф
Ф оо, то, по доказанному выше, должно быть: /' (z0) ф 0, откуда
следует, что отображение является конформным в точке z0.
В случае, когда одна из точек z0 и w0 является бесконечно уда-
удаленной или же бесконечно удаленными являются обе точки вместе,
прибегаем к вспомогательному преобразованию L, = — или t = —,
которые, не нарушая однолистности функции и не изменяя углов,
приводят к разобранному только что случаю конечных точек. Итак,
наше утверждение доказано во всех случаях.
Если функция w = / (г) не является однолистной в области G,
то отсюда еще не вытекает, что конформность где-нибудь должна
нарушиться. В самом деле, для конформности достаточно, чтобы
было /' (z0) ф 0, а это условие может выполняться и для функций,
не являющихся однолистными, как, например, для функции ez во
всей плоскости. Но если какое-нибудь значение w0 = / (z0) прини-
принимается функцией ^-кратно (k > 1), в частности (когда z0 и w0 конеч-
конечны), если /' (z0) = . . . = /С*-1) (z0) = 0, но /W B0) ф 0, то кон-
конформность необходимо нарушается. А именно, угол между двумя
кривыми с вершиной в точке z0 при отображении w = / (z) изме-
изменяется, увеличиваясь в k раз.

12 КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ [ГЛ. 5.
Докажем это утверждение, предполагая, что z0 и w0 конечны;
(случай, к которому все остальные сводятся посредством дробно-
линейных преобразований). В самом деле, в этом случае имеем,
в окрестности точки z0:
следовательно,
Arg [/ (z) — w0] = Arg (z — zo)k 4- Arg [ak 4- ak+1 (z — z0) +...].
Если уравнение кривой L, проходящей через точку z0, есть
так что Argcp'(^0) представляет угол между касательной к L
в точке 20 и положительной частью действительной оси, то урав-
уравнение образа этой кривой f(L) есть:
Производная этой функции в точке / = t0, очевидно, обращается
в нуль (так как /'(zo) = O), поэтому она не дает возможности
судить ни о наклоне касательной к / (L) в точке хю0, ни даже-
о существовании этой касательной. Однако мы можем написать:
при t —> t0 (t>t0),
откуда и следует, что касательная существует и угол наклона для
нее есть
Argaft4-fcArgq>'(/0).
Если теперь Lj и L2 — две кривые z = ql(t) и 2 = ср2(/), прохо-
проходящие через точку г0 и образующие в ней угол 6:
6 = Arg ф; (Q — Arg ф; (Q (ф4 (Q = ф2 (Q = г0),
то образы /(L4) и f(L2)- этих кривых проходят через точку w0
и составляют в ней угол
[Arg ah + k Arg ф; (Q] — [Arg ah + k Arg ц>[ (tQ)] =kQ + 2nn.
Итак, при отображении w = f(z) все углы с вершиной в точке z0
увеличиваются в k раз *).
1.2. Во многих вопросах оказывается полезной следующая
теорема, дающая достаточные условия однолистности.
*) В п. 3.2 гл. второй мы провели такое же рассуждение для частного
случая, когда / (г) есть многочлен.

3 1] КРИТЕРИИ ОДНОЛИСТНОСТИ 13
Теорема. Пусть функция w = f{z), непрерывная в замкну-
замкнутой области g, где g — внутренность жордановой кривой у, и ана-
аналитическая в области g, взаимно однозначно отображает у н'а
некоторую замкнутую жорданову кривую Г. Тогда f (z) является
однолистной в области g и отображает ее на внутренность А
кривой Г.
В этой формулировке теорема будет установлена нами ниже
в п. 3.6 как результат применения обобщенного принципа аргумен-
аргумента. Здесь же рассмотрим прежде всего ее частный случай, когда
7 — спрямляемая кривая и / (z) аналитична в некоторой области
& id g. При таких ограничениях справедливость теоремы будет
следовать из принципа аргумента в том виде, в котором он был
установлен в п. 3.5 гл. четвертой т. I.
Доказательство. На основании доказанного выше
(стр. 7 и ел.), образ / (g) области g есть некоторая область. Докажем,
что Ac/ (g). В самом деле, если w± 6 А, то при однократном обходе
точкой z кривой у в положительном направлении точка w = f (г)
совершает, в силу предположения теоремы, однократный обход
кривой Г, и, следовательно, вектор w — wt поворачивается на угол,
равный ± 2н вокруг точки щ^. Отсюда следует, в силу принципа
аргумента (п. 3.5 главы четвертой), что разность между числом
а^-точек и числом полюсов функции / (г) внутри у равна ± 1. Но, по
условию, / (г) не имеет полюсов внутри у. Поэтому число а^-точек
¦функции / (г) внутри у должно совпадать с ± 1, т. е. быть равным
единице. Итак, угол поворота вектора w — а»4 равен 2н (а не — 2л),
т. е. / (z) необходимо описывает Г в положительном направлении,
когда z описывает у в положительном направлении, и далее, каждое
значение а^ ? А принимается функцией / (z) внутри у и притом
однократно.
Мы показали, следовательно, что / (g) id А. Покажем, что ни
одна точка wz, лежащая во внешности кривой Г, не может принадле-
принадлежать / (g). Действительно, если точка z однократно обходит у в поло-
положительном направлении, то по доказанному w = / (z) также одно-
однократно обходит Г в положительном направлении, и так как w2 при-
принадлежит внешности Г, то угол поворота вектора w — w2 вокруг
точки w2 равен нулю. Отсюда следует, в силу принципа аргумента
и отсутствия полюсов функции / (z) внутри у, что / (г) не имеет
яу2-точек внутри у, т. е. wz g / F).
Итак, / (g) содержит в себе все точки внутренности кривой Г,
но не содержит ни одной точки внешности этой кривой. Отсюда
следует, далее, что ни одна точка кривой Г не может принадлежать
/ (g). В самом деле, если бы некоторая точка w g Г принадлежала
области / (g), то последней принадлежала бы и некоторая окрест-
окрестность точки w, а следовательно, область / (g) должна была бы

14 КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ [ГЛ. 5
содержать и те точки внешности кривой Г, которые лежат в этой
окрестности. Но последнее, как мы только что видели, невозможно.
Итак, мы доказали, что / (g) совпадает с внутренностью Д кри-
кривой Г.
Мы видели в процессе доказательства, что каждая точка обла-
области А имеет лишь один прообраз в области g. Следовательно, соот-
соответствие между g и Д, устанавливаемое посредством функции
w = / (г), взаимно однозначно, и / (г) есть функция, однолистная
в области g.
Доказанная теорема сохраняет силу и тогда, когда область g
является внешностью кривой у, при условии, что эта внешность
содержится в области G, в которой f (z)— аналитическая функция.
В самом деле, возьмем во внутренности у какую-либо точку г0,
не принадлежащую области G (такая точка существует, так как
область G не совпадает с расширенной плоскостью; в противном
случае функция / (z), аналитическая в расширенной плоскости,
тождественно равнялась бы постоянной). Преобразование г' —
z — го
переводит область G в область G', кривую у — в замкнутую
спрямляемую кривую у' и внешность g кривой у—во внутрен-
внутренность g' кривой у'. Полагая f(z)--f (z0 -j—-] =f*(z') и замечая,
что эта функция является аналитической в области G' и что кри-
кривая у' посредством функции w = f*(z') взаимно однозначно ото-
отображается на кривую Г (вследствие того, что функция w = f (г)
взаимно однозначно отображает у на Г и функция z = z0 -j—~
взаимно однозначно отображает у' на у), заключаем, что к функ-
функции /*(z') применима доказанная теорема, так что эта функция
является однолистной внутри у' и отображает g' на внутренность-
кривой Г. В силу однолистности функции z--zo-{—г, отсюда
следует, что / (г) однолистна во внешности у и отображает
область g на внутренность кривой Г.
Пусть теперь у — замкнутая жорданова кривая расширенной
плоскости и g — одна из двух областей, ограниченных этой кривой,
содержащаяся в области G. Если z0 — точка, принадлежащая вто-
второй из областей, ограниченных кривой у, и не содержащаяся в обла-
сти G, то, пользуясь преобразованием z' = , мы сведем и этот
2 20
случай к доказанной теореме, если только образ у' кривой у, полу-
полученный в результате этого преобразования, будет спрямляемой
кривой.
Обратимся к другим обобщениям доказанного частного случая
теоремы. Для определенности будем предполагать1, что у — замкну-
замкнутая жорданова спрямляемая кривая и g — внутренность этой кри-

§ 1] КРИТЕРИИ ОДНОЛИСТНОСТИ 15
вой. Распространение доказанных ниже предложений на случай,
когда g есть внешность кривой у, или когда у — неограниченная
кривая, а ^ — одна из двух областей с границей у, осуществляется
так, как это было только что показано, и мы не будем более оста-
останавливаться на таком распространении. Обобщение будет заклю-
заключаться в том, что мы откажемся от требования, чтобы кривая
у целиком лежала внутри области G, где / (г) является аналитиче-
аналитической функцией, и допустим, что конечное число точек кривой у:
?ь . . ., ?,т лежит на границе области G. При этом мы предполо-
предположим, что существуют конечные пределы функции / (г), когда г,
оставаясь в замкнутой области g, стремится к ?s (& = 1, 2, .. ., гп):
lim f(z) = wh.
Тогда, полагая f(Z,k) = wk(k~\,...,m), мы определим /(г)
во всех точках замкнутой области g так, что она будет непре-
непрерывной в g и аналитической в ней всюду, за исключением, быть
может, точек ?А. Пусть, наконец, w = f(z) взаимно однозначно
отображает кривую у на некоторую замкнутую жорданову кри-
кривую Г плоскости w. Тогда можно утверждать, что функция f(z)
однолистна в области g и что она отображает эту область
на область Д, являющуюся внутренностью кривой Г *).
Для доказательства опишем из точек ?&, как из центров, окружности
г—?й| = р столь малого радиуса, чтобы каждая из них лежала вне любой из
остальных окружностей. На каждой из этих окружностей будем иметь по край-
крайней мере одну дугу, принадлежащую области g (за исключением концов, лежа-
лежащих на границе этой области). Обозначим через а/,, р дугу окружности
\г—?ft| = P> ограничивающую, вместе с некоторой дугой у/,, p кривой у,
область gk, р> лежащую в области g и содержащую точку ^ на своей границе.
Для определенности в выборе дуг о"й, р и уь, р мы потребуем еще, чтобы
область gk, р не содержала некоторой фиксированной точки г0 ? g (рис. 1).
Очевидно, ад, р и ya, p имеют общие концы, причем, когда р стремится
к нулю, то дуги Ok, р и ya, р. а вместе с ними и область gk, р, стягиваются
к точке ^ft. Выберем р столь малым, чтобы не только круги \г — ?й|<1р, но
и замкнутые области g^, p попарно не имели общих точек. Исключим из у
дуги ya, р. заменив их дугами окружности ад, р. Тогда кривая у заменится
новой жордановои спрямляемой кривой ур, целиком лежащей внутри G. Ее вну-
внутренность gp представляет собой часть области g. Образ Гр кривой ур при
отображении посредством функции w = f (г) получается из Г путем исключения
ДУГ Га, р — образов дуг yk, р—и замены их дугами ^^ —образами дуг окру-
окружности О/,, р.
Пока мы не можем утверждать, что соответствие между точками г ? ур
и tt>=/(z)grp является взаимно однозначным и, следовательно, не можем
опираться на основную теорему этого лункта.
*) Читатель может опустить следующие за этим рассуждения, так как
применение обобщенного принципа аргумента (см. ниже п. 3.5) делает их
излишними.

16 КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ [ГЛ. 5
Пусть w'— произвольная точка области Д и {/& — окрестности точек wu,
¦столь, малые, что w' лежит вне любой из них. При достаточно малых значе-
значениях р дуги Га, р и 2 ft, p будут содержаться в соответствующих окрестностях
i/ft. Очевидно, изменение Arg [/ B)— и/], когда г однократно описывает ур
в положительном направлении, складывается из изменений Arg [ш—до'] на дугах,
оставшихся от Г после исключения дуг I\ p и изменений на дугах ^]а .Но
имеют общие начало и конец и заключены внутри окрестности
Рис. I.
V'а точки ша; поэтому для точки до', лежащей вне этой окрестности, мы должны
иметь:
Изм Arg If (z) — w'\— Изм Arg [/(г) — до'].
z?aft, p z?"k, p
В самом деле, разность между тем и другим изменениями есть целое крат-
кратное 2я, а каждое из этих изменений по абсолютной величине' меньше, чем я;
следовательно, указанная разность равна нулю.
Отсюда вытекает, наконец, что
Изм Arg[/ B) — да'] = Изм Arg [/(г) — ю'] = 2л,
zevp z?y
т. е. значение ю' принимается функцией / (г) внутри ур (при всех достаточно
малых р) и притом однократно.
Беря точку w" во внешности Г, найдем посредством такого же рассужде-
рассуждения, что
Изм Arg[f (г) — ю"] = Изм Arg [f (г) — к>"] = 0,
zeYp z?y
т. е. значение ш" не принимается функцией / (г) внутри ур (ПРИ Бсех доста-
достаточно малых р). •
Так как каждая точка области gp принадлежит области g и каждая точка
области g содержится во всех областях gp, начиная с некоторого достаточно

§ 1] КРИТЕРИИ ОДНОЛИСТНОСТИ 17
малого р, то f (г) принимает в области g (и притом однократно) любое значе-
значение из внутренности Д кривой Г и не принимает ни одного значения из внешно-
внешности этой кривой. Этим и заканчивается доказательство нашего предложения.
В виде примера рассмотрим функцию
где 0 <с k2 <C 1 (эллиптический интеграл первого рода в нормаль-
нормальной форме Лежандра). Функция 1/A—^2)A—k2t2) является дву-
двузначной и имеет точки разветвления первого порядка при /=±1
и t = ± -г. Так как все они лежат на действительной оси, то
в верхней полуплоскости можно выделить две однозначные анали-
аналитические ветви этой функции, имеющие противоположные значе-
значения в каждой точке. Мы выберем ту из этих ветвей, которая
в интервале @,1) действительной оси принимает действительные
положительные значения. Тогда наш интеграл представит в верх-
верхней полуплоскости однозначную аналитическую функцию, непре-
непрерывную в замкнутой полуплоскости и аналитическую всюду, кроме
точек ± 1, ±-г- (в окрестности \z\>-i- бесконечно удаленной
точки подинтегральную функцию можно разложить в следующий
ряд:
i_ i_ i_ i_
A - t2f 2 A - /г2/2)" 2 = k-Ч'2 A -12) 2(i_ k-4-2)~ 2 =
= ±
и потому для / (z) получаем:
/ (г) = Со + [k-W +2^3 (Ь-1 + k'*) г +...],
откуда видно, что обе ветви функции / (z) являются аналитическими
в бесконечно удаленной точке).
Принимая верхнюю полуплоскость за область g, а действитель-
действительную ось за кривую у (мы уже отметили выше, что распростране-
распространение доказанной теоремы на случай неограниченных областей и кривых
законно), рассмотрим отображение у посредством функции w = f{z).
Когда z = х пробегает отрезок 0 < х < 1, то
= f(x) = \
У0
2 А. И. Маркушевич

]8 КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ [ГЛ. 5
сохраняя действительные значения, возрастает от 0 до
Кт Р dt
|УA_(8)A-№)'
На отрезке 1<сх<С-г- подинтегральное выражение приобретает вид
Знак в последнем выражении не может быть выбран произвольно;
его следует согласовать с произведенным выше выбором ветви
квадратного корня так, чтобы обеспечить непрерывность этой ветви
в верхней полуплоскости. Записывая A—t2) A — 1гЧг) в виде
k*{t-\)\t-(-\)](t -±л Г'—(—г-I =ф(о.
замечаем, что при переходе от точек отрезка @, 1) к точкам
отрезка A, -r-J , вдоль полуокружности с центром в 1, принадле-
принадлежащей верхней полуплоскости, изменение Argcp(^), складываю-
складывающееся из изменений аргументов отдельных множителей, равно —л
(а именно: Arg(t~\) уменьшается на я, тогда как аргументы
остальных множителей не изменяются). Поэтому Arg"|/(p(if) изме-
изменяется на—<тли' следовательно, приобретает значение—-~-a-\-2kn.
Мы видим, что из двух значений ± i Y{P— 1) A — k2P) следует
выбрать значение — iY(t*~ 1) A — k4*). Итак, при \<.х<_-?
имеем:
X 1
¦ о
х
У()() У(
'1
Отсюда следует, что когда z = х пробегает отрезок 1 <. х <. -г ,
то точка w пробегает прямолинейный отрезок, параллельный мни-
мнимой оси, от точки К до точки K-\-iK', где
i/k
К'= ^ dt
1 +

§ 1] КРИТЕРИИ ОДНОЛИСТНОСТИ 19
Последний интеграл можно представить в виде, аналогичном К,
посредством подстановки
t= , l ^, где fe'2=l-?2.
Получим:
{ dt
где &'г = 1 — /г2.
Перейдем от отрезка l<x<j к отрезку -т-<*<-[-со;
аргумент подкоренного выражения
изменится, уменьшившись на л (вместе с Arg(t—г"))- Поэтому
для V(t*— 1) О —^2^2) получим значение, имеющее аргумент —-^ :
-1).
1
Итак, при -г- <С х < + оо:
1 I/ft
0 „ ,-(")A-№«)
dt
Если х возрастает от -г- до +оо, то интеграл \
возрастает от 0 до величины
со 1
Р dt
(мы произвели замену ' = -^-1 • Поэтому точка w = f(x) описывает
прямолинейный отрезок, параллельный действительной оси от точки
K iK' до точки iK'¦
2*

20 КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ [ГЛ. 5
Аналогично убеждаемся в том, что когда х описывает отрезки
от 0 до — 1, от — 1 до —т-иот —т- до — со, точка w — f(x)
последовательно описывает прямолинейные отрезки от 0 до — К,
от —К до —K + iK' и, наконец, от —K + iK' до iK'-
Итак, функция w = f{z) взаимно однозначно отображает дей-
действительную ось y на контур Г прямоугольника с вершинами — К,
К, K+iK' и -K+iK', где
K'J dt
«}
И k'2=l~k2.
Отсюда, по доказанной теореме, следует, что эта функция
однолистна в верхней полуплоскости и отображает ее конформно
на указанный прямоугольник.
Основание прямоугольника есть 2К, а высота К'', поэтому
К' о
2/С
I УA_/2)A_А'2
УA— /2)A —?2/2)
О
Если параметр /г@</г<1) возрастает от 0 до 1, то знамена-
* с? dt
тель дроби возрастает от 2\— =я до оо; при этом
i vi~t2
k'{k' — Y^—й2) убывает от 1 до 0 и, следовательно, числитель
+ к,
дроби убывает от со до -я-. Таким образом, отношение -^- =
непрерывно изменяясь, убывает от с» до 0, когда k возрастает
от 0 до 1. Поэтому для любого прямоугольника с основанием 2а
и высотой b можно найти одно и только одно значение k @ < k < 1),
для которого
dt
УA_/2)A_^2)

§ 1] КРИТЕРИИ ОДНОЛИСТНОСТИ 21
Следовательно, функция
, . _ р d?
% УA-Ж1
построенная для найденного значения k, конформно отображает
верхнюю полуплоскость на прямоугольник, подобный заданному.
Если мы хотим получить отображение на заданный прямоуголь-
2а b
ник, то достаточно ввести еще множитель И = "о/Г = т?7" > наиДем:
P dt
w=u\——
0
В результате отображения получим прямоугольник с вершинами:
— \хК+ щК' = — а + Ы.
Итак, посредством эллиптического интеграла и \ ,
v о Уа-*2)(х~т2
о
можно отобразить полуплоскость на произвольно заданный прямо-
прямоугольник, подбирая соответствующие значения параметров k и jx.
1.3. Обратимся, наконец, к случаю, когда для одной из точек ?0
кривой у, принадлежащей границе области G, выполняется соот-
соотношение
lim f(z)= oo.
Допустим, что полагая
/(Со) =°о.
получим функцию / (г), непрерывную (в обобщенном смысле) в замк-
замкнутой области g и аналитическую всюду, за исключением точки ?0
и, быть может, еще нескольких точек кривой y-
Пусть снова w = f(z) взаимно однозначно отображает кривую у
на некоторую замкнутую жорданову кривую Г расширенной плос-
плоскости (Г необходимо проходит через бесконечно удаленную точку).
Простые примеры показывают, что в этом случае функция f (г)
может быть неоднолистной в области g и отображать g на область,
отличную от А (внутренности кривой Г).
Рассмотрим, например, функцию

22 КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ [ГЛ. 5
имеющую полюс третьего порядка в точке z = — 1. В качестве
области G здесь можно взять всю плоскость, за , исключением
точки z— —1. Пусть у есть единичная окружность и g— единич-
единичный круг. Так как на у z = eie( — л <9<л), то f{z) = f{eiQ) =
./уэ__1\3 о ,
= i I -тд— I = tg -g- отображает у взаимно однозначно на дей-
действительную ось Г плоскости ш. Чтобы найти образ единичного
круга g, выполним вспомогательное преобразование
г+\
взаимно однозначно отображающее единичный круг на верхнюю
полуплоскость ?. При этом функция w=f (z) перейдет в w=f* (?) = ?3-
Но, очевидно, последняя не является однолистной в верхней полу-
полуплоскости и отображает ее на всю плоскость w, за исключением
точек w — 0 и w — оо. Отсюда вытекает, что и / (г) не является
однолистной в области g и отображает ее на всю плоскость w,
за исключением точек w = 0 и w — оо, т. е. во всяком случае
на область, граница которой не совпадает с Г.
Этот пример показывает, что, желая распространить теорему
пункта 1.2 на тот случай, когда f (г) обращается в оо в одной
из точек кривой у, мы необходимо должны подчинить эту функ-
функцию дополнительным условиям. Вот несколько простых предложе-
предложений, которые можно получить в этом направлении.
Пусть / (z) непрерывна в обобщенном смысле в замкнутой
области g, ограниченной замкнутой жордановой спрямляемой кри-
кривой у, обращается в оо в одной из точек ?0 этой кривой и является
аналитической в g всюду, за исключением конечного числа гра-
граничных точек.
Предположим, что w = f(z) взаимно однозначно отображает у
на некоторую замкнутую жорданову кривую Г расширенной пло-
плоскости (необходимо проходящую через бесконечно удаленную точку).
Если существует конечная точка w0, не принадлежащая к множе-
множеству значений функции / (г), принимаемых в области g, то функ-
функция F(z) = — непрерывна в g в обычном смысле, является
аналитической всюду, за исключением конечного числа граничных
точек, и взаимно однозначно отображает у на некоторую замкну-
замкнутую жорданову кривую Г' конечной плоскости I Г' есть образ
кривой Г при отображении w' = w_w ) • Поэтому к ней применима
доказанная выше теорема, откуда вытекает, что F(z), а следова-
следовательно, и /(г) однолистна в области G.

§ 1] КРИТЕРИИ ОДНОЛИСТНОСТИ 23
Укажем теперь достаточные условия иного типа, в которых будет учиты-
учитываться поведение функции / (г) в произвольно малой окрестности точки ?о
(той точки кривой у, в которой / (г) обращается в бесконечность). Предпо-
Предположим, что в точке ?о кривая у обладает правой и левой касательными,
составляющими угол ая@<[а^2), и что для некоторого действительного
положительного числа Я, 0<Я<-—¦, выполняется соотношение
lim / (г) (z-?<,)*¦ = с (с ф О, с ф со).
Тогда, если w=f(z) взаимно однозначно отображает у на действительную
ось Г плоскости w, то / (г) является однолистной в области g и отображает
ее на ту полуплоскость Д, ограниченную прямою Г, которая остается слева
от наблюдателя, передвигающегося вместе с точкой / (z), когда z описывает
в положительном направлении кривую у.
Чтобы лучше понять эту формулировку, допустим, что а = 1, т. е. что
кривая у обладает касательной в точке ?о- Тогда для Я получаем неравенство
X <С 3. Отсюда следует, что предложение будет справедливо, в частности,
тогда, когда заранее известно, что / (г) обладает в точке ?о полюсом не выше,
чем второго порядка (имеем соответственно:
lim/(z)(z-?0J = c2 (Я = 2)).
Однако в случае полюса третьего порядка оно перестает быть верным, как
это видно из рассмотренного выше примера. Итак, в случае, когда а=1, мы
не можем заменить в условии Я< 3 знак неравенства знаком равенства.
Обращаясь к доказательству, опишем из точки ?0> как из центра, а также
из других точек Zh кривой, у, в которых / (г) не является аналитической,
окружности | z— t,h\ = P (fe = 0, ...,m). Сохраняя обозначения стр. 15, найдем
дуги Ok, p окружностей |z — ?д|=р, ограничивающие вместе с дугами Yfc, р
кривой у области gh , лежащие в области g и содержащие, соответственно,
на своих границах точки ^ (fe=0, ..., т). Пусть р столь мало, что замкну-
замкнутые области gk попарно не имеют общих точек. Обозначим по-прежнему
через yp кривую, которая получается из y путем замены дуг y^, р дугами 0ft) p,
я через Гр — кривую, получающуюся из действительной оси путем замены
¦отрезков Га, p = /(Yft p) дугами 2& =f(ak p)' Возьмем произвольную
точку w' полуплоскости Д и подсчитаем изменение Arg[/ (z) — w'] при обходе
точкой z кривой Yp B положительном направлении. Фиксируя окрестности t/ft
точек Wk, не содержащие w', выберем р столь малым, чтобы дуги Fft, p
и 2ft р содержались в Gft (fe = 0, ..., т). Тогда при k Ф0 будем иметь:
Изм Arg [/ (z) — w'\ — Изм Arg[/ (z) — w'];
следовательно, складывая все изменения, кроме тех, которые соответствуют
пробегу дуг а0, р и Yo, p> получим:
Изм Arg[/(z) —ш']= Изм Arg [/(z)—w'].
г^-"о, р 2evp-°o. р

24
КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
[ГЛ. 5
Обозначим через ар и 6р общие начальную и конечную точки дуг Г0] р
и 2п (в направлении положительного обхода). Очевидно, ар и 6р суть точки
действительной оси и Го, р представляет бесконечный отрезок ее с началом ар
и концом Ьр, а Г—Го, р есть конечный отрезок с началом Ьр и концом ар
(рис. 2). Поэтому изменение Arg [/(z)—w'] есть изменение Arg (w—w)
g (
, ap1
Ot p p p
при условии, что w пробегает отрезок [bp, ар] так, что вектор w—w' повора-
поворачивается вокруг w' в положительном направлении (w' остается слева при
Рис. 2.
обходе точкой w отрезка [&р, ар]), и, следовательно, это изменение равно углу
вря, 0< 6р< 1, под которым отрезок [Ьр, ар] виден из точки ш'. Итак,
Изм Arg [/ (г) — w'] = Изм Arg(w—ш)') = 0ря.
Но Изм Arg(ffi> — w') есть одно из значений разности
Поэтому
и, далее,
Arg (ар — ш') — Arg (ftp — w') = Arg & _w, .
arg-
, — w'
Изм Arg [/ (г) — w']= Изм Arg (w — w')= — arg-r
2?^0, p w?2o, p °p—^
где fe — целое число. С другой стороны, в окрестности точки ?о функция / (г)
может быть представлена в виде
(г-У
j-де е (г) —> 0 при г —> go- Поэтому

§ 1] КРИТЕРИИ ОДНОЛИСТНОСТИ 25-
где т| (г) —•> 0 при г —> ?0. Следовательно,
Изм Arg [/(г) — ш']=— Я Изм Arg (г — у + Изм Arg [I +tj (г)].
В силу того, что касательные в точке ?0 к кривой у образуют угол ал,.
все точки дуги yOl р при достаточно малом р лежат внутри двух углов про-
произвольно малых растворов, симметричных относительно соответствующих
касательных. Поэтому угол аря, под которым дуга о, р видна из точки ?0,
можно считать сколь угодно близким к ая. Замечая, что г пробегает о> р.
так, что внутренность области gp (лежащая вне окружности |г—?ol = P' ДУ"
той которой является о"о>р) остается слева от г, находим:
Изм Arg (г — ?о)= —
и, следовательно,
Изм Arg [/ (г) — w' ] = Ырп + Рря,
г?ст
где
lim ар = а и limpp = 0 фря= Изм Arg [1 + Т] (г)]).
р-*0 р-»-0 г?а
Сравнивая это выражение с найденным выше, получаем:
При р —> 0 угол яб' стремится к я, так как точки ар и 6р стремятся
к ± оо. Поэтому правая часть равенства стремится к пределу 1 -f-X«, причем
по условию
Отсюда вытекает, что k=l для всех достаточно малых р *). Поэтому
Изм Arg[/(z)—ш']=2я —6'л
2?ао, р
и, наконец,
Изм Arg [/ (г) — w']= Изм Arg [/ (г)— ш']+ Изм Arg [/ (г) — w'] =
Итак, любое значение w' € А принимается функцией / (г) и притом одно-
однократно в области gp при всех достаточно малых р. Точно так же получим
для любой точки w", принадлежащей полуплоскости, ограниченной прямой Г
и остающейся справа при обходе Г точкой w = / (г), соответствующем обходу
точкой г кривой у в положительном направлении, что
Изм Arg [/(г)- w"] = Изм Arg [/ (г)-ш"]= -в'я,'
z?Yp-<J0,p Z?Y-Yo,p
Изм Arg [/ (г) — ю"]= Изм Arg [/(г) —а;"] = 6" я,
? р z?y0, p
*) И, следовательно, Х = —.
а

26 КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ [ГЛ.
а потому
Изм Arg[/(z) — ш"] = 0.
Здесь 6рЯ обозначает угол, под которым отрезок [Ьр, ар] виден из точ-
точки w". Итак, значение w", лежащее вне полуплоскости А, не принимается
функцией / (z) в области gp при всех достаточно малых р. Из установленных
фактов и вытекает справедливость нашего предложения.
Предлагаем читателю в виде упражнения доказать следующую теорему.
Пусть область g ограничена замкнутой жордановой кривой у расширенной
плоскости (любая конечная дуга которой спрямляема) и содержится в неко-
некоторой полосе Л<//<Л + Лл, 0</г<2, стороны которой являются асимпто-
асимптотами для у, причем для определенности предположим, что обе бесконечные
ветви кривой у простираются в направлении возрастающих х (область g имеет
вид криволинейной полуполосы). Пусть /(г) — функция, непрерывная в обоб-
обобщенном смысле в области g, обращающаяся в со в точке г = со и аналити-
аналитическая во всех конечных точках области g. Если она отображает кривую у
взаимно однозначно на действительную ось Г и если можно указать действи-
действительные числа (I и А, —со < ц <[ -f ее, 0<^Я,<^-т-, такие, что существует
предел lim [г^е~ f(z)] = C(C Ф О, С ф ее), то /(г) однолистна в области
z?g
<j н отображает ее на одну из двух полуплоскостей, ограниченных прямой Г.
1.4. Простейшие примеры показывают, что сумма, разность,
произведение и частное двух однолистных в данной области функ-
функций может и не быть однолистной функцией. Точно так же произ-
производная и интеграл от однолистной функции не будут, вообще го-
говоря, однолистной функцией. Однако, суперпозиция двух однолист-
однолистных функций /[<p(z)] будет, очевидно, однолистной — замечание,
которым мы неоднократно пользовались раньше. Необходимо лишь
следить за тем, чтобы значения функции ф(г) ложились в ту область
плоскости w, в которой функция / (w) является однолистной.
Важное значение имеет теорема, утверждающая, что предел
равномерно сходящейся последовательности однолистных функций
есть функция однолистная (за одним очевидным исключением).
А именно, справедливо следующее предложение:
Теорема. Если последовательность функций {/„ (z)}, одно-
однолистных в области G, равномерно сходится в этой области и f (z) =
= lim fn (z) не есть тождественное постоянное, то f (z) однолистна
в области G.
Так как, в силу теоремы Вейерштрасса о равномерно сходящихся
последовательностях (рядах), / (г) является аналитической в обла-
области G, то в доказательстве нуждается лишь утверждение, что
f () f ()
f (
Допустим противное,' и пусть
= a, г,

§ 2] СУЩЕСТВОВАНИЕ КОНФОРМНОГО ОТОБРАЖЕНИЯ 27
Тогда для функции f (z) — а, являющейся пределом равномерно
сходящейся последовательности однолистных функций {/„ (z)—а},
будем иметь, по крайней мере, два нуля z4 и z2 в области G. Следова-
Следовательно, по теореме пункта 3.5 главы четвертой (теорема Гурвица),
все функции fn (z) — а должны иметь, начиная с достаточно высо-
высокого номера, по крайней мере по одному нулю в любой окрестности
точки zt и любой окрестности точки z2. Беря эти окрестности столь
малыми, чтобы они не имели общих точек, заключаем, что все функ-
функции fn (г), начиная с некоторой из них, принимают значение а по
крайней мере в двух различных точках области G, что противоречит
свойству однолистности функций fn (z). Теорема доказана.
§ 2. Теоремы существования Римана и Гильберта.
Свойства однолистных функций
2.1. Займемся основным в теории конформных отображений
вопросом о возможности взаимно однозначного и конформного
отображения (такое отображение в дальнейшем называется просто
конформным) одной области на другую. При этом мы будем опи-
опираться на тот факт, что каждое конформное отображение (первого
рода) осуществляется посредством аналитической функции *).
Так как рассматриваемое отображение гомеоморфно, то необхо-
необходимым условием для того, чтобы существовало конформное отобра-
отображение, является существование какого-либо гомеоморфного отобра-
отображения областей, т. е. гомеоморфизм самих областей. Отсюда следует,
например, что многосвязную область невозможно конформно ото-
отобразить на односвязную.
Однако условие гомеоморфизма, будучи необходимым условием
существования конформного отображения, не является, вообще
говоря, достаточным. Положим, например, что G есть вся конечная
плоскость z, a D — круг: | w | < R < оо. Если бы существовала
функция w = f (z), конформно отображающая G на D, то она была
бы однозначной, аналитической и ограниченной по модулю в конеч-
конечной плоскости. Но отсюда по теореме Лиувилля следует: / (z) =
= const, что противоречит однолистности функции / (z). Итак,
не существует конформного отображения конечной плоскости G на
круг D (конечного радиуса). Между тем эти области гомеоморфны;
27? z
в самом деле, функция w = —,—, arctg | z | (w @) = 0) осуществляет
одно из бесконечного множества гомеоморфных отображений G на D.
Добавим, что конечная плоскость допускает конформное ото-
отображение только на расширенную плоскость с исключенной из нее
конечной точкой или на самое себя. Это следует из того, что
*) Доказательство см. Д. Меньшов, «Les conditions de monogenite»,
Paris, 1936, стр. 39 и след.

28 КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ [ГЛ. &
каждая функция, однолистная .в конечной плоскости, должна быть
дробно-линейной (в частности, целой линейной (см. п. 1.1)).
Рассмотрим еще случай простейших двухсвязных областей.
Пусть G есть круговое кольцо: 0<;г1<|г|<г2<оо и D — также
круговое кольцо: 0<CRi<C\w\<CR2<C°°-
Предположим, что функция w — f(z) конформно отображает G
на D, и пусть z = ф (ш) — обратная ей функция. Обозначим через Гр
образ окружности ур: 2 = pei9@<8<2n; г4<р<г2). Гр является
замкнутой жордановой кривой; ее уравнение имеет вид w — f (peie)
@<9<2я).
Из равенства
1= » С *. = ± » CSlWda,= ± I Из АгёФ(ш),
YP Гр
где обе кривые ур и Гр проходятся при интегрировании в поло-
положительном направлении, а знак плюс или минус ставится в зави-
зависимости от того, проходится ли кривая Гр точкой w = f(z) в том же
направлении, что и кривая Yp точкой z, или же эти направления
взаимно противоположны, — вытекает, прежде всего, что начало
координат лежит внутри Гр. Далее, интеграл к—\ ф fl dw есть
непрерывная функция от р, принимающая только целые значения
(±1)- Отсюда вытекает, что этот интеграл сохраняет постоянное
значение, и, следовательно, знак перед интегралом (+ или —)
не зависит от р. Это означает, что направление обхода точкой
w = f(z) любой кривой Гр либо для всех р, rt •< р <С г2 совпадает
с направлением обхода точкой z кривой ур, либо для всех р про-
противоположно последнему направлению. Допус-тим сначала, что
направления обхода кривых Гр и Yp совпадают, и подсчитаем
площадь, ограниченную кривой Гр. По известной формуле*), эта
площадь Sp выражается следующим интегралом:
где кривая Гр проходится в положительном направлении. Преоб-
Преобразуя это выражение, будем иметь:
2Я
Sp = 4-^ lm[(u — w)(du + idv)]= — С Im Г?7^Ш\ df
г„ о
*) См., например, Г. М. Фихтенгольц, Курс дифференциального
и интегрального исчисления, т. III, п. 551, М., «Наука», 1966.

¦§ 2] СУЩЕСТВОВАНИЕ КОНФОРМНОГО ОТОБРАЖЕНИЯ 29
Мы не меняем знака перед последним интегралом именно потому,
что возрастанию 6 от 0 до 2л соответствует обход кривой Гр
в положительном направлении. Разлагая /(peie) в ряд Лорана,
получим:
-J-OO -f-OG
ie) = 2 ап9пе™> % = 2
откуда, опираясь на абсолютную и равномерную (при фиксиро-
фиксированном р) сходимость этих разложений, будем иметь:
Sp -1 J Im { 2 anpne~ ™ 2 ina-P"eine} ^ =
p -1 J { }
t0 —оо —со
= Im {i ^ »л I On I2 Р2п2я } = я 2 n \an |2 p2" =
Так как кривая Гр лежит внутри окружности | w | = /?2 и, с дру-
другой стороны, содержит внутри окружность \w\-Ri, то мы должны
иметь при всех р, ri<Cp<Cr2:
Отсюда следует прежде всего, что ряды 2 п Iап I2г\п и 2 п\ап\2г\п
— оо —оо
сходятся. Покажем это на примере ряда
со оо оо
У1 п I а 1 г2п = У\ п I а I2 г2п У1" « I2 г~гп
-оо 1 "-а ^
Из полученного неравенства выводим:
при rt < р <; г2. Поэтому для любого натурального jV выполняется
неравенство

30 КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ [ГЛ. 5
или, переходя к пределу при р—>гг:
N оо
St, I n |2 r2n ^" /?2 _L 'S1 и I n 2 ,-2п
« | "П | '2 ^ А2 "Г Zj rt I "-71 ^2 '
00
откуда следует сходимость ряда 2 п I ап |2 /"Г и вместе с тем нера-
1
венство
оо
Аналогично устанавливается сходимость ряда 2 п I а-п |2 Т2"
и неравенство:
+ 0О
Sn|«n12
—оо
Отсюда следует, что
Замечая, что
rl%n\an]*rp
так как n(rln 2 — г\п 2)>0 при всех целых значениях п, заклю-
заключаем, что
г%
' "" ¦, т. е.
Очевидно, в нашем рассуждении можно поменять местами
плоскости z и w и области G и D. Тогда получим неравенство:

§ 2] СУЩЕСТВОВАНИЕ КОНФОРМНОГО ОТОБРАЖЕНИЯ 31
Следовательно, -^- = у-, т. е. круговые кольца G и D должны
быть подобными между собой. Далее получаем, что
= 0-
откуда следует, что
ап = 0 при п Ф 0 и я=? 1 ¦
Поэтому
т. е. является целой линейной функцией.
Рассмотрим теперь случай, когда направление обхода точкой
w~f (г) кривой Гр противоположно направлению обхода точкой z
окружности Yp- Тогда преобразование w' =¦¦ — переведет кольцо D
W
в новое кольцо D': -=- <с I w' I <; -75- , так что функция w' = -гтт
К2 Ki j (г)
будет конформно отображать кольцо G: rt <Z \z\ <r2 на кольцо D'.
Из того, что Argo/ = — Arg/(z) = — Argw, вытекает, что
кривая Гр — образ окружности ур при отображении w' =-г-\—про-
ходится точкой w' в направлении, противоположном направлению
обхода кривой Гр точкой w = f(z) и, следовательно, в том же
направлении, в каком окружность Yp проходится точкой г. По дока-
доказанному, получаем
1: Ri ^ ff2 _ г2
т. е. кольца G и D снова оказываются подобными между собой.
Кроме того, для функции ¦ получаем:
= а0 + fliz,
/(г)
т. е. / (г) есть дробно-линейная функция.
Резюмируя найденные результаты, приходим к следующей
теореме:
Для того чтобы существовало конформное отображение кру-
кругового кольца G: г1<|?|<г2 на круговое кольцо D: Ri<.\w\<R2,
необходимо и достаточно, чтоб', г "'. кольца были подобными

32 КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ [ГЛ. 5
между собой, т. е. чтобы выполнялось условие ~?- = -^-. При
выполнении этого условия отображение может быть осущест-
осуществлено только посредством дробно-линейной (в частности, целой
линейной) функции.
Таким образом, гомеоморфные между собой области — круговые
кольца, вообще говоря (т. е. без специального условия), не могут
быть конформно отображены друг на друга. (Что два кольца G и D
действительно всегда гомеоморфны, следует хотя бы из рассмот-
рассмотрения функции
отображающей G на D.)
Тем более замечательно, что для любых двух односвязных
областей расширенной плоскости, границы которых содержат более
чем по одной точке, всегда существует конформное отображение
одной из них на другую. Чтобы доказать это предложение, доста-
достаточно установить, что для каждой области G этого типа сущест-
существует конформное отображение на некоторый круг Kr: \ w \ < R
с центром в начале координат. В самом деле, если функция
w = f (г) конформно отображает область G на Kr и функция
w' = F(z') конформно отображает другую область D на круг
R'
Kr'- \w'\<LR', to функция w' = -p-w будет конформно отобра-
отображать круг Kr на /Or, функция z' =F'1(w') — круг Kr' на D и,
следовательно, функция
будет конформно отображать область G на D.
" 2.2. Теорема о существовании конформного ото-
отображения (Риман). Каждую односвязную область G расши-
расширенной плоскости, граница которой содержит более одной точки,
можно конформно отобразить на круг с центром в начале
координат.
Покажем сначала, что среди функций, однолистных в данной
области (примерами однолистных функций в области G могут
служить дробно-линейные функции), существуют функции, огра-
ограниченные, по модулю.
В случае, когда область G сама ограничена, такой функцией
является, например, f(z)~z.
В случае, когда G неограниченна, но существует точка г0,
внешняя по отношению к G, будет существовать и круг \z—zo|<p,

§ 2] ТЕОРЕМА РИМАНА 33
лежащий вне G. Тогда / (z) = представит пример функции,
г — г0
однолистной в G и ограниченной (|/(z)|-< — при z?
Пусть, наконец, область G неограниченна и не имеет внешних
точек. По условию, существуют по крайней мере две различные
граничные точки для G: а и C. В силу односвязности области G,
точки аир принадлежат континууму Г, представляющему гра-
границу этой области. Рассмотрим функцию F (г)= 1/ -^—§-. Эта
г г—р
двузначная функция имеет две точки разветвления: аир. Так как
область G получается из плоскости посредством исключения неко-
некоторого континуума, связывающего а и р, то функция F (z) распа-
распадается в области G на две однозначные аналитические ветви Ft (z)
и F2 (z), значения которых в каждой точке области G отличаются
друг от друга только знаком. Функции эти являются однолист-
однолистными в области G, так как из равенства
/zi-ct _ /г2-а
V г.-в ~ V г,-В
вытекает, что
Zj — а г2— а
и, следовательно,
Zl = 22.
Поэтому функции да = Fу (г) и да = F2 (г) конформно отображают G
на две области: G: и G2- Очевидно, Gx и G2 не имеют общих
точек, так как наличие общей точки w = F (zx) = F (z2) означало бы,
по только что проведенной выкладке, равенство г! = 22 = 2, проти-
противоречащее тому, что Fi (z) = — F2 (г) и функции Fj (г) и ^г (г) нигде
не обращаются ни в 0, ни в оо. Следовательно, каждая точка w0
области G2 является внешней для Gt, так что существует круг
\w~wo\<Cp, принадлежащий внешности области Gt. Образуя
функцию
найдем, что она однолистна в области G и ограничена (| / (z) \<с—) .
Итак, во всех случаях в области G существуют однолистные
и ограниченные функции. Пусть /(г) — одна из таких функций
и z0 — фиксированная конечная точка области G. Тогда /' (z0) ф О
(в силу однолистности функции / (z)), и, следовательно,
А. И. Маркушевич

34 КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ [ГЛ. 5
является функцией, ограниченной и однолистной в области G,
обращающейся в нуль в точке г0 и имеющей в этой точке произ-
производную, равную единице.
Обозначим множество всех функций, обладающих в области G
указанными свойствами, через EZa. Для каждой функции F (г) ? Eza
существует конечная верхняя грань модуля в области G:
М {F) = sup I F (г) | > 0.
G
Геометрически М (F) обозначает, очевидно, радиус наименьшего
круга с центром в начале координат, содержащего образ области G
при отображении w — F(z). Для различных функций F(z)?E2u
будут, вообще говоря, получаться различные числа M(F).
Мы покажем, что в множестве EZfS существует функция /(г),
для которой М (F) имеет наименьшее значение RZo:
Rzo = ini M{F).
F(*KE20
Эта функция и будет конформно отображать область G на круг
||
||0
Рассмотрим последовательность функций Fn (z) множества EZo,
для которых выполняется условие
\lmM(Fn)= inf M(F) = RZ0
(такая последовательность существует в силу самого определения
нижней грани intM(F)). Эта последовательность равномерно
ограничена в области G, так как ограничена сходящаяся после-
последовательность чисел {M(Fn)}:
M(Fn) = sup\Fn(z)\<M (л=1, 2, ...)•
G
По теореме Монтеля, последовательность {Fn (г)} компактна
в области G так, что из нее можно извлечь подпоследовательность
{Fn (z)}, равномерно сходящуюся внутри G к некоторой аналити-
аналитической функции f(z). Для этой функции будем иметь:
/(z0H Hm/ч, (z0) = 0, /'(zo)= lim/1;ftB0) = l,
откуда следует, что / (z) ф. const, и, следовательно, по теореме
п. 1.4, является однолистной. Далее, из соотношений
/ (г) = 1 im Fn (г) и |Fn (z)\<M (Fn)-* RZo
вытекает, что для любого е>0

§ 2] ТЕОРЕМА РИМАНА ' 35
при всех tik достаточно больших, откуда, вследствие произволь-
произвольности е, заключаем, что
Но из того, что f (z) однолистна и ограничена в области G и удо-
удовлетворяет условиям
/(zo) = O и /'(zo) = l,
следует, что / (z) ? Его и sup | / (z) | > #20.
Сопоставляя найденные неравенства, получаем:
SUp |/B)| = /?,..
Покажем, что функция w = f(z) конформно отображает область G
на круг /(о: \w\<CRz0- Так как из найденных свойств функции
/ (z) следует, что образ / (G) области G содержится в круге
w | < Rz0, то достаточно убедиться в том, что каждая точка
круга /Со принадлежит f(G). Пусть это не так; тогда внутри /Со
должны находиться некоторые граничные точки множества / (G).
Обозначим одну из них через w0 (О <С | w01 < Rzo) и образуем,
последовательно, функции:
(фиксируется одна из двух ветвей этой функции),
ffi>3 — Аго —2 = / з \Z) И W^ = -
Rzo — fi(zo)'w2 HV-Ol
Каждая из функций wj = fj(z), рассматриваемая как функция
от Wj~i(wo = w), однолистна в области /y-i(G)(/0(G) = /(G)).
Поэтому все эти функции, рассматриваемые как функции от z,
однолистны в области G.
Функция Wx (w) отображает круг Ко сам на себя так, что
точка w0 переходит в начало координат. При этом область / (G)
преобразуется в область Д (G), содержащуюся в Ко', точка
Wi = 0 является граничной для /i(G). Функция w2(wl) имеет две
однозначные и аналитические ветви в области ft (G). Фиксируя
одну из них и замечая, что ее значения принадлежат кругу Ко,
причем точка ш4 = 0 переходит в w2 = 0, найдем, что fz(G) снова
принадлежит кругу Ко и точка w2 = 0 является граничной для
/2(G). Функция w3(w2) преобразует круг Ко сам в себя так, что
точка /2 (z0) переходит в начало координат. Следовательно, одно-
однолистная функция /3 (z) обращается в нуль в точке zQ и отображает
область G на некоторую область /3(G), принадлежащую кругу Ко-
Э*

36 КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ [ГЛ. 5
Для ее производной f3 (z0) получаем значение:
dun
Hz
dw.
dw
dw2
ID=/(ZO)=O
dw-i
Rio
Из того, что \wo\<RZo, следует, что j/3(z0)j>l. Поэтому /3(z)
не принадлежит множеству EZQ. Деля ее на f'3(z0), получаем
функцию /4 (г) из множества Ezo (/4 (г) однолистна в области G
и удовлетворяет условиям: /4 (z0) = О и /^(zo) = l). Но последняя
функция отображает область G на область /4(G), содержащуюся
R
в круге I kj4 < ,,,, , , <.RZo, и, следовательно,
I /з (го,11
а это противоречит определению числа Rzo, как нижней грани
множества чисел sup I F (z) I, i7 (z) ? ?2„. Теорема доказана.
При доказательстве мы нашли, что функцию, осуществляющую
конформное отображение области на круг, можно подчинить доба-
добавочным условиям:
/Ы = о и ГЫ = 1,
где z0 — произвольная конечная точка области.
Полученный нами круг Ко имеет центр в начале координат
и вполне определенный радиус RZo. Этот радиус называется
конформным радиусом области G относительно точки г0.
Беря вместо f (z) функцию F (z) =-„— f(z), получим отображение
¦области G на единичный круг |оу[<;1. Функция, осуществляющая
¦отображение, удовлетворяет условиям:
F(zo) = O, F(z0)>0.
Геометрически это означает, что точка z0 области G переходит
в центр единичного круга и что касательные ко всем кривым,
проходящим через точку z0, не испытывают поворота при пере-
переходе к образам этих кривых, проходящим через центр круга.
Покажем, что имеет место следующая теорема единст-
единственности для конформных отображений.
Теорема. Существует лишь одна функция F(z), конформно
отображающая область G на круг | w \ <. 1 и удовлетворяющая

§ 2] ТЕОРЕМА ЕДИНСТВЕННОСТИ 37
условиям
F(zo) = O и F'(z0)>0,
где zQ — заданная конечная точка области G.
В самом деле, пусть w% = Fi (z) — функция, удовлетворяющая
тем же условиям. Тогда функция а^ — Т^/7 (до) = Ф (w), являю-
являющаяся однозначной и аналитической в единичном круге, удовлет-
удовлетворяет условиям:
Ф @) = F±F^ @) = Л (z0) = 0, Ф' @) = -р^-Л' Bо) > 0
и конформно отображает этот круг сам на себя. В силу леммы
Шварца (п. 6.2 гл. третьей) имеем:
11^1 = 1© (йУ)|<|[?/|.
Но то же рассуждение применимо и к обратной функции
Поэтому получаем:
откуда следует, что имеет место равенство
Ф(до)|= |до|, \w\ <1,
т. е. по лемме Шварца,
Ф (w) = eiaw.
Из того, что Ф' @) > 0, вытекает, что eia — 1, следовательно:
Ф (до) = w, FiF'1 (до) = w,
или
в области G, чем и заканчивается доказательство.
2.3. Пусть {Gn} — последовательность односвязных областей
конечной плоскости z, содержащих фиксированный круг k с цент-
центром г0. Рассмотрим множество Е всех точек плоскости, из кото-
которых каждая обладает окрестностью, принадлежащей всем обла-
областям Gn, начиная с некоторого номера п. Очевидно, все точки
круга k принадлежат Е. Поэтому Е — не пустое множество.
Кроме того, оно является открытым и, следовательно, представ-
представляет собой конечную или счетную совокупность областей, попарно
не имеющих общих точек (см. п. 4.2 гл. первой). Ту из них,

38
КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
[ГЛ. 5
которая содержит точку г0, а следовательно, и круг k, мы назо-
назовем ядром последовательности областей {Gn} (относительно
точки z0) и обозначим через GZo. Ядро Gzo является наибольшей
из областей, содержащих z0 и обладающих тем свойством, что
любое замкнутое множество F ее точек принадлежит всем обла-
областям Gn, начиная с некоторой из них. Иными словами, каждая
область g, содержащая точку zQ и обладающая указанным свой-
свойством, содержится в GZfj. В самом деле, если FczGZ0, то для
каждой точки t,?F можно указать окружность ?/6, принадлежащую
областям Gn при n>v(Q. Покрывая F конечным числом таких
*z's
^ 1 ^
г, /Л.
Рис. 3.
Рис. 4.
окрестностей t/j. (у = 1, . . ., т) (что возможно, по лемме Гейне—
Бореля) и выбирая наибольшее из чисел v (?,•) (у =1, . . ., т),—
пусть это число есть v,— найдем, что при n>v все окрестности {/^.,
а следовательно, и все множество F, будут содержаться в Gn. Если
какая-либо область g обладает аналогичным свойством, то для
каждой ее точки должна существовать окрестность, принадлежащая
всем областям Gn, начиная с некоторой из них. Поэтому g cr E, и
если g содержит точку г0, то g принадлежит связной компоненте
множества Е, содержащей эту точку, т. е. gczGZo- На рис. 3 пред-
представлены области Gn, из которых каждая состоит из двух фикси-
фиксированных прямоугольников D' и D", соединенных между собой
прямоугольником бп постоянной длины / и неограниченно убываю-
убывающей высоты hn. В этом примере множество Е состоит из прямо-
прямоугольников D' и D"'. Ядром последовательности {Gn} относительно
точки z'o g D' является прямоугольник D', ядром той же последо-
последовательности относительно точки z ? D"—прямоугольник D".
Назовем последовательность {Gn} сходящейся к свое-
своему ядру GZo, если любая подпоследовательность этих областей
обладает тем же ядром относительно точки z0, что и вся последова-
последовательность.
В нашем примере последовательность {Gn} сходится к ядру
D' (относительно точки z'a), а также к ядру D" (относительно
точки z).

§2]
ОБЛАСТИ С ПЕРЕМЕННЫМИ ГРАНИЦАМИ
39
с переменными
Пусть {Gn} — последо-
фиксированном круге
Рис. 5.
На рис. 4 указан пример расходящейся последовательности
областей {Gn}. Здесь каждая из областей G2m-i совпадает с одним
и тем же прямоугольником D', а каждая область G2m совпадает
с прямоугольником D", отличным от D', но имеющим с D' общую
часть — прямоугольник б. Ядром последовательности {Gn} относи-
относительно любой точки z0 6 б является прямоугольник б. Однако ядро
подпоследовательности {G2m-i} относительно той же точки есть D',
а ядро подпоследовательности {G2m} относительно z0 есть D". Отсю-
Отсюда вытекает, что последовательность {Gn} в этом примере расходится.
Следующая теорема выявляет значение введенных здесь понятий
для теории конформного отображения.
Теорема об областях
границами (Каратеодори)
вательность областей, содержащихся
К: | г 1 < R (т. е. равномерно огра-
ограниченных) и заключающих в себе неко-
некоторый круг k: \ z — 20 | < р. Обоз-
Обозначим через w — fn (z) функции, кон- ,
формно отображающие области Gn на
единичный круг А: | w | < 1 и удовле-
удовлетворяющие условиям fn (z0) = О,
fn (z0) > 0, а через w = f(z) — функцию,
конформно отображающую ядро GZo
последовательности {Gn} на единичный круг и удовлетворяющую
условиям f (z0) = 0, f (z0) >0 и пусть z = <pn (w) и z = q> (w) —
функции, обратные к указанным. При этих условиях из сходимости
последовательности областей {Gn} к своему ядру GZo следует равно-
равномерная сходимость последовательности {/„ (z)} внутри Gzo к функ-
функции f (z) и последовательности {ф„ (w)} внутри А к функции ср (w).
Обратно, равномерная сходимость функций {/„ (z)} к f (z) (или
{фп (w)} к ф (w)) влечет за собой сходимость последовательности
{Gn} к своему ядру GZo.
Доказательство. Не делая пока никаких предположе-
предположений о сходимости последовательности {Gn}, рассмотрим последова-
последовательность функций {/„ (z)}. Каждая из них определена в своей обла-
области Gn, и может случиться, что для любой из них существуют такие
точки ядра Gzo, в которых данная функция не определена (достаточ-
(достаточно представить себе возрастающую последовательность областей
{Gn}: Gn cz Gn+i, которые приближают изнутри область G, являю-
являющуюся в этом случае ядром последовательности {Gn} (рис. 5)).
Однако, каждое замкнутое множество точек области Gzo, в частно-
частности, каждый замкнутый круг, принадлежащий GZo, содержится
во всех областях Gn, начиная с некоторой из них, и, следовательно,
все функции {/„ (z)}, начиная с некоторой из них, определены
и являются аналитическими на этом множестве. Так как все

40 КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ [ГЛ. 5
понятия и теоремы, относящиеся к компактности семейств аналити-
аналитических функций, имеют дело только с поведением функций на
замкнутых множествах точек данной!области, то мы можем приме-
применять их в данном случае к последовательности {fn (z)} и области Gzo.
Фиксируем произвольную последовательность неограниченно
возрастающих натуральных чисел {%}, и пусть G'zo— ядро после-
последовательности областей {Gnk}; так как функции {/Пд (г)} равномер-
равномерно ограничены (]/„ (г) | < 1), то из {пк} можно выделить под-
подпоследовательность индексов {n'kj такую, что последовательность
функций {fn> (г)} будет равномерно сходиться внутри G'ZQ. Выделим
из {n'k} новую подпоследовательность {nh} так, чтобы последова-
последовательность функций {ф~ (w)} равномерно сходилась внутри единич-
единичного круга (это возможно, так как функции cpn (w) равномерно
ограничены в единичном круге: | cpn (w) | </?). Очевидно, последо-
последовательность {f~ (z)} по-прежнему будет равномерно сходиться
внутри G'2O. Однако ядро Gzo последовательности областей {G~}
может отличаться от G'Zo; во всяком случае, GZo id G'Zo (так как
последовательность {G~ } содержится в последовательности {G'n }).
Из того, что последовательность функций {/~ (z)} равномерно
ограничена и сходится на части G'zo области G2o, следует, по
теореме Витали, что она равномерно сходится внутри GZo. Итак,
мы установили, что из любой последовательности натуральных
чисел {пк} можно выделить подпоследовательность {nh} такую, что
функции {f~ (z)} будут равномерно сходиться внутри ядра GZo
последовательности областей {G~} к некоторой аналитической
функции / (г), а обратные им функции {ср^ (w)} будут равномерно
сходиться внутри круга | w \ < 1 к некоторой аналитической функ-
функции q>(w). Очевидно,
/>о)= Ит/~(го) = О и f(zo)= Hm/;ft(z0)>0,
точно так же
$@) = limcp~@) = z0 и 5'@)= ПтФ~ @)>0.
Итак, существуют конечные пределы как для чисел /~ (г0),
так и для обратных им чисел <р~ @) = -; . Отсюда следует,
k /Bо)

§ 2] ОБЛАСТИ С ПЕРЕМЕННЫМИ ГРАНИЦАМИ 4 Г
что оба предела отличны от нуля, т. е. /' (z0) > 0 и ср' @) > 0,.
причем /' (z0) • ф' @) = 1. Далее, / (г) ф const и ф (хю) ф const, откуда,
по теореме п. 1.4, заключаем, что /(г) и ф (w) являются одно-
однолистными в соответствующих областях GZo и Д.
Из того, что |/~ (г)]<;1, следует, что |/(z)| <1, т. е. образ
/ (GZo) содержится в единичном круге А; кроме того, f{GZ0) со-
содержит точку 0. Образ ф (Д) содержит точку z0; покажем, что он
заключается в области GZo. Пусть w?A; тогда г = ф(ш) есть
точка области ф(Д). Убедимся в том, что существует окрестность
точки г, содержащаяся во всех областях G~ , начиная с некото-
некоторой из них. Функция z = ф (w) отображает окружность б: \w — w\ =
= р, содержащуюся в Д, на замкнутую жорданову кривую у,
содержащуюся в ф (Д). При этом внутренность кривой у принад-
принадлежит ф (Д) и содержит точку г. Построим замкнутый круг
С: | z — г|<>, лежащий внутри у, и обозначим через е расстоя-
расстояние между С и у; очевидно, е>0. Для w?b и ??С имеем:
| ф (ш) — 11 > г;
с другой стороны, при всех nh> N на окружности б должно
выполняться неравенство
Отсюда, по теореме Руше (см. п. 3.5 гл. четвертой), заключаем,
что функции ф (w) — ? и ф~; (w) — t, = [ф (w) — ?] -f- [ф~^ (w) — ф (w)]
имеют одно и то же число нулей внутри у, т. е. каждая точка t
круга С принадлежит образу ф- (A) = G~ при nh>N. Итак,
ft R,
каждая точка г?ф(Д) обладает окрестностью (\z — z\<C.r), при-
принадлежащей всем областям G~ , начиная с некоторой из них. Так
как ф (Д) есть область, содержащая z0, то отсюда, в силу основ-
основного свойства ядра последовательности {G~}, следует, что
И,
Ф (Д) cr Gzo. Это мы и утверждали.
Из того, что z = q>(w) конформно отображает А на ц>(А) czGZo>
a w = f(z) конформно отображает G2o на область /(GJcA, вы-
вытекает, что функция ^ (w) = /ф (w) конформно отображает А на
область J(Gzo), содержащуюся в А. Замечая, что г|;@) = / ф@) =
= /(zo) = O и г)з' @) = ф' @)-/' (z0) = 1, заключаем по лемме

42 КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ [ГЛ. 5
Шварца, что г|з(а>) = eiaw, причем е*а = ф'(О)=1. Итак,
¦ф (w) = / ф (w) = ay или ф(да) = /~1(да),
т. е. ср (w) является функцией, обратной по отношению к / (г).
Если, следовательно, w — произвольная точка круга А и z = cp(^)?
?cp(A)c:GZo, то f(z) = w^f(GZ0). Поэтому область f(GZo), содер-
содержащаяся в А, содержит любую точку из А, т. е. совпадает с А.
Точно так же ср (А) совпадает с GZo. Мы нашли, что функции
w = / (z) и z = ср (w) являются взаимно обратными и первая из них
осуществляет конформное отображение ядра Gzo последователь-
последовательности {G~} на единичный круг; при этом выполняются условия
Т(го) = О и f (zo)><).
После того как эти факты установлены, доказательство первой
части теоремы заканчивается следующим образом.
Допустим, что данная последовательность областей {Gn} схо-
сходится к своему ядру Gzo. Тогда для любой подпоследовательности
областей {G~} ядро остается одним и тем же: 3Z0 = GZo. Следо-
Следовательно, предельная функция f(z) = limfnft(z) отображает на
•единичный круг одну и ту же область Gzo при неизменных усло-
условиях / (z0) = 0 и /' (z0) > 0. Отсюда, в силу теоремы единственности
для конформных отображений, вытекает, что все возможные равно-
равномерно сходящиеся подпоследовательности функций {/~ (z)} обла-
обладают одним и тем же пределом /(z) = f(z). Допуская, что после-
последовательность {fn (z)} не сходится к f (z) равномерно внутри Gzo,
мы должны иметь такое замкнутое множество F c:GZo, на котором
равномерная сходимость не имеет места. Это означает, что суще-
существуют число а>0, последовательность точек {zk}, принадлежа-
принадлежащих F, и неограниченно возрастающие натуральные числа nk,
такие, что
1 \f(Zk)-fnk(zh)\>a (k=l, 2, ...).
Но, в силу компактности, из последовательности {fnft(z)} можно
выделить подпоследовательность {/„ft (z)}, равномерно сходящуюся
внутри Gzo и, в частности, на множестве F. Предельной функ-
функцией подпоследовательности будет при этом/(г). Отсюда вытекает,
что при всех достаточно больших значениях km, на множестве F
выполняется неравенство
|/(z)-/», (г) \< а.

§ 2] СВОЙСТВА ОДНОЛИСТНЫХ ФУНКЦИЙ 43
Но это противоречит тому, что в точках zh должно иметь место
неравенство
Из найденного противоречия вытекает, что последовательность
{/n (z)} равномерно сходится к / (г) внутри Gzo.
Обратное предложение (вторая часть теоремы) получается сле-
следующим образом.
Допустим, что последовательность областей {Gn} не сходится
к своему ядру Gzo. Тогда существует подпоследовательность {G-пЛ,
ядро которой отлично от GZo (содержит GZo, как правильную часть).
Выделим из {fnk(z)} новую подпоследовательность {/- (г)}, равно-
равномерно сходящуюся внутри ядра GZo соответствующей подпоследова-
подпоследовательности областей {G~}. Предельная функция f(z)= lim /~ (г)
___ "ft-*00
отображает конформно область Gzo на круг | w | < 1 и, следова-
следовательно, не совпадает с функцией / (z), конформно отобража-
отображающей GZo, т. е. правильную часть этой области на тот же круг.
Отсюда вытекает, что {fn(z)} не может сходиться к /(г), если
последовательность областей {Gn} не сходится к своему ядру Gzo.
Этим и заканчивается доказательство теоремы.
Чтобы иллюстрировать эту теорему, обратимся к последова-
последовательности областей {Gn}, изображенных на рис. 3. Обозначим
через fn (z) и Fn (z) функции, конформно отображающие Gn на
единичный круг и удовлетворяющие соответственно условиям:
fn(z'o) = O, /Ж)>0 и ^пЮ-0, F'n(z)>0.
Тогда последовательность {/„(z)} будет равномерно сходиться
внутри прямоугольника D' к функции / (г), отображающей D' на
единичный круг, и последовательность {Fn (г)} будет равномерно
сходиться внутри D" к функции F (z), отображающей D" на еди-
единичный круг.
2.4. В этом пункте мы изучим некоторые общие свойства
однолистных функций.
Теорема 1 (Теорема площадей). Пусть
— функция однолистная вне единичного круга. Тогда
212<1. B.4:1)
2
Доказательство. Функция w = F (?) отображает окруж-
окружность |?| = р;>1 на замкнутую жорданову кривую ур, ограничи-

44
КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
[ГЛ. 5
вающую область с площадью <тр; при этом однократному обходу
окружности в положительном направлении соответствует однократ-
однократный обход кривой ур также в положительном направлении. Для
площади 0Р получаем выражение (сравните выкладки в п. 2.1):
2Я
IS I=p
2я
= Y I Im
о
= Im [^(p2_|ai
"I" «о -г
X / [
J- a2p~2e2ie + • • • ] X
Отсюда следует, что
при любом р>1. Так как 2 «|an|2p~2n<p2, то, переходя к пре-
1
Л'
делу при р—*1, получаем: 2rt|an|2<^l и, наконец, при Л/—> оо:
,/г a
Теорема 2. Пусть
— функция однолистная в единичном круге. Тогда
|а2|<2,
причем равенство достигается только в случае функции
г
B.4:2)
— 7 \_
;
конформно отображающей единичный круг на область, граница
которой есть прямолинейный луч, представляющий продолжение
вектора —-^e-ia от конца этого вектора до бесконечности.

§ 2] СВОЙСТВА ОДНОЛИСТНЫХ ФУНКЦИЙ 45
Доказательство. Рассмотрим функцию
Она является однозначной и аналитической в единичном круге и не
обращается в нем в нуль. В самом деле, ср @) = 1 Ф 0, а если z Ф 0,
то ф (z) = -^р-, и так как / (г2) Ф 0 при z Ф 0 (в силу однолист-
однолистности), то и ц>(г)фО при 2=7^=0. Поэтому двузначная функция
¦\р (г) = 1/ 2 имеет две однозначные аналитические ветви в еди-
единичном круге. Мы выберем ту из них, которая обращается в еди-
единицу при z = 0. Тогда будем иметь:
— разложение, которое, в силу аналитичности функции гр (z), должно
сходиться в единичном круге.
Заметим, что ifi (z) является четной функцией.
Образуем, далее, нечетную функцию
) B-4:3)
и убедимся в том, что она является однолистной в единичном круге.
Действительно, если x(Zi) = x(z2), то f (z*) = / (г*), т. е. z1=±z2.
Но если Zj= — г2ф0, то % (z{) = — x(z2), и, следовательно, равен-
равенство % (zy) = х (z2) невозможно (функция % (г) обращается в нуль
вместе с /(г2), т. е. только при z = 0). Итак, мы должны иметь
zi = z2, откуда и следует, что % (г) — однолистная функция.
Заменим, наконец, г на -г и % (г) = % (—] — на F (?)= .
чт)
Так как мы пользуемся при этом только дробно-линейными пре-
преобразованиями (однолистными), то функция /"(?) будет также одно-
однолистной во внешности единичного круга (если | z\ < 1, то | g | >- 1).
Для нее находим следующее разложение:
[

46 КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ [ГЛ'. 5
Следовательно, по теореме 1:
~2~
и, наконец,
Если в этом соотношении имеет место равенство
а2| = 2, т. е. a2 = 2eia,
то все коэффициенты в разложении F(Q, начиная с коэффициента
при ?~2, должны обращаться в нуль. Следовательно,
откуда
и, наконец,
/B) = '
Для этой функции тейлоровское разложение таково:
f{z) = z f 2eiKz2 + 3e2ia23+ ... +ne("-1)i«2n-f- ...
Характер отображения, получаемого посредством этой функции,,
проще всего усмотреть, выполняя последовательно простейшие ото-
отображения:
Zi==^eiaz, Z2 = i.(Zl + J_M z3=-2eto(za+l), a; = -l = f(z).
Теорема 3. Область G плоскости w, на которую одно-
однолистная функция
f(z) = z + O2Z2+ ...+anzn+...
отображает единичный круг, всегда содержит круг с центром-
в начале координат и радиусом, равным -j-.
Доказательство. Пусть w0 — произвольная граничная точка
области G. Тогда функция

§ 2]
СВОЙСТВА ОДНОЛИСТНЫХ ФУНКЦИЙ
47
будет также однолистной в единичном круге. Она имеет следующее
разложение:
г
W0
По теореме 2, мы должны иметь:
поэтому
1
Wq
Итак, в круге \w\<C-j- не лежит ни одной граничной точки-
области G. Так как центр этого круга (w — О) лежит в области G,
то и весь круг содержится в области G.
В случае функции w =
A
гJ
точка —те~га является rpa-
ничной для соответствующей области G. Следовательно, число —
в условии теоремы 3 нельзя заменить большим числом.
Теорема 4 («Теорема об искажении»). Если функция
f(z) = z + a2z*-T...+anzn+...
однолистна в единичном круге, то растяжение | f' (z) | («искажение»)
при отображении w = f(z) удовлетворяет в каждой точке z,
| | 1
р
1, неравенствам
13-
B.4:4)
Знаки равенства в этих соотношениях достигаются в точках
z ф О только для функции f (z) = ^— .
Доказательство. Пусть z = reiQ — произвольная точка еди-
единичного круга. Выполним отображение единичного круга | ? | < 1
самого на себя так, чтобы эта точка перешла в начало координат..
Получим:
?' = I~z или ? = _1~г .
При этом преобразовании функция / (?) перейдет в функцию

48
КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
[ГЛ. 5
также однолистную в единичном круге
. Имеем:
откуда
или
Применяя к однолистной функции -ф (?') теорему 2, получим:
2
A— И2) — 2г
или
Отсюда
/'(г)
/" (г) 2/-2
/'(г) 1-/*
Аг
1_ Г2 •
B.4:5)
B.4:5')
1—/
/" (г)
[—/¦2 '
Замечая, что
Ln Г
f (г) Г'
г—-r L"
In | /'(г) | a Arg Г (г)
|
/' (г) dz
(см. т. I, формула A.3:9) второй гл.), находим:
Аг
i In [/'(?)! 2/-2 ^
дг
1—га ^ 1 —/
4r ^ r д Arg /' (г) ^ 4г
т. е.
1—Г2^' ЙГ
2г —4 ^д\г
1_-Г2^ ЙГ ^1-Г
4 < д Arg ^ (г) 4_
B.4 : 6)
B.4:7)

$2] СВОЙСТВА ОДНОЛИСТНЫХ ФУНКЦИЙ 49
Интегрирование соотношений B.4 :6) по г от 0 до r=-|:z| дает:
In 71Ц=4з < In I f (г) L< In М1 + Г. ,
или
Это и есть нужный результат.
Знак равенства в правой или в левой части при каком-либо
значении z ф 0 предполагает знак равенства в соответствующей
части соотношений B.4:6) для всех точек прямолинейного отрезка,
соединяющего 0 и z. Поэтому знак равенства в соответствующих
точках должен иметь место и для соотношения B.4 : 5). Полагая
здесь z=0 и замечая, что f @) = l, найдем:
К1
откуда, по теореме 2, следует, что / (г) = т^— .
Для этой функции знаки равенства в соотношениях B.4:8)
действительно достигаются. А именно:
и при z-—\z e~ia имеем:
а при 2= —\z\e~ia имеем:
/'B) = ,
Неравенства B.4 : 7), полученные при доказательстве, позволяют
оценить Arg/'(z), т. е. угол, на который поворачиваются касатель-
касательные к кривым в результате отображения w = f(z).
Интегрируя почленно соотношения B.4:7) от 0 до г = \ z | и заме-
замечая, что /'@) = 1, найдем:
{±|^-. B.4:9)
Здесь Arg /' B) обозначает ту ветвь многозначной функции
в единичном круге, которая обращается в нуль в точке 2 = 0.
Оценка эта — не наилучшая из возможных. В окончательной форме
оценка Arg /' B) была получена иными, более сложными средствами
4 А. И. Маркушевич

50 КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ [ГЛ, Ъ
Г. М. Г"Ълузиным. Она выражается следующими неравенствами:
|Argf'(z)|<
4arcsin|z| при |z|<—^-,
B.4: 10)
Эти неравенства составляют содержание теоремы враще-
вращения в теории однолистных функций. Они являются точными в том
смысле, что существуют однолистные функции (отличные от
^—], для которых |Arg/'(z)| принимает значения, сколь
угодно близкие к значениям правых частей соотношений B.4: 10)
в наперед заданной точке единичного круга.
Вернемся к полученным выше неравенствам B.4 : 6) с тем, чтобы
вывести из первого из них простое геометрическое свойство кон-
конформных отображений. Замечая, что
31n|/'(z)l _dATgf'(z) _v Г dLnf'W] _ и Г, Г (г)
(см. т. I, формулы A.3:9) и A.3:10) главы второй), получаем
из B.4:6):
д k~tg Г (г) 2г*-Ь Г94-1П
щ >Т=7Г- B.4.11)
Пусть Г: w = / (reie), 0 <; 9 <; 2я, есть образ окружности у: | z \ = е
при отображении w = f{z). Так как касательная к у в точке2 = ге*г
наклонена к действительной оси под углом Э-р-п-» то касательная
к Г в соответствующей точке f(reie) наклонена к действительной
оси под углом ф = 9 4--5-+ Arg/'(геш) и знак производной -зтг =
д Агй f (re*®)
= 1 -\ ^к^ ¦ определяет характер изменения угла наклона
касательной к Г в точке f(reiB), описывающей Г в положительном
направлении (при возрастающем 9). В частности, соотношение
-~- >0, выполняющееся в некотором интервале в' < в < 9", озна-
означает, что соответствующая дуга Г обращена вогнутостью к точке
а> = 0 (т. е. выпукла со стороны внешности Г), а соотношение
^, —что эта дуга обращена выпуклостью к точке w = 0
(т. е. вогнута извне). Но сведения о знаке производной
^-= 1 -\ go можно извлечь из неравенства B.4 : 11). А

§ 2] СВОЙСТВА ОДНОЛИСТНЫХ ФУНКЦИЙ 51
именно, находим:
—2—Уз)
Отсюда вытекает, что -щ- > 0 при всех 0 ? [0, 2я], если г < 2 —
—уз = 0,2678 ... (г>0), т. е. что образ Г каждой из окруж-
окружностей |z| = r<2 — У есть выпуклая кривая при любом кон-
конформном отображении вида
Для функции f B) = ^— имеем:
/"(г) _ 2(е{агJ~Ие1аг
2 /'(г)" 1_(в^г)Я ;
при z = — re~ia это выражение принимает действительные значе-
2/-2 — 4г
ния ^2 , откуда следует, что
Ш
~ 1 —га
Очевидно, эти значения -~ отрицательны, если г>2 —
— ]/3 (г<1), т. е. образы окружностей |z| = r>2 — УЗ (г<1)
при отображении w = Ц^— уже не являются выпуклыми
кривыми.
Теорема 5. Функция
однолистная в единичном круге, удовлетворяет неравенствам:
У<(Г^Т?. B.4:12)
Знаки равенства в этих соотношениях могут достигаться при
гфО только для функции
Доказательство. Интегрируя вдоль радиуса, соединяю-
соединяющего точки 0 и г, обе части неравенства

52
;i:i КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
[ГЛ. 5.
установленного в теореме 4, найдем:
И
l
Это — второе из требуемых неравенств.
Чтобы получить первое из этих неравенств, рассмотрим образ Г
окружности |z| = r при отображении w = f(z). Г является замкну-
замкнутой жордановой кривой плоскости w, заключающей внутри начало
координат. Если R > 0 есть расстояние от точки w = 0 до кривой Г,
то на Г должна быть по крайней мере одна точка Wi — f (zj (| zt | = г)
такая, что \f(zi)\ = R. Отрезок Д прямой, соединяющий точки 0
и / (Zi), принадлежит образу единичного круга при отображении
w = f(z); поэтому прообраз б этого отрезка принадлежит единич-
единичному кругу. Имеем при | z | = г (применяя первое из неравенств,
установленных в теореме 4):
dz
d\z\
d\z\
Неравенства B.4:12) доказаны. Очевидно, равенство в них
может достигаться для некоторого z =^= 0 только тогда, когда оно
имеет место в соответствующем неравенстве B.4 :4) предыдущей
теоремы.
В этом случае, как мы знаем, / (z) — т^— .
Теорема 6. Площадь области G, на которую функция
B.4: 13)
{) + ... +anzn+ ...
отображает единичный круг, имеет величину
S = K[l+2|a2|2+ ... 4- п К |2+...]> л.
Она обращается в л только тогда, когда f (z) = z.
Доказательство. Пусть Гг есть образ окружности | z \ =
= г « 1); при рассматриваемом отображении Гг является замкнутой
жордановой кривой, внутренность которой Gr принадлежит обла-
области G. Поэтому, обозначая площадь области GT через ST, имеем:
55
Убедимся в том, что любое ограниченное замкнутое множество
FcG будет принадлежать GT при r>r(F), т. е. что области Gr

§ 2] СВОЙСТВА ОДНОЛИСТНЫХ ФУНКЦИЙ 53
аппроксимируют G изнутри. Пусть {гп} — последовательность воз-
возрастающих значений радиусов, сходящаяся к 1. Допустим, вопреки
утверждению, что для каждого п существует точка wn ? F, не при-
принадлежащая GTn. Последовательность {wn} обладает предельной
точкой wQ, принадлежащей F и, следовательно, содержащейся
в области G. Ее прообраз z0 лежит в единичном круге, и вместе
с некоторой своей окрестностью ?/0 принадлежит всем кругам
| z | < гп при п > N. Поэтому / (Uo) принадлежит всем областям Grn
при n>N. Но точка w0 содержится в f(U0) вместе с некоторой
своей окрестностью, а в последней должны находиться точки wn
со сколь угодно высокими номерами. Отсюда вытекает, что суще-
существуют точки wn, принадлежащие соответствующим областям Grn,
что противоречит определению этих точек. Из найденного противо-
противоречия следует, что множество F лежит в одной из областей GTn
(и во всех следующих за ней). Если мы (как это обычно делается)
определим площадь S области G (внутреннюю) как верхнюю грань
сумм площадей квадратов, содержащихся в области G вместе
со своими контурами и принадлежащих произвольно мелким раз-
разбиениям плоскости на квадраты, то из доказанного свойства обла-
области Gr будет следовать, что
В самом деле, для любого конечного множества упомянутых квад-
квадратов одного и того же разбиения можно найти такое число г0 < 1,
что при г>г0 области GT будут содержать внутри эти квадраты.
Сопоставляя неравенства, найденные для S, получаем:
S = limSr.
Но для площадей Sr имеем выражения:
ди ди_ /-» г*
д* ' д/ dxdy= \ \ \f'{z)\>rdrdQ
dv_ ди_
дх ' ду t/,t/
I так как, в силу уравнений Даламбера — Эйлера,
ди dv ди dv _ I ди \ 2 / dv \ 2 _ , ., , , ,2\
дх ду ду дх \дх) \ дх ) ' v /
Заменив f (z) разложением в ряд
Г(г)=/'(«1в) = 1+2

54 ¦ конформные отображения [гл. 5
найдем
г 2л <х>
Sr = J J [ 1 + 2 Ла*/-*-1^*-*)»] х
О 0 k=2
х [ +
k=2
[ 1 +
О fc=2 ft=2
Убедимся, наконец, в том, что
HmSr = n[l + § Л |а*Г] -
Это утверждение следует из второй теоремы Абеля (т. I, п. 7.3
гл. третьей), примененной к степенному ряду:
если предположить, что этот ряд сходится при 2=1. Если же он
оо
расходится, т. е. если п [l + 2 k\ak\2] — оо, то для сколь угодно
п
большого Л>0 имеем: л [l + 2 k \ ak I2] > А при п> N (Л);
ft=2
п
поэтому и я [г2 + 2 ^ I ak |2 /ft] > ^ при фиксированном п и всех г,
ft=2
достаточно близких к 1. Отсюда вытекает, что
оо
5г-я[г2+ 2 k\ah\*M>A
ft=2
при всех г, достаточно близких к 1, т. е. Нт5г = оо.
г-*1
Следовательно, во всех случаях конечная или бесконечная пло-
площади области G выражаются формулой
S = jt A+2 |a2]2+...+n|an|2+ ...)>"•
В случае равенства
S = n
мы должны иметь:
а2 ==...= а„ ==...= О,
т. е.

§ 2] СВОЙСТВА ОДНОЛИСТНЫХ ФУНКЦИЙ 55
Итак, при конформных отображениях круга \ г | < 1 посред»
ством функции
= z + a2z*+...+anzn+...
¦во всех случаях получаем область с большей чем у круга пло-
площадью; исключение составляет лишь единственный случай тож-
тождественного отображения. Разумеется, этот результат немедленно
распространяется на конформные отображения круга с любым цен-
центром и радиусом, при условии, что производная отображения
в центре круга равна единице.
Пусть G— произвольная односвязная область конечной плоско-
плоскости с границей, содержащей более одной точки, и г = ф(ш) —
функция, конформно отображающая G на круг К с центром в начале
координат так, что при этом ф (w0) = 0 и ф' (ш0) = 1 (w0 ? G);
радиус К, равный RWo, есть конформный радиус области G отно-
относительно точки w0 (п. 2.2). Обозначим через dWo расстояние от
точки w0 ДО границы области G. Площадь образа круга | w — w0 \ <
<ldWo, с одной стороны, должна быть не меньше, чем площадь ndl,a
этого круга, а с другой — не больше, чем площадь nRm0 всего
круга К. Поэтому
Применяя к рассматриваемому отображению теорему 3, в условии
которой следует единичный круг заменить кругом | z \ < Rwo и точку
w -= 0 — точкой w0, найдем, что область G содержит круг с центром
п
io0 радиуса —р-. Поэтому;
"wo > ~4~~ ¦
Итак, конформный радиус Rwa связан с расстоянием dWo неравен-
неравенствами
В частности, RWo стремится к нулю, если dWo стремится к нулю.
Лемма. Если f(z) = z -\~ a2z2 + ... + OnZn + . .. — функция,
однолистная в единичном круге, то
j^ npur<\. B.4:14)
о
Доказательство. Введем нечетную однолистную функцию
2 (z), использованную при доказательстве теоремы 2:

.56 ; конформные отображения •¦ [гл. -5
Эта функция конформно отображает каждый круг |z|<;r<l на
область Dr с площадью
(см. доказательство предыдущей теоремы).
Обозначим max | % (z) | через (х (г). Тогда будем иметь:
3 | 6312 г6 Н- 5 | Ъь |2 г10 4-
Но
[ц (г)]2 = max | х (z) |2 = max | / (г2) |= max | / (z)
(по теореме 5). Поэтому
откуда
или, интегрируя от 0 до г < 1:
Левая часть этого соотношения равна интегралу
2я
(см. т. I, п. 5.3 гл. третьей). Имеем:
2я 2я
_1_
2я
О О
Заменяя в последнем интеграле 29 на 9', получим:
2я 4я
о о
Но, в силу периодичности / (rVe'), рассматриваемой как функ-
функция от 9'
4я 2л
2я

,;§ 2j , СВОЙСТВА ОДНОЛИСТНЫХ ФУНКЦИЙ 57
Отсюда
2я 2л
1 р 1
2я J ' "' '' 2я
О
Итак,
2л
^J|/(rVe')|de'<-
О j
Наконец, заменяя г2 на г', будем иметь:
что и требовалось доказать.
Теорема 7. .Если
— функция, однолистная в единичном круге, то для любого к
имеем неравенство
\ап | <еп.
Доказательство. Имеем:
Отсюда, в силу леммы:
2я
Полагая здесь г=\ , получим:
что и требовалось доказать.
Этот результат далеко не является окончательным. Для коэф
фициентов \а3\ и | а41 может быть получена оценка, уже не допу
екающая улучшений:
К|<3, |а4|<4.
Для остальных коэффициентов наилучшая из известных до сих пор?
оценок получена И. М. Милиным, а именно:
|а„|< 1,243 п.

58 КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ [ГЛ. 5
Существует гипотеза (Л. Бибербах), что при всех п справед-
справедливы неравенства
\Оп\<П.
Если это верно, то среди однолистных функций вида / (г) = z +
¦+- a?f + • • • наибольшими по модулю коэффициентами обладает
функция
= г
A— е агJ
В. Хейман доказал, что для каждой однолистной функции
/(г), отличной от вышеприведенной, существует lim ^-^ = а/-< 1-
Поэтому для каждой такой функции и при всех п достаточно
больших выполняются неравенства:
Для дальнейшего изучения теории однолистных функций см.
Г. М. Голузин, Геометрическая теория функций комплексного
переменного, «Наука», 1966; Дж. Дженкинс, Однолистные
функции и конформные отображения, перевод с англ. В. П. Хавина,
М., 1962 и W. К. На у man, Multivalent Functions, Cambridge
University Press, 1958.
2.5. Здесь мы докажем теорему Гильберта о возможности кон-
конформного отображения любой многосвязной области на канониче-
каноническую область, получаемую из плоскости путем исключения прямо-
прямолинейных отрезков, параллельных действительной оси и, быть
может, отдельных точек*).
Лемма 1. Пусть G — произвольная область., содержащая окре-
окрестность UR: \z\>R бесконечно удаленной точки. Рассмотрим
семейство 2 всех функций аналитических и однолистных в G \ оо
и имеющих в UR разложение вида:
/(z) = z + ^- + -g-+... B.5:1)
Тогда: а) семейство {f(z)—z}, f(z)^'E, компактно в области G
и б) множество коэффициентов {at} ограничено.
Доказательство. Если f(z)?I,, то
/* (О ~~R~f (^?)= ? ++
*) Для изучения теории конформных отображений многосвязных областей
отсылаем читателя к статье: М. В. Келдыш, Конформные отображения
многосвязных областей на канонические области, Успехи математических наук,
т. VI A939), стр. 90—119 и монографии: Г. М. Голузин, Геометрическая
теория функций комплексного переменного, «Наука», 1966 (гл. V и VI).

i 2] ТЕОРЕМА ГИЛЬБЕРТА 59
однолистна вне единичного круга. Применяя к ней теорему пло-
площадей (п. 2.4), найдем
2п\пп
fl2n+
„ "V п 1 ап I2 ^ D2
ИЛИ 2j R2^ <А ¦
п=1 п=1
Г1оэтому
IfliK/?2. B.5:3)
Далее, на окружности \z
R*»
n=l n=l n=i
\f(z\ т <у \°п\ <Л/ у п\ап\2 у R*»
« n=l
(мы воспользовались известным неравенством Буняковского—
Шварца и неравенством B.5:2)). Отсюда
|/B)| <#' + #• = Я", |z| = /?'. B.5:4)
Так как да = / (z) ^ Е однолистна в (/Е и точку 2 = оо она пре-
преобразует в. w = оэ, то окружность \г\ = R' переходит в замкнутую
жорданову кривую IV, внешность которой целиком содержится
в f{UR). Поэтому, в силу B.5:4), окружность \w\ = R'" принад-
принадлежит f(UR) и значения, принимаемые / (z) в пересечении круга VR>:
\z\<zR' с областью G, не могут принадлежать области | w \ > R'".
Иными словами, семейство {/(г)} (а, следовательно, и {/ (г) — z})
равномерно ограничено в каждой области Vr< П G. Из B.5 : 3') сле-
следует также, что семейство {f(z) — z} равномерно ограничено и внутри
каждой области UR>, R' > R. Поэтому по теореме Монтеля семейство
{/ (z)—z) компактно в области G. Лемма доказана.
Из доказанного следует, что из любой последовательности
{fn (z)} cr 2 можно извлечь подпоследовательность {/„А (г)}, такую,
что {fnh(z) — z} равномерно сходится внутри UR и {fnh(z)} равно-
равномерно сходится на каждом ограниченном замкнутом множестве
точек области G. По теореме Гурвица предельная функция
Ф B) = lim /n (г)
однолистна в области G. Кроме того, в UR она имеет разложение
вида:
Следовательно,

60 КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ [ГЛ. 5
Лемма 2. Если функция /(г) однолистна во внешности
отрезка [ — К, К] (X > 0) и в окрестности г = с» имеет разло-
разложение вида:
0 + + +...;
/по Re6t<;0; равенство здесь достигается только в случае, когда
f b
(
Доказательство. Не ограничивая общности, можно счи-
считать, что Х = 2 (к этому случаю мы придем, заменяя г через
\г* и f(z) через -|/ (^2*) =/* B*)) •
Положим г = ? + -у ; тогда функция
будет аналитической и однолистной вне единичного круга. Приме-
Применяя к ней теорему площадей, получим:
|Н-А|2 + §пЫ2<]. B.5:5)
2
Отсюда
+M<1, B.5:6)
Если Re61 = 0, то bi = f>i, |l+6t| = /l + Р2 и, в силу B.5:6),
р = 0, т. е. ?, = 0. Поэтому из B.5:5) следует:
с2 = с3= . . . = 0,
откуда
Теорема Гильберта. Для каждой области G, содержа-
содержащей точку z— со, существует конформное отображение w — y(z)
на каноническую область D, все граничные континуумы которой,
не вырождающиеся в точку, являются прямолинейными отрез-
отрезками, параллельными действительной оси. При этом в окрестно-
окрестности z = со функция ф (г) имеет разложение вида:
. + -а+...
Доказательство. Рассмотрим семейство S всех функций
f{z), однолистных в области G и имеющих в окрестности UR:

$ 2] ТЕОРЕМА ГИЛЬБЕРТА 61
| z | > R точки z = от разложения вида:
В силу леммы 1 семейство {/ (г)} компактно; кроме того, множе-
множество {fli} ограничено; положим
sup Re ai = а.
Рассуждая совершенно так же, как и при доказательстве тео-
теоремы Римана (п. 2.2), найдем последовательность функций
{/„(г)} с: 2, которая будет сходиться к функции tp(z)?2 равно-
равномерно на каждом ограниченном замкнутом множестве точек обла-
области G, причем ее разложение в окрестности точки г ¦-— <х> будет
иметь вид:
ro-(p(z) = z + -^- + -^+.:.. B.5:7)
где
Reat = a. B.5:8)
Покажем, что область D = q>(G) расширенной плоскости w удо-
удовлетворяет условиям теоремы. Допустим противное, и пусть один
из невырожденных граничных континуумов б области D отличен
от прямолинейного отрезка, параллельного действительной оси.
Рассмотрим односвязную область А, являющуюся дополнением б
относительно расширенной плоскости. Посредством wl = w~1 пре-
преобразуем сначала А в область Аь причем w= со перейдет в ^--=0,
затем, по теореме Римана, преобразуем А4 в единичный круг
111 <1 посредством tt>i = fat + $zt2 + ¦ • • (Pi>0) и, наконец, посред-
посредством ^Pr'C + f1) или t = 2fc1[t+)??* —4ft]'1 отобразим еди-
единичный круг на внешность отрезка [—2Р, 2$~х) действительной
оси. В результате получим преобразование А на внешность послед-
последнего отрезка, причем w=co переходит в ?=оо. Преобразование
это имеет вид:
w = w~1= (fat+№+ ¦¦¦r1=jj + c0 + clt+...
|-Ь1Г1 + б2^а+...=г|3(С), B.5:9)
где, в силу леммы 2:
Re&!<0. B.5:10)
. Действительно, допуская, что Re6t = 0, мы, в силу этой лем-
леммы, имели бы: w = t, + bQ, т. е. континуум 8, вопреки предполо-
предположению, являлся бы прямолинейным отрезком, параллельным

62 КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ [ГЛ. &
действительной оси. Но из B.5 : 9) получаем:
? = !>-* (ш) = о;-&о—?-+•...
поэтому, в силу B.5:7):
^=^-+... B.5:11)
Очевидно, что функция F(z)^I.. Но для нее, в силу B.5:8)
и B.5: 10):
Re (cq — b,) = а — Re fr4 > a,
что противоречит определению числа а как верхней грани. Из этого
противоречия и следует справедливость теоремы Гильберта.
§ 3. Соответствие границ. Строение границы
односвязной области
3.1. Рассмотрим произвольную функцию z = X (t), определенную
и непрерывную в полуинтервале а < t < |3 и удовлетворяющую
условию X (Г) ф X (f) при f Ф t".
Мы будем говорить, что такая функция определяет криволи-
криволинейный полуинтервал -у. Значения z — X(t) будем называть
точками полуинтервала у, точку z = X(a) = z0— начальной его
точкой, а множество Еу точек, предельных для всех возможных
последовательностей zn = Я(tn), где tn—>fi, — предельным мно-
множеством криволинейного полуинтервала у. Два криволинейных
полуинтервала у и у' :z = X(t), a<^<p и z = X'(f), a'<f <f},
мы будем отождествлять тогда и только тогда, когда существует
непрерывная и возрастающая функция t' = \i(t), преобразующая
fa, E) в [a', P') и *,(*) в *,'(*')•
Примером криволинейного полуинтервала может служить любая
жорданова кривая, из которой удалена ее конечная точка г''. Для
нее предельное множество состоит из единственной точки г'.
Очевидно, каждый криволинейный полуинтервал, предельное
множество которого состоит из одной точки z', может быть пре-
превращен в жорданову кривую, если к нему присоединить эту
точку z', полагая X(fi) = z'. Такого рода криволинейные полуин-
полуинтервалы мы будем называть жордановыми, а точку z' — концом
жорданова полуинтервала.
Пример другого рода представляет криволинейный полуинтер-
полуинтервал у:
* + isin (a<

$ 3) ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ 63
(т. е. график функции # = sin—, х?[а, 0)) . Для него предель-
предельным -множеством является отрезок мнимой оси —1<#<1. При-
Присоединяя его к. у, ,мы получим континуум, который не будет,
однако, непрерывной кривой.
Отметим две теоремы, относящиеся к конформному (и, более
того, к любому гомеоморфному) отображению областей.
Теорема 1. Если {zn} — последовательность точек обла-
области G, все предельные точки которой лежат на границе Г этой
области, то все предельные точки последовательности {wn = f{zn)}.
где w = f (z) конформно отображает G на область D плоско-
плоскости w, лежат на границе А последней области.
Доказательство. Так как wn?D (я=1, 2, ...), то пре-
предельные точки последовательности {wn} должны принадлежать D.
Пусть одна из них, w0, не лежит на А; тогда wo?D и суще-
существует замкнутая окрестность UQ точки w0, принадлежащая D. Ее
прообраз в плоскости z представляет собой некоторую замкнутую
область g0 c= G. Из того, что Uo содержит бесконечное множество
членов последовательности {wn}, вытекает, что g0 содержит беско-
бесконечное множество членов последовательности {zn} — прообразов
точек wn. Поэтому должны существовать предельные точки после-
последовательности {zn}, лежащие в g0, т. е. внутри области G, что
противоречит условию теоремы. Этим и заканчивается доказа-
доказательство.
Теорема 2. Если у — криволинейный полуинтервал области G,
предельное множество которого принадлежит границе Г этой
области, то f(y), где w — f (z) — функция, конформно отображаю-
отображающая область G на область D = f(G), есть криволинейный полу-
полуинтервал области D, предельное множество которого лежит
на ее границе А.
Доказательство. Пусть у определяется уравнением z = К(t),
a*Ct<ifi, где %{t) — непрерывная функция действительного пара-
параметра t, удовлетворяющая условию %(t')=?%(t"), если f'ф(''. Тогда
для образа / (у) при конформном отображении w = f (z) получаем
уравнение w = f[k(t)] a<^<p, где при t' =f=f имеем %(t')^K{t")
и, следовательно, / [K(t')] Ф-f [%(t")]\ отсюда следует, что f(y) есть
криволинейный полуинтервал области D = f(G). Для произвольной
последовательности {/„} значений t, сходящейся к f>, последова-
последовательность соответствующих точек {zn = X (tn)} имеет, по условию,
все свои предельные точки на Г. В силу теоремы 1, все предель-
предельные точки последовательности {wn = f [К (tn)]} должны вследствие
этого лежать на А, чем и заканчивается доказательство.
Как мы уже заметили, в доказанных предложениях нет ничего
специфического для конформных отображений. При доказательстве

64 КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ [ГЛ.. 5
мы опирались только на то, что конформное отображение w=~f(z)
является гомеоморфным. Переходя к более глубоким теоремам,
использующим факт конформности, мы должны будем предвари-
предварительно рассмотреть две леммы, имеющие и самостоятельный интерес.
3.2. Лемма ]. Пусть y:z = %{t), t? [a, p) — криволинейный
полуинтервал, содержащийся в единичном круге, с предельным
множеством, лежащим на единичной окружности и состоящим
более чем из одной точки. Если функция w = f(z), аналитическая
и ограниченная по модулю в единичном круге, стремится на у
к некоторому пределу с
\\mf{l(t)] = c,
то эта функция есть постоянная: f (г) s с.
Доказательство. Будем доказывать это предложение
от противного. Пусть / (z)— сфО; если / (г) — с = 6zft -f- ... ., где
б ф. О, то функция ц> (г) = ~^г—- = б + ... ограничена по модулю
в единичном круге *) и стремится на у к пределу, равному нулю,
причем ее значение в начале координат ф @) = б отлично от нуля.
Рассмотрим две точки а и Ь, принадлежащие предельному множе-
множеству полуинтервала у, и пусть а'„ = % (t'n) и Ь'п = % (х'п) — последова-
последовательности точек на у, сходящиеся к а и b (lim ^ = lim Тп = |3).
П—МУЭ п-+оо
Переходя в случае необходимости к подпоследовательностям, можно
считать, что t[ < %[ < t'2 < ... <С t'n <с т'п <; ... Обозначим через о'п
жордановы дуги, лежащие на у и определяемые неравенствами
t'n^t<CT'n. Для любого г, 0<г<;1, можно указать такое N (г),
что при л > N (г) все дуги а'п будут лежать в кольце г < ] z \ < 1.
Пусть о' — не большая из двух дуг единичной окружности,.
с концами а и Ь. Фиксируем на ней дугу АВ с концами, отличными
¦от а и Ъ, и длиной —, где m — натуральное число, большее еди-
единицы, и проведем диаметры AOD и ВОС (рис. 6). При достаточно
больших значениях n > N' точка а'п будет лежать внутри области
g' (AAiCiCaA), точка b'n — внутри области a" (BBJDjSbB) и дуга
•а'п — в кольце г < | z | < 1.
Убедимся в том, что для каждого значения п>N' на дуге а'п
будет существовать дуга ап, один из концов -которой лежит на диа-
) Если 0< | г | <;/"< 1, то по принципу максимума модуля:
| 2 |=Г
где M==sup| / (г) |. Фиксируя г и заставляя г стремиться к единице, получим:
| при |г|<1.

§ 3]
ЛЕММЫ ОБ ОГРАНИЧЕННЫХ ФУНКЦИЯХ
65
&-Л
метре AD, а другой —на диаметре ВС, причем, за исключением
своих концов, ап лежит целиком в одной из областей AAiBiB
или CDDfii.
В самом деле, когда t возрастает от t'n до х'п, точка z = %{t)
непрерывно пробегает дугу а'п от точки а'п до точки Ь'п, причем ап
и Ь'п принадлежат областям g' и d' таким, что g' и d' не имеют
общих точек. Поэтому должно существовать значение tn,
такое, что an — K(tn) принадлежит
замкнутой области g', тогда как
% (t) при tn<it *Ст'п уже не при-
принадлежит g', и значение т„.
4<т,г<т;, такое, что Ьп = Х(хп)
принадлежит d", тогда как K(t)
при tn < ^ < хп еще не принадлежит
d'. Очевидно, точки ап и 6П лежат
на границах областей g' ad', a
именно на отрезках диаметров А{А
или CYC (для точки ап) и 554 или
DDi (для точки Ь„). Жорданова
дуга оп: tn-zCttCTn с концами ап
и Ьп принадлежит одной из двух
областей ААХВ^В или CDDfiu при-
причем только ее концы лежат на Рис. 6.
границе области, а все остальные
точки являются внутренними. Так как п принимает бесконечное мно-
множество значений, то по крайней мере одна из двух последних областей,
пусть это будет AAfiiB, содержит бесконечное множество различных
дуг ап: аП1, аП2,
Сделаем
замену переменного ? -— eiez так, чтобы один из диаметров AD или ВС
перешел в действительную ось плоскости ?, причем образ области
AAxBJi принадлежал бы первому координатному квадранту. Образы
дуг <тП1, стП2, . .., сгПд, . . . будем обозначать через slt s2, ..., sk, ...
При указанной замене функция ср (г) преобразуется в функцию
Ф (е~{%) = гр (Q, аналитическую и ограниченную в единичном круге
и удовлетворяющую условиям: я}з(О) = 6^О, Нптф (Q = 0. Обо-
Обозначая max | яр (?) | через (х^, мы можем записать последнее условие
в виде
lim \ik =
Если тейлоровское разложение функции г|з (?) есть
А. И. Маркушевич

66 КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
то мы введем еще аналитическую функцию
[ГЛ. 5
Очевидно, в точках, симметричных относительно действительной
оси, г|5 (?) и 1|з* (?) принимают сопряженные значения. Поэтому
sup | г|з @ | = sup | г|5* (Q1 = М < с» и -ф* @) = -ф @) Ф 0;
если мы обозначим через s% дугу, симметричную с sk относительно
действительной оси, то будем иметь
еще:
max | -ф (?) | = max | г|з* (?) | = |лй.
772
Рис. 7.
Дуги Sfc и s* имеют единствен-
единственную общую точку, лежащую на дей-
действительной оси, и вместе составляют
одну жорданову дугу Sk, симметрич-
симметричную относительно действительной оси
и соединяющую две стороны угла | arg ф | < ¦— (рис. 7). Для анали-
аналитической функции % (?) = -ф (?) гр* (?) имеем:
max
5(
при
оо.
Подвергая дугу
поворотам вида
. 2я .
е™\ (/=1,2, ...,т-
мы получим из нее дуги S'k, ..., SfT"^, которые вместе с Sft
составят замкнутую жорданову кривую Гй, содержащую внутри
начало координат и лежащую в единичном круге. Если ? произ-
. 2л
. 2я(тп-1)
вольная точка кривой Гй, то все m точек: I,, е т ?,,..., е т t,
также лежат на ГА, причем по крайней мере одна из них принад-
принадлежит дуге Sfc. Поэтому в точке g g Ffe по крайней мере одно из т
чисел
. 2л
2л(т-1)
будет по модулю не больше М(д,й, тогда как каждое из остальных
не будет превосходить М2. Следовательно, для произведения
¦ 2я . 2я(т-1)

§ 3] ЛЕММЫ ОБ ОГРАНИЧЕННЫХ ФУНКЦИЯХ 67
в любой точке ?€ГЙ будет выполняться неравенство
и так как функция F (?) является аналитической, то и в точке ? = О
будем иметь:
Наконец, переходя здесь к пределу при k—>оо, получаем 6 = 0,
что противоречит сделанному предположению. Этим и заканчивается
доказательство.
Замечание. Из проведенного доказательства видно, что
предложение остается в силе при следующих условиях: пусть
{уп}— последовательность жордановых дуг, принадлежащих единич-
единичному кругу, за исключением, быть может, начальных или конечных
точек, такая, что для любой последовательности точек {zn}, zn?yn
все предельные точки лежат на единичной окружности, причем
на уп можно найти по две точки ап и Ьп, для которых lim апф Hm bn.
Тогда если аналитическая и ограниченная по модулю функция / (г)
удовлетворяет условию
lim f(zn) = c,
то / (г) = с. Чтобы убедиться в этом, достаточно заметить, что
на последовательности дуг {уп} можно построить последователь-
последовательность дуг {ат} точно таких, какие были использованы при дока-
доказательстве леммы 1.
Лемма 2. Пусть g —область, ограниченная жордановой
кривой у и принадлежащая единичному кругу вместе с у,
за исключением единственной граничной точки ?, лежащей
на окружности | z | = 1. Будем рассматривать кривую у, как
состоящую из двух жордановых полуинтервалов
yt: 2 = ^@, а4<^<Р! и у2: z =
с общим началом ^ (а1) — Х2(а2), общим концом t, и из самой
точки ?.
Если f(z) — функция аналитическая и ограниченная в единич-
единичном круге, стремящаяся к определенным пределам с1 и с2 на Yi и у2:
то необходимо с1 = с2 = с и, кроме того, Пт/(г) = с.
5

68
КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
[ГЛ. 5
Доказательство. Рассмотрим сначала случай, когда
= с2 = 0, и докажем последнюю часть утверждения леммы:
Zfcg
Очевидно, мы можем не рассматривать точки, лежащие на гра-
границе области, так как для них соотношение / (г) —> О выполнено
в силу сделанного допущения. Итак, пусть г0 — внутренняя точка
Рис. 8.
Рис. 9.
области g; проведем через нее хорду 60, перпендикулярную
к радиусу 0? (рис. 8). Эта хорда рассечет область g на под-
подобласти, из которых мы рассмотрим только подобласти, лежащие
по ту же сторону от 60, что и точка ?. Из них одна и только од-
одна область gQ содержит на границе точку г0. Если ? не является
граничной для g0, то замкнутая область g0 содержится в единичном
круге; на нашем рисунке 8 изображен тот случай, когда точка ?
принадлежит границе области g0.
Граница ^0 состоит только из частей криволинейных полуинтер-
полуинтервалов Yi и у2, лежащих по одну сторону с точкой Z, от 60, и из отрез-
отрезков хорды (которые могут вырождаться в точки). Так как, по пред-
предположению, /(г) стремится к нулю на Yi и Y2i to для любого
е>0 и для z0, достаточно близкого к ?, значения модуля | / (г) |
на частях границы ^0! лежащих на Yi и Y2> будут меньше е.
Сделаем замену переменного 2'=eiez + a (поворот и сдвиг),
подобрав 0 и а так, чтобы хорда 6 перешла в отрезок действитель-
действительной оси, а точка ? заняла бы положение ?' на положительной
части мнимой оси (рис. 9). Тогда область g0 перейдет в область g'o,
расположенную в верхней полуплоскости, 2 = 0 перейдет в точку а

§ 3] ЛЕММЫ ОБ ОГРАНИЧЕННЫХ ФУНКЦИЯХ 69
отрицательной части мнимой оси, единичный круг |z|<l—в круг
\z'— а|<1, Yi и Y2 —в у[ и у'г, а точка z0 — в точку z,i действи-
действительной оси, граничную для g'o. Обозначим / (z) = / [(z' — a)e~ie]
через ф (г'). Это — функция, аналитическая в круге \г' — а|<1,
ограниченная по модулю, удовлетворяющая в граничных точках
области g'o, лежащих на у[ и у'%, неравенству (cp(z')|<e и стре-
стремящаяся к нулю, когда z' стремится к ?', оставаясь на Yi или
на у'2. Если положить
то функция
принимающая в каждой точке г' значение, сопряженное со значе-
значением ц> (z'):
будет аналитической в круге | z' — а | < 1, ограниченной по модулю
и удовлетворяющей в лежащих ниже действительной оси граничных
точках z' области g*, симметричной с g'o относительно действитель-
действительной оси, условиям:
|ф*B')|<е и limcp*B') = 0.
Составим из областей g'o и g* область Go, включив в нее все
точки интервалов действительной оси, граничных для g'o и g%.
Точка г^ будет внутренней для Go. Пусть
sup |<p(z')|= sup |f(z)|=M<oo;
1г'-а|<1 |z|<l
тогда и sup |<р*(г')| =Л1, следовательно, функция ф(г')ф*(г'),
\z'-a\<i
аналитическая в области Go, будет удовлетворять в ней неравенству
В случае, когда точка Z, не лежит на границе области g0,
t,' также не лежит на границе области g'o, следовательно, g'o содер-
содержится в круге \z'— а|<1 и g* содержится в круге \г'— а|<1.
Поэтому функция ф(г')ф*(г') является аналитической, а следова-
следовательно, и непрерывной в замкнутой области Go. На границе обла-
области Go она удовлетворяет неравенству |ф(г') ф*(г') |<Afe, откуда,
в силу принципа максимума модуля, имеем:

70 КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ [ГЛ. 5
или, заметив, что ср* (z'o) = cp (z'o) = ф (z'o) (z'o = z'o, так как z'o— дей-
действительное число):
Пусть теперь %, лежит на границе области g0; тогда и ?' лежит
на границе g'o; поэтому граничные точки Z,' и ?' области Go
не являются внутренними для кругов [ г' — а | < 1 и | г' — а | < 1,
так что мы не можем утверждать, что ср (z1) cp* (г') есть функция,
непрерывная в замкнутой области Go. Чтобы свести этот случай
к случаю функции, непрерывной в замкнутой области, построим
произведение
где (л — произвольное положительное число, a (z' — ?')д и (г'— Z,'I1 —
какие-либо однозначные ветви соответствующих аналитических
функций в области Go. Функция г|5 (z') является однозначной и ана-
аналитической в области Go и ограниченной по модулю | г|5 (г') | <
<M22M'-2li = 4tl-M2. Кроме того, она будет непрерывной в замкну-
замкнутой области Go, если мы положим:
4()v()?()(f{f р(П
Так как на границе области Go функция удовлетворяет неравенству
|грB')|<М-е-2д-2д = 4|ХМ-е,
то, б силу принципа максимума модуля, это неравенство удовле-
удовлетворяется и в точке z'0?G0:
l№) I = IФ Й) |21г;-П2!Х <4*1 Ale,
откуда, переходя к пределу при (л —> 0:
|фB;)|2<Ме или |/(го)|2<Ме.
Итак, во всех случаях выполняется неравенство
для любого е > 0 и 20, достаточно близкого к ?,. Отсюда и сле-
следует, что
lira/(zo) = O.
Остается доказать первую часть леммы, а именно, что из
lim f{z) — ci и li
z-*%,

§ 3] ЛЕММЫ ОБ ОГРАНИЧЕННЫХ ФУНКЦИЯХ 71
следует Ci = c2. Составим произведение
F(z) = [f(z)-Ci}[f(z)-c2].
Оно удовлетворяет условиям леммы и, кроме того, для него
Предположим, что с^фс2, и пусть (cd — с21 = р>0.
Возьмем окрестность U точки Z, столь малой, чтобы в ней выпол-
выполнялись неравенства:
\F(z)\ = \f(z)-ci\\f(z)-c2\<:^-(z^g) C.2:1)
(это возможно в силу только что доказанной части леммы),
I/(z)-Ci|<1T(z€Yi)> I/W-c2|<|-B6Y2). C-2:2)
Часть области g, попадающая в U, состоит из областей, одна
из которых g0 содержит на границе точку ?. Пусть ?4 и ?2— Две
граничные точки области g0, лежащие внутри U, соответственно,
на Yi и Уг- Так как в них выполняются неравенства C.2:2)
(первое — для z = t,u а второе — для г = ?2)> то> в силу непрерывно-
непрерывности функции / (г), можно указать точки zi и z2 области g0, лежащие
в достаточной близости, соответственно, к ?d и ^2, такие, что будем
иметь:
откуда
Соединим Zi и z2 внутри ^0 кривою y- Образ / (y) этой кривой
будет соединять точки f (г^ и f(z2), и так как первая из этих
точек лежит внутри круга \w — Ci|<-|- > а вторая — вне его, то на
должна существовать точка г0, в которой
и, следовательно,
Итак, мы нашли точку zo?go такую, что

72
КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
[ГЛ. 5
Но это противоречит неравенству C.2:1). Отсюда следует, что
сделанное нами допущение неверно, и лемма полностью доказана.
3.3. Применим изложенные выше сведения к изучению строения
границы Г ограниченной односвязной области G и к вопросу о соот-
соответствии границ при конформном отображении.
Будем рассматривать множество Е всех жордановых полуинтер-
полуинтервалов у> содержащихся в данной области G, и притом таких, что
их концы лежат на Г. В общем
случае не каждая точка множества
Г может служить концом для полу-
полуинтервалов из Е. На рисунке 10
изображена область Gt, получающаяся
из квадрата 0<х< 1, 0 < г/ < 1, путем
исключения бесконечного множества
прямолинейных полуинтервалов вида
О
С-
С —
-MJ-
\7
полуинтервалов
3_ ___1
4 ' и х~2п-\-\
X
Рис. 10.
^1 (я = 1, 2, ...). Очевидно,
ни одна из граничных точек ?, лежа-
лежащих на мнимой оси, не может быть
концом жорданова полуинтервала,
лежащего в области Gj.
Легко видеть, однако, что множество тех точек, которые служат
концами полуинтервалов у 6 Е, Для любой области G является
всюду плотным на Г. В самом деле, пусть ?0 ? Г и Uo — произволь-
произвольная окрестность точки ?0; соединим точку ?0 прямолинейным отрез-
отрезком 6 с какой-либо точкой г0 области G, лежащей в этой окрестно-
окрестности. Тогда ближайшая к г0 точка отрезка б, являющаяся граничной
для G (этой точкой может быть сама точка ?0)> служит концом полу-
полуинтервала из множества Е, а именно прямолинейного полуинтерва-
полуинтервала с начальной точкой го-
Относительно каждого полуинтервала у из множества Е мы
будем говорить, что он определяет достижимую точ-
точку границы Г (относительно области G). Два полуинтервала
Yi g Е и у2 € Е будут определять одну и ту же достижимую точку
тогда и только тогда, когда выполнены следующие два условия:
1) Yi и ?2 имеют общий конец ?;
2) существует полуинтервал у3 ? Е с концом ?, имеющий общие
точки как с Yi. так и с у2 в любой окрестности точки ?.
На рисунке 11 представлена область G2, граница которой состо-
состоит из окружности и одного из ее радиусов. Изображенные здесь
полуинтервалы Yi и у2 определяют одну и ту же достижимую точку
границы, тогда как Yi и y' или у2 и y' определяют разные достижи-
достижимые точки границы.

§ 31
ДОСТИЖИМЫЕ ТОЧКИ ГРАНИЦЫ
73
Конец ? полуинтервала у мы будем рассматривать как изо-
изображающий достижимую точку. Необходимо иметь в виду,
что одна и та же точка ? может изображать несколько различных
достижимых точек границы. Так, на рисунке 11 точка ? изображает
две достижимые точки. На рисунке 12 схематически представлена
область G3, получающаяся из верхней полуплоскости путем исклю-
исключения бесконечного множества прямолинейных отрезков, выходя-
выходящих из начала координат под всеми возможными углами вида
Рис. 11.
Рис. 12.
~п (-^- — правильные несократимые дроби! , причем длины отрезков
равны, соответственно, —. Точка О изображает в этом примере
бесконечное несчетное множество различных достижимых точек,
а именно, множество мощности континуума.
В самом деле, каждый прямолинейный полуинтервал: 0-<
< 1 г ]< 1, arg г = an, где 0 < а < 1 и а — иррациональное
число, определяет достижимую точку, изображаемую точкой О.
При этом различным значениям а соответствуют, очевидно, различ-
различные достижимые точки.
Рассмотрим, как преобразуются жордановы полуинтервалы мно-
множества Е при конформном отображении области G на круг (для
определенности, единичный).
Теорема 1. При конформном отображении w = f (г) обла-
области G на единичный круг К все жордановы полуинтервалы множе-
множества Е, определяющие одну и ту же достижимую точку границы Г,
преобразуются в жордановы полуинтервалы, содержащиеся в еди-
единичном круге К и имеющие общий конец а, лежащий на единичной
окружности.

74 КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ [ГЛ. 5
Доказательство. Пусть полуинтервал у ? Е, с концом
в точке ? 6 Г, определяет некоторую достижимую точку границы Г.
По теореме 2, п. 3.1, б = / (у) является криволинейным полуинтер-
полуинтервалом, принадлежащим единичному кругу, причем все предельные
точки этого полуинтервала б лежат на единичной окружности.
Если допустить, что б не есть жор данов полуинтервал, то он должен
иметь по крайней мере две предельные точки на окружности.
Но тогда к нему и к функции z = f~l (да), обратной по отношению
к w = f (г), можно применить лемму 1, п. 3.2. А именно, так как
то, по указанной лемме, f (w) = ?, что невозможно.
Итак, б есть жорданов полуинтервал, конец которого ст лежит
на единичной окружности.
Пусть Yi 6 Е и 7г 6 Е определяют одну и ту же достижимую
точку. Обозначим концы полуинтервалов 6t = / (ух) и б2 = / G2)
через ст4 и ст2. В силу определения достижимой точки, существует
полуинтервал у3 ? Е, имеющий бесконечное множество общих точек
с Yi и у2 в любой окрестности их общего конца. Его образ б3 = / Gз)
должен быть жордановым полуинтервалом, имеющим бесконечное
множество общих точек сб( и б2, причем точки at и ст2 будут пре-
предельными для них (см. теорему 1, п. 3.1), а следовательно, предель-
предельными точками жорданова полуинтервала б3- Отсюда вытекает, что
Oj = а2 = ст, чем и заканчивается доказательство.
В силу этой теоремы, при конформном отображении области G
на круг каждой достижимой точке границы области G соответствует
точка ст окружности.
Теорема 2. При конформном отображении w = f (z) обла-
области G на круг различным достижимым точкам границы Г области
G соответствуют различные точки окружности.
Доказательство. Пусть yt ? Е и у2 6 Е с концами ?4 и ?2
определяют две различные достижимые точки границы Г. Обозначим
через ffj и ст2 концы полуинтервалов 8t = / G1) и б2 = / (y2). Допу-
Допустим, вопреки утверждению теоремы, что Gi = о2 = а. Тогда воз-
возможны два случая:
а) б4 и б2 имеют бесконечное множество общих точек в любой
окрестности точки ст. Тогда и -^ и у2 должны иметь бесконечное
множество общих точек с предельными точками на Г (см. теорему 1,
п. 3.1). Отсюда вытекает, что они имеют общий конец, причем опре-
определяют одну и ту же достижимую точку границы Г. Но это противо-
противоречит условию теоремы.
б) 6j и б2 имеют лишь конечное число общих точек в некоторой
окрестности точки ст. Отбрасывая некоторые начальные части полу-
полуинтервалов 8i и б2, получим жордановы полуинтервалы 8[ и 8'г без

3]
ДОСТИЖИМЫЕ ТОЧКИ ГРАНИЦЫ
75
общих точек и с тем же общим концом а. Прообразами полуинтер-
полуинтервалов 6j и 6^ в области G будут жордановы полуинтервалы у[ и у'2,
получающиеся из Yi и у2 путем отбрасывания некоторых их началь-
начальных частей.
Очевидно, Yi и Ъ определяют те же достижимые точки границы
Г, как и 7i и у2- Имея в виду воспользоваться леммой 2, п. 3.2,
соединим точки w[ 6 &[ и w'2 ? ^ жордановой дугой б„, лежащей
в круге. Пробегая б'о от w[ к w2, от-
отбросим ее начальную часть от w'x до
последней точки Wi пересечения с 8[
и конечную часть от первой точки w2
пересечения с 6^ до точки w'2; получим
жорданову дугу б0, соединяющую
Ш1 6 6j с ш2 6 б^ и не имеющую дру-
других общих точек с 6j и 8^. Отбросим
еще начальные части полуинтервалов
ё[ и 8'2 до точек Wi и w соответствен-
соответственно. Получим жордановы полуинтер-
полуинтервалы бх и б2, которые вместе с их
общим концом а и дугой б0 состав-
составляют замкнутую жорданову кривую,
ограничивающую некоторую под-
подобласть g единичного круга. В силу
построения, прообразы жордановых
полуинтервалов б0 + 6i и б2 в об-
области G являются также .жордановыми полуинтервалами Yi и yz
с концами ?i и ?2> определяющими те же достижимые точки, что
и первоначальные полуинтервалы уг и у2. Для функции г = f'1 (w)
имеем:
lirn^/ (w) = t,i и lim f'1 (w) = C2-
60+61 62
По лемме 2 п. 3.2, отсюда следует, что ?i — ?г = ?, т. е. Yi и уг
имеют общий конец.
Построим в замкнутой области g жорданову дугу б3 с концом
в о, имеющую в любой окрестности точки а бесконечное множество
точек, общих с б0 + б4 и б2. Ее можно составить из дуг концентриче-
концентрических окружностей с центром в а и радиусами е„, е„ > &n+i,
lim en = 0 и дуг, принадлежащих попеременно ^ и ^2. соединяю-
П-+ОО
щих точки двух соседних окружностей. (Детали построения предо-
предоставляем читателю; см. рисунок 13, где части полуинтервала 83 пред-
представлены чертой с пунктиром.) Функция z = /"х (w) отображает
б3 на криволинейный полуинтервал у3, лежащий в области G,
Рис. 13.

76 КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ [ГЛ. 5
с предельными точками на Г (теорема 2, п. 3.1). В силу леммы 2Г
п. 3.2, точка г, описывающая у3, должна стремиться к пределу
? 6 Г. Поэтому 7з есть жорданов полуинтервал с концом ?. Кроме
того, 7з должен иметь бесконечное множество общих точек с yt и ^г
в любой окрестности точки ?. Отсюда следует, что Yi и 72 определя-
определяют одну и ту же достижимую точку границы Г, что противоречит
условию. Этим и заканчивается доказательство.
Итак, при конформном отображении области G на круг множе-
множество достижимых точек границы этой области преобразуется
в некоторое множество е точек единичной окружности, причем соот-
соответствие между достижимыми точками и точками множества е являет-
является взаимно однозначным. В частности, в случае, представленном
на рисунке 11, две достижимые точки, изображаемые точкой ?,,
должны перейти при конформном отображении области G2 на круг
в две различные точки окружности, а в случае, представленном
на рисунке 12, достижимые точки, изображаемые точкой О, должны
перейти в бесконечное множество различных точек окружности
(обладающее мощностью континуума).
Теорема 3. Множество е образов достижимых точек всюду
плотно на окружности.
Доказательство. Пусть {wn} — последовательность
точек единичного круга, сходящаяся к некоторой точке w0,
| w0 ) = 1, и zn = f'1 (wn)— последовательность соответствующих
им точек области G. По теореме 1, п. 3.1, все предельные точки
последовательности {гп} принадлежат Г. Выберем из {zn} подпосле-
подпоследовательность {zn }, сходящуюся к точке г0 6 Г. При этом потребу-
потребуем, чтобы расстояния | znft—z0] убывали. Последовательность
{wn } образов точек {zn } по-прежнему сходится к точке w0. Про-
Проведем через точки гПд дуги окружностей с центром в г0 и продолжим
каждую из них в обе стороны до первых точек ?? и ?? встречи с Г.
Такая дуга состоит из пары жордановых полуинтервалов у'к и yl
с общим началом гПд и концами tk и ?? (рис. 14). Образами этих
полуинтервалов служат, по теореме 1, также жордановы полуинтер-
полуинтервалы 8ft и 8? с общим началом wn. и концами o'k и а? на единичной
ft
окружности.
Очевидно, Oft и а? являются образами достижимых точек, опре-
определяемых полуинтервалами y'k и у{. Так как предельная точка
любой последовательности {ah}, ah ? y'k + y"h есть z0 ? Г, то пре-
предельные точки любой последовательности {bk}, bk ? b'k -f 81 лежат
на единичной окружности. Но последовательность {wnh}, wnh 6
6 8ft + 6ft сходится к точке wQ; поэтому любая последовательность
{bk}, bk ? 8Й -f 8ft, должна сходиться к той же точке. В противном
случае, на основании замечания к лемме 1, п. 3.2, мы вывели бы

3]
СТРОЕНИЕ ГРАНИЦЫ ОДНОСВЯЗНОЙ ОБЛАСТИ
77
из соотношения lim / (bh) = z0, что f'1 (w) = z0. Отсюда вытекает,
k -у oo
что последовательности {a'k} и {а%} концов полуинтервалов 6^ и 81
также сходятся к w0, т. е. w0 — произвольная точка единичной
окружности — является предельной для образов достижимых точек
границы Г. Этим и заканчивается доказательство.
3.4. В этом пункте мы введем понятие граничных эле-
элементов односвязной области (простых концов по
терминологии Каратеодори). Пусть у% и у2 — Два жордановых
полуинтервала, определяющих две различные достижимые точки
Рис. 14.
границы Г односвязной (ограниченной) области G. Очевидно, что
множество точек, общих для 71 и 72. не может иметь предельных
точек на Г. Допуская противное, мы придем, во-первых, к тому,
что 7i и 72 имеют общий конец ?, и, во-вторых, к тому, что в любой
окрестности точки t, должны содержаться точки пересечения 71 с 72-
Но тогда с помощью дуг, взятых попеременно на yt и у2, можно
будет построить жорданов полуинтервал 7з> принадлежащий G
и имеющий общие точки с yt и у2 в любой окрестности точки ?, что
невозможно ( в силу того, что 71 и 72 определяют различные дости-
достижимые точки). Поэтому, отбрасывая в случае необходимости неко-
некоторые начальные дуги полуинтервалов 71 и у2, мы можем предпола-
предполагать в дальнейшем, что эти полуинтервалы не имеют общих точек
(за исключением, быть может, общей конечной точки). Соединим
их начальные точки zt и г2 внутри области G жордановой дугой у.
Если г[ — последняя точка полуинтервала yit общая с 7. то мы
отбросим части дуг 7i и 7. предшествующие точке z[. Точно так же,
если z'2 — первая точка полуинтервала 7г. общая с ylt то мы отбро-
отбросим часть полуинтервала 7г. предшествующую z'2, и часть дуги 7,
следующую за z'2. В результате мы получим два жордановых полу-
полуинтервала 7i и 7г> определяющих те же достижимые точки, что
и Ti и у2. а также жорданову дугу 7', соединяющую начальную точку
полуинтервала у[ с начальной точкой полуинтервала у'2, причем

78 КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ [ГЛ. 5
Ti + У' + Тг представит жорданов интервал у, при-
принадлежащий области G. Если присоединить к нему концы, то полу-
получится жорданова дуга с концами на Г. В результате конформного
отображения области G на круг у[ и у'г перейдут в жордановы
полуинтервалы 6^ и 6^ с различными концами на окружности (эти
концы будут являться образами соответствующих достижимых
точек), а дуга у' перейдет в некоторую дугу б'. Отсюда следует, что
образом жорданова интервала у будет служить также жорданов
интервал б с различными концами на единичной окружности.
Очевидно, его концы разбивают окружность на две дуги: 2f и22;
вместе с б они составляют две замкнутые жордановы кривые, вну-
внутренности которых А4 и А2 принадлежат единичному кругу и пред-
представляют ту пару областей, на которые б разбивает единичный круг.
Прообразами областей Д(иД2в области G служат две односвяз-
ные области gt и g2, на которые у разбивает G. Если у3 — жорданов
полуинтервал в области G, определяющий достижимую точку гра-
границы Г, отличную от точек, определяемых полуинтервалами yi
и 7г. т°. отбрасывая его начальную часть, можно считать, что он
не имеет общих точек с у, а поэтому лежит либо в gt, либо в g2
и определяет достижимую точку границы одной из этих областей.
Следовательно, все достижимые точки границы Г области G,
за исключением двух, определяемых полуинтервалами у± и 72, раз-
разбиваются на два класса, которые можно рассматривать соответ-
соответственно как достижимые точки границ обла-
областей gi и gz. При конформном отображении области G на круг
достижимые точки первого класса переходят в точки дуги 21;
а второго класса — в точки дуги 2 2. Последние дуги полностью
определяются своими концами, а тем самым двумя заданными дости-
достижимыми точками границы Г; поэтому охарактеризованное выше
разбиение всего множества достижимых точек на классы полностью
определяется заданием двух различных точек этого множества
и не зависит от того, какими жордановыми полуинтервалами 7i
и 72 мы при этом пользуемся и какой жордановой дугой 7 соединя-
соединяем их начальные точки.
Назовем классы Я4 и Я2, определяемые данными достижимыми
точками т]! и т]2. взаимно дополнительными интервалами
множества всех достижимых точек грани-
ц ы Г, точки % и ti2— концами интервалов Hi и Я2, а области
gi и gz, границам которых принадлежат соответственно #j и Я2,—
областями, примыкающими кЯ(и Я2. Из изложен-
изложенного следует, что при конфорном отображении w = f (z) каждой
паре взаимно дополнительных интервалов Я4 и Я2 соответствует
пара взаимно дополнительных дуг 24 и 22 окружности, а областям

§ 3] СТРОЕНИЕ ГРАНИЦЫ ОДНОСВЯЗНОЙ ОБЛАСТИ 79
gi и S2, примыкающим к Hi и Я2,— области А± и А2, примыкающие
к2,и 22.
Рассмотрим теперь стягивающуюся систему
вложенных интервалов достижимых точек
{Я(п)}. При этом мы предполагаем, что Я(п+1) с= Я(п), концы интер-
интервала H(n+i) отличны от концов интервала Я(п) и не существует
двух различных достижимых точек, принадлежащих всем интерва-
интервалам системы. На единичной окружности системе {Н(п)} будет соот-
соответствовать при конформном отображении система вложенных
ДУГ {2(п)}.
В силу сделанных предположений, эта система будет стягиваться
в обычном смысле слова к одной точке w0 окружности (если бы
существовала целая дуга, содержащаяся в каждой из 2(п), то суще-
существовало бы и бесчисленное множество достижимых точек, общих
всем Я(п)). Если w0 является образом некоторой достижимой точки
границы Г, то интервалы {Я(п)} имеют единственную общую дости-
достижимую точку. Но w0 может и не быть образом достижимой точки,
тогда не существует ни одной достижимой точки, общей для всех Я(п).
Относительно каждой стягивающейся системы вложенных интер-
интервалов {Я(п)} мы будем говорить, что она определяет гранич-
граничный элемент области G. Точку w0 мы будем рассматривать
как образ граничного элемента при отображении
w = / (z). Две системы {Н^} и {ЯBП)} будут определять один
и тот же граничный элемент тогда и только тогда, когда каждый
интервал ЯAт) содержит все интервалы Н^, начиная с некоторого
из них, а каждый интервал Н^—все интервалы Н(™\ начиная
с некоторого из них. Очевидно, в этом условии можно сохранить
только одну часть, потребовав, например, чтобы Ягп) с= Н[ш) при
п> N (т) (т = 1, 2, . . .). Действительно, в этом случае, каж-
каждая из дуг 2(im) единичной окружности, соответствующая интервалу
ЯAт), будет содержать все дуги 2B™\ соответствующие Я<>п) при
п > N (т). Следовательно, системы дуг {2jm)} и {22П)} будут стя-
стягиваться к одной и той же точке w0 единичной окружности, лежащей
внутри любой из этих дуг. Поэтому 22П) будет содержать Е(Г} при
всех т > М (п), и, следовательно, Ягп) будет содержать ЯAШ) при
всех т > М (п).
Из этого рассуждения видно, что условие тождества двух гра-
граничных элементов, определенных системами интервалов {Н^}
и {Яг }, эквивалентно условию совпадения точек окружности,
к которым стягиваются системы дуг {2(im)} и {S^}, изображающик
эти интервалы.

80
КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
[ГЛ. S
Пусть "П — граничный элемент области G, заданный системой
интервалов {Я(п)}. Построим для каждого Я(п> область g(n), содер-
содержащуюся в G и примыкающую к Я(п). Потребуем, чтобы выполнялись
два условия: 1) g(n+l~> c= g^i и 2) не существует ни одной точки
области G, общей для всех замкнутых областей g(n). Такую последо-
последовательность мы назовем цепью областей, ведущей к tj. Убедить-
Убедиться в возможности этого
построения проще всего,
переходя посредством кон-
конформного отображения
w = f (z) к единичному
кругу.
Пусть {2<п)} — система
дуг единичной окружно-
окружности, соответствующих ин-
интервалам {Я(п)}, 6(Г> и
62n)—• жордановы полуин-
полуинтервалы, являющиеся об-
образами полуинтервалов у^
и Y2n)' определяющих кон-
концы интервала Я(п). Постро-
Построим область Д(п), примы-
примыкающую к дуге 21™} и
ограниченную дугой Е(п>, дугой концентрической окружности
| w | = гп < 1 и двумя частями полуинтервалов 6<п> и 8[п\
получающимися в результате отбрасывания некоторых началь-
начальных дуг этих полуинтервалов (рис. 15). Значение гп подчиним
условию гп > 1 . Так как дуга 2(п+1) лежит на дуге Е(п),
Рис. 15.
при-
причем концы дуги
отличны от концов дуги
, то полуинтерва-
полуинтервалы б(Г+1) и б2п+1) будут содержаться в области Акп>, по крайней
мере, если отбросить их начальные части. Выбирая гп+1 >> гп
и rn+i > 1 —„_ц • так, чтобы окружность \w\ = rn+1 имела общие
r
точки с 6in+1) и б2П+1), построим область Д(п+1) подобно тому, как
мы строили область А(п). Очевидно, будем иметь: Д(п+1) с: А(п).
Начиная с области АН), можно построить этим путем последова-
последовательность областей {А(п)}, примыкающих к дугам 2(п), и таких,
что Д(п+1) содержится в кольце 1 — — < | w | < 1 и в области
д(п) (п = 1, 2, . . .). Прообразами для Д(п> в области G будут обла-
области g<n), примыкающие к интервалам Я(п), и такие, что

3] СТРОЕНИЕ ГРАНИЦЫ ОДНОСВЯЗНОЙ ОБЛАСТИ 81
g). При этом замкнутые области g<n> не имеют ни одной общей
точки, которая лежала бы в области G; это следует из того, что
их образы Д(п) = / (g(n)) не имеют ни одной общей точки, которая
лежала бы в единичном круге. Итак, существование цепи областей
{g(n)}> ведущей к данному граничному элементу т), доказано.
Так как замкнутые области g(") являются континуумами, причем
g(n+i) <— g(n)) T0 пересечение всех g<"> есть также континуум К.
(см. т. I, п. 4.1 гл. первой). Очевидно, он состоит только из гранич-
граничных точек области G. Относительно точек континуума К мы будем
говорить, что все они принадлежат рассматриваемому граничному
элементу, а также, что К. изображает граничный элемент г\ *).
Чтобы оправдать это определение, нужно убедиться в том,
что множество К. не зависит от выбора цепи областей, веду-
ведущей К Т).
Пусть {Н(п)} и {Я(п)} —две системы интервалов, определяющие
г], и {g(n)}, и {g'(n)}—соответствующие им цепи. В единичном
круге им будут соответствовать две системы дуг {Е(п)} и {2(п)},
стягивающихся к одной и той же точке w0, и две цепи областей
{А(п)} и {А (п)}, примыкающих к этим дугам. Убедимся в том, что
{А(п)} и {А (п)} стягиваются к точке w0. В самом деле, пересечение
замкнутых областей А(п) есть континуум, не содержащий внутрен-
внутренних точек единичного круга. Поэтому он совпадает с пересечением
граничных дуг 2(п), т. е. с точкой w0- Отсюда вытекает, далее, что
каждая область А(т) содержит все области Д'(п), начиная с некоторой
из них, и, следовательно, g1-™) содержит все g'(n\ начиная с некоторой
из них. Поэтому пересечение К' всех g'<n> содержится в пересечении
К всехg(™>. Так как роли К и К' можно поменять, то /(совпадает
с К', что мы и утверждали.
3.5. Займемся изучением структуры граничных элементов и их
классификацией. Для этого нам придется рассмотреть свойства
континуума К, изображающего данный граничный элемент т).
Возможны следующие случаи: а) К состоит из одной точки;
б) /С содержит более одной точки.
Пусть {g(n)} —какая-либо цепь областей, ведущая к ц, {А(п)}—
образы этих областей в единичном круге и дао — точка единичной
окружности, являющаяся образом элемента ц. Тогда пересечение
замкнутых областей {g(n)} совпадает с /С, а пересечение {А(п)} сов-
совпадает с w0. Так как точки любой последовательности {wn}
*) Мы не отождествляем граничный элемент с изображающим его мно-
множеством точек, так как одно и то же множество точек может изображать
различные граничные элементы.
" А. И. Маркушевич

82
КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
[ГЛ. 5
(\wn I < 1), сходящейся к w0, принадлежат области A(m) при
n > N (т), то их прообразы {zn} принадлежат области g(m), откуда
следует, что все предельные точки последовательности {Zn} при-
принадлежат континууму К-
Если имеет место случай а), т. е. К состоит из одной только
точки z0, то получаем, что lim zn = z0. Итак, в этом случае
п -^ со
lim f~x (w) существует и равен z0. Рассмотрим, в частности, про-
прообраз 7 любого жорданова полуинтервала б, лежащего в единичном
круге и кончающегося в точке w0. Так как у есть криволинейный
полуинтервал и lim f~l (w) = lim z (w) = z0, то 7 — жорданов
полуинтервал, кончающийся в точ-
точке z0. Мы видим, что в случае а)
образ w0 граничного элемента ц
есть в то же время образ дости-
достижимой точки границы Г, изобра-
изображаемой точкой Zo. Мы будем отож-
отождествлять эту достижимую точку с
граничным элементом. Соответ-
Соответствующий граничный элемент на-
называется эл ементом (простым
концом) первого рода.
Пусть теперь имеет место слу-
случай б), т. е. континуум К содержит
более одной точки, а следователь-
следовательно, содержит бесконечное множе-
множество точек; тогда не существует предела lim f (w). Может случить-
случиться, однако, что w0 — образ граничного элемента г\ — является
в то же время образом достижимой точки границы Г. Тогда существу-
существует жорданов полуинтервал б, кончающийся в точке ш0 и являющийся
образом некоторого жорданова полуинтервала у, кончающегося
в точке z0 ? К- Очевидно, lim f~x (w) = z0 и определяет достижимую
W->Wf)
точку границы Г, изображаемую точкой z0. Мы будем говорить
в этом случае, что соответствующая достижимая точка содержится
в граничном элементе, а го будет называться достижимой точкой
элемента т). Тогда все точки континуума К, отличные от z0, суть
недостижимые точки граничного элемента. В этом случае г\ назы-
называется граничным элементом второго рода.
На рисунке 16 элемент второго рода представлен отрезком прямой
АВ. Здесь изображены также две области g<") и g(n+l) из цепи, веду-
ведущей к этому элементу. А является достижимой точкой элемента;
все точки отрезка АВ, отличные от А, суть его недостижимые точки.
Ш
щ
в
1
1
А
I i
ij§p
1/1
w
W
Рис. 16.

3]
СТРОЕНИЕ ГРАНИЦЫ ОДНОСВЯЗНОЙ ОБЛАСТИ
83
1
1
1
Г
Ж
. \ >c:^
Заметим, что эти же точки изображают, кроме того, граничные
элементы первого рода. Так точка С изображает один из таких
элементов.
Пусть, наконец, w0 не является образом никакой достижимой
точки. В этом случае не существует ни одной достижимой точки
границы Г, которая принадлежала бы данному граничному эле-
элементу. Каков бы ни был жорданов полуинтервал б, кончающийся
в точке w0, его прообраз у не будет жордановым полуинтервалом,
т. е. lim f'1 (w), w ? б не будет существовать. Вместе с тем все пре-
предельные точки криволинейного полуинтервала у будут принадле-
принадлежать континууму К- Различают два случая. Один — когда множе-
множество всех предельных точек для у = f'1 (б) совпадает с К- В этом
случае ц называется гра-
граничным элементом
третьего рода. Дру-
Другой — когда для некоторых б
множество предельных точек
прообраза у = f'1 (б) состав-
составляет лишь правильную часть
континуума К. В этом случае
имеем граничный эле-
элемент четвертого ро- Рис 17
д а. Чтобы распознать эле-
элементы третьего и четвертого
рода, нет необходимости прибегать к конформному отображению /~х.
Достаточно фиксировать какую-либо цепь областей {g(n)}, веду-
ведущую к т), и рассмотреть всевозможные криволинейные полуинтер-
полуинтервалы у с предельными точками на Г, содержащиеся в каждой из
областей g(n\ начиная с некоторой своей точки. Именно эти полу-
полуинтервалы и являются прообразами всех возможных б, кончающихся
в точке w0 — образе элемента г\. Все сводится, далее, к сравнению
множеств предельных точек полуинтервала у с континуумом К-
На рисунке 17 отрезок АВ изображает граничный элемент
третьего рода. Пунктирная кривая представляет один из криволи-
криволинейных полуинтервалов у. Очевидно, множество его предельных
точек совпадает с АВ. Примером граничного элемента четвертого
рода может служить отрезок АВ на рисунке 10. На том же чертеже
пунктиром представлен криволинейный полуинтервал у, для кото-
которого множество предельных точек является правильной частью
отрезка АВ (отрезок CD).
3.6. Последовательность точек {zn} области G называется сходя-
сходящейся к граничному элементу ц этой области, если для какой-
нибудь цепи областей {g(n)}, ведущей к т), выполнено условие:
область g(m> (т = 1, 2, . . .) содержит все точки гп при п > N (т).
Очевидно, если это условие выполнено для одной цепи областей,
6*

84 КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ [ГЛ. 5
то оно выполняется и для любой другой цепи, ведущей к тому же
элементу, чем и оправдывается определение.
Пусть {Д(п)} — образы областей {g(n)} в единичном круге; мы
знаем, что они стягиваются к точке w0 единичной окружности,
являющейся образом элемента г) при конформном отображении.
Если wn = f (Zn) и {Zn} сходится к т], то точки {wn} содержатся
в A<m> при п> N (т), откуда вытекает, что последовательность
{wn} сходится к точке w0. Так как справедливо и обратное (если
lim wn = w0, то последовательность {zn = /-1 (wn)} сходится к tj),
то получаем следующее предложение, решающее вопрос о соответ-
соответствии границ при конформном отображении:
Теорема 1. При конформном отображении w = f (г) одно-
связной области G на круг | w | < 1, между множеством всех гра-
граничных элементов области и множеством точек единичной окружно-
окружности устанавливается взаимно однозначное соответствие. Это соот-
соответствие обладает свойством «непрерывности», заключающейся в том,
что каждая последовательность точек области G, сходящаяся к гра-
граничному элементу г\, преобразуется в последовательность точек
единичного круга, сходящуюся к точке w0 — образу элемента ц.
Применяя эту теорему, следует твердо помнить, что сходимость
последовательности точек к граничному элементу области отнюдь
не означает сходимости в обычном смысле. Совокупность предельных
точек последовательности {zn}, сходящейся к граничному элементу
т), может совпадать с любым замкнутым (непустым) подмножеством
F того континуума К, который изображает ц. Лишь в том случае,
когда г\ есть граничный элемент первого рода и, следовательно,
К содержит только одну точку z0, из сходимости {zn} к г] вытекает
сходимость {zn} к точке z0. Однако обратное несправедливо. После-
Последовательность {zn}, сходящаяся к точке z0, может и не сходиться
к граничному элементу, изображающему эту точку. В качестве
примера рассмотрим последовательность точек, попеременно при-
принадлежащих полуинтервалам yi и 7', представленным на рисунке 11.
Если такая последовательность сходится к точке ?,, изображающей
в данном случае два различных граничных элемента первого рода,
то она не сходится ни к одному из этих элементов. Сохраняя в ней
только точки, лежащие на yit получим последовательность, сходя-
сходящуюся к одному из упомянутых граничных элементов; точки же,
лежащие на у', дадут последовательность, сходящуюся ко второму
из них.
Предположим, что каждый граничный элемент области G являет-
является элементом первого рода (примеры таких областей представлены
на рисунках 11 и 12). Тогда при конформном отображении
z = f'1 (w)' круга | w | < 1 на такую область, каждой последова-
последовательности точек {wn} единичного круга, сходящейся к произвольной

§ 3] СООТВЕТСТВИЕ ГРАНИЦ 85
точке w0 единичной окружности, будет соответствовать последова-
последовательность точек {Zn} области G, сходящаяся к некоторой граничной
точке z0 (и вместе с тем к одному из граничных элементов, изобра-
изображаемых этой точкой). Полагая /-1 (w0) = z0, мы определим функцию
/-1 (w) в замкнутом единичном круге. Покажем, что эта функция
будет непрерывной в замкнутом круге. Допуская противное, нужно
предположить, что для некоторой последовательности точек {w'n}r
| w'n |<ll, сходящейся к точке w0, | w0 | = 1, предел lim/ (w'n)
либо вовсе не существует, либо существует и отличен от f'1 (w0)-
Для каждой из точек w'n, не являющихся внутренними к кругу,
можно указать внутреннюю точку w"n такую, что | f'1 (w'n) —
— f'1 (w'n) | < — и | w'n — w'n I < — . Полагая w"n = w'n в случае,
когда w'n лежит внутри единичного круга, найдем последователь-
последовательность точек {w"n} такую, что | w"n \ <C I, lim w"n = w0 и, однако,
lim /-1 (w'n) либо не существует, либо отличен от f'1 (w0). Но это
П-VOO
противоречит тому, что: f~x (w0) = lim f'1 (w). Итак, f~x (w) непре-
w->w0
рывна в замкнутом круге.
Легко видеть, что в случае, когда хотя бы один из граничных
элементов области G не есть элемент первого рода, функция Z (w)
не может быть непрерывной при \ w К 1. В самом деле, если К —
континуум, изображающий граничный элемент ц и содержащий
более одной точки, то в круге можно будет указать последователь-
последовательность {wn}, сходящуюся к некоторой точке w0 ( I w0 \ = 1), и, одна-
однако, такую, что соответствующая последовательность {zn = /~х (wn)}
имеет более одной предельной точки (последние принадлежат К),
т. е. расходится.
Итак, справедливо следующее предложение:
Теорема 2. Для того, чтобы функция z = f'1 (w), конформно
отображающая единичный круг на область G, была непрерывной
в замкнутом круге \ w |<;1 (или, что сводится к тому же, была
равномерно непрерывной при j w \ < 1), необходимо и достаточно,
чтобы все граничные элементы области G были элементами первого
рода.
В случае выполнения этого условия граница Г области G может
быть задана уравнением
() /()
где /-1 (elt) — непрерывная функция параметра t. Следовательно,
.граница Г, все элементы которой — первого рода, является непре-
непрерывной кривой.
Рассмотрим теперь условия, при которых функция w = f (z),
конформно отображающая односвязную область G на единичный

86 КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ [ГЛ. 5
круг, является непрерывной в замкнутой области G (т. е. может
быть определена во всех точках границы Г так, чтобы стать непре-
непрерывной в G). Необходимое условие для этого заключается в том,
чтобы каждая точка границы Г принадлежала лишь одному гранич-
граничному элементу, или, как говорят, была бы простой точкой
границы Г. В самом' деле, если z0 6 Г принадлежит по крайней
мере двум различным граничным элементам г\' и ц", то последова-
последовательности {z'n}, сходящейся к т]' и в то же время сходящейся
к точке zQ, соответствует последовательность {w'n = f (z'n)}, сходя-
сходящаяся к точке w'o единичной окружности, а последовательности
{z'n}, сходящейся к г)" и к z0, — последовательность {w'n = f (z'n)},
сходящаяся к другой точке w"a единичной окружности. Отсюда
следует, что lim / B) не существует.
z?G
Покажем, что это необходимое условие также и достаточно для
того, чтобы функция w = f (г) была непрерывной в G. Пусть z0 —
произвольная точка границы Г и {zn } — какая-либо последователь-
последовательность точек области G, сходящаяся к г0. Если допустить, что после-
последовательность {wn = / (zn)} расходится, то должны существовать
по крайней мере две предельные точки до' и w", лежащие на единич-
единичной окружности. Пусть {хю'п} и {wn} — последовательности из {wn},
сходящиеся к ш' и w" соответственно. Их прообразами в области
G служат {z'n} и {z'n}, сходящиеся к точке г0 и вместе с тем сходя-
сходящиеся к граничным элементам г\' и т]", образами которых служат
до' и w"'. Отсюда вытекает, что z0 принадлежит и ц' и т]", что
противоречит условию. Итак, для любой точки z0 6 Г существует
предел lim / (г) = до0; полагая / (z0) = w0, получим функцию,
Z-VZ0 _
непрерывную в замкнутой области G. Доказанные результаты
можно выразить в следующем виде:
Теорема 3. Для того чтобы функция w = f (z), конформно
отображающая область G на круг | w \ < 1, была непрерывной
в замкнутой области G (т. е. равномерно непрерывной в G), необхо-
необходимо и достаточно, чтобы все граничные точки области G были
простыми.
Из теорем 2 и 3 получаем далее важное
Следствие. Для того чтобы функция w = / (z), конформно
отображающая односвязную область G на круг \ w \ < 1, давала
вместе с тем гомеоморфное отображение G на \w \^.l, необходимо
и достаточно, чтобы все граничные элементы G были первого рода
и все точки границы Г были простыми.
В самом деле, в этом и только в этом случае функция w = f (z)
и обратная ей функция z ='/~1 (w) одновременно непрерывны в G
и 1 до 1<С1 соответственно.

§ 3] СООТВЕТСТВИЕ ГРАНИЦ 87
Условия, наложенные выше на односвязную область G: а) все
ее граничные элементы — первого рода и б) все точки ее границы —
простые, можно заменить одним эквивалентным: область G ограни-
ограничена замкнутой жордановой кривой. В самом деле, если а) и б)
выполнены, то, по предыдущему, граница Г области G являет-
является гомеоморфным образом единичной окружности (z = f'1 (eil),
0<^<;2я), поэтому Г есть жорданова кривая. Но справедливо
и обратное.
Предположим, что Г — замкнутая жорданова кривая.
Пусть ц — граничный элемент области G и {g(n)} — цепь обла-
областей, ведущая к т). Граница области g<n> представляет собой замкну-
замкнутую жорданову кривую, состоящую из некоторой жордановой дуги
Г(п) с: Г (мы опираемся на то, что Г — жорданова кривая) и из
имеющего с Г(™> общие концы жорданова интервала 7(n) c= G. Отсю-
Отсюда следует, что континуум К, изображающий ц, совпадает с пере-
пересечением системы вложенных жордановых дуг {Г(п)} (Г^1' с Г(Т1>),
т. е. представляет собой либо одну точку границы Г, либо жорданову
дугу Г" с: Г. Но последнее невозможно. Действительно, если z0 —
точка дуги Г', отличная от концов этой дуги, то расстояние р =
= р (z0, Г"), где Г" = Г \ Г' есть число положительное (мы снова
используем тот факт, что Г есть жорданова кривая). Рассмотрим
точку z' ? G такую, что \ г' — z0 | ¦< е<!р. Очевидно, ближайшая
к z' точка Z 6 Г, лежащая на прямолинейном отрезке, соединяющем
z и z0, не может принадлежать Г"; поэтому ? €Г". Вместе с тем
мы получаем достижимую точку области G, определяемую отрезком
с концами г' и ? и изображаемую точкой ? ? Г". Так как часть отрез-
отрезка, примыкающая к его концу, принадлежит любой из областей
g{n\ то каждая из них также содержит эту достижимую точку.
Но таких достижимых точек можно найти бесконечное множество
(вследствие произвольности точки z0 6 Г" и числа е, 0<е-<р).
Следовательно, существует бесконечное множество различных дости-
достижимых точек, принадлежащих граничному элементу т], что невоз-
невозможно.
Итак, К, = Г' состоит только из одной точки, т. е. ц есть элемент
первого рода.
Пусть теперь т)' и т)" — два различных граничных элемента
области G, a {g'(n)} и {g"(n)} — ведущие к ним цепи областей.
Так как их образы в круге должны стягиваться к двум раз-
различным точкам w' и w" и, следовательно, при достаточно больших
значениях п не имеют общих точек, то и g'<n> не имеет общих точек
с g"(n) при всех достаточно больших п. Но граница области g'(n)
состоит из двух жордановых дуг с общими концами, одна из которых
Т"(") лежит на Г, а другая y'G1) принадлежит G (за исключением
концов), причем точка z'o, изображающая ц', лежит наГ'<"> и отлична
от концов этой дуги.

88 КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ [ГЛ. 5
Область g-"("> должна лежать во внешности области gr(-n\ следо-
следовательно, она принадлежит подобласти области G, ограниченной
дугой у'(п) и дугой Г \Г'<П>, не имеющей с Г'М других общих точек,
кроме концов. Поэтому граница области g"(n) состоит из некоторой
дуги Г"<"> а Г \ Г'<п> и дуги у"<-п\ принадлежащей G (за исключе-
исключением концов). Отсюда вытекает, что точка z'o, изображающая г)',
не лежит на границе g"^n\ а следовательно, не может изображать ц".
Итак, каждая точка границы Г принадлежит лишь одному гранично-
граничному элементу. Мы получили следующее предложение:
Теорема 4. Все граничные элементы односвязной области G
являются элементами первого рода, а все точки границы — просты-
простыми тогда и только тогда, когда граница области G есть замкнутая
жорданова кривая.
Иными словами, характеристическим свойством замкнутой жор-
дановой кривой Г является то, что каждая точка ее изображает
одну и только одну достижимую граничную точку (области G, огра-
ограниченной кривой Г). Это свойство выражают коротко, говоря, что
все точки жордановой кривой достижимы изнутри и являются про-
простыми. Теорема 4 позволяет формулировать указанное выше след-
следствие из теорем 2 и 3 в следующем виде.
Теорема 5. Функция w = / (z), конформно отображающая
область G на круг | w | < 1, устанавливает гомеоморфное соответ-
соответствие между G и | w \ ^ 1, а следовательно, и между Г и | w | = 1
тогда и только тогда, когда Г есть замкнутая жорданова кривая.
Следствие. При конформном отображении друг на друга
односвязных областей Gi и G2, ограниченных замкнутыми жордановы-
ми кривыми Ti uT2, между точками этих кривых устанавливается
гомеоморфное соответствие.
Чтобы видеть это, достаточно заменить конформное отображение
области Gi на G2 последовательно выполненными конформными
отображениями G± — на круг | w | < 1 и круга | w ] < 1 — на
область G2.
В качестве важного применения теоремы 5 установим принцип
аргумента в его общей форме:
Обобщенный принцип аргумента. Пусть
f (z) — функция непрерывная в обобщенном смысле в замкнутой
области g, где g — внутренность замкнутой жордановой кривой у,
и аналитическая в области g, за исключением, быть может, полю-
полюсов. Если f (z) на у не обращается ни в 0, ни в оо, то разность между
количествами нулей и полюсов f (z), принадлежащих области g,
равна изменению Arg / (z) при однократном обходе кривой у в поло-
положительном направлении, деленному на 2я, т. е. числу витков непре-
непрерывной кривой Г = / (у) вокруг точки w = 0, взятому с соответ-
соответствующим знаком.

§ 3] СООТВЕТСТВИЕ ГРАНИЦ 89
По сравнению с формулировкой принципа аргумента, рассмот-
рассмотренной в п. 3.5 гл. четвертой I тома, новым здесь является, во-пер-
во-первых, то, что на кривую у не налагается требование ее спрямляемо-
спрямляемости, а, во-вторых, то, что функция / (z) не предполагается анали-
аналитической в точках у.'
Для доказательства заметим сначала, что количества нулей (N)
и полюсов (Р) в области g являются конечными числами. Допуская
противное, мы нашли бы на у предельную точку нулей или полюсов,
в которой / (/) в силу непрерывности обращалась бы в 0 или, соот-
соответственно, в оо.
Отобразим конформно область g на единичный круг | / | < I
посредством функции z = ф (/). В силу взаимной однозначности
отображения функция / (z) перейдет тогда в функцию / * (t) =
= /ф @, имеющую в круге | / | < 1 то же число нулей N и то же
число полюсов Р, что и функция / (z) в области g. Далее, в силу
теоремы 5, функция f*(t) будет непрерывной (в обобщенном смысле)
в замкнутом круге | t | < 1 и при однократном обходе окружности
|^1 = 1 в положительном направлении точка w = /* (/) будет
описывать прежнюю кривую Г в прежнем направлении. Поэтому
доказательство теоремы сводится к случаю, когда у есть единичная
окружность, a g — единичный круг.
Пусть круг | t | < г0 ¦< 1 содержит все нули и все полюсы
функции /* (t). Тогда, в силу принципа аргумента в его ранее уста-
установленном объеме, вектор /* (t) сделает iV — Р полных оборотов
вокруг точки w = 0, когда t один раз опишет окружность | t \ =
= г > г0 в положительном направлении; это означает, что
N — P = ~ Изм Argf*(reia).
zn 0S2
Если р > 0 есть расстояние от да = 0 до кривой Г, т. е.
р= min |/*(to)|
02
то, в силу равномерной непрерывности /* (t) в замкнутом круговом
кольце го<; 11 \ <; 1, существует rlt 0 ¦< ri < 1, такое, что
\f*(reia) — /*(eto)[
Представим /* (reia) в виде:
/«(ге«") = /* (gfa
f*
При
П (п\\- \f*(reia)-f*(eia)\ ^1
1 г( }|~ пч^Г\ < '

90 конформные отображения [гл. s
поэтому
H3M.Arg[l-f-Ma)] = 0.
Следовательно, при г > max (г0, г^
Теорема доказана.
Обобщенный принцип аргумента позволяет сразу же получить
основную теорему п. 1.2 в ее полном объеме (стр. 13). При этом
в проведенных в начале п. 1.2 рассуждениях ничего не приходится
менять.
В заключение докажем теорему, относящуюся к поведению
конформного отображения на части границы области G, представ-
представляющей жорданову дугу.
Назовем жорданову дугу Г', принадлежащую границе Г про-
произвольной области G, достижимой дугой границы
Г или свободной жордановой дугой, если существует жорда-
нова дуга у , имеющая общие концы с Г' и принадлежащая области
G (за исключением своих концов), причем внутренность g жордано-
жордановой кривой, состоящей из у' и Г", содержится в области G. Чтобы
уяснить себе это понятие, достаточно сравнить прямолинейные
отрезки АВ на рисунках 16 и 17. В первом из них АВ есть достижи-
достижимая дуга границы области, во втором случае АВ не является дости-
достижимой.
Теорема 6. Если Г' — достижимая жорданова дуга грани-
границы Г односвязной области G (быть может, неограниченной), то при
конформном отображении w = f (z) области G на круг \ w \ <С 1
между точками дуги V и точками некоторой дуги единичной окруж-
окружности устанавливается гомеоморфное соответствие при дополни-
дополнительном условии, что значения w = f (z) рассматриваются только
в области g с G, примыкающей к Г'.
Доказательство. При конформном отображении обла-
области G на круг дуга у', фигурирующая выше, в определении дости-
достижимой дуги границы, перейдет в незамкнутую жорданову дугу б'
с концами на единичной окружности (это следует из того, что у'
определяет две различные достижимые точки границы Г). Область
g, ограниченная жордановой кривой у' + Г', преобразуется
в область А, ограниченную жордановой кривой, состоящей из б'
и из одной из двух дуг окружности с концами, общими с б'. В силу
следствия из теоремы 5, функция w — f (z), конформно отобра-
отображающая область g на область А, устанавливает гомеоморфное

§ a]
СООТВЕТСТВИЕ ГРАНИЦ
91
соответствие между границами этих областей, и так как образом
дуги у' служит б', то образом дуги Г' является дуга окружности,
что и требовалось доказать.
В виде иллюстрации к доказанным в этом пункте теоремам,
рассмотрим конформное отображение области G, изображенной
на рисунке 18, на единичный круг. Граница этой области состоит из
двух окружностей: |г| = 1 и |г | = 3и из заключенной между ними
2
спирали (например, г = 2 -*— arctg 6), которая в двух направлениях
неограниченно приближается к указанным окружностям. Каждая
точка спирали изображает два
граничных элемента первого ро-
рода — две достижимые граничные
точки. Окружности | г | = 1 и
| z | = 3 изображают каждая по
одному граничному элементу
третьего рода. Чтобы убедиться
в этом, рассмотрим изображен-
изображенные на чертеже прямолинейные
отрезки, расположенные на по-
положительной части действитель-
действительной оси. Каждый из них при-
принадлежит области и делит мно-
множество достижимых точек обла-
области G на два взаимно дополни-
дополнительных интервала, к которым
примыкают, соответственно, две
подобласти области G: одна,— Рис- 18>
назовем ее н и ж н е й,— раз-
развертывающаяся от рассматриваемого отрезка по часовой стрелке и
направляющаяся к меньшей окружности, и другая,— назовем ее
верхней, — против часовой стрелки, к большей окружности.
Если рассмотреть, например, последовательность отрезков, при-
приближающихся к меньшей окружности, и брать каждый раз те интер-
интервалы достижимых точек, к которым примыкают соответствующие
нижние подобласти, то получим стягивающуюся последовательность
вложенных интервалов достижимых точек, определяющую некото-
некоторый граничный элемент области G. Так как пересечение замкнутых
нижних подобластей есть окружность | г \ = 1, то она и изобразит
этот граничный элемент. Аналогично найдем, что другая окружность
изображает другой граничный элемент. Непосредственно очевидно,
что оба элемента суть элементы третьего рода (см. определение).
В силу сказанного выше, каждая точка спирали при конформном
отображении области G на круг должна представиться двумя раз-
различными точками, а каждая из двух окружностей — одной точкой.

92 КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ [ГЛ. 5
Любая дуга Г' спирали есть свободная жорданова дуга; так как
к ней примыкают две области gt cz G и g2 cz G, не имеющие общих
точек, то при конформном отображении Г' отобразится на две дуги
окружности, без общих точек (в полном согласии с тем, что каждая
точка дуги Г' изображает пару различных граничных элементов).
Заметим еще, что двум любым дугам Г' и Г" спирали соответствуют
по две пары дуг окружности, которые будут иметь общие точки тогда
и только тогда, когда Г' и Г" имеют общие точки. Из сказанного
вытекает, что вся спираль изобразится при конформном отображе-
отображении парой взаимно дополнительных дуг (интервалов) единичной
окружности с общими концами А я В, причем один из этих концов
изобразит всю окружность | z \ = 1, а другой — всю окружность
| z | = 3. Так как не все точки границы Г являются простыми
в этом примере (простыми будут только точки двух окружностей)
и не все элементы суть элементы первого рода, то ни функция
w = f (z), ни функция z = /-1 (w) не будут непрерывными в соот-
соответствующих замкнутых областях. Первая имеет точки разрыва
в каждой точке спирали, вторая только две точки разрыва: А а В.
§ 4. Теорема С. Н. Мергеляна. Многочлены Фабера
и теорема С. Н. Бернштейна. Многочлены, ортогональные
по площади области
4.1. Первые четыре пункта настоящего параграфа посвящены
исследованию условий равномерного приближения функций ком-
комплексного переменного многочленами. Исчерпывающий результат
в этом направлении принадлежит С. Н. Мергеляну. Его изложению
посвящен п. 4.4, к которому читатель может обратиться непосред-
непосредственно, минуя пп. 4.1—4.3. В них доказаны результаты более
частного характера, предшествовавшие по времени теореме Мергеля-
Мергеляна. Мы сохраняем их в этой книге, так как они представляют при-
пример применения теоремы об областях с переменными границами,
принадлежащей Р. Куранту и имеющей самостоятельный интерес.
Теорема. Пусть {Gn} — последовательность вложенных одно-
связных областей (Gn+i cz Gn), сходящаяся к своему ядру G, причем
область G ограничена замкнутой жордановой кривой Г. Тогда после-
последовательность функций {/„ (z)}, конформно отображающих области
{Gn} на круг \ w \ < 1 и удовлетворяющих условиям fn (z0) = 0,
f'n (zo) >• 0 (z0 6 G), равномерно сходится в замкнутой области G
к функции f (z), конформно отображающей G на тот оке круг (оче-
(очевидно, / (z0) = 0 и f (zo) > 0).
Доказательство. В силу теоремы Каратеодори (п. 2.3),
последовательность {/„ (z)} равномерно сходится к / (z) внутри G.
Докажем, рассуждая от противного, что функции /„ (z), равномерно

$ 4] ТЕОРЕМА Р. КУРАНТА 93
непрерывные в G (G с Gn), являются равностепенно непрерывными
в G, т. е. для каждого е > 0 существует такое б (е) > 0, что
\fn(z')-fn(z")\<E
в любой паре точек z' и z" области G, таких, что | г' — z" ] < б (s)
(п = 1, 2,. . .). Допустим, что это неверно. Тогда должны существо-
существовать: е0 > 0, последовательность возрастающих натуральных чисел
{tik} и две последовательности принадлежащих области G точек
{z'h}, {4} такие, что lim (z'k — z"h) = 0 и, однако,
k-юо
I fnk (z'k)— fnk (z'k) I > e0-
Переходя к подпоследовательностям, можно считать, что суще-
существуют пределы для {z'h} и {z"k} (необходимо равные между собой):
lim z'k = Hm z'h = t,.
Будем требовать с самого начала, чтобы это условие было выпол-
выполнено. Заметим, что точка Z, ? вдолжналежать на Г. Действительно,
если бы она была внутренней для G, то из равномерной сходимости
последовательности {/„ (z)} в окрестности этой точки следовало бы,
что
\fnk(z'k)-fnk(Zk)\<.
< I /nA (Z'k) ~f (Z'k) | + | / (Z'k)~f(z'k') | + | / (Z'k)~fnh (Z'k) | < So
при всех достаточно больших значениях k.
Переходя, если это понадобится, к подпоследовательностям,
но не меняя принятых выше обозначений, потребуем еще, чтобы
все точки z'h и zl (k = 1, 2,. . .) заключались в некотором круге
\ z — ? | ¦< R,, где R < \ t — zQ \ и каждая из последовательностей
{w'h = fnh (z'n)} и {w'k = fnh (z'k)} сходилась. Пределы их w' и w"
отстоят один от другого не менее, чем на е0, и лежат на единичной
окружности. В самом деле, если допустить, например, что \ w' |< 1,
то некоторая окрестность точки w' отображается на произвольно
малую окрестность точки z' = /-1 (wr) 6 G. Но из того, что после-
последовательность {/n1 (w)} равномерно сходится в окрестности точки
w' (см. п. 2.3), следует, что точки z'k =fnk((w'k), начиная с некото-
некоторого номера, также принадлежат произвольно малой окрестности
точки z , т. е. lim z'k = z' Ф t,, что невозможно.
А-УОО
Опишем из точки w = 0, как из центра, окружность а: | w \ =
= г< 1. Если г достаточно мало, то f'1 (а) содержится внутри
произвольно малой окрестности точки z0. Следовательно, для неко-
некоторого г и всех достаточно больших п кривые /й1 (а) будут лежать

94
КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
[ГЛ. 5
внутри окружности s с центром в точке zQ. Относительно s потребу-
потребуем, чтобы она принадлежала области G и находилась вне круга
I г - ? | < R.
Точки w'b. = fnk (z'nk) и w% = /n (z'nk) при достаточно больших k
лежат в произвольно малых окрестностях точек хю' и ш" вне 0.
Поэтому существует а > О
такое, что расстояние меж-
между двумя отрезками радиу-
радиусов бй и 6ft, заключенными
между а и точками Wk и wl
(рис. 19), будет больше а
для всех k > К- Отрезкам 6ft
и 6fe при отображении z =
= fn\ (w) соответствуют в
области Gnk жордановы ду-
дуги 7ft и y'L не имеющие
общих точек; начальные
точки дуг y'h и 7ft лежат
внутри s, а конечные суть
Zft И Z"k.
Заметим теперь, что су-
существует сходящаяся к ну-
нулю последовательность по-
положительных чисел {рй},
Ра < R, таких, что точки
z'k и zl лежат в круге | z —
— С I < Pft и их можно сое-
соединить внутри того же
круга жордановои дугой лк,
содержащейся в области G.
В самом деле, из того, что
Рис. 19.
2й € G, z'k 6 G
= lim 2ft = ?,
lim
и lim z'k =
ft->oo
следует:
(zA)=au0.
Но точки / (z'h) и / (Zft) можно соединить внутри единичного круга
прямолинейным отрезком p,ft; его прообраз f~l (\x,h) = %k будет соеди-
соединять точки zi я z'k в области G, и так как функция Z (да) непре-
непрерывна в замкнутом круге | w \^1 (см. теорему 2, п. 3.6; граница
области G—жорданова кривая), то для достаточно больших зна-
значений k дуга Aft будет содержаться в произвольно малой окрестно-
окрестности точки ?. Отсюда и следует существование нужной нам после-
последовательности {рй}.

§4] ТЕОРЕМА Р. КУРАНТА 95
Сохраним на %k лишь дугу кк, от последней точки t,'h пересечения
hk с y'h до первой точки ?? пересечения с y"k (на нашем чертеже
t,k = z'h и t,h = Zh) и на y'h и yl— дуги у& и y"k от последних точек
пересечения с s до t,k и ?L соответственно. Тогда дуга sft окружно-
окружности s и, далее, дуги y'k, Aft, 7L составят вместе замкнутую жорданову
кривую, принадлежащую области Gnk. Отсюда вытекает, что
и внутренность Dk этой кривой принадлежит Gnft. Каждая окруж-
окружность \z— ?| = р, где Ph<^ P <. R, пересекает Dk по некоторому
множеству дуг, из которых по крайней мере одна—АА>Р — соеди-
соединяет точки z'klP^y'k и z'k, p?y'h.
Чтобы убедиться в существовании дуг Ah, p соединим какую-
либо точку на Sk с точкой на %k жордановой дугой тй, принадлежа-
принадлежащей области Dk, за исключением своих концов (это возможно, так
как граница области Dk есть жорданова кривая, а все точки жорда-
жордановой кривой достижимы). Так как начальная точка дуги xk лежит
вне окружности \z—?| = р, а конечная точка—внутри \z — ?|=р,
то %k пересекает окружность | z — ?, | = р, а именно, пересекает
ее дуги, лежащие в области Dk- Среди них могут быть дуги,
оба конца которых принадлежат y'h или y'h. Назовем такие дуги
дугами с одноименными концами. Каждая из них вместе с дугой
с теми же концами, лежащей на y'k или на y'k соответственно,
составляет замкнутую жорданову кривую, ограничивающую неко-
некоторую подобласть области Dk. Очевидно, t, не принадлежит замыка-
замыканию такой подобласти, поэтому дуга rft не может оставаться в ней,
но, войдя, должна из нее и выйти для того, чтобы следовать далее
к своему концу. Отметим на тй ее первую и последнюю точки пере-
пересечения с каждой дугой окружности с одноименными концами.
Точки дуги Tft> непосредственно предшествующие первой или непо-
непосредственно следующие за последней, принадлежат одновременно
либо внешности окружности \ z — ? | = р, либо ее внутренности.
Если допустить, что все дуги на | z — ? | = р, принадлежащие Dk,
имеют одноименные концы, то rft, приближаясь к первой точке
пересечения с этой окружностью извне окружности \ z — ? | = р,
будет удаляться от последней точки пересечения с нею, оставаясь
также вне | z — Z, \ = р. Но тогда ее конечная точка должна нахо-
находиться вне \ z — ?, | = р, что невозможно. Отсюда и вытекает, что
на \ z — ? | = р должна существовать по крайней мере одна дуга
с разноименными концами Ak, р, пересекаемая дугой xh.
Обозначим через xk часть дуги %h от последней точки пере-
пересечения ее с \z — ^| = 7? до первой точки пересечения с \z— ? | = р&;

96 КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ [ГЛ. 5
через Dk обозначим ту из подобластей области Dh, составляющих
пересечение области D& с круговым кольцом Рй<|г—?,\<CR,
которая содержит дугу xh (исключая ее концы). Очевидно, дуги
Aft, p, пересекаемые дугой та, пересекаются и дугой rft и, следо-
следовательно, принадлежат Dh. Замечая, что
получаем:
z'h.p AA.P
откуда, в силу неравенства Буняковского —Шварца:
Умножая обе части последнего неравенства на —— и интегрируя
от рй до R, найдем:
в
Ah,
Ho
Dft
-есть площадь образа области Dk при отображении ш = /n (z)
и, следовательно, не превосходит я. Мы пришли к неравенству
а1п
Pft
невозможному в силу того, что pft—»0 при k—> оо. Отсюда и выте-
вытекает справедливость утверждения о равностепенной непрерывности
функций /п (z) в замкнутой области G.
Выберем для произвольного е >> 0 число б (г) > 0 так, чтобы
леравенства

§ 4] РАВНОМЕРНОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНАМИ 97
выполнялись для любой пары точек г' и г" замкнутой области G,
удовлетворяющей условию \z' — z"|-<8(8). Пусть, далее, замкну-
замкнутая область g c= G такова, что каждая точка из G отстоит от g
не более, чем на б(е). Чтобы построить g, найдем такое т] (е)
чтобы при \w'— w"\ <т] (е) (|a/j<l, |ш"|<1) выполнялось нера-
неравенство
и примем в качестве g прообраз круга |ш|<1—т) (е) при отобра-
отображении w = f(z). Если а —точка из G\g и b — f(a), то точка
лежит на окружности |ш| = 1—т](е), причем |й — Р|<т)(е). Заме-
Замечая, что oc = /(P)gg, получаем: |а — а | = | f'1 (b) — f'1 ф) | < б (е),
т. е. расстояние точки а до множества g меньше 6(е). В силу
равномерной сходимости последовательности {/„ (г)} на замкнутом
множестве g, имеем:
Если г — любая точка из G и ? — точка из g, отстоящая от z
менее, чем на б(е), то
и, следовательно,
при л > iV (e), чем и заканчивается доказательство теоремы.
4.2. Теорема. Пусть G — внутренность замкнутой жорда-
новой кривой Г и F (г) — функция, непрерывная в G и аналитиче-
аналитическая в области G. Тогда для любого е>0 можно указать мно-
многочлен Р (г) такой, что
\F(z)-P(z)\<e, z^G.
Доказательство. Отобразим конформно область G на круг
w \ •< 1 посредством функции w = f(z), удовлетворяющей условиям:
/(го) = О и /'(zo)>O. Так как функция z = f'1(w) является непре-
непрерывной в замкнутом круге | w \ < 1 (если ее определить надлежа-
надлежащим образом в точках единичной окружности), то F*(w) =
= F [f'1 (w)] также непрерывна в замкнутом круге. Кроме того,
она является аналитической в единичном круге. Пусть 8 —про-
—произвольное положительное число, тогда, в силу равномерной
' А. И. Маркушевич

98
КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
[ГЛ. 5
непрерывности функции F* (г), имеем:
\F*(eiQ) — F*(reie)\<-^- при г>р(е).
С другой стороны, пользуясь равномерной сходимостью ряда
Тейлора функции F* (w) внутри единичного круга, получаем:
<х
при n>iV(e) и 0<9<2л.
Полагая еш = да и — [p(e)]ft = aft, будем иметь:
Л'(е)
F*{w)-Y, akwh
для всех да на единичной окружности.
Возвращаясь к области G посредством отображения z =
получаем:
во всех точках 2 на границе Г области G.
В силу принципа максимума модуля это неравенство выпол-
JV(e)
няется и внутри G. Остается показать, что функция "S] ah[f(z)]4
_ о
в замкнутой области G может быть приближена многочленами
с произвольно высокой точностью. Здесь мы будем опираться
на теорему п. 4.1 и на теорему Рунге (т. 1, п. 2.3 гл. четвертой).
Прежде всего построим убывающую последовательность областей
{Gn}:GcGn+icGn+iCGn (л =1,2, ...),
сходящуюся к G, как к ядру. Рассмотрим для какого-либо нату-
натурального п множество G'n всех точек плоскости, расстояние которых
от G меньше, чем —. Очевидно, это открытое и связное множе-
множество, т. е. область, причем G с Gn.
Среди областей, дополнительных к G'n, одна G'n, x содержит
бесконечно удаленную точку, а другие являются ограниченными,
причем их границы составляют часть границы области G'n. Присое-
Присоединим к Gn все точки ограниченных дополнительных областей и все
граничные точки области G'n, исключая граничные точки обла-
области йщ «...

§ 4] РАВНОМЕРНОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНАМИ 99
Полученная область Gn cz G'n будет односвязной, так как ее
граница совпадает с границей G'ni«,, являющейся континуумом.
Последовательность областей Gu G2, ... Gn, ... удовлетворяет,
очевидно, условиям:
G cz Gn+i cz Gn+i czGn (n = 1, 2, ...).
Из того, что GczGn (n = l, 2, ...), следует, что область G
содержится в ядре последовательности {Gn}. Но ни одна точка z',
внешняя для G, не может принадлежать указанному ядру. В самом
деле, соединим г' с точкой оо дугой у, лежащей во внешности
области G. Если р > 0 есть расстояние между у и G, то при п > —
эта дуга будет содержаться в области G'n< x и, следовательно,
не будет принадлежать Gn. Поэтому точка г' не принадлежит
ядру последовательности {Gn}. Тем самым G совпадает с этим
ядром. Так как аналогичное рассуждение применимо к любой под-
подпоследовательности {Gnh}, то {Gn} сходится к G, как к ядру.
Обозначим через w = fn (z) функцию, конформно отображающую
Gn на круг и удовлетворяющую условиям: fn(zo) = O, /«(zo)>O.
В силу п. 4.1, последовательность {/„ (z)} равномерно сходит-
сходится к / (z) на замкнутом множестве G. Пользуясь теоремой Рунге, по-
построим для каждого п многочлен рп (z), удовлетворяющий условию
\fn(z)-pn(z)\<±, z?G
(мы опираемся здесь на то, что /n (z) есть функция, аналитическая
в односвязной области Gn, содержащей G). Очевидно, последова-
последовательность {рп (z)} также равномерно сходится к / (z) в замкнутой
- JV(e)
области G, а следовательно, и последовательность { V ak [ph {z)\ \
fe=0
ще)
равномерно сходится к ^ ak\f (z)J . Выберем v (e) так, чтобы при
_ о
n>v(e) и всех z?G выполнялось соотношение
Ще) Ще)
О ft=0
Ще)
Тогда, обозначая многочлен ^ ак[р^е)(г)]к через Р (z), будем
иметь:
\F(z)-P(z)\<e, z?G,
чем и заканчивается доказательство.
7*

100 КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ [ГЛ. 5
В качестве приложения полученной теоремы выведем интеграль-
интегральную теорему Коши в следующем обобщенном виде:
Обобщенная интегральная теорема. Пусть G—
внутренность замкнутой жордановой спрямляемой кривой Г
и F (z)— функция, непрерывная в G и аналитическая в G. Тогда
г
г
F (z) dz = 0.
Доказательство. Пусть е — произвольное положительное
число и L — длина кривой Г. По предыдущей теореме, существует
многочлен Р (г) такой, что
Поэтому
г г
откуда, вследствие произвольной малости 8,
что и требовалось доказать.
Следствие. При тех же условиях справедлива интеграль-
интегральная формула
Доказательство такое же, как и в п. 3.1, гл. третьей (т. I).
Основная теорема этого пункта является лишь частным случаем
следующей общей теоремы:
Теорема М. В. Келдыша. Для того, чтобы каждую
функцию, непрерывную в замкнутой области G и аналитическую
внутри G, можно было приблизить на G многочленами с произ-
произвольно высокой точностью, необходимо и достаточно, чтобы
дополнение к G состояло из одной области Gx, содержащей
точку оо *).
Этой формулировке удовлетворяют, конечно, все области, огра-
ограниченные жордановыми кривыми, но не только они одни.
*) М. В. К е л д ы ш, Определение функций комплексного переменного ря-
рядами полиномов в замкнутых областях. Математический сборник, т. 16E8),
стр. 249—258 A945).

§ 4] . РАВНОМЕРНОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНАМИ 101
На рисунке 16 изображена область, граница которой не является
жордановой кривой и для которой, однако, условия теоремы
выполнены.
Необходимость условия теоремы почти очевидна. Действительно,
если оно не имеет места, то существует область G4, смежная с G
и отличная от Goo. Пусть zo?G1, тогда является непрерыв-
Z Zq
ной на G и аналитической внутри G. Если существует последова-
последовательность многочленов {Рп (г)}, равномерно сходящаяся к ¦——
_ г — го
на G, то она равномерно сходится на границе области G^ (которая
принадлежит границе области G) и, следовательно, равномерно
сходится на всем дополнении к Goo, представляющем собой откры-
открытое множество, содержащее G и Gt, к некоторой локально анали-
аналитической функции Ф{г). Так как эта функция совпадает с
в точках области G, то она должна совпадать с последней функ-
функцией и в точках области Gt, что, однако, противоречит аналитич-
аналитичности функции Ф (z). Доказательство достаточности условия тео-
теоремы опирается на одну теорему М. А. Лаврентьева, формулировка
которой приводится в следующем пункте.
4.3. Пусть Г есть замкнутая жорданова кривая и ср (г) —
непрерывная функция, определенная на Г. Отобразим конформно
внутренность Г на внутренность единичного круга посредством
функции w = f{z). Так как z = f'1(w)— функция, непрерывная при
| w | < 1, то ср (г) преобразуется в функцию ср* (w) = ср [f'1 (ш)], одно-
однозначную и непрерывную на единичной окружности. Записываем
ср* (w) в виде
где 1|з @) и % (9) — непрерывные функции от 6 с периодом 2я, при-
принимающие действительные значения. По известной теореме анализа
(см., например, Г. М. Фихтенгольц, Курс дифференциального
и интегрального исчисления, т. III, п. 734)*), для любого 8>0
можно указать такие тригонометрические многочлены т@) и стF),
что при всех 6 будут выполняться неравенства:
| «ф (в) — х (в) | <:-I- и |х@)-ст@)|<-1.
Вводя, в случае необходимости, коэффициенты, равные нулю,
мы можем записать т F) и а F) в форме многочленов одного
*) Эта же теорема будет доказана ниже (п. 1.5 гл. шестой) иным путем,
не зависящим от результатов этой главы.

102 КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ [ГЛ. 5
и того же порядка:
JV JV
т (8) = а0 + 2 («n cos л9 + bn sin лв) = 2 апеш,
1 -JV
о (в) = с0 -'г 2 (сп cos л9 + dn sin n9) = 2 P«ein9.
1 -JV
Заменяя eie через w, получим:
I ^ (9) + 'X @) — fT (9) + г'с @)] I = Ф* (да) — 2 V"-w
-N
или, возвращаясь посредством преобразования w = f(z) к пло-
плоскости z:
N
<P(z)-2Yn[/(z)P
2 '
По теореме п. 4.2, / (г) на Г можно с любой точностью заме-
заменить многочленом P(z). Так как |/(z)| = l=^0 на Г, то можно
пользоваться многочленом, не обращающимся в нуль на Г; полу-
JV
чим рациональную функцию R(z)= 2"Vn [P(z)]n, не имеющую
-JV
полюсов на Г и удовлетворяющую неравенству
Очевидно, можно указать двухсвязную (кольцеобразную) область
D, которая содержит Г и не содержит ни одного полюса функции
R(z). Если z0 — какая-либо точка внутренности Г, то мы можем
еще потребовать, чтобы z0 заключалась в области, ограниченной
внутренним контуром области D. Поэтому по теореме п. 2.3 главы
четвертой (т. I) R (z) можно приблизить с точностью до -т- другой
рационально^ функцией T(z), полюсы которой суть z0 и оо; эта
функция имеет вид
Получим:
|ф(г)-ГB)|<е, г€Г.
Мы доказали следующую теорему.
Теорема 1. Если ц>(г) — функция, непрерывная на замкну-
замкнутой жордановой кривой Г, и z0 —точка внутри Г, то для

§ 4] РАВНОМЕРНОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНАМИ 103
любого е > 0 можно построить рациональную функцию Т (г) =
v
= 2 An(z — zo)n, удовлетворяющую во всех точках кривой Г соот-
ношению
Для любой дуги у с=- Г, начальная точка которой не совпадает
с конечной, можно построить, в силу теоремы Рунге, многочлен
S (z) = 2 BnZn такой, что во всех точках дуги у будет справедливо
о
неравенство
\T(z)-S(z)\<e.
Получаем следующее предложение:
Теорема 2. Если q>(z) — функция, непрерывная на замкну-
замкнутой жордановой кривой Г, то для любой дуги у с Г, начальная
точка которой не совпадает с конечной, и для любого е > 0
можно построить многочлен S (z) = 2 Bnzn\ удовлетворяющий
о
so всех точках дуги у соотношению
В этом предложении существенно, что у не есть замкнутая
кривая. А именно, функция ц>(г), непрерывная на замкнутой жор-
жордановой кривой Г, должна удовлетворять еще некоторым необхо-
необходимым условиям для того, чтобы ее можно было как угодно
хорошо приближать многочленами. Укажем такие условия в слу-
случае, когда Г — замкнутая жорданова спрямляемая кривая.
Пусть ф (z) — функция, непрерывная на Г, причем
(f {z) = Vim Sn(z),
где {Sn (z)} — последовательность многочленов, равномерно сходя-
сходящаяся на Г. Тогда очевидно, мы должны иметь:
(z) dz = lim { Sn (z) dz = 0.
Это — одно необходимое условие. Но можно вывести и другие;
фиксируя произвольное натуральное число т, получаем:
Ф (z)zn = lim Sn(z)zn,
п—юо
откуда
l)zmdz = 0 -(«1=1,2, ...).

104 КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ [ГЛ. 5
Произвольная непрерывная функция не будет удовлетворять
всем этим условиям.
Теорема 2 этого пункта, очевидно, обобщает известную теорему
Вейерштрасса и, в свою очередь, представляет лишь весьма спе-
специальный случай следующей общей теоремы:
Теорема М. А. Лаврентьева. Для того чтобы каждую
функцию ср (z), непрерывную на континууме К, можно было при-
приблизить на К многочленами с произвольно высокой точностью,
необходимо и достаточно, чтобы этот континуум был ограни-
ограниченным, не имел внутренних точек (т. е. был линейным конти-
континуумом) и чтобы дополнение к нему было связным (т. е. чтобы
континуум не разбивал плоскость на несколько различных
областей) *).
Жорданова незамкнутая дута у представляет собой простейший
пример континуума, удовлетворяющего условиям теоремы. Необхо-
Необходимость этих условий почти очевидна. В самом деле, если К имеет
внутренние точки, то предел последовательности многочленов,
равномерно сходящейся на К, должен быть аналитической функ-
функцией в окрестности каждой из них; следовательно, непрерывную,
нигде не аналитическую функцию (например, q> (z) = z) нельзя как
угодно хорошо приблизить многочленами на К. Пусть, далее,
ограниченный континуум К не имеет внутренних точек, но разби-
разбивает плоскость. Это означает, что среди областей, смежных с К,
существует по крайней мере одна ограниченная область g. Оче-
Очевидно, ф (г) = , где zo(ig есть функция, непрерывная на К-
Если существует последовательность многочленов, равномерно
сходящихся к на К, то эта последовательность равномерно
z— Zq
сходится на границе области g (принадлежащей К) и, следова-
следовательно, равномерно сходится в замкнутой области g. Поэтому пре-
предел последовательности есть функция ty(z), непрерывная на g, ана-
аналитическая внутри g и совпадающая с на границе области g.
Z— Zq
Отсюда вытекает, что ip(z) имеет простой полюс в точке
Z — Zq
z = zo? g и обращается в нуль на границе области g. Следовательно,
X (z) = (г - z0)
*) М. Лаврентьев, К теории конформных отображений. Труды физико-
математического института им. В. А. Стеклова. Отдел математический, V.
Издание АН СССР, Ленинград, 1934 г., стр. 159—245. Формулированной здесь
теореме посвящены стр. 218—245.

§4] ТЕОРЕМА С. Н. МЕРГЕЛЯНА 105
есть функция, непрерывная на g, аналитическая внутри g и обра-
обращающаяся в нуль на границе области g. В силу принципа максимума
модуля, мы должны иметь эс(г) = О, что невозможно, так как
(I
)
Из полученного противоречия следует, что условия теоремы
М. А. Лаврентьева действительно необходимы.
4.4. С. Н. Мергеляну в 1951 г. удалось доказать наиболее общую
теорему о равномерном приближении функций комплексного пере-
переменного многочленами, содержащую результаты М. А. Лаврентьева
и М. В. Келдыша как частные случаи.
Теорема С. Н. Мер гел ян а. Пусть Е — ограниченное
замкнутое множество, дополнение G к которому относительна
комплексной плоскости связно, и f (z) — функция, непрерывная на Е
и локально аналитическая на множестве О всех внутренних точек Е.
Тогда для любого г > 0 существует полином Р (г) такой, что всюду
на Е:
\f(z)~P(z)\<B0.
Очевидно, что в случае, когда множество О пустое и Е связно,
мы получаем теорему Лаврентьева, а в случае, когда О связно
(О есть область) и Е совпадает с О,— теорему Келдыша.
Доказательству мы предпошлем три леммы *):
Лемма 1. Пусть область d, ограниченная жордановой кри-
кривой у, содержится в круге |z|<;46 и имеет диаметр, больший
б @ <6 < 1). Обозначим через z = X(ш) = aw + Ъ -f-a^w'1 -f a2w~2-\- ...
функцию, конформно отображающую область |да|>4б на внеш-
внешность у так, что ^(оо) = оо, и пусть w = \i(z) — обратная
функция. Тогда выполняются следующие соотношения:
a) | z | <; | \i (z) | во внешности у;
b) 1L<|a| <1;
c) |&|<8б;
d) -г— <-;—f~-, при lz|>106:
г —6 а\х, (г)
здесь А— абсолютная константа.
Доказательство. Заметим, что —— = а А h —V + • • • ¦—
' W W Ш2
функция, аналитическая в области |ш|>46, правильная в точке
*) Помимо статьи С. Н. Мергеляна «Равномерные приближения функций
комплексного переменного» в «Успехах математических наук», т. VII, вып.
2D8), 1952, гл. I, стр. 32 — 55, мы пользуемся также изложением, содержа-
содержащимся в книге Дж. Л Уолша «Интерполяция и аппроксимация рациональными
функциями в комплексной плоскости». Перев. с англ. А. А. Гончара
и С. Я. Хавинсона, М., 1961 (стр. 436 — 440).

106 КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ [ГЛ. 5
w=oo, где ее значение равно а. Кроме того, она непрерывна
на окружности |а»| = 48 (теорема 2 п. 3.6) и принимает здесь зна-
значения, по модулю меньшие 1 Ck(w)?y, если |&у| = 46). Применяя
к ней принцип максимума модуля, получим:
' , ' <; 1, если 46 <; | w |, т. е. | z \ <; | ц, (z) | во внешности у;
кроме того, | а | < 1.
Чтобы оценить \а\ снизу, заметим, что d должна содержать
пару точек zt и z2 такую, что |zt — z2| = 6. Посредством сдвига
и поворота плоскости z одну из них можно перевести в точку
z = 0, а другую — в точку z = 6. При этом, конечно, коэффициенты
z = X(w) изменятся, но модуль коэффициента а сохранится. При-
Применим далее вспомогательное преобразование: t = -^— . В резуль-
результате у перейдет в жорданову кривую Г, внешность у — во внут-
внутренность А кривой Г, причем точка t = 4a — образ точки z = 6,
не будет принадлежать А. Выполним еще преобразование s =
46 * I I , с о u ill
= — ; тогда область | w \ > 46 переидет в единичный круг: | s \ < 1.
Так как функция
конформно отображает единичный круг на внутренность кривой Г,
то по теореме 3 п. 2.4 этой главы 4|а|>-^-, т. е. \а\>-^ .
Итак, соотношения а) и Ь) доказаны. Чтобы доказать с) заметим,
что для функции
К (w) — aw = b
правильной в точке w=oo, удовлетворяется неравенство
\K(w) — aw\<L\h(w)\ + \w\<i8b при |ш[ = 46.
В силу принципа максимума модуля имеем:
\h(w) — asy|<;86 при |да|>46.
Используя неравенства Коши для коэффициентов степенного ряда
(с этой целью можно заменить w'1 через s), получим:
(т. е. соотношение с)) и далее: .
|о„|<8б-4п6п (я=1, 2, ...).

ТЕОРЕМА С. Н. МЕРГЕЛЯНА
107
Отсюда
D6)" _ 6462
(вб)"-1 '~ I w I
при
|a»|>86.
Полагая здесь z = K(w), w = \i(z) и замечая, что по доказанному
| г | < | ц (г) |, получаем:]
2-fl(l(z) —6 <ТТГ '
и, следовательно:
1 1
г — b
a\i(z)
\z-a\i{z)-b\
^р- при |z|> 106,
где Л —абсолютная константа.
Лемма 2. Пусть R§— подмножество точек Е, расстояние
которых до G (т. е. до Т — Е\О) не превышает б. Для каждой
точки ?0?R& существует окрестность Uo: |? —?o|<Po и много-
многочлен По (z) такие, что
а)
Ь)
С62
t^-?0|<p0,
¦ |z-E|>106, ze?.
Доказательство. Не ограничивая общности, положим
?0 = 0. Построим круг К' | z | < 46; его пересечение с дополнением
к Е — областью G, является непу-
непустым множеством. Пусть z4 одна из
его точек, такая, что | z41 = 26. Обо-
Обозначим через g ту из связных компо-
компонент К П G, которая содержит г^, тогда
в области g существует точка г2 та-
такая, что |г2| = 36. Соединим zt и z2
внутри g жордановой дугой / и пусть
у замкнутая жорданова кривая, при-
принадлежащая g и содержащая внутри /
(рис. 20). К ее внутренности d мы и
будем применять лемму 1.
Обозначим через 2р0 расстояние
между Е и d (т. е. между Е и у).
Тогда множество Ео всех точек пло-
плоскости, расстояние которых до Е не
превосходит р0, будет ограниченным замкнутым множеством, со-
содержащим Е и расположенным во внешности кривой у. В силу
Рис. 20.

108
КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
[ГЛ. S
определения любой сдвиг множества Е на вектор с, |с|<;ро, не вы-
выводит за пределы множества Ео.
Так как w — \i,(z) отображает внешность у на область [ai|>4&
¦ -тд-, то в точках Ео выполняется неравенство
ар (г)
<min 1-т-,
D.4:1)
Функцию
1
аналитическую на ограниченном замкнутом мно-
а(х(г) '
жестве Ео, можно, в силу известного следствия из теоремы Рунге
(т. I, гл. четвертая, п. 2.3), как угодно хорошо приблизить мно-
многочленом. Пусть Qo(z) — многочлен такой, что во всех точках Е&
выполняется неравенство
1
ац(г)
-Qo(z)
<min (-г-,
16
\г\ '
-)¦
D.4 : 2)
где Л —константа из соотношения d) леммы 1. Тогда, в силу d)
и неравенств D.4:1), D.4:2), будем иметь:
(о
г —ft
— Qo(z)
13 >
Воспользуемся далее тождеством
D.4 : 3)
и |z|>106. D.4:4)
D.4 : 5)
г z — Ъ (г —ftJ ' г(г —ftJ '
Так как |6|<;8б (соотношение с) леммы 1), то при |z|>106
ft2
г (г-бJ
В силу D.4:3) и D.4:4) для z?E0 и |z|>106:
-MQo(z)]2
Поэтому для г^?0 и |г|>106 (в силу D.4:5)):
г — Ъ
Ь
-Qo(z)
z(z-b)
W
Положим, наконец, Il0 (z) = b [Qo (z)]2 — Q0(z), тогда
in ы| <r-— 7cf

ТЕОРЕМА С. Н. МЕРГЕЛЯНА
109
и
По
С62
13 >
и |z|>106,
или, вспоминая, что точка ?0 играла роль начала координат, заме-
дяя z через г — ? и ограничивая .значения ? окрестностью G0:
D.4 : 6)
С82
106,
D-4:7)
Лемма 2 доказана.
Лемма 3. Пусть функция f(z), удовлетворяющая условиям
теоремы Мергеляна, продолжена как непрерывная функция на всю
комплексную плоскость. Пусть \z \ < Ro(Ro> 1) — круг, содержа-
содержащий Е, и со (б) — модуль непрерывности f (z) б этол круге*).
Положим:
г>6;
Тогда выполняются соотношения:
a) Ф6(г) = f (z) во всех точках O(, = E\R6, т. е. во всех точках Е,
отстоящих от G более чем на б;
b) Фе (z) — / (г) | < б, z^E;
r\ i^e ^ 2(о F)
Доказательство. В силу определения К (г) имеем в каждой
точке z?06:
2я б
О О
*) Модулем непрерывности со (б) функции f (г) на некотором множестве F
называется
ш(б)= sup |/(г')-/(г")|-
' "?F |'"|б
Очевидно, что со (S) —v 0 при 6->0 в том и только в том случае, когда / (г)
равномерно непрерывна на F.

ПО КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
Перепишем эту формулу в виде:
б 2я
о о
В силу локальной аналитичности f(z) на Qe имеем:
2я
о
(свойство среднего арифметического). Поэтому
Применим, в частности, формулу D.4 : 8) к случаю
получим:
Отсюда:
К{\Ъ-г\)сЦс1ч=\.
<со(б) -
Далее, из D.4 :9) следует, что
[ГЛ. S
D.4:8)
D.4:9)
). D.4:10)
и, следовательно:
дФ6 (г)
дг
~ 2 \
ду
=т П

§4] ТЕОРЕМА С. Н. МЕРГЕЛЯНА 111
Поэтому
К\2
2Л б
о о
2Л б
о о
Лемма 3 доказана.
Обратимся теперь к доказательству теоремы Мергеляна.
Первый шаг доказательства состоит в продолжении / (z) с сохра-
сохранением непрерывности на всю плоскость *) и приближении ее посред-
посредством функции Фе (z) леммы 3.
Преимущество Фб (z) перед / (z) в том, что это функция с непре-
непрерывными частными производными первого порядка, формальная
производная которой оценивается по формуле D.4:11). При этом
Ф&(г) совпадает с f (z) на множестве Об, где f (z) локально анали-
аналитическая. Таким образом, задача сведена к приближению многочле-
многочленами функции Фа (z). Следующий шаг будет заключаться в пред-
представлении Фб (z) формулой, обобщающей интегральную формулу
Коши на случай неаналитических функций (т. 1, гл. третья, п. 3.5).
Напомним, что формула эта была выведена для области А, огра-
ограниченной конечным числом жордановых кусочно-гладких кривых Г
(внешний контур), yt, ...,yn (внутренние контуры), и для функ-
функции F (z), непрерывной с непрерывными частными производными
первого порядка в Д. Она имеет следующий вид:
п
^¦^—dld-n, zfA.
1 j
D.4 : 12)
Ясно, что эта формула сводит задачу о приближении F (z) много-
многочленами к соответствующей задаче для ядра Коши: ^_ . Здесь
то нам и понадобится лемма 2. Но сначала нужно построить целе-
целесообразным способом область А. Заметим, что для справедливости фор-
формулы D.4 : 12) вовсе не существенна связность А. Формула остается
верной и в том случае, когда А представляет объединение несколь-
нескольких областей, попарно не имеющих общих точек.
*) См., например, П. С. Александров, Введение в общую теорию
множеств и функций, М. —Л., 1948, стр. 284 — 287.

112 КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ [ГЛ. 5
Чтобы получить открытое множество, к которому мы применим
формулу D.4 : 12), обратимся к лемме 2. Там, для каждой точки
?о?^б=-?\Об была построена некоторая окрестность Uo: | ?—?0 |<Ро>
фигурирующая в утверждениях леммы. Выберем конечную систему
таких окрестностей ?/,-: \z — zj\<Cpj, /=1, 2, ... т, покрывающих
все множество Е \ 0а, и образуем замкнутое множество Е [) Ui U ...
... (J Um. Очевидно, что оно является замыканием некоторого
открытого множества D$, содержащего Е; его граница Lg образо-
образована конечным числом дуг окружностей. К множеству D6 и функ-
функции Фе (г) мы и применим формулу D.4 : 12). При этом сумму всех
интегралов типа Коши в правой части формулы условно запишем
в виде одного, распространенного на Le- Получим:
Заметим теперь, что в точках 06 Фа (?) = /(?) есть функция анали-
аналитическая и, следовательно, в этих точках формальная производная
—^М- обращается в нуль (т. I, гл. 2, п. 1.3). Поэтому
Сумма интегралов типа Коши /j (z) = -~—r \ —Лу b является
н
функцией, локально аналитической на ограниченном замкнутом
множестве Е, дополнение к которому связно. Следовательно, суще-
существует многочлен Pi (z) такой, что
17,B)-^BI «о (б), z?E. D.4:13)
Для приближения многочленом интеграла
используем лемму 2. По построению множество D(, \ 0(, содержится
т
в U Uj. Каждой окрестности Uy. \?, — ?_,• | ¦< р^ соответствует
по лемме 2 свой многочлен П^-(г), удовлетворяющий условиям а)
и Ь) этой леммы. Очевидно, что для точки ???б\Оа, принадле-
принадлежащей нескольким окрестностям Uj , ..., Uj , можно в соотноше-
соотношениях а) и Ь) пользоваться любым из многочленов Ilj B), ..., UJk (z).
Чтобы сделать выбор однозначным, отнесем точке ? многочлен

4j
ТЕОРЕМА С. Н. МЕРГЕЛЯНА
113
с наименьшим номером /(?) и обозначим его через Щ(г). Итак,
N N
п=0 «=0
Коэффициенты Сп (Q являются кусочно-непрерывными (и даже
кусочно-аналитическими) на Дб\Ов.
Определим многочлен
На множестве Е имеем, в силу соотношения с) леммы 3:
б6
В части Mj множества D6 \ Оа, принадлежащей кругу К:
|? — z|<106, пользуемся для ПЕ (г — Q = П^) (г — Q оценкой а)
леммы 2. Получим:
<^-^- [-|".пA0бJ + 2л.10б]=В1(о(б).
В части М2 множества D& \ 0а, лежащей вне круга /С, пользуемся
оценкой Ь) той же леммы. Получим:
л б
М-2
О 108
Итак, на множестве Е:
h(z) — P2(z)\< (Bj + Ci) со (б). D.4: 14)
Полагая Р4 (z) -f P2 (z) == P (z) и сопоставляя соотношения D.4: 10),
D.4 : 13) и D.4 : 14), получим:
где Ао — абсолютная константа. Остается подобрать б столь малым,
чтобы Аоф (б) сделать меньше заданного е.
° А. И. Маркушевич

1 14 КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ [ГЛ. &
4.5. Пусть К.—ограниченный континуум, содержащий более
одной точки, и G,» — та из смежных с ним областей, которой при-
принадлежит точка z = оо. Это — односвязная область расширенной
плоскости, граница которой Гоо является частью континуума К.
Отобразим конформно G^ на внешность круга с центром в точке
w — О посредством функции w = Q)(z). Мы потребуем, чтобы удо-
удовлетворились два условия:
Ф(оо) = оо и
которыми Ф (г) определяется единственным образом.
Указанным условиям действительно можно удовлетворить.
С этой целью выполним сначала отображение области Gc» на неко-
некоторую область Gx посредством функции zx = ——-— , z0 ? /С, при
котором точка оо перейдет в начало координат, далее — отобра-
отображение Wi = cp (zj) области Gi — на круг с центром в начале коор-
координат так, чтобы ф @) = 0 и ср'@) = 1, т. е. lim —=1, и, нако-
нец, отображение w — —, при котором внутренность круга перей-
перейдет во внешность некоторого круга: |ш|>р>0. Легко видеть,
что результирующее отображение
гю = Ф{г)= \
будет удовлетворять поставленным условиям. В самом деле,
Ф(оо) = оо и lim-^2- = lira—!—--!l=i.
Отсюда следует, что Ф (z) в окрестности бесконечно удаленной
точки имеет следующее лорановское разложение:
а [Ф (z)]n (п — целое неотрицательное число) — разложение вида
а(п)
Многочлены
ф„ (Z) = гП + О4&2"-! + • • • + «о"',
представляющие совокупности членов с неотрицательными степе-
степенями z в лорановских. разложениях функций [Ф (г)]и, называются
многочленами Фабера, порожденными континуумом К

§ 4] МНОГОЧЛЕНЫ ФАБЕРА И ТЕОРЕМА С. * Н. БЕРНШТЕЙНА 145
(короче —многочленами Фабера для К). Очевидно, ' , ¦ ¦ и
фо(г) = 1, Ф1(г) = ^
Примеры:
1) К есть круг \z — zo|<ro. В этом случае w = (?>(z)=z~z0,
и, следовательно, Фп(г) = (г — zQ)n.
2) К есть замкнутая внутренность лемнискаты с fe-фокусами:
Здесь, как легко может убедиться читатель,
(для многозначной функции [1-\—— +...-)—?-] берется ветвь,
обращающаяся в 1 в точке z = oo). Поэтому
[Ф (z)]mh = (zk + А^-1 +...+ А0)т (т = 0, 1,...),
и, следовательно,
В частности, для лемнискаты с двумя фокусами^[| zz— 11<11
имеем:
Здесь
ФоB) = 1, Ф!(г) = г, Ф2B) = г2-1, ф,B) = z3~~z,
3) К есть отрезок действительной оси: — 1<х< + 1. Здесь
z2~0 отображает К на область |гш|>у
(берется ветвь }/~z2 — 1, удовлетворяющая условию vzZ~x—> j
при 2 —> оо j . Очевидно, лорановское разложение в окрестно-
окрестности точки г=оо для функции -L [ф (г)] = -^ (г—|^г2 — 1) не
тс ?
содержит неотрицательных степеней z. Поэтому совокупности

116 КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ [ГЛ. 5
неотрицательных степеней в разложениях
[Ф(г)]п и ^
будут одинаковы. Но последняя функция есть многочлен степени л,
откуда
®n(z) = i[(z+/i^)n + (z-/i^T)n] (« = 0, 1, 2,...).
Ф„ (COS 0=2^ [(COS t f i Sin t)n + (COS t - I Sin t)n) = -JL. COS Л*.
Полагая здесь z = cos^, получим:
Ф„ (C
Поэтому
Фп (г) -= ^rr cos (n Arc cos 2) = Tn (z)-
Мы видим, что в случае, когда Л" есть отрезок [ —1, -f-J],
многочлены Фабера совпадают с классическими многочленами
Чебышева, наименее уклоняющимися от нуля на этом отрезке.
Вернемся к общему случаю. Если 11, | = R — какая-либо окруж-
окружность, внутри которой лежит К, то для любой точки 2, |z|</?,
будем иметь:
__
(„ = 0,1, 2,...). D.5:1)
В самом деле, функция, стоящая под знаком интеграла,
является аналитической при | Z, \ > R и имеющей в бесконечно уда-
удаленной точке нуль не ниже второго порядка (так как [Ф (?)]"—Фп (?)
имеет в бесконечности нуль не ниже первого порядка). Поэтому
вычет функции относительно бесконечно удаленной точки равен
нулю и интеграл также равен нулю.
Из формулы D.5: 1) следует, что
Окружность | ?, | = R здесь можно заменить любой замкнутой
спрямляемой кривой у, лежащей в области Gx и содержащей
внутри точку z. Возьмем в качестве у какой-либо круговой
образ Сй, т. е. прообраз окружности \w\ = R>p при отображе-
отображении ш = Ф(г). Будем иметь:
ф (г) 1 f (Ф(РР dt L С TJEl^Ldw Г4 5 ¦ 3)

$ 4] МНОГОЧЛЕНЫ ФАБЕРА И ТЕОРЕМА С. Н. БЕРНШТЕЙНА \\7
где W (w) = Ф (w) и z — любая точка внутри Сд (в частности,
любая точка континуума К)- Из полученных формул следует, что
многочлены Фабера Ф„ (z) являются коэффициентами при иг'1
в лорановском разложении функции
, \ У (w)
в окрестности бесконечно удаленной точки (z фиксировано). Так
как z = W (w) имеет простой полюс в оо и lim —— = lim ^т-, = 1. то
то
откуда следует, что функция % (w; z) (рассматриваемая как функ-
функция от w) имеет в бесконечности простой нуль. Итак, при |да|>/?
получаем равномерно сходящееся разложение:
V (ар _уФ„ (z) Ub-A\
,. . W (w)
Мы видим, что функция , __ является производящей
функцией для многочленов Фабера.
Обозначим через .Ед- множество точек области Goo, принадле-
принадлежащих замкнутой внешности кругового образа СН', и пусть г —
число, удовлетворяющее неравенству р </"<?!'. Для любой точки
z?ER> (гф оо) будем иметь из формулы D.5:3) при достаточно
большом R:
r
Для интеграла Ir—-~-^ \ r_ dt, получаем оценку:
•г,
где Lr —длина Ст, а бГ) Н' — расстояние между Ст и Сд-. Поэтому
где |#„(г; г, R')\<zl, и
.. D.5:6)

И8 КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ [ГЛ. 5
Выбирая N (г, R') так, чтобы при всех n>N(r,R') выпол-
выполнялось неравенство
LT r» 1
2ябг>н< "#'" 2 '
и замечая, что | Ф (г) | > R' на множестве ?д», получаем:
у|Ф(г)Г<|Фп(гI<|-|Ф(г)Г, z?ER,, D.5:7)
откуда
lim -|/| Фп (z) | = | Ф (z) | D.5:8)
для любого 2?<5оой равномерно внутри области Gx \ оо.
4.6. В этом пункте мы изучим ряды по многочленам Фабера:
00
2алФп(г). D.6:1)
о
Прежде всего заметим, что если
ЙтуГ|аГ[ = -5-<-^, D.6:2)
то ряд D.6: 1) сходится абсолютно и равномерно внутри области,
ограниченной кривой СНо, и расходится во внешности кривой CRo.
В самом деле, пусть р < R' < Ro; тогда, в силу второго из нера-
неравенств D.5 : 7) будем иметь на Сд-:
14>п (г) | < -g-1Ф (г) |™ = ^ К" ПРИ п> N (#')
(г можно положить равным p"t j . G другой стороны, для любого
е, O<8<i?o — R\ получаем:
приnz>N'. Поэтому при n>v = max (iV, Л^') имеем на Сд (а сле-
следовательно, и внутри СН'):
откуда и вытекает абсолютная и равномерная сходимость ряда
D.5:1).

$4] МНОГОЧЛЕНЫ ФАБЕРА И ТЕОРЕМА С. Н. БЕРНШТЕЙНА 119
Если же z лежит во внешности кривой Сщ, то |Ф(z) |;>/?0'
и следовательно (в силу формул D.5:8) и D.6:2)), получаем:
т. е. ряд расходится.
Из доказанного предложения следует, что сумма ряда D.6: 1)
представляет функцию, аналитическую внутри Сщ (при условии
D.6:2)). Покажем, что справедливо и обратное предложение:
каждая функция / (г) аналитическая внутри Сд0 (Ro > p) может
быть представлена в этой области в виде суммы ряда вида D.6: 1).
В самом деле для любого R, р < R <C Ro имеем:
IKI 2m J t, — z 2ni J 4(w)—z
CR |№|=R
¦{z лежит внутри CR). Заменяя _ его разложением D.5:4),
равномерно сходящимся относительно w на окружности \w\ = R,
'получим:
/(г) = §а„Ф„(г), D.6:1')
о
¦где
||Н
d2
Обозначая max|/(z)| через MR, найдем:
CR
W<-^, D-6:4)
¦откуда
lim У\ап\<-о -
и так как i? — любое число, меньшее Ro, то
Поэтому ряд D.6: Г) сходится абсолютно и равномерно внутри
•области, ограниченной кривой СДо.
Установим, что разложения в ряд по многочленам Фабера
•обладают свойством единственности. В самом деле, пусть суммы
двух рядов вида D.6:1) совпадают внутри CRo, /?0>P- Тогда,

120 КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ . [ГЛ. 5
составляя разность этих рядов, получим:
Г\<^-. D.6:5)
°
Но для любого R', p<R'<Ro, для г = ^^— и z, принадле-
принадлежащего ER-, имеем в силу формулы D.5:6):
и, в силу условия, наложенного на ап:
r_ R,R'n
при n>N'. Отсюда вытекает, что ряд
равномерно сходится на множестве ER- и, следовательно, пред-
представляет аналитическую функцию. Она обращается в нуль в беско-
бесконечно удаленной точке, так как в этой точке все члены ряда
обращаются в нуль. Выполняя преобразование да = Ф(г), найдем,
что функция
оо
ЛНфИ D.6:6)
является аналитической при | w | > R' (а следовательно, и при
w | > р) и обращается в нуль в бесконечно удаленной точке.
Но S а„Ф„ [Ч*1 И1 = 0 при p<\w\<R0, т. е.
о
D.6:7)
Замечая, что последний ряд сходится при | w \ < Ro (в силу
D.6:5)), заключаем, что функция, определяемая с помощью ряда
D.6:6) при \w\>p и ряда D.6:7) при \w\<CRo, является одно-
однозначной и аналитической во всей плоскости, обращающейся в нуль
в точке г = оо. Отсюда вытекает, что ф(ш) = 0, и, следовательно,
в силу разложения D.6:7), имеем: ап = 0, п = 0, 1, 2, ..., что
и требовалось доказать.
В частном случае, когда К есть круг |г — го[<го, многочлены
Фабера имеют вид Ф„(г) = (г — го)п, а круговые образы Сг суть

$ 4] !¦ МНОГОЧЛЕНЫ ФАБЕРА И; ТЕОРЕМА С. Н. БЕРНШТЕЙНА 121
окружности \z — za.\ = r. В этом случае ряды по многочленам
оо
Фабера обращаются в ряды Тейлора: 2fln(z — zQ)n. В случае,
о
когда К — отрезок действительной оси —1-<л;<;1, многочлены
Фабера совпадают с многочленами Чебышева:
Фп (г) - Тп (г) = 2^=i cos (л Arc cos г).
а круговые образы Сг суть эллипсы
X2 , У2 ,
2~Г ¦
1 \2 ' / 1 \а
с фокусами + 1, причем р = -~ .
Из доказанных предложений вытекает, что каждая функция
/(г), аналитическая внутри эллипса
*2 | У2 -1
разлагается в ряд по многочленам Чебышева
равномерно сходящийся внутри области, ограниченной этим эллип-
эллипсом, причем разложение единственно.
4.7. С помощью многочленов Фабера можно получить теоремы
о порядке приближения многочленами функций, аналитических
на некотором континууме К. Для случая, когда К есть отрезок
действительной оси, эти теоремы были получены впервые
С. Н. Бернштейном в его знаменитой диссертации*).
Лемма Бернштейна — Уолша. Пусть К—континуум,
Goo — та из смежных с К областей, которая содержит точку оо,
и СR —круговые образы при конформном отображении круга
| w | > р на Goo посредством функции
*) С. Н. Бернштейн, О наилучшем приближении непрерывных функ
ций посредством многочленов данной степени. Сообщения Харьковского мате-
математического общества, вторая серия, XIII, 1912, стр. 49—194. Интересующие
нас предложения находятся на стр. 86—87 и 178—179. См. также С. Н. Б е р и-
штейн, Собрание сочинений, т. 1. Конструктивная теория функций, Изд-вс
АН СССР, 1952, стр. 21, 41 и 93.

122 КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ [ГЛ. 5
Если П„ B) — многочлен степени не выше п, удовлетворяющий
¦на К неравенству
то на CR (и внутри CR) этот многочлен удовлетворяет нера-
неравенству
Доказательство. Рассмотрим функцию
•Она является аналитической в области Goo, причем
где Ап — коэффициент при zn в многочлене П„(г). Применим
принцип максимума модуля к функции <р (г) в замкнутой обла-
области ЕТ, состоящей из всех точек внешности кривой СТ, г > р
и самой кривой Сг (чтобы перейти от неограниченной области
к ограниченной, для которой доказывался этот принцип, доста-
достаточно произвести преобразование ? = -, где г0 — какая-либо
Z Zq
точка континуума К). Найдем, что в каждой точке z?Er выпол-
выполняется неравенство
max | П„ (?) |
| Ф (z) 1 <: max | ^
leer
или, полагая |Ф (г) | = R >/-:
Пусть max | П„ (?) | = | Пп (Z,r) |, Z,T ? Ст; при г, убывающем и стре-
Сг
мящемся к р, тах|П„(?)|, не возрастая, стремится к определен-
Сг
ному пределу [д.. Тот же предел получается, очевидно, если г про-
пробегает некоторую последовательность {rh}, сходящуюся к р.
Предельные точки последовательности {?rft} все принадлежат
границе области Gco (см. теорему 1, п. 3.1) и, следовательно,
континууму К', переходя к подпоследовательности, можно потре-
потребовать, чтобы существовал предел: lim?,.ft = z0? К-

<$ 4] МНОГОЧЛЕНЫ ФАБЕРА И ТЕОРЕМА С. Н. БЕРНШТЕЙНА 123
Тогда будем иметь:
и, следовательно,
что и требовалось доказать.
Теорема С. Н. Бернштейна. Функция f (z) комплексного
переменного г, определенная на континууме К, тогда и только
тогда допускает дл я каждого е > 0 и для всех натуральных п
приближения многочленами П„ (г) степени не выше п, удовле-
удовлетворяющие неравенствам вида
\f(z)-nn(z)\<C(e)(q + e)n (q<l), D.7:1)
когда она является аналитической в области, ограниченной кри-
кривой СДо, где Ro = — . При этом последовательность {П„ (г)} схо-
сходится к / B) равномерно внутри указанной области.
Доказательство. Пусть сначала /(г)—функция, аналити-
аналитическая внутри СДо, где Ro = — и q < 1. Тогда, согласно преды-
предыдущему пункту, она представляется рядом по многочленам Фабера,
равномерно сходящимся внутри Сд0:
Частичные суммы этого ряда
суть многочлены степени не выше п (так как степень каждого
Фй (г) равна k). Убедимся в том, что эти многочлены удовле-
удовлетворяют условиям теоремы. Здесь достаточно доказать неравенство
D.7:1). Пусть е — произвольное положительное число, меньшее,
чем 1—q. Выберем числа R' и R: p<CR'<R<CRo так, чтобы
выполнялось соотношение
что, очевидно, всегда возможно. Имеем в силу формулы D.6: 4):

124 КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ [ГЛ. 5
где /Ид ^max|/(z) |, далее, в силу D.5:7) во всех точках кри-
вой Cr-, выполняется неравенство
|Ф*(z)|<-|-|Ф (г) |h =-§¦/?'* при n>N(e)
(г, для определенности, можно брать равным —j^-) • Поэтому
при п > N (е) во всех точках кривой CR> будем иметь:
п+\ n-j-i
3
В силу принципа максимума, это неравенство будет выпол-
выполняться также во всех точках континуума К- Заменяя, в случае
необходимости, число уМд i_V~t большим числом, мы можем
добиться того, чтобы полученное неравенство выполнялось и для
всех n^CN(e).
Итак, для некоторого С — С (е) будем иметь:
|/(z)-IIn(z)|<C(e)(<7 + e)nt « = 0,1,2,..., z €/С,
и первая часть теоремы доказана.
Докажем теперь вторую часть теоремы. Пусть для функции
/(г), определенной на К, существуют многочлены Пп(г), удовле-
удовлетворяющие неравенствам D.7:1). Тогда, очевидно, имеем во всех
точках континуума К (равномерно):
lim П„ (г) — f (z)
Покажем, что последовательность {П„ (г)} равномерно сходится
внутри области, ограниченной кривой Cru(R0 =—] . В самом деле,
из D.7:1) вытекает, что
во всех точках континуума К- Будем считать, что 8< "Г^ ,
и положим R = —пг(>р)- Тогда, применяя лемму Бернштеина —
Уолша к многочлену П„ (z) — nn_j (z) степени не выше п, найдем,

S 4] МНОГОЧЛЕНЫ ФАБЕРА И ТЕОРЕМА С. Н. БЕРНШТЕЙНА 125
что в точках кривой CR будут выполняться неравенства:
Отсюда следует, что ряд
или последовательность (П„(г)} равномерно сходится внутри CR.
Но lim^ = ^0, поэтому последовательность {П„(г)} равномерно
сходится внутри области, ограниченной кривой Cr0, и, следова-
следовательно, lim П„ (г) есть функция, аналитическая внутри СДо, причем
во всех точках континуума К она совпадает с /(г). Этим и закан-
заканчивается доказательство тео-
теоремы.
Прилагая доказанную тео-
теорему к случаю, когда К есть
круг | г — г01 <; г о, найдем, что
существование для любого
е > 0 многочленов П„ (г) сте-
степени не выше п, удовлетво-
удовлетворяющих неравенствам
необходимо и достаточно для
аналитичности функции /(г)
внутри окружности | г — г01<
<—; ав случае, когда К
есть отрезок—1<!л;<;1, аналогичное условие (выполняемое в точ-
точках этого отрезка) необходимо и достаточно для аналитичности
функции /(г) внутри эллипса
2q
1
(т. е. эллипса с фокусами ± 1 и суммой полуосей, равной —
4.8. Здесь и до конца главы мы будем заниматься рядами
многочленов, ортогональных по площади области. Пусть G —огра-
—ограниченная односвязная область, обладающая тем свойством, что
ее граница совпадает с границей области Gx, т. е. той из смеж-
смежных с G областей, которая содержит точку оо. Такого рода обла-
области называются областями Каратеодори. К ним относятся
все области, ограниченные кривыми Жордана, но не только они
одни. На рисунке 21 представлена область Каратеодори, граница

126
КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
[ГЛ. 5-
которой делит плоскость на три различные области. На рисунке 22"
изображены две области, не являющиеся областями Каратеодори.
Характеристическим свойством областей Каратеодори является
то, что каждая из них может быть представлена в виде ядра
убывающей сходящейся последовательности односвязных обла-
областей {Gn}:
GcGn+lcGn+iczGn (n=l,2, ...)•
Построение такой последовательности во всем совпадает
с построением, описанным в п. 4.2 для случая, когда G ограни-
ограничена жордановой кривой. Но, вместо того чтобы утверждать, чт&
Рис. 22.
ни одна точка, внешняя для G, не принадлежит ядру последова-
последовательности \Gn} мы можем теперь сказать только, что ни одна
из точек области Goo не может принадлежать этому ядру.
Чтобы получить ядро, совпадающее с областью G, необходимо
указывать, что речь идет о ядре относительно какой-либо точки
Zo?G. Так как G содержит z0 и принадлежит всем Gn, то G
содержится в соответствующем ядре. Чтобы доказать, что G сов-
совпадает с ядром, достаточно обнаружить, что ни одна из гранич-
граничных точек области G не может принадлежать ядру. Но в самом
деле, каждая такая точка является граничной и для G^ (по опре-
определению области Каратеодори) и, следовательно, содержит в любой
окрестности точки из Goo. А так как последние не могут при-
принадлежать ядру, то и граничные точки области G не принадлежат
ядру. Итак, существование требуемой последовательности доказано.
Читатель без труда докажет, что каждая область G, для которой
существует подобная последовательность, есть область Каратео-
Каратеодори. Впрочем этим фактом мы не будем пользоваться.
Лемма. Пусть G —область Каратеодори и {Gn} — убывающая
последовательность ограниченных односвязных областей, сходя-

§ 4] МНОГОЧЛЕНЫ, ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ПО ПЛОЩАДИ ОБЛАСТИ 127
щаяся к G, как к ядру. Тогда для последовательности функций
{/„(z)}, конформно отображающих Gn на круг \и>\<.1 и удовле-
удовлетворяющих условиям: fn(zo) = O, /n(Zo)>O (Zo€G), и для любого
целого неотрицательного числа k выполняется соотношение
\\m\\\ [fn (z)]k fn (г) - [f (z)]h f (z) |2 dx dy = 0,
где f (z) конформно отображает область G на тот же круг
и удовлетворяет аналогичным условиям: f(zo) = O, /'B0)>0.
Доказательство. Из элементарного неравенства
1
следует при т = 2, что
\lfn{z)]hfn{z)-lf{z)]k-f'{z)\*<.
< 2 | /„ (г) р* | /; B) - /' (г) |2 + 21 /' (г) \* | [/„ (z)]h - [f (z)]k |2 <
/nB)-/(z)|*t D.8 :
где мы пользуемся еще тем, что ]/(г)|<1 и |/„(г)|<1.
Обозначим через уг круговой образ f~1(\w\ = r); каково бы
ни было замкнутое множество FcG, оно будет содержаться
внутри уг, если только г достаточно близко к единице. Пусть
е—произвольное положительное число. Выберем г0 и PolOo) так,
чтобы п — лрЛ было меньше е2. Наконец, пользуясь равномерной
сходимостью последовательностей {fn(z)} и {fn(z)} внутри G
к функциям / (г) и /' (г) соответственно (в силу теоремы Каратео-
дори), выберем JV0(e) так, чтобы при n>NQ на уГй (и, следова-
следовательно, внутри уГо) выполнялись неравенства:
\fn{z)-f(z)\<ro-po и |/;(г)-/'(г
Тогда будем иметь:
ll\fk(z)-f'(z)\*dxdy =
G
/«(г) -/' (z) \*dxdy+ Ц | fn (z)-/'[(г) |2
J \f'{z)fdxdy.
= J J I
G\g
ro
m mm
*) Оно получается из неравенства ^ аФь. |2^ 2 I flft I2 2 ! ^ft I2 ПРИ
n oo

128 КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ ' ' [ГЛ. 5
Интеграл \ \ | /' (г) |а dx dy представляет площадь ббраза той
GSr0
части области G, которая лежит вне уТо, т. ё. площадь кругового
кольца г0 < | w | < 1, равную я — яг„; по предположению она меньше,
чем е2. Интеграл ^\ \f'n{z)^ dxdy представляет площадь образа
G-gro
той же части, но при отображении w — fn(z). Так как на уГо выпол-
выполнено неравенство |/п(г)— / (г) | <С г0 — Ро, то этот образ содержится
между единичной окружностью и окружностью |г| = р0; поэтому
площадь образа меньше, чем я — яр^, т. е. меньше е2. Замечая
еще, что пл gro<^S, получаем:
*(S + 4). D.8:2)
Обратимся к интегралу \ \ | /' (г) |21 fn (г) — / (г) |2 dx dy; имеем:
JJ \f'(z)\2-\fn(z)-f(z)\*dxdy<
G\gro
/' B) |2 d* d«/ + 4 J J I /' (г) |2 djc d«/ < яе2 + 4e2 = (я ¦+- 4) e2.
G\gr<>
D.8:3)
Из неравенств D.8 : 1), D.8 : 2), D.8 : 3) заключаем, что
ll\lfn (z)]k /; (г) - [/ (z)]h f (z) |2 dx dy <
G
^ Hf' (z)\*\fn{z)-f{z)\*dxdy<
G G
<е2[25 + 8 + 2/г2(я + 4)] при
Так как е здесь произвольно мало, то
\ш\\\ [fn (z)]k f'n (z) - If (z)]h f (z) |2 dx dy = 0,
Or
что и требовалось доказать.

§ 4] МНОГОЧЛЕНЫ, ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ПО ПЛОЩАДИ ОБЛАСТИ
129
Теорема. Пусть G — область Каратеодори и F(z)— функ-
функция, аналитическая в области G и удовлетворяющая условию
Тогда для любого е > О существует многочлен П (г) такой, что
\F{z)-U{z)fdxdy<z\
Доказательство. Заменяя г в функции F(z) через f~x(w),
получим функцию F* (w), для которой будет выполнено условие
Г1' (w)\*dudv=\\\F{z)\2dxdy = C<oo.
Пусть
тогда
v) = F* (w) f v (w) = 2 OnWn;
о
2Л Г oo
0 0 0
2jT oo oo
= ldr [ I
0 0
I
0 0 0
0 0
Отсюда следует, что я 2 \ak |2 ^ , , <С при любом Л^ и
оо
, т. е. ряд 2
поэтому я 2
и далее я
сходится.
Рассмотрим интеграл
ф (ш)—2
0
лг+1
*) Интеграл понимается как несобственный.
9 А. И. Маркушевич
N+i

130 КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
Переходя здесь к пределу при г —> 1, получим:
[ГЛ. 5
лг
M<1
лг+i
k+l
и, наконец,
lim
» = 0.
Возвращаясь к первоначальному переменному посредством пре-
преобразования w = f(z), найдем:
лг
п п
w\<l
ЛГ
~ 2
0
( \ ^
ah[f(z)]
s1 k
1 /' (Z)
, следовательно,
lim \ \ К
ЛГ-ЮО Q
2 , ,
ЛГ
(z)-2<
0
р р
G
G
F(z)
/ (z)
F(z)
лт
0
'(г)
2
0.
*dxdy,
Теперь, опираясь на лемму и на теорему Рунге, покажем, что
IV
функции 2 ап [/ B)]"/' (г) можно заменить здесь многочленами.
о
Пусть е — произвольное положительное число. Фиксируем No =
= N (е) так, чтобы выполнялось неравенство
И
N0
Далее, замечая, что
JJ|2*tf«iTw-
лг0
а* I/» B)]" /; (z) I dx dy <
< No 2 I a* I" S J I [/ B)]" Г (Z) ~[/n B)]ft /; B) Г dX dy'

§ 4] МНОГОЧЛЕНЫ, ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ПО ПЛОЩАДИ ОБЛАСТИ
131
выберем, опираясь на лемму, /i = no(e), так, чтобы правая часть
неравенства была меньше -г^-. Тогда будем иметь:
No
N0
h f
ak[f(z)]h f
No
G О
No
[fno (z)]h fm (z) \2dxdy
z)]hf (z)-
. D.8:4)
JVo
2
o
Применяя к функции 2 ak [fn0 (z)\h fno{z)i аналитической
0 _
в односвязной области Gno, и к множеству G с Gno теорему Рунге,
найдем многочлен П (г) такой, что
iV0
О
где S обозначает площадь области G. Тогда получим:
12
[/„0
/;0 (г) - П (г)
-f D.8 :5)
0
и, наконец, сопоставляя D.8:4) и D.8: 5):
что и требовалось доказать.
Области Каратеодори не являются самыми общими областями,
на которые распространяется доказанная теорема. Она остается
в силе для всех областей, которые в известном смысле, допускаю-
допускающем вполне точные количественные характеристики, близки к облас-
областям Каратеодори.
Исследования этих вопросов, потребовавшие привлечения тонких
средств анализа и теории функций, принадлежат М. В. Келдышу,
А. Л. Шагиняну и М. М. Джрбашяну. Мы отсылаем читателя
к оригинальным работам этих ученых.
Обозначим для краткости совокупность всех функций {F(z)},
аналитических в области Каратеодори G и удовлетворяющих
9*

132 КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ [ГЛ. 5
условию
G
(функции с интегрируемым квадратом м о дуля) через Н'г.
По доказанной теореме, для каждой функции F (?) ? Н'2 сущест-
существует последовательность многочленов П„(г), удовлетворяющая
условию
lim \ \ \F(z) — Iln(z)\2dxdy = 0,
т. е. сходящаяся к F в среднем (по площади области).
Покажем, что для аналитических функций комплексного перемен-
переменного из сходимости в среднем вытекает равномерная сходимость
внутри области. В самом деле, пусть zo?G и р0 — расстояние этой
точки до границы области G; тогда круг k:\z-zo|<po принад-
принадлежит области G. Если {Fn (z)} — последовательность аналитичес-
аналитических функций, сходящаяся в среднем к F (z) и
G
то, тем более,
к
Разложим F (г) — Fn(z) в ряд Тейлора по степеням z — г0:
F (z)-Fn(z) = %ah(z-z0)\
о
В силу выкладки, проведенной в начале доказательства тео-
теоремы этого пункта, имеем:
0
откуда
Но а0 = F (г0) — Fn (г0), следовательно,
Этим неравенством и устанавливается равномерная сходимость
{Fn(z)} к F(г) внутри области G.

§ 4] МНОГОЧЛЕНЫ, ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ПО ПЛОЩАДИ ОБЛАСТИ 183
Обратное предложение неверно: из равномерной сходимости
некоторой последовательности аналитических функций внутри дан-
данной области отнюдь еще не следует сходимость в среднем. Так,
например, последовательность {|/n+lzn} равномерно сходится
к нулю внутри единичного круга, тогда как
при любом п, т. е. последовательность не сходится в среднем
к нулю (а следовательно, вообще не может сходиться в среднем,
так как мы видели, что предел в среднем, если он существует,
должен совпадать с пределом в смысле равномерной сходимости).
4.9. Построим последовательность многочленов {Pn(z)}, степе-
степеней п, ортогональных и нормированных по площади области G,
т. е. удовлетворяющих условиям
¦ II
G
Pn(z)Pm(z)dxdy = 8nm,
где 8nm = 0, если пфт и б„„= 1 (п, т~0, 1, 2, ...).
Потребуем еще для определенности, чтобы коэффициент при
старшей степени z в выражении Рп (г) был действительным поло-
положительным числом. Тогда многочлены будут определены единст-
единственным образом. А именно, для Р0(г) получим: Ро (z) = .,_ , где
у S
S — площадь области G. Пусть многочлены Ро (г), /\(z), ...,Р„(г)
уже построены, причем степень многочлена Pj (г) совпадает
с / (/ = 0, ..., п). Тогда любой многочлен р (г) степени п + 1 с поло-
положительным коэффициентом \л при zn+1 может быть записан в виде
р (z) = fX2"+1 + КРп (г) + ... + 1оРо (г).
Отсюда получаем:
Ц Р (г)
G
^ zn+1 ЛЛ5) dxdy -f Xm,
G
и, следовательно, условия Xm=—[г \ \ zn+1Pm(z) dx dy = — \t,cm
G
(m = 0, ...,л) необходимы и достаточны для того, чтобы было
При этих условиях р (z) приобретает вид р (г) = [г [zn+1 —
— спРп (г) — ... — с0Р0 (г)] = ц<7 (г), где q (z) ^ 0» причем коэффи-
коэффициенты многочлена q B) не зависят от ц.

134 КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ [ГЛ. 5
Имеем:
и, следовательно, существует одно и только одно значение
(действительное и положительное), для которого
Из этих рассуждений вытекает, что если ортогональные и нор-
нормированные многочлены Ро (z), ..., Рп (г) уже построены, то суще-
существует один и только один (при условии положительности старшего
коэффициента) многочлен Pn+i{z), составляющий с ними ортого-
ортогональную и нормированную систему. Таким образом, существование
и единственность требуемой системы многочленов установлены.
Замечая, что любой многочлен П„ (г) степени не выше п может
быть представлен в виде
un(z) = coPo(z)+...+cnPn(z),
будем подбирать коэффициенты Cj (/ = 0, ..., п) так, чтобы ин-
интеграл
где F (г) ? Н'г, имел наименьшее возможное значение. Простая
выкладка приводит к следующему результату:
dy =
G
n
Обозначим \\ F (z) Pj (z) dx dy через a; (/ = 0, 1,2, ...) и будем
G
называть эти числа коэффициентами Фурье функции
F(z), относительно системы {Pn(z)}. Тогда последнее соотношение

§ 4] МНОГОЧЛЕНЫ, ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ПО ПЛОЩАДИ ОБЛАСТИ 135
перепишется так:
= J J | F (г) |г dxdy-
G
Отсюда следует, что искомое наименьшее значение достигается
только при Cj — uj (/ = 0, ..., п) и равно
Итак,
, D.9:1)
где uj — коэффициенты Фурье функции F(z).
В силу теоремы предыдущего пункта, для функции F (г) суще-
существует последовательность многочленов {П„ (г)} такая, что
lim
— Un (z)\2 dx dy = 0.
В силу неравенства D.9: 1), тем же свойством обладает после-
п
довательность многочленов {2 OjPj(z)}. Иными словами, эта после-
о
довательность сходится в среднем к F(z):
п
lira?? F (г) - У. ajPj (г) 2 dxdy = 0. D.9 :2)
Отсюда, по предыдущему пункту, заключаем, что та же после-
последовательность равномерно сходится к F (г) внутри G, т. е. для

136 КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
любой функции F (г) ? Н2 справедливо разложение:
[ГЛ. 5
(г) =
„ (z), an=W F(z)K(z)dxdy. D.9:3)
Оно называется разложением Фурье функции F (г)
(по ортогональным по площади многочленам {Pn(z)}).
Сравнивая D.9:2) и D.9: 1), получаем:
\\m\\\\F
т. е. ряд 2 \ап\2 сходится, причем
о
D.9:4)
Это соотношение представляет равенство Парсеваля
для рассматриваемых разложений.
Убедимся в том, что a priori написанный ряд
о
для которого выполнено условие
D.9:5)
D.9:6)
представляет ряд Фурье некоторой функции Ф (г) ? Н'2. В самом
деле, по п. 4.8, из того что
п+р
п+1
п+р
=2 к i
n+l
вытекает
п+р
2
п+1
где ро — расстояние точки г0 до границы области G, и так как ряд
D.9 :6) сходится, то и ряд D.9:5) равномерно сходится внутри
области G, и, следовательно, сумма его есть некоторая аналити-
аналитическая функция Ф(г). Пусть g—замкнутая область, содержащаяся

§ 4] МНОГОЧЛЕНЫ, ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ПО ПЛОЩАДИ ОБЛАСТИ 137
в области G. В силу равномерной сходимости ряда D.9:5), имеем:
п
J | Ф (г) Iяdxdy = lim J J | 2 *hPh (z) |2 dxdy.
Ho
g о
поэтому
G 0
и так как g — любая замкнутая область, содержащаяся в области G,
то интеграл \ \ |Ф(г) \2dxdy существует (сходится), т. е. Ф (г) ?
#2-
G
ЭТОМ
Применив установленный результат к ряду 2
п+1
п
— 2 «ft^ft B), найдем:
о
2) — Ф(г) —
Поэтому при n
ное число:
0 п+1
, где т — произвольное целое неотрицатель-
неотрицательп+1

138 КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ • [ГЛ. 5
я так как левая часть не зависит от п, а правая стремится к нулю
при п —» оо, то ат = V \ Ф (z) Pm (г) dxdy (m = 0, 1, 2, ...), откуда
G
и следует, что ряд D.8:5) есть ряд Фурье функции Ф(г)?Н'2.
Из доказанного следует полнота пространства Н'2. Именно,
покажем, что если последовательность {Fn (z)} cz H'2 удовлетворяет
критерию Коши: для каждого е;> 0 \ \\Fm(z) — Fn (z) |2 dxdy < e2
при т^> N (е) и n>jV (г), то она сходится в среднем к некоторой
функции F(z)^H'2.
Положим:
тогда
оо
JJ | Fn (z) - Fn (z) |2 dx dy = ^ I alm) - 4n) I2 < e2
G 0
при m>yV(e) и n>Af(e).
Следовательно,
| a4m)—а(йп) | <e, при m>N(z), n^>N{e) и & фиксированном.
Отсюда вытекает существование пределов коэффициентов:
limakm) = aft, /г = 0, 1,2, ...
Пусть Q — любое натуральное число. Тогда из неравенства
Q оо
SI „(m) л(™)|2 ^- V I л(™) /.(«) 12
| йа —йй г<; 2j \ ak —ak \
ft=0 ft=0
выводим:
(n) r2 ^ 2
a/j f<.6,
или, переходя к пределу при tn —> оо:
Q
2 4
Отсюда следует, во-первых, что
2 i)
2 ||S
h~l fe=0

§ 4] МНОГОЧЛЕНЫ, ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ПО ПЛОЩАДИ ОБЛАСТИ 139
т. е. ряд 2 I ah I2 сходится, и, во-вторых, что
о
fc=0
Следовательно, 2 OjA (z) = F (z)?H'2 и последовательность {/*"„ (г)}
сходится к F (z) в среднем. Полнота пространства #2 Доказана.
Применим полученные результаты к построению ряда Фурье
для производной /' (z) от функции /(г), конформно отображаю-
отображающей область G на единичный круг (/ (z0) = 0, /' (z0) > 0).
Очевидно, что /' (z)?#2, так как \ \ |/' (z)|2rfxrft/ = it. Дока-
G
жем, что для любой функции F (z) ? H'2, удовлетворяющей условию
F (zQ) Ф 0, выполняется соотношение
Г (г)
Г (го)
'dxdy^j-p
Г (z0) l;
, D.9:7)
причем знак равенства имеет место только в том случае, когда
F(z) Г (г)
F(z0) f'(z0)-
В самом деле,
F [Г1 (ш)]
'\f-1'(w)\idudv;
положим: ф (ш) =
F If1 (ю)]
выкладку в п. 4.8):
F(z)
F(z0)
i = ^ anwn; тогда найдем (см.
о
D.9:8)
Но a0 = Ф @) =
/-i' @) =j±-) (так как Г1 @) = z0), поэтому
Знак равенства здесь предполагает равенство в D.9:8), т. е.
равенство

140
КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
откуда п! = а2 = ... = 0 и ср (w) = а0 = -р^у, т. е.
[ГЛ. 5
F [/-i (w)]
р^у(о)
—г, , и, наконец, „ . , = ,,, .¦, что и требовалось до-
Г1 (w)-f'(z0) F(z0) П*о) v
казать.
Рассмотрим многочлен Кп(z, zo) = ^}Pk{z)Pk(z0). Очевидно,
о
Кп (z0, z0) = 2 |
в силу D.9 : 7):
(так как Ро (z0) Ф 0) и, следовательно,
Кп (г, z0)
I /'
I2 '
Так как найденное неравенство имеет место при любом п, то ряд
оо
2 I Pk (Zo) i2 сходится, причем
о
>
l/'(zo)i2-
Из сходимости ряда 2 I ^*ь (^о) I2 следует, что 2 ^ь (го) Рп B)
о 1 о
является рядом Фурье некоторой функции К (z, z0) ? Н'%. Для нее
Ц\К(г, zo)\tdxdy=^\Ph(zo)\a, откуда
К {г, г0)
о> г0)
\f'<
D.9:9)
Пусть
- РЯД Фурье для /'(г). Тогда
i
Г
(г0)

¦§ 4] МНОГОЧЛЕНЫ, ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ПО ПЛОЩАДИ ОБЛАСТИ 141
оо оо оо
и так как | 2 ckPh (z0) |2< 2 I с* |2 ¦ 2 I Ph Ы |2, то
О 0 0
1е*!1
^ ос • ^-а-
I/'(гл |
Сравнивая D.9:9) и D.9:10), заключаем, что , " . ,2 =
= ^ .т.е.
4- О
и далее, что для функции F (г) = /С (г, z0) в соотношении D.9:7)
достигается равенство.
Поэтому * 1г'2°\=Щ, т. е.
у К (г0, г0) /' (г0) '
D.9: 12)
Это и есть искомая формула, позволяющая находить /' (z),
а следовательно, и функцию / (z), конформно отображающую
данную область на круг. Разложение последней функции в равно-
равномерно сходящийся ряд многочленов (однако неортогональных)
получаем в виде
i\
D.9:13)
Для функции -14-т производная в точке z0 равна 1, поэтому
/ (zo)
w = jrrK конформно отображает область G на круг, радиус кото-
рого Rzo = есть конформный радиус области относительно

142 КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ [ГЛ. 5
точки 20 (см. п. 2.2). Из формулы D.9:11) получаем:
& 1
D.9:14)
В заключение заметим, что для случая области, ограниченной
замкнутой жордановой спрямляемой кривой Г, можно строить
многочлены {pn(z)}, ортогональные и нормированные на контуре:
\ рп (z)-pm(z)dz — 6nm, и изучать разложения в ряды по этим
г
многочленам. Соответствующая теория была развита в трудах
В. И. Смирнова, М. В. Келдыша, М. А. Лаврентьева и
П. П. Коровкина.

Глава шестая
ГАРМОНИЧЕСКИЕ И СУБГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ.
ГИДРОМЕХАНИЧЕСКИЙ СМЫСЛ АНАЛИТИЧЕСКИХ
ФУНКЦИЙ. ФУНКЦИИ ОГРАНИЧЕННОГО ВИДА
§ 1. Гармонические функции. Задача Дирихле
и функция Грина для односвязной области
1.1. Пусть f(z) = (f(x, y)-\-ity(x, у) — функция, аналитическая
в некоторой области. Так как она дифференцируема в этой области,
то ф (х, у) и ij) (x, у) — также дифференцируемые в той же области
функции двух действительных переменных, удовлетворяющие диф-
дифференциальным уравнениям Даламбера — Эйлера
дц> dty дц> дт|з
дх ду ' ду дх
Производная -J- аналитической функции является аналитической
функцией, которую можно представить в виде
df дц> . дц> _ дг}> . dif>
dz дх ду ~~ ду ' дх
Следовательно, Д, —^ и ^, -^ — также дифференцируемые в об-
ох оу оу ох
ласти функции двух действительных переменных, удовлетворяющие
уравнениям Даламбера — Эйлера. Записывая для пары функций
2?j: , —^ первое уравнение Даламбера —Эйлера, а для другой
пары ^, ^ — второе, найдем:
(Й) ¦»(-?)'(%)
«(Й) ¦»(-?)„'(%)
„
дх ду ду дх
откуда
Заметим, что все производные второго порядка от функций q>(x, у)
и -ф (лг, у) непрерывны в области. Это следует из того, что вторая
производная , g аналитической функции f (г) сама является

144 ГАРМОНИЧЕСКИЕ И СУБГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. 6
аналитической функцией и может быть представлена в одном из
следующих видов:
d>f (г) _ д2ф . аз-ф <Э2<р . д2г[) _ ^2^ . д2ф
Дифференциальное уравнение с частными производными второго
порядка
называется уравнением Лапласа, а функции, обладающие
непрерывными частными производными первого и второго порядков
в некоторой области и являющиеся его решениями, называются
гармоническими в этой области функциями.
Две гармонические в области функции, связанные уравнениями
Даламбера — Эйлера, называются сопряженными гармони-
гармоническими функциями. Пользуясь этими терминами, мы можем
утверждать, что действительная и мнимая части функции, анали-
аналитической в некоторой области, являются сопряженными гармо-
гармоническими функциями в этой области.
Предположим, что ф (х, у) и г|з(дг, у)— две какие-либо сопря-
сопряженные гармонические в области G функции. Из того, что они
удовлетворяют уравнениям Даламбера — Эйлера, а также из диф-
ференцируемости функций ф (х, г/) и г|з (х, у) в области, следует
дифференцируемость функции комплексного переменного / (г) =
= ф(дг, г/) + п|)(х, у) в этой области, а следовательно, и ее анали-
аналитичность. Сопоставляя два найденных результата, приходим
к теореме:
Для того чтобы функция f (г) была аналитической в области,
необходимо и достаточно, чтобы ее действительная и мнимая
части были сопряженными гармоническими функциями в этой
области.
Поясним примерами связь между аналитическими и гармони-
гармоническими функциями.
1) Функция / (г) = ег = ех (cos y-\-i sin у) является аналитической
во всей плоскости. Поэтому ее действительная и мнимая части
<р (х, у) =excosy и 1(з (х, у) = ех sin у являются гармоническими
во всей плоскости. Читатель легко проверит вычислением, что эти
функции удовлетворяют уравнению Лапласа.
2) Функция Ln z = In | z \ + i Arg z является многозначной анали-
аналитической функцией в области, границей которой служит начало
координат. Следовательно, ln|z| и Arg2 — гармонические в этой
области функции (первая однозначная, вторая многозначная).
Первую из них можно переписать в виде In |/~х2 + #2; для второй
в области, границей которой служит полупрямая у = 0, х<0,

§ 1] ГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 145
имеем бесконечное множество однозначных гармонических ветвей:
;z + 2kn (fc = 0, +1, +2, ...)•
Более общий пример получим, рассматривая аналитическую
функцию Ln^i^) гДе 2i и z2 —две различные точки комплексной
плоскости. Так как
г-г2 |г-г2| ^ & г-г2
то мы получаем две гармонические функции: однозначную
In | ~z' и многозначную Arg^—-^. Каждая из них является
\ Z — Z2 | 2 — Z2
гармонической в области, получающейся путем исключения из
плоскости двух точек z± и г2. Они имеют простой геометрический
смысл: первая представляет логарифм отношения расстояний
точки z до двух фиксированных точек Zi и z2, вторая — величину
угла, под которым отрезок [г4, z2] виден из точки г.
3) Пусть / (г) — однозначная аналитическая в некотором кольце
г<.\z — a\<cR функция. Тогда в этом кольце имеет место лора-
новское разложение /(z) = 2 An(z — a)n, и мы получим две гармо-
нические в кольце функции, отделяя действительную и мнимую
части ряда Лорана. Полагая Ап = рпегап и z — a = reiv, будем иметь:
f B) = S* 9пГпе1 (пф+а») = S 9пГп [cos (л<р + «„) + i sin (пц> + ап)\,
— ОО —OQ
откуда
Re [f (z) ] = S pnrn cos (лф + а„)
+
Im [/ (z)] = S pnr" sin (ш
Мы получили выражения этих гармонических относительно декар-
декартовых координат х и г/ функций через полярные координаты г и ср.
Если отсюда перейти к декартовым координатам, то каждый член
ряда примет более сложный вид (а именно, представится в виде
некоторого однородного многочлена относительно х и у — гармо-
гармонического многочлена степени п).
4) В дальнейшем важную роль играют действительная и мнимая
части функции / (z) = ре.-„+^~~ . аналитической в круге|z — zol<p.
рега-— (г—г0)
Полагая z = zo-\-reie и обозначая действительную и мнимую части
Ю А. И. Маркушевич

146 ГАРМОНИЧЕСКИЕ И СУБГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. 6
функции f(z) через и (г, 0) и v(r, 0), получим:
и (г Q) + iv(r Q) Ре1К + ^9 - (Pe
_ р2 — г2 + Дф sin (9 — к)
~~ e — a) '
откуда
Р2-^2 ../r QN_ 2rpsin@ — a)
_2rpcos(e-a)' ^ ' 0)~ p2 + r22rpcos(e
Мы получили две однозначные функции, гармонически сопря-
сопряженные в круге |z —20|<р. Знаменатель дробей, которыми они
изображаются, равный (peia — rei&) (pe~ia — re~ie) = | peia — re'e]2 =
= jpeia — (г — г0) |2, представляет квадрат расстояния между точ-
точкой z и точкой peicc + z0, лежащей на окружности [г — го| = р.
Каждую ли гармоническую в области функцию ф (х, у) можно
рассматривать как действительную (или мнимую) часть некоторой
аналитической в области функции? Ответить на этот вопрос утвер-
утвердительно — это значит найти по функции ф (х, у) другую гармони-
гармоническую в области функцию ty(x, у), сопряженную с первой, т. е.
решить уравнения:
5ф д\р дер dty
дх ~ ду ' ду дх
относительно функции у\> (х, у). Перепишем эти уравнения следу-
следующим образом: Ц = Р(х, у), ^ = Q(x, у), где Р(х, у)= — ^
и Q (х, у) = -^- — заданные дифференцируемые (и, следовательно,
непрерывные) в области функции. Уравнение Лапласа
с>2Ф , дзф _ п
дхг ~^ ду2 ~ '
которому удовлетворяет функция ф (х, у), можно переписать в виде
дх ду
Так как ^ и -^ непрерывные функции (как производные
второго порядка гармонической функции ф(л;, у)), то выражение
Р (х, y)dxJrQ(x, y)dy является полным дифференциалом криво-
криволинейного интеграла
(X, У)
^ Р(х, y)dx + Q(x, y)dy,
. - . (хо, уо) -

§ 1] ГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 147
взятого по любой кривой, соединяющей точки (л;0, у0) и (х, у)
внутри заданной области, и представляющего собой функцию от
х и у. Обозначая эту функцию через i|H (x, у), будем иметь:
dypo(x, у) = Р{х, y)dx-}Q(x, y)dy,
т. е. я|з0 (х, у) обладает непрерывными частными производными:
fa=P(x> y)i -^- — Q(x, у)- Сравнивая эти уравнения с уравне-
уравнениями ^ = />(*, у), ~ = Q(x, у), предложенными для разреше-
разрешения, находим общее выражение для функций ty(x, у) в виде
(х, V)
I ^ ^
^
<*о. г/о)
Легко видеть, что эта функция является гармонической, сопря-
сопряженной с ф (х, у). В самом деле, действительная и мнимая части
функции комплексного переменного / (z) = q> (x, у) -\- ii|3 (x, у)
обладают непрерывными частными производными первого порядка,
связанными соотношениями:
^~Р(х и)-—^- ^--0(х и)-^
дх~У (х, у)- ду , ду - v{х, у) - дх .
Поэтому /(г) — функция, дифференцируемая и, следовательно,
аналитическая в области. Отсюда и вытекает, что функции ф (х, у)
и 1)з (х, у) — сопряженные гармонические.
Итак, по заданной гармонической в области функции ср (х, у)
можно найти бесконечное множество аналитических в области
функций, действительной частью которых является ф (х, у).
Все эти функции содержатся в формуле
I ^ ^
I ^
(*о. г/о)
и отличаются между собой, таким образом, на чисто мнимую
постоянную iC.
Заметим, что если данная область является односвязной, то
интеграл
(*> v) dw
{XQ, Vo)
будучи интегралом от полного дифференциала, представляет одно-
однозначную функцию в этой области. Поэтому и аналитическая функ-
функция /(г), построенная по заданной действительной части <р(х, у),
10*

148 ГАРМОНИЧЕСКИЕ И СУБГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. 6
является однозначной функцией в области G. Если же область G
многосвязна, то указанный интеграл, вообще говоря, может при-
принимать различные значения для различных путей интегрирования,
соединяющих точки (х0, у0) и (х, у) (одинаковые значения будут
получаться для путей, принадлежащих одной и той же односвяз-
односвязной подобласти области G). Поэтому и аналитическая функция
/(г), построенная по заданной однозначной действительной части
Ф (х, у), будет, вообще говоря, многозначной. Но ее производная
/'B), имеющая вид /' (z) = ^ — г'^р, необходимо однозначна,
откуда следует, что различные однозначные ветви функции f(z),
которые можно получить в произвольной односвязной подобласти
области G, обладают одной и той же производной и, следовательно,
отличаются друг от друга лишь на постоянные слагаемые.
1.2. Пользуясь связью гармонических функций с аналитиче-
аналитическими, можно вывести основные свойства гармонических функций
из уже известных свойств аналитических функций.
Пусть и(х, у) — однозначная функция, гармоническая в неко-
некотором круге К: |г — z01 <.R. Тогда, по п. 1.1, в круге К сущест-
существует однозначная гармоническая функция v (x, у), сопряженная
с и(х, у). Образуем соответствующую аналитическую функцию
f(z)~u(x, y)-\-iv(x, у) и разложим ее в ряд по степеням z — z0.
Получим:
/B) = |К + Фп)B-2О)", A.2:1)
где ап и р„— действительные числа. Введем полярные координа-
координаты г и 6 с полюсом в точке z0, так что z = zQ-\-reiQ, и будем
употреблять для и (х, у) и v (х, у) обозначения и (г, 0) и v (г, 0)
в качестве равнозначащих с и(х, у) и v(x, у). Отделяя в A.2: 1)
действительные и мнимые части, получим ряды:
оо
и (г, e) = ao + SKcosrt0 — pnsinn0)rn, A.2:2)
i
v(r, 0) = po + 2(p\cosrt0 + anSinrt0)rre, A.2:3)
i
равномерно сходящиеся внутри К.
Таким образом, каждая функция и (г, 0), гармоническая внут-
внутри круга \z — zo\<iR, допускает в нем разложение вида A.2:2),
равномерно сходящееся внутри этого круга. Коэффициентами
ряда являются действительные числа а„ и — Р„. Так как степен-
степенной ряд A.2:1) сходится в данном круге и, быть может, имеет
радиус сходимости больший чем ^, то числа эти , должны

$ 1] ГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 149
удовлетворять неравенству:
lim У
П-ЮО
Легко видеть, что если ап и р„ — a priori заданные числа,
удовлетворяющие последнему неравенству, то ряд A.2:2) опреде-
определяет функцию, гармоническую внутри круга К. Чтобы убедиться
в этом, достаточно заметить, что при выполнении указанного
неравенства степенной ряд A.2: 1) сходится в круге К и, следо-
следовательно, представляет в нем аналитическую функцию, действи-
действительная часть которой и изображается данным рядом A.2:2).
Итак, наличие разложения вида A.2:2) или A.2:3) с соответ-
соответствующим неравенством, наложенным на коэффициенты ряда,
является характеристическим признаком функций гармонических
внутри данного круга. Этим замечанием мы воспользуемся в п. 1.5.
Применим разложения A.2 : 2) и A.2 : 3) к гармоническим функ-
функциям примера 4 п. 1.1. Так как для /(z)= peja разложе-
разложение в круге \z — zo|<p имеет следующий вид:
ре^_(г_го) peia(z-z0)
=¦ 1 I 2 1~1 1 г~г° 1 (z~z°J I -1 | 2 У (г~г°)пг-1*
pn
ТО
О-*:»)
причем оба ряда равномерно сходятся внутри круга \z — го|<р.
Возвращаясь к рядам A.2:2) и A.2:3), перепишем первый
из них, заменив г через произвольное p(p<R) и 9 —через а,
затем умножим обе части на cos та и проинтегрируем (при фикси-
фиксированном р) по а в пределах от 0 до 2я. Получим:
2л 2я
\ и (р, a) cos та da = атрт \ cos2 та da,

150 ГАРМОНИЧЕСКИЕ И СУБГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. 6
откуда
2л 2я
1 р 1 р
ао = -^— \ и (р, a.) da, ат = —— \ и (р, а) cosmada (/?z> 1). A.2 : о)
zjt j jxp j
о о
Аналогично, умножая на sin та и интегрируя в тех же преде-
пределах, найдем:
2л
и (р, a)smmada (т>1). A.2:7)
б
Подставляя найденные выражения для ап и р„ в ряды A.2:2)
и A.2:3), будем иметь:
2я °° 2л
IP vi 1
о 1
оо 2Я
_. /„ n\ ft | ХЛ '
V (Г, U} ^^ Do ~т~ / | —
1 6
Пусть р удовлетворяет условию r<p<i?. Очевидно, послед-
последние формулы могут быть получены из формул A.2:4) и A.2:5)
путем умножения на v-и (р, а) и почленного интегрирования по а
в пределах от 0 до 2я (при фиксированных г и р). Все эти опе-
операции законны в силу равномерной сходимости рядов A.2:4)
и A.2:5) внутри круга \z — 20|<Ср.
Итак, получаем:
2я оо
= тг- \ и (р, a) -S-.—s-^n—-—^ г da, A.2 : 8)
2л J vr' ' p2 + r2 — 2prcos @ — а) ч '
0
о (г, 9) = Ро + ^ J«(P, a) [2 2 (у)" sin я (в-a)] da =
2л
Мы нашли для функции ы (г, 9) и сопряженной с ней функ-
функции v (г, 0) интегральные представления через значения и (р, 0)
в точках окружности |г — zo| = i?

5 1] ГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 151
Различие вида интегралов в формулах A.2:8) и A.2:9) объяс-
объясняется тем, что во второй из них гармоническая функция v (r, 0)
выражается не через свои собственные значения на окружности
\z — zo| = p, а через значения сопряженной с ней функции. Однако
формула A.2:8), установленная для любой гармонической в дан-
данном круге функции, справедлива также и для v(x, у). Поэтому
для v(r,Q) имеем формулу, аналогичную формуле для u(r,Q):
2я
Интеграл, стоящий в правой части формулы A.2 : 8) или A.2 : 10),
называется интегралом Пуассона соответствующей функ-
функции и (р, а) или и(р, а), а гармоническая функция
Р2-'2 р„Г peia+(z-z0) 1
_2prcos(e-a) *eL pei«_(z_Zo) J
ядром интеграла Пуассона.
Полагая в формуле A.2:8) и (г, 0) = 1, получаем:
2я
— формулу, которой мы воспользуемся в дальнейшем.
Вообще, если ф (а) — действительная функция, определенная
и непрерывная на сегменте [0, 2я], то мы будем называть инте-
интегралом Пуассона выражение вида
2я
не требуя, чтобы функция ф (а) совпадала со значениями некото-
некоторой гармонической функции и (р, а). В пункте 1.5 мы покажем,
что A.2:12) представляет гармоническую функцию в круге
1 z — 20|<р, которая при приближении точки (г, Э) к какой-либо
точке (р, а) стремится к пределу, равному ф (а).
Интеграл Пуассона аналогичен интегралу Коши, распростра-
распространенному на окружность, и может быть получен некоторыми пре-
преобразованиями из последнего интеграла. С этой целью рассмотрим,
наряду с формулой Коши:
I l5
:

152 ГАРМОНИЧЕСКИЕ И СУБГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. 6
где точка z лежит внутри окружности | ? — г01 = р, интеграл Коши,
полученный путем замены z точкой z* = z0 -f- -Р _ , симметричной
г—г0
с z относительно окружности | Z, — z0 | = р. Так как точка z* лежит
вне последней окружности, то этот интеграл должен равняться
нулю:
Вычтем почленно A.2:13') из A.2:13) и преобразуем резуль-
результат, воспользовавшись тем, что
?-z=? — z0 —(z —zo) = pete —reie,
и 4= ipeiada. Найдем
,. , j_ p
1С—го]=Р
IP
2я
.+г.-Р^,(а-9)^- 0-2=14)
Мы получили интегральную формулу Пуассона для аналитической
функции /B).
Заменяя здесь f (z) на и (г, Q) + iv(r, 6), а /(?) — на и(р, а) +
+ iv (p, а) и отделяя действительные и мнимые части, вновь получим
формулы A.2:8) и A.2: 10).
Из формул A.2:8) и A.2:9) легко выводится важная фор-
формула, выражающая аналитическую функцию f(z) через значения ее
действительной части на окружности. А именно, умножая A.2:9)
на i и складывая с A.2:8), получаем:
2я
in(e-a)
—2rpcos(8
-I ,
—в) J

$ 1] ГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 153
Но выражение в квадратных скобках представляет собой анали-
аналитическую функцию от z:
peia-(z-z0)
Поэтому
2я
(J-2:15>
Здесь ф0 — чисто мнимая постоянная, представляющая мнимую
часть значения f(z0); эта постоянная, конечно, не может быть
определена по действительной части функции / (z). Формула A.2 : 15)
называется формулой Шварца.
Из формулы A.2:8) получаем при г = 0, т. е. для центра
круга К'-
2я
и(х0, Уо) = -^ I « (P. a) d«,
о
где и (р, а), как условлено, обозначает значения функции и(х, у)
в точках окружности \z — го\ с центром в z0 = х0-\-iy0. При более
подробной записи будем иметь:
2я
и(х0, уо) = -^ ^ a(x0 + pcosa, у0 + р sin a) da. A.2:16)
Итак, значение гармонической функции в центре круга равно
среднему арифметическому ее значений на окружности с центром
в этой точке. Мы докажем в п. 3.1, что последнее свойства
является характеристическим свойством гармонических функций.
Точнее говоря, справедливо следующее предложение:
Пусть и (х, у) —действительная функция, однозначная и непре-
непрерывная в области G. Если для каждой точки z0 = х0 + iy0 ? G
существует окрестность \z — zo|< 6(z0), в которой и(х0, у0)
равна среднему арифметическому своих значений по любой окруж-
окружности \z — zo| = p, O<p-<6(Zo), то и(х, у) является гармони-
гармонической функцией в области д.
1.3. Рассмотрим изолированные особые точки однозначной гар-
гармонической функции. Пусть z0 — такая точка; не уменьшая
общности, положим z0 = 0 (к этому случаю всегда можно перейти
посредством замены z~z' +z0). Пусть и(х, у) = и(г, 0) —однознач-
—однозначная гармоническая функция в области 0 •< | z \ < р. Обозначая
через v (х, у) сопряженную с ней функцию, построим аналитическую
функцию / (г) = ы + iv. Она будет, вообще говоря, многозначной

154 ГАРМОНИЧЕСКИЕ И СУБГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. 6
^вследствие многозначности v(x,y)). Но производная f'(z) — -^- —
— i -к- является, очевидно, однозначной аналитической функцией и,
+ 00
следовательно, допускает разложение в ряд Лорана: /' (г) = 2 Ап%п
— оо
(пф — 1), откуда
+ ОО
4
и, следовательно,
и (г, 0) = Re[/(Z)]
где я Ф — 1.
Эта функция не может быть однозначной функцией точки,
если Р-1Ф 0; поэтому р_4 = 0, и, изменяя обозначения для коэф-
коэффициентов и индекса суммирования, получаем окончательно:
и (г, 0) = alnr+2 (ancosn0 + 6nsinn0) rn, A.3:1)
ОО
т. е. и (г, 0) является действительной частью аналитической функции
a Ln z + 2 (ап — *„) 2П = a Ln 2 -г ф (г)
— оо
{а — действительное число).
Если точка 2 = 0 является особой точкой для и (г, 0), то она
должна быть особой и для aLnz + (f(z); поэтому либо <р (z) имеет
•особую точку в начале координат (полюс или существенно особую
точку), либо ф (z) правильна в этой точке, и тогда необходимо а Ф 0.
Разберем эти случаи:
1) 2 = 0 — особая точка функции фB), т. е. по крайней мере
один из коэффициентов a-it b-u ..., а~п, b-n, ... отличен от нуля.
Допустим, для определенности, что а.-тф0 (т^-1), и докажем,
что и (х, у) принимает все действительные значения в любой окрест-
окрестности 121 < е начала координат. Так как действительная функция
и(х,у) непрерывна при 0<|г|<е и, следовательно, не может
перейти от одного значения к другому, не пройдя при этом через
все промежуточные, то достаточно показать, что и (х, у) прини-
принимает положительные и отрицательные значения, сколь угодно

§ 1] ГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 155
большие по абсолютной величине. Допустим, что это утверждение
неверно; тогда и (г, 0) не принимает, например, сколь угодно боль-
больших положительных значений, т. е. ограничена сверху:
(если она ограничена снизу, то рассматриваем функцию—и(х, у)).
Тогда, умножая обе части формулы A.3: 1) на costnQ и инте-
интегрируя в пределах от 0 до 2я, найдем:
2я
J и(г, 0) cos me dQ = л (amrm + a-mrm). A.3:2)
о
Кроме того, из A.3: 1) получаем:
2л
J и (г, Q)dQ = 2n(ao + a\nr), A.3:3)
о
и, следовательно,
2я
я [2 (ао+а In г) ± (атгт+а-тгт)] = § и (г, 0) A ± cos тЭ) сЮ < 2яС.
о
Выберем здесь знак ± так, чтобы ±a^m = |a_m|; тогда будем
иметь:
при всех г, 0 < г <С е, что, очевидно, невозможно, так как
|a_m-|r~m + 2alnr-> + oo, если /¦—>0.
2) z = 0 — правильная точка функции ц>(г). В этом случае раз-
разложение функции и (г, 0) имеет вид
оо
u(r, Q) = a\nr+^j(ancosnQ + bnsinnQ)rn, A.3:4)
о
так что разность и (г, 0) — a In r является функцией, гармонической
в окрестности точки 2 = 0 (включая эту точку). Из последнего
разложения следует, что и (г, 0)—> оо при г = 0, а именно, к +оо,
если а<0, и к —оо, если а^>0. Точка z = 0 называется в этом
случае логарифмическим полюсом гармонической функции, а член
a In г — главной частью функции и (г, 0) в окрестности логарифми-
логарифмического полюса.
Результаты проведенного здесь исследования можно выразить
следующим предложением.
Теорема. Однозначная гармоническая функция и{х,у)~
— и (г, 0) при стремлении z = reie к изолированной особой точке

156 ГАРМОНИЧЕСКИЕ И СУБГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. 6
2 — 0 либо стремится к бесконечности определенного знака,
и тогда допускает разложение вида
оо
и {г, 9)= a In г + 2 («г* cosпв + ЬпsinnQ)rn, (a
либо принимает все действительные значения в любой окрест-
окрестности этой точки и тогда имеет вид
и (г, 9)= а In г-}-2 (ап cosn9 + 6nsinn9) r™,
где по крайней мере один из коэффициентов а_и Ь-±, ...,а_пг
?_„, ... отличен от нуля.
Следствие. Если однозначная функция и (г, 0), гармони-
гармоническая в области 0 < г < р, ограничена по абсолютной величине
в некоторой окрестности точки 2 = 0, то эта функция допу-
допускает разложение вида
и (г, 9) = 2 (ап cos п0 + bn sin п0) г",
о
т. е. z = 0 не является особой точкой и (г, 9).
1.4. При помощи формул, выведенных в пункте 1.2, можна
установить несколько общих теорем, относящихся к равномерно
сходящимся последовательностям гармонических функций.
Докажем, что если для последовательности {fn(z)} функций,
аналитических в некоторой области G, последовательность их
действительных частей {ип (х, у)} сходится равномерно внутри
G и, кроме того, сходится последовательность значений функций
в одной какой-либо точке z0 ? G, то {fn (z)} равномерно сходится
внутри G.
Установим сначала равномерную сходимость последователь-
последовательности {fn(z)} внутри круга \z — zo\ <d(z0), радиус которого равен
расстоянию от z0 до границы области G. С этой целью предста-
представим fn(z) по формуле A.2: 15) через ип{х, у); получим:
2я
Фиксируя г, 0 << г < d (г0) и выбирая р так, чтобы выполнялось
неравенство г <Cp<d(zo), найдем, что для всех z, принадлежащих

§ 1] . ГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 157
кругу |z —zo|<r, и для любых натуральных лир:
2я
>- pf >) + i-1 [un+P (P, a)-un (p, a)] ^ia'r):~^da
о *¦
< | P(o"+P) - p(on) I + max I un+p (p, a) - «n (p, a) | J±^ .
Так как pon) = / [/„ (г0)] и последовательность {fn (г0)} сходится,
а, кроме того, последовательность и„ (х, г/) сходится равномерно
на окружности |г— го| = р, то для любого е>0 при всех доста-
достаточно больших п и любых натуральных р будем иметь:
| fn+p (z) — /„ (z) | < e, | z — z0 |<r < d (z0),
откуда и вытекает равномерная сходимость последовательности
{fn(z)} внутри круга d(z0).
Мы установили, что в условиях нашей теоремы из сходимости
последовательности {fn (z)} в одной какой-либо точке области
вытекает сходимость в круге, радиус которого равен расстоянию
от этой точки до границы области. Следовательно, множество Е
всех точек сходимости последовательности {fn (z)} в области G
обладает следующими свойствами: оно не пустое, и если какая-
либо точка z принадлежит к нему, то к нему принадлежат и все
точки круга с центром в г и радиусом, равным расстоянию от z
до границы области G. Но тогда, в силу леммы в) пункта 4.5
главы первой, это множество совпадает со всей областью G. Итак,
{fn (z)} сходится во всей области и в силу доказанного выше рав-
равномерно сходится внутри каждого круга |? — z|<d(z), где d(z) —
расстояние от точки z?G до границы области G. Но это и озна-
означает равномерную сходимость последовательности {fn (z)} внутри G
(см. п. 4.1 гл. третьей).
Из доказанной теоремы вытекает следующее предложение:
Предел последовательности гармонических функций, равно-
равномерно сходящейся внутри области G, есть функция, гармониче-
гармоническая в этой области.
Очевидно, достаточно провести доказательство для окрестности
произвольной точки zo€<5. Пусть К: \ z — z01 < d (z0) — круг
с центром BZ) и радиусом, равным расстоянию от z0 до границы
области G. Построим для каждой из заданных функций ип(х, у)
функцию vn (x, у), сопряженную с ип (х, у) в круге К, причем
постоянную интегрирования при определении vn (x, у) выберем так,
чтобы выполнялось условие: vn(x0, «/о) = О (л= 1, 2, ...). Получим
последовательность однозначных аналитических функций fn (z) =
= ип(х, t/)-}- ivn (x, у), для которых последовательность значений

158 ГАРМОНИЧЕСКИЕ И СУБГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. 6
в точке г0 совпадает с последовательностью {ип (х0, у0)} и, сле-
следовательно, сходится.
По предыдущей теореме заключаем, что {fn (г)} сходится рав-
равномерно внутри К. В силу теоремы Вейерштрасса, Нт/„ (г) = /(г)
есть функция, аналитическая внутри К, и, следовательно,
Re [/ B)] = и (х, у) есть функция, гармоническая в К- Но и (х, у) =
= lim ип(х, у), чем и завершается все доказательство.
П-»оо
Докажем, наконец, следующее предложение:
оо
Теорема Гарнака. Если ряд 2 ип (х, у), члены которого
1
суть гармонические, неотрицательные в области G функции, схо-
сходится в одной точке z0 = х0 + iy0 области G, то он равномерно
сходится внутри всей области G.
Докажем равномерную сходимость ряда в круге | z — z0| < d (z0),
радиус которого равен расстоянию от точки z0 до границы области G.
Отсюда равномерная сходимость внутри всей области G будет
вытекать, со ссылкой на лемму (в п. 4.5 главы первой) совер-
совершенно так же, как и при доказательстве предыдущей теоремы
этого пункта.
Пусть г — положительное число, удовлетворяющее условию
O<r<;d(zo). Тогда для всех точек z замкнутого круга \z — го'|<!г
и для р такого, что r<.p<.d(z0), имеем, в силу формулы A.2_: 8):
2я
(г т=—
I
о
откуда, опираясь на то, что ип(р, а), так же как и ядро инте-
интеграла Пуассона, — неотрицательные функции, выводим:
2я
Но, очевидно, функция p2 + r2^2^cos(9-a) при ФиксиРованных г
и р'(г<Ср) достигает максимума, когда 0—а = 2йл, и максимум
этот равен 2^ ~^„— = р_ • Заметим, далее, что в силу фор-
формулы A.2: 15):
2Я

§ 1] ГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
Поэтому ип(г, 6) во всех точках круга \z — zo|<;r удовлетво-
удовлетворяет неравенству
Так как в правой части находится общий член сходящегося ряда
с постоянными неотрицательными членами (по условию ряд
со оо
2 ип (х0, (/0) сходится), то ряд 2 ип (г> 6) равномерно сходится
1 1
в круге \г — 20[<г и, наконец, в силу произвольности r<cd(z0),
равномерно сходится внутри круга \г — z0 \-<d (z0). На этом
и заканчивается доказательство теоремы Гарнака.
Формулируя эту теорему в терминах последовательности функ-
функций (а не ряда), будем иметь: если последовательность функций
{vn(r, 6)}, гармонических в области G и удовлетворяющих в этой
области условию vn (г, 6) ¦< yn+i (л 8), сходится в некоторой
точке области, то она равномерно сходится внутри области.
Это предложение немедленно сводится к предыдущему, если
положить Mt (г, 8) = Vi (л 6) и ип (г, 8) = vn (г, 8) — yn-i (г, 8) (п > 1).
1.5. Из принципа максимума модуля, справедливого для анали-
аналитических функций, вытекает соответствующее предложение и для
гармонических функций.
Теорема. Если функция и (х, у), гармоническая в некоторой
области G, не равна тождественно постоянной, то она не может
иметь ни максимума, ни минимума во внутренних точках области G.
Доказательство. Пусть z0 = хо + и/о — некоторая
точка области G и К — круг с центром в этой точке, лежащий в
в области G. Образуем гармоническую функцию v (x, у), сопряжен-
сопряженную с и (х, у) в круге К- Так как круг К есть односвязная область,
то аналитическая функция ср (z) = и (х, у) + iv (x, у) однозначна
в круге К (нужно лишь определенным образом выбрать постоян-
постоянную, входящую в определение функции v (x, у), например, потре-
потребовав, чтобы v (хо, г/о) = 0). Образуем теперь функцию / (г) =
= ехр [ф (г)]. Она также будет однозначной и аналитической
в круге К, причем ее модуль | / (г) | выражается через и (х, у) по
формуле
|f B)| = ехр Их, г/)].
Если бы функция и (х, у) имела максимум в точке (х0, у0), то
модуль | / (г) | также имел бы максимум в этой точке, что, в силу
принципа максимума модуля, невозможно (f (г) ф const, так как
и (х, у) щк const). Точно так же убеждаемся в том, что и (х, у) не
может иметь и минимума в точке (х0, уо)> так как если бы минимум
в этой точке достигался, то гармоническая функция — и (х, у)
имела бы максимум в той же точке.

160 ГАРМОНИЧЕСКИЕ И СУБГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ [ [ГЛ. 6
Другое доказательство этой теоремы немедленно получится,
если заметить, что аналитическая функция w = cp (z) отображает
окрестность | г — г0 | < р на некоторую область g, содержащую
точку Wo = Ф (г0). Область g содержит точки, абсциссы которых
и меньше, чем и0 = Re [ср (г0)] = и (х0, у0), а также точки, абсциссы
которых больше, чем и (х0, у о)- Поэтому и (х, у) принимает в данной
окрестности как значения меньшие, так и большие, чем и (х0, у0),
откуда и следует теорема.
Из доказанного предложения вытекает, что действительная
функция и (х, у), непрерывная в некоторой замкнутой области G
и гармоническая в области G, достигает своего наибольшего
и наименьшего значений в граничных точках области. Поэтому,
если такая функция сохраняет постоянное значение на границе
области G, то ее наибольшее и наименьшее значения во всей замкну-
замкнутой области G совпадают, и, следовательно, она является постоян-
постоянной в области G. Мы можем, в частности, высказать следующее
предложение:
Теорема. Если две функции иу (х, у) и и2 (х, у) являются
непрерывными в замкнутой области G, гармоническими в области G,
и если их значения совпадают во всех граничных точках области G,
то эти функции совпадают во всех точках области G.
В самом деле, разность этих функций является функцией, непре-
непрерывной в G, гармонической в G и обращающейся в нуль во всех
граничных точках. Следовательно, эта разность равна нулю во всей
области G.
Последняя теорема обеспечивает единственность решения сле-
следующей важной проблемы, возникающей во многих теоретических
вопросах механики и физики:
Проблема Дирихле. На границе области G определена
однозначная и непрерывная действительная функция ф (?). Найти
функцию и (х, у), непрерывную в замкнутой области G и гармо-
гармоническую в области G, совпадающую с ф (?) во всех граничных
точках.
Укажем одну из многих физических интерпретаций этой пробле-
проблемы, полагая для определенности, что область G ограничена замкну-
замкнутой жордановой кривой Г.
Рассмотрим мембрану, т. е. тело, имеющее вид пластинки, тол-
толщина которой весьма мала по сравнению с прочими размерами,
и обладающее ничтожно малой сопротивляемостью изгибу по сравне-
сравнению с силами натяжения S (последние приложены к контуру
мембраны, нормальны к контуру и вместе с тем направлены
по касательным к поверхности мембраны). Натяжение будет осу-
осуществляться благодаря тому, что края мембраны заделаны
в жесткий контур.

§ 1] ГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 161
Предположим, что ортогональная проекция контура на пло-
плоскость ху совпадает с кривой Г, а все точки мембраны проекти-
проектируются внутрь области G, и обозначим через и = и (х, у) аппли-
аппликату точки мембраны, имеющей проекцию (х, у). В теории упругости
доказывается, что в состоянии равновесия, под действием
нагрузки р, рассчитанной на единицу площади поверхности
и направленной ортогонально к плоскости ху, функция и (х, у)
будет удовлетворять уравнению
дхг т дуя S '
Если нагрузка отсутствует (в частности, если можно прене-
пренебречь весом мембраны), то это уравнение принимает вид
откуда следует, что аппликата точки ненагруженной мембраны,
в состоянии равновесия, является гармонической функцией. Чтобы
определить форму поверхности мембраны, следует найти гармони-
гармоническую в области G функцию, принимающую в точках границы Г
заданные значения, обусловленные формой контура мембраны, т. е.
решить задачу Дирихле.
Обратно: любую задачу Дирихле можно истолковать как зада-
задачу отыскания фигуры равновесия ненагруженной мембраны, натя-
натянутой на жесткий контур заданного вида.
Мы займемся сейчас решением этой задачи для того простей-
простейшего, но весьма важного случая, когда область G есть круг
z — zo\<^R и, следовательно, граница области G есть окруж-
окружность Г: |? — zo\ = R; тогда функцию ср(?), определенную на Г,
можно рассматривать как функцию полярного угла а полярной
системы координат с полюсом в центре круга z0:
удовлетворяющую условию ср @) = ср Bл).
Начнем с простейшего предположения, что ср (ее) совпадает со
значениями u(R,a), принимаемыми на Г некоторой функцией
и (г, 6), гармонической в круге \z — zo\<CR' радиуса, большего,
чем R. Тогда функция и (г, 8) и будет служить решением задачи
Дирихле (как мы знаем, единственным).
Представляя ее через интеграл Пуассона
2я
^a> da r<K
мы сможем заменить здесь u(R,a) через <р(а) и, следовательно,
получим окончательно решение задачи в виде интеграла Пуассона,
11 А, И. Маркушевич

162 ГАРМОНИЧЕСКИЕ И СУБГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. 6
под знаком которого входят заданные граничные значения гармо-
гармонической функции:
2я
(> da
о
Пусть теперь ф(а)— произвольная, a priori заданная функция
действительного переменного а, непрерывная на сегменте [0, 2л].
Мы образуем для нее интеграл Пуассона:
2я
и покажем, что, во-первых, этот интеграл, рассматриваемый как
функция и (г, 6) точки z = zo + reie = x-j-гг/, является гармониче-
гармонической функцией внутри круга G, и, во-вторых, что при приближе-
приближении точки z изнутри круга к произвольной точке ? = г0 + Reia,
лежащей на Г, и (г, G) стремится к пределу, равному ср (а). После
этого останется только заметить, что, распространяя определение
и (г, 8) на все точки окружности Г и полагая и (R, а) = ср(а), мы
получим функцию, удовлетворяющую всем условиям проблемы
Дирихле, соответствующей данной функции ф(а).
Будем исходить из того, что ядро Пуассона
R2 -г2
^2 + r2_2^rcos@ —а)
разлагается в ряд A.2:4) (с заменой р на R), равномерно сходя-
сходящийся внутри круга G:
Умножая этот ряд на -^— ср (а) и интегрируя почленно по а при
неизменном r<CR, получим:
2я
1 Р
о
, . R2 — Г*
ф (а) R2 + r2-2Rrcos F-а)
о
2я оо 2я
0
2я
"^»л" \ Ф (а) cos па da cos nG + —5^-\ ф (a) sin па da sin/гЭ |гп.
0 0
. A.5:2)

§ 1]
ГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
163
Полагая
2я
2я
= ~n^rl q>(a)cosnada, рп= — -^г ^ ср (a,)smnada,
о о
убеждаемся, что
2я
^г I | ф (а) | da
о
2я
откуда
*<:¦
lim
В силу замечания, сделанного в п. 1.2 (стр. 149), отсюда
следует, что ряд A.5:2) представляет гармоническую функцию
в круге G, т. е. интеграл A.5: 1) является гармонической функ-
функцией в этом круге. Обозначим эту функцию через и (г, G):
2Я
R2 — г2
и докажем, что для любой точки ?o = zo + Reia°, лежащей на Г,
и (г, 8) стремится к пределу у(а0), когда z = zo + reie (r<i?)
стремится к ?о- Не ограничивая общности, мы можем положить
а0 = 0, так как значение полярного угла а зависит только от
выбора направления полярной оси, а последнюю мы можем про-
провести через любую точку to € Г. Итак, следует доказать, что
lim [и (г, 6) — ф@)] = 0.
Воспользовавшись формулой A.2:11), перепишем ср @) в виде
2я
(°) 7 da
Следовательно, разность d (г, G) = и (г, 8) — ср @) можно записать
так:
2я
^l [ф(а)-ф@)]
A-5:3)
И

164
ГАРМОНИЧЕСКИЕ И СУБГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. 6
Пусть е — произвольное положительное число. Пользуясь непре-
непрерывностью функции ср (а) в точке а = 0, определим б (е) > 0 так,
чтобы при | а | < 26 (е) выполнялось неравенство
Обозначим, далее, через аг ту дугу окружности Г, для точек
которой |а|<2б(е), а через 28 — дополнительную дугу. Тогда из
формулы A.5:3) найдем:
Оценим каждое из слагаемых правой части. Для первого из
них имеем:
l
2я
2 2я
_ Г2
i — 2Rrcos F — a)
2я
e 1
<~2~2лГ
da<
о
—2/?rcos F —а)
2 *
Для оценки второго слагаемого заметим сначала, что функция
ф(а) — ф @) ограничена на сегменте [0,2я]:|ф(а) — ф@)|<<М.
Подчиним точку (г, 6) условию
| 6 | < б (е).
Так как для точек дуги S8 полярный угол а принадлежит интер-
интервалу B6 (е), 2я — 26 (е)), то для этих же точек а —8 принадлежит
интервалу (б (е), 2л —б (е)). Поэтому выполняются неравенства
cos (G —a) <cos6 (e),
и
— Я
2я J
2 f-2
При r—>R правая часть неравенства стремится к нулю и, сле-
следовательно, может быть сделана меньше, чем у, если R — r<C
<6'(е).
Итак, при )9|<б(е) и R— г<6'(е) выполняется неравенство

§ 1] ГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 165 -
откуда и следует, что
lim [и (г, 8) — ср(О)] = О.
r^-R, 6->-0
Распространим определение гармонической функции и(г, 6) на
точки окружности Г, положив
u(R, а) = ф(а), 0<а<2л,
тогда функция и (г, 6) будет непрерывной в замкнутом круге
\z — zo\<CR- Ее непрерывность в каждой внутренней точке круга
очевидна. Пусть (R, а) — граничная точка; тогда для любой после-
последовательности внутренних точек {(гп, 6)}, сходящейся к (R, ее),
имеем по доказанному:
lim и (rn, Qn) = ф (а) = и (R, а)
и для последовательности граничных точек {(R, ап)}, сходящейся
к (/?, а), имеем, в силу непрерывности функции ф(а):
lim и (R, ап) = lim ф (ап) = ср (а) == и (R, а).
Следовательно, и (г, 8) непрерывна и в граничных точках круга.
Итак, мы получили решение задачи Дирихле для круга в виде
интеграла Пуассона от заданной функции ф(а):
pa f2
ФИ ^ + r»-2^cos(e-a) d°-
о
Из полученного результата можно вывести следствие, относя-
относящееся к рядам Фурье. А именно, запишем разложение Фурье,
соответствующее функции ф(а):
Ф(«)~^Г§ 4>(t)dt +
о
2Я 2Я
Г—\ Ф @ cos n^ dt cos
1 0 0
и сравним с ним ряд A.5:2) для точек (г, 6), принадлежащих
радиусу, направленному в точку а (т. е. при 8 = а):
2я
о
2я 2л
иг\ Ф @ cos п^ ^ cos na Н \ у (t) sin nt dt sin па~\ (-з-)"-

166 ГАРМОНИЧЕСКИЕ И СУБГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. 6
Члены последнего ряда отличаются от членов ряда Фурье нали-
наличием множителей вида (-к-) = р™, где р<1. Заставляя р стре-
стремиться к 1, найдем, по предыдущему, что
Пти (г, а) =ср (а).
Мы пришли к следующему результату: если каждый из чле-
членов ряда Фурье непрерывной периодической функции ср (а) с перио-
периодом 2зх умножить на соответствующую (п-ю) степень числа р,
меньшего 1, то получится сходящийся ряд, сумма которого рав-
равномерно стремится к ср (а) при р, стремящемся к 1.
Мы получили способ определения функции ср (а) по заданному
ряду Фурье, который может и не быть сходящимся. Такого рода
способы, вообще, называются методами суммирования
ряда, а полученный нами специальный метод суммирования назы-
называется методом Пуассона (или Абеля).
Из последнего результата вытекает предложение, использован-
использованное выше в п. 4.3 главы пятой: для любой непрерывной функции
¦ф (8) с периодом 2л и любого е > О существует тригонометри-
тригонометрический многочлен % F) такой, что
|i|>F) —т(8)|<е, 0<9<2л;.
В самом деле, мы можем найти сначала такое р0, 0<р0<1,
чтобы было:
}||-, 0<9<2я,
где а0, ап, рп— коэффициенты Фурье функции ^F), а затем,
пользуясь равномерной сходимостью ряда в фигурных скобках,
взять такую его частичную сумму х(8), чтобы требуемое неравен-
неравенство было выполнено.
1.6. Применим конформное отображение к изучению гармони-
гармонических функций. В основе этого применения лежит тот простой
факт, что функции, гармонические в области G, при конформном
отображении ее на другую область ?>, преобразуются в функции,
гармонические в последней области. В самом деле, если и (г) =
= и (х, у) = Re [F(z)], где F (г) — функция, аналитическая в обла-
области G, и w = f(z) отображает конформно G на D, то преобразо-
преобразованная функция
и* (w) = и I/ (w)} = Re {F If (w)}}
является действительной частью функции F[f~1(w)], аналитиче-
аналитической в области D, и, следовательно, есть также гармоническая
функция.

§ 1] ГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 167
Воспользуемся этим замечанием для того, чтобы получить для
произвольной ограниченной и односвязной области G формулы,
аналогичные интегралу Пуассона.
Фиксируем произвольную точку z0 ? G и обозначим через / (z) =
— /zo (г) функцию, конформно отображающую область G на еди-
единичный круг |да|<1 так, что f(zo) = O и /'(го)>О. Если u{z) =
= и (х, у) — функция, гармоническая в этой области, то и f/ (w)] =
= и* (w) = и* (г, 8) — функция, гармоническая в единичном круге.
Для нее имеем:
2я
о
где ds — элемент длины дуги окружности. Возвращаясь к области G
посредством преобразования z =¦¦ f'1 (w), получим представление
значения и (z0) через интеграл вдоль кривой ур — образа окруж-
окружности | w | = р:
и (г0) = и (х0, У*) = -^\и (?) ' f\f^ f° > A-6:1)
где da — элемент длины дуги Yp- Преобразуем выражение , J5. ,' •.
С этой целью рассмотрим элемент длины dv линии, проходящей
через точку С € Yp и являющейся образом радиуса круга. В силу
конформности отображения, элемент dv направлен по нормали
к кривой ур- Мы будем считать, что это—направление внутрен-
внутренней нормали. В результате преобразования w~f(z), \f {Q\dv
перейдет в—dp (при наших условиях dp<0), |/(?)| — в р, и, сле-
следовательно:
f Г (l)\ dv __ dp _ ,, J ,. 1
I f (?) I "~ P ~ " P ~ I / (D I *
откуда
I /' @1 "nWT
I f @ I <^v
где символ -g- обозначает производную по направлению внутрен-
внутренней нормали к Yp- Следовательно, формула A.6:1) может быть
представлена в виде
1
a in
do. A.6:2)
vp
Это и есть искомая формула.

168 ГАРМОНИЧЕСКИЕ И СУБГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. 6
Рассмотрим подробнее функцию ln-p;—тргт • Так как функ-
ция /2о (г) имеет единственный простой нуль в точке г0, то ее
можно представить в виде
где фго (г) — функция, аналитическая и не обращающаяся в нуль
в области G. Следовательно,
In , , ' , = In ,. ' . , 4- In , _ i, ., ,
откуда видно, что функция — In | /2о (г) | обладает следующими свой-
свойствами:
1) это—функция, гармоническая в области G при гФг0,
имеющая логарифмический полюс в точке г0 с главной частью
— In | г — го|;
2) она не отрицательна, так как |fzo(z)[<l, и стремится
к нулю, когда точка z стремится к границе Г области G (так как
точка w — f{z) стремится при этом к единичной окружности).
Функция, обладающая этими свойствами, называется функ-
функцией Грина области G (для задачи Дирихле) и обозначается
так: g(z,z0). Легко видеть, что формулированные условия опре-
определяют g (z, z0) единственным образом. Действительно, если g{z, z0)
удовлетворяет тем же условиям, то
g(z, zo) — g(z, z0)
есть функция, гармоническая в области G (включая точку z0)
и обращающаяся в нуль на Г. Поэтому g(z, z0) — g (z, z0) = 0.
С помощью введенного здесь определения, формулу A.6:2) можно
переписать в виде
Если вместо точки z0 взять другую точку z4 g G, то придется
пользоваться функцией /21(г), отображающей G на единичный
круг | w | < 1 так, что fZl (z4) = 0 и f21 (z4) > 0, и соответствую-
соответствующими этому отображению круговыми образами \р- Отображение
wt = fzi (z) можно получить в два приема: отображая G на еди-
единичный круг |ш|<'1 посредством w = fZo(z), причем z4 перейдет
в точку fZg (Zi), а затем отображая единичный круг сам на себя
так, чтобы последняя точка перешла в начало координат и чтобы
производная результирующего преобразования была положительной

§ 1] ГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
при z = Zi. Получим:
169
где а следует выбрать так, чтобы было /2l(zj)>0 (нужно поло-
положить:
а=—
Отсюда следует, что
Замечая, что
и (по формуле A.6:3)):
g(z0, zO = In¦
A.6:3)
In
(так как /2o(zo) = O), выводим:
= g{zo, z4).
A.6:4)
Это соотношение выражает свойство симметрии функции Грина
относительно двух ее аргументов.
Путь интегрирования Yp в формуле A.6:2') связан с выбором
точки z0; при переходе от точки z0 к другой точке zt приходится
заменять кривую Yp кривой Yp — образом окружности | w | = р
при отображении z = f2l1(ay). Чтобы получить формулу, свободную
от этого недостатка, будем пользоваться фиксированным отобра-
отображением w = f(z) = fZo(z); при этом произвольная точка г, лежа-
лежащая внутри Ypi перейдет в точку w = reie, лежащую внутри окруж-
окружности |ш| = р. Следовательно, будем иметь:
-L
—2rpcosF —a)
da =
2я
2я
/' (DI
da.
Полученный интеграл представляет гармоническую функцию и (г)
для всех точек z, лежащих внутри фиксированной кривой Yp-
Заметим без доказательства, что при некоторых частных пред-
предположениях относительно Г (например, что Г есть замкнутая

170 ГАРМОНИЧЕСКИЕ И СУБГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. 6
жорданова гладкая кривая, для которой угол а наклона касатель-
касательной, рассматриваемый как функция длины дуги а, удовлетворяет
условию вида |а(сг") — а(ст')|<С[ст"—а' |\ Я>0), функция/zo(г)
будет обладать непрерывной производной f'za{z) в замкнутой
области G.
В этом случае, отправляясь от функции и (г), непрерывной в G
и гармонической в G, мы, переходя к кругу | w | < 1, получили бы
также непрерывную в замкнутом круге и гармоническую внутри
него функцию и* (w), для которой, следовательно,
2я
' Повторяя те же выкладки, что и выше, найдем, что при
сделанном предположении относительно Г формула A.6:2') спра-
справедлива также и в том случае, когда г=1, т. е. когда уг сов-
совпадает с Г:
ilE?%Lda- (L6:2")
Если на Г a priori задана непрерывная функция и (?,), то эта же
формула будет решать соответствующую задачу Дирихле.
Не развивая далее этих замечаний по поводу формулы A.6:2"),
мы докажем здесь еще, что задача Дирихле разрешима для любой
¦области G, ограниченной замкнутой жордановой кривой Г.
Пусть ф (?) —функция, непрерывная на Г. Отобразим конформно
область G посредством функции w — f(z) на единичный круг.
В рассматриваемом случае функция эта устанавливает гомеоморф-
ное соответствие между Г и единичной окружностью и, следова-
следовательно, преобразует ф(?) в однозначную и непрерывную функцию
<р*(т) (|т| = 1).
Решим в единичном круге задачу Дирихле для функции ф*(т);
найдем гармоническую функцию
2я
и*(w) = и*{г, 6) = ^ $ Ф*(в*) JZl
о
Возвращаясь к области G посредством обратного преобразова-
преобразования z = f (w), получим функцию и (г) = и* [/ (г)], непрерывную на G,
принимающую на Г значения ф(?) и гармоническую в области G.
Это и есть решение поставленной задачи.

§ 2] ГИДРОМЕХАНИЧЕСКИЙ СМЫСЛ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 171
§ 2. Гидромеханический смысл аналитических функций
комплексного переменного. Профили
Жуковского—Чаплыгина
2.1. Будем рассматривать установившееся плоско-
плоскопараллельное движение несжимаемой однородной
жидкости (газа). Это движение характеризуется тем, что ско-
скорость каждой частицы жидкости представляется вектором, парал-
параллельным одной и той же плоскости (х, у) и зависящим лишь
от координат х и у проекции частицы на эту плоскость (т. е.
не зависящим ни от третьей координаты ?,, ни от времени). В таком
случае достаточно следить лишь за движением проекций частиц
жидкости на плоскости (х, у), т. е. рассматривать все движение
как плоское. Сообразно с этим мы и будем говорить о движе-
движении жидкости в плоскости (х, у). Пусть G — область плоскости,
занятая движущейся жидкостью. Замкнутое множество F, допол-
дополнительное к G относительно плоскости, можно рассматривать как
совокупность проекций цилиндрических твердых тел, обтекаемых
жидкостью в пространстве. Мы будем называть отдельные связ-
связные компоненты множества F просто твердыми телами,
обтекаемыми жидкостью. В этой схеме они являются
неподвижными. Но к этой же схеме можно свести и случай посту-
поступательного прямолинейного и равномерного движения твердого
тела (или системы твердых тел) в жидкости. Для этого доста-
достаточно в силу классического принципа Галилея сообщить всей
жидкости в целом постоянную по величине и направлению ско-
скорость, равную скорости любой точки тела. Тогда жидкость в бес-
бесконечности вместо того, чтобы покоиться, будет иметь ту же ско-
скорость, а обтекаемые тела можно будет рассматривать как непо-
неподвижные.
Пусть и(х,у) и v (х, у) — проекции вектора скорости частицы
жидкости, находящейся в точке (х, у), на координатные оси (эти
функции предполагаются непрерывными). Рассмотрим какую-либо
дугу у гладкой кривой, соединяющую две точки z^ и г2 области G.
Если ds— элемент дуги y и п— направление нормали к ds, про-
проведенной так, что п. остается справа от дуги у при обходе ее
от точки Zj к точке г2, то площадь параллелограмма, построен-
построенного на ds и векторе скорости и + ш, равна, очевидно, произве-
произведению ds на проекцию этого вектора на нормаль, т. е.
[ucos(n, x) + v cos (п, у)] ds. B.1:1)
Эта величина будет иметь знак -f-, если вектор скорости соста-
составляет с п острый угол, и знак —, если этот угол тупой. Оче-
Очевидно, что указанный параллелограмм можно рассматривать "как

172 ГАРМОНИЧЕСКИЕ И СУБГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. 6
основание прямого параллелепипеда с высотой, равной единице
(перпендикулярной к плоскости ху). Объем этого параллелепипеда
совпадает по абсолютной величине с числом B.1 : 1), которое
представляет, следовательно, взятый с определенным знаком, объем
количества жидкости, принадлежащей слою высотой, равной еди-
единице, параллельному плоскости (х, у), протекающей за одну секунду
через площадку, проектирующуюся в элемент ds. Общее количество
жидкости, принадлежащей указанному слою и протекающей за одну
секунду через цилиндрическую площадку, проектирующуюся в дугу у,
будет равно
\ [и cos (n, x) -j- v cos (n, у)] ds.
у
Замечая, что при наших условиях угол п, х превышает на yit
угол t,x между касательной к у, проведенной в направлении
обхода этой кривой, и действительной осью, получаем, что
cos (п, х) = sin (x, t) = -j-.
Аналогично
cos (п, у) = — cos (х, t) = —т- .
Следовательно, указанный интеграл можно представить в виде
Полученная величина называется потоком жидкости через
кривую у- Если кривая замкнута и на ней выбрано положительное
направление так, что внутренность кривой остается слева от наблю-
наблюдателя, обходящего кривую в этом направлении, то нормаль п
направлена во внешность кривой у. Поэтому поток через элемент ds
границы является положительным, если жидкость вытекает через ds
изнутри у, и отрицательным, если она втекает во внутренность у.
Предположим, что внутренность у принадлежит области G, заня-
занятой текущей жидкостью, причем здесь не содержится ни источ-
источников, откуда жидкость могла бы появляться, ни стоков,
куда она могла бы убывать. Тогда общая величина потока через y
должна равняться нулю:
\ —

§ 2] ГИДРОМЕХАНИЧЕСКИЙ СМЫСЛ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 173
Применяя это заключение ко всем замкнутым кривым произ-
произвольной односвязной подобласти g aG, не содержащей ни источ-
источников, ни стоков, заключаем, что поток жидкости через любую
дугу, принадлежащую этой области, не зависит от вида этой дуги,
а зависит только от выбора ее концов zt и г2.
Допустим, что и и v обладают непрерывными частными про-
производными. Тогда из полученного условия будет вытекать, что
•^=а(Гр) ¦ B.1:3)
дх ду v '
Мы получили так называемое уравнение неразрывности
для несжимаемой жидкости. Очевидно, что оно совпадает с одним
из уравнений Даламбера — Эйлера для пары функций и (х, у)
и —v(x, у). Чтобы прийти к другому уравнению Даламбера — Эйлера
рассмотрим интеграл
^ vdy, B.1:4)
взятый вдоль замкнутой кривой у. Очевидно, что выражение
udx + vdy представляет проекцию вектора скорости на элемент ds
дуги у (точнее, произведение проекции скорости на касательную,
проведенную в направлении обхода кривой и длины ds элемента
дуги). Интеграл B.1 :4) называется циркуляцией скорости
вдоль кривой у- Предположим, что в некоторой односвязной под-
подобласти g czG циркуляция скорости равна нулю для любой замк-
замкнутой кривой, принадлежащей G. Тогда, очевидно, в данной
области должно выполняться условие
-j»i=-a<-p> . B.1:5)
ду дх v '
Это второе уравнение Даламбера — Эйлера для пары функций и
и —v. Его физический смысл заключается в том, что оно выра-
выражает отсутствие вихрей в рассматриваемом движении жидкости
{в подобласти gaG). Вообще вихрем скорости u-\-iv
в плоском движении называется вектор, перпендикулярный к плос-
плоскости х и имеющий проекцию на третью координатную ось ?,
dv ди г-,
равную -^ -^—. Вихрь скорости характеризует вращательное
движение частицы жидкости. Если предположить, что частица
жидкости отвердела бы, то угловая скорость ее вращения в точке
(х, у) имела бы значение у f-^-—¦-^-\ . Таким образом, отсут-
отсутствие вихрей в данной области g означает, что частица жидкости
в- каждой точке этой области может иметь только поступательное
движение и подвергаться некоторой деформации, не испытывая

174 ГАРМОНИЧЕСКИЕ И СУБГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. 6
вращения, рассматриваемого как одна из компонент движения
в данной точке. В случае отсутствия вихрей уравнение B.1:5)
выполняется, и следовательно, циркуляция скорости обращается
в нуль для любой замкнутой кривой.
Предполагая, что в данной подобласти gaG выполнены одно-
одновременно уравнение B.1:3) (что предполагает отсутствие источ-
источников и стоков) и уравнение B.1 :5) (что предполагает отсутствие
вихрей), найдем, что функция
и + (— v)i = u — iv,
сопряженная со скоростью движения частицы жидкости, является
аналитической функцией точки z — x-\-iy.
Так как g — односвязная область, то и — iv можно рассматри-
рассматривать как производную однозначной аналитической в этой области
функции f(z), определяемой с точностью до произвольного посто-
постоянного слагаемого.
Эта функция, удовлетворяющая условию
f'(z) = u-iv,
называется комплексным потенциалом или характе-
характеристической функцией течения. Положим
y). B.1:6)
Тогда
г' i,\ — ^2. л.; Ш — ii / i?
' (Z) ~ дх + 1 дх ~ ду 1 ду
и, следовательно,
дх ' ду '
ЗгЬ д\Ь
X. == 7) 2- =- ц
дх ' ду
Первая пара полученных соотношений показывает, что ф (х, у) —
действительная часть комплексного потенциала — есть потенциал
скоростей в рассматриваемом движении. Очевидно, что для него
имеем следующее представление:
(х, у) х
ср(х, у) — ф(*0, уй)= § udx + vdy^Re^f (z)dz)j .
(жо, Vo) го
Из второй пары соотношений следует, что
(х, у) г
я|)(х, у) — я|){хо'уо) = ^ — vdx + udy = lm ( ^ f'{z)dz} y .
[taELJ..^-. (хо, vo) ч

§ 2] ГИДРОМЕХАНИЧЕСКИЙ СМЫСЛ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 175
т. е. разность двух значений функции я|) (х, у) равна потоку жид-
жидкости через любую кривую, соединяющую те точки, в которых
берется разность. Функция я|)(х, у)— мнимая часть комплексного
потенциала — называется функцией тока.
Рассмотрим два семейства кривых
Ф (х, (/) = const B.1:7)
и
\р(х, у) = const. B.1:8)
Эти семейства в плоскости значений функции t, = f(z) изобра-
изображаются семействами координатных прямых: | = const и т] = const.
Так как последние взаимно ортогональны, то и семейства кривых
B.1:7) и B.1:8) взаимно ортогональны в силу конформности
отображения ? = / (г) (это заключение имеет силу только там, где
f (z) Ф О, т. е. где скорость частицы отлична от нуля).
Кривые B.1 :7) характеризуются тем, что для них
т. е.
udx + vdy = 0. B.1:9)
Это — кривые равного потенциала. Для кривых B.1:8)
характерно соотношение
т. е.
— v dx 4- и dy = 0
или
*L=*L. B.1:10)
Они называются линиями тока.
Из уравнения B.1 :9) следует, что вектор скорости u + iv в тех
точках, в которых он отличен от нуля, направлен по нормали
к соответствующей линии равного потенциала. Точно так же из урав-
уравнения B.1 : 10) следует, что этот вектор направлен по касательной
к линии тока. Отсюда лишний раз вытекает, что линии равного
потенциала и линии тока взаимно ортогональны.
Кроме того из совпадения вектора скорости с касательной
к линии тока и из того, что движение является установившимся
(скорости зависят только от положения частицы), вытекает, что
линии тока совпадают с траекториями частиц*).
*) В общем случае неустановившегося движения также можно говорить
о линиях тока как кривых, касательные к которым в данный момент времени
совпадают с векторами скорости; но здесь линии тока, вообще говоря, не сов-
совпадают с траекториями частиц.

176 ГАРМОНИЧЕСКИЕ И СУБГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. 6
Если область G течения жидкости содержит отдельные (изоли-
(изолированные) точечные источники, стоки или вихри (т. е. точки,
которым соответствуют отличные от нуля вихри), то, исключая
их из области G, получим многосвязную область G', к каждой
односвязной подобласти которой применимо все сказанное выше.
Отсюда следует, как и прежде, что функция и — iv, сопряженная
со скоростью m + i'w, представляет собой однозначную во всей
области G' аналитическую функцию.
Функция
2
(и — iv) dz — (f (х, у) -j- гЧ|) (х, у)
20
{вообще многозначная) по-прежнему будет комплексным потенциалом
движения жидкости, распадающимся в каждой односвязной под-
подобласти g' c= G' на однозначные аналитические ветви. Так как
производная от каждой из них совпадает с одной и той же функ-
функцией и — iv, то различные ветви комплексного потенциала могут
отличаться друг от друга только постоянным слагаемым.
Исключенные из области G точки источников, стоков и вихрей
будут являться особыми точками однозначного или многозначного
характера для комплексного потенциала. Все это мы поясним далее
на примерах.
Итак, мы установили, что каждому плоскому установившемуся
движению несжимаемой жидкости в некоторой области G соответ-
соответствует аналитическая функция f(z) —комплексный потенциал дви-
движения, имеющая особенности только в тех точках области G,
в которых имеются источники, стоки или вихри. Функция эта вообще
является многозначной, но ее производная, представляющая собой
в каждой точке области комплексное число, сопряженное со ско-
скоростью u-\-iv, является однозначной.
Границу области можно рассматривать как совокупность очерта-
очертаний (проекций или сечений) стенок сосуда, заключающего жидкость,
или же тех цилиндрических тел, которые обтекаются жидкостью.
Так как частицы жидкости, непосредственно прилегающие к стенкам,
должны скользить вдоль них, то граница области должна входить
в систему линий тока.
Если вообще мы имеем в некоторой области G аналитическую,
за исключением отдельных точек, функцию /(г), вообще много-
многозначную, но с однозначной производной /' (г), то эту функцию
можно интерпретировать как комплексный потенциал некоторого
течения жидкости в области G. При этом особые точки функции,
попадающие в область G, должны быть истолкованы как источники,
стоки или вихри течения, а граница области — как очертание обте-
обтекаемых жидкостью твердых тел. Для возможности последнего

§ 2] ГИДРОМЕХАНИЧЕСКИЙ СМЫСЛ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 177
истолкования необходимо, чтобы граница области G входила
в систему линий тока, т. е. чтобы функция тока {ty(x, y) = lm[f(z)])
сохраняла постоянные значения на всех граничных континуумах
(на каждом континууме — свое значение).
2.2. Переходя к иллюстрации общих соображений, высказанных
в предыдущем пункте, рассмотрим сначала случай целой линейной
функции
f(z) = az.
Ее можно рассматривать как комплексный потенциал движения
жидкости, занимающего всю плоскость. Движение это является по-
поступательным, и его ско-
скорость f (z) = a в любой
точке. Полагая а=а + ф,
получим для потенциала
скоростей выражение
а для функции тока
Рис. 23.
На рисунке 23 изо-
изображены линии тока и
ортогональные к ним ли-
линии равного потенциала.
Если вместо всей плоскости рассмотреть лишь полосу, ограни-
ограниченную двумя прямыми, параллельными вектору а, то та же функ-
функция представит комплексный потенциал течения жидкости в полосе.
Возьмем еще пример функции
Это также комплексный потенциал движения жидкости, занимаю-
занимающего всю плоскость. Скорость частицы жидкости, находящейся
в точке z, равна f'(z) = 2z, потенциал скоростей имеет вид
а функция тока
•ф (х, у) = 2ху.
На рисунке 24 представлены линии равного потенциала
х2 — У2 = const и линии тока 2ху = const рассматриваемого течения.
Очевидно, это — равнобочные гиперболы. К линиям тока принадлежат
также обе координатные оси Bху = 0). В точке их пересечения
(начале координат) скорость равна нулю. Рассматривая вместо всей
плоскост иодин из координатных углов, например первый,
•2 А. И. Маркушевич

178
ГАРМОНИЧЕСКИЕ И СУБГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. 6
заключаем, что та же функция представляет комплексный потенциал
плоского движения жидкости, заключенной в первом координатном
угле. При этом стороны угла изображают стенки сосуда, в котором
движется жидкость.
Найдем движение жидкости, обтекающей круговой цилиндр
и имеющей в бесконечности скорость U -\- iV = Aeia.
С этой целью воспользуемся приемом конформного отображения.
Пусть \z\ = R— сечение цилиндра плоскостью ху (или проекция
ze~ia
цилиндра на эту плоскость). Тогда функция zt =—^— конформно
Рис. 24.
отображает внешность круга |г|>7? на внешность единичного
круга в плоскости zu причем вектор Aeia преобразуется в вектор -„-,
направленный по действительной оси (в положительном направле-
направлении). Далее, функция z2 = -^- (zt + —) конформно отображает внеш-
внешность единичного круга на внешность отрезка действительной
оси— 1<x2<1, г/2 = О-
1
Поэтому функция 22 = -2"
e~ia
R
1 Z
является аналитиче-
аналитической во внешности G проекции заданного цилиндра, причем ее
мнимая часть у2 сохраняет постоянное значение, а именно, нуль
на границе \z\ = R. Отсюда следует, что если эту функцию рас-
рассматривать как комплексный потенциал течения жидкости в обла-

§ 2] ГИДРОМЕХАНИЧЕСКИЙ СМЫСЛ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 179
сти G, то граница области будет одной из линий тока, т. е. жидкость
будет обтекать цилиндр |z| = 7?.
Для скорости течения будем иметь:
ТШ\ 1 I e~ia R \_ 1 ( eia Re~ia \
[ dz ) ~ 2 V R 22е-»« J 2 \ R 7a )'
7a
1 eia
откуда скорость в бесконечно удаленной точке равна -к-—я-. Эта
величина отличается от заданной Aeia лишь действительным поло-
положительным множителем . Умножая построенную выше функ-
функцию на 2AR, получим окончательно функцию
мнимая часть которой по-прежнему имеет постоянное значение
(равное нулю) на окружности |г| = ^ и производная которой имеет
в бесконечно удаленной точке величину U — iV, сопряженную
с заданной величиной скорости. Итак, функция
дает комплексный потенциал движения жидкости, обтекающей
цилиндр \z\ = R с заданной на бесконечности скоростью U+iV.
Для потенциала скоростей находим выражение
а для функции тока — выражение
Поэтому линии равного потенциала имеют уравнения
(Ux -t- Vy) (x2 + г/2 + R*) = Сг (х* + у*),
а линии тока — уравнения
(_ ух + Uу) (х* + у* -R*) = С2 (х* + у2).
И те и другие являются алгебраическими кривыми третьего порядка.
Они изображены на рисунке 25. Заметим, что при С2 = 0 в качестве
линий тока получаются: прямая — Vx + Uy = 0, проходящая через
начало координат параллельно вектору скорости на бесконечности,
и окружность хг + у2 = R2. В точках ± Reia пересечения этих линий
12*

180
ГАРМОНИЧЕСКИЕ И СУБГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. 6
скорость f'(z) = Aeia =—
обращается в нуль. Во всех же
других точках плоскости она отлична от нуля.
Мы увидим в п. 2.4, что возможны течения, обтекающие тот же
цилиндр с другим комплексным потенциалом.
Рис. 25.
2.3. Остановимся на истолковании простейших особых точек
аналитической функции как источников, стоков или вихрей. Рас-
Рассмотрим сначала логарифмическую особенность (точку разветвления
бесконечного порядка).
Пусть /(z) = Lnz; эта многозначная функция, определенная
1
в области 0•
оо, имеет однозначную производную /' (z) = —
и, следовательно, может рассматриваться как комплексный потен-
потенциал некоторого установившегося течения жидкости. В данном
случае потенциал скоростей однозначен: <р(х, у) = ln|z|, а функция
тока многозначна: ty(x, y) = Argz. Линии равного потенциала
In | z | = const или | z | = const представляют окружности с центром
в начале координат, а линии тока—прямолинейные лучи Argz=const.
Так как скорость в точке z есть /'(z) = — = т
щ и, следова-
следовательно, направлена по лучу Arg z = const от начала координат
к бесконечно удаленной точке, то все частицы движутся по направ-
направлению от начала координат к бесконечно удаленной точке со скоро-
скоростями, весьма большими вблизи начала и весьма малыми вдалеке
от него П /' (z) | = jjr) • Указанная картина заставляет нас рас-
рассматривать одну из точек разветвления функции Lnz, а именно
точку 2 = 0, как источник жидкости, а другую z=oo как сток
жидкости. Чтобы определить мощность источника или стока, под-

§ 2] ГИДРОМЕХАНИЧЕСКИЙ СМЫСЛ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 181
считаем поток жидкости, протекающий через произвольную окруж-
окружность у с центром в начале координат.
По установленному в п. 2.1 поток этот равен
Итак, через окружность сколь угодно малого радиуса с центром
в начале координат протекает за одну секунду количество жидко-
жидкости, равное 2я (точнее, следует представлять себе поверхность
кругового цилиндрического слоя высотой единица, сечением кото-
которого является указанная окружность; через эту поверхность и про-
протекает объем жидкости, равный 2я). Полученное число мы рас-
рассматриваем как мощность источника z = О, откуда жидкость
выбрасывается с бесконечно большой скоростью, или как мощность
стока z=oo, где жидкость исчезает (с нулевой скоростью).
Если вместо функции Lnz рассмотреть в качестве комплексного
потенциала функцию F(z)=—iLnz, то потенциалом скоростей
будет функция ср(х, y) = Re[F(z)] = Argz, функцией тока \р(х, у) =
= Im [F (z)] = — In 121 и скорость в точке z будет равна = = -у^-.
В этом случае линии равного потенциала суть прямолинейные лучи,
выходящие из начала координат, а линии тока суть окружности
с центром в начале координат.
Так как скорость п'' направлена в положительную сторону
по касательной к соответствующей окружности, то каждая частица
жидкости движется по окружности с центром в начале координат,
обращаясь вокруг него в положительном направлении (против
часовой стрелки). Скорость частиц по-прежнему весьма велика
вблизи начала и весьма мала вдали от него. Вследствие этого
время, употребляемое на пробег окружности, есть 2пг: — = 2пг2
и, следовательно, растет, .пропорционально квадрату радиуса окруж-
окружности. Можно легко проверить, что источники и стоки в этом
случае отсутствуют (это следует из того, что функция тока в данном
случае однозначна). Для циркуляции скорости вдоль произвольной
окружности у с центром в начале координат получаем величину
и dx + v dy = Re [ J /' (z) dz ] = Re [ J -^ ] = 2я.
¦ : , v '
Так как величина циркуляции остается одной и той же как
для окружностей |z| = r сколь угодно малых радиусов, так и для
сколь, угодно больших, то и начало координат и бесконечно удав-
удавленную точку можно рассматривать как вихревые точки

182
ГАРМОНИЧЕСКИЕ И СУБГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. 6
рассматриваемого течения, а величину 2я — как интенсивность
вихревой точки (той или другой).
От. указанных примеров легко перейти к случаю источника
и стока любой мощности т, помещенных в двух наперед заданных
точках плоскости, или к случаю двух произвольно расположенных
вихревых точек с данной интенсивностью Г. Первым соответствует
(а —источник, Ь — сток), вто-
комплексный потенциал -^—Ln %
2л z—о
Г
рым — комплексный потенциал ^—.
z—b
(а и Ь — вихревые точки).
Рис. 26.
При заданных точках а и b общая картина линий равного потен-
потенциала и линий тока в том и другом случаях одинакова (рис. 26).
Однако в первом случае линиями тока являются дуги окружностей,
соединяющих точки а и Ь, а линиями равного потенциала — орто-
ортогональные к ним окружности. Во втором случае, наоборот, послед-
последние линии являются линиями тока, а первые — линиями равного
потенциала.
Рассмотрим комплексный потенциал, равный сумме двух ука-
указанных выше:
f(z)=——Ln
2л
z—b *
B.3:1)
Для него точки а и b можно рассматривать как вихреисточ-
н и к и, а именно, как совмещения источника (или стока) мощности т
с вихревой точкой интенсивности Г. Здесь потенциалы скоростей

§ 2] ГИДРОМЕХАНИЧЕСКИЙ СМЫСЛ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 183
и функции тока равны соответственно
^ ' У' 2л I z — b I ' 2л
Линиями равного потенциала и линиями тока служат два взаимно
ортогональных семейства, так называемых двойных логариф-
логарифмических спиралей, навивающихся на точки а и Ь*).
На рисунке 27 изображены три кривые одного семейства и одна
кривая другого семейства.
Отправляясь от этих рассмотре-
рассмотрений, перейдем к гидромеханическому
истолкованию полюса аналитической
функции. Пусть
2л
z — b
— комплексный потенциал, соответст-
соответствующий двум вихреисточникам в точ-
точках а и Ь. Представим f(z) в виде
(т — iT)(b — a) Ln (г—a) — Ln (г—6)
/(*) = ¦
2л
Ь — а
Рис. 27.
и предположим, что b стремится к пределу а и при этом tn — iY
стремится к бесконечности так, что произведение (т — гТ)F — а)
имеет конечный, отличный от нуля предел Reia. Тогда в резуль-
результате предельного перехода получим функцию
F(z) =
Re1
2л
z — a
B.3:2)
имеющую единственную особую точку, а именно, простой полюс
в точке а. Итак, простой полюс можно рассматривать как слияние
двух вихреисточников с одинаковыми, неограниченно возрастаю-
возрастающими, интенсивностями.
Тот же результат можно получить, конечно, если отправляться
только от источника и стока (Г = 0) или только от двух вихревых
точек (т = 0).
*) Они превращаются в логарифмические спирали путем дробно-линейного
преобразования ?= _ и, следовательно, образуют семейство линий, пере-
пересекающих любую дугу окружности, соединяющую точки а и 6, под одним
и тем же углом.

184
ГАРМОНИЧЕСКИЕ И СУБГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. 6
Полагая z — a = peie, запишем потенциал скоростей и функцию
тока в виде
Отсюда следует, что линии равного потенциала и линии тока
cos(«-9)
—
= const
2л р ' 2п р
представляются в виде двух ортогональных семейств окружностей:
p = C1cos(a—9), p = C2sin(a —9),
причем окружности первого семейства (линии равного потенциала)
касаются в точке а вектора iReia, выходящего из этой точки,
а окружности второго семей-
семейства (линии тока) касаются
в той же точке вектора Reia
(рис. 28).
Аналогично могут быть
истолкованы полюсы второго
порядка — посредством слия-
слияния двух полюсов первого
порядка, полюсы третьего по-
порядка — посредством слияния
двух полюсов второго поряд-
порядка и т. п.
2.4. Рассмотрим построе-
построение комплексного потенциала
для потока жидкости, обтекаю-
обтекающей круглый цилиндр, кото-
которое приведет нас к результату
более общего характера, чем
полученный, в п. 2.2.
Пусть требуется найти
комплексный потенциал для
течения жидкости в области | z | > R в предположении, что скорость в
бесконечно удаленной точке есть U + iV и в области R <|г \ < оо
отсутствуют источники, стоки и вихревые точки. Тогда для про-
производной /' (z) комплексного потенциала, являющейся сопряженной
со скоростью в точке z, получаем, что она должна быть одно-
однозначной аналитической функцией в области R <C | z | < оо, при-
принимающей конечное значение U — iV в бесконечно удаленной точке.
Следовательно, бесконечно удаленная точка является правильной
Рис. 28.

§ 2] ГИДРОМЕХАНИЧЕСКИЙ СМЫСЛ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 185
для нее, и мы получаем:
откуда
A
Мы приняли здесь постоянную интегрирования равной нулю.
Чтобы получить отсюда функцию тока ijj (z) = lm [f(z)\, положим:
z = reie, Ai = ai + ibi, A2 = a2-\-ib2, A3 =
Будем иметь:
¦ф (reie) = Ur sin 9 — Vr cos 9 + afi + bt In r -f -^ sin 9 —^. cos 0 -f-
n9—^f cos 29 + -^-sin 29— ...
Так как окружность \z\ = R является одной из линий тока,
то функция ^(reie) должна сохранять постоянное значение при
r = R и любых значениях 9. Из найденного разложения для tp (reie)r
сходящегося при r>R, следует, что мы удовлетворим поставлен-
поставленным условиям, если положим:
При таком выборе коэффициентов будем иметь:
1 — произвольное действительное число).
Для производной /' (г) находим выражение
откуда
|г|=г |г|=г
Поэтому поток жидкости через окружность ] z | = г равен нулю,
а циркуляция скорости вдоль той же окружности равна —2nbt.
Выбирая надлежащим образом Ьи мы можем получить любоет
наперед заданное, значение циркуляции Г: —2яй4 = Г, откуда

186 ГАРМОНИЧЕСКИЕ И СУБГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. 6
р
ibv = -х-^ • Следовательно, f (z) можно записать в виде
где мы ввели еще произвольное постоянное слагаемое С.
Комплексный потенциал представляется здесь в виде суммы
р
чисто циркуляционного течения -н—г- Ln z, соответствующего вихрям
с интенсивностью Г в начале координат и в бесконечно удаленной
точке и течения без циркуляции
найденного в п. 2.2.
Покажем, что формула B.4:1) дает наиболее общее решение
задачи об обтекании цилиндра с заданной скоростью U + iV в беско-
бесконечно удаленной точке и с заданной циркуляцией Г. В самом деле,
пусть Д (z) — комплексный потенциал, удовлетворяющий тем же
условиям. Тогда разность f[{z)— /' (z), сопряженная с разностью
скоростей частиц жидкости, участвующих в первом и во втором
движениях, является однозначной аналитической функцией в области
\z\>R, обращающейся в нуль в бесконечно удаленной точке. Сле-
Следовательно,
откуда
Так как циркуляции двух скоростей вдоль у должны быть равны
между собой, то
Re { J [/; (z) - f (z)] dz} = - 2л/ (с4) = О,
у
т. е. Cj является действительным числом. Для разности комплекс-
комплексных потенциалов ft(z) — / (z) получаем:
и для разности их мнимых частей, т. е. функций тока:
Л (г, e) = I
A-

§ г] гидромеханический смысл аналитических функций 187
где через f>j обозначены действительные и через yj— мнимые части
коэффициентов cj. По смыслу задачи окружность г = 7? должна
быть линией тока для каждого из рассматриваемых течений, поэто-
поэтому 6G?, 9) = const = с. Но из разложения, найденного для б (г, 0),
следует, что б (г, 8) — cfi есть однозначная функция от г = reie.
В частности, однозначной функцией 0 должна быть и функция
5 (R, Э) — с48 = с — с ft, откуда следует, что ct = 0.
Итак,
Мы видим, что б (г, 9) — однозначная гармоническая функция
в области г > R, сохраняющая постоянное значение с на окруж-
окружности r = R. Отсюда следует, что б (г, 0) = const (см. п. 1.5),
а следовательно, и аналитическая функция ft(z)— /(г), мнимой
частью которой является б (г, 8), есть постоянное. Итак,
чем и заканчивается доказательство единственности найденного
нами решения.
Для потенциала скоростей и функции тока течения, определяе-
определяемого функцией B.4: 1), имеем следующие выражения:
Ъ(х, У)= _r_ln|
Следовательно, уравнения линий равного потенциала и линий
тока соответственно суть:
(l -
=c2.
При Г = 0 мы рассматривали их в п. 2.2. При Г^О это—
трансцендентные кривые, вид которых зависит от соотношения
между Г и U + iV. Допустим для простоты, что V = 0 (к этому
случаю можно всегда прийти посредством поворота осей координат),
и найдем критические точки течения, т. е. те точки, в которых
скорость обращается в нуль. Из выражения скорости
г т~ г*

1.88
ГАРМОНИЧЕСКИЕ И СУБГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
[ГЛ. 6
следует, что эти точки удовлетворяют квадратному уравнению
г
-^ = ° или
откуда
Если | Г|> 4nR | ?/], то обе критические точки г± и 22 являются
чисто мнимыми, причем из соотношения z1z2=—Ri видно, что
только одна из них лежит вне окружности \z\=R, т. е. в области,
занятой жидкостью. Линии тока для этого случая изображены на
рисунке 29. Если | Г j =
= 4nR \U\, то мы получаем
лишь одну критическую точ-
точку, лежащую на пересече-
пересечении окружности | г | = R с
мнимой осью (рис. 30). На-
Наконец, при | Г | ¦< 4я/? | U |
существуют, как и в случае
потока без циркуляции, две
критические точки, лежа-
лежащие на окружности | г | = /?
симметрично относительно
мнимой оси:
(рис. 31).
Рис 29. 2.5. В предыдущем пунк-
пункте мы решили задачу обтека-
обтекания круга (круглого цилиндра). Отправляясь отсюда, можно при по-
помощи конформного отображения решить задачу обтекания тела про-
произвольного вида. Пусть L — замкнутая жорданова кривая плоскости г;
требуется построить комплексный потенциал потока жидкости, обте-
обтекающего L и имеющего заданную скорость U-\-iV в бесконечности.
Отобразим конформно внешность L на внешность единичного круга
|?|>1так, чтобы точка 2 = оо перешла в точку t = oo. Пусть
t = F(z)~ функция, осуществляющая отображение. В окрестности
точки г = оо она будет иметь разложение вида
где
Мы положим еще .для определенности, что коэффициент сх есть
действительное положительное число,"т. e.F' (oo)>0. Указанными

§ 2] ГИДРОМЕХАНИЧЕСКИЙ СМЫСЛ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 189
условиями F (г) определится единственным образом (чтобы свести
этот случай к отображению внутренности жордановой кривой
на внутренность круга, достаточно прибегнуть к вспомогательным
отображениям: z' = -——, где z0— точка, лежащая внутри L,
z—z0
и /' = -г) . При этом отображении искомый комплексный потенциал
У
Рис. 30.
Рис. 31.
f(z) перейдет в комплексный потенциал потока, обтекающего еди-
единичный круг, и, следовательно, будет иметь вид
(см. формулу B.4:1)). Так как ср'(оо) = и — iv —
/'(оо)
U —i
F' (со; F' (со) '
то найденную формулу можно переписать в следующем виде:
/B)= Г Ln^(z) ^f(z) Ц + <У B>5:1)
В этой формуле, помимо произвольного постоянного с, не играю-
играющего никакой роли, фигурирует еще действительный коэффициент Г.
Покажем, что его следует выбрать равным циркуляции скорости
потока вдоль любой замкнутой кривой, заключающей внутри кри-
кривую L, например, вдоль образа уг окружности |^| = г>1 при ото-
отображении z = F'1 (t). В самом деле,
/' (z) dz = Изм f(z) = ~Изм [Arg F(z)].
ут УГ Уг
Но когда z обходит уг однократно в положительном направле-
лии, t = F (z) обходит окружность 111 = г однократно в том же

190
ГАРМОНИЧЕСКИЕ И СУБГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. 6
направлении; поэтому Изм [AvgF(z)] = 2я, и
откуда и следует наше утверждение.
Итак, поток жидкости, обтекающей контур L, определяется
формулой E.5:1), где Г —циркуляция потока, U + iV — скорость
в бесконечно удаленной точке и F (г) — функция, конформно ото-
отображающая внешность контура L на внешность единичного круга
так, что 77(оо)= оо и F' (оо)> 0.
Применим эту формулу к нахождению комплексного потенциала
потока, обтекающего профиль Жуковского—Чаплыгина
(профиль крыла аэроплана с округленным передним краем).
(Z)
Рис. 32
Чтобы построить подобный профиль, рассмотрим две окруж-
окружности y и Y' плоскости ?, одна из которых, y> проходит через
точки ± 1 и касается окружности у' изнутри, в точке 1. При ото-
отображении z = y (t, + у) окружность y перейдет, как мы знаем,
в дугу б окружности с концами ± 1 и внешность y конформно
отобразится на внешность б (т. I, п. 4.9 гл. второй). Следователь-
Следовательно, окружность у' отобразится взаимно однозначно на некоторую
замкнутую кривую б', принадлежащую внешности б (за исключе-
исключением одной точки z = l, общей с б). Так как z=l является обра-
образом точки ?=1 и ^ = y{1~7?) =^Г" имеет ПР°СТОЙ НУЛЬ
в этой точке, то углы с вершиной в точке Z, = 1 должны увеличи-
увеличиваться вдвое при рассматриваемом отображении. Но угол между
Y и у' по условию равен нулю. Поэтому б и б' должны также
образовывать в точке z = 1 угол, равный нулю. Вид кривой б'
представлен на рисунке 32. Это и есть профиль Жуковского —

§ 2] ГИДРОМЕХАНИЧЕСКИЙ СМЫСЛ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 191
Чаплыгина. Его вид и размеры можно изменять, во-первых, изме-
изменяя окружности у и Yi a во-вторых, применяя преобразование
подобия.
Чтобы применить формулу B.5:1) к отысканию потока, обте-
обтекающего построенный профиль, остается найти функцию, конформно
отображающую внешность кривой б' на внешность единичного круга.
Но функция z = -2- (S + y) конформно отображает внешность кри-
кривой 8' на внешность окружности у'. При этом она преобразует
точку ? = оо в точку z = оо и производная ее в точке ? = оо имеет
значение у. Если центр окружности у' находится в точке а, а радиус
равен р, то функция t~ — (? — а) отображает внешность у' на внеш-
внешность единичного круга. Поэтому функция z = -?r [(р^+а)+(р^+а)]
отображает внешность единичного круга на внешность б' так, что
t == ос переходит в точку г = оо и производная в бесконечно удален-
удаленной точке имеет положительное значение: -~-. Следовательно,
t = F (z) является обратной по отношению к построенной функции,
т. е. F (z) = — ( — a + z-f- yz2— 1), причем мы должны взять ту
ветвь последней функции, которая обращается в бесконечность
в бесконечно удаленной точке. Для нее имеем: F' (оо) = —.
Итак, искомый комплексный потенциал имеет вид
Отсюда
х
Чтобы производная /' (z), а следовательно и скорость, была
ограниченной вблизи задней кромки крыла, т. е. вблизи точки z == 1,
необходимо ввести следующее условие, связывающее величину цир-
циркуляции Г со скоростью U + iV и параметрами аир, определяю-
определяющими вид крыла:
Г 1 . U — iV рЦЦ + iV) п
2л/ 1—а+ 2 2A—а)8 "~ '

192 ГАРМОНИЧЕСКИЕ И СУБГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. 6
откуда
Из рисунка 32 видно, что 1—a = pe~ie; полагая еще U-\-iV =
= Aei<f, получим:
Г= — 2яЛрзт(8 + ср). B.5:3)
Следовательно, формула B.5:2) окончательно приобретает сле-
следующий вид:
-ре
гф.
2-l J
}+С. B.5:4)
Вычислим в заключение результирующую сил давления потока
на крыло (подъемную силу крыла аэроплана), отне-
отнесенную к тому слою жидкости с высотой, равной единице, для
которого проводится все рассуждение.
Обозначим ее проекции на оси координат через X и Y (так как
движение плоское, то эта сила параллельна плоскости ху). Для
нее имеем следующую общую формулу С. А. Чаплыгина:
'(z)^dz, B.5:5)
где d — плотность жидкости (газа), а С — какая-либо замкнутая
спрямляемая кривая, содержащая внутри обтекаемый контур.
Для вычисления интеграла B.5:5) достаточно взять вычет
функции [/' (г)]2 относительно бесконечно удаленной точки. Но
в окрестности бесконечно удаленной точки имеем
e~i<f
/sin(e + g>) ,
' 5 h'"

§ 3] СУБГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 193
поэтому искомый вычет есть — 21А2ре~г^ sin (9 + ср) и для подъемной
силы крыла получаем выражение
X — iY= — 2ш'Л2 dpe-tf sin (8 -f q>) *),
или по формуле B.5 : 3)
X — iY=iAe-^Td = i (U—iV) Yd
и, наконец,
X + iY=—i {U + iV) Td. B.5 : 6)
Мы получили знаменитую теорему Н. Е. Жуковского:
Подъемная сила крыла ортогональна к скорости потока в беско-
бесконечно удаленной точке и по величине равна произведению этой
скорости на циркуляцию скорости и на плотность жидкости
(газа).
За всеми дальнейшими подробностями мы отсылаем читателя
к курсам гидромеханики (см. Н. Е. Ко чин, И. А. Кибель
и Н. В. Розе, Теоретическая гидромеханика, ч. I, или В. В. Го-
Голубев, Теория крыла аэроплана в плоскопараллельном потоке).
§ 3. Субгармонические функции. Обобщенный принцип
максимума модуля и его приложения
3.1. Этот параграф мы посвятим дальнейшему развитию прин-
принципа максимума модуля. В основе наших рассмотрений лежит
обобщение понятия гармонической функции:
Действительная функция h (x, у) называется субгармони-
субгармонической в области G, если она удовлетворяет следующим
условиям:
1) она определена и" непрерывна во всех точках области G,
за исключением, быть может, конечного числа точек или точек
некоторой последовательности {(хп, уп)}, не имеющей предельных
точек внутри G; при этом для каждой исключительной точки
(хп, Уп) выполнено соотношение
lim h (х, у)= — оо,
{х, у)Мхп, уп)
на основании которого полагаем:
1г(хп, уп)= — оо**);
*) Мы учитываем при этом, что контур С в формуле B.5 : 5) обходится
в положительном направлении, т. е. против часовой стрелки.
**) Обычно условие 1) в определении субгармонической функции заменяется
другим, более общим:
Г) h{x0, у0) > lim h(x, у)
(х, у)Мхо, Уо)
A. pj_ Маркушевич

194 ГАРМОНИЧЕСКИЕ И СУБГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. 6
2) для каждой точки (х, y)^G и для всех достаточно малых р
справедливо неравенство
h (x, i/)<2^\ h(x-t pcosa, у + р sin a) da. C.1 : 1)
L о
В силу этого определения, каждая гармоническая в некоторой
области функция и (х, у) является также и субгармонической; для
нее неравенство C.1 : 1) переходит в равенство
2л
и(х, у) = -к-Л и(х+р cos a, у -f p sin a) da.
2лЧ
Важный пример субгармонической функции, вообще говоря,
не являющейся гармонической, дает модуль функции / (z), анали-
аналитической в данной области. Для него имеем в любой точке г ? G
и для всех достаточно малых р:
2я
причем знак равенства при р>0 достигается здесь только в том
случае, когда / (г) = const (ср. т. I, п. 6.2 гл. третьей). Отсюда
и следует, что | / (г) | есть функция субгармоническая, но не гармо-
гармоническая (если / (z) ф. const).
Другой важный пример субгармонической функции представляет
1п|/(г)| (/(z)=?0). Эта функция является гармонической всюду,
за исключением нулей функции f(z), в которых она имеет лога-
логарифмические полюсы и обращается в —оо. Если г не есть нуль
функции / (z), то для всех достаточно малых р справедливо
равенство
2Я
и,
если же z есть нуль функции /(г), то 1п|/(г)|=—оо,
для любой точки (х0, у0) области G, причем множество точек, в которых
h (x, у) принимает конечное значение, всюду плотно в области G. В этом
условии требование непрерывности заменено требованием полунепрерывности.
В нашем курсе мы не будем, однако, пользоваться этим обобщением.
За всем, что относится к общей теории субгармонических функций и ее прило-
приложениям, мы отсылаем читателя к монографии: И. И. Привалов, Субгар-
Субгармонические функции. Главная редакция технико-теоретической литературы,
М.^Л., 1937.

j 3] СУБГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ !9l5
следовательно,
2Я
о
Лемма 1. Если h (z) — действительная функция, определен-
определенная в некоторой ограниченной области G, и М = sup h (г)
(М может равняться бесконечности), то в замкнутой области
G существует по крайней мере одна точка, в любой окрестности
которой верхняя грань функции h(z) равна М.
Будем вести доказательство от противного. Если лемма
неверна, то для каждой точки z?G существует окрестность,
в которой верхняя грань функции h (г) меньше, чем М. По лемме
Гейне — Бореля, конечное число таких окрестностей покрывает G.
Выбирая наибольшую из верхних граней функции h (z) в указан-
указанных окрестностях, мы получим в качестве верхней грани функции
h (z) во всей области G число, меньшее М, что противоречит
определению числа М. Итак, лемма 1 доказана.
Лемма 2 (основная). Если h(z) — функция, субгармони-
субгармоническая в ограниченной области G, и в каждой точке ?, гранич-
граничной для области G, выполняется соотношение
то h (г) < 0 во всех точках области G, причем знак равенства
для какой-либо внутренней точки возможен лишь в случае, когда
¦h(z) = 0.
Пусть^М = sup h(z) и Е — множество точек замкнутой области
G, в любой окрестности которых верхняя грань функции h (z)
совпадает с М. По лемме 1, это множество — непустое.
Допустим сначала, что ни одна из внутренних точек области G
не принадлежит Е. Тогда существует по крайней мере одна гра-
граничная точка ? 6 Е, и так как, по условию леммы 2, для любого
е > 0 существует окрестность точки ?, в точках которой h (z) < е,
то верхняя грань функции h (г) в этой окрестности не может пре-
превосходить е. С другой стороны, она должна совпадать с М.
Сопоставляя эти факты, получаем, что М<0, причем во внутрен-
внутренних точках области должно выполняться неравенство h (х, у) < М.
Следовательно, для случая, когда Е не имеет внутренних точек
в G, лемма доказана.
Пусть теперь существуют внутренние точки области G, при-
принадлежащие Е. Обозначим их множество через Ш. Из того, что
субгармоническая функция непрерывна (в обобщенном смысле)
13*

196 ГАРМОНИЧЕСКИЕ И СУБГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. 6
в области G, следует, что значение h (z) во всех точках множе-
множества % должно равняться М. В самом деле, для точки zo?G,
в которой h(zo)<iM, существует окрестность, где h(z)<cM — б
(б —некоторое положительное число), и, следовательно, верхняя
грань функции h (г) в такой окрестности не может равняться М.
Отсюда следует, в частности, что М, будучи одним из значений
субгармонической функции, должно быть меньше, чем -|-оо. С дру-
другой стороны, должно быть sup h (z) = М> — оо, так как субгар-
субгармоническая функция может принимать значение — оо лишь
в некоторых точках области G. Итак, М есть конечное число.
Покажем, что Щ является открытым множеством. Действи-
Действительно, пусть z0 ? % и число ро > 0 таково, что для всех р <С р0
выполняется соотношение
2л
М - h (zu) < ~ I h (г0 - ре*») da C.1 : 2)
о
(такое ро существует в силу определения субгармонической функ-
функции). Тогда в круге |г —го|<ро не может содержаться ни одной
точки Zj, в которой h(zl)<C.M. В самом деле, в противном случае
в некоторой окрестности точки zt выполнялось бы неравенство
/[(г)<М — б, где б — положительное число, и, следовательно, для
2я
p = |z1 — zo\ интеграл — \ h (zo.+ peia) da был бы меньше чем М,
о
что противоречит неравенству C.1:2). Итак, для каждой точки
Zo€§ существует окрестность, в которой h(z) = M. Поэтому ука-
указанная окрестность принадлежит Щ, и % является открытым мно-
множеством. Так как во всех точках множества Щ имеет место
равенство h(z) = M, то, в силу непрерывности функции h(z),
и во всякой точке г' g G, предельной для %, должно быть также
h(z') — M. Итак, каждая точка области G, предельная для Ш,
принадлежит Щ.
Из обнаруженных свойств множества Ш вытекает, по лемме в)
пункта 4.5 гл. первой (т. I), что % = G. Следовательно, h(z) = M;
но тогда для любой граничной точки ? области G выполняется
соотношение
lim h (z) = lim h (z) = M,
а отсюда, по условию леммы 2, получаем, что М*СО.
Итак, во всех случаях Л1 = sup A (z)<0, причем равенство
G
h(zo) = O в какой-либо точке области G обозначает, что М>0
и, следовательно, М = 0, и далее, пэ только что доказанному,
( 0

§ 3] СУБГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 197
Теорема 1. Действительная функция и(х, у), непрерывная
в области G и удовлетворяющая в каждой точке zo?G соотно-
соотношению
2я
u(x0, #o)=2^-§ «(-«o-rpcosa, г/0 +psina)flfa,
о
где
является гармонической в этой области.
Очевидно, достаточно доказать эту теорему для некоторой
окрестности произвольной точки zo?G.
Построим функцию и*(х, у), непрерывную в круге \г — го|<!р,
принадлежащем области G, совпадающую с и (х, у) во всех точках
окружности y:\z— zo|=p и гармоническую внутри у. Такая
функция, как мы знаем, существует (см. п. 1.5).
Разность и*(х,у) — и(х, у) непрерывна в замкнутом круге
\г — го|<;р и для каждой точки zi внутри у удовлетворяет соот-
соотношению
2я
[u* (Xi+Pi cos a' yi + P1 sin a) ~
— u(xi-\- pj cos a, yi + p4 sin a)] da
при всех достаточно малых pt. Поэтому функция и*(х,у) —
— и (х, у) является субгармонической внутри у. Но она обра-
обращается в нуль во всех точках окружности у и, кроме того, обра-
обращается в нуль и в центре z0 этой окружности, так как здесь
"* (*о, г/о) — и (х0, г/0) =
2я
, г/о+ Р sin a) —
— и (x0-fpcosa, y0 -)-p sin a)] da = 0.
Следовательно, по лемме 2, имеем:
и*(х, у) — и{х, г/) = 0
внутри у-
Мы доказали, что и (х, у) является гармонической в некоторой
окрестности каждой точки области G. Теорема доказана.
Теорема 2. (Обобщенный принцип максимума
модуля.) Пусть h(x, у) = h{z) —функция, субгармоническая
в ограниченной области G, и и(х, у) = и (z) —функция, гармониче-

198 ГАРМОНИЧЕСКИЕ И СУБГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. 6
екая в области G. Если для каждой граничной точки ? области G,
за исключением, быть может, конечного числа точек ?17 ..., ?т,
выполняется соотношение
lim [A (z) — u(z)]<0, C.1:3)
причем для каждой точки ?^(/=1, ..., т)
Tim [A(z) — u(z)]<-f-oo, C.1:4)
*"^
/по всюду внутри G выполняется неравенство
A(z)<u(z),
е котором равенство для какой-либо внутренней точки области
достигается только в том случае, когда
h{z) = u(z).
Эта теорема показывает, что функция и(х, у), удовлетворяю-
удовлетворяющая условиям теоремы, является гармонической мажоран-
мажорантой функции h(x, у) в области G. Коротко, но не вполне
точно, теорему 2 можно формулировать так:
Если гармоническая функция и (г) превосходит субгармони-
субгармоническую функцию А (г) во всех точках границы области, за исклю-
исключением, быть может, конечного числа их, то она превосходит
ее и внутри области.
Допущение исключительных точек ?у-, где условие C.1 :3),
a priori, может и не иметь места, диктуется интересами приложе-
приложений теоремы 2. Заметим, что требование, в силу которого для
исключительных точек должно выполняться соотношение C.1 : 4),
существенно для справедливости теоремы. В самом деле, ядро
Пуассона, например:
Р(г п\ Р2'2
представляет гармоническую и, следовательно, субгармоническую
функцию, которая в любой точке окружности |?| = р, за исклю-
исключением ? = р, удовлетворяет условию
lim Р(г, 9) = 0.
(г, в)-»Гр, а)
Поэтому гармоническую функцию и (г, Э) = 0 можно рассматривать
как мажорирующую по отношению к Р(г, 9) на всей окружности
| ? | = р, за исключением одной точки % = р. Однако внутри окруж-
окружности
P(r, 6)>0 = u(r, 9).

§ 3] СУБГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 199
Дело заключается здесь в том, что Р(г, 6) принимает сколь
угодно большие значения в окрестности точки р. Поэтому ни тож-
тождественный нуль и никакая другая ограниченная функция
не является мажорантой для Р (г, 6) в круге | z \ < р.
Переходя к доказательству теоремы, введем вспомогательные
функции:
Vj(z) = \n\z — Zj\ (/=1, ..., п).
Очевидно, Vj(z), гармоническая при гФ^, в частности,
является гармонической в области G. В точке z = ?7- она обра-
обращается в —оо. Если ^ — диаметр области G (т. е. наибольшее
расстояние между парами точек замкнутой области G), то для
каждой функции vj (z) выполняется неравенство
Поэтому функции Vj B) — In R = Uj (z) принимают неположительные
значения в точках замкнутой области G, а в остальном обладают
такими же свойствами, как и функции vj (z).
Вводя положительный параметр е, который мы устремим
впоследствии к нулю, образуем функцию
Так как для каждой точки z0 6 G и для всех окружностей
достаточно малого радиуса с центром в z0 значение h (z0) не пре-
превосходит среднего значения функции h B), взятого по этой окруж-
окружности, а значения функций и (z) и Uj B) совпадают с соответствую-
соответствующими средними, то dB(z0) не превосходит среднего значения
функции de(z) по любой окружности достаточно малого радиуса
с центром в z0. Следовательно, функция de(z) является субгармо-
субгармонической функцией в области G. Кроме того, в каждой граничной
точке ? Ф t,j выполняется соотношение
п
lim de (z) = llm [h B) - и B) + e 2 u/(z)] < 0,
а в точках ? = t,j — соотношение lim de(z)= — 00 <0 (так как
функции h{z) — u(z) и uk(z)(kФj) ограничены сверху в окре-
окрестности точки t,j, a uj(z)—»— 00 при z—>?). Отсюда заключаем,
что к ds(z) применима лемма 2 и, следовательно,

200 ГАРМОНИЧЕСКИЕ И СУБГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. 6
ИЛИ
АB)<и(г)-е § «>(«)•
3=1
Устремляя здесь е к нулю, получаем:
т. е. и {г) является мажорантой для h(z) в области G, что и тре-
требовалось доказать.
Остается добавить, что из доказанного следует соотношение
hm[h(z) — u(z)]<0
для любой граничной точки ? области G (включая и те точки ^,
которые были исключены в условии теоремы). Поэтому, если
в некоторой внутренней точке z0 6 G выполняется равенство
h(zo)~u(z0) = 0,
то, по лемме 2, вытекает, что субгармоническая функция h (z) —
— u(z) тождественно равна нулю в области G, т. е. /i(z) = u(z).
Теорема 2 полностью доказана.
3.2. Рассмотрим некоторые приложения теоремы 2 п. 3.1. Пусть
f (z) — функция, аналитическая в круговом кольце D : rt < | z | <. г2,
вообще говоря, неоднозначная, но модуль которой является одно-
однозначным в D и удовлетворяет условиям
Tim ln|fB)|<lnMi, lTrnln|f(z)|<lnM2.
Так как ln|/(z)| есть субгармоническая функция в области D, то
гармоническая в той же области функция, значения которой сов-
совпадают с In М± на Yi:|?l = ri и In7W2 на у2:Щ = г2, должна
быть мажорантой для ln|/(z)| в круговом кольце D. Такую функ-
функцию легко построить, отправляясь от гармонической функции
ln|z|, обращающейся в 1пр на окружности |z|=p.
Очевидно, функция
— гармоническая и обращается в \nMt на окружности
и в нуль на окружности | z | = гг. Точно так же функция
1пМ,

§ 3] ТЕОРЕМА О ТРЕХ КРУГАХ 201
— гармоническая и обращается в 0 на окружности | z | = п
и в \пМ2— на окружности |z| = r2. Сумма этих функций
1пМ 1пМ
и (г) = In Mt ^- + In М2 Й-
непрерывная в D и гармоническая D обращается в In/И)
на окружности |z| = rt и в In М2— на окружности |z| = r2. Эта
функция и является мажорантой для ln|/(z)| в области D, т. е.
]п|/B)|<1пУИ1 r^-+lnM2 р- C.2: J)
при rt < I z ] ¦< rz, причем знак равенства для внутренней точки
кольца достигается только тогда, когда In|f (z) | = u(z).
Так как
Z Z
Arg Arg —¦
v (z) = In M, r2- + In M2 ГЛ-
ZL Z2
является, очевидно, сопряженной с u(z), то функция Argf(z),.
сопряженная с ln|/(z)|, в этом случае может отличаться от v(z)
только на постоянное слагаемое. Следовательно, в случае равен-
равенства в C.2: 1):
Ln/(z) = ln|/(z)| + tArg/(z)-iC + u(z) + u>(z)==
ln-i- ln-^-
= iC + In Mi —^- + ln7W2 —Ji- r
In ZL In -1^-
откуда
In M2—In Mx
/ (Z) = Лг ini-a-lna )
где
!
2— In /-?
Рассмотрим какие-либо три значения | г \: pt, p и р2, удовле-
удовлетворяющие неравенствам
''l<Pl<P<P2<''2-
Тогда, обозначая max|/(z)| через М{р), будем иметь на основании
|1

202 ГАРМОНИЧЕСКИЕ И СУБГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. 6
неравенства C.2: 1):
1гШ(р)<1гШ(Р1) —g-+lnM(p2)—g-. C.2:2)
Р2 Pi
Это последнее соотношение выражает собой так называемую
теорему Адамара о трех кругах. Она имеет простой
геометрический смысл.
Будем рассматривать ц = In М (р) как функцию от g = In p:
Тогда, полагая 1пр1 = ^1, 1пр2 = ?2 и ^M(pi) = r\lt In AJ (p2) = т]2,
¦перепишем полученное неравенство в виде
Но
r"ri + ri
есть уравнение прямой, соединяющей точки (?4, %) и (?2, tJ)j t- е.
уравнение хорды графика функции т) = ф (g) в декартовых коорди-
координатах ? и т]. Поэтому теорема о трех кругах выражает то свойство
1пМ(р), рассматриваемого как функция от In p, в силу которого
любая дуга кривой 1пМ(р) = фAпр) лежит не выше соответствую-
соответствующей ей хорды, иными словами, выражает выпуклость этой кривой
или выпуклость самой функции ti = ср (?). Окончательно приходим
к следующей компактной формулировке теоремы о трех кругах:
Логарифм максимума модуля функции, аналитической в кру-
круговом кольце D, является выпуклой функцией логарифма радиуса
той окружности, на которой берется максимум.
В качестве другого приложения теоремы 2 п. 3.1 рассмотрим
функцию f{z), аналитическую в круге К: \z\<LR и удовлетво-
удовлетворяющую условиям
Hmln|/(z)|<lnm, Шп ln|/(z)|<lnM, C.2:3)
где а и 2 обозначают две взаимно дополнительные дуги окруж-
окружности Г:|г| = #, рассматриваемые как интервалы, т. е. без своих
концов Si и ?г, общих для о и 2. Кроме того, допустим, что
в окрестностях точек ?i и ?2 функция 1п|/(г)| ограничена сверху.
В силу теоремы 2, достаточно найти функцию, непрерывную
в замкнутом круге |г|</?, за исключением, быть может, точек

§ 3]
ТЕОРЕМА О ДВУХ КОНСТАНТАХ
203
1,1 и t,2, в окрестности которых она остается ограниченной снизу,
гармоническую в круге К и принимающую в точках дуги о зна-
значение In m, а в точках дуги 2 — значение 1пЛ1, для того чтобы
утверждать, что эта функция является мажорантой для ln|/(z)|
внутри К-
Для большей определенности предположим, что обозначения
Zi и ?2 для общих концов дуг о и Б выбраны так, что, обходя
окружность в положительном на-
направлении и начиная с точки t,u
мы движемся сначала вдоль дуги
<т и затем, проходя через ?2, по-
попадаем на дугу 2. Пусть, далее,
2а и 20 @<а, 0<р\ а + Р = л) —
углы, под которыми дуги а и 2
соответственно видны из точки
z = 0. Рассмотрим многозначную
гармоническую функцию Arg ^~z ,
Ь2—г
представляющую величину угла,
под которым из точки z видна хорда
{?i> ?г)- Среди значений Arg -p-
функции, принимаемых ею в точке
z = 0, одно и только одно заклю-
заключается между 0 и 2л. При наших
обозначениях оно равно 2л—2а = 2C
{рис. 33). Обозначим через v(z) однозначную и непрерывную внутри
круга ветвь функции Arg у~г , удовлетворяющую условию
Рис. 33.
Тогда все значения функции v (z) внутри круга будут заключаться
между 0 и 2л, так как эта функция, непрерывно изменяясь
от своего значения 2C, 0<2р <2л, не может обратиться ни в нуль,
ни в 2я. Из геометрического смысла v (z) следует, далее, что
в точках дуги а она принимает постоянное значение р, а в точ-
точках дуги 2—постоянное значение 2л — а = л + Р (рис. 33).
Следовательно, гармоническая функция u{z) = — [v{z) — §\
обращается в нуль в точках дуги айв единицу в точках дуги 2.
Из того, что она ограничена в окрестностях точек ?t и ?2, сле-
следует, по теореме 2, что u(z) меньше единицы в круге К, так как
она мажорируется единицей на Г. По той же теореме, применен-
примененной к гармонической функции — u(z), мажорируемой на Г числом 0,
следует, что — и(г)<0 внутри Г, т. е. ы(г)>0. Итак, и(г)

204 ГАРМОНИЧЕСКИЕ И СУБГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. 6
внутри К удовлетворяет .неравенству
0<и(г)<1;
ее значение в точке 2 = 0 есть «@) = — [v@) — $] = — р\
JT ЗХ
Образуем, наконец, гармоническую функцию
lnm + (ln7W — In m) u(z).
Она обращается в In т в точках дуги а, в In /И — в точках дуги 2
и ограничена в окрестностях точек ?4 и ?2- Поэтому она и пред-
представляет искомую гармоническую мажоранту для ln|/(z)[:
In | f (z) | < In m+(In M — In m) и (z),
или
In | / B) | < In Mu B) + In m A — и (z)),
откуда
\f(z)\KMV(Z)m1~UiZ> C.2:4)
— неравенство, выполняющееся внутри К. В частности, в точке
2 = 0 имеем:
|/@)|<Мятя. C.2:4')
Неравенство C.2:4) выражает собой так называемую тео-
теорему о двух константах (для частного случая, когда
область есть круг).
Если т<с.М, то из неравенств C.2:3) непосредственно сле-
следует только, что
Tirn|/B)|<yW
для всех точек ?6 Г, за исключением, быть может, двух точек:
Z,i и Z,2, в окрестности которых Пгп | f (г) | <; оо. Поэтому, по тео-
теореме 2 п. 3.1, можно утверждать, что внутри круга К:
\f(z)\<M. C.2:5)
Неравенство C.2:4) показывает, что если не заменять два
числа т и М большим из них М, а использовать оба (две кон-
константы), то получится значительно лучшая оценка для модуля
/B). В самом деле, отношение MU{Z)m1~^um к М есть
м
что меньше единицы, так как т<.М и 0 <с и (г) < 1 внутри К.

§ 3] ТЕОРЕМА О ДВУХ КОНСТАНТАХ 205
Для иллюстрации теоремы о двух константах рассмотрим
последовательность аналитических функций {fn(z)}, равномерно
ограниченных по модулю в круге К,
\fn(z)\<M,
для которых на некоторой фиксированной дуге а окружности Г
выполняются соотношения:
fim|/n(z)|<en,
Ко
где {еп}—последовательность положительных чисел, сходящаяся
к нулю (еп< 1).
Покажем, что при этих условиях последовательность {/„ (г)}
равномерно сходится к 0 внутри К.
В самом деле, если Б —дуга окружности Г, дополнительная
к а, то имеем, в силу сформулированных условий:
IImln|fn(z)|<lnen, Hrnln|/n(z)|<lnyW.
tea ??2
По теореме о двух константах получаем:
где ц = тах(М, 1)@<u(z)<1, и если М>1, то Мщг)<.М,
а если М<1, то MU<Z)<1). В каждом замкнутом круге |z|<
<;г<^ непрерывная гармоническая функция u(z) имеет максимум
т| (г), необходимо меньший единицы (так как и (z) < 1 во всех
точках круга К)- Поэтому при |z|O получаем:
откуда и следует равномерная сходимость последовательности
{fn(z)} к нулю.
Пусть, в частности, fn(z) = f(z) (n= 1, 2, ...), т. е. мы имеем
аналитическую функцию, ограниченную по модулю в единичном
круге и удовлетворяющую соотношениям
lim|/(z)|<8n(lim8n = 0), т. е. li
Ко teo
для некоторой дуги единичной окружности. Тогда, по доказанному,
Итак, если функция f(z), аналитическая и ограниченная по модулю
в единичном круге, обращается в нуль на некоторой дуге единич-
единичной окружности, то / (z) = 0. В главе восьмой мы получим иным

206 ГАРМОНИЧЕСКИЕ И СУБГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. 6
путем тот же результат, без гипотезы об ограниченности модуля.
Разумеется, отмеченный здесь факт является лишь весьма частным
случаем теоремы Лузина — Привалова.
3.3. Теорема 2 п. 3.1 в том частном случае, когда h{z) =
= |/B)|, где/(г) —функция, аналитическая в области G, u(z) = Cy
и на Г находится лишь одна исключительная точка ? = ?0, гласит:.
Если для каждой граничной точки "С,ф%,й области G выпол-
выполняется соотношение
ffin|f(z)|<C, C.3:1>
а в точке ?0
Tim |/(z)|<oo, C.3 :2>
то | / (z) | <С во всех точках G, причем равенство | / (z0) \ --= С (z0 ? G)
возможно только тогда, когда f(z) = const.
Это предложение поддается существенному уточнению, еслиг
известен характер границы области G в окрестности точки ?0.
Пусть в точке ?0 граница области G образует угол раствора
ая@<а<2); тогда от условия C.3:2) можно отказаться, пред-
предполагая, однако, что возможный рост \f(z)\ при стремлении z к С»
не слишком велик. Мы приведем здесь соответствующие предложе-
предложения, считая для определенности, что точка ?0 = оо и что сама
область G имеет вид угла раствора ая@<а<:2) или вид полосы:
(случай угла с нулевым раствором).
Теорема Фрагмена —Линделёфа. Пусть G есть угол,
раствора ая@<а<;2) и f (z) —функция, аналитическая в обла-
области G и удовлетворяющая условиям:
1) для каждой конечной точки ?, граничной для области GT
C.3:
C.3:
где
Тогда
M(r)-=max[e, sup|/(z)|
|2|=Г
\f(z)\<C
в области G, причем знак равенства во внутренней точке этой
области возможен только в случае, когда f (z) = const.

§ 3] ТЕОРЕМЫ ФРАГМЕНА—ЛИНДЕЛЕФА 2U/*
Условие C.3:4) налагает определенное ограничение на воз-
возможный рост \f(z)\ при z—> оо; а именно, для каждого ри р <С
<Pi<— должна существовать последовательность {Rn} такая,
что Rn-<Rn+1, Y\mRn=oo и
П->оо
|/(z)|<exp(|z|Pl) при \z\ = Rn, n=l, 2, ... . C.3:5)
Обратно из C.3:5) следует C.3:4).
Для доказательства теоремы допустим, что вершина угла G
находится в начале координат, а биссектриса угла совпадает
с положительной частью действительной оси. Этим мы не огра-
ограничим общности доказательства, так как общий случай сводится
к указанному посредством целого линейного преобразования (сдвиг
и поворот), не нарушающего условий теоремы.
Построим" вспомогательную функцию
FEB) = fB)exp(-82p2), C.3:6)
где Pi<P2<— и zp2[обозначает ту однозначную и аналитическую
в области G ветвь функции zp2 = exp(p2Lnz), которая принимает
положительные значения при действительном положительном
г, т. е.
zp2 = exp(p2lnz).
Рассмотрим сектор gRn, отсекаемый от угла G кругом \z\<iRn-
В каждой точке ?, принадлежащей его прямолинейным сторонам,
будем иметь в силу C.3 : 6) и C.3 : 3):
Tim I Fe (z) I < С lim exp (— егр2) | = С lim exp (— erp2 cos p29) < C,
где г = ге1е(в области G имеем: | p28| <-y^- = -?-, откуда
cos p2e > o).
Кроме того, на дуге \z\ = Rn, составляющей часть границы
сектора gR , имеем, в силу C.3:6) и C.3:5):
Так как cos (p2~5-) > 0 и р( < р2, то правая часть последнего
неравенства стремится к нулю, когда Rn стремится к бесконеч-
бесконечности. Выберем Rn столь большим, чтобы правая часть сделалась

208 ГАРМОНИЧЕСКИЕ И СУБГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. 6
меньше С и, кроме того, чтобы произвольно фиксированная точка
zg?G очутилась внутри gRn. Тогда во всех без исключения гра-
граничных точках сектора gR будем иметь:
HrrT|Fe(z)|<C,
откуда, по теореме 2 пункта 3.1:
\Fe(zo)\<C,
причем равенство возможно только, если Ге (г0) = const. Заменяя
функцию Fe (z0) ее выражением и устремляя параметр е к нулю,
найдем:
lim | / (г0) ехр (— ег^) | - | / (г0) J < С,
Е->0
что и требовалось доказать.
Остается заметить, что в случае равенства
мы получаем, что модуль аналитической функции достигает своего
максимума (верхней грани) во внутренней точке области G, откуда
f(z) ~ const.
Предыдущая теорема допускает дальнейшее уточнение, а именно,
условие C.3 :4) в ней можно заменить условием:
C.3:7)
которое, в свою очередь, эквивалентно следующему: для любого
е>0 существует последовательность {Rn} (Rn = Rn (е)) такая, что
Rn <С Rn+ii »im An = °° И
|/(z)|<exp(e[z|a) при \г\ = #„, л = 1, 2, 3, . . . .C.3:8)
Если выполнено условие C.3:5), то выполнено и усло-
условие C.3:8), ибо для Pi<— и любого фиксированного е :> О
имеем при всех достаточно больших значениях \z\:
ехр | z |Р* < ехр (е | г \а).
Обратное, вообще говоря, неверно, как показывает пример функ-
функции / (z) = ехр yt4\—12 > рассматриваемой в области | arg г \ < -j- .

$ 3] ТЕОРЕМЫ ФРАГМЕНА—ЛИНДЕЛЕФА 209
Следовательно, условию C.3:8) удовлетворяем более широкий
класс функций, чем условию C.3: 5).
Пусть условия C.3:1) и C.3:7) выполнены; покажем, что
функция f(z) во всех точках биссектрисы угла G, т. е. при всех
z = х действительных и положительных, удовлетворяет неравенству
|/(*)|<С. C.3:9)
Тогда доказанную выше теорему можно будет применить к f (z)
в каждом из двух углов, на которые действительная ось делит
~ т-. па
угол и. Раствор такого угла есть -^-, и, следовательно, для при-
применимости указанной теоремы нужно, чтобы для всех pt, мень-
2 2
ших чем — и достаточно близких к —, выполнялись неравен-
неравенства вида C.3 : 5). В силу неравенств C.3 : 8) это действительно
будет иметь место при всех р4 > — .
Итак, все сводится к доказательству неравенства C.3:9)
в точках х> 0.
Фиксируем х>0, далее е>0 и соответствующую последова-
последовательность {Rn}, Для которой выполняются неравенства C.3:8).
Рассмотрим сектор gRn: | argzj <.^г, \z\<<Rn', при всех доста-
достаточно больших п точка х лежит внутри сектора. При этом
на дуге Л„ окружности, входящей в границу сектора, выполняется
неравенство
|/(г)|<ехр(еЯ„а),
а в каждой точке ? прямолинейных сторон сектора — неравенство
Желая воспользоваться для оценки |f(x)| неравенством C.2:4')
(теорема о двух константах), отобразим конформно сектор gR
на единичный круг так, чтобы точка х перешла в центр круга.
Выполним сначала отображения:
Первое из них отображает gRn на верхний полукруг единичного
круга, причем дуга Л„ переходит в полуокружность, а точка
х — в точку i (-„-I . Второе отображает полученный полукруг
14 А. И. Маркушевич

210 ГАРМОНИЧЕСКИЕ И СУБГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. 6
на верхнюю полуплоскость, причем образом полуокружности ока-
j
переходит
зывается отрицательная полуось, а точка t (-=-
1 _
1 +
в точку 1п
. Выполним, наконец, отображение
в результате которого получим единичный круг; при этом отрица-
отрицательная полуось перейдет в дугу 2„ с начальной точкой 1 и конеч-
конечной точкой I- (обход единичной окружности совершается в поло-
положительном направлении). Отображение г3 = /3/2/1B) и будет иско-
искомым. В результате функция f(z) преобразуется в функцию /*(г3) =
= //^1/г1/зМ'гз)) которая в начале координат имеет значение, рав-
равное }(х), в точках дуги 2„, являющейся образом дуги Л„, удов-
удовлетворяет неравенству | /* (z3) | < exp (eRn/a) и, наконец, в точках ?
дуги ап, дополнительной к дуге 2„, —неравенству ]im\f*(zs)\KC.
Следовательно, по неравенству C.2:4') имеем:
где 2ап и 2$п обозначают углы, под которыми дуги ап и 2„ соот-
соответственно видны из центра круга @<а„, 0<рп, ап-\-рп = я).
1
Так как limgn = li
= 1 и, следовательно,
limarggn = 0, то при всех достаточно больших значениях /г,
П->оо
имеем:
1 1
arg Ь- = 2 arg \n = 8 arctg (^) ° >

§ 3] ТЕОРЕМЫ ФРАГМЕНА-ЛИНДЕЛЕФА 211
Из того, что точка 1 является началом, а I5 — концом дуги 2„,
— Л
следует, что угол 2pn = 8arctg (-5-) " , т. е. pn = 4arctg {-§-)"
и ап = я — 4arctg(-^-) . Поэтому
или, переходя к пределу при п—->оо,
откуда, наконец, в силу произвольности е>0 заключаем, что
\f(x)\<C.
Соотношение C.3:9) доказано, а вместе с тем доказано, как
мы заметили выше, что
[/(г) |<С, гбО.
Итак, справедлива следующая теорема (охватывающая преды-
предыдущую теорему Фрагмена—Линделёфа):
Теорема 1. Пусть G — угол раствора ая@<а<2) и f{z)~
функция, аналитическая в этой области и удовлетворяющая
условиям:
1) для каждой конечной точки ?, граничной для области G,
2)
Тогда
в области G, причем из того, что | / (г0) | = С, z0 6 G, вытекает,
что /(г) = const.
Полученное предложение в известном смысле не поддается
дальнейшему уточнению. А именно, условие 2) здесь нельзя
14*

212 ГАРМОНИЧЕСКИЕ И СУБГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. I
|
заменить таким, где
,. \пМ{г)
если мы хотим, чтобы теорема оставалась в силе.
В этом убеждает пример функции
На сторонах угла |argz|<^- она удовлетворяет условиям:
гол J_
|f (re 2 ) | = ехр f yra cos-^-j = 1
и, однако, стремится к бесконечности по каждому лучу
argz = 6, |6|<^-.
Для нее, очевидно, имеем:
М(г) = ехр(уг*) и lim
Предложения, аналогичные теореме 1, можно получать и для
других областей, например для полосы (угол нулевого раствора).
Теорема 2. Пусть D есть полоса шириной tin:
и f(z) — функция, аналитическая в области D и удовлетворяющая
условиям:
1) для каждой конечной точки ?, лежащей на границе D,
ШгТ|/(г)|<С(<°о)
и, кроме того,
2)
lim -i^
ж-v+oo ехр -т-
, sup \f(x+..iy) |], ^-<у-<-^-

§ 3] ТЕОРЕМЫ ФРАГМЕНА-ЛИНДЕЛЕФА 213
Тогда в области D имеет место неравенство
причем равенство в точке zo?D возможно лишь при условии, что
f (z) = const.
Теорема эта сводится к предыдущей посредством конформного
отображения
г' = ехр •?¦,
преобразующего полосу D в правую полуплоскость G (угол раст-
раствора я) так, что левый конец полосы (х = — оо) переходит в точку
z' = 0, а правый ее конец (х = + оо) — в точку z' = oo; при этом
отрезки прямых х = const преобразуются в полуокружности,
с центром в точке z' = 0. Положим,
в силу условий теоремы эта функция является аналитической
в области бив каждой конечной точке ?' границы удовлетворяет
неравенству
Tim \F(z')\ <C.
Кроме того, для r' = |z'| и x = Rez, связанных соотношением
г' = ехр -г-, имеем:
М (г') = sup | F (z') = sup | /
\z'\=r' Re z=x
откуда
1пЛ1Сг') 1пц(л;)
и, следовательно,
lim 1пУ><; Игл
r'->oo x->-f- со ехр -г~
Прилагая к F (zr) в области G теорему 1 (при а=1), найдем,
чго „у.
' \F(z')\<C,:z'?G', .
или, наконец,
\f(z)\<.C, z€Z?,
что и требовалось доказать.

214 ГАРМОНИЧЕСКИЕ И СУБГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. 6
§ 4. Формула Пуассона — Иенсена
4.1. Мы выведем здесь формулу, представляющую распростра-
распространение формулы A.2:8) на случай функции, обладающей лога-
логарифмическими полюсами. Пусть u(z) = u(r, 0) — однозначная функ-
функция, гармоническая в круге г<.R^Coo, за исключением, быть
может, логарифмических полюсов. Обозначим логарифмические
полюсы, отличные от нуля, через ?4, ?2i • • • > Sn* • • •» располагая
их в порядке неубывающих модулей, и пусть ц^1п]г — t,j\— глав-
главная часть, соответствующая Zj (см. п. 1.3). Введем еще главную
часть цо1п|г|, соответствующую точке z = 0, полагая ЦО = О
в случае, когда эта точка, на самом деле, не является логариф-
логарифмическим полюсом для и (z).
Рассмотрим дробно-линейную функцию
где |?|<р<#. Как известно (т. I, п. 4.7 гл. второй) эта функ-
функция конформно отображает круг | z | <; р сам на себя так, что
точка ?, переходит в центр круга.
Так как /?(z)— функция, аналитическая в круге |zl<|fr>
имеет в этом круге единственный простой нуль в точке z = Z
и модуль ее равен р во всех точках окружности | z \ = р, то
щ (z) = In Г — | /? (г) 11 есть функция, гармоническая при | z | < тут.
гф?„ имеющая логарифмический полюс в точке z = ?, с главной
частью In | z — 11 и обращающаяся в нуль на окружности | z \ — р.
Если точки 0, ?j, ..., ?V(p) из числа логарифмических полюсов
функции u(z) лежат внутри этой окружности, а остальные — вне
ее, то функция
V(p) V(p)
V (Z) = U (Z) — 2 V"hUlk (Z) = U (Z) — 2 V*h
k=0 ft=0
pJ-i
является гармонической во всех точках некоторого круга, радиуса
большего, чем р (равного наименьшему из двух чисел | ?V(p)+i I
Р3 \ II Л.
и -|У-—р) , причем на окружности | z \ = р она совпадает с функ-
I ?v(p> I /
цией u(z). Поэтому для всех |z| = r<p имеем:
2я
r>2 — »

§ 4]
ИЛИ
2я
ФОРМУЛА ПУАССОНА — ИЕНСЕНА
da =
— 2rpcos(e — a)
v(p)
= ы(г, 0) —
•(*-?*)
215
. D.1:1)
Это и есть искомая формула. Она называется формулой
Пуассон а—И е н с е н а. В случае, когда логарифмические полюсы
отсутствуют, мы должны положить здесь все числа \ij (j = О, 1, ...
..., v(p)), равными нулю; тогда эта формула перейдет в формулу
Пуассона A.2:8), обобщением которой она и является.
Применим формулу D.1:1) к частному случаю, когда и (г, 0)
имеет вид
и (г, в) = In | / (гс*в) |,
где f(reie) — f(z) есть функция, однозначная и аналитическая
в круге \z\<lR, за исключением, быть может, полюсов. Пусть
щ, а2, ...—различные между собой нули f(z), расположенные
в порядке неубывающих модулей, и аи а2, ..., —кратности этих
нулей; точно так же пусть bu b2, ..., —различные полюсы f(z),
также расположенные в порядке неубывающих модулей, и pj,
J32, ..., — их кратности.
Отдельно мы рассмотрим точку z = 0, приписав ей кратность к.
В случае, когда эта точка есть нуль f(z), мы положим А, равным
кратности этого нуля; в случае, когда z = 0 есть полюс, положим А,
равной взятой с обратным знаком кратности полюса; наконец,
если 2 = 0 не есть ни нуль, ни полюс, положим Х = 0. Легко
видеть, что In\f(z)\ есть функция, однозначная и гармоническая
в круге | z | < R, за исключением логарифмических полюсов:
О, аи а2, ..., 64, 62> • • • 1 с соответствующими им главными
частями:
Mn|z|, ccd In J 2 — at J, a2ln|z — a^\, ...,
— pVn|z — bi\, —p2ln|z —62|» •••
Если п' (р) обозначает число различных нулей f(z), лежащих
в круге |z|<p, а р'(р) — число различных полюсов, лежащих
в том же круге, причем точка 2 = 0 в расчет не принимается, то

216
ГАРМОНИЧЕСКИЕ И СУБГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
[ГЛ. 6
по формуле D.1 : 1) получаем:
2л '
¦Ш I ln I / (P*ia) 1 7
о
= ln
—2rpcos (a—0)
n'(P)
da —
p'(P)
D.1:2)
Это — важнейший частный случай формулы D.1 : 1); именно,
эту формулу обычно и называют формулой Пуассона — Иенсена.
Если условиться в списке нулей и полюсов / (z) (не совпада-
совпадающих с центром круга), каждый из них повторять столько раз,
какова его кратность, обозначая их по-прежнему буквами а и b
с соответствующими индексами, и через п (р) и р (р) обозначать,
соответственно, числа нулей и полюсов f (z) в круге | z | < р,
с учетом кратностей этих точек, то формула D.1 :2) может быть
записана в виде:
2л
¦da =
= ln
f(reie)
— 2rpcos(a — 0)
n(p)
p(p)
D.1:2')
Слагаемые, соответствующие кратным нулям или полюсам,
в правой части формулы повторяются столько раз, какова крат-
кратность нуля или полюса.
В случае, когда / B) не имеет полюсов в круге | z | < R, мы
можем считать все числа |3д в формуле D.1:2) равными нулю,
а Я—неотрицательным. Тогда получим:
2я
п'(Р)
, Р I z — с
:, D.1:3)
или в обозначениях, принятых д^я, формулы D.1 : 2'):
2л
2 —2rpcos(a—0)
= ln
n(p)
5Ц. DЛ:3'>
«г1

§ 4] ФОРМУЛА ПУАССОНА -г ИЕНСЕНА 217
Формула D.1 : 1) (и ее частные случаи) была выведена в пред-
предположении, что ни один из логарифмических полюсов функции
и (z) не лежит на окружности | z | = р. Но она остается верной
и в том случае, когда это предположение не выполнено. Пусть
?„(Р)_1_1, ..., ?n(p)+v— логарифмические полюсы, лежащие на ок-
окружности | z | = р. Тогда гармоническая функция
n (p)+v
U(Z)~ 2 (Aft In I Z — gft I
ft=n(p)+l
не имеет логарифмических полюсов в некотором замкнутом кру-
круговом кольце Pi<;|z|<;p2, содержащем эту окружность; кроме
того, все ее полюсы и их главные части внутри окружности
| z | = р совпадают с полюсами и главными частями и (z) внутри
той же окружности. Поэтому по формуле D.1 : 1):
2л n(p)+v
^-J[«(p, «)_ ^ Ц*In 1 ре««-lk 1 ] p2+r2^~^s(a_9)da =
0 n(p) + l
n (p)+v n (p)
= u{r,Q)~ 2 Hftln|re»-SA|-2
n(p)+l 0
Рассмотрим отдельно интеграл вида
2л
D.1 :4>
-2ф cos (a-6) rfa <l Co I — Р-
Такой интеграл, понимаемый как несобственный, сходится^
В самом деле, для ?,0 = peia° имеем:
> — p|a — ao|, если |a —
поэтому при | peia — peia° | <C 1 имеем:
2
1п(-|р|а-ао|)
откуда и следует сходимость интеграла.
Положим, ? = (р-[-б)eia», где 1>б>0; тогда будем иметь:
2л
так как функция ln|z — ^| является гармонической при ]z|<Cp+6-
Покажем, что
j |eie—^| = ln|reie-Co|- D 1:5)
б-t-O 6-+0

218 ГАРМОНИЧЕСКИЕ И СУБГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
С этой целые рассмотрим разность
р2 — Г2
[ГЛ. 6
ао—я
—2rpcos(a —6)
da, (г < р)
(при замене пределов интеграла мы воспользовались периодич-
периодичностью подинтегральной функции).
Заметим неравенство: | peia — ?|> | peia — to|. Оно очевидно,
если peia = ?0; если же peia=??0, то точки peia, ?0 = peia°
и ? = (р + 6) ela<> являются вершинами треугольника, в котором
угол при вершине ?0 тупой (предлагаем читателю сделать чертеж),
откуда и вытекает требуемое неравенство. Поэтому
0<1п
= 1п
< In A +
Со—С
2psin
_
|a-gp|
Г1 I'
2p|a-a0
Далее,
следовательно,
0««?rsr
—2rpcos(a —
р — г
ао-л
я р —/
Пусть е>0; тогда можно подобрать число а, 0<Сст<л, так,
чтобы было:
р —
я р—г
далее, при фиксированном а имеем:
р — г
2ро р — г
«ели б достаточно мало: б<60(е).
Итак,
0<d<8 при б<бо(е),
откуда и следует соотношение D.1 :5).

§ 4]
ФОРМУЛА ПУАССОНА — ИЕНСЕНА
219
1
2л
Так как |?а[ = Р (k = n(p)+\, ..., n(p)+v), то, в силу D.1 : 5):
2л n(p)-f-v
2 H*ln|peta-bi|
Р2 — г2
О n(p)+l
p2_|_r2_2/-pcos(a—6)
da =
n(p)+v
In I ««-
поэтому равенство D.1 :4) принимает вид
2л п(р)
О
Мы доказали, следовательно, что формула D.1 : 1) справедлива
и тогда, когда на окружности | г \ = р лежат логарифмические
полюсы функции и {г, 8). Заметим, что для каждого из них
In
•B-Sft)
Р2-?
In
= 0
.., v(p)
Поэтому в правой части полученного соотношения суммирова-
суммирование можно распространять также и на логарифмические полюсы,
лежащие на окружности |г| = р. Иными словами, в общей фор-
формуле D.1 : 1) функцию v(p) можно, с одинаковым правом, истол-
истолковывать как дающую количество логарифмических полюсов
в открытом круге |.г|<р или в замкнутом круге |2|<[р. Очевидно,
аналогичные заключения справедливы и для всех частных случаев
формулы D.1 : 1).
Займемся формулой D.1 : 3'); полагая в ней 2 = 0 (т. е. г = 0)
и замечая, что
/(г)
@)
получим:
о
или
= In
2+..-,
2л
п(р)
п(р)

220
ГАРМОНИЧЕСКИЕ И СУБГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. 6
Очевидно, правая часть формулы возрастает при возрастании р,
так как возрастает каждый множитель произведения , р . > ],
а для некоторых значений р = р0, а именно, тех, для которых
на окружности |г| = р0 лежат нули функции f(z), увеличивается
и количество множителей под знаком произведения. Поэтому
возрастает и левая часть произведения, и мы получаем, что
среднее значение логарифма модуля аналитической функции есть
неубывающая функция радиуса окружности, по которой берется
среднее.
Из формулы D.1 : 6) заключаем, обозначая max | / (peia) \
через -М(р), что ¦ ~ -
In
откуда
РП(Р)
Мр)
D.1:7)
Это неравенство, связывающее нули аналитической функции,
лежащие в круге |z[<p, и максимум модуля функции на окруж-
окружности |г| = р, называется неравенством Иенсена.
Неравенство это можно переписать в иной форме. А именно,
напишем тождество
1 Д2 1
|П(Р)
-i
„"(Р)
ап(р) |
| а2 |
Логарифмируя обе части, получим:
р»(р)
= 1п
«2
at
+ 2 In
+n(p)ln
\Ч) \з\
4-
(n(p)-l)dr
Р
lan(p)|
га (р)
Замечая, что числовой множитель k в числителе дроби под зна-
знаком интеграла в пределах от | ah \ до | aft+11 совпадает со значе-
значением функции п(г), сохраняющей это значение во всем полуин-

§ 4] ФОРМУЛА ПУАССОНА — ИЕНСЕНА 221
тервале \ah|-<r<|aft+i|. получаем равенство:
Рп(р)
а„(р) |
|аз| 1ап<р>' Р
- ' - ' - ' - ' ~ n(r)dr
In -j—j-5—: p =
L \at\ ... \ an(p) I J
la2l |<*3|
Р
я (г) dr
Так как /г (г) = 0 при г<|а1|, —не забудем, что мы условились
не учитывать нуля в начале координат при подсчете количества
нулей в круге |г|<1г,—то в последнем интеграле можно положить
нижний предел равным 0. Получаем окончательно:
Т ( D1:8)
^ \ah\ L | at f ... | anip) | J
и, следовательно, неравенство Иенсена примет вид
p
n{r)dr<ln
D.1:9)
В такой форме видно, что неравенство Иенсена выражает связь
между возрастанием количества л (р) нулей функции в круге
радиуса р и возрастанием максимума модуля функции М(р),
причем рост п (р) в среднем ограничивается ростом М(р).
4.2. Возвращаясь к соотношению D.1:6), рассмотрим его
в применении к функциям, аналитическим в круге конечного
радиуса: \z\<iR. <oo. Из того, что среднее значение логарифма
модуля аналитической функции / (z) ф. О является неубывающей
функцией радиуса той окружности, по которой берется среднее,
следует, что всегда существует конечный или бесконечный предел
2л
litn -r—\ In | / (peia) | da.
и
Изучим свойства функций, удовлетворяющих условию
lim J_ С ln|/(peta)|da<oo. D.2:1)

222 ГАРМОНИЧЕСКИЕ И СУБГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. 6
Условие это выполняется, например, в случае, когда функ-
функция f (z) ограничена по модулю в круге |г|<^:
в этом случае предел D.2: 1) не превосходит \пМ. Однако усло-
условие D.2: 1) может удовлетворяться и для весьма многих неогра-
неограниченных функций. Фактически D.2:1) является условием, нало-
наложенным на одни только нули функции, а именно, из формулы
D.1:6) вытекает, что указанное условие эквивалентно условию
"(р)
ограниченности сверху In Д . р , или (в силу того, что —?-у > 1
"(р)
и, следовательно, In JJ у^—р>0)—ограниченности самих произ-
1
"(р)
ведений 17 . . Но последнее может иметь место в двух слу-
чаях. Во-первых, когда общее число п нулей функции / (г) в круге
| z|< R конечно и, следовательно,
п(р) и
П -?-<¦ ГТ R
11 |ЯА| ^П \ak\ •
1 1
Во-вторых, когда множество нулей функции f (z) является беско-
нечным, но произведение ТТ -,—г сходится. В самом деле, из схо-
димости этого произведения следует, что
П(р) И(Р) оо
для всех p<.R. Обратно: если
п(р)
для всех р <С R, то для произвольного натурального п будем иметь,
при л(р)>л (п(р)-^оо, если р—>R):
и(р)

§ 4] ФОРМУЛА ПУАССОНА — ИЕНСЕНА 223
откуда
Так как последнее соотношение справедливо при любом л, то
из него следует сходимость бесконечного произведения JJ -j—
j
Итак, условие D.2: 1) означает либо конечность числа множи-
множителей в произведении ТТ -,—г, распространенном на все нули
функции /(г), лежащие в круге \z\<^R, либо сходимость этого
произведения в случае, когда оно бесконечно.
Рассматривая конечное произведение как частный случай сходя-
сходящегося произведения (подобно тому, как конечная сумма есть
частный случай сходящегося ряда), получаем:
Условие D.2:1) выполняется тогда и только тогда, когда
произведение JJ -:—г-, распространенное на все нули функции f (г),
лежащие в круге \z\<CR, сходится.
Наконец, условие сходимости произведения можно заменить
R R
условием сходимости ряда. Представим-|—г в виде-j—г=1 +
-) , , очевидно (см. т. I, п. 4.3 гл. третьей), произведение
nR
1—г сходится тогда и только тогда, когда сходится ряд
2 Та Т " "^° если п0СлеДний не есть конечная сумма, то
>R при й—>оо, и, следовательно -g- <С | «д |, начиная с неко-
некоторого номера. Тогда имеем:
Отсюда видно, что сходимость ряда 2 — | эквивалентна схо-
сходимости ряда 2 (R — |ай|)' представляющего, очевидно, сумму
расстояний нулей ak функции /(г) до окружности |z| = #. Итак,
мы получили следующее предложение:
Условие D.2: 1) выполняется тогда и только тогда, когда
сумма расстояний нулей функций f (z) до окружности \ z \ = R
образует сходящийся ряд, т. е.
|а*|)<оо D.2:2)

224 ГАРМОНИЧЕСКИЕ И СУБГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. 6
(в частности, когда f{z) имеет лишь конечное число нулей в круге
\z\<R).
Не следует забывать, что все изложенное выведено в предпо-
предположении, что / (г)=?0. Поэтому, если известно, что условие D.2 : 1)
выполнено для функции f (z), но эта функция обращается в нуль
в некоторой последовательности точек {?д}, для которой ряд
2 (R — ?а I) расходится, то отсюда должно следовать, что / (г) =• 0.
В самом деле, допуская противное, мы пришли бы к заключению,
что сходится ряд D.2:2) и потому должен сходиться и ряд
2G? — | ?д |), составленный из части членов ряда D.2:2), что,
однако, противоречит условию.
Можно ли на основании этого замечания утверждать, что для
функций, удовлетворяющих условию D.2:2), имеет место следую-
следующая теорема единственности:
Две функции / (z) и ср(z), аналитические в круге |z|<;/?
и удовлетворяющие условию D.2:1), совпадают между собой
во всем круге |г| <.R, если их значения совпадают в точках неко-
некоторой последовательности {?&}> для которой ряд 2(#— I ?а |) Рас~
ходится?
Такая теорема, действительно, была бы справедлива, если бы
и разность f (г) — ф(г) всегда удовлетворяла условию вида D.2: 1).
Простой пример показывает, однако, что формулированное выше
предложение неверно. Поэтому неверно и только что сделанное
замечание.
Рассмотрим, в самом деле, функции / (г) = ехр г^- и cp(z) =
щ'
= ехр ——г- , очевидно, аналитические в единичном круге и не имею-
имеющие в нем нулей. Вследствие отсутствия нулей, для каждой из них
должно выполняться условие вида D.2:1). Однако их разность
/ (г) — ф (z) = 2/ sin "_ , также аналитическая в единичном круге
и обращающаяся в нуль в точках z^=l—j-(k = l, 2, ...), для
оо оо
которых ряд 2М— 0—f) ' Т- е' 2 Т Расх°Дится> не есть
1 1
тождественный нуль. Отсюда следует, что для этой разности
условие D.2:1) не может выполняться. В пункте 5.1 мы еще
вернемся к затронутому здесь вопросу и выделим такой весьма
широкий класс N функций, удовлетворяющих условию D.2:1),
для которого разность двух функций класса Af принадлежит
тому же классу.
Теорема, доказанная выше, утверждает, что для функции,
удовлетворяющей условию D.2: 1), ряд D.2:2) сходится. Однако

§ 4]
ФОРМУЛА ПУАССОНА — ИЕНСЕНА
225
она оставляет открытым вопрос о том, можно ли рассматривать
любую последовательность {?&}, удовлетворяющую условию D.2:2),
как совокупность всех, принадлежащих кругу |z|</?, нулей,
некоторой функции f(z), подчиненной условию D.2:1). Покажем,
что этот вопрос решается утвердительно; а именно, справедливо
следующее предложение:
Теорема. Для любого целого неотрицательного числа к
и для любой последовательности точек {?А} такой, что \ t,h | <
<:|?А+1| и ряд
сходится, существует функция b(z),
аналитическая в круге z\<^R, модуль которой не превосходит 1
в этом круге и совокупность нулей совпадает с точками
О, ..., О ?j, ?2, ...,?„,... D.2:3)
Для доказательства образуем произведение:
Очевидно, что Ь„ (z) имеет нули в точках 0, . .., О, ?lf ..., ?п
т~
и только в этих точках. Кроме того, она является непрерывной
при |z|<!i?, аналитической в круге \z\<CR и модуль ее обра-
обращается в единицу при \z\-R. Следовательно, во внутренних
точках круга удовлетворяется неравенство
Заметим, что произведение D.2 : 4) является частичным произ-
произведением для бесконечного произведения
D.2:5)
общий член которого можно представить в виде
Очевидно, для |z|<Ir<</? выполняется неравенство
_ R [ Ik \ + г | Ik I ^ R + r R + r
\ \r) R2 — Rr R(R — r) '
и так как по условию ряд 2 (R — |?ft|) сходится, то сходится
и ряд 2|МЯ-|?а|)|.
'15 А. И. Маркушевич

226 ГАРМОНИЧЕСКИЕ И СУБГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. 6
Отсюда вытекает, что бесконечное произведение D.2:5) абсо-
абсолютно сходится (т, In. 4.3 гл. третьей) и представляет в круге
| z | <С R аналитическую функцию b (z), нули которой совпадают
с заданными точками:
к
Остается заметить, что
Ь(г) = ПтЬп(г)
и, следовательно,
Итак, требуемая функция построена. Она называется функ-
функцией Бляшке (или произведением Бляшке), соответ-
соответствующей данной последовательности нулей.
Рассматривая произвольную функцию / (z) ф. О, удовлетворяю-
удовлетворяющую условию D.2 : 1), и составляя для ее нулей соответствующую
функцию Бляшке Ь (г), найдем, что функция g (z) = ¦—- является
аналитической в круге | z | <C R и не имеет в нем нулей.
Итак, для каждой функции / (z) ф 0, удовлетворяющей усло-
условию D.2:1), получаем следующее представление:
i[ R[^ ?yuz , D.2:6)
где функция g(z) не имеет нулей внутри круга \z\<.R, а у функ-
функции b (z) все нули — общие с / (г) и по модулю она не превосхо-
превосходит единицы в круге \z\<.R- Формула D.2:6) для функций,
удовлетворяющих условию D.2:1), играет такую же роль, как
и разложение многочленов на линейные множители.
§ 5. Функции ограниченного вида
5.1. Пусть h (z)—действительная функция, определенная в неко-
некоторой области. Обозначим через h+ (z) функцию, совпадающую
с h(z) в точках, в которых /i(z)>0, и равную нулю там, где
h (z) < 0. Аналогично, /г (г) будет функцией, совпадающей с —h (z)
в точках, в которых ft(z)<;0, и равной нулю там, где h(z)>0.
Очевидно,
Если h(z) — субгармоническая функция в области G, то и h+(z)
является субгармонической в той же области. В самом деле, для

5]
ФУНКЦИИ ОГРАНИЧЕННОГО ВИДА
227
каждой точки z0 ? G и всех достаточно малых р выполняется нера-
неравенство
2л 2я
о о
Если /z(z)>0, то h*(z) = h(z), и мы получаем:
2я
Но это соотношение остается в силе и для точек, в
/г(г)<0, так как в них ft+(z) обращается в нуль. Итак,
субгармоническая функция.
Из доказанного вытекает, что неотрицательная
ln+|/(z)|, где /(z) —функция, аналитическая в области G,
субгармонической в этой области.
Пусть G есть круг |z|<#; предполагая, что /(г)^0
ставляя ln|/(z)| в виде ln+|/(z)| — ln~| f(z) \, перепишем
D.1 : 6) в виде
2л
±1 ln+|/(pe««)|da =
которых
h+(z)~
функция
является
, и пред-
предформулу
= ln
Из этой формулы вытекает, что
2л
о о
и поэтому ограниченность интеграла
2л
означает, что
а поэтому и
E.1:1)
-Я1пр,
2л
о
2я
i I lln
о
da < + oo.'
15*

228 ГАРМОНИЧЕСКИЕ И СУБГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. 6
С другой стороны,
2л
0
Итак, условия
Tim
P-kR
И
Tim
р^Е
очевидно, что
(ре*«)
2л
ш 1
0
2я
0
2л
da^C-rj— \
0
1п+ | / (ре-) |
ln|/(pe»)i
In
da
da
f(
<
<
ре
oo
oo
E.1:2)
E.1:3)
эквивалентны, если / (z) ф. 0.
Мы будем обозначать через N совокупность всех функций,
аналитических в круге \z\<.R, и в случае, когда {(г)фО, удо-
удовлетворяющих условию E.1 :2) или E.1 : 3), и называть ее клас-
классом функций ограниченного вида. Класс этот был
введен А. Островским и братьями Р. и Ф. Неванлинна.
Очевидно, каждая функция класса N удовлетворяет вместе
с тем и условию D.2: 1) так, что для f(z)?N ряд
где ak — нули функции /(г), всегда сходится. Однако класс N
составляет лишь правильную часть класса функций, подчиненных
условию D.2 : 1). Это можно видеть из непосредственного подсчета,
убеждаясь, например, в том, что функция / (г) = ехр у-^— в еди-
единичном круге удовлетворяет условию D.2 : 1), но не удовлетворяет
условию E.1:2). В самом деле, функция —^/B) = -^—-
является аналитической в единичном круге, а следовательно
Inj / (р^) | = -Im [ILn
есть функция, гармоническая в единичном круге. Поэтому
2л
независимо от р, и условие D.2: 1) выполнено (вообще оно выпол-
выполняется для всех функций, не имеющих нулей). С другой стороны,
функция ln+|/(peia)| равна в данном случае ln|/(peia)|, если

§ 5] ФУНКЦИИ ОГРАНИЧЕННОГО ВИДА 229
О<<%<;я, и равна нулю, если я<Сос<;2л;. Следовательно,
2л- ч
2л J I / \" )\ 2я J 1 +р2—2р cos a
О О
^>oo при p-*l,
т. е. условие E.1 :2) не удовлетворяется.
Покажем, что если функции /(г) и ф (г) принадлежат классу Af,
то и /(г)±ф(г), а также /(.г)ф(.г) принадлежат к классу N, т. е.
N можно рассматривать как кольцо функций. Так как разность
двух функций, удовлетворяющих условию D.2: 1), может не удо-
удовлетворять тому же условию, то отсюда лишний раз будет сле-
следовать, что класс N составляет лишь правильную часть всей
совокупности функций, подчиненных условию D.2:1). В случае,
когда / (г) + ф (z) или / (z) ф (г) есть тождественный нуль, наше
утверждение очевидно, так как тождественный нуль входит в N.
Пусть /(г)±ф(г), соответственно /(г)ф(г), не равны тождест-
тождественно нулю.
Заметим, что
В самом деле, если | / (г) | < 1 и | ф (г) | < 1, то ln+ (| f (z) \ +
+ |фB)|) < 1П2, а если по крайней мере одно из чисел |/(г)| или
( ф (z) | больше единицы, то
1п[тах(|/(г)|,
Итак,
2я
о
2л 2л
откуда и следует, что f (г) + ф (z) принадлежит N, если / (г)
и ф (г) принадлежат N. Точно так же, замечая, что
(если по крайней мере одно из чисел | ф (z) | и | / (г) | не больше
единицы, то

230 ГАРМОНИЧЕСКИЕ И СУБГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. 6
если же оба числа |cp(z)| и |/(г)| превосходят единицу, то
заключаем, что
2л
IP
¦к—• \ 1п+ [ / (ре*а) ф (peia) | da ^
о
2л 2л
1 Р
ln+1 / (peia) | da + ¦?>— \ 1П+ | Ф (ре*06) | da,
о о
и, следовательно, /(г)-ф(г) принадлежит N, если /(г) и ф(г)
принадлежат Af. Весьма важный подкласс функций ограниченного
вида образуют функции, ограниченные по модулю. Очевидно, что
2л
если | / (г) | < С, то ~ { 1"+ / (peia) I da < ln+ С, т. е. / (г) ? N. Функ-
О
ции, ограниченные по модулю, составляют подкольцо класса N.
Из того, что разность двух функций класса N принадлежит
тому же классу, следует, что если две функции f (z) и ф(г)
класса N принимают одинаковые значения в точках последова-
последовательности {?„}, для которой ряд 2 (R — |?ftl) расходится (если
t,k — р-кратный нуль f (z) — ф(г), то соответствующее слагаемое
повторяется р раз), то / (z) = <f(z).
Действительно, рассуждая от противного и допуская, что
f (z) — ф (z) ф. О, получим функцию класса N, для которой сумма
расстояний ее нулей до окружности | z | = R образует расходя-
расходящийся ряд, что невозможно. Итак, / (z) — ф (z) = 0.
Заметим, что ряд S(^ —|?а|) необходимо расходится в слу-
случае, когда последовательность {t,h} имеет по крайней мере одну
предельную точку ?0 внутри круга \z\<CR, так как в этом слу-
случае не выполняется необходимое условие сходимости ряда. Тогда
наше утверждение представляет специальный случай внутренней
теоремы единственности (т. I, п. 6.1 гл. III). Но если ни одна
из предельных точек последовательности {?д} не принадлежит
кругу |г|<С^, то упомянутая теорема неприменима.
Мы видим, что для функций класса Af получается теорема
единственности, справедливая при более общих предположениях
относительно того множества, на котором указано равенство зна-
значений /(г) и ф(г), чем внутренняя теорема единственности.
5.2. Докажем, что класс N совпадает с совокупностью всех
аналитических в круге | ? | <; /? функций, допускающих представ-
представление в виде частного двух аналитических ограниченных по

§ 5] ТЕОРЕМА НЕВАНЛИННА 231
модулю функций
Отсюда понятна важная роль класса jV в теории функций, а так-
также наименование функций этого класса функциями ограниченного
вида; теорема эта принадлежит Неванлинна.
Для доказательства рассмотрим какую-либо функцию / (z)
класса N. Пусть {р„} —возрастающая последовательность поло-
положительных чисел, сходящаяся к R. Построим для каждого рп
непрерывную в замкнутом круге |z|-<pn и гармоническую внутри
этого круга функцию un(z), которая в точках окружности | z | = р„
совпадает с 1п+|/(.г)|. В силу теоремы 2 п. 3.1, ип (z) будет гармо-
гармонической мажорантой для 1п+1 / (z) | в круге | z | < р„. Кроме того,
ип (г) неотрицательная в этом круге, так как она принимает неот-
неотрицательные значения на окружности | z \ — р„. Убедимся в том,
что unH(z)>un(z) во всех точках |z|<pB. Действительно, un+i (z),
являясь гармонической мажорантой для 1п+1 / (г) | в круге | z | <
э„+1, превосходит значения ln+ \f(z)\ = un (z) в точках окруж-
= р„, а следовательно, является мажорантой для ип (z)
ности
в круге
.Рп-
Для значений функций un(z) в начале координат имеем:
2л 2п
"п @) = 2тг I Un ('°^а)da="sr Iln+1 ^ (p»eia) Ida'
о о
и так как / (z) принадлежит классу N, то последовательность
ип@) ограничена сверху. Но она является неубывающей последо-
последовательностью и, следовательно, сходится. Поэтому, по теореме
Гарнака (п. 1.4), последовательность гармонических функций
{ип (z)} равномерно сходится внутри каждого круга z <Срт
{т=\, 2, ...), т. е. равномерно сходится внутри круга z <LR.
Предельная функция этой последовательности
«(z)= limun(z)
П-юо
является гармонической и неотрицательной в этом круге (п. 1.4)
и, очевидно, мажорирует в нем функцию ln+|/(z)[, так как для
р„> |z| имеем:
1п+1 / (z) | < «п (z) < un+i (г) < и (г).
Образуем гармоническую функцию v (z), сопряженную с u(z).
Тогда ехр [ — и (z) — iv (г)] = /ц (z) — функция, аналитическая в круге
z | < R, не имеющая нулей и ограниченная по модулю:
^()ll- Далее, для произведения f(z)hi(z), представляющего

232 ГАРМОНИЧЕСКИЕ И СУБГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. 6
собой функцию hz (z), также аналитическую в области | z \ <C R
и имеющую в ней те же нули, что и функция f(z), находим
оценку:
I =|/(г)|ехр[-ы(г)]<ехр[1п+|/B)|-ыB)]<1.
Итак, функция hz(z) также ограничена по модулю внутри круга
\z\<iR, и мы получаем, что f(z)?N представляется внутри этого
круга в виде частного двух ограниченных функций:
причем делитель ht (z) не обращается в нуль в круге [ z | < R.
Докажем, что справедливо и обратное предложение, т. е.
что каждая функция, аналитическая в круге \z\<CR, имеющая
вид E.2:1), где hi{z) и h2{z) — аналитические и ограниченные
по модулю функции, принадлежит классу N. Для доказательства
заметим, что, не ограничивая общности, можно считать
так как к этому случаю (можно всегда прийти, умножая числи-
числитель и знаменатель дроби E.2.1) на одно и то же достаточно
малое положительное число. Представим hx (z) и h2 (z) по формуле
D.2 : 6) в виде
hl(z) = bi(z)gi(z) и hz(z) = b2(z)g2(z),
где 6j (z) и b2 (z) — соответствующие функции Бляшке. Так как
где b?,n{z) есть рациональная функция вида D.2:4), нули которой
содержатся среди нулей h2 (z) и модуль которой обращается в еди-
единицу на окружности | z | = R, то
= lim -^~ и lim
n (г)
Из последнего неравенства вытекает, что
1 при всех л
гп()
и, следовательно, |g2(z) |< 1 в круге \z\<.R. Разумеется, то же
заключение справедливо и для gi(z). Так как все нули функции
bi{z) заключаются среди нулей функции Ьг(г) (иначе f(z)-—
= Jy. имела бы полюсы в некоторых нулях функции bi(z), т. е_
Jy.
в нулях знаменателя ht (z)), то функция ь2 ,^1 является аналити-

§ 5]
ТЕОРЕМА НЕВАНЛИННА
233
ческой в круге \z\<cR. Ее можно представить в виде предела
последовательности:
(г) J
Ь2п (г)
где каждая из рациональных функций ; : является аналитиче-
ской в круге 121 < R и равна единице по модулю в точках окруж-
окружности \z\ = R. Поэтому тгЧ§ ^1 в кРУге lzl<# и> следова-
следовательно,
(г)
<1 в этом круге. Полагая -^~- = b(z), перепи-
E.2:2)
шем формулу E.2: 1) в следующем виде:
Ь (г) g2 (г)
8lB) '
где каждая из функций b B), g2 B) и gi(z) не превосходит по
модулю единицы, причем gt B) не имеет нулей внутри круга
\г
R.
Следовательно,
и 1п+ | / (г) | = 1п+
I 8i
¦=1п
1
Поэтому
2л
2я
2Я
likl ln
О
da = In
8i (г) I
1
(Мы воспользовались здесь тем, что-In-
ническая в круге
1
8i @)
функция, гармо-
Из последней оценки вытекает, что
f B) принадлежит классу N, чем и заканчивается все доказа-
доказательство.
Очевидно, функции класса N могут и не быть ограниченными
по модулю. Простой пример для случая единичного круга дает
функция f (z) = ехр -j (k > 0); при z = x >• 0, стремящемся к точке
1 — Z
z=l, она стремится к бесконечности. Перепишем ее в виде
1 1
ехр
(г)
Здесь
ехр
cos a —

234 ГАРМОНИЧЕСКИЕ И СУБГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. 6
так как , ,p!°s!~ <0 при р<1. Итак, мы обнаружили, что
' т Р — zp cos a '
/ (z) есть частное двух ограниченных функций (в этом примере
Л2(г)==1); следовательно, f(z) принадлежит классу N.
Этот пример показывает, что для некоторых функций класса N
максимум их модуля М (р) может расти при р —*• R, как
h
(
(в нашем примере R=\ и.М(р) = max
exp
1—г
Полезно заметить, что для каждой функции класса N можно
указать такое положительное число k, что для М (р) будет выпол-
выполняться неравенство
h
Ж(р)<е«-р. E.2:3)
В самом деле, при доказательстве первой части теоремы этого
пункта мы установили существование неотрицательной гармони-
гармонической функции u(z), являющейся мажорантой для 1п+|/(г)| и,
a fortiori — для ln|/(z)|. Поэтому для р',р<р'<# будем иметь:
Jn I / (peia) I <ы (peia) =-^~<{ u(p'eia')—-„ , „ ^Г^ , , т
\i \v i \~^> \v i 2л J vr '¦ p 2 + p2 — 2p'pcos (a—a)
0
79 . ^(u(pe)da = K
2 — 2pp 2л J vr ' p — p
0
Так как это неравенство верно для любого р' < R, то здесь можно
перейти к пределу при р' —*• R, откуда
¦следовательно,
In М (р) = max In | / (рв*«) | < ™*
0^а;?2л К —
и, окончательно,
к
где K = ()
Из этого результата следует, например, что функция
не может принадлежать классу Af ни при каком
(Я-г)'
€>0, так как для нее

§ 6] ГРАНИЧНЫЕ СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ ОГРАНИЧЕННОГО ВИДА 235
Полученное нами неравенство вида E.2:3) дает только необ-
необходимое условие для принадлежности функции классу N. Оно
отнюдь не является достаточным, как показывает пример функ-
функции ехр /^ , не принадлежащей классу N (см. стр. 228), но
удовлетворяющей условию
§ 6. Граничные свойства функций ограниченного вида
6.1. В этом параграфе мы рассмотрим граничные свойства функций огра-
ограниченного вида в круге |г|<#, т. е. свойства, связанные с поведением функ-
функции /(г), при условии, что г приближается к точкам окружности Гд : \z\=R.
Пусть сначала / (г) —функция, аналитическая в круге Kr : | z | < R и огра-
ограниченная по модулю: | / (г) | <; М.
Используя формулу Пуассона A.2:4), найдем:
2л
/ (««)-/ @) = ± I U (peia)-/@)] p2_2rpPCo^2_9) + r2 da,
о
r<p<R.
2л
Интегрируя по частям и замечая, что \ [/(ре*а) — / @)] da = 0, получим:
0
2я а
2rp(p2—r2)sin(a —6)
Положим:
: (peil)— / @)] dt = Fp (a); F.1:1)
тогда
2л
2 — г2) sin (a — 6)
Очевидно, что ядро последнего интеграла есть производная ядра Пуассона
по параметру а. Заметим, что семейство функций {Fp (a)}, 0< p<C^R, в наших
условиях равностепенно непрерывно:
а2
|
f(pelt)dt
<М|а2—

236 ГАРМОНИЧЕСКИЕ И СУБГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. б
кроме того, оно удовлетворяет условиям:
Fp@) = FpBJi) = 0. F.1:3)
Следовательно, существует последовательность {р„}, P7i<pn+i> Рп -*¦ R*
такая, что {F (а)} равномерно сходится на сегменте [0, 2л] к функции
F (а), удовлетворяющей условиям:
|F(a2)-F(a1)|<M]a2-a1|, F@)=F Bя) = 0. F.1:4)
Очевидно, что F (а) можно продолжить на всю числовую ось как непре-
непрерывную периодическую функцию с периодом 2л.
Переходя к пределу в формуле F.1:2) (по последовательности {рп}),
получим:
2л
Мы воспользуемся этой формулой для изучения радиальных граничных значе-
значений функции / (г), т. е. значений
lim/(reie).
T-+R
Докажем, что lim / (rei9) существует для каждого 80, для которого F (8) имеет
г-кй
производную F' Fо) = Л (ф со). Не ограничивая общности, можно считать
60 = 0, так как к этому приводит поворот: z=^?et9°.
Применим формулу F.1 :2) при р = Я к функции / (re19) =-Q-ret9; заме-
замесе
чая, что в этом случае Fr(<x) = A \ elt dt = —^ (eia—1), найдем:
о
2л
A ia ,, ЗД/-(Яг_/-гMщ(а-6) ,
Т
о
Вычитая F.1 : 5') из F.1 :5) почленно, будем иметь:
¦а 2л
А
где F0(a) = F(a) —(ега—1) удовлетворяет условиям:
F0@) = F0Bji) = 0 и FJ(O)=O. F.1:7)
Положим 6 = 0 и, пользуясь периодичностью F0(a), перепишем F.1:6)
в виде:
i ^ I F0(a)

§ 6] ГРАНИЧНЫЕ СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ ОГРАНИЧЕННОГО ВИДА 237
В силу F.1 : 7) для любого е>0 существует такое 6>0, что \F(a)\<C
< е | а I при I а |< о. Разобьем интеграл в правой части формулы F.1 : 8) на
-6 б я
IP 1 Р 1 Р
три слагаемых: -п— \ , тгг \ > 'о~я" \ ¦ Очевидно, что первое и третье из них
-я -6 в
стремятся к нулю, когда г —>-/?. Что касается второго, то его (используя
интегрирование по частям) можно оценить следующим образом:
б 6
1 С 2Rr(Ri — r2) sin a e &(R2 — r2)
J + * — 2Rr cos a+ /-2 da~e-
-6 -я
Вследствие произвольной малости е заключаем из формулы F.1 : 8):
Umf(r) = f@) + A, F.1:9;
что и требовалось доказать.
Остается заметить, что функция F (а) удовлетворяет условию Липшица
{6.1:4) на отрезке [0, 2я] и, следовательно, имеет конечную производную
почти всюду на этом отрезке (см., например, И. П. Натансон, Теория функ-
функций вещественной переменной, изд. 2-е, переработанное, М., 1957, гл. IX).
Итак, мы доказали следующую теорему Фату: функция /(г), анали-
аналитическая и ограниченная по модулю в круге \ г |< R (< + со), имеет ради-
радиальные граничные значения почти всюду на окружности \z\ = R.
Иными словами, множество точек этой окружности, в которых радиальные
граничные значения не существуют, можно заключить внутрь системы дуг
(конечной или бесконечной, счетной) со сколь угодно малой суммой длин.
Обозначим lim / (гегв) = f (Re1®); тогда по формуле F.1 : 9)
r-*R
почти всюду на сегменте [0,2я].
Поэтому для функции F (а.) (абсолютно непрерывной, в силу F.1 : 3)) полу-
получаем представление
о
Подставляя в формулу F.1 : 5) и интегрируя по частям, найдем:
2я
. R2 — r2
l [/№-)-/@)] fi,-2firco,(a
о
2я
D2 f2
Следовательно, аналитическая, ограниченная по модулю функция / (гегв) выра-
выражается через свои радиальные граничные значения интегралом Пуассона (интег-

238
ГАРМОНИЧЕСКИЕ И СУБГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
[ГЛ. 6
рал следует здесь понимать в смысле интеграла Лебега). Этот результат был
также отмечен П. Фату. Впоследствии (Ф. Рисе) он был распространен на
класс #1( определяемый как класс аналитических функций / (г), для которых
2я
0<r<R.
Можно показать, что класс #j содержится как правильная часть в классе всех
функций ограниченного вида.
6.2. Теорему Фату можно дополнить, доказав, что для ограниченной по
модулю аналитической функции f (г) существуют почти всюду на Гд : | z | = R
Рис. 34.
не только радиальные, но и угловые граничные значения. Точнее говоря, мы
докажем, что если из точки Re °, в которой ограниченная функция / (г) имеет
радиальное граничное значение А, провести две любые хорды окружности Гд,
то в криволинейном треугольнике Д (рис. 34, а), ограниченном этими хордами
и соответствующей дугой Гд, выполняется соотношение:
lim f{z) = A.
z-+Reieo
г?А
Произведем конформное отображение круга | г |< R на верхнюю полуплоскость
так, чтобы Гд перешла в действительную ось, точка Rel9° — в начало коорди-
координат, а диаметрально противоположная точка — в бесконечно удаленную точку.
Тогда диаметр окружности Гд, проходящий через /?ег9°, перейдет в мнимую
полуось, а область Л — в некоторую область Л, изображенную на рис. 34, б).
Очевидно, что наше утверждение будет вытекать из следующей теоремы:
Пусть f (г) — функция, аналитическая и ограниченная по модулю
(!/(гI*СМ) в верхней полуплоскости. Если существует lim f (iy) = А, то
v-*0
в любом угле D, образованном двумя лучами верхней полуплоскости, выходя-
выходящими из точки г = 0, существует предел: •
lim f (г) = А.
Доказательство. Не ограничивая общности, можно считать А = О
(достаточно заменить f (г) через /(г) — А). Докажем теорему сначала в част-
частном случае, когда угол D ограничен биссектрисами первой и второй коорди-

§ 6]
ГРАНИЧНЫЕ СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ ОГРАНИЧЕННОГО ВИДА 239
\^ s.
X' ff
S
G
U /
?—- '^o7'
Рис. 35.
натных четвертей. Пусть е —какое-либо положительное число. Выберем 26 > О
так, чтобы выполнялось условие: |/(и/)|<е, если 0<*/<26. Для любой
внутренней точки z0 = x0-\-iyo треугольника POQ (рис. 35) квадрат TZ(j: \х —
— хо I < I *о I. I У — Уо I «С I хо I будет, очевидно, принадлежать верхней полупло-
полуплоскости, причем одна из его сторон будет лежать на отрезке OS мнимой оси.
Это означает, что на стороне CF квадрата | / (г) |< е, а на каждой из трех
остальных — меньше М.
Подвергнем теперь плоскость г последовательным преобразованиям пово-
рота на угол —- в положительном направлении вокруг точки 2q. В резуль-
результате / (г) будет последовательно переходить в функции /4 (г), /2 (г), /з (г),
/4 (г) = / (г), ... Все они будут ана-
аналитическими в TZQ функциями,
причем на каждой из сторон
Тго модуль одной из них будет
меньше е и модули остальных мень-
меньше, чем М. Образуем произведе-
произведение: F (г) = /4 (г) • f2 (г) • /3 (г) • /4 (г);
так как /}(z0) = f (г0), /=1,2,3,
4, то по принципу максимума мо-
модуля \F (z0) | = | / (z0) I4 <M3-e,
т- е. |/(г0) | < УМ3/*-е1/4. Эта
оценка выполняется равномерно в
каждой внутренней точке треуголь-
треугольника POQ; поэтому, в силу непре-
непрерывности /(г), она будет распространяться и на все точки контура (кроме быть
может точки О) Итак, | / (г) | <; УИ3/4е1/4, если г ? POQ (г Ф 0); отсюда и
следует, что Нт/(г) = 0, когда z стремится к 0, оставаясь внутри или на
сторонах угла POQ. В частности, Игл /(г) = 0, когда г стремится к 0 по лучам
QO или РО.
Рассмотренный частный случай можно, очевидно, формулировать в следую-
следующем виде: если / (г), аналитическая и ограниченная по модулю в некотором
угле с вершиной в точке 2 = 0, стремится к 0, когда г —*- 0, оставаясь на бис-
биссектрисе угла, то эта функция имеет тот же предел 0, когда z -»- 0, оставаясь
в угле вдвое меньшего раствора с той же биссектрисой. В самом деле, кон-
конформно отображая данный угол на верхнюю полуплоскость (точка г = 0 оста-
остается при этом неподвижной), сведем этот случай к только что рассмотренному. Но
тогда, из того, что lim/(z)=0 на лучах OQ и ОР, выводим, что lim /(г) = 0,
когда г —>- 0, оставаясь внутри и на сторонах угла P'OQ', образованного'
биссектрисами углов QOX и РОХ', далее — внутри и на сторонах угла P"OQ",
образованного биссектрисами углов Q'OX и Р'ОХ', и т. д. Этим и заканчива-
заканчивается доказательство теоремы.
6.3. Докажем теперь следующую теорему единственности для граничных
значений ограниченной аналитической функции:
Теорема братьев Рисе. Если радиальные граничные значения функ-
функции f {г), аналитической и ограниченного вида в Kr'. \z\<^R, обращаются
в нуль на множестве ?r точек окружности Тц:[г\ = Я, имеющем положи-
положительную меру, то f (г) = 0.
Будем доказывать теорему от противного. Пусть / (г) ф 0; предположим
еще, что f @) ф 0 |если /(г) имеет fe-кратный нуль в точке г=0, то вместо-
/(г) можно рассмотреть | . Обозначим через % множество всех точек а
г'* /

240 ГАРМОНИЧЕСКИЕ И СУБГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. 6
на сегменте [0, 2я]), соответствующих точкам Reia?En; очевидно, что
mes % ^>0(Rmes'6 = mes Er). Так как по условию теоремы:
lim f (peia)=O,
то, по теореме Д. Ф. Егорова (см. И. П. Натансон, Теория функций веще-
вещественной переменной, гл. четвертая, § 3, изд. 2-е, 1957), существует замкну-
замкнутое множество %'С%, имеющее также положительную меру, на котором
семейство функций от а: {/ (peia)} равномерно стремится к 0, когда р —> R.
На таком множестве ^'.семейство J 1п+ I будет равномерно стре-
I | / (ре**) | J
миться к со. Поэтому
2я
также стремится к со при р —у- R. Но мы видели в п. 5.1, что из условия
2я
р-»Д о
характеризующего функции ограниченного вида, следует, что
2я
1
lim
im ^Г \ln-\f(peia)\d0L
Из полученного противоречия вытекает справедливость доказываемой теоремы
¦единственности.
Теорема эта впервые была доказана братьями М. и Ф. Рисе в 1916 г.
(опубликована в 1918 г.). Независимо от них наиболее общие граничные тео-
теоремы единственности были получены Н. Н. Лузиным и И. И. Приваловым
<опубликованы в 1919 г.). Заметим, что если на /(г) не налагать никаких
¦ограничений, то из обращения ее радиальных граничных значений на множе-
множестве точек окружности, имеющем положительную меру, не следует еще, что
сама функция тождественно равна нулю.
6.4. Основные теоремы этого параграфа непосредственно распространяются
на более общий класс функций, за которым сохраняется название класса функ-
дий ограниченного вида (Р. Неванлинна). А именно, назовем функцию /(г),
аналитическую в круге | z | < R, за исключением быть может полюсов, функ-
функцией ограниченного вида, если ее можно представить в виде частного
двух ограниченных по модулю аналитических функций:
Пусть {6д} — последовательность всех полюсов /(г) в круге K.r' \z\<^R, при-
причем каждый полюс повторяется в этой последовательности столько раз, какова
?го кратность. Так как последовательность {Ь&} должна содержаться в после-
последовательности нулей функции А (г) —функции ограниченной по модулю,

§ 6] ГРАНИЧНЫЕ СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ ОГРАНИЧЕННОГО ВИДА 241
ТО
оо
2 (Я-|Ьа|К+оо F.4:2)
А=1
(см. н. 5.1). Мы получили первое необходимое условие, которому удовлетво-
удовлетворяет каждая функция ограниченного вида. Очевидно, что оно тривиальным
образом выполняется для каждой функции, имеющей лишь конечное число
полюсов в Kr и, в частности, совсем их не имеющей.
Далее из F.4 : 1) получаем:
откуда
2Я 2я 2я
^ n+\g{pe™)ldoi+-L^ \n-\h(peia)\da.
О О "О
Так как g (z) ? N и h(z)?N, то отсюда следует (см. 5.1), что
2я
ln+[/(peia)[da< + oo. F.4:3)
Это второе необходимое условие, которому должна удовлетворять каждая
функция ограниченного вида. Покажем, что совокупность этих условий доста-
достаточна для того, чтобы функция / (г) была функцией ограниченного вида, т. е.
допускала представление вида F.4: 1).
В силу условия F.4 : 2) можно построить ограниченную по модулю функ-
функцию hi(z) (произведение Бляшке), которая будет иметь все точки последова-
последовательности {6д} и только эти точки своими нулями (п. 4.2); поскольку | Aj (г) | ^
<^ 1, имеем:
2я
J n+|A1(peia)|da = 0, 0 < р </?. F.4:4)
о
Положим теперь
f(z).hl(z) = g1(z). F.4:5)
По построению g (г) — функция, аналитическая в круге Kr; кроме того:
(см. 5.1) и, следовательно, в силу F.4 : 3) и F.4 : 4):
2я
ИттМ In+\g1(peia)\da<+co. F.4:6)
Отсюда вытекает, что g4 (z) ? N, т. е. (см. 5.2)
Л(г) = -^-. F-4:7)
1" А. И. Маркушевич

242 ГАРМОНИЧЕСКИЕ И СУБГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. 6
где g (г) и /г2 (г) — функции, аналитические и ограниченные по модулю в Kr.
Полагая /г4 (г)-/г2(г) = Л (г), получаем окончательно из формул F.4 : 5) и F.4 : 7):
х(г) '
где g (г) и /г (г) — функции, аналитические и ограниченные по модулю в Kr.
Будем обозначать общий класс функций ограниченного вида, определенный
в этом пункте, буквой А. Класс N, рассмотренный в § 5, является правильной
частью A: NC.A. Очевидно, что N можно охарактеризовать как подкласс А,
объединяющий все аналитические функции, не имеющие полюсов в круге Kr.
Пусть / (г) ? А, причем / (г) ф 0; тогда
где g (г) и Л (г) — функции, аналитические и ограниченные по модулю в Kr,
причем g (г) ф 0 и h (г) ф 0. По теореме Фату g (г) и h (г) имеют угловые
граничные значения почти всюду на окружности Гд: \z\ = R. По теореме
братьев Рисе эти значения почти всюду отличны от нуля. Отсюда вытекает,
что / (г) ? A, f (г) ф 0, имеет почти всюду на Гд угловые граничные значения,
не равные нулю.

Глава седьмая
ЦЕЛЫЕ И МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ
§ 1. Рост целой функции. Порядок и тип
1.1. Целая функция по определению —однозначная аналитиче-
аналитическая во всей плоскости функция. Она представляется всюду схо-
сходящимся степенным рядом
/(z) = ao + a1z+... +anzn+..., A.1 : 1)
где в силу формулы Коши — Адамара
lim V 1 а„ | = 0. A.1:2)
П->эо
В бесконечно удаленной точке целая функция может быть
правильной, тогда / (г) обращается в постоянную, может иметь
полюс некоторого порядка &>1—тогда /(г) обращается в много-
многочлен степени k и, наконец, может иметь существенно особую
точку. В последнем случае она называется целой трансцендент-
трансцендентной функцией. Примерами целых трансцендентных функций
являются показательная функция ег, тригонометрические функции
Sin 2 И COS 2 И Др.
Мы будем здесь заниматься преимущественно целыми транс-
трансцендентными функциями. Важнейшей характеристикой таких функ-
функций служит максимум модуля
M(r) = max|/(z)|.
\г\=г
Это —возрастающая функция от г, удовлетворяющая в силу тео-
теоремы Лиувилля условию
НтУИ(/-) = оо. A.1:3)
Легко видеть, что М (г) (для целой трансцен;ентной функции)
растет быстрее, чем степень г с любым фиксированным показа-
показателем.
Более того, справедливо соотношение
in М (г) ,, , ..
16*

244 целые и мероморфные функции [гл. 7
В самом деле, если допустить, что
In М (г)
то тогда для любого конечного \л'>\л найдется такая последова-
последовательность {гп}, сходящаяся к бесконечности, что для каждого гп
будет выполняться неравенство
\nM{rn)<\i'\nrn, или Л1 (/-
Поэтому для коэффициентов ряда A.1 : 1) получаем в силу нера-
неравенств Коши
Так как гп можно взять здесь сколь угодно большим, то
отсюда следует, что все коэффициенты ряда Тейлора, для кото-
которых k > И*' > И*! равны нулю и, следовательно, / (г) есть много-
многочлен степени не выше, чем [\i] ([\i]— целая часть \i).
Из доказанного следует, что степенная функция г^ непосред-
непосредственно непригодна для оценки роста целой трансцендентной
функции. Поэтому прибегают к наиболее простой из быстро расту-
растущих функций, а именно, к показательной.
Если существует положительное число \л такое, что при всех
достаточно больших г выполняется неравенство
A.1:5)
то целая функция /(z) называется функцией конечного поряд-
порядка. В противном случае, т. е. если для любого ji>0 существуют
сколь угодно большие значения г, для которых М (г) превосхо-
превосходит erV", целая функция называется функцией бесконечного
порядка.
Простейшим примером функции конечного порядка может слу-
служить ez, функции бесконечного порядка — eeZ.
Остановимся на функциях конечного порядка. Рассмотрим
нижнюю грань тех значений \i, для которых неравенство A.1 :5)
может иметь место, начиная с достаточно больших r>r(\i).
Эта нижняя грань называется порядком (подразумевается—¦
порядком роста) целой функции и обозначается через р.
Итак,
Для функций бесконечного порядка полагают р = оо. В силу опре-
определения для любого 8>0 неравенство вида
М(г)<егР+Е A.1 :6>

§ 1] РОСТ ЦЕЛОЙ ФУНКЦИИ. ПОРЯДОК И ТИП 245
должно выполняться при г>#(е); с другой стороны, существуют
сколь угодно большие значения г: г4, г2, ..., гп, ..., удовлетво-
удовлетворяющие неравенству
М (/-„)>/»"'. A.1:7)
Из неравенств A.1:6) и A.1:7) следует, что
>р
для сколь угодно больших г„. Поэтому
Эта формула может служить для определения порядка целой
функции.
Если / (г) имеет конечный порядок р и существует положи-
положительное число К такое, что
М(г)<еКгР, A.1:9)
то говорят, что /(г) есть функция конечного типа. В про-
противном случае, т. е. если для любого К, > О существуют сколь
угодно большие значения г, для которых М (г) превосходит еКгР»
целая функция порядка р называется функцией бесконечного
(или максимального) типа.
Остановимся на функциях конечного типа. Нижняя грань тех
значений К, для которых неравенство A.1:9) выполняется при
достаточно больших г, называется типом целой функции и обо-
обозначается через а. Итак,
a = inf K>0.
Среди функций конечного типа различают функции нормаль-
нормального типа (а>0) и функции минимального типа (а = 0).
Для функций максимального типа полагают а=оо. В силу
определения для любого е>0 неравенство вида
М (г)< е«Н-е)<-р A.1:10)
должно выполняться при r>i?(e); с другой стороны, существуют
сколь угодно большие значения г: ri, г2, ¦¦-, гп, ..., удовлетво-
удовлетворяющие неравенству
(°-е)г". A.1:11)

246 ЦЕЛЫЕ И МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. 7
Из неравенств A.1 : 10) и A.1 : 11) следует, что
—<С о -f- e при t"^> а (б)
In Л/ (гп) _
и >> ст—е для сколь угодно больших гп. Поэтому
' ЯГ,
A.1:12)
Эта формула может служить для определения типа целой
функции.
Очевидно, ё — целая функция порядка р = 1 и типа о = 1. Для
eiz __ e-iz
smz = ——— имеем:
| sh у | < | sin z | < ]/sh2y + sin2%< ch y.
Поэтому
er— 1 r r
sin2
1 |г]=г 2 l
откуда p = 1 и a = 1. Те же значения р и а получаем для cos z.
1.2. Выразим порядок и тип целой функции через коэффи-
коэффициенты степенного ряда A.1:1). Допустим, что /(г) —функция
конечного порядка. Тогда имеем при г^>R = R(K, t-i):
М(г)<еКг*, A-2:1)
где [i > p, а для функции порядка р и конечного типа a; jx = р
и /С>сг. Следовательно, в силу неравенств Крши для коэффи-
коэффициентов степенного ряда
при
Функция е п- -, как показывает простая выкладка, с прирав-
приравниванием нулю логарифмической производной, имеет минимум при
; минимум этот равен (-^—) • Выбирая N = N(K, ц)
1
так, чтобы (~^-) * превышало R(K.,p) при n>N, получим:
п
I1" при n>iV. A.2:2)

§ 1] РОСТ ЦЕЛОЙ ФУНКЦИИ. ПОРЯДОК И ТИП 247
Итак, неравенства A.2:2) являются следствием неравенства
A.2: 1). Замечая, что для целой функции У | ап \ —¦>0 при я —> оо
и, следовательно, In п —>-\-со, получаем сначала из A.2: 2)
/I ап |
tx> '"? + '"^f A.2:3)
In 1п
П г-, г- П /-. г
у\ап\ У\ап\
и далее:
In п
lim —
П-ХХ> ln
7пгп
Так как в качестве \i можно брать любое число, превосходя-
превосходящее р, то отсюда вытекает:
p>Tim—^—. A.2:4)
пг
Итак, для функций конечного порядка р величина
п
1
lim—~— = сс A.2:5)
является также конечной и не превосходит р.
Допустим далее, что /(г) —функция конечного типа а. Тогда
в неравенстве A.2:1) можно положить \i = p и в качестве К
брать любое число, большее чем а. При этих значениях \i и К
получаем из A.2 : 2)
j_ j_
пр V\an\ <(ер/С)р -,
откуда
_i_ j
lim nf У\ап\
Так как в правой части вместо К может быть любое число,
большее чем а, получаем:
A.2:6)

248 ЦЕЛЫЕ И МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. 7
Итак, для функции конечного порядка р и конечного типа а
величина
j_
lim лр У\ап\ =р A.2:7)
J_
является также конечной и не превосходит (ера)р.
Мы покажем сейчас, что знаки неравенства в соотношениях
A.2:4) и A.2:6) фактически не имеют места, так что всегда
а = р и р = (ерар.
Предположим, не делая никаких допущений о функции /(z),
что для некоторых \л и К выполняются неравенства A.2 : 2). Тогда
откуда следует, что lim у \ ап \ = 0, т. е. f(z) — целая функция.
П-юо
В силу того же неравенства имеем для любого г > 0 и п > А;:
( )
Правая часть этого неравенства при п > [2^е\1Кг^] = п (г) имеет
значение меньшее, чем -^. Выбирая число R = R (\i, /С) > 1 столь
большим, чтобы при r>R выполнялось неравенство п(г) =
= [2Н\ьК.г»\ > N = N {К, r), мы можем утверждать, что для всех
таких значений г и для п>п(г) будут выполняться неравенства:
^КрГ<у, т. е. \пп\гп<±.
Пользуясь этим, оценим сверху М(г). Имеем:
М (г) = max | / (z) | = max ] 2 anzn | < S I о» I г11 =
! 2 ( = Г |2|=Г О О
П (Г) оо
= S \an\rn+ S
О п(г)+1
и, следовательно, при г > /?
П (г) сх> П (Г)
м(/-)<Екг+ 2 ^<2
О п(г)+1 О

§ 1] РОСТ ЦЕЛОЙ ФУНКЦИИ. ПОРЯДОК И ТИП 249
Но
п (г) N п (г) N
2 \an\rn = yi\an\rn+ 2 |an|r"<rN2|an| +
О О JV+1 О
+ [л(г) — N] max |а„|г";
n=lV+i п{г)
так как max |an|rn< max \an\rn, то, опираясь на неравен-
iV+lj=n^n (r) JV+ljJn
ство A.2:2), справедливое при n>N+\, получаем:
max \an\rn<? max
() '
Легко находим, что max (^—) тп достигается при
и равен еКг ; следовательно,
max I ап I гп < еКг ,
и так как 1 < eKl- , то
M(r)<rN%\an\ + [n(r) + \-N)t
* 2 I a™ I + B*ерКг* + 1 -N) екгД =
о
Очевидно, что для любого 8 > 0 выражение в скобках будет
меньше чем eErli при г достаточно большом. Итак,
М (г) < е(к+Ё) rS1 при r > R' (е) > R. A.2:8)
Мы нашли, что из неравенств для коэффициентов A.2:2)
вытекает как следствие неравенство A.2 : 8) для максимума модуля
функции.
Пусть теперь коэффициенты степенного ряда A.2:1) таковы,
что величина осA.2:5) имеет конечное значение. Тогда для любо-
любого (а>а имеем при пу>п(\л):
In п
j
1п——=
У К/

250 ЦЕЛЫЕ И МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. 7
ИЛИ
Мы получили неравенство типа A.2:2), в котором e\iK—l,
т. е. К = — • Следовательно, по доказанному максимум модуля
функции /(г) удовлетворяет при ry> R'(е) неравенству
Отсюда следует, что порядок р функции /(г) не превосходит \i,
и так как ц представляет любое число, большее а, то
В соединении с ранее полученным соотношением р>ос (см.
{1.2 : 4)) это дает:
p=a=fim—г-Ц— . A.2:9)
Мы получили выражение для порядка целой функции через
коэффициенты степенного ряда. Мы обнаружили, в частности, что
если одно из чисел аир конечно, то и другое также конечно;
отсюда следует, что в случае, когда одно из них бесконечно,
другое также должно быть бесконечным. Иными словами, соот-
соотношение A.2:9) справедливо также и для функций бесконечного
порядка.
Допустим теперь, что для коэффициентов степенного ряда
конечно не только а (и, следовательно, /(г) имеет конечный
порядок р = а), но конечна и величина |3 A.2:7). Представляя |3
- ве
в виде (ера')р, т. е. полагая а' = —, будем иметь для любого
К> а' при п~>п(К):
п~?УЩ<(ерК)~,
или
'Это—неравенство типа A.2:2) при ^ = р; по доказанному отсюда
следует для М(г) неравенство вида A.2:8)
P, r>R'(e).

§ 1] РОСТ ЦЕЛОЙ ФУНКЦИИ. ПОРЯДОК И ТИП 251
Так как порядок функции f(z) есть р, то из последнего неравен-
неравенства вытекает, что тип а функции / (г) конечен и удовлетворяет
соотношению
или, замечая, что К есть любое число, большее чем а':
ер
т. е.
(аер)р
_i_
Выше (формула A.2:6)) было доказано, что (аер) о >|3, следова-
следовательно,
_i_ j_
(стер)р =p = limnP V\an\. A.2:10)
П->оо
Мы получили выражение для типа целой функции через коэф-
коэффициенты степенного ряда (и через ее порядок р, который, в свою
очередь, выражается через коэффициенты).
Из изложенного выше следует, что формула A.2:10) спра-
справедлива также и для функций конечного порядка, но бесконеч-
бесконечного (максимального) типа.
Заметим, что если для целой функции / (г) допустить только,
что конечной является величина
7Г = р, A.2:11)
где \л — некоторое положительное число, относительно которого
не предполагается, что это порядок функции, как не предпола-
предполагается и того, что / (г) есть функция конечного порядка, то отсюда
будет следовать, что либо f(z) есть функция порядка \i и типа
6м
— , либо / (г) — функция порядка ниже \i.
В самом деле, из сделанного предположения вытекает, что для
любого Р' > Р при п> N' выполняется неравенство
или

252 ЦЕЛЫЕ И МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. 7
Это—неравенство типа A.2:2) при ф/С = Р'д; из него для М(г)
вытекает неравенство типа A.2:8)
и, следовательно, порядок р функции f{z) не выше \i. Если он
равен ц, то из соотношения A.2:11) следует, как выше было
показано, что тип а функции / (z) есть ^ .
Простейшими из целых трансцендентных функций являются
функции экспоненциального типа. Так называются
функции первого порядка и конечного типа, а также функции
порядка ниже первого. Из сделанного только что замечания
следует, что функции экспоненциального типа вполне определя-
определяются требованием
lim n У\ а„| = |3<; оо.
П-ЮО
А именно соответствующие функции будут либо первого порядка
и типа сг = —, либо порядка ниже первого.
С помощью формул A.2:9) и A.2: 10) легко привести пример
целой функции произвольного порядка р и типа а. Так, полагая
п
an= f^J (я>1), где р>0 и а>0, получаем следующий при-
пример целой функции порядка р и типа а:
Для функции нулевого порядка, как это следует из формулы
A.2:9), должно выполняться условие
lim j— = 0.
n->-°° in ...
Отсюда вытекает, что достаточно принять
\п I — _i__
п
где е„ —произвольная последовательность положительных чисел,
сходящаяся к нулю. Например, функцией нулевого порядка будет

§ 1] РОСТ ЦЕЛОЙ ФУНКЦИИ. ПОРЯДОК И ТИП 253
любая функция вида
п=1
Наконец, чтобы получить пример функции бесконечного поряд-
порядка, достаточно подчинить числа |ап| условию
lim—^— = 00,
п~*х In u
т. е. принять
1
I ап. I =
где ап — последовательность положительных чисел, сходящаяся
к нулю, однако не слишком быстро (так, чтобы выполнялось
необходимое условие
lim У\ап\= lim —= 0,
П П
т. е. чтобы lim anlnn= сх>). Например, можно положить ап~
П->оо
= —^@ <б < 1). Тогда получим функцию
Aп пу °
оо
___ 2п
^ ехр [я Aп пN} '
1.3. Функция М(г), определяя рост целой функции/(г) во всей
плоскости, не дает никаких сведений о том, как функция будет
вести себя в той или иной неограниченной области, в частности
в некотором угле с вершиной в начале координат.
Рассмотрим, например, показательную функцию ez(p= I, a= 1).
Так как \ег\ = ex = ercos®, то в каждом угле вида —2" + е<Ф<
<-2— е(е>0) модуль функции удовлетворяет условию ег> |ег\>
>ersine и, следовательно, стремится к бесконечности при г—> со.
В углах вида у + е <*<^ — е(е> 0) имеем: |ez| <e-rslne,
и следовательно, ez стремится к нулю при г—>оо. Итак, в этом
примере существует два угла, каждый раствора я (правая и левая
полуплоскости) таких, что в углах, лежащих вместе со сторона-
сторонами внутри одного из них, функция стремится к оо, а внутри
.другого —к 0.

254 ЦЕЛЫЕ И МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. 7
Аналогичный пример более общего характера представляет
функция /B) = eP(z), где Р (г) — многочлен степени п:
P(z) = ao + aiz + ...+anzn (апф0,п>1).
Полагая ah=Okexak и г = г«4*, получаем:
I / (z) I = exp [ 2 ahrhel(a^+m ] = exp [ 2 <Vft cos (ah + *#)] =
о о
= exp -J cr7lrn cos (а„ + n$) + 2 gftCOS
о CT'
n-l
Сумма 2 gft cos a*^~—-' стремится к нулю при r-^оо; следо-
следовательно, величина внутри квадратных скобок для любого е > О
будет при достаточно больших значениях г(г>/?(е)) меньше чем
1+в. Поэтому |/B)|<еA+Ё)а»гП, если г>/?(е).
С другой стороны, полагая $= — -— , получим cos (ап + пй) =
= 1 и, следовательно, при тех же значениях г величина в ква-
квадратной скобке будет больше чем 1 — е. Поэтому
\f(re n )|>eA~e)a"r , если r>R(e).
Из сопоставления этих неравенств заключаем, что
если r^>R(e) и, следовательно, f{z) есть функция целого поряд-
порядка п и типа ап.
Разделим плоскость на 2я равных углов: g0, gt, ..., g2n-i
с общей вершиной в начале координат, выбирая в качестве gj
угол _^l+B/-1)^-<#<—^-+B/+1)-^-(/ = 0,1,...,2л-1)>
и возьмем внутри gj угол yj меньшего раствора:
где 0 < е < -о- • Тогда для точек угла у; будем иметь:
/я—5-+8<ап + л*</я + -| —е
и, следовательно,
| cos (а„ + п&) | > sin 8,

S И РОСТ ЦЕЛОЙ ФУНКЦИИ. ПОРЯДОК И ТИП 255
причем, если / — четное, то cos(а„ + Я'&)>sine, а если/ — нечет-
нечетное, то
cos (а„ + пд) < — sin 8.
Представим | / (г) | для г ? gj в виде
^ „ cos (а„
V
rn-ft J J
Величина
[V
может быть
cos («„ + «#) '"-* sine^J апГп~к
сделана меньше, чем е при г>/?(е). Следовательно, для / чет-
четного и г > ^ (е) будем иметь:
|/(z)|>exp[ansinEr"(l — e)],
т. е. / (г) стремится к оо внутри углов у; с четными индексами.
Для / нечетного и r>i?(e) имеем:
|/(г)|<ехр[ — ansinern(l— e)],
т. е. f(z) стремится к 0 внутри углов yj с нечетными индексами.
Мы видим, что для функции еР(-г~> существует 2п равных
углов gj раствора — каждый (/ = 0, 1, ..., 2п—1) с общей вер-
вершиной в начале координат таких, что в углах, лежащих вместе
со сторонами внутри gj, функция стремится к оо, если / — четное
число, и к 0, если / — нечетное число.
Ценные сведения о поведении целой функции конечного порядка
внутри угла, если известно ее поведение на сторонах этого угла,
дает теорема Фрагмена — Линделёфа (п. 3.3 гл. VI). Примени-
Применительно к целым функциям из нее вытекает следующее предло-
предложение.
Если f (г) — целая функция порядка не выше р, ограниченная
по модулю на сторонах некоторого угла g раствора па с верши-
вершиной в начале координат:
| / (г) | < С на сторонах угла g,
и если а< 1/р, то модуль \f(z) j ограничен той же постоянной С
и внутри угла.
Из теоремы 1 п. 3.3 главы VI следует, что для функции
порядка р и минимального типа формулированное предложение
справедливо и тогда, когда а = —. В самом деле, условие
а

256 ЦЕЛЫЕ И МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. 7
выражающее, что порядок / (г) либо меньше —, либо равен — ,
но тогда тип /(г) равен нулю (см. формулу A.1:12)), является
частным случаем условия 2) теоремы 1 п. 3.3 главы VI.
Из теоремы Фрагмена — Линделёфа следует, что если из начала
координат проведена система лучей, делящая плоскость на углы
раствора не большего — каждый (р > тр) > то по крайней мере на
одном из этих лучей целая трансцендентная функция / (г) порядка
ниже р должна быть неограниченной по модулю. Допуская про-
противное, мы по доказанной теореме нашли бы, что функция огра-
ограничена в каждом из углов между соседними лучами и, следова-
следовательно, ограничена по модулю во всей плоскости, что невозможно,
если / (z) щк const.
В качестве примера рассмотрим функцию ep<z>, где Р (z) — мно-
многочлен степени п. Здесь р = л, и если мы проведем систему лучей,
делящую плоскость на углы раствора, меньшего —, то по край-
крайней мере по одному лучу этой системы попадет внутрь каждого
из углов gj с четными номерами, в которых ер^ стремится
к бесконечности при г —> оо.
Для функции / (z) Ф const порядка р<^ или порядка р = -о-
и минимального типа заключаем на основании предыдущего, что
она должна быть неограниченной на каждом луче, выходящем из
начала координат. Для функций порядка -^ и типа а > О это
утверждение уже не имеет места, как показывает пример функ-
функции / (г) = У , стремящейся к нулю при z стремящемся
У г
к бесконечности по положительной части действительной оси.
Вообще, теорема Фрагмена — Линделёфа перестает быть спра-
справедливой, если для углов раствора — рассматривать функции
порядка, равного р (не минимального типа). Так, в случае, когда
f B) = sin 2, где р = 1, функция ограничена на всей действитель-
действительной оси, которую можно рассматривать как стороны каждого из
двух углов раствора — = п, а именно, верхней и нижней полу-
полуплоскости. Однако модуль j sin 2 j не является ограниченным ни
в верхней, ни в нижней полуплоскости.
1.4. Для более детального изучения поведения целых функций
вводят характеристику их роста по каждому из лучей, выходящих
из начала координат. Пусть /(г)—целая функция конечного
порядка р>0 и конечного типа а. Тогда для каждого луча, накло-
наклоненного к положительной части действительной оси под углом 0,

§ 1} ИНДИКАТРИСА РОСТА 257
рассматриваем величину
Л(е):=НЙ1и "<""". A.4:1)
Эта функция является однозначной и периодической с периодом 2я.
Она называется индикатрисой роста функции f(z).
В силу соотношения
Т. \ПМ(Г) ^
hm -^- = a< oo
имеем:
Л (9) < а,
т. е. h (9) ограничена сверху.
Теорема. Если (^ и 02 удовлетворяют условиям
0<92 —9i<min I — ,
и если а и b — конечные числа такие, что /г(94)<;а и /г(92)<:6,
то во всем интервале @4, 02) выполняется неравенство
h @)<:Л cos9p + Bsin9p, A.4:2)
где А и В определяются системой уравнений
1а' > A.4:3)
Кроме того, для любого е > 0 имеем:
In [ / (reie) | < (Л cos 9p + В sin 9p + е) гр A.4:4)
при
01<9<92 и г>Я(е).
Доказательство. Пусть -п — произвольное положительное
число. Определим а = а (т)) и Р = Р (tj) из уравнений
a cos 0tp + р sin 0jp = а + tj,
a cos 92р + р sin 02р = b + т]
Это возможно, так как определитель системы sin@2 — 0j)
Очевидно,
Нта(т1) = Л и
Введем вспомогательную функцию
F4 (г) = f (г) ех{5 [ — (а — i
17 А. И. Маркушевич
]'} A.4:3')

258
ЦЕЛЫЕ И МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ
[ГЛ. 7
Она является однозначной (если положить zp=(reie)p = гр (cos 9р +
+ isin9p)) и аналитической в угловой области g: 0<r< oo, 6t-<
< 9 < 02, и удовлетворяет в этой области при г > ^ (т]) неравенству
| ^ (reie) | = | /(z) | ехр [ — (acos9р + рsin9p)го] <
< ехр [(а + 1) гр— (а eosGp + рsinGp) лР] < exp (/(гр), A.4 :5)
где /С = /С ("Л). Кроме того,
ехр [(а + i\) гр — (а cos 9lP + p sin 9lP) rP] = 1,
I Fn (reie2) [ < exp [(b + ц) rP — (a cos 92p + p sin 92p) r<>] = 1
при r>R2(r\), т. е. модуль 1^BI ограничен на сторонах угла g:
\Fn(re^)\<C, ]^(ле*в2)|<с @<r<oo), A.4:6)
где C = C(i\).
Из A.4:5) и A.4:6) следует, что к Fn(z) в области g, пред-
представляющей собой угол, раствор которого 92 — 9Х <—, можно при-
приложить теорему Фрагмена —Линделёфа. Получим:
КС,,, z?g,
откуда
sin9p)rP,
. A.4:7)
Фиксируем для заданного в> 0 столь малое число t] = t](s)>-О,
чтобы выполнялись неравенства
| и
а затем найдем такое R(e), чтобы при r>R(e) выполнялось нера-
неравенство
In С„
Тогда при 94 <С9 <92 и r> R{&) будем иметь на основании нера-
неравенства A.4 : 7):
In | / (reie) | < (Л cos 9p + В sin 9p + е) г*>,
т. е. соотношение A.4:4). Из него вытекает далее, что
А(в)=
cos 9р + Д sin 9p + в
или вследствие произвольной малости е:
(94<9<92).

§ 1] ИНДИКАТРИСА РОСТА 259
Теорема доказана.
Определяя А и В из уравнений A.4:3)"и подставляя найден-
найденные значения в неравенство A.4:2), получаем:
h((\\sn sin[(92 — 9)р] , sin[(9 — 8t)p] m <-fl^"fM (\ А • Я\
h(QXa sinKOa-eOp] +Ь sin [(92-9!) p] («i<9<«2). A.4.8)
В частности, на биссектрисе угла g
а а_й й _ 92 — 61
о2 — 0 = 0 — ot = s—
имеем:
cos
Покажем, что индикатриса h (9) имеет конечное значение для
любого 9:
А(в)> —со. A.4:9)
Допустим противное, и пусть /г(90)= — оо. Фиксируем какое-
либо натуральное т>р и применим неравенство"A.4 :8') к бис-
биссектрисе угла: 9о<;9<9о+—. Получим:
cos -^—
2/я
где а и b — любые конечные числа, удовлетворяющие условиям
а>/г(90)=—оо и b^h{Qi).
Фиксируя Ь, перейдем в найденном неравенстве к пределу при
а—>—оо. Получим: h @0 + -Д-) = — оо. Повторяя то же рассу-
рассуждение, найдем, что вообще
В силу определения индикатрисы h (9) функция / (г) должна
быть ограничена на каждом из лучей: 9 = 90 + k -^ (k = 0, 1, ...
..., Am — 1), откуда вытекает, что она и вообще ограничена, т. е.
/ (г) = const (два соседних луча составляют угол -^- < — J . Мы
получили противоречие с тем, что f(z) — целая функция порядка
р>0. Итак, соотношение A.4:9) доказано. Из него следует, что
в основной теореме этого пункта можно всегда полагать:
a = h(Qi), b = h(Q2).
17*

260 ЦЕЛЫЕ И МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. 7
Тогда неравенство A.4:8) приобретает следующий вид:
Из него вытекает важное следствие:
Индикатриса роста целой функции конечного порядка является
всюду непрерывной функцией.
В самом деле, фиксируя произвольное 90, положим в соотно-
соотношении A.4: 10) 91 = 90 и перейдем к пределу при 9—^90. Получим:
Tim А(в)<А(в0).
в->6о, 9>6о
Полагая в A.4: 10) 92 = 90 и переходя к пределу при 9—>0О,
найдем:
Tim А(9)<:Л(в0).
9о, 9<90
Итак,
ЙтА(в)<А(е0). A.4:11)
Положим теперь в A.4: 10) 9 = 90 и перейдем к пределу один
раз при 9j—>90, а другой раз при 92—>90. Получим:
А(во)< lim A@0; А@О)< Ит А(в2),
т. е.
ИтЛ(9)>Л(9о). A.4:12)
9-»9о
Сопоставляя A.4:11) и A.4:12), находим:
lim A F) = lim А @) = А (80),
9->90 9->9о
что и требовалось доказать.
Покажем далее, что если Р>у то не может существовать
двух значений 9' и 9" таких, что
причем
Л(8')<0 и Л(9")<0.
Допустим, что такие значения существуют. Тогда, полагая
в A.4:8'):
e1 = fl' + e, 92 = 9"-e, a = A(9'+s), b = fi(Q"-s) (o<e< 9'~8

§ 1] ИНДИКАТРИСА РОСТА 261
будем иметь:
2 sin (ер)
При е->0 правая часть в силу сделанных предположений
и доказанной непрерывности функции h (9) должна стремиться
к —со, что невозможно. Отсюда и следует наше утверждение.
В частности, при Р = -к- не существует ни одного значения 0, для
которого h (9) < 0.
Заметим, что при 0<р<^ также не может существовать ни
одного значения 6, для которого h (9) < 0. В самом деле, вдоль
соответствующего луча функция f (z) должна быть ограниченной,
что для функций порядка меньше -~-. не равных тождественно
постоянной, невозможно (см. предыдущий пункт). Итак, для функ-
функции порядка не выше -^ индикатриса роста неотрицательна: h (9) > 0.
Пусть теперь Р>у и 90 —значение 8, для которого /г(90)<0.
Так как для некоторых значений 9 должно быть: h (9) > 0, то
существует интервал F', 9"), содержащий 90, в котором h (9) < 0
и на концах которого h (9') —- h (9") = 0. Очевидно, что 0 < 9' —
— 0"-<—; в самом деле, если допустить, что 9'—9"> —, то
тогда можно указать значения Qt и 92 из интервала (9j, 92), для
которых 92 —9j = —. Но h(Qi)<.0 и Л(92)<0, и мы приходим,
таким образом, к противоречию с установленным выше свойством
индикатрисы роста.
Предположим для определенности, что 9' — ближайший к 90
из двух концов интервала (9', 9"); тогда 0<90 —9' = б<-2—.
Воспользуемся формулой A.4: 10), заменив в ней 94 на 9' —б + е
и 92 на 9'+б — е = 90 — е, где 0<е<6. (Эта формула приме-
применима к данному случаю, так как
(9' + 6-е)-(9'-8 + ?) = 28 — 2е<— .
Получим:
и /й'\ - П 1 ft(9'-a + e) + ftF' + S
откуда
— е).

262 ЦЕЛЫЕ И МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. 7
Так как это соотношение справедливо при любом е>0, то
в силу непрерывности h (9) оно справедливо и в пределе при е—>0.
Поэтому
А(в'-б)>—А(в' + 6)=-А(в0).
Но Л (9' — б)<!а, где " а — тип функции /(г); следовательно,
h (Go) > - а.
Итак, при Р>-д" имеем:
а>/г(9)>-о. A.4:13)
Это неравенство при р^-д-, как мы видели, заменяется более
сильным:
ст>/г(9)>0. A.4:13')
Заметим, что для функций минимального типа из того и дру-
другого неравенства получается
h (9) = 0.
Покажем, наконец, что во всех случаях
max Л (9) = ст. A.4:14)
В самом деле, если допустить, что max/г (9) = ст4< о, то
в основной теореме этого пункта можно положить а = Ь = ои
после чего неравенство A.4:4), в котором мы заменим А и В их
значениями из уравнений A.4:3), принимает вид
-ер
{ coshr-
при 94<9<92 и г>#(е). Положим ^ 1 =90и 2 2 ? =6; тогда
будем иметь на сегменте [90 — б, 0о + б]:
при r>R(e).
Выражение в квадратных скобках стремится к пределу ох
при б —> 0 и е —»0 (равномерно относительно 90 и 9) и, следо-
следовательно, при достаточно малых б = б0 и е = е0 может быть сде-
сделано меньше чем а2, где а± < о2 < а. Итак,
ln|/(reie)|<ff2rP при 90 —
A.4:15)

§ 1]
ИНДИКАТРИСА РОСТА
263
Очевидно, б0 можно взять равным •_—, где т — достаточно
большое натуральное число. Тогда во всех углах
неравенство A.4:15) будет выполняться при достаточно боль-
больших г, откуда следует, что
ln|/(reie)|<a2re при r>R
и
,— In I / (reie)
a=hm—ил L
Г-wo Tv
что невозможно.
График индикатрисы роста целой функции в полярных коор-
координатах гиб:
г = ЛF)
называют индикатрисой этой функции.
2,3) V)
' i
1)
(П'2)
Читатель легко убедится в том, что индикатрисы роста h (9)
для функций
1) eaz, где a = aei(p, 2) sin г, 3) cos г, 4) е7*
{п натуральное) таковы:
1) acos(e + 9), 2) и 3) [ sin в |, 4) cos/гв.
Соответствующие кривые G) —дважды пробегаемая окружность,
построенная на отрезке, соединяющем точки Она, как на диа-
диаметре; 2) и 3)— две соприкасающиеся в начале координат окруж-
окружности с центрами на мнимой оси и диаметрами, равными 1;
4) 2«-лепестковый венчик) представлены на рисунке 36.

264 ЦЕЛЫЕ И МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. 7
1.5. В качестве примера закономерностей, которые можно дока-
доказать для целых функций, исходя из изучения их роста, приведем
несколько простых предложений, устанавливающих для случая
функции конечного порядка так называемую малую теорему Пикара.
Теорема 1. Если целая функция f (z) не принимает неко-
некоторого значения А{фоо) hju в одной точке плоскости, то f (z)
имеет вид
A.5:1)
где g (z) — целая функция.
Доказательство. Так как функция f (z) — А не обращается
в нуль, то .-. . . = h (z) является всюду аналитической, т. е.
/ B)—А
целой функцией. Но
f (г) — A dz
следовательно,
Z
[Ln [f (г)-Л]]го = § ft
о
откуда
где
есть также некоторая целая функция.
Докажем далее леммы, имеющие также и самостоятельное
значение.
Лемма 1. Если действительная часть и (г, #) функции
/ (z) = 2 anzn, аналитической в некоторой окрестности I z I <
о
< R < оо начала координат, удовлетворяет при всех р, 0 <р <R,
неравенству вида
и(р, д)<«/ • A.5:2)
(и (р, ¦&) берется здесь не по абсолютной величине так, что,
в частности, U может быть отрицательным числом), то коэффи-
коэффициенты степенного ряда удовлетворяют неравенствам:
Ы<^^-, «2=1,2,..., A.5:3)

§ 1]
где
МАЛАЯ ТЕОРЕМА ПИКАРА 265
2я
= -g— \ U (Г, Щ <f&.
О
Доказательство. Пусть f{z) = u(r, #) + it»(r, ¦&); тогда
для функции U — f{z) = U — u(r, b)~iv(r, ¦&) тейлоровское раз-
ложение будет иметь вид U~a0—^amzm. Следовательно, числа
— ат = ат + фт при т > 1 можно представить в следующей форме
(см. A.2:6) и A.2:7) гл. шестой, в которых ы(р, а) следует
заменить через U—u(p, a)):
2я
откуда
2я
—"(P. a)
2я
Но
I
2я
2я
2 1 Р , , ,
= -^~^\ и (р, а)йа =
¦ о
отсюда получаем:
для любого р<^?. Переходя здесь к пределу при р—>7?, при-
приходим к неравенствам A.5:3).
Лемма 2. Если действительная часть и (г, ¦&) целой функ-
функции f (z) удовлетворяет при всех значениях г, начиная с неко-
некоторого г0, неравенству вида
и (г, 0)<ri* (r>ro), A.5:4)
где |л>0, то f (z) есть многочлен степени не выше чем [ц].
Доказательство. В силу принципа максимума для гармо-
гармонических функций при всех р<г имеем: u(p, ¦&)<r'i; поэтому
по лемме 1
Если п > [ц] + 1, то, заставляя г неограниченно возрастать,
получаем отсюда, что
— • • • =0

266 ЦЕЛЫЕ И МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ ГГЛ. 7
и, следовательно,
что, и требовалось доказать.
Теорема 2. Если целая функция f (z), не принимающая
некоторого значения А (Ф оо), ни в одной точке плоскости, обла-
обладает конечным порядком р, то р необходимо является целым
числом и f (z) имеет вид:
где Р (г) — многочлен степени р.
Доказательство. В силу теоремы 1 /(z) может быть
записана в форме
где я (г) —целая функция. Но для любого е>0 и r>R(e) выпол-
выполняется неравенство: /
откуда
| es& \<\A\
Выбирая R'(e)^>R(e) так, чтобы при г>7?'(е) было
и замечая, что \e?<-z>\ = eRel8<-zH, получаем:
eRe и («)] < ero+s при r>R'(e).
Следовательно, при тех же значениях г
Re[g(z)]<rP+°,
откуда по лемме 2 g (г) есть многочлен Р (z) степени не выше,
чем [р + е1-
С другой стороны, очевидно, если / (г) есть функция порядка р,
то и f (z) — А = ер^1 есть функция того же порядка, и так как
порядок функции ерB>, как мы видели в начале п. 1.3, совпадает
со степенью п многочлена P(z), то р = п есть целое число и Р (г)
есть многочлен степени р. Этим и заканчивается доказательство.
Теорема 3. Если целая функция f (г) принимает значение
А(Фоо) в конечном! числе точек zit г2, ..., zm с кратностями

§ 1] МАЛАЯ ТЕОРЕМА ПИКАРА 267
kt, k2, ..., km, то f (z) имеет вид
f(z) = A + (z-zi)hl ... (г-гт)кпе*Ю,
где g (z) — целая функция.
В самом деле, функция /-^ Е— является в силу
*У (z-zi)*1 ...(z-zm)k™ У
условия теоремы целой, не обращающейся в нуль ни в одной
точке плоскости. Отсюда по теореме 1 следует, что она имеет
вид eg(-z\ где g (z) — целая функция.
Итак,
откуда
/ (z) = А + (z - г,)*1 • • • (z - zm)
Теорема 4. Если относительно целой функции f{z), удо-
удовлетворяющей условию предыдущей теоремы, известно, что она
обладает конечным порядком р, то р должно быть целым числом
и функция f (z) имеет вид
f (z) = A + (z - z,)hl ... (z - zm)hme^\
где Р B) — многочлен степени р.
В самом деле, в силу теоремы 3 / (z) имеет вид
где g (г) — целая функция. Так как
| е*м 1 = е^Ы(»)] < I / W 1 +1А I < 1 f (z) | + \А 1,
| г — Zi\ х ... \ z — zm\
при условии, что |г —Zi|>l, ..., |г — гт|>1 и далее при всех
достаточно больших г: | / (г) | +| А \ <егР+Е, то
Re \g B)] < rP+e,
откуда по лемме 2 следует, что g (г) есть многочлен Р (z) сте-
степени не выше, чем р.
С другой стороны, очевидно, что если / (z) есть функция
порядка р, то и
f(z)~A = ?Р (г)
(г-г,)*1 ... (z-zm)km
есть функция того же порядка. В самом деле, мы обнаружили, что
при r>R(&),

268 ЦЕЛЫЕ И МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. 7
и следовательно, порядок ер(г) не выше р Но он не может быть
ниже р, так как в противном случае мы имели бы для некото-
некоторого положительного а, что
| еры | < егр-2а при /•>/?' (а)
и, следовательно, '
при г >R' (е).
Очевидно, что отношение величины, стоящей в правой части
неравенства, к егР~а стремится к нулю при г—>оо. Поэтому при
г > R" (а) >¦ R' (а) мы должны иметь:
что несовместимо с условием теоремы, в силу которого порядок
функции / (z) есть р.
Итак, порядок функции eP(-z~> также равен р и, следовательно,
р есть целое число, совпадающее со степенью многочлена P(z).
Теорема 4 доказана.
Теорема 5. Для целой трансцендентной функции f(z) конеч-
конечного порядка р множество ее А-точек бесконечно, каково бы
ни было А. Исключение возможно лишь в том случае, когда р
есть целое положительное число и f (z) имеет вид
f(z) = A0 + p(z)e^\ A.5:5)
где р (г) и Р (г) — многочлены. В этом случае для А = Ло и только
для этого единственного значения получаем конечное множество
А-точек (совпадающих с нулями многочлена р (z)).
Иными словами: для целой функции конечного порядка не
может существовать более одного исключительного значения
А = Ло, для которого множество А-точек функции было бы
конечным.
Заметим, что требование конечности порядка р в этой теореме
вызывается лишь избранным нами элементарным методом доказа-
доказательства. На самом деле, теорема 5, известная под именем малой
теоремы Пикара, справедлива для целых функций любого, конеч-
конечного или бесконечного, порядка.
Переходя к доказательству, замечаем, что если функция f (z)
имеет для некоторого А = А0(Ф оо) лишь конечное множество
Л-точек: zt, ..., zm с кратностями kt, ..., km, то р,по теореме 4,
должно являться целым числом и / (z) имеет вид
f (z) = Ло + (z - г/1 ... (г - zm)hmeP(z\ A.5:6)

S 1] МАЛАЯ ТЕОРЕМА ПИК АРА 269
где степень многочлена Р (г) равна р > 0. Итак, в случае, когда
порядок р не есть целое положительное число, множество Л-точек
целой функции бесконечно для любого А{фоо).
Нам остается показать, что в случае, когда р есть целое
положительное число и f(z) имеет специальный вид A.5:6),
не существует числа Во, отличного от А0(В0фоо), для которого
множество Л-точек также было бы конечным.
Доказывая теорему от противного, предположим, что множе-
множество Л-точек функции / (г) является конечным также для некото-
некоторого В0=?=А0. Тогда по теореме 4 f (г) должна иметь вид
/ B) = Во + B - UI1 ... B - tn)lneQ{z\ A.5:7)
где Q(z) —также многочлен степени р. Из A.5:6) и A.5:7)
получаем тождество
p{z)ep(z)-q(z)e^)^C, A.5:8)
где р (z) = (г-z/1 ... (г-zm)hn, q B) = B- bf ... B - tn)ln
й С = 50 — Л0=?0.
В начале п. 1.3 мы установили, что для функции ер^ вся
плоскость разбивается на 2р равных углов раствора — с общей
вершиной в точке 2 = 0: g0, ...,g2p-i, таких, что внутри углов
с четными номерами ер& стремится к оо, а внутри углов с нечет-
нечетными номерами — к 0. Аналогичные углы того же раствора —
и с той же вершиной 2 = 0: /0, ..., /2p-i, существуют и для функ-
функции eQ<-z\ Каково бы ни было относительное расположение углов
gj и fj, всегда можно утверждать, что угол gt, например, будет
либо иметь общие внутренние точки с одним из углов fj, обла-
обладающим четным индексом, либо целиком совпадать с некоторым
углом fj, обладающим нечетным индексом.
В первом случае, т. е. когда ^ имеет общие внутренние точки
с некоторым углом f2s, существует угол у с вершиной в начале
координат, который вместе со своими сторонами лежит как
внутри gu так и внутри /2s- Но тогда для некоторого е, 0 <е<—-
:в точках угла y выполняются следующие неравенства (см. стр. 255):
| ея<г> | < ехр [ — <тр sin е- гР A — е)]
>(<Тр — модуль коэффициента при z** в многочлене P{z)),
| e^z> I > ехр [тр sin е- гр A — е)]
<(тр—модуль коэффициента при zp в многочлене Q(z)).

270 ЦЕЛЫЕ И МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. 7
Поэтому в точках угла у модуль левой части равенства A.5:8)
удовлетворяет неравенству
... (r-|?m|)'mexp[Tpsin?rP(l-e)]-(/-+|21|)ftl ...
и так как уменьшаемое в правой части стремится к оо при г—> оо,
а вычитаемое стремится к нулю, то и вся левая часть равен-
равенства A.5:8) должна стремиться к оо в точках угла у, что пред-
представляет очевидное противоречие с постоянством этой величины
(= С).
Остается рассмотреть случай, когда gt совпадает с некоторым
углом /2s-i с нечетным индексом. Тогда в угле у с вершиной
в начале координат, лежащем вместе со своими сторонами
внутри gi = fzs-i, будем иметь для некоторого е, 0 < е < -^-, в силу
неравенств, установленных на стр. 258:
| еР(г) | < ехр [ _ Ор Sjn erp A __ 8)]5 | eQ(z) | < ехр [ — Тр sin его A — е)].
Следовательно, для модуля левой части A.5:8) получаем следую-
следующую оценку:
q(z) е«2> | < (г +1 zt | f1 ...
... (r+|&.|)'7lexp[-TpsinB-rP(l-e)].
Здесь правая часть стремится к 0 при г—>оо; следовательно,
и левая часть должна стремиться к 0 при г—>оо, что противо-
противоречит постоянству этой не равной нулю величины.
Из полученного противоречия и вытекает справедливость тео-
теоремы 5*).
*) Д. А. Райков указал мне другое простое доказательство того факта,
что соотношение вида A.5: 8)
р (г) ехр Р (z)-q(z) ехр Q (г) = С ф 0
невозможно в случае, когда хотя бы один из многочленов Р (z) и Q (z) не есть
тождественное постоянное. Допуская, что это тождество имеет место, продиф-
продифференцируем его; получим:
\р' (г)+р B) Р' (г)] ехр Р (г)-[<?' (г) + Я (г) Q' Ш ехр Q (г) = 0. (¦)
Если предположить, что
(z)Q'(z) = O (и р' [г) + р (г) Р' (г) = 0),

§ 1] МАЛАЯ ТЕОРЕМА ПИК АР А . 27 Г
В виде иллюстрации к последней теореме определим число
корней уравнения sinz — Az = 0 для произвольного Афоо.
Если Л = 0% то получаем уравнение sin 2 = 0, имеющее бесчи-
бесчисленное множество корней: z — kn(k = 0, ± 1, + 2, ...).
При любом комплексном А Ф 0 замечаем, что множество кор-
корней нашего уравнения совпадает со множеством Л-точек целой
функции g(z) = ^^ = 1 — <тг+1[г+ • • • Легко видеть, что это —
целая функция порядка р = 1; так как ее порядок есть целое число,
то не исключена возможность, что для некоторого А = Ао Ф О
множество Л-точек функции g (z) и, следовательно, множества
корней уравнения sinz — Az = 0 будет конечным.
Для выяснения вопроса до конца введем целую функцию
VI 2! ' 4! ' ••• '
порядок которой равен -^ (что легко проверить, выражая si
через показательную функцию или пользуясь формулой, выражаю-
выражающей порядок р целой функции через коэффициенты степенного
ряда).
Полагая z = ]/"?, перепишем уравнение sinz — Лг = 0 в виде
sin У| А
VI
Очевидно, каждому корню ? Ф 0 этого уравнения будут соот-
соответствовать два различных корня первого уравнения. Поэтому
множество корней первого уравнения будет бесконечным, если
бесконечно множество корней второго. Но корни второго урав-
то отсюда будет следовать, что q (г) = const (р (г) = const), так как в про-
противном случае многочлен Q' (г) = — имел бы полюсы во всех нулях q (г),
что невозможно; поэтому и Q (г) = const (Р (г) = const). Но это противоречит-
условиям относительно Р (г) и Q (г).
Возвращаясь к соотношению (*), заключаем из него, что
(z)Q'(z) '
следовательно, рациональная функция, стоящая в правой части, не имеет'
ни полюсов, ни нулей в конечной плоскости, т. е. равна постоянной. Поэтому
Q (z) — P B) = const, и соотношение A.5:8) дает:
откуда Р (z) = const, и мы снова приходим к противоречию с нашими предпо-
предположениями относительно Р (z) и Q (г).

272 целые и мероморфные функции [гл. 7
пения суть Л-точки целой функции s'n^l^ дробного порядка р = 4-.
В силу доказанной теоремы множество их бесконечно-
Окончательно получаем, что уравнение
sin 2 — Лг = 0
имеет бесконечное множество 'корней при любом А (Ф оо).
§ 2. Разложение в бесконечное произведение. Связь
между ростом целой функции и ее нулями
2.1. Целая трансцендентная функция f (z) может не иметь
-ни одного нуля, либо иметь их только конечное число, либо обла-
обладать бесконечным множеством нулей. В первом случае она пред-
представляется в виде
во втором случае—в виде
где g(z) — также целая функция, г, ..., zm—различные между
,собой нули f (z) и &!,..., km — кратности этих нулей.
Рассмотрим целую функцию /(г), обладающую бесконечным
множеством нулей. Пусть z = 0 является Я-кратным нулем функ-
функции, причем в случае, когда /@)^=0, будем считать \ = 0. Так
«ак / (z) в каждом круге | г | < R < схэ имеет только конечное
число нулей, то все их можно перенумеровать в порядке неубы-
неубывающих модулей. Мы это и сделаем, повторяя каждый нуль
столько раз, какова его кратность. Получим последовательность
лисел
0, ..., 0, аи а2, ..., ап, ..., B.1 : 1)
х
где |ап[<|ап+1| и lim |а„| = оо.
П-ЮО
Докажем следующую теорему.
Теорема Вейерштрасса. Какова бы ни была сходящаяся
.к бесконечности последовательность не убывающих по модулю
комплексных чисел B.1 : 1), всегда существует целая функция f (z),
.нули которой совпадают с числами этой последовательности.
Доказательство. Для доказательства построим последо-
последовательность целых функций
() B.1:2)

§ 2] РАЗЛОЖЕНИЕ В БЕСКОНЕЧНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ 273
где Pk (z) — некоторые многочлены, и докажем, что эта последо-
последовательность при соответствующем выборе многочленов Pk (z) рав-
равномерно сходится в каждом круге | z | < R конечного радиуса
к функции f(z), удовлетворяющей всем условиям теоремы. Заме-
Заметим, что самый выбор функций gn (z) вполне естествен. Оче-
Очевидно, что ?„ B) имеет своими нулями числа
О, ..., О, «!, ..., ап,
т. е. первые члены последовательности B.1 : 1). При этом каждое
из указанных чисел берется столько раз, сколько оно встречается
в заданной последовательности. Следовательно, gn (z) обладает,
вообще говоря, кратными нулями с заданными кратностями. Что
касается множителей типа ep^z\ то они, не прибавляя новых
нулей, будут служить лишь для того, чтобы обеспечить равно-
равномерную сходимость последовательности B.1 :2).
Переходя к построению многочленов Ph (г), фиксируем произ-
произвольно круг \z\<R, и пусть N(R) -\-1 обозначает номер, начиная
с которого, все точки ап лежат вне круга радиуса, в два раза боль-
большего:
|а„|>2Я при n>N(R). B.1:3)
Представим gn (z) в виде
JV(fi)+l
1
Если |z|<;#, то в силу B.1:3)
г
при k>N(R). Сле-
довательно, Ln I 1—•—1 можно разложить в степенной ряд
Ln f 1 -) = ln f 1 ——) +2mni = 2mni—---^r- • . . —^r - ...
V ak ) \ ah) ah 2од ka\
Так как Ln ( 1 — J находится под знаком показательной функ-
функции, то, не влияя на результат, можно положить здесь /п = 0,
т. е. взять главные значения логарифмов.
Многочлен Pk (z) мы выберем так, чтобы он отличался только
знаком от суммы первых k членов степенного ряда для Ln f 1 ——\ у
т. е. положим:
Р^г)=^ + ^+---+^ (*=1. 2, 3,...).
*о А. И, Маркушевич

274 ЦЕЛЫЕ И МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ
Тогда будем иметь:
[ГЛ. 7
откуда
¦k+l
2^+2 2''
Итак, при сделанном выборе многочленов Р^ (z) ряд
2V(R)+1
равномерно сходится в круге |z|-</? и, следовательно, представ-
представляет в нем аналитическую функцию фд (z). Поэтому последова-
последовательность
п
также равномерно сходится внутри круга \z\<R (мы пользуемся
здесь непрерывностью показательной функции) и, следовательно,
представляет в нем аналитическую функцию / (г) = ^(н) B) X
X ехр [фя (г)]. Из того, что радиус круга R в этом рассуждении был
произвольным, вытекает, что последовательность {gn (z)} при сде-
сделанном выборе многочленов {Pk (z)} равномерно сходится внутри
любого круга с центром в начале координат и, следовательно,
/ (z) = lim gn (z) является аналитической во всей плоскости, т. е.
П~>оо
целой функцией. В каждом круге | г | -< R она имеет вид / (z) =
= gN(R) (г)-ехр [фя (г)], и так как ехр[фй(г)] не обращается в нуль
в этом круге, то f (г) имеет нули, общие с gN(R)(z)-
Но нули многочлена ^(Н) (z) суть все те точки последова-
последовательности B.1:1), которые лежат в круге |z|<2#. Следова-
Следовательно, внутри круга | z | < R нулями функции / (z) являются
все точки последовательности B.1:1), попадающие в этот круг,
и только эти точки.
Из сказанного вытекает, что построенная функция / (г) удо-
удовлетворяет всем условиям теоремы. Теорема доказана.
Функция, полученная при доказательстве теоремы Вейерштрасса,
имеет вид предела произведения
-) ехр (-?-+...+-4

§ 2] РАЗЛОЖЕНИЕ В БЕСКОНЕЧНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ 275
Последнее выражение записывают обычно, опуская знак пре-
оо
дела и употребляя символ бесконечного произведения JJ .
2.2. С помощью теоремы Вейерштрасса легко доказывается
следующее предложение:
Теорема. Каждая целая функция f (z) с нулями
О, .. ., О, аи а2, . . ., ссп, ¦ ¦ ¦
может быть представлена в виде
где g (z) — некоторая целая функция.
В самом деле, образуем по теореме Вейерштрасса целую функцию
имеющую нулями все нули функции / (г) и только их. Тогда
частное ^—г представит целую функцию, не имеющую нулей.
По теореме 1 п. 1.5 она должна иметь вид
ф (г)
где g B) — целая функция, откуда и следует формула B.2:1).
Общая формула B.2:1) значительно упрощается для целых
функций конечного порядка. Чтобы получить нужное упрощение,
изучим сначала соотношение между нулями и ростом целой функ-
функции, справедливое для любых целых трансцендентных функций.
Это соотношение вытекает из неравенства Иенсена (п. 4.1
гл. шестой).
Запишем его в виде:
n(r)dr ln M(R)
} г ^ I/ДО АИ Я*
(см. формулу D.1 :9') гл. шестой). Здесь и (г) обозначает коли-
количество нулей функции f(z) (исключая точку z = 0), лежащих
18*

276 ЦЕЛЫЕ И МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. 7
в замкнутом круге |z|<!r. Беря произвольное 6, О<0<1>
получим:
о ея ед
Поэтому
о
Перепишем это неравенство в виде
пFЯ) ^ 1 1пП/
1 ' In-г- In -д- In Af (/?)
что законно при всех достаточно больших R. Заставляя R неогра-
неограниченно возрастать и замечая, что
1- ln Я п
игл -:—.. ,n. — U
Н^оо inAf (R)
(см. (l.l : 4)), получим:
lim ."^. <-V- B.2:2)
Итак, количество л (QR) нулей целой трансцендентной функ-
функции в замкнутом круге |z|<;9/?, где 0<9-<1, асимптотически
(т. е. в пределе) не превосходит определенной, зависящей только
от 9, доли InM(R).
Пусть, в частности, /(z) —функция конечного порядка. Тогда
существуют положительные числа К и р такие, что
при всех достаточно больших R; поэтому из неравенства B.2 :2)
заключаем, что
1
1П 1
О
или, заменяя QR через R:

§ 2] РАЗЛОЖЕНИЕ В БЕСКОНЕЧНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ 277
Здесь 0 — произвольное число из интервала @, 1); восполь-
воспользуемся этим произволом так, чтобы правая часть неравенства
получила наименьшее значение. Найдем, что она достигает мини-
i
мума, равного Ke\i при 0 = е w , поэтому
^ B.2:2')
Если порядок функции равен р, то мы можем здесь положить
р + е и К=1 для любого е>0; получим:
Н->оо
Допуская, что р>0 и функция f (г) имеет кроме того конеч-
конечный тип а, положим в соотношении B.2:2') |i = p и К=а + е;
тогда будем иметь:
т.е.
Пусть функция f (z) имеет бесконечное множество нулей (только
этот случай и представляет интерес; в противном случае найден-
найденные неравенства тривиальны). Положим \an\ = R, тогда будем
иметь: n^n(R), и следовательно, наши неравенства могут только
усилиться, если заменить в них п (R) через л и \ап\ —через R.
Итак, для функции конечного порядка справедливы следующие
соотношения:
и, далее,
(р>0, о>0), B.2:2")
где е — любое положительное число.
Из первого из соотношений B.2:2") имеем:
ИЛИ
Р+2е
при всех достаточно больших п.

278 ЦЕЛЫЕ И МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. 7
Следовательно, ряд
оо
2 -Ц B-2 : 3)
1
сходится при А,>р + 2е, т. е. (в силу произвольной малости е)
сходится при X > р. /
Пусть вообще {?п} — произвольная, сходящаяся к бесконеч-
бесконечности, последовательность отличных от нуля и не убывающих
по модулю комплексных чисел. Рассмотрим ряд
где к— неотрицательное число.
Если этот ряд сходится при некотором к0 > 0, то, очевидно,
он будет сходиться и при всех больших значениях к (так как
числа -пг~г меньше единицы, начиная с некоторого из них) . Рас-
| fen I /
смотрим нижнюю грань тех значений л, для которых ряд схо-
сходится. Эта нижняя грань, представляющая неотрицательное число,
называется показателем сходимости последователь-
последовательности {?„} и обозначается т:
Если ряд B.2:4) расходится при любом А,>0, то полагают
т=оо и говорят, что показатель сходимости последовательно-
последовательности {?„} равен бесконечности.
Легко проверить, что для последовательности {еп} показатель
i_
сходимости равен нулю, для последовательности {л*} он имеет
значение т, а для последовательности {1п(л+1)} показатель схо-
сходимости равен бесконечности.
Покажем, что во всех случаях показатель сходимости может
быть вычислен по формуле
'"" , . B.2:5)
Пусть Ит-Г^-Г = афоо; тогда
Ш I УП I
е при п>п(е),

§ 2] РАЗЛОЖЕНИЕ В БЕСКОНЕЧНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ 279
I ОО
1 1
откуда -rjr-r<:n а+е и, следовательно, ряд V г сходится при
+ е. В силу произвольной малости е он сходится при лю-
любом А,>а, поэтому т-<а.
В частности, из того, что а — конечное число, вытекает, что
и т — конечное число. Предположим теперь, что т конечно,
и выведем отсюда, что а также конечно и не превосходит т.
оо
В самом деле, ряд 2 ДТ должен сходиться при любом
е > 0. Так как его члены не возрастают, то отсюда следует, что
Поэтому для всех достаточно больших значений л будем иметь:
In я
откуда при л —> оо находим:
In ft
е.
Так как здесь е произвольно мало, то а<т. Сравнивая с нера-
неравенством, найденным выше, получаем:
¦г.— In ft
т = а = hm -j—пгт ,
1П I In I '
„->оо
что и требовалось доказать.
Мы видели, что величины т и а являются конечными одно-
одновременно, следовательно, они и в бесконечность обращаются
*) Пусть, в самом деле, ряд ^ Yn> гДе Уп > Yn+i >0 (п= 1, 2, ...) схо-
1
дится. Тогда для любого е>0 должно существовать такое W(e), что при
tn^> N (е) и любом натуральном р выполняется неравенство
е
Ym+l + • • • + Ym+p < -g" •
Полагая здесь р = т и замечая, что Ym+i"b • • •+Y2m ^ mY2mi получаем
2<е при т>Л?(е); точно так же для р = т + 1 найдем: Ym+i + ¦ • •
¦ ¦ +У2т+1>(т+1) y2m+i> ym + ^-j yzm+u откуда Bm+ 1) Y2m+i< e при
~^> N (е). Следовательно,
lim nyn = 0.

280
ЦЕЛЫЕ И МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ
[ГЛ. 7
одновременно. Поэтому установленное соотношение справедливо
и для бесконечных значений т и а.
Вернемся к нулям целой функции. Мы нашли, что ряд B.2 : 3)
будет сходиться при всех А,>р. Отсюда следует, что показатель
сходимости х последовательности нулей целой функции порядка р
конечен и не превосходит р:
т^р. B.2:6)
Этот результат принадлежит Адамару. Обозначим через % наи-
наибольшее целое число, для которого ряд B.2 : 3) расходится. Так как
т есть показатель сходимости последовательности {ад}, то х-<т
и, следовательно, х<;[т]<; [р]. В силу определения числа и
ряд B.2:3) должен сходиться при Х = к^г\:
aft
IX+1
<оо
и расходиться при Х = х:
= оо.
Определим многочлены ph (z), полагая их тождественно равными
нулю в случае, когда х = 0, и равными
¦+...+¦
в случае, когда % > 1, и покажем, что произведение
представляет целую функцию, нули которой совпадают с нулями
функции f(z). С этой целью возьмем произвольный круг \z R
и пусть \ak\>2R при k>N{R). Тогда имеем
-2
p=i
гР-i
p-i
2RK+i
I «*

§ 2] РАЗЛОЖЕНИЕ В БЕСКОНЕЧНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ 281
ос со
Но ряд 2 -; s+Г сходится; поэтому ряд ^ Iln [I + vk(z)\ (
абсолютно и равномерно сходится в круге \z\<C R. Это означает
(см. т. I, п. 4.3 гл. третьей), что бесконечное произведение
оо
II n+wfc(z)] абсолютно сходится в указанном круге и пред-
JV(H)+1
ставляет в нем аналитическую, не обращающуюся в нуль
функцию фл (г). Окончательно получаем, что произведение
оо
z% Т7 ( 1 ) ePftB) абсолютно сходится в круге \z\<CR и пред-
1
ставляет в нем аналитическую функцию
которая обращается в нуль в тех и только в тех точках этого
круга, в которых обращается в нуль функция /(г) (нули обеих
функций имеют соответственно равные кратности). Из того, что
ср (г) имеет указанные свойства в любом круге | z | <C R, следует,
что ф (z) — целая функция, нули которой совпадают с нулями
функции / (г).
Составляя частное --jy и замечая, что оно представляет
целую функцию, не имеющую нулей, заключаем отсюда, что
<р (г) '
где g(z) — целая функция, или окончательно:
f (z) = e&W Д ( 1 - -^) е к Кпк ¦ B.2 : 7)
i
Такова формула, справедливая для любой целой функции
конечного порядка р. Ее преимущество перед общей формулой
B.2: 1) заключается в том, что степени многочленов, фигурирую-
фигурирующих в показателе каждого множителя, не возрастают бесконечно
вместе с й, но сохраняют одно и то же значение х<[т]<;[р].
В частном случае, когда и = 0 [это будет наверное так, если-
р<1, или если р>1, но т<1 или, наконец, если т=1 и ряд
оо
2 -: г- сходится) , многочлены pk(z) можно полагать равными

282 ЦЕЛЫЕ И МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. 7
яулю. Тогда формула B.2:7) приобретает особенно простой вид
оо
\\ (l—^) • B.2:8)
2.3. В этом пункте мы займемся дальнейшим исследованием
функций конечного порядка. Основной целью будет доказательство
следующего предложения:
Теорема Адамара. Если формулы B.2:7) или B.2:8)
изображают целую функцию конечного порядка р, то входящая
в них функция g(z) является многочленом степени не выше,
чем [р].
Z 2*
Доказательство. Положим ph(z) = (- . ¦ ¦ -f , если
к>1, и ph(z) — 0, если и = 0, и для произвольного R> 1 пере-
перепишем формулы B.2:7) или B.2:8) в следующем виде:
v(B)
V(H) g(z)+ 2 PftB) ~
где v(i^) обозначает наибольший из номеров тех чисел ah, модули
которых не превосходят R, так что [аА|<7?, если k^Cv(R)
и |aV(H)-|_i |> i?. Обозначим для краткости выражение, заключен-
заключенное в квадратных скобках, через gn(z). Тогда для |z| = 2# будем
иметь:
v(R)
МB/?)>|/B)|>B/?)^П (-f—1)|Ыг)|>|?л(г)|,
i
откуда
max\gR(z)\<MBR).
|г|=2Д
Так как gR(z) является аналитической (целой) функцией, то
в силу принципа максимума модуля в круге |2|</? будем иметь:
\gR(z)\^MBR). B.3:1)
Функцию gR (z) в круге [ z | < R можно представить в виде
где
v(R)
hR (Z) = g{z)+y\ Ph (Z) +
-функция, аналитическая в этом круге.

§ 2] ТЕОРЕМА АДАМАРА 283
оо
Заметим, что ряд 2 Г 'п ( ' ~) + Pk (z) 1 равномерно
(H)+i
V()+
сходится в круге | z \ <C R, так как модули его членов при доста-
достаточно больших п> N(R) не превосходят членов сходящегося ряда
2' 2 TZTT+T (см- стр. 280).
K+i
Из неравенства B.3: 1) вытекает, что
Re[hR(z)]<^\nMBR) при \z\<CR,
и, следовательно, в силу леммы 1 п. 1.5 тейлоровские коэффи-
коэффициенты функции hR (z) удовлетворяют неравенствам
hf @)
Си \ =
я!
<2'"""^-J („=i>2, ...),
где
Но числа сп можно получить, складывая коэффициенты при zn
в тейлоровских разложениях отдельных слагаемых, составляющих
hR (г) (см. т. I, п. 7.1 гл. третьей). Беря л>р>т>и и заме-
замечая, что ph(z) — многочлены степени х, получаем:
_ g("> @) v 1
n! ^-1
k=v(R)+i
Следовательно, при п > р имеем:
Устремляя здесь R к оо (при фиксированном л), найдем, что
правая часть неравенства стремится к нулю. В самом деле, для
р + е<л и достаточно больших R имеем:
М BR) < еBй)р+е,
т. е. \пМBR) <CBR)p+s и, следовательно,
lim 2[lnMBR)-a0] Q_
R-)-oo °П
оо
Кроме того, ряд 2 —тг сходится (так как л больше чем
оо
показатель сходимости т) и, следовательно, lim ^ —й~ = ^-

284 ЦЕЛЫЕ И МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. 7
0(П) (Q\
Окончательно получаем, что s ft, = 0, если п > р, откуда и сле-
следует, что g{z) есть многочлен степени не выше [р]. Теорема Ада-
Адамара доказана.
В качестве приложения этой теоремы выведем вновь разложе-
разложение sin z в бесконечное произведение. Мы знаем, что все нули
sin 2 суть простые. Располагая их в порядке неубывающих
модулей, будем иметь:
О, —я, я, ¦—2я, 2jt, ..., —kn, kn, ...
Очевидно, показатель сходимости последовательности этих
нулей т=1, причем ряд —-f_-j-. . . .f _ + -^+. . . расхо-
расходится, тогда как ряд -^j + ^r+ ¦ ¦ ¦ +-р^г +-^г т • • • сходится.
Поэтому число х здесь равно 1 и разложение sin z в бесконечное
произведение имеет вид
1
Так как порядок sin г есть 1, то по теореме Адамара g(z) есть
многочлен степени не выше первой:
g (z) = Ао + Axz.
Для определения коэффициентов Ао и Ai проще всего заметить,
что е*(г) = есть четная функция. Поэтому
1
= eA°~Alz, откуда e2Alz ss 1 и, следовательно, At = 0. Далее, пере-
переходя к пределу при z, стремящемся к нулю, получим еА«= 1
(т. е. А0 — 0 или вообще A0 — 2mni, где т — целое число). Итак,
e«« = 1 и
Это и есть нужный результат.
2.4. Выше мы установили, что для каждой целой функции
f (z) конечного порядка р показатель сходимости последователь-
последовательности ее нулей т не превышает р и что если к — наибольшее

§ 2] ТЕОРЕМА БОРЕЛЯ 285
ОО
1
целое число, для которого ряд 2 к расходится, то / B)
можно представить в виде
1
где р (z) — многочлен степени не выше [р], а Ри{г) — многочлены
2 2*
степени к, а именно: p(z) = \-. ..-\ , если х>1,
а& ко.*
и ph(z) = 0, если х = 0.
Теперь мы докажем предложение, которое является до некото-
некоторой степени обратным по отношению к предыдущему.
Теорема Бореля. Пусть целая функция f(г) имеет раз-
разложение
()»*<*>, B.4:1)
1
где показатель сходимости последовательности нулей {а&} есть
конечное число т, ph{z) —многочлены, имеющие то же определе-
определение, что и ранее, и, наконец, p{z) есть многочлен степени п.
При этих условиях f (г) есть функция конечного порядка р, при-
причем р совпадает с наибольшим из чисел х и п:
р = тах(т, п).
Далее, в случае, когда %<Z.n, или же в случае, когда ряд
2 сходится, f (z) является функцией конечного типа.
Доказательство. Теорема Бореля позволяет оценивать
сверху модуль целой функции B.4: 1). Чтобы получить нужный
результат, оценим сначала модуль каждого члена произведения.
Полагая — = ?, представим A —) ePft(z) в виде
Для | ?|<~ имеем:
<ехр

286 ЦЕЛЫЕ И МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. 7
где к' — произвольное число, не большее чем х -|-1. Если
где к" — положительное число, не меньшее чем х и С0 = С0(А,")> 1.
Отсюда следует, что при каждом Z, и для любого А,>0, такого,
что х <: к <! и -г 1, имеем
|g|M, B.4:2)
сходился. Если ряд
где L = :
Выберем к так, чтобы ряд
t «ft I
— сходится, то х <т<х-т- 1, и мы положим к = т; если же
j I "Я I
этот ряд расходится, то x-<T,<rx-j-l и к можно положить рав-
равным т + е, где 0<е<<х-Ъ1—т.
Заменяя в неравенстве B.4 :2) ? на —, получим для этого
значения к и для любых z и k следующее неравенство:
Заметим euj,e, что если р (z) = Ао-\- ... + Anzn, то для любого-
е>0
при \z | > г (е).
Следовательно,
оо
| / (г) | < ехр Г (| Л„ 1 + е) | 2Г Г + С ^ 1—Ц
Г
B.4:3)
Отсюда вытекает, что / (z) есть функция конечного порядка,
причем
р<тах(л, к).

§ 2] ТЕОРЕМА БОРЕЛЯ 287
Но к либо равно т, либо может быть взято сколь угодно близ-
близким к т. Поэтому
p<Imax(л, т).
С другой стороны, для функции конечного порядка должно
быть (по теореме Адамара)
и л<[р]<р;
поэтому
р = тах(л, х).
Заметим, наконец, что в случае, когда п > т, и, следовательно,.
р = л, мы можем взять т<А,<л и по неравенству B.4:3) будем
иметь при всех достаточно больших значениях \z\:
\f(z)\<exp(Ci\z\e),
откуда вытекает, что тип функции / (z) конечен. „
оо
Если же п-^.%, но ряд V, сходится, то можно положить
в неравенстве B.4:3) А = т, и снова будем иметь:
|/(z)|<exp(C2|z|P).
Таким образом, тип / (г) будет конечным также и в случае,,
когда л < т и ряд У\ сходится.
Из теорем Адамара и Бореля следует, что наличие разложе-
разложения вида
оо
/(г) = e*WY\ (l —)ехр (—+¦¦¦+^
l B
e<3e /) (г) — многочлен степени п и % — наибольшее целое число, для
оо
которого ряд "V. расходится, вполне характеризует целые
функции конечного порядка.
Очевидно, что если одна и та же функция / (г) допускает еще
одно разложение того же вида

288 ЦЕЛЫЕ И МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. 7
оо
где v — наибольшее целое число, для которого ряд 2 ^
j I PA I
расходится, то числа pft должны совпадать с соответствующими
числами ak (при надлежащем изменении порядка нумерации нулей
с одинаковыми модулями), v должно совпадать сии, наконец,
многочлен ц (г) может отличаться от р(г) только на слагаемое
вида 2mni (m — целое число).
В некоторых исследованиях по теории целых функций играет
роль наибольшее из двух целых чисел: пик. Это число обозна-
обозначается буквой р и называется родом целой функции
р = тах(я, х).
Из того, что р = тах(л, т) и т>х, следует, что р>р. Но
•т<и + 1 и, следовательно, p<;max(n, x) -f 1 = р-\- 1. Таким
-образом,
Р<9<Р+\
и, следовательно, выполняется одно из двух соотношений:
р = [р] или р = [р]— 1.
Читатель легко докажет, что последнее соотношение имеет
место тогда и только тогда, когда л<т, т есть целое число и ряд
оо
сходится.
В виде примера укажем две функции:
и
Для первой из них п = 0, т = х=1 и, следовательно,
р = тах(я, т) = 1 и р = тах (п, к) = 1 =р.
Для второй п = 0, т=1, х = 0 и, следовательно, р=1 и р = 0.
Итак, функции могут иметь один и тот же порядок (р=1)
и разный род (здесь р= 1 и р = 0).
Заметим, что функции нулевого рода вполне характеризуются
наличием разложения вида
где ряд 2 ^~ сходится.

« 2] УТОЧНЕНИЕ ТЕОРЕМЫ ПИКАРА 289
Из теорем Адамара и Бореля вытекает важная закономер-
закономерность, относящаяся к Л-точкам целой функции.
Пусть f (z) — функция конечного порядка р, причем р не есть
целое число. Тогда / (z) — А для любого комплексного А также
является функцией порядка р. Следовательно, справедливы раз-
разложения вида
/ (г) = e*Wz* Т[ A - -iL) exp (^
где
О, ..., О, а4, а2,
— нули функции f (г), a
— нули функции f(z) — A.
Пусть пят — степени многочленов g (z) и у (г), а т и тА —
показатели сходимости последовательностей {ak} и {pft}. Так как
порядки функций /(г) и f (z) — А одинаковы, то по теореме Бореля
мы должны иметь:
р = max (п, т) = max (m, xA).
Но в нашем случае р не есть целое число, поэтому рфп и
и, следовательно,
Итак, для целой функции f (г) дробного порядка показатели
сходимости последовательностей А-точек этой функции не зави-
зависят от А и совпадают с порядком функции р.
Это предложение существенно дополняет то, что дает малая
теорема Пикара (см. п. 1.5 настоящей главы). В самом деле, из
последней следует только, что уравнение
f(z)-A = O
имеет бесконечное множество корней при любом А, иными слова-
словами, что показатели сходимости для последовательности корней
положительны для любого А. Теперь мы можем утверждать, что
все эти показатели имеют одно и то же значение, совпадающее с р.
19 А. И. Маркушевнч

290 ЦЕЛЫЕ И МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. 7
Рассмотрим в качестве примера Л-точки функции S1" _ ,
порядок которой равен у . В силу доказанного можно утверждать,
что для любого Л показатель сходимости последовательности ее
Л-точек также равен -=¦. Пусть, в частности, Л = 0. Тогда Л-точ-
ками будут корни уравнения S1" _ = 0, т. е. члены последова-
Уг
тельности л2, BяJ, (ЗлJ, . . . Очевидно, показатель сходимости
есть у .
Для функций целого порядка возможно исключительное значе-
значение А = Ло, для которого показатель сходимости последователь-
последовательности Л-точек меньше чем р. Таким исключительным значением
(называемым борелевским) является, например, значение Ло,
принимаемое функцией лишь в конечном числе точек (п и к а р о в-
ское исключительное значение), так как для соответ-
соответствующих Л0-точек следует считать, что хАо = 0. Примером может
служить функция е\ не принимающая значения 0, или функция
p(z)ep(-z) (где p(z) и Р (г) — многочлены), принимающая значение 0
в конечном числе точек, равном степени многочлена p(z). Но
борелевское исключительное значение может и не быть пикаров-
ским, т. е. может приниматься функцией в бесконечном множестве
точек. Примером может служить функция второго порядка ez2sinz,
нули которой совпадают с нулями sin z и, следовательно, обла-
обладают показателем сходимости, равным единице. Здесь 0 является
борелевским исключительным значением, не будучи пикаровским
исключительным значением. Можно доказать, что двух борелев-
ских исключительных значений не может существовать, так что
и для функции целого порядка всегда выполняется равенство
%А = р, за исключением, быть может, одного значения Л = Ло, для
которого имеет место неравенство
§ 3. Разложение мероморфных функций на простейшие дроби
3.1. Мероморфные функции мы определяли выше как функ-
функции, представимые в виде частного двух целых функций:
Отсюда следует, что в конечных точках плоскости мероморф-
ная функция не может иметь других особенностей, кроме полюсов.
В. самом деле, особенности / (z) могут быть только в тех точках,
в которых h (z) обращается в нуль. Если в такой точке g (z) не

§ 3] РАЗЛОЖЕНИЕ НА ПРОСТЕЙШИЕ ДРОБИ 291
равна нулю, то мы получаем полюс для / (z). Если же g (z) также
обращается в нуль, то следует сравнить кратности данной точки
как нуля функций h(z) и g{z). Пусть z = t, является нулем
порядка у Для h (г) и нулем порядка б для g(z). Тогда для /(г)
будем иметь:
(
Y!
где ?(б) (?) ^ О и к{у)A)фО, откуда видно, что z = t, будет пра-
правильной точкой для /(г), если 6>y, и полюсом порядка у — б,
если 6<Y-
Так как нули знаменателя h (г) не могут иметь предельной
точки ни в одной конечной точке плоскости, то и полюсы функ-
функции f(z), содержащиеся среди нулей знаменателя h(z), не могут
иметь ни одной предельной точки в конечной точке плоскости.
Рассмотрим произвольную однозначную функцию F(z), не
имеющую других особых точек в конечных точках плоскости,
кроме полюсов. Если полюсы отсутствуют, то F (z) является целой
функцией и, следовательно, входит в класс мероморфных функ-
функций. Если существует по крайней мере один полюс, но всего
полюсов конечное число: ?4, ..., ?„, причем их кратности суть:
Yi, -.., Yn. то образуем многочлен Р(z) = (z — ^)Yi ... (z — %п)Ут1,
имеющий в полюсе ?_,• кратности yj нуль той же кратности. Тогда
произведение F (z) P (z) будет, очевидно, некоторой целой функ-
функцией G(z), откуда F(z) = -p^7, и мы снова убеждаемся в том, что
F (г) есть мероморфная функция.
Пусть, наконец, F (г) имеет бесконечное множество полюсов.
Заметим, что в каждом замкнутом круге К: |г|<;Т?<С со их может
быть только конечное число. Действительно, в противном случае
в К существовала бы предельная точка полюсов, которая, будучи
неизолированной особой точкой функции F (z), не может быть
полюсом. Но существование такой особой точки противоречит
определению функции F(z). Из того, что в каждом круге конеч-
конечного радиуса существует только конечное число полюсов функ-
функции F (z), вытекает, что все их можно перенумеровать в порядке
неубывающих модулей. Пусть t,u ?2, •••> In, ...—последователь-
...—последовательность всех различных между собой полюсов F (z) и Yi, Y2i • • •
.. ., Yn. ... —их кратности. Очевидно, lim ?„ = оо; следовательно,
по теореме Вейерштрасса о целых функциях, можно построить
целую функцию Я (г),^ которая будет иметь своими нулями только
точки t,j, причем каждая точка t,j будет Y^-кратным нулем H(z).
19*

292 ЦЕЛЫЕ И МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. 7
Тогда произведение F (г) Н (z) будет целой функцией G (г), не обра-
обращающейся в нуль ни в одной из точек ?_/. Мы получаем, что F (г)
и в этом случае представляется частным двух целых функций:
т. е. является мероморфной функцией.
Установленные предложения позволяют заменить принятое
нами определение мероморфной функции другим, эквивалентным:
Однозначная функция /(г) называется мероморфной, если она
не имеет других особых точек в конечных точках плоскости,
кроме, быть может, полюсов.
Если множество полюсов мероморфной функции является
бесконечным, то, как мы видели, оно не может иметь конечной
предельной точки и, следовательно, имеет единственную предель-
предельную точку в бесконечности. Итак, в этом случае бесконечно уда-
удаленная точка является неизолированной особой точкой функции
/(г), а именно, предельной точкой полюсов.
Пусть теперь / (г) имеет только конечное число полюсов.
Тогда бесконечно удаленная точка либо может быть правильной
точкой /(г), либо является для нее изолированной особой точкой
однозначного характера, т. е. полюсом или существенно особой
точкой.
Покажем, что в случае, когда z = оо есть правильная точка
или полюс мероморфной функции /(г), эта функция является
рациональной.
В самом деле, пусть %и ..., ?„ —полюсы функции f (z) (их
должно быть только конечное число, так как в случае бесконеч-
бесконечного их множества точка оо была бы предельной точкой полюсов
и, следовательно, не могла бы быть ни правильной точкой, ни
полюсом) и gi(z), ..., gn (z) — соответствующие главные части
лорановских разложений функции f (z):
где А-уфО так, что yj есть кратность полюса t,j.
Обозначим еще через g0 (г) многочлен, являющийся главной
частью лорановского разложения функции / (г) в окрестности
бесконечно удаленной точки (полагая g0 (г) = 0 в случае, когда оо
есть правильная точка функции /(г)), и пусть

§ 3] РАЗЛОЖЕНИЕ НА ПРОСТЕЙШИЕ ДРОБИ 293
В окрестности точки zj (/=1,2,..., п) мы можем предста-
представить ср (z) в виде
- [go (z) + gt(z)+...+ gj-i (z) + gJ+l (z) + ...+gn (z)\
и так как лорановское разложение разности f(z)—gj(z) по сте-
степеням z — t,j не содержит членов с отрицательными степенями
z — t,j, и каждая из функций, заключенных в квадратных скобках,
является правильной при z = Zj, то и ср (z) является правильной
в точке z = zj (/=1,2, ..., п). Отсюда следует, что ср(г)— функ-
функция аналитическая во всех точках плоскости, т. е. целая функ-
функция. Но в окрестности бесконечно удаленной точки ср (z) можно
представить в виде:
ср (z) = / (г)-g0 (z) - [gl (z) + .. , + gn (z)],
и так как лорановское разложение разности f (z) — go(z) по сте-
степеням z не содержит положительных степеней z и каждая из
функций, заключенных в квадратных скобках, является правиль-
правильной в точке z = oo, то и ср (z) является правильной в точке z~ со.
Но целая функция, имеющая правильную точку в бесконечно
удаленной точке плоскости, тождественно равна постоянной.
Итак,
/ (z) - S gj (z) = const = с,
о
откуда
f(z) = c+^gj{z), C.1:2)
т. е. / (z) есть сумма конечного числа рациональных функций
и, следовательно, сама есть рациональная функция.
Очевидно, предложение, обратное доказанному, также спра-
справедливо, так как рациональная функция либо является правиль-
правильной в бесконечно удаленной точке, либо имеет в ней полюс.
Мы обнаружили, таким образом, следующее характеристиче-
характеристическое свойство рациональной функции: мероморфная функция
является рациональной тогда и только тогда, когда бесконечно
удаленная точка служит для нее либо правильной точкой, либо
полюсом.
Полученная нами формула C.1 : 2) дает представление произ-
произвольной рациональной функции f (z) в виде суммы таких рацио-
рациональных функций, каждая из которых имеет лишь по одному по-
полюсу в расширенной плоскости (оо для g0 (z) и zj для gj (z)). Функ-
Функции эти являются главными частями лорановского разложения

294 ЦЕЛЫЕ И МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. 7
f (z) в окрестностях ее полюсов. Каждая из них представ-
представляется в виде суммы степеней (г или ) , которые называют-
ся простейшими дробями, а найденное нами разложение — раз-
разложением рациональной функции на простейшие дроби.
Мы увидим ниже, что аналогичные разложения по главным
частям можно получить для произвольной мероморфной функции.
3.2. В окрестности полюса ? кратности у f (z) имеет разло-
разложение
где рациональная функция ~ + ... Н—^- представляет
главную часть /(г) в точке ?.
Покажем, что как полюсы мероморфной функции, так и отно-
относящиеся к ним главные части можно задавать a priori так, что
всегда существуют мероморфные функции, обладающие наперед
заданными полюсами и заданными главными частями в этих
полюсах.
Теорема Миттаг-Леффлера. Пусть {?п} — сходящаяся
к бесконечности последовательность не убывающих по модулю
различных между собой комплексных чисел и {Gn (z)} — последова-
последовательность рациональных функций, из которых каждая имеет вид
А^\ А™
Gn(z) = 12_+.. .+7=f-.
так что точка Z,n является полюсом функции Gn(z) порядка уп,
причем другие полюсы у функции Gn (z) отсутствуют. Тогда
существует мероморфная функция f(z), имеющая полюсы в точ-
точках ?п и только в этих точках, и такая, что главные части
функции f (z) в точках ?п совпадают с заданными функциями
Gn(z).
Доказательство. Искомую функцию / (г) мы получим
в виде суммы ряда
/(z) = fj[GA(z) + P*(z)], C-2:1)
1
где Pk (г) — некоторые многочлены. Очевидно, Gk (z) + Ph (z) при
любом выборе многочлена Pk(z) есть рациональная функция,
имеющая полюс в точке t,u с главной частью, совпадающей с Gk (г).
Других полюсов в конечных точках плоскости она не имеет.

§ 3] ТЕОРЕМА МИТТАГ-ЛЕФФЛЕРА 295
Мы покажем, что многочлены Рп (z) можно подобрать так, что
оо
в любом круге \z\<R ряд 2 [Gft(z) + Pft(?)], полученный из
ЛС(Л)+1
ряда C.2: 1) путем исключения некоторого числа первых членов,
со
будет равномерно сходящимся. Пусть 2 Ч — сходящийся ряд
с положительными членами. Если ?4 = 0, то соответствующий
многочлен Pt (z) выбираем равным нулю. Пусть теперь ?& Ф О
(k>l). Так как Gk(z) является аналитической функцией в круге
|z|<|?ft|, то ее тейлоровское разложение
Gh (z) = 4ft) + A\h)z +...+ A(nh)zn +...
сходится внутри указанного круга и равномерно сходится в круге
(z|<y|?fc|. Выберем n = nh так, чтобы в последнем круге выпол-
выполнялось неравенство
\Gh(z)-[A<bh)+...+A™znk]\<?Bh,
и положим:
Тогда
\Gk(z)+Ph(z)\<zk, если |z|<i-|?ft|. C.2:2)
Пусть | z | < R — произвольный круг с центром в начале коор-
координат и iV (R) -\-1 обозначает номер, начиная с которого все
точки t,h лежат вне круга вдвое большего радиуса:
\U\>2R при k>N{R). C.2:3)
Рассмотрим ряд
S [Gh(z) + Ph(z)); C.2:4)
ЛЧН)+1
все полюсы t,h его членов удовлетворяют условию C.2:3), поэто-
поэтому -д-Kftl превосходит R и, следовательно, круг \z\<CR содер-
содержится в каждом из кругов J2| <-я-1 ?s I- В силу C.2:2) можем
поэтому утверждать, что
\]Gh(z) + Ph(г) |<ek, если \z\<R и k>N(R).
Отсюда вытекает, что ряд C.2:4) сходится абсолютно и равно-
равномерно в круге \z\<cR и, следовательно, представляет в этом

296 ЦЕЛЫЕ И МЕРОМОРФНЫЁ ФУНКЦИИ [ГЛ. 7
круге аналитическую функцию срл (г). Поэтому и сумма ряда C.2 : 1)
будет при сделанном выборе многочленов Pk (z) аналитической
в круге | z | < R. Ее можно записать в виде
/B)= 2 [Gk(z) + Pk(z)) + <vR(z),
О
откуда следует, что полюсы функции f (z) в круге \z\<ZR совпа-
совпадают с теми членами последовательности {?д}, которые лежат
в круге, причем главные части функции / (z) в точках ?& совпа-
совпадают с Gh(z).
Так как это заключение справедливо для любого круга | z | < R,
то отсюда следует, что сумма ряда C.2:1) есть мероморфная
функция, удовлетворяющая всем поставленным условиям теоремы.
Теорема Миттаг-Леффлера доказана.
Из нее как следствие вытекает следующее предложение:
Теорема. Произвольную мероморфную функцию f (z) с после-
последовательностью полюсов {t,k} и последовательностью соответ-
соответствующих главных частей {Gh (z)} можно представить в виде
суммы ряда
/ (г) = g (z) + S \Gh (z) + Ph (z)}, C.2 : 5)
l
где g(z)—целая функция, a Ph(z) —некоторые многочлены.
Для доказательства построим по теореме Миттаг-Леффлера
мероморфную функцию <p(z), имеющую те же полюсы и с теми же
главными частями, что и функция f (г); получим:
Очевидно, разность /(г) — ц>(г) представляет функцию g(z),
аналитическую во всех конечных точках плоскости, т. е. целую.
Отсюда вытекает, что
оо
f(z)=g (z) + Ф (г) = g (z) + S [Gk (г) + Ph (г)].
Заметим, что, как это следует из доказательства теоремы
оо
Миттаг-Леффлера, в каждом круге \z\<.R ряд 2 l^k(z)+Pk (z)]
iV(H)+i
будет равномерно сходящимся. (Для того чтобы говорить о схо-
сходимости, в частности о равномерной сходимости ряда C.2:5),
следует выделить из него конечное число первых членов,, имею-
имеющих полюсы в данном круге.)

§ 3] ТЕОРЕМА МИТТАГ-ЛЕФФЛЕРА 297
В качестве простой иллюстрации к теореме Миттаг-Леффлера
решим с ее помощью следующую задачу.
Пусть {t,h} — сходящаяся к бесконечности последовательность
не убывающих по модулю и различных между собой комплексных
чисел и {Ah}—произвольная последовательность комплексных
чисел; требуется построить целую функцию <p(z), принимающую
в точках ?ft значения Ak (#=1,2, ...).
Для решения задачи построим сначала, пользуясь теоремой
Вейерштрасса, целую функцию h (z), имеющую простые нули
в точках t,k и только в этих точках:
и вычислим значения ее производной h' (z) в точках ?д. Получим
последовательность отличных от нуля чисел {h' (?й)}. Далее на
основании теоремы Миттаг-Леффлера найдем мероморфную функ-
функцию ф(г), имеющую простые полюсы в точках {?„} и толька
A
в этих точках с соответствующими главными частями
Будем иметь:
где Pk{z) — надлежащим образом выбранные многочлены.
Очевидно, произведение h B) <р (г) представит тогда целук>
функцию / (z), удовлетворяющую условиям задачи:
lim[A(z)cpB)] = lim Г Н(г)г~'
ft' Ы Ah _ j
А'(Ы "
(/г=1, 2, ...).
3.3. В частных случаях разложения мероморфных функций
получаемые по теореме Миттаг-Леффлера могут быть заменены
другими, более простыми. Ряд примеров мы встречали ранее
в приложениях теории вычетов (п. 4.2, гл. IV). Рассмотрим здесь
несколько приложений формулы Вейерштрасса для целых функций.
Пусть, например, нужно построить мероморфную функцию f(z)r
имеющую простые полюсы в точках последовательности {?}(?^О)
с соответствующими главными частями =- .
2 ЬА

298 ЦЕЛЫЕ И МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. 7
Построим по формуле Вейерштрасса целую функцию ф(г),
имеющую простые нули в точках t,h-
1
z z^ '
где Ph (z) = -=—+...-) ^-. В частном случае, когда последова-
последовали kt,k
тельность {?„} обладает конечным показателем сходимости т и,
следовательно, существует наибольшее целое число х, для кото-
1
рого ряд У\ — расходится, можно брать вместо Ph (z) много-
члены Py,(z) одной и той же степени х:
Тогда будем иметь в каждом фиксированном круге \z\ <lR, где ряд
сходится абсолютно и равномерно:
N(R)
[ln
ЛГ(Я)+1
откуда
Очевидно, что / (г) = ^ . . и есть мероморфная функция
с простыми полюсами в точках t,k и с соответствующими "глав-
"главными частями =—. Многочлены, обеспечивающие сходимость

5 3] ТЕОРЕМА МИТТАГ-ЛЕФФЛЕРА 299
ряда, имеют здесь особенно простой вид
а в частном случае, когда существует наибольшее целое х, для
оо оо
которого ряд 2 и" расходится [и, следовательно, ряд 2гт—^+7
сходится] , можно брать:
Самую общую функцию F(z), решающую поставленную задачу,
можно представить в виде
^ ^]. C-3:1)
где g (z) — целая функция и vk = х или vA = & в зависимости
от того, обладает ли последовательность {^} конечным показа-
показателем сходимости или нет.
Построим еще мероморфную функцию, имеющую полюсы вто-
второго порядка в точках ?ft с соответствующими главными частями
, _. \2 • С этой целью дифференцируем почленно полученный выше
ряд (который, как это следует из способа его получения, будет
равномерно сходящимся в любом круге \z\<^R, если не принимать
во внимание конечного числа членов ряда, имеющих полюсы
внутри круга). Получим:
1 , 1 , 2г , , (vt — \)z*k~~ "l
Очевидно, функция Ф(г)=—F' (z) удовлетворяет условиям
задачи. Обозначая целую функцию g' (г) через h (z), будем иметь:
Рассмотрим, в частности, случай, когда ряд ^ . г |3 сходится.
Тогда можно положить vh = 2 (независимо от того, расходится

300 ЦЕЛЫЕ И МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. 7
оо
сходится ряд 2 \г 12 ) ' и мы будем иметь:
C:2)
или
1
Разумеется, для получения указанных формул не было необ-
необходимости в использовании формулы Вейерштрасса. Можно было
сразу искать функцию в виде
(в первой задаче) или
(во второй задаче) и подбирать затем многочлены Р^(г) так,
чтобы обеспечить сходимость рядов.
3.4. Рассмотрим область G расширенной плоскости, для опре-
определенности не содержащую внутри точки г=оо, и в ней после-
последовательность различных точек {?п}> все предельные точки кото-
которой принадлежат границе области G. Пусть, кроме того, дана
последовательность рациональных функций {gn(z)}, из которых
каждая имеет в расширенной плоскости единственный полюс
в точке ?п порядка уп:
Покажем, что существует функция /(г) однозначная и анали-
аналитическая в области G, за исключением точек {?п}> в каждой
из которых t,n она имеет полюс порядка уп, и с главной частью,
равной gn(z). Это предложение, принадлежащее также Миттаг-
Леффлеру, представляет, очевидно, обобщение теоремы п. 3.2,
соответствующей случаю, когда область G есть вся конечная
плоскость, так что граница G сводится к одной точке — бесконечно
удаленной.
Пусть рп — расстояние от ?,п до границы Г области G. Если G
не совпадает с конечной плоскостью (что мы будем предполагать),
то 0<рп<-|-оо. Не ограничивая общности, можно потребовать,
чтобы выполнялось условие lim pn = 0. Для этого достаточно
изменить надлежащим образом нумерацию точек {?п}- Сначала
перенумеровать те из них, для которых расстояние до Г не меньше 1,

§ 3] ОБОБЩЕНИЯ 301
затем те из оставшихся, для которых это расстояние не меньше х/2,
далее — те, для которых расстояние до Г не меньше 1/3, и т. д.
Обозначим через ап точку Г, ближайшую к ?„ (одну из таких
точек, если их несколько). Тогда | ?„ — ап | = р„ и в области
|? — а„|>р„ функцию gn{z), обращающуюся в 0 в точке z=oo,
можно разложить в ряд Лорана вида:
Мп) Мп)
Фиксируем последовательность положительных чисел {еп} так,
оо
чтобы ряд 2 гп сходился. Так как ряд C.4: 1) равномерно схо-
1
дится при \z — ап|>2р„, то существуют тп такие, что
тп С(п)
^1~—§ <гп при \z-an\>2pn. C.4:2)
Образуем ряд:
тп
{5
Пусть F — произвольное ограниченное замкнутое подмножество
области G и р — расстояние между F и Г. Тогда при n^>N(p)
будем иметь рп < ~ и, следовательно, все точки F будут при-
принадлежать области: \z — an|>2pn; ап?Г. Поэтому неравенства
C.4:2) будут выполняться при n^>N(p) во всех точках F.
Следовательно, ряд C.4 :3) равномерно сходится на каждом F czG
и представляет в области G однозначную аналитическую функ-
функцию f(z) с полюсами в точках t,n и соответствующими главными
частями gn (z). Теорема доказана.
Из нее можно вывести обобщение теоремы Вейерштрасса
о существовании целой функции с заданными нулями. Именно,
справедлива следующая теорема:
Для каждой последовательности точек {?„}, принадлежащей
области G и не имеющей предельных точек внутри G, и для
каждой последовательности натуральных чисел {кп} существует
однозначная аналитическая в области G функция h(z), нули
которой совпадают с точками {?„}, причем каждый нуль ?„
имеет кратности Яп.
Сохраняя обозначения предыдущей теоремы, построим функ-
функцию /(г), имеющую полюсами точки ?„, с соответствующими
главными частями gn = —\-. В таком случае разложение C.4 : 1)
2 — &П

302 ЦЕЛЫЕ И МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. 7
сведется к геометрической прогрессии:
Подбирая соответствующие числа тп, получим:
тп
7Пп— i
2j (z)j+1 J ¦
оо 7Пп— i
n=l j=l v '"
Если точка zo?G отлична от точек {?„}, то, интегрируя от г0
до г в области G, получим:
го и=1
+ Rn (z) — Rn (z0) J + 2niv(z)r
mn— 1
где^п(г)= У\ — (>"~a" V и v(г) —целое число. Положим,
наконец:
CXI
h B) = ехр ф (г) = П { ( г°~а" ' г _r" ) ехр '
C.4:4)
Функция /г (г) удовлетворяет всем условиям теоремы. В самом
деле, из способа ее построения вытекает, что бесконечное произ-
произведение равномерно сходится внутри области G, причем нулями
его служат только точки ?„ и каждая из них имеет заданную
кратности Хп.
Назовем функцию F (г), которую можно представить в обла-
области G в виде частного двух однозначных аналитических в этой
области функций G(z) и Я (г), мероморфной в области G.
Очевидно, функции, называвшиеся нами до сих пор мероморф-
ными, являются функциями, мероморфными во всей (конечной)
плоскости.
Если F (z) — мероморфная в G, то она не может иметь здесь
других особых точек, кроме полюсов. Так как эти полюсы должны
содержаться среди нулей функции Я (г) [F(z) = jfB)) » т0 они
не имеют ни одной предельной точки в области G. Отсюда выте-

§ 4] . ГАММА-ФУНКЦИЯ 303
кает, что полюсы функции F образуют конечное или счетное
множество точек области G. Чтобы убедиться в последнем, доста-
достаточно перенумеровать сначала все полюсы, расстояние которых
до границы Г не менее 1, затем те из оставшихся, расстояние
которых до Г не менее 1/2, и т. д.
Покажем, что любая функция / (z), не имеющая в области G
других особых точек, кроме полюсов, является мероморфной
в этой области. Заметим сначала, что множество полюсов не должно
иметь ни одной предельной точки внутри G, так как такая пре-
предельная точка была бы неизолированной особой точкой функ-
функции f(z), вопреки предположению о том, что /(г) имеет только
изолированные особые точки внутри области G. Если множество
полюсов является конечным и состоит из точек ^, ...,?„ с крат-
ностями аи . . ., ап, то, образуя многочлен p(z)~(z—Ci) •¦•
...B — tn)an и умножая на него f(z), получаем в произведении
функцию g(z) = f (z) p(z), аналитическую во всех точках области.
Поэтому f (г) = g' . — мероморфная функция в области G. Если
множество полюсов функции / (г) бесконечно, то по замеченному
выше это — счетное множество {?,п}> не имеющее предельных точек
внутри области G. Пусть уи у2> • • •> Yn. • • • —кратности полюсов.
Образуем тогда функцию h (z), аналитическую в области G, имею-
имеющую в каждой точке ?п нуль кратности уп и не имеющую ни одного
нуля, отличного от точек ?п. Тогда произведение / (z) h (z) пред-
представит некоторую функцию g(z), аналитическую в области G,
и мы снова будем иметь, что f (z)= s. ,z.—функция, мероморфная
в области G.
Из доказанного следует, что функцию, мероморфную в данной
области, можно определить также как такую, которая не имеет в
этой области других особых точек, кроме, быть может, полюсов.
§ 4. Гамма-функция
4.1. Гамма-функция Г (г) является наиболее простой
и наиболее важной из бесконечного множества мероморфных функ-
функций, посредством которых понятие факториала л! распространяется
на случай произвольных комплексных г. В силу исторических
причин эта функция, введенная в науку Эйлером, определяется
так, что значение л! получается при z = n-\-\, то есть Г(/г+ 1) = л1
Следовательно, характерное для факториала соотношение
п-(п— 1)! = л!
записывается для гамма-функции так:

304 ЦЕЛЫЕ И МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. 7
Кроме того, для ГA) мы должны иметь:
ГA) = 0! = 1.
Займемся построением этой функции, потребовав прежде всего,
чтобы она удовлетворяла соотношению
при всех комплексных г. Итак, мы будем отправляться в опре-
определении гамма-функции от функционального уравнения
zf(z) = /(z+l), f(l) = l. D.1:1)
Однако это условие еще недостаточно для полного определе-
определения функции. В самом деле, если f0 (г) —какая-либо мероморф-
ная функция, для которой
то для отношения ср (г) = [ . получаем:
/о (г)
т. е. ф(г) — мероморфная функция с периодом 1, обращающаяся
в 1 при 2=1.
Беря такую функцию произвольно, мы представим любую
из функций /(г), удовлетворяющих D.1 : 1), в виде
Применим соотношение D.1:1) к значениям г, 2+1, ...
..., 2 + п—1 (п — натуральное число) и перемножим полученные
равенства; найдем:
z(z+\) ... (z + n-l)f(z) = f(z + «). D.1 :2)
Отсюда при 2=1 получим:
) = л!, . D.1:3)
т. е. в точках 2 = 2,3, ...,п+ 1, ... значения /(г) совпадают
со значениями факториалов: 1!, 21, ...,л!, ... (это верно и для
г=1, так как /A)=1=0!). Заставляя z в соотношении D.1 : 2)
стремиться к — (л— 1) = —m(m = 0, 1,2, ...), получим:
= J^w = ^f-. D.1:4)
Следовательно, f(z) должна иметь простые полюсы во всех
точках г= — m(m = 0, 1,2, ...) с вычетами, равными -—j— .

§4] ГАММА-ФУНКЦИЯ 305
Подчиним / (z) дополнительному условию
f (z) не имеет полюсов, отличных от z= —т
(/тг = 0, 1,2, ...), и не имеет нулей
Если некоторая функция f0 (z) удовлетворяет двум условиям
{4.1 : 1) и D.1 : 5), то функция g . /о (г), например, удовле-
удовлетворяет D.1 : 1), но не удовлетворяет D.1 :5), так как она имеет
бесконечное множество мнимых нулей и полюсов. Однако наряду
с fo(z) тем же условиям D.1 : 1) и D.1 : 5) удовлетворяет каж-
каждая функция вида cp(z)/0(z), где ф(г) — целая функция с перио-
периодом 1, обращающаяся в 1 в точке г = 1 и не имеющая нигде
нулей.
Итак, известный произвол в построении гамма-функции еще
остается и после введения условия D.1 : 5). Пользуясь этим усло-
условием, мы можем утверждать, однако, что функция
-^ D.1:6)
является целой с простыми нулями в точках г=—т(т = 0, 1, 2, ...),
причем других нулей, кроме указанных, она не имеет.
Поэтому ее можно представить в следующем виде:
D.1:7)
г
где g(z)— целая функция (при выборе множителей е т, обеспе-
обеспечивающих сходимость произведения, мы пользуемся тем, что ряд
со
2 —г сходится) . Следовательно, каждая мероморфная функция
1
f(z), удовлетворяющая условиям- D.1:1) и D.1:5), должна
иметь вид:
f (*) = е~^ — ! г- . D.1 : 8)
Очевидно, она удовлетворяет условию D.1 :5) при любом
выборе целой функции g{z).. Чтобы исследовать условие D.1 : 1)>
20 А. И. Маркушевнч

306 ЦЕЛЫЕ И МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. 7
представим формулу D.1 :8) в виде
D.1:9)
Полагая для краткости
получим:
= lim {г + п+ 1)ехр Г -
Здесь С обозначает известную постоянную Эйлера
и
С= Ига (У,-—Inn) =0,5772... *).
Итак, мы удовлетворим функциональному уравнению D.1 : 1),
если подчиним целую функцию g(z) условию
g(z-j-\) — g(z) = C + 2kni (k — целое число).
Кроме того, условие f(l)=l дает:
1= lim fn(l)= Hm — i, =exp(-g(lLC),
'+7Г
*) См. Г. М. Фихтенгольц, Курс дифференциального и интеграль-
интегрального исчислений, т. II, п. 367, М , «Наука», 1966.

§ 4]
ГАММА-ФУНКЦИЯ
307
о.
20*

308
откуда
ЦЕЛЫЕ И МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ
(/ — целое число).
[ГЛ. 7
Простейшей из целых функций, удовлетворяющих найденным
условиям, является целая линейная функция
Мы завершим определение гамма-функции, если произведем
именно этот наиболее простой выбор функции g(z). Обозначая
Г-4 S -Z -/
гамма-функцию через Г (z), будем иметь по формуле D 1 :8):
Г{г) = е-с*— ? -. D 1:9)
1
п о+?
Для целой функции -ут* получим:
оо
Г(г) "б 1-
D 1:10)

§ 4] ГАММА-ФУНКЦИЯ 309
Так как здесь показатель т сходимости последовательности
нулей равен 1 и степень многочлена Cz также равна 1, то по
теореме п. 2.4 порядок этой функции равен 1.
Наглядное представление о поведении функций Г (г) и „ ¦
дают рельефы этих функций, изображенные на рисунках 37 и 38*).
Из формулы D.1:10) следует важное соотношение, связы-
связывающее Г (г) и sin яг:
Г (г) Г (-г) 1.
л
ИЛИ
1 sin лг
г8|плг, D.1:11)
Г(г)[-гГ(-г)] л '
Но по формуле D.1:1) — гГ (— г) = ГA—г), поэтому
1 sin яг
~Т(г)ГA-г) =~Г~ '
ИЛИ
Г(г)ГA—г) = -т^—. D.1:11')
v ' v ' sin лг v '
Отсюда, в частности, получаем:
Йт)Г=-
и так как по формуле D.1:9') Г (-^А > 0, то
ГD")-Кя. D.1:12)
Формула D.1 :9) при g(z)^=Cz дает следующее представление
для гамма-функции:
п!ехР B-^Г~ с)
и так как lim ( ^ Inn —С] = 0, а ехр(гInn) = лг, то
*) Рисунки заимствованы из «Таблиц функций» Янке и Змде.

310 ЦЕЛЫЕ И МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. 7
Эта формула была получена впервые Эйлером и поэтому
должна называться его именем (в учебниках она обычно фигу-
фигурирует под именем Гаусса).
4.2. В этом пункте мы дадим важнейшие интегральные пред-
представления для гамма-функции. Прежде всего докажем, что при
Re z > 0 имеет место формула
^tt1-1dt, D.2:1)
где интегрирование производится вдоль положительной части
действительной оси. Эта формула также принадлежит Эйлеру
(эйлеров интеграл второго рода).
Рассмотрим интеграл
^ertt:-1dt, D.2:2)
о
где f обозначает ехр [(г—1Iп/]. Вследствие того, что
интеграл этот абсолютно сходится для каждого г, принадлежа-
оо
щего области D: x = Rez>0 При этом функция \e~ttx~1dt
о
равномерно ограничена внутри области D, т. е. на каждом огра-
ограниченном и замкнутом множестве точек этой области. Отсюда
и из того, что e~'tz является целой функцией от г при каждом
t, 0<^<оо, заключаем по п. 1.2 гл. четвертой (т. I), что F (г)
есть аналитическая функция в полуплоскости D. Прежде чем
доказывать равенство D.2:1), докажем вспомогательное соотно-
соотношение
fl --Yf^dt. D.2:3)
Производя замену переменной интеграции t=-ni в интеграле
п
Fn (z) = I A - 4) " t2'1 dt> получим:

§4] ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ 311
или после n-кратного интегрирования по частям:
1
"l~ г(г+1)...(г + п) '
и
Но отсюда вытекает, что формула D.2:3) совпадает с фор-
формулой D.1:13) (при Rez>0) и, следовательно, справедлива.
Теперь остается доказать, что
F(z) = UmFn(z), z?D
П->оо
или что
п
г~1^ = 0, z?D D.2:4)
(так как F (z) = lun \ e-'f-1 dt^
Замечая, что при \t\<c.n:
t
получим:
следовательно,
Поэтому
П оо
Т e-ltx+1 dt,
откуда и вытекает D.2:4). Итак, соотношение D.2:1) доказано.
Представим формулу D.2: 1) в следующем виде:
, Rez>0. D.2:5)

312 ЦЕЛЫЕ И МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. 7
Заменяя в первом из интегралов правой части функцию ег ее раз-
разложением в степенной ряд и интегрируя почленно, получим:
Ф (г) = I е-Н- dt = 2 Чг Itm dt = % Щ^) • D-2 : 6)
О 0 0 О
Мы установили эту формулу при Rez>0. Но получившийся
ряд сходится абсолютно и равномерно в каждой ограниченной
области, исключая из нее точки 0, —1, — 2, ... Поэтому он
представляет функцию <p(z), однозначную и аналитическую во
всей конечной плоскости, исключая точки 0, —1, —2, ...г
в которых ф (г) имеет простые полюсы. Следовательно, <р (г) —
мероморфная функция. Очевидно, вычет <р (г) относительно полю-
са — т есть -—~—, т. е. совпадает с вычетом Г (г) относитель-
относительно того же полюса. Следовательно, разность Г (г)— <р (z) есть
целая функция. Из формулы D.2 : 5) вытекает, что в области D
оо
эта разность представляется интегралом Ke'H^dt. Но этот инте-
интеграл, как легко видеть, абсолютно сходится при любом z и пред-
представляет целую функцию во всей конечной плоскости. Итак, при
любом z имеем:
оо оо
^$г('*-1«"- D-2:7)
Переход от формулы D.2 :5) к формуле D.2 : 7) основан на
замене интегрального выражения мероморфной функции ср(г), схо-
сходящегося только в полуплоскости D, ее разложением на простей-
простейшие дроби, сходящимся во всей плоскости. Очевидно, формула
D.2: 7) представляет разложение на простейшие дроби функ-
функции Г (z).
Выведем еще одно интегральное представление для Г (г).
Обозначим через G область, границей которой является отрица-
отрицательная часть действительной оси (включая в нее точку z = 0),
и рассмотрим интеграл
I 't-zdt, D.2:8)
где контур уп состоит из отрезка отрицательной полуоси — л<:
<7<— е(е>0), из окружности |г| = е, пробегаемой против,
часовой стрелки, и, наконец, из того же отрезка отрицательной
оси, пробегаемого в направлении от точки t= — е к точке t--= —п.

§ 4] ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ 313'
Мы отличаем при этом отрезок —n*Ct*C—е, когда он встре-
встречается в первый раз, от того же отрезка, встречающегося второй
раз, рассматривая его то как нижний, то как верхний край раз-
разреза вдоль отрицательной полуоси. Определяя функцию t~z
в области G по формуле ^~z = exp(— zlnt), мы полагаем в точках
нижнего края разреза /~z = exp( — zln|/|-j-mz), а в точках верх-
верхнего края разреза ^~г = ехр ( — г In \t\— inz).
При этих условиях формула D.2:8) определяет функцию,
однозначную и аналитическую во всей конечной плоскости, т. е.
целую. Очевидно, последовательность {г|;п (г)} равномерно сходится
в каждой ограниченной области плоскости, так как при \z\<R
имеем:
I
-(n+V)
—n
nz)dt <2 С exp(t—x\n\t\+n\y\)dt =
-(n+P) -(n+p)
n+p n+p
§ l dt < 2еяЛ \ e~ltRdt,.
откуда и вытекает равномерная сходимость этой последователь-
последовательности. Поэтому lim г|з„ (г) = я|з (г) есть целая функция, представ-
П->оо
ляемая несобственным интегралом
е'<-гЛ, D.2:9)
где у(е) состоит из полупрямой — оо</-<— е, окружности |г| = е
и еще раз той же полупрямой, пробегаемой в обратном направ-
направлении.
Убедимся в том, что я|з (г) не зависит от е; в самом деле,.
разность интегралов D.2:9), взятых вдоль у(Е) и у(Г|) (е> Л > 0),
выражается интегралом \ett~zdt, взятым вдоль замкнутого кон-
контура, состоящего из двух окружностей [г| = е и |г[ —т) и дважды
пробегаемого отрезка —е</<:—т], соединяющего их точки.
В силу интегральной теоремы Коши этот интеграл равен нулю,
(достаточно представить интеграл в виде суммы двух интегралов,
взятых вдоль полуколец, на которые рассматриваемый контур
делится положительной частью действительной оси, и затем при-
приложить теорему к каждому полукольцу в отдельности). Отсюда
следует, что интеграл D.2:9) не зависит от е.

314 ЦЕЛЫЕ И МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. 7
Пусть теперь х<С\ и |^| = eei(f, где е<1; заставим е стре-
стремиться к нулю. Так как \еЧ'г | = ехр (scoscp + ^ln—[-срг/J <
У1, то
0 при
z<l можно п
(z) = J '
|г|=Е
Следовательно, 1KB) при Rez<l можно представить в виде
¦у(О)
•где Y<0) есть отрицательная часть действительной оси, пробегаемая
дважды во взаимно противоположных направлениях. Точнее
говоря,
о о
\р (z) = \ exp (t — 2 In 111 + zni) dt— \ exp (/ — 2 In | /1 — zni) dt =
^ ~'Гг dt = (ezni — e~zni) [ e-W1-*)-1 dt.
о о с
Так как при Re2< 1 имеем: ReA—2)>0, то по формуле
оо
0.2:1) интеграл ^е~Ч^-^~{ dt равен ГA—z).
Следовательно,
у (z) = 2i sinnzT (\— z);
по формуле D.1 : 1 Г) это соотношение можно переписать в виде
1 _ Ч> (г)
Г (г) " 2лг '
Последняя формула доказана нами только для Re 2 < 1; но
так как обе функции и ^ являются целыми, это равен-
равенство должно иметь место во всей конечной плоскости. Заменяя
ip (z) интегральным представлением D.2:9), также справедливым
при всех значениях 2, найдем:
Заменяя здесь z через 1—z и пользуясь формулой D.1 : 1Г),
получим:
t't^dt. D.2:11)
(e)

§ 4]
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
315
Заметим, что для любого a, -^-<^a<in, контур у(8) можно
заменить контуром у(Е)(а)> состоящим из прямолинейного луча
¦arg^=—а, |^|>е, дуги окружности jz| = e, определяемой усло-
условием |arg^|<;a, и из симметричного с первым относительно
действительной оси прямо-
прямолинейного луча arg^ = a,
111 > е.
Проверим это для фор-
формулы D.2:10). Интеграл
„—-.\eit~zdt, взятый вдоль
каждого из двух замкнутых
контуров Гд и Гд, имеющих
вид криволинейных прямо-
прямоугольников (рис. 39), равен
нулю. С другой стороны
интегралы о~~ \ е* z dt,
взятые вдоль каждой из
двух дуг Сд и Сд окружности \t\ = R, входящих в состав Гд
и Гд, стремятся к нулю при R—> со, так как на этих дугах имеем:
1 eltz | = exp (R cos 6 — х In R + уд) <
<: ехр [ — R cos (я — а) — х
Переходя к пределу при R —-> со в соотношениях
" elt-z dt = 0,
Рис. 39.
= O и
2ш
взятый вдоль пути, состоя-
состояполучаем, что интеграл ~—\e4~zdt,
щего из нижнего края разреза —оэ<^-<—ей из дуги окруж-
окружности |^| = 8, определяемой неравенством —n-<arg^^—а, равен
интегралу от той же функции, взятому вдоль луча arg^=—а,
j^|>s. Аналогичное обстоятельство имеет место для пути, состо-
состоящего из верхнего края разреза —oo-<z1<;e и из дуги окруж-
окружности |?| = е, n>arg/>a и луча arg/ = a,
Отсюда следует, что
1
t\>&.
ш I
при всех г, т. е.
1
Г (г) 2ni
e4-zdt.
D.2: 10')

316 ЦЕЛЫЕ И МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. 7
Аналогично
4< Л-"-Ч/. D.2:1 Г)
4
sm яг
4.3. Исследуем здесь асимптотическое поведение гамма-функ-
ции. Предварительно нам понадобится элементарное соотношение
между суммами и интегралами, представляющее частный случай
формулы суммирования Эйлера.
Пусть /(^ — функция, определенная и непрерывная при t>0
вместе со своей первой производной. Тогда для любого натураль-
натурального числа k имеем:
f(k)~ jj I
ft-1 fc-1
Й-1
Пусть [t] есть целая часть t, a t — [t] = {t} —дробная часть t;
тогда для k>t>k — l имеем: k = [t] + \ и / — fe + у = {/} — у .
Очевидно, что {Y}—=- есть периодическая функция с периодом,
равным единице, непрерывная при всех t, не равных целому
числу, и удовлетворяющая неравенству
Заменяя и—^ + ~о~) П°Д знаком интеграла через {t}—^-(значе-
{t}—^-(значения этих двух функций различны только при t = k; такое разли-
различие не влияет на величину интеграла), получим:
fc-1 fc-1
Складывая полученные равенства для k= I, 2, ..., п, найдем:
та n n
-~ 2
1 о
ИЛИ
-±]dt. D.3:1)

§4] АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ 317
Это и есть нужное нам равенство.
Воспользуемся теперь формулой Эйлера D.1 : 13)
п / \ 1- n\nz
Г(г)^г(г+1)
где лг = ехр (гInn); получим:
п
1п-^ = Нт Г 2 0п(г + Л)-1пA+
где тп — некоторые целые числа.
Считая точку г фиксированной и не лежащей на отрицатель-
отрицательной полуоси (включая в нее и начало координат), применим фор-
формулу D.3:1) к функции 1п(г + 0"> найдем:
п
(замечая, что \ ln(z-f t)dt = (z + ri) In (z + n) — z\nz — n\
0
n n m
^ \n(z + k)= (г+П+у) In (Z + n)-(z-T) 1П2-Л+ J-^Л.
0 0
Положим здесь г = 1 и полученное равенство вычтем почленно
из данного равенства, найдем:
n + y) In(z + n)-
их
Следовательно,
— (z—g-) lnz-(z-l)lnn + /n(z)-/n(l) + 2rn-mn] , D.3:2)
где
-dt.

318 ЦЕЛЫЕ И МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. 7
Перепишем группу членов в квадратных скобках, содержащую
логарифмы, зависящие от п, в следующем виде:
z+n
3\
2)
l+z
z-j-n
1+n
dz _
dl
где интегрирование можно вести, например, вдоль отрезков пря-
прямых. Отсюда вытекает, что вся эта группа стремится к пределу
(г— 1) при п—>оо.
Преобразуем, далее, выражение для /л(г).
С этой целью заметим, что
и, следовательно,
Поэтому ср (t) есть непрерывная периодическая функция с перио-
периодом, равным единице, принимающая действительные значения,,
удовлетворяющие неравенству:
n if\
f* 9
Интегрируя \ - y_^ t dt по частям, получим:
о
откуда следует, что

§ 4] АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ 319
Учитывая сказанное, можем переписать формулу D.3:2) в виде
ш\ш <4:з:з>
о о
где т (г)— целое число.
Убедимся сначала в том, что если g&:x<i8, |г/|<б есть
фиксированная полуполоса ширины 26, содержащая отрицатель-
отрицательную часть действительной оси, то для всех точек z, не принадле-
принадлежащих g6, имеем:
В самом деле,
з@ dt
(f(t)dt
<С'(б)<оо.
D.3:4>
_ 1 Р
0
dt
0 0 0
Если х<8 и |г/|>8, то последний интеграл, равный
I-7г—
arct
будет меньше чем sj-\ если же лг>6, то
= 8*%б'
о о
Итак, наше соотношение доказано и притом для С (б)
Отсюда следует, что
D.3:3')
где
46
, если
Этой формулой можно пользоваться, в частности, вдоль любого
фиксированного луча argz = a, где 0<[а|<я (при |г| доста-
достаточно больших). Поэтому вдоль такого луча имеем:
In1
г(г) I
= -cosa;
т. е.
ехр [ (— cos a + е) | z | In [ z | ]:
Г (г)
- > ехр [(— cos а — е) | z \ 1п | г |

.320 ЦЕЛЫЕ И МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. 7
для всех | z | достаточно больших. Отсюда вытекает, что целая
функция , порядок которой, как мы знаем, равен 1, обла-
обладает максимальным типом (а=оо), т. е. для нее не существует
таких положительных постоянных С я К, чтобы неравенство
выполнялось для всех г.
Выведем оценку для модуля , годную для всех г с достаточно
¦большим модулем. Фиксируя число 6 > О, найдем по формуле D.3:3'), что
в любой точке г = рега, лежащей вне полуполосы g6:
ln ,„. ,-„ч=Фр (a) + -s-lnp + C(peta)-l, D.3 : 5)
где
Фр (а)= — р (In р—1) cosa + Ра sin a.
Оценим max Фо (а); при этом будем считать р достаточно большим (во вся-
[-я.+л]
ком случае р>ея). Замечая, что фр (а) — четная функция, рассмотрим ее пове-
поведение на сегменте [0, я]. Имеем: ф' (а) = р (In p sin a + ct cos а) и фр (я) =
= —ф„@) = рAпр — 1); так как ф' (я)< 0, то max ФР(а) = max фр (а)
р [-я, я] [0,я]
достигается в некоторой точке ар ? @, я). Легко видеть, что ар является
единственным в интервале @, я) корнем уравнения
аР
In psinap + «p cosap = 0, или tgap=—
:
Положим ар = я — Рр, тогда
¦откуда 0 < РР < j— , т. е. рр = -^— , где 0 < 0р < 1. Из уравнения для Рр
вытекает, что lim In p tg рр = я; поэтому Пт1пр-Рр = я, т. е. lim dp=l.
р->-оо р ^оо p-voo
Следовательно, для любого е>0 20р>2 —е, если р достаточно велико.
Заметим еще, что
1
2 (
Поэтому
max Фр(а) = фр(я —рр) =
Г-я, я]
= plnpcosPD 1—-: \-Т. -„ 1
v v Mp L Inp (lnpJ V я / J

4] АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ 321
oi nl~i_±_^L^i^j "I Г|_
М PL 2 AпрJ"^AпрK"! J L
я» B*р-1)
U^J 2(lnpK
' ,
lnp+
lnp T2(lnpJ 2(lnpK
при всех р достаточно больших. Следовательно,
. 1 - (Э ! Jl2p Jt2p A—8q)
| Г 'peia) | P "ТТ2 lnp 2 (In pJ '
т. e.
1
I Г (peia) | <
где Eq = 2e, причем z?g6 и р достаточно велико.
Пусть теперь-z = реш ? g&, причем a = pcosa<^ — 6; тогда p|sina|<^6
и —2 = рг'(а±я' 6 ^V Воспользуемся формулой D.1:11); из нее следует:
In • : = ln f-ln p + ln | sin (лре'а) I — In
или, заменяя In ... ,„. по формуле D.3:5):
I Г trip *¦ -*- Л I
In :— = ln 1--jr- In p -f- In I sin (лрега) I — ф0 (a ± л) — С (ре^а±я)
\Г(рега)\ « 2
Из проведенного выше анализа ясно, что
min фр (a)= —р (lnp—1), т. е. — фр (а ± п)<; р (In p— 1).
г—я, я]
Замечая еще, что в данном случае
получаем:
sin (яреш) | <; ch (яр | sin a | )<; ch лб,
1п Гг / ' ta i < Р Aп Р- ') +Т 1п
для z ? g§ и всех р = |г| достаточно больших. Иными словами, в полуполосе
верна оценка:
| Г (ре ) |
Отсюда вытекает, что оценка D.3 : 6) применима и в области g6, т. е. нера-
неравенством D.3: 6) можно пользоваться во всех точках плоскости без всяких
ограничений, если только |г| = р достаточно велико.
21 А. И. Маркушевич

322 ЦЕЛЫЕ И МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. 7
Вернемся к формуле D.3:3). Пусть е — положительное число,
меньшее чем я; обозначим через De область |argz|<rt — e; в этой
области
В самом деле, для сколь угодно большого А > 0 можно
указать такое R(A, г), что точка г, принадлежащая Ds и лежа-
лежащая вне круга |г|<;/?(А, е), будет вместе с тем лежать и вне
полуполосы ?д (это утверждение немедленно следует из того, что
часть g-д, находящаяся в De, представляет ограниченное множе-
множество). Отсюда вытекает по предыдущему, что
I F Ф Wdt
о
если z?De и | г|> R (А, е); следовательно, соотношение D.3:7)
справедливо.
со
„ f ш(()Й ^
Вычислим, наконец, постоянное \ 7. , tJ = со- ^ этой целью
о
заметим, что по формуле D.1 : 11)
1 _ г sin яг
Г (г) Г (-г) - п '
откуда для z = iy получаем:
1 у sh ny
T(iy)T(-iyY
Но Г( — iy)-T(iy) (в силу того, что Г (г) принимает действи-
действительные значения при г действительных, как это следует, например,
из формулы D.1:9')); поэтому полученное соотношение записы-
записывается так:
1 у sh ny
I Г (iy) |я = л •
Полагая z = iy, г/>0, в формуле D.3:3) и отделяя в ней
действительные части, получим:

§ 4] ФОРМУЛА СТИРЛИНГА 323
или
оо
Переходя к пределу при у —> оо и замечая, что по доказанному
выше
найдем:
с0 = -j In 2л — 1.
Окончательно формула D.3 : 3) принимает вид
)- D>3:8)
Эта формула называется формулой Стирлинга.
Ее можно переписать в виде
D.3:8')
Так как в каждой области вида DE интеграл, стоящий в квадрат-
квадратных скобках, стремится к нулю, то
1 • г (г) 1
hm j—^ =1,
г 2
или, употребляя знак асимптотического равенства:
T{z)~Y2nzz~2e-z, z?DE. D.3:8")
Обычно именно последнюю формулу и разумеют под именем
формулы Стирлинга. Значение ее заключается в том, что она дает
асимптотическое выражение для Г (г) через конечную комбинацию
элементарных функций. В частности, при г = п+1 (п — натураль-
натуральное) имеем Г(/г + 1) = л! и, следовательно,
21*

324 ЦЕЛЫЕ И МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. 7
откуда, замечая, что (п+1) 2 = л™ ^(Н—)™(H—) ~ел™ ^,
получаем асимптотическое выражение для факториала
D.3:8'")
§ 5. Периодические функции
5.1. Обширный специальный класс мероморфных функций обра-
образуют функции периодические. Говорят, что мероморфная функция
/(г) является периодической, если существует отличное
от нуля число со такое, что
) = f{z) E.1:1)
для любого г (в частности, если функция имеет полюс в точке г,
то она должна иметь полюс и в точке z + co). Число со, обладаю-
обладающее свойством E.1:1), называется периодом функции f(г).
Заменяя z на г — со, получим из формулы E.1 : 1)
для любого z. Итак, если со есть период функции /(г), то и —со
есть период этой функции.
Пусть % и со2 —два периода функции f (г) (одинаковых или
различных между собой). Тогда будем иметь:
откуда следует, что щ-\-(а2 также есть период функции f(z).
В частности, если со2= —coi, мы должны считать и 0 периодом
функции /(г). По индукции получаем, что сумма %-|-. ..-j-соп
любого числа периодов функции f (г) также является периодом
этой функции. Отсюда следует, что со+...-(-со =/мо или
— со — . . . — со = — «со также суть периоды функции /(г). Иными
словами, если со —период /(г), то и любое целое кратное со есть
также период f(z). Общий результат, резюмирующий все эти част-
частные замечания, заключается в следующем: если col7 ..., соп —
периоды функции f (г) и тх, . . ., тп — целые числа, то т^1-\- . ¦ ¦
. . . -(-тпыл есть период /(г).
Покажем, что если / (г) ф. const, то множество всех комплекс-
комплексных чисел, являющихся периодами f (г), не может иметь ни одной
конечной предельной точки. Допуская противное, предположим,
что ю0 есть предельная точка для множества периодов. Это озна-
означает, что существует последовательность различных между собой
периодов {соп}, сходящаяся к со0, и, следовательно, мы должны

ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
325
Рис. 40.
иметь:
т. е. / (z) принимает равные между собой значения на множестве
точек, имеющем конечную предельную точку со0, что невозможно,
если / (z) ф const.
Пусть теперь ю' Ф 0 — какой-либо период функции / (z) =й const.
Тогда ее периодами будут все числа вида та' (т = 0, ± 1, ± 2, ...),
располагающиеся на прямой L,
проходящей через начало ко-
координат и точку ©' (рис. 40).
Отрезок [ — ©', со'] этой прямой
в силу только что доказанного
содержит лишь конечное чи-
число периодов функции / (г).
Следовательно, на нем должны
иметься ближайшие к началу
координат и отличные от
нуля периоды ©j и — cot,
которые, в частности, могут
совпадать с ю' и —со'. Итак,
мы имеем на прямой L отрезок [ —%, со^, внутри которого не суще-
существует ни одного отличного от нуля периода f(z). Покажем, что
любой период функции f(z), лежащий на той же прямой, имеет
вид ncoj, где п — целое число. Допустим противное, и пусть Q —
период, изображаемый точкой данной прямой и лежащий между
двумя точками пщ и (п-\-\) щ. Тогда 0< | Q — пщ | < \щ |, т. е.
Q — па>х есть период функции / (z), изображаемый внутренней точкой
отрезка [ — щ, %] и отличный от нуля. Мы получили противоречие
со свойством последнего отрезка, откуда следует, что Q = nco1.
Если все периоды функции / (г) исчерпываются числами гшуи
то /(г) называется однопериодической или просто-
периодической функцией, а число юг (или —щ), в виде
целого кратного которого выражается любой период функции
/ (г), —о с новн ым периодом этой функции.
Простейшим примером однопериодической функции может слу-
служить показательная функция ez. Ее основной период есть 2л?
(или — 2л?).
Предположим теперь, что /(г) обладает периодами, не лежащими
на прямой L. Пусть а>'2 — один из них. Рассмотрим треугольник D'
с вершинами 0, о^ и а>'2 (рис. 41). Мы знаем, что отрезок [0, щ]
не содержит других периодов функции f (г), кроме своих концов 0
и ojj. Если в треугольнике D' (внутри или на сторонах его) суще-
существуют периоды, отличные от вершин D', то они не принадлежат
отрезку [0, щ] и имеются только в конечном числе. Следовательно,

326
ЦЕЛЫЕ И МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ
[ГЛ. 7
среди них найдется по крайней мере одна точка со2, расстояние
которой до прямой L является наименьшим. Отсюда вытекает,
что треугольник D с вершинами 0, щ и оэ2 уже не содержит
ни одного периода, отличного от своих вершин: 0, coj и оэ2. Если
дополним его до параллелограмма А с вершинами 0, со±, ojj-j-a^
и ю2, то в этом параллелограмме также не будет содержаться
ни одного периода, отличного от вершин параллелограмма. В самом
деле, допуская, что ю есть период, лежащий в А (внутри или
на сторонах) и отличный от 0, ю1, щ-\-а>2 и со2, построим парал-
параллелограмм с вершинами о^, ю, ю2 и со4 + «>2 — <*>. Его диагональю
будет служить отрезок [щ, ю2]
и, следовательно, одна из вершин
©, u)i +g>2 — ю (каждая из них
есть период) попадает в один,
а другая в другой из двух тре-
треугольников, на которые эта диаго-
диагональ делит А. Мы получили,
следовательно, в треугольнике D
период (оэ или щ + оэ2 — со), отлич-
отличный от вершин этого треуголь-
треугольника, что противоречит построе-
Рис. 41. нию D.
Итак, в разбираемом случае
существует параллелограмм, со-
содержащий периоды только в своих вершинах: 0, сои ©2 и а±-{-(д2.
Покажем, что в этом случае любой период функции / (г) можно
представить в виде щщ 4- т2оа2, где т1 и т2 — целые числа. С этой
целью разобьем всю плоскость на параллелограммы, конгруент-
ные А, не имеющие попарно общих внутренних точек и не остав-
оставляющие непокрытыми ни одну из точек плоскости (решетка
параллелограммов). Каждый из построенных параллелограм-
параллелограммов Ami,m2 будет иметь вершины вида m^-f-т2со2 («левый
нижний угол» параллелограмма Amim2), (mj-f- \) at-}-т2са2, mla)i -f-
+ (т2 + 1) оJ и (mY + 1) с»! + (Щ + 1) w2 («правый верхний угол»
параллелограмма Ат1т2). причем каждая точка вида fijCOj + Цгм2
(fit и ц2 — целые числа) будет общей вершиной четырех паралле-
параллелограммов решетки. Если допустить, что существует период Q,
отличный от каждой из вершин решетки, то должен найтись
параллелограмм Amim2, которому принадлежат Q (рис. 42). Так
как Q не совпадает ни с одной из вершин параллелограмма Amim2,
то Q. — {miCyi-\-miCJ) есть период функции f(z), принадлежащий
параллелограмму А и отличный от его вершин. Из полученного
противоречия вытекает, что Q совпадает с одной из вершин решетки
параллелограммов:
Q = m^i + т2щ.

§ 5]
ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
327
В рассматриваемом случае существуют, следовательно, два период
да таких, что любой период функции / (z) выражается в виде целой
линейной комбинации этих двух периодов со4 и со2. Соответствующая
Рис. 42.
мероморфная функция /(г) называется двояко-периодиче-
ской, или эллиптической, периоды ©4 и со2— ее основ-
основными периодами и параллелограмм А, на них построенный, —
основным параллелограммом периодов.
Легко видеть, что для одной и той же двояко-периодической
функции существует бесконечное множество различных между собой
пар основных периодов, что соответствует бесконечному множеству
различных между собой основных параллелограммов.
Пусть, в самом деле, со' и со"— два периода, имеющие вид
со' =
-j- т'2а>2, со" =
причем выражение т[т"г — тхт^ равно ± 1.
Тогда будем иметь из этих равенств
coj = ± {та>' — яуо") > Ю2 = ± (—/KjCo' -f- /njco"),
и, следовательно, любой период Q = т^ + /п2со2 может быть
представлен в виде линейной комбинации периодов со' и со" с

328 ЦЕЛЫЕ И МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. 7
целочисленными коэффициентами:
Q = ± \{mvm\ — mzm"^ со' + (—т^ + щт'^ со"].
Таким образом, со' и со" представляют также пару основных
периодов функции /(г). Очевидно, что таких пар бесчисленное
множество, так как существует бесконечное множество четверок
целых чисел, удовлетворяющих условию т'1т — тт'2 = ±1.
Мы убедились в этом пункте, что периодические мероморфные
функции могут быть либо просто-периодическими, либо двояко-
периодическими (эллиптическими), и никаких других классов
периодических мероморфных функций не существует.
5.2. Изложим несколько предложений, справедливых для любой
периодической мероморфной функции (просто-периодической или
двояко-периодической).
Пусть со =5^= 0 — период функции /(г), а именно, основной период
в случае, когда / (г) просто-периодическая, или один из пары
основных, когда /(г) двояко-периодическая.
Сделав замену переменного ? = — г, получим мероморфную
функцию F(t,) = f y-^—ZA , обладающую периодом 2л. Таким обра-
образом, посредством простого преобразования, сводящегося к повороту
и рястяжению плоскости z относительно начала координат, случай
функции с произвольным периодом со сводится к случаю функции
с периодом 2л.
Рассмотрим многозначную функцию t, — — Lnt, определенную
в области G, получающейся из плоскости t путем исключения
двух точек / = 0 и / = оо. В каждой точке t?G эта функция имеет
бесконечное счетное множество значений, попарно различающихся
на целые кратные 2л. Отсюда следует, что функция /м —LnH
является однозначной функцией от t, определенной в области G.
Положим
^)F*(t) E.2:1)
и убедимся в том, что F* (t) является аналитической в области G
всюду, за исключением отдельных точек, соответствующих полюсам
функции F (Z), в которых F* (t) будет также иметь полюсы и притом
того же порядка, что F (?).
Пусть ?0 — одно из значений —Lnt0. В окрестности U точки t0,
содержащейся в области G, функция — Lnt имеет однозначную
аналитическую ветвь (fo(t), вполне характеризуемую ее значением ?0»

§ 5] ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 329
принимаемым в точке t0. Эта ветвь отображает U взаимно одно-
однозначно на некоторую область ф (U) плоскости ?, содержащую
внутри ?0. Если точка ?о является правильной для F(Z), то окрест-
окрестность U можно выбрать столь малой, чтобы все точки окрестности
Фо (U) (стягивающейся к ?,0, когда U стягивается к t0) были также
правильными для F(t). Тогда найдем, что F* (t) = F[q>0(t)] будет
аналитической в U, как аналитическая функция от аналитической
функции. В случае, когда ?0 есть полюс функции F (?), окрест-
окрестность U можно выбрать столь малой, чтобы точка ?0 была един-
единственным полюсом F (?) в области ф0 (?/)• Следовательно, F* (t) ~
— F [ф0 (t)] будет однозначной аналитической во всех точках окрест-
окрестности U, за исключением t — t0. Но HmF*(t) = \imF(?>) = оо;
t~*to t^to
следовательно, t0 есть полюс функции F* (t). Остается заметить,
что если ?0 — полюс порядка k для F (?), так что Нт (? — t,0)h F (Q =
= А{фО, оо), то
lim(t-to)k F* (*) = И ^
Отсюда следует, что точка ^0 является полюсом функции F* (t)
того же порядка k. Мы нашли, таким образом, что F* (t) есть
функция, мероморфная в области G.
Формула E.2:1) ставит в соответствие каждой мероморфной
в плоскости функции F(t,), обладающей периодом 2л, некоторую'
мероморфную в области G функцию F* (t).
Обратно, задавая по произволу функцию Ф* (t), мероморфную-
в области G, мы можем поставить ей в соответствие посредством
преобразования t = e^ (обратного по отношению к преобразованию-
?= т-Lnn некоторую функцию Ф(^)==ф*(е^), мероморфную-
в плоскости Z, и обладающую периодом 2л.
Назовем каждую полосу у, ограниченную прямыми, параллель-
параллельными мнимой оси, и имеющую ширину 2я, полосой периодов
функции /•"(?). Как известно, функция t = e1^ отображает такую-
полосу взаимно однозначно и конформно на область Г плоскости t,.
получающуюся путем исключения из плоскости некоторого прямо-
прямолинейного луча Л, соединяющего точки 0 и оо (см. п. 3.5 гл. II).
Луч этот является образом каждой из двух прямых, ограничиваю-
ограничивающих полосу.
Присоединяя луч Л к области Г, получим всю область G.
Отсюда следует, что значения, принимаемые функцией F* (t}

330 ЦЕЛЫЕ И МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. 7
в области G, совпадают со значениями, принимаемыми функцией
F (?) в любой из полос периодов g, к которой нужно еще при-
присоединить одну из ограничивающих ее прямых /. В частности,
множество полюсов функции F* (t) будет совпадать со множеством
образов полюсов функции F(t,), принадлежащих только одной
из полос периодов g (с присоединенными к ней точками прямой /).
Поэтому F* (t) будет иметь во всей .области G конечное или бес-
бесконечное множество полюсов, смотря по тому, будет ли конечным
или бесконечным множество полюсов /•"(?) в полосе g\JL
Допустим, что F (?) имеет конечное число полюсов в каждой
полосе g\Jl. Тогда F* (t) имеет конечное число полюсов в обла-
области G и, следовательно, точки 0 и оо не будут предельными
точками полюсов для F* (t). Поэтому они могут быть только пра-
правильными или изолированными особыми точками функции F* (t).
Из соотношения t = e^ следует, что |?| = е-ч, т. е. t стремится
к 0, когда т) стремится к оо (верхний конец полосы периодов),
и t стремится к оо, когда т) стремится к —оо (нижний конец
полосы периодов). Следовательно, для того чтобы установить
характер точки 0 (или оо) для функции F*(t), достаточно рас-
рассмотреть, как ведет себя функция F (?), когда точка ?, оставаясь
в одной из полос периодов, стремится к ее верхнему (соответ-
(соответственно нижнему) концу.
Возможны следующие случаи:
а) F (?) остается ограниченной по модулю, когда ? стремится
к верхнему (нижнему) концу полосы. Тогда и F* (t) остается
ограниченной по модулю, когда t стремится к 0 (соответственно
к оо), и, следовательно, точка / = 0 (или оо) является правильной
оо
для F* (t), так что F* (t) разлагается в ряд F* (t) = 2 oihtk в окрест-
о
оо
ности \t < г точки 0 (соответственно, F* (t) — 2 M~fe B окрестно-
0
оо
сти |tf|]># точки оо). Поэтому /*"(?) разлагается в ряд
оо
в полуплоскости т) > In — ( соответственно в ряд 2 Р-ье~ад в полу-
0
плоскости ц <С In -„- J .
б) F(?) стремится к оо, когда ? стремится к верхнему (ниж-
(нижнему) концу полосы. Тогда и F* (t) стремится к оо, когда /—>0
(t—»оо), и, следовательно, точка / = 0 (/=оо) является полюсом
оо
для F* (t), так что F* (t) разлагается в ряд F* {t) = 2 akth в окрест-
2

§ 5] ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 331
ос
ности 111 < г точки 0 (соответственно F* (t) = 2 $-kt~h в окрестно-
—т
* со
сти \t\^>R точки оо). Поэтому F(?) разлагается в ряд 2 aheikr°
—т
оо
в полуплоскости т)>1п— (соответственно, в ряд 2 P-ftP~~ift^
—яг
в полуплоскости т)<;1п-5-).
в) Т7 (?) не стремится ни к конечному, ни к бесконечному пре-
пределу, когда ? стремится к верхнему (нижнему) концу полосы.
Тогда и F* (t) не стремится ни к конечному, ни к бесконечному
пределу, когда t—>0 (t—»oo), и, следовательно, точка ^ = 0 (или
/=оо) является существенно особой точкой для F*(t), так что
+
+
F* (t) разлагается в ряд F* (t) = 2 «а^ в окрестности 11
— оо
+ 00
точки 0 (соответственно, F* (t) = 2 P*-A^fe в окрестности 11 \ > ^
— оо
+ 00
точки оо). Поэтому F (?) разлагается в ряд 2 Яа^*^ в полуплоско-
+ ОО
сти т)>1п— (соответственно в ряд ^\ §-ье~Ш1° в полуплоскости
— со
Допустим, что F (Q является целой периодической функцией.
Тогда соответствующая ей функция F* (/) не имеет особых точек
в области G и, следовательно, разлагается в этой области в ряд
Лорана
/="*(*) = 2 «***. E.2:2)
— оо
Возвращаясь к F (Q посредством замены t = ei%, получаем для
этой функции разложение
f(9 = E^- E-2:3)
— со
Ряд Лорана E.2 :2) равномерно сходится в каждом круговом
кольце 0<r<|^|<.R<oo. Так как |/| = \е^\ = е~^ и круговому
кольцу соответствует в плоскости ? полоса lnr<;—Tj<;lni? или
In —>т)> ln-n", ограниченная прямыми, параллельными действи-
действительной оси, то ряд E.2:3) равномерно сходится в такой полосе.

332 ЦЕЛЫЕ И МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. Т
Беря г достаточно малым, a R достаточно большим, мы сможем
получить сколько угодно широкую полосу, содержащую любую,
наперед заданную полосу со сторонами, параллельными действи-
действительной оси.
Отсюда вытекает, что ряд E.2:3) будет равномерно сходиться
на всей действительной оси и, в частности, на ее отрезке б:
— л<^<я, т) = 0. Умножая ряд E.2:3) на е~п& и интегрируя
вдоль этого отрезка, найдем, что
J F (Q e-»E* d% = 2 <
6 —оо
Здесь
я
J F (Q е-1 dS = J ^ E) e~n5i d? и
б -я б —л
Последние интегралы, очевидно, обращаются в 0, если
и равны 2л, если k = n. Следовательно,
откуда
л
^ j(S)e-<d? (л = 0,±1,±2, ...)• E-2:4)
Заменяя eih& через cosfe? + isinkt,, мы можем переписать ряд E.2 :3)
в виде
оо
F (?) = «о + 2 [(aft + a-ft) c°s К -j- i (aft — a_ft) sin feg],
l
где
+Я
a-ft = 4- +f F (Э {e
f
-Я -Л
;(аА-а_й)=4^(|)' 2. -ь-я
—л
(k = 1,2, ...).

•S 5] ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 333
Мы получили, таким образом, для F (?) разложение в ряд Фурье
оо
f (S) = -у- + 2 ^ cos k^ + ъь sin *?) E.2 :5)
l
с коэффициентами
+я +я
аА = — J F(g)cosA|d?, 6ft = ^- J F(g)sinfegd? E.2:6)
—я —я
(fe = 0, 1,2, ...).
Из способа получения ряда E.2 :5) следует, что он равномерно
сходится в каждой полосе, ограниченной прямыми, параллельными
действительной оси.
Если F (?) при стремлении Z, к каждому концу полосы периодов
остается ограниченной или стремится к бесконечности, то F* (t)
имеет в соответствующей точке t = 0 или t = оо правильную точку
яли полюс. Поэтому ряд Лорана E.2:2) может содержать в этом
случае только конечное число членов с отличными от нуля коэф-
коэффициентами и, следовательно, F* (t) является рациональной функ-
функцией от t специального вида
(коэффициент ат или а_т может равняться нулю). Отсюда выте-
вытекает, что в случае, когда целая функция F (?) стремится к опре-
определенному конечному или бесконечному пределу в каждом из концов
полосы периодов, она необходимо имеет вид
где
и bh =
т. е. является тригонометрическим многочленом.
Легко видеть, что справедливо и обратное предложение: каждый
тригонометрический многочлен вида E.2 : 7) является целой функ-
функцией с периодом 2л, имеющей конечный или бесконечный предел
в любом конце полосы периодов.
Итак, указанное свойство является характеристическим свой-
свойством, выделяющим тригонометрические многочлены среди всех
периодических целых функций.

334 ЦЕЛЫЕ И МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. 7
Укажем другое характеристическое свойство тригонометрических
многочленов:
целая функция F (?) Ф const с периодом 2я является функцией
экспоненциального типа в том и только в том случае, когда она
есть тригонометрический многочлен. В этом случае ее порядок
равен 1, и тип совпадает с порядком т тригонометрического
многочлена.
В самом деле, если F (?) есть тригонометрический многочлен
E.2:7) порядка т (по крайней мере один из коэффициентов ат
или а_т отличен от нуля), то порядок роста F(I) равен 1 и тип
равен т, так как при достаточно больших значениях | ? | выпол-
выполняется неравенство \F(t,) | <e(m+?)l?l (e>0), а с другой стороны,
существуют сколь угодно большие по модулю значения ?„, для
которых ] F (?п) | >e(m-e)IEn|.
Обратно, пусть известно, что F (?) есть целая функция экспо-
экспоненциального типа с периодом In. Тогда F (г) удовлетворяет
неравенству вида
\F(Q\<ecM при \?,\>R0
и, следовательно, на отрезках прямых r\~ ±lnR, в пределах
полосы периодов — я<:|<я удовлетворяет неравенству
'<? + '-т|I
При преобразовании / = ё^ указанным отрезкам прямых соот-
соответствуют в области G окружности ]/| = — и |t] = R. Поэтому
в точках первой из них имеем для F* (t) неравенство
j^, E-2:8)
а в точках второй окружности — неравенство
\F*(t)\<\t\c+*. E.2:9)
И тем и другим неравенствами можно пользоваться при доста-
достаточно больших R(R~>R(s)). Следовательно, первое годится для
всех окружностей |?| = р достаточно малого радиуса (р — -б~<
< ) , а второе —для всех окружностей ]/| = р достаточно'
большого радиуса (p = R~> R(e)).
Покажем, опираясь на неравенство E.2 18), что в лорановском,
разложении функции F* (t) равны нулю все коэффициенты при

§ 5] ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 33S
отрицательных степенях t с индексами, большими по абсолютной
величине, чем [С].
Действительно, для а_и имеем формулу
2я
\a-h =
^г \ т
о
и при всех достаточно малых р в силу E.2:8) имеем
Отсюда при р, стремящемся к нулю, получаем a_k = 0, если
&>С + е, или в силу произвольной малости е:
a_ft = 0, если k^>[C].
Точно так же, опираясь на неравенство E.2:9) и заставляя
радиус окружности |^| = р стремиться к оо, найдем, что равны
нулю и все коэффициенты при положительных степенях t с индек-
индексами, большими чем [С]:
aft = 0, если k~>[C].
Отсюда следует, что
[С]
F* @ = 2 aht-h
-[С]
и
[С] [С]
-[С] 1
т. е. F (С) есть тригонометрический многочлен.
5.3. Изучив целые периодические функции, покажем, что каж-
каждая мероморфная периодическая функция F (Q с периодом 2я
может быть представлена в виде частного двух целых периоди-
периодических функций с тем же периодом 2я. Этот факт не следует^
конечно, из определения мероморфной функции, так как из того,,
что периодическая функция есть отношение двух целых функций,,
нельзя заключить, что каждая из этих целых функций является.
периодической (например, sinz = ^2JL, где ни г, ни z sin z не явля-
являются периодическими) .
Рассмотрим, однако, функцию F* (t), соответствующую функ-
функции F(z). Мы показали выше, что она является мероморфнойт
в области G в том смысле, что не может иметь здесь других:

336 ЦЕЛЫЕ И МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. 7
особых точек, кроме полюсов. Следовательно, она является меро-
морфной в этой области и в том смысле, что F* (t) представля-
представляется в виде отношения двух функций, аналитических в области G
(п. 3.4):
Поэтому для F (?) получаем представление
где
ф (?) = ф* (е«) и ? (С) = ?* (е«)
являются, очевидно, двумя целыми периодическими функциями
с периодом 2л.
Наше утверждение доказано.
Мы нашли, что любая мероморфная функция, обладающая
периодом 2л, представляется в виде частного двух целых функ-
функций с тем же периодом. Но каждая целая (периодическая) функ-
функция может быть представлена, как мы видели выше, всюду схо-
сходящимся рядом Фурье. Отсюда следует, что каждая периодическая
мероморфная функция F (?) представляется в виде отношения
двух, всюду сходящихся, рядов Фурье:
-?Г + .Zj (ah c°s К + 6fe sin kQ
Важный частный случай получаем, когда F (t,) обладает конеч-
конечным числом полюсов в каждой полосе периода и, кроме того,
стремится к определенному конечному или бесконечному пределу
в каждом из концов полосы периодов. Тогда соответствующая
функция F* (t) имеет лишь конечное число полюсов в области G,
и, кроме того, точки 0 и оо являются для нее правильными точ-
точками или полюсами. Отсюда следует, что F* (t) не имеет в рас-
расширенной плоскости t других особых точек кроме полюсов и явля-
является поэтому рациональной функцией от t. Следовательно, F* (t)
имеет вид

§ 6] ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 337
откуда
Итак, при высказанных предположениях F (?) является триго-
тригонометрической функцией от ?. Очевидно, что любая тригономет-
тригонометрическая функция удовлетворяет этим условиям. Поэтому класс
всех тригонометрических функций можно определить как класс
тех мероморфных функций с периодом 2л, которые имеют лишь
конечное число полюсов в каждой полосе периодов и стремятся
к определенным пределам в каждом из концов полосы периодов.
Все изложенное переносится на функции с произвольным перио-
f со с. с. 2л. т-»
дом со посредством преобразования z = -x—c, или с, — —г. В част-
частности, для целой периодической функции / (z) получаем разложение
а для мероморфной функции — разложение вида
2я \
n k— zj
2л
со
/B)=—h
A0 J_ V i Л u2n
~2"T 2j [Akcos k —
2П
§ 6. Эллиптические функции и функции, связанные с ними.
Тета-функции
6.1. Займемся изучением двояко-периодических (эллиптических)
функций. Мы установим некоторые общие свойства эллиптичес-
эллиптических функций раньше, чем приведем конкретные примеры их. Пусть
f (z) — мероморфная двояко-периодическая функция; ее основные
периоды будем обозначать через 2(о4 и 2щ, оставляя обозначение
2а>2 Для суммы 2а»! 4- 2щ, представляющей вершину основного
параллелограмма периодов А, противоположную началу коорди-
координат. В силу установленных в п. 5.2 свойств периодов векторы
2а1 и 2со3 не лежат на одной прямой. Мы распределим обозна-
обозначения 2@! и 2(о3 между двумя основными периодами так, чтобы
обход контура параллелограмма периодов, соответствующий
порядку вершин 0, 2@^ 2<в2! 2со3, был обходом против часовой
стрелки (внутренность параллелограмма остается слева от наблю-
наблюдателя, совершающего обход). Легко проверить, что это будет
22 А. и. Маркушевич

338 ЦЕЛЫЕ И МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. 7
в том и только в том случае, когда комплексное число ^
имеет положительную мнимую часть: Im (-?рЧ > 0.
Назовем две различные точки z' и z" плоскости z к о н г р у-
ентными (относительно периодов 2(oi и 2со3) в том и только
в том случае, когда z'— z" есть некоторый период: z'— z" =
= 2m1co1 + 2т2<и3. Очевидно, что параллелограмм периодов не содер-
содержит ни одной пары конгруентных точек, тогда как точки, лежа-
лежащие на его сторонах и отличные от вершин, разбиваются на пары
конгруентных между собой точек, а вершины параллелограмма
представляют четверку конгруентных между собой точек.
Условимся в дальнейшем присоединять к каждому паралле-
параллелограмму Ami, m2 с вершинами 2mi(oiJr 2т2щ, Bml -j-1) @1 + 2т2Юз,
Bmi + 1)ш1 + Bт2+ \)щ, 2т1щ + Bт2+1)щ его левый нижний
угол 2m1co1 -j- 2m2(o3 и точки нижней и левой сторон, исключая
из них вершины Bmt -J- I) ы{ + 2т2щ и 2m1co14-Bm2-j-1)со3. Бла-
Благодаря этому мы присоединим к параллелограмму лишь по одной
точке из каждой пары или четверки конгруентных между собой
точек контура. Дополненный этими точками параллелограмм перио-
периодов, который мы будем по-прежнему обозначать через Ami,m2, обла-
обладает, очевидно, следующими свойствами:
а) никакие две различные точки параллелограмма Ami>m2 не явля-
являются конгруентными между собой;
б) для каждой точки z' плоскости в параллелограмме Amim2
найдется одна и только одна точка z, конгруентная с z'.
Заметим, что если f (г) и ср (г)—две эллиптические функции
с одними и теми же периодами 2щ и 2со3, то их сумма, разность,
произведение и частное (последнее образуется лишь в случае,
когда делитель не равен тождественно нулю) суть мероморфные
функции с теми же периодами, т. е. эллиптические функции.
Вообще, выполняя рациональные операции над любым числом
эллиптических функций fx (г), . . ., /„ (г) с одними и теми же перио-
периодами 2(uj и 2со3 (при этом исключается деление на функцию,
тождественно равную нулю), мы получим рациональную комби-
комбинацию данных функций
Rlfi(z), ...,/»(г)],
которая будет мероморфной функцией с периодами 2^ и 2щ,
т. е. эллиптической.
Рассмотрим еще производную эллиптической функции / (z).
Будучи производной от мероморфной функции, она сама является
мероморфной. Кроме того, из равенства
/ (z + 2ml(o1 + 2т3(й3) = / (z),

§ 6] ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА 339
выполняющегося при любом z, следует, что и
при любых 2, т. е. /' (z) обладает периодами 2^ и 2<в3- Итак,
производная эллиптической функции есть также эллиптическая
функция.
6.2. Докажем следующие теоремы, выражающие основные
свойства эллиптических функций.
Теорема 1. Эллиптическая функция f (z) ф const не может
быть целой.
В самом деле, допуская, что f (z) — целая функция, найдем,
что в замкнутом параллелограмме периодов Д она будет непре-
непрерывной и, следовательно, ограниченной по модулю:
Так как в любой точке плоскости г' она принимает то же зна-
значение, что и в конгруентной точке z, принадлежащей паралле-
параллелограмму Д, то полученное неравенство должно выполняться
во всех точках плоскости. Следовательно по теореме Лиувилля
/ (z) = const, что противоречит условию теоремы.
Из доказательства теоремы 1 вытекает, что эллиптическая
функция / (z) ф const должна иметь по крайней мере один полюс
в параллелограмме периодов.
Общее количество полюсов, принадлежащих одному паралле-
параллелограмму периодов, должно быть конечным (допуская противное,
мы нашли бы в замкнутом параллелограмме предельную точку
полюсов).
Рассмотрим наряду с А параллелограмм D, построенный на дру-
другой паре основных периодов:
Каждому полюсу b ? D соответствует один и только один конгру-
ентный с ним полюс |3?Д, и обратно. При этом порядки полюсов
6 и f) одинаковы. В самом деле, в силу периодичности f(z), ее
лорановское разложение в окрестности |3 переходит в разложение
в окрестности b путем замены z — b на г—15 без изменения коэф-
коэффициентов. Отсюда следует, что сумма порядков всех полюсов,
принадлежащих одному и тому же параллелограмму периодов,
не зависит от выбора основных периодов. Эта сумма (количество
полюсов, лежащих в одном параллелограмме, с учетом их крат-
кратности) называется порядком эллиптической функции.
Теорема 2. Сумма вычетов эллиптической функции f (z)
относительно всех полюсов, принадлежащих параллелограмму
периодов, равна нулю.
22*

340
ЦЕЛЫЕ И МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ
[ГЛ. 7
Для доказательства достаточно обнаружить, что интеграл
от f(z) вдоль контура, содержащего внутри все полюсы, принад-
принадлежащие одному параллелограмму периодов Д, и не содержащего
других полюсов, равен нулю. Если на контуре Г замкнутого
параллелограмма Д нет ни одного полюса функции /(г), то этот
контур и будет служить для интегрирования. Пусть на Г нахо-
находятся полюсы функции /(г). Те из (hhx, которые лежат на пра-
правой и на верхней сторонах параллелограмма, не причисляются к Д.
zo+2uj3
Рис. 43.
В частности, не причисляются к Д полюсы, которые могут нахо-
находиться в правой нижней и в левой верхней вершинах параллело-
параллелограмма Д. Поэтому мы можем заменить контур Г контуром Г'
параллелограмма Д' со сторонами, соответственно параллельными
и равными сторонам параллелограмма Д так, чтобы на Г' не лежало бы
ни одного полюса функции /(г), а внутри Г' содержались все
полюсы, принадлежащие Д, и только эти полюсы (на рис. 43
полюсы обозначены кружками). Для этого достаточно сдвинуть Г
по диагонали параллелограмма Д в направлении от вершины 2со2
к вершине О на величину, меньшую, чем расстояние от мно-
множества полюсов, принадлежащих Д, до множества точек, принад-
принадлежащих его правой и верхней сторонам. Будем обозначать вер-
вершины контура интегрирования Г' через z0, го-\-2щ, 20-j-2oJ
и го + 2(й3 (если Г' совпадает с Г, то zo = O). Получим:
Г'
zo+2o)i
Z0+2d>2
z<j+2ffl3
Покажем, что сумма первого и третьего интегралов правой
части, так же как и сумма второго и четвертого интегралов, есть
нуль.

§ 6] ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА 341
В самом деле, если уравнение стороны, соединяющей вершины
20, 20 + 2@!, есть
то
го+20)!
Ш I f{z)dz = ^
z0 О
Уравнение стороны, соединяющей вершины го + 2сй31
можно представить в виде
z = z0 + 2ю3+ B(о2 — 2(о3) / = г0 + 2ш3 + 2(ot/, 0<^
и, следовательно,
0+3
S Wfc S Иг) ^ =-|f-J/(го
S5 S
о
Мы видим, что сумма двух вычисленных здесь интегралов
есть нуль. Совершенно так же убеждаемся в том, что и сумма
двух остальных интегралов правой части равенства F.2:1) есть
нуль. Следовательно,
l
Г'
т. е. сумма вычетов функции / (г) относительно всех полюсов,
лежащих внутри Г', равна нулю, что и требовалось доказать.
Следствие. Порядок эллиптической функции f (г) ф. const
не меньше двух.
В самом деле, допустим, что / (z) имеет в параллелограмме
периодов единственный и притом простой полюс р. Тогда главная
часть лорановского разложения функции / (г) в окрестности
Г)
точки R должна иметь вид • „- , где В — вычет функции / (г) отно-
г — р
сительно точки р. По доказанному в теореме 2, В = 0, откуда
вытекает, что f (z) фактически не имеет полюса в параллело-
параллелограмме периодов и, следовательно, по теореме 1 / (z) = const.
Теорема 3. Число А-точек эллиптической функции f(z)=?
Ф const, принадлежащих параллелограмму периодов, не зависит
от А и равно порядку эллиптической функции (т. е. по край-
крайней мере равно двум).
Для А = оо утверждение теоремы вытекает из определения
порядка эллиптической функции. Пусть А Ф оо; вспомним (п. 3.5

342 ЦЕЛЫЕ И МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. 7
Гл. IV), что интеграл ^ \ jjjzta^ взятый в положительном напра-
направлении вдоль контура, заключающего внутри себя все полюсы
и все Л-точки, принадлежащие одному параллелограмму периодов,
равен разности между числом полюсов и Л-точек. Поэтому доста-
достаточно убедиться в том, что такой интеграл равен нулю.
В качестве контура интегрирования возьмем контур Г', вве-
введенный при доказательстве теоремы 2, потребовав при его пост-
построении дополнительно, чтобы на Г' не лежали не только полюсы,
но и Л-точки функции f (z)*).
Функция ф (г) = ,, . , будучи рациональной комбинацией
от эллиптических функций /'(г) и / (г), сама является эллипти-
эллиптической с теми же периодами 2а»! и 2ш3. Поэтому к ней применимо
все доказательство теоремы 2 и, следовательно,
&&1
Г' Г
Этим и заканчивается доказательство теоремы 3.
Теорема 4. Сумма всех А-точек эллиптической функции
f(z)^?= const, принадлежащих одному параллелограмму периодов,
конгруентна с суммой всех полюсов, принадлежащих одному
параллелограмму периодов.
Для А = оо это утверждение очевидно; предположим, что
Л=/=оо. Рассмотрим контур Г', употреблявшийся при доказа-
доказательстве теоремы 3, и образуем интеграл трЛ z , , , _ . riz. Поп. 3.5
Г'
главы IV этот интеграл равен разности между суммой всех
Л-точек, лежащих внутри Г', и суммой всех полюсов, лежащих
внутри Г'. Поэтому достаточно доказать, что он равен некото-
некоторому периоду функции /(г). Обозначая стороны контура Г' для
краткости через I, II, III и IV так, что начальные и конечные
точки их суть соответственно z0 и z0-\-2(oi для отрезка I, го-\-2щ
и z0 + 2(o2 —для II, zo + 2(u3 и z0 + 2oJ —Для П1 и г0 иго+ш3 —
для IV, получим:
III IV
*) Если контур Г параллелограмма А не удовлетворяет этим условиям, то
сдвигаем его по диагонали от 2со2 к 0 на величину, меньшую, чем расстояние
от множества всех полюсов и всех Л-точек параллелограмма А (для фиксиро-
фиксированного А) до совокупности точек правой и верхней сторон этого паралле-
параллелограмма.

§ 6] ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА 343
Убедимся в том, что сумма первого и третьего интегралов
в правой части, так же как и сумма второго и четвертого интег-
интегралов, представляет собой некоторые периоды функции / (z).
В самом деле, отрезок I имеет уравнение г = го-\~2(л^, O^t^.1.
Поэтому
I О
Уравнение отрезка III можно представить в виде:
z — z0 -J- 2со3 + Bсо2 — 2(й3) t = z0 -\- 2со3 + 2со^, 0 <
откуда
2л7 J Z f {z) — A Z~
ill
1
Следовательно,
Г (г) .1Р Г (г)
1 f, Г (г) . 1_Р
2яг I f{z)~AUZ 2ni})
I ш
0^) - Л}]0 =
f{) } f{)
I ш
i
2h)l2co <l Г (го-1-2@^) ,,_ 2co3
о
2с°з Tn /(г0 + 2(од) —Л _ 2co3 T
2яг U /(го)-Л ~ 2п» П
9/">
2йяг'= 2k(° = пеРи°ДУ
Точно так же найдем, что
II IV
Итак,
2яг
где Q —некоторый период функции f(z).
. Теорема доказана.

344
ЦЕЛЫЕ И МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ
[ГЛ. 7
6.3. Для построения эллиптических функций нам понадобится
еще следующее предложение.
Лемма. Ряд
xV 1
где суммирование распространяется на все периоды
F.3:1)
(причем знак ' наверху суммы обозначает, что значение Q = О
исключается), сходится, если Х^>2.
Заметим, что все без исключения периоды Q, отличные
от нуля, располагаются на контурах подобных между собой парал-
параллелограммов с центром в начале
координат, три из которых ука-
указаны на рисунке 44. Первый из
них содержит на своем контуре
восемь различных периодов,
второй — шестнадцать. Если мы
допустим, что контур &-го па-
параллелограмма содержит 8k
периодов, то, проектируя их по
направлениям, параллельным
20»! и 2со3, на контур &+1-го
параллелограмма, найдем, что
каждому периоду, лежащему на
контуре /г-го параллелограмма
и отличному от его вершины,
будет соответствовать на кон-
контуре k-\- 1-го параллелограмма
по одному периоду, тогда как каждой из четырех вершин будет
соответствовать по два периода (см. рисунок 44, где принято k = 2
и соответствие указано стрелками). Если ко всему этому доба-
добавить еще четыре вершины й + 1-го параллелограмма, то на его
контуре обнаружим восемью периодами больше, чем на контуре
предыдущего, т. е. всего 8(& + 1) периодов.
Итак, количество периодов возрастает в арифметической про-
прогрессии с разностью 8. Обозначив расстояние начала координат
до контура первого параллелограмма через d, найдем, в силу того,
что параллелограммы подобны и сходственно расположены отно-
относительно точки 2 = 0, что расстояние этой точки до контура fe-го
параллелограмма есть kd. Поэтому для модуля любого периода
Q, лежащего на последнем контуре, имеем неравенство
\Q\>kd.
Рис. 44.

§ 6] ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ВЕЙЕРШТРАССА 345.
откуда
¦<-
\Q\X kxdx
и, следовательно, сумма членов ряда F.3:1), соответствующих:
всем 8k периодам, лежащим на контуре &-го параллелограмма,
не превышает
8k __ 8
kxdk — d^-i •
Отсюда вытекает, наконец, что частичная сумма членов ряда
F.3:1), соответствующая периодам, лежащим внутри и на сто-
сторонах &-го параллелограмма, не превышает
h
1 ; ¦
OO
Но ряд 2 ~^zi сходится при Х>2; поэтому и ряд F.3: 1) схо-
1 '
дится при Я>2, чем и заканчивается доказательство леммы.
Если обозначить через D наибольший из модулей периодов,
лежащих на контуре первого параллелограмма, то точно так же
найдем, что частичная сумма ряда F.3:1), соответствующая всем
периодам, лежащим внутри и на сторонах &-го параллелограмма,
будет не меньше чем
k
— У. 1
Отсюда следует, что ряд F.3:1) расходится, если К^.2. Итак^
показатель сходимости последовательности {Q} (периоды отличны
от нуля и расположены в порядке неубывающих модулей) равен 2.
Из леммы вытекает, что ряд
2 17
F-3 : 2)
сходится абсолютно и равномерно в каждой ограниченной области
плоскости (если каждый раз исключать из рассмотрения конечное
число членов ряда, имеющих полюсы в этой области). Достаточно-
предположить, что z принадлежит произвольно фиксированному
кругу с центром в начале координат \z\<zR, и рассмотреть члены
ряда, соответствующие периодам Q, лежащим вне^круга радиуса 2R.
Тогда для этих членов
; у, и мы получаем следующую

346 ЦЕЛЫЕ И МЕРОМ.0РФНЫЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. 7
оценку:
1 <
(г — Q)? **•'
откуда в силу леммы и следует абсолютная и равномерная схо-
сходимость ряда F.3 : 2). ,
Обозначая сумму ряда через f(z), представим ее в круге
z | < R в виде
2 + 2
(г-QK + 2j (г-QK •
Первая сумма в правой части есть рациональная функция, имею-
имеющая полюс третьего порядка в каждом периоде, принадлежащем
кругу \z\<.R. Соответствующая главная часть имеет вид _ 8.
Вторая сумма лишь конечным числом слагаемых отличается от ряда
2 7 "_ р^з ' равномерную сходимость которого в круге | z | < R
мы только что установили. Следовательно, это — аналитическая
функция в круге \z\<CR. Итак, функция / (г) является аналити-
аналитической в любом круге \z\<CR, за исключением полюсов третьего
порядка во всех периодах, принадлежащих указанному кругу.
Следовательно, это — мероморфная функция (во всей конечной
плоскости).
Покажем, что 2@j и 2со3 являются периодами функции f (г).
Действительно,
= 21г=15^ЯГ. F-3:3)
Но Q — 2@; есть также один из заданных периодов: Q — 2(Hj — Q',
и когда Q пробегает совокупность всех заданных периодов, то
.и Q' пробегает всю их совокупность, так как преобразование
Q — 2@j = Q' означает сдвиг сетки периодов, при котором она
переходит в самое себя. Следовательно, сумма ряда F.3 : 3) только
•порядком членов отличается от суммы абсолютно сходящегося
ряда F.3:2), т. е. равна f(z). Итак,
/(z + 2<b,) = /(z) (/=1,3).
Покажем, что 2а»! и 2(о3 —пара основных периодов функции
f(z). В самом деле, пусть ю — какой-либо период этой функции.
Так как & есть полюс функции /(г), то и Q + м должно быть
одним из полюсов, т. е.

S 6] ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ВЕЙЕРШТРАССА 347
откуда
(о = Q' — Q = 2m1co1 + 2т3(о3.
Следовательно, любой период функции / (z) есть линейная комби-
комбинация периодов 2@! и 2со2 с целочисленными коэффициентами /п4
и т3.
Отсюда вытекает, что f(z) есть мероморфная функция с основ-
основными периодами 2а»! и 2со3.
Мы построили, таким образом, эллиптическую функцию, обла-
обладающую наперед заданными основными периодами. Каждая вер-
•шина основного параллелограмма 0, 2щ, 2щ, 2щ является полюсом
третьего порядка для f(z), по из этих четырех полюсов лишь
один, находящийся в начале координат, причисляется к основному
параллелограмму, тогда как другие три принадлежат соседним
параллелограммам. Отсюда следует, что / (г) есть эллиптическая
функция третьего порядка.
Заметим еще, что это —нечетная функция. В самом деле,
f( — z) = y - - У '
' V *> Zj (_2_qK Zj [Z_(_Q)]3 •
Но совокупность всех чисел — Q совпадает с совокупностью всех Q;
поэтому ряд 2 _,_р.]3 лишь порядком членов отличается от
ряда F.3:2) и сумма его есть /(г). Отсюда
/(-2)= -f(z),
т. е. / (г) — нечетная функция.
Отправляясь от нее, можно посредством интегрирования полу-
получить эллиптическую функцию второго порядка (четную).
В самом деле, пусть г0 — произвольная точка плоскости, отлич-
отличная от полюсов функции / (z). Интегрируя почленно ряд F.3: 2)
вдоль какой-либо спрямляемой кривой у, не проходящей через
полюсы и соединяющей г0 с другой точкой г, также отличной
от полюсов функции f(z), найдем:
Ji] F.3:4)
20
Ряд F.3:4), полученный путем интегрирования равномерно
сходящегося ряда F.3:2), также равномерно сходится в любой
ограниченной области, если отбросить конечное число членов
ряда, имеющих полюсы в этой области. Следовательно, он пред-
представляет мероморфную функцию с полюсом второго порядка в каж-
каждой точке Q. Перепишем ср (z) в виде
11.1 1 V\' Г 1 1 1 let Q Л'\
+ 2 |] F.3:4)

348 ЦЕЛЫЕ И МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. Т
где суммирование распространяется на все точки Q, отличные
от начала координат. Из последней формулы следует, что.
Ф (г)+"<гг есть меРом<эрФная функция, для которой начало коор-
координат является правильной точкой. Ее значение при z = О равна
F-3:4">
Выберем постоянную интегрирования С так, чтобы это значе-
значение равнялось нулю. Тогда, вычитая почленно F.3 : А") из F.3 : 4')»
найдем:
w(z)~ ' f ' 1 У' Г ' -11
vy> 2 \г2Г^ L (г— QJ 9J J J '
Мероморфная функция, стоящая в фигурных скобках, лишь,
постоянным множителем отличается от ср (z). Эту функцию, вве-
введенную Вейерштрассом, обозначают через $>(z) (читается «пе от z»,
а знак §> называется знаком Вейерштрасса). Итак, по опре-
определению
^' [^] <6-3:5>
Это — мероморфная функция с полюсами второго порядка в каж-
каждой из точек Q (включая начало координат). Главная часть, соот-
соответствующая полюсу Q, имеет вид —. щ^-¦ Покажем, что этот
ряд F.3:5) абсолютно сходится. Действительно, рассматривая
только те члены ряда, для которых |Q|>2|z|, получим:
All
101
I1 \Щ/
откуда в силу леммы этого пункта и следует абсолютная сходи-
сходимость ряда F.3:5). Легко видеть, что <ip(z) — четная функция;
в самом деле,
§4 z) + 2 L
а последний ряд только порядком членов отличается от ряда
F.3:5) и, следовательно, его сумма есть <§>(z).
Производная <§>' (z) имеет вид

S 6] ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ВЕЙЕРШТРАССА 349
т. е. только числовым множителем отличается от рассмотренной
выше эллиптической функции / (z) с периодами 2щ и 2со3. Следо-
Следовательно,
Г (z + 2(о;)- Г (г) = 0 (/=1,3),
¦откуда, интегрируя:
?(z-!-2<o,)-S>(z) = C;.
Подставив здесь 2=
S)(
или вследствие четности §> (г)
С, = 0 (/=1, 3).
Отсюда вытекает, что
т. е. §> (г) — двояко-периодическая функция с периодами 20»! и 2ю3.
Совершенно так же, как и в случае функции f(z), убеждаемся
в том, что 2@! и 2со3 суть основные периоды функции <§>(г).
Отсюда следует, что к основному параллелограмму периодов $р (z)
с вершинами 0, 2%, 2со2, 2со3 следует причислять только один
двойной полюс в начале координат, т. е. <§> (г) есть эллиптическая
функция второго порядка.
Резюмируем то, что нам удалось установить: §* B) есть чет-
четная эллиптическая функция второго порядка с основными перио-
периодами 2% и 2со3, двойными полюсами во всех точках Q = 2ml(ui-{-
+ 2/n3(o3 и соответствующими им главными частями вида
—. ^-. Из самого способа ее построения или непосредственно
из уравнения F.3:5) вытекает, что разность <§>(z) ^ обраща-
обращается в нуль при 2 = 0. Производная функции §> (г)
*'(*)=-2 2-i^rsjr F-3:6)
является нечетной эллиптической функцией третьего порядка
с основными периодами 2щ и 2щ и тройными полюсами во всех
точках Q и соответствующими им главными частями вида
2
Эти две функции §> (z) и <(р' (z) являются основными в теории
эллиптических функций. Обе они называются эллиптическими
функциями Вейерштрасса.
Из того, что порядок функции §>' (z) равен трем, следует
по теореме 3 п. 6.1, что эта функция для каждого А имеет три
Л-точки в параллелограмме периодов. Если Л=оо, то эти точки

350 ЦЕЛЫЕ И МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. 7
сливаются в одну — тройной полюс функции §>' (z). Пусть Л = 0,
тогда мы должны получить три нуля функции $?' (г).
Из соотношения
Г (-*) = -Г (г)
следует, что
ГBсо;-г)=-Г(г) (/=1,2,3),
откуда при z = (Oj получаем:
Г К') = - Г Ы
и так как §>' (со,-) ^ оо, то
Г (©,) = 0 (/=1,2,3).
Мы получили три нуля Юц со2, со3, принадлежащие основному
параллелограмму периодов с вершинами 0, 2щ, 2щ и 2со3. Один
из них со2 лежит в центре параллелограмма, а два других со4
и со2 — в серединах сторон. Очевидно, каждый из этих нулей
является простым. В противном случае общее число нулей ^' (г)
в параллелограмме периодов было бы большим трех, что невоз-
невозможно. Заметим, что сумма найденных нулей (oi + со2 + аз = 2®i + 2ю3
отличается на величину периода от суммы полюсов 0 + 0 + 0 = 0,
как это и должно быть по теореме 4 (п. 6.1).
Порядок функции §>(z) равен двум. Следовательно, для
любого А существует две Л-точки этой функции в параллело-
параллелограмме периодов. Если Л = оо, то обе точки сливаются в одну —
двойной полюс (т. е. начало координат, если речь идет об основ-
основном параллелограмме периодов). Если А имеет одно из значений
<§> ((о^) == в), то соответствующие Л-точки также сливаются попарно
в точки (О/(/=1, 2, 3), так как в каждой из них <§>' (щ) обра-
обращается в нуль, a f" (a>j) Ф 0, т. е. точки ш,- являются двукрат-
двукратными для $>(г). Для всех остальных значений Л(Л^оо, Афе},
/=1, 2, 3) мы должны иметь пары различных между собой
Л-точек. Допуская противное, мы получили бы, что <$' (z) имеет
нули в параллелограмме периодов помимо трех точек <л±, со2 и со3,
что невозможно.
Укажем, как именно расположены в параллелограмме перио-
периодов точки каждой пары. На основании четности, функции §> (г)
имеем:
IP(-z) = ff».
откуда следует, что
f B(o,— z) = f (z) (i = 1, 2, 3), F.3 : 7)
т. е. §> (z) принимает одинаковые значения в точках z и 2со^ — г,
расположенных симметрично относительно со7-. Пусть Аф оо

§ 6]
ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ВЕЙЕРШТРАССА
351
и Афеу, если 20—одна из Л-точек функции Ч?(г), то гоф0
и г0 Ф wj. Если zg лежит внутри основного параллелограмма
периодов, то 2(о2 —20 также лежит внутри него симметрично
относительно центра со2 параллелограмма и, следовательно „
Рис. 45
является второй Л-точкой функции <(?(z). Если z0 лежит на сто-
стороне, соединяющей вершины 0, 2со^ (/ = 1, 3) основного паралле-
параллелограмма, то точка 2(Oj — z0 лежит на той же стороне, симметрично
относительно середины со;- этой стороны и, следовательно, является
второй Л-точкой функции ?°(z). Итак, Л-точки функции <§> (г) для
всех возможных комплексных А расположены попарно симметрично
относительно центра параллелограмма (внутри него) или относи-
относительно середин его сторон (на сторонах). Точки, лежащие в центре
или в серединах сторон, являются двукратными, так же как дву-
двукратной является и точка, лежащая в левом нижнем угле парал-
параллелограмма (двойной полюс).
На рисунке 45 представлена поверхность и = | $> (z) |— рельеф
функции <§> (г) *).
Воспользуемся полученными сведениями для того, чтобы ближе
изучить поведение функции <§> (г) в двух важных частных случаях.
Пусть сначала 2со1 есть действительное положительное число-
2а(а>>0), a 2co3 — чисто мнимое число с положительной мнимой
частью: 2со3 = 2f>i (j5>0). В этом случае параллелограммы перио-
периодов являются прямоугольниками.
*) Рисунок заимствован из «Таблиц функций» Янке и Эмде.

352 ЦЕЛЫЕ И МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. 7
Рассмотрим поведение функции <(p(z) в прямоугольнике D:0<!
<<х-<а, 0<!#<;р, составляющем четверть основного параллело-
параллелограмма периодов. В силу доказанного выше этому прямоуголь-
прямоугольнику не могут принадлежать никакие две различные Л-точки
функции ^(z), за исключением двойных точек в вершинах прямо-
прямоугольника. Поэтому $> (г) принимает различные значения в раз-
различных точках прямоугольника D, т. е. является однолистной
функцией в этой области. Следовательно, g>'(z) отображает D
¦взаимно однозначно и конформно на некоторую область G пло-
плоскости z, причем граница области G является образом границы
прямоугольника D (см. п. 1.1 гл. пятой). Итак, нам остается
изучить образ границы прямоугольника D.
Будем исходить из формулы
+ 2j L (x + iy — 2ma — 2пф)* ~ Bma + 2n/PJ J "
Из нее следует, что значения ^(x + iy) и <§> (х—iy) являются
комплексными сопряженными числами. В самом деле,
+2 L )* J '
Но числа 2та — 2пф при всех возможных комбинациях целых
чисел тип образуют, очевидно, то же множество чисел (перио-
(периодов функции (|P(z)), что и числа 2та + 2пф. Поэтому члены
последнего ряда лишь порядком отличаются от членов ряда
<$>(x — iy)= {x_iy)i +2j L (x-((/-2ma-2n/PJ~Bma + 2mpJ J
и, следовательно,
т. e. fpix-j-iy) и <§>(x — iy) — комплексные сопряженные числа.
Положим здесь, в частности, t/ = 0; получим:
т. е. чр (х) — действительное число при любом действительном х.
Пусть, далее, z = a-\- iy. Тогда, с одной стороны,
и, с другой стороны,
так как точки a + iy и a — iy симметричны относительно полу-
периода щ = а. Поэтому значения ф (a -f- iy) также являются
действительными при любом у.

6] ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ f (г) 353
Замечая, что
(так как 2ф есть период функции f(z)), заключаем, что и зна-
значения <(р (х + Ф) являются действительными при любом х. "~'~~
Наконец, из того, что
(в силу четности функции <§> (г)) находим, что все значения <§>(iy)
являются действительными.
Мы обнаружили, таким образом, что функция §> (z) принимает
действительные значения на сторонах прямоугольника периодов
и на его средних линиях. В частности, все значения, принимае-
принимаемые функцией <jp (z) на сторонах прямоугольника D, являются
действительными. Поэтому, когда точка z описывает контур пря-
прямоугольника D, начиная от вершины 2 = 0 и далее против часовой
стрелки, то точка w = yp(z) определенным образом движется
по действительной оси, начиная от §> @) = оо и заканчивая этой же
точкой. При этом w = <§>(z) перемещается все время в одну и ту
же сторону, т. е. не проходит два раза через одну и ту же
точку. Это следует из того, что значения <§> (г) на контуре пря-
прямоугольника D принимаются в основном параллелограмме еще
по одному разу на тех частях его средних линий и сторон, кото-
которые не принадлежат D. Поэтому, изменяясь непрерывно от — оо
до оо, точка w = S0 (г) должна однократно описать всю действи-
действительную ось. Для действительных значений z = x, близких к нулю,
доминирующим в выражении <§> (х) является член —у, откуда
вытекает, что точка w выходит из + оо и далее движется
по действительной оси, направляясь к —оо (когда z-=iy и у
близко к нулю, то в выражении <$> (iy) доминирует член ^ .
При этом по порядку проходятся следующие промежуточные точки:
Ч> К) = 8» (а) = еи <$> (со2) = g> (а + р1/) = е2, <$> (со3) = у ф[) = е3.
Так как этот порядок есть порядок убывания, то в данном случае
<?i > <?2 > е3.
Из того, что контур прямоугольника D отображается на дей-
действительную ось, следует, что этот прямоугольник отображается
на полуплоскость. Но прямоугольник D остается слева от наблю-
наблюдателя, обходящего его контур в принятом нами порядке. Поэтому
и соответствующая полуплоскость должна оставаться слева
от наблюдателя, обходящего действительную ось в направлении
убывания, т. е. это есть нижняя полуплоскость. Мы установили,
23 А, и. Маркушевич

354
2/3i
О
ЦЕЛЫЕ И МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ
V
О
p(a+iyi
a Zai
Рис. 46.
a Zee
Рис. 48.
5а
[ГЛ. 7
fp if
Za
За
V*
Рис. 49.

§ 6)
ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ |р (z)
355
следовательно, что функция w = *${z) с основными периодами 2а
и 2р7 конформно отображает прямоугвльник 0<х<а, 0<г/<Р
на нижнюю полуплоскость (рис. 46).
Из того, что §> (г) имеет одинаковые значения в точках, сим-
симметричных относительно полупериодов, вытекает, что все действи-
действительные значения из интервала (еи -+- оо) она принимает по два
раза на стороне основного параллелограмма 0<х<2а, t/ = 0,
значения из интервала (е2,
ех) — по два раза на сред-
средней линии х = а, 0<: у <; 2р,
далее значения из интер-
интервала (е3, е2) по два раза на
средней линии 0-<х<12а,
у=Р; наконец, действи-
действительные значения из интер-
интервала (— оо, е3) — по два
раза на стороне х — 0,
Рис. 50.
~ff
р гр~- зр
0
Так как §> (г) — функция
второго порядка, то во всех
остальных точках основного
параллелограмма она прини-
принимает мнимые значения.
На рисунках 47 — 50 представлены графики §> (х), <@{a--\-iy)r
^(х + ф), $(iy), дающие исчерпывающее представление о всех
действительных значениях функции §> (z) в случае, когда один
из основных периодов действительный, а другой чисто мнимый.
Не следует забывать, конечно, что в силу периодичности те же
значения принимаются этой функцией на бесконечном множестве
прямых линий, параллельных действительной или мнимой оси.
Рассмотрим теперь случай, когда §> (г) обладает парой сопря-
сопряженных периодов 2(Oj = 2a — 2Ы и 2(os = 2a + 2fo\ Тогда паралле-
параллелограммы периодов являются ромбами, диагонали которых соот-
соответственно параллельны действительной и мнимой осям.
В этом случае <§ (г) также обладает действительным периодом
4а = 2(о3 + 2(о4 и чисто мнимым периодом АЫ = 2@3 — 20)!. Но в отли-
отличие от предыдущего случая эти периоды не являются основными,
так как прямоугольник, построенный на сторонах 4а и 4Ы, содер-
содержит внутри (в своем центре) период, а именно 2а-\-2Ы (рис. 51).
Из формулы
[x-\-iy—2(a—bi) т—2(а+Ы) п]
1
- [2 (а — Ы) т + 2(а-\- Ы) /г]2
23»

356 ЦЕЛЫЕ И МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. 7
выводим, подобно тому, как это было сделано выше, что
Отсюда, в частности, следует, что
т. е. что §> (х) действительно при любом х.
Далее '
(так как точки 2a-\-iy и la — iy симметричны относительно полу-
полупериода (й2 = 2а). Поэтому <@Ba-{-iy) также принимает действи-
действительные значения при любых у. Итак, $> (z) принимает действи-
действительные значения на каждой из диагоналей ромба. На отрезке
У\
О
2а-Ш
Рис. 51.
8а
Рис. 52.
0<х<2а, у = 0 она убывает от -f оо до <§> (м2) = S" {Щ = ег
и затем на отрезке х = 2а, 0 ¦< у < 26 продолжает убывать от е2
до — оо. Отсюда вытекает, что каждое действительное значение,
большее чем е2, <§> (г) принимает дважды на диагонали основного
параллелограмма, расположенной на действительной оси, а каж-
каждое действительное значение, меньшее, чем е2, принимает также
дважды на диагонали параллелограмма (ромба), перпендикулярной
к действительной оси. Поэтому в точках основного параллело-
параллелограмма, не лежащих на диагоналях, эта функция принимает
мнимые значения. В частности, мнимыми и притом сопряженными
являются числа
<?i = S)K) = S)(a — Ы) и е3 = <@{щ) = <${а + Ы):
В силу периодичности функции <§> (z) действительные значения
принимаются этой функцией также на мнимой оси

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ДЛЯ fe> (г)
357
На рисунках 52 — 53 представлены графики g> (х) и <§> Ba-\-iy).
6.4. Из формулы F.3:5) легко получить разложение функции
<§> (z) в ряд Лорана в окрестности начала координат. С этой
целью разложим в ряд по степеням z функцию Q.2 — -^ (Q Ф 0):
Q.2
(z
1 L_ J_ Г [\ —
Q
Последний ряд сходится в круге |г|
выводим следующее разложение по
J
1
<;|?2|. Отсюда для <§> (г)
степеням г, сходящееся
рBа+1у)
О
25\
Щ 1
Рис. 53.
в области 0 < | 21 <; б (б — наименьший из модулей периодов,
отличных от нуля):
(законность приведения подобных членов вытекает из сказанного
в п. 7.1 гл. III).
В силу четности функции <$ (г) все коэффициенты при нечет-
нечетных степенях z должны быть нулями. Поэтому
F.4:1)
F.4 : 2)
8» B) = ~т
c2mz
2"t
где
Дифференцируя почленно F.4: 1), будем иметь:
8»' (г) = - ~
F.4 : 3)

358 ЦЕЛЫЕ И МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. 7
Применим найденные разложения для того, чтобы получить
алгебраическое соотношение между <§>(z) и §>'(z). Прием, которым
мы будем пользоваться, заключается в составлении простейшей
рациональной комбинации функций <§> (г) и <$' (z), не имеющей
полюсов в основном параллелограмме. Такая комбинация, если ее
удастся построить, должна быть эллиптической функцией,
не имеющей полюсов, и, следовательно, константой (теорема ]
п. 6.2). Записывая это обстоятельство, мы и получим требуемое
соотношение. Замечая, что главная часть разложения §>' (г) есть
2 1
—j, а главная часть разложения <§>(г) есть -р-, образуем
прежде всего комбинацию
Подставляя вместо $>' (г) и f (z) их выражения F.4 : 1) и F.4 : 3)
и выполняя возвышение в степень соответствующих абсолютно
сходящихся рядов, найдем:
(ненаписанные члены содержат z в неотрицательных степенях),
Добавляя к рассмотренному выражению член 20с2$) (г), получим:
№ (г)? - 4 IV Ш3 + 20с2<§> (г) - - 28с4 + ...
Это и есть искомая комбинация. Левая часть представляет
эллиптическую функцию, не имеющую полюсов в основном парал-
параллелограмме периодов. Следовательно, это — константа. Но при
2 = 0 значение функции, как доказывает правая часть, есть
— 28с4. Поэтому
[Г (г)]2 - 4 [f (г)]3 + 20с2§> (г) = - 28с4,
или
[f (г)]2 = 4 [f (г)]3 - 20с2?> (г) - 28с4.
Мы получили дифференциальное уравнение первого порядка;,
которому удовлетворяет <§> (z). Его коэффициенты 20с2 и 28с4
обозначаются соответственно через g2 и g3 и называются инва-
инвариантами фуНКЦИИ $>(Z). ¦ ¦;•:
Последнее название объясняется тем, что g2 и g3 не зависят
от того, как выбраны основные периоды функции <(?(z).
В самом деле, из формул F.4:2) следует, что
' '-^г . F-4:4)

5 6] ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ДЛЯ <@ (г) 359
т. е. g2 и й представляются суммами абсолютно сходящихся
рядов (см. лемму п. 6.3), распространенных на множество всех
отличных от нуля периодов функции §>(z). А последнее множе-
множество остается одним и тем же при любом выборе пары основных
периодов этой функции.
Запишем окончательно найденное уравнение в виде
W (г)]2 = 4 [<§> (г)]3 - g2f (z) - g3 F.4 : 5)
или, полагая <(p(z) — w,
Полученное уравнение можно представить в иной форме. Заме-
Заметим, что <§>' (г) имеет нули %, ю2 и йз- Следовательно, многочлен
4w3 — g2w — ?3 должен обращаться в нуль при wj = <§> (со,-) = е, (/ = 1,
2, 3). Поэтому
4ws — g2W — g3 = 4{w — ei) (w~e2) {w—e3), F.4 : 6)
и, следовательно, уравнение F.4 :5) приобретает вид
[§•' (г)? = 4 ИР (z) - е,] [у (z) - е2] [<§> (г) - е3].
Так как еи е2 и е3 не равные между собой числа, то дискри-
дискриминант кубического уравнения
должен быть отличен от нуля, т. е.
А = -jQ.igl- 27*5) = (е2 - е3)* (е3 - е^ (е, - е2у ФО *). F.44 7)
Отметим еще следующие формулы, вытекающие из соотноше-
соотношений F.4:5) и F.4:6):
ei + е2 + е3 = О,
—^-, F.4:8)
Уравнение F.4:5') дает для данного w два [отличающихся
друг от друга только знаком значения w'. Последнее обстоятель-
обстоятельство вполне согласуется с тем, что §> (г) не изменяется при замене
г на —z, тогда как §>' (г) изменяет знак. Однако <$' (z) есть
однозначная функция г. Поэтому в соотношении
8»' {г) = V^W{z)Y-g2f(z)-g3 F.4 :9)
*) См., например, А. Г. Курош, Курс высшей алгебры, 7-е изд., Гос-
техиздат, М., 1962, стр. 343—345.

360 ЦЕЛЫЕ И МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. 7
из двух значений квадратного корня следует выбирать каждый
раз одно (дающее значение <§>' (г)).
Рассмотрим какую-либо спрямляемую кривую у, соединяющую
некоторую точку z0 с другой точкой г и не проходящую через
полюсы функции <§> (г). Переписывая F.4 : 9) в виде
и интегрируя вдоль у, получаем:
d<§> (г)
Если образом кривой у в плоскости w является кривая
<$> (у) = Г, соединяющая точки wo = <(?(zo) и ш = | (г), то послед-
последнее выражение можно также представить в виде интеграла вдоль Г:
, , _ - dt
& 6(\ ¦
Этот интеграл определяет многозначную функцию от w.
В самом деле, мы будем получать одно и то же значение инте-
интеграла вдоль различных путей Г, соединяющих w0 и w каждый
раз, когда сравниваемые пути принадлежат одной и той же одно-
связной области, не содержащей особых точек et, e% и е3 под-
интегральной функции (в каждой из этих точек подкоренное
выражение обращается в нуль). Но мы уже не можем утверж-
утверждать, что значения интегралов равны для двух путей, между
которыми лежит одна или несколько из точек ej (/=1, 2, 3).
И действительно, одному и тому же значению w = <§> (z) соответ-
соответствует бесконечное множество различных значений г. Все они
содержатся в формуле
г = ± z' + 2m©! -f 2п(й3,
где z' — какая-либо из w точек функции <§>(z), а т и п — произ-
произвольные целые числа. Соединяя z0 с одной из этих точек z
спрямляемой кривой у и беря интеграл от . , вдоль
образа $> (у) = Г этой кривой, получим в качестве значения инте-
интеграла соответствующее число z — z0.
Заставим z0 стремиться к нулю; тогда w0 = <§> (z0) будет стре-
стремиться к оо и так как несобственный интеграл
w
Рdt
-g2t — g3

§6] ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ 361
СХОДИТСЯ, ТО
w
z^\-7=JL==. F.4:10)
В этом соотношении w = <@(z), а значение квадратного корня
под знаком интеграла берется совпадающим с ^'(г). Из формулы
F.4: 10) следует, что функция <(р (г) является обратной по отно-
отношению к интегралу F.4:10). Последний интеграл называется
эллиптическим интегралом первого рода в нор-
нормальной форме Вейерштрасса.
Вообще эллиптическими интегралами называются
интегралы вида
R(t, Уа0
WQ
где R (t, т) есть рациональная функция, а многочлен под знаком
квадратного корня есть многочлен четвертой степени (а4=^=0) или
третьей степени (а4 = 0, а3 Ф 0).
Своим названием эллиптические интегралы обязаны тому, что
через них выражается длина дуги эллипса. В самом деле, длина
дуги эллипса -^2~ + -р~=1 выражается интегралом
х. -. / „9.
а " Х9.
и,
«I-
= dt,
J 1/A — t2) (l— k2t2)
где
a2 — 62
Это — эллиптический интеграл.
От интегралов наименование эллиптические перешла
к функциям, являющимся обратными по отношению к эллипти-
эллиптическим интегралам.
Полагая в формуле F.4 : 10) z=a>j и замечая, что w—<$ (<i>j) = ej,
получим:
Л?Ц= (/1= 1,2,3). F.4: 11>

362 ЦЕЛЫЕ И МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. 7
В этих формулах в качестве путей интегрирования следует
¦брать образы каких-либо спрямляемых кривых, соединяющих
точку 2 = 0 с точками са±, а»2, щ соответственно. Если в них
¦пользоваться произвольными путями интегрирования, соединяю-
соединяющими точку оо с точкой ej, то в левой части будут получаться
различные полупериоды вида <Л}-\-2ггш>х-\-2па3, где т и л —про-
—произвольные целые числа. Выбор того или иного значения квад-
квадратного корня при этом не существен, так как он сказывается
только на знаке полупериода.
6.5. Мы установили в п. 6.4, что каждая функция w = <(p(z)
является решением дифференциального уравнения:
'dw
где #2 и ёз — инварианты <@(г).
Пользуясь этим, легко доказать, что инварианты однозначно
определяют функцию <@(z), т. е. что не может существовать
двух различных функций $? (г) с одними и теми же инвариантами.
Очевидно, что достаточно установить единственность аналити-
аналитического решения данного уравнения, удовлетворяющего началь-
начальному условию <р @) = оо.
Действительно, пусть z0— какая-нибудь точка, не являющаяся
¦полупериодом ^(г), и ш = ф(г)—функция, аналитическая в ок-
окрестности г0, удовлетворяющая предложенному уравнению и на-
начальному условию ф@) = оо. Тогда ее можно представить в виде:
где s (г) = $>~хф (z) — функция, аналитическая в окрестности z0.
Имеем:
так как <§>(z), по условию, есть решение данного уравнения.
"С другой стороны, ф (г) удовлетворяет тому же уравнению;
поэтому
Сравнивая оба результата, находим: (-^-] = 1, откуда s—±z+C
я, следовательно:
Если мы потребуем, чтобы функция ф (г) удовлетворяла еще
условию ф@) —оо, то получим, что С есть период функции
$>(г),:.т. е.
Ф (г) s р (г): . .

§ 6] ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ 363
Далее встает следующий естественный вопрос: можно ли
утверждать, что любому дифференциальному уравнению первого
порядка
где g" и gm — заданные комплексные числа, всегда удовлетворяет
некоторая эллиптическая функция Вейерштрасса w = <§> (z)? Оче-
Очевидно, на числа g" и g'" необходимо наложить то ограничение,
которому должны подчиняться инварианты функции Вейерштрасса,
а именно:
gua — 27gm2=j^0.
Но достаточно ли одного последнего условия?
Решение этого вопроса представляет так называемую задачу
об обращении эллиптического интеграла. В самом
деле, речь идет о том, чтобы показать, что функция, обратная
эллиптическому интегралу
w
г=- dt
есть эллиптическая функция w = <(?(z) с инвариантами g" и g".
Задача об обращении была бы решена, если бы мы доказали
существование комплексных чисел 2©' и 2©"', отношение которых
не есть действительное число, удовлетворяющих уравнениям
S — DUZJ
Действительно, построив функцию <§> (z) с основными перио-
периодами 2©' и 2©'", мы могли бы утверждать тогда, что ее инва-
инварианты совпадают с заданными числами g" и g'" и что, следова-
следовательно, она удовлетворяет предложенному дифференциальному
уравнению.
Здесь мы ограничимся решением задачи обращения в том
наиболее простом и вместе с тем наиболее важном для приложе-
приложений случае, когда g" и g" — действительные числа.
Будем различать два случая:
а) Д = -±-(?''з_27^)>0, б) Д = -^(^"з_
В случае а) все корни уравнения
действительны и различны. Обозначим их через е', е", ет, выбрав
эти обозначения так, чтобы выполнялись неравенства
е'>е">ет.

364 ЦЕЛЫЕ И МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. 7
Замечая, что многочлен
№-g"t-gm = A(t-e'){t-e")(t-em)
принимает действительные значения при t действительном и при-
притом положительные, если t>e', и отрицательные, если t<Ce"'T
положим:
+°° ' л
*= \ , dt =\ , dt
-yW — g't — g" «), 2 y(t — e')(t — e")(t—e'") \
2-y-(t-e')(t-e"){t-e>")
F.5:1)
Очевидно, ©' — действительное положительное число, а ©'" —
чисто мнимое число с положительной мнимой частью. Примем
©' и ©'" за полупериоды эллиптической функции $> (г) и покажем,
что эта функция представляет решение поставленной задачи, т. е.
обладает инвариантами g" и g".
Преобразуем предварительно формулы F.5:1). В первой
из них введем новое переменное т > 0 под знаком интеграла
по формуле
Замечая, что пределам интеграла е' и со будут соответство-
соответствовать тогда новые пределы 1 и 0, получим:
и
ч
Й) =
1 Р dx
' _ е'" J Т/A—т2)A—
где
Аналогично, заменяя сначала во второй из формул F.5:1)
на —t, найдем:
¦"

$ 6] -ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ 365
а затем, полагая
t^-^f—e' (т>0)
и выполняя необходимые выкладки:
1
¦ _ ' ?
где
Из найденных формул следует, что
1
dx
о
Когда k2 растет от 0 до 1, интеграл в числителе растет от
d%
=~y до бесконечности. При этом fe'2=l — fe2 убывает
о * ~т
от 1 до 0, и следовательно, знаменатель убывает от бесконеч-
бесконечности до ^. Отсюда вытекает, что отношение -Цг растет от О
до со, проходя через все положительные значения, когда
k"" = е ,~~е,„ растет от 0 до 1.
„ , . /со'
Поэтому любому a priori заданному значению отношения ~^-
соответствует одно и только одно значение А2, заключенное
между 0 и 1. Определив k2 по заданным ©' и о/", мы из формулы
1
у е — е = \ —,
J УA-т»)A
находим е' — е™. Поэтому мы можем считать известным также
и е" — е"' = (е' — ё") k2 и, наконец, используя соотношение
е' + е" + е'" = 0, получаем каждое из чисел е', е" и ё". Итак,
задавая значения интегралов
е' ew
, Р с» ,„ . Р d^
© = \ ¦ =г И Ю'" = 1 \
J — У At3 — g"t — gm <3 y_D/3 — ?'7 — g"')

366 ЦЕЛЫЕ И МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. Т
¦ I , со" \
a priori (так, что со и —: положительные числа! , мы можем
по ним однозначно определить значения корней ё, е" и ё" урав-
уравнения At3 — g"t — gm = 0, а следовательно, и значения коэффициен-
коэффициентов g" и gm. Этим замечанием мы воспользуемся для того, чтобы
доказать, что инварианты g2 и g3 построенной нами функции §> (z)
совпадают с числами g" и g"', чем и закончится решение задачи
обращения в рассматриваемом случае.,
В п. 6.3 мы уже рассматривали функцию <§> (z) с одним дей-
действительным и другим чисто мнимым периодом и убедились в трм,
что w = <{? (z) принимает действительные значения и убывает от с»
до et = <§> (ю'), когда z изменяется по действительной оси от 0 до ю'.
Обозначая инварианты функции <§> (z) через gz и g3 и замечая,
что <{р' (z) имеет действительные отрицательные значения при;
О < г =%<©', получаем:
откуда
¦'= К dt
О _-|/4^3 —
Аналогично, <§> (z) принимает действительное значение и возра-
возрастает от — оо до е3, когда z — iy изменяется от 0 до vf по мни-
мнимой оси. При этом производная ¦ d ^z' = — i ¦ d принимает чисто
мнимые значения с отрицательной мнимой частью. Поэтому для
z = iy, где 0<1/<Д-, получаем:
y) -gs),
+
откуда
r-
+0О
Так как по доказанному значения коэффициентов подкоренного
многочлена однозначно определяются значениями рассматриваемых
интегралов
dt
-y4t»-g"t—g"~} —
_
V4ts-g2t-g3 '
+
е» е3
„__ . Р dt_ . Р dt
}x V(eg) ^ V

«6] . ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ 36Г
т0 g2 = g" и g3 — gm, чем и заканчивается доказательство в слу-
случае а).
Рассмотрим теперь случай б). Здесь уравнение
At* — g't — g"' = 0
должно иметь один действительный корень е" и два мнимых,
сопряженных корня е' и ет.
Выберем обозначения так, чтобы мнимая часть корня ет была-
положительна. Замечая, что многочлен
Vs ~ g"t - g'" = 4(t-e')(t- e") (t - е"')
принимает действительные значения при t действительном и притом^
положительные, если ^>е", и отрицательные, если t<Ce", по-
положим:
_ Р
~ 0
dt P dt
*._ P dt =
d —iy — (u3 — g"t — g'")
dt. P dt
F.5 : 2У
Здесь а и р — действительные и положительные числа. Построим.-
эллиптическую функцию <§>(z) с периодами 2©' = а — ф и 2©"' =
= а + t'P и покажем, что она представляет решение поставленной»
задачи обращения, т. е. обладает инвариантами g" и gm.
Преобразуем предварительно формулы F.5 : 2). В первой из них.
сделаем замену переменного
Получим:
_P 2%d% _P dx_
v 2 Уi2 (т24-е"—e') (т24-е*— e"') « Л/(т2-\-е" — e'H
о ц_ " +
Положим
e" — e' = pei9 и, значит, е" — em = pe~i4>,
где 0 < ф < я. Тогда будем иметь:
oo
^ Р ^ dt
¦ . •¦ ¦¦ : ¦-¦.o.J:**"9'1

368 ЦЕЛЫЕ И МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. Г
или, наконец, полагая x = Y^pt:
оо
у- _ Р dt_
О
Аналогично, заменяя сначала во второй из формул F.5:2)
t на —t, найдем:
оо
dt
о 2]/((+е')((+е") (t + ет)
и затем, полагая
t = - е" + т2 (т > 0)
и выполняя необходимые выкладки, получим:
сю
2т Л
о 2
J 1/[т2 —(е" —е')] [г2 —(е"_е"')] <? Ут4 — 2рТ2 cos Ф + р2
о + о +
d%
Наконец, полагая здесь т = Ур^, будем иметь:
оо
dt
Из найденных формул вытекает, что
а о
J У/4 —2^2cos ф+1
Если ф меняется в правой части от 0 до я, то соэф убывает
от 1 до — 1 и, следовательно, интеграл в числителе возрастает
со
от \ 11/2 = Т до бесконечности, а интеграл в знаменателе убы-
о
вает от оо до -^-. Отсюда следует, что отношение -g- возрастает
от 0. до оо и, следовательно, каждому a priori заданному значе-

§ 6] ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ 369
нию отношения -р- соответствует единственное значение ср в пре-
пределах от 0 до п.
Определив ср по заданным а и р и подставив в выражение
для а, найдем
оо
dt
===== : а.
Следовательно, значения р и ср единственным образом опреде-
определяются по заданным значениям а и E. Поэтому единственным
образом определяются разности е" — е' и е" — е'" и далее с помощью
соотношения е'+е" + е'" = 0 все три корня е', е" и е"' уравнения
4Р — g"t — g'" = 0 и, наконец, его коэффициенты g" и g'".
Итак, задавая значения интегралов
р dt .ft . P dt
а = \ и ф = 1 \
J УН3 "t 
1 \
и ф = 1 \ ,
— УН3 — g"t — g «J V —D^3 —
a priori (так, что а и E — положительные числа) мы можем по ним
однозначно определить значения коэффициентов g" и g'" много-
многочлена 4^3 — g"t — g'". Этим замечанием мы воспользуемся для
того, чтобы доказать, что инварианты g2 и g3 построенной нами
аналитической функции совпадают с заданными числами g" и g'".
В п. 6.3 мы уже рассматривали функцию <§> (г) в случае,
когда она имеет пару сопряженных основных периодов a — ф
и a -f- if>, и убедились в том, что w = $>(z) принимает действи-
действительные значения и убывает от +оо до e2 = bB(a)i когда г = х
описывает отрезок действительной оси 0 до а. Замечая, что про-
производная <§>' (х) должна иметь при этом действительные отрица-
отрицательные значения, получаем:
<§>' {х) = — У 4 [f (х)}3 — g2f (x) — g3,
откуда
е2
dt
Аналогично, <§> (г) принимает действительные значения и убы-
убывает от е2 до — оо, когда z^a-^-iy описывает отрезок прямой,
параллельной мнимой оси, от точки 'а до точки а-ftp. При этом
24 А. И. Маркушевич

370 ЦЕЛЫЕ И МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. 7
производная
= _ {
dz dy
принимает чисто мнимые значения с положительной мнимой
частью. Поэтому для z = а + iy, где 0 << у < [3:
Г (а +1у) = t ^ - {4 [g> (а + i«/)']3 - g^o (а + iy) - g3},
откуда
ip = (а + ip) - а = i [ dt
Так как по доказанному значения коэффициентов подкоренного
многочлена однозначно определяются значениями рассматриваемых
интегралов
е" 62
е
J v—W3—g"t—
-°° + ~°° +
то gt = g" и gz — g", чем и заканчивается доказательство.
Из проведенного нами исследования следует, в частности, что
если инварианты g2 и g3 функции g> (z) суть действительные
числа, то <§> (г) обладает либо парой основных периодов, один
из которых есть действительное, а другой чисто мнимое число
(в случае, когда дискриминант Д положителен), либо обладает
парой сопряженных основных периодов (в случае, когда дискри-
дискриминант отрицателен). В самом деле, в каждом из этих случаев
w = <§> (г) представляет обращение эллиптического интеграла
и, следовательно, по .доказанному либо обладает парой основных
периодов вида
2щ= X dt и 2«>з= X dt
g-Vw-ezt-gs e-tV-W-gtt-gs)
V

§ 6] ДЗЕТА- И СИГМА-ФУНКЦИИ 371
(в случае, когда А>0), либо парой основных периодов вида
dt
«3^ — V4t3 — Sot — Р, d V — Ш3 — Pot — i
>.
(в случае, когда Л<;0).
Заметим, наконец, что условие действительности обоих инва-
инвариантов является необходимым и достаточным условием для
того, чтобы функция g> (г) принимала действительные значения
на действительной оси.
В самом деле, если g2 и g3 — действительные числа, то, как
мы только что видели, <(р (г) имеет либо действительный и чисто
мнимые основные периоды, либо два сопряженных основных
периода. В каждом из этих случаев, как было показано в п. 6.3,
<§> (г) принимает действительные значения на действительной оси
(а также и на мнимой оси).
Обратно, если *р (г) принимает действительные значения на
действительной оси, то многочлен
также принимает действительные значения при z — x. Поэтому
для всех действительных х, откуда
т. е. g2 и g3 — действительные числа.
6.6. Если сравнивать двояко-периодические функции с просто-
периодическими, то в качестве аналога функции f (г), имеющей
двойной полюс в каждом из периодов Q = 2тщ + 2псо3 с главной
частью — ргтд- , можно назвать функцию esc2 z, также имеющую
двойной полюс в каждом из своих периодов © = ля с главной
частью _ 2 . Среди тригонометрических функций имеются
и более простые, чем esc2 г, тесно связанные с этой функцией,
а именно ctg2, с простыми полюсами в каждом из периодов ©
и соответствующими главными частями ——— , и sin z, с простыми
нулями в. каждом из периодов. Что касается связей этих функций
24*

372 ЦЕЛЫЕ И МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. 7
с csc2z, то, оставляя в стороне алгебраические связи, очевидно,
имеем:
(ctgz)' =—esc2 2 и (Ln sin 2)' = ctgz.
Среди эллиптических функций не может существовать ни
функций с простыми полюсами в периодах (и не имеющих никаких
других полюсов), ни целых функций. Однако, отбрасывая требо-
требования эллиптичности, можно построить функции, которые будут
связаны с f (г) совершенно так же, как ctgz и sin г связаны
с esc2 г. К определению и анализу таких аналогов ctg г и sin z,
играющих важную роль во всех выкладках с эллиптическими
функциями, мы и перейдем сейчас.
Аналогом ctgz служит функция ? (г) (дзета-функция
Вейерштрасса*)), определяемая следующими условиями:
&(г)]'=-ф(г) и НтГ?(г)—11=0. F.6:1)
z-+0 L 2 . J
Эту функцию можно представить в следующем виде:
где интегрирование ведется вдоль любой спрямляемой кривой,
не проходящей через точки Q Ф 0. Подставляя вместо <§> (z) ее
разложение на простейшие дроби и почленно интегрируя, получим:
-J LB-QK Qaj""--^ lz_Q ' Q ' Q2
б
т. е.
Функция Z, (z) является мероморфной с простыми полюсами
в точках г = Q и соответствующими главными частями ;=; .
Легко видеть, что ?(г) — нечетная функция. В самом деле,
*) Ее не следует смешивать с другой дзета-функцией, играющей
важную роль в теории чисел и определяемой посредством ряда Дирихле:
t(z)=ZJ—г" ( РЯД сходится в полуплоскости Rez>l). Последнюю функцию
1
ввел а науку Эйлер; однако, по традиции, эта функция обычно называется
дзета-функцией Римана.

§ 6] ДЗЕТА- И СИГМА-ФУНКЦИИ 373
и, следовательно,
? (г)+ ?(-*) = С,
или
При г—>0 в левой части получим 0; следовательно, С — О и
?(-г)=-?B). F.6:3)
Заметим далее, что
[? (г + 2юу) -? (г)]' = Г (г + 2ю,) - Г (г) = <§> (г) -g> (г + 2©;) з= 0,
поэтому
? (г + 2со;) - ? (г) = 2т), (/ = 1, 2, 3), F.6 : 4)
т. е. функция ? (г) изменяется на аддитивное постоянное 2r\j,
когда г изменяется на 2со^. Между величинами 2со7- и 2r\j суще-
существуют весьма простые соотношения. Чтобы вывести их, будем
интегрировать функцию ? (г) вдоль контура у параллелограмма
с вершинами —со2, а>х — со3, со2, —о^ + соз. Так как внутри этого
параллелограмма ? (г) имеет единственный полюс г = 0 с вычетом,
равным 1, то
§ I (г) dz = 2m\
у
С другой стороны, тот же интеграл можно представить в виде
суммы двух разностей интегралов, распространенных на пары
противоположных сторон параллелограмма:
1 1
§ - ft>3 + 2foj) 2©! dt - J ? (- ©i + ft>3 + 2fo>t) 2©! dt
о о
1 1
§ ? К-соз + 2/соз) 2<o3<#— J ? ( —cot —co3 + 2f<B3) 2co3
о о
Это в силу F.6:4) можно представить в виде
откуда
2oKT)i — 20)^3 = л/. F.6 : 5)
Замечая, что 2со2 = 2©! + 2©3 и
2т]2 = ? (г + 2й2) - ? (г) - [? (г + 2% + 2й3) - ? (г + 2й3)] +
+-[? (г + 2©з) - ? (г)] = 2щ + 2тK,

374 ЦЕЛЫЕ И МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. 7
получаем из F.6 : 5) следующие соотношения:
3 —2(o3T]2= — яг. F.6:5')
Равенства F.6:5) и F.6:5') называются соотношениями
Лежандра.
Построим теперь функцию, являющуюся аналогом sin г. Эта
функция, обозначаемая через o(z) (сигма-функция), опреде-
определяется следующим образом:
dhna(z) а' (г) ,. . . .. а (г) , /с с сч
—^ = W=^(Z) И ]^г={- F-6:6^
Для нее имеем:
откуда
Мы получили бесконечное произведение, распространенное
на все Q Ф 0. Из этого представления видно, что а (г) — целая
функция с простыми нулями в точках Q = 2/гсо! + 2тщ.
Порядок ее равен 2, так как показатель сходимости последо-
последовательности ее нулей равен 2 (см. п. 5.3).
Заметим, что
—z z
а(-г)= -zexp { J [?(z)-JL] dz\ = -гехр { J [^(zj—j] dz}
о о
(мы воспользовались здесь тем, что ? (г) — нечетная функция);
поэтому
а(-г)=-а{г), F.6:8)
т. е. а (г) — нечетная функция.
Из формул F.6 : 6) и F.6 : 4) выводим:
откуда, интегрируя:
или

§ 6] ДЗЕТА- И СИГМА-ФУНКЦИИ 375
Положим здесь z = — ю/ и воспользуемся нечетностью функ-
функции а (г); получим:
- 1 = e~2r]Jai+cJ.
Следовательно,
c(z + 2(Bj)=-or(z)e2Vz+aV) (/=1,2,3). F.6:9)
Таким образом, функция а (г) приобретает показательный мно-
множитель ехр [лг + 2%(z + g>j)], когда z изменяется на 2со7-.
6.7. С помощью сигма- и дзета-функций можно представить
в конечном виде любую эллиптическую функцию. Мы будем рас-
рассматривать здесь эллиптические функции с основными периодами 2со1
и 2©3 и функции t,(z) и a(z), построенные, отправляясь от этих
основных периодов.
Теорема 1. Пусть f (z) — эллиптическая функция порядка п,
а аи ..., ап и р4, ..., $п соответственно — ее нули и полюсы
{выписанные сообразно с их кратностью), принадлежащие основ-
основному параллелограмму периодов. Тогда
fM = Cg(z-a))'--g(z-a< F.7:1)
где С— постоянная и $п = («i + • • • + ап) — (Pi + • • • + Pn-i).
Доказательство. Из того, что о (г) имеет простые нули
во всех точках Q = 2m©j + 2n©3> вытекает, что а (г — с) имеет
по одному простому нулю в каждом параллелограмме периодов,
а именно, в точке с основного параллелограмма и во всех точках,
конгруентных с ней. Отсюда следует, что
. . = а(г — ос1)...а(г — ап)
о(г-Ы...а(г-$'п)
есть мероморфная функция, имеющая в каждом параллелограмме
периодов функции / (г) по п нулей и по п полюсов, конгруентных
с нулями и полюсами функции f(z) из основного параллелограмма.
Заметим, что $'п— р„ = (cq + ... + an) — (Pi + • •. + Рп) является
одним из периодов функций f (г) в силу теоремы 4 п. 6.2 и, сле-
следовательно, p^i конгруентно с рд. Отсюда следует, что нули
и полюсы функции ф (z) совпадают с нулями и полюсами функ-
функции f(z) в каждом параллелограмме периодов.
Убедимся теперь в том, что ср (г) есть двояко-периодическая,
а следовательно, и эллиптическая функция. В самом деле, по фор-
формулам F.6 :9)
}()
ехр {2ц Л (Pi + • • • + Р;) - («1 + • • • + a»)]} Ф (г) = Ф (z)
(/ = 1, 2, 3).

376 ЦЕЛЫЕ И МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. 7
Следовательно, частное / (z): <p (z) является эллиптической
функцией без нулей и полюсов, т. е. константой С. Формула F.7 :1)
доказана.
Из доказательства теоремы следует, что точки alt ..., an
и Pi, ..., Рп можно заменить любыми другими конгруентными
точками, лишь бы выполнялись соотношения равенства между
суммой рассматриваемых нулей и суммой полюсов.
Теорема 2. Пусть f(z)~ эллиптическая функция, полюсами
которой в основном параллелограмме периодов являются точки
Ьи ..., ЬТ с кратностями хь ..., кг и соответствующими глав-
главными частями:
Aw
Тогда
г<Эе С — постоянная.
Заметим, что ?'(z — 6ft)=—$>(г — ЬА) и вообще tf~3)(z — bh) —
= _g.«-D(z_6ft). .
Доказательство. Очевидно, ? (г — Ъ) имеет простые полюсы
во всех точках ft-)-Q с главными частями , а ?C#) (г — Ъ)
имеет (/+1)-кратные полюсы во всех точках 6 + Q с главными
частями (— 1У г- . Поэтому сумма в правой части фор-
[z~(*+Q)]m
мулы F.7:2) представляет мероморфную функцию ф(г), для кото-
которой полюсы, их кратности и главные части совпадают с полю-
полюсами, кратностями и главными частями функции f(z). Покажем,
что ф (г) — эллиптическая функция с периодами 2cot и 2со3. В самом
деле, в силу формулы F.6:4) имеем:
ф(г + 2©,) — ф(г) =
= 2 A?)[Z,(z + 2(»j-bh)-Z(z-bh)] = 2i]j S 4ft)-
ft=i fe=i
г
Но 2 -^iA) есть сумма вычетов эллиптической функции f{z)
относительно всех ее полюсов, принадлежащих основному парал-

§ 6] ДЗЕТА- И СИГМА-ФУНКЦИИ 377
г
лелограмму периодов. Поэтому 2 А\=0 (теорема 2 п. 6.2) и,
fe=i
следовательно,
<p(z + 2<»,)-<p(z) = 0 (/=1, 2, 3),
т. е. ф(г) — эллиптическая функция. Итак /(г) — ср(г) есть эллипти-
эллиптическая функция, не имеющая полюсов, т. е.
/B)_фB)=С,
чем и заканчивается доказательство формулы F.7 :2).
Если проводить аналогию с теорией рациональных функций,.
то функцию а (г) можно сравнить с г, а функцию Z, (г) — с —.
Тогда теореме 1 этого пункта будет точно соответствовать тео-
теорема о возможности представить рациональную функцию порядка п
с конечными нулями а-л и полюсами рд (k=l, 2, ..., п) в виде
отношения двух многочленов, разложенных на линейные множители:
а теореме 2 — разложение рациональной функции на простейшие-
дроби:
Предлагаем читателю построить аналогичные представления
для тригонометрических функций, где вместо а (г) следует взять
sin г, вместо ?(г) взять ctgz и, наконец, вместо параллелограмма
периодов — полосу периодов. При этом нули и полюсы тригоно-
тригонометрической функции нужно брать принадлежащими какой-либо
полосе периодов, например —тСх<.п.
В виде приложения теорем этого пункта рассмотрим задачу
вычисления эллиптического интеграла
где R(t, т) — рациональная функция и A = gl — gl
Для того чтобы иметь право ссылаться на результаты п. 6.5
об обращении эллиптических интегралов, мы предположим еще,
что числа ^ и ёз действительны, что и представляет наиболее
важный для приложения случай. В силу п. 6.5 существует эллип-
эллиптическая функция {р(г), удовлетворяющая уравнению
Ир' (г)]2 = 4f3 (г) - g2f (г) - g3-

378 ЦЕЛЫЕ И МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. 7
Полагая t под знаком интеграла равным f{z), мы можем
заменить |/^3 —g^—<§з через §>' (г) и, следовательно, получим
интеграл
$№>(z), <§'{z)W{z)dz.
Но /?[^(г), g>' (г)] f' (z) = / (г) есть некоторая эллиптическая
функция. Выражая ее по формуле F.7 :2) и интегрируя, получим:
ft=i
Для вычисления интегралов \?(г — bk)dz заменяем t,(z — bk)
через -j— Lno(z — bk). Окончательно находим:
Это и есть результат интегрирования, к которому, чтобы
вернуться к первоначальному переменному, следует присоединить
еще соотношение
или z =
6.8. Из теорем предыдущего пункта можно вывести много-
многочисленные тождества теории эллиптических функций. Укажем
лишь важнейшие из них.
Пусть j — комплексное число, не являющееся периодом для^(г).
Рассмотрим разность:
Это — эллиптическая функция второго порядка. Ее нулями являются
точки j, —j и все точки, конгруентные с указанными. Если
5 — ( — s) = 2j не есть период (т. е. если % не есть полупериод),
то j и — g не конгруентны между собой и, следовательно, любой
нуль .функции f(z) конгруентен с j или — j. Если же 2% есть
период, то g есть полупериод, не являющийся периодом. Отсюда

§ 6] АССОЦИИРОВАННЫЕ СИГМА-ФУНКЦИИ 379
следует, что $>'($) = О, т. е. j есть двойной нуль функции f(z)
и снова каждый нуль функции /(г) конгруентен с } и — j. Заме-
Замечая, что f(z) имеет двойной полюс в начале координат, восполь-
воспользуемся теоремой 1 п. 6.7. Положим at = j, a2= — j, ^ = 0, $'2 = 0.
Очевидно, условие Рз^^ + ^г) — Pi здесь выполнено. Будем иметь:
откуда, умножая на г2 и переходя к пределу при г
1 -с g(-*>g(*> —СоЧъ)
т. е.
Итак,
Положим здесь j = со^; тогда §> (j) = е^ и в силу формул F.6 : 9)
a (z + dj) = — а (г — со;) е2 V,
откуда
о (г - ©^ = - а (г + со,) е~2 V
и, следовательно,
Ь Kz) eJ е ста (г)
Извлекая из обеих частей квадратный корень, найдем
F.8:2)
Мы выбрали здесь одну из двух ветвей квадратного корня,
а именно ту, которая представляется правой частью формулы F.8:2).
Введем обозначения
е~V Ч^Г = G* W (/ = J' 2, 3). F.8 : 3)
Функции Oj(z), очевидно, являются целыми; они называются
ассоциированными о-функциями. С их помощью фор-
формулы F.8 : 2) запишутся в виде

380 ЦЕЛЫЕ И МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. 7
и, следовательно,
[Г (z)?^4[f(z)-el][f(z)-e2][f(z)~e3] = 4a2l{z)^)al{2\
откуда
Ф' Ы - Ч- 2 а1(г)-ст2(г)-(Тз(г)
Чтобы выбрать здесь верный знак, умножим обе части на zs
и перейдем к пределу при 2—>0. Тогда из того, что zs<§>'(z)—> — 2r
—Q—>\, и, наконец, Oj@)=l (в силу определения), найдем, что
в последней формуле нужно взять знак минус. Итак,
F.8:5)
Вернемся к формуле F.8: 1). Беря от обеих частей логариф-
логарифмическую производную по г, найдем:
p^l(p(a)=?(z + a) + ?(z-a)-2?(Z), F.8: 1')
или, меняя ролями г и }:
!^ E(z+8)-?(z-8)-2E(8). F.8:1")
Складывая и деля на 2, получаем:
tw^H^-^-^- F-8:6>
Дифференцируя обе части равенства F.8:6) по г, получим:
1 Г (г) 1 Г (z)[F (г)-9' Щ] _„, , » , „/2v
2 (P(z)-p(j) 2 [|р(г)- »^-t-e;-f* W
Снова поменяем ролями г и }:
2 И8)-Р(г) 2 [Pfe)-P(z)ja ~
и сложим почленно найденные равенства
2 Р(г)-Р(8) 2
Заметим, наконец, что из уравнения
вытекает, что
2f' (г) Г B) = 12Г (г) у' (г) - g2f (z),

§ 6]
или
СФЕРИЧЕСКИЙ МАЯТНИК
381
Поэтому
и, следовательно, соотношение F.8 : 6') может быть представлено
в виде
—-———- . F.8 : 7)
Это — одна из форм теоремы сложения для эллипти-
эллиптической функции f(z). В самом деле, формула F.8:7) дает алге-
алгебраическое соотношение между ?р (г + 3)> W (z) и Чр ($), если еще
воспользоваться двумя уравнениями.-
6.9. В виде простейшего при-
примера приложений функций Вейер-
штрасса рассмотрим задачу о сфе-
сферическом маятнике. Так на-
называется материальная точка, дви-
движущаяся без трения по поверхности
сферы.
Выберем цилиндрическую си-
систему координат, как указано на
рисунке 54. Тогда уравнение сферы
запишется так:
Рис. 54.
Р2 + и2 = /2, F.9:1)
где / — радиус сферы. Так как наш маятник находится под дей-
действием силы тяжести —mg и нормальной реакции сферы, то тео-
теорема живых сил, приложенная к маятнику, дает:
ml/a
ИЛИ
У2= —2gu + h, F.9:2)
где h — постоянная.
Далее, так как силы, действующие на маятник, лежат всегда
в одной плоскости с осью и, то можно еще воспользоваться
теоремой площадей, утверждающей, что секториальная скорость
движения проекции маятника на плоскость ы = 0 относительно

382 ЦЕЛЫЕ И МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. 7
начала координат остается постоянной:
9*^г = С F.9:3)
Отсюда следует, что угол ср является монотонной функцией вре-
времени t. Уравнения F.9:1), F.9:2) и F.9:3) определяют коор-
координаты и, р и ф движущейся точки как функции времени. Пока-
Покажем, что эти координаты выражаются с по'мощью функций g>, ? и а.
Определим сначала ы, для чего исключим р и ср из наших
уравнений.
Имеем:
\dt ) ^Р \ dt ) ^ \ dt
dt*
Следовательно, из F.9 : 2) получаем:
где положено ~ = и'. Отсюда следует:
/V2 = (/г - 2#и) (/2 - «2) - С2 = q (и), F.9 : 4)
где q (и) — многочлен третьей степени.
Если и0 (— / < щ < I) — координата маятника в начальный
момент, то мы должны иметь, очевидно, ^(и0)>0 (так как ско-
скорость и' — + - есть действительное число] .
Замечая, что q ( + оо) = + со, ^ (/)==— С2<0, <7(ио)>0,
<7( — /) = —С2<0, <7 (— со) = — со, заключаем, что все нули ии
и2, «з многочлена третьей степени q (и) действительны. Если
<7("о)>О, то они лежат по одному на интервалах (/, +со),
(ио> I) и (— /, щ). Обозначим их в следующем порядке:
— I<u3<uo<u2<l<ui. F.9:5)
Если q(uo) = O, то интервал (/, + со) по-прежнему будет содер-
содержать один нуль Ыц так как общее число нулей в нем нечетное,
а интервал (—оо, —/) не будет содержать ни одного нуля (так
как общее число нулей в нем четное). Следовательно, два нуля
должны содержаться в одном из полуинтервалов (— /, «о] или [и0, I),
и мы получаем прежнее их расположение с тем лишь различием,
что между и0 и us или между щ и и2 появляется знак равенства.
В частности, возможен случай, когда
«2 =  = «О-

§ 6] СФЕРИЧЕСКИЙ МАЯТНИК 383
Тогда q(u) = 2q(u— и^(и — ыоJ> и> как легко видеть, урав-
уравнение F.9:4) интегрируется в элементарных функциях. Разбор
этого частного случая мы опускаем *). Итак, мы считаем в даль-
дальнейшем, что все корни уравнения q(u) = 0 — простые.
В этом случае q {и) остается неотрицательным на сегменте
[и3, и2], содержащем значение и0, и меняет знак при переходе и
через границу этого сегмента. Отсюда следует, что во все время
движения координата и должна удовлетворять неравенствам
</, F.9:6)
т. е. маятник все время остается в пределах некоторого шарового
пояса.
Возвращаясь к уравнению F.9 : 4), произведем в нем замену вида
u~av + 6,
где а^Ои Ь — некоторые действительные коэффициенты. Получим:
1
a?lzv'z = q (av-)-b) или v'2'~—ш
Выберем а и b так, чтобы многочлен -^q{av-\-b) принял вид
4у3 — g2v — g3.
Для этого достаточно приравнять старший коэффициент много-
многочлена четырем, а коэффициент при vz положить равным нулю.
Тогда получим:
a = f, 6 = ?. F.9:7)
После этого уравнение F.9 : 4) запишется в виде:
и'2 = 4у3 — g2v — g3- F.9:8)
Нулями многочлена 4v3 — g2v — gs являются числа
в] = —-— (] = 1, 2, о),
причем е1>е2>е3, так как Uj> и2>«з и а>0. Сегменту
и3*Си*Си2 теперь соответствует сегмент e3t
Отсюда вытекает, что дискриминант
и, следовательно (п. 6.5), существует эллиптическая функция <§> (т)
с основными периодами: одним действительным 2а и одним чиста
*) См. этот случай, например, в книге: Г. К. Суслов, Теоретическая^
механика. Издание третье, посмертное, ОГИЗ, Гостехиздат, 1944, стр. 204 — 207,.

384 ЦЕЛЫЕ И МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. 7
мнимым 2ф, удовлетворяющая уравнению
ИР' СО!2 = 4 № @13 — <?2&д (т) — ffs- F.9 : 9)
Периоды 2а и 2/р вычисляются по формулам F.5: 1):
rf\ P =
Если т — а + ф, то, как мы видели в п. 6.3, $ (т) = g3 (a
является функцией от а с периодом 2а, дифференцируемой и воз-
возрастающей от е3 до е2 на сегменте [0, а] и убывающей от е2 до е3
на сегменте [а, 2а]. Те же значения <(р (т) принимает и на любой
прямой т = а + B^+1)Ф (&==0;±1, ...). Произведем в уравне-
уравнении F.9: 8) еще одну замену неизвестной функции v:
Получим:
откуда
т. е.
где +^о — постоянное интегрирования и, следовательно,
и = «>[± (*-/„) + #]•
В силу того, что
S> (- a + ф) = g> (a - fP) = g> (a + ф),
выбор знака в полученном результате безразличен. Мы положим
v = W[(t-to) + №
так, что при ^=:^0 $* (ф) = e3 — m'mv. Будем отсчитывать время t
от этого момента; тогда получим:
v = $(t + Ф)
и
u = av + b = ?jV(t + iP) + ±. F.9:10)
Итак, мы решили уравнение F.9:4). Так как Pu'2 — q (и) есть
мероморфная функция от и, обращающаяся в нуль для всех
0«С/<С°°, т. е. для всех и на сегменте «з^ы^Ыг. ТО в силу
-теоремы единственности для аналитических функций она тожде-

§ 6] СФЕРИЧЕСКИЙ МАЯТНИК 385
ственно равна нулю. Следовательно, для любого комплексного т
имеем:
- /V2 — q{u) = a2l2f 2(т) — q[af (т) + 6]=0. F.9:4')
Этим замечанием мы воспользуемся ниже.
Мы нашли, что и является периодической функцией от t
с периодом 2а, выражаемой через значения эллиптической функ-
функции ЧР; она принимает минимальное значение и3 в моменты вре-
времени / = 0, 2а, 4а, ... и максимальное и2 — в моменты t = a,
За, 5а, . . .
Переходя к вычислению угла ср = ф(^), представим йц> в виде
, Cdt Cdt ( I , 1 ^
Заметим, что функция и =а<§> (т) + Ь принимает значения + I при
Но
Следовательно (см. п. 6.3), значение т, удовлетворяющее условию
u=af (т)-Н = /,
можно представить в виде
т = а + iy,
а значение т, удовлетворяющее условию
в виде
где у и б — действительные числа.
Итак,
Cdt
2a/
Чтобы вычислить здесь постоянную С, заметим, что в силу
F.9:4') и F.9:4)
25 А. И. Маркушевич

386 ЦЕЛЫЕ И МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ ГГЛ. 7
И
flM»Hp'(tfi)]» = (/(-/) = "С2.
Отсюда
[r(« + tY)]2==№'(i6)]2=-~.
Так как
§> (а + ty) = f ( — а — t'v) = §> (а — ty) = /
и
S>(f6) = «)(-t6) = -/,
a
§>'(a + iy)= —g>'( — a — ty)= —®'(a—iy)
то мы можем выбрать значения для у и 6 таким образом, чтобы
выполнялись равенства
наряду с f(a + iy) = l и §>(i6) = —/. Тогда уравнение F.9:11)
запишется в виде
о. аФ _ Р' A6) у (а+/у)
zt d/ ^ @ - s»1 (/б) (Р @ - F (a+/y)
или в силу формулы F.8: Г)
Z(a + iy-t)-2Z (a+ iy),
откуда
2i(f = Ln Л — Ln a (t + ib) + Ln a (t — id) + 2? (id) t +
+ Ln a (t + a + iy) — Ln a (t — a — iy) — 2? (a +1
и, следовательно,
- - * V^ZV^t «p 2«(») - с (-+m '¦
При ^ = 0 получаем: e2i(f0 = A; поэтому
й) - С (« + iy)] t-

$6]
ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ЯКОБИ
387
Формулы F.9: 10) и F.9: 12) полностью решают задачу о дви-
движении сферического маятника. Из формулы F.6:9) следует, что
когда t изменяется на величину перио-
периода 2а, правая часть формулы F.9: 12)
приобретает множитель вида
exp2{2a[?(ifi)-?
Рис. 55.
и, следовательно, угол ф изменяется
на постоянную величину. На рисун-
рисунке 55 представлена траектория сфери-
сферического маятника.
6.10. В этом пункте мы займемся
построением эллиптических функ-
функций Якоби с помощью ассоцииро-
ассоциированных сигма-функций (п. 6.8).
Из формул F.8:3) и свойств функции а (г) следует, что
°j(z) (/= 1> 2, 3) суть целые функции с простыми нулями в точках
2пщ + 2m©3 — «j (/=1,2,3).
Эти нули сведены в следующую табличку:
*l(Z)
Bл — 1) ш1+2тш3
Bя— 1)ю1 + Bт— 1)со3
<?3 (г)
2гса>1 -f- Bт — 1) щ
Очевидно,
откуда в силу F.6 : 9)
т. е. все aj(z) (/=1, 2, 3) суть четные функции от г. Заметим,
чтос/@)=1 (/= 1, 2, 3). Далее, с помощью F.6:9) получаем
следующие формулы, выражающие характер изменения Gj (г) при
замене z на + 2
= — ехр [ —
r (z + 2щ) + 2r)ft (z + d)j + (oA)]
= -exp[2iiftB + %) +
а (г+fflj)
- 2®hi\j]
(г).
25*

388 ЦЕЛЫЕ И МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. 7
Если здесь ]фк, то по формулам F.6:5) или F.6:5')
F.10 : 1)
F.10: 2)
и, следовательно,
oj (г + 2соА) = e^(z+m^ ej (г);
если же j = k, то получаем:
oj (г + 2со;) = - е2гЧ{г+<0Р oj(z).
Рассмотрим следующие отношения сигма-функций:
- FЛ0:3)
Все эти функции являются мероморфными с одними и теми же
простыми полюсами в точках 2nco1-fBm—1)и3. Нули их сведены
в следующую табличку:
к (г)
2na>lJr2ma>3
Xi (г)
Bп —1) ш^гтсоз
Я2 (г)
Bп —1)со1 + B/п —1)ш3
Все они являются простыми. Функция Я (г) нечетная, а функ-
функции %i (г) и Я2 (г) четные, причем
В силу формул F.6:9), F.10:1) и F.10:2) имеем:
Аналогично найдем:
(г), ^ (г + 2<о2) = ^ (г),
Отсюда следует, что наши функции являются двояко-периоди-
двояко-периодическими, а следовательно, эллиптическими с парами периодов
4% и 2оK для Я (г), 4©! и 2со2 для \{z), 2cot и 4со3 для ^(г).
Легко видеть, что эти пары периодов являются основными для
соответствующих функций. Проверим это для Я (г). Если Я (г + Q) =
= X(z) и z есть полюс функции Я(г): г = 2лсо1 + B/и—1)со3т

§ 6] ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ЯКОБИ 389
о г-f-Q также должно быть полюсом и, следовательно,
г -f п = 2п'щ + Bт' ~ 1) ю3,
откуда
Q = 2fxco1 + 2vco3,
где fx и V —целые числа. В случае, когда \i — четное число,
Q является целочисленной линейной комбинацией периодов 4cot
и 2©з- Допуская, что ц — нечетное: (х = 2^'+1, получаем:
п —
! — 2vco3 =
т. е. 2о>± должно быть периодом функции Я-(г). Но это противо-
противоречит тому, что Я (г+ 2@])= —Я (г). Итак, любой период й функ-
функции X (г) есть целочисленная линейная комбинация периодов 4%
и 2со3> т. е. последние суть основные периоды функции Я, (г).
Рис. 56.
На рисунке 56 изображены основные параллелограммы перио-
периодов для Я-(г), Я,: (z) и ^(z), причем кружками отмечены нули,
а крестиками — полюсы соответствующих функций.
Мы видим, что все эти функции суть эллиптические функции
второго порядка, как и функция $>(z). Их существенное отличие
от последней состоит в том, что оба полюса каждой из функций
Я, (z), Я,4 (z) и Я.2 (z) — простые, тогда как <§> (z) обладает в параллело-
параллелограмме периодов одним двукратным полюсом.
Функции Я,(г), Я-Дг) и Х2(г) лишь несущественно отличаются
от классических эллиптических функций Якоби. Чтобы прийти
к ним, рассмотрим комплексное число Yei — е3 (ej — <§> (со;)). Фикси-
Фиксируя какое-либо значение квадратного корня (например, Ye% — ^з =
= *,®\ , см. формулу F.8 :4) J , введем следующие обозначения:
et-е3¦ со3 = IK, F.10:4)

390 ЦЕЛЫЕ И МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ
и положим:
/ и
лг м\ лг ° VVe^i
sn и = |/ е4 — e%h (z) = у е^ — е% —
[ГЛ. 7
en u = ?ij (г) = ¦
Vei~e3/
F.10:5)
Эти функции и являются функциями Якоби. Их назва-
названия читаются по буквам (например, «эс эн у»). Все их свойства
немедленно вытекают из свойств функций Я, (г), А,4(г), K(z)-
Рис. 57.
На рисунке 57 представлены графики функций Якоби при г = х
действительном (при этом К я К' предполагаются также действи-
действительными).
Перечислим простейшие свойства функций Якоби:
1) snu — эллиптическая функция второго порядка с основными
периодами 4/С и 2iK', простыми полюсами 2n/C + Bm— I) iK'
и простыми нулями 2nK+2miK'- Это —функция нечетная, причем
sn 0 = 0 и sn' 0 = 1.
2) сп и — эллиптическая функция второго порядка с основными
периодами 4/С и 2/C + 2J/C', простыми полюсами 2пК и Bт ~ 1) iK'
и простыми нулями Bп— \)K + 2miK'- Это —функция четная,
причем спО= 1.
3) dnu — эллиптическая функция второго порядка с основными
периодами 2К и 4iK', простыми полюсами 2пК и Bт~ l)iK'
и простыми нулями Bл— 1) К + Bт— 1) iK'. Это—функция четная,
причем dn 0 = 1.
Сравнивая формулы F.10:5) и F.8:4), находим следующие
выражения для функций Якоби через функцию Вейерштрасса

§ 6] ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ЯКОБИ 391
спы= УЩЕ1_, нп»= УШ^2 FЛО:50
УИг)-е3 VtP(z)-e3
Отсюда сразу вытекают следующие алгебраические соотноше-
соотношения между функциями Якоби:
sn2u + cn2u=l, &2sn2u + dn2«=l, F.10:6)
где
k =
— число, называемое модулем функций Якоби.
Из первой формулы F.10:5') получаем:
откуда
з
ш' ы - 2(ei-e3J(snu)'
С другой стороны, из формулы F.8:5) следует:
/ \ 9 Qi (г) ffa (г) ст3 (г) _ _ о ffl
W- -« 8() - ^
о8(г) - ^ ff3B) Оз(г) • L 0,(г)
3
J
п , - sn3 и 2 (е. —е*) спи dnu
= -2cnudnu: J= Sn3M . -
(et-e3f
Сравнивая два выражения для ^'(г), находим:
(sn«)' = cnu dnu. F.10:8)
Дифференцируя соотношения F.10:6) и используя формулу
F.10:8), получаем формулы для производных от спи и dnu:
(спи)'— — snudnu, (dnu)'= —&2snu dnu. F.10:9)
С помощью соотношений F.10:6) равенство F.10:8) может
быть представлено в виде
(sn u)' = y"(l-sn2u)(l
где следует выбирать значение корня, равное 1 при ы = 0. Отсюда
заключаем, что ¦

392 ЦЕЛЫЕ И МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. 7
т. е. функция snu является обратной по отношению к эллипти-
эллиптическому интегралу первого рода в нормальной форме Лежандра.
6.11. Для числовых расчетов, в которых фигурируют эллипти-
эллиптические функции, важно иметь такие аналитические их выражения,
которые обладали бы быстрой сходимостью. Этому условию отнюдь
не удовлетворяют ни разложения на простейшие дроби функций
<§> (г) и Z, (г), ни разложение в бесконечное произведение функции
а (г), т. е. аналитический аппарат, посредством которого мы выра-
выражали различные эллиптические функции.
Однако быстро сходящиеся представления эллиптических функ-
функций все же существуют. К ним в случае функций Якоби можно
прийти, заменяя частные сигма-функций частными некоторых
периодических целых функций.
Рассмотрим вновь формулы F.6:9):
a (z + 2аj) = — a (z) e2VZ+(V. F.11:1)
Легко указать элементарную целую функцию, которая при замене z
на 2 + 20)! приобретала бы такой же множитель, как и функ-
функция a (z). В самом деле, пусть f (z) = exp (az2 -f- 0z), где аир — коэф-
коэффициенты, подлежащие определению. Имеем:
f (z + 2аj) = exp (az2 + 0z) exp [4am j (z + m}) + 20©Л •
Чтобы при /=1 получить нужный множитель, положим:
Тогда для функции
,„ /w _ ст (г)
ехр
2Ml
будем иметь:
Л
z)
= о (г) ехр ( — тт^-г2 + -^— z)
W FV 2CUJ 20)! У
= _ФB)ехр(—^
(мы воспользовались формулой F.6:5)).
Положим ¦^- = v и eniv = s; тогда будем иметь:
Ф (z+ 2cot) = ф (z), Ф (z + 2©3) = -Ф (г) s~*. F.11 : 2)
Построенная нами функция отличается от а (г) лишь не имею-
имеющим нулей множителем ехр ( — -^— г2 + -^— z\ и имеет перед а (г)
преимущество периодичности.

6], ТЕТА-ФУНКЦИИ ЯКОБИ 393
Найдем разложение периодической функции ф (г) в ряд по сте-
2ягг
пеням e2ffli=e2ltiu = s2(cM. E.2:3), где ? = .?5? = |5?Л .
V со /ico j /
оо
Ф (г) = 2
этот ряд сходится абсолютно и равномерно на любом замкнутом
множестве, не содержащем точек s = 0 и s = oo. Заменим здесь г
на г + 2со3 и заметим, что при этом v перейдет в t> + —= 1> + т,
a s2 —в s2e2nH = s2q2. Получим:
откуда в силу F.11 :2)
— — S Zj
—оо
Так как разложение в ряд Лорана обладает свойством един-
единственности, то отсюда следует, что
или
(~\)h^ah+1q~(h+^ = (-\)hakq~(h~^ (k = 0, ± 1, ±2, .. .).
Поэтому
где С — некоторое постоянное, откуда
и, следовательно,
ф (г) = с S (-1 )h q(h~d s2ft=с S (-1 )
h q(h~d s2ft=с S A )к q^h~^ e

394 ЦЕЛЫЕ И МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. 7
Функция t 3 (— 1 )h Я еBй-1) яго представляет одну из т е т а-
—оо
функций Якоб и; она обозначается через ®i(v). Итак,
23 (—1)™^^ sinBm+l)TO. F.11:3)
о
Следовательно,
и
Чтобы определить здесь значение постоянной С, разделим обе
части на 2 = 2©^ и перейдем к пределу при г—>0. Получим:
или
- 2u)i
Следовательно,
!Н2га F.11:4)
— формула, позволяющая вывести все свойства функции •O'i(u)
из соответствующих свойств функции а (г).
Отсюда или непосредственно из F.11 :3) заключаем, что
¦&! (о) — целая нечетная функция с периодом 2. Так как q = enix
и 1тт = 1т [—) >0, то |д|<1, и следовательно, разложение
1 (h--f
F.11:3), каждый член которого содержит множитель q\ 2' ,
¦обладает чрезвычайно быстрой сходимостью. В наличии подобного
разложения и состоит решающее преимущество тета-функций
Якоби перед сигма-функциями Вейерштрасса.
Так как все нули функции а (г) простые и имеют вид г—2пщ-\-
+ 2тщ, то из формулы F.11 :4) заключаем, что все нули функ-
функции •б'! (v) — также простые и содержатся в формуле
= -^.; m, л = 0, ± 1, ±2, ..

S 6] ТЕТА-ФУНКЦИИ ЯКОБИ 395
Подобно тому как функция ¦fl'i(o) связана с функцией o{z),
три другие тета-функции Якоби связаны с функциями ст/(г)
{/=1, 2, 3). Имеем, с помощью формулы F.11 :4):
откуда
Из разложения F.11 : 3) выводим:
F.11 :5)
= iq 4 е-я1» 2 (— ' )fe qk*e2hniv.
Положим
02 (у) = 2 </"~5) eBft-D "« = 22 ^m+2) cos Bm + 1) да,
— оо О
оо оо
03 (и) = S qh2e2kniv = 1 + 2 2 <7m2 cos 2mjro, F.11:6)
— оо 1
оо оо
04 (о) = 2 (—l)ft?ft2e2feIti0= 1 + 2 2 (~l)mqm2
—со 1

396
ЦЕЛЫЕ И МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ
[ГЛ. 7
Это — остальные три тета-функции Якоби. Из сравнения формул
F.11 : 5) и F.11 : 6) вытекает, что
i) =#a(t»),
4
Поэтому для функций Gj (г) находим следующие выражения:
а, (г) = С^ z\ (v), а2 (г) = С'2ё^ *\ (v), g3 (г) = С'гё^ * Ъ, (v).
Положим здесь г = 0 (и, следовательно, о = 0). Получим:
1 = сфг @), 1 = с;^3 @), 1 = с;*4 (О),
поэтому
аЛ^^ехр^-г'-^Ж" (/=1,2,3). F.11:8)
Из разложений F.11 : 3) и F.11 : 6) легко вывести формулы,
аналогичные F.11 :7), выражающие изменения ftj(v) (/= 1, 2, 3, 4)
при замене v на У + у, » + у, w + y + y, w + 1, о + т, у+1+т.
Предоставляя выкладки читателю, мы сведем их результаты
в следующую табличку:
V
*1
#2
^3
^4
#2
~*1
^4
^3
/М#4
М#3
/И#2
,1,1
М#3
~Ш#4
м#2
V + 1
-*1
-#а
^3
^4
N&2
-N#2
/V*3
(*)
Здесь положено: М = ^ 4e-nio, N ~ q~1er2niv.
Сведем еще в одну табличку нули этих функций. Из фор-
формулы F.11:7) следует, что %{v), дзЩ и fl-4(f) имеют простые
нули, получающиеся из нулей функции ^ (v) путем вычитания у ,

§ 6]
ТЕТА-ФУНКЦИИ ЯКОБИ
397
"•Г + т и Т соответственно> Поэтому приходим к следующей таб-
2 ' 2 " 2
личке:
01И
n-j-tnx
02(»)
n—j + m-c
*з(»)
(-т) + (-±)'
л+(т—1)т
Отметим, что функции #2 (и)» ^з (у) и $4 (и)— четные, как это
следует из формул F.11 :6).
6.12. Обратимся к представлению эллиптических функций $>(г),
snu, спи и dnu через тета-функции. Формулы F.8:4), F.11:4)
и F.11 :8) дают:
^J-^V)*^ (/=1.2,3), F-12:1)
где y=z~^—. В частности, при г = щ и / = 3 получаем:
) @) .
аналогично при г = а>г и / = 3 будем иметь:
+
2^04@) „ /J_, П 2@^4 @) О,
1 I 2 + 2 j
Следовательно,
л -.Аг-ез. Г 02 @) I 2
¦V e,-es~ L 0з @) J '
F.12:2)
Из формул F.10 : 5), F.11 : 4) и F.11 : 8) находим следующие
выражения для эллиптических функций Якоби snи, спи и dn«
(и = 1Л?1 —е3 ^ = 2co'i lAej — е3 и = 2/fu):
sn u = I/ ^i — (
@)
#3@)
»i№)
04@) 02 @)
02@) 04 (») '
03@) 04 (o) •
F.12:3)

398 ЦЕЛЫЕ И МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. 7
Из формулы F.12:2) следует, что „3|0| является одним из зна-
значений —— . Фиксируем это значение:
у/г
Далее, полагая
получим из формулы F.12: 1)
Ь'2— 1 Ь2 _ Ч — е2
gj — e3
<6J2:5>
Это число называется дополнительным модулем эллип-
эллиптических функций Якоби.
Следовательно, 4 \п{ является одним из значений
®3 (U)
Фиксируем это значение:
- °4 @) F 12 -
Замечая, что
#2 @) ~ К ft •
перепишем формулы F.12:3) в виде
snu__!_!iM ГПЫ i/y<>2(t>) йпи-УрЪЮ /б 12 -7>
у* #4(»)' спи~-у k «4(о) ' ап"-1/'г о4(„) • iD-i^./;
Чтобы пользоваться последними формулами при заданных перио-
периодах 2ai и 2ю3 функции ^>(-г), поступаем следующим образом.
Вычисляем т = —5- и 9 = eItit)i по формулам F.11 : 6) находим
и по формулам F.12:4) и F.12:6) вычисляем -—г и ]/V. Для
перехода от и к v — щг нужно еще знать величину /С=со1 ]/"е4—е3=
, т. е. в дополнение к найденным выше еще величину
(V)
^@) = 22(-1ГB/п+1):
о

§ 6] ТЕТА-ФУНКЦИИ ЯКОБИ 399
Из сказанного вытекает, что для определения функций sn ur
спи и dnи значения периодов 2щ и 2ю3 не играют роли. Суще-
Существенно лишь значение их отношения т или величины q.
Выкладки со значениями тета-функций и их производных при
v — О упрощаются, если пользоваться соотношением
д;@) = ядг@)д3@)д4@). F.12:8)
Для его доказательства перепишем F.12: 1) в виде
1 @)
~'L L flj+i @) 3 fl|@) J 2 ^ J
(мы пользуемся четностью функции fl^+i (у) (/=1»2, 3) и нечет-
нечетностью функции ^(и)). Отсюда
|_4o)l#i+1(O) 3-4@? ' «i(
@)
и так как лорановское разложение для ^ Bа^) в окрестности
начала координат не содержит свободного члена, то
Отсюда получаем:
^о) 2j о (o) J=0'
т. e.
¦1^ = 2} o^1^ • F.12:10)
Обращаясь к разложениям F.11:3) и F.11:6), будем рас-
рассматривать fti(u), Ф2 (и)> ^з(с) и ^4 (и) как функции двух пере-
переменных: т (через посредство q — enix) и v. Как функции v они
являются целыми. Если же v фиксировано и т рассматривается
как комплексное переменное, изменяющееся в верхней полупло-
полуплоскости Aтт>0), то упомянутые ряды будут равномерно схо-
сходиться при 1тт>8>0, т. е. при |д| = ехр[ — п 1тх]^.е-ле<С 1
для любого 8>0, откуда следует, что они представляют анали-
аналитические функции от т при 1тт>0 и что ряды эти можно

400 ЦЕЛЫЕ И МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. 7
почленно дифференцировать по т. Из F.11 :3) найдем
и
Следовательно,
Легко проверить совершенно аналогично, что этому уравне-
уравнению с частными производными удовлетворяет каждая из тета-
функций. Итак,
= Ani^ (/=1,2,3,4). F.12:11)
Отсюда
(Законность перестановки порядка дифференцирования легко про-
проверить непосредственно.)
Полагая в уравнениях F.12:11) и F.12:11') v — О, получим:
Поэтому соотношение F.12: 10) принимает вид
3=1
откуда
o;@)=cfl2@)o3@)o4@).
Остается определить постоянное С. Имеем:
или, подставляя в найденное выше соотношение:

§ 6] ГЕТА-ФУНКЦИИ ЯК.ОБИ 401
Из того, что это тождество связывает суммы степенных рядов
относительно q, сходящихся при J q | < 1, вытекает, что свобод-
свободные члены слева и справа должны быть равны и, следовательно,
С = л. Равенство F.12:8) полностью доказано: с его помощью
соотношения F.12: 1) могут быть заменены следующими:
„02@)
Далее, для ]/"eft — e,,- получаем:
F.12:12)
Наконец, для К = щУе\ — ^ъ и г/С' = ю3 Kei — ез находим:
F.12:13)
6.13. В заключение мы должны еще вывести формулы, даю-
дающие разложения тета-функций в бесконечные произведения, и при-
применить их к представлению <§> (z) и ? (г) в виде быстро сходящихся
рядов простейших дробей. Разумеется, разложение тета-функций
в бесконечные произведения можно легко получить из известного
разложения в произведение функции o(z). Здесь нас будут инте-
интересовать, однако, такие разложения, в которых тета-функций
. 2
рассматриваются как функции от t = s2 = e2niv = е Bi.
Начнем с Ф3(и)- Эта целая функция с периодом 2л является
однозначной и аналитической функцией от t = e2Mv @<|?|<oo):
Так как в качестве функции от v она имеет простые нули
v = n—2~+ (т—2~1 т> то' рассматриваемая как функция ^, она
имеет простые нули:
^_q2m.1 (m = 0, ±1, ±2, ...).
Рассмотрим сначала нули —^~1, —q~3, —q~5, ...
оо
Легко видеть, что функция ty (t) = Д A + q2™'1^ является
целой и обладает указанными нулями. В самом деле, абсолютная
и равномерная сходимость этого произведения на любом ограни-
26 А. И. Маркушевнч

402 ЦЕЛЫЕ И МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. 7
ченном множестве точек плоскости следует из того, что ряд
оо
2Ы2-1 сходится
2Ы
Переходя к нулям — q, —q3, —qb, ..., найдем, что функция
представляемая произведением, абсолютно и равномерно сходя-
сходящимся на любом замкнутом множестве, не содержащем точки t = 0,
является аналитической всюду, кроме начала координат, и обла-
обладает простыми нулями в указанных только что точках. Следова-
Следовательно, функция
оо оо
У @ X @ = П A + Ягт~Ч) [J A + q*™-^-1)
1 i
является аналитической при 0 < 111 << оо и обладает теми же
нулями, что и функция ¦О'з(у) (в плоскости f).
Возвращаясь к переменному v посредством замены t~e2n'lV,
получим функцию
оо оо
v (v) = ty{e2niv) % (e2niv) =,
целую (относительно v), периодическую с периодом 1 и обладаю-
обладающую теми же нулями, что и из (и).
Отсюда следует, что -^?—целая функция с периодом 1.
Замечая, что
V @ + Т) = Д
1
заключаем, что v(u) при замене и на и + т приобретает такой же
множитель, как и Ф3(^)- Поэтому 3, . есть эллиптическая функ-
функция с периодами 1 и г и, следовательно, константа, так как она

§ 6] ТЕТА-ФУНКЦИИ' ЯК.ОБИ 403
является целой. Итак,
оо
#з (и) = Cv (v) = СЦ [A + q*m--Le2nlv) (I - q*™'^-2"™)],
где С—постоянная.
Пользуясь третьей строкой таблицы (*) на стр. 396, находим:
у) =
[A
™ Д [A
Перепишем полученные формулы в следующем виде:
1 °°
П
1
= 2Cql sin nv П A — 2q2m cos 2л и + qim),
Mv)=C П [A
1
+qzme2niv)(l
A + 2<72т cos 2яи + qim),
} F.13:1)
=С П A + 2q*m~1 cos 2ли + ?4т),
1
=С Ц A — 2qim~1 cos 2nv + <74m).
l
Это и суть нужные формулы. Чтобы определить здесь С,
воспользуемся соотношением F.12:8).
26*

404 ЦЕЛЫЕ И МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. 7
Имеем:
П
Следовательно,
П
l
Рассмотрим произведение Д A—<7™J. В силу его абсолютной
сходимости (|д|<1) оно может быть представлено в виде
откуда, заменяя в первых произведениях правой части т через л
и сокращая:
П
1
Отсюда следует, что
[I(i-?2T
С есть функция т (или q), аналитическая в верхней полупло-
полуплоскости. Если q = enix — действительное положительное число (что
будет при т чисто мнимом), то С — действительное число. Из фор-
формулы для Ф3@) следует, что
() II
т. е. в выражении для С нужно взять знак +.

§ 6] ТЕТА-ФУНКЦИИ ЯК.ОБИ 405
Итак,
оо
C = l\(l—q*m). F.13:2)
1
Чтобы применить найденные формулы к представлению функ-
функций а (г), l(z) и ^р(г), будем исходить из формулы F.11:4).
Получим (г = 2ю1у) :
оо
а (г) = Q ехр [2ы{г\^2] sin nv Д A — q2me2niv) A — q2me~2ltiv).
i
Чтобы определить С±, разделим обе части на z и перейдем к пре-
пределу при г—>0. Получим:
оо
[ _ CjK ГТ / J „2"i\2 _ Q QZn
2ш< 11 ^ 4 1 1 >
1
откуда
Следовательно,
оо
а (г) = -^ ехр 2юхцхи2 sin nv JJ [A — q*me2™) A — q*me~2niv)].
F.13:3)
Беря от обеих частей логарифмическую производную по z,
найдем:
оо
ИЛИ
[
2"-е-2лг« 2q^e2niv \1
F.13:4)
Дифференцируя это равенство по z и меняя знаки, получим:
Я2 у Г у,те-2я«, g2me2jtfo I
wl "^ L A—92me~2ltit)J A_92те2Я1Юч2 J - V • • /

406 ЦЕЛЫЕ И МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. 7
Полученные разложения обладают вполне удовлетворительной
сходимостью (благодаря множителям q2m). Поэтому при всех чис-
численных выкладках с вейерштрассовыми функциями их следует
предпочесть тем представлениям, которыми мы пользовались при
лервоначальном определении этих функций.
§ 7. Характеристическая функция 7(р)
7.1. Применим формулу Пуассона — Иенсена п. 4.1 гл. шестой
к изучению функций, мероморфных в круге К' \z\^.R, где R<c<x>
(конечный круг) или R = oo (конечная плоскость). Пусть f(z) —
функция, мероморфная в круге К; йц а2, ...—ее нули и Ьи
Ь2, ...—ее полюсы, расположенные в порядке неубывающих
модулей, причем точки а, и bh отличны от г = 0 и каждая из них
выписывается столько раз, какова кратность нуля или полюса.
Пусть, далее, младший член лорановского разложения функции
f(г) в окрестности г = 0 есть c^z%, так что lim . =ci^= 0.
о гл
2>о
Тогда в силу формулы D.1 : 2') гл. шестой имеем при r = |z|<Cp
для любого р,
2я
2STI 1п I / (Peto) I
= ln
„„. "(P) . . P(P)
in
где /г (р) и р (р)—соответственно количество точек aj и bft, лежа-
лежащих в круге |г|< р (с учетом кратности этих точек). Полагая
в этой формуле г = 0, найдем:
2я п(р) р(р)
1
п(Р)
По формуле D.1 :8) гл. шестой сумму 2 1П~Н~Т можно пред-
представить в виде интеграла
п(р)
аналогично
р(р)

§ 7] ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ Т (р) 407
Следовательно,
\^\^t. G.1:1)
Заметим еще, что формула G.1 : 1) остается в силе, если под
n(t) и р (t) понимать соответственно количество нулей и полюсов
не в открытом круге |г|<Л а в замкнутом круге: |z|-<? (ср.
стр. 219).
Придадим формуле G.1 : 1) более симметричный вид. С этой
целью введем функцию
n(t,f)*=n(t, oo),
представляющую число полюсов f (z) (с учетом их кратности)
в круге |z|-<if; при этом я@, оо) означает кратность возможного
полюса в точке z = 0. Тогда для любого А
даст число полюсов функции т-^-—-» т- е- число Л-точек f (z)
I (Z)—-A
в том же круге |z|<*. В частности, п (t, 0) означает число нулей
/(г) в круге |z|-<?, a n@,0) означает кратность возможного
нуля в точке z = 0.
С помощью введенных обозначений получим:
n(t) = n (t, 0)-п @, 0), p(t) = n (t, оо)-п @, оо)
и
Л(О) = /г(О, 0) —/г@, со).
Последнее следует из того, что если Я>0, то п @, ос) = 0
и Я = п @, 0); если Х<0, то п @, 0) = 0 и Я= — /г @, оо); нако-
наконец, если Я, = 0, то п @, 0) = /г @, со) = 0. Представим еще
In | / (peia) | в виде:
In | f (peia) | = ln+1 f (peia) | — In"
(см. п. 5.1 гл. шестой). Тогда формула G.1 : 1) примет вид:
j p
о
2я
G.1:2)

408 ЦЕЛЫЕ И МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. 7
Последнее соотношение обнаруживает своеобразное равновесие
между значениями мероморфной функции, большими единицы по
модулю и меньшими единицы по модулю. В самом деле, в левую
часть входят интегралы, зависящие от значений функции, боль-
больших единицы по модулю, и от количества полюсов в круге | z | <; t,
а в правую часть (если не считать константы In | ся, [) — интегра-
интегралы, зависящие от значений функции, меньших единицы по моду-
модулю, и от количества ее нулей в том же круге.
7.2. Применим формулу G.1 :2) к функции /(г) — А, где А —
произвольное конечное число. Замечая, что эта функция имеет
те же самые полюсы и с теми же кратностями, что и /(г), най-
найдем, что для нее распределение полюсов характеризуется преж-
прежней функцией n(t, со), а распределение нулей — функцией п (t, A).
Поэтому
2я р
о
2я
g \f(peia)-A\
+ л@,
где с (А)—коэффициент младшего (отличного от нуля) члена
в лорановском разложении функции f (z) — А в окрестности точки
2 = 0. Заметив, что
ln+1/(peia) — A |<ln+ (| f | + | A|)<In2 + In|/(peia) \ + ln+\A\
и
ln+1 / (pe««) ] = ln+1A + (f — A) | < In 2 + ln+1 / (peia) - A \ + ln+1 A\,
получаем:
ln+1 / (peia) — A [ = ln+1 f (peia) | + 9t (ln+ | A \ + In 2),
где — 1 < 94 < 1. Поэтому
2л р
1
« |/(рега)-
G.2:1)
где

§7] ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ Г (р) 409
Выясним смысл соотношения G.2:1). Предварительно введем
дальнейшие обозначения, а именно положим:
п+ * da = tn(p, А),
G-2:2)
Та и другая суть функции р, зависящие, кроме того, от ком-
комплексного числа А; обе они являются неотрицательными. На
величину т (р, Л) влияют лишь те значения f(peia), которые
удовлетворяют условию
и притом влияют тем сильнее (в смысле увеличения т(р, А)),
чем ближе значения f (peia) подходят к Л и чем больше угловая
мера тех дуг окружности |z| = p, на которых f {peia) мало отли-
отличается от А. Иными словами, величина т (р, А) некоторым спе-
специальным образом оценивает степень приближения в сред-
среднем функции /(г) к числу А на окружности [г| = р.
На величину N (р, А) влияет непосредственно лишь распреде-
распределение точек, в которых /(г) точно обращается в Аг
а именно, количество п (t, А) Л-точек /(г) в круге |г|</, рас-
рассматриваемое как функция t.
Вторая из формул G.2 :2) показывает, что N (р, А) возрастает
(не убывает) вместе с р (при фиксированном Л). Более того, иа
этой же формулы выводим, что
^1прЛ)=п(р' Л)-п@' А) + п(°> А) = п(р, А)
для каждого р такого, что на окружности | z \ — р не лежит ни
одной Л-точки функции f (г) (если на окружности | z | = р0 лежат
Л-точки функции f(z), то п (р, Л) испытывает разрыв первого
рода в точке р = р0). Так как п (р, А) — неубывающая функция рг
то отсюда следует, что N (р, А) есть выпуклая функция In р.
Заметим, что т(р, Л) не только не является выпуклой, но,
вообще говоря, не является и неубывающей функцией. Так, напри-
например, в случае, когда f (z) есть многочлен степени не ниже пер-
первой, функция т (р, 0) отлична от нуля (положительна) для каж-
каждого р, равного модулю какого-либо нуля функции, и обращается
в нуль для всех р, начиная с некоторого, достаточно большого
значения р (такого, что | / (peia) | > 1, 0<а<л).
Обращаясь к функциям, входящим в правую часть G.2:1),
обнаруживаем, что они во всем аналогичны т (р, А) и N (р, А)

410 ЦЕЛЫЕ И МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. 7
с тем лишь различием, что здесь вместо конечного А фигури-
фигурирует оо. А именно, на величину интеграла
2я
1
о
при данном р влияют лишь значения модуля \f(peia)\, большие
чем единица, и притом влияют тем сильнее, чем больше | / (peia)
(чем «ближе» / (z) подходит к оо) и чем больше угловая мера тех
дуг окружности |г| = р, на которых модуль \f(peia)\ очень велик.
Точно так же на величину
р
Р n(t, со) — я@, оэ) ,, , ,„ .,
\———————'-dt + n@, oo)lnp
о
влияет непосредственно лишь распределение полюсов функции /(г),
а именно, количество полюсов n(t, оо) в круге |z|<;?, рассматри-
рассматриваемое как функция t. Все сказанное оправдывает введение сле-
следующих обозначений:
2я
)|da = m(p, oo),
со). G.2:3)
Функция N (р, оо) возрастает (не убывает) вместе ери является
выпуклой от 1пр; функция т (р, со), вообще говоря, не только
не выпуклая, но не является и неубывающей.
С помощью введенных обозначений формула G.2 : 1) перепи-
перепишется так:
m(p, A) + N(p, A) = m(p, co) + N(p, oo) + cpA(p).
Положим еще
т(р, сх)) + Л/(р, оо) = Г(р); G.2:4)
тогда
т (р, А) + N (р, А) = Т (р) + срА (р); G.2 : 5)
эта формула справедлива и при А = оо (тогда она переходит
в формулу G.2:4)). Мы получили следующее предложение:
Первая основная теорема теории мероморфных
функций. Для каждой функции f(z), мероморфной в круге
\z\<.R*C<x>, существует функция Т(р), определенная в интер-
интервале 0<.p<.R, такая, что для любого комплексного числа А
(конечного или бесконечного) сумма т(р, А) + N (р, А) (величина
которой зависит от того, в какой мере значения функции f (z)

§ 7] ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ Т (р) 411
приближаются к Л в среднем, а также от того, насколько часто
/ (г),. обращается в А) отличается от Т (р) на ограниченную
функцию <рА(р)(|фА(р)|<1п+|Л| + 1п2 + |1п|с(Л)||, если Афоо,
и фсо (р) = 0, если А = оо).
Функция Т(р) называется характеристической функ-
функцией для мероморфной функции f{z).
Эту теорему можно рассматривать как предельно широкое
обобщение того факта, согласно которому простейшие мероморф-
ные функции — рациональные — принимают любое комплексное зна-
значение А в одном и том же числе точек, равном порядку функции
(см. т. I, п. 4.1 гл. второй).
Итак, сумма m(p, A) + N(p, А) не зависит от величины А
(с точностью до ограниченной функции ц>А (р)). Далее эта теорема
позволяет утверждать (в том случае, когда характеристическая
функция бесконечно растет при р, стремящемся к R), что если
для некоторого значения А количество Л-точек функции f (г)
сравнительно мало и, следовательно, значения функции N (р, А)
сравнительно невелики, то значения функции m (p, А) должны
быть сравнительно велики, т. е. функция f (г) хорошо прибли-
приближается к Л в среднем. Справедливо также и обратное. Итак,
недостаток в количестве Л-точек покрывается хорошим прибли-
приближением функции f (г) к числу Л в среднем, а плохое приближе-
приближение к Л в среднем возмещается увеличенным количеством Л-точек.
В этом и заключаются смысл и значение первой основной теоремы
теории мероморфных функций.
Эту теорему существенно дополняет более глубокая и трудная
вторая основная теорема теории мероморфных функций*), из
которой, в частности, следует, что для преобладающего боль-
большинства значений Л функция m (p, А) исчезающе мала по сравне-
сравнению с характеристической функцией Т(р). Поэтому основная доля
в сумме m (p, A) + N (p, А) приходится на функцию N (р, А). Чтобы
придать этому утверждению точный смысл, назовем значение Л
дефектным или исключительным (в смысле Р. Неван-
линна) для данной мероморфной функции f(z), если для него
Из соотношения G.2 :5) следует
^^<1 G.2:6)
*) Вторую основную теорему мы не включаем в наш курс. См. моногра-
монографию Р. Неванлинна, Однозначные аналитические функции, Гостехиздат,
М.— Л., 1941, а также книгу У. К. Хеймана, Мероморфные функции,
«Мир», М., 1966.

412 ЦЕЛЫЕ И МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. 7
(в предположении, что Т(р)—>оо при p—>R). Поэтому число
б (Л), называемое дефектом значения А, показывает, сколько
N (о А)
недостает до единицы в отношении ^' ' (в пределе при р„
стремящемся к R).
Из упомянутой второй основной теоремы вытекает, что для
любой функции / (г) ф. const, мероморфной в конечной Плоско-
Плоскости (как мы покажем в п. 7.4, для нее Т(р)—>оо при
р—»оо), а также для функции, мероморфной в конечном круге
"Г К —Р л
при условии lim = U, которое не всегда выполняется/,
множество всех исключительных значений является, во-первых,
не более чем счетным, а во-вторых, сумма дефектов всех этих
значений не превосходит двух:
2<5(Л)<2 G.2:7>
(соотношение дефектов).
Отсюда следует, что значений с максимальным возможным
дефектом, равным единице, может существовать не более чем два.
Так как такие значения полностью характеризуются условием
P-+R Г<Р)
(как это следует из формулы G.2:6)), то можно утверждать, что-
существует не более чем два значения А, для которых функция
N (р, А) исчезающе мала по сравнению с Т(р). В этом утвержде-
утверждении как частный случай содержится теорема Пикара для меро-
морфных функций. Мы получим ее другим путем в конце
гл. восьмой.
7.3. Иллюстрируем сказанное в п. 7.2 несколькими примерами:
Р (z)
Рациональная функция. Пусть / (г) = п. : , где Р (г) —
многочлен степени р, a Q(z) — многочлен степени q, причем Р (z)
и Q(z) не имеют общих нулей. Тогда /(г) есть рациональная
функция порядка r = max(p, q). Допустим для определенности,
что p>q\ тогда г = р. Для всех достаточно больших значений р
имеем:
где а есть отношение коэффициентов старших членов многочле-
многочленов Р (z) и Q(z), 8 (г) — рациональная функция, стремящаяся

7] ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ Г (Р) 413
к нулю при z —> оо. Поэтому
и, следовательно,
2л
т(р, оо) = ^
Если р превосходит наибольший из модулей р' нулей много-
многочлена Q(z), то число п (р, оо) полюсов функции f (г) сохраняет
постоянное значение, равное ц. Поэтому для N (р, оо) получаем:
р
N (р, оо) = V————— ' dt -\- п @, ооIпр =
о
р'
р' р'
р'
(t, со) — п @, со) ,,
(/г @, оо) — <7)lnp'J =
следовательно,
Г(р)=т(р, оо)+Л/(р, oo) =
Отсюда вытекает, что
т. е. оо является исключительным значением (в смысле Р. Неван-
линна) для рациональной функции / (г) при р>ц. Убедимся
в том, что это — единственное исключительное значение. Пусть
Афоо; из того, что
вытекает, что
1п+ А -О
*) О A) обозначает ограниченную величину. Вообще пишут, что ф(р) =
= О[г|)(р)], если ф (р) и я|) (р) определены для всех достаточно больших р,
причем | ф (р) | <С С| ij) (р) |, где С<^со — некоторое постоянное. Аналогично
ю A) обозначает величину, стремящуюся к нулю. Вообще пишут, что ф(р) =
= о[г|)(р)], если li^l

414 ЦЕЛЫЕ И МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. 7
при всех достаточно больших значениях р и, следовательно,
2я
т(р, Л)=^-
(для достаточно больших р).
Итак, б(Л) = 0, если Л=?оо, т. е. конечные значения А
не являются исключительными для f(z).
Мы предоставляем читателю убедиться в том, что при р = q
единственным исключительным значением для / (г) является отно-
отношение а коэффициентов старших членов многочленов Р (г) и Q (г),
а при p<q исключительное значение равно нулю. В каждом
из этих случаев для характеристической функции получаем:
так что для любой рациональной функции
Т(р) = ОAпр).
2) Показательная функция. Эта функция не обра-
обращается ни в нуль, ни в бесконечность. Поэтому для нее
iV(p, oo) = iV(p, 0) = 0,
т. е. оба значения 0 и оо являются исключительными с макси-
максимальной величиной дефекта, равной единице. Вычислим характе-
характеристическую функцию Т (р) и убедимся в том, что показательная
функция ие имеет больше ни одного значения с положительным
дефектом. Замечая, что
In | ехр (ре1а) | = р cos а
— величина положительная в правой полуплоскости и отрица-
отрицательная в левой полуплоскости, найдем:
m(p, °°) = -2^
о
и аналогично
m(p, 0) = -?.
Следовательно,
T(p) = m(p, оо) + Л/(р,

§7] ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ Г (р) 415
Если АфО и Афоо, то
Л/(р, A) =
Но Л-точки функции е2 — это значения ЬпЛ — 1п|Л| -\-i(g )
они располагаются на прямой Re z = In | Л | на расстояниях, равных
2я, одна от другой. Так как окружность | z | = / отсекает от этой
прямой отрезок длины 2 Y~t2 — (In j A |J, то число Л-точек, попа-
попадающих в круг |z|<?, оценивается следующим образом:
и, следовательно,
р ±t-n@,A)
Л/(р, A)~l~^ -f dt + n@, ЛIпр~^р = Т(р).
l
Отсюда для величины дефекта числа А (Л Ф О, Л ^= оо) получим
3) В случае рациональной функции мы обнаружили только
одно исключительное значение. Этим исключительным значением
являлся lim/(z). Показательная функция при г—> оо равномерно-
2->-оо
п
стремится к оо в угле | arg г J < -^- <С е *(е >- 0) и к нулю в верти-
вертикальном с ним угле. В соответствии с этим здесь два исключи-
исключительных значения: 0 и оо. Пусть теперь п — любое натуральное
число > 2. Разделим плоскость лучами, выходящими из начала
координат, на 2/г равных углов: du d2, ...,d2n, начиная с угла
dt*. | argz|-<-j?-. Мы убедимся здесь в том, что при z—» оо целая-
z
функция gn (z) = \ ехр (— zn) dz стремится к оо в углах d2j (/ =
о
•= 1, ..., /г), а в каждом из углов d2j+i (/ = 0, 1, ...,п— 1)—
2itij оо
к конечному пределу Лу- = /е " , где I=\e~'ndt (t>0). Такое-
о
поведение функции gn(z) влечет за собой как следствие то, что.
она имеет п + 1 исключительных значений:
оо, Ло, Л|, • • ., An-i.

416 ЦЕЛЫЕ И МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ
Заметим сначала, что
[ГЛ. 7
ехр( —pn
= p^ exp( —pnsin9)ufe<
о
Л ¦
2
р I ехр (-|-рпв) dQ < \ pi""
о
О
при р —> оо.
Применим интегральную теорему Коши к функции ехр( —?га)
и контуру какого-либо сектора круга |г|<р, принадлежащего
d2j+i, причем один из радиусов, ограничивающих сектор, направим
по биссектрисе угла d2j+i, составляющей угол —— с положитель-
положительным направлением действительной оси, а другой — к точке
Получим:
2rtij p
gn(z)~e n I
о
откуда
ре
gn(z)-e n
exp(-pracosne)pd9| =
= Л;-, то отсюда следует, во-первых, что
Так как lime n
§¦„ (г) при z —> оо равномерно стремится к пределу Aj в ^
а во-вторых, что для любого луча L, выходящего из точки z =

7] ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ Т (р) 417
и принадлежащего d2j+i'-
Для оценки m(р, А}) снизу понадобится асимптотическая оценка
\gn(z) — Aj\. Проводя луч L через точку 2 = рехр (—^- + аи ,
|а|<-|^-, найдем:
4" 2~n+1 ехр (- гп) + -^- 2П+1 ехр (- zn) -
2
Так как | 2'n+1exp ( — 2n) | = p"n+1exp ( — p" cos па) и
t2n ехр (— tn cos па) dt<2n__y pn+x exp (— pncos na),
p
TO
(мы могли бы заменить оA) более точной оценкой, 0(рп), но
такая точность не нужна для дальнейшего).
Следовательно:
In lgau_Aj[ = Р" cos rta +1п ("Р"'1 [1+оA)]} =
= p"[cosna'+o(lj],
27 А. И. Маркушевич

418
откуда
^ 1
ЦЕЛЫЕ
2я
0
2Л]/п-\-Л/2п
2лЦп-я/2п
И МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ
я/2
2) — Aj | 2яи J р
-л/2
[ГЛ. 7
Вычислим, наконец, Г(р) = т(р, оо) (так как N (р, оо) = 0); для
этого оценим gn{z) в углах d2j (/=1, 2, . ..,п). Заметим, что
биссектриса угла d2j составляет с положительным направлением
B/—1)я п . j—
действительной оси угол —• Поэтому каждая точка z?a2j,
2 = 0, характеризуется представлением: г = рехр Г "' 4 «'1 »
где Ial<-^T- Значение функции gn (г) в этой точке можно
посредством двукратного интегрирования по частям записать
в виде:
= _ JL rn+i ехр (- 2") + ^- 2"^« ехр (- 2")
it Г B/— 1)ш , .1 , i . п
Но если г = рехр „ \-ai > причем л|а|<-^-, то
| z~n+1 ехр (- z11) | = p~n+1 ехр (ря cos na),
г
I J ?п ехр {~in)dt,
ехр (/п cos па)
1 1
и
р
^2'1 ехр (Г cos па) dt = o [p""+1 ехр (pn cos /га) ] (л > 2).
1

§ 7] ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ Т (р) 419
В последнем соотношении убеждаемся, применяя правило Лопи-
таля к дроби:
р
J t~in ехр (tn cos па) dt
_l
p-n+i exp фп cos noc^
Следовательно, в каждом из углов d2j (j—U ...,n) справедлива
оценка:
поэтому при г = р ехр -—-^ (- at I ? a2j:
Кроме того, как было обнаружено выше, в каждом из углов d27+i:
Отсюда выводим, что
2я
о
п Bз'-1)я/п+я/2п
3=1 Bз-1)и/п-я/2п
я
п Т
3=1
Наконец,
P" [1+0A)]
кроме того,
6i \ 1 • ^ (p, OO) t
p-J-oo xr/
Итак, мы обнаружили,'что все значения: оо, Ао, ..., Лд-j, имеют
положительные дефекты. Из того, что сумма вычисленных дефектов:
"S б(Л,-)+б(оо)>2,
27*

420 ЦЕЛЫЕ И МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. 7
а в силу соотношения дефектов эта сумма не может превосхо-
превосходить 2, вытекает, что
6(^) = |. / = 0, 1, .... п-\.
4.) Функция $(z). Эта функция интересна для нас тем, что
она совсем не имеет исключительных значений.
Начнем с вычисления N (р, оо). Так как в каждом параллело-
параллелограмме периодов функция ф(z) имеет один двойной полюс, то
сосчитаем прежде всего количество параллелограммов, целиком
лежащих в замкнутом круге [ г [ < р, — пусть их будет v (p), а затем —
количество параллелограммов \i (p), из которых каждый имеет
по крайней мере одну точку, общую с замкнутым кругом |zj<!p.
Очевидно, что
2v(p)<n(p, оо)<2ц(р).
Обозначая площадь каждого параллелограмма периодов буквой D,
а длину наибольшей из диагоналей буквой d, будем иметь:
2, [f*(p)-v(p)]?><
—я(р —dJ =
В самом деле, v(p) параллелограммов, лежащих в круге |zj<p,
полностью покрывают круг [z|<;p — d, a \i(p) — v(p) параллело-
параллелограммов, имеющих общие точки с окружностью |г| = р, содержатся
в круговом кольце р — d^|2|<;p-j-d (мы считаем, что d)
Поэтому
и, следовательно,
_s 2яр2 8npd
°°)< + -
т. е.
"(Р. °°) =
Следовательно, для N (р, оо) получаем (заметим, что п@, <х>) = 2):

§7] ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ Т (р) 421
Обратимся к вычислению
2я
и покажем, что m (р, оо) = О A). С этой целью покроем всю плоскость
такими параллелограммами периодов, чтобы полюсы функции fp B)
совпадали с центрами этих параллелограммов.
Пусть Ао — один из этих параллелограммов и z0— его центр:
так как функция <§> (z) имеет в Ао единственный двойной полюс
в г0, то для ^ (z) получаем неравенство
справедливое во всех точках параллелограмма Ао. При этом С
остается одним и тем же для любого параллелограмма А при
условии, что г0 обозначает центр этого параллелограмма А (здесь
мы опираемся на то, что §>(г)— двояко-периодическая функция).
Рассмотрим теперь все параллелограммы, имеющие общие точки
с окружностью |z| = p, и пусть СТц ..., ст2. •••! ffx(p)—Дуги, на
которые окружность рассекается этими параллелограммами. Коли-
Количество таких параллелограммов по предыдущему есть
к (р) = ft (р) - v (р) < ф^ ; д w '- = —ft- .
Если дуга oj принадлежит параллелограмму Ау- и zj — центр парал-
параллелограмма, то
2Я
2п
0 |рега-^-|2
Чтобы оценить последний интеграл, рассмотрим дугу 2/, которую
круг \г — Zj\*CC отсекает от окружности |z| = p, и пусть 2^^ —
соответствующий ей центральный угол при точке z = 0. Очевидно,
что Yj — острый угол при р достаточно большом, так как — > 1
при р—^оо (не забудем, что г., —центр параллелограмма периодов,
имеющего общие точки с окружностью |z| = p). Поэтому из

422 ЦЕЛЫЕ И МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. 7
неравенства sinY;<— заключаем, что yj=O f — } . Далее имеем:
IP, C2 ,
= -7r- \ In : da =
2j
_ _L e
~ 2я J
«-6,)"""
где Zj = rjeieJ. Интегрируя по частям, найдем:
1 n 2prj sin (a — Qj) (a — Qj)da i r» 2pr^sina-a
¦^ 2я J p2 + r? —2pr^cos (a —0^) ~~ я J . _
откуда
ОС i ^ 1J
и, следовательно,
Поэтому
и(р)
1 j
Итак, для характеристической функции Т (р) находим:
T(p) = m(p, oo)+N(p, оо) = -=?+0(р).
Если теперь Л — произвольное конечное значение, то оценка функ-
функции N(р, А) будет во всем аналогична проведенной выше оценке
функции N (р, оо). В самом деле, каждый параллелограмм периодов
содержит по два нуля функции fp(z) — А и, следовательно,
откуда
Для пг(р,А) получаем в силу первой основной теоремы:
m(p,A) = T(p)-N(p,A)+O(\)=O(p).

§7] ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ Т (р) 423
Итак, для любого значения А, конечного или бесконечного,
т. е. ни одно значение не является исключительным для функ-
функции f(z).
7.4. В этом пункте мы изучим общие свойства характеристи-
характеристической функции Г(р). Установим прежде всего, чтоГ(р), подобно
логарифму максимума модуля М (р) аналитической функции, являет-
является неубывающей и выпуклой функцией от lnp (ср. теорему о трех
кругах, п. 3.2 гл. шестой). При доказательстве будем исходить
из того факта, что функция N (р, оо) обладает требуемыми свой-
свойствами (см. п. 7.2), и постараемся выразить Г(р) через N (р, оо).
Допустим сначала, что /@)=/=оо; применяя формулу G.1:1)
к функции f (z)— ei{f, где ¦& — фиксированное действительное число,
найдем:
2Я
, <>«*) — # (р, оо)
G.4:1)
или, умножая обе части на -к— с№ и интегрируя от 0 до 2я:
2я 2я
о о
2я 2я
= -SrSln|/@)-ei»|d#+-^rJjV(pe**)dO-^(p,oo). G.4:2)
о о
Рассмотрим интеграл
2
о
где w—фиксированное число. Если |ш|^1, то тогда по общей
формуле G.1 : 1), примененной к функции ln[? — w\, имеем:
2я
О
если же |ш(>1, то функция ln\w — ?| является гармонической
в круге |Ъ|< 1, откуда
2я

424 ЦЕЛЫЕ И МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ [ГЛ.
Итак, во всех случаях
2я
-^-§ \n\w — e'*|d« = ln+|a)|.
о
Поэтому формула G.4:2) принимает следующий вид:
2я 2я
1 f (ре**) | = 1п+1 / @) | + -L J iV (р, в»о) dtf- JV (p, oo),
о о
или
2я
T(p) = m(P> oo) + jV(p, oo) = ln+1/@)| + jLjtf(p,e'*)db. G.4:3)
о
В случае, когда / @) = оо, мы вместо исходной формулы G.4 : 1)
имели бы:
2Я
^ , e«*)-JV(p, oo),
где Ся — коэффициент при младшем члене лорановского разложе-
разложения / (z) в окрестности точки 2 = 0. Поэтому формула G.4:3)
заменяется в этом случае формулой
2Я
Т (р) = In | ch | +^ J N (р, в'*) d#. G.4 : 3')
о
В том и другом случаях мы видим, что свойства неубывания
и выпуклости функции Т(р), рассматриваемой как функция от In p,
вытекают из соответствующих свойств функции N (р, elff). А именно,
2я
Т (р')_Т (р) = ^_
II
при р'>р и
2я 2я
2я 2я
2я J d In р 2я J v^' '
есть неубывающая функция от In р.
Заметим, что в случае, когда / (г) есть функция, мероморфная
во всей конечной плоскости (R = oo), причем f (z) Ф const, Т (р)
необходимо стремится к бесконечности ifpn p, стремящемся к бес-
бесконечности. В самом деле, если обозначить f @) через А, то будем

§ 7] ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ Т (р) 425
иметь в силу основной теоремы
m(p, A) + N(P, A) = T(p) + O(l),
откуда
N (Р, A) = ln(t' А)-п(°' А) dt + п@, А)\пР<Т (р) + 0(\);
о
но, с другой стороны,
N (р, Л) > л (О, Л) In p > In p.
Поэтому
1пр<Г(р)+ОA),
откуда и следует, что
НтГ(р) = оо
р->°о
и, более того, что
lnp
В случае функций, мероморфных в конечном круге
нет никаких оснований утверждать, что характеристическая функ-
функция Т (р) стремится к бесконечности, когда р стремится к R. Рас-
Рассмотрим, в частности, случай функций, не имеющих полюсов в кру-
круге | z | < R; тогда для них
2Я
N(p, оо) = 0 и Т(р) = т(р, 00) = ^ J ln+|/(pe-)|da.
о
Мы видели в п. 5.2 гл. шестой, что условие ограниченности послед-
последней функции при р, стремящемся к R, эквивалентно гипотезе о том,
что f (z) может быть представлена в круге \z\<iR в виде частного
двух ограниченных по модулю аналитических функций. Фактически
этот результат был распространен в п. 6.4 той же главы на меро-
морфные функции. А именно, там было доказано, что совокупность
двух условий:
2 (R-\bk\)< + °° и
где {^ — последовательность полюсов функции /(г), лежащих
в круге \z\<.R, эквивалентна тому, что /(г) представима в том же

426 ЦЕЛЫЕ И МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. 7
круге в виде частного двух аналитических и ограниченных по моду-
модулю функций.
Убедимся, что эти условия выражают ограниченность Г(р).
В самом деле, из сказанного в п. 4.2 гл. шестой вытекает, что
оо
сходимость ряда 2 (R — I t>h I) эквивалентна сходимости бесконеч-
Пя
¦ут—с i что в свою очередь равносильно огра-
k=l
ниченности
р(р) р(р)
ft=l
Но
р(р)
(см. п. 7.1); в конечном счете, условия, определяющие класс меро-
морфных функций ограниченного вида в круге \z\<CR, равно-
равносильны ограниченности двух величин:
N (р) = I"{U са)~п (°' ^dt + n @, оо) In р и т(р, оо),
т. е. ограниченности характеристической функции Г(р). Итак,
класс мероморфных функций ограниченного вида совпадает с клас-
классом функций, имеющих ограниченную характеристику.
7.5. Рассмотрим случай целой трансцендентной функции / (г)
и выясним для нее связь между максимумом модуля М (р) и харак-
характеристической функцией Г(р). Так как здесь JV(p, oc) = 0, то
2я
о
Но 1пМ(р) стремится к оо вместе с р; поэтому
начиная с некоторого р, и мы имеем:
Г(р)<1пЛ1(р).

§ 7] ПОРЯДОК РОСТА МЕРОМОРФНОЙ ФУНКЦИИ 427
С другой стороны, по формуле Пуассона — Иенсена
2я
In | / (гегв) | = -н— \ In | / (peia) [ ^2_L.-2 Vnm. ir,—a\ ^a —
о
n(p)
, п(р
_1ПГ Р ТТ
L ГА. II
| | p + — 2rpcos(a — 0)
2я
поэтому
lnM(r)<
Итак,
)<-?±fT(p), G.5:1)
откуда
Следовательно, полагая р = 2г, найдем:
(г) .т^- 1п1пМ(г) ^.тт— 1пГBг) гг— 1п Г Bг)
lnl ^/(r)= i^1_
In г ^^ In г
Вспоминая определение порядка роста целой функции (п. 1.1),
мы видим, что в этом- определении можно пользоваться характе-
характеристической функцией Т (г) вместо максимума модуля М(г), заме-
заменяя \пА1(г) через Г (г).
Обратимся теперь к функции /(г), мероморфной в конечной
плоскости и притом нецелой. Здесь функция М (г) = тах| / (z) \
не может непосредственно играть такую роль, какую она играет
в теории целых функций. В самом деле, М (г) уже не является
неубывающей функцией, так как обращаясь в бесконечность при
каждом г = г0, совпадающем с модулем какого-либо полюса
функции /(г), она имеет конечные значения при всех г, доста-
достаточно близких к г0 и отличных от г0. Вместе с тем она перестает
совпадать с максимумом модуля в замкнутом круге: тах|/(г)|.

428 ЦЕЛЫЕ И МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. 7
Естественной заменой максимума модуля для произвольной меро-
морфной функции является характеристическая функция Т(г),
которая, как мы видели в п. 7.4, есть неубывающая и выпуклая
функция от In г. С ее помощью можно распространить понятие
порядка роста на произвольные мероморфные функции, полагая
по определению, что порядок роста функции есть lim ——— .
В виде иллюстрации определим порядок роста функции tgz. Как
известно, эта функция не обращается ни в /, ни в —i (т. I,
п. 4.10 гл. второй). Поэтому для нее N (р, /) = 0 и, следователь-
следовательно, для вычисления Т(р) имеем (в силу основной теоремы п. 7.2):
|tg(peia)-
Но
= I exp (ipeia) + exp (— ipeia) | <
)-«] 12 exp (tpeta) | ""
. exp (p since) + exp ( — p sin a) 1,1 ,n ¦ \
< о V—^—г = -?r + "V exP Bp sin a);
2 exp ( — p sin a) 2 ' 2 r\ r ¦"
последняя величина не превосходит 1, если я<;а<;2я, следова-
следовательно, на сегменте [я, 2я]:
1п+ \- = 0.
В интервале 0<а-<я имеем:
2р sina>
>ln j-; = 2р sin a + In———s • >2psina — In 2;
|tg(pela)-'l Z
поэтому
и, следовательно,
я
о
Отсюда, наконец, вытекает, что порядок роста функции tgz
равен
р + ()
lim_L!L 1=1.

§ 7] ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ КОНЕЧНОГО ПОРЯДКА 429
Итак, tg г есть мероморфная функция первого порядка.
Вычислим еще порядок мероморфной функции ^>(z). Так как
для нее 7'(р) = Д?—\-0(р), где D — площадь основного паралле-
параллелограмма периодов (см. пример 4) п. 7.3), то
т. е. эллиптическая функция §> (г) есть функция второго порядка.
7.6. В заключение этого параграфа выведем общую формулу
для представления мероморфных функций конечного порядка.
Будем исходить из формулы Пуассона — Иенсена
2я
= 1п
(re1*)
n(p) p(p)
)— >, In-*-1-
p*-bkz\
Очевидно, что гармоническая функция, фигурирующая в левой
части равенства, есть действительная часть аналитической функ-
функции от z = reift:
2я
(см. формулу A.2:15) гл. шестой), а гармоническая функция
в правой части равенства представляет действительную часть
следующей аналитической функции:
п(р) р(р)
Ln Щ- +Я1пр-2 Ln ^=Э> + 2 Ln ^^Я ;
2^ ^ ^ Р2-ОД2 ^^ p2-6ft2
поэтому
п(р) р(р)
_VLnP(?=^L+VLn^=M. G.6:1)
^ p2-afez ^ p2-6fe2
Обозначим через ^ наименьшее целое число, для которого выпол-
выполняется равенство
р->оо

430
ЦЕЛЫЕ И МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ
[ГЛ. 7
Такое число существует в силу того, что f(z), по предположе-
предположению, есть функция конечного порядка \х. Очевидно, q = [\i], если
ц не есть целое число, и q = ц или q = \i — 1 в случае, когда ц
есть целое число. Дифференцируя формулу G.6:1) почленно
<7+ 1 раз, получим:
п(р)
/ (г) , (-l)iq\ . у (
+1 —л г<2+1 "Г Zj B
1
П(р)
Рассмотрим функции:
Р(Р)
2я
. G.6:2)
v 7
Р(Р)
2я
и покажем, что они стремятся к нулю, когда р стремится к бес-
бесконечности и притом равномерно относительно z, ||
В самом деле, если | z \ < г < р, то
ak
Р2—
aL\
так как |aft|<p. Следовательно,
- п (р, 0) _ п (р, 0)
но
ер ер
п (р, 0) = п (р, 0) \ —< \ " I
р р
поэтому
п(р, 0) ^.ei+iTjep) 0A)

§ 7] ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ КОНЕЧНОГО ПОРЯДКА 431
Итак,
аналогично доказывается, что
rtP) ц+i
lim V *l = 0.
р-><»^ (ря-йкг)в+1
Следовательно,
limSp(z) = 0.
р-юо
Оценим теперь модуль интеграла /p(z):
2я
о
2я 2я
to* I
w(p, oo) + /w(p, 0)
А
n+i pa *0 прир->оо.
p /
Поэтому из формулы G.6:2) вытекает следующее соотношение:
dq+1 ln / W / ne+ioUi Р
п(р)
причем сходимость равномерна в каждом круге Izl^X
Отсюда, интегрируя под знаком предела <?+1 раз, получим:
д п(р)
{
р->-оо
i
р(р)
;- G-6:4>

432 ЦЕЛЫЕ И МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. 7
где коэффициенты j\cj (/ = 0, . .., q) представляют значения
d> In [/ (г) z~%\ г, л,
lJ-^ в точке 2 = 0 и m = mz — целое число. Мы пришли
dz>
к следующей теореме: каждая функция, мероморфная в конеч-
конечной плоскости и удовлетворяющая условию
lim V;/ =0 (q — целое число),
p->oo P
выражается по формуле G.6:4) или по следующей формуле:
9
CjZ3) X
о
n(p)
)р+...+(
ak ) v L ak T ^ q \ak
. G.6:5)
Если ряды 2 -i a iQ+i и 2 I й iq+i СХ°ДЯТСЯ> т0 тогда бесконеч-
бесконечные произведения
и
сходятся абсолютно и равномерно в каждом круге конечного
радиуса. В этом случае формулу G.6:5) можно заменить сле-
следующей:
X
¦11 V aft / L aft T ? UJ
_l . G.6:6)
Так, например, для tgz характеристическая функция имеет вид

§ 7] ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ КОНЕЧНОГО ПОРЯДКА 433
Т (р) = ——+ 0 A) и, следовательно, q— 1. Так как нули tgг суть
точки /я(/ = 0, ±1, ±2, ...), а полюсы —B/ + 1)-^-(/ = 0, ±\,
оо оо
±2, ...), то ряды 2 у^у и 21 J^-fF сходятся, и формула
G.6:6) принимает вид:
П'('-?¦)•*
tg г = гесо+с12 =
4г2
1
Так как tgz: z есть функция четная, то коэффициент ct должен
равняться нулю. Из соотношения lim-^- = l выводим далее, что
z—>0
с0----О (или 2mni, где т — целое); следовательно,
оо
по—
tg2 = 2- *
[l___^__J
Конечно, эту формулу легко получить, исходя из известного
разложения sin z в бесконечное произведение.
Если / (z) есть целая функция порядка ц, то тогда по преды-
предыдущему пункту будем иметь для этой функции
hm
Отсюда следует, что к функции f (z) можно применить соотноше-
соотношение G.6:5), полагая в нем <7=[fx] или q=[\i] — 1 (так, чтобы
выполнялось соотношение lim ^ = о) и заменяя произведение,
V 0
28 А. И. Маркушевпч

434 ЦЕЛЫЕ И МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. 7
стоящее в знаменателе, единицей. Тогда получим:
Мы нашли разложение целой функции конечного порядка в бес-
бесконечное произведение—результат, полученный в § 2 этой главы
иным путем.
В заключение применим формулу G.6:6) для доказательства
следующей теоремы:
Для того чтобы функция / (г), мероморфная в конечной пло-
плоскости, была рациональной, необходимо и достаточно, чтобы
выполнялось соотношение
LiPL=r<oo. G.6:7)
In р ч '
Необходимость этого соотношения вытекает из того, что для
рациональной функции Г(р) = ОAпр) (см. пример 1 п. 7.3). Для
доказательства достаточности заметим, что в силу условия G.6 :7)
для любого значения Л, конечного или бесконечного, имеем:
,. N (о, А) ... Г(р) .
am —г-—-<lim . = г<С сю.
In р 1п р
р-юо р-*-оо
Но для любого ро > 1 имеем также
JV(p, A) = * n(t,A)-n(Q,A)
о
Ро
Следовательно,
п(р0, Л)
т. е. количество Л-точек функции / (г) в любом круге не пре-
превосходит г. Поэтому, в частности, не превосходят г и количество
нулей п0 и количество полюсов р0 во всей конечной плоскости.
Пользуясь этим, а также и тем, что в формуле G.6 :5) мы можем

§ 7] ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ КОНЕЧНОГО ПОРЯДКА 435
положить в данном случае q = 0, находим из_нее:
по
П (¦-¦?-)
т. е. / (z) — рациональная функция степени не выше г.
Доказанную теорему можно, очевидно, формулировать следую-
следующим образом:
Для каждой трансцендентной, мероморфной в конечной пло-
плоскости функции f (г) выполняется соотношение
28*

Глава восьмая
ПОНЯТИЕ РИМАНОВОЙ ПОВЕРХНОСТИ.
АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ
§ 1. Понятие поверхности. Абстрактная
риманова поверхность
1.1. К понятию топологической поверхности приходят в резуль-
результате обобщения свойств различных элементарных поверхностей.
Пусть Е — некоторое бесконечное множество, элементы которого
мы будем называть точками. Предположим, что в нем выделена
определенная система подмножеств {?/}, обладающая следующими
свойствами:
а) каждой точке е ? Е поставлены в соответствие некоторые
из множеств U (по крайней мере одно); эти множества содержат точ-
точку е, обозначаются через U (ё) и называются окрестностями точ-
точки е;
б) для любых двух окрестностей одной и той же точки е суще-
существует третья окрестность точки е, содержащаяся в каждой из двух
данных;
в) если ё 6 U (е), то существует U (ё) с U (е);
г) если точка ё отлична от е, то существуют U (ё) и U (е),
не имеющие общих точек.
Множества Е, в которых выделены такие системы подмножеств,
составляют специальный класс топологических про-
пространств и называются Т2-и ространствами*).
В Г2-пространстве Е для каждого множества М можно устано-
установить понятие его предельных точек как таких точек из Е, любая
окрестность которых содержит бесконечное множество точек из М,
и далее ввести понятия: замыкания множества М, замкнутых
и открытых множеств, связности, понятия областей и континуумов,
непрерывных, в частности жордановых, кривых, компактности
и т. д. Все это делается так же, как, например, для множеств на
плоскости.
Подчинив Г2-пространство Е определенным дополнительным
требованиям, придем к понятию топологической поверхности.
*) О топологических пространствах и относящихся к ним понятиях см.
П. С. Александров, Введение в общую теорию множеств и функций,
ОГИЗ; Гостехиздат, М.— Л., 1948, Прибавление к главе шестой.

§ 1] АБСТРАКТНАЯ РИМАНОВА ПОВЕРХНОСТЬ 437
Требования эти таковы:
ос.) ? связно (т. е. при любом его разбиении на два под-
подмножества, попарно не имеющие общих точек, по крайней мере
одно из них содержит предельные точки другого).
Р) Существует не более чем счетная система В областей из Е
такая, что для каждой точки е0 ? Е и для каждой окрестности U (е0)
можно указать одну из областей системы В, содержащую точку е0
и заключающуюся в этой окрестности. (О пространстве, удовлетво-
удовлетворяющем этому условию, говорят, что оно обладает счетной
базой В.)
у) Каждая точка е0 ? Е имеет окрестность U (е0), допускающую
взаимно однозначное и непрерывное в обе стороны отображение
z = Фео(е) на односвязную область geo плоскости г, например на
единичный круг или на всю конечную плоскость. (О пространстве,
обладающем этим свойством, говорят, что оно локально
гомеоморфно плоскости.)
При этом непрерывность отображения z = фео(е) в точке et 6
6 U (е0) понимается в следующем смысле: для каждой окрестности k:
\ z — 2j | < р точки zx = ф (е4) существует окрестность U (е4) с
с U (е0) такая, что z = фео(е) 6 k, если е ? U (ei).
Аналогично определяется и непрерывность обратного отображе-
отображения в = (feo B).
Требование у) позволяет сводить рассмотрение окрестностей U (е0)
к рассмотрению соответствующих односвязных областей geo посред-
посредством гомеоморфного отображения z = Фео(е). Можно сказать, что
каждая окрестность U (е0) имеет то же строение (топологическое),
как и односвязная область плоскости.
Заметим, что при отображении г = фео(е) замкнутые и открытые
множества точек окрестности U (е0) переходят, соответственно,
в замкнутые и открытые множества точек области geo. Покажем это,
например, для случая открытого множества М cz U (е0).
Пусть Zi = ц>ео(е±) — точка образа т — феоGИ) этого множе-
множества. Допуская, что она не является внутренней для т, найдем
сходящуюся к Zi последовательность точек {?„}, принадлежащих geo
и не принадлежащих т. Их прообразы еп = ф^1 (?п) должны схо-
сходиться KfitB силу непрерывности функции ф^1 (г). Следовательно,
они будут содержаться в множестве М, начиная с некоторого п
(вследствие того, что et — внутренняя точка множества М). Но
отсюда заключаем, что и ?„ = ц>ео(еп) должны принадлежать т =
= феоGИ), начиная с некоторого п. Из полученного противоречия
вытекает, что образ открытого множества при отображении
z = фео (е) есть также открытое множество.
Г2-пространство, обладающее перечисленными свойствами (связ-
(связность, существование счетной базы и наличие у каждой точ-
точки окрестности, гомеоморфной односвязной области плоскости),

438 ПОНЯТИЕ РИМАНОВОЙ ПОВЕРХНОСТИ [ГЛ. 8
называется топологической поверхностью (ко-
(короче поверхностью) или двумерным много-
многообразием*).
Поверхности разделяются на замкнутые, характеризуемые
свойством компактности, т. е. тем, что любое бесконечное, множе-
множество принадлежащих им точек имеет по крайней мере одну предель-
предельную точку, и открытые, на которых существуют бесконечные
множества, не имеющие предельных точек.
Приведем несколько простейших примеров поверхностей.
1) Конечная плоскость в евклидовом пространстве при обычном
определении окрестности представляет собой открытую поверхность.
2) Сфера (или расширенная плоскость) — замкнутая поверх-
поверхность.
3) Тор, полученный вращением окружности радиуса г около
оси, находящейся в одной плоскости с этой окружностью и не имею-
имеющей с нею общих точек.
Если R есть расстояние центра окружности от оси вращения
(R > г), то окрестность точки тора можно определить как часть
тора, попадающую внутрь любого шара с центром в этой точке
и радиусом, меньшим, чем 2г и 2(R —г). При этом определении
множество точек тора является замкнутой поверхностью.
4) Разобьем конечную плоскость на полосы 2
< 2л (k + 1) (k = О, ±1, ±2, . . .) и назовем точки гиг" кон-
груентными, если г' — z = 2/rat, где т — целое число. Для каждой
точки плоскости существует бесконечное (счетное) множество ей
конгруентных, расположенных по одной в каждой полосе. Объеди-
Объединяя их в один класс, мы можем любую точку рассматривать как
представительницу всего класса в том смысле, что к тому же классу
будут принадлежать те и только те точки плоскости, которые
конгруентны сданной точкой. Назовем окрестностью данного клас-
класса совокупность классов, представляемых точками, лежащими
внутри круга радиуса p<;jt с центром в одной из точек класса.
При таком определении множество Е всех возможных классов
представит поверхность. Эта поверхность гомеоморфна прямому
круговому цилиндру
? = pcos9, Ti=-psin9, ? = ?, 0<9<2я,
так как, ставя в соответствие каждому классу, представленному
точкой 2 = х + iy основной полосы @<;х < 2я), точку Ъ, = р cos х,
т) = р sin х, t, = у цилиндра, мы установим, как легко видеть,
гомеоморфное соответствие между поверхностью Е и точками
цилиндра. Построенная здесь поверхность является открытой.
*) Иногда в определении многообразия опускают требование счетной
базы. Тогда понятие двумерного многообразия становится шире понятия
поверхности.

§ 1] АБСТРАКТНАЯ РИМАНОВА ПОВЕРХНОСТЬ 439
5) Разобьем конечную плоскость на прямоугольники
2ат<л:<2а(/п + 1), 2р
(аир — фиксированные действительные и положительные числа)
и назовем точки гиг' конгруентными, если z" — z = 2am + 2фп.
Для каждой точки плоскости получим бесконечное счетное множе-
множество конгруентных точек, расположенных
по одной в каждом прямоугольнике. Объе-
Объединяя их в один класс, мы можем любую
из них рассматривать как представитель-
представительницу всего класса. Назовем окрестностью
данного класса совокупность классов,
представляемых точками, лежащими в кру-
круге радиуса p<;min (a, f>), с центром
в одной из точек класса. При таком опре-
определении множество Е всех возможных
классов представит поверхность. Эта по-
верхность гомеоморфна тору, например
тору вращения из примера 3). В самом Рис. 58.
деле, уравнения последнего при надлежа-
надлежащем выборе осей координат и параметров ср и 0 (рис. 58) можно
представить в виде
? = (.R + /-cos(p)cos0, г] = (/? + /-cos ср) sin0, ?, = rs\nq>
(O<0<2it, 0<ф<2я),
и если поставить в соответствие классу, представленному точкой
z = х -f- iy основного прямоугольника: 0^х<<2а, ()¦<«/< 2E,
точку тора, определяемую значениями параметров 0 = — х и ср =
= -5- у, то мы и получим гомеоморфное соответствие между Е
и множеством точек тора.
6) Рассмотрим полосу — 1 < у < 1 и назовем ее точки z' =
= х" + iy' и г = х + iy конгруентными в одном из двух случаев:
х' —х = ink и у' = у (k — целое число) или х" — х = Bk + 1) 2л
и у' = — у. Объединяя конгруентные точки в один класс и опре-
определяя окрестность класса как совокупность всех классов, пред-
представляемых всеми точками любого содержащегося в полосе круга
с центром в одной из точек этого класса, найдем, что множество Е
всех классов представит некоторую поверхность. Легко видеть, что
она гомеоморфна листу Мёбиуса, модель которого можно
получить, вырезав из бумаги прямоугольник с основанием 2я
и высотой 2, перегнув его так, чтобы попарно совмещались точки
боковых сторон, симметричные относительно центра прямоуголь-
прямоугольника, и склеив друг с другом совмещенные места. Аналогичную

440
ПОНЯТИЕ РИМАНОВОЙ ПОВЕРХНОСТИ
[ГЛ. 8
модель можно осуществить, если в каждом положении окружности,
вращением которой образуется тор, определяемом некоторым зна-
значением угла 6, O<;0<2jt, брать вместо окружности радиус,
составляющий угол ф = Э с плоскостью Ъ,Оц (рис. 59).
1.2. Поверхности будут интересовать нас лишь в той мере,
в какой для функций, определенных на них или в принадлежащих
им областях, можно ввести понятие
аналитичности (подобно тому, как
это понятие было введено для функ-
функций, определенных в областях пло-
плоскости или сферы).
Фиксируем для каждой точки е0
определенную окрестность Uo=
= U(e0) — будем называть ее в ы д е-
ленной окрестностью этой точ-
точки — и, кроме того, фиксируем опре-
определенное гомеоморфное отображение
t—% (е) =лРо (е) этой окрестности на
какую-либо односвязную область g=
=gea конечной плоскости, содержа-
содержащую начало координат. При этом мы
потребуем, чтобы выполнялось условие
?Ч(ео) =0. Функцию t = teg = К0(е)
будем называть локальным па-
параметром (а также локальной униформизирую-
ще й) для точки е0. Ниже мы подчиним систему локальных пара-
параметров некоторому существенному ограничению.
Функция w = F (ё) точки е на данной поверхности (значения
функции суть комплексные числа), определенная в некоторой окре-
окрестности точки е0, содержащейся в Uo, преобразуется в функцию
F [Я (/)] = F* (t) комплексного переменного t, определенную
в области, принадлежащей g и заключающей точку t = 0.
Допустим, что существует окрестность и0 с Uo точки е0 такая,
что F* (t) является аналитической функцией в соответствующей ей
области, принадлежащей g. Естественно было бы называть в этом
случае функцию F (ё) аналитической в окрестности и0 точки е0
данной поверхности и вместе с тем аналитической в каждой точке,
принадлежащей окрестности и0. Однако, чтобы принять это опреде-
определение, понадобится дополнительное условие относительно системы
локальных параметров {Хео (е)}.
В самом деле, пусть ех Ф е0 — точка из той окрестности и0 с Uo
точки е0, в которой F (ё) является аналитической функцией. Должна
существовать окрестность ut точки еи содержащаяся в и0; мы
можем еще потребовать, чтобы она содержалась и в выделенной
окрестности t/4 точки в\. Так как ut принадлежит и0, то F (ё) являет-
Рис. 59.

§ 1] АБСТРАКТНАЯ РИМАНОВА ПОВЕРХНОСТЬ 441
ся аналитической в ut. Но, с другой стороны, об аналитичности
функции F (е) в окрестности точки et следует судить, опираясь
на отображение % = tei = kei (e), преобразующее функцию F (е)
в F [А,^1 (т)] = F** (т). Для того чтобы наше определение анали-
аналитичности не приводило к противоречию, необходимо потребовать,
чтобы и последняя функция была аналитической в некоторой обла-
области, содержащей точку т = 0. Положим, в частности, F (е) =
= ieo (е) = t. Тогда будем иметь F* (t) = t, и так как эта функция
является аналитической в области g, то и функцию t = лео (е)
следует считать аналитической на поверхности во всей окрестно-
окрестности Uo. Для точки ei 6 Uо, соответствующей значению t = U при
отображении t = Яео (е), находим по предыдущему, что функция
t = F** (т) = XeoXei (т) должна быть аналитической в окрестности
точки т = 0 и, кроме того, однолистной, так как отображение
t = K0Ki (т) взаимно однозначно. Это и есть условие, которому
нужно подчинить локальные параметры:
А) Если t = Яео (е) есть локальный параметр для точки е0 и et —
какая-либо точка соответствующей выделенной окрестности точки е0,
то этот параметр должен быть аналитической функцией пара-
параметра х = kei (ё) в некоторой окрестности точки т = 0.
При выполнении этого условия каждая вообще функция w =
= F (е), аналитичность которой в и0 с U установлена с помощью
локального параметра t = Яео (е), будет аналитической и в окре-
окрестности любой точки ei 6 Uq, если устанавливать ее аналитичность
с помощью локального параметра т = Xei (e).
Найденному условию мы и подчиним выбор системы локальных
параметров для данной поверхности, не останавливаясь пока на
вопросе о возможности такого выбора. Из самого способа получения
условия А).вытекает, что при его выполнении относительно каждой
функции w = F (е), определенной в некоторой области D на поверх-
поверхности, и для каждой точки е0 6 D можно дать однозначный ответ
на вопрос о том, является ли эта функция аналитической на поверх-
поверхности в окрестности точки е0 или не является.
Поверхность Е, для точек которой выбрана система локальных
параметров, удовлетворяющая условию А), называется абст-
абстрактной римановой поверхностью.
Выражаясь описательно, римановы поверхности — это поверх-
поверхности, специальным образом подготовленные для того, чтобы отно-
относительно функций точки на них, принимающих комплексные значе-
значения, вопрос об аналитичности или неаналитичности этих функций
имел бы такой же определенный смысл, как и для функций точки
на плоскости или сфере. Заметим, что плоскость или сфера (расши-
(расширенная плоскость) представляет простейшие примеры римановых
поверхностей. Для первой из них в качестве локального параметра
для произвольной точки 20 можно принять t = z — z0 (выделенной

442 ПОНЯТИЕ РИМАНОВОЙ ПОВЕРХНОСТИ [ГЛ. 8
окрестностью будет тогда, например, круг с центром г0), а для
второй (предварительно стереографически спроектированной на пло-
плоскость) — также t = z — z0 для каждой конечной точки и t —
для точки бесконечно удаленной (для последней точки выделенной
окрестностью будет тогда внешность круга с центром в начале
координат). Резюмируем сказанное:
Пусть Е — поверхность, каждой точке е0 которой поставлены
в соответствие некоторая окрестность Uo (выделенная окрестность)
и функция t = Keo (ё) (локальный параметр), гомеоморфно отобра-
отображающая Uo на некоторую односвязную область плоскости t, со-
содержащую точку t = О, так, что точка е0 переходит при этом в нуль.
Если при этом выполняется условие:
А) локальный параметр teo точки е0 является аналитической
•функцией t (т) = Хео%ё{ (т) локального параметра т = tei для каж-
каждой точки ei ? Uo в некоторой зависящей от е^ окрестности точки
т = 0,
то Е называется абстрактной римановой поверхностью (относи-
(относительно данной системы локальных параметров).
На абстрактной поверхности для любой, принимающей ком-
комплексные значения функции точки w = F (ё) можно дать одно-
однозначный ответ на вопрос о том, будет ли эта функция аналитиче-
аналитической в окрестности какой-либо точки е0, где она определена, или
не будет. А именно, ответ будет утвердительным или отрицатель-
отрицательным в зависимости от того, является ли F [Ко @1 аналитической
функцией в окрестности точки t = О или же нет.
Установленные здесь определения не будут полными, если мы
не присоединим к ним условие, при котором две абстрактные рима-
новы поверхности, получающиеся из двух поверхностей Е и Е'
{которые могут быть тождественными) при задании двух систем
локальных параметров {Яео (ё)} и {к'е'о (е')}, рассматриваются как
тождественные римановы поверхности. Условие это заключается
в следующем: Е и Е' должны допускать такое гомеоморфное отобра-
отображение е' = Ф (е) друг на друга, при котором локальные параметры
Хео (е) преобразуются в функции ^еоФ-1 (г'), аналитические в неко-
некоторых окрестностях соответствующих точек е'о = Ф (е0), а локаль-
локальные параметры %'е'о (ё) — в функции Хеё Ф (е)> аналитические в неко-
некоторых окрестностях соответствующих точек е0 = Ф'1 (е'о).
Из этого условия вытекает, что каждая функция w = F (е), ана-
аналитическая в некоторой области D на поверхности Е, преобразуется
при отображении ё = Ф (ё) в функцию, аналитическую в соответ-
соответствующей области D' на поверхности Е'', и обратно, поэтому обе
римановы поверхности и не различаются друг от друга как носи-
носительницы аргумента аналитической функции.

$ 1] АБСТРАКТНАЯ РИМАНОВА ПОВЕРХНОСТЬ 443
1.3. Поясним примерами понятия, введенные в п. 1.2.
Заметим, что каждую область G плоскости (или сферы) можно
рассматривать как риманову поверхность, если в качестве локаль-
локального параметра для точки z0 ? G брать t~z — z0 (или t — —, если
z0 = 00). Пусть G и D — две области; найдем условия, при которых
они представляют одну и ту же абстрактную риманову поверх-
поверхность. Общее условие, как мы знаем, заключается в существовании
такого гомеоморфного отображения w = Ф (z) одной области на
другую, что локальный параметр w — w0 преобразуется при этом
в аналитическую функцию от 2 — z0 (и, обратно, г — z0 — в анали-
аналитическую функцию от w — w0); здесь w = Ф (z) и w0 = Ф (г0).
Но это означает, что в окрестности каждой точки г0 6 G справедливо
разложение вида
Ф (г) = Ф (г„) -т- A (z-z0) + А2 (г — г0)* +...,
т. е. Ф (z) является аналитической в области G. Так как отобра-
отображение w = Ф (г) гомеоморфно, то мы заключаем отсюда, что оно
и конформно. Следовательно, две области G и D плоскости пред-
представляют одну и ту же абстрактную риманову поверхность тогда
и только тогда, когда существует конформное отображение одной
из них на другую. Отсюда следует, например, что все односвязные
области, граница которых содержит более одной точки, представ-
представляют одну и ту же абстрактную риманову поверхность. Напротив,
уже среди двухсвязных областей встречается бесконечное и притом
несчетное множество различных римановых поверхностей.
Достаточно рассмотреть совокупность всех круговых колец. Мы
знаем (п. 2.1 гл. V), что два таких кольца допускают конформное
отображение одно на другое тогда и только тогда, когда они подоб-
подобны между собой. Следовательно, кольца /¦<|2|<С./?ир<;|г|<
п р
<С Р представляют различные римановы поверхности, если — =Ф — .
Приведем теперь простейший пример, показывающий, что одна
и та же (топологическая) поверхность может при различном выборе
системы локальных параметров представлять одинаковые или раз-
различные римановы поверхности. Рассмотрим конечную плоскость.
Она является римановой поверхностью, если для каждой точки z0
положить tZQ = z — z0. К той же римановой поверхности можно
прийти, если выбирать для каждой точки z0 локальный параметр
в виде произвольной аналитической функции %Zo (г), разложение
которой в некоторой окрестности точки г0 имеет вид
(такая функция однолистна в некоторой окрестности точки г0
и, следовательно, осуществляет конформное отображение этой окре-
окрестности на односвязную область, содержащую начало координат).

444 ПОНЯТИЕ РИМАНОВОЙ ПОВЕРХНОСТИ [ГЛ. 8
Чтобы убедиться в том, что при этих двух способах выбора полу-
получается одна и та же риманова поверхность, достаточно взять тожде-
тождественное отображение w = г.
Укажем теперь систему локальных параметров, при которой
плоскость превращается в риманову поверхность, отличную от
предыдущих. С этой целью отобразим плоскость w гомеоморфно
на единичный круг (например, посредством функции ? = if (w),.
w 2
где ? = г^-у — arctg | w |, если w Ф О, и Z, = 0, если w = 0) и выбе-
выберем локальный параметр для точки w0 равным two = Z, (w) — ? (w0).
Тогда условие А) предыдущего пункта будет выполнено, так как
локальные параметры для двух различных точек w0 и w^ будут
связаны соотношением
(здесь t = tWo = ? (w) —• I (w0) и т = tWl = С (w) — t, (wi)), т. е.
каждый из этих параметров является аналитической функцией
другого. Следовательно, при указанном выборе локальных пара-
параметров плоскость представит некоторую риманову поверхность. Она
будет отлична от той, которая соответствует параметрам tZo =
= г — z0. В самом деле при two = ? (w) — t, (w0) функция t(w)
является, очевидно, однозначной и аналитической на всей поверх-
поверхности. Если обе поверхности тождественны, то существует гомео-
морфное отображение одной на другую: w = Ф (z), при котором
функция ? (w) перейдет в функцию ?* (z), аналитическую в каждой
точке конечной плоскости г, т. е. разлагающуюся в ряд
в окрестности каждой точки z0. Следовательно, функция ?* (z) —
целая и притом ограниченная (| ?* (z) | < 1), что в силу теоремы
Лиувилля невозможно, так как Z,* (z) ф const.
Читатель легко докажет, что плоскость с локальными парамет-
параметрами tWo = t, (w) — Z, (wQ) тождественна (как абстрактная риманова
поверхность) с кругом, где в качестве локальных параметров выби-
выбираются tZo = Z — Zo.
Возвращаясь к общему понятию абстрактной римановой поверх-
поверхности, выясним геометрический смысл введения системы локальных
параметров, удовлетворяющей условию А) предыдущего пункта.
Пусть на данной топологической поверхности установлена такая
система локальных параметров. Тогда на этой поверхности мы
можем ввести понятие угла между кривыми линиями и измерять
углы совершенно так же, как это делается на плоскости или сфере.
А именно, пусть у'о и у — две жордановы дуги, проходящие через
точку е0 поверхности. Посредством локального параметра t — teo =
= %ео (ё) эти кривые отображаются на две жордановы дуги 8'0 и 6'^

J 1] АБСТРАКТНАЯ РИМАНОВА ПОВЕРХНОСТЬ 445
плоскости t, проходящие через начало координат. Если последние
обладают касательными в точке 1 = 0 и, следовательно, образуют
между собой некоторый угол, то мы скажем, что и дуги у'о и у
образуют угол в точке е0 поверхности, а за меру этого угла примем
меру угла между дугами 8„ и б„ на плоскости.
При таком определении углов отображение выделенной окре-
окрестности Uo точки е0 посредством функции t = Ко (е) на односвяз-
ную область g — ge<3 плоскости t будет конформным в точке е0.
Смысл условия А) заключается в том, что оно обеспечивает конформ-
конформность отображения и во всех других точках выделенной окрестности
Uo. В самом деле, если е4 = Хё„ (^) 6 Uo и у[ и у'[ — жордановы
дуги, проходящие через точку ех и образующие в ней угол а в силу
принятого определения, то при отображении т = tn = Xei (e) эти
дуги переходят в дуги 6^ и b"v проходящие через точку т = 0 и обра-
образующие в ней угол а. В силу условия А) параметр t является анали-
аналитической функцией параметра т в окрестности точки т = Ои притом
однолистной (вследствие взаимной однозначности соответствия
между rut). Поэтому отображение t = Х^Х^1 (т) является конформ-
конформным и преобразует Ь[ и Ь"г в пару дуг Ь[ и б^, проходящих через
точку ti и образующих в ней также угол а. Но те же самые дуги Ь[
и 6j получаются непосредственно при отображении t — Хео (е) в ка-
качестве образов дуг у[ и у[. Отсюда и следует, что отображение
t = Хео (е) является конформным во всех точках из Uo.
Мы видим, что на любой римановой поверхности возможно опре-
определение понятия угла и его меры, при котором эта поверхность
допускает в окрестности каждой точки не только гомеоморфное
отображение на односвязную область плоскости (что свойственно
каждой поверхности), но и конформное отображение. Это отобра-
отображение осуществляется посредством локальных параметров, входя-
входящих в определение римановой поверхности.
Считая, что на каждой римановой поверхности введено измере-
измерение углов указанным выше путем, мы можем иначе формулировать
условие тождества или различия двух заданных различными спосо-
способами римановых поверхностей. А именно, две абстрактные римано-
вы поверхности тождественны или различны в зависимости от того,
существует или не существует конформное отображение одной
поверхности на другую.
В самом деле, в условиях тождества двух абстрактных римано-
римановых поверхностей Е и Е' речь идет о существовании такого гомео-
морфного отображения одной на другую, при котором локальные
параметры на одной' поверхности являются аналитическими функ-
функциями соответствующих точек на другой поверхности. Если при
этом точке е0 ? Е соответствует точка е'0?Е', то отсюда следует,
что локальный параметр t = teo является аналитической функцией

446 ПОНЯТИЕ РИМАНОВОЙ ПОВЕРХНОСТИ [ГЛ. 8
локального параметра V = t'e'o в окрестности точки /" = 0, и обратно:
f есть аналитическая функция от / в окрестности точки t = 0.
Поэтому при рассматриваемом отображении Е на Е" между локаль-
локальными параметрами teQ и t'e'a в окрестностях точек t = 0 и f = О
устанавливается взаимно однозначное и аналитическое, т. е. кон-
конформное, соответствие. Но углы на ? и Я' между кривыми, про-
проходящими через точки е0 и е'о, определяются как углы между
кривыми на плоскости, полученными при отображениях t = Яео(е)
и f = Хе^(е'). Поэтому наличие конформного соответствия между
локальными параметрами означает конформное соответствие между
поверхностями Е и Е', что мы и утверждали.
В начале этого пункта мы указывали на примере областей пло-
плоскости, рассматриваемых как римановы поверхности, что для них
тождество означало возможность конформного отображения одной
на другую. Теперь видно, что то же обстоятельство имеет место
и для любых абстрактных римановых поверхностей.
Отсюда следует, что на абстрактных римановых поверхностях
можно изучать лишь такие наиболее общие свойства аналитических
функций, которые не изменяются в результате любого конформного
отображения одной поверхности на другую. Если же мы хотим
изучать свойства, которые могут изменяться в результате конформ-
конформного отображения, то нам следует ввести дополнительные элементы
в самое определение римановой поверхности, позволяющие при
известных условиях устанавливать различие между поверхностями,
конформно отображаемыми друг на друга.
§ 2. Триангуляция поверхности. Внутренние отображения
2.1. Пусть Е — топологическая поверхность и F — множество
точек на ней, гомеоморфное замкнутой области плоскости, ограни-
ограниченной жордановой кривой. Тогда F представляет также замкну-
замкнутую область на поверхности, граница которой Г есть жорданова
кривая. Фиксируем на Г три какие-либо точки А, В и С и будем
называть множество F вместе с этими тремя точками, фиксирован-
фиксированными на его границе, треугольником (топологическим)
на поверхности Е. Точки А, В п С назовем при этом вершинами,
дуги АВ, ВС и СА (имеется в виду каждый раз та из двух возмож-
возможных дуг, которая не содержит третьей вершины) — сторонами тре-
треугольника, а внутренние точки множества F — внутренними точка-
точками треугольника. Фиксацию определенного (циклического) порядка
вершин треугольника ABC или АСВ будем называть ориента-
ориентацией треугольника, а сам треугольник, для которого фиксирован
порядок вершин,— ориентированным треугольни-

§ 21 ТРИАНГУЛЯЦИЯ ПОВЕРХНОСТИ 447
ком. Очевидно, что любой треугольник допускает две и только
две различные ориентации.
Допустим, что поверхность Е разбита на треугольники {Д} так,
что при этом выполнены следующие условия: 1) никакая внутрен-
внутренняя точка треугольника Д не принадлежит другому треугольнику
А* той же системы {А}; 2) каждая граничная точка треугольни-
треугольника А, отличная от его вершин, принадлежит еще одному и только
одному треугольнику А', имеющему с А общую сторону, причем
все общие точки треугольников А и А' принадлежат этой стороне;
3) если два треугольника не имеют общей стороны, то они либо
имеют одну и только одну общую вершину, либо совсем не имеют
общих точек; 4) для каждой точки поверхности Е существует окре-
окрестность, покрываемая конечным числом треугольников А.
Система треугольников {А}, производящая такое разбиение,
а также и само разбиение называется триангуляцией
поверхности. Можно доказать, что любая поверхность допу-
допускает триангуляцию. Мы не будем приводить здесь этого доказа-
доказательства (впрочем, вполне элементарного), так как для интересую-
интересующих нас поверхностей факт существования триангуляции будет
устанавливаться непосредственно.
Выведем некоторые свойства триангуляции.
Пусть А — вершина какого-либо треугольника Ао ? {А}. В силу
условий 1) и 2) она не может быть ни внутренней, ни граничной,
отличной от вершин, точкой ни одного из остальных треугольни-
треугольников А. В силу условия 4) существует окрестность U точки Л, покры-
покрываемая конечным числом треугольников Аь ... Ат. Ни один из
треугольников, отличных от последних, не может иметь точек
внутри U. В самом деле, если бы такой треугольник А существовал,
то в U имелась бы его внутренняя точка, принадлежащая отличным
от А треугольникам Аь . . ., Ат (одному или нескольким), что
невозможно вследствие условия 1).
Пусть АВ — одна из двух сторон треугольника Ао, имеющих
общую вершину А. Тогда в силу условия 2) существует треуголь-
треугольник А', отличный от Ао, для которого АВ является стороной.
Так как его точки находятся в любой окрестности точки Л, то он
совпадет с одним из треугольников А4, . . ., Ат. Рассмотрим его
сторону АВ', отличную от АВ. Она не может принадлежать Ао
в силу условия 2); следовательно, в силу того же свойства 2) суще-
существует треугольник А"(А"=^ Ао и А"=? А'), которому принадле-
принадлежит АВ'. Этот треугольник также должен совпадать с одним из
треугольников Аь ... ., Ат.
Будем продолжать эти рассуждения. Так как число всех тре-
треугольников, покрывающих U, равно т, то мы получим всего п,
где 3<n<m, различных треугольников Ао, А', А", . . ., ДШ),
из которых каждый последующий имеет с предыдущим общую

448 ПОНЯТИЕ РИМАНОВОЙ ПОВЕРХНОСТИ [ГЛ. 8
сторону, выходящую из вершины А. При этом сторона АВт) тре-
треугольника А(П>, не являющаяся общей с А'"', будет общей с А<0>
(иначе число п рассматриваемых треугольников можно было бы
увеличивать далее) и отличной от АВ.
Отображая гомеоморфно некоторую окрестность точки А (совпа-
(совпадающую с U или составляющую ее правильную часть) на одно-
связную область плоскости z, убеждаемся в том, что образы при-
принадлежащих этой окрестности частей треугольников Ао, А', ...
. . ., А(п>, циклически располагаясь около образа z0 точки А,
покрывают окрестность точки z0. Следовательно, треугольники Ао,
А', . . ., А1п> покрывают окрестность точки А. Итак, каждая вер-
вершина А любого треугольника Ао ? {А} является общей вершиной
конечного числа п > 3 треугольников той же системы, располагаю-
располагающихся в циклическом порядке вокруг А и покрывающих некоторую
ее окрестность.
Назовем цепью, соединяющей два каких-либо треугольника Ао
и А', конечную совокупность треугольников Ао, At, . . ., Л„ = Л',
из которых каждый последующий имеет общую сторону с предыду-
предыдущим. Покажем, что любые два треугольника Ао и А', принадлежа-
принадлежащие некоторой триангуляции {А} данной поверхности, можно
соединить цепью, состоящей из треугольников той же триангуляции
Фиксируем Ао и рассмотрим все треугольники, которые можно
соединить с Ао цепью из треугольников, принадлежащих {А} (сюда
войдет Ао, а также три треугольника, имеющих с Ао общие стороны,
и т. д.). Допустим, что такие треугольники не исчерпывают всей
системы {А}. Тогда множество всех точек поверхности должно
распасться на два непустых множества Е± и Е2, первое из которых
состоит из точек, принадлежащих треугольникам, соединяемым
цепью с Ао, второе — из точек, принадлежащих треугольникам,
которые нельзя соединить цепью с Ао- Каждая точка е4 ? ?i являет-
является либо внутренней для некоторого треугольника, либо граничной
и отличной от вершин,— тогда она лежит на общей стороне двух
треугольников,— либо, наконец, общей вершиной нескольких тре-
треугольников, расположенных в циклическом порядке и покрываю-
покрывающих некоторую окрестность этой точки. Во всех случаях каждый
из треугольников, которым принадлежит eir может быть соединен
цепью с Ао и, следовательно, е^ является внутренней точкой множе-
множества Ei. Точно так же ни один из треугольников, содержащих
е2 6 Е2, нельзя соединить цепью с Ао (если допустить, что один из
них можно соединить цепью с Ао, то это же можно сделать и для
всех других, откуда вытекает, что е2 6 Ei); следовательно, е2 есть
внутренняя точка множества Е2.
Итак, Е^ и Е2 — два непустых множества без общих точек,
на которые распадается вся поверхность, причем ни одно из них
не содержит предельных точек другого множества. Мы пришли

§ 2] ВНУТРЕННИЕ ОТОБРАЖЕНИЯ 449
к противоречию со свойством связности поверхности. Отсюда
и вытекает, что любой треугольник системы {А} можно соединить
с Ло цепью, состоящей из треугольников той же системы.
Опираясь на последний результат, покажем, что множество тре-
треугольников системы {А} должно быть конечным или счетным.
С этой целью перенумеруем все треугольники, начав с Ао, затем
нумеруя треугольники, имеющие общие стороны с Ао, далее нуме-
нумеруя треугольники, имеющие общие стороны с теми, которые уже
перенумерованы, и т. д.
Если после любого числа шагов найдутся неперенумерованные
треугольники, то процесс будет продолжаться неограниченно, и мы
получим счетное множество треугольников. Так как при этом
определенные номера получат все треугольники, соединимые цепью
с Ао, то указанным множеством будет исчерпана вся система {А}.
Заметим, что множество треугольников {А} будет конечным
тогда и только тогда, когда данная поверхность является замкну-
замкнутой. В самом деле, если система {А} конечна, то вся поверхность
покрывается конечным числом множеств, гомеоморфных замкнутым
областям плоскости, ограниченным жордановыми кривыми и, сле-
следовательно, компактным. Поэтому и поверхность представляет ком-
компактное множество, т. е. является замкнутой. Обратно, допустим,
что поверхность замкнута. Если бы она допускала триангуляцию
{А}, состоящую из бесконечного множества треугольников, то,
выбирая внутри каждого треугольника по одной точке, мы полу-
получили бы бесконечное множество точек поверхности, не имеющее
предельной точки. Действительно, каждая точка поверхности обла-
обладает окрестностью, покрываемой конечным числом треугольников
и, следовательно, содержащей лишь конечное число рассматри-
рассматриваемых точек.
На рисунке 60 представлена в стереографической проекции триан-
триангуляция сферы, на рисунке 61 —триангуляция тора, изображен-
изображенного в виде прямоугольника, точки противоположных сторон
которого должны быть попарно отождествлены («склеены»). В обоих
случаях треугольников конечное число (8 и 18). На рисунке 62
представлена триангуляция открытой поверхности — листа Мёбиу-
Мёбиуса изображенного в виде прямоугольника, у которого отождеств-
отождествляются точки боковых сторон, симметричные относительно центра
прямоугольника.
2.2. Пусть Е и Е' — две поверхности и е' = / (ё) — непрерыв-
непрерывное отображение Е в ?". Если существует такая триангуляция {А}
поверхности Е, что это отображение гомеоморфно в каждом тре-
треугольнике, а также в некоторой окрестности каждой его гранич-
граничной точки, исключая, быть может, вершины треугольника, то оно
называется внутренним отображением (в смысле
С. Стоилова)
29 А. И. Маркушевич

450
ПОНЯТИЕ РИМАНОВОЙ ПОВЕРХНОСТИ
[ГЛ. 8
Очевидно, любое гомеоморфное отображение является внутрен-
внутренним. С. Стоилову принадлежит теорема о том, что непрерывное
отображение одной поверхности Е в другую, преобразующее каждое
D
Е
В
С
Д
У^
3 у/
уУ У
9 у/
/10
15 у/
/1В
5 у/
у/ ?
11 /
/ 1Z
17 /
у/18
Рис. 60.
д в с д
Рис. 61.
открытое множество в открытое и не преобразующее в точку ника-
никакой отличный от точки континуум, есть внутреннее отображение.
Справедливость обратной теоремы очевидна.
Мы будем рассматривать здесь отображение данной поверхности
Е в сферу Е', обозначая точки сферы Е' соответствующими ком-
комплексными числами: e'=z'.
Заметим, что не каждая
поверхность допускает вну-
внутреннее отображение в
сферу.
Пусть Ао и А'— два
треугольника на данной
поверхности Е. Соединим
их цепью треугольников и,
ориентировав определен-
определенным образом Ао, ориентиру-
Рис. 62. ем затем и все другие
треугольники цепи так,
чтобы общая сторона каждой пары соседних треугольников
(предыдущего и последующего) проходилась в двух взаимно проти-
противоположных направлениях. Тогда и треугольник А' получит вполне
определенную ориентацию, зависящую от ориентации треугольни-
треугольника Ао и выбора цепи, соединяющей А' с Ао. Если для любой пары
треугольников Ао и А' ориентация А' зависит только от ориентации
Ао и не изменяется при замене одной цепи, соединяющей эти тре-
треугольники, какой-либо другой цепью, то данная поверхность назы-
называется ориентируемой (или двухсторонней)

§ 2] ВНУТРЕННИЕ ОТОБРАЖЕНИЯ 451
поверхностью. Можно доказать *), что, например, плоскость, сфера,
тор являются ориентируемыми поверхностями. При доказательстве
можно ограничиться рассмотрением треугольников, принадлежа-
принадлежащих какой-либо одной определенной триангуляции поверхности.
Если на данной поверхности для какой-нибудь пары треуголь-
треугольников До и А' существуют две цепи, приводящие к разным ориента-
циям треугольника Д' при одной и той же исходной ориентации
треугольника До, то поверхность называется неориентиру е-
мой (односторонней). Простейшим примером такой поверхности
может служить лист Мёбиуса, как это можно видеть из рассмотре-
рассмотрения двух цепей, изображенных на рисунке 62 и соединяющих
треугольники 1 и 6 (одна цепь состоит из шести, а другая — из
двух треугольников).
Пусть г = / (е) дает внутреннее отображение некоторой поверх-
поверхности Е в сферу Е". Тогда каждый из треугольников системы {А},
входящей в определение внутреннего отображения, преобразуется
в некоторый треугольник сферы, причем определенной ориентации
треугольника на Е соответствует определенная ориентация сфери-
сферического треугольника. Если допустить, что на Е существуют две
цепи, соединяющие Ао и А' и приводящие к различным ориентациям
треугольника А' при фиксированной ориентации треугольника Ао,
то то же самое должно выполняться и для образов этих треуголь-
треугольников на сфере. Но последнее невозможно в силу того, что сфера
является ориентированной поверхностью. Отсюда вытекает, что
внутреннее отображение в сферу могут допускать одни только
ориентируемые поверхности.
Покажем, что любая ориентируемая поверхность Е допускает внутреннее
отображение в сферу. Пусть {А}— фиксированная триангуляция поверхно-
поверхности Е. Перенумеруем треугольники {Д} так, чтобы каждый последующий
имел общую сторону по крайней мере с одним из треугольников, имеющих
меньшие номера (в п. 2.1 мы видели, что такая нумерация возможна), и, ори-
ориентировав треугольник Д1; придадим соответствующую ориентацию всем
остальным треугольникам из {А} посредством цепей, соединяющих Д4 с каж-
каждым из этих треугольников. В результате треугольники Д будут ориентиро-
ориентированы так, что общая сторона двух треугольников будет проходиться в них
во взаимно противоположных направлениях.
Внутреннее отображение поверхности Е в сферу мы построим, используя
метод индукции. С этой целью отобразим гомеоморфно Д4 на какой-либо
сферический треугольник б4 и допустим, что для некоторого натурального п
треугольники Ait . . ., -Ап уже получили гомеоморфные отображения
на сферические треугольники 6j, . . ., б„ так, что при этом отображение
n t п
z — fn(e) множества Еп = U Д; на множество Еп= U 6; является одно-
значным и непрерывным и, кроме того, гомеоморфным в некоторых окрест-
окрестностях тех граничных точек треугольников Д1э . . ., Д„, отличных от вер-
вершин, которые являются внутренними для Еп.
*) См., например, П. С. Александров, Комбинаторная топология.
29*

452
ПОНЯТИЕ РИМАНОВОЙ ПОВЕРХНОСТИ
[ГЛ. 8
Покажем, что отображение z = /n+1(e), обладающее теми же свой-
71+1
ствами, можно найти и для множества En+i = \J bj.
3 = 1
Положим /n+1 (e) = /„ (е) во всех точках множества Еп. Множество
граничных точек треугольника Дп+1> принадлежащих Еп, может состоять:
а) из одной стороны; б) из одной стороны и противолежащей вершины;
в) из двух сторон; г) из трех сторон.
Выбирая сферический треугольник бп+1,— образ треугольника An+i>—¦
мы должны считать заданными, в зависимости от случая, либо одну его сто-
сторону, либо сторону и вершину, либо две стороны, либо, наконец, три стороны.
Выбор такого сферического треугольника 6„+1 указан на рисунке 63,
где изображены четыре случая, соответствующие возможностям а), б), в) и г).
г)
Рис 63.
Заметим, что в каждом из этих случаев треугольник б„+1 удается построить
так, чтобы в некоторых окрестностях его отличных от вершин точек, принад-
принадлежащих треугольникам с меньшими номерами F^, б; или бт), он не имел
бы общих внутренних точек с этими треугольниками. При этом мы суще-
существенно опираемся на ориентируемость нашей поверхности, что становится
ясным при взгляде на рисунок 64, где изображены случаи в) и г), с которыми
можно встретиться, если попытаться применить аналогичные рассуждения
к неориентируемой поверхности.
После того как треугольник бп+1 выбран, остается определить г = /n+i (e)
в точках треугольника Дл+1 так, чтобы эта функция осуществляла гомео-
морфное отображение Дп+1 на Sn+i> причем в точках треугольника Д„+1>
общих с Еп, это отображение должно совпадать с г = fn (e). Такое построение
всегда возможно. Чтобы видеть это, отобразим б„+1 гомеоморфно на круг
I ? I *С 1 (например, посредством конформного отображения). По определе-
определению понятия треугольника на поверхности Д„+1 допускает гомеоморфное
отображение на замкнутую область, ограниченную жордановой кривой,
а следовательно, и на круг | t | <С 1. При каждом из этих вспомогательных
отображений вершины рассматриваемых треугольников перейдут в тройки

§ 2] ВНУТРЕННИЕ ОТОБРАЖЕНИЯ 453
точек на единичных окружностях, а стороны треугольников — в дуги окруж-
окружностей с концами в этих точках. Задача сведена, следовательно, к гомеоморф-
ному отображению круга | t | <; 1 на круг | ? I ^ 1 при условии, что гомео-
морфное соответствие уже установлено между: а) дугой на | / | = 1 и дугой
на 1^1=1, либо б) дугой и не принадлежащей дуге точкой на \t\-\
и дугой и не принадлежащей дуге точкой на | ? | = 1, либо в) двумя дугами
(с общим концом) на | t \ = 1 и двумя дугами (с общим концом) на 1 ? | = 1,
либо г) всей окружностью | t | = 1 и всей окружностью | t, I =¦ 1.
Мы можем ограничиться рассмотрением лишь одного последнего случая,
так как гомеоморфное соответствие в случаях а), б) и в) можно распростра-
распространить на всю окружность, пользуясь, например, линейной интерполяцией.
Итак, остается гомеоморфно отобразить круг | t \ < 1 на круг 1 ? | <! 1
Рис. 64.
при условии, что установлено гомеоморфное соответствие 6 = % (<р) между
точками единичных окружностей (t = егв и ? = егф). Мы достигнем цели,
если положим, что t, = 0 при /=0и 'Q = ге1% (ф' при / = гегф,"О < /¦ <! 1.
71
Итак, если существует отображение г = /„ (е) множества Еп — И Д}
3=1
в сферу, непрерывное на ?„, гомеоморфное в каждом из треугольников
Д4, . . ., Am а также в некоторых окрестностях тех их граничных точек, кото-
которые отличны от вершин и являются внутренними для Еп, то существует
п+1
и отображение z = /„+i (e) множества En+i = (j Aj, обладающее аналогич-
5 = 1
ными свойствами на ?n+i и совпадающее с /„ (е) в точках множества Е„.
Отсюда, наконец, следует существование внутреннего отображения z = / (е)
поверхности Е в сферу, определяемого на каждом Еп условием / (ё) = /„ (е)
(к= 1, 2, 3, . . .).
2.3. Изучим внутреннее отображение z = f (е) поверхности Е
в сферу в окрестности тех точек поверхности Е, где отображение
не является гомеоморфным. Так как такими точками могут быть
только вершины треугольников системы {Д}, то их самое боль-
большее — счетное множество, причем это множество не имеет предель-
предельных точек на Е. Пусть е0 — вершина треугольника Ао, в любой
окрестности которой наше отображение не является гомеоморфным.
Это означает, что в каждой окрестности точки е0 существуют раз-
различные точки, в которых / (е) принимает одинаковые значения.
Так как е0 является общей вершиной конечного числа п треуголь-
треугольников Аь А2, . . ., А„, а в каждом из них отображение гомеоморф-
гомеоморфно, то одно и то же значение не может приниматься функцией / (е)
более чем в п. различных точках. Положим / (е0) = z0 и рассмотрим

454 ПОНЯТИЕ РИМАНОВОЙ ПОВЕРХНОСТИ [ГЛ. 8
окрестность Ко точки z0, не содержащую точек образов сторон
треугольников A4, . . ., Ап, противолежащих е0. Эта окрестность
покрывается образами указанных треугольников. Покажем, что
каждой точке г 6 /Co. z ?= zu соответствует одно и то же число т
A <т*Сп) прообразов, расположенных в треугольниках Аь . . ., Лп
(кроме них могут быть и другие прообразы, не принадлежащие
указанным треугольникам). В самом деле, пусть т обозначает
наибольшее число прообразов этого рода для точек, принад-
принадлежащих Ко- Если для z' 6 Ко число прообразов равно т, то такое
же число прообразов будет для каждой точки некоторой окрестности
точки г'. Действительно, пусть е[, . . ., е'т — различные между со-
собой прообразы точки г' и U]— окрестности точек е) (j = 1, . . ., т),
п
попарно не имеющие общих точек, принадлежащие U А} и притом
3=1
такие, что отображение z = f (е) гомеоморфно в каждой из них.
Образы / (U'j) = К] этих окрестностей содержат некоторую окрест-
окрестность К точки г'; очевидно, каждая точка г 6 К имеет по одному
прообразу в U'j, причем все эти прообразы различны между собой.
Отсюда следует, что число всех прообразов точки z также рав-
равно т.
Итак, множество М точек из /C0\z0, для которых число про-
прообразов есть т, является открытым. Мы установим, что оно совпа-
совпадает со всей областью /Со\2о, если докажем, что каждая точка
области Kq\z0, предельная для М, принадлежит М (см. п. 4.5
гл. I). Пусть, в самом деле, г" 6 /Со\го — предельная точка мно-
множества М; допустим, что число (ы ее прообразов, содержащихся
п
в U Aj, меньше т. Беря для каждого из этих прообразов е) окрест-
j=i
ность U'j (/ = 1, . . ., \i) подобно тому, как это делалось выше для
точек e'j, найдем, что в любой окрестности точки z" существуют
п
точки zk, имеющие прообразы, лежащие в (J Aj и не принадле-
3=1
жащие U Uj. Переходя к подпоследовательностям, получим точ-
3=1
ки Zuv Zft2, . . ., Zh , . . . такие, что zk —>z" при р —» оо, а их
прообразы efll, еЙ2, . . ., ек , . . . сходятся к точке е", отличной от
точек e'j. Так как / (е") = lim / (^ ) = lim Zh = z" 6 Ко, т0 е" не
лежит на сторонах треугольников Аь . . ., Дп, противополож-
п
ных е0; вместе с тем она содержится в множестве (J А;.
3 = 1
Мы нашли, что число прообразов точки z" должно превышать
число ц, т. е. предположение, что \i < m, приводит к противоречию.

$ 2] ВНУТРЕННИЕ ОТОБРАЖЕНИЯ 455
Итак, образ z0 точки е0 ? Е, в любой окрестности которой нару-
нарушается гомеоморфизм внутреннего отображения, обладает такой
окрестностью Ко> чт0 Для каждого z 6 /Со. z Ф z0, число т прообра-
прообразов внутри А4 + • • • + А„ одно и то же.
Обозначим / (Д^) через bj\ треугольники б^ располагаются вокруг
точки z0 так, что каждый последующий имеет общую сторону с пре-
предыдущим, а последний, бп, имеет общую сторону с первым, б4.
Из доказанного вытекает, что эти треугольники т-кратно покры-
покрывают окрестность Ко точки z0, т. е. так, что каждая точка z ?
6 Ко (z Ф Zo) принадлежит т различным треугольникам Ъ, (если z
лежит на сторонах некоторых треугольников, то при этом подсчете
каждая пара треугольников, для которых z0 есть общая граничная
точка, принимается за один треугольник).
Рассмотрим в окрестности точки е0 вспомогательное отображе-
ние t — (z — zo)m = [f{e) — f(eo)]m и покажем, что оно является
гомеоморфным. В самом деле, каждый треугольник А7- (/ = 1, . . .
. . ., п) с вершиной в точке е0 гомеоморфно отображается на тре-
треугольник 6; с вершиной в точке z0. В свою очередь, 8^ посредством
1
однозначных ветвей функции t = (z — z0) m гомеоморфно отобра-
отображается на треугольник- с вершиной в начале координат. Фиксируя
1
определенную ветвь t = (z — z0) m в бь получим в плоскости t
определенный треугольник а^ В треугольнике б2, граничащем с 6t
1
вдоль общей стороны, выберем ту ветвь функции t = B — z0) m,
которая принимает в точках этой стороны те же значения, что
и предыдущая ветвь. Тогда в качестве образа треугольника б2
в плоскости t получим новый треугольник а2 с вершиной в начале
координат, имеющий общую сторону с а^. Отображение t =
j_
=(z—z0) m, определенное указанным способом, будет гомеоморфным
не только в точках треугольников 6t и б2, но и в некоторых окре-
окрестностях каждой точки их общей стороны, кроме z0. Продолжая
j_
это рассуждение, мы определим функцию t = (z — zo)m в каждом
из треугольников б;-, а следовательно, в каждом треугольнике Ау-.
1
Соответствующее отображение t — If (e) — / (е0)] т преобразует
совокупность треугольников Aj в совокупность треугольников Oj
с общей вершиной t = 0; каждый из них имеет общую сторону
с предыдущим, а последний — общую сторону с первым. Это сле-
следует из того, что когда z, описав все треугольники 6j один за дру-
другим, возвращается к исходному треугольнику бь аргумент z — z0

456 ПОНЯТИЕ РИМАНОВОЙ ПОВЕРХНОСТИ [ГЛ. 8
J_
изменяется на 2пт и, следовательно, значения t = (z — zo)m воз-
возвращаются к значениям исходной ветви.
Заметим еще, что в достаточно малых окрестностях отличных
от вершин точек общей стороны соответствующие треугольники
не имеют общих внутренних точек. Поэтому треугольники Oj покры-
покрывают некоторую окрестность точки t = 0.
Так как определенное нами отображение t = [f (e) — f (е0)] m
однозначно, то различным значениям t должны соответствовать
в качестве прообразов различные точки е. Убедимся в том, что
в достаточно малой окрестности точки t = 0 каждому значению /
соответствует лишь один прообраз е. Допустим противное, и пусть
V ф 0 имеет по крайней мере два прообраза. Так как V есть одно
из т значений (г" — z0) т и каждое из т — 1 остальных значений
должно иметь по крайней мере по одному прообразу, то всего для т
_i_
значений (z' — zQ)m мы находим, по крайней мере т + 1 различных
прообразов. Но последние являются также прообразами точки z'
при отображении z = f (e), и если z' достаточно близко к z0 (что
будет при f, достаточно близком к нулю), то мы приходим к про-
противоречию с тем, что г* имеет только т прообразов.
Итак, отображение е = ц> (t), обратное по отношению к t =
1
= If (ё) —f(eo)]m, является однозначным в некоторой окрестности
точки t = 0. Его непрерывность непосредственно вытекает из того,
что было сказано выше об этом отображении. Поэтому t — [f (e) —
1
— f (eo)lm действительно является гомеоморфным в окрестности
точки е = е0.
Все эти рассуждения проводились для случая, когда / (е0) = zQ
есть конечное число. В противном случае, т. е. в случае, когда
z0 = оо, следует рассматривать т-р; вместо /(е) — / (е0) и брать
1
локальный параметр в виде t= [f (e)] m.
Итак, для произвольного внутреннего отображения z = f (е)
поверхности Е в сферу и для каждой точки е0 6 Е можно указать
натуральное число т и окрестность Uo такие, что отображение
_i_ i_
t = [/ (ё) — / (е0)]т (или t = [/ (е)] т) будет гомеоморфным в этой
окрестности. К этому остается добавить, что т может превышать
единицу самое большее для счетного множества точек, не имею-
имеющего предельной точки на поверхности.

§ 3] , РИМАНОВА ПОВЕРХНОСТЬ В СОБСТВЕННОМ СМЫСЛЕ СЛОВА 457
§ 3. Риманова поверхность в собственном смысле слова
3.1. Факты, установленные в предыдущем параграфе, позволяют
рассматривать каждую поверхность Е, на которой фиксировано
некоторое внутреннее отображение z = f (e) ее в сферу, как рима-
риманову поверхность. А именно, для каждой точки е0 ? Е выбираем
1
в качестве локального параметра t = \f(e) — / (е0)] т для того зна-
значения шив той окрестности точки е0, о которых говорилось в самом
i_
конце § 2 (если / (е0) = оо, то полагаем t = [f (e)] m). Если е'
принадлежит этой окрестности и т = [/(е)—f (е')]т' —соответ-
—соответствующий локальный параметр, то мы будем иметь:
и t будет аналитической функцией от т в некоторой окрестности
значения т .= О, если только / (е') Ф f (e0). Но последнему условию
всегда можно удовлетворить, заменяя первоначальную окрестность
точки е0 другою, меньшею, так, чтобы в ней было / (е') Ф f (e0),
если е' Ф е0 (такая замена может понадобиться только в случае,
когда т > 1; в силу определения внутреннего отображения точка е0
всегда обладает окрестностью, в которой выполняется требуемое
условие). Итак, выбранная нами система локальных параметров
удовлетворяет требованию А) п. 1.2. Следовательно, при таком
выборе локальных параметров поверхность Е превращается в рима-
риманову поверхность.
В п. 2.2 было доказано, что каждая ориентируемая поверхность
допускает внутреннее отображение в сферу. Поэтому каждая ориен-
ориентируемая поверхность Е может быть превращена в риманову поверх-
поверхность путем фиксации системы локальных параметров {t = [f (e) —
1
— / (боIт }, порождаемой определенным внутренним отображением
2 = f(e)- Считая, что именно такой выбор производится каждый
раз, когда задается внутреннее отображение поверхности Е в сферу,
будем рассматривать любую поверхность с определенным на ней
внутренним отображением z = / (е) как абстрактную риманову
поверхность.
Мы придем к новому понятию по сравнению с понятием абстракт-
абстрактной римановой поверхности, если будем отождествлять две римано-
вы поверхности: Е с фиксированным на ней внутренним отображе-
отображением z = / (ё) и Е" с внутренним отображением z = /' (е1), тогда
и только тогда, когда существует гомеоморфное отображение Е"
на Е: е" = ср (е), при котором функция z = f" (e') преобразуется

458 ПОНЯТИЕ РИМАНОВОЙ ПОВЕРХНОСТИ [ГЛ. 8
в z = / (ё) (или z = / (е) — в z — f" (e'))t т. е.
z = f'[y(e)] = f(e).
Две поверхности, удовлетворяющие этому условию, представ-
представляют одну и ту же абстрактную риманову поверхность. В самом
деле, если F (ё) является аналитической функцией в окрестности
точки е0 ? Е:
F (e) = ao + aj: + а2Р + . ..,
1
где t = [f (e) — / (е0)] т (для определенности мы считаем, что / (е0) Ф
Ф оо), то при отображении ё = ф (е) окрестность точки е0 преобра-
преобразуется в окрестность точки е'0? Е', f (е) — в /' (ё) и, следовательно,
для F (ё) = fqr1 (ё) получаем:
_1_ _2_
F (е) = а0 + at [/' (е') -f (е'о)] т +а2 [/' (e')-f'
т. е. F (ё) преобразуется в аналитическую функцию в окрестности
соответствующей точки ё.
Однако обратное неверно: две поверхности, представляющие одну
и ту же абстрактную риманову поверхность, могут и не удовлетво-
удовлетворять высказанному выше условию. Чтобы видеть все эти обстоя-
обстоятельства, обратимся к простейшим примерам.
Пусть Е = Е' есть расширенная плоскость (сфера). Обозначим е
через w, ё через w' и фиксируем отображения: z = w и z = w'2.
Первое из них является гомеоморфным (а именно, тождественным)
отображением поверхности Е на сферу, второе гомеоморфно в каж-
каждом из треугольников триангуляции, представленной на рисунке 60
(стр. 450), а также в окрестностях граничных точек этих треуголь-
треугольников, отличных от вершин. Поэтому оба отображения являются
внутренними и обращают расширенную плоскость в римановы
поверхности с системами локальных параметров: t — w ¦—• w0, если
w0 Ф оо и t = —, если w0 = оо (для Е); t' =w'% — w'o2, если w'o Ф 0,
f = Yz — w''. если w'o = 0. и t' — z Tl = w'~r, еслиш^ = оо (для ?").
Рассматриваемые как абстрактные римановы поверхности, Е и Е'
тождественны. В самом деле, гомеоморфное преобразование w' = w
переводит одну в другую так, что при этом функции, аналитичет
ские на одной поверхности, преобразуются в функции, аналитиче-
аналитические на другой поверхности. Например, если функция ср (ш) являет-
является аналитической в окрестности точки w = w0 Ф 0:
<р (ш) = а0 + att + ... = a0 + Щ (ад — w0) + . ¦.,

§ 3] РИМАНОВА ПОВЕРХНОСТЬ В СОБСТВЕННОМ СМЫСЛЕ СЛОВА 459
i
то в силу того, что w = w' = (w'o2 -\- t'Y, будем иметь:
т. е. ф (w') также аналитическая функция. Точно так же, если
Ф (w) является аналитической в окрестности точки w = 0:
ф (w) = а0 + aj + . . . = а0 + «i^ +
то в силу того, что w — до' = f получим:
— снова аналитическая функция.
Однако с новой точки зрения, с которой в определение римано-
вой поверхности включается внутреннее отображение ее в сферу,
обе поверхности будут различными. Действительно, функция
z = f (е) = w принимает в различных точках поверхности Е различ-
различные значения, тогда как z = f (e') = w'% может принимать в раз-
различных точках поверхности Е' одинаковые значения. Отсюда сле-
следует, что никаким гомеоморфным отображением Е' на Е нельзя
преобразовать функции z = /' (е') в z = f (e).
Очевидно, в случае, когда Е = Е' есть по-прежнему расширен-
е I W \2
ная плоскость, но внутренние отображения таковы: z — I т\
и z = w'2, существует гомеоморфное отображением' = г поверх-
поверхности Е на ?", преобразующее z = f (e') в z = f(e). Поэтому
в этом случае обе римановы поверхности тождественны также
и с новой точки зрения.
Резюмируем изложенное в виде следующего определения:
Поверхность Е, на которой фиксировано внутреннее отображе-
отображение z = / (е) в сферу, определяет риманову поверхность
в собственном смысле слова, или, короче, р и-
манову поверхность; две римановы поверхности в соб-
собственном смысле слова рассматриваются как тождественные
тогда и только тогда, когда существует такое гомеоморфное отоб-
отображение одной на другую, при котором внутреннее отображение,
входящее в определение первой поверхности, преобразуется во внут-
внутреннее отображение, входящее в определение второй.
Заметим, что само внутреннее отображение z = f (е) является
функцией, аналитической на Е во всех точках, где / (е) имеет конеч-
конечные значения. В самом деле, если f (е0) ф оо, то локальный пара-
параметр, соответствующий этой точке, имеет вид t = [f(e) — /(е0)]
откуда f (е) = f (е0) + tm в окрестности е0.

460 ПОНЯТИЕ РИМАНОВОЙ ПОВЕРХНОСТИ [ГЛ. 8
1_
Если же/(е0)=оо,то t=[f(e)] т, и для f(e) получаем: f(e)=t~m.
Будем говорить вообще относительно функции F (ё), определенной
в окрестности некоторой точки е0 римановой поверхности и допу-
допускающей разложение вида
F (е) = a-Jrm + cc-m+1rm+1 + . . . + а0 + ayt + ... (а_тфО, т> 1),
что эта функция имеет полюс в точке е0 (t = teo — локальный пара-
параметр). Мы можем сказать тогда, что внутреннее отображение,
фигурирующее в определении римановой поверхности Е в собствен-
собственном смысле, является функцией, однозначной и аналитической
на этой поверхности всюду, за исключением полюсов. Множество
последних, как легко видеть, не имеет предельных точек на Е.
3.2. Соединим с каждой римановой поверхностью в собственном
смысле слова наглядный геометрический образ, который мы будем
рассматривать как модель этой поверхности.
Разобьем поверхность Е посредством триангуляции на треуголь-
треугольники {Ап}, в каждом из которых отображение z = / (е) является
гомеоморфным. Образ / (А„) = 8п при отображении z = / (е) есть
треугольник на поверхности сферы.
Будем отождествлять («склеивать») между собой точки, принад-
принадлежащие треугольникам б^- и 8h(j=/=k), тогда и только тогда,
когда они являются образами одних и тех же точек на поверхности
Е. В силу условий, которым удовлетворяет каждая триангуляция,
склеиваться могут только граничные точки треугольников.
Треугольники, имеющие общую вершину z0, будут образовывать
конечные циклы треугольников, из которых каждый последующий
склеен с предыдущим вдоль общей стороны, исходящей из общей
вершины. Если при этом точка z0 является образом такой точки
е0 ? Е, в окрестности которой отображение z = / (е) гомеоморфно
(т = 1), то указанный цикл однократно, в один слой, покрывает
некоторую окрестность точки z0 на сфере. Если же отображение
z = / (е) не является гомеоморфным ни в одной окрестности точки е0,
то, как мы знаем, существует натуральное т такое, что треуголь-
треугольники цикла покрывают некоторую окрестность точки z0 m-кратно,
в т слоев. Всю совокупность треугольников {бп}, склеенных между
собой указанным образом (их может быть самое большее счетное
множество), можно представлять себе как своего рода одеяло,
сшитое из треугольных лоскутков и слоями окутывающее всю сферу
или только некоторую область на ней. Вот это-то «одеяло» или
«многолистная поверхность» и служит моделью римановой поверх-
поверхности в собственном смысле. Обычно эту модель S не отличают от
той поверхности, которую она изображает, и также называют
римановой поверхностью в собственном смысле слова. Оперируя
с S, следует помнить, что указание z, принадлежащего множеству

§ 3] РИМАНОВА ПОВЕРХНОСТЬ В СОБСТВЕННОМ СМЫСЛЕ СЛОВА 461
значений / (ё), недостаточно для того, чтобы фиксировать точку
поверхности S. Для полной определенности нужно указать еще ее
прообраз е, или тот треугольник А_,-, которому принадлежит е.
Тогда среди всех точек поверхности S, которым соответствует одно
и то же z (эти точки мы представляем себе наглядно как «лежащие
над z» или «проектирующиеся в z»), следует взять единственную
точку, принадлежащую треугольнику 8j = f (Д7).
Рассмотрим лежащую над z0 общую вершину цикла треугольни-
треугольников {бп}, покрывающего /и-кратно (т > 1) некоторую окрестность
точки z0. Такую точку поверхности S мы назовем точкой раз-
разветвления римановой поверхности, а число т — 1 — поряд-
порядком точки разветвления. Из изложенного ранее вытекает, что мно-
множество точек разветвления является не более чем счетным и не
имеет предельных точек на S (однако легко построить примеры,
в которых множество проекций всех точек разветвления данной
римановой поверхности всюду плотно на сфере).
Мы знаем, что на каждой римановой поверхности естественным
путем вводится измерение углов. Оно осуществляется на S вполне
наглядно. Если данная точка поверхности S, лежащая над z0,
не есть точка разветвления, то локальный параметр t = z — z0,
и мы должны для определения угла между двумя кривыми на S,
проходящими через z0, спроектировать их на сферу, а затем сдви-
сдвинуть на z0 (если z0 = oo, то вместо сдвига пользуемся преобразова-
преобразованием t = — ) . Так как сдвиг на сфере не изменяет углов, то угол
между двумя данными кривыми непосредственно измеряется углом
между их проекциями на сферу. В случае, когда вершина угла,
лежащая над z0, есть точка разветвления порядка т— 1, локаль-
1
ный параметр t = (z — zo)m и, следовательно, угол между кривыми
на S равен углу между их проекциями на сферу, деленному на т.
При отсчете угла между проекциями необходимо правильно учиты-
учитывать кратное 2я, соответствующее непрерывному изменению
Arg (z — z0), когда точка на S непрерывно перемещается в окре-
окрестности вершины угла от одной его стороны до другой.
Модель S римановой поверхности Е легче всего обозрима в том
случае, когда поверхность замкнута и, следовательно, триангуля-
триангуляция поверхности состоит из конечного числа треугольников Д4,
А2, . . ., Ап. Убедимся в том, что каждая точка сферы принадле-
принадлежит к множеству значений z = / (е), т. е. S окутывает всю сферу.
В самом деле, в силу известных нам свойств внутреннего отобра-
отображения множество {z — f (ё)} является открытым. Если z* — пре-
предельная точка этого множества, то, пользуясь компактностью поверх-
поверхности Е, мы можем найти последовательность точек еп ? Е, сходя-
сходящуюся в некоторой точке е" ? Е, такую, что {zn = f (en)} сходится

462 ПОНЯТИЕ РИМАНОВОЙ ПОВЕРХНОСТИ [ГЛ. 8
к г'. Отсюда в силу непрерывности отображения f (е) следует, что
f(e') = z', т. е. z' принадлежит множеству {z = f(e}}. Поэтому
последнее множество должно совпадать со всей сферой (п. 4.5
главы 1). Исключая из сферы проекции точек разветвления (в дан-
данном случае число их является конечным), получим область G,
каждая точка z которой имеет ограниченное число прообразов
Z (z) на Е (не более чем по одному в каждом треугольнике), причем
отображение z = / (ё) гомеоморфно в окрестности каждого про-
прообраза.
Рассуждая совершенно так же, как и в п. 2.3, мы обнаружим,
что каждая точка области G имеет одно и то же число т прообразов
на всей поверхности Е. Это означает, что поверхность S — модель
замкнутой римановой поверхности — окутывает всю сферу /и-крат-
но или т слоями. Говорят также, что она является /и-л и с т н о й
поверхностью.
3.3. Здесь мы дадим некоторые вспомогательные сведения об
аналитических кривых. Непрерывная кривая L называется анали-
аналитической, если ее уравнение можно представить в виде z = K (t)f
где К (t) —¦ аналитическая функция параметра t на сегменте [а, р].
В силу аналитичности функция % (t) раскладывается в степенной
ряд в некоторой окрестности каждого t0 ? [а, р]:
Придавая t действительные значения и отделяя здесь действи-
действительные и мнимые части, получим:
т. е. х и у также представляются степенными рядами и, следова-
следовательно, являются аналитическими функциями от t.
Мы будем называть кривую правильной аналитиче-
аналитической, если аналитическую функцию X (/) можно подобрать так,
чтобы условие %' (t) ф 0 выполнялось во всех точках сегмента [а, р].
Условие правильности позволяет представлять уравнение дуги кри-
кривой в окрестности каждой точки t — t0 либо в виде у = у (х), либо
в виде х = х (у) в зависимости от того, будет ли х' (t0) Ф 0 или
у' (t0) Ф 0, причем функции у (х) или х (у) являются аналитиче-
аналитическими в окрестности точки х —- х0 или у = у0 соответственно.
Примерами правильных аналитических кривых могут служить
отрезок прямой, окружность, эллипс (соответствующие уравне-
уравнения суть: z = z0 + lewt, z = z0 + re2nit, z — z0 + a cos 2nt -f-
&2l))

§ 3] РИМАНОВА ПОВЕРХНОСТЬ В СОБСТВЕННОМ СМЫСЛЕ СЛОВА 463
Кривая z = t3 + it* (—1<^<; 1) — также аналитическая, одна-
однако она не является правильной аналитической. В самом деле, под-
подвергнем t какому-либо монотонному преобразованию t = \i (т) так,
чтобы функция z = [(х (т)]3 + i [(х (т)]4 оставалась аналитической.
Не ограничивая общности, мы можем предполагать, что [х @) = 0.
Тогда функции [(х (т)]3 и [(х (т)]4 должны быть также аналитически-
аналитическими в окрестности начала координат и, следовательно, Р~Т\1з = ^ (т)
также является аналитической в окрестности точки т = 0, за исклю-
исключением, быть может, самой этой точки т = 0, где a priori возможен
полюс. Из ограниченности этой функции следует, однако, что она
должна быть аналитической также и в начале координат, откуда
*'@) = 3[ц(т)]>'(т)|х=0 = 0 и г/'@) = 4[[х(т)]2[х'Ы|т=о = 0.
Итак, кривая не является правильной аналитической. Это обстоя-
4
тельство связано с тем, что у выражается через х так: у = х^,
а последняя функция имеет особую точку при х = 0 (так же как
з
х = г/4 при у = 0).
Заметим, что образ правильной аналитической кривой L: z =
= к (t) («<;/<.C), принадлежащей некоторой области G, при
конформном отображении этой области на какую-либо область D
есть также правильная аналитическая кривая. В самом деле, если
функция, осуществляющая отображение, есть w = f(z), то урав-
уравнение образа кривой L можно представить в виде w = f% (f) (a<
</<;Р). Но функция fk (t) — аналитическая на сегменте [а, C],
причем -тг~-т-т}Ф^ на этом сегменте, откуда и следует, что
образ кривой L есть правильная аналитическая кривая.
Укажем, наконец, следующее важное свойство аналитических
кривых. Пусть
— две правильные аналитические кривые. Если множества значений
параметров f и t", для которых Lt и L2 имеют общие точки, не
являются одновременно конечными множествами (например, если
само множество общих точек бесконечно), то Lj и L2 имеют общие
дуги (одну или две), началом и концом которых служат начальные
и конечные точки кривых Lj и L2-
Чтобы уяснить себе формулировку этой теоремы, достаточно
рассмотреть пример двух дуг окружностей. Они могут пересекаться
либо по конечному множеству, состоящему из 0, 1 или 2 точек,
либо по бесконечному, состоящему из одной или двух дуг окруж-
окружности.

464 ПОНЯТИЕ РИМАНОВОЙ ПОВЕРХНОСТИ [ГЛ. 8
Допустим, что для бесконечного множества Е' значений f точки
кривой Li принадлежат также и L2. Пусть t'o— предельная точка
множества ?" и {t'n} — последовательность различных точек из ?",
сходящаяся к t'o. Если К± (t'o) = z0, то в силу условия %[ (t'o) =?= О
функция z = %i (f) осуществляет конформное отображение некото-
некоторой окрестности точки f = t'o на область g, содержащую точку z0.
Так как это отображение взаимно однозначно, то различным значе-
значениям t'n, попадающим в эту окрестность, соответствуют различные
точки z'n = % {t'n) кривой Lu принадлежащие области g. Эти точки
лежат на дуге /4 с Lu соответствующей некоторой окрестности
точки t'o. По определению множества Е' точки z'n лежат также на L2.
•Фиксируем для каждой из них по одному значению параметра
/" : z'n = Х2 (t"n) и, переходя в случае необходимости к подпоследо-
подпоследовательностям, допустим, что {С} сходится к некоторой точке f0.
Очевидно,
12 (Q = lim 12 (С) = lim К (Q = >л (Q = za.
П->-оо п—*°о
Рассмотрим столь малую окрестность точки f0, чтобы соответ-
соответствующая дуга l2 cz L2 содержалась в области g. Очевидно, /2 —
правильная аналитическая кривая z = К2 (t") (t — е<!^<;^ + е),
имеющая бесконечное множество точек z'n = Х2 (t'n), общих с дугой /ь
При конформном отображении f — к~* (z) области g на окрестность
точки t'o дуга U перейдет в интервал действительной оси, содержа-
содержащий эту точку, а дуга /2 — в некоторую правильную аналитиче-
аналитическую кривую, пересекающую действительную ось в бесконечном
множестве различных точек, имеющем t'o своей предельной точкой.
Ордината точек этой кривой есть аналитическая функция от t",
обращающаяся в нуль на бесконечном множестве различных точек t"n,
с предельной точкой f0. Отсюда следует, что она есть тождествен-
тождественный нуль, т. е. образ дуги 12 совпадает с образом дуги ^ в некото-
некоторой окрестности точки t = t'o. Поэтому и дуга 12 кривой L2 совпа-
совпадает с дугой /j кривой Z-! в некоторой окрестности точки z0 -—
= %i (t'o) = Х2 (Q предельной для общих точек кривых L4 и L2.
Итак, мы нашли, что дуга кривой Li на некотором сегменте
т^г"'-<т°, содержащем внутри t'o, совпадает с дугой кривой L2
на некотором сегменте tl*Ct"*С%1, содержащем внутри t. Приме-
Применяя то же рассуждение к начальной и конечной точкам найденной
общей дуги, мы можем ее наращивать по двум направлениям. Так
как по только что доказанному каждая точка, предельная для
общих точек кривых L4 и L2, является внутренней точкой их общей
дуги, то этот процесс наращивания может прекратиться только
тогда, когда мы доведем общую дугу до начальных или конечных
точек кривых L4 и L2. Называя для краткости начальные или
конечные точки крайними точками, будем иметь следующие воз-
возможности:

§ 3] РИМАНОВА ПОВЕРХНОСТЬ В СОБСТВЕННОМ СМЫСЛЕ СЛОВА 465
а) крайние точки кривой Lt совпадают с крайними точками
кривой L2; тогда Lt и L2 совпадают (геометрически, хотя и могут
иметь различные направления пробега);
б) существует по крайней мере одна крайняя точка одной кри-
кривой, являющаяся внутренней точкой другой кривой, и по меньшей
мере одна крайняя точка одной из кривых не является внутренней
для другой кривой; тогда Lx и L2 не совпадают
и имеют одну общую дугу;
в) крайние точки каждой кривой явля-
являются внутренними для другой кривой; тогда
Ll и L2, вообще говоря, не совпадают и имеют
две общие дуги (при этом, если обе кривые
Li и L2—замкнутые, совпадение имеет место
и в этом случае, если же замкнутой является
лишь одна кривая, то две общие дуги слива-
сливаются в одну).
Все эти случаи пояснены на рисунке 65.
3.4. Простейший способ введения римано-
вых поверхностей в собственном смысле слова
в теории функций таков. Рассматривают в ка-
качестве поверхности Е произвольную область
G расширенной плоскости шив ней произ-
произвольную мероморфную функцию z = f (w) ф
ф const. Как мы докажем в этом пункте,
функция / (w) осуществляет внутреннее ото-
отображение области G в сферу (расширенную
плоскость) и, следовательно, определяет не-
некоторую риманову поверхность в собственном
смысле. Таким образом, каждая мероморфная функция z = f (w)
в данной области G определяет некоторую риманову поверхность
в собственном смысле слова.
Если при доказательстве того, что z = / (w) ф const осуществ-
осуществляет внутреннее отображение области G, опираться на цитирован-
цитированную выше теорему Стоилова (см. п. 2.2), то это утверждение стано-
становится очевидным, так как z = f (w) отображает каждое открытое
множество точек области G на открытое множество расширенной
плоскости (сферы) и при этом ни один из континуумов, лежащих
в G и отличных от точки, не отображает в точку (в силу внутренней
теоремы единственности).
Однако тот же факт можно получить и непосредственно. Доста-
Достаточно построить такую триангуляцию области G, в каждом из тре-
треугольников которой, а также в окрестностях их граничных точек,
отличных от вершин, отображение z = f (w) гомеоморфно, т. е.
функция / (w) однолистна. Построение начнем с того, что отметим
все точки области G, в которых / (ш) принимает кратные значения.
30 А. И. Маркушевич
Рис. 65.

466 ПОНЯТИЕ РИМАНОВОЙ ПОВЕРХНОСТИ [ГЛ. 8
Этими точками являются все нули /* (w), а также все кратные
полюсы f (w). Множество указанных точек будет не более чем счёт-
счётным. Перенумеруем их в каком-либо порядке: аь а2, . . ., а„, . . .
и построим сначала область Ki с: G, содержащую точку at
и такую, чтобы все точки а2, . . ., ап, . . . лежали вне Ki и далее,
чтобы Ki можно было разбить на конечное число замкнутых криво-
криволинейных секторов, в каждом из которых г = f (w) однолистна.
Возможность такого построения вытекает из п. 1.1 главы V.
А именно, если
/ (w) = Д + ак (а>- at)k +...=Ai + ak(w- a/ [ 1 + ...] =
где
то отображение z = / (w) можно представить в следующем виде:
z = Ai + t,k, где Z, = ф (w) — функция, однолистная в некоторой
окрестности U\ точки w = а4. Выберем теперь область /Ci в окре-
окрестности Ui так, чтобы ее образ ф (Ki) был кругом с центром в точ-
точке 0: | ? |<;р. Тогда границей области Ki будет образ окружности:
Ф~1 (| ? | = р), т. е. замкнутая жорданова кривая, являющаяся
правильной аналитической кривой. Разобьем круг | ? |-<р посред-
посредством | & | + 1 радиусов на | k | + 1 секторов с равными углами
в начале координат. Прообразы этих секторов при отображении
? = ф (w) будут замкнутыми секторами с общей вершиной w = aiy
составляющими в совокупности всю замкнутую область /d. Их
общими сторонами будут прообразы радиусов круга | ^ |<!р, т. е.
правильные аналитические кривые. Остается заметить, что функция
z = f (w) (т. е. ?, = ф (w) и z = Ai + ?к) однолистна в каждом
из построенных секторов, а также в окрестностях их граничных
точек, за исключением точки w = aj. Далее, очевидно, беря р
достаточно малым, мы можем добиться того, чтобы область Ki
принадлежала любой наперед заданной окрестности точки а4.
Предполагая, что области Ки ¦ ¦ •, Кп Для точек аи . . ., ап уже
построены, мы можем после этого построить область Kn+i <^ G,
содержащую точку an+i, так, чтобы она не имела общих точек
с Ки ¦ ¦ ¦, Кп, чтобы ап+2, '. . ., ап+р, . . . лежали вне Kn+t
и, далее, чтобы Kn+i можно было разбить на конечное число криво-
криволинейных секторов, в каждом из которых функция z = f (w) одно-
однолистна. При этом границей области, Кп+\ и общими сторонами
секторов будут правильные аналитические кривые. Таким путем
будут построены области Кп Для всех точек ап, в которых / (г)
принимает кратные значения. Для всех прочих точек z0 области G

§ 3] РИМАНОВА ПОВЕРХНОСТЬ В СОБСТВЕННОМ СМЫСЛЕ СЛОВА 467
мы построим их окрестности U (z0) столь малые, чтобы функция
z = f (w) была однолистной в U (z0).
Пусть теперь {Gn}— возрастающая последовательность обла-
областей, аппроксимирующая G изнутри. Отметим конечное число обла-
областей {Кп} и окрестностей {U (z)}, покрывающих Gi (здесь мы опи-
опираемся на лемму Гейне —Бореля), далее, конечное число областей
{Кп} и окрестностей {U (z)}, покрывающих G2 — Gu и т. д. В ре-
результате получим счетное множество М областей (типа Кп или
U (z)), покрывающих всю область G так, что любое замкнутое
множество F a G покрывается конечным числом областей из М.
При этом отображение z = f (w) либо гомеоморфно в замкнутых
областях из М (если речь идет о U (z)), либо соответствующая
область (/Сп) разбивается на конечное число секторов, в каждом
из которых это отображение гомеоморфно (включая окрестности
граничных точек секторов и исключая окрестность их общей вер-
вершины). Каждая область К.п <^ М, как и каждый круг U (z) cz M,
пересекается лишь с конечным числом областей из М. В силу того,
что границы областей Кп и U (z) — правильные аналитические
кривые, они могут попарно пересекаться лишь в конечном числе
точек и, следовательно, каждая из областей, принадлежащих М,
разбивается всеми имеющими с ней общие внутренние точки обла-
областями того же семейства М на конечное число областей.
То же утверждение справедливо и для секторов, составляющих
Кп> так как граница каждого сектора состоит из конечного числа
(трех) правильных аналитических кривых. Упомянутые замкнутые
области — части областей К.п и U (z) — в совокупности покрывают
всю область G, причем каждое замкнутое множество F a G покры-
покрывается конечным числом их и никакие две из них не имеют общих
внутренних точек. Будем рассматривать совокупность этих замкну-
замкнутых областей как паркет (или мозаику), покрывающий область
G, а каждую область в отдельности — как плитку этого парке-
паркета. По построению z = / (w) дает гомеоморфное отображение каждой
плитки паркета на некоторую замкнутую область расширенной
плоскости z. Отображение является гомеоморфным также в окре-
окрестностях граничных точек, исключая точки аь с2, . . ., ап, . . .
Остается разбить каждую плитку паркета на треугольники,
чтобы получить триангуляцию области G (т. е. треугольный паркет),
удовлетворяющую поставленным условиям. Заметим, что каждая
плитка паркета граничит с конечным числом других плиток. Следо-
Следовательно, ее граница состоит из конечного числа дуг — сторон,
из которых каждая является связной компонентой общей части
границ двух плиток. Назовем начальные и конечные точки этих
дуг вершинами паркета и в случае, когда число вершин какой-либо*
плитки меньше трех, дополним число вершин до трех, разбивая
за*

468 ПОНЯТИЕ РИМАНОВОЙ ПОВЕРХНОСТИ [ГЛ. 8
точками какую-либо сторону на две или на три новых стороны.
Фиксируем, наконец, внутри каждой плитки по одной точке и соеди-
соединим все эти точки жордановыми дугами со всеми вершинами той
плитки, которой принадлежит данная точка. При этом потребуем,
чтобы дуги в одной и той же плитке не имели других общих точек
кроме начальной и, за исключением своих концов — вершин плит-
плитки — содержались бы внутри плитки. Эти дуги и разобьют плитки
паркета на треугольники, составляющие в совокупности требуе-
требуемую триангуляцию.
Итак, мы доказали, что каждая мероморфная функция z =
¦—- f (w) ф const в некоторой области G расширенной плоскости w
осуществляет внутреннее отображение этой области G в расширен-
расширенную плоскость z и, следовательно, определяет риманову поверх-
поверхность в собственном смысле слова. Еслиz = f (w) яг = F (w) — две
мероморфные функции в одной и той же области, то соответствую-
соответствующие им римановы поверхности будут идентичны тогда и только
тогда, когда существует гомеоморфное отображение w" = ср (w)
области G самое на себя такое, что / (w") преобразуется при этом
в F (w), т. е.
(w) = F (w).
Отсюда вытекает, что ф (w) = f~l F (w), т. е. ф (w) есть также
мероморфная функция и, следовательно, гомеоморфное отображе-
отображение w* = ф (w) есть конформное отображение области G самое на
себя. Итак, для данной области G ту же самую риманову поверх-
поверхность, что и функция z — f (w), определяют лишь функции вида
г = /ф (w), где w" = ц> (w) осуществляет конформное отображение
области G самое на себя.
Соответствующую риманову поверхность и ее модель S назы-
называют римановой поверхностью функции z =
= / (w), или также римановой поверхностью об-
обратной функции w = Z (z). Последнее название связано
с тем, что поверхность S используется обычно для того, чтобы
изучать на ней функцию, обратную данной.
Дело в том, что w = f (z), рассматриваемая как функция ком-
комплексного переменного z, т. е. на сфере, является многозначной
(если только исключить простейший случай, когда функция z = f (w)
была однолистной в области G). Если же ее рассматривать как
функцию точки на римановой поверхности S то она будет одно-
однозначной.
Действительно, точки поверхности S характеризуются не только
указанием их проекции z, но еще и номером треугольника 8j, кото-
которому они принадлежат. Треугольник 6j является гомеоморфным
образом определенного треугольника Л^, и следовательно, точке
2 (: 8j соответствует вполне определенная точка w 6 А; — значение

§ 3] РИМАНОВА ПОВЕРХНОСТЬ В СОБСТВЕННОМ СМЫСЛЕ СЛОВА 469
функции f'1 (z) в данной точке римановои поверхности. Значение
функции в треугольнике сферы, над которым лежит треугольник
6^ cz S, представляет однозначную ветвь функции f'1 (z) в этом
треугольнике. Задание римановои поверхности функции /-1 (г) не
только выявляет всю совокупность однозначных ветвей многознач-
многозначной функции, но и делает геометрически наглядной их взаимную
связь.
Отображение z = f (w) не гомеоморфно в любой окрестности
каждой из точек аь а2, • • ., «п. . • ., т. е. нулей f" (w) или крат-
кратных полюсов f{w). Для всех остальных точек области G сущест-
существуют окрестности, в которых это отображение гомеоморфно. Отсюда
вытекает (см. п. 3.2), что все точки разветвления поверхности S
лежат над образами точек ап: f (ап) = Ап, т. е. над образами нулей
f (w) и кратных полюсов / (w). Пусть / (w) в окрестности точки ап
имеет разложение вида:
An + ah (w-an)h + ah+i (w~an)h+1+ . . . (ah^0, \k\>l)
(если Ап = oo, то Ап здесь не пишется). Тогда каждое значение
z =/= Ап, лежащее в достаточно малой окрестности точки Ап, при-
принимается функцией f (w) в \k \ различных точках окрестности
точки ап. Следовательно, точка разветвления поверхности S, соот-
соответствующая ап и лежащая над Ап, имеет порядок | k \ — 1. Для
самой обратной функции w = /-1 (z) точка Ап также будет точкой
разветвления (алгебраической) в смысле, разъясненном в п. 5.2
главы II. А именно, цикл А31, . . ., А3- треугольников триангу-
триангуляции области G, имеющих общую вершину ап, отображается
посредством z = / (w) на цикл б^, . . ., б3- треугольников поверх-
поверхности S, имеющих общую вершину Ап. Последний цикл покрывает
\k |-кратно некоторую окрестность точки Ап. Если фиксировать
в каждом из треугольников б31, . . ., 6jp ту из однозначных ветвей
функции f (z), которая отображает этот треугольник на соответ-
соответствующий ему треугольник цикла Д31, . . ., Д,- , то при обходе
точки z вокруг Ап эти ветви будут непрерывно переходить друг
в друга по мере того, как точка на S, лежащая над z, будет пере-
перемещаться из треугольника Д,^ в Д,-2, из Д3-2 в Д3-3 и т. д.
Когда точка z сделает на сфере | k | оборотов в одном и том же
направлении вокруг Ап, лежащая над ней точка поверхности опи-
опишет все треугольники с общей вершиной в рассматриваемой точке
разветвления по одному разу и вернется в исходное положение
в треугольнике б31. Вместе с тем ветви обратной функции возвра-
возвратятся к исходной ветви. Мы видим здесь, что понятие точки разветв-
разветвления римановои поверхности и ранее введенное понятие алгебраи-
алгебраической точки разветвления многозначной функции тесно связаны
друг с другом. Первое дает геометрический образ второго.

470 ПОНЯТИЕ РИМАНОВОЙ ПОВЕРХНОСТИ [ГЛ. 8
3.5. Заметим, что поверхность S гомеоморфна области Е = G.
Поэтому все сведения относительно функции /-1 (z), которые обна-
обнаруживаются при ее изучении на S, можно получить из рассмотрения
одной только области G, триангулированной так, как это было
указано в п. 3.4, т. е. разбитой на области однолистности функции
z = f (w), взаимное расположение которых удовлетворяет условиям,
накладываемым на триангуляцию вообще. В § 5 главы II мы,
изучая многозначные функции, обратные элементарным целым
и мероморфным функциям, также пользовались приемом разделе-
разделения данной области на области однолистности, не требуя, однако,
чтобы эти области давали триангуляцию области. И, действительно,
для нужд изучения обратной функции последнее требование излиш-
излишне. Но после того, как мы установили, что мероморфная функция
всегда осуществляет внутреннее отображение, мы можем в каждом
конкретном случае, где требуется построить модель соответствую-
соответствующей римановой поверхности, также отказаться от требования
триангулирования и замащивать данную область G паркетом любого
вида при условии, что / (w) однолистна на каждой плитке этого
паркета. Если эти плитки по-прежнему обозначать через Аь Д2, • • .,
а их образы / (А;) — через 6^, то модель римановой поверхности S
составится из совокупности всех {8j}, если границы различных б7-
склеивать между собой в тех частях, которые служат образами
общих частей границ соответствующих Д^.
Мы поясним изложенное на нескольких конкретных при-
примерах. ,
1) G — расширенная плоскость иг — wm (т — натуральное
число > 1). Разобьем G лучами, выходящими из начала координат,
на 2/и равных углов: Аь А2, . . ., Д2т- В каждой из замкнутых
областей Д^(/ = 1, 2, . . ., 2/и) функция wm будет однолистной.
Пусть для определенности один из этих лучей совпадает с поло-
положительной частью действительной оси и А4 есть угол 0-< arg z<— .
Тогда образами 8j замкнутых областей Д,- будут служить верхние
и нижние полуплоскости w, причем 6^- с нечетными номерами будут
обозначать верхние полуплоскости, а с четными номерами — ниж-
нижние. Для получения нужной модели римановой поверхности остает-
остается склеить между собой границы этих полуплоскостей по той же
схеме, по которой соединены друг с другом границы областей Д^.
Если положительную часть действительной оси, входящую в гра-
границу полуплоскости Sj, обозначить через /+, а отрицательную
часть — через /_, то 1_ следует склеить с 2_, 2+ с 3+, • • ¦
. . ., Bт — 1)_ с 2т- и, наконец, 2т+ с 1 + . Схема этих склеива-
склеиваний указана на рисунке 66, где принято т = 4. В результате
получаем над сферой m-листную поверхность с двумя точками раз-
разветвления порядка т — 1, расположенными над z = 0 и z — сю.

§ 3] РИМАНОВА ПОВЕРХНОСТЬ В СОБСТВЕННОМ СМЫСЛЕ СЛОВА 471
Это — модель римановой поверхности функции j/z. На ней функ-
функция yz является однозначной и аналитической во всех точках,
за исключением точки разветвления, лежащей над z = оо, где она
имеет полюс.
2) G — конечная плоскость и z = ew. Разобьем G прямыми,
параллельными действительной оси, на полосы шириной я каждая.
Пусть для определенности одна из этих прямых есть действительная
Рис. 66.
ось. Обозначим через At полосу 0 < у < я и будем нумеровать
по порядку полосы, лежащие над Дь возрастающими целыми
числами, а полосы, лежащие под Aj,— убывающими целыми числа-
числами. В данном случае замкнутые полосы Д^ не содержатся целиком
в области G; мы будем исключать из них граничную точку w = оо.
Тогда на множествах Aj \ оо функция ёю будет однолистной.
Каждое из них она отображает на замкнутую полуплоскость г,
из которой исключены точки z = 0 и z — оо. При этом полосе
с нечетным номером соответствует верхняя полуплоскость, а полосе
с четным номером — нижняя. Остается склеить между собой беско-
бесконечное счетное множество верхних и нижних полуплоскостей 8j
(j=.. ., —3, —2, —1, 0, 1, 2, 3, . . .) по той же схеме, по кото-
которой соединены друг с другом полосы А^-. Соответствующая схема
представлена на рисунке 67; она аналогична схеме рисунка 66,
только здесь множество областей бу бесконечно, причем среди них
нет ни первой, ни последней, а вместе с тем отсутствует и замыкаю-
замыкающее всю поверхность склеивание последнего листа с первым. В ре-
результате получается бесконечнолистная поверхность, точки кото-
которой лежат над всеми точками сферы, исключая z = 0 и z = оо.
Над последними нет ни одной точки построенной поверхности.

472
ПОНЯТИЕ РИМАНОВОЙ ПОВЕРХНОСТИ
[ГЛ. 8
Заметим, что эта поверхность не содержит ни одной точки разветв-
разветвления, что является следствием однолистности функции z = ew
в окрестности каждой точки области G.
Полученная поверхность представляет модель римановой поверх-
поверхности функции Ln z. На ней функция Ln z является однозначной
и аналитической во всех без исключения точках.
3) G — конечная плоскость и z = sin w. Разобьем G прямыми,
параллельными мнимой оси, сначала на полосы шириной я, а затем
A'., A'o A',v A'z
А,-
Рис. 68.
посредством действительной оси — на полуполосы. Пусть для опре-
определенности одна из полос симметрична относительно мнимой оси.
Обозначим ее верхнюю полуполосу —" < * < Y ' 0<«/, через А^
и будем нумеровать по порядку полуполосы верхней полуплоскости,
лежащие правее Д^, возрастающими целыми числами, а полуполо-
полуполосы, лежащие левее Д^,— убывающими целыми числами. Получим
полуполосы AJ, / = . . . —3, —2, —1, 0, 1, 2, 3, ... Точно так же,
обозначая нижнюю полуполосу — ~ < х <_ -^ , г/<0, через AJ,
будем нумеровать полуполосы нижней полуплоскости, лежащие
правее Д?, возрастающими целыми числами, а полуполосы, лежа-
лежащие левее Aj,— убывающими целыми числами. Получим полупо-
полуполосы Aj;, / = . . . —3, —2, —1, 0, 1, 2, 3, ... Замкнутые полупо-
полуполосы Aj, и A'j не содержатся целиком в области G; мы будем исклю-
исключать " из них точку z = оо. Тогда получим множества AJ \ оо

§ 3] . РИМАНОВА ПОВЕРХНОСТЬ В СОБСТВЕННОМ СМЫСЛЕ СЛОВА 473
и Aj: \ оо, на каждом из которых функция z = sin w является
однолистной. Функция z = sin w отображает эти множества соот-
соответственно на замкнутые верхнюю и нижнюю полуплоскости, из-
которых исключена точка z = оо. Верхние полуплоскости служат
образами полуполос А,- с нечетными номерами и полуполос A'j
с четными; нижние полуплоскости суть образы полуполос AJ с чет-
четными номерами и полуполос AJ с нечетными. Остается склеить
между собой бесконечное счетное множество верхних и нижних
полуплоскостей б}, 8"j по той же схеме, по которой соединены друг
с другом полуполосы Aj- и Aj (см. рис. 68). В результате получается
бесконечнолистная поверхность, простирающаяся над всей сферой,
за исключением одной точки г = оо, над которой не лежит ни одной
точки поверхности. Так как sin w нигде не обращается в оо, а его
производная cos w обращается в нуль при w — -i -|- tin, то все
точки разветвления поверхности лежат над точками сферы
sin (if+ ял j =± 1- Множество этих точек на поверхности являет-
является бесконечным; порядок каждой из них равен 1 (так как значения-
+1 принимаются синусом в точках -§- -f- tin двукратно) . На рисун-
рисунке 686 изображены две точки разветвления, являющиеся образами
соответственноw = —к- и w = у. Построенная нами поверхность
есть модель римановой поверхности Arc sin z. Эта функция одно-
однозначна и аналитична во всех точках поверхности без исключения.
4) G — конечная плоскость и z = %>(w). Предположим для про-
простоты, что основными периодами функции g> (w) являются действи-
действительное число 2а и чисто мнимое число 2гр. Разобьем всю плоскость
на сеть прямоугольников, конгруентных с прямоугольником 0< х<с
<; 2а, 0 < у <С 2|3, и каждый из таких прямоугольников разобьем
на четыре равных между собой мелких прямоугольника. Мы знаем
(п. 6.3 гл. VII), что функция <(p(w) однолистна в замкнутом прямо-
прямоугольнике 0<;л:<;а, 0<;г/<Р и отображает его на замкнутук>
нижнюю полуплоскость так, что при этом вершины прямоугольни-
прямоугольника 0, а, а + ф, Ф переходят в точки оо, еи е2 и е3 действительной
оси. Вообще, если заштриховать мелкие прямоугольники, начиная
с только что рассмотренного, в шахматном порядке, то все заштри-
заштрихованные отобразятся посредством z = <§> (w) на нижнюю полу-
полуплоскость, а незаштрихованные — на верхнюю полуплоскость.
Чтобы получить модель римановой поверхности для функции,
обратной кг = 4p(w), т. е. для эллиптического интеграла
г
dt
w =

474
ПОНЯТИЕ РИМАНОВОЙ ПОВЕРХНОСТИ
[ГЛ. 8
нужно склеить между собой бесконечное счетное множество экзем-
экземпляров верхней и нижней полуплоскостей по схеме, по которой
•соединены друг с другом мелкие прямоугольники.
На рисунке 69 указаны обе схемы; мы изобразили в правой
части чертежа склеивание одного экземпляра нижней полуплоскости
с четырьмя экземплярами верхней полуплоскости. Это склеивание
соответствует способу соединения одного заштрихованного прямо-
прямоугольника с четырьмя соседними, незаштрихованными. В резуль-
результате всех склеиваний такого рода получается бесконечнолистная
поверхность, простирающаяся над всей сферой.
Так как кратными и притом двукратными значениями z = %>(w)
являются z = оо, elt e2, е3 (соответствующие двукратным полюсам
Рис. 69.
1р (w) или простым нулям $>' (w)), то точки разветвления модели
изучаемой римановой поверхности расположены над точками сфе-
сферы оо, еь ег, е3. Порядок каждой из них равен единице, причем
•над каждой из указанных точек сферы лежит бесконечное счетное
множество точек разветвления поверхности (соответственно тому,
что каждое из кратных значений принимается функцией <(р (w)
в бесконечном множестве различных точек). Функция
Р dt
¦является однозначной и всюду аналитической функцией на построен-
построенной поверхности.
§ 4. Аналитическое продолжение.
Полная аналитическая функция и аналитический образ
4.1. Пусть G и D — две области расширенной плоскости z,
f (z) и ф (z) — две функции, однозначные и аналитические в этих
областях. Эти функции называются непосредственными аналитиче-

§ 4] АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ 475
скими продолжениями одна другой в том случае, когда выполнены
два условия:
а) области G и D имеют по крайней мере одну общую точку;
б) существует область g, содержащаяся как в области G, так
и в области D, во всех точках которой / (г) = ф (z).
В силу внутренней теоремы единственности / (z) и ф (г) должны
совпадать во всех точках связной компоненты g' пересечения обла-
областей G и D, содержащей область g. Но пересечение областей G и D
может быть и не связным; тогда в прочих его компонентах равен-
равенство / (z) = ф (z) может не выполняться.
В виде примера рассмотрим область G, граница которой есть
полупрямая —oo<;x<:0, у = 0, и область D, граница которой
есть полупрямая 0<х<+ оо, у = 0. Пусть / (z) = In | z | + г'9,
где 6 — значение аргумента точки г, удовлетворяющее условию
— я <С Q <С я, и ф (z) = In | z | + ia, где а — значение аргумента
точки z, удовлетворяющее условию 0 <С а < 2я; эти функции
являются однозначными и аналитическими в соответствующих
областях. Области G и D имеют общие точки, в совокупности обра-
образующие две различные области: верхнюю и нижнюю полуплоскости.
В последней из них значения 6 и а в каждой точке z связаны соот-
соотношением
откуда вытекает, что в этих точках / (z) Ф ф (z). В верхней полу-
полуплоскости g имеем, очевидно,
сс = О и Ф(г) = /(г).
Из всего сказанного следует, что / (z) и ф (z) являются непо-
непосредственными аналитическими продолжениями одна другой.
Видоизменим несколько этот пример. А именно, не меняя обла-
областей G и D и функции f(z), возьмем в области D вместо ф (z) =
= In | z I + ia другую функцию я|з (z) = In | z | + ф, где |3 — зна-
значение аргумента z, удовлетворяющее условию — 2я<C<0. Так
как р и а во всех точках области D связаны соотношением
то ф (z) Ф а|) (z) ни в одной точке области D. Однако в нижней
полуплоскости р = 6 и, следовательно, /(z) = i|)(z). Итак, / (z)
и г|) (г) являются непосредственными продолжениями одна другой,
а ф (z) и я|) (z) (определенные в совпадающих областях) не являются
непосредственными продолжениями одна другой.
Обобщим понятие непосредственного продолжения; пусть / (z)
и ф (z) — две функции, аналитические соответственно в произволь-
произвольных областях GylD. Мы будем говорить, что каждая из них являет-
является аналитическим продолжением другой (без эпитета «непосред-

476 АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ [ГЛ. »
ственный»), если существует конечное число областей Go = G, ...
. . ., Gn = D и в каждой из них по аналитической функции /0 (z) =
== f(z), . . ., fn (z) = cp'(z), таких, что fh (z) является непосред-
непосредственным продолжением /ft_i (z) (k = 1, 2, . . ., n).
Назовем совокупность области G и однозначной и аналитической
в ней функции / (z) элементом {G, f (z)} (мы уже употребляли этот
термин в главе III для частного случая, когда G есть круг), при
этом область G назовем областью элемента. Систему элементов
{Go,/0(z)}, ..., {Gn,fn(z)},
где/ft (z) есть непосредственное продолжение fh-t (z) (k = 1, 2, . . .
. . ., п), будем называть цепью элементов, соединяющей {Go, f0 (z)}
и {Gn, fn (z)}. Тогда можно сказать, что два элемента являются
аналитическими продолжениями друг друга *), если существует
соединяющая их цепь элементов.
В виде примера рассмотрим множество областей Gk (k = 0, ±1,
±2, . . .), определенных условиями
где 0й = Oft (z) — соответствующее значение Arg z, и в каждой из
областей Gk функцию fk(z) = \n \z \-\- iQh (z). Читатель легко
убедится, что любые две функции /ц (z) и fm (z) являются аналити-
аналитическими продолжениями друг друга. При этом, если для определен-
определенности т>[хит = A + р, то {Gp., Д,, (z)}, . . ., {Gm, fm (z)} состав-
составляют цепь из /7+1 элементов, соединяющую {G^,/p,(z)} и {Gm, fm (z)}.
Из наших определений непосредственно вытекает, что отноше-
отношение аналитического продолжения между элементами обладает сле-
следующими свойствами:
а) рефлексивность: каждый элемент является анали-
аналитическим продолжением самого себя;
б) симметричность: если элемент {D, ц>} есть продол-
продолжение элемента {G, /}, то и элемент {G, /} есть продолжение эле-
элемента {D, ф};
в) транзитивность: если элемент {D, ц>} есть продол-
продолжение элемента {G, /}, а элемент {Е, -ф} — продолжение элемента
{D, ф}, то элемент {Е, г|з} есть продолжение элемента {G, /}.
4.2. Рассмотрим теперь множество всех возможных элементов,
т. е. всех областей расширенной плоскости и всех однозначных
и аналитических функций в соответствующих областях. Мы можем
разбить их на классы, относя в один и тот же класс два элемента
*) В дальнейшем выражения «продолжение функции / (г), однозначной
и аналитической в области G» и «продолжение элемента {G, / (г)}» мы будем
употреблять как равнозначащие.

$ 4] АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ 477
тогда и только тогда, когда они служат продолжением друг друга.
Очевидно, что каждый элемент попадет в некоторый класс, причем
каждый элемент {G, f) некоторого класса К будет полностью харак-
характеризовать этот класс в том смысле, что любой элемент {D, ц>}
попадет в К, если он является продолжением элемента {G, f),
и не попадет в него — в противном случае.
Мы будем говорить, что каждый из указанных классов К опре-
определяет полную аналитическую функцию F (г), причем различные
классы определяют различные полные аналитические функции.
Элемент {G, f} ? К мы будем называть элементом функции F (г)
или однозначной ветвью функции F (г) в области G (этим термином
мы уже пользовались в частных случаях). Значения элементов
функции F (г) мы будем называть значениями этой функции.
Пусть F (г) — полная аналитическая функция и М — множество
всех точек, принадлежащих областям элементов этой функции.
Очевидно, это множество не пустое, так как класс К, определяю-
определяющий F (г), не пустой. Далее, оно является открытым, так как если
z0 ? М, тог0 есть точка некоторой области G, входящей в элемент
{G, /} ? К, и потому существует окрестность точки г0, принадлежа-
принадлежащая G (а следовательно, и М). Наконец, М — связное множество.
В самом деле, пусть г0 и z" —две различные точки из М. Пусть
*о[€ Go, где {Go, /0} 6 К, и г" ? G", {G", ?} ? К; по определению класса
элементов должна существовать цепь, соединяющая {Go, /0} и {G", f}:
{Go, /0}, ••¦, {Gn, fn} = {G', f'}.
Так как {Gh-lt fu-i) и {Gh, fh) являются непосредственными про-
продолжениями друг друга, то Gft-i и Gh должны иметь общие точки.
Пусть t,h — общая точка областей Gft_4 и Gh и yk — непрерывная
кривая, принадлежащая Gk и соединяющая th с ?ft+t (k~ I,
2, . . ., п — 1). Тогда, соединяя ещеz0 с ?4 в области Go и ?п с z" в об-
области Gn непрерывными кривыми у0 и уп, получим непрерывную
кривую у = 70 (J Yi (J ... (J уп(при пробеге которой конец каждой
дуги yh (k ¦< п) принимается за начало следующей дуги 7^+1),
принадлежащую М и соединяющую z0 с г*.
Итак, М есть область. Она называется областью суще-
существования полной аналитической функции F (г). Это назва-
название объясняется тем, что не существует ни одного элемента функции
F (г), который был бы определен в точке, не принадлежащей обла-
области М.
Прежде чем переходить к примерам, введем еще один удобный
термин. Элемент {D, ф} назовем подчиненным элемен-
т у {G, /}, если D cz G и ф (z) = f (z) (z ? D). Записывать это
обстоятельство будем так: {D, ц>) cz {G, f). Очевидно, если {D, ф}с:
<= {G, ф}, то эти элементы являются непосредственными продолже-
продолжениями друг друга. Поэтому каждый класс К, определяющий полную

478 АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ [ГЛ. 8
аналитическую функцию, должен содержать наряду с некоторым
элементом {G, f} также и все элементы, подчиненные {G, f}.
Заметим еще, что если некоторый элемент {D, ф} является непо-
непосредственным продолжением элемента {G, /} и D с G, то {D, ф} сг
с: {G, f). В самом деле, существует область g cz D cz G, в которой
f (z) = ф (z); следовательно, в силу теоремы единственности / (z) =
= ф (г) во всех точках области D.
4.3. Пример 1. Пусть / (z) — мероморфная в конечной пло-
плоскости (в частности, целая) функция. Она является однозначной
и аналитической в области G, получающейся из расширенной пло-
плоскости путем исключения особых точек функции / (г), образующих
самое большое бесконечное счетное множество с единственной
предельной точкой в бесконечности.
Покажем, что класс К, содержащий элемент {G, f}, состоит
из одних только элементов, подчиненных {G, f}. Очевидно, для
этого достаточно показать, что каждое непосредственное продол-
продолжение элемента {G, /} (или подчиненного ему элемента) представ-
представляет элемент, подчиненный {G, /}. Предположим противное, и пусть
элемент {D, ф} является непосредственным продолжением эле-
элемента {G, /}, не будучи подчиненным последнему. Тогда область D
должна содержать точки, не принадлежащие G, т. е. особые точки
функции / (z). Пусть 20 — одна из них. Так как общая часть обла-
областей G и D сама является областью, и / (г) и ф (г) совпадают между
собой в некоторой области g, принадлежащей этой общей части,
то они совпадают между собой и во всей общей части. Поэтому они
совпадают и в некоторой окрестности точки г0 (за исключением
точки 20):
Ф(г), 0<|2-20|<р,
следовательно, г0 — изолированная особая точка функции /(г).
Но для функции ф (г) та же точка является правильной, что невоз-
невозможно. Мы пришли к противоречию. Итак, все аналитические про-
продолжения элемента {G, f) подчинены этому элементу. Отсюда
следует, что область существования полной аналитической функ-
функции F (г), определяемой классом К, совпадает с областью G, и зна-
значения F (г) всюду совпадают со значениями / (г) (других значений
F (z) не имеет). Это обстоятельство позволяет отождествить F (z)
и / (г) и рассматривать каждую мероморфную в конечной плоскости
функцию как полную аналитическую функцию.
Пример 2. Пусть G — какая-либо область, граница которой
состоит из конечного числа жордановых кривых, попарно не имею-
имеющих общих точек. Покажем, что она является областью существо-
существования некоторой однозначной аналитической функции. С этой
целью рассмотрим последовательность точек области G, не имею-
имеющую предельных точек внутри G и притом такую, что каждая

§ 4] АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ 479
граничная точка области G является предельной для этой последо-
последовательности (построение подобной последовательности мы предо-
предоставляем читателю).
По п. 3.4 главы VII существует однозначная аналитическая
в области G функция / (г) ф О, обращающаяся в нуль в каждой
точке последовательности. Рассмотрим элемент, состоящий из обла-
области G и функции / (z), и покажем, что его непосредственным продол-
продолжением может быть только подчиненный ему элемент.
Предположим противное, и пусть {D, ф} есть непосредственное
продолжение элемента {G, /}, не подчиненное последнему. Тогда
область D должна содержать как точки, принадлежащие G, так
и точки не принадлежащие G. Рассмотрим связную компоненту g'
пересечения областей G и D, в которой f (г) = ф(г). Так как g'
не может совпадать с D, то среди граничных точек области g' долж-
должны быть внутренние точки области D. Пусть ?0 — одна из них;
?о не может быть внутренней точкой области G, так как в против-
противном случае g' можно было бы увеличить, присоединив к ней неко-
некоторую окрестность точки ?0. Очевидно, ?0, будучи предельной
точкой области G, является граничной для G.
Построим окрестностьЧ/о точки ?о, принадлежащую D, и пусть
g" есть та из связных компонент пересечения областей G и Uo,
на границе которой лежит ?0. В силу предположений, сделанных
относительно границы области G, такая компонента является един-
единственной. Следовательно, она содержится в области g', для кото-
которой ?0 также является граничной точкой. Но в области g" по
построению находится бесконечное множество нулей функции / (г),
которые все должны быть также нулями функции ф (г). Поэтому
точка ?о» внутренняя для области D, является предельной для
нулей функции ф (z), откуда ф (г) = 0 и, следовательно, / (г) = 0.
Мы пришли к противоречию с нашим предположением о функ-
функции /(г).
Итак, все непосредственные продолжения элемента {G, /} под-
подчинены этому элементу, откуда следует, что область определения
соответствующей полной аналитической функции F (г) совпадает
с G, а все значения F (z) совпадают со значениями / (г). Мы можем
поэтому отождествить полную аналитическую функцию F (г) с одно-
однозначной в области G функцией / (г).
Во всех случаях, подобных этому, в которых область определе-
определения G однозначной аналитической функции / (z) совпадает с обла-
областью существования этой функции, граница области G называется
естественной границей функции / (г).
Простые примеры функций, для которых естественная граница
есть единичная окружность, дают рассмотренные в п. 6.3 главы III
суммы степенных рядов с особыми точками, заполняющими всю
единичную окружность (например, f (z) = 2 z2").

480 АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ [ГЛ. 8
Пример 3. Рассмотрим многозначную функцию Lnz в об-
области Е: 0 < | z | <; оо. В каждой односвязной области G cz E
эта функция обладает бесконечным счетным множеством однознач-
однозначных аналитических ветвей.
Рассмотрим всевозможные односвязные области G а Е и в каж-
каждой из них всевозможные однозначные аналитические ветви функ-
функции Ln г и покажем, что множество К всех элементов {G, f} обра-
образует класс. Иными словами, нужно доказать, что любые два эле-
элемента из К являются продолжениями друг друга и, далее, что
любой элемент, являющийся продолжением некоторого {G, /} ? К,
также принадлежит К- Пусть сначала границей области G является
луч 0<[л:-<оо, г/ = 0. Тогда все однозначные ветви функции Ln г
в этой области представляются в виде f2h (z) = In | г | + iQ2k, где
k = 0, ±1, +2, ... и Q2h— значение Arg z, удовлетворяющее
соотношению 2nk <; Qh < 2л (k + 1). В этом случае, очевидно,
{G, /гц} и {G, f2m) служат продолжениями друг друга при любых
(лит (ср. п. 4.1) и, следовательно, принадлежат одному и тому же
классу.
Рассмотрим теперь произвольную область D и в ней однознач-
однозначную ветвь ф (z) функции Ln z. Пусть z0 ? D, причем z0 не принад-
принадлежит границе области G (т. е. не является действительным неотри-
неотрицательным числом). В окрестности точки z0, не содержащей гранич-
граничных точек области G, функция ф (г) имеет вид ф (г) = In | z | + i®2h0
{так как все значения Arg г в указанной окрестности исчерпываются
функциями 62ft = 82ft (z), k = 0, ±1, ±2, . . .); поэтому в'указан-
в'указанной окрестности ф (г) совпадает с fho (z), т. е. {D, ц>} есть непосред-
непосредственное продолжение элемента {G, fzho) и, следовательно, при-
принадлежит тому же классу, что и любой из элементов {G, f2u}-
Итак, все элементы рассматриваемого множества К принадле-
принадлежат одному и тому же классу. Остается показать, что они исчерпы-
исчерпывают весь этот класс, а для этого достаточно убедиться в том, что
непосредственное продолжение любого элемента из К принадле-
принадлежит К-
Пусть {G, /} ? К и {D, ф} есть непосредственное продолжение
элемента {G, /}. Очевидно, {D, ф'} является также непосредствен-
непосредственным продолжением элемента {G, f'} (где ср* (г) и f (z) — производ-
производные). Но /' (г) = — ; поэтому и ф* (г) = — . Отсюда вытекает, что
область D не может содержать начала координат (ибо ф' (z) должна
быть правильной во всех точках области D). Но она не мо-
может содержать и точку г = оо, так как ф (г), будучи правильной
в этой точке, имела бы лорановское разложение вида ф (z) = с0 +
+ % + % + ..., откуда 9'(Z) = -|L_^_...?=1.
Итак, D — односвязная область, принадлежащая Е: 0 < | г |< оо.

§ 4] АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ 481
Пусть z0 — общая точка областей G и D, в окрестности которой
/ (г) и ф (г) совпадают, и ф0 (г) — какая-либо однозначная ветвь
Ln г в области D.
Так как ф (г) — ф0 (г) = f (z) — ф0 (z) = 2koni в окрестности
точки z0 (не забудем, что / (г) и ф0 (г) — однозначные ветви Ln z
в этой окрестности), то ф (г) — ф0 (z) = 2/г0яг во всей области D.
Следовательно, ф (z) = ф0 (z) + 2&0ju есть также однозначная ветвь
Ln г в области D, чем и заканчивается доказательство.
Мы убедились таким образом, что совокупность всех однознач-
однозначных ветвей Ln z во всех односвязных областях, принадлежащих Е,
совпадает с множеством всех элементов, определяющих некоторую
полную аналитическую функцию. Это позволяет говорить о Ln г как
о полной аналитической функции с областью существования
0< \г |< оо.
4.4. В случае, когда область G есть круг \ z — z0 \<Cr или
внешность круга \z \>r, функция /(г), аналитическая в этой
области, представляется в виде суммы сходящегося ряда
оо со
/ (z) = 2 ап (г — г0)" соответственно / (г) = 2 anz'n.
о о
В каждом из этих случаев элемент {G, f} полностью характери-
характеризуется заданием степенного ряда и указанием радиуса г того круга,
внутри или вне которого рассматривается сумма одного ряда.
Такие элементы назовем круговыми. В дальнейшем, говоря
о круговых элементах, мы обычно не будем указывать радиуса /\
предполагая, что он имеет одно из значений, соответствующих
условиям обсуждаемого вопроса (например, достаточно малое зна-
значение) и обеспечивающих сходимость степенного ряда. Покажем,
что, пользуясь одними круговыми элементами, можно ввести поня-
понятие полной аналитической функции так же, как это делалось выше
для элементов, соответствующих областям произвольного вида.
Пусть К — класс всех возможных элементов, определяющих
полную аналитическую функцию F (г), a k — его подкласс, состоя-
состоящий из одних только круговых элементов. Этот подкласс (и даже
любой его элемент) единственным образом определяет весь класс К
и, следовательно, определяет ту же самую полную аналитическую
функцию. Последнее утверждение нужно понимать не только в том
абстрактном смысле, что задание k позволяет решить относительно
любого вообще элемента, принадлежит ли он к классу К => k или
не принадлежит, но и в том смысле, что каждый некруговой элемент
из К (т. е. каждая однозначная ветвь функции F (z) в некоторой
области G) может быть представлен посредством элементов из k.
В самом деле, разложения этой ветви в степенные ряды в окрестно-
окрестностях различных точек области G будут, очевидно, круговыми
31 А. И. Маркушевич

482 АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ [ГЛ. 8
элементами из k. Представляя G в виде предела последовательности
возрастающих областей {Gn} и замечая, что каждое из замкнутых
множеств Gu G2 \ Gb . . ., Gn+1 \ Gn, . . ., в совокупности
покрывающих G, может быть, в свою очередь, покрыто конечным
числом кругов, принадлежащих G, найдем, что для представления
данной ветви достаточно не более чем счетного множества круговых
элементов. На основании всех этих замечаний при определении
полной аналитической функции можно рассматривать одни только
круговые элементы.
Обобщим понятие кругового элемента, включив в рассмотрение
также те обобщенные степенные ряды, которые получаются при
оо оо
обращении рядов вида 2 ап (z — zo)n или У,апг'п (см. п. 5.1 гл. IV).
о о
А именно, будем рассматривать следующие ряды:
оо п оо п
2 an(z~z0)~, 2 anz~~, D.4:1)
где m — целое, a v — натуральное число, в областях вида \ z — z01<
< г и | z | > г соответственно. Мы будем говорить, что элемент
вида D.4:1) записан в канонической форме, если
атф0 и если все дроби совокупности j — f , выписанные для тех п,
для которых ап Ф О, не могут быть сокращены на одно и то же
число (большее единицы). Предполагая, что элемент записан в кано-
канонической форме, назовем его неразветвленным, если
v = 1, и разветвленным, если v >¦ 1. Число v — 1 назовем
порядком разветвления элемента. Точку z0 (соответственно оо)
будем называть центром элемента, число г — его радиу-
радиусом и круг \ z — z0 | < г (соответственно \z \> г) — кругом
элемента. Неразветвленный элемент называется правиль-
правильным, если для него т>0. Элементы, не являющиеся правиль-
правильными, называются неправильными.
Распространим на обобщенные элементы понятие аналитиче-
аналитического продолжения. Очевидно, достаточно распространить понятие
непосредственного аналитического продолжения на случай разветв-
разветвленных элементов. Рассмотрим для определенности элемент
оо п
2 an(z~zoy (|z-zo|<r), D.4:2)
n—m
представленный в каноническом виде (причем v > 1). Его сумма
представляет v-значную функцию в круге \z — zo\ < г. Для каж-
каждой точки zit принадлежащей указанному кругу и отличной от z0.
существует окрестность \z — z± | < р, где р = rnin {\zi — z0 I,
г — | z4 — z0 |}, в которой сумма ряда имеет v однозначных анали-

$ 4] АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ 483
тических ветвей. Чтобы фиксировать одну из них, достаточно фик-
сировать одну из v однозначных ветвей функции (z— zo)~. Назовем
однозначные ветви элемента D.4:2) в кругах \ z — z0 | < р, где
I 24 — 20 | < г и zi Ф z0, его подчиненными элемент а-
м и. Очевидно, все подчиненные элементы данного разветвленного
элемента являются неразветвленными и, более того, правильными
(в точках круга \z — z0 \ <.r, отличных от центра, сумма ряда
D.4:2) не обращается в бесконечность). Два элемента вида D.4:1)
назовем непосредственными продолжениями один другого, если они
имеют по крайней мере один общий подчиненный элемент. После
этого естественно формулируется определение аналитического про-
продолжения для обобщенных элементов и, наконец, вводится понятие
аналитического образа, аналогичное понятию полной
аналитической функции. А именно, разобьем множество всех воз-
возможных элементов вида D.4:1) на классы, относя в один и тот же
класс два элемента тогда и только тогда, когда они являются анали-
аналитическими продолжениями один другого. Относительно каждого
полученного класса будем говорить, что он определяет анали-
аналитический образ. Если исключить из класса, определяющего
аналитический образ, все разветвленные элементы, то останется
класс одних лишь неразветвленных круговых элементов, опреде-
определяющий некоторую полную аналитическую функцию. Следователь-
Следовательно, аналитический образ отличается от полной аналитической
функции присоединением всех разветвленных элементов, служащих
аналитическими продолжениями элементов данной функции.
Так, например, степенные ряды, представляющие всевозможные
однозначные ветви функции у z, т. е. ряды вида
(у)
о
где 20 — любые комплексные числа, отличные от 0 и оо, определяют
полную аналитическую функцию. Присоединяя к множеству соот-
соответствующих правильных элементов разветвленные элементы, пред-
представляемые одним и тем же вырожденным рядом zvu, однако,
различаемые друг от друга в зависимости от того, идет ли речь
об окрестности точки 2 = 0 или 2 = оо, получим аналитический
образ, изображающий многозначную функцию \^z во всей области
ее определения. Аналогично, всевозможные степенные ряды, пред-
представляющие однозначные ветви функции Arcsin 2 в окрестностях
точек z0 ф ± 1 (над ними лежат точки разветвления Arcsin z),
определяют полную аналитическую функцию. Присоединяя к ним
бесконечное множество разветвленных элементов, представляющих
31*

484 АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ [ГЛ. 8
Arcsin г в окрестностях точек ±1 (предлагаем читателю найти эти
2
разложения, пользуясь формулой Arcsin z = К t -\, получим
аналитический образ, изображающий многозначную функцию
Arcsin г во всей области ее определения. Заметим, что в случае
функций, мероморфных во всей плоскости или таких многозначных,
обратных мероморфным, функций, риманова поверхность которых
не имеет точек разветвления, соответствующая полная аналитиче-
аналитическая функция совпадает с аналитическим образом.
§ 5. Продолжение вдоль кривой. Теорема о монодромии.
Прямолинейная звезда элемента. Аналитический образ
как риманова поверхность
5.1. Пусть L:z = X(t) (a<^<p) — непрерывная кривая и е:
со
f B) = S ап (z — zo)n (I z — z0 | < r) — правильный круговой эле-
0
мент с центром в начальной точке z0 = X (а) данной кривой. Пред-
Предположим, что для некоторого значения параметра т, а<т<р\
можно указать конечное число промежуточных значений парамет-
параметра t: t0 = а ¦< ti ¦< . . . < th = т и для каждого из них круговой
оо
элемент е/. 2 fl45> (z — г,)п так, что при этом будут выполнены сле-
о
дующие условия:
1) е0 = е;
2) е,-+1 есть непосредственное продолжение е, (j = 0, ...
¦ ¦ ., k- 1);
3) центр элемента ej есть точка zj = К (tj) кривой L (/ = 0,. . .
• • ., k);
4) каждая дуга tj^.t*Ctj+i покрывается кругами элементов е,
и e}+i (/ = 0, 1, . . ., k — 1).
При этих условиях мы будем говорить, что элемент е аналити-
аналитически продолжается вдоль дуги L[a, т] кривой L и что цепь элемен-
элементов е0,.. .,eh осуществляет аналитическое продолжение вдоль указан-
указанной дуги; наконец, элемент е' = eh будем называть результатом
продолжения элемента е вдоль этой дуги.
Из определения следует, что если цепь е0, еи . . ., еп осуществ-
осуществляет продолжение элемента е0 вдоль дуги z = К (t) (а<^<т),
то цепь элементов еп, en-i, . . ., еь е0 осуществляет продолжение
элемента еп вдоль той же дуги, проходимой в противоположном
направлении, причем результатом продолжения оказывается исход-
исходный элемент е0.

§ 5] ПРОДОЛЖЕНИЕ ВДОЛЬ КРИВОЙ 485
Заметим, что каждое вообще аналитическое продолжение можно
рассматривать как продолжение вдоль некоторой кривой. А именно,
если элемент е" есть продолжение элемента е0 и е0, еи . . ., ек = е"—
цепь элементов, связывающая е0 с е", то, соединяя прямолинейными
отрезками центры кругов каждой пары соседних элементов, полу-
получим ломаную Л, вдоль которой заданная цепь осуществляет анали-
аналитическое продолжение элемента е0.
Введение понятия продолжения вдоль дуги кривой оправды-
оправдывается следующей теоремой:
Теорема 1. Результат аналитического продолжения эле-
элемента е вдоль данной дуги [а, т] кривой L не зависит от цепи эле-
элементов, осуществляющих это продолжение.
Доказательство. Пусть е0, еи . . ., eh и e'Q, e'v . . ., е'ь-—
две цепи элементов, осуществляющих продолжение одного
и того же элемента е= е0 = е'о вдоль дуги Z-[a, Tj кривой L. Суммы
степенных рядов, соответствующих элементам той и другой
цепи, определяют на этой дуге две аналитические функции f (z)
и ф (г), вообще многозначные. Если, однако, их рассматривать как
функции параметра t, то они будут однозначными. В самом деле,
пусть tj^t^tj+i. Тогда z = X (t) принадлежит дуге, покрывае-
покрываемой кругами элементов е,- и eJ+i, Если эта точка принадлежит лишь
одному из этих двух кругов, например кругу е}, то / (z) определяется
как сумма ряда элемента е,-. Если же точка принадлежит общей
части двух кругов, то тогда все равно, каким из двух возможных
рядов пользоваться для определения / (г), так как обе суммы долж-
должны совпадать в этой части. Итак, когда точка z на кривой берется
вместе с соответствующим ей значением параметра t, то значение
функции f (z) определяется единственным образом. Многозначность
же этой функции возникает потому, что одна и та же точка кривой L
может соответствовать различным значениям t и, следовательно,
принадлежать дугам, покрываемым различными парами кругов
соседних элементов цепи.
В точках начальной части дуги L, считая от точки z0 до первой
точки пересечения L с окружностью \ z — z0 \ — г, ограничиваю-
ограничивающей круг элемента е, обе функции f (z) и ф (г) совпадают. Пусть Т,
а < Г<;т,— верхняя грань значений параметра таких, что для
каждого f, a^t" <.Т, значения функций / (г) = fk (t) и ф B) =
= фЯ, (t) совпадают на дуге L[a, cj-
Допустим сначала, что Т<с т; тогда существуют номера и и и'
такие, что ^<Г<^и+1 и ti-<.T^tu-+i, так что Z = К (Т)
лежит на дуге, покрываемой кругами элементов еи и eu+i одной
цепи, и в то же время на дуге, покрываемой кругами элементов e'w
и e'U'+i другой цепи. Пусть для определенности Z = k (T) лежит
в круге элемента еи первой цепи и в круге элемента eU'+i = e'v
второй цепи. Тогда f (z) = /Я (t) представляется в окрестности

486 АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ [ГЛ. 8
оо оо
точки Z=X(T) рядом 2 «„ (г—Z)n, подчиненным ряду 2 «nU) (z—ги)п,
о о
со
а функция ф (г) = фЯ, (?) — рядом ^ a'n(z — Z)", подчиненным ряду
о
оо
2j а„ю) (z — zv)n. Так как значения функций /Я, (^) и фЯ, (О, по пред-
предположению, совпадают для всех t: a < t < Г, то в силу теоремы
оо оо
единственности, примененной к рядам 2 ап (z — Z)n и 2 ап (г—Z)'\
о о
эти ряды тождественны и, следовательно, значения функций fK (t)
и фА. (^) совпадают в некоторой окрестности точки Т, что противо-
противоречит определению точки Т как верхней грани.
Отсюда вытекает, что Т — т, и далее,— применяя к рядам
4() |;() где ? = Мт),
только что проведенное рассуждение,— что эти ряды тождественны.
Но указанные ряды изображают элементы ек и е'^; следовательно,
теорема о совпадении этих элементов доказана *).
Другое важное свойство продолжения вдоль кривой, которое
можно рассматривать как обобщение только что доказанного свой-
свойства, заключается в том, что дугу, вдоль которой совершается
продолжение, можно в известных пределах менять, заменяя дугами
других кривых, имеющими те же начало и конец, причем результат
продолжения остается одним и тем же.
Прежде чем точно формулировать и доказывать это предложение,
докажем следующую лемму:
Лемма. Пусть е — произвольный элемент и I — непрерывная
кривая z = К (t) (а <^<:р), принадлежащая кругу К этого эле-
элемента. Тогда элемент е0 с центром в начальной точке z0 кривой I
продолжается вдоль I, причем результатом продолжения является
элемент &' с центром в конечной точке г' кривой I, также подчи-
подчиненный е.
Пусть р > 0 — расстояние от I до границы круга К (если это
расстояние равно оо, то полагаем р = 1). Разобьем отрезок [а, р]
точками t0 = а < ^ < . . . < th = р на столь мелкие части, чтобы
каждая дуга /[*., *. ] заключалась в круге \z — Zj \ ¦< р, где z,- =
= Я, (tj); при этом будут выполняться условия | Zj+i — z,- | <С р-
Тогда каждый круг \г — Zj | < р будет заключаться в К и содер-
содержать в себе дугу l[tj,t. у В каждом из этих кругов сумму ряда,
*) Возможные различия в радиусах кругов элементов eh и ew не прини-
принимаются во внимание.

5]
ПРОДОЛЖЕНИЕ ВДОЛЬ КРИВОЙ
487
представляющего е, можно разложить в ряд по степеням z — Zj.
Последний ряд определяет элемент Rj с центром zj, подчиненный
элементу е. Так как центр zj+i элемента eJ+1 содержится в круге
элемента е,- (/ = 0, 1, . . ., k — 1) и в окрестности точки zj+\
ряды е^-+1 и е^- представляют одну и ту же однозначную анали-
аналитическую функцию, а именно, сумму ряда элемента е. то
является непосредственным
продолжением элемента
&j и, следовательно, в0,
et, . . ., ek образуют цепь
элементов, соединяющую
элемент е0 = е0 с центром
В2О, подчиненный элементу
е, и элемент гк = е' с цент-
центром в z', также подчинен-
подчиненный элементу е. Цепь эта
осуществляет продолжение
элемента е0 вдоль /, так
как центры Zj = X (tj) кру-
кругов элементов цепи все ле- Рис. 70.
жат на / и дуга l[t], tj ] по-
покрывается кругами двух соседних элементов Ej и e;-+i (и даже
кругом одного элемента е,-). Этим и заканчивается доказательство
леммы.
Теорема 2. Пусть цепь элементов е0, еи . . ., еп — е' осу-
осуществляет продолжение элемента е0 вдоль непрерывной кривой L:
z = % (t) (a < t < р) и пусть L': z = ц (f) (a' < t" < р') — также
непрерывная кривая, имеющая общие начало z0 и конец z* с L и такая,
что для некоторого подразделения сегмента [а', |3']
каждая точка z) = [л (tj) (исключая начальную и конечную точки
кривой L') является общей для кругов элементов e,_t и е,- и каждая
дуга L'\ t- , кривой U заключается в круге элемента е3 (/ = 0,
t
/(
1, . . ., «/(рис. 70).
При этих условиях элемент е0 можно продолжить вдоль L'
и результатом продолжения останется тот же элемент е\
Доказательство. Рассмотрим элементы е] с центрами z],
подчиненные соответствующим элементам е,-. Так как z'j+i содер-
содержится в круге элемента ejy а е^+1 есть непосредственное продолже-
продолжение элемента е,-, то е}+1 можно выбрать так, что он будет также
подчинен элементу е,- (/ = 0, 1, . . ., «).
Применим лемму к элементу е3 и кривой L'< t- ., заключенной
в круге этого элемента. Найдем цепь элементов 8('> = е), г[^, . . .

488 АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ [ГЛ. 8
. . ., е^! = e'j+i, осуществляющую продолжение элемента е] вдоль
L'lt (' у Результатом продолжения является e'j+i. Но отсюда сле-
следует, что цепь элементов
осуществляет продолжение элемента е0 вдоль L", причем результа-
результатом продолжения является е*, чем и заканчивается доказательство.
Рис. 71.
Отметим частный случай теоремы, когда L есть отрезок прямой,
соединяющей две точки г0 и z". Если цепь элементов е0, et еп
осуществляет продолжение элемента е0 вдоль L, то всегда можно
указать такую окрестность точки z", что для любой точки ? этой
окрестности двузвенная ломаная L"', состоящая из отрезка прямой,
соединяющего z0 с ?, и отрезка, соединяющего ? с г", будет удов-
удовлетворять условиям теоремы 2 (рис. 71). Отсюда следует, что если
элемент е0 аналитически продолжается вдоль прямолинейного
отрезка [z0, zj, то zx обладает окрестностью такой, что для каждой
точки ?, принадлежащей этой окрестности, аналитическое продол-
продолжение элемента е0 вдоль [z0, ?] также возможно, причем продолже-
продолжение вдоль ломаной с вершинами z0, ?, и 24 приводит к тому же резуль-
результату, как и продолжение вдоль [z0, 2J.
5.2. Этот пулкт мы посвятим доказательству весьма важной
теоремы теории функций.
Теорема о монодромии. Если некоторый элемент е0
аналитически продолжаем вдоль любой непрерывной кривой, при-
принадлежащей данной односвязной области G, то функция f B), опре-
определяемая в этой области всеми элементами, получаемыми при ука-
указанных продолжениях, однозначна.

J 5]. ТЕОРЕМА О МОНОДРОМИИ 489
Доказательство. Будем доказывать теорему от про-
противного. Пусть / (г) не однозначна в области G. Тогда в некоторой
точке Zi ? G она имеет по крайней мере два различных значения
и, следовательно, существует по крайней мере два различных эле-
элемента е[ и ё[ с центром zit к которым приводит продолжение элемен-
элемента е0 по двум кривым Lx и L2, лежащим в области G и соединяющим
точку z0 — центр элемента е0 — с точкой г±. Пусть, продолжая е0,
вдоль Li, получаем в точке zt элемент е[, а вдоль L2 — элемент ё[.
Тогда, продолжая е[ вдоль L2 — до точки z0, мы должны получить
в результате элемент е'о, отличный от е0.
Действительно, если бы при этом получился элемент е0, то про-
продолжение его вдоль L2 в прямом направлении привело бы к е[,
тогда как мы предположили, что результат этого продолжения есть
элемент e"lt отличный от е[. Итак, отрицание справедливости теоре-
теоремы равносильно допущению существования такой замкнутой непре-
непрерывной кривой L, принадлежащей области G (L = Lt U Lj), чта
продолжение элемента е0 вдоль L приводит к результату е'о, отлич-
отличному от е0. Убедимся в том, что в этом утверждении кривую L
можно заменить некоторой ломаной. В самом деле, имея какую-либо
цепь элементов, осуществляющую аналитическое продолжение
вдоль L, мы можем, вводя подчиненные элементы, заменить эту
цепь новой так, чтобы хорды кривой L, соединяющие центры кругов
соседних элементов, все были короче расстояния от L до границы
области G. Ломаная Л, составленная из этих хорд, лежит в обла-
области G, причем построенная нами цепь осуществляет продолжение
элемента е0 вдоль Л, приводя к элементу е'о, отличному от е0.
Рассуждения, напоминающие те, с помощью которых доказы-
доказывалась интегральная теорема Коши (п. 2.3 гл. III), позволяют,
далее, заменить Л сначала ломаной, не имеющей самопересеченийг
а затем треугольным контуром Л, принадлежащим области G.
Действительно, будем последовательно проходить звенья лома-
ломаной Л, начиная от точки z0, до тех пор, пока новое звено в первый
раз встретит одно из ранее пройденных звеньев в некоторой точке z4.
Обозначим через At замкнутую ломаную, получающуюся, если
обходить Л, начиная от zt до первого возвращения в эту точку:
очевидно, At не имеет самопересечений. Пусть ei — результат про-
продолжения элемента е0 вдоль части ломаной Л от z0 до первого про-
прохождения через Zi. Если продолжение элемента ei вдоль At приво-
приводит по возвращении в точку 2i к элементу е[, отличному от е1; то
в дальнейшем рассуждении Л заменяется ломаной Л4. Если же
в результате продолжения элемента et вдоль Ах получается тот же
самый элемент еи то мы исключаем Ai из Л; остается ломаная
Л \ Ль имеющая одним самопересечением меньше по сравнению
с Л и такая, что продолжение элемента е0 вдоль Л \ Ai приводит
к элементу е'й, отличному от е0.

490 АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ [ГЛ. S
Продолжая эти рассуждения, мы после конечного числа шагов
придем к замкнутой ломаной Л', лежащей внутри G, не имеющей
самопересечений и притом такой, что продолжение вдоль Л' неко-
некоторого элемента ё (который, в свою очередь, есть результат про-
продолжения элемента е0 внутри G) приводит к элементу, отличному
от ё. Заметим, что если в процессе освобождения ломаной Л от
самопересечений придется встретиться со звеньями, проходимыми
дважды, во взаимно противоположных направлениях, то каждое
из этих звеньев можно будет сразу отбросить, так как продолже-
продолжение вдоль него не изменяет продолжаемого элемента.
Получив многоугольник, ограниченный ломаной Л', разбиваем
его сначала на выпуклые многоугольники, а затем каждый из них
на треугольники.
Пусть б — одна из сторон этих треугольников, не лежащая
на Л', и ?0 — ее начальная, а ?' — конечная точки (?0 и ?,' лежат
на Л', причем ?0 предшествует ?' при обходе Л' в избранном направ-
направлении).
Если элемент е0 есть результат продолжения элемента ё вдоль
Л' от начальной точки z' до ?0> то, продолжая его далее с одной
стороны вдоль б, а с другой стороны вдоль части ломаной Л' от ?0
до ?*, получим в точке ?' соответственно два элемента: в" и е".
Они могут совпадать, и тогда часть ломаной Л" от ?0 Д° ?" можно
отбросить, заменив ее отрезком б. Получим новую замкнутую
ломаную Л", состоящую из меньшего числа треугольников, чем Л,
причем продолжение элемента ё вдоль Л" приводит к элементу,
отличному от ё. Если же е" не совпадает с е', то составляем замкну-
замкнутую ломаную Л'" из части ломаной Л', заключенной между точка-
точками ?0 и ?*, и отрезка б, проходимого в направлении от ?' к Со- Про-
Продолжение элемента е0 вдоль Л'" должно приводить к элементу,
отличному от б0.
Повторяя подобные рассуждения, будем уменьшать каждый раз
количество треугольников, на которые разбита внутренность рас-
рассматриваемого контура, и после конечного числа шагов придем
к принадлежащему области G треугольнику А такому, что продол-
продолжение вдоль него некоторого элемента е с центром в одной из вер-
вершин ? этого треугольника (причем в является результатом продол-
продолжения элемента е0 вдоль кривой, лежащей в области G) приводит
к результату, отличному от е.
Медиана стороны, противолежащей ?, делит А на два треуголь-
треугольника; по крайней мере один из них At обладает тем же свойством,
что и А, т. е. продолжение элемента в вдоль Д4 приводит к эле-
элементу, отличному от в. Проводя в А4 медиану стороны, противоле-
противолежащей ?, получим новый треугольник А2, обладающий свойствами
треугольников А и А±. Повторяя этот процесс, построим последова-
последовательность вложенных треугольников {Ап} с общей вершиной ?;

5 5] ПРЯМОЛИНЕЙНАЯ ЗВЕЗДА • 491
противолежащие стороны их расположены на стороне треуголь-
треугольника А и, очевидно, стягиваются к некоторой точке г\ этой стороны.
Но, как мы знаем (см. конец предыдущего пункта), точка т)
обладает окрестностью U такой, что для любой точки z ? U про-
продолжение элемента е вдоль ломаной t,zr[ приводит к тому же резуль-
результату е, что и продолжение вдоль отрезка ?т]. Пусть ц'п и к\п — вер-
вершины треугольника ДП) принадлежащие этой окрестности (мы
предполагаем п достаточно большим). Тогда продолжение вдоль А„
можно заменить, не изменяя окончательного результата, следую-
следующими продолжениями: а) элемента е вдоль ?т]^т], что даст элемент е,
6) элемента е вдоль t]t]J,?, что эквивалентно продолжению е вдоль ti?
и, следовательно, снова приводит к е. Итак, продолжение элемента
г вдоль Ап должно приводить снова к е, вопреки свойству тре-
треугольника Ап, вытекающему из его построения. Полученным проти-
противоречием заканчивается все доказательство теоремы о монодромии.
5.3. В этом пункте мы займемся продолжением данного эле-
элемента е0 с центром z0 по различным прямолинейным лучам, выхо-
выходящим из точки г0. Очевидно, на каждом луче существует начальная
часть, вдоль которой продолжение возможно. Длина ее не меньше,
чем радиус элемента е0. Если посредством продолжения элемента е0
вдоль данного луча нельзя достичь произвольной точки этого луча,
то на луче должна иметься точка zu отличная от г0, такая, что
продолжение элемента е0 возможно вдоль отрезка луча, начиная
от 20, до любой точки интервала (z0, Zi), и невозможно вдоль всего
сегмента [z0, г±].
Отметим на каждом луче, выходящем из г0, соответствующую
точку 2i, полагая zi = оо, если продолжение возможно вдоль всего
луча, и рассмотрим множество точек, принадлежащих всем воз-
возможным полуинтервалам (z0, Zi). Это множество Seg называется
прямолинейной звездой элемента е0. Оно содер-
содержит все точки плоскости, которых можно достичь, аналитически
продолжая элемент е0 вдоль всевозможных прямолинейных отрезков
с общим началом в точке z0. Легко видеть, что Seo есть область.
В самом деле, z0 — внутренняя точка множества Seo, так как весь
круг элемента е0 содержится в Sef). Если zt ф z0 и zt 6 Seo, то, как
было отмечено в конце п. 5.1, точка zj обладает такой окрестно-
окрестностью U, что элемент е0 можно аналитически продолжать вдоль
любого отрезка [z0, ?], где ?? U. Следовательно, U czSea и Seo есть
открытое множество. Связность множества Seo непосредственно выте-
вытекает из того, что любые две точки zt и z2, принадлежащие Seo, могут
быть соединены в Seo посредством ломаной, состоящей из двух
звеньев: [гь г0] и [z0, z2l.
На рисунке 72 изображена область типа Seo. Заметим, что
область Seo всегда односвязна. Действительно, допустим, что

492
АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ
1ГЛ. 8
внутри замкнутой жордановой кривой у, лежащей в Seo, находится
точка ?, не принадлежащая Seo. Проведем из z0 луч, проходящий
через ?. Луч этот встретит кривую у в точке Zj такой, что
t?[Zo, zt]. По определению множества Seo отрезок [z0, zt] содер-
содержится в этой области; следовательно, и ??[г0, Zi) содержится
в ней, вопреки допущению.
Итак, прямолинейная звезда есть односвязная область.
П
Пусть
— произвольная точка из Seo и ej —элемент
с центром гь представляемый рядом У] ап (z — Zi)n, полученный
о
продолжением элемента е0 вдоль прямо-
прямолинейного отрезка [z0, Zi]. Полагая / (zj) = aOt
мы определим / (z) как однозначную функ-
функцию во всей области Seo. Покажем, что эта
/ / ?„ / функция является аналитической в данной
области. В самом деле, для точки Z\ суще-
существует окрестность U, принадлежащая Seor
такая, что для любой точки ? € U продол-
продолжение элемента е0 вдоль ломаной zot,zt
приводит к тому же элементу е4. Отсюда
следует, что продолжение элемента et вдоль
отрезка [zit ?] приводит к тому же эле-
оо
Рис. 72. менту 8 с центром ? : ]>] an(z~ ?)п, что
о
и продолжение элемента е0 вдоль отрез-
отрезка [20, ?]. Но если окрестность U, а следовательно и точка Z,,
принадлежит кругу сходимости элемента еи то результатом про-
продолжения элемента et вдоль [zit Q должен служить элемент
с центром ?, подчиненный е^. Следовательно, е есть элемент,
подчиненный еи и значение /(Q = a0 свободного члена ряда,
представляющего элемент е, совпадает со значением суммы ряда
00
2 ап (z — ?i)n в точке z = ?. Итак, мы доказали, что
во всех точках некоторой окрестности точки Zi? 5eo, откуда
и вытекает аналитичность функции / (z) в этой окрестности
и далее в силу того, что 24 — произвольная точка области, — во
всей области Seo.
Итак, продолжая элемент е0 по всем возможным лучам, вых©-
дящим из z0, мы получаем в результате однозначную аналити-
аналитическую функцию / (г) в звезде Seo данного элемента.

§ 5] ПРЯМОЛИНЕЙНАЯ ЗВЕЗДА 493
Покажем, как эту функцию можно представить в виде суммы
ряда многочленов, равномерно сходящегося внутри Seg. Этим
самым будет решена (по крайней мере теоретически) задача ана-
аналитического продолжения элемента е0 по прямолинейным лучам,
выходящим из центра элемента.
Пусть F — ограниченное замкнутое множество точек из Seo.
Потребуем, чтобы для каждой точки z ? F тому же множеству F
принадлежали также все точки прямолинейного отрезка [г0, г];
этому требованию можно удовлетворить, пополняя первоначально
заданное множество точками всевозможных прямолинейных отрез-
отрезков, соединяющих точки из F с г0. Пусть L —замкнутая жорда-
нова спрямляемая кривая, принадлежащая Seo и содержащая
внутри F (такую кривую всегда можно найти, используя возра-
возрастающую последовательность односвязных областей, построенных
из квадратов и приближающих Seo изнутри; в качестве L можно
взять границу одной из таких областей). Для любой точки z?F
функцию / (z) можно представить интегралом Коши
E31)
Мы получим нужный результат, разложив в ряд мно-
гочленов, почленно проинтегрировав его и обнаружив, что для
вычисления коэффициентов найденного ряда потребуется только
знание тейлоровских коэффициентов функции / (г) в точке г0,
т. е. знание коэффициентов степенного ряда, представляющего
заданный элемент е0.
Изучим множество точек E(F, L), которое опишет точка
w = f~г° , если z будет пробегать все множество F, a Z,— всю
кривую L. Убедимся в том, что это —ограниченное и замкнутое
множество. В самом деле, если 6>0 — расстояние от точки г0
до кривой L, a M = sup \z — го1, то |ш|<-т-. Далее, если w' —
предельная точка для ш„ = -^——, то, переходя к подпоследова-
тельностям, можем потребовать, чтобы {zn} и {?,„} сходились.
В силу замкнутости множеств F и L имеем:
lira zn = z'?F, lira ?„ = ?'€L,
откуда
w' = lim wn = lim ^=Ц- = 4^Т- б Е (f- L)-

494 АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ [ГЛ. 8
т. е. рассматриваемое множество также замкнуто. Отметим, что
оно не содержит ни одного действительного положительного
числа и > 1. Это вытекает из того, что w = |—— может прини-
&—го
мать действительные положительные значения только тогда,
когда 2 и Z, лежат на одном луче, выходящем из точки г0-
Но в этом случае точка ?, не принадлежащая F, не может нахо-
находиться между г0 и z, и следовательно, w = y—— < 1.
Рассмотрим функцию -г—— в односвязнои области G, границей
которой служит часть действительной оси: ы<1, v = 0. Так как
эта функция является однозначной и аналитической в области Gt
то она по теореме Рунге может быть разложена в ряд много-
многочленов, равномерно сходящийся внутри G:
Т^Г = 2Р"И, где Pn(w) = <#) + c?)w+...+$№». E.3:2)
о
Заменяя здесь w на 4—— и замечая, что точка 1~г° при z?F
и ? ? L заключается в ограниченном и замкнутом множестве точек
E(F,L), принадлежащем G, выводим, что ряд E.3:2) будет
равномерно сходящимся. Подставляя этот ряд вместо ——
1 ? fo
в формулу E.3:1) и интегрируя почленно, получим:
или
E.3 : 3)
Мы получили разложение функции f (z) в ряд многочленов,
равномерно сходящийся на множестве F и в силу произволь-
произвольности F — внутри Seo. Коэффициенты c(Qn\ с*™', ...,cjin) (я = 0,
1, 2, ...) не зависят от f (z) и могут быть вычислены раа

§5]
МЕТОД ПЕНЛЕВЕ
495
навсегда. Кроме них в формулу входят лишь коэффициенты
/(fe) (z)
——,, , т. е. коэффициенты степенного ряда, определяющего
элемент е0- Полученное нами разложение (оно называется раз-
разложением Миттаг-Леффлера) решает, очевидно, задачу
продолжения элемента вдоль прямолинейных лучей.
5.4. Построим в явном виде последовательность многочленов {Рп (w)},
сходящуюся к A—ш) в области G, граница которой есть полупрямая
Рис. 73.
И)=л>-1, и дадим оценку приближения, которое доставляют эти многочлены.
При этом мы будем следовать методу, предложенному П. Пенлеве*).
Пусть а>0— параметр, который в дальнейшем будет принимать сколь
угодно малые значения. Положим ¦у = ехР( — й), Р=1—у и рассмотрим
отображение
; = ф(т)=— «1пA— рт) (ф@) = 0) E.4:1)
 на полосу Д: [ Im t \ < -^ зга (рис. 73); заметим,
полуплоскости D:
что ф A) = 1.
Область D содержит замкнутый круг
| <; р = 1 +-^- Y' так как
1 _[_у ^> р. Отображение E.4: 1) преобразует этот круг в замк-
замк_^
нутую область ga, принадлежащую Д и содержащую внутри себя отрезок
действительной оси 0<;?<;1. Очевидно, что для всех точек ga выполняются
неравенства:
—a In A +Рр)< Re t < а In (I —Рр).
Но — а1пA — Рр)=— aln [yYO + Y)] = 1 + « In 2 — а In A + v)< 1+
+ а1п2и —а In (I-fPp) > —aln2 (так как рр<1). Отсюда следует, что
область ga содержится в прямоугольнике da:
-aln2<Re/<l+aln2, \\mt\<^-a,
который при a —> 0 стягивается к отрезку 0 <; t <! 1.
*) См. статью (note) П. Пенлеве в приложении к книге: Е! Borel,
Lefons sur les fonctions de variables reelles et les developpements en series
de polynomes, 2 ed., Paris, 1928, стр. 101 — 148.

496 АНАЛИТИЧЕСКОЕ1ПР0Д0ЛЖЕНИЕ [ГЛ. 8
Пусть теперь f (t) — функция, аналитическая и ограниченная по модулю
в Sa: I / (t) | ^ М. Полагая / = ф(т), получаем функцию /<p(t), аналитическую
и ограниченную по модулю той же константой в круге I т | <! р. Для нее
имеем разложение
/Ф (т) = || Aq (/) т", E.4:2)
о
откуда
И1) = /фA)-2ЛИ/>- E.4:2')
о
При этом
v+1 v+1
= 2Myl (l+jv)"'' E.4:3)
Для вычисления 4^ (/) заметим, что
о
в окрестности точки ( = 0 и, следовательно:
/Ф (т) = / @) + 2-^Г ^ @) а" [ - In A - Рт)]ь-
i
Положим:
E{k) Е(к)
5±ip J±
где ?Й..- — числовые коэффициенты, не зависящие ни от /(/)> ни от а- Под-
Подставляя в разложение для /ф (т), получим степенной ряд:
/Ф (т) = / @) + 2 "^- [?f а9/<9' @) + ?<*~1)а9-1/<«-1> @) + .. .
1
Сравнивая с E.4:2), находим:
^ ^2 4(i)@) (?>«). E.4:4)
Чтобы найти ?*'), положим f(t) = el; тогда
Следовательно,

§ 5] МЕТОД ПЕНЛЕВЕ
так как в данном случае /ш@)=1, то формула E.4:4) дает:
497
Из сравнения двух выражений для Aq (el) вытекает, что числа ?*'* являются
коэффициентами при aJ в разложении многочлена a(a+l) ... (a+<7—1)-
Это позволяет записывать Aq (/) в общем случае в виде следующего символи-
символического произведения:
Aq{f)=^-af'{af' + \)(af' + 2) ... (a/' + 9_I), 9>1. E.4:4')
Применим полученные сведения к приближению функции A—ш). Пост-
Построим сначала для каждого п > 1 область Gn (рис. 74); размеры ее зависят
щт
¦
w
1
7
>
*
>
\
\
\
\гв„
(t)
Рис. 74.
Рис. 75.
от выбора числа Нп > 4л. Мы произведем этот выбор несколько позже.
Заметим, что числа Нп будут, возрастая, стремиться к бесконечности так,
что {Gn} образует последовательность вложенных областей, сходящуюся
к области G — прямолинейной звезде функции A—ш). Пусть w$ — любая
точка Gn. Тогда f(t) — (\ — tog)" будет функцией, аналитической во всех
точках отрезка 0^^<^1, причем /A) = A—wo)~l. Чтобы оценить максимум
модуля f (t) в некоторой области ga (см. рис. 73), содержащей этот отрезок,
и затем воспользоваться неравенством E.4:3), подвергнем область Gn преоб-
преобразованию: t-——. Тогда получим область Вп, изображенную на рис. 75. Обоз-
Обозначим ее границу через Ьп; подобно границе области Gn она состоит нз двух
дуг окружностей и двух прямолинейных отрезков. Так как полюс to = w^
функции /(^) = A — ^о) принадлежит Вп, то для применения оценки E.4:3)
к / (t) достаточно потребовать, чтобы замкнутая область ga, содержащая
отрезок [0,1], находилась внутри контура Ьп. В свою очередь это условие
будет выполнено, если прямоугольник da: — aln2<Re^<l -)-aln2,
Im
a-^- будет лежать внутри Ьп. Рассмотрим наибольший прямоугольник
со сторонами, параллельными осям координат, вписанный в Ъп (см. рис. 75).
32 А. И. Маркушевич

498 АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ [ГЛ. 8
Очевидно, что высота его равна удвоенной ординате точки Э" — образа точки
w=Hne n при отображении t = w~1. Поэтому половина высоты прямоуголь-
прямоугольника равна Нп sinQn = 2nHn (см. рис. 74). Далее, абсолютная величина
абсциссы точки S совпадает с абсциссой точки 5", т. е. равна Нп1 cos 9n =
= Нп1 V\ — 4л2ЯЙ2 > -Кг Нп1 >-?Нп1> ЧпН'п (Нп > 4л).
Наконец, абсцисса U превосходит 0Q, где Q — центр окружности, на кото-
которой лежит U. Так как
0Q = ОV sec 9„ = sec2 Qn = A — 4я2ЯЙV1 > 1 + 4л*Нп2,
то абсцисса точки U превосходит 1 -\- 2я#п2. Положим,
av = 2#v2; E.4:5)
тогда для любого v !> n прямоугольник da будет лежать внутри только что
рассмотренного, причем расстояние между их границами будет не меньше,
чем я#п . Отсюда следует, что соответствующая область ga будет лежать
внутри контура Ьп при всех v>n, причем расстояние между g и Ьп будет
-2 v
больше пНп ¦
Оценим теперь 1/@1 = 1A—Щ^)~г |. Щ(-вп, t?ga , v>n; заметим,
что 111< 2. Если | w0 |< у , то
73i7i
j
если же | w0 \ > у , то | t0 \ — | w^11< 3, и так как ?0 = '"оJ € Вп, то
|1-/юо| ""Uo-П^ яНп<Нп-
Итак,
|/@| = |(l-ffi'0-1|<^n- ^6Gn, <6gv V>n. E.4:6)
Применим оценку E.4 : 3) к функции / (^)=A — t-jo)~l (w б Gn, t ?~е„ , v>«).
V
В данном случае fa)(O) = j\ w*, поэтому Ад (/), определяемые 'формулами
E.4 : 4), являются многочленами степени д относительно w. Именно:
где
av = 2/^2, pv=l—exp(-a-i) = l-exp (~уя*) • E.4:7)
Положим:
V V V б9
Po (») = !. Pv(^)=l+2 4i(/)=l + 2 /la^2 43)Г • E'4:8)
q=l 3=1 g = i

§ 5] ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ФУНКЦИИ В ЕЕ ЗВЕЗДЕ 499
Формула E.4:3) дает для /A) = A— ш) в каждой точке w?Gn при v > п:
| A +а,)-1_ру (Ш) | < 2MYV1 A + у Yv) ~V-
Здесь Yv —ехР I—o"^v) и в силу E.4:6) можно положить М=Н%. Пред-
2 -1 / 1 \ —v
ставим 2Hnyv M+^Yvl B
виДе
Чтобы эта величина стремилась к 0 при v—*-со, очевидно, необходимо обес-
обеспечить стремление к —оо разности
1 „2 1 1 Г / 1
¦д-Яу—yvYv = -y[ e ^
/ 1 „2 N
а для этого в свою очередь достаточно наложить следующее условие на Hv:
E.4:9)
при всех достаточно больших v (можно, например, взять #v = c~]/lnvi
где 0<с< V2).
Мы будем предполагать в дальнейшем, что условие E.4 :9) выполнено.
Тогда
vexp(—Itf«)—ff«>i-vexp (—|"^)
и, следовательно, для любого е>0 (е< 1):
^ A)| E.4:10)
для всех w ?Gn и v ^> /г >п (е).
При v = n из E.4:10) следует, что формула
A-ш)-1= \\трп (ш)= lim fl+ 2 /!«>i |] ?^1 E.4 :11)
справедлива для всех w ?G, причем сходимость последовательности {pn (w)}
является равномерной внутри G. Поэтому в разложении E.3 : 2) предыдущего
пункта можно полагать Pn(w) = pn(w).
5.5. В этом пункте мы дадим решение задачи об аналитическом продол-
продолжении функции в ее звезде, отличное от изложенного в п. 5.3. Именно,
докажем следующую теорему: какова бы ни была возрастающая последо-
последовательность натуральных чисел {tnv}, удовлетворяющая условию —^ii—>-(-оо,
fTly
для нее можно найти последовательность действительных чисел {6&} такую,
что для каждой функции f (г), аналитической в некоторой точке Zq, имеет
место разложение:
m2v-l
2 в4?^(,-^}. E.5:1)
равномерно сходящееся внутри всей звезды Se функции f (г).
32*

500 АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ [ГЛ. 8
Здесь важно подчеркнуть, что последовательности {rnv} и {6д} не зави-
зависят от функции f (г). Доказательство этой теоремы сведется к разбиению
оо оо
степенного ряда ^ W>1 на сумму двух степенных рядов: ^] вдо»'1 и
0 ' о
A—9&) иЛ, каждый из которых обладает подпоследовательностью частич-
частичных сумм, равномерно сходящейся в области G, границей которой является
полупрямая ш = «> 1.
оо
Вообще степенной ряд ^ ak (w — Wo)k с конечным радиусом сходимости R
о
называется сверхсходящимся, если существует подпоследовательность
71 v
его частичных сумм {^ ak (w—wQ)h}, равномерно сходящаяся внутри какой-
0
либо области, содержащей круг \w — wo\<^R в качестве правильной части.
оо
Легко видеть, что сам ряд ^ wh не обладает свойством сверхсходимости.
О
«V
В самом деле, никакая подпоследовательность его частичных сумм V wh =
О
Отсюда следует, что если
не может сходиться в точках, лежащих вне единичного круга.
мо.
и оба ряда в правой части являются сверхсходящимися, то необходимо долж-
должны выполняться условия:
Нт У\дк\ = Нт У|1-0й| =1. E.5:2)
ft->.0 Ь->°о у
Действительно, lim -у/~\ 6^ | <! 1 и lim -j/"| 1 — 0д|<;1; если допустить,
ft~>00 ft->OO
оо
например, что lim-j/*|9u |< 1, то радиус сходимости ряда ^QkWh будет
оо
больше 1. Так как ряд У] A—6й)шй, по предположению, сверхсходится, то
о
существует возрастающая последовательность натуральных чисел {nv} та-
nv
кая, что последовательность {^ (I ~&) ш>?} равномерно сходится в неко-
0
оо
торой окрестности точки w0,, |.w0 | = 1. Но ряд У^ви®4 равномерно сходится
0
в некоторой окрестности любой точки единичной окружности; поэтому

§ 5J ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ФУНКЦИИ В ЕЕ ЗВЕЗДЕ 501
последовательность
0 0 0
будет также равномерно сходиться в окрестности точки единичной окруж-
окружности, что, как мы видели, невозможно.
Для дальнейшего целесообразно рассматривать множество всех функций,
аналитических в области G, как векторное топологическое про-
пространство (полное). Его можно метризовать так, чтобы сходимость по
норме была эквивалентна равномерной сходимости внутри G. Для этого доста-
достаточно положить:
i E'5:3)
где Mk = max | / (ш) [, Г^ —граница области Од, a {G^} —области, построенные
в п. 5.4.
Очевидно, что || g + ft || <; || g || + || h ||; в самом деле, если ти = max | g \
и ц& = тах | А |, то
Далее, из E.5:3) имеем при любом fe>l:
к 2^ 2 ^ E.5:4)
Если последовательность функций {/„ (т)} сходится к нулю равномерно
внутри G, то при любом k >• 1 имеем: М^ = max | /„ (ш) |—>0 и, следова-
ГА
тельно, || fn |[—^-0. Обратно: из условия \\fn\\—>0 следует, что
Mhn)
2~h ¦ ~^—>0 при любом fe>l, т. е. {/„ (ш)} сходится к нулю равно-
равномерно внутри G.
Докажем теперь две леммы.
Лемма 1. Пусть положительные числа Дп удовлетворяют условиям:
А„>2 1пЯ„. E.5:5)
Тогда каждое соотношение
ПЛ1<ехр(-пДп) = в„ E.5:6)
влечет за собой неравенство
п
^^И| D) = оA). E.5:7)
(Б.Б:8)
^ k\ II
0
В' самом деле:
n . n
< max
у
о kl

502 АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ [ГЛ. 8
Так как круг | w |< 1—2ЯЯ принадлежит Gn, то
ft) @)
где Л1„ = тах | / (ш) |; кроме того, |ш|<Я„, если w?Gn.
Gn
Поэтому
ft=0
=Л1„ехр{/г1пЯ„ + 1п(я+1) —«1пA —2ЯЯ-1)}.
В показателе главным членом является, очевидно, п In Яп. В силу E.5 :5)
п 1п Я„<-2-яА„.
Следовательно,
(j E.5:9)
при всех п достаточно больших.
Чтобы оценить Мп, заметим сначала, что в силу E.5 :4)
k<2n|m|
Из условия E.5:6) следует, что 2™ [| / ||< 2пЬп = о A); поэтому при всех п
достаточно больших 2™ || / ||< 2т1, откуда
М» < 1 Г2Ч || / || < 2"+1 И ^ IK 2"+1 ^Р (-«Ад).
Теперь неравенство E.5 : 9) дает:
цд<2"+1ехр (~ яА„
и, наконец, в силу E.5 :8)
п
^ || 2"+1 ехр (--1-
Лемма 1 доказана.
Пусть {Хп} — последовательность положительных чисел такая, что раз-
разности Яп+1—кп, возрастая, стремятся к -\-со. Можно положить, например,
"кп = п 1п(п+ 1); тогда кп+1 — кп яв In п. Вообще же последовательность
{Яп+1—кп} может иметь сколь угодно медленный рост. Фиксируя такую
последовательность, положим:
тп = [е%п], Nn = тп [Атп]*, пп (ш) =рт„ (w) E.5 : 10)
Здесь Av —числа, фигурирующие в лемме 1, pv (ш) — многочлены, опреде-
определенные формулами E.4:8). Заметим, что в силу определения nn{w) есть
многочлен степени тп.
Подчиним числа {Av} еще следующему условию:
Ат„< ехр |у (Яп+1-А.„)| . E.5 : 11)

§ 5] ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ФУНКЦИИ В ЕЕ ЗВЕЗДЕ 503
В силу E.5 :5) это налагает ограничения на возможный рост чисел Нтп,
определяющих размеры областей Gmn. Эти числа мы подчиним дальнейшим
ограничениям:
H2mn+l<-J&n+i-\n). E.5:12)
Лемма 2. Многочлены последовательности {яп (w) = pmn (w)} удовле-
удовлетворяют неравенствам:
|| A _ш)-1_Яп+1 (Ш) || < 2-n-i ехр (-тпАтп). E.5 : 13)
Заметим, что из условий Хп+1 — Хп—> + оо и E.5: 10) следует, что
п = о{Хп) = о(тп). E.5:14)
Далее, в силу E.5: 10) и E.5: И):
mn+i mn+i ехр (Хп+1 — Хп)
^Г = ~ ^
Следовательно, для всех достаточно больших п
mn+i > Nn и HNn < #mn+1- E.5 : 15)
Оценим норму ||A — w)~1—яп+1(о>)||, пользуясь неравенствами E.5:4)
и E.4 : 10) (в последнем мы заменим v через mn+i и п через Nn):
< max | A — ш)-1 — рт (ш) | + 2~Nn <
В силу E.5 : 10) и E.5 : 12)
{ехр | -
"^ >( 1 - в') ехр (| Хп+1 + 1 Хп ) .
Поэтому
-5-я,
|] A — и»)-1_яп+1 (Ш) || < ехр ^_L=®1 e а n+l 3 n|+exp(-JVn 1п2).
E.5: 16)
Чтобы вывести из E.5: 16) неравенство E.5 : 13), перепишем последнее в виде:
|| A _и,)-1_Яп+1 (ш) | < ехр {-(т„Д„гп + (/г+1) In 2)}.
Теперь достаточно доказать, что отношение абсолютной величины последнего
показателя к абсолютным величинам каждого из показателей в правой части
E.5 : 16) есть величина бесконечно малая (при п-—>со). В самом деле, в силу
¦Г5.5: 10), E.5: 11) и E.5: 14)
i Т(Я,л+1-Хп)
1 , \
In 2}
3 п—>0 при я—>оо.

504 АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ [ГЛ. 8
Аналогично в силу E.5: 10) и E.5 : 14)
Nn
1 , (я + 1Iп2 .
= т г? —>0, при я—>оо.
Лемма 2 доказана.
Теперь можно перейти к доказательству основной теоремы этого пункта.
Рассмотрим два ряда многочленов:
оо оо
S^W-^hWI1 2 I^hW-n2j_2H}> E-5:17)
3=1 3=1
причем положим зто(а>) = О. По лемме 2 имеем:
|| я„+1 (ш)-я„ (ш) || < 2-"-1 ехр (-тдДтд) +
+ 2~" ехр (-тд_1Дтп_1) < 2-»+i ехр (-т,^^^^) = 2-»+1бт„_г E.5 : 18)
Отсюда вытекает, что ряды E.5: 17) сходятся по норме и, следовательно,
представляют функции, аналитические в этой области. В частности, эти
функции будут аналитическими в единичном круге.
Положим:
2 in2j (W)—*Z}-1 (w)} = Ф И.
3=1 E.5:19)
2
3=1
Замечая, что
2 llm nh(w) = (l — ш), E.5:20)
h=l ft-+0°
будем иметь в единичном круге:
оо оо
ф(ш) = 2бАшй, 1|7(ш) = 2A-6й)шй, E.5:21)
о о
где
вА=2^9) =2 ^{4Т @)-я^-1 @)}- E-5 : 22,
i=l
и по формулам E.4:8), где нужно положить v = mv = [e v]:
<@) а^7
9=1
Из формул E.5:22) и E.5 : 23) следует, что все числа 9„ являются дей-
действительными.

§ 5] ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ФУНКЦИИ В ЕЕ ЗВЕЗДЕ 505
Убедимся с помощью леммы 1 в том, что последовательности
т2п m2/»-l
(ЗИМ 2<Mi)»*) E.5:24)
о о
равномерно сходятся внутри G и, следовательно, оба ряда E.5 :21) являются
сверхсходящимися. Отсюда по замечанию, сделанному в начале этого пункта,
будет вытекать, что
ШУ\Щ=Ш У\Т=вГ\ = 1. E.5:25)
Установим сверхсходимость ряда У] 0?oyfe. Положим
0
V
2 {n2j(w)-nZj-i (w)} = nv (ш); E.5 : 26)
j=l
очевидно, nv (ш)— многочлен степени m2v В силу определения ф (ш) и нера-
неравенств E.5 : 18) имеем:
2
v+1
< 2 2-2J+26m2,-_2 < 6m2v § 2-«"+> < 6m2v. E.5 : 27)
v+l v+1
По лемме 1 отсюда следует, что
m2v
^ — {Ф<ь> @)-n(vh) @)} wk -^ 0 при v -> сю,
т. е. что последовательность многочленов
m2v m2v
4
й=0 ft=0
равномерно сходится к 0 внутри G.
m2v m2v m2v
Но 2 -irф<&) @) wh=2 е^"' а 2 тг v () v ()
ft=g ' /г=0 ft=0
(напоминаем, что IIV (w)—многочлен степени ni2V).
Так как, в силу определения Пу (w), последовательность {IIV (ш)} сходится'
m2v
к ф (аи) равномерно внутри G, то и последовательность ¦! 2 ~гг Ф(/г) @) ий г
ft==0
должна сходиться к ф (w) равномерно внутри G.

506 АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ [ГЛ. 8
Итак
m2v
lim ^ Qhwh = <p(w). E.5:28)
Аналогично получим:
m2v-i
lim 2 A —6а)и>'' = 1|з(оу). E.5:29)
В результате мы доказали, что имеет место формула
m_2v m2_v-l
v->°° "о' V
m2v-l m2v
= lim { >] вуй+ >] Qhwh] , E.5:30)
причем сходимость здесь равномерна внутри области G.
От этого разложения переход к разложению произвольной аналитиче-
аналитической функции / (г) в ее прямолинейной' звезде Se совершается совершенно
так же, как это делалось в п. 5.3, при переходе от E.3:2) к E.3:3). Полу-
Получаем окончательно:
2v-l m2v
2/ @) Vi / @) 1
т\—(г—2o)fe~r У\ ®h—ri B — го) г i E.5:31)
0 m2v-l+'
причем сходимость является равномерной внутри Se .
Напомним, что здесь
где {Яп} — произвольная последовательность положительных чисел, подчинен-
подчиненная единственному условию:
Мы могли бы, конечно, исходить из любой возрастающей последователь-
последовательности натуральных чисел {тп}, подчиненной единственному условию:
в самом деле, достаточно положить
Основная теорема этого пункта полностью доказана.
Опираясь на общие свойства сверхсходящихся степенных рядов, можно
утверждать, что любая последовательность {тп}, удовлетворяющая условиям
теоремы этого пункта, должна также удовлетворять условию
тп

$ 5] АНАЛИТИЧЕСКИЙ ОБРАЗ КАК РИМАНОВА ПОВЕРХНОСТЬ 507
Весьма правдоподобно, что для нее должно удовлетворяться и более
сильное условие:
IE7co
П->оо тП
и, в частности, что никакая геометрическая прогрессия {р™} не может быть
принята в качестве последовательности {тп}.
5.6. Будем рассматривать аналитический образ А как тополо-
топологическое пространство и составляющие его элементы — как точки
этого пространства. При этом два элемента будем считать тожде-
тождественными, если они имеют общий центр и изображаются одина-
одинаковыми рядами, независимо от того, в каких именно кругах,
концентрических с кругом сходимости, они рассматриваются.
оэ n oo n
Пусть е: 2 ап (г — zo)v (или ^ anz v) некоторый элемент из А
т
и | z — z0 \ < R (или | z | > R) — область сходимости изображаю-
изображающего его ряда; р-окрестностью элемента е (p^.R, если z0Ф со,
и p>i?, если центр элемента — бесконечно удаленная точка) мы
назовем множество тех элементов, подчиненных е (включая е), центры
которых принадлежат области \г — z0 | < р (соответственно | г\ > р).
Легко видеть, что при этом определении все условия п. 1.1
выполняются, так что аналитический образ становится Тг'Про-
странством. Остается проверить, что А связно, обладает счетной
базой и локально гомеоморфно кругу.
Будем производить проверку, начиная с последнего свойства.
Если ?0 — неразветвленный элемент, то каждой точке его области
сходимости соответствует единственный подчиненный элемент с цен-
центром в этой точке. Считая для определенности, что центр z0 элемен-
элемента е0 есть конечная точка, поставим в соответствие каждому
элементу е с центром z, принадлежащему р-окрестности элемента е0,
центр этого элемента. Тогда р-окрестность элемента е0 отобразится
на круг \ z — z0 | < р, причем отображение будет взаимно одно-
однозначным. Кроме того, оно непрерывно в обе стороны. Так, напри-
например, если образ элемента е4 (т. е. центр этого элемента) есть гь
l^i — zo|<p, и \z — 2j|<;6 — окрестность точки Zu заклю-
заключающаяся в круге \ z — г0 | < р, то достаточно взять б-окрестность
элемента еи чтобы утверждать, что образ каждого элемента из
этой окрестности попадает в круг \z — zt | < б.
Итак, окрестность (любая) неразветвленного элемента допускает
гомеоморфное отображение на круг, причем это отображение на круг
осуществляется, если образом элемента считать его центр.
Пусть теперь е0 есть разветвленный элемент (снова для опре-
деленности с конечным центром z0) и У] ап (z — Zo)v — его кано-

508 АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ ГГЛ. 8
ническое представление. Так как каждой отличной от z0 точке zx
его области сходимости соответствует несколько (а именно, v>l)
различных элементов, подчиненных элементу е0, то отображение
элемента в его центр не будет взаимно однозначным в рассма-
рассматриваемой окрестности. Чтобы найти гомеоморфное отображение
окрестности элемента е0 на круг, введем параметр t — (z — zo)v.
Если точка zi=j^zu, то функция t==(z — zo)v принимает в этой
точке v различных значений: tu .. ., tv, из которых каждое может
быть переведено в другое путем поворота около начала коорди-
координат на угол, кратный ——. Соответственно, окрестность точки гь
i
не содержащая г0, отображается посредством t=(z — zo)v на v
различных, не имеющих попарно общих точек областей gj
(/= 1, ..., v), также переходящих одна в другую посредством
указанных поворотов. При этом каждая область gj содержит
одну и только одну точку из числа точек tu ..., tv, а именно,
Для того чтобы фиксировать в окрестности точки z± одну
i_
из v однозначных аналитических ветвей функции t = (z — zo)v,
достаточно указать, какой из описанных выше областей принад-
принадлежат значения ветви или (что сводится к тому же), какое из-
1
значений tit ..., tv ветвь (z — zo)v принимает при z = zt. Если z,
принадлежит области сходимости ряда У]ап(г — zo)v, то тем же
т
i
условием, наложенным на (г — zo)v, определяется и одна из v
однозначных аналитических ветвей v-значной суммы этого ряда,
т. е. один из v элементов еC'> (/= 1, ¦ • ., v) с центром zh подчи-
подчиненных е0.
Существенно отметить, что различным значениям tj будут
соответствовать и различные элементы е^К Действительно, допу-
допустим противное, и пусть различным значениям tj и ^+р соответ-
соответствуют тождественные элементы е'^ и еи+р). Так как е('> и е^'+р)
изображаются в окрестности точки г4 суммой ряда ^}an(z — zo)v,
т
i
где (г — zo)v — t пробегает, соответственно, области gj и gj+P, то,
переходя к переменному t, получим для е('> и е^+р) представле-

§ 5] АНАЛИТИЧЕСКИЙ ОБРАЗ КАК РИМАНОВА ПОВЕРХНОСТЬ 509
оо
ние 2 antn, t?gj и t?gj+p. Но если некоторому z из окрестности
т
точки Zi соответствует значение (z — zo)v из области gj, равное /,
то тому же г соответствует значение (г — zo)v из области gj+p,
равное е vt; поэтому значения е(э) и eO'-t-р) можно представить
в области g-_,- рядами У] й«^п и 2 ап& * v ^n. Из нашего предпо-
ложения о совпадении элементов е(з'> и ew+p) и из внутренней тео-
ремы единственности вытекает, что е v = 1 для всех значении я,
для которых ап ^ 0, т. е. что соответствующие числа — являются
V
п
целыми и, следовательно, дроби — могут быть сокращены на одно
V
и то же отличное от единицы число (мы пользуемся здесь тем,
что р<С\). Однако это заключение противоречит тому, что
п
т
antv есть каноническое представление элемента е0. Итак, эле-
менты е^> и е(Я-р) различны.
Отнесем каждому из элементов е(з) в качестве образа соответ-
соответствующее значение t = tj, причем сделаем это для всех элемен-
элементов, подчиненных е0; самому элементу е0 отнесем t = 0. Тогда
окрестность элемента е0 будет отображена на окрестность точки
t = 0, причем соответствие между элементами и их образами будет
взаимно однозначным. Но оно будет также и непрерывным в обе
стороны. В самом деле, соответствие между t и z, установленное
посредством каждой ветви / = (z — zo)v в окрестности точки 21^=г0,
является непрерывным в обе стороны. Также непрерывным в обе
стороны является соответствие между элементами, подчиненными
е0 и изображающими в окрестности точки zt любую однозначную
оо ™
ветвь функции 2а„(г — zo)v, и их центрами г (принадлежащими
т
окрестности точки zu не содержащей z0). Остается заметить, что
непрерывность сохраняется и в элементе е0, соответственно,
в ^ = 0, так как при t, стремящемся к нулю, соответствующие
элементы сходятся к е0 (т. е. ложатся в любую р-окрестность
элемента е0 при всех достаточно малых по модулю t) и, обратно,
при е, стремящихся к е0, центры элементов е стремятся к Zj и,
следовательно, t стремится к нулю.

510 АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ [ГЛ. 8
Итак, любая окрестность разветвленного элемента е0 порядка
v — 1 с центром z0 гомеоморфно отображается посредством
t= (z — zQ)v (где z — центр элемента е из рассматриваемой окре-
окрестности элемента е0) на некоторый круг плоскости t с центром
в начале координат.
Из всего изложенного заключаем, что аналитический образ
с установленным выше понятием окрестности его элементов
является Г2-пространством, локально гомеоморфным кругу.
5.7. Этот пункт мы посвятим доказательству того, что каж-
каждый аналитический образ обладает счетной базой и, кроме того,
является связным пространством. Отсюда в соединении с тем,
что было установлено в п. 5.6, будет следовать, что аналити-
аналитический образ можно рассматривать как некоторую поверхность.
Сделаем предварительно несколько простых замечаний. Пусть
е0 — произвольный элемент: 2 ап {z — zo)v, а е0 и в—два подчи-
т
ненных ему и, следовательно, правильных элемента. В п. 5.1 мы
видели, что в случае, когда е0 — правильный элемент, е0 и е
можно соединить между собой цепью также правильных элемен-
элементов, подчиненных элементу е0.
Покажем, что последнее свойство остается в силе и тогда,
когда е0 — неправильный элемент.
Выполним преобразование t = (z — zo)v; тогде е0 перейдет
в неразветвленный круговой элемент е'о с центром t = О, а центры
элементов е0 и е — в точки т0 и т, принадлежащие кругу К" эле-
элемента е'о. Соединим т0 и т непрерывною кривою у", не проходящею
через центр круга К', и пусть е^ г'п — цепь элементов, под-
подчиненных элементу е'о, соединяющая элемент е'о, центром которого
служит т0, с элементом ей, центром которого служит т. Возвращаясь
к переменному z = z0 + tv, получим в области сходимости элемен-
элемента е0 кривую у — образ кривой у", не проходящую через г0 и связы-
связывающую точки ^0 и ? — центры элементов е0 и е. Круги элементов г)
перейдут в односвязные области gj (/ = 0, 1, . . ., п), из которых
каждая последующая имеет общую (связную) часть с предыдущей;
при этом пара областей gj и gj+t покрывают дугу о^ cz у, соединяю-
соединяющую образ центра элемента г] с образом центра элемента ej+i.
Сами элементы е) преобразуются в однозначные аналитические
в областях gj ветви tpj (г) суммы ряда 2йп(г—zo)v . причем
т
Фо (z) совпадают" с е0 в окрестности точки ?0, ф„ (z) совпадает
сев окрестности точки ? и, кроме того, ф; (z) и ф^+1 (г) совпа-
совпадают в общей части областей gj и gj+i- Отметим на у по одной точ-

§ 5] АНАЛИТИЧЕСКИЙ ОБРАЗ КАК РИМАНОВА ПОВЕРХНОСТЬ 511
ке t,j в каждой общей части областей g} и gj+l (/ = 0, . . ., п),
и пусть ej — тот из элементов с центром ?,j, подчиненных элемен-
элементу е0, значения которого совпадают со значениями ф7- (г) и ф^+1 (z)
в окрестности точки t,j. Теперь остается лишь разбить каждую
дугу Oj с концами t,j и t,j+i на столь мелкие части, чтобы е^ и 6j+1
можно было соединить цепью элементов, подчиненных ф^- (г)
и фу+1 (z), а следовательно, и е0, с центрами в точках деления (суще-
(существование такого рода цепей устанавливается совершенно ана-
аналогично доказательству леммы п. 5.1). Очевидно, цепи, найденные
для различных значений /, объединяются в одну цепь, состоящую
из одних только правильных элементов, соединяющую е0 с е.
Итак, требуемое свойство доказано.
В частности, если е0 и е имеют один и тот же центр, то т0 и т
лежат на одной окружности с центром в начале координат и в каче-
качестве у' можно выбрать дугу этой окружности. Тогда кривая у
в области сходимости элемента е0 будет окружностью с центром z0,
многократно проходимой при продолжении элемента е0 в эле-
элемент е.
Пользуясь этим замечанием, докажем, что если два элемента е0
и ё с общим центром z0 имеют общий подчиненный элемент е,
то е0 и ё совпадают. Это утверждение непосредственно вытекает
из теоремы единственности, если е0 и ё оба являются неразветвлен-
ными. Если же е0, например,— разветвленный элемент и порядок
его есть v — 1, то, помимо е, существуют еще v — 1 различных
между собой и отличных от е элементов с тем же центром, подчинен-
подчиненных элементу е0. Каждый из них можно получить путем аналитиче-
аналитического продолжения элемента е вдоль (многократно пробегаемой)
окружности с центром в z0. Все эти продолжения осуществляются
посредством элементов, подчиненных элементу е0. Так как при этом
мы не выходим за пределы области сходимости элемента ё, то они
являются также подчиненными и для ё, в чем убеждаемся, рас-
рассматривая элементы цепи один за другим, начиная с е. Отсюда
вытекает, что все v элементов, подчиненных элементу е0 и имеющих
общий центр с е, являются подчиненными и для ё. Следовательно,
порядок разветвления элемента ё не ниже порядка разветвления
элемента е0; но в этом рассуждении е0 и ё можно менять ролями,
поэтому порядок разветвления элемента ё также равен v — 1.
Применяя* преобразование t = (z — 20)v, мы переведем е0 и ё в два
неразветвленных элемента с общим центром t = О, имеющих общий
подчиненный элемент е'. Следовательно, преобразованные элементы,
а потому и данные элементы е0 и е" совпадают.
Пусть теперь е0 и ё — два произвольных элемента аналитиче-
аналитического образа Л. В силу определения понятия аналитического образа
существует цепь е0, et еп = ё элементов, принадлежащих А»

512 АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ [ГЛ. 8
соединяющая е0 с е'. Покажем, что если среди элементов еи . . ., е„_1
имеются неправильные, то данную цепь можно заменить другой,
в которой все промежуточные элементы — правильные. В самом
деле, пусть ек — неправильный элемент цепи A<&<л—1),
а е0 и е* — подчиненные ему и, следовательно, правильные элементы,
общие с eh-\ и eft+i соответственно. Мы только что видели, что
е0 и е' можно соединить цепью правильных элементов. Исключая
из первоначальной цепи элемент eh и вставляя вместо него элементы
е0 и е' вместе с соединяющей их цепью правильных элементов,
получим новую цепь, соединяющую е0 с ё и содержащую одним
неправильным элементом меньше, чем первоначальная цепь. Повто-
Повторяя это рассуждение, мы и получим нужный результат.
Докажем, что множество всех различных между собой элементов
аналитического образа А, имеющих один и тот же центр z0, не
более чем счетно. Пусть для определенности г0 = 0 (если г0 = оо,
то посредством замены переменного ? = — придем к рассматривае-
рассматриваемому случаю; если z0 ф- оо и z0 Ф О, то производим замену: ? =
= г — z0). Пусть е0 — фиксированный элемент с центром О
и е ? А — произвольный элемент с тем же центром. По доказанному
существует цепь правильных элементов из А, связывающая е0 с е
(неправильными в этой цепи могут быть только крайние элементы
е0 и е). Пусть е0, еи . . ., еп = е — эта цепь. Если центры Z\ и г„-1
элементов ех и еп_4 не удовлетворяют требованию, чтобы хи у1г
Хп-и Уп-\ были рациональными числами, то вставим в цепь между
е0 и ei или еп~\ и еп по одному элементу, подчиненному элементу е^
или en-it так, чтобы центры этих элементов удовлетворяли соответ-
соответствующему условию. Будем считать, что эта операция произведена
и что et и en_i обозначают элементы, центры которых имеют рацио-
рациональные координаты. Соединив центры элементов еь . . ., е„_! цепи
отрезками прямых, получим ломаную, продолжение вдоль которой
элемента eY приводит к элементу еп-^.
Пользуясь теоремой 2 п. 5.1, мы можем заменить эту ломаную
другой с теми же началом и концом, у которой координаты всех
ее вершин будут рациональными, так что результатом продолжения
элемента е^ вдоль нее будет по-прежнему еп-\. Так как всех вообще ,
возможных ломаных с рациональными координатами вершин —
счетное множество и элементов ev с рациональными координатами
центра, подчиненных элементу е0,— также счетное множество (коли-
(количество элементов с одним и тем же центром, подчиненных элемен-
элементу е0,— конечно), то и результатов только что описанных продолже-
продолжений существует лишь счетное множество.
Каждый элемент е„_ь полученный в результате подобного про-
продолжения, определяет единственный элемент е с центром г = О,
которому подчиняется en-i (если вообще такой элемент е существует).

§ 5J АНАЛИТИЧЕСКИЙ ОБРАЗ КАК РИМАНОВА ПОВЕРХНОСТЬ 513
Поэтому различных элементов е с центром 2 = 0 может существо-
существовать самое большее счетное множество, что и требовалось доказать.
Теперь нетрудно доказать, что каждый аналитический образ
содержит не более чем счетное множество неправильных элементов
(в том числе разветвленных).
В самом деле, рассмотрим множество Е всех правильных эле-
элементов образа А, координаты центров которых рациональны.
Так как таких центров — только счетное множество и для каждого
центра множество соответствующих элементов не более чем счетно,
то и множество Е является счетным. Отнесем каждому неправиль-
неправильному элементу е0 ? А с.центром z0 и радиусом R какой-либо его
подчиненный элемент е, центр которого ? имеет рациональные
координаты, причем потребуем, чтобы расстояние \ г0 — ? | было
меньше, чем 1/2R- Так как е ? Е, то мы получим отображение множе-
множества всех неправильных элементов в счетное множество Е. Покажем,
что это отображение является взаимно однозначным. В самом деле,
допустим, что двум различным неправильным элементам е0 и ё
соответствует один и тот же элемент е. Будучи правильным, эле-
элемент е изображается рядом, расположенным по целым неотрица-
со
тельным степеням г— ?: 2 а„ (г — ?)п и ряд этот сходится в круге
о
| z — ? | < | ? — 20 |, а также в круге | г — ? | < | ? — г' | (где
г' — центр элемента е'), так как каждый из этих кругов принадле-
принадлежит в силу выбора точки ? области сходимости соответствующего
элемента е0 или ё и не содержит внутри точек z0 или г', в которых
элементы е0 и ё имеют либо полюс, либо точку разветвления. Отсюда
вытекает, далее, что ни г0, ни г' не могут лежать внутри круга схо-
ос
димости ряда 2 ап (z — ?)п; поэтому оба круга \ z — ? | < I ? — z'\
о
и \z— ? | < | ? — zo\ совпадают, т. е. | ? — г'' \ = | ? — z0 \,
и представляют круг сходимости элемента е; точки z0 и г", лежащие
на границе этого круга, являются особыми точками для е. Но все
точки окружности \z — ? | = | ? — z0 \, отличные от z0, лежат
внутри круга сходимости элемента е0, отличны от его центра и, сле-
следовательно, не могут быть особыми для е. Отсюда вытекает, что
г' = г0, т. е. е0 и ё имеют общий центр, и, следовательно, е0 совпа-
совпадает с ё, ибо в — их общий подчиненный элемент. Итак, множество
всех неправильных элементов аналитического образа, обладающих
конечными центрами, допускает взаимно однозначное отображение
в счетное множество Е и, следовательно, само является либо конеч-
конечным, либо счетным. К нему остается присоединить еще неправиль-
неправильные элементы с центром в бесконечно удаленной точке. Так как их
множество не более чем счетно, то отсюда, наконец, вытекает спра-
справедливость высказанного утверждения.
33 А. И. Маркушевич

514 АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ [ГЛ. 8
Из всего доказанного в этом пункте следует, что аналитический
образ А, рассматриваемый как топологическое пространство, обла-
обладает счетной базой. Действительно, чтобы получить такую базу,
присоединим к множеству Е всех правильных элементов, обе коор-
координаты которых рациональны, еще совокупность всех правильных
элементов с центром z = оо и совокупность всех неправильных эле-
элементов. Множество перечисленных элементов есть счетное множе-
множество. Для каждого из них будем рассматривать множество всех
его окрестностей с рациональными радиусами. Множество В всех
полученных таким образом окрестностей является счетным.
Покажем, что оно и будет базой для А. В самом деле, пусть Uo
есть р0-окрестность произвольного элемента е0 ?А. Если е0—непра
вильный элемент, то его р-окрестность, для которой 0 < р < р0
и р рационально, принадлежит множеству В и содержится в
Uо- Если же е0 — правильный элемент, то в его —окрестности
можно выбрать элемент ё (также правильный), координаты центра
которого рациональны. В силу выбора элемента ё его радиус будет
больше Ц-, Пусть р — рациональное число такое, что \z0 — z" | <;
< Р < -тг (z' — центр элемента ё). Тогда круг \ z — z" I < Р
содержит z0 и заключается в круге | г — z0 | < ро- Следовательно,
р-окрестность элемента ё принадлежит В, содержится в Uo и содер-
содержит элемент е0. Мы доказали, что В есть счетная база простран-
пространства А:
Докажем, наконец, что аналитический образ А представляет
связное пространство. Пусть это не так. Тогда А можно разбить на
два непустых множества Ао и А' без общих элементов, из которых
ни одно не содержит элементов, предельных для другого. Пусть
е0 ? А и ё 6 А'. В силу свойств множеств А и А' должна существо-
существовать окрестность элемента е0, принадлежащая Ао и окрестность эле-
элемента ё, принадлежащая А". Возьмем в каждой из них по правиль-
правильному элементу. Будем иметь правильные элементы е0 ? Ло и е" ? А'.
По доказанному в этом пункте должна существовать цепь е0, еь . . .
. . ., е„ = г', соединяющая е0 с г', в которой элементы е1; . . ., en-i,
а следовательно, и все элементы цепи — правильные. Так как
начальный и конечный элементы цепи принадлежат разным множе-
множествам А о и А', то в ней должны иметься два соседних элемента е^
и Bj+i, один из которых, пусть е/, принадлежит Ао, а другой — А".
Обозначим через g область, состоящую из кругов этих элементов
(это — действительно область, т. е. связное открытое множество,
так как круги элементов е7- и e^+i имеют общую часть). Каждой
точке ? ? g соответствует один и только один элемент е с центром
в этой точке, подчиненный е,- или e,-+i (а в общей части кругов —
одновременно). Поэтому все точки области g распадаются

§ 5] АНАЛИТИЧЕСКИЙ ОБРАЗ КАК РИМАНОВА ПОВЕРХНОСТЬ 515
на два класса: а0 и а', в зависимости от того, служат ли они центрами
элементов в из Ао или А'. Так как множества а0 и а" не пустые и не
имеют общих точек, то в силу связности множества g по крайней
мере одно из них, например, а0, должно содержать предельные точки
другого. Пусть, например, точка а0 ? а0 является предельной для
а". Но тогда соответствующий ей элемент множества Ао будет пре-
предельным для элементов множества А", и мы приходим к противоре-
противоречию со сделанным допущением. Следовательно, аналитический
образ, рассматриваемый как топологическое пространство, является
связным.
Резюмируем факты» установленные в этом и предыдущем пунк-
пунктах. Аналитический образ является Т2-пространством, если ввести
для него надлежащим образом понятие окрестностей его элементов.
Это пространство локально гомеоморфно кругу (конечной плоско-
плоскости), обладает счетной базой и связно. Следовательно, каждый
аналитический образ можно рассматривать как поверхность.
5.8. Покажем, что каждый аналитический образ естественно рас-
рассматривать как риманову поверхность в собственном смысле слова.
Пусть А — аналитический образ. Поставим в соответствие каждому
элементу е0 ? А центр z0 этого элемента. Тогда получим одно-
однозначное отображение z0 = ср (е0) данного аналитического образа
в сферу. Это отображение непрерывно в каждом элементе е0, ибо
для любого достаточно малого е > 0 е-окрестность элемента е„
отображается в е-окрестность точки z0. Докажем, что отображение
z = ф (е) является внутренним отображением и, следовательно,
превращает А в риманову поверхность в собственном смысле слова.
О каждом элементе е (= А или о каждом множестве Е cz А будем
говорить, что они лежат над своими образами
z = ф (е) или G — ф (Е). В случае, когда отображение z'= ф (е)
гомеоморфно на Е, мы будем говорить, что Е однолистно
лежит над G = ф (Е).
Перенумеруем все точки сферы, над которыми лежат развет-
разветвленные элементы аналитического образа А в каком-либо порядке:
аь а2, . . ., ап, . . . (их может быть конечное или счетное множе-
множество) и рассмотрим последовательность {хп} триангуляции сферы,
удовлетворяющих следующим условиям:
а) триангуляция тд+1 получается из тп путем подразделения
треугольников триангуляции тп, причем все вершины треугольников
из т„ являются также вершинами треугольников из xn+i и каждый
из последних треугольников содержится в некотором треугольнике
из тп (треугольники поднимаются как замкнутые множества);
б) точка ап встречается среди вершин треугольников триангуля-
триангуляции т„ (п = 1, 2, . . .);
в) наибольший из диаметров треугольников триангуляции хп
стремится к нулю, когда п неограниченно возрастает.
33*

516 АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ [ГЛ. 8
Выделим на А все множества элементов, однолистно лежащие
над треугольниками триангуляции ть и из них сохраним лишь те,
которые либо совсем не содержат разветвленных элементов, либо
содержат лишь один разветвленный элемент, лежащий над точкой at.
Очевидно, все эти множества будут треугольниками на поверхно-
поверхности А, причем разветвленный элемент может находиться лишь
в одной вершине, треугольника. Совокупность всех этих треуголь-
треугольников обозначим через 7\. Вообще, если на А уже выделены неко-
некоторые совокупности треугольников Tit . . ., Тп, определим новую
совокупность Тп+и включив в нее треугольники, однолистно
лежащие над треугольниками из т„, не содержащиеся в треуголь-
треугольниках совокупностей Ти Т2, . . ., Тп и содержащие каждый не
более чем по одному разветвленному элементу, причем последние
должны лежать над точками аь . . ., ап. Это рекуррентное опре-
определение дает последовательность {Тп} совокупностей треугольников
на А. Обозначим множество всех этих треугольников через Т
и покажем, что любой элемент е0 ? А принадлежит по крайней
мере одному из треугольников совокупности Т. Пусть сначала е0 —
неразветвленный элемент с центром z0; тогда любая р-окрестность
его отображается посредством z = tp (ё) взаимно однозначно и непре-
непрерывно в обе стороны на круг \ z — z0 | < р. Если п настолько вели-
велико, что диаметры треугольников из т„ все будут меньше, чем р,
то все треугольники б ? тп, содержащие точку г0, будут заключаться
в круге \ z — 20 | < р. Поэтому их прообразы А в р-окрестности
элемента е0 будут гомеоморфно отображаться на б посредством
z = ф (е) и, следовательно, А суть треугольники, однолистно лежа-
лежащие над б. Так как А состоят только из правильных элементов, то
они должны принадлежать совокупности Тп, если только не содер-
содержатся в одной из совокупностей Гь . . ., Tn-i\ при этом все тре-
треугольники А содержат данный элемент е0.
Предположим, что е0 — разветвленный элемент порядка v,
лежащий над точкой ат. Из условий б) и а) вытекает, что при всех
п > т точка ат будет служить вершиной для треугольников
системы хп. Фиксируя р-окрестность элемента е0, выберем далее
п настолько большим, чтобы все треугольники из т„ с вершиной ат
заключались в круге | г — z0 | < р, и пусть б — любой из этих
треугольников, v-значная сумма ряда, представляющая элемент е0,
распадается в области б на v однозначных аналитических ветвей.
Элементы любой из них fj(z)(j= 1, • • ., v) лежат по одному над
точками треугольника б и их множество Aj отображается взаимно
однозначно и непрерывно в обе стороны на б. Поэтому над б одно-
однолистно лежат v различных треугольников А;, заключающихся в рас-
рассматриваемой р-окрестности е0. Каждый из них содержит единствен-
единственный разветвленный элемент, а именно е0, представляющий общую
вершину этих треугольников (других общих элементов они не имеют).

§ 5] АНАЛИТИЧЕСКИЙ ОБРАЗ КАК РИМАНОВА ПОВЕРХНОСТЬ 517
Из всего этого следует, что треугольники А^ (/ = 1, 2, . . ., v)
принадлежат совокупности Тп, если только они не принадлежат
одной из совокупностей Ти . . ., Тп-^
Итак, для любого элемента е0 ? А существуют треугольники
системы Т, содержащие е0. Мы получили систему треугольников,
покрывающую всю поверхность А, причем в каждом треугольнике
этой системы отображение z = ср (е) гомеоморфно. Кроме того,
оно гомеоморфно к окрестности каждой граничной точки получен-
полученных треугольников, отличной от вершин, так как все эти точки пра-
правильные (см. п. 5.4).
Установленные факты не дают нам, однако, формального основа-
основания для заключения о том, что г = ф (е) есть внутреннее отображе-
отображение, так как система Т, вообще говоря, не осуществляет триангуля-
триангуляцию поверхности А. Убедимся, что триангуляция аналитического
образа А может быть получена из Т путем некоторого подразделе-
подразделения треугольников этой системы. Заметим сначала, что два различ-
различных треугольника из Т не имеют общих внутренних точек. Допустим
противное: пусть треугольники А" 6 Тт и А" ? Тп, лежащие соот-
соответственно над б' ? тт и б" 6 тп, имеют общую внутреннюю точку
(элемент) е и пусть е лежит над точкой ?. Тогда треугольники б'
и б" имеют общую внутреннюю точку ?. Поэтому они должны при-
принадлежать различным триангуляциям (пгф п) и один из них должен
содержаться в другом, например б" cz б', что возможно только при
п> т. Элементы из А* и А" определяют в односвязных областях б*
и б" соответственно две однозначные аналитические функции Д (г)
и /2 B). Так как эти функции совпадают в окрестности точки ?,
то они должны совпадать и во всем треугольнике б", откуда выте-
вытекает, что все элементы, составляющие А", содержатся в А' и, следо-
следовательно, А" с: А*. Но это противоречит определению совокупности
треугольников Тп: при п>тни один треугольник из Тп не может
содержаться в треугольниках из Тт.
Покажем, что каждый элемент обладает окрестностью, которая
покрывается конечным числом треугольников из Т. В самом деле,
доказывая существование треугольников из Т, которым принадле-
принадлежит ед, мы обнаружили, что для некоторого достаточно большого
п существует окрестность элемента е0, покрываемая конечным чис-
числом А4 Ап треугольников из Т. Последними треугольниками
исчерпываются все треугольники системы Т, покрывающие эту
окрестность. Действительно, любой из таких треугольников должен
иметь общую внутреннюю точку с одним из треугольников
Ль А2, • • ., Ап и, следовательно, совпадает с ним. Установив это,
рассмотрим любой треугольник ДсТ, лежащий над треугольни-
треугольником б сферы; в силу изложенного граница треугольника А может
содержать лишь конечное число вершин треугольников системы Т.
Пусть они лежат над граничными точками ^ ?„ треуголь-

518 АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ . [ГЛ.* 8
ника б. Фиксируем внутри б произвольную точку ? и соединим
ее жордановыми дугами со всеми точками ?4, . . ., ?п. При этом
потребуем, чтобы эти дуги не имели других общих точек, кроме ?,
и чтобы каждая из них не имела других общих точек с границей
треугольника б, кроме своего конца ^ (/ = 1, . . ., п). Эти дуги
разобьют б на п треугольников с общей вершиной ?. Соответственно
треугольник А разобьется на п треугольников Д4, . . ., Ап, лежа-
лежащих над треугольниками бь . . ., бп. Если подобную операцию
произвести над всеми треугольниками, составляющими Т, (в силу
построения и результатов предыдущего пункта их не более чем счет-
счетное множество), то, как это следует из всего установленного в этом
пункте, мы получим триангуляцию поверхности А. Так как в каж-
каждом треугольнике триангуляции отображение z = ср (ё) гомеоморфно
и оно гомеоморфно также в окрестности каждой граничной точки
треугольников, отличной от вершины (все точки разветвления
содержатся в множестве вершин), то г = ср (ё) есть внутреннее
отображение.
Итак, отображение z = ср (е), ставящее в соответствие каждому
элементу аналитического образа А центр этого элемента, превра-
превращает А в риманову поверхность в собственном смысле слова.
Из изложенного следует, что ее точками разветвления служат все
разветвленные элементы из Л и только они одни, причем порядок
точки разветвления совпадает с порядком разветвления соответ-
соответствующего элемента. Внутреннее отображение z = ср (ё), тесно
связанное с самым определением поверхности А, является в силу
общей теории функцией, аналитической на А (за исключением изо-
изолированных точек — полюсов отображения z = ср (ё)). Другая ана-
аналитическая функция, столь же тесно связанная с определением
аналитического образа, получается, если каждому элементу е0,
п
представляемому рядом 2 ап (z— zo)v (или 2 anz v)> относить
n=m n=m
значение этого элемента в его центре, т. е. число а0, если m > О,
и оо, если m < 0. Обозначая это значение через w : w = г|з (е),
получим снова функцию, однозначную и аналитическую на Л, за
исключением полюсов. Ее аналитичность следует из того, что в окре-
окрестности каждого элемента из А г|з (ё) разлагается в ряд по целым
степеням соответствующего локального параметра. В случае, когда
е0 — неразветвленный элемент с конечным центром, локальный
параметр t равен z — z0 и для ¦ф (ё) получаем следующее представле-
представление в окрестности точки е0:
¦ф (е) = г];* @ = 2 an{z-zoyi= 2 ajn.
n=m n=m
В .самом деле, значения элементов из окрестности элемента е0,
т. е. подчиненных е0, в центрах этих элементов должны совпа-

§ 5] АНАЛИТИЧЕСКИЙ ОБРАЗ КАК, РИМАНОВА ПОВЕРХНОСТЬ 519
дать со значениями в тех же точках суммы ряда, представляю-
представляющего е0. Аналогично, в окрестности неразветвленного элемента е0
с центром в бесконечно удаленной точке t = — и для г|э (е) полу-
получаем:
В случае разветвленного элемента имеем:
_L _ J_
t = (z — zo)v (или t = z v)
и для г|з (е) снова получаем:
Распространяя понятие мероморфной функции, будем называть
•функции, аналитические, за исключением полюсов, на римановой
поверхности, функциями, мероморфными на этой поверхности.
Тогда полученные результаты можно резюмировать так: каждый
аналитический образ А представляет риманову поверхность в соб-
собственном смысле слова. Относя элементам е ? А их центры z или
же значения w элементов в этих центрах, получаем две функции,
мероморфные на A: z = ср (е) и w = г|з (е).
Поясним изложенное примером. Пусть w = f (z) ф const —
функция, мероморфная в конечной плоскости. В п. 3.4 мы видели,
что такая функция осуществляет внутреннее отображение конечной
плоскости и, следовательно, определяет некоторую риманову
поверхность в собственном смысле слова. Убедимся в том, что эта
поверхность совпадает с той, которая получится, если рассматри-
рассматривать совокупность всех элементов функции z = f'1 (w) как аналити-
аналитический образ А и далее обращать этот образ в риманову поверхности
по изложенному в этом пункте способу. В самом деле, в одном случае
риманова поверхность происходит из конечной плоскости (элементы
суть точки) посредством внутреннего отображения w0 = f (z0),
во втором случае — из аналитического образа А (элементы суть
обобщенные степенные ряды, расположенные по степеням w — w0)
посредством внутреннего отображения, относящего каждому эле-
элементу е0 его центр w0. Мы убедимся в тождестве двух поверхностей,
•если найдем гомеоморфное отображение второй на первую, при
котором одно из указанных внутренних отображений преобразуется
в другое. Искомое гомеоморфное отображение z0 = F (е0) получает-
оо п
ся, если элементу е^, представленному рядом 2 ап (^ — ^o)v

520 АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ [ГЛ. 8
оо п
(или 2 anw v)> отнести значение суммы ряда в точке w0, т. е. соот-
соответствующее значение функции z0 = f'1 (w0).
Полученное таким путем отображение аналитического образа А
в конечную плоскость является однозначным и непрерывным.
Но оно и взаимно однозначно, так как функция w = f (z) однозначна
и, следовательно, задание любой точки z0 Ф оо полностью опреде-
определяет элемент этой функции с центром z0, а вместе с тем и элемент е0
обратной функции.
Наконец, обратное отображение е0 = F (z0) является также
и непрерывным, так как для любой р-окрестности элемента е0 можно
указать такую окрестность точки z0, чтобы все соответствующие
значения w = / (z) ложились в круг \w — w0 | < р (или в область
| w | > р, если w0 = оо) и, следовательно, элементы е с центром w
ложились бы в заданную окрестность элемента е0.
Итак, бесконечнолистные поверхности, полученные в п. 3.4
посредством отображений w = ez или w — sin z конечной плоско-
плоскости, совпадают с поверхностями, представляющими аналитические
образы, составленные из всех элементов Ln w или Arcsin w. Относя
каждому элементу первого из этих образов значение z или значе-
значение w, получим соответственно функцию z = Ln w или функцию
w = ez как однозначные аналитические функции элементов образа.
Точно так же на втором образе получаем однозначные функции
z = Arcsin w или w = sin z.
§ 6. Особые точки. Алгебраические функции
6.1. С понятием особой точки мы встречались в различных местах
нашего курса. В простейших случаях это была изолированная осо-
особая точка однозначного характера или точка разветвления. В каж-
каждой из них аналитичность функции нарушалась простейшим обра-
образом: либо терялась непрерывность функции (полюс, существенна
особая точка), либо в любой окрестности точки отсутствовала одно-
однозначность (точка разветвления). Более общий характер носило поня-
понятие особой точки элемента аналитической функции (кругового).
Эта точка, расположенная на границе круга сходимости элемента,
определялась как такая, в окрестности которой нельзя указать
однозначную аналитическую функцию, совпадающую со значениями
данного элемента в части, общей для круга сходимости и рассма-
рассматриваемой окрестности. В частном случае она могла быть полюсом,
существенно особой точкой или точкой разветвления.
Теперь пришло время развить на основе теории аналитического-
продолжения общее понятие особой точки аналитической функции,,
охватывающее как частные случаи предыдущие специальные типы.

$ 6] ОСОБЫЕ ТОЧКИ 521
Пусть е0 — правильный круговой элемент с центром z0 и L —
непрерывная кривая: г = 'к (t) (a<J<|3), начинающаяся в точ-
точке 20. Если аналитическое продолжение элемента е0 возможно вдоль,
всей кривой L, то говорят, что все точки кривой L — правильные
(относительно рассматриваемого продолжения). В противном слу-
случае существует такое число т, ос<т<р, что продолжение воз-
возможно вдоль всякой дуги L[a, tj при t <C х я невозможно вдоль
дуги L[a> Tj. В этом случае точка кривой L, определяемая значением
параметра t = т, называется особой точкой относительно рассма-
рассматриваемого продолжения (все предшествующие ей точки являются
правильными). Выражаясь описательно: особая точка аналитиче-
аналитической функции — это препятствие на пути аналитического про-
продолжения.
Читатель легко убедится в том, что если функция / (z) является
однозначной и аналитической в некоторой области G, за исключе-
исключением полюсов или существенно особых точек, то последние будут
особыми точками в только что разъясненном смысле для продолже-
продолжения правильного элемента этой функции вдоль любой проходящей
через них кривой. Точно так же, если ?0 — особая точка правиль-
правильного кругового элемента е0, то она будет также особой точкой
и в смысле, здесь разъясненном, для продолжения элемента е0
вдоль любой кривой, соединяющей центр z0 с точкой ?0 и принадле-
принадлежащей кругу сходимости всеми своими точками, за исключением
конца Со-
Рассмотрим с новой точки зрения понятие точки разветвления,
встречавшееся до сих пор лишь в виде частных примеров (|Лг, Ln z
и т. д.). Пусть е0 — правильный элемент с центром z0, который
можно аналитически продолжать по любой непрерывной кривой,
принадлежащей некоторой области G вида 0 -< \ z — ? I < Р-
Чтобы изучить функцию f (z), а priori многозначную, определяе-
определяемую в области G посредством всех возможных продолжений эле-
элемента е0 по кривым, принадлежащим этой области, прибегнем
к вспомогательному преобразованию t = Ln (z — ?). В результате
этого преобразования область G перейдет в полуплоскость D:
Re t <; ln р, т. е. в односвязную область. Элементу е0 будет соот-
соответствовать некоторый правильный элемент е0 с центром t0. Его мож-
можно получить, фиксируя однозначную аналитическую ветвь функ-
функции t = Ln (z — t) в окрестности точки z0 и затем рассматривая
функцию / (t + е') в окрестности точки t0 (значении ветви в точ-
точке 20). Из того, что е0 можно аналитически продолжать вдоль всех
кривых, принадлежащих G, вытекает, что е0 также можно аналити-
аналитически продолжать вдоль всех кривых, принадлежащих D. В силу
теоремы о монодромии получится функция /* (t) однозначная и ана-
аналитическая в полуплоскости. Эта функция и есть результат преобра-
преобразования f (z) посредством t — Ln (z — Q, т. е. /* (t) = f (t + «0-

522 АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ [ГЛ. 8
Относительно /* (t) возможны следующие две гипотезы:
1) эта функция обладает периодом, кратным 2ni;
2) она не обладает периодом такого вида.
Изучим сначала случай 1). Пусть со = 2kni (k — натуральное
число) — период функции f* (t), причем никакое число вида 2nni,
где п — натуральное число, меньшее k, не есть период /* (t). Тогда
/* (t + 2kni) = f* (t) при любом t 6 D, причем ни для какого нату-
натурального п < k равенство
не может выполняться ни для всех t, ни для бесконечного множества
значений t с предельной точкой в полуплоскости Re t <C In p (иначе
в силу внутренней теоремы единственности оно выполнялось бы
для всех t, и 2nni было бы периодом функции /* (t)). Переход от
t0 к t0 + 2kni под знаком функции /* (/) может быть достигнут посред-
посредством ее аналитического продолжения вдоль любой непрерывной
кривой, соединяющей точки t0 и t0 + 2kni. Этому переходу соответ-
соответствует аналитическое продолжение элемента е0 вдоль замкнутой
кривой, начинающейся и кончающейся в точке z0. Обходя эту кри-
кривую, мы совершаем /%-кратный обход вокруг точки ? в положитель-
положительном направлении, так как Im [Ln (z — ?)] = Im t возрастает при
этом на 2kn. В силу допущенной периодичности функции /* (t)
значения элемента, полученного в результате продолжения эле-
элемента е0 по указанной кривой, должны совпадать в окрестности
точки z0 с соответствующими значениями элемента е0. Поэтому
и сами элементы должны совпадать. То же заключение, очевидно,
справедливо и по отношению к любому элементу et с центром zu
полученному из е0 посредством продолжения вдоль некоторой кри-
кривой Л, принадлежащей области G: продолжая е^ вдоль замкнутой
кривой Li, начинающейся и кончающейся в точке 24 и совершающей
к оборотов вокруг точки ?, мы вернемся к исходному элементу е4.
При этом не существует элемента е', который мог бы перейти сам
в себя посредством продолжения вдоль замкнутой кривой L',
принадлежащей G и совершающей вокруг ? менее чем k (но не менее
одного) оборотов. Заметим, что продолжение элемента е' вдоль
замкнутой кривой, принадлежащей области G и не делающей ни
одного оборота вокруг ?, соответствует в плоскости t продолжению
вдоль замкнутой кривой, принадлежащей D, и, следовательно,
результат продолжения элемента е' вдоль такой кривой всегда сов-
совпадает с ё.
Если k = 1, т. е. /* (t) имеет период 2ni, то продолжение любого
из элементов функции / (z) вдоль любой замкнутой кривой, принад-
принадлежащей G, приводит к результату, совпадающему с исходным эле-
элементом. Иными словами, функция / (z) является в этом случае одно-
однозначной и аналитической всюду в области G. Точка Z, будет для нее

§ 6] ОСОБЫЕ ТОЧКИ 523
правильной точкой или изолированной особой точкой однозначного
характера в зависимости от того, возможно ли продолжение эле-
элемента е0 вдоль какой-либо непрерывной кривой, проходящей через
точку ?, или же продолжение элемента е0 вдоль одной из таких кри-
кривых невозможно. Следовательно, при k = 1 функция / (z) представ-
представляется в области G рядом Лорана (в частности, рядом Тейлора,
расположенным по степеням z — ?).
Пусть k > 1, т. е. 2ni не является периодом функции /* (t).
Тогда функция / (z) многозначна, а именно й-значна. В самом деле,
для любого t (i D последовательности коэффициентов тейлоровских
разложений функции /* (t) в окрестностях точек t, t + 2л/, . . .
. . ., t + (k — 1) 2ni не могут полностью совпадать, т. е. должны
попарно различаться хотя бы одним коэффициентом. Отсюда сле-
следует, что для каждой точки z ? G существует k различных элементов
функции / (z) с центром z. В силу того, что 2kni есть период функции
/* (t), существует не более чем k различных элементов функции / (г),
имеющих данный центр. Итак, / (z) является /г-значной функцией,
аналитической в области G. Если е — один из ее элементов, то все
прочие k — 1 элементов с тем же центром можно получить, про-
продолжая е в области G по замкнутым непрерывным кривым, совер-
совершающим вокруг точки ? соответственно 1,2, . . ., k — 1 оборотов
в одном и том же направлении.
В этом случае точка § является точкой разветвления конеч-
конечного, а именно, (k— 1)-го порядка.
Чтобы получить аналитическое представление функции / (z)
в окрестности точки t,, выполним преобразование (z—Qft=g.
i
Тогда область G преобразуется в область G±: |5|
и функция f (z)—в функцию /i(j). Последняя получается про-
продолжениями одного из своих элементов вдоль всевозможных кри-
кривых, принадлежащих области G±. В плоскости переменного т =
= Ln з = ~г t ей соответствует однозначная аналитическая функ-
функция /* (т) = /* f у Л с периодом 2ni; отсюда по предыдущему
вытекает, что fi E) есть однозначная аналитическая функция
в области Gj. Для нее получаем разложение вида
Us) = 2 ««Г,
— оо
следовательно,

524 АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ [ГЛ. 8
Таков общий вид аналитических функций в окрестности точки
разветвления конечного порядка, равного k — 1.
Если / (z) имеет конечный или бесконечный предел в точке ?,
то то же имеет место и для /1 (g) в начале координат, откуда следует,
что из коэффициентов ап с отрицательными индексами лишь конеч-
конечное число отлично от нуля. Точка разветвления называется в этом
случае алгебраической точкой разветвления.
Если / (z) не имеет предела в точке ?, то то же справедливо и для
fi (g) в начале координат, откуда следует, что среди коэффициен-
коэффициентов ап с отрицательными индексами бесконечное множество отлично
от нуля. Точка разветвления в этом случае принадлежит к категории
трансцендентных. Так, например, функции \fz и exp (^z)
имеют алгебраическую точку разветвления, а функция ехр (т~\ —
\V~zl
трансцендентную точку разветвления в начале координат; порядок
точки во всех этих примерах один и тот же — (k — 1).
Обратимся, наконец, к анализу того случая, когда функция /* (t)
не имеет периода вида 2kni (k — натуральное). Тогда последова-
последовательности коэффициентов тейлоровских разложений функции /* (t)
в окрестностях любых из точек t, t + 2ni, t — 2ni, t + 4m,
t — 4ni, ... не могут полностью совпадать, т. е. должны попарно
различаться хотя бы одним коэффициентом. Отсюда вытекает, что
для любого z ? G существует бесконечное множество различных
элементов функции / (z) с этим центром и, следовательно, / (г) являет-
является бесконечнозначной функцией от г в любой окрестности точки ?,.
От какого-либо элемента функции / (z) с данным центром можно
перейти к любому другому с тем же центром посредством аналитиче-
аналитического продолжения вдоль замкнутой кривой, делающей определен-
определенное число оборотов вокруг точки ?. Продолжение вдоль кривых,
которые не делают ни одного оборота вокруг этой точки (т. е. при
обходе которых Изм Arg (z — Q есть нуль), не меняет исходного
элемента. Поэтому в данном случае точка ? также является точкой
разветвления функции / (z) и притом бесконечного порядка. Такого
рода точки также относятся к трансцендентным точкам развет-
разветвления и носят название логарифмических.
Аналитическое представление функции в окрестности лога-
логарифмической точки можно получить, например, если отобразить
полуплоскость D на круг посредством t = jj—-, где а —какая-
либо точка, принадлежащая D. Тогда f* (t) перейдет в функцию
^(т), однозначную и аналитическую в окрестности начала коор-
координат. Поэтому для F (т) будем иметь разложение

§ 6] ОСОБЫЕ ТОЧКИ 525
¦откуда
и, наконец,
о
Впрочем, это разложение неудобно для приложений. В частных
случаях для функции / (г) в окрестности логарифмической особой
точки можно получать значительно более простые и удобные раз-
разложения. Приведем два примера.
Пример 1. Функция / (z) приобретает при однократном обхо-
обходе в положительном направлении вокруг точки ? постоянное сла-
слагаемое А. Тогда f (г)—^—.Ln(z — ?) не изменяется при таком
обходе и, следовательно, представляет функцию, однозначную
и аналитическую в области вида 0 < \г — ? | < R. Поэтому для
/ (г) имеет место разложение
Пример 2. Функция / (г) приобретает при однократном
обходе в положительном направлении вокруг точки Z, постоянный
множитель афО. Тогда
/ (г) ехр [ —^f Ln(г~?) ] = f (z) {z-
не изменяется при таком обходе и, следовательно, для f (z) имеет
место разложение
f(z) = (z-?)"*«" § an{z-l)n.
— оо
Все сказанное здесь о точках разветвления относилось к случаю
конечной точки ?. Однако определения и выводы немедленно рас-
распространяются на случай бесконечно удаленной точки с заменой
z - I на 1 .
6.2. Определение особой точки, данное в предыдущем пункте,
не является еще полным, так как оно не содержит условий, при
которых две различными способами определенные особые точки
должны рассматриваться как тождественные. Дополним его сле-
следующим условием.
Пусть еи е2 — два правильных круговых элемента некоторой
полной аналитической функции и Lt : z == %i (ti), L2 : z = X2 (t) —

526 АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ [ГЛ. 8
две непрерывные кривые, выходящие из их центров 2Ь 22 и имеющие
по крайней мере одну общую точку Со. соответствующую значениям
параметров tt = xi и t2 — т2. Предположим, что эта точка является
особой для продолжения е4 вдоль Lt и е2 вдоль L2. Если для любой
окрестности точки Со существует такое е >• 0, что элемент, полу-
полученный из 6i посредством продолжения вдоль Lt до какой-либо точки
z" = %i (f), Xi — e < t" < xit может быть продолжен вдоль неко-
некоторой кривой, принадлежащей данной окрестности, в элемент,
получаемый из е2 посредством продолжения вдоль L2 до какой-либо
точки г" = Я2 (t"), х2 — е <С t" <C х2 (и обратно), то особая точ-
точка Со = ^i (Ti) = ^г (т^г) рассматривается как одна и та же
особая точка соответствующей полной аналитической функ-
функции. В случае же, когда указанные условия не выполнены, говорят
о двух различных особых точках аналитической функции,
имеющих один и тот же аффикс Со-
В виде иллюстрации рассмотрим функцию
Пусть Lt = L2 — единичная окружность, однократно проходи-
проходимая, начиная от точки 2=1, в положительном направлении.
Обозначим через et элемент, представляющий однозначную ветвь
этой функции, определяемую в окрестности точки z = 1 условиями
В результате аналитического продолжения вдоль L (аналитиче-
(аналитическое продолжение всегда является непрерывным продолжением)
]fz перейдет в
— \f\z| [cos (у argz) + isin (-1 arg2) ]
и, следовательно, значения / (z) будут стремиться к бесконечности
при 2—> 1. Отсюда следует, что z = 1 является особой точкой для
рассматриваемого продолжения.
Обозначим, далее, через е2 элемент, представляющий ту одно-
однозначную в окрестности точки 2=1 ветвь функции f(z), которая
определяется условиями
V~z =V\z\ [cos (yargz) +1 sin (уЩ?2) ] ,
\/"z = /|Tf [ cos (-i- arg 2) + i sin (i- arg 2] ] .
yrz=Y\z\ [cos (-1 arg 2) +i sin (у arg 2)] ,
у г = Vz [cos ^-arg2 + -g-J +isin ^-g-arg2 + -g-| J .

$ 6] ОСОБЫЕ ТОЧКИ 527
После продолжения вдоль L2 Уг перейдет в
— У\г\ [^cos ^yargzJ -ftsin (^argzj J ,
6,—
a (/z —в
—Y\A [cos (-б"аг§2) +^'sin (-б"агё2) ] •
Следовательно, значения / (z) будут стремиться к бесконечности
при z —> 1. Отсюда вытекает, что 2 = 1 является особой точкой и для
этого продолжения. Легко видеть, что она отлична от указанной
выше особой точки. В самом деле, значения функции / (г), получае-
получаемые после продолжения выбранных элементов вдоль Lt = L2,
принадлежат двум различным однозначным ветвям / (г) в окре-
окрестности точки 2=1:
+ V\A [cos (-g-argz) + isin (-i-argz) ] }~*
и
Ыг) = { 1 — |/"|z| [cos (уаг82') -Msin (yargz) ] j x
X {l —/fzf [cos (-^arg^) +isin (-g-argz)]}" .
Следовательно, нельзя перейти от одних к другим посредством ана-
аналитического продолжения по кривым, принадлежащим достаточно
малой окрестности точки z = 1 (радиус окрестности должен не пре-
превосходить единицу). Отсюда вытекает, что 2=1 представляет две
различные особые точки функции / (г).
Читатель легко проверит, что одна из них есть полюс первого
порядка, а другая — полюс второго порядка.
Пусть G — произвольная односвязная область, для определен-
определенности ограниченная, и е0 — правильный элемент с центром в неко-
некоторой точке 20 ? G. Предположим, что этот элемент можно аналити-
аналитически продолжать по любым кривым, принадлежащим области G.
В результате получим однозначную аналитическую функцию f (z).
Пусть ?0 — достижимая точка границы, определяемая жордановым
полуинтервалом у с: G. Если продолжение рассматриваемого эле-
элемента функции / (г) с центром в начальной точке полуинтервала у0
возможно вдоль всего у0, включая конечную точку to, то и для
любого другого жорданова полуинтервала у, определяющего ту же
достижимую точку, возможно продолжение элемента функции f (z)
с центром в начальной точке полуинтервала у вдоль всего у,

528 АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ [ГЛ. 8
включая конечную точку. При этом результат продолжения в
обоих случаях — один и тот же.
В самом деле, пусть е0 — элемент, являющийся результатом
продолжения вдоль у0. Если у и yQ имеют точки пересечения в любой
окрестности точки Со. то такая точка пересечения С найдется в круге
сходимости элемента е0. Можно потребовать еще, чтобы дуга ССо
вся принадлежала этому кругу. В силу однозначности функции / (z)
продолжение вдоль у0 и у должно привести к одному и тому же
элементу е с центром С- Этот элемент подчинен элементу е0, и, сле-
следовательно, присоединяя к цепи элементов, осуществляющей про-
продолжение вдоль дуги у, считая от ее начальной точки до точки С,
еще один элемент е и замечая, что дуга ССо покрывается кругами
элементов е и е0, получим цепь, осуществляющую продолжение
вдоль кривой у (включая ее конечную точку) и приводящую к тому
же результату, что и продолжение вдоль у0.
Пусть теперь у и у0 не имеют общих точек в некоторой окрестно-
окрестности точки Со- Тогда можно провести третью кривую у', определяю-
определяющую ту же достижимую точку и имеющую общие точки с 7о и У
в любой окрестности их общего конца Со- Чтобы убедиться в суще-
существовании такой кривой, достаточно выполнить конформное ото-
отображение области G на круг и вспомнить, что кривые, определяющие
одну и ту же достижимую точку, соответствуют жордановым полу-
полуинтервалам единичного круга, кончающимся в одной и той же точке
окружности. Применяя к у0 и у', а затем к у' и у установленный
выше результат, убеждаемся в справедливости доказываемого
предложения.
Из доказанного предложения вытекает, что если достижимая
точка Со является особой точкой относительно продолжения эле-
элемента функции / (z) вдоль кривой у0, определяющей эту достижимую
точку, то она является особой точкой также и для продолжения
элементов функции / (z) вдоль любой другой кривой у, определяю-
определяющей ту же достижимую точку. Убедимся в том, что эта особая точка
остается одной и той же независимо от того, по какой из кривых
То. У, Y*. • ¦ •> определяющих данную достижимую точку, ведется
продолжение. Это утверждение очевидно в том случае; когда у и у0
пересекаются в любой окрестности точки Со, как это непосредствен-
непосредственно вытекает из условия тождества особых точек, формулирован-
формулированного в начале этого пункта. Если же у и у0 не имеют общих точек
в некоторой окрестности точки Со. за исключением конца, то прово-
проводим вспомогательную кривую у', имеющую общие точки как с у,
так и с у0 в любой окрестности точки Со, и сводим последний случай
к предыдущему.
Доказанные здесь предложения оправдывают разделение множе-
множества всех достижимых точек данной области на два класса: правиль-

§ 6]
ОСОБЫЕ ТОЧКИ
529
В
ных и особых точек функции / (г), аналитической в этой области.
А именно, достижимая точка является правильной или особой
в зависимости от того, возможно ли продолжение элемента функ-
функции / (г) вдоль какой-либо кривой, определяющей эту достижимую
точку, или невозможно.
Читатель легко проверит, что в случае, когда область есть круг,
новое определение правильных и особых точек аналитической функ-
функции эквивалентно определению, данному в п. 6.3 главы III.
Установим, наконец, понятие особого недостижимого гранич-
граничного элемента. Пусть е — граничный элемент области G, содержа-
содержащий более одной точки;
такой элемент необходимо
содержит недостижимые
точки. Каждый жорданов
интервал у, принадлежа-
принадлежащий области G, за исклю-
исключением своих концов, делит
G на две области. Пусть
gy — та из областей, гра-
граница которой содержит е.
Предположим, что для
некоторого интервала у все достижимые точки границы обла-
области G, входящие в границу области gy, являются особыми для
f(z). При этих условиях e называется особым недостижимым гра-
граничным элементом функции /(г). Если мы будем соединять жорда-
новой дугой Я какую-либо точку z0 ? gy с недостижимой точкой ?,,
принадлежащей е, так, чтобы первая точка встречи дуги К с грани-
границей области gy принадлежала границе области G, то эта точка, по
предположению, будет особой по отношению к продолжению функ-
функции f (z) вдоль А. Таким образом, сама точка {, непосредственно не
является препятствием для аналитического продолжения, но пре-
препятствия предшествуют этой точке на любом пути, ведущем к ней
из области gT
Разъясним понятие особого недостижимого граничного элемента
на примере. Пусть G— область плоскостиz, изображенная на рисун-
рисунке 76. Ее граница состоит из дуги кривой у = sin— на полуинтер-
полуинтервале 0 < х< 1, отрезка мнимой оси: х = О, —1<г/< 1, и дуги АВ
окружности, соединяющей точки A, sin 1) и @, 1). Рассмотрим
еще область D плоскости w, изображенную на том же рисунке.
Она ограничена некоторой жордановой кривой KL, ни одна из дуг
которой не является аналитической *), и ломаной KMNL. Пусть
*) Такой кривой будет, например, график некоторой непрерывной на
сегменте а ^ х ^ Ъ и нигде не дифференцируемой на этом сегменте функции.
| ()
34 д. и. Маркушевнч

530 АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ [ГЛ. 8
w = / (г) конформно отображает G на D так, что точки Л, В (В рас-
рассматривается здесь как достижимая точка) и С переходят соответ-
соответственно в точки L, М и К- Тогда образом отрезка ВС (если его рас-
рассматривать как составленный из одних только достижимых точек)
будет отрезок МК и образом кривой у = sin — — дуга KL.
Очевидно, каждая точка кривой у = sin — будет особой точкой
функции / (z) (достижимой особой точкой). В самом деле, любая
дуга этой кривой (определяемая условием 0<а<х^р<1)
является правильной аналитической. Если допустить, что неко-
некоторая точка рассматриваемой кривой есть правильная точка для
/ (z), то мы можем найти дугу этой кривой, на которой / (z) будет
аналитической, причем производная /' (г) не будет обращаться
в нуль. Образом такой дуги при отображении w = f (г) должна
быть также правильная аналитическая дуга, принадлежащая кри-
кривой KL. Но последняя не содержит аналитических дуг, откуда
и следует наше утверждение.
Рассмотрим теперь граничный элемент е области G, содержащий
все точки отрезка ВС. Из них достижимой является только одна
точка С. Этот граничный элемент целиком входит в границу обла-
области g a G, заштрихованной на рисунке 76. Кроме того, в границу
этой области g входят точки дуги у = sin—. Мы уже видели, что
они суть особые точки для / (z). Следовательно, в силу определе-
определения е есть особый недостижимый граничный элемент для f(z).
Важно заметить, что в этом примере все точки отрезка ВС, рас-
рассматриваемые как достижимые граничные точки области G, являют-
являются правильными для / (z). Это следует из того, что функция w = / (z)
отображает достижимый прямолинейный отрезок ВС на прямолиней-
прямолинейный отрезок КМ (см. ниже, п. 7.1).
6.3. Конец этого параграфа мы посвятим некоторым сведениям
об алгебраических функциях. Рассмотрим алгебраическое уравне-
уравнение степени п относительно w.
F(z, w) = po(z) + Pl(z)w+ . . . + pn(z)wn = 0, F.3: 1)
где pj (z) (/ = 0, . . ., n) суть многочлены относительно z, причем
pn (z) Ф 0 и многочлены p0 (z), pi (г), . . ., pn (г) не имеют общего
делителя выше чем нулевой степени, т. е. не имеют общих нулей.
Мы будем предполагать далее, что уравнение F.3 : 1) является
н е п р и в о д и м ы м, т. е. что многочлен F (z, w) не может быть
представлен в виде F (z, w) = Ft (z, w)-F2(z, w), где Fi (z, w)
и F2 (z, w) — многочлены степени ниже п относительно w. Если
это условие не выполнено, то данное уравнение можно заменить

§ 6] АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 531
двумя более низкой степени относительно w
Fi (z, w) = 0 и F2 (z, w) = 6
и рассматривать каждое из них в отдельности для определения
w как функции от z.
Отметим все различные между собой нули zu . . ., zm много-
многочлена рп (z) и многочлена D (г), являющегося дискриминантом для
F.3 : 1). D (z) находится посредством исключения w из двух урав-
уравнений:
^0 и
Для каждой конечной точки z0 плоскости, отличной от Zj
(j = 1, . . ., т), уравнение F.3:1) имеет k различных конечных
корней ы>1, w2, ¦ ¦ ., wn, причем производная
3F (г0, Wj)
ш ^0 0=1,. ..,rt).
В силу теоремы о неявных функциях (п. 5.5 гл. IV) в окрестности
точки z0 существует п однозначных аналитических функций
fi (z), ...,/„ B), удовлетворяющих условиям:
fj(zo) = wj и F[z,fj(z)] = O. F.3:2)
Итак, каждой точкеz0 плоскости, отличной отZj (/ = 1, . . ., т),
соответствует п и только п различных правильных элементов с цен-
центром в этой точке, удовлетворяющих в окрестности точки zQ урав-
уравнению F.3:1).
Обозначим через G область, получающуюся из конечной пло-
плоскости посредством исключения точек zit . . ., zm, и докажем,
что каждый из элементов fj (z) можно аналитически продолжать
по любой непрерывной кривой, принадлежащей области G. В самом
деле, пусть L : z = % (t) (a < t < P) — непрерывная кривая
с начальной точкой z0, лежащая в области G. Допустим, что t, = % (т),
а <; т < р,— особая точка относительно аналитического продол-
продолжения элемента fjo (z) вдоль L. По установленному выше эта точка
обладает окрестностью U, в которой определены п правильных
элементов <pj (z) (/ = 1, . . ., п) удовлетворяющих уравне-
уравнению F.3:1). Пусть zi = i.(ti) — точка кривой L, принадлежа-
принадлежащая U и притом такая, что ^-<т и дуга L[i,,,] содержится в U.
Элементы -ф^ (г) с центром в точке z±, подчиненные соответствен-
соответственно элементам q>j B), удовлетворяют уравнению F.3 : 1} в окрестно-
окрестности точки Zi и все различны между собой (так как элементы ср^ (г)
с общим центром Z, все различны между собой). Пусть % (z) — эле-
элемент с центром в точке z, полученный из fj0 (z) посредством продол-
продолжения вдоль L[a, tiy Тогда элемент функции F [z, % (z)\ с тем же
34*

532 АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ [ГЛ. 8
центром будет представлять результат продолжения элемента
функции F [z, fj0 (z)] с центром z0 вдоль L[K; (l], и так как
F [z, fjo (z)] — О в окрестности точки z0, то и F \z, % (z)] = О в окре-
окрестности точки г\. Но различных элементов с данным центром, удо-
удовлетворяющих уравнению F.3 : 1), может существовать только п.
Отсюда вытекает, что % (z) совпадает с одним из элементов % (z):
¦фи,, B). Замечая, что элемент г|зАо (z) подчинен элементу ср^0 (г)
с центром t, и что дуга L[(l> т] покрывается кругами элементов %0 (г)
и щ0 (z), заключаем, что элемент /Jo (z) продолжается вдоль всей
дуги L[a, т], и следовательно, допущение о том, что ? = А, (т) являет-
является особой точкой для рассматриваемого продолжения, неверно.
Итак, мы доказали, что любой правильный элемент, удовлетво-
удовлетворяющий уравнению F.3 : 1), аналитически продолжается вдоль
любой непрерывной кривой, принадлежащей области G; продолже-
продолжение осуществляется посредством элементов, удовлетворяющих тому
же уравнению.
Пусть Uh — окрестность точки гА, не содержащая точек zj,
отличных от zh. Выберем один из элементов /3-0 (z) с центром
в точке zo^Uk и продолжим его по всем возможным кривым
области Uk, не проходящим через zh. В' результате получим
некоторую функцию ц>(г), вообще многозначную, удовлетворяю-
удовлетворяющую уравнению F.3: 1):
F[z, фB)] = 0, z?Uk.
Функция ф (z) может быть либо однозначной, либо многознач-
многозначной, но не более чем л-значной в Uh. В первом случае точка zk
a priori может быть для ф (z) либо правильной, либо полюсом,
либо существенно особой точкой. Во втором случае Zk будет точ-
точкой разветвления конечного порядка (не выше чем п— 1). Во всех
случаях ф (г) имеет в окрестности точки Zh разложение следую-
следующего вида:
i
где v — натуральное число, не большее чем п.
Покажем, что среди коэффициентов Л,- с отрицательными
индексами лишь конечное число может быть отлично от нуля
(следовательно, случаи существенно особой точки или неалгебраи-
неалгебраической точки разветвления исключаются). Для этого достаточно
доказать, что ф (z) стремится к конечному или бесконечному
пределу, когда z стремится к 2д.
Предварительно докажем следующую лемму о непрерывной
зависимости корней алгебраического уравнения от его коэффи-
коэффициентов.

§ 6] АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 533
Лемма. Пусть коэффициенты многочлена
Р (w) = с0 + сцю +- ... + c^w71-1 + wn
удовлетворяют условиям | с, | <; М (/ = 0, ..., п — 1) (М > О).
Тогда для фиксированного k, 1<&<п, и для любого е>0
можно указать такое 6fe = 6(e; M, k), что при |co|<Sfe, ...
..., j cft_! j < Sfe уравнение Р (w) = O будет иметь по крайней мере
k корней по модулю меньших е.
Доказательство. Пусть wu .. ., wn — нули многочлена
Р (w), расположенные в порядке неубывающих модулей. Замечая,
что для |ai|>M + l имеем:
заключаем, что модули всех нулей не превосходят М-\-1=М'.
Проведем теперь доказательство леммы по индукции, начиная
с k=l.
В самом деле, со = (—1)"ш1 ... wn и, следовательно,
если | Со | < 6t = e .
Допустим, что нам удалось доказать, что
(j<k) могут быть сделаны меньше любого е, если со\, .. ., |С;_4
взяты меньшими, чем 6; = 6у-(е, М). Замечая, что Cj с точностью
до знака есть сумма всевозможных произведений нулей много-
многочлена Р (w) с различными индексами, взятых в количестве п — /,
получаем:
где сумма содержит (") — 1 слагаемых и каждое слагаемое содер-
содержит по крайней мере один множитель с индексом, не превосхо-
превосходящим /. Поэтому при | с01, ..., j Cj_t-|, меньших чем
будем иметь:
где e' = 8n
(при е<1),

534 АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ [ГЛ. 8
-^г'. Полагая 6j4l = mi.n (8'j, M'n-i-4'), найдем,
\\ \\8 \\8
j (j ),
<e, ..., \wJn\<.e, если \co\<.8JH, ..., \Cj\<.8
если \cj
что }wt
Лемма доказана.
Рассмотрим теперь следующие возможности: а) рп (Zk) ф О,
б) pn(z/l) = 0. В случае а) уравнение
8J+i.
F(zk, w) =
имеет корни at, ..., а,- с кратностями ku ..., kr, причем сумма
кратностей 2 kj равна п.
Полагая w = а} + w', будем иметь:
F (z, w) -¦= я0 (г) -[- я4 (г) ее' -f . . . -f- лп (г) ш'п,
где лп (г) = р71 (г) и, следовательно, пп(г)ф0 в некоторой окре-
окрестности Uо ТОЧКИ Zk-
Перепишем уравнение F(z, w) = 0 для z?U0 в виде
^ ^^(?1-1 + и;'^о F.3:3)
я„ (z) ' я„ (г) - ' ' • * ' пп(г)
и заметим, что при z = Zh оно имеет й^-кратный корень в точке
до' = 0 (так как уравнение F (Zk, w) = 0 имеет ^-кратный корень а.)).
Отсюда следует, что его коэффициенты п$ у (s = 0, . .., kj — 1)
яп (г)
обращаются в нуль при z — z*.-
Применим к уравнению F.3:3) нашу лемму. Фиксируя е>0
столь малым, чтобы е-окрестности V,- точек aj (/ = 1, . . ., г)
не имели общих точек, выберем далее согласно лемме числа
б^^=б(е; М, kj); в качестве М мы принимаем наибольшую из
верхних граней модулей ^Ш- в ^о- Опираясь на непрерыв-
непрерывность рациональных функций л ( в Uo, можем заменить Uo
меньшей окрестностью Uj точки Zh так, чтобы для всех z?Uj
выполнялись неравенства .
Тогда найдем, что уравнение F.3:3) будет иметь для каж-
каждого z?Uj по крайней мере k} корней (относительно w'), лежа-
лежащих в круге |а/|<е, а следовательно, уравнение F {z, w) = 0, —
по крайней мере kj корней в круге Vf. \w — a;|<e.
Обозначим через U какую-либо окрестность точки z0, содержа-
содержащуюся во всех Uj(j—l, ..., г). Тогда для всех z^U урав-
уравнение F (z, w).= 0 будет иметь по крайней мере kj корней

§ 6] АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 535
г
в Vj (/= 1, . . ., г), а так как 2 kj = nn окрестности Vj с различ-
j=i
ными индексами не имеют общих точек, то все без исключения
корни уравнения F (z, w) = О будут содержаться в совокупности
этих окрестностей и каждая окрестность Vj будет содержать
ровно kj корней.
Вернемся к функции ср (z), изучаемой нами в окрестности
точки zk, и выберем рассматриваемую окрестность \z — г^|<р
столь малой, чтобы она содержалась в U. Так как все значения
Ф (z) суть корни уравнения F (z, w) = 0, то они должны принад-
принадлежать совокупности окрестностей Vj (/=1, ..., г), не имеющих
попарно общих точек. С другой стороны, образ ф @<|z—гА|<;р)
есть связное множество (область). Поэтому этот образ целиком
содержится в одной из окрестностей Vу. \w — а3-0|<е. Итак, для
любого е>0 можно указать такое р = р(е)>0, что при
О <; | z — Zk | < р все значения функции ф(г) будут лежать в круге
\w — aiol<e- Поэтому в разложении ф (z) = ^Aj(z — z/t)" все коэф-
— оо
фициенты с отрицательными индексами должны равняться нулю
(в противном случае функция ф (z) была бы неограниченной
в окрестности точки zk). Окончательно для ф (г) получаем раз-
разложение
q(z) = %Aj(z-zkf.
о
Следовательно, в случае а) (когда Рп(^н)фО) точка zh является
либо правильной для ф(г) (если v=l), либо алгебраической точ-
точкой разветвления. В самой точке z = zu функция ф(г) принимает
конечное значение ф Bft) = о,-0 = Ло.
Рассмотрим случай б) (когда pn(zh) = 0). В этом случае pn(z)
имеет вид pn(z) = (z — Zk)qPn{z), где q—натуральное число
и P7i(z) — многочлен, не обращающийся в нуль в точке гд. Пере-
Перепишем уравнение F(z, w) = 0 в виде
{z-Zkf11'^ F {z, w) = po{z){z-zhfn-i)+... +Pn(z)x
X(z-zkynwn = 0
и заменим здесь (z — zh)qw через W. Полагая
-2k)9("-1) = PoB), Л B) B-Z*)9^-2^^ B), ...
получим уравнение
Ро (z) + Pt(z)W+...+ Pn-i (z) Г + Pn (z) W" = 0, F.3:4)
для которого Pn (zh) Ф 0.

536 АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ [ГЛ. 8
Этому уравнению в окрестности точки z = Zh должна удовле-
удовлетворять функция W = (z — 2ft)9 ф (z), неограниченно продолжаемая
в окрестности точки Zk по всем кривым, не проходящим через
точку zh. Так как к уравнению F.3:4) и функции (z — zh)qy{z)
применимо все установленное выше в случае а), то мы находим
для этой функции следующее разложение в окрестности точки г&:
откуда
4>(z) = IiAJ(z-zhf~q= 2 Aj (z-zhf,
О j=-gv
где Aj = Ajjrqv.
Итак, в случае б) разложение функции ср (г) может содержать
конечное число членов с отрицательными показателями, так что
Ф (z) может обращаться в ос в точке г^.
Изучим, наконец, функцию ф (z), которая получается в окре-
окрестности U бесконечно удаленной точки посредством аналитиче-
аналитического продолжения одного из элементов fjo(z), удовлетворяющих
уравнению F.3:1). Эту окрестность мы выберем так, чтобы U
не содержала ни одной из точек zu .. ., zm.
Выполняя преобразование ? = Y' мы получим вместо уравне-
уравнения F.3 :\) уравнение
Ро (j
или, умножая все коэффициенты на %N, где W—наибольшая из.
степеней многочленов po(z), ..., pn(z), получим:
где
Qj(O = tNPm (/ = 0, ...,л)
^многочлены относительно ?,. Этому уравнению должна удо-
удовлетворять функция ф (-pj , неограниченно продолжаемая в окре-
окрестности точки ? = 0 по всем кривым, не проходящим через эту
точку. По предыдущему ф (-jA обладает разложением вида
Ф (!) = 2
0

§ 6] АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 537
(если qn @) Ф 0) или более общего вида
я> (т) = S
т
где ц может быть отрицательным, если qn@)—0.
Возвращаясь кг = у, найдем в окрестности точки г = оо:
или
Резюмируем факты, установленные в этом пункте.
Алгебраическое уравнение F.3 : 1) степени п определяет в рас-
расширенной плоскости w как п-значную функцию от г. Функция
оо J_
эта представляется посредством элементов вида^] Aj (z~zo)v y
и
°° з_
если гфоо, или 2 A/z V' еслы z0~oo. 5 случае, когда точка
z0 ф оо отлична от точек zu ..., zm, б которых многочлен рп (г)
или дискриминант уравнения D (г) обращается в нуль, мы имеем п
различных правильных элементов с центром z0. Неправильные-
элементы возможны только в случае, когда их центр есть одна
из точек zt, ..., zm или бесконечно удаленная точка.
6.4. Мы обратимся теперь к доказательству того, что все эле-
элементы, полученные в предыдущем пункте, составляют один анали-
аналитический образ, т. е. что любой из этих элементов может быть
получен из любого другого посредством аналитического продолже-
продолжения. Достаточно показать, что любой правильный элемент, удовле-
удовлетворяющий уравнению F (z, w) = 0, может быть аналитически
продолжен в любой другой правильный элемент с тем же центром,
удовлетворяющий этому уравнению. В самом деле, если /л (г)
и Фйо С2) — Два элемента с различными центрами г0 и ?, то мы можем
сначала продолжить f]o (z) в некоторый элемент ср^ (z) с центром ?
(см. предыдущий пункт), а затем ср^ (г) продолжить в элемент cpfto (г).
Остается заметить, что каждый из неправильных элементов, удо-
удовлетворяющих уравнению F (г, w) = 0, определяется посредством
аналитического продолжения правильных элементов.
Чтобы доказать, что два правильных элемента с одним и тем
же центром zQ могут быть аналитически продолжены друг в друга,
будем рассуждать от противного.
Пусть элемент Д (г) с центром z0 может быть продолжен в эле-
элементы f2(z) ft (z) (k < n) с тем же центром и не может быть
продолжен в остальные элементы fh+i (г), ...,/„ (г). Продолжим

538 АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ 1ГЛ. 8
элемент /4 (z) всеми возможными способами в области G. Получим
функцию /(г), вообще многозначную (fe-значную). Пусть L с G —
непрерывная кривая, соединяющая точку z0 с точкой ? 6 G. Если
продолжать вдоль L два различных элемента /s (z) и ft (г), то в ре-
результате мы должны получить также два различных элемента срп (г)
и <рт (г) с центром ?,. В самом деле, если срп (г) = срт (г) = ср (г),
то, продолжая ср (г) вдоль L, мы получили бы в точке г0 также одина-
одинаковые элементы /s (г) = /( (г), вопреки предположению. Отсюда
следует, что, продолжая вдоль L все k элементов /i (г), . . ., fh (г),
мы должны получить в точке ? также k различных между собой
элементов ср4 (г), . . ., cpfe (г). Пусть L — замкнутый путь, начи-
начинающийся и кончающийся в точке г0, вдоль которого элемент Д (z)
переходит в элемент /а1 B), отличный от /4 (z). Тогда, продолжая
fai (z) вдоль L (в том же направлении), мы должны получить эле-
элемент /ц2 (z), отличный от /ai (z). Если он отличен и от /t (z), то мы
продолжаем его вдоль L и получаем элемент fas (z), отличный от
fax B) и /a2 (z) (так как вдоль L продолжались три различных
элемента: /t (z), /ai (z) и /a2 (z), то и результаты их продолжения
fax B), /a2 B) и /а3 (z) должны быть различны между собой). Повторяя
этот процесс, получим элемент /a._{ (z), который после продолжения
вдоль L даст элемент Д (z). В самом деле, число различных эле-
элементов с центром z0, которые могут быть получены в результате
всех возможных продолжений элемента /t (z), равно k, и следова-
следовательно, описанный процесс получения элементов/ai (z), /«2 (z), . . .,
отличных от Д (z) и друг от друга, должен закончиться не позднее,
чем на (k — 1)-м шаге. Таким образом, каждой замкнутой кривой L
соответствует свой цикл элементов /1 (z), fax (z), . . ., fa-_l (z)
такой, что каждый последующий получается из предыдущего путем
продолжения вдоль L в положительном направлении, а элемент
/i B) получается при продолжении элемента /a_j B). Если / <С k,
то, беря элемент /р0 (z), не входящий в L, и продолжая его повторно
вдоль L, получим новый цикл /р0 (г), /рх (г), . . ., /вг_! (г) элемен-
элементов, отличных от вышерассмотренных. Таким образом, из всех
элементов /4 (г), . . ., fk B) могут быть построены циклы (относи-
(относительно данной кривой L), причем элементы двух различных циклов
необходимо различны между собой.
Образуем произведение
{w-h B)] [w-f2 (z)} ...[w~fh (г)] =
= wh + Лй_! B) wk~i +...+A0 B). F.4 : 1)
Так как элементы /4 (z), . . ., fh (z) аналитически продолжаются
вдоль любой непрерывной кривой, принадлежащей G, то то же
самое справедливо и для коэффициентов Ло (z), . . ., A^-i B)
полученного нами многочлена относительно w, являющихся эле-

§ 6] АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 539
ментарными симметрическими функциями от fi(z), . . ., fh (z).
Следовательно, эти коэффициенты являются аналитическими функ-
функциями в G (г priori fe-значными). Однако продолжение системы эле-
элементов fi (z), . . ., fh (z) с центромz0 вдоль любой замкнутой кривой,
принадлежащей G (точно так же, как и продолжение системы
9i B) Фь (z) с любым другим центром Q, приводит вновь
к той же системе элементов, лишь расположенной в другом порядке,
который можно установить, зная циклы, соответствующие данной
кривой. Поэтому результат продолжения элемента каждой из
симметрических функций Aj (z) вдоль любой замкнутой кривой,
принадлежащей области G, должен совпадать с исходным элементом
этой функции. Следовательно, функции Aj (z) (/ = О, . . ., k — 1)
являются однозначными в области G, а граничные точки этой обла-
области Zi, . . ., zm и оо могут быть для них правильными точками,
полюсами или существенно особыми точками. Но последний случай
исключается. В самом деле, в окрестностях точки zs значения
многозначной функции / (г) представляются одним или несколькими
оо р
рядами вида 2 Ар (z— zs)v (см. предыдущий пункт). Точно так
Ц
же в окрестности бесконечно удаленной точки имеем разложения
°° р_
вида У] A'Tjz v'. Подставляя соответствующие ряды вместо k эле-
ментов функции f (z) в выражения симметрических функций Aj {z)
и выполняя операции умножения и сложения над этими абсолютно
сходящимися рядами, найдем для каждой из функций Aj (г) разло-
разложение в окрестности точки zs (или z = оо), содержащее лишь конеч-
конечное число членов с отрицательными степенями z — zs (соответствен-
(соответственно с положительными степенями г). Это означает, что ни одна из
функций Aj (z) не может иметь существенно особых точек в расши-
расширенной плоскости. Следовательно, все функции Aj (z) являются
рациональными. Представляя каждую из них в виде несократимой
дроби
где Pj B) и Qj (z) суть многочлены (если Aj (z) = 0, то полагаем
Pj (z) = 0 и Qj (z) = 1) и обозначая наименьшее общее кратное
многочленов Qj (z) через Q(z) (Q(z)^O), представим равенство
{6.4 : 1) в виде
где Ph(z) = Q(z) и PlV)=PllQ}l)Z) (/ = 0,

540 АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ [ГЛ. 8
Таким образом, fe-значная функция f(z), полученная посред-
посредством всех возможных продолжений одного из элементов, удовле-
удовлетворяющих алгебраическому уравнению F.3 : 1), сама удовлетворяет
алгебраическому уравнению
Ph (г) wh + /Vi (z) w*-1 + . . . + Po (г) = 0. F.4 : 2)
Заметим, что коэффициенты полученного уравнения не имеют
общего делителя выше чем нулевой степени, т. е. не имеют общих
нулей. В самом деле, пусть z — а есть какой-либо делитель коэф-
коэффициента Рй (z) = Q (г); тогда z — а является делителем по край-
крайней мере одного из знаменателей Qj (z) дробей J . Пусть Qj0 (z)
делится на z — а в наиболее высокой степени. Соответствующий
числитель Pj0(г) не делится на z — аи, кроме того, дополнитель-
дополнительный множитель тгут также не делится на z — а. Отсюда еле-
4j (г)
дует, что
гзо\г)— Q-(z) ]o\z)
также не делится на z — а и, следовательно, г —а не может быть
общим делителем коэффициентов уравнения F.4:2).
Докажем, что многочлен
Ф(г, w) = P0(z)+ ...+Ph(z)wh
(степень которого k удовлетворяет условию 1< k <z n) должен
быть делителем нашего исходного многочлена
F (z, w) = ро (г) + ... + pn(z) wn.
Так как последний предполагался неприводимым, то мы при-
придем к противоречию, откуда будет следовать, что k не может
быть меньше чем п, т. е. в конечном счете, что все элементы,
удовлетворяющие неприводимому алгебраическому уравнению
составляют один аналитический образ (а все правильные элемен-
элементы— одну аналитическую в области G n-значную функцию).
Для доказательства заметим, что
F (г, w) = рп (г) [w-h(z)]-..[w- U (*)]
и
Ф(г, w) = Ph (z) [w-h(z)] ... [а,-/* (z)], -
причем эти соотношения сохраняются при всех возможных про-
продолжениях правильных элементов /1B), ..., fn{z) в области G.
Поэтому
F (г, w) рп (г) . г / Ч1 . г / \,

§ 6] АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 541
К произведению [w — fh+\ {z)\ ¦. ¦ [w — fn(z)] можно применить
все, что было установлено относительно произведения [до—fi(z)]- ¦ •
... [w—fk(z)\- В результате получим:
[w-fh+i (z)] ...[w~ fn (z)] = w^-7-ARn-k (z) wn~h+ ... +R0(z)],
где R0(z), ..., Rn-k (z)~ многочлены, не имеющие общего мно-
множителя степени выше нулевой.
Итак,
F (z> w) _ Рп (г)
Ф (z, w) ~ ~Pk (г) Rn_h (г,
ИЛИ
X[R0(z)+...+ Rn.k (z) wn-h]. F.4 : 3)
Представим D Ann i \ в виДе несократимой дроби „,,, ¦
Очевидно, степень многочлена Р' (z) должна равняться нулю.
В противном случае Р (г) имел бы по крайней мере один нуль
2 = а и из соотношения F.4:3) вытекало бы, что F (a, w) = О
при всех w, что невозможно, так как коэффициенты р0 (а), ..., рп (а)
этого многочлена не все равны нулю. Точно так же Q (z) есть
многочлен нулевой степени. В противном случае Q (z) имел бы
по крайней мере один нуль z = b и многочлен F (b, w) обращался
бы в оо при всех значениях w, что невозможно. (Утверждая, что
правая часть равенства F.4 :3) обращается в бесконечность при
z = b, мы пользуемся тем, что многочлены Ps(z), так же как
и многочлены Rt(z), не имеют общего нуля.)
Итак, соотношение F.4 : 3) может быть представлено в виде
F(z, w) = C[P0(z) + ... +Ph(z)wh][R0 B)+ ... +Rn-h(z)wn-h],
где С есть отличное от нуля постоянное, что, однако, противоречит
неприводимости уравнения F.3 : 1).
Мы доказали, следовательно, что все элементы, удовлетворяющие
неприводимому алгебраическому уравнению, составляют один ана-
аналитический образ.
Рассматривая w как функцию от z, получаем n-значную функ-
функцию w = f (z), аналитическую в области G, а в граничных точках
Zi, . . ., zm и оо этой области не имеющую других особенностей,
кроме, быть может, полюсов или алгебраических точек разветвления.
Эта функция w = f (z) называется алгебраической, а соот-
соответствующий аналитический образ, рассматриваемый как риманова
поверхность в собственном смысле слова,— римановой поверхностью
этой функции.

542 АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ . [ГЛ. 8
Так как аналитический образ содержит п различных элементов
над каждой точкой расширенной плоскости (за исключением точек
г1; . . ., zm и оо), то риманова поверхность является п-листной.
Над точками zit . . ., zm, оо могут лежать разветвленные элементы
аналитического образа — точки разветвления поверхности. Модель
этой поверхности можно изготовить, если взять п экземпляров рас-
расширенной плоскости, на каждом из них соединить точки zit ...
. . ., zm и оо в каком-либо порядке ломаною Л, не имеющею само-
самопересечений, надрезать каждый экземпляр вдоль Л, а затем склеи-
склеивать между собой борта надрезов одного и того же или различных
экземпляров в определенном порядке. Чтобы выяснить порядок
склеивания, фиксируем на каждом экземпляре некоторую точку zu,
не лежащую на Л, и продолжаем аналитически по одному из элементов
образа с центром в этой точке. Тогда в силу теоремы о монодромии
получим на каждом экземпляре по одной однозначной ветви алгеб-
алгебраической функции f(z). При продолжении элемента, определяю-
определяющего ветвь, по кривой, кончающейся в некоторой точке ломаной Л
(отличной от гь . . ., zm и оо), мы получим в этой точке один или
другой элемент функции / (г) в зависимости от того, к какому иа
двух бортов разреза приводит кривая. Если элементы, полученные
на том и другом борте разреза определенного экземпляра, оказы-
оказываются тождественными, то соответствующие точки разреза склеи-
склеиваются друг с другом так, что часть разреза уничтожается на
данном экземпляре. В противном случае борт разреза данного
экземпляра склеивается с бортом разреза другого экземпляра,
несущим те же самые элементы функции / (г). После всех склеива-
склеиваний получаем нужную модель. Продолжению любого элемента функ-
функции / (г) вдоль некоторой кривой L на плоскости z соответствует
передвижение по данной поверхности с одного ее листа на другой.
Если кривая L замкнутая, то мы в результате передвижения оказы-
оказываемся, вообще говоря, в точке поверхности, отличной от исходной,
хотя и расположенной над той же самой точкой плоскости z. Иными
словами, над замкнутыми кривыми плоскости z расположены,
вообще говоря, незамкнутые кривые на нашей римановой поверх-
поверхности.
В заключение заметим, что свойство алгебраических функций
быть конечнозначными и не иметь других особых точек, кроме полю-
полюсов и алгебраических точек разветвления, расположенных над
конечным числом точек расширенной плоскости, является характе-
характеристическим для этих функций. А именно, справедливо следующее
предложение:
Теорема. Пусть функция f (z), допускающая неограниченное
аналитическое продолжение по всем непрерывным кривым, принадле-
принадлежащим области G, граница которой состоит из конечного числа
точек zit z2, ¦ ¦ ¦, zm, оо, является не более чем п-значной в обла-

§ 7] ПРИНЦИП СИММЕТРИИ 543
emu G, в окрестности точек z} представляется разложениями вида
во Р
2 Ар (z — ZjY ((x —• целое число, v — натуральное число), а в окре-
и
°° _ JL
стности точки z = <х>—разложениями вида У] A'pz v'. Тогда
эта функция f (г) является алгебраической.
Для доказательства достаточно заметить, что рассуждение, про-
проведенное нами в первой половине этого пункта, где мы установили,
что функция /(г), получающаяся посредством аналитического про-
продолжения в области G элемента, удовлетворяющего уравнению
F.3 : 1), сама должна удовлетворять некоторому алгебраиче-
алгебраическому уравнению F.4 : 2), опиралось только на те свойства функ-
функции, которые включены в условия последней теоремы.
§ 7. Принцип симметрии. Отображение полуплоскости
на произвольный многоугольник
7.1. Этот параграф мы посвятим одному весьма важному спе-
специальному принципу аналитического продолжения, имеющему
многочисленные приложения.
Принцип симметрии (принцип Римана—Шварца).
Пусть G — область, в границу которой входит в качестве достижи-
достижимой жордановой дуги дуга окружности или прямолинейный отре-
зоку, ийсО — область, ограниченная жордановой кривой S -j- уу
примыкающая ку (d может совпадать с G (рис. 77, а), или отличать-
отличаться от нее (рис. 77, 6I. Пусть, далее, / (г) — однозначная функция,
определенная на G + у, непрерывная ё обобщенном смысле на d + у
и мероморфная в области G, принимающая на у значения, при-
принадлежащие некоторой окружности или прямой Г (в частности,
действительные значения). При этих условиях функция f (г) ана-
аналитически продолжается через дугу у (из области d) на область G*,
симметричную с G относительно у. Функция f* (z), полученная
в результате продолжения, является мерофорфной в области G*,

544 АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ [ГЛ. 8
причем значения /* (г*) и f B) в точках z* и z, симметричных относи-
относительно у (г* 6 G* и z 6 G), симметричны относительно Г.
Заметим, что области G и G* могут иметь общие точки (см. рис. 77).
В этом случае функция, совпадающая с f (z) на множестве G + у
и с f* (г) в области G*, будет, вообще говоря, если /(г) е=? const,
двузначной, так как для одной и той же точки, принадлежащей
областям G и G*, мы будем получать два различных значения
функции, симметричных относительно Г.
Принцип симметрии дает не только достаточные условия для
самой возможности аналитического продолжения некоторой функ-
функции f (г) через дугу окружности или отрезок прямой, но и указывает
область, на которую осуществляется продолжение, и вместе с тем —
простой метод построения этого продолжения. То обстоятельство,
что он формулируется для класса мероморфных (а не просто анали-
аналитических) функций, вполне естественно: если / (г) не имеет полюсов .
в области G, но в некоторых точках zit z2, . . ., zn, ... принимает
значение, изображаемое центром окружности Г (мы допускаем
здесь, что Г не есть прямая), то в точках z*, z*, . . ., z*, . . .,
симметричных сгь z2, . . ., zn, ... относительно у, функция /* (г)
по условию должна обращаться в бесконечность, т. е. иметь по-
полюсы.
Переходя к доказательству, подвергнем плоскость z дробно-
линейному преобразованию, переводящему дугу у в отрезок %
.действительной оси. Точно так же подвергнем дробно-линейному
преобразованию плоскость значений функций / (z) и /* (г) так, чтобы
линия Г перешла в действительную ось; пусть при этом область G
переходит Bg и G* — Bg*, а функции/ (г) и/* (г) — в ср (?) и ср* (?).
При дробно-линейных преобразованиях точки, симметричные отно-
относительно у или Г, переходят в точки, симметричные относительно
действительной оси, непрерывность функций (в обобщенном смысле)
сохраняется и мероморфные функции преобразуются в мероморф-
ные; поэтому теорему достаточно доказывать для того частного
случая, когда у есть отрезок действительной оси, Г — действитель-
действительная ось и преобразование симметрии означает переход к сопря-
сопряженным комплексным числам. Итак, мы считаем, что / (г) прини-
принимает на у действительные значения и что функции / (г) и /* (г)
принимают сопряженные значения для сопряженных значений неза-
независимого переменного:
Тогда, если / {г) имеет в окрестности точки z0 6 G разложение
/(*)= 2 an(z-z0)n,

§ 7] ПРИНЦИП СИММЕТРИИ 545
то /* (г) в окрестности точки г0 6 G* будет иметь разложение
f*(z) = f(z)= S an{z~z0)n,
n=]i.
откуда следует, что функция /* (г) является мероморфной в G*.
Пусть теперь ?0 — произвольная точка отрезка у, отличная
от его концов. Мы можем считать, что ?0 Ф оо; в противном случае
произведем замену ? = — и переведем точку ?0 = оо в начало
координат. В силу того, что у есть достижимая дуга границы обла-
области G, существует полукруг с центром ?0, принадлежащий области
d с: С Покажем, что функция /¦" (г), равная / (г) в этом полукруге
и на его диаметре и равная /* (z) в полукруге, симметричном с дан-
данным относительно диаметра, мероморфна в нем. Отсюда и будет
следовать, что функция /* (z) является аналитическим продолже-
продолжением функции /(г).
Мы можем предполагать, что /(?о)?=°°; в противном случае
достаточно будет рассмотреть ,, . ¦ вместо / (г).
Считая полукруг с центром ?,о настолько малым, чтобы / (z)
сохраняла в нем конечные значения, мы получим функцию F (г),
однозначную и непрерывную в окрестности точки ?0 (для установле-
установления непрерывности опираемся на то, что / (г) и f* (г) принимают
одинаковые действительные значения в точках отрезка у) и анали-
аналитическую в каждом из полукругов, на которые этот круг делится
действительной осью.
Аналитичность функции F (г) во всем рассматриваемом круге
вытекает из теоремы Морера. Действительно, любой треуголь-
треугольник д, принадлежащий кругу, либо целиком принадлежит одному
из полукругов, либо имеет общие граничные точки с действительной
осью, либо, наконец, разрезается действительной осью на два выпук-
выпуклых многоугольника, один из которых принадлежит одному, а дру-
другой — другому полукругу. Так как в первых двух случаях функ-
функция F (г) является непрерывной в замкнутом треугольнике А
и аналитической внутри него, а в последнем случае — непрерыв-
непрерывной в каждом из двух замкнутых многоугольников и аналитической
внутри них, то по замечанию к интегральной теореме Коши
(см. том I, гл. 3, стр. 216—217) интеграл от F (z) по каждому
из этих контуров равен нулю. Поэтому равен нулю и интеграл
по всему треугольнику д независимо от его расположения, и
следовательно, функция F (г) является аналитической в рассмат-
рассматриваемой окрестности точки ?„¦ '
Этим заканчивается все доказательство.
Укажем важное следствие из принципа симметрии, которое
можно рассматривать так же как обобщение этого принципа.
35 А. И. Маркушевич

546 АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ [ГЛ. 8
Пусть у и Г в формулировке принципа симметрии суть пра-
правильные аналитические кривые (которые в частном случае могут
быть дугами окружностей или отрезками прямых), а в остальном
условия, наложенные на функцию f (z) в области G, сохраняются
(т. е. она непрерывна в обобщенном смысле слова на множестве
d + у и является мероморфной в области G). Тогда f (z) можно
аналитически продолжить через дугу у; точнее говоря, все точки
дуги у, в которых f(z)^=oo, являются для /(г) правильными
точками.
Доказательство. Если z = % (t) (а<^<;|3) — урав-
уравнение кривой у и w = А (Т) (А <; Т^СВ) — уравнение кривой Г,
то посредством преобразований t = К (г) и Т = Л (w) окрестно-
окрестности точек z0 = К (t0) и w0 = Л (То) перейдут взаимно однозначно
и конформно в области, содержащие точки t0 и То, причем дуги у
и Г, находящиеся в указанных окрестностях и проходящие через z0
и w0, перейдут в отрезки действительной оси, содержащие точки t0
и То. В результате функция w = / (г) преобразуется в функцию
Т = Ari-fk (t), определенную в некоторой области g, в границу кото-
которой входит достижимый отрезок 8 действительной оси плоскости t,
причем эта функция непрерывна на g + б, мероморфна в области g
и принимает действительные значения наб. В силу принципа симмет-
симметрии функция Л/^ (t) будет аналитической в некоторой окрестно-
окрестности точки tQ; поэтому функция
F(z) = A (Л-1/^) Я B)
является аналитической в окрестности точки z0, причем в части этой
окрестности, принадлежащей области G, она совпадает с f(z).
Отсюда и следует наше утверждение.
В частности, если f (z) при выполнении всех предыдущих условий
обращается в нуль на достижимой аналитической дуге у, то она
тождественно равна нулю (весьма частный случай граничной теоре-
теоремы единственности Н. Н. Лузина и И. И. Привалова, обобщающий
результат, полученный на стр. 205). В самом деле, в этом слу-
случае / (г) по только что доказанному является правильной в точках
дуги у, а каждая точка этой дуги есть предельная точка нулей
функции / (г).
С помощью доказанного в этом пункте получается следующее
предложение теории конформных отображений:
Теорема. Если в состав границы, односвязной области G вхо-
входит достижимая правильная аналитическая дуга у, то функция
w = / (г), конформно отображающая G на круг или на полупло-
полуплоскость, может быть аналитически продолжена через у из области d,
примыкающей к у, ограниченной жордановой кривой и принадлежа-
принадлежащей G. Иными словами, все точки дуги у, в которых f (г) ф оо,
являются правильными для f (г) относительно области d

$ 7] ФОРМУЛА ХРИСТОФФЕЛЯ-ШВАРЦА 547
Теорема эта немедленно вытекает из предыдущего предложения
и из того, что функция /(г) является непрерывной на'замкнутом
множестве d, аналитической в области d, и принимает на у значения,
лежащие на окружности или на действительной оси.
7.2. Приложим принцип симметрии к построению функции, кон-
конформно отображающей верхнюю полуплоскость на произвольный
многоугольник. Пусть сначала многоугольник G плоскости z есть
область, ограниченная замкнутой жордановой кривой у, состоящей
из п прямолинейных звеньев — сторон многоугольника.
Обозначим вершины многоугольника в порядке положительного
обхода через гь z2, . . ., zn и пусть соответствующие углы суть:
о^я, а2я, . . ., а„я. Числаа^(/ = 1, . . ., и) положительны и мень-
меньше двух. Обозначим через г = <р (до) функцию, конформно отобра-
отображающую верхнюю полуплоскость Re w > 0 на область G. В силу
известной теоремы (п. 3.6 гл. V) функция эта непрерывна в замкну-
замкнутой полуплоскости и устанавливает взаимно однозначное и непрерыв-
непрерывное в обе стороны соответствие между действительной осью и конту-
контуром у. Пусть ai ап — прообразы вершин многоугольника.
Все эти точки можно считать конечными. В самом деле, если, напри-
например, ui = оо, то отображение до" == , где а — точка действи-
действительной оси, отличная от аь . . ., ап, преобразует верхнюю полу-
полуплоскость в самое себя и функцию z = ср (до) в z = ср* (до'), причем
для последнего отображения полуплоскости на многоугольник про-
прообразы всех вершин многоугольника являются конечными. Опи-
Опираясь на принцип симметрии (п. 7.1), примененный к функции
z = ср (w) и к интервалам (аь а2), . . ., (а„, аг) действительной оси
(один из которых содержит бесконечно удаленную точку), заклю-
заключаем, что для ср (w) все точки действительной оси являются правиль-
правильными, за исключением, быть может, точек а,- (/ = 1, 2, . .., п).
Опишем из вершины zj многоугольника окружность столь малого
радиуса, чтобы внутри нее не лежало других вершин многоуголь-
многоугольника. Окружность выделит из области G круговой сектор с центром
в точке Zj и раствором, равным о^я.
Отобразим этот сектор на полукруг с центром в начале координат
1
посредством какой-либо однозначной ветви функции t=(z—zj)aj .
Тогда функция ^ = [ср (до) — Zj]aj = (pj (до) будет осуществлять кон-
конформное отображение некоторой, принадлежащей верхней полу-
полуплоскости, области gj, граница которой содержит отрезок действи-
действительной оси, на полукруг в плоскости до. Отображение являетея
взаимно однозначным и непрерывным в замкнутой области, причем
отрезок действительной оси преобразуется в диаметр полукруга.
Применяя принцип симметрии к области^- и функции q>j (ш), найдем,
35*

548 АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ [ГЛ. 8
что функция t = ф7- (ш) является аналитической в некоторой обла-
области, содержащей точку ш = о,-, и взаимно однозначно отображает
ее на окрестность точки t = 0. Итак, ср^- (ш) в окрестности точки
ш = а,} имеет разложение вида
(fj{w) = Aj(w — aj)+ ..., где
Поэтому
ср (w) = zj + [<(j (w)fj = zj -f (ay - a})aj [B
где ВЛФО.
Мы обнаружили, таким образом, что ау — а,- есть точка развет-
разветвления для ф (ш) конечного порядка, если а}~—рациональное,
и бесконечного порядка, если а/ — иррациональное число. Поль-
Пользуясь тем обстоятельством, что ф (w) не имеет других особых точек,
кроме найденных, мы получим сейчас аналитическое выражение
этой функции. G этой целью дважды дифференцируем найденное
разложение функции ф (w). Получим:
Ф' (w) = Bjaj (w — ccjp'1 + Cj (aj + 1) (w - ajf} + .. .,
Ф" (a;) = Bftj (aj -\)(w — ajf1'2 + Cj (a} +l)aj(w — ctj)"*'* + ...
Отсюда
ф" (W) CCj—l
ф' {w) W—(Zj "I"'"''
, ш" (w)
т. е. функция т ' имеет простые полюсы в точках a,j с выче-
вычетами, равными aj—1. Других особенностей она нигде не имеет,
так как все точки конечной плоскости, отличные от ау-, являются
правильными для ф (ау) и в них ф' (ау) Ф 0 (в силу однолистности
отображения z = ф (ау) в окрестности такой точки). В бесконеч-
бесконечности функция ф (ау) — также правильная и в окрестности этой
точки отображение z = y(w) однолистно. Поэтому
2_,
ф' (Ш) ВУ
ф" to)
откуда следует, что ау = оо есть правильная точка для ,, , .
п .
Вычитая из ^тЩг сумму 2 а>—а- ' ПОЛУЧИМ Функцию, анали-

§ 7j ФОРМУЛА ХРИСТОФФЕЛЯ-ШВАРЦА 549
тическую во всех точках расширенной плоскости, т. е. постоян-
постоянную (ее однозначность следует из теоремы о монодромии).
Итак,
п
<Р"И v
ф' (да) ^J w—uj
откуда
п
т-г \СС. 1
Д {т-а,)аГ* dx + C2, G.2 : 1)
to0j=l
где w0 — какая-либо точка верхней полуплоскости или действи-
действительной оси.
Это и есть аналитическое выражение искомой функции. Полу-
Полученная формула носит название формулы Христоффеля—
Шварца.
Иллюстрируем ее на двух частных примерах. Пусть сначала
область G есть треугольник. Тогда точки а„ Ог и а3 — прообразы
вершин треугольника — могут быть заданы a priori с соблюдением
необходимого условия об одинаковости обхода. (Если прообразами
вершин служат какие-либо точки а[, а'2 и a's, то достаточно
воспользоваться дробно-линейным отображением полуплоскости
самое на себя, чтобы перейти к точкам аи а^ и а3.)
Формула G.2: 1) принимает здесь вид
Для определения постоянных Ct и С2 полагаем w = а4 и w = а2.
Получаем уравнения
т-о1)а1-1(т-а2)а1-1 (t-a3)e»-1dT + C2 (i=l, 2),
откуда и могут быть найдены С4 и С2.
Заметим, что для подынтегральной функции должна быть выбра-
выбрана какая-либо однозначная в верхней полуплоскости ветвь. Значе-
Значения в точках действительной оси определяются путем аналитиче-
аналитического продолжения или, что сводится к тому же, на основании сооб-
соображений непрерывности.

550 АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ [ГЛ. 8
В случае, когда G есть четырехугольник, прообразы всех четы-
четырех вершин уже нельзя произвольно назначить. Выбирая произ-
произвольно три из них (при условии сохранения порядка обхода),
получаем для определения постоянных С4, С2 и прообраза а4 четвер-
четвертой вершины следующие уравнения:
Zj = Cj \ (т — Gj) (т — g2) (т — из) (т — п^) dx -\- С%
(/-1,2,3).
В них одно из трех неизвестных входит под знаком интеграла
в довольно сложной комбинации. В случае, когда наш четырех-
четырехугольник имеет ось симметрии, эти уравнения могут быть представ-
представлены в симметричном виде. Пусть, например, область G есть прямо-
прямоугольник —¦ а < х < а, 0 <С г/ <С Р- В силу теоремы существова-
существования конформного отображения прямоугольник 0 < х < а, 0 < У <
< р можно конформно отобразить на первую координатную чет-
четверть и притом так, чтобы точкам = 0 перешла в начало координат,
точка г = а — в точку 1 и точка z = р? — в бесконечно удаленную
точку. Тогда точка г = а + р/ должна будет перейти в точку
положительной части действительной оси, расположенную между
1 и оо. Обозначим ее через -г , где 0 ¦< k < 1. Применяя к прямо-
прямоугольнику 0<л;<а, 0<у<Р и отображающей функции прин-
принцип симметрии (п. 7.1), найдем, что та же функция (аналитически
продолженная) отображает первоначальный прямоугольник G .на
верхнюю полуплоскость и вершины его преобразуются в точки
± 1, ±\-
Замечая, что в нашем примере а4 = а2 = а3 = а4 = -^, полу-
получим следующее выражение для отображающей функции:
Эта формула известна нам из п. 1.2 главы V.
7.3. Для приложений необходимо распространить результат
предыдущего пункта на наиболее общие многоугольники расширен-
расширенной плоскости, ограниченные, вообще говоря, нежордановыми
кривыми.

7]
ФОРМУЛА ХРИСТОФФЕЛЯ—ШВАРЦА
551
Пусть снова G — область, ограниченная замкнутой ломаной,
состоящей из конечного числа прямолинейных звеньев (которые
могут быть отрезками, лучами или целыми прямыми). При этом мы
допускаем кратные звенья, проходимые более одного раза при
однократном обходе контура. На рисунке 78 представлены примеры
a) n=f полуплоскость
S) г?=2 плоскость с
разрезом
з) п-3 полуполоса.
д) л=Ч плоскость с ИВумя
параллельными разрезами
8) п=2 полоса.
е) 77=f плоскость с Здумя
параллвлышми разрезами
Рис. 78.
нескольких многоугольников для п = 1, 2, 3, 4 (п — число звеньев,
составляющих контур). Теперь углы а±п, . . ., апп многоугольни-
многоугольников могут принимать также и нулевые значения и значения, рав-
равные 2я. Мы условимся во всех случаях, когда z = оо есть граничная
точка области G, рассматривать ее как вершину многоугольника
и приписывать всем углам с вершиной в этой точке отрицательные
значения (если они не равны нулю). Например, многоугольник а)
рисунка 78 имеет один лишь угол с вершиной в бесконечности,
равный —я; многоугольник б) — один угол с конечной вершиной,
равный 2я, и один угол с бесконечно удаленной вершиной, равный
—2я; у многоугольника в) — два угла с бесконечной вершиной
и оба равны нулю, и т. п.

552 АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ [ГЛ. 8
Читатель легко проверит, что для каждого изображенного на
рисунке многоугольника сумма углов равна (п — 2) я, где п — чис-
число сторон многоугольника. Мы увидим ниже, что так и должно быть
каждый раз, когда бесконечно удаленная точка не лежит внутри
многоугольника.
Покажем, что в рассматриваемом сейчас случае функция z =
= ф (до), отображающая полуплоскость на многоугольник, опре-
определяется прежней формулой G.2 : 1). Доказательство этого утверж-
утверждения во всем подобно доказательству, проведенному в п. 7.2.
Новым является только случай углов с конечной вершиной, имею-
имеющих раствор 2я, и случай углов с вершиной в бесконечности. В пер-
первом случае а,- = 2 и прообраз о,- соответствующей вершины являет-
является правильной точкой для функции z — ср (до), так как разложение
этой функции в окрестности точки w = cij имеет вид
Ф (до) = zj + Bj (w - aj)* + Cj (w - aj)s +...
Специального исследования требует второй случай. Пусть сна-
сначала угол с вершиной в точке г = оо составлен двумя непараллель-
непараллельными прямыми (или лучами). Тогда в согласии с принятым условием
он измеряется отрицательным числом а,-: О > а} > — 2 (ос,- Ф — 1).
\__
Применяя вспомогательное преобразование t = zaj, мы снова пере-
переведем область gj cr G, заключенную между сторонами, образую-
образующими рассматриваемый угол, и лежащую во внешности некоторого
круга с центром в начале координат, в полукруг с центром в начале
координат. Дальнейшие рассуждения и результат ничем не отли-
отличаются от предыдущего.
Пусть теперь угол с вершиной в точке z — оо составлен двумя
параллельными прямыми (или лучами). Здесь имеются следующие
возможности:
1) стороны угла лежат на одной прямой; тогда угол равен либо
—я (рис. 78, а), либо —2я (рис. 78, б);
2) стороны угла лежат на двух различных прямых; тогда угол
равен либо нулю (рис. 78, в, г и е), либо —л (рис. 78, д), либо —2я
(рис. 78, е).
В случае 1) рассуждения — такие же, как и для непараллель-
непараллельных сторон (преобразование t = z'1 или t = z~*).
Рассмотрим случай 2), и пусть сначала ау- = 0; тогда посред-
посредством отрезка прямой, перпендикулярного к сторонам угла, отсе-
отсекаем от области G полуполосу g и, далее, отображаем ее на
полукруг с центром в начале координат так, чтобы бесконечно
удаленная точка перешла в начало координат. Достигнуть этого
можно посредством преобразования t = eCz, где Cz принимает на
средней линии полуполосы действительные отрицательные значе-
значения. Подобно предыдущему, найдем, что t = ехр [Сер (до)] = / (w)

§ 7]
ФОРМУЛА ХРИСТОФФЕЛЯ-ШВАРЦА
553.
есть функция, аналитическая в окрестности точки uj — прообраза
рассматриваемой вершины угла, причем / (w) имеет разложение-
вида
A
где А ф 0.
Дифференцируя равенство ехр [Сф (w)] = f (w) дважды по wr
получим:
С2ехр[Сф(да)]|
откуда
+ С ехр [Сф (ш)] ф" (ш) = 2Б + ...,
Ф" (»")
2В +
p'(w)
w—. a.
a.
Мы нашли, что (р. ,1 имеет в точке at простой полюс с выче-
том— 1 =aj— 1; результат — такой же, как и в случае угла с конеч-
конечной вершиной.
Пусть, далее, угол а;= —я (рис. 78, д). В этом случае выде-
выделяем часть области G, заключенную между сторонами рассматри-
рассматриваемого угла и некоторой дугой окружности (на рис. 78, д эта
часть дважды заштрихована) и затем, с помощью целого линей-
линейного преобразования t, = Cz-\-D отображаем ее на область, изо-
изображенную на рис. 79, а). Далее, с помощью функции t, = t' -\-ev
(см. п. 5.7 гл. II) отображаем полученную область на область
вида б) рисунка 79 и, наконец, посредством t = е~'' — на область
вида б) рисунка 79. В результате получим функцию t = f(w),
имеющую в окрестности точки a.j разложение вида

554 АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ [ГЛ. 8
где А фО. Дифференцируя два раза по w соотношение
получим последовательно:
Сер' (до) = rf 1пЛП ущ-
Сц>" (до) = 2
A (w — aj)s ' ' ' ' '
откуда
<V"(w) = 2
ф' (к») ш — а; ' ' ' '
, ф" (w)
т. е. функция , имеет в точке а^- полюс первого порядка
с вычетом, равным — 2 = aj — 1.
Пусть, наконец, а7-=—2я (рис. 78, ё). Выделяем часть обла-
области G, заключенную между сторонами угла и некоторой дугой
окружности (на нашем чертеже эта часть дважды заштрихована);
затем отображаем ее посредством целой линейной функции
С = Cz -\- D на область вида а) рисунка 80; полученную область
отображаем посредством функции t, = t' -\-ev на область вида б)
рисунка 80 и, далее, посредством t = е 2 — на область вида б)
рисунка 80. Снова получаем функцию
t = /(до) = A(w-aj) + В (w-aj)*+ ... (АфО),
удовлетворяющую соотношению
откуда обычным путем находим:
ф" (w) = 3
ф' (ш) w — aj "¦"•••'
ф" (w)
т. е. и в этом случае , имеет в точке aj простои полюс
с вычетом, равным — 3 = aj — 1.
Итак, прообраз а7- любой из вершин Zj многоугольника во всех
возможных случаях является для функции ^, у0' простым полю-
полюсом с вычетом, равным а} — 1. Поэтому для ср (до) имеет место
формула G.2: 1).
Заметим, что , '"'. есть рациональная функция, вычет кото-
которой относительно бесконечно удаленной точки равен 2 (см. выкладку

§ 7]
ФОРМУЛА ХРИСТОФФЕЛЯ—ШВАРЦА
555
на стр. 548). Так как сумма всех вычетов рациональной функции
равна нулю, то
3=1
откуда
Итак, сумма углов любого n-угольника расширенной плоско-
плоскости, не содержащего внутри бесконечно удаленной точки, равна
(л —2) я.
Этот результат может быть получен, конечно, элементарно-
геометрическим путем.
(t'J
5)
Рис. 80.
Нам остается еще рассмотреть отображение полуплоскости
на многоугольник, содержащий бесконечно удаленную точку.
В этом случае функция ~Г, . ' по-прежнему имеет простые
полюсы с вычетами а}—1 во всех прообразах вершин многоуголь-
многоугольника. Но к этим л особым точкам добавляются еше две; точка E
верхней полуплоскости — прообраз бесконечно удаленной точки
и сопряженная с ней точка E. В силу однолистности отображения
г = ср (до) точка Р есть простой полюс функции ср (до) и ср (до) имеет
в окрестности этой точки разложение

556 АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ [ГЛ. 8
¦п ф" (w)
Поэтому для ,' ' получаем:
2
В силу принципа симметрии, примененного к q>(w), любая
однозначная ветвь этой функции в нижней полуплоскости должна
иметь в точке |3 также простой полюс. Поэтому ф, у" в окрест-
окрестности точки р имеет разложение вида
Ф" W 2
Ф'И ш-р2 "^ ""¦
^ ф" (а>)
Сопоставляя полученные результаты, находим для ",. ' выра-
выражение вида
w — uj w—
откуда после двукратного интегрирования
G.3:1)
WQ
Таким образом, формулы, дающие конформное отображение
полуплоскости на многоугольник, имеют разный вид в зависи-
зависимости от того, является ли точка г=оо внешней или граничной
точкой многоугольника (формула G.2:1)), или его внутренней
точкой (формула G.3:1)). В последнем случае из рассмотрения
п
суммы вычетов функции ^, выводим, что 2 (aJ—1)—4+2=0,
5 = 1
п
откуда 2 aj — n-\-2, т. е. сумма углов многоугольника равна
(л+ 2) яГ1
Обе формулы были выведены нами в предположении, что про-
прообразы всех вершин суть конечные точки. Если мы хотим одну
из вершин, например zn, перевести в бесконечность, то достаточно
применить вспомогательное отображение верхней полуплоскости
самое на себя:
, 1 1
w = , т. е. w = an г-
ап — w w

§ 7] ФОРМУЛА ХРИСТОФФЕЛ Я-ШВАРЦА 557
В результате формула G.2: 1) примет вид
1
W п
i= 1
или, производя замену т = а„ г-под знаком интеграла:
п
— 2 (я — 1)
I tK-^)T'-i]a^V *-i ' 4S
1 3=1
Itf' П— 1
= C' J П (f -aj)^ dr' + C2. G.3 : 2)
1^3=1
a
Мы воспользовались здесь тем, что 2 (aJ—1)=—2, и обо-
3 = 1
значили числа ———-—прообразы вершин многоугольника (после
перехода к ад' =———j—через aJ. Мы видим, что в случае,
когда прообразом одной из вершин служит бесконечно удаленная
точка, формула для отображающей функции сохраняет прежний
вид и лишь под знаком интеграла становится одним множителем
меньше (отсутствует множитель, соответствующий вершине с беско-
бесконечным прообразом). Аналогичный результат получается и для
многоугольника, для которого бесконечно удаленная точка является
внутренней. А именно, производя замену w' = г, находим:
ап — ш
C2. G.3:3)
Укажем еще формулы для отображения единичного круга
на многоугольник. Чтобы прийти к ним, достаточно отобразить
полуплоскость на круг |?1<1.
Если у — произвольная точка верхней полуплоскости, то такое
отображение можно получить в виде Z, = W~~Y_ _ Тогда получим
w — у
в случае многоугольника, для которого точка z = co не является
внутренней:
1+Е п
l П (T-a/^
wo j=l

558 АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛОЖЕНИЕ [ГЛ. 8
\
или \после замены т = ^Г^Х, , произведенной под знаком
интеграла)
? п
§ b'-a'if1 dr' + C2. G.3:4)
Здесь ?о — какая-либо точка замкнутого единичного круга,
а а[, ..., а'п—точки единичной окружности, являющиеся прообра-
прообразами вершин многоугольника. В случае, когда точка z— со является
внутренней для многоугольника, ищем отображение круга | ? | < 1
на многоугольник, при котором центр круга переходит в бесконечно
удаленную точку. С этой целью к преобразованию G.3:1) при-
присоединяем преобразование Z, = ш~" и после простых выкладок,
w — р
п
учитывая соотношение 2 ccj = n-\-2, получаем:
;=i
Ъ п
G.3:5)
7.4. В этом пункте мы иллюстрируем примерами формулы
предыдущих пунктов. Прежде всего займемся отображением полу-
полуплоскости на многоугольники, изображенные на рисунке 78.
Оставляя в стороне области а), б), в) и г), для которых отобра-
отображение хорошо известно (читатель в виде упражнения может при-
применить и здесь формулы G.2 : 1) или G.3 : 1)), остановимся на обла-
областях д) и е). Пусть один из лучей, составляющих границу области д),
идет по действительной оси в положительном направлении
из точки Xi, а другой — по параллельной прямой в отрицательном
направлении из точки л:2+ ih. Вершины многоугольника по порядку
суть: ос, хи оо, x2 + ih, а соответствующие углы —л, 2л, —я, 2л.
Потребуем, чтобы прообразами этих вершин были следующие
точки действительной оси: 0, 1, оо, а (а — действительное отрица-
отрицательное число). Тогда функция, отображающая верхнюю полу-
полуплоскость w на наш многоугольник, представится по формуле G.3: 2)
в следующем виде:
= C'w - (a + 1) С Ln w - aC'w-1 + C\
В этой формуле достаточно взять одну из ветвей Ln w в верх-
верхней полуплоскости (переход к другой ветви скажется лишь на

§ 7] ФОРМУЛА ХРИСТОФФЕЛЯ—ШВАРЦА 559
значении С"), например, In да; тогда получим:
Легко заметить, что С и С" должны иметь здесь действитель-
действительные значения. В самом деле, когда w описывает интервал A, со),
точка z должна описывать в силу сделанных предположений сто-
сторону II, лежащую на действительной оси. Пусть w' и w" — две
точки интервала A, оо) и z' и z" — соответствующие им точки
стороны I; тогда из уравнений
z' = [w' — (а + ]) In w' — aw''1] С + С",
z" = [w" — (a + 1) In w" — aw"'1] С + С"
получаем для С и С" действительные значения. Для фактического
вычисления действительных чисел С, С" и а имеем два уравнения:
C'a — (a+l)C \na—C'+C",
откуда, замечая, что lna = In| a\ -\-ia, находим:
х^С' — аС'+С", х2 = С'а — (а+ \)С In | а | — С +С",
Следовательно,
г. h с v i hj\-a)
° ~ яA+о)' ~Xl ' пA+о)'
с, h I —а . h , ,
л 1 + а л '
Решая последнее уравнение относительно а, определяем после
этого значения постоянных С и С", чем и заканчивается реше-
решение задачи.
Аналогично решается задача об отображении верхней полу-
полуплоскости на область е) рисунка 78. Здесь вершинами являются
точки хх, оо, x2+ifi, оо, а соответствующие углы суть: 2л, —2л,
2л, 0. Потребуем, чтобы прообразами их были точки Ь, оо, — 1
и 0 F>0). Тогда из формулы G.3:2) получим:
^- —(й—1)ш—
№0
Снова обнаруживаем, что С и С" суть действительные числа,
и для определения неизвестных С, С" и 6 получаем уравнения
-—F—1N —й 1пб]

560
АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ
[ГЛ. 8
или
С'=—Д.
Решая последнее уравнение относительно Ь, вычисляем затем
С и С", чем и заканчивается решение "задачи. Заметим, что в каж-
каждом из двух рассмотренных здесь примеров существование корня
трансцендентного уравнения, отрицательного в первой задаче
и положительного во второй, вытекает из самого существования
отображающей функции и поэтому не требует специального
доказательства.
'о;
Рис. 81.
В качестве последнего примера рассмотрим многоугольник,
изображенный на рисунке 81. Его граница состоит из 2п прямо-
прямолинейных отрезков, выходящих из начала координат под равными
углами. Так как каждый из них пробегается дважды при обходе
контура многоугольника, то мы имеем дело с 4п-угольником.
Требуется отобразить на него единичный круг | ? | < 1 так,
чтобы точка ? = 0 перешла в бесконечно удаленную точку.
Запишем по порядку вершины нашего многоугольника: 1, 0,
яг 2лг Bп—1)яг
е п , 0, е п , 0, ..., е п ,0. Соответствующие углы суть:
2я, —, 2я, —, ..., 2л, —. Убедимся в том, что их прообра-
прообразами на окружности должны быть вершины правильного 4п-уголь-
ника. В самом деле, круговой сектор А'В'О[ раствора -к-, в силу тео-
теоремы существования можно конформно отобразить на угол АОВ так,
пг
чтобы при этом точки 0, 1 и е 2п перешли соответственно в точ-
точки ол, 1 и 0. Применяя к отображающей функции z -=<p(Q и обла-

§ 7]
ФОРМУЛА ХРИСТОФФЕЛЯ-ШВАРЦА
561
сти А'В'О[ принцип симметрии, найдем, что та же самая функция
(аналитически продолженная) является аналитической в секторе
А'В'С вдвое большего раствора и отображает этот сектор
на угол АОС так, что при этом радиусы В А' и В'С пре-
преобразуются в лучи АВ и СВ, а дуга А'О[С— в двухзвенную
ломаную АОС. Применяя принцип симметрии к функции г = ср(?),
области А'В'С и отрезку В'С, затем к той же функции, обла-
области С'В'П и отрезку B'D' и т. д., найдем, что функция ср (?)
аналитически продолжается на весь единичный круг (в начале
координат она имеет полюс) и отображает его конформно на задан-
заданный 4«-угольник. При этом прообразами вершин многоугольника
являются вершины правильного 4п-угольника, вписанного в еди-
единичный круг.
Приступая к нахождению этой функции, заметим, что ее можно
получить непосредственно, выполняя указанное выше отображение
кругового сектора на угол. В интересах упражнения мы исполь-
используем, однако, формулу G.3:5). Так как прообразами вершин
по порядку, начиная с прообраза вершины А, являются точки
кг 2яг Bп— 1)яг
1, е 2n , e 2п , ..., е 2п , то эта формула принимает вид
? 2яг Зяг
2п)(т — е 2п)п
(х —
1
Bп-2Jяг
Bи-1)яг
= С
= С J (хп + %~n
i
dx + С" = d (t,n + l~nf + С2.
Остается определить постоянные. С этой целью полагаем ? = 1
и ? = е 2п; получаем уравнения
1
Окончательно отображающую функцию можно представить
в следующем виде:
1
К тому же результату можно прийти следующим путем.
Посредством отображения zd = zn превращаем плоскость в
36 А. И. Маркушевич

562 АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ [ГЛ. 8
n-листную риманову поверхность, а наш многоугольник — в область
на этой поверхности с границей, состоящей из 2п отрезков длиной
единица каждый, попеременно проектирующихся в отрезки [0,1]
и [—1,0] действительной оси.
Применяя преобразование zt = yfe + ^a1), преобразуем эту
область в п-листный единичный круг (следует взять ту ветвь
функции z2 = zt+ У"г\— 1, которая обращается в нуль в бесконечно
удаленной точке). Наконец, посредством преобразования g = 1/"г2
разворачиваем n-листный круг в однолистный единичный круг.
Преобразования г^ = гп, zi = -^{z2Jrzl1) и ? = y^2, выполнен-
выполненные одно за другим, очевидно, эквивалентны одному преобразованию
= [у (Г +
z [ ]
§ 8. Модулярная функция. Критерий нормальности.
Большая теорема Пикара и прямые Жюлиа
8.1. В этом пункте мы применим принцип симметрии к построе-
построению важной функции, имеющей многочисленные теоретические
применения. Отметим на единичной окружности плоскости z три
С
'В
Рис. 82.
точки А, В и С и соединим их попарно дугами окружностей, орто-
ортогональными к единичной окружности (рис. 82). Эти дуги ограничи-
ограничивают область Go — треугольник с нулевыми углами. Отобразим Go
конформно на верхнюю полуплоскость w так, чтобы точки А, В и С
перешли соответственно в точки 0, 1 и оо; тогда дуги А В, ВС и С А
перейдут в отрезки [0, 1], [1, оо] и [оо, 0] действительной оси; будем
обозначать их по порядку так: I, II и III.

§ 81 МОДУЛЯРНАЯ ФУНКЦИЯ 563
Пусть w = % (z) — функция, осуществляющая отображение.
Применим к ней и к области Go принцип симметрии. Найдем, что
функция % (г) аналитически продолжается через каждую из дуг АВ,
ВС и СА на треугольники с нулевыми углами ABD, ВСЕ и ACF.
Значения, которые она принимает в каждом из этих треугольников,
должны в силу принципа симметрии принадлежать нижней полу-
полуплоскости и полностью заполняют последнюю. Применим далее
принцип симметрии к той же функции и к каждому из треуголь-
треугольников ABD, ВСЕ и ACF. Найдем, что она аналитически продол-
продолжается через их стороны AD, DB, BE, EC, CF и AF на треуголь-
треугольники с нулевыми углами ADK, DBL, BEM, ECN, CFO и FAP.
В каждом из них функция % (г) принимает значения, заполняющие
верхнюю полуплоскость.
Повторяя указанный процесс аналитического продолжения,
найдем, что % (г) может быть аналитически продолжена на весь еди-
единичный круг. В самом деле, область, на которую осуществлено
аналитическое продолжение, на каждом шагу рассматриваемого
процесса представляет многоугольник, стороны которого суть
окружности, ортогональные к единичной окружности. А именно,
вначале мы имеем треугольник ЛВС, затем шестиугольник ADBECF,
на следующем этапе аналитического продолжения — двенадцати-
двенадцатиугольник AKDLBMENCOFP, и т. д.
Заметим, что самый процесс аналитического продолжения можно
выполнять, применяя принцип симметрии каждый раз не к тре-
треугольникам, а к тем многоугольникам, на которые функция уже
продолжена на предыдущем этапе. Тогда после треугольника ABC
снова получим шестиугольник ADBECF, но уже на следующем
этапе шестиугольник подвергается преобразованию симметрии
относительно каждой из его шести сторон и в результате полу-
получается 6 + 4-6 = 30-угольник (не изображенный на рисунке).
Применение принципа симметрии к его сторонам позволяет
продолжать функцию % (г) на 30 + 28-30 = 870-угольник
и т. д.
Чтобы доказать, что каждая точка круга будет принадлежать
на некотором этапе этим многоугольникам, достаточно доказать,
что длины дуг единичной окружности, на которые опираются сто-
стороны многоугольника (имеется в виду каждый раз меньшая из двух
дуг с данными концами), стремятся к нулю по мере того, как число
сторон неограниченно растет. Это, в свою очередь, вытекает из того,
что каждая точка единичной окружности является предельной для
вершин наших многоугольников. Допустим противное; тогда должна
существовать последовательность вложенных дуг {оп} единичной
окружности, соединяющих соседние вершины многоугольников,
стягивающаяся к некоторой дуге о, не содержащей внутри ни одной
из вершин рассматриваемых многоугольников. Соединим концы
36*

564 АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ [ГЛ. 8
дуги а ортогональною к единичной окружности дугою т. Выполняя
преобразование симметрии относительно т, найдем на а точки А',
В' и С", симметричные с А, В и С (рис. 83).
Отражая наши многоугольники в их сторонах, опирающихся
на <хп, найдем, что образы вершин А, В и С будут при достаточно
больших п сколь угодно близкими к А', В' и С", и, следовательно,
начиная с некоторого п, по крайней мере одна из вершин много-
многоугольника принадлежит дуге а (будучи отличной от ее концов).
Из полученного противоречия вытекает, что % (г) действительно
аналитически продолжается на весь
единичный круг. В силу односвязности
области эта функция является одно-
однозначной в круге (теорема о монодро-
мии). Впрочем, однозначность ее сле-
следует уже из того, что отражаемый
многоугольник на каждом этапе нахо-
находится во внешности окружности, на
которой лежит его сторона, и, следо-
следовательно, этот многоугольник и мно-
многоугольник, получаемый после отра-
отражения, не имеют общих точек.
Из построения вытекает, что % (г)
принимает в единичном круге беско-
бесконечное множество раз любое.комплекс-
ное значение, за исключением трех
значений: 0, 1 иоо. При этом значения из верхней полуплоскости
принимаются в заштрихованных треугольниках, а из нижней
полуплоскости — в незаштрихованных; значения из интервалов
действительной оси @, 1), A, оо) и (—оо, 0) принимаются на
сторонах треугольников, обозначенных через I, II и III. Функ-
Функция w = % (г) определяет риманову поверхность, которую можно
рассматривать как состоящую из бесконечного множества экземпля-
экземпляров верхней и нижней полуплоскостей, из которых каждая верхняя
(нижняя) связывается с тремя нижними (верхними) вдоль отрез-
отрезков I, II и III действительной оси. На построенной поверхности
функция, обратная данной, является однозначной аналитической
функцией, ограниченной по модулю (все ее значения принадлежат
единичному кругу). Эта же функция, рассматриваемая как функция
от w,— мы будем обозначать ее через <о (до),— является многознач-
многозначной функцией, аналитически продолжаемой по любой непрерывной
кривой, не проходящей через точки 0, 1 и оо. Среди значений, кото-
которые а (до) принимает в некоторой точке, имеется одно и только одно,
принадлежащее замкнутому треугольнику ABC или лежащее внутри
треугольника ADB; это значение мы будем называть главным зна-
значением со (w).

8]
МАЛАЯ ТЕОРЕМА ПИКАРА
565
Если отобразить единичный круг на верхнюю полуплоскость t
так, чтобы точки А, В и С перешли соответственно в точки 0, 1 и оо,
то треугольник ABC с нулевыми углами отобразится также на
треугольник с нулевыми углами, изображенный на рисунке 84.
Функция w = % (г) преобразуется при этом в функцию w = К (t),
которая называется модулярной функцией.
Модулярная функция является однозначной и аналитической
в верхней полуплоскости. Она вполне характеризуется тем, что
П
Рис. 84.
отображает треугольник с нулевыми углами и с вершинами в точ-
точках 0, 1 и оо на верхнюю полуплоскость так, что вершины 0, 1 и оо
переходят в точки 0, 1 и оо действительной оси. Все ее свойства
немедленно следуют из свойств функции w = % (г). А именно, моду-
модулярная функция принимает в бесконечном множестве точек каждое
комплексное значение, за исключением значений 0, 1 и оо. Треуголь-
Треугольники с нулевыми углами, заштрихованные на нашем рисунке, кон-
конформно отображаются посредством w = к (г) на верхнюю полупло-
полуплоскость w, а незаштрихованные — на нижнюю; при этом стороны
треугольников, помеченные знаками I, II и III, отображаются
на интервалы @, 1), A,оо) и (оо, 0) действительной оси.
Риманова поверхность (в собственном смысле слова), определяе-
определяемая посредством модулярной функции, тождественна с римановой
поверхностью функции w = % (г). В самом деле, одна из них пре-
преобразуется в другую посредством дробно-линейной функции, кон-
конформно отображающей круг на полуплоскость. Эта риманова
поверхность называется римановой поверхностью
модулярнойфункции.
8.2. Применим функцию со (w) предыдущего пункта к доказа-
доказательству малой теоремы Пикара, которая была доказана нами в п. 1.5
главы VII только для функций конечного порядка.
Малая теорема Пикара. Целая функция f (z) ф const
принимает любое конечное комплексное значение, за исключением,
быть может, одного.

566 АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ [ГЛ. 8
Доказательство. Пусть для функции f (г) существует
два конечных значения, которых она не принимает: а и Ь.Тогда
ф (z) = ' -_ есть целая функция, не обращающаяся ни в нуль,
ни в единицу. Следовательно, все значения нашей функции при-
принадлежат области, в которой определена многозначная аналитиче-
аналитическая функция © (w). Фиксируем какую-либо однозначную ветвь
последней в окрестности точки w0 = ср @). Тогда в этой окрестности
получим элемент аналитической функции cocp (z), который анали-
аналитически продолжается по любой принадлежащей конечной плоскости
непрерывной кривой и, следовательно, по теореме о монодромии
определяет функцию, однозначную и аналитическую в конечной
плоскости, т. е. целую функцию. Из того, что она ограничена
по модулю (ее значения принадлежат единичному кругу), заключаем
по теореме Лиувилля, что cocp (z) = const. Но это, в свою очередь,
возможно только тогда, когда ср (г) = const • и, следовательно,
f (z) = const, что противоречит условию теоремы.
Итак, малая теорема Пикара доказана.
Ниже мы дополним ее, доказав, что каждое конечное значение,
за исключением, быть может, одного, принимается целой транс-
трансцендентной функцией в бесконечном множестве точек.
Из доказанной теоремы легко получается аналогичное предложе-
предложение для мероморфных функций.
Теорема. Мероморфная функция F (г) ф const принимает
любое комплексное значение, за исключением, быть может, двух.
Доказательство. Пусть для функции F (г) существует
три значения a, b и с, которых она не принимает. Если одно из них,
например с, равно оо, то F (г) ф const есть целая функция, не при-
принимающая двух конечных значений а и Ь, что невозможно. Итак,
числа а, Ь и с конечные. Образуем функцию
это — мероморфная функция, не обращающаяся в бесконечность
и, следовательно, целая, кроме того, Ф (г) ф const. С другой сто-
_ . . „11
роны, Ф (г) не принимает двух конечных значении ——— и -f~r~ •
Мы снова пришли к противоречию с малой теоремой Пикара, откуда
и следует справедливость доказываемого предложения.
Простейший пример мероморфной функции, имеющей два исклю-
исключительных значения, представляет функция ег (исключительные
значения 0 и оо) или функция tg z (исключительные значения i
и -/).
8.3. Воспользуемся свойствами функции со (w) для получения
весьма общего достаточного критерия нормальности семейства ана-
аналитических функций. Напомним (см. п. 1.1 гл. IV), что семейство

§ 8] КРИТЕРИЙ НОРМАЛЬНОСТИ ' 567
{f (г)} функций, однозначных и аналитических в некоторой обла-
области G, называется нормальным в этой области, если из любой после-
последовательности {fn (г)} функций этого семейства можно извлечь
подпоследовательность, равномерно сходящуюся (быть может, к тож-
тождественной бесконечности) внутри области G.
Критерий нормальности. Для того чтобы семей-
семейство функций {f(z}}, аналитических в некоторой области G, было
нормальным, достаточно, чтобы существовали два конечных значе-
значения а и Ь, не принимаемых ни одной из данных функций в этой
области.
Доказательство. Очевидно, достаточно установить нор-
нормальность данного семейства в любом круге, принадлежащем обла-
области G (сравните рассуждения, проведенные в п. 1.1 гл. IV). Это озна-
означает, что область G можно с самого начала считать кругом. Заменим
каждую функцию f (z) через ср (г) = ¦ Р ¦-* • Тогда получим
семейство функций {ср (г)}, не обращающихся ни в нуль, ни в еди-
единицу в круге G. Если мы докажем, что нормально семейство {ср (z)},
то отсюда уже будет следовать нормальность семейства {f (z)}.
Рассмотрим произвольную последовательность функций {срга (г)}
и последовательность значений этих функций в некоторой точ-
кег0 ? G. Будем различать два случая: а) {ср„ (г0)} имеет предельную
точку, отличную от 0, 1 и оо; б) такой предельной точки не суще-
существует. В случае а), переходя, если это нужно, к подпоследователь-
подпоследовательности, будем иметь:
lim cp,j(zo) = <хфО, 1, оо.
Фиксируем окрестность точки ос настолько малую, чтобы она не
содержала точек 0, 1 и оо, и выделим в ней однозначную ветвь функ-
функции со (w), например, потребовав, чтобы значение со (а) = |3 было
главным (т. е. принадлежало четырехугольнику ADBC рис. 82;
точки сторон AD и DB не причисляются к нему). Так как при доста-
достаточно больших п точки фп (г0) принадлежат выбранной окрестности,
то мы получим в окрестности точки z0 элементы аналитических функ-
функций ©фп (z), где значения со принадлежат выделенной ветви. Каждый
из этих элементов может быть аналитически продолжен на весь
круг G, так как ц>п (z) — функции, аналитические в этом круге, и все
их значения принадлежат той области, где функция со (w) не имеет
особых точек. В результате продолжения получатся функции
<оф„ (г), однозначные и аналитические в круге G, удовлетворяющие
условию lim софп (z0) = р. Все значения этих функций принадлежат
единичному кругу. Поэтому последовательность {софп (z)} образует
компактное семейство (см. п. 2.1 гл. IV), т. е. содержит подпоследо-
подпоследовательность {соф„А (z)}, равномерно сходящуюся внутри G. Пусть

568 АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ [ГЛ. 8
Q (г) = lim <вфи, (z); эта функция удовлетворяет условию Q (г0) =
= р и так как | р | < 1, то Q (z) не может быть постоянной, по моду-
модулю равной единице. Так как, далее, | <афп (г) | < 1 в области G,
то | Q (z) | < 1 в этой области и в силу принципа максимума
модуля: | Q (z)| < 1, z ? G (если бы имело место равенство в какой-
либо точке области G, то было бы | Q (z) | = 1, что, как мы заметили,
невозможно).
Рассмотрим замкнутый круг К, принадлежащий области G;
функция t — Q (г) отображает его на замкнутую область D, при-
принадлежащую единичному кругу. Следовательно, функция w — % (t)
равномерно непрерывна на D, откуда вытекает, что последова-
последовательность {%<»срп (г)=ф„ (г)} равномерно сходится на К к функции
%Q (г). Итак, в случае а) существует подпоследовательность{<рПк (г)}
последовательности {фп (г)}, равномерно сходящаяся внутри G.
Остается рассмотреть случай б), когда последовательность
{фп (^о)} не имеет других предельных точек, кроме 0, 1 и оо. Пусть
1 является предельной точкой для этой последовательности. Не огра-
ограничивая общности, можно считать тогда, что lim ф„ (z0) = 1. Обра-
Образуем функции Г1~кю
приписывая Ьпф„(г) в точке z0 главное значение, так что
lim Ln ф„ (z0) = 0,
и аналитически продолжая соответствующие элементы функций
Ln ц>п (г) в круге G (такое продолжение возможно, так как ц>п (z)
не обращается ни в нуль, ни в бесконечность в области G).
В результате продолжения получаются функции tyn(z), однознач-
однозначные и аналитические в круге G. Они не принимают в нем значений
О, 1 и оо, ибо Lr\(fn(z) Ф — 2ш, 2я/, оо. В точке z0 имеем:
tO 1, оо.
П>0О
Поэтому к последовательности {г|зп (г)} применимо рассуждение,
проведенное выше для случая а), т. е. существует подпоследователь-
подпоследовательность {i|3nft (г)}, равномерно сходящаяся внутри G к некоторой
функции Y(z). Так как ни одна из функций ^„^ (г) не принимает
значения 1/2 в области G, то и предельная их функция ?(г)
не должна принимать этого значения, если только она не является
константой (это следует из теоремы Гурвица, п. 3.5 гл. четвертой.
Но W (z0) = lim \Ь„. (z0) = -s-; следовательно, W(z)=-~. Отсюда

§ 8] БОЛЬШАЯ ТЕОРЕМА ПИКАРА 569
вытекает, что выделенные выше однозначные в области G ветви
Ln фп (г) равномерно внутри области сходятся к 0, а последова-
последовательность функций {ц>Пк (г)} равномерно сходится к 1.
Если бы мы вместо lim ф„ (г) = 1 имели соотношение lim фп (г) = 0г
П->-оо - П->оо
или lim ф„(г) = оо, то стали бы рассматривать последовательность
функций {1—ф„ (г)}, или <1 Г\ Г • Функции каждой из них
являются аналитическими в области G и не обращаются ни в О,
нив 1, нив оо. Кроме того, последовательность их значений в точ-
точке z0 сходится к 1. Применяя к ним разобранный частный случай, мы
нашли бы, что {фп (г)} содержит подпоследовательность, сходя-
сходящуюся равномерно внутри G, соответственно, к 0 или оо. Этим
и заканчивается доказательство теоремы.
8.4. Приложим теорему предыдущего пункта к доказательству
большой теоремы Пикара, формулированной в п. 3.1 главы
четвертой.
Большая теорема Пикара. Аналитическая функция f (г)
принимает в произвольной окрестности существенно особой
точки г0 любое конечное значение, за исключением, быть может,
одного.
Доказательство. Не ограничивая общности, положим
го = 0 (к этому случаю приходим посредством преобразования
t, = z— z0 или ? = — ]. Рассуждая от противного, допустим, что.
/ (г) имеет два конечных исключительных значения а и Ъ в неко-
некоторой окрестности | z | -< R точки г0 = 0. Построим круговые кольца
R c:\z\- R
Г
с центром 20 и образуем последовательность функций
Функция fn (z) принимает в кольце Го те же значения, чта
и функция / (г) в кольце Тп. Поэтому последовательность {/„ (г)}
есть последовательность однозначных аналитических функций
в кольце Го, не принимающих значений а и Ь, и, следовательно,
является нормальным семейством. Выделим из нее подпоследователь-
подпоследовательность {fnh (z)}, равномерно сходящуюся внутри Го. Пусть сначала
предельная функция F (г) ф. оо. Тогда модуль | F (z) | ограничен

570 АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ [ГЛ. 8
п
на окружности |z| = p, -q~<Cp<iR, и, следовательно, функции
{fnh (г)} равномерно ограничены на этой окружности.
Это означает, что функция / (z) удовлетворяет условиям
|/(z) |<M, |z| = -^- (k = \, 2,....)
и, следовательно, по принципу максимума модуля удовлетворяет
условию
|/(г)|<М, 0<jz|<p.
Но это невозможно, так как 2 = 0 есть существенно особая точка
функции f (z).
Если F (z) = 00, то последовательность аналитических функций
Ф„й (г) = -т—, , равномерно сходится к нулю внутри Го.
' nk a
Отсюда, рассуждая по предыдущему, заключаем, что функция
Ф (г) = f _— ограничена в области вида 0<[z|<;p, откуда
вытекает, что точка г = 0 является правильной для ф (г) и, сле-
следовательно, не может быть существенно особой точкой для /(г),
вопреки условию теоремы. Итак, теорема доказана.
Из нее следует малая теорема Пикара в следующей усиленной
формулировке:
Целая трансцендентная функция f (г) принимает каждое
конечное значение А, за исключением, быть может, одного в беско-
бесконечном множестве точек.
В самом деле, если два конечных значения а и b принимаются
лишь в конечном числе точек, то должна существовать окрест-
окрестность бесконечно удаленной точки, в которой они вовсе не при-
принимаются, что противоречит доказанной теореме (г=оо является
существенно особой точкой для /(г)).
Читатель легко докажет справедливость следующего, более
общего утверждения:
Мероморфная в конечной плоскости трансцендентная функ-
функция f (z) принимает каждое конечное значение, за исключением,
быть может, двух в бесконечном множестве точек.
Анализируя доказательство основной теоремы этого пункта,
можно получить более общее предложение. Пусть по-прежнему
fn(z) = / f -^-j ; введем в рассмотрение круговые кольца
налегающие друг на друга.

§ 8] ЛУЧИ ЖЮЛИА 571
Докажем, что семейство функций {fn (г)} не может быть нор-
нормальным в кольце Го. Допустим противное. Тогда существуют
подпоследовательности этой последовательности, равномерно схо-
сходящиеся внутри Го, в частности, равномерно сходящиеся в зам-
(Г) /? \
-23-<|z|<-2-J . Предельная функция F (z) любой
из подпоследовательностей должна тождественно равняться беско-
бесконечности; допуская противное, мы установили бы, рассуждая как
при доказательстве большой теоремы Пикара, что функция / (г)
ограничена по модулю в некоторой области вида 0<|г|<;р, что
невозможно. Но из того, что любая равномерно сходящаяся на Г
подпоследовательность {fn, (z)} сходится к тождественной беско-
бесконечности, вытекает, что и вся последовательность {/„ (г)} равно-
равномерно сходится к бесконечности на Г. В противном случае должны
существовать положительное число N, последовательность точек
{2ft}, принадлежащих Г, и последовательность возрастающих нату-
натуральных чисел {uk} такие, что |/nft Bй)|<!Л/. Но это заключение
противоречит тому, что подпоследовательность {/Пд (г)} должна
содержать в себе другую подпоследовательность {/п< (г)}, равно-
равномерно сходящуюся к оо на Г. Итак, из допущения, что последо-
последовательность {fn(z)} есть нормальное семейство в Г„, следует, что
{fn B)} равномерно сходится к бесконечности на Г. Поэтому для
сколь угодно большого числа N в точках кольца Г выполняются
неравенства | /„ (г) | > N, если только п достаточно велико. Иными
словами,
N при n>v(N) и 2?Г.
(Г) Г) \ —
-р- <: | z | <: -jj- J , точка -?п описы-
описывает кольцо уп (-^ < | z | <-2^г) ¦ Кольца yn(n = v, v+1,
v + 2, ...) налегают друг на друга и заполняют область
О < | z | <; ¦ . Следовательно, во всех точках этой области спра-
справедливо неравенство
|/()|ЛГ
Иными словами,
lim f(z) =
z->0
что, однако, невозможно, так как г = 0 есть существенно особая
точка функции /(г).
Мы доказали, следовательно, что семейство {fn{z)} не может
быть нормальным в кольце Го. Отсюда вытекает, что в этом

572 АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ [ГЛ. 8
кольце существует по крайней мере одна точка ?> в любой окрест-
окрестности которой семейство {fn (z)} не может быть нормальным.
Действительно, если бы каждая точка кольца Т'о обладала окрест-
окрестностью, в которой семейство {/„ (г)} нормально, то тогда это
семейство было бы нормальным в Г„.
Пусть \г — ?|<e — произвольно малая окрестность точки Z,-
Так как семейство {/„ (г)} не является нормальным в этой окрест-
окрестности, то функции этого семейства в совокупности принимают
в ней все конечные значения, за исключением, быть может, одного.
Точнее говоря, для любого конечного А, за исключением, быть
может, одного значения Ао, существуют функции /„А (г) со сколь
угодно высокими номерами nh, принимающие значение А в неко-
некоторой точке Zk, принадлежащей Данной окрестности. Замечая,
что /„ (г) = / (—|—1 > и обозначая -^- через ^, получаем:
Очевидно, последовательность {?д} сходится к точке г = 0
и содержится внутри угла, ограниченного лучами, выходящими
из точки г = 0 и касающимися окружности \z — ? [ < б. Так как
точка ? фиксирована, а е произвольно мало, то мы приходим
к следующему предложению:
Теорема. Для каждой существенно особой точки z0 анали-
аналитической функции f (г) существует по крайней мере один выхо-
выходящий из этой точки луч такой, что в любом угле, симметрич-
симметричном относительно этого луча, функция f (г) принимает каждое
конечное значение, за исключением, быть может, одного в беско-
бесконечной последовательности точек, сходящейся к z0.
Очевидно, эта теорема является уточнением большой теоремы
Пикара. А именно, теорема Пикара ничего не говорит о том,
как расположены Л-точки функции / (z) в окрестности сущест-
существенно особой точки, тогда как последняя теорема утверждает,
что для любого А, за исключением, быть может, одного, беско-
бесконечное множество Л-точек группируется около некоторого луча
(таких лучей может быть несколько и даже бесконечно много).
Луч (или лучи), существование которых устанавливает теорема,
называются лучами Жюлиа по имени ученого, открывшего их.
В случае, когда z0 = оо, мы переходим к рассмотренному
только что случаю посредством преобразования Z, = —. В част-
частности, для целых функций получаем следующее предложение:
Теорема. Пусть f(z) — целая трансцендентная функция;
тогда на плоскости существуют отличные от начала координат
точки, в любой окрестности которых семейство {f Bnz)}
не является нормальным. Луч, выходящий из начала координат

§ 8] ЛУЧИ ЖЮЛИА 573
и проходящий через такую точку, обладает тем свойством,
что угол произвольно малого раствора, симметричный относи-
относительно этого луча, содержит бесконечное множество А-точек
функции для каждого конечного значения А, за исключением,
быть может, одного.
В виде примера рассмотрим функцию ег. Она обладает двумя
лучами Жюлиа, направленными по положительной и по отрица-
отрицательной части мнимой оси. Действительно, если АфО, то корни
уравнения ег = А таковы:
zh = Ln/4 = In \]А | + i arg A + 2kai.
Пусть для определенности k положительно. Так как тангенс угла
между вектором zft и положительным направлением мнимой оси
равен —nJ , то он стремится к нулю, когда k неограниченно
возрастает. Отсюда вытекает, что точки 2д, начиная с некоторой
из них, принадлежат любому фиксированному углу, симметрич-
симметричному относительно положительной части мнимой оси. Аналогич-
Аналогичный результат получаем для k отрицательных и для отрицательной
части мнимой оси. Заметим, что здесь точками, в любой окрест-
окрестности которых семейство {е2™2} не является нормальным, служат
все точки мнимой оси. Действительно, в каждой из них |e2nz|= 1,
тогда как в точках, расположенных в правой или левой полу-
полуплоскости, последовательность {e2"z} сходится соответственно к оо
или к 0. Отсюда и следует, что для точки мнимой оси не суще-
существует окрестности, в которой бы последовательность {е2 hz}
равномерно сходилась.

Приложение
О БАЗИСЕ В ПРОСТРАНСТВЕ
АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
(Матем. сборник, т. 17, № 2, 1945)
I
1. Рассмотрим множество всех однозначных функций ком-
комплексного переменного г, аналитических в круге \z\ < R @<;^< оо).
Если {г„} — какая-либо монотонно возрастающая последователь-
последовательность положительных чисел, удовлетворяющая условию lim rn = R,
то, определяя норму аналитической функции f(z) посредством
соотношения
00 max | / (г) |
II f(z) 11 У * "*^Гд
II/WII — Zj 2" 1+ max |/(г)| '
1 М=?г„
мы сможем рассматривать это множество как линейное простран-
пространство ER типа F1). Сходимость в этом пространстве, в соответ-
соответствии с принятой нормой, определяется как равномерная сходи-
сходимость последовательности аналитических функций на каждом
замкнутом множестве точек круга \z\< R. Пространство это,
очевидно, не будет пространством Банаха. Известно2), что
ни при каком определении нормы мы не сможем прийти здесь
к пространству Банаха, если сходимость принимать в указанном
смысле.
2. Линейный функционал, определенный на ER, можно всегда
представить в виде
где \\т У \ln\ ~l <cR. В самом деле, если последнее условие
П-*оо
выполнено, то ряд A) сходится для любой f(z)?ER (так как
х) Основные определения и факты функционального анализа даны в книге
S. Banach'a (S. В а п а с h, Theorie des operations lineaires, Warszawa, 1932).
2) P. Urysohn, «Sur un probleme de M. Frechet relatif aux classes des
fonctions holomorphes», Comptes rendu du Congres des Societes savantes ert
1924, Sciences.

О БАЗИСЕ В ПРОСТРАНСТВЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 575
- пГ\ /(П) @) 1 \
lim "I/ -—р-1- <-5~ ; поэтому его сумма определяет функционал
П->оо V \ П\ К I
на ER, очевидно, аддитивный. Далее, если l<r<cR, то
о
max | / B)
¦\г\^г
и, следовательно,
Отсюда заключаем, что Ln (f) —^ О при / (г) —> 9 (9 — нуль про-
пространства ER, т. е. функция, тождественно равная нулю). Итак,
L (/)— линейный функционал. Обратно, если L (/) —какой-либо
линейный функционал на ER, то, полагая L (zn) = ln, имеем
о о
Если допустить, что lim Y\^n\> R, то тогда существует беско-
И-юо
нечная подпоследовательность отличных от нуля чисел 1п'-{1п),
п. °° п.
для которых lim y^\ln.\> R- Функция F (г) = У\ —.— принадле-
3-»оо J ~2 1П.
оо
1
жит ER, и поэтому ряд 2 /— In. должен сходиться, что, оче-
э=о nJ ' ,
видно, невозможно. Следовательно, lim |/| ln | < R.
П->оо
В силу доказанного условия функция
оо
«(Q = 2 тЬг B)
о
является аналитической в бесконечно удаленной точке, причем
со(оо) = 0. Поэтому L (/) можно представить также в виде
=2S7 I
i<ISl=P<fi
3. С точки зрения общих проблем теории приближения и раз-
разложения функций в ряды пространство ER представляет особый
3) Ср. L. F а п t a p p i ё, I. funzionali analitici, Memorie della Reale
Accademia Nazional dei Lincei, Serie sesta, Vol. Ill, Fasc. XI.

S76 ПРИЛОЖЕНИЕ
интерес. Интерес этот вполне оправдан, с одной стороны, той ролью,
которую аналитические функции играют в анализе, а с другой сто-
стороны,— весьма общим характером пространства ER, не укладываю-
укладывающегося в рамки банаховских пространств. Мы займемся в этой статье
проблемой базиса в ER, т. е. отысканием условий, которые нужно
наложить на последовательность функций {fn (г)} для того, чтобы
всякую функцию f (г), f (z) ? ER, можно было представить в виде
ряда
о
и притом единственным образом. Проблему эту удобно исследовать,
расщепив ее на ряд отдельных проблем, расположенных в порядке
подчинения. К этому мы и переходим, заметив, что более общий слу-
случай — исследование рассматриваемых здесь проблем для простран-
пространства функций, аналитических в произвольной односвязной обла-
области,— сводится к рассматриваемому здесь посредством конформ-
конформного отображения области на круг.
4. Пусть {fn (г)} — какая-нибудь последовательность функ-
функций ER. Мы назовем ее полной4), если замкнутая линейная
оболочка {fn (z)} совпадает с ER, т. е. если каждая функция f (г),
/(г) ? ER, может быть представлена в виде предела последователь-
последовательности полиномов относительно {fn B)} (полиномами мы называем
линейные агрегаты вида cofo (z) + . . . + cnfn (г)).
5. Если {fn (z)} — полная последовательность (мы будем гово-
говорить иногда: полная система), то каждая функция f(z), f (z) ? ER,
представляется в виде
f (г) = lim рп (г) = lim (c^f0 (г) + .. . + <%>% (г)). C)
¦Столбцы коэффициентов {с*™*} (k = О, 1, 2, . . ., c(hn) = 0 при
л -< k), вообще говоря, расходятся. Правда, нетрудно показать,
что последовательность {рп (г)} можно всегда выбрать так, что
Jim с<") будут существовать для всех k; но пределы эти будут вообще
П->оо
зависеть от выбора {рп (г)}. Для того чтобы они не зависели от
{Рп (?)}, необходимо и достаточно, чтобы всегда из соотношений
lim рп (z) = lim (c(on)fo B) + ... -f c^fn (z)) = 0
следовало lim cW = 0 (k = 0, 1, 2, ...M).
4) В цитированной книге S. Banach'a в этом смысле употребляются
термины: фундаментальная или замкнутая последовательность.
6) Мы ссылаемся здесь на первую главу нашей работы «Некоторые
вопросы теории приближения и разложения функций в ряды». Настоящая
-статья представляет изложение существенной части второй главы этой
работы.

О БАЗИСЕ В ПРОСТРАНСТВЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 577
Очевидно, что функции {/n (z)}, удовлетворяющие последнему
условию, линейно независимы и, более того, не допускают нетри-
нетривиальных разложений нуля. Однако линейно независимая система
функций, не допускающая нетривиальных разложений нуля, может
и не удовлетворять условию D), как показывает пример системы
1, 1 + z 1 + za в пространстве ?4 (здесь lim pn (z) =
= lim (/о (z) — /„ (z)) = 0). Эти замечания оправдывают следующие
определение и термин 6). Система функций {/„ (z)} называется уси-
усиленно линейно независимой в ER (коротко:
у. л. н. система), если для нее выполняется условие D), т. е. если
из сходимости последовательности полиномов относительно {/„ (z)}
к нулю следует сходимость к нулю каждого из столбцов матрицы
коэффициентов этих полиномов. Это определение не предполагает
полноты {/„ (z)}; однако мы будем здесь прилагать его только к пол-
полным системам.
6. Если {/n (z)} — полная у. л. н. система и / (z) — какая-либо
функция ER, то из C) следует, что существуют пределы
lim cW = cft = 4 (/) (? = 0,1,2,...). E)
П->оо
Lh (/) представляют аддитивные и в силу свойства у. л. н. D) непре-
непрерывные на ER, т. е. линейные, функционалы. Очевидно, что
Lh(fm) = 6hm (k = 0, 1,2, ...;m = 0, 1,2, ...), F)
где 8km = 0 при k Ф т и 6kk = 1, т. е. {/„} и {Ln} образуют биорто-
биортогональную систему. Обратно, если полная система функций {/„ (z)}
допускает биортогональную с ней систему линейных функционалов,
то она, очевидно, есть у. л. н. система. Итак, существование системы
линейных функционалов {Ln}, биортогональной с полной системой
{fn B)}, является критерием у. л. н. системы {/„ (z)}.
Укажем еще один, легко проверяемый критерий у. л. н. системы.
Для у. л. н. системы {/„(z)} необходимо и достаточно, чтобы для
любого п0 расстояние /„„ (z) до замкнутой линейной оболочки множе-
множества /0 (z), . . ., /no_t (г), /„0+i (z), . . . было отлично от нуля.
7. Пусть {/„ (z)} — полная у. л. н. система и {Ln} — система
линейных функционалов, биортогональная с {/„ (z)} (она опре-
определяется по {/„ (z)} единственным образом).
6) А. Маркушевич, О базисе (в широком смысле слова) для линей-
линейных пространств, Доклады АН СССР, XII A943), №6, стр. 241—243; «Обоб-
«Обобщение одной теоремы Д. Е. Меньшова». Матем. сб., 15 E7), 433—436. С не-
несколько иной точки зрения и только для гильбертова пространства у. л. н.
системы под именем минимальных систем рассматривались ранее С. С. Леви-
Левиным (S. Lewin, Ober einige mit der Konvergenz im Mittel verbundenen
Eigenschaften von Funktionenfolgen. Math. Zeitschrift, Bd. 32, S. 491—511).
37 А. И. Маркушевич

578 приложение
Если
о
то функции
назовем ассоциированными с {/„(г)}. В случае, когда
со;1 (?) можно определить посредством соотношений
<1 ?!>*)• (8)
8. В случае полной у. л. н. системы {/„ (г)} с каждой функ-
функцией f(z)?ER ассоциируется ее разложение по функциям {/n(z)}:
f(z)~|jLn(/)-Mz). (9)
оо
Если какой-либо ряд вида 2 сп!п (г) сходится к / (г) или хотя бы
о
обладает подпоследовательностью частичных сумм, [сходящейся
к /(z), то в силу у. л. н. {/„ (z)}
cn = Ln(f) (л = 0, I, 2, ...)•
Но если, обратно, нам известно, что ряд (9) сходится к неко-
некоторой функции F (z) (или обладает подпоследовательностью частич-
частичных сумм, сходящейся к F (г)), то мы, вообще говоря, не можем
утверждать, что F(z) = f(z). В этом можно убедиться на примере
системы 1, 1+2, 1 -j- z + z2, ..., 1 -f z -f ... -f zn, ... в простран-
пространстве ?j. Она, очевидно, полна; ее у. л. н. вытекает из существо-
существования биортогональной с ней системы линейных функционалов
ЬпШ- „, (n+l)! *
Однако здесь функция f (z) = j—— g Et обладает разложением, все
коэффициенты которого суть нули (Lft (/) = lim Lk A -f . .. -f zn) =
= lim Lft (/n) = 0) и которое, следовательно, сходится к F(z) =
()
Мы будем говорить, что последовательность линейных функ-
функционалов {Ln}, определенных на ER, обладает свойством

О БАЗИСЕ В ПРОСТРАНСТВЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 579
единственности, если из соотношений
?.»(/) = О (л = 0,1,2, ...), f(z)tER 1
следует f(z) = Q. J ' *
Это определение не требует, чтобы система {Lm} была биортогональ-
ной с какой бы то ни было системой функций {/„ (z)}.
9. Полную у. л. н. систему {/п (г)}, для которой соответствую-
соответствующая (биортогональная с {/„ (z)}) последовательность линейных функ-
функционалов обладает свойством единственности, мы называем бази-
базисом в широком смысле пространства ER 7). В этом случае ряд (9)
не может сходиться к функции F (z), отличной от / (z), как не может
и обладать подпоследовательностью частичных сумм, сходящейся
к F (г) Ф f (z). Таким образом, в случае базиса в широком смысле
слова разложение (9) может либо сходиться, либо обладать под-
подпоследовательностью частичных сумм, сходящейся к / (z), либо,
наконец, не иметь ни одной сходящейся подпоследовательности
частичных сумм. Соответственно этому функции пространства ER
разбиваются на три класса: А, В и С (в порядке перечисления).
Первый из них никогда не пуст (ибо в него входят, например, все
полиномы относительно {/„ (z)}). Что класс С может быть непустым,
видно из примера системы {(z — а)п} (афО, \ а | < 1) в про-
пространстве Ei. Эта система представляет базис в широком смысле
слова (здесь линейные функционалы, биортогональные с {(z — сх)}п,
имеют вид Ln (/) = -—р^; они, очевидно, обладают свойством
единственности). В класс С в этом примере входит функция
A _a)"+i(Z~a)+---
В самом деле, никакая лодпоследовательность частичных сумм ее
разложения не может сходиться вне круга
\г — а|<| 1—а|
(в этом убеждает простая выкладка). Можно показать, что всегда
каждая функция класса С представляется в виде суммы двух функ-
функций класса В (представление, конечно, не единственное) 8). Таким
образом, класс В не может быть пустым, если класс С не пуст.
Было бы интересно убедиться в справедливости обратного.
10. В случае, когда классы В я С пусты, т. е. когда разложе-
разложение (9) по элементам базиса в широком смысле слова сходится
для любой функции пространства ER, базис в широком смысле
') См. первую из упомянутых в сноске *) заметок.
8) См. вторую из упомянутых в сноске в) заметок, а также заметку автора
«О наилучшем приближении», Доклады АН СССР, 1944.
37*

580 ПРИЛОЖЕНИЕ
превращается в базис в узком смысле слова, т. е. просто в базис
(см. выше п. 1). Иными словами, последовательность функ-
функций {/„ (z)}, удовлетворяющая условиям:
(а) {/„ (г)} — полная система (в ER);
(Р) (fn (г)} — у. л. н. система;
(у) — последовательность линейных функционалов {Ln}, биор-
тогональная с {/„ (z)} (она существует в силу (Р)), обладает свой-
свойством единственности;
(б) для каждой функции / (г) ? Ek ее разложение по функ-
функциям {/„ (г)} сходится;
— является базисом ER.
Справедливо и обратное: если система {/„ (г)} есть базис ERy
то все условия (а) — F) выполнены.
В доказательстве здесь нуждается лишь свойство (|3). Для про-
пространства типа Банаха соответствующее рассуждение можно найти
в книге S. Banach'a *) (стр. 111). Это же рассуждение можно пере-
перенести и на пространства типа F, если при этом опираться на неко-
некоторые свойства этих пространств, отмеченные S. Магиг'ом и W. Orli-
сг'ем 9).
Итак, система {/„ (г)} является базисом Ев. тогда и только тогда,
когда выполнены условия (а), (р), (у) и F) этого пункта. Отметим,
что выполнение лишь первых трех условий (а), (|3) и (у) означает,
чт0 {fn (z)} есть базис в широком смысле слова.
В соответствии с условиями (а) — (б) проблема базиса распа-
распадается на следующие проблемы:
(a) проблема полноты для системы функций {/„ (г)};
(b) проблема у. л. н. для системы {/„};
(c) проблема единственности для системы линейных функ-
функционалов {Ln};
(d) проблема сходимости для рядов 2 Ln (/)•/„ (г) (здесь {/„ (г)}
представляет базис в широком смысле слова).
Мы и переходим теперь к исследованию этих четырех проблем,
начиная с центральных, тесно связанных между собой про-
проблем (а) и (с)
II
1. Мы начнем с установления понятий, представляющих обоб-
обобщение классического преобразования Бореля, применяемого в тео-
теории аналитических функций.
») S. M a z u r und W. О г 1 i с z, Ober Folgen linearer Operationen»,
Studia Math., t.. IV, 1933. Всё доказательство проведено в первой главе рабо-
работы, упомянутой в.сноске 6).

О БАЗИСЕ В ПРОСТРАНСТВЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 58J
Пусть F (z, ?) — функция двух комплексных переменных, ана-
аналитическая по каждому из них соответственно в кругах
|г|<Я и |?|<Р @<R<oo, 0<Р<оо)
и, следовательно, аналитическая по совокупности двух перемен-
переменных г, ? в четырехмерной области: \z\<.R, |?[<Р. Будем обо-
обозначать через L и Л всевозможные линейные функционалы, опре-
z t
деленные соответственно в пространствах ER и Ер. Множества
функций
{AF(Q]=/(z)} и {L[F(z, ?)] =
представляют подмножества О и Q пространств ?л и ?р:
О cr EB, Q сг Яр.
Мы будем называть эти множества порожденными функ-
функцией F (z, Q (сопряженными относительно F (г, ?)).
В виде примера положим F (г, ?>) = е* (R — P=oo). Тогда
пространства ER и ?р идентичны и, кроме того, совпадают и О
и Q (в силу симметрии .F(z, ?)). Произвольный линейный функ-
функционал в Яоо имеет вид
о
(см. п. 2,1); поэтому функции, порожденные F(z, ?), имеют здесь вид
О | г |=r>a 0
т. е. представляют результат преобразования Бореля, применен-
со
ного к функции 2 ~таг» аналитической в бесконечно удаленной
о
точке. Из условия lim т/|а„| =а< оо следует, что ср (?) — целая
функция экспоненциального типа (т. е. функция либо порядка,
меньшего .единицы, либо порядка, равного единице, и конечного
типа). Обратно, всякая функция экспоненциального типа может
быть представлена в виде L (ezty. Итак, в этом примере множе-
множество Q = О есть совокупность всех целых функций экспоненциаль-
экспоненциального типа.
2. Рассмотрим более общий пример, где F (z, ?) = / (zt,)
оо
и f (z) = 2cnzn — функция, аналитическая в области \г\<Д'. Мы

582 ПРИЛОЖЕНИЕ
можем рассматривать F(z, Q как функцию, аналитическую в области
\z\<R, [Ц<Р, где ?<#' и Р = ^|-при R'<oo и Р = оо
при R' = oo. Тогда для линейного функционала ?(/), определен-
определенного в ER, имеем
о
Поэтому множество Q состоит здесь из функции вида
оо оо
Ф (?) = L (F (г, I)) = L [2 cnznln] = S а„с^п.
2 Z О О
Пусть сначала R'<c.oo; тогда все эти функции являются аналити-
аналитическими в замкнутом круге |?|<Р = -н- (так как lim>/|ancre|<
<-^г<-от- = -р-) и во всяком случае являются аналитическими
в замкнутом единичном круге (ибо R^cR'). Обратное, вообще
говоря, неверно. Легко указать условия, необходимые и доста-
достаточные для того, чтобы множество О в точности совпадало с сово-
купностью функций, аналитических в замкнутом круге | z \ ¦< Р = -н-.
Такими условиями являются: (а) спф0 @, 1, 2, ...), (Ь) суще-
существует lim j/"|cn| (=-рт) •
Пусть теперь R' = oo, т. е. /(z) —целая функция. Предполо-
Предположим, что класс / (z) не выше [р, о]10). Тогда для целой функции
г |=г>о
имеем
откуда класс ф (?,) ниже [р, aRp]. Итак, в рассматриваемом слу-
случае функции класса суть целые функции класса ниже [р, ст^р].
Обратное, вообще говоря, неверно. Легко указать условия, необ-
необходимые и достаточные для того, чтобы множество Q совпадало
с совокупностью всех целых функций класса ниже [р, ст^р]. Такими
10) Мы говорим вслед за В. Л. Гончаровым, что класс целой функции f (г)
не выше (соответственно ниже) [р, а], если либо порядок /(г) меньше р, либо
равен р, но тогда тип не больше (соответственно меньше) о".

О БАЗИСЕ В ПРОСТРАНСТВЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 583
условиями являются: (а') спф0(п — 0, 1, 2, ...), (Ь') существует
lim п р у^| с„ | = (ера) р .
П->оо
3. После этих примеров введем следующие определения
(для удобства дальнейшего изложения мы формулируем одно из них
в терминах О, другое в терминах Щ.
Последовательность функций {fn(z)}, принадлежащих О, т. е.
таких, что /„ (z) = An(F (z, ?)], называется относительно
полной (в О), если О принадлежит замкнутой линейной обо-
оболочке {/„(z)}.
О последовательности линейных функционалов {Л„} простран-
пространства Ер мы будем говорить, что она обладает свойством отно-
относительной единственности (на й), если из того, что
<р (?) ? Q и Л„ (ф) = 0 (п = 0, 1,2,...), следует, что ср (Q = 6.
4. Теорема I (принцип двойственности). Система
функций {fn (z) = ЛЛ [F (z, ?)]} является относительно полной (в О)
5
тогда и только тогда, когда система функционалов {Л„}, поро-
порождающая ее из функций F(z, ?), обладает свойством относи-
относительной единственности (на QI1).
Доказательство. Пусть система функций {/„(г)}, fn(zN О,
относительно полна. Фиксируя какое-либо ?0, |^0|<Р, заметим,
что F (г, ^0) G О. Следовательно, существует последовательность поли-
полиномов относительно {/ге(г)}, сходящаяся к F (z, ?0). т. е.
(,to)Ii[fn())
о
Пусть теперь <р (?) = L [F (z, Q]gQ и Лп(Ф)=0 (л = 0, 1,2, ...).
где {Л„} —система линейных функционалов, порождающая {/n(z)}.
Тогда
<р (So) =L[F (г, Ш = I>P{L [Л„ (F (г, ?))]} =
О 2
= § Р {Л„ [L (F (г, 0)]} = S Р (Л„ [Ф (?)]} = О
О I z 0 ?
(перестановочность L и Л„ легко установить). Вследствие про-
z t
извольности ?о заключаем, что ф (?) = 0. Итак, система функциона-
функционалов {A7V} обладает свойством относительной единственности.
п) В менее общем виде теорема эта опубликована нами в заметке «К про-
проблеме полноты аналитических функций», Доклады АН СССР, 1943.

584 ПРИЛОЖЕНИЕ
Чтобы доказать вторую часть теоремы, предположим, что {Л„}
обладает свойством относительной единственности, но система
функций {/„ (z) = An[F (z, ?)]} не является относительно полной.
Тогда существуют функция /(г) = Л [F (г, ?)]? О и число г,
О < г < R, такие, что
2я
О
(здесь П[/„(ге<е)] — полином относительно {/„ (reie)}). В самом
деле, для аналитических функций из сходимости в среднем
(в смысле L2) на некоторой окружности | z \ = г следует равно-
равномерная сходимость в каждом концентрическом круге меньшего
радиуса. Ортогонализируя функции {/„ (Veie)} в интервале @, 2я),
получим последовательность полиномов {Р/[/п(ге'8)]}; ряд Фурье
функции /(геш), расположенный по этим полиномам, сходится
в среднем к некоторой функции / (8) с интегрируемым квадратом
модуля в интервале @, 2я):
о
2я
о
(сходимость —в смысле сходимости в среднем). В силу гипотезы
2я
о
С другой стороны, коэффициенты Фурье (относительно системы
{Pj \fn(reie)]}) для функции f(reie)—J(Q) равны нулю:
2я
1
л
б
откуда последовательно получаем
2я
о
2я
l
о
2я
, [F(re",

О БАЗИСЕ В ПРОСТРАНСТВЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 585
И
2я
1[{(ге*)-Тф)]-Р(ге*Л)с1в}=0 (п = 0, 1, 2, .. .)•
о
Но функция, находящаяся в фигурных скобках, принадлежит У.
Поэтому в силу того, что система {Л„} обладает свойством един-
единственности (относительным):
2я
I [f(re^)~f(Q)]-F (re«, 0 йв s 0.
о
Для завершения доказательства заметим, что
/ (rei9) _7F) = lim {/ (гв«) - 2 fl;Pj [/„ (/¦««)]} =
О
= lim {Л [F (ге*в, ?)] - S а^у [Л» (F (re*,
где {Л„} — последовательность линейных функционалов и сходи-
сходимость понимается в смысле сходимости в среднем.
Переходя к пределу в соотношении
2я
2я
~ \ \F (гр№ L) г№ = О
получаем окончательно
2л
что противоречит допущению. Итак, теорема доказана в полном-
объеме.
5. Изложенную теорему мы будем применять в дальнейшем
преимущественно как критерий полноты. Особенно важен случай,
когда замкнутая линейная оболочка О есть все пространство ER.
Тогда система функций {/„ (z)}, относительно полная (в О), являет-
является полной во всем пространстве ER. Назовем функцию F (z, ?)
полной (по г), если замкнутая линейная оболочка О есть все

586 ПРИЛОЖЕНИЕ
пространство ER (простые примеры убеждают, что функция, пол-
полная по z, может не быть полной по ?). Иными словами, функция
F (z, ?) называется полной (по z), если существует такая последо-
последовательность линейных функционалов {Л„}, что последовательность
функций {/„ (z) = An [F (z, ?)]} полна в ER, т. е. замкнутая линей-
линейная оболочка {/„ (z)} совпадает с ER. Из теоремы 1 следует, что
F (z, ?) является полной тогда и только тогда, когда каждая система
функционалов {Л„}, обладающая свойством относительной един-
ственности (на Q), порождает систему функций {/„ (z)}, полную в ER.
В частности, F (г, Q полна тогда и только тогда, когда последова-
«dnF (z, t) 1 I „
— ' У полна в ER.
В виде примера рассмотрим F {z, Z) = / (z + О, где / (z) —
какая-либо целая функция. Так как системы функционалов
А-n (ф) = ф(?п) (гДе множество {?„} имеет, по крайней мере, одну
конечную предельную точку) и Л„(ср) = ср(П) (?0) обладают свойством
единственности по отношению к совокупности всех целых функций
(содержащей в себе Q), то для полноты функции F (z, ?,) необходимо
и достаточно, чтобы любая из систем функций {/ (z + ?n)}, {/(n> (z)}
была полной в Ех. Отсюда, в частности, следует, что {/ (z + ?„)}
и {/(П)(z)} одновременно являются полными или неполными
(в Е«,).
6. Имея какую-либо полную функцию F (z, ?), мы можем поро-
породить из нее с помощью произвольных последовательностей линей-
линейных функционалов, обладающих свойством относительной един-
единственности на Q, в частности, посредством системы функционалов,
обладающих свойством единственности на всем пространстве ER,
бесчисленное множество систем функций, полных в ER. При таком
методе получения полных систем можно получить любую, a priori
заданную систему (выбирая соответствующим образом функ-
функцию F (z, ?) и систему функционалов {Лп}). В самом деле, если
{fn (z)} — совершенно произвольная (не обязательно полная) систе-
система функций, аналитических при | г \ < R, то беря какую-либо воз-
возрастающую последовательность положительных чисел {гп}, сходя-
сходящуюся к R и обозначая max | /„ (г) | = тп, полагаем
F (z, С) —функция, аналитическая при \z\<cR, |?|<°° (при каж-
каждом фиксированном z, \z\<.R, F(z, ?). рассматриваемая как

О БАЗИСЕ В ПРОСТРАНСТВЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 587
функция ?, является целой класса не выше [1,1])- При этом
In (г) = A + тп) [дПрдр У ]t=o = Лп [F (г, Q] (п = 0, 1,2,...).
III
1. Займемся приложениями результатов раздела II к пробле-
проблемам полноты и единственности12). Будем исходить из произволь-
произвольной полной (по z) функции F (г, ?) аналитической при \z\<cR,
11,! < Р. Согласно теореме 1 достаточно взять произвольную
систему линейных функционалов {Л„}, обладающих свойством
g
относительной единственности на Q или a fortiori на каком-либо
множестве Q', Q s О' s ЕР, чтобы получить систему функций
полную в ER.
Особенно простой случай получим, полагая
/=•(*, ?) = /(*?),
где / (z) = 2 cnzn — функция, аналитическая в области \z\<CR',
о
R'> R и такая, что с„=^0(п = 0, 1, 2, ...). Тогда
R1
— функция, аналитическая при |z|<^ и |?|<Р, гдеР = -р->1,
при R' < оо и Р=оо при R' = oo. Ее полнота в ER следует из
того, что система
Г 1 ra"f(z, on =2„|
lcn-n! L <5?n Jc=o J
полна в ER.
В п. 2 раздела II отмечено, что класс Q (состоящий из всех
функций вида L[f(zQ], где L — линейный функционал в прост-
Z Z
ранстве ER) содержится в множестве функций, аналитических
Г) Г
в замкнутом круге |г|<:Р = -7г (R' > R), когда 7?'<оо, и содер-
содержится в множестве всех целых функций класса ниже [р, aRp] в
случае, когда R' = сю и / (z) — функция класса не выше [р, а].
12) Эти предложения были частично указаны в заметке, упомянутой
в сноске 1Х).

588 ПРИЛОЖЕНИЕ
Поэтому, желая получить полные системы вида {Лп[/ (z?)] =
оо ?
= 2 a$l'*CjZn}, достаточно брать в качестве {Лп} линейные функ-
ционалы, обладающие свойством единственности относительно
функций, аналитических при | z | <; Р, соответственно относительно
целых функций класса ниже [р, oRp], и во всяком случае доста-
достаточно, чтобы {Ап\ обладали свойством единственности относи-
тельно функций, аналитических при |z| <; 1.
2. Функционалы Л„(ф) = ф(?п). Пусть сначала множество
точек {?„} имеет хотя бы одну предельную точку в круге |?|<Р.
Тогда система {Л„} обладает свойством единственности по отно-
отношению ко всему пространству ЕР и, следовательно, по отноше-
отношению к любому его подмножеству Q. Отсюда получаем теорему:
Теорема 11±. Если F (z, ?) (\z\<zR, |?|<;Р) полная по г,
то система функций {F (z, ?„} является полной в ER для любой
последовательности точек {in}, имеющих хотя бы одну предель-
предельную точку в области | ? | < Р.
Полагая F (z, ?,) = f(zt,), получаем теорему:
оо
Теорема П2. Пусть f(z) = ^cnzn — функция, аналитиче-
о
екая в области \z\<R' (R' >R), и пусть все ее тейлоровские
коэффициенты отличны от нуля. Тогда система функций
оо
\fn (zt,n) = 2 сп (ztn)n\ для любого множества точек {?„}, имею-
о
щего хотя бы одну предельную точку в замкнутом круге | ? | <: 1,
полна в круге \z\<iR.
Здесь содержится следующая теорема А. О. Гельфонда13):
Если / (z) является аналитической в начале координат и если
lim ?n = 0, то система /(?ог), /(?4z), . . ., /(?nz), .. . полна в каж-
П->оо
дом круге конечного радиуса.
В самом деле, фиксируем г, 0<г<оо. Если /(z) аналити-
аналитическая в круге |z|<Co, то / ( — z)—функция, аналитическая
в круге |z|<r, и так как точки 1 ?п-—-г , начиная с некоторого
номера, лежат в круге |?|< 1 и имеют в нем предельную точку,
то по теореме П2 система if (?« — • —г) =/ ('C,nz) [ полна в кру-
круге |z|<r, что и требовалось.
13) A. Gel fond, Sur les systemes completes de fonctions analytiques,
Rec. math., 4 A938), 149—156.

О БАЗИСЕ В ПРОСТРАНСТВЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 589
Остановимся еще на случае, когда f (г) — целая функция
конечного порядка класса не выше [р, а]. Тогда функции
<р(?)?й суть целые функции класса ниже [р, oRp]. Поэтому ну-
нули {?„} функции ср (?) в случае, когда ср (?) ф О, должны удовлет-
удовлетворять условию lim ¦¦ . . <р, если порядок ср (Z) меньше р,
П->оо 1П I fen I
и условию lim -^poR^e, если ее порядок равен р.
Отсюда имеем следующую теорему:
оо
Теорема Н3. Если f(z) = ^cnzn, спф0{п = 0, 1,2,...) —
о
целая функция класса не выше [р, ст] @<р<°°, 0-<(т<;оо),
то система {/ (z?n)} полна в круге радиуса R, если {?„}— после-
последовательность различных между собой комплексных чисел, удо-
удовлетворяющая условиям:
(a) hm , |g , >р
л-и» ш I fen I
,,. -p In tl
(b) lim -:—пг-г = р и иш - —r-
Теорему П3 можно сопоставить со следующей теоремой
А. О. Гельфонда14).
Если {?„} — комплексные числа, имеющие единственную пре-
предельную точку в с», и если существуют пределы
,. In л ,. п
lim-:—jy-j- = fi, urn; — = v,
то для целой функции / (г) порядка р и типа а с тейлоровскими
коэффициентами, отличными от нуля, система {/ (z?n)} будет полна
в круге |г|< R при условии
1
или ц = р p/^
0 2-хР
По сравнению с нашей теоремой здесь наложены условия
существования пределов . . g . и —. Кроме того, в одном
из неравенств множитель е заменен через 2Р~1 / \—^Ц-. Этот
2—хр
14) См. работу, цитированную в сноске 13).

590 ПРИЛОЖЕНИЕ
множитель при больших р 1р> 1 +г-т>) Дает худшую оценку, чем
наша, и лучшую при малых р (р<^~\ . Относительно точности
теоремы П3 можно сделать следующие замечания. Пусть для
оо
/ (г) = 2 cnzn целой функции класса [р, а] удовлетворяются усло-
о
вия п. 2 раздела II:
(а') спф0(п = 0, 1, 2, ...);
1 i
(Ь') существует lim п<> пу \ сп \ — (ера)р.
Пусть далее {?„} — какая-либо последовательность комплекс-
комплексных чисел; обозначим lim-j—j-=—г = ц. Если ц>р, то в силу
теоремы П3 система {f (t,nz)} полна в любом круге. Если [х < р,
то мы можем построить целую функцию ф0 (?) ф 0 порядка (д.,
имеющую нулями точки {?п}. Так как она входит во множество Q,
порождаемое F (z, ?) = /(z?) (\z\<cR, |г[<оо), то система функ-
функционалов {Ап = ф (?„)} не обладает свойством относительной един-
единственности на Q, а следовательно, система функций {/ (?„г) не яв-
является полной ни в каком круге | z \ < R. Наконец, если \х = р,
то полагая lim = v, выводим из нашей теоремы, что система
I
{/ (Z,nz) полна в круге jz|< (~^)P5 однако нет никаких основа-
оснований утверждать, что она не будет полной в большем круге.
В частности, для теории рядов Дирихле 2 o.n^"nZ представляет
интерес вопрос об условиях полноты системы {еКпг} в любом
круге (т. е. во всей плоскости). Из теорем этого раздела следует,
что полнота имеет место в каждом из следующих случаев:
(а) множество {кп} имеет хотя бы одну конечную предельную,
точку;
In re
Очевидно, что все эти случаи заключаются в одном:
г-— я
lim -pr—г = с».
I А |

О БАЗИСЕ В ПРОСТРАНСТВЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 591
|П I
Если Пгп "" < 1, то можно построить целую функцию
порядка меньшего единицы, не равную тождественно нулю,
с нулями в точках Яп. Поэтому функционалы {Лп} не обладают
здесь свойством единственности по отношению к классу Q, поро-
порождаемому функцией е2?; следовательно, и система функций {ez%n}
не является полной во всей плоскости. Если же условия (а), (Ь)
или (с) выполнены, то .они останутся в силе и после отбрасы-
отбрасывания любого конечного числа из показателей {^п}- Поэтому
функции eKf>z, ...,e%nZ принадлежат здесь замкнутой линейной
оболочке функций ekn+lZ, e^+2z; отсюда следует, в частности5), что
при выполнении одного из условий (а), (Ь) или (с) существует
со
универсальный ряд Дирихле 2 aneknZ для целых функций (или
о
для функций, аналитических в фиксированной полуплоскости).
Наконец, мы отметим обобщение еще одной теоремы А. О. Гель-
фонда13), относящейся к случаю, где точки {?„} представляют
натуральные числа. Для этого мы будем опираться на следую-
следующий частный случай обобщения теоремы Carlson'a15), принадле-
принадлежащий F и R. Nevanlinna16).
Пусть ф (?) — целая функция класса не выше [р, а], и пусть
точки {?„} такие, что lim - = v > 0, лежат в угле раствора 2а,
" \1п I
0-<а<гшп1—-,2-j с вершиной в начале координат. Тогда из.
того, что a<jtvcospa, следует, что функция ф(?), обращаю-
обращающаяся в нуль в точках {?„}, есть тождественный нуль.
Пользуясь этой теоремой, немедленно получаем следующий
результат.
Теорема П4. Если f (z) — целая функция класса не выше
[р, а] и если {?„} — какая-либо последовательность комплексных
чисел, расположенных в угле с вершиной в начале координат
и с раствором 2а, 0<a<min (-^-, ^Л > то последовательность
функций {/(ztn)} полна в круге \z\<.R, если
lim
ncosa
16) F. Carlson, Sur une classe de series de Taylor (These), UpsaU
1914, p. 58.
16) F. und R. Nevanlinna, Ober die Eigenschaften analytisher Funk-
tionen in der Umgebung einer singularer Stelle oder Linie, Acta Soc. Fenni-
cae, t. L, № 5, 1922.

592 приложение
В частности, при р=1 и ?„ = п(ос = 0) получаем теорему
А. О. Гельфонда13):
Если / (г) —целая функция первого порядка, типа а, то система
{/ (пг)} полна в круге |z|<;i? при a<i-=-.
3. Функционалы Л„ (<р) = —гф(п' (?0). Пусть сначала точка ?0
принадлежит кругу | \ | < Р. Тогда система {Л„} обладает свой-
свойством единственности по отношению ко. всему пространству ER
функций, аналитических при J ? | < Р. Поэтому получаем теорему:
Теорема Ш±. ЕслиР (г, ?) (| г| < R, | ? | < Р) —аналитическая
. , „ Г Г 3nF (г. ?) 1 I
функция, полная по z, то система функции < —,' t | ^ >
является полной в ER для всякой точки ? = ?о> внутренней
в кругу \?\<Р.
Полагая F(z, Z,) = f(zQ и ?,0=\, получаем теорему:
Теорема Ш2. Пусть f (z) — функция, аналитическая в обла-
области |г|<1/?', R'>R, и пусть все ее тейлоровские коэффициенты
отличны от нуля. Тогда система {znf<n^ (г)} полна в круге \z\<CR.
Эта теорема была установлена иным путем И. И. Ибрагимо-
Ибрагимовым 17).
Рассмотрим здесь еще функционалы вида:
где р — натуральное число и все нули многочлена с0 -f- CjZ + • • ¦
. .. + сргг' не превосходят по модулю I. Легко видеть, что функ-
функционалы {А'п} обладают свойством единственности по отношению
к функциям, аналитическим в замкнутом единичном круге. В са-
самом деле, из Лп(ф) = 0, п = 0, 1, 2, ..., следует, очевидно, что
<Р (?) = ° р~^ функция, которая в связи с гипотезой
с+ +ctp
относительно с0 + ... + cpt,p может быть аналитической в замкну-
замкнутом единичном круге, только будучи тождественно равной нулю.
Отсюда получаем, что для всякой функции f(z), аналитической
в круге \z\<.R, с тейлоровскими коэффициентами, отличными
от нуля, система \ с° -pz"+p /<п+р> (г) + ... + -^r/(n) (z) [ является
полной в круге \z\<iR. Точно так же свойством единственности
17) И. И. Ибрагимов, О полноте некоторых систем аналитических
функций, Известия АН СССР, серия матем., 1939, стр. 553 — 558.

О БАЗИСЕ В ПРОСТРАНСТВЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 593
в замкнутом единичном круге обладает и система функционалов
а
(n+l)] а" п\
где Нт^|а0 ... an-i|>l. Отсюда, подобно предыдущему, выте-
кает при тех же предположениях относительно f(z), что система
полна в круге \z\<LR.
4. Функционалы Л„ (ф) = — ф(п) (?„). В силу известного
результата В. Л. Гончарова18) эта система функционалов обла-
обладает свойством единственности во всем пространстве ЕР, если
{?,п} имеет предельную точку ?0 внутри круга |?|<Р и если,
кроме того, 2 I Cn+i — ?п|<°°. Поэтому получаем теорему:
о
Теорема IVt. Если F (z, ?) (| г-| <R, |?|<Р)— аналитиче-
екая функция, полная по z, то система функции < — ¦ >
является полной в ЕР, если {?,п} сходится к точке ?0, |^o|<°i
оо
w если, кроме того, S I Sn+i — ?п[*<°°.
о
При F (г, ?) = /(г?), опираясь на указания п. 1 этого раздела,
мы можем утверждать, что справедлива
Теорема IV2. Если f (г) — функция, аналитическая в круге
z\<iR' (/?'>/?), ы еслы все тейлоровские коэффициенты /(г)
отличны от нуля, то система функций {z"/(n) (zt,n)} полна в круге
\z\<cR для всякой последовательности {?«}, сходящейся к ?,0,
оо
|?о|<1, так что S
Предполагая, что /(г) —целая функция класса не выше [1, а],
мы можем утверждать, что соответствующие функции ф (?),
Ф(^)?й, являются целыми класса ниже [1, 0/?].
Известно19), что если целая функция ф (?) класса ниже [1, In 2]
удовлетворяет условиям Ф<П)(Сп) = 0 (л = 0, 1,2, ...), то ф(?) = 0
!8) W. Gontcharoff, Recherches sur les derivees successives de foncti-
ons analytiques (These), 1930.
19) J. M. W h i t t a k e r, Interpolatory function theory, Cambridge at the
University press, 1935. J. M. Whittaker'y, а также Takenaka и Kakeya (работы
1931-32 гг.) принадлежит лишь улучшение константы с -у- до In 2 в теоре-
теореме, установленной в These В. Л. Гончарова.
38 А. И. Маркушевич

594 ПРИЛОЖЕНИЕ
(результат этот, не будучи окончательным, не может быть, однако,
улучшен качественно, ибо cos-^-(z+l) — функция класса М.-т"! >
для которой каждая из производных имеет нуль на единичной окруж-
окружности). Поэтому система линейных функционалов {Л„(ср) = ср п) (?п)},
|?|<!1, обладает свойством единственности относительно Q, поро-
порожденного F(z, Q = f(z, ?), если только /?< —. Отсюда полу-
получается
оо
Теорема IV3. Если f (г) = ^ cnzn— целая функция класса
о
не выше [1, 0] @< а< сю) с тейлоровскими коэффициентами,
отличными от нуля, то система функций {zafin) (zt,n), j ?n|< 1>
полна в круге [z|<-^—. (Константа In 2 не может быть заменена
здесь константой, не меньшей ~ . ]
В частном случае, при f(z) = ez получаем отсюда теорему
Ибрагимова17) о полноте системы функций
в круге | z | •< In 2.
U
5. Функционалы Л„ (ср) = \ (п) ф(г)^2 = ф< д)(Со)= —X
I d (n-1)!
J ф (г) (?„ - zO1-1 dz (п > 0). Если Л„ (q>) = 0 и ;0 ^= 0 принад-
о s
лежит области аналитичности ф(?), то ф B) = 0. Проще всего
убедиться в этом, замечая, что из Л„(ф) = 0 (п=1,2, ...)
Ео
следует, что \ ф(г)zndz = 0 (п — 0, 1,2, ...). От ода, интегри-
о
руя вдоль прямолинейного луча и рассматривая действительную
и мнимую части ф(реш) как функции р: ы(р) и и(р), находим
X
= 0, 1,2, ...)•
Отсюда и (р) = v (р) = 0, т. е. ф (?) = 0 вдоль прямолинейного
отрезка и, следовательно, ф (?) = 0. Поэтому приходим к тео-
теореме:

О БАЗИСЕ В ПРОСТРАНСТВЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 595
Теорема Vj. Если F(z,Q (|z|<#, |?|<P) — аналитиче-
аналитическая функция, полная по z, то система
U So
^ П) F (гЛ) d? = -^-^l F (гЛ) (to-?)"-1 rt} («=1,2, ...)
полна в круге \ г | < R для всякого \ ?0 \ <. R.
В частности, беря F(z, Z,) = f(&) и ?о=1. получаем теорему:
Теорема V2. Если f (z) = 2 cnzn — функция, аналитическая
о
при \z\<C.R', R'> R, с тейлоровскими коэффициентами, отлич-
отличными от нуля, то система
(л=1,2,...)
J (П1)
полна в ER.
6. Теорема I сама по себе не решает еще ни проблемы пол-
полноты, ни проблемы единственности. Ее роль заключается в том,
что она позволяет, так сказать, автоматически переходить от
теоремы полноты к теоремам единственности и обратно. Что
касается собственно теорем полноты, то здесь оказываются полез-
полезными теоремы, указывающие критерии, при выполнении которых
системы, в известном смысле близкие к полным, являются также
полными. Не останавливаясь на общих теоремах, мы восполь-
воспользуемся следующим специальным результатом Boas'a20):
Если функции {hn (z)} (hn@) = 0) принадлежат классу #221)
в круге j z | < R и допускают мажоранту (в смысле Пуанкаре)
того же класса h (z) (/г @) = 0), удовлетворяющую, кроме того,
условию |/i(z)|<Tl, \z\<cR, то система функций {zn\\ -\-hn(z)]}
полна в ER.
Рассмотрим, следуя Boas'y22) два примера приложения этой
теоремы:
(а) Пусть hn{z) = e^~\, где |?„|<1. Тогда А» (г) « h (г) =
= ez—1, и так как /гAп2)=1, то система {znez^n} полна в круге
jz|<ln2 (ср. Ибрагимов17)).
20) R. P. Boas, General expansion theorems, Proc. Nat. Acad. Sci. U. S. A.,
26 A940), 139-—149. См. также6) (первая из двух заметок) и5).
21) Функция /(г), аналитическая при I г |< R, принадлежит, по определе-
2я
нию, классу Н2 тогда и только тогда, когда sup [ -— \ I / (reiB)}2dQ | <оо.
о<г<л L^ij J
о
о
22) Заметка, цитированная в сноске 2<>) (пример (а)), и, кроме того,.
R. P. Boas, Univalent derivatives of entire functions, Duke Math. J., 6,
A940), 719-721 (пример (b)).
38»

596 ПРИЛОЖЕНИЕ
(b) Пусть
»zCn An
hn(г) = №. ,,ч—i(s;^=s;,i
тогда
f
и, следовательно, система -5 zn'x —; ;— <¦ полна в круге | z | <
L t,n— Zn J
>1п2.
7. Из п. 6 с помощью теоремы I вытекают соответствующие
теоремы единственности.
Именно, беря F(z, ?) = ez?, \z\<iR, \V\<.°°, замечаем, что
znez^ = An(ezt), где Л„ (ср) = ф(П) (?„), и так как по п. 6 система
{zne2?"} полна в круге |г|</? = 1п2, то система функционалов
{Л„} обладает свойством единственности по отношению к множе-
множеству Q, образованному здесь всеми целыми функциями класса
ниже [1, In2] (см. п. 2 раздела II). Итак, если для целой функ-
функции ср (?) класса ниже [1,1п2] имеем cp(n)(?n)=O, где |?п|<1,
то ср (?) = 0 (ср. п. 4 раздела III).
А'п_А'п „
Точно так же, замечая, что zn х—; 7,— =Ап(егЦ, где
(„ = 0,1,2,...)
? Sn —gn
S
и ф'' (Q = \ ф (Q d^, заключаем, что и система функционалов
о
{Л„} обладает свойством единственности по отношению к множе-
множеству целых функций класса ниже [1,1п2]. Это предложение
может быть формулировано также следующим образом23).
Всякая целая трансцендентная функция класса ниже [1, In 2]
обладает подпоследовательностью производных, однолистных
в единичном круге.
В самом деле, допуская противное, мы должны заключить,
что, начиная с некоторого л, n>iV—1, выполняются соотноше-
соотношения вида Лп = 0 (при соответствующем выборе пар точек ?^, ?,п,
23) Вторая из заметок, упомянутых в сноске 22).

О БАЗИСЕ В ПРОСТРАНСТВЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 597
|?п|<1, |?п|<1)- Но ф№ (?) — целая функция класса ниже
[1, In 2], если ф (Q —целая функция класса ниже [1, In2]. Отсюда
ф№ (?) = о и <р @ есть полином вопреки предположению. Заме-
Заметим, что константа In 2 в последней теореме не может быть
заменена константой, превышающей у, ибо производные функции
sin (у -f e] z, е>0, принадлежащей классу Г 1, у i , не являются
однолистными в единичном круге.
8. Из теорем единственности предыдущего пункта можно
с помощью теоремы I получить теоремы полноты более общие,
чем теоремы п. 6 (одна из таких более общих теорем приведена
в п. 4 раздела III). Обобщенные теоремы полноты с помощью
все той же теоремы I дадут в свою очередь обобщение теорем
единственности п. 7. Мы предпочтем, однако, провести охаракте-
охарактеризованные здесь рассуждения в более общем виде. Пусть hn (z) =
— 2 ^пJ3'—целые функции класса ниже [1,<х>], допускающие
1
оо
мажоранту h (z) = 2 hjZj (не обязательно целую), и пусть | h (z) | <
1
<1 при \z\<cR. Тогда по теореме п. 6 раздела III система
{zn'TZnhn(z) = zn Jr^\h^)zn+3} полна в круге | z | < R. Рассмотрим
1
оо
выражения ЛG>) (<р) = <р<"> @) + 2 /г/п)Ф("+л @). Записывая Л(п) (<р)
°° ()() @)
в виде Л(п> (ф) = ^ ——: и замечая, что при ]>п уг\ rj<™) I =
s о 1-
¦ 3/
= у | hWn | •/! < сп в силу того, что / у | hW | < с'„ (а это в свою
очередь обозначает, что hn(z) принадлежит к классу ниже [1, оо]),
заключаем, что ЛG>) (<р) являются линейными функционалами
в пространстве целых функций. Но zn + 2 h^z"*1 = Л(п) (е2?)
1 Z
(п=0, 1,2, .. .) и в силу полноты этой системы функций в круге
| z | < R заключаем, что система функционалов
{Л(п) (ф) = ф(») @) + 2 /г)п)Ф(п+1) @)}
? 1
обладает свойством единственности по отношению к множеству
всех целых функций класса ниже [1,/?]. Пусть теперь f (z) —
произвольная целая функция класса не выше [1, а], все

598 ПРИЛОЖЕНИЕ
тейлоровские коэффициенты которой отличны от нуля. Тогда,
полагая F(z, Q = f (z?), \z\<Z —, 1? |< oo, мы можем утверждать,
что все функции, принадлежащие соответствующему Q, суть целые
функции класса ниже [1, R]. Следовательно, функционалы
ЛG1) (ф) обладают свойством единственности по отношению к Q,
t
откуда вытекает, что система функций
{Л(п) [f (zQ] = znfn) @) + S /#°/(п+й @) zn+i}
n
полна в круге |z|< —. Очевидно, что даже в частном случае,
когда а — 1, эта система будет более общей, чем система
+ S 4,
и вообще не должна рассматриваться как «близкая» к {zn}. Но
система функций {Л(п)[/ (zt,)]} порождается функцией е2^ посред-
посредством функционалов
(Л(п) (<р) = /(п) @) ф(»> @) + 2 А^р+Л @) ifn+i @)).
Из установленной нами полноты системы функций при | z \ <
<;— вытекает, что система функционалов {Л (ф)} обладает
а i
свойством единственности по отношению ко всем целым функ-
функциям класса ниже [1, о]. Снова — это более сильная теорема един-
единственности, чем установленная выше для функционалов {ЛG1)(ф)}.
Заметим, что дальнейшее применение тех же рассуждений не даст
ничего нового. В самом деле, считая для определенности, что
f (г) — функция класса [1, 1] (а=1), мы перешли от коэффициен-
коэффициентов вида /(п) @) в выражениях для полученных нами систем функ-
функций и функционалов к коэффициентам вида [^"'(О)]2, [/(п)@)]3, . . .
Но последние в свою очередь можно рассматривать как значения
производных в начале координат некоторых функций того же
класса [1, 1].
IV
1. Пусть {fn{z)} — система ' функций, принадлежащих ER:
{SV} (л = 0, 1,2, ...)• С)

О БАЗИСЕ В ПРОСТРАНСТВЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 599
Если {fn (z)} — полная система, то выполняются соотношения
zj = lim [а«у0 (г)+..-+ afjn {г)\ (/ = 0, 1, 2, . ..). B)
При этом согласно п. 5 раздела I (см. сноску 5)) можно пред-
предполагать, что последовательности {аЦ\} сходятся:
lim «</>, = «</> (k, / = 0, 1,2, ...). C)
П->оо '
Подставляя C) в соотношения B), получаем
lim [с#> Д« + • • • +с#)„<*)] = б^ (У, * = 0, 1, 2, . . .), D)
где 8jk — О при \фк и 6^=1. В частности, если вместо соот-
соотношений B) выполняются разложения в ряды
оо
2J=S4J)/nB) (/ = 0,1,2,...), B')
71=0
ТО
S a,A (/, й = 0, 1,2, ...)¦ D')
п=0
2. Теорема VIt. Для того чтобы система функций A).
полная в пространстве ER, была у. л. н. системой, необходимо
и достаточно, чтобы, по крайней мере, одна система чисел {а^>},
определяемых соотношениями B) и C), удовлетворяла условиям:
-9k<R (* = 0, 1,2, ...). E)
S/ Snm (л,т = 0, 1,2, ...)• F)
Доказательство. Допустим, что система {fn(z)}~у. л. н.
система. Тогда существует система линейных функционалов {Ln},
биортогональная с {fn (г)}. Поэтому
a#>= lim a«)ft = lim L j
и, следовательно, в силу п. 2 раздела I Hm-/"|a^)| < R
J—>ОО
(k = 0, 1,2, ...). Итак, условие E) есть следствие из у. л. н.
системы. Но, далее, в случае у. л. н.
Lu \fm (z)] = lim Lk [Jj ag] = lim 2 a«>LA (г3) - Sftm,
и так как Lk(z3)—a^, то отсюда и следуют соотношения F).

600 ПРИЛОЖЕНИЕ
Докажем теперь достаточность условий E) и F) для у. л. н.
оо
системы A). Пусть /(г) = 2 ау'г3— произвольный элемент
ER (lim -\/~\ dj\ *CR). Определим функционалы {Ln}, полагая
^ (n = 0, 1,2, ...)¦
В силу условий E) Ln (/) являются линейными функционалами
на ER (п. 2,1).
Остается заметить, что в силу условий F)
Отсюда в силу п. 6 раздела I следует, что {fn (г)} — у. л. н.
система.
3. Для полноты исследования мы должны еще убедиться, что
условия E) и F), взятые в отдельности, не будут достаточными
для у. л. н. системы {fn(z)}. Заметим сначала, что условие F)
всегда выполняется, если fn(z) — полином степени п (точно!),
причем коэффициенты а<Л определяются путем последовательного
решения уравнений A) относительно г1. В самом деле, если
fn (z) = S a</V (n = 0, 1, 2, . ..; а^ ф 0)
ft=0
то имеем тождество
п j п j=n
fn B) = 2j Zi an <Zh fhB) — h Ik \z) Z± an <%h ,
j=0 ft=0 ft=0 i=h
откуда в силу линейной независимости {/п (г)}, вытекающей
из нашей гипотезы:
S7~n nd)n(i) V1 „(iLffl л
On «ft = Zj an «fe = Onft,
j=ft о
т. е. получаем условия F), хотя условия E) могут быть и не выпол-
выполнены. Отметим, в частности, вытекающую отсюда теорему:
Теорема VI2. Для того чтобы система полиномов fn(z) =
п
= 2 ^nV (и = 0, 1,2, . . .;пп) ф0) была у. л. н. системой в Ея,
з=о
необходимо и достаточно, чтобы коэффициенты {а^}, опреде-

О БАЗИСЕ В ПРОСТРАНСТВЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 601
3
ляемые из соотношений z';= 2 afeVfeB)i удовлетворяли условиям-
ft=0
^7 = Рй<# (* = 0, 1,2, ...)•
4. Покажем теперь, что одни лишь условия E) недостаточны
для у. л. н. независимости функций {/„ (г)}, если эти функции
не являются полиномами, степень которых строго совпадает с индек-
индексом п. Наше утверждение остается в силе даже и тогда, когда
мы будем предполагать, что {/„ (г)} — система линейно независи-
независимых функций, не допускающая нетривиальных разложений нуля.
Соответствующий пример (для пространства Et), получаем, полагая
Что эта система является полной, вытекает из того, чтог
полагая g— }_|_г , мы приходим к системе {?"} (п = 0, 1,2, . . .),
являющейся полной в преобразованной области Re ? > 0.
Линейная независимость системы {fn (z)} и отсутствие нетривиаль-
нетривиальных разложений нуля очевидны. Однако, рассматривая рациональ-
рациональные функции вида — и аппроксимируя их соответствующим
образом полиномами относительно t. внутри области Re?>—1,
убеждаемся, что существует последовательность полиномов, схо-
сходящаяся к нулю внутри области Re ? > 0, с коэффициентами
при фиксированной и притом младшей в них /7-й степени ?, рав-
равными 1. Отсюда, возвращаясь к г посредством g= _ , заклю-
чаем, что каждая функция fn (z) принадлежит к замкнутой линей-
линейной оболочке всех следующих за ней функций.
Можно легко показать, что в таком случае соотношениям B)
и C) можно удовлетворить совершенно произвольными числами
а.п\ в частности, такими, что будут выполнены условия E). Итак,
существует система {fn (г)} линейно независимых функций, не допу-
допускающая нетривиальных разложений нуля, удовлетворяющая усло-
условиям E) и все же не являющаяся у. л. н. системой.
Заметим, что из указанного здесь свойства системы функций
J ( _ ) > вытекает 5) существование универсального ряда вида
2 ^п ( iIl ) Для Функций, аналитических в единичном круге,
о
или, что то же самое, существование универсального степенного

602 ПРИЛОЖЕНИЕ
оо
ряда вида 2 А»С" Для функций, аналитических в полуплоскости
5. Пусть {/„ (z)}— система аналитических функций, полная
в пространстве ER функций, аналитических в области \z\<ZR-
Предположим, что она есть у. л. н. система. Тогда существует
биортогональная к ней система линейных функционалов {Ln}.
Если последняя обладает свойством единственности относительно
всего Ея, то {/„ (г)} представляет базис в широком смысле для ER.
оо
Наконец, если ряд ^ Ln (f) ¦ fn (г) сходится для любой функции
о
f(z)?ER, то {fn(z)} есть базис ER (в узком смысле) (см. п. 10
раздела I).
Примеры. Интерполяция (линейная схема). Пусть с4,
с2, ...—последовательность точек комплексной плоскости. Рас-
Рассмотрим последовательность полиномов Ро = 1, Р„ (г) = (г — с,), ...
..., (г—сп) (л=1,2, ...)— интерполяционных полиномов с точ-
точками интерполяции {сп}. Очевидно, что система {Рп (г)} полна
в любом круге | z \ < R. Однако для у. л. н. системы {Рп (г)} нужно
наложить на {сп} дополнительные условия. Именно, для того
чтобы система {Р„(г)} была у. л. н. системой в круге )г|</?,
необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия
Для доказательства рассмотрим тождества
О ISI=PJ->max[|ci|,...,|c_/+J|]
(л = 0, 1, 2,...).
Из них выводим, что необходимое и достаточное условие
у. л. н. полиномов {Pj (z)} заключается в следующем (см. тео-
теорему VI2 этого раздела):
Но это условие удовлетворяется тогда и только тогда, когда
\cn\<R (л=1, 2,...). В самом деле, пусть \cn\<LR (n—\,
2, ...); тогда при фиксированном / имеем, обозначая max (| ^ |, ...
||) /?
_L
2ш
~\2j
Ф
\
пФО

О БАЗИСЕ В ПРОСТРАНСТВЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
603
откуда
(О
<r<R (/ = 0, 1, 2, ...),
т. е. система {Pn(z)} есть у. л. н. система в круге \z\<cR.
Допустим теперь, что условие \cn\<iR не выполнено для
всех п, и пусть cj+i—число с наименьшим индексом, удовлетво-
удовлетворяющее неравенству \cj+i\^>R. Тогда
1 Ао . %п А
—
2ш"
(С)
У ~ ( п \ а
афс
Я-1
афО
nTfcc,-4.1
откуда
Pj+1 (С)
cJ+i\>R,
и система {Рп (z)} не может быть у. л. н. системой в круге
Считая условия [ сп \<С R (п = 0, 1, 2, . . .) выполненными, мы
можем записать линейные функционалы {Ln}, биортогональные
с полиномами {Pn(z)}, в виде
K>|?|=p>max[|cll \сп+1П
Вообще говоря, {Ln} не обладают свойством единственности
относительно всего пространства ER, т. е. полная и у. л. н. система
полиномов {Pn(z)} не образует базиса ER (в широком смысле).
Покажем, что, для того чтобы система {Рп (z)} составляла
базис ER (в широком смысле), необходимо и достаточно, чтобы
при выполнении предыдущих условий хотя бы одна предельная
точка {сп} принадлежала кругу \z\<.P. В самом деле, пусть
Так как ^о(/) = 2я/\ у_с =f(Ci), то из Lo(f) = 0 следует,
что р . .— аналитическая функция в круге \z\<iR. Пусть уже

604 ПРИЛОЖЕНИЕ
доказано, что 1 . .- = cpn (z)—аналитическая функция в круге
\z\<.R; тогда из
следует, что фп(сп+1) = 0, т. е. что р .—аналитическая функ-
"п V-)
ция в круге \z\<,R. Иными словами, уравнения Ln(f) = O (л =
= 0,1,2,...) означают, что ci, с2, . .. — нули функции / (z) (каж-
(каждый с кратностью, равной его кратности в последовательности
{сп}). Поэтому /(г) = 0, если последовательность {сп} имеет
хотя бы одну предельную точку внутри круга | z | < R; если же
такая предельная точка не существует, то всегда можно пост-
построить аналитическую функцию f (z) Ф 0, удовлетворяющую усло-
условиям Ln{f) = O (/г = 0, 1, 2, ...).
Итак, система {Pn(z)} представляет базис в широком смысле
слова тогда и только тогда, когда все точки {сп} принадлежат
кругу | z | < R, причем, по крайней мере, одна предельная точка
последовательности также принадлежит этому кругу. Однако при
выполнении всех этих условий система {Рп (г)} может и не быть
оо
базисом, т. е. ряды ^Ln(f)-Pn(z) могут и не быть сходящимися.
о
Так, например, если с„ = а (п— 1, 2, . ..), 0<.a<.R, то Ln(f) =
оо
_ I—^) и для I ^ _ ___ получаем ряд 2 (п_ ^п+т > не только
о
не сходящийся вне круга \z — a\<i\R — a,\, но и не обладающий
вне этого круга ни одной сходящейся подпоследовательностью
частных сумм. Базис мы получаем при с„ = 0 (/г= 1, 2, . . .), когда
Рп (г) = г" и интерполяционный ряд
оо
XI 1
Рп+1 (С) " W
и
обращается в ряд Тейлора.
Допустим, что интерполяционные точки {сп} удовлетворяют
условию | сп |О< R, т. е. все точки вместе с предельными точ-
точками этой последовательности лежат внутри круга | z | <C R.
По предыдущему {Рп (z)} представляет тогда базис в широком
смысле для ER. Чтобы прийти к условиям, при которых {Рп (z)}
есть базис ER, остается потребовать сходимость интерполяцион-
оо
ного ряда 2 Ln (f) • Рп (z) для любой функции f(z)?ER. Из общих
о

О БАЗИСЕ В ПРОСТРАНСТВЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 605
теорем теории интерполяции следует24), что это будет тогда
и только тогда, когда lim -\fPn(z) = z равномерно на всяком огра-
П-Э-ОО
ничейном замкнутом множестве, внешнем к окружности | z | = г,
причем, поскольку речь идет о достаточных условиях, можно
ограничиться требованием
lim yr\Pn(z)\ = \z\ при \z\>r
n->oo
(без гипотезы о равномерности). В частности, достаточно пред-
предполагать, что сп —> 0 при п —> оо или что точки {сп} равномерно
распределены на окружности \z\ = r<LR, т. е. так, что число
точек си с2, ..., сп, попадающих на какую-либо дугу 0<[а<9<;
<P<:2it этой окружности, асимптотически равной—пм). Мы
считаем вероятным, что система {Рп (г)} не может быть базисом
в ER, если условие | с„ | < г ¦<./? не выполнено (хотя бы условие
lim /Pn(z) = z и выполнялось).
П—>-ОО
Пусть, в частности, R=l, сга = 0 при n^=k2 и cft2 = pft =
= 4Й-(А = 0' J'2' •¦¦)¦ Тогда PnB)==z»-n'»] Д (Z_pft)
(п>0) и, следовательно,
*) 1 = 1*1 " {(И |г-
/0
И
/г=0
при л—> оо и 2^=0, 1, pft (k = 0, 1, 2, . ..), причем сходимость
равномерна на кажд
не содержащем указа
на простейшие дроби:
равномерна на каждом ограниченном замкнутом множестве,
не содержащем указанных точек. Рассмотрим разложение ъ
[ Vri+l]
Pn+i(z) zn+i-[Yn+i]
[R]
где Bk= П (Рй — Pj), и следовательно, IВй <С1и1А'г. Полагая
Walsh, Interpolation and approximation, §§ 7,2; 7,3.

606
ПРИЛОЖЕНИЕ
| z ]-= -т-, будем иметь
Мо = max | рп_{ у^, (г) | < т?==]
1г1
п
;=о
n+i-[ Yn+
Поэтому для коэффициентов а(«—[ V«_f-i]) полинома
получаем оценки:
^ М^ < C4„- v »
| а .(„_[ у^
Следовательно,
1
IU (f)
/ (г) dz
2ni «) Рп+1 (г)
p<|zj=r< 1
f(n[
'@)
[ /n+l]
+
(Pft)
-Ct-4"-1^"
[ Vri+I]
•l-[Vn-l] , Г,А-7-Т1 Л
2
3=0
@)
Bkf
*-o
C*.4n-V".{(n+1)-
(Pft)

О БАЗИСЕ В ПРОСТРАНСТВЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 607
где My = max |/(г) |. Определим теперь последовательно числа
Yo=l. Yi» Y2. ••• так, чтобы
Можно построить функцию /(г), однозначную и аналитическую
в единичном круге, удовлетворяющую условиям / (р^) = уь {k = 0,
1,2, . . .). (Достаточно построить сначала функцию cp(z) с про-
простыми нулями в точках рд, а потом по ее главным частям
——.—гу- г мероморфную в единичном круге функцию ty(z)
и, наконец, положить
/(г) = фB
Тогда
откуда, наконец,
m~-/\Lmt_i{f)\-*oo при т-^оо.
Но это означает, что ряд ^Ei Ln (f) ¦ Рп (z) не может сходиться
о
в точках, отличных от 0, рд и, быть может, 1. Итак, {Рп (г)},
будучи базисом в широком смысле, не является базисом, хотя
здесь условие lim yr\Pn(z) | = \z\ (и даже lim yrPn(z) = z) выпол-
няется равномерно на каждом ограниченном замкнутом множе-
множестве, не содержащем точек 0, pft, 1.
6. Предположим теперь, что {/„ (z)} — базис ER(R<c<x>)
и {со„ @} — функции, ассоциированные с {/п(г)}. Тогда для |?[>^
функция -= g?H должна допускать разложение
6 —z
Е) /„ (г),
равномерно сходящееся по г (при фиксированном ?) в каждом
круге |z|<г<;./?. Однако можно вывести большее, а именно,
что ряд 2 °>п (?) /n (^) сходится к j—— равномерно по % и по г
о

608 ПРИЛОЖЕНИЕ
при |?|>/? и |г|<Х;./?, где г — любое положительное число,
меньшее R. Иными словами, имеем следующую теорему:
Теорема VII. Для того чтобы система {fn (z)} функций
пространства ER была базисом Ев, необходимо, чтобы выпол-
выполнялись условия:
(a) система {/„ (г)} — базис в широком смысле слова;
(b) имеет место разложение
17
где {юп (?,)}—функции, ассоциированные с {fn(z)},' причем ряд
равномерно сходится при |?|>#, |г|<л для любого г, 0<Lr<i R.
Теорема эта является прямым следствием следующей леммы,
имеющей самостоятельный интерес.
Лемма. Пусть F (z, ?) — функция двух комплексных перемен-
переменных z и ?, аналитическая в области \z\<zR, [?,{•<. Р, и {fn(z)} —
базис Ец. Тогда имеет место разложение
где ф„(?;) — функции, аналитические в области |?]<Р и, более
того, принадлежащие к классу Q, порождаемому F(z, t,); разло-
разложение сходится равномерно по совокупности z и I, в каждой
замкнутой области вида \z\^.r<C R, |?|^Р<#- Если F (z, ?,) —
функция, аналитическая при \z\<CR, \t\^-P, tno можно утвер-
утверждать, кроме того, что cpn (t) непрерывны (и даже бесконечно
оо
дифференцируемы) при \?,\^.Р, причем 2 Фп(?)/п (z) сходится
равномерно в каждой замкнутой области вида | z \ ¦< г <; R, \t,\^.P.
Доказательство. Эта лемма получается простым приме-
применением теоремы Mazur'a и Orlicz'a26), представляющей в свою
очередь распространение на случай пространств типа F известной
теоремы Banach'a — Steinhaus'a27). Докажем, например, вторую
половину леммы (где из более жестких ограничений вытекают
и более сильные утверждения). Пусть {Ln} — линейные функцио-
функционалы, биортогональные с {/п(г)}. Так как {fn (г)} — базис ER,
25) Так как {fn (z)} — базис в широком смысле слова, то из сходимости
1
этого ряда следует, что его сумма есть -= ¦ .
ъ — ^
26) S. Mazur und W. Orlicz, Ober Folgen linearer Operationen,
Studia Math., IV A933).
27) S. Banach, Theorie des operationes lineaires, Warszawa, 1932.
См. также А. Зигмунд, Тригонометрические ряды, 4.55.

О БАЗИСЕ В ПРОСТРАНСТВЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
609
то ряд 2 Ln (f) ¦ fn (г) сходится для любой функции / B) ? ER и, сле-
следовательно, в силу упомянутой теоремы26) семейство линейных
оо
операторов B Lj (f)-fj (z)} равностепенно непрерывно на ER. Пусть
о
^„ — произвольная точка замкнутой области |?|<;Р. Тогда можно
указать такую ее окрестность UQ, что для ?б?/0 будет выпол-
выполняться неравенство
п
_ 8
для заданного Z, >• 0 при любом натуральном п. Покроем множе-
множество | L, | <; Р конечным числом окрестностей указанного типа:
Uh (k — 1, 2, . . ., s) с центрами Z,k (k = 1, 2, . .., s). Так как суще-
существуют такие натуральные числа nh (k = ], 2, .. ., s), что
n+p
n+l Z
при п > nk и любом натуральном р, то, обозначая A^=max (n4, ..., ns),
будем иметь в силу установленных неравенств
ZLj[F(z,Z)]fj(z
n+l г
при n>N =
посредством
. Пусть норма f(z)?Eh определяется
1
= max
и пусть г — какое-либо положительное число, меньшее R,.
; -^-Г1 имеем max ] f (z) | < s • 2n°+ ,
|| f (z) ||<г. Итак, для |г[<г<^? и е< п ¦ , где ло =
Если г„о>л, то для
если
имеем из соотношения (*)
при |?|<;Р и п> N = N (г). Мы получим все утверждения леммы,
положив
39 Д. и. Маркушевич

610 ПРИЛОЖЕНИЕ
Остается заметить, что для получения теоремы VII следует заме-
заменить здесь ? через —.
7. Условия предыдущей теоремы не являются достаточными.
Возьмем пример интерполяционной системы полиномов {Pn(z)},
рассмотренный в п. 5 раздела IV. Заметим прежде всего, что
для любой у. л. н. системы интерполяционных полиномов {Рп (г)}
ассоциированные функции {со„ (?)} выражаются формулами
<оп(С) = 5-Ця (« = 0,1,2,...).
В самом деле, здесь при | ? | > R
dz 1
С0„ IL) =,
(Z-2)Pn+1(z) Р„+1(г)-
IzHOmaxdc-jl |cn+1|)
Поэтому ряд из условия (b) имеет здесь следующий вид:
со
^ Pn+i (Б) •
Но в нашем случае R = 1, с„ = 0 при п Ф k2 и с hi = Р& =
г, i I
= 0, 1,2, . ..). Поэтому при |г|<г<1, | ? |> 1 имеем
Рп (г) -11-
(S)
последняя же величина есть общий член сходящегося ряда.
Итак, ряд 2 соп (?) /„ (г) в нашем примере равномерно сходится
о
при г|<л<1, |?|>1. Кроме того, сумма его равна =—-, так
I'.' (^ -— Z
как он является разложением именно этой функции по элементам
{fn(z) = Pn(z)}, образующим базис в широком смысле слова
(см. п. 6 этого раздела). Таким образом, все условия предше-
предшествующей теоремы действительно выполнены, хотя {Рп (г)}
не является базисом.
8. Допустим теперь, что {fn(z)} — полная у. л. н. система
функций пространства ER, причем все ассоциированные функции
{со„ (?)} являются аналитическими при | ? | >/, где 0</< R. Тогда
система {fn (г)} будет полной и у. л. н. системой также и для

О БАЗИСЕ В ПРОСТРАНСТВЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 611
любого Er, l<Lr*CR. В самом деле, полнота сохраняется, оче-
очевидно, независимо от каких-либо гипотез о {со„ (?)} для всех Ег,
r<zR. Что касается свойства у. л. н., то оно следует из соот-
соотношений
2ш
(л = 0, 1,2,.. .; /га = 0, 1, 2, ...).
Допустим еще, что имеем место разложение
равномерно для |?|>р, |г|<!л, где р и г — любая пара чисел,
удовлетворяющая соотношениям 0</'<./?, p>max(r, /). Тогда
{fn (z)} является базисом для любого Ет, l<Cr^CR. (Мы будем
говорить в этом случае, что {/„ (г)} —п родолжаемый (внутрь)
базис Е%.) В самом деле, для f(z)?Er при |г|<л'<г
l?Iax((,r')
оо
2(^ J f (?)«>» (С) <
I (
ltl=P' 0 0
— равномерно сходящееся разложение / (г) по функциям {/„(г)}.
Единственность разложения следует из у. л. н. системы.
Обратно, допустим, что {fn (z)} — система функций ER, являю-
являющаяся базисом для всех пространств Ет, 0<;1<;г<^. Тогда
она полна и обладает свойством у. л. н. для каждого из этих
пространств. Кроме того, по теореме VII имеют место разложения
равномерно сходящиеся при |?|>л и |z|</-'</-. Сравнивая два
разложения
^ 2) и -^ = 2 сод, п
о о
при | ? | > R и | г | < R, убеждаемся в силу свойства у. л. н. системы
ifn(z)}, что
Or. n (?) = «Я, п (?) = G>n (С) («==0, 1,2, ...;/</¦<#),
39*

612 ПРИЛОЖЕНИЕ
откуда следует далее, что все функции а>п (?) являются аналити-
аналитическими при |?|>1 (ибо функции соГ)„ (?) — аналитические при
\1\>1г,п, где lr,n<r)- Сопоставляя сказанное, приходим
к теореме:
Теорема VIII. Для того чтобы система функций {fn(z)}
пространства Ев была базисом для каждого из пространств Ев,
l<Cr<^.R, необходимо'и достаточно, чтобы:
(а) эта система была полной у. л. н. системой простран-
пространства ER;
(Р) ассоциированные функции {соп (?)} были аналитическими
при 111 > 1;
ос
(у) имело место разложение ?_ =^мп (t) fn (г), равномерно
и
сходящееся при | г )<;/", |?|>р, где г и р — любые числа, удовле-
удовлетворяющие условиям: О <ir<CR, p>max(r,/).
9. В случае, когда fn (z) — полином степени п (точно!
л = 0, 1, 2, . . .), в формулировке достаточных условий можно не тре-
оо
бовать, чтобы сумма равномерно сходящегося ряда ^ юп (?) fn (z)
о
равнялась -= . В самом деле, в рассматриваемом частном случае
z3'=S#V;B) (/^ = 0 при n>j)
и, следовательно, по теореме Вейерштрасса о двойном степенном
ряде
n=0 j=0
iA)f (z)\ - У zi
В виде простой иллюстрации к теореме VIII рассмотрим систему
{fn (z) ~ 1 + ... +zn} в пространстве ER, R>\. Это —полная
система функций. В свойстве у. л. н. убеждаемся, строя биорто-
гональную систему функционалов
Ч^Ш <—0.1.2....)-
Здесь ассоциированные функции имеют вид
^4—^iW (я = 0, 1,2, ...).

О БАЗИСЕ В ПРОСТРАНСТВЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 613
Они являются аналитическими при 11, | > 0 и во всяком случае
оо
вне единичного круга. Наконец, ряд 2 ®п Ш7» (г) можно записать
о
в виде
У 1—г"+1 g—1
^ 1 —г ?и+2 *
о
Очевидно, этот ряд равномерно сходится при |z\ < г, |?|> р, где
р >¦ max (r, /).
Согласно замечанию этого пункта можно не проверять, что
сумма ряда равна т~? ¦ Итак, система {l+z+ . . . 'Гzn} является
базисом для любого Ет, г>1.
Заметим, что в этом примере ряд 2 anfn (z) расходится при
о
|?|=1, ?,ф\, |z|O'<l. Поэтому в силу теоремы VIII система
{1 +г+ • • • +2™} не может быть базисом для Et. Она перестает
быть здесь даже и базисом в широком смысле слова, так как
Ln | J . = 0 (л = 0, 1,2, ...). Конечно, эта система сохраняет
полноту и свойство у. л. н. в любом пространстве Ег, 0<г<Соо.
10. Пусть {/n(z)} — полная и у. л. н. система для всех Ег,
l<Cr^CR. Эти условия эквивалентны тому, что {fn(z)} —полная
у. л. н. система для ER и все ассоциированные функции {(»п(?)}
являются аналитическими для 11, | > /. Функции, аналитические
в области | ? j > / и обращающиеся в нуль в бесконечно удален-
удаленной точке, образуют пространство Ег типа F. Очевидно, что
(л = 0, 1,2, ...
представляют линейные функционалы на Ei, биортогональные
с {со„ (?)}. Отсюда следует, что {со„ (t,)} представляет у. л. н.
систему в Ei (и даже в каждом пространстве Ер, /<р</?).
Если же функции {fn(z)} образуют еще и базис в Ет, l<L
т. е. если имеет место разложение
1
= 2 ©i, (S) fn
0
равномерно при | г | < г, \ I \ > р, 0 < г < R, max (/, л) > р, то {con (Q}
также образует базис в каждом Ер, l^.p<<R, что вытекает

614 ПРИЛОЖЕНИЕ
непосредственно из представления интегралом Коши функции
р<|г|=р'<К 0 И=р'
В частности, допустим, что функции {fn (г)}, образующие про-
продолжаемый (внутрь) базис ER, имеют вид
где фп(г) — функции, аналитические в единичном круге и удовле-
удовлетворяющие условиям tp,t @) = 1 (п = 0, 1, 2, ...). Тогда легко про-
проверить, что ассоциированные функции {&>„ (?)} будут иметь вид
= 0, 1,2, ...).
В силу сказанного выше функции {fn (г)} образуют базис для
Er(l<C.r^R) тогда и только тогда, когда функции {со„ (?)} обра-
образуют базис Ер (/<р <iR). Но, заменяя Z, через —, полагая
ю„ (у) = cpn+1(z) (я = 0, 1, 2, . . .) и l=q>0(z), убеждаемся, что
задача отыскания всех продолжаемых базисов пространства ER,
имеющих вид {fn{z) =zri + «nJn+1+ . . •}, полностью эквивалентна
задаче отыскания всех продолжаемых базисов пространства
Ег (г > -i-) , имеющих вид {<р„ (г) = гп+1 + а^2п + ... + а™}.
11. Остановимся на требовании единственности, входящем
в определение базиса (в широком и узком смысле слова). Пусть
{fn{z)} — полная у. л. н. система ER и {Ln} —биортогональная
с {fn (z)} система функционалов. Упомянутое требование един-
единственности заключается в том, что из Ln(f)=O и f(z)^ER должно
следовать, что f (z) = 0.
В частности, это должно иметь место для функций, принад-
принадлежащих к ER', R'Ж. Но функция f(z)?ER-, R'^>R поро-
порождается некоторым линейным функционалом, определенным на ER,
из . Поэтому по теореме I требование единственности может
выполняться лишь при условии полноты системы функций
Ln (т )=Юп(?) в пространстве ER. Заметим, что a priori нет
оснований утверждать, что полнота {со„ (Щ в ER достаточна для
того, чтобы система {Ln} обладала свойством единственности в ER.
Действительно, по теореме I единственность обеспечена лишь

О БАЗИСЕ В ПРОСТРАНСТВЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 615
по отношению к классу О функций, порожденных из =—- посред-
посредством функционалов, определенных в ER; класс О совпадает здесь
с совокупностью всех функций, аналитических в замкнутом круге
|z !<;/?. Простой пример подтверждает, что полнота {&>„(?)} в ER
недостаточна для того, чтобы система {Ln} обладала свойством
единственности в ER. Пусть fn(z) = \ + ...+zn и R = 1. Здесь
L m -/("'@) ^<п+1) <°) 1 1
и система {соп B)} полна в Et (действительно,
4.
г ¦ ¦ ¦ 1
Однако свойством единственности в Et функционалы {Ln} не
обладают; из Ln (f) = 0 (п = 0, 1, 2, . . .) следует только, что
Мы получим по той же теореме I достаточное условие для един-
единственности в ER (и даже для единственности в Ег, /</"</?),
если предположим, что функции {со„ (?)} являются аналитическими
при 1 t, | > 1, I <C R и что система {со„ (?)} полна в Ег. Резюмируя,
получаем следующее предложение:
Теорема IX. Для того чтобы система линейных функциона-
функционалов {Ln}, биортогональная с системой функций {fn(z)}c^ER,
обладала свойством единственности в Ев, необходимо (но не доста-
достаточно), чтобы система ассоциированных функций {со„ (?)} была
полна в ER. Если система {»„(?)} полна в Ei, 0</</?, то
система {Ln} обладает свойством единственности в каждом Ег,
12. Из изложенного в пп. 10 и 11 следует, что если {fn (г)} —
базис в широком смысле слова для каждого Er, l<Cr^CR, то
и система ассоциированных функций {соп (?)} будет базисом в широ-
широком смысле слова для Er, l^Lr < R. В самом деле, выполнение
указанного условия означает прежде всего, что система {/„ (z)} —
полная и у. л. н. система для каждого Er, l<cr^R; поэтому
{со„ (?)} — у. л. н. система для всех ?V (/<r <-R). Далее, из
того, что {/„ (z)} — базис в широком смысле слова, следует, что
система функционалов {Ln}, биортогональная с {/„ (z)}, обладает
свойством единственности для Ег, /<г <; R; поэтому (теорема IX)
система {со„ (?)} полна в ЕТ, l^r <; R. Наконец, так как система
{/„ (z)} полна в Ет, I <C r^.R, то из той же теоремы IX (в которой
системы {/„ (г)} и {соп (?)} можно поменять ролями) следует, что

616 ПРИЛОЖЕНИЕ
система линейных функционалов {Л„}, определенных на Ёт
(/</¦</?) и биортогональных с {со„ (?)}, обладает свойством
единственности для каждого ~ЁГ (/</¦< R).
Во всем этом рассуждении {со„ (?)} и {fn (г)} можно поменять
ролями (так как свойство ассоциированности взаимно).
Установленное здесь соотношение позволяет, в частности, дока-
доказать следующее предложение:
Теорема X. Пусть F (г) = z + с0 + — + ... (| z | > /) и
г
— не обращающиеся в нуль функции, и пусть
<?V+1+...+o?) (л = 0, 1, 2, ...
¦—полиномы, представляющие совокупности членов с неотрица-
неотрицательными показателями степеней в лорановских разложениях
\F (z)ln F' (z)
функций . (п = 0, 1,2, . . .) (в окрестности точки z = oo).
Для того чтобы система {рп (z)} была базисом в широком смысле
слова для каждого из пространств ЕТ, г>1, необходимо и доста-
достаточно, чтобы F (г) была однолистной в области \ z | >• 1.
Доказательство. Заметим сначала, что полиномы {рп (z)}
представляют у. л. н. систему в ЕТ, л>1, причем ассоциирован-
ассоциированные с ними функции имеют вид con (z) = ,pTz!m+1 • В самом деле,
введя обозначение
\F (г)]" F' (г) ., _ д ., _ б4 б2 . , .
—^5j Рп\г) — an(z) — — + -^г+ • • • (|z|><;,
получаем
^ ^(z)p(z)dZ ^ (u(z)[P(z) + &()]dz
|2|=Р>1 |2|=р>1
_J_ P Ф(г) [F
~2я/ J [F(z)]n+1 ф(г) "^"°nm
|г|=Р>г
(л = 0, 1,2, ...,т = 0, 1,2, ...) (*)
откуда и следует наше утверждение. Если {pn(z)} — базис в широ-
широком смысле слова в каждом Ег, г>1, то по предыдущему {соп (г)}
также базис в широком смысле слова для каждого Ет, г~^-1. Но
если допустить, что F (zj) = F (z2), \zY\>l, \ z2 \ > /, z^ Ф z2, т. е.
что ^(z) не однолистна в области |z|>/, то любая функция ¦ф(г),
принадлежащая замкнутой линейной оболочке < con (z) = rcTlm+i [ »

О БАЗИСЕ В ПРОСТРАНСТВЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 617
будет удовлетворять условию я|) (г4) : я|) (г2) = <t(Zi) : ф(г2). Это
противоречит свойству полноты системы {(оп (г)} в пространстве
Ei. Итак, необходимость условия теоремы доказана.
Чтобы доказать его достаточность, допустим, что F (г) одно-
однолистна в области | г|> 1.
Докажем сначала полноту |юп(г)= рLm+i'} в^г (а следо-
следовательно, и в любом Ет, /">¦/); для этого произведем преобразо-
преобразование z = /7~1(ffij). Оно переведет [г|>/ в некоторую односвязную
область G, содержащую точку w=oo, функции {@71(г)} — в функ-
f m [F-1 (w)] } ~ а, -
ции < п+1 > и пространство Ег — в пространство функции,
аналитических в G и обращающихся в нуль в точке w=oo. Так
как система < п+1 У , очевидно, полна в преобразованном
пространстве (по теореме Рунге), то и первоначальная система
{«7г(г)} полна в Ег; у. л. н. этой системы следует из соотноше-
соотношений биортогональности (*), указывающих, что система {со„ (г)}
ассоциирована с {fn(z)}- Наконец, свойство единственности линей-
линейных функционалов, биортогональных с {и>п (г)} (в каждом из Ет,
r^l), вытекает (по теореме IX) из полноты системы ассоцииро-
ассоциированных функций {рп (г) = (г)" + а^г" + • • • + °4n)} (в каждом Ет).
Итак, система {гоп (г)} представляет базис в широком смысле
слова для каждого Ет, г >¦ /. Достаточность условия теоремы
доказана.

ЛИТЕРАТУРА КО ВТОРОМУ ТОМУ*)
I. Сочинения общего характера
1. Мандельбройт С, Примыкающие ряды. Регуляризация после-
последовательностей. Применения, перев. с фр. В. С. Виденского под ред.
В. Л. Гончарова, М., 1955.
2. П о л и а Г. и С е г е Г., Задачи и теоремы из анализа, т. II, перев.
с нем. Д. А. Райкова, изд. 2-е, М., 1956.
3. Стоилов С, Теория функций комплексного переменного, т. II
(написан при сотрудничестве Кабирии Андреян Казаку), перев. с рум.
И. Бернштейна, М., 1962.
4. Bieberbach L., Lehrbuch der Funktionentheorie, В. II, Moderae
Funktionentheorie, Leipzig — Berlin, 1927.
5. Caratheodory C, Funktionentheorie, B. II, Basel, 1950.
6. Caratheodory Constantin, Gesammelte Mathematische
Schriften, Herausgegeben im Auftrag und mit Unterstiitzung der Bayerischen
Akademie der Wissenschaften. Dritter Band, Munchen, 1955; Vierter Band,
Miinchen, 1956.
7. J u 1 i a G., Principes geometriques d'analyse, t. II, Paris, 1932.
8. M i 1 1 о u x H., Principes. Methodes generales, t. I, F. II Traite detheorie
des fonctions publie sous la direction de M. Gaston Gulia, Paris, 1956.
9. M о n t e 1 Paul; Selecta, 1897—1947, Cinquantenaire scientifique de
M. Paul Montel, Paris, 1947.
10. Stoilow S., Oeuvre mathematique, Bucuresti, 1964.
П. Монографии по отдельным вопросам
А. Однолистные и многолистные функции.
Конформные отображения
1. Гол уз ян Г. М., Геометрическая теория функций комплексного пере-
переменного, изд. 2., М., 1966.
2. ДженкинсДж., Однолистные функции и конформные отображения,
перев. с англ. В. П. Хавина, М., 1962.
3. Курант Р., Принцип Дирихле, конформные отображения и минималь-
минимальные поверхности, перев. с англ. Б. В. Шабата, М., 1953.
4. Лаврентьев М. А., Конформные отображения с приложениями
к некоторым вопросам механики, М.— Л., 1946.
*) Журнальные статьи здесь отсутствуют. Однако многие из называемых
ниже книг содержат достаточно подробные библиографические указатели.
Наша цель — рекомендовать читателю литературу для дальнейшего углуб-
углубления в предмет. При этом мы наряду с наиболее свежими монографиями
в соответствующих направлениях приводим немало трудов классического
характера, чтение которых интересно и поучительно и для современного
математика.

ЛИТЕРАТУРА КО ВТОРОМУ ТОМУ 619
5. X е й м а н У., Многолистные функции, М., 1960.
6. J u I i a G., Lemons sur la representation conforme des aires simplement
connexes, Paris, 1931.
7. J u 1 i a G., Legons sur la representation conforme des aires multiplement
connexes, Paris, 1934.
Б. Квазиконформные отображения
1. Волков ыский Л. И., Квазиконформные отображения Львов
1954.
2. К п п г i H. P., Quasikonforme Abbildungen, Berlin — Gottingen —
Heidelberg, 1960.
3. L e h t о О. und V i r t a n e n K. I., Quasikonforme Abbildungen, Ber-
Berlin — Heidelberg — New York.
В. Гармонические и субгармонические функции
1. Брело М., Основы классической теории потенциала, перев. с фр.
Е. Д. Соломенцева, М., 1964.
2. Ландкоф Н. С, Основы современной теории потенциала, М., 1966.
3. Привалов И. И., Субгармонические функции, М.— Л., 1937.
Г. Однозначные аналитические функции. Распределение значений.
Предельные свойства
1. В и т т и х Г., Новейшие исследования по однозначным аналитическим
функциям, перв. с нем. и дополнения А. А. Гольдберга, под ред.
Л. И. Волковыского, М., 1960.
2. Голубев В. В., Однозначные аналитические функции. Автоморфные
функции, М., 1961.
3. ДжрбашянМ. М., Интегральные преобразования и представления
функций в комплексной области, М., 1966.
4. Евграфов М. А., Асимптотические оценки и целые функции,
М., 1962.
5. Ибрагимов И. И., Экстремальные свойства целых функций конеч-
конечной степени, Баку, 1962.
6. Л е в и н Б. Я., Распределение корней целых функций, М., 1956.
7. Мак-Лейн Г., Асимптотические значения голоморфных функций,
перев. с англ. В. И. Гаврилова, М., 1966.
•8. Неванлинна Р., Однозначные аналитические функции, перев.
с нем. Л. И. Волковыского, под ред. и с добавлением М. В. Келдыша
и М. А. Лаврентьева, М.— Л., 1941.
9. Н о с и р о К. Предельные множества, перев. с англ. В. И. Гаврилова,
М., 1963.
10. П р и в а л о в И. И., Граничные свойства аналитических функций,
изд. 2-е, М.— Л., 1950.
11. Чеботарев Н. Г. и Мейман Н. Н., Проблема Рауса — Гурви-
ца для полиномов и целых функций, М.— Л., 1949.
12. С а г t w r i g h t M. L., Integralfunctions, Cambrige, 1956.
13. N e v a n 1 i n n a R., Le theoreme de Picard — Borel et la theorie des
fonctions meromorphes, Paris, 1929.
Д. Эллиптические и автоморфные функции
1. Ахиезер Н. И., Элементы теории эллиптических функций, М.— Л.,
1948.
2. Г у р в и ц А., Теория аналитических и эллиптических функций, перев.
с 3-го нем. изд. Н. В. Икорникова.

620 ЛИТЕРАТУРА КО ВТОРОМУ ТОМУ
3. Уиттекер Э. Т., Ватсон Дж. Н., Курс современного анализа,
ч. II. Трансцендентные функции, перев. с англ. под ред. Ф. В. Широ-
Широкого, изд. 2-е, М., 1963.
4. Appel P. et Lacour E., Principes de la theorie des fonctions ellip-
tiques et applications, 2ed., Paris, 1922.
5. S с h w a r z H. A., Formeln und Lehrsatze zum Gebrauche der elliptischen
Funktionen. Nach Vorlesungen und Aufzeichnungen des Herrn K. Weier-
strass, 2 Aufl., Erst-er Th., Berlin, 1893.
E. Римановы поверхности.
Алгебраические и автоморфные функции
1. Неванлинна Р., Униформизация, перев. с нем. Л. И. Волковы-
ского, М., 1955.
2. Риман Бернгард, Сочинения, перев. с нем. под ред., с предисло-
предисловием, обзорной статьей и примечаниями проф. В. Л. Гончарова, М.— Л.,
1948.
3. Спрингер Д ж., Введение в теорию римановых поверхностей, перев.
с англ. Л. А. Маркушевич и Г. Ц. Тумаркина, М., 1960.
4. Форд Л. Р., Автоморфные функции, перев. с англ. М. М. Гринблюмз
и В. С. Рабинович, под ред. М. М. Гринблюма, М.— Л., 1936.
5. Ч е б о т а р е в Н. Г., Теория алгебраических функций, М.— Л.,
1948.
6. Шевалле К., Введение в теорию алгебраических функций от одной
переменной, перев. с англ. 3. И. Боревича, М., 1959.
7. Шиффер М. и Спенсер Д. К-, Функционалы на конечных рима-
римановых поверхностях, перев. с англ. Е. Д. Соломенцова, под ред. А. В. Би-
цадзе, М., 1957.
8. А р р е 1 1 P. etGorsat E., Theorie des fonctions algebriques et de leurs
integrales, t. I. Etude des fonctions analytiques sur une surface de Rieman,
2 ed., Paris 1929; Theorie des fonctions algebriques d'une variable et des
transcendantes quis'y rattachent, t. II, Fontions automorphes, par Pierre
Faton, 2 ed., Paris, 1930.
9. К 1 e i n F., Gesammelte Mathematische Abhandlungen. Dritter Band.
Elliptische Funktionen, insbesondere Modulfunktionen, Hyperelliptische
und Abelsche Funktionen, Riemannsche Funktionentheorie und Automorphe
Funktionen, Berlin, 1923.
10. P f 1 u g e r A., Theorie der Riemannschen Flachen, Berlin — Gottingen—
Heidelberg, 1957.
11. W e у 1 H., Die Idee der Riemannschen Flache, 3 Aufl., Stuttgart, 1955.

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Абеля метод суммирования 166
Абстрактная риманова поверхность
441
Адамара теорема 282
— — о трех кругах 202
Алгебраическая точка разветвления
524
Алгебраические функции 541
Аналитическая функция, гидроме-
гидромеханический смысл 171
— —, полная 477
— —, элемент 476
Аналитические отображения, теоре-
теорема о сохранении области 7
Аналитический образ 483
Аналитическое продолжение 475
— — непосредственное 474
Аргумента обобщенный принцип 88
Базис в пространстве аналитических
функций 574
— — узком смысле слова 580
— — широком смысле слова 570
Бернштейна теорема 123
Бернштейна — Уолша лемма 121
Бесконечного порядка функция 214
— типа функция 245
Бибербаха гипотеза 58
Бляшке произведение 226
— функция 226
Большая теорема Пикара 569
Бореля преобразование 581
— теорема 285
Вейерштрасса дзета-функция 372
— теорема 272
— —, обобщение 301
Векторное топологическое простран-
пространство 501
Верхняя подобласть 91
Вихрь скорости 173
Внутреннее отображение 449
Вращения теоремы 50
Выделенная окрестность 440
Гамма-функция 303
Гармоническая мажоранта 198
Гармонические функции 144
— — сопряженные 144
Гармонический многочлен степени
п 145
Гарнака теорема 158
Гаусса формула 310
Гидромеханический смысл аналити-
аналитических функций 171
Гильберта теорема 60
Граничные значения функции ради-
радиальные 236
— — — угловые 238
Граничный элемент 77
— — второго рода 82
— — первого рода 82
— — третьего рода 83
— — четвертого рода 83
Грина функция 168
Двойные логарифмические спирали
183
Двойственности принцип в задачах
полноты и единственности 583
Двоякопериодическая функция 327
Двумерное многообразие 438
Двухсторонняя поверхность 450
Дефект значения 412
Дефектное значение 411
Дзета-функция Вейерштрасса 372
Римана 372
Дирихле проблема 160
Дополнительный модуль функции
Якоби 398
Достижимая дуга границы 90
— точка границы 72
Дроби простейшие 294
Дуга жорданова свободная 90
Единственности теорема для кон-
конформных отображений 36
— — — радиальных граничных зна-
значений 239
Естественная граница функции 479

622
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Жорданов интервал 78
— криволинейный полуинтервал 62
Жуковского теорема 193
Жуковского — Чаплыгина профиль
190
Жюлиа лучи 572
Звезда элемента прямолинейная 491
Значение дефектное 411
Иенсена неравенство 220
Иенсена — Пуассона формула 215
Инварианты функции f (г) 358
Индикатриса роста функции 257
— функции 263
Интеграл Пуассона 151
— —, ядро 151
Интегральная теорема Коши обоб-
обобщенная 100
Исключительное значение 411
Каратеодори область 125
— теорема об областях с переменны-
переменными границами 39
Келдыша теорема 100
й-листная функция 10
Комплексный потенциал 174
Конец простой 77
Конечного порядка функция 244
— типа функция 245
Конформный радиус области 36
Криволинейный полуинтервал 62
— — жорданов 62
— —, предельное множество 62
Круг элемента 482
Куранта теорема 92
Лаврентьева теорема 104
Лапласа уравнение 144
Лежандра соотношения 374
Линделефа — Фрагмена теорема 206
Линия тока 175
Лист Мёбиуса 439
Логарифмическая точка разветвле-
разветвления 524
Логарифмические спирали двойные
183
Локальный параметр 440
Лучи Жюлиа 572
Мажоранта гармоническая 198
Максимального типа функция 245
Максимум модуля целой функции 243
Малая теорема Пикара 565
Мёбиуса лист 439
МерГеляна теорема 105
Мероморфная функция 290, 292, 302
— — первая основная теорема 410
— —, разложение на простейшие
дроби 290
— —, характеристическая функция
411
Минимального типа функция 245
Миттаг-Леффлера разложение в пря-
прямолинейной звезде 495
— — теорема 294
— — —, обобщение 300
/и-листная поверхность 462
Многолистная функция 10
Многообразие двумерное 438
Многочлен гармонический степени1
п 145
Многочлены Фабера 114
Модель римановой поверхности 460
Модуля обобщенный принцип мак-
максимума 197
Модулярная функция 565
Монодромии теорема 488
Неориентируемая поверхность 451
Непосредственное аналитической'
продолжение 474
Неразветвленный элемент 482
Неразрывности уравнение 173
Нижняя подобласть 91
Нормального типа функция 245
Норма, соответствующая равномер-
равномерной сходимости внутри области-
501, 574
Нормальное семейство 567
— —, критерий 567
Области с переменными границами,.
теорема Каратеодори 39
Область Каратеодори 125
— существования полной аналити-
аналитической функции 477
— элемента 476
Обобщенная интегральная теорема
Коши 100
Обобщенный принцип аргумента 88
— — максимума модуля 197
Обращение эллиптического инте-
интеграла 363
Ограниченного вида функция 228, 240°
Однозначная ветвь функции 477
Однолистная функция 10
— —, предел равномерно сходя-
сходящейся последовательности 26
Однолистности условия 13
Однопериодическая функция 325
Односторонняя поверхность 451

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
62$
Окрестность выделенная 440
Ориентация треугольника 446
Ориентированный треугольник 446
Ориентируемая поверхность 450
Ортогональные и нормированные по
площади многочлены 133
Основной параллелограмм периодов
327
Особые точки 520
Особый недостижимый граничный
элемент 529
Отображение внутреннее 449
Параметр локальный 440
Парсеваля равенство 136
Пенлеве метод 495
Период основной 325, 327
— функции 324
Периодическая функция 324
Периодов основной параллелограмм
327
— полоса 329
Пикара теорема большая 569
— — малая 565
Площадей теорема 43
Поверхности триангуляция 447
Поверхность двухсторонняя 450
— т-листная 462
— неориентируемая 451
— односторонняя 451
— ориентируемая 450
— риманова 459, 462
— — абстрактная 441
— топологическая 438
Подчиненные элементы 483
Подчиненный элемент 477
Показатель сходимости последова-
последовательности 278
Полная аналитическая функция 477
— — —, область существования 477
Полнота системы аналитических
функций 579
Полоса периодов 329
Полуинтервал криволинейный 62
— — жорданов 62
Порядок целой функции 244
Последовательность областей, ядро
38
Потенциал комплексный 174
— скоростей 174
Потенциала равного кривые 175
Поток 172
Правильная аналитическая кривая
462
Предельное множество криволиней-
криволинейного полуинтервала 62
Продолжение аналитическое 475
— — вдоль кривой 484
Простейшие дроби 294
Простой конец 77
Простопериодическая функция 325-
Пространство аналитических функ-
функций, базис 574
— векторное топологическое 501
Профиль Жуковского — Чаплыги-
Чаплыгина 190
Прямолинейная звезда элемента 491
Пуассона — Иенсена формула 215-
Пуассона интеграл 151
— метод суммирования 166
Радиус области конформный 36
— элемента 482
Разветвления точка 461
— — алгебраическая 524
— — логарифмическая 524
— — трансцендентная 524
Разветвленный элемент 482
Разложение рациональной функции-
на простейшие дроби 294
Решетка параллелограммов 326
Римана дзета-функция 372
Римана — Шварца принцип 543
Риманова поверхность 459, 462
— — абстрактная 441
— —, модель 460
— — функции 468
Род целой функции 288
Ряд сверхсходящийся 500
Свободная жорданова дуга 90
Семейство нормальное 567
Сигма-функция 374
Симметрии принцип 543
Соотношение дефектов 412
Сопряженные гармонические функ-
функции 144
Спирали логарифмические двойные
183
Стирлинга формула 323
Субгармоническая функция 193
Суммирование, метод Пуассона (ил»
Абеля) 166
— ряда 166
Существования теорема Римана 32"
Сходимость в среднем 132
Счетная база 437
Тета-функции Якоби 394
Течение, характеристическая функ-
функция 174
Тока линия 175

€24
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТ ЕЛЬ
Тока функция 175
Топологическая поверхность 438
Топологическое пространство 436
Трансцендентная точка разветвле-
разветвления 524
Треугольника ориентация 446
Треугольник ориентированный 446
Триангуляция поверхности 447
Тригонометрический многочлен 333
Уолша — Бернштейна лемма 121
Усиленная линейная независимость
577
•Фабера многочлены 114
— —, производящая функция 117
Фату теорема 237
Фрагмена — Линделёфа теорема 206
Функции максимального типа 245
— с интегрируемым квадратом моду-
модуля 132
¦Функция бесконечного порядка 244
— — типа 245
— Бляшке 226
— гармоническая 144
— — сопряженная 144
— Грина 168
— двоякопериодическая 327
— й-мерная 10
— конечного порядка 244
— — типа 245
— мероморфная 290, 292, 302
— минимального типа 245
— многолистная 10
— модулярная 565
— нормального типа 245
— ограниченного вида 228, 240
— однолистная 10
— однопериодическая 325
— периодическая 324
— простопериодическая 325
— субгармоническая 193
— тока 175
— экспоненциального типа 252
Функция эллиптическая 327
Фурье коэффициенты 134
— разложение 136
— — целой периодической функ-
функции 333
Характеристическая функция меро-
морфной функции 411
— — течения 174
Христоффеля — Шварца формула 549
Центр элемента 482
Целая функция, порядок 244
, род 288
Цепь элементов 476
Циркуляция скорости 173
Чаплыгина — Жуковского профиль
190
Чаплыгина формула 192
Чебышева многочлены 116
Шварца формула 153
Шварца — Римана принцип 543
Шварца — Христоффеля формула
549
Эйлера постоянная 306
— формула 310
Эйлеров интеграл 310
Экспоненциального типа функция 252
Элемент аналитической функции 476
— граничный 77
— круговой 481
—, прямолинейная звезда 491
— функции 477
Эллиптическая функция 327
Ядро интеграла Пуассона 151
— последовательности областей 38
Якоби тета-функции 394
— эллиптические функции 387