/
Автор: Филимоненкова Н.В. Бакусов П.А.
Теги: основы математики математическая логика математический анализ
ISBN: 978-5-8114-2391-0
Год: 2022
Текст
Н. В. ФИЛИМОНЕНКОВА,
П. А. БАКУСОВ
МНОЖЕСТВА
И ОТОБРАЖЕНИЯ
ИНТЕНСИВНОЕ ВВЕДЕНИЕ
В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ
АНАЛИЗ ДЛЯ СТУДЕНТОВ
ТЕХНИЧЕСКИХ ВУЗОВ
Учебное пособие
САНКТПЕТЕРБУРГ
МОСКВА•КРАСНОДАР
2022
ББК 22.12я73
Ф 53
Филимоненкова Н. В., Бакусов П. А.
Ф 53
Множества и отображения. Интенсивное введение
в математический анализ для студентов технических
вузов: Учебное пособие. — СПб.: Издательство «Лань»,
2022. — 180 с.: ил. — (Учебники для вузов. Специаль
ная литература).
ISBN 978 5 8114 2391 0
В учебном пособии представлено простое и компактное
введение в дисциплину «Математический анализ». Изложены
основные понятия теории множеств и теории отображений. Стиль
изложения легкий, конспективный, не перегруженный формализа
цией. Параллельно с освоением текущего материала обеспечивается
повторение элементарной математики. Пособие ориентировано на
практику, содержит большое количество классических и новых
задач.
Предназначено для студентов и преподавателей технических
вузов. Может быть использовано для подготовки бакалавров
по направлениям, относящимся к прикладной математике,
компьютерным наукам, вычислительной технике, а также для
других специальностей, подразумевающих изучение фундамен
тальной математики на полупрофессиональном уровне.
ББК 22.12я73
Рецензенты:
В. И. АНТОНОВ — доктор технических наук, зав. кафедрой
«Высшая математика» СанктПетербургского политехнического
университета Петра Великого;
В. С. КАЦУБА — кандидат физикоматематических наук, доцент
кафедры «Высшая математика и программное обеспечение ЭВМ»
Мурманского государственного технического университета;
Г. В. ЯКУНИНА — кандидат физикоматематических наук, доцент,
зав. кафедрой «Математика» СанктПетербургского государ
ственного архитектурностроительного университета.
Обложка
Е. А. ВЛАСОВА
© Издательство «Лань», 2022
© Н. В. Филимоненкова,
П. А. Бакусов, 2022
© Издательство «Лань»,
художественное оформление, 2022
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие ................................................................................... 5
§ 1. Язык математических символов ......................................... 8
Задачи для самостоятельного решения ...................................15
§ 2. Множества ..............................................................................18
2.1. Способы задания множеств ..............................................18
2.2. Операции над множествами .............................................20
Задача для самостоятельного решения ...................................24
§ 3. Множества точек на числовой прямой .............................26
3.1. Понятия числа и числового множества ...........................26
3.2. Связные и дискретные множества ...................................28
3.3. Замкнутые и открытые множества ...................................29
3.4. Ограниченные множества .................................................31
Задачи для самостоятельного решения ...................................40
§ 4. Множества точек на плоскости ..........................................42
4.1. Связные и дискретные, замкнутые и открытые,
ограниченные множества .........................................................42
4.2. Множества точек на плоскости с декартовой
системой координат ..................................................................45
Задачи для самостоятельного решения ...................................50
§ 5. Полярная система координат .............................................53
5.1. Полярные координаты точки ............................................53
5.2. График функции в полярной системе координат ...........58
5.3. Множества точек на плоскости с полярной
системой координат ..................................................................63
Задачи для самостоятельного решения ...................................65
§ 6. Отображения ..........................................................................67
6.1. Классификация отображений ...........................................67
6.2. Общие характеристики отображений ..............................70
6.3. Характеристики числовых отображений .........................74
6.4. Композиция отображений .................................................79
Задачи для самостоятельного решения ...................................83
4
Множества и отображения
§ 7. Обратное отображение .........................................................86
7.1. Сюръекция, инъекция, биекция ........................................86
7.2. Критерий обратимости отображения ...............................91
Задачи для самостоятельного решения ...................................96
§ 8. Способы задания функции одной переменной ................99
8.1. Явно, неявно, параметрически заданные функции .........99
8.2. Элементарные функции ..................................................106
Задачи для самостоятельного решения .................................109
§ 9. Мощность множества .........................................................111
Задачи для самостоятельного решения .................................118
Приложение I. Метод математической индукции................120
Бином Ньютона .......................................................................123
Приложение II. Основные функции и графики ...................126
Основные элементарные функции ........................................126
Правила преобразования графиков .......................................136
Ответы к некоторым задачам
для самостоятельного решения ...............................................140
Контрольные задания................................................................153
Список литературы....................................................................178
ПРЕДИСЛОВИЕ
Учебное пособие содержит материал вводного модуля в дисциплину «Математический анализ». В нем представлены темы,
с которыми следует знакомиться до начала изучения анализа
бесконечно малых величин: основные понятия теории множеств
и теории отображений. Книга нацелена на интенсивное формирование сбалансированного и панорамного представления об
этих понятиях (конечно, в той мере, в какой это возможно на
этапе введения).
Материал изложен, с одной стороны, достаточно подробно,
связно, с соблюдением внутренней логики, но, с другой стороны, не настолько основательно и педантично, как это принято в
академических учебниках, написанных для физико-математических специальностей классических университетов.
Пособие предназначено для студентов и преподавателей
технических вузов. Его можно использовать для подготовки
бакалавров по направлениям, относящимся к прикладной математике, компьютерным наукам, вычислительной технике, а
также для других специальностей, подразумевающих изучение
фундаментальной математики на полупрофессиональном
уровне, с отчетливой прикладной ориентацией. Фрагменты пособия могут быть полезны также и для учащихся старших классов математических школ.
Эта книга не является компиляцией других пособий с аналогичной направленностью или начальных глав полномасштабных
учебников по математическому анализу. Это творческий проект,
в котором воплотился авторский взгляд на то, как сделать изучение математики в техническом вузе более современным, нескучным и эффективным.
Вводный модуль в дисциплину «Математический анализ»
преследует две цели: главная – освоение универсальной «азбуки» математических дисциплин, дополнительная – повторение
элементарной математики в ее базовой части. В данном пособии
обе цели реализуются параллельно. Практические задания по
каждой из новых тем разработаны таким образом, чтобы при их
6
Множества и отображения
выполнении была неизбежна мобилизация знаний и навыков из
области элементарной математики.
При работе над книгой учитывался острый дефицит учебного времени в техническом вузе, прагматичное отношение студентов к изучаемым дисциплинам и разнородный уровень их
математической грамотности. Авторы руководствовались требованиями компактности, свежести и доступности изложения.
Используется легкий конспективный стиль, не перегруженный
формализацией. Текст содержит много пояснений «грубого
смысла» абстрактных конструкций, а также их места в математическом мире. Классические сюжеты, которые традиционно
рассматриваются при введении в анализ, дополнены элементами
неакадемического характера, с привлечением множеств и отображений самой разной природы.
Содержание пособия ориентировано на практику. В центре
внимания не столько фундаментальность оснований анализа,
сколько отработка первичных понятий и навыков на конкретных примерах. Примерно на 70% эта книга состоит из задач.
Задачи, сопровождающие изложение материала по параграфам,
приводятся вместе с решениями. В завершение каждого параграфа предложены задачи для самостоятельного решения. Уровень их сложности приблизительно соответствует среднему
студенту среднего технического вуза, однако имеются и задачи
«со звездочкой». В конце пособия содержатся ответы к задачам
для самостоятельного решения и широкая база типовых контрольных заданий, пригодных для комплектации проверочных
работ. Каждое контрольное задание представлено в 30 вариантах. Все включенные в пособие задачи являются либо переработкой традиционных задач, либо авторской разработкой с разной степенью оригинальности.
Пособие отличается от существующих изданий и составом
освещаемых тем. Надо заметить, что в каждом учебном издании
понимается что-то свое под введением в математический анализ. Во многих случаях центральное место занимает аксиоматика вещественных чисел, которая должна обеспечить теоретический фундамент для последующего строго дедуктивного изложения математического анализа. Но поскольку данное пособие
задумано как компактное и практико-ориентированное (что отвечает глобальному тренду математики в техническом вузе), то
авторы посчитали возможным пожертвовать этим фрагментом
Предисловие
7
теории. Это сделано ради освещения других важных тем, которые актуальнее для математической подготовки студентовприкладников и менее полно представлены в существующей
литературе. Так, в пособии подробнее, чем обычно, разобраны
характеристики множества точек на числовой прямой и множества точек на плоскости, разновидности отображений и средства
анализа, которые доступны до изучения предельного перехода и
дифференцирования.
Основной материал пособия содержится в § 1–9. База контрольных заданий опирается на § 2–7. Две темы, вынесенные в
приложения, не зависят от основного материала и содержат дополнительную или справочную информацию.
Текст сопровождается ссылками, указывающими на целесообразность обращения к тому или иному источнику из списка
литературы для более глубокого знакомства с обсуждаемой темой. Например, в качестве содержательного предисловия к изучению математического анализа авторы рекомендуют прочитать
исторический очерк, расположенный в начале книги [5].
Н. В. Филимоненкова,
кандидат физико-математических наук,
доцент кафедры «Высшая математика»
Санкт-Петербургского политехнического
университета Петра Великого
§1
ЯЗЫК МАТЕМАТИЧЕСКИХ СИМВОЛОВ
Известно, что одной из сильных сторон математики является
формализация. Хорошо продуманный символический язык позволяет записывать математические высказывания коротко, единообразно и минимизировать вероятность двусмысленного толкования. Чтобы «переводить» математические высказывания с
русского языка на символический или наоборот, надо владеть
элементами математической логики. В первом приближении
математическую логику можно считать более разработанной
версией обычной логики. Но, строго говоря, математическая
логика – это отдельный раздел математики, с которым можно
познакомиться по книге [2].
В таблице 1 перечислены распространенные логические
символы, без которых редко обходится формальная запись математического высказывания.
Таблица 1
Символ
Значение
Знак всеобщности читается как «любой», «для лю
бого» (перевернутая буква «A» от англ. all – все)
Знак существования читается как «существует»,
«имеется», «найдется», «есть» (перевернутая буква
«E» от англ. exist – существовать)
Знак следствия читается как «следовательно»,
«следует», «вытекает», «если…, то…»
Знак равносильного перехода читается как «тогда и
только тогда», «необходимо и достаточно»
Двоеточие используется в качестве связок «такой,
:
что…», «так, что…»
Фигурная
скобка – логическое «и», означает, что
все высказывания внутри этой скобки должны быть
®
¯
верными
Квадратная скобка – логическое «или», означает,
ª
что должно быть верным хотя бы одно выска«
¬
зывание внутри этой скобки
§ 1. Язык математических символов
9
В частности, высказывания, объединенные фигурной или
квадратной скобкой, могут быть записаны в форме уравнений
или неравенств, но не обязательно. Заметим, что парные фигурные скобки { } используются для других целей: чаще всего
обозначают множество, иногда координаты вектора. Парные
квадратные скобки [ ] обычно используются для обозначения
числовых отрезков.
Задача 1. Записать математическими символами следующие
утверждения о вещественных числах.
1. Любое число не превосходит своего модуля.
Это утверждение можно записать двумя способами:
x x d x ;
x d x x .
Не имеет значения, ставить символ всеобщности в начале или в
конце данной фразы. Смысл от этого не меняется.
2. Для любого неотрицательного числа x существует такое
неотрицательное число y, квадрат которого равен x.
x t 0 y t 0 : y 2 x .
В действительности это утверждение говорит о том, что из любого неотрицательного числа можно извлечь арифметический
квадратный корень.
3. Существуют такие числа, которые нельзя представить в
виде обыкновенной дроби.
Обыкновенной дробью называют отношение двух целых чисел, например, 2 3 или 12 5 . Поэтому утверждение 3 можно
записать, например, так:
m
x : x z
m , n .
n
Напомним, что числа, которые можно представить в виде обыкновенной дроби, называют рациональными. А это утверждение
говорит о том, что, кроме рациональных, существуют и другие
вещественные числа. Их называют иррациональными.
10
Множества и отображения
4. Если два числа положительны, то их произведение тоже
положительно.
Здесь возможно несколько вариантов формальной записи,
поскольку логическое «и» можно выразить союзом, запятой или
фигурной скобкой:
x ! 0 и y ! 0 xy ! 0 ;
x ! 0, y ! 0 xy ! 0 ;
x ! 0
xy ! 0 .
®
¯y ! 0
Рассмотрим еще один вариант записи, в котором подчеркивается, что из положительности любых двух чисел вытекает положительность их произведения:
x ! 0, y ! 0 xy ! 0 .
В первых трех вариантах записи это не подчеркивается, но подразумевается. В данном случае наличие или отсутствие знаков
всеобщности не влияет на смысл.
5. Произведение двух чисел положительно тогда и только
тогда, когда числа имеют одинаковый знак.
Приведем два варианта формальной записи (логическое
«или» можно выразить союзом и квадратной скобкой):
xy ! 0 x ! 0, y ! 0 или x 0, y 0 ;
xy ! 0
ª x ! 0, y ! 0
« x 0, y 0 .
¬
Определение 1.1
Допустим, имеются два высказывания A и B, причем из них
можно составить новое высказывание «если A, то B» (если
верно A, то верно и B). Оно называется импликацией и обозначается A B. При этом
B называется необходимым условием для A,
A называется достаточным условием для B.
В тех случаях, когда верны обе импликации A B и A B,
пишут A B и говорят, что для выполнения A необходимо и
достаточно выполнения B. При этом высказывания A и B
называются равносильными или эквивалентными.
§ 1. Язык математических символов
11
Поясним смысл термина «необходимое условие» на примере
пункта 4 задачи 1. Верна импликация
x ! 0,
0 , y ! 0 xyy ! 0 .
Β
$
Здесь xy ! 0 – необходимое условие для того, чтобы оба числа x
и y были положительны. Оно обязательно выполнено, если числа положительны. Если окажется, что необходимое условие
xy ! 0 не выполнено, то числа x и y никак не могут быть оба
положительными. Заметим, что выполнения условия xy ! 0
недостаточно для положительности чисел x и y, поскольку
xy ! 0 выполняется также для отрицательных множителей.
Иначе говоря, обратная импликация не верна:
x ! 0,
0, y ! 0
xyy ! 0 .
Β
Α
Задача 2. Пусть имеется некоторая функция f ( x) с областью определения X . Записать следующие высказывания о
свойствах этой функции, используя их смысл и язык математических символов.
1. У функции f ( x) есть нули на множестве X.
Нулями функции называются нулевые значения. Значит, в
множестве X найдутся такие точки x, в которых функция обращается в ноль:
x X : f ( x) 0 .
2. Функция f ( x) четная.
Функция называется четной, если ее значение не меняется
при изменении знака независимой переменной:
x X f ( x) f ( x) .
К слову, функция называется нечетной, если при изменении
знака независимой переменной ее значение тоже меняет знак на
противоположный:
x X f ( x) f ( x) .
Напомним, что график четной функции, построенный в декартовой системе координат, симметричен относительно оси
12
Множества и отображения
ординат; график нечетной функции симметричен относительно
начала координат.
Формальные записи четности и нечетности подразумевают,
что множество X, на котором определена функция, содержит
вместе с любым своим числом x и противоположное ему число
–x (иначе выражение f ( x) не имело бы смысла). Иными словами, область определения как четной, так и нечетной функции
симметрична относительно точки 0.
3. Функция f ( x) является периодической.
Периодичность заключается в том, что функция с некоторым
постоянным «шагом» (периодом) повторяет свои значения.
Функция называется периодической, если существует такое
число T ! 0 , что при любых x X функция принимает в точках x T и x T такое же значение, как в точке x . Запишем
это формально следующим образом:
T ! 0 : x X f ( x T ) f ( x) и f ( x T ) f ( x).
Свойство периодичности подразумевает, что множество X, на
котором определена функция, содержит вместе с любым своим
числом x и числа x T , x T .
4. Функция f ( x) нестрого возрастает на множестве X.
Построим сначала формальную запись для строго возрастающей функции. Говорят, что функция строго возрастает на
множестве X, если при любом увеличении аргумента, не выходящем за пределы множества X, увеличивается и значение
функции:
x1 , x2 X x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 ) .
Если в той же ситуации значение функции увеличивается
или остается прежним, т. е., по крайней мере, не уменьшается,
то говорят, что функция нестрого возрастает на множестве X:
x1 , x2 X x1 x2 f ( x1 ) d f ( x2 ) .
Аналогичным образом можно составить формальные записи
для строго и нестрого убывающих функций. Напомним, что
функция, которая либо строго (нестрого) возрастает на множестве X, либо строго (нестрого) убывает на множестве X, называется строго (нестрого) монотонной на множестве X.
§ 1. Язык математических символов
13
Задача 3. При помощи математических символов записать
следующие высказывания, которые являются обратными к высказываниям, перечисленным в задаче 2.
1. Функция f ( x) не имеет нулей на множестве X.
Это высказывание можно формализовать двумя способами.
Проще всего использовать перечеркнутый знак существования:
x X : f ( x) 0 .
Однако такой подход считается не вполне квалифицированным,
поэтому далее постараемся избегать использования перечеркнутых символов существования и всеобщности.
Для составления более грамотной записи переформулируем
высказывание. Если в множестве X не существует таких точек, в
которых функция обращается в ноль, то это равносильно тому,
что во всех точках множества X функция не обращается в ноль:
x X f ( x) z 0 .
2. Функция f ( x) не является четной.
Функция не является четной, если она хотя бы однажды меняет значение при изменении знака независимой переменной.
Иными словами, найдется такая точка x X , что значение
функции в точке x не совпадает с ее значением в точке x:
x X : f ( x) z f ( x).
Было бы ошибкой полагать, что если функция не является
четной, то она непременно нечетная. В действительности, это
может быть как нечетная функция, так и функция общего вида
(ни четная, ни нечетная).
Замечание. Пункты 1, 2 задач 2, 3 показывают, что при построении квалифицированной версии отрицания соблюдается
закономерность: символ переходит в символ и наоборот.
Проиллюстрируем эту закономерность на бытовых примерах.
Рассмотрим высказывание «все вороны черные». Его отрицанием является высказывание «существуют нечерные вороны».
Другой пример: «на этой рабочей неделе есть праздничные
дни». Обратное высказывание: «на этой рабочей неделе все дни
непраздничные».
14
Множества и отображения
3. Функция f ( x) не является периодической.
Функция не является периодической, если какое бы число
T ! 0 мы ни рассматривали, обязательно найдется такая точка
x X , что значение функции в точке x T или в точке x T
не совпадает с ее значением в точке x:
T ! 0 x X : f ( x T ) z f ( x) или f ( x T ) z f ( x) .
Замечание. Пункт 3 задач 2, 3 показывает, что если тезис
включает два условия, соединенные логическим «и», то антитезис содержит отрицания этих условий, соединенные логическим
«или». Отрицанием для «A и B» является «не A или не B». Рассмотрим бытовое высказывание «эта фирма выполняет заказы
быстро и качественно». Обратное высказывание – «эта фирма
выполняет заказы медленно или некачественно».
4. Функция f ( x) не является нестрого возрастающей на
множестве X.
Для того чтобы функция не относилась к нестрого возрастающим на множестве X, необходимо и достаточно, чтобы нестрогое возрастание нарушалось хотя бы в одной паре точек множества X:
x1 , x2 X : x1 x2 и f ( x1 ) ! f ( x2 ) .
К слову, если функция не является возрастающей на множестве X, то это еще не значит, что она убывает, ведь она может
также менять характер монотонности.
Замечание. В данном случае при построении отрицания к
высказыванию 4 задачи 2, кроме изменения знака неравенства,
связывающего значения f ( x1 ) и f ( x2 ) , и преобразования символа в символ , произошла также замена знака следствия
на союз «и». Поясним это на бытовых примерах. Рассмотрим
утверждение «если крысы бегут с корабля, то корабль тонет».
Его опровержение выглядит так: «крысы бегут с корабля и при
этом корабль не тонет». Другой пример – утверждение «если
мой кот сыт, то он счастлив». Его опровержение: «мой кот сыт
и, однако, не счастлив».
15
§ 1. Язык математических символов
Задачи для самостоятельного решения
Задача 4. Записать математическими символами следующие
утверждения о вещественных числах:
1)
2)
3)
4)
5)
квадрат любого числа является числом неотрицательным;
для любого числа существуют числа, как бόльшие, так и
меньшие этого числа;
существует такое число, которое не меняется при умножении на любое другое число;
сумма квадратов двух чисел равна нулю тогда и только
тогда, когда каждое число равно нулю;
если сумма двух чисел положительная, то хотя бы одно
из двух слагаемых положительное.
Задача 5. Установить, являются ли верными следующие высказывания о вещественных числах и функциях. В случае необходимости внести исправления.
1)
2)
3)
azb a!b;
ªa d b
«a t b ;
¬
2
a t 1 a t 1;
a
b
6)
c
;
b
a : ax x x ;
a b : ab
b 1;
7)
8)
b 4ac ! 0 x
xy 0 x y 0 ;
9)
x ! 0
®
¯y 0
4)
5)
ab ! c a !
2
10) a
11) x, y
12) cos( x)
a
2
: ax bx c
xy 0 ;
2
a;
x y d x y ;
cos x x
;
0;
16
Множества и отображения
13) x , y
x y cos x ! cos y ;
14) c
: cos x d c x
15) x
: e
16) c
x
;
0;
x
: e !c.
x
Задача 6. Даны высказывания A и B. Определить, является
ли высказывание B для высказывания A
x необходимым условием, т. е. A B;
x достаточным условием, т. е. A B;
x необходимым и достаточным условием, т. е. A B.
1.
A: Вася живет в России.
B: Вася живет в Санкт-Петербурге.
2.
A: Площадь круга меньше π .
B: Радиус круга меньше 1.
3.
A: x y ! 0 .
B: x ! 0 и y ! 0 .
4.
A: x y ! 0 .
B: x ! 0 или y ! 0 .
5.
A: Число x
B: Число x
оканчивается на 0.
четное.
6.
A: Число x
B: Число x
оканчивается на 0.
делится нацело на 10.
7.
A: x
B: f (0)
8.
f ( x)
0.
f ( x) .
A: Треугольник прямоугольный.
B: Сумма квадратов двух сторон треугольника равна
квадрату третьей стороны.
17
§ 1. Язык математических символов
9.
A: Прямая не пересекает окружность ( x 1) 2 y 2
B: Прямая задана уравнением y
1.
k x b , k ! 1, b ! 1 .
10. A: Прямая не пересекает окружность ( x 1) 2 y 2
B: Прямая не проходит через начало координат.
1.
§2
МНОЖЕСТВА
2.1. Способы задания множеств
Теория множеств сформировалась сравнительно недавно, на
рубеже XIX–XX вв. Одним из ее создателей является немецкий
математик Георг Кантор (1945–1918). Впоследствии теория
множеств стала общим фундаментом для других разделов математики, в том числе для математического анализа. В этом параграфе перечислены начальные понятия теории множеств, многие из которых уже встречались в курсе элементарной математики. Для продолжения знакомства с теорией множеств рекомендуем книгу [1].
В математике и в жизни под словом «множество» понимают
совокупность элементов, которая рассматривается как единое
целое. Более строгого определения множества не существует,
это понятие относится к принципиально неопределимым, но
интуитивно очевидным. Имеется несколько синонимов термина
«множество»: совокупность, семейство, набор, система, класс,
комплекс и др..
Множество называется конечным, если количество его элементов можно выразить натуральным числом. Множество называется бесконечным, если количество его элементов не может
быть выражено никаким натуральным числом. В математике
часто используются множества, состоящие из вещественных
чисел, они называются числовыми.
Приведем примеры множеств:
x множество всех вагонов данного поезда – это нечисловое
конечное множество;
x множество номеров всех вагонов данного поезда – числовое конечное множество;
x множество всех равнобедренных треугольников – бесконечное нечисловое множество;
x множество всех точек пересечения данной окружности и
данной прямой на плоскости – это конечное нечисловое
множество (в зависимости от ситуации оно состоит либо
19
§ 2. Множества
из двух элементов, либо из одного элемента, либо вообще
не содержит элементов);
x множество всех монотонных функций на числовой прямой – бесконечное нечисловое множество;
x множество всех возможных исходов бросания монеты –
это конечное нечисловое множество, состоящее из двух
элементов: «орел» и «решка».
Все приведенные примеры характерны тем, что в них дано
словесное описание множеств. Математики имеют склонность к
аналитическому описанию объектов, т. е. к описанию с помощью формулы. Для обозначения множеств используют заглавные буквы латинского и греческого алфавитов: A , B , C , X ,
Y , / , : и т. д. Для элементов множества обычно используют
малые буквы a , b , с , x , y , α , β и т. д. Чтобы показать, что
данные элементы образуют множество, надо заключить их в
пару фигурных скобок. Продемонстрируем на примерах, что
задать множество можно разными аналитическими способами.
a. Задать явно – предъявить все элементы множества.
Например, следующая запись означает, что множество X состоит из трех чисел –1, 0, 1:
X {1, 0,1} .
b. Указать свойства, которыми должен обладать элемент,
чтобы принадлежать этому множеству. Например, следующая
запись означает, что множество X состоит из всех таких чисел x,
что x3 x 0 :
3
X {x : x x 0} .
c. Указать общую формулу для элементов множества.
Например, следующая запись означает, что множество X состоит из чисел, которые задаются формулой sin (πk 2) , если перебирать все натуральные значения k :
^
πk
`
,k
.
2
Для множества важен только состав и не важен порядок перечисления элементов. Например, {1, 0, 1} и {0, 1, 1} – это
одно и то же множество. Кроме того, каждый элемент множества учитывается один раз независимо от того, сколько раз он
X
sin
20
Множества и отображения
упомянут в списке элементов. В пункте c выражение sin (πk 2)
принимает значения 0, 1, 0, –1, 0, 1 и т. д., если перебирать все
натуральные значения k. Однако это не значит, что множество X
содержит много копий одних и тех же чисел. Исключая повторы, имеем X {1, 0,1} . Учитывая сказанное, делаем вывод,
что во всех пунктах a–c описано разными способами одно и то
же множество X.
2.2. Операции над множествами
Для условного изображения множеств часто используются
диаграммы Эйлера (или Эйлера – Венна), также называемые
кругами Эйлера. Форма этих кругов или овалов не несет геометрического смысла, обычно с их помощью отражают только соотношение множеств и действия над ними. Элементы множеств
изображают в виде точек.
Напомним смысл традиционных обозначений:
a A – элемент a принадлежит множеству A (рис. 2.1);
b A – элемент b не принадлежит множеству A (рис. 2.1);
A B – множество A содержится в множестве B, т. е. все
элементы множества A принадлежат также и множеству B, в
этом случае множество A называется подмножеством множества B (рис. 2.2);
A B – множества A и B равны, совпадают, т. е. состоят из
одних и тех же элементов.
Рис. 2.1
Рис. 2.2
Множество, не содержащее ни одного элемента, называется
пустым и обозначается символом .
Ниже определены основные операции над множествами.
Большинство из них имеют смысл, только если применяются к
множествам одинаковой природы, т. е. к множествам, состоящим из элементов одного типа. При этом множество X, которое
21
§ 2. Множества
содержит все элементы этого типа, называется универсальным.
Множества A и B, участвующие в той или иной операции, рассматриваются как подмножества универсального множества:
A, B X . Если множества A и B изображаются на плоскости в
виде кругов Эйлера, то изображением универсального множества X является вся плоскость или условный прямоугольник.
I. Объединение множеств A и B – это множество всех таких элементов, каждый из которых принадлежит хотя бы одному из данных множеств (серая область на рис. 2.3 а):
A B ^x : x A или x B` .
II. Пересечение множеств A и B – это множество всех таких
элементов, каждый из которых принадлежит одновременно
множествам A и B (серая область на рис. 2.3 б):
A B ^x : x A и x B` .
Заметим, что A A , A и что если A B , то
A B B , A B A .
Понятно, что объединять и пересекать можно не только два
множества, но и несколько множеств. Для объединения и пересечения пронумерованных множеств используют специальные
краткие обозначения. Продемонстрируем их на примере объединения конечного и бесконечного числа множеств:
n
Ak
A1 A2
An ,
k 1
f
k
Ak
Ak
A1 A2
Ak
k 1
III. Разность множеств A и B – это множество всех таких
элементов, каждый из которых принадлежит множеству A и при
этом не принадлежит множеству B (серая область на рис. 2.3 в):
A \ B ^ x : x A и x B` .
IV. Дополнение к множеству A – это множество, состоящее
из всех таких элементов универсального множества, которые не
принадлежат множеству A (серая область на рис. 2.3 г):
A ^ x : x X и x A` .
Ясно, что A
X \ A.
22
Множества и отображения
Рис. 2.3
23
§ 2. Множества
V. Разбиение множества на подмножества – это представление множества в виде объединения непересекающихся подмножеств. Говорят, что множество A разбито на подмножества
A1 , A2 , …, An (рис. 2.3 д), если
n
A
k 1
Ak и Ai Aj
i z j .
VI. Декартово (или прямое) произведение множества A на
множество B – это множество, состоящее из всех пар элементов,
в которых на первом месте стоит элемент множества A, на втором – элемент множества B.
A u B ^( a , b) : a A , b B` .
Аналогичным образом можно определить декартово произведение нескольких множеств:
A1 u A2 u A3 u u An
^(a1 , a2 , a3 ,
, an ) : ai Ai , i 1, 2, 3, , n` .
Декартово произведение множества A на себя принято обозначать в виде степени множества A:
Au A
2
A ,
Au Au A
3
A ,
Au Au Au u A
n раз
n
A .
Замечание. Некоторые из перечисленных операций над
множествами обладают свойством коммутативности (порядок
действия не важен), а некоторые нет:
A\ B z B\ A;
A B B A ;
A B B A ;
Au B z B u A .
Другие свойства операций над множествами можно узнать
из учебника [5], раздел 1.4.
Задача 7. Изобразить данные множества A, B, C при помощи
диаграммы Эйлера:
A {2 , 1, 0 , 3, 5, 7} , B {3, 7 , 10} , C {2 , 5} .
Найти множества A B , A C , A B , A C , A B C ,
(B C) A , A \ B , B \ A , C \ A , C \ B , B u C , С u B .
24
Множества и отображения
Решение. Чтобы изобразить данные множества на диаграмме
Эйлера (рис. 2.4), надо проанализировать, как они соотносятся
друг с другом. Множества A и B имеют некоторые общие элементы, поэтому на диаграмме Эйлера они изображены как пересекающиеся. Множество C содержится в множестве A и при
этом не пересекается с множеством B.
Рис. 2.4
Найдем результаты всех операций, перечисленных в условии
задачи:
A B {2 , 1, 0 , 3, 5, 7 , 10} ; A C A ; A B {3, 7} ;
A C C ; A B C ; ( B C ) A {2 , 3, 5, 7} ;
A \ B {2 , 1, 0 , 5} ; B \ A {10} ; C \ A ; C \ B C ;
BuC
CuB
^(3, 2) , (3, 5) , (7 , 2) , (7 , 5) , (10 , 2) , (10 , 5)` ;
^(2 , 3) , (2 , 7) , (2 , 10) , (5 , 3) , (5 , 7) , (5 , 10)` .
Решение окончено.
Задача для самостоятельного решения
Задача 8. Пусть из функций, определенных на всей числовой
прямой, составлены следующие множества:
A – множество всех четных функций;
B – множество всех нечетных функций;
C – множество всех строго монотонных функций;
D – множество всех периодических функций;
E – множество всех функций, график которых проходит
через начало декартовой системы координат;
F – множество всех положительных функций;
G – множество всех степенных функций с натуральным
показателем;
H – множество всех показательных функций.
25
§ 2. Множества
Требуется выполнить два задания.
1. Установить, являются ли верными следующие высказывания о принадлежности заданной функции определенным
множествам.
2
2) f E ;
1) f H ;
f ( x) x :
g ( x)
h( x )
sin x :
2
x
:
3)
f F;
4)
f AG ;
5)
f B C ;
6)
f G \ B ;
7)
gE ;
8)
gH ;
9)
g C D ;
10) g B \ D ;
11) g G A ;
12) g B D E ;
13) h H ;
14) h A ;
15) h C \ E ;
16) h E F ;
17) h G H F ;
18) h A D G .
2. Установить, являются ли верными следующие высказывания о множествах.
2) A F ;
1) A B ;
3) A F ;
4) B E E ;
5) A C ;
6) H \ F z ;
7) C \ D C ;
8) H G D ;
9) G A B ;
10) H A B .
§3
МНОЖЕСТВА ТОЧЕК НА ЧИСЛОВОЙ ПРЯМОЙ
3.1. Понятия числа и числового множества
Под числом в математическом анализе понимается обычно
вещественное (действительное) число. Исключением является
только такое особое направление, как комплексный анализ, где
под числами понимаются комплексные числа – еще более общая
категория, чем вещественное число.
Концепция вещественного числа складывалась и уточнялась
веками. Особенно трудно далась математикам идея иррационального числа. Во второй половине XIX в. благодаря таким
выдающимся немецким математикам, как Георг Кантор, Рихард
Дедекинд и Карл Вейерштрасс, были построены теоретические
модели для вещественных чисел. Современное аксиоматическое
определение множества вещественных чисел можно найти в
большинстве учебников по математическому анализу: например, подробно – в учебнике [3], глава II, § 1–3; кратко – в учебниках [4], § 2, [5], раздел 1.3.
В настоящее время вещественные числа – это азбука, их изучение и применение начинаются еще в школе, и с практической
стороны они привычны и доступны. Вот и в данном пособии по
соображениям краткости принят практический подход к исходному понятию числа. Вдумчивому читателю рекомендуется дополнить его изучением теории вещественных чисел по одному
из указанных выше учебников.
Числовое множество – множество, элементами которого являются вещественные числа. Любое числовое множество является подмножеством универсального множества , состоящего
из всех вещественных чисел.
Напомним специальные обозначения для основных числовых множеств:
– множество натуральных чисел;
– множество целых чисел;
– множество рациональных чисел.
§ 3. Множества точек на числовой прямой
27
Рис. 3.1
На рис. 3.1 основные числовые множества изображены
условно в виде кругов Эйлера, что позволяет отразить порядок
их включения друг в друга:
.
Однако чаще для числового множества рассматривается более прямой и естественный геометрический образ, чем условные
круги Эйлера. Для этого используется числовая прямая (координатная прямая, числовая ось), т. е. прямая, на которой указаны начало отсчета, направление отсчета и масштабная единица.
Числовую прямую отождествляют с множеством
: каждому
вещественному числу соответствует единственная точка на числовой прямой, и каждой точке на числовой прямой соответствует единственное число. Всякое числовое множество отождествляется с некоторым множеством точек на числовой прямой.
Напомним некоторые свойства чисел.
Рациональными числами называются обыкновенные дроби:
m
, где m , n .
n
Каждое такое число можно записать и в виде десятичной дроби,
которая является бесконечной и периодической:
5
2
0, 833333
8(3) ;
0, 666666
0,
0, (6
(6) ;
0, 8(3
6
3
27
2, (45
2, 454545
(45) .
5 5, 000000
5, (0) ;
11
Те вещественные числа, которые не являются рациональными,
называются иррациональными. Их можно записать в виде дроби, которая является бесконечной и непериодической:
28
Множества и отображения
2
1, 414213
, ln 2 0,693147 ,
π 3,141592 , sin10
0 0,173648
0,1736
Таким образом, множество иррациональных чисел совпадает с
дополнением множества рациональных чисел до универсального множества , т. е. с множеством
\ .
Известно, что рациональные и иррациональные числа распределены очень «густо» по числовой прямой, а именно: между
любыми двумя вещественными числами, сколь бы близки они
ни были, найдутся как рациональные, так и иррациональные
числа. Это, в частности, означает, что иррациональное число
можно с любой точностью приблизить рациональными числами,
что постоянно и происходит на практике.
Далее в этом параграфе определены несколько понятий, позволяющих классифицировать числовые множества по разным
признакам. Часть этих понятий можно распространить и на другие типы множеств, например, на множества точек на плоскости
(это будет сделано в следующем параграфе).
3.2. Связные и дискретные множества
Определение 3.1
Числовое множество X называется связным или непрерывным, если вместе с любыми двумя числами x1 , x2 X оно
содержит все числа, лежащие между ними:
x1 , x2 X , x1 y x2 y X .
В противном случае множество называется несвязным.
Числовое множество X называется дискретным (лат.
discretus – разделенный, прерывистый), если между любыми
двумя его элементами x1 , x2 X можно указать число, не
входящее в это множество:
x1 , x2 X , x1 x2 y X : x1 y x2 .
Связность (непрерывность) числового множества означает,
что любые две его точки x1 , x2 X на числовой прямой можно
соединить непрерывной линией, целиком лежащей в множестве
X. Иными словами, все точки множества X можно изобразить на
числовой прямой, не отрывая карандаш от листа бумаги. Отсю-
29
§ 3. Множества точек на числовой прямой
да понятно, что связные числовые множества широко известны
под другим названием – промежутки (табл. 2). Множество на
числовой прямой является связным тогда и только тогда, когда
оно занимает один целый промежуток.
Таблица 2
Промежутки бесконечной
Промежутки конечной длины
длины
(a ; b) ^x : a x b` ;
(a ; f) ^x : x ! a` ;
[a ; b]
[a ; b)
(a ; b]
^x
^x
^x
: a d x d b` ;
[a ; f)
: a d x b` ;
(f ; b)
: a x d b` ;
(f ; b]
(f ; f)
^x
^x
^x
: x t a` ;
: x b` ;
: x d b` ;
.
Заметим, что любой промежуток с несовпадающими концами содержит бесконечное число точек независимо от того, какова его длина – конечная или бесконечная.
Дискретные множества состоят из отдельных точек и не содержат целых промежутков. Например, множества
,
,
,
, (0; 1) ,
X {1, 0, 1} являются дискретными. Множества
[1;1] , [0; f) , (2; 5] являются связными.
Заметим, что не любое несвязное множество является дискретным. Например, множество (1; 1) (2; 4) не является
связным, но и дискретным тоже не является. Можно сказать, что
дискретность – это крайняя степень несвязности.
3.3. Замкнутые и открытые множества
Окрестностью точки x принято называть любой интервал (a ; b) , содержащий точку x. Ясно, что у точки x имеется
много окрестностей: одни шире, другие ýже, одни симметричные относительно точки x, другие несимметричные. Как правило, рассматривают симметричные и небольшие окрестности
точки x, т. е. интервалы вида ( x ε ; x ε) , где ε – маленькое
положительное число. Выражение «в окрестности точки x» равносильно выражению «вблизи точки x».
30
Множества и отображения
Определение 3.2
Граничной точкой множества X называют такую точку, в
любой окрестности которой есть как точки из множества X,
так и точки, не принадлежащие множеству X. Граничные
точки отделяют множество X от остальных точек числовой
прямой.
Если все граничные точки множества X принадлежат самому множеству X, то оно называется замкнутым.
Если все граничные точки множества X не принадлежат
множеству X, то оно называется открытым.
Верно следующее утверждение: X – замкнутое множество
тогда и только тогда, когда его дополнение X – открытое множество.
Если множество X не является замкнутым, это еще не значит, что оно открытое. Многие множества не относятся ни к
открытым, ни к замкнутым, поскольку включают только часть
своих граничных точек.
Приведем простейшие примеры.
a. Граничными точками промежутка [1;1] являются принадлежащие ему числа –1 и 1, поэтому это замкнутый промежуток, который еще называют отрезком или сегментом. Промежуток ( 1;1) , наоборот, открытый, другими словами, интервал.
b. Граничными точками множества [1; 1] [2; f) являются числа –1, 1, 2. Все они принадлежат этому множеству, поэтому множество замкнутое.
c. Рассмотрим множество {3} , состоящее из одной точки.
Это множество замкнутое, поскольку число –3 является граничной точкой этого множества, принадлежащей самому множеству. Действительно, в любой окрестности этой точки есть как
точки из этого множества (само число –3), так и точки не из этого множества (другие числа вблизи –3).
d. Промежуток (1; 1] – это множество не открытое и не
зaмкнутое, поскольку содержит одну из двух граничных точек.
При изображении промежутков на числовой прямой будем
выделять включенные в него граничные точки жирно, а не
включенные – изображать как «выколотые».
§ 3. Множества точек на числовой прямой
31
3.4. Ограниченные множества
Определение 3.3
Если в числовом множестве X есть наименьшее число:
x0 X : x0 d x x X
– то его называют минимумом и обозначают min X .
Если в числовом множестве X есть наибольшее число:
x0 X : x d x0 x X
– то его называют максимумом и обозначают max X .
Максимум и минимум множества X называют экстремумами
или экстремальными элементами (лат. extremum – крайний).
Поиск экстремумов называют экстремальной задачей.
Заметим, что далеко не всегда в числовом множестве есть
экстремумы. Например, в множестве [0; f) есть минимальный
элемент, но нет максимального. В множестве (1; 1) (2; 4)
вообще нет экстремумов, поскольку ими могли бы быть только
числа –1 и 4, но они не содержатся в данном множестве. В этом
случае хочется сказать, что решение экстремальной задачи «достигается вне множества X». Чтобы корректно описать такую
ситуацию, вводят более тонкие понятия, связанные с возможностью ограничить числовое множество извне какими-либо числами.
Определение 3.4
Числовое множество X называется ограниченным, если оно
содержится в некотором промежутке конечной длины:
a , b : a d x d b x X .
В противном случае множество называется неограниченным.
Определение 3.4 по сути описывает двустороннюю ограниченность: множество X ограничено слева числом a и ограничено
справа числом b. Для указания направлений на числовой прямой
в математике принято вместо слов «слева» и «справа» использовать термины «снизу» и «сверху». Если рассмотреть эти направления по отдельности, то получится понятие односторонней
ограниченности.
32
Множества и отображения
Определение 3.5
Числовое множество X ограничено снизу, если
a : a d x x X .
Число a называется нижней гранью множества X.
Определение 3.6
Числовое множество X ограничено сверху, если
b : x d b x X .
Число b называется верхней гранью множества X.
Ясно, что числа, ограничивающие снизу и сверху множество
X, не уникальны. На рис. 3.2 отмечены числа a и a , каждое из
которых является нижней гранью для X. На рис. 3.3 указаны две
верхние грани множества X – числа b и b .
Рис. 3.2
Рис. 3.3
Очевидно, можно указать сколько угодно чисел, ограничивающих данное множество X сверху, и сколько угодно чисел,
ограничивающих данное множество X снизу. Отсюда возникает
идея – среди всех нижних и среди всех верхних граней указать
оптимальные, самые точные.
Определение 3.7
Пусть множество X ограничено снизу. Наибольшая среди
всех его нижних граней называется точной нижней гранью,
другое название – инфимум множества X. Таким образом,
инфимум – это наибольшее из чисел, которыми ограничено
снизу множество X (рис. 3.2). Обозначение: inf X .
Если же множество X не ограничено снизу, то считается,
что inf X f .
§ 3. Множества точек на числовой прямой
33
Определение 3.8
Пусть множество X ограничено сверху. Наименьшая среди
всех его верхних граней называется точной верхней гранью,
другое название – супремум множества X. Таким образом,
супремум – это наименьшее из чисел, которыми ограничено
сверху множество X (рис. 3.3). Обозначение: sup X .
Если же множество X не ограничено сверху, то считается,
что sup X f .
Например, для множества [0; f) инфимум, как и минимум,
равен 0, а супремум равен f , тогда как максимум отсутствует.
В множестве (1; 1) (2; 4) экстремальных элементов нет, но
инфимум равен –1, супремум равен 4.
Различие между понятиями экстремумов и точных граней
достаточно тонкое. Поясним на примере максимума и супремума. Напомним, что max X ищут в самом множестве X. Если
множество X имеет максимум, то нет необходимости искать
супремум, поскольку в этом случае max X sup X . К операции
sup X прибегают тогда, когда max X не существует или нет
уверенности в его существовании.
Нетрудно заметить, что если числовое множество замкнутое
и ограниченное (например, отрезок), то в нем обязательно есть
экстремумы. В противном случае экстремумов может и не быть,
тогда как точные грани существуют в любом случае, хотя могут
быть бесконечными и могут располагаться вне множества X. Доказательство существования точных граней имеется в учебниках
[3], глава II, § 1, [4], § 4, [5], раздел 2.7.
Задача 9. Выразить числовое множество в явном виде (записать списком точек или промежутками). Изобразить множество
на числовой прямой. Указать, является ли данное множество
x конечным или бесконечным;
x связным или несвязным (в частности, дискретным);
x замкнутым, открытым;
x ограниченным или неограниченным.
Найти для каждого множества экстремумы и точные грани.
34
Множества и отображения
1.
A
^x
: x 2 4 x 5 d 0` .
Чтобы выразить множество A в явном виде, надо решить
квадратное неравенство:
x 2 4 x 5 d 0 x [1; 5] .
Следовательно, A [1; 5] (рис. 3.4 а).
Множество A бесконечное, связное. Это множество замкнутое, так как содержит обе граничные точки. Множество ограниченное, точные грани совпадают с экстремумами:
max A 5 sup A , min A 1 inf A .
2.
B
^x
: x 1 4` .
Чтобы выразить множество B в явном виде, надо решить неравенство с модулем. Проще всего воспользоваться его геометрическим смыслом. Неравенству | x 1| 4 удовлетворяют те и
только те точки x на числовой прямой, которые удалены от
точки 1 на расстояние меньше 4:
x 1 4 x (3; 5) .
Следовательно, B (3; 5) (рис. 3.4 б).
Множество B бесконечное, связное. Это множество открытое, так как обе граничные точки ему не принадлежат. Множество ограниченное, не имеет экстремумов, sup B 5 , inf B 3 .
3.
C
^x
: x 3 t 2` .
Чтобы выразить множество C в явном виде, надо найти все
целые решения неравенства с модулем:
x3 t 2
x (f ; 5] [1; f)
®
.
®
x
¯x
¯
Значит, C { 8
8, 7
7, 6
6, 5
5, 1, 0, 1, 2, } (рис. 3.4 в).
Множество C бесконечное, несвязное, а точнее, дискретное.
Это множество замкнутое, поскольку все его точки являются
граничными и других граничных точек у этого множества нет.
Множество C неограниченное, поскольку оно не содержится ни
в одном промежутке конечной длины. Это множество не имеет
ни максимума, ни минимума, supC f , inf C f .
§ 3. Множества точек на числовой прямой
35
Рис. 3.4
½
y7
t 2 ¾ .
®y :
y3
¯
¿
Чтобы выразить множество D в явном виде, надо решить
дробно-рациональное неравенство:
y 7
3y 1
t 2
t 0.
y3
y 3
4.
D
Таким образом, D (f; 3) [1 3; f) (рис. 3.4 г).
Множество D бесконечное, несвязное (но не дискретное).
Это множество не замкнутое и не открытое, поскольку содержит только одну из двух своих граничных точек.
Множество D неограниченное, не имеет ни наибольшего, ни
наименьшего элемента, sup D f , inf D f .
36
Множества и отображения
5.
E
^α
: sin
i α 0, α 9` .
Чтобы выразить множество E в явном виде, надо найти все
такие решения тригонометрического уравнения, которые по
модулю меньше 9:
sin α 0
α πk , k
®
α 0, r π , r 2π .
®
α
9
¯α (9; 9)
¯
Таким образом, E {2π, π, 0, π, 2π} (рис. 3.4 д).
Множество E конечное, несвязное, а точнее, дискретное. Это
множество замкнутое, поскольку все его точки являются граничными и других граничных точек у этого множества нет.
Множество E ограниченное, поскольку содержится, например, в промежутке [2π; 2π] . Множество E имеет экстремумы,
совпадающие с точной верхней и точной нижней гранями:
max E 2π sup E , min E 2π inf E .
1
a 1 ½
®a : 2 3a d 8 ¾ .
2
¯
¿
Чтобы выразить множество F в явном виде, найдем решения
показательного неравенства:
1
1
d 8a 1 22 3a d 23a 3 2 3a d 3a 3 a t .
2 3a
6
2
Следовательно, F [1 6; f) (рис. 3.4 е)
Множество F бесконечное, связное, замкнутое, неограниченное, min F 1 6 inf F , max F не существует, sup F f .
6.
F
1
½
® , n ¾.
¯n
¿
Выразим множество G в виде списка элементов, изобразим
его на числовой прямой (рис. 3.5).
7.
G
Рис. 3.5
§ 3. Множества точек на числовой прямой
37
1 1 1 1 1 1
½
®1, , , , , , , ¾ .
¯ 2 3 4 5 6 7
¿
Множество G бесконечное, несвязное, а точнее, дискретное.
Это множество ограниченное, поскольку оно содержится в
промежутке [0;1] . Наибольший элемент равен единице, и с ним
совпадает точная верхняя грань: max G sup G 1 . В множестве
G
G нет наименьшего элемента: min G не существует, inf G 0 .
Множество G не является ни открытым, ни замкнутым. Действительно, граничными точками для этого множества являются
все его элементы и еще точка 0, не принадлежащая множеству.
Задача 10. Для множеств из предыдущей задачи найти
A B , A B , A \ B , B \ A , E D , E B , A \ C , A , D ,
B \ ( A F ) . Изобразить получившиеся множества на числовой
прямой. Множества A u B , B u A , A u B , E u E изобразить на
плоскости с декартовой системой координат.
Решение. Результаты всех операций перечислены ниже и
изображены на рис. 3.6–3.9:
A B (3; 5] (рис. 3.6 а);
A B
A\ B
B\ A
EB
A\C
A
[1; 5) (рис. 3.6 б);
{5} (рис. 3.6 в);
(3; 1) (рис. 3.6 г);
{0, π} (рис. 3.6 д);
(1; 0) (0;1) (1; 2) (2; 3) (3; 4) (4; 5) (рис. 3.6 е);
( f ; 1) (5; f ) (рис. 3.6 ж);
D [3; 1 3) (рис. 3.6 з);
B \ (A F)
Au B
Bu A
Au B
EuE
(3; 1) [1 6; 5) (рис. 3.6 и).
^ ( x , y) :
^ ( x , y) :
^ ( x , y) :
^ ( x , y) :
x [1; 5], y (3; 5)` (рис. 3.7 а);
x (3; 5), y [1; 5]` (рис. 3.7 б);
x (f ; 1) (5; f), y (3;5)` (рис. 3.8);
x, y
0, r π, r 2π` (рис. 3.9).
38
Множества и отображения
Рис. 3.6
Прокомментируем изображение множеств A u B , B u A ,
A u B , E u E . Декартово произведение двух числовых множеств
состоит из пар чисел ( x , y ) . Его естественным геометрическим
§ 3. Множества точек на числовой прямой
39
образом является множество точек на плоскости с декартовой
системой координат.
Множествам точек A u B и B u A соответствуют прямоугольные области на координатной плоскости (рис. 3.7). Причем
множеству A u B принадлежат левая и правая стороны прямоугольника и не принадлежат верхняя и нижняя стороны, поэтому они отмечены пунктирной линией (рис. 3.7 а). Для множества B u A все, соответственно, наоборот (рис. 3.7 б).
Рис. 3.7
Рис. 3.8
40
Множества и отображения
Множество A u B состоит из двух горизонтальных полос на
координатной плоскости (рис. 3.8). Одна полоса неограниченно
продолжается налево, вторая – направо. Граница множества
отмечена пунктирной линией, поскольку она не принадлежит
множеству A u B .
Множество E u E состоит из двадцати пяти отдельных точек
на координатной плоскости (рис. 3.9).
Рис. 3.9
Решение окончено.
Задачи для самостоятельного решения
Задача 11. Выразить данное числовое множество в явном
виде (записать списком точек или промежутками). Изобразить
множество на числовой прямой. Указать, является ли данное
множество
x конечным или бесконечным;
x связным или несвязным (в частности, дискретным);
x замкнутым, открытым;
x ограниченным или неограниченным.
Найти для каждого множества экстремумы и точные грани.
1)
A
^x
: x 2 5 2 x 4` ;
2)
B
®x
¯
:
1
1 ½
d
¾;
x 2 2x 3 ¿
41
§ 3. Множества точек на числовой прямой
^x
^α
: llog
g2 ( x 1) 1` ;
3)
C
4)
D
5)
E
6)
F
^x
:
7)
S
^x
: ( x 2 16
16) x 2 ! 0 ;
8)
W
9)
X
10) Y
: cos α t 0` ;
πk
½
cos πk , k ¾ ;
®sin
2
¯
¿
`
2x 3 3 ;
`
n 1
½
, n ¾ ;
®
¯ n
¿
^x
: x 4 x 6 t 8` ;
^2 , k ` .
k
Задача 12. Для множеств из задачи 11 найти F Y , W \ D ,
C \ A , B S E , B S X . Множества A u E , S u X изобразить на плоскости с декартовой системой координат.
Задача 13*. Выразить каждое множество [2; 4] , [4; 2] ,
[3; 6) , [3; 9) , (4; 6) , (4; 9) , (f ; f) в виде результатов не
более двух операций над множествами C, F, S, X из задачи 11.
§4
МНОЖЕСТВА ТОЧЕК НА ПЛОСКОСТИ
4.1. Связные и дискретные, замкнутые и открытые,
ограниченные множества
К множествам точек на плоскости применимы некоторые из
понятий, которые были введены в предыдущем параграфе для
числовых множеств: связность, дискретность, замкнутость, открытость, ограниченность. В отличие от множеств на числовой
прямой, для множеств на плоскости нельзя ввести понятия экстремумов и точных граней. Это связано с тем, что точки на
плоскости нельзя упорядочить по принципу «больше/меньше».
Для следующих определений : – это некоторое множество
точек на плоскости.
Определение 4.1
Множество : называется связным или непрерывным, если
любые две его точки можно соединить непрерывной линией,
целиком лежащей в множестве : (рис. 4.1 а). В противном
случае множество называется несвязным (рис. 4.1 б).
Множество : называется дискретным, если никакие две
его точки нельзя соединить непрерывной линией, целиком
лежащей в множестве : (рис. 3.9).
Рис. 4.1
§ 4. Множества точек на плоскости
43
Окрестностью точки на плоскости принято называть круг с
центром в этой точке. Ясно, что у конкретной точки имеется
много окрестностей: можно выбрать круг побольше, а можно
поменьше. Как правило, под окрестностями точки подразумевают круги с маленькими радиусами. Выражение «в окрестности точки x» означает «вблизи точки x».
Определение 4.2
Граничной точкой множества : называют такую точку, в
любой окрестности которой есть как точки из множества : ,
так и точки, не принадлежащие множеству : . Граничные
точки отделяют множество : от остальных точек плоскости.
Все граничные точки образуют границу множества : .
Если все граничные точки множества : принадлежат самому множеству : , то оно называется замкнутым.
Если все граничные точки множества : не принадлежат
множеству : , то оно называется открытым.
Границу замкнутого множества изображают сплошной линией (рис. 4.1), открытого множества – пунктирной линией (рис.
4.2). Множество, содержащее только часть своих граничных
точек, не является ни открытым, ни замкнутым (рис. 3.7, 4.7).
Рис. 4.2
Определение 4.3
Множество : называется ограниченным, если оно содержится в некотором круге конечного радиуса (рис. 4.3 а).
В противном случае множество называется неограниченным. Неограниченное множество выходит за границу любого
круга конечного радиуса (рис. 4.3 б).
44
Множества и отображения
Рис. 4.3
Замечание. Очевидно, что определения 4.1– 4.3, сформулированные для множества точек на плоскости, являются аналогами определений 3.1, 3.2, 3.4, сформулированных для множества точек на числовой прямой. В действительности, описанные
ими свойства универсальны: их можно приложить и к множеству, состоящему из элементов более общей природы, которые
только условно можно называть точками. Укажем некоторые
принципы такого обобщения.
a. Чтобы можно было говорить об ограниченности множества, необходимы две вещи: во-первых, понятие расстояния
между точками множества; во-вторых, понятие шара как множества точек, удаленных от одной фиксированной точки на расстояние меньше данного числа r (радиус шара). Тогда множество называют ограниченным, если оно содержится в некотором
шаре конечного радиуса.
b. Эпитеты «открытый» и «замкнутый» применяются к множествам таких типов, для которых определено, что такое
окрестность точки. Если уже имеются понятия расстояния и
шара, то окрестностью точки считают шар с центром в этой
точке.
Заметим, что существуют другие определения открытого и
замкнутого множеств, эквивалентные определениям 3.2, 4.2.
Например, множество называется открытым, если у каждой его
точки есть некоторая окрестность, целиком принадлежащая
данному множеству; множество называется замкнутым, если его
дополнение является открытым множеством.
§ 4. Множества точек на плоскости
45
c. Если для множества имеет смысл выражение «непрерывный путь», соединяющий два элемента, то такое множество
можно квалифицировать как связное, несвязное или дискретное.
Надо иметь в виду, что понятие непрерывного пути или непрерывной линии является интуитивно очевидным только для
множеств, имеющих простой геометрический образ.
4.2. Множества точек на плоскости с декартовой
системой координат
Пусть : – это по-прежнему некоторое множество точек на
плоскости. Чтобы задать множество : аналитически, т. е. формулой, нужно численно описать положение точки на плоскости.
Для этого надо ввести систему координат.
В данном параграфе рассматриваем плоскость с прямоугольной декартовой системой координат. Напомним, что так называется пара перпендикулярных прямых (оси абсцисс и ординат)
с указанными на них направлениями отсчета и масштабными
единицами, причем за начало отсчета берется точка пересечения
прямых. Каждая точка на координатной плоскости задается значениями своей абсциссы x и ординаты y, т. е. парой вещественных чисел ( x , y ) . Тогда вся координатная плоскость является
геометрической интерпретацией декартова произведения множества
на себя:
2
u
^ ( x , y) : x , y ` .
Замечание. Аналогичным образом трехмерное пространство
с декартовой системой координат, где положение каждой точки
описывается тройкой вещественных чисел, является геометрической интерпретацией множества
3
u u
^ ( x , y , z) : x , y , z ` .
В общем случае множество
n
u u u
^ ( x1 , x2 , , xn ) : xk , k 1, 2, , n`
отождествляется с n-мерным координатным пространством.
При n ! 3 такое пространство невозможно представить визуально, однако оно не менее важно для описания физической
реальности, чем прямая, плоскость и привычное трехмерное
пространство.
46
Множества и отображения
Чаще всего множество : на плоскости задается аналитически как множество пар ( x , y ) 2 , где x и y связаны одним или
несколькими неравенствами (реже – равенствами). Чтобы изобразить множество : , надо сначала рассмотреть геометрические
образы уравнений, соответствующих этим неравенствам. Они
задают линии на плоскости, из которых состоит граница множества : . Затем по знакам неравенств и по логической связи
между неравенствами надо установить, какую именно часть
плоскости занимает множество : . Неравенства, перечисленные
через запятую, договоримся воспринимать как систему неравенств, т. е. запятая подразумевает логическое «и».
Задача 14. Изобразить множество на плоскости с декартовой
системой координат. Указать, является ли данное множество
x связным или несвязным;
x замкнутым, открытым;
x ограниченным или неограниченным.
1.
A
^ ( x , y)
2
: y d 5 4 x x2 ` .
У всех точек множества A абсцисса и ордината связаны одним неравенством. Уравнение y 5 4 x x 2 определяет кривую на плоскости, а именно параболу (рис. 4.4 a).
Рис. 4.4
§ 4. Множества точек на плоскости
47
Как видно по рис. 4.4 а, строгому неравенству y 5 4 x x 2
удовлетворяют координаты точек ( x , y ) , расположенных ниже
параболы. Нестрогому неравенству y d 5 4 x x 2 удовлетворяют точки, расположенные на параболе или ниже параболы.
Значит, множество A занимает часть плоскости, выделенную
серым цветом на рис. 4.4 б. Это множество связное, замкнутое
(поскольку включает свою границу) и неограниченное.
2.
B
^ ( x , y)
2
: x 2 d y d x 1, x 2 d y d 3 x` .
Множество B задано двумя двойными неравенствами, рассмотрим соответствующие уравнения:
y1 x 2 , y2 x 1 , y3 x 2 , y4 3 x .
Каждое из этих уравнений определяет прямую на плоскости.
Рассмотрим теперь систему неравенств (сначала строгих):
x 2 y x 1 , x 2 y 3 x .
Этой системе удовлетворяют точки ( x , y ) , расположенные выше прямых y1 , y3 и при этом ниже прямых y2 , y4 , т. е. внутри
прямоугольника, изображенного на рис. 4.5.
Поскольку все неравенства, задающие множество B, на самом деле нестрогие, то это множество включает как точки, расположенные внутри прямоугольника, так и точки, расположенные на его границе.
Это множество связное, замкнутое, ограниченное.
Рис. 4.5
48
Множества и отображения
π½
2
: arctg
tg x y ¾ .
®( x , y )
2¿
¯
Изобразим на плоскости график функции y1
3.
C
arctg x и прямую y2 π 2 , которая является одной из двух горизонтальных
асимптот для графика арктангенса.
Неравенство arctg x y π 2 означает, что все точки множества C расположены выше графика арктангенса и одновременно ниже прямой (рис. 4.6). Поскольку все неравенства, задающие множество C, строгие, то граница этого множества ему
не принадлежит. Поэтому она изображена пунктирной линией.
Множество C связное, открытое, неограниченное.
Рис. 4.6
4.
D
^ ( x , y)
Уравнение x 2 y 2
2
: x2 y 2 9 или x2 y 2 d 8x 12` .
9 определяет окружность с центром в
точке (0, 0) и радиусом 3. Неравенству x 2 y 2 9 соответствует множество точек внутри этой окружности, не включая
границу. Получается открытый круг.
Уравнение x 2 y 2 8 x 12 может быть преобразовано к виду ( x 4) 2 y 2
4 . Оно определяет окружность с центром в
точке (0, 4) и радиусом 2. Тогда неравенство x 2 y 2 d 8 x 12 ,
равносильное неравенству ( x 4) 2 y 2 d 4 , задает множество
точек внутри этой окружности, включая границу, т. е. замкнутый круг.
§ 4. Множества точек на плоскости
49
В описании множества D неравенства связаны логическим
союзом «или». Значит, множество D является объединением
двух кругов (рис. 4.7). Причем граница меньшего круга включена в множество D, а граница большего круга не включена.
Это множество связное, ограниченное, не замкнутое и не открытое, так как содержит только часть своих граничных точек.
Рис. 4.7
Замечание. Если бы в описании множества D неравенства
были разделены запятой, то это следовало бы понимать как логический союз «и». Тогда к множеству D относились бы точки,
попадающие в пересечение двух кругов.
5.
E
^ ( x , y)
2
: sin
i x d y d cos x` .
Рассмотрим сначала строгое двойное неравенство
sin x y cos x .
Оно задает точки на плоскости, расположенные выше графика синуса и при этом ниже графика косинуса.
Рис. 4.8
50
Множества и отображения
Множество всех таких точек заполняет бесконечное количество одинаковых по форме областей (рис. 4.8). Множество E
включает границы этих областей, поскольку в его описании неравенства нестрогие. Это множество несвязное, замкнутое, неограниченное.
Задачи для самостоятельного решения
Задача 15. Изобразить множество на плоскости с декартовой
системой координат. Указать, является ли данное множество
x связным или несвязным;
x замкнутым, открытым;
x ограниченным или неограниченным.
1)
A
2)
B
3)
C
4)
D
5)
E
6)
F
7)
G
8)
H
9)
I
10) J
11)* K
12)* L
13)* M
14)* N
®( x , y )
¯
^ ( x , y)
^ ( x , y)
^ ( x , y)
^ ( x , y)
^ ( x , y)
®( x , y )
¯
^ ( x , y)
^ ( x , y)
^ ( x , y)
^ ( x , y)
^ ( x , y)
: x2 2 x y 2 ! 3` ;
2
: 1 d x d 3, 2 d y d 4` ;
2
: x4 y x2 ` ;
2
`
2
:
xd ydx ;
2
:
x d y d ln x ;
2
:
^ ( x , y)
^ ( x , y)
1
½
: y d x 3, y t 3 x 7 , y t 7 x 17 ¾ ;
3
¿
2
`
½
x2 y 2
1, y x 1¾ ;
4
9
¿
: 1 x d y2` ;
2
`
2
: y t 1 x2 ;
2
: x e
2
y
`;
: x 2 d y 2x ` ;
: x y d 1` ;
2
2
2
:
x 1
`
y 1 t 0 ;
`
: ( y 4 x)(4 y x) 4 xy 0 .
§ 4. Множества точек на плоскости
51
Задача 16. Описать каждое из множеств S, T, U, V, изображенных на плоскости (рис. 4.9), аналитическим способом, т. е.
при помощи системы неравенств.
Рис. 4.9
Задача 17*. Задать каждое из множеств W, X, Y, изображенных на плоскости (рис. 4.10), одним неравенством.
Пояснение к рис. 4.10 в: круг разбит на шесть одинаковых
секторов; множеству Y принадлежат точки, расположенные в
трех из этих шести секторов, и все точки, расположенные на
границе круга.
52
Множества и отображения
Рис. 4.10
§5
ПОЛЯРНАЯ СИСТЕМА КООРДИНАТ
5.1. Полярные координаты точки
Полярная система координат – это
один из способов, которым можно фиксировать расположение точки на плоскости. Этот способ занимает второе место по популярности после прямоугольной декартовой системы координат.
Как показано на рис. 5.1, полярная
Рис. 5.1
система координат состоит из точки O,
которую называют полюсом, и луча, выходящего из этой точки
направо, который называют полярной осью (на ней указывают
масштабную единицу).
Положение точки M определяется двумя числами, которые
называют полярными координатами:
M (φ, ρ) ,
φ – полярный угол,
ρ – полярный радиус.
Полярный радиус – это длина отрезка OM. Поэтому он может
принимать только неотрицательные значения: ρ t 0 .
Полярный угол – это угол между полярной осью и отрезком
OM. Положительный полярный угол отсчитывается от полярной
оси против часовой стрелки, отрицательный полярный угол – по
часовой стрелке. Значения полярного угла принято ограничивать одним полным оборотом: φ [0; 2π) или φ (π; π] .
Замечание. Если бы этого ограничения не было, то одна и та
же точка на плоскости имела бы разные версии полярных координат. Например, полярный угол точки M, изображенной на
рис. 5.1, мог бы иметь значения φ π 3 , φ 7π 3 , φ 5π 3 .
Благодаря ограничению значений φ одним полным оборотом
полярные координаты каждой точки определяются однозначно.
54
Множества и отображения
Исключением является только полюс O, координатами которого
считается любая пара чисел вида (φ , 0) . Заметим, что в декартовой системе координат подобной проблемы нет: абсцисса x и
ордината y однозначно определяются положением точки на
плоскости и могут принимать любые вещественные значения.
Чтобы изобразить точку с полярными координатами (φ , ρ) ,
надо сначала отложить от полярной оси угол φ с учетом его
знака. Полученное направление можно отметить пунктиром.
Затем отмерить в этом направлении расстояние ρ от полюса.
Для примера изобразим на плоскости с полярной системой координат следующие несколько точек (рис. 5.2):
Рис. 5.2
§π ·
§ 3·
§ 7π 3 ·
§ 3π 1 ·
A(π , 2) , B ¨ , 1¸ , C ¨ , ¸ , D ¨ , ¸ , E ¨ 0 , ¸ ,
6
2
2
2
3
©
¹
©
¹
©
¹
© 2¹
§ 7π 3 ·
§ 5π ·
§ π 7·
§π 5·
F ¨ , ¸ , G ¨ , ¸ , H ¨ , 1¸ , J ¨ , ¸ .
© 4 2¹
© 6 ¹
© 12 4 ¹
© 2 4¹
§ 5. Полярная система координат
55
Одну и ту же точку на плоскости
можно задать как в декартовых координатах, так и в полярных. Поэтому
должны существовать формулы перехода между этими системами координат. Совместим на одном рисунке
декартову и полярную системы таким
образом, чтобы начало декартовых
координат совпало с полюсом O, а
Рис. 5.3
ось абсцисс совпала с полярной осью
(рис. 5.3).
Чтобы связать декартовы и полярные координаты точки M,
воспользуемся элементарными свойствами прямоугольных треугольников.
Зная полярные координаты точки M (φ, ρ) , находим ее декартовы координаты по формулам:
x ρ cos φ
.
(5.1)
®
¯ y ρ sin φ
Зная декартовы координаты точки M ( x , y) , находим ее полярные координаты по формулам:
ρ
x2 y 2
°
.
(5.2)
®
y
° tg φ
x
¯
Надо иметь в виду некоторые особенности второй из формул
(5.2). Во-первых, заметим, что формула tg φ y x неприменима
при x 0 . Во-вторых, при x z 0 уравнению tg φ y x удовлетворяет бесконечно много углов φ . Для определения полярного
угла конкретной точки M надо найти такое решение этого уравнения, которое соответствует положению точки M на плоскости
и попадает в заранее выбранный диапазон значений для полярного угла: либо φ [0; 2π) , либо φ (π; π] .
Задача 18. В пункте 1 даны точки с полярными координатами, в пункте 2 даны точки с декартовыми координатами. Изобразить все точки на координатной плоскости и осуществить
преобразования координат: полярные координаты преобразовать в декартовы и наоборот.
56
Множества и отображения
§ 11π ·
§ 7π ·
§ 3π 5 ·
§π ·
, 2¸ , C ¨ , 3¸ , D ¨ , ¸ .
А¨ , 2¸ , B ¨
© 6
¹
© 6
¹
© 2 2¹
©4 ¹
§3 3·
2. E ¨¨ ,
¸¸ , F (1, 1) , G 1, 3 , H (0, 1) .
©2 2 ¹
1.
Решение. Для изображения точек используем плоскость, на
которой совмещены декартова и полярная системы координат
описанным выше способом.
Рис. 5.4
1. Изобразим точки A, B, C, D на плоскости по их полярным координатам (рис. 5.4). Вычислим декартовы координаты
этих точек по формулам перехода (5.1).
π
2
°° x 2 cos 4
§π ·
А¨ , 2¸ ®
А 2, 2 ;
©4 ¹
° y 2sin π
2
°̄
4
57
§ 5. Полярная система координат
°° x
11π
§
·
B¨
, 2¸ ®
© 6
¹
°y
°̄
11π
6
11π
2sin
6
2 cos
3
B
3 , 1 ;
1
7π
3 3
x 3cos
°
7π
§
·
°
6
2 C§ 3 3 , 3 · ;
C ¨ , 3¸ ®
¨¨
¸
2 ¸¹
© 6
¹
© 2
° y 3sin 7π 3
°̄
6
2
5
3π
°° x 2 cos 2 0
5·
§ 3π 5 ·
§
D¨ , ¸ ®
D ¨ 0, ¸ .
2¹
© 2 2¹
©
° y 5 sin 3π 5
°̄
2
2
2
2. Изобразим точки E, F, G, H на плоскости по их декартовым координатам (рис. 5.4). Вычислим полярные координаты
первых трех точек по формулам перехода (5.2), считая, что
φ [0; 2π) .
9 3
°ρ
§3 3·
°
4 4
E ¨¨ ,
¸¸ ®
3
°
©2 2 ¹
°̄ tg φ 3
3
§π
·
E¨ , 3¸ ;
©6
¹
ρ
11
2
§ 3π
·
°
F¨ , 2¸;
F (1, 1) ®
1
4
©
¹
tg
φ
1
°
¯
1
ρ
1 3 2
§ 4π ·
°
G ¨ , 2¸ .
G 1, 3 ®
3
© 3
¹
3
° tg φ
¯
1
Поскольку у последней точки x 0 , то ее полярные координаты нельзя вычислить по формулам перехода (5.2), однако они
очевидны по ее расположению на плоскости:
§π ·
H (0, 1) H ¨ , 1¸ .
©2 ¹
Решение окончено.
58
Множества и отображения
5.2. График функции в полярной системе координат
Построение графика функции ρ f (φ) в полярной системе
координат осуществляется по аналогии с построением графика
функции y f ( x) в декартовой системе координат.
Целесообразно начать с выявления естественной области
определения этой функции, т. е. наиболее широкой области, на
которой можно определить функцию ρ f (φ) . Для этого надо,
во-первых, учесть область допустимых значений для переменной φ в выражении f (φ) . Во-вторых, надо учесть стандартные
ограничения, которые накладываются на угол и радиус в полярной системе координат:
ρ t 0 и либо φ [0; 2π) , либо φ (π; π] .
Задача 19. Найти естественную область определения и построить график функции ρ f (φ) на плоскости с полярной системой координат.
1. ρ cos φ .
Выражение cos φ допускает любые значения аргумента φ ,
поэтому остается учесть только стандартные ограничения на
полярный угол и полярный радиус. Полярный угол берем в пределах одного полного оборота: в данном случае удобнее считать, что φ (π; π] . При этом полярный радиус должен быть
неотрицательным.
ρ cos φ t 0
ª π πº
φ « ; » .
®
¬ 2 2¼
¯φ ( π ; π]
На рис. 5.5 проиллюстрировано решение неравенства cosφ t 0 на тригонометрической окружности.
Таким образом, функция ρ cos φ
определена на промежутке [ π 2; π 2] .
Рис. 5.5
Построим график по точкам. Возьмем несколько удобных значений φ [ π 2; π 2] и вычислим
соответствующие значения ρ по формуле ρ cos φ :
59
§ 5. Полярная система координат
φ
ρ
π
2
π
3
1
2
0
π
4
π
6
0
π
6
π
4
π
3
π
2
3
2
1
3
2
2
2
1
2
0
2
2
Отметим на плоскости с полярной системой координат все
точки (φ , ρ) из таблицы значений. Соединим точки плавной
линией (рис. 5.6).
Рис. 5.6
Используя формулы перехода (5.1), нетрудно проверить, что
уравнение ρ cos φ в полярных координатах равносильно уравнению x 2 y 2
x y
2
2
x в декартовых координатах:
x (ρ cos φ) 2 (ρ sin φ) 2
При этом уравнение x y
2
2
ρ cos φ ρ
cos φ .
x задает на плоскости окруж-
ность с центром в точке (1 2, 0) и радиусом 1 2 . Следовательно, графиком функции ρ cos φ является не просто петля
округлой формы, но в точности окружность.
60
Множества и отображения
ρ sin 2φ .
Выражение sin 2φ допускает любые значения аргумента φ ,
поэтому остается учесть только стандартные ограничения на
полярный угол и полярный радиус.
Полярный угол берем в пределах одного полного оборота: в
данном случае удобнее считать, что φ [0; 2π) . При этом полярный радиус должен быть неотрицательным.
ρ sin 2φ t 0
ª π º ª 3π º
2φ [0; π] φ «0; » « π ; » .
®
2¼
¬ 2¼ ¬
¯φ [0; 2π)
На рис. 5.7 проиллюстрировано решение неравенства sin 2φ t 0 на тригонометрической окружности.
Таким образом, функция ρ sin 2φ
определена на двух промежутках:
[0; π 2] и [π; 3π 2] .
Заметим, что эта функция является
Рис. 5.7
π -периодической, поэтому достаточно
построить ее график на первом промежутке и затем «повторить»
полученную линию на втором промежутке.
Построим график функции на промежутке [0; π 2] по точкам. Возьмем несколько удобных значений φ [0; π 2] и вычислим соответствующие значения ρ по формуле ρ sin 2φ :
2.
φ
0
π
6
π
4
π
3
π
2
ρ
0
3
2
1
3
2
0
Отметим на плоскости с полярной системой координат все
точки (φ , ρ) из таблицы значений, соединим их плавной линией. Получается петля, которая является графиком функции на
промежутке [0; π 2] (рис. 5.8). Повторим эту линию на промежутке [π; 3π 2] . Таким образом, график функции ρ sin 2φ
выглядит как две одинаковые петли, такую линию называют
двухлепестковой розой (рис. 5.8).
§ 5. Полярная система координат
61
Рис. 5.8
3. ρ φ .
Эту функцию можно определить на всем промежутке
[0; 2π) . График функции ρ φ , φ [0; 2π) , очевидно, начинается в полюсе O. Далее при изменении полярного угла φ от 0
до 2π (представляем вращение против часовой стрелки) полярный радиус ρ тоже меняется от 0 до 2π , т. е. плавно увеличивается (рис. 5.9). Получается линия, которую называют спиралью Архимеда. Точнее, получается первый виток этой спирали
(целая спираль Архимеда изображена на рис. 5.10).
Замечание 1. Иногда при построении графика функции
ρ f (φ) снимают стандартное ограничение на полярный угол
φ , которое предписывает брать его в пределах одного полного
оборота. Так поступают в том случае, если функция ρ f (φ) не
является 2π -периодической. В качестве примера посмотрим,
что будет, если при построении графика непериодической
функции ρ φ не ограничивать полярный угол одним полным
62
Множества и отображения
оборотом. Тогда функция ρ φ может быть определена при
φ [0; f) . Графиком такой функции является бесконечная
спираль, изображенная на рис. 5.10.
Рис. 5.9
Рис. 5.10
§ 5. Полярная система координат
63
Замечание 2. Ограничение ρ t 0 тоже иногда снимают, считая, что точка M (φ, ρ) , где ρ 0 , расположена на расстоянии
ρ от полюса в направлении, диаметрально противоположном
углу φ . Поскольку такой подход характерен для некоторых вычислительных программ и прикладных математических пакетов,
то надо проявлять осторожность, используя их для построения
графика функции в полярной системе координат. Например,
если для функции ρ sin 2φ убрать ограничение ρ t 0 , то ее
графиком будет не двухлепестковая роза, изображенная на рис.
5.8, а четырехлепестковая.
5.3. Множества точек на плоскости с полярной
системой координат
Принцип изображения множества, заданного неравенствами,
в полярной системе координат, почти такой же, как и в декартовой системе координат (см. § 4).
Отличие есть только в геометрической интерпретации неравенств. Грубо говоря, оно заключается в следующем. В декартовой системе координат неравенству y ! f ( x) удовлетворяют
точки, расположенные выше графика функции y
f ( x) . В полярной системе координат неравенству ρ ! f (φ) удовлетворяют
точки, расположенные дальше от полюса, чем график функции
ρ f (φ) .
Задача 20. Изобразить множество точек на плоскости с полярной системой координат. Указать, является ли множество
x связным или несвязным;
x замкнутым, открытым;
x ограниченным или неограниченным.
A ^(φ, ρ) : sin 2φ d ρ d 1` .
Множество A задано двойным неравенством. Рассмотрим
соответствующие уравнения. Уравнение ρ 1 , очевидно, задает
окружность радиуса 1 с центром в полюсе. График функции
ρ sin 2φ построен в пункте 2 задачи 19 (рис. 5.8).
1.
64
Множества и отображения
Неравенству
sin 2φ d ρ d 1
удовлетворяют полярные координаты всех точек области, выделенной серым цветом на рис. 5.11 и включающей свою границу.
Множество A несвязное, замкнутое, ограниченное.
Рис. 5.11
π
3π ½
®(φ , ρ) : ρ ! 2, φ ¾ .
4
4¿
¯
Множество B задано двумя неравенствами, решим второе
неравенство:
π
3π
§ 3π π · § π 3π ·
φ
φ¨ ; ¸ ¨ ;
¸.
4
4
4¹ ©4 4 ¹
© 4
Следовательно, множество B состоит из всех точек (φ , ρ) , которые расположены вне круга радиуса 2 с центром в полюсе и
одновременно внутри одного из двух углов, отмеченных пунктирными линиями на рис. 5.12. Поскольку неравенства строгие,
то множество B не содержит свою границу. Множество несвязное, открытое, неограниченное.
2.
B
65
§ 5. Полярная система координат
Рис. 5.12
Замечание. В декартовой системе координат любая окружность задается уравнением вида
( x x0 ) 2 ( y y0 ) 2 r 2 , где x0 , y0 , r .
В полярной системе координат окружность с центром в полюсе
задается постоянной функцией ρ r , r , а окружности со
смещенным центром задаются более сложными уравнениями:
например, ρ sin φ , ρ cos φ (см. пункт 1 задачи 19).
Задачи для самостоятельного решения
Задача 21. Найти естественную область определения и построить график функции ρ f (φ) на плоскости с полярной системой координат.
1)
2)
ρ sin φ ;
ρ cos3φ ;
3)
ρ 1 sin φ ;
4)
ρ 1 sin 2 2φ .
66
Множества и отображения
Задача 22. Изобразить множество точек на плоскости с полярной системой координат. Указать, является ли данное множество
x связным или несвязным;
x замкнутым, открытым;
x ограниченным или неограниченным.
1)
2)
1
½
®(φ , ρ) : d ρ d cos 4φ ¾ ;
2
¯
¿
½
1
D ®(φ , ρ) :
d ρ 2sin φ ¾ .
sin φ
¯
¿
С
Задача 23*. Даны равенства, каждое из которых задает
функцию v(u) . Изобразить график каждой функции в двух ситуациях: в случае, когда (u , v) – декартовы координаты точки
на плоскости, и в случае, когда (u , v) – полярные координаты
точки на плоскости.
1)
3)
v 1;
v π u ;
2)
4)
v
v
u;
sin u ;
5)
v
6)
v
7)
v
sin 3u ;
1
;
u
8)
v
u sin 3u ;
u
.
u 1
При построении графика непериодической функции в полярной
системе координат следует рассматривать полярные углы, выходящие за пределы одного полного оборота.
§6
ОТОБРАЖЕНИЯ
6.1. Классификация отображений
Понятие отображения имеет для математики и, в частности,
для математического анализа, такое же фундаментальное значение, как и понятие множества. Изучением структуры каких-либо
множеств и отображений занимаются все разделы математики,
поскольку в этих терминах формулируется практически любая
серьезная задача.
Понятие отображения является обобщением того понятия
функции, которое изучается в курсе элементарной (школьной)
математики.
Определение 6.1
Пусть заданы непустые множества X и Y. Соответствие, при
котором каждому элементу x X сопоставляется единственный элемент y Y , называется отображением множества X
в множество Y.
Отображение может быть обозначено любой латинской или
греческой буквой, но чаще всего обозначается буквой f .
Используется несколько кратких записей:
f : X o Y,
f
X oY ,
f
x X o y Y.
Запись f : X o Y читается следующим образом: отображение f
действует из множества X в множество Y. При этом x X
называют аргументом отображения или независимой переменной, а y Y – зависимой переменной. Зависимость между переменными x и y выражается формулой
y f ( x) .
Для слова «отображение» в математике имеется несколько
аналогов: функция, функционал, преобразование, морфизм,
оператор, операция и др. Некоторые из этих терминов могут
68
Множества и отображения
употребляться просто как синонимы отображения. В таком широком смысле иногда используются слова «функция» и «оператор». Но чаще вышеперечисленные термины используются в
более узком, специальном смысле – для наименования разновидностей отображений. Наименования и описания конкретных
разновидностей отличаются в разных разделах математики (это
вопрос традиции).
Ниже представлена простейшая классификация отображений, которая имеется в математическом анализе и в смежных
дисциплинах. Распределение отображения по классам происходит в зависимости от природы множеств X и Y.
I. Функция одной переменной (ФОП).
Так называется отображение, которое сопоставляет одному
вещественному числу x другое вещественное число y, т. е. отображение вида
f : X oY .
Полное название – числовая функция одной вещественной переменной. Именно такие отображения изучаются в курсе элементарной математики.
II. Функция нескольких переменных (ФНП).
Так называется отображение вида
f : X n oY , n t 2.
Полное название – числовая функция нескольких вещественных
переменных. Функция одной переменной отличается от функции нескольких переменных только тем, что в первом случае
аргумент x является вещественным числом, а во втором случае –
набором нескольких вещественных чисел x ( x1 , x2 , x3 , , xn ) .
III. Векторная функция, вектор-функция, векторное поле.
Все эти термины означают отображение вида
f : X n o Y m , n t 1, m t 2 .
Перечисленные названия обусловлены тем, что значениями этого отображения являются наборы чисел y ( y1 , y2 , y3 , , ym ) ,
которые можно интерпретировать как векторы в m-мерном координатном пространстве m .
§ 6. Отображения
69
В базовом курсе математического анализа в техническом вузе изучаются именно эти три, описанные выше разновидности
отображений. Отсюда классические названия глав математического анализа:
x теория функции одной переменной;
x теория функции нескольких переменных;
x теория векторного поля.
Функциями в узком смысле слова называют отображения типов
I–III, т. е. сравнительно простые отображения.
IV. В дополнительных главах математического анализа и в
смежных дисциплинах важную роль играют более сложные
отображения, для которых функции одной или нескольких переменных являются исходным материалом. Часто рассматриваются отображения, преобразующие функции путем дифференцирования или интегрирования.
Если множества X и Y, в которых действует отображение, состоят из функций, т. е. отображение f : X o Y сопоставляет
одной функции другую функцию, то такое отображение называют оператором.
Если множество X состоит из функций, а множество Y числовое, т. е. отображение f : X o Y сопоставляет функции число, то такое отображение называют функционалом.
Разумеется, разновидности отображений, которые встречаются в математике, не исчерпывается классами I–IV. Множества
X и Y, в которых действует отображение, могут состоять не
только из числовых объектов (чисел, наборов чисел, числовых
функций), но также из геометрических объектов (кривых, поверхностей), из символьных объектов (комбинаций знаков, кодов), из логических объектов (высказываний) и даже из объектов, казалось бы, далеких от математики и от какой-либо формализации. Например, в теории вероятностей рассматриваются
отображения на множестве случайных событий, которые могут
произойти в рамках какого-то эксперимента.
Большое количество конкретных примеров отображений, которые возникают в математике и в физике, приводится в учебнике [3], глава I, § 3.
70
Множества и отображения
Замечание. Особым случаем является отображение вида
f : oY ,
где Y – произвольное непустое множество. Каждому натуральному числу n сопоставляется определенный элемент y Y .
Это сопоставление можно воспринимать как последовательный
выбор элементов из множества Y.
Такое отображение называют последовательностью (элементов множества Y). Значение y f (n) называют n-м членом
последовательности или членом последовательности с номером
n и обозначают символом yn . Последовательность принято записывать не в виде отображения, а в виде списка своих членов,
поэтому внешне она выглядит как пронумерованное множество:
^ yn `n 1
f
{ y1 , y2 , y3 ,
, yn ,
}.
6.2. Общие характеристики отображений
Определение 6.2
Множество X называется множеством определения или
множеством задания отображения f : X o Y . Есть устойчивая традиция называть X областью определения f.
Наиболее широкое множество X, на котором можно задать
отображение, исходя из его смысла, будем называть естественной областью определения.
Определение 6.3
Рассмотрим отображение f : X o Y и элемент x X . Соответствующий ему элемент y Y называется значением
отображения в точке x (на элементе x) и обозначается f ( x) .
Элемент y называется также образом элемента x при отображении f, а элемент x называется прообразом элемента y при
отображении f.
Данные понятия можно применить не только к отдельно взятой точке из области определения, но и ко всей области определения или к какому-либо ее подмножеству.
71
§ 6. Отображения
Определение 6.4
Множеством значений (образом) отображения f называется совокупность всех значений, которые принимает f на своей
области определения:
f ( X ) ^ f ( x), x X ` .
Множеством значений отображения f на множестве А X
называется совокупность всех значений, которые принимает f
в точках множества A:
f ( A) ^ f ( x), x A` .
Если f ( A) B , то множество B называется также образом
множества A при отображении f, а множество A называется
прообразом множества B при отображении f.
Согласно определению 6.1, в отображение f вовлечены все
точки множества X, но вовсе не обязательно все точки множества Y. Поэтому в общей ситуации имеется цепочка включений
f ( A) f ( X ) Y (рис. 6.1). В частности, может случиться, что
f (X ) Y .
Рис. 6.1
Кроме того, определение 6.1 допускает случаи, когда разные
элементы из области определения имеют одинаковый образ.
Поэтому понятие прообраза для отдельного элемента y Y или
для множества B Y может быть неоднозначным. По этой
причине выделяют наиболее широкое множество, образ которого равен B, и называют его полным прообразом множества B.
72
Множества и отображения
Определение 6.5
Рассмотрим отображение
и множество
f : X oY
B f ( X ) . Полным прообразом множества B при отображении f называется совокупность всех значений аргумента x ,
для которых f ( x) B . Обозначим его символом Ac :
^x X :
Ac
f ( x) B` .
Для наглядного сравнения понятий «прообраз» и «полный
прообраз» на рис. 6.1 изображено множество A, которое является прообразом множества B, и множество Ac , которое является
полным прообразом множества B.
Ясно, что полным прообразом множества значений отображения является множество его определения.
Задача 24. Дано отображение f и множество A. Найти множество значений отображения f, образ множества A и полный
прообраз множества f ( A) .
1. X – группа студентов, Y – множество всех месяцев года,
отображение f : X o Y сопоставляет каждому студенту месяц,
на который приходится его день рождения (соответствие указано в таблице); A – множество всех девушек в этой группе.
Аня
дек.
Витя
апр.
Илья
янв.
Петя
май
Катя
март
Яна
янв.
Олег
окт.
Коля
сент.
Ася
янв.
Стас
дек.
Ваня
нояб.
Лиза
февр.
Оля
янв.
Ира
март
Укажем множество значений этого отображения:
f ( X ) ^янв., февр., март, апр., май, сент., окт., нояб., дек.` .
Среди значений отображения f отсутствуют все летние месяцы.
Запишем множество A в явном виде и найдем его образ:
A ^Аня, Катя, Яна , Ася, Лиза , Оля, Ира` ,
f ( A)
^дек., янв., февр., март` .
73
§ 6. Отображения
Все девушки в этой группе родились в период с декабря по
март. Однако некоторые юноши тоже родились в эти месяцы.
Поэтому полный прообраз множества f ( A) шире, чем множество A, обозначим его Ac :
Ac ^Аня, Катя, Яна , Ася, Лиза , Оля, Ира , Илья, Стас` .
2. X – множество всех точек на плоскости, отображение
сопоставляет каждой точке ее расстояние до заданf :X o
ной точки O; A – замкнутый квадрат со стороной 1 и с одной из
вершин в точке O.
Расстояние между точкой на плоскости и заданной точкой O
может принимать любые неотрицательные значения. Отсюда
получаем множество значений отображения f :
f ( X ) [0; f) .
Найдем образ множества A. Расстояние от какой-либо точки
квадрата до точки O может принимать любые значения в пределах от 0 до 2 (рис. 6.2): f ( A) [0; 2] .
Рис. 6.2
74
Множества и отображения
Найдем полный прообраз множества f ( A) [0; 2] . Для
этого нужно выявить все точки плоскости, которые удалены от
точки O на расстояние не больше 2 . Получается множество
Ac – круг с центром в точке O и радиусом 2 , включающий в
себя и квадрат A (рис. 6.2).
Замечание. Способы задания отображения, как и способы
задания множеств, бывают разными. В задаче 24 отображения
описаны словами. В пункте 1 задачи 24 продемонстрирован
также табличный способ задания. В некоторых случаях отображение можно задать при помощи графика. В математическом
анализе в основном рассматриваются отображения, которые
можно задать аналитическим способом, т. е. с помощью формулы. Например, в пункте 2 задачи 24 отображение может быть
задано формулой, вычисляющей расстояние между точками на
координатной плоскости.
6.3. Характеристики числовых отображений
Отображение f : X o Y будем называть числовым, если его
значения являются вещественными числами, т. е. Y . Так, в
пункте 1 задачи 24 описано нечисловое отображение, а в пункте
2 – числовое.
На числовые отображения можно распространить такие характеристики числовых множеств, как ограниченность, точные
грани и экстремумы (см. определения 3.3–3.8).
Определение 6.6
Рассмотрим множество А X .
Числовое отображение f ограничено на множестве A, если
f ( A) является ограниченным числовым множеством. Это
означает, что значения f ( x) содержатся в некотором промежутке конечной длины при всех x A :
a , b : a d f ( x) d b x A .
Числовое отображение f ограничено снизу на множестве A,
если числовое множество f ( A) ограничено снизу:
a
: a d f ( x) x A .
75
§ 6. Отображения
Числовое отображение f ограничено сверху на множестве A,
если числовое множество f ( A) ограничено сверху:
b : f ( x) d b x A .
Экстремумы и точные грани отображения f на множестве
A определяются как экстремумы и точные грани для числового множества f ( A) :
min f min f ( x) min f ( A) , max f max f ( x) max f ( A) ;
x A
A
inf f
A
inf f ( x)
x A
A
inf f ( A) , sup f
A
xA
sup f ( x)
x A
sup f ( A) .
Если говорят об ограниченности, точных гранях и экстремумах отображения f, не уточняя, на каком именно множестве A,
то имеют в виду всю область определения, т. е. А X .
Например, числовое отображение f из пункта 2 задачи 24 не
ограничено на всей своей области определения, но ограничено
на множестве A.
Замечание. Поиск экстремальных значений отображения f
на множестве A называется экстремальной задачей. Если экстремальная задача имеет решение, т. е. существуют максимум и
минимум, то нет необходимости искать супремум и инфимум,
поскольку в этом случае точные грани совпадают с экстремумами. Однако если числовое отображение не имеет максимального и минимального значения на множестве A, то целесообразно указать супремум и инфимум.
Обратимся к самой простой и распространенной разновидности числовых отображений – к числовым функциям одной
вещественной переменной:
f : X o Y , где X , Y .
Это отображения, у которых не только значения, но и аргументы являются числами. В данном пособии по соображениям
краткости часто будем называть такие отображения просто
функциями.
Из школьного опыта изучения элементарной математики известно, что функция может быть задана формулой f ( x) без
указания области ее определения X и множества Y, которому
принадлежат ее значения. Это значит, что в качестве X рассмат-
76
Множества и отображения
ривается естественная область определения функции, а множество Y можно считать просто множеством ее значений. Естественная область определения функции, задаваемой формулой
f ( x) , как правило, совпадает с областью допустимых значений
(ОДЗ) переменной x в выражении f ( x) . Однако не следует абсолютизировать это правило. Например, если функция предназначена для описания линии на плоскости с полярной системой
координат, то, кроме ОДЗ, надо еще учитывать стандартные
ограничения полярного угла и полярного радиуса (см. § 5).
Задача 25. Дана функция f ( x) и числовое множество A значений аргумента x. Выполнить следующие несколько заданий:
x найти естественную область определения функции f ;
x найти множество значений функции f ;
x найти образ множества A;
x найти полный прообраз множества f ( A) ;
x указать, является ли функция f ограниченной на всей своей области определения и является ли ограниченной на
множестве A;
x указать экстремумы функции f на множестве A, а в случае
их отсутствия указать точные грани.
f ( x ) x 2 , A (1; 2) .
1.
Естественная область определения функции, задаваемой
формулой f ( x ) x 2 , включает все вещественные числа:
X
.
Значениями могут быть любые неотрицательные числа:
f ( X ) [0; f) .
Построим график функции f ( x ) x 2 на плоскости с декартовой системой координат (рис. 6.3, 6.4). Ось абсцисс – это ось,
на которой откладываются значения аргумента x. Ось ординат –
это ось, на которой откладываются значения функции y f ( x) .
Выделим промежуток A (1; 2) на оси абсцисс. По графику определим, какое множество на оси ординат занимают числа
f ( x) при x A . Это и есть образ множества А (рис. 6.3):
f ( A) [0; 4) .
77
§ 6. Отображения
Рис. 6.3
Чтобы найти полный прообраз множества f ( A) [0; 4) , выделим на оси ординат промежуток [0; 4) . Находим на оси абсцисс множество всех таких чисел x, для которых f ( x) [0; 4) .
Это множество Ac и будет полным прообразом множества
f ( A) (рис. 6.4):
Ac (2; 2) .
Рис. 6.4
Функция f не является ограниченной на своей области определения, но ограничена на множестве A. Укажем минимум
функции f на множестве A:
78
Множества и отображения
min f
A
min f ( x)
x( 1; 2)
min[0; 4)
0.
Поскольку максимум отсутствует, то укажем супремум функции f на множестве A:
sup f
sup f ( x) sup[0; 4) 4 .
A
x( 1; 2)
2. f ( x) log 2 x , A (0; 2] .
Естественная область определения функции, задаваемой
формулой f ( x) log 2 x , включает все положительные числа:
X (0; f) .
Значениями могут быть любые вещественные числа:
f (X )
.
Построим график функции f ( x) log 2 x на плоскости с декартовой системой координат (рис. 6.5).
Рис. 6.5
Выделим промежуток A (0; 2] на оси абсцисс. По графику
определим, какое множество на оси ординат занимают числа
f ( x) при x A . Это и есть образ множества А (рис. 6.5):
f ( A) (f ; 1] .
Полным прообразом множества f ( A) (f ; 1] является множество A (0; 2] , так как f ( x) (f ; 1] только при x (0; 2] .
79
§ 6. Отображения
Функция f не является ограниченной ни на своей области
определения, ни на множестве A. Укажем максимум функции f
на множестве A:
max f max f ( x) max(f ; 1] 1.
A
x(0; 2]
Функция не достигает минимального значения на множестве
A, укажем инфимум:
inf f
inf f ( x) inf (f ; 1] f .
A
x(0; 2]
6.4. Композиция отображений
Определение 6.7
Рассмотрим два отображения f : X o Y , g : Y o Z . Рассмотрим новое отображение, которое каждому элементу
x X ставит в соответствие элемент g ( f ( x)) . Очевидно,
такое отображение действует из множества X в множество Z
(рис. 6.6). Оно называется композицией отображений f и g и
обозначается символом g f :
g f :X oZ ,
( g f )( x) g ( f ( x)) .
Рис. 6.6
По аналогии с композицией двух отображений можно составить композицию трех и большего числа отображений.
Наряду с термином «композиция отображений» используются следующие синонимы: суперпозиция отображений, сложное
отображение (в смысле: сложносоставное). В частности, если в
качестве f и g выступают простейшие отображения – функции,
то их композицию называют сложной функцией.
В записи сложной функции g ( f ( x)) принято различать
внутреннюю функцию f и внешнюю функцию g.
80
Множества и отображения
Задача 26. На основе функций f ( x)
x 1 и g ( x) 2cos x
составить композиции g f , f g . Для каждой композиции
найти естественную область определения и множество значений.
Решение. Проанализируем каждую композицию отдельно.
1.
Составим композицию g f :
( g f )( x)
g ( f ( x))
g
x 1
2 cos x 1 .
Чтобы установить естественную область определения этой
функции, найдем область допустимых значений независимой
переменой x в выражении 2cos x 1 :
x 1 t 0 x t 1.
Таким образом, функция g f может быть определена на множестве X [1; f) .
Множество значений композиции g f можно найти разными способами. Если есть возможность достаточно точно построить график функции g ( f ( x)) 2cos x 1 , то множество
значений определяется просто по графику.
Если такой возможности нет, то следует проанализировать
действие сложной функции g ( f ( x)) в два этапа – при помощи
двух графиков: графика внутренней функции f ( x)
x 1 и
графика внешней функции g ( x) 2cos x . Построение графиков
проводим в декартовой системе координат.
Рис. 6.7
81
§ 6. Отображения
Сначала рассмотрим действие функции f на промежуток
[1; f) , его образом является промежуток [0; f) (рис. 6.7).
Рис. 6.8
Затем рассмотрим действие функции g на промежуток [0; f) ,
его образом является промежуток [2; 2] (рис. 6.8).
f
g
X [1; f)
o [0; f)
o [2; 2] .
Таким образом, установлено множество значений композиции:
( g f ) ( X ) [2; 2] .
2.
Составим композицию f g :
( f g )( x) f ( g ( x)) f (2cos x)
2cos x 1 .
Чтобы установить естественную область определения этой
функции, найдем область допустимых значений независимой
переменой x в выражении 2cos x 1 :
1
π
π
2 cos x 1 t 0 cos x t 2πk d x d 2πk , k .
2
3
3
Таким образом, функция f g может быть определена на объединении бесконечного числа промежутков:
π
ª π
º
X
2 πk ; 2πk » .
« 3 2π
3
¼
k ¬
k
82
Множества и отображения
Найдем множество значений сложной функции в два этапа.
Сначала рассмотрим действие внутренней функции g (рис. 6.9),
затем – внешней функции f (рис. 6.10).
Рис. 6.9
Рис. 6.10
π
ª π
º g
f
o [1; 2]
o [0; 1] .
2 πk ; 2πk »
« 3 2π
3
¼
¬
k
k
Таким образом, установлено множество значений композиции:
( f g ) ( X ) [0; 1] .
Решение окончено.
X
Решение задачи 26 демонстрирует, что операция составления
композиции не обладает коммутативностью: отображения g f
и f g являются, вообще говоря, различными.
83
§ 6. Отображения
На практике приходится не только составлять композицию
из заданных функций, но и осуществлять обратное действие –
декомпозицию, т. е. представлять сложную функцию в виде
композиции более простых функций. Приведем примеры декомпозиции:
h( x )
ψ( x)
1 2x
4
h
1 1 x
ψ
x 1
z
x2 1
x 4 , g ( x) 1 2 x ;
f g , f ( x)
φ φ,
φ φ( x)
1 x ;
2
z ( x)
ln
u v w , u ( x)
ln x, v( x)
x 1
, w( x)
x 1
x2 .
Задачи для самостоятельного решения
Задача 27. Дана числовая функция одной вещественной переменной x. Дано числовое множество A значений переменной.
Выполнить следующие несколько заданий:
x найти естественную область определения функции (множество X);
x найти множество значений функции;
x найти образ множества A и найти множество Ac , которое
является полным прообразом этого образа;
x указать, является ли функция ограниченной на всей своей
области определения и является ли она ограниченной на
множестве A;
x указать экстремумы функции на множестве A, а в случае
их отсутствия указать точные грани.
x 3 , A [2; f) ;
1)
f ( x)
2)
g ( x)
3)
h( x )
4)
z ( x)
1 x2 , A
ψ( x)
1
, A [0; 1) ;
x 1
5)
x
, A [0;1] ;
2
4 x 1 , A (f ; 0) ;
arccos
(1; 1 2) ;
84
Множества и отображения
6)
φ( x)
cos πx , A [1 3; 4 3] ;
7)
ω( x)
1
arctg ( x 1) , A [0; f) .
π
Задача 28. Дано отображение f, множества A и B. Указать,
является ли отображение f числовым. Найти множество значений отображения f, образ множества A и множество Ac , которое
является полным прообразом множества B.
Отображение f : u o
сопоставляет каждой паре
чисел (m , n) , где m – целое число, n – натуральное число, их
1.
отношение m n ; A
^(m , n)
2
: m n d 4` ; B
(1; 1
1) .
2. Множество X состоит из всех треугольников на плоскосопоставляет каждому треугольсти, отображение f : X o
нику его площадь; A – множество всех треугольников, вписанных в окружность радиуса 1; B (0; f) .
3*. Множество X состоит из всех «слов» (формальных последовательностей символов), которые можно составить из букв
К, Р, О, Т, используя каждую букву один раз. Отображение
f : X o сопоставляет каждому «слову» наименьшее количество транспозиций (перестановок двух символов в «слове»),
которое требуется для его преобразования в слово КРОТ;
A ^ КОРТ, ОКРТ, ТРКО ` ; B {0, 1} .
4*. Множество Y состоит из всех прямых на плоскости с декартовой системой координат, отображение f : 2 o Y сопоставляет каждой паре вещественных чисел (k , b) прямую, задаваемую уравнением y
kx b ; A
^(k , b)
2
: k d 1, b d 1` ;
B – множество всех прямых, пересекающих окружность, задаваемую уравнением ( x 1) 2 y 2 1 .
Задача 29. На основе функций из задачи 27 составить композиции φ f , f ω , ψ h , g h , z ψ . Для каждой композиции найти естественную область определения (множество X) и
множество значений.
85
§ 6. Отображения
Задача 30*. Дана функция u( x) , которая является композицией нескольких функций из задачи 27. Найти естественную
область определения u( x) и с помощью декомпозиции найти
множество значений u( x) .
1)
u ( x)
2)
u ( x)
3)
u ( x)
4)
u ( x)
4
1 x 2
arccos
3
1 ;
1
;
2x 2
1
3
22 x 1 42 x 1
;
1 2
cos πx
.
π arctg 2
π
cos πx 1
§7
ОБРАТНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ
В научных и технических задачах нередко требуется определить исходные данные какого-либо преобразования по его известному результату. Например, определить источник сейсмической активности по разлому земной коры; узнать нагрузку на
оболочку по величине ее прогиба; восстановить компьютерный
код по его шифровке. На математическом языке это значит, что
требуется обратить вспять некоторое отображение f. Возможность построить обратное отображение зависит от свойств
отображения f, с обзора которых начинается этот параграф.
7.1. Сюръекция, инъекция, биекция
Определение 7.1
Рассмотрим отображение f : X o Y .
Если множество значений f совпадает с множеством Y, т. е.
f ( X ) Y , то f называется сюръекцией или сюръективным
отображением. Иначе говоря, сюръективность означает, что
y Y x X : f ( x) y .
Если отображение f сопоставляет разным значениям аргументов x разные значения f ( x) , то f называется инъекцией
или инъективным отображением. Итак, инъективность означает, что
x1 , x2 X x1 z x2 f ( x1 ) z f ( x2 ) .
Если отображение f является одновременно сюръекцией и
инъекцией, то оно называется биекцией, биективным отображением или взаимно однозначным отображением. Такое
отображение устанавливает взаимно однозначное соответствие между элементами множества X и элементами множества Y: каждый элемент y Y является образом некоторого,
причем единственного, элемента x X .
87
§ 7. Обратное отображение
Замечание. В просторечии говорят, что инъективное отображение «не склеивает точки». И наоборот, если отображение
«склеивает точки», то оно не инъективно.
Схематичные иллюстрации к разным типам отображений
приведены на рис. 7.1–7.4.
Рис. 7.1
Рис. 7.2
Сюръекция, но не инъекция,
поскольку в множестве X есть
точки, которым соответствует
одно и то же значение.
Инъекция, но не сюръекция,
так как множество значений
отображения не совпадает с
множеством Y.
Рис. 7.3
Рис. 7.4
Не инъекция и не сюръекция.
Инъекция и сюръекция,
следовательно, биекция.
Поясним, от чего зависят данные свойства отображения и
как можно на них повлиять.
Задать отображение – значит описать его область определения X и множество Y, которому принадлежат значения отображения, а также указать правило f, по которому каждому элементу x сопоставляется элемент y. В предположении, что правило
88
Множества и отображения
сопоставления уже фиксировано, уделим внимание допустимому выбору множеств X и Y. Этот выбор приводит к различным,
хотя и родственным, отображениям.
Чаще всего рассматривается естественная область определения, т. е. наиболее широкое множество X, на котором можно
задать отображение f, исходя из его смысла. Однако отображение, заданное на множестве X, можно также задать на любом его
подмножестве. Отображение вида
f : A X oY
называют сужением отображения f : X o Y на множество A .
Какое бы ни было отображение, для него всегда можно построить инъективное сужение.
В качестве Y допустимо взять любое множество, содержащее все значения f ( x) при x X . Можно взять Y f ( X ) или
более широкое множество Y f ( X ) . Ясно, что только в случае
f : X o f (X )
отображение является сюръективным. К сожалению, для отображений более сложной структуры, чем рассматриваются в этом
пособии, не всегда легко найти в точности f ( X ) , поэтому
множество Y зачастую выбирается «с некоторым запасом».
Задача 31. Указано правило f, по которому элементу x сопоставляется элемент y . Требуется рассмотреть несколько
отображений f : X o Y , соответствующих различному допустимому выбору множеств X и Y. Для каждого отображения
установить, является ли оно инъекцией, сюръекцией, биекцией.
1. Каждому студенту некоторой учебной группы, список
которой приведен в таблице, сопоставляется месяц, на который
приходится его день рождения.
Аня
дек.
Витя
апр.
Илья
янв.
Петя
май
Катя
март
Яна
янв.
Олег
окт.
Коля
сент.
Ася
янв.
Стас
дек.
Ваня
нояб.
Лиза
февр.
Оля
янв.
Ира
март
89
§ 7. Обратное отображение
На основе этого сопоставления рассмотрим несколько отображений.
a. f : X o Y , X – множество всех студентов в группе, Y –
множество всех месяцев в году.
Это отображение не сюръекция, поскольку среди его значений представлены не все месяцы, т. е. f ( X ) z Y . Это отображение не инъекция, поскольку есть студенты, чьи дни рождения
приходятся на один и тот же месяц. Например, Аня и Стас.
b. f : A o f ( A) , A – множество всех девушек в группе.
Данное отображение сюръективно по построению. Отображение не инъективно, так как есть девушки, чьи дни рождения
приходятся на один и тот же месяц. Например, Яна и Ася.
c. f : B o f ( B) , B – множество всех юношей в группе.
Это отображение является сюръекцией, как и отображение b.
Данное отображение также инъективно, так как никакие два
юноши в этой группе не родились в одном месяце. Следовательно, отображение – биекция.
x2
2. Вещественному числу x сопоставляется число
.
x 1
Выделим целую часть в дробно-рациональном выражении,
стоящем под знаком модуля. Построим график соответствующей функции в декартовой системе координат (рис. 7.5):
Рис. 7.5
90
Множества и отображения
1
.
x 1
Рассмотрим различные отображения f : X o Y , X , Y
которые можно задать такой формулой.
1
f ( x)
a. f : (f ; 1) (1; f) o
,
.
Так как f (f ;1) (1; f) [0; f) z , то это отображение не сюръективно. Оно также не инъективно, поскольку есть
точки x1 , x2 (f ; 1) (1; f) , в которых функция f принимает
одинаковые значения, например f (0)
f (4 3) .
b. f : (1; f) o [0; f) .
Поскольку f (1; f)
[0; f) , то это сюръекция. Но не
инъекция, так как есть точки x1 , x2 (1; f) , в которых f принимает одинаковые значения, например f (5 3) f (3) .
c. f : (f ; 1) o (1; f) .
d. f : (1; 2] o [0; f) .
e. f :[2; f) o [0; 1) .
Три последних отображения являются биекциями. Поясним
на примере отображения e. Оно является инъекцией, так как в
разных точках промежутка [2; f) функция f принимает разные
значения, и является сюръекцией, так как f [2; f)
[0;1) .
Замечание. Второй пункт задачи 31 приводит к наблюдению, что если числовая функция одной вещественной переменой строго монотонна на множестве X , то она является
инъективным отображением множества X. Иначе говоря, строгая монотонность является достаточным условием для инъективности. Полезно проверить, что необходимым условием она
не является, т. е. инъективная функция не обязательно строго
монотонна.
91
§ 7. Обратное отображение
7.2. Критерий обратимости отображения
Определение 7.2
Рассмотрим отображение f : X o Y (рис. 7.6 а).
Если каждому элементу y Y соответствует единственный
элемент x X такой, что f ( x) y , то это соответствие
называется обратным отображением для f и обозначается
f 1 : Y o X (рис. 7.6 б).
Если для отображения f существует обратное отображение,
то f называется обратимым.
Рис. 7.6
Согласно определению 7.2, наличие и отсутствие обратного
отображения связаны с разрешимостью уравнения f ( x) y
относительно x. Существование обратного отображения сводится к двум условиям. Во-первых, уравнение f ( x) y должно
иметь решение при любом значении y Y , значит, отображение f должно быть сюръективным. Во-вторых, решение x X
должно быть единственным, значит, отображение f должно
быть инъективным. Сформулируем критерий обратимости:
Отображение обратимо тогда и только тогда,
когда оно является биекцией.
Построить обратное отображение f 1 – значит задать его в
таком же явном виде, в каком задано прямое отображение f .
92
Множества и отображения
Допустим, отображение f задано аналитически, т. е. формулой.
Тогда, чтобы вывести формулу обратного отображения, надо
выразить переменную x X из уравнения f ( x) y :
f ( x) y x f 1 ( y ) .
Заметим, что прямое и обратное отображения удовлетворяют
следующим соотношениям:
(7.1)
f 1 f ( x) x x X ;
f f 1 ( y )
y y Y .
(7.2)
Иногда эти соотношения берут за основу определения обратного отображения. Кроме того, с их помощью можно проверить
достоверность построения обратного отображения.
В задаче 32 демонстрируется построение обратного отображения на примерах функций одной переменной.
Задача 32. Для отображения f построить обратное отображение, если оно существует. Убедиться в выполнении равенств
(7.1), (7.2).
f : o , f ( x) 3 x 1 .
По графику функции y f ( x) в декартовой системе координат (рис. 7.7)
делаем вывод, что f отображает множество
в себя взаимно однозначно. Следовательно, существует обратное отображение. Чтобы получить его формулу,
надо выразить x из уравнения f ( x) y :
1.
y 1
.
3
Итак, построили обратное отображение:
Рис. 7.7
y 1
1
1
f : o , f ( y)
.
3
Проверим, что выполняются соотношения (7.1), (7.2):
3x 1 1
f 1 f ( x)
f 1 (3x 1)
x x ;
3
y 1
§ y 1·
f f 1 ( y )
f¨
1 y y .
¸ 3
3
© 3 ¹
3x 1
y
x
93
§ 7. Обратное отображение
f : o [1; 1] , f ( x) sin x .
По графику функции y f ( x) в декартовой системе координат (рис. 7.8) делаем вывод, что f отображает множество
в
промежуток [1;1] не биективно («склеивает» точки), поэтому
обратного отображения не существует.
2.
Рис. 7.8
Замечание. Не только функция y sin x , но и все основные
тригонометрические функции не являются биективными отображениями на своей естественной области определения (по
причине периодичности). Поэтому для построения обратных
отображений традиционно рассматриваются сужения тригонометрических функций на промежутки их биективности:
ª π πº
f ( x) sin x : « ; » o > 1; 1@ ,
¬ 2 2¼
ª π πº
f 1 ( y ) arcsin y : > 1; 1@ o « ; » ;
¬ 2 2¼
f ( x) cos x : >0; π @ o > 1; 1@ ,
arccos y : > 1; 1@ o >0; π @ ;
f 1 ( y )
f ( x)
f 1 ( y )
§ π π·
tg x : ¨ ; ¸ o
© 2 2¹
arctg y :
,
§ π π·
o ¨ ; ¸;
© 2 2¹
f ( x) ctg x : 0; π o
1
f ( y)
arctg y :
,
o 0; π .
94
Множества и отображения
f : o (2; f) , f ( x) 3x 2 .
Изобразим график функции y f ( x) в декартовой системе
координат (рис. 7.9). По графику функции видно, что f биективно отображает множество
на промежуток (2; f) . Значит, существует обратное отображение. Чтобы получить его
формулу, надо выразить x из уравнения f ( x) y :
3.
3x 2 y 3x y 2 x log 3 ( y 2) .
Итак, построили обратное отображение:
f 1 : ( 2; f) o , f 1 ( y ) log3 ( y 2) .
Проверим выполнение равенств (7.1), (7.2):
f 1 f ( x)
f 1 (3x 2) log3 (3x 2 2) x x ;
f f 1 ( y)
f log3 ( y 2)
Рис. 7.9
3log3 ( y 2) 2
y y (2; f) .
Рис. 7.10
f : o , f ( x) 2 ( x 1)2 .
По графику функции y f ( x) в декартовой системе координат (рис. 7.10) делаем вывод, что данное отображение f не
является биекцией.
Во-первых, оно не инъективно, так как есть точки x , в
которых f принимает одинаковые значения. Например,
f (2) f (0) .
Во-вторых, не сюръективно, так как не все числа y яв4.
ляются значениями функции f ( x) 2 ( x 1) 2 .
Следовательно, обратного отображения нет.
95
§ 7. Обратное отображение
В дополнение к решению покажем, как можно поправить ситуацию. Рассмотрим одну из биективных модификаций данного
отображения:
f :[1; f) o (f ; 2] , f ( x) 2 ( x 1) 2 .
В такой ситуации существует обратное отображение. Чтобы
получить его формулу, надо выразить x из уравнения f ( x) y :
( x 1)2 2 y x r 2 y 1.
В конструкции отображения f предполагается, что x [1; f) ,
2 ( x 1) 2
поэтому x
y
2 y 1 . Итак, построили обратное отображение:
f : (f ; 2] o [1; f) , f 1 ( y)
Соотношения (7.1), (7.2) выполняются:
1
f 1 f ( x)
f 1 2 ( x 1) 2
2 y 1.
2 2 ( x 1) 2 1
x 1 1 x x [1; f) ;
f f 1 ( y )
f
2 y 1
2 (2 y )
2
2 y 1 1
2
y y (f ; 2] .
Замечание 1. Графики функций
y f ( x) и x f 1 ( y )
совпадают, поскольку эти функции задаются одним и тем же по
сути уравнением, которое по-разному представлено. В первом
случае переменная y выражена через переменную x, во втором
случае наоборот.
Однако в формуле обратной функции обозначения зависимой и независимой переменных часто меняют местами, чтобы
привести формулу к более привычному виду. В этом случае
взаимно обратные функции
y f ( x) и y f 1 ( x)
имеют разные графики, симметричные относительно биссектрисы первой и третьей координатных четвертей.
Проиллюстрируем это на примере функций из пункта 3 задачи 32. На рис. 7.11 представлены графики двух взаимно обратных функций:
f ( x) 3x 2 и f 1 ( x) log 3 ( x 2) .
96
Множества и отображения
Рис. 7.11
Замечание 2. Не следует путать обозначение обратной
функции f 1 и операцию возведения выражения f в степень –1.
Например, для функции f ( x )
x 3 обратной функцией является
f 1 ( x) 3 x , тогда как возведение выражения f ( x) в степень
1 приводит к совершенно иному результату:
1
1
1
.
f ( x)
x3
x3
Задачи для самостоятельного решения
Задача 33. Дано описание отображения f . Определить, является ли отображение инъекцией, сюръекцией, биекцией.
1. Множество X состоит из всех четных чисел, отображение f : X o сопоставляет каждому четному числу его половину.
2. Множество X состоит из всех треугольников на плоскости, отображение f : X o
сопоставляет каждому треугольнику его площадь.
97
§ 7. Обратное отображение
сопоставляет каждой паре
f: u o
чисел (m , n) , где m – целое число, n – натуральное число, их
отношение m n .
4. Множество Y состоит из всех прямых на плоскости с декартовой системой координат, отображение f : 2 o Y сопо3.
Отображение
ставляет каждой паре вещественных чисел (k , b) прямую, задаваемую уравнением y k x b .
5. Множество X состоит из всех возможных исходов при
пятикратном бросании монеты, Y – множество всех пятиместных кодов, состоящих из нулей и единиц. Каждой последовательности из пяти бросаний монеты отображение f : X o Y
сопоставляет код из нулей и единиц: выпадению орла соответствует цифра 1, выпадению решки соответствует цифра 0.
6. Множество X состоит из всех окружностей на плоскости
с декартовой системой координат, отображение f : X o 3
сопоставляет каждой окружности тройку вещественных чисел
( x , y , r ) , где r – радиус окружности x, y – абсцисса и ордината
центра окружности.
Задача 34. Определить, является ли отображение f инъекцией, сюръекцией, биекцией и обратимо ли оно. Для тех отображений, которые обратимы, построить обратные отображения
и убедиться в выполнении равенств (7.1), (7.2).
1)
f:
o
, f ( x)
arcctg x ;
2)
f:
o
, f ( x)
3
x2 ;
4)
2
9 x2 ;
3
f : (2; f) o [0; f), f ( x) ln( x 2) ;
5)
f:
6)
f : (f ; 2) o (f ; 4), f ( x)
7)
f :[π; 2π] o [1; 1], f ( x)
3)
f :[0; 3] o [2; 0], f ( x)
o (1; f), f ( x) 1 2
x
;
4
cos x .
1
;
( x 2) 2
98
Множества и отображения
Задача 35*. Дана сложная функция f ( x) . Используя ее декомпозицию, найти наиболее широкое множество X
и
множество Y , для которых отображение f : X o Y взаимно однозначно и, следовательно, обратимо. Построить обратное
отображение.
1)
f ( x)
cos(πe x ) ;
2)
f ( x)
ln
3)
f ( x)
log22 ( x 1) 4log 2 ( x 1) 3 ;
4)
f ( x)
tg π 1 x 2 .
x4 1
;
x4 1
§8
СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ
ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
8.1. Явно, неявно, параметрически заданные функции
Напомним, что числовая функция одной вещественной переменной (далее – функция) – это отображение, действующее в
числовых множествах:
f : X o Y , где X , Y .
Чтобы задать функцию, необходимо описать соответствие
между числами x X и y Y . Описать можно по-разному:
словами, таблицей соответствующих друг другу значений, графическим способом или аналитическим способом, т. е. при помощи формулы. Функции, заданные аналитическим способом,
бывают трех разновидностей.
I. Явно заданная функция.
Так называется функция, заданная с помощью формулы, в
которой зависимая переменная y явно выражена через независимую переменную x. Обычно это одна формула вида
y f ( x) .
Иногда значение зависимой переменной y определяется не
одной, а двумя или несколькими формулами вида y f ( x) . Так
бывает, когда область определения X разбита на несколько подмножеств X k , k 1, 2, , n , на каждом из которых действует
отдельная формула:
f1 ( x) , x X 1
° f ( x) , x X
°
2
y ® 2
.
°
°¯ f n ( x) , x X n
Такие представители явно заданных функций называются
кусочно заданными функциями.
100
Множества и отображения
II. Неявно заданная функция.
Так называется функция, заданная в виде уравнения
F ( x , y) 0 .
Уравнение устанавливает связь между переменными x и y.
Если одна из переменных принимает произвольные значения в
каком-либо числовом множестве, то вторая переменная принимает значения не произвольно, а так, чтобы выполнялось равенство F ( x , y) 0 . Поэтому можно считать одну из этих переменных, например y, функцией от другой переменной. Наличие
нуля в правой части уравнения не принципиально. Это может
быть любое уравнение, в котором ни одна переменная не выражена явно через другую.
III. Параметрически заданная функция.
Так называется функция, заданная системой двух равенств
следующего вида:
x x(t )
.
®
¯ y y (t )
Для параметрической формы задания характерно введение
дополнительной переменной t, называемой параметром, через
которую выражены по отдельности переменные x и y. При каждом конкретном значении t может быть вычислена пара чисел
( x , y ) . Таким опосредованным способом устанавливается связь
между переменными x и y, поэтому одну из них можно считать
функцией от другой. Параметрически заданные функции нередко используются в физике и механике.
У формул, задающих функции, бывает одна деликатная проблема: одному числу x может соответствовать более одного
числа y. Особенно часто это случается с неявно и параметрически заданными функциями (ниже приведены примеры). Такую
ситуацию не допускает не только определение отображения,
которое дано в § 6, но и то представление о функции, которое
прививается курсом элементарной математики. Чтобы решить
эту проблему, не отказываясь от удобных формул, надо расширить понятие отображения, включив в него однозначные и многозначные соответствия.
§ 8. Способы задания функции одной переменной
101
Если каждому элементу x X сопоставляется единственный элемент y Y , то отображение f : X o Y называется однозначным (рис. 8.1 а). Если некоторым x X сопоставляется
более одного элемента y Y , то отображение f : X o Y называется многозначным (рис. 8.1 б).
Рис. 8.1
Определение 6.1, положенное в основу нашего краткого знакомства с отображениями, охватывает только однозначные
отображения (функции), потому что они доминируют в математике. Многозначные отображения (функции) рассматриваются в
исключительных случаях. Кроме того, многозначную функцию
можно считать совокупностью двух или нескольких однозначных функций, которые называются ее однозначными ветвями.
Приведем конкретные примеры формул, задающих функции.
a. y
sin πx
2 x 3 – явно заданная функция.
x2 1
b. xy 1 – неявно заданная функция, которую, однако, нетрудно задать явно:
y 1 x.
c. y
° x , x ! 0
– явно и кусочно заданная функция.
® 2
°̄ x , x d 0
Функции a, b, c являются однозначными: каждому допустимому значению x соответствует единственное значение y.
102
Множества и отображения
d. y 2 x .
Неявно заданная функция y от переменной x, которую можно
задать в явном виде посредством формулы
y r x.
Многозначная функция, точнее, двузначная: каждому неотрицательному значению x (за исключением точки x 0 ) соответствуют два значения y. Эту формулу можно также воспринимать
как совокупность двух однозначных функций:
y
x и y x.
Если же считать, что уравнение d задает функцию x от переменной y, то это явно заданная однозначная функция.
e.
x2 y 2
3
4x2 y 2 .
Неявно заданная функция. Многозначная функция, что видно по ее графику (рис. 8.5): почти каждому допустимому значению x, соответствуют четыре значения y.
x t sin t
f. ®
.
¯ y 1 cos t
Параметрически заданная функция. Однозначная функция,
что видно по ее графику (рис. 8.4).
x a cos t
g. ®
.
¯ y b sin t
Параметрически заданная функция, которую можно преобразовать к неявно заданной функции:
x2 y2
1.
a 2 b2
Ее графиком в декартовой системе координат является эллипс, а
значит, это многозначная функция (двузначная) либо это совокупность двух однозначных функций.
Перечисленные примеры показывают, что иногда возможен
переход между разными способами задания функции. Чтобы
перейти от неявной формы задания к явной, надо выразить переменную y (или x) из уравнения F ( x , y) 0 . Чтобы осуще-
103
§ 8. Способы задания функции одной переменной
ствить переход от параметрической формы задания к неявной
или явной, надо исключить параметр t из системы уравнений
x x(t ) , y y(t ) . Эти возможности еще раз продемонстрированы далее в задаче 36.
Для построения графика функции «по точкам» удобнее всего
явная и параметрическая формы задания (задача 37). Наименее
удобна – неявно заданная функция. Если линия на плоскости с
декартовой системой координат описана неявно заданной функцией, то для построения линии может помочь переход в другую
систему координат, где та же линия описана другой функцией,
возможно, явной (задача 38).
Задача 36. Представить окружность радиуса r на плоскости
как график функции, используя разные формы аналитического
задания.
Решение. Введем на плоскости декартову систему координат, у которой начало координат совпадает с центром окружности (рис. 8.2). Окружность является графиком двузначной
функции: каждому значению x [r ; r ] соответствуют два значения y (за исключением точек x r , x r ). Традиционно для
этой функции используется неявная форма задания:
x2 y 2 r 2 .
(8.1)
Выразив y из уравнения (8.1), получаем y
имеются две однозначные ветви:
y1
r r 2 x 2 , т. е.
r 2 x2 (верхняя полуокружность);
y2 r 2 x2 (нижняя полуокружность).
Параметрическая форма задания окружности вытекает из
дополнительных построений, которые показаны на рис. 8.3. Координаты точки ( x , y ) , принадлежащей окружности, могут
быть выражены через тригонометрические функции угла t:
x r cos t
.
(8.2)
®
¯ y r sin t
Для того чтобы задать всю окружность, достаточно взять
t [0; 2π) .
104
Множества и отображения
От параметрической формы (8.2) легко перейти опять к неявной форме (8.1):
x2 y 2 r 2 cos2 t r 2 sin 2 t r 2 cos2 t sin 2 t r 2 .
Рис. 8.2
Рис. 8.3
Однако самый простой способ аналитического задания
окружности предлагает полярная система координат, у которой
полюс размещен в центре окружности. Тогда окружность описывается уравнением ρ r , т. е. является графиком постоянной
функции.
Решение окончено.
Задача 37. Построить график параметрически заданной
функции в декартовой системе координат:
x t sin t
.
®
¯ y 1 cos t
Решение. Проведем построение графика «по точкам». Для
этого рассмотрим несколько значений параметра t, для каждого
из них вычислим значения x и y по заданным формулам.
t
0
π
2
π
x
0
π
1
2
π
y
0
1
2
3π
2
3π
1
2
1
2π
2π
0
5π
2
5π
1
2
1
3π
3π
2
7π
2
7π
1
2
1
4π
4π
0
§ 8. Способы задания функции одной переменной
105
В декартовой системе координат отметим полученные точки
( x , y ) и соединим их плавной линией (рис. 8.4). Легко заметить,
что значения ординаты y повторяются через каждые 2π единиц
по оси абсциссы x, т. е. данная функция является 2π периодической. Получившаяся линия называется циклоидой.
Рис. 8.4
Существует механическое описание циклоиды. Представим,
что по оси абсцисс катится окружность с единичным радиусом.
Отметим на этой окружности одну точку (точнее, отметим нижнюю точку окружности в тот момент, когда она проходит через
начало координат). Циклоида является траекторией движения
этой точки под действием катящейся окружности.
Решение окончено.
Задача 38. Линия на плоскости с декартовой системой координат описана неявно заданной функцией ( x 2 y 2 )3 4 x 2 y 2
Изобразить эту линию с помощью перехода к явно заданной
функции в полярной системе координат.
Решение. Используем формулы (5.1) для перехода из декартовой системы координат в полярную (см. § 5):
ρ 2 cos 2 φ ρ 2 sin 2 φ
ρ6
3
4ρ 4 cos 2 φ sin 2 φ ;
ρ 4 sin 2 2φ ;
(8.3)
ρ sin 2φ .
Таким образом, в полярной системе координат линия описана
явно заданной функцией (8.3). Построим график этой функции.
106
Множества и отображения
Благодаря модулю функция (8.3) определена для всех
φ [0; 2π) . При этом она является периодической с периодом
π 2 . Поэтому достаточно построить ее график на промежутке
[0; π 2] и затем продолжить по периодичности. Подобные действия реализованы в задаче 19, пункт 2, § 5. Готовый график
функции (8.3) изображен на рис. 8.5.
Рис. 8.5
Точно такая же линия описывается уравнением
( x 2 y 2 )3 4 x 2 y 2
в декартовой системе координат, поэтому для изображения этой
линии на рис. 8.5 использовали наложение декартовых осей на
полярную систему координат.
Решение окончено.
8.2. Элементарные функции
Среди функций, которые можно задать явно, принято выделять класс элементарных функций. Использование слова «элементарные» не значит, что данные функции непременно самые
простые. Тут скорее можно говорить об исторически сложившемся наименовании.
§ 8. Способы задания функции одной переменной
107
В основе понятия элементарной функции лежит список основных элементарных функций:
x постоянные функции (константы) y C , C ;
x степенные функции y
xb , b
x показательные функции y
;
a , a ! 0, a z1;
x
x логарифмические функции y log a x , a ! 0 , a z 1 ;
x тригонометрические функции:
y sin x , y cos x , y tg x , y ctg x ;
x обратные тригонометрические функции:
y arcsin x , y arccos x , y arctg x , y arcctg x .
Более подробное описание и графики основных элементарных
функций имеются в приложении II.
Определение 8.1
Элементарной функцией называется функция, которую
можно задать явно одной формулой y f ( x) , где выражение
f ( x) составлено из основных элементарных функций при
помощи конечного числа операций сложения, вычитания,
умножения, деления и конечного числа композиций.
Неэлементарной функцией называется функция, которая не
относится к элементарным.
Приведем примеры элементарных функций:
y 3x 4 x 2 2 x 6 ;
y x 3x 2 ;
x2 1
e x e x
1 ·
x
§
y
ln ¨1 3 ¸ arctg .
;
2
2
x 1
2
sin ( x π)
© x ¹
Приведем примеры неэлементарных функций. Функция
1 1 1 1
y
1x 2 x 3x 4 x
не является элементарной, поскольку записывается при помощи
суммы бесконечного числа основных элементарных функций.
Результат бесконечного числа композиций также не является
элементарной функцией:
y
y
f
f
f
f
1
1 1 1 x , где f ( x)
1 x .
108
Множества и отображения
Существуют неэлементарные функции, которые вообще
нельзя задать аналитически (формулой), не прибегая к другим
математическим операциям, кроме арифметических действий и
композиций. Известным примером является функция
y > x@ ,
которая называется целой частью числа х. По определению это
наибольшее целое число, не превосходящее х. Например,
> 0, 214 @ 0 , ª¬ 2 º¼ 1 .
Целую часть числа можно задать следующей формулой:
> x @ max ^z : z d x` ,
но невозможно выразить через арифметические операции и
композиции основных элементарных функций.
Кроме того, большинство кусочно заданных функций также
не относятся к элементарным, поскольку описываются не одной, а несколькими формулами вида y f ( x) .
Например, не является элементарной известная функция Хевисайда (рис. 8.6):
y
Рис. 8.6
1, x t 0
.
®
¯0, x 0
Приведем еще пример кусочно заданной неэлементарной
функции (рис. 8.7):
y
1 2 x x 2 , x t 1
°
® x 1, 0 d x 1 .
°1 x , x 0
¯
Рис. 8.7
109
§ 8. Способы задания функции одной переменной
Заметим, что функция y
x тоже задается кусочно:
x , x t 0
.
®
¯ x, x 0
Однако ее можно записать и одной формулой как композицию
двух степенных функций:
x
x
x2 .
Поэтому модуль все же относится к элементарным функциям.
В отличие от модуля, функцию Хевисайда задать одной
формулой невозможно.
Несмотря на то что большинство кусочно заданных функций
не попадают в класс элементарных, сфера их использования
очень обширна, особенно в прикладной математике. Любой
процесс, состоящий из нескольких разнородных фаз, описывается кусочно заданной функцией.
Элементарные функции, в свою очередь, принято разделять
на несколько видов: многочлены, дробно-рациональные функции, иррациональные функции, трансцендентные функции.
Описание этих видов можно найти в учебниках [4], § 3, [5], раздел 3.6.
Задачи для самостоятельного решения
Задача 39. Построить «по точкам» график параметрически
заданной функции в декартовой системе координат.
° x 3cos3 t
1) ®
;
3
°̄ y 4sin t
° x t 2
2) ®
;
3
°̄ y 4t t
x
3)* ®
¯y
sin 3t
2 cos t
.
Задача 40. Линия на плоскости с декартовой системой координат описана неявно заданной функцией:
( x 2 y 2 )3 2( x 4 y 4 )
Изобразить эту линию с помощью перехода к явно заданной
функции в полярной системе координат.
Задача 41*. Для каждой из следующих явно заданных функций построить график в декартовой системе координат:
110
Множества и отображения
f ( x)
x2 6x 5 ,
g ( x)
x [ x] ,
5, x t 5
°
h( x )
z ( x) ® x 4 , 4 d x 5 .
°0, x 4
¯
Указать среди этих функций элементарные и неэлементарные.
Составить формулу и построить график для каждой из следующих композиций:
f h, h f , z f , g z, f g.
x , x t 0
,
®
¯0, x 0
§9
МОЩНОСТЬ МНОЖЕСТВА
Понятие мощности множества предназначено для сравнения
множеств по величине. Эта задача является тривиальной для
конечных множеств и решается сравнением количеств элементов в них. Но для бесконечных множеств задача их сравнения
приводит к проблеме: можно ли бесконечное количество элементов одного множества считать большим, равным или меньшим бесконечному количеству элементов другого множества?
По предложению Георга Кантора (немецкого математика конца
XIX в., основателя теории множеств) такое сравнение надо проводить путем построения взаимно однозначного соответствия.
Определение 9.1
Множества A и B называются равномощными (имеющими
одинаковую мощность), если между их элементами можно
установить взаимно однозначное соответствие, т. е. имеется
биективное отображение f : A o B .
Обозначение для равномощных множеств: A ~ B .
Ясно, что конечные множества имеют одинаковую мощность
в том и только в том случае, если они содержат равное число
элементов. Конечное множество и бесконечное множество не
могут быть равномощными. Понятие мощности предназначено
в первую очередь для сравнения двух бесконечных множеств.
Например, сравним множество натуральных чисел и множество четных натуральных чисел. Между этими множествами
можно установить взаимно однозначное соответствие (рис. 9.1).
Рис. 9.1
112
Множества и отображения
Это соответствие задается формулой f ( x) 2 x , x . Значит,
эти два бесконечные множества равномощны.
На этом примере видно, что принцип «часть меньше целого», справедливый для конечных множеств, не обязательно выполняется для бесконечных множеств. В данном случае часть
множества натуральных чисел равномощна целому множеству
натуральных чисел. Для бесконечных множеств верно, что
«часть не превосходит целого», т. е. мощность подмножества не
превосходит мощности целого множества.
Определение 9.2
Если множество A равномощно множеству натуральных
чисел , то оно называется счетным.
Наличие взаимно однозначного соответствия между множествами A и
означает, что все элементы множества A можно
проиндексировать натуральными номерами (рис. 9.2), т. е. пронумеровать.
Рис. 9.2
Задача 42. Проверить, являются счетными множества целых
чисел, рациональных чисел и вещественных чисел.
Решение. Исследуем каждое множество отдельно.
1. Множество целых чисел .
Докажем, что это множество счетное путем нумерации его
элементов. Запишем все целые числа, кроме нуля, в две строки и
покажем стрелками порядок нумерации (рис. 9.3).
Пусть число 0 будет первым элементом, число 1 – вторым,
число –1 – третьим, 2 – четвертым, –2 – пятым и т. д. Таким
способом можно друг за другом «обойти» и пронумеровать все
целые числа, а значит, множество
счетное.
113
§ 9. Мощность множества
Рис. 9.3
2.
Множество рациональных чисел
.
Докажем сначала, что множество
, состоящее из положительных рациональных чисел, счетное.
Любое положительные рациональное число может быть записано в виде обыкновенной дроби m n , где m , n . Разместим все такие дроби в бесконечной таблице: запишем в первую
строку все дроби с числителем 1, во вторую строку – все дроби
с числителем 2, в третью строку – дроби с числителем 3 и т. д.
(рис. 9.4). Таким образом, дробь m n стоит на пересечении
строки с номером m и столбца с номером n.
Рис. 9.4
Рис. 9.5
114
Множества и отображения
Ясно, что в этой таблице присутствует любое положительное
рациональное число, и притом не один раз. Например, число 1
встретится в виде дробей 1 1, 2 2, 3 3 и т. д., число 1 2 встретится в виде дробей 1 2, 2 4, 3 6 и т. д.
Уберем из этой таблицы все «дубли» каждого рационального
числа, некоторые места в таблице станут пустыми. Оставшиеся
числа пронумеруем так, как показано стрелками на рис. 9.5:
начинаем с левого верхнего угла таблицы, продвигаемся вниз и
направо, переходя с одной диагонали таблицы к следующей
диагонали.
Таким же способом можно пронумеровать отрицательные
рациональные числа , а потом объединить две последовательности и в одну путем чередования элементов (см.
схему нумерации целых чисел, рис. 9.3). Приходим к выводу,
счетное.
что множество рациональных чисел
3. Множество вещественных чисел .
Докажем, что это множество не является счетным. Для этого
нужно доказать, что невозможно пронумеровать все элементы
этого множества. Покажем, что невозможно пронумеровать даже такую небольшую часть этого множества, как все вещественные числа из интервала (0; 1) .
Для этого используем метод рассуждения «от противного».
Допустим, все числа из интервала (0; 1) можно пронумеровать:
(0;1)
^x1 , x2 , x3 ,
, xn ,
`.
Известно, что любое число x (0; 1) можно представить в виде
десятичной дроби x
0, α1α 2 α3
, где α k – цифры после запя-
той. Представим, что все элементы множества (0; 1) в таком
виде выписаны в столбик в порядке их нумерации:
x1 0, α1 α 2 α3 ;
x2
x3
0,β1β2β3
0, γ1γ2 γ3
;
;
§ 9. Мощность множества
115
Покажем, что существует такое число x (0; 1) , которое не
учтено в этом списке. Для этого построим последовательность
цифр по определенному принципу.
Выберем цифру c1 так: если α1 1 , то c1 2,
если α1 z 1 , то c1 1.
Выберем цифру c2 так: если β 2 1 , то c2 2,
если β 2 z 1 , то c2 1.
Выберем цифру c3 так: если γ3 1 , то c3 2,
если γ3 z 1 , то c3 1 и т. д.
Полученная последовательность цифр состоит только из единиц
и двоек, но главная ее особенность заключается в том, что
c1 z α1 , c2 z β2 , c3 z γ3 и т. д. Теперь рассмотрим число
x 0, c1c2 c3
По построению оно отличается от всех чисел, включенных в
нумерацию множества (0; 1), хотя бы одной цифрой после запятой. И при этом оно, очевидно, принадлежит интервалу (0; 1).
Это противоречит предположению, что все числа интервала
(0; 1) были пронумерованы. Значит, числа интервала (0; 1)
нельзя полностью пронумеровать. Тем более нельзя полностью
пронумеровать числа множества .
Заключаем, что множество вещественных чисел
не является счетным.
Решение окончено.
Последний пункт задачи 42 наводит на мысль, что счетные
множества не обладают самой большой мощностью среди всех
бесконечных множеств. На самом деле счетные множества являются самыми «маленькими» среди бесконечных множеств.
Например, множество
явно «больше», чем счетное.
Определение 9.3
Говорят, что множество вещественных чисел
имеет
мощность континуум (лат. continuum – непрерывный). Если
множество A равномощно множеству , то оно также имеет
мощность континуум, называется континуальным.
116
Множества и отображения
Задача 43. Доказать, что множество (0; 1) континуально.
Решение. В пункте 3 задачи 42 уже проверено, что интервал
(0; 1) не является счетным множеством. Чтобы доказать, что
это множество континуальное, необходимо построить взаимно
однозначное отображение:
f : o (0; 1) .
Его можно задать, например, такой формулой:
1
f ( x)
arcctg x (рис. 9.6).
π
Значит,
~ (0; 1) , т. е. интервал (0; 1) действительно имеет
мощность континуум.
Рис. 9.6
Решение окончено.
Аналогичным образом доказывается, что любой промежуток
или объединение промежутков на числовой прямой имеет мощность континуум.
Перечислим некоторые свойства счетных и континуальных
множеств:
x счетное множество останется счетным, если к нему добавить или из него изъять конечное число элементов;
x континуальное множество останется континуальным, если
к нему добавить или из него изъять конечное или счетное
число элементов;
x объединение нескольких счетных (континуальных) множеств – счетное (континуальное) множество;
x декартово произведение нескольких счетных (континуальных) множеств – счетное (континуальное) множество.
117
§ 9. Мощность множества
Доказательства некоторых из этих свойств являются несложными упражнениями.
Из второго свойства следует, что множество иррациональных чисел континуально, поскольку оно получается вычитанием
из континуального множества
счетного множества
. Выходит, что иррациональных чисел «больше», чем рациональных.
Из последнего свойства вытекает, что
~ 2 . Множество
всех точек на прямой и множество всех точек на плоскости
имеют одинаковую мощность, хотя кажется, что точек на плоскости «больше».
Задача 44. Доказать, что множество A, состоящее из всех
прямых на плоскости, имеет мощность континуум.
Решение. Рассмотрим плоскость с декартовой системой координат. Разобьем множество A на две части:
A A1 A2 ,
где A1 – множество прямых, параллельных оси ординат, A2 –
множество всех остальных прямых.
Прямые из множества A1 описываются уравнениями вида
a , a . Поэтому A1 ~ .
Все остальные прямые задаются уравнениями вида
y kx b , k , b . Каждой такой прямой взаимно однозначно
x
сопоставлена пара чисел (k , b)
2
. Поэтому A2 ~
2
.
Таким образом, A ~ . Согласно перечисленным выше
свойствам, множество A имеет мощность континуум.
Решение окончено.
2
В завершение этого параграфа отметим, что бывают множества еще большей мощности, чем континуальные. Например,
множество всех подмножеств континуального множества имеет
мощность больше континуума, эта мощность называется гиперконтинуум. Множество всех подмножеств гиперконтинуального
множества имеет мощность еще больше. И вообще, шкала мощностей бесконечных множеств не ограничена сверху, т. е. самого мощного множества не существует.
Гораздо сложнее оказался другой вопрос, поставленный еще
в конце XIX в. Георгом Кантором: бывают ли бесконечные
118
Множества и отображения
множества промежуточной мощности между счетными и континуальными? Предположение, что промежуточной мощности
не существует, известно в математике под названием континуум-гипотезы. В середине XX в. было доказано, что континуумгипотезу принципиально нельзя ни подтвердить, ни опровергнуть в рамках современной теории множеств.
Более глубокое погружение в теорию множеств и в исчисление мощностей предоставляет издание [1].
Задачи для самостоятельного решения
Задача 45. Выразить числовое множество в явном виде (записать списком точек или промежутками). Указать, является ли
множество конечным, счетным или континуальным.
2)
cos πk
½
,k ¾;
®
¯ k
¿
B ^x : 2 log 2 x d 0` ;
3)
C
4)
D
^x
5)
E
^x
6)
F
1)
A
^x
^
0` ;
: sin x
: e
x3 x
`
d1 ;
: x 1 x 3
x2 2x 5 , x
`.
2` ;
Задача 46. Доказать, что числовые множества A и B равномощны, построив взаимно однозначное отображение f : A o B .
1)
2)
3)
4)
A
A
A
A
[1;1] ,
(0; f) ,
[0; 1) ,
(0; 2] ,
B [0;1] ;
B
;
B [1; f) ;
B (0; 2] (3; 5] .
Задача 47*. Определить мощности следующих множеств,
обосновав каждый результат описанием соответствующего взаимно однозначного отображения и свойствами счетных и континуальных множеств.
§ 9. Мощность множества
119
1. Множество A состоит из всех отрезков, расположенных
на прямой.
2. Множество B состоит из бесконечного числа непересекающихся отрезков, расположенных на прямой.
3. Множество C состоит из бесконечного числа непересекающихся кругов, расположенных на плоскости.
4. Множество D состоит из всех кругов, расположенных на
плоскости.
5. Множество E состоит из всех десятизначных номеров,
образованных цифрами 0 и 1.
6. Множество F состоит из всех конечных номеров, образованных цифрами 0 и 1.
7. Множество G состоит из всех бесконечных номеров,
образованных цифрами 0 и 1.
Приложение I
МЕТОД МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ИНДУКЦИИ
Пусть требуется доказать конечную или бесконечную последовательность утверждений:
A1 , A 2 , A 3 , A 4 , …, A n , …
Метод математической индукции позволяет это сделать в два
этапа:
x проверить справедливость утверждения A1 – этот этап
называется базой индукции;
x доказать, что если утверждение A n верно, то утверждение
An1 тоже верно, т. е. A n A n1 , – этот этап называется
индукционным переходом.
Логика этого метода проста. Если из справедливости утверждения вытекает справедливость следующего утверждения, то
из 1-го утверждения вытекает 2-е, из 2-го вытекает 3-е, из 3-го
вытекает 4-е и т. д. Приходим к выводу, что вся последовательность утверждений верна.
Метод математической индукции часто используется для доказательства того, что какое-либо равенство или неравенство с
участием натурального числа n выполняется при любых значениях n.
Задача 48. Доказать методом математической индукции, что
первые несколько членов геометрической прогрессии можно
просуммировать по следующей формуле:
1 qn
1 q q 2 q n 1
.
(1)
1 q
Решение. Формула (1) зависит от количества членов прогрессии, выраженного натуральным числом n. Поэтому формулу (1) можно считать последовательностью равенств: при n 1 ,
при n 2 , при n 3 и т. д.
Проверим справедливость формулы (1) для n 1:
121
Приложение I. Метод математической индукции
1 q
– верно.
1 q
Докажем, что если формула (1) верна для суммы n членов
геометрической прогрессии (от 1 до q n 1 ), то такая же формула
1
верна и для суммы (n 1) -го члена прогрессии (от 1 до q n ):
1 q q2
qn
( q q2
(1
q n 1 ) q n
1 qn
1 q n q n (1 q ) 1 q n 1
qn
.
1 q
1 q
1 q
Следовательно, формула (1) справедлива для любого натурального n, что и требовалось доказать.
Решение окончено.
В математике нередко встречаются утверждения, которые
верны не для всех значений n 1, 2, 3 , а только для n t n0 .
Тогда говорят, что утверждение выполняется, начиная с некоторого значения n. Тогда в качестве базы индукции следует проверить справедливость утверждения с номером n0 , а индукционный переход обосновывает справедливость всех последующих утверждений.
Задача 49. Доказать методом математической индукции, что
2 ! n2 для всех n t 5 .
n
Решение. Проверим неравенство при n 5 :
32 ! 25 – верно.
Докажем, что если неравенство 2n ! n2 справедливо, то и
неравенство 2n 1 ! (n 1) 2 справедливо. Из 2n ! n2 вытекает
2n1
2 2n ! 2n2 , и остается проверить, что 2n 2 ! (n 1) 2 :
2n 2 (n 1) 2
2n 2 n 2 2n 1
n 2 2n 1 (n 1) 2 2 ! 0 – верно при n t 5 .
Следовательно, неравенство 2n ! n2 справедливо для любого
натурального n t 5 , что и требовалось доказать.
Решение окончено.
122
Множества и отображения
Задача 50. Доказать методом математической индукции, что
n ! ! 2 n , начиная с некоторого n.
Символом n ! обозначена математическая операция, равная
произведению всех натуральных чисел от 1 до n включительно:
n! 1 2 3 n .
Результат такой операции называется n-факториал.
Решение. Найдем наименьшее натуральное значение n, для
которого верно неравенство n ! ! 2 n :
n 1: 1! 1, 21
2, 1 2 ;
n
2 : 2! 1 2
n
3 : 3! 1 2 3 6, 2
n
4 : 4! 1 2 3 4
4, 2 4 ;
2, 22
3
8, 6 8 ;
24, 44
16, 24 ! 16 .
Итак, неравенство n ! ! 2 выполняется для n 4 . Считаем это
базой индукции.
Докажем для n t 4 , что если неравенство n ! ! 2 n верно, то
n
неравенство (n 1)! ! 2 n 1 тоже верно:
(n 1)! (n 1)n ! ! (n 1)2n ! 2 2n
2n 1 .
Следовательно, неравенство n ! ! 2 n справедливо для любого
натурального n t 4 , что и требовалось доказать.
Решение окончено.
Замечание. Из задач 49, 50 получаем, что n ! ! 2n ! n 2 при
n t 5 . На самом деле можно доказать более общий факт. Пусть
a ! 1 , k ! 0 , тогда существует такое натуральное значение n0 ,
что
n ! ! a n ! n k для n t n0 .
Это значит, что, начиная с некоторого n, операция n ! дает более
крупный результат, чем показательное выражение a n , которое,
в свою очередь, крупнее, чем степенное выражение nk .
123
Приложение I. Метод математической индукции
Бином Ньютона
Слово «бином» (двучлен) – это старинное наименование для
суммы двух величин a и b, по аналогии со словом «полином»
(многочлен) – сумма нескольких величин. Существует формула,
позволяющая разложить любую натуральную степень бинома на
отдельные слагаемые. Эта формула называется бином Ньютона:
a n Cn1 a n 1b Cn2 a n 2 b 2 ... Cnn 1ab n 1 b n .
( a b) n
(2)
n!
– биномиальные коэффициенты.
k !(n k )!
Формулу (2) можно записать в компактном виде, используя
знак суммы по переменному параметру k и полагая 0! 1 :
Здесь Cnk
( a b) n
n
¦C
k
n
a nk bk .
(3)
k 0
Проведем апробацию формулы (3) при n 1, 2, 3, 4 .
Пусть n 1 , тогда
1!
1!
C10
1 , C11
1,
0!(1 0)!
1!(1 1)!
1
¦C
( a b)1
k
1
a1 k b k
C10 a C11b
ab.
k 0
2 , тогда
2!
1 , C21
0!(2 0)!
Пусть n
C20
2
¦C
(a b) 2
k
2
2!
1!(2 1)!
a 2k bk
2
1
2!
1,
2!(2 2)!
2 , C22
C20 a 2 C21 ab C22b 2
a 2 2ab b 2 .
k 0
Пусть n
3 , тогда
C30
3!
1 , C31
0!(3 0)!
C32
3!
2!(3 2)!
( a b) 3
3
¦C
k
3
a 3 k b k
6
2
3!
1!(3 1)!
3 , C33
6
2
3,
3!
1,
3!(3 3)!
C30 a 3 C31a 2b C32 ab 2 C33b3
k 0
a3 3a 2b 3ab 2 b3 .
124
Множества и отображения
Пусть n
4 , тогда
4!
1 , C41
0!(4 0)!
C40
4!
2!(4 2)!
C42
4!
3!(4 3)!
C43
( a b) 4
4
¦C
k
4
4!
1!(4 1)!
a 4k bk
24
6
24
4
24
6
4,
6,
4!
1,
4!(4 4)!
4 , C44
C40 a 3 C41 a 3b C42 a 2b 2 C43 ab3 C44b 4
k 0
a 4 4a3b 6a 2 b 2 4ab3 b 4 .
Замечание. Формулы квадрата суммы и куба суммы, известные из курса элементарной математики, являются частными
случаями бинома Ньютона при n 2 и n 3 .
Докажем методом математической индукции, что бином
Ньютона справедлив для любого натурального числа n.
База индукции уже проверена при апробации частных случаев, остается реализовать индукционный переход. Предположим,
что формула (3) справедлива для некоторой натуральной степени n. Докажем, что тогда для степени (n 1) формула (3) тоже
верна (с точностью до подстановки n 1 на место n).
(a b) n 1
n
(a b)¦ Cnk a n k b k
(a b)(a b) n
k 0
n
¦C
k
n
k 0
Заметим сразу, что C
0
n
n
a n 1 k b k ¦ Cnk a n k b k 1 .
k 0
1, C
n
n
1 . От первой суммы отделяем
n 1
первое слагаемое a , от второй суммы отделяем последнее
слагаемое bn1 . Кроме того, во второй сумме обозначим
l k 1 . После этого две суммы объединим в одну:
(a b) n 1
n
n
k 1
l 1
a n 1 ¦ Cnk a n 1 k b k ¦ Cnl 1a n 1 l bl b n 1
n
a n 1 ¦ (Cnk Cnk 1 )a n 1 k b k b n 1 .
k 1
125
Приложение I. Метод математической индукции
Покажем справедливость равенства Cnk Cnk 1
Cnk Cnk 1
Cnk1 :
n!
n!
k !(n k )! (k 1)!( n k 1)!
n!
1
§1
·
¨
¸
(k 1)!( n k )! © k n k 1 ¹
n!
n 1
( k 1)!( n k )! k ( n k 1)
(n 1)!
Cnk1 .
k !(n k 1)!
Наконец, приходим к справедливости формулы (3) для (n 1) :
(a b) n 1
n
a n 1 ¦ Cnk1a n 1 k b k b n 1
k 1
n
Cn01a n 1b 0 ¦ Cnk a n 1 k b k Cnn11a 0 b n 1
k 1
n 1
¦C
k
n
a n 1 k b k .
k 0
Следовательно, формула бинома Ньютона справедлива для любого натурального числа n, что и требовалось доказать.
Приложение II
ОСНОВНЫЕ ФУНКЦИИ И ГРАФИКИ
Основные элементарные функции
Ниже указаны формулы, естественные области определения
и ключевые свойства основных элементарных функций. Графики функций построены в декартовой системе координат.
I. Постоянные функции (константы) y C , C .
Постоянная функция определена на всей числовой прямой.
Графиком является прямая, параллельная оси абсцисс.
Рис. 1
Приложение II. Основные функции и графики
127
II. Степенные функции y x b , b .
Перечислим самые распространенные случаи. Пусть n .
Степенная функция с натуральным показателем y x n
определена на всей числовой прямой (рис. 1 а, б).
Степенная функция с целым отрицательным показателем
y x n определена на всей числовой прямой, кроме точки
x 0 . Оси абсцисс и ординат являются асимптотами графика
такой функции (рис. 3 а, б).
Степенная функция вида y n x определена на всей числовой прямой при нечетных значениях n (рис. 2 а) и на промежутке [0; f) при четных n (рис. 2 б).
Во всех случаях форма графика зависит от четности и величины числа n.
Рис. 2
128
Множества и отображения
Рис. 3
Приложение II. Основные функции и графики
129
III. Показательные функции y a x , a ! 0 , a z 1 .
Показательная функция определена на всем множестве
и
принимает значения в промежутке (0; f) . Функция строго
монотонна. График показательной функции проходит через точку (0, 1) . Ось абсцисс является асимптотой графика. Конкретная форма графика зависит от того, каково число a : больше
единицы (рис. 4 а) или меньше единицы (рис. 4 б).
Рис. 4
130
Множества и отображения
IV. Логарифмические функции y log a x , a ! 0 , a z 1 .
Естественная область определения логарифмической функции – промежуток (0; f) , множество значений – .
Рис. 5
Приложение II. Основные функции и графики
131
Логарифмическая функция строго монотонна. График функции проходит через точку (1, 0) . Ось ординат является асимптотой графика. Форма графика зависит от того, каково число a :
больше единицы (рис. 5 а) или меньше единицы (рис. 5 б). По
определению логарифма:
y log a x x a y .
Поэтому показательная и логарифмическая функции
y a x , y log a x
являются взаимно обратными.
В частности, к показательным относится функция y e x ,
называемая экспонентой, где e 2,718281 – иррациональное
число, играющее большую роль в математике. Обратной к ней
функцией является натуральным логарифм, т. е. логарифм по
основанию e : y ln x loge x . Графики этих функций приведены на рис. 6.
Рис. 6
Множества и отображения
Рис. 7
132
133
Приложение II. Основные функции и графики
V.
Тригонометрические
y tg x , y ctg x .
функции
y
sin x ,
y
cos x ,
Функции y sin x и y cos x определены на всей числовой
прямой
и принимают значения в промежутке [1;1] (рис. 7).
Функция y tg x определена на всей числовой прямой за
исключением точек x S 2 Sk , k , в которых график
функции имеет вертикальные асимптоты (рис. 8). Функция
y ctg x определена на всей числовой прямой за исключением
точек x πk , k , в которых график функции имеет вертикальные асимптоты (рис. 9). Множество значений функций
y tg x и y ctg x – вся числовая прямая .
Функции y sin x и y cos x являются 2π -периодическими. Функции y tg x и y ctg x являются π -периодическими.
Рис. 8
134
Множества и отображения
Рис. 9
Кроме классических тригонометрических функций, в математике и в приложениях используются функции гиперболической тригонометрии:
e x e x
e x e x
y sh x
y ch x
,
,
2
2
гиперболический синус;
гиперболический косинус;
sh x e x e x
,
ch x e x e x
гиперболический тангенс;
y
th x
ch x e x e x
,
sh x e x e x
гиперболический котангенс.
cth x
Гиперболические функции не являются периодическими.
Связь между классической и гиперболической тригонометриями
проявляется при переходе от вещественных чисел к комплексным числам и функциям комплексной переменной.
Приложение II. Основные функции и графики
135
VI. Обратные тригонометрические функции y arcsin x ,
y arccos x , y arctg x , y arcctg x .
Перечисленные функции являются обратными для сужений
тригонометрических функций y sin x , y cos x , y tg x ,
y ctg x на те промежутки, на которых они обратимы (см. об
этом подробнее § 7).
Естественной областью определения для функций
y arcsin x и y arccos x является промежуток [1;1] . При
этом функция y arcsin x принимает значения в промежутке
[ π 2; π 2] , а функция y arccos x – в промежутке [0; π] .
Естественной областью определения для функций
.
y arctg x и y arcctg x является вся числовая прямая
Функция y arctg x принимает значения в промежутке
( π 2; π 2) , и график имеет горизонтальные асимптоты
y S 2 и y S 2 . Функция y arcctg x принимает значения
в промежутке (0; π) , и график имеет горизонтальные асимптоты y 0 и y S .
Графики обратных тригонометрических функций представлены на рис. 10–11.
Рис. 10
136
Множества и отображения
Рис. 11
Изучение основных элементарных функций – одна из главных задач курса элементарной (школьной) математики. В книгах по высшей математике (например, учебник [5], раздел 3.5),
можно встретить лишь краткое повторение этого материала.
Правила преобразования графиков
Пусть известен график функции y f ( x) , построенный в
декартовой системе координат. В таблице 3 описаны правила
преобразования графика, соответствующие простейшим преобразованиям формулы y f ( x) .
Правила преобразования графика проиллюстрированы на
рис. 12–13. На каждом из рисунков график исходной функции
y f ( x) изображает линия серого цвета, преобразование графика – линия черного цвета.
Приложение II. Основные функции и графики
137
Рассмотрим произвольное число a ! 0 .
Преобразование
формулы
y
f ( x r a)
y
f ( x) r a
y
a f ( x)
y
f (a x)
y
f ( x)
y
f ( x)
y
f ( x)
y
f (| x |)
Таблица 3
Преобразование графика
функции y f ( x)
Сдвиг графика функции y f ( x) вдоль
оси абсцисс. В случае f ( x a) сдвиг на a
единиц вправо, в случае f ( x a) сдвиг на
a единиц влево (рис. 12 а)
Сдвиг графика функции y f ( x) вдоль
оси ординат. В случае f ( x) a сдвиг на a
единиц вниз, в случае f ( x) a сдвиг на a
единиц вверх (рис. 12 б)
Сжатие или растяжение графика y f ( x)
вдоль оси ординат. Сжатие при a 1 , растяжение при a ! 1 (рис. 12 в)
Сжатие или растяжение графика y f ( x)
вдоль оси абсцисс. Растяжение при a 1 ,
сжатие при a ! 1 (рис. 12 г)
Симметричное отражение графика функции y f ( x) относительно оси абсцисс
(рис. 13 а)
Симметричное отражение графика функции y f ( x) относительно оси ординат
(рис. 13 б)
Части графика функции y f ( x) , для которых y t 0 , остаются неизменными. Части графика функции y f ( x) , для которых y 0 , симметрично отражаются относительно оси абсцисс (рис. 13 в)
График состоит из части графика y f ( x) ,
x t 0 , и ее симметричного отражения относительно оси ординат (рис. 13 г)
138
Множества и отображения
Рис. 12
Приложение II. Основные функции и графики
Рис. 13
139
ОТВЕТЫ К НЕКОТОРЫМ ЗАДАЧАМ
ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
Задача 4.
Возможные варианты формальных записей:
1) x x 2 t 0 ;
2) x y , z : y x z ;
3) a : ax a x ;
4)
x2 y 2
0
5)
ªx ! 0
x y !0 «
.
¬y ! 0
x
y
0;
Задача 5.
Верные высказывания: 3, 5, 9, 11, 14, 16. Возможные варианты исправления для ложных высказываний:
ªa ! b
1) a z b «
;
¬a b
a d b
b ®
;
¯a t b
2)
a
4)
ab ! c , b ! 0 a !
6)
a z 0 b
7)
b 4ac t 0 x
8)
xy
c
;
b
: ab
b 1
2
0
10) a
ªx
«y
¬
a2
0
0
2
: ax bx c
;
a ;
12) cos( x) cos x x ;
13) x , y [0; π] x y cos x ! cos y ;
15) x
ex z 0 .
0;
Ответы к некоторым задачам для самостоятельного решения
141
Задача 6.
А B в пунктах 1, 3, 9;
A B в пунктах 4, 5, 7, 10;
A B в пунктах 2, 6, 8.
Задача 8.
1. Верные высказывания: 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 13, 16, 17.
2. Верные высказывания: 4, 5, 7, 8, 9, 10.
Задача 11.
1. A {1, 2} .
Множество конечное, дискретное, замкнутое, ограниченное,
max A sup A 2 , inf A min A 1 .
2. B (f ; 2) (3 2; 5] .
Множество бесконечное, несвязное (но не дискретное), не
открытое и не замкнутое, неограниченное, max B sup B 5 ,
min B не существует, inf B f .
3. C (1; 3) .
Множество бесконечное, связное, открытое, ограниченное,
max C , min C не существуют, sup C 3 , inf C 1 .
π
ª π
º
2 πk ; 2πk » .
« 2 2π
2
¼
k ¬
k
Множество бесконечное, несвязное (но не дискретное), замкнутое, неограниченное, max D , min D не существуют,
sup D f , inf D f .
4.
D
5. E {2, 0, 1} .
Множество конечное, дискретное, замкнутое, ограниченное:
max E sup E 1 , min E inf E 2 .
6. F [3 2; 6) .
Множество бесконечное, связное, не открытое и не замкнутое, ограниченное, min F inf F 3 2 , max F не существует,
sup F 6 .
7. S (f; 4) ( 2; 2) (4; f) .
Множество бесконечное, несвязное (но не дискретное), открытое, неограниченное, max S , min S не существуют,
sup S f , inf S f .
142
Множества и отображения
1 2 3 4 5
½
®0 , , , , , , ¾ .
¯ 2 3 4 5 6
¿
Множество бесконечное, дискретное, не открытое и не замкнутое, ограниченное, min W inf W 0 , maxW не существует, supW 1 .
8.
W
9. X (f ;1] [9; f) .
Множество бесконечное, несвязное (но не дискретное), замкнутое, неограниченное, max X , min X не существуют,
sup X f , inf X f .
^
`
1 1 1 1
, , , ,1, 2, 4, 8,16,
.
16 8 4 2
Множество бесконечное, дискретное, не открытое и не замкнутое, неограниченное, maxY и minY не существуют,
supY f , inf Y 0 .
10. Y
,
Задача 12.
F Y
{2, 4} ; W \ D
BS E
Au E
SuX
; C \ A (f ;1] {2} [3; f) ;
(f ; 4) ;
; BS X
^ (1, 2), (1, 0), (1, 1), (2, 2), (2, 0), (2, 1)` (рис. 1);
^ ( x , y) : x [4; 2] [2; 4], y (1; 9)` (рис. 2).
Рис. 1
Рис. 2
Ответы к некоторым задачам для самостоятельного решения
143
Задача 15.
1) A связное, замкнутое, ограниченное (рис. 3);
2) B связное, открытое, неограниченное (рис. 4);
3) C несвязное, замкнутое, ограниченное (рис. 5);
4) D несвязное, открытое, ограниченное (рис. 6);
5) E связное, замкнутое, неограниченное (рис. 7);
6) F ;
7) G связное, открытое, ограниченное (рис. 8);
8) H связное, не замкнутое и не открытое, неограниченное
(рис. 9);
9) I связное, замкнутое, неограниченное (рис. 10);
10) J связное, открытое, неограниченное (рис. 11).
Рис. 4
Рис. 3
Рис. 5
144
Множества и отображения
Рис. 6
Рис. 7
Рис. 9
Рис. 8
Задача 16.
S
( x , y)
T
U
V
^
^ ( x , y)
®( x , y )
¯
^ ( x , y)
2
2
: x d 1, y d 3` ;
: cos πx 1 2 y d cos πx 1`
3
3
1 ½
x 3, 3 x y 2 x ¾ ;
4
2
2 ¿
2
: x2 y
2
: x2 ( y 1)2 d 9, x2 ( y 2)2 t 4` .
Ответы к некоторым задачам для самостоятельного решения
Рис. 10
Рис. 11
Задача 21.
1) M[0; S] (рис. 12);
ª 5S S º ª S S º ª S 5S º
2) M « ; » « ; » « ; » (рис. 13);
2¼ ¬ 6 6¼ ¬2 6 ¼
¬ 6
3) M [0; 2S) (рис. 14);
4) M [0; 2S) (рис. 15).
Рис. 12
145
146
Множества и отображения
Рис. 13
Рис. 14
Ответы к некоторым задачам для самостоятельного решения
147
Рис. 15
Задача 22.
1) C несвязное, замкнутое, ограниченное (рис. 16);
2) D связное, не замкнутое и не открытое, ограниченное
(рис. 17).
Рис. 16
148
Множества и отображения
Рис. 17
Задача 27.
1. X
, f (X )
, f ( A) [8; f) , Ac [2; f) .
Функция f не ограничена ни на своей области определения,
ни на множестве A:
min f 8 , max f не существует, sup f f .
A
A
A
X [2; 2] , g ( X ) [0; π] , g ( A) > S 3; S 2@ , Ac [0;1] .
Функция g ограничена как на множестве A, так и на всей
своей области определения:
min g S 3 , max g S 2 .
2.
A
A
3. X
, h( X ) (1; f) , h( A) (1; 0) , Ac ( f ; 0) .
Функция h не ограничена на своей области определения, но
ограничена на множестве A:
min h , max h не существуют, inf h 1 , sup h 0 .
A
A
A
A
4. X [1;1] , z ( X ) [0; 1] , z ( A) (0; 1] , Ac (1; 1) .
Функция z ограничена как на множестве A, так и на всей своей области определения:
max z 1 , min z не существует, inf z 0 .
A
A
A
Ответы к некоторым задачам для самостоятельного решения
149
X (f ; 1) (1; f) , ψ( X ) (f ; 0) (0; f) ,
ψ( A) (f ; 1] , Ac [0; 1) .
Функция \ не ограничена ни на своей области определения,
ни на множестве A:
max ψ 1 , min \ не существует, inf ψ f .
5.
A
A
6.
A
, φ( X ) [1; 1] , φ( A) [1; 1 2] ,
X
>1 3 2k ; 5 3 2k @ .
Ac
k
Функция M ограничена как на множестве A, так и на всей
своей области определения:
min M 1 , max φ 1 2 .
A
7.
A
, ω( X ) [0; 1 2) , ω( A) [1 4; 1 2) ,
(f ; 2] [0; f) .
Функция Z ограничена как на множестве A, так и на всей
своей области определения:
min ω 1 4 , max Z не существует, sup ω 1 2 .
X
Ac
A
A
A
Задача 28.
1.
f( u )
Ac
2.
^(m , n)
f (X )
3.
u
1 1
½
® , , 1, 2 , 3¾ ,
¯3 2
¿
: m n` .
(0; f) , f ( A)
Задача 29.
1. (φ f )( x)
2.
, f ( A)
cos(π
c
x3 ) , X
§ 3 3º
¨¨ 0;
» , Ac
4 ¼
©
, (φ f ) ( X ) [1; 1] .
1
arctg 3 ( x 1) , X
π3
( f ω) ( X ) [0; 1 8) .
( f ω)( x)
X.
,
1
, X (f ; 1 2) (1 2; f) ,
4x 2
(ψ h) ( X ) (f ; 1 2) (0; f) .
(ψ h)( x)
150
4.
Множества и отображения
( g h)( x)
( g h) ( X )
5.
4x 1
, X
2
ª 2π ·
«0; 3 ¸ .
¬
¹
aarccos
1
, X
( x 1)2
( z ψ) ( X ) [0; 1) .
( z ψ)( x)
1
(f ; log 4 3] ,
(f ; 0] [2; f) ,
Задача 33.
Инъективными являются отображения 1, 4, 5, 6.
Сюръективными являются отображения 1, 3, 5.
Биективными являются отображения 1, 5.
Задача 34.
1)
f инъекция, не сюръекция, не биекция, необратимо;
2)
f биекция, обратимо:
f 1 :
o
, f 1 ( y )
y3 2 ;
3)
f биекция, обратимо:
4)
3
4 y2 ;
2
f сюръекция, не инъекция, не биекция, необратимо;
f не сюръекция, не инъекция, не биекция, необратимо;
f биекция, обратимо:
f 1 : [2; 0] o [0; 3], f 1 ( y)
5)
6)
f 1 : (f ; 4) o (f ; 2) , f 1 ( y )
7)
2
1
4 y
;
f биекция, обратимо:
f 1 : [1; 1] o [π ; 2π], f 1 ( y )
Задача 39.
1) Рис. 18;
2) рис. 19.
arccos( y ) π .
Ответы к некоторым задачам для самостоятельного решения
Рис. 18
Рис. 19
Задача 40.
U
2 sin 2 2M (рис. 20).
Рис. 20
151
152
Множества и отображения
Задача 45.
½
¾ , счетное множество;
¿
1)
A
1 1 1 1
® 1, , , , ,
2 3 4 5
¯
2)
B
§ 1º
¨ 0; » , континуальное множество;
© 4¼
3)
C {0, r S , r 2S ,
4)
D
^1, 0, 1` , конечное множество;
5)
E
F
[1; 3] , континуальное множество;
[2; f) , континуальное множество.
6)
} , счетное множество;
Задача 46.
Возможные варианты взаимно однозначных отображений:
x 1
2)
f ( x) ln x ;
1)
;
f ( x)
2
2 x , 0 x d 1
1
f ( x) ®
4)
.
;
3)
f ( x)
1 x
¯2 x 1, 1 x d 2
КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ
1. Изобразить множества A, B, C при помощи диаграммы
Эйлера. Внести в таблицу результаты указанных операций.
результат операции
A B
AC
A B C
A\C
B \ AC
С \ A B
CuB
^2, 4, 5, 7, 9, 12, 13`, B ^4, 12` , C ^2, 7, 13` ;
2) A ^6, 8, 10, 14` , B ^8, 11, 14, 16` , C ^6, 11, 15` ;
3) A ^3, 2, 4, 13, 26, 30` , B ^13, 30` , C ^2, 13` ;
4) A ^5, 2, 1, 0, 4, 6` , B ^2, 1, 0, 6` , C ^2, 0` ;
5) A ^4, 6, 8, 13, 15` , B ^5, 7` , C ^8, 13, 14, 16` ;
6) A ^8, 5, 2, 1` , B ^2, 1, 3, 5` , C ^5, 5, 7` ;
7) A ^2, 3, 4, 8, 12` , B ^3, 8, 9` , C ^3, 2, 0, 4` ;
8) A ^0, 4, 5, 7, 9` , B ^0, 3, 7` , C ^4, 9` ;
9) A ^10, 4, 2, 9, 13 ` , B ^10, 9, 13` , C ^0, 1, 2` ;
10) A ^3, 1, 0, 2, 6, 8` , B ^0, 2` , C ^3, 6, 8` ;
11) A ^2, 3, 7, 8, 16, 20` , B ^3, 8, 16, 20` , C ^8, 20` ;
12) A ^4, 7, 11, 17` , B ^11, 13, 14` , C ^7, 8, 9` ;
1) A
154
13) A
14) A
15) A
16) A
17) A
18) A
19) A
20) A
21) A
22) A
23) A
24) A
25) A
26) A
27) A
28) A
29) A
30) A
Множества и отображения
^5, 2, 1, 0, 3`, B ^1, 3` , C ^3, 2, 4, 5` ;
^3, 2, 2, 3, 4, 5`, B ^3, 3, 4, 5` , C ^3, 5` ;
^1, 2, 3, 4, 5, 6`, B ^2, 1, 0, 1` , C ^5, 6, 7` ;
^5, 3, 1, 1, 3, 5`, B ^3, 1, 3` , C ^1, 1, 3` ;
^3, 1, 2, 4, 6`, B ^1, 3, 8` , C ^2, 6` ;
^3, 5, 6, 9, 12, 14`, B ^5, 6, 12, 14` , C ^2, 4` ;
^4, 3, 6, 12` , B ^3, 9, 13` , C ^6, 11, 13` ;
^1, 2, 3, 4, 5`, B ^6, 8` , C ^2, 5, 7` ;
^5, 8, 9, 12, 15, 20` , B ^8, 13` , C ^9, 15, 16, 17` ;
^5, 3, 1, 0` , B ^4, 3, 0` , C ^5, 1, 2` ;
^4, 2, 0, 3, 5, 8`, B ^2, 5, 8` , C ^4, 5` ;
^0, 6, 13, 16, 60`, B ^6, 13, 60` , C ^0, 60` ;
^3, 5, 7, 10, 21, 22`, B ^7, 8, 9` , C ^10, 22` ;
^5, 1, 6, 8, 9` , B ^1, 8` , C ^2, 0, 1, 4` ;
^45, 21, 3, 4, 56` , B ^21, 3` , C ^21, 4` ;
^4, 0, 4, 8` , B ^12, 2, 4` , C ^12, 4, 5` ;
^7, 2, 1, 3, 6, 14`, B ^2, 14` , C ^2, 3, 6` ;
^6, 5, 4, 4, 5` , B ^2, 6` , C ^4, 5, 7` .
2. Записать числовые множества A и B в виде промежутков, изобразить на числовой прямой. Изобразить множество
A u B на плоскости с декартовой системой координат. Внести в
таблицу результаты указанных операций.
результат операции
A B
A B
B\ A
B
155
Контрольные задания
1)
2)
3)
4)
A
^x
: x x 2 d 4`,
B
®x
¯
:
A
^x
:
B
^x
: 1 5 2 x 4` ;
A
®x
¯
:
^x (π; π) :
A
A
B
7)
A
B
8)
9)
3 x
^x
^x
^x
1 ½
¾,
x¿
t
A
B
6)
1
^x [0; π] : 4sin
°
®x
°
¯
®x
¯
2
x d 3` ;
2cos x 1` ,
½
x3
°
d 0¾ ;
3x 2
°
¿
1
2 ½
:
d
¾,
x 2 1 x ¿
:
: x 3 x 1 ` ;
:
`
x 2 3x 2 t x ,
: x x `;
2
4x 1
½
5 ! 0¾ ,
®x :
x2
¯
¿
1
½
® x ( π ; π) : cos x t 0 ¾ ;
2
¯
¿
A
^x
:
B
^x
: 1 1 x 2` ;
A
®x
¯
:
B
10) A
B
`
3 2x ! 4 x ,
B
B
5)
x
1 ½
t
¾;
x2 1 x 2 ¿
^x
^x
`
2x 1 2 x ,
2x
x 8½
d
¾,
x 2 x 5¿
: x 1 x 4 t 6` ;
:
`
x2 x ,
^x (0; 2π) : 4cos
2
x d 1` ;
156
Множества и отображения
11) A
B
12) A
B
13) A
^x
:
`
x2 4x ! x 3 ,
½
2
°
°
d 0¾ ;
® x [0; 2π] : sin x
2
°
°
¯
¿
½
4x 2
°
°
t 0¾ ,
®x :
3
x
°
°
¯
¿
^x (0; 2π) :
^x
cos x ! sin x` ;
: x 1 x 1 t 5` ,
B
^x
:
14) A
^x
: 1 2 x 4 3`,
B
®x
¯
:
15) A
B
16) A
B
17) A
B
^x
^x
`
x 2 5 5 x 11 ;
1
x4
: x 2 x t 4`,
:
:
`
x2 4 x 3 x ;
^x (0; π) : 2cos
^x
2
x ! 1` ,
`
x2 4 4x 7 ;
^x [π; π]: 4sin
^x
½
¾;
2x 3 ¿
1
d
2
x t 3` ,
: x3 ! x ` ;
1
2 ½
®x :
¾,
x 2 x 5¿
¯
B ^x (π; π) : cos x t sin x` ;
18) A
19) A
^x
:
B
®x
¯
:
20) A
B
^x
`
x2 ! x ,
1
2 ½
t
¾;
x 2 1 x ¿
: 2 d 2 x 1 d 5`,
2
® x (0; π) : cos x
¯
1½
¾;
2¿
157
Контрольные задания
21) A
B
22) A
®x
¯
^x
:
2x 1
½
t 0¾ ,
3 x
¿
: x2 x t 0` ;
^x (0; 2π) :
B
^x
:
23) A
®x
¯
:
2sin x 1` ,
`
x2 4 t 4x 7 ;
x
1 ½
¾,
x2 1 x 2 ¿
B
^x
:
24) A
^x
: x 2 x ! 0`,
B
25) A
B
^x
:
:
`
x 2 3x 2 x ;
^x (π; π) : 4sin
°
®x
°
¯
`
3 2x d 4 x ;
2
x t 1` ,
½
1 2x
°
0¾ ;
x 1
°
¿
½
2
°
°
! 0¾ ,
® x (0; 2π) : cos x
2
°
°
¯
¿
B ^x : x 1 x 4 d 6` ;
26) A
27) A
B
28) A
B
29) A
®x
¯
^x
:
:
2
1 ½
d
¾,
x 5 x 2¿
^x [0; π] :
^x
:
sin x t cos x` ,
^x (π; π) : 4cos
2
x 3` ,
^x
: x 1 d x 4 ` ;
30) A
®x
¯
:
^x
:
`
x2 2 ! 5x 8 ;
B
B
`
2x 1 ! 2 x ;
2x
x 8½
!
¾,
x 2 x 5¿
`
x2 2x 1 t 2x .
158
Множества и отображения
3. Даны числовые множества A, B, C. Выразить каждое
множество явно: записать списком точек или промежутками.
Внести в таблицу указанные характеристики множеств.
A
конечное (да/нет)
связное (да/нет)
дискретное (да/нет)
замкнутое (да/нет)
открытое (да/нет)
ограниченное (да/нет)
максимум множества
супремум множества
минимум множества
инфимум множества
1)
2)
A
:
`
x2 x ,
B
^x (0; 2π) : 4cos
C
^x
2
x d 1` ,
: 1 log2 x 4` ;
4x 1
½
5 ! 0¾ ,
®x :
x2
¯
¿
B ^x (π; π) : 2cos x 1 t 0` ,
A
C
3)
^x
A
3n 1
½
, n ¾;
®
¯ n
¿
2x
x 8½
d
®x :
¾,
x
5¿
x
2
¯
B
^x
: x 1 x 4 t 6` ,
C
1
½
® n , n ¾ ;
2
¯
¿
B
C
159
Контрольные задания
4)
A
B
^x
^x
: x2 ! x `,
:
`
x 2 3x 2 x ,
πk
πk
½
cos , k ¾ ;
®sin
4
3
¯
¿
A ^x (0; π) : sin x ! cos x` ,
C
5)
B
C
6)
8)
^x
:
: 1 5 2 5` ;
x
1
2 ½
®x :
¾,
x 2 x 5¿
¯
B ^x (π; π) : cos x t sin x` ,
A
n 1
½
, n ¾;
®
¯ n
¿
^x
: x 3 x 5` ,
B
^x
C
^x [0; 2) :
:
`
x2 4 x 3 d x ,
cos3πx
A
^x [π; π]: 4sin
B
^x
2n 1
, n
®
¯ n
A ^x (0; 2π) :
B
^x
2
0` ;
x t 3` ,
: 2l
2log
og4 x 1 ! 0` ,
C
9)
`
x2 2 ! 5x 8 ,
A
C
7)
^x
:
½
¾;
¿
2sin x 1` ,
`
x2 4 t 4x 7 ,
1
½
® 2 , n ¾ ;
¯n
¿
10) A ^x :1 2lo
2log3 x d 4` ,
C
B
^x
: x 2 x 1 ! 4` ,
C
πk
πk
½
cos , k ¾ ;
®sin
4
4
¯
¿
160
Множества и отображения
11) A
B
C
^x
: x x 2 4` ,
x
1 ½
t
®x : 2
¾,
x
2¿
x
1
¯
^x (1;1) : sin 5πx 0` ;
12) A
^x
:
B
^x
: 1 5 2 x 4` ,
C
^ (1)
13) A
B
C
14) A
B
C
15) A
n
`
3 2x ! 4 x ,
n, n
^x (π; π) :
°
®x
°
¯
`;
2cos x 1` ,
½
x3
°
d 0¾ ,
3x 2
°
¿
2
k ,k ;
:
^
`
^x : 0 log2 x 1` ,
^x [0; 2π] : cos x ! sin x` ,
^ (3) , n ` ;
n
2n 1
½
, n ¾,
®
¯ n
¿
B
^x (0; 2π) : 2sin x
C
^x
: llog
g2 x ! 3` ;
16) A
®x
¯
:
B
C
17) A
^x
^3
n
1
2 ½
!
¾,
x 2 1 x ¿
: x 3 x 1 ` ,
, n
®x
¯
`
2 0 ,
:
`;
2x
x 8½
!
¾,
x 2 x 5¿
B
^x
C
2n 1
½
, n ¾;
®
¯ n
¿
:
`
x2 2x 1 t 2x ,
161
Контрольные задания
18) A
^x
:
`
x 2 3x 2 t x ,
B
^x
: x x `,
C
^x [0; 2π) :
2
cos 4 x 1` ;
½
2
°
°
! 0¾ ,
® x (0; 2π) : cos x
2
°
°
¯
¿
B ^x : x 1 x 4 d 6` ,
19) A
C
20) A
B
^ (1)
®x
¯
^x
n
n2 , n
:
:
`;
x
1 ½
¾,
x2 1 x 2 ¿
`
3 2x d 4 x ,
n 1
½
, n ¾;
®
¯n 1
¿
21) A ^x : 2 llog3 x 1` ,
C
B
C
22) A
B
C
23) A
^x [0; π] : 4sin
^4 , k ` ;
^x
: 1 2 x 4 3` ,
πk
πk
½
cos , k ¾ ,
®sin
2
4
¯
¿
^x : llog3 x t 2` ;
^x (π; π) : 4sin
^x
C
1 n
½
, n ¾ ;
®
n
¯
¿
B
C
x d 3` ,
k
B
24) A
2
:
2
x ! 1` ,
1
½
2 x 1 6 ¾ ,
3
¿
^3 , k ` ;
k
x t 1` ,
: x3 ! x ` ,
^x (0; π) : 2cos
®x
¯
2
162
Множества и отображения
25) A
B
C
26) A
B
C
27) A
^x
: 2l
2log
og 2 x 1` ,
^x : x t x ` ,
^6n n , n ` ;
2
2
^x
:
`
x2 ! x ,
1
2 ½
®x :
¾,
x 2 1 x ¿
¯
πk
πk
½
®cos sin , k ¾ ;
4
2
¯
¿
^x (π; π) : 4cos
B
^x
C
3n 1
½
, n ¾ ;
®
¯ n
¿
2
x 3` ,
: x 1 d x 4 ` ,
28) A
^x
: x 1 x 1 t 5` ,
B
^x
: llog
og2 x 3` ,
C
29) A
n
½
, n ¾;
®
¯n 1
¿
2
1 ½
®x :
¾,
x 5 x 2¿
¯
B
^x
C
^x (π; π) :
30) A
B
C
:
^x
`
2x 1 ! 2 x ,
sin 4 x 1` ;
: 2 d 2 x 1 d 5` ,
^x (0; π) : 2cos
^ (2) , n ` .
2
x 1` ,
n
4. Даны множества A, B, C, состоящие из пар чисел
( x , y ) 2 . Изобразить каждое множество на плоскости с декартовой системой координат. Внести в таблицу указанные характеристики множеств.
163
Контрольные задания
A
B
C
связное (да/нет)
замкнутое (да/нет)
открытое (да/нет)
ограниченное (да/нет)
1)
A
B
C
2)
A
B
C
3)
2
y 2 4 y 5, x t 1` ,
^ ( x , y) : 0 y e ` ;
x
^ ( x , y) :
x t y 2 , x 2 t 1` ,
^ ( x , y) : 1 d y
`
x ,
^ ( x , y) : sin πx y
`
16 x 2 ;
^ ( x , y) :
B
1
½
2
® ( x , y ) : 1 x d y d sin πx ¾ ,
2
¯
¿
A
B
C
5)
^ ( x , y) : 0 d x
A
C
4)
x
½
® ( x , y ) : y t 2 x 2, y d 4, y t 3 x ¾ ,
2
¯
¿
^ ( x , y) :
x y d ex ` ,
y x 1` ;
^ ( x , y) : y d x d y 2 y` ,
^ ( x , y) : 1 x y 9, xy 0` ,
2
2
2
x
½
® ( x , y) : y ! 2 x , y ! , x y d 6¾ ;
2
¯
¿
A
^ ( x , y) :
B
πx
½
d y d 2¾ ,
® ( x , y ) : cos
2
¯
¿
C
^ ( x , y) :
y 2 x2 6 x 0, x d y 2 1` ,
y ! 2, 1 x 2` ;
164
6)
Множества и отображения
A
B
C
7)
A
B
C
8)
A
^ ( x , y) :
^ ( x , y) :
x d 2 y d 4 x , x y t 6` ,
y ! x2 2x , y 1 ! 1` ,
1
2 ½
® ( x , y ) : sin πx y d 1 x ¾ ;
2
¯
¿
π
x
½
d y d7 x ¾,
® ( x , y ) : cos
2
¯
¿
^ ( x , y) : x y 2x 2 y 1 ! 0, y d 1 e ` ,
^ ( x , y) : 1 x y ` ;
^ ( x , y) : 0 x y 2x 6 y 9 3` ,
2
2
x
2
2
2
x
½
® ( x , y ) : y ! x , y ! 3, y d 2 x 2 ¾ ,
2
¯
¿
C ^ ( x , y) : cos 2πx d y d 1 2` ;
B
9)
A
B
C
10) A
^ ( x , y) :
^ ( x , y) :
xy t 1` ,
y ! x2 2 x ` ,
½
x2 y2
2
2
! 1¾ ;
® ( x , y ) : x y d 25,
9
4
¯
¿
x
½
® ( x , y ) : x y d 6, y 2 x ¾ ,
2
¯
¿
B
^ ( x , y) :
C
^ ( x , y) : 1 xy 2` ;
11) A
x2 y 2 4 y 10x 28 t 0` ,
^ ( x , y) : 0 d x d
`
4 y2 ,
B
^ ( x , y) :
y x2 1` ,
C
^ ( x , y) :
y 2, y d 2 x 4, y t 2 x 4` ;
12) A
B
C
^ ( x , y) : y d
^ ( x , y) :
^ ( x , y) :
`
9 x2 ,
x ! 2, y d 1` ,
y 2 x y2` ;
165
Контрольные задания
13) A
^ ( x , y) :
B
^ ( x , y) :
C
^ ( x , y) :
xy 1` ,
`
x 4 y d 16 x 2 ,
0 d x d cos πy` ;
½
x2 y2
1, y ! 1¾ ,
® ( x , y) :
4
9
¯
¿
B ^ ( x , y) : cos πx y d 2cos πx` ,
14) A
C
15) A
^ ( x , y) : y t x 1, y t x 1, y d 3 x ` ;
^ ( x , y) : ( y 2) x 4, y ! 2x 1` ,
2
2
2
2
B
^ ( x , y) :
C
x
½
® ( x , y ) : y x , y ! 3, y t 2 x 2 ¾ ;
2
¯
¿
16) A
B
C
y d 2cos x` ,
^ ( x , y) : 1 y d x d 0` ,
^ ( x , y) : e 1 y e ` ,
^ ( x , y) : 4 x y 4x 2 y d 11` ;
2
x
x
2
2
1 ½
°
°
® ( x , y) : y t ¾ ,
x
°
°
¯
¿
B ^ ( x , y) : y ! 2 x 2, 2 y x 8, y 3 x` ,
17) A
C
18) A
B
C
19) A
B
C
½
x2 y2
2
2
d 1¾ ;
® ( x , y ) : x y ! 4,
25 9
¯
¿
^ ( x , y) : x d 2, 1 y 3` ,
^ ( x , y) : 2 2 d y d x ` ,
x
^ ( x , y) :
^ ( x , y) :
^ ( x , y) :
^ ( x , y) :
2
`
4 x 2 y sin πx ;
y d 2, y t 2 x 4, y t 2 x 4` ,
y x y 2 2 y` ,
y t e x 1, x2 y 2 2 x 2 y 1 ! 0` ;
166
Множества и отображения
20) A
^ ( x , y) :
B
^ ( x , y) :
C
^ ( x , y) :
21) A
B
y ! ln x ` ,
`
y 2 x d 4 y2 ,
2sin πx d y d sin πx` ;
^ ( x , y) : ( x 3)
2
y 2 9, x t y 2 1` ,
x
½
® ( x , y ) : y 2 x 2, y ! 3 x , y 4 ¾ ,
2
¯
¿
B
^ ( x , y) : x 2 d 1, y t 1` ;
^ ( x , y) : 2 sin x d y d 3` ,
^ ( x , y ) : y ln x ` ,
C
^ ( x , y) : 2 d x
C
22) A
23) A
B
C
24) A
B
^ ( x , y) :
^ ( x , y) :
^ ( x , y) :
2
y 2 2 x 2 y 7` ;
2 d y d 4sin x` ,
y 2 2 y x d y` ,
y ex ` ;
x
½
® ( x , y ) : y d x , y ! 3, y 2 x 2 ¾ ,
2
¯
¿
½
x2 y 2
! 1, x ! 2 ¾ ,
® ( x , y) :
25 4
¯
¿
B
^ ( x , y) : y d 2x 1, x y 4 y d 0` ;
^( x , y) : y d x x ` ,
^ ( x , y) : 7 d x y 2x 2 y 14, xy t 0` ,
C
^ ( x , y) :
C
25) A
26) A
B
C
2
2
2
2
2
2
xy ! 2` ;
^ ( x , y) : x d e , y d 1` ,
^ ( x , y) : x 2x y x` ,
^ ( x , y) : 0 x y 4 y 6 x 4 d 7 ` ;
y
2
2
2
167
Контрольные задания
27) A
B
C
28) A
x2 ½
2
1¾ ,
® ( x , y) : 4 x 2 y d
2
¯
¿
^ ( x , y) :
y ln( x 1), x2 y 2 2 x 2 y 1 ! 0` ,
^ ( x , y) : x 2 t 1, y 1 d 3` ;
^ ( x , y) : 1 y d 2cos x ` ,
B
^ ( x , y) :
C
½
x2 y 2
d 1, x t 2 ¾ ;
® ( x , y) :
25 4
¯
¿
29) A
^ ( x , y) :
y ! 2, y ! 2 x 4, y ! 2 x 4` ,
x 1 t 2, y 3 t 1` ,
B
^ ( x , y) : e
C
1
½
2
® ( x , y ) : 1 x y sin πx ¾ ;
2
¯
¿
30) A
½
x2 y 2
x2 y 2
! 1,
! 1¾ ,
® ( x , y) :
4 16
16 4
¯
¿
B
C
x
^ ( x , y) :
d y ex ` ,
`
25 y 2 d x d 1 ,
^ ( x , y) : 2 y ! x
2
2, y d 4x2 2 ` .
5. Даны две функции ρ1 (φ) и ρ2 (φ) , которые выражают
зависимость полярного радиуса точки на плоскости от ее полярного угла. Для каждой функции указать естественную область определения и построить график на плоскости с полярной
системой координат. Изобразить на плоскости множество
A ^(φ, ρ) : ρ1 (φ) d ρ d ρ2 (φ) ` .
2cos 4φ ;
1)
ρ1 (φ)
sin 2φ , ρ2 (φ)
2)
U1 (M)
sin 3M , U2 (M) 1 cos 2 3M ;
3)
ρ1 (φ)
cos 4φ, ρ2 (φ)
4)
U1 (M)
4cos 2M , U2 (M) 1 3cos 2 M ;
5)
U1 (M)
cos 4M , U2 (M)
2 sin φ ;
sin 2M ;
168
Множества и отображения
6)
U1 (M)
2 sin 2 2M , U2 (M)
7)
8)
U1 (M)
U1 (M)
2sin 3M , U2 (M) 1 2sin 2 3M ;
3cos 4M , U2 (M) 2 sin 2M ;
9)
U1 (M) 1 cos 2 3M , U2 (M)
4cos 2M ;
3cos3M ;
10) U1 (M)
2cos 4M , U2 (M) 1 sin 2 2M ;
11) U1 (M)
2 cos 2M , U2 (M)
3sin 2M ;
12) U1 (M) 1 cos 2M , U2 (M) 3cos 4M ;
13) U1 (M) 2cos 2M , U2 (M) 2 cos 2M ;
2
14) U1 (M)
cos 4M , U2 (M)
cos 2M ;
15) U1 (M)
2cos3M , U2 (M) 3 cos3M ;
16) ρ1 (φ)
2sin φ, ρ2 (φ) 1 2sin φ ;
17) U1 (M)
2 cos 2 2M , U2 (M)
18) U1 (M)
cos3M , U2 (M) 1 cos 2 3M ;
19) U1 (M)
cos 2M , U2 (M)
20) U1 (M)
21) U1 (M)
4cos 2M , U2 (M) 1 3sin 2 M ;
2cos M , U2 (M) 1 2cos M ;
22) U1 (M)
2 sin 2M , U2 (M) 3cos 2M ;
4cos 2M ;
2cos 4M ;
23) U1 (M) 1 sin 2 3M , U2 (M) 3sin 3M ;
24) U1 (M) 2cos 2M , U2 (M) 2 cos 2M ;
25) U1 (M)
cos 4M , U2 (M)
26) U1 (M)
2sin 3M , U2 (M) 3 sin 3M ;
27) U1 (M)
2cos 4M , U2 (M)
28) U1 (M) 1 sin 2 2M , U2 (M)
2 cos M ;
2 sin 2M ;
3cos 4M ;
29) U1 (M)
2cos 2M , U2 (M) 3 cos M ;
30) U1 (M)
2cos 4M , U2 (M) 1 cos 2 2M .
6. Даны числовые функции одной вещественной переменной f ( x) , g ( x) и числовое множество A значений аргумента x.
Изобразить график каждой функции в декартовой системе координат. Внести с таблицу указанные характеристики функций.
169
Контрольные задания
f ( x)
естественная область определения
функции
множество значений функции
функция ограничена (да/нет)
образ множества A
функция ограничена на множестве A
(да/нет)
максимум и минимум функции на
множестве A
супремум и инфимум функции на
множестве A
1
f ( x) 1 2 x x 2 , g ( x)
1)
, A
2 x
1
2)
f ( x) 2 x , g ( x) log 2 x , A
4
(1; 2) ;
ª1
·
« 2 ; f ¸ ;
¬
¹
3)
f ( x)
3 2 x , g ( x)
3 x , A (f ; 2] ;
4)
f ( x)
ln( x 1) , g ( x)
2arcctg x , A (1; 0] ;
5)
f ( x)
log 2 ( x 2) , g ( x )
6)
f ( x)
1
, g ( x)
x 1
7)
f ( x)
arctg x , g ( x)
8)
f ( x)
log 2 (4 x) , g ( x)
9)
f ( x)
9 x 2 , g ( x)
10)
f ( x)
2 x 1 , g ( x)
11)
f ( x)
3sin πx , g ( x)
12)
f ( x)
1
, g ( x)
x 1
1
1 , A (0; 6] ;
x
§ 1 ·
¨ ; 1¸ ;
© 2 ¹
ln(2 x) , A (f ; 1) ;
1 x2 , A
x , A (4; 4) ;
x 2 1 , A (0; 3) ;
x
, A (1; 1) ;
2
1
§1 ·
, A ¨ ; 2¸ ;
( x 2) 2
©2 ¹
2arcsin
1 x3 , A
(0; f) ;
g ( x)
170
Множества и отображения
x
f ( x)
14)
f ( x) 1 e x , g ( x)
15)
f ( x)
16)
f ( x)
17)
f ( x)
18)
f ( x)
19)
f ( x)
20)
f ( x) 1
21)
f ( x)
log2 ( x 1) , g ( x)
22)
f ( x)
4 x x 2 , g ( x)
23)
f ( x)
24)
f ( x)
25)
f ( x)
26)
27)
28)
29)
30)
2
, g ( x)
πx
, A (1; 1) ;
2
x 2 2 x 2 , A (f ; 0] ;
13)
tg
1
9 x 2 , A (1; 3) ;
2 , g ( x)
x3
1·
1
§
, g ( x) 2sin πx , A ¨ 1; ¸ ;
4¹
1 x
©
2arctg( x 1) , g ( x)
1
, A [0; f) ;
( x 1)3
1
, A (2; 2) ;
x2
1
x 2 4 x 1 , g ( x)
1 , A [0; f) ;
( x 1)2
1 x 3 , g ( x)
1
, g ( x)
x
x 2 2 x 2 , A (0; 3) ;
x 1 , g ( x)
1
1 , A
4x
2arctg ( x 1) , A
ª 1
·
« 2 ; f ¸ ;
¬
¹
[0; f) ;
log2 (2 x) , A [2; 2) ;
1
πx
§2 ·
, g ( x)
, A ¨ ; 3¸ ;
3 x
2
©3 ¹
log 2 (4 x) , g ( x) 1 x 2 , A [4; 4) ;
cos
1
πx
§ 1 ·
1 , g ( x) 2sin , A ¨ ; 2 ¸ ;
x2
2
© 2 ¹
πx
f ( x) ctg , g ( x) x 2 x , A (0; 2) ;
2
πx
f ( x) x 2 2 x , g ( x) tg , A (1; 2) ;
4
πx
, g ( x) log5 (4 x) , A (1; 3] ;
f ( x) 2cos
4
1
f ( x) 3 x , g ( x) 3 2 x x 2 , A [0; f) .
2
f ( x)
171
Контрольные задания
7. Даны числовые функции одной вещественной переменной f ( x) и g ( x) . Изобразить график каждой функции в декартовой системе координат. Составить композиции g f , f g .
Для каждой композиции найти естественную область определения и множество значений. Результаты внести в таблицу.
g f
формула композиции
естественная область определения
множество значений
1 x , g ( x)
2x 3 ;
1)
f ( x)
2)
f ( x)
3)
f ( x)
4)
f ( x)
5)
f ( x)
6)
f ( x)
1
1 ;
x2
1
1
;
arccos x , g ( x)
π
x 1
ln(1 x), g ( x) 4 2 x x 2 ;
7)
f ( x)
3x 1, g ( x )
4 x2 ;
8)
f ( x)
1
, g ( x)
( x 1) 2
2
arctg x ;
π
9)
f ( x)
log 2 x , g ( x)
10)
f ( x)
1
, g ( x)
x2
11)
f ( x)
x 2 2 x 2, g ( x)
12)
f ( x)
1
1, g ( x)
3x
1
, g ( x)
x 1
1
arcctg x ;
π
4 x 2 , g ( x)
2
log 4 x ;
1
, g ( x)
2x
1
;
1 x
log 2 ( x 2) ;
x 1 ;
x2 2 x 1 ;
f g
172
Множества и отображения
13)
f ( x)
1
, g ( x)
x 1
14)
f ( x)
arcsin x , g ( x)
15)
f ( x ) 1 3 x , g ( x)
16)
f ( x)
17)
f ( x)
18)
f ( x)
19)
f ( x)
1
3, g ( x)
2x
x 1 ;
20)
f ( x)
log3 x , g ( x)
9 x2 ;
21)
f ( x)
1
1, g ( x)
x2
22)
f ( x)
23)
f ( x)
24)
f ( x)
x 2 , g ( x)
25)
f ( x)
1
, g ( x)
( x 1) 2
26)
f ( x)
6 2 x x 2 , g ( x)
27)
f ( x)
28)
f ( x)
29)
f ( x)
30)
f ( x)
log 2 (2 x) ;
3 x , g ( x)
1
;
x2
x2;
x2 2x 5 ;
3 2 x x 2 , g ( x)
1
;
2x
1 x2 , g ( x) log5 x ;
2
arctg x ;
π
1
9 x 2 , g ( x)
1 ;
2x
1
x
, g ( x) arccos ;
x
2
2 x , g ( x)
x2 2x 1 ;
1
;
2x
x2;
1
1 ;
3x
1
1
, g ( x)
arcsin x ;
x 1
π
1
ln( x 1), g ( x) x 2 4 x 2 ;
2
1
.
log 2 (1 x), g ( x)
( x 1) 2
173
Контрольные задания
8. В каждом из пунктов a, b, c дано отображение
f : X o Y . По графику функции y f ( x) в декартовой системе
координат установить, является ли отображение инъекцией,
сюръекцией, биекцией и является ли оно обратимым. Результаты анализа по каждому пункту внести в таблицу.
a
b
c
инъекция (да/нет)
сюръекция (да/нет)
биекция (да/нет)
обратимо (да/нет)
В случае, если отображение f обратимо, построить обратное
отображение f 1 : Y o X и убедиться в выполнении равенств:
f 1 f ( x)
x x X ,
1
y y Y .
f f ( y)
1)
ª π 3π º
a. f : « ; » o [0; 2], f ( x) sin 2 x 1 ,
¬2 2 ¼
b. f : (1; f) o , f ( x) 2 ln(1 x) ,
c. f : (f ; 1) (1; f) o (0; f) , f ( x)
2)
a. f :[0; 2] o [2; 0], f ( x)
4 x2 ,
b. f : (0; f) o ( f ; 4], f ( x)
c. f : (2; f) o
3)
a. f :
b. f : (f ; 0] o
, f ( x)
e
3 2 x x2 ,
1
;
( x 2) 2
, f ( x)
o (0;1]
(0;1], f ( x)
1
;
x
x
,
x 2x 2 ,
2
c. f : (f ; 0) (0; f) o (f ; 1) (1; f), f ( x)
x 1
;
x
174
4)
Множества и отображения
a. f : (f ; 1] o [1; f) , f ( x)
x2 2 x ,
b. f : (2; 3) (3; 4) o (0; f), f ( x)
5)
1
ª 1 1º
cos 2πx ;
c. f : [0; 1] o « ; » , f ( x)
2
¬ 2 2¼
1
a. f : o , f ( x)
2,
ex
b. f :[3; f) o (f ;1], f ( x) 1 x 2 ,
c. f : (1; f) o (f ; 4) , f ( x)
6)
7)
8)
1
,
( x 3) 2
a. f :
o
b. f :
o [0; f), f ( x)
c. f :
o (f ; 1), f ( x) 1
, f ( x)
a. f : (3; f) o
3 2 x x2 ;
2arcctg x ,
x2 4 ,
1
;
ex
x 2 1 ,
, f ( x)
ª 3π º
b. f : « 0; » o [ 3; 3], f ( x)
¬ 4¼
3cos 2 x ,
c. f : (f ; 1) o (1; f), f ( x)
1
1 ;
( x 1)2
a. f :
o
, f ( x)
x2 x ,
b. f :[4; f) o (f ;1], f ( x) 1 x 4 ,
c. f : (f ; 2) o [0; 3), f ( x)
9)
2 x 1 ;
1
arcctg x ,
π
2 ex ,
a. f :[0; f) o [0; f), f ( x)
b. f :
o (f ; 2) , f ( x)
x
sin 1 ;
2
10) a. f : (f ; 1] o [3; f) , f ( x) x 2 2 x 2 ,
c. f :[0; 2π] o [0; 2], f ( x)
1
,
x 1
b. f : (f ; 1) (1; f) o
, f ( x)
c. f :[2; 2] o [2; 0], f ( x)
4 x2 ;
175
Контрольные задания
11) a. f :[2; 2] o
, f ( x)
b. f : (f ; 1) o
, f ( x)
c. f :
12) a. f :
x
,
2
ln(1 x) ,
arcsin
o [0; f), f ( x)
o
, f ( x)
1 ex ;
2 3 x 1 ,
b. f :[1; 0) (0;1] o
ln x ,
, f ( x)
c. f :[0; π] o [3; 3], f ( x)
3sin 2 x ;
13) a. f :
o
, f ( x) 1 3 ,
b. f :
o
, f ( x) 1 3 1 x ,
x
c. f : (1; 2) o [1; 3) , f ( x)
14) a. f :
o
, f ( x)
e
x
x2 2x ;
,
b. f : (1; f) o [0; f), f ( x)
ln( x 1) ,
c. f : (f ; 1) (1; f) o (f ; 2) (2; f), f ( x)
15) a. f :[0; 2π] o [1; 1], f ( x)
cos ( x 4) ,
b. f :[1; f) o [3; f) , f ( x)
c. f : (f ;1) o [0;1), f ( x)
16) a. f : (f ; 2) o
b. f :
x2 2x 2 ,
2 x 1 ;
log 2 (2 x) ,
, f ( x)
o [0; f) , f ( x)
2x 1 ,
c. f :[1;1] o [0; f), f ( x)
1 x2 ;
17) a. f : (f ; 0) o [1; f), f ( x)
x2 2 x ,
b. f : (f ; 0) (0; f) o (f ; 1) (1; f), f ( x)
πx
;
2
2arctg x ,
c. f :[1; 2] o [1; 1], f ( x)
18) a. f :
b. f :
o [0; π),
π f ( x)
2x 1
;
x 1
sin
o (1; f) , f ( x) 1 3 x ,
c. f : (1; 0) o (0; f), f ( x)
1
;
( x 1)2
x 1
,
x
176
Множества и отображения
19) a. f :[2; 0] o [0; 2], f ( x)
4 x2 ,
b. f : o , f ( x) 4arctg x ,
4π º
x
ª
ª 1 º
c. f : « π ; » o « ; 1» , f ( x) cos ;
3 ¼
2
¬
¬ 2 ¼
20) a. f : (f ; 1] o (f ;1], f ( x) 1 x 2 ,
1
,
( x 1)3
b. f : (1; f) o (0; f), f ( x)
1
;
3x
21) a. f : [1; f) o [1; f) , f ( x) x 2 2 x ,
c. f :
o (0; f) , f ( x) 1
b. f :[1; 3] o [1; 1], f ( x)
cos
c. f : (f ; 3] o [1; f), f ( x)
22) a. f : (f ; 2) o [0; 2), f ( x)
2 2x ,
1
,
( x 2)2
b. f : (f ; 2) o (0; f), f ( x)
c. f : (f ; 5] o
, f ( x)
5 x ;
23) a. f : (f ; 0 ] o [3; f) , f ( x)
b. f :
o
, f ( x)
x2 2 x 2 ,
3 2x ,
c. f :[1; 0] o [0;1], f ( x)
24) a. f :
πx
,
4
x 2 1 ;
o (1; f), f ( x)
1 x2 ;
1
1 ,
2x
ª 1 · § 1º
b. f : « ; 0 ¸ ¨ 0; » o ( f ; 1], f ( x)
¬ 2 ¹ © 2¼
c. f : o , f ( x) 2arctg( x 1) ;
25) a. f :[1; f) o (f ; 0], f ( x)
b. f : (f ; 0) (0; f) o
c. f :[1; 3] o [2; 2], f ( x)
x 1 ,
, f ( x)
2sin
ln x ,
πx
;
2
log 2 x ,
177
Контрольные задания
26) a. f :[1;1] o [1; 0], f ( x)
b. f :
o , f ( x)
c. f : (2; f) o
1 x2 ,
1 ex ,
ln(2 x) ;
, f ( x)
27) a. f : (4; 3) (3; f) o
, f ( x)
b. f :[0;1] o [1; 0], f ( x)
1 x2 ,
c. f : (0; f) o [0; f), f ( x)
ln x ;
28) a. f : (f ; 1) o (f ; 4) , f ( x)
b. f :
o [0; f), f ( x)
c. f :
o
, f ( x)
x
4 3;
29) a. f :
o
, f ( x)
2 2x ,
b. f :[1; 1] o
, f ( x)
1
,
x3
3 2x x2 ,
x2 ,
arcsin x 1 ,
c. f : (f ; 1) (1; f) o (f ; 0) (0; f), f ( x)
30) a. f : (f ; 5] o [0; f), f ( x)
b. f :
o [0; f), f ( x)
5 x ,
x 1 ,
c. f :[1; 1] o [0; f), f ( x)
3
3arccos x .
1
;
(1 x)3
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Верещагин Н. К., Шень А. Лекции по математической
логике и теории алгоритмов. Ч. 1. Начала теории множеств. –
4-е изд., доп. – М. : МЦНМО, 2012. – 112 c.
2. Верещагин Н. К., Шень А. Лекции по математической
логике и теории алгоритмов. Ч. 2. Языки и исчисления. – 4-е
изд., испр. – М. : МЦНМО, 2012. – 240 c.
3. Зорич В. А. Математический анализ. Ч. 1. – 7-е изд. – М.:
МЦНМО, 2015. – 576 с.
4. Кудрявцев Л. Д. Краткий курс математического анализа.
Т. 1. Дифференциальное и интегральное исчисления функций
одной переменной. Ряды : учебник. – 3-е изд., перераб. – М. :
ФИЗМАТЛИТ, 2005. – 400 с.
5. Морозова В. Д. Введение в анализ : учебник для вузов /
под ред. B. C. Зарубина, A. П. Крищенко. – 5-е изд., испр. – М. :
Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2014. – 407 с.
Надежда Викторовна ФИЛИМОНЕНКОВА,
Павел Анатольевич БАКУСОВ
МНОЖЕСТВА И ОТОБРАЖЕНИЯ. ИНТЕНСИВНОЕ
ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
ДЛЯ СТУДЕНТОВ ТЕХНИЧЕСКИХ ВУЗОВ
Учебное пособие
Зав. редакцией
естественнонаучной литературы М. В. Рудкевич
Ответственный редактор Т. С. Спирина
Выпускающие Т. А. Кошелева, Н. А. Крылова
ЛР № 065466 от 21.10.97
Гигиенический сертификат 78.01.10.953.П.1028
от 14.04.2016 г., выдан ЦГСЭН в СПб
Издательство «ЛАНЬ»
lan@lanbook.ru; www.lanbook.com
196105, СанктПетербург, пр. Юрия Гагарина, д. 1, лит. А
Тел./факс: (812) 3362509, 4129272
Бесплатный звонок по России: 88007004071
Подписано в печать 08.12.16.
Бумага офсетная. Гарнитура Школьная. Формат 84×108 1/32.
Печать офсетная. Усл. п. л. 9,45. Тираж 100 экз.
Заказ № 02817.
Отпечатано в полном соответствии
с качеством предоставленного оригиналмакета
в ПАО «Т8 Издательские Технологии».
109316, г. Москва, Волгоградский пр., д. 42, к. 5.