/
Автор: Лобанова Л.Ф. Прудников В.В. Кузнецов Е.Б.
Теги: физика математическая физика электричество электрические сети теория напряжений
Год: 1980
Текст
Уда 539.I+539.3I3 (076)
Коллектив авторов: В.М. Закалюкин,
Е.Б. Кузнецов,
Л.Ф. Лобанова,
В.В. Прудников,
Н.В. Цехмиотрова "ЯК.
Пособие соответствует программе первой части курса "Механика -'Д|
сплошных сред", читаемого на факультете прикладной математики МАИ.
В качестве основного учебника по этому курсу рекомендуется ’ " у
"Механика сплошной среда" Л.И. Седова [l2j. Кроме того, при изуче- Я
нии курса полезно ознакомиться с литературой, список которой при- .я
латается. Я
В пособии приведены задачи по кинематике континуума (течению В
и деформации)» теории напряжений, преобразованиям криволинейных Я
координат и основам тензорного исчисления. Я
Каждому разделу пособия предшествуют краткие теоретические я
сведения. 1
Большинство задач составлено авторами, некоторые задачи взяты I
из указанной в описке литературы. 1
© Московский авиационный институт, г-
531(075)
Т338
§ I. СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ ЛИШЕНИЯ КОНТИНУУМА
Предположим, что оплошная ореда (континуум) занимает некото-
рый объем и движется в евклидовом пространстве системы отсчета
наблюдателя. Связанную с этим пространством декартову систему ко-
ординат 'Хг -ц, х назовем системой кордина ^на-
блюдателя.
Обозначим через f 2 f3 координаты я0 , у0> Zo точек кон-
тинуума (называемых иначе частицами или индивидуальными точками) <
в начальный момент времени t = 0 .
Закон движения континуума определяется формулами:
я f3, t) ; -
= Г> (bi)
z = z ( f, f2, f3, t) .
При фиксированных значениях f \ fS(I.I) задают закон
движения отдельной частицы, находившейся в начальный момент вре-
мени в точке Мо ( %*, f2 f3). Для фиксированного момента времени
t зависимость от f2, f3 , определяемая функциями
(I.I), задает преобразование объема Vo в объем V . сопоставляю-
щее начальное положение частицы Мо и ее положение М в момент t .
Предположим, что при всяком t такие преобразования являются
взаимно-однозначными, а функции (I.I) непрерывно дифференцируемыми
по всем аргументам.
Параметры f 2, f3 , индивидуализирующие частица сплошной
ореда, называются лагранжевыми кеордината-
м и , вместе о переменной t они называются лагранжевы-
ми переменными. Параметры я, Ч, т, называются эй-
леровыми коо рд и и а т а м и, вместе с переменной t
они называются эйлеровыми переменными.
3
Два способа задания движения-
Способ Лагранжа. Характеристики движения рассматриваются как
функции лагранжевых переменных, т.е. как характеристики частиц
континуума.
Способ Эйлера. Характеристики движения рассматриваются как
функции эйлеровых переменных, т.е. изучается изменение характерис-
тик движения в данной точке пространства, в которую в разные мо-
менты времени попадают разные частицы.
Обозначим через г радиус-вектор частицы в момент времени t,
через Ге - ее радиус-вектор при t - 0.
Перемещением частили называется вектор « = Г - г0 .
Компоненты вектора перемещения: -u^y~f27
Производную по времени при фиксированных значениях f1> f" f3
(т.е. для фиксированной частицы) обозначают и называют полной
(материальной) производной. Производную поt при фиксированных
эйлеровых координатах X, z обозначают и называют локальной
(местной) производной.
Поле скоростей V частиц континуума есть поле вектора
dt
du
^l~(Z+lSt
При заданном законе движения компоненты вектора скорости оп-
ределяются по формулам:
v rf rt) Г.. dy(г, щ). г. dz (д)
dt ’ У dt ' * dt
(1.2)
Поле ускорении "йГ частиц континуума
d\
есть поле вектора
имеющего проекции
• */ =
х Ж dtz ’ У
^-COHst ,
гУ
Р >
(1.3)
Если поле скоростей задано через эйлеровы переменные,
ле ускорений может быть найдено по формулам:
то nO"G
4
dvv
^Tlt
t fa ? dg x ox '
(1.4)
В условиях задач будем предполагать, что в системах коорди-
нат х,д,х и J4, ff f3 фиксирован некоторый масштаб, поэтому вое
параметры являются безразмерными.
Определение закона движения по заданному полю скоростей
I. Поле скоростей задано как функция лагранжевых переменных:
vVFlKfM 5-^'^’
Закон движения определяется по формулам:
* = г' + (Ч^.- .
W2 +J; ^dt > (1.5)
* = F + f vzdt
2. Поле скоростей задано как функция эйлеровых переменных:
Закон движения определяется как общее решение системы диффе-
ренциальных уравнений:
X - тГх (#,g,z,i) ;
д = (х} д, z,i ) ; - (1.6)
z = vz ( х, -д, X, О ,
в котором произвольные постоянные должны быть выражены через
F» fff Согласно условиям - f4 , •
Нахождение поля скоростей по заданному в эйлеровых
переменных вектору перемещения
Пусть задано поле вектора перемещения
= V*’ & zj;) , Щх,д}1г1) .
Из формулы V= следует
-уг — v , ~у du*. , fig* .
5
V = A
У dt * fa
dt * dx +У dy +
dm
dm
(1.7)
Решая (1.7) как систему линейных уравнений относительно з
%,%, находим компоненты скорости.
У **
По заданному закону движения континуума найти компоненты ско-
рости и ускорения как функции лагранжевых и эйлеровых переменных.
I.I. X^^cost, у ~^(1+sint)4, %-f3.
1.2. = x = *f3.
1.3. = = •
1.4. X = e^Stn y^Z~Je‘ (i-cosut), z=f3.
1.5. *=f',
1.6. x y=fz-^st, z=J3-at2.
1.7. X=f^yf)lftlhi), y-^(ff)ln(M)3 Z~f+(f+f)4n(H) .
1.8. x =fW +fsinihft, y=-fant<-fcost-ft, z=f3.
T.3. x-f'+at(ha 1*У3 y^f(h&t2y, z=f(ha2t2)4.
1.10. Найти закон движения континуума, если расстояния меащу
любыми двумя точкам! континуума за время t увеличиваются в
раз, а точка Мв (f2, ffj движется равномерна вдоль оси Ох
оо скоростью v0 и любой материальный отрезок остается параллель-
ным самому себе.
Заданы компоненты вектора скорости как функции лагранжевых
переменных. Найти: а) закон движения оплошной оредщ б) компонен-
ты вектора скорости как функции эйлеровых переменных. ,
I.II. v=-afe~at,
Ы2. ^y-f, '
1.13, ^~3fS^^y/- W
1.14. 1£=fyc«s£ Vy—^ctst/fi+sini)2 r vz=0 .
I.I5. J^sint, 'Vy-L^sutt„ ~D. ilj.
в' ЯВ/
1.16. ir, — freest,
I.I7. v^(Ut)f, V^O.
1.18. = TT^ftkt, V'-'f.
i.i9. ^ = ^=r/-f[<fY4fTЧГ7].
1.20. Vz-l5t.
Задали компоненты поля ускорений как функции лагранжевых пе-
ременных. Найти поле скоростей и закон движения, если пш t= 0
поле скоростей имело компоненты
I.2I. W*-?, Vy=f*, ^x=f3.
1.22. = f(/4),
1.23. ъгл~(/<4)(1г)г, -игу~а(Ы)4, .
1.24. •*-3l^stn At, , 1^=0.
i.25. ^ = f72, = f^*-
Заданы компоненты поля скоростей как функции эйлеровых пере-
менных. Найти: а) закон движения континуума; б) компоненты поля
ускорений, как функции лагранжевых переменных; в) компоненты поля
ускорений как функции эйлеровых переменных.
1.26. ii^~xcost/(4-sint), т^ = у cost/( 41 sint) , .
1,27. .^-vy=x-g3. V^D.
1-28- ^=-#} ^=х,
1.29. V^^Zx-y} 1^^Х+гу} i^=0
1.30. -уVy-x+z* vz^-x-g,
1.31. = x , Vy=2x, vz=x^g+2x.
I’32* , v^kz .
1.33. } vy=(x+y)sint, v-z^sint .
1.34. % = x\ ir,=-x4 vz=0.
7
1.35. V* - <- yf , тгу = -х*-хуг, vt D.
1.36. V, = -У +(Z-t*)t, v=Z-tZ , v-74.
1.37. V*=k-yz, Vy^-kxx, Vz^Z2.
1.38. V^O, vy-(xy -zs)t, Vz = (^-xz)t .
1.39. vx=o, тгу-(ху-хг)ё*,
1.40. vx-xyt, vy-y\i*t)2, irz~zg.
1.41. Vx = x4 , vy = qtz, vz-xz.
.1.42. Vx=X(i+t)\ Vf*y(j+t)4,
1-43. 1Г‘У, V-V=Z, V^X.
1.44. v=2y, v“2z, vz‘X.
1.45. iL-aye*,
Д/ / у A ' Л»
1.46. ky, vy = kx,
1.47. 1^=52, ^“-^Z, -5x.
1.48. vx-ky(Ut)y vy = -kx(ht), vz = ji-t.
1.49. Vx = vy = 1ГХ = а,(я\y2 + xz).
1.50. Доказать, что если T£, z7y,vx линейно зависят от х,у
X ,то закон движения nja каждом фиксированном t задает линейное
преобразование пространства объема континуума.
По заданному полю Скоростей найти компоненты поля ускорений
как функции переменных Эйлера.
I.5I. tr=ex-^1', V, = txi- еу, v.~0.
Х> у ' Яг
1.52. 1Гл“Хгу-уг, vy^zt-xt, vz = ху.
1.53. \ = яух, zt, .
1.54. ^ *= vy = a(x3+у3+х3)1и.( S+t) .
1.55. 'tr^x(^i), V ~ y(j+t), v ^z(M)swx
X J "
8
Компоненты поля ускорений заданы как функции эйлеровых пере-
менных. Найти закон движения и поле скоростей, если при t - 0 по-
ле скоростей задано компонентами \ f ff5J,
V = 5» (К V, Is) > rf' Г,f9 •
1.56. ii'x = ux, w^D.
1.57. b^-fix, = ъгя = о.
1.58. = Wy-'O'^Z,
1.59. 'ur^'ktxi-y), ^k(x-y), V^f).
1.60.
По заданным компонентам вектора перемещения найти: а) закон
движения; б) поле скоростей; в) поле ускорений в лагран-
жевых и эйлеровых переменных.
1.61. urf(ekit-0,
1.62. U* = ^(coskt-/), Uy=f$inkt ^^(coskt-f), Uz^0.
1.63. u,x^(tu-i)^2it2i, u^D.
1.64. = = {/*-t2)4-1, ux~tz.
1.65. u^^sint, Uy--fstnt, ux^4n(4+t).
По заданным компонентам вектора перемещения найти поля
скоростей и ускорений в эйлеровых переменных.
1.66. U^ tx /V-x) , Uy~ty(x+2) , u^tx,*.
1.67. = Uy = uz = (t-e.~(d)Cx2^yz^zz) .
• 1.68. ил = t(X-coskt) , Uy=t(y-sinki)f u^D-
1.69. tlA=tx} uy"ty, Uz^tz.
1.70. ил = Uy^t2z} их=1гл .
§ 2. СКАЛЯРНЫЕ И ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ. ЛИНИИ ТОКА, ТРАЕКТОРИИ.
ПОТЕНЦИАЛЬНОЕ ПОЛЕ СКОРОСТЕЙ
Скалярное поле - это числовая функция, заданная в области
пространства, занятой континуумом. Примерами скалярных полей явля-
ются функции распределения температуры частиц среды, плотности и
др. Скалярное поле может быть выражено через лагранжевы или эйле-
ровы переменные.
Если поле в задано как функция эйлеровых переменных, то
полная (материальная) производная#
определяется по формуле
М
(iff
fi-const
de
at
де де de
- (2.1)
-Const
** V TFlwi-cond и ЗЗВЗДаВйо*
f производных.
Задано поле скоростей континуума гг и функция распределения
температуры Т . Найти при 4 =7 скорость изменения температуры
частицы, находяцейся в точке Л (*,, У,, я,).
2.1. гг=/, гя-0, T~ai\rl, ^=1,^-2,
а0, Ъ 'I•
v^Bxxt, тГ^ВуЧ, v^Byx, T^t/r, xrgr0,xf-l.
ir^at, Г~1п\Гг\ x,=!, , %1 •!.
Дан закон движения континуума. Найти конвективные проиэ-
. Каков их кинематический см^ол?
2.2*. тг= kf, T=flln(Bt +Cr), x^O
2.3
2.4.
2.5.
водные от
Решение задачи Коши для дифференгуй^.яого уравнения
в частных производных видр
(2‘2)
при начальном условии = F(*,tj,z).
# Здесь и в дальнейшем'через г обозначим модуль радиус •
вектора . -4
Ю <
Введем движущийся континуум, поле скоростей которого имеет
компоненты vy -f3(z,y,z,i).
Тогда уравнение (2.2) можно представить в виде
U^pwie)-.f, или $-fc(e,*,%z,i). (2.3)
Найдя закон движения континуума и подставив выражения x,y,z
через лагранжевы переменные %*, £г} f3, t в уравнение (2.3), по-
дучим обыкновенное дифференциальное уравнение
(2.4)
Из (2.4) находим функцию ffffO , удовлетворяющую
начальным условиям ,
0(f‘, . (2.5)
Выражая, в силу закона движения, лагранжевы координаты через
эйлеровы и подставляя их в формулу для f * , полу-
чаем искомое решение . 6( x,y,Z,t) .
Найти функцию 6 (х-, у, Z,t) , удовлетворяющую следующим
дифференциальным уравнениям, если при tg= 0 6 = Р(лг у, %)
2.6. р.х.
гл- тгчтрф‘%-!'
2.8. Р~и.
2-9- -•&“», Г'к*‘-
2.П.^+г-'(^-^-^
2.12. PW/.
2ЛЗ-f ♦+ 4т - » >
2.i4; F-xztay^i>z.
2.15. ч-(«*-by) & = 0 Р-ахл-Ьу.
Ot Сл 7
Траектория частицы континуума есть интегральная кривая си-
стемы дифференциальных уравнений (1.6).
II
Данией тока для момента времени to называется кривая, ка-
сательная к которой в каздой точке имеет направление вектора ско-
рости в этой точке в момент tD . Линии тока есть интегральные
кривые системы дифференциальных уравнений
rfj ~ ^х h ~ ’аЦ^1Их>У>х^о) (2.6)
(здесь А - параметр, меняющийся вдоль линии тока).
Иначе уравнения линий тока можно записать в виде
to) ЩЧЛЬ)
Векторное поле называется стационарным, если оно
явно не зависит от времени, т.е. = V (х, у, Z) . Для стационарно-
го поля скоростей линии тока в лабой момент времени совпадают о
траекториями частиц.
2.16. Доказать, что необходимым и достаточным условием того,
чтобы в любой момент времени линии тока поля V совпадали с траек-
ториями частиц, является существованием скалярного поля
и стационарного векторного поля , таких, что
Найти траектории и линии тока в любой момент времени для по-
ля скоростей континуума, движущегося по следующему закону:
2.17. X = Z =f5 .
2.18. XУ =
2.19. = 4-х={*е*.
2.20.
Задано плоское поле скоростей. определить линии тока и
траектории. Совпадают ли они в любой момент времени?
2Z.2I. тг vv
2*22* Vy = -^costГ.
2.23. v* = It, = a t3
2.24. -,Х
12 ,
2.25. V^k , -
Задано поле скоростей в переменных Эйлера, а) Определить ли-
нии тока и траектории. Доказать, что они совпадают в любой момент
времени, б) Найти конвективную и полную производные от
и v . Каков их кинематический сшсл?
2.26. Vy -Д*:(х>г+у2) *, vz^z.
2.27. 1ГГ1]у Vy -X , vz-0.
2.28. тг = хуг , Уу=ягу} vz=0 .
2.29. V* ~ '(Л<-у)(Ы)4, Vv=t)(htyi,Vst-Z('l^1.
2.30. -Xs , Vy = хгу } vz-xz.
2.3i. vx = xgij+t,) , vy = g2(1+t), vz-yz(Ht) .
2.32. = ewe"**, Vy = a,y^ai, vz = 0.
2.33. Vx = X№st, Vy^xycost, Ул =0 .
2.34. V& - kt } Vy = - k = 0.
2.35. , 'Vy-k^, 1^-k.
Поле скоростей y'(x>ij}z,t) называется потенциальным, если
существует такое скалярное поде (потенциал) <Р( X, у, z) , что
V ^arad <р , т.е.
ч, _ W i<p . fa
v* lx ’ V ly > ” 7F •
Условия существования потечпияла:
{2’Q}
Для плоского поля условия существования потенциала имеют вид
fa^-Jb^O (291
При всяком tD линии тока потенциального поля V перпендикуляр-
ны линиям уровня функции Ц) ( X, y,X,te\ называемыми эквипотен-
циалями .
Пусть V ( х, у) - стационарное плоское поле скоростей.
Если f-ckc + - есть полный дифференциал некоторой
13
функции ф(Я,У) , то Ч> называется функцией тока. Линии уровня
у (Х,у) = € совпадаю с линиями тока поля скоростей.
Условие существования функпии тока;
(2.10)
Если поле V(x,y) имеет потенциал (р и функцию тока <р , то
функция X = <Р + i(p называется комплексным потенциалом и являет-
ся аналитической функцией комплексного переменного % + •
Кривые /&(Х)=^=const и Im (ft) = (р =const являются соответст-
венно эквипотенциалями и линиями тока для поля V и взаимно пер-
пендикулярны.
Поле скоростей V определяется через комплексный потенциал
по формуле
-ЗГ "
Условия существования комплексного потенциала:
(2.12)
ду 9л ” ’
Нахождение потенциала (Функции тока) по заданному полю ско-
ростей V (я, У).
Еоая дли гг(г,у) выполнено условие (2.9) (соот-
ветственно (2.10)), то'потенциал (f(x,y) определяется по формуле
<Р(я,у) ~ С ( v Vydy) , (2.13)
Г
Где f - произвольная кривая, соединяющая некоторую фиксированную
точку плоскости ( лОг ув) о точкой (х,у) i С - произвольная по-
стоянная.
Соответственно функция тока <р(л,у) определяется по формуле
- с (-^уЛх г V* Ау) . (2.14)
7 -----------
Задано поле скоростей. Является ли оно потенциальным? Найти
потенциал.
2.36. = у} -х, -0.
2.37.
2.38. Т = ЙР .
2.39. ТГЛ~2(Х-У), ТЪ = у.
14
2.40 vx=2kz, i)y~-2ky, vz~0.
Задано плоское поле скоростей. Доказать, что выполнены ус-
ловия существования комплексного потенциала. Найти потенциал,
функцию тока, комплексный потенциал. Найти конвективную производ-
ную потенциала, каков ее физический смысл?
2.41. Поле скоростей взять из задач 2.24,2.27, 2.28.
2.42. / +(*г-угХхг*-уг)~г, тгу--2*у (,хг±уг)г-
2.43. <- , Vy-^cht .
2.44.
2.45. - % ( / +£ ^cos^x) , Ту -.
2.46. , Vy-2k .
2.47. ЧГ- .
2.48. £ = Ту-Хгу.
2.49. = у \ Vy-x F*+F2 kt 2.50. Задан закон движения континуума л - —? * е + kt Г1- тг -а г5„ ' 2 у = -1-z * е - t , z=f. Найти траектории, линии тока, г > и<яешщал.
Задан потенциал плоского поля скоростей, а) Найти поле скорос-
тей, функцию тока, б) Построить линии тока, зквипотенциали. в) Най-
ти конвективную производную от <f . Каков ее физический смысл?
2.51.
2.52. (p = af«2-/j .
2.53. (f’-xfx^g2)4.
2.54. ч =
2.55.
2.56. 7₽az2. .
2.57. = a УТ". -
2.58. '
15
2.59.
2.60.
ft = a-inx,.
r ZXt,
§ 3. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ КООРДИНАТЫ. КОНТРАВАРИАНТНЫЕ И
КОВАРИАНТНЫЕ КОМПОНЕНТЫ ВЕКТОРА. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТ
/ 2'3
Криволинейные кооппинаты л х. гх в евклидовом пространстве
суть независимые параметры, однозначно определяющие положение лю-
бой точки пространства.
Отображение, заданное формулами
jc- = X1 ( х, y,z), (3.1)
предполагается обратимым,непрерывно дифференцируемым.
Кооппинятные поверхности-это поверхности уровня функции Х‘.
Координатная линия - кривая, вдоль которой меняется только
одна из криволинейных координат.
Основной базис в точке Л? пространства образован век-
торами
3i “ ~1хГ ' (3’2)
Взаимный базис в точке /Л(х3) пространства образован
векторами
У = grad х* ( x,q,x) (3.3)
I
<=/
О/
Векторы основного и взаимного базисов связаны соотношениями
Г 1
I о
Л > -6i >
>
где
(3.4)
четная перестановка;
< ifj ? s у
Здесь и далее предполагается, что если верхний и нижний ин-
дексы в выражении одинаковы, то по этим индексам производится сум-
мирование.
Величины , g введены по формулам
16
(3.5)
Матрицы [fty], [^] взаимно-обратные. < & *
Для приращения dr радиус -вектора точки и ква-
драта его длины ds* имеем
dr-dx's- , ds* = fitx‘dx1 * .
t * »ty
Контравариантными о4, ковариантными оу компонентами вектора
а , определенного в точке М(я\я*,х3) , называются коэффициен-
ты разложения
(3.6)
a - = «у / - (3.7)
Кошоненты dj.d1 можно определить следующим образом:
= « = а. (3.8)
Связь между компонентами a1, a-j устанавливается соотношениями
<3.9)
Скалярное произведение векторов а, и I в криволинейных коор-
динатах вычисляется по формулам.
a b ~ =а^ =а~Г. (з.ю)
Компоненты векторного произведения с =а*1> равны: •
«-п)
цде
♦У*
1, если - четная перестановка;
-1, если (%з) - нечетная перестановка;
О, если i =/ или / - £ г или & = « ,
Преобразование координат. Пусть имеются две системы копрци-
нат х1, хя,х3 и х^х'3, х'3.. "Новые" координаты я '* однозначно
выражаются через "старые" xi :
я'1- = х'7 х1, X*, х3) , (з.К)
и обратно х,} = я3 ( я1 г х'г, х'3) ..
Матрицами прямого и обратного преобразований назовем соответ-
ственно
1 ’ > (3.13)
Причем нижний индекс величин <£, - номер строки, верхний -
столбца.
Формулы преобразования векторов базиса и компонент вектора:
4 =
а, = а,', (3.14)
Э1 г 4 Э а1 = / а'*.
Матричная запись формул (3.14) имеет вид
[э-1 » fl Ц]
Ц] - В [э-]
Гэ'*] - ВЪ']
М - ЯЧэ"]
[aj - Я [aj ,
[«,] т 8 [<] ,
[ar<J =ВГ[«^] ,
[o'! - ГИ .
(3.15)
Заметим, что в правой и левой системах координат формулы
(3.II) определяют два противоположных вектора. При изменении ори-
ентации базиса имеем
Объект, компоненты которого преобразуются подобно компонентам век-
торного произведения, называется псевдовектором
(аксиальным вектором).
Заданы преобразование координат плоскости и компоненты век-
тора скорости в декартовых координатах, а) Найти область плоскос-
ти, в Которой преобразование координат взаимно-однозначно, б) По-
строить координатные-линии х1 . в) Найти векторы основного и вза-
имного базисов аистеш ( л1) . г) НаДти матрицы прямого и обратно-
го преобразований декартовых координат в криволинейные х1 .
д) Найти матрицы [ ^. ], [ е) Найти ковариантные и контрава-
риантные компоненты вектора скорости в базисе системы координат
18
3.1. Х=Х*, v£=Vy~kx.
3.2. л - x'*xz, у=Лг-> ^=i£=£y.
3.3. * =х\ у*-л'+х\ v^kx, Vy-ky
3.4. $~л'-хг, У=хг, ^=^х, Vy ky .
з-5-
з.б. х-л'’ y=*V; «J °^У
3.7. х~х*хг, y=xz-} тгл = кх, Vy*ky.
3.8. лс-^тт^ , у.-2^ . (^<-k)}vx=cx, v-y~cy.
3.9. л - Л>, у^х*/*’, a)=-/, Vy => у/х, ti)vx ~2tf vy^-2ty/x.
ЗЛО. л-fj , у-хг ; а) Vf, Vy-Ч,
З.П. Х-Л3, у =(х1)г+хг-, ?$.=/, -Uy^Zx .
3.12. X = x* *• (Хг)г, у-хг; Vx-2tf , vy-i.
3.13. X у = f x')x*xг, ^0 , i)y = if-.
3.14. х=х^х7х2Л y=x< ^=7T^'
3.15. X =x*, y^x'e*; v£~v/l<^', Vy*yv/rf<-y&'
3.16. x = x\ y=^ex- vx-~c, Vy-cy.
3.17. X =x* y • xz t>-x=0 , Vy~v.
3.18. X =x^ * (xz)\ y^xz, Vg,-'»', Tfy-0 .
3.19. X =X1) у=хг(х93; = ex, vy -5cy.
3.20. &=я*(хя)ъ, у ~ sz > i£-0, vy = r.
3.21. Х'=Х , Х*-Я/у3; У^ЗСХ, У-у=су.
3.22. ' а'-у/х3, хг=у ' ТГ=СХ. v-fj^icy.
3.23. - xy , XZ = y/x', Vx = -CX, Vy cy .
3.24. jc -X1, y-X^ckx', V^C, Vy=eytiix.
3.25. x ^x1c{^xz, у^ЛЛ, v^cxtky , vy=c.
3.26. х=я', v^cf.t'k.x) -ir -cg .
a * 7
3.27. X =x,sfc'X&j y = irx = ex , Vy =c(thy).
3.28. x*$hy =X , xz~x; V^-cx, Vy-c(thy).
3.29. X1~y, Xzskx=y'> Vx =c(tkx), Vy'CtJ .
j 2
3.30. X = X , X = U-Smt : V*. = C, V„ = ccosx .
' J ' Л> э у
3.31. x^x-siny, xz = ijj v^tcosg, vy =f.
Q^sC^j&z
3.32. *-t
3-33' я?-±7т^Ё-
3.34. x^x1, y=xzel~x->i % =c, Vy^-Zexg.
3.35. x =хЧ'^г^, y=tz> Vg=o , vy =r.
3.36. х' = л, $z--(I Why, Vx-v,~ Vy = о .
3.37. Xf=x( ^yz) , xz = g v-g^O , Vy = v.
3.38. X^yZ-(xf, £z = y/x Vx^Vf Vy^O
3.39. Xf - X , Xz ^(y)Z -$z-, Vg = V-} Vy=0.
3.40. x1 -{xf-tyf', Хг-У) ЧГ^О , Vy =v.
3.41. xz^ y/[i +(*Л, x'=xy , rj. = c(1 i($) r Vy~ Zexy.
3.42. х\(1 * tf) -X, Xz = xg -, Vg^-cx, ^y=ey.
3.43. x* , . vz^xg , Vg^ v, Vy =0 .
Ортогональными называются криволинейные координаты х‘ , такие
что в любой точке М (х1, xz, я*) основной базис является ортого-
нальным, т.е. матрицы (f^] являются диагональными:
= (3.16)
х, г> ti
Ва.°
р о в а н н ы м.
является ортонорми-
20
Физическими "компонентами" тг<р вектора v называются коэффи-
циенты разложения v по базису ;
va> -Vi'F • (3’I7)
Задано преобразование координат, а) Построить координатные
поверхности и координатные линии, б) Найти векторы основного и
взаимного базисов в произвольной точке, в) Найти матрицы [л- 1
lf’1. . '
3.44. Полярные координаты на плоскости:.
x-rcosip, y^rsintp (г (р =яг); fc^r<*-oo, osq^Zx).
3.45. Параболические координаты на плоскости;
3.46. Эллиптические координаты на плоскости:.
х- - u,ch cos у , g-CLsk^siny ( f-x1, ( 0< O^psZx)
3.47. Биполярные координаты на плоскости:
chy-cos^ chg-cosf y 6 7 ’ ’ ‘ J
3.48. Круговые цилиндрические координаты;
у = rs-ito<f>, Z=Z (г = я[<р=хг, х=х*);(о<г<+™,
3.49. Сферические координаты;
X, “ Г S441- Осоз (р, у = rsmBsinipz = гсозб ( г=я*, 6 <р=Л3У>
(0<Г<+-=°, 0<.6iX, 0<<р<2х).
3.50. Параболические цилиндрические координаты: -
* = F?> z-xs)>
(-00<J>< + 00> 0^ <+<х> ? -оо<х<* CX>J .
3.51. Эллиптические цилиндрические координаты;
х ~ nek cosy , у, x>z х=х£)-
3.52. Бицилиндрические координаты:
азА» o-s<«F , , г ~ ЗА
Х ch^-cos^ ’ ^ = ch^-cosl' (1-х,^х, Х-я);
-оо<^ Г+ао, - оо + <х>) . 2Т
3.53. Параболические координаты:
x^fycostp, -y^ysintp, х‘2-(^-^г) (f^£, у -/);
( 0 £ f < + <x= , 0< 9 £ 2X , O & Q-t + oo) .
3.54. Вытянутые эллипсоидальные координаты::
sw^cps^ , y-asAfstw^s/w?, x = ar4£cps^.
(f-я/, у -**> (0<f <+», Osy'sx, D~<f< Zx) •
3.55. Сплюснутые эллипсоидальные координаты.'
• x = a-ckf cosycosy, 4j=aclt'fa>sp$i.n<f , i-ask^sinp
( <f~xz} y=x3); {0<.J-c^oa> 0<ip<2X> -x/z< q£X/z)
3.56. Тороидальные координаты:
л—*sA£<js? , , z_____g±gg.
CnJ-CQSp У ch^ - cosy cfif-CCSp
(f=< £ ? = X3); OiyiZX, 0<(?<2я) .
3.57. Бисферические координаты:
зС gs»nfcosff ж $tn,y % _ arA#
chy - cos £ ' cft-y - cos f ’ ch у - CcS^
( f =•«/ y=X2}<f>=X5)}J ffi f <X, -ootpc+ao, (Xtf^Zx) •
3.58. Конические координаты:
‘ е1Н-тг-йу s
<i‘ < Fa2 <г) • .
3.59. Софокусные параболоидальные координаты.;
гг (а< Ь)(аг-?гХЕ-аг; ts2 _ (1г-ГЛК~1гХЬ~1г)
х -£(aS )> /f<(f. П < I)
3.60. Софокусные эллипсоидальные координаты:
1.(fzг/
22
Если закон движения континуума задан в криволинейных коорди-
натах (х1)
xi sJC* (f, f\t) , <3.I8)
то контравапиантные компоненты вектора скорости v частиц конти-
нуума определяются по формулам
тг1- ?*1| . (3.19)
it I р-const .
Уравнения линий тока имеют вид
dx ________ dfX _______________dx_______ zo on)
v'^’x^i) I) vi(x\xzxi,l)
Заданы компоненты вектора скорости в декартовых координатах.
Найти закон движения,линии тока в цилиндрической системе
координат, полагая t0 - О, % =f2 , = fJ:
3.61. = = Z(Xz<-gz) ,
3.62. V^y(xz+yz)* , V^-x(xz+yz)\ ,
3.63. =(.hxz^yz)x, >XZt<JZ), V^Q-,
в сферической системе координат, полагая 6,0=§2%=§3:
3.64. -x(xz>ryzvxz\ -V^y[x\yz^z)^ 1^ = Х(хг^уг^хг)
3.65. ^-y(xZvyz+Zz)1 V^x(xz+yz>xz)} ^^(хг+уг^хг) .
Сопутствующей системой координат называется подвижная система
криволинейных лагранжевых координат fУ, %z} ^3.
Обозначим векторы базиса сопутствующей системы координат в
начальный момент времени t= 0 и в момент t соответственно
4--^> С5 Г..
Задан закон движения континуума, а) Построить координатные
линии и определить вектор! основного и взаимного базисов сопутству-
ющей системы координат в начальный момент времени 1 = о и в мо-
мент tj в точке М ( t • б) Найти контравариантные и кова-
риантные компоненты вектора скорости точки в базисах сопутствующей
системы при f .
23
3.66. x-~fcos’t,
3.67. x^fcost-f^t, y-^stnt+^atst, tf-ty., f/=f2=/.
3.68. r=J* (P-f^f3, Z*fJ, (r,<p,z)~ цилиндрические координаты,
t,-/. f' = f34, .
3.69. /=/*+£, <₽-f* x-f5, (r,q>tz)~ цилиндрические координаты,
t4-Vz, f^/z, 1г~*/В, I3-I.
3.70. x-fV, = t4-l,
§ 4. ТЕНЗОРЫ. ОПЕРАЦИИ ТЕНЗОРНОЙ АЛГЕБРЫ
Тензором называется инвариантный по отношению к преобразова-
ниям системы координат математический объект, являющийся линейной
комбинацией базисных полиад:
Т=ТЬ^^- 3,9^% . (4.1)
••//•• ♦/ ‘г ‘г
Это определение эквивалентно следующему: если каждому базиоу
Я- сопоставлен набор чисел (компонент) 7’.*.', таких,
что компоненты, отвечающие базису 9^ = зу , выражаются через
компоненты , отвечающие базису , по формулам
'* - /'/.V...Z-/* /*, «•«>
j 1 Jпи J J fa J t-^ sf... 9^ 9
то говорят, что эти числа образуют тензор ранга л-= Второе
определение можно рассматривать как критерий того, что(
есть компоненты тензора.
Тензор второго ранга представляется четырьмя различными фор-
мами
Г= Т 43.3j =- Ttj зi3i - ГД / “ Г,!. (4.3)
Компоненты называются контравариантшми, - ковариант-
ными, Г.у и Г’/ - смешанными компонентами тензора.
Формулы преобразования компонент тензора второго ранга:
' Г А*
= А А ' ;
Г(у * <£j T^l i
V - 4 fl т?.
(4.4)
Матричная запись формул (4.4):
[гч] -вг1тч-]в,
Ir'ij ] - й I ГЧ]ЙГ, (4.5)
iT'tj] ‘ВГ[Т*'УГ, [T^-dlT^B.
При этом в матрице компонент тензора первый индекс, независи-
мо от того, является ли он ковариантным или контравариантным,
есть номер строки, а второй - столбца.
Нулевой тензор - это тензор, имеющий в некотором, и тогда в
любом базисе, все компоненты, равные нулю.
Метрический (Фундаментальный) тензор - это тензор
“ ЙЛ % “ = / • (4.6)
Тензор Леви - Чивита: £_ 3,3. = € , 3l3^3k
(см. задачу 4.3). J
(4.7)
Операции нал тензорами
I. Сумма тензоров А/.. 3J\..
и Q = Q , *3- У’.З- - есть тензор
Л 7» • *< , Ч .
2. Перестановка индексов i и j у тензора Г- Т \ зз^.. -
это образование тензора Г*= T’/.s... • 3*.. 3* ... , называемого
сопряженным тензору Т по индексам i и j .
Тензор Т называется симметричным (антисимметрич-
ным) по индексам i, и / , если Г*“Г (соответственно Г*»-Г ).
Тензор Г представляется в виде суши тензора Тс ~ Уг(Т^Т*)
(симметричная по индексам 4/ часть тензора Г ) и тензора
ТЙ = У?( Т-Т*) (антисимметричная по индексам часть тензора Т ).
Антисимметричному тензору Q второго ранга соответствует
аксиальный вектор ф :
?-<4,8)
25
аде - четная подстановка чисел (I, 2, 3).
3. Тензорное произведение тензоров э\. э
Л л^»/*3 д -h 7 *г’’ **
и Ц =ц Я 3: 3 ... 3,- - это тензор
it 1г /ж- г
pp=p^:.ik . (4-9)
Тензорным произведением двух векторов а и 4 является ииала
ab - а,^ э13J.
4. Свертывание по индексам i, и /, тензора
?. г ^...з^
" Jfit Я» *г
- это образование тензора
f = Г**."•; з з/г...з^ . (4.10)
• • Мг Jtn, 4г
5. Скалярное произведение (свертка) двух тензоров
P-Ph'"ik 3. з\.з., Q-Q.. . з>ч^-з^
*1 ik -
есть тензор P-Q , полученный в результате свертывания по индексам
тензора PQ :
P-Q ж р\-' **-<'k, Q 3 3lt.,3 З^З1’”'. (4.II)
•‘г- Ч/г -Л» **-/
Производя свертывание тензора P'Q по индексам и jg ,
получаем двойное ок ал яркое произведе-
ние P'Q тензоров Р и Q .
Примерами скалярных произведений тензоров являются скалярные
произведения тензора второго ранга Г на вектор а : оправа (6)
и слева (С) :
= а^з'= T.j 'a^ > (4.12)
€ = а-Т = о- = а1Т(. / = Т.^ 3*- (4.13)
Формулы (4.12), (4.13) удобно записывать в матричной форме:
Ц1-[^)(«'!, (4.14)
Жонглирование индексами (скалярное умножение на метрический
тензор)
Скалярное умножение тензора Т на метрический тензор f не
меняет тензора: IV “ Г., С помощью этой операции можно получить
26
£
1 зависимости между компонентами Т разного строения. Например, ком-
поненты тензора второго ранга связаны зависимостями:
_ у1
-T
(4.15)
t
Удобно пользоваться матричной
(4.16)
W’ [Ti
I
V-
записью формул (4.15), например,
[Г1]к ] .
ч
4.1. Показать, что величины f -, , опредалеинна
формулами (3.5), являются компонентами одного и того же тензора
второго ранга (метрического тензора).
4.2. Вычислить компоненты метрического тензора Св сферичес-
ких и цилиндрических координатах, применяя формула преобразования
компонент тензора (г при переходе от декаряовых координат к криво-
линейным.
4.3. Используя формулы (З.П), определяющие компоненты век-
торного произведения двух векторов, показать, что величины Syh,
образуют антисимметричный по всем индексам тензор ранга 3
(тензор Леви -Чивита) относительно преобразований, сохраняющих
ориентацию базиса.
4.4. Выразить через ковариантные, контравариантные и смешан-
ные компоненты тензора второго ранга его фазические компоненты,
т.е. компоненты тензора, отнесенные к диадам единичных векторов
основного и взаимного базисов. Найти фазические компонента в сфе-
рических и цилиндрических координатах.
4.5. Показать, что определитель матрицы смешанных компонент
тензора второго ранга является инвариантом преобразования коорди-
нат. Указание: воспользоваться формулами (4.5) и (4.16).
4.6. Доказать, что при повороте ооей декартовой систем! ко-
ординат все формулы (4.5) преобразования компонент тензора второ-
го ранга сводятся к следующей: [ Ту ] = А [ 7^] йт.
4.7. Тензору в выбранной системе координат по-
ставим в соответствие три объекта или Т? - Т** % ,
которые в выбранной системе координат можно изобразить в виде
векторов с компонентами, составленными из отрок (столб-
цов) матрицы тензора Т • Найти формулы преобразования величин.tl
и Г и выразить тензор Т через t* и TJ . Бйразить Т через .
- В каком случае Г* -1* ? 27
4.8. Пусть (l^b,с - произвольные векторы. Доказать, что сумма
трех диад +СЭ3 является тензором второго ранга.
Выразить контравариантные компоненты Т через компоненты
в исходной системе координат и в преобразованной.
4.9. Показать, что если Т-симметричный и //-антисимметрич-
ный тензоры второго ранга, то для всякого вектора b выполняются
условия .
ТЬ -Ь Т f ЛЬ .
4.10. Показать, что совокупность чисел Т является набором
компонент тензора второго ранга тогда и только тогда, когда в ре-
зультате преобразования произвольного вектора а по формулам
(4.12) - (4.13) получается вектор.
4.II. Показать, что для компонент тензора второго ранга имеем
Сг»“
4.12. Пусть J - тензор моментов инерции твердого тела.
Доказать, что момент инерции тела относительно оси с ортом и мож-
но вычислить по формуле = и-Ju •
4.13. Тензор моментов инерции тела имеет компоненты
Г10 0 0
D То 0
О 0 I,
в декартовом базисе. Найти моменты инерции относительно биссек-
трис координатных углов.
4.14. В декартовой системе координат Оху задан симметричный
тензор Р-P1tH + Р1г (+ J i) Вычислить ком-
поненты тензора в системе координат Оху' , полученной из Оху
поворотом вокруг начала координат на угол у .
4.15. Найти контравариантные компоненты тензора Р в цилиндри-
ческих координатах, если матрица компонент Рц в декартовых коор-
динатах хух имеет вид
О 0 hy
о о - fax
ky -kx 0
Главным вектором тензора второго ранга Т называется вектор
р , такой, что Т‘р = .. Направление главного вектора называ-
ется главным направлением (главной осью).
Главные значения 1 определяются как корни характеристическо-
го уравнения-', записанного в одном из следующих видов:
28
1 Tij -% I. = °> I I < II -c - (4.17)
Коэффициенты ^,7г,73 характеристического уравнения (4.17)
-J,2Z -Js = 0 являются инвариантами
тензора.
Выражение инвариантов через компоненты тензора
Первый клинейный) инвариант ^Tli t-%2 + З3 к он равен
следу матрицы смешанных компонент тензора Г ). .
Второй (квадратичный; инвариант Jz * -Г* TJ.)~
Третий (кубический) инвариант J3 - det [ Г - ] = Л, ЛгЛ3 .
Если тензор Г с и м м е т р и ч е н, то веществен-
ны. Орты главных осей образуют ортонормирований базис и определя-
ются из решений одной из следующих систем уравнений:
(T‘i-tf)fre, (4.ю> .
дополненной условием нормировки
=/ • (4Л9)
Тензорная поверхность. Точки М' , радиус-векторы J которых
удовлетворяют уравнению
’ co"st > <4.20)
образуют поверхность второго порядка, называемую тензорной
поверхностью тензора Г .
Тензор Т , первый инвариант которого равен нулю, называется
девиатором. Тензор ,, где Л - скаляр, называется
шаровым тензором.
«4.16. Доказать, что главные направления симметричного тензо-
ра второго порядка, соответствующие различным главным значениям,
ортогональны между собой.
4.17. Доказать, что в главных осях тензор второго ранга име-
ет вид
4.18. Поразить инварианты тензора второго ранта через его
контравариантные и ковариантные компоненты.
29
а» .
4.19. Найти инварианты диады двух векторов а,1 .
4,20. Найти инварианты антисимметричного тензора второго ран-
га.
4.21. ,Найти инварианты тензоров Д,В,С,Р , компоненты которых
заданы в системе координат с метрическим тензором /г :
4 0 2 0 4 0 -2 0 Г , И" -4 4 0 4 4 0 0 0 4. к,) - 4 0 2 0 4 2 .2 2 4
z;i - / 5 -4 4 0
2 -/ 0 7 4 4 0
0 0 41 0 0 4 .
4.22. Представить тензор второго ранга Т в виде суммы шарово-
го тензора и девиатора. Найти их компоненты.
4.23. Доказать, что главные оси симметричного тензора Т л
его девиатора совпадают. Выразить главные значения девиатора через
.главные значения тензора.
Заданы компоненты тензора второго ранга Т в системе коорди-
нат с метрическим тензором (г . а) Найти главные значения и глав-
ные направления тензора Т . б) Получить компоненты тензора в бази-
се главных осей с помощью формул преобразования компонент тензора
при переходе от исходных осей к главным, в) Найти инварианты тен-
зора.
4.24. [ ]
4.25.
4.26. Ц] =
4.2?.
4.28. [fy] =
4.29. Uy]“
2
7
/
4
0
О
ч
~2
2
-4
0
г
2 4 1
4 2 4
4 1 2
4 0 О
IrJ -
а
о
a D
Z i
t> 4Лсг
1 0 f
0 1 о
I 0 4
30
4.30. [Tij ] = ООО 0 0 -k [ 0 -k 0 . fey l У 0 0 0 rz 0 . 0 0 .
4.31. [Г7] = 0 0 o' 0 о -k L о -k o. ’ [fyl = ' 1 0 0' 0 гг 0 L 0 0 4 .
4.32. [Т^] = 0 0 -k' о о k ,'kl 0 • fcyl ' 10 0' 0 rz & .001.
4.зз. [?;.] = 0 -fe 0 k 0 0 0 0 k ’ Cf’l = a? 0„0 0 1>z 0 . 0 0 uz
4.34. [Г,.]- "k 'll o' и - k 0 . 0 0 k > tfi/l " 1 tn 0 a- 1 0, ,D0t
4.35. [Г] = 0 -tl 0 1 -u Ou , IM' ° 0 kz 0
. 0 u 0 .001
4-36. [Т’уЬ a, tn о a a-b o-l 0- ’ у= 1 1 O' 1 Z 0 .001
4.37. [Г7] = ' 0 -1 1 -y I . 1 1 ° ’ ky] = '110 1 z о : о oi.
ал! 1 У+а 2 1 1
4.38. [ Т’ ] = у г 1 k/i = 1 2 1
7 ./+« У йл< L1 1 z .
4.39. [Г^] = о а 0 tn 0 0 . 0 о i> kyl • k* 0 0 0 hz 0 . 0 0 uz.
4.40. ,[Т‘7] = a a 0 a. Za 0 L о o. 4> > [H= 2 0 0 0 1 0 . 0 0 1.
Пусть компоненты симметричного тензора второго ранга 7 зада-
ныв ортонормированной системе главных направле-
ний
Г= * ТгЧ€г * . (4.21)
В такихосях ковариантные, смешанные и контравариантные ком-
поненты Тсовпадают. Свертку тензора Г и единичного вектора
будем обозначать
= Г-н = Т1п1е1 1- + Т3п3е3 .
31
Составляющая вектора Тп , коллинеарная вектору л , называется
нормальной составляющей Т^и обозначается
Тпп • Составляющая вектора , перпендикулярная вектору п , назы-
вается касательной составляющей Тп и обо-
значается .
Длины векторов Tntl и Тпг определяются по формулам:
1Г,„| -пТп * Т,п‘ ;
ir.,i !4-а)
- ( Т,п‘
Компоненты вектора п , соответствующие критическим, в част-
ности. экстремальным, значениям I 7^„| и I 7^г1 , определяются мето-
дом множителей Лагранжа из систем уравнений:
7?(1 ^»|2 -о ,
& (1Г„12кг|Я|г) -е,
|/»|г= /;
|л|2= / .
(4.23)
Здесь а - некоторое неизвестное число, определяемое при решении
(4.23). '
Максимальная (минимальная) величина нормальной составляющей
достигается на некотором из векторов е1, ег, е3 и равна макси-
мальному (минимальному) из чисел I Tt I, I Тг I, I Т31 .
Максимальная (минимальная) величина карательной составляющей
достигается на некотором из векторов t ег)
и равна максимальному (минимальному) из чисел I Г.-ТЛ I г»,- l |
I z I’l z I’l z г
Заданы компоненты тензора Т в системе координат с метричес-
ким тензором £ . Найти главные значения и направления векторов,
на которых достигается максимальное и минимальное значение вели-
чины ITWJ. 3 1 У
4.41. (П/) = 1 о Z 1 z о >
Г Г Г '
4.42. [ nJ аг t т г , Г., =
1 И J . V Г Г V •
-5 0 0 ’ </ 1
4.43. I r.J-1 в 0 -6 42 0 12 1 j >
4.44. lrt/l * 0 -и. 0 1 -и, 0 и \ 0 и- о J \kz 0 0 k‘ . 0 о 0 ] 0 •
32
§ 5. КОВАРИАНТНОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ
В криволинейных координатах векторы базисов \, э3 в точке
(х* х2, ;c3J зависят от координат точки М .
Коэффициенты разложения вектора
него базиса
по векторам основ-
<7Х/
называются символами Кристоффеля второго
рода
Г* ’ (5.2)
п k
Символы /... являются симметричными по индексам i i :
г _ г
<у ~ ’/♦ (5.3)
и определяются через компоненты метрического тензора по формулам
р* - dfy d?is d^iS\
*j Z ? * dxl dxJ dxs' (5.4)
Производная вектора а(л'хггл3) по координате х‘ представля-
ется в виде
(5.5)
где величины
* дх 1* ’ , .
называются ковариантными производными
компонент вектораа,
Вектор ускорения w в криволинейных координатах имеет вид
(см. формулы (1.4)) ,
«.7>
Производная тензора Т = T^xSx13, х3)^ по координате
л* определяется по формуле
dTlj , , Tij(dst , dij \ _mtf
dx4~VkT^i3j , (5’8)
33
где величины
называются ковариантными производными
компонент тензора Г.
Аналогично определяются ковариантные производные компонент
произвольной структуры тензора любого ранга.
Теорема Риччи. Ковариантные производные компонент метрическо-
го тензора равны нулю:
s . - V-/ '-°- ' (5Д0)
Градиентом vT тензора Т ранга п называется тензор ранга
4И-/ , определяемый по формуле
vT . -,‘*г . (6.п)
Градиент V Т можно представить как тензорное произведение тензора
Т олева на символический вектор Гамильтона V :
Градиент скалярного поля я', я* я1) есть вектор
?(/> = 4^7 <5-I3)
ил*
Градиент вектора а(я^яг,я}) есть тензор
Ра = V: аМь = кв. Э1?1 . (5.14)
ф J I ]
Градиент тензора Т второго ранга есть тензор
vT ‘ 7Л = Vfe Ttj- \ (5.15)
Дивергенцией diva вектора л называется первый инвариант
тензора ГЛ
di^a -±г . (5.16)
Дивергенцией dtv Т тензора Г называется тензор, полученный
в результате свертывания по первым двум индексам тензора V Т
divT = (5.1^)
34 •
Лапласиан ну скалярного поля у(ху хг,х3) есть первый ин-
вариант тензора у( УЦ>):
A(f ~V( ~ v€ Vl(f (здесь V1- (5.17) .
Лапласиан Л а вектора а есть вектор, полученный в результа-
те свертывания по первым двум индексам тензора V( va):
ла - Vivi . (5.18)
Ротор rota (вихрь вектора а есть аксиальный вектор,
связанный с антисимметричным тензором dd , полученным
в результате альтернирования тензора (Vo):
rot а 9 Q Э
rota _ d^i- (5,I9)
rota 7^3)3d\gX3 <jxd3d
oota) ~ -£ rot a .
Заданы преобразование координат и контравариантные компонен-
ты вектора скорости в криволинейных координатах. Найти: а) симво-
лы Кристоффеля криволинейной системы координат; б) вектор ускоре-
ния; в) дивергенцию вектора скорости; г) вихрь вектора скорости;
д) лапласиан скалярной функции <f(x1, хг, Xs).
В задачах 5.1 - 5.60 преобразования координат взять из задач
§ 3 с тем хе номером.
5.1. v^-(xzf, id-dd. 5.10. v' = / , vz-0.
5.2. ld = -x'xz, id=(x’)z. 5.II. id =x*, irz^0 . '
5.3. id = -(xz)z, vz=xfxz. 5.12. id vz-0.
5.4. '»’/=('х‘92, v/ =-•*'•** 5.13. V* ^xzt vz=0 .
5.5. rd, id^-x'/jd. 5.14. 0 , V .
5.6. г'=/, ггг= 0 . -5.15. d 0 , vz = xz.
5.7. v'=x', v2 = 0 . 5.16. id -0.
5.8. V=0, vz=1. 5.17. V1 = 0, id = 1
5.9. v'^O, dd. 5.18. id - 0 , гг = /.
. 35
5.19. v'-/ , vz = 0 . 5.40. v4, vz~xj.
5.20. v1 = 0 , vz 1 / &'. 5.41. т‘~0, vz- .
5.21. V* = 0, vz = 5.42. v1 =0 , ir2 = 1.
5.22. v' = Ул* , . 5.43. v1=x^xz, vz=xi-xz.
5.23. v1 = х'хг, 0, 5.44. v1-#1, vz^xz',
5.24. v' =с4л', vz = 0 5.45. V^X^i-Х z, vz 0 ,
5.25. vz~skxz. 5.46. VZ~0.
5.26. vz = 0. 5.47. ir1 = t Vz- 0.
5.27. v1 = 0, irz~ckxz. 5.48. v1^xz, VZ = X/.
5.28. V1 = 0 , VZ = XZ. 5.49. v1 D, .
5.29. v1 - л1 , 'vz = 0. 5.50. v* = 0 , vz=/ .
5.30. ,v1-ci>sx,>, vz^0. 5.51. 'V1^-Xz> Vz = x^.
5.31. 'V'1 0 , vz ~cosxz. 5.52. v1 = 0, v3
5.32. w* = / , vz = 0 5.53. T/^V^O, tr^x1.
5.33. v1 = 0 , v2 =У. 5.54. V* vz= 0 , Т-3 = -Х1.
5.34. 5.35. v1 = 1 , vz = 0 . v1~o, vz=e~(x,\ 5.55. 5.56. v1 = vz = 0 v5 ~xz. v1 = vz~o t ^3 = x3
5.36. V1 * 1, vz=0 . 5.57. v1=-xz, тг^х1, тг3~0.
5.37. т9-0 vz = хг. 5.58. v1-»1, vz-xz, v3 ^0,
5.38. тг*~о } VZ =JC\ 5.59. г/=хг, vz=xi, vl^0 .
5.39. V1 Vz * Q . 5.60. Vs
.Заданы фазические компоненты скорости v частиц континуума
в криволинейной системе координат, а) Определить фазические ком-
поненты вектора ускорения, б) Определить физические компоненты
лапласиана вектора скорости.
36
Цилиндрическая система кооппрнат (г, l,z) (отличные от нуля
символы Кристоффеля и компоненты метрического тензора следующие:
^2 ~ ~г> f'z, = У Г , ~ £33" i , ^22 °
5.61. 5 = vr(r) , V(f~vz=f)-
5.62. = v^z) , vjf = Vz-0 .
5.63. Т^-О, V? = ifyf r) ,
5.64. 0 , V'f?V'f(z,), Vz^0.
5.65. 5 = 0, = 0, 5, = vz (r)
5.66. 5=0, rv = 0, vz=vz(z).
Сферическая система координат (г, 6,<р) (отличные от нуля симво-
лы Кристоффеля и компоненты метрического тензора следующие:
/Z* =-л, Г' Г/, ~ */г, ГА = - rs^^G, Г.1 ^-S<n6cos9,
5.67. 5 = ^(r), ve = Vg, = о
5.68. 5=0, = ve (f) , vv -0 .
5.69. 5=0, 5 =.0, 5 = ^(г).
5.70. 5 = 0, 5-0, 5 = 5(o;.
Доказать, что для произвольных векторных полей а, 4 и скаляр-
ных полей <Р, у имеют место следующие формулы:
5.71. div rot а = 0.
5.72. rot grctdtf'O.
5.73. Vftp.tf') = ipVV + VV<f-
5.74. ckv(Vip)-A<p.
5.75. dvtr(Q,*b) ^i-rota - a-rot-b .
5.76. rot ( a”b) =b-va - a-vt> a adivb - bdivcc.
5.77. vfa-/) - Ь -va a a'vb a t>*rota a a*roti.
37
5.78. div (if a} = vtpa 4- ipdtva.
5.79. . v ( l аг) * a va. r a* rot a.
5.80. rot rot a = vdiva -ла.
5.81. val = Ь diva + avb.
5.82. Доказать теорему Риччи.
5.83. Доказать, что в ортогональных координатах Г* =0 t
если i,j,k различны между собой.
5.84. Доказать, что в ортогональных координатах лапласиан
скалярного поля ip имеет вид
5.85. Найти градиент тензора Леви - Чивита..
5.86. Показать, что если у1- прямоугольные декартовы коорди-
наты , то символы Кристоффеля 2-го рода можно вычислять’ по формулам
Ч dxiw дя”'
5.87. Вывести формулу
Указание: продифференцировать равенство ИГ’ = Э1 • (
5.88. Поле вектора а задано физическими компонентами в сфери-
ческих координатах
“ 2kco$6/г3, а<г> = ksinGIr3, а, ~0.
Найти дивергенцию и потенциал поля вектора а .
§ 6. ТЕОРИЯ ДЕФОРМАЦИЙ
Нонятие деформаций
Рассмотрим перемещения малой окрестности частицы Мв (
сплошной среды.
Бесконечно малый материальный вектор (волокно) dre = Ме MB
начального состояния преобразуется в бесконечно малый вектор
dr конечного состояния, имеющий, вообще говоря, другую дли-
ну, и углы между волокнами, исходящими из точки Мв , также могут
измениться, т.е. происходит деформация окрестности точки MD .
38
Разноств квадратов длины волокна в конечном и начальном со-
стояниях определяется формулой
, v6.I)
где и - компоненты метрического тензора в сопутствующей
системе координат, соответственно конечного и начального состоя-
ний.
Тензорами деформаций £ и £ называются следующие тензоры:
8 = Ц , (6.2)
8 = Fty $4’ , (6.3)
ГДе
v6-4)
Тензор £ определен в точке Ме недеформированной среда и выра-
жается через вектор перемещениям по форму-
ле
£ - Vti- (vu)*) v.6.5;
или
+ (6-6)
Тензор £ определен в точке М деформированной среда и форму-
лы, выражающие его зависимость от вектора -м- =М0М, имеют вид
е = +(v4i)* -vii-iva.)*) (6.7)
е = 7 <4 5* *♦’ ' F« и* vi (6.8)
В формулах (6.6) и (6.8) через обозначены векторы произ-
вольных базисов в точках Мвъ М соответственно.
КоэФДипиентом относительного удлинения волокна, имеющего в
начальном состоянии направление единичного вектора V , называет-
ся величина
- Ast*- ’ <6-э>
определяемая с помощью тензора деформации по формуле
/ 1- 2^ 5 У * (6.10)
39
Угол Г между дефотированными волокнами, имеющими в началь-
ном состоянии направления V*, V" определяемся по формуле
_ /У
(6.II)
Для координатных волокон, т.е. волокон,
имевших до деформации направления координатных осей, получаем
£ 7 f _/ (6.12)
cosr - ^.±...2еч —. . (6.13)
Для волокон, имевших в начальном состоянии направления глав-
ных осей тензора S (в конечном состоянии такие волокна направле-
ны по главным осям тензора S , т.е. остаются взаимно ортогональ-
ными), получаем
( * -< = ,г=- . . - / (6.14)
Главные компоненты Et и тензоров 6 и Б связаны соотношением
< - тА- • <6-15)
Коэффициентом 6 объемного расширения называется величина
а = dV-dVo , (6.16)
° dVD
где dV и dV0 - элементы объема одной и той же совокупности час-
тиц континуума соответственно в конечном'и начальном состояниях.
0 = У ( <-2^ ) -i . (6.Г7)
Задано преобразование, определяющее плоскую конечную деформа-
цию сплошной среда. Лагранжевы координаты ^совпадают с начальны-
ми значениями декартовых координат системы наблюдателя.
I. Определить ковариантные компоненты тензоров деформации,
отнесенные к базисам сопутствующей системы, в точке, для которой
заданы лагранжевы координаты.
2, Найти главные компоненты и главные направления тензоров
деформации.
3. Найти относительные удлинения координатных волокон сопут-
ствующей системы координат и главных осей.
40 , .
4. Найти изменение угла между векторами базиса сопутствующей'
системы координат и угол поворота главных осей.
6.1. a = (^)24f)z,
6.2.
6.3. # =
6.4. x-f,
6.5. X-f
6.6. * = f', f'-Ж/У, f</.
6.7. я -f'f2,
6.8. *=f', <гГ/Г> f-r-i
6.9.
6.Ю *-f'> <f-(^(f')z)Jz, V-V-i.
6.Ц. %=J/4»s^2, ^' = 7,
6.12. X»f7^2, ^=f2, f'=f2 = /.
6.13. f .
6.14. t-f, v=Fff’/, fM, |г='/з.
6.15. X=f*ff7j, ^^f2+f72,
6.16. x=(f2/^S = f*=fZ = /
6.17. = , ^г = У.
6.18. ^=f7p\v = r> f^/5, Г-d-
6.19. X-f, f ff-i.
6.20. iC-f,
6.2i. ^ = r?fA y=ff/f7 r=f2=<
6.22. £= f', У =ff'Af* , fZ = f2-/.
6.23. f-fz4.
6^24. Г> f = /, f"=№.
41
6.25. Я-[ЖН*]Г , y-f, = /
6.26. i-(^)s, y-f , .
6.27. X-f/Z*-?2, y-f <-?%, f'=fM.
6.28. Задано преобразование
X -f(f')a>sf f, a,*f<a*k,
' -*<£<*,
. ъ = Ц3, -i< < I >
определяющее конечную деформацию среды, выбраны как декартовы
координата течек среды до деформации.
Пусть /(а) = Го , ptuA) .
I .Найти вид функции /(|0 , а также значение величины £ в
предположении, что деформация происходит с сохранением объема ма-
териала.
2 .Найти значения f4 , определяющие волокно, длина которого
остается неизменной. ,
Ответ: i) f (f') = Ц Н + г/ ,
4
м2 *• £
Г1 ~ 'о
ьг
г).
6.29. Конечная деформация объема сплошной среды определена
преобразованием
* = f', x = f^f72.
Лагранжевы координата f1 равны начальным значениям декартовых
координат, а) Определить смещенное положение точек, которые перво-
начально располагались на окружности ( 7= у в плоскости
|г*= 0. б) Определить радиус-вектор частицы, первоначально распо-
ложенной в точке (I, 0, 2). в) Найти ковариантные компонента тен-
зоров деформации в сопутствующей системе координат.
6.30. Для конечной деформации, определяемой преобразованием
> У = ?г , г-?3-#?,
вычислить коэффициент объемного расширения. Показать, что в плос-
кости яОг не существует направления )f( 0, ^)3) , для которо-
го удлинение равно нулю.
42
6.31. Для конечной деформации, заданной преобразованием
определить положение частиц, которые первоначально составляли
крут Определить направления в плоскости yOz ,
угол между которыми остается неизменным.
6.32. Конечная деформация объема сплошной среды определяется
преобразованием
Найти относительные удлиненияволодон, первоначально расположен-
ных на декартовых координатных осях, а также найти углы между эти-
ми волокнами в деформированном состоянии.
6.33. Перемещение точек среды задано соотношениями
(f*- декартовы координаты точек среды в начальном состоянии).
Доказать, что если пренебречь членами, содержащими квадраты
и произведения констант А, В, С, перемещение среды будет представ-
лять поворот абсолютно твердого тела. 0
6.34. В некоторой точке задан тензор <ЕГ конечной деформации
в декартовом базисе
а) Показать, что векторы 4-^=г«3 и у ег +
определяют главные направления тензоров, б) Найти главные компо-
ненты тензора.
6.35. Для конечной плоской деформации известны коэффициенты
cc,h,c относительных удлинений волокон, исходящих из некоторой
точки и имеющих до деформации направления векторов
Найти компоненты тензора деформации В в декартовом базисе.
6.36. Дано поле вектора перемещения
U f)j + ,
где - декартовы координаты точек среды в начальном состоянии.
Найти относительное удлинение волокна, исходящего из произвольной
точки М в направлении вектора u _ J_ , 2 ;
-ГТ ' 43
6.37. Дано поле вектора перемещения
«4fJ2f2< + 4f)2f3t.
Найти относительное удлинение волокна, исходящего до деформации
из точки Pft2,-/)B точку Q( 4,2,5). Принять, что =
Г-^
6.38. Дано поле вектора перемещения
иА ^я+2у , "Uy = 2зс - у , '11^ = 2х
Определить угол после деформации между векторами
/ / J 1
и Л= +
исходящими из произвольной точки.
6.39. Криволинейные координаты q1, <)г связаны с декартовыми
соотношениями
*--q' > ч
Конечная деформация задана преобразованием
где лагранжевы координаты ‘ выбраны как значения криволинейных
координат точек среды в недеформированном состоянии. Найти ковари-
антные компоненты тензоров деформации в сопутствующей систёме ко-
ординат . \
6.40. Деформация континуума задана преобразованием
у = г0 , у> =у0\(рхе , z=ze ,
rjsfi г, if, j, - цилиндрические координаты; у = const. Положив
f1 - г0 , ^г=(Р<, ,Л? 3= , найти ковариантные компоненты тензоров
деформаций £ и Е в сопутствующей системе.
6.41. Деформация континуума задана преобразованием
f = го , У = «Я , z = zo ,
где Г, Ц>} X. - цилиндрические координаты; (р = const. Положив
= <20 ‘fzo = f5/ найти относительные удлинения волокон, пер-
воначально расположенных йа координатных осях ff {, а также
углы между этими волокнами в конечном состоянии.
44
6.42. Деформация задана преобразованием
г- В" , V = <РС ★Dz, , z-Fz-o ,
где г, </>, х - цилиндрические координаты. Положив f *=£,
вычислить ковариантные компоненты тензоров деформации £ и £ в
сопутствующей системе координат. Охарактеризовать деформацию, по-
ложив В - О, В = 0. Найти условие несжимаемости материала для
случая, когда В • В = 0 .
6.43. Конечная деформация среды задана преобразованием
+ y-TZ-zV> +2fz.
Найти компоненты тензсров деформаций £ и £ в базисе декартовой
системы координат наблюдателя.
6.44. Доказать, что коэффициент относительного удлинения
волокна, имеющего после деформации направление вектора И , опреде
ляется по формуле
/ = ..-..- 7
. * I/ 1-z+i v '
6.45. Доказать, что угол между недеформированными волок-
нами, имеющими после деформации направление векторов )f1 и Р",
определяется по формуле
= ГГ
cos 1° г'
/
. л В случае бесконечно малой деформации (компоненты тензоров
I малы) формулы <6.5)-(6.6), (б.Ю)-кб.П), (6.15), (6.17)
упрощаются:
Е = £ = Е = ilvu + ,
(6.18)
as/= )>’)>'+>?р'£
Для координатных волокон декартовых осей имеем
4 = ~ 2 ->
= ' T-ij ~ У*™ скашивания (сдвига).
Относительные удлинения волокон вдоль главных осей
Е бесконечно малой деформации равны
(6.19)
тензора
Между компонентами Тензоров деформаций существуют зависи-
мости, полная система которое носит название уравнений
совместности деформаций.
Для бесконечно малой деформации уравнения совместности в де-
картовых координатах имеют вид
6.46. Задан вектор перемещения частиц при растяжении призма-
тического отеркня длиною / под действием собственного веса:
IL* = - аЛях, и^-аЪух , nz^^\xz+l(xzi-gz)]
(ОС Z< Лось 2 направлена по вертикали вверх). Считая перемеще-
ния малыми ( а - тазшй. параметр)? найти компоненты тензора
деформации и зависимость от координаты z относительно-
го удлинения поперечных волокон, параллельных осям Ох и оу .
Указать площадки наибольшей деформации сдвига и найти величину
максимального скашивания.
Указание: задачу можно свести к отысканию экстремального зна-
чения касательной составляющей вектора деформации
(см. § 4, с- 32 ).
6.47. Заданы компоненты тензора малой деформации
гр 1 [Мг< .
I Sy Ч ~ 0 0 -гк
ту -1я 0 .
при кручении ("чистое" кручение) круглого вала относительно его
беи, совпадающей с осью ох . Найти компоненты вектора перемещения
хь , считая, что пл-йу = 0 при и сечения, нормальные к
оси ох до деформации, остаются плоскими и нормальными к оси ОХ
после деформации..
6.48. Задано поле вектора перемещения малой деформации приГ
чистом кручении круглого стержня:
ил =-аух , -ахх , u,z~0
( а - малый параметр). а) Определить компоненты тензора деформаций,
б) Найти главные значения тензора, в) Указать площадку наибольшей
деформации сдвига и найти величину максимального сдвига (см. ука-
зание к задаче 6.46).
6.49. Заданы контравариантнне компоненты вектора перемещения
в цилиндрических координатах при чистом кручении круглого стержня -
46
( ос- малый параметр). Определить площадки наибольшей деформации
сдвига и найти величину максимального сдвига (см. указание к за-
даче 6.46).
6.50. Для плоской малой деформации, задаваемой компонентами
тензора в декартовых осях
О
£zz
0
£Z5
€35
определить выражения для относительных удлинений и сдвига волокон,
расположенных по осям х*, х3 , получающимся при повороте осей
и х3 на угол 6 относительно оси xi .
6.51. При плоской малой деформации в некоторой точке измерены
удлинения
V , 4,=7-М1'
1 7 7 А
волокон, имеющих соответственно направления векторов
< + -f-j , /•
Определить тензор деформации в этой точке.
6.52. Дано поле перемещений среды
и=а(х- x)z it- сь( у + х)2j- ax-yk (а -малый параметр).
Определить тензор малой деформации и найти относительное удлине-
ние волокна, исходящего из точки Р (0,2-1) в направлении вектора
9 = у (Si-j +ifk).
6.53. Задан вектор перемещения при чистом изгибе стержня пря-
моугольного сечения
( Я, 9 - постоянные), а) Считая дефорищив малой, найти продольное
; параллельное оси z ОХ волокно, для которого удлинение равно нулю.
б) Определить зависимость от координаты у удлинения продольных и
поперечных, параллельных оси ох волокся стержня, в) Найти коэф-
фициент объемного расширения материала. <
6.54. Выразить физические компоненты тензора малой деформа-
ции через физические компоненты вектора перемещения в цилиндричес-
ких координатах.
6.55. Выразить физические компоненты тензора малой деформа-
ции через физические компоненты вектора перемещения в сферической
системе координат.
6.56. Определить зависимости между постоянными
так, чтобы имели место следующие компоненту тензора деформации *
£УЧ " в° ~ в< (лг^дг) Чя*
£ху ’ С° ¥С1*У
Еяя = €ух = = 0..
При изучении движения континуума вводит тензор ско-
ростей деформаций
%, (6.22)
с компонентами
й = £*1 = Д . (6.23)
Kij dt dt
Здесь £<у—компоненты тензора деформации оу начального лллтляпяя
(t~D) к состоянию в момент времени t .
Тензор скоростей деформаций выражаете^ через поле скоростей
континуума по формуле
Т (W + (VV)*) , (6.24)
т.е. в любом базисе
(6.25)
Скорость относительного удлинения воло|ща> имеющего в данный
момент направление Р, равна
(6.26)
Скорость изменения угла т между волеКнаим> имеющими на -
правления У, У в данный момент времени,
df -Z'i'tylf”
dt sin /
Скорость объемного расширения равна
“ dtv v- ( Ev) .
(6.27)
(6.28)
По заданному полю скоростей в переменных Эйлера найти:
а) тензор скоростей деформаций; б) скорость относительного удлине-
ния волокна, имеющего направление вектора у (i+j) ; в) ско-
рость объемного расширения и вектор вихря скорости.
48
6.1!>7. -о , 5 - г,
6.58. У=Г/(-Ы} , Где г ^jci + yj .
6.59. V^Zx , Фу Zz , .
6.60. 7$. =-л, Ту-- 1] , Vt'O .
6.61. =^-(у *} v-y^x-t, vz=Zi .
6.62. тл , Vy - ye* , т^О.
6.63.
6.64. = xcost , 1Гу = у cost.
6.65. ^ = /, Vy^Zx
6.66. T^=Zt, Vy^Zlcosx.
6.67. - Zt, фу ~ - Ztij/x.
6.68.
6.69.
6.70. Vx4 , Vy^-y.
6.71. Vy = Zxy /(Hxz) .
6.72. + Vy--x3-xy*
6.73. Vy-X.
,6.74. = v^ify-5x.
6.75. 4c-t , Vy -y/x .
6.76. , Vy = У A •
6.77. Vx=Ztcosy, 'Vy- Zt.
6.78. К = Ax , ^=3z,
6.79. фл = - Ztx/y , Vy^Zt.
6.80. =- - = y/((/ Нг)х).
49
6.81. -tr. = -</3-1/хг , .
6.82. Фл = х/ц , Vy ~ t .
6.83. Выразить физические компоненты тензора скоростей дефор-
мации через физические компоненты вектора скорости в цилиндричес-
ких координатах.
6.84. Выразить физические компоненты тензора скоростей дефор-
маций через физические компоненты вектора скорости в сферических
координатах.
6.85. Показать, что заданные поля скоростей созданы вращением
твердого тела:
a) <- 5лj - 4xk. ;
б) ir = (Йх - By) i, + (Bx-Cx)j + (Cy-Ax)k .
6.86. Поле скоростей некоторой стационарно движущейся среды
задается компонентами
vi = ’
где dij - элементы заданной числовой матрицы; Л3 - декартовы ко-
ординаты.
I. Найти условие того, что среда несжимаема.
2. Определить компоненты тензора скоростей деформации.
3. Для плоского поля скоростей рассмотреть преобразование за
малое время At квадратного элемента, стороны которого параллель-
ны осям координат х1, х z . Найти главные оси тензора скоростей
деформаций и вектор вихря скорости. Рассмотреть преобразование ква-
дратного элемента, стороны которого параллельны главным осям;
Г 1 fc 0 0] г 1 Р ° г 1 0 ko] { ,
a) l«J= о -ko , <ГДа]= k о о = к о о , гЯа7|=
[_0 О о] 1 10 0 01 3 10 О 0J 3
ко
о о
0.0
0
0
0
6.87. Задан закон движения среды
а) Вычислить компоненты тензора скоростей деформаций в пере-
менных Эйлера, б) Показать/, что
если - компоненты тензора малой деформации, происшедшей
за малое время t .
50
§ 7. АНАЛИЗ НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ
Силы, действующие на объем континуума, могут быть приложенны-
ми в некоторых его точках (сосредоточенные силы), распределенными
по объему континуума (массовые силы) или распределенными по по-
верхности данного объема (поверхностные силы).
Плотность массовых сил - это векторное поле Г(х\ л1,х\ t),
такое, что массовая сила , приложенная к элементу объема ЛУ,
равна
- dR - , (7.1)
где р - массовая плотность континуума.
Плотность поверхностных сил (вектор напряжения) и эта вектор-
ное поле Рп , в каждой точке зависящее от компонент единичного век-
тора п , такое, что поверхностная сила dQ , приложенная к элемен-
ту поверхности d6' с внешней нормалью п , равна -
dQ , (7.2)
Уравнения движения физического объема сплошной среды
здесь Е - поверхность, ограничивающая рассматриваемый объем.
При условии непрерывности плотности поверхностных аил в каж-
дой точке существует тензор Р , такой, что зависимость вектора
напряжения Рп в данной точке от компонент вектора п задается ли-
нейным преобразованием
Р„ = Р п. (7.3)
п/
При этом имеем
Р = - Р
-п.
Тензор Р-Р*^^ называется тензором напряжений.
Тензор напряжений является симметричным.
Из соотношения (7.3) вытекает
Рк « С7-4)
Нормальная f^n и касательная Рпг составляющие вектора напряжения
на площадке с нормалью п определяются по формулам:
Р~(п-Р-п)п~(Р^Пу)П, (7.-5)
- Р п - ( п Р п)п.,
** 51
В декартовой системе координат векторы Д‘ • P^^j являются
векторами напряжений на координатных площадках.
В произвольной системе координат векторы напряжений
динатных площадках (т.е. площадках с. нормалями п -
ляются из соотношений
-
Величины Х^=Р^$£ являются физическ
понентами векторов напряжен
динатных площадках.
Главные значения тензора напряжений называются
ми напряжениями. Касательные напряжения на
перпендикулярных главным направлениям тензора напряжений, равны
нулю;
Плотность работы внутренних поверхностных сид (внутренних на-
пряжений) вычисляется по формуле
<ИЮ- (7.7)
Уравнение движения континуума в дифференциальной форме:
<’-8)
Уравнение равновесия континуума:
рД + div Р ~ О' .
И
и
г
м
й
л
на коор-
) опреде-
(7.6)
и к о it-
на коор-
а в н н -
площадках,
В некоторой точке сплошной среды задан тензор напряжений в
декартовых координатах. Компоненты тензора напряжений заданы в
в ньютонах на квадратный метр. Найти: а)'векторы напряжений
(построить их); б) вектор
и касательную составляющие
на координатных
напряжения, его
на площадке с
площадках
нормальную
нормалью П (п1} nt} ns); в) направления
главных осей, главные напряжения; г) максимальное касательное на-
пряжение; указать площадку, на которой оно действует, и определить
нормальное напряжение на этой площадке.
7.1
7.3.
7.2.
и- - j (~i Лгу -k) •
Г nil 1 Г ® 4 О 1
'1 Ни и
.7.4
о 1 0J
я -
г , Г 0 0 5
= 0 0 5 ,
1 J 5 5 1
2
2
52
7.5. l""J - i 0 7 0 7 0 4 0-4 0 > 7.1 6. [р‘у] = J 2 1 1 1 2 1 L 1 1 2
<-4j *7k}. п ~y(5i<- 5j i-2k) .
7.6. [И] = 0 1 1 ' 1 0 1 L/ i о. э 7.17. [Pij] = п 2 * *г< Г о Ц 4 4 0 4 {.4 4 0. b 7
7.7. [РЧ] = п - '»•>' 0 WO' 7г ' о о 0 0 872. 6. ) 7.18. [Р‘у] = « = * \ 5 -1-Г -14 0 L-/ 0 4. 1
7.8. [PtJ] “ 0 1 О' 10 0 . л д й X 7.] :9. №] = '10 -6 O' -6 10 0 Lodi. /
м - к п т*? V U U
7.9. [И] = \2 2 0 2 2 0 ООО > .7.5 го. [Р<у] = 0 -5 o' -5 0 1 .010. 7
л» + ^k. п = V? 4' * •
7.10. \РЧ] = Г 0 1 2 111 2 10 » 7.21. [Д*] = '5 -1 O'] -15 0 L 0 0 1. )
п‘^а~ 2j -k) . F3 j + Vzk]
7.И. И = . \ ' 10 -6 0 -6 10 0 0 0 1 1 7.22. [PiJ] = [0 1 o'] 10 5 J-5 01 2
л -
7.12. [Р‘У] = 1 0 2 0 2 0-1 0 -1 0. 7 7.23. = 15-10 O' -10 5 0 0 0 20 9
7.13. [P’Z] “ 1 0 0 0 5-1. L.o -1 3J 9 7.24. [Р‘^] = '5 0 07 0 -6 -12 0 -12 d )
л-^(Кг< n-^2i^2j+k)-
7.14. [PiJ] = П’7Г*2 0 2 2 г о z . г 2 OJ k > 7.25. [Р‘>] = п- j (i-2j b -5 0 -5 6 0 -0 0 8. -2k). 5
7.15. [/W] = 0 5 5 5 0 5 .5 50 > 7.26. [/^] = 1 Го 1 21 111 . 2 1 OJ ?
+ J k (i-2j tfe).
7.27. При одноосном напряженном состоянии тензор напряжений в
декартовых осях задается в виде 1
[^] Р. О 0
н 0 L о 0 0 0 о\ • .
53
а) Найти нормальное и касательное напряжения на площадке,
нормаль к которой составляет угол 6 с осью х . б) Какую поверх-
ность образуют нормали к площадкам с максимальными касательными
напряжениями? в) Чему равно максимальное касательное напряжение?
7.28. .При плоском напряженном состоянии тензор напряжений в
ч
декартовой системе координат задается в виде
Ш = Рг< Р»0 •
JL о о oJ
Найти нормальное и касательное напряжения на площадке с нормалью
n(eosO,sin6,0). При каком значении 6 направление п будет rws-
ным для тензора напряжений? Каковы значения главных напряжений?
7.29. Напряженное состояние в каждой точке среды в декарто-
вой системе координат задано тензором
г J 5/ о
' Ш .
! L 0 2z О
Определить вектор напряжения в точке /И-(2,1, на площадке,
касательной в этой точке к сфере (£-2)z * + z2 = 4 .
7.30. В точке среды заданы главные напряжения P,,PZ,P3 Вы-
числить нормальное и касательное напряжения на площадке, равнона-
клоненной к главным ссям (октаэдрическая площадка), и найти их вы-
ражения через инварианты тензора напряжений.
7.31. Показать1) что тангенциальная компонента вектора напря-
жения на октаэдрической площадке связана следующим образом со вто-
рым инвариантом девиатора напряжений :
/7 -I/ n '
окгт f 3 11 i, •
Указание: воспользоваться соотношением, справедливым для главных
значений девиатора :
df + ♦ U + 44 У-
T Лг o 7 fc 7 о Л* Э •*
7.32. Доказать, что: а) сумма квадратов напряжений на любых
трех взаимно ортогональных площадках в некоторой точке не зависит
от ориентации площадок; б) сумма нормальных напряжений на трех
взаимно ортогональных площадках не зависит от ориентации площадок.
.7.33. В упругом стержне, подвергающемся кручению вокруг своей
оси oz , вследствие действия моментов, приложенных к торцам, воз-
никают напряжения, определяемые тензором
54
0 kx
-
О 0 ky
о о кх ,
кц kx О
заданным в декартовых осях t)Xt/z . Найти: а) компоненты тензора в
цилиндрических координатах; б) векторы напряжений на гранях криво-
линейного параллелепипеда, образованного координатными площадкам
цилиндрической системы координат, вычислить физические компоненты
этихвекторов; в) привести тензор напряжений к главным осям и по-
казать, что на площадках, перпендикулярных оси ох , возникают мак-
симальные касательные напряжения.
7.34. Главные напряжения в точке М удовлетворяют соотношению
Найти направляющие косинусы нормали п к площадке, если нормаль-
ное напряжение на этой площадке РКп = Р& и касательное напряжение
Р = -L ( П - р )
гнт 4 v з> •
7.35. В точке Л4 среды на трех площадках, нормали к которым
лежат в плоскости хоц и образуют между собой углы 120°, заданы
нормальные составляющие напряжений . Найти главные напряже-
ния в точке М , если напряженное состояние плоское
( = Рм = РХХ = °)
\ Л-Лг уft А, Аг X
7.36. Доказать, что на всех площадках в точке М , пересекаю-
щихся по прямой с единичным вектором Р(У ’ °’ ’
компоненты которого заданы в главных осях тензора напряжений в
данной точке,касательная составляющая вектора напряжения коллине-
арна вектору .
7.37. Написать уравнения равновесия континуума в цилиндричес-
ких координатах и в сферических координатах через физические ком-
поненты тензора напряжений Р .
7.38» Показать, что вектор напряжения в точке М на площадке
с нормалью п имеет направление внешней нормали к поверхности на- ,
пряжений*в ее точке 1Л' , определяемой радиус-вектором
а величина нормального напряжения на той же площадке равна
Р = с, , '
***, ЮГ
где постоянная с не зависит от п .
* Поверхностью напряжений в точке 1ft среды называется тензор-
ная поверхность тензора напряжений в этой точке (см. §4).
55
7.39. Напряженное состояние в точке среды задано тензором
О = ? Р = 3 Д = 2 Р = Р = Р = О
ихх J > УУ > ихх ’ ху 'yz и
а) Написать уравнение поверхности напряжений, б) Найти все нормали
к площадкам, где есть только касательные напряжения (использовать
геометрию поверхности напряжений).
7.40. Доказать, что каждое из условий:
I) величина Рп и знак п Р^ не зависят от п ;
2) величина tv-P^ не зависит от п ;
3) вектор Рл коллинеарен п для любого п ;
эквивалентно тому, что тензор напряжений Р является шаровым (P^pff).
Тензор напряжений покоящейся жидкости является шаровым
Р = - Р (л1, Л&, (г .
Скалярная величина р( я1,хг,хг) называется давлением.
7.41. Вычислить дивергенцию шарового тензора P=-pf (тензо-
ра напряжений идеальной жидкости).
7.42. Найти распределение давления p(x,y,z) в тяжелой по-
коящейся жидкости постоянной плотности р" , если в точке 0( 0,0,0)
давление равно Рв .
7.43. Тяжелая однородная жидкость плотности О покоится в со-
суде заданной формы. Найти главный вектор сил реакций боковых сте-
нок сосуда, действующих на жидкость. Давление на свободной поверх-
ности жидкости z =А равно рв .
Форма сосуда задана уравнениями:
а) X - •**<-</* > £ X }
б) xz= , 0<х<Н ,
ъ) xz=^-^, > -а<у<а,
г) хг = Hz-xz-pz, г у - j , .
7.44. Покоящийся совершенный газ находится в закрытом сосуде
заданной форм^. Найта главный вектор сил реакций боковых стенок
сосуда, действующих на жидкость. Давление на верхней стенке х=к
равно р0 . Температура Г всех частиц одинакова. Плотность совер-
шенного газа связана с давлением законом Клапейрона - Менделеева:
Р = .
Форма сосуда задана уравнениями а), б), в), г) задачи 7.40 и урав-
нением х = 4 .
56
7.4в« Задан закон движения частиц вязкой жидкости. Найти:
а) тензор коростей деформаций в момент времени t ; б) закон
измпнения плотности, если при t-О плотность постоянна и равна
(„ ; в) компоненты и инварианты тензора напряжений; г) плотность
работа внутренних поверхностных сил; д) поле вектора массовых сил.
Тензор напряжений вязкой жидкости связан с тензором скорос-
тей деформаций по формуле
р - л/, + .
Закон движения взять из задач I.I-I.9.
7.46. Доказать, что дивергенция тензора
напряжений линейного упругого тела равна
div Р = (Л qra.d (dtv *рьи
ЧАТ. Тонкий упругий стержень длины I расположен вдоль вер-
тикальной оси и деформирован действием собственного веса. Плот-
ность материала стержня f .
Найти поля тензора напряжений и вектора перемещений. Дефор-
мации считать малыми. Верхнее основание стержня закреплено, ниж-
нее - свободно.
ЛИТЕРАТУРА
I. А к и в и о М.А., Гольдберг Т.М. Тензорное исчис-
ление. - М.: Наука, 1972.
2. Борисенко А.И..Таранов И.Е. Векторный
анализ и начала тензорного исчисления. - М.: Высшая школа, 1966.
3. I е рме н П. Механика сплошных сред. - М.: Мир, 1965.
4. Ильюшин А.А. Механика сплошной среды. - М. :.МГУ,
1978.
5. И л ь ю ш и н А.А. .Ломакин В.А. .Шмаков А.П.
Задачи и упражнения по механике сплошной среды. - М.: М1У, 1979.
6. Кильчевский Н.А. Основы тензорного иочисления
с приложениями к механике. - Киев, Баукова думка, 1972.
7. Кочин Н.Е. Векторное исчисление и начала тензорного
исчисления. - М.: Изд-во АН СССР, 1961.
8. Л у р ь е А.И. Теория упругости. - М.: Наука, 1970.
9. М е й з Дж. Теория и задачи механики сплошных сред. -
М.: Мир, 1974.
10. Папкович П.Ф. Теория упругости. - М.: Оборонгиз,
1939'.
II. П р а г е р В. Введение в механику сплошных сред. -
М.: ИЛ, 1963.
12. С е д о в Л.И. Механика сплошной среды. T.I, П.-М,:
Наукр, 1976.
13. Седов Л.И. Введение в механику сплошной среда. -
М.: Физматгиз, 1962.
14. Сокольников И.С. Тензорный анализ, - М.: Нау-
ка, 1971.
15. Трусделл К. Первоначальный курс рациональной ме-
ханики сплошных сред. - М.: Мир, 1975.
16. Ф о м и н В.Л. Механика континуума для инженеров.-
М.:ЛГУ, 1975.
58
ОГЛАВЛЕНИЙ
t Х> Способы задания движения континуума ................ 3
б 2. Скалярные и векторные поля. Линии тока, траектории.
Потенциальное поле скоростей ............................... 10
§ 3. Криволинейные координаты. Контравариантные и кова-
риантные компоненты вектора. Преобразование координат .... 16
§ 4. Тензоры. Операции тензорной алгебры .............. 24
§ 5. Ковариантное дифференцирование .................. 33
§ 6. Теория деформаций ............................... 38
§ 7. Анализ напряженного состояния.................... 51
Литература........................................1.. . 58
Владимир Михайлович Закалюкин,
Евгений Борисович Кузнецов,
Людмила Федоровна Лобанова,
Валентин Васильевич Прудников,
Наталья Викторовна Цехмистрова
ТЕОРИЯ ДЕФОРМАЦИЙ И НАПРЯЖЕНИЙ'
3 ЗАДАЧАХ И УПРАЖНЕНИЯХ
Редактор Е.В.- Лисовец
Техн, редактор Н.Б. Карякина
Подл, к печ. 31.10.80
Бум. типогр. й 2 Формат 60x90 I/I6
Печ. л.3,75; уч.-изд. л^З,00. Тираж 500
Зак. т/ 9177. Цеп r/ коп.
Ротапринт МАИ
I2587I, Москва, Волоколамское шоссе, 4
О*