/
Автор: Либовиц Г.
Теги: прочность сопротивляемость свойства и структура молекулярных систем физика математика механика монография
Год: 1975
Текст
FRACTURE
AN ADVANCED TREATISE
Edited by
H. LIEBOWITZ
School of Engineering and Applied Science
The George Washington University, Washington, D. G.
Volume II
MATHEMATICAL FUNDAMENTALS
1968
Academic Press • New York and London
РАЗРУШЕНИЕ
Редактор
Г. ЛИБОВИЦ
Том 2
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
ТЕОРИИ РАЗРУШЕНИЯ
Перевод с английского
А. С. ВАВАКИНА, Р. В. ГОЛЬДШТЕЙНА,
В. М. ЕНТОВА и Р. Л. САЛГАНИКА
Под редакцией
А. Ю. ИШЛИНСКОГО
ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР»
МОСКВА 1975
УДК 539.4+539.2
Настоящий второй том коллективной монографии по разрушению твер-
твердых тел (перевод первого тома был выпущен изд-вом «Мир» в 1973 г.) пред-
представляет собой совершенно независимое издание. С первым томом его объеди-
объединяет только высокий теоретический уровень, сочетающийся с прикладной
направленностью, и удачное соединение микроскопической и макроскопиче-
макроскопической точек зрения.
В книге дается сводка методов теоретического исследования упругопла-
стического, упругохрупкого и чисто пластического разрушения, указываются
критерии разрушения пластичных и хрупких материалов, приводится обзор
теорий распространения трещин, описывается применение статистических
методов в теории прочности. Большой интерес представляет изложенная
в последней главе теория микрополярной упругости, являющаяся обобще-
обобщением классической теории упругости. Авторы монографии — известные спе-
специалисты (Дж. Гудьер, Г. Либовиц, А. Фрейденталь и др.).
Книга будет полезна широкому кругу специалистов — физикам, меха-
механикам, математикам и инженерам, работающим в важной и интенсивно раз-
развивающейся области механики разрушения материалов.
Редакция литературы па математическим наукам
© Перевод на русский язык, «Мир», 1975
20304-033
041@1)-75
33-75
ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА
Настоящая книга — второй том семитомного энциклопедиче-
энциклопедического руководства по разрушению, вышедшего в США под редакци-
редакцией Гаролда Либовица. Это руководство предназначено для инже-
инженеров-исследователей и конструкторов различных заводов, про-
проектных организаций и конструкторских бюро, а также для
сотрудников научно-исследовательских институтов, связанных
с машиностроением, приборостроением, строительством и транс-
транспортом.
Первый том руководства, имеющий подзаголовок «Микроскопи-
«Микроскопические и макроскопические основы механики разрушения», вышел
в русском переводе в 1973 году (и тотчас же был распродан).
Настоящий второй том имеет подзаголовок «Математические осно-
основы теории разрушения». Однако собственно математика играет
в нем хотя и существенную, но, безусловно, подчиненную роль.
Содержание тома составляют различные подходы к постановке
статических и динамических задач механики разрушения. При
этом, наряду с рассмотрением фундаментальных теоретических
вопросов, приводятся результаты экспериментальных исследова-
исследований и нередко даются практические рекомендации. Собственно,
такова же была и программа первого тома, но в настоящем томе
главное внимание сосредоточено на теоретических аспектах.
После выхода издания на английском языке прошло уже
несколько лет. Тем не менее материал второго тома, принадлежа-
принадлежащего перу крупных ученых, которые глубоко знают механику
разрушения и много сделали в ней, по-прежнему актуален и дает
ясное представление о современном состоянии этой важной для
приложений науки и об основных направлениях дальнейших
исследований.
Каждая глава книги составляет, как правило, законченное
целое и нередко содержит дополнительные сведения из математики
и механики. Это приводит к повторениям, которые могут вызвать
возражения со стороны высококвалифицированных специалистов,
например по математической теории упругости. Однако следует
иметь в виду, что это издание предназначено для широкого круга
инженеров и ученых прикладных направлений. Для таких читате-
читателей принятая в научной литературе система многочисленных ссы-
ссылок на другие монографии и статьи, подчас малодоступные, не
приемлема. Независимое изложение отдельных статей тома суще-
Предисловие редактора перевода
ственно облегчает понимание и усвоение текста, а это вполне
оправдывает небольшую потерю бумаги, вызванную повторениями.
Авторы этого тома упоминают и цитируют работы советских
ученых, однако недостаточно полно. Впрочем, имеется много
доступных источников, по которым читатель может восполнить
этот пробел.
В дальнейшем будет осуществлено издание русского перевода
всех томов этой уникальной энциклопедии по разрушению: изда-
издательство «Мир» работает над III и VII томами, «Машиностроение»—
над IV и V томами и «Металлургия»— над VI томом. Представляет-
Представляется, что все издание в целом, включая и настоящий том, будет
долгое время полезным советским специалистам, ученым и инже-
инженерам многих отраслей промышленности.
А. Ю. Ишлинский
ПРЕДИСЛОВИЕ
Значительная часть настоящего руководства относится в пер-
первую очередь к вопросам внезапного катастрофического выхода,
из строя конструкций в результате неожиданного хрупкого разру-
разрушения их составных частей. Большая заслуга в создании основ
теории хрупкого разрушения с позиций механики сплошной среды
принадлежит Гриффитсу, который в двух основополагающих
работах, опубликованных в начале двадцатых годов, впервые пред-
предложил объяснение явления хрупкого разрушения, основанное
на понятии энергии, необходимой для распространения трещины.
В 1926 г* Пирс положил начало применению методов теории вероят-
вероятностей к изучению прочности волокон; в 1939 г. Вейбулл исполь-
использовал эти статистические методы для исследования процесса хруп-
хрупкого разрушения.
Основываясь на работах этих первооткрывателей, а также на
трудах Теодора Кармана, многие исследователи начали изучать
явление хрупкого разрушения в различных аспектах, и начиная
с сороковых годов накопилось огромное количество информации
по этому вопросу. Однако к настоящему времени большинство
результатов исследований по хрупкому разрушению опубликова-
опубликовано фрагментарно и рассеяно по различным изданиям. Еще не
появилось подробное изложение этого предмета, которое адекват-
адекватно сочетало бы микроскопическую и макроскопическую точки
зрения.
При большом количестве накопленных и еще большем коли-
количестве появляющихся результатов исследований представляет-
представляется своевременным собрать наиболее существенную информацию
и изложить основы теории так, чтобы иметь возможность крити-
критически оценить различцые методы и экспериментальные изыскания
в области хрупкого разрушения и смежных областях. Эти сведения
вместе с создаваемыми ими предпосылками для конструирования
должны быть доступными инженерам, студентам, исследователям,
работающим в промышленных организациях, а также в учебных
и исследовательских институтах и различных правительственных
учреждениях. В этом состоит цель настоящего издания.
Дальнейший прогресс в понимании явления хрупкого разру-
разрушения и в применениях полученных знаний будет в значительной
мере зависеть от успеха объединения механики сплошных сред
с научными дисциплинами, относящимися к материаловедению,
физике, математике и химии. Так как мало кто в равной мере све-
Предисловие
дущ во всех этих областях, издание построено таким образом,
что читатель сможет получить соответствующую информацию
путем самообразования. Большинство глав написано подробно
и по возможности заполняет существенные пробелы в имеющейся
литературе; при этом наиболее сложные и громоздкие математи-
математические выводы, как правило, вынесены в приложения. Насколько
возможно, изложение ведется применительно к читателям, матема-
математическая подготовка которых не выходит за рамки программ
высших технических учебных заведений. Для наглядности при-
привлекаются численные примеры, показывающие возможности инже-
инженерных применений; для иллюстративных целей широко исполь-
используются графики, схемы и фотографии.
Везде, где это возможно и уместно, делаются соответствующие
ссылки как на теоретические, так и на экспериментальные резуль-
результаты, а также обсуждается взаимосвязь между микроскопической
и макроскопической точками зрения. Особенно важны помещенные
в конце каждой главы разделы, в которых указываются техни-
технические задачи и отдельные области исследований, требующие
дальнейшей разработки для ликвидации существующих и ожидае-
ожидаемых в будущем пробелов в нашем понимании предмета.
Всюду предпринималась попытка объединить, насколько это
возможно, атомистический и континуальный подходы; в частности,
это нашло отражение в том, что в настоящем издании были при-
приглашены принять участие многие выдающиеся специалисты по
конструированию и материаловедению. Можно надеяться, что
благодаря этому удалось достичь эффективного междисциплин-
ного подхода к предмету.
Издание «Разрушение» в его полном объеме охватывает семь
основных областей: 1) микроскопические и макроскопические
основы механики разрушения; 2) математические основы теории
разрушения (настоящий том); 3) инженерные основы разрушения
и воздействие на него окружающей среды; 4) принципы проекти-
проектирования с учетом разрушения; 5) проектирование конструкций
с учетом разрушения? 6) разрушение металлов и 7) разрушение
неметаллов и композитов.
Первая глава настоящего тома по математическим основам
теории разрушения написана Дж. Гудьером. В лей рассматривает-
рассматривается ряд математических моделей «равновесной» трещины с анали-
аналитической точки зрения. При этом в основном исследуются два
главных вопроса: а) поведение материала в окрестности конца
трещины и б) передача усилия через окружающий материал. При-
Применительно к а) приводятся специальные постулаты Гриффитса,
Баренблатта и др. В случае б) описываются соответствующие крае-
краевые задачи и характеризуется развитие различных моделей.
Сначала излагается теория Гриффитса, устанавливающая связь
между линейно упругим континуумом и поверхностной энергией
Предисловие
твердого тела. Затем анализируются предложенные в дальнейшем
специальные постулаты; так, Баренблатт устранил особенность
поля напряжений, рассмотрев распределение сил сцепления
вблизи конца трещины. Описывается развернутая модель, осно-
основанная на постулате, впервые выдвинутом Христиановичем
и позднее Дагдейлом, об однородном на соответствующем участке
распределении напряжений, обусловленных силами сцепления.
Обсуждается представление о распространении трещины как
о деформировании до разрыва некоторого пластичного слоя, заклю-
заключенного между двумя упругими полупространствами, и это пред-
представление используется для учета деформационного упрочнения*
скоростной зависимости и трехмерности деформации в зоне разры-
разрыва. Отмечается, что специальные постулаты, используемые в со-
сочетании с теорией линейно упругого континуума, представляют
собой способы обойти нелинейность изучаемого физического явле-
явления. Описывается модель, учитывающая эту нелинейность путем
введения ее в граничные условия.
Во второй главе, принадлежащей перу Г. Си и Г. Либовица,
излагается теория разрушения хрупких материалов. Неустойчи-
Неустойчивость трещины может определяться критериями двух типов —
критерием локального напряжения и энергетическим критерием.
В классической работе Гриффитса используется последний: энер-
энергия вновь образовавшейся поверхности приравнивается энергии,
необходимой для распространения трещины. В некоторых случаях
этому критерию давалась неправильная интерпретация в том
отношении, что критерий полного разрушения содержит прило-
приложенные нагрузки, действующие вдоль трещины.
Авторы этой главы уделяют особое внимание методу вычисле-
вычисления происходящего в результате распространения трещины изме-
изменения энергии деформации. Проводятся подробные вычисле-
вычисления для энергии деформации двумерных и трехмерных тел с тре- *
щинами. Подробно рассматривается влияние условий нагружения,
а также формы и размера трещин. Демонстрируется и детально
анализируется математическая эквивалентность силового и энер-
энергетического критериев.
Для случая анизотропных материалов уравнения теории ани-
анизотропной упругости позволяют получить информацию об услови-
условиях в точке неустойчивости. В случае прямолинейно анизотропных
тел задача сводится к решению задачи Римана — Гильберта из
теории функций комплексного переменного.
Исследуется изгиб пластины с трещиной и показывается, что
интенсивность локальных напряжений чувствительна к малым
изменениям отношения толщины пластины к длине трещины.
Кратко рассматривается динамическое распространение трещин,
а также распространение трещин под действием температурных
напряжений.
10 Предисловие
В третьей главе, написанной Дж. Райсом, дается сводка мате-
математических методов, применяемых в некоторых задачах механики
разрушения, включающих упругость и пластичность; особое вни-
внимание уделяется задачам о распространении трещин. Приводится
обзор решений граничных задач и вводится единая концепция срав-
сравнения по энергиям для близких геометрий. Показывается, что
€ помощью не зависящего от выбора контура интеграла энергии
можно получить решение ряда задач о телах с трещинами и выре-
вырезами как для линейных, так и для нелинейных материалов.
Демонстрируется применение линейной теории упругости
в двумерных случаях и описываются приближенные методы опре-
определения коэффициентов интенсивности напряжений для более
сложных форм. Дается обзор теорий упругохрупкого разрушения
и устанавливается эквивалентность подходов, основанных на
энергетическом балансе и на концепции сил сцепления. Рассма-
Рассматриваются также задачи о динамическом распространении трещин,
о подсчете скорости изменения энергии и о вычислении коэффици-
коэффициентов концентрации напряжений на гладко закругленных вырезах.
Далее Райе останавливается на методах исследования упруго-
пластического и чисто пластического разрушения. Для плоского
напряженного состояния и плоской деформации, а также анти-
антиплоской деформации используется приближение локализованного
течения. Показывается, что соотношения между напряжениями
ж деформациями соответствуют теории течения и зависят от пути
нагружения. Глава завершается кратким рассмотрением концен-
концентраций пластических деформаций у закругленных концов вырезов,
исследованием предельного состояния тел с вырезами и механиз-
механизмов разделения пластичных материалов.
Четвертая глава написана Б. Полем. В ней рассматривается
начало текучести изотропных и анизотропных пластичных метал-
металлов по отношению к макроскопическим напряженным состояниям.
Показывается, что материалы в хрупком состоянии разрушаются
в соответствии с критерием макроскопического напряжения. На
разрушение хрупких материалов влияет среднее нормальное
напряжение, в то время как пластичность металлов оказывается
не зависящей от давления.
Для описания поведения изотропных хрупких материалов ис-
используются пирамидальные поверхности в пространстве напряже-
напряжений. Простейшим примером является геометрическая интерпрета-
интерпретация критерия разрушения Кулона — Мора.
Существование пирамидальных поверхностей макроскопическо-
макроскопического разрушения рассматривается как*результат наличия поврежде-
повреждений гриффитсовского типа. Теория Гриффитса обобщается таким
образом, что на ее основе находятся «мгновенные поверхности
разрушения», аналогичные «мгновенным поверхностям текучести»
для пластичных металлов.
Предисловие 11
Дается обзор экспериментальных результатов для хрупких
и зернистых материалов. В приложениях излагаются основы ана-
анализа напряжений, результаты которого используются в основном
тексте.
Пятая глава, принадлежащая перу Ф. Эрдогана, состоит из
двух частей. Первая часть содержит обзор континуальных теорий
распространения трещин. Подробно исследуются модель Гриф-
фитса, основанная на уравнении энергетического баланса, и модель
Баренблатта, основанная на понятии модуля сцепления. Об-
Обсуждаются ограничения подхода, базирующегося на понятии
коэффициента интенсивности напряжения, и ценность модели,
базирующейся на представлении о пластической деформации вбли-
вблизи фронта трещины. Показывается, что энергия, которой можно
располагать на контуре трещины для создания новой поверхности
разрушения, равна энергии закрытия трещины. Последняя вели-
величина отличается от высвобождаемой энергии деформации, если
инерционные эффекты нельзя считать пренебрежимо малыми.
Во второй части дается обзор теорий распространения уста-
усталостных трещин в пластинках и развивается модель, основанная
на рассмотрении пластических деформаций в конце трещины.
Анализ экспериментальных результатов показывает, что эта
модель дает удовлетворительное средство для сравнения резуль-
результатов изучения роста усталостных трещин в данном- материале при
различных условиях нагружения.
Шестая глава, написанная А. Фрейденталем, посвящена стати-
статистическому подходу к хрупкому разрушению. Плохая воспроиз-
воспроизводимость явления хрупкого разрушения и его связь с распределе-
распределением дефектов и распределением напряжений делает уместным
применение статистического метода.
Сначала Фрейденталь рассматривает распределение де-
дефектов и распределение прочности. Однородное распределение
порождает гамма-распределение результатов испытаний. Модель
наислабейшего звена приводит к третьему асимптотическому
распределению наименьших значений, а модель классического
пучка — к нормальному их распределению. Подчеркивается, что
выбор модели должен основываться на физических соображениях,
а не только на том, что с ее помощью удается приблизить данные
испытаний в некотором интервале.
В седьмой главе А. Эринген развивает теорию микрополярной
упругости. В таком обобщении классической теории упругости
допускаются локальные цовороты путем введения новых (в допол-
дополнение к классическим) степеней свободы. Эта теория предсказы-
предсказывает новые явления, в частности существование нового типа волн.
С помощью понятий микродеформаций и микровращений рас-
рассматривается деформирование материалов, имеющих зернистое
строение.
12 Предисловие
Выводятся локальные формы основных законов сохранения.
Рассматриваются термодинамика микрополярных твердых тел
и неравенство для энтропии.
Приводятся основные уравнения, начальные и граничные
условия, используемые в линейной теории микрополярной упру-
упругости. Показывается, что теория неопределенных моментных
напряжений представляет собой некоторый частный случай рас-
рассмотренной теории, когда на движение наложены известные огра-
ограничения.
Для того чтобы продемонстрировать предсказываемые теорией
новые явления, решается ряд задач. Они включают случаи рас-
распространения волн в бесконечной микрополярной упругой среде,
преобразование различных типов микрополярных волн в волны,
распространяющиеся на поверхности полупространства, концен-
концентрации напряжений на круговом отверстии в поле растяжения
и сингулярности сил и моментов в бесконечном теле. Описывают-
Описываются представления Папковича и Галеркина.
Г, Либовиц
ГЛАВА 1
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ
РАВНОВЕСНЫХ ТРЕЩИН
Дж. Гудъер
I. ВВЕДЕНИЕ . , 14
II. ХАРАКТЕР КРАЕВЫХ ЗАДАЧ И ИХ РЕШЕНИЯ. ЛИНЕЙНО УПРУ-
УПРУГИЙ КОНТИНУУМ , . 18
III. КРАЕВАЯ ЗАДАЧА, ИЗОБРАЖЕННАЯ НА РИС. 1, ПРИ СТРОГО
ПЛОСКОЙ ДЕФОРМАЦИИ 21
IV. КРАЕВАЯ ЗАДАЧА, ИЗОБРАЖЕННАЯ НА РИС. 1, КАК ЗАДАЧА
О ПРОСТОМ РАСТЯЖЕНИИ1 ТЕЛА С ОТВЕРСТИЕМ В УСЛОВИЯХ
ПЛОСКОЙ ДЕФОРМАЦИИ 23
V. СУЩЕСТВЕННЫЕ ОГРАНИЧЕНИЯ, НАЛАГАЕМЫЕ ПОСТУЛАТА-
ПОСТУЛАТАМИ ЛИНЕЙНО УПРУГОГО КОНТИНУУМА 25
VI. КРАЕВАЯ ЗАДАЧА, ИЗОБРАЖЕННАЯ НА РИС. 3, КАК ЗАДАЧА
О ПРОСТОМ РАСТЯЖЕНИИ ТЕЛА С ЭЛЛИПТИЧЕСКИМ ОТВЕРСТИ-
ОТВЕРСТИЕМ В УСЛОВИЯХ ПЛОСКОЙ ДЕФОРМАЦИИ 26
А. Предел при Ь ->- 0 28
Б. Энергия деформации v 30
VII. ИЗЛОЖЕНИЕ И АНАЛИЗ ТЕОРИИ ГРИФФИТСА 31
VIII. ТЕОРИЯ БАРЕНБЛАТТА 36
IX. СВЯЗЬ ТЕОРИЙ БАРЕНБЛАТТА И ГРИФФИТСА 44
X. ДИССИПАЦИЯ ЭНЕРГИИ ПРИ ПЛАСТИЧЕСКОМ ТЕЧЕНИИ У КОН-
КОНЦОВ трещины 49
XI. ГИПОТЕТИЧЕСКИЙ КРИТЕРИЙ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ТРЕЩИНЫ
В ПЛАСТИЧНЫХ МЕТАЛЛАХ 55
XII. СУЩЕСТВЕННАЯ НЕЛИНЕЙНОСТЬ ЗАДАЧ О РАСПРОСТРАНЕНИИ
ТРЕЩИН 57
XIII. ЛОКАЛЬНО НЕЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ ГУДЬЕРА И КАННИНЕНА 59
XIV. НАПРАВЛЕНИЯ ДАЛЬНЕЙШИХ ИССЛЕДОВАНИЙ 64
XV. ЗАКЛЮЧЕНИЕ 65
ПРИЛОЖЕНИЕ А. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ СОСТОЯНИЯ ПЛОСКОЙ ДЕ-
ДЕФОРМАЦИИ ДВУМЯ КОМПЛЕКСНЫМИ ПОТЕНЦИАЛАМИ .... 67
ПРИЛОЖЕНИЕ Б. ЛИНЕЙНАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА О ПРОСТОМ
РАСТЯЖЕНИИ ТЕЛА С ЭЛЛИПТИЧЕСКИМ ОТВЕРСТИЕМ В УС-
УСЛОВИЯХ ПЛОСКОЙ ДЕФОРМАЦИИ (РАЗД. VI) 69
ПРИЛОЖЕНИЕ В. ТЕОРЕМЫ ОБ ЭНЕРГИИ ПРИ ОБРАЗОВАНИИ И
РАСПРОСТРАНЕНИИ ТРЕЩИН И ДРУГИХ ВНУТРЕННИХ
СВОБОДНЫХ ГРАНИЦ В ЛИНЕЙНО УПРУГОМ ТЕЛЕ ..... 71
14 Дж. Гудъер
ПРИЛОЖЕНИЕ Г. ВЫВОД УРАВНЕНИЯ E3) ИЗ УРАВНЕНИЯ E1)
(РАЗД. VIII) * 75
ПРИЛОЖЕНИЕ Д. ВЫВОД УРАВНЕНИЙ F6), F7) ИЗ УРАВНЕНИЙ
D6), D9) (РАЗД. VIII) 76
ПРИЛОЖЕНИЕ Е. ВЫВОД УРАВНЕНИЯ G0) (РАЗД. IX) ..... 78
ОБОЗНАЧЕНИЯ 80
СПИСОК ^ЛИТЕРАТУРЫ ; 81
Термин «равновесная трещина» относится к напряженному телу, содер-
содержащему трещину, когда нагрузка как раз достаточна, чтобы вызвать распро-
распространение трещины. Математическая теория имеет дело с последовательно-
последовательностью идеализированных моделей. Описана ее эволюция от теории Гриффитса
1920 г. до настоящего времени с детальным изложением аналитической тео-
теории в случае растягивающего нагружения для каждой из моделей. Указано,
к каким усовершенствованиям приводило каждое изменение модели. Пока-
Показано продвижение, достигавшееся при каждом шаге.
В любом случае аналитическая задача имеет два главных аспекта:
а) концевая область трещины, где происходит распространение трещины,
и б) передача нагрузки через окружающую область. Изложены специальные
постулаты теорий Гриффитса, Баренблатта и дальнейшее развитие теории
в отношении аспекта (а). Описаны краевые задачи, вытекающие из аспекта
(б), и приведено их решение, полученное имеющимися общими методами тео-
теории упругости; однако предварительное знакомство с этими методами не пред-
предполагается.
Обращается внимание на существенную нелинейность задачи в целом.
Она имеет место независимо от того, есть пластическая деформация или её
нет. Показано, что указанные специальные постулаты представляют собой
средство обхода этой нелинейности. Современные модели ограничиваются
введением нелинейности в граничные условия для линейно упругой области.
Это требует численного решения нелинейных задач на машинах; обнаружи-
обнаруживается возможность учесть в будущем превращение энергии деформации
тела в поверхностную энергию или в работу пластической деформации
в конце трещины.
Вопросы устойчивости — что происходит, когда трещина растет при
заданных условиях приложения нагрузки или деформации — не затра-
затрагиваются.
I- ВВЕДЕНИЕ
Из повседневного опыта общеизвестно, что трещины очень
вредят прочности тела, даже когда они малы. Мы можем расщепить
полено на лучины небольшим топором, тщательно направляя его
вдоль волокон, расколоть поленья клиньями, отодрать друг от
друга два склеенных листка, легко расщепить слюду на пластинки
(нужно лишь начать) или даже разломать двумя руками яблоко
пополам, предварительно надрезав его кожуру по кругу. Быстро
распространяющиеся трещины в твердых конструкционных мате-
материалах (стекла, металлы, горные породы, бетон) также всем
хорошо известны по личному опыту. Однако медленное распро-
Гл. 1. Математическая теория равновесных трещин 15
странение трещин в таких материалах составляет в основном
достояние опыта специалистов. Быстрый рост трещины или полное
разрушение часто происходит настолько внезапно, что невоору-
невооруженным глазом невозможно зарегистрировать этот процесс, начи-
начинающийся из небольшой трещинки, надреза, полости или другой
нерегулярности.
Такие нерегулярности еще до того, как начнется разрушение,
имеют важное значение, так как изменяют напряженное состояние
в непосредственной близости от себя, обычно приводя к местной
его интенсификации. Это явление может носить резко выраженный
характер (например, на концах очень тонкой эллиптической
полости), благодаря чему малый объем материала в таком месте
может оказаться деформированным намного сильнее, чем в любом
другом.
До тех пор, пока рассматриваемый материал не разорвется или
не треснет, вычисление полей напряжений и деформаций проводит-
проводится путем решения обычной краевой задачи для того или иного
идеализированного тела, например тела, которое подчиняется
закону Гука (линейно упругая среда), или тела, которое становится
пластичным при достаточно больших деформациях. Границы
тела и его деформационное поведение (соотношения между напря-
напряжениями и деформациями) считаются заданными. Приложенные
нагрузки вызывают некоторую деформацию первоначальных гра-
границ, например круговое отверстие при растяжении приобретает
овальную форму. Однако частицы материала, которые первона-
первоначально были ближайшими соседями, таковыми и остаются.
Если же, напротив, тело разрывается или трескается, это отно-
отношение ближайшего соседства больше не сохраняется. Поверхности
разрыва или трещины расходятся (хотя, как, например, при
небольшом продвижении трещины, это их расхождение может
быть малым). Распределение напряжений, которое было на этих
поверхностях, исчезает. Фактически происходит изменение формы
границы тела. Таким образом, вычисление напряжений и деформа-
деформаций в случае распространяющейся трещины требует рассмотрения
последовательности обычных краевых задач. Но при этом требует-
требуется также некоторое дополнительное условие, критерий, который
покажет нам, когда граница может подвергнуться такому изме-
изменению, аналогично тому, как в случае разрушения при растяжении
идеально хрупкого материала мы принимаем критерий, согласно
которому разрушение должно происходить, когда растягивающее
напряжение достигает некоторого значения (определяемого опыт-
опытным путем), являющегося характеристикой данного материала.
Термин «равновесная трещина» означает, что напряженное тело
содержит трещину как часть своей границы, а действующая
нагрузка как раз достаточна для того, чтобы в соответствии с при-
принятым критерием вызвать продвижение трещины. Этот термин
16 Дж. Гудъер
не имеет никакого отношения к понятию обычного статического
равновесия, которое, конечно, имеет место при постепенном
нагружении, предшествующем началу продвижения трещины.
Это означает по существу рассмотрение двух вопросов.
1. Какие нагрузки как раз достаточны для того, чтобы в соот-
соответствии с принятым критерием вызвать продвижение заданной
трещины?
2. Какие трещины (например, прямые трещины какой длины)
соответствуют состоянию, в котором как раз начнется их продви-
продвижение в соответствии с принятым критерием при данных нагруз-
нагрузках?
Если в данный момент мы рассмотрим действительный кусок
материала с трещиной в нем, то, проведя испытание, можно изме-
измерить те нагрузки, которые как раз достаточны для того, чтобы
вызвать продвижение трещины. Этим экспериментально дается
ответ на первый вопрос, устраняющий оговорку «в соответствии
с принятым критерием». Математическая же теория равновесных
трещин, подобно всем математическим трактовкам физических
задач, является попыткой количественно характеризовать опре-
определенные процессы, представив себе, что они происходят в некото-
некоторой идеализированной среде. Это—чисто воображаемая среда,
обладающая свойствами, упрощенными до такой степени, что
становится возможным математическое исследование, но в то же
время сохраняющая известное сходство с реальными материалами,
достаточное для того, чтобы математические результаты имели
практическую ценность.
Эта ценность определяется сравнением с результатами экспе-
экспериментальных исследований в некотором ограниченном диапазоне
изменения задаваемых условий, а также тем пониманием, которое
достигается в отношении «природы процесса, происходящего
в реальном материале». Такое понимание, однако, почти всегда
состоит из связи, устанавливаемой между рассматриваемым про-
процессом и другими процессами, уже отображенными приемлемым
образом идеализированными математическими представлениями.
Для ясности идей и выражений важно заметить, что весь мате-
математический анализ имеет дело с идеализациями. Это часть иссле-
исследовательской задачи —- подыскать наилучшую идеализацию для
рассматриваемого явления. Во-первых, предстоит основной выбор
между «континуальными моделями» и «моделями из частиц».
Модель из частиц знакома по ньютоновской динамике, прини-
принимающей сразу F .== та и затем конструирующей системы частиц,
которые могут подвергаться действию сил. Модель из частиц
появляется также при рассмотрении «кристаллической решетки»
и, разумеется, обычно подразумевается в таких выражениях,
как «атомная структура» и «атомное движение». Предполагается
вообще более реалистичным представлять деформацию, разрыв,
Гл. 1. Математическая теория равновесных трещин 17
образование трещин или раскалывание реального кристалла как
процессы,^ происходящие в решетке, т. е. рассматривать модель
из частиц.
Несомненно, эта модель имеет большое значение для качествен-
качественного рассмотрения в ее рамках процессов, хорошо отражающих
наблюдаемое поведение кристаллов или зерен по отдельности
или в совокупности. Однако с количественной точки зрения при-
применение этой модели наталкивается на большие математические
трудности. Большей частью их удается обычно избежать, переходя
при первой возможности к континуальной модели. В континууме
масса не сосредоточена в частицах, а содержится в каждом элемен-
элементе объема и представляется плотностью. Упругость не сосредоточе-
сосредоточена вдоль линий, соединяющих частицы (пружины или силы взаимо-
взаимодействия), но проявляется в каждом элементе объема (каким бы
малым он ни был) и выражается через два или несколько упругих
«модулей» («констант»), связывающих напряжения и деформации
в некоторой точке (оба последних представления «континуальны»);
аналогично обстоит дело и в отношении прочих свойств.
Обращение к континуальной модели является, конечно, обще-
общепринятым способом устранения трудностей, связанных с микро-
микроструктурой реальных материалов в тех случаях, когда есть осно-
основания считать эти трудности несущественными при анализе вопро-
вопросов, подлежащих рассмотрению, например при изучении общей
деформации (упругой или упругопластической) деталей конструк-
конструкций. Но при изучении трещин микроструктура далеко не несуще-
несущественна. Наиболее важной областью является крайне малый
участок вблизи конца трещины, где происходит или грозит про-
произойти продвижение трещины. В атомных представлениях этот
процесс продвижения представляет собой отделение одного атома
от рядом расположенного другого «плоскостью трещины» с после-
последующим отделением следующей пары и т. д. Однако это разделение
вызывается силами, передаваемыми от точек приложения нагрузок,
очень удаленных в атомном масштабе от конца трещины.
Поле этих сил или напряжений почти везде таково, что до-
допускает описание в рамках континуальной модели. Исключением,
конечно, является наиболее важная концевая область трещины.
Все, что происходит внутри этой области, может оказывать влия-
влияние на происходящее во всей внешней зоне, даже если для этой
внешней зоны применим анализ, основанный на континуальной
модели. Мы имеем здесь существенное взаимодействие между дву-
двумя зонами некоторой составной модели. Математическая теория
распространения трещин шока еще не настолько разработана, что-
чтобы могло быть выдвинуто в качестве общепринятого некоторое
единое представление об этом взаимодействии.
Что мы находим (и то, что будет описано в этой главе),— это
разработку ряда таких представлений для «равновесной трещины».
2-0706
18 Дж. Гудьер
В некоторых из них указанное взаимодействие является неявным*
маскируемым молчаливым выбором одного континуального поля
напряжений, как если бы никакие другие не были возможны.
В других это взаимодействие вводится явно. Однако во всех этих
представлениях рассмотрение внешней зоны приводится к краевой
задаче для линейно упругого континуума.
В следующем разделе для читателя, который не является
специалистом в этой области прикладной математики, излагаются
и иллюстрируются существенные моменты таких «задач» и харак-
характер результатов, получаемых в качестве их «решений». Здесь
концентрируется внимание на исходных постулатах и ограниче-
ограничениях, налагаемых ими на применимость результатов. Эти ограни-
ограничения имеют особое значение при рассмотрении задачи о распро-
распространении трещин, поскольку они затрагивают наиболее важную
область — окрестность концевой области трещины.
II. ХАРАКТЕР КРАЕВЫХ ЗАДАЧ И ИХ РЕШЕНИЯ,
ЛИНЕЙНО УПРУГИЙ КОНТИНУУМ
Суть краевой задачи заключается в том, что мы знаем проис-
происходящее на ограничивающей поверхности тела, твердого или
жидкого (например, какие силы приложены), и хотим устано-
установить, что происходит везде внутри тела. На рис. 1 показан пря-
прямоугольный блок под действием однородной растягивающей
нагрузки, приложенной к верхней и нижней поверхностям. При
отсутствии отверстий все обстоит просто. Напряженно-деформи-
Напряженно-деформированное состояние соответствует простому растяжению. Отверстие
вносит в это простое состояние возмущение, однако последнее
локализуется вокруг отверстия. Невозмущенное растягивающее
напряжение равно о (в фунтах на квадратный дюйм, или динах
на квадратный сантиметр, или каких-либо других единицах) во
всем теле. В теле с отверстием малые элементы объема, обозначен-
обозначенные на рис. 2 буквами А ж В, по-прежнему будут находиться
в состоянии простого растяжения, однако величина действующего
на них растягивающего напряжения составит теперь За. Другое
главное напряжение, которое могло бы быть показано на рис. 2
как горизонтальное растягивающее напряжение, имеет в этих
двух элементах нулевую величину, потому что граница отверстия
представляет собой свободную поверхность (к ней не приложено
никаких сил, ни нормальных, ни касательных). По той же причи-
причине в этих элементах нет никаких касательных напряжений. Однако
любой элемент на оси симметрии (например, элементы, обозначенные
буквами С и D, Е и F) также свободен от касательных напряжений
при условии, что его форма прямоугольна, а ориентация соответ-
соответствует изображенной. Симметрия в данном случае относится как
Гл. 1. Математическая теория равновесных трещин
19
Рис. 1. Прямоугольный блок с круглым отверстием под действием растяги-
растягивающих нагрузок.
Рис. 2. Напряжения в элементах материала на границе отверстия и вбли-
вблизи нее.
2*
20 Дж. Гудъер
к нагружению, так и к форме. Другими словами, можно было бы
сказать, что это означает симметрию как в деформированном, так
и в недеформированном состояниях. Вообще же в произвольном
элементе, например элементе G на рис. 2 или элементе Н, соответ-
соответствующем полярным координатам, будут и нормальные, и каса-
касательные напряжения.
Легко представить себе преобразование круга в эллипс,
а затем этого эллипса — в более тонкий эллипс до тех пор, пока
он не станет таким тонким, что его можно будет назвать трещиной.
Но прежде чем ввести эти преобразования, полезно показать,
как может быть выражено полное решение задачи, изображенной
на рис. 1, и какие предположения и ограничения содержатся
в используемых при этом определениях и обозначениях.
На первый взгляд можно было бы предположить, что эта задача
полностью двумерная или плоская, считая все такие слои, парал-
параллельные граням 1Ъ Z2, находящимися в одном и том же состоянии.
Оказывается, что это возможно лишь в случае, когда создано соот-
соответствующее распределение нормальных нагрузок на этих двух
гранях. Действительно, надлежащим оттягиванием или вдавлива-
вдавливанием теоретически возможно воспрепятствовать точкам этих
граней перемещаться вдоль оси z под действием растягивающего
напряжения а. При этом толщина 13 остается неизменной. Тогда
смещение материальных элементов будет происходить в направле-
направлениях, параллельных указанным граням, для всех параллельных
им слоев. Деформирование будет тогда двумерным, а состояние
будет называться состоянием плоской деформации, или просто
плоской деформацией. Но чтобы создать его, необходимо прило-
приложить напряжения в третьем направлении, т. е. направлении z,
так что напряженное состоящие становится трехмерным. Этого
третьего главного напряжения обычно не хотят; мы хотим, чтобы
обе грани были незагруженными. Это меняет задачу. Однако дело
стоит того, потому что мы можем потом отдельно рассмотреть
эффекты снятия нежелательного распределения нагрузок с граней,-
и иногда можно видеть, что эти эффекты и вовсе несущест-
несущественны.
Существует и иная двумерная формулировка рассматриваемой
задачи, соответствующая случаю, известному под названием
плоского напряженного состояния. Допустим, что в задаче, пред-
представленной на рис. 1, толщина 13 очень мала по сравнению с 1Х и Z2.
Изображенный блок может быть назван тогда тонкой пластинкой.
Тогда можно предположить, что для плоскостей, параллельных
поверхностям пластинки, не существует иной возможности, как
быть подобно самим этим поверхностям свободными от напряже-
напряжений. Должны быть еще напряжения в других слоях, как показано
на рис. 1. Должны быть изменения также в толщине. Например,
толщина элементов А и В на рис. 1 уменьшается на vl3Ca/E).
Гл. 1. Математическая теория равновесных трещин 21
Элементы, удаленные от отверстий, растянуты напряжением а
(вместо За), так что их толщина уменьшена всего на vl3a/E. Отсю-
Отсюда видно, что граничные поверхности деформируются не в своей
плоскости. Деформация, таким образом, трехмерна, а напряженное
состояние двумерно или близко к двумерному.
Однако недостаточно, чтобы 13 было очень мало по сравнению
с 1Х и Z2. Радиус отверстия а также является существенным
определяющим размером, и в важной области в непосредственной
бддзости от отверстия не будет осуществляться простое плоское
напряженное состояние, если толщина 13 не мала по сравнению
с радиусом а. Когда мы перейдем к эллипсу, представляющему
трещину,* определяющим параметром будет радиус кривизны
в вершинах эллипса. Мы можем начать с «тонкой пластинки»
A3/1г и 13/12 малы). Но когда мы сделаем в ней трещину и рас-
рассмотрим очень малый радиус кривизны в конце трещины, этот
радиус будет мал по сравнению с толщиной 13 тонкой пластинки.
Условия плоского напряженного состояния будут поэтому нару-
нарушены. По этой причине в теории распространения трещин обычно
используются двумерные решения другого типа; они соответствуют
плоской деформации.
III. КРАЕВАЯ ЗАДАЧА, ИЗОБРАЖЕННАЯ НА РИС, 1,
ПРИ СТРОГО ПЛОСКОЙ ДЕФОРМАЦИИ
Мы дадим теперь полное изложение решения уравнений для
задачи рис, 1 в формулировке для состояния плоской деформации,
начав с рассмотрения смещений, которые возникают при посте-
постепенном приложении растягивающего напряжения а. Эти смещения
образуют векторное поле. Малый элемент материала в любой
выбранной точке (#, у или г, 6) испытывает смещение, которое
в случае плоской деформации представляет собой вектор, парал-
параллельный граням. Его компоненты в направлениях декартовых
осей Ox, Оу, Oz, изображенных на рис. 1, обозначаются через и,
v, w, причем мы принимаем w = 0 в каждой точке. Компоненты
смещения щ v в плоскости представляют собой функции от х, у
(или от г, 8), но не зависят от координаты z. Мы можем, конечно,
вместо этого представить вектор смещения компонентами в поляр-
полярных координатах по осям, проведенным в направлениях возраста-
возрастания гиб, записав их в виде иТ, ue.
Приложение растягивающей нагрузки а (сила на единицу пло-
площади) (рис. 1) в сплошном брусе (без отверстия) порождает поле
смещений вида
и = -v A + v) (plE) х, v = A - v2) (о/Е) у, w = 0. A)
22 . Дж. Гудъер
Компоненты деформации, которые соответствуют полю смеще-
смещений и, v, w общего вида, находятся из формул
dv ди dw . dv ди dw /Qv
Это линеаризованные выражения, относящиеся к случаю малой
деформации, каждая компонента которой мала по сравнению
с единицей. Компоненты же смещений не обязательно должны быть
малы. В большой области они могут достигать больших значе-
значений. Например, и и и, определяемые выражениями A), становятся
большими, если область распространяется на достаточно большие
значения х и у.
Компоненты деформации, отвечающие полю смещений, зада-
задаваемому выражениями A), очевидно, равны
8Х = -V A + v) (в/Е), гу = A - v2) (о/Е), гг = 0, D)
Уху = Ууг = Угх = 0.
Компоненты напряжения в общем случае вычисляются по компо-
компонентам деформации при помощи линейных соотношений (закон
Гука)
Егх = ах — v (оу + <*z)i Егу = . . ., Eez = . . ., E)
&txy = %ху, - • • 1 .... F)
Выражая из первых трех уравнений ах, oyi az через s^., sy, ez,
находим
ах =.Ке + 2Gex, ау = . . ., аг = . . ., G)
где
К = Evi(i + v) A - 2v)]-\ e = гх + гу + гг. (8)
В случае плоской деформации, когда w = 0, и, следовательно,
на основании уравнений B) &z = 0, для выполнения третьего
из уравнений E) требуется, чтобы
oz=v (ax+ а у). (9)
Используя уравнения G), видим, что компонентам деформации,
определяемым выражениями D), соответствуют напряжения
Gx = 0, Gy = G, Gz = VCT, A0)
причем %ху = %yz = xzx = 0. Компонента Gy просто равна при-
приложенному напряжению а. Компонента gz возникает при таком
нагружении потому, что было наложено условие w = 0 [третье
из уравнений A)], входящее в определение состояния плоской
деформации.
Гл.. 1. Математическая теория равновесных трещин 23
Если в таком напряженном брусе сделать отверстие, то силы,
передаваемые через поверхность г = а (действующие со стороны
материала внутри отверстия на материал вне его), обратятся в
нуль. Эти силы представлены нормальной и тангенциальной
компонентами аг и тге (как показано для элемента Н в полярных
координатах на рис. 2), вычисленными при г = а. Условие плоской
деформации w = О сохраняется, и благодаря этому опять возни-
возникает напряжение gz.
Полное поле смещений может быть представлено компонента-
компонентами и, г;, параллельными осям Ох и Оу, понимаемыми как действи-
действительная и мнимая части комплексного выражения и -\- iu. Это
последнее для бесконечного бруса (Zx-> оо, /2-> оо, рис. 1) при-
принимает вид
и+ iv = {uo+ ivo)+ (иг+ щ), A1)
где
il±«=_viL + i(l-v)i, A2)
а
2G
хи \~U) j, A3)
причем г2 — #2-|- г/2. Слагаемые в правой части выражения A2)
соответствуют и и г; в выражениях D). Они представляют те сме-
смещения, которые возникают до просверливания отверстия. Члены
выражения A3) описывают дополнительные смещения, возникаю-
возникающие в результате просверливания отверстия. Они уменьшаются
до нуля с увеличением г. Таким образом, влияние отверстия
локально.
Поле смещений, определяемое выражением A1) вместе с A2)
и A3), может рассматриваться как решение двумерной краевой
задачи (соответствующей плоской деформации), изображенной
на рис. 1. Компоненты деформации могут быть получены из этого
решения рри помощи соотношений B) и C), связывающих дефор-
деформации и смещения. После этого компоненты напряжений находят-
находятся из уравнений F) и G), выражающих закон Гука.
IV, КРАЕВАЯ ЗАДАЧА, ИЗОБРАЖЕННАЯ НА РИС. 1,
КАК ЗАДАЧА О ПРОСТОМ РАСТЯЖЕНИИ ТЕЛА С ОТВЕРСТИЕМ
В УСЛОВИЯХ ПЛОСКОЙ ДЕФОРМАЦИИ
Для простоты и ясности мы считали выполненным до сих пор
условие w = 0 как до, так и после того, как было просверлено
отверстие. Однако, если рассматривать реальный брус, скажем
24 Дж. Гудъер
в лабораторных условиях, мы ближе подойдем к практическим
условиям испытания (для трещины, а также и для отверстия),
начав со случая сплошного бруса в условиях его простого нагру-
жения растягивающим напряжением а, не требуя, чтобы w = О
и напряжение gz = vg, как это имеет - место согласно равенствам
A0), которые содержат такое требование. Тогда, до того как
будет сделано отверстие, будет осуществляться условие простого
растяжения:
or =• 0, Оу = а, а* = 0,
у z A4)
lxy v» lyz w» lzx u?
которому отвечает поле смещений
и = — v {aIE) х, v = (olE) у, w = — v (a/E)'z A5)
вместо прежнего, определяемого выражениями A).
Затем (говоря теоретически) просверливается отверстие, что
приводит при г = ак снижению о> и тге до нуля. Согласно уравне-
уравнениям A4), эти компоненты до такого снижения выражаются в виде
(агH = 1 а A - cos 29), (тг9H - у а sin 26. A6)
Но это в точности то же самое, что дают уравнения A0). Эффект
снижения этих компонент до нуля при г = а при условии, что
смещению w не дают изменяться в ходе их снижения, в точности
тот же, что и раньше. Возникающее новое поле смещений опять
выражается уравнением A3). В эквивалентной записи в полярных
координатах оно имеет вид
Новые напряжения, вносимые отверстием, с учетом A3) или A7)
определяются выражениями *
A9)
, B0)
причем, так как не допускается никакого изменения w [как в A5)]
при просверливании отверстия,
(az)t = v [(Or), + (cre)i] = ct2v (a2/r2) cos 29. B1)
Гл. 1. Математическая теория равновесных трещин 25
V. СУЩЕСТВЕННЫЕ ОГРАНИЧЕНИЯ, НАЛАГАЕМЫЕ ПОСТУЛАТАМИ
ЛИНЕЙНО УПРУГОГО КОНТИНУУМА
Ограничения, которые будут рассмотрены здесь, вытекают из-
линеаризации (не из постулата континуальности самого по себе).
Каждая компонента деформации должна быть мала (по сравнению
с единицей), и поэтому отношение 2G/o в уравнении A7) должна
быть велико. Тогда из уравнения A7) вытекает, что вблизи отвер-
отверстия (где а/г ненамного меньше единицы) отношения (uT)Ja
и (и$I/а должны быть малы. В действительности требование
малости таких отношений в рамках линейной теории используется
не только в отбрасывании произведений и степеней компонент
деформации, но и в переносе граничных условий на недеформи-
рованную границу тела. Например, мы потребовали обращения
в нуль сгг и тге при г = а, т. е. на недеформированной границе
отверстия. Однако первоначально круглое отверстие несколько
деформируется благодаря смещениям, определяемым выражения-
выражениями A7) и A5). Его радиусы изменяются на небольшие величины
порядка оа/Е или г) oalG. С другой стороны, можно предположить,,
что отверстие вначале было не вполне круглым, но имело такую
форму, что стало круглым (г = а) после деформации. Тогда гра-
граничное условие поставлено правильно.
Но линеаризованная теория все равно требует малости дефор-
деформаций. Если решение какой-либо задачи дает большие деформации
в какой-либо области, то оно в этой области попросту непримени-
неприменимо. Это одна из трудностей, возникающая при применении такой
теории к телам с трещинами (например, содержащим не круглыег
а узкие эллиптические отверстия). При этом в концах «трещины»
получаются большие (даже бесконечные) значения деформации.
Эллиптическое отверстие с исчезающе малой меньшей осью (парал-
(параллельной направлению растяжения), которое изображает полость
с острыми концами, становится после деформации эллипсом
с конечной (хотя и малой) меньшей осью и соответственно закруг-
закругленными концами.
Математически компоненты деформации в концах обнаружива-
обнаруживают особенности. Это полностью эквивалентно утверждению, что,
пытаясь применить линеаризованную теорию, мы вышли за область
ее применимости. Пока мы выписываем уравнения и граничные
условия, мы считаем, что каждый символ представляет некоторое
конечное число (т. е. что соответствующая величина «существует»).
Мы вынуждены поэтому оставаться в области, где это справедливо.
Это всегда вынуждает нас проводить выделяющую кривую вокруг
любой «особой точки». При этом, оставаясь в рамках линеаризован-
линеаризованной теории, уже нельзя считать размеры выделенной окрестности
Здесь годится любая оценка, поскольку Е = 2 A + v) G»
26 Дж. Гудъер
неопределенными (как, например, в случае выделения окруж-
окружностями и полуокружностями особых точек на комплексной пло-
плоскости), потому что имеются «физические» ограничения, состоящие
в том, что не должен быть превзойден предел упругости (линейной).
Именно такой случай применения линеаризованной теории
и имеет место в теории распространения трещин Гриффитса.
Тем не менее эта теория оказалась очень успешной. Как быстрота,
€ которой она ведет к цели, так и ее успех делают эту теорию
заслуживающей гораздо более пристального внимания, которое
и будет уделено ей в последующих разделах.
Напротив, в задаче о круглом отверстии нет никаких особен-
особенностей. После просверливания отверстия напряжения и дефор-
деформации просто возрастают по абсолютной величине. В частности,
на границе отверстия, комбинируя уравнения A9) и A4), имеем
<*е = (ств)о тЬ (tfe)i = о A + 2 cos 20),
причем наибольшая величина сг0 равна Зс.
Имеется также определяемое выражением B1) напряжение
(°z)i- Сразу видно, что существенные его значения ограничены
непосредственной окрестностью отверстия (множитель а2/г2). На
гранях Z1? Z2 (рис. 1) эти напряжения действуют как нормальная
нагрузка. Однако соответствующие ей результирующие сила
и момент обращаются в нуль благодаря множителю cos 26 в выра-
выражении B1). Был исследован (Грином, Стернбергом и Садовским,
см. [23]) эффект от снятия этих напряжений.
Изменение «плоских» компонент напряжений (о>, а0, тг8) будет
очень малым. Если отверстие мало (а/13 мало), az, хотя и равное
нулю на гранях Zx, Z2, по мере углубления внутрь быстро становит-
становится практически совпадающим с B1). Для случая, когда вместо
круглого отверстия имеем эллипс или трещину, соответствующая
задача не решена. Однако общий принцип Сен-Венана [23] указывает
на то, что действие напряжения gz на гранях и теперь будет лока-
локализовано (как и прежде, будет равен нулю результирующий
момент, но не результирующая сила) и что эффект снятия этого
напряжения будет ощутимым только вблизи граней, когда эллипс
или трещина малы по сравнению с Z3«
VI. КРАЕВАЯ ЗАДАЧА, ИЗОБРАЖЕННАЯ НА РИС. 3,
КАК ЗАДАЧА О ПРОСТОМ РАСТЯЖЕНИИ ТЕЛА С ЭЛЛИПТИЧЕСКИМ
ОТВЕРСТИЕМ В УСЛОВИЯХ ПЛОСКОЙ ДЕФОРМАЦИИ
В качестве подготовки перехода к «трещине» мы теперь рас-
рассмотрим эллиптическое отверстие (см. рис. 3) вместо круглого,
с которым имели дело в разд. IV. Таким образом, состояние
простого растяжения, имевшее место до просверливация отверстия,
по-прежнему представляется формулами A4) и A5).
Гл. 1. Математическая теория равновесных трещин
27
Рис. 3. Блок с эллиптическим отверстием.
Предположим, что на рассматриваемом брусе мы просто нари-
нарисовали эллипс с полуосями а, Ъ до того, как была приложена растя-
растягивающая нагрузка. Этот эллипс при помощи параметра т] пред-
представляется уравнениями
х = a cos т], у = Ъ sin т). B2)
После приложения к брусу растягивающей нагрузки в нем появят-
появятся напряжения, определяемые уравнениями A4), а его растяжение
будет описываться полем смещений, выраженным у равнениями A5).
Смещения и и v границы нарисованного эллипса приведут к тому,
что он деформируется. Координаты х, у этой границы, удовлет-
удовлетворяющие уравнениям B2), превратятся в координаты х', у1'.
х' = х + и = a cos г] A — vo/E), B3)
у' = y + v = Ъ sin т] A + о/Е). B4)
Мы получим, таким образом, другой эллипс с полуосями
а' = а A — vo/E), V .= Ь A + о IE). B5)
В рассматриваемом состоянии простого растяжения внешний
материал через границу эллипса (пока что просто нарисованную)
действует с некоторыми силами на внутренний. Разумеется, также
равные, но противоположно направленные силы действуют со сто-
стороны внутреннего материала на внешний. Эти силы уничтожаются,
если отверстие прорезать фактически (сохраняя состояние плоской
28 Дж. Гудъер
деформации — неизменность w). Это эквивалентно тому, чтобы
наложить дополнительные силы, дающие в сумме с указанными
нуль. Последнее, конечно, приведет к появлению нового поля
смещений и напряжений. Это новое поле смещений совершенно
аналогично полю, определяемому уравнением A3) для круглого
отверстия, хотя полное выражение для компонент этого поля,
естественно, несколько более сложно х). Для наших целей доста-
достаточно знать лишь смещения точек на границе эллиптического
отверстия, выражающиеся, к счастью, в очень простом виде:
2Gu = — а A — 2v) x9 2Gv - 2а A - v) ±.у. B6)
При помощи B3) и B4) мы можем теперь выписать окончательные
значения координат точки эллипса, которые первоначально опре-
определялись уравнениями B2), а именно
ИЛИ
a;" = acosri[l-(l-2v2)-|-] ,
Получающаяся в результате кривая по-прежнему представляет
собой эллипс, но с полуосями а", Ь",
а" = а[1 - A -2v2) (о/Е)Ъ
b'\=b(l+ о/Е)+ 2а A - v2) (а/Е). .
А. Предел при 6—^0
При различных применениях формул, подобных выписанным
(т. е. тем, которые получаются решением краевой задачи теории
упругости для эллиптического отверстия, сформулированной в том
или ином виде), к вопросам, касающимся трещин и их возможного
распространения, эллипс сводится к трещине путем устремления
к нулю размера его меньшей полуоси в первоначально ненагру-
женном теле. Таким образом, нам следует перейти к пределу при
6-)-0 и рассматривать получающийся при этом вырожденный
эллипс как «тонкую трещину» или прорезь исчезающе малой
толщины. Она имеет «идеально острые» концы, причем радиус
кривизны также становится исчезающе малым. Однако из B7)
См. приложение Б.
Гл. 1. Математическая теория равновесных трещин 29
Рже. 4. Деформация у конца трещины, даваемая линейной теорией, за пре-
пределами, допускаемыми постулатами этой теории.
мы находим, что Ъ " в нуль не обращается; для этой величины имеем
Ы = 2а A - v2) (о/Е). B8)
Ее порядок соответствует смещению при простом упругом растя-
растяжении на длине 2а, т. е. на длине «трещины».
На продолжении «оси трещины» внутрь области, занятой
материалом, линейная теория упругости дает следующие выра-
выражения *) для компонент напряжения:
( j^r) **=-fy* *xy = 0, B9)
где
р2 __ i = 21 B + 6).+ 2 (i + l) [I B + 6)]*/*, I = (х/а) - 1.
C0)
При малых ^ выражение B9) можно разложить в ряд по степеням
З-1/2, что дает 2)
Как функция \ получившееся выражение имеет особенность при
g = 0, т. е. в конце трещины.
Подобная теория, по-видимому, дает модель, в которой тончай-
тончайшая трещина превращается при растяжении точно в эллипс,
разумеется, тонкий. Слово «по-видимому» употреблено потому,
что приведенная интерпретация не допускается линейной теорией,
основанной в действительности на предположении о малости дефор-
деформаций с граничными условиями на недеформированной границе.
Это предположение оказывается нарушенным. Достаточно лишь
взглянуть на два линейных элемента, образующих один из перво-
первоначально острых концов (рис. 4). После деформации эти элементы
образуют закругленный конец эллипса. Нулевой угол на рис. 4
раскрывается до угла в 180°. Очевидно, что это требует деформации
сдвига порядка я/4, т. е. ни в коем случае не малой. С деформацией
*) Приложение Б, уравнение (Б. 16).
2) Приложение Б, уравнение (Б. 19).
30 • Дж. Гудъер
же растяжения и растягивающим напряжением положение еще
хуже — они неограничены.
Чтобы правильно применить представленное решение к случаю
бесконечно тонкого эллипса, мы должны исключить из рассматри-
рассматриваемой области некоторые окружающие каждый из концов зоны
такого размера и формы, чтобы во всех точках оставшейся области
деформации были малы.
Б. Энергия деформации
До прорезывания отверстия тело обладало энергией деформа-
деформации при простом растяжении, равной о2/2Е на единицу объема.
Так же как и выше, мы пришли, к случаю тела с незагружен-
незагруженным отверстием (снова имеющего общий вид эллипса с полуося-
полуосями а, Ъ) путем понижения до нуля растягивающей силы a dx на
элементе длины dx прорези. В процессе такого понижения возник-
возникнут смещения, определяемые (на эллипсе) уравнениями B6).
Работа, произведенная снизившимися силами, которые являются
граничными нагрузками по отношению к внешней области, равна
(в расчете на единицу толщины)
о
где v = (g/G) A — v) a sin 8, х = a cos 6. Таким образом,
Wh = —тсо2а2 A — v2) E-1. C2)
Эта величина не зависит от Ъ.
По мере того как указанные силы снижаются, приложенное
растягивающее напряжение на удаленной (на бесконечности)
границе может совершать работу. Обычно рассматривают два
крайних случая возникающей при этом задачи: а) неподвижные
захваты и б) поддерживаемое постоянным растягивающее напря-
напряжение а.
В случае (а) удаленная граница полностью фиксируется после
приложения растягивающего напряжения а, но до того, как будет
создано отверстие или трещина. В процессе релаксации усилий
на эллиптической границе не совершается никакой работы на
удаленной границе.
Имеем сохранение энергии в том смысле, что во время любого
постепенного изменения сил на границе
Работа, совершенная над телом граничными силами,
равна приросту энергии деформации.
Неявно это заключено в уравнениях рассматриваемых полей и
граничных условиях общей задачи и поэтому ничего не добавляет
к информации, содержащейся в решении.
Гл. 1. Математическая теория равновесных трещин 31
Таким образом, в случае (а) уравнение C3) показывает, что
работа C2) равна приросту энергии деформации. Этот прирост
обозначим через Ai7a. Следовательно,
AUa = -по2а2 A - v2) E-K C4)
Эта величина отрицательна; действительно, энергия деформации
убывает.
В случае (б) на удаленной границе совершается работа, даже
если смещения, вносимые отверстием или трещиной, «исчезают
на бесконечности». Суммарная работа, совершаемая на всей бес-
бесконечно удаленной границе, отлична от нуля. Вместо того чтобы
подсчитывать ее здесь непосредственно, предпочтительнее сделать
это, воспользовавшись общими теоремами, изложенными в при-
приложении В. Там] показано, что работа, совершенная на удаленной
границе, равна
2яа2а2 A - v2) Е~х C5)
и что в действительности происходит увеличение энергии деформа-
деформации на величину
Ja = jtaV A - v2) Е-1. C6)
Сумма выражений C2) и C5) равна необходимо C6),
VII. ИЗЛОЖЕНИЕ И АНАЛИЗ ТЕОРИИ ГРИФФИТСА
В любом случае, будь то (а), когда фиксированы захваты,,
или (б), когда растягивающее напряжение о поддерживается
постоянным, снижаемыми растягивающими силами на эллиптиче-
эллиптической границе совершается работа W^ определяемая формулой
C2). Так как эта, работа не зависит от &, она не изменяется
при переходе к пределу при Ъ ->- 0. Начав с этого предельного
случая, вспомним, что растягивающее нагружение превращает
лишенную толщины трещину в эллипс с малой полуосью, равной,
согласно B8), 2аа A — v2) Е~г. Это есть эллипс (верхний), пока-
показанный на рис. 5. Если теперь происходит распространение
такой тонкой трещины на 2da no da с каждой стороны, как пока-
показано штрихами на рис. 5, получившаяся трещина вытягивается
в соответствующий (нижний) эллипс с полуосью a-\-da вместо а.
Мы достигаем этим в два шага результата, который получили бы
сразу, если бы с самого начала стали рассматривать тонкую тре-
трещину длиной 2 {a-{-da) вместо трещины длиной 2а.
При продвижении трещины на da появляются новые свободные
поверхности в результате снятия действовавших на них компо-
компонент напряжения ау. Работа, совершенная над телом, равна с точ-
32
Дж. Гудьер
Рис. 5. Распространение трещины, посту-
постулируемое в теории Гриффитса.
ностыо до первого порядка по da проето дифференциалу от вели-
величины Whr. определяемой формулой C2):
dWh = -яа2 A - v2) Е-1-2а da. C7)
Если отбросить знак минус, это выражение будет представлять
энергию, поглощенную при освобождении поверхности от действо-
действовавших на ней сил. В теорци Гриффитса эта энергия г) принимается
за энергию новой поверхности. Свободная энергия тела предпо-
предполагается включающей такую энергию, пропорциональную его
площади, как в случае жидкости. Если для величины этой энер-
энергии, приходящейся на единицу площади, ввести обозначение у,
упомянутая энергия новой поверхности будет равна Ay da. Таким
образом, теория Гриффитса приводит к равенству
по*A -v2) Е-1-2а = 4у,
или
[яA —уъуа]-1. C8)
Принятие любого значения сг, меньшего, чем определяемое фор-
формулой C8), означало бы, что если бы произошло распространение
трещины, то р>абота, произведенная в результате снятия в ходе
его напряжения ау, оказалась бы меньше энергии, требуемой для
образования новой поверхности, и поэтому распространение тре-
трещины не могло бы произойти самопроизвольно.
Гриффите рассматривал трещины, образующиеся в напряжен-
напряженных состояниях, ' более общих, чем простое растяжение2),
которое рассмотрено здесь просто в качестве примера.
При анализе теории Гриффитса возникает несколько аспектов,
требующих к себе внимания. Некоторые из них лежат в основе
г) Гриффите подсчитывал ее иначе — непосредственным интегрирова-
интегрированием плотности энергии деформации, используя полное решение для нагру-
нагруженного тела с эллиптическим отверстием.
2) Многие другие формы трещин, так же как и формы условий нагруже-
ния* рассматривались в более поздних работах. См., например, сводку
результатов в обзоре Париса и Си [18].
Гл. 1. Математическая теория равновесных трещин 33
дальнейших разработок, которые будут описаны в следующих
разделах этой главы. Другие составляют предмет текущих иссле-
исследований. Ниже следует перечисление этих аспектов с коммента-
комментариями.
1. Поле напряжений имеет особенность в каждом конце тре-
трещины, что уже обсуждалось в разд. VI. В рамках линейной теории
не может быть обосновано утверждение о превращении идеализи-
идеализированной бесконечно тонкой трещины при растяжении в узкий
эллипс, потому что это озйачает большие (фактически неограни-
неограниченные) деформации в концах трещины. Линейная же теория
естественно ограничена малыми деформациями.
~\
2. Граничное условие на цоверхностях трещины, состоящее
в обращении приложенных здесь сил в нуль, удовлетворяется
на недеформированной поверхности. Гриффите сам показал, как
следовало бы учесть при подсчете напряжения постепенное пре-
превращение бесконечно тонкой трещины с ростом нагрузки во все
утолщающиеся эллипсы; это привело бы к конечности напряжения
на концах трещины. Тем не менее, как уже отмечалось, воз-
возникает конечная деформация сдвига порядка я/4 (рис. 4).
Более того, конечное напряжение не может привести
к выражению для работы dWh, которое, согласно C7), имеет
первый порядок по da. Чтобы такой результат имел место, силы
на участке da, который уже сам представляет собой малую первого
порядка, должны были бы совершать работу на конечных смеще-
смещениях, которые не возникают при раскрытии трещины на этом
участке. Энергия же новой поверхности выражается первым диффе-
дифференциалом Ay da. Таким образом, в рамках теории Гриффитса
наличие особенностей в указанном смысле является совершенно
обязательным.
3. Определенный процесс распространения трещины в том
виде, в каком он описан выше, учитывается дифференциаль-
дифференциальной формой уравнения Cf), получаемой, разумеется, из линейной
теории упругости. Сначала имеем некоторый эллипс. Затем два
линейных элемента длины da, один непосредственно над большой
осью, другой — под нею, расходятся так, что угол между ними
изменяется от 0 до 180°; при этом концы получаются закругленны-
закругленными, а трещина принимает форму более протяженного эллипса.
Этот процесс, очевидно,, может быть продолжен1).
В реальном процессе распространения трещины суть дела
заключается в разделении материала в конце трещины. Ясно, что
атомная структура имеет существенное значение в этой крайне
малой зоне. Применение линейной континуальной теории завело
г) Однако эллипс не может быть преобразован непрерывно в более длин-
длинный эллипс без удаления материала из концов.
3-0700
34 Дж. Гудъер
S/p
Рис. 6. Нормальное напряжение Sip, воз-
возникающее в результате поверхностного
натяжения пленки.
бы нас слишком далеко и в этом отношении. Особенность, кото-
которую она теперь содержит, в теории Гриффитса отражает суще-
существенное взаимодействие между внутренней неконтинуальной кон-
концевой зоной трещины и внешней континуальной областью.
4. Поверхностная энергия новой поверхности трещины вво-
вводится на последнем шаге посредством уравнения C8) или уравне-
уравнения, предшествующего ему. Энергия —dWh в том виде, в каком
она определена уравнением C7), становящаяся доступной для
преобразования в энергию новой поверхности, получается, конеч-
конечно, на основе решения (см. разд. VI и приложение Б) для эллипти-
эллиптического отверстия или трещины с обращающимися в нуль при-
приложенными силами на их границе. Однако поверхностная энергия
означает и поверхностное натяжение1), как в жидкостях. Введе-
Введение поверхностного натяжения S как силы, приходящейся на
единицу длины, подразумевает бесконечные в общеконтинуаль-
общеконтинуальном смысле напряжения. В испытывающей поверхностное натяже-
натяжение пленке жидкости, как, например, на поверхности пузыря
в жидкости, должно возникать поперечное напряжение S/p
(рис. 6), когда эта пленка имеет (цилиндрическую) кривизну 1/р.
Применительно к твердому телу это означает, что на поверхности
отверстия как границы упругого континуума действует нормаль-
нормальное напряжение S/p на единицу площади, создаваемое такой
«пленкой». Однако эта пленка сама по себе может рассматриваться
как двумерный континуум, отличающийся от трехмерного кон-
континуума, к которому она прикреплена. В физике жидкостей это,
конечно, хорошо известно. Для твердых же тел нормальное растя-
растяжение, к которому приводит поверхностное натяжение, по-види-
по-видимому, полностью игнорировалось, как это сделал Гриффите, когда
он принял решение Инглиса для задачи о свободном от напряже-
напряжений эллиптическом отверстии.
х) «Так же как в жидкости, граничные поверхности твердого тела обла-
обладают поверхностным натяжением, которое подразумевает существование
соответствующего количества потенциальной энергии» [11].
Гл. 1. Математическая теория равновесных трещин 35
Логика, таким образом, требует от нас наложить указанное
нормальное растяжение S/p на поверхность эллиптического от-
отверстия в качестве граничного условия в основной задаче *).
Эффект от этого становится существенным, когда величина alp
становится очень большой, как это имеет место в конце очень
тонкого эллипса, где она равна а2/Ь2. В пределе при Ъ -> 0 особен-
особенность, о которой шла речь, коренным образом изменяется. Начи-
Начиная с определенной степени сплюснутости эллипса, напряжения
на его концах подавляются эффектами поверхностного натяжения.
Заданием нормального растяжения S/p на поверхности отвер-
отверстия или трещины энергии новой поверхности у приписывается
неявно значение S. Эта энергия переходит в поверхностную пленку
дфи увеличении занимаемой ею площади за счет нормальных
реакций S/p со стороны континуума.
5. Представление тончайшей трещины как предела последова-
последовательности эллипсов произвольно. Нет никакой уверенности, что
последовательность овальных кривых, отличных от эллипсов,
привела бы к тем же самым предельным значениям. Однако гра-
граничная задача может быть поставлена в иной форме, для которой
решение известно. На продолжении трещины симметрия накла-
накладывает условия
v = 0, %ху = 0. C9)
На поверхностях трещины —а < х <С а мы имеем, конечно,
<*v =0> *хЧ = 0. D0)
Таким образом, можно рассматривать полубесконечную область
г/>Ос условиями C9) и D0) на плоскости у = 0 и однородным
растягивающим напряжением о на бесконечности. Другими сло-
словами, мы можем принять
v = 0, хху = 0 при у = 0, | х | > а, D1)
ау = —а, %ху = 0 при у = 0, | х | < а D2)
и потребовать, чтобы напряжение исчезало на бесконечности.
Решение последней задачи в комбинации с простым растяжением
при напряжении сг (трещины нет) дает решение исходной задачи.
Получаемый результат тот же самый, что и при переходе к пределу
от случая эллиптического отверстия (см. приложение Б).
Теория Баренблатта, излагаемая в следующих разделах, справ-
справляется с п. A) — D) путем введения дальнейших гипотез, сохра-
сохраняющих линейную граничную задачу в форме, тесно связанной
с описанной в п. E). В результате получается критерий Гриффитса,
выраженный уравнением C8).
*.) Решение этой граничной задачи, полученное Раджапаксе (Y.D.S.
Rajapakse) и автором, вскоре будет опубликовано.
3*
36
Дж. Гудьер
VIII. ТЕОРИЯ БАРЕНБЛАТТА
Мы видели, что, согласно линейной теории (применяемой
безотносительно к ограничению малыми деформациями), растя-
растягивающее напряжение а придает тончайшей трещине форму сплю-
сплюснутого эллипса, показанного на рис. 7 штриховой линией.
Поверхности трещины принимаются, конечно, полностью свобод-
свободными от приложенных нагрузок. Гриффите заметил, что вблизи
концов трещины две ее поверхности остаются очень близкими друг
к другу, и здесь могут действовать большие силы атомного или
молекулярного притяжения порядка «теоретической прочности».
Он писал [10]:
«Если* тело таково, что трещина образует часть его
поверхности в недеформированном состоянии, нельзя ожи-
ожидать, что распространение трещины под действием нагрузки,
достаточной, чтобы вызвать разрыв, приведет к какому бы
то ни было большому изменению формы ее концов. Если, да-
далее, размер трещины таков, что ее ширина больше радиуса
молекулярного действия во всех точках, за исключением
непосредственной близости от ее концов, то можно заклю-
заключить, что увеличение поверхностной энергии благодаря
распространению трещины дается с достаточной точностью
произведением приращения поверхности на поверхностное
натяжение материала.
Рис 7. Силы сцепления в концах трещины по теории Баренблатта. Плавное
смыкание поверхностей.
Гл. 1. Математическая теория равновесных трещин 37
Молекулярное притяжение в такой трещине долж-
должно быть мало всюду, за исключением непосредственной
близости от ее концов; можно поэтому сказать, что приме-
применение математической теории упругости на том основании,
что трещина рассматривается как свободная от растяги-
растягивающих усилий поверхность, должно давать правильные
напряжения во всех точках тела, за исключением точек,
расположенных вблизи концов трещины. Для достаточно
большой трещины ошибка в подсчитанной таким образом
энергии деформации должна быть пренебрежимо малой.
Прочность же тела с меньшими трещинами, подсчитанная
на этой основе, если считать справедливыми остальные
сделанные допущения, должна, очевидно, получиться черес-
чересчур низкой».
Баренблатт представил эти силы притяжения или «силы сцепле-
сцепления», о которых говорилось выше, как распределение сил, интен-
интенсивно действующих в малых зонах у концов, как это показано
на рис. 7. Эти силы сцепления притягивают поверхности трещины
друг к другу. Взятые сами по себе (т. е. в отсутствие приложенно-
приложенного вдали растягивающего напряжения а), они вносят особенности
в концах для напряжений, которые отвечают сжатию, тогда как
особенности, отдельно вносимые приложенным вдали растяги-
растягивающим напряжением а, соответствуют растяжению. Появляется,
следовательно, возможность уничтожения одних особенностей
другими, так что результирующее поле напряжений уже не будет
иметь особенностей. Первый постулат рассматриваемой теории
состоит в уничтожении этих особенностей1). Как следствие этого,
две поверхности трещины после деформации смыкаются гладко,
образуя заострения в концах, как показано сплошными линиями
на рис. 7.
Мы по-прежнему ограничим рассмотрение простым примером
прямой трещины. В изложении теории Гриффитса в предыдущих
разделах нагружение также ограничивалось простым однородным
растяжением на бесконечности. Однако дальнейшее сохранение
этого ограничения не дает никаких преимуществ при объяснении
теории Баренблатта, потому что нам сразу же придется иметь
дело с неоднородным распределением сил сцепления по поверх-
поверхностям трещины. Соответственно будем рассматривать более общий
класс приложенных нагрузок, ограничиваясь лишь для простоты
анализа требованием их симметрии относительно обеих осей.
Нужный результат получается суперпозицией трех состояний
г) Согласно точке зрения автора настоящей работы, уничтожение осо-
особенностей должно постулироваться и не является предметом доказатель-
доказательства. В этом отношении излагаемая трактовка отличается от трактовки
Баренблатта [1].
38 Дж. Гудьер
в рамках линейной теории упругости, описываемых в следующих
ниже пунктах (А) — (В).
А. Сначала будем считать, что трещины нет. При этом нагрузки
создают нормальное напряжение (т^ равно нулю по симметрии)
, D3)
которое рассматривается как известное. Оно определяется путем
решения соответствующей граничной задачи линейной теории
упругости. Распределение То (х) и его продолжение (ву^ при
| х | > а считается непрерывным с непрерывной первой произ-
производной.
Б. Снова рассматривается то же самое тело без приложенных
нагрузок, но со свободными поверхностями трещины (нет никаких
сил сцепления). К этим- поверхностям прикладываются напряже-
напряжения, равные и противоположно направленные напряжениям,
определяемым уравнением D3). Граничное условие на поверхностях
трещины соответственно имеет вид
КJ = -Го (*). -а < * < а.
Решение этой задачи может быть записано в разных формах и
получено из различных источников. Запись, особенно удобная
здесь, взятая из [13], дает напряжения оу на продолжении тре-
трещины в виде
J t*rl&, \x\>a,
D5)
где t — текущая координата оси х. Соответствующее поперечное
(вертикальное) смещение поверхностей трещины, взятое из [7],
выражается следующей функцией от ж:
1*1
|*|<а; D6)
здесь знак плюс относится к верхней поверхности трещины.
В. То же самое тело рассматривается еще раз без приложен-
приложенных нагрузок. На поверхностях трещины действуют только силы
сцепления, представляемые уравнением
(сгу)8 = г(з)» —а<х<а. . D7)
Такая задача представляет собой разновидность граничной задачи,
рассмотренной выше. Распределение g (x), даваемое уравнени-
уравнением D7), заменяет — То (х)в уравнении D4). В результате имеем,
Гл. 1. Математическая теория равновесных трещин 39
аналогично выражениям D5), D6),
a—?)-i/2<tt,
\х\>а D8)
и
a w
\x\ 0
\x\<a; D9)
здесь гг; — просто переменная интегрирования.
Чтобы выполнить уничтожение особенностей напряжения,
неявно содержащихся в (Б) и (В), правые части уравнений D5)
и D8) следует преобразовать к виду, в котором эти особенности
выделены явно. В уравнении D5) удобно заменить t и х новыми
переменными !¦ и $г:
| = а — "*, sx = о: — а, E0)
обращающимися в нуль на правом конце трещины. Уравнение D5)
принимает после этого вид
2«= — (а + Si) [si Ba + sfi] ~ ^2 X
а
Г0-(Е) обозначает прежнее Го (а — ?). Поскольку в данном
случае интерес сосредоточивается на изучении зависимости от %
при малом S]/a, мы рассмотрим разложение приведенного выраже-
выражения по целым степеням % (за исключением множителя si1/2 перед
интегралом). Имеем
J/2)f E2)
где О (sj/2) представляет некоторый ряд по степеням sj/2 начиная
с первой. Разложение интеграла в уравнении E1), полученное
в приложении Г, имеет вид
а
J Го (t) (a2— t2)-^2 dt — Jt2- V2T0 (а) а~ ^^l72 + О ($i). E3)
о
40 - Дж. Гудъер
Для краткости положим
E4)
О
Тогда разложение правой части уравнения E1) получается из E2),
E3) в виде
А12). E5)
Здесь выделена особенность в качестве главного члена правой
части. • ,
Подобным же образом разложим теперь правую часть уравне-
уравнения D8), что просто требует замены То (t) на —g (t). Записывая
вместо уравнения E4)
] E6)
О
мы вместо уравнения E5) получаем
ii2 {/2 E7)
Вклады состояний, описанных в п. (Б) и (В), представляемые
уравнениями E5) и E7), можно теперь* скомбинировать с вкла-
вкладом состояния, описанного в п. (А), который для х = а-\- s±
равен (Оу)^ Поскольку То (х), определяемое соотношением D3),
непрерывно и имеет непрерывную первую производную, можно
написать
(ОуI = Т0(а)+ O(Sl). E8)
Следовательно, складывая уравнения E5), E7) и E8), имеем
оу = Ых+ Юз+ Юз = (No + Nc) slV«+- g(a) + O(s{>2). E9>
Особенность, содержащаяся явно в члене с множителем s~i1/2,
исчезает при обращении в нуль коэффициента No + Nc. Согласно
уравнению E6), Nc зависит от длины трещины. Можно предполо-
предположить, что в случае искривленных трещин или нескольких трещин,
расположенных достаточно близко, чтобы было существенным
их взаимодействие, или в других случаях, отличающихся от рас-
рассматриваемого примера, соответствующий коэффициент будет
также зависеть от формы и расположения трещины. Однако тео-
теория Баренблатта основана на двух дополнительных постулатах,
помимо постулата об устранении особенностей напряжений. Из них
следует, что кбэффициент Nc представляет собой константу мате-
материала, не зависящую от самой трещины, а также не зависящую
от приложенных нагрузок, которые вынуждают ее продвигаться
как «равновесную трещину».
Гл. 1. Математическая теория равновесных трещин 41
Второй постулат х) состоит просто в том, что распределение
сил сцепления g (%) ограничено малой зоной, простирающейся
внутрь трещины на расстояние d от ее конца, расположенного
при х = а. Таким образом, силы g (x) существенны в зоне сцеп-
сцепления а — d < х < а, причем dla мало по сравнению с единицей,
и равны нулю при 0 < х < а — d. Симметричная картина, разу-
разумеется, имеет место и для левого конца трещины.
Чтобы изучить, к чему приводит этот постулат для Nc в E6) f
мы сначала перейдем от переменной интегрирования t к ? согласно
первому из уравнений E0). Записывая затем G (?) вместо g(t)t
имеем
Nc = -J&?!L | G(?) ЦBа-?)]-1/2 d%. F0)
0
Интервал 0^ J;^ а соответствует всей полудлине, 0^. x^ a*
Так как g (t) отлично от нуля лишь в зоне сцепления, которая
соответствует 0 ^ ? ^ d, мы можем записать
о
Разлагая Bа — Ю/2 по степеням 5, получаем
Имея'в виду малость ?/а-(|^ d), оставляем в получившемся ряде
один лишь главный член — единицу. Тогда
d
GffJg-^dS. F1)
Третий постулат (формулировка которого будет дана позже)
касается этого выражения. Мы приняли, что имеются определен-
определенные приложенные нагрузки. Фактически iV0, выражаемое соот-
соотношением E4), может быть принято в качестве меры их величины.
Предположим теперь, что они увеличиваются от нуля, причем
их отношения все время остаются одними и теми же («пропор-
(«пропорциональное нагружение»). Трещина уже имеется, и только в малых
зонах сцепления возле концов существенно атомное или молеку-
молекулярное притяжение ее стенок. Когда приложенные нагрузки
возрастают, силы сцепления G E) тоже возрастают, оказывая
сопротивление отрыву, т. е. продвижению трещины. В излагаемой
Соответствует «первой гипотезе» Баренблатта [1].
42 Дж. Гудъер
теории предполагается, что существует предел этому увеличению
и что материал разрывается, когда этот предел достигается. Тогда
трещина называется «подвижно равновесной». На более ранних
стадиях она называется «неподвижно равновесной».
Предельное распределение G (I) будет обозначаться через
Gm (?), а соответствующее значение Nc из F1) — через Ncm*_
Таким образом,
d
±[-±K, F2)
где сам интеграл обозначен через К. Он принимается за материаль-
материальную постоянную, называемую «модулем сцепления».
Имея это в виду, вернемся к уравнению E9) и требованию
уничтожения особенностей, выражаемому равенством
N0 = -Nc.' F3)
При возрастании No (с увеличением приложенных нагрузок)
увеличивается и —Nc по мере того, как развивается распределе-
распределение сил сцепления, так что уравнение F3) выполняется на каждой
стадии. Однако величина —Nc не должна превосходить Kin.
Когда она принимает значение Kin, трещина может распростра-
распространяться. Таким образом, критическая величина приложенных
нагрузок, как раз достаточная, чтобы вызвать распространение
трещины, дается уравнением
No = Kin. F4)
Это критерий распространения трещины той же общей природы,
что и критерий теории Гриффитса C8). В уравнении F4) К (мо-
(модуль сцепления) предполагается известным как константа мате-
материала. В уравнении C8) у (поверхностная энергия) предпола-
предполагается известной как константа материала.
Мы пока еще не дали формулировки третьего постулата. Чтобы
л о дойти к этому и в то же время к хвязи между К ж у, вернемся
к смещениям поверхностей трещины и2 (#), даваемым уравне-
уравнением D6), и у3 (х) — уравнением D9). Рассматривая правую часть
трещины (рис. 8), удобно ввести координату s2, определенную как
52 = а — х. F5)
Для малых s2la в приложении Д показано, что и2 {х) можно пред-
представить в виде
i>2 (s2) = ± 4 A - v2) ?-Wo4/2 + О (*|/2), F6)
где No определяется уравнением E4). Также показано, что для
малых d/a [как при выводе уравнения F1)] и равным образом
Гл. 1. Математическая теория равновесных трещин
43
I Удлинение
I трещины
Рис. 8. Распространение трещины, постулируемое в теории Баренблатта.
для малых sja имеем
v3 Ы = ± 4 A -
+ О D/2),
F7)
где Nc определяется уравнением F1).
Чтобы получить полные смещения и (s2) поверхностей трещи-
трещины, нужно сложить вклады, полученные в случаях (А) — (В).
Однако первый из них дает нуль. Из F6) и F7) имеем
v Ы = vt («,) + v3 (s2) = ± 4 A - v2) ?-1 (No + Nc) sl2/2 + О (sf2). F8)
До тех пор пока в этом выражении остается член, пропорциональ-
пропорциональный 4/2? деформированная трещина будет закругленной в дан-
данном конце. Однако, когда особенность в напряжениях будет
устранена путем наложения условия F3), коэффициент NQ+ Nc
в F8) обращается в нуль. Остающийся в уравнении F8) член
имеет порядок s\12 и, следовательно, нулевую производную при
52 = 0. Таким образом, верхняя и нижняя поверхности трещины
плавно смыкаются в концах, образуя заострение с нулевым углом,
как показано на рис. 7 сплошными линиями. Возвращаясь же
к уравнению E9) для напряжений, видим, что предел оу при
зг ->¦ 0 (т. е. при подходе к концу трещины по материалу справа)
равен g (а). Следовательно, оу изменяется непрерывно при перехо-
переходе через острие. Тем не менее различие между ау в материале (х >
> а) и распределением напряжений от сил сцепления g (x) при
х < а сохраняется, поскольку v равно нулю при х> а та. отлично
от нуля при х < а. При a — d < х < а распределение v описыва-
описывает нормальное сечение трещины в краевой (концевой) области.
44 Дж. Гудъер
Теперь можно дать формулировку третьего постулата. Он соот-
соответствует второй гипотезе Баренблатта [1].
Третий постулат: «Форма нормального сечения поверхности
трещины в концевой области (и, следовательно, локальное рас-
распределение сил сцепления по поверхности трещины) не зависит
от действующих нагрузок и всегда одна и та же для данного
материала при данных условиях (температура, состав, давление
окружающей атмосферы и т. д.)».
Слова всегда одна и та же выделены автором настоящей рабо-
работы, чтобы подчеркнуть их далеко идущее значение. Постулирован-
Постулированное распределение сил сцепления викак не реагирует, например,
на удлинение трещины (скажем, на ее удвоение), как было бы,
если бы имело место подобие (тогда длина d должна была бы также
удвоиться). Этот постулат дополняет линейную континуальную
модель введением малого размера d. Очевидно, это делает возмож-
возможной некоторую связь с малыми длинами, присущими решеточным
моделям,— межатомными расстояниями. Предел, полагаемый
постулатом сил сцепления, делает возможной и некоторую связь
с «теоретической прочностью» [4].
Основа третьего постулата — форма нормального сечения^
поверхности трещины в концевой области — выражена теперь
в уравнении F8) членом О (s|/2), поскольку главный чл'ен, про-
пропорциональный s|/2, был обращен в нуль. Таким образом, тре-
требуется, чтобы у подвижно равновесной трещины главная часть
порядка s|/2 была одной и той же безотносительно к деталям при-
приложения действующих нагрузок. Дальнейшее исследование этой
части в разд. IX показывает, что это действительно можйо себе
представить, и позволяет установить связь с теорией Гриффитса.
IX. СВЯЗЬ ТЕОРИЙ БАРЕНБЛАТТА И ГРИФФИТСА *)
Связь между обеими теориями устанавливается путем рас-
рассмотрения работы, совершаемой в конце трещины силами, дей-
действующими вблизи конца, при бесконечно малом продвижении
трещины. В теории Баренблатта эти силы задаются распределени-
распределением сил сцепления Gm (?;). В теории Гриффитса они полностью
задаются распределением удерживающих сил на продолжении
трещины, как это было рассмотрено в разд. VII, и включают
особенность напряжений. В теории Баренблатта никакой особен-
особенности в распределении удерживающих сил нет. Соответствующая
х) В этом разделе мы коренным образом отклоняемся от изложения
Баренблатта [1] и привлекаем работу, выполненную под руководством автора
Симоненом (F. A. Simonen) низложенную в докторской диссертации послед-
последнего (Станфордский университет, 1966 г.).
Гл. I. Математическая теория равновесных трещин 45
работа представляет собой малую второго порядка по отношению
к приращению длины трещины и поэтому для результата несу-
несущественна.
Чтобы рассмотреть работу, совершаемую в модели Баренблат-
та, рассмотрим бесконечно малое увеличение длины da в каждом
из концов симметричной трещины при постулатах, сформулиро-
сформулированных в разд. VIII. Положения правого конца трещины перед
и после такого ее удлинения показаны на рис. 8 вместе с предель-
предельным распределением сил сцепления <Gm (?); координата ? отсчиты-
вается налево и всегда от конца трещины. Согласно третьему по-
постулату, форма конца и распределение Gm (?) остаются теми же
самыми. Очевидно, это распределение Gm (?) просто переносится
вместе с концом трещины. При этом совершается работа, и чтобы
подсчитать ее, мы должны рассматривать некоторый определенный
материальный элемент как частицу. Такой элемент (d%) показан
на рис. 8 толстыми короткими линиями. Мы можем удерживать
конец трещины неподвижным, а материалу позволить двигаться
мимо него налево с некоторой (малой) скоростью V в течение вре-
времени dt, так что V dx = da. Действующая на элемент сила равна
Gm (I) d?,' причем этот элемент имеет компоненту скорости,
направленную вверх и равную V dv (s2)/ds2. Здесь координата s2
просто дублирует ? и введена потому, что она использовалась для
представления смещений в разд, VIII, в частности в выражении
F8) для и (s2). Работа, производимая на этом элементе 5а единицу
времени, выражается в виде
dWjdx = Gm (s2) ds2V dv (s2)/ds2.
Работа для всех элементов в зоне действия сил сцепления
(О <С s2 < d) выражается соответствующим интегралом. Полная
работа, производимая в единицу времени на верхней и нижней
поверхностях на обоих концах, равна
d
dW/dx = 4F j Gm (s2) [dv (s2)fds2] ds2. F9)
о
Поскольку V dx = da, dW представляет собой величину первого
порядка малости по da.
Мы покажем ниже, что соотношение F9) эквивалентно сле-
следующему:
d
^dak (I - v2) (uE)-i [ J Gm {%) I' i/2 dlf. G0)
" о
Согласно уравнению F2), эту величину можно выразить через
модуль сцепления Баренблатта в виде
dW = da 4 A — v2) (nE)'1 К2. G1)
46 Дж. Гудъер
В разд. VII критерий Гриффитса был получен путем приравни-
приравнивания всей работы удерживающих сил при их ослаблении величи-
величине энергии новой поверхности. Подобным же образом и Баренблатт
считает, что вся работа сил сцепления равна энергии новой поверх-
поверхности, приравнивая dW в выражении G1) величине 4у da. Тогда
К2 = пуЕ A — v2)-1. G2}
Таким образом, работа в конце трещины (или вблизи него) делает-
делается той же самой в обеих теориях. Постулат Баренблатта о том,
что нет никакой особенности напряжений (названный первым
постулатом в разд. VIII настоящей главы), приводит, согласно
F4) для определения критической величины приложенных нагру-
нагрузок, к условию распространения трещины iV0 == Kin. При помощи
соотношения G2) это условие переписывается в виде
No = (уЕ)т [я A - v2)]-1/2, " G3)
что как раз представляет собой критерий, получаемый из теории
Гриффитса.
Остается установить эквивалентность уравнений F9) и G0).
Этот шаг выполняется с привлечением некоторых важных аспектов
теории Баренблатта. Будет видно, что вопрос об эквивалентности
упирается в выражение для производной от v (s2) в равенстве F9).
В разд. VIII и (s2) было определено выражением F8). Но, как
было отмечено здесь, в силу первого постулата, No + Nc обращает-
обращается в нуль, и из F8) тогда следует лишь, что и (s2) имеет порядок
sf/2, а это не позволяет произвести фактическое вычисление выра-
выражения F9). Поэтому мы возвратимся теперь к точным выражени-
выражениям D6) и D9) для v2 (х) и v3 {x), чтобы в больших подробностях
изучить поведение нужного нам смещения v (s2) в уравнении
' " ¦ v(s2) = v2(x)+ vs(x) G4)
при выполнении постулатов теории Баренблатта.
Начав с v3 (х) в D9), мы снова введем s2 = а — х и\ = а — ?,
обозначив g (t) через G (?), а также заменим переменную интегри-
интегрирования w новой переменной г\ = а — w. Тогда выражение D9)
примет вид
S2
X
о
где
j [l-(Va)] X [l-(i\ + s2)IBa)]-W(s%-Ti)-Wf(ri)dr\9 G5)
а
f ft) = j [1 - (т| +1) 1Щ -1/2 A - n) -1/2 G (I) dl. G6).
Гл. 1. Математическая теория равновесных трещин 47
Здесь величина \ использована как переменная интегрирования,
не зависящая от s2. Нужные нам величины s2 удовлетворяют нера-
неравенству 0 < 52 < d, так что s2/a ограничено величиной d/a. Поэто-
Поэтому в выражении G5) г\/а также ограничено величиной d/a; то же
относится к т] и ? в выражении G6). Для применения третьего
постулата заменим все множители в скобках (квадратных) в под-
интегральных выражениях их разложениями в ряды по степеням
соответствующих малых величин, опустив затем все члены, кроме
главных, которые в каждом случае равны единице. Выражение
G5) после этого приводится к виду
i;8(*) = =F 2A-**)(*?)-* J (*-т|)-1/»Л, j (S-4)-1/2GF)d6, G7)
о n
где правая часть не зависит от а, когда G (?) достигает предела
Gm (?). Далее, интегрирование по частям по г) приводит к выра-
выражению
d
V3 (*,) = + 4 A - V2) (яЯ)-1 { ,1/2 J I- 1/2G (I)
0
J} G8)
о n
Первый член справа здесь тот же, что и в выражении F7), и, сле-
следовательно, в выражении G4) он, как в разд. VIII, взаимно унич-
уничтожится с подобным ему членом порядка sJ/2, содержащимся
в v2 (х). Для целей настоящего анализа работы распределенных
сил сцепления основной интерес поэтому представляет второй
член правой части. Этот второй член приводится к более простому
виду интегрированием по частям в интеграле
d
что дает
d
I = \G(lJ{t-r\y*Td-[ 2(%-
Так как G(Q обращается в нуль при ? = d, то
48 Дж. Гудъер
В выражении G8) нам нужна производная
d
dl
Теперь выражение G8) можно переписать в виде
2,
J (*i - 4)i/2 dT| j (g_4)- 1/8C' (|) d?|. G9)
о
&2,1 d
X { - 7iNcsi/2 + J ( 4) j
о n
В уравнении G4) имеется также вклад v2 (х), полностью опре-
определяемый приложенными нагрузками. В разд. VIII v2 (х) было
сведено к и2 (s2), определяемому выражением F6), и теперь, каза-
казалось бы, необходимо более подробное исследование члена поряд-
порядка sip, представленного там как О (s|/2)- Однако на самом деле
необходимости в этом нет, потому что в теории Баренблатта вклад
от приложенных нагрузок рассматривается как несущественный
по сравнению с вносимым распределенными силами сцепления.
Интенсивность последних сравнима с «теоретической прочностью»
материала. Напряжение же То (х) намного меньше. Поэтому мы
оставляем v2 (s2) в том виде, в каком оно дается выражением F6),
считая член О (s|/2) пренебрежимо малым по сравнению со вторым
членом в выражении G9). Складывая затем v3 (s2) из G9) с и2 (s2)
из F6), видим, что члены порядка s^2 взаимно уничтожаются,
в результате чего выражение G4) принимает вид
S2 d
v (sa) = =F-4 A — v2) (n?)-i j (e2 — T|L/2 dn J A-T|)-1/2G'(E)«. (80)
о л
Для вычисления скорости изменения работы, выражаемой равен-
равенством F9), нужно найти производную от этой величины для верх-
верхней поверхности трещины (знак минус):
ц
(81)
Выражение F9) с учетом (81) принимает вид
dW/dx = - 87 A - v2) (яЕ)-1 х
d s2 d
X j Gm («,)ds2 J (e,- T|)-va dr\ j (|-i\)-U»G'm (|) dl, (82)
0 0 \\
согласующийся с выражением G0) из приложения Е.
Гл. 1. Математическая теория равновесных трещин 49
Подытоживая изложенное в этом разделе, мы приходим к за-
заключению, что критерий Гриффитса G3) возникает в качестве
формулы для нагрузки, требуемой, согласно постулатам теории
Баренблатта, для перевода трещины в состояние подвижного рав-
равновесия. Это требует вычисления скорости изменения работы рас-
распределенных сил сцепления. Поскольку нет особенности напря-
напряжений, нет и вклада в эту работу со стороны «удерживающих сил»
на продолжении трещины. Однако в теории Гриффитса, с другой
стороны, это изменение работы полностью происходит от «удер-
«удерживающих сил» на продолжении трещины, что возможно только
благодаря существованию соответствующей особенности напря-
напряжений и отбрасыванию ограничения линейной теории малыми
деформациями. Возвращаясь к теории Баренблатта, мы можем
заметить, что хотя и нет особенности напряжений, силы сцепления
сами по себе имеют интенсивность, сравнимую с «теоретической
прочностью», грубо говоря, равную ?710. Соответствующие дефор-
деформации, определяемые из линейных соотношений, имеют порядок
0,1. Это не малые деформации, но они представляют собой умерен-
умеренную экстраполяцию со стороны малых деформаций, гораздо менее
радикальную, чем получающуюся при полном отбрасывании огра-
ограничений линейной теории в теории Гриффитса.
X. ДИССИПАЦИЯ ЭНЕРГИИ ПРИ ПЛАСТИЧЕСКОМ ТЕЧЕНИИ
У КОНЦОВ ТРЕЩИНЫ
В теориях, или моделях, Гриффитса и Баренблатта идеали-
идеализированные среды остаются линейно упругими при распростране-
распространении трещины. Нет никаких оснований ожидать, что они могут
описывать распространение трещин в типичных пластичных мате-
материалах, таких, как конструкционные металлы. Результаты теории
Гриффитса хорошо подтвердились его собственными эксперимен-
экспериментами с твердым стеклом и плавленным кварцем. Однако он спе-
специально исключил пластичные материалы [11].
В пластичном материале вблизи каждого из концов надреза
или трещины на ранних стадиях нагружения появляются зоны
пластического течения, и эти зоны увеличиваются с ростом на-
нагрузки. Их форма и протяженность были определены для различ-
различных металлов [5, 6, 21]. Соответствующая задача для упруго-
пластического континуума необычайно сложна, имеется лишь
несколько результатов для простейших случаев [12, 19]. Кроме
того, эти результаты относятся к нераспространяющейся тре-
трещине. Есть причины ожидать, что формы пластических зон не
будут оставаться одними и теми же при распространении трещины.
Этот аспект находится в настоящее время в стадии исследования.
Он важен, так как количество энергии, диссипируемой в резуль-
4-0700
50
Дж. Гудъер
Рис. 9. Область пластического деформирования в конце надреза в пла-
пластине из углеродистой стали, нагруженной растягивающей нагрузкой
(по вертикали).
Длина надреза в 4,4 раза больше толщины пластины t Условия приближаются к пло-
плоскому напряженному состоянию, а не к плоской деформации. (Воспроизводится с любез-
любезного согласия авторов из работы Розенфилда и др. [21].)
тате пластической деформации при распространении трещины,
тесно связано с формой и размерами пластических зон.
На рис. 9 видна подобная пламени свечи форма пластической
зоны в конце надреза в пластине из углеродистой стали (a/ays = 0,8) •
Этот рисунок воспроизведен из работы [21], где приводится много
фотографий, разъясняющих развитие и характер пластической
деформации. Тетельман [22] указывает на различие дислокацион-
дислокационных картин для случая распространяющейся трещины и тре-
трещины, прекратившей распространяться.
Для ряда сталей и пластиков, однако, задача сводится к более
простой. Изучая в статических условиях пластическое течение
в концах нераспространяющегося надреза в растягиваемых пла-
пластинках, Дагдейл [6] наблюдал пластические зоны, имеющие фор-
форму вытянутых линий на продолжении надреза (рис. 10). На
рис. 11 воспроизведены его экспериментальные результаты, пока-
показывающие зависимость длины пластических зон от растягиваю-
Гл. 1. Математическая теория равновесных трещин
51
- Надрез
/кая зона
**-/*Т*-5->-
1—\—t—*—t
Рис. 10. Узкие пластические! области в каждом из концов надреза в растя-
растянутой пластине согласно идеализированной схеме Дагдейла.
щего напряжения а. «Вычисленная кривая» на рис. 11 получена
на основе следующих постулатов (гипотезы Дагдейла).
1. Материал в узких пластических зонах находится под
действием однородного растягивающего напряжения crys (на-
(направленного на рис. 10 вертикально).
2. Поперечный (вертикальный) размер пластической зоны так
мал, что внешнюю упругую часть можно считать ограничен-
ограниченной изнутри сплюснутым эллипсом с осью 2 (I + s); см. рис. 10.
3. Длина s пластической зоны такова, что нет никакой осо-
особенности напряжений в концах сплюснутого эллипса.
Эти постулаты близки к постулатам, принятым Баренблаттом
и изложенным в разд. VIII. Вместо распределения сил сцепления
G (t) мы имеем однородное распределение (предполагаемое извест-
W
.0,5
Рис. 11. Экспериментальные и теоретиче-
теоретические результаты Дагдейла для статической
длины пластических зон.
Экспериментальные данные: О — для внутреннего
надреза; X — для краевых надрезов; вы-
вычисленная кривая.
0,5
<r/crys
1,0
52
Дж. Гудьер
¦ ¦ ¦ ¦ ¦
^Трещина
-*—
-2дг—
j
- Пластическая
зона
X
Рис. 12. Смещения поверхностей трещины и граница раздела между пласти-
пластической и упругой зонами при распространении трещины.
ным) напряжения текучести crys на длине s. Однако эта длина s
в общем случае не является малой. Граничная задача сводится
при этом к задаче линейной теории упругости с малыми деформа-
деформациями того же класса, что и в теории Баренблатта. «Вычисленная
кривая» Дагдейла получается из решения по методу Мусхели-
швили (см. приложение Б).
Постулат об отсутствии особенности напряжений был впервые
выдвинут Христиановичем (см. [23]) в связи с хрупким разруше-
разрушением горных пород. Он принял также постулат об однородности
напряжения сцепления на соответствующей длине.
Как следствие постулатов A) и B), до использования посту-
постулата C) члены с особенностью напряжений содержат коэффициент
nr2oyaQ2—jO,
где Э2 @-^62^Jt/2) — угол, определяемый уравнениями
I = a cos 02, а = I + s.
Таким образом, в] силу постулата о конечности напряжений C)
92 = (o/Oys) (я/2), т. е. l/a'= cos 1(в/оу8) (я/2)]. (83)
Последнее уравнение определяет а, если I, cr, ays заданы.
Гл. 1. Математическая теория равновесных трещин 53
Если теперь трещина (рис. 12, а) медленно продвигается при
постоянном а, так что ее полудлина становится равной I + dl,
пластическая зона также соответственно увеличивается от а до
а + da (рис. 12, б). Из постоянства а/1, выражаемого уравне-
уравнением (83), тогда вытекает
da/dl = а/1.
Смещение и («г, I) свободной поверхности трещины, продолжае-
продолжаемой как граница между упругой и пластической зонами, как
показано на рис. 12, б, переходит в v (х, I + dl). Обозначая
через dWp работу, совершенную над пластическим материалом
(тогда (—dWp) есть работа, совершенная над упругой областью),
имеем, согласно [8],
х=а
—LdWp=-Gysdl j dv^ l) dx. " (84)
x=l
Смещение v (x, l) в форме, полученной по методу Мусхелишвили
(вывод см. в [8]), дается выражением
8nG [(х + 1) ао^]-1 и (х, I) =
= cos 0 In [sin2 F2 — 0)/sin2 @2 + в)] +
+ cos 02iln [(sin 62 + sin 9J/(sin в2 — sin вJ], (85)
где а и 9 2 находятся из формулы (83), а 6 (см. приложение Б) —
из уравнения
х = a cos 0.
Константа материала к равна C — v) (I + v) для плоского
напряженного состояния и 3 — 4v для плоской деформации.
Вычисление интеграла в (84) при помощи (85), проведенное в ра-
работе [8], приводит к формуле
| dWp/dl = я-* (к +1) A + v) ОГ-.Я-Ч/ @, (86)
где
/ (*) = (nt/2) tg (nt/2) — In sec (nt/2), t = a/crys. (87)
На рис. 13 показано изменение функции / (?)/4 в интервале
0,2 < ^ < 0,7. Она обращается в нуль при t = 0 и становится
бесконечной при ? -> 1. Задав v, ays, E и а, мы вычисляем t и по
рис. 13 можем найти / (t). Тогда значение dWvldl — скорости,
с которой производится работа над материалом в пластической
зоне, — для заданной длины трещины 21 находится из (86).
Стоит подчеркнуть, что это скорость совершения работы лишь
в том случае, если трещина распространяется. В проведенном
анализе нет, однако, ничего, что указывало бы на то, что трещина
должна распространяться. Должна или не должна она распро-
54
Дж. Гудъер
0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7
i
Рис. 13. Функция / (?), определяемая формулой (87).
страняться, — это отдельный вопрос. В качестве иллюстрации
можно привести, кстати, аналогию с телом на плоской поверхно-
поверхности, которое при скольжении может испытывать трение, совер-
совершая с соответствующей скоростью работу. Однако начнет это
тело скользить при большем статическом трении или нет,— это
отдельный вопрос. Изложение экспериментальных исследований
о страгивании трещин в сталях дано Майлонасом [17].
Возвращаясь к теоретической модели этого раздела, можно
заметить, что если трещина распространяется медленно, не воз-
возникает никакого вопроса о возможности получения энергии, необ-
необходимой для совершения с определенной скоростью пластиче-
пластической работы. Имеющийся здесь «энергетический баланс» неявно
входит в уравнения поля и условия на границе упругой зоны
для данной модели. Процесс распространения, показанный на
рис. 12, представляет собой постепенное изменение граничного
нагружения на поверхности у = 0 со стороны верхней полуплос-
полуплоскости. Во время этого изменения полная работа граничных нагру-
нагрузок (включая, конечно, и напряжение а, поддерживаемое в уда-
удаленных точках постоянным) необходимо равняется увеличению
энергии деформации (и работа, и энергия вычисляются из реше-
решения соответствующей краевой задачи теории упругости). Это экви-
эквивалентно утверждению, что вся энергия, которая может быть
использована где-либо, затрачивается на совершение работы против
пластического напряжения crys на поверхности у = О, т. е. на
пластическую работу. Не остается ничего, что можно было бы
приписать энергии новой поверхности. Это просто свойство
модели. Если необходимо учесть поверхностную энергию, модель
должна быть изменена.
Для рассматриваемой здесь модели мы нашли (выражение
(86)), что скорость совершения пластической работы возрастает
пропорционально длине трещины 21. Мы можем теперь найти,
Гл. 1. Математическая теория равновесных трещин 55
какие длины трещины будут соответствовать скоростям соверше-
совершения пластической работы, намного большим поверхностной энер-
энергии у в модели Гриффитса.
Возьмем сталь с такими характеристиками:
= 2. К)** Ж, v = 0,3,
см
Выражение для скорости пластической работы в правой части
(86) дает (8/я) 106Z/ (t) для плоского напряженного состояния
и меньшее (за счет множителя 1 — v2) значение для плоской дефор-
деформации. Если, например, принять t = 0,5, то / (t) = 0,44 и (для
плоского напряженного состояния) мы находим х)
l ^. (88)
Экспериментальные определения (см., например, статьи, указан-
указанные в работе [8]) дают величину порядка 2 -106 эрг/см2. Это соот-
соответствует длине трещины 2Z, равной, согласно (88), 3,5 см.
Оценка для поверхностной энергии дает величину порядка
103 эрг/см2. Поскольку скорость совершения пластической работы,
определяемая выражением (88), пропорциональна 2Z, она станет
сравнимой с поверхностной энергией, если величина 21 будет
снижена до достаточно малых значений, в данном численном
примере до 1,8-10~3 см. Для трещины длиной 10~4 см поверх-
поверхностная энергия уже больше примерно в 18 раз. Приведенные
оценки указывают, что работа, производимая силами сцепления
и приписываемая энергии новой поверхности, является важной
составной частью для микроскопических трещин. Для макроско-
макроскопических трещин из этих оценок следует, что преобладает именно
работа, производимая при пластическом деформировании, как
это имеет место при обычных испытаниях на растяжение пластич-
пластичных металлов.
XI. ГИПОТЕТИЧЕСКИЙ КРИТЕРИЙ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ТРЕЩИНЫ
В ПЛАСТИЧНЫХ МЕТАЛЛАХ
Уже подчеркивалось, что согласно рассмотрению, проведенному
в разд. X, трещина предполагается распространяющейся, но усло-
условия, необходимые для того, чтобы это распространение началось
н продолжалось, не анализируются. В настоящем разделе мы сфор-
сформулируем для той же модели некоторый критерий такого распрост-
распространения, основанный на представлении о предельной деформации
[8]. Вытекающие из него указания качественно согласуются
с экспериментальными результатами [17], свидетельствующими
г) Этими "численными значениями исправляется ошибка в работе [8].
56
Дж. Гудъер
Рис. 14. Отношение дефор-
деформаций su/SyS как функция
отношения напряжений t
[см. уравнение (90)].
По оси ординат отложена вели-
величина P(rf/O(/)
о том, что величина предельного удлинения элемента материала
у конца трещины очень существенна.
Смещение упругой границы у конца трещины v (Z, Г) находится
из выражения (85), в котором нужно положить х = I. Элемент
пластического материала у конца трещины, заключенный между
двумя упругими телами (верхней и нижней полуплоскостями),
испытывает в направлении у растяжение 2v (Z, Z). Мы предпола-
предполагаем, что он вытянулся из элемента малой начальной длины 2d.
Его номинальная деформация е (как при испытании образца на ра-
растяжение) составляет тогда v (Z, 1I d. Мы имеем
г — v (Z, l)ld =
= я (х + 1) A + v) (GyjE) {lid) In sec (nol2o7B). (89)
Мы теперь предположим, что имеется некоторая предельная (мак-
(максимальная) деформация в конце трещины еи, при которой проис-
происходит разрыв. Трещина распространяется только тогда, когда
деформация, определяемая выражением (89), принимает это зна-
значение. Таким образом, критерий заключается в том, что
In sec (яа/2сгУ8) = р {d/l) (su/sys), (90)
где
— Л (X + I) A + V) , 8ys = ву81Е.
Графическое представление зависимости (90) на рис. 14 дает вели-
величину нагрузки а, которая требуется для распространения тре-
трещины. Отношение eu/eys является мерой вытяжки при условиях,
имеющих место в конце трещины. Если оно уменьшается (без ка-
какого-либо компенсирующего увеличения d/l), то, как видно из
Гл. 1. Математическая теория равновесных трещин 57
рис. 14, уменьшается и сг, требуемое для распространения трещи-
трещины. Это качественно согласуется с тем наблюдением, что ухудшение
или исчерпание деформируемости в результате преднапряжения,
снижения температуры или высокой скорости деформирования
способствует хрупкому разрушению (распространению трещины)
при низком номинальном напряжении.
Широкая количественная разработка рассматриваемой модели,
связанная с дальнейшими экспериментальными изысканиями, про-
проведена в работе [21]. В этой работе принято во внимание дефор-
деформационное упрочнение, скоростная зависимость пластического
'деформирования и пространственный характер пластической зоны
как для распространяющихся, так и для нераспространяющихся
трещин.
XII. СУЩЕСТВЕННАЯ НЕЛИНЕЙНОСТЬ ЗАДАЧ
О РАСПРОСТРАНЕНИИ ТРЕЩИН
Во введении мы уже кратко обсудили идею составной модели,
в которой микроструктура должна в некотором смысле учиты-
учитываться внутри малой внутренней концевой области трещины, где
происходит разделение материала, тогда как внешняя область
должна представляться континуумом, через который напряжение
передается к внутренней области.
В отношении такой модели возникают два главных вопроса.
Во-первых, как представить процесс разделения? Во-вторых, как
произвести сопряжение внутренней и внешней областей?
С простейшим примером процесса разделения сталкиваются
в хорошо известных подсчетах «теоретической прочности» при
растяжении и сдвиге. В первом случае один (плоский) слой ато-
атомов рассматривается как отрываемый по нормали от ближайшей
к нему атомной плоскости. Сила атомного притяжения сначала
возрастает пропорционально величине происходящего раздвиже-
раздвижения слоев согласно закону Гука. Однако при продолжающемся
раз движении эта сила достигает максимума и затем убывает до
нуля, когда атомные плоскости раздвигаются на расстояние, при
котором притяжение становится несущественным. Эта работа раз-
движения приписывается поверхностной энергии двух новых сво-
свободных поверхностей, представляемых указанными двумя слоями
атомов после их раздвижения. Соответствующая связь между силой
и величиной раздвижения атомных плоскостей точно не известна
даже для такого простого процесса однородного и одновременного
по всей плоскости раздвижения. Однако общий вид этой связи дол-
должен включать возрастание силы до некоторого максимума с после-
последующим убыванием ее до нуля. Это существенно нелинейная
связь.
58 Дж. Гудъер
Распространение трещины представляет собой некоторую фор-
форму последовательного раздвижения слоев хрупкого или пластиче-
пластического типа. Его описание также должно включать существенно
нелинейное соотношение. Последнее не обязательно должно в дета-
деталях совпадать с соотношением для одновременного раздвижения
слоев, поскольку это раздвижение происходит не в однородных
условиях. Однако принципиальные черты — начальная линей-
линейность, возрастание до максимума, убывание до нуля, связь совер-
совершаемой работы с поверхностной энергией — должны, очевидно,
сохраниться. Эти рассуждения указывают на возможность полу-
получения «теоретической прочности кристаллов, содержащих тре-
трещины» при последовательном раздвижении примерно тем же
путем, что и при элементарном расчете теоретической прочности
при одновременном раздвижении. Краткий очерк предварительных
результатов этого типа будет дан в разд. XIII.
Пока же вернемся к вопросу о существенной нелинейности
в моделях и теориях, уже рассматривавшихся и проиллюстриро-
проиллюстрированных в разд. VII—X. Все эти теории используют только реше-
решения краевых задач линейной теории упругости. Мы, таким обра-
образом, сталкиваемся с вопросом о том, как они включают или обхо-
обходят эту нелинейность. Ниже дается ответ на этот вопрос приме-
применительно к теориям Гриффитса и Баренблатта.
Теория Гриффитса использует решение линейной краевой зада-
задачи, которое обладает особенностью напряжений в концах трещины.
Как уже отмечалось в конце разд. IX, эти особенности существен-
существенны для того, чтобы работа «удерживающих сил» при бесконечно
малом продвижении могла быть дифференциалом первого порядка.
Включение существенной нелинейности происходит в ключевом
постулате Гриффитса, приписывающем эту работу энергии новой
поверхности. Принятие поверхностной энергии на единицу пло-
площади за константу материала задает некоторое значение для
коэффициента при особом члене в напряжении и тем самым для
допустимой нагрузки.
В теории Баренблатта эта особенность устраняется путем
введения соответствующего распределения сил сцепления. На
последние накладывается ограничение благодаря требованию,
чтобы «модуль сцепления» был константой материала, следствием
чего является ограничение на допустимую нагрузку. Таким обра-
образом, постулаты Баренблатта (разд. VIII и IX), включая отнесе-
отнесение к поверхностной энергии работы, совершенной против сил сцеп-
сцепления, представляют другой путь введения нелинейности. Это
сделано явно в работе [1], где указано на большие трудности реше-
решения полной нелинейной задачи.
Все же можно сделать еще один шаг [9] без столкновения с не-
непреодолимыми трудностями. Нелинейный закон связи сила —
величина раздвижения точно такой, какой используется при элемен-
Гл. 1. Математическая теория равновесных трещин 59
тарном вычислении «теоретической прочности», можно рассмо-
рассмотреть для двух слоев атомов, облегающих плоскость трещины, —
тех двух слоев, которые разделяются при продвижении трещины.
Весь материал ниже и выше принимается линейно упругим. Плос-
Плоскость трещины разделяет тело на две половины, для каждой из
которых задается нелинейное граничное условие. Это • модель
Гудьера и Каннинена, рассматриваемая в следующем разделе.
XIII. ЛОКАЛЬНО НЕЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ ГУДЬЕРА И КАННИНЕНА
Модель, рассматриваемая в этой теории [9], схематически
показана на рис. 15, представляющем малую концевую область
трещины. Два слоя атомов, находящиеся в процессе раздвижения,
заштрихованы. Связи, которые последовательно разрушаются
(слева направо), представлены нелинейными пружинами, работаю-
работающими согласно законам связи между силой и величиной раздвиже-
раздвижения (см. рис. 16, а). В этих законах начальный наклон соответ-
соответствует модулю Юнга Е, а площадь под кривой, представляющая
Рис. 15. «Атомная» модель конца трещины.
Прямые и зигзагообразные линии («пружины»), соединяющие атомы, означают линей-
линейный и нелинейный законы связи между силой взаимодействия атомов и величи-
величиной их раздвижения соответственно.
60
Дж. Гудъер
Рис. 16.
а — законы связи между силой и
раздвижением; б — растягивающая
нагрузка, требуемая, чтобы вызвать
любое заданное раздвижение vx по-
поверхностей трещины в ее конце. 1—
линейный; 2 — синусоидальный;
3 — экспоненциальный; 4 — степен-
степенной (с отрицательной степенью) за-
законы.
работу раздвижения, — поверхностной энергии на единицу пло-
площади, у. Для простоты в первоначальную модель включены только
прямые связи. Возрастание (удаленных) приложенных сил увели-
увеличивает раздвижение атомных пар слева от конца трещины до тех
пор, пока они не выйдут за пределы области действия сил их взаим-
взаимного притяжения. После этого они становятся частью новой сво-
свободной поверхности трещины, а следующая пара справа входит
в конечную стадию процесса раздвижения в новом конце трещины.
Затем и атомы этой пары раздвигаются за пределы диапазона взаи-
взаимодействия и т. д.
Материал выше и ниже раздвигающихся слоев рассматривается
как линейно упругий. Переход, разумеется, весьма резкий и до-
допускается в первоначальной модели ради простоты. Примене-
Применением методов линейной теории упругости при смешанных нелиней-
нелинейных граничных условиях в плоскости трещины (для нижней поло-
половины тела) такая модель может быть проанализирована относи-
относительно распространения трещины в основном при помощи тех же
средств, которые применяются при простейшем анализе теорети-
теоретической прочности, когда совершенные слои атомов раздвигаются
одновременно [4]. В модели трещины, однако, происходит интен-
Гл. 1. Математическая теория равновесных трещин
61
сификация напряжений в конце трещины и вблизи него, вноси-
вносимая самой несовершенной трещиной и, конечно, существенно
зависящая от упоминавшейся нелинейности.
В такой модели напряжение s (сила сцепления) в конце тре-
трещины и вблизи него представляется ступеньками, как показано
на рис. 17. Так же как и для нагружения на верхней границе
нижней половины тела, каждая ступенька дает деформацию этой
границы, которая легко выражается при помощи известных
результатов линейной теории упругости. Полная деформация полу-
получается суперпозицией вкладов от всех ступенек, включая еще
вклад от нагрузок на удаленных поверхностях, имеющий вид
асимптотики, получаемой из решения, соответствующего области
линейных пружин. Растяжение нелинейных пружин выражается
через эту деформацию, а выбранная определенная кривая
рис. 16, а дает тогда нелинейные уравнения либо для растяжения
этих пружин, либо для высот ступенек напряжения. Соответ-
Соответствующая задача решалась на машине сначала для малой нагрузки
в существенно линейном диапазоне, а затем для постепенно воз-
возраставшей, приводившей в нелинейный интервал.
В результате автоматически получалась форма конца трещины
и распределение напряжений. На рис. 17 и то, и другое показано
Рис. 17.
а — конфигурация и б — распределение
сил сцепления вблизи конца трещины
при максимальной нагрузке — одна и
та же картина для трех длин трещин,
выражаемых отношениями с/Ъ = 103,
Ю4, 105.
(х-с)/Ь
10
62
Дж. Гудьер
0,5
0
1,©
0,5
- 0
Рис. 18. Распределение сил сцеп-
сцепления при возрастании нагруз-
нагрузки и распространении трещины.
Значения t (сверху вниз):
t=0>64 YEy/c; 0,99 VEy/c;
1,01 YEy/c; 0,94 YEy/c; 0,Q2YEyTc
для закона связи силы с раздвижением в виде полуволны синусоиды
(см. рис. 16, а) и для растягивающей нагрузки t, перпендикуляр-
перпендикулярной к трещине. Картина воспроизведена для максимального зна-
значения этой нагрузки ?маКс в смысле, который сейчас будет разъ-
разъяснен. Хотя модель представляет собой составной континуум
(распределенный ряд пружин плюс линейно упругий континуум),
а не является решеточной моделью, удобно говорить об «атомных
парах».
Первая пара атомов, находящаяся в конце трещины, начинает
раздвигаться при увеличении удаленной растягивающей нагрузки
от нуля. Для закона взаимодействия в виде полуволны синусоиды
нагрузка принимает максимальное значение прежде, чем указан-
указанная пара атомов выйдет из интервала взаимодействия, т. е. до-
достигнет величины раз движения, которой соответствует нулевая
сила. Это показано на диаграмме нагрузка — величина раздвиже-
ния, представленной на рис. 16, б. После этого нагрузка, необ-
необходимая для поддержания равновесной конфигурации, умень-
уменьшается, пока не будет достигнуто состояние невзаимодействия.
Тогда «концом трещины» станет следующая пара, нагрузка снова
Гл. 1. Математическая теория равновесных трещин
63
возрастает и уменьшается и т. д. Однако для других законов связи
между силой и величиной раздвижения (рис. 16, а) нагрузка воз-
возрастает монотонно.
На рис. 18 представлена эволюция напряжения, или распреде-
распределение сил сцепления, в течение этой типичной фазы процесса рас-
распространения трещины. Первая и вторая (если смотреть сверху
вниз) диаграммы соответствуют возрастанию нагрузки, обозначен-
обозначенной через t. Третья отвечает максимальной нагрузке. Четвертая —
уменьшенной ниже максимума нагрузке. Самая нижняя соответ-
соответствует величине раздвижения как раз перед достижением состояния
невзаимодействия; первая ступенька имеет нулевую высоту. Рас-
Распределение здесь почти такое же, как для самой верхней диаграм-
диаграммы, но сдвинуто вправо на ширину одной ступеньки. Нулевая
величина высоты первой ступеньки сохраняется и при дальнейшем
еще большем раздвижении первой пары атомов.
Расчеты для трех начальных полудлин трещины 103fe, 104Ь,
1056 (Ъ — межатомное расстояние) обнаруживают одни и те же
смещения и напряжения вблизи конца трещины для трещины,
распространяющейся при максимальной нагрузке. Эта незави-
независимость от длины согласуется с постулатами теории Баренблатта.
Значения, найденные для максимальной нагрузки при данном
законе связи между силой и величиной раздвижения, пропорцио-
пропорциональны с/2 Bс — длина трещины). Мы можем записать
We = ее (Еу/с)У\ (91)
Найденные значения а приведены в последней колонке табл. 1.
Таблица 1
Максимальная величина растягивающего напряжения ?Макс
и максимальное напряжение сцепления $Макс Для нескольких
законов связи между силой и величиной раздвижения
Закон
Синусоидальный
Экспоненциальный
Степенной-
Линейный
*макс ^E^h
1,00
0,52
0,31
2,00
<*?т. е. tM3LKC(c/EvI/2l
1,01
0,83
0,75
1,75
В теории Гриффитса [разд. VII, уравнение C8)] а принимает
значение ]/^2 Ы A — v2)]/2, т. е. приблизительно 0,84 при v =
= 0,3. Это прекрасно согласуется со значениями 0,83 для экспо-
экспоненциального закона и 0,75 для степенного (с отрицательной
степенью). Поэтому можно считать, что эти законы подтвер-
подтверждаются данными, имеющимися для гриффитсовской теории.
64 Дж. Гудъер
XIV. НАПРАВЛЕНИЯ ДАЛЬНЕЙШИХ ИССЛЕДОВАНИЙ
В пределах этой главы можно было только в общих чертах
показать при помощи крайне ограниченных фрагментов полной тео-
теории в ее настоящем виде, как математическая теория равновесных
трещин развилась из ее начала, заложенного Гриффитсом. Она
эволюционировала в направлении установления связи разруше-
разрушения вследствие распространения трещин с основными свойствами
материала, как макроскопическими, так и микроскопическими.
Возможно, что на данном этапе эта теория внесла больший вклад
в наше понимание того, какие свойства материала наиболее суще-
существенны, чем в количественные предсказания, которые можно
было бы использовать при конструировании или дли управления
прочностью. Ситуация здесь похожа на ту, которая имеется в от-
отношении «теоретической прочности» и фактической прочности
существующих материалов. Первая указывает на ожидаемый
выигрыш от устранения несовершенств в реальных кристаллах.
Как следствие такого указания возникло представление об этих
несовершенствах, они были идентифицированы и сами сделаны
объектами более глубоких исследований, как теоретических,
так и экспериментальных.
Хорошая теоретическая модель является абстракцией, как
скажем, окружность, ценная своей простотой и определенностью.
Она становится темой, на которую может быть написано много
вариаций. Уже имеется много вариаций простых моделей, описан-
описанных в этой главе. Так, в конце разд. XI были даны ссылки на рабо-
ту, где учитываются деформационное упрочнение, зависимость
от скорости деформирования и пространственные эффекты, связан-
связанные с пластической зоной. Представление о распространении тре-
трещины как о форме непрерывного деформирования до разрушения
в ее концевой области, находящейся между двумя упругими обла-
областями, которые выполняют роль упругих «захватов» испытатель-
испытательной машины, хорошо проявило себя в экспериментах, заплани-
запланированных с целью установления связи с теоретическими разра-
разработками [21]. Сходной точки зрения придерживаются Микин и
Петч [15]. Мы не можем ожидать слишком многого от использо-
использования такой связи, имея в виду главную цель — управлять раз-
разрушением от трещин на основе его понимания.
Представляется плодотворным полем деятельности дальнейшее
культивирование той общей идеи, как в теории Баренблатта, что
имеется некоторый локальный процесс разрушения в конце тре-
трещины, который по существу не зависит от деталей приложения
нагрузок, вызывающих рост трещины.
Уже предложена теория вязкоупругого поведения [24]. На
некоторые пробелы, которые должны быть устранены дальней-
дальнейшими исследованиями подобного рода моделей, указывают микро-
Гл. 1. Математическая теория равновесных трещин «.65
фотографии процесса распространения трещин в наполненных
эластомерах [20]. Имеются параллельные теоретические и экспе-
экспериментальные исследования по отдиру приклеенных полос. В ра-
работе [14] представлены оба эти аспекта для взаимодействия, осу-
осуществляемого чисто вязким клеем. Эта работа представляет
интерес в связи с трещинами. В этом случае микроскопический
процесс может снова оказаться по существу не зависящим от
подробностей приложения нагрузок.
Схематически мы можем рассматривать его как третий вид
процесса распространения трещины, относящийся к этой главе.
Вторым является разрушение, происходящее внутри пластической
области в пластичных металлах, первым — межслойный отрыв.
В любом из этих видов вопрос, с которым сталкивается мате-
математическая .теория, заключается в том, как представить большие
деформации и разрушение в малой концевой области трещины,
выступающей в качестве чужеродного- образования, перемещаю-
перемещающегося в окружении большого объема исходного материала.
Этот большой объем передаёт отрывающие силы и может рассма-
рассматриваться при помощи методов механики сплошного упруго-
пластически-вязкоупругого тела. Может ли переход от окружаю-
окружающего объема к движущемуся чужеродному образованию проис-
происходить скачком или важно его загладить?
Вопрос о форме и картине внутреннего деформирования этого
чужеродного образования является главным, как, например,
в упругопластической модели (разд. X и XI). Пока что целью
хорошей модели было описать поведение посредством понятий,
выражающих основные свойства материала. Но какие свойства?
Если мы возьмем обычные свойства в испытаниях на растяжение,
включая «предельную истинную деформацию» на шейке, то мы
столкнемся с тем затруднением, что разрушение при растяжении
начинается с образования и роста внутренней дискообразной
трещины, т. е. получается замкнутый круг! Представляется, что
выход из этого заключается в привлечении полей дислокаций и их
поведения в условиях, когда происходит распространение тре-
трещины. В этом случае возникают вопросы временной зависимости —
аспект, проиллюстрированный Тетельманом [22J в том, что ка-
касается пластической деформации в пластичных металлах, когда
трещина сначала распространяется, а потом останавливается.
XV ЗАКЛЮЧЕНИЕ
После рассмотрения основных граничных задач, используемых
в теоретических моделях, в настоящей главе излагается развитие
этих моделей начиная с впервые установленной Гриффитсом
5-0700
66 Д'ж. Гудьер
в 1920 г. связи между упругим континуумом и поверхностной
энергией твердого тела. Подобно большинству первооткрыва-
первооткрывательских работ, которые обретают долгую жизнь, работа Гриф-
фитса представляется теперь одновременно и несовершенной,
и успешной. Несовершенство это бросается в глаза его последо-
последователям своим явным недостатком логической согласованности
в представлении эффектов поверхностного натяжения при помощи
сингулярных решений линейной теории упругости. Успех, если
вспомнить еще, что Гриффите отказался от какого бы то ни было
намерения рассматривать пластическую деформацию, очевиден
из приговора, выносимого данными экспериментов.
В разд. VII приведено пять конкретных критических коммен-
комментариев. Ответ на них дается в теории Баренблатта, изложенной
в разд. VIII. Особенность устраняется при помощи сильно лока-
локализованного распределения сил сцепления вблизи концов трещины.
Постулируется, что это распределение приобретает определенную
предельную форму и протяженность, когда под действием любой
нагрузки трещина становится распространяющейся, причем воз-
возникает некоторый интеграл, который принимается за константу
материала,—«модуль сцепления». Как следствие этих постула-
постулатов работа, совершенная против сил сцепления в процессе рас-
распространения, оказывается пропорциональной площади нотвой
поверхности и может быть идентифицирована с энергией новой
поверхности. Таким образом, ответ по существу тот же самый,
что и в теории Гриффитса, и поэтому он обладает той же степенью
согласованности с экспериментальными результатами. Главное
преимущество теории Баренблатта заключается в явном введении
распределения сил сцепления и его использовании для устране-
устранения особенностей.
Постулат о реализации распределения напряжений без осо-
особенности был впервые выдвинут Христиановичем в 1955 г. в связи
с хрупким разрушением горных пород. Он принял постулат об
однородном распределении напряжений сцепления на соответст-
соответствующем участке. Тот же постулат независимо был принят Дагдей-
лом в 1960 г., чтобы описать пластическое течение в эксперимен-
экспериментально наблюдаемых узких зонах вблизи концов трещины. В разд. X
описано обобщение этой модели на случай распространения тре-
трещины с сопровождающей его диссипацией энергии в ходе пласти-
пластического деформирования. В упругопластической континуальной
модели эта диссипация на единицу площади новой поверхности
получается пропорциональной текущей длине трещины и поэтому
для достаточно длинных трещин играет преобладающую роль по
сравнению с поверхностной энергией.
Процесс распространения трещины с узкой пластической
зоной может рассматриваться как деформирование до разру-
разрушения пластического слоя между двумя упругими телами. Эта
Гл. 1. Математическая теория равновесных трещин 67
модель рассматривается в разд. XI; здесь указывается ее текущее
развитие в направлении учета деформационного упрочнения, влия-
влияния скорости деформации и пространственного характера дефор-
деформирования в области разрушения.
Разд. XII посвящен рассмотрению комбинации решений для
линейно упругого континуума со специальными -постулатами,
принимаемыми во всех предыдущих моделях. Показано, что эти
специальные постулаты были выдвинуты, чтобы обойти существен-
существенную нелинейность связи между силой и величиной раздвижения,,
определяющей формирование новой поверхности в концах тре-
трещины. Модель, которая непосредственно учитывает нелинейность
как часть граничного условия, задаваемого-на одной из половин
тела, разделяемого плоскостью трещины, описана в разд. XIII.
В этой модели процесс распространения трещины удается рас-
рассмотреть без дальнейших специальных постулатов как в отноше-
отношении начала, так и продолжения роста трещины. Виды нелинейных
соотношений, принимаемых при расчетах «теоретической прочно-
прочности», приводят к критериям распространения трещины, близким
к гриффитсовскому.
ПРИЛОЖЕНИЕ А. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ СОСТОЯНИЯ
ПЛОСКОЙ ДЕФОРМАЦИИ ДВУМЯ КОМПЛЕКСНЫМИ ПОТЕНЦИАЛАМИ
Метод такого представления основан на изображении произ-
произвольной точки х, у комплексным числом х + iy (?2 == — 1). Чтобы
не отклоняться от обычных обозначений, запишем
z = х + iy, (A.l>
несмотря на то что z используется также для обозначения коор-
координаты в направлении «толщины». Какой смысл вкладывается
в обозначение z в каждом конкретном случае, будет ясно из кон-
контекста.
Любое состояние плоской деформации или плоское напряжен-
напряженное состояние, возможное в линейной теории упругости (при
условии изотропии и однородности и при отсутствии объемных сил,
температурных напряжений и т. п.), может быть выражено через
две функции комплексного переменного z1):
<Pi(*), %(*)• (А.2)
Каждая из них представляет собой аналитическую 2) функцию
в области, занимаемой «материалом». Возможны функции с осо-
особенностями, но особые точки не принадлежат области, занятой
г) Обозначения Мусхелишвили [16].
2) См., например, Черчилл [2].
5*
Дж. Гудъер
«материалом». Их всегда исключают границами, длина которых
может быть сколь угодно малой.
Компоненты смещений и напряжений, отнесенные к прямо-
прямоугольным координатам х, у, находятся из формул
2G(u + iv) = хф1 (z) -zcp; (z) -% (z), '(A.3)
П^] , (А.4)
Oy - gx + 2tT^ =. 2 [iq>; (z) + ^; (z)]. (A.5)
Здесь
x = 3—4v для плоской деформации, (А. 6)
x = C — v)/(l + v) для плоского напряженного состояния.
(А.7)
Штрих обозначает производную по z, черта — комплексно сопря-
сопряженное число. Таким образом, z обозначает х — iy, a % (z) обозна-
обозначает tyx (z) с заменой везде i на —i. Так, если
г|I (z) = г|?и (ж, I/) + %2 (ж, г/)э (А.8)
ГДе "Фи» ^12 — действительные функции х, г/, то
%B) = %i (хл у)— гг|I2 (х, у). (А.9)
Чтобы вычислить ф' (z), мы сначала берем производную
У(*)<рB)
й затем записываем для полученного результата комплексно
сопряженную величину.
Чтобы решить поставленную краевую задачу (заданные силы
или смещения на некоторых заданных границах), нам нужно
найти соответствующие функции ср (z) и г|? (z). После этого u, v,
(ТХ1 0у, хху находятся как действительные функции от х и у из урав-
уравнений (А.З) — (А.5). Например, для эффекта от просверливания
круглого отверстия (плоская деформация), уже выраженного
в разд. III равенствами A3) и A8)—B0), соответствующие функ-
функции ф (z) и i|) (z) имеют вид
ф (z) = -\ аа {a/z), t|) (z) = - -i oa [(a/z)^ + (a/z)'3]. (A.10)
Аналогичные комплексные потенциалы для эллиптического отвер-
отверстия с выводом необходимых вытекающих из них формул приве-
приведены в приложении Б.
Гл. 1. Математическая теория равновесных трещин
69
ПРИЛОЖЕНИЕ Б. ЛИНЕЙНАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА О ПРОСТОМ
РАСТЯЖЕНИИ ТЕЛА С ЭЛЛИПТИЧЕСКИМ ОТВЕРСТИЕМ
В УСЛОВИЯХ ПЛОСКОЙ ДЕФОРМАЦИИ (РАЗД. VI)
Эффект от просверливания эллиптического отверстия можно
в удобной форме выразить при помощи двух «комплексных потен-
потенциалов». Для большей простоты удобно от z перейти к новой комп-
комплексной переменной ?, связанной с z уравнением
(Б.1)
Здесь R и т — действительные положительные постоянные,
т < 1. Принимая в качестве значения ? произвольное комплекс-
комплексное число, из уравнения (Б.1) находим соответствующее значение
z и, таким образом, точку в плоскости х, у. Значение ? можно
представить точкой на соответствующей плоскости (рис. Б.1),
причем вводя р и 6, как показано на рисунке, мы имеем
Затем из уравнения (Б.1) находим
—)cos6, y = R (p~— )sinO.
(Б.З)
При фиксированном р (окружность с центром в начале координат
и радиусом р; рис. Б.1) получаем отсюда в параметрическом виде
уравнения эллипса на плоскости z с центром в начале координат.
В частности, единичная окружность р = 1 переходит в эллипс
с полуосями а, Ь, выражаемыми формулами
а = R A + тI ъ = R A - т). (Б.4)
Любая окружность с р, большим единицы, переходит в эллипс
с полуосями
(f) (?) (Б.5)
При возрастании р этот эллипс безгранично увеличивается.
Область плоскости ? вне единичной окружности отображается на
Рис. Б.1. Конформное отображение, переводящее эллипсы в окружности.
70 Дж. Гудьер
область плоскости z вне эллипса с полуосями а, Ь. Внутренние
точки мы не рассматриваем.
Комплексные потенциалы, выражающие эффект от просверли-
просверливания в условиях плоской деформации эллиптического отверстия
с полуосями а и Ь, через переменную ? записываются так:
<p(?)=_l(rai, (Б.6)
(Б-7)
Они представляют собой функции комплексного переменного,
аналитические в плоскости ? вне единичной окружности. Подоб-
Подобным же образом аналитичны и их производные (по Q. Эти потен-
потенциалы являются также функциями от z, поскольку каждая точка ?
отображается в точку z, с перенесением того же самого значения
каждой из функций. Если мы хотим найти производную от <р (?)
по z, мы сначала пишем
<Pi (*) = Ф (?)>
выражая этим различие функциональных форм. Затем имеем
причем последний шаг сделан с использованием уравнения (Б.1).
Для получения ф^ (z) эта операция повторяется. Аналогично
находим % (z) и ty[ (z). С использованием частного вида потен-
потенциалов (Б.6) и (Б.7) получаются следующие результаты:
^«e5-^if фП*)=-^-^г, (Б.9)
1 Г mg2~1 ^(^"С2) Л
Подстановка этих выражений в формулы (А.З)—(А.5) дает для
смещений на границе эллиптического отверстия выражение
2G (и + iv) = — о A - 2v) х + i 2a A - v) (alb) у, (Б.11)
эквивалентное B6). Для напряжения на продолжении главной
оси (у — 0, х > а) находим
Здесь, поскольку 0=0, величина ^заменяется, согласно (Б.2),
величиной р. Имеем также
Это выражение действительно, так что хху = 0, как и должно
быть на оси симметрии.
Гл. 1. Математическая теория равновесных трещин 71
Чтобы из эллипса получить «трещину», мы переходим к пределу
при и1-»-1, что соответствует Ъ -> 0. Правая часть уравнения
(Б.13) при этом стремится к нулю и поэтому ау = ох вдоль оси х.
Из (Б.12) мы также находим, что вдоль оси х
Чтобы выразить эту величину через х, мы используем равенства
(Б.З) и (Б.4) при р > 1. Это дает
Когда создается «трещина»,гна простое растяжение напряжением о
накладываются напряжения, выражаемые равенством (Б.14).
Полное напряжение, таким образом, записывается в виде
Полагая
и рассматривая малые ?, уравнение (Б.15) можно разложить в ряд
по степеням ?1/2:
Следовательно, разложение для уравнения (Б.15) начинается так:
причем О (Е1/2) обозначает члены, содержащие |1/2 и более высо-
высокие степени. Тем самым выявляется характер особенности в конце
трещины.
ПРИЛОЖЕНИЕ В. ТЕОРЕМЫ ОБ ЭНЕРГИИ ПРИ ОБРАЗОВАНИИ
И РАСПРОСТРАНЕНИИ ТРЕЩИН И ДРУГИХ ВНУТРЕННИХ
СВОБОДНЫХ ГРАНИЦ В ЛИНЕЙНО УПРУГОМ ТЕЛЕ
Чтобы подойти к этим теоремам, рассмотрим произвольное
трехмерное тело. Пусть оно содержит произвольное число внут-
внутренних полостей или трещин со свободными поверхностями и на-
нагружено внешними силами. Будет достаточно рассмотреть такое
нагружение только на внешней поверхности тела В. Предпола-
Предполагается, что первоначально это тело находится в равновесии в со-
состоянии I (рис. В.1) под действием . поверхностных нагрузок Гь
имея энергию деформации U1 и поле смещений ut. Из закона сохра-
72
Дж. Гудьер
нения энергии в статической теории упругости мы имеем
в
(ВЛ)
Здесь TfUi — просто скалярное произведение векторов, представ-
представляемых компонентами Tt и щ. '
Пусть теперь в рассматриваемом деформированном теле {Тг
неизменны) образуется путем удаления материала новая свобод-
свободная поверхность, обозначенная на рис. В.1 через 6?1? G2 и являю-
являющаяся продолжением поверхности одной из полостей Н. Мы
намеренно избегаем любой детализации в отношении того, делается
ли это путем выброса материала, или его растворения, или выре-
вырезания, или в результате самопроизвольного распростране-
распространения трещины, или каким-либо другим способом. Состояние II
на рис. В.1 обозначает равновесное состояние q полем смещений
vt, принимаемое телом при той же температуре и тех же внешних
нагрузках Ть. Этого состояния можно было бы достигнуть путем
постепенного приложения к телу нагрузок Tt (см. рис. В.1).
Поэтому
i dS = 2U2.
(В.2)
Если новые поверхности G±, G2 создаются путем постепенного
снятия сил (напряжений), раньше действовавших на них, то не
возникает никакой кинетической энергии и равновесное состоя-
состояние II будет достигнуто простым путем. Если эти новые поверх-
поверхности-: образуются скачком, например путем выброса материала,
возникнут колебания и волны. Предполагается, что тогда равно-
равновесное состояние II будет достигнуто в результате их затухания,
причем генерируемое тепло должно отводитьсяv чтобы конечная
температура была той же самой, что и в состоянии I.
Рис. В.1. Распространение полости или трещины при удалении мате-
материала из областей Gt, G2.
Гл. 1. Математическая теория равновесных трещин 73
В любом случае полная работа, совершаемая силами Tt
при переходе от состояния I к состоянию II, производится на раз-
разности смещений vt — ut. Из уравнений (В.1) и (В.2) мы имеем
J Ti{vi — ui)dS = 2(U2 — Ui). (B.3)
Энергия деформации возрастает на величину \U2 — Uv
Остальная работа, а именно U2 — Ux, переходит во что-то еще,
возможно (но не обязательно) в поверхностную энергию новой
свободной поверхности. Уравнение (Б.З) выражает нашу первую
теорему:
Когда внутренняя свободная граница расширяется за счет уда-
удаления материала, результирующая работа, совершаемая не-
неизменными внешними граничными^ нагрузками, равна удвоенной
величине прироста энергии деформации (только оставшийся ма-
материал рассматривается как находящийся в конечном состоянии).
Далее мы. рассмотрим в состоянии I область De вне Н и Glr
G2. Материал внутри Gx и G2, конечно, воздействует с некоторыми
силами через границу раздела на эту внешнюю область. Эти
силы будем называть «удерживающими силами». Состояние II
может быть.достигнуто путем постепенного снятия удерживающих
сил. Возникающие при этом смещения — это те смещения, кото-
которые вызываются равными и противоположно направленными сила-
силами, приложенными к границам Gx, G2 в отсутствие других нагру-
нагрузок. Связанная с ними работа, будучи равной энергии деформа-
деформации, положительна. Следовательно, в процессе снятия работа,
совершенная над внешней областью снимаемыми силами, будет
той же самой, но с обратным знаком — она отрицательна. Система
производит работу независимо от конкретной дрироды удерживаю-
удерживающих сил.
Чтобы найти выражение для величины работы Wh, производи-
производимой над внешней областью удерживающими силами, можно начать
с простого утверждения о сохранении энергии для De в процессе-
снятия. Полагая
Ule = энергия деформации в De в состоянии I,
имеем
J Tt(Vi-ut)dS+Wh = Ut-Uu. (B.4)
в
Тогда, согласно (В.З),
^ = -«7,+ 2^-^-
Но Ux — Ule представляет собой энергию деформации в GL
и G2 в состоянии I. Обозначая последнюю через U1G, имеем
Wh = - (Ut - Щ + Ul0. - (В.5)
74 Дж. Гудъер
Так как величина Wh необходимо отрицательна, a U1G необходимо
положительна, то отсюда следует, что
¦ ut - их > и1в, (в.б)
и, следовательно, величина U2 — Ux положительна. Таким обра-
образом, наша вторая теорема гласит:
Происходит фактическое увеличение энергии деформации,
несмотря на утрату материала в G± и С?2.
Согласно уравнению (В.З), работа, производимая неизменными
внешними граничными нагрузками, положительна.
Когда Gx и G2 представляют распространения трещины, объем,
который они заключают, снижается до нуля и l) U1G = 0. Работа,
произведенная внешними нагрузками, и выигрыш в энергии
деформации U2 — U1 все еще остаются при этом положитель-
положительными. Уравнение (В.б) принимает вид
Wh = - (Vt - f/x). ' (В.7)
Отсюда вытекает наша третья теорема:
При распространении трещины (без потери материала) выде-
выделяется количество энергии, равное U2 — С/х, независимо от того,
чем именно создаются удерживающие силы.
В теории Гриффитса эти удерживающие силы неявно отожде-
отождествляются с силами, создаваемыми связями, которые разрываются
при формировании новой свободной поверхности, и работа,
затраченная на разрыв этих связей, —Wh, приравнивается энер-
энергии новой поверхности.
Начальной полости или отверстия Н может и не быть. Тогда
<?!, 6?2 представляет новую цолость, или трещину, появляющуюся
внутри тела. В разд. VI рассматривается возникновение нового
эллиптического отверстия, а соответствующая величина Wh под-
считывается непосредственно [уравнение C2)]. Полученный выше
результат (В.7) показывает, что в случае Б (разд. VI,Б) имеется
фактическое увеличение энергии деформации на величину
ло2а2 A — v2) Е~г, а результат (В.З) показывает, что вдвое боль-
большая положительная работа производится растягивающими нагруз-
нагрузками на удаленной границе тела.
х) Несмотря на особенности напряжений. В линейной теории эти осо-
особенности всегда имеют вид ?~1/2, как показано в приложении Б [выражение
(Б. 19)], и энергия деформации в малом объеме в конце трещины стремится
к нулю вместе с этим объемом.
Гл. 1. Математическая теория равновесных трещин 1Ъ
ПРИЛОЖЕНИЕ Г. ВЫВОД УРАВНЕНИЯ E3)
ИЗ УРАВНЕНИЯ E1) (РАЗД. VIII)
Здесь мы выведем уравнение E3) из уравнения E1) при помощи
разложения
I a j ?1/2 (I + s)-i / (g) dg = j ?- 1/2/ d) <?_ n/ @) ,1/2
0 0
которое сначала и рассмотрим. Тождество
(g + s)-1 s g-1 - зГ1 (I + s)-1 (Г.2)
подставляется в первый интеграл в (Г.1), что дает
а а
I = J I-Щ (I) dl-s^l-1/2 (I + ,)-* / (|) dg. (Г.З)
о о
Заменяя во втором интеграле этого равенства /(!) выражением
/@) + [/E)-/@)], находим
а
1= J l~1/2f (I) d|-s/ @) h-sl2, (Г.4)
0
где
a a
/i = j I/2 E + s) d|, h = j 6-1/2 (? + s) [/ (I) - / @)] dg. (Г.5)
0 0
Рассматривая /4 и /2 по отдельности, имеем
/4 = 2s-1/2 arc tg (a/sI/2, 0<arc tg (a/sI/2<jt/2.
Так как s/a < 1, можем написать
arc tg (a/5I/2 - л/2 - (s/aI/2 + О E/aK/2. (Г.6)
Таким образом,
. (Г.7)
Член, не зависящий от s, подобно второму в правой части этого
выражения, будет обозначаться через О A).
Исследуя /2 в (Г.5), можно записать при помощи теоремы
о среднем
/ (\) - / @) = If (eg), о < е < 1.
Вводя обозначение М для наибольшей абсолютной величины
f(l) в интервале 0 < ? < а, имеем ,
I / (I) - f @) |< \М
76 Дж. Гудьер
и, таким образом,
\h\<
j
о
Тогда, согласно уравнению (Г.6), имеем
] (Г.8)
При помощи этого и предыдущего результата для 11ч даваемого
формулой (Г.7), можем уравнение (Г.4) преобразовать к виду
(Г.9)
Это как раз и есть разложение (Г.1). Чтобы применить его к урав-
уравнению E1) разд. VIII, положим
/ (I) = То (I) Bа - gI/2 Bа + s± -Q-\ (Г.10)
Это, согласно тождеству (Г.1), приводит к равенству / интегралу,
входящему в формулу E1). В разложении (Г.9) первый член в
правой части еще содержит % из последнего сомножителя
в (Г.10). Этот сомножитель разлагается rio степеням sj Bа — ?).
Переходя после этого обратно от ? к t, согласно* уравнению E0),
получаем уравнение E3).
ПРИЛОЖЕНИЕ Д. ВЫВОД УРАВНЕНИЙ 66), F7)
ИЗ УРАВНЕНИЙ D6), D9) (РАЗД. VIII)
Интегральные представления D6) и D9) для и2 (х) и v3 (x) соот-
соответственно преобразуются в этом приложении в другие представ-
представления F6), F7), используемые при выводах* в разд. VIII и IX.
Рассмотрим сначала двойной интеграл в выражении D6):
a t
I, (x) = j t (t*-a?)-m dt j To (s) (t*-sYi/2 ds [(Д.1)
x 0
при 0^.х^а. Полагая
t
щ (t) = J T9](s) (*2-*2) ~1/2 ds, vi (t) = (t*-x*)i/2f (Д.2)
0
можно выполнять интегрирование по частям, что дает
a a
j
h (*) = j щ (t) dVi (t) = [Щ (t) Vi (t)]ax - J vi (t)[dUi (t). (Д.3)
Гл. 1. Математическая теория равновесных трещин 77
Последний интеграл обозначим через /2(#). Таким образом,
согласно уравнению (Д.2), имеем
X
а
л v A
Мы также положим, как в выражении F5),
52 = а — х
и будем считать sja малым. Величина /2 (х) имеет порядок s|/2.
Чтобы установить это, мы замечаем, что
t t
I л /9 С
Т (е\ (№ е2.\~г1* /In (тг10\ Т (i\ \ T' (c\ qt»P git» Iо /Л а7с»
0 \*v \' ~^ " / ^" \?v/^) ¦*¦ 0 Vv *~~ 10 \ / "¦¦^ Sin [S/Zj Q/Sf
о о
здесь последнее выражение получено интегрированием по частям.
Дифференцируя по t, имеем
d
dt
¦ 13 (t) = Г1 J sT'o (s) (fi-s*)-U2ds. (Д.5)
Очевидно, что эта производная ограничена при х ^ t ^ а, как
это и требуется в уравнении (Д.4). Обозначая через М верхнюю
границу абсолютного значения, из (Д.4) имеем
Однако, поскольку
(t2-x*)l<2 = (t + x)il2(t-xf2KBa)i/2At-x)l/\ (Д.6)
мы имеем далее
-x)i/2dt = ^-MBa)l/2sl/2. (Д.7)
Возвращаясь теперь к уравнению (Д.З) и учитывая (Д.2), находим
Но, согласно (Д.2),
Vi (а) == (а2-*2I72 = Ba-saI/2 4/2 = BаI/24/2 + О (,|/2).
78
Дж. Гудъер
Мы имеем поэтому
/,(*) = BаI'2 4'2 ] ВД\*-*)-i/2d, + 0 (,?*).
О
Интеграл здесь тот же самый, который появляется в определении
E4) для NQ. Таким образом, мы-можем теперь записать на основа-
основании уравнения D6)
,{s») = ±4(l-v*).
+ О (
что и представляет собой выражение F6) разд. VIII.
Чтобы получить выражение F7), нам нужно только заменить
То (s) величиной —g (s), приняв во внимание второй постулат
разд. VIII и использовав соображения, приводящие к выражению
F1).
ПРИЛОЖЕНИЕ Е. ВЫВОД УРАВНЕНИЯ G0) (РАЗД. IX)
В разд. IX выражение для определяемой уравнением F9)
скорости, с которой совершается работа, было выведено в форме
(82). Здесь это уравнение (82) преобразуется дальше, чтобы полу-
получить его вид G0), приведенный и использованный в разд. IX.
Рассмотрим двойной интеграл уравнения (82):
S2 d
Л= J («1 -T])-172^ j (Е-Т|Г1/2бт(Ё)Йб (E.I)
0 Ti
при 0 < s2 < ^ и положим Gm (d) = 0, как в разд. IX. Величина
/х представляет собой двойной интеграл, который должен быть
вычислен по области i?x + i?2, изображенной на рис. ЕЛ. Как
следует из записи уравнения (ЕЛ), первое интегрирование про-
проводится по горизонтальной полосе (заштрихованной на рисунке).
Изменив порядок [интегрирования, можно представить /2 как
Рис. Е.1. Область интегрирова-
интегрирования для двойного интеграла в
уравнении (Е.1).
Гл. 1. Математическая теория равновесных трещин 79
сумму вкладов от Rt и R2 в виде
[ J
0 О
d
J fe-Tl)-1/2(^T])-1
О
d S2
+ j G'm{l)dl j («i-T|)-1/2(g-.Ti)-1/adT|. (E.2).
0
s2 0
Однако мы имеем
0
применительно к области R\ и
[
О
применительно к R2. Поэтому уравнение (Е.2) можно записать
в сжатом виде:
/2= j ei,(E)in-[F1/44/') |i1/2-4/2n^.
О
Тройноц интеграл в (82) обозначим через /3. Подставим получен-
полученное выражение /2 и изменим порядок интегрирования:
d d
h=\Grn (I) dl J Gm (s2) In [(lm + 4/2) | li/2 - sl/2\-*] ds2. (E.3)
о о
Логарифм в уравнении (Е.З) представляет собой производную
по s2 от
Это выражение можно использовать для проведения в (Е.З) инте-
интегрирования по частям. Тогда с учетом равенства Gm (d) = 0 имеем
J ^ J Gm (s2) In [(li
о
80 Дж. Гудъер
С использованием этого уравнение (Е.З) принимает вид
d d
h = - 2 j G'm (g)Ji/a dl j G'm (s2) 4/2 Л« -
о о
d d
- J G'm{l)dl \ (si~l)G'm{s2) ln[a1/2 + 4/2)|li/2-4/2H^2. (E.4)
0 0
Последний двойной интеграл равен нулю. Мы можем записать его
в виде
d d
о о
Очевидно, он также может быть записан в виде
d d
5 5
5 5
о о
Однако, исследуя функцию / (s2, ^) как подинтегральное выраже-
выражение в (Е.4), имеем
/ (I, S2) = - / («2, -5).
Следовательно, L = — L и L = 0. Возвращаясь к уравнению
(Е.4), мы теперь имеем
d
/3=-2[JG^)^/2^]2. (E.5)
о
Поскольку Gm(d)=O, интегрирование по частям дает
d ' d
J G'm{l) ?*/»«= -4" 1 «тF)Г1/2«.
о о
С учетом этого уравнение (Е.5) принимает вид
Вспоминая, что /3 по определению представляет собой тройной
интеграл в (82), видим, что последнее выражение согласуется
с уравнением G0).
ОБОЗНАЧЕНИЯ
а — однородное растягивающее напряжение;
ays — предел текучести;
v — коэффициент Пуассона;
Гл. 1. Математическая теория равновесных трещин 81
Е — модуль Юнга;
G — модуль сдвига;
Gxi az/? °z — нормальные компоненты напряжений по осям
х, у, z;
%xyi %yzi xzx — компоненты касательного напряжения;
?х> 8у5 sz, | __ компоненты нормальной деформации и деформа-
4xy>4yz->4zx) ции сдвига;
аг, а0, тге — компоненты напряжения на некотором элементе
в полярных координатах г, 6;
и, v, w — компоненты смещения, отнесенные к осям х, у, z;
ur, Uq — компоненты смещения, отнесенные к полярным
координатам;
а, Ъ — полуоси эллипса;
у — поверхностная энергия (на единицу площади);
S — поверхностное натяжение (сила на единицу длины);
§ — координата, отсчитываемая от конца трещины
внутрь трещины;
s2 — координата, отсчитываемая от конца трещины
внутрь трещины;
sx — координата, отсчитываемая от конца трещины
внутрь материала;
s — длина пластической зоны (разд. X); переменная
интегрирования (разд. VIII); напряжение в
связи (пружине) (разд. XIII);
t — координата (разд. VIII); отношение напряжений
o/Oys (разд. X); растягивающая нагрузка на еди-
единицу площади (разд. XIII);
G (?) — распределение сил сцепления;
К — модуль сцепления (теория Баренблатта);
а — полудлина трещины (разд. I—IX);
I — полудлина трещины (разд. X—XI);
с — полудлина трещины (разд. XIII);
U — энергия деформации;
Wh — работа, производимая над внешней областью
«удерживающими силами» в процессе их снижения
до нуля;
dWp — пластическая работа, связанная с распростране-
распространением трещины на элемент dl (разд. X).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Баренблатт Г. И., Математическая теория равновесных трещин, обра-
образующихся при хрупком разрушении, ПМТФ A961), № 4.
2. Churchill R. V., Complex Variables and Applications, 2nd ed., McGraw-
Hill, New York, 1960.
6-0700
82 Дж. Гудьер
3. Cottrell A. H., Dislocations and Plastic Flow in Crystals, Oxford Univ.
Press, London, 1953. Русский перевод: Коттрел А. X., Дислокации
и пластическое течение в металлах, Металлургиздат, 1958.
4. Cottrell A. H., The Mechanical Properties of Matter, Wiley, New York,
1964.
5. Dixon J. R., Visser W., In «Proceedings of the Symposium on Photoelasti-
city» (Frocht M. M., ed.), p. 231, Pergamon, New York, 1963.
6. Dugdale D. S., /. Mech. Phys. Solids, 8 A960), 100—104.
7. England A. H., Green A. E., Proc. Cambridge Philos. Soc, 59 B) A963),
489—500.
8. Goodier J. N., Field F. A., In «Fracture of Solids» (Drucker D. C, Gil-
man J. J., eds.), pp. 103—118, Wiley, New York, 1963.
9. Goodier J. N., Kanninen M., Crack Propagation in a Continuum Model
with Nonlinear Atomic Separation Laws, Tech. Rep. No. 165, Div. Eng.
Mechanics, Stanford Univ., 1966.
10. Griffith A. A., Philos. Trans. Roy. Soc. London, Ser. A, 221 A920), 163—
198.
11. Griffith A. A., In «Proceedings of the 1st International Congress for Applied
Mechanics, Delft, 1924», pp. 55—63, J. Waltman, Jr., Delft, 1925.
12. Hult J. A., McClintock F. A., In «Proceedings of the 9th International Con-
Congress for Applied Mechanics, Brussels», vol. 8, pp. 51—58, 1957. Русский
перевод: Механика, № 6 E8) A959).
13. Keer L. M., /. Mech. Phys. Solids, 12 A964), 149—163.
14. McEwen A. D., Taylor G. I., /. Fluid Mech., 26 A966), 1-15.
15. Meakin J. D., Petch N. S., In «Fracture of Solids» (Drucker D. C, Gil-
man J. J., eds.), p. 393, Wiley, New York, 1963.
16. Мусхелишвили H. И., Некоторые основные задачи математической тео-
теории упругости, Изд-во АН СССР, М., 1949; изд. 5, «Наука», М., 1966.
17. Mylonas С, In «Proceedings of the 11th International Congress for Applied
Mechanics, Munich», pp. 652—660, 1964. Русский перевод: Механика,
№3 A09) A968).
18. Paris P. G., Sih G. C, In «Symposium on Fracture Toughness Testing and
Its Applications», STP 381, ASTM, Philadelphia, pp. 30—82, 1965. Рус-
Русский перевод: в сб. «Прикладные вопросы вязкости разрушения», «Мир»,
М., 1968.
19. Rice J. R., Intern. J. Fracture Mech., 2 A966), 426—446.
20. Ronay M., Non-Homogeneous Straining and Fracture Mechanism in a
Filled Elastomer, Tech. Rep. No 19, Dep. Civil Eng. and Eng. Mechanics,
Columbia Univ., New York, 1963.
21. Rosenfield A. R., Dai P. K., Hahn G. Т., In «Proceedings of the 1st Inter-
International Conference on Fracture, Sendai» (Yokobori Т., Kawasaki Т., Swed-
low J. L., eds.), pp. 223—258, 1965.
22. Tetelman A. S., In «Fracture of Solids» (Drucker D. C, Gilman J. J., eds.),
p. 461, Wiley, New York, 1963. Русский перевод: в сб. «Разрушение твер-
твердых тел», «Металлургия», М., 1967.
23. Timoshenko S., Goodier J. N., Theory of Elasticity, McGraw-Hill, New
York, 1951. Русский перевод: Тимошенко С. П., Гудьер Дж., Теория
упругости, «Наука», М., 1975.
24. Williams M. L., Intern. J. Fracture Mech., 1 A965), 292.
25. Желтов Ю. П., Христианович С. А., Изв. АН СССР, ОТН A955), № 5,
3-41.
ГЛАВА 2
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ
ХРУПКОГО РАЗРУШЕНИЯ
Г. Си, Г. Либовиц
I. ВВЕДЕНИЕ 84
II. ТЕОРИЯ ГРИФФИТСА 88
А. Энергия деформации тела с эллиптическим дефектом или тре-
трещиной 89
Б. Энергетический критерий 100
III. ТЕОРИЯ РАЗРУШЕНИЯ ИРВИНА , 104
А. Поля напряжений вокруг границы трещины и коэффициенты
интенсивности напряжений 106
Б. Скорости высвобождения энергии деформации 118
IV. ПРЯМОЛИНЕЙНО АНИЗОТРОПНЫЕ ТЕЛА С ТРЕЩИНАМИ * . . . 122
A. Основные уравнения теории упругости анизотропных тел и их
решения 123
Б. Задача Римана — Гильберта в теории функций комплексного
переменного 128
B. Критерий хрупкого разрушения 136
Г. Направление максимального напряжения 142
V. ТЕОРИЯ ТРЕЩИН В ТРЕХМЕРНЫХ ТЕЛАХ 144
A. Решение уравнений Навье при наличии поверхности разрыва 145
Б. Бесконечное тело с эллиптической поверхностью разрыва . . 149
B. Условия вблизи границы трещины 153
Г. Теория Гриффитса в трехмерном пространстве 163
VI. ЧАСТНЫЕ ЗАДАЧИ И НАПРАВЛЕНИЯ ДАЛЬНЕЙШИХ ИССЛЕДО-
ИССЛЕДОВАНИЙ 177
A. Изгиб пластин с трещиной 178
Б. Распространение трещин под действием температурных напря-
напряжений 182
B. Сингулярные задачи в трехмерной теории упругости .. ... 183
Г. Теория трещин с учетом моментных напряжений 186
Д. Динамические задачи теории трещин 192
VII. ЗАКЛЮЧЕНИЕ $ 196
ОБОЗНАЧЕНИЯ 197
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 201
Общая концепция Гриффитса о хрупком разрушении, предложенная
более четырех десятилетий назад, остается на сегодняшний день исходным
моментом почти для всех аналитических рассмотрений линейно упругой
6*
84 Г. Си, Г. Либовиц
теории распространения трещин. Однако в некоторых случаях его концепция
неверно истолковывается в том смысле, что критерий полного разрушения
зависит от приложенного напряжения, действующего параллельно линии
трещины. Это кажущееся недоразумение можно разрешить, зная правильный
метод вычисления изменения энергии деформации тела благодаря наличию
трещины. Поэтому уделено особое внимание вычислению энергии деформа-
деформации дву- и трехмерных тел с трещиной при различных условиях нагружения.
Подробно исследовано также влияние нагрузки и геометрии трещины на кри-
критерий разрушения.
Задача теории трещин в прямолинейно анизотропных телах сводится
к решению известной в теории функций комплексного переменного задачи Ри-
мана — Гильберта. Это значительно увеличивает число задач теории трещин
в анизотропной теории упругости, которые можно решить таким же способом,
как и в изотропном случае. Для анизотропной среды предлагается использо-
использовать понятия коэффициента интенсивности напряжений и скорости освобож-
освобождения энергии.
Анализ изгиба пластины с трещиной показал, что при малом изменении
отношения толщины пластины к длине трещины интенсивность локальных
напряжений заметно возрастает. Аналитически исследован критерий разру-
разрушения, основанный на линейной моментной теории упругости, в котором
принимается во внимание как энергия деформации, так и энергия враще-
вращения. Это вводит в теорию трещин дополнительный параметр длины, вероят-
вероятно, связанный с субструктурой материала. Кратко рассматриваются также
вопросы динамического распространения трещин и распространения трещин
под действием температурных напряжений.
I. ВВЕДЕНИЕ
Вообще говоря, разрушение тел начинается около некоторого
дефекта, или несовершенства, такого, как микротрещина, который
подобно надрезу вызывает значительное повышение напряжений
в этой области. При достаточно высоких локальных напряжениях
атомные связи в конце трещины могут разрушиться. Если это
произойдет, то дефект может вырасти до значительных размеров,
вызывая полное разрушение тела. Однако непосредственное ана-
аналитическое рассмотрение прочности атомных связей, вообще гово-
говоря, провести не удается, и поэтому здесь к проблеме распростра-
распространения J трещины будет применяться другой подход — подход
механики сплошной среды.
Значение большой и локализованной концентрации напряже-
напряжений вокруг острых надрезов впервые было подчеркнуто Инглисом
[16]. Он нашел, что напряжение около вершины дефекта, или
надреза, может быть во много раз больше, чем приложенное вдали
от дефекта напряжение. Рассматривая в качестве модели двумер-
двумерную схему пластинки с эллиптическим отверстием, к которой
приложено напряжение р (рис. 1), Инглис получил выражение
для максимального напряжения (ау)Макс в вершине большой оси
эллипса, где радиус кривизны р = Ь2/а наименьший. Это выра-
выражение записывается в виде
Ымакс = р И + Bо/ЬI, A.1)
Гл. 2. Математическая теория хрупкого разрушения
85
тмим
'макс
\\ i i I i i i \
Р
Рис. 1. Одноосное растяжение эллиптического отверстия.
где а и Ъ — большая и малая полуоси эллипса. Далее он показал,
что если дефект имеет форму узкого эллипса или трещины длиной
2а с радиусом р в вершине, то концентрация напряжений прибли-
приближенно выражается в следующем виде:
Юмакс = 2р(а/рI/2. A.2)
Так как р очень мало по сравнению с а, то в конце трещины фак-
фактическое напряжение (аймаке может быть достаточно большим для
того, чтобы вызвать разрушение.
Использовав первый закон термодинамики, Гриффите [13, 14]
подошел к проблеме разрушения с иной точки зрения. Он посту-
постулировал, что для распространения трещины под действием внеш-
внешних нагрузок необходимо, чтобы энергия Г, идущая на создание
новой поверхности разрушения, поступала за счет освобожденной
в упругом теле энергии деформации Wu причем и Г, и Wx зави-
зависят от размера трещины. Стационарное значение свободной энер-
энергии F = Т — Wx соответствует некоторой критической длине
трещины акр. В энергетическом подходе Гриффитса предпола-
предполагается, что развитие трещины происходит, когда полудлина тре-
трещины а превышает критическую величину акр (рис. 2). Далее,
если поверхностная энергия материала и размер трещины извест-
известны, то из критерия разрушения можно в принципе получить нера-
неравенство, определяющее наименьшую нагрузку, необходимую для
разрушения. Однако, когда направление роста трещины заранее
не очевидно, в энергетическом подходе возникают аналитические
трудности. Вследствие этого расчет критических напряжений
86
Г. Си, Г. Либовиц
Рис. 2. Зависимость свободной энергии от длины трещины.
По оси абсцисс — длина трещины, по оси ординат — свободная энергия.
проделан лишь для немногих задач о трещинах, обладающих
высокой степенью симметрии. Это ограничение можно несколько
ослабить, если обращать внимание на выделенную область систе-
системы, в которой критерий разрушения основывается на некоторой
предельной величине локального поля напряжений.
Вместо того чтобы рассматривать энергию всей системы в целом,
Ирвин [18, 19] предложил изучать поле напряжений в непосред-
непосредственной близости от конца трещины. Опираясь на известный
результат Снеддона [70] для распределения напряжений вблизи
дискообразной трещины, он указал на то, что напряжения у вер-
вершины трещины в условиях обобщенного плоского напряженного
состояния или плоской деформации могут быть выражены при
помощи двухпараметрической системы уравнений. Соответствую-
Соответствующие параметры, названные коэффициентами интенсивности на-
напряжений, являются функциями размеров трещины и приложен-
приложенной нагрузки. Критические величины коэффициентов интенсив-
интенсивности напряжений, которые могут быть определены эксперимен-
экспериментально для различных материалов, определяют условия неустой-
неустойчивого распространения трещины. Типичная кривая, изображаю-
изображающая связь между приложенным напряжением и длиной трещины
в момент начала быстрого распространения трещины, показана
на рис. 3.
Понятие коэффициента интенсивности напряжений можно
связать также с представлением о скорости высвобождения энергии
деформации или силе расширения трещины, которая представляет
собой уменьшение энергии деформации тела с трещиной при уве-
Гл. 2. Математическая теория хрупкого разрушения
87
Рис. 3. Кривая постоянного зна-
значения коэффициента интенсивно-
интенсивности напряжений.
По оси абсцисс — длина трещины, по
оси ординат — приложенное напряже-
личении трещины на небольшой отрезок. Хотя для определения
этой скорости высвобождения энергии требуется знать лишь поля
напряжений и перемещений в малой зоне вокруг конца трещины,
ее можно связать с фигурирующей в теории Гриффитса производ-
производной энергии деформации dWJda, вводимой при рассмотрении
системы в целом.
Пытаясь установить эквивалентность между энергетическим
и силовым критериями разрушения, Сандерс [49] переформули-
переформулировал двумерную теорию Гриффитса и получил эквивалентный
критерий, содержащий некоторый интеграл по любому контуру,
охватывающему конец трещины. Его результат состоит в том,
что энергетический критерий разрушения в принципе эквивален-
эквивалентен утверждению о существовании критического значения ко-
коэффициента интенсивности напряжений, по достижении которого
начинается рост трещины.
Необходимо отметить, что решение в рамках линейной теории
упругости для острой трещины приводит к бесконечному напря-
напряжению в вершине трещины, где радиус кривизны равен нулю.
В действительности, конечно, в вершине деформированной трещи-
трещины кривизна становится конечной и уровень напряжений всегда
ниже некоторого предельного напряжения. Поэтому вероятно,
что любое рассмотрение в рамках теории больших деформаций
дало бы конечные напряжения в вершине трещины х). Кроме того,
наличие местной пластической деформации также приводит к ослаб-
ослаблению вызываемой трещиной концентрации напряжений. Если
зона пластического течения мала по сравнению с длиной трещины,
то в целом поле напряжений не претерпевает серьезных изменений.
г) Предполагается, что радиус кривизны в конце трещины в не дефор-
деформированном состоянии мал, но отличен от нуля.
88 Г. Си, Г. Либовиц
Другими словами, сумма энергии, диссипированной в концевой
области трещины при нагружении, и энергии упругой деформа-
деформации в той же самой области после нагружения не будет существенно
отличаться от того, что предсказывается решением задачи теории
линейной упругости. Сингулярное решение должно давать некото-
некоторую меру локальной плотности энергии деформации, связанной с
разрушением.
Количественное развитие континуальной теории разрушения
в основном связано с размером и формой трещины и ее ориентацией
относительно приложенной нагрузки. Такая теория предполагает
существование трещин либо на поверхности, либо внутри тела
и не объясняет образования и зарождения новых трещин. Основ-
Основная задача математической теории разрушения заключается
в определении теоретической прочности тел с трещинами. Послед-
Последние достижения в применении специальных математических ме-
методов и теорий механики сплошной среды открыли путь более
общего применения современных концепций разрушения. Имеются
эффективные решения для трехмерных тел с трещинами в усло-
условиях произвольно распределенной нагрузки. Кроме того, в на-
настоящее время теория распространения трещин позволяет учи-
учитывать влияние анизотропии, неоднородности, влияния момент-
ных напряжений и т. д.
За последнее десятилетие опубликовано значительное число
статей, касающихся статики и динамики упругих тел с трещина-
трещинами. В этой главе делаются ссылки лишь на те статьи, которые
представляются наиболее важными, или на те, которые необхо-
необходимы для последовательности изложения.
II. ТЕОРИЯ ГРИФФИТСА
Классическое изложение проблемы разрушения на основе
энергетического подхода принадлежит Гриффитсу, который рас-
рассмотрел однородное растяжение бесконечной пластины с цен-
центральной эллиптической трещиной с полуосями
а = с ch go» Ъ = с sh \Q. B.1)
Межфокусное расстояние эллипса равно 2с, где с2 = а2 — Ъ2.
В пределе при |0 -> 0 эллипс вырождается в бесконечно тонкую
трещину длиной 2а. В эллиптических координатах ¦?, г) реше-
решение этой задачи было получено Инглисом [16]. Однако для дву-
двумерной задачи более целесообразно использовать метод комплекс-
комплексного переменного Мусхелишвили [36]. В этом методе комплексная
переменная z — х -\- iy связана с | и г) соотношением
z = с ch (g + и)), B.2)
так что
х = с ch ? cos rj, у = с sh g sin tj.
Гл. 2. Математическая теория хрупкого разрушения 89
А. Энергия деформации тела с эллиптическим дефектом
или трещиной
Знание величины упругой энергии, запасенной в теле с тре-
трещиной, является основой для определения условия неустойчивого
распространения трещины. Первоначальные вычисления Гриф-
фитса [13] изменения энергии деформации Wu обусловленного
существованием в упругом теле трещины в условиях плоской
деформации или обобщенного плоского напряженного состояния,
основывались на решении задачи о прямолинейной трещине,
расположенной на оси жотж = — a ro x = а при следующих гра-
граничных условиях:
оу = оху = О при у = О, | х | <С а,
ах = а у = р, аху = 0 при {х2 + г/2I/2 -> ос, B.3)
где р — постоянная. Компоненты напряжений ох, оу, оху отнесе-
отнесены к прямоугольным декартовым координатам х, у. Определив
работу, совершаемую напряжениями на достаточно большом
эллипсе, софокусном с трещиной, Гриффите нашел, что
{V A + v) — плоская деформация;
v—плоское напряженное B.4)
состояние (обобщенное).
Здесь Е — модуль Юнга и v — коэффициент Пуассона. В своей
следующей работе Гриффите [14] отметил, что выражение B.4)
является ошибочным, так как, согласно Гриффитсу,
«...выражения, использованные для вычисления напряже-
напряжений, дают на бесконечности поле, отличающееся на некото-
некоторую величину от предположенного однородного поля на-
напряжений, которая, хотя и бесконечно мала, все же дает
конечный вклад в энергию при интегрировании по беско-
бесконечной границе. Эта трудность преодолевается путем незна-
незначительного изменения выражений для напряжений так,
чтобы сделать этот вклад стремящимся к нулю».
Видоизмененный результат Гриффитса имеет вид
{1 — v2 — плоская деформация,
1 — плоское напряженное B.5)
состояние (обобщенное).
Так как Гриффите [14] не указал, каким образом изменяются
напряжения, то многими авторами оспаривалась правильность
исправленного выражения для W1# Подробное объяснение кажу-
кажущегося расхождения между выражениями B.4) и B.5) можно
90 Г. Си, Г. Либовиц
найти в работе Си и Либовица [64], а также в списке литературы
к этой работе.
В дальнейшем эта основная концепция Си и Либовица вместе
с функциями Гурса будет использоваться при определении энер-
энергии деформации системы, нагруженной на бесконечности. Задачи
об эллиптических дефектах или трещинах в условиях продоль-
продольного сдвига, двухосного растяжения, поперечного сдвига будут
рассмотрены отдельно.
1. Продольный сдвиг
Представляет интерес разрушение в условиях продольного
сдвига, так как математическое описание развития трещин в этих
условиях значительно проще, чем в плоской теории упругости.
Предположим, что упругие смещения в теле с трещиной опи-
описываются следующим образом:
их = иу = 0, uz = uz (x, г/), B.6)
где их, иу, uz — компоненты вектора смещения и вдоль осей я, г/, z.
Поле смещений, описываемое уравнениями B.6), соответствует
напряженному состоянию, возникающему в^бесконечном цилиндри-
цилиндрическом теле под действием нагрузки, приложенной вдоль обра-
образующей цилиндра. На основании закона Гука [30] компоненты
тензора напряжений а в рассматриваемом случае равны
ох = о у = az= аху= 0, Gxz=ii dujdx, ayz = \i dujdy, B.7)
где через \х = E/2 A + v) обозначен модуль сдвига.
Пусть D — область, представляющая собой поперечное сече-
сечение цилиндра. Тогда полная энергия деформации, запасенная
в цилиндре, равна
где dS = dx dy. При помощи теоремы Грина [3] выражение B.8)
можно проинтегрировать по частям. Согласно этой теореме, для
любых двух функций М {х, у) я N (х, у), если эти функции и их
первые производные непрерывны в области D, имеет место тожде-
тождество
]\(^^)^ B.9)
D
Контурный интеграл, стоящий в правой части равенства B.9),
берется по замкнутому контуру С, ограничивающему область D,
в положительном направлении, так что область D остается слева.
Предположим вначале, что N (#, у) = f (х, у) -g (х, у) ж М (х, у) =
Гл. 2. Математическая теория хрупкого разрушения
91
Рис. 4. Единичный вектор нормали на кон-
контуре С.
= 0, а затем, что N (х, у) = О и М (х, у) = f (x, у) -g (x, у). Таким
путем из уравнения B.9) можно получить две формулы для пре-
преобразования поверхностного интеграла в B.8)!
¦flLdxdy=_\\glLdxdyAfgdx BЛ0)
D D С
С учетом этих соображений уравнение B.8) можно записать в виде
= T И ( -Т-
Так как, согласно условию равновесия,
я<, дп.„
¦ = о,
B.11)
дх ' ду
то двойной интеграл обращается в нуль. Введем единичный вектор
внешней нормали п с компонентами пх, пу. Из рис. 4 очевидно, что
пх = cos 0 = dy/ds, ny = sin 0 = —dx/ds. B.12)
Отсюда W выражается через криволинейный интеграл
W = -j- Л (axz cos 0 + (TyZ sin 0) uz Й5. B.13)
с
Применяя цилиндрические координаты г, 0, z и учитывая фор-
формулу orz—ioQz = eiQ(oXz — iOyz), где arz, aez—компоненты напряже-
напряжения в цилиндрических координатах, соотношение B.13) можно
преобразовать к виду
w=4r
92 Г. Си, Г. Либовиц
Си [57, 58] показал, что задачу о продольном сдвиге можно
сформулировать при помощи единственной функции ф (z) комп-
комплексного переменного *) z = х + iy, т. е.
Oxz — toyz = Цф' (з), uz = Re [ф (z)]. B.14)
Символ Re означает действительную часть некоторой комплексной
функции или выражения. Преобразовывая выражение B.13),
получаем
W = ~y Re & (oxz — ioyz) (cos Э + i sin Э) uz ds.
с
Для удобства будем интегрировать по окружности радиуса Rr
с центром в начале координат. При помощи соотношений
zz = i?2, (cos 0 + i sin 0) ds = —i efe, B.15)
(cos 0 — i sin 0) ds = —i (R/zJ dz
и B.14) выражение для энергии деформации приводится к виду
W = "8Г § № W + Ф^)] [Ф' W + (Д/«J <№)] Л- B.16)
с
Из B.16) следует, что если известна функция ср (z), то, интегрируя
по замкнутому контуру С, можно вычислить значение W. Если
усилия заданы на бесконечно удаленной границе цилиндра, то
вычислению ф (z) необходимо уделить особое внимание.
Рассмотрим задачу о бесконечном цилиндре, содержащем де-
дефект или полость произвольной формы. Напряженное состояние
цилиндра на бесконечности таково, что
Oxz = es, ovz = s при (а?» + г/2I^ -> оо. B.17)
Постоянная s обозначает величину касательного напряжения, на-
направленного параллельно плоскости xz. Для достаточно больших
значений радиуса R интеграл в выражении B.16) можно вычислить,
разлагая ф' (z) в ряд по положительным и отрицательным степе-
степеням z, т. е. полагая
ф' B) = ф; (z) + Ф; (z), B.18)
где
Ф;(я) = а0 + ^.+ -й+...,
Исключая возможность многозначности смещений (дислокаций),
можно коэффициент ах положить равным нулю. Остальные коэф-
г) Не следует смешивать комплексную переменную z = х + iy с прямо-
прямоугольной координатой z.
Гл. 2. Математическая теория хрупкого разрушения 93
фициенты а0, а2, а3, . . . в ср^ (z) определяются в соответствии
с решением рассматриваемой краевой задачи. Комплексная функ-
функция ф2 (z) должна быть выбрана таким образом, чтобы усилия на
удаленном контуре С уравновешивались приложенными на беско-
бесконечности напряжениями. Для z = ReiQ условие
orz = ц Re [ei(y (z)] = s (sin 9 + 8 cos 6), | z | > a, B.19)
выполняется, если
Ao = -4AR2, Аг = A2 = . . . = 0.
При R -> oo членами в cp| (z) порядка выше, чем z, можно пре-
пренебречь, полагая
а3 = а4 = . . . = 0,
так как они не дают вклада при вычислении энергии. Подставляя
B.18) в B.16) и применяя теорему о вычетах [7] теории функций
комплексного переменного, получаем для энергии деформации,
запасенной в цилиндре, выражение
Первый член
B.20)
представляет собой энергию, которая была бы запасена в цилиндре,
если бы в нем отсутствовала полость, а второй член
Ш± = ^-(а0А + а0А) B.21)
— главную часть W, обусловленную наличием полости.
Для примера рассмотрим случай, когда в бесконечном цилинд-
цилиндре имеется эллиптический дефект, как показано на рис. 5. Отобра-
Отобразим конформно область в комплексной плоскости z, расположен-
расположенную вне эллиптической трещины, на внешность единичного круга
в комплексной плоскости ? при помощи функции
z = со (?) = п [? + {mil)] для п > 0, 0 < т < 1. B.22)
Можно проверить, что граница единичного круга соответствует
эллипсу в плоскости z с центром в начале координат и полуосями
а = п A + и&)» Ъ = п A — т).
Решая эти уравнения относительно тип, получаем
*-Sr. п^' B'23)
94
Г. Си, Г. Либовиц
Рис. 5. Эллиптическая полость в условиях продольного сдвига.
При помощи отображающей функции z = со (?) выражения B.14)
можно записать через переменную ? следующим образом:
, и» = Re №
|J . B-24)
Так как перемещение гг2 эквивалентно потенциалу скоростей внеш-
внешнего обтекания эллиптического цилиндра [26] бесконечным пото-
потоком, то вид функции ф2 (?) известен:
4±] B-25)
Подставив выражение B.25) в B.24), можно убедиться, что гранич-
граничные условия B.17) действительно удовлетворяются.
Подставляя в B.25) обратное преобразование
I = (z/2n) + [{zl2nf - т]1/2, B.26)
можно показать, что ср^ (z) принимает вид
из которого получаем выражения для коэффициентов
flo = y (е —0» а2= — -—[8A— m)+i(l + m)]n2.
Принимая во внимание B.19), находим старший коэффициент Ао
в cp;(z):
Гл. 2. Математическая теория хрупкого разрушения 95
Из этого следует, что выражения B.20) и B.21) принимают соот-
соответственно вид
Wi = -у- [A -е2) т -Ь A + е2)] п\
Исключая тип при помощи B.23), получаем выражение для
избытка энергии, обусловленного эллиптическим вырезом, в виде
^1 = |^[A+82)(а + &J + A_82)(а2-&2)]. B.27)
В частном случае при 6 = 0 B.27) приводится к выражению для
энергии при наличии трещины длиной 2а, т. е.
Отметим, что для трещины энергия Wt не зависит от касательного
напряжения, приложенного в плоскости, перпендикулярной
к краю трещины, так как параметр е не входит в приведенное
выражение.
2. Двухосное растяжение и поперечный сдвиг
Говорят, что тело находится в условиях обобщенного плоского
напряженного состояния х) параллельно плоскости ху, если
Gxz — Gyz — $z = 0, /2 2g\
Ox = ox (я, г/), oy = oy (x, г/), Gxy = axy (x, у). к ' }
Напряженное состояние, определяемое соотношениями B.28), мож-
можно реализовать без существенной ошибки в тонкой плоской пла-
пластинке, поверхности которой, скажем при z = ± fe/2, свободны
от усилий. Необходимо помнить, что по своей природе решения
для обобщенного плоского напряженного состояния всегда являют-
являются приближенными. Это объясняется тем, что они не удовлетворя-
удовлетворяют всем трехмерным уравнениям теории упругости.
Когда компонента z смещения иг всюду равна нулю, а смеще-
смещения их, иу являются только функциями х ж у, т. е.
их = их (я, у), иу = иу (х, г/), uz = 0, B.29)
то говорят, что тело находится в условиях плоской деформации,
параллельной плоскости ху. Условия плоской деформации, полу-
полученные из B.29), соответствуют тому, что к длинному цилиндри-
цилиндрическому телу приложены равномерно распределенные нагрузки,
нормальные к оси цилиндра, параллельной оси z.
г) Обобщенное плоское напряженное состояние необходимо отличать
от плоского напряженного состояния, определенного в [69].
96 Г. Си, Г. Либовиц
Хорошо известно, что любую задачу плоской деформации мож-
можно решить как задачу обобщенного плоского напряженного со-
состояния при помощи простой замены истинного коэффициента
Пуассона v величиной v/(l + v). (В обратном случае v заменяется
на v/(l — v).)
Очевидно, что при использовании приближений B.28) или B.29)
к функции плотности энергии деформации [30] для трехмерного
тела выражения
диУ , дит \ дит
dz
равны нулю. Таким образом, общую энергию деформации, запа-
запасенную в упругом теле в условиях обобщенного плоского напря-
напряженного состояния или плоской деформации, можно представить
единым выражением:
D
В отсутствие массовых сил уравнения равновесия для двумерной
системы напряжений имеют вид
_™^н—5^ = 0, —^ + —^- = 0. B.31)
дх ду ' дх ' ду v y
Принимая во внимание B.10), B.12) и B.31), выражение B.30)
приводим к криволинейному интегралу
W = -к- ф [(СГ^х + <*хуиу) cos 9 + (Gyxux + °уиу) sin 6] ds7
с
комплексное представление которого имеет вид
1 п
W = -у Re ф [(ах — iaxy) cos 9 + (аух — ioy) sin 9] (их + iuy) ds. B.32)
с
Если подставить в формулу B.32) формулы преобразования сме-
смещений
их + Щ = eiQ (ur + ш0)
и напряжений
Xy = e-2iQ (gq — or + 2iar0),
то получим
Гл. 2. Математическая теория хрупкого разрушения 97
Согласно Мусхелишвили [36], напряженно-деформированное
состояние в плоских задачах изотропной теории упругости опре-
определяется двумя комплексными функциями qp (z) и я|) (z) и их про-
производными, с которыми компоненты напряжений и смещений
связаны соотношениями
z)], B.33)
iuy) = кф (z) — 2ф' (z) —1|) (z).
Значения упругой постоянной к для плоской деформации и обоб-
обобщенного плоского напряженного состояния равны соответственно
C _ 4v) и C — v)/(l + v). Подставляй B.33) в B.32) и используя
соотношения B.15), приходим к следующему результату:
idz. B.34)
Интегрирование ведется по окружности большого радиуса R.
Аналогично задаче продольного сдвига функции Гурса ф' (z)
и г|/ (z) можно разложить в ряды Лорана [7]:
и г))^ (г) — члены с положительными степенями z:
Функции ф^ (^) и ^[ (z) содержат члены с отрицательными степе-
степенями z:
B-35)
B.ОО)
... .
Для определенности найдем значения коэффициентов в выраже-
выражениях B.35) и B.36) для плоской задачи о бесконечной области,
содержащей отверстие какого-либо вида, если напряжения, задан-
заданные на бесконечности, имеют вид
ох = гр, оу = р, axy = q при («а+УаI/2-^ оо. B.37)
Условие статического равновесия требует, чтобы напряжения сгг,
агв, действующие на окружности большого радиуса R, охваты-
охватывающей отверстие, в точности соответствовали тем напряжениям,
7-0700
Г. Си, Г. Либовиц
которые фигурируют в B.37), т. е.
от - tore = ф' (*) + Ф' (z) - *2ie [zq>* (z) + у' (z)] =
(Родственный, но несколько отличающийся подход, использующий
условия, наложенные на смещения на большой окружности, охва-
охватывающей трещину, применялся Моссаковским и Рыбкой [34].)
Сохраняя члены до порядка z~2 включительно в выражении
для напряжений и до z — для смещений, получаем из условия
равновесия
4= Л1 = о 4=" 4 = 4==0
Члены высшего порядка по сравнению с 1/z при стремлении R к
бесконечности обращаются в нуль. Для этой задачи допустимо
положить *
«1 = 0, . а3 = л4- = . . . = 0,
Ъг = 0, Ь3 = &4 = • • • = 0.
Простое вычисление приводит к выражению
^ + a2bo]}. B.38)
Как следует отсюда, энергия
B.39)
равномерно нагруженного бесконечного тела неограниченно воз-
возрастает при R ->• оо. Энергия, обусловленная наличием отверстия,
остается конечной и выражается в виде
H7=^(* + l)Re[ao&2 + a2&o]. B.40)
На рис. 6 приведена задача об эллиптической полости, подвер-
подвергающейся двухосному растяжению на бесконечности. При q=0
функции Гурса имеют вид [36]
- [A - 8) + A + е) го] A+m2) -pzn
Гл. 2. Математическая теория хрупкого разрушения
99
Рис. 6. Двухосное растяжение эллиптической полости.
.Подстановка функций q>i(?), %(?) и B.26) в соотношения
и последующее разложение в ряд по степеням l/z дает
Приравнивая соответствующие коэффициенты выражений B.35)
и B.41), получаем
Подставляя эти выражения для постоянных в B.39) и B.40),
получаем
W
7*
100 Г. Си, Г. Либовиц
Выражение для Wx через длины полуосей а и Ъ эллиптического
отверстия принимает вид положительно определенной формы
W =
B.42)
При Ь ->• 0, когда эллипс становится все более и более узким,
получаем выражение для энергии трещины
B-43)
Этот результат показывает, что напряжения гр, приложенные
в плоскости трещины, не влияют на энергию трещины Wx.
Если р = 0, то тело с эллиптическим отверстием находится
на бесконечности в состоянии чистого сдвига (рис. 6). Решение
этой задачи дано Мусхелишвили [36]:
Как и ранее, функции Гурса в плоскости z можно выразить сте-
степенными рядами
ф; (Z) = — iq (n2/z*) + О (л*/*4), ф; (z) = iq + б (wVz4).
Далее, ненулевые коэффициенты равны
а2 = —iqn2, b0 = iq.
Из B.29) следует, что если бы в теле не было отверстия, то энергия,
запасенная в нем, выражалась бы в виде
w
Поэтому введение эллиптической полости увеличивает свободную
энергию системы на величину
^ B.44)
Б. Энергетический критерий
Идея энергетического критерия Гриффитса [13, 14] по суще-
существу заключается в следующем. Допустим, что Wx представляет
собой избыток энергии деформации тела вследствие существования
в нем дефекта, а Т —поверхностная энергия тела, обусловленная
увеличением размера дефекта на бесконечно малую величину. Тогда
параметры критического равновесного состояния получаются из
условия
dF/da = 0, B.45)
Гл. 2. Математическая теория хрупкого разрушения 101
где
F = Т — Wx
— изменение свободной энергии еистемы. (Согласно терминоло-
терминологии Гриффитса, F — общая потенциальная энергия системы.)
Если известны свойства материала, то величины Wt и Т будут
зависеть только от размера дефекта. В случае хрупкого разрушения
поверхностная энергия отождествляется с поверхностным натя-
натяжением у материала, аналогичным поверхностному натяжению
жидкости.
Поучительно применить представления Гриффитса к двумер-
двумерным дефектам эллиптической формы и определить при помощи
энергетического критерия B.45) критические напряжения для
различных видов нагружения. Рассмотрим на плоскости ху эллип-
эллиптический дефект с центром в начале координат, описываемый
уравнением
Принимая размер в направлении z за единицу, получаем увеличе-
увеличение поверхностной энергии дефекта
я/2
Т = 4уа j A — fc2 sin2 рI/2 dp = 47«^ (А:); . B.46)
о
Е (к) — полный эллиптический интеграл второго рода с модулем
ак = (а2 - Ь2I/2 или к = A - /с/2I/2.
Предположим, что радиус кривизны дефекта р = Ь2/а в вершинах
главной оси эллипса остается постоянным при изменении длины
этой оси, т. е. х
Отсюда производная Т по длине а становится равной
Здесь К(к) — полный эллиптический интеграл первого рода:
я/2
К(к) =
Производные энергии деформации dWJda для случая продольного
сдвига, двухосного растяжения и чистого сдвига в плоскости с эл-
эллиптическим отверстием можно легко определить из уравнений
B.27), B.42) и B.44) соответственно. Применение критерия неустой-
неустойчивости B.45) приводит к следующим результатам..
102
Г. Си, Г. Либовиц
О 0,125 0,250 Q375 0,500 0,625 0,750 0,875 1,000
Ъ/а
Рис. 7. Критическое напряжение продольного сдвига.
Случай (i): продольный сдвиг
2 ±
ш_ 2 _ 2 г »
4^7 кр ft8 L(l+82) A + А:'
Случай (ii): двухосное растяжение
— в2
в2)
B.48)
= —Г
ту]- B.49)
Случай (Ш): чистый сдвиг
* яа(к + 1) 2 _ A + ЛсД) ^ (Ас) — fe^ig (Л;)
B.50)
Когда fc-> 1 и &' -> 0, правые части уравнений B.48) — B.50)
стремятся к 1 и вновь получается критерий разрушения для беско-
бесконечно тонкой трещины. Зависимости квадрата критических напря-
напряжений от отношения Ыа для трех вышеупомянутых случаев при-
приведены на рис. 7—9 включительно. Интересно отметить (кривые
на рис. 7), что при продольном сдвиге критическое напряжение
постепенно уменьшается по мере того,, как* отношение Ыа изме-
изменяется от нуля до некоторой небольшой величины. Этот эффект
становится все более заметным, когда составляющая напряжения
сдвига, направленная параллельно продольной оси эллиптическо-
Гл. 2. Математическая теория хрупкого разрушения
103
го отверстия (рис. 5), возрастает благодаря изменению параметра 8.
С другой стороны, если внешняя нагрузка приложена равномерно
во всех направлениях и расположена в плоскости эллиптического
0,125 0,250 0,375 0,500 0t625 0,750 0,875 1,000
Ъ/а.
Рис. 8. Критическое растягивающее напряжение
1,00
0,80
0,60
0,40
Q20
Ч
. \
Г "
I
L .
I
Jb
^—ч
i
^——
i i i i
0,125 0,250 0,375 0,500 аб25 0,750 0,875 1,000
Ъ/а
Рис. 9. Критическое напряжение поперечного сдвига,
отверстия, то незначительное отклонение от предельного случай
абсолютно острой трещины, по-видимому, практически не оказы-
оказывает влияния на результаты, полученные на основании теории
104
Г, Си, Г. Либовиц
разрушения. Это видно из кривой, соответствующей е = 1 (рис. 8).
При 8 = 2 критическое растягивающее напряжение ркр стремится
несколько уменьшиться с возрастанием величины Ыа. Из рис. 9
видно, что характер изменения критического напряжения в слу-
случае поперечного сдвига дкр в зависимости от геометрии эллипса
аналогичен характеру изменения критического напряжения в зада-
задаче продольного сдвига.
Из-за характера сделанного в B.47) приближения необходимо
помнить, что результаты, представленные кривыми на рис. 7—9,
справедливы только в том приближенном смысле, в котором для
соответствующих значений Ыа можно пренебречь величиной
dpi да. Тем не менее они демонстрируют влияние приложенной
нагрузки на величину критического напряжения в процессе раз-
разрушения.
III. ТЕОРИЯ РАЗРУШЕНИЯ ИРВИНА
Трещины хрупкого разрушения в твердых телах можно рас-
рассматривать как поверхности разрыва вектора смещений и. Вообще
говоря, на такой поверхности все три компоненты их, щ и иг
этого вектора могут претерпевать разрыв. Исходя из этого, Ирвин
[18] отметил, что имеется три вида независимых кинематических
движений верхней и нижней поверхностей трещины по отношению
друг к другу. Эти три основных типа деформации приведены на
рис. 10, на котором изображены локальные смещения элемента,
содержащего фронт трещины. Указанные три типа деформаций
являются необходимыми и достаточными для описания всех воз-
возможных видов поведения трещины в наиболее общем случае рас-
распределения упругих напряжений. Типы движений для трещины,
лежащей в плоскости xz, можно описать следующим образом.
Случай (i): нормальный отрыв. Нормальный отрыв (рис. 10, а)
характеризуется такими перемещениями поверхностей трещины,
iH
а б в
Рис. 10. Основные типы перемещений поверхностей трещины.
а — нормальный отрыв; б—поперечный сдвиг; в — продольный сдвиг.
Гл. 2, Математическая теория хрупкого разрушения
105
при которых последние стремятся разойтись симметрично отно-
относительно плоскости, в которой была расположена трещина до
деформации.
Случай (ii): поперечный сдвиг (иди просто сдвиг). Поперечный
сдвиг (рис. 10, б) представляет собой локальную деформацию, при
которой поверхности трещины скользят одна по другой в одной
плоскости, но в противоположных направлениях.
Случай (ш): продольный сдвиг. Движение поверхностей тре-
трещины, связанное с разрушением при продольном сдвиге (рис. 10, в),
можно связать с деформацией некруговых цилиндров при круче-
кручении, при которой точки материала, расположенные вначале в одной
плоскости, после деформации попадают в различные плоскости.
Естественно, что каждое из трех движений поверхностей тре-
трещины, изображенных на рис. 10, связано с полем напряжений
в окрестности конца трещины. Рассмотрим произвольную точку О
на границе трещины некоторой общей формы, как показано на
рис. 11. Введем естественную систему координат с началом в точ-
точке О так, чтобы ось х была перпендикулярна контуру трещины,
ось у перпендикулярна плоскости трещины, а ось z направлена
вдоль касательной к краю трещины. Три компоненты напряжений
ау, оху и Gyz в точках, расположенных на оси х вблизи начала
координат, выражаются простыми формулами:
&3
'{2x)W
+ 0A), C.1)
где пренебрегают членами более высокого порядка относительна
переменной х. Три параметра къ к2 и к3 называются коэффициен-
коэффициентами интенсивности нормальных напряжений и напряжений попе-
поперечного и продольного сдвига соответственно. Как видно из выра-
выражений C.1), коэффициенты к определяют интенсивность или вели-
Рис. 11. Локальная система координат для определения компонент напря-
напряжений на границе трещины.
106 Г. Си, Г. Либовиц
чину локальных напряжений и играют существенную роль
в определении прочности при хрупком разрушении твердых тел
с трещинами. Аналитическое определение этих коэффициентов к
и полей напряжений в конце трещинц по существу является
задачей математической теории упругости.
А. Поля напряжений вокруг границы трещины
и коэффициенты интенсивности напряжений
Исследованием деталей структуры распределения напряжений
вблизи переднего края поверхности разрыва или трещины зани-
занимался ряд авторов. Используя цилиндрические координаты и тео-
теорию преобразований Ханкеля, Снеддон [70, 71] получил выраже-
выражения для смещений и напряжений вокруг круговой или дискооб-
дискообразной трещины типа, который ввел Зак [48]. Впоследствии Ир-
Ирвин [18] применил полуобратный метод Вестергарда1) [77]
и показал, что для любой малой области вокруг внешней границы
круговой трещины Снеддона напряжения, деформации и смещения
соответствуют состоянию, которое локально является состоянием
плоской деформации. Возможно, одним из наиболее непосредствен-
непосредственных способов нахождения сингулярности напряжений в конце
трещины является метод разложения по собственным функциям,
развитый Вильямсом [79]. Затем в ряде статей Си, Райе и Лё-
бер [28, 45, 65] объединили "метод разложения по собственным
функциям $ теорией функций комплексного переменного и полу-
получили решения в замкнутом виде для многих задач теории тре-
трещин, представляющих фундаментальный интерес. В дальнейшем
будет принят подход Си и др. [28, 45, 65].
1. Плоские задачи теории трещин
В задачах теории трещин, в которых Собственные значения Хп9
п = 0, 1, . . ., будем считать действительными, целесообразно
строить функции Гурса в виде 2)
IU»4 Х(J C#2)
n=0 n=0
x) Си [63] показал, что метод Вестергарда для анализа трещин можно
легко вывести из представлений для напряжений Колосова — Мусхелишви-
ли, используя условия симметрии.
2) Выражения C.2) можно подставить в функцию напряжений Эри, после
чего получаем
§ К sin (
71=0
+bn cos (%n+l) Q+cn sin (&Д-.1) Q+dn cos (Xn—1) 9],
что фактически, совпадает с решением, данным Вильямсом [79].
Гл. 2. Математическая теория хрупкого разрушения
107
Рис. 12. Компоненты напряжений вблизи вершины трещины в декартовой
и полярной системах координат.
отсюда можно найти компоненты напряжения и смещения в по-
полярных координатах г, 6, так как
GQ — Gr+2i(JrQ =
2\i(ur + iuQ) = e-iQ[>
[icp" (z
(z) — 2ф' (z) — х' B)].
C.3)
C.4)
Обратимся к рис. 12; здесь верхняя и нижняя поверхности полу-
полубесконечной трещины, расположенной вдоль отрицательной полу-
полуоси х, свободны от усилий, т. е. условие.
-1) e~iQ] A
n=0
_+eto[e-*"e + (K + i) *ikne]Bn} = 0 C.5)
должно выполняться при 0 = ± я. Из этих двух условий получаем
характеристическое уравнение
sin 2nKn = 0, C.6)
решение которого дает собственные значения
Кп = »/2, п = 0, 1, . . ., C.7)
представляющие собой как дробные, так и целые числа. Отрица-
Отрицательные собственные значения исключаются потому, что они
привели бы к неограниченным смещениям в начале координат.
108 Г. Си, Г. Либовиц
Следовательно, уравнение C.5) удовлетворяется, если
%пАп + (-1)пАп + (Кп + 1)Вп= 0, п = 1, 2,
Собственное значение Ях = 1/2 соответствует хорошо известной
особенности напряжений в конце трещины типа 1/]/^г. Ограни-
Ограничиваясь рассмотрением малой области, окружающей точку z = 0
(рис. 12), достаточно оставить в C.2) член с п = 1, т. е. положить
Ф (z) = Л121/2 + ..., х W = Si*8'2 + •.. • C.8)
где
Подставляя C.8) в C.3) и C.4) и выполняя довольно громоздкие
алгебраические преобразования, можно получить выражения для
напряжений и смещений в непосредственной близости от вершины
трещины. Они имеют вид
аг==—-^|aiC — cosG) cos-^—a2Ccos9 —1) sin-^-l+ • • •>
(Те = j^= [at A + cos 0) cos — + a2 C sin 0) cos i-] + ..., C.9)
1 Г fl On
ar9 = —-p aisin0cos-g—a2Ccos0—^cos-^- + ...
и
+a2[Bx-l)>in|~3sin---]} + ..., C.10)
[Bx
cos |—
Постоянные ax и a2 являются соответственно .действительной
и мнимой частью Аи т. е. -4i = ах + ^2» и их можно связать
с введенными Ирвином коэффициентами интенсивности напря-
напряжений kt и к2 соотношением
Здесь уместно применить к C.9) теорию разрушения, основан-
основанную на максимальных напряжениях. В этой теории предполагает-
предполагается, что трещина растет по нормали к направлению наибольшего
Гл. 2. Математическая теория хрупкого разрушения 109
растягивающего напряжения г) таким образом, что компонента
напряжения сдвига на линии ожидаемого распространения трещи-
трещины равна нулю, т. е.
[kt sin Э + к2 C cos 9 — 1)] cos (9/2) = 0,
что дает
Qt = ± я, h sin 92 + к2 C cos 02 — 1) = 0. " C.11)
Здесь значения для 9Х соответствуют условиям на свободной
поверхности трещины, а второе соотношение— углам 92,при
которых окружное напряжение сте максимально. Эти величины 92
являются функциями кг и к2. Для задачи о наклонной трещине,
расположенной в поле одноосных растягивающих напряжений
(рис. 13), Си и др. [66] показали, что
ki = p sin2 а У а, к2 = р sin a cos а У а. C.12)
Из C.11) и C.12) можно, исключить к± и к2:
sin 92 + C cos 92 — 1) ctg а = 0, а ф 0. C.13)
При 0 < а < я/2 значения 92 отрицательны. Это означает, что
трещина преимущественно будет расти в направлениях, отмечен-
отмеченных на рис. 13 кривыми, выходящими из вершины тре-
трещины. На рис. 14 показан график зависимости предсказанного угла
разрушения 92 от угла наклона трещины а.
Возвращаясь к рассмотрению полей напряжений и смещений
вокруг контура трещины, следует отметить, что часто в выраже-
выражениях C.9) и C.10) удобно разделить симметричные и кососимметрич-
ные члены относительно оси х (рис. 12) и получить выражения для
компонент напряжений и смещений в декартовых координатах.
Симметричный случай
ki 0 Г... 9 . 39
Bг)
1/2"
-^1 + sin--sin-J-J+...,- C.14)
л, е . e 30
0ЗД=^b cos тsm T cos —
и
C.15)
х) Для подтверждения этой гипотезы был проведен ряд экспериментов на
пластинах из плексигласа с трещинами [10].
110
Г. Си, Г. Либовиц
LLLLLLLLLLJ
у
Рис. 13. Наклонная трещина в условиях одноосного растяжения»
0° 20° 40° 60° 80
Рис. 14. Зависимость угла разрушения 02 от угла наклона трещины а.
Гл. 2. Математическая теория хрупкого разрушения 111
Кососимметричный случай
ох= —
°y= ТГ717Г sm-^rcos ^cos ^-+ ..., C.16)
. e . зе i ,
— sm-ysm^-ji--...
\l/2 г A 4ft ~i
c = fc2^r)— [ Bx + 3) sin-y + sin у J +....,
C.17)
Следует отметить, что в условиях плоской деформации wz = О,
а на az не накладывается ограничений, тогда как в условиях
обобщенного плоского напряженного состояния az = 0, а на uz не
накладывается ограничений, т. е. для плоской деформации
а для обобщенного плоского напряженного состояния
uz= — -|г J (ox + Gy)dz =
COS + fsin+
Обе эти величины обратно пропорциональны корню квадратному
из расстояния от вершийы трещины.
Коэффициенты интенсивности напряжений kt1 k2 можно легко
вычислить из функции Гурса ф'(?), избавившись от особенности
типа НУ г. Когда z приближается к особой точке, расположенной
в начале координат, C.8) приводится к виду
Обобщение приведенной выше формулы на задачи, в которых вер-
вершина трещины расположена в произвольной точке на действитель-
действительной оси, скажем z = z0, получается непосредственно:
к{ — гк2 = 2 У2 lim (z — zo)my' (z). C.18)
z-*zo
Многочисленные выражения для къ к2 собраны в работе Париса
и Си [41] и здесь приводиться не будут. Наилучшей иллюстрацией
применения выражения C.18) является изучение задачи о трещи-
112
Г. Си, Г. Либовиц
Рис. 15. Сосредоточенные нормальная и тангенциальная силы, приложен-
приложенные к поверхностям трещины.
яе, к верхней границе которой в точке z = Ь+ приложены нормаль-
нормальная Р и тангенциальная Q силы (рис. 15, а). Выражение для
комплексной функции
2 — а2\ 1/2 .
) +
можно найти в статье Си [52], который для нахождения C.19)
использовал решение задачи Римана — Гильберта [36]. Подставляя
^3.19) в C.18), получаем при zx = а комплексную величину
.7 Q + iP Г5*—1 i tb + a\l/2r\
-lk* = -^yzlZ+i + (b^) J.
действительная и мнимая части которой соответственно выражаются
в виде
C.20)
ь - р /Д+Ь\
4" 2я Т/а U-Ь
Если добавить равные и противоположно направленные силы Р
и Q к нижней границе трещины в точке z = Ь~, образуя таким
образом самоуравновешивающуюся систему, как показано на
рис. 15, б, то выражения C.20) упрощаются:
, Р /.+b\i/t ,_ Q .(t±lL\m. C.21)
Решения, представленные выражениями C.20) и C.21), полезны
в том смысле, что их можно использовать в качестве фундаменталь-
фундаментальных решений (функций Грина) при построении решений для дру-
других задач о трещинах с произвольными поверхностными усилиями,
скажем а у (х, 0) и аху (ж, 0). Полагая, что Р = ау (я, 0) dx\
Гл. 2. Математическая теория хрупкого разрушения 113
Q= Оху (х, 0) dx и интегрируя от х = —а до х = а, получаем в
общем случае выражения для ки к2:
-а
а
C.22)
1 Г / а\ (а-\-х\1/2
— а
для системы с неуравновешенной нагрузкой, приложенной к тре-
трещине, и
а
C.23)
l/2 ,
для самоуравновешивающейся системы нагружения г). Для про-
простого случая, когда ау (х, 0) и аху (х, 0) равны соответственно
однородным напряжениям ряд, имеем
ki = pVlL, k2 = qVa. C.24)
Соответствующая физическая задача показана на рис. 16.
Важное свойство полученных результатов C.22) и C.23) можно
сформулировать следующим образом:
Для тела с трещиной коэффициенты интенсивности напря-
напряжений кг и к2 зависят от упругой константы .материала х
тогда и только тогда, когда поверхностные усилия, задан-
заданные на трещине, не самоуравновешиваются.
Обратно, коэффициенты к не зависят от х, если поверхностные
усилия на трещине самоуравновешиваются. Справедливость этих
}) Теоретические значения коэффициентов интенсивности напряжений
в C.23) получены для условий плоской деформации или обобщенного плоского
напряженного состояния и, следовательно, зависят только от приложенной
нагрузки и геометрии трещины. Толщина пластины, пластичность и другие
эффекты в выражения C.23) не входят.
8-0700
114
Г. Си, Г. Либовиц
Рис. 16. Распределенные нормальная и тангенциальная нагрузки, прило-
приложенные к поверхностям трещины.
утверждений в рамках классической теории упругости непосред-
непосредственно вытекает из работы Мичелла [32].
Приведем другой возможный подход для определения коэф-
коэффициентов интенсивности напряжений. Исследование выражений
для концентрации напряжений, проведенное Нейбером [38]
и Петерсоном [42], показало, что кх и к2 можно также получить
из предельных значений максимальных напряжений, действую-
действующих у конца надреза, при условии что его радиус кривизны р
стремится к нулю. С учетом того, что напряжения обратно
пропорциональны корню квадратному из р, пределы
будут конечными. В C.25) о1 и а2 — максимальные напряжения
у конца надреза для симметричного и кососимметричного
нагружений. Коэффициенты сг я с2 можно вычислить из известных
результатов.
Получены решения для эллиптического отверстия в бесконеч-
бесконечном теле, подверженном одноосному растяжению (см. рис. 1)
и однородному сдвигу [36]. В первом случае максимальное
напряжение
C.26)
достигается на концах главной оси. Наибольшие значения напря-
напряжений для второго случая
п~\-о)А la л1/* Г, I / Р \1'* I4 /о 97\
яЬ \ р / L ' \ а ) J
достигаются в точках, расположенных на границе эллипса и опре-
определяемых соотношением
tg т] = th |0 = Ь/а.
Гл. 2. Математическая теория хрупкого разрушения 115
Когда эллипс становится очень узким, указанные напряжения
достигают очень больших значений, а точки, в которых это имеет
место, близки к концам главной оси. Для вычисления с2 в выраже-
выражении C.27) будем брать положительный знак. Подставляя C.26)
и C.27) в C.25), а полученные результаты далее в C.24), находим
ci = -2"> с2 = 1.
Следовательно, если известны ах и с2, то коэффициенты к немед-
немедленно находятся из формул C.25).
2. Антиплоские задачи теории трещин
Для изучения характера сингулярности напряжений вокруг
вершины цилиндрического сектора в условиях продольного сдвига
Си [57] воспользовался методом разложения по собственным
функциям. При построении решения он принял комплексный
потенциал в виде
оо
ф (z) = S <?nzK C.28)
71=0
Чтобы поверхности трещины были свободны от напряжений,
Суъ должно обращаться в нуль при 9 = ±я; это условие при по-
помощи B.14) можно представить в виде
|==0, ,е = ±л. C.29)
п=0
Окончательное уравнение для собственных значений Хп и его
решение имеют тот же вид, что и приведенные ранее [см. соотноше-
соотношения C.6) и C.7) соответственно]. Следовательно, чтобы выполня-
выполнялось уравнение C.29), необходимо
(-1)пСп-Сп=О. C.30)
Снова Л1. = -1/2 является единственным собственным значением,
которое приводит к сингулярности напряжений, а все отрицатель-
отрицательные значения Кп (п = —1, —2, .-. .) для обеспечения конечности
иг у конца трещины не учитываются. Для малых значений | z |
соотношение C.28) можно приближенно представить в виде
ф (z) = ClZi/2 + . . . . C.31)
Рассматривая уравнения C.30); видим, что при п = 1 постоян-
постоянная Сг должна быть мнимой; Сг = icQ. Таким образом, комплексные
представления
8*
116
Г. Си, F. Либовиц
Рис. 17. Компоненты напряжений продольного сдвига вблизи конца
трещины в полярных и декартовых координатах.
дают следующие выражения для напряжении:
0_^ тг= — — S1H Т\ г" • • • » ^flz "^: 7^ '
9 1/г 2 П/г
C.32)
и смещении
Uz= —С0У Г 81П-5-+ •••
у конца трещины. Рассмотрим на рис> 17 направления orZ
и a0z. Соотношение между с0 и коэффициентом интенсивности
напряжений к3 для разрушения при продольном сдвиге записы-
записывается в виде
Согласно C.32), напряжение сдвига a9z достигает максимума
при 0=0 независимо от величины к3. На основе теории макси-
максимальных напряжений трещина в условиях продольного сдвига
будет расти, вероятно, вдоль прямолинейного пути по линии рас-
расположения трещины.
Наконец компоненты напряжений и осевого смещения можно
представить в декартовых координатах (рис. 17):
Ьз
-|-+..., C.33)
C.34)
Гл, 2, Математическая теория хрупкого разрушения 117
l 1 I 1
а 5
Рис. 18. Трещина в условиях продольного сдвига.
Можно легко получить формулы для определения fe3:
z->0
для полубесконечной трещины и
C.35)
Z-+ZQ
для конечной трещины [54]. Си [55, 56] нашел решения для k3,
соответствующие изгибу и кручению цилиндрических брусьев
различных форм, содержащих внешнюю и внутреннюю трещины.
(Для задач об изгибе выражение C.35) необходимо слегка видо-
видоизменить; подробно об этом см. [55, 56].)
Теперь уместно рассмотреть задачу о равных и противополож-
противоположно направленных касательных усилиях S, приложенных к поверх-
поверхностям трещины, как показано на рйс. 18, а.
Для этой задачи решение дано в работе [57]:
Из этого выражения можно найти коэффициент интенсивности
напряжений &3:
7 S /a + b\i/2 /0 оа,
ьвгрг(=Ъ) • C-36)
Зависимость к3 от параметров а и Ъ подобна зависимости кг, к2
в выражениях C.21) для трещин нормального отрыва. Операция-
Операциями, подобными тем, которые использовались при выводе выраже-
выражений C.21), т. е. подстановкой S = ayz (x, 0) dx и т. д., получаем
выражение для. к3 в виде интеграла
<3-37>
118 Г. Си, Г. Либовиц
Уравнение C.37) позволяет вычислить значение к3 для трбщин
в условиях продольного сдвига для наиболее общего напряякен-
ного состояния. Это можно сделать при помощи принципа суцер-
позиции [52]. Когда oyz (х, 0) = s = const, то для трепщны,
к поверхностям которой приложены напряжения s продольного
сдвига (рис. 18, б), вычисляя интеграл в формуле C.37) полу-
получаем значение коэффициента интенсивности напряжений
fts = sVa. C.38)
Можно также выразить к3 через максимальное напряжение сг3
у конца трещины, находящейся в условиях продольного сдвига.
Для достаточно малых значений радиуса кривизны р контура
трещины из выражений C.33) можно получить
C.39)
Пусть эллиптическое отверстие расположено в поле простого
продольного сдвига, как показано на рис. 5 при 8=0. Макси-
Максимальное напряжение на концах главной оси равно
C.40)
Отсюда путем комбинирования выражений C.38) — C.40) легко
получаем, что с3 = 1.
Б. Скорости высвобождения энергии деформации
Физическая интерпретация понятия коэффициента интенсив-
интенсивности напряжений становится более ясной, когда установлены
математические соотношения между скоростью затраты работы
(или скоростью высвобождения энергии деформации) в процессе
разрушения и сингулярным решением теории упругости околГо кон-
конца трещины. С этой целью предположим, что удлинение трещи-
трещины длиной 2а в пластине единичной толщины равно Да в каж-
каждом из ее концов. Это удлинение создает новые поверхности,
которые увеличивают общую площадь на 4Да, и, следовательно,
поверхностная энергия возрастает на 4Дау. Необходимым усло-
условием распространения трещины является выполнение неравенства
Wx (а) - Wx {а + Да) > 4Дау. - C.41)
Функцию W± (a + Да) можно разложить в ряд Тейлора
^^ (AaJ+ • •., C.42)
Гл. 2. Математическая теория хрупкого разрушения
119
Рис. 19, Участок раскрытия трещины.
пренебрегая членами порядка выше, чем Да. Определим G, скорость
высвобождения, энергии деформации, таким образом, чтобы из
C.41) и C.42) получить условие неустойчивости в виде
и
C.43)
В действительности это энергетический критерий хрупкого
разрушения Гриффитса. Скорость высвобождения энергии G
можно рассматривать как силу, стремящуюся раскрыть трещину,
а для ее вычисления требуется только знать напряжения и сме-
смещения вблизи конца трещины. В дальнейшем значения G для
трех основных типов распространения трещины будем различать
при помощи индексов 1, 2, 3.
Предположим, что задача симметрична относительно трещины,
расположенной вдоль оси х. Тогда на элементы, лежащие на
оси х (рис. 19), будут действовать только нормальные напряжения.
Пусть длина трещины увеличилась на величину б. Мысленно это
можно представить себе следующим образом: упругое тело разре-
разрезано вдоль оси х от х = а до х = а + б без снятия напряжений на
разрезе, а затем бесконечно малыми изменениями г) их интен-
интенсивность уменьшается до тех пор, пока сегмент длины б, изо-
изображенный на рис. 19 штриховой линией, не станет свободным
от напряжений. Высвобожденная энергия деформации представляет
собой работу, совершенную в указанном процессе напряжениями
су (б — р*, 0), действующими на всем смещении иу (Р, я), при
условии что б настолько мало, что в пределе при б ->- 0 выпол-
выполняются условия
В смысле термодинамически обратимого процесса.
120 Г. Си, Г. Либовиц
Тогда работа, совершённая на обоих концах трещины, равна
б
Gir21imi-ji-oryF-p, 0)иуф, я) dp. C.44)
Из выражений C.14) и C.15) находим, что значение G± для раз-
разрушения типа нормального отрыва должно быть равно
т . C.45)
Вычисление работы, затрачиваемой на распространение тре-
трещины в кососимметрично нагруженных системах, несколько
затруднительно. Это объясняется тем, что трещина под действием
таких нагрузок, возможно, стремится искривиться, а не распро-
распространяться в своей плоскости. Как упоминалось ранее, критерий
максимального напряжения указывает, что в поле равномерного
сдвига трещина будет расти под углом приблизительно 70,5°
(рис. 13 и 14), измеренным по часовой стрелке от плоскости трещи-
трещины. Однако математические трудности, возникающие в задачах о
разветвленных трещинах, по-видимому, препятствуют получению
какого бы то ни было аналитического решения бигармонического
уравнения. (Решение задачи о разветвленной трещине для урав-
уравнения Лапласа дано Си [57].) По этой причине аналитическое
вычисление G2 можно выполнить только формально, считая, что
трещина распространяется в своей собственной плоскости.
В кососимметричном случае напряжения сдвига должны отсут-
отсутствовать вдоль сегмента б раскрытия трещины. Методом, аналогич-
аналогичным использованному при выводе C.44), получаем выражение
для ??2 в случае распространения трещины в условиях попереч-
поперечного сдвига:
б
G2 = 2 lim 4- ( 4- Оху (б - Р, 0) их (р, я) dp. C.46)
6->0 о
Подстановка C.16) и C.17) в C.46) приводит к выражению
б, = "(*+1>*1. C,47)
Для трещин, находящихся в условиях продольного сдвига,
направление роста определено заранее и G3 можно вычислять,
как и прежде. Не повторяя всей процедуры, получаем из вы-
выражения
б
G3 = 2 lim 4- ( 4 °у* (б - Р' °) и* <Р' n) d$ C'48)
б-о Jo
Га* 2. Математическая теория хрупкого разрушения 121
совместно с C.33) и C.34) соотношение для G3:
G3 = n*J/Bji.) C.49)
Таким образом, C.45), C.47) и C.49) обосновывают экви-
эквивалентность энергетической теории Гриффитса и существующего в
механике разрушения изотропных однородных и хрупких матери-
материалов подхода, использующего коэффициенты интенсивности нап-
напряжений. Необходимо подчеркнуть, что скорости высвобождения
энергии Gj(j = 1, 2, 3) получены путем рассмотрения только полей
напряжений и смещений вблизи трещины. Другие методы вычис-
вычисления энергии, потребляемой при хрупком разрушении, даны
Сандерсом [49] и Бюкнером [5].
Благодаря существованию зависимостей между kj и Gj (/' =
= 1,2, 3) скорости затраты работы должны быть также связаны
с энергией деформации, запасенной в малой круговой области
вокруг конца трещины. Эту локальную энергию деформации
можно рассматривать как энергетическдй барьер, препятствую-
препятствующий разрушению. Величину этого барьера для каждого типа
распространения трещины можно определить математически из
B.8) и B.30), выразив компоненты напряжения и смещения
в цилиндрических координатах:
для плоских задач и
для антиплоских задач. Интегрирование в C.50) и C.51) произ-
производится по малой области d (рис. 20) для значений г от 0 до щ
и 9 от —я до я, так что dS = rdrdQ. Используя C.9), C.10),
C.22) и C.34) и рассматривая отдельно каждый тип разрушения,
в результате получаем
1 16[x ' 2 1Q\i ' 3 2\i ' ^ ' '
Чтобы исключить коэффициенты к, используем C.45), C.47)
и C.49), после чего получаем
(Щ) C.53)
Полученные результаты C.53) можно использовать в качестве
первого приближения для оценки порядка величины погрешности,
122
Г. Си, Г. Либовиц
Рис. 20. Круговая область, окружающая конец трещины.
возникающей из-за пренебрежения пластическими деформациями,
когда круговая область радиуса соо включает в себя главную-
часть зоны пластической деформации.
, Так как учет пластических деформаций при разрушении вы-
выходит за пределы настоящего рассмотрения, то для.подробного
ознакомления с этим вопросом можно порекомендовать литателю
работу Ирвина [17].
IV. ПРЯМОЛИНЕЙНО АНИЗОТРОПНЫЕ ТЕЛА С ТРЕЩИНАМИ
Анизотропия композитов из ориентированных стеклопласти-
стеклопластиков, композитов из армированных нитевидными кристаллами
металлов, дерева и .других материалов чаще всего бывает орто-
тропной и прямолинейной от точки к точке. Трещины в орто-
тропных телах, не лежащие в плоскости упругой симметрии,
можно рассматривать как трещины в теле, обладающем анизо-
анизотропией общего вида.
Цель этого раздела — дать математическую формулировку
задач о трещинах в теории анизотропной упругости с последу-
последующим рассмотрением скоростей высвобождения энергии, полей
напряжений и т. д. для различных случаев упругих анизотроп-
анизотропных тел, которые могут представлять интерес.
Гл. 2. Математическая теория хрупкого разрушения 123
А. Основные уравнения теории упругости анизотропных тел
и их решения
Упругое тело называется, анизотропным, если упругие свой-
свойства в точке тела изменяются с изменением направления. В то
время как упругие свойства изотропной среды определяются
двумя упругими постоянными (например, v и \i), для определения
упругих свойств анизотропной среды необходимы в общем слу-
случае 21 постоянная. Фундаментальная система уравнений теории
упругости анизотропной среды будет поэтому отличаться от
соответствующей системы уравнений для изотропной среды только
обобщенным законом Гука [30]:
= a21ox + a22Gy + a23az + a24cryz + a2bozx
Ууг =
Izx = «51^* + аЬ2°У + aS3°Z
Уху = deiGx + ^62a2/ + ^63^2
где
au = aiu ^ 7 = 1,2,.. ., 6.
Обращение уравнений D.1) дает шесть компонент напряжений
в зависимости от шести компонент деформаций:
у + с13г2 + cuyyz + clbyzx
гу "f" C238Z ~Ь C247yz H~ C257zx
D.2)
Здесь независимыми являются только 21 коэффициент с^-, так как
си = ся, i, / = 1, 2, . . ., 6.
Предположим, что упругие постоянные ац и etj не зависят от
координат отдельных точек тела и для данной фиксированной
системы координат всюду постоянны. Такое тело называется
однородным.
В частном случае ортотропных тел, у которых плоскости упру-
упругой симметрии совпадают с координатными плоскостями, закон
124 Г. Си, Г. Либовиц
Гука D.1) сводится к соотношениям
Остальные упругие постоянные а^ равны нулю в силу упругой
симметрии. При изменении свойств материала в сторону изо-
изотропии можно сделать дальнейшие упрощения:
1 v
aaa «23 - «31 = ai2 - -
«44 = «55 = «66
Прежде чем пытаться приступить к решению любой задачи
о трещине, уместно преобразовать приведенные выше выражения
для различных частных задач. При этом будут выбраны некоторые
плоские и антиплоские напряженно-деформированные состояния,
которые наиболее удобны при определении напряжений и смеще-
смещений вблизи трещин в прямолинейно анизотропных телах.
1. Обобщенное плоское напряженное состояние
и плоская деформация
Рассмотрим пластину, лежащую в плоскости ху и имеющую ма-
малую толщину h по оси z. Под нагрузкой пластина остается
плоской и обладает плоскостью упругой симметрии, параллельной
срединной плоскости. Будем предполагать, что имеет место обоб-
обобщенное плоское напряженное состояние, описываемое B.28)г
так что деформации в D.1) зависят только от действующих в пло-
плоскости напряжений
&х = апах + а12оу + аиоху,
гу = а12ох + а220у + a2Q<Jxy, D.4)
Уху = «le0^ + «26°У+ «ббаху
Если рассматриваемое тело имеет форму бесконечно длинного
цилиндра и в каждой точке обладает плоскостью упругой симме-
симметрии, нормальной к образующей, направленной, скажем, по оси z,
то, приняв ez = yyz = yzx = 0, можно удовлетворить условиям
плоской деформации B.29). Далее, так как а44«55 — «45 Ф О» то
на основании обобщенного закона Гука имеем
Oyz = <*zx = 0» Gz = —(«зз)"
Гл. 2. Математическая теория хрупкого разрушения 125
Следовательно, из D.1) можно исключить ozi после чего получаем
следующие выражения:
гу = b21ox + b22ay + b2Saxy, D.5)
Уху = b91ax + Ъ62оу + Ьмаху.
Постоянные btj имеют вид
^i3 h h ^12^33 — #13^23
26 ~ 62 ~
Из сравнения D.4) и D.5) очевидно, что они имеют один и тот же
вид. Следовательно, если постоянные btj всюду заменить на а^,
то решение, найденное для любого случая плоской деформации,
будет решением для соответствующего случая обобщенного пло-
плоского напряженного состояния. Поэтому в дальнейшем условимся
пользоваться постоянными atj.
Как и в изотропном случае, для плоских задач будут выпол-
выполняться уравнения равновесия B.31), если ввести функцию напря-
напряжений U (х, у):
Подставляя эти значения сгх, оу, оху в D.4), а затем полученные
значения 8^, sy, yxy в уравнение совместности
х | "
лриходим к основному дифференциальному уравнению для дву-
двумерной задачи анизотропной теории упругости:
Определяя операторы D7- (/ = 1, 2, 3, 4) в виде
получаем основное уравнение относительно U (х, у):
DJ)%T>zDkU (ж, у) - 0. D.7)
126 Г. Си, Г. Либовиц
Здесь [ij — корни' характеристического уравнения
аир} — 2aieiXj + Bа12 + ат) fxf — 2а2#; + а22 = 0. D.8)
Если корни различны1), то решение уравнения D.7) имеет вид
U {х,у) = Ux(x
Используя энергетические соображения, Лехницкий [27] пока-
показал, что корни уравнения D.8) комплексные или чисто мнимые
и не могут быть действительными. Предположим, что неравные
корни \ij уравнения D.8) имеют вид
*1 = Ml = «1.+ #1, *2 = ^2 = 0С2 + *Рд, \13 == \iu |Х4 = ll2r
где а7-, р7- (/ = 1,2) — действительные постоянные. Не уменьшая
общности, всегда можно положить
Pi>0, p2>0; рх^Р2-
Следовательно, функцию напряжений U (х, у) можно выразить
в виде
U (*, у) = 2Re [иг («О + U*{zJ], D.9)
где U1 (%) и f/2 (гг) ~~ произвольные функции комплексных пере-
менных zx — х + sxy ж z2.= x -\- s2y соответственно. Чтобы избе-
избежать записи индексов при Uj (zj), введем новые функции:
Ф (%) == dU.JdZb г|) (z2) = dU2/dz2. D.10)
Подставляя функции напряжений из D.9) в D.6) и принимая
во внимание D.10), получаем выражения для компонент напря-
ний через ф (%) и i|) (z2):
gx = 2Re
x
a y =2Ке[ф'(%) +V(zJ], D.11)
axy = —2Re [%ф' (%) + 52i|)' (za)].
Учитывая D.4) и связь между деформациями и смещениями, про-
простым интегрированием получаем компоненты смещений их ж иуг
их = 2Re
иу = 2Re
х) Если корни уравнения D.8) равны (fx2 = \iu М-2 = И*)» то D.7) можно
преобразовать в бигармоническое уравнение заменой независимой перемен-
переменной. В этом случае решение имеет вид
Щх, y) = 2Re
соответствующий задаче теории изотропной упругости, рассмотренной ранее.
Гл. 2. Математическая теория хрупкого разрушения 127
Величины pj, qj G = 1, 2) являются сокращенными обозначе-
обозначениями:
Pi =
Плоская задача для анизотропного материала сводится теперь к
определению двух функций комплексных переменных <р (гг) и г|) (z2)r
которые должны удовлетворять некоторым граничным усло-
условиям, за данным на контуре исследуемого тела.
2. Продольный сдвиг
Теорию продольного сдвига для цилиндрических тел, обла-
обладающих прямолинейной анизотропией х), можно легко сформули-
сформулировать. Если анизотропия характеризуется наличием единствен-
единственной плоскости упругой симметрии, нормальной к образующим,
параллельным оси z, то теория сильно упрощается. В этом случае
С14 — С15 = С24 = С25 == С34 == СЗЪ ~ С46 := С56 == ^*
Кроме того, из предположения о продольном сдвиге B.6) сле-
следует, что гх = гу = &z = 75СУ = 0. В силу этих соображений
система напряжений имеет, вид
ffyz = cuyyz + c457zx, ст2х = СььУуг + c5byzxi D.14)
где
yyz = dujdy, yzx = toz/to.
Уравнение равновесия B.11) выполняется при условии, что
uz удовлетворяет уравнению
d2uz , п d2uz . d2uz A // /1сч
c55-^f + 2c451^- + c44-^f = 0. D.15)
Отметим, что wz уже не удовлетворяет уравнению Лапласа. Далее
можно переписать D.15) в виде
D5D6uz (х, у) = 0, D.16)
в котором Dj G = 5, 6) —операторы вида
На основании D.1.5) и D.16) \ij являются корнями уравнения
сьъ = 0.
г) Антиплоская деформация цилиндрических тел с полярной анизотро-
анизотропией исследовалась Си [59].
428 Г. Си, Г. Либовиц
Если корни различные (с\ь — с^сьъ < 0), то D.16) дает
uz (х, у) = Ub (х + \i5y) + U6(x + \iey).
Так как uz (х, у) должно быть действительным, то необходимо,
чтобы
*з = И-в = Н>5 = аз + Фз>
где
п С45 о 1 /„ п ,2 Н/2
«3= -—, Рз=-^(С44^5-С4в) .
Окончательно uz (ж, г/) можно выразить через единственную про-
произвольную функцию, скажем F3 (z3), комплексной переменной
z3 = а: + 53г/, т. е.
иг (х, у) = 2Re [F3 (z8)]. D.17)
Для удобства введем функцию
<р' (z8) = i (C44C55 —.cJ6I/2 dFg/dZg.
так что напряжения и смещения выражаются следующим образом:
ayz = 2Re [Ф' (z3)] [ ' }
и
uz = 2 (c44c55 - el»)-*/» Im [Ф (z3)]. D.19)
В отличие от случая плоского растяжения в задаче продоль-
продольного сдвига требуется знать только одну функцию <р(я3), которая
удовлетворяет заданным граничным условиям.
Б. Задача Римана — Гильберта в теории функций
комплексного переменного
Теория одномерных сингулярных интегральных уравнений,
которая применяется при решении задач с линиями разрыва
в изотропной среде, подробно рассмотрена Мусхелишвили [37].
Эта теория, по-видимому, особенно проста и эффективна, если
рассматривается решение граничной задачи теории функций
комплексного переменного, называемой задачей Римана — Гиль-
Гильберта. Хотя как Лехницкий [271, так и Савин [50] решали задачи
анизотропной упругости, используя методы комплексного пере-
переменного, все же обобщение формулировки задачи Римана —
Гильберта на задачи о линиях разрыва в телах с прямолинейной
анизотропией еще не выполнено.
Задача Римана — Гильберта связана с определением кусоч-
кусочно-голоморфных функций в области D, разрезанной вдоль некото-
Гл. 2. Математическая теория хрупкого разрушения
129
Рис. 21. Линии разрыва в бесконечном теле.
рых отрезков Lj =a,jbj (j =1, 2, ... п) действительной оси (рис.
21). Объединение этих отрезков обозначим через
а неразрезанную часть оси х через L*.
В общем случае линии разрывов или трещин Lj не совпадают
с плоскостью упругой симметрии. В таком случае формулировка
задачи Римана — Гильберта для плоских задач о трещинах
в анизотропной среде будет основываться на существующем зна-
знании решений, полученных Лёхницким [27] и Савиным [50], в кото-
которых аху и оу на оси х обращаются в нуль соответственно для
нагрузок, приложенных симметрично и кососимметрично по
отношению к плоскости трещины. Это специфическое свойство
условий симметрии, по-видимому, справедливо только в случае
бесконечно тонких трещин и на него не влияет ориентация плоско-
плоскостей упругой симметрии. Формулировка задачи продольного
сдвига о трещинах в анизотропных цилиндрах следует непосред-
непосредственно из изотропного случая, рассмотренного Си [60].
1, Плоское симметричное нагружение
Допустим, что
— функции Гурса для задачи, в которой растягивающие нагрузки
приложены в плоскости симметрично относительно оси х (рис. 21).
На действительной оси zx = z2 = т. Далее, из D.11) следует,
9—0700
130 Г: Си, Г. Либовиц
что на L* должно выполняться условие
- *&! (т) + s2?x (т) = 0. D.20)
Предполагается, что да L известны значения Оу,Оу, где индексы +
и — относятся к граничным значениям на верхней и нижней
поверхностях трещин. На основании D.11) и D.20) граничные
условия выражаются только через Фх (т), Tve.
<(т)на L-
Складывая и вычитая, получаем
Ф1 (т)]~ = 2Д (т) на L, D.21)
() = 2gi (т) на L, D.22)
где
/i (т)=\ к+°г). л (^)=4- (^-°^на L-
Предполагается, что Д (т) и gi (т) удовлетворяют на L условию
Гёльдера. Так как для больших значений |zi|
то общее решение краевой задачи D.22) дается интегралом
Копта [37]:
L
где Г\ связана с нормальными напряжениями, действующими на
бесконечности в направлениях х и у. В Тг не учитывается враще-
вращение на бесконечности. Далее, вводя функцию Племеля
ч1/2
Гл. 2. Математическая теория хрупкого разрушения 131
и используя решение неоднородной задачи Гильберта [37], полу-
получаем общее решение уравнения D.21), ограниченное на беско-
бесконечности, в виде
L
где Pi (z^ — многочлен степени не выше ri:
Pt (Zi) = Atf + Л !*Гг +...+Ап.
Из сравнения D.23) и D.24) очевидно, что Рг (zj = Рх (%), и, сле-
следовательно, все коэффициенты Ао, А1ч . . ., Ап должны быть
действительными, т. е.
Из системы уравнений D.23) и D.24) можно найти <Di
где Ф* (zi) определяется равенством
(%)dx I f ft (т)
Таким же путем находится функция Yi^):
[(V)] D-26)
/ «1-«» \ вг«/-\ 1 f Y*(x)fi(x)dx , 1
Для больших | z21 отсюда следует чтол
где главный член Лх зависит от симметричных нагрузок, прило-
приложенных на бесконечности. Величина Y (z2) обеспечивает ветвле-
ветвление в вершинах разрезов:
9*
132 Г. Си, Г. Либовиц
a Qi (z2) является полином:
все коэффициенты Во, Ви ..., Вп которого суть действительные
числа, т. е.
^о = ^о> Bi = Biy ..., Вп = Вп.
Два коэффициента Ао, Во получаются непосредственно из усло-
условий на бесконечности. Остальные коэффициенты А±, А2, . . ., Ап
и Вг, j52, . . ., Вп, как и в изотропном случае [37], должны опре-
определяться из условий однозначности смещений. На этом закан-
заканчивается построение общего решения симметричной задачи отно-
относительно п коллинеарных трещин в среде с анизотропией общего
типа.
В частном случае, когда к поверхностям трещин приложены
равные и противоположно направленные усилия, имеем
gl (т) = 0, 1\ - Лг = 0,
и решение принимает простой вид:
/ *2-*1 \ ф h ч _ 1 f X+(T)/!(T)dT ,
X{Zi) ,
Г У+(т)/1(т>^т ¦ Qjfa) D
(z2) J t-z2 + У (*2) '
L
Для n = 1 (одиночная трещина) /i (т) = —p и
-4o == -^-l == • • • ~ An ~ 0» Bq = Bx = . . . = Bn = 0
формулы D.27) дают решение в виде
h-w-^i.
D.28)
Здесь трещина расположена симметрично относительно начала
координат от х = —а до я = +а. Уравнение D.28) согласуется
с уравнением, полученным Савиным [50] для случая предельного
эллипса.
2. Плоское кососимметричное нагружение
Рассмотрим теперь кососимметричную. задачу, т. е. предпо-
предположим, что на L заданы значения о%у, а^у. Если функции Гурса
обозначить через
Ф2 (zi) = <Й (zi), ?2 (z2) =
Гл. 2. Математическая теория хрупкого разрушения 133
то на основании кососимметричности получаем соотношение
Фа (т) + У * (т) = 0 на L*.
Граничные условия для аху в силу D.11) принимают вид
°*у = («к - si) Ф2+ (т) + (*, - ^) Ф~ (т) на L,
«!) ФИ*) на L'
и их можно объединить:
[(s2 — s^ Ф2 (т) + (s2 — s^ Ф2 (т)]+ -f-
+ К52 — ^i).O2 (t) + ($2 — ^i) Ф2 (т)]~ = 2/2 (т) на L, D.29)
1(*2 - *i) Ф2 (т) - (Ja ~ «О Ф2 (т)]+ -
Функции
/ (т) — — (о+ 4-о") (х)— — fa*" — a")
должны удовлетворять на L условию Гёльдера. После выполне-
выполнения таких же операций, как и в симметричной задаче, получаем
общие решения краевых задач D.29) и D.30) в виде
(S2-Si) Ф2 fa) + (S2 - *l) Ф2 (*i) =
_ 1 Г Х+ (т) /2 (т) d!T , 2Ра (^i)
шХ (zj) J т—Zj X (z|) *
L
(S2 — 5t) Ф2 (Zi) — E2 — Si) Ф2 (Zi) =
^ 1 Г g2 (^) ^
Это дает
где Ф| (z4) определяется равенством
(-\- 1 Г ^+(т)/2(т)^т , 1 Г ga(T
(«1)—sniliJJ 7=iJ + HTJ T-
L h
L
Коэффициенты Co, C4, ..., Cn многочлена
снова являются действительными числами, так что
ДО Г. Си, Г. Л-ибовиц
Аналогичным образом, можно непосредственно написать
VM = V* Ы +^4# + 1^Im[(Sl-Sa)A2], D.32)
причем Wl (z2) определяется соотношением
и J
L
Все коэффициенты многочлена
действительны. Коэффициенты при главных членах в Р2 ()
и Q2 (z2), т. е. Со и Do, определяются из условий на бесконечности
где Г 2 и Л2 — функции касательных напряжений на бесконеч-
бесконечности. Постоянные Си С2, . . ., Сп и ?)ь D27 • • •» Dn, число
которых зависит от числа трещин, рассматриваемых в данной
задаче, должны определяться таким образом, чтобы смещения
были однозначными. Таким образом, кососимметричная задача
о трещинах в анизотропных телах по существу решена.
Задачу, в которой на поверхностях трещины задаются на-
напряжения сдвига, можно решить, предположив сначала, что
g2 (T) = О, Г2 = Л2 = 0.
В результате D.31) и D.32) сводятся к виду
L
v
Кроме того, если п = 1, /а-(т) = — q, a
Со = Сг = . . . = Сп = 0, Do = Dx = . . . = Z)n = 0,
то легко получается решение о бесконечно тонкой трещине,
находящейся в условиях однородного сдвига:
D.33)
.(*1*я)^2 ы 1/2 fe(;«)].
^ \Z2 — п )
Полученное решение согласуется с решением Савина [50].
Гл. 2. Математическая теория хрупкого разрушения 135
3. Продольный сдвиг
При рассмотрений задач продольного сдвига о трещинах
в изотропном цилиндре бесконечной высоты введем в области D
с разрезом (рис. 21), следуя работе Си [60], кусочно-голоморф-
кусочно-голоморфную функцию .
Фз (*з) = Фз (*з).
Пусть к верхней и нижней поверхностям трещин Lj = aft]
(j = 1, 2, . . ., п) приложены касательные напряжения
OyZ и GyZ. Следовательно, на действительной оси z3 = т
< = Ф3+СО+ #!(*), о-уг = ф-(х)+Щ(т).
Для дальнейшего удобно ввести кусочно-голоморфные функции
которые удовлетворяют условиям
Y8(z,) = 4Mz8)f Оз(*з)=-Оз(«8).
Далее, легко преобразовать граничные условия для oyz к следую-
следующему виду:
^з+ W + ^з" СО = 2/3 (т) на L, D.34)
О» W - Q3 W = 2?з (т) на L, D.35)
причем на функции
1 1
/з (т) = ~y (°у* + оу*) > ?з (т)= т &V* — °у^ на L
следует наложить условие Гёльдера. Функция Q3 (z3), граничные
значения которой удовлетворяют условию D.35), определяется
однозначно [37]:
М^+г. D'36)
L
и для больших | z3 | . .
Таким образом, Г3 совпадает с напряжением продольного сдвига,
действующим на бесконечности. Функция Ч1^ (z3) известна из
решения неоднородной з'адачи Гильберта [37]:
2P3(z3) ,_
+ ~zW D'37)
Напомним, что 4я3 (z3) = ^3 Bз) • На основании этого условия
коэффициенты #0, ?ь ..., Еп многочлена
Р3 (я3) = ВД
136 Г. Си, Г. Либовиц
действительные и, следовательно,
Е0 = Е0, Ei = Ei, ..., Еп = Еп.
Функция Племеля имеет вид
Далее, суммируя D.36) и D.37)f можно найти 2Ф3(г3). В резуль-
результате имеем
ф3 (z3) — Ф* (z3) -f
где
3 ^ 2niZ (z3) J т—z3 2ni J т—z3
L L
При переходе к изотропному материалу имеем z3 = z =* x + iy
и приведенные результаты сводятся к результатам, получен-
полученным Си [60].
Если нагрузки на L самоуравновешиваются и стремятся
к нулю при | z3 | -> оо, то
Л(т) = 0, Г3 = 0.
В этом случае формула D.38) принимает вид
f
J
В качестве простого примера рассмотрим однородные касательные
напряжения, приложенные к поверхностям одиночной трещины
(п = 1), симметрично расположенной относительно начала коор-
координат, так что /3 (т) = —s, и-допустим, что
Ее = Ег = . . . Еп = 0.
Тогда кусочно-голоморфная функция Ф3 (z3) принимает вид
ФзBз)= 2D-а*)Ч2 ^-D-«2I/2]- D-39)
Эта формула имеет точно[такой же вид, как и D.28) и D.33).
В. Критерий хрупкого разрушения
При изучении устойчивости трещин обычно определяют напря-
напряжения вблизи конца трещины для того, чтобы можно было
установить соотношения между упругими напряжениями и ско-
Гл. 2, Математическая теория хрупкого разрушения 137
ростями подвода энергии при распространении трещины. Си,
Парис и Ирвин [67] показали, что основную концепцию механики
разрушения изотропного тела можно распространить на анизо-
анизотропный случай. В действительности если приложенные нагрузки
на поверхностях трещины самоуравновешиваются, то коэффи-
коэффициенты интенсивности напряжений в двумерных задачах для
изотропных и анизотропных материалов идентичны. Результаты,
полученные при изучении изотропной системы трещин, при
соответствующей их интерпретации можно перенести на систему
трещин в анизотропных материалах.
1. Анализ напряжений
Распределение напряжений вокруг вершины трещины можно
получить, полагая х = а + г cos 0, у = г sin 8 и предполагая,
что г мало по сравнению с полудлиной трещины а. Полярные
координаты г и 8 означают соответственно расстояние от конца
трещины по радиусу и угол между радиусом и линией трещины
(для плоских задач см. рис. 12, а для антиплоских — рис. 17).
Следовательно, функции Племеля (zj — а2I/2 (/ = 1, 2, 3) в D.28),
D.33) и D.39) приближенно можно записать в виде
(^-а2I/2^[2т(со8б + 57.8т0)]1/2, / = 1, 2, 3,
и z± « z2 ж а. Используя эти результаты, получаем комплексные
функции для краевых задач соответственно для плоского симме-
симметричного нагружения, плоского кососимметричного нагружения
и продольного сдвига:
Здесь
F =
4
O{), у = 1 2.
Коэффициенты интенсивности напряжений kj G = 1, 2, 3) опре-
определяются так же, как и для случая изотропных материалов.
Их можно вычислить непосредственно из комплексных функций
Ф7- (zj) или Wj (zj). В пределе при Zj, стремящемся к вершине тре-
трещины, скажем z0, на основании D.28), D.33) и D.39) получаем
138 Г. Си, Г. Либовиц
следующие формулы:
(^^) lim (Zi-
-Sl) lim (Zl-z0I/2<I4zi), D-41)
lim (zs - z0I/2 Фз (*8).
2:3 "^О
Коэффициенты кг и A2 можно найти также из функций *Р7- (z7-)
(/ = 1, 2) по формулам
lim(za-z0)I/2Y1(zs),
22-*z0 . D-42)
кг = 2 У2 (8i - st) lim (z2 - z0I/2 T, (z2). -
Для краевых задач, рассматриваемых в D.28), D.33) и D.39),
коэффициенты интенсивности напряжений равны
Подставляя D.40) в соответствующие выражения для напря-
напряжений и смещений [D.11), D.12), D.18) и D.19)], нетрудно пока-
показать, что каждый из коэффициентов к можно поставить в соответ-
соответствие с основными типами нагружения.
Плоское симметричное нагружение:
(У ki т> Г $lS2 / ?2 * si \~1
/о \^/^ I \ / & i * сх\ 1 /2 / i^vri сь i С11тл о\^-/^ /I
BrI/z L si~s2 D.4o)
х( ?i g2 \1
V CcosB4-5nsineI/2 rcosG4-^sinGI/2 / J '
И
(cosG-f-52sinG)
xy= fel Re Г SiS* I 1 —~ 1 шI
BгI/г . L «! — s2 \ (cosG + ^iSinGI72 (cos G + 52sinGI/z / -J
1 /9 С \ 1 /2
= /ci Br) Re < [^ip2 (cos в + 52 sin 8) —
— sapi (cos 8 -f- st sin 8I/2]) ,
i/9 r 1 1/2 D.44)
uy = kt BrI/2 Re \ — [siq2 (cos 6 + s2 sin 6I/z —
2
— stfi (cos 9 + Si sin 6I/2] |.
Гл. 2. Математическая теория хрупкого разрушения 139
Плоское кососимметричное нагружение:
1 ( Si si \1
i —s2 \ (cos6+ s2 sm6I/2 (cose+SiSineI72/J '
BгI/2
^"Re^r=:^X D.45)
(cos e + s2 sin 6I/2 (cos 9 + «i sin 9I/2 / J '
Rc 1 / Sj __i2__
BrI/2 L Si — s2 \ (cos6+ 5i sinBI/2 (cose + s2sin9I/2
— Pi (cos9 + Si sinB)m)\ ,
-«/o D.46)
1/2
— Qi (cos6 + Sisine) 1/2]\.
Продольный сдвиг:
о - кз
и
мг = к3 BrI/2(c44^55 ~4)/2 Im [(cos Q + s3 sin 6I/2]. D.48)
Первое важное обстоятельство, которое следует отметить, заклю-
заключается в том, что особенность напряжений в конце трещины
имеет порядок г/2. Этот результат противоречит результату
Чепкиса и Вильямса [6], получивших для полярно ортотропных
лластин особенности напряжений другого порядка. Кроме того,
распределение напряжений вблизи конца трещины зависит
от условий нагружения и конфигурации анизотропного тела,
а также от свойств материала. Группа соотношений D.43) —
D.48) описывает наиболее общее напряженное и деформирован-
деформированное состояние вблизи конца трещины в телах с прямолинейной
анизотропией.
140 Г. Си, Г. Либовиц
2. Вычисление энергии
Эквивалентность энергетического метода и метода, исполь-
использующего коэффициенты интенсивности напряжений, можно уста-
установить, подставляя в выражение для энергии соответствующие1
напряжения и смещения вблизи конца трещины, заданные
формулами D.43). Это было сделано Си, Парисом и Ирвином [67L
Здесь будет принят эквивалентный, но несколько иной подход.
Положим, что прямолинейная трещина раскрывается под
действием постоянного поверхностного давления р. Тогда,, рас-
рассматривая скачок смещения иу на трещине, можно вычислить
прирост энергии деформации, связанный с наличием трещины.
Величина этого скачка получается из D.12) и D.28):
где | х | ^ а и взят положительный квадратный корень. Тогда
энергия раскрытия трещины равна
-a
Дифференцируя W\ по а, получаем
где ki = pYa1 как определено в D.42). Из C.43) получаем ско-
скорость изменения энергии Gj в виде
D.49>
Так как трещины в материалах с анизотропией общего вида не
распространяются в одной плоскости, то этот результат до неко-
некоторой степени представляет собой академический интерес. Однако
если направление развития трещины устанавливается по направ-
направлению наименьшего сопротивления росту трещины, то направле-
направление распространения трещины коллинеарно ее первоначальному
направлению и вычисленное значение 6?х имеет смысл. В этом
случае система трещин называется ортотропной, а величины 8$
(] = 1, 2) являются корнями уравнения
ац8$ -Ь Ba12 + a66) s) + а22 = 0, / = 1, 2,
которое удовлетворяется, если
Гл. 2. Математическая теория хрупкого разрушения 141
Таким образом, D.49) принимает вид
2а+; ]1/2. D.51)
Скачок компоненты смещения их на трещине, находящейся
под действием однородного касательного напряжения д, легко
вычисляется из D.12) и D.33):
*4 — uZ = 2ацд (а2 — х2I/2 Im [st + s2].
Поэтому увеличение энергии деформации благодаря наличию
трещины равно
+а
-а
Подставляя выражение для производной от Wi в формулу C.43),
получаем
аи Im [*+*], D.52)
где к2 = дУ*а. Используя соотношение D.50), получаем значение G2
для ортотройного случая
В задаче о трещине, находящейся в условиях продольного
сдвига под действием однородного напряжения величины s, ком-
компонента смещения г^на трещине претерпевает разрыв. Подставляя
^4.39) в D.19) и беря положительное значение квадратного корня,
находим
Работа, затраченная на деформирование поверхностей трещины,
равна
-О
Предположим, что трещина распространяется в своей собствен-
собственной плоскости, и применим формулу C.43). Тогда получаем
выражение для G3 в виде
142 Г. Си, Г. Либовиц
которое сводится к выражению
если плоскость трещины совпадает с одной из плоскостей упругой
симметрии.
Необходимо подчеркнуть, что D.49), D.52) и D.54) представ-
представляют собой только приближенные выражения, так как при их
выводе предполагалось, что распространение трещины происходит
по линии самой трещины. Такое предположение, очевидно, не-
несправедливо для трещин в телах с анизотропией общего вида-
Г. Направление максимального напряжения
Для хрупкого разрушения в изотропном материале, находя-
находящемся под действием сложного напряженного состояния, Гриф-
Гриффите [14] установил, что «общим условием разрыва должно быть
достижение характерного растягивающего напряжения в конце*
одной из трещин». Как указывалось ранее, эта идея была под-
подтверждена Эрдоганом и Си [10], которые показали, что трещины
в хрупком изотропном материале растут из дефекта вдоль нормали
к направлению максимального растягивающего^ напряжения.
Поэтому было бы полезно определить максимальные напряжения
впереди трещины в анизотропном материале. Вычисленные зна-
значения будут наибольшими растягивающими напряжениями для
плоских задач и напряжениями сдвига для антиплоских задач.
Ради простоты достаточно рассмотреть ортотропную системут
в которой прямолинейная трещина совпадает с одной из плоско-
плоскостей упругой симметрии.
Для плоской симметричной задачи компоненты напряжения
D.43), выраженные в декартовых координатах, можно под-
подставить в соотношение
ае = (Jx sin2 6 + <Уу cos2 в — 2оху sin 0 cos 0
и, таким образом, определить gq:
2BrI/2 a -^ Rc / *i*2 f Г №Ч-^Ж^1 -s2) cos 26 + 2 sin 28 1
h 6 \ *i-*3 XL (cos8+s2sin8I/2 J
Г (^-F^ + K1-^) cos 28+2 sin 29 "П \ ,, ^
L @08 9+* sin в)"* -И/' ( ;
В ортотропном случае оси х ж у совпадают с главными направле-
направлениями, а комплексные параметры st и s2 являются корнямж
характеристического уравнения
ап$ + Bа12 + а66) *} + а22 = 0, / == 1, 2. D.57)
Гл. 2. Математическая теория хрупкого разрушения
14а
3,00
2,00
1,00-
40°
80° 100° 120°
0° 20°
Рис. 22. Зависимость растягивающего напряжения ф0 = 1) от угла 9.
.60°
в
Коэффициенты ап, а12 и т. д. можно связать с так называемыми
главными упругими постоянными Еи Е2 и т. д. следующим
образом:
1 1 ViO Vo4 I
Здесь Е\, Е2 — модули Юнга, v12, v2i—коэффициенты Пуассона
и |л12 — модуль сдвига. Корни уравнения D.57) при
таковы, что
= — а0,
где
1/2
На рис. 22 построены зависимости окружного напряжения oQ
из D.56) от угла 9 для различных значений упругих постоянных
а0, р0. Кривые, приведенные на рис. 22, показывают, что для
значений ао = 2, р0 — 1 максимальное напряжение достигается
на двух радиальных плоскостях по обе стороны плоскости тре-
трещины, а не на плоскости самой трещины.
Аналогичные вычисления можно выполнить также для слу-
случая, когда трещина, расположенная в анизотропном цилиндре,
находится в условиях продольного сдвига (антиплоская дефор-
144
Г. Си, Г. Либовиц
2,00-
?l « loo
t „ I
^4^,025
I I
-10
4
\
I I
0° 20° 40° 60° 80° 100° 120° 140° 160° 180°*
в
Рис. 23. Зависимость касательного напряжения от угла 6.
мация). После преобразования выражения D.47) в соответствии
с формулой
ffez = Gyz °os 6 — oxz sin 0
получаем касательное напряжение aQz на произвольной ради-
радиальной плоскости в виде
— oez = [cos e + (cos2 9 + y02 sin2 9I/2]1/2.
D.58)
Комплексный параметр s3 в D.47) равен iyOi где для ортотропного
случая] 7о = (сьь/сиI/2 и с& = О/Углы 90, при которых aQz макси-
максимально, можно найти из D.58), полагая, что daQz/dQ = 0 при
0 = 0О. Поэтому 0О определяется из уравнения
2 +
Э„ =
D.59)
Видно, что если Yo > V, то касательное напряжение достигает
максимальных значений по обе стороны от плоскости трещины.
Зависимость a6z от угла 0 для различных значений у0 пока-
показана на рис. 23.
V. ТЕОРИЯ ТРЕЩИН В ТРЕХМЕРНЫХ ТЕЛАХ
Для решения задачи о распространении трещины в случае
общего напряженного состояния желательно построить такую
континуальную модель, в которой трещина имела бы некоторую
Гл. 2. Математическая теория хрупкого разрушения 145
подходящую трехмерную форму. Существуют решения для диско-
дискообразной трещины в двух частных случаях. Снеддон [70] и Зак
[48] получили решение для случая, когда круговая трещина
растягивается равномерным напряжением, приложенным перпен-
перпендикулярно плоскости трещины, а Сегедин [51] дал решение для
случая, когда трещина подвержена однородному сдвигу, дей-
действующему параллельно плоскости трещины. Однако круговая
форма трещины чересчур ограничительна в том смысле, что ее
радиус кривизны всюду постоянен.
Более общей и реалистичной является форма эллиптической
поверхности разрыва, в которой изменением эллиптичности можно
реализовать различную степень кривизны границы трещины.
Это означает, что качественный характер напряженного состоя-
состояния вблизи эллиптической трещины сохраняется для любой
трехмерной трещины, имеющей гладкую границу. В явном
виде напряжения и смещения вблизи трещины такой формы
были найдены в общем случае Кассиром и Си [22], которые также
приближенно вычислили гриффитсовское разрушающее напряжение
для плоской эллиптической трещины [24]. Их результаты значи-
значительно облегчили путь к более общему применению концепций
теории хрупкого разрушения к трехмерным трещинам. Работа
[24] основывается на решениях в потенциалах Грина и Снеддона
[12], полученных для задачи об эллиптической трещине в поле
равномерного растяжениями Кассира и Си [22] для той же гео-
геометрии, но для случая однородного сдвига.
А. Решение уравнений Навье при наличии поверхности разрыва
Предположим, что в плоскости z = 0 в бесконечном теле
расположена поверхность разрыва (х, у, z — прямоугольные
декартовы координаты). Без учета массовых сил уравнения равно-
равновесия Навье в смещениях имеют вид
-
где е — объемное расширение:
E.1)
__ дих . диу , ди2
dz
a V2 — оператор Лапласа:
« д2 . д2 , а2
we — I j
дх ^ ду2 dz2
10—0700
146 Г. Си, Г. Либовиц
Трефц [75] показал, что решение уравнений E.1) при наличии
площадки разрыва, расположенной в плоскости ху, можно выра-
выразить через функции ср*, фу, ф2 и г|):
*Ьс=фх+2-Ц, иу = фу + 2-^-, UZ = 4Z + Z^, E.2)
где гармонические функции фж, фу, ф2 и г|э, удовлетворяющие
уравнениям
У2Ф* (ж, г/, z) = 0, У2Фг, (ж, г/, z) = 0, У2Ф* (#, У, z) = О,
V2i|) (ж, у, z) = О,
связаны между собой соотношением
Соотношения, связывающие, согласно закону Гука, напряжения
и смещения, имеют вид
Ох _ дих j. у Gyz __ диу duz
°У = диУ
l-2v 6'
2[х ду ' 1—2v
В задачах, в которых приложенные напряжения симметричны
относительно плоскости z = О, компоненты смещений их, иу
являются четными функциями от z, a uz — нечетной функцией
от z. Кроме того, касательные напряжения axz и Gyz равняются
нулю на плоскости z = 0. В кососимметричных задачах их, иу —
нечетные функции от z, a u2 — четная функция от z. Следова-
Следовательно, нормальное напряжение oz равно нулю при z = 0. В обеих
этих задачах требуется, чтобы смещения и напряжения на пло-
плоскости z = 0 вне поверхности разрыва были бы непрерывны.
Из этого следует, что все величины, нечетные по z, должны рав-
равняться нулю на той же плоскости. Чтобы применить эти условия
симметрии, достаточно вычислить компоненты напряжений 0г,
Gyz, Gzxi подставив E.2) в E.4). В результате получаем
~~ 1—2v \
дх f ду )~г 1—2v dz
[i дх ' dz '
Гл, 2, Математическая теория хрупкого разрушения 147
1. Симметричная задача
Вследствие симметрии системы напряжений по отношению
к плоскости, содержащей поверхность разрыва, гармонические
функции фос, фу, cpz и i|? должны выбираться таким образом, чтобы
выполнялись условия
>vz
— ozx = 0 при z — О,
а компоненты смещений вдали от плоскости разрыва должны
быть ограниченными. Предполагая, что обе производные dhp/dxdz
и d2ip/dydz остаются конечными при z -> 0, введем гармониче-
гармоническую функцию / (х, у, z) так, чтобы функции
E.6)
удовлетворяли условиям
дх { dz ' ' ду х д% '
и соотношению E.3). Подставляя E.6) в E.2), получаем выраже-
выражения для смещений
по которым легко определяются напряжения:
дЧ *!L-Z d3f
2fx
Gzx
2. Кососимметричная задача
В кососимметричной задаче гармонические функции ц>х, фу,
Ф2 и-ф должны выбираться так, чтобы выполнялось уравнение E.3),
условие az = 0 при z = 0 и обеспечивалась конечность смещений
вдали от плоскости разрыва. Предполагая, что d2ty/dz2 остается
10*
148 Г. Си, Г. Либовиц
конечной при z ->- 0, приведенные выше условия можно выразить
в виде
(+) + (
Вычитая из первого уравнения второе, получаем
,5.10)
Чтобы упростить последующие вычисления, введем гармонические
функции g(x, у, %) и h (х, у, z) так, чтобы
Фж=-2A-^-|-, 9s,= -2(l-v)f- E.11)
причем
iV2g (х, у, z) = 0, V% (ж, г/, г) = 0.
Используя E.11) и интегрируя уравнение E.10), получаем функ-
функцию i|) в виде
Постоянная интегрирования несущественна, и она опущена.
Для выполнения уравнений E.9) необходимо, чтобы
Поэтому в кососимметричной задаче поле смещений можно эписать
двумя действительными функциями:
и,—2Xl-v)i+i(||+t),
fi(ff) E.12)
Подставляя E.12) в E.4), получаем выражения для напряжений:
[ZL - 2М vi-^- 2v M I \ \ z (dg I dh
Гл. 2. Математическая теория хрупкого разрушения
149
(
дх \ дх
ду
ду
М v\ д ( дё i дН \ | - д2 ( д$ I dh \
"" К ' dz \ ду ^ дх ) •"Ъ дх ду \ дх ' ду } *
Этим завершается рассмотрение задач о трещинах в трехмерных
телах, в которых нагрузка приложена симметрично или (и) косо-
симметрично относительно плоскости разрыва.
Б# Бесконечное тело с эллиптической поверхностью разрыва
Задачу о теле с эллиптической поверхностью разрыва (рис. 24),
определяемой уравнением
будем решать, используя симметричную форму эллиптических
координат ?, т|, ?, которые получаются как корни а приводимого
Уиттекером и Ватсоном [78] уравнения любой софокусной с
эллипсом поверхности второго порядка
\
Z
а
В!]этом уравнении
—а2
—Ь2 <
0
оо,
а большая и малая полуоси эллипса обозначены соответственно
через а и Ь. Переменные ?, т], ^ представляют собой ортогональ-
ортогональную криволинейную систему эллипсоидальных координат, где
| = const — семейство эллипсоидов; поверхности т) = const —
однополостные гиперболоиды, а ? = const — двуполостные гипер-
гиперболоиды. Эти три софокусные поверхности проходят через каждую
точку трехмерного пространства. Можно показать, что ?, т), ?
связаны с прямоугольными декартовыми координатами х, у, z
Рис. 24. Эллиптическая трещина в твердом теле.
150 Г. Си, Г. Либовиц
следующими соотношениями:
а2 {а2 - Ъ2) х2 = (а2 + g) (а2 + т)) (а2 + ?),
Ь2 (&2 - а2) ^2 = (Ь2 + I) (Ь2 + ч) (&2 + 0, E.14)
При этом ? = 0 и г| = О определяют точки плоскости z = 0 с коор-
координатами х, у, расположенные соответственно внутри и вне эллип-
эллипса х2/а2 + у21Ъ2 = 1. Точки на границе эллипса определяются
условиями ? = т| = 0. Для дальнейших ссылок запишем частные
производные ?» Л» ? по я, у, z:
д% х 81 = у dl z
дх 2(аа + |)Л| ' ду 2(fca + ?)A}' dz 2\h\'
дх ~ 2(a*-\-r))hl ' ду~ 2(b*+r\)hl> dz
дх 2
Здесь коэффициенты Ламе /гь А2, /^з имеют вид
».»_ (Е—^0F—Р
1
^ (С—Е)(С—
3
1. Эллиптическая трещина, находящаяся под действием
внутреннего давления
Грин и Снеддон [12] решили задачу о плоской эллиптической
трещине при следующих условиях:
oz = —p, g = 0; w2 = 0, т)=0. E.16)
Они нашли, что единственная (с точностью до постоянного множи-
множителя) неизвестная в задаче функция / (х, у, z) эквивалентна
гравитационному потенциалу вне однородной эллиптической пла-
пластины, т. е.
,, ч А
/()
где
7 (а) = [а (а2 + а) (Ь2 + а)]1/*.
Для вычисления постоянной А целесообразно выразить некото-
некоторые интегралы через эллиптические функции Якоби при помощи
преобразования
I = a2 en2 u/sn2 и = a2 (sn~2 u—i).
Гл. 2, Математическая теория хрупкого разрушения 151
Эллиптическая функция Якоби sn и имеет действительный и мни-
мнимый периоды,4 равные АК и 2iK' соответственно, которые отве-
отвечают модулю к и дополнительному модулю к', причем
а переменная и принимает действительные значения в интервале
между 0 ж К. Функция сп и имеет периоды 4К и ЫК. Дифферен-
Дифференцируя E.17) по z, получаем
df 2A%
спи
где
Е
и
(и)=\
о
Действительный и мнимый периоды эллиптической функции Яко-
Якоби dn и равны 2К и ПК' соответственно. Из дифференцирования
dfldz следует равенство
d2f -A {
F—0 («»
которое при подстановке в выражение для gz из E.8) при ? = О
is. и — К дает
где ,Б (/с) — полный эллиптический интеграл второго рода.
Из E.16) очевидно, что
А=-^%-. E.18)
Далее, непосредственными вычислениями можно найти смещения
и напряжения в любой точке среды. Например, через эллипсои-
эллипсоидальные координаты ?, т), ? смещения выражаются следующим
образом:
F—л)F—0(«4-6)
1/a
—-п) (i—
1
152 Г. Си, Г. Либовиц
спи
l/2
«(Е—-n) (g—D («2+iI/2 (Ь2+ёI/2
Аналогичным образом можно найти компоненты напряжений, но
так как окончательные выражения несколько громоздки, то они
здесь приводиться не будут.
2. Эллиптическая трещина в условиях сдвига
В случае когда к поверхности трещины приложены равные
и противоположно направленные напряжения сдвига величиной q
под углом со к главной оси эллипса, граничные условия прини-
принимают вид
Qyz — —Я sin 0, azx = —q cos со при g = 0;
их = uv = 0 при т) = 0. E.20)
Для этой задачи Кассир и Си [22] ввели потенциалы
T х* у*} z* 11 do 52
rg(x,yiZ)l_l_FBl T
lh(x, if,-*)J— 2 1С J J
Выражая условия E.20) в виде
д I dg . dh \ v, v d2g q cos со *. ^
и вычисляя производные
и т. д., можно, подставляя E.21) r E.22), вычислить постоянные
В и С. В результате имеем
ab2k2q cos со
ab2k2q sin со
) — vk'2K (k) '
где #(&) — полный эллиптический интеграл первого рода.
Гл. 2, Математическая теория хрупкого разрушения 153
Выражение E.21) можно подставить теперь в E.12), что и дает
2Bz
2A . щи dim
>
спи
E-23)
спи dnwj (!_.,,) (|_?)F2_|_gK/2
Как только известны смещения, вычисление напряжений
в любой точке тела не представляет труда.
В. Условия вблизи границы трещины
Аналитические результаты, полученные ранее, полезны при
объяснении механики начала разрушения. С этой целью иссле-
исследуем условия вблизи границы трещины. Для определения полей
смещений и напряжений вблизи границы эллиптической полости
разрыва в бесконечном теле нужно уметь переходить в пределе
от эллипсоидальных координат ?, tj, ? к полярным координатам
г, 0, которые удобно ввести в плоскости, перпендикулярной
границе трещины (рис. 25). Для установления соотношений
между ?, т), ? и г, 9 построим эллипс с полуосями
а1 = а + г cos 0, - Ъ1 = Ъ + г cos 0,
где г очень мало по сравнению саиб. Длина РР' (или г cos 0)
(см. рис. 26) изображает проекцию радиуса г на направление
бинормали, как показано на рис. 25. Из рис. 26 видно, что коор-
координаты любой точки Р' (#, у) на эллипсе х2/а'2 + г/2/Ь'2 = 1
154
Г. Си, Г. Либовиц
Граница
трещины
Рис. 25. Напряженное состояние вблизи границы трещины.
Нормаль
Рис. 26. Полярные координаты, измеряемые от края «рещины.
выражаются соотношениями
х = a cos ф + г cos 8 cos 8*, /г «/ч
у = Ъ sin ф + г cos 6 sin 8', ^ ' '
где 6' — угол между внешней единичной нормалью к границе
эллипса х2/а2 + у2/Ь2 = 1 и осью х, а ф — угол, определяющий
параметрические координаты точки на эллипсе. Легко показать,
что угол 6' связан с параметрическими уравнениями эллипса
Гл. 2, Математическая теория хрупкого разрушения 155
следующим образом:
a sin ф = По/2 sin 0', Ъ cos <р = По/? cos 9', E.25)
где
По = a2 sin2 ф + Ь2 cos2 ср.
Далее, точка г, 0 на плоскости nz (рис. 25) эквивалентна точке
х, у, z, где выражения для х, у даются соотношениями E.24), а
z = r sin 0.
Складывая выражения E.14), получаем
х2 + г/2 + z* = I + т| + ? + а» + Ь2
и поэтому
Так как ? = т| = 0 соответствует г = 0, т. е. точке на границе
эллипса, то
Е+Т1=7^ГСО8Э+г2 E-26)
Е = -По. E.27)
Кроме того, из E.14) находим второе соотношение, связываю-
связывающее I и т):
Подставляя E.28) в E.26), получаем квадратное уравнение
Его корни равны
в. 2а& « 9 2аб
|СО8 п
6 /г ол\
1 ( }
где членами порядка выше г пренебрегают. Следовательно, выра-
выражения E.29) справедливы только непосредственно вблизи границы
эллипса я2/а2 + У2/Ь2 = 1.
1. Коэффициенты интенсивности напряжений
Основываясь на решении Грина и Снеддона [12], Ирвин вычис-
вычислил коэффициент интенсивности напряжений къ относящийся
к разрушению типа нормального отрыва для плоской эллиптиче-
эллиптической трещины, находящейся под действием однородного растяги-
растягивающего напряжения, приложенного перпендикулярно трещине.
156 Г. Си, Г. Либовиц
В своих вычислениях Ирвин использовал тот факт, что трещина,
раскрываемая нормальным растяжением, превращается в эллип-
эллипсоидальную поверхность. Другими словами, коэффициенты интен-
интенсивности напряжений можно найти из выражений для напряже-
напряжений. Для иллюстрации этого подставим E.17) в выражение для az
из E.8). Окончательное значение az, вычисленное на плоскости
z = 0 при т) = 0 (вне эллиптической трещины), равно
/ \ SI1
. Ъ~~ Е{к)
В пределе при ? -> 0 функция Е (и) приводится к полному эллип-
эллиптическому интегралу второго рода Е (&), a (sn и cn u)/dn и равно
нулю. Кроме того, зная предельное выражение E.29) для |,
получаем при 0 = 0 вблизи границы трещины следующее выраже-
выражение для gz:
Коэффициент при Bг)/2 дает коэффициент интенсивности напря-
напряжений
Щ (I/2(
(тI/2(fl2sin2(р+Ь2cos2(p I/4• E-3°)
Для круглой трещины а = 6, Е(к)~п/2 и E#30) принимает вид
На рис. 27 приведены зависимости коэффициента интенсивно-
интенсивности напряжений къ вычисленного согласно E.30), от угла <р для
различных значений alb. Заметим, что наибольшее значение кг
достигается в точках пересечения границы трещины с малой
осью эллипса, где наиболее вероятен рост трещины. Поэтому
при возрастании на поверхностях эллиптической трещины давле-
давления р она, по-видимому, будет распространяться так, чтобы ее
граница приняла форму окружности. Другое замечание, которое
следует сделать, заключается в том, что, когда отношение alb
принимает очень большие значения, эллиптическая в плане
трещина становится удлиненной, а напряженное состояние вблизи
ее границы приближается к напряженному состоянию, соответ-
соответствующему модели двумерной трещины Гриффитса длиной 26,
находящейся в условиях плоской деформации. В частности, на
рис. 27 показано, что для больших значений alb иф = 90° коэф-
коэффициент кг стремится к значению р ]/&, которое соответствует
коэффициенту интенсивности напряжений для симметричного
роста бесконечно тонкой трещины.
Гл9 2. Математическая теория хрупкого разрушения
157
l,UU
0,90
0,80
0,70
, 0,60
^0,50
0,40
0,30
0,20
0,10
n
/
-
-
i i
0°
15°
30°
45° 60° 75° 90°
Рис. 27. Коэффициент интенсивности напряжений при нормальном отрыве.
Горизонталь» соответствующая а/Ь=1, имеет ординату 2/л.
Если по отношению к поверхностям трещины нагрузки при-
приложены кососимметрично, то форма растущей трещины уже не
очевидна. По этой причине коэффициенты интенсивности напряже-
напряжений Л2, &з Для эллиптической трещины, находящейся под дей-
действием усилий сдвига, можно найти только из рассмотрения
локальных напряжений. Для определения к2 и к3 достаточно
найти вне эллипса на плоскости z = 0, т. е. при т] = 0, напряже-
напряжения сдвига oxz и Gyz. Из уравнений E.13) и E.21) находим
E.31)
158 Г. Си, Г. Либовиц
где функции Z)o E, ?), А (?, ?) и ?>2 E. ?) имеют вид
Л /t ^_ 2vC[
1 *(*Я+Р 1
1 у(д'+О I
+ g (g_0 («2-62) J •
gl/2
Нормальную и тангенциальную компоненты напряжений сдвига
ffnz» atz можно получить, рассматривая равновесие треугольного
элемента, расположенного на границе трещины в плоскости
z = 0. Это приводит к равенствам
Gnz = <*xz COS 0' + Gyz Sin 0', ,r д2)
Gtz =— aaz sin 0' + <bz cos 0', v • /
где 0'—угол, определяемый формулами E.25).
При помощи выражений E.27) и E.29) — E.32) находим
напряжения сдвига вблизи эллиптической границы
{аС sin ф+ъв cos ф) W^+°(г0)'
E.33)
из которых определяем коэффициенты интенсивности напряже-
напряжений к2, к3:
Ь* = — («6K/2^174- (aC sin Ч5 + ЬВ cos (P)'
° E-34)
Для случая дискообразной трещины эти выражения значительно
упрощаются, так как при а = Ъ имеем
[В ~\ а3д Г cos со П
С \~~ n\xB — v) L sin со J '
а соотношения E.34) принимают вид
7 4gcosco лг— 7 4A—
Ь^ Уа к =
Из соотношений E.34) следует, что в трехмерной задаче об
эллиптической трещине, находящейся в условиях кососимме-
тричного нагружения, одновременно существуют оба типа пере-
перемещения поверхностей трещины, определяемых поперечным и про-
продольным сдвигом. Если линия действия приложенного напряже-
Гл. 2. Математическая теория хрупкого разрушения
159
к
r,uu
0,90
0,80
0,70
0,60
0,40
0,30
0,20
0,10
П
-
\ х
z
х а ——*-
)>=1/3, ^=0°
i i"*^^^
~0° 15° 30° 45° 60° 75° 90°
Рис. 28. Коэффициент интенсивности напряжений при поперечном сдвиге,
ния сдвига направлена вдоль главной оси эллипса, т. е. со = О
и С = 0, то при ф = 0° величина к3 равна нулю. Тогда имеем
ya[(k*—v)E(k) + vk'*K(k)]
С другой стороны, при ф = 90° величина к2 будет равна нулю,
что соответствует состоянию чистого продольного сдига:
О ь.
В общем случае зависимости kj (/ = 2, 3) от ф для v = 1/3,
со = 0 и различных значений alb представлены графиками на рис. 28
и 29. Для больших отношений alb и ф = 90° величины к2 и кг
уменьшаются до 0 и —q Yb, что соответствует решению двумер-
двумерной задачи о трещине, находящейся в условиях продольного
сдвига.
Необходимо отметить, что в кососимметричной задаче без
знания критических значений коэффициентов интенсивности
напряжений &2, к3 не ясно, какой из них или какая их комбина-
160
Г. Си, Г. Либовиц
0° 15° 30° 45° 60° 75° 90*
-1,00
Рис. 29. Коэффициент интенсивности напряжений при продольном сдвиге.
ция определяет момент (начало) быстрого разрушения. Таким
образом, заранее не очевидны ни точка на границе трещины,
в которой начнется разрушение, ни форма, которую при росте
примет трещина. Следовательно, критерий разрушения должен
выражаться через комбинацию к21 &3, т. е. иметь форму
которая означает, что неустойчивое развитие трещины происхо-
происходит в том случае, когда комбинация к21 к3 достигает некоторого
критического значения /кр. Такие данные должны определяться
экспериментально
2. Локальные смещения и напряжения
На основании полученных соотношений, связывающих орто-
ортогональную систему координат |, т], ? с полярными координатами
г, 0 (рис. 25), из E.19) и E.23) можно определить пространственное
поле смещений вблизи площадки разрыва, ограниченной гладкой
кривой. Далее, непосредственно из соотношений, связывающих
Гл. 2. Математическая теория хрупкого разрушения 161
напряжения и деформации, получаем локальное поле напряжений
v Gtz dut duz
dz ~ 1 —2v
где е выражается в виде
e —
Компоненты смещений ип, щ, uz в выражениях E.35) относятся
к локальной системе координат тг, t, z, как показано на рис. 25;
формулы перехода от компонент их, иу к иП1 щ имеют вид
ип = их cos 0е + иу sin 0', E.36)
щ = —их sin 0' + иу cos 0',
а компонента и2 не изменяется при таком ортогональном пре-
преобразовании координат. Используя предельные значения E.27)
и E.29) для ?, т|, t и подставляя их, иу из E.19) и E.23) в E.36),
получаем следующие выражения для компонент локальных сме-
смещений:
-*«<*>1/2.~-4[A.
sin-^r^d—v) .
E.37)
![2(l_v)-cos*|-]-
. cosy [(l-2v) +sin*-|
Ш
I/2 . e
sm
где пренебрегаем членами порядка О (г). Как и следовало ожи-
ожидать, более общий вид смещений трехмерной границы трещины
имеет аналоги в соответствующих двумерных задачах о трещинах,
находящихся в условиях плоского растяжения и продольного
сдвига. Видно, что выражения E.37) являются линейной комби-
комбинацией трех отдельных полей смещений, каждое из которых имеет
свой коэффициент интенсивности напряжений. В самом деле, зави-
зависимость этих трех полей смещений от г и 0 можно получить, сложив
выражения C.15), C.17) при х = 3—4v, т. е. для случая плоской
деформации, и C.34). Различие заключается в том, что для трех-
трехмерных задач коэффициенты интенсивности напряжений kj (/ =
= 1, 2, 3) зависят от кривизны контура трещины.
11-0700
162 Г. Си, Г. Либовиц
Раз известны смещения ип, щ, uz, то, продифференцировав их,
можно вычислить локальные напряжения оп, аь . . ., ant. После
перехода от независимых переменных п, t, z к переменным г, t, 8,
связанным с ними соотношениями
п = г cos 8, 2 = г sin 6, t = t,
выражения E.35) можно записать в виде
Далее, подставляя выражения E.37) в E.38) и производя алгебраи-
алгебраические преобразования, получаем наиболее общее пространствен-
пространственное распределение напряжений вокруг плоской трещины:
E.39)
Гл. 2. Математическая теория хрупкого разрушения 163
59
Сравнивая выражения для напряжений в E.39) с выражениями
C.14), C.16) и C.33), видим, что для любой малой области, окру-
окружающей внешнюю границу площадки разрыва, напряжения
локально соответствуют напряженному состоянию, возникающему
при продольном сдвиге, наложенному на напряженное состояние,
соответствующее плоской деформации. Отметим, что напряжения
0П, 0*, Gz удовлетворяют соотношению
ot = v (crn + a2),
которое хорошо известно из двумерных задач плоской деформа-
деформации. Далее, выражения E.39) означают, что детали строения
поля напряжений в зависимости от г и 0 остаются без изменения,
когда пространственная ортогональная система координат тг, Z, z,
изображенная на рис. 25, движется вдоль границы трещины любой
произвольной формы. Острые края (например, углы) на границе
трещины следует исключить из рассмотрения, так как в таких
местах могут существовать особенности напряжений иного поряд-
порядка, чем г"/2, и, следовательно, уравнения E.39) больше не спра-
справедливы. Однако ортогональная система должна образовывать
трехгранник таким образом, чтобы его оси п, ?, z всегда совпадали
с бинормалью, касательной и главной нормалью к кривой соот-
соответственно.
Г. Теория Гриффитса в трехмерном пространстве
Формулы E.19) и E.23) показывают, что, как и в двумерном
случае, в трехмерном случае смещения становятся неограничен-
неограниченными на бесконечности, где приложены внешние нагрузки. Сле-
Следовательно, для оценки понижения прочности твердого тела
из-за наличия в нем трещин или дефектов необходимо уделить
особое внимание вычислению функции энергии деформации.
Изложим прямой метод нахождения изменения энергии дефор-
деформации за счет пространственной трещины, находящейся под дей-
действием приложенных на бесконечности нагрузок. Этот метод
основан на представлении напряжений и смещений в зависимости
от радиуса Ro большой сферы, окружающей трещину, причем
на этой сферической поверхности напряжения или смещения
выбираются соответствующими заданным при Ro -> оо гранич-
11*
164 Г. Си, Г. Либовиц
ным условиям. Поэтому необходимо установить соотношения
между эллипсоидальными координатами ?, т), ? E.14) и сфериче-
сферическими координатами Л, 8, ф, которые можно связать с декарто-
декартовыми координатами х% у, z посредством отображения
х — R sin 8 cos ф, у = Л sin 8 sin ф, z = Л cos 8. E.40)
Угол ф изменяется между 0 и 2я, угол 8 — между 0 и я, а Л —
величина существенно положительная и изменяется от 0 до оо.
Допустим, что форма трещины — плоский эллипс х2/а2 +
+ y2lb2 = 1. Тогда, складывая соотношения E.14) и используя
E.40), можно легко получить
I + г] + ? = х2 + у2 + z2 - а2 - Ъ2 = Л2 - {а2 + б2),
1Ц1 = a2b2z2 = (abR cos 8J. E.41)
При помощи соотношения E.27) отсюда можно исключить ?,
после чего имеем
I + П = Л2 - Пх, 1ц = -П2Л2 cos28,
где E.42)
Ui = a2 cos2 ф + Ъ2 sin2 ср, П2 = » . 9 а, ,а—z—.
1 т • Y> z a2 sm2 ф+62 cos2 ф
Из E.42) получаем квадратное уравнение относительно к:
с корнями
5 = Л2 - (Пх + П2 cos2 8) + О (Л-2), г) = Пх cos2 8+0 (Л).
Для больших по сравнению с а или Ъ значений Л справедливы
следующие приближенные формулы:
I « Л2, л « ? « 0. E.43)
Вид, который принимают в пределе эллиптические функции Яко-
би, следует непосредственно из E.43). Имеем
snu = a/R + 0 (Л), сп и = 1 + О (Л~2), dn и = 1 + О (Л"),
д можно также проверить, что
Эти результаты будут впоследствии использоваться при разложе-
разложении выражений для напряжений и смещений по возрастающим
степеням a/R.
Гл. 2. Математическая теория хрупкого разрушения 165
1. Функция энергии деформации
Выражение для общей энергии деформации, накопленной
в трехмерном теле [30], через компоненты напряжений и смеще-
смещений в прямоугольных координатах имеет следующий вид:
w
+ ff«(if+TE
где dV = dx dy dz. На основании теоремы Стокса [3] можно уста-
установить следующие соотношения:
дМ f Г
-^ х у Z_y
-^—dxdydz= \ \ MriydS, E.45)
D
1 И 1ST d;r dj/ dz= И MWzd5'
Здесь предполагается, что М (х, у, z) обладает частными произ-
производными первого порядка, непрерывными в области F, ограничен-
ограниченной замкнутой поверхностью D с единичной внешней нормалью
п (пх, пу, nz). Полагая в E.45) М (х, г/, z)= f (х, у, z) g (x, у, z),
получаем
J J J f2Ldxdydz = \- J j J g^dxdydz+ J J fgn*dS,
V V D
111 fwdxdydz= ~ J И S-^dxdydz+ { J fgnydS,
V V D
j j j f-§-dxdydz= - j j J ^-g-ctedir& +j j fgnzdS.
V V D
j j j j J j j
V V D
Принимая во внимание эти соотношения, получаем из E.44) выра-
выражение для функции энергии деформации W в виде
а*у
dozy doz
+
у J J [W* (^зсЛх + СГ^Пу + Gxznz) +
D
+ uy {вухПх + (УуПу -j- <Уу2Пг) + Uz (Oxznx + (XZ2/%
166 Г. Си, Г. Либовиц
Кроме того, если отсутствуют массовые силы, то, согласно ура-
уравнениям равновесия
dGxy д<5у
дх + ду *"
до7~ доту
дх * ду ^ dz ~
и W приводится к виду
W = у J J [^ (or^x + aXyny + oxznz) +
+ uv (<Уухпх + аЛ -f ау2л2) + wz (az3Cwx + azyny + oznz)] dS. E.46)
Интегрирование в E.46) должно выполняться по ортогональ-
ортогональным поверхностям х = const, у = const, z = const. Чтобы облег-
облегчить вычисление W, перейдем в уравнении E.46) к сферическим
координатам, введя ортонормированный правосторонний базис
с единичными векторами ей, ее, еф, направленными соответствен-
соответственно по направлениям возрастания координат R, 0, ф. Аналогичным
образом поставим в соответствие прямоугольным координатам
х, у, z единичные векторы еЛ, е^, ez, которые связаны с ея, ее, еф
соотношениями
ех = ек sin 8 cos ф + ее cos 0 cos ф — еф sin ф,
еу = ек sin 6 sin Ф + ее cos в sin ф + еф cos ф, E.47)
ez = ея cos ^ — ее sin 6-
Исходя из равенства
п = пхех + пуеу + nzez = nReR + nQeQ + % еф,
получаем следующие соотношения между компонентами п в двух
системах координат:
пх = nR sin 9 c°s Ф + ^е cos 6 cos Ф — % sin Ф>
пу = nR sin 0 sin ф + jzq cos 0 sin ф + /гф cos ф, E.48)
nz = nR cos 6 — ^e sin 6«
Для смещений и напряжений используются аналогичные соотно-
соотношения (они здесь не приводятся). G этого момента сферические
компоненты вектора смещений будем обозначать через uR, uQ, иф,
а тензора напряжений через сгн, сг9, . . ., сгн9. Далее предполо-
предположим, что D — сферическая поверхность радиусом Ro. Тогда на D
имеем n = nReR, dS = Щ sin 0 dQ dtp и выражение для энергии
Гл. 2. Математическая теория хрупкого разрушения
167
деформации принимает вид
2я я
О
Sin
E-49)
О О
что равно работе, совершенной нагрузками на поверхности R=R0>
При рассмотрении бесконечного тела, нагруженного на бесконеч-
бесконечности, радиус RQ сферической поверхности, окружающей трещину,
предполагается большим по сравнению с характерным размером
трещины. Следовательно, поверхностные нагрузки достаточно опре-
определить вплоть до членов порядка R^3, а смещения до. R~2, так
как члены в W с отрицательными степенями Ro стремятся к нулю
при Л о, стремящемся к бесконечности.
2. Разложение в ряд выражений для смещений и напряжений
Рассмотрим бесконечное тело, внутри которого расположена
плоская эллиптическая трещина. На бесконечности одновременно
приложены равномерно распределенные растягивающие напряже-
напряжения и напряжения сдвига, как показано на рис. 30. Для этой
задачи решение можно получить суперпозицией решений двух
отдельных задач:
Задача (i). Внешняя нагрузка исходной задачи приложена
на бесконечности к сплошному телу.
Задача (И). К поверхности эллиптической трещины, распо-
расположенной в бесконечном теле, приложены нормальные и каса-
касательные усилия, равные по величине и противоположные по знаку
полученным в задаче (i) в месте расположения плоского эллипса.
/7ГПС/.1 I 7
Рис. 30. Эллиптическая трещина под действием растяжения и сдвига на бес-
бесконечности.
168 Г. Си, Г. Либовиц
В результате суперпозиции напряженных состояний двух
задач поверхности трещины окажутся свободными от усилий.
Впоследствии напряжения и смещения для первой и второй задач
будем различать верхними индексами 1 и 2 соответственно. Для
ясности разделим также задачу на симметричную и кососимме-
тричную части.
Симметричная часть — это задача об эллиптической трещине
в твердом теле, находящемся при следующих условиях нагруже-
ния на бесконечности (рис. 30):
ох = 8iP? оу = 82Р, gz = р. E.50)
В случае когда трещины нет, поле смещений принимает вид
7|A) п ~. т.A) _ 7. ,.A) _ /С ?Л\
U>x "~" i. ? У — ^2t/? vuZ ~~~ U/o&) itJ.Oxl
где постоянные а, (/ = 1,2,3) определяются следующим образом:
аг = (р/Е) [вг - v A + е2)Ь а2 = (р/Е) [е2 — v A + 8Х)],
а3 = (р/Е) [1 - v (Cl + 82)].
Подставляя E.51) в формулы преобразования
uR = Wjc sin 0 cos ф + wy sin 0 sin ф + uz cos 0,
uQ = u^ cos 0 cos ф + uy cos 0 sin ф — uz sin 0, E.52)
иф = —ux sin ф + uy cos ф,
получаем выражения для компонент смещений в сферических
координатах:
и% = (Л/3) [(az + 2at cos2 ф + 2а2 sin2 ф) Ро (cos 9) +
+ 2 (az — ai cos2 ф — a2 sin2 ф) Р2 (cos 9)],
uff = Л (a4 cos2 ф + a2 sin2 ф — a3) sin 0 cos 0, E.53)
u{jP = R(u2 — ui) sin 0 sin ф cos ф.
В выражениях E.53) P0(cosQ) и P2(cos0) — полиномы Лежандра
нулевой и второй степени соответственно:
А
Р (cos 0^ = 1 Р (cos 0) = —- C cos2 0 1)
Из соотношений, связывающих напряжения и деформации:
or __ duR . v 1 f 1 д__ . „2 . , 1 г д
"^ ал »
Лвтв ф Л" ' ^Л '
Гл. 2. Математическая теория хрупкого разрушения 169
находим
<s(r ~ (р/3) [A + 28f cos2 ф + 2е2 sin2 ф) Ро (cos в) +
+ 2 A — 84 cos2 ф — 82 sin2 ф) Р2 (cos 8)],
o%b = Р (ei cos2 ф + е2 sin2 ф— 1) sin 6 cos 9,
сёф = р (е2— 80 sin ^ sin ф cos ср.
Остальные компоненты напряжений 0е, стф, а8ф нет необходимости
рассматривать, так как в дальнейшем они не используются при
вычислении энергии.
Задача о плоской эллиптической трещине, к поверхностям
которой приложены усилия az = —р, уже решена. Используя
полученные выше асимптотические выражения для ?, т), С и эллип-
эллиптических функций Якоби через Л, 6, можно разложить выраже-
выражения для компонент смещений E.19) в ряды по степеням UR
sm9cos<p + 0 (Д~3),
42> = -J1 [-Ц^— cos2 0] sin 0 sin Ф + О (R'%
u<2>= _^L [|B-v)-sin29] c
Соответствующие компоненты смещений в сферических координа-
координатах получаются из E.52) в виде
42) = 4 A ^22V) Л sin 9 cos9 + О (Л), E.56)
и после подстановки в соотношения E.54) дают компоненты
напряжений
^ = W" 1A + v) ^о (cos 9) + E - v) P2 (cos 6)] + OJR-%
og& = ^%^г)А sin 6 cos 0 -Ь О (Л), E.57)
Наконец для задачи об эллиптической трещине в твердом теле,,
находящемся под действием всестороннего растяжения4 на беско-
бесконечности, получаем разложение в ряд выражений для компонент
смещений, складывая величины E.53) и E.56), т. е. полагая, что
170 Г. Си, Г. Либовиц
= и% + ^Я} и т. д. В результате имеем
— 2 A + v) (8i sin2 ф + e2 cos2 ф)] Po (cos 0) +
+ 2 A + v) [1 — 8? cos2 ф — 82 sin2 ф] P2 (cos 0)} —
- W К* + v) Po (cos 6) + E - 4v) P2 (cos 9)] + О (i?), E.58)
sin 6COS 0 + О (Я),
щ = —|— A — 8i cos2 ф — 82 sin2 ф) sin 0 cos 0 +
цф = H— (e2 — 8i) sin 0 sin ф cos ф.
Отметим, что uR, uQ, u^ неограниченны при R -> oo. Это является
характерным свойством задач теории упругости, в которых внеш-
внешние нагрузки заданы на бесконечности. Суперпозиция напряже-
напряжений E.55) и E.57) приводит к выражениям
<7Н = .? [A + 2е4 cos2 ф + 2е2 sin2 cp) P (cos 0) +
+ 2 A — е4 cos2 ф — s2 sin2 ф) Р2 (cos 0)] +
+ W К* + v) po (cos 0) + E - v) P2 (cos 0)] + О (R-% E.59)
<тне == — р A — 84 cos2 ф — 82 sin2 ф) sin 0 cos 0 4-
^нф = P (82 — 8i) sin 6 sin Ф cos ф.
Когда на бесконечное тело, содержащее эллиптическую тре-
трещину, действуют на бесконечности напряжения сдвига
<*xz == Я. cos со, oyz = q sin со, gz = 0, E.60)
то задача называется кососимметричной по отношению к плоско-
плоскости трещины. Такое нагружение показано на рис. 30 для слу-
случая р = 0. Нетрудно показать, что для тела, не содержащего
трещину, поле смещений с точностью до перемещения как твердого
тела имеет вид
и™ = (q/\i) z cos со, и$} = (q/\i) z sin со, i41} = 0. E,61)
В системе координат i?, 0, ф выражения E.61) принимают вид
ug} = (qR/p) sin 0 со s 0 cos (ф—со),
uf = (qR/li) cos2 0 cos (ф — со), E.62)
и§} = — (qR/\i) cos 0 sin (ф — со),
Гл. 2. Математическая теория хрупкого разрушения 171
а соответствующие напряжения равны
ag} = q sin 28 cos (ф — со),
<?йе = q cos 29 cos (<p — со), E.63)
ag|p= —gcos8sin(cp — со).
Во второй части задачи к эллиптической трещине следует
приложить усилия сдвига, равные и противоположно направлен-
направленные напряжениям E.60). Граничные условия точно соответствуют
граничным условиям E.20), а нагружение можно рассматривать
как равномерно распределенные касательные усилия д, действую-
действующие под углом со к оси х. Полное решение этой задачи дается
выражениями E.23). Разлагая выражения E.23) для больших R
в степенные ряды с учетом E.43), можно записать компоненты
смещений в виде
„B)
+ С sin2 0 sin ф cos ф] cos 0 + О (R's),
uf = — JL |^В sin2 0 sin ф cos ф + E.64)
i42) = -
Как и раньше, постоянные В ж С зависят от нагрузки, геометрии
трещины и свойств материала. Выражения E.64) можно записать
в сферических координатах:
E.65)
(В sin ф - С cos ф) cos 0 + О
откуда получаем
eg) = 8^7V) (B cos ф + С sin ф) sin 0 cos 0 + О (i?~4),
(В cos ф + С sin ф) cos 20 + 0 (Д"*), E.66)
(В sin ф - С cos Ф) cos 0 + О (i?~4).
172 Г. Си, Г. Либовиц
Для простоты вычисления энергии в дальнейшем будем рас-
рассматривать частный случай со = 0. Прибавляя выражения E.62)
и E.63) к E.65) и E.66) соответственно, получаем 1)
), E.67)
cos 6 cos <p + О {RS
= [в-
E.68)
Выражения E.67) и E.68) представляют собой разложение
в ряды по степеням IIR смещений и напряжений для задачи
о теле с трещиной, нагруженном на бесконечности напряжения-
напряжениями сдвига.
Располагая законченными предварительными вычислениями
для смещений и напряжений в сферических координатах, изложим
метод вычисления энергии, связанной с трещиной в трехмерном
случае.
3. Энергетическая поправка
Общую упругую энергию W, запасенную в теле с трещиной,
можно вычислить как предел работы, совершенной усилиями
^н» °не и ^дф на большой сфере радиуса Ro (рис. 31) на смеще-
смещениях ин, ие и иф при Ro ->¦ сю. Однако для того чтобы определить
W, нельзя просто подставить выражения E.58) и E.59) для симме-
симметричного случая и E.67) и E.68) для кососимметричного случая
в уравнение E.49). Это главным образом объясняется тем, что
напряжения 2) 0В, аве> определяемые соотношениями E.59)
и E.68), не вполне совпадают с соответствующими значениями,
заданными на поверхности R=R0 я имеющими следующий вид,
1) При получении E.67) к соотношениям E.62) добавлено жесткое пере-
перемещение:
uR =0, ue = —{qR/ii) cos ф, ыф = (gi?/fx) cos 6 sin ф.
Как известно, это добавление не влияет на напряжения.
2) Те же рассуждения применимы к условиям для смещений, заданным
на сфере радиуса Ro.
Гл. 2. Математическая теория хрупкого разрушения
173
Рже. 31. Сфера радиуса i?0, окружающая трещину.
Случай (i) — растяжение: ]
<ун = Z [A 4- 28t cos2 ф + 2s2 sin2 ф) Ро (cos 0) +
+ 2A — 8! cos2 ф — s2 sin2 q>) P2 (cos 0)], E.69)
aRB = P (8i cos2 ф + 82 sin2 Ф — 1) sin 0 cos 0.
Случай (ii) — сдвиг:
gr = Q sin 20 cos ф, 0H9 = Q cos 20 cos ф. E.70)
Так как уравнения E.59) и E.68) не согласуются соответственно
с|E.69) и E.70) и члены порядка 1/i?3 в выражениях для поверх-
поверхностных усилий вносят основной вклад в энергию, обусловленную
трещиной, то требуется внести некоторые изменения в выра-
выражения E.59) и E.68) для aR и ане.
В симметричной задаче необходимые изменения в выражениях
для напряжений и смещений можно выразить через шаровые
¦функции, которые не зависят от ф, и следовательно, величины 0Лф
и 1гф при этом не изменятся. Эти функции непрерывны и конеч-
йы внутри шара R ^i?0- На основании работы Лурье [31] мож-
до показать, что поправки к uR и uQ равны
uR = -2Д [A - 2v) ^0 (cos 0) +(Аг + 6v42i?2) P2 (cos 0)],
u9 = -ЗЛ [Аг + G — 4v) A2R%] sin 0 cos 0, E.71)
174 Г. Си, Г. Либовиц
где А0, Аг, А2 — пока еще не определенные постоянные. Ком-
Компоненты напряжений, соответствующие смещениям E.71), равны
Gr = _4fx [(I + v) A0PQ (cos в).— (Аг - 3vA2R2) P2 (cos 6)],
огне = _6ц Ux + G — 2v) A2R2] sin 0 cos 6. E.72)
Далее, добавим к E.58) и E.59) решение, даваемое формулами
E.71) и E.72), и выберем постоянные Ао, А^ А2 таким образом,
чтобы результирующие выражения для напряжений совпадали
с E.69). Требуемые значения равны
-М- ± 20G-у2)Л а SA
9i?g ' l~~
Работу, проделанную усилиями на поверхности R = ROy
можно вычислить по формуле E.49), в которой ан, ан0 выражают-
выражаются посредством E.69), a uH, uQ — суммой E.58) и E.71), в то
время как аКф и иф остаются теми же, что и в E.58) и E.59). После
интегрирования уравнение E.49) принимает вид
W = WQ + Wl9 E.73)
где
^ff -2v(81+ 8,5+вА)]
представляет собой энергию нагруженного тела без трещины.
В пределе при Ro -> оо часть энергии деформации, обусловленная
наличием эллиптической трещины, становится равной
рр 8яA — у) Ар 2jc A — у)аЬ2р* ,г у/ч
*~ 3 "" 3\iE (к) ' W-'4/
Величина ]?г всегда положительна и на нее не влияют растяги-
растягивающие нагрузки, действующие в плоскости трещины.
В кососимметричной задаче при со= 0 поправки для смещений
и напряжений были подробно вычислены Кассиром и Си [24]:
uR= {я0Д + -2^^ [_6v + G-4v) (-§J]} sin29cosф,
G-4v) (^
v-G-4v)(
X cos 20 cos Ф,
Гл. 2. Математическая теория хрупкого разрушения 175
Постоянные Во и Со выбраны так, чтобы выражения E.68) и E.76)
для ал, аде в сумме давали E.70) при В. = Ro. Отсюда
8G—
После сложения решений E.67) и E.68) с выражениями E.75)
и E.76) и подстановки полученных результатов в формулу E.49)
находим
у[7 — 2п92Щ 8яA—у)Вд
3jl 3
Первая часть
выражает энергию, которой будет обладать сферическое тело без
трещины, а вторая часть
w ^77
1 ~" 3[х [(А:2—V) Я (fc)+v&'2# (A:)] W-" ;
— изменение энергии деформации благодаря трещине.
4. Критическое напряжение
Чтобы установить условия разрушения для трехмерной тре-
трещины, находящейся под действием растягивающих и (или) сдви-
сдвигающих нагрузок, применим энергетический критерий Гриффитса
[13, 14]. Этот критерий разрушения связывает работу, необходи-
необходимую для роста трещины в хрупком материале, с поверхностной
свободной энергией вновь созданных поверхностей трещины*
Для эллиптической трещины поверхностная энергия равна
Т = 2naby E.78)
(у — поверхностное натяжение). Необходимо найти стационарное
значение полной свободной энергии F = Т — W1% варьируя
большую и малую полуоси эллипса. Однако, так как априори
не очевидно, какую форму будет принимать растущая эллиптиче-
эллиптическая трещина, точная математическая формулировка критерия
разрушения Гриффитса, по-видимому, невозможна. По этой при-
причине критические нагрузки, при которых трещина начинает рас-
распространяться, будут вычислены только приближенно. Если
принять упрощающее допущение (которое к тому же дает запас
при определении разрушающей нагрузки) о том, что эллиптиче-
эллиптическая трещина с полуосями
а = с ch ?0, Ъ = sh ?0
176
Г. Си, Г. Либовиц
1,000
0,800
« * 0,600
*^0,400
0,200
0
"I
- V
2 4 6
! I I
> 8 10 12 14
а/Ь
Рис. 32. Зависимость критического нормального напряжения от геометрии
трещины.
превращается в процессе своего роста в другой эллипс с теми же
самыми фокусами, что и исходный, то можно сформулировать
условие разрушения в следующем виде:
lo = 0. E.79)
Расстояние между фокусами равно 2с, где с2 = а2 — Ь2.
Подставляя E.74) и E.78) в E.79) и произведя преобразова-
преобразования, получаем следующее выражение для критического напряже-
напряжения в случае, когда эллиптическая трещина находится под дей-
действием растягивающих нагрузок:
E.80)
Г Зуц и
L 6(i—v) J
График изменения величины E.80) приведен на рис. 32. Из него
видно, что при увеличении отношения а/Ь прочность тела с эл-
эллиптической трещиной уменьшается. Наибольшее критическое
напряжение, равное
и полученное из формулы E.80) с учетом К = Е = я/2, выдержи-
выдерживает дискообразная трещина. Этот результат согласуется с резуль-
результатом, полученным Заком [48].
Точно такое же заключение для трещины эллиптической формы
справедливо и в отношении зависимости критического напряже-
Гл. 2. Математическая теория хрупкого разрушения
177
1,000
0,800
0,600
0,400
0,200
-
- \
л1кр
X
iM/5
-
I Г 1 - I 1 1
0 2 4 6 8 10 12 14
а/Ь
Рис. 33. Зависимость критического напряжения сдвига от геометрии
трещины.
ния сдвига от а/6. Это иллюстрируется рис. 33, на котором при-
приведен график зависимости
A+&'2) [(/с2 —v) E
(/с)]2
~ Л2 {B—&'2) [(A:2 —v) Е
при v = 1/3. Формула
^ ' ^
[SE(k)-(i + v)K(k)]}
E.81) получается подстановкой E.77)
и E.78) в E.79); для круглой трещины она принимает простой вид:
2 jt B — v) y.\x 7
?кр = 2аA—v) ' п==
VI. ЧАСТНЫЕ ЗАДАЧИ И НАПРАВЛЕНИЯ
ДАЛЬНЕЙШИХ ИССЛЕДОВАНИЙ
Мы показали, что в теории трещин эффективные аналитиче-
аналитические решения конкретных задач играют важную роль в построе-
построении теории разрушения для различных систем с трещинами.
С теоретической точки зрения должны быть сделаны упрощающие>
но правдоподобные предположения, с тем чтобы свести сложную
физическую задачу к задача, поддающейся изучению. Цель таких
исследований — пЪлучить, опираясь на знание напряженно-
деформированного состояния вблизи вершины трещины, полезные
сведения (например, о понижении прочности тел с трещинами),
на основании которых можно выполнить эксперименты, имеющие
физический смысл.
12^0700
178 Г. Си, Г. Либовиц
Так как невозможно рассмотреть все важные задачи теории
трещин, в нижеследующем обсуждении будут рассмотрены только
те типы задач, которые непосредственно интересуют авторов.
А. Изгиб пластин с трещиной
Рассмотрев подробно задачу о растяжении пластины со сквоз-
сквозной трещиной, естественно обратиться к родственной задаче о такой
же пластине в условиях изгиба. Исходя из теории тонких пластин
Пуассона — Кирхгофа [74] и метода разложения по собственным
функциям,Вильямс[80] исследовал структуру изгибающих напряже-
напряжений, действующих вблизи конца трещины. Его результаты неполны
в том смысле, что разрушающие нагрузки и локальные напряже-
напряжения остались неопределенными. В более поздней статье Си [61]
обобщил теорию краевой задачи Гильберта, первоначально разви-
развитую Мусхелишвили [36] для решения плоских задач с разреза-
разрезами, или трещинами, на случай поперечного изгиба пластины,
состоящей из различных материалов, на прямолинейной границе
соединения которых имеются трещины. Получены полные ре-
решения для различных задач об изгибе пластин с трещинами.
Когда упругие свойства материала одинаковы по всей пласти-
пластине, то результаты Си [61] сводятся к результатам Вильямса [80]
для случая изгиба однородного материала.
Согласно этому решению, основанному на задаче Гильберта
[61], изгибающие напряжения вблизи сквозной трещины равны
1—v Kaz Г 50
J LC0S
«= 2C+v) hJr)m
. . 1 — v K2z Г . 0 . 50
Gyz = — ~
2C+v) feoBrK/2
F.1)
30
1 —v
6 56-1
Гл. 2. Математическая теория хрупкого разрушения 179
м0
Рис. 34. Всесторонний изгиб прямолинейной трещины в плоской пластине.
где h0 — толщина пластины, a z — прямоугольная координата
в нацравлении толщины, как показано на* рис. 34. Коэффициенты
интенсивности напряжений изгиба Кг и К2 в выражениях F.1)
определены таким образом, что для задачи о бесконечной пласти-
пластине, содержащей трещину длиной 2а и находящейся под действием
всестороннего изгибающего момента Мо, приложенного на беско-
бесконечности, решение имеет вид Кг = FМ0//$ У а, где QMQ/hl —
напряжение, действующее на бесконечности в поверхностном
слое пластины. Этот результат аналогичен результату соответ-
соответствующей задачи о растяжении гриффитсовской трещины, в кото-
которой кх = р У а (р — напряжение равномерного растяжения на
бесконечности). Другой момент, который следует отметить, заклю-
заключается в том, что напряжения оХ1 оу, оху, действующие в плоско-
плоскости, имеют особенность в конце трещины и изменяются обратно
пропорционально квадратному корню из расстояния от конца
трещины, как и в случае растяжения. Однако для случая симме-
симметричного нагружения, когда К2 = 0, в противоположность пло-
плоской задаче теория Пуассона — Кирхгофа приводит к следующе-
следующему значению отношения напряжений:
су*(г, 0)^. /1-у
ву (г, 0) \3 + v
-Это же отношение для плоских задач равно единице. Такое отсут-
отсутствие всестороннего растяжения в двумерном случае наводит
на мысль, о том, что если бы около конца трещины происходил
изгиб, то имела бы место относительно большая текучесть.
Однако необходимо помнить, что в классической теории четвер-
четвертого порядка для тонких пластин граничные условия на поверх-
поверхностях- трещины удовлетворяются только приближенно в том
180 Г. Си, Г. Либовиц
смысле, что три физически естественных граничных условия,
обусловленных изгибающим моментом, крутящим моментом
и напряжением поперечного сдвига, заменяются двумя условия-
условиями. Вследствие такой замены распределение напряжений вблизи
концов трещины будет, естественно, нарушено и не будет точным.
Чтобы избавиться от вышеупомянутого недостатка, Ноулс
и Ван [25] использовали теорию шестого порядка Рейсснера [44]
и получили, что изгибающие напряжения в пластине исчезающе
малой толщины имеют особенность. Позже их работа была обоб-
обобщена Хартранфтом и Си [15] для исследования влияния толщины
пластины на локальное поле напряжений. Чтобы проиллюстри-
проиллюстрировать различие между решениями, полученными исходя из
классической теории изгиба и из теории изгиба Рейсснера, рас-
рассмотрим симметричное распределение напряжений вокруг тре-
трещины. Согласно работе -[15], локальное поле напряжений можно
записать в виде
К,
Г е 1 . п . зе I
• cos-i5 о" sin 0 sm -s-
L 6 & ? J
BГI/2
F.2)
Gyz = GzX = О (г°) при Г-^0.
Отметим, что ayz и az?c остаются конечными при г = 0 в противо-
противоположность классическому решению F.1), в котором ayz и gzx
становятся бесконечными при г ->¦ 0. Далее, закон изменения
по окружности напряжений F.2) совпадает со случаем растяже-
растяжения C.14). Следовательно, можно считать, что поверхностный
слой пластины на растягиваемой стороне вблизи трещины ло-
локально ведет себя так, как если бы пластина растягивалась
нагрузками, действующими в плоскости.
В задаче о сквозной трещине длиной 2а, расположенной в пла-
пластине, к которой приложен равномерный изгибающий момент Мо,
коэффициент Кг выражается в следующем виде [15]:
Kt = ^<b(l)M0Va. F.3)
Если толщина пластины становится весьма малой, то F.3) при-
приводится к виду
который согласуется с решением, полученным Ноулсом и Ва-
Ваном [25]. Вообще говоря, функция Ф A) в F.3) должна определять-
Гл. 2. Математическая теория хрупкого разрушения 181
1,0
Рис. 35. Величина локальных напряжений в пластине Рейсснера.
ся численно при помощи решения интегрального уравнения типа
Фредгольма. На рис. 35 приведены графики функции Ф A) в зави-
зависимости от hja У10 для трех значений коэффициента Пуассона
@,0, 0,3 и 0,5). Существенный результат состоит в том, что коэф-
коэффициент интенсивности напряжений Кг увеличивается на 62%
при изменении толщины пластины от нуля до одной десятой
длины трещины (для коэффициента Пуассона, равного 0,3).
Действительно, скорость роста кривой Ф A), приведенной на
рис. 35, равна бесконечности при h0 = 0. Этот крутой подъем
указывает на то, что незначительное изменение толщины пластины
может заметно влиять на интенсивность напряжений вблизи конца
трещины.
Следует помнить, что так как в теории изгиба Рейсснера пред-
предполагается, что напряжения ох, ау и аху, действующие в плоско-
плоскости, изменяются линейно по всей толщине пластины, то необ-
необходимо проявлять некоторую осторожность при использовании
•результатов, приведенных на рис. 35, когда отношение ho/a "J/^IO
становится достаточно большим. Другими словами, в случае
исследования трещин в толстых пластинах следует учитывать
нелинейные возмущения вблизи концов трещины и вблизи поверх-
поверхностей пластины. Всё это требует изучения пространственной
задачи. Из-за большой сложности трехмерных уравнений теории
упругости успехи в аналитическом решении этой задачи незначи-
незначительны; в то же время важность проблемы влияния толщины
показана экспериментально [20]. Опытные данные показывают,
5 прочность при разрушении листовых образцов сильно зависит
182 Г: Си, Г. Либовиц
от толщины пластины. Грубо говоря, толстые пластины менее
прочны, чем пластины умеренной толщины; понижение прочности
проявляется и у более тонкого материала. По-видимому, суще-
существует оптимальная толщина, для которой сопротивление раз-
разрушению для данного материала будет максимальным.
В настоящее время, возможно, наиболее важной задачей
теории трещин в трехмерной теории упругости является опре-
определение сингулярного поведения пространственного распределе-
распределения напряжений вблизи сквозной трещины в пластине произволь-
произвольной толщины. Очевидно, что теоретическая работа в этой области
необходима; она выполняется в Университете в Лихае.
Б. Распространение трещин под действием
температурных напряжений
Когда однородный установившийся тепловой поток нарушает-
нарушается за счет наличия дефектов, подобных трещинам, у которых
теплопроводность отличается от теплопроводности окружаю-
окружающего их материала, то имеет место локальное повышение темпе-
температурного градиента. Связанное с этим температурным градиен-
градиентом большое повышение температурных напряжений может вызвать
катастрофическое распространение дефектов. Для идеально острой
трещины температурные напряжения в концах трещины могут
неограниченно возрастать. Си [53] показал, что для установив-
установившегося "температурного поля напряжения вблизи конца трещины
совпадают с напряжениями, получающимися в изотермических
задачах, в которых рассматриваются механические напряжения.
В задачах, в которых рассматриваются температурные напряже-
напряжения, сохраняется сингулярность напряжений типа l/]/Y. Следо-
Следовательно, надо определить коэффициенты интенсивности напряже-
напряжений и предсказать образование трещин, вызываемое тепловым
потоком, в соответствии с концепцией Гриффитса — Ирвина
в изотермической теории трещин. Рещения для многих задач
о трещинах с двумерным тепловым потоком были даны Си [62],
и для того чтобы получить коэффициенты интенсивности напряже-
напряжений kj (j = 1, 2), их можно объединить с работой Си [53]. Если
известны коэффициенты kj, то скорости высвобождения энергии
получаются так же, как и в изотермическом случае.
Приведенное выше заключение применимо также и к беско-
бесконечному трехмерному телу, содержащему плоскую эллиптическую
трещину, на поверхности которой задано температурное поле.
Используя эллипсоидальные координаты, Кассир и Си [23] пока-
показали, что угловое распределение пространственных напряжений
вблизи границы трещины для изотермического случая остается
неизменным при наличии установившегося температурного поля.
Влияние температуры сказывается только на величине коэффи-
Гл. 2. Математическая теория хрупкого разрушения 183
циента интенсивности напряжений. Для примера предположим,
что температура на обеих поверхностях эллиптической трещины
равна То и а0 — коэффициент линейного расширения тела.
Для этой задачи коэффициент кг равен
а>ъ- <6-4)
Зависимость кг от угла ср аналогична уже рассмотренной зависи-
зависимости E.30) для случая эллиптической трещины, на которую
действуют равномерно распределенные растягивающие напря-
напряжения.
В задачах, в которых поля температуры и деформаций взаимо-
взаимосвязаны, распределение температуры в теле с трещиной нельзя
больше определять независимо. Учет взаимного влияния полей
температуры и деформаций приводит к более точному описанию
температурных напряжений, вызываемых нестационарным темпера-
температурным полем, да и самого температурного поля, связанного
с действием усилий, которые изменяются со временем. Математи-
Математические методы, используемые при решении этого типа задач
с линиями разрыва, достаточно сложны. В настоящее время
ведутся исследования с целью сформулировать и решить связан-
связанные уравнения движения и теплопроводности для задач теории
трещин.
В. Сингулярные задачи в трехмерной теории упругости
Вследствие математических затруднений, возникающих при
решении трехмерных смешанных краевых задач, эффективные
решения существуют только для частных конфигураций трещин
и простых условий нагружения. В качестве примера, который
уже подробно рассматривался, может служить плоская эллипти-
эллиптическая трещина в условиях равномерного давления. Естественно
поэтому исследовать возможность получения решений для других
геометрий разрушения и условий нагружения, которые пред-
представляют основной интерес.
Хорошо известно, что напряжения имеют особенность в верши-
вершине плоского V-образного надреза [79]. В этой связи Вильяме [81]
предложил интересную задачу по исследованию влияния третьего
измерения. Вращая V-образный надрез вокруг биссектрисы угла
надреза, можно мысленно представить себе тело вращения в форме
полупространства с конической полостью, как показано на
рис. 36. На основание конуса помещен нагруженный шарик таким
образом, что тело деформируется симметрично относительно оси
вращения. Возникает вопрос о характере поля напряжений в вер-
йшне конуса. До сих пор lie было проведено теоретических вычис-
вычислений для проверки того, конечны или бесконечны напряжения
184
Г. Си, Г. Либовиц
Нагрузка
Рис. 36. Разрушение конической полости.
в вершине конуса. Для выяснения этой стороны проблемы реко-
рекомендуется провести анализ напряжений в задаче о конусе.
Экспериментально доказано [81], что при нагружении посред-
посредством шарика, лежащего на основании конуса, как показано на
рис. 36, разрушение не имеет места в вершине конуса, а начинает-
начинается на поверхности конуса. Поверхность разрушения также являет-
является конической. Этот тип разрушения, который представляет осо-
особый интерес для подтверждения теории хрупкого разрушения,
наблюдал также Бенбоу [2], работая с плавленым кварцем.
Задачам об особенности напряжений на поверхности трещин
не уделялось большого внимания. Представляет интерес случай
бесконечного упругого твердого тела, ослабленного плоскостью
разрыва с острыми углами. Типичную поверхность этого типа
можно воспроизвести при помощи плоского клина. Предпола-
Предполагается, что в вершине клина может существовать спектр особен-
особенностей напряжений типа г~% @ < X < 1), где г измеряется от
вершины. Интенсивность сингулярности напряжений может зави-
зависеть от угла клина. Подступиться к этой задаче можно, опираясь
на работу Ронгведа [47], который рассматривал случай прямо-
прямоугольной области, вырезанной из полупространства, допуская,
таким образом, сингулярность смещений. Важный результат этой
задачи заключается в том, что при рассмотрении напряжений
как функций расстояния от угла прямоугольника сингулярность
напряжений выше, чем при рассмотрении их как функций расстоя-
расстояния от стороны прямоугольника.
Другой класс пространственных задач, заслуживающий вни-
внимания, связан с построением функций Грина для некоторых
основных геометрий трещин. Случай бесконечного упругого тела
Гл. 2, Математическая теория хрупкого разрушения
185
Рис. 37. полубескояечная трещина, нагруженная сосредоточенными силами.
1,000 -
0,800 -
¦ 0,600 -
0,400 -
0,200-
I II I I I
L
-8 -6 -4 -2
О
z/a
Рис. 38. Изменение коэффициента кг в зависимости от расстояния вдоль
границы трещины при нормальном отрыве.
с плоской трещиной, находящейся под действием сосредоточен-
сосредоточенных нормальных и касательных сил, изучался Уфляндом [76].
Как показано на, рис. 37, сосредоточенные силы Р и Q приложены
в точке (—а, О, 6), в то время как трещина занимает полуплоскость
у =0, x<iO. Для этой задачи коэффициенты интенсивности &/
{] = 1, 2, 3) и характер их изменения вдоль границы трещины
(по координате z) легко получить из результатов Уфлянда: '
_ QBa
i'2
я2
4BI/2(?а3/2
2v \д2_г
F.5)
U-v) (а»-
J86
Г. Си, /\ Либовиц
г
2,40
2,00
1,60
1,20
0,80
0,40
0
- I
- /L
\\Cz
-==^l 1 1 —t—
- 0,24
0,20
0,16
0,12 \
0,08
- 0,04
-6
-4
-2
0
z/a
Рис. 39. Изменение коэффициентов к2 и к3 в зависимости от расстояния
вдоль границы трещины при поперечном сдвиге (слева) и при продольном
сдвиге (справа).
На рис. 38 и 39 изображены зависимости kj (j — 1, 2, 3) от отноше-
отношения z/a для v = 1/2. Видно, что при | z \ < 2а кривые kj .резко
спадают. Следовало бы также рассмотреть другие конфигурации
трещин, такие, как эллиптическая трещина, нагруженная сосредо-
сосредоточенными силами или произвольными поверхностными усилиями.
Решение задач этого типа важно, так как их можно использовать
как функции Грина для построения решений других задач.
Г. Теория трещин с учетом моментных напряжений
Как было отмечено Миндлином [33], на кажущуюся прочность
при разрушении хрупких материалов может влиять наличие
градиента деформаций. Таким образом, он возродил интерес
к моментной теории упругости, берущей начало от Коссера [8].
В этой теории энергия упругого тела зависит от градиента дефор-
деформаций и градиента вращения, и следовательно, вводится новый
модуль материала, имеющий размерность силы. Отношение этого
нового модуля к модулю сдвига имеет размерность квадрата дли-
длины Z2. Эта длина I является той характеристикой материала, от
которой сильно зависит степень влияния моментных напряжений
(моменты на единицу площади). Если некоторый размер тела
приближается к I, то моментные напряжения могут оказывать
значительное влияние. Так как I, вероятно, имеет субмикроско-
Гл. 2. Математическая теория хрупкого разрушения 187
нический размер, то влияние моментных напряжений сильно
локализовано и, по-видимому, сосредоточено, например, вблизи
геометрических разрывов. Следовательно, значительный физиче-
физический интерес представляет исследование влияния моментных
напряжений на распределение напряжений вокруг острой трещи-
трещины и на теорию хрупкого разрушения.
Стернберг и Муки [72] решили с учетом моментных напряже-
напряжений задачу о сквозной трещине, расположенной в бесконечном
теле, находящемся в состоянии равномерного одноосного растяже-
растяжения под прямым углом к плоскости трещины. Они нашли, что
вблизи конца трещины х = а обычные: напряжения выражают-
выражаются в виде
аух = - A - 2v)J^-2 [i- sin 8 cos -f-] + О (г»),
а моментные напряжения в виде
На рис. 40 показаны в соответствии с выбранными положитель-
положительными направлениями компоненты обычных ох, оу, аху, аух F.6)
и моментных [Л^, \iy F.7) напряжений в прямоугольной системе
координат, действующих на прямоугольный элемент, расположен-
расположенный впереди трещины. Напряжения поперечного сдвига оху и оух
с учетом моментных напряжений не обязательно равны. Коэф-
Коэффициенты интенсивности напряжений &(# (/ = 1, 2) выражаются
в виде
I^±V-a, ;- = 1,2, F.8)
где а — полудлина трещины, ар — величина одноосного растяги-
растягивающего напряжения. Функция Г2 {На) численно определена
Стернбергом и Муки [72], в то время как функция 1\ {На) до сих
пор не вычислена.
188
Г. Си, Г. Либовиц
t t t t t t f t t t t t t t
JIIIIIIfHIIHI
Рис. 40. Компоненты обычных напряжений и моментных напряжений перед
трещиной в полярных и декартовых координатах.
Выражения F.6) показывают, что классическая особенность
напряжений типа единицы, деленной на корень квадратный,
сохраняется и в теории трещин, учитывающей моментные напря-
напряжения. Однако зависимость обычных напряжений от угла 6
значительно отличается от соответствующей зависимости, полу-
получаемой из классической теории. Моментные напряжения также
имеют особенность порядка 1/J/V. Интересно отметить, что
в моментной теории отношение ах (г, 0)/ву (г, 0) не равно единице,
как в случае классического решения, а равно A — 2v)/C — 2v)
и напряжения имеют противоположные знаки, т. е.
г, 0).
Gy (Г, 0)
3-2v
Далее, это отношение не зависит от новой константы материала I.
Для коэффициента Пуассона v = 1/3 отношение напряжений
равно одной седьмой. Это отсутствие всестороннего растяжения,
по-видимому, должно привести в моментной теории к большей те-
текучести вблизи конца трещины, чем в классической теории.
Для создания теории распространения трещин с учетом момент-
моментных напряжений типа теории Гриффитса — Ирвина необходимо
знать смещения их, иу и вращение (oz вблизи конца трещины.
Это не было определено Стернбергом и Муки [72]. Предварительно
выразиц обычные и моментные напряжения в полярных координа-
Гл. 2. Математическая теория хрупкого разрушения 189
тах г, 9 в виде
оГ + ав = ах + оу = -^ [2 cos i-] + 0 (г»),
^z — о'е = (<Ь—оу) cos 26 + (вху + оух) sin 29 =
m-t^[A-2v)^t+G-6v)^t-] + 0^.
F.9)
г = (cry — стос) sin 29 + (аху + (Тузс) cos 29 =
= цх cos 9 + цд sin 6 = -^д [ y sin -|-] + О (г°),
можно несколько облегчить определение их, иу и (oz из F.6) и F.7).
Подставляя F.9) в соотношения между смещениями и напряже-
напряжениями
F.11)
а F.10) — в выражения, связывающие вращение и моментные
напряжения
получаем искомые смещения и вращение
иг = М2)^ГI/2 ['3 A - 2v) cos i— G - 6^) cos -f-] + О (г),
«в = *i"g>1/2 [ - A - 2v) sin -|- + G - 6v) sin f ] + О (г), • F.13)
190 Г. Си, Г. Либовиц
Далее, из выражения
1 i- fi-[ae(S-P,0) ue (р,,я) + М8-р, 0)©г(р, я)] ф
6-*0 А
F.14)
можно вычислить скорость высвобождения энергии Gl9 которая
представляет собой меру работы, совершенной обычным напряже-
напряжением ае и моментным напряжением |Л0 соответственно на смеще-
смещении ие и вращении со2 пРи раскрытии сегмента материала б, рас-
расположенного перед трещиной. Подставляя соответствующие-
выражения для ае, |Ые, uQ и со2 в F.14), получаем
Так как значение к'1\ как отмечалось ранее, не вычислено, та
окончательное заключение об изменении Gt в зависимости от
новой константы материала I в настоящее время сделать нельзя.
Тем не менее показано, что характерную длину Z, определяющую
масштабный эффект, можно учесть в теории распространения тре-
трещин способом, не признаваемым классической теорией хрупкого
разрушения.
Влияние моментных напряжений при изгибе пластины было-
исследовано Грином и Нахди [11], которые исходили из понятия
поверхности Коссера. В отсутствие моментных напряжений их
теория сводится к теории Рейсснера [44] как частному случаю.
Работа Стернберга и Муки [72] побудила Пагано и Си [40] рас-
рассмотреть задачу об изгибе изотропной упругой пластины Коссера
со сквозной трещиной. Особый интерес представляет ситуация
вблизи конца трещины, которую можно представить следую-
следующим образом:
v)a6 — a7]cos.jL_j,.
+1 (va6 + cc7) sin 9 sin -y-} + 0 (r°),
Mxy = —\j^ I 2 (a6 — a7) sin y — у (vae + «7) X
), F.16)
Мух = - (va6 + а7) А [4- sin в cos И] + О (г%
Nxz = Nvz = O(r°) при г->0.
Гл. 2. Математическая теория хрупкого разрушения
191
Рис. 41. Равномерный изгиб пластины Коссера со сквозной трещиной.
Величину К\ в F.16) можно интерпретировать как коэффициент
интенсивности моментных напряжений, равный
В декартовой системе координат #, г/, z (см.рис. 41) через Мх
и Му обозначены изгибающие моменты; через Мху, Мух — крутя-
крутящие моменты; через Nxz, Nvz — равнодействующие напряжений
поперечного сдвига. Величина W A), входящая в F.17), численно
определена как функция от ho/aY 10, и на рис. 42 построен ее
1,0
0,8
S 0,6
!-
0,4f-
0,2
I I
_ ^3,0
_—=
0,5
2,0
2,5
3,0
Рис. 42. Интенсивность поля моментных напряжений вблизи конца тре-
трещины в пластине Коссвра. Коэффициент Пуассона v = 0,3. •
192 Г. Си, Г. Либовиц
график для различных значений параметра
Z* = (ав — а7)/а3>
где а3, аб> Щ — константы материала пластины Коссера, как
показано Пагано и Си [40]. Кривая для 1*1 а = 0, соответствующая
решению Рейсснера, по-видимому, представляет собой нижнюю
оценку для W A). Кроме того, при 1*1а '= 0 имеем скачок. Это
также было отмечено Стернбергом и Муки [72] и, по-видимому,
является типичным сильным эффектом пограничного слоя момент-
ной теории в задачах, содержащих геометрические разрывы.
Другие особенности решения задачи об изгибе аналогичны осо-
особенностям, возникающим в случае плоского растяжения, и поэто-
поэтому не требуют дополнительного пояснения.
Поскольку нет экспериментальных данных о сколько-нибудь
заметном влиянии моментных напряжений, параметр длины I
в плоских задачах (или Z* в задачах об изгибе), вероятно, мал
по сравнению с соответствующими характерными размерами
в задачах механики сплошной среды. Таким образом, было бы
бессмысленно без разбора решать краевые задачи моментнод
теории упругости. С другой стороны, было бы, по-видимому,
поучительно изучить сущность модифицированной теории на
нескольких основных примерах хотя бы для того, чтобы лучше
понять ее возможности.
Д. Динамические задачи теории трещин
Характер распределения динамических напряжений, связан-
связанный со стационарными и движущимися трещинами в линейной
упругой среде, был предметом многих исследований в прошлом
и настоящем. Здесь мы лишь вкратце рассмотрим теоретические
работы по динамическим задачам теории трещин.
Когда на элементы конструкций действуют переменные нагруз-
нагрузки, то они порождают волны напряжений. На линии разрыва
или трещины эти волны дифрагируют, вызывая локальное повыше-
повышение напряжений вблизи конца трещины. Некоторую информа-
информацию о взаимосвязи геометрических разрывов с волнами напряже-
напряжений можно получить, рассматривая простую задачу о дифракции
поляризованных гармонических волн сдвига на полубеско-
полубесконечной трещине. В этом случае, как показал Нобл [39], применяя
метод Винера — Хопфа, можно получить - точное решение.
Рассмотрим комплексную падающую волну продольного сдвига,
распространяющуюся из бесконечности и описываемую в любой
момент времени t соотношением
4° = 40) ехр { - i©c [t + -i- (x cos a + у sin a)] } , F.18)
Гл. 2. Математическая теория хрупкого разрушения
193
Полубесканечная
трещина
Падающие
волны
Рис. 43. Дифракция гармонических волн сдвига на полубесконечной тре-
трещине.
где а — угол падения, сос — круговая частота, uz0) — амплитуда,
v2 = ([А/РоI/2 — скорость волны сдвига (ро — плотность). Угол
падения а лежит в пределах между —я и я и измеряется от поло-
положительного направления оси х, как показано на рис. 43. Элемен-
Элементарными рассуждениями можно получить непосредственно из
известного решения аналогичной задачи, рассмотренной в каче-
качестве примера Ноблом [39], сингулярные выражения для напряже-
напряжения продольного сдвига gxz, gvz вблизи конца трещины.
Опуская детали, приведем результат:
Bяг)
1/2
1/2
F.19)
Волны напряжений стационарны, так как от времени зависит
лишь множитель ехр (—icoct). Хотя зависимость динамических
напряжений от г и 6 такая же, как и зависимость, с которой мы
сталкиваемся в условиях статического нагружения, отличие
интенсивности поля локальных напряжений заключается в том,
Нто она изменяется во времени и зависит от таких величин, как
фс> v2 и т. д. Важным моментом, который следует отметить, являет-
является то, что нельзя ожидать, что при coc/z;2 ->¦ 0 выражения F.19)
сведутся к статическому решению C.33), так как у этой динами-
динамической задачи нет статического аналога. По этой причине нельзя
13—070 0
194 Г. Си, Г. Либовиц
сравнивать динамическое и статическое решения задач о полу-
полубесконечной трещине, равномерно нагруженной на бесконечности.
Большой интерес представляет задача о падении волн на тре-
трещину конечной длины и особенно определение отношения макси-
максимального динамического коэффициента интенсивности напряже-
напряжений к статическому коэффициенту интенсивности. Однако построе-
построение сингулярных решений для задач о трещинах с конечной
длиной представляет собой уже нелегкую задачу.
Недавно Лёбер и Си [29], использовав интегральные уравне-
уравнения, решили задачу о падении плоских гармонических горизон-
горизонтально поляризованных волн сдвига (SH-волн) на трещину конеч-
конечной длины, расположенную в бесконечном теле. Эти SH-волны
порождаются колеблющимися сдвиговыми усилиями, заставляю-
заставляющими поверхности трещины испытывать движение типа продоль-
продольного сдвига. Для той же самой геометрии трещины Си и Лёбер [68]
на основе изучения рассеяния плоских гармонических волн сжа-
сжатия (Р-волн) и вертикально поляризованных волн сдвига (SV-волн)
исследовали поле динамических напряжений, возникающее соот-
соответственно под действием периодически изменяющихся во времени
сжимающих и сдвиговых усилий, действующих в плоскости
трещины. Во всех трех случаях они получили решения для окре-
окрестности трещины, которые сводятся в пределе к статическим
решениям, когда длина падающих волн становится бесконечно
большой. Одним из важных выводов является то, что когда длина
волны приблизительно равна длине трещины, имеет место наи-
наибольший эффект взаимодействия. Динамическим взаимодействием
объясняется возрастание интенсивности поля локальных напряже-
напряжений приблизительно на 20—30% по сравнению с тем, что было бы
получено из статического решения. Результаты, относящиеся
к распределению динамических напряжений и смещений вокруг
дискообразной трещины, возникающих за счет волн поперечного
давления, радиального сдвига и кручения, будут вскоре опубли-
опубликованы.
Равера и Си [43] предложили метод определения возмущений,
возникающих при мгновенном приложении нагрузки к поверхно-
поверхности трещины. В этом случае тело с трещиной конечной длины
считается бесконечным, так что на больших расстояниях от поверх-
поверхности приложения ударной нагрузки возмущение представляет
собой уходящие волны. Перед фронтом такой волны среда не
возмущена. Эффективное решение для этой задачи можно полу-
получить, решая точные уравнения динамической теории упругости.
Оказалось, что динамические напряжения вблизи фронта
трещины колеблются около статических значений. В случае бес-
бесконечного тела со сквозной трещиной, на которое действует
единичная ступенчатая нагрузка, максимальное значение дина-
динамического коэффициента интенсивности напряжений может быть
Гл. 2. Математическая теория хрупкого разрушения 195
значительно больше, чем максимальное значение статического
коэффициента интенсивности. Однако сингулярность напряже-
напряжений в конце трещины типа l/]/V сохраняется и в динамическом
решении. В настоящее время исследуются решения для других
типов ударных нагрузок (растяжение, изгиб и др.).
Прикладывая к пластине с трещиной достаточно большую
нагрузку, можно заставить эту трещину распространяться с воз-
возрастающей скоростью, стремящейся к значению, сравнимому
со скоростью звука в упругой пластине. Мотт [35] показал, что
в уравнение энергетического баланса бегущей трещины должны
входить не только упругая энергия и поверхностное натяжение,
но и кинетическая энергия движения, возникающая при распро-
распространении трещины. Таким образом, в условиях обобщенного
плоского напряженного состояния уравнение сохранения энергии
имеет вид
^^^H, F.20>
где р — постоянное напряжение, приложенное на бесконечно-
бесконечности. Третий член в уравнении F.20) введен Моттом на основе
анализа размерности и содержит неопределенную постоянную к0.
Скорость трещины обозначена через v. Если в процессе распро-
распространения трещины не подводится дополнительная энергия, то
из уравнения F.20) получаем
где 2а0 — критическая длина трещины, соответствующая усло-
условию Гриффитса 2уЕ = пр*а0. Для а^> а0 скорость трещины будет
стремиться к предельному максимальному значению
2я\1/2 / Е \i/2
Ш Ы • F'22>
где (jEVpoI/2 — скорость упругой продольной волны для данного
материала.
Чтобы определить постоянную к0, необходимо вычислить
кинетическую энергию трещины с мгновенной длиной 2а, концы
которой движутся со скоростью v. Роберте и Уэллс [46] приняли
в качестве приближения, что динамическое напряженное состоя-
состояние впереди движущихся концов трещины эквивалентно соот-
соответствующему напряженному состоянию в статическом случае.
Они нашли, что максимальная скорость трещины в хрупком
материале должна составлять около 38% от скорости продольной
волны, т. е.
уо = О,38(Я/роI/2. F.23)
13*
196 Г. Си, Г. Либовиц
Приведенный выше результат можно выразить через скорость
волны сдвига v2, используя соотношение Е = 2[х A + v). Для
коэффициента Пуассона v = 1/4 из F.23) получаем v0 = 0,6i?2.
Динамическая задача о трещине постоянной длины, движу-
движущейся с постоянной скоростью в бесконечном теле, растягиваемом
на бесконечности однородным напряжением, решена Иоффе [82].
Она предположила, что трещина будет разветвляться всякий раз,
когда достигается максимальное окружное напряжение на двух
радиальных плоскостях по обе стороны от плоскости трещины.
Оказалось, что критическая скорость, выше которой трещина
будет разветвляться, должна приблизительно составлять 0,6 от
скорости волны сдвига. Соответствие между величиной предель-
предельной скорости v0 = 0,6у2, полученной Робертсом и Уэллсом [46],
и результатом Иоффе [82] необходимо рассматривать как совер-
совершенно случайное, так как квазистатическое приближение, пред-
предложенное Робертсом и Уэллсом, сомнительно.
Более реалистичный анализ'движущейся трещины был выпол-
выполнен Бробергом [4], который рассмотрел двумерную трещину
конечной длины, распространяющуюся симметрично в обе стороны
с постоянной скоростью. Он пришел к выводу, что максимальная
скорость распространения трещины совпадает со скоростью рас-
распространения в материале поверхностных волн Рэлея, которая
приблизительно равна 0,6^. Здесь vx — скорость распростране-
распространения волны сжатия:
Такой же вывод независимо был сделан Стро [73], Баренблаттом
и Черепановым [1], Крэггсом [9], а также в других работах.
В настоящее время написаны только приблизительные анали-
аналитические выражения для кинетической энергии для случая рас-
распространения трещины с постоянной скоростью. К тому же неиз-
неизвестны решения для ускоряющейся или замедляющейся трещины.
Этот тип динамических задач теории трещин нуждается в иссле-
довании.
VH. ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Со времени первой работы Гриффитса при помощи методов
классической теории упругости достигнуты большие успехи
в понимании задачи хрупкого разрушения. Два типа критерия
разрушения выдвинуты для определения условия неустойчивости
трещины. Первый предполагает, что начало распространения
трещины , определяется локальными напряжениями, а второй
исходит из рассмотрения энергии системы с трещиной. Последний
^ Гл. 2. Математическая теория хрупкого разрушения 197
из них ошибочно истолковывается в литературе. Так как этот
вопрос в настоящем исследовании изложен ясно, то не должно
оставаться сомнений по поводу того, каков правильный вариант
энергетического подхода Гриффитса. Выполнены подробные рас-
расчеты энергии для дву- и трехмерных тел с трещиной и установле-
установлена математическая эквивалентность энергетического критерия
и критерия по напряжениям.
Когда свойства материала зависят от направления, то для
получения информации о состоянии системы с трещиной в момент
неустойчивости могут применяться уравнения анизотропной тео-
теории упругости. В противоположность изотропному случаю на
поле анизотропных напряжений сильно влияют константы мате-
материала. Отсюда вытекает возможность разветвления трещин в ани-
анизотропных материалах. Для неоднородных материалов, где важ-
важную роль может играть градиент деформаций, представляется
возможным исследовать влияние нелокальных эффектов на хруп-
хрупкое разрушение с помощью применения теорий микроструктурной
упругости.
Продемонстрировано, что уравнения механики сплошной среды
можно применять для установления условий распространения
трещины при различных типах нагружения, геометрии трещины
и свойств материала. Однако в исследовании нуждаются многие
другие вопросы, имеющие значения в механике разрушения, такие,
как влияние конечной толщины пластины, взаимодействие тем-
температурных и механических деформаций, кинетические вопро-
вопросы разрушения и т. д. Думается, что работы в этих областях
исследования дадут широкую теоретическую базу, на основе
которой можно будет получить полезные для техники резуль-
результаты.
ОБОЗНАЧЕНИЯ
[а, Ь, с, а', Ъ' — геометрические размеры дефекта;
ay, bj (j = О, 1, ..., п) — коэффициенты или координаты кон-
концов трещины;
aih bijy CU (h 7 = 1, 2, ..., 6) —упругие постоянные;
Cj (/ = 0, 1, 2, 3) — численные постоянные;
d — концевая область трещины;
е— объемное расширение;
е*, е^, ez — базисные векторы в декартовой
системе координат;
ен> ее, еф —базисные векторы в сферической
системе координат;
/» ?> й—действительные функции;
/л g"i G = 1, 2, 3) —усилия;
h0 — толщина пластины;
198 Г. Си, Г. Либовиц
(/ = 1, 2, 3) — коэффициенты Ламе;
к, к' — аргументы эллиптических функций,
kz + k'2 = l;
к0 — динамическая постоянная;
1
}• — коэффициенты интенсивности на-
J
a=1,2,3)
G = 1,2) J пряжений;
/, Z* — постоянные моментной теории;
т, п — параметры отображения;
n>xi Пу, raz — компоненты вектора п в декар-
декартовой системе координат;
nR, tiq, тгф— компоненты вектора п в сфери-
сферической системе координат;
п — единичный вектор нормали;
р, q — растягивающие нагрузки, действую-
действующие в плоскости;
pj, qj (/=1, 2) — постоянные анизотропного мате-
материала;
г, 8 — полярные координаты;
г, 0, z — цилиндрические координаты;
s — напряжение продольного сдвига;
Sj G = 1, 2, 3)—комплексные корни;
t — время;
и — переменная величина;
ип, Щ—нормальная и тангенциальная ком-
компоненты смещений;
иГ1 щ — компоненты смещений в полярной
системе координат;
их, иу, uz — компоненты смещений в декар-
декартовой системе координат;
ив,ч Uq, Uy — компоненты смещений в сфери-
сферической системе координат;
v — скорость конца трещины;
v0 — предельная скорость;
viy v2 — скорости волн сжатия и сдвига
соответственно;
х, у, z — прямоугольные координаты;
Zq — координата конца трещины;
Zj (/ = 1, 2, 3)—комплексные переменные;
А, В, С —постоянные;
j, .. .,Ej (/=0, 1, .. .,ri) — полиномиальные коэффициенты;
С—контур;
D —поверхность;
А)(?> С)> ...,1JЙ> ?) —функции эллипсоидальных коор-
координат;
Гл. 2. Математическая теория хрупкого разрушения 199
?>j G = 1, 2, ..., 6) — дифференциальные операторы;
Е — модуль Юнга;
E(k), К (к) — полные эллиптические интегралы
второго и первого рода соответст-
соответственно;
Ej (/=1, 2) — главные модули;
F — свободная энергия;
Fj G = 1, 2, 3) — параметры, связанные с коэффици-
коэффициентами интенсивности напряжений;
Gj G = 1, 2, 3) — скорости высвобождения энергии;
6?12— модуль сдвига ортотропного мате-
материала;
Kj, К* G = 1, 2) — коэффициенты интенсивности на-
напряжений при изгибе;
L — объединение трещин;
L* — объединение неразрезанных линей-
линейных сегментов;
М", N — действительные функции;
Мо — равномерный изгибающий момент;
Мх, Му, Мху — компоненты момента в декартовой
системе координат;
NXzi Nyz — напряжения поперечного сдвига;
Р, Q — сосредоточенная нагрузка, дейст-
действующая в плоскости;
Ро (cos 6), ..., Р2 (cos 6) — полиномы Лежандра;
Pj(zj), Qj(Zj)—комплексные многочлены;
R, 6, ср — сферические координаты;
^о — радиус сферы;
S— сосредоточенная нагрузка продоль-
продольного сдвига;
Т — поверхностная энергия;
То — постоянная температура;
U — функция напряжений Эри;
Uj (/ = 1, ...,' 6) — комплексные функции;
V — объем;
У (а) —функция от а;
Vj(Zj) G = 1, 2, 3) —функция от z/,
W, Wo, Ц\—функции энергии деформации;
WJ (/ = 1, 2, 3) — локальные энергии;
X(zi), Y(z2), Z (z3)—функции Племеля;
а — угол, под которым приложена
нагрузка;
а0 — коэффициент теплопроводности;
а3, сс6, а7 — константы материала;
a/i Pi (/ = 0» 1, 2, 3)—постоянные анизотропного мате-
материала;
200 Г. Си, Г. Либовиц
Р—переменная интегрирования;
у—поверхностное натяжение;
Yo — отношение модулей сдвига;
гх, Уху — компоненты деформации сдвига
в декартовой системе коорди-
координат;
б —участок раскрытия трещины;
8, Sj (/ = 1, 2, 3) — численные постоянные;
&х, ?yi &z— компоненты нормальной деформа-
деформации в декартовой системе коор-
координат;
0'—-угол между осью х и нормалью
п к эллипсу;
Qj (У = 0, 1, 2) —угол разрушения;
х = C—4v) для плоской деформации
и C—v)/(l—v) для обобщенного
плоского напряженного состояния;
Xn—собственные значения;
\i — модуль сдвига для изотропного
материала;
j (/ = 1, 2, ..., 6) — комплексные корни;
[хг, \iQ — компоненты моментных напряжений
в полярных координатах;
И'*, Мч/—• компоненты моментных напряже-
напряжений в декартовых координатах;
?, т], ? — эллипсоидальные координаты;
5о — граница эллипса;
я = 3,1416;
р— радиус кривизны;
р0—-плотность;
а—переменная интегрирования;
aii сг2 — максимальные напряжения;
оп, ot, ..., ont — нормальные и тангенциальные ком-
компоненты напряжений;
оу, Oq, ...,сгГ9 — компоненты напряжений в поляр-
полярных координатах;
в XI суу, ..., аху — компоненты напряжений в декар-
декартовых координатах;
aRi ffe> ..., grq — компоненты напряжений в сфери-
сферических координатах;
т — точки на поверхности трещины;
Ф — параметрический угол;
Фэс, фг/, Ф2, 'ф — гармонические функции;
Ф (z), х (я)» 'Ф (^) — функции комплексного перемен-
переменного;
(о — угол сдвига;
Гл. 2. Математическая теория хрупкого разрушения 201
<° @ — отображающая функция;
соо — радиус круговой области;
сос — круговая частота;
«г — вращение;
Г,-, Л/ G = 1, 2, 3) — параметры, связанные с напряже-
напряжениями на бесконечности;
Tj(l/a), Ф A), W A) G" = 1, 2) — решения интегральных уравнений;
Uj (/ = 0, 1, 2)—функции от ср;
<Dj(Zj)9 y?j(zj), Qj{zj) — кусочно-голоморфные функции.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Баренблатт Г. И., Черепанов Г. П., ПММ, 24 A960), № 4, 667—682.
2. Benbow J. J., Proc. Phys. Soc. (London), 75 A960), 697.
3. Brand L., Vector Analysis, Wiley, New York, 1957.
4. Broberg К. В., Arkiv Fysik, 18 (I960), 159.
5. Bueckner H. F., Trans. AS ME, 80 A958), 1225.
6. Chapkis R. L., Williams M. L., In «Proceedings of the 3rd U.S. National
Congress for Applied Mechanics», p. 281, 1958.
7. Copson E. Т., Theory of Functions of a Complex Variable, Oxford (England),
1957.
8. Cosserat E., Cosserat F., Theories des corps deformables, Hermann, Paris,
1909.
9. Craggs J. W., In «Fracture of Solids» (Drucker D. C, Gilman J. J., eds.),
pp. 51-63, Wiley, New York, 1963.
10. Erdogan F., Sih G. C, /. Basic Eng., 85 A963), 519.
11. Green A. E., Naghdi P. M., The Linear Theory of an Elastic Cosserat Pla-
Plate, Rep. No AM-66-4, Office of Nav. Res., Washington, D. C, 1966.
12. Green A. E., Sneddon I. N., Proc. Cambridge Philos. Soc, 46 A950), 159.
13. Griffith A. A., Philos. Trans. Roy. Soc. London, Ser. A, 221 A920), 163.
14. Griffith A. A., In «Proceedings of the 1st International Congress for Applied
Mechanics, Delft, 1924», p. 55—63, J. Waltman, Jr., Delft, 1925.
15. Hartranft R. J., Sih G. C, Effect of Plate Thickness on the Bending Stress
Distribution Around Through Cracks, /. Math. Phys., 47A968), 276—291.
16. Inglis С E., Trans. Roy. Inst. Naval Architects, 60 A913), 219.
17. Irwin G. R., In «Proceedings of the 9th International Conference on App-
Applied Mechanics, Brussels», p. 245, 1956.
18. Irwin G. R., /. Appl. Mech., 24 A957), 361.
19. Irwin G. R., In «Handbuch der Physik», Band 79, S. 551—590, Springer,
Berlin, 1958.
20. Irwin G. R., Fracture Testing of High-Strength Sheet Materials under
Conditions Appropriate for Stress Analysis, Rep. No 5486, Nat. Res. Lab.r
Washington, D. C, 1960.
21. Irwin G. R., /. Appl. Mech., 29 A962), 651. Русский перевод: Тр. Амер.
об-ва инж.-механ., № 4 A962), 53 г).
г) Журнал /. Appl. Mech. с 1961 г. выходит в переводе под названием
«Труды Американского общества инженеров-механиков», серия Е с соблю-
соблюдением нумерации выпусков; поэтому далее будут указываться только отсут-
отсутствующий в оригинале номер выпуска и страницы русского издания.— Прим.
перев.
202 Г. Си, Г. Либовиц
22. Kassir М. К., Sih G. С, /. Appl. Mech., 33 A966), 601. Русский перевод:
№ 3, 141.
23. Kassir M. К., Sih G. С, In «Proceedings of the 3rd Southeastern Conference
on Theoretical Applied Mechanics, Columbia, S. C.» (Shaw W. A., ed.),
vol. 3, p. 117, Pergamon, New York, 1967.
24. Kassir M. K., Sih G. C, Intern. J. Eng. Sci., 5 A967), 899.
25. Knowles J. K., Wang N. M., /. Math. Phys., 39 (I960), 223.
26. Lamb H., Hydrodynamics, 6th ed., Dover, New York, 1932. Русский пере-
перевод: Ламб Г., Гидродинамика, Гостехиздат, 1947.
27. Лехницкий С. Г., Теория упругости анизотропного тела, ГИТТЛ, 1950.
28. Loeber J. F., Sih G. С, /. Appl. Mech., 34 A967), 240. Русский перевод:
№ 1, 131.
29. Loeber J. F., Sih G. C, /. Acoustical Soc. Amer., 44 A968), 90—98.
30. Love A. E. H., Mathematical Theory of Elasticity, 4th ed.7 Dover, New
York, 1944. Русский перевод изд. 1927 г.: Ляв А., Математическая
теория упругости, ОНТИ, М., 1935.
31. Лурье А. И., Пространственные задачи теории упругости, Гостехиздат
М., 1955.
32. Michell J. H., Proc. London Math. Soc, 31 A900), 100.
-33. Mindlin R. D., /. Exptl. Mech., 3 A963), 1. Русский перевод: Механика,
№ 4 (86) A964).
•34. Моссаковский В. И., Рыбка М. Т., ПММ, 29 A965), № 2, 291—296.
35. Mott N. F., Engineering, 165 A948), 16.
36. Мусхелишвили Н. И., Некоторые основные задачи математической тео-
теории упругости, Изд-во АН СССР, М., 1949; изд. 5, «Наука», М., 1966.
37. Мусхелишвили Н. И., Сингулярные интегральные уравнения, М., 1946;
изд. 3, «Наука», М., 1968.
38. Neuber H., Kerbspannungslehre, Springer, Berlin, 1937. Русский перевод:
Нейбер Г., Концентрация напряжений, Гостехиздат, М.—Л., 1947.
39. Noble В., The Wiener — Hopf Technique, Pergamon, New York, 1958.
Русский перевод: Нобл Б., Метод Винера — Хопфа, ИЛ, М., 1962.
40. Pagano N. J., Sih G. С, Stress Singularities Around a Crack in a Cosserat
Plate, Intern. J. Solids and Structures, 4 A968), 531.
41. Paris P. C, Sih G. C, In «Symposium on Fracture Toughness Testing and
' Its Applications», STP 381, p. 30—83, ASTM, Philadelphia, 1965. Русский
перевод: в сб. «Прикладные вопросы вязкости разрушения», «Мир», М.,
1968.
42. Peterson R. E., Stress Concentration Design Factors, Wiley, New York,
1953.
43. Ravera R. J., Sih G. C, Lehigh Univ. Report, 1967.
44. Reissner E., /. Appl. Mech., 12 A945), A69.
45. Rice J. R., Sih G. C, /. Appl. Mech., 32 A965), 418.
46. Roberts D. K., Wells A. A., Engineering, 178 A954), 820.
47. Rongved L., /. Appl. Mech., 24 A957), 252.
48. Sack R. A., Proc. Phys. Soc. (London), 58 A946), 729.
49. Sanders J. L., Jr., /. Appl. Mech., 27 A960), 352.
50. Савин Г. Н., Концентрация напряжений около отверстий, Гостехиздат,
М.—Л. ,1951; Распределение напряжений около отверстий, «Наукова
думка», Киев, 1968.
51. Segedin С. М., Proc. Cambridge Philos. Soc, 47 A950), 396.
52. Sih G. C.t Trans. Chinese Assoc. Advan. Sci., 3 A962), 25.
53. Sih G. С
54 Sih G. С
55. Sih G C.
56. Sih G. С
/. Appl. Mech., 29 A962), 587. Русский перевод: № 3, 157.
Л Amer. Inst. Aero. Astro., 1 A963), 2387.
X Appl. Mech., 30 A963), 419. Русский перевод: № 3, 111.
J. Soc. Ind. Appl. Math., 12 A964), 403.
57. Sih G. C, J. Appl. Mech., 32 A965), 51. Русский перевод: № 1, 57.
58. Sih G C, /. Franklin Inst., 280 A965), 139.
Гл. 2. Математическая теория хрупкого разрушения 203
59. Sih G. С, Longitudinal Shear of Polarly Orthotropic Wedges, Rep. Le-
high Univ., Bethlehem, Pa., 1965.
60. Sih G. C, In «Proceedings of the 2nd Conference on Theoretical Applied
Mechanics, Atlanta» (Shaw W. A., ed.), vol. 2, p. 117, 1965.
61. Sih G. C, In «Proceedings of the 1st International Conference on Fracture,
Sendai» (Yokobori Т., Kawasaki Т., Swedlow J. L., eds.), vol. I, p. 189,
Japanese Society for Strength and Fracture of Materials, Tokyo, 1965.
62. Sih G. C, /. Heat Transfer, 87 A965), 293.
63. Sih G. C, Intern. J. Fracture Mech., 2 A966), 628.
64. Sih G. C, Liebowitz H., Intern. J. Solids and Structures, 3 A967), 1.
65. Sih G. C, Rice J. R., /. Appl. Mech., 31 A964), 477. Русский перевод:
№ 3, 123.
66. Sih G. C, Paris P. C, Erdogan F., /. Appl. Mech., 29 A962), 306. Рус-
Русский перевод: № 2, 101.
67. Sih G. C, Paris P. C, Irwin G. R., Intern. J. Fracture Mech., 1 A965), 189.
68. Sih G. C, Loeber J. F., Quart. Appl. Math., 27 A969), № 2, 193
69. Southwell R. V., An Introduction to the Theory of Elasticity, 2nd ed.,
Oxford Univ. Press, London, 1941. Русский перевод: Саусвелл Р., Введе-
Введение в теорию упругости, ИЛ, М., 1948.
70. Sneddon I. N., Proc. Roy. Soc. London, Ser. A, 187 A946), 229.
71. Sneddon I. N., Fourier Transforms, McGraw-Hill, New York, 1951. Рус-
Русский перевод: Снеддон И., Преобразования Фурье, ИЛ, М., 1955.
72. Sternberg E., Muki R., Intern. J. Solids and Structures, 3 A967), 69.
73. Stroh A. N., Advan. Phys., 6A957), 418.
74. Timoshenko S. P., Woinowsky-Krieger S., Theory of Plates and Shells,
McGraw-Hill, New York, 1959. Русский перевод: Тимошенко С. П., Вой-
новский-Кригер С, Пластинки и оболочки, «Наука», М., 1966.
75. Trefftz E., In «Handbuch der Physik», Band 6, Springer, Berlin, 1928.
Русский перевод: Трефц Е., Математическая теория упругости,
ОНТИ, Л. —М., 1934.
76. Уфлянд Я. С, Интегральные преобразования в задачах теории упруго-
упругости, «Наука», Л., 1967.
77. Westergaard Н. М., /. Appl. Mech., 6 A937), А49.
78. Whittaker E. Т., Watson G. N., Modern Analysis, Cambridge, London,
1962. Русский перевод: Уиттекер Э. Т., Ватсон Дж. Н., Курс современ-
современного анализа, Физматгиз, 1963.
79. Williams M. L., /. Appl. Mech., 24 A957), 109.
80. Williams M. L., /. Appl. Mech., 28 A961), 78. Русский перевод: № 1, 93.
81. Williams M. L., In «Proceedings of the 5th U.S. National-Congress for
Applied Mechanics», p. 451, 1966.
82. Yoffe E., Philos. Mag., 42 A951), 739.
ГЛАВА
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
В МЕХАНИКЕ РАЗРУШЕНИЯ
Дж. Раис
I. ВВЕДЕНИЕ 205
II. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ И НЕОБХОДИМЫЕ ПОНЯТИЯ
МЕХАНИКИ ДЕФОРМИРУЕМЫХ ТВЕРДЫХ ТЕЛ 207
A. Поля напряжений и деформаций 207
Б. Некоторые сведения из теории упругости 20&
B. Двумерные поля деформаций для линейно упругого тела ... 210
Г. Теория пластичности для сплошной среды 214
Д. Энергетические изменения и связанные с ними методы .... 219
III. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ ПРИ ИЗУЧЕ-
ИЗУЧЕНИИ ДЕФОРМИРОВАНИЯ И РАЗРУШЕНИЯ . . ш 228
A. Поля напряжений вблизи конца трещины в линейной теории
упругости 229
Б. Некоторые задачи теории упругости для тел с трещинами . . . 233
B. Приближенные методы исследования полей упругих напряжений
вблизи трещин 238
Г. Энергетические методы в задачах теории трещин в упругих телах 245
Д. Упругохрупкое разрушение 248
Е. Особенности упругих полей при динамическом распространении
трещины 251
Ж. Концентрация напряжений и варьирование энергии для тел
с вырезами 255
IV. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ТЕОРИИ ПЛАСТИЧНОСТИ ПРИ ИЗУЧЕНИИ
ДЕФОРМИРОВАНИЯ И РАЗРУШЕНИЯ 260
A. Локализованное пластическое течение вблизи трещин и вырезов 260
Б. Трещины в упругопластических телах при антиплоской деформа-
деформации 263
B. Трещины в упругопластических телах при растяжении .... 279
Г. Упругопластический анализ развивающихся трещин и разруше-
разрушение посредством потери устойчивости 295
Д. Концентрация деформаций вблизи закругленных вырезов в упру-
упругопластических телах 308
Е. Предельный анализ тел с вырезами 316
Ж. Механизмы разрушения пластических материалов 317
V. НАПРАВЛЕНИЯ ДАЛЬНЕЙШИХ ИССЛЕДОВАНИЙ 322
VI. ЗАКЛЮЧЕНИЕ 325
ОБОЗНАЧЕНИЯ 328
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 331
Гл. 3. Математические методы в механике разрушения 205
В этой главе дается обзор математических методов и основных результа-
результатов механики разрушения. Основное внимание уделяется исследованию раз-
развития трещин методами механики сплошной среды. Раздел II начинается
-с изложения необходимых понятий и основных уравнений механики твер-
твердого тела, включая обзор теорий упругости и пластичности и некоторых
математических методов решения краевых задач, например теории аналити-
аналитических функций. В этом разделе вводятся методы сравнения по энергии
и: соответствующие интегралы, не зависящие от пути интегрирования. Эти
яовые методы исследования находят затем широкое применение в задачах
о трещинах и вырезах. В разд. III рассматривается применение линейной
теории упругости в теории разрушения. Решены некоторые плоские задачи
для тел с трещинами и изложены приближенные методы определения коэф-
коэффициентов интенсивности в случае более сложной геометрии. Дан обзор тео-
теорий упругохрупкого разрушения и показана эквивалентность гриффитсова
метода энергетического баланса и подходов, основанных на концепции сил
сцепления. Кроме того, рассматриваются задачи для динамически развиваю-
развивающихся трещин, дается расчет скорости высвобождения энергии и обсуждается
концентрация напряжений на закругленных вырезах.
Наибольший по объему разд. IV посвящен упругопластическому и чисто
пластическому анализу разрушения. Здесь изложено приближение локаль-
локальной пластичности, в котором поле деформаций вблизи конца трещины опре-
определяется коэффициентами интенсивности напряжений, рассчитанными
на основе теории упругости. Рассмотрены упругопластические задачи для
трещин в условиях плоской деформации и плоского напряженного состоя-
состояния; эти результаты по необходимости являются приближенными, так что
дальнейшие сведения получаются из исследования более простого случая
антиплоской деформации. Показано, что из характера соотношений между
напряжениями и пластическими деформациями, зависящих от пути нагру-
жения и связывающих приращения соответствующих величин, следует
трактовка разрушения как точки неустойчивости процесса непрерывного
распространения трещины при возрастании нагрузки. Кроме того, в этом
разделе исследуется концентрация пластических деформаций вблизи закруг-
закругленных вырезов, проводится предельный анализ тел с вырезами и кратко
описывается механизм разделения пластичных материалов.
L ВВЕДЕНИЕ
Длительное время развитию наших представлений о процессе
разрушения мешала неполнота математического описания условий
вблизи конца трещины (особенно в пластичных материалах).
В последние годы этот предмет привлек значительное вни-
внимание исследователей, что привело к некоторым важным резуль-
результатам.
Автор в основном занимался именно таким математическим
исследованием разрушения, и поэтому его весьма заинтересовало
предложение Г. Либовица написать обзор работ в этой области
для руководства «Разрушение».
Первоначально планировалась глава, описывающая методы
математического исследования в механике разрушения и основные
результаты. Изложение должно было быть достаточно детальным
и независимым, чтобы заинтересованный читатель мог ознако-
ознакомиться с предметом и узнать о полученных к настоящему времени
206 Дж. Райе
результатах, лишь время от времени обращаясь к существующей
литературе. Такая направленность и выдерживалась вначале при
подготовке этой главы, но вскоре стало ясно, что без известных
ограничений глава по объему сравняется с книгой. Поэтому
хотя все математические методы приводятся с полными формули-
формулировками и выводами, изложение по необходимости является
сжатым, и читателю было бы полезно известное знакомство с ма-
математическими аспектами механики деформируемого твердого
тела.
Отбор материала определялся как личными интересами автора,,
так и ограниченностью объема. Так, например, специальные
методы решения краевых задач теории упругости (в частности,
метод интегральных преобразований) не рассматриваются, пред-
предпочтение отдается непосредственному применению методов теории
аналитических функций и теории сингулярных интегральных
уравнений. Некоторые существенные результаты, полученные*
в трехмерной теории, формулируются без вывода. Анализ неупру-
неупругого поведения ограничивается лишь пластичностью без времен-
временных эффектов; вязкоупругое и вязкопластическое поведение не
рассматриваются.
Еще одно ограничение состоит в том, что в первую очередь
излагаются методы механики сплошной среды, исследованию же
разрушения на дислокационном и микроструктурном уровне отво-
отводится очень мало места.
Глава состоит из трех основных частей. Первая включаег
исходные сведения, относящиеся к механике деформируемых
твердых тел и используемым в ней математическим методам;
вторая посвящена исследованию деформаций и разрушения мето-
методами линейной упругости, а третья — упругопластическому и чиста
пластическому анализу.
Как и в большинстве обзоров, приводятся некоторые ориги-
оригинальные результаты, полученные недавно или непосредственно
при написании обзора. Такими являются прежде всего резуль-
результаты, основанные на сравнении по энергии и связанных с ним
контурных энергетических интегралах, не зависящих от пути
интегрирования. Эта фундаментальная теория излагается в раз-
разделе II, Д, а в следующих разделах применяется к упругим
и упругопластическим задачам для трещин и закругленных выре-
вырезов. Такой метод идеально приспособлен к задачам данного вида
и приводит к ряду точных и приближенных результатов для нели-
нелинейных задач, которые не могут быть решены обычными аналити-
аналитическими методами. Другой оригинальный результат содержится
в разд. IV, где доказывается, что два кажущихся различными
подхода к проблеме разрушения посредством потери устойчивости
упругопластического деформирования фактически оказываются
тождественными.
Гл. 3. Математические методы в механике разрушения 207
II. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ И НЕОБХОДИМЫЕ ПОНЯТИЯ
МЕХАНИКИ ДЕФОРМИРУЕМЫХ ТВЕРДЫХ ТЕЛ
Мы начнем с краткого обзора понятий и основных уравнений
механики деформируемых твердых тел. Будем всюду рассматри-
рассматривать главным образом бесконечно малые деформации, тела с не
зависящими от времени деформационными характеристиками (как
в теории упругости, так и в теории пластичности) и соответствую-
соответствующие математические методы. При этом мы не стремимся к полнота
изложения; напротив, отбор материала определялся тем, что
потребуется в последующих разделах, посвященных анализу
моделей и конфигураций, которые представляют интерес для
механики разрушения. Сначала приводятся сравнительно обычные
сведения по теории упругости и теории пластичности, включающие
общие теоремы, соотношения между напряжениями и деформа-
деформациями, формулировки двумерных задач и применение теории ана-
аналитических функций. В заключение рассматривается сравнение
по энергии тел, содержащих вырезы близких размеров. Большая
часть материала здесь является оригинальной, и разработанные
методы широко используются в разд. III и IV при исследовании
концентрации деформаций.
А. Поля напряжений и деформаций
Пусть Gtj — компоненты тензора напряжений, отнесенного
к декартовой системе координат хи х2, х$. Тогда уравнения движе-
движения (или равновесия) имеют вид
' Р <Tff A>
где Ft — массовая сила, отнесенная к единице объема, щ — сме-
смещение, а р — плотность. Компоненты Tt силы, действующей на
единичной площадке с нормалью nt, равны
Ti = oijnj. B)
Компоненты тензора деформаций 8^ и тензора вращения со^- опре-
определяются через градиенты смещения соотношениями
1 /дщ dujx 1 /дщ d
или — в случае конечных деформаций — иными соответствующими
величинами [29]. Выполнение уравнений совместности
dxi dxj ®x dxl
208 Дж. Райе
гарантирует существование поля смещений, отвечающего некото-
некоторому полю деформаций.
Краткая и удобная формулировка уравнений равновесия
и совместности дается принципом возможных перемещений. Пусть
<ytj — некоторое поле напряжений в области F, находящейся
в равновесии под действием массовых сил Ft и поверхностных
сил Tt, приложенных на границе S области V. Пусть щ — любое
непрерывное и дифференцируемое поле смещений, а е^ — соот-
соответствующее поле деформаций. Тогда утверждение принципа
возможных перемещений
J - Ftut) dV=^ Тгщ dS E)
v s
следует из уравнений равновесия и соотношений между смеще-
смещениями и деформациями. Обратно, если заданы уравнения, связы-
связывающие смещения и деформации, то из принципа возможных
перемещений следуют уравнения равновесия, а если заданы
уравнения равновесия, то из него получаются соотношения между
деформациями и смещениями.
Б. Некоторые сведения из теории упругости
Мы определим упругий материал как такой, для которого
существует однозначная функция в пространстве деформаций
W = W(emn)= [ audeu F)
о
(плотность энергии деформации).
Таким образом, когда все компоненты деформаций могут
изменяться независимо, соотношения между напряжениями
и деформациями даются выражениями
аи = dW/dstj. G)
Линейные соотношения между напряжениями и деформациями
принимают вид
C (8)
где Сим = Ст1 = Cijik = Cjuk в силу симметрии тензора
напряжений и Сг$ы = Скщ в силу существования плотности
энергии деформации. В результате этого число независимых упру-
упругих констант сводится к 21. Соображения симметрии позволяют
еще уменьшить это число. В результате остаются три константы
для кристалла с кубической решеткой и две для изотропного тела.
В последнем случае
( ^) (9)
Гл. 3. Математические методы в механике разрушения 209
где G — модуль сдвига, a v — коэффициент Пуассона; при этом
Е = 2 A + v) G (Е — модуль Юнга).
Потенциальная энергия Р упругого тела определяется выраже-
выражением
=\ lW(smn)-FiUi)dV- j TiUldS, A0)
где ST — та часть поверхности тела, на которой заданы напряже-
напряжения. Если Ft и Тг считаются известными, то Р представляет собой
функционал поля смещений. Если упругое тело обладает устой-
устойчивостью в малом [23], т. е.
dOfj deu > 0 (И)
для любого набора приращений деформаций и соответствующих
приращений напряжений, то поле смещений, удовлетворяющее
уравнениям равновесия, минимизирует потенциальную энергию
на множестве всех полей смещений, которые удовлетворяют на
S — ST заданным граничным условиям, наложенным на смеще-
смещения (если такие условия имеются). Доказательство следует непо-
непосредственно из принципа возможных перемещений: пусть и\ —
истинное поле перемещений, аи* — любое кинематически воз-
возможное поле; тогда
Р* - Р* = j [W (е* п) - W (sin) - FfSut -14)] dV -
У
= J \o\i {г% - e$) - W (sfmn) + W (e* n)] dF =
у
== i i (Р^з — ^ij) d^ij dV^^O. A2)
Неравенство в последней строке, которое завершает доказа-
доказательство, следует из устойчивости в малом и независимости Gtj
и W от истории деформирования. Действительно, если внутренний
интеграл берется по некоторому пути в пространстве деформаций,
соответствующему в пространстве напряжений прямой, соединяю-
соединяющей ofj и g\j, to datj по направлению совпадает с о% — Оц.
Единственность решения следует отсюда немедленно: если
Р* = Р*, то из неравенства A2) и устойчивости в малом следует,
44-0700
210 Дж. Райе
В. Двумерные поля деформаций для линейно упругого тела
Рассмотрим сейчас те случаи, когда все компоненты напряже-
напряжений и деформаций зависят от двух декартовых координат хг и х2.
Мы ограничимся линейными однородными и изотропными упру-
упругими материалами.
1. Антиплоская деформация
Предположим, что щ = и2 = 0 и и3 = ив (х19 х2). Тогда толь-
только напряжения 031, а32 и деформации
__1 ди3 _ 1 див
будут отличны от нуля. В данном случае должно удовлетворяться
уравнение равновесия
а соотношение между напряжениями и деформациями имеет вид
o3i = 2Gz3i (i = 1, 2). Таким образом, и3 является гармониче-
гармонической функцией, у2^з = 0. Гармоническая функция от хг и х2
может быть представлена как действительная или мнимая часть
некоторой аналитической функции от z = хг + ix2:
и3 = G-1 Im [со (z)]f A5)
где функция со (z) является аналитической, равно как и производ-
производные и интегралы от нее [16].
Тогда напряжения можно представить в виде
^32 + *°31 = <»' (Z). A6)
Более общие выражения получаются тогда, когда иг и и2 —
заданные функции хг и х2, как в случае кручения [88].
2. Плоская деформация и обобщенное плоское напряженное
состояние
Допустим, что и3 =0, иг = иг {хг, х2), и2 = и2 (х1у х2). Это
деформированное состояние, в котором &3i =0, называется состоя-
состоянием плоской деформации. Уравнения равновесия и совместности
принимают вид
?f?ii
дх\
Гл. 3. Математические методы в механике разрушения 211
Уравнения равновесия удовлетворяются, если выразить ком-
компоненты напряжения через функцию напряжений Эри U =
^ .«,/ = 1,2). A8)
Выражая деформации через напряжения с учетом условия
s3i = О, получаем, что для выполнения уравнения совместности
функция U должна быть бигармонической:
0. A9)
Такие же уравнения получаются для обобщенного плоского
напряженного состояния тонких} пластинок, если Оц и ег7- рас-
рассматривать как средние по толщине значения и допустить, что
среднее по толщине значение <т33 пренебрежимо мало [29]. Бигар-
монические функции также могут быть представлены через анали-
аналитические функции:
U = Re. [iq> (z) + j я|) (z) dzj , B0)
где <p (z) и i|) (z) — аналитические функции, а черта означает
комплексно сопряженную величину. Напряжения при этом выра-
выражаются так:
On + a22 = 4Re[q/(z)], B1)
В случае плоской деформации а33 = v (оп + о^)» а в случае
плоского напряженного состояния а33 = 0. В результате для
смещений имеем
щ + iu2 = [хф (z) — zy' (z) — г|) (z)]/BG), B2)
где к = 3 — 4v в случае плоской деформации и к = C — v)/(l +v)
в случае плоского напряженного состояния.
3. Теория аналитических функций
Математические методы, непосредственно (конформное ото-
отображение, интегралы типа Коши) или косвенно (сингулярные
интегральные уравнения, преобразования Фурье и т. д.) основан-
основанные на теории аналитических функций, находят широкое приме-
применение в статических и квазистатических задачах линейной теории
упругости. Некоторые существенные для дальнейшего результаты
приведены здесь практически без вывода; читателю, не знакомому
$ этим предметом, возможно, понадобится обратиться к специаль-
специальным руководствам.
14*
212 Дж. Райе
Функция аналитична в некоторой области плоскости z, если
в каждой точке этой области обычная операция предельного
перехода определяет производную однозначно независимо от пути,
по которому приращение аргумента стремится к нулю. Следствием
аналитичности является обращение в нуль взятого по любому
замкнутому контуру в плоскости z интеграла от функции, анали-
тичной в области, заключенной внутри этого контура, и на самом
контуре. В области аналитичности функции путь интегрирования
может деформироваться произвольным образом. С этим резуль-
результатом связана интегральная формула Коши. Если / (z) — функ-
функция, аналитическая внутри замкнутого контура Сив точках этого
контура, то
Г /(*)<** f 2iti/(z) для z внутри С,
J t~~z \ 0 для z вне С.
Контур С обходится при этом таким образом, что область внутри
него остается слева.
Определим / (z) равенством
где L — гладкая кривая или замкнутый контур в плоскости z,
а «весовая функция» (плотность) g (t) кусочно-непрерывна на L
и удовлетворяет ослабленному условию гладкости, известному
под названием условия Гёльдера [60]. Тогда / (z) аналитична во
всей плоскости z, исключая L. Если знаки + и — обозначают
левую и правую стороны L в соответствии с направлением обхода,
то предельные значения / (z) при приближении z слева и справа
к точке t0, лежащей на L, даются формулами Племеля
t\-i С s(t) Л* B5)
L
Эти формулы применимы, если t0 не совпадает ни с точкой раз-
разрыва функции g{t), ни с тем концом L, на котором g (t0) #0,
причем интеграл понимается в смысле главного значения Коши.
Обратно, допустим, что функция / (z) аналитична в некоторой
области D всюду, кроме кривой L, и что
Г @ ~ /" @ = g (t) на L. B6)
Тогда / (z) можно представить в виде
где функция /0 (z) аналитична в области D.
Гл. 3. Математические методы, в механике разрушения 213
Последний результат находит важное применение в теории
сингулярных интегральных уравнений. Пусть h (t) — кусочно-
непрерывная гладкая по Гёльдеру функция, определенная на L,
и пусть требуется найти решение g (t) уравнения
на Ь. B8)
* Ч)
L
Определим функцию / (z) формулой B4). Тогда на L
f+(t) + t(t) = ^. B9)
Допустим, что L — одиночная дуга, положим
X (z) = [(г - a) (z - Ь)]-Ч\ C0)
где а и Ъ — концы дуги L, и проведем разрез вдоль L, так что
% (z) при больших | z | будет вести себя как l/z. Тогда можно
показать, что % (z) изменяет знак при переходе через i, т. е.
Г @ + Г (t) = 0 на L, C1)
и соотношение B9) переходит в
Таким образом, из B6) и B7) следует, что
x(z)' C3)
где функция р0 (z) аналитична во всей плоскости z (и потому
является многочленом). Но в соответствии с определением B4)
/ (z) имеет порядок IIz при больших | z |, так что р0 (z) — кон-
константа, скажем, —k/2ni. Тогда по формуле B5)
^dt-ifb). C4)
g(to)=r(to)t(to)=J^dtf
la
Отметим, что сингулярное интегральное уравнение B8) имеет
бесконечное множество решений, зависящих от выбора значе-
значений к. Кроме того, все решения, вообще говоря, обращаются
в бесконечность вблизи концов дуги потому же закону, что %+ {t).
Постоянная к однозначно определяется только в том случае,
когда на решение g (t) накладываются дополнительные ограниче-
ограничения. Можно, например, выбрать к так, чтобы решение g (t) было
конечным на одном конце дуги, или так, чтобы интеграл от g (t)
вдоль L (который равен к) имел некоторое заданное значение.
Решения, ограниченные на обоих концах дуги, существуют только
для ограниченного класса функций hit).
214 • Дж. Райе
Г. Теория пластичности для сплошной среды
В этой главе мы будем в основном иметь дело с континуальной
теорией пластической деформации [21, 37, 69], хотя отчасти будет
использована и теория дислокаций [18, 93]. Последняя с мате-
математической точки зрения представляет собой рассмотрение упру-
упругих полей линейных дефектов, вызывающих постоянный скачок
смещений (которым определяется величина вектора Бюргерса
дислокации), и анализ возникновения и движения полей таких
дефектов. В настоящем разделе мы ограничиваемся континуаль-
континуальной теорией пластичности. Предполагается, что в каждый момент
однородного деформирования материала в многомерном простран-
пространстве напряжений существует поверхность текучести. Изменения
напряжений внутри поверхности текучести вызывают чисто упру-
упругие реакции. За исключением случая идеальной пластичности,
поверхность текучести в процессе пластической деформации может
перемещаться, расширяться или деформироваться иным образом.
В частности, при | пластическом деформировании точка, пред-
представляющая текущее напряженное состояние, должна находиться
на поверхности текучести. Деформации ги являются суммой
упругих 8% и пластических г% частей, причем упругие деформации
определяются обычными соотношениями Гука.
Пусть оц — напряженное состояние, вызывающее пластиче-
пластическую деформацию, и пусть d&fj — приращение пластической
деформации при этом напряженном состоянии. Основной постулат
теории пластичности состоит в том, что
fo/-cx<i)*U><V C5)
где Gij — любое напряженное состояние " внутри мгновенной
поверхности текучести или на ней. JB свою очередь это нера-
неравенство можно вывести из других постулатов, характеризующих
упругопластические материалы, например или из постулата
устойчивости [20], или из требования неотрицательности работы
за цикл деформации [40], или из модели пластической деформации
как скольжения в кристаллографических плоскостях под дей-
действием критического приведенного касательного напряжения
в направлении сдвига [7]. Следствием этого постулата является
нормальность приращений пластических деформаций к поверх-
поверхности текучести в пространстве напряжений, равно как и требо-
требование выпуклости поверхности текучести. Пусть Ntj — компо-
компоненты единичной внешней нормали к мгновенной поверхности
текучести (т. е. Ntj datj = 0 для всех datj, взятых на поверхности
текучести, Ntj = Njt и NaNa = 1). Тогда, если для текущего
напряженного состояния эта нормаль единственна, соотношение
между приращениями напряжений и пластических деформаций
Гл. 3. Математические методы в механике разрушения 215
принимает вид
<te& = (de&defoI/2tfw. C6)
В углах поверхности текучести Ntj может быть любым единичным
тензором внутри конуса граничных нормалей. Квадратный корень
в C6) остается неопределенным для идеальной пластичности.
В случае упрочняющегося материала он может быть задан как
функция соответствующих приращений напряжений, напряжен-
напряженного состояния и пути нагружения; зависимость его от прираще-
приращений напряжений обычно берется линейной по компоненте Ntj da^,
нормальной к поверхности текучести.
Отметим, что условия пластической несжимаемости (de]& = 0)
и нечувствительности поверхности текучести к наложению гидро-
гидростатического напряженного состояния (N^k = 0, так как прира-
приращение dGtj = dkbij лежит на поверхности и Ntj datj = 0) следуют
одно из другого.
В случае несжимаемого пластического тела условие текучести
определяется лишь компонентами девиатора напряжений stj =
= аи — biflbiJb. Частным случаем изотропного пластического
поведения является условие текучести Мизеса s^sij = 2т2, где
т — мгновенный предел текучести на сдвиг (или эквивалентное
касательное напряжение). Связь между деформациями и напряже-
напряжениями задается соотношениями
*>„ = НЙГ 8udab* + ^+%siJ> C7)
где dyv = Bde?jds?jI/2 — эквивалентное приращение пластиче-
пластического сдвига, а dypld% в случае упрочняющегося материала —
заданная функция т. Теории пластического течения отвечают
физике явления, но математические трудности часто заставляют
возвращаться к деформационным теориям, в которых текущее
напряженное состояние однозначно зависит от текущих деформа-
деформаций. Такие теории полезны в тех случаях, когда пластические
деформации в каждой точке тела лишь немного отклоняются от
прямолинейных отрезков в пространствах напряжений или дефор-
деформаций [13]. Соотношение деформационной теории, соответствую-
соответствующее приведенному выше соотношению Мизеса, имеет вид
8° + s C8)
у = [2 (е^ — б^еьь/3) (&и — б^е^/З)]1/* — заданная функция
т = (^у^у/2I/2. Деформационные теории пластичности — это, по-
существу, теории нелинейной упругости; например, приведенное
выше соотношение между напряжениями и деформациями можно
216 Дж. Райе
получить из выражения для энергии деформации
C9>
1. Предельные теоремы теории пластичности
Предельные теоремы теории идеальной пластичности следуют
непосредственно из основного постулата C5). Допустим, что
массовые силы отсутствуют, и определим предельное состояние
как такое, при котором деформирование происходит при постоян-
постоянных нагрузках на поверхности тела. Тогда для предельного
состояния
0=j (dTt dut) dS = J (datj *v) dV = J (datJ defy) dV D0)
8 V V
(при выводе были использованы принцип возможных перемещений
и условие нормальности приращений пластической деформации).
Подинтегральное выражение в последнем интеграле является
положительно определенным, так что напряжения и упругие
деформации в предельном состоянии постоянны, detj = cfefj» Пусть
ofj — произвольное поле напряжений, находящееся в равновесии
с поверхностными нагрузками if и нигде не противоречащее
условию текучести. Поскольку (atj — щ) d&^j ^ 0, где atj и
( dj берутся для предельного состояния, имеем
так что D1)
J (Г, dut) dS^ J (Zf dui) dS.
s s
Эта теорема дает нижнюю оценку для нагрузок. Если поверхно-
поверхностные нагрузки пропорциональны некоторому положительному
параметру Р, то значение этого параметра, отвечающее предель-
предельной нагрузке, превосходит любое значение РЕ, соответствующее
некоторому равновесному полю напряжений, нигде не нарушаю-
нарушающему условие текучести.
Рассмотрим поле приращений деформации dsij, отвечающее
кинематически допустимому полю приращений смещений du?
(т. е. полю приращений смещений, удовлетворяющему всем задан-
заданным граничным условиям и — для несжимаемого материала —
уравнению неразрывности).
Гл. 3. Математические методы в механике разрушения 217
Пусть а% — произвольное напряженное состояние, соответст-
соответствующее приращению пластических деформаций d&*j. Поскольку
@% — Gtj) ds% ^ 0, имеем
J (<$ йг%) dV^ J (ои de?) dV,
[V V
так что D2)
V
Ъ de*-) dV>\ {Tt duty dS.
S
Эта теорема дает верхнюю оценку. Если нагрузки пропорцио-
пропорциональны некоторому положительному параметру Р и dul выбраны
так, что интеграл по поверхности положителен, то значение Р,
отвечающее предельной нагрузке, меньше значения Р71, получае-
получаемого приравниванием интеграла по поверхности и интеграла
по объему. Допускаются разрывные поля приращений смещений,,
но если материал предполагается несжимаемым, то допустимы
лишь тангенциальные разрывы. В этом случае в интеграл па
объему следует включить работу, совершаемую касательными
напряжениями на скачках смещения в направлении скольжения.
2. Теория линий скольжения при плоской деформации
Рассмотрим плоскую деформацию идеально пластического
материала с условием текучести
+ °Ъ = < D3)
(при пластическом течении максимальное результирующее каса-
касательное напряжение в плоскости, в которой происходит деформа-
деформация, имеет постоянное значение, равное т0). Такое условие теку-
текучести получается для несжимаемого при пластическом деформи-
деформировании изотропного материала (частным случаем которого
являются материалы Мизеса и Треска), когда для упругих дефор-
деформаций считается выполненным условие несжимаемости или когда
пластические деформации много больше упругих [37]. В обоих
случаях а33 = (сги + о^12. Пусть линии постоянных значений
аир определены так, что в каждой точке пластической области
их направления совпадают с направлениями главных касательных
напряжений; направления а, Р и х3 образуют правую ортогональ-
ортогональную систему криволинейных координат, причем аар = т0. В резуль-
результате Оаа = #рэ = р, где р = (сги + а22)/2. Обозначим через ф
Угол главного сдвига, отсчитываемый по ходу часовой стрелки
между направлением хг и направлением а (и, следовательно,
между х2 и направлением Р). Уравнения равновесия допускают
218 Дж. Райе
компактную запись V*<r = 0, где V — оператор градиента, а 0 —
тензор напряжений; в декартовых координатах с ортами i1? i2, i3
мы имеем V = ij d/dxj, a cr = o^jijij. Если уравнения равновесия
в пластической области записать в координатах аир, обозначив
через ia и ц орты, а через d/dsa и dlds* производные по длинам
соответствующих дуг, то получим
0 - (' +'
При дифференцировании единичных векторов использованы соот-
соотношения dia = ip йф, dip = —ia dy. Интегрируя, получаем для
поля напряжений
р — 2т0ф = const на а-линиях,
р + 2тоф = const на р-линиях.
Из нормальности и условия текучести D3) следует уравнение
несжимаемости (в плоском случае) для пластических деформаций
deft + ds$2 = 0 и совпадение направлений главного сдвига для
напряжений и приращений пластических деформаций. Таким
образом, deaa = ^sjjp = 0. Тензор деформаций 8 определяется
как симметричная часть Vu, где и — вектор смещения. Если
приращение деформаций не вызывает изменения напряжений
в некоторой материальной точке, лежащей в пластической области,
то dse = 0, так что dzv = de равно симметричной части V du.
Таким образом, компоненты duai du$ приращения вектора смеще-
смещения по направлениям сдвига определяются соотношениями
3. Антиплоская деформация
При антиплоской деформации условие текучести для изотроп-
изотропного материала имеет вид
<+о\2 = х1 D7)
т. е. в пластической области абсолютная величина вектора каса-
касательного напряжения на площадке направления х3 постоянна.
Снова введем а- и Р-линии в плоскости ххх2 таким образом,
что направление р-линии — это направление главного сдвига
Гл. 3. Математические методы в механике разрушения 219
и направления а, р и х3 образуют правую систему координат;
тогда аза = 0, азр = т0. Пусть ср — угол главного касательного
напряжения, измеряемый по часовой стрелке от направления хг
до направления а (и, таким образом, от направления х2 до направ-
направления главного сдвига Р). Соответствующее уравнение равновесия
можно записать в виде V*<r3 = 0» гДе аз — вектор напряжений
на площадке, нормаль к которой направлена по оси х3. Тогда
т0^. D8)
Таким образом, величина ф постоянна на а-линиях, и поскольку
<р представляет собой угол между а-линией и осью хг, все а-линии—
прямые. Главное касательное напряжение сохраняет постоянное
направление во всех точках а-линии, перпендикулярной вектору
напряжения в любой точке пластичесйой области. Из нормально-
нормальности приращений пластических деформаций следует, что de%a = О,
так что если напряжение постоянно, то d&3a = О и
du3 — const на а-линиях. D9)
Несколько более общие выражения получаются в том случае,
когда du± и du2 отличны от нуля, как при кручении [69].
Д, Энергетические изменения и связанные с ними методы
Методы исследования, связанные g варьированием энергии,
будут играть важную роль в этой главе. Рассмотрим два тела
из линейно или нелинейно упругого материала, каждое с полостью
или вырезом (рис. 1). Для обоих тел системы нагрузок и (или)
заданных на границе смещений одинаковы; тела одинаковы по
составу, форме и всем другим качествам, за исключением одного:
размеры вырезов в них различны. Действительно, можно считать,
что изображенное на рис. 1, б тело получается из тела, показан-
показанного на рис. 1, а путем удаления материала со свободной от
напряжений части границы. Допустим, что нагружение создается
поверхностными нагрузками Г?, приложенными на общей для
обоих тел части границы STi и вынужденными смещениями и\
на общей части границы Su. Обозначим через AV элемент мате-
материала, удаленный из тела, изображенного на рис. 1, а, при
образовании тела, изображенного на рис. 1,6, а через AS —
вновь образовавшийся участок свободной от напряжений грани-
границы. Если о% и e°j — характеристики деформированного состоя-
состояния, соответствующего рис. 1, а, то потенциальная энергия пред-
представляется в виде
ро = j W (e°,n) dV- j T\U\ dS. E0)
V 8T
220
Дж, Райе
б
0°
Рис. 1. Сопоставление двух одинаковых по форме и составу упругих тел
с вырезами при одинаковых нагрузках.
а и б — отличие между телами состоит лишь в том, что в теле б вырез больше на вели-
величину А V и существует участок поверхности AS, не совпадающий с поверхностью тела о.
в й г — разность между значениями потенциальной энергии тел а и б представляется
площадью области между кривыми нагрузка — перемещение; нагружение осуществляет-
осуществляется только заданными силами (в) или только заданными перемещениями (г).
Обозначив через <т?;—J-A<ty, е?,- + Де^ характеристики деформи-
деформированного состояния, соответствующего рис. 1, б, а через АР
приращение потенциальной энергии, имеем
Р° + АР = J W (г°тп + Aem7V) dV - j Т\ (и\ + Лиг) dS. E1)
V-AV ST
Найдем отсюда приращение потенциальной энергии АР. Заметим
прежде всего, что такое приращение можно выразить через раз-
разность между кривыми нагрузка — перемещение для этих двух
тел. Допустим, что нагружение создается только заданными
поверхностными усилиями, пропорциональными некоторой обоб-
обобщенной силе (?, и обозначим через q обобщенное перемещение,
соответствующее совершаемой силой Q работе. Тогда, непосред-
непосредственно применяя принцип возможных перемещений к приведен-
приведенным выше уравнениям, получаем, что уменьшение потенциальной
Гл. 3. Математические методы в механике разрушения 221
энергии —АР равно площади между кривыми нагрузка — пере-
перемещение для этих двух тел (площадь заштрихованной на рис. 1, в
области). Аналогичным образом если нагружение осуществляется
только заданными смещениями, пропорциональными q, то умень-
уменьшение потенциальной энергии равно площади заштрихованной
на рис. 1, г области.
Отметим, что интеграл от T\Aut no ST равен интегралу от
{Т\ + ATt) Аиг по всей поверхности тела, показанного на рис. 1, б.
Это следует из того, что ATt = 0 на ST, Aut = О на Sv и Т\ +
+ Д7\- =0 на вновь образовавшейся поверхности AS. Таким
образом, по принципу возможных перемещений
J T\HuidS= J (о% + Аог1)АгисПГ. E2)
VAV
У-ДУ
X
Уменьшение потенциальной энергии можно теперь представить
|76] в следующем виде:
— АР= \ W(&°mn)dV +
AJV
{(g% + Aoij) Aetj — [W (e°mn + Aemn) — W (гтп)]} dV =
У-АУ
AV
+ j [ j (ofy+A(ty-au)<tey]dF. E3)
Этот результат легче интерпретировать после дополнительного
преобразования. Заметим, что значение интеграла от деформаций,
входящего в интеграл по объему, не зависит от пути интегрирова-
интегрирования, и выберем поэтому наиболее удобный путь нагружения.
Нагрузим сначала тело, показанное на рис. 1, б, усилиями Т\
на ST, смещениями и\ на Sn и усилиями Т\ = d\jnj на вновь
образовавшейся поверхности AS; деформированное состояние —
это состояние a?j, г\$, идентичное с деформированным состоянием
тела, изображенного на рис. 1, а. Затем, зафиксировав условия
нагружения на поверхностях ST и SVi уменьшим усилия на AS
до нуля, так что будет достигнуто истинное деформированное
состояние G°ij + Ло^л &Ь + Л?гл отвечающее рис. 1, б. Обозна-
Обозначим через Г* и и* усилия и смещения на поверхности AS при
атом частном пути перехода от г% до e?j + Asjj- Тогда, применяя
принцип возможных перемещений к указанному интегралу по
222 Дж. Райе
объему, получим для уменьшения потенциальной энергии выра-
выражение
- АР = j W (г°тп) dV- j [ j Tt du%\ dS. E4)
Смысл этого выражения ясен: результирующее уменьшение энер-
энергии равно энергии деформации удаленного материала за вычетом
(отрицательной) работы, произведенной при освобождении вновь
образованной поверхности от напряжений; АР ^ 0.
Более простая формула получается в специальном случае
линейно упругого поведения. Интеграл от деформаций в уравне-
уравнении E3) равен Ас^-Де^/Й, и поскольку на границе полости ATt =
= — Г?, применение принципа возможных перемещений дает
- АР = i/2 J a?i8?j dV - V2 J Т\Ащ dS. E5)
AV AS
Заметим, что в этом случае результирующие кривые нагрузка —
перемещение (рис. 1, в и 1, г) являются прямыми и если (как на
рис. 1, в) заданы усилия на границе, то —АР = Q0Aq/2.
Как показывают два последние выражения для АР, в общем
случае в расчеты входят интегралы и по поверхности и по объему.
Если рассматриваемый вырез представляет собой трещину, то
существен только интеграл по поверхности, поскольку при этом
AV = 0. Как будет показано ниже, для некоторого класса поло-
полостей с гладкими границами при рассмотрении бесконечно малых
изменений формы существен только интеграл по объему. Тем не
менее, как мы убедимся, это различие между методами вычислений
для предельных случаев является лишь кажущимся.
Польза от рассмотрения изменений энергии будет продемон-
продемонстрирована на многих примерах в следующих разделах. Меру
уменьшения потенциальной энергии удается непосредственно выра-
выразить через характеристики концентрации напряжений и деформа-
деформаций на поверхности выреза или в окрестности конца трещины.
С другой стороны, для весьма разнообразных конфигураций тел
с вырезами это изменение энергии можно, точно или приближен-
приближенно, определить независимо. Такие независимые оценки удается
получить расчетами в стиле сопротивления материалов, экспери-
экспериментальным построением результирующей кривой нагрузка -—
перемещение, при помощи многочисленных известных решений
линейной теории упругости для тел с вырезами или при помощи
приближенных расчетов, учитывающих главные характерные
черты нелинейного поведения. В результате можно получить
некоторую информацию относительно концентрации деформаций
у вырезов, не обращаясь к подробным решениям краевых задач.
Гл. 3. Математические методы в механике разрушения 223
В несколько менее общем, чем здесь описано, виде этот метод
был недавно применен для исследования нескольких двумерных
задач о концентрации деформаций [73].
1. Бесконечно близкие гладкие вырезы
Рассмотрим полости или вырезы с гладкими поверхностями
с непрерывно поворачивающейся касательной, по крайней мере
на той части поверхности, с которой удаляется материал при
переходе от рис. 1, а к рис. 1, б. Предполагая, что имеет место
устойчивость в малом (da^dSij^O) и вычисляя интеграл от дефор-
деформаций в соотношении E3) по прямой в пространстве напряжений*
получаем
E6)
ътп
В силу независимости значения интеграла от пути интегрирова-
интегрирования те же неравенства имеют место для любых путей. После
преобразования соотношения E3) при помощи принципа возмож-
возможных перемещений получаем неравенства
0<( - АР)- j W {г°тп) d7< J АТг Ыщ dS. E7)
АУ AS
Предположим теперь, что размеры сравниваемых вырезов раз-
различаются на бесконечно малую величину. Точки границы выреза
на рис. 1, а можно получить, переместившись на расстояние dn
в направлении нормали к поверхности выреза на рис. 1, б в той
области, где материал был удален. Если допустить, что на поверх-
поверхности выреза dn является достаточно гладкой функцией, то и Auiy
и ATt = (Agij) rij — малые первого порядка, так что верхняя
оценка в E7) — малая второго порядка. Поскольку интеграл
по объему AV имеет первый порядок малости, для гладких беско-
бесконечно малых изменений формы выреза верхнюю оценку в E7)
можно считать равной нулю. Таким образом, представляя эле-
элемент объема удаленного материала в виде dSdn, получаем для
уменьшения потенциальной энергии следующее выражение:
-dP = j W (e°mn) dV = j [W (eLi) dn] dS. E8)
dV AS
Заметим, что в дифференциальной форме (или пока речь идет
только о скорости изменения с изменением геометрических разме-
размеров) изменение энергии определяется лишь энергией деформации
удаленного материала.
224
Дж. Райе
Рис. 2. Вырез с плоскими боковыми по-
поверхностями в двумерном поле деформа-
деформаций.
1^ — дуга, образующая «конец» выреза, Г — про-
произвольная кривая, охватывающая конец выреза.
В качестве частного случая рассмотрим вырез с плоскими
поверхностями в двумерном поле деформаций (рис. 2). Все напря-
напряжения предполагаются зависящими только от двух декартовых
координат хх и х2. Вырез образован поверхностями, параллель-
параллельными направлению хг и гладко сопряженными дугой IV Обозна-
Обозначим через I длину выреза и сравним потенциальную энергию тела
с вырезом длины I и потенциальную энергию тела с вырезом
длины I + dl и с концом такой же геометрической формы, так
что все изменение состоит в удлинении плоской части поверхности
выреза на dl. Понимая далее Р как потенциальную энергию слоя
единичной толщины в направлении х3 и замечая, что объем уда-
удаленного элемента материала можно представить в виде dl dx2 dx3i
получаем для скорости уменьшения потенциальной энергии слоя
единичной толщины с увеличением размера выреза
E9)
= j W(smn)dx2.
Индекс 0, фигурирующий в уравнении E8), здесь опущен.
Такое представление скорости изменения энергии в виде не зави-
зависящего от пути интегрирования интеграла по контуру, окружаю-
окружающему конец выреза, приводит к особенно полезному результату
[73] в том случае, когда материал однороден, хотя бы по направле-
направлению оси a?i. Чтобы получить этот результат, рассмотрим интеграл
/ вида
J = j [ W dx2 — Т. {dvi/dxi) ds]. F0)
г
Здесь Г — окружающая конец выреза кривая, начинающаяся
на нижней плоской части поверхности выреза и кончающаяся
на верхней ее части, как показано на рис. 2; кривая эта обходит-
обходится против часовой стрелки, s — длина дуги, а Т = an — вектор
усилий на Г, соответствующий единичному вектору п внешней
нормали к кривой. Отметим, что / = —dP/dlnjm Г = Г*, посколь-
поскольку на поверхности выреза Т = 0.
Покажем теперь, что интеграл / не зависит ос пули инсегри-
рования и, таким образом, представляет скорость уменьшения
энергии при любом выборе кривой Г. Рассмотрим две кривые Tt
Гл. 3. Математические методы в механике разрушения 225
и Г2, причем Г*2 охватывает Г15 и положим, что /х и /2 — соответ-
соответствующие значения интеграла. Тогда, поскольку оба члена подин-
тегрального выражения обращаются в нуль на плоских поверх-
поверхностях выреза, /2 — /i — это значение интеграла от величины
[W dx2 — Т-(ди/дхх) ds], взятого по границе области А (Г2, Гх),
ограниченной этими кривыми и поверхностями выреза, ъ направ-
направлении против часовой стрелки.
Переходя к интегралу по площади, получаем .в декартовых
координатах
А(Г
J
А(Г2,
поскольку
Таким образом, интеграл / не зависит от пути интегрирования
(если, конечно, область между кривыми 1\ и Г2 односвязна и не
содержит особенностей), и
/ = —dPIdl. F2)
Мы допустили, что тело, изображенное на рис. 1, б, получается
из тела, изображенного на рис. 1, а, удалением части материала.
Те же самые формулы применимы к случаю добавления материала.
Таким образом, выражение E8) для dP через приращения при-
применимо в общем случае, если dn считается положительным на той
части поверхности полости, где материал удаляется, и отрица-
отрицательным там, где материал добавляется.
2. Трещины в двумерных полях деформаций
Поскольку скорость изменения энергии представлена не зави-
зависящим от пути интегрирования интегралом по контуру, окружаю-
окружающему конец выреза с плоскими поверхностями, можно было бы
ожидать, что тот же результат сохранится и для предельного
случая прямой трещины в двумерном поле деформаций. Дело
так и обстоит, но в силу упомянутой выше разрывности предель-
предельного перехода желательно иметь независимый вывод. Будем
снова рассматривать Р как потенциальную энергию слоя единич-
единичной толщины в направлении х3, а через I обозначим длину тре-
трещины. Тогда в пределе при стремлении приращения длины тре-
трещины к нулю из двумерного варианта соотношения E3) получим
dP т.1
fc А*
- [W (eSm + A<w) - W (Bln))} dx± dx2. F3)
15—0700
226
Дж, Райе
Рис. З. Вычисление изменения энергии при
продвижении трещины.
Система координат Х±, xz, площадка А* и гра-
граничная кривая Г движутся вместе с концом тре-
трещины при ее продвижении от I. = lQ (а) до I =
== г0 -4- Лг (б).
Чтобы в точности повторить соотношение E3), здесь под А*
следует понимать полную площадь двумерного тела. Однако,
согласно E6), на расстояниях от конца трещины, много больших
AZ, подинтегральное выражение является малой второго порядка
по AZ, и для вычисления'предела достаточно взять в качестве Л*
любую конечную область, окружающую конец трещины. Такая
область показана на рис. 3, а; кривую Г мы назовем внешней грани-
границей Л*.
Удобно ввести, как показано на рис. 3, б, подвижную систему
координат Хи х2, причем Xi = хг — Z, так что Хл = 0 в конце
трещины независимо от ее длины. Будем рассматривать все вели-
величины, входящие в энергетические подсчеты, как функции от Хг,
я2 и Z. Так,
i4 = Ui(Xi, х2, 10) и т. д.
Пусть d/dl обозначает полную производную по длине трещины.
Тогда, поскольку dXi/dl=—1 и X
d
dl
d
IT
F4)
_Z _ l „
dl "~ dl * dl
После преобразования с использованием принципа возможных
Гл. 3. Математические методы в механике разрушения 227
перемещений первый член выражения F3) дает
lim 4г \ (°Ь + A<ty) А^и dxi dx2 = Hm -^- [ {T\ + ЛГ«) Ащ ds ==
^
= J г, (хь *2, z0)gi>< (Х^2-ц & - J г, (*ь х2, z0)
г г
J
г г
F5)
Чтобы вычислить входящую в F3) разность значений энергий
деформации, будем рассматривать ^4* и Г как фиксированные
в плоскости Ххх2 область и граничную кривую, перемещающиеся
вместе с концом трещины, как показано на чертеже. Площадки,
лежащие слева и справа между кривыми Г для I = 10 и I = 10 +
+ AZ обозначены соответственно через AAL и AAR (рис. 3, б).
Таким образом,
lim -i- ( [W (8^n + Дешп) - W (e^)] dxt йъ =
— \
A*
W (Хь ^2? ^о) d-X*! d
A*
J J dW(x^lo) dXi dx2t F6)
Г А*
Однако, применяя принцип возможных перемещений, легко пока-
показать, что
Г Ti(Xu х,, I) ^нЩрЛ_й8= Г dWix^i) 4Xidx^ F7)
Г. А*
В результате, если воспользоваться тремя последними соотноше-
соотношениями, получим для изменения энергии с длиной трещины сле-
следующее выражение:
— dP/dl= f [Wdx2 — T'{du/dxi)ds] = J. F8)
г
Как и можно было ожидать из физических соображений, мы
получили тот же результат, что и для выреза с плоскими поверх-
поверхностями и закругленным концом, хотя в качестве исходных были
использованы различные (ср. E8) и F3)) соотношения, оба являю-
являющиеся частными случаями общего соотношения E3).
Результаты, выражаемые соотношениями E8), E9) и F8),
показывают, что разность значений потенциальной энергии или
скорости уменьшения энергии двух тел с вырезами, бесконечно
мало отличающимися друг от друга по форме, непосредственно
15*
228 ДЖ. Райе
представляется через характеристики концентрации деформаций
вблизи вершины выреза. Поскольку скорость высвобождения
энергии зачастую можно определить независимо, эти соотноше-
соотношения будут весьма полезны при исследовании концентрации дефор-
деформаций в механике разрушения. Мы увидим также, что свойство
независимости интеграла / от пути интегрирования полезно
само по себе.
З.^Неупругое поведение
Важно помнить, что все предшествующие результаты отно-
относительно изменений энергии строго справедливы только для
упругих тел. Однако главное применение они найдут при рас-
рассмотрении упругопластических задач. Поэтому нам придется
использовать деформационную теорию пластичности вместо более
адекватной физически теории течения. Это вызывает сожаление,
но попытки получить аналогичные общие результаты для при-
приращений пластических деформаций в теории пластического тече-
течения не увенчались успехом. Таким образом, методы варьирования
энергии позволяют рассмотреть несколько нелинейных задач,
находящихся в настоящее время далеко за пределами возмож-
возможностей более обычных аналитических методов — как деформа-
деформационной теории, так и теории течения.
III. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
ПРИ ИЗУЧЕНИИ ДЕФОРМИРОВАНИЯ И РАЗРУШЕНИЯ
За исключением случаев крайней хрупкости, разрушение
обычно сопровождается значительным неупругим деформирова-
деформированием либо в масштабах тела в целом, либо ограниченным окре-
окрестностью концентраторов напряжений — вырезов и трещин.
В первом случае расчеты теории упругости приносят мало
пользы. Они, однако, являются важной начальной стадией иссле-
исследования разрушения при «малых напряжениях», зарождающегося
в точках высокой концентрации напряжений, когда размеры
области неупругого деформирования малы по сравнению с раз^
мером выреза или трещины и другими характерными размерами.
При этом определяются такие функции приложенных нагрузок
и геометрии тела (коэффициенты концентрации напряжений,
коэффициенты интенсивности напряжений), которые служат для
характеристики уровня местных деформаций. Эти параметры
полезны при исследовании и предсказании разрушения, так как
они показывают, когда местные поля деформаций для двух раз-
различных конфигураций тела с трещинами или вырезами идентичны
и можно ожидать одинакового их поведения в смысле разрушения.
Гл. 3. Математические методы в механике разрушения 229
Для более полного описания напряжений и деформаций по-преж-
по-прежнему желательно исследование неупругого поведения как с целью
сопоставления (наподобие того, как используются решения теории
упругости), ' так и для установления непосредственной связи
континуальных решений с механизмом потери сплошности на
микроуровне. Мы увидим, что решения теории упругости исполь-
используются при постановке асимптотических граничных условий для
задач неупругого деформирования при локализованном течении.
А. Поля напряжений вблизи конца трещины
в линейной теории упругости
Можно обнаружить важные особенности распределения напря-
напряжений вблизи конца трещины, установив общую функциональную
форму решений двумерных задач. Рассмотрим трещину, распо-
расположенную на части отрицательной полуоси х± и кончающуюся
в начале координат хх, х2. Обозначим через R малую область
плоскости хгх2, которая (как показано на рис. 4) не содержит
особых точек,' за исключением конца трещины в начале коор-
координат, и в которой функции напряжений, введенные в разд. II, В,
аналитичны всюду, кроме линии трещины. Согласно B1), ком-
компоненты напряжений, входящие в граничное условие на свободной
от нагрузок поверхности трещины, можно представить в виде
а22 - ioi2 = cp'(z) + Q'(z) +(z-z) cp"(z), . F9)
где новая функция Q определена соотношением
Q (*) = *q>'(«) + Ф (*). G0)
Мы будем понимать под F (z) комплексно сопряженное от F (z),
где F — любая аналитическая] функция, определенная в точке z;
функция F (z) аналитична. Индексы плюс и минус означают пре-
пределы аналитических функций при приближении к линии трещины
из областей х2 > 0 и х2 < 0 соответственно. Для точек на линии
трещины принято обозначение z = t, где t вещественно и отри-
отрицательно. Тогда требование отсутствия напряжений на поверх-
поверхности трещины Gj2 = 0J2 = 0 дает
q/ @* + Q' (*)" = 0, <р' (*)- + Q' (t)+ = 0. G1)
Вычитая из первого уравнения второе, получаем
[Ф' @ -Я' (*)]+ = [Ф' @ -Q' (О]". G2)
Таким образом,
V'(a)-Q'(z) = 2g(z), G3)
где функция g(z) аналитична в R. Складывая соотношения G1),
230
Дж. Райе
Рис. 4. Малая область вблизи конца трещины, в которой может быть уста-
установлен общий вид поля напряжений в предположениях линейной теории
упругости. Показаны три типа деформаций вблизи конца трещины.
получим задачу Гильберта
[Ф'(*) + О'(*)]++[ф'(*) + О'@Г=0. G4)
Одно из ее решений, очевидно, имеет вид z/2 поскольку (?"/2)+ +
+ (?-1/2)- __ о, если разрез проведен вдоль трещины. Поскольку
все решения, за исключением решений с особенностями более
высокого порядка, исключаемых требованием конечности сме-
смещений, могут быть представлены в виде произведения z~1/2 на
аналитическую в R функцию [60], имеем
¦ q>'(z) + Q'(z) = 2z-1/*f(z), G5)
где / (z) аналитична в R.
Совместно с выражениями B1) эти уравнения дают для
напряжений
G6)
а22 — сг±1 + 2ia12 = — 4i2~1/2 Im [/ (z)] — 4Re [g (z)\ —
d
dz
где f (z) ж g (z) аналитичны в окрестности конца трещины. Ана-
Аналогичный вывод показывает, что при антиплоской деформации
напряжения, как это следует из A6), представляются в виде
где функции h (z) и к (z) аналитичны в окрестности конца тре-
трещины и вещественны на оси хг. Мы видим, что компоненты поля
напряжений имеют вблизи конца трещины особенность типа
квадратного корня в знаменателе. Интенсивность особенности
напряжений определяется при плоской деформации значением
Гл. 3. Математические методы в механике разрушения 231
/ (z) в начале координат, а при антиплоской — значением h (z).
Удобно, следуя Ирвину [43], выделить три различные особые поля
напряжений в зависимости от того, к чему приводят возникающие
смещения: к раскрытию трещины (нормальному отрыву; класс I),
к скольжению поверхностей трещины одна .относительно другой
в плоскости деформации (поперечному сдвигу или просто сдвигу;
класс II) или к антиплоскому их скольжению (продольному
сдвигу; класс III). В случае трещины нормального отрыва значе-
значение / @) вещественно. Положим его равным /@) = i?i/BBjtI/2),
где постоянная К\ — коэффициент интенсивности напряжений
для трещины нормального отрыва. Тогда из выражений G6)
получаем сингулярное поле напряжений вблизи конца трещины:
1 _ Sin (в/2) sin C6/2)"]
sin F/2) cos C6/2) > G8)
1 + sin F/2) sin C6/2) J
(здесь использованы показанные на рис. 4 полярные координаты).
Соответствующие смещения имеют вид
(и±\ Кг / г ч i/21cos F/2) [х — 1 + 2 sin2 (9/2)] 1
ImJ^Ig" V"Sr) {sin (9/2) [x +1-2 cos2 F/2)]Г (?9)
где x = 3 — 4v для плоской деформации и к — C — v)/(l + v)
для обобщенного плоского напряженного состояния.
Для трещин класса II (трещин сдвига) значение / @) чисто
мнимое. Если положить его равным / @) = —ъКц/2 BлI/2, где
Кц — коэффициент интенсивности напряжений для трещин сдви-
сдвига, то из выражений G6) получим сингулярное поле напряжений
(ОцЛ ( —sin F/2) [2 +cos (9/2) cos C6/2) П
г" i iS^ I cos @/2) [1 ~sin {9/2) sin C9/2)] i (80)
L022 J - I sin F/2) cos F/2) cos C6/2) J
и соответствующие смещения
\иЛ Кц ( r \V2f sinF/2)[x + l+2cos2F/2)]l
\u2j = "^" \3T/ I -cos F/2) [x-1 -2 sin2 F/2)]J ' ^
Для полей первых двух классов «антиплоские» напряжения 0i3,
023 не имеют особенностей, 03з = v @ц + ог22) для плоской дефор-
деформации и 0зз = 0 в случае обобщенного плоского напряженного
состояния (которое вряд ли может служить хорошим приближе-
приближением для рассматриваемых задач с очень большими градиентами
напряжений).
Если положить в G7) h @) = ^1ц/BгI/2, то получится сингу-
сингулярное распределение напряжений для трещин продольного сдви-
232 . Дж. Райе
га. При этом распределение напряжений имеет вид
{ М = *ni f - sin (9/2) 1
\023| BягI/« { cos F/2) J1
а все остальные компоненты напряжений н& имеют особенностей.
Соответствующие антиплоские смещения представляются выра-
выражением
\V2 0
Методы определения коэффициентов интенсивности будут рас-
рассмотрены ниже. Эти коэффициенты, полученные из решения линей-
линейных краевых задач теории упругости, линейно зависят от- прило-
приложенных нагрузок; размерность их равна размерности произведе-
произведения напряжения на квадратный корень из некоторой характерной
длины. Полный обзор имеющихся решений для коэффициентов
интенсивности имеется в статье Париса и Си [67].
Локализованное пластическое течение и линейная механика раз-
разрушения
Исследование полей упругих напряжений находит применение
в связи с тем, что распределения напряжений вблизи конца тре-
трещины при любых конфигурациях тела с трещинами оказываются
подобными. Предположим, что отклонения от линейности проис-
происходят лишь в области, малой по сравнению с заданными разме-
размерами (локализованное пластическое течение). Тогда местное поле
деформаций определяется «упругим» коэффициентом интенсивно-
интенсивности напряжений в том смысле, что поля деформаций вблизи концов
трещин в двух телах, по-разному нагруженных и содержащих
трещины разной длины, а в остальном одинаковых, будут совпа-
совпадать, если будут равны коэффициенты интенсивности напряжений.
Таким образом, коэффициент интенсивности напряжений одно-
однозначно характеризует влияние нагрузки на окрестность конца
трещины при локализованном течении. Поэтому критерии, опре-
определяющие развитие трещины при данной местной скорости нагру-
жения, температуре, окружающей среде, толщине листа (если
возможно разрушение в условиях плоского напряженного состоя-
состояния) и истории первоначального деформирования, могут быть
выражены через коэффициенты интенсивности напряжений.
Важно отметить, что коэффициенты интенсивности напряже-
напряжений — это лишь удобная мера нагрузок, действующих на мате-
материал вблизи конца трещины. Исследование разрушения с помо-
помощью теории упругости не дает сведений о поведении материала
при такой нагрузке; к сожалению, это обстоятельство осталось
неотмеченным в литературе, поскольку вначале линейная меха-
Га. 3. Математические методы в механике разрушения 233
ника разрушения разрабатывалась как развитие теории Гриффитса
[31, 42, 65] — точка зрения, которая теперь признается чрезмерно
ограничительной и необязательной. Ограниченность линейной
механики разрушения очевидна; однако ее успехи в исследовании
и систематизации условий роста трещин при низких напряжениях
(при локализованном течении) замечательны. Примером могут
служить работы Ирвина [42], Сроули и Брауна [89] по разруше-
разрушению, Париса [66] по усталости, а также. Джонсона и Уилнера
[46] по коррозии,поц напряжением.
Б. Некоторые задачи теории упругости для тел с трещинами
В этом подразделе описаны некоторые решения задач мате-
математической теории упругости для тел с трещинами. Число прак-
практически полезных задач, допускающих решение в замкнутой
форме, конечно, ограниченно, и обычно приходится прибегать
к приближенным методам, рассматриваемым в следующих двух
подразделах.
1. Двумерные задачи для бесконечных тел с изолированными тре-
трещинами или системой коллинеарных трещин
Допустим, что рассматриваемая трещина или трещины рас-
расположены вдоль оси хг неограниченной плоскости хгх2. Обозначим
через L отрезок или совокупность отрезков, занятых трещинами»
Достаточно рассмотреть случай, когда нагрузки приложены
только к поверхностям трещины, поскольку другие случаи нагру-
жения могут быть сведены к этому суперпозицией. При этом сна-
сначала решается задача без трещин и находится распределение
напряжений а2г- (хи 0) на том отрезке (отрезках), где будет рас-
расположена трещина. Затем рассматривается задача для тела с тре-
трещинами при действующих на линии L напряжениях той же вели-
величины, но противоположного знака. Пусть эти напряжения заданы
в виде
оп (*i, 0) = —Pi (Xl) на L, i = 1, 2, 3. . (84)
Напряжения на обеих поверхностях трещины предполагаются
одинаковыми. Если использовать обозначения предыдущего раз-
раздела, то граничные условия для напряжений запишутся в виде
—
-Р2 (*) + ipi (t) = [ф' (t)]- + № (t))+ на L.
Как и в случае уравнений G2), после вычитания приходим к вы-
выводу, что
[ф' (t) - Q' (t))+ = [cp' (t) ~ Q7 (*)Г на L, (86)
234 ДЖ. Райе
так что функция q/ (z) — Q' (z) является аналитической на линии
(линиях) трещины (и потому во всей плоскости z). Обе функции,
однако, обращаются в нуль на бесконечности, если там отсут-
отсутствуют суммарная сила и момент. Поэтому
Q' (г) = Ф' (г) (87)
л система (85) сводится к уравнению
-Ра @ + iPi (t) = [ф' (*)Г + W (Щ- на L. (88)
Предположим, что имеется п конечных трещин, левые концы
которых расположены в точках аи . . ., ап оси х±, а правые —
в точках Ь1у . . ., Ъп, Следуя методу Мусхелишвили [60, 61],
введем функцию
Дг-а,)-1/2(*-Ь,Г1/2. (89)
Тогда, если разрезы проведены вдоль трещины таким образом,
что каждая пара членов в произведении (89) ведет себя при боль-
больших z как 1/z, имеем [% (t)]+ + 1% (t)]~ = 0 на L. Уравнение (88)
переходит в уравнение
P2(t)~iPi(t) _Г <p'(t) -1+
~ПШ LT~J
которое, согласно разд. П,В, имеет решение
где функция P(z) аналйтична во всей плоскости и поэтому являет-
является полиномом. Поскольку при больших z функция %(z) имеет
порядок l/zn, из условия равенства напряжений на бесконечности
нулю следует, что полином P(z) должен иметь порядок z71'1:
. P(z)=A0 + AlZ + ...+ Ап^п-\ (92)
Решение получено, остается лишь определить п комплексных
постоянных Аг. Они определяются, если задать для каждой из п
трещин результирующий вектор Бюргерса (т. е. полный «дисло-
«дислокационный» скачок смещений, который получается при интегри-
интегрировании д (иг + iu2)/ds по контуру, окружающему каждую тре-
трещину). В следующем разделе мы рассмотрим задачи о скоплениях
дислокаций, для которых эти скачки отличны от нуля. Для при-
приводимых ниже решений результирующий вектор Бюргерса принят
равным нулю, так что при отсутствии нагрузок не будет остаточ-
остаточных напряжений.
Аналогичные рассуждения можно провести для антиплоской
деформации сг2з = —Рз на L. Соответствующая функция напря-
Гл. 3. Математические методы в механике разрушения
235
жений (соотношение A6)) представляется в виде
(93)
Здесь () (z) — полином порядка z71 с вещественными коэффи-
коэффициентами, определяемый заданием результирующего вектора
Бюргерса для смещений в направлении оси х3 для каждой из п
трещин.
2. Конечная трещина длины 2а
Рассмотрим одиночную трещину, расположенную между точ-
точками —а и -\-а оси хг. Тогда при однозначных смещениях коэф-
коэффициенты полиномов Р и Q обращаются в нуль и мы имеем
+а
-1/
-а
+а
(94)
Сопоставляя поведение полученных цолей напряжений вблизи
концов трещины с выражениями G8), (80) и (82), получаем для
коэффициентов интенсивности напряжений в конце трещины
хх — а:
(95)
V2
Если напряженное состояние на бесконечности является одно-
однородным (рис. 5), то при использовании метода суперпозиции
возникают равномерно распределенные по поверхностям тре-
Рис. 5. Трещина длины 2а в бес-
бесконечном теле; напряженное со-
состояние на бесконечности (ajj)oo
является однородным.
236
.Дж. Райе
щины усилия Pi (t) = (сг2г)оо, где (ол)со — напряженное состояние
на бесконечности. Выражения (94) для функций напряжения
дают при этом
<р' (z) = % [(аа^со - i (а21)оо] [z (s2- а2)'2-1], .
со' (z) = (а23)оо [z {? - а2) ~1/2 -1 ].
Чтобы завершить решение задачи, представленной на рис. 5,
к полученному полю напряжений следует добавить однородное
поле (ом)оо. Выражения для коэффициентов интенсивности напря-
напряжений имеют вид
Ki = (а22)оо (яаI/»,- Кп = (ая1)оо (яаI/я. ^т = (^з)оо (яаI/*. (97)
3. Лолу бесконечная трещина
Рассмотрим трещину, простирающуюся от хг = — оо до
a;i =^= 0. Общее решение, даваемое выражениями (91) и (93),
по-прежнему применимо, только % (z) следует взять в виде z~1'2
(разрез проведен вдоль трещины), а полиномы приравнять нулю.
Тогда для плоских задач (классы I и II) имеем .
(98)
4. Ряд равноотстоящих трещин
Рассмотрим бесконечный ряд равноотстоящих трещин длины 2а,
расположенных вдоль оси хх с расстоянием между центрами 2Ь,
как показано на рис. 6, при однородном растяжении на беско-
1
1
1
t
.
\
1
b 1
1
I
t
21
g
t
=3
t
1 A
1*
1
i
1
|
* 1
1
J I. I I I
Рис. 6. Ряд равноотстоящих трещин как приближение для двусторонних
краевых, центральной и односторонней краевой трещин.
Гл. 3. Математические методы в механике разрушения 237
вечности.. Согласно Койтеру [51], решение (91) можно, используя
некоторые тождества для бесконечных произведений, выразить
через тригонометрические функции
<p'(z) = V2 [(or22)«, - i (M-] {sin (jtz/26) [sin2 (ля/26) —
^-sin2(jta/2&)]-1/2—1}. (99)
Как и в формулах (96), для со' (z) получается такое же выра-
выражение с заменой множителя V2[(cr22)oo—i (#21H0] на (tf23)oo.
Коэффициент интенсивности напряжений для трещины нормаль-
нормального отрыва представляется в виде
Кг = (ст22)оо (яа)х/2 [Bb/na) tg (яа/26)]1/», A00)
и в той же пропорции изменяются коэффициенты интенсивности
(97) для поперечного и продольного сдвига. Из этих результатов
получаются удобные приближенные формулы для случаев цент-
центральной, двусторонних краевых и односторонней краевой трещин;
соответствующие конфигурации выделены на рис. 6 штриховыми
линиями. При антиплоской деформации этот подход дает точное
решение; в случае трещин нормального отрыва наихудшим
(в связи с проявлением эффектов изгиба) является приближение
для односторонней краевой трещины. Сопоставление полученного
результата с более точными решениями провели Парис и Си [67].
5. Краевая трещина в полуплоскости . .
Влияние свободной поверхности можно увидеть на примере
краевой трещины глубины а, расположенной вдоль оси хх в полу-
полуплоскости хг > 0, растягиваемой на бесконечности однородным
напряжением (<т22)оо. Приведенные выше интегральные пред-
представления решения не применимы к данной задаче; однако Койтер
{52] дал точное решение в виде интеграла, вычисление которого
лриводит к выражению
(яаI/2. A01)
Таким образом, поправка к результату для трещины длины 2а
в неограниченном теле составляет 12%.
6. Дискообразная трещина
Осесимметричная задача о круговой трещине радиуса а в бес-
бесконечном теле была рассмотрена Снеддоном [87] ив общей форме
Грином и Зерна [29]. Распределения напряжений и смещений
вблизи конца трещины совпадают с полученными для плоской
деформации (соотношения G8) и G9)). Если трещина раскры-
раскрывается нормальными усилиями р (г), зависящими только от рас-
238 Дж. Райе
стояния от центра, то коэффициент интенсивности напряжений
равен
(я«I/2 0
?_??« dr. (Ю2)
J /a2__r2)V2 V >
При рассмотрении дискообразной трещины в поле однородного
растяжения (Too на бесконечности р (г) = Ооо и
A03)
7. Прочие задачи теории упругости для тел с трещинами
Ирвин [44], а также Кассир и Си [47] рассматривали эллипти-
эллиптическую трещину в однородном поле напряжений и вывели фор-
формулы зависимости К\ от положения точки на контуре эллипти-
эллиптической трещины.
Плоскими задачами для трещин в прямолинейно анизотропных
материалах занимались Парис и Си [67]; здесь в распределении
напряжений вновь были получены характерные особенности типа
квадратного корня в знаменателе; сверх того, распределение
напряжений по-разному зависело от ориентации трещины при
различных отношениях упругих постоянных. Работа Раиса и Си
[78] посвящена трещинам на линии соединения двух разных
упругих материалов. Вильяме [96] показал, что характерные
особенности типа квадратного корня в знаменателе имеют место
и в задачах об изгибе тонких пластин; некоторые решения таких
задач даны Си и др. [85]. Дальнейшие исследования особенностей
в задачах изгиба на основе уточненной теории пластинок с учетом
краевых эффектов были осуществлены Ноулсом и Ваном [49],
а также Вильямсом [97].
8. Приближенные методы исследования полей упругих
напряжений вблизи трещин
1. Определение функций напряжений методом коллокации
Мы уже приводили общие выражения (G3), G5)) для функций
напряжений в плоских задачах; эти выражения можно предста-
представить в общем виде
<р' (z) = z-V2/ (Z) + g (Z), Q' B) = *-V.7(z) -f(z), . A04)
где Q (z) определяется соотношением G0), а напряжения выра-
выражаются через комплексные функции напряжений по формулам B1).
Напомним, что функции / (z) и g (z) аналитичны в окрестности
конца трещины. Рассмотрим теперь конечное тело с прямой
краевой трещиной; допустим, что поверхности трещины свободны
Гл. 3. Математические методы в механике разрушения 239
от усилий и что нагружение производится усилиями, действую-
действующими на остальной части границы. Тогда наиболее общая форма
функций напряжений — это выражения A04), где / (z) и g (z)
аналитичны всюду внутри тела, включая и точки на линии тре-
трещины. При любом выборе / и g поверхности трещины остаются
свободными от напряжений, так что эти функции следует выбрать
таким образом, чтобы удовлетворить граничным условиям только
на части границы, не содержащей трещины. Аналогичным обра-
образом, немного изменяя подход последнего подраздела, покажем,,
что для прямой внутренней трещины длины 2а в конечном теле
Q'(z)=-(z2_aVVa7C)-I(z).
Функции / и g снова аналитичны всюду внутри тела, включая
и линию трещины, и при любом выборе / и g поверхности трещины
остаются свободными от напряжений. Таким образом, эти функ-
функции выбираются так, чтобы удовлетворить заданным условиям
на внешней границе (а также условию равенства нулю резуль-
результирующего вектора Бюргерса для контура, окружающего тре-
трещину). Не существует общих. методов точного определения /
и g; полезным численным методом является метод кол локации.
При этом для / и g обычно принимаются приближенные выраже-
выражения полиномиального вида:
/ (z) =F0 + FlZ + F^ + . . . + FN*P,
g(z) = G0 + G + : + GM
а неизвестные постоянные Ft и Gt определяются так, чтобы удов-
удовлетворить условиям на напряжения в соответствующем числе
дискретных точек границы.
Такая процедура была использована в работах [32—34] при
анализе экспериментов на разрушение нескольких типов образцов
с односторонними краевыми трещинами, в том числе полосы
конечной ширины при изгибе и растяжении. При этом было при-
принято представление поля напряжений, основанное на найденном
Вильямсом [95] разложении по собственным функциям, эквива-
эквивалентном представлению через аналитические функции A€4). Раз-
Разложение Вильямса непригодно для случая внутренних трещин,
тогда как комплексное представление легко распространяется
на этот случай (см. A05)); оно было применено Кобаяси и др. [50]
в задаче о центральной трещине в полосе конечной ширины.
Сколько-нибудь детального исследования сходимости вычисли-
вычислительной процедуры не проводилось, и о точности приходится
судить главным образом по нечувствительности результатов
к включению в решение дополнительных членов и по опыту
расчетов для других конфигураций.
240 Дж. Райе
2. Конформное отображение
Известно, что любая односвязная область может быть конформ-
конформно отображена на единичный круг и что плоские задачи теории
упругости для таких областей можно свести к решению конечной
системы уравнений, если отображающая функция представима
в виде отношения полиномов [61, 88]. Трудность состоит в отыска-
отыскании отображающей функции и приближении ее отношением поли-
полиномов. Процедура решения состоит в следующем. Если на границе
заданы усилия, то интегрирование выражений B1) для напряже-
напряжений приводит к граничному условию
s
Ф (z) + zVJfi + W) = J [iTt (s) - Т2 (s)] ds, A07)
о
где Tt — поверхностные нагрузки, через s обозначена длина дуги
{отсчитываемая в таком направлении, что материал находится
слева от.границы), а начало пути интегрирования может быть
выбрано произвольно. Пусть функция z = zx (?) отображает рас-
рассматриваемую область на внутренность единичного круга пло-
плоскости \\ обозначим фх (?) = ф (z), % (?) = i|) (z). Тогда приве-
приведенное выше граничное условие примет вид
s
ф1 F) + -|Ц- фТШ + Ы1) = J Wi («) - Т2 (s)} ds. A08)
Обозначим через а значение | на границе, а через F (а) — инте-
интеграл от поверхностных нагрузок в правой части. Поскольку
на границе ? = 1/а, мы имеем
Функция фх A/g) аналитична вне единичного круга, и, не изменяя
ноля напряжений, можно положить % @) = 0; поэтому, исполь-
используя формулу Коши B3), получаем
Функция ф! (^) представляется внутри единичного круга степен-
степенным рядом. Поэтому, если отображающая функция zx (?) — поли-
полином по ?, интеграл в левой части уравнения A10) дает полином
конечной степени по \ с коэффициентами, линейно зависящими
от конечного числа коэффициентов разложения ф! (!) в степенной
ряд. Разлагая обе части уравнения A10) в ряды по степеням \
ж приравнивая коэффициенты этих рядов, несколько первых
Гл. 3. Математические методы в механике разрушения 241
коэффициентов в разложении для фх (?), можно найти решением
системы линейных уравнений, после чего остальные коэффициенты
определяются непосредственно. Как только функция фх (?) опре-
определена, ifi (?) находится немедленно применением формулы Коши
к уравнению, получающемуся после приравнивания комплексно-
сопряженных значений обеих частей уравнения .A09). Сходная,
но более сложная процедура применима, если отображающая
функция представляет собой отношение полиномов [61].
Конформное отображение применимо также к бесконечным
областям с одним отверстием; здесь конформное отображение
переводит внешность границы отверстия во внутренность единич-
единичного круга. Если или на бесконечности приложены напряжения,
или силы, действующие на поверхности полости, неуравнове-
шены, или вектор Бюргерса для отверстия отличен от нуля, то
функции фх и if>i неаналитичны внутри единичного круМ. Однако
в этих функциях можно выделить аналитическую и сингулярную
части; в последнюю входят члены In ? и 1/?, а коэффициенты
при них выражаются в явном виде через напряжения на беско-
бесконечности, равнодействующую поверхностных сил и вектор Бюр-
Бюргерса [88]. Известную сингулярную часть можно включить в F (а)
в формуле A09), а для отыскания аналитических частей приме-
применима та же рассмотренная выше процедура.
Некоторые плоские задачи теории упругости, решенные с по-
помощью конформного отображения, рассматриваются в книгах
Сокольникова [88], Мусхелишвили [61] и Савина [83]. Бови [8, 9]
получил полиномиальные приближения для отображающих функ-
функций в нескольких задачах о трещинах и использовал описанные
выше методы в задачах о конечной полосе с симметричными крае-
краевыми надрезами и о краевой трещине, выходящей из кругового
отверстия в бесконечном теле. Специфика его метода состоит
в том, что при приближенном отображении сохраняется заострен-
заостренность трещины в ее конце, так что в поле напряжений получается
та же самая особенность типа квадратного корня в знаменателе.
3. Непрерывные распределения дислокаций и сингулярные инте-
интегральные уравнения
Мощный метод исследования основан на представлении трещи-
трещины непрерывным распределением дислокационных особенностей.
Рассмотрим сначала изолированную прямолинейную дислока-
дислокацию, направленную вдоль оси х3 с вектором Бюргерса bt (bt равен
интегралу, взятому от dutlds при обходе контура, охватывающего
линию дислокации, против часовой стрелки). Допустим, что
линия дислокации проходит через-точку t на оси хг. Решение для
бесконечного тела можно найти, записав комплексные функции
напряжений ф, ?Ги со в виде произведений In (z — t) на некоторые
16-0706
242 - Дж. Райе
постоянные и определив эти постоянные таким образом, чтобы
разрывы перемещений принимали нужные значения и в области,
окружающей дислокацию, не действовали бы силы или моменты.
Тогда получим
-i-r, A11)
/ / v 6r&q 1
@ (Z) = -—^ —— .
Для физических дислокаций при смещениях, не выводящих из
плоскости Ъг и Ъ2 (краевая дислокация), следует принять зна-
значение к для плоской деформации, к = 3 — 4v. Согласно соотно-
соотношениям A6), B1) и G0), напряжения, действующие в точках
оси #!, равны
A12)
Чтобы смоделировать трещину (трещины) в бесконечном теле,
занимающую часть L оси х1л введем непрерывное распределение
дислокаций с плотностью \k,t (t), так что |х^ (t) dt представляет
собой бесконечно малый вектор Бюргерса, создаваемый дисло-
дислокациями, расположенными вблизи точки t. Так, например, рас-
распределение дислокаций с векторами Бюргерса в направлении
оси #2, что соответствует трещинам нормального отрыва, приво-
приводит к выражениям
ог21 («i, 0) = o2S(xi, 0) = 0.
Последний интеграл понимается в смысле главного значения
по Коши. Рассмотрим теперь, как в последнем подрдзделе, тре-
трещину длины 2а, загруженную по поверхности напряжениями
а22 (хи 0) = —р2 (#i). Задача будет решена, если выбрать рас-
распределение [д,2 (t) удовлетворяющим сингулярному интегральному
Гл. 3. Математические методы в механике разрушения 243
уравнению
и условию однозначности смещений, требующему, чтобы резуль-
результирующий вектор Бюргерса был равен нулю:
2(*)<Й = 0. A15)
Мы описали решение таких интегральных уравнений в разд. II, В.
Следуя выводу соотношений B8) — C4), убеждаемся, что введен-
введенная тай вспомогательная аналитическая функция / (z) равна
просто ф' (z)/ni; из сопоставления выражения C3) с решением (94)
задачи о трещине ясно, что сингулярное уравнение приводит
к тому же решению.
Рассмотрим теперь практически интересную задачу о тре-
трещине в теле с границами, находящимися на конечном расстоянии
от линии трещины. Допустим, что известно решение задачи об оди-
одиночной дислокации в том же самом теле без трещины. В это реше-
решение войдут сингулярные члены вида AМ) и добавочные несингу-
несингулярные члены, необходимые для того, чтобы граничные условия
удовлетворялись. Отметим, что эти несингулярные решения могут
быть получены стандартными методами (например, конформным
отображением); при этом, чтобы сделать границу свободной
от напряжений, на ней задаются нагрузки, обратные тем, которые
получаются из сингулярных членов. Напряжения, создаваемые
изолированной дислокацией, будут содержать сингулярные члены
A12) и несингулярные члены. Если ограничиться симметричным
случаем, когда краевая дислокация с вектором Бюргерса, направ-
направленным по оси х2, не создает касательных напряжений на оси хг
(впоследствии линии трещины), напряжения имеют вид
, 0)= ЛBХ% [-^рг + М*!, *)], a2i = o23 = 0. A16)
Таким образом, основное интегральное уравнение для плотности
дислокаций в случае внутренней трещины длины 2а, расположен-
расположенной вдоль оси хг и загруженной напряжениями а22 (#i, 0) =
= —Р2 (#i)> имеет вид
Сведем теперь, следуя Мусхелишвили [60], это уравнение к регу-
регулярному уравнению Фредгольма, которое можно решить обычны-
16*
244 Дж. Райе
ми численными методами. Рассматривая временно выражение
+а
как заданную функцию в стандартной записи уравнения B8)
и применяя к данному случаю общее решение C4) (полагая % (z) =
= (z2 — а2)/2), можно найти [х2 (t):
+а
Х [ ® J
J ^ (s) Л ^ )ds] dL
Здесь входящая в C4) постоянная к положена равной нулю в соот-
соответствии с условием A15) однозначности смещений. Пусть теперь
2G
Сопоставив особенность напряжений в конце трещины, возникаю-
возникающую вследствие особенности типа квадратного корня в знамена-
знаменателе плотности распределения дислокаций, с выражениями G8),
найдем, что функция t (t) при хг = а обращается в коэффициент
интенсивности напряжений.
г (а) = Кг. A20)
Функцию г (t) можно, далее, ввести в качестве неизвестной в инте-
интегральное уравнение, и оно принимает форму уравнения Фред-
гол ьма:
Ядро этого уравнения определяется из A18) после перемены
порядка интегрирования:
-а
Если X (a, s) и А, (—а, s) ограничены (что должно выпол-
выполняться в случае внутренней трещины), ядро Г является «хорошей»
функцией t0. Сингулярность по s не создает трудностей при чис-
численном интегрировании, так как после подстановки s = a sin 0
подинтегральное выражение оказывается ограниченным. Числен-
Численное решение интегрального уравнения можно получить, заменяя
Гл. 3. Математические методы в механике разрушения 245
интеграл суммой, в которую войдут неизвестные значения г (s)
в дискретных точках интервала интегрирования, после чего
получается система линейных уравнений и решение может быть
найдено с любой степенью точности.
Таким образом, мы видим, что решение задач для внутренних
трещин можно связать с решением значительно более простой
задачи об изолированной дислокации, которое определяет несин-
несингулярную часть К (t, s) поля напряжений, создаваемого дисло-
дислокацией. Аналогичные методы были использованы Грейфом и Сан-
Сандерсом [30] при исследовании влияния ребра жесткости на рав-
равновесие трещины в листе и Бюкнером [15] при рассмотрении
нескольких задач для тел с трещинами, ,в том числе задачи об изги-
изгибе полосы с краевым надрезом.
4. Прочие численные методы
Методы, рассмотренные в этом разделе, позволяют рассмот-
рассмотреть большую часть представляющих практический интерес пло-
плоских задач теории трещин; и действительно, как видно из списка
литературы, сейчас уже имеется большое число решений. К сожа-
сожалению, для трехмерных задач еще не найдены столь же эффектив-
эффективные методы. Возможно, окажется полезным метод конечных эле-
элементов, применяемый в строительной механике (изложение его
содержится в работе [2]), поскольку он привел к значительным
успехам в решении задач с особенностями, для которых конечно-
разностные методы обычно приводят к неточным результатам.
Г. Энергетические методы в задачах теории трещин
в упругих телах
В разд. II, Д рассмотрен способ подсчета разности значений
потенциальной энергии двух упругих тел, идентичных во всех
отношениях, но имеющих вырезы различного размера. Общий
результат представляется соотношением E4), которое в частном
случае линейной упругости сводится к E5). В частном случае
трещин в обеих этих формулах остается только вклад от снимае-
снимаемых напряжений, представляемый интегралом по вновь образую-
образующимся поверхностям. Рассматривая двумерную задачу о распо-
расположенной вдоль оси хг трещине в линейно упругом теле и обозна-
обозначая через Р потенциальную энергию, отнесенную к единице тол-
толщины, получим из формулы E5) выражение
1+А1
— Ui(Xi, 0, l + Al)]dzu A23)
246 Дж. Райе
являющееся предельным для сравнения значений энергии при
длинах трещин I и I + AJ- Верхние индексы плюс и минус отно-
относятся к верхней и нижней поверхностям трещины. В пределе
остается вклад только от сингулярных членов выражений G8—83),
так что имеем •
Здесь в выражениях G9) и (83) принято значение к = 3 — 4v,
которое соответствует плоской деформации; в приближении
плоского напряженного * состояния множителя 1 — v2 не
должно быть.
Обозначение & введено Ирвином [41, 43], который первым
получил эту формулу; впоследствии мы будем использовать
этот символ при исследовании нелинейного случая для обозначе-
обозначения величины —dP/dl в условиях линейной упругости. Вывод
соотношения A24) рассматривался также Бюкнером [14] и Сан-
Сандерсом [82]. Как было показано (соотношение F8)), скорость
изменения энергии можно также представить в виде не зависящего
от пути интеграла /; в линейном случае этот интеграл принимает
вид
;г
2—Ti (дщ/dxt) ds], A25)
;г
где в качестве Г может быть выбран любой контур, окружающий
конец трещины. Ясно, что если в качестве этого контура взять
окружность радиуса г и устремить г к нулю, то останется вклад
лишь от сингулярных членов выражений G8) — (83). Непосред-
Непосредственные вычисления с использованием этих сингулярных чле-
членов дают
что подтверждает общее доказательство равенства / и —dP/dl,
данное в разд. II, Д.
Сравнение по энергии объясняет наличие особенности типа
квадратного корня в знаменателе в задачах о трещинах в упру-
упругих телах. Заметим, что для кругового пути Г в соотношении A25)
dx2 = г cos 9 dQ и ds = r dQ. В силу независимости от контура /
не зависит от г. Таким образом, в подинтегральном выраже-
выражении коэффициент при г должен иметь порядок г. |Поскольку,
однако, этот коэффициент имеет порядок гп при особенно-
особенности в напряжениях порядка г~п,4 значение п должно быть
равно V2.
Гл. 3. Математические методы в механике разрушения
247
Методы исследования по податливости
Мы уже отмечали, что изменения энергии можно выразить
через изменение кривых нагрузка — перемещение с увеличением
длины выреза и что в линейном случае
dP
(g, I)
dl
A27)
где g — обобщенное перемещение, a Q — соответствующая обоб-
обобщенная сила (рис. 1). Эти величины могут быть измерены экспе-
экспериментально, и поскольку коэффициенты интенсивности напря-
напряжений непосредственно выражаются через скорость уменьшения
энергии, в упругом случае для определения интенсивности осо-
особенности напряжений в конце трещины можно воспользоваться
экспериментальным методом (называемым испытанием на податли-
податливость). Этот метод рассматривался Ирвином [43]. В работе [90]
указаны результаты измерений податливости образцов с одним
краевым вырезом при испытаниях на растяжение. Связь между,
коэффициентами интенсивности напряжений и кривыми нагруз-
нагрузка — перемещение позволяет также проводить простые расчеты
в стиле сопротивления материалов. Рассмотрим (рис. 7, а) рас-
расщепленную прямоугольную балку, на конце которой действуют
силы Q (в расчете на единицу толщины). Элементарная теория
[— 1л *"
' 1
Закреплено; #2=const,И|=0
5_*_
Рис. 7. Поля напряжений вблизи конца трещины могут быть определены
при помощи энергетических методов: а — путем подсчета в стиле сопротив-
сопротивления материалов, как в случае разрыва балки с трещиной; б — при помощи
анализа или использования не зависящего от пути интеграла (как для
закрепленной по краям полосы с длинной трещиной), а также при помощи
экспериментального измерения податливости.
248 Дж. Райе
изгиба дает для расстояния между концами половин балки
q = 8QlV(Eh?) A28)
(концы половин балки вблизи конца трещины считаются защем-
защемленными). Тогда из соотношений A24) и A27), в которых (посколь-
(поскольку теория изгиба, балки относится к случаю плоского напряжен-
напряженного состояния) множитель 1 — v2 опущен, находим
. A29)
Другой простой пример — бесконечно длинная полоса с продоль-
продольной трещиной; стороны полосы закреплены, и им дано постоянное
вертикальное смещение. Здесь поучительно использовать не зави-
зависящий от пути интеграл /, определяемый соотношением A25)
и вычисленный по изображенному штриховой кривой контуру Г.
Поскольку dx2 и диг1дхг обращаются в нуль на закрепленных
границах, a atj ж Tt обращаются в нуль при хг = —оо, существен
лишь вклад в интеграл от части Г, расположенной при^ = +оо.
Но dujdxx при хг = +оо обращается в нуль, так что для пло-
плоского напряженного состояния
/ = 4 (a»A*)~ h = 2(l-v») ^ = 1Г • ^13°)
Д. Упругохрупкое разрушение
Мы рассмотрим два внешне различных подхода к упруго-
хрупкому разрушению — теорию Гриффитса [31] и теорию атом-
атомных или молекулярных сил сцепления, рассмотренную Барен-
блаттом [4]. Под упругохрупким поведением понимается идеали-
идеализированный случай, когда материал ведет себя упруго вплоть
до потери сплошности.
1. Энергетический метод Гриффитса
Рассмотрим плоскую задачу с прямолинейной трещиной и поло-
положим, что I — некоторая мера длины трещины. Обозначим через
РТ полную потенциальную энергию тела с трещиной и допустим
вслед за Гриффитсом, что
рт = р + 2SL A31)
Здесь Р — обычная потенциальная энергия на единицу толщины
нагруженного упругого тела, включающая как энергию деформа-
деформации, так и потенциал внешних нагрузок. Член 2SI — это энергия^
приписываемая вновь созданной поверхности трещины, где S —
поверхностная энергия, так что 2S — работа, необходимая для
прямого квазистатического отрыва двух единичных площадок.
Гл. 3. Математические методы в механике разрушения 249
Длина равновесной трещины соответствует стационарному зна-
значению потенциальной энергии
dPT/dl = О," или —dP/dl = 25. A32)
Интерпретация этого уравнения зависит от дальнейших пред-
предположений о характере развития трещины. Если развитие тре-
трещины считается вполне обратимым, то оказывается, что при наи-
наиболее обычных способах нагружения трещины равновесной длины
неустойчивы. Тогда трещины не могли бы существовать, если бы
не был введен некоторый механизм, поддерживающий их в раскры-
раскрытом состоянии при отсутствии нагрузок. Более обычна интерпре-
интерпретация, исходящая из предположения о наличии первоначальных
трещин, которые неспособны «залечиваться» и укорачиваться
при снятии нагрузки. В этом случае трещина начнет развиваться,
если величина —dP/dl, вычисленная по длине первоначальной
трещины, при увеличении нагрузки возрастет до критического
значения 2S. Последующий рост трещины может быть либо устой-
устойчивым в том смысле, что рост происходит квазистатичаски при
возрастании нагрузки, или неустойчивым. Равновесная длина
трещины неустойчива, и трещина начинает быстро расти (посколь-
(поскольку сокращение ее исключено), если
—d?PT/dl* = —&РШ* > 0. A33)
Если нагружение отвечает] лишь нормальному отрыву, эти
соотношения можно, используя A24), выразить через коэффи-
коэффициенты интенсивности напряжений. Критический коэффициент
интенсивности равен
Кг = [2ES/A — v2)]V2, A34)
и развитие трещины неустойчиво, если
O. A35)
Пример неустойчивой конфигурации — трещина длины I в поле
однородного растяжения на бесконечности (Too. При этом К\ =
= (Too (jxZ/2I/2 и дК\1Ы > 0. Расклинивающая сила Р на единицу
толщины на расстоянии I от конца длинной трещины дает, соглас-
согласно (98), К\ = Р B/jcZI/2 и дК\1д1 < 0, так" что имеем пример
устойчивого роста трещины.
2. Модель сил сцепления
В теории Гриффитса для получения критерия ^разрушения
используется уравнение энергетического баланса и оставляется
без внимания нереальная особенность напряжений вблизи конца
трещины. Другой подход к проблеме упругохрупкого разрушения
был выдвинут в работе Баренблатта [4]. Допускается, что ожидав-
250
Дж. Райе
Рис. 8. Подход к упругохрупкому разрушению с позиций сил сцепления;
площадь области, ограниченной кривой зависимости сил сцепления от рас-
расстояния между поверхностями, равна удвоенной поверхностной энергии.
о" — расстояние между поверхностями трещины; 6t — раскрытие трещины в конце;
о F) — напряжение, препятствующее раскрытию трещины.
мые поверхности разрушения впереди трещины под нагрузкой
могут расходиться, причем их раздвижению препятствуют атом-
атомные и молекулярные силы сцепления. На рис. 8 показана тре-
трещина с зоной сил сцепления впереди нее. Общее расстояние между
верхней и нижней поверхностями трещины обозначено через
б = б (хг) = и\ (хи 0) — щ (хи 0), и напряжения от сил сцеп-
сцепления о» (б) представлены как функции б. Полный размер зоны
сцепления определяется из условия конечности напряжений
таким образом, что положительная особенность напряжений
на наружном краю зоны сцепления компенсируется отрицатель-
отрицательной особенностью, создаваемой силами сцепления сг (б), действую-
действующими в этой зоне. Вследствие этого трещина плавно смыкается
в вершине, и напряжения ограничены.
Баренблатт [4] рассматривает эту задачу используя особый
постулат относительно формы деформированных поверхностей.
Однако недавнее исследование этой задачи [73] при помощи
не зависящего от пути интеграла / (соотношение F0)) снимает
это искусственное ограничение. Заметим сначала, что доказа-
доказательство инвариантности, данное в разд. II, Д, применимо к любой
группе контуров Г, окружающих вершину трещины и не про-
проходящих через зону сцепления. Поэтому удобно, как показано
на рис. 8, стянуть Г до верхней и нижней поверхностей зоны
сцепления. Поскольку при таком выборе Г dx2 = 0, имеем
C.Z.
. A36)
c.z.
Гл. 3. Математические методы в механике разрушения 251
Здесь с. z. обозначает зону сцепления, a 8t — раскрытие трещины
в ее конце. Пусть теперь б* — это то расстояние, на котором можно
считать поверхностные атомы вышедшими из области действия
сил сцепления. Тогда состояние равновесия, при котором тре-
трещина как раз способна начать увеличиваться, соответствует
нагрузкам, достаточно большим, чтобы увеличить / до значения,
соответствующего 8t = б*:
б*
/=jcF)d6. A37)
о
Предположим теперь, что зона сцепления в момент начала
роста трещины весьма мала по сравнению с другими геометриче-
геометрическими размерами задачи. Поскольку интеграл / не зависит от
выбора пути, мы можем выбрать Г лежащим на больших расстоя-
расстояниях от зоны сцепления, где поля деформаций неотличимы от
обычных упругих полей, полученных без учета сил сцепления.
Таким образом, в соответствии с F8) / равно скорости умень-
уменьшения потенциальной энергии, получаемой из обычного решения
задачи теории упругости без учета сил сцепления. Кроме того,
по определению поверхностной энергии, полная площадь области
ниже кривой расстояние — сила сцепления равна удвоенной
поверхностной энергии. Мы видим, таким образом, что теория
сил сцепления и теория Гриффитса приводят к одинаковым зна-
значениям равновесной длины трещины при малых зонах сцепления.
Выводы относительно устойчивости, получаемые из модели сил
сцепления, зависят от /. Если / убывает с увеличением длины
трещины, необходима догрузка, чтобы достигалось условие б^ =
¦= б*, и имеет место устойчивость; если / увеличивается, то
условие равновесия A36) не может быть выполнено, и мы имеем
неустойчивость. Таким образом, с учетом равенства между /
и скоростью уменьшения энергии в решении без сил сцепления,
выводы в отношении устойчивости также идентичны. Мы при-
приходим к выводу, что теория Гриффитса и теория сил сцепления
приводят к полностью идентичным следствиям в отношении
разрушения, коль скоро выполнено обычное условие малости зоны
сцепления,
Е. Особенности упругих полей при динамическом
распространении трещины
Рассмотрим задачу о движении трещины в упругом материале
в условиях плоской деформации. Вектор смещений можно разло-
разложить на безвихревую и соленоидальную составляющие, введя
функции Ф (хи х2, t), Y (xu x2, t):
дФ , dW дФ дУ /AOQ.
и^-^г+-^Г' u^^r--^r- A38)
252 Дж. Райе '
Динамические уравнения для напряжений и изотропные соот-
соотношения, связывающие напряжения и деформации, удовлетво-
удовлетворяются, если [53]
где CdnCs — скорости волн сжатия и сдвига. Рассмотрим частный
случай трещины, конец которой движется с постоянной ско-
скоростью V вдоль оси хи и введем обозначения [98]
х = хг — Vt, yd = adx2, ys = asx2, A40)
где
al = 1 — V4C% a! = 1 — V4C\. A41)
Тогда, полагая Фо (#, yd, t) = Ф (хг, х2, t) и т. д., получаем
в движущейся системе координат
дх*
Учтя таким образом движение трещины, мы можем рассмотреть
структуру особенности напряжений, пренебрегая производными
по времени, и отыскивая соответствующее сингулярное решение
уравнений Лапласа
Их решение может быть получено тем же способом, каким Вильяме
[95] рассматривал статический случай. Поместим вершину тре-
трещины в начало движущейся системы координат и введем полярные
координаты rd, Qd и rs, 0S, где
rde10<* = х + iyd = {xi — Vt) + iadx2,
*e , . , T7. . . A44)
rse s = x + iys = (Xi — Vt) + iasx2.
Тогда, находя соответствующие гармонические функции в виде
ф0 == Arnd cos nQdi ?0 =. — Brns sin nQs A45)
(что дает отвечающее трещине нормального отрыва симметричное
распределение напряжений), из условия отсутствия напряжений
на поверхности трещины получаем два однородных линейных
уравнения для А ж В: Приравнивая определитель из коэффи-
коэффициентов этой системы нулю, найдем
п=3/2, В= [2ad/(l + a2s)]A. A46)
Постоянная А может быть определена только при решении
полной краевой задачи, но уже этих соотношений достаточно,
чтобы определить функциональную форму распределения напря-
Гл. 3. Математические методы в механике разрушения 253
жений вблизи вершины трещины, являющуюся аналогом выра-
выражений G8) в динамическом случае. Результирующее поле в окре-
окрестности конца трещины имеет вид
. A47)
d s
rr 3 ГА Г М I n-a1 cos(9d/2) I 4as«<i' с<>8(в*/2) I
d s
тде G— модуль сдвига. Динамический коэффициент интенсив-
интенсивности напряжений можно выразить через пространственный
коэффициент А соотношением
так что непосредственно впереди конца по аналогии со статическим
(нулевая скорость) случаем a22 = KD/BnrI^2.
Рассматривались два основных типа динамических задач.
Иоффе [98] и Крэггс [19] рассматривали сходные задачи: пер-
первая — трещину постоянной длины, раскрываемую на одном конце
и закрываемую на другом с постоянной скоростью, а второй —
полубесконечную трещину под действием поверхностных сил,
точки приложения которых движутся с той же скоростью, что
и трещина. Броберг [И] и Бейкер [3] исследовали мгновенное
раскрытие трещины и симметричный рост ее, начиная от нулевой
длины, с постоянной скоростью. Сопоставление некоторых осо-
особенностей решений этих двух типов было проведено Коттерелом
[17]. Решения Иоффе — Крэггса приводят к не зависящим от ско-
скорости динамическим коэффициентам интенсивности напряжений
и тем самым идентичны соответствующим статическим задачам.
При использовании критерия гриффитсовского типа для определе-
определения нагрузки, нужной для поддержания заданной скорости [19],
из их решений следует монотонное уменьшение нагрузки вплоть
до нуля при скорости рэлеевских поверхностных волн @,91—
0,95 Cs при обычных значениях коэффициента Пуассона). Как
мы покажем впоследствии, этот неприемлемый результат связан
с тем, что авторы пренебрегли исследованием того, как дости-
достигаются принятые ими стационарные распределения.
Более реалистическое исследование Броберга — Бейкера при-
приводит к динамическим коэффициентам интенсивности, отношение
которых к статическому значению при той же длине трещины
убывает до нуля при скорости рэлеевеких волн [17]. Однако прак-
практически не рэлеевская скорость ограничивает скорость трещины.
254 Дж. Райе
Для многих хрупких тел получается значение, близкое к половине
скорости волн сдвига (и тем самым приблизительно к половина
рэлеевской скорости) [84].
Объяснение этого, связанное с бифуркацией приведенного
выше поля динамических напряжений вблизи вершины трещины,
было предложено Иоффе. Она заметила, что при скорости, при-
приблизительно вдвое меньшей скорости волны сдвига, направление,
при котором достигаются максимальные окружные напряжения
(в полярных координатах (Хее)» пеРестает совпадать с линией тре-
трещины и образует с ней угол ±60°. Этот результат согласуется
с ветвлением трещины и иногда образованием неровностей на ее
поверхности в окрестности этой конечной скорости.
Другое следствие из рассмотрения распределения напряжений
вблизи вершины — это уменьшение, степени трехосности напря-
напряженного состояния перед трещиной с увеличением скорости.
В силу A47) отношение главных напряжений — перпендикуляр-
перпендикулярного к ожидаемой поверхности трещины ог22 и параллельного ей
ап — равно
4««d(!+«»' 4
4aead ' * ;
С увеличением скорости это отношение монотонно убывает от еди-
единицы в статическом случае до нуля при рэлеевской скорости
(определяемой из условия обращения в нуль числителя). Вначале,
однако, убывание происходит медленно, и при конечной скорости
от 0,4 до 0,6 рэлеевской это отношение составляет от 0,9 до 0,7.
Уменьшением трехосности напряженного состояния может (хотя
бы отчасти) объясняться увеличение работы разрушения при
высоких скоростях трещины в тех пластических материалах с за-
зависящим от скорости пределом текучести, у которых вначале
повышение скорости нагружения вызывает охрупчивание [25].
Вернемся теперь к результатам Иоффе и Крэггса и следую-
следующему из них уменьшению необходимой нагрузки с увеличением
скорости; ясно, что поскольку в их решении динамический коэф-
коэффициент интенсивности напряжений не зависит от скорости, о2%
останется конечным при любой конечной нагрузке. Поскольку
отношение напряжений стремится к нулю при приближении ско-
скорости к рэлеевской, а1г станет бесконечно большим и любая конеч-
конечная окрестность конца трещины будет обладать бесконечной энер-
энергией деформации (и кинетической энергией)!. Тогда, по существу,
результат Иоффе — Крэггса означает просто, что если тело с тре-
трещиной обладает огромным запасом энергии вблизи вершины тре-
трещины, то для поддержания скорости трещины нужна весьма
малая нагрузка. Таким образом, при интерпретации таких ста-
стационарных решений существен вопрос о том, каким образом было
накоплено такое количество энергии. Одна из возможностей
Гл. 3. Математические методы в механике разрушения
255
дается решением Броберга — Бейкера для трещины нулевой
начальной длины в статическом поле напряжений. Действительно,
в их решении, как уже упоминалось, при приближении к рэлеев-
ской скорости динамический коэффициент интенсивности напря-
напряжений (и, следовательно, а22) убывает до нуля.
Ж. Концентрация напряжений и варьирование энергии
для тел с вырезами
1. Эллиптическое отверстие
Рассмотрим эллиптическое отверстие с полуосями а в направ-
направлении оси хг и Ъ в направлении оси х2 в неограниченной плоскости,
подвергнутой на бесконечности растяжению напряжениями (ап) то
и (#22H0 и продольному сдвигу (ст2з)оо (рис. 9). Задачу растяжения
легко решить с помощью конформного отображения (разд. III, В),
если заметить [88], что преобразование вида z (?) = С^ + Cji
переводит внешность эллипса во внутренность единичного круга.
Сходный (но более простой) метод решения может быть применен
к случаю продольного сдвига. В результате для напряжений
на конце полуоси а имеем:
^22 (я, 0) = @32H0 [1 + 2 (а/b)] — (ац)оо =
= (М- [1+2 (а/г,I'2] - (ац)оо, A50)
а23 (а, 0) = ((Т23)оо [1 + {alb)] = (а23)оо [1 + (а/г,I/2],
где rt = Ь2/а —- радиус кривизны отверстия в вершине. Помимо
концентрации напряжений на поверхности выреза существует
еще одна особенность решения — быстрое увеличение напряже-
/p23)oo
с 2а у
/f
/ 2b
Рис. 9. Эллиптическое отверстие в бесконечном теле; однородные напряже-
напряжения на бесконечности.
256 . Дж. Райе
ния Оц от нулевого значения на поверхности, что в условиях
плоской деформации приводит к появлению трехосного напря-
напряженного состояния. В предельном случае трещины (выражения
G8)) впереди трещины имеем о±1 = а22. Решение для эллипсои-
эллипсоидальной полости было дано Садовским и Стернбергом [81]; много
других задач о концентрации напряжений вблизи вырезов и отвер-
отверстий рассмотрено в книгах Нейбера [63], Савина [83] и Петер-
сона [68].
.2. Сравнение по энергии
Общие результаты разд. II, Д относительно сравнения
по энергии служат средством приближенной оценки коэффициен-
коэффициентов концентрации напряжений. Получим сначала оценки различия
между скоростями уменьшения потенциальной энергии для выре-
вырезов и для трещин той же длины. Рассмотрим общий случай эллип-
эллипсоидальной полости с полуосями а, Ъ и с в однородном поле напря-
напряжений (ои)оо. Можно воспользоваться выведенным для линейно
упругого случая выражением E5), принимая за о°ц, е?;- значения
для состояния однородной деформации тела без полости, а за
состояние o°if + кои, e?j + Ae?j — значения * для состояния при
наличии полости. Тогда в формуле E5) Т\ равны значениям
(о^)оо rij на поверхности полости Д?, причем единичная нормаль
направлена внутрь полости. Воспользуемся теперь одной осо-
особенностью задачи об эллипсоидальном включении в бесконечном
теле (полость рассматривается как предельный случай включения
с равными нулю упругими модулями). Как заметил Эшелби [26],
внутри включения деформации постоянны. Поэтому смещения
поверхности эллипсоида равны (с точностью до несущественного
переноса и вращения как твердого тела)
и? + Аи« = в?#у, " A51)
где симметричные по индексам постоянные &%j — это деформации
в воображаемом включении с нулевым модулем. Их можно просто
выразить через коэффициенты концентрации напряжений в вер-
вершинах полуосей, так как деформации «включения» должны быть
совместны с деформациями на границе полости. Тогда для умень-
уменьшения потенциальной энергии в связи с образованием полости
выражение E5) дает
-~ АР = Va J (OijU Ысо dV - Va j Ш*> Щ [г\- (в,*)»] xh dS =
AV AS
' = Va (*u)oo el- AV = 2/*nabc (otj)^. A52)
Допуская, что в условиях плоской задачи (рис. 9) действуют
только напряжения (аи)» и (а^оо, после согласования дефор-
Гл. 3. Математические методы в механике разрушения 257
маций полости с деформациями на поверхности (в условиях пло-
плоской деформации) получаем
«Ь = -Ц^*и@, Ь), ^2 = -1^-022(а,О),
• v П A53)
Определяя, далее, Р как потенциальную энергию слоя единичной
толщины и используя двумерный вариант соотношения A52)
и выражения для коэффициентов концентрации напряжений в вер-
вершинах полуосей (выражение A50) для а22 (#, 0) и аналогичное
выражение для Оц @, Ь)), получаем для уменьшения энергии
в результате образования эллиптического отверстия
- АР = % (а,Д» 1&ДЛ = Ч2паЬ (а,,)» 8% =
A54)
Обозначим через I = 2а длину эллиптического отверстия
в направлении хи а через %—dP/dl скорость изменения энергии
с длиной отверстия при постоянной его ширине Ъ. Имеем:
dP 1 д (АР) jt A— v2
A55)
Сопоставляя этот результат с формулой для трещин F = 0)
—5Г —Ё №2H0 a, (lob)
(которую можно получить независимо из соотношений A24) и (97)),
мы видим, что ширина выреза не оказывает никакого влияния,
если напряженное состояние на бесконечности является одно-
однородным двухосным растяжением, В случае одноосного растяже-
растяжения скорость уменьшения энергии такая же, как и для несколько
более длинной трещины с эффективной полудлиной
а9фф = а [1 + Ь/Dа)]. A57)
Аналогичное небольшое влияние ширины выреза было обнару-
обнаружено Бови и Нилом [10]. Они рассматривали полуплоскость
с краевым вырезом, имеющим параллельные стороны и закруглен-
закругленную вершину, и независимо вывели аналог нашей формулы E9)
для линейно упругого случая. Используя одну из разновидностей
метода приближенного конформного отображения (разд. III, В),
они обнаружили, что скорость уменьшения энергии отвечает
коэффициенту интенсивности для краевой трещины (соотноше-
(соотношение A01)), но с эффективной длиной трещины, равной (с точно-
17-0700
258 , Дж. Райе
СТЬЮ ДО 1%)
яЭфф = а A + 0,18rt/a), A58)
где rt — радиус закругления, а а — полная глубина выреза.
Аналогичный результат для эффективного радиуса дискообраз-
дискообразной трещины, заменяющей осесимметричную эллипсоидальную
полость, можно получить, отправляясь от уравнения A52). Два
последние соотношения показывают, что скорость уменьшения
энергии для трещин мало отличается от скорости уменьшения
энергии для вырезов сопоставимых размеров и расположения,
причем поправки невелики даже для круговых отверстий и ста-
становятся пренебрежимо малыми для узких вырезов (скажем,
при alb > 4 или alrt > 4). Поэтому опыты по определению подат-
податливости с целью нахождения коэффициентов интенсивности напря-
напряжений можно без особой погрешности производить с искусствен-
искусственными пропилами (как обычно и делается). Кроме того, как пред-
предложили Бови и Нил, для определения поверхностной плотности
энергии деформации для гладко закругленных вырезов можно
использовать методы фотоупругости, с тем чтобы затем, согласно
E8) и E9), вычислить скорость уменьшения энергии и, таким
образом, коэффициенты интенсивности напряжений для трещин.
3. Приближенные оценки концентрации напряжений
Мы можем обратить изложенные рассуждения, считать ско-
скорость изменения энергии известной для узких вырезов (либо
из решения соответствующих задач для трещин, либо из изме-
измерений податливости) и воспользоваться связью между скоростью
уменьшения энергии и поверхностной плотностью энергии дефор-
деформаций, чтобы оценить концентрацию напряжений. Например,
для узкого плоского выреза в поле плоской деформации, исполь-
используя E9) и принимая в качестве приближения для скорости умень-
уменьшения энергии значение для таким же образом нагруженного тела
с трещиной той же длины, получаем
J
^ -я/2
A59)
Здесь g — напряжение вблизи поверхности, Tt — криволи-
криволинейный контур выреза, ср — угол наклона, a rt (ф) — радиус кри-
кривизны (см. рис. 10). Если теперь выбрать приближенное выраже-
выражение для зависимости напряжений вблизи поверхности от угла
ориентации ф с одним неопределенным коэффициентом, то из урав-
уравнения A59) можно вычислить эту постоянную и оценить макси-
максимальное напряжение.
Гл. 3. Математические методы в механике разрушения 259
Рис. 10. Координаты, используемые для за-
задания поверхности выреза; ф —угол наклона
касательной, rt (ф) — радиус кривизны.
В соответствии с результатом, установленным Эшелби для
эллипсоидального включения, имеет смысл аппроксимировать
поверхностные деформации вблизи конца выреза таким обра-
образом, чтобы они были совместны с однородным деформированием
воображаемого включения с нулевыми модулями упругости.
Обозначим через 8макс деформацию поверхности при ср = 0
и положим для деформации включения е?2 = 8макс, а все осталь-
остальные компоненты деформации равными нулю. С|учетом условия
совместности деформаций на границе выреза возьмем приближен-
приближенное выражение для деформаций вблизи поверхности в виде
s (ф) « емакс cos2 ф. A60)
После подстановки соответствующего приближенного выражения
для напряжений вблизи поверхности а (ф) ^ сгмакс cos2 ф в фор-
формулу A59) получим приближенное выражение для максималь-
максимального напряжения:
-Я/2
(последнее выражение относится к случаю полукруглого конца
с rt (ф) = rt = const). Например, для узкого плоского выреза
длины 2а с полукруглыми концами, расположенного в неогра-
неограниченном теле, растягиваемом на бесконечности напряжением
(<т22)оо, согласно (97), #i = (^22H0 (яаI/2, a
¦'макс '
A62)
Выражение A59) дает также абсолютную нижнюю оценку для
максимального напряжения вблизи конца узкого плоского выреза,
поскольку из неравенства а ^ амаКс следует
к
ИЛИ Омыс>-Т^ , A63)
17*
260
Дж. Райе
где 2h — ширина выреза (рис. 10). Так, например, для узкого
выреза 2а в поле однородного растяжения (а22)оо независимо
от формы дуги у конца выреза
<Wc > ях/2 @22H0 (a/A)V2. A64)
IV. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ТЕОРИИ ПЛАСТИЧНОСТИ
ПРИ ИЗУЧЕНИИ ДЕФОРМИРОВАНИЯ И РАЗРУШЕНИЯ
Рассмотрение упругопластического и пластического состояний
нужно как для полноты понимания разрушения на обычном
макроскопически-континуальном уровне, так и для установления
связи между макроскопическим описанием и механикой процессов
хрупкого и вязкого разрыва на микроуровне. В противополож-
противоположность механике упругого разрушения методы исследования в не-
неупругой области развиты значительно слабее. Поэтому пред-
представленные в этой части результаты местами неполны и не вполне
обоснованы. Тем не менее уже имеются значительные успехи,
и можно ожидать, что в связи с ведущимися и намечаемыми
исследованиями понимание разрушения существенно улучшится.
А. Локализованное пластическое течение вблизи
трещин и вырезов
Рассмотрим нагруженное упругопластическое тело с трещиной
или узким вырезом (см. рис. 11, а), и допустим, что уровень
напряжений достаточно низок, а зона пластического течения мала
Рис. 11. а — локализованное пластическое течение вблизи узкого выреза
или трещины; б — истинная конфигурация заменена полубесконечным выре-
вырезом в бесконечном теле, истинные ^граничные условия заменены требованием
асимптотического стремления к распределению напряжений вблизи конца
трещины в линейной задаче теории упругости (при г -*- оо cfti ->-
-* Кг Bяг)-1я/у (9)).
Гл. 3, Математические методы в механике разрушения 261
сравнительно с характерными геометрическими размерами — дли-
длиной выреза, шириной ненадрезанного образца и т. д. Представлен-
Представленная здесь ситуация названа «локализованной пластичностью»,
и для нее коэффициенты интенсивности напряжений, найденные
из теории линейной упругости, дают удобную меру интенсивности
окружающего поля упругих напряжений (разд. III, А). Тогда
для определения поля упругопластических деформаций вблизи
конца возможен подход, являющийся одной из разновидностей
метода пограничного слоя [72, 74, 75]. Напомним прежде всего,
что если вырез считается острой трещиной, то для случая нор-
нормального отрыва (см. рис. 11, а) поле упругих напряжений
вблизи конца имеет вид
Qij — тг ftj (9) + Члены, ограниченные вблизи конца
<2jtr) трещины. . A65)
Здесь ftj @) — это тот же набор функций, что и в G8), одина-
одинаковый для всех симметрично нагруженных тел с трещинами.
Будем теперь считать материал упругопластическим и рас-
рассмотрим вырез либо в виде острой трещины, либо в виде узкой
полости. Понятно, что на расстояниях от конца выреза, больших
по сравнению с малой пластической зоной или радиусом выреза,
но все еще малых по сравнению с характерными размерами, напри-
например длиной выреза, напряжения определяются сингулярными
членами решения задачи теории упругости. Это утверждение
относительно определяющей роли сингулярных членов упругого
решения можно сформулировать формально, сказав, что истинную
конфигурацию (рис. 11, а) можно заменить бесконечным телом
с полубесконечным вырезом (рис. И, б), а истинные граничные
условия можно — в стиле теории пограничного слоя — заменить
требованием асимптотического сближения решения на больших
расстояниях с сингулярным распределением напряжений, давае-
даваемым теорией упругости. Иначе говоря,
где Ki — коэффициент интенсивности напряжений для соот-
соответствующей задачи о трещине в упругом теле. Такое решение
с локализованной пластической зоной около конца трещины
является математически строгим лишь в предельном случае
исчезающе малой пластической зоны. Однако решения с локали-
локализованным пластическим течением оказались весьма близкими
к имеющимся точным решениям вплоть до значительных нагрузок
(в типичных случаях — до половины нагрузки, отвечающей разви-
развитому пластическому течению) [74].
262 Дж. Райе
Напомним, что в разд. II, Д мы ввели для двумерного поля
деформаций не зависящий от пути интеграл /:
/ = J (W dx2 - Т • du/dxi ds). A67)
г
Доказательство инвариантности строго применимо к путям Г,
обходящим конец выреза по упругому материалу вне пластической
зоны. Инвариантность сохраняется также для путей, проходящих
через пластическую зону, если используется деформационная
теория пластичности (т. е. фактически нелинейная теория упру-
упругости) .
Пусть Г — окружность радиуса г, лежащая вне пластической
зоны на рис. 11, б. Не меняя значения интеграла, мы можем
устремить г к бесконечности. Поскольку и W, и Т -ди/дхх квадра-
квадратичны по напряжениям в упругой области и поскольку dx2 =
= rcosQdQ и ds = rdQ, при вычислении интеграла следует
учитывать лишь члены, меняющиеся обратно пропорционально
корню из расстояния, к которым асимптотически стремится рас-
распределение напряжений. Поэтому для решения с локализованным
пластическим течением / имеет то же значение, что и для задачи
о трещине в линейно упругом теле, а именно в случае трещины
нормального отрыва при плоской деформации (см. A26))
J=.(l-v*)K!/E. A68)
Более общий результат, включающий также локализованное
пластическое течение при продольном и поперечном сдвиге или
при комбинированных условиях нагружения, состоит в том, -что
J = Sr A69)
где *§ — ирвиновская скорость высвобождения упругой энергии
в линейной задаче, выраженная через коэффициент интенсивности
напряжений в разд. III, Г. Как мы убедимся, выбор специального
пути интегрирования для интеграла / наряду с тем обстоятель-
обстоятельством, что значение этого интеграла известно, делает его полезным
средством исследования упругопластической задачи.
Использование не зависящего от пути интеграла оказывается
полезным также и в случаях, когда имеет место крупномасштабное
пластическое течение. Хотя значение интеграла при этом неизве-
неизвестно, мы можем в приближении деформационной теории вернуть-
вернуться к физической интерпретации при помощи сравнения по энер-
энергии сходным образом нагруженных тел с вырезами близкой
величины. Такая аппроксимация позволяет обосновать прибли-
приближенные расчеты, как, например, для двух конфигураций, пока-
показанных на рис. 7. Могут быть использованы и весьма упрощенные
упругопластические модели, потому что можно с уверенностью
Гл. 3. Математические методы в механике разрушения 263
ожидать надежного определения интегральных характеристик,
например скорости высвобождедия энергии, даже если при этом
решение не будет верным в деталях.
Б. Трещины в упругопластических телах
при антиплоской деформации
В механике разрушения основной интерес представляют тре-
трещины нормального отрыва (класс I). Однако из-за математиче-
математических трудностей детальное исследование упругопластических
задач для этого случая до сих пор не проведено. Иначе обстоит
дело для трещин при антиплоской деформации (класс III), и для
этого круга задач получен ряд решений [38, 64, 72, 75], как для
идеально пластического, так и для упрочняющегося материала.
Степень соответствия между-этими решениями и задачами для
трещин нормального отрыва неизвестна; однако Макклинток и
Ирвин [59] указывают, что некоторые наблюдаемые особенности
развития трещин отрыва можно объяснить из решений для анти-
антиплоской деформации.
1. Идеальная пластичность
Общую структуру полей напряжений в пластической области
и форму соотношений для пррращений смещений для антиплоской
деформации в изотропном идеально пластическом материале мы
рассмотрели в разд. II, Г. Так, по Халту ик Макклинтоку. [38]
напряжения в пластической зоне вблизи конца трещины постоян-
постоянны вдоль радиусов (рис. 12). В полярных координатах а-линии
разд. II, Г совпадают с линиями 0 = const и
огзе = т0, стзг = °» A70)
где То — предел текучести при сдвиге. Тогда в силу D9) прираще-
приращения антиплоского смещения du3 при нагружении постоянны вдоль
радиусов, так что при монотонном нагружении в пластической
Пластичес-
Пластическая зона
Рис. 12. Антиплоская деформация идеально пластического материала;
а8в == то во всей пластической зоне. R (9) — расстояние до границы пласти-
пластической зоны.
264 Дж. Райе
зоне и3 = и3 (8). Используя «технические» деформации сдвига,
обозначая через R @) расстояние до границы пластической зоны,
как на рис. 12, и замечая, что на границе y3Q = у0 = %JG (дефор-
(деформация начала текучести), получаем
1 дщ i?(8) ди3 Л /лпл\
Т8в = 7"Ж==г>-Г2-* 7зг = -^ = 0. A71)
В результате смещения в пластической зоне выражаются
через расстояние до ее границы:
е
A72)
где смещения на продолжении трещины приняты за нуль. Заме-
Заметим, что в конце трещины смещения разрывны и полное раскрытие
8t (разность перемещений соответствующих точек) равно
я/2
6t = u3(n/2)-u3(-n/2) = y0 j Д(Р)?*Р. A73)
-я/2
Решение для пластической зоны вполне определяется, если
известно расстояние до границы R (8). Оно должно быть выбрана
таким образом, чтобы существовало линейно упругое поле напря-
напряжений, нигде не превосходящих предела текучести, соответствую-
соответствующее заданным нагрузкам и удовлетворяющее некоторым условиям
непрерывности [69] на границе пластической зоны. Согласно
разд. II, Б, в упругой области напряжения выражаются через
аналитическую функцию от z = хг + ix2:
or32 + fosi = <o'(z). A74)
Теперь целесообразно изменить точку зрения и рассматривать это
уравнение как утверждение, что в упругой области z является
аналитической функцией от о32 + io31. Это эквивалентно тому,
что #i — ix2 — аналитическая функция от а32 — гозъ а это мы запи-
запишем в виде
xt - ix2 = F (g), A75)
где функция F аналитична, а безразмерное напряжение ? равно
I = (ст32 — Jct3i)/t0. A76)
Такое преобразование особенно эффективно, поскольку неизве-
неизвестная граница пластической зоны отображается на дугу единичной
окружности в плоскости ?. Граничные условия для F (?) вдоль
границы пластической зоны находятся так (рис. 12): в точке
границы, отвечающей полярному углу 0, мы имеем | = eiOt
Гл. 3. Математические методы, е механике разрушения
265
— ix2 = R F) e~ie. Таким образом,
R (9) = eiQF (e%
A77)
что дает формулу для расстояния до границы, коль скоро F (?)
известно, и так как R (9) вещественно, в плоскости ?• вдоль дуги
единичной окружности, служащей образом границы пластиче-
пластической зоны, имеем условие
Im{eiQF(eiQ)} = 0. A78)
2. Решения для локализованного течения в идеально пластических
щелах
В соответствии с изложенным в разд. IV, А, получим решение
для случая локализованного течения, рассматривая полубеско-
полубесконечную трещину и ставя условие асимптотического выхода реше-
решения йа сингулярное решение задачи теории упругости для про-
продольного сдвига. В силу G7) и (82) это асимптотическое условие
(см. рис. 13, а) принимает вид
при
оо.
A79)
где Km — коэффициент интенсивности напряжений для трещины
в линейно упругом теле при той же геометрии и нагрузках. Это
условие можно выразить через функцию F (?), определенную соот-
соотношением A75), так:
„ ^_*wt4 . кт дри (gj^o. A80)
Отображение физической плоскости хгх2 рис. 13, а на пло-
плоскость ?• построено на рис. 13, б. Как показано здесь, бесконечна
Л
Рис, 13. Решение с локализованной пластической зоной для антиплоской
деформации упруго-идеальцо-пластического материала.
а — физическая плоскость; б — отображение упругой области физической плоскости
на внутренность единичного полукруга в плоскости напряжений; показано соответствие
точек.
266 i Дж. Райе
удаленные точки отображаются в начало координат, граница
пластической зоны — в единичную полуокружность, а поверхно-
поверхности трещины — в мнимую ось плоскости ?. Поскольку на поверх-
поверхности трещины х2 = 0, функция F (?) должна быть вещественной
на мнимой оси; |. Решение, удовлетворяющее этому условию
и условию A78) на границе пластической зоны и обеспечивающее
правильное асимптотическое поведение в соответствии с A80),
имеет вид
При этом расстояние R @) до границы пластической зоны в соот-
соответствии с A77) равно
i?(9) = i?0cos6, где R0 = Klu/(ml). A82)
Как показано на рис. 13, а, пластическая зона — круг диа-
диаметра До- Деформации и смещения в пластической зоне и раскры-
раскрытие трещины равны
кт cos е п
и3 = -7^-sin 9,
Разрешая соотношения A75) и A81) относительно напряжений
в упругой области, получаем
(^)]1/2; A84)
мы видим, что пластическое течение приводит к появлению поля
напряжений, совпадающего с тем же сингулярным упругим
полем, но сдвинутым вперед на половину диаметра пластической
зоны, как если бы конец трещины находился в центре пластиче-
пластической зоны. Такая интерпретация была впервые дана Ирвином
и Коскиненом [45].
3. Полное решение в случае идеальной пластичности
Приближение локализованного течения оказывается недоста-
недостаточным при таких уровнях нагрузки, при которых возникают
пластические зоны, сопоставимые с характерными размерами
задачи; при этом приходится обращаться к полному решению.
Эти решения были даны Халтом и Макклинтоком [38] для краевой
трещины в полуплоскости при однородном напряженном состоя-
состоянии на бесконечности и Райсом [72] для краевой трещины в полосе
конечной ширины. Последнее решение описывает также напря-
Гл. 3. Математические методы в механике разрушения 267
женное состояние полосы с внутренней трещиной или двумя
боковыми надрезами или плоскости с рядом равноотстоящих
трещин (см. рис. 6) в условиях антиплоской деформации. В тех же
обозначениях {а — длина трещины, Ъ — ширина полосы) выра-
выражение для коэффициента интенсивности напряжений для тре-
трещины продольного сдвига в упругом теле при однородном напря-
напряженном состоянии на бесконечности имеет вид
Кш = Too (паI'* [BЬ/яа) tg (na/2b)]^, Хоо = (д32)оо. A85)
Решения для малых уровней нагрузки получаются при помощи
приведенных результатов для локализованного течения с исполь-
использованием этого значения Кщ. Метод получения полного решения
сходен с использованным для локализованной текучести. Упругая
область физической плоскости отображается на плоскость без-
безразмерных напряжений |. Граница пластической зоны снова ото-
отображается на единичную полуокружность, а поверхности тре-
трещины — на мнимую ось ?, как на рис. 13, б. Теперь, однако,
отображение становится несколько более сложным, поскольку
параллельные х2 поверхности полосы отображаются на разрез,
проведенный из начала координат вдоль вещественной оси ?.
Для функции F (?) = (х1 — ix2) ставятся граничные условия,
ж задача приводится к задаче стандартного вида, решаемой при
помощи конформного отображения полукруга с разрезом на полу-
полукруг без разреза; для последнего же случая уравнение Лапласа
легко решается. Ниже мы рассмотрим сходный метод в связи
с упрочняющимся материалом, так что здесь приведем лишь
результаты.
Для частного случая краевой трещины в полуплоскости
(Ь = оо) для длины Ro, на которую пластическая, зона прости-
простирается впереди трещины, и для раскрытия трещины 8t окойча-
тельные выражения [72] таковы:
2
'18Ь'
где s = Too/to» a ?i и ?2 — полные эллиптические интегралы пер-
первого и второго рода соответственно. Можно показать, что при
малых нагрузках, когда членами порядка s2 можно пренебречь
по сравнению с единицей, эти выражения переходят в результаты
для локализованного пластического течения. При повышении
напряжений пластическая зона вытягивается в длину, как на
рис. 12, и при предельной нагрузке простирается до бесконечности
в направлении оси хг, а ее ширина в направлении х2 асимптоти-
асимптотически приближается к 4а/п. Численные результаты для этого
случая и для полосы конечной ширины с отношением а/b длины
268
Дж. Райе
3,00
2,50
2,00
1,50
1,00-
0,50
0,2
0,4 0,6
«л До
0,8
1,0
Рис. 14. Зависимость длины пластической зоны от эффективного напряже-
напряжения при различных отношениях длины трещины к ширине образца.
Штриховая линия D) — приближение локализованного пластического течения;чантипло-
ская деформация упруго-идеально-пластического материала [74]. По оси ординат отло-
отложена безразмерная длина пластической зоны (R0/a) (naJ2b) ctg (jta/2b)/(l — а/ЪJ; 1—
график для коэффициента RJa (а/Ъ) = 0; 2 — график для коэффициента 1,51 RJa
(а/Ъ = 1/5); 3 — график для коэффициента 4,28 RJa (а/Ъ = 3/5).
трещины к ширине полосы 1/5 и 3/5 приведены на рис. 14 и 15.
На графиках показаны безразмерные длина пластической зоны
и раскрытие трещины
(па
ctg {nd/2b)
1A -<*/ЬJ
ctg (jta/26)
Of / па \ ctg {na/21
2у0а \ 26 / A-a/by
как функции от отношения тп/т0, где т0 — предел текучести,
а тп = Тс» A— alb)'1 — среднее напряжение в неразрушенной
части образца (эффективное напряжение). Безразмерные отноше-
отношения выбраны в таком виде, поскольку для случая локализован-
локализованной пластической зоны с коэффициентом интенсивности, опреде-
определяемым соотношением A85), оба они равны (тп/т0J при любом
отношении alb. Результаты для локализованного пластического
течения показаны на обоих графиках штриховыми линиями» '
Гл. 3. Математические методы в механике разрушения
269
3,00
2,50
2,00
1,50
1.00
0,50
-
-
-
-
_
-
J
j
t b ,
m
^^
0,2-
0,4 C?
т„ /т.
0,8
1,0
Рис. 15. Зависимость раскрытия трещины от эффективного напряжения
при различных отношениях длины трещины к ширине образца.
Штриховая линия D) — приближение локализованного течения; антиплоская деформация
упруго-идеально-пластического материала [74]. По оси ординат отложено безразмерное
раскрытие трещины Щ/Bуоа)] (ла/2Ъ) ctg (яа/2Ь)/A — a/bJ; 1 — график для коэффици-
коэффициента 6j/2VoO (а/Ъ = 0); 2 — график для коэффициента 1»51 6f/2voa (.а/Ъ = 1/5); 3 —график
для коэффициента 4,28 6t/2yoa (а/Ъ = 3/5).
Зависящий от отношения alb коэффициент в приведенных без-
безразмерных выражениях имеет численное значение 1,00 при alb =
= 0; 1,51 при alb = V5 и 4,28 при alb = 3/б. Отклонение от штри-
штриховых линий указывает пределы применимости, приближения
локализованной пластичности. Значительные отклонения в вели-
величине пластической зоны (рис. 14) начинаются при нагрузке в 30—
50% от предельной, причем отклонения меньше при больших
отношениях длины трещины к ширине полосы. Значительные
отклонения в раскрытии трещины происходят при нагрузке
в 60—70% от предельной, причем снова отклонения меньше при
больших относительных длинах трещины.
Аналогичным образом может быть сформулирована упруго-
пластическая задача о трещине продольного сдвига в анизотроп-
анизотропном идеально пластическом материале с произвольной выпуклой
270 Дж. Райе
Поверхностью текучести в двумерном пространстве напряжений
<*31> #32- Метод решения описан в обзоре Раиса [74] по пластиче-
пластическим эффектам в теории трещин; там же изложена мембранная
аналогия, допускающая эффективную визуализацию решений.
Приведены также некоторые решения для локализованной пла-
пластичности. Специфическая особенность, возникающая для поверх-
поверхностей текучести, характерных для монокристаллов, состоит
в том, что пластическое течение сосредоточено в дискретных
линиях скольжения, выходящих из конца трещины.
4. Сопоставление критериев разрушения
Влияние пластичности на вид критериев разрушения механики
упругого разрушения несколько проясняется, если выбрать
несколько различных критериев, основанных на приведенных
упругопластических решениях. Заметим сначала, что при малых
нагрузках все определяется коэффициентом интенсивности напря-
напряжений, и положим, что К{ц — его значение в момент разрушения
при экспериментах с локализованным пластическим течением.
Тогда по формулам A82) и A83) находим для соответствующих
размеров пластической зоны и раскрытия трещины
Удобно рассматривать Щ, размер пластической зоны в момент
разрушения в опытах с локализованной пластичностью, в каче-
качестве характерного для материала и условий испытаний размера.
Тогда критерий разрушения линейно упругой механики раз-
разрушения Km == К{ц дает для эффективного напряжения в момент
разрушения
Обращаясь к упругопластическому решению, можно выбрать
в качестве критерия разрушения условие Ro = Щ, поскольку
размер пластической зоны впереди трещины определяет дефор-
деформации на плоскости вероятного разрыва. С другой стороны, можно
было бы выбрать критерий разрушения 6^ = б? = 2,у0Щ, посколь-
поскольку раскрытие трещины выражает интегральный эффект высокой
концентрации напряжений вблизи конца трещины. В области
локализованного пластического течения (но не при высоких раз-
разрушающих напряжениях, возникающих для коротких трещин)
и критерий критического размера пластической зоны, и кри-
критерий критического раскрытия трещины согласуются со следст^-
виями линейной теории упругости A88).
Гл. 3. Математические методы в механике разрушения
271
14
Рис. 16. Сопоставление различных критериев разрушения (на основе реше-
решения для антиплоской деформации идеально пластического материала) в слу-
случае краевой трещины в полуплоскости [72].
1 — критерий критического коэффициента интенсивности напряжений в упругомГреше-
нии; 2 — критерий критического раскрытия трещины; з — критерий критического разме-
размера пластической зоны.
1,0
0,8
Д2
10 12 14 16
Рис. 17. Сопоставление различных критериев разрушения (на основе реше-
решения для антиплоской деформации идеально пластического материала) в слу-
случае трещины, простирающейся на 2/ъ ширины полосы [72].
1 — критерий критического коэффициента интенсивности напряжений в упругом реше-
решении; 2 — критерий критического раскрытия трещины; 3 — критерий критического
размера пластической зоны.
На рис. 16 и 17 сопоставляются безразмерные разрушающие
эффективные напряжения в момент разрушения т?/т0, рассчитан-
рассчитанные в соответствии с этими тремя критериями как функции от
/, отношения длины трещины к размеру пластической зоны при
272 Дж. Райе
локализованном течении в момент разрушения. Рис. 16 относится
к трещине в полуплоскости, а рис. 17 — к трещине, простираю-
простирающейся на 2/5 ширины полосы. Горизонтальные участки при малых
длинах трещины на последнем рисунке соответствуют случаям,
когда развитое пластическое течение начинается раньше, чем
будут достигнуты критические значения длины пластической
зоны щраскрытия трещины.*
Эти кривые не только выявляют отклонения от результатов
линейной механики разрушения, но и показывают отсутствие
какого-либо единого параметра, который мог бы заменить коэф-
коэффициент интенсивности напряжений для описания локальных
деформаций при развитом|пластическом течении. Два пластиче-
пластических критерия отличаются друг от друга настолько же, насколько
ближайший и& них к упругому критерию отличается от последнего
{кроме случая очень коротких трещин).
Следует отметить, что на практике при применении упругой
механики разрушения обычно вводятся [1] полуэмпирические
поправки, учитывающие влияние пластического течения на раз-
размеры трещин при разрушении. Кривые, соответствующие крите-
критерию критического коэффициента интенсивности напряжений
в упругом решении, построены без учета этих поправок, которые
приводят к сближению результатов с расчетами по критерию кри-
критического раскрытия трещины. Следует также предупредить, что
нет ясности в отношении соответствия между задачами продоль-
продольного сдвига и нормального отрыва, так что не известно, будут ли
аналогичные критерии приводить к сходным отклонениям при
развитом пластическом течении в случае нормального отрыва.
5. Упрочнение
Уравнения, описывающие поведение упругопластических
упрочняющихся тел при антиплоской деформации, были сфор-
сформулированы на основе деформационной теории пластичности
Нейбером [64] и Райсом [75]. Предполагается, что соотношение
между главным касательным напряжением т и главным сдвигом
7, где
A89)
остается линейным вплоть до достижения предела текучести т0,
7о» а затем описывается изотропным нелинейным соотношением,
т. е.
% = (to/Yo) V при у < Vo» т = т (v) при y > Y<>; A90)
здесь х (у) — функция, описывающая связь между напряжениями
и деформациями при упрочнении. Направления главных каса-
касательных напряжений и главного сдвига совпадают, т. е. в ком-
Гл. 3. Математические методы в механике разрушения 273
понентной записи имеем
у31, ^32 = [т (y)/y! Уза, A91)
что соответствует формулам C8). Как и в случае идеально пла-
пластического материала, удобно записать уравнения для координат
в физической плоскости хи х2 как функций деформаций Y3i» ?за
или напряжений в31, а32. Тогда уравнения равновесия и сов-
совместности можно записать так:
п дх\ , Ох» Л
= 0 переходит в - 1 -4--^—^- = О,
<daZ2
dy3i ду32 Л дх* дх2 л ^ '
-zr* л^ = 0 переходит в -т~ ^-^- = 0
Уравнение совместности будет удовлетворено, если положить
хх = д^/ду31, х2 = dty/dy32i A93)
где г()-—некоторая функция компонент деформации. Подставляя
эти выражения в уравнение равновесия и используя соотношение
между напряжениями и деформациями, получаем для if» линейное
дифференциальное уравнение с переменными коэффициентами.
Наиболее простой вид оно принимает в полярных координатах
в плоскости деформаций. Пусть ф — угол между направлением
оси х2 и направлением главного сдвига, измеряемый против часо-
часовой стрелки; тогда
= у32 — *уз1» т^ф = <*32 — и*з1- A94)
Если потенциал г|) в плоскости деформаций выражен через y
и ф, то соотношения A93) можно записать в следующем виде:
sin
A95)
При этом уравнение равновесия A92) удовлетворяется, если
, 1
72
где т' (y) = dx/dy. Заметим, что это уравнение превращается
в уравнение Лапласа при линейной связи между деформациями
и напряжениями, как это имеет место в упругой области y < Yo-
Смещение и3 и потенциал if связаны преобразованием Лежандра
и3 == у~д^1ду — г|), я|> = г ди3/дг — м3, A97)
где г — расстояние от полюса полярной^системы координат в фи-
физической плоскости.
18—0700
274 Дж. Райе
6. Решение с локализованной пластической областью в упрочняю-
упрочняющемся материале
Поле деформаций для полубесконечной трещины отображается
на полуплоскость деформаций, определяемую соотношениями
—я/2 ^ ф ^ я/2; предельные значения отвечают направлениям
главного сдвига для нижней и верхней поверхностей трещины
соответственно. Так как на трещине х2 = 0, из A95) следует, что
5г|)/5ф = 0 при ф = ±я/2. Особенность деформаций вблизи конца
трещины отображается в бесконечно удаленную точку плоскости
деформаций, и, поскольку в конце трещины хг = х2 = О, произ-
производные от я|) стремятся к нулю на бесконечности. Требование
асимптотического приближения к особому упругому решению
приводит, как и в случае уравнений A79) и A80), к особенности
в начале координат плоскости деформаций, являющемся образом
бесконечно удаленной точки физической плоскости:
или A98)
^ sin© л
ПРИ V "^ 0.
у r r
Если теперь искать решение для г|) в виде произведения sin ф
на функцию от у» то граничные условия на образе поверхностей
трещины будут автоматически выполняться и задача сведется
к нахождению функции от у, удовлетворяющей как дифференциаль-
дифференциальному уравнению A96), так и условиям в нуле и на бесконечности.
В результате получим [75]
I Zjtxg I Y ' Yo L IU "J u*x{u) J) ' ^^^oJ*
V ?o
A99)
Введем обозначения
B00)
v
тогда для координат в упругой и пластической областях физи-
физической плоскости мы получим из A95) следующие выражения:
^=ЛG)вт2ф. (v>Yo). ,201,
х2 = R (у) sin 2ф '"^" " { '
Гл, 3, Математические методы в механике разрушения 27Г5
Рис. 18. Решение для локализованного течения при антиплоской деформа»
ции упругопластического упрочняющегося материала.
Эти соотношения иллюстрирует рис. 18. В пластической области
линии постоянных значений деформации представляют собой
окружности радиуса R (у) с центром, расположенным на оси х±
на расстоянии X (у) впереди конца трещины. Угол ср направления
главного сдвига в какой-либо точке на окружности постоянного
значения 7 равен половине угла, составляемого с осью х± радиу-
радиусом, проведенным из центра окружности в эту точку. Поэтому
граница пластической области является окружностью с центром
в точке X (yo) и радиусом R (у0) = К1ц/Bпт;1), причем этот ра-
радиус не зависит от вида соотношения между напряжениями и де-
деформациями при упрочнении. Линии постоянных значений дефор-
деформаций в упругой области остаются окружностями, но их центры
совпадают с центром границы пластической области. Из послед-
последней пары соотношений B01) можно определить напряжения
в упругой области
+ io*i = — it- . B02)
Мы снова видим, что роль пластического течения сводится к сдвигу-
особенности упругого решения вперед таким образом, как если
бы конец трещины находился в центре пластической зоны. Дефор-
Деформации на продолжении трещины получим, полагая в B01) ф = 0;
18*
276 ' Дж. Райе
в результате "в пластической области
Xl = -^- J "ЛИ"' B03>
V32CCi,0)
В качестве примера рассмотрим соотношение между напряже-
напряжениями и деформациями с упрочнением по степенному закону:
* = Те (т/?о) при у < Yo, т = т0 (v/?o)N при y > Yo B04)
(N = 0 отвечает идеальной пластичности, а N = 1 —i идеальной
упругости). Радиус и координата центра окружности постоянной
деформации в пластической области равны
Пластическая зона простирается на расстояние R (у0) + X (y0) =
= ^iii/ [(l + ^OwJ] впереди конца трещины и на расстояние
i? (y0) — X (y0) = iVZfn/ [A + N) m*0] позади него. Деформации
в пластической области впереди трещины равны
V) B06)
7. Полное решение в случае деформационного упрочнения
Наметим здесь, следуя Раису [75], решение задачи о краевой
трещине глубины а в полуплоскости в упрочняющемся упруго-
пластическом материале при условиях однородного сдвига на
бесконечности, если касательное напряжение т», не превосходит
начального предела текучести (фиг. 19, а). Отображение на плос-
плоскость деформаций показано на рис. 19, б, где отмечены соответ-
соответственные точки и указаны граничные условия, следующие из соот-
соотношений A93) или A95).
В упругой области (y < Yo) уравнение A96) является уравне-
уравнением Лапласа, и его решение можно представить как мнимую часть
аналитической функции:
] где l = fQe%= *¦-**« . B07)
Тогда в упругой области | 5 | < 1 координаты точек физической
плоскости определяются соотношением
х± — iz2 = F (g), B08)
совпадающим с соотношением A,75). Из соображений симметрии
следует, что функция F (?) должна быть вещественной на веще-
вещественной оси правее разреза, гак что F E) = F (?)J На оси Y3i
нормальная производная обращается в нуль; поэтому можно про-
Гл. 3. Математические методы в механике разрушения 277
1 дер
Лоо
а
Есо
Та
Хг \
1
1
Граница пла- J
стическоп об- \
ласти 1
об-/ -
ласти у '
Образ
пластической
области
Рис. 19. Задача A96) о краевой трещине для упрочняющегося упругопла-
стического материала при антиплоской деформации.-
а — физическая плоскость; б — отображение физической плоскости на плоскость дефор-
деформаций (отмечены соответственные точки и указаны граничные условия).
извести зеркальное отражение на полуплоскость 732 < 0, сохра-
сохранив там те же граничные условия. При этом мы получим разрез
при — s <С | < s, где s — безразмерное напряжение или дефор-
деформация на бесконечности
s = Too/tq = Yoo/y<>. B09)
На этом разрезе граничное условие хг = — а принимает вид
— 2а = 2Re [F (*)] = F (t) + F (t) = IF (t)]+ + IF (t) ]'. B10)
Здесь t означает точку разреза; знаки + и — относятся к его
верхнему и нижнему краям соответственно. Аналогичную задачу
Гильберта мы рассматривали в разд. II,В, III,А и III,Б. Ее общее
решение, удовлетворяющее условию обращения в нуль нормаль-
нормальной производной на оси 731» можно записать в виде
(I) & -
B11)
Здесь функция g (?) аналитична внутри единичного круга и раз-
разлагается в степенной ряд с действительными коэффициентами
по четным степеням ?. В пластической области (у > 7о) решение
для я|э можно записать в виде
=* 2 Ab/*(Y)sin[Bfc-l)q>]f4
ь1
B12)
278
Дж. Райе
/ «¦-
^- Q25 0,50/
6,75 1,66 1,25 1,5Ыг,/я
:-хг/а
0,5
II Mil 0,50-
2 4 б 8 1012
Г/Го
Рис. 20. Решение для развитого пластического течения материалов со сте-
степенным упрочнением при Too = 0,6т0 и Too = 0,8т0.
В верхних правых четвертях показаны распределения деформаций впереди конца тре-
трещины, в нижних правых четвертях — границы пластической области, в нижних левых
четвертях-диаграммы деформирования материала, а — результаты для слабого упроч-
упрочнения (N ==• ОД); б-результаты для сильного упрочнения (N = 0,3).
Гл. 3. Математические методы в механике разрушения 279
автоматически удовлетворяющем граничным условиям на оси
у31. Для того чтобы выполнялось уравнение для i|), а также усло-
условия на бесконечности, функции fk ( у) должны удовлетворять
уравнениям
% ^^h(y) = O (B13)
и условиям fk (yq) = 1 и /i (оо) = 0.
Теперь мы имеем два решения для г|), одно из которых содержит
неизвестные коэффициенты тейлоровского разложения для g (?),
а другое — неизвестные постоянные Dk. Эти неизвестные опре-
определяются из требования, чтобы оба решения давали одинаковые
значения координат границы пластической области (у = у0)
в физической плоскости, или (что эквивалентно) чтобы здесь были
непрерывны первые производные от -ф. В результате получается
бесконечная система уравнений. Если в свою очередь разложить
неизвестные постоянные по степеням s, то можно искать решение
методом последовательных приближений. Окончательные фор-
формулы, равно как и значения Dk с точностью до si2 и с обширными
таблицами численных данных для материалов, упрочняющихся
по степенному закону B05), приводятся в работе [75]. На рис. 20
приведены графики некоторых из окончательных результатов для
степенного упрочнения с N — 0,1 и 0,3. Показаны положение
границы пластической области (в нижней правой четверти рисун-
рисунков) и распределение деформаций в пластической зоне впереди
конца трещины (верхняя правая четверть) при двух значениях
напряжения на бесконечности: т», = 0,6т0 и too* = 0,8т0.
При этих уровнях напряжений можно проследить переход от
круговых локализованных пластических зон к сильно вытянутым
зонам при приближении к напряжениям развитого пластического
течения. Мы видим, что изменение показателя упрочнения от
0,1 до 0,3 заметно влияет на размер пластической зоны при дан-
данном уровне напряжений. Дальнейшее сопоставление показывает,
что при большем показателе @,3) результаты отличаются от реше-
решения для идеально пластического материала и от решения для
идеально упругого материала примерно одинаково.
В. Трещины в упругопластических телах
при растяжении
Практически важные задачи о трещинах нормального отрыва
в упругопластических телах при растяжении изучены не столь
хорошо, как это желательно для приложений. Некоторые резуль-
результаты получены для простой модели полностью развитого пласти-
пластического течения в тонких листах в случае плоского напряженного
состояния и в приближенном исследовании пластического тече-
280
Дж. Райе
ния в случае плоской деформации при помощи теории линий
скольжения. Как мы увидим, эффективным средством исследова-
исследования при этих условиях является не зависящий от пути интеграл /.
1. Модель текучести Дагдейла — Баренблатта и пластичность
при плоском напряженном состоянии
Учитывающая пластическое течение модель, предложенная
Дагдейлом [24] и аналогичная предложенной Баренблаттом [4]
модели с силами сцепления/показана на рис. 21. Течение считается
сосредоточенным в узкой зоне непосредственно перед концом
трещины (при хх = 0).
В анализе этой модели предполагается, что в результате пла-
пластического течения трещина как бы удлиняется на величину
размера пластической зоны Д, причем в пластической зоне на
поверхности продолженной трещины действуют силы сцепления,
препятствующие ее раскрытию. И приложенные нагрузки, и пре-
препятствующие раскрытию трещины силы создают на внешнем краю
пластической зоны особенности типа квадратного корня в 'знаме-
'знаменателе, но эти особенности противоположны по знаку. Размер
пластической зоны выбирается так, чтобы эти особенности взаим-
взаимно уничтожались и напряжения на внешнем краю пластической
зоны были конечны. Как показано на рис. 21, б, препятствующие
раскрытию трещины напряжения могут зависеть от величины
Рис. 21. Модель текучести Дагдейла — Баренблатта при плоском напря-
напряженном состоянии.
а — течение считается сосредоточенным в узкой зоне перед трещиной, где действуют
препятствующие расхождению продолженных поверхностей трещины напряжения о* (о);
б — зависимость препятствующего раскрытию трещины напряжения о (б) от расстояния
б между ее поверхностями; в — схема, иллюстрирующая роль поперечного скольжения
при полностью развитом течении в условиях плоского напряженного состояния. 1 —
идеальная пластичность: 2 — упрочнение и образование шейки.
¦t- Гл. 3. Математические методы в механике разрушения 281
раскрытия трещины 6 = и\ (хи 0) — щ (хг, 0) или — в случае
идеальной пластичности — могут считаться постоянными, рав-
равными пределу текучести ого; для этого случая имеется несколько
полных решений.
Выявив пластические зоны травлением, Розенфилд и др.
[80] показали, что эта модель особенно хорошо соответствует
случаю полностью развитого пластического течения в тонких
листах при плоском напряженном состоянии. Несколько идеа-
идеализированная схема результатов их наблюдений показана
на рис. 21, в. Пластическое течение происходит в двух пересе-
пересекающихся полосах скольжения, проходящихччерез лист под углом
45°. Поэтому течение локализовано в узкой области, высота кото-
которой примерно равна толщине листа. Среднее относительное пла-
пластическое удлинение равно
~ер = б/Л, B14)
где б — раскрытие трещины, a h — толщина листа.
Так же как и при рассмотрении модели сил сцепления Барен-
блатта для упругохрупкого разрушения (рис. 8 и соотношение
A36)), расстояние между поверхностями 6^ в конце трещины
(раскрытие трещины) можно, используя связь между расстоянием
между поверхностями и препятствующими раскрытию трещины
напряжениями, выразить через значение не зависящего от путк
интеграла /:
6t 6t/h
/= J aF)d6 = A j a(ep)dip; [B15)
о о
здесь a (бр) — зависимость напряжений от деформаций; послед-
последняя запись относится к случаю плоского напряженного состоя-
состояния; причем используется приближенное выражение B14). Как
было показано в разд. IV,A для решений типа пограничного
слоя с локализованным течением, инвариантный интеграл имеег
то же значение, что и для линейно упругого случая. Поэтому,
используя значение /, отвечающее плоскому напряженному
состоянию, для раскрытия трещины в случае локализованного
течения получаем уравнение
6t/h
B16)
Например, для линейного упрочнения (постоянный касательный
модуль)
a(s*) = ao + ?Kace*; B17)
282 Дж. Райе
подставляя это выражение в B15) и B16), получаем для раскры-
раскрытия трещины
B18)
/Т1 1л. I # Ш-i Ш % -Г \ i U I
нричем последнее выражение относится к локализованному тече-
течению. В случае идеальной пластичности (Z?Kac = 0) эти соотноше-
соотношения сводятся к равенствам
8Л = J/oo, 6t = K}/(Eo0). B19)
2. Решения для модели Дагдейла — Баренблатта в случае идеаль-
идеальной пластичности
В частном случае идеальной пластичности (постоянных сил
сцепления а0) на модель Дагдейла — Баренблатта легко пере-
переносятся методы решения задач для трещин в упругих телах
(разд. III,А, III,Б и III,В). В случае локализованного течения
мы считаем трещину полубесконечной и складываем решения,
одно из которых обеспечивает асимптотическое приближение
к особенности G8) типа квадратного корня в знаменателе, но
оставляет поверхность продолженной трещины свободной от
напряжений, а другое отвечает полубесконечной трещине с пре-
препятствующими раскрытию трещины напряжениями а22 {%ц 0) =^
— а0, действующими в зоне сцепления; последнее решение полу-
получается из общего решения (98). В результате для трещины с кон-
концом в точке хг = 0 (рис. 21, а) комплексные функции напряже-
напряжений, фигурирующие при исследовании плоских задач (соотноше-
(соотношения B0) — B2) и G0)), оказываются равными
2BяI/2
B20)
Длина пластической зоны определяется условием ограниченности
этих функций, из которого следует, что коэффициент при (z — i?)/2
должен обращаться в нуль при z = R. Отсюда
Из B20) получаем для функций напряжений выражение, содер-
содержащее длину пластической зоны R:
[(^)V] B22)
Гл. 3. Математические методы в механике разрушения 283
Определяя смещения по формуле B2), находим расстояние б
между поверхностями трещины в зоне сцепления:
о-
Это выражение при хг = 0 согласуется с выражением B19) для
раскрытия трещины, если принять к = C — v)/(l + v), что
соответствует плоскому напряженному состоянию.
Тем же методом можно рассмотреть трещину длины 2а в поле
однородного растяжения на бесконечности напряжением (а22) с» =
= аоо (рис. 5). Исходными являются формулы (94), записанные
для трещины длины 2 (а -\- В); к этому решению, полученному
суперпозицией, добавляется постоянное слагаемое, чтобы удовле-
удовлетворить условию на бесконечности:
T
-(a+R)
B24)
гДе Ръ (t) = #оо при | * | < а и р2 (t) ¦= Goo — Со при а <. | * | <
< а + R. Из условия ограниченности напряжений при z =
= ± (а + R) находим длину пластической зоны
R = a [sec (жтоо/2а0) - 1] B25)
и соответствующее раскрытие трещины [71]
] B26)
Графики для этих двух величин в виде зависимости безразмер-
безразмерных параметров
R
и
(к-\-1)о0а
от отношения приложенного напряжения к пределу текучести
представлены на рис. 22.
С учетом равенства К\ = а<х> (яаI/2 для локализованного
течения (формулы B21) и B23) или B19)) оба безразмерных выра-
выражения равны п2о1о/8о1 (штриховая кривая на рис. 22). По этим
графикам можно определить интервал, в котором приближение
локализованного течения дает достаточную точность.
Решения для модели Дагдейла — Баренблатта получены для
многих конфигураций. Билби и Свинден [5], а также Смит [86]
показали, что для бесконечного ряда коллинеарных трещин
(рис. 6) длина пластической зоны равна
^)]} B27)
284
Дж. Райе
а раскрытие трещины определяется выражением
я/2
cos X
<S _ (x+l)crobsiD а Г
- <228>
где а = п (а + R)/2b, a ^ = л A — (Гоо/о0)/2; были получены
некоторые численные результаты. Другими двумерными зада-
чами для этой модели и аналогичных моделей для сдвига й про-
продольного сдвига (классы II и III") занимались Билби и др. [6],
Смит [86], Гудьер и Филд [28] (которые приводят также решение
стационарной динамической задачи) и Райе [71]. В работе [48}
исследована дискообразная трещина радиуса а в поле однород-
однородного растяжения на бесконечности <Joo. При этом, конечно, нельзя
интерпретировать эту модель как схематизацию течения при
плоском напряженном состоянии (рис. 21, в). Условие ограничен-
ограниченности напряжений, служащее для определения длины пластиче-
пластической зоны, можно получить непосредственно из выражения A02),
записанного для трещины радиуса а + R:
rdr
a+R
(Oco-O0) J
rdr
= 0, B29)
— 1}. Раскрытие трещины равно
B30)
откуда R = а {[1 — (сГоо/сг0)
А _ 4A — у) оу*
Если выбрать для х значение, отвечающее плоской деформа-
деформации, и учесть, что К\ = 2ооо(а/яI/2, то эти выражения в преде-
пределе перейдут в выражения для локализованного течения B21)
Рис. 22. Зависимость длины пластиче-
пластической зоны и раскрытия трещины от
приложенного напряжения.
Штриховая кривая — приближение локализо-
локализованного течения; модель Дагдейла — Барея-
блатта в случае идеальной пластичности. По
оси абсцисс отложено отношение напряжения
на бесконечности к пределу текучести; 1 —
безразмерная длина пластической зоны R/a;
2 — безразмерное раскрытие трещины
nG&t/[(K -Ь 1) Goal
О 0,2 0t4 0t6 08 1,0
Гл. 3. Математические методы в механике разрушения 285
и B23). В отличие от плоской задачи о трещине длины 2а в беско-
бесконечном теле раскрытие дискообразной трещины стремится к конеч-
конечному пределу при стремлении нагрузки к пределу текучести.
Некоторые авторы предпочитают использовать другую тер-
терминологию, рассматривая модель Дагдейла — Баренблатта как
непрерывное распределение дислокаций в плоскости. Макроско-
Макроскопическое пластическое течение вблизи конца трещины приводит
к очень сложной картине дислокаций, и любое простое описание
ее на физическом уровне в виде линейного распределения дисло-
дислокаций является недостаточным. Поэтому термин «непрерывное
распределение дислокаций» следует рассматривать здесь не в фи-
физическом смысле, а в математическом, как применение функции
Грина задачи теории упругости (как в последней части разд. III,В)
для описания разрывов смещений. Тем не менее выбор распределе-
распределения дислокаций в качестве исходного пункта исследования
является мощным средством, позволяющим полностью использо-
использовать теорию сингулярных интегральных уравнений. Меньше воз-
возражений вызывает непосредственная физическая интерпретация
этих решений в случае монокристаллов. Тогда в континуальных
решениях задач теории пластичности появляются дискретные
плоскости скольжения, совпадающие по направлению с плоско-
плоскостями скольжения кристалла [74]. Эти решения можно истол-
истолковать как скопления дислокаций, «загнанных» в материал при за-
затуплении конца трещины, в плоскостях возможного скольжения.
3. Поле линий скольжения при плоской деформации идеально
пластического тела
Рассмотрим трещину в поле плоской деформации и допустим
пока, что рассматриваемый материал можно считать несжимаемым
как в пластическом, так и в упругом состоянии и что пластиче-
пластическая зона полностью окружает конец трещины (вскоре мы ослабим
эти требования). В силу несжимаемости можно полностью исполь-
использовать теорию линий скольжения при плоской деформации, рас-
рассмотренную в разд. II,Г, а то обстоятельство, что пластическая
зона полностью окружает конец трещины, позволяет построить
хотя бы часть поля напряжений, как показано на рис. 23. Тогда
можно получить приближенное решение, используя, как это делал
Райе [731, интеграл /. Из условия отсутствия напряжений на
поверхности трещины следует постоянство напряженного состоя-
состояния в правом наибольшем равнобедренном треугольнике (А на
рис, 23), который может быть вписан в пластическую область:
cru =5 2т0, а12 = G22 '= 0 (область .4). B31)
Далее, на C-линиях (обозначения разд. II, Г), исходящих с по-
поверхности трещины и пересекающих ось х± впереди трещины,
286
Дж. Райе
Рис. 23. Построение поля линий скольжения в области течения вблизи кон-
конца трещины при плоской деформации несжимаемого идеально пластического
материала.
угол сдвига должен уменьшаться на л/2, так что вдоль оси хх
гидростатическое напряжение равномерно увеличивается на
2т0 (я/2) и в ромбовидной области В имеет место постоянное напря-
напряженное состояние:
оги = ят0, а22 = B + jc) хош сг12 = 0 (область В). B32)
Эти две области постоянного напряженного состояния должны
соединяться центрированным веером С [69]. Радиусы системы
полярных*координат —, это а-линии веера, а угол сдвига равен 0;
поэтому
°>г = ^ее = A + Зя/2) т0 — 2то0, <тге = т0 (область С).
B33)
При рассмотрении деформаций мы применим деформационную
теорию, чтобы полностью использовать инвариантный энергети-
энергетический интеграл. Из выражения C9) для случая несжимаемого
идеально пластического тела получим плотность энергии
W = V2Gv2 при у < Yo, W = т0 (v - 7о/2) при 7 > То, B34)
где 7 = BsjJ-8ZJ-I/2 и гн = 0. Сильная концентрация деформаций
может иметь место только в том случае, когда линии скольжения
сходятся в одну точку, как в веере. Здесь в силу равенства нулю
гтг и 8ее имеем
ur=/'F), ue = -/(8)+g(r). B35)
Аналогичные соотношения имеют место для скоростей дефор-
деформации в соответствующей теории течения (в силу формул D6)),
и интегрированием их можно было бы получить приближенные
выражения, если бы напряжения в каждой точке оставались бы
Гл. 3. Математические методы в мех,анике разрушения 287
постоянными с того момента, как она в первый раз попала в пла-
пластическую область. Ситуация близка к этому при малых значе-
значениях г, так что в решении для теории течения выражения B35)
также применимы, по крайней мере в непосредственной близости
от конца трещины. «Техническая» деформация сдвига в веере пред-
представляется в виде
Рассмотрим теперь выражения для деформаций и смещений
в непосредственной близости от конца трещины. Смещения можно
положить равными нулю при подходе к концу трещины из обла-
области В вдоль оси хг, и, поскольку деформации в области В огра-
ограничены, иг и uq при г = 0 на границе областей В ж С обращаются
в нуль. Поэтому
g @) = 0, g'@) ограничено и / (я/4) = /'(я/4) = 0. B37)
Определим теперь функцию R F) так, что
в)=Г(е)+/F). B38)
Тогда в непосредственной, близости от конца трещины выражение
B36) принимает вид
Тге = То Ш @)Н B39)
аналогичный результату для антиплоской деформации A71). Это
соотношение было бы применимо во всем веере, если бы функция
g (г) была линейной функцией г. Мы будем поэтому считать R @)
расстоянием до границы пластической области, забывая, что это
лишь приближенно отражает существо дела. Тогда смещения
и плотность энергии в непосредственной близости от конца трещины
равны
щ = /'F), ив = - / (в), W = тоТо [R (в)/г]. B40)
Энергетический контурный интеграл /, определенный соот-
соотношением F0), может быть вычислен по окружности радиуса гг
окружающей конец трещины, причем в силу инвариантности
интеграла можно положить г -> 0. Тогда однородные напряженные
состояния в областях А ж В рис. 23 не дают вклада ввиду ограни-
ограниченности деформаций и вся величина / дается вкладом центриро-
центрированного веера. Используя поля напряжений B33) и соотношения
B40) при малых г, из формулы F0) получаем [73]
Зл/4
/ = 2toYo \ i?F)[cose + (l+'3n/2 — 2e)sin0]d9.. B41)
л/4
Это выражение можно записать и через смещения. Переходя от
полярных координат к декартовым и используя соотнощения
288 Дж. Райе
{240) и B38), находим, что вблизи конца трещины
duJdQ = y0R (9) sin 9, dux Id® = y0R (9) cos 9. B42)
Таким образом,
Зя/4
/ = 2т0 J ^-[ctg9+(l + |ji-29)]d9. B43)
. я/4
Если значение / как функция от приложенной нагрузки известно
(как для локализованного течения, разд. IV, А, когда оно равно
значению для линейной упругости), то эти два выражения (через
Л (9) и du2/dQ) можно использовать для приближенной оценки
размера пластической зоны и раскрытия трещины. Сначала, одна-
однако, вновь рассмотрим наши исходные предположения о несжимае-
несжимаемости материала в упругом состоянии и об охвате конца трещины
пластической зоной. Окончательные выражения для / содержат
только поля деформаций в непосредственной близости к концу
трещины, где имеется особенность деформаций. Поскольку в об-
области больших пластических деформаций теория линий сколь-
скольжения применима даже для материалов, сжимаемых в упругом
состоянии, предположение о несжимаемости может быть снято.
Для пластической зоны, охватывающей конец трещины, полу-
получаются поля напряжений B31)—B33), но это не единственный
случай, в котором могут возникнуть центрированные вееры.
В частности, граница пластической зоны в областях А и В (рис. 23)
может резко поворачивать в конец трещины, причем при прибли-
приближении к концу трещины из упругого материала поля напряжений
приближаются к выражениям B31) и B32). Результат точно
такого вида имеет место в упругопластических задачах при анти-
антиплоской деформации. Здесь если бы мы построили а-линии
разд. II, Г на основе предположения о том, что пластическая
зона окружает конец трещины, то впереди трещины при хх > 0
получился бы центрированный веер, а области постоянного
напряжения получились бы вблизи поверхностей трещины при
хх < 0. Однако точное решение приводит к границе пластической
зоны, охватывающей область веера и круто сворачивающей к концу
трещины вдоль границы веера и области постоянного напряжения
(рис. 12).
4. Раскрытие трещины и размер пластической зоны при плоской
деформации
Переход, необходимый для получения из среднеинтегральных
формул B41) и B43) требуемых значений отдельных величин,
неизбежно является приближенным. Заметим, что при 9 = Зя/4
мы имеем и2 = 6f/2, где 8t — раскрытие трещины. В качестве
Гл. 3. Математические методы в механике разрушения 289
приближения допустим, что производная duJdQ — симметричная
относительно Э = я/2 функция угла. Согласно B42), это экви-
эквивалентно предположению, что R @), приближённый размер пла-
пластической зоны, изменяется симметрично относительно оси х2,
т. е. что R (nil — я|?) = /? (я/2 + я);). Член в скобках в подинте-
гральном выражении B43) состоит из постоянного симметричного
слагаемого 1 +я/2-и антисимметричной части. Если выполнено
указанное предположение о симметрии, то вклад этой части равен
нулю и формула B43) дает
Зя/4
/«2A +я/2) т0 j -^-de =
я/4
или B44)
6i ~ A +я/2) т0 ' 1 ~ A+я/2)то? "
Второе выражение относится к случаю локализованного пласти-
пластического течения. Если сопоставить его с результатом расчета
по модели Дагдейла — Баренблатта (формула B14)) при том же
значении коэффициента интенсивности напряжений й v = 0,3, то
получим, что раскрытие трещины при плоской деформации состав-
составляет для материала Мизеса (сг0 = ]/Зт0) 61% от значения для
плоского напряженного состояния, а для материала Треска
(а0 = 2т0) — 70% от этого значения. Нижнюю оценку для рас-
раскрытия трещины при плоской деформации можно получить, заме-
замечая, что в области веера, поскольку R @) ^ 0, из B42) имеем
du2/dQ ^ 0. Поэтому при всех 0, отвечающих вееру, u2^.'8t/2.
Интегрируя B43) по частям и используя это неравенство, полу-
получаем
так что нижняя оценка составляет половину приведенного при-
приближенного значения.
Анализ результатов для антиплоской деформации и модели
Дагдейла — Баренблатта показывает, что размер пластической
зоны и ее форма значительно сильнее изменяются с изменением
уровня напряжений при развитом пластическом течении, чем
раскрытие трещины (рис. 14, 15 и 22). Поэтому нельзя получить
точные результаты, задаваясь для R @) каким-либо функциональ-
функциональным выражением, не зависящим от уровня напряжений. Для
локализованного пластического течения примем
R (9) .= Ro cos [2 @ - я/2)], ' B46)
где RQ — максимальное значение, соответствующее 0 = я/2 и
поэтому приближенно характеризующее максимальные размеры
пластической зоны. Выбранная форма — это пример границы
19-0700
290
Дж. Райе
пластической зоны, входящей в вершину трещины вдоль границы
веера (так как- R (я/4) = R (Зя/4) = 0), как об этом говорилось
выше. После подстановки этого выражения в формулу B41)
получаем приближенную формулу для размера зоны локализо-
локализованного пластического течения:
д
з/
о»
3A— у) К\
B47)
Эта оценка для плоской деформации при v = 0,3 составляет
55% от значения для плоского напряженного состояния (опреде-
(определяемого по формуле B21)) для материала Мизесаи73% для мате-
материала Треска. Травление, произведенное Ханом и Розенфилдом
[36], дает значение, близкое к 50%, а также выявляет, как это
было здесь принято, поворот границы пластической зоны к концу
трещины, хотя детали в области, очень близкой к концу, не ясны.
Нижнюю оценку максимального значения функции R F)
можно получить, применяя неравенство /?Макс ^ R F) к выра-
выражению B41), что дает
? B48)
Эта нижняя оценка равна двум третям от приведенной выше при-
приближенной оценки максимального размера пластической зоны
при локализованном течении.
Предполагаемая картина изменения формы границы пластиче-
пластической зоны в условиях плоской деформации при изменении уровня
нагрузки показана на рис. 24, а для краевой 'трещины в полу-
Рис. 24. Дальнейшие свойства течения идеально пластического материала
при плоской деформации.
а — предполагаемый характер роста пластической зоны и искривления линий скольже-
скольжения при развитом течетии вблизи краевой трещины в полуплоскости; б — затупление
конца трещины вследствие пластической деформации приводит к тому, что вееры С и С
перестают быть центрированными и фокусируются в области D впереди трешины, порож-
порождая большие деформации.
Гл. 3. Математические методы в механике разрушения 291
плоскости под действием растяжения на бесконечности. Наимень-
Наименьшая кривая изображает локализованную пластическую зону,
появления которой можно ожидать при местном пластическом
течении. При повышении напряжений до уровня, отвечающего
развитому пластическому течению, пластическая зона будет зна-
значительно удлиняться, как это показывает наибольшая кривая.
Можно ожидать, что на внешнем краю этой зоны вдали от конца
трещины напряженное состояние мало отличается от условий теку-
текучести при простом растяжении а22 = 2т0, оп = а12 = 0. Поэтому
а-линии вблизи края зоны должны соответствовать углу сдвига,
близкому к я/4. Исходя из формул D5), можно показать, что един-
единственная радиальная линия скольжения сс-семейства из центри-
центрированного пучка вблизи конца трещины, которая, изогнувшись
до угла сдвига л/4, может дать состояние однородного растяже-
растяжения, — это а-линия, вначале совпадающая по направлению с осью
я2- Можно поэтому ожидать, что при развитом пластическом
течении во внешнюю часть пластической зоны будут проникать
только а-линии, близкие к этой первоначально вертикальной
линии, а остальные линии пучка, приходя на границу пластиче-
пластической зоны, будут исчезать, как показано. Обоснование этих пред-
предположений может задержаться до получения решений полной
упругопластической задачи.
Отметим, что для гипотетической формы границ пластической
зоны рис. 24, а пластическое течение впереди трещины отсутст-
отсутствует. Таким образом, как отмечалось в связи с рис. 23, даже
если пластическая зона и простирается перед трещиной, большие
пластические деформации не могут иметь места здесь, в области
постоянных напряжений. Возможный путь реального возникно-
возникновения очень больших деформаций показан на рис. 24, б.
Для простоты рассуждений допустим, что в результате рас-
раскрытия трещины образуется полукруглая затупленная вершина
диаметра 6*. Тогда в малом масштабе (порядка величины раскры-
раскрытия трещины) возникает совершенно иная картина. Веер С при
этом оказывается нецентрированным, а принадлежащие ему пря-
прямолинейные а-линии вблизи затупленного конца трещины пере-
переходят в поле линий скольжения в виде логарифмических4 спира-
спиралей [37]; при этом образуется небольшая область интенсивной
деформации D длины 1,96*. Раскрытие трещины имеет порядок
произведения деформации, отвечающей пределу пластичности, на
длину пластической зоны; поэтому рис. 24, б — это, по существу,
рис. 23, увеличенный во много раз (пропорционально отношению
единицы к деформации начального предела текучести). Поскольку
затупленный участок мал, эффективный метод мог бы состоять
в последовательном исследовании развития затупления в пред-
предположении, что постоянная вдоль каждой прямой а-линии из
нецентрированного веера скорость смещения определяется ско-
19*
292 Дж. Райе
ростью увеличения смещений иг = иг (9), приведенной в данном
исследовании, причем полярная координата (и угол сдвига для
центрированных а-линий) 6 заменяется на угол сдвига ф нецен-
трированных а-линий. Например, смещения в центрированном
веере вблизи конца трещины, связанные с приближенной грани-
границей пластической зоны B46) и B41), могут быть определены из
соотношений B38), B37) и B40) и, будучи выраженными через
раскрытие трещины (формула B44)), принимают вид
мг = -(St/2-Vr2) [cos (9 — я/4) — cos B9 — я/2)],
/ а-ч B49)
щ = _ (8,/4/2) [2 sin (9-я/4)- sm B9- я/2)].
Поэтому при исследовании затупления предположим, что произ-
производная dur/d8t в нецентрированном веере зависит от 9 так же, как
dujdbt зависит от ср:
duJdSt = A/2 У 2) [cos (ср - я/4) - cos B<р - я/2)]. B50)
Отсюда получаются граничные условия на Р-линии, разделяю-
разделяющей нецентрированный веер и область влияния затупления, так
что в принципе из уравнений D6) можно определить деформации
в окрестности затупленного конца. Вычисления несколько гро-
громоздки и до сих пор не проведены, хотя аналогичная задача
рассматривалась в работе [94].
5. Материал со степенным законом упрочнения при плоской
деформации
Применение метода инвариантных интегралов для определения
характера особенности вблизи конца трещины при плоской дефор-
деформации обсуждалось Райсом и Розенгреном [77], а также Хатчин-
Хатчинсоном [39], который исследовал также плоское напряженное
состояние. Вычисляя контурный интеграл по окружности радиуса
г с центром в конце трещины, имеем
я
J/r= [ {W[e(r, 9)]cos9-T(r, Q)-du/dXi(r, Q)}dQ. B51)
-Jt
Отсюда ясно, что подинтегральное выражение имеет при
г ->¦ 0 (по крайней мере после осреднения по углу) особенность
вида 1/г. Поскольку все члены в нем являются величинами порядка
произведения напряжения на деформацию, велико искушение
допустить, что
ФУНКЦИЯ ОТ 0 А /Otro\
сги8и~>~^—" ПРИ г-*¦(). B52)
Рассмотрим теперь плоское деформирование несжимаемого
упругопластического материала со степенной связью B04) между
Гл. 3, Математические методы в механике разрушения
293
90°
/9=0°
Рис. 25. Плоская деформация несжимаемого материала со степенным зако-
законом упрочнения.
Показаны вид линий постоянной интенсивности деформации сдвига вблизи самого конца
трещины и (приближенно) расстояние й@) до границы пластической зоны; расчеты прове-
проведены только по сингулярной части [77].
главным касательным напряжением и деформацией сдвига в об-
области упрочнения. Тогда для получения особенности вида 1/г
и удовлетворения соотношению между напряжениями и дефор-
деформациями асимптотическое поведение решения вблизи конца
трещины должно быть следующим:
'ao-*r-*'<1+WJw(e); вц-г-1Л1+*>Яц(е). B53)
Можно определить функции от Э таким образом, чтобы удовлетво-
удовлетворялись уравнения равновесия и совместности, соотношение между
напряжениями и деформациями, а также условие отсутствия
напряжений на поверхности трещины. Более того, можно пока-
показать, что решения такого вида могут удовлетворять граничным
условиям лишь тогда, когда степени г взяты так, как в B53).
Соответствующее асимптотическое поведение интенсивностей
касательных напряжений и деформаций сдвига определяется так:
( '
Здесь R @) определяет форму линий постоянной интенсивности
сдвига вблизи конца трещины; за него можно приближенно взять
расстояние до границы пластической зоны. Функции от Э в приве-
приведенных уравнениях определяются из основных уравнений лишь
йиЯЗ'Б.
Гл. 3. Математические методы в механике разрушения 295
с точностью до постоянного множителя, но, подставив решение
в контурный интеграл, этот множитель можно выразить через
/. Результаты определения R (8) для некоторого интервала зна-
значений N представлены в безразмерной форме на рис. 25. Хотя
из рисунка это и не совсем ясно, кривая г = R F) немного отхо-
отходит от конца трещины вперед и назад, за исключением тех слу-
случаев, когда N '== 0 (идеальная пластичность) или iV" = 1 (линей-
(линейная упругость). Значения R (О)-и R (я) и максимальные значения,
достигаемые R F), показаны на рис. 26 как функции от ]у.
На рис. 27 показано изменение отношения среднего нормаль-
нормального напряжения р = (ап + сг22)/2 к интенсивности касательных
напряжений т. Это отношение зависит только от 8, и видно, что
при малых значениях N результаты близки к результатам теории
линий скольжения (формулы B31)—B33)). Примечательная осо-
особенность представленных графиков — быстрый рост отношения
максимального растягивающего напряжения непосредственно
перед трещиной, о"макс = р + т, к эквивалентному одноосному
растягивающему напряжению, равному 2т (при плоской дефор-
деформации), с увеличением показателя упрочнения. Например, при
N = 0 имеем амакс/Bт) = 1 + я/2 = 2,57, как получается и из
теории линий скольжения (формула B32)), однако при N = 0,1
отношение этих напряжений возрастает до 3,36, при N = 0,2 —
до 4,21, а при N = 0,3 — до 5,85. При таких больших средних
напряжениях допущение о несжимаемости становится сомнитель-
сомнительным, и для получения более точных значений необходимы даль-
дальнейшие исследования.
Мы убедились в эффективности использования инвариантного
энергетического интеграла при рассмотрении пластических задач
как для случая плоской деформации, так и для случая плоского
напряженного состояния. Единственное затруднение состоит
в том, что его значения известны только при локализованном пла-
пластическом течении (разд. IV,А). Однако в разд. IV,Д, посвящен-
посвященном концентрации деформаций вблизи вырезов, §удет показано,
что для оценки значения / в случае развитого течения могут быть
использованы известные точные и приближенные решения упру-
гопластических задач. Тем самым расширяется диапазон приме-
применимости формул данного раздела, выражающих результат через /.
Г. Упругопластический анализ развивающихся трещин
а разрушение посредством потери устойчивости
Соотношения между приращениями пластических деформаций
н напряжений (разд. II,Г) зависят от пути нагружения, так что
лоля деформаций, которые получаются при монотонном нагру-
жении неподвижных трещин (как те, что рассматривались в по-
последнем разделе), не будут, вообще говоря, совпадать с полями
296 ДЖ. Райе
деформаций для квазистатически растущих трещин. Это важное
различие было установлено Макклинтоком и Ирвином [56, 57, 59],
которые на примере антиплоской деформации показали, что на-
напряжение, необходимое для неустойчивого роста трещины; может
значительно превосходить напряжение, при котором начинается
рост трещины в пластичном материале.
1. Стационарное развитие трещины при антиплоской деформации
Для антиплоской деформации соотношения теории пластиче-
пластического течения можно, согласно разд. II,Г, записать в виде
B55)
где Л — неопределенный неотрицательный коэффициент пропор-
пропорциональности для скоростей пластической деформации, точка
означает дифференцирование по любой монотонно возрастающей
величине, а вектор касательного напряжения т и вектор дефор-
деформации у в декартовых координатах определяются выражениями
^ = ^3111 + ^3212, Y = 7з111+ Тз212 = Vu3. B56)
Мы начнем с отыскания распределения деформаций в пласти-
пластической зоне для гипотетических стационарных условий, когда
предполагается, что граница пластической зоны остается неизмен-
неизменной по форме и размерам и по мере роста трещины перемещается
так, что решение зависит только от подвижных координат хг, х2
с подвижным началом отсчета, неизменно совпадающим с концом
трещины, как на рис. 12. Здесь точка будет означать дифферен-
дифференцирование по длине трещины, результат которого совпадает со
взятой с обратным знаком производной по хх. Из условия теку-
текучести и уравнений равновесия снова получается центрированный
веер а-линий перед трещиной, как на рис. 12, а напряженное
состояние есть т = toie. При этом уравнение B55) принимает вид
_- ди-> То д\а , А . sin G , a /nri-7\
-V^f = —#^- + ЛтО1е=-То-т-1г + АтО1е. B&7)
Приравнивая радиальные компоненты в обеих частях, интегри-
интегрируя по г и замечая, что на границе пластической зоны ди3/дхг =
— 7з1 = — То sin в> получаем
д i дщ \ _ sine
UJV• B58)
Дифференцирование по х2 приводит к соотношению
} B59)
Гл. 3. Математические методы в механике разрушения 297
a Y32 определяется интегрированием в направлении хх от границы
пластической зоны с учетом того, что на границе уъ% == 7 о cos 6.
Подсчет общего выражения сложен, но на продолжении трещины
получаем
7з2 (*i, 0) = 7о {1 + In (До/si) + V2 [In (Ro/zi)]2}. B60)
Для сравнения напомним, что решение для монотонного
нагружения (разд. IV,A) приводит к другой особенности деформа-
деформаций:
. ?32 (*1, 0) = То (До'/*1). B61)
Принимая в качестве критерия разрушения достижение неко-
некоторой критической пластической деформации у^ на фиксированном
в соответствии с микроструктурой материала расстоянии ps перед
трещиной [59], получаем из BБ0) размер пластической зоны при
стационарном квазистатическом развитии трещины:
(До)стац = Ps ехр {[2 (УуУо) + 1]V2 _ 1}. B62)
В то же время для начала развития трещины при монотонном
нагружении (формула B61)) имеем
(Ло)аач = рЛG?/То)+«.. B63)
С ростом пластичности материала отношение размера пластиче-
пластической зоны при стационарном распространении к размеру зоны
при начале распространения быстро возрастает. Оно равно 1,04
при у? = ?о> равно 3 при у^ = Юуо» равно 18 при yvf = 2byQ,
169 при yvf = 50^0 и 5100 при yvf = 100у0. Как будет показано
ниже, для типичных конфигураций до установления стационар-
стационарной пластической зоны возникает неустойчивость; однако размер
пластической зоны в момент наступления неустойчивости для
пластических материалов намного больше, чем в момент начала
развития трещины.
2. Квазистатическое страгивание и рост трещин при антипло-
антиплоской деформации
Мы рассмотрим здесь общую задачу антиплоской деформации,
когда длина трещины, размер и форма границы пластической
зоны изменяются со временем, и получим выражения для скоро-
скоростей деформации в пластической зоне. Затем, принимая в каче-
качестве критерия разрушения условие достижения некоторой крити-
критической деформации на определенном расстоянии перед трещиной,
выведем интегральное уравнение, определяющее характер изме-
изменения размера пластической зоны с изменением длины трещины,
с тем чтобы выполнялось принятое условие разрушения. При
исследовании частных конфигураций трещин, например краевой
298 Дж. Райе
Граница .пласти-
.пластической зоны
Рис. 28. Рост трещины, сопровождающийся увеличением пластической зоны,
при антиплоской деформации идеально пластического материала; I (t) и
Я @, t) — длина трещины и расстояние границы пластической зоны от конца
трещины в момент t соответственно.
трещины в полуплоскости, обнаруживается, что вначале для
удлинения трещины требуется возрастающая нагрузка, но в кон-
конце концов, чтобы выполнялось условие разрушения, нагрузка
должна перестать возрастать и может начать убывать, что приво-
приводит к неустойчивости, знаменующей начало катастрофического
роста трещины. Снова будем исходить из соотношения B55), но
теперь примем систему координат х±1 х2 скрепленной с материа-
материалом, обозначим через I некоторую меру длины трещины и введем
подвижную полярную систему координат с полюсом в конце тре-
трещины, как на рис. 28. Замечая вновь, что в области центрирован-
центрированного веера впереди трещины t = Toie, и понимая под точкой
в B55) дифференцирование по времени t в некотором фиксирован-
фиксированном элементе материала, получаем
Y = V *"(У'" = x/G + At = - То 41 § 1г.+ Лто19. B64)
Приравнивая радиальные компоненты обеих частей уравнения
в движущейся системе координат и интегрируя по г, получаем
д Г
dr L
dus(xit-x2, t) -] sine dl
di J~ Yo~T"T'
или B65)
ди3 _ . ~г, R (9, Q "I dl / ди3\
где i? (9, t) определяет положение границы пластической зоны
в момент времени t, а через (du3/dt)mQ) обозначена скорость соот-
соответствующей углу 9 точки В (9) на этой границе. Чтобы подсчи-
подсчитать эту скорость, заметим сначала, что, согласно рис. 28, х1В,
х2В — координаты точки В — определяются через расстояние до
границы при угле 9 в любой момент времени t соотношениями *
х1В = l(t) + R (9, t) cos 9, х2В = R (9, t) sin 9 B66)
Гл. 3. Математические методы в механике разрушения 299
Щ
(х±в> х2В, t) = Yo J R (a, t) da.
Последнее выражение получается из условия, что на границе
Y =s= Vu3 = Yo*e- Пусть теперь dldt обозначает полную произ-
производную по времени при фиксированном угле 0. Вводя в выражение
для нее «переносные» члены, получаш
в
du3 (x±Bi хъвч *)
It ~~У
О
= (Ли±\ \ (диз\ dXiB I I "w3
B67)
(
dxx /B(9) dt * \ dx2 /B@) dt
Из этого соотношения можно найти скорость на границе и под-
подставить ее в выражение B65):
6
ди3
dt
B68)
Скорости деформации определяются выражением у = V (дщ/dt),
что дает на продолжении трещины
, 1л Ro(t) ldl(t) dRQ{t)
+ xt~l(t) ]-Ж~ + ~аЧ~
где для протяженности пластической зоны впереди трещины при-
принято обозначение Rq (t) = R @, t). Отметим, что результирующая
скорость деформации просто равна линейной комбинации ста-
стационарного решения (сопоставьте выражение B59) при 0=0
с множителем при dlldt) и решения для монотонного нагружения.
Явное выражение для деформации получается интегрированием,
начиная от момента t* (хг), когда точка с координатой хг входит
в пластическую зону, до текущего момента времени t:
7з2 (si, 0, t) 4 Yo + J 'V32(^°'T) dx, B70)
где I (t*) ~\- Ro (t*) = хг. В данном случае, поскольку и подин-
тегральное выражение и нижний предел интегрирования зависят
от истории развития трещины и ее пластической зоны, выражение
B70), очевидно, зависит от истории процесса.
300 Дж. Райе
Воспользуемся теперь критерием достижения критической
пластической деформации на расстоянии ps перед трещиной^
Тз2 М (*) + Ps, 0, t] = у0 + у% чтобы определить, как должен
меняться размер пластической зоны с увеличением длины трещины,
чтобы поддерживалось квазистатическое распространение трещи-
трещины. Согласно формуле B70),
= f *У32[ЧО + Р,,о,т] dx, B71)
W@+]
Поскольку соотношения для пластических деформаций и на-
напряжений по природе своей не зависят от времени, естественное
время можно, очевидно, заменить любым монотонно возрастающим
параметром. В качестве такого параметра мы выберем длину тре-
трещины и будем отсчитывать I (рис. 28) от начальной длины тре-
трещины перед началом ее развития, так что I — это квазистатиче-
квазистатическое изменение длины трещины вследствие пластической дефор-
деформации. Кроме того, Щ (Г) будет означать размер пластической
зоны, когда длина трещины увеличилась на Z, а Щ @) — размер
пластической зоны в момент начала развития трещины, равный,
согласно B63),
<(O) = P.A + Y?/Vo). . B72)
Тогда, заменяя естественное время в выражении B71) на
приращение длины трещины и интегрируя по частям, чтобы изба-
избавиться от производной от размера пластической зоны в выраже-
выражении B69), получаем для размера пластической зоны, отвечающего
квазистатическому увеличению длины трещины на Z, интеграль-
интегральное уравнение
Ш dx
где
г* = о при ps+
и
l* + Rl(l*) = Ps + l при p8 + l>Rf0(Q).
Получению точного решения препятствует нелинейность, одна-
однако легко показать, что начальная производная равна
+ 1), B74)
Yo / v '
^ 1п11
L dl Jz=o ps ps Yo
а при I ->- oo решение асимптотически переходит в выражение B62)
для размера пластической зоны при стационарном распростране-
распространении трещины.
Гл. 3. Математические методы в механике разрушения 301
3. Разрушение посредством потери устойчивости
упругопластического деформирования
Размер пластической зоны при монотонном нагружении был
определен для внутренних и краевых трещин в бесконечной пло-
плоскости, полуплоскости и полосе конечной ширины при всех
уровнях напряжений вплоть до развитого пластического течения
(разд. IV,B, рис. 14, а также [72]). Кроме того, размер пластиче-
пластической зоны для локализованного течения можно выразить через
коэффициент интенсивности напряжений, определяемый из реше-
решения теории упругости A81). Обозначим эти решения в целом
через
Ro = Ro (<?, а), B75)
где Q — приложенная нагрузка, а а — длина трещины. Хотя
вид особенностей деформаций для растущих трещин можно опреде-
определить так, как это было сделано выше, полные решения до сих
пор не получены, и легко показать, что граница пластической
зоны для монотонного нагружения не может быть такой же, как
для растущей трещины той же длины при той же нагрузке. Труд-
Трудность состоит в том, что при значениях 0 (рис. 12), близких к 45°,
удельная пластическая работа оказалась бы отрицательной. Тем
не менее общий анализ условий равновесия показывает, что реше-
решения для монотонного. нагружения дают неплохую оценку для
размера зоны течения перед движущейся трещиной, и поэтому
мы воспользуемся для этой цели выражением B75). Пусть а0 —
начальная длина трещины. Тогда рост трещины начинается при
значении приложенной нагрузки, удовлетворяющем условию
Ro(Q,~ao) = Rf0@), B76)
где Щ @) определено формулой B72). Затем начинается устой-
устойчивый рост трещины с увеличением нагрузки, так что нагрузка
при увеличении длины трещины на I определяется выражением
R{(l), B77)
правая часть которого — решение интегрального уравнения B73).
Дифференцирование обеих частей равенства B77) по I дает
dQ , dR0(Q,a0 + l) dRf0(t)
-f + Т^
dQ df +Та^ST"
Если для поддержания квазистатического распространения
трещины не требуется дальнейшего увеличения нагрузки, т. е.
dQ/dl = O, то наступает неустойчивость, причем
dRQ{Q,ao + l) dRJ (I)
Та = dl '
302
Дж. Райе
Рис. 29. Графическое представление условий, определяющих разрушение
посредством потери устойчивости.
Точка касания указывает нагрузку и соответствующее ей устойчивое приращение длины
трещины, после которой для квазистатического развития трещины потребовалось бы
уменьшение нагрузки. По оси абсцисс — длина трещины а = а0 -\- I, по оси ординат —
размер пластической зоны; й? (оо) — стационарное значение размера пластической зоны;
0 — начальное значение размера пластической зоны, а0 — начальная длина трещины.
1 — семейство кривых Ro = Ro (Q, а) при фиксированных значениях нагрузки Q; 2 —
направление возрастания Q; з — потеря устойчивости; 4 — размер пластической зоны
при квазистатическом росте трещины Ro = R^ (I).
Таким образом, нагрузка в момент нарушения устойчивости
и предшествующий ему прирост длины трещины определяются
путем решения системы уравнений B77) и B79). Графический
способ решения представлен на рис. 29. Здесь жирной линией,
на которой отмечены значения, отвечающие началу роста и ста-
стационарному развитию, показана зависимость размера пластиче-
пластической зоны от длины трещины при квазистатическом развитии
Щ (Z), универсальная для данного материала и условий. Семей-
Семейство тонких линий, выходящих из начала координат, изображает
зависимость размера пластической зоны от длины трещины при
постоянных значениях приложенной нагрузки Q. Очевидно,
нагрузка, при которой наступает неустойчивость и которая удо-
удовлетворят одновременно уравнениям B77) и B79), соответствует
линии семейства, касающейся кривой зависимости размера пла-
пластической зону: при квазистатическом развитии трещины от ее
длины; прирост длины трещины при ее устойчивом развитии
определяется положением точки касания.
Для трещины в бесконечном теле семейство кривых зависимо-
зависимости размера пластической зоны от длины трещины при постоянной
нагрузке является семейством прямых, но линии эти искривляют-
искривляются наподобие показанных на рис. 29 для краевых или центральных
трещин в полосе. Некоторые результаты относительно условий
разрушения можно получить непосредственно из этого рисунка.
При данной начальной длине трещины размер пластической зоны
в момент разрушения (или — при локализованном течении —
Гл. 3. Математические методы в механике разрушение 303
коэффициент интенсивности напряжений) зависит от ширины
полосы, поскольку от нее зависит кривизна. При данной ширине
полосы размер пластической зоны (или коэффициент интенсивно-
интенсивности напряжений) тем больше, чем больше начальная длина трещи-
трещины, и для больших длин развитие трещины происходит более
устойчиво. Аналогичное исследование неустойчивости трещин
используется в линейной механике разрушения; см. работы [54,
89]. Авторы этих работ используют графики, аналогичные рис. 29,
но строят семейство линий зависимости ирвиновской скорости
высвобождения энергии при постоянной нагрузке (вместо семей-
семейства i?o при постоянной ^нагрузке) и вводят «кривую сопротивле-
сопротивления» — график зависимости сопротивления от удлинения тре-
трещины (вместо кривой RQ. Поскольку для локализованного пласти-
пластического течения Ro пропорционально К\ц и тем самым притоку
энергии, этот метод эквивалентен исследованию устойчивости на
основе упругопластических решений для растущих трещин. Эта
эквивалентность, по-видимому, никогда не отмечалась в литерату-
литературе, возможно, потому, что приведенный здесь критерий упруго-
пластической неустойчивости и его интерпретация на рис. 29
заметно отличаются от способа, которым его ввел и использовал
Макклинток.
Аналитическое описание устойчивого роста и потери устойчи-
устойчивости весьма затруднено", однако для определения момента потери
устойчивости можно использовать простые приближенные соот-
соотношения. Заметим сначала, что критерий разрушения B71),
записанный через размер Ro ((?, а) пластической зоны для данной
конфигурации тела с трещиной, принимает вид
dR0 [Q (*), *] dQ (х) , dR0 [<? (х), х)
а*
2?__ Г [ dR0[Q(x),z] <LQ(x) dR0\Q{x),x)
Yo J I dQ dx ~Г дх "Т"
где а* + Ro [Q (а*), а*] == а + ps- Здесь мы заменили время
длиной трещины и записали формулу в виде, пригодном и тогда,
когда текущая точка разрушения лежит вне пластической зоны
в момент начала роста трещины. Первые два члена подинтеграль-
ного выражения получаются в результате вычисления полной
производной по времени от размера пластической зоны B69),
a Q (х) обозначает неизвестную приложенную нагрузку как
функцию от длины трещины. Это уравнение вместе с аналогичным
уравнением для случая, когда точка разрушения лежит внутри
пластической зоны, образует нелинейное интегральное уравнение
для нагрузки, требуемой для развития трещины. Пусть теперь
а обозначает длину трещины в момент потери устойчивости; тогда
dQIdx при верхнем пределе обращается в нуль. Поскольку при
304
Дж. Райе
0.01
Г III
i in
N
t III
\ -
I III
,100
! | 1 1
10
10
10*
Рис. 30. Критерий разрушения посредством потери устойчивости для крае-
краевой трещины длины а в полуплоскости.
Сплошные кривые показывают рост начальных трещин до момента потери устойчивости.
Штриховые кривые соответствуют приближенному соотношению между нагрузкой и дли-
длиной трещины в момент потери устойчивости, выведенному в тексте [59].
сколько-нибудь существенной пластичности материала значение
интеграла почти полностью определяется значениями #, близкими
к верхнему пределу, первым членом подинтегрального выражения
можно пренебречь и всюду заменить размер пластической зоны
его значением Ro (Q, а) в момент потери устойчивости, где Q —
нагрузка при потере устойчивости. Таким образом,
?0
и
I {-
До«Э, а)
I (Q, a)
р (<?, а)
да
¦4-1
dx
B81)
a+p.3-flo(Q. a)
и соотношение между нагрузкой и длиной трещины в момент
потери устойчивости принимает вид
1/2
. B82)
Это соотношение впервые выведено Макклинтоком и Ирвином
[59] для частного случая краевой трещины в полуплоскости,
когда dRJda зависит только от приложенного на бесконечности
напряжения (формула A86)). Ценность его ограничена, поскольку
оно содержит длину трещины в момент потери устойчивости,
которую нельзя выразить через начальную длину трещины, пока
не известна -длина пластической зоны при квазистатическом росте
трещины Щ (Z), т. е. пока не решено интегральное уравнение B80).
. Три штриховые кривые на рис. 30 изображают результирую-
результирующие разрушающие напряжения в зависимости от длины трещины
в момент потери устойчивости при разрушающей деформации у$,
равной у0, Ю^о и ЮОуо- Они соответствуют формуле B82) для
краевой трещины в бесконечном теле, и зависимость т»/т0 от a/ps
Гл. 3. Математические методы в механике разрушения 305
представлена в логарифмическом масштабе, так что тангенс
угла наклона —V2 при малых напряжениях соответствует резуль-
результату линейной механики разрушения. Сплошными кривыми пока-
показаны расчеты Макклинтока для медленного роста трещин различ-
различной первоначальной длины перед потерей устойчивости. Мы видим,
что соотношение B82) весьма точно определяет условия потери
устойчивости.
4. Стационарное развитие трещины при условиях плоской
деформации
Характер особенности в конце трещины при стационарном
удлинении трещины в условиях плоской деформации идеально
пластического тела может быть установлен так же, как и для
антиплоской деформации. Пусть хг, х2 — подвижная система
координат, связанная с концом трещины, как на рис. 23. Девиа-
тор напряжений s в центрированном веере представляется в виде
s = T0(irie + ieir), B83)
а соотношения теории течения для несжимаемого упругопластиче-
ского материала имеют вид
= То ^- (ieie - Ur) + Лт0 (lrie + ieir) > B84)
где точка означает дифференцирование по длине трещины, т. е.
— d/dxi для стационарного решения. Тензор г равен симметрич-
симметричной части Vu, где вектор скорости и представляется в виде
ди . дщ . дио ,
u= —-^—= —^—1—12—±— (в силу уравнения
^—112—±
неразрывности)
Скорость деформации в полярных координатах можно связать
с введенным выше выражением скорости в этих координатах.
Последующее приравнивание (гг)- или (80)-компонент соотноше-
соотношения B84) приводит к одному и тому же уравнению:
д / 1 ди2 \ sin 8
20-0700
306 Дж. Райе
Двукратное интегрирование с учетом условия ограниченности
дщ1дг при г = 0 и 8J= л/4|и условия обращения и2 здесь в нуль
(поскольку деформации не имеют особенностей в области постоян-
постоянного напряженного состояния перед трещиной) приводит к выра-
выражению
и2 = 7о B~т - cos 9) г In (Д0/г) + гВД + G (г). B87)
Здесь Ro — надлежащим образом выбранная постоянная,
имеющая размерность длины, скажем максимальный размер пла-
пластической зоны; F @) и G (г) — возникающие при интегрировании
неопределенные функции, причем G @) = G1 @) = 0. Компонен-
Компоненту смещения иг можно определить из условия несжимаемости.
Ограничиваясь членами, которые дают ненулевые смещения вбли-
вблизи конца трещины (т. е. пренебрегая в выражении B87) G (г)),
и удовлетворяя условиям равенства иг нулю и ограниченности
dujdr при 0 = я/4 и г = 0, получаем выражение вида
Величина Н @) весьма громоздким образом выражается через
введенную выше функцию F @) и 0 при использовании условия
несжимаемости, записанного в полярных координатах.
Мы не будем проводить решение дальше; основные же его
свойства уже ясны. Компоненты деформации в центрированном
веере в непосредственной близости к концу трещины имеют для
стационарного решения логарифмическую особенность вида
*t, = fi,{Q)b{R<Jr) + gt]{Q) B89)
в отличие от особенности вида 1/г для монотонного нагружения
неподвижной трещины. Такое же различие имело место и для
случая антиплоской деформации. Таким образом, смещения в кон-
конце трещины равны нулю, и уже не получается скачкообразного
раскрытия как в случае монотонного возрастания нагрузки.
Тем не менее получающаяся зависимость вида г In r приводит
к затуплению трещины вблизи вершины, поскольку производная
dujdr бесконечна при 0 = Зя/4.
Хотя общие черты задачи антиплоской деформации, очевидно,
сохраняются и в данном случае плоской деформации, не ясно,
действительно ли в данном случае происходит устойчивый рост
трещины (перед проскоком). Макклинток и Ирвин [59] отмечают,
что путем заполнения трещины красящим веществом можно обна-
обнаружить ее медленный рост; однако в данном случае могла иметь
место и коррозия под напряжением. Результаты Броека [12]
для алюминиевых сплавов и некоторые еще не опубликованные
работы Кларка и Весселя (Westinghouse Electric Corporation)
^ Гл. 3. Математические методы в механике разрушения 307
для кремнистых сталей и сталей средней прочности показывают,
что медленный рост до проскока уменьшается до необнаруживае-
мых размеров по мере того, как условия приближаются к идеали-
идеализированному состоянию плоской деформации. В этих работах
при больших отношениях толщины пластины к размеру пластиче-
пластической зоны измерения акустическими методами с чувствительностью
до 0,001 дюйма не зарегистрировали роста трещины. Поэтому
можно предположить, что рост трещины не превышает весьма
малой величины, связанной с затуплением трещины при пласти-
пластической деформации.
5. Устойчивый рост трещины под действием
растягивающих нагрузок
Устойчивый рост трещин под действием растягивающих нагру-
нагрузок наблюдается в условиях плоского напряженного состояния,
а также после проскока трещины при плоской деформации, когда
начальный рост трещины при наличии стеснения деформаций не
знаменует собой неустойчивости. Помимо эффектов роста тре-
трещин, возникающих в связи с тем, что соотношения между пла-
пластическими деформациями и напряжениями записываются в при-
приращениях, возникают дополнительные затруднения из-за измене-
изменения формы поверхностей трещины по мере развития (полного
или частичного) пластических «губ», отвечающих скольжению
поперек пластины. Пока еще никто не пытался проанализировать
рост трещин при плоском напряженном состоянии.
По сути дела эффекты роста связаны с продвижением трещины
в пластически деформированный материал. Это проще всего обна-
обнаружить для состояния полной пластической деформации жестко-
пластического (или близкого к нему) материала при заданных
перемещениях на границе. В этом крайнем случае последующий
небольшой рост трещины не приводит к дополнительному дефор-
деформированию и деформации на новом участке вблизи конца трещины
могут быть достигнуты только благодаря заданию дополнитель-
дополнительного перемещения на границе. Это можно противопоставить
нелинейно упругому материалу с тем же поведением при моно-
монотонном одноосном растяжении, для которого рост трещины вызвал
бы перестройку поля деформаций вблизи конца трещины, так что
вблизи конца сохранилась бы сильная концентрация напряжений.
Важным свойством упругопластических задач должна быть,
по-видимому, концентрация пластических деформаций непосред-
непосредственно перед трещиной с прогрессивным нарастанием дефор-
деформаций по мере приближения к концу трещины. Таким свойством
обладает задача об антиплоской деформации, в которой, как
мы видели, эффекты роста существенны. Этого не происходит при:
плоской деформации и, возможно, этим объясняется незначитель-
незначительно*
308 Дж. Райе
ность устойчивого роста трещин, наблюдаемая в соответствующих
экспериментах. В решениях для случая плоского напряженного
состояния (например, Сведлоу и др. [92] и Хатчинсон [39]) перед
трещиной обнаруживается область больших деформаций, так
что, возможно, надлежащее исследование этого случая помо-
поможет понять эффекты роста.
Д. Концентрация деформаций вблизи закругленных вырезов
в упругопластических телах
Концентрация деформаций вблизи конца закругленного выре-
выреза приводит к зарождению и последующему распространению
трещин. Концентрация напряжений в упругих телах была рас-
рассмотрена в разд. Ш,Ж, а задачадля упругопластического мате-
материала разбирается здесь.
1. Антиплоская деформация*
Закругленные вырезы, так же как и трещины, проще всего
рассматривать для условий антиплоской деформации. Действи-
Действительно, как указали Нейбер [64] и Райе [74], решение для трещи-
трещины порождает также решение для некоторого семейства закруг-
закругленных вырезов. Граничное условие на поверхности незагружен-
незагруженного выреза состоит в том, что вектор напряжения т = sor3iii +
+ 0W2 кас&ется границы, так что траектории поля напряжений
для задачи о трещине определяют границы выреза. Если ср —
отсчитываемый против часовой стрелки угол между осью х2
и вектором напряжения, то эти траектории определяются урав-
уравнением
dxt + tg ф dx2 = 0 B90)
(рис. 10 и 19, а). В соответствии с формулами A95) физические
координаты для упрочняющегося тела выражаются через интен-
интенсивность деформации сдвига у и угол ф, так что уравнение B90)
превращается в дифференциальное уравнение для функции у
от ф и, с учетом дифференциального] уравнения A96), вдоль
траектории
B91)
А. Г1 йИт.фП
57 L y 5Ф J
Начальные условия можно принять в виде у = 7макс ПРИ Ф = 0>
так что умакс — это максимальное значение деформации, дости-
достигаемое в конце выреза, образованного рассматриваемой траекто-
траекторией. Коль скоро у как функция от ср определено, физические
Гл. 3. Математические методы в механике разрушения 309
координаты границы выреза параметрически выражаются через
угол сдвига по формулам A95). Тогда в обозначениях, принятых
на рис. 10, для радиуса кривизны выреза в его конце rt @) полу-
получается выражение
у (ftp >=о. v
Используя решение для трещины с локализованной пластиче-
пластической зоной A99), получаем для траекторий поля напряжений вне
зависимости от вида соотношения между напряжениями и дефор-
деформациями
= ~у tg ф, или у = умакс cos ф. B93)
При этом радиус кривизны в конце выреза равен
Таким образом, при данном радиусе в конце выреза произве-
произведение напряжений и деформаций в конце не зависит от вида закона
деформирования в области упрочнения [64]. Следует помнить,
однако, что этот результат относится только к локализованному
течению, а также, что точная форма рассматриваемого выреза
зависит от вида соотношения между напряжениями и деформация-
деформациями. Например, согласно B01) и B93), траектории напряжений для
трещины с локализованным пластическим течением для линейно
упругого материала являются параболами, а в зоне течения
идеально пластического материала представляют собой дуги
окружностей, переходящие в параболы на границе пластической
зоны. Более сложной оказывается зависимость между максималь-
максимальной деформацией и радиусом в конце выреза при развитом пласти-
пластическом течении, причем на вид этой зависимости существенно
влияет закон, связывающий напряжения и деформации.
2. Закругленные вырезы при растяжении
Рассматривая вырез с плоскими поверхностями в двумерном
поле деформаций (рис. 2 и 10) и используя деформационную тео-
теорию пластичности, чтобы можно было определить плотность энер-
энергии, можно вычислить инвариантный интеграл /, введенный
в разд. И.Д, по криволинейной части границы выреза IV
я/2
W[s(ф)]rt(Ф)cosфd<p. B95)
It -«/а
Здесь е (ф) — деформация растяжения в той точке поверхности,
где направление касательной характеризуется углом ф (рис. 10).
310 Дж. Райе
Вспомним, что при локализованном течении интеграл / при-
принимает то же значение, что и в линейно упругом решении, а также
что для узких вырезов выражения для / незначительно отличают-
отличаются от выражений для трещин. (Приближенную теорию для рав-
витого течения мы изложим впоследствии.) Следуя работе [73],
получим приближенные выражения для максимальной концен-
концентрации деформаций, выбирая вид зависимости деформации поверх-
поверхности от ф с одной неизвестной постоянной и определяя эту
постоянную из приведенного равенства. Допустим, как в разд.
II,Ж, что деформации поверхности вблизи конца выреза совме-
совместны с однородной деформацией воображаемого включения с рав-
равным нулю модулем упругости. Когда вырез узок, можно ожидать,
что велика только компонента е?2 деформации этого включения
и для деформаций поверхности можно взять приближенное выра-
выражение A60). Таким образом,
я/2
/ ^ I ^|(8макс COS2 ф) rt (ф) COS ф Йф. B96)
-я/2
Для идеально пластической модели соотношения между напряже-
напряжениями и деформациями на поверхности можно принять в идеали-
идеализированной форме:
а = (ао/ео) 8 при 0 < е < е0, а = а0 при 8 > г0, B97)
г де а0 и е0 — предел текучести и деформация, соответствующая
началу текучести. Подсчитывая соответствующую плотность энер-
энергии W (s) и вычисляя выражение B96) для частного случая полу-
полукруглой вершины выреза rt (ф) = rt = а, получаем
при условии, что максимальная деформация, рассчитанная по
этой формуле, превосходит деформацию, соответствующую началу
текучести. Приведенное выражение для / через коэффициент
интенсивности напряжений пригодно для случая локализованного
течения как при плоском напряженном состоянии, так и при пло-
плоской деформации (причем в последнем случае 80 = A — v2) O0/E).
Полученный результат представлен на рис. 31 в виде графика
зависимости 8маКс/8о от квадратного корня из правой части соот-
соотношения B98) (сплошная линия). Отметим, что этот безразмерный
параметр нагружения линейно зависит от приложенных к телу
с вырезом нагрузок при локализованном течении и принимает
значение, равное единице, в момент достижения предела теку-
текучести; здесь происходит сопряжение с результатом линейной
теории упругости A61). Разлагая приведенное соотношение в ряд
Гл. 3, Математические методы в механике разрушения 311
40-
Рис. 31. Приближенные значения и оценка снизу для коэффициента кон-
концентрации деформаций в конце выреза с плоскими боковыми поверхностями
и] полукруглой вершиной в упруго-идеально-пластическом материале [73].
По оси абсцисс отложена величина ]/lbJ/(8o0Sort) (или 1,37 Xj/(a0V^) для локализован-
локализованного течения); 1 — однородная деформация внутри выреза вблизи его конца;
2 — оценка снизу; з — начало текучести.
и пренебрегая членами, стремящимися к нулю при ?Макс/8о ^ 1»
получаем
B99)
В момент достижения предела текучести это выражение дает
завышенное на 15% по сравнению с B98) значение максимальной
деформации, но расхождение становится неощутимо малым при
нагрузках, больших утроенной нагрузки начала текучести.
Упрочнение не вносит каких-либо существенных трудностей
в применение нашего метода; просто в соотношение B96) под-
подставляется соответствующее выражение для плотности энергии.
Например, для степенного закона упрочнения в точках поверх-
312 Дж. Райе
ности
о = а0 (е/е0)^ при 8 > 80 C00)
подстановка соответствующего выражения плотности энергии
в B96) дает
Здесь в предположении, что емакс/80 ^> 1, в^выражении для илот-
ности энергии опущены члены порядка аого. Поэтому равенство
между / и интегралом от плотности энергии дает оценку снизу
для концентрации деформаций в конце выреза с плоскими боко-
боковыми поверхностями:
Г dx2 =
г,
(8макс) Г dx2 = 2hW(eM*KC), [C02)
где 2h —- ширина выреза, как на рис. 10. Для выреза с полукруг-
полукруглой вершиной в идеально пластическом теле это неравенство
переходит в
> V280 [I + J/(aoeort)]f C03)
при условии, что правая часть неравенства превосходит е0. Эта
оценка снизу, равно как и оценка снизу для упругой области A63),
показана на рис. 31 штриховой кривой.
При плоской деформации идеально пластическое течение при-
приводит к появлению перед полукруглой вершиной выреза поля
линий скольжения в виде логарифмических спиралей (наподобие
изображенных на рис. 24, б), но это поле не обязательно покры-
покрывает всю пластическую зону или охватывает всю криволинейную
часть границы выреза. Напряжения в области, покрытой спираля-
спиралями, равны
<*ее = огг + 2т0 = 2т0 [1 + In (r/rt)], ord = 0, C04)
где г измеряется от центра кривизны в вершине выреза. Макси-
Максимально достижимое нормальное напряжение равно A + я/2) 2т0
и достигается при г = г^я/2, когда область спиралей полностью
охватывает полукруглый участок границы, как на рис. 24, б.
Соотношение B95) применимо также к V-образному вырезу
с закругленной вершиной, но при этом максимально достижимое
в области спиральных линий скольжения напряжение равно
(W = (l +я/2-аJт0, C05)
где 2а — угол между сторонами выреза.
Гл. 3. Математические методы в механике разрушения
3. Инвариантный интеграл для развитого пластического
течения
Многие из точных и [приближенных результатов для упруго-
пластических задач выражаются через инвариантный энергети-
энергетический интеграл /. Его значение точно известно только в пре-
предельном случае локализованного пластического течения (разд.
IV,А), когда оно совпадает со значением для задачи линей-
линейной теории упругости. Интерпретация / с точки зрения сопостав-
сопоставления полной энергии для близких по размерам вырезов, как
в разд. П,Д, дает метод получения его приближенного значения
при развитом пластическом течении. Предположим, например, чта
рассматривается упрощенная упругопластическая модель пласти-
пластического течения вблизи выреза. Даже если получаемое решение
может быть недостаточно точным в отношении деталей, мы можем
с уверенностью ожидать, что модель описывает интегральные
свойства решения, такие, как изменение энергии. Поэтому оценки
для / при развитом пластическом течении можно получить из
поддающихся анализу простых моделей, а затем можно забыть
про модель и продолжать использовать полученное приближенное
выражение для / в различных формулах этого и предыдущих
разделов.
Одна из таких приближенных оценок для / может быть полу-
получена из идеально пластической схемы Дагдейла — Баренблатта.
Соответствующее раскрытие трещины для трещины длины 2а
в бесконечной плоскости, растягиваемой на бесконечности напря-
напряжением 0оо, определяется формулой B26). Но, как в выраже-
выражении B19), / можно непосредственно выразить через раскрытие
трещины. Таким образом,
[sec (i^)]. C06>
С другой стороны, значение / для этой конфигурации в задаче
линейной теории упругости (или при локализованном пластиче-
пластическом течении) равно
Таким образом,
/ 2 In [sec (jt<Joo/2(Jo)]
7^ш X*W2ao)« '
Зависимость этого отношения от приложенного напряжения изо-
изображена на рис. 32 сплошной линией. Оценка для / при развитом
течении может быть получена также из решения для антиплоской
314
Дж. Райе
1,00,
Рис. 32. При развитом пластическом течении инвариантный интеграл зна-
значительно отличается от своего значения в задаче линейной теории упругости.
Как здесь показано, приближенные оценки можно получить при помощи
простых моделей.
Сплошная кривая соответствует модели Дагдейла — Баренблатта (идеальная пластич-
пластичность); штриховые кривые соответствуют антиплоской деформации материала со степен-
степенным законом упрочнения,
деформации. Для этого типа деформации соотношение F0), опре-
определяющее /, принимает вид
/ = \ | Г \ т (и) du\ dx2 —
г о
sin ф [cos cp
sin cp йхЛ } .
C09)
Здесь приняты обозначения теории упрочняющихся материалов
(разд. IV,Б); ф — угол главного сдвига, измеряемый против
часовой стрелки от направления оси х2. В качестве Г может быть
выбран любой контур, окружающий конец трещины. Мы выберем
его идущим по границе пластической зоны. Поскольку 7 = То ^
= const на Г, первый член подинтегрального выражения равен
произведению постоянной на dx2 и, таким образом, не дает вклада
в интеграл. Далее, согласно A95), хг и х2 можно выразить через
угол сдвига и в качестве переменной интегрирования взять ф,
Гл. 3. Математические методы в механике разрушения 315
что дает
-Я/2
Подставляя для ф решение в виде ряда B12) и учитывая, что
только первый член ряда дает вклад в интеграл, поскольку все
другие члены содержат тригонометрические функции, ортогональ-
ортогональные к sin ф, получаем
Выражение для постоянной Dx (которая всегда отрицательна)
в виде ряда было дано Райсом [75] для трещины длины 2а в пло-
плоскости (или, что эквивалентно, краевой трещины длины а в полу-
плоскости) под действием продольного напряжения сдвига на
бесконечности too. Выражение для J при этом принимает вид
J <= /дин {1 + V2CiS2+ч,су+Ve C/А+с\) s«+
+ Vie C/2СА + С\) s* + 1/з8 E/4С3 + 5/,С2С\ + С\) ** + ... }ш C12)
где
Функции fk (у) — это решения уравнений B13). Получающиеся
в результате значения отношения ///ЛИн показаны на рис. 32
штриховыми кривыми для частных случаев степенного закона
упрочнения с N = 0 (идеальная пластичность), iV = ОД, N =
= 0,3 и N = 1 (идеальная упругость, когда Ck = 0 и / = /Лин)-
Здесь отношение напряжений Тоо/т0 заменено на аоо/сг0 и при
проведении вычислений по рекуррентным соотношениям в при-
приведенные ряды включены дополнительные члены [75], так что
ошибка оказывается величиной порядка s20. Результат для идеаль-
идеально пластического тела мало отличается от результата Дагдейла
для случая растяжения. Однако уже небольшое упрочнение
(N = ОД) значительно меняет / при приближении к уровню
общего пластического течения и устраняет особенность, имеющую
место для идеально пластического материала при предельной
нагрузке. Вероятно, что примерно с точностью порядка разницы
между результатом для антиплоской деформации идеально пла-
пластического тела и решением Дагдейла эти кривые (и аналогичные
результаты для других диаграмм деформирования и других кон-
конфигураций тела с трещиной) можно использовать для приближен-
приближенного представления / в области развитого пластического течения.
316
Дж. Райе
Е. Предельный анализ тел с вырезами
При локализованном пластическом течении вблизи трещин
и вырезов возможно простое однопараметрическое представление
местных полей деформаций. При развитом пластическом течении
неупрочняющегося материала такого единственного параметра
не существует. В этом легко убедиться при внимательном чтении
работ Макклинтока и Ирвина [59], а также Друккера [22], посвя-
посвященных решениям для предельных состояний тел с вырезами.
Основные теоремы, относящиеся к этому случаю, указаны в раз-
разделе II,Г. В случае плоской деформации тел с односторонним
краевым или внутренним вырезом (рис. 33) не происходит увели-
увеличения гидростатического напряжения при достижении предельной
нагрузки. Поля течения сводятся к скольжению под углом 45°,
что приводит к появлению в опасном сечении напряжений 2т0,
соответствующих пределу текучести при простом растяжении
Рис. 33. Предельные состояния для тел с вырезами.
Внутренний вырез (а) и односторонний краевой вырез (б) при плоской деформации или
плоском напряженном состоянии материала Треска, о"8фф = 2т0. Для материала Мизеса
при плоском напряженном соотоянии о*эфф = ~\/зх01 и поле течения состоит из местных
шеек под углом ± 35° к линии выреза. Глубокие двусторонние краевые вырезы (в) при
плоской деформации, <*Эфф = B -f я — 2а) т0. Двусторонние краевые вырезы (г) при пло-
плоское напряженном состоянии, о*8фф == 2т0 как для материала Треска, так и для материала
Мизеса. 1 — скольжение; 2 — шейка.
Гл. 3. Математические методы в механике разрушения 317
в условиях плоской деформации. В случае внутреннего выреза
очевидно, что эти поля напряжений можно продолжить в упругую
область, не нарушая условия текучести и уравнений равновесия;
то же возможно и для случая одностороннего краевого выреза
при надлежащих нагрузках на бесконечности, так что по достиже-
достижении предельной нагрузки действительное напряжение в опасном
сечении равно 2т0.
Поле деформаций совершенно иного вида получается в случае
двусторонних краевых вырезов. Поле течения состоит из областей
постоянных напряжений, сопрягаемых центрированными веера-
веерами, так что напряжения в опасном сечении равны B + п — 2а) т0,
где 2а — полный угол выреза. При достаточно больших значениях
отношения глубины выреза к ширине оставшейся перемычки
можно завершить построение решения, найдя равновесное поле
напряжений. Большое различие между местными напряжениями
и деформированными состояниями в этих двух случаях показы-
показывает, что при развитом пластическом течении нельзя единообразно
описать разрушение, введя вместо коэффициента интенсивности
напряжений какой-либо один параметр. Предположительная фор-
форма границы пластической зоны при развитом течении перед выхо-
выходом границы на свободную поверхность тела или ось образца
при двусторонних краевых вырезах была показана на рис. 24, а.
Для того чтобы решение согласовывалось со скольжением под
углом 45° для случая внутреннего или одиночного краевого выре-
выреза, первоначально вертикальные линии скольжения должны
иметь радиус кривизны, уменьшающийся до нуля по мере при-
приближения границы к свободной поверхности. Это означает, что
при приближении к предельному состоянию в точках вблизи
конца выреза должна происходить разгрузка.
В условиях плоского напряженного состояния не возникают
значительные гидростатические напряжения. Например, для
образца с двусторонними вырезами (рис. 33) в этом случае напря-
напряжение в опасном сечении равно 2т0, если принять такое поле
деформаций, что область шейки охватывает все сечение образца.
Это значение лишь немного превосходит предел текучести jipn
одноосном растяжении для материала Мизеса, равный ^3 т0,
и совпадает с пределом текучести для материала Треска.
Ж. Механизмы разрушения пластических материалов
До сих пор мы имели дело с исследованием разрушения на
обычном континуальном уровне. Не считая случая упругохрупко-
го разрушения (разд. III,Д), конкретные механизмы разрушения
не рассматривались. Здесь мы будем рассматривать некоторые
микроструктурные механизмы образования разрывов в пластиче-
пластических материалах.
318 Дж. Райе
1. Скопление дислокаций v блокирование полос скольжения
Неоднородность пластического течения на дислокационном
уровне может привести к сильной концентрации напряжений,
даже если макроскопические средние значения напряжений по*
нескольким группам дислокаций близки к пределу текучести
или немного превосходят его благодаря упрочнению или кинема-
кинематическим ограничениям деформаций.
Несколько дислокационных моделей зарождения трещин рас-
рассмотрел Лоу [55], который также приводит аргументы в пользу
того, что пластическая деформация предшествует разрушению»
даже для наиболее хрупкого разрушения сколом (cleavage failu-
failures). Следуя Эшелби и др. [27], рассмотрим здесь скопление из-
п краевых дислокаций с общей плоскостью скольжения, причем
первая из дислокаций закреплена на препятствии (например, на
границе зерна или жестком включении). Пусть скопление рас-
расположено вдоль отрицательной полуоси хг: хг = t±, t2, . . . , tn —
положения п ядер дислокаций, а закрепленная дислокация рас-
расположена в начале координат, т. е. tx = 0. На скопление дей-
действует однородное на бесконечности напряжение сдвига (о12)оо =
= Too. Для изолированной дислокации поле напряжений опре-
определяется первой формулой A12) и для условий плоской деформа-
деформации касательные напряжения в точках плоскости скольжения
равны
^г27=5- C13)
Предположим,^ что по достижении равновесия касательное
напряжение, действующее (сверх симметричных напряжений от
самой дислокации) на каждую дислокацию, равно напряжению
трения т0. Тогда координаты t2, t3, . . ., tn свободных п—1
дислокаций определяются из системы уравнений
2 j^jj, 7 = 2,3 п. C14)
г=1
Напряжение на закрепленной при ?4 = 0 дислокации находится
несложным подсчетом:
ЕЪ V 1 т ЕЪ
Zj tt "-To° 4jt(l-v2)
г=2 j=2 г=1
(Ф)
V 1 -
2л tj-ti~~
= too— (П— 1) (Т0— Too),
Гл. 3. Математические методы в механике разрушения 319
так что
. *i = ^о + п (too — т0) C15)
и напряжение, стремящееся сдвинуть закрепленную дислокацию,
возрастает пропорционально числу дислокаций в скоплении.
Непосредственное решение уравнений равновесия C14) провели
Эшелби и др. [27]; они же получили асимптотические соотношения
для больших п.
Можно непосредственно получить результаты для больших
п вводя непрерывное распределение дислокаций, записывая урав-
уравнение C14) как сингулярное интегральное уравнение с ядром
Коши и решая его методами, приведенными в разд. И,В. Проще,
однако, заметить, что непрерывное распределение дислокаций
можно представить как трещину под действием касательных
напряжений.
Чтобы сохранить обозначения разд. III,Б, относящиеся к пло-
плоским задачам теории упругости для тел с трещинами, будем
считать дислокации распределенными вдоль оси хг от —а до а.
На бесконечности приложено касательное напряжение а12 = too,
а на разрезе — напряжение трения о12 = т0.
Нужно удовлетворить граничным условиям для напряжений
и условию отсутствия разрыва нормальных перемещений на раз-
разрезе; кроме того, задан результирующий вектор Бюргерса данной
полосы скольжения В. Например, для группы из п дислокаций,
рассмотренной выше, В = nb. Тогда комплексные функции напря-
напряжений B1), B2) и G0), дающие решение задачи, получаются видо-
видоизменением выражения (94), с тем чтобы учесть наличие вектора
Бюргерса; имеем:
Ф'B)= -G'(*)= -\ [(т.»-т0) z+4jt(f%] B2-а*)-1/2-4>-
C16)
Напряжения в конце скопления xi = a такие же, как и для
задачи о трещине класса II (соотношения (80) и (81)) с
C17)
Не все параметры в этом выражении независимы. Для рассмо-
рассмотренного выше скопления п дислокаций при континуальном пред-
представлении напряжения должны быть ограничены на краю рас-
распределения хг = —а. Поэтому
o-т0) а и Яп = 2(т„-т0) (па)*/*. C18)
Определяя отсюда число дислокаций в скоплении полной длины 2а
и подставляя найденное значение в выражение C15), можно
320 Дж. Райе
показать, что напряжение на закрепленной дислокации дается
«формулой
%1Ъ = A — v2) КЫЕ. C19)
Интересно отметить, что в правой части стоит скорость высво-
высвобождения энергии для эквивалентной задачи о трещине в упру-
упругом теле.
Соотношения C16) и C17) дают также решение задачи о полосе
скольжения с нулевым результирующим вектором Бюргерса, бло-
блокированной по обоим концам:
5-0, Ки = (Too - т0) (яаI/*. C20)
Ясна связь этих результатов с линейным распределением дис-
дислокаций; однако их можно рассматривать так же, как общую
модель концентрации напряжений вблизи конца любой неодно-
неоднородной полосы скольжения, даже если расположение дислокаций
значительно сложнее простого линейного. Считая длину полосы
скольжения пропорциональной среднему размеру d зерна поли-
поликристаллического материала, приходим к формуле типа фор-
формулы Петча:
too = т0 + (const/d1/2), C21)
характеризующей условия зарождения трещины или продолже-
продолжения скольжения в соседние зерна.
Рассматривая линейное скопление дислокаций и опираясь
на теорию Гриффитса, Стро [91] вывел значение постоянной, описы-
описывающей зарождение трещины. Хотя представление о неоднород-
неоднородности пластических деформаций в микромасштабе как причине
концентрации напряжений является общепризнанным, принятая
здесь специальная форма исследования лучше всего подходит
для описания разрушения при очень низких температурах, зарож-
зарождающегося на начальной стадии пластической деформации.
2. Рост и слияние пор в пластическом теле
Распространенный механизм разрушения в телах, не допу-
допускающих откола, состоит в росте и слиянии пор вследствие пласти-
пластической деформации, как это показано исследованиями Гарленда
и Плато [35], Роджерса [79] и Паттика [70]. Раннее хрупкое раз-
разрушение включений примеси может порождать эти поры, однако
не известно, все ли поры зарождаются из включений. Некоторое
представление о роли напряженного состояния в росте пор дает
анализ простых моделей. Следуя Макклинтоку и Аргону [58],
будем рассматривать пору в виде бесконечно длинного кругового
цилиндра радиуса г0 с осью, направленной вдоль оси х3. Принято
идеализированное описание материала как жестко-идеально-пла-
* Гл. 3. Математические методы в механике разрушения 321
стического, следующего условию текучести Мизеса. Материал
однородно деформируется со скоростью. е33, и мы ищем скорость
роста радиуса поры г0 как функцию от текущего радиуса г0
и напряженного состояния на бесконечности.
Введем полярные координаты г и 6 в плоскости хг, х2 и обо-
значим через иг радиальную скорость. Из условия несжимаемости
следует
диг/дг + иг/г + 83з = 0. C22)
Таким образом, выражения для скоростей деформации через
скорость роста поры г0 имеют вид
1 • / А \ . • г0
иг= — -гззг Г/+г°7'
C23)
8Г0 = 8г3 — 8q3 = 0.
Условие равновесия радиальных компонент напряжения имеет вид
и до условию текучести Мизеса (разд. II,Г)
• •
агг - aQQ ± srr -sQe = V2т0 УТ*?* , C25)
()i/2
где т0 — предел текучести при сдвиге. Интегрируя уравнение
равновесия от границы поры до бесконечности и обозначая
через (сггг)оо приложенные на бесконечности радиальные нор-
нормальные напряжения, получаем
\ !99г
ге;; dr.
.Подставляя сюда приведенные выражения для скоростей деформа-
деформации и интегрируя, получаем для скорости роста поры
ro/ro = i-833{/3sh[@rr)oo/To]-l}. , C27)
Гиперболический синус дает экспоненциальное увеличение
скорости роста поры го/го по сравнению со скоростью наложенной
21-0700
322 Дж. Райе ' _ '
• -
деформации 833 при больших значениях приложенного на беско-
бесконечности напряжения. Например, полагая (отг)оо = A + я) т0
(среднее главное напряжение непосредственно перед трещиной
при плоской деформации, разд. IV.В), имеем
го/го = 26,б833, C28)
что указывает на весьма быстрое увеличение пор перед тре-
трещиной.
Как указали Макклинток и Аргон [58], упрочнение будет,
несомненно, приводить к сильному замедлению роста при данном
отношении напряжений. В то же время упрочнение сильно увели-
увеличивает отношение гидростатических и девиаторных напряжений
перед трещиной [77], так что влияние упрочнения на распростра-
распространение трещин в пластических телах требует дальнейшего изу-
изучения.
Ситуация оказывается еще более сложной в случае затуплен-
затупленной трещины, поскольку наиболее сильно деформируется как раз
та область, где изменение геометрии вызывает изменение напря-
напряженного состояния (рис. 24, б).
V. НАПРАВЛЕНИЯ ДАЛЬНЕЙШИХ ИССЛЕДОВАНИЙ
Плоские задачи статической упругости, по-видимому, доста-
достаточно хорошо изучены, и для них получены наборы стандартных
решений, так что они не требуют особенно большого объема
дальнейших исследований. Было бы, однако, полезно изучить
сходимость и точность метода коллокации (разд. III,В), поскольку
из всех приближенных методов он является, по-видимому, наибо-
наиболее широко применимым. Несколько сложнее класс задач о трещи-
трещинах в тонкостенных оболочках и пластинах и трехмерные задачи,
например задачи о несквозных трещинах в стенках сосудов высо-
высокого давления. Представляет интерес также выяснение истинного
трехмерного напряженного состояния вблизи трещины в плоской
пластинке, подвергнутой растяжению или изгибу. Наличие такого
упругого решения способствовало бы более рациональному при-
применению решений для плоского напряженного состояния и изгиба
пластинки и помогло бы переносить данные по разрушению хруп-
хрупких материалов с одних конфигураций на другие, хотя, несом-
несомненно, для полного понимания необходим и пластический анализ.
Дальнейшего изучения требуют динамические задачи теории
упругости для трещин. В частности, при исследовании материалов
с трещиностойкостью, зависящей от скорости деформации, были бы
полезны решения для нагрузок типа волны напряжений. Заслужи-
Заслуживает также изучения, особенно в связи с проблемой усталости,
Гл. 3. Математические методы в механике разрушения 323.
взаимодействие трещин с резонансными колебаниями конструкций
и динамическое усиление концентрации напряжений.
Задачи о движении трещин с постоянной скоростью изучены
при весьма частных начальных условиях (разд. Ш,Е). Следовало
бы попытаться рассмотреть более общие задачи с учетом ускоре-
ускорения из состояния покоя и остановки. Такие решения способ-
способствовали бы законченной формулировке проблемы упругохруп-
кого разрушения и были бы также полезны при интерпретации
результатов, относящихся к распространению трещин в других
хрупких материалах.
Некоторый прогресс достигнут в изучении локализованной
пластичности, особенно в том, что относится к полям деформации
вблизи конца трещины при плоской деформации и к полностью
развитому пластическому течению (типа рассмотренного Дагдей-
лом) при плоском напряженном состоянии (см. разд. IV,В).
„Все еще отсутствуют полные точные решения для плоской
деформации. Как уже отмечалось, следует также учитывать
конечные деформации вблизи конца трещины, если необходимо
получить точное описание локального состояния, с тем чтобы
связать его с исследованием микромеханизмов разрушения. Трех-
Трехмерный характер течения в пластинках при «плоском напряжен-
напряженном состоянии» выдвигает одну из наиболее важных задач теории,
пластичности, нуждающихся в разрешении. Эти трехмерные осо-
особенности должны определять изменение трещиностойкости с тол-
толщиной листа и долю, занятую на поверхности разрушения мате-
материалом, разрушившимся вследствие сдвига. При этом существен-
существенны изменения поперечного стеснения, изменение характера пла-
пластического течения (переход от плоского к поперечному скольже-
скольжению) и возможность образования локальных сужений (шеек).
Трехмерные эффекты могут определять появление локализован-
локализованных (по Дагдейлу) пластических зон плоского напряженного
состояния в некоторых материалах и более размытых картин
течения в других материалах, хотя, возможно, при этом играет
роль и изменение условий текучести. Например, напряженное
состояние в дагдейловой зоне, по крайней мере при локализован-
локализованном течении, оказывается равномерным двухосным растяжением,
как можно убедиться по решениям разд. IV,В. При таком напря-
напряженном состоянии разрывы нормальных перемещений типа шейки
возможны для материала Треска, но не для материала Мизеса.
Характер пластических соотношений между напряжения-ми
и деформациями, их зависимость от пути нагружения позволяют
ожидать, что трещины должны развиваться устойчиво, прежде
чем наступит неустойчивость. Такой устойчивый рост становится
особенно значительным при плоском напряженном состоянии,
и здесь было бы полезно провести исследование в том же направ-
направлении, что и работы Макклинтока по антиплоской деформации.
21*
324 Дж. Райе
Дополнительный фактор, который следует здесь учитывать, —
изменение геометрии поверхности разрушения. Мало что известно
относительно концентрации деформаций на трещинах или вырезах
при полностью развитом течении, за исключением значений пре-
предельной нагрузки для идеально пластических тел. Исследования
в этом направлении важны для установления связи между неболь-
небольшими лабораторными образцами и большими конструкциями,
поскольку для первых в момент разрушения часто будет иметь
место общее пластическое течение. При разрушении конструкции
из сравнительно вязких металлов также может иметь место общее
течение; не редкость также течение материала вблизи мест сопря-
сопряжения или других конструктивных неоднородностей в областях,
больших по сравнению с размерами дефектов.
Важным фактором, который должен быть учтен при анализе
разрушения для полного описания поведения ускоряющихся
и динамически растущих трещин, является зависимость неупру-
неупругого поведения от времени. Известно, например, что можно
добиться весьма хрупкого разрушения малоуглеродистой стали,
повышая местное напряжение текучести путем увеличения ско-
скорости деформации так, чтобы вызвать скол, особенно если может
быть достигнуто состояние плоской деформации. В то же время
пластическое течение приводит к местному разогреву, поскольку
при больших скоростях достигаются почти адиабатические усло-
условия. Крайне ценным было бы исследование совместного влияния
обоих этих факторов, а возможно, и инерционных эффектов при
определении минимальных уровней трещиностойкости для расту-
растущих трещин. Это позволило бы определить условия остановки
трещин, что, возможно, для материалов с высокой чувствитель-
чувствительностью к скорости деформации более существенно, чем условия
зарождения трещины, поскольку растущая трещина может зарож-
зарождаться в локализованных областях, случайно подвергшихся охруп-
чиванию при изготовлении или сварке [62].
Чтобы получить критерии разрушения, которые должны вклю-
включаться в решения, полученные при континуальном подходе,
необходимы исследования микромеханизмов разрушения. Это осо-
особенно важно, когда не существует единого параметра, способного
охарактеризовать местные деформации (как при развитом течении
или переменном поперечном стеснении), как в случае плоского
напряженного состояния. Эти исследования могут концентриро-
концентрироваться на механизмах хрупкого разрушения (зарождение и объеди-
объединение микротрещин отрыва) или механизмах более вязкого разру-
разрушения (зарождение пор и их рост при пластической деформации).
В конце концов желательно было бы иметь критерий разрушения,
выраженный через среднее местное напряжение и путь деформи-
деформирования для малой области размера характерной микрострукту-
микроструктуры. Этот подход предполагает отсутствие заметного взаимодейст-
^ Гл. 3. Математические методы в механике разрушения 325
вия между континуальными решениями и механдзмами разруше-
разрушения в том смысле, что процессы разрушения не изменят заметным
образом рассчитанные поля напряжений и деформаций в областях,
превосходящих характерный размер микроструктуры. Несом-*
ненно, будут и исключения, и следовало бы попытаться получить
более полное описание разрушения с учетом взаимодействия
между механизмами разрушения и местными полями деформаций.
VI. ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Раздел II начинается сводкой сведений, относящихся к тео-
теории упругости, теории пластичности и к соответствующим матема-
математическим методам, которые важны при последующем исследова-
исследовании задач о трещинах и вырезах. В конце этого раздела вводится
единый подход сопоставления близких по конфигурации тел по
их энергии, и этот подход доведен до получения контурного энер-
энергетического интеграла, не зависящего от пути интегрирования.
Эта независимость (а иногда и связь этого инвариантного инте-
интеграла со скоростью высвобождения энергии) позволяет в дальней-
дальнейшем получить ряд результатов, относящихся к телам с вырезами
из линейных и нелинейных материалов.
В первой части разд. III изложены основные результаты ли-
линейной механики разрушения упругих тел. Все задачи для тре-
трещин приводят к характерным особенностям (типа квадратного
корня из расстояния в знаменателе) в напряжениях, поэтому, если
проявления неупругости сосредоточены в малой области вблизи
конца трещины, то нагрузку, передаваемую в концевую область,
удобно характеризовать ирвиновским коэффициентом интенсив-
интенсивности напряжений. Если все прочие характеристики материала
и внешние условия остаются неизменными, то условия разруше-
разрушения при малых напряжениях можно выразить через этот коэффи-
коэффициент интенсивности напряжений. Решены некоторые простейшие
двумерные задачи о трещинах в упругих телах, и описаны методы
приближенного исследования более сложных случаев. К ним
относятся: приближенное конформное отображение при помощи
многочленов или отношений многочленов, коллокация функции
напряжений, представленной в таком виде, чтобы автоматически
обеспечивать отсутствие напряжений на поверхностях трещины,
и представление трещин как непрерывного распределения дисло-
дислокаций с последующим сведением возникающих сингулярных инте-
интегральных уравнений к регулярным.
Скорость изменения равновесной потенциальной энергии
с длиной трещины непосредственно связана с крэффициентом
(коэффициентами) интенсивности напряжений. Это позволяет
определять коэффициенты интенсивности напряжений путем из-
326 Дж. Райе
мерений податливости, а иногда и с помощью простых расчетов
в стиле сопротивления материалов. Скорости изменения энер-
энергии для узких закругленных вырезов незначительно отличаются
от таковых для трещин и могут быть связаны с поверхностными
напряжениями, так что возникает возможность приближенной
оценки коэффициентов концентрации напряжений.
Исследованы два разных подхода к упругохрупкому разру-
разрушению и показано, что они приводят к одинаковым выводам отно-
относительно равновесной длины трещин и их устойчивости. Эти
подходы — гриффитсовский метод энергетического баланса и тео-
теории сил сцепления (типа предложенной Баренблаттом). Установ-
Установлены характерные особенности динамических напряжений при
движении трепщны с постоянной скоростью. В интервале скоро-
скоростей, близких к наблюдаемым конечным скоростям распростране-
распространения трещин в хрупких материалах, наблюдается бифуркация
полей напряжений, отмеченная Иоффе.
Пластические эффекты при разрушении рассмотрены в разд. IV.
-Задачи о локальном течении вблизи трещин и надрезов допускают
формулировку в духе теории пограничного слоя с асимптотиче-
асимптотическим приближением к соответствующему упругому решению,
сингулярному распределению напряжений на больших расстоя-
расстояниях от конца трещины. Вначале дан обзор решений задач о тре-
трещинах в идеально пластических и упрочняющихся материалах
в простейшем случае антиплоской деформации. Они, как подчерк-
подчеркнул Макклинток, правильно отображают некоторые черты пове-
поведения решения задач о растяжении в целом, хотя и не описывают
детали распределения деформаций. В условиях плоской дефор-
деформации для идеального пластического тела впереди трещины возни-
возникает значительное всестороннее растяжение, а над концом трещи-
трещины и под ним (но не непосредственно впереди него) — особенности
деформаций. Вопреки обычным мнениям, для появления больших
деформаций непосредственно перед трещиной необходимо должно
происходить затупление трещины вследствие пластического тече-
течения. При помощи контурного энергетического интеграла даны
приближенные оценки раскрытия трещины и размера пластиче-
пластической зоны.
Другой вывод из применения энергетического интеграла
состоит в том, что произведение напряжения на деформацию изме-
изменяется обратно пропорционально расстоянию от конца трещины
независимо от вида диаграммы деформирования. Установлен вид
особенности деформаций вблизи конца трещины при плоской
деформации для материалов со степенным упрочнением и обнару-
обнаружено резкое увеличение трехосности напряженного состояния
с ростом показателя упрочнения.
При полностью развитом плоском напряженном состоянии
с поперечным скольжением и, возможно, образованием шейки
Гл. 3. Математические методы в механике разрушения 327
анализ может быть проведен при помощи модели Дагдейла, кото-
которая демонстрирует пластическое течение, сосредоточенное в узкой
зоне перед трещиной. Более размытое пластическое течение полу-
получается для обобщенного плоского напряженного состояния мате-
материала Мизеса. Одно из полезных приложений таких простых
пластических моделей состоит в выяснении изменений прочности
с изменением геометрии; налагаемые состоянием плоской дефор-
деформации ограничения на деформации и связанный с ними рост
напряжений становятся слабее, когда размеры пластической
зоны становятся сравнимыми с толщиной пластинки или превос-
превосходят ее.
По своей природе закон пластического деформирования уста-
устанавливает -связь между приращениями напряжений и деформаций,
и соотношение между напряжениями и деформациями зависит от
пути цагружения; поэтому решения для растущих трещин могут
существенно отличаться от решений для неподвижных трещин.
Этот эффект отчетливо проявляется при антиплоской деформации,
когда с ростом нагрузки происходит непрерывное продвижение
трещины и разрушение представляет собой потерю устойчивости
этого процесса. Показано, что по результатам исследования анти-
антиплоской деформации Макклинтоком этот процесс можно описать
универсальной кривой сопротивления, во многом напоминающей
предложенную Краффтом с сотрудниками. В отношении эффектов
упругопластического роста при растяжении результаты невелики;
здесь установлена форма особенностей для состояния плоской
деформации. Однако практические задачи, связанные с устойчи-
устойчивым ростом, ограничены, по-видимому, условиями плоского
напряженного состояния или смешанными условиями, так что
они дополнительно усложнены в связи с развитием, (полным или
частичным) пластических скосов (пластических «губ»).
При помощи инвариантного контурного интеграла оценена
концентрация пластических деформаций вблизи закругленного
конца выреза. Когда пластическое течение сосредоточено в малой
области вблизи конца выреза, этот интеграл имеет то- же значе-
значение, что и в задаче линейной упругости; значение его при разви-
развитом пластическом течении можно оценить при помощи простых
моделей, как это показано на примерах. Исследование предель-
предельных состояний идеально пластического материала показывает,
что при развитом течении нет универсального распределения
напряжений и деформаций вблизи конца трещины, по крайней
мере для слабоупрочняющихся материалов. Для некоторых кон-
конфигураций, например для глубоких двусторонних краевых выре-
вырезов, в предельном состоянии при плоской деформации могут раз-
развиваться большие гидростатические напряжения; во многих слу-
случаях этого не происходит, и поле деформаций сводится к соскаль-
соскальзыванию по полосам скольжения. Это указывает на то, что при
328 Дж. Райе
развитой упругопластической деформации или общем пластиче-
пластическом течении нельзя заменить коэффициент интенсивности напря-
напряжений какой-либо одной величиной, однозначно характеризующей
локальное состояние, так что следует рассматривать конкретные
механизмы разрушения. Дано краткое описание этих механизмов,
в том числе скопления дислокаций и блокирования полос сколь-
скольжения как возможных источников микротрещин и роста пор
вследствие больших пластических деформаций. Как и при плос-
плоской'деформации, рост резко ускоряется благодаря увеличению
гидростатического растяжения.
Более важные вопросы, требующие дальнейшего изучения —
это выяснение трехмерной картины деформаций вблизи конца
трещины и связанного с ней перехода от плоской деформации
к плоскому напряженному состоянию, исследование динамики
и роста трещин в материалах с временными эффектами и сов-
совместный анализ деформации и механизма микроразрушения вблизи
конца трещины.
После завершения работы над рукописью автору стало извест-
известно, что ранее Эшелби ввел энергетический контурный интеграл,
в частных случаях идентичный с введенным здесь. Он назвал его
тензором энергии — импульса и использовал этот интеграл для
определения обобщенных сил для точечных особенностей и неодно-
родностей упругих полей. Сводка результатов содержится в его
интересной статье «Континуальная теория дефектов решетки»
(«Solid State Physics», vol. Ill, Academic Press, 1956).
ОБОЗНАЧЕНИЯ
A — площадь4 интегрирования;
a — длина или половина длины трещины, поло-
половина большой оси эллипса или эллипсоида,
точка комплексной плоскости;
Ъ — половина малой оси эллипса или эллип-
эллипсоида, точка комплексной плоскости, замкну-
замкнутая кривая в комплексной плоскости;
Ъ,Ьг — вектор Бюргерса дислокации;
С — замкнутая кривая в комплексной плоскости;
Ctjki — упругие константы;
са — скорость волны сжатия;
cs — скорость волны сдвига;
с — средняя ось эллипсоида;
Е— модуль Юнга;
Ft — массовая сила;
F (?) — аналитическая функция безразмерного ком-
комплексного напряжения;
Гл. 3. Математические методы в механике разрушения 329
/ (z)— аналитическая функция г;
G — модуль сдвига;
& — скорость высвобождения энергии;
g (^—аналитическая функция z;
Im — мнимая часть;
i — мнимая единица;
1/ — орт направления /;
/ — энергетический контурный интеграл, не зави-
зависящий от пути интегрирования;
/лин — значение / в линейной теории упругости;
Кц, Km — коэффициенты интенсивности напряжений;
ZD — динамический коэффициент интенсивности
напряжений;
L — дуга в комплексной плоскости;
Z —длина трещины, изменение длины трещивйд;
W — показатель упрочнения;
Ntj — компоненты единичной внешней нормали к
поверхности текучести в пространстве напря-
напряжений;
n, nt — единичный вектор нормали к линии или
поверхности;
Р — потенциальная энергия;
P(z) — полином по z;
р — среднее нормальное напряжение;
Рг(...) — заданные усилия на поверхности трещины;
()-—обобщенная сила;
q — обобщенное перемещение;
R, RQ — максимальный размер пластической зоны;
R @) — расстояние до границы пластической зоны;
Rf0 (I) — размер пластической зоны, необходимый для
квазистатического удлинения трещины на
величину Z;
R (у) — координата, определяющая радиус линий
постоянного сдвига;
Re — вещественная часть;
г — полярная координата;
г — радиус-вектор;
rf —радиус кривизны выреза в его конце;
rt (ф) — радиус кривизны в текущей точке поверх-
поверхности выреза;
5—поверхность некоторой области, поверхностная
энергия; -
s — безразмерное приложенное напряжение;
s?5u — девиатор напряжений;
Т, Тг — поверхностные усилия;
t—время, переменная интегрирования;
330 Дж. Райе
U — функция напряжений Эри;
u, ut — перемещение;
V — объем области, скорость трещины;
W> W (гтп), W (г) — плотность энергии деформации;
Xj — координата, отсчитываемая от начала, движу-
движущегося вместе с концом трещины;
X (у) — координата центра линий постоянного сдвига;
х — координата, отсчитываемая от начала, движу-
движущегося вместе с концом трещины;
#ь аг2,.я3 —декартовы координаты;
Vdi Vs — координаты, используемые при решении дина-
динамических задач для трещин;
z — комплексное переменное xi-\-ix<2l\
Zi(?) — функция, реализующая конформное отобра-
отображение;
&d-> as — функции скорости трещины и скоростей волн;
Г —контур, окружающий конец трещины при
вычислении контурного энергетического интег-
интеграла /;
Tt — закругленный контур вершины выреза с плос-
плоскими боковыми поверхностями;
Г (...) — гамма-функция;
у — главная деформация сдвига; интенсивность
деформации сдвига по Мизесу;
Y* Тзг — вектор деформации сдвига при антиплоской
деформации;
Yo — деформация начала текучести при сдвиге;
7? — пластическая деформация сдвига в момент
разрушения;
8tj — символ Кронекера;
8t — раскрытие трещины в ее конце;
в, в*/— деформация;
8макс — максимальная деформация в конце выреза;
80 — деформация начала текучести при растяже-
растяжении;
6 — полярная координата;
х = 3 — 4v при плоской деформации, и =
=C — v)/(l + v) при плоском напряженном
состоянии;
Л—коэффициент пропорциональности в соотно-
соотношениях между приращениями пластических
деформаций и напряжений для идеально пла-
пластичного материала;
\it (...)— плотность дислокаций при непрерывном их
распределении на плоскости;
v — коэффициент Пуассона;
Гл. 3. Математические методы в механике разрушения 331
? — комплексное переменное, безразмерное ком-
комплексное напряжение сдвига при антиплос-
антиплоской деформации;
р — плотность;
ps — характерный размер микроструктуры;
a, otj—напряжение;
а0 — предел текучести при растяжении;
g F) — напряжение, препятствующее раскрытию тре-
трещины, как функция от расстояния б между
ее поверхностями;
т—главное касательное напряжение, интенсив-
интенсивность касательных напряжений по Мизесу;
т0 — предел текучести при сдвиге, напряжение
трения;
хг—лапряжение сдвига на блокированной дисло-
дислокации;
Ф — волновая функция для волн сжатия;
Ф — угЧш направления главного сдвига, угол, обра-
образуемый касательной к поверхности выреза;
Ф (z) — комплексная функция напряжений в плоской
задаче теории упругости;
%(z)— однородное решение задачи Гильберта для
Дуги;
W — волновая функция для волн сдвига;
г|) — потенциальная функция в задачах антиплос-
антиплоской деформации;
if» (z) — комплексная функция напряжений в плоских
задачах теории упругости;
ш, (dij — поворот;
со (z) — комплексная функция напряжений в анти-
антиплоских задачах теории упругости.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. ASTM, Fracture Testing of High Strength Sheet Materials, Bull. № 243,
pp. 29—40, ASTM, Philadelphia, 1960.
2. Argyris J. H., In «Matrix Methods in Structural Mechanics» (Przemienie-
cki J. S., ed.), Tech. Rep. № AFFDL-TR-66-80, Air Force Flight Dynamics
Lab., Wright-Patterson Air Base, Dayton, Ohio, 1965.
3. Baker B. R., /. Appl. Mech., 29 A962), 449. Русский перевод: № 3, 3.
4. Баренблатт Г. И., ПМТФ A961), № 4.
5. Bilby В. A., Swinden К. Н., Proc. Roy. Soc. London, Ser. A, 285 A965),
23—33.
6. Bilby B. A., Cottrell A. H., Swinden К. Н., Proc. Roy. Soc. London,
Ser. A, 272 A963), 304.
7. Bishop J. F. W., Hill R., Philos. Mag., 42 A951), 414—427.
332 Дж. Райе
8. Bowie О. L., Analysis of an Infinite Plate Containing Radial Cracks Ori-
Originating From the Boundary of an Internal Circular Hole, /. Math, and
Phys., 35 A956).
9. Bowie 0. L., /. Appl. Mech., 31 A964), 208. Русский перевод: № 4, 175.
10. Bowie О. L., Neal D. M., The Effective Crack Length of an Edge Notch
in a Semi-Infinite Sheet Under Tension, Intern. J. Fracture Mech., 3
A967), 111—120.
11. Broberg К. В., Arkiv Fysik, 18 A960), 159.
12. Broek D., Some Considerations on Slow Crack Growth, Intern. J. Fracture
Mech., 4 A968), 19—21.
13. Budiansky В., /. Apply Mech., 26 A959), 259—264. Русский перевод:
Механика, № 2 F0) A960). .
14. Bueckner H. F., Trans. ASME, 80 A958), 1225-1229.
15. Bueckner H. F., In «Boundary Value Problems in Differential Equations»
(Langer R.> ed.), pp. 215—230, Univ. of Wisconsin Press, Madison, 1960.
16. Churchill R. V., Complex Variables and Applications, 2nd ed., McGraw-
Hill, New York, 1960.
17. Cotterell В., /. Appl. Mech., 31 A964), 12—16. Русский перевод: № 1, 16.
18. Gottrell A. H., Dislocations and Plastic Flow in Crystals, Oxford (Claren-
(Clarendon) Press, Oxford, 1953. Русский перевод: Коттрел А. X., Дислокации
и пластическое течение в металлах, Металлургиздат, 1958.
19. Craggs J. W., /. Mech. Phys. Solids,' 8 A960), 66—76.
20. Drucker D. C, In «Proceedings of the 1st National Congress for Applied
Mechanics» pp. 487—491, ASME, New York, 1951.
21. Drucker D.% C., In «Structural Mechanics: Proceedings of the 1st Symposium
on Naval Structural Mechanics, 1958» (Goodier J. N., Hoff N. J., eds.),
pp. 407—455, Pergamon, New York, 1960.
22. Drucker D. C, In «Fracture of Solids» (Drucker D. C, Gilman J. J., eds.),
pp. 3—50, Wiley, New York, 1963. Русский перевод: Механика, № 1 (83)
A964).
23. Drucker D. С, /. Mecan., 3 A964), 235-249.
24. Dugdale D. S., /. Mech. Phys. Solids, 8 A960), 100—104.
25. Eftis J., Krafft J. M.,1 Trans. ASME, Ser. D, /. Basic Eng., 87 A965),
257—263. Русский перевод: Тр. Амер. о-ва инж.-механ., сер Д., № 1
A965), 311 х).
26. Eshelby J. D., Proc. Roy. Soc. London, Ser. A, 241A957), 376—396. Рус-
Русский перевод: в книге Эшелби Дж., Континуальная теория дислокацийг
ИЛ, М., 1963.
27. Eshelby J. D., Frank F. С., Nabarro F. R. N., Philos. Mag., 42 A951),
351. Русский перевод: там же, где [26].
28. Goodier J. N., Field F. A., In «Fracture of Solids» (Drucker D. C, Gil-
Gilman J. J., eds.), pp. 103—118, Wiley, New York, 1963.
29. Green A. E., Zerna W., Theoretical Elasticity, Oxford (Clarendon) Press,
Oxford, 1954.
30. Grief R., Sanders J. L., /. Appl. Mech., 32 A965), 59—66. Русский пере-
перевод: № 1, 66. ,
31. Griffith A. A., Philos. Trans. Roy. Soc. London, Ser. A, 221 A920), 163—198.
32. Gross В., Srawley J. E., Stress Intensity Factors for Single Edge Notch
Specimens in Bending or Combined Bending and Tension, NASA TN D-2603,
1965.
33. Gross В., Srawley J. E., Stress Intensity Factors for Three Point Bend
Specimens by Boundary Collocation, NASA TN D-3092, 1965.
34. Gross В., Srawley J. E., Brown W. F., Stress Intensity Factors for a*Single
Edge Notch Tensile Specimen by Boundary Collocation of a Stress Fun-
Function, NASA TN D-2395, 1964.
г) Далее в аналогичных случаях будут указываться только номер выпу-
выпуска и страницы русского издания.— Прим. перев.
Гл. 3. Математические методы в механике разрушения 333
35. Gurland J., Plateau J., ASM Trans. Quart., 56 A963), 442—454.
36. Halm G, Т., Rosenfield A. R., Experimental Determination of Plastic
Constraint Ahead of a Sharp Crack under Plane Strain Conditions, Rep.
№ SSC-180, Ship Structure Committee, Dep. of the Navy, Washington,
D.C., 1966.
37. Hill R., Mathematical Theory of Plasticity, Oxford (Clarendon) Press,
Oxford, 1950. Русский перевод: Хилл Р., Математическая теория пластич-
пластичности, Гостехиздат, М., 1956.
38. Hult J. A., McClintock F. A., In «Proceedings of the 9th International Con-
Congress of Applied Mechanics, Brussels», vol. 8, pp. 51—-58, 1957. Русский
перевод: Механика, № 6 E8) A959).'
39. Hutchinson J. W., /. Mech. Phys. Solids, 16 A968), 13—31.
40. Ильюшин А. А., ПММ, 25 A961), 503—507.
41. Irwin G. R., /. Appl. Mech., 24 A957), 361-364.
42. Irwin G. R., In «Handbuch der Physik», Band 6, S. 55.1—590, Springer,
Berlin, 1958.
43. Irwin G. R., In «Structural Mechanics: Proceedings of the 1st Symposium
on Naval Structural Mechanics, 1958» (Goodier J. N., Hoff N. J., eds.),
pp. 557—591, Pergamon, New York, 1960.
44. Irwin G. R., /. Appl. Mech., 29 A962), 651—654. Русский перевод: № 4,
53.
45. Irwin G. R., KoskinenM. F., Trans. ASME, 85D A963), 593—594.
46. Johnson H. H., Willner A. M., Appl. Mater. Res. A965), January, 34—40.
47. Kassir M. K., Sih G. C, /. Appl. Mech., 33 A966), 601—611. Русский
перевод: № 3, 141.
48. Keer L. M., MuraT., In «Proceedings of the 1st International Conference on
Fracture, Sendai, 1965» (Yokobori Т., Kawasaki Т., Swedlow J. L., eds.),
vol. 1, pp. 99—116, Japanese Society for Strength and Fracture of Materi-
Materials, Tokyo, 1966.
49. Knowles J. K., Wang N. M., On the Bending of an Elastic Plate Containing
a Crack, Caltech GALCIT SM 60-11, Calif. Inst. TechnoL, Pasadena,
1960.
50. Kobayashi A. S., Cherepy R. В., Kinsel W. C, Trans. ASME, Ser. D,
/. Basic Eng., 86 A964), 681—684. Русский перевод: № 4, 52.
51. Koiter W. Т., Ing.-Archiv, 28 A959), 168—172.
52. Koiter W. Т., /. Appl. Mech., 32 A965), 237. (Обсуждение работы: Bo-
Bowie О. L., Rectangular Tensile Sheet With Symmetric Edge Cracks.)
53. Kolsky H., Stress Waves in Solids, Oxford (Clarendon) Press, Oxford,
1953. Русский перевод: Кольский X., Волны напряжений в твердых
телах, ИЛ, М., 1955.
54. Krafft J. M., Sullivan A. M., Boyle R. W., Effect of Dimensions on Fast
Fracture Instability of Notched Sheets, In «Proceedings of the Crack Pro-
Propagation Symposium», Cranfield College of Aeronautics, Cranfield (Eng-
(England), 1961.
55. Low J. R., Progr. Mater. Sci., 12 A) A963), 1—96.
56. McClintock F. A., /. Appl. Mech., 25 A958), 582. Русский перевод: Ме-
Механика, № 6 E8), 1959.
57. McClintock F. A., Effect of Root Radius, Stress, Crack Growth, and Rate
on Fracture Instability, Proc. Roy. Soc. London, Ser. A, 285 A965).
58. McClintock F. A., Argon A. S. (eds.), Mechanical Behavior of Materials,
Addison—Wesley, Reading, 1966. Русский перевод: Макклинток Ф., Ар-
Аргон А., Деформация и разрушение материалов, «Мир», 1970.
59. McClintock F. A., Irwin G. R., In «Fracture Toughness Testing and Its
Applications», STP 381, pp. 84—113, ASTM, Philadelphia, 1965. Русский
перевод: в сб. «Прикладные вопросы вязкости разрушения», «Мир», М.,
1968.
80. Мусхелишвили Н. И., Сингулярные интегральные уравнения, М., 1946;
изд. 3, «Наука», М., 1968.
334 Дж. Райе
61. Мусхелишвили Н. И., Некоторые основные задачи математической тео-
теории упругости, Изд-во АН СССР, М., 1949; изд. 5, «Наука», М., 1966.
62. Mylonas С, In «Proceedings of the 11th International Congress on Applied
Mechanics, Munich», pp. 652—660 A964). Русский перевод: Механика,
№ 3 A09) A968).
63. Neuber E., Kerbspannungslehre, Springer, Berlin, 1937. Русский перевод:
Нейбер Г., Концентрация напряжений, Гостехиздат, 1947.
64. Neuber Н., /, Appl. Mech., 28 A961), 544—550. Русский перевод: Меха-
Механика, № 4 F8) A961).
65. Orowan E., In «Fatigue and Fracture of Metals» (Murray W. M., ed.),
pp. 139—167, Wiley, New York, 1952.
66. Paris P. C, In «Fatigue — An Interdisciplinary Approach» (Burke J. J.,
Reed N. L., Weiss V., eds.), pp. 107—132, Syracuse Univ. Press, Syracu-
Syracuse, New York, 1964.
67. Paris P. C, Sih G. C, In «Fracture Toughness Testing and Its Applications»,.
STP 381, pp. 30—76, ASTM, Philadelphia, 1965. Русский перевод: в сб.
«Прикладные вопросы вязкости разрушения», «Мир», М., 1968.
68. Peterson R. E., Stress Concentration Design Factors, Wiley, New York, 1953.
69. Prager W., Hodge P. G., Theory of Perfectly Plastic Solids, Wiley, New
York, 1951. Русский перевод: Прагер В., Ходж А., Теория идеально-
пластических тел, ИЛ, М., 1956.
70. Puttick К. Е., Philos. Mag., 4 A959), 964—969.
71. Rice J. R., In «Proceedings of the 1st International Conference on Fracture,
Sendai, 1965» (Yokobori Т., Kawasaki Т., Swedlow J. L., eds.), vol. 1,
pp. 283—308, Japanese Society for Strength and Fracture of Materials,
Tokyo, 1966.
72. Rice J. R., Intern. J. Fracture Mech., 2 A966), 426—447.
73. Rice J. R., A Path Independent Integral and the Approximate Analysis of
Strain Concentration by Notches and Cracks, /. Appl. Mech., 35 A968).
Русский перевод: № 4, 340.
74. Rice J. R., The Mechanics of Crack Tip Deformation and Extension by
Fatigue, In «Symposium on Fatigue Crack Growth», STP 415, ASTM, Phi-
Philadelphia, 1967.
75. Rice J. R., /. Appl. Mech., 34 A967), 287—298. Русский перевод: № 2, 32.
76. Rice J. R., Drucker D. C, Intern. J. Fracture Mech., 3 A967), 19—28.
77. Rice J. R., Rosengren G. F., /. Mech. Phys. Solids, 16 A968), 1—12.
78. Rice J. R., Sih G. C, /. Appl. Mech., 32 A965), 418—423. Русский пере-
перевод: № 2, 186.
79. Rogers H. C, Trans. Met. Soc. AIME, 218 A960), 498-506.
80. Rosenfield A. R., Dai P. K., Hahn G. Т., In «Proceedings of the 1st Inter-
International Conference on Fracture, Sendai, 1965» (Yokobori Т., Kawasa-
Kawasaki Т., Swedlow J. L., eds.), vol. 1, pp. 223—257, Japanese Society for
Strength and Fracture of Materials, Tokyo, 1966.
81. Sadowsky M. A., Sternberg E., /. Appl. Mech., 16 A949), 149—157.
82. Sanders J. L., /. Appl. Mech., 27 A960), 352.
83. Савин Г. Н., Концентрация напряжений около отверстий, Гостехиздат,
М.— Л., 1951; Распределение напряжений около отверстий, «Наукова
думка», Киев, 1968.
84. Schardin H., In «Fracture» (Averbach В. L., Felbeck D. К., Hahn G. Т.,
Thomas D. A., eds.), pp. 297—330, Wiley, New York, 1959. Русский пере-
перевод: в сб. «Атомный механизм разрушения», Металлургиздат, М., 1963.
85. Sih G. С, Paris Р. С, Erdogan F., /. Appl. Mech., 29 A962), 306-312.
Русский перевод: № 2, 101.
86. Smith E., In «Proceedings of the 1st International Conference on Fracture,
Sendai, 1965», (Yokobori Т., Kawasaki Т., Swedlow J. L., eds.), vol. 1,
pp. 133—152, Japanese Society for Strength and Fracture of Materials,
Tokyo, 1966.
87. Sneddon I. N., Proc. Roy. Soc. London, Ser. A, 187 A946), 229—260.
Гл. 3. Математические методы в механике разрушения 335
88. Sokolnikoff I. S., Mathematical Theory of Elasticity, McGraw-Hill, New
York, 1956.
89. Srawley.J. E., Brown W. F., In «Fracture Toughness Testing and Its Appli-
Applications», STP 381, pp. 133—193, ASTM, Philadelphia, 1965. Русский
перевод: сб. «Прикладные вопросы вязкости разрушения», «Мир», М.,
1968.
90. Srawley J. E., Jones M. H., Gross В., Experimental Determination of the
Dependence of Crack Extension Force on Crack Length for a Single Edge-
Notch Tension Specimen, NASA TN D-2396, 1964.
91. Stroh A. N.,,Aduan. Phys., 6 A957), 418.
92. Swedlow J. L., Yang A. EL, Williams M. L., In «Proceedings of the 1st In-
International Conference on Fracture, Sendai, 1965» (Yokobori Т., Kawasa-
Kawasaki Т., Swedlow J. L., eds.), vol. 1, pp. 259—282, Japanese Society for
Strength and Fracture of Materials, Tokyo, 1966.
93. van Bueren H. G., Imperfections in Crystals, North-Holland, Amsterdam,
1960. Русский перевод: Ван Бюрен Г., Дефекты в кристаллах, ИЛ, М.,
1962. * "
94. Wang A. J., Quart. Appl. Math., 11 A953), 427-438.
95. Williams M. L., /. Appl. Mech., 24 A957), 109.
96. Williams M. L., /. Appl. Mech., 28 A961), 78. Русский перевод: № 1, 93.
97. Williams M. L., Trans. ASME, Ser. D, /. Basic Eng., 84 A962), 542—546.
(Обсуждение работы: Erdogan F., Tuncel 0., Paris P. C, «An Experimen-
Experimental Investigation of the Crack Tip Stress Intensity Factor in Plates Under
Cylindrical Bending».)
98. Yoffe E. H., Philos. Mag., 42 A951), 739.
ГЛАВА 4
МАКРОСКОПИЧЕСКИЕ КРИТЕРИИ
ПЛАСТИЧЕСКОГО ТЕЧЕНИЯ
И ХРУПКОГО РАЗРУШЕНИЯ
Б. Поль
I. ВВЕДЕНИЕ 339
ЧАСТЬ ПЕРВАЯ. ТЕКУЧЕСТЬ ПЛАСТИЧНЫХ МЕТАЛЛОВ
И. ПЛАСТИЧЕСКОЕ ТЕЧЕНИЕ ПРИ ОДНООСНОМ НАПРЯЖЕННОМ
состоянии . . 340
A. Условный предел текучести * 341
Б. Точка текучести 342
B. Факторы, влияющие на предел текучести . . . -.v ,343
Г. Разгрузка и старение . , 345
III. КРИТЕРИИ НАЧАЛА ТЕКУЧЕСТИ ДЛЯ ИЗОТРОПНЫХ ПЛАСТИЧ-
ПЛАСТИЧНЫХ МЕТАЛЛОВ ПРИ НЕОДНООСНЫХ НАПРЯЖЕННЫХ
состояниях 351
A. Состояние текучести и поверхность текучести 351
Б. Критерии текучести, не зависящие от давления 353
B. Критерий максимального'касательного напряжения (критерий
Треска) . 359
Г. Критерий текучести Мизеса 361
Д. Физическая интерпретация критерия Мизеса ....... 365
Е. Переход от поверхностей текучести Мизеса к поверхностям
текучести Треска 369
Ж. Критерии текучести, зависящие от давления 370
IV. НАЧАЛО ТЕКУЧЕСТИ АНИЗОТРОПНЫХ МАТЕРИАЛОВ ....". 372
A. Общие соображения 372
Б. Обобщенные напряжения и деформации 373
B. Квадратичные критерии текучести для анизотропных материа-
материалов ...... 374
V. МГНОВЕННЫЕ КРИТЕРИИ ТЕКУЧЕСТИ И ОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ
СООТНОШЕНИЯ] 378
A. Начальная и мгновенная поверхности текучести 378
Б. Определяющие соотношения за пределом текучести . .... 379
B. Теории деформационного упрочнения 383
'VI. ЭКСПЕРИМЕНТЫ ПО ТЕКУЧЕСТИ МЕТАЛЛОВ ПРИ ДВУХОСНОМ
НАПРЯЖЕННОМ СОСТОЯНИИ *. 387
A. Вводные замечания 387
Б. Экспериментальное определение поверхностей текучести . . . 388
B. Поиски углов на поверхности текучести 401
Г. Выводы из экспериментов . ., 404
Гл. 4. Критерии пластического течения и хрупкого разрушения 337
VII. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ФАКТОРЫ, ВЛИЯЮЩИЕ НА ТЕКУЧЕСТЬ
ПРИ НЕОДНООСНЫХ НАПРЯЖЕННЫХ СОСТОЯНИЯХ 405
A. Влияние скорости нагружения 405
Б. Влияние облучения нейтронами 406
B. Эффекты старения 407
Г. Температурные эффекты 408
ЧАСТЬ ВТОРАЯ, ХРУПКОЕ РАЗРУШЕНИЕ ПРИ "НЕОДНООСНЫХ НАПРЯ-
НАПРЯЖЕННЫХ СОСТОЯНИЯХ
VIII. ОБЩИЕ ЗАМЕЧАНИЯ О ХРУЦКОМ РАЗРУШЕНИИ ПРИ НЕОДНО-
НЕОДНООСНЫХ НАПРЯЖЕННЫХ СОСТОЯНИЯХ 408
IX. КРИТЕРИЙ РАЗРУШЕНИЯ КУЛОНА — МОРА 409
A. Теория разрушения Кулона 409
Б. Обобщение критерия разрушения Кулона, данное Мором 410
B. Теория Кулона — Мора ;.........'. 414
X. ОБОБЩЕННЫЕ ПИРАМИДАЛЬНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ РАЗРУШЕ-
РАЗРУШЕНИЯ для: изотропных материалов . . . '.."... 424
A. Общие уравнения 424
Б. Шестигранная пирамидальная поверхность разрушения . . . 427
B. Известные частные случаи 434
XI. ПРИЛОЖЕНИЯ К РЕАЛЬНЫМ МАТЕРИАЛАМ 436
A. Хрупкие металлы 437
Б. Зернистые материалы и грунты . . . . s % 440
B. Бетон и искусственный камень 443
Г. Горные породы 446
Д. Заключительные замечания по экспериментам 447
ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ. СВЯЗЬ МЕЖДУ ТЕОРИЕЙ ГРИФФИТСА И МАКРОСКОПИ-
МАКРОСКОПИЧЕСКИМИ КРИТЕРИЯМИ РАЗРУШЕНИЯ
XII. КРИТЕРИЙ ГРИФФИТСА ДЛЯ ДВУХОСНЫХ НАПРЯЖЕННЫХ
состояний . 448
XIII. НАЧАЛЬНЫЕ И МГНОВЕННЫЕ КРИВЫЕ РАЗРУШЕНИЯ 452
A. Эксперименты с медленно распространяющимися трещинами 452
Б. Понятие мгновенных кривых разрушения 453
B. Обобщение теории Гриффитса для нахождения мгновенных
кривых разрушения 454
Г. О росте и форме ветвления трещин 456
Д. О непрерывном разрастании мгновенных кривых разрушения 461
XIV. СМЫСЛ МГНОВЕННЫХ КРИВЫХ РАЗРУШЕНИЯ ПРИ ИСПЫ-
. ТАНИЯХ НА СЖАТИЕ 463
А. Отношение прочности на сжатие к прочности на разрыв 463
Б. Концевые эффекты в испытаниях на сжатие 463
¦ В. Определение угла разрушения по теории Кулона — Мора . . 467
ЧАСТЬ ЧЕТВЕРТАЯ. ЗАКЛЮЧЕНИЕ
XV. ИСТОРИЧЕСКИЙ ОБЗОР 468
XVI. ЗАКЛЮЧЕНИЕ, ВЫВОДЫ И НАПРАВЛЕНИЯ ДАЛЬНЕЙШИХ
ИССЛЕДОВАНИЙ 477
А. Заключение и выводы . . 477
'22-0700
338 Б. Поль
Б. Направления дальнейших исследований 478
ПРИЛОЖЕНИЕ А. ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ОБОЗНАЧЕНИЯ КОМПОНЕНТ
НАПРЯЖЕНИЙ „ , . , . 479
ПРИЛОЖЕНИЕ Б. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ПЛОСКОГО НАПРЯЖЕННОГО
СОСТОЯНИЯ. КРУГ МОРА 483
ПРИЛОЖЕНИЕ В. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ТРЕХМЕРНОГО НАПРЯ-
НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ , . « 486
ПРИЛОЖЕНИЕ Г. СУЩЕСТВОВАНИЕ ГЛАВНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ
И ИХ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ......... , щ 488
ПРИЛОЖЕНИЕ Д. КРУГИ МОРА ДЛЯ ТРЕХМЕРНЫХ НАПРЯЖЕН-
НАПРЯЖЕННЫХ состояний ..»..»......>...*.,,,,,« 492
ПРИЛОЖЕНИЕ Е. НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА ДЕВИАТОРА НАПРЯ-
НАПРЯЖЕНИЙ , . . « , ш . . • « 497
ПРИЛОЖЕНИЕ Ж. СРЕДНЕКВАДРАТИЧНОЕ КАСАТЕЛЬНОЕ
НАПРЯЖЕНИЕ •.•»,••,•»««.'.,.,«• * •»• t •• 502
ПРИЛОЖЕНИЕ 3. ПАРАМЕТРЫ ПИРАМИДЫ КАК ФУНКЦИИ
ХАРАКТЕРИСТИК ПРОЧНОСТИ МАТЕРИАЛА *.......,. 504
ПРИЛОЖЕНИЕ И. ВЫВОД И ОБОБЩЕНИЕ КРИТЕРИЯ ГРИФФИТСА
ДЛЯ РАЗРУШЕНИЯ В УСЛОВИЯХ ДВУХОСНОГО НАПРЯЖЕН-
НАПРЯЖЕННОГО состояния ....,..,.••, . . . „ 505
ОБОЗНАЧЕНИЯ . # . „ „ . 510
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 513
Изложены гипотезы, служащие для определения макроскопических
напряженных состояний, приводящих к началу течения изотропных и ани-
анизотропных металлов, а также дан обзор экспериментальных результатов.
Описаны начальные и мгновенные поверхности текучести.
Показано, что в хрупком состоянии материалы должны разрушаться
в соответствии с некоторым макроскопическим критерием разрушения.
Напряженное состояние в момент разрушения для хрупких материалов
зависит от среднего нормального давления, в отличие от пластичных мате-
материалов, которые «нечувствительны к давлению». Состояния разрушения для
изотропных хрупких материалов удобно описывать пирамидальными поверх-
поверхностями (в пространстве главных напряжений), пересекаемыми соответ-
соответствующими поверхностями, отсекающими область допустимых значений растя-
растягивающих напряжений. Самым простым «пирамидальным критерием», не учи-
учитывающим влияния промежуточного главного напряжения, является крите-
критерий Кулона — Мора, который дает удовлетворительную точность для мно-
многих хрупких материалов, хотя и имеет ограниченное применение.
Показано, что пирамидальные поверхности макроскопического разруше-
разрушения можно рассматривать как следствие наличия малых «гриффитсовых
дефектов».
Показано также, каким образом первоначальные представления Гриф-
фитса можно развить так, чтобы объяснить существование «мгновенных по-
поверхностей разрушения», аналогичных «мгновенным поверхностям текучести»
для пластичных металлов. Дан обзор экспериментальных результатов
по хрупким металлам, бетону, природному камню, грунтам и другим зерни-
зернистым материалам.
Представлен исторический обзор развития основных представлений;
в приложениях изложены основы анализа напряжений, необходимые для
того, чтобы следить за основными рассуждениями.
Гл. 4. Критерии пластического течения и хрупкого разрушения 339
I. ВВЕДЕНИЕ
При стационарных изотермических условиях поведение мате-
материалов можно грубо подразделить на пластическое (один край-
крайний случай) и хрупкое (другой крайний случай); тем не менее
многие материалы можно заставить перейти из вязкого (пластич-
(пластичного) состояния в хрупкое или наоборот.
Известно, что один и тот же материал может находиться в хруп-
хрупком или пластичном состоянии в зависимости от таких факторов,
как температура, давление, скорость нагружения и т. д.
Поэтому, строго говоря, речь должна идти о хрупком или пласти-
пластическом состоянии материалов, а не о хрупких или пластичных
материалах [119]. Однако для краткости мы будем иногда поль-
пользоваться последними терминами в тех случаях, когда это не
может привести к недоразумению.
Главная цель этой главы — определить те напряженные
состояния, которые вызывают течение пластичных материалов и раз-
разрушение хрупких. Непосредственно не очевидно, что напряжен-
напряженное состояние само по себе должно определять начало текучести
или разрушения. Казалось бы, имеет смысл допустить, что при
этом существенны и другие факторы, например временные и тем-
температурные эффекты, градиенты напряжений, особенности микро-
микроструктуры, масштабный эффект и т. д..
Как будет, однако, видно, существует практически важный
диапазон условий и широкий класс материалов, для которых эти
эффекты имеют второстепенное значение. При этом можно в зави-
зависимости от природы материала сформулировать либо критерий
текучести (yield criterion), который выделяет напряженные
состояния, характеризующие начало пластического течения, либо
критерий разрушения (fracture criterion), который характеризует
наступление хрупкого разрушения. Иногда, чтобы охватить
и критерий текучести, и критерий разрушения, используется выра-
выражение «критерий потери несущей способности» (failure criterion).
В этой главе намеренно оставлены за рамками изложения
процессы усталостного и вязкого разрушения, а также влияние
температурных и временных эффектов, проявляющееся при пол-
ползучести и релаксации. Мы, сверх того, примем макроскопическую
точку зрения и не будем связывать наблюдаемые факты с явле-
явлениями на атомном или молекулярном уровне, хотя и попытаемся
показать связь между макроскопическими критериями разруше-
разрушения и гриффитсовской теорией разрушения, учитывающей влияние
мельчайших несовершенств.
Глава состоит из четырех основных частей: «Текучесть пла-
пластичных металлов», «Хрупкое разрушение при неодноосных напря-
напряженных состояниях», «Связь между теорией Гриффитса и макро-
макроскопическими критериями разрушения» и «Заключение».
22*
340 Б. Поль
Читатель, который предпочитает сначала сориентироваться
в истории предмета, а уже затем углубляться в его детали, может
начать сразу с разд. XV.
Стремясь в разумных пределах сделать эту главу по возмож-
возможности замкнутой, мы — для удобства тех, кто не вполне знаком
с анализом напряжений, — обсудили в приложениях некоторые
важные понятия (в том числе преобразование напряжений) и ре-
результаты. Этот материал можно найти во многих общеизвестных
книгах, но здесь он подобран и изложен в виде, непосредственно
подходящем к основному тексту.
Формулы занумерованы таким образом, что C.14), например,
обозначает формулу 14 разд. III. Буква (от А до И) перед номе-
номером формулы или рисунка означает, что формула или рисунок
относятся к соответствующему приложению; например, (Д.З) озна-
означает формулу 3 приложения Д.
Часть первая
ТЕКУЧЕСТЬ ПЛАСТИЧНЫХ МЕТАЛЛОВ
II. ПЛАСТИЧЕСКОЕ ТЕЧЕНИЕ
ПРИ ОДНООСНОМ НАПРЯЖЕННОМ СОСТОЯНИИ
В этой главе мы будем большей частью иметь дело с весьма
идеализированными, так называемыми упругопластическими или
упругохрупкими материалами при неодноосных напряженных
состояниях. Усложнения, вносимые неодноосностыо напряженного
состояния, заставляют предельно упрощать поведение материала
для того, чтобы иметь возможность решать практически важные
задачи. Такие упрощения или идеализации обычно подсказываются
поведением материала при одноосном напряженном состоянии,
которое, конечно, является частным случаем неодноосного нагру-
жения. Если при подобной идеализации мы отбросим слишком
многие существенные признаки, то выбранная модель окажется
неадекватной уже для • простейших изо всех неодноосных состоя-
состояний, а именно для простого растяжения или сжатия, и едва ли
можно ожидать, что она будет лучше описывать более сложные
состояния. В последующем кратком обзоре поведения материала
при одноосном напряженном состоянии мы выделим те моменты,
которые наиболее существенны для дальнейшего обсуждения
течения и разрушения при неодноосных напряженных состояниях.
Мы старались иллюстрировать изложение фактическими экспе-
экспериментальными данными (заимствованными из литературы), а не
схематическими диаграммами, как это зачастую делается. Если
нужно подчеркнуть отдельные моменты, то схематические диа-
диаграммы, конечно, полезны, но крайне важно, чтобы при попытке
Гл. 4. Критерии пластического течения и хрупкого разрушения 341
выделить данную особенность порядок величины рассматривае-
рассматриваемых эффектов не оказался непропорционально искаженным. Это
особенно важно в тех случаях, когда мы хотим идеализировать
сложную ситуацию, как это имеет место при формулировке крите-
критериев текучести и разрушения. Если говорят: «мы пренебрегаем
неупругими эффектами» или «следует учесть эффект Баушингера»,
то справедливость таких утверждений нельзя оценить, опираясь
на схематические диаграммы. Фактические же экспериментальные
данные по этим вопросам придают силу подобным утверждениям
и позволяют читателю самому судить о приемлемости данной
идеализации.
Предполагая, что читатель в общих чертах знаком с тем, как
проводятся испытания на сжатие и растяжение, мы укажем только
результаты таких испытаний. Описание методики экспериментов
и более полное обсуждение поведения материала при одноосном
напряженном состоянии читатель может найти во многих совре-
современных работах (например, [107, 174]) и более старых, но весьма
содержательных работах [119, 181].
А. Условный предел текучести
При весьма низком уровне приложенных напряжений осевая
деформация (удлинение на единицу длины) пропорциональна
напряжению. При постепенном возрастании нагрузки достигается
точка, называемая пределом пропорциональности, в которой
обнаруживаются заметные отклонения от пропорциональности. Где
именно будут обнаружены эти отклонения от пропорционально-
180
160
.120
Рис. 1. Сравнение диаграмм дефор-
деформирования нескольких распростра-
распространенных материалов [1].
По оси абсцисс — удлинение, дюйм/дюйм;
по оси ординат.— напряжение, 1000
Фунт/дюйм2 A000 фунт/дюйм2 « 70 кГ/см2);
а — предел текучести при 0,2% остаточ-
остаточной деформации; б — предел текучести
по секущей.
]Сталь AISI 8630 (термо-
(термообработка до прочности
^10500кГ/см2)-
Сталь AISI8630
[термообработка ~
0,004 0,008
342
Б. Поль
сти, в значительной степени зависит от чувствительности исполь-
используемых приборов; очевидно поэтому, что предел пропорциональ-
пропорциональности не обязательно является свойством материала.
Если уровень напряжений не слишком велик, то возникающие
под действием напряжений деформации исчезают после снятия
напряжений. Если, однако, материал нагружается выше опреде-
определенного предела, то после снятия нагрузки будут обнаруживаться
остаточные деформации. Предел текучести определяется как
напряжение, необходимое для создания определенного уровня
остаточных деформаций, например 0,002; в этом случае обычно
говорят об {условном) пределе текучести при 0,2% отклонении.
На рис. 1 представлены типичные значения условных пределов
текучести, определенные описанным образом.
Б. Точка текучести
Во многих широко используемых материалах, в частности
малоуглеродистых сталях, практически не обнаруживается ника-
никаких пластических деформаций до достижения определенного
уровня напряжений, а затем возникают достаточно большие пла-
пластические деформации при небольшом приросте напряжений (или
даже без всякого их прироста).
При определенных обстоятельствах напряжения будут спадать
по величине, прежде чем начнется непрерывное пластическое
течение при практически постоянных напряжениях. Некоторые
весьма выразительные примеры появления такой точки текучести
представлены на рис. 2. Уровень напряжений, при котором
нагрузка неожиданно падает, называется верхним пределом теку-
текучести, а уровень, до которого он падает, называется нижним пре-
пределом текучести. Площадка на диаграмме деформирования назы-
называется удлинением на пределе текучести. Для обычных конструк-
60-
50
40
30
20
10
0
Рис. 2. Диаграммы деформирования
отожженной проволоки диаметром
0,05 дюйма A,27 мм) из железа Армко,
показывающие влияние предваритель-
предварительного деформирования на характер те-
текучести.
а — после отжига; б — д — после предвари-
предварительного изгиба по цилиндрическим поверх-
поверхностям с уменьшающимися радиусами 15, 10,
9,25 и 8,25 дюйма C8, 25,4, 23,4 и 22 см) со-
соответственно (по Хатчинсону, согласно [174]).
По оси абсцисс — удлинение;" по оси орди-
ординат — напряжение, кГ/мм2.
Гл. 4. Критерии пластического течения и хрупкого разрушения 343
_(У 0,2 0,3 0,4
50
40
<
30
20
10
Г
1
J
/
/
о /
,1
2
\
.0 0,001 0,002 0,003 0,004 0,005 0,006 0,007 0,008 0,009
Рис. <3. Диаграмма деформирования обычной малоуглеродистой стали (опы-
(опыты автора).
По оси абсцисс — шкала деформаций (вверху для верхней кривой, внизу для нижней
кривой); по оси ординат — напряжение, фунт/дюйм2 A фунт/дюйм2« 0,07 кГ/см2);
1 — верхний предел текучести; 2 — нижний предел текучести.
ционных сталей наблюдается меньшее различие между верхним
и нижним пределами текучести, как показано на рис. 3.
Мы отмечали, что отчетливо выраженная точка текучести
существует для малоуглеродистых сталей, но она наблюдается
и для других материалов, в том числе алюминиевых сплавов, мед-
медных сплавов, железа, молибдена, ниобия, тантала, вольфрама,
цинка и кадмия 1174, стр. 11; 191, стр. 63].
Верхний предел текучести не является свойством материала,
как это показывает рис. 2, а зависит от ряда факторов, в том
числе типа испытательной машины, термообработки образца,
центровки нагрузки, формы образца, температуры испытания,
размера зерна и других факторов [119]. С другой стороны,
нижний предел текучести значительно дучше воспроизводится
в экспериментах и поэтому может считаться свойством материала.
В. Факторы, влияющие на предел текучести
На величину предела текучести (обозначаемого впоследствии
через Y) влияют многочисленные факторы, которые указаны ниже.
1. Температура
С ростом температуры выше комнатной Y уменьшается и точка
текучести выражена менее отчетливо [103; 181, 174, стр. 32, 51].
С понижением температуры предел текучести заметно возрастает;
344 В. Поль
например, Йокобори [191, стр. 64] указывает, что предел теку-
текучести стали при температуре жидкого воздуха вчетверо больше,
чем при комнатной температуре.
2 Скорость деформации
Имеется тенденция к увеличению Y с ростом скорости дефор-
деформации, но при этом обнаруживается громадная разница между
различными материалами. Результаты соответствующих исследо-
исследований можно найти в сборнике обзоров под редакцией Хаффинг-
тона [79] и в статье [104].
3. Размер зерна
Зависимость Y от размера зерна, по-видимому, еще не вполне
выяснена, но существует тенденция к увеличению предела теку-
текучести с уменьшением размера зерна [177; 191, стр. 66].
4. Форма образцов
Верхний предел текучести можно значительно понизить, сделав
скругления вблизи концов цилиндрического образца весьма
острыми [119] или взяв образец'В виде широкого тонкого листа.
Нижний предел текучести сравнительно нечувствителен к этим
усовершенствованиям.
5 Запаздывание текучести
Йокобори [191, стр. 64] указывает, что пластическое течение
может неожиданно начинаться при напряжениях, несколько
меньших, чем при обычных испытаниях, по истечении некоторого
времени запаздывания, меняющегося от секунд до часов. Он
сообщает также о явлении запаздывания текучести, обнаруженном
другими исследователями в случае высокоскоростного нагру-
жения при напряжениях, превышающих обычный статический
предел текучести.
6. Ползучесть и релаксация
Общеизвестно, что деформации материалов постепенно возра-
возрастают со временем при постоянном уровне напряжений (ползучесть)
или же напряжения уменьшаются со временем пря постоянной
деформации (релаксация). Ползучесть и релаксация становятся
все более заметным по мере увеличения уровня напряжений и тем-
температуры. Когда температура и уровень напряжений настолько
низки, что этими явлениями можно пренебречь, мы будем назы-
называть поведение материала не зависящим от времени; именно такое
поведение будет главным образом рассматриваться.в этой главе.
Поэтому в настоящем разделе широко обсуждается текучесть ме-
металлов и практически ничего не говорится о полимерах и органи-
органических материалах. Связано это с тем, что у металлов имеется
Гл. 4. Критерии пластического течения и хрупкого- разрушения 345
значительная область приложений, в которой временными эффек-
эффектами с достаточной степенью точности можно пренебречь. В то же
время у других упомянутых материалов в наиболее практически
важных интервалах напряжений и температур временные зави-
зависимости выражаются весьма отчетливо. Относительно обширной
литературы по временным эффектам см. [49, 50, 130, 131].
7. Гидростатическое давление
Обширные результаты, полученные Бриджменом, в области
течения и разрушения при больших гидростатических давлениях
объединены в его книге [18]. Из опытов на растяжение и сжатие
при наложении гидростатического давления до 400 000 фунт/дюйм2
B8 000 ат) Бриджмен сделал вывод, что гидростатическое давление
не оказывает заметного влияния на начало текучести, т. е. напря-
напряжение начала текучести по существу не зависит от гидростати-
гидростатического давления. Действительно, показательный эффект гидро-
гидростатического давления, обнаруженный Бриджменом, состоит
в резком увеличении пластичности при высоких давлениях.
Например, при давлении в 1,42-106 фунт/дюйм2 A05 ат) истин-
истинные деформации в шейке стального образца при растяжении
достигают 4,4 «106.
8. Облучение
Облучение материалов (главным образом нейтронами) в ядер-
ядерных реакторах оказывает влияние, подобное деформационному
упрочнению, а именно повышение предела текучести и появление
отчетливо выраженной точки текучести. Например, у Чалмерса
[21, стр. 320] отмечена такая точка текучести при напряжении
100 000 фунт/дюйм2 G000 кГ/см2) для стали, не имевшей в необ лу-
лученном состоянии точки текучести при пределе текучести
30 000 фунт/дюйм2 B100 кГ/см2). Дальнейшие сведения по этому
вопросу можно найти в работах [43, 133].
Г. Разгрузка и старение
Разграничить упругое и пластическое поведение можно в прин-
принципе только следующим образом: разгрузить образец и иссле-
исследовать его на наличие остаточных напряжений и деформаций.
Практически же чаще пластические деформации рассматриваются
как избыточные деформации по сравнению с теми, которые возник-
возникли бы, если бы материал оставался идеально упругим. Иными сло-
словами, принято определять пластическую деформацию ер формулой
8р *= 8 - а/?, BЛ)
где 8 — полная деформация, наблюдаемая при напряжении 0,
а ? — модуль Юнга. Строго ,говоря, следовало бы называть ер
346
Б. Поль
избыточной пластической деформацией. Избыточная пластиче-
пластическая деформация была бы в точности равна остаточной деформации,
если бы разгрузка материала от напряжения а происходила
вдоль прямой с угловым коэффициентом Е на диаграмме дефор-
деформирования. Практически же путь разгрузки близок к этой пря-
прямой, но не вполне с ней совпадает. Поэтому будет существовать
различие между остаточной деформацией и избыточной пластиче-
пластической деформацией; оно может оказаться существенным при весьма
точных опытах с малыми избыточными деформациями. В силу
этого желательно рассмотреть подробнее поведение материалов
при разгрузке из пластического состояния и повторном нагруже-
нии после пластической деформации.
1. Изменение модуля упругости
Если происходит разгрузка из напряженного состояния, лишь
слегка выходящего за предел упругости, то линия разгрузки будет
2000
80 100 120 140
Рис. 4. Испытание на растяжение отожженной меди высокой проводимости
без примеси кислорода с разгрузкой от напряженного состояния, несколько
Выходящего за предел упругости [103].
Диаметр 1,000 дюйм; база 17,9 см.; среднее увеличение экстензометра Гугенбергера:
нагрузка 1925, разгрузка 1895; длина деления 1 мм. По оси абсцисс — сумма показаний
экстензометра Гугенбергера в делениях; по оси ординат — нагрузка, фунты A фунт ?=:
^ 0,453| кГ). 1 — модуль = 16,3-106 фунт/дюйм2; 2 — предел упругости = 1800
фунт/дюйм2; 3 — модуль = 15,7 • 10е фунт/дюйм2 A фунт/дюйм2» 0,07 кГ/см2).
Гл. 4. Критерии пластического течения и хрупкого разрушения 347
Рис. 5. Петля гистерезиса отожженной ме-
меди после пластической вытяжки на 1%
[103].
По оси абсцисс — осевая деформация A0~б); по
оси ординат — нагрузка, 1000 фунт («453 кГ);
светлые кружки соответствуют нагрузке, тем-
темные — разгрузке.
100 200 300 400 500
прямой, как показано на рис. 4, почти (но не в точности) парал-
параллельной линии первоначального нагружения. На этом рисунке
модуль Юнга при разгрузке на 3,8% меньше начального модуля
Юнга в стадии нагружения. Если, однако, материал деформирован
далеко за предел упругости, кривая разгрузки будет слегка
искривленной, и ее средний наклон будет значительно меньше,
чем начальный наклон (см. рис. 12.2 в работе [103]). Если такой
сильно деформированный материал повторно нагружается до
напряжения, меньшего максимального достигавшегося ранее
напряжения, то его можно разгрузить без появления остаточных
деформаций, но может образоваться петля гистерезиса, как пока-
показано на рис. 5. Это явление называется упругим гистерезисом,
упругим последействием [181] или неупругим поведением [193].
2. Разгрузка и эффекты старения
Уже было указано, что когда материал деформирован до пла-
пластического состояния, разгружен и затем вновь нагружен, его
нагрузка и разгрузка происходят почти упруго. Более того, при
повторном нагружении будет существовать сравнительно четко
выраженная точка текучести в момент, когда напряжение дости-
достигает максимального значения, осуществлявшегося при предше-
предшествующем деформировании. Это явление, иллюстрируемое рис. б,
имеет место даже для материалов, у которых нет четкой точки
текучести при первоначальном нагружении из отожженного
состояния.
Если повнимательнее рассмотреть кривые повторной нагрузки
на рис. 6, то можно заметить, что предел пропорциональности
при повторном нагружении несколько ниже достигавшегося ранее
максимального напряжения, однако кривая деформирования ока-
оказывается практически гладким продолжением кривой начального
348
Б. Поль
Напряжение
2(L
i
Ю I20
<5b
30
-o
40
0 —* Удлинение'/,
f-2 . -1 0
Г
1
M
Напряжение
¦<*
420
10 л
ж
1 ¦ J_^
m
K5 O—
i
2 Cf
г г
Удтнение%№?/*
J 1
ff
\l
f
Рис 6. Диаграммы деформирования при растяжении и последующем сжатии
меди при нормальной температуре (испытания Девиса, Роуза и Надаи).
Кривые: А — растяжение мягкой отожженной меди; В — сжатие меди, предварительно
растянутой на 1,5%; С — сжатие меди, предварительно растянутой на 2,5%; D — сжатие
меди, предварительно растянутой на 3,5%; Е — сжатие меди; предварительно растяну-
растянутой на 5%; F — сжатие меди после вытяжки от диаметра 1,031 до 1,000 дюйма; G — сжа-
сжатие меди после вытяжки от диаметра 1,0625 до 1,000 дюйма; верхняя левая кривая —
диаграмма деформации мягкой отожженной меди при комнатной температуре. Отметим,
что начало кривой,G смещено относительно других кривых [119J.
нагружения при напряжениях* немного превосходящих макси-
максимальные напряжения, достигавшиеся в фазе предварительного
нагружения. Этот ранний «загиб» кривой повторного нагружения
приводит к пониженным значениям предела пропорциональности
и предела пластичности по избыточным деформациям (для малых
избыточных деформаций) материалов, пластически деформирован-
деформированных до испытаний.
Более того, предел пропорциональности при повторном нагру-
жении существенно зависит от интервала времени между разгруз-
разгрузкой и повторным нагружением. Например, на рис. 7 показано,
что после краткого периода старения у малоуглеродистой листо-
листовой стали, предварительно деформированной холодной прокаткой,
вновь появляется точка текучести, причем со временем предел
текучести заметно возрастает. Было отмечено, что даже небольшое
увеличение температуры приводит к ускорению процесса старе-
старения; например, после старения в течение суток'при 100° С полу-
получается тот же предел текучести, что и после старения в течение
трех месяцев при комнатной температуре. Аналогичным образом
старение в течение лишь одной минуты при 200° С вызывает резкие
изменения точки текучести.
Для того чтобы преодолеть неоднозначность предела текуче-
текучести, вызываемую явлением старения, Лоде [100] предложил опре-
определять предел текучести предварительно деформированного образ-
образца, экстраполируя кривую повторной нагрузки назад до пере-
Гл. 4. Критерии пластического течения и хрупкого разрушения 349
60
60
АО
30
20
10
0
60
50
40
30
20
10
• О
60
60
40
30
20
10
81-
7-
If
if
/Z
!J
1ч
I
5%
Рис. 7. Диаграммы деформирования малоуглеродистой листовой стали, про-
прокатанной до деформации 1% после старения в течение указанного времени
при трех различных температурах. Виден более быстрый возврат точки
текучести при высоких температурах старения [90].
По оси абсцисс — деформация на базе 2 дюйма E,08 см), по оси ординат — напряжение,
1000 фунт/дюйм2 (^70 кГ/см2); на верхнем рисунке — старение при комнатной темпера-
температуре; на среднем — при 100° С, на нижнем — при 200° С,
сечения с линией предварительной «упругой» разгрузки. Мы
будем называть такой способ определения предела текучести
«методом экстраполяции Лоде». Этот метод использовали Тейлор
и Квинни [173] в знаменитой серии экспериментов по текучести
при двухосном напряженном состоянии (см. рис. 8) и многочислен-
многочисленные исследователи после них (см. обсуждение экспериментов
в разд. VI). На рис. 8 Е — точка отклонения от линейной упру-
упругости при повторном нагружении, а С — точка, в которой кривая
повторной нагрузки переходит в нормальную кривую деформи-
деформирования, получающуюся, если не допускать разгрузки. Видно,
что, например, отрезок А5С^ при экстраполяции назад попадает
в точку Ак1 соответствующую напряжению текучести, достигну-
350
Б. Поль
0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0
Рис. 8. Медная проволока; начальная длина 9,9 дюйма («25,1 см), диаметр
0,127 дюйма («0,323 см). Метод экстраполяции Лоде [173].
По оси абсцисс — удлинение проволоки, дюймы; по оси ординат — нагрузка, действую-
действующая на проволоку, фунты A фунт «i 0,453 кГ).
тому перед началом предыдущей разгрузки; точку Ak принято
считать пределом текучести, соответствующим повторному нагру-
жению из точки Z?4.
3. Эффект Баушингера
На рис. 6 показаны диаграммы деформирования для медных
стержней, предварительно растянутых, разгруженных, а затем
вновь нагруженных сжимающей нагрузкой. Очевидно, при сжа-
сжатии, следующим за растяжением, получается значительное сни-
снижение абсолютной величины предела текучести при сжатии; при
этом фактически исчезает отчетливо выраженная точка текучести.
Этот эффект был впервые отмечен в 1886 г. Баушингером (см.
[119]). Эффектом Баушингера часто называют явление снижения
предела текучести при повторной нагрузке в условиях неодноос-
неодноосного напряженного состояния, когда направление повторной
нагрузки не совпадает с направлением первоначальной нагрузки.
Практически же этот термин иногда используется для того, чтобы
отметить снижение предела текучести при повторной нагрузке
в том же направлении [103, стр. 385].
Большинство пластичных металлов имеет примерно одинаковые
кривые «истинное напряжение — истинная деформация» при рас-
растяжении и сжатии, если испытания проводятся в отожженном
состоянии [174, стр. 48]; эффект Баушингера нарушает эту сим-
Гл. 4. Критерии пластического течения и хрупкого разрушения 351
метрию после выхода в пластическую область. Как мы увидим ниже
(разд. V—VII), такое нарушение симметрии имеет важные послед-
последствия в отношении критериев текучести материалов с деформа-
деформационным упрочнением при неодноосных напряженных состоя-
состояниях.
III. КРИТЕРИИ НАЧАЛА ТЕКУЧЕСТИ ДЛЯ ИЗОТРОПНЫХ
ПЛАСТИЧНЫХ МЕТАЛЛОВ ПРИ НЕОДНООСНЫХ НАПРЯЖЕННЫХ
СОСТОЯНИЯХ
А. Состояние текучести и поверхность текучести
В разд. II было показано, что понятие предела текучести не
вполне однозначно. Например, предел текучести можно опреде-
определить по избыточной деформации, по методу экстраполяции Л оде
и — идеальный, но наименее практичный метод — при помощи
процесса нагрузки и разгрузки. Независимо от того, какое опре-
определение используется, на предел текучести будут в некоторой
степени влиять временные и температурные эффекты — ползучесть г
релаксация, запаздывающая текучесть и старение. При этих
обстоятельствах пурист захочет вовсе отказаться от такого «вы-
«вымышленного» предела, однако инженер или конструктор, который
повседневно вынужден принимать решения относительно «рабо-
«рабочего уровня напряжений», осмелится заметить, что несмотря на
все указанные затруднения, существует определенное качествен-
качественное изменение в механическом поведении металлов, достаточно
резко отражающееся на диаграмме деформирования.
Это изменение поведения характеризуется появлением оста-
остаточных деформаций в узком интервале деформаций, в котором
наклон диаграммы деформирования резко изменяется. Оно ясно
видно почти на каждой кривой напряжение — деформация, при-
приведенной в разд. II.
Поэтому наша точка зрения состоит в том, что существует
широкий и практически важный диапазон материалов и условий,
для которых температурные и временные эффекты имеют второ-
второстепенное значение и в которых имеет место резкий переход от
вполне упругого поведения (без остаточных деформаций) к упру-
гопластическому (при разгрузке появляются остаточные дефор-
деформации). Такой идеализированный материал при изотермических
условиях будет под нагрузкой деформироваться без проявления
временных эффектов с резко выраженным переходом от упругого
к упругопластическому поведению при точно определенном напря-
напряженно-деформированном состоянии, называемом в дальнейшем
состоянием текучести.
352 Б. Поль
Можно понять, что градиенты напряжений и деформаций или
наличие моментных напряжений могут влиять на состояние теку-
текучести. Однако эти эффекты обыкновенно маскируются упомяну-
упомянутыми выше.временными эффектами, которые приводят к появлению
«полосы разброса» у пограничного состояния, появляющейся при
макроскопических измерениях. Вполне возможно, что при рас-
рассмотрении микроскопических явлений (например, у конца острой
трещины или при вибрациях с особо малой длиной волны) нельзя
применять понятие текучести, установленное из макроскопичес-
макроскопических наблюдений, не изменив его. Мы будем ограничиваться (если
не будет указано противное) макроскопическим рассмотрением.
В упругом состоянии деформации являются однозначными
функциями напряжений, так что в упругом состоянии все напря-
напряженно-деформированное состояние полностью определяется
напряженным состоянием. Понятие предела текучести, введенное
для одноосного напряжения или сжатия, может быть обобщено до
понятия состояния текучести, если предположить существование
такой функции (называемой функцией текучести) шести компо-
компонент напряжений / (ап, а12, о131 а22, <?2з/ ^зз)» что материал будет
идеально упругим тогда (и только тогда), когда / (afJ) < 0; если
f @.;.) = 0, то говорят, что. материал находится в состоянии теку-
текучести. Случаи, когда / (а^) >> 0, будут рассмотрены в разд. V.
Строго говоря, для того чтобы полностью определялись свойства
материала, функция / (аг7) должна содержать достаточное число
констант Сг, С2, . . ., Сп. Поэтому говорят, что текучесть насту-
наступает, когда
^г» °1з> ^22? ^23» азз> ,^1» С2, . . ., Сп) = 0. C.1)
В общем случае тензор напряжений может быть полностью
задан тремя главными напряжениями а1? а2, 03 и тремя углами,
которые определяют ориентацию главных осей *). Если материал
идеально изотропен в упругом состоянии и изотропен по отно-
отношению к текучести (т. е. в нем нет преимущественных направ-
направлений или текстуры), то ориентация главных осей не влияет на
наступление текучести и условие текучести C.1) можно пере-
переписать в виде
/ (сг1э а2, а3; Сг, С2, . . ., Сп) = 0. ^ C.2)
Из соотношения C.2) следует, что критерий текучести может
быть представлен поверхностью в пространстве напряжений,
декартовыми координатами в котором служат главные напряжения
<*i» G2i аз- Если такая поверхность «делит» пространство напря-
напряжений на две области, в одной из которых / < 0, а в другой
х) Определения главных осей и главных напряжений даны в прило-
приложении Г. •
ГЛ. 4. Критерии пластического течения и хрупкого разрушения 353
/ > 0, то ее называют поверхностью текучести (не следует смеши-
смешивать с физическими поверхностями в материале, например с плос-
плоскостью скольжения). Если поверхность текучести остается непо-
неподвижной в пространстве напряжений при нагрузке, разгрузке
и повторной нагрузке материала, то, материал называется идеально
(или совершенно) пластическим.
Удобно порознь рассматривать два класса идеально пластиче-
пластических материалов — материалы, на которые влияет наложение
гидростатического напряженного состояния, и материалы, на
которые не влияет наложение такого напряженного состояния.
Б. Критерии текучести, не зависящие от давления
Существует много доказательств того, что пластическое тече-
течение без временных эффектов как в монокристаллах, так и в поли-
поликристаллах — это результат действия главным образом касатель-
касательных напряжений, которые вызывают двойникование и переме-
перемещение дислокаций (см. [27, 107]). Поскольку чисто гидростатиче-
гидростатическое напряженное состояние не создает ни на одной площадке
касательных напряжений (см. приложение Д), такое напряженное
состояние не должно вызывать заметного пластического течения.
Действительно, Бриджмен [18] и Кроссленд [30] показали, что
для того, чтобы гидростатическое давление влияло на начало
текучести многих металлов, оно должно быть весьма велико *).
Хотя гидростатическое растяжение крайне трудно осуществить
экспериментально, приведенные рассуждения указывают, что
такое напряженное состояние не может вызвать значительного
пластического течения в кристаллах и поликристаллах. Однако
при достаточно большом чисто гидростатическом растяжении
вполне может произойти хрупкое разрушение. Поскольку именно
касательные напряжения вызывают пластическое течение, имеет
смысл поделить приложенные напряжения на две группы, а именно
чистый сдвиг и чисто гидростатические напряжения. Это можно
сделать (см. приложение Е), представив тензор напряжений otjt
в виде суммы тензора гидростатического напряжения от и девиа-
тора (отклонения от гидростатического состояния) stj следующим
образом:
$12 $13 \ /От 0 0\
$22 $23 | + ( 0 Gm 0 I , C.3)
O32
где
От = Хи (°11 + а22 + #3з) C.4)
х) Для того чтобы оказать заметное влияние на точку текучести перлит-
перлитной стали, нужны давления порядка 400 000 фунт/дюйм2 B8 000 кГ/см2) [18].
23—0700
354
Б. Поль
(а22 — от) +
а33 — Зат = 0
C.6)
'8ц s12 513\ /Оц—-ат а12 013 \
521 S22 S23 I = j 02i СГ22 —0"m <T23 I • C.5)
^31 ^32 533/ \a31 a32 ozz — Gm)
Компоненты девиатора напряжений stj определяют состояние
чистого сдвига в следующем смысле.
Если элемент материала находится в однородном напряжен-
напряженном состоянии Stj, как это показано на рис. 9, то внутри этого
элемента найдется другой элемент, на который действуют только
касательные напряжения (рис. 9), тогда (и только тогда), когда
5и + 522 + 5зз = О (см- приложение Е). Однако по определению
$11 + *22 + S33 ^ (aU ~~ °™)
= an + сг22 -
(последнее равенств^ следует из определения C.4)).
Разложив тензор напряжений на гидростатическую часть от
и девиатор 5^-, по самой своей природе характеризующий каса-
касательные напряжения, мы можем выразить то обстоятельство, что
гидростатические напряжения не влияют на начало текучести,
допустив, что функция текучести / зависит только от компонент
девиатора напряжений, т. е.
Для изотропных материалов направления главных осей тен-
тензора напряжений (которые, как показано в приложении Е, совпа-
совпадают с направлениями главных осбй девиатора напряжений)
не имеют значения и критерий текучести C.7) можно записать
через главные девиаторные напряжения sx, s2, sB в следующем виде:
/ ($i, «2» V» Си • • •» Сп) = 0» C.8)
или
/ (ог — от, о2 — am, a3 — °т\ Сг, . . ., Сп) = 0. C.8а)
/
Рис. 9. Эквивалентное состояние чистого сдвига для девиатора напряжений.
a — заданное напряженное состояние с su + s22 + s3S = 0; б — ориентация внутреннего
элемента, на гранях которого действуют только касательные напряжения.
Гл. 4. Критерии пластического течения и хрупкого разрушения 355
Рис. 10. Геометрическое представление не зависящей от давления поверх-
поверхности текучести.
I — гидростатическая ось; 2 — девиаторная плоскость; з — направляющая в девиатор-
- ной плоскости; 4 — цилиндрическая поверхность текучести.
Соотношение C.8а) описывает поверхность в пространстве глав-
главных напряжений; точнее, оно описывает цилиндрическую1)
поверхность, образующие которой параллельны гидростатической
оси, как показано на рис. 10. Для того чтобы иллюстрировать
это чрезвычайно важное следствие независимости от давления,
мы сделаем небольшое отступление и рассмотрим геометрическую
интерпретацию девиатора напряжений.
1. Геометрическая интерпретация девиатора напряжений
Рассмотрим произвольное напряженное состояние, 'которому
в пространстве главных напряжений соответствует точка Р с коор-
координатами ах, 02» <*з (см- Рис- Ю)- В качестве образа напряженного
состояния мы можем рассматривать не точку Р, а вектор
OP = Gii + c2j -f <r3k, C.9)
где i, j, k — единичные векторы по направлениям главных осей.
Определим гидростатическую ось в пространстве напряжений как
прямую, проходящую через начало координат и образующую
равные углы (arc cos (l/]/^3) & 54,8°) с каждой из осей координат,,
как показано на рис. 10. Из соображений симметрии следует, что
единичный вектор h, направленный вдоль гидростатической оси,
г) Цилиндрическая поверхность (или цилиндр) образуется при движении
прямой (образующей), которая все время остается параллельной фиксиро-
фиксированной прямой и все время пересекает неподвижную линию (направляющую).
23*
356 Б. Поль
определяется выражением
C.10)
Плоскость, проходящая через начало координат и перпендику-
перпендикулярная вектору h, будет называться (по причинам, которые выяс-
выяснятся ниже) девиаторной плоскостью. Если мы разложим вектор
ОР, описывающий напряженное состояние, на составляющие QP
и OQ% параллельную и ^перпендикулярную гидростатической оси
соответственно, то QP определяется выражением
C.11а)
где
Следовательно, согласно C.11а),
^P = /3amh = am(i + j + k),.. C.116)
откуда
= (at - aTO) i + (o% - От) j + (a8 - am) k. C.12)
Вспоминая, что ax — am = sx и т. д.— главные девиаторные
напряжения, имеем
C.13)
Поскольку вектор OQ по определению перпендикулярен гидроста-
гидростатической оси, он должен лежать в девиаторной плоскости. Иначе
говоря, проекция «вектора напряжений» (а1? а2, сг3) на девиатор-
ную плоскость равна «вектору девиаторных напряжений» (s1? 52, s3),
а проекция «вектора напряжений» на гидростатическую ось про-
пропорциональна по величине среднему напряжению от.
Теперь легко показать, что уравнение C.8а) определяет
цилиндрическую поверхность, образующие которой параллельны
гидростатической оси.
2. Цилиндрическая поверхность текучести
Из рис. 10 видно, что точка Q — проекция Р на девиаторную
плоскость — изображает девиаторные напряжения, отвечающие
точке Р. В то же время точка Q является проекцией на девиатор-
девиаторную плоскость любой другой точки, которая, подобно точке R,
Гл. 4. Критерии пластического течения и хрупкого разрушения1357
лежит на прямой PQ. Таким образом, мы видим, что вектор глав-
главных девиаторных напряжений (s^ s2, s3) один и тот же для всех
точек любой прямой, перпендикулярной девиаторной плоскости.
Поэтому если условие текучести C.8)
выполняется для точки (?, то оно будет выполняться для всех точек
бесконечной прямой QP. Все комбинации %, s2, $з> Для которых
выполняется условие C.8), образуют на девиаторной плоскости
некоторую кривую (кривую текучести). Условие текучести C.8)
будет выполняться на всех перпендикулярах к девиаторной пло-
плоскости, пересекающих кривую текучести.
Иначе говоря, кривая текучести в девиаторной плоскости
является направляющей цилиндра, образующие которого парал-
параллельны гидростатической оси; условие текучести C.8) удовлетво-
удовлетворяется во всех точках поверхности этого цилиндра текучести,
3» Дальнейшие следствия изотропии
Поскольку для изотропных материалов индексы 1, 2, 3 могут
быть произвольным образом присвоены осям координат, кривая
текучести должна иметь тройную симметрию наподобие показан-
показанной на рис. 11, где изображено сечение цилиндра текучести девиа-
девиаторной плоскостью. Проекции осей координат а19 а2» аз на девиа-
торную плоскость обозначены через g[, g'2, g'3. Из рис. 11 видно,
что любая перестановка индексов 1, 2, 3 для осей координат не
меняет физического условия текучести. Поэтому в экспериментах
Кривая
текучести
Рис. 11. Кривая текучести в девиатор-
девиаторной плоскости; видна тройная симмет-
симметрия, обусловленная изотропией.
8=0,134Я
Рис. 12. Кривые текучести
Треска и Мизеса, согласован-
согласованные по пределу текучести при
растяжении.
1 — кривая, соответствующая кри-
критерию максимального приведенного
напряжения; 2 — шестиугольник
Треска; з — окружность Мизеса.
358 Б. Поль
достаточно исследовать лишь один из шести шестидесятиградус-
шестидесятиградусных секторов, показанных на рисунке; остальные секторы затем
определяются из условий симметрии.
Важно заметить, что условие изотропии не требует, чтобы
предел текучести при растяжении был таким же, как и при сжа-
сжатии. На рис. 11, например, состояния одноосного растяжения
и сжатия проектируются на девиаторную плоскость в точки Т
и С соответственно. Если бы два предела текучести были равны,
то расстояния ОТ и ОС были бы равными. Экспериментально
обнаружено, что пределы текучести при растяжении и сжатии
весьма близки для отожженных пластичных металлов, у кото-
которых существует четко выраженная точка текучести [174, стр. 48].
Для металлов, у которых нет четкой точки текучести, если они
не подвергались наклепу, обычно имеется различие между преде-
пределами текучести на растяжение и сжатие, связанное с эффектом
Баушингера (разд. II, Г).
Если пределы текучести при растяжении и сжатии равны, то
кривая текучести должна иметь шестикратную симметрию, как
показано на рис. 12. Тогда, чтобы экспериментально найти кривую
текучести, достаточно исследовать любой из характерных тридца-
тридцатиградусных секторов, показанных на рисунке.
Опираясь на энергетические соображения, Друккер [35, 36]
показал, что для широкого класса пластических материалов
поверхность текучести должна быть выпукла наружу. Другие
авторы (например, Бишоп и Хилл [10]) пришли к тому же выводу,
рассматривая скольжение в монокристаллах (см. разд. V).
Если принять тот факт, что кривая текучести выпукла, то
она должна, как показал Ивлев [82], лежать между двумя шести-
шестиугольниками, изображенными на рис. 12. Внешний шестиугольник
определяет критерий текучести, введенный Хиллом [65] и назван-
названный Хейторнтуэйтом [62] «критерием максимального приведен-
приведенного напряжения». Однако этот критерий, по-видимому, не имеет
большого физического смысла для пластичных металлов и только
дает внешнюю оценку для поверхности текучести.
С другой стороны, внутренний шестиугольник имеет вполне
определенный физический смысл, который мы вкратце рассмотрим.
Прежде чем углубиться в рассмотрение деталей формы кривой
текучести, следует подчеркнуть, насколько полно форма поверх-
поверхности текучести определяется уже четырьмя предположениями:
а) независимость от давления,
б) изотропия,
в) равенство пределов текучести при сжатии и растяжении
(отсутствии эффекта Баушингера),
г) выпуклость.
Поскольку форма поверхности столь хорошо определена на
осцове крайне общих соображений, эксперименты нужны главным
Гл. 4. Критерии пластического течения и хрупкого разрушения 359
образом, чтобы определить ее размеры. Это можно сделать, опре-
определив, когда наступает текучесть при одном испытании, например
при испытании на растяжение, чистый сдвиг или любом другом
удобном испытании. Отсюда следует, что в функцию текуче-
текучести C.8) должна входить одна постоянная, например предел
текучести при растяжении Y или предел текучести при сдвиге к.
В. Критерий максимального касательного напряжения
(критерий Треска)
1. Общие соотношения
Чтобы определить уравнения каждой из шести плоскостей,
образующих внутреннюю шестигранную призму на рис. 12,
достаточно заметить, что характерная плоскость (например, пло-
плоскость АВ) параллельна оси ах, так что ее уравнение должно иметь
вид
aja + as/b = 1, C.14)
где а и Ъ — координаты точек пересечения этой плоскости с осями
а2 и а3 соответственно. На рис. 12 мы видим, что координата а
точки пересечения с осью сх2 положительна, а координата Ъ точки
пересечения с осью а3 отрицательна, но — в силу симметрии —
равна по абсолютной величине координате точки пересечения
с осью <т2, т- е-
Ъ = -а. C.15)
Следовательно уравнение C.14) можно записать так:
о2 — о3 = а. C.16)
Для того чтобы выразить постоянную а через свойства материа-
материала ,_ заметим, что состояние текучести при одноосном растяже-
растяжении Y представляется точкой (А на рис. 12), в которой а2 = Y,
<уг = О, а3 = 0. Подставляя эти значения напряжений в форму-
формулу C.16), находим, что а = У, следовательно C.16) принимает вид
сг2 _ а3 = Y. C.17)
Мы могли бы рассмотреть и испытание на чистый сдвиг,
в котором (см. приложение Б, рис. Б.З) аг = 0, а2 = к, а3 = —к,
где к — предел текучести в условиях чистого сдвига. Такому
состоянию соответствует точка С на рис. 12. Заметим, что для
этого состояния чистого сдвига ат = 1/3 (аг + сг2 + с3) =
= Ч8 @ + к — к) =" 0, и, следовательно, эта точка должна лежать
в девиаторной плоскости. Подставляя в C.17) а2 = —03 = к;
находим
а2 — а3 = 2к = Y. C.18)
360 Б. Поль
Уравнение C.18) показывает, что из условия текучести, опре-
определяемого шестиугольником, следует, что предел текучести при
растяжении (сжатии) точно вдвое больше предела текучести при
чистом сдвиге.
Используя соображения симметрии, видим, что уравнения
шести плоскостей, образующих цилиндр текучести, имеют вид
У2 (ог - 02) = к = V2y, V. (аг - 02) = -к = -4%Y,
V-2 (а. - 03) = к = V.r, V. (а. - а3) = -Л = -V.r, C.19)
V. (ст3 - ах) = Л = V2r, V. (а3 - 0i) = -ft = -V.r.
Если вспомнить (см. приложение Д, формулу (Д.6)), что
максимальное касательное напряжение, возникающее на любых
площадках в теле, определяется выражением
max [V. 1 Oi — <т2 I, V. I 02 — с3 I» % I ог3 — 01 |],
то очевидно, что внутренняя шестигранная призма рис. 12 соот-
соответствует утверждению, что течение начинается, когда макси-
максимальное касательное напряжение достигает критического значе-
значения к. Этот критерий максимального касательного напряжения
был предложен Треска [183] на основе опытов по вдавливанию
штампов и экструзии. Иногда в литературе разных стран этот
критерий связывают (с различной степенью обоснованности)
с именами Кулона [28], Геста [59] и Мора [116] (см. замечания
относительно истории вопроса, разд. XV).
Возможно стоит отметить, что критерий максимального каса-
касательного напряжения легко выразить через главные девиаторные
напряжения, а не через главные напряжения, если воспользовать-
воспользоваться тождествами вида
G. __ G. = (а — ат) — @,- — ат) = st — sj (i, j = 1, 2, 3).
C.20)
Поэтому соотношения C.19) можно также записать в форме
st-s, = 2k = Y (i?=j). C.21)
Шесть кусочно-линейных соотношений C.19) можно также пред-
представить в виде одного нелинейного уравнения:
[(ая - 03J — 4А2] [@3 - 0ХJ - 4ft2] [@Х - 02J - АкЧ = 0,
C.22)
но это уравнение не оказалось особенно удобным, судя по работам,
опубликованным к настоящему времени.
Гл. 4. Критерии пластического течения и хрупкого разрушения 361
2. Частные случаи нагружения
а. Плоское напряженное состояние. Если главное напряже-
напряжение а3 обращается в нуль, как это имеет место, например, когда
тонкостенная трубка находится под действием внутреннего давле-
давления и осевого усилия, то соотношения C.19) принимают вид
(Ti - а2 = ±У, аг = ±Г, а2 = ±Y. C.23)
Приведенные выше шесть уравнений определяют шестиуголь-
шестиугольник, изображенный на рис. 14. -
б. Растяжение с кручением. В экспериментальных работах
по исследованию критерия текучести часто используются тонко-
тонкостенные трубки, находящиеся под действием осевого растяжения а
и касательного напряжения кручения т. Создаваемое при этом
плоском напряженном состоянии максимальное касательное
напряжение тмакс легко вычисляется при помощи круга Мора
(см. формулу (Б.9)). Если затем приравнять тмакс пределу теку-
текучести при чистом сдвиге У/2, то получим критерий текучести
в виде
тмакс = [(а/2J + ДО = у/2,
или
а2 + 4т2 = У2. C.24)
Кривая текучести в плоскости растяжения — кручения, опре-
определяемая уравнением C.24), изображена на рис. 19 в разд. VI,.
посвященном анализу экспериментов.
Г. Критерий текучествг Мизеса
1. Общие соотношения
Шестигранная поверхность текучести оказывается математиче-
математически удобной при решении тех задач, в которых очевидно, какую
именно из шести сторон сечения *) следует выбрать. Однако она
менее удобна, если такой выбор не предопределен заранее или если
главные направления в каждой точке не фиксированы. Кривая
текучести, лишенная этой трудности и осложнений, связанных
с угловыми точками шестиугольника, но по-прежнему удовлетво-
удовлетворяющая требованиям шестикратной симметрии и выпуклости,—
это окружность, изображенная на рис. 12. И действительно,
поверхность текучести в виде кругового цилиндра была предло-
х) Иногда выбор стороны следует из соображений симметрии, иногда
помогают граничные условия. Однако в общем случае априори неизвестно,
которую из сторон нужно выбрать в данной частной^задаче (и вообще можно
ли ограничиться одной стороной).
562 Б. Поль
жена на основании соображений математического удобства Мизе-
<юм [114].
Уравнение такой поверхности текучести в виде кругового
цилиндра легко получить, заметив, что радиус OQ цилиндра, изо-
изображенного на рис. 10, представляется в силу C.13) в виде
? C-25)
Чтобы выразить R через константы материала, укажем следующие
равенства для состояния чистого сдвига:
ог = к, а2 = —к, ог3 = 0,
®т = V8 К + СТ2 + G3) = 0,
si = °i — °m = &> 52 = a2 — am = — k, s3 = a3 — am = 0.
Подставляя значения sl7 s2, s3 в формулу C.25), получаем
i?2 = sj + si + si = 2&2.
Поэтому критерий текучести принимает вид,
«1 + 51 + sl = 2^2- C-26)
Интересно отметить (см. формулу (Е.7)), что второй инвариант
девиатора напряжений IIS (= /2) г) можно представить в форме
/, = И. = V, (s\ + sl + sl) = V2i?2. C.27)
Следовательно, критерий текучести Мизеса имеет просто вид
/, = П8 = к2 = У2Яа. C.28)
Через главные напряжения равенство C.28) можно записать так:
2/2 = (о-х - от)* + (ог2 - оту + (or, - o-mJ = 2k\ C.29)
После некоторых выкладок (см. приложение Е, формулы (Е.7) —
{Е.9)) соотношение C.29) можно записать в форме
6/2 = (аг - a2J + (a2 - а3J + (ав - огJ = 6к2 = ЗЛ2. C.30)
При испытаниях на одноосное растяжение текучесть наступает
при gx = Y, а2 = 0, a3 = 0. Подставляя эти значения в C.30),
находим
Y ='/3fc«lf732&. C.31)
Уместно напомнить, что, согласно критерию Треска, Y = 2к
(см. формулу C.18)). Таким образом, между этими двумя крите-
критериями имеется фундаментальное различие; это различие, однако,
не столь велико (с точки зрения большинства приложений), чтобы
*) Символ IIS общепринят в работах по механике сплошных сред. Однако
в литературе по теории пластичности весьма крепко укоренилось обозначе-
обозначение /2» так что некоторые известные авторы называют теорию Мизеса «/2-
теорией».
Гл. 4. Критерии пластического течения и хрупкого разрушения 363
1
't /
У
Y
< У >
А
) у
* * >
2
Рис. 13. Кривые текучести Треска
и Мизеса, согласованные так, что-
чтобы минимизировать 6.
Рис. 14. Кривые текучести Треска
и Мизеса при плоском напряжен-
напряженном состоянии.
1 1— шестиугольник Треска, 2 —эллипс
Мизеса.
препятствовать использованию того или иного из этих двух крите-
критериев исходя из соображений удобства. Например, на рис. 12
показаны кривые текучести Мизеса и Треска в девиаторной пло-
плоскости, как их чаще всего показывают в литературе.
На рис. 12 окружность Мизеса выбрана описанной вокруг
шестиугольника Треска; однако это необходимо лишь тогда, когда
«масштабный коэффициент» для каждой из этих теорий выбран
так, чтобы они давали одинаковые значения пределов текучести
при растяжении или сжатии. Если потребовать согласования этих
теорий для случая чистого сдвига, то окружность будет вписана
в шестиугольник. Вообще если R — радиус окружности, то
из простых геометрических подсчетов следует, что максимальное
отклонение б окружности от внутреннего шестиугольника на
рис. 12 равно б = R A — cos 30°) « 0,134Я. Если выбрать мас-
масштабный коэффициент так, как показано на рис. 13, то макси-
максимальное отклонение не превзойдет 0,067i?. Следовательно, если
любые условия, удовлетворяющие одному из критериев, под-
подставить в выражение для другого, то разность будет весьма мала.
Возможно, конечно, что если данная краевая задача- решается
дважды, один раз с использованием критерия Мизеса, а другой раз
критерия Треска, то напряженное состояние в данной точке тела,
полученное из одного решения, будет отличаться от напряженного
состояния для другого решения больше, чем на 6,7%. Однако
в технических задачах вообще можно использовать критерий,
приводящий к более простым г) расчетам, не очень задумываясь
об абсолютной точности.
г) Например, в осесимметричных задачах, как для нагруженной давле-
давлением круглой пластинки, направления главных напряжений должны быть
«кружными и радиальными и применение критерия Треска практически
364 Б. Поль
Когда направления главных напряжений заранее неизвестны,
обычно оказывается удобнее пользоваться не главными напряже-
напряжениями, а компонентами напряжений 0П, 012, ... и т. д. Это
легко сделать, выражая инвариант IIS через компоненты напряже-
напряжений (см. формулу (Е.9)) и записывая C.28) в виде
V6 [(огц — 022J + (<722 — 033J + (а3з — СиJ] + ог*2 + о\з + 0^ =
= /2 = /с2 = YV3. C.32)
2. Частные случаи нагружения
а. Плоское напряженное состояние. Приравняв нулю 03 в C.30)
и использовав соотношение C.31), получим, что кривая текучести
при плоском напряженном состоянии определяется уравнением
а\ + 022 - 0Х02 = У2. C.33)
Уравнение C.33) определяет эллипс, как показано на рис. 14.
б. Растяжение с кручением. Если положить. 0Х1 равным 0,
012 равным т, а все остальные компоненты равными нулю, то
уравнение C.32) определяет кривую текучести в плоскости растя-
растяжения — кручения вида
а2 + Зт2 = У2. C.34)
Уравнение C.34) описывает эллипс, показанный на рис. 19.
3. Понятие интенсивности напряжений (эквивалентного
напряжения)
Если ввести «интенсивность напряжений», равную C12У^
(«эквивалентное напряжение»), то критерий Мизеса примет вид
СТэнв = C/2)^ = V2 [@Х - 02J + @2 - 03J + @3 - 0!J]1'2.
C.35)
В литературе в том же смысле используются также термины
«обобщенное напряжение», «эффективное напряжение» и «приве-
«приведенное напряжение». Однако каждый из этих трех терминов
используется в этой главе для описания совершенно других
величин.
Использование 0ЭКВ может повести к некоторой путаницег
поскольку для каждого критерия текучести существует соответ-
соответствующее ему аналогичное выражение. Если, например, опреде-
определить 0экв соотношением
[| 01 — 02 1,- | 02 — 03 |, I СУ3 — CTi |],
оправдано. Для прямоугольной пластинки главные направления неизвестны
априори, так что проще, по-видимому, использовать критерий Мизеса. При-
Пример можно найти у Ходжа [72, гл. X].
Гл. 4. Критерии пластического течения и хрупкого разрушения 365
то критерий Треска C.19) можно записать в виде
Другой источник возможных недоразумений проистекает из
того, что некоторые авторы смотрят на «эквивалентное напряже-
напряжение» как на «истинное» напряжение, которое играет большую роль,
чем главные напряжения. Например, при расчете сосудов высо-
высокого давления используется ряд формул для допустимых напряже-
напряжений в толстостенном цилиндре. При выводе этих формул сначала
при помощи более или менее точных методов рассчитываются
главные напряжения, затем рассчитанные напряжения подстав-
подставляются в формулы для «эквивалентных напряжений», соответ-
соответствующих данному критерию текучести, и инженеру рекомен-
рекомендуется ограничивать так вычисленные «эквивалентные напряже-
напряжения» некоторым заданным по условиям работы значением.
«Вегетативное размножение» полученных таким образом фор-
формул повело к сильной путанице, которая хорошо описана (и в кото-
которую внесена некоторая ясность) Бакстоном и Берроузом [20];
эти авторы приводят 10 различных формул для одной и той же
задачи. Эта путаница иногда усугубляется введением «эквивалент-
«эквивалентных касательных напряжений», «эквивалентных изгибающих
моментов» и «эквивалентных крутящих моментов», как это делает-
делается при расчете валов передач (см. [190], стр. 157]).
Несмотря на возможность недоразумений в связи с использо-
использованием нечетко определенных «эквивалентных» величин, сама идея
эквивалентного, напряжения может принести некоторую пользу
при изучении деформационного упрочнения, когда можно найти
зависимость между эквивалентными напряжениями и подобным
же образом определенными эквивалентными деформациями. Отно-
Относительно усовершенствований в использовании эквивалентных
напряжений и деформаций в теории пластичности см. [11] и [188].
Понятие эквивалентного напряжения может оказаться полезным
также при изучении усталости при неодноосных напряженных
состояниях (см. [181, стр. 481]).
Д. Физическая интерпретация критерия Мизеса
Как справедливо отметили Прагер и Ходж [156], «...важность
условия текучести Мизеса в математической теории пластичности
проистекает не из того, что входящий в него инвариант /2 может
быть так или иначе истолкован физически, а из того, что оно
имеет наиболее простую математическую форму, совместимую
с общими постулатами, которым должно удовлетворять любое
условие текучести. То обстоятельство, что оно в то же время нахо-
находится в достаточно хорошем согласии с опытными данными по
366 В. Поль
текучести конструкционных металлов, следует рассматривать как
случайное».
Это верно: действительно, теория Мизеса была предметов
широких исследований благодаря своей великолепной простоте.
Однако следует помнить также и то, что «история науки усеяна
трупами прекрасных теорий, убитых маленькими безобразными
фактами». Для того чтобы понять, почему простая формула Мизеса
выдерживает сопоставление с фактами, многие исследователи
искали те глубинные физические явления, которые делают инва-
инвариант /2 столь важным.
Были опубликованы пять более или менее мотивированных
физически интерпретаций критерия Мизеса. Согласно этим интер-
интерпретациям, текучесть наступит в случае, когда будет превзойдена
критическое значение одной из следующих переменных:
1) энергии формоизменения;
2) октаэдрического касательного напряжения;
3) среднеквадратичного значения главных компонент девиатора
напряжений;
4) среднеквадратичного значения разностей главных напряже-
напряжений (главных касательных напряжений);
5) среднеквадратичного (по всем площадкам) значения каса-
касательных напряжений.
Обзор истории этих теорий будет дан в разд. XV, и нет нужды
описывать ее здесь. Однако мы кратко рассмотрим каждую из
интерпретаций.
1. Энергия формоизменения
Мизес не был первым исследователем, предложившим исполь-
использовать критерий текучести /2 = const. Эквивалентные критерии
предлагались и другими, как до него, так и впоследствии. Напри-
Например, Максвелл [106], Губер [78] и Генки [63] заметили, что в упру-
упругой области энергию деформации можно разделить на две частиг
связанные с изменением объема и с изменением формы (т. е. с дефор-
деформациями сдвига, которые часто называют дисторсиями) соот-
соответственно. Вторая часть энергии, отнесенной к единице объема,
согласно формуле (Е.25), выражается следующим образом:
Т?ф = /2/BG), C.36)
где G — модуль упругости при сдвиге. Если способность материа-
материала запасать энергию формоизменения ограничена, то, следова-
следовательно, текучесть наступит в тот момент, когда /2 достигнет
критического значения. Поэтому критерий Мизеса можно интер-
интерпретировать как критерий максимальной энергии формоизменения
и записать так:
= /2/BG) = kVBG) = Y2/FG). C.37)
Гл. 4. Критерии пластического течения и хрупкого разрушения 367
2. Октаэдрическое касательное напряжение
Рассмотрим в нагруженном теле площадку, с(эставляющун>
равные углы с каждой из главных осей; Надаи [118, 119] назвал
такие площадки октаэдрическими. Можно показать (см. формулу
(Е.11)), что нормальное напряжение на такой площадке (так
называемое октаэдрическое нормальное напряжение) равно сред-
среднему нормальному напряжению ат, тогда как — и это более-
важно — касательное напряжение (так называемое октаэдриче-
октаэдрическое касатедьное напряжение) дается (согласно формуле (Е.14))
выражением
токт = V, [*; + 4+ $ = B/3 ЛI'2; C.38)
поэтому критерий Мизеса (/2 = к2) можно записать в виде
токт = 073)*/2 к = (/2/3) Y. C.38а)
Таким образом, течение начнется в тот момент, когда октаэдри-
октаэдрическое касательное напряжение достигнет критического значения,
равного 81,7% предела текучести при чистом сдвиге или 47%
предела текучести при растяжений.
3. Среднеквадратичное значение главных компонент девиатора
напряжений
Уравнение C.37) можно записать в виде
V3 (s\ + sl + ф = */3k*: C.39)
Поэтому критерий Мцзеса эквивалентен следующему утвержде-
утверждению: течение начнется тогда, когда среднеквадратичное значение-
главных компонент девиатора напряжений достигнет критического
значения, равного 2/3к2.
4. Среднеквадратичное значение главных касательных напряжений
Уравнение C.30) можно записать так:
Величины в скобках представляют собой максимальные каса-
касательные напряжения на площадках, бисекториальных по отноше-
отношению к парам главных площадок; их называют главными касатель-
касательными напряжениями (см. приложение Д). Таким образом,' крите-
критерий Мизеса устанавливает, что течение начинается тогда, когда
среднеквадратичное значение главных касательных напряжений
становится равным постоянной V2&2.
368
Б. Поль
5. Среднеквадратичное касательное напряжение
Примечательно, что во всех упомянутых интерпретациях
признается определяющая роль касательных напряжений как
причины текучести. В наши дни это легко объяснить, так как
установлено, что пластическое течение вызывается главным обра-
образом движением дислокаций, а чтобы они стали подвижными, тре-
требуется касательное напряжение. Поскольку в макроскопически
изотропном поликристалле дислокации, вообще говоря, распре-
распределены случайно, естественно полагать, что основной переменной,
определяющей начало пластического течения в макромасштабе,
должно быть надлежащим образом осредненное по объему каса-
касательное напряжение.
На рис. 15 результирующий вектор напряжения на произволь-
произвольной площадке разложен на нормальную составляющую оп и каса-
касательную составляющую т. Эти составляющие напряжения зависят
от фиксированных значений главных напряжений ах, а2, а3
и ориентации рассматриваемой площадки. Ориентация задается
относительно главных осей направляющими косинусами нормали
к площадке. Обозначим эти направляющие косинусы через
х, г/, z. В приложении Д (уравнения (Д.1), (Д.2)) показано, что
касательное напряжение т дается выражением
Поскольку направляющие косинусы удовлетворяют соотношению
?2+> + *2 = 1, C.42)
можно рассматривать х, i/, z как декартовы координаты точек
единичной сферы, причем оси координат параллельны осям глав-
яых напряжений. В дальнейшем (Q) будет означать среднее по
Вектор единич-
единичной нормали
от/
Рис. 15. Вектор Т, разложенный на касательную составляющую т и нор-
нормальную составляющую an.
Гл. 4. Критерии пластического течения и хрупкого разрушения 369
единичной сфере значение любой переменной Q. Взяв средние
значения от обеих частей уравнения C.42) и введя обозначение
.. . тск = (т2)^, C-43)
получим
(текJ = о\ <**> + а\ (у*) + о* <*2> -
C.44)
При выводе этой формулы мы воспользовались тем обстоятель-
обстоятельством, что среднее значение суммы равно сумме средних значе-
значений, т. е. (а + &}-— (#) + Ф) при любых а и Ъ.
Вычислив все средние значения, заключенные в формуле C.44)
в ломаные скобки, можно убедиться (формула (Ж.8)) в том, что
[(* °J + @ <*J + К в f] = \J» C-45)
Отсюда видно, что второй инвариант девиатора напряжений
пропорционален среднеквадратичному значению касательных
напряжений, действующих на всех площадках в рассматриваемом
объеме. Поэтому критерий Мизеса IIS = k2 можно записать
в форме ^
тск = |/А5/с = 0,632&. < C.46)
Иначе говоря, критерий Мизеса эквивалентен утверждению,
что текучесть проявляется в тот момент, когда корень из средне-
среднеквадратичного значения касательного напряжения достигает кри-
критического значения, равного 63,2% предела текучести при
чистом сдвиге. Такая физическая интерпретация /2 была пред-
предложена Новожиловым [128, 129].
Е. Переход от поверхностей текучести Мизеса
к поверхностям текучести Треска
В разд. VII будет показано, что экспериментальные данные
по началу текучести пластичных материалов обычно лежат где-то
между поверхностями Мизеса и Треска. Поэтому может предста-
представить некоторый интерес вопрос о том, можно ли сформулировать
сравнительно простые критерии, дающие цилиндры текучести,
промежуточные между цилиндрами Треска и Мизеса. Любой
критерий текучести, выражающийся через отличные от нуля
инварианты IIS, IIIS девиатора напряжений stj, будет определять
в пространстве напряжений цилиндр. В частности, Прагер [148],
Стоктон и Друккер [170] воспользовались формулой
/ (аи) = (II,K - С (III,)» - *• = 0 C.47)
24—0700
370 Б. Поль
с должным образом выбранной постоянной С для того, чтобы
с хорошей точностью описать экспериментальные данные Тейлора
и Квинни [173].
. - Другой способ получить тот же результат состоит в том, чтобы
допустить, что среднее значение некоторой степени главных каса-
касательных напряжений равно константе материала. Такое обобще-
обобщение критерия Мизеса можно записать в следующем виде:
^, C.48)
где С — консуанта материала, а п — некоторое целое число.
Легко проверить, что условие C.48) при п = 1 сводится к кри-
критерию Мизеса C.30), а при стремлении п к бесконечности при-
приближается к критерию. Треска. Последнее утверждение следует
из того обстоятельства, что при больших п в выражении, заклю-
заключенном в квадратные скобки в формуле C.48), доминирующим
будет наибольший по модулю из членов вида (ог — сг7)/2. Поэтому
C.48) в пределе дает
-lim31/Bn)C, C.49)
max
aCTj —(У2 ^2 — ^3 03 —ffl 1 1 n
2 ' . ' 2 ' 2 | J '
т. е. условие Треска.
Формулы вида C.47) и C.48) представляют некоторый академи-
академический интерес. Однако ввиду указанной ранее неопределенности
в определении состояния текучести и малого различия между
цилиндрами текучести Треска и Мизеса маловероятно, что эти
формулы имеют сколько-нибудь существенное практическое зна-
значение.
Ж. Критерии текучести, зависящие от давления
У материалов с рыхлой, зернистой или пористой структурой,
таких, как песок, глина и некоторые горные породы, под дей-
действием гидростатического давления обнаруживаются заметные
необратимые изменения объема, и их критерии текучести чув-
чувствительны к гидростатическим напряженным состояниям.
Если условие текучести чувствительно к давлению, то поверх-
поверхность текучести не будет цилиндром, параллельным гидростатиче-
гидростатической оси. Однако если материал изотропен, то необходимо, чтобы
все сечения равного давления х) поверхности текучести обладали
той же тройной симметрией, что и показанные на рис. 11. Посколь-
г) Сечение равного давления определяется как пересечение поверхности
текучести, плоскостью, перпендикулярной гидростатической осп. В такой
плоскости ах + о*2 + or3 = 3o~m = const.
Гл. 4. Критерии пластического течения и хрупкого разрушения 371
ку есть зависимость от давления, такие сечения в различных точ-
точках гидростатической оси будут отличаться по размерам и не
обязательно должны быть геометрически подобными. Следует
также отметить, что из зависимости от давления следует, что,
вообще говоря, предел текучести при простом растяжении не
будет в общем случае 4) равен пределу текучести при простом
сжатии, поэтому мы не должны ожидать шестикратной симметрии
сечений равного давления (показанной на рис. 12).
Можно, конечно, представить себе идеализированные материа-
материалы, для которых поверхность текучести имеет любую подходя-,
щую форму, совместимую с общими условиями изотропии. Если,
например, мы предположим, что все сечения равного давления
поверхности текучести геометрически подобны, то единственная
роль давления будет состоять в регулировании размера кривых
текучести в различных плоскостях, параллельных девиаторной
плоскости. Например, Надаи [119] допускает, что поверхность
текучести является поверхностью вращения, ось которой совпадает
с гидростатической осью. Различные исследователи предлагали
поверхности в виде кругового конуса и параболоида вращения
(см.' разд. Х.В.7).
Попытки коррелировать некоторые из упомянутых гипотети-
гипотетических поверхностей с экспериментальными данными по грунтам
были достаточно успешными. Однако пластичность грунтов услож-
усложнена влиянием ряда факторов, в том числе пористости, давления
поровой воды и временных процессов, связанных с движением
жидкости в грунтах. Эти факторы в общем несущественны для
более плотных пластичных материалов (таких, как металлы).
Мы не имеем намерения в этой главе рассказывать о пластичности
грунтов; читатель может обратиться к работам [40, 162, 175]
или другим известным трудам по механике грунтов.
Для прочих (отличных от грунтов) пластичных материалов было
проведено очень мало экспериментальных исследований, которые
могли бы показать, что применим тот или иной из критериев
текучести. Однако оказывается, что общие идеи, возникающие при
построении таких критериев, замечательно подходят для хрупких
по своей природе материалов.
По этой причине мы приведем вывод основных положений
теории зависящих от давления поверхностей разрушения во вто-
второй части главы, где под разрушением (failure) будет (если не
оговорено противное) пониматься собственно разрушение (fracture),
а не пластическое течение (yield). Полученные результаты легко
интерпретировать применительно к текучести для любых пластич-
пластичных материалов, чувствительных к давлению.
*) Для некоторых нецилиндрических поверхностей, например, поверх-
поверхностей, симметричных относительно девиаторной плоскости, возможно
равенство пределов текучести при растяжении и сжатии.
24*
372 В. Поль
IV. НАЧАЛО ТЕКУЧЕСТИ АНИЗОТРОПНЫХ МАТЕРИАЛОВ
А. Общие соображения
Сам процесс пластической деформации вызывает анизотропию
первоначально изотропного материала; это явление будет рас-
рассмотрено ниже (разд. V,A). Сейчас мы хотим вкратце рассмотреть
соответствующий вид функций текучести для первоначально ани-
анизотропных материалов. Эта начальная анизотропия может быть
следствием процесса производства, например волочения про-
проволоки или прокатки листа, когда создаются остаточные напряже-
напряжения и вызывается поворот зерен в преимущественных направле-
направлениях; она может быть связана с естественным процессом роста
(в дереве или слоистых породах) или с преимущественной ориен-
ориентацией микроструктурных элементов — включений, пор, допол-
дополнительных фаз или границ зерен. Конечно, расположение атомов
в монокристалле в виде правильной решетки также вызывает
анизотропию.
Многие экспериментальные результаты по материалам, счи-
считавшимся изотропными, потеряли смысл, когда было обнаружено
существование пластической анизотропии. Например, Тейлор
и Квинни [173] критиковали некоторые ранние эксперименты
Л оде с тонкостенными трубами [100] за отсутствие изотропии,
приводившее к неправильной оценке различия между экспери-
экспериментальными данными и теорией течения Мизеса [114].
Другая важная причина стремления к пониманию природы
начальной анизотропии заключается в возможности улучшить
механические свойства изготавливаемых пластин и оболочек
путем воздействия на их структуру, как это описано Хосфордом
и Бекофеном [75].
Для первоначально анизотропного материала мы должны
записать функцию текучести в общем виде C.1):
22, or23, or33; Cu C2, . . ., Cn) = 0. D.1)
Если мы хотим записать функцию текучести через главные напря-
напряжения, то нужно ввести набор параметров, например эйлеровы
углы г])!, а|J, ty3, определяющие ориентацию главных осей по
отношению к некоторой фиксированной системе отсчета; при
этом можно представить функцию текучести так:
/ (а1э а„ а3, *ь ^2, *з; С19 С2 , Сп) = 0. D.2)
При соответствующих условиях нагружения и ограничениях
на перемещения может случиться, что направления главных осей
остаются фиксированными на протяжении всего процесса нагруже-
нагружения. Так обстоит дело, например, в том случае, когда длинный
Гл. 4, Критерии пластического течения и хрупкого разрушения 373
полый цилиндр нагружен внутренним давлением и независимой
осевой нагрузкой. При этом главные оси имеют радиальное,
окружное и осевое направления и углы %, г|з2, я|K постоянны
в любой„ заданной точке тела. В таком случае углы Ч|Iу г|J, 'Фз
не зависят от условий нагружения и могут быть включены в число
постоянных Сг, С2, . . ., Сп в формуле D.2). Если, кроме того,
йатериал обладает цилиндрической изотропией (т. е. имеет одина-
одинаковые свойства во всех радидльных направлениях и одинаковые
(но другие) свойства во всех окружных направлениях), то углы^,
ijJ, 'фз можно полностью исключить из уравнения D.2), которое
тогда будет относиться к любой точке тела.
Б. Обобщенные напряжения и деформации
Другой способ описания поверхностей текучести в общем
случае использует введенное Прагером [151] представление об
обобщенных напряжениях. Чтобы пояснить это понятие, рас-
рассмотрим испытание, в котором к тонкостенной трубе приложены
одновременно растяжение а и кручение т. При таком испытании
наблюдатель замечает, какое сочетание а и т соответствует началу
пластического течения; это позволяет ему записать критерий теку-
текучести в форме
/ (а, т; 'Си . . .) = 0. D.3)
С другой стороны, можно определить главные напряжения
и их направления для данного плоского напряженного состояния
и представить функцию текучести в • виде
/ (ои (т2, 9; Си ... .) = 0, D.4).
где 6 — угол, составляемый первым главным напряжением с осью
трубы. Если материал изотропен, то угол 0 не имеет значения
и может быть исключен из D.4); в противном случае его следует
сохранить.
Таким образом, оказывается, что функцию текучести можно
выразить через две переменные (как в D.3)) или через три (как
в D.4)). Разница между этими двумя представлениями состоит
в том, что D.3) справедливо только для испытания на растяжение
с кручением, а D.4) применимо для любого плоского напряжен-
напряженного состояния данного анизотропного материала (при котором
нормальные к оболочке напряжения обращаются в нуль).
Составляющие нагрузки а и % в D.3) можно назвать обобщен-
обобщенными напряжениями Qx и Q2 соответственно. Аналогичным обра-
образом если мы одновременно нагружаем балку изгибающим момен-
моментом М и растягивающей силой iV, то создается только одно ненуле-
ненулевое главное напряжение сгп. Однако часто оказывается удобнее
записывать условие текучести в обобщенных напряжениях
374, Б. Поль
М = Qu N = Q2 (смл, например, [154, стр. 51] или [72, гл. 7]):
/ (<?i, <?2; Си • • •) = 0, D.5)
а не в виде критерия по истинным напряжениям / @Х) = вг — Y —
= 0. Таким образом, мы видим, что висло обобщенных напряже-
напряжений может быть больше или меньше числа ненулевых компонент
напряжений, Однако для некоторого ограниченного класса
нагружений критерий текучести можно записать через соответ-
соответствующие обобщенные напряжения даже для анизотропных мате-
материалов.
Прежде чем покончить с этим вопросом, для удобства после-
последующих ссылок следует указать, что удобно ввести обобщенные
деформации qu q2, ... таким образом, что приращение внутрен-
внутренней энергии dW, соответствующее приращениям qu q2, . . .,
определяется формулой
dW = С [Q, dQl + Q2dq2 + ... .], D.6)
где С — положительная постоянная. Например, если мы положим
для упоминавшейся выше задачи об изгибе с растяжением Qx = М
и Q2 — N, то соответствующие обобщенные деформации будут
qt — к и q2 = е, где к и е — кривизна и деформация продольного
растяжения соответственно. В общем случае удобно подразделять
обобщенные деформации на упругую часть q\ и пластическую д?,
где упругая часть связана с обобщенными напряжениями уравне-
уравнением состояния теории упругости (законом Гука); примеры см.
в. работах [72, 154]. ¦
В. Квадратичные критерии текучести
для анизотропных материалов
Достаточно общей функцией текучести вида D.1) является
следующая квадратичная функция, предложенная Мизесом [115]:
+ - • . + >«i4^и<У2з + . . . + ХбвСГзЛа = const. D.7)
Уравнение D.7) содержит 21 независимую константу х^-,
зависящую от выбора системы отсчета. Если функция текучести
не изменяется при наложении однородного гидростатического
напряженного состояния (—р), то можно заменить нормальные
напряжения а11? а22, ог33 в D.7) на ап — р, а22 — р, а33 — р,
не нарушая равенства. После подстановки появятся члены,
содержащие множитель р или р2. Поскольку р совершенно про-
произвольно, коэффициенты при р и р2 должны обращаться в нуль,
и мы приходим к шести соотношениям вида
х» + х,, + х,8 = 0 A = 1,2, ..., 6). D.8)
Гл. 4. Критерии пластического течения и хрупкого разрушения 375
Уравнения D.8) показывают, что в не зависящем от давления
анизотропном критерии текучести D.7) только 15 независимых
коэффициентов.
Если положить р = от = V3 (сГц + сг22 + сг3з) и воспользо-
воспользоваться тождествами
Оц — от = V3 [((Гц — о22) + (ап — а33)],
о*2 — вт = V3 [(а22 — 033) + (ог22 — ап)], D.9)
<*зз — crm = V3 [(а3з ~ о и) + (а33 — 022)],
то D.7) можно записать в виде
F = —1/2 [x12-@u — cr22J + х23 @2а — а33J + x3i (а3з — сгцJ].—
—О 23 [х24 @ц — 022) + Х34 @11 — 033I +
013 [^35 @22- <733) + Х15 @22 — О и)] +
—012 [з<16 @зз — oxi) + х2б @33 — 022)] +
+ V2 [Х44023 + Иб5<Т?з+ ^660?2Ь D.10)
Для частного случая изотропного материала D.10) сведется
к критерию Мизеса C.28). Мизес [115] показал, каким образом
число коэффициентов сводится к трем для гексагональной симме-
симметрии (типичной для кадмия и цинка) и к одному для кубической
симметрии (типичной для каменной соли, меди, алюминия
и железа).
Если допустить, что материал имеет три взаимно ортого-
ортогональные плоскости симметрии (как лист фанеры) и взять за оси
координат #!, х2, х3 оси симметрии, то получим, что знак данного
касательного напряжения (например, 023) не должен влиять на
функцию текучести.
Для такого материала в D.10) можно опустить все члены,
содержащие только первые степени какого-либо касательного
напряжения, и D.10) сводится к
F @22 - 033J + G @33 — 0цJ + Н @П - 022J +
+ 2L0223 + 2М03\ + 2No\z = 1, D.11)
где f, 6?, . . ., N — постоянные.
Хилл [64] использовал уравнение D.11) при исследовании зако-
законов деформирования поликристаллических металлов и применил
его [66] к ряду технических задач, например к задаче об образо-
образовании шейки на тонкой полосе, задаче о глубокой высадке крышек
и задаче о вдавливании плоского штампа в полуплоскость.
Чтобы показать, как можно использовать детальное знание
анизотропии, рассмотрим тонкостенный сосуд высокого давления,
у которого фиксированы направления главных напряжений
(радиальное, окружное и меридиональное) независимо от свойств
материала и напряженного состояния.
376 Б. Поль
Заметим прежде всего, что вообще когда оси координат являют-
являются главными осями, касательные компоненты напряжений обра-
обращаются в нуль и можно записать D.11) в виде
F(a2-a3)^ + G(a3-a1)\+H(G1-a2y = l. D.12)
Если X, Y, Z — пределы текучести по главным направлениям,
то из D.12) следует
F @ — 0) + G @ — XJ + Н (X — ОJ = 1
или
G + Н = 1/Х2; D.13а)
аналогичным образом
Я + F = 1/Г2, - D.136)
F + G = 1/Z2. D.13в)
Предположим теперь, что в тонкостенном сосуде «напряжение по
толщине» а3 пренебрежимо мало. Тогда мы можем записать D.12)
в виде
F'a\ + Go* + H (a2 - 2ага2 + а2) = 1,
(G + H)o* + (F + Н) о\ — 2На1а2 = 1. ( }
Используя соотношения D.13), можно представить D.14) так:
Если пределы текучести «в своей плоскости» X и Y равны, та
можно записать
а2 + а* — 2Ко1о2 = Г2, D.16)
где
К = HY\ D.17)
Можно связать К с «поперечным» .пределом текучести Zy
замечая, что при X = Y по D.13) G = F = 1/BZ2) и из D.136)
HY2 = 1 — FY* = 1 — V» {YIZY = К. D.18)
Для того чтобы наши обозначения были согласованы с обозна-
обозначениями, ранее введенными Хосфордом и Векофеном [75], введем
параметр R соотношением х)
(ZIYY = Ч2 A + R). D.19)
г) Можно проверить, что R = H/G, т. е., как можно показать, R равно-
частному от деления скорости пластической деформации в плоскости листа
на скорость пластической деформации в нормальном к плоскости листа
направлении (ср. [66]) при соотношениях между деформациями и напря-
напряжениями, введенных Хил лом [64].
Гл. 4. Критерии пластического течения и хрупкого разрушения 377
1.0
\ 0,5
\
у
/
/
_ >
/
/ \
\ / \ j >
\f i
/ 1,5
/
•
Рис. 16. Кривые текучести при двухосном напряженном состоянии листо-
листового материала, обладающего осевой симметрией относительно поперечной
оси [75].
А — изотропный критерий Мизеса, Б — линии симметрии.
Следовательно, D.18) можно записать в виде
2К = 2 — (YIZY = 2 — [2/A + R)] = 2Д/A + R). D.20)
Наконец, можно записать условие текучести D.16) в виде
о\ + о\ — [2Д/A + R)] а&% = Y\ D.21>
Уравнение D.21) графически представлено на рис. 16, где
ясно видно, что «текстурное упрочнение» увеличивает прочность
по сравнению с изотропным случаем в квадрантах растяжение —
растяжение и сжатие — сжатие.
Согласно Уитли [189], значения Л, близкие к 4, достигаются
для листового титана.
Представление о «текстурном упрочнении» было применено
к титановым сосудам Бабелем и др. [2].
Проведенные рассуждения иллюстрируют один подход к уста-
установлению критерия текучести для анизотропных материалов.
Можно также обобщить на анизотропные материалы критерии5
максимального касательного напряжения и энергии формоизме-
формоизменения. Такие подходы рассмотрены Мизесом [115], Саксом [158],,
Делингером [32], Олыпаком и Урбановским [132], Соботкой [167]
и др. Дальнейшую библиографию по проблемам анизотропии,
можно найти в [7] и в указанных выше работах.
Эксперименты по определению поверхностей текучести перво-
первоначально анизотропных материалов весьма малочисленны (неко-
(некоторые результаты Мегана [112] будут описаны в разд. VI).
378 В. Поль
V. МГНОВЕННЫЕ КРИТЕРИИ ТЕКУЧЕСТИ
И ОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ СООТНОШЕНИЯ
А. Начальная и мгновенная поверхности текучести
До сих пор мы обсуждали только один вопрос — какие условия
должны выполняться в момент, когда начинается пластическое
течение. Оказалось, что начало пластического течения характе-
характеризуется функцией текучести вида
CuC*, . . .) -0. E.1)
Если соотношение E.1) сохраняет смысл и при развитии
пластического течения, то материал называется идеально пласти-
пластическим. Если функция текучести изменяется по мере развития
пластического течения так, что соответствующие поверхности
текучести просто увеличиваются в размеренно не меняют формы,
то говорят, что материал испытывает изотропное упрочнение.
Этот термин, удачен, поскольку если материал первоначально
изотропен, то представление поверхности текучести в трехмерном
пространстве главных напряжений сохраняется при расширении
поверхностей текучести.
Если, с другой стороны, функция текучести изменяется таким
образом, что нарушается тройная симметрия, показанная на
рис. 11, то уже нельзя выразить функцию текучести через одни
главные напряжения, а нужно использовать более общее урав-
уравнение
/ (aij\ Ck) = f (сгц, 012, #13, ff225 а23' азз5 Си • • •» Сп) = 0, E.2)
где С*!, . . ., Сп зависят от пути нагружения.
К сожалению, при пластическом деформировании обычно
происходят весьма значительные повороты кристаллов, что при-
приводит к волокнистому строению материала и возникновению
анизотропии. Поэтому следует пользоваться общим анизотропным
выражением E.2) для функции текучести, для чего нужна поверх-
поверхность текучести в шестимерном пространстве. При специальных
условиях нагружения (например, растяжение с кручением тонко-
тонкостенного цилиндра) некоторые из компонент напряжения обра-
обращаются в нуль и функция текучести может бьиъ представлена
(например) в виде]
f = F(o,%, Clt ....) = 0, E.3)
где а — нормальное осевое напряжение, а т — касательное
напряжение кручения. Уравнение E.3) можно представить в дву-
двухмерном пространстве напряжений, которое является линейным
Гл. 4. Критерии пластического течения и хрупкого разрушения 379
подпространством шестимерного пространства, соответствующего
произвольному напряженному состоянию, т. е. пространства обоб-
обобщенных напряжений (см. разд. IV).
Для каждой данной стадии нагружения после начала текуче--
сти «поверхность», отвечающая уравнению E.2), называется мгно-
мгновенной поверхностью текучести. Некоторые авторы сохраняют
название поверхности текучести за начальной поверхностью теку-
текучести и называют мгновенные поверхности текучести поверхно-
поверхностями нагружения.
Одна из главнейших проблем теории пластичности состоит
в том, чтобы определить природу мгновенных поверхностей теку-
текучести для реальных материалов. Несмотря на огромное количе-
количество затраченной на это работы, детали развития поверхности
текучести для любого данного материала еще не выяснены.
Даже если мы знаем форму поверхности текучести в любой
точке при данной программе нагружения, лишь немногие задачи
можно решить на основе такого знания, поскольку, вообще гово-
говоря, имеется шесть неизвестных компонент напряжений, которые
должны удовлетворять трем уравнениям равновесия и условию
текучести. Очевидно, условий недостаточно для определения
неизвестных переменных: нехватает набора определяющих соот-
соотношений (уравнений состояний), аналогичных закону Гука для
упругих тел, которые связывали бы напряжения с кинематиче-
кинематическими величинами (деформациями и скоростями деформации).
Хотя относительно природы определяющих соотношений для
пластических тел известно немногое, существуют общие характе-
характеристики, которыми должны обладать такие соотношения. В част-
частности, было обнаружено, что существует внутренняя связь между
определяющими соотношениями и функцией текучести на данной
стадии процесса нагружения. По этой причине их обычно рас-
рассматривают совместно.
Существует много прекрасных обзоров по данному вопросу,
в том числе [34,-38, 71, 121, 134, 155]. Ввиду доступности инфор-
информации в этой области мы остановимся только на некоторых основ-
основных моментах, непосредственно примыкающих к более узкому^
вопросу о поверхностях текучести, которые составляют главный
предмет этой главы.
Б. Определяющие соотношения за пределом текучести
1. Теория течения и деформационная теория
Соотношения между напряжениями и деформациями в теории
упругости (закон Гука) удобно записывать через компоненты девиа-
тора напряжений stj, определенного формулой C.5), и аналогич-
аналогичным образом определенные компоненты девиатора деформаций etj>
380 Б. Поль •
определяемого следующим образом:
ei2 ei3\ (гп — гт 112у^ V2Y13
) { e2a — гт V2T23 |, E.4)
V2732 833 — Z
где 8ц — относительное удлинение в направлении оси хг, е22
и 83з — аналогичным образом определяемые «нормальные дефор-
деформации» или «удельные удлинения», yi2 = 2г12 представляет собой
изменение первоначально прямого угла между двумя волокнами,
направленными первоначально вдоль* осей хх и х2, у2г = 2е2з
и у31 = 2e3i — аналогичным образом определяемые компоненты
«технической деформации сдвига»; &v = 3em — удельное изме-
изменение объема или расширение, определяется соотношением
&v = вц,+ е22 + езз = Зет. - E.5)
Закон Гука можно [156] записать в виде
sU = 2Geu, E.6)
Gm = Ksv, E.7)
где G — модуль упругости при сдвиге, & К — модуль объемного
сжатия. Член от — среднее напряжение, определенное ранее
соотношением C.4).
Если заменить компоненты девиатора деформаций компонен-
компонентами девиатора скоростей деформации, то мы получим определяю-
определяющие соотношения для несжимаемой вязкой жидкости в виде
E.8)
. . E.9)
8о = 0, E.10)
где точка сверху обозначает дифференцирование по времени.
Уравнение E.9) следует из E.8), поскольку для, несжимаемого
материала etj = гг) — i/3Ev = etj.
В попытках найти определяющие соотношения для пластиче-
пластических материалов выработались две основные тенденции. Напри-
Например, Генки [63] предложил определяющие соотношения, построен-
построенные по подобию уравнений E.6), в которые вместо упругого моду-
модуля был введен некий «пластический модуль» Gp (зависящий от
текущих нагрузок). Соотношения этого типа между компонентами
напряжений и пластических деформаций известны под названием
«деформационных» определяющих соотношений или соотношений
«полной деформации».
Было ясно показано (см. [66] или уже цитированные обзоры),
что, кроме отдельных частных условий нагружения (например»
Гл. 4. Критерии пластического течения и хрупкого разрушения 381
когда все компоненты напряжения возрастают пропорционально),
теории «полной деформации» не могут дать осмысленных резуль-
результатов. Другой класс теорий, восходящий к работам Сен-Венана
и Леви (исторические сведения см. в [66]), связывает приращение
пластических деформаций defj с напряженным состоянием. При-
Примером этих теорий, известных под названием «теории течения» или
«теории приращений», служит закон течения Мизеса [114] для
идеально пластического материала, имеющий вид
где sfj — скорости пластических деформаций, a \ip в отличие
от коэффициента вязкости в E.9) — неотрицательный параметр,
Зависящий от напряжения и скорости деформации и определенно
не являющийся материальной константой (см. [156]).
2. Теории течения, основанные на введении пластического
потенциала; выпуклость поверхности текучести
Функцию текучести Мизеса можно записать через главные
напряжения в виде (см. разд. III, формула C.26))
/ = *; + *; + *; —2fc» = о,
следовательно,
' -#- = 2*1-!^ и *- = ьЖ, E.12)
doi dGi dot dot ' ч '
ИЛИ
df/dot = 4zsb E.13)
поскольку
Si = Oi — V3 ((Ti + o2 + a3), dsjdox = 2/3, двг/дог = 2/3.
Если уравнение E.11) отнесено к главным осям, то его можно
записать в виде
е? = l/Bfip) st - 3/(8fxp) df/doh E.14)
Из E.14) следует, что вектор с компонентами (е?, el, e3)
параллелен вектору с компонентами (df/dau df/de2, df/da3). Этот
последний вектор — вектор градиента функции текучести /,
как известно, перпендикулярен к поверхности текучести
/ (ffi> <*2> a3) = 0 в точке (а1? а2, а3) и направлен от нее наружу.
Иначе говоря, условие текучести Мизеса устанавливает, что
вектор скорости деформации (е?, ej, ef) параллелен внешней
нормали к поверхности текучести Мизеса в точке @i, a2, a3)
пространства напряжений.
Такой тип условия нормальности имеет весьма общий характер.
Действительно, было показано — Друккером [35, 36], Бишопом
382 . В. Поль ^_
и Хиллом [10] на основе весьма правдоподобных физических
допущений, а Томасом [178] на основе некоторых математических
постулатов,— что если материал характеризуется данной функ-
функцией текучести / (зависящей как от напряжений, так и от дефор-
деформаций и пути нагружения), то определяющие соотношения имеюг
вид
h E.15)
В этих уравнениях G — скалярная функция напряжений
и деформаций, а в общем случае и истории нагружения; defy—
приращения пластических деформаций, соответствующие неко-
некоторой совокупности приращений напряжений dotj, которые в свою
очередь вызывают увеличение функции текучести на величину df~
Важно, что закон течения фиксируется функцией текучести;
они не могут быть заданы вполне независимо друг от друга.
Законы течения вида E.15) называются законами течения, соот-
соответствующими пластическому потенциалу.
Название «пластический потенциал» введено Мизесом [1151
по аналогии с задачами течения идеальной жидкости, где вектор
скорости во всех точках перпендикулярен «поверхности потен-
потенциала скорости». В E.15) df/doij представляет собой «градиент»
функции нагружения / и является вектором в девятимерном про-
пространстве напряжений (an, а12, сг2ь • • •)» нормальным к «по-
«поверхности», определяемой уравнением / (аг7) = const. Если
поверхность текучести имеет неединственную нормаль (например,
на пересечении двух граней шестигранной призмы Треска), то
понятие «нормальности» должно быть соответствующим образом
обобщено (см. цитированные обзоры, а также [94, 161]).
Потенциальные законы пластического течения можно записать
в обобщенных напряжениях и деформациях, рассмотренных
в разд. IV. Если функция текучести определяется уравнением
' /(<?i, <?2, . . .,<?„; Съ Са, ... .) = 0, E.16)
то соответствующий закон течения должен иметь вид
dgf = dk df/dQt (i = 1, 2, . . ., л), . E.17)
где Qi — пластическая часть обобщенной деформации, a d% —
приращение некоторой неубывающей скалярной функции, которое
должно быть определено из граничных условий и других сообра-
соображений. Вывод и примеры использования соотношения E.17)
см. в [72].
Глубокую внутреннюю связь с материалом этой главы имеет
другое обстоятельство, следующее из основных постулатов, из ко-
которых выведено соотношение E.15), а именно то, что поверхность
текучести должна быть выпуклой, если на нее смотреть извне
(вогнутой, если на нее смотреть из начала координат). Это свойства
выпуклости уже упоминалось в разд. III, и оно будет предпола-
Гл. 4. Критерии пластического течения и хрупкого разрушения 383"'
гаться выполненным, если не оговорено противное. В обобщенном
девятимерном пространстве напряжений «выпуклость» формально-
определяется неравенством
2(<^-<й)Ж$>0, E.18)
г,3
где e*j — любая точка, которая лежит внутри поверхности теку-
текучести или на самой этой поверхности, а Оц — точка на поверхно-^
сти текучести, соответствующая некоторой совокупности прира-
приращений пластических деформаций defy.
t i
В. Теории деформационного упрочнения
В этом разделе мы кратко изложим некоторые из теорий, пред-
предложенных для описания роста мгновенных поверхностей теку-
текучести упрочняющихся материалов. Поскольку упрочнение спо-
способствует возникновению анизотропии у первоначально изотроп-
изотропных материалов (см. разд. IV), недостаточно дать описание поверх-
поверхности текучести в пространстве главных напряжений, исключая
те частные случаи, когда главные направления остаются непо-
неподвижными во всех материальных элементах.
Однако допустимо — и желательно — представлять поверх-
поверхность текучести в пространстве обобщенных напряжений (см.
разд. IV) любой необходимой размерности. Мы будем рисовать
двумерные диаграммы, но все основные, геометрические представ-
представления легко переносятся на пространства высших размерностей.
1. Изотропное упрочнение
В простейшей теории упрочнения устанавливается, что по мере
пластического течения поверхности текучести расширяются рав-
равномерно, как схематически показано в пространстве обобщенных
напряжений на рис. 17, а. Обычно считают, что размер поверхно-
поверхности текучести определяется количеством работы, диссипируемой
при пластической деформации. Многие следствия этой теории
развиты в книге Хилла [66].
Возможно, наибольший недостаток этой теории заключается
в том, что в ней невозможен эффект Баушингера. Предположим,,
например, что точка в пространстве напряжений переходит
за начальную поверхность текучести в точке А и проходит в точку
В, а затем происходит разгрузка до начала координат (точки О)
и «повторная нагрузка» до точки D. Согласно данной теории,,
упрочнение имеет место между точками А и В, а на пути BOD
пластическая деформация не происходит до тех пор, пока точка
не достигнет предельной поверхности текучести в точке D.
Основываясь на опытах с эффектом Баушингера при одноосном
нагружении, мы могли бы ожидать, что материал станет «мягче»
384
Б. Поль
В
9х
Рис. 17. Схематическое представление мгновенных кривых текучести.
в — изотропное упрочнение, б — кинематическое упрочнение, в — кусочно-линей-
кусочно-линейное упрочнение с независимым упрочнением по отдельным граням, г — кусочно-линей-
кусочно-линейное упрочнение со связью между гранями, а — теория скольжения; 1 — начальная
поверхность текучести, 2 — мгновенная поверхность текучести (поверхность нагруже-
ния).
при таком «обратном» нагружении и что текучесть возникнет
в некоторой точке (например, С), лежащей внутри начальной
поверхности текучести. И действительно, у большинства реальных
металлов эффект Баушингера имеет место, хотя, как указал Хилл
[66], этот анизотропный эффект часто можно снять умеренным
отжигом.
2. Кинематическое упрочнение
Прагер [150, 155] предложил модель, описывающую поведение
упрочняющегося материала с отчетливо выраженным эффектом
Баушингера. Из других соображений к той же модели пришли
Кадашевич и Новожилов [87]. Эта модель схематически пред-
Гл. 4. Критерии пластического течения и хрупкого разрушения 385
ставлена на рис. 17, б. Двигаясь по пути нагружения, точка в про-
пространстве напряжений выходит на поверхность текучести в точ-
точке А. Если эту точку считать жестким шариком, а поверхность
текучести — жесткой гладкой оболочкой, то шарик сдвигает
оболочку в пространстве напряжений. Предполагается, что обо-
оболочка будет двигаться поступательно (без поворотов) в направле-
направлении действия контактного усилия, создаваемого шариком, т. е.
по нормали к поверхности в точке контакта. Поэтому, когда
изображающая точка достигнет положения J3, поверхность сме-
сместится в положение, показанное на рис. 17, б. Новое положение
«оболочки» изображает предельное положение поверхности теку-
текучести. Заметим, что при разгрузке от точки В по тому же пути
В АО материал ведет себя упруго между точками В и С, а затем
начинает вновь течь до того, как напряжения сняты полностью.
Фактически мгновенная поверхность текучести может как охва-
охватывать, так и не охватывать начало отсчета в пространстве напря-
напряжений.
Указанная модель может быть также использована для опре-
определения пластических деформаций. Если предположить, что
материал является «линейно упрочняющимся», то вектор пласти-
пластической деформации, создаваемой на пути нагружения ОАВ,
определяется выражением
_^ E.19)
где с — постоянная упрочнения, а вектор ОО1 представляет собой
результирующее смещение поверхности текучести за период
нагружения до момента В. При желании можно принять E.19)
за определение «линейного упрочнения».
Прежде чем покончить с общим вопросом о кинематическом
упрочнении, стоит указать, что в девятимерном пространстве
напряжений (сгц, а12, о2и • • •» ^зз) соответствУюЩий закон упроч-
упрочнения определяется условием текучести вида
F(ou — atj)-№ = 0, E.20а)
аи = сгРр E.206)
где atj — мгновенное положение точки на подвижной поверхности
текучести. Если в уравнении E.20а) некоторые компоненты
напряжений положить равными нулю, скажем o\j = 0, о'ц Ф 0,
то E.20а) можно записать в виде
F(o\j — ab; -а1,)-к2 = 0. E.21)
Если вспомнить, что a'ij = c&fj = ck dfldatj не обязательно
равны нулю, то видно, что E.21) теперь уже не обязательно опре-
определяет поверхность, поступательно перемещающуюся в простран-
пространстве напряжений; она может и деформироваться благодаря изме-
изменению значений a[j. Это явление было рассмотрено Будянским
25—0700
386 Б. Поль
[19] и Ходжем [70] и побудило к различным дополнениям закона
кинематического упрочнения Прагера, главным образом в рабо-
работах [70, 145, 166, 194].
3. Кусочно-линейные модели
Условие текучести Треска — это кусочно-линейный изотроп-
изотропный критерий. Вообще любой критерий текучести, изотропный
или анизотропный, может быть с любой требуемой степенью точ-
точности представлен многогранником в соответствующем простран-
пространстве обобщенных напряжений. Если мгновенные поверхности
текучести остаются многогранными, то говорят о кусочно-линей-
кусочно-линейном упрочнении. Такие теории были развиты Койтером [94],
Прагером [149, 151, 152], Сандерсом [161], Ходжем и Берманом
[7, 67—70].
По сути своей кусочно-линейное упрочнение означает, что
точка, двигаясь в пространстве напряжений, переносит за собой
ту гиперплоскость мгновенной поверхности текучести, с которой
она контактирует в данный момент. Если, как показано схема-
схематически на рис. 17, в, перемещаются только те плоскости (пло-
(плоскость), которые находятся в контакте с изображающей точкой,
то говорят, что упрочнение по отдельным граням происходит
независимо. На рис. 17, б ABCDEF — начальная поверхность
текучести, a ABCD'E'F — мгновенная поверхность текучести,
возникшая благодаря нагружению по пути OPQ.
Очевидно, что при независимом упрочнении эффект Баушин-
гера не возникает. Если, с другой стороны, в движение вовле-
вовлекаются и другие плоскости (помимо тех, которые находятся в кон-
контакте с изображающей точкой), как это схематически показано
на рис. 17, г, то эффект Баушингера имеет место. На рис. 17, г
ABCDEF — начальная поверхность текучести, a A'B'C'D'E'F —
мгновенная поверхность текучести для пути нагружения OPQ.
Следует отметить, что некоторые грани (например, АВ и ВС)
считаются «затронутыми» движением грани DE, тогда как другие
(CD и AF) не затрагиваются. Можно построить бесконечное мно-
множество законов упрочнения, при которых величина перемещения
любой заданной грани будет определенным образом связана
с перемещением любой другой грани. Если, в частности, все
плоскости переносятся в одном направлении и на одну величину,
то теория сводится к теории кинематического упрочнения Прагера>
Поль [139] показал, каким образом можно объяснить поведе-
поведение ферм и рамных конструкций за пределом текучести при помо-
помощи кусочно-линейных поверхностей нагружения. Отправляясь-
от элементарного рассмотрения равновесия и условий совместно-
совместности перемещений отдельных элементов конструкций, он показал*
что: а) поверхность нагружения в пространстве обобщенных сил
Гл. 4. Критерии пластического течения и хрупкого разрушения 387
выпукла; б) обобщенные перемещения следуют закону пластиче-
пластического потенциального течения; в) вообще говоря, между гранями
поверхности текучести имеется взаимосвязь, имеющая как общие
черты с кинематическим упрочнением, так и отличия от него.
Такие конструкции можно рассматривать как простые модели,
на основании которых можно прийти к обобщениям относительно
подробностей поведения сплошной среды; или же их можно считать
примерами, демонстрирующими непротиворечивость более широ-
широких правил, которые группируются вокруг понятий «выпуклости»,
«нормальности» и «пластического потенциала».
4. Теории скольжения
Исходя из рассмотрения скольжения по кристаллографическим
плоскостям Батдорф и Будянский [4] пришли к теории упрочне-
упрочнения, схематически изображенной на рис. 17, <9, где начальная
поверхность текучести представлена гладкой кривой ABC. При
движении изображающей точки по пути нагружения ОР мгновен-
мгновенная поверхность текучести образуется из выпуклой оболочки,
натянутой на ABC и Р. Например, когда изображающая точка
находится в Рг, мгновенная поверхность текучести имеет вид
РхВСА; когда эта точка переходит в Р2, поверхность текучести
изображается кривой Р2РгВСЕ и т. д. Здесь интересен тот факт,
что изображающая точка Р будет создавать углы даже на перво-
первоначально гладкой поверхности текучести и будет находиться
в этих углах длительное время. Такие особенности поведения
побудили множество экспериментаторов искать доказательства
существования таких углов. Мы кратко рассмотрим их резуль-
результаты в разд. VI.
Теории скольжения в пластичности рассматривал также
Линь [98].
Койтер [94] указал, что теории скольжения можно интерпрети-
интерпретировать так же, как теории течения, в которых вблизи «рабочей
точки» в пространстве напряжений одновременно начинает дви-
двигаться бесконечное множество поверхностей нагружения.
VL ЭКСПЕРИМЕНТЫ ПО ТЕКУЧЕСТИ МЕТАЛЛОВ
ПРИ ДВУХОСНОМ НАПРЯЖЕННОМ СОСТОЯНИИ
А. Вводные замечания
Детальное описание экспериментальных исследований поверх-
поверхностей текучести до 1956 г. можно найти в работах Надаи [119]
и Друккера [34, 38], а менее полные обзоры последующих иссле-
исследований имеются в работах [121, 134, 155]; поэтому нет смысла
25*
388
Б. Поль
стремиться к полноте в данном обзоре. Вместо этого мы опишем
ставшие вехой результаты Тейлора и Квинни [173] по началу
текучести и попытаемся показать на избранных примерах, как
развивались наши знания в отношении мгновенных поверхностей
текучести за десятилетие 1956—1966 гг. Отчасти из-за наличия
упомянутых отличных обзоров, отчасти в связи с направленностью
этой главы, мы не будем рассматривать законы деформирования
в пластической области, если только они не будут иметь прямого
отношения к нашему главному предмету, а именно поверхностям
текучести.
Прежде чем рассматривать частные поверхности текучести,
следует упомянуть, что вывод Бриджмена [18] о том, что гидро-
гидростатическое давление до 400 000 фунт/дюйм2 B8000 ат) не влияет
на текучесть пластичных металлов, был дополнительно подтвер-
подтвержден Кросслендом [30] в тщательно проведенных опытах на кру-
кручение с гидростатическим давлением.
Б. Экспериментальное определение поверхностей текучести
1 Тейлор и Квинни [173]
Эти исследователи в экспериментах, справедливо ставших
знаменитыми, подвергли образцы из различных металлов совме-
совместному растяжению и кручению, чтобы установить критерий
текучести и проверить, справедлив ли закон E.11) течения Мизе-
са [114].
Понимая, что предел пропорциональности —• это не столько
свойство материала, сколько функция чувствительности приборов,
Тейлор и Квинни приняли метод Лоде [100] экстраполяции
кривой течения (диаграммы деформирования) на ось нагрузок,
чтобы получить предел текучести после данной программы нагру-
жения. Рисунок 18, заимствованный из их работы, показывает,
6
5
4
^X- 777=0,0252
-o—
¦—-o-
— -<
— —
—o-
o-o—
——'
¦1 ^
0,28
>-0.>7 с
- -
-о—
- —
o-0,9
0?5
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0
E
Рис, 18. Испытание на кручение медных трубок [173].
Р указано в фунтах на шкале моментов, а — удлинение трубки в дюймах при совместном
растяжении и кручении, т=(растягивающее напряжение/У).
Гл. 4. Критерии пластического течения и хрупкого разрушения 389
Эллипс Мизеса: <s2 + 3 г2 -Y1
О 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0
Рис. 19. Данные Тейлора и Квинни [173] по растяжению с кручением образ-
образцов из меди, алюминия и малоуглеродистой стали.
Н алюминий; О — медь (на верхнем графике), малоуглеродистая мелкозернистая
сталь (на нижнем графике); ф — обезуглероженная малоуглеродистая крупнозер-
крупнозернистая сталь; Q — обезуглероженная малоуглеродистая мелкозернистая сталь.
насколько прост этот метод на практике и насколько он лишен
неопределенности. Как уже указывалось в разд. II, Г, мы
называем такой метод определения предела текучести методом
экстраполяции Лоде.
На рис. 19 показаны экспериментальные результаты Тейлора
и Квинни для меди и алюминия. Весьма близкое соответствие
с критерием Мизеса C.34) вряд ли нуждается в дополнительных
комментариях. В случае малоуглеродистой стали, также пред-
представленном на рис. 19, соответствие не столь превосходное, хотя
и весьма неплохое.
Опираясь на измерения внутреннего объема своих трубчатых
образцов и размера зерен металла, Тейлор и Квинни пришли
к выводу, что расхождение между экспериментальными данными
и критерием Мизеса связано с отсутствием изотропии. Они пришли
также к выводу, что имеет место малое, но систематическое откло-
отклонение данных от закона течения Мизеса C.34).
Наконец, Тейлор и Квинни установили, что с достаточной для
большинства практических целей точностью можно считать, что
мгновенное значение предела текучести У, которое следует исполь-
390
Б. Поль
зовать в законе текучести, зависит только от количества работы,
проделанной над материалом по мере его деформирования из пер-
первоначального отожженного состояния. По современной терминоло-
терминологии это равносильно предположению о том, что имеет место изо-
изотропное упрочнение.
После исследований Тейлора и Квинни были проведены другие
[119, 48, стр. 254], в основном подтвердившие их вывод о том,
что критерий Мизеса хорошо описывает начало текучести, однако
до сравнительно недавнего времени было мало прямых иссле-
исследований мгновенных поверхностей текучести.
2. Нахдщ Эссенбург и Кофф [123]
Эти авторы стимулировали недавние исследования мгновенных
поверхностей текучести, непосредственно изучив пространство
напряжений в опытах по кручению с растяжением образцов
из алюминиевого сплава 24S-T-4. Отойдя от экстраполяционного
метода Лоде, они приняли для определения точки текучести
«методе предела пропорциональности». На этой основе они
получили совокупность поверхностей текучести, изображенную
-25
Рис. 20. Начальная и мгновенные поверхности текучести при растяжении
oz и сдвиге tQz [123].
Кривая А и экспериментальные точки О — начальная поверхность текучести; кривая Б
и экспериментальные точки А — первая мгновенная поверхность текучести; кривая В
и экспериментальные точки G — вторая мгновенная поверхность текучести. Значения
напряжений указаны в 103 фунт/дюйм2 A фунт/дюйм2 » 0,7 кГ/см2).
Гл. 4. Критерии пластического течения и хрупкого разрушения 391
на рис. 20. Здесь показаны мгновенные поверхности текучести
после того, как образцы были нагружены чистым кручением
(т. е. вдоль вертикальной оси) до крайней верхней точки каждой
кривой.
Эти кривые позволяют сделать следующие выводы.
а. Имеет место отчетливо выраженный эффект Баушингера
(понижение предела текучести при кручении в обратном направ-
направлении), который, по-видимому, постепенно снижается по мере
усиления начальной деформации.
б. Предварительная деформация кручения не влияет заметным
образом на предел текучести при чистом растяжении; это назы-
называется отсутствием перекрестных эффектов.
в. Имеется тенденция к образованию вблизи оси кручения
области большой кривизны, напоминающей углы, предсказывае-
предсказываемые теорией скольжения.
г. Все поверхности текучести выпуклы.
3. Айви [81]
Этот исследователь испытывал на растяжение с кручением
образцы из алюминиевого сплава 19 S и получил начальную
и мгновенные кривые текучести, изображенные на рис. 21. Образ-
Рис. 21. Начальная и мгновенная
поверхности текучести для алю-
алюминиевого сплава 19 S при растя-
растяжении с кручением [81].
По оси абсцисс — отношение растяги-
растягивающего напряжения в состоянии теку-
текучести к пределу текучести при сдвиге;
по оси ординат — отношение касатель-
касательного напряжения в состоянии текуче-
текучести к пределу текучести при сдвиге;
0» начальная поверхность текуче-
текучести; Л, первая мгновенная по-
поверхность текучести; %, — • — •
-— • — вторая мгновенная поверхность
текучести; V, третья мгно-
мгновенная поверхность текучести.
392 Б. Поль
цы предварительно деформировались при чистом сдвиге до верхней
точки, показанной на каждой кривой, а затем определялась
остальная кривая. Точка текучести находилась «по первому
отклонению от линейности на диаграмме деформирования», т. е.
по методу предела пропорциональности. Имеют место следующие
результаты.
а. Поверхности текучести выпуклы, и максимальное напряже-
напряжение текучести «в направлении растяжения» неизменно сохраняет
начальное значение, т. е. перекрестный эффект отсутствует.
б. Имеет место отчетливо выраженный эффект Баушингера,
связанный со сдвигом кривой примерно таким образом, как пред-
предсказывает теория кинематического упрочнения. Однако в отличие
от простой теории кинематического упрочнения происходит опре-
определенное уменьшение размера кривой.
в. Кривизна возрастает вблизи оси касательного напряжения,
но углы не заметны.
г. Мгновенные поверхности текучести не обязательно охваты-
охватывают начало отсчета.
4. Берч и Финдли [8]
Эти авторы провели весьма тщательные опыты с тонкостенными
трубками из алюминиевого сплава 6061-Т6. Двигаясь от начала
координат в плоскости сгт (а — растягивающее напряжение,
т — касательное напряжение) до момента касания с мгновенной
поверхностью текучести, они смогли проследить рост мгновенных
поверхностей текучести и замерить соответствующие пластические
деформации. Они определяли «текучесть» по появлению при раз-
разгрузке остаточных деформаций (в любом направлении) величиной
10—15 микродюйм/дюйм.
На рис. 22 показана начальная поверхность текучести, кото-
которая очень хорошо согласуется с эллипсом Мизеса C.34). Когда
образец нагружается при чистом растяжении до точки А, обра-
образуется первая мгновенная поверхность текучести, показанная
на рисунке. Не видно углов, предсказываемых теорией скольже-
скольжения; более того, не проявляется ни изотропное, ни кинематическое
упрочнение. На рис. 23 показаны второй, третий и четвертый
пути нагружения и порождаемые ими поверхности текучести.
У этих поверхностей имеется некоторая тенденция к образованию
углов, но они закруглены.
Наконец, на рис. 24 показаны кривые, соответствующие трем
последним путям нагружения. Здесь нет острых углов и едва
намечены закругленные углы.
Берч и Финдли отмечают, что эффекты «старения» (см.
разд. И, Г) будут способствовать увеличению видимых углов
в связи с принятым в этих экспериментах методом определения
Гл. 4. Критерии пластического течения и хрупкого разрушения 393-
• Нагртение растягива-
растягивающим напряжением
о Нагружение касатсль-
, ным напряжением
(начальная кривая) -
Нагружен не на с а тель-
тельным напряжением
(мгновенная кривая)
10 15 20 25 30
Нагружение 1
Рис. 22. Начальная и мгновенная кривые текучести при первом пути нагру-
жения для алюминиевого сплава 6061-Т6 при кручении с растяжением [8].
По оси абсцисс — растягивающее напряжение, по оси ординат — касательное напряже-
напряжение; напряжения указаны в 1000 фунт/дюйм2 0=^70 кГ/см2); а — эллипс Мизеса; б — эл-
эллипс максимального касательного напряжения, в — начальная кривая текучести, г —
кривая, соответствующая теории скольжения, в — мгновенная кривая текучести.
текучести. Например, на рис. 23 точка!) является крайней точкой,
достигнутой на пути нагружения 2. При переходе к соседним
точкам 1, 2, 3, 4 вследствие эффектов «старения» кажется, что
в этих точках течение началось несколько раньше, чем была
достигнута кривая текучести в точке D (особенно, если текучесть
определяется по такой малой остаточной деформации, как
0,001%—0,0015%). Поэтому такие точки, как 1, 2, 3, 4 в окре-
окрестности ?), отклоняются внутрь от кривой текучести, проходящей
через D, и создается иллюзия появления угла, даже если его
и не существует.
Берч и Финдли пришли к следующим общим заключениям.
а. Начальная кривая текучести чуть-чуть ближе к эллипсу
Мизеса, чем к эллипсу Треска.
б. Кривая текучести всюду выпукла.
в. Имеет место нормальность вектора приращений пластических
деформаций, соответствующая потенциальному закону пласти-
пластического течения.
5 10 15 20Л 25
-20
Рис. 23. Мгновенные кривые текучести при втором B), третьем C) и четвер-
четвертом D) путях нагружения для алюминиевого сплава 6061-Т6 [8].
На общем графике напряжения указаны в 1000 фунт/дюйм2 С=^70 кГ/см2), на графиках
яагружения — в фунт/дюйм2; а — начальная кривая текучести; б, ж, п — кривые, соот-
соответствующие теории скольжения (нагружение 2, нагружение 4, нагружение 3); в, г, д,
ш — мгновенные кривые текучести (нагружение 2, нагружение 1, нагружение 3; нагру-
нагружение 4).
10
о тгружение касатель
иым напряжением
Нагружение растя-
напря-
, же наем
-10
Рис. 24. Мгновенные кривые текучести при пятом E), шестом F) и седь-
седьмом G) путях нагружения для алюминиевого сплава 6061-Т6 [8].
Напряжения указаны в 1000 фунт/дюйм2 (=5=70 кГ/см2); а, б, в — мгновенные кривые теку-
текучести (нагружение 6, нагружение 5, нагружение 7).
Гл. 4. Критерии пластического течения и хрупкого разрушения 395
г. При комбинации растяжения и кручения возникают «за-
«закругленные углы», а одно растяжение часто приводит к «хорошо
закругленным углам».
5. Мейр и Пъю [105]
Эти исследователи провели ряд интересных исследований
по растяжению с кручением на меди повышенной проводимости.
Когда материал был предварительно растянут, частично разгру-
разгружен, а затем закручен, они получили три последовательных
поверхности текучести, изображенных на рис. 25. На этом рисунке
числа гх указывают уровень предварительного растяжения, отве-
отвечающий каждой кривой. В этой серии испытаний текучесть уста-
устанавливалась по методу экстраполяции Л оде.
На рис. 26 показана последовательность мгновенных кривых
текучести для того же материала после различного предваритель-
предварительного закручивания. В этой серии испытаний поверхность текуче-
текучести исследовалась по радиальным путям нагружения (т.е. при
фиксированном отношении осевых напряжений к касательным)
от полностью разгруженного состояния до наступления текучести;
текучесть определялась по методу остаточных деформаций (по пре-
пределу текучести при 0,1% отклонении).
В то время как поверхности текучести, отвечающие предва-
предварительному растяжению, почти следуют закону изотропного
упрочнения (рис. 25), кривые для случая предварительного
закручивания внешне следуют комбинированному закону кине-
кинематического и изотропного упрочнения того типа, который был
предложен Ходжем [69]. Это выясняется на рис. 27, который
16-10
12 16 20 24-Ю3
Рис. 25. Кривые текучести после предварительного растяжения [105].
Напряжения указаны в фунт/дюйм2 A фунт/дюйм2 « 0,07 кГ/см2).
396
Б. Поль
6<
4
i
2
0
-2
у 1 |
И/3 '" ^—.
- /*
а
ГО/1/ А
>о^о^-
Ш^/2^/2_
I i
,1/2
^^V^. о/о
ч
\ф
1б/1
/ У
I I
I i
5
\
Ъ4/2
А5/2
/6/2
/
у
I I
- J
-
—
\
]
/
—
I
8
10 12
Рис. 26. Первая, вторая, третья мгновенные поверхности текучести для
предварительно закрученных образцов [105].
Напряжения указаны в фунт/дюйм2 A фунт/дюйм2 да 0,07 кГ/см2); а — первая поверх-
поверхность, б — вторая поверхность, в — третья поверхность.
показывает, что все кривые можно представить в виде
(оху - CY + (Кох)* = Д2, F.1)
где GXy — касательное напряжение, ах — осевое напряжение,
а С, К и R — параметры, определяемые величиной предваритель-
предварительной деформации чистого кручения.
Уравнение F.1) определяет окружность радиуса R в коорди-
координатах оху и Кох, центр которой смещен по оси ординат на рас-
расстояние С. Мейр и Пью показали, что во всем интервале исследо-
исследованных предварительных деформаций параметры С, К и R являют-
являются линейными функциями предварительной деформации.
В отличие от данных Нахди, Эссенбурга и Коффа (рис. 20)
и Айви (рис. 21), данные Мейра и Пью указывают на определен-
определенный перекрестный эффект. Именно на «предел текучести» при
«растяжении» весьма сильно влияет ход предварительной дефор-
деформации чистого кручения. Мейр и Пью приписывают это явное
расхождение между их результатами и результатами Нахди
с соавторами и Айви тому обстоятельству, что предыдущие иссле-
исследователи устанавливали начало текучести по методу предела про-
пропорциональности, тогда как они сами использовали метод остаточ-
остаточных деформаций (условный предел текучести).
Гл. 4. Критерии пластического течения и хрупкого разрушения 397
8.10"
Рис. 27. Круговые поверхности те
кучести [105].
Напряжения указаны в фунт/дюйм1
A фунт/дюйм2 да 0,07 кГ/см2).
16-10°
12
10
8
1
т
1
/
7
V/
/
. x—
-СГ"
10 20 30
Рис. 28. Различные определения те-
текучести при простом растяжении
[105].
Напряжение указано в фунт/дюйм2, дефор-
деформация — в миллидюйм/дюйм; а — «упругая
прямая», б — точка текучести (по остаточ-
остаточной деформации), в — точка текучести (по
началу отклонения от линейности).
Для того чтобы продемонстрировать это, они подвергли обра-
образец предварительной деформации при чистом кручении, а затем
нагрузили чистым растяжением. Когда эта процедура была осу-
осуществлена при трех различных уровнях предварительной дефор-
деформации, были получены диаграммы продольного деформирования,
представленные на рис. 28. Здесь можно заметить, что предвари-
предварительное закручивание сравнительно слабо влияет на предел про-
пропорциональности, а условный предел текучести (при 0,1% откло-
отклонении) очень сильно зависит от хода предварительной деформации.
Выводы Мейра и Пью можно свести к следующим.
а. Имеется значительный перекрестный эффект при предвари-
предварительной деформации и в случае растяжения, и в случае кручения.
б. Отличные от этих результаты Айви и Нахди с соавторами
могут быть объяснены тем фактом, что предварительное закручи-
398
В. Поль
вание не влияет на предел пропорциональности при растяжении*
но очень сильно влияет на условный предел текучести.
в. Поверхности текучести после предварительного растяжения
согласуются с теорией изотропного упрочнения с небольшой
деформацией поверхностей текучести.
г. После предварительного закручивания поверхности теку-
текучести соответствуют комбинации изотропного и кинематического
упрочнения, j
д. Углы не обнаруживаются.
е. В опытах с предварительным закручиванием имеет место
отчетливо выраженный эффект Баушингера.
ж. Все поверхности текучести оказываются выпуклыми.
6. Мястковский и Щепинский [113].
Эти исследователи проделали испытания на двухосное растя-
растяжение латуни М-63 C7% цинка). Типичные их результаты пока-
показаны на рис. 29. Здесь штриховая кривая с пометкой апроп изо-
изображает начальную кривую текучести по критерию предела
Рис. 29. Испытания на двухосное растяжение латуни М-63 [113].
Напряжения указаны в кГ/мм2; сплошными стрелками показаны приращения пластиче-
пластических деформаций, штриховыми — приращения упругих деформаций.
Гл. 4. Критерии пластического течения и хрупкого разрушения 399
пропорциональности, а штриховая кривая с пометкой а(§]$ —
начальную кривую текучести по «эквивалентной пластической
деформации» е? = 0,5%; обе эти кривые хорошо согласуются
с критерием Мизеса.
Термин «эквивалентная пластическая деформация» не был
определен в этой статье; его обычное определение (см. [66]) соот-
соответствовало бы выражению
(е?J = »/8 1(е?J + (elJ + (еРзП F.2)
где 8? и т. д.— главные пластические деформации. Семь образцов
были нагружены по пути ОСАВСО, показанному на рис. 29Г
а затем каждый был нагружен по пути, близкому к радиальному
(фактически использовался зигзагообразный путь, отличающийся
от радиального не более чем на 0,3 кГ/мм2). По достижении пла-
пластической деформацией значений 0,01, 0,02, 0,03, 0,04 и 0,5%
на радиальных путях нагружения отмечались соответствующие
напряжения, и было построено семейство кривых ef = const,
изображенных на рис. 29 сплошными линиями; показаны также
векторы приращений пластических деформаций.
Авторы пришли к следующему выводу: «...векторы прираще-
приращений пластических деформаций в общем нормальны к кривым
текучести, но в нескольких точках можно наблюдать также замет-
заметные отклонения от нормальности. Эти отклонения можно приписать
тому обстоятельству, что предельные кривые были получены
по нескольким образцам, которые могли иметь несколько различ-
различные пластические свойства». Они обнаружили также, что имеет
место заметный поворот осей кривых текучести (на рис. 29 — по
часовой стрелке).
Следует указать, что материал стал сильно анизотропным
благодаря предварительной деформации (сравните «осевой»
и «окружной» пределы текучести для любой мгновенной кривой
текучести). Поэтому возникает вопрос, представляет ли собой
кривая s? = const кривую текучести в обычном смысле. Если
ef действительно следует понимать в соответствии с F.2), где
всем направлениям соответствуют равные веса х), то каковы осно-
основания полагать, что 8? остается постоянной на кривой текучести
такого анизотропного материала? Здесь «кривая текучести» пони-
понимается в том же смысле, что и в потенциальном законе пластиче-
пластического течения, а именно как линия, отделяющая упругую область
от пластической. Единственное обстоятельство, о котором идет
*) Уайт и Друккер [188] показали, что при отсутствии эффекта Баушин-
гера можно осмысленным образом ввести «эквивалентную деформацию».
Однако на кривых рис. 29 как раз обнаруживается эффект Баушингера. Эта
может означать, что независимо от того, как определялось ei, соответствую-
соответствующие функции нельзя в строгом смысле рассматривать как пластический
потенциал.
400
Б. Поль
речь,— это представляют ли предельные кривые, построенные
Мястковским и Щепинским, соответствующий пластический потен-
потенциал, для которого выполняются условия нормальности. Не вызы-
вызывает сомнения, что эти кривые могут быть использованы и по-дру-
по-другому — в качестве практических показателей пластического пове-
поведения изученного материала при пропорциональном двухосном
нагружении.
7. Меган [112]
Меган построил кривые текучести при двухосном растяжении
образца из сильно анизотропного сплава циркония, Zircalloy-2.
На рис. 30 показано пять путей пропорционального нагружения,
причем на каждом отмечены точки, соответствующие различным
значениям | ер |, где | ер | — абсолютная величина наибольшей
главной пластической деформации.
Кривые постоянных значений ер, изображенные на рис. 30,
не являются, строго говоря, мгновенными кривыми текучести
по той же причине, что и кривые Мястковского и Щепинского
{рис. 29). Однако представлялось уместным привести эти кривые,
поскольку экспериментальные данные по поведению анизотропных
в исходном состоянии металлов при неодноосных напряженных
состояниях чрезвычайно малочисленны.
10
Рис. 30. Двухосное растяжение, необходимое для получения различной
величины пластической деформации, в зависимости от отношения растяги-
растягивающего напряжения Sa к касательному напряжению St [112].
Проценты указывают различные значения | е \ . Напряжения указаны в 10s фунт/дюйм2
A фунт/дюйм2 «0,07 кГ/см2).
Гл. 4. Критерии пластического течения и хрупкого разрушения 401
8. Прочие авторы
Об исследованиях по критериям текучести в период после
1958 г. сообщается в работах [43, 54, 76, 77, 85, 96, 109, 136,
137, 143, 146, 147, 171, 176, 192].
В. Поиски углов на поверхности текучести
Для описания формы и размеров мгновенных поверхностей
текучести бьш выдвинут ряд теорий (разд. V). Их можно подраз-
подразделить на два общих класса. В теориях первого класса предпола-
предполагается, что углы (вершины, особенности) на поверхностях теку-
текучести не появляются во время роста этих поверхностей; в теориях
второго класса предполагается такое возникновение углов в про-
процессе пластической деформации. Представителями первого класса
теорий являются теории изотропного роста поверхности текучести
и прагеровская [150, 152] теория кинематического упрочнения;
представители второго класса — теория скольжения Батдорфа
и Будянского [4] и теория независимых поверхностей нагружения
Сандерса [161].
Проведенные до настоящего времени эксперименты, при помо-
помощи которых надеялись решить этот важный вопрос, не являются
окончательными по своим результатам. Их также можно разбить
на два обширных класса, которые мы назовем классами I и II.
К первому классу относятся исследования, описанные в разд. VI, Б;
в нем делается попытка найти .форму мгновенных поверхностей
текучести более или менее непосредственно. Второй класс экспе-
экспериментов основан на идее, первоначально выдвинутой Друккером
и Стоктоном [42], и к нему относятся работы [122, 143, 147, 169].
Рассмотрим здесь кратко эксперименты класса II. Для просто-
простоты рассмотрим два обобщенных напряжения — растягивающее о
и касательное т.
В'разд. V, Б мы видели, что если поверхность текучести гладкая,
то вектор приращения цластической деформации (Дер, Дур),
соответствующий вектору приращения напряжений (Да, Ат),
направленному наружу поверхности текучести, нормален к по-
поверхности текучести в точке (а, т), как показывает вектор АВ'
на рис. 31. Через 8Р, ур обозначены компоненты пластической
деформации, определенные соотношениями
8Р = 8 — G/E, уР = у — т/G,
где Е — модуль Юнга, G — модуль сдвига, а 8 и 7 — деформация
растяжения и деформация сдвига (техническое определение)
"Соответственно. Из рис. 31 ясно, что если изображающая точка
вписывает непрямолинейный путь (например, ABC), то соответ-
28—0700
402
В. Поль
Рис. 31. Гладкие кривые текучести.
1 — мгновенные кривые текучести, 2 — путь нагружения (а, %) ABC, 3 — вектор прира-
приращения напряжений (До*, Ат), 4 — начальная кривая текучести, 5 — траектория пласти-
пластической деформации.
ствующие векторы приращений пластических деформаций ABf
и ВС остаются почти параллельными. Вектор полного прираще-
приращения пластической деформации, соответствующего точке С, являет-
является суммой векторов АВ' и ВС По мере движения точки в про-
пространстве напряжений вектор пластической деформации описывает
кривую, называемую траекторией пластической деформации.
Важно иметь в виду, что если поверхность текучести остается
гладкой, то траектория пластической деформации остается гладкой
и практически прямолинейной, несмотря на совершенно нерегу-
нерегулярные осцилляции пути нагружения.
С другой стороны, если с точкой нагружения переносится угол,
как в точке А на рис. 32, то нормаль к поверхности текучести
остается неопределенной. Однако существует общее убеждение
(разд. V), что вектор приращения пластической деформации АВ\
соответствующий приращению напряжения АВ, должен лежать
Рис. 32. Углы на поверхности текучести.
1 — мгновенные кривые текучести, 2 — начальная кривая текучести,
пластической деформации.
з — траектория
Гл. 4. Критерии пластического течения и хрупкого разрушения 403
между предельными нормалями к поверхности текучести по обе
стороны от точки А; эти предельные нормали показаны на рис. 32
штриховыми линиями. При этих условиях возможно, что при
движении изображающей точки по осциллирующему пути ABC
приращения пластических деформаций ABf и ВС испытывают
соответствующие осцилляции и описывают осциллирующую траек-
траекторию деформации.
Короче говоря, если сделать путь нагружения осциллирую-
осциллирующим, то в случае гладкой кривой текучести траектория пластдче-
ской деформации не может осциллировать заметным образом,
а в случае, когда кривая текучести имеет угол, который все время
остается на пути нагружения, такие осцилляции могут происхо-
происходить.
Во всех упомянутых выше экспериментах класса II точку
нагружения заставляли тем или иным образом осциллировать
и существование или отсутствие углов устанавливалось по соот- ,
ветствующим траекториям деформации. Если траектория пласти-
пластической деформации является осциллирующей, то угол обяза-
обязательно существует, но если траектория пластической деформации
не является осциллирующей, то из самых общих исследований
соотношений между напряжениями и деформациями нельзя уста-
установить, существует ли угол в действительности.
Поэтому, строго гов#оря, испытания класса II могут показать
определенно, что угол существует, но не могут показать опреде-
определенно, что угла не существует, поскольку вектор приращения
пластической деформации вполне может" сохранять неизменное
положение (между ограничивающими его нормалями) при осцилля-
осцилляции точки нагружения, хотя она и переносит за собой угол.
Поэтому если не обнаружены осцилляции траектории дефор-
деформации, то самое большее, что можно сказать,— это то, что суще-
существование угла ни в чем не проявилось.
Из разд. VI, Б можно заметить, что опыты класса I примерно
поровну делятся на те, в которых не заметно углов, и те,
в которых появляются углы (или немного закругленные углы).
В экспериментах класса II о существовании углов сообщали Нах-
ди и др. [122}, а также Филлипс и Грей [147]; углы не были обна-
обнаружены в работах [42, 143].
Следует упомянуть, что Стоктон [169], пересматривая резуль-
результаты работы [42], решил, что из двух испытанных образцов у одно-
одного проявляется наличие угла на поверхности нагружения, а у дру-
другого нет.
Теокарис и Хазел [176] выполнили ряд опытов, в которых
роль обобщенных напряжений играли моменты, изгибающие
тонкую пластинку (из алюминиевого сплава 6061-Т651). Они
приняли определение предела текучести по остаточной деформа-
деформации (величина которой, по-видимому, немного менялась от опыта
26*
404 Б. Поль
к опыту) и нашли начальную и мгновенные поверхности текучести
в пространстве обобщенных напряжений (главных изгибающих
моментов). В этом специальном пространстве они сумели найти
доказательства существования весьма тупых углов на мгновенных
поверхностях текучести.
Возможно, стоит упомянуть, что вблизи таких «углов» на этих
поверхностях имеются небольшие впадины. Хотя эти тупые углы
и небольшие впадины вполне могут существовать, возможно, что
для того, чтобы загладить (или вызвать) их, достаточно небольших
погрешностей эксперимента.
Здесь рассказано лишь о немногих типичных исследованиях
в данной области, но этого достаточно» чтобы показать, что на
основе имеющихся экспериментальных данных трудно прийти
к общим заключениям относительно образования настоящих
углов.
Г. Выводы из экспериментов
Стоит отметить, что в различных публикациях по поверхностям
текучести использовано по меньшей мере пять различных опреде-
определений «текучести». Эти определения основаны на следующих
методах:
1) метод экстраполяции Лоде;
2) метод предела пропорциональности;
3) метод остаточных деформаций;
4) метод эквивалентной пластической деформации;
5) метод максимальной пластической деформации.
Кроме того, на результаты некоторых исследований влияют
временные эффекты (ползучесть и старение). Поэтому при срав-
сравнении результатов различных исследований неизбежна некоторая
путаница. Эта путаница особенно существенна при попытках
установить тонкие детали строения поверхности текучести, напри-
например углы. Как указал Прагер [155], эффекты такого рода могут
даже оказаться существеннее уже известных важных факторов
(например, жесткости испытательной машины или использования
разными исследователйми различных материалов) и могут объяс-
объяснять внешнюю неопределенность данных относительно углов
и подробностей упрочнения.
Несмотря на упомянутую неопределенность, из эксперимен-
экспериментальных данных все же следует несколько тв'ердо установленных
выводов. Например, можно считать, что имеют место следующие
факты.
1. Поверхности текучести пластичных металлов выпуклы.
2. Векторы обобщенной скорости деформации обычно с доста-
достаточной точностью нормальны к поверхностям текучести.
Гл. 4. Критерии пластического течения и хрупкого разрушения 405
3. Обычно хорошо заметен эффект Баушингера; изотропное
упрочнение, по-видимому, если и происходит, то лишь изредка.
4. Простое кинематическое упрочнение, упрочнение, незави-
независимое по граням, и упрочнение согласно теории скольжения, как
представляется, не имеют места в тех простейших вариантах,
в которых была предложена каждая из этих теорий. Проявления
всех этих теорий в совокупности встречаются в экспериментальных
данных, но ни одна из них не является адекватной сама по себе.
VII. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ФАКТОРЫ, ВЛИЯЮЩИЕ НА ТЕКУЧЕСТЬ
ПРИ НЕОДНООСНЫХ НАПРЯЖЕННЫХ СОСТОЯНИЯХ
Хотя мы сосредоточили внимание в основном на условиях»
когда материалы деформируются изотермически, без проявления
временных эффектов, было бы весьма интересно знать, как ведут
себя материалы в не столь идеальных обстоятельствах. Факти-
Фактически мы уже видели в разд. II, что даже точка текучести при
простом растяжении или сжатии не всегда определяется _ точно
из-за тепловых и разнообразных временных эффектов (ползучести,
релаксации, запаздывания текучести, влияния скорости дефор-
деформации и старения). Кроме того, мы упоминали, что структурные
изменения, например из-за нейтронного облучения, радикальным
образом меняют прочность материалов.
В предыдущем разделе были приведены многочисленные свиде-
свидетельства того, что поверхности текучести, вероятно, не будут
детально изучены, если не будут приняты во внимание упомянутые
«вторичные эффекты» (временные и неизотермические). К со-
сожалению, сейчас сравнительно мало известно о том, как учесть
эти временные и температурные эффекты в макроскопических
критериях текучести; краткая подборка недавних попыток в этих
направлениях будет дана ниже.
А. Влияние скорости нагружения
Существует .большое количество теоретических и эксперимен-
экспериментальных работ по влиянию скорости нагружения для линейных
вязкоупругих, особенно полимерных, материалов. Как уже тово-
рилось, эта область лежит вне рамок этой главы, но ее обзор
имеется в работах общего характера, например [49, 50, 130, 131].
Экспериментальные и аналитические исследования -эффектов
скорости нагружения для металлов при неодноосных напряженных
состояниях крайне немногочисленны. О некоторых предваритель-
предварительных экспериментах в этой области недавно сообщили Линдхольм
а Екли [99], которые спроектировали машину на растяжение —
кручение, обеспечивающую нагружение со скоростями] до
406
В. Поль
6 «106 (фунт/дюйм2)/с. Используя эту машину, они показали, что
для малоуглеродистой стали, подчиняющейся критерию Мизеса
при малых скоростях нагружения, происходит расширение кривой
текучести в плоскости растяжение — кручение примерно на 50%
при указанной высокой скорости нагружения; они наблюдали
также некоторое отклонение кривой текучести от эллипса Мизеса.
Б. Влияние облучения нейтронами
Даддерар и Даффи [43] провели испытания на растяжение
с кручением образцов из электролитической 99,95% меди. По их
словам «оказалось, что основное влияние пластических деформа-
деформаций на необлученную медь заключается в сдвиге поверхности
текучести без заметного изменения ее формы или размеров. С дру-
другой стороны, облучение вызывает весьма значительные изменения
в общих размерах начальной поверхности текучести; другими
словами, оно вызывает эффект, феноменологически эквивалентный
интенсивному деформационному упрочнению. Помимо этого, фор-
форма начальной поверхности текучести оказалась зависящей от вели-
величины условной пластической деформации, по которой принято
определять текучесть. Этот эффект не наблюдался на необлу-
А */В
Рис. 33. Семейства кривых пластических деформаций или отклонений,
качественно изображающие эффекты упрочнения и облучения, обнаруживае-
обнаруживаемые у меди [43].
и относится к необлученному металлу, для которого критическое пластическое отклонение
соответственно для эллипсов 1—5; б изображает те же эллипсы после нагружения кру-
кручением до эллипса 4. На чертеже в показано то же семейство эллипсов начального пласти-
пластического отклонения для облученного металла; видна зависимость их формы и размера
от величины деформации. На схеме г показано влияние нагружения чистым кручением;
видно кинематическое упрочнение и изотропное «разупрочнение» облученного металла.
Примечание: чтобы лучше доказать основные особенности, геометрия несколько иска-
искажена. Не делалось попыток показать местные искажения или повороты поверхности
текучести.
Гл. 4. Критерии пластического течения и хрупкого разрушения 407
ценном металле. Интенсивная пластическая деформация после
облучения приводила к сдвигу поверхности текучести и умень-
уменьшению ее в размере без существенного изменения формы».
Результаты Даддерара и Даффи качественно показаны на
рис. 33, взятом из статьи [43]. Различные семейства кривых
соответствуют различным пластическим деформациям,(по которым
определялся условный предел текучести. В подписи к рисунку
поясняются их выводы.
В. Эффекты старения
В литературе имеется немного данных относительно эффектов
.старения при наличии неодноосных напряженных состояний;
несколько работ по этому поводу опубликовали Тальшов и Камен-
цев. Ссылки на эти работы даны в [172]. На рис. 34 показаны
некоторые экспериментальные результаты Талыпова [172] для
двухосного нагружения малоуглеродистых сталей. Видно, что
начальная кривая текучести близка к эллипсу Мизеса. Образ-
Образцы материала растягивались за предел текучести при одно-
одноосном нагружении (оо = 2350 кГ/см2) до 1,4'а0 и немедленно раз-
разгружались.
Некоторые из испытавших необратимую деформацию образцов
немедленно повторно нагружались по различным путям про-
пропорционального нагружения, чтобы определить мгновенную
поверхность текучести.
Как показывают данные, изображенные светлыми кружками,
(о), произошло сильное изменение формы поверхности текучести
с сильным «перекрестным эффектом», т. е. снижением предела
текучести в направлении, перпендикулярном к начальному растя-
растяжению. Для определения текучести использовалась эквивалентная
пластическая деформация 0,2%.
Рже. 34. Кривые текучести [172].
# — начальное состояние; О — без старения;
4- — старение, 1 мес; А — старение, 3 мес.;
О — старение, 4 мес; V — старение, 5,5 мес.
408 Б. Поль
Другие группы образцов выдерживались после начальной
вытяжки различное время, а затем испытывались, чтобы опре-
определить кривую текучести, сортветствующую данному периоду
старения. Видно, что происходит почти изотропное расширение
поверхностей текучести для времени старения до четырех месяцев.
При более длительном старении (т. е. 5,5 месяцев) поверхности
текучести, по-видимому, слегка сжимаются или «восстанавли-
«восстанавливаются» практически изотропным образом.
Г. Температурные эффекты
Было опубликовано несколько теоретических работ по влия-
влиянию температуры на пластические деформации, например [39,
121, 153]. В этих статьях рассматриваются в первую очередь
определяющие соотношения для чувствительных к температуре
пластических тел. Автору неизвестны экспериментальные резуль-
результаты по температурной зависимости макроскопических критериев
текучести для неодноосных напряженных состояний.
Часть вторая
ХРУПКОЕ РАЗРУШЕНИЕ ПРИ НЕОДНООСНЫХ
НАПРЯЖЕННЫХ СОСТОЯНИЯХ
VIII. ОБЩИЕ ЗАМЕЧАНИЯ О ХРУПКОМ РАЗРУШЕНИИ
ПРИ НЕОДНООСНЫХ НАПРЯЖЕННЫХ СОСТОЯНИЯХ
По определению «в пластичном состоянии» все материалы будут
пластически деформироваться, прежде чем окончательно разру-
разрушиться. Если разрушение происходит прежде, чем появится
заметное пластическое течение, будем говорить, что материал
находится «в хрупком состоянии». Для таких материалов может
существовать уравнение вида
/ (ои; Си С„ . . .) = 0 (8.1)
(здесь пренебрегают временными эффектами и предполагают
постоянство температуры), определяющее все те комбинации
компонент напряжений, которые вызовут разрушение. Такое
уравнение, если оно существует, дает критерий разрушения.
Хотя пластичные металлы обычно разрушаются, если нагру-
жение продолжается после начала текучести (пластическое раз-
разрушение) , не существует данных о том, что уравнение вида (8.1)
можно использовать для определения напряжений, при которых
будет происходить разрушение. Известно, что в процессе пласти-
пластического разрушения большую роль играют путь нагружения
и история деформирования.
Гл. 4. Критерии пластического течения и хрупкого разрушения 409
Таким образом, мы видим, что, несомненно, имеет смысл искать
критерий текучести для материалов в пластическом состоянии
и критерий разрушения для материалов в хрупком состоянии,
но мы не должны надеяться получить универсальный критерий
разрушения (критерий потери несущей способности), одновременно
описывающий текучесть, хрупкое разрушение и пластическое
разрушение.
В настоящее время мы достаточно много знаем о критериях
начала текучести изотропных материалов, и к тому же они доста-
достаточно просты, как показано в предыдущих разделах. В то же
время наши знания о хрупких материалах (в том числе керами-
керамиках, горных породах, грунтах и зернистых средах) сравнительно
несовершенны. Более того, по внешнему виду возможные критерии
разрушения для хрупких материалов представляются значи-
значительно более разнообразными и сложными, чем немногочисленные
более простые критерии текучести для пластичных материалов.
Прежде чем переходить к подробному обсуждению данного
предмета, укажем, что (если не будет сделано специальных огово-
оговорок) мы ограничимся рассмотрением- изотропных материалов при
постоянной температуре, когда временные эффекты, такие, как
ползучесть, релаксация и запаздывание разрушения, несуще-
несущественны. Поскольку хрупкие материалы, как правило, в известной
мере пористы, влияние течения поровой жидкости и ее давления
может играть важную роль (особенно в грунтах).
По некоторым данным [83, стр. 166; 162, гл. 5; 175] един-
единственный важный эффект давления поровой жидкости в грун-
грунтах и горных породах состоит в том, что роль, главных напряжений
@i, а2, а3) начинают играть эффективные напряжения (ах +
+ Pfb &2 + Pfi &з + Pf)i гДе Pf — давление поровой жидкости.
В дальнейшем, там, где это нужно, мы, говоря о напряжениях,
будем иметь в виду эффективные напряжения, хотя и не будем
это специально подчеркивать.
В разд. VIII—XIII рассматривается в основном хрупкое раз-
разрушение, но многие представления равным образом приложимы
и к «текучести» зернистых материалов. Поэтому мы часто будем
говорить о критериях разрушения, понимая под этим либо хруп-
хрупкое разрушение, либо начало течения зернистого материала.
IX. КРИТЕРИЙ РАЗРУШЕНИЯ КУЛОНА — МОРА
А. Теория разрушения Кулона
В восемнадцатом веке, когда камень был более важным строи-
строительным материалом, чем теперь, строителям и архитекторам
было жизненно важно знать, какой вес может поддерживать
410 Б. Поль
каменная колонна. Было замечено, что одноосное сжатие обычно
цриводит к разрыву по плоскостям, наклонным к направлению
приложенной нагрузки. Кулон [28] заметил, что при испытаниях
на простое сжатие максимальное касательное напряжение возни-
возникает в плоскостях, наклоненных под углом 45° к оси нагружения;
следовательно, можно было ожидать разрушения тю этим пло-
плоскостям, если камень разрушается, когда напряжение сдвига
достигнет предельного значения тпред. Поскольку измеренные
углы явно отличались от 45°, Кулон предположил, что на процесс
разрушения влияет «внутреннее трение». Его метод рассуждения
описан Тимошенко [180]. Кулон предполагал, что абсолютная
величина напряжения сдвига | т | на поверхности разрушения
равна сумме «когезионной прочности» с (в механике грунтов с
называется сцепленийя) и напряжения трения \ip, где р — нор-
нормальное давление, а |х — постоянная материала, «коэффициент
трения»; таким образом, в плоскости разрушения
|т| = с + до. (9.1)
На основе этого предположения Кулон нашел, что угол C между
осью нагружения и плоскостью разрушения определяется фор-
формулой
Р = 45° — ф/2, (9.2)
где tg ф = |х. Отметим, что вычисленная величина угла разру-
разрушения не зависит от прочности материала с. Таким образом,
несмотря на то что Кулон не имел точных данных о величине с
(он только предположил, что с равно прочности на разрыв), он
смог определить углы разрушения, которые, как он считал,
удовлетворительно согласовывались с экспериментальными зна-
значениями. Мы увидим позднее, что совпадение не всегда оказы-
оказывается достаточно хорошим, когда теория Кулона для углов раз-
разрушения применяется к горным породам, хотя оно было и остается
достаточно удовлетворительным для грунтов со слабым сцепле-
сцеплением,
Б. Обобщение критерия разрушения Кулона,
данное Мором
Мор [116] ввел гипотезу, что разрушение начнется тогда, когда
напряжение сдвига т на произвольной площадке достигнет пре-
предельного значения, которое является функцией нормального
напряжения а на этой площадке. Другими словами, он предпо-
предположил, что разрушение произойдет при
I т | = F (а), (9.3)
где F (а) — экспериментально определяемая функция, схемати-
схематически изображенная на рис. 35.
Гл. 4. Критерии пластического течения и хрупкого разрушения 411
Г
редельная кривая
Рис. 35. Предельная кривая Мора и «безопасное» напряженное состояние.
Мор [116] показал (см. приложение Д, рис. Д.5), что если
напряженное состояние характеризуется тремя главными напря-
напряжениями оъ от аш, где х)
то касательное напряжение т и нормальное напряжение о на
любой площадке должны лежать на плоскости напряжений где-то
внутри заштрихованной области (рис. 35). Для конкретного напря-
напряженного состояния, представленного на рис. 35, ясно, что | т | <
<С F (а) на всех площадках внутри нагруженного тела, следова-
следовательно, согласно критерию Мора, разрушения не будет.
Предположим, однако, что напряженное состояние таково, что
наибольший круг Мора как раз'касается предельной кривой, как
в точке Р на рис. 36. Так как | т | = F (о) хотя бы на одной пло-
площадке нагруженного тела, будет происходить разрушение. Мате-
Материал не может выдержать напряженное состояние, представленное
штриховыми кругами на рис. 36, поскольку тогда были бы точ-
точки, такие, как Q, где | т | превышает максимально возможное
значение F (а). Короче говоря, Мор предположил, что разрушение
будет происходить для всех напряженных состояний, для которых
наибольший из кругов Мора касается определенной предельной
кривой.
Предельная кривая является поэтому огибающей всех больших
кругов Мора, соответствующих состояниям начала разрушения.
Предполагается, что можно построить «огибающую Мора», под-
подвергая образцы различным напряженным состояниям и затей
проводя огибающую к различным большим кругам Мора, построен-
построенным для момента разрушения. Обычно этот метод применяют,
подвергая цилиндрический образец сжатию напряжением $i вдоль
его оси при равных поперечных напряжениях а2 = ст3, которые
*) Мы будем следовать соглашению, по которому римские цифры в ниж-
нижних индексах соответствуют упорядочению согласно неравенствам (9.4); при
арабских цифрах A, 2, 3) в нижних индексах такая упорядоченность не пред-
предполагается.
412
Б. Поль
ш.
Рис. 36. Огибающая Мора.
1 — огибающая Мора; 2 — состояние начала разрушения.
возникают под действием бокового «обжимающего» давления,
отличного от ах. Для получения семейства больших кругов Мора
в состоянии разрушения можно также воспользоваться любым
другим удобным методом, например таким, как испытание на
растяжение с кручением.
Одно крайне важное следствие критерия Мора очевидно
из рис. 36, а именно что разрушение зависит только от наиболь-
наибольшего главного напряжения G\ и наименьшего главного напряжения
сгш, но совершенно не зависит от промежуточного главного напря-
напряжения ап. Таким образом, мы видим, что наиболее общий вид
критерия изотропного разрушения
ц а2, <т3) = О
(9.5)
не может быть представлен в форме огибающей Мора.
В действительности даже если критерий разрушения не зависит
от промежуточного главного напряжения, он все же может не
допускать представления при помощи огибающей Мора. Напри-
Например, пусть принято, что разрушение происходит тогда, когда
максимальное касательное напряжение тмакс равно некоторой
функции от нормального напряжения аср на площадке макси-
максимального касательного напряжения. Поскольку
Vafai — 0Ш),
(9.6)
(9.7)
<Jcp = VaCcTi + 0П1),
можно предположить, что
Если построить соответствующую кривую
I т | = / (а)
на плоскости | т |, а, как показано на рис. 37, а, то из уравне-
уравнения (9.6) следует, что наивысшие точки всех кругов Мора (кото-
Гл. 4. критерии пластического течения и хрупкого разрушения 413
Url
Огибающая
Рис. 37. Критерий разрушения | тмакс | = / (аСр).
а.— угол 0 < 45°, огибающая Мора существует; б — угол 9 = 45°, огибающая верти-
вертикальна; в — угол 0 > 45°, огибающей Мора не существует.
рые представляют состояние разрушения) лежат на кривой,
описываемой уравнением (9.7). Круги Мора, представляющие
состояние разрушения, будут иметь огибающую только тогда
(рис. 37, а), когда
—d | т \lda = — dflda < 1, - (9.8)
а это выполняется тогда, когда угол 9 (показанный на рис. 37)
меньше 45°. Хилл [66] формально доказал это положение, но гео-
геометрически очевидно (рис. 37, б), что огибающая становится
вертикальной при 0 = 45° и перестает существовать при 0 > 45V
как показано на рис. 37, в. Если —(df/da) < 1, то огибающую
Мора можно определить и критерий Мора дает один из возможных
способов установления зависимости (9.6).
Нужно отметить, что хотя не каждый критерий разрушения
вида (9.6) выражается при помощи огибающей^Мора, любая данная
форма огибающей Мора может быть выражена в виде уравне-
уравнения (9.6).
414 Б. Поль
В. Теория Кулона — Мора
Вероятно, простейшая возможная форма огибающей Мора —
это прямая, как показано на рис. 38. Уравнение прямолинейной
огибающей имеет вид
| т | = с — pa. (9.9)
Следует отметить, что уравнение (9.9) с точностью до обозна-
обозначений (о = —р) совпадает с критерием «внутреннего трения»
Кулона (9.1). Мы могли бы с тем же успехом получить рис. 38
из уравнения Кулона. По этой причине критерий разрушения,
соответствующий формуле (9.9) и рис. 38, мы будем называть
«критерием Кулона — Мора». В механике грунтов широко исполь-
используется термин «критерий Кулона» [175], в прикладной механике
широко используется термин «критерий Мора» [181], а в геоло-
геологии и механике горных пород иногда применяется наименование
«критерий Кулона — Навье» [83] г).
Уравнению (9.9) можно придавать физический смысл, как это
делал Кулон, или можно рассматривать его как главные члены
ряда Тейлора вида
т = а0 + flier + а>2°2 + • • •
или (9.10)
а = b0 + bt% + b2x2 + . . . .
В частном случае ср .= 0 (или \х = 0) формула (9.9) сводится
к критерию максимального касательного напряжения Треска
т =-с, а сцепление оказывается равным разрушающему напряже-
напряжению при чистом сдвиге (прежде, для пластичных материалов, обо-
обозначавшемуся через к). _
Во всяком случае, мы убедимся, что линейная огибающая дает
прекрасный критерий разрушения для многих хрупких материа-
материалов, и поэтому этот случай стоит рассмотреть подробнее.
1. Критерий Кулона — Мора, записанный в главных напряжениях
Рассматривая треугольник ABC на рис. 38, можно заметить,
что
sin ер = +V2(?~0I") , - (9.11)
т cctgcp—Vafai + aiii) ч '
После упрощений это уравнение можно записать в виде
„ 1+8Шф 1—Sincp __, /Q 194
aI 2ccosq) °ш 2с cos Ф -1' ^Л6)
г) Автору неизвестны какие-либо результаты Навье по критерию раз-
разрушения, более ранние, или более существенные, чем результаты Кулона;
см. разд. XV.
Гл. 4. Критерии пластического течения и хрупкого разрушения 415
!
с
i
1 2 И
C 2 "'
r
1 N>
cctg
Огибающая
V ^
Mopa
С
Рис. 38. Соотношение между главными напряжениями согласно критерию
Кулона — Мора.
или
где
S't Sc -1'
(9.13)
Sc — 2с cos ф/A — sin ф), (9.14)
S't = 2с cos ф/A + sin ф). ' (9.15)
Из (9.13) видно, что St равно разрушающему напряжению
при a Hi = 0 и 0 ^ % ^ Oi. Таким образом, S't было бы равна
прочности при одноосном растяжении, если бы критерий Куло-
Кулона — Мора был применим в соответствующем интервале напря-
напряжений. В действительности же, как мы увидим ниже, критерий
Кулона — Мора не применим к случаю одноосного растяжения.
Поэтому S't следует рассматривать как фиктивную прочность
на разрыв, штрих должен напоминать, что St — это не то же
самое, что. прочность на разрыв, которая будет обозначаться
через St. Из (9.13) явствует также, что при di = 0 и аш < ап <
< 0, аш = —Se. Иначе говоря, согласно критерию Мора, Sc —
прочность при одноосном сжатии. Это, как мы увидим, в общем
согласуется с экспериментом для материалов с прямолинейной
образующей Мора. Величины Sc и Si показаны на рис. 39, по кото-
которому соотношения (9.14) и (9.15) можно проверить геометрически.
В общем мы видим, что критерий Кулона — Мора представ-
представляет собой двупараметрическую теорию, в которой любой пары
экспериментально наблюдаемых параметров (с, ф), (Sc, <p), (Sc, с)
Рис. 39. Геометрический смысл Sc и
2 — чистое сжатие, 2 — чистое «растяжение».
416
Б. Поль
достаточно (теоретически) для полной характеристики материала.
Иногда удобно использовать параметры Sc и jn, где
_ 1+sincp _ Sc . •
тогда уравнение (9.13) можно записать в виде
(9.16)
(9.17)
2. Кривые разрушения для двуосных напряженных состояний
Для плоского напряженного состояния а3 = 0 наибольшим
главным напряжением является либо а1? либо а2 в зависимости
Таблица 1
Формы уравнения (9.13) при двухосных напряженных состояниях
Область
I
II
III
IV
V
VI
Соотношение
между
напряже-
напряжениями
01>02>°
<*2>Ol>0
ог2 > 0 > а4
0>or2>ai
O>0i>a2
ai>0>a2
Наиболь-
Наибольшее на-
напряжение
а2
в%
0
0
Проме-
Промежуточное
напряже-
напряжение (о"п)
^2
а,
0
0
Наимень-
Наименьшее на-
напряжение
(о-ш)
0
0
^i
а2
Правильная
форма (9.13)
aa = 5J
q2 ai _ 1
Gi=-Sc
?L °2_i
S't s,.-1
№ урав-
уравнения
(9.13a)
(9.136)
(9.13b)
(9.13r)
(9.13д)
(9.13e)
Рис. 40. Критерий Кулона — Мора
для плоского напряженного со-
состояния.
Гл. 4. Критерии пластического течения и хрупкого разрушения 417
Рис. 41. Пересечение пирамид Кулона — Мора с плоскостью сг3 = 0;
Ф= 0°, 15°, .. ., 90°; т= ?с/?«."
от того, в какую область пространства напряжений попадает
точка (аи а2). Правильная интерпретация уравнения (9.13) для
каждой из шести областей, обозначенных на рис. 40 через I,
II, . . ., VI, приведена в табл. 1.
При правильном использовании уравнения (9.13) легко убе-
убедиться, что кривая разрушения Кулона — Мора представляет
собой неправильный шестиугольник, изображенный на рис. 40.
Если Sc = S't (или, что равносильно, ф = 0), этот шестиугольник,
как и должно было быть, превращается в шестиугольник Треска
(критерий максимального касательного напряжения). На рис. 41
показано, как форма кривой разрушения зависит от угла «внут-
«внутреннего трения» ф или от отношения т = SJS't (см. формулу (9.16)).
3. Поверхности разрушения для трехосных напряженных
состояний
Чтобы установить правильное представление критерия Куло-
Кулона — Мора в трехмерном пространстве главных напряжений,
необходимо рассмотреть шесть возможных способов, которыми
могут быть упорядочены главные напряжения. В табл. 2 ука-
указаны шесть возможных форм, которые может принять уравне-
уравнение (9.17) в зависимости от упорядочения главных напряжений.
Уравнение (9.17) определяет в пространстве напряжений
Шесть плоскостей; все шесть плоскостей проходят через одну
27-0700
418 Б. Поль
Таблица 2
Формы уравнения (9.17) при трехосных напряженных состояниях
Плос-
Плоскость
I
II
III
IV
V
VI
Упорядочение
главных
напряжений
03 < or2 < Gi
#3 < #1 < ^ 2
<Ji < 03 < a2
Oi<G2< 03
<?2 < al < a3
02 < 03 < <?!
Наимень-
Наименьшее на-
напряжение
<ош)
03
о3
<*1
Наиболь-
Наибольшее на-
напряжение
<*1
о2
<*2
Оз
Оз
<*1
Правильная
форма (9.17)
03 = — «S'c + тО\
03= —Sc-\-mG2
01= —Sc-\-mG2
01 = —Sc-\- 77103
02= — Sc-{-mG3
G2=—Sc-{-m0i
JVs урав-
уравнения
(9.17а)
(9.176)
(9.17b)
(9.17r)
(9.17д)
(9.17e)
точку
= a2 = cy3 = Sv.
(9.18)
Эту точку, называемую вершиной, можно отыскать, подставив
значения (9.18) в любое из уравнений (9.17), после чего найдем
(9.19)
где использовано определение т (9.16) и формула (9.14).
Поскольку все плоскости проходят через одну точку, они
должны образовывать пирамиду с вершиной в этой точке. Такая
пирамида, представляющая собой поверхность разрушения Куло-
Кулона — Мора, изображена на рис. 42, где видны четыре грани,
Рис. 42. Поверхности разрушения
в случае неизмененного критерия
Кулона — Мора.
Гл. 4. Критерии пластического течения и хрупкого разрушения 419
рис. 43. Кривая разрушения
для испытания на сжатие с об-
зкимом (ог = о2), соответствую-
соответствующая пирамидальному крите-
критерию.
2 — линия пересечения плоскостей
IV и V, 2 — гидростатическая ось,
3 — девиаторная плоскость, 4 —
линия пересечения плоскостей I и
в со
обозначенные в табл. 2 как III, IV, V и VI. Этот рисунок соот-
соответствует материалу, для которого Sc/S't = 3, или ср = 30°.
В стандартном для механики грунтов и горных пород испыта-
испытании по боковой поверхности кругового цилиндра, который одно-
одновременно сжимается по торцам, прикладывается равномерное
давление другой величины. При таком нагружении возникают
равные главные напряжения в радиальном и окружном направле-
направлениях. К сожалению, такое испытание обычно называется трехос-
трехосным, хотя в нем воспроизводится только весьма частная комби-
комбинация трехосных напряжений. Мы будем называть это испытание
испытанием на сжатие с обжимом, поскольку это компрессионное
испытание с обжатием боковым давлением.
В испытании на сжатие с обжимом мы можем найти пересечение
поверхности разрушения с плоскостью Oi = a2- Удобно показать
это пересечение в плоскости, где по оси абсцисс откладывается
У 2 ог (или У 2 а2), а по оси ординат <т3, как показано на рис. 43.
Из рис. 42 можно усмотреть, что кривая разрушения в плоскости
ах = сг2 состоит из двух прямых, а именно линии пересечения
плоскостей I и II и линии пересечения плоскостей IV и V (на
рис. 42 видна только последняя).
Следует заметить, что кривая разрушения при сжатии с обжи-
обжимом в третьем квадранте «незамкнута»; это показывает, что осевое
давление можно неограниченно увеличивать, если пропорцио-
пропорционально возрастает обжимающее давление. С другой стороны, при
испытаниях при плоском напряженном состоянии кривая разру-
разрушения «замкнута» (рис. 40), и приложенные напряжения могут
принимать лишь конечные значения.
На рис. 43 кривая разрушения однозначно определяется зада-
заданием точек Т (чистое «растяжение», с^ = ст2 = 0; сг3 = S't), С (чис-
(чистое сжатие, о± = а2 = 0; а3 = —Sc) и V (всестороннее растяжение,
27*
420
Б. Поль
ог = а2 = сг3 = Sv). Дифференцируя соотношения (9.17а) и
(9.17г) из табл. 2, можно убедиться, что наклоны прямых CV и TV
равны соответственно
1
1/2
do*
d03
1 1 + sin ф
l/l" 1—sinqp
— sin ф
(9 20a)
(9 206)
4. Кривая разрушения в девиаторной плоскости
Из допущения об изотропии материала следует, что кривая
разрушения в девиаторной плоскости должна иметь тройную
симметрию, как показано на рис. 11. Поскольку известно, что
каждую из шести граней пирамиды девиаторная плоскость должна
пересекать по прямым, кривые разрушения должны иметь вид,
показанный на рис. 44.
По-видимому, первым опубликовал правильное уравнение кри-
кривой Кулона — Мора в девиаторной плоскости Шилд [165], хотя
из работы [92] следует, что этот результат был получен в диссер-
диссертации Киркпатрика [91]. Чтобы построить любой из шестиуголь-
шестиугольников на рис. 44, требуются лишь два характерных размера. Эти
размеры ОР и OQ можно найти из рис. 43, на котором ось о3 и гид-
гидростатическая ось изображаются без искажения. Это сделано
в приложении 3, где показано (см. формулы C.6) и C.7)), что
длины ОР и OQ выражаются в одной из следующих равносиль-
равносиль<$'/S
Рис. 44. Кривые разрушения
в девиаторной плоскости со-
согласно критерию Кулона —
Мора; ф = 0°, 15°, . . ., 90°.
Гл. 4. Критерии пластического течения и хрупкого разрушения 421
ных форм:
<9Р = -
ф _ 2 j/б с cos ф __ "|/б Sc (I —sin ф)
3—в
3—sin ф
—БШф)
3—
(9.22)
Семейство кривых в девиаторной плоскости для различных
значений ф показано на рис. 44, где напряжения ах, а2, сг3 пред-
представлены в безразмерном виде при помощи деления на прочность
при сжатии Sc. Обозначения о[ и т. д. означают, что на рис. 44
оси 01, сг2 и ст3 сокращены.
5. Усечение поверхности разрушения в области растяжения
Уже было указано, что параметр материала
S't = Sc (I — sin ф)/A + sin ф)
вовсе не обязательно совпадает с прочностью хрупкого материала
на разрыв, хотя это имело бы место, если бы критерий Кулона —
Мора выполнялся для одноосного растяжения. Мы увидим ниже^
что эксперименты на разнообразных хрупких материалах пока-
показывают, что поверхность Кулона — Мора служит хорошим при-
приближением для поверхности разрушения при всех напряженных
состояниях, для которых максимальное нормальное напряжение
(наибольшее главное напряжение) Oj меньше предела прочности
при одноосном растяжении St (St < Sty; в противном случае раз-
разрушение происходит при Gi — St. Это наводит на мысль [138]
Рис. 45. Критерий Кулона — Мора
с усечением в области растяжения
[138].
422
Б. Поль
произвести усечение поверхности разрушения в области растя-
растягивающих напряжений, как показано на рис. 45.
Оправдание такому специальному выбору усечения можно
найти в разд. XI.
6 Гипотеза угла разрушения
Если сделать допущение, что разрушение происходит по пло-
площадке, для которой выполняется критерий Мора, то образом физи-
физической плоскости разрушения является точка В на рис. 38. Угол
01 между осью наибольшего главного напряжения и нормалью
к площадке разрушения равен, как видно из рис. 38,
6i = V2 Z CAB = i/2 (90° - cp) = 45°- ф/2. (9.23)
Плоскость разрушения на рис. 46, а показана неровной линией.
Следует отметить, что на рис. 38 показана только половина
круга Мора и что зеркальное отражение точки В относительно
оси а также определяет возможную плоскость разрушения.
Нормаль к этой второй площадке составляет с осью наибольшего
главного напряжения угол —9Ь как показано на рис. 46, б.
Короче говоря, из гипотезы о том, что разрушение происходит
по площадке, на которой \ % \ — с — [act, следует, что плоскости
разрушения проходят через ось промежуточного напряжения
и составляют угол ±D5° — ф/2) с направлением наименьшего
главного напряжения. Если все главные напряжения различны
по величине, то, как показано на рис. 46, в, существуют две
равновероятные площадки разрушения. Если два наибольших
главных напряжения равны (как при компрессионных испытаниях
\*@1
\
у
а д.
Рис. 46. 9j =<45О — ф/2.
а — разрушение, соответствующее точке В рис. 38; б — разрушение, соответствующее
точке, симметричной точке В; в — равновероятные площадки разрушения (aj > о*ц >
> o*?ij); г — равновероятные площадки на конусе огибающей разрушения (aj = оц >
> o*jjj); 1 — ось наибольшего главного напряжения; 2 — ось наименьшего главного
напряжения.
Гл. 4. Критерии пластического течения и хрупкого разрушения 423
а б в
Рис. 47. Три основных типа разрывов земной коры.
а'— нормальный сброс, вертикальное напряжение является наибольшим главным сжи-
сжимающим напряжением; б — надвиг, вертикальное напряжение является наименьшим
главным сжимающим напряжением; в — поперечный сдвиг, вертикальное напряже-
напряжение является промежуточным главным напряжением.
или испытаниях на сжатие с обжимом), то равновероятными пло-
плоскостями разрушения являются все плоскости семейства, огибаю-
огибающей которого является конус с осью в направлении оси наимень-
наименьшего главного напряжения и половиной угла при вершине, равной
45° — ф/2; в этих условиях, как показано на рис. 46, г, можно
ожидать конического разрушения.
В разд. XIV мы увидим, что при определенных условиях
(например, при одноосном сжатии) существуют силы, которые
препятствуют развитию разрушения по поверхностям, показанным
на рис. 46. Тем не менее в мелкозернистых материалах и при
наличии большого гидростатического сжатия имеется тенденция
к разрушению хрупких материалов образом, качественно сход-
сходным с изображенным на рис. 46.
Геологи (см. [83], стр. 79, 173) использовали идеи, неявно
представленные на рис. 46, чтобы объяснить существование трех
основных типов разрывов земной коры. Предполагается, что одно
из главных напряжений является сжимающим и близко по направ-
направлению к вертикали. Если вертикальное главное напряжение
(примерно равное произведению удельного веса на глубину)
является наибольшим сжимающим напряжением, то считается,
что разовьется нормальный сдвиг {сброс), изображенный на
рис. 47, а; если вертикальное напряжение является наимень-
наименьшим сжимающим, то предполагается, что разовьется надвиг
(рис. 47, б), а если вертикальное напряжение промежуточное —
то поперечный сдвиг (рис. 47, в). Изредка наблюдается круговая
система разрывов, сходная с изображенной на рис. 46, г.
Следует отметить, что разрывы, наклонные к главным
направлениям, обычно рассматривают как «сдвиговое разрушение»;
точнее было бы сказать, что это разрушение, совместимое с крите-
критерием Кулона — Мора. Геологи наблюдали также [83, стр. 30]
424 Б. Поль
хрупкое разрушение в направлении, перпендикулярном к направ-
направлению основных растягивающих напряжений, что согласуется
с усечением в области растяжения.
X. ОБОБЩЕННЫЕ ПИРАМИДАЛЬНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ РАЗРУШЕНИЯ
ДЛЯ ИЗОТРОПНЫХ МАТЕРИАЛОВ
А. Общие уравнения
Мы рассмотрим теперь некоторый класс материалов, чувстви-
чувствительных как к промежуточному главному напряжению, так
и к гидростатической компоненте тензора напряжений. Допустив
несколько более разнообразные формы поведения, мы получаем
возможность описания известных свойств хрупких металлов,
горных пород, грунтов и т. д. В то же время мы будем соблюдать
ограничение полной изотропии. Материал разд. X и XI весьма
близок к изложению Поля [140].
Из условия изотропии следует, что любое сечение равного
давления г) поверхности разрушения должно обладать тройной
симметрией, изображенной на рис. 48. Внутренняя кривая на
рис. 48 в некоторых точках вогнута, и потому не является допу-
допустимой для класса устойчиво упрочняющихся материалов (см.
Друккер [36]). Если, однако, мы рассматриваем разрушение
(или течение зернистой среды), а не пластическое течение, то
вполне могут существовать материалы, не являющиеся устойчиво
упрочняющимися в смысле Друккера.
Различные сечения одной поверхности разрушения, по-разно-
по-разному отстоящие от начала координат, могут различаться по размеру
и форме.
Из-за разнообразия возможных поверхностей разрушения и ана-
аналитических трудностей, связанных со многими из них, логично
попытаться упростить задачу, приблизив общую нелинейную
поверхность разрушения аппроксимирующей поверхностью,
состоящей из совокупности плоскостей, облегающих искривленную
поверхность с любой заданной точностью. Иными словами, мы
можем аппроксимировать поверхность разрушения кусочно-линей-
кусочно-линейной поверхностью (многогранником).
Как уже упоминалось в разд. V, В, кусочно-линейные критерии
текучести в теории пластичности исследовались многими авторами.
Эти авторы интересовались главным образом эффектами упрочне-
упрочнения, соотношениями между напряжениями и деформациями
и общей теорией предельных состояний пластичных металлов.
г) Напомним, что «сечение равного давления» определяется как сече-
сечение, перпендикулярное гидростатической оси.
Гл. 4. Критерии пластического течения и хрупкого разрушения 425-
Рис. 48. Проекция на девиатор-
иую плоскость сечения, нормаль-
нормального к гидростатической оси.
Вогнутая
Выпуклая
Для грунтов [175], горных пород [84] и других хрупких мате-
материалов [138] обычно априори полагали, что поверхность разру-
разрушения — это фактически кусочно-линейная поверхность Куло-
Кулона — Мора. Критерий Кулона — Мора (частный случай рас-
рассматриваемых здесь обобщенных поверхностей разрушения) обла-
обладает весьма ограниченными возможностями в отношении пред-
представления достаточно разнообразных материалов, поскольку он
содержит только два свободных параметра и совсем не учитывает
влияния промежуточного главного напряжения ап. Данное Хей~
торнтуэйтом [62] обобщение теории Кулона — Мора учитывает
влияние ап, но ограничивается выпуклыми шестигранными пира-
пирамидами.
Двенадцатиугольник, заштрихованный на рис. 49, представ-
представляет собой типичное сечение (кривую уровня) характерной кусоч-
кусочно-линейной поверхности разрушения плоскостью равного давле-
давления. Каждая из двенадцати сторон является линией пересечения
плоскости равного давления с наклонной плоскостью, описывае-
описываемой уравнением вида
Ааг + Во2 + Са3 = 1. A0.1)
Всего сторон 12, но не все 36 постоянных А, В, С независимы.
Из рис. 49 можно усмотреть, что сечение фактически образовано
пересечением двух шестиугольников, каждый из которых пол-
полностью определяется одной из шести своих сторон.
Властности, рассмотрим звездообразный шестиугольник с вер-
вершинами Р\, Р\, Р\ на положительных полуосях и вершинами
@i» Q\-> Q\ на отрицательных полуосях х).
Пусть P\Q\ — след наклонной плоскости, имеющей уравнение
= 1. (Ю.2)
х) Заметим, что верхние индексы относятся к данной плоскости, а яиж-
йие — к оси. Шестиугольник, определяемый верхним индексом у, будет
называться «шестиугольник номер /»•
426
Б. Поль
Рис. 49. Двенадцатиугольное сечение обобщенной пирамидальной поверх-
поверхности разрушения.
Из условий симметрии следует, что наклонные плоскости, соот-
соответствующие сторонам «шестиугольника номер один», опреде-
определяются уравнениями, приведенными в табл. 3. Таким образом,
Таблица 3
Уравнения шестигранной пирамиды
Область
I
II
III
JV
V
VI
Сторона
PiQi
PlQl
PIQI
PiQi
PiQi
PlQl
Упорядочение
главных
напряжений
Gl > 0*2 > 0
tf2 > сч > 03
0*2 > 0*3 > вi
0*3 > СГ2 > 0*!
<*3 > 0*1 > <*2
<*1 > <?3 > °*2
Уравнение
А^а3+В^2 + С% = 1
Aio3 + Bioi + Cio2 = l
Aioi + Bio3 + Cio2 = i
№ уравнения
A0.2a)
A0.26)
A0.2b)
A0.2r)
(io. ад
A0.2e)
мы видим, что для того, чтобы определить эти шесть сторон сече-
лия, необходимо и достаточно иметь ровно три константы А1,
В1, О*.
Гл. 4. Критерии пластического течения и хрупкого разрушения 427
Аналогичное рассуждение показывает, что необходимо и доста-
достаточно иметь три константы А2, В2, С% для того, чтобы определить
шесть граней, проходящих через выпуклый многоугольник
P\QIP\Q\PIQI- Уравнения этого второго семейства шести пло-
плоскостей в пространстве получаются из табл. 3 простой заменой
единицы на двойку во всех верхних индексах.
Если бы сечение имело 6п сторон, нам потребовалось бы Зп
независимых постоянных вида
А\ В\ V (/ = 1 п).
Уравнения всех бтг поверхностей получались бы из табл. 3
последовательной заменой в верхнем индексе 1 на 2, 3, . . ., тг.
Из уравнений A0.2) видно, что все шесть плоскостей, про-
проходящих через «шестиугольник номер один», пересекаются в точке
01 = а2 = а3 = il(A* + В1 + С1); A0.3)
иначе говоря, это семейство плоскостей образует шестигранную
пирамиду с вершиной на гидростатической оси.
Те же замечания справедливы для каждого из п шестиуголь-
шестиугольников, образующих сечение общей кусочно-линейной поверх-
поверхности разрушения. Таким образом, можно сказать, что обобщен-
обобщенные кусочно-линейные поверхности разрушения могут быть обра-
образованы сопряжением семейства шестигранных пирамид. Поэтому
мы будем называть эти поверхности «пирамидальными поверхно-
поверхностями разрушения».
Б. Шестигранная пирамидальная поверхность разрушения
Простейшая пирамидальная поверхность разрушения — это
одна шестигранная пирамида. Пирамида Кулона — Мора отно-
относится к этому классу, но это частный случай, лишенный наиболее
интересных свойств таких поверхностей, поскольку для него
одна из имеющихся постоянных обязательно равна нулю.
Если допустить, что все три постоянные могут принимать
ненулевые значения и что поверхность разрушения может быть
вогнутой, то получатся самые разнообразные поверхности раз-
разрушения, и как следствие этого в сравнительно простой теории
удается описать весьма разнообразные экспериментальные резуль-
результаты.
Другой мотив к изучению пирамидальных шестигранных
поверхностей разрушения связан с тем, что эти пирамиды являют-
являются, как мы видели, блоками, из которых могут быть построены
наиболее общие кусочно-линейные изотропные критерии разру-
разрушения.
Уравнения граней пирамиды —¦ это уравнения A0.2), но по-
поскольку мы рассматриваем одну пирамиду, мы далее будем опу-
опускать верхние индексы у постоянных А1, В1, С1.
428 Б. Поль
1. Связь уравнений в пространстве напряжений с характеристи-
характеристиками прочности материала
Чтобы выразить А, В, С через экспериментально определяемые
величины, допустим, что при одноосном сжатии, одноосном растя-
растяжении и чистом сдвиге материал разрушается при напряжениях
SCJ St и Ss соответственно.
Поэтому напряженное состояние в момент разрушения для
каждого из этих случаев может быть представлено следующим
образом:
Сжатие: Oi = o2 = 0, o3=—SC, A0#4)
Растяжение1): Oi = Stf а2 = ог = 0г A0.5)
Сдвиг: Oi = Ss, ст2 = 0, а3= — ss A0.6)
Во всех этих случаях ог ^ а2 ^ сг3, так что следует использовать
уравнение A0.2а). Подставляя в A0.2а) значения A0.4) и A0.5),
находим
А = 1/St9 С = —1/SC. A0.7)
Если же подставить в A0.2а) значения A0.6), то получим
А — С = 1/Sa = HSt + VSe. A0.8)
Иначе говоря, состояние чистого сдвига не дает дополнительной
информации для определения постоянной В; в то же время видно,
что, согласно этому критерию, разрушающее напряжение при
чистом сдвиге выражается через разрушающие напряжения при
чистом растяжении и сжатии формулой
Ss =* ScSt/(SG + St). fl0.9)
Подставляя значения A0.6) в уравнение (9.17а) из табл. 2,
легко убеждаемся, что A0.9) — это как раз результат, получаю-
получающийся в теории Кулона — Мора.
Чтобы определить третью постоянную, допустим, что при
однородном трехосном растяжении наблюдается разрушение при
х) Если осуществляется усечение в области растяжения, о'котором гово-
говорится в разд. IX, В, 6, то испытание на одноосное^растяжение не может дать
сведений о шестигранной поверхности разрушения. В этих случаях прихо-
приходится заменять испытание на разрыв каким-либо иным'испытанием, в кото-
котором разрушение носит иной характер. Все соотношения, следующие за A0.5),
остались бы справедливыми, если заменить St другим параметром Si, как
это было сделано в разд. IX.
Мы не будем далее явно вводить этот штрих, а будем рассматривать St
как настоящую или фиктивную прочность на разрыв, в зависимости от того,
имеет место усечение в об л асти? растяжения или нет.
Гл. 4. Критерии пластического течения и хрупкого разрушения 429
напряжении Sv. Иначе говоря, подставим в уравнение A0.2а)
0х = а2 = 03 = Sv A0.10)
и получим
А +В + С = 1/SV1 A0.11)
так что
BSC = ?с/?„ — Sc/St + 1 = g — те + 1, A0.12)
где использованы обозначения
q = SJSV, m = SJSt. A0.13)
Теория Кулона — Мора представляет собой частный вариант
этой более общей теории, для которого в уравнение плоскости
разрушения могут входить только максимальные и минимальные
главные напряжения. Иными словами, в теории Кулона — Мора
параметр В тождественно равен нулю (см. табл. 3). Поэтому
из A0.12) следует, что, согласно теории Кулона — Мора, раз-
разрушение при чистом гидростатическом растяжении происходит
при таком напряжении Sv, что
1/SV = 1/St — II Sc (Кулон — Mop), A0.14)
а это согласуется с формулой (9.19).
Если при испытании на сжатие с обжимом наблюдаются пря-
прямые линии разрушения (как на рис. 43), то формулу A0.14) можно
использовать для проверки применимости критерия Кулона —
Мора. Если она не выполняется, то влиянием промежуточ-
промежуточного главного напряжения пренебрегать нельзя и требуется
пирамидальный критерий разрушения более общий, чем критерий
Кулона — Мора»
2. Уравнения в пространстве напряжений и параметры пирамиды
Из рис. 49 видно, что каждую прямую (например, P\Q§ можно
задать ее точками пересечения с двумя осями в девиаторной пло-
плоскости. Например, точка Р\ лежит на положительной части
оси e'v a Q\ — на отрицательной части оси 0д. Расстояния ОР\
и OQ\ полностью определяют прямую P\Q\. Более того, поскольку
проходящая через P\Q\ грань проходит через вершину F, в кото-
которой 0Х = 02 = 03 = Si, три расстояния ОР\, OQ\, OV = J/lf ??
однозначно определяют рассматриваемую грань. Поскольку ОР\
и OQ\ полностью определяют основание шестигранной пирамиды,
а ^3 S\ — ее высота, мы можем назвать эти три параметра «пара-
«параметрами пирамиды».
В приложении 3 (формулы C.3), C.5)) показано, что
ОР = Уб" [3/St — 1/SV]~\ A0.15)
OQ = Yb [3/Se + 1/SV]-K A0.16)
430Б. Поль
В этих соотношениях опущены верхние и нижние индексы,
поскольку для данной пирамиды все значения ОР} равны, так же
как и все значения OQ).
Удобно разрешить соотношения A0.15) и A0.16) относительно
HSt и i/Sc и, использовав A0.7), выразить А и С в виде
Наконец, из A0.11) можно найти
Таким образом, мы получили выражения для трех коэффи-
коэффициентов А, В, С плоскости через параметры пирамиды OQ, OP, Sv.
3. Ограничения на интервал изменения постоянных
Уравнения табл. 3 определяют различные поверхности разру-
разрушения в зависимости от относительных значений величин q =
= Sv/Sc и т = Sc/St. Ограничимся наиболее важным случаем
?с > St, поскольку большинство хрупких материалов имеет
большую прочность на сжатие, чем на растяжение. Примем, далее,
что Sv > 0, поскольку можно ожидать разрушения при всесто-
всестороннем растяжении, а не при всестороннем сжатии. Следует
упомянуть, что неравенство Sv < 0 ни в коем случае не является
невозможным. Действительно, для материалов, разрушающихся
в соответствии с критерием максимальной нормальной деформации
(или напряжения), поверхность разрушения имеет вид выпуклой
оболочки, образованной двумя пересекающимися пирамидами,
для одной из которых значение Sv отрицательно.
Ради краткости, мы положим
m = SJSt^U A0.20)
q - Sc/Sv > 0. A0.21)
(Обобщение на другие случаи получается непосредственно.)
Из A0.15) немедленно следует, что ОР будет положительным
только тогда, когда
3SV > Su т.е. q< 3m. A0.22)
Таким образом, мы видим, что, коль скоро мы требуем поло-
положительности Sv, St и Sc, величина Sv должна превосходить St/S
для того, чтобы поверхность разрушения охватывала начало
координат в пространстве напряжений.
Гл. 4. Критерии пластического течения и хрупкого разрушения 4311
Из рис. 49 можно заметить, что поверхность разрушения будет
выпуклой только тогда, когда
ОР\ > OP* = OQ\ sin 30° = OQ\ Л/%. A0.23)
Подставляя A0.15) и A0.16) в неравенство A0.23), убедимся,
что для выпуклости необходимо, чтобы выполнялось неравенство
q > т — 2. A0.24)
Аналогичное рассуждение показывает, что необходимое усло-
условие выпуклости имеет вид
OQ\ > OQ* = ОР\ sin 30° = ОР\ -У2,
или
q^2m — 1. A0.25>
Короче говоря, поверхность текучести будет выпуклой, если
q лежит в интервале
то —2<д<2/и —1, A0.26).
и вогнутой, если q лежит вне этого интервала.
4. Кривые разрушения при плоском напряженном состоянии
Если в табл. 3 положить а3 = 0, то получатся шесть соотно-
соотношений, приводимых в табл. 4.
Таблица 4
Уравнения для двухосного напряженного состояния
Область
I
II
III
IV
V
VI
Уравнение
Ao2 + Boi = l
Ag2 + Cgi = 1
Ba2 +С a i = l
Bgi + Cg2 = 1
Ag± + Cg? r= 1
Наклон (S = da2/doi)
— A/B = m/(m — q —1);
— B/A=(m — q—l)/m
— C/A = l/m
-C/B=l/(q + i-m)
— B/C = q + l-m
— A/C = m
При составлении табл. 4 для того, чтобы выразить угловой
коэффициент S через т и а, использованы уравнения A0.7) и
A0.12).
Существует, оказывается, пять характерных форм двухосных
кривых разрушения, которые легко изобразить, если известен
Б. Поль
432
интервал изменения S = dajdo^ Сводка этих пяти возможных
случаев дана в табл. 5. Поскольку двухосные кривые разрушения
Таблица 5
Интервал изменения наклонов кривых разрушения
при двухосных напряженных состояниях
Случай 1
'А
Б
В
Г
Д
Интервал
изменения q
Ът <С Q
2т — 1 <^ q <^ Ът
m<.q^.2m — l
т.— 1 < q <; т
т — 2 <Z Q ^ т — 1
q -^ m — 2
Интервал изм
II
т
-1<*<о
1
^^ ттг
енен
III
1
т
1
1
т
1
1
ия S в области
IV
1 ^ о ^ 1
2771 — 1 771
1
7/г ^
1<6'<оо
-сх><5<-1
-К,<о
Примечание
Невоз-
Невозможен J)
Вогнута 2)
Выпукла 3)
Выпукла 3)
Выпукла 3)
Вогнута 2)
1) Невозможен в силу неравенства A0.22).
2) Нарушено неравенство A0.26).
3) Выполнено неравенство A0.26).
должны быть симметричными относительно прямой аг = а2,
необходимо только записать все характеристики для трех сосед-
соседних областей (например, II, III, IV). После того как построена
кривая в области а2 > с1у другая половина кривой получается
отражением относительно этой оси симметрии.
На рис. 50 показаны все возможные варианты (случаи А — Д)
двухосных кривых разрушения для шестигранных пирамид
с Sc > St > 0 и Sv > 0.
Интересно отметить, что критерий Кулона — Мора (показан-
(показанный как предельный случай на рис. 50,Г) определяет замкнутую
двухосную кривую разрушения, тогда как для более общих
двухосных критериев этого раздела получаются как замкнутые,
так и разомкнутые кривые, которые могут быть выпуклыми
и вогнутыми в зависимости от соотношения параметров. Инте-
Интересно также, что этот трехпараметрический критерий позволяет
описать столь разнообразное поведение материала и что проме-
промежуточное главное напряжение может в принципе оказывать
существенное влияние на форму поверхности разрушения.
Гл. 4. Критерии пластического течения и хрупкого разрушения 433
А
В
Г
Д
Рис. 50. Возможные кривые разрушения.
а — двухосное напряженное состояние; б — сжатие с обжимом; в — сечение девиатор-
ной плоскостью. Случай А: 2т — 1 < q ^ Зт; случай Б: т < q ^ 2т — 1; случай В:
т — 1 < q ^ т; случай Г: т — 2 < q ^ т — 1; случай Д: q ^ т — 2. 1 — гидроста-
гидростатическая ось; 2 — девиаторная плоскость; 3 — критерий Кулона — Мора, q = m— 1.
Помимо двухосной кривой разрушения, на рис. 50 (случаи
А — Д) показаны также виды кривых разрушения для сжатия
с обжимом и кргвые в девиаторной плоскости для каждого из пяти
возможных случаев.
28-0700
434
Б. Поль
В. Известные частные случаи
Многие из поверхностей текучести и разрушения, предложен-
предложенных за долгие годы для многих материалов, являются частными
случаями обобщенной пирамидальной поверхности. Ниже пере-
перечислены некоторые из известных поверхностей этого типа.
1. Поверхность Кулона — Мора [28, 59, 116]
Это частный случай обобщенной пирамидальной поверхности,
состоящей из одной пирамиды, каждая из граней которой парал-
параллельна одной из осей координат.
2. Критерий максимального касательного напряжения Треска [183}
Это частный случай теории Кулона — Мора с бесконечна
удаленной вершиной пирамиды.
3. Критерий максимального нормального напряжения
Это частный случай «шестигранного пирамидального крите-
критерия», когда две стороны шестиугольника (например, Q\P\ и P\Q\
на рис. 49) сливаются и в плоскостях равного давления полу-
получаются треугольники. Пересечением двух таких трехгранных
пирамид с вершинами по разные стороны от начала координат
образуется куб с гранями, параллельными координатным плоско-
плоскостям.
4. Критерий максимальной нормальной деформации Сеи-Венана
[159]
Это другой случай, когда две трехгранные пирамиды пересе-
пересекаются, образуя наклонный, параллелепипед (см. рис. 51, заим-
заимствованный из работы [186]).
Рис. 51. Критерий максимальной нормальной деформации [186).
Пересечение пирамид VABC и V'A'B'C; проекция на плоскость а, == 0.
Гл. 4» Критерии пластического течения и хрупкого разрушения 435
5. Критерий Хилла [65]
Этот исследователь ввел «критерий максимального при-
приведенного напряжения»; при этом поверхность разрушения
представляет правильную шестигранную призму, поверну-
повернутую на 30° относительно призмы Треска, как показано на
рис. 12.
Х'ейторнтуэйт [62] указал, что обобщая критерий максималь-
максимального приведенного напряжения подобно тому, как обобщается
критерий Треска при переходе к критерию Кулона — Мора^
можно превратить эту призму в шестигранную пирамиду. Он рас-
рассмотрел также [62] обобщения критериев Кулона —- Мора
и максимального приведенного напряжения, являющиеся
частными случаями обобщенного пирамидального критерия
разрушения.
6. Комбинированные критерии
Как мы увидим ниже, иногда экспериментальные данные
хорошо соответствуют одному критерию в некоторых областях
пространства напряжений и другим критериям в других обла-
областях. Поэтому возникла идея построить полную поверхность
разрушения во всем пространстве напряжений, объединив простые
поверхности разрушения. Были предложены следующие комби-
комбинированные критерии.
а. Критерий Кулона — Мора с усечением в области растяже-
растяжения [138]. Это пирамидальный критерий разрушения, в котором
пирамида Кулона — Mopia пересечена некоторой другой пира-
пирамидой (рис. 45). Эта другая sпирамида, определяющая усечение
в области растяжения, представляет собой еще один частный
случай общей шестигранной пирамиды, как пояснено в разделе
о максимальных нормальных напряжениях. Несколько иное
по характеру усечение в области растяжения предложил Коуэн
[29], а Друккер [37] для частного случая пирамиды, служащей
обобщением призмы Треска, предположил, что растяжение недо-
цустимо вообще.
б. Критерий Беккера. Вестёргард [186] считал, что накоплен-
накопленные к его времени данные говорили в пользу принятия критерия,
выдвинутого Беккером [5] для текучести стали. Соответствующая
поверхность разрушения — это выпуклая оболочка, составлен-
составленная из призмы Треска и двойной пирамиды (параллелепипеда)
Сен-Венана. Этот частный случай обобщенного пирамидального
критерия разрушения сейчас представляет лишь исторический
интерес, но именно он вызвал появление часто цитируемой статьи
Вестергарда [186].
28*
436 В. Поль
7. Предельные случаи
а. Критерий Мизеса [114]. Это единственный широко исполь-
используемый критерий разрушения изотропных материалов, не являю-
являющийся кусочно-линейным. Однако его с любой заданной степенью
точности можно аппроксимировать правильной многогранной
призмой с большим числом сторон. Такая призма одновременно
является пирамидальной поверхностью разрушения с бесконечно
удаленными вершинами пирамид.
б. Обобщение критериев Мизеса и Треска. Обобщением круго-
кругового цилиндра Мизеса может служить, как указано Надаи [119,
стр. 255], Друккером и Прагером [41], круговой конус. Пирами-
Пирамидальная аппроксимация этого кругового конуса исследована
Друккером [37], который рассматривал эту пирамиду как обоб-
обобщение критерия Треска. Замена поверхности Мизеса параболоидом
обсуждалась Надаи [119, стр. 255], а также Стасси-Д'Алиа [168].
В строительной литературе по грунтам и бетону [15, 16] в изоби-
изобилии рассматриваются конические и параболоидальные поверхно-
поверхности разрушения, хотя они не обязательно носят это название.
Меррел [117] предложил применительно к горным породам
поверхность разрушения в виде комбинации из трехгранной
пирамиды и параболоида.
в. Обобщение критерия Кулона — Мора. Кобаяси и Коя-
наги [93], а также Нива с соавторами [125—127] провели ряд
испытаний на бетоне и цементном камне. Их данные хорошо
описываются поверхностями разрушения, похожими на пирамиды,
«нормальные сечения которых представляют собой слегка разду-
раздутые равносторонние треугольники» и которые пересекаются поверх-
поверхностями, получающимися при усечении в области растяжения.
На этот критерий разрушения слабо влияет промежуточное глав-
главное напряжение; в этом смысле его можно считать обобщением
пирамиды Кулона — Мора.
XI. ПРИЛОЖЕНИЯ К РЕАЛЬНЫМ МАТЕРИАЛАМ
В предыдущем разделе было показано, что с помощью обоб-
обобщенных пирамидальных поверхностей разрушения можно описать
любой изотропный материал, который начинает течь или разру-
разрушается в соответствии с произвольным макроскопическим крите-
критерием, формулируемым в напряжениях. Было также показано, что
некоторые частные случаи позволяют описать весьма разнообраз-
разнообразное поведение материала при совсем небольшом числе эксперимен-
экспериментальных констант. Например, для шестигранной пирамиды тре-
требуется три параметра, а в частном случае пирамиды Кулона —
Мора — всего два; еще один параметр вводится при усечении
в области растяжения и т. д. Пирамидальные критерии оказыва-
оказываются полезными только тогда, когда простые (с малым числом
Гл. 4. Критерии пластического течения и хрупкого разрушения 437
параметров) их варианты дают возможность описать реальные
материалы.
В настоящем разделе будет показано, что существует очень
много экспериментальных данных, указывающих, что хрупкое
разрушение и текучесть весьма широкого класса материалов
можно хорошо описать при помощи пирамидального критерия
разрушения. Отметим, что в большинстве случаев эти материалы
чувствительны к давлению и, вообще говоря, к промежуточному
главному напряжению.
Здесь дается лишь выборка из обширной литературы по этому
вопросу и за отсутствием места не будут должным образом рас-
рассмотрены точность и достоверность обсуждаемых экспериментов.
Тем не менее думается, что в целом имеющиеся данные убедительно
выявляют преимущества пирамидальных критериев при описании
поведения чувствительных к давлению материалов.
А, Хрупкие металлы
1. Чугун
У чугуна обнаруживается измеримая текучесть, но все же
он, по-видимому, достаточно хрупок, чтобы следовать макроско-
макроскопическому критерию разрушения по напряжениям.
На рис. 52 показаны данные Грасси и Корне [55] по серому
чугуну. Как указал Поль [138], эти данные, насколько это вообще
возможно, вполне согласуются с критерием Кулона — Мора, если
его дополнить усечением в области растяжения. Однако в первом
квадранте данные, по-видимому, следуют по слегка наклонным
прямым наподобие показанных на рис. 50, В. Поэтому можно
предположить, что разрушение подчиняется более общему пира^-
мидальному критерию разрушения типа изображенного на
рис. 50, В. Однако за отсутствием данных, относящихся к третьему
квадранту, мы не можем фактически проверить это предположение.
Если мы рассмотрим представленные на рис. 53 данные Корне
и Грасси [26] по модифицированному чугуну, то увидим в первом
квадранте значительно более заметный уклон. Опять-таки данные
для третьего квадранта помогли бы решить, нужен ли критерий
Кулона — Мора или более общий пирамидальный критерий.
Первый из них дал бы в третьем квадранте линию нулевого наклона,
а второй — наклонную, как показано на рис. 53.
Данные Коффина [24], показанные на рис. 54,— один из немно-
немногих примеров исследований в квадранте сжатие — сжатие. Если бы
в этом квадранте выполнялся критерий Кулона — Мора, то кривая
разрушения состояла бы из двух прямых, параллельных соответ-
соответствующим осям координат, как показано на рис. 50, Г штриховыми
линиями. Факты же показывают, что экспериментальные точки
438
Б. Поль
Масштаб
20000 фунт/дюймг
arctg m
Рис. 52. Данные Грасси и Корне [55]
по серому чугуну.
Приближение критерием Кулона — Мора,
дополненным усечением в области растя-
растяжения. О — результаты эксперимента;
1 — усечение в области растяжения; 2 —
неизмененный критерий Кулона — Мора;
S — измененный критерий Кулона — Мора
с т = 2,04 (ф = 20°).
Рис. 53. Данные Корне и Грасси [26]
по модифицированному чугуну.
Приближение критерием Кулона — Мора
или пирамидальным критерием. О — ре-
результаты эксперимента; 1 — усечение в
области растяжения; 2 — пирамидальный
критерий; з — измененный критерий Ку-
Кулона — Мора; 4 — неизмененный критерий
Кулона—Мора.
лежат на наклонных прямых, а это указывает на возможность
применения пирамидального критерия разрушения типа изобра-
изображенного на рис. 50, В. Угловой коэффициент сплошных прямых,
проведенных через экспериментальные точки, равен приблизи-
приблизительно 0,36. Полагая т = 2,04, мы можем найти параметр q
из пятого уравнения табл. 4:
q = S + т - 1 = 0,36 + 2,04 - 1 = 1,40.
Наклон пирамидальной кривой разрушения в первом квадранте
дается первой строкой табл. 4:
?= т/(т — q + i)= 2,04/B,04 - 1,40 - 1) = - 5,65.
По полученным значениям построена кривая разрушения в пер-
первом квадранте. Мы видим, что шестигранная пирамида (с усече-
усечением в области растяжения) описывает основные черты поверх-
поверхности разрушения чугуна при двухосном напряженном состоянии.
Чтобы оценить необходимость такого обобщения критерия Куло-
Кулона — Мора, важно знать, что представляют точки в третьем
Га, 4, Критерии пластического течения и хрупкого разрушения 439
Рис. 54. Данные Коффина [24] по' серому чугуну-.
Приближение пирамидальным критерием em = 2,04,g = l,40. O-— результаты экспе-
эксперимента; 1 — усечение в области растяжения; 2 — кривая для. неизмененного критерия
Кулона — Мора; 3 — кривая для шестигранной пирамиды с m == 2,04 (<р = 20°).
квадранте: истинные двухосные напряженные состояния или же
состояния с ненулевым третьим главным Напряжением (возмож-
(возможность, указанная Полем [138]). Теоретически этот вопрос можно
было бы решить, найдя дополнительные точки в области IV,
где 0 > а2 > аг.
2. Магниевые сплавы
Данные о серии испытаний полых цилиндров из магниевого
сплава на внутреннее давление с осевым растяжением (сжатием)
приводятся Томсеном и Дорном [179]. Хотя имело место некоторое
пластическое течение, все же эти сплавы более хрупки, чем боль-
большинство металлов, и их разрушение может описываться макроско-
макроскопическим критерием разрушения. На рис. 55 представлены три
двухосные кривые разрушения для сплавов, обозначенных Томсе-
Томсеном и Дорном через /_х, FS^, O_x. Экспериментальные точки
можно было бы достаточно хорошо описать критерием максималь-
максимального касательного напряжения, но он не позволил бы учесть
заметный наклон прямых в квадранте растяжение — растяжение.
Однако наклонные прямые в этом квадранте получаются из пира-
пирамидальных поверхностей разрушения, дающих кривые ,рис. 50, Б
и 50, В. С помощью пирамидальных поверхностей разрушения
440
Б. Поль
50
40
30
20
10
и
-10
-20
-30
-40
-50
\
I I I I \x ^
10 20 30 4Q^tfo'
7/
a
\
- , , , 1
10 20 30 40Г
Рис. 55. Кривые разрушения для шестигранных пирамид [179].
Приближение экспериментальных данных по истинной прочности трубчатых образцов
полученных экструзией магниевых сплавов, а — сплав J_lf б — сплав F8-t, в — сплав
O_j; по оси абсцисс — истинное касательное напряжение, по оси ординат — истинное
растягивающее напряжение; напряжения указаны в 1000 фунт/дюйм2 (»70 кГ/см2).
экспериментальные точки удается приблизить с любой желаемой
степенью точности. Первое обобщение критерия Кулона — Мора —
это шестигранная пирамида, которой отвечают на рис. 55 сплош-
сплошные линии. Поскольку для всех материалов заметна некоторая
вогнутость, лучшие результаты дает двенадцатигранная пирамида,
определяемая штриховой кривой. Следует или нет увеличивать
число граней пирамиды, зависит от а) требуемой точности прибли-
приближения и б) присущего данным разброса. Дополнительные дан-
данные в квадранте сжатие — сжатие помогли бы подтвердить
или опровергнуть допущение, что эти материалы описываются
«пирамидальной» кривой разрушения показанного вида.
Стоит упомянуть, что, как показал Дорн [33], алюминиевые
сплавы 24ST, 24ST 80 и 24ST 81 имеют аналогичный наклон
линий разрушения в квадранте растяжение — растяжение. Они,
однако, обладают заметной анизотропией, и их нельзя непосред-
непосредственно описать изотропными соотношениями разд. X.
Б. Зернистые материалы и грунты
Наиболее распространенным испытанием при определении
критериев разрушения зернистых материалов является сжатие
с обжимом или так называемое «трехосное испытание». Такое
испытание может доказать неприменимость критерия Кулона —
Мора (или любого другого критерия с шестигранной пирамидой),
но не может доказать их применимость, поскольку эти испытания
дают лишь две точки, проектирующиеся в центр площадки равного
Гл. 4. Критерии пластического течения и хрупкого разрушения 441
давления. Для того чтобы определить истинную кривую разруше-
разрушения на характерной площадке равного давления, нужны более
общие испытания (кручение — сжатие или двухосное сжатие
полых цилиндров). Такие испытания, будучи более общими, чем
опыты на сжатие с обжимом, все же носят ограниченный характер,
поскольку являются в основном испытаниями при плоском напря-
напряженном состоянии. Ниже описаны некоторые новые эксперименты,
в которых все три главных напряжения менялись независимо.
Литература по критериям разрушения для. грунтов обширна,
и нет ни возможности, ни смысла давать здесь ее обзор. Однако*
может быть весьма желательно подобрать несколько новых экспе-
экспериментов, показывающих, что, хотя испытанный временем крите-
критерий Кулона — Мора служит хорошим первым приближением
для многих грунтов, все же имеется некоторое не описываемое
этим критерием влияние промежуточного главного напряжения.
Ранее некоторые авторы, рассматривавшие данный вопрос, пред-
предположили, что для того, чтобы описать эти эффекты, критерий
разрушения должен выражаться через второй и, возможно,
третий инварианты девиатора напряжений. Однако с практической
точки зрения для описания известных автору экспериментальных
данных (некоторые из них представлены ниже) пирамидальный:
критерий разрушения применим с не меньшим основанием.
1. Хейторнтуэйт [61]
Он представил результаты данных по сжатию с кручением
образца из формованного илистого грунта в виде, показанном
на рис. 56. Отклонения от критерия Кулона — Мора хорошо
заметны, особенно вблизи вершин шестиугольника. Как отметил
Хейторнтуэйт, эти данные можно аппроксимировать некоторым
треугольником, например ...ABC..., не хуже, чем шестиугольни-
шестиугольником Кулона — Мора. Такой треугольник, конечно, соответствует
частному случаю пирамидального критерия. Если нужно получить
лучшее приближение, то можно воспользоваться пирамидой
с двенадцатиугольным1) основанием ...DEFGHJK.
То обстоятельство, что ломаную EFG можно без большого
отклонения заменить прямой, подсказывает, что может существо-
существовать усечение в области сжатия; это можно было бы объяснить,
если бы были данные о выпучивании образцов в точках, близких
к EFG. Во всяком случае, из рисунка видно, что если критерий
Кулона — Мора и недостаточно точен, то другие варианты пира-
пирамидального критерия позволяют описать разрушение с достаточно
хорошей точностью.
х) Двенадцатиугольник (как и упоминаемый треугольник) симметричен
относительно оси о{. Чтобы не загромождать чертеж, показана лишь
половина кривой разрушения.
442
Б. Поль
<ч
Рис. 56. Данные испытаний Хейторн-
туэйта [61] на образцах из формо-
формованного илистого грунта, построен-
построенные в плоскости постоянного давле-
давления в пространстве главных напря-
напряжений.
Пунктирный шестиугольник соответствует
критерию текучести Кулона с ф = 35° и
с — 4,8 фунт/дюйм2; показаны также тре-
треугольник и двенадцатиугольник.
Рис. 57. Экспериментальные данные
Сибата и Карубе [164] для нормаль-
нормально консолидированной глины (пока-
(показаны эффективные напряжения).
1 — кривая Кулона •— Мора, 2 — возмож-
возможная пирамидальная поверхность, 3 —
предлагаемая нелинейная кривая.
2. Сибата и Карубе [164]
Эти авторы так видоизменили стандартное «трехосное испыта-
испытание», что смогли независимо менять промежуточное главное
напряжение. На рис. 57 показаны их данные, спроектированные
центрально из предполагаемой вершины на площадку равного
давления (за вычетом вклада давления поровой воды). Поскольку
.экспериментальные точки не ложились на" кривую Кулона —
Мора, Сибата и Карубе [164] предложили аппроксимировать эти
данные штриховой кривой, показанной в левой части рисунка
(изображена только половина симметричной кривой). Многоуголь-
Многоугольник в правой части — это столь же приемлемый критерий пира-
пирамидального типа. Стороны, подобные ED, можно интерпретировать
как результат усечения (возможно, зависящего от давления)
шестигранной пирамиды в области растяжения.
3. Лет [95]
Этот автор сконструировал установку для независимого изме-
изменения каждого из трех главных напряжений, действующих на обра-
образец грунта, и использовал ее для определения критерия разруше-
разрушения для смеси песка, гравия и ила. Он пришел к выводу, что
_в критерии разрушения важную роль играет промежуточное
Гл. 4. Критерии пластического течения и хрупкого разрушения 443
Рис. 58. Данные Лено [95] по
сухому грунту без сцепления.
• 7
1 I I I 1 I 1 I I I I I I I I
0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0
главное напряжение, и допустил, что его данные хорошо описы-
описываются критерием вида /2 = 160 + 0,223 /3 или Jx = 21,5 +
+ 0,0535 /2, где Ju /2, /3 — первые три инварианта тензора
напряжений.
Однако едва ли нужно прибегать к нелинейным критериям,
поскольку эти данные можно удовлетворительно описать «пира-
«пирамидальным шестигранным критерием» с уравнением
2ог + 4а2 — а3 = 0 (ах > а2 > а3)-
Данные Лено перестроены на рис. 58, где видно, что все
точки, за исключением одной (изображенной на рис. 58 квадрати-
квадратиком), отклоняются по ординате от Значений, даваемых приведен-
приведенным уравнением, не более чем на 5 %.
В. Бетон и искусственный камень
1. Балмер [3],
Он опубликовал результаты испытаний на сжатие с обжимом
на различных смесях цемента и грунтов. Типичная группа его
результатов показана на рис. 59. Результаты испытаний на сжатие
с обжимом согласуются с кривой Кулона — Мора (штриховая
линия) и с возможным вариантом усечения^ в области растяжения
(пунктирная линия). Поскольку не было данных для первого или
четвертого квадрантов, на основании этих .испытаний нельзя
сказать, производится ли такое усечение. (Наличие такого усече-
444
В. Поль
1
-500
f
\ i
-400
^-
i
-300
i
-200
-
i 111
-100
300
200
100
<$
Рис. 59. Данные испытаний на сжатие с обжимом (а) согласуются с огибаю-
огибающей Мора (б) по [3].
Материал: 6% цемента с илистой глиной после твердения в течение 90 дней. а± — осевое
напряжение, а2 = сг3 — боковое давление; напряжения указаны в фунт/дюйм2
A фунт/дюйм3» 0,07 кГ/см2); 1 — критерий Кулона — Мора; 2 — усечение в области
растяжения, О — результаты экспериментов Балмера [3].
ния мы можем ожидать из других экспериментов; см. ниже.) Если
бы во втором и третьем квадрантах были бы дополнительные
точки, то они должны были бы лечь на штриховую линию, чтобы
был допустим критерий Кулона — Мора. Если бы такие добавоч-
добавочные точки были найдены, то можно было бы пользоваться огиба-
огибающей Мора, показанной на рис. 59.
Допустив, что теория Кулона — Мора действительно приме-
применима, Балмер [3] нашел соответствующие прямолинейные огибаю-
огибающие Мора для ряда цементно-грунтовых смесей. Данные этого
типа (ценные сами по себе) дали бы больше сведений, если бы та же
установка была использована для отыскания верхней ветви пред-
предполагаемой кривой разрушения. При нынешнем состоянии дел
для этого класса материалов с той же вероятностью, как и крите-
критерий Кулона — Мора, применим любой другой «шестиугольный»
критерий.
2. Бреслер и Листер [15, 16]
Эти авторы провели испытания на растяжение с кручением
полых бетонных цилиндров и пришли к выводу, что для этих
материалов на критерий разрушения влияет промежуточное глав-
главное напряжение. Испытание) это таково, что одно из главных
Гл. 4. Критерии пластического течения и хрупкого разрушения 445
рис. 60. Зависимость октаэдрического
касательного -напряжения т0 от среднего
нормального напряжения о~0 для испы-
испытаний на растяжение с кручением [16].
По испытаниям цилиндров 6 X 12; О — бе-
бетон, 3000 фунт/дюйм2 (^211 кГ/см2); А — бетон,
4500 фунт/дюйм2 (^316 кГ/см2); D — бетон,
6000 фунт/дюйм2 (=5-422 кГ/см2); А —данные
•испытаний 1952 г., бетон, 3000 фунт/дюйм2;
1 — параболический.критерий, 2 — прямоли-
прямолинейный критерий. Штриховыми кривыми огра-
ограничена полоса разброса.
напряжении всегда растягивающее, так что они смогли исследо-
исследовать кривую разрушения лишь в тех квадрантах, где существенно
усечение в области растяжения, если оно имеет место.
Бреслер и Пистер показали, что их данные хорошо описыва-
описываются критерием разрушения, устанавливающим, что октаэдриче-
ское касательное напряжение т0 является функцией среднего
напряжения сг0. Изображая свои данные в виде зависимости т0
от ого, они нашли, что хорошим приближением служит прямая
или слегка искривленная парабола, как показано на рис. 60.
Эти критерии эквивалентны круговым конусам или парабо-
параболоидам вращения в пространстве главных напряжений, так что
они представляют собой обобщения критерия Мизёса. Если же
эти данные перестроить в двухосном пространстве напряжений,
то достигается столь же хорошее соответствие с пирамидальным
(возможно, типа Кулона — Мора) критерием с усечением в области
растяжения.
Таким образом, мы видим, что простейшая шестигранная пира-
пирамида (а именно пирамида Кулона — Мора) в сочетании с усечением
в области растяжения (еще одна «пирамидальная» поверхность)
позволяет описать те же данные, для которых Бреслер и Пистер
привлекли обобщения нелинейного критерия Мизеса.
Отношение прочностей при растяжении и сжатии не обязатель-
обязательно должно быть одним и тем же для всех трех марок бетона,
но, по-видимому, дело обстояло именно так. Поскольку резуль-
результаты в большей части интервала их изменения хорошо описыва-
описываются критериями с усечением в. области растяжения, автору
представляется маловероятным, что частный критерий, предло-
предложенный Бреслером и Пистером, окажется применимым в других
областях пространства напряжений (например, в квадранте сжа-
сжатие — сжатие), где растягивающие напряжения уже не играют
основной роли.
446 Б. Поль
3. Кобаяси и Коянаги [93] и Нива с соавторами [125—127]
См. разд. X, В, 7, в.
Г. Горные породы
В последние годы вырос интерес к характеристикам разруше-
разрушения горных пород; имеются прекрасные новые библиографические-
обзоры, например [9]. Полное освещение этого вопроса можно
найти в обзоре Егера [84], а также в сборниках и трудах симпо-
симпозиумов, например [46, 58].
Мы намереваемся лишь на нескольких примерах эксперимен-
экспериментальных работ, представленных здесь, показать, что горные-
породы прекрасно описываются сравнительно простыми пирами-
пирамидальными критериями разрушения, всегда содержащими (для всех
известных автору данных) усечение в области растяжения в виде-
трехгранной пирамиды. Согласно Надаи [119], Фёппль в 1900 г.
испытывал кубики горных пород, нагруженные сжатием по двум
или четырем граням, и пришел к выводу, что промежуточное-
главное напряжение не влияет на разрушение. Вскоре посла
этих экспериментов были проведены знаменитые эксперименты
Кармана [88].
В этих опытах на сжатие с обжимом Карман обнаружил, что
для одного из видов мрамора огибающая Мора близка к прямой
до средних давлений, близких к 2000 атм, а затем начинает выпо-
лаживаться, что указывает на приближение к критерию Треска.
Как уже упоминалось, при таких испытаниях нельзя установить
отсутствие влияния промежуточного напряжения на условия
разрушения, но если мы для пробы примем допущение, что проме-
промежуточное напряжение несущественно, то результаты Кармана
окажутся в соответствии с поверхностью разрушения в виде
шестигранной пирамиды, пересекающейся с шестигранной призмой
Треска.
В 1914 г. Бёкер [12] заново испытал использованный Карманом
сорт мрамора на сжатие с обжимом, причем главным сжимающим
напряжением было боковое давление. Соответствующая огибаю-
огибающая Мора^ не согласуется (см. [117, стр. 571]) с кармановской
(в опытах Кармана осевое давление было больше бокового). Это
значит, что» при низких средних давлениях критерий Кулона —
Мора не позволяет адекватно описать результаты, хотя не исклю-
исключено применение шестигранной пирамиды более общего вида.
Бёкер провел также опыты на сжатие с кручением (они опи-
описаны у Надаи [119, стр. 271]). Из этих опытов можно усмотреть
наличие усечения в области растяжения, являющегося опреде-
определяющим при малых средних давлениях.
Различные опыты но горным породам, описанные в упомяну-
упомянутых выше общих работах, указывают на наличие усечения в обла-
Гл. 4. Критерии пластического течения и хрупкого разрушения 447
-20
-16
-J-4
рис. 61. Кривые разрушения диабаза в плоскости сжатия с обжимом [13].
в __ усечение в области растяжения, б — кривая, соответствующая шестигранной пира-
пирамиде. Напряжения указаны в килобарах.
Рис. 62. Кривые разрушения доломита Blair в плоскости сжатия с обжи-
обжимом [13].
а — усечение в области растяжения, б — кривая, соответствующая шестигранной пира-
пирамиде, в — кривая, соответствующая шестигранной призме. Напряжения указаны в кило-
барах.
сти растяжения и на возможность применения шестигранных
пирамидальных поверхностей разрушения. Новые примеры таких
экспериментов показаны на рис. 61 и 62. Показанные дадные
получены Брейсом [13] в опытах на сжатие и растяжение с обжи-
обжимом. Из рис. 61 видно, что для испытанных диабазовых пород
в исследованном интервале средних давлений достаточно хороша
простая шестигранная пирамида с усечением в области растяжения,
а рис. 62 показывает, что тот же тип поверхности разрушения
пригоден для описания разрушения доломита при низких средних
давлениях, но при больших средних давлениях он переходит
в призму Треска.
Д. Заключительные замечания по экспериментам
Формулировка критериев разрушения в виде простых вариан-
вариантов* обобщенных пирамидальных поверхностей разрушения удобнаг
гибка и достаточно точна для весьма разнообразных материалов,
чувствительных к давлению, в том числе хрупких металлов,
природного и искусственного камня и зернистых сред. Большую
часть предложенных ранее критериев разрушения можно интерпре-
интерпретировать как частные случаи пирамидальных критериев. В част-
448 Б. Поль
ности, критерий Кулона — Мора с усечением в области растяже-
растяжения служит достаточно хорошим первым приближением для мно-
многих материалов, но в тех случаях, когда влияние промежуточного
главного напряжения оказывается очень заметным, он нуждается
в обобщении.
Часть третья
СВЯЗЬ МЕЖДУ ТЕОРИЕЙ ГРИФФИТСА
И МАКРОСКОПИЧЕСКИМИ КРИТЕРИЯМИ РАЗРУШЕНИЯ
XII. КРИТЕРИЙ ГРИФФИТСА ДЛЯ ДВУХОСНЫХ
НАПРЯЖЕННЫХ СОСТОЯНИЙ
Условия, при которых хрупкие материалы разрушаются,
весьма существенно зависят от статистически изменяющихся
локальных факторов, таких, как включения, границы зерен,
мельчайшие несовершенства и т. п. Попытка предсказать разру-
разрушение, начинающееся в высоколокализованных случайных несо-
несовершенствах на атомном уровне (или, что более вероятно, на уровне
отдельных минеральных зерен в горных породах), на основе
какого-либо макроскопического критерия (например, критерия
Кулона — Мора) на первый взгляд может показаться почти
безнадежной. Однако Гриффите показал [57], что разрушение,
начинающееся вблизи концов случайно ориентированных эллипти-
эллиптических трещин, приводит к макроскопическому критерию разру-
разрушения по напряжению, графически представленному на рис. 63.
На рис. 63 и на протяжении всей этой части главные напряже-
напряжения будут обозначаться через Р и Q и принимается соглашение,
что сжимающим напряжениям приписывается знак плюс. Это
упростит дальнейшее изложение, которое будет касаться преиму-
7
Г
¦8St
2 Рис. 63. Критерий Гриффитса для
(Р-Р) =8St(P+Q)^ у разрушения при двухосном напря-
напряженном состоянии, создаваемом глав-
главными напряжениями Р и Q (поло-
(положительными считаются сжимающие
напряжения).
Гл. 4. Критерии пластического течения и хрупкого разрушения 449
Р
г
\ Рост у
t
р
Рис. 64, Эллиптическая трещина и оси координат.
щественно полей сжимающих напряжений и будет иллюстриро-
иллюстрироваться экспериментальными результатами, полученными на гор-
горных породах или грунтах со сцеплением. Это облегчит также
сопоставление приводимых формул с формулами, используемыми
в литературе по механике горных пород и грунтов, где обычно
принимается условие о положительности сжимающих напряжений.
Гриффите [57] рассматривал «пластину», содержащую множе-
множество случайно ориентированных, эллиптических полостей (или
«трещин»). Пластина предполагалась нагруженной главными
напряжениями Р ж Q (напомним, что положительными считаются
сжимающие напряжения), как показано на рис. 64, где изобра-
изображена одна из трещин, наклоненная под углом г|) по отношению
к главной оси, параллельной Q. Напряженное состояние вокруг
такой эллиптической трещины может быть найдено из решения
Инглиса [80] плоской задачи об упругом теле с эллиптической
полостью.
Решение Инглиса (см. [83, стр. 167, 198]) получена в эллипти-
эллиптических координатах g и т], определяемых соотношениями
х' = С ch
cos г], у' = С sh \ sin т). A2.1)'
Оси х' и у' направлены, как показано на рис. 64, а С ch \ и С sh \—
большая и меньшая полуоси эллипса, определяемого условием
\ = const. В частности, считается, что эксцентриситет эллипти-
эллиптической полости с координатой ? = ?0 очень велик, так что ?0
гораздо меньше единицы. Тогда, как показано Инглисом и Гриф-
фитсом. нормальное напряжение оп у поверхности трещины,
t»-0700
450 Б. Поль
направленное вдоль нее, дается выражением
°ч («о» Ч) = : ch2|0-cos2Ti ^1Z^>
Если предположить, что разрушение происходит тогда, когда
максимальное растягивающее напряжение (От,)макс становится
равным некоторому критическому постоянному значению 0кр, та
можно найти «окружную» координату ч\ и угол г|)кр той трещины,
которая начнет распространяться первой, решая задачу на экстре-
экстремум по г|э и т) для выражения A2.2). Без долгих разговоров Гриф-
Гриффите [57] как раз и записал результат такого вычисления г) в сле-
следующем виде:
^^ A2.3>
Р = Su A2.4)
если
ZP + Q < 0, A2.5)
(Р- Qf - 8St (P + Q)=O, A2.6)
если
SP + Q > 0. A2.7)
В соотношениях A2.3)—A2.6) предполагается, что <? > Р. Кон-
Константа St объединяет две неизвестные постоянные акр и |0, на
из уравнения A2.4). видно, что St может быть истолковано. как
прочность на разрыв при одноосном напряжении (отсюда и исполь-
использованное здесь обозначение). Формулы A2.4)—A2.6) определяют
кривую разрушения, изображенную на рис. 63. Если точка,
изображающая напряженное состояние, лежит внутри области,
ограниченной сплошной кривой, то разрушения не произойдет,
так как растягивающее напряжение на наиболее опасной трещине
(для данного напряженного состояния) еще не достигает предель-
предельного значения сгКр.
Мы видим, что, начав с субмакроскопического уровня, можно
формулировать макроскопический критерий разрушения (типа
кривой в напряжениях). Более того, критерий в напряжениях,
который вытекает из подхода Гриффитса, качественно тот же,
что и критерии по напряжениям пирамидального типа (например,
Кулона — Мора), усовершенствованные путем усечения в области
растягивающих напряжений. Таким образом, критерии пирами-
пирамидального типа можно рассматривать либо как эмпирическое опи-
описание экспериментальных результатов, либо как следствие лежа-
лежащего в их основе более фундаментального механизма разрушения.
г) Относительно соответствующих вычислений см. разд. XIII.
Гл. 4. Критерии пластического течения и хрупкого разрушения 451
Очевидный недостаток первоначального критерия Гриффитса
состоит в том, что он приводит к следующему заключению: проч-
прочность на сжатие должна ровно в восемь раз превосходить прочность
на разрыв. Хорошо известно, что это вообще неверно (см. разд. XI);
в частности, для горных пород сообщалось о стократном превы-
превышении прочности на сжатие над прочностью на разрыв. Этот
частный недостаток первоначальной концепции Гриффитса был
частично устранен с помощью усовершенствования, предложен-
предложенного Макклинтоком и Уолшем [108], допустившими, что трещины
под давлением закрываются, благодаря чему на их поверхностях
возникает трение скольжения. Однако (как было установлено
ими же) для того, чтобы с помощью трения можно было объяснить
десятикратное превышение прочности на сжатие над прочностью
на разрыв, коэффициент трения на этих поверхностях должен
быть неправдоподобно велик.
Поскольку" уравнение кривой Гриффитса содержит всего один
свободный параметр, эту кривую можно привести в соответствие
с экспериментальными результатами лишь для одного вида одно-
одноосного напряжения: или для одноосного растяжения, как пока-
показано на рис. 63, или дл%я одноосного сжатия. В любом случае
для большинства материалов предсказание прочности для одного
или другого вида напряжения оказывается плохим. Эту кривую,
конечно^ можно провести через любую заданную эксперименталь-
экспериментальную точку, однако для величины отношения SJSt она всегда
будет давать значение 8.
Раньше кривую на рис. 63 обычно называли «гриффитсовской
кривой разрушения», подразумевая, что материалы должны
испытывать макроскопическое разрушение, как только точка Р, Q
в плоскости напряжений достигнет сплошной кривой, изображен-
изображенной на этом рисунке. В действительности же проведенный анализ
дает пока только следующий результат: необходимо, чтобы изоб-
изображающая точка на плоскости напряжений коснулась указанной
огибающей, прежде чем произойдет макроскопическое разруше-
разрушение. Однако не было показано, что достижения этой огибающей
достаточно для того, чтобы произошло разрушение в целом.
Иначе говоря, макроскопическое разрушение не произойдет
до тех пор, пока трещины, начинающиеся в наиболее опасных
повреждениях, не станут самораспространяющимися под дей-
действием напряженного состояния, которое вызвало их появле-
появление.
Мы теперь рассмотрим, что происходит после того, как изобра-
изображающая точка достигает первоначальной гриффитсовской кривой.
Соображения, которые будут изложены в разд. XIII и XIV,
совсем недавнего происхождения [141], и для лучшего понимания
обсуждаемой проблемы, возможно, понадобится их усовершен-
усовершенствовать.
29*
452
Б. Поль
XIII. НАЧАЛЬНЫЕ И МГНОВЕННЫЕ КРИВЫЕ РАЗРУШЕНИЯ
А. Эксперименты с медленно распространяющимися трещинами
Если мы хотим понять, что произойдет в результате последо-
последовательности нагружения по некоторой программе, выводящей
за пределы гриффитсовской кривой начала разрушения, то нам
следует руководствоваться экспериментальными наблюдениями
за ростом и формированием макротрещин в хрупких материалах.
Брейс и Бомболакис [14] и Хоек [74] провели очень интересные
эксперимент^, в которых на образец из хрупкого материала были
нанесены тонкие прямолинейные трещины, а затем образец под-
подвергался сжатию по осям, образующим определенные углы с ли-
линией трещины. Было установлено, что если оба главных напря-
напряжения являются сжимающими, то начальная трещина не распро-
распространяется катастрофически при определенной заданной нагрузке,
как было бы в случае одного только растяжения. Было установ-
установлено также, что при медленном росте нагрузки постепенно обра-
образуются ответвляющиеся трещины, которые растут лишь до неко-
некоторого предельного конечного размера. Кроме того, эти ответвив-
ответвившиеся трещины, которые всегда выходят из окрестностей концов
нанесенной начальной трещины, отклоняются от своего первона-
первоначального направления и постепенно вытягиваются вдоль направ-
направления наибольшего сжимающего напряжения. Их поведение
показано на рис. 65, заимствованном из работы [14].
Рис. 65. Ответвившиеся трещины
наблюдаемые в образце из хрупкой
пластмассы [14].
3 — начальная трещина, 2 — ответвив»
шиеся трещины.
Рис. 66. Начальные и мгновенные
кривые разрушения в пространстве
напряжений.
1 — начальная кривая разрушения, 2 —
мгновенные кривые разрушения, 3 — путь
«агружения.
Гл. 4. Критерии пластического течения и хрупкого разрушения 453
j$. Понятие мгновенных кривых разрушения
Можно предположить, что когда изображающая точка на пло-
плоскости напряжений движется по некоторому заданному пути на-~
гружения, подобному пути ABC, показанному на рис. 66, из ка-
каких-то внутренних трещин, ориентированных под углом tyc\
выйдут ответвившиеся трещины (рис. 67, а). Эти трещины
к моменту, когда изображающая точка достигнет гриффитсовской
кривой в точке С на рис. 66, распространятся на некоторое
конечное расстояние. Однако растрескивание, которое при этом
произойдет, еще не вызовет разрушения в целом.
Таким образом, для того чтобы произошло дальнейшее разру-
разрушение, потребуется некоторое дополнительное «нагружение».
Это означает, что изображающая точка на рис. 66 должна выйти
за пределы первоначальной гриффитсовской кривой, дойдя,
скажем, до точки D, после чего из всех внутренних трещин,
расположенных под некоторым критическим углом %>, выйдут
ответвившиеся трещины, как показано на рис. 67, б. Более того,
на этой стадии нагружения могут появиться добавочные ответ-
ответвившиеся трещины в других точках на трещинах, ориентирован-
ориентированных под углом г|)С (такие трещины обозначены буквой!) на рис. 67,6),
а ответвившиеся ранее трещины (рис. 67, а) могут удлиниться.
Рис. 67. Начальные ответвив-
ответвившиеся трещины на уровне С (а)
ш последующие ответвившиеся
трещины на уровне D (б).
-f — ответвившаяся трещина, 2 —
начальная трещина.
454 . Б. Поль
Так как теперь начальное распределение внутренних трещин
отличается от распределения в исходном образце, мы имеем по
существу новый материал с иными свойствами. Поэтому точка D
лежит на кривой разрушения, которая отличается от первона-
первоначальной кривой разрушения.
Эта ситуация очень похожа на ту, которая была описана
в разд. V для пластичного металла, обладающего начальной поверх-
поверхностью текучести и целым семейством мгновенных поверхностей
текучести, зависящих от пути нагружения.
Можно ожидать, что мгновенные кривые разрушения будут
возникать до тех пор, пока наконец не образуется достаточное
число трещин и они не перепутаются настолько, что любое даль-
дальнейшее нагружение уже станет невозможным без того, чтобы
не произошло катастрофическое разрушение на макроскопическом
уровне. По аналогии с явлением «деформационного упрочнения»
мы можем назвать возникновение мгновенных кривых разрушения
явлением «упрочнения при разрушении» *).
Мгновенные кривые разрушения, которые представлены на
рис. 66, не изображены во всех деталях, а показаны только
схематически. Можно ожидать, однако, что в отличие от перво-
первоначальной кривой разрушения мгновенные кривые разрушения
не будут симметричными относительно прямой Р = Q, поскольку
благодаря выстраиванию ответвившихся трещин вдоль оси наи-
наибольшего напряжения материал становится анизотропным. Это
совершенно аналогично наведенной анизотропии при деформиро-
деформировании первоначально изотропных деформационно-упрочняющихся
металлов, приводящей к общему смещению и искажению мгно-
мгновенных кривых текучести. Можно ожидать также, что общий
интервал, занимаемый мгновенными кривыми разрушения между
первоначальной кривой и окончательной кривой катастрофиче-
катастрофического разрушения, довольно узок. Такое заключение основывается
на ограниченности разброса результатов двухосных испытаний
хрупких материалов, представленных изображающей точкой
на плоскости PQ (см., например, рис. 52—54).
В. Обобщение теории Гриффитса для нахождения
мгновенных кривых разрушения
Для того чтобы получить некоторое представление о том, как
могли бы выглядеть мгновенные кривые разрушения, нам следует
г) Выражение «упрочнение при разрушении» настолько же соответст-
соответствует утверждению, что предельная прочность увеличивается за счет возник-
возникновения внутренних разрушений, насколько выражение «деформационное
упрочнение» соответствует утверждению, что предельная прочность может
быть увеличена в результате пластического течения. Оба эти выражения
в известной мере представляют собой неправильные словоупотребления,
однако аналогия между обозначаемыми ими явлениями ясна.
Гл. 4. Критерии пластического течения и хрупкого разрушения 455
50
45
40
35
30
20
15
10
1
У
\h
1
f
A7
/ i
/
/
1
/
/
/
/
/
A
f
в
/
/
1
ц
A
/)
A
У/,
f
1
"I
V^20°
ao«
у
//
/
^40°
/30°
7
/
3
,70°
'тьиагружеп
30^
) {
3H10
i
0°
/
Ш.
i if
I
I
i
Л
20
zl
40°
30c
/
/
2
i
25
30
/
0°
о
Рис. 68. Критерий Гриффитса для различных направлений начальных
трещин.
ваполнить до некоторой степени тот пробел между формулами
A2.2) и A2.7), который Гриффите в опубликованных им резуль-
результатах оставил без внимания.
Если мы рассмотрим одиночную эллиптическую трещину
с. заданными эксцентриситетом и ориентацией, то ?0 и г|? в выра-
выражении A2.2) будут постоянными и максимальное нормальное
напряжение ац на границе эллипса будет достигаться в точке, где
doyjdx\ = 0. A3.1)
Дифференцируя выражение A2.2) и используя условие A3.1),
можно показать (см. формулу (И.23)), что для тогог, чтобы из окре-
окрестностей концов трещины, ориентированной под углом я|) (см.
рис. 64), начали выходить ответвляющиеся трещины, главные
456
Б. Поль
Рис. 69. Наглядное представление критерия Гриффитса для различных
направлений начальных трещин.
напряжения Р и Q должны удовлетворять соотношению
{Р2 cos2 г|) + Q2 sin2 г))I/2 — Р cos2 г|) — Q sin2 i|> = 2SU A3.2)
где St — прочность на разрыв при одноосном растяжении.
Это соотношение дает ключ к задаче о начальной и мгновенных
кривых разрушения вида, показанного схематически на рис. 66.
Уравнение A3.2) для различных значений г|? графически представ-
представлено на рис. 68. В приложении И показано (см. формулу (И.29)),
что огибающая всех кривых, представленных на рис. 68, являет-
является кривой Гриффитса, изображенной на рис. 63.
Поскольку.if — многозначная функция от Р и Q, изображение
кривых на рис. 68 может вызвать неясности. Поэтому для нагляд-
наглядности они перестроены на рис. 69, на котором туннелеобразная
форма поверхности г|) (Р, Q) видна более отчетливо.
Возможность в некотором смысле отождествить семейство кри-
кривых, изображенных на рис. 68, с мгновенными кривыми разру-
разрушения представляется правдоподобной. Однако для того чтобы
обосновать ее, нам следует более подробно рассмотреть те пути,
которыми распространяются трещины. К идентификации мгновен-
мгновенных кривых разрушения мы вернемся в разд. ХШ,Д.
Г. О росте и форме ветвления трещин
Для того чтобы понять, чем обусловлена общая форма ветвле-
ветвления трещин, заметим, что расположение эллиптической трещины,
на которой впервые достигается критическая величина растяги-
растягивающего напряжения, задается величиной т|, определяемой фор-
формулой (И.13). Поскольку максимальное растяжение действует
в направлении, параллельном поверхности трещины в ее конце,
ответвившаяся трещина будет вначале перпендикулярна поверх-
поверхности трещины, образуя с главной осью (эллипса угол 6, как
Гл. 4. Критерии пластического течения и хрупкого разрушения 457
показано на рис. 64. Этот угол 8 определяется выражением
а а dx С СП ^q S1Q Tj /4Q Q\
Щи~ ~W~ ^shgocost] ' ^^d>
получающимся из равенств A2.1).
В приложении И показано, что ?0 и г\ в точке разрушения
малы; следовательно, исключив отношение т]/^0 с помощью фор-
формулы (И. 13), молено записать равенство A3.3) в виде
Рис. 64 показывает, что угол р между ответвившейся трещиной
и осью а; (измеренный, как показано, по направлению движения
часовой стрелки) дается выражением
р = е — -ф. A3.5>
Обозначив отношение главных напряжений через
К = Q/P, A3.6)
можно с помощью A3.4) переписать равенство A3.5) в виде .
Таким образом, мы видим, что направление ответвившейся тре-
трещины определяется направлением начальной трещины и вели-
величиной отношения главных напряжений. Соответствующая зави-
зависимость представлена на рис. 70 для целых положительных зна-
значений К* При этом без потери общности можно ограничиться:
лишь рассмотрением случая Q > Р > 0.
В принципе рис. 68 показывает, когда при заданной программе^
нагружения начнет формироваться первая ответвившаяся трещинеь
90
801
70
Рис. 70. Угол ориентации от-
ответвившейся трещины Р для
различных значений отноше-
отношения напряжений К и угла
ориентации начальной трещи-
трещины г|).
30
20
10
1
.10
20
1/р)
Ч
ч
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
р, град
458 Б. Поль
и, кроме того, какое из внутренних повреждений будет первым
затронуто этим процессом. Затем рис. 70 укажет направление,
в котором будет распространяться эта вновь сформировавшаяся
ответвившаяся трещина. Для того же, чтобы определить даль-
дальнейшее развитие ответвившихся трещин, необходимо введение
дополнительных гипотез.
Если рассматривать каждую новую ветвь как половину длин-
длинной эллиптической трещины с центром на линии первоначальной
трещины, то можно интерпретировать угол р в основном так же,
как раньше интерпретировался угол if, а именно как угол ориен-
ориентации первичной или гриффитсовской трещины. Таким образом,
для заданной программы нагружения, подобной пути ABCDE
на рис. 68, можно нарисовать траекторию любой заданной началь-
начальной трещины.
Пусть, например, нас интересует трещина, первоначально
наклоненная под углом г|) = 20°. Тогда рис. 68 показывает, что
ответвившаяся трещина начнет расти при PlSt =5и QISt ж 23
{точка.Е), следовательно, при К = QIP = 4,6. Взяв на рис. 70
значения К = 4,6 и я|э = 20°, установим, что ответвившаяся
трещина будет наклонена под углом р я^ 51°. Теперь будем рас-
рассматривать угол в 51° как угол яр для новой трещины и восполь-
воспользуемся рис. 68 при\|? = 51°. Согласно кривой гр = 51°, при P/St =
= 5 для возникновения новой ветви необходимо, чтобы Q/St
составляло всего 21. Однако, так как уже достигнуто значение
Q/St & 23, образовавшаяся ветвь в свою очередь даст новую
ветвь, причем рис. 70 показывает, что при я|) = 51° и К = 4,6
(поскольку мы не снижали его от ранее принятого значения
Q/St) новая ветвь отойдет под углом р = 24,5°. Если процесс
продолжить, то окажется, что без всякого увеличения Q обра-
образуется последовательность ответвившихся трещин, представлен-
представленная в табл. 6.
Таблица 6
Последовательность ответвившихся трещин,
начинающихся при ф=20* Р/ф 5 Q/S 2
Начальная трещина, if 20 51 24,5 46 27 43 30 40,5... 35 35
(градусы)
Ответвившаяся трещина, р 51 24,5 46 27 43 30 40,5 32... 35 35
(градусы)
Окончательный угол в 35° можно было бы найти, проведя
через начало координат на рис. 70 прямую под углом в 45° к осям
и заметив, что она пересекает кривую для К = 4,6 пригр = C =35°.
Практически рис. 70 не очень удобен для составления табл. 6,
так как при этом требуется неудобная интерполяция. В действи-
Гл. 4. Критерии пластического течения и хрупкого разрушения 459
60
20
10
О
\
1
1
-—1-
/
1
1
X
1
1
3
0
10
20
30
40
50^
т//} град
60
70
80
90
Рис. 71. Перестроенный в других координатах рис. 68.
Штриховой кривой отмечено геометрическое место минимальных значений Q.
тельности эта таблица была составлена с помощью рис. 71, даю-
дающего иной способ представления уравнения A3.2).
Сама по себе табл. 6 не даёт возможности нарисовать траекто-
траекторию ответвившейся трещины, поскольку она не содержит ника-
никакой информации относительно того, как далеко распростра-
распространяется каждая ветвь, прежде чем она порождает новую. Теорети-
Теоретическое исследование этого вопроса заставило бы нас углубиться
в вопросы динамики распространения трещин. К счастью, однако,
мы имеем некоторые экспериментальные данные о длине распро-
распространяющихся трещин, которые могут иметь некоторое отношение
к - обсуждаемому вопросу. Хоек [74] сообщает о проведенных им
совместно с Бенявским экспериментах, в которых тончайшие
трещины наносились на стеклянные пластинки, подвергавшиеся
затем двухосному сжатию. Соотношение между длинами ответ-
ответвившейся и начальной трещин показано на рис. 72, заимство-
заимствованном из работы [74].
Мы видим, что для отношения QIP = 4,6 длина каждой ответ-
ответвившейся трещины составляет около Vi0 длины соответствующей
начальной трещины. Если мы будем рассматривать каждую ответ-
ответвившуюся трещину как полуось новой эллиптической трещины,
то должны будем считать длину вновь ответвившихся трещин
равной 2/10 длины тех ответвившихся трещин, из которых они
вышли. Таким образом, если ветвление начинается с трещины
460
Б. Поль
Рис. 72. Соотношение между дли-
длиной устойчиво продвигающейся
трещины и: величиной отношений
приложенных напряжений [74].
По оси абсцисс — отношение наимень-
наименьшего главного напряжения к наиболь-
наибольшему главному напряжению; по оси
ординат — отношение длины устойчи-
устойчиво продвигающейся трещины к дли-
длине начальной трещины.
0,6
0,5
0,4
>Q3
0,2
0,1
О 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25
P/Q
длины Lo, to полная длина L распространившейся ветвящейся
трещины дается сходящимся геометрическим рядом:
\
\
\
\
-Э»
-»
—*
-3»
\p
11
fttttntttt
¦¦ и
0
?
(rL0)+ ... =
n=0
A3.8)
где г — отношение длины первой ответвившейся трещины к длине
начальной трещины. Отношение L/Lo дано в табл. 7 для различ-
различных значений г.
Таблица 7
Отношение длины ответвившейся трещины
к длине начальной трещины
г:
L/LQ:
0,
0,
1
125
0,2
0,33
0,3
0,75
0,4
2,00
Таким образом, мы видим, что если принять г, равным 0,1 или
0,2 (в соответствии с экспериментами Хоека и Бенявского)г
наша «самораспространяющаяся» трещина будет иметь конеч-
конечную общую длину и будет выглядеть примерно так, как показано
на рис. 73.
На этом рисунке изображена идеализированная картина рас-
распространения ответвившейся в правом конце трещины. Вероятно,
Гл. 4. Критерии пластического течения и хрупкого разрушения 461
Рис. 73, Гипотетические ответвив-
ответвившиеся трещины согласно табл. 7.
О .
в природе существуют механизмы сглаживания этой зазубренной
кривой, и нет ничего неразумного в замене идеализированной
кривой гладкой, как это показано для ответвившейся в левом
конце трещины. Ответвившиеся трещины, представленные на
рис. 73, очень похожи на полученные экспериментально (см.
рис. 65) в работах [14, 74]. В частности видно, как происходит
самовыравнивание растущей ответвившейся трещины вдоль глав-
главной оси наибольшего напряжения. Таким образом, представ-
представляется, что путем надлежащей интерпретации критерия разруше-
разрушения Гриффитса при двухосном напряженном состоянии можно
объяснить очень интересные экспериментальные результаты по
ветвлению трещин.
Д. О непрерывном разрастании мгновенных
кривых разрушения
На основе полученных ранее результатов можно теперь пред-
предложить гипотезу, позволяющую произвести переход от гриффит-
совской кривой начального разрушения к мгновенным кривым
разрушения, выражающим то, что было названо «упрочнением
при разрушении» хрупких материалов.
Например, очевидно, что если следовать пути нагружения
ABCDE, показанному на рис. 68, то, когда изображающая точка
достигнет начальной кривой разрушения в точке С, начнет проис-
происходить некоторое растрескивание. С помощью рис. 68 (а проще —
рис. 71) можно установить, что это происходит при относитель-
относительном уровне напряжений P/St = 5, Q/St ж 19. В этот момецт все
начальные трещины, ориентированные под углом г|) ^ 40°, выпу-
выпустят ответвившиеся трещины, которые в конце концов 1) вы-
г) Процесс такого выстраивания может происходить с задержкой во вре-
времени в несколько секунд [74].
462 Б. Поль
строятся вдоль направления наибольшего напряжения. Таким
образом, все трещины, наклоненные под углом я|) = 40°, на этож
стадии фактически «выводятся из игры». Дальнейшее разрушение
будет происходить лишь за счет трещин, менее опасных, чем уже
«выведенные из игры», и возможно только при достижении величи-
величиной Q более высокого уровня.
Если, например, мы сохраняем Р постоянным и увеличиваем
Q от l9St до 20Sti то мы заставляем начать расти все трещины, для
которых угол i|) заключен между 29° и 49° (см. рис. 71). Все обра-
образовавшиеся таким образом ответвившиеся трещины будут рас-
распространяться на короткое расстояние и выстраиваться вдоль
направления наибольшего главного напряжения. Поскольку
теперь материал фактически не содержит трещин, ориентирован-
ориентированных в интервале углов 29° <С яр < 49°, кривые, помеченные значе-
значениями г|г == 40° и я|) = 30°, должны быть удалены с рис. 68 (как"
и все кривые в интервале 29° <С \f> < 49°, если бы они были фак-
фактически проведены на этом рисунке).
Огибающая остальных кривых, оставшихся на рис. 68, обра-
образует мгновенную кривую разрушения, соответствующую путж
нагружения A BCD. Например, мгновенная кривая разруше-
разрушения на этой стадии очень похожа на кривую FGH, изображен-
изображенную на рис. 68.
Если Р сохранять постоянным и увеличить Q до 235*, то,
согласно рис. 71, ответвившиеся трещины возникнут при этом
на всех начальных трещинах, ориентированных в интервале
углов 20° <г|) < 55°. Соответствующая кривая разрушения, опи-
описывающая дальнейшее повреждение, будет выглядеть наподобие
кривой JKL, изображенной на рис. 68.
В конце концов образуется сетка трещин, перепутанных
настолько, что произойдет макроскопическое разрушение и ника-
никакое дальнейшее нагружение станет невозможным.
Учитывая сделанные упрощающие допущения, описанный выше
механизм «упрочнения при разрушении» следует рассматри-
рассматривать лишь как качественный. Тем не менее можно считать,
что этот механизм отражает многие основные свойства про-
процесса разрушения хрупких материалов в условиях двух-
двухосного нагружения.
В частности, механизм «упрочнения при разрушении» объяс-
объясняет, почему при одноосном нагружении отношение прочности на
сжатие к прочности на разрыв не равно восьми, как получается,
согласно гриффитсовской начальной кривой разрушения, а дости-
достигает гораздо большего значения. На основании результатов Мак-
клинтока и Уолша [108] можно полагать, что влияние «упрочнения
при разрушении» преобладает над влиянием трения между
поверхностями закрывшейся трещины, хотя, конечно, трение может
существовать наряду с «упрочнением при разрушении».
Гл. 4. Критерии пластического течения и хрупкого разрушения 463
XIV. СМЫСЛ МГНОВЕННЫХ КРИВЫХ РАЗРУШЕНИЯ
ПРИ ИСПЫТАНИЯХ НА СЖАТИЕ
А. Отношение прочности на сжатие к прочности
на разрыв
Рисунки 68 и 71 показывают, что так называемое упрочнение
при разрушении объясняет тот экспериментально наблюдаемый
факт, что прочность при одноосном сжатии может -превосходить
прочность на разрыв более чем в восемь раз, как это предска-
предсказывается теоретически гриффитсовской начальной кривой раз-
разрушения.
В разд. XI было показано, что хотя отношение SJSt гораздо
больше восьми для горных пород, оно равно всего трем для чугуна
и чуть больше единицы для некоторых сплавов магния. Эти дан-
данные находятся в противоречии с предсказаниями обобщенной
теории Гриффитса, согласно которой указанное отношение должно
быть больше восьми. Такую кажущуюся несогласованность можно
объяснить, заметив, что горные породы, будучи крайне хрупкими,
испытывают катастрофическое разрушение при одноосном растя-
растяжении без сколько-нибудь заметного пластического течения.
С другой стороны, чугун, хотя для металла он и достаточно
хрупок, испытывает пластическую деформацию (для образцов
Коффина [24] макроскопическая деформация составляет 5«10~3),
достаточную для того, чтобы смягчить резкий характер концен-
концентрации напряжений в концах любой начальной гриффитсовской
«трещины». Таким образом, уравнение A3.2) с достаточным осно-
основанием может быть применено для описания лишь наиболее хруп-
хрупких тел, и, следовательно, нужно ожидать, что численная вели-
величина восемь для обсуждаемого коэффициента будет уменьшаться
с увеличением пластичности. Представляет некоторый интерес
заметить, что такое явление, по-видимому, происходит в следую-
следующей последовательности: горные породы, чугун, магниевые сплавы.
Бё Концевые эффекты в испытаниях на сжатие
Известно, что если торцевые поверхности сжимаемых образ-
образцов приводятся в непосредственный контакт с пластинами испыта-
испытательной машины, разрушение произойдет по наклонной плоско-
плоскости, пересекающей ось образца (см. образец X на рис. 74), или
по поверхности конуса, ось которого совпадает с осью образца.
С другой стороны, если торцы образца тщательно смазать, чтобы
предотвратить появление боковых сил, которые возникают на
несмазанных поверхностях, то образец разрушается вследствие
«раскалывания» по осевой плоскости (см. образец Y на рис. 74)-
464 В. Поль
Рис. 74. Разрушившиеся от сжатия образцы индианского известняка (опыты
автора).
Длина образца 4,781 дюйма A2,1 см), диаметр 1,68 дюйма D,27 см). Образец X: несма-
несмазанные торцы, Sc = 11285 фунт/дюйм2 (=793 кГ/см2); образец Y: смазанные торцы, SQ =
= 5417 фунт/дюйм2 (=381 кГ/см2).
Эти два типа разрушения предсказуемы и не совсем случайны.
Особенно важно заметить, что величина прочности на сжатие
при смазанных торцах обычно меньше. Для индианского извест-
известняка, изображенного на рис. 74, прочность на сжатие х) соста-
составила 5417 фунт/дюйм2 C81 кГ/см2) при смазанных торцах
и 11285 фунт/дюйм2 G93 кГ/см2) при несмазанных.
Причина такого поведения не получила исчерпывающего объ-
объяснения, хотя этот вопрос широко обсуждался в литературе (см.,
например, [25; 45; 47; 52; 119, гл. 20; 163]). Надаи [119, стр. 394]
высказал мнение, что сжатая смазка продавливается в маленькие
канальцы образца под пластинами, чем создаются радиальные
растягивающие напряжения, «раскалывающие» образец.
Фейрхёрст и Кук [47] связали явление раскалывания с явле-
явлением выстраивания трещин, отмеченным в работах [14, 74]. Ими
была также предложена гипотеза образования конуса при не-
несмазанных торцевых поверхностях, включающая выпучивание
х) Для этого известняка различие значений прочности со смазкой и без
нее значительно больше, чем обнаруженное на многих других горных поро-
породах. Более обычно значение разницы от 10 до 20% (измерения автора).
Гл. 4. Критерии пластического течения и хрупкого разрушения 465
Рис. 75. Образцы с несмазанными тор-
торцами при испытании на сжатие.
с — картина напряженного состояния, б —
«коническое» разрушение, в — «косое» раз-
разрушение, г — комбинированное макроразру-
макроразрушение; 1 — трение; 2 — в этих областях
развиваются радиальные сжимающие «апря-
жения Р\ 3 — слабое микрорастрескивание;
4— сильное микрорастрескивание;
5 — макротрещины. \
(в смысле упругой неустойчивости) тонких брусков или стержней,
получающихся в процессе раскалывания.
Покажем теперь, что с помощью модели «упрочнения при
разрушении» можно объяснить как раскалывание, так и кони-
коническое (косое) разрушение без введения каких-либо дополнитель-
дополнительных гипотез. Хотя предлагаемое ниже объяснение представ-
представляется правдоподобным, следует учитывать, что оно недавнего
происхождения и еще не подвергалось широкой проверке.
Рисунок 68 показывает, что даже небольшое боковое давление
способно воспрепятствовать появлению ответвлений на начальных
трещинах в очень большом интервале углов г|). Например, если
испытания на сжатие проводятся при несмазанных торцах, то тре-
трение на торцах приведет к тому, что в части образца, показанной
на рис. 75,. а, разовьется некоторое радиальное сжимающее на-
напряжение Р. Если напряжение Р по величине равно всего лишь
прочности на разрыв St (на самом деле оно может быть во много
раз больше), то прежде чем растрескивание начнется в мате-
материале где-либо вблизи торцов, в центральном сечении оно уже
зайдет очень далеко (рис. 71).
Действительно, когда осевая нагрузка Q достигнет примерно
106^, в центральном сечении образца будут развиваться ответ-
ответвления всех тех начальных трещин, которые ориентированы
в интервале углов 17° < я|; < 45°; на рис. 71 на это указывает
пересечение кривой PISt = 0 с горизонтальной прямой QISt = 10.
30-0700
466
Б. Поль
Все эти гриффитсовские трещины по существу примут направле-
направление оси образца, так что безотносительно к начальной картине
трещин теперь в тех местах, где Р равно нулю или мало по вели-
величине, статистически преобладающими окажутся трещины, вытя-
вытянувшиеся вдоль этой оси.
Однако вследствие «упрочнения при разрушении» те места,
где Р равно нулю, не подвергнутся макроразрушению немедлен-
немедленно, а будут способны выдерживать возрастающую до некоторого
предела нагрузку. При увеличении этой нагрузки плотность
«вертикальных» трещин непрерывно нарастает быстро - вблизи
середины образца, но гораздо медленнее — по мере удаления
к торцам. Когда плотность трещин станет достаточно большой,
они начнут сливаться, образуя одну или несколько макротрещин
в местах высокой плотности трещин. Поэтому макротрещины
будут обходить линзовидную область, в которой за счет бокового
давления поддерживается низкая плотность вертикальных тре-
трещин.
Можно ожидать разрушения в целом в виде макротрещин,
которые отделяют два сравнительно неповрежденных «конуса»
Рис. 76. Разрушившиеся от сжатия образцы с несмазанными торцами (опы-
(опыты автора).
Длина образца 3,65 дюйма (=9,27 см), диаметр 1,68 дюйма (=4,27 см). Образец А: вер-
вермонтский мрамор, Sc= 10475 фунт/дюйм2 ( = 736 кГ/см2); образец В: песчаник Вегеа,
Sc= 9768 фунт/дюйм2 (=687 кГ/см2); образец С: индианский известняк, Sc = 5848
фунт/дюйм2 (=411 кГ/см2); образец D: песчаник Crab orchard, SQ = 30296
фунт/дюйм2(= 2130 кГ/см2).
Гл. 4. Критерии пластического течения и хрупкого разрушения 467
вблизи торцов цилиндра, как это показано на рис. 75, б, либо
(в зависимости от малых случайных воздействий) в виде идущего
от одного торца к другому «косого» разрушения, показанного на
рис 75, в. Согласно наблюдениям автора, в испытаниях на ежа-*
тие «косое» и «коническое» разрушение встречаются примерно
с одинаковой частотой, а иногда происходят фактически одно-
одновременно (рис. 75, г). На рис. 76 показаны разрушившиеся при
сжатии образцы четырех различных горных пород, причем торцы
у всех были не смазаны; указанные в подписи к рисунку значе-
значения прочности представляют собой средние из пяти испытаний
на образце каждого типа.
Если пластины, между которыми зажимается образец, хорошо
смазать, то касательные напряжения на торцах цилиндра будут
пренебрежимо малы и образец будет находиться по существу
в однородном состоянии чистого сжатия. Поэтому макротрещины
будут возникать с примерно одинаковой повсюду частотой; он^
будут выравниваться вдоль оси образца и в конце концов объеди-
объединяться, приводя к разрушению типа «раскалывания» (как
у образца Y на рис. 74).
В. Определение угла разрушения по теории Кулона — Мора
По наблюдениям автора при испытании самых разнообразных
горных пород на одноосное сжатие при отсутствии бокового дав-
давления и смазки на зажимных пластинах косое разрушение обычно
имеет тенденцию идти «из угла в угол» х), как показано на рис. 74
и 76. Эта тенденция, по-видимому, не зависит от величины отно-
отношения длины образца к его диаметру (ср. рис.' 74 и 76). Следова-
Следовательно, ее происхождение, вероятно, не связано с геометриче-
геометрическим фактором, таким, как недостаточность длины образца. Таким
образом, угол разрушения при чистом сжатии не может быть свя-
связан с каким-либо свойством материала, не может он быть исполь-
использован и для определения угла ф по огибающей Мора с помощью
формулы (9.23) F = 45° — ф/2), что так часто предлагается.
Бывают, однако, не столь жесткие обстоятельства, при кото-
которых возможно использование уравнения (9.23) для вычисления
полей напряжений в горных породах с позиций теории пластич-
пластичности, как это делается во многих статьях Читема и других авто-
авторов (например, в работах [22, 23, 142]). Возможно, например, что
под действием очень большого контактного давления под инден-
тором материал искрошится до состояния, в котором он будет вести
себя наподобие грунта.' В грунтах с малым сцеплением эффекты,
*) При боковом давлении порядка'5000 фунт/дюйм2 C50 кГ/см2) на обра-
образец, уплотненный по боковой поверхности резиновой оболочкой, происходит
косое разрушение, которое не идет «из угла в угол».
30*
468 В. Поль
описанные в разд. XII и XIII, не проявляются и критерий типа
Кулона — Мора будет, по-видимому, с разумной точностью опре-
определять углы разрушения.
Говоря коротко, теория Кулона — Мора с усечением в обла-
области растяжения прекрасно согласуется с экспериментальными
результатами и в определении напряженного состояния, при кото-
котором происходит макроскопическое разрушение хрупкого мате-
материала, качественно 1) согласуется с теорией Гриффитса (особенно
если обобщить последнюю, включив в нее «мгновенные кривые
разрушения», как было описано в разд. XIII). Однако для хотя бы
качественного определения углов, под которыми происходит раз-
разрушение в горных породах с высоким сцеплением, она не при-
пригодна.
ЧАСТЬ ЧЕТВЕРТАЯ.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
XV. ИСТОРИЧЕСКИЙ ОБЗОР
История обсуждаемого предмета превосходно документиро-
документирована и была темой обзоров в разные периоды. Главными источни-
источниками исторической информации (помимо оригинальных статей),
которые были использованы при подготовке настоящей работы
служили монографии Тодхантера и Пирсона [182] и Тимошенко
[180]. Автор также пользовался работами Фромма [52], Надаи
[119], Друккера [34, 38], Хилла [66] и Прагера и Ходжа [156].
Сжатое, но содержательное обсуждение различных аспектов
проблемы можно найти также у Вестергарда [187], а большое
число литературных ссылок у Фрейденталя и Гейрингер [51]
ив библиографии, составленной Кесеглиогу [89].
При описании развития современных представлений о макро-
макроскопических критериях, определяющих изотермическое не за-
зависящее от времени пластическое течение и хрупкое разрушение,
мы попытаемся в основном придерживаться хронологического
порядка. Как и в остальной части этой главы, гораздо более широ-
широкую тему о связи между напряжениями и деформациями мы будем
затрагивать только в тех случаях, когда она будет тесно перепле-
переплетаться с нашей основной темой, относящейся к текучести и разру-
разрушению. Ранняя история вопроса о связи между напряжениями
и деформациями описана Друккером [34]; освещение более позд-
х) Можно показать [83, стр. 169], что начальная кривая разрушения
Гриффитса может быть представлена в виде параболической огибающей Мора.
Такая огибающая очень походила бы на прямолинейную огибающую с усе-
усечением в области растяжения, определяемым касающейся ее дугой окруж-
окружности.
Гл. 4. Критерии пластического течения и хрупкого разрушения 469
рей стадии можно найти в работах Нахди [121] и Олыпака с соав-
соавторами [134].
На Галилея часто указывают как на первого (см. [31]) «совре-
«современного» ученого; разумеется, он был автором первой научной
книги [53], в которой рассматривалась прочность материалов.
Он ограничился в своих «Диалогах» только случаями растяжения
и изгиба, но полагал, что разрушение происходит тогда, когда
(по современной терминологии) достигается критическое напря-
напряжение, которое он назвал «абсолютным сопротивлением разру-
разрушению». В этом отношении его мнение отличается от ранее
высказанного мнения Леонардо да Винчи (см. [180]); да Винчи счи-
считал, что прочность железной проволоки должна существенно за-
зависеть от ее длины.
Следующий важный шаг вперед в вопросе о критериях разру-
разрушения был сделан Кулоном в замечательной, охватывающей ши-
широкую область статье [28], представленной в 1773 г., но впервые
опубликованной в 1776 г. В этой работе Кулон объясняет косое
разрушение, наблюдавшееся в сжатых образцах каменной кладки,
постулируя, что разрушение происходит, когда касательные напря-
напряжения в плоскости разрушения одновременно превосходят как
сцепление материала, так и трение, развивающееся в этой плос-
плоскости под действием нормального давления. Этот критерий раз-
разрушения, являющийся предтечей критерия Кулона — Мора, рас-
рассмотренного в разд. IX, был использован Кулоном также для
объяснения поведения грунтов за подпорными стенками. При
нулевом «трении» в плоскости разрушения критерий Кулона
эквивалентен критерию максимального касательного напряжения.
Поэтому последний критерий в литературе часто называют «кри-
«критерием Кулона», но мы предпочитаем сохранить это название за
более общим критерием
х = с + iip. (9.1)
То, что мы называем критерием Кулона, иногда называют
критерием Навье или критерием Кулона — Навье (особенно
в работах по геологии; см., например, [83, стр. 76, 82]). Автор
полагает, что это произошло вследствие того, что в первой книге
по приложениям механики к инжейерным задачам [124], оказав-
оказавшей в свое время наибольшее влияние, Навье принял точку зре-
зрения Кулона.
В 1856 г. Джеймс Кларк Максвелл в своем письме Уильяму
Томсону (лорду Кельвину) выразил уверенность в том, что
«однородные аморфные твердые тела» должны становиться пластич-
пластичными, когда работа «формоизменения» достигает критической
величины. К сожалению, это частное сообщение не получило
широкой известности, пока не были в 1937 г. посмертно опубли-
опубликованы письма Максвелла [106]. Полную цитату из соответствую-
470
Б. Поль
щей части этого исторического письма можно найти у Над аи [120г
стр. 65]. Критерий «энергии формоизменения» переоткрывался
несколько раз, прежде чем был окончательно принят и применен
к пластичным металлам.
По-видимому, общее мнение большинства пишущих на данную
тему состоит в том, что несмотря на упомянутое выше мнение
светил, наиболее распространенным, как для текучести, так
и для разрушения, является критерий максимального нормаль-
нормального напряжения. Этот критерий чаще всего приписывается Ламе
и Клапейрону континентальными авторами (см. [52]) и Рэнкину —
английскими и американскими.
Рэнкиновское «Руководство по прикладной механике» [157]
было первой выдающейся книгой по технической механике, по-
появившейся на английском языке. Оно оказало большое влияние
на несколько поколений инженеров, выдержав фактически без
изменений более двадцати изданий (двадцать первое издание выш-
вышло в 1921 г.). Чтобы увидеть, заслуживает ли Рэнкин той сомни-
сомнительной чести, чтобы его имя связывалось с критерием, который
очевидным образом во многих случаях несправедлив, автор на-
настоящей работы изучил его «Руководство по прикладной меха-
механике», пытаясь определить его точку зрения по данному вопросу.
Никакого ясно высказанного убеждения о правильности какого-
либо частного критерия у Рэнкина нет. На самом деле различные
виды разрушения он связывает с различными видами условий
нагружения в соответствии со схемой, приводимой в табл. 8
[157, стр. 272]. Под формоизменением и сдвигом он понимает (см.
[157, стр. 298]) то, что мы называем срезом, как, например, в за-
заклепках и болтах.
Таблица 8
Рэнкиновская классификация видов разрушения
Продольное
Поперечное
Деформирование
Растяжение
Сжатие
Формоизменение
Кручение
Изгиб
Разрушение
Разрыв
Крошение и раскалывание
Сдвиг
Излом при кручении
Поперечный излом
Рэнкин приводит таблицы прочностей различных материалов
для каждого из видов разрушения, за исключением кручения
(излома при кручении). Он не считал бы нужным указывать так
Гл. 4. Критерии пластического течения и хрупкого разрушения 471
много различных критических параметров, если бы был твердо
уверен в справедливости критерия максимального нормального
напряжения.
Хотя Рэнкин, по-видимому, осознавал чрезмерную упрощен-
упрощенность критерия разрушения по максимальному нормальному
напряжению, он действительно подкрепил его своим авторитетом,
безоговорочно рекомендовав использовать этот критерий в опре-
определенных частных случаях. Например, на стр. 358 он рассматри-
рассматривает совместный изгиб с кручением оси с кривошипом и указы-
указывает, что соответствующий диаметр можно определить, приняв
максимальное нормальное напряжение равным некоторому пре-
предельному значению.
Важное экспериментальное исследование разрушения чугуна
было проведено Ходжкинсоном [73] в период бурного индустриаль-
индустриального развития (особенно в строительстве железных дорог) в Вели-
Великобритании. Хотя эта работа и не привела непосредственно
к принятию какого-либо частного критерия разрушения, она
привлекла внимание к разрушению по наклонным плоскостям,
которое наблюдалось Кулоном столетием раньше на другом хруп-
хрупком материале, а именно на камне.
В этот же период Сен-Венан своим знаменитым именем оказал
поддержку сторонникам теории максимальной нормальной дефор-
деформации как критерия ^разрушения. По-видимому, Сен-Венан при-
принял этот критерий разрушения уже в 1837 г. в своих «Лекциях»
[159] и неоднократно высказывал уверенность в нем также в дру-
других случаях (см. [182, изд. 1886 г., стр. 831 и изд. 1893г., стр. 7, 8]).
Интересно отметить, что историк теории упругости Карл Пирсон
был настолько убежден в справедливости ранних взглядов Сен-
Венана на этот вопрос, что не постеснялся разбранить таких
ученых, как Ламе, Клапейрон, Клебш и. Кулон, за то, что они
проявили очевидное безумие, высказывая иные мнения (см. [182,
изд. 1886 г., стр. 550, 837]). Стремление Пирсона занять катего-
категорическую позицию по противоречивым вопросам привело к тому,
что многие суждения (в особенности в области эксперимента),
высказанные в трактате [182], устарели.
В течение 1864—1872 гг. Треска провел серию экспериментов
по экструзии и штамповке материалов. На основе этих экспери-
экспериментов он пришел к выводу, что когда материалы испытывают
пластическую деформацию, максимальное касательное напряже-
напряжение остается постоянным [183—185].
Сен-Венан одним из первых признал важность работы Треска
и предпринял ряд исследований в новой области теории пластич-
пластичности. В ряде статей Сен-Венан [160] и Леви [97] вывели основ-
основные уравнения, описывающие поведение того, что мы сегодня
называем жестко-идеально-пластическим телом. Они предполо-
предположили, что критерий Треска максимального касательного напря-
472 Б. Поль
жения остается справедливым в течение пластического деформи-
деформирования. Однако они приняли связь между приращением де-
деформации и напряжением, выражающуюся уравнением E.11)г
которое, как мы видели в разд. V, согласуется (в соответствии
с законом пластического потенциального течения) с критерием
энергии формоизменения, а не с критерием максимального каса-
касательного напряжения. Конечно, взаимосвязь между критериями
текучести и законами течения, осознаваемая сегодня, не была
известна во времена Сен-Венана. Его утверждение, что вообще
необходим закон течения,- оперирующий приращениями, пред-
представляет важный шаг вперед, не замеченный, к сожалению, мно-
многими позднейшими исследователями.
Не ясно, не отказался ли даже Сен-Венан от своей уверенно-
уверенности в критерии максимальной нормальной деформации для начала
текучести. По словам Геста [59], Сен-Венан «...принял результаты
Треска, согласно которым в стадии пластичности касательное
усилие постоянно, и считал, что граница упругого поведения опре-
определяется достижением определенной максимальной деформации.
Я не в состоянии понять, как может быть, чтобы в материале
начало пластичности определялось одним условием, а ее суще-
существование совершенно другим».
Бельтрами [6] пошел как будто бы в новом направлении, пред-
предположив, что текучесть в данном элементе объема материала
происходит тогда, когда полная энергия упругого деформирова-
деформирования принимает некоторое предельное значение. В пространстве
напряжений этот критерий (будучи выраженным через главные
напряжения) представляется эллипсоидом вращения, ось которого
совпадает с гидростатической осью. Подобная поверхность теку-
текучести предсказывает наступление последней при некотором конеч-
конечном гидростатическом напряжении и неприемлема для материа-
материалов, текучесть которых не зависит от давления, например для
пластичных металлов.
Гест в 1900 г. [59] провел серию экспериментов в условиях
одновременного действия растяжения, кручения и давления на
тонкостенных трубах из стали, меди и латуни. Он пришел к выво-
выводу, что «...результаты этих экспериментов в практическом отно-
отношении состоят в том, что условием начала текучести однородного
пластичного материала является существование определенного
касательного напряжения и что величина промежуточного глав-
главного напряжения не играет никакой роли». Эта работа оказала
большое влияние, особенно на английских и американских инже-
инженеров, которые часто именуют критерий максимального касатель-
касательного напряжения критерием Геста. Среди многого интересного
в этой статье содержится обсуждение возможности описания полу-
полученных данных уравнением вида
о1 - <гя + Сг (ах + а2) = С, A5.1)
Гл. 4. Критерии пластического течения и хрупкого разрушения 473
где Сх и С — постоянные материала. Гест заключил, что Сг равно
всего 0,04 для стали и возможно несколько больше для меди,
однако в последнем случае было выполнено недостаточно испыта-
испытаний, чтобы можно было прийти к окончательному выводу. Урав-
Уравнение A5.1), если отвлечься от обозначений, представляет собой
то же уравнение, что и уравнение Кулона (9.11), которое можно
записать в виде
tfi — ош + sin <p (oi + (Тш) = 2c cos ф. A5.2)
Таким образом, есть некоторое оправдание для того, чтобы свя-
связать имя Геста с тем, что мы называли критерием Кулона — Мора.
Однако Кулон и Мор считали важным «фрикционный член»
(сп + От) в уравнении A5.2), тогда как Гест подчеркивал его
относительную незначительность для материалов, с которыми
он работал. Поэтому нет ничего удивительного или несправедли-
несправедливого в томг что имя Геста не часто связывают с уравнением A5.2)
в тех приложениях (например, в механике грунтов и горных
пород), для которых фрикционный член существен.
Другим нововведением, появившимся в статье Геста, была
диаграмма, которую он назвал «синоптической». Эта диаграмма
подобна поверхности текучести в пространстве главных напря-
напряжений, однако такие диаграммы стали широко применяться лишь
двадцать лет спустя, после того (об этом еще будет сказано) как
их популяризировали Хей и Вестергард.
В том же 1900 г. Отто Мор [116] опубликовал чрезвычайна
плодотворную статью, в которой предложил обобщение критерия
Кулона (уравнение (9.3)):
f т | = F (а),
.связанное с так называемой огибающей Мора, описанной
в разд. IX.
Согласно Фромму [52], Губер [78] заметил, что пластичные
металлы могут выдерживать состояния высокого гидростатиче-
гидростатического сжатия, не проявляя текучести, и поэтому предположилу
что1 когда среднее нормальное напряжение является сжимающим,
ве следует пользоваться критерием Бельтрами и что в этом интер-
интервале напряжений нужно применять критерий энергии формоизме-
формоизменения. Соответствующая поверхность текучести в пространстве
напряжений должна представлять собой по одну сторону от девиа-
Торной плоскости полубесконечный круговой цилиндр (с осью,
параллельной гидростатической), замыкающийся эллипсоидом:
Вельтрами по другую сторону этой плоскости (где среднее нор-
мальрое напряжение является растягивающим).
Карман [88] и Бёкер [12] одни из первых подвергли критерий
Кулона — Мора для хрупких материалов систематическому экспе-
474 Б. Поль
риментальному исследованию в условиях контролируемого ком-
комбинированного нагружения. Они нагружали цилиндрические
образцы из мрамора и песчаника осевым сжатием одновременно,
с обжимающим боковым давлением.
Более подробно эти испытания описаны Фромом [52] и Надаи
[119, гл. 17]. По существу эксперименты показали, что испытанные
горные породы не могут быть вполне описаны огибающей Мора,
потому что на поведение этих пород до некоторой степени влияет
промежуточное главное напряжение. Однако моровская огибаю-
огибающая может быть использована для этих материалов как первое
приближение.
Когда это было сделано, оказалгось, что эта огибающая посте-
постепенно становится параллельной оси а в плоскости ат, указывая
ла приближение поведения материала при высоких средних дав-
давлениях к описываемому критерием максимального касательного
напряжения.
Было также установлено, что кривые напряжение — дефор-
деформация при низких обжимающих давлениях соответствуют типично
хрупкому поведению материала, однако по мере возрастания
обжимающего давления эти кривые все больше начинают
походить на наблюдаемые для пластичных материалов, обна-
обнаруживая течение по достижении предельного напряжения. При
еще большем увеличении обжимающего давления кривые на-
напряжение — деформация начинают более походить на кривые,
которыми характеризуется поведение деформационно-упрочня-
ющихся металлов.
Такое поведение часто истолковывают в том смысле, что гор-
горные породы проявляют тенденцию к переходу от хрупкого раз-
разрушения к пластичному по мере возрастания среднего гидростати-
гидростатического давления. Однако Карман отметил, что сильно сжатые
образцы при разрушении фактически распадаются на мелкозерни-
мелкозернистую, но сильно уплотненную массу.
Как указал Орован [135], преобладающим процессом в этих
экспериментах было разрушение, а не пластическое деформи-
деформирование, причем крайне высокие обжимающие давления создавали
столь большие напряжения трения на плоскостях скольжения,
что никакого внезапного падения напряжения, как это бывает
при хрупком разрушении не стесненного с боков образца,
не наблюдалось.
В статье [114], ставшей новой вехой, Мизес предположил,
что хотя пластичные металлы проявляют текучесть, когда
максимальное касательное напряжение достигает некоторого пре-
предельного значения (как это представлялось в то время), математи-
математически удобнее считать, что течение происходит, когда некоторого
критического значения достигает второй инвариант /2 девиатора
напряжений. Мизес указал, что максимальное расхождение между
Гл. 4. Критерии пластического течения и хрупкого разрушения 475
У2~критерием и критерием максимального касательного напря-
напряжения не превышает 16%. Как показано на рис. 13, надлежащим
подбором, критического параметра можно добиться уменьшения
этого расхождения до 6,7%. Математически критерий Мизеса
представляет собой в точности то же самое, что критерий энергии
«формоизменения.
Хей [60] и Вестергард [186] в 1920 г. независимо предложили
как более удобное представление различных критериев текучести
ж разрушения изотропных материалов с помощью поверхностей
в пространстве главных напряжений, декартовыми координатами
которого являются напряжения сгь а2, сг3. Такие предельные
поверхности разделяют пространство напряжений на две части;
в одной из них материал остается упругим, в другой он течет
или разрушается.
На рис. 51 представлена иллюстрация по Вестергарду кри-
критерия максимальной нормальной деформации. В то время
Вестергард высказал мнение, что имеющиеся экспериментальные
данные как будто подтверждают теорию Беккера [5] (описанную
в разд. X, В, 6), тогда как Хей склонялся к мысли, что эти данные
подтверждают критерий Бельтрами максимальной энергии дефор-
деформирования.
Критерии Беккера и Бельтрами представляют сегодня лишь
исторический интерес, но на представление Хея и Вестергарда
предельных поверхностей в пространстве напряжений часто ссы-
ссылаются и широко его используют.
Из многих работ, опубликованных в тот период, нельзя ясно
установить, представляет ли предельное состояние хрупкое раз-
разрушение или начало текучести, хотя большинство обсуждаемых
приложений имеет дело, несомненно, с пластичными металлами.
Однако в 1920 и 1924 гг. появились две важные статьи Гриффитса
по хрупкому разрушению. Гриффитсу [56] принадлежит идея,
что хрупкое разрушение происходит при уровне средних растя-
растягивающих напряжений, гораздо меньшем теоретической проч-
прочности материала из-за небольших повреждений, таких, как поло-
полости, на которых возникает концентрация напряжений, приводя-
приводящая к возрастанию локальных напряжений, до уровней, сравни-
сравнимых с теоретической прочностью.
В этой ставшей знаменитой статье предполагается, что раз-
разрушение происходит только при условии, что за счет энергии
деформирования, освобождающейся в результате распространения
трещины, может создаваться поверхностная энергия, связанная
с образованием новых поверхностей. Статья Гриффитса [57] пред-
представляется не столь широко известной; она использует концепцию
концентрации напряжений вокруг повреждений для определения
кривой разрушения при двухосном напряженном состоянии
(рис. 63).
476 . Б. Поль
Генки [63] утверждал, что разрушение пластичных материалов
при достаточно высоком уровне гидростатического растяжения
вполне возможно, но течь при таком напряженном состоянии
они не могут. Поэтому он предложил пользоваться теорией энер-
энергии формоизменения для предсказания текучести вне зависимости
от знака среднего нормального напряжения. Соответствующая
поверхность текучести должна тогда быть круговым цилиндром
с осью, параллельной гидростатической, протянувшимся до бес-
бесконечности в обоих направлениях (в противоположность предло-
предложенной Губером поверхности, ограниченной с одной стороны
эллипсоидальной «шапочкой»). Можно видеть поэтому, почему
поверхность течения в виде кругового цилиндра связывается
с именами Максвелла — Губера ¦— Мизеса — Генки.
Различные физические истолкования этого критерия теку-
текучести описаны в разд. III, Д. В этой связи представляет некоторый
исторический интерес заметить, что Эйхингер' [44] указал, что
касательное напряжение на плоскости с нормалью, образую-
образующей с каждой из главных осей угол 54°44', будет достигать при
наступлении текучести некоторого постоянного предельного зна-
значения в соответствии с критерием максимальной энергии
формоизменения.
Надаи [118] назвал плоскость, о которой идет речь, октаэдри-
ческой плоскостью и предложил предельное условие называть
«условием постоянства октаэдрического касательного напряже-
напряжения». Новожилов [128] показал, что этот же критерий можно
истолковать как условие постоянства среднеквадратичного значе-
значения касательного напряжения.
Критерии Мизеса, Треска и Кулона — Мора в течение ряда
лет усовершенствовались и комбинировались в разных сочета-
сочетаниях для получения многообразия предельных поверхностей для
различных материалов, поведение которых существенно зависит от
давления (грунты, горные породы, хрупкие металлы). Ряд таких
поверхностей описан в разд. X, В и здесь больше рассматри-
рассматриваться не будет. Было установлено, что для того чтобы охватить
поведение анизотропных материалов, необходимы и другие обоб-
обобщения упомянутых выше критериев, как это было описано
в разд. IV.
В этом обзоре мы сосредоточили внимание главным образом
на принципиальных аспектах предельных критериев и совершенно
не пытались подытожить бесчисленные эксперименты, которые
были выполнены в те годы. Ранние публикации по эксперименталь-
экспериментальным исследованиям хорошо освещены Фроммом [52], Надаи [119]
и Друккером [34, 38]. Некоторая попытка суммировать резуль-
результаты основных экспериментальных исследований последнего
десятилетия A956—1966 гг.) предпринята в разд. VI и XI настоя-
настоящей главы.
Гл. 4. Критерии пластического течения и хрупкого разрушения 477
XVI. ЗАКЛЮЧЕНИЕ, ВЫВОДЫ И НАПРАВЛЕНИЯ
ДАЛЬНЕЙШИХ ИССЛЕДОВАНИЙ
А. Заключение и выводы
Несмотря на усложнения, вносимые масштабными, времен-
временными и температурными эффектами, существует важный класс
«случаев, в которых предел упругого поведения определяется
в первую очередь мгновенным напряженным состоянием. Мы
можем ожидать, что в этих случаях начало текучести будет опре-
определяться критерием текучести для материалов в пластическом
состоянии, а начало разрушения — критерием разрушения для
материалов в хрупком состоянии; но вовсе не обязательно пред-
предполагать, что «пластическое разрушение» (т. е. разрушение, проис-
происходящее после значительной пластической деформации) может быть
предсказываемо с помощью какого-либо критерия, содержащего
одни только напряжения.
1. Пластичные металлы
Имеются обширные данные, свидетельствующие о том, что
начало течения изотропных пластичных металлов определяется
критерием среднего касательного напряжения (Максвелл —
Губер — Генки — Мизес). Однако с практической точки зрения
для большинства приложений почти такую же точность дает кри-
критерий максимального касательного напряжения (Треска — Геста),
и выбор того или другого из этих двух критериев обычно произвол
дится исходя из того, насколько он удобен для данной задачи.
Если дело касается мгновенных поверхностей текучести, опре-
определяемых некоторой программой нагружения при условии дефор-
деформационного упрочнения, то в этом случае почти нет надежных пра-
правил, которыми можно было бы руководствоваться. Можно считать,
что мгновенные поверхности разрушения остаются выпуклыми,
однако, вообще говоря, они будут перемещаться и изменять форму
по законам, которые пока еще не вполне ясны. Эта частная задача
оказывается особенно трудной из-за наведенной анизотропии,
которой сопровождается пластическое деформирование и которая
не дает возможности сформулировать критерий текучести в одних
лишь главных напряжениях (если только главные напряжения
не совпадают с соответствующим образом обобщенными напря-
напряжениями, как в случае испытания тонкостенных труб одновре-
одновременно на растяжение, кручение и боковое давление).
2. Хрупкие и зернистые материалы
Можно заключить, что поведение большинства хрупких мате-
материалов зависит от давления и не может быть в пространстве напря-
напряжений описано цилиндрическими поверхностями, например по-
478 Б, Поль
верхностыо кругового цилиндра или шестигранной призмы, как
это имеет место в критериях Мизеса и Треска соответственно.
Вероятно, простейшей поверхностью текучести, обладающей
нужной симметрией для изотропного материала с зависящим от
давления поведением,, является шестигранная пирамида, а простей-
простейшим вариантом такой пирамиды — шестигранная пирамида, свя-
связанная с критерием Кулона — Мора. Этот критерии дает разум-
разумное приближение для большинства хрупких материалов (напри-
(например, хрупких металлов и горных пород), если его усовершенство-
усовершенствовать, введя усечение в области растягивающих напряжений.
Имеются некоторые данные о том, что для материалов, пове-
поведение которых зависит от давления, в известной мере существенно
влияние промежуточного главного напряжения. Если этот эффект
нужно учесть с помощью критерия, то критерий Кулона — Мора
здесь не подходит и более приемлемым-может оказаться пирами-
пирамидальный критерий обобщенного вида. Было показано, что сравни-
сравнительно простая трехпараметрическая предельная поверхность
в виде шестигранной пирамиды допускает очень широкое разно-
разнообразие форм, как выпуклых, так и вогнутых, и пригодна для
описания множества материалов.
Б. Направления дальнейших исследований
1. Пластичные металлы
Хотя в этой главе почти ничего не было сказано о временных
и температурных эффектах, их влияние на детали явления теку-
текучести может в определенных условиях иметь большое значение.
В этой области вырисовывается большой круг сравнительно не
исследованных вопросов. Даже в случае по существу изотермиче-
изотермического не зависящего от времени поведения многие проблемы пока
еще плохо поняты. В особенности это относится к задаче о мгно-
мгновенных поверхностях текучести.
Усложнения, вносимые явлением пластически наведенной
анизотропии, заставляют выйти за пределы понятий, связанных
с простым трехмерным пространством главных напряжений. Даже
если ограничиться обобщенными пространствами напряжений
всего двух или трех измерений (например, пространство растя-
растяжения — кручения или пространство давления — растяжения —
кручения), возникают большие экспериментальные трудности
(в связи, например, с определением условного предела текучести,
экстраполяцией Лоде и т. д.). Очень многое могло бы дать систе-
систематическое изучение влияния различных определений состояния
текучести на форму поверхностей текучести. Те же замечания
в общем случае относятся и к исследованию анизотропных мате-
материалов, имеющих текстуру.
Гл. 4. Критерии пластического течения и хрупкого разрушения 479
2. Хрупкие и зернистые материалы
Наиболее удобное и популярное испытание хрупких и зерни-
зернистых материалов на неодноосное напряженное состояние заклю-
заключается в сжатии с одновременным приложением обжимающего
бокового давления (сжатии с обжимом). Хотя это испытание
часто называют «трехосным», оно имеет тот недостаток, что два
главных напряжения в нем (радиальное и окружное) равны, и по-
поэтому с его помощью в пространстве напряжений может быть
покрыта лишь крайне ограниченная область. Однако если в одних
испытаниях сделать осевое сжимающее напряжение больше ради-
радиального, а в других меньше радиального, то из этих испытаний
можно будет найти те три параметра (скажем, St, Sc, Sv, см,
рис. 43 и разд. IX), которые необходимы для обобщенного пира-
пирамидального критерия, включающего влияние промежуточного
главного напряжения.
Многие существующие данные по хрупким и зернистым средам
недостаточны для решения вопроса о том,* существенно ли проме-
промежуточное главное направление, и было бы полезно расширить
их диапазон. Желательно также развить удобные, и надежные
методы создания однородного напряженного состояния с тремя
различными главными напряжениями. Как было изложено
в разд. XI, некоторое многообещающее начало этому уже поло-
положено.
•Сравнительна мало работ было проведено по предельным со-
состояниям анизотропных материалов с зависящим от давления
поведением. Это особенно важно для горных пород, обнаруживаю-
обнаруживающих in situ преимущественные плоскости напластования или упоря-
упорядоченные системы трещин. Описание некоторых недавних иссле-
исследований в этой области и ссылки на другие работы изложены Мак-
ламором и Греем [111].
В перспективе общая цель состоит в том, чтобы для всех мате-
материалов научиться связывать макроскопические критерии теку-
текучести и разрушения с явлениями на микроскопическом уровне.
ПРИЛОЖЕНИЕ А. ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ОБОЗНАЧЕНИЯ
КОМПОНЕНТ НАПРЯЖЕНИЙ
К понятию напряжения можно подойти с микроскопической
точки зрения, рассматривая силы взаимодействия между молеку-
молекулами, атомами и другими центрами сил. Это приводит к структур-
структурой теории (см. обсуждение в [102, стр. 644]), которая необходима
на микроскопическом уровне.
Однако основное использование термина напряжение связано
бо строго макроскопической точкой зрения, обычно принимаемой
инженерами. При таком использовании рассматривается совер-
480
Б. Поль
б
Рис. А.1. а — нагруженное тело; б — сила AF, действующая на площадку
АЛ; в — вектор напряжения Тп, разложенный на нормальную и касатель-
касательную компоненты а и т.
1 — плоскость сечения, 2 — внешняя нагрузка.
*
шенно непрерывная безгранично делимая среда, в которой все
микроскопические структурные характеристики осреднены. Естест-
Естественно, что область применимости такой идеализации ограничена
объемами материала, размеры которых во много раз больше наи-
наибольшего типичного размера микроструктуры. В этом приложе-
приложении мы примем макроскопическую точку зрения, не вспоминая
и не предостерегая во всем последующем об области ее примени-
применимости.
Определение напряжения
Рассмотрим сплошное тело произвольной формы (рис. А.1, а).
Это тело может быть нагружено силами, распределенными по его
поверхности (например, давлением ветра или контактными на-
напряжениями, создаваемыми прилегающими телами), и силами, рас-
распределенными по его объему (например, силами тяжести или
инерции). Чтобы изучить распределение сил внутри тела, вообра-
вообразим, что оно рассечено произвольной плоскостью, разделяющей
его на две части. Силы, с которыми одна часть тела действует
на другую, передаются через проведенную плоскость и удержи-
удерживают в равновесии каждую часть в отдельности вместе с внешними
силами, которые на нее действуют. На рис. АЛ, б показана одна
из частей тела под действием внешних сил и сил, действующих
со стороны другой части. Сосредоточим внимание на малой части
плоскости сечения с площадью АА, на которую действует вектор
результирующей силы AF, и предположим, что векторная вели-
величина AF/КА при стягивании площадки АА в точку стремится
к предельному вектору Тп. Вектор Тп называется вектором на-
напряжения в плоскости сечения, единичный вектор внешней нор-
Гл. 4. Критерии пластического течения и хрупкого разрушения 481
мали к которой обозначен через п. Таким образом,
Tn=r- lim -T-J-.
ДА-0 АЛ
Следует отметить, что вектор напряжения зависит от ориента-
ориентации плоскости сечения; в различных плоскостях сечения векторы
напряжения будут разными. Поэтому в действительности вектор
напряжения представляет собой векторную функцию вектора п.
Вектор Тп можно разложить на составляющую а, нормальную
к плоскости сечения, и составляющую т, параллельную этой
плоскости, как показано на рис. АЛ, в. Если нормальная состав-
составляющая
а =
= |ТЛ | cos 9
(А.2)
положительна, то она называется растягивающим напряжением,
если отрицательна — сжимающим. Касательная составляющая т на-
называется касательным напряжением или напряжением сдвига.
Обозначим векторы напряжения на трех координатных плоскос-
плоскостях, перпендикулярных осям ортогональной системы координат
хъ х2 и ?3, через Ть Т2 и Т3, как это показано на рис. А.2. Если
единичные векторы в направлении осей координат хи х2, х3 обо-
обозначить ix, i2, i3 соответственно, то каждый из векторов напряже-
напряжения Ть Т2, Т3 можно будет выразить через их проекции на оси
координат следующим образом:
Tf = Quit + ai2ia + ст1зЬ»
Та —a2iii +СГ2212+ (у231з> ^А'3^
T3 = o-3iii 4- 0-32*2 +
Девять величин an, a12, ... и т. д. называются компонентами
тензора напряжений.
Элементарный прямоугольный параллелепипед с гранями,
перпендикулярными осям координат хи х2, х3, как показано на
рис. А.З, вырезанный из нагруженного тела, оказывается нагру-
нагруженным нормальными и касательными напряжениями на гранях,
как показано на том же рисунке. Строго говоря, в переменном
поле напряжений компоненты напряжения на «передней»
«23
Рис. А.2. Компоненты тензора на-
напряжений.
31-0700
482
Б. Поль
Рис. А.З. Обозначения ком-
понент тензора напряже-
напряжений.
грани, например грани ABCD, будут несколько отличаться от
компонент напряжений на «задней» грани EFGH. Однако если
параллелепипед берется достаточно малым, то отличие в величи-
величинах компонент напряжений на передней и задней его поверхно-
поверхностях может быть сделано сколь угодно малым. Конечно, можно
создать строго однородное напряженное состояние (как, напри-
например, в цилиндрическом стержне при простом растяжении), в кото-
котором компоненты напряжения на любой плоскости, проходящей
через данную точку, зависят только от ориентации плоскости,
но не от расположения точки внутри тела.
Имея в виду то обстоятельство, что все непрерывные распреде-
распределения напряжений по существу однородны в произвольно малой
окрестности данной точки, мы ничего не потеряем в общности,
если ограничимся далее рассмотрением однородных напряженных
состояний. Существуют некоторые важные эффекты, связанные
с градиентами напряжений, особенно в тех задачах, в которых
существенны моментные напряжения. Однако, как было указано
в разд. III.А, маловероятно, что величина этих эффектов может
быть настолько большой (на макроскопическом уровне), чтобы
перевесить многие другие неопределенные факторы, с которыми
сталкиваются при рассмотрении явлений текучести. Поэтому
в настоящем приложении мы везде будем игнорировать градиенты
деформаций и моментные напряжения.
При отсутствии моментных напряжений и распределенных
объемных моментов, подобных тем, что возникают в теле, намаг-
намагничиваемом внешним магнитным полем, касательные напряже-
напряжения симметричны в том смысле, что
cTi2 = ст21, а23 = ст32, сг31 = а13. (А.4)
Чтобы вывести уравнения (А.4), заметим, что суммирование всех
моментов относительно центральной оси, параллельной хг на
рис. А.З, дает а32 = ^гз- Остальные соотношения выводятся
аналогично.
Гл. 4. Критерии пластического течения и хрупкого разрушения 483
ПРИЛОЖЕНИЕ Б. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ПЛОСКОГО
НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ. КРУГ МОРА
Задав компоненты напряжения ап, . . ., о33 по отношению
к определенной системе координат, мы часто желаем знать, каков
вектор напряжения на какой-нибудь наклонной плоскости. Преж-
Прежде чем описывать общий подход к этой задаче, рассмотрим
частный случай плоского напряженного состояния, в котором
0ii, сг12, а22 — известные величины, а сг3з == #3i ~ ^зз = 0» Те*
перь попытаемся найти нормальное напряжение а и касательное
напряжение т, действующие на плоскости, образующей угол в
с плоскостью х2х3, как показано на рис. Б.1. Заметим, что при-
принятое положительное направление для отсчета т таково, что т
переходит в т = а12 при 0 = Оивт = — сг12 при 9 = я/2.
На рис. Б.1 длина наклонной грани обозначена через L, а тол-
толщина призмы в направлении оси х3 предполагается равной еди-
единице. Каждая из компонент напряжения умножена на площадь
той грани, на которой она действует, так что на рис, Б.1 пока-
показаны силы, действующие на каждую грань. Суммируя все силы,
параллельные нормали* п, а затем направлению т, находим
gL = GuL cos29 + G22L sin29 + o.l2L cos 9 sin 9 +
+ G21L sin 9 cos 9j
t%L = — GnL cos 9 sin 9 +X22? sin 9 cos 9 + '
+ G12L cos29 — G21L sin29.
Сокращая эти уравнения на общий множитель L и используя
тождества
cos29 = A + cos 29)/2,
sin29 = A — cos 29)/2, (Б.2)
sin 9 cos 9 = (sin 29)/2,
Рис. Б.1. Призма в плоском
напряженном состоянии.
в — единичный отрезок.
31»
484
Б. Поль
уравнения (Б.1) можно переписать в следующем виде:
(ri2sm20,
(Б.З)
х = _
Sin 26 + а12cos 29.
(Б.4)
Уравнения (Б.З) и (Б.4) служат основой предложенного Мором
графического приема, удобного для представления различных
напряженных состояний. В этом графическом приеме, продемон-
продемонстрированном на рис. Б.2, две известные нормальные компоненты
напряжений <jn, а22 откладываются в соответствующем масштабе
по горизонтальной оси, как показано точками А ж В. Средняя
точка отрезка АВ обозначена через С. Данное касательное напря-
напряжение а12 откладывается прямо против А по вертикали, как пока-
показано точкой Q (напомним, что т = а12 при 0 = 0). Через точку Q
проводится окружность с центром в С. Затем на этой окружности
берется точка Q\ отстоящая вдоль окружности от Q на угол 20,
отсчитываемый по часовой стрелке.
Абсцисса и ордината точки Q' представляют нормальное напря-
напряжение аи касательное напряжение т, даваемые формулами (Б.З)
и (Б.4) соответственно. Для проверки последнего заметим, что,
макс
Рис. Б.2. Построение круга Мора для плоского напряженного состояния.
Гл. 4. Критерии пластического течения и хрупкого разрушения 485
согласно рис. Б.2,
' cos (a-26) =
= ОС + СА cos 29 + AQ sin 26 =
= Vs fan + <*22) + V* (<?н — (T22) cos 29 -f- a12 sin 29, . (Б.5)
A'Q* = CQr sin (a — 29) = CQ sin a cos 29 — C(? cos a sin 29 =
= AQ cos 29 — C4 sin 29 = a12 cos 29 — % (an — <r22) sin 29. (Б. 6)
Сравнение формул (Б.5) и (Б.6) с уравнениями (Б.З) и (Б.4) соот-
соответственно подтверждает справедливость построения круга Мора.
Из рассмотрения круга Мора немедленно вытекают следую-
следующие важные заключения. .
1. Ца тех площадках, где нормальное напряжение достигает
экстремальных значений, касательное напряжение равно нулю.
Эти плоскости, называемые главными плоскостями, представляются
на рис. Б.2 точками Qx и Q2. Максимальное и минимальное напря-
напряжения называются главными напряжениями и будут обозначаться
ai, a2. Через величины заданного напряженного состояния они
выражаются в виде
2. Максимальное и минимальное касательные напряжения
в плоскостях, проходящих через ось х3, изображаются точками
R и R'. Величина тмакс определяется соотношениями
/ g«-ff»« \2 , ^2 / gj-сгз Уа (Б.9)
(—г—;+^ = (—2— )•
Плоскости, представляемые точками Л и Л', образуют углы
в 45° с главными плоскостями.
3. Добавление постоянного нормального напряжения р и
к 0Ш и к а22 привело бы к сдйигу всего круга Мора вправо на вели-
величину р. Это означает, что нормальные напряжения на всех наклон-
наклонных плоскостях возросли бы тогда на одну и ту же величину р,
а на касательные напряжения это так называемое «цилиндрическое
давление» не оказало бы никакого действия. Для чисто «цилиндри-
«цилиндрического напряженного состояния» круг Мора превращается
в точку с абсциссой на расстоянии/? от начала; никаких касатель-
касательных напряжений на любой плоскости, параллельной оси а;3, в этом
случае нет, а нормальные напряжения на всех таких плоскостях
равны р.
4. Состояние чистого сдвига, как показано на рис. Б.З, пол-
полностью эквивалентно системе равных по величине и противопо-
2>. Поль
Рис. Б.З. а — состояние чистого сдвига, эквивалентное наличию равных
и противоположных по знаку нормальных напряжений; б — круг Мора;
в — главные напряжения.
ложных по знаку главных напряжений, действующих на плоско-
плоскостях, образующих углы 45° с главными плоскостями. Величина
главных напряжений совпадает с величиной касательных напря-
напряжений #12, осуществляющих чистый сдвиг.
5. Для плоских напряженных состояний касательные напря-
напряжения обращаются в нуль на плоскостях, где нормальные напря-
напряжения достигают экстремума (точки Qi и Q2 на рис. Б.2). К этому
выводу можно прийти также, продифференцировав формулу
(Б.З) по 9 и заметив, что в силу формулы (Б.4)
da/dQ = 2т. (Б.10)
ПРИЛОЖЕНИЕ В. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ТРЕХМЕРНОГО
НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ
Теперь покажем, что если в данной точке тела известны все
шесть независимых компонент тензора напряжений atj (по отно-
отношению к некоторой конкретной системе координат), то можно
найти вектор напряжения на любой плоскости, проходящей через
эту точку.
На рис. В.1 показан элементарный тетраэдр, ограниченный
тремя координатными плоскостями и наклонной плоскостью с еди-
единичным вектором нормали
n = niit + n2i2 + n3i3, (B.I)
направленным, как показано, наружу. Компоненты пг этого еди-
единичного вектора являются в то же время направляющими коси-
косинусами нормали. Если площадь наклонной грани ABC тетра-
тетраэдра обозначить через А, то можно проверить, что площадь грани,
нормальной к оси хг, равна
Аг = АпЛг= Ащ. (В.2)
Гл. 4. Критерии пластического течения и хрупкого разрушения 487
Вектор напряжения на наклонной плоскости дается выражением
Tn = Tniii + ТП2и + Тф. ' (В.З)
Аналогично векторами напряжения на координатных плоскостях
являются Ть Т2, Т3; их компоненты определяются согласно фор-
формулам (А.З) и рис. А.2. Из равновесия сил следует, что
ТпА = TiAi + Т2А2 + Т3А3 = A
+ Т2тг2 + Т3тг3); (В.4)
здесь использовано равенство (В.2). Сокращая (В.4) на общий
множитель А и используя формулы (А.З), получаем искомое выра-
выражение для вектора напряжения
Тп = (анщ + a2in2 + azin3) ii +
i2 +
(i, / = 1, 2,3).
(B.5)
Таким образом, показано, что, зная величины стгу в какой-либо
точке, можно найти вектор напряжения на любой плоскости,
проходящей через эту точку.
Следует отметить, что равенство (В.5) справедливо также
и при наличии объемных сил.. Для того чтобы показать это, необ-
необходимо заметить, что член, отвечающий объемным силам, имеет
вид FAy, где элемент объема Av = 1lzAh, аи — высота тетраэдра.
В пределе, когда Аи стремится к нулю, высота k тоже стремится
к нулю, откуда следует, что член с объемной силой имеет более
Рис. В.1. Элементарный тетраэдр и вектор напряжения.
488 Б, Поль
высокий порядок малости, чем члены с поверхностными силами,
и поэтому не войдет в окончательный результат, который будет
снова иметь вид (В.5).
Поскольку имеется единственная вполне определенная нор-
нормаль к плоскости сечения, можно найти проекцию вектора на-
напряжения на эту нормаль. Величина этой проекции опп считается
положительной или отрицательной в зависимости от того, на-
направлена ли соответствующая ей составляющая вектора Тп по
вектору нормали п или в противоположную сторону. Величина
опп называется нормальным напряжением на плоскости. Положи-
Положительные нормальные напряжения называются растягивающими,
отрицательные -- сжимающими. В плоскости, определяемой век-
векторами п и Тп, имеется единственная"прямая, лежащая в плоско-
плоскости сечения (линия пересечения этих двух плоскостей). Состав-
Составляющая Тп по этой прямой очевидно равна Тп — оппп. Величину
этого вектора мы обозначим через тп, причем (см. рис. В.1)
Величина хп представляет собой величину касательного напряже-
напряжения, действующего в плоскости, нормальной к п.
Величина (и знак) опп определяется равенством
опп=Тп-п. (B.7)
Используя равенство (В.5), находим
G2iU2 + Ozin3) Щ +
22^2 + 032%) Щ 4-
(B.8)
ПРИЛОЖЕНИЕ Г. СУЩЕСТВОВАНИЕ ГЛАВНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ
И ИХ ОПРЕДЕЛЕНИЕ
В приложении Б было показано, что для плоского напряжен-
напряженного состояния можно указать по крайней мере одну пару взаим-
взаимно перпендикулярных направлений, таких, что в плоскостях, пер-
перпендикулярных к этим так называемым главным направлениям,
отсутствуют касательные напряжения. Теперь будет показано,
что для произвольного трехмерного напряженного состояния
всегда можно найти три взаимно перпендикулярных направления,
таких, что касательные напряжения в плоскостях, перпендику-
перпендикулярных этим главным направлениям, обращаются в нуль. В при-
приводимом ниже доказательстве следуем Вестергарду [187, стр. 59].
Гл. 4. Критерии пластического течения и хрупкого разрушения 489
Существование главных напряжений
Представим себе сферу, вырезающую окрестность некоторой
точки тела, находящегося в однородномг) поле напряжений.
Если нормальное напряжение опп не одинаково во всех точках
этой сферы, то в некоторой точке С (см. рис. Г.1) оно достигает
локального максимума. Мы будем называть точку С северным полю-
полюсом, а большой круг, лежащий на 90° «южнее» полюса С,— эква-
экватором. Так как опп изменяется непрерывно с изменением ориента-
ориентации единичного вектора нормали (см. (В.8)), нормальное напряже-
напряжение вдоль экватора либо постоянно, либо достигает локального
максимума в некоторой точке В. Отложим теперь на экваторе
точку А на 90° «западнее» точки В. Тройка взаимно перпендику-
перпендикулярных осей ОА, ОВ, ОС образует систему координат, которые
обозначим хх, х2, х3.
Теперь представим, что из сферЬг вырезается тонкая полоса,
ограниченная двумя параллельными плоскостями, заключающими
между собой плоскость ОСВ. Тем самым на сфере выделяется
почти цилиндрическая поверхность, которая на рис. Г.1 заштри-
заштрихована. На этой поверхности нормальное.напряжение и состав-
составляющая касательного напряжения вдоль меридиана СВ удов-
удовлетворяют соотношениям преобразования двумерного напряжен-
напряженного состояния, выведенным в приложении Б. В частности, из
уравнения (Б. 11) и из того обстоятельства, что апп либо постоян-
постоянно, либо достигает локального максимума в точке С, следует, что
Аналогично выводится, что
Osi = 1l2dann/dQ1=0. * (Г.2)
Таким образом, результирующее касательное напряжение в точке
С обращается в нуль. Вспоминая, что аг7- = а;г-г имеем
^23 = а32 == 0» °13 = ад1 = 0-
Вдобавок, поскольку точка В была выбрана таким образом, чтобы
а22 достигало локального максимума (в противном случае апп
постоянно вдоль экватора), из тех же соображений, что и выше,
следует, что
ог21 = 0.
Так как равны нулю о21 и 023, равно нулю и результирующее-
х) Говорят, что тело находится в однородном напряженном состоянии,
если компоненты напряжения Ofj не изменяются от точки к точке. Векторы
напряжения для разных плоскостей, проходящих через данную .точку, будут
* общем случае различными независимо от того, находится эта точка в одно-
однородном поле напряжений или нет.
490
Б. Поль
Рис. Г.1. Существование главных
напряжений показано при помощи
напряженной сферы.
32
касательное напряжение в точке В. Наконец, мы замечаем, что
°12 " ^21 = 0- Обращение в нуль как а12, так и а13 означает, что
результирующее касательное напряжение в точке А должно
обращаться в нуль.
Таким образом, доказано, что всегда существуют по крайней
мере три направления, такие, что в перпендикулярных им плос-
плоскостях действуют только нормальные напряжения. Эти направле-
направления называются главными направлениями; плоскости, нормальные
к ним,— главными плоскостями, а напряжения, действующие на
этих главных плоскостях,— главными напряжениями.
Определение главных напряжений и направлений
По определению на главной плоскости касательные напряже-
напряжения обращаются в нуль. Следовательно, здесь вектор напряжения
Тп должен быть направлен по нормали п к главной плоскости.
Иначе говоря, для главного направления можно написать
Тп = оп = о (щц + щЧ -Н n3i3), (Г.З)
где а — неизвестный скаляр. Из сравнения уравнений (Г.З)
и (В.5) видно, что
Уравнения (Г.4) образуют однородную систему уравнений, линей-
линейных относительно компонент пг, тг2, п3. Они допускают решение
пх = п2 ==? п3 = 0, однако поскольку п — единичный вектор,
жмеет место тождество
п\ + п\ + п\ = 1. (Г.5)
Гл. 4. Критерии пластического течения и хрупкого разрушения 491
Таким образом, «тривиальцое решение» nt = 0 недопустимо
физически. В курсе алгебры доказывается, что нетривиальное
решение системы однородных линейных уравнений существует
только тогда, когда обращается в нуль детерминант из коэффи-
коэффициентов:
0ц —0 а21 031
0-12 . о-22 — а а32 =0. (Г.6)
а43 а23 а33 — а
Характеристическое уравнение (Г.6) кубично относительно а:
где
1а =^11 + ^22+0*33»
G3ZGU) + 0*2
(Г.7)
(Г.8)
022 ^23
^32 <*33
Мы видели, что существует три главных напряжения. Следова-
Следовательно, должно быть три вещественных корня уравнения (Г.7);
обозначим их ах, 02, 0з- Поскольку главные напряжения не могут
зависеть от выбора системы координат, величины 1а, Па, Ша не
могут измениться, ecyin перейти к другой системе координат;
поэтому они называются инвариантами тензора напряжений. Пос-
После того как из уравнения (Г.7) получены главные напряжения,
можно использовать любые два из уравнений (Г.4) вместе с урав-
уравнением (Г.5) для того, чтобы найти направляющие косинусы nt
каждого из трех главных направлений. Если взять оси координат
совпадающими с главными направлениями, то все недиагональ-
недиагональные члены тензора напряжений обратятся в нуль, т. е.
Oti 012 013
021 а22 023
(Г.9)
Следовательно, выражения (Г.8) могут быть записаны в виде
Hffr= —
Illff = 0102^3*
(Г.10)
492
Б. Поль
ПРИЛОЖЕНИЕ Д. КРУГИ МОРА ДЛЯ ТРЕХМЕРНЫХ
НАПРЯЖЕННЫХ СОСТОЯНИЙ
Мы теперь обобщим идеи, изложенные в приложении Б, на трех-
трехмерные напряженные состояния. Рассмотрим однородно напря-
напряженную единичную сферу, как показано на рис. Д.1, а. Радиус-
вектор, проведенный в любую точку Р поверхности, представляет
собой единичный вектор нормали п к плоскости,_ касательной
к поверхности сферы в точке Р. Вектор напряжения Тп на этой
касательной плоскости имеет нормальную проекцию опп (поло-
(положительную, если она направлена от начала координат) и ве-
величину касательной составляющей т = ( | Тп | 2 — <ТппI/2.
мх.
cos ^2=пг=
Рис. Д.1. Единичная сфера и вектор напряжения.
а — вектор напряжения; б — положение физической точки Р на единичной сфере
определяется какими-либо двумя углами, например Qt и 02.
Гл. 4. Критерии пластического течения и хрупкого разрушения 493
Положение т,очки Р однозначно задается двумя углами, например
ва и 02, отсчитываемыми от осей хг и х2 соответственно, как пока-
показано на рис. Д.1, а. Нормальное и касательное напряжения
в точке Р можно представить абсциссой и ординатой некоторой
точки Р' в плоскости (опп, т) соответственно. При движении точки
Р по поверхности единичной сферы точка Р' будет перемещаться
в плоскости (опп, т), которую будем называть плоскостью напря-
напряжений. Точку Р' в этой плоскости называют изображением точки
Р, лежащей на единичной сфере. Кривую на плоскости напряже-
напряжений, которую прочерчивает точка Р', когда точка Р описывает
некоторую определенную траекторию на единичной сфере, будем
называть изображением траектории, лежащей на сфере.
Точка Р лежит где-то.на окружности, определяемой условием
0Х = const, и одновременно 'где-то на окружности, определяемой
условием 82 = const. Покажем, что изображения этих окружно-
окружностей на плоскости напряжений также представляют собой окруж-
окружности.
Направим оси координат по главным направлениям, так что
единственными ненулевыми компонентами тензора напряжений
будут главные напряжения о1х = аг, о22 = <?2> ^зз — аз* Тогда
формула (В.8) примет вид
Ipnn = <*in\ + <у2п22 + в3п23, (Д.1)
а формула (В.6) — вид
- xi + oln = | Тп 12 = (а^J + (ст2«2J + (о3п3)*; (Д.2)
для получения последнего из этих равенств была использована
формула (В.5). Необходимо также заметить, что направляющие
косинусы nt являются проекциями единичного вектора п и долж-
должны поэтому удовлетворять уравнению
n\ + nt + nl = i. - (Д.З)
Из приведенной выше; системы трех уравнений можно исключить
любые два из трех направляющих косинусов, что приводит к сле-
следующей симметричной системе уравнений, каждое из которых
содержит только один направляющий косинус:
опп-Jh+2l.y = (-Hi=^.J + nl (о,-^) (а3-а2) = Щ, (Д.4а)
+nnoi~a2)(al-as) = Rl (Д.46)
+nl@2-os) @,-00 = ^. (Д.4в)
Здесь i?g, Щ и R\ представляют собой просто правые части каж-
каждого из уравнений.
494
Б. Поль
Рис. Д.2. Круг Мора для трехмерного напряженного состояния.
Следует заметить, что (Д.46) представляет собой уравнение
окружности в плоскости (впп, хп) с центром в точке A/21о2 + сг3], 0)
и радиусом Нг. Аналогичный смысл имеют и два других уравне-
уравнения. Таким образом, мы видим, что когда точка Р описывает на
сфере окружность 0! = const, точка Р' описывает в плоскости
напряжений окружность радиуса Яг с центром на оси абсцисс
в точке V2 (о>2 + аз)- Аналогично и изображения окружностей
02 = const и 63 = const являются окружностями на плоскости
напряжений. Для заданного значения 6Х можно найти R± из урав-
уравнения (Д.46) и провести окружность, изображенную на рис. Д.2.
Эта окружность является изображением окружности 8Х = const
на единичной сфере. Аналогично для заданного значения 02 можно
определить i?2 из уравнения (Д.4в) и провести окружность, пока-
показанную на .рис. Д.2, являющуюся изображением окружности 62 —
= const на единичной сфере. Поэтому точка Р\ в которой пересе-
пересекаются эти окружности на плоскости напряжений, является
изображением точки Р, в которой соответствующие окружности
пересекаются на сфере. Таким образом, значения апп и т в точке
Р могут быть найдены как координаты точки Р' на плоскости
напряжений.
Вместо того чтобы находить Rx и R2 из уравнений (Д.4), можно
найти эти величины графически следующим образом. Обозначим
точки пересечения единичной сферы осями координат через
С/х, U2, U3, как показано на рис. Д.1, б. Касательные плоскостр
к сфере вдоль дуги UXU2 параллельны оси х3, так что напряженное
Гл. 4. Критерии пластического течения и хрупкого разрушения 495
•ля
Рис. Д.3. Двумерное напряженное со- Рис. Д.4. Круг Мора для двумер-
стояние, отнесенное к главным осям. . ного напряженного состояния.
состояние подобно изображенному на рис. Д.З, за исключением
того, что теперь имеется нормальное напряжение а3, параллель-
параллельное оси х3. Однако простейшее рассмотрение условий равновесия
показывает, что а3 не может влиять на опп или т вдоль дуги U-JJ^
следовательно, можно использовать круг Мора для двумерного
напряженного состояния. Изображение дуги U1U2 на плоскости
напряжений представляет собой поэтому окружность г) U[U2.
Согласно построению на рис. Д.4, изображением точки Аг (той
точки на U1U21 в которой 6Х имеет предположенное фиксирован-
фиксированное значение) является точка А[, расположенная, как показано,
под углом 26^ Эта точка (А[), в которой 6Х имеет желаемое значе-
значение, полностью определяет радиус Rv Аналогично изображением
дуги U2U3 является Uf2U^ а изображением точки А2 (где 62 имеет
желаемое значение) служит точка на дуге U'2U'3, определяемая,
как показано, углом 202. Точка] А'2 полностью определяет ради-
При построении рис. Д.2 неявно предполагалось, что ах >
> о2 > о3. Такой упорядоченности, конечно, всегда можно
достичь надлежащей нумерацией осей координат. Тогда из
формул (Д.4) следует, что
@! - ст2),
(а2 - a,,),
V2
- а8). (Д.5)
В силу этих неравенств точка Р' должна лежать внутри наиболь-
наибольшего из трех главных кругов и вне двух остальных, т. е. точка
Р' может лежать лишь внутри заштрихованной области на рис. Д.5.
Следует отметить, что мы занимались лишь величиной напря-
напряжения сдвига т, но не его знаком, который на самом деле
*) Круги
Uf3U{ называются главными кругами.
496
Б. Поль
Рис. Д.5. Область возможных напряженных состояний заштрихована.
даже не был точно определен. Поэтому все построение без каких-
либо существенных изменений можно было бы отразить относи-
относительно опп.
Исследуя круги Мора, можно установить некоторые интерес-
интересные свойства тензора напряжений. Часть из них будет указана
ниже.
1. Из рис. Д.2 можно видеть, что максимальное на сфере чис-
численное значение касательного напряжения составляет
Т^макс = V2 (Ог — СГ3) (Д.6)
и достигается в средней точке дуги -U-JJz' Иначе говоря, макси-
максимальное касательное напряжение равно полуразности наиболь-
наибольшего и наименьшего главных напряжений и достигается в плоско-
плоскости, нормаль к которой является биссектрисой угла между осями
наибольшего и наименьшего главных напряжений.
2. Можно заметить, что если на изображенное напряженное
состояние накладывается гидростатическое напряженное состоя-
состояние путем добавления ко всем трем главным напряжениям постоян-
постоянного напряжения р, то вся конфигурация смещается вправо на
расстояние р, однако относительное расположение всех точек
фигуры остается прежним.
3. Если два главных напряжения, скажем с2 и сг3» прибли-
приближаются к общему значению с, то окружность Uf2U'^ стягивается
в точку на оси т = 0, как показано на рис. Д.6. Отсюда следует,
что векторы напряжений на всех плоскостях, параллельных
оси хг (изображением .этих плоскостей является дуга U'2U'^,
строго нормальны этим плоскостям и равны по величине ?. Такое
Рис. Д.6. Приближение к цилиндрическому напряженному состоянию»
Гл. 4. Критерии пластического течения и хрупкого разрушения 497
напряженное состояние иногда называют «цилиндрическим». Если
все три главных, напряжения приближаются к общему значению s>
то все три главных круга стягиваются в общую точку (s, 0). В этом
случае на любой плоскости нет касательных напряжений, а нор-
нормальные напряжения на- всех плоскостях равны по величине s.
Такое напряженное состояние обычно называется «сферическим»
или «гидростатическим».
4. Величины т3 =? V2 (с^ — а2), %i = V2 (ст2 — а3), ^2 =
= У2 (аг — сг3), называемые главными касательными напряже-
напряжениями, представляют радиусы трех дуг U[U'29 U'2U3 и U[U'S.'
Поскольку добавление гидростатического напряженного состоя-
состояния просто сдвигает все круги вдоль оси абсцисс на одну и ту же
величину, такое добавление не влияет на главные касательные
напряжения. '
ПРИЛОЖЕНИЕ Е. НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА ДЕВИАТОРА
НАПРЯЖЕНИЙ
Девиатор напряжений играет очень важную роль при рассмо-
рассмотрении соотношений между напряжениями и деформациями как
для упругих, так и для неупругих материалов, поэтому имеет
смысл выяснить некоторые его свойства. Компоненты девиатора
напряжений определяются следующим образом:
*11 = 0Ц —0m, Si2 = Oi29 Si3 = Ois,
*21 = <*21» $22 = ^22 — 0m, *23 = 023, (E. 1)
S3I = 031» 532 = 032» $33 = 033 — 0m t
где от = 7з (а14 + a22 4~ 0зз) — среднее нормальное напряжение.
Диагональные компоненты можно также записать в виде
Sh = 2/з [0ц — 72 @22 + 0зз)],
*22 = 2/з[022-72@33 + 011)], (Е«2)
S33 =• 2/з [033 — V2 @Ц + 022)] •
Напряженное состояние, описываемое девиатором напряжений,
можно представить себе как результат наложения на имеющееся
напряженное состояние с компонентами crn, a12, . . ., (Узз одно-
однородного гидростатического давления величины ат. Поскольку
девиатор напряжений можно интерпретировать как тензор напря-
напряжений, любое общее заключение, полученное для тензора напря-
напряжений, должно быть применимо и к девиатору напряжений.
Например, должны существовать некоторые главные оси
x'v X2J х'г-> такие, что внедиагональные члены s'i2 = s'23 = s'3i в этих
осях обращаются в нуль. Определение s12, s23, 5зь выраженное
формулами (ЕЛ), показывает, что главные оси девиатора напряже-
$2—0700
498
В. Поль
ний совпадают с главными осями самого тензора напряжения.
Более того, главные значения девиатора напряжений получаются
просто вычитанием среднего нормального напряжения от из
главных значений оъ сг25 #з тензора напряжений.
Эти заключения могут быть также выведены из рассмотрения
кругов Мора (рис. Д.2), если заметить, что добавление одного
и того же напряжения величины —от ко всем трем главным
напряжениям просто сдвигает все круги Мора, изображенные
на рис. Д.2, влево на величину от. Таким образом, круги Мора
для девиатора напряжений будут теми же самыми, что и для тензора
напряжений, если зачало координат соответствующим образом
сдвинуто вправо на величину от. Следовательно, главные оси
тензора напряжений и девиатора напряжений должны совпадать,,
а главные значения девиатора напряжений st связаны с главными
значениями тензора напряжений ot соотношениями st = аг- — ош
(i = 1, 2, 3).
Главные значения девиатора напряжений можно найти тем же
способом, каким находятся главные значения тензора напряже-
напряжений (см. приложение Г), а именно три главных значения su s2, s$
девиатора напряжений являются корнями кубического урав-
уравнения
Ц —$
$21
$31
522 — $
$32
$13
$23
зз — $
где
$22
$32
$23
$33
$11
$31
$13
$33
$11
$21
$12
$22
i -f- S*
(E.4)
Is = Sn -f $22 + S33 =
IL=-
$11 $12 $13
$21 $22 $23 =$1$2$3«
$31 $32 $33
Величины Is, IIS, IIIS, определяемые аналогично инвариантам
тензора напряжений, называются инвариантами девиатора напря-
напряжений. Эти инварианты, как видно уже из самого их названия*
остаются неизменными при поворотах системы координат. Един-
Единственный индекс указывает главное значение.
Важно заметить, что первый инвариант девиатора напряже-
напряжений Is тождественно равен нулю, поскольку
Ie = [(Ti — от +'о2 — от + о3 — ат] = [oi + cr2+or3—3crm) = 0.
(Е.5)
Гл. 4. Критерии пластического течения и хрупкого разрушения 499
Это означает, что любая функция компонент девиатора напряже-
напряжений, остающаяся неизменной при поворотах системы координат,
может быть выражена в любой из следующих форм: / (slt s2, s3)
или F (II,, III.).
Ниже выписаны для ссылок некоторые важные тождества.
Удобная форма IIS получается прибавлением нулевого члена
V2 (S" + S22 + «ЗзJ = Va D + 4 + 4) + Sll«22 + S22S33 + Ss3Su = 0 (E.6)
к правой части выражений (Е.4). В результате находим
ns = V2D+4+4)+4+4+4=
=v. 2 *«««=*/.(*!+*;+«». (Е.7)
Чтобы выразить IIS непосредственно через компоненты напряже-
напряжений, заметим, что
4 + 4 + 4 = (ffll - °™? + (<*М ~ °т? + (ОЪ - <ТтJ =
= 0J1 + о2\ + о32з - 2<Jm (аи + а22 + а33
Однако поскольку сгт = 1/з(°гн + а22 + сгзз). мы имеем
= 2/з (о
= V. [К - 2сц(ги + о\2) + (а222-2а22а33 + а32
= V» [(«и-<^и)* + (^22-^ззJ + (о^зз-°пП (Е.8)
Подставляя это выражение в формулу (Е.7), находим
П. = Ve №и ~ °22J + (а22 - о-33J + (о-зз - ouf\ + а\, + ajt + a?2 =
= Ve [@1-O2J + (a«- ^зJ + <*s- *i)8]. (E.9)
Октаэдрические напряжения*
Предположим, что хг, х2, хг на рис. В.1 суть главные оси.
Если нормаль п к некоторой наклонной площадке образует равные
углы с каждой из главных осей, то эту площадку называют окта-
эдрической. При этом единичный вектор нормали п к этой пло-
Щадке записывается в виде
в = niil + n2U + „3i3, n = A//3) ix + A//3) i2 + A/^3) is-
(ЕЛО)
Нормальное напряжение опп на октаэдрической площадке опре-
определяется по формуле (Д.1) и имеет вид
0окт = апп = агп\ + о2п1 + аъп\ = V3 (о± + о2 + а3) = ат.
(Е.11)
32*
500 В. Поль
Здесь учтено, что, согласно (ЕЛО), пг = п2 = п3 = 1/1^3". Тогда
касательное напряжение на октаэдрической площадке токт выра-
выражается с помощью формулы (Д.2) и с учетом (Е.11) в виде
^окт = (tfi^iJ + (^2^гJ + (О'З^зJ — &пп =
= V3 (а2 + 02 + 023) - 1/э (oi + о2 + 03J? . (Е.12)
следовательно,
^окт = 4/э [2сг2 + 2о\ + 20з — 20Х02 — 20203 — 2030J =
= Vg l(ot— a2J + @,— 03J + @3 — 0iJ]. (E.13)
Из формулы (Ё.9) следует, что
^окт = V3 FIISI/2 = B/3IIsI/2. (E.14)
Состояние чистого сдвига
Если в теле существует система трех взаимно перпендикуляр-
перпендикулярных плоскостей, на которых не действуют нормальные напряже-
напряжения, то соответствующее напряженное состояние называют чистым
сдвигом. Принимая эти плоскости за координатные, находим,
что в такой системе 0ц = 022 = 03з = 0 и, следовательно, 0т ==
= У г (аи + °22 + ^зз) = 0. Иначе говоря, необходимым условием
существования чистого сдвига является выполнение равенства
Обратно, если ат = 0, то можно показать, что существуют
три взаимно перпендикулярные плоскости, на которых нормаль-
нормальные напряжения обращаются в нуль. Для доказательства (сле-
(следующего книге Пирсона [144, стр. 57]) заметим, что если 0П +
+ ^22 + сг3з = 0» то хотя бы одна из этих компонент, скажем 0ц,
положительна и хотя бы одна, скажем 022, отрицательна. Тогда,
рассматривая круги Мора для напряжений на плоскостях, содер-
содержащих ось хг, видим, что среди этих плоскостей должна быть одна
такая, на которой нормальное напряжение обращается в нуль.
Пусть нормалью к этой плоскости будет какая-либо из' осей
координат, скажем, ось х[ некоторой новой системы координат,
две другие взаимно перпендикулярные оси х'2 и х\ которой пер-
перпендикулярны оси х[.
Поскольку 1а = 0^ + 022 + 0д3 = 0 является инвариантом
и поскольку ось х\ выбрана таким образом, что 0^ обращается
в нуль, получаем, что 022 + 0д3 = 0. Следовательног либо 022
положительно, а 0д3 отрицательно, либо наоборот. По той же
причине, что и выше, должна найтись плоскость, содержащая
ось х[, на которой нормальное напряжение равно нулю. Назовем
ось, перпендикулярную этой плоскости, осью х\. Тогда х[, х\
и перпендикулярная им ось x"z составят систему координат,
в которой 0jt = 0, 022 = 0 и 0^ + 022 + 0зз = 0. Следовательно,
Гл. 4. Критерии пластического течения и хрупкого разрушения 50JI
в этой системе о^3 тоже должно обращаться в нуль. Таким образом,
видно, что равенство
. la = fan + о22 + а33) = О
является достаточным условием существования состояния чисто-
чистого сдвига. Важность этого обстоятельства заключается в том,
что инвариант
Is = SU + $22 + $33
обращается в нуль тождественно (см. равенство (Е.5)). Следо-
Следовательно, любой девиатор напряжений можно интерпретировать
как тензор напряжений, отвечающий состоянию чистого сдвига.
С другой стороны, произвольное напряженное состояние можно
представить в виде чисто гидростатического состояния с напряже-
напряжением crm, наложенного на состояние чистого сдвига, выражаемое
девиатором напряжений.
Энергия формоизменения
Энергию упругого деформирования в единице объема можно
найти, рассмотрев деформацию, испытываемую единичным кубом,
грани которого перпендикулярны главным осям.
Удаление одной грани по отношению к другой в направлении
оси #i определяется главной компонентой деформации 8i. Работа,
совершаемая соответствующим напряжением при его постепенном
увеличении от нуля до ог, равна 1/2cr18i, так как предполагается,
что это напряжение линейно зависит от деформации (закон Гука)
и, следовательно, его среднее значение в процессе нагружения
составляет половину конечного значения. Полная работа на
единицу объема, запасаемая в виде энергии упругого деформи-
деформирования, равна
W = V2 faxex + о2г2 + а383). (Ё.15)
Поскольку напряженное состояние можно представить'в виде
наложения состояния чистого сдвига, описываемого девиатором
напряжений stjy и чисто гидростатического состояния crm, полную
энергию упругого деформирования можно подсчитать, найдя
энергию упругого деформирования для каждого из этих состояний
в отдельности, а затем сложив их:
W = ]?ф + Wo6. (E.16)
Здесь И^ф — энергия формоизменения, связанная только с девиа-
торными напряжениями, a Wo^ — энергия изменения объема,
связанная только со средним напряжением. Чтобы найти РРф,
заметим, что]
502 В. Поль
где 0^, st, st, et — главные значения тензора напряжений, девиато-
ра напряжений, тензора деформаций и девиатора деформаций
в направлении главных осей хи а от и гт — среднее напряжение
и средняя деформация соответственно. Подставляя выражения
(Е.17) и (Е.18) в формулу (Е.15), находим]
2W = (s^ + s2e2 + szez) + 30msm +
+ sm (s± + s2 + s3) + am (ег + e2 + e3).* (E.19)
Член Sx + s2 + s3 тождественно равен нулю, как следует из
равенства (Е.5), и по аналогичной причине тождественно равен
нулю член ?i + е2 + еъ- Таким образом, сравнивая выраже-
выражения (ЕЛ9) и (Е.15), видим, что
(Е.20)
Закон Гука для изотропного тела можно 'записать (см. [156])
в следующем виде:
(E.22a)
(E.226)
где G — модуль сдвига, а К — модуль объемного сжатия. Исклю-
Исключая из формул (Е.20) и (Е.21) величины et и гт, получаем
(E.23)
(Е.24)
В силу формулы (Е.7) выражение (Е.23) можно также записать
в виде
Т^ф = US/BG). (E.25)
ПРИЛОЖЕНИЕ Ж. СРЕДНЕКВАДРАТИЧНОЕ КАСАТЕЛЬНОЕ
НАПРЯЖЕНИЕ
Среднеквадратичное касательное напряжение тск было опре-
определено соотношением C.44) как
(текJ = о\ (х*) + а\ (у«> + о\ <*2> - а\ (х*) - а22 <^> - а23 (z*) -
— 2atG2 (x2y2) — 2а2а3 (У2*2) — 2gzgx {z*x*}. (ЖЛ)
Будем обозначать среднее значение любой величины Q по единич-
единичной сфере посредством ((?), определив его соотношением
^Q8mQdvdB, (Ж.2)
О О
Гл. 4. Критерии пластического течения и хрупкого разрушения 503
Рис. Ж.1. Октант единичной сферы; площадь поверхности равна я/2.
где А — площадь поверхности единичной сферы, dA =
= sin 0 dtp dQ — элемент этой площади, а 0 и ф — сферические
координаты, показанные на рис. Ж.1. В силу симметрии
(х2) = <у»> = <*2>,
' <*4> = <*/4> = <*4>, (Ж.З)
(х2у2) = (y2z2) = (zW).
Так как х, у и z лежат на единичной сфере, они удовлетворяют
уравнению
х2 + у2 + z* = 1; (Ж.4)
следовательно, из первого из равенств (Ж.З) следует, что
(х2) + (у2) + (z2) = 3 (а*) = 1. (Ж.5)
Для того чтобы вычислить остальные средние, остается лишь,
как показано на рис. Ж.1, рассмотреть один октант единичной
сферы, для которого можно видеть, что
я/2
J
/
= ^2 J
о
л/2 я/2
=-!-({ sin4 0 cos2 ф sin2 ф sin
ЗХ/4 J J
(Ж.6)
= — 141Я,
где
я/2
{
я/2
= { sin6G dQ == [i- cos5 8 —i cos3 9 - sin4 9 cos 9
A.
504 В. Поль
поэтому
(t) U) (*)*
И* формулы (Ж.1) с учетом значений (Ж.5) — (Ж.7) получаем
(текJ = 2/i5 И + о\ + а* — atat - а2а3 — а3ах] =
= Vie [to -**? + (<*2 - °зJ + (о, - <т,)а]. (Ж.8)
Из равенств (Ж.8) и (Е.9) следует, что
(тскJ = 75Н*. (Ж.9)
Это соотношение между IIS и среднеквадратичным напряже-
напряжением было доказано Новожиловым [129].
ПРИЛОЖЕНИЕ 3. ПАРАМЕТРЫ ПИРАМИДЫ
КАК ФУНКЦИИ ХАРАКТЕРИСТИК ПРОЧНОСТИ МАТЕРИАЛА
Чтобы выразить «параметры пирамиды» ОР и OQ через харак-
характеристики прочности материала St1 Sc и Sv, удобно рассмотреть
кривую, получающуюся в «испытаниях на сжатие с обжимом»,
в которых два из главных напряжений (скажем, ог и а2) равны
между собой. Плоскость аг = сг2 рассекает пирамиду по двум
прямым, выходящим из вершины V (рис. 43) и пересекающим
ось (Т3 в точках Т ж С, где ОТ = St1 а ОС = Sc. След этой девиа-
торной плоскости перпендикулярен гидростатической оси OV
и пересекает прямые VT и VC в точках Р и Q соответственно.
На рис. 43 видно, что
0P = 07tgp = /3S1,tgP; C.1)
здесь лепользовано то обстоятельство, что
Для нахождения C заметим, что из треугольника TMV следует
. о МТ Orsina Sfsma /о п\
Ъ*-Ш'-0У-0М'- yiSv-Stcosa ' { }
Замечая, что cosa = l/V3, sin a — "|//з и используя равенство
C.2), можно записать формулу C.1) в следующем виде:
}
3SV-St
Аналогичным образом находим, что
NC ОС sin a ?csina
Гл. 4. Критерии пластического течения и ^хрупкого разрушения 50S
В частном случае теории Кулона — Мора мы видели, что S^
не является не зависящей от Sc и S't величиной; ее связь с ними
дается формулами (9.19), а именно
_ 1 + sin ф <-,,
c °'
°w~~ 2sinq> °c~~ 2sinq) °''
Подставляя формулы (9.19) в равенства C.3) и C.5), находим,,
что для критерия Кулона — Мора
3(SC/S't)-(SC/Sv) ~ 3+sincp
ПРИЛОЖЕНИЕ И. ВЫВОД И ОБОБЩЕНИЕ КРИТЕРИЯ ГРИФФИТСА
ДЛЯ РАЗРУШЕНИЯ В УСЛОВИЯХ ДВУХОСНОГО НАПРЯЖЕННОГО
СОСТОЯНИЯ
Перепишем решение Инглиса A2.2) для напряжения ал на
контуре эллиптической трещины, изображенной на рис. 64,
в виде
^ ch2?0-cos2r] * ^ИЛ>
Для нахождения точки экстремума а^ следует положить
дОг]/дц = 0. (И.2)
Из уравнения (И.1) получаем
(ch 2%0 — cos 2цJ до^/дц =
= — 2 (ch 2%0 — cos 2-п) (Р — Q) е2^ sin 2 (т| — "У) —
— 2 sin 2т) {(Р + Q) sin 2g0 +
+ (P — Q) [еЧо cos 2 (т)~ Y) — cos 2?]} = 0, (И.З)
Поэтому
e-26o [sin 2 (т| — Y) (ch 2g0 — cos 2т|) + sin 2т) cos 2 (tj — T)] +
+ sin 2y! cos 2T--1±|- sin 2r] sh 2g0 = 0. (И.4)
Замечая, что
—sin 2 (т] — ?) cos 2r) + cos 2 (т) — ?) sin 2r\ =
= sin Bt) — 2tj + 2T) = sin 2ЧГ, (И.5)
506 Б. Поль
можно переписать равенство (И.4) в виде
— sin2ticos2?+ p^ sin2r)sh2?Q. (И.6)
После развертывания выражения sin 2 (у] — *Р) и перегруппиров-
перегруппировки некоторых членов уравнение (И.6) принимает вид
2W A — cos 2т) ch 2g0) + sin 2ц cos 2W (e2^ — 1) +
+ sh 2g0 sin 2x[ (P + Q)I{P -0 = 0. (И.7)
Вследствие очень большого эксцентриситета эллиптической тре-
трещины мы имеем |0 <^ 1. Уравнение (И.7) будет удовлетворено
тождественно, если предположить, что ц — малая величина
того же порядка, что и ?0» а ? и Р — Q не являются величинами
того же порядка малости. Тогда можно использовать следующие
приближенные соотношения:
«260 «1+260,
l-2ri2, sin2Ti«2T), (И.8)
После подстановки этих приближенных значений в уравне-
уравнение (И.7) получаем для х\ квадратное уравнение:
t]2 (P — Q) sin T cos ? + 4tjS, [P A + cos
+ Q A _ cos 240] — Щ (Р — 0 sin T cos ? = 0. (И.9)
Используя тождества
1 + cos 2W = 2 cos2 ?, 1 — cos 2? = 2 sin2 ?,
находим, что
я« (Р — Q) sin ? cos ? + Ti2?0 (P cos2 ? + Q sin2 ?) —
— U (P — 0 sin ? cos ? = 0. (И.10)
Решая стандартным образом приведенное выше квадратное урав-
уравнение, находим его корни:
± [(Р COS2 ? + Q Sin2 ?J + (Р - 02 gin2 4JT cog2 ^p-Jl/2}. (И. 11)
Последнее выражение можно несколько упростить, заметив, что
имеет] место тождество
(Р cos2 ? + Q sin2 ?J + (Р — QY sin2 ? cos2 ? =
= Р2 cos2 ? + <?2 sin2 ?. (И.12)
Гл. 4. Критерии пластического течения и хрупкого разрушения 507
Таким образом, напряжение ал достигает экстремума в точке т]кр,
определяемой выражением
± (Р2 cos2 ? + (J sin2 Wfh]. (И. 13)
Ниже мы увидим, что в выражении (И. 13) следует взять знак
минус. Установив местонахождение критических точек, находим
экстремальные напряжения подстановкой значений (И.13) в фор-
формулу (ИЛ).
Алгебраические преобразования существенно упрощаются,
если заметить, что величина в скобках в уравнении (И.З) с точ-
точностью до множителя равна напряжению сгл, йак оно определяет-
определяется уравнением (ИЛ). Следовательно, уравнение (И.З) можно
записать в виде
) — cos2r)
_ -(Я-0е26о8ш2(т|-У) _ (P-0sin2y ,
~~ sTn^j ~ Щ ' (ПЛЬ)
где последнее приближенное равенство вытекает из малости г].
Подставляя выражение (И.13) в уравнение (И.14), находим
К)кр = 71
— sol
Непосредственными вычислениями можно проверить, что имеет
место тождество
= [Р cos2 ? + Q sin2 ? ± (Р2 cos2 ? + Q* sin2 ?)V2] x
X [Р cos2 ? + Q sin2 ? + (P2 cos2 ? + Q* sin
следовательно,
Wkp = io1 IP cos2 ? + (? sin2 ? +
=F (P2 cos2 ? + <?2 sin2 ?)V2]. (ИЛ5)
Из тождества (И.12) следует, что
(Р2 cos2 ? + <22 sin2 ?L/2 ^ р cos2 ? -+ Q sin2 ?;
поэтому одно из значений (Оц)к1) всегда отрицательно, т. е. отве-
отвечает растяжению, и мы можем максимальное растягивающее
напряжение Гмакс выразить в виде
os2 ? + (?2 sin2 ?)V2 + P cos2 ? + Q sin2 ?]. (И Л 6)
508 В, Поль
Посмотрим теперь, как Тшт{С зависит от угла W. Для того
чтобы найти угол ?, максимизирующий Тмшс, полагаем
cos ^sin У Го /р ру. , Q2-P2 1 __ 0
. |о I К Ч) + (Р2 cos2 ?+?2 sin2 yfh J - и-
(И.17)
Мы уже предположили, что Р Ф Q; следовательно, единствен-
единственный способ, которым можно удовлетворить уравнению (И.17),
заключается в том, чтобы или было либо W = 0, либо W = я/2,
или обратилось в нуль выражение в квадратных скобках. Послед-
Последнее условие приводится к виду
+QZ 1
_2.= [> +Q j
После упрощений уравнение (И. 18) принимает вид
cos 2Y =-1
Уравнение (И.19) сохраняет смысл только при условии | cos 2W
^ 1, т. е. при условии
Эти неравенства можно также представить в виде
(? + ЗР > 0,| ' (И.20)
Р "+3?>0. (И.21)
Если неравенства (И.20) и (И.21) не выполняются, то уравне-
уравнение (И.19) теряет смысл.
Например, если имеет место чистое растяжение вдоль оси (?,
можно написать Q = —St, Р = 0и либо W = 0, либо ? = я/2.
Очевидно, при *Р = я/2 концентрация напряжений будет больше,
чем при *Р = 0. Из уравнения (И.9) следует, что ц = 0, а из
формулы (И. 16) находим, что разрушение при простом растяже-
растяжении происходит тогда, когда
^макс = 2St/l0. (И.22)
До тех пор, пока Р + 3Q ^ 0, разрушение будет происходить
при Q = —St. Если принять, что разрушение при любых усло-
условиях происходит тогда, когда максимальное растягивающее напря-
напряжение достигает некоторого критического значения (прочности
на разрыв в микромасштабе), то это значение будет определяться
уравнением (И.22); выражение (И.16) тогда принимает вид
(Р2 cos2 ? + <?2 sin2 YI/2 + Р cos2 ? + Q sin2 W = 2St. (И.23)
Гл. 4. Критерии пластического течения и хрупкого разрушения 509
Таким образом, если удовлетворяются неравенства (И.20) и (И.21),
то, подставив (И. 19) в (И.23), находим
, п2 1 — cos2? "IV2 D l + cos21P л 1—cos2?
+ <?2 5 ~P
2 J " 2 v 2
= 25,, (HJ4)
P-<? -IV.
(И.25)
Подводя итоги, мы видим, что когда удовлетворяются неравен-
-ства (И.20) и (И.21), наиболее опасная трещина ориентирована
лод углом, определяемым выражением (И. 19), а разрушение
происходит, когда удовлетворяется уравнение (И.25).
Если неравенство (И.21) не выполняется, то разрушение про-
происходит при Т = я/2, когда Q = —St, и (по симметрии) если
не выполняется неравенство (И.20), то разрушение происходит
при W = 0, когда Р = —&t. Сформулированные выше утвержде-
утверждения наглядно представлены на рис. 63.
Гриффитсовская начальная кривая разрушения как огибающая
мгновенных кривых разрушения
Уравнение (И.23) можно записать в виде
/ (Р, Q, Y) = (Р2 cos2 ^ + Q* sin2 ?)V2 _ p cos2 ? —
—Q sin2 4 — 2St= 0. (И.26)
Огибающая семейства кривых, представляемого уравнением (И.26),
может быть найдена исключением параметра W из (И.26) и из
уравнения
2d**WP4 -P) = 0a (И.27)
из которого следует, что
sin2 ур _ _
sin т ~ Q
Г ] m 28
ръ L 4 J • КМ..4О)
Подставляя значение (И.28) в уравнение (И.26), после некоторых
алгебраических преобразований получаем,
85, (P + Q) = (P- 0», (И.29)
что согласуется с уравнением Гриффитса (И.25).
510 Б. Поль
ОБОЗНАЧЕНИЯ
А, Аи А2г А3— площадь;
dfj, a'ij, a'ij — параметры, входящие в закон кинематиче-
кинематического упрочнения;
а, Ъ — отрезки, отсекаемые на осях координат;
«о, #i, eh, I— коэффициенты рядов Тейлора;
#0? &1» #2 }
А, В, С А параметры, входящие в пирамидальные кри-
А2, В2, С2 S . терии разрушения;
с — сцепление; постоянная;
С — постоянная;
?\, С'2, . . ., Сп — постоянные материала;
е — удлинение оси балки;
etj — компоненты девиатора тензора деформаций;
/, F — функции текучести или разрушения;
F — вектор силы;
F (о) — функция, используемая в критерии Мора;
F, G, Я, L, М, N — коэффициенты в анизотропных критериях
текучести;
G — модуль сдвига; функция, входящая в закон
пластического течения;
h — единичный вектор гидростатической оси;
i, j, k — единичные базисные векторы;
та> rj71 ттта' 1 инварианты тензора напряжений (а), девиа-
/' yys' jyys' >—тора напряжений (s), тензора деформаций (г)
т8' у/' ттт8' I и девиатора деформаций (е);
J2 — второй инвариант девиатора напряжений;
к — предел текучести при чистом сдвиге;
К — объемный модуль упругости; отношение
Q/P;
Lo, L — длина трещины;
т — отношение прочности на сжатие к прочности
на разрыв;
М — изгибающий момент;
N — осевая сила;
п — постоянная материала;
п — вектор единичной нормали;
^i? ^2> ^з — компоненты вектора единичной нормали;
р —'¦ давление;
Р, Q, R — главные напряжения;
qe., qV — компоненты обобщенной деформации; индек-
индексы е и р означают упругую и пластическую
часть соответственно;
Qii (?2 — обобщенные напряжения;
Гл. 4. Критерии пластического течения и хрупкого разрушения 511
г — отношение длины ответвления к начальной
длине трещины;
R — радиус цилиндра Мизеса; главное напряже-
напряжение; параметр, входящий в функцию текуче-
текучести для анизотропного материала; ^
Ru R2, i?3 — радиусы главных* кругов Мора;
S — наклон касательной к кривой разрушения
при двухосном напряженном состоянии;
5ii 52> 5з — главные компоненты девиатора напряжений;
зг]- — компоненты девиатора напряжений;
Sc — предел прочности на сжатие;
Ss — предел прочности при чистом сдвиге;
St — предел прочности при растяжении;
S't — фиктивный предел прочности при растяже-
растяжении;
Sv — предел прочности при однородном трехосном
растяжении;
^макс — максимальное растяжение;
Тп — вектор напряжений (усилий) на площадке
с вектором единичной нормали п;
W — энергия деформации единицы объема (отме-
(отметим, что dW означает изменение внутренней
энергии);
]?Ф — энергия формоизменения единицы объема;
Woq — энергия деформации единицы объема под
действием гидростатического' растяжения
(сжатия);
#> У» %, I— декартовы координаты;
Y — предел текучести;
X, Y, Z — пределы текучести анизотропных материалов;
а — угол между гидростатической осью и осями
координат в пространстве напряжений E4,8°);
Р — угол между ответвлением трещины и осью хг
рис. 64; угол показан на рис. 43;
у — угол, показанный на рис. 43; деформация
сдвига при кручении;
7Р — пластическая часть деформации сдвига при
кручении;
?i2» Y23> ?3i — технические деформации сдвига в координа-
координатах #i, х2, х3;
8, ер — деформация растяжения, пластическая часть
деформации растяжения;
гц — компоненты тензора деформаций в координа-
координатах хг, х2, х3;
efj — пластическая часть компонент деформаций;
512 Б. Поль
вт — средняя деформация растяжения;
ev — объемная деформация (расширение);
ef — пластическая часть главных скоростей дефор-
деформации;
г) — эллиптическая координата;
Икр — эллиптическая координата, соответствующая
максимальному растягивающему напряже-
напряжению;
6 — угол, определенный на рис. 64; угол, опре-
определенный на рис. Б.1;
бъ 02» 0з — углы, введенные на рис. Д.1;
х — кривизна оси балки;
Ktj — коэффициенты, входящие в критерий текуче-
текучести для анизотропного материала;
Я' — неубывающая скалярная функция, соответ-
соответствующая закону пластического течения;
(I — коэффициент вязкости; коэффициент вну-
внутреннего трения;
\ip — коэффициент пропорциональности в законе
течения Мизеса;
| — эллиптическая координата;
?о — эллиптическая координата внутренней тре-
трещины;
а — нормальное напряжение;
Оц — компоненты тензора напряжений в Координа-
Координатах хи жя, хг;
ох, ау, oz, Л компоненты тензора напряжений в коорди-
вху, Gyzi azx J натах х, г/, ъ\
°V)> o"g — нормальные компоненты напряжений в эллип-
эллиптических координатах г), \\
(°гл)кр — критическое значение оц;
стХэ а2, сг3 — главные напряжения;
вт — среднее нормальное напряжение;
аср — среднее из наибольшего и наименьшего глав-
^ ных напряжений;
<*ь ffii» аш — главные напряжения в порядке убывания их
алгебраических значений;
o*j — точка пространства напряжений внутри по-
поверхности текучести или на этой поверхности;
в'ц* °Ь — обращающиеся и не обращающиеся в нуль
компоненты тензора напряжений соответ-
соответственно;
сгкр — критическое напряжение при растяжении;
т — касательное напряжение;
токт ~ октаэдрическое касательное напряжение;
Гл. 4. Критерии пластического течения и хрупкого разрушения 513
тск — среднеквадратичное значение касательных
напряжений;
Ф — параметр, входящий в критерий Кулона —
Мора;
^5 'Ф — угол между главным напряжением Q и боль-
большой осью эллиптической трещины;
^кр — критическое значение W;
"фх, 'фз, ф3 — углы Эйлера.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Achbach W. P., In «Metals Engineering Design», ASME Handbook, 2nd
ed., pp. 11—19, McGraw-Hill, New York, 1965.
2. Babel H. W., Eitman D. A., Mclver R. W., Trans. ASME, Ser. D, J.
Basic Eng., 89 A967), 13—18. Русский перевод: № 1, 8.
3. Balmer G. G., Proc. ASTM, 58 A958), 1187—1204.
4. Batdorf S. В., Budiansky В., A Mathematical Theory of Plasticity Based
on the Concept of Slip, NACA TN 1871, 1949.
5. Becker A. J., The Strength and Stiffness of Steel Under Biaxial Loading,
Bull. 85, Eng. Experiment Station, Univ. of Illinois, 1916. (Цитируется
no [186].)
6. Beltrami E., Rend. 1st. Lombardo Sci. Lettere, B18 A885), 704—714
(Цитируется по [34].)
7. Berman I., Hodge P. G., Arch. Mech. Stosowanej, 11 A959), 513—539.
8. Bertsch P. K., Findley W. N., In «Proceedings of the 4th U. S. National
Congress on Applied Mechanics», vol. 2, pp. 893—907, ASME, New York,
1962.
9. Bieniawski E. M., A Bibliography on Fracture of Rock, CSIR Rep. №MEG
355, Council for Sci. and Industr. Res., Nat. Mech. Eng. Res. Inst., Pre-
Pretoria, South Africa, 1965.
10. Bishop J. F. W., Hill R., Philos. Mag., 42 A951), 414—427.
11. Bland D. R., In «Proceedings of the 9th International Congress of Applied
Mechanics, Brussels», pp. 45—50, 1956.
12. Boker R., Mitteilungen Forschungsarbeit auf dem Gebiete Ingenieurwesens
A915), 175—176. (Цитируется по [187].)
13. Brace W. F., In «State of Stress in the Earth's Crust» (Judd W. R. ed.),
pp. 111—178, American Elsevier, New York, 1964.
14. Brace W. F., Bombolakis E. G., /. Geophys. Res., 68 A963), 3709—3713.
15. Bresler В., Pister K. S., Trans. Amer. Soc. Civil Eng., 122 A957), 1049—
1068.
16. Bresler В., Pister K. S., /. Amer. Concrete Inst., 30 A958), 321—345.
(Обсуждение см. в /. Amer. Concrete Inst., 30, 1035—1046.)
17. Bridgman P W., Proc. Amer. Acad. Arts Sci., 58 A923), 163—242.
18. Bridgman P. W., Studies in Large Plastic Flow and Fracture, McGraw-
Hill, New York, 1952. Русский перевод: Бриджмен П. В., Исследова-
Исследование больших пластических деформаций и разрыва, ИЛ, М., 1955.
19. Budiansky В., /. Appl. Mech., 24 A957), 481—484. (Обсуждение работы
[152].)
20. Buxton W. J., Burrows W. R., Trans. ASME A951); In «Pressure Ves-
Vessel and Piping Design, Collected Papers, 1927—1959», pp. 294—306,
ASME, New York, 1960.
21. Chalmers В., Physical Metallurgy, Wiley, New York, 1959. Русский пере-
перевод: Чалмерс В., Физическое металловедение, Металлургиздат, М.,
1963.
33—0700
514 В. Поль
22. Cheatham J. В., Jr., An Analytical Study of Rock Penetration by a Sin-
Single Bit Tooth, In «The 8th Annual Drilling and Blasting Symposium»,
Univ. of Minnesota, Minneapolis, 1958.
23. Cheatham J. В., Jr., Trans. AIME (Trans. Soc. Mining Engrs.), 232
A965), 316-321.
24. Coffin L. F., /. Appl. Mech., 17 A950), 233—248.
25. Conway J. C., An Investigation of the Stress Distribution in a Circular
Cylinder Under Static Compressive Load for Varying Boundary Conditions,
M. S. Thesis, Pennsylvania State Univ., University Park, Pa., 1963.
26. Cornet I., Grassi R. C, /. Appl. Mech., 22 A955), 172-174.
27. Cottrell A. H., The Mechanical Properties of Matter, Wiley, New York,
1964.
28. Coulomb C.A., In «Memoires de mathematique et de physique» Academie
Royal des Sciences par divers savans, vol. 7 A773), pp. 343, 382; Paris,
1776.
29. Cowan H. J., Mag. Concrete Res., 5 A953), 75—86.
30. Crossland В., Inst. Mech. Engrs. (London), Proc. Automobile Div., 169
A954), 935-944.
31. Dampier W. C, A History of Science, 4th ed., p. 129, Cambridge, Lon-
London, 1949.
32. Dehlinger V., Z. Metallk., 35 A943), 182-184.
33. Dorn J. E., In «Fracturing of Metals», pp. 32—50, ASM, Cleveland,
1948.
34. Drucker D. C, Stress—Strain Relations in the Plastic Range, Rep. All-Si,
Brown Univ., Providence, R.I., 1950.
35. Drucker D. C, Quart. Appl. Math., 7 A950), 411—418.
36. Drucker D. C, In «Proceedings of the 1st U.S. National Congress on App-
Applied Mechanics», 1951, pp. 487—491, ASME, New York, 1952.
37. Drucker D. C, /. Mech. Phys. Solids, 1 A953), 217—226.
38. Drucker D. C, In «Rheology, Theory and Application» (Eirich F. R.,
ed.), vol. 1, pp. 97—119, Academic, New York, 1956. Русский перевод:
в сб. «Реология. Теория и приложения» под'ред. Ф. Эйриха, ИЛ, М.,
1962.
39. Drucker D. С, In «Plasticity: Proceedings of the 2nd Symposium on
Naval Structural Mechanics» (Lee E. H., Symonds P. S., eds.), pp. 170—
184, Pergamon, New York, 1960.
40. Drucker D. C, Concept of Path Independence and Material Stability for
Soils, In «Rheology and Soil Mechanics: International Union of Theore-
Theoretical and Applied Mechanics Symposium, Grenoble, 1964» (Kravtchenko J.,
Sirieys P. M., eds.), Springer, Berlin, 1966.
41. Drucker D. C, Prager W., Quart. Appl. Math., 10 A952), 157—165.
42. Drucker D. C, Stockton F. D., Proc. Soc. Exptl. Stress Anal., 10 A953),
127—142.
43. Dudderar T. D., Duffy J., /. Appl. Mech., 34 A967), 200—206. Русский
перевод: № 4, 52.
44. Eichinger A., In «Proceedings of the 2nd International Congress of App-
Applied Mechanics, Zurich», pp. 325—327, 1926.
45. Fairhurst C, In «Proceedings of the 4th Symposium on Rock Mechanics»,
pp. 105—118, 1961; «Laboratory Measurement of Some Physical Properties
of Rock», Bulletin, Mineral Industries Experiment Station, Pennsylva-
Pennsylvania State Univ., University Park, Pa.
46. Fairhurst C. (ed.), Proceedings of the 8th Symposium on Rock Mechanics,
Univ. of Minnesota, AIME, New York, 1967.
47. Fairhurst C, Cook N. G. W., The Phenomenon of Rock Splitting Parallel
to the Direction of Maximum Compression in the Neighborhood of a Sur-
Surface, In «Int. Soc. of Rock Mech. 1st Congress, Sept. 25—Oct. 1, 1966,
Lisbon, Proceedings», y. 1, pp. 687—692, 1966.
48. Faupel J. H., Engineering Design, Wiley, New York, 1964.
Гл. 4. Критерии пластического течения и хрупкого разрушения 515
49. Finnie I., In «Applied Mechanics Surveys» (Abramson H. N., Liebo-
witz H., Crowley J. M., Juhasz S., eds.), pp. 373—387, Spartan, Washing-
Washington, D.G., 1966.
50. Finnie I., Heller W. R., Creep of Engineering Materials, McGraw-Hill,
New York, 1959.
51. Freudenthal A. M., Geiringer H., In «Handbuch der Physik» (S. Fliigge,
ed.), Band 6, S. 229—433, Springer, Berlin, 1958. Русский перевод:
Фрейденталь А., Гейрингер X., Математические теории неупругой
сплошной среды, Физматгиз, М., 1962.
52. Fromm H., In «Handbuch des physikalischen und technischen Mechanik
(Auerbach F., Hort W., eds.) Band 4l5 S. 359—435, 1931.
53. Galileo G., Discorsi e demonstrazioni matematiche intorno a due nuovo
scienze, attenenti alia meccanica ed ai movimenti locali, Leiden, 1638.
Русский перевод: Галилео Галилей, Сочинения, т. I, ГТТИ, М.— Л.,
1934.
54. Gill S. S., Parker J., /. Appl. Mech., 26 A959), 77—87. Русский пере-
перевод: Механика, № 3 F1) A960).
55. Grassi R. С, Cornet I., /. Appl. Mech., 16 A949), 178—182.
56. Griffith A. A., Philos. Trans. Roy. Soc. London, Ser. A, 221 A920), 163—
198.
57. Griffith A. A., In «Proceedings of the 1st International Congress on App-
Applied Mechanics, Delft, 1924», pp. 55—63, J. Waltman, Jr., Delft, 1925.
58. Griggs D., Handin J. (eds.), Rock Deformation, Memoir 79, Geological
Soc. of America, New York, 1960.
59. Guest J., Philos. Mag., 50 A900), 69—132.
60. Haigh B. P., Engineering, 109 A920), 158—160.
61. Haythornthwaite R. M., In «Plasticity: Proceedings of the 2nd Symposium
on Naval Structural Mechanics» (Lee E. H., Symonds P. S., eds.), pp.
185—193, Pergamon, New York, 1960.
62. Haythornthwaite R. M., Trans. Amer. Soc. Civil Engrs., 127 A962),
Pt. 1, 1252-1267.
63. Hencky H., In «Proceedings of the 1st International Congress of Applied
Mechanics, Delft, 1924», pp. 312—317; Z. Angew. Math. Mech., 4 A924),
323—334. Русский перевод; в сб. «Теория пластичности», ИЛ, М., 1948.
64. Hill R., Proc. Roy. Soc. London, Ser. A, 193 A948), 281—297. Русский
перевод: Механика, № 1, 1950.
65. Hill R., Philos. Mag., 41 A950), 733—744.
66. Hill R., The Mathematical Theory of Plasticity, Oxford Univ. Press,
London, 1950. Русский перевод: Хилл Р., Математическая теория пла-
пластичности, Гостехиздат, М., 1956.
67. Hodge P. G., Jr., In «Deformation and Flow of Solids» (Grammel R. ed.),
pp. 141—169, Springer, Berlin, 1955.
68. Hodge P. G., Jr., /. Rat. Mech. Anal., 5 A956), 917—938. Русский пере-
перевод: Механика, № 1 D7) A958).
69. Hodge P. G., Jr., Piecewise Linear Plasticity, PIBAL Rep. 359, Dep. of
Appl. Mech. Polytechn. Inst. of Brooklyn, 1956. (См. также доклад на
9th International Congress of Applied Mechanics, Brussels. Обсуждение
этой работы см. Prager W., /. Appl. Mech., 24 A957), 482.)
70. Hodge P. G., Jr., /. Mech. Phys. Solids, 5 A957), 242—260. Русский
перевод: Механика, № 5 E1) A958).
71. Hodge P. G., Jr., In «Elasticity and Plasticity», pp. 51—152, Wiley,
New York, 1958.
72. Hodge P. G., Jr., Plastic Analysis of Structures, McGraw-Hill, New
York, 1959.
73. Hodgkinson E., Experimental Researches on the Strength and Other
Properties of Cast Iron, 2nd ed., 1860—1861. (Опубликовано в одном
томе с Tredgold Т., Practical Essays on Strength of Cast Iron (Hodgkin-
(Hodgkinson E., ed.), 5th ed., London.)
33*
516 Б. Поль
74. Ноек Е., Rock Fracture under Static Stress Conditions, GSIR Rep. MEG
383, Council for Sci. and Indust. Res., Nat. Mech. Eng. Res. Inst., Pre-
Pretoria, South Africa, 1965.
75. Hosford W. F., Jr., Backofen W. A., In «Fundamentals of Deformation
Processing: Proceedings of the 9th Sagamore Army Materials Research
Conference» (Backofen W. A., Burke J. J., Coffin L. F., Jr., Reed N. L.,
Weiss V., eds.), pp. 259—298, Syracuse Univ Press, Syracuse, N.Y.,
1964.
76. Hsu T. C, Trans. ASME, Ser. D, /. Basic Eng., 88 A966), 61—70. Рус-
Русский перевод: № 1, 222.
77. Hu L. W., Markowitz J., Bartush T. A., Exptl. Mech., 6 A966), 58—64.
78. Huber M. Т., Czas. Tech., 22 A904), 81; Collected Papers, vol. 2, War-
szawa, 1956. (Цитируется по [134].)
79. Huffington N. J., Jr., Behavior of Materials under Dynamic Loading,
ASME, New York, 1965.
80. Inglis С E., Trans. Roy. Inst. Naval Architects, 55 A913), Pt. 1, 219—230.
81. Ivey H. J., /. Mech. Eng. Sci., 3 A961), 15—31. Русский перевод: Меха-
Механика, № 3 G3) A962).
82. Ивлев Д. Д., ПММ, 22 A958), 850-855.
83. Jaeger J. С., Elasticity, Fracture and Flow, 2nd ed., Wiley, New York,
1962.
84. Jaeger J. C, In «Proceedings of the 8th Symposium on Rock Mechanics,
University of Minnesota» (Fairhurst E., ed.), pp. 3—57, AIME, New
York, 1967.
85. Jenkins D. R., /. Appl. Mech., 32 A965), 849—858. Русский перевод:
№ 4, 228.
86. Johansen К. W., /. Amer. Concrete Inst., 30 A959), 1043—1046.
87. Кадашевич Ю. И., Новожилов В. В., ПММ, 22 A958), 78—79.
88. Karman Th., Z. Ver. Deut. Ingr., 55 A911), 1749-1757.
89. Kecegliogu D., Bibliography on Plasticity A835—1949), ASME, New
York, 1950.
90. Kenyon R. L., Burns R. S., Age Hardening of Metals, ASM, Cleveland,
1959.
91. Kirkpatrick W. M., The Behavior of Sands under Three Dimensional
Stress Systems, Ph. D. Thesis, Univ. of Glasgow, 1954.
92. Kirkpatrick W. M., In «The 4th International Conference on Soil Mecha-
Mechanics and Foundations Engineering», vol. 1, pp. 172—178, 1957.
93. Kobayashi S., Koyanagi W., /. Soc. Materials Sci. Japan, 16 A967),
897—902 (на японском языке).
94. Koiter W. Т., Quart. Appl. Math., 11 A953), 350—354. Русский перевод:
Механика, № 2 F0) A960).
95. Lenoe E. M., Exptl. Mech., 6 A966), 99—104.
96. Lensky V. S., In «Plasticity: Proceedings of the 2nd Symposium on Naval
Structural Mechanics» (Lee E. H., Symonds P. S., eds.), pp. 259—278,
Pergamon, New York, 1960.
97. Levy M., Compt. Rend., 70 A870), 1323—1325. (Цитируется по
[156].)
98. Lin Т. Н., In «Proceedings of the 2nd U.S. National Congress on Applied
Mechanics», pp. 461—468, 1954. Русский перевод: Механика, № 3 C7)
A956).
99. Lindholm U. S., Yeakley L. M., Exptl. Mech., 7 A967), 1—7.
100. Lode W., Z. Physik, 36 A926), 913—939.
101. Lode W., Der EinfluB der mittleren Hauptspannungung auf das FlieBen
der Metalle, Forschungsarb. Ver. Deut. Ingr., Heft 303, Berlin, 1928.
Русский перевод: в сб. «Теория пластичности», ИЛ, М., 1948.
102. Love A. E. H., A Treatise on the Mathematical Theory of Elasticity, Cam-
Cambridge, London, 1927. Русский перевод: Ляв А., Математическая теория
упругости, ОНТИ, М.—Л., 1935.
Гл. 4. Критерии пластического течения и хрупкого разрушения 517
103. Lubahn J. D., In «Mechanical Behavior of Materials at Elevated Tempera-
Temperatures» (Dorn J. E., ed.), pp. 319—392, McGraw-Hill, New York, 1961.
104. Maiden C. J., Green S. J., /. Appl. Mech., 33 A966), 496—504. Русский
перевод: № 3, 20.
105. Mair W. M., Pugh H. L. D., /. Mech. Eng. Sci. (London), 6 A964), 150—
163.
106. Maxwell J. C, Letter to William Thomson, Proc. Cambridge Phil. Soc,
32 A856), Pt. 5. (Цитируется по [180]. Письма Максвелла опубликова-
опубликованы в 1937 г. в Кембридже. Соответствующая часть этого письма приво-
приводится в [120], стр. 65.)
107. McGHntock F. A., Argon A. S. (eds.), Mechanical Behavior of Materials,
Addison-Wesley, Reading, 1966. Русский перевод: Макклинток Ф.,
Аргон А., Деформация и разрушение материалов, «Мир», 1970.
108. McClintock F. A., Walsh J. В., In «Proceedings of the 4th U. S. National
Congress of Applied Mechanics», pp. 1015—1021, 1962.
109. McComb H. G., Jr., NASA TN D-396, 1960.
110. McHenry D., Kami J., /. Amer. Concrete Ind., 54 A958), 829—839.
111. McLamore R., Gray K. E., Trans. ASME, Ser. B, J. Eng. Ind., 89 D967),
62—76. (McLamore R., The Mechanical Behavior of Anisotropic Sedimen-
Sedimentary Rocks, Ph. D. Thesis, Univ. of Texas, Austin, Tex., 1966.) Русский
перевод: Труды Амер. о-ва инж.-механ., сер. В, № 1, 75.
112. Mehan R. L., Trans. ASME, Ser. D., J. Basic Eng., 83 A961), 499—512.
Русский перевод: № 4, 25.
113. Miastkowski J., Szczepinski W., Intern. J. Solids and Structures, 1 A965),
189—194.
114. Mises R., von, Mechanik der festen Korper im plastischen deformable
Zustand, Nachricht. Gesellschaft der Wissenschaften Gottingen, Math.-
Phys. Klasse A913). Русский перевод: в сб. «Теория пластичности», ИЛ,
М., 1948.
115. Mises R. von, Z. Angew. Math. Mech., 8 A928), 161—185.
116. Mohr O., Z. Ver. Deut. Ingr., 44 A900), 1524—1530.
117. Murrell S. A. F., In «Rock Mechanics: Proceedings of the 5th Symposium
on Rock Mechanics, University of Minnesota» (Fairhurst C, ed.),
563577 P N Yk 1963
, y
pp. 563—577, Pergamon, New York, 1963.
Nadi A / A h 1 A933) 1111
pp , g, ,
118. Nadai A., /. Appl. Mech., 1 A933), 111-129.
119. Nadai A., Theory of Flow and Fracture of Solids, McGraw-Hill, New
York, 1950, Русский перевод: Надаи А., Пластичность и разрушение
твердых тел, ИЛ, М., 1954.
120. Nadai A., Theory of Flow and Fracture of Solids, vol. 2, McGraw-Hill,
New York, 1963. Русский перевод: Надаи А., Пластичность и разруше-
разрушение твердых тел, т. 2, «Мир», М., 1968.
121. Naghdi P. M., In «Plasticity: Proceedings of the 2nd Symposium on Naval
Structural Mechanics» (Lee E. H., Symonds P. S. eds.), pp. 121—169,
Pergamon, New York, 1960.
122. Naghdi P. M., Rowley J. C, Beadle С W., /. Appl. Mech., 22 A955),
416—420.
423. Naghdi P. M., Essenburg F., Koff W., /. Appl. Mech., 25 A958), 201 —
209. Русский перевод: Механика, № 6 E2) A958).
124. Navier L. M. H., Resume des lemons donnees a Fecole des ponts et chaus-
sees sur Г application de la mecanique a Fetablissement des constructions
et des machines, 1826; 2-е пересмотренное изд., 1833; 3-е изд. под
общей редакцией Сен-Венана, 1863. (Цитируется по [182].)
125. Niwa Y., Kobayashi S., Mem. Fac. Eng. Kyoto Univ., 24 A967), Pt. 1,1—15.
126. Niwa Y., Kobayashi S., Koyanagi W., Mem. Fac. Eng. Kyoto Univ., 24
A967), Pt. 2, 119-131.
127. Niwa Y.s Kobayashi S., Koyanagi W., Hirashima K., In «Cement Assoc.
of Japan, Review of the Twenty-First General Meeting — Technical
Session», 1967.
518 Б. Поль
128. Новожилов В. В., ПММ, 16 A952), 617—619.
129. Новожилов В. В., Теория упругости, Судпромгиз, Л., 1958,
130. Odqvist F. К. G., Recent Advances in Theories of Creep of Engineering
Materials, In «Applied Mechanics Surveys» (Abramson H. N., Liebo-
witz H., Growley Т. М., Juhasz S., eds.), Spartan, Washington, 1966.
131. Odqvist F. K. G., Mathematical Theory of Creep and Creep Rupture,
Oxford Univ. Press, London, 1966.
132. Olszak W., Urbanowski W., Arch. Mech. Stosowanej, 8 A956), 671—694.
133. Olszak W., Rychlewski J., Urbanowsky W., Plasticity Under Nonhomo-
geneous Conditions, Advan. Appl. Mech., 7 A962). Русский перевод:
Ольшак В., Рыхлевский Я., Урбановский В., Теория пластичности
неоднородных тел, «Мир», М., 1964.
134. Olszak W., Mroz Z., Perzyna P., Recent Trends in the Development of
the Theory of Plasticity, Pergamon, London, 1963. Русский перевод:
Ольшак В., Мруз 3., Пежина П., Современное состояние теории пла-
пластичности, «Мир», М., 1964.
135. Orowan E., In «Rock Deformation» (Griggs D., Handin J., eds.), Memoir
79, pp. 323—364, Geological Soc. of America, New York, 1960.
136. Parker J., Bassett M. В., /. Appl. Mech., 31 A964), 676—682. Русский
перевод: № 4, ИЗ.
137. Parker J., Kettlewell J., /. Appl. Mech., 28 A961), 439—446. Русский
перевод: № 3, 140.
138. Paul В., /. Appl. Mech., 28 A961), 259—268. Русский перевод: № 2, 124.
139. Paul В., J. Franklin Inst., 273 A962), 482-514.
140. Paul В., Generalized Pyramidal Fracture and Yield Criteria, Intern. J.
Solids Structures, 4 A968), 175—196.
141. Paul В., Cangal M., Initial and Subsequent Fracture Curves for Biaxial
Compression of Brittle Materials, In «Proceedings of the 8th Symposium
on Rock Mechanics, University of Minnesota», pp. 113—141, AIME,
New York, 1967.
142. Paul В., Sikarskie D. L., Trans. AIME (Trans. Soc. Mining Engrs.), 232
A965), 301—307.
143. Paul В., Chen W., Lee L., In «Proceedings of the 4th U. S. National Con-
Congress of App. Mechanics», vol. 2, pp. 1031—1038, ASME, New York, 1962.
144. Pearson C., Theoretical Elasticity, Harvard Univ. Press, Cambridge,
Mass., 1959.
145. Perrone N., Hodge P. G., Jr., In «Proceedings of the 3rd U. S. National
Congress of Applied Mechanics», pp. 641—648, 1958.
146. Phillips A., In «Plasticity: Proceedings of the 2nd Symposium on Naval
Structural Mechanics» (Lee E. H., Symonds P. S., eds.), pp. 202—214,
Pergamon, New York, 1960.
147. Phillips A., Gray G. A., Trans. ASME, Ser. D, /. Basic Eng., 83 A961),
275—288. Русский перевод: № 2, 166.
148. Prager W., /. Appl. Phys., 16 A945), 837—840. Русский перевод: в сб.
«Теория пластичности», ЙЛ, М., 1948.
149. Prager W., /. Appl. Mech., 20 A953), 317—320.
150. Prager W., Proc. Inst. Mech. Engrs. (London), 169 A955), 41—57.
151. Prager W., In «Proceedings of the 8th International Congress of Applied
Mechanics», vol. 2, pp. 65—72, 1956.
152. Prager W., /. Appl. Mech., 23 A956), 493—496. Русский перевод: Ме-
Механика, № 5 D5) A957).
153. Prager W., Proc. Akad. Van Wetenschappen, Ser. B, 61 A958), 176—182.
154. Prager W., An Introduction to Plasticity, Addison-Wesley, Reading, 1959.
155. Prager W., In «Proceedings of the 5th U. S. National Congress of Applied
Mechanics», pp. 435—450, ASME, New York, 1966.
156. Prager W., Hodge P. G., Jr., Theory of Perfectly Plastic Solids, Wiley,
New York, 1951. Русский перевод: Прагер В., Ходж П., Теория иде-
идеально-пластических тел, ИЛ, М., 1956.
Гл. 4. Критерии пластического течения и хрупкого разрушения 519
157. Rankine W. J. М., A Manual of Applied Mechanics, 1st ed., Griffin, Lon-
London, 1858; 20th ed., 1919.
158. Sachs G., Z. Ver. Deut. Ingr., 72 A928), 734—736.
159. Saint-Venant В., Lecons de mecanique appliquee, 1837 a 1830 (литогра-
(литографированный курс лекций), 1837. (Цитируется по [182].)
160. Saint-Venant В., Compt. Rend., 70 A870), 473—480. (Цитируется по
[156].)
161. Sanders J. L., Jr., In «Proceedings of the 2nd U. S. National Congress of
Applied Mechanics», pp. 455—460, 1955. Русский перевод: Механика,
№ 3 C7) A956).
162. Scott R. F., Principles of Soil Mechanics, Addison-Wesley, Reading,
1963.
163. Seldenrath T. R., Gramberg J., In «Mechanical Properties of Nonmetallic
Brittle Materials» (Walton H. W., ed.), pp. 79—105, Wiley, New York,
1958.
164. Shibata Т., Karube D., In «Proceedings of the 6th International Confe-
Conference on Soil Mechanics and Foundation Engineering», vol. 1, pp. 359—
363, Univ. of Toronto Press, Toronto, 1965.
165. Shield R. Т., /. Mech. Phys. Solids, 4 A955), 10—16.
166. Shield R. Т., Ziegler H., Z. Angew. Math. Phys., 9 (a) A958), 260—276.
Русский перевод: Механика, № 3 E5) A959).
167. Sobotka Z., In «Stavebnicky Casopis», Sav. 14 A966), 195—196, Bratis-
Bratislava.
168. Stassi-D'Alia F., Teoria della Plasticita e sue Applicazioni (Denaro G.,
ed.), Palermo. (Цитируется автором в «A Limiting Condition of Yiel-
Yielding and Its Experimental Confirmation», Farolta d'Ingegnerio, Instituto
di Tecnologie Meccaniche della Universita di Palermo.)
169. Stockton F. D. Experimental Evidence of Non-Linearity in Plastic Stress-
Strain Relations, Tech. Rep. 88 (Contr. № 7onr 35801, Office of Naval
Res.), Brown Univ., Providence, R. I., 1953.
170. Stockton F. D., Drucker D. C, /. Colloid Sci., 5 A950), 239—250.
171. Szczepinski W., Arch. Mech. Siosowane], 15 A963), 275—296.
172. Талыпов Г. Б., Исследование влияния предварительной пластической
деформации и естественного старения на поведение малоуглеродистой
стали, в сб. «Исследование упругости и пластичности», Изд-во ЛГУ, Л.,
1963.
173. Taylor G. I., Quinney H., Philos. Trans. Roy. Soc. London, Ser. A, 230
A931), 323-362.
174. Tegart W. J. M., Elements of Mechanical Metallurgy, Macmillan, New
York, 1966.
175. Terzaghi K., Theoretical Soil Mechanics, Wiley, New York, 1943. Рус-
Русский перевод: Терцаги К., Теория механики грунтов, Мм Госстрой-
издат, 1961.
176. Theocaris P. S., Hazell С. R., /. Mech. Phys. Solids, 13 A965), 281—294.
177. Thomas D. A., Averbach B. L., Ada Met., 7 A959), 69—75.
178. Thomas T. Y., Pmc. Natl. Acad. Sci. U. S., 40 A954). 593-597.
179. Thomsen E. G., Dorn J. E., /. Aeron. Sci., 11 A944), 125-136.
180. Timoshenko S., History of Strength of Materials, McGraw-Hill, New
York, 1953. Русский перевод: Тимошенко С. П., История науки о со-
сопротивлении материалов, Гостехиздат, М., 1957.
181. Timoshenko S., Strength of Materials, Pt. 2, 3rd. ed., Van Nostrand,
Princeton, 1956. Русский перевод: Тимошенко С. П., Сопротивление
материалов, т. I—II, «Наука», М., 1965.
182. Todhunter I., Pearson К., A History of the Theory of Elasticity and the
Strength of Materials, Cambridge, London, vol. 1, 1886, vol. 2, 1893.
(Переиздано в трех томах, Dover, New York, 1960.)
183. Tresca H., Compt. Rend., 59 A864), 754—758. (Цитируется по [34].)
520 Б. Поль
184. Tresca Н., In Memoires presentes par divers savants, Acad. Sci., Paris, 18
A868), 733—799. (Цитируется по [34].)
185. Tresca EL, Compt. Rend., 70 A870), 27—31. (Цитируется по [34].)
186. Westergaard H. M., ./. Franklin Inst., 189 A920), 627—640/
187. Westergaard H. M., Theory of Elasticity and Plasticity, Harvard Univ.
Press, Cambridge, Mass., 1952; Dover, New York, 1964.
188. White G. N., Drucker D. C, /. AppL Phys., 21 A950), 1013—1021. Рус-
Русский перевод: Механика, № 2 A2) A952).
189. Whiteley R. L., In «Fundamentals of Deformation Processing: Proceedings
of the 9th Sagamore Army Materials Research Conference» (Back-
ofen W. A., Burke J. J., Coffin L. F., Jr., Reed N. J., Weiss V., eds.),
pp. 183—198, Syracuse Univ. Press, Syracuse, N. Y., 1964.
190. Wilson K., Practical Solution of Torsional Vibration Problems, 3rd ed.,
p. 157, Chapman and Hall, London, 1965.
191. Yokobori Т., The Strength, Fracture and Fatigue of Materials (перевод
Matsuo S., Inoue M.), Noordhoff, Groningen, 1965.
192. Yoshimura Y., Takenako Y., In «Second Order Effects in Elasticity, Pla-
Plasticity, and Fluid Mechanics» (Reiner M., Abir D., eds.), pp. 729—750,
Pergamon, New York, 1964.
193. Zener С. М., Elasticity and Anelasticity of Metals, Univ. of Chicago Presst
Chicago, 1948.
194. Ziegler H., Quart. AppL Math., 17 A959), 55—65. Русский перевод:
Механика, № 2 F0) A960).
ГЛАВА 5
ТЕОРИЯ РАСПРОСТРАНЕНИЯ
ТРЕЩИН
Ф. Эрдоган
I. ВВЕДЕНИЕ 522
II. ТЕОРИИ ДИНАМИЧЕСКОГО РАСПРОСТРАНЕНИЯ ТРЕЩИН .... 526
A. Теории, основанные на статистической механике 527
Б. Теория Баренблатта 528
B. Обсуждение теории Баренблатта и некоторые ее модификации 534
Г. Теориц, основанные на энергетическом балансе 537
Д. Диссипация энергии и экспериментальные исследования . . . 569
Е. Заключение 583
Ж. Направления дальнейших исследований 586
III. РАСПРОСТРАНЕНИЕ УСТАЛОСТНЫХ ТРЕЩИН 588
A. Обзор континуальных моделей 589
Б. Простая модель 592
B. Некоторые экспериментальные результаты 598
Г. Заключение . 605
Д. Направления дальнейших исследований 606
ПРИЛОЖЕНИЕ А. ОПРЕДЕЛЕНИЕ РАЗМЕРА ПЛАСТИЧЕСКОЙ
ЗОНЫ В ЗАДАЧЕ О ТРЕЩИНЕ ПРОДОЛЬНОГО СДВИГА 607
ПРИЛОЖЕНИЕ Б. ВЫЧИСЛЕНИЕ ЭНЕРГИИ В ПЛАСТИЧЕСКОЙ
ЗОНЕ 609
ОБОЗНАЧЕНИЯ 610
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 611
Эта глава состоит из двух частей. В первой части (разд. II) рассматри-
рассматриваются теории распространения трещин в хрупких и квазихрупких твердых
телах, разрушающихся при однократном приложении внешних нагрузок.
Основное внимание уделяется здесь динамическим аспектам явления разру-
разрушения и связанным с ними количественным теориям. Рассмотрение проводится
только с точки зрения механики сплошной среды и классической термодина-
термодинамики. Подробно излагаются два теоретических подхода: динамическая тео-
теория распространения трещин, основанная на понятии модуля сцепления,
введенном Баренблаттом, и различные варианты теорий, использующих урав-
уравнение баланса энергии и основанных по существу на идеях Гриффитса. Про-
Проводится подробный анализ баланса энергии вблизи края трещины. Показано,
что энергия, расходующаяся на образование новых поверхностей разруше-
разрушения на краю трещины, равна энергии, необходимой для закрытия трещины,
и отличается от высвобождающейся энергии деформации, если нельзя пре-
пренебречь инерционными эффектами. Полученные результаты применяются
к задачам о трещинах в условиях плоской деформации и продольного сдвига.
Затем обсуждаются методы и результаты проведенных экспериментальных
исследований.
522 Ф. Эрдоган
Во второй части (разд. III) рассматриваются теории распространения
усталостных трещин в пластинках. После краткого обзора существующих
моделей подробно рассматривается простая модель, основанная на учете
пластических деформаций вблизи конца трещины. Эта модель предназначена
главным образом для того-, чтобы служить средством для сравнительного
изучения распространения усталостной трещины в конструкциях из одного
ж того же материала, но с различными геометриями и условиями нагружения.
Результаты этого сравнения используются для анализа экспериментальных
.данных, полученных на пластинках при циклическом растяжении с перемен-
переменными средними нагрузками и на пластинках при цилиндрическом изгибе.
I. ВВЕДЕНИЕ
Разрушение твердых тел можно рассматривать как образова-
образование термодинамически необратимым образом новых поверхностей
в среде. Существенная особенность этого явления состоит в раз-
разрыве связей, осуществляющих сцепление в материале. Таким
образом, разрушение представляет собой, попросту говоря, про-
процесс образования и роста и (или) слияния пустот или трещин.
Несмотря на то что особенности этого процесса могут зависеть
от материала, типа внешнего нагружения и окружающих усло-
условий, разрушение твердых тел можно разделить с макроскопиче-
макроскопической точки зрения на две основные категории, а именно хрупкое
разрушение и пластическое разрушение. Пластическое разрушение
обычно связано с большими деформациями, очень высокими ско-
скоростями диссипации энергии и малыми скоростями разрушения.
Хрупкое разрушение представляет собой разрыв с низкой энер-
энергией, который при условиях нагружения, создающих неустойчи-
неустойчивость процесса, происходит катастрофически, и при этом скорости
хрупкого разрушения обычно высоки.
Изучение процесса разрушения какого-либо твердого тела
требует одновременного рассмотрения таких разных факторов,
как макроскопические эффекты (например, условия внешней сре-
среды и нагружения, в особенности напряженные состояния вокруг
макроскопических несовершенств, где более вероятно возник-
возникновение разрушения, и влияние этих состояний на поведение
материала через текучесть или ограничения в деформировании),
природа и состав материала и микроскопические явления в тех
местах, где начинается или развивается разрушение. На нижнем
конце этой шкалы находится процесс разрыва некоторых связей,
осуществляющих сцепление в материале. В этом интервале
масштабов интересны явления, происходящие в материале на
расстояниях порядка 10 ~7 см. Аппаратом, пригодным для изу-
изучения этих явлений, служит квантовая механика.
На другом же конце упомянутой шкалы, который охватывает
поведение материала на расстояниях порядка 10~2 см и боль-
больше, материал обычно можно считать однородной сплошной ере-
Гл. 5. Теория распространения трещин 523
дой. В этом случае для изучения происходящих в нем явлений
можно использовать аппарат механики сплошных сред и класси-
классической термодинамики. Явления, происходящие в материале меж-
между этими двумя крайними масштабами, такие, как движение дис-
дислокаций, образование субзерновых выделений, полос скольже-
скольжения и зерновых включений и пустот, очень сильно зависят от
микроструктуры материала и могут потребовать иного подхода х).
Таким образом, вследствие очень сложной природы явления
и связанного с этим отсутствия полного физического понимания
его сущности, а также отсутствия достаточно мощных мате-
математических средств в настоящее время не существует последова-
последовательной единой теории, охватывающей все аспекты, относящиеся
к разрушению. В существующих теориях вопрос рассматривается
только с какой-либо одной из трех точек зрения, а именно с точки
зрения статистической механики, микроструктуры или механики
сплошной среды.
Теории разрушения, основанные на статистической механике,
с одной стороны, упрощают и идеализируют материал в отноше-
отношении кинетики его атомной структуры, а с другой стороны, игнори-
игнорируют его локальную геометрию и механику в отношении микро-
микроструктуры и напряженного состояния. Они, следовательно, дают
некоторый феноменологический взгляд на явления, а не удовле-
удовлетворительную количественную теорию. На этом уровне стати-
статистический подход весьма общий и применим ко всем твердым телам.
Поскольку начало процесса, разрушения означает образование
трещин или пустот, при изучении разрушения существенно рас-
рассматривать микроструктуру материала и условия нагружения.
Это означает, что механизм разрушения может быть совершенно
различным для кристаллических и аморфных твердых тел. Совре-
Современное состояние различных теорий, рассматривающих зарожде-
зарождение трещины и ее рост до определенного размера, обсуждалось
в работах [21, 42, 52, 82, 86, 96, 118—120] для кристаллических
материалов и в работах [12, 15, 48, 55, 130] для аморфных
полимеров. Поскольку основное внимание во всех этих микро-
микроструктурных теориях уделяется выяснению механизма начала
разрушения, они в основном носят качественный характер.
С другой стороны, в макроскопических теориях разрушения
предполагается существование трещин, пустот или других несо-
несовершенств, которые могут легко служить очагами разрушения.
Чтобы оправдать использование методов механики сплошной
среды, принимается, что размеры этих несовершенств достаточно
велики по сравнению с характерными размерами микрострук-
микроструктуры. В этих теориях материал рассматривают как однородную
г) Обсуждение и схематическое описание различных уровней разруше-
разрушения см. в работе [87].
524 Ф. Эрдоган
сплошную среду с определенными, обычно идеализированными,
свойствами; в них подходят к проблеме с чисто полевой точки
зрения, используя методы механики сплошной среды и классиче-
классической термодинамики.
При макроскопическом подходе необходимо сформулировать
модель реального явления и постулировать «критерий» разру-
разрушения. Среди таких критериев могут быть упомянуты критерий
максимальной деформации, предложенный Макклинтоком [84], а
также Краффтом и Ирвином [74]; критерий критического коэффи-
коэффициента интенсивности напряжений Баренблатта [3], который
можно рассматривать как критерий максимального напряжения
или как энергетический критерий в зависимости от интерпрета-
интерпретации коэффициента интенсивности напряжений [32]; критерии
энергетического баланса. В общих чертах все критерии энерге-
энергетического баланса основаны на простом термодинамическом пред-
представлении о том, что разрушение начинается или развивается
при следующем условии: при образовании единицы поверхности
разрушения приращения поступившей извне или высвободив-
высвободившейся внутри энергии больше, чем количество запасенной и дис-
сипированной энергии х). Эти критерии представляют, несомнен-
несомненно, основу наиболее широко .применяемых теорий разрушения,
отчасти вследствие общности и физического характера лежащих
в их основе принципов и отчасти вследствие их гибкости.
Первая теория, основанная на балансе энергии, была пред-
предложена Гриффитсом [49, 50] для описания разрушения идеально
хрупких материалов, в которых единственным источником дисси-
диссипации энергии является свободная поверхностная энергия.
Последующие теории были в значительной степени связаны
с усовершенствованием и обобщением работы Гриффитса. Среди
заслуживающих внимание обобщений можно указать работу
Ривлина и Томаса [104], которые изучали раздир вулканизован-
вулканизованных резин и ввели понятие характеристической энергии раздира
для того, чтобы заменить свободную поверхностную энергию
в теории Гриффитса. Теория Ривлина — Томаса оказалась очень
полезной при изучении разрушения с высокой энергией и была
успешно применена к исследованию разрушения полимеров [71,
117, 128, 129].
Модификации, предложенные Орованом [95] и Ирвином [67],
связаны с введением пластической работы в качестве дополни-
дополнительного источника диссипации энергии, допускающим приме-
применение этой теории для описания разрушения металлов и
х) Заметим, что разрушение представляет собой кинетическое явление.
Следовательно, обязательно должно быть равновесие между скоростями
изменения поступающей и запасенной, диссипированной и кинетической энер-
энергией; иначе говоря, всегда имеет место баланс энергии независимо от того,
происходит ли разрушение.
Гл. 5. Теория распространения трещин 525
сплавов. Другое существенное обобщение теории Гриффитса
было сделано Моттом [91], который при изучении динамики раз-
разрушения включил в баланс энергии кинетическую энергию.
В этих теориях важную роль играет скорость изменения дисси-
пируемой энергии (называемой свободной поверхностной энергией,
энергией раздира, энергией разрушения или трещиностойкостью)
с изменением площади поверхности разрушения. Эта величина
представляет собой внутреннюю характеристику материала и зави-
зависит от условий окружающей среды и вида нагружения, а также
от природы и состава материала.
При рассмотрении разрушения твердых тел при однократном
приложении нагрузки можно выделить три различных типа пове-
поведения материала. Один из них представляет собой так назы-
называемый террасообразный скал под действием идеально неизменных
однородных внешних нагрузок совершенного кристалла с идеаль-
идеально однородной геометрией. В этом случае разрушение может
представлять собой полное раздробление материала или мгно-
мгновенный разрыв вдоль некоторой плоскости. Другая идеальная
ситуация может возникнуть, если геометрические условия и усло-
условия нагружения таковы, что начало и развитие разрушения,
т. е. образование и распространение микротрещин, происходят
однородно и одновременно вдоль некоторой плоскости. В этом
случае все микротрещины могут иметь в процессе распростра-
распространения одни и те же скорости. Хотя эти возможные значения
скорости могут быть до некоторой степени ограничены вследствие
множественности очагов разрушения, заключительная стадия
разрушения, т. е. стадия быстрого распространения разрушения,
может быть очень кратковременной.
Близкие к этим условия могут достигаться при однородном
растяжении однородной тонкой пластинки с тщательно сделан-
сделанными в ней направляющими бороздками. Более близкий к дей-
действительности и общий тип разрушения материала сводится
к распространению в нем какой-то одной доминирующей трещины.
В этом случае в некоторых материалах также можно наблюдать
слияние трещин или пустот, однако трещины или пустоты обра-
образуются впереди основной распространяющейся трещины и обу-
обусловлены концентрацией напряжений, вызванной основной трещи-
трещиной. В современной литературе по вопросам разрушения выраже-
выражения «распространение разрушения» или «распространение тре-
трещины» употребляются только для обозначения того типа раз-
разрушения, который заключается в росте доминирующей трещины.
В данной главе поэтому будет рассматриваться только такой тип
разрушения.
Терминология, принятая при описании распространения тре-
трещины, используется также в связи с описанием роста усталостных
трещин, которые возникают в телах, подвергнутых повторному
526 Ф. Эрдоган,
нагружению. Между атомистическими теориями усталостного раз-
разрушения и разрушения при однократном приложении нагрузки
нет существенного различия; однако микроструктурные и макро-
макроскопические, или континуальные, теории усталостного разру-
разрушения существенно отличаются. Микроструктурные теории осно-
основываются на представлении о сдвигах, происходящих в полосах
скольжения и приводящих к образованию интрузий и экструзий
[23, 36, 92, 121, 124, 131]. Основная цель этих теорий заключается
в том, чтобы объяснить механизм образования усталостных тре-
трещин, а не в том, чтобы дать количественные методы исследования.
С другой стороны, количественные теории усталостного разруше-
разрушения также основываются на континуальных моделях и в значи-
значительной мере являются полуэмпирическими. Они содержат постоян-
постоянные, которые должны быть определены экспериментально и кото-
которые в рамках модели не связаны с известными простыми
постоянными материала; именно эти постоянные являются сре-
средоточием большей части неопределенностей, а, возможно, и неточ-
неточностей в ходе рассуждений [2, 19, 38, 57, 79, 83, 90, 99, ИЗ].
В этой главе мы будем рассматривать только количественные-
аспекты теории разрушения или теории распространения трещин;
поэтому рассмотрение в значительной мере будет ограничиваться
моделями, основанными на континуальных представлениях.
В первой части (разд. 1J) после краткого обзора различных теорий
распространения трещин будет подробно рассмотрена более при-
приемлемая теория энергетического баланса. Распространение уста-
усталостных трещин обсуждается во второй части (разд. III) главы.
И. ТЕОРИИ ДИНАМИЧЕСКОГО РАСПРОСТРАНЕНИЯ ТРЕЩИН
Твердое тело с определенной геометрической особенностью г
обычно трещиной, остроконечным вырезом или включением, может
катастрофически быстро разрушиться при уровнях нагрузкиг
превышающих некоторое критическое значение. Существует мно-
много экспериментальных данных, свидетельствующих о том, что
скорости разрушения при таких низкоэнергетических видах раз-
разрушения в некоторых случаях могут быть порядка величины ско-
скоростей упругих волн в твердом теле. Поэтому при изучении
этого вопроса становится необходимым принимать во внимание
динамическую природу явления. По существу вопрос заключается
в следующем.
Данное тело подвергается действию системы зависящих от вре-
времени внешних нагрузок, состоящих в общем случае из поверхно-
поверхностных усилий Ти поверхностных перемещений ut и объемных сил
Ft, и содержит начальное несовершенство структуры, которое
служит зародышем разрушения (рис. 1). Предположим, что А —
Гл. 5. Теория распространения трещин 527
Рис. 1. Твердое тело с внутренней трещиной.
часть поверхности тела, образованная в результате разрушения».
Если внешние нагрузки увеличиваются сверх критического уров-
уровня, будет происходить распространение разрушения. В таком
случае вопрос заключается в определении размера и формы поверх-
поверхности разрушения как функции времени при известных харак-
характеристиках материала и внешних условиях. В столь общей форме
даже постановка задачи представляется не такой простой. Если
мы, однако, ограничимся узким классом задач, в которых разру-
разрушение происходит вдоль плоскости и область разрушения А
характеризуется единственным параметром размерности длины
а (?), то динамическая задача сводится к определению четырех
функций, а именно смещений ut (xj, t) (i, / = 1, 2, 3) и характер-
характерной длины области разрушения a (t). Уравнения движения дефор-
деформируемого твердого тела дают три уравнения. Четвертое урав-
уравнение, необходимое для того, чтобы замкнуть постановку задачи,,
должно даваться какой-либо теорией разрушения или критерием
разрушения, обсуждаемым в следующих разделах.
А. Теории, основанные на статистической механике
Было предпринято несколько попыток объяснить явление
длительной прочности хрупких тел исходя из представлений
статистической механики [101, 102, 134]. Считается, что эти
теории пригодны для описания фазы зарождения трещины, а так-
также фазы быстрого распространения трещины при разрушении.
Эти теории приводят к выражению для скорости распространения
трещины
Vo = Ае-К°> Т> я> <?>, A>
где Уо — скорость трещины, А — постоянная (обычно скорость с2
волны сдвига), а —«внешнее напряжение», Т — абсолютная тем-
температура, Е — модуль упругости и Q — энергия связи. Функ-
Функция / имеет различные формы у разных авторов. В большинстве
этих теорий соображения, приводящие к уравнению A), по суще-
существу основываются на предположении о том, что отношение ско-
скоростей V0/c2 совпадает с долей атомных связей, которые достигли
Уровня энергии, соответствующего неустойчивому равновесию»
528 Ф. Эрдоган
[101, 102]. Обоснование этого предположения заключается в том,
что все связи позади фронта трещины обязательно должны быть
разрушены.
В других теориях предполагается, что рост трещины вызы-
зается тепловыми флуктуациями и предельная скорость распро-
распространения трещины может быть определена из условия, что
вероятность флуктуационного разрыва связи равна единице [59,
134]. В работах [40, 108] для получения уравнения в форме A)
использовалась статистическая теория скоростей химических
реакций, развитая Эйрингом и др. [34, 37, 41, 46]. Предполагает-
Предполагается, что распространение разрушения можно рассматривать как
дискретный процесс, происходящий скачками путем последова-
последовательного разделения отдельных пар атомов. Затем, исходя из
уравнения Эйринга, дающего вероятность перехода системы через
энергетический барьер в единицу времени, и предполагая, что это
уравнение определяет вероятность разрыва связи в вершине
трещины, можно получить соотношение для скорости распростра-
распространения трещины.
Первоначально эти теории развивались как альтернатива
концепции Гриффитса о критической длине трещины, предложен-
предложенной им для объяснения разрушения твердых тел, причем основное
различие состоит в том, что, согласно этому статистическому
лодходу, в твердом теле не существует никакой трещины до тех
лор, пока она не возникнет под действием приложенных нагрузок.
После возникновения трещины очень быстро достигается пре-
предельная скорость ее распространения, которая по оценкам со-
составляет приблизительно 0,5 с2.
Независимо от достоинства существующих статистических тео-
теорий скоростей процесса в выяснении механизма зарождения тре-
трещины, они, как указано Холлом [53], почти совершенно не при-
пригодны в качестве теорий распространения трещины. Не обсуждая
лодробно ни одну из этих теорий, можно указать основные возра-
возражения, выдвигаемые, как правило, против всех них. Возражения
заключаются в том, что эти теории основываются на представле-
представлениях, развитых для систем, находящихся в равновесии (материал,
подвергающийся разрушению, распространяющемуся со скоростя-
скоростями, близкими к звуковым, не является такой системой), и что
способ, при помощи которого учитывается «внешнее напряже-
напряжение» при рассмотрении явления разрушения около конца трещины,
недостаточно точен.
Б. Теория Баренблатта
Теория Баренблатта о так называемых равновесных трещинах
ло существу представляет собой подход к разрушению с точки
зрения критического размера трещины, подобный подходу Гриф-
Гл. 5. Теория распространения трещин 529
фитса и приводящий к тем же результатам, но отличающийся
только интерпретацией напряженно-деформированного состояния
у конца трещины [3]. В обоих подходах проблема разрушения
рассматривается с точки зрения механики сплошной среды
и используется аппарат линейной теории упругости. Теория
Гриффитса основана на анализе баланса энергии у конца
трещины. Баренблатт, возражая против представления о беско-
бесконечности напряжений в конце трещины ж желая преодолеть
недостатки континуальной теории упругости в области межмоле-
межмолекулярных расстояний, имеющих место при изучении явления
вокруг конца трещины, ввел силы сцепления, действующие между
поверхностями трещины вблизи ее концов.
Баренблатт исходил из следующих гипотез:
а) концевая область, в которой действуют силы сцепления,
«очень мала» по сравнению с длиной трещины;
б) напряжения в конце трещины конечны;
в) поверхности трещины плавно смыкаются, т. е. в конце
трещины ее граница имеет точку возврата, а не является парабо-
параболой, предсказываемой теорией упругости. #
Он указал, что этим условиям должно удовлетворять несингу-
несингулярное напряженное состояние, получающееся в результате нало-
наложения напряжений, вызванных внешними нагрузками, и напря-
напряжений, вызванных силами сцепления.
Таким образом, Баренблатт получил критерий разрушения,
положив, что суммарный коэффициент интенсивности равен нулю.
Результат состоит в том, что коэффициент интенсивности напряже-
напряжений, вычисленный по внешним нагрузкам, сравнивается с пара-
параметром материала, названным модулем сцепления. Далее он
указал соотношение между поверхностным натяжением и модулем
сцепления и получил критерий Гриффитса. Его последующие
попытки распространить ту же самую схему рассуждений на квази-
квазихрупкие материалы с пластическими деформациями представляют-
представляются довольно нереалистичными х).
х) В случае равновесных трещин пластическая зона не представляет
собой тонкий слой, окружающий трещину, как предполагал Баренблатт [3].
Форма этой зоны довольно сложная, и ее трудно определить. Задача, кото-
которая получилась бы в результате ее исключения и последующей замены соот-
соответствующими поверхностными напряжениями, представляется весьма труд-
трудной для анализа, и до сих пор ее даже не пытались решать.
Следует отметить, что поскольку Баренблатт использовал только доступ-
доступный математический аппарат, т. е. методы линейной упругости, его теория
может быть отчасти подвергнута такой же критике, какую он адресовал
Гриффитсу, а именно что для маленьких трещин, которыми интересовался
Гриффите, размер концевой области, где могут действовать силы сцепления,
возможно, настолько мал, что делает бессмысленным линейный континуаль-
континуальный подход. Помимо этого, в реальных материалах нелинейное и неупругое
поведение может приводить к затуплению конца трещины, достаточному
Для того, чтобы какое-либо сцепление между поверхностями трещины пере-
34-0700
530
Ф. Эрдоган
Рис. 2. Напряжения, вызванные силами сцепления вблизи
конца трещины.
Используя упомянутые выше гипотезы, Баренблатт и др.
[4—6] распространили понятие модуля сцепления на движущиеся
трещины. В работе Баренблатта и Черепанова [4] рассматривает-
рассматривается стационарное расклинивание идеально хрупкого тела в усло-
условиях плоской деформации. Задача представляет собой задачу
о полубесконечном тонком клине с заданным профилем передней
части, движущемся в бесконечной среде с постоянной скоростью Fo.
Снова рассматриваются два отдельных напряженных состояния:
о^у, вызванное силами сцепления
действующими в концевой области трещины (рис. 2), и crJJ\
вызванное внешними нагрузками. При помощи решения волно-
волновых уравнений показано, что вблизи конца трещины при у = 0
имеем
ош_ * Г G(t)dt .. К_ B
где г — малое расстояние от конца трещины. При выводе урав-
уравнения B) предполагается, что G (?) и d не зависят от Fo, а зависят
только от свойств материала; следовательно, К — константа,
и считается, что она имеет то же значение, что и модуль сцепления,
определенный для равновесных трещин. Условие независимости
G и d от скорости может не оправдываться и будет обсуждаться
далее. Таким образом, если в любой стационарной задаче, в кото-
которой полубесконечная трещина распространяется со скоростью
Fo, разрывающее напряжение от внешних нагрузок в окрестности
конца трещины дается формулой
of = N{V0)lV~r, C)
стало быть существенным. Интересно также отметить, что Орован [93, 94)
использовал другой подход к описанию развития трещины, предположив,
что напряжение у конца трещины в области атомных размеров должно быть
таким же, как теоретическая прочность связи, и показал, что в принятом
при вычислениях приближении его результаты согласуются с результатами
Гриффитса.
Гл. ff. Теория распространения трещин 531
то условие конечности напряжений дает критерий разрушения, или
уравнение, определяющее скорость Fo распространения трещины,
в виде
N (Fo) = К. D)
Поскольку N — динамический коэффициент интенсивности
напряжений од и К — постоянная материала, критерий Барен-
блатта в этом виде подобен критерию Ирвина [65, 66], причем
ff* и К2 соответствуют силе, движущей трещину, и энергии раз-
разрушения, с той разницей, что динамическая энергия разрушения,
использованная Ирвином и др., предполагается зависящей от
скорости трещины.
Плоская нестационарная задача о распространении трещины
рассматривается в работе Баренблатта и др. [6], в которой пред-
предполагается, что при t = 0 в плоскости, подверженной одноосному
растяжению на бесконечности, создается разрез длины 2а0. Разрез
перпендикулярен направлению растяжения и предполагается
большим критической длины, так что трещина немедленно начинает
расти. Предполагается, что процесс распространения трещины
состоит из трех стадий:
а) начальной нестационарной стадии, связанной с влиянием
волн возмущений, исходящих от трещины;
б) стационарного роста трещины с постоянной скоростью Уф;
в) заключительной стадии ускоренного роста, который может
привести к ветвлению трещины (в изотропных упругих материа-
материалах) или к достижению скорости волны Рэлея (в сильно анизотроп-
анизотропных кристаллах и в упругих полуплоскостях, соединенных сравни-
сравнительно слабым клеем, деформирующимся без диссипации энергии).
Считается, что продолжительность начальной стадии очень
мала и ее влиянием можно пренебречь. В таком случае решение
задачи для стадии стационарного распространения трещины может
быть аппроксимировано решением, полученным Бробергом [13],
который дал решение динамической задачи для одноосно растяги-
растягиваемой плоскости, в которой возникает трещина нулевой длины,
распространяющаяся с постоянной скоростью.
Баренблатт и др. [6] предположили, что длина концевой
области трещины, в которой действуют силы сцепления (рис. 2),
равна d = Vxt, где F2 — постоянная, малая по сравнению с Fo,
от которой она не зависит; они также предположили, что распре-
распределение сил сцепления g является функцией только постоянных
материала и отношения s/d. В результате замены поля напряже-
напряжений, вызванного силами сцепления, стационарным полем, рас-
рассмотренным ранее, получаем
1/a
34*
532 Ф. Эрдоган
Поэтому после введения «постоянной материала»
р yi/2.f g(u)du
разрывающее напряжение выражается следующим образом:
, <т«=-Д(*/гI/2. G)
С другой стороны, при у¦ = 0 и малом расстоянии г от конца
распространяющейся трещины динамическое решение дает выра-
жейие разрывающего напряжения, вызванного внешними нагруз-
нагрузками в виде [13]
_ (У2 _ 2J}/{i;2 [4/с2 + г;2 A -4ft2)] К[A-т/cVI/2] -
— 4i;2 A -k2v2)K [A - у2I72] -[г;4-4 A + &2) г;2+;.8] X
X ? [A -/й;2I72] + 8 A -fcV) ? [A -г;2I72]},
где /? — одноосное напряжение на бесконечности, с2 — скорость
волны сдвига, сг — скорость волны расширения, К is. E — полные
-ШШйптические интегралы первого и второго рода соответственно.
Условие конечности напряжений ау в конце трещины после этого
Дает
P(c2/2)i/2F(v) = R. (9)
Так как R — постоянная, уравнение (9) определяет постоянную
скорость распространения трещины для данной нагрузки р.
Функция F (г;), которая по существу является мерой динамиче-
динамического коэффициента интенсивности напряжений ау, показана
на рис. 3 для v = V4. Переписывая уравнение (9) в виде F (v) =*=
== B/с2I/2 R/p, видим, что при р, меньших некоторой величи-
величины р*, уравнение (9) не имеет действительного решения. При
р > р* существуют два решения. Так как при меньшей скорости v±
увеличение р приводит к уменьшению у, это решение неприменимо
по термодинамическим соображениям; следовательно, v2 — един-
единственное возможное решение. В таком случае с момента t = О
трещина будет распространяться с постоянной скоростью v2,
пока сопротивление ее движению не достигнет величины, соответ-
соответствующей стационарному распространению.
Сравнивая уравнения B) и G), получаем, что период рас-
распространения трещины с постоянной скоростью кончится при
U = K4R\ A0)
Гл. 5, Теория распространения трещин
533
0,8
0,6
0,4
0,2
Р* /
Р /^'
V
и*
i i i
\ А ,
0 0,2 0,4 0,6 0,8 ?я_ 1,0
Рис. 3. Коэффициент интенсивности напряжений в зависимости от отноше-
отношения скоростей.
динамический случай; соответствующий статический случай (V^)*
На последней стадии распространения трещины t>t2 коэф-
коэффициент интенсивности напряжений будет больше модуля сцеп-
сцепления, т. е.
Р {cjl2)x
'F{v),
и в результате скорость трещины будет возрастать либо до ско-
скорости ветвления (в изотропных материалах), либо до скорости
волн Рэлея (в сильно анизотропных материалах с ослабленными
плоскостями отрыва).
Следует отметить, что гипотеза о конечности напряжений
В конце трещины, которой придается столь большое значение
в этом частном подходе к описанию разрушения, только частич-
частично удовлетворяется в модели, в общих чертах намеченной выше.
Причина этого заключается в том, что при наложении в конце
трещины напряжений а^}, вызванных сцеплением, и a\f, вызван-
вызванных внешними нагрузками, только разрывающее напряжение ау
оказывается конечным. Поскольку для а$} используется выраже-
выражение из стационарного решения (т. е. решения для полубеско-
полубесконечной трещины, растущей с постоянной скоростью) и поскольку
в стационарном решении и решении для равномерно растущей
трещины напряжения около конца трещины по-разному зависят
534 Ф. Эрдоган
от в, а также от Fo x), суммарные напряжения на плоскостях,
отличных от 6 = 0, будут по-прежнему иметь особенность в кон-
конце трещины.
В. Обсуждение теории Баренблатта и некоторые
ее модификации
Если плоскость имеет начальный разрез длиной 2а0 и если
модуль сцепления материала равен К, то из решения для равно-
равновесной трещины следует, что трещина начнет распространяться
при внешней нагрузке
р = B/аоI'2К. A1)
Следовательно, продолжительность t2 периода равномерного роста
трещины при этом значении нагрузки может быть получена из
уравнений (9) — A1) в виде
U = (ао/с2) (F (v))-*.
Эта величина очень мала в интервале фактического изменения
F (v). Поэтому в большинстве случаев величиной t2 можно пре-
пренебречь и применять критерий стационарного роста трещины,
имеющий вид уравнения D), с момента, когда трещина начинает
распространяться. В этом случае коэффициент интенсивности
N (Fo) должен был бы вычисляться из динамического решения,
соответствующего ускоренному росту трещины. Поскольку такое
решение аналитически получить невозможно, для качественного
описания явления можно предположить, что решение, соответ-
соответствующее неизменным скоростям, пригодно в последовательные
интервалы времени. Кроме того, чтобы использовать решение
Броберга, можно связать полудлину трещины а0 с временем tOf
так что aQ = Voto. Вспоминая, что v = V0/c2i получаем из урав-
уравнений B), (8) и A1)
р (ctt/2)V* F (v) = K,
ИЛИ
F (v) = {vtjtyi*. A2)
Уравнение A2) представляет собой наглядное соотношение между
скоростью трещины и временем и получается из условия равен-
равенства коэффициента интенсивности напряжений модулю сцепления
в любой момент времени.
*) Это можно увидеть при сравнении результатов Броберга [13] с резуль-
результатами Крэггса [24]. В задаче Крэггса постоянные поверхностные напряже-
напряжения, движущиеся вместе с полубесконечной трещиной, приложены на конеч-
конечном участке поверхности трещины.
Гл. 5. Теория распространения трещин 535
Согласно этому упрощенному толкованию теории Баренблатта,
v = Q — единственное возможное значение скорости при t — tQ.
Однако для распространяющихся трещин величина р обычно
несколько больше равновесного значения. Поэтому будет про-
происходить рост трещины и можно предположить, что в некоторый
момент времени t0 скорость трещины отлична от нуля. При уве-
увеличении t коэффициент интенсивности напряжений будет увели-
увеличиваться, в то время как сопротивление росту трещины остается
постоянным. Для нескольких значений t решение уравнения A2)
показано на рис. 3, из которого видно, что если не происходит
ветвления трещины и внешняя нагрузка р поддерживается постоян-
постоянной, скорость трещины будет асимптотически приближаться к ско-
скорости волны Рэлея.
Если вместе с Баренблаттом предположить, что при хрупком
разрушении сопротивление распространению трещины создается
только силами сцепления, действующими вблизи конца трещи-
трещины, то можно утверждать, что результирующая «постоянная
материала», характеризующая это сопротивление, должна быть
функцией скорости трещины. Один из недостатков теории Барен-
Баренблатта состоит в том, что этот вопрос трактуется произвольным
образом без какого бы то ни было физического обоснования.
Например, можно легко показать, что в начальной стадии рас-
распространения трещины скорость Vx увеличения размера d области
действия сил сцепления не постоянна, а зависит от скорости тре-
трещины Fo. Если для простоты мы будем считать эту зависимость
линейной1), т. е. Vx = pF0, где Р — характеристика материала,
то получим из уравнения E)
1^- A3)
Вследствие конечности напряжений, 0Гу1} + о^2) = 0$ из уравне-
уравнений (8) и A3) находим
¦g$--<?. » = П/С A4)
Теперь Q — константа, и уравнения A3) и A4) справедливы
для всех возможных скоростей трещины в процессе начальной
стадии ее распространения. С другой стороны, для очень малых
скоростей 0у1} приблизительно то же, что и для равновесных тре-
трещин. Поэтому, полагая Vot = а0, где а0 является начальной
х) Эвристическое оправдание см. в приложении А, где показано, что
в случае продольного сдвига модель типа Дагдейла приводит к тому, что
скорость увеличения размера пластической зоны приблизительно пропор-
пропорциональна скорости трещины.
536 Ф. Эрдоган
длиной трещины, соответствующей нагрузке р, инициирующей
разрушение, и сравнивая уравнения B) и A3), получаем, что
e = ai#/a?/2, at<l, A5)
где К — модуль сцепления материала, а постоянная аг вводится
для того, чтобы учесть возможное изменение сопротивления росту
трещины, происходящее вследствие изменения скорости трещины.
При Vo = О величина а± = 1; при Fo ^ О эффект диссипации
в вершине трещины из-за пластической деформации или вязкого
течения уменьшается и ах становится меньшим единицы [43].
Для периода распространения трещины опять используем условие
[см. уравнение A1)]
р = а2 {2/аоI/2К, а2>1. A6)
Из уравнений A4) — A6) получаем уравнение, определяющее
скорость распространения трещины, в виде
F(v) = Vv(ai/a,). A7)
Следует отметить, что в противоположность уравнению A2)
решение уравнения A7) не зависит от времени, т. е. для данного
значения а2/ах решение уравнения A7), показанное на рис. 3-
как пересечение кривой F (v) и парабол, представляет собой иско-
искомое значение постоянной скорости трещины в бесконечной плоскос-
плоскости. Согласно этой интерпретации теории Баренблатта, переход
от равновесной трещины к трещине, распространяющейся с пре-
предельной скоростью, объясняется изменением а1? которое зависит
от прочностных свойств материала, и а2, которое, как теперь
можно предположить, представляет собой отношение внешней
нагрузки в данный момент времени к нагрузке, соответствующей
равновесной трещине. Это означает, что уменьшение в процессе
распространения трещины внешней нагрузки, т. е. а2, привело бы
к уменьшению скорости трещины. Если уменьшение а2 достаточно
велико для того, чтобы снизить a2/ax до единицы, то теоретически:
трещина остановилась бы. Кроме того, можно заметить, что
если бы решение уравнения A7) превысило скорость ветвления,
то трещина разветвилась бы до того, как была достигнута пре-
предельная скорость.
Практически все имеющиеся экспериментальные результаты
показывают, что предельная скорость трещины при хрупком
разрушении примерно достоянна и что снижение внешних нагру-
нагрузок вызывает уменьшение скорости трещины. Из этого следует,
что предложенная модель согласуется с основными особенно-
особенностями распространения трещины хрупкого разрушения. Вновь
следует подчеркнуть, что из-за отсутствия твердого физиче-
Гл. 5. Теория распространения трещин 537
ского обоснования описанная выше модель не является теорией,
которую можно использовать для объяснения явления распро-
распространения трещины. Это просто удобная континуальная модель.
Г. Теории, основанные на энергетическом балансе
Рассмотрим твердое тело, подвергающееся действию определен-
определенных внешних нагрузок и содержащее внутреннюю или внешнюю
«доминирующую» трещину. Внешние нагрузки могут быть поверх-
поверхностными усилиями, смещениями поверхности и объемными си-
силами или представлять собой какую-либо их комбинацию. В наи-
наиболее общем случае условие термодинамического равновесия
тела означает
dU__dV_ dT__ , dD_ ,,R.
dt ~~ dt + dt ~*~ dt ' ^ '
где t — время, U — работа, совершенная внешними силами,
V — обратимая (упругая) составляющая запасенной энергии,
Т — кинетическая энергия и D — сумма всех необратимых
составляющих энергии, таких, как свободная поверхностная
энергия или энергия разрушения, пластическая работа и вязкая
диссипация. Если Т? — составляющие вектора напряжения, щ —
составляющие вектора смещения в точке поверхности S с внеш-
внешней нормалью n, Ft — объемные силы и р — плотность, то
-g-= j J 2 пк<п+ j J j 2 F^dR> («)
SI R 1
3
dT f f f _ ^ • •• 7T, BQ)
dt
R 1
где R — полный объем тела, а точка обозначает дифференциро-
дифференцирование по времени.
Уравнения A8) — B0) справедливы для всех твердых тел,
независимо от того, могут или не могут они подвергаться раз-
разрушению в рассматриваемых условиях. Если мы рассмотрим
частный случай линейно упругого тела, в котором имеет место
только диссипация энергии на продвигающемся контуре трещи-
трещины, то две остальные скорости изменения энергии могут быть
записаны в следующем виде:
з з
dD
~IF
R
dD
— dS
dS
~чг
1 1
dD
— ~dA
dA
ЧГ~
dA
Ур-аЧ
B2)
538 Ф. Эрдоган
где So — поверхность твердого тела без учета трещины, А —
полная поверхность трещины, yF — количество энергии, необ-
необходимое для образования единицы площади поверхности раз-
разрушения (которое далее будет называться удельной энергией
разрушения или просто энергией разрушения твердого тела),
dA/dt — мера скорости разрушения.
Постановку задачи можно завершить введением уравнений
движения упругого твердого тела
^ ,= 1,2,3, B3)
3
где Я и pi — постоянные Ламе и е = 2 {диг1дхг) — объемное рас-
расширение. Уравнения A8) и B3) представляют собой систему
четырех уравнений для определения неизвестных функций ut (xj, t)
и a (xj, t), где в предположении о том, что разрушение происходит
вдоль известной плоскости, функция а описывает плоскую кри-
кривую, представляющую фронт трещины, и заменяет функцию A (t)
в качестве неизвестной. Из-за уравнения A8) система оказывается
существенно нелинейной; она дополнительно усложняется тем, что
из-за распространения трещины поверхность S меняется со вре-
временем.
При отсутствии объемных сил для твердых тел, в которых
точки приложения внешних нагрузок настолько удалены от
области разрушения, что основная часть процесса разрушения
завершается прежде, чем первые упругие волны, возникающие
в начале разрушения, достигают нагруженных границ, член
dUldt в A8) будет равен нулю и необходимым источником кине-
кинетической энергии и диссипируемой энергии будет высвобождае-
высвобождаемая упругая энергия. Так обстоит дело в длинных стержнях,
нагруженных по концам и разрушающихся в среднем сечении
и в очень больших телах с доминирующей внутренней трещиной.
В тех случаях, когда внешние нагрузки прикладываются при
помощи абсолютно жестко фиксированных захватов, т. е. когда
в процессе разрушения ut = О на части S и Г? = 0 на остав-
оставшейся части, dUldt также равна нулю.
Если задача симметрична геометрически и в отношении усло-
условий нагружения, то функция a (xj, t) и определяющие уравне-
уравнения A8) и B3) могут быть значительно упрощены. Например,
в плоских задачах с внутренней доминирующей трещиной (обоб-
(обобщенное плоское напряженное состояние, плоская деформация
и продольный сдвиг, или антиплоская деформация) а представляет
собой просто полудлину трещины и является функцией только
времени; в осесимметричных задачах а — радиус дискообразной
трещины и опять зависит только от времени. Более того, в слу-
Гл. 5. Теория распространения трещин 539
чаях плоской деформации, плоского напряженного состояния
и в осесимметричном случае неизвестными будут только две ком-
компоненты вектора смещения; в случае продольного сдвига неиз-
неизвестна только одна такая компонента. В соответствующих зада-
задачах скорость диссипации энергии можно записать в виде
dD/dt = AyFah (плоские задачи),
dD/dt = 2nyFaa (осесимметричный случай),
где h — толщина и yF обычно является функцией скорости тре-
трещины. Даже при yF = const решение сформулированной выше
задачи не представляется возможным. Ниже мы изложим квази-
квазистатическое приближение, предложенное Моттом [91], и дадим
некоторые видоизменения общей теории, намеченной выше.
1. Теория Momma
Задача, рассмотренная Моттом [91], представляет собой задачу
о распространении трещины в бесконечной пластинке, подверга-
подвергающейся не зависящему от времени одноосному растяжению пер-
перпендикулярно к плоскости трещины. Основной вклад Мотта
заключается в признании того факта, что кинетическая энергия
должна быть включена в энергетический баланс, и главное пред-
предположение в его способе учета влияния кинетической энергии
заключалось в том, что поля напряжений и смещений в динамиче-
динамическом случае те же самые, что и в упругом статическом случае
при той же самой длине трещины. Поэтому, если и ж v — компо-
компоненты смещения, a a (t) — полудлина трещины и daldt мало по
сравнению со скоростью волны сдвига в материале, компоненты
скорости в данной точке пластинки можно записать в виде
• • • •
и — а ди/да, и = а dvjda.
В таком случае кинетическая энергия равняется
Т = У р i 5 U^/daJ + [dvjdaf] dx dy, B5)
R
где p — масса единицы площади пластинки. Мотт показал, что
так как и и и пропорциональны aplE, то ди/да и dv/da будут про-
пропорциональны plE. Кроме того, поскольку а — единственный
характерный размер в материале, то подразумевая, что область R
занимает всю плоскость, приходим к выводу, что поверхностный
интеграл в уравнении B5) будет пропорционален а2. Следователь-
Следовательно» уравнение B5) можно записать в виде
i B6)
540 Ф. Эрдоган
где к' является теперь постоянной и может зависеть только от
коэффициента Пуассона v. Мотт рассмотрел уравнение энергети-
энергетического баланса A8) в интегральной форме, т. е.
T + D + V-U=E0, B7)
где Ео — некоторая постоянная. Из решения задачи теории
упругости для пластинки либо при фиксированном смещении,
либо при постоянном напряжении на бесконечности мы можем,
учитывая, что имеется трещина длиной 2а, написать для измене-
изменения величины U — V выражение
U — V = пр2а2/Е. B8)
Таким образом, при диссипируемой энергии, равной^ D = AyFa
(yF — здесь энергия разрушения для пластинки толщиной /г,
а не для единицы площади), уравнение B7) принимает вид
Чтобы исключить постоянную Е01 Мотт, так же как Роберте
и Уэллс [105], продифференцировал уравнение B9) по а и пред-
предположил, что да/да = 0, т. е. что трещина движется с постоянной
предельной скоростью. Кроме того, используя условие Гриффитса
для начала разрушения при t = 0, длине трещины а0 и нагрузке р
yF = р2ла0/2Е, C0)
из уравнения B9) они получили
а = BnE/k'p)V* [I - {aJa)W. C1)
Как указано в работах [10] и [29], уравнение C1) ошибочно вслед-
вследствие предположения о том, что да/да = 0. Следуя в основном
ходу рассуждения Берри [10] и предполагая, что приложенная
нагрузка р несколько больше критической нагрузки рс, полу-
полученной из условия Гриффитса [уравнение C0)], чтобы освобо-
освободиться от условия о нулевом ускорении трещины при ? = 0,
уравнение B9) можно записать в виде
1
При 2 = 0, а = 0 и а = а0 уравнение C2) принимает вид
Т~+ Е =J&0#
Полагая
C4)
Гл. 5. Теория распространения трещин 541
из уравнений C2) и C3) получаем уравнение
^] C5)
которое можно проинтегрировать для получения соотношения
между длиной трещины и временем:
Из уравнения C5) мы заключаем, что при а ^> а0 скорость
трещины будет приближаться к предельной скорости FT, опре-
определяемой формулой
VT = Bn/k')mcl, с?=Я/р, C7)
где с\ — скорость продольных волн в материале.
Таким образом, задача сводится к оценке постоянной /с',
а также к исследованию пригодности основных предположений,
на которых основывается решение, а именно предположений
о квазистатичности полей напряжений и смещений и независимо-
независимости энергии разрушения от скорости. Чтобы определить к',
Роберте и Уэллс оценили численно интеграл, входящий в урав-
уравнение B5), и построили график зависимости Bn/k')i/2 от г/а, где
г — радиус области R. Это было сделано частично из-за трудно-
трудностей, связанных со сходимостью при г->оо, и частично из-за
того обстоятельства, что вне круга г --~cxt, где сх = (Е/р A — v2)I/2—
скорость волны расширения в случае плоского напряженного
состояния, материал невозмущен и плотность кинетической энер-
энергии равна нулю. Чтобы найти подходящее значение к'', далее пред-
предполагалось
г/а = (&72я). C8)
При этом имелось в виду, что (а) скорости продольной волны
и волны расширения одинаковы и (б) в момент времени t длина
трещины равна а = Vrt, где Vt — предельная скорость, опре-
определяемая уравнением C7). При численных расчетах использова-
использовалось значение коэффициента Пуассона, равное V4, и, следова-
следовательно, влияние допущения (а) на результат не должно быть
значительным. Строго говоря, предположение (б) справедливо
только при t-^oo, однако для достаточно больших значений t
с учетом всех других сделанных приближений его влиянием
также можно пренебречь. Таким образом, при v = V4 получаем
B/&'I/2 38
В принципе, если предполагается существование предельной
скорости трещины VT и если размер тела достаточен для того, что-
542 Ф. Эрдоган
бы скорость трещины могла достичь величины Vt, to предпо-
предположение о постоянстве yF всегда можно оправдать. Даже если
в некоторых случаях yF сильно зависит от скорости и температу-
температуры, распространение трещины с предельной скоростью в рамках
предположений теории Мотта представляет собой установившийся
процесс, и поэтому следовало бы ожидать, что это изменение у$-
повлияет только на стадию ускоренного роста трещины.
Четкое исследование связи энергии разрушения со скоростью-
и температурой отсутствует, и этот вопрос будет обсуждаться
позднее в этой главе; однако обычно считается, что в металлахг
так же как и в полимерах, значение yF, необходимое для того,,
чтобы началось развитие разрушения из имеющейся трещины,,
выше значения, соответствующего распространяющейся трещине,,
и что yF сначала уменьшается с увеличением скорости и затем
увеличивается с увеличением скорости трещины. Большие значе-
значения yF получаются за счет пластической работы или вязкой
диссипации при низких скоростях и за счет большой величины
диссипируемой энергии, связанной с грубым рельефом поверхности
разрушения при очень высоких скоростях. Следует также отме-
отметить, что предельная скорость трещины не зависит от значения
постоянной n — pjp и нагрузки р, пока выполняется условие*
начала разрушения р > рс.
Основной недостаток теории Мотта в первую очередь заклю-
заключается в допущении о квазистатичности полей напряжений и сме-
смещений. Единственным количественным аргументом в поддержку
этого предположения является исследование Уэллса и Поста
[127], выполненное методами фотоупругости на смоле Columbia
resin, в котором была сфотографирована картина изохром вокруг
распространяющейся трещины. Однако подобие, в общих чертах
полученное между динамической и статической картинами полос,,
не обязательно означает, что особенности обоих напряженных
состояний в конце трещины одинаковы. Так как интенсивность
этой особенности представляет основную характеристику нагруз-
нагрузки при разрушении (подобно коэффициенту интенсивности напря-
напряжений при разрыве, или скорости высвобождения энергии деформи-
деформирования, или скорости изменения внешней работы вблизи конца
трещины), то предположение о том, что статическое решение*
пригодно в динамическом случае, не может быть оправдано беа
количественного сравнения соответствующих особенностей на-
напряжений.
Поскольку имеется динамическое решение для плоскости
с центральной трещиной, распространяющейся с постоянной ско-
скоростью [13, 25], такое сопоставление легко выполнить. Для этого-
рассмотрим рис. 3 и 4. На рис. 3 приведен коэффициент интенсив-
интенсивности разрывающего напряжения ау в динамическом случае
в зависимости от отношения скоростей v = (VT/c^) и в соответ-
Гл. 5. Теория распространения трещин
543
Рис. 4. Угловое изменение
разрывающего напряжения.
-
г °>1 '
-0,06 7
ствующем статическом слу-
случае. На рис. 4 показано
изменение ае в зависимо-
зависимости от полярного угла 8
для значений VT/c2, изме-
изменяющихся от 0,2 до 0,96.
При построении этих гра-
графиков использовалось зна-
значение коэффициента Пуас-
Пуассона v = 0,25, которое
также использовалось Ро-
бертсом и Уэллсом [105]
для оценки постоянной к'
кинетической энергии. При
v = 0,25, с2 = 0,634cj и в
силу формулы Vt = 0,38ci
мы имеем VT = 0,6с2. Из
рис. 3 и 4 ясно, что если отношение скоростей лежит в
интервале от 0,3 до 0,6, имеется значительное различие между
статическим и динамическим коэффициентами интенсивности
напряжений, и следовательно, квазистатическое приближение для
динамических полей является, по-видимому, не оправданным.
В частности, поскольку энергетический обмен происходит в непо-
непосредственной близости от конца трещины, любое ошибочное
представление полей напряжений и смещений в этой области,
вероятно, изменит результат, даже если общий характер полей
вдали от концов трещины приблизительно одинаков х).
Следующее возражение против изложенной выше теории может
быть выдвинуто на основании того, что при вычислении имеющейся
упругой энергии из статического решения по существу пред-
предполагается, что скорости волн напряжений бесконечны. С другой
стороны, при вычислении кинетической энергии учитывается
конечность скорости распространения упругих возмущений.
В реальной задаче о большой пластинке, подвергнутой на беско-
бесконечности действию нагрузок, медленно увеличиваемых вплоть
*) Убедительное экспериментальное подтверждение этого довода было
получено в работе [8], где сравниваются экспериментально найденные изо-
хромы с изохромами, полученными из статического решения и динамиче-
динамического решения, данного Бробергом [13].
5М Ф. Эрдоган
до значений, достаточных для инициирования разрушения и затем
поддерживаемых постоянными, энергия, затрачиваемая на дисси-
диссипацию и увеличение кинетической энергии, поступает за счет
высвобождения потенциальной энергии упругой деформации
в пределах круговой области радиуса cxt, где сх — скорость
волны расширения в случае плоского напряженного состояния.
Очевидно, что вне этого круга напряженное состояние представ-
представляет собой однородное растяжение и скорости равны нулю. Ана-
Аналогичная, но существенно более простая ситуация имеет место
при растяжении напряжением а длинного тонкого стержня еди-
единичного поперечного сечения, один из концов которого внезапно
освобождается из захвата или от нагрузки. В момент разгрузки
t = 0 волны напряжений начинают двигаться к нагруженному
концу, оставляя позади разгруженную область стержня длиной
erf, которая движется со скоростью acilE. Для этой «возмущен-
«возмущенной» части стержня высвобождающаяся энергия деформации
V=[l/BE)] o2cit полностью преобразуется в кинетическую энер-
энергию, т. е. Т = mv2l2 = pctt (gcz/?J/2 = [1/{2Е)] o2ctt.
В задаче Мотта о пластинке в процессе распространения разру-
разрушения работа внешних сил U фактически равна нулю, и V пред-
представляет собой изменение упругой энергии в круговой области
r = c1t. Может оказаться трудным оценить ошибку, вносимую в
результате замены этой энергии ее статическим аналогом, опреде-
определяемым уравнением B8), однако вряд ли она пренебрежимо мала.
Несколько надуманной, но в математическом отношении впол-
вполне эквивалентной задаче Мотта является задача о плоскости
с центральной трещиной, распространяющейся под влиянием
давления р, действующего на поверхности трещины. Здесь U рав-
равняется р, умноженному на полный объем полости, образованной
поверхностями разрушения, V — упругая энергия, запасенная
в круговой области г = cxt, T — кинетическая энергия этой
области и D снова равно AyFa. Начальные значения всех этих
энергий равны нулю; следовательно, Ео = 0, и в момент t уравне-
уравнение B7) принимает вид
U = Т + V + D. C9)
Поскольку величины ?7, V и Т пропорциональны a2, a D про-
пропорциональна а, то очевидно, что при больших значениях длины
трещины 2а диссипацией можно пренебречь. Таким образом,
распространение трещины приобретает характер распространения
поверхностного возмущения в недиссипативной среде. Как изве-
известно, такое движение происходит со скоростью поверхностных
волн Рэлея [81], которая совпадает со скоростью движения крае-
краевых дислокаций в среде [22, 33]. При v = 0,25 рэлеевская ско-
скорость равна cR = 0,9194 с2 = 0,581с\ по сравнению с предельной
скоростью VT = 0,38с/, полученной Робертсом и Уэллсом [105].
Гл. 5. Теория распространения трещин 545
Следует отметить, что результат VT = cR основывается на сле-
следующих предположениях: а) трещина вынуждена идти вдоль пря-
прямой, б) yF не зависит от скорости трещины и в) пластинка бес-
бесконечно велика, а условия нагружения на бесконечности остают-
остаются неизменными в процессе распространения. В реальной задаче,
по-видимому, ни одно из этих предположений не выполняется.
Далее будет показано, что из-за особенностей напряженного
состояния вокруг распространяющейся трещины при скоростях
выше некоторой (~0,61с2) первоначальная плоскость трещины
не является больше ослабленной плоскостью отрыва и, как убеди-
убедительно доказано экспериментами на стекле [110], трещина стре-
стремится разветвиться. Как было отмечено ранее, энергия разруше-
разрушения не является постоянной и при больших скоростях трещины
она, по-видимому, представляет собой возрастающую функцию
скорости. Кроме того, в пластинках конечного размера волны,
отраженные от свободных и нагруженных границ, должны были
бы усложнить аналитическое решение; однако нетрудно пока-
показать качественно, что в случае закрепления в захватах или системы
нагружения с большой инерцией отраженные волны создают
эффект дополнительного сжатия и, следовательно, стремятся
уменьшить скорость распространения трещины.
Описанная выше теория применялась также к расчету расщеп-
расщепления прямоугольных полос Гилманом [44] и Берри [10], исполь-
использовавшими для вычисления кинетической и потенциальной энер-
энергий простое балочное приближение в предположении квазиста-
квазистатичности процесса. В связи с этой задачей следует отметить, что
даже при очень малых скоростях направление роста трещины
разрыва в изотропной однородной полосе неустойчиво; небольшое
отклонение от направления роста приводит к развитию трещины
перпендикулярно к ближайшей свободной границе [51]. Эта
неустойчивость может быть устранена продольным сжатием поло-
полосы [9]. Однако большинство экспериментов по расщеплению
выполняется при ослаблении полосы вдоль плоскости отрыва
при цомощи направляющих канавок вдоль граней полосы [11]
или с использованием анизотропных материалов с ослабленными
плоскостями отрыва.
2. Баланс энергии вблизи контура трещины
Рассматривая теорию равновесных трещин Гриффитса, Сан-
Сандерс [109] указал, что в качестве области, для которой имеет
место баланс энергии, может быть взята любая часть тела, заклю-
заключенная внутри простой замкнутой кривой L, окружающей конец
трещины, где происходит диссипация. Эта кривая в простран-
пространственных случаях может рассматриваться как сечение тороидаль-
тороидальной поверхности, окружающей контур трещины. Таким образом,
35-0700
546 Ф. Эрдоган
Рис. 5. Малая область вблизи контура трещины.
критерий Гриффитса можно формулировать так: «скорость, с кото-
которой совершается работа силами, действующими на кривой L,
равна скорости возрастания энергии деформации, запасенной
в материале внутри L, плюс скорость, с которой энергия
диссипируется при росте трещины» [109]. Причем эта скорость
измеряется по отношению к некоторому параметру, увеличиваю-
увеличивающемуся при расширении контура трещины. |
Для динамических задач с распространяющимися трещинами
суть этого подхода состоит в том, что уравнение баланса энер-
энергии A8) также может быть написано для такой области просто
путем добавления составляющей кинетической энергии. Вели-
Величины R и S в уравнениях A9) и B0) тогда представляют собой
объем и поверхность этой тороидальной или цилиндрической
области, порожденной кривой L (см. рис. 5). *
До некоторой степени неполным образом этот подход был
реализован для динамических задач Крэггсом [25], Макклинто-
ком и Сухатме [88], а также Костровым [72, 73]. В этих работах
использовалось уравнение баланса энергии в виде
17 = А D0)
не учитывающем кинетическую и потенциальную энергии х). Уже
отмечалось, что для недиссипативной системы U—T + V. При
малых скоростях величиной Т + V действительно можно пре-
пренебречь (см. пример, обсуждаемый ниже). Когда объем i?, огра-
ограниченный кривой L, окружающей вершину трещины, умень-
уменьшается до нуля, величины Т и V, а также U приближаются к нулю,
чего нельзя сказать о скоростях их изменения во времени. Оче-
Очевидно, для составления баланса энергии не важна частная форма,
выбранная для области й, ив общем случае предполагается, что
г) У Крэггса этот критерий (уравнение B.5) в его работе) получается
сопоставлением энергии деформации в малой области, окружающей трещину,
и средней энергии разрушения за интервал времени At. В дальнейшем,
однако, скорость, с которой совершается работа усилиями, действующими
вдоль малой окружности, охватывающей конец трещины, оценивается
и сравнивается со скоростью диссипации.
Гл. 5. Теория распространения трещин
кривая L, ограничивающая R, имеет фиксированную длину
и определенную форму и движется вместе с распространяющейся
трещиной. Как показано Костровым [72], скорости изменения
энергии, связанные с движением области R, представляют собой
величины более высокого порядка малости и исчезают в пределе,
когда R стремится к нулю.
В работе Макклинтока и Сухатме [88] рассматривается полу-
полубесконечная трещина, растущая в бесконечной среде в условиях
продольного сдвига (при усилиях, приложенных на поверх-
поверхности трещины, движущейся вместе с трещиной, или на беско-
бесконечности). Область В выбирается в виде квадрата с центром в вер-
•
шине трещины. Представляется, что характер зависимости U
от скорости трещины согласуется с результатом примера, при-
приведенного ниже.
В исследовании Крэггса [25] уравнение энергии используется
для определения предельной скорости распространения трещины
в плоской задаче с центральной трещиной. Решается задача
о внутренней трещине в бесконечном теле, растущей с обоих
концов с постоянной скоростью при однородном растяжении
на бесконечности в условиях плоской деформации или обобщен-
обобщенного плоского напряженного состояния. Решение строится гораздо
более простым методом, чем метод Броберга, с учетом преимуще-
преимущества, даваемого автомодельным характером задачи, и с исполь-
использованием метода, предложенного Голдстейном и Уордом [126].
Крэггс установил, что U после перехода через максимум при
отношении скоростей v = (V0/c2) = 0,3728 уменьшается с уве-
увеличением v и становится равной нулю при v = 0,721 и, очевидно,
отрицательной далее. Отсюда он заключил, что предельной ско-
скоростью распространения прямолинейных трещин является VT =
= 0,721с2, а не скорость волны Рэлея, как предсказано Барен-
блаттом, Бробергом, Стро и др. Однако результат Крэггса [25]
некорректен. Это следует из того, что в его уравнении C.13),
•
определяющем С/, пропущен якобиан, в то время как использо-
использованная длина дуги представляет собой длину в преобразованной
плоскости, а не в физической плоскости.
Используя решение, данное Крэггсом [25], в малой области
площадью порядка б2 вблизи конца трещины в пределе при б ->- О,
получаем для одной четверти скорости изменения энергии:
arctg( * )"], D1)
35*
548 ^^ Ф. Эрдоган
где р — напряжение на бесконечности, Уо — скорость трещины
и К и Е — полные эллиптические интегралы первого и второго
рода соответственно. Зависимость С//4 от отношения скоростей,
полученная из уравнения D1), представлена на рис. 6, из которого
видно, что U/A возрастает при возрастании v. В предельном слу-
случае, когда v ->- О, Н стремится к —2v2 A — к2) и величина в скоб-
скобках в уравнении D1) стремится к ли2 A — к2); таким образом,
после деления U на Vo = daldt и подстановки Vot = а уравне-
уравнение D1) сводится к уравнению
dU Jtp2a(l — v2) //оч
ИГ = 2Ё ' ^
которое переходит в критерий Гриффитса, если dUlda понимать
как величину yF.
Осесимметричное распространение дискообразной трещины при
постоянных напряжениях, действующих на бесконечности пер-
перпендикулярно плоскости трещины, рассмотрено Костровым [72].
Решение строится в предположении о постоянстве скорости тре-
трещины. Это предположение обосновано тем, что такой период
может быть в начальной стадии процесса распространения, если
считать, что основная диссипация происходит за счет пластической
работы и что в начальной стадии размеры пластической зоны
линейно возрастают с возрастанием радиуса трещины. Тогда,
согласно предположению, что диссипация пропорциональна объе-
объему пластической области, величина D пропорциональна (Vot)s,
a D ~ t2. Если такой период существует, то U должна быть также
пропорциональна t2. Используя это условие в качестве условия
о постоянстве скорости роста трещины, можно теперь показать,
что правильное решение динамической задачи должно иметь
в конце трещины особенность для напряжений и скорости
порядка (?/6I/2, где б — малое расстояние от конца трещины.
По-видимому, через некоторое время размер пластической зоны
становится постоянным и D увеличивается только линейно со вре-
временем t, а так как U по-прежнему пропорциональна t2, трещина
начинает ускоряться.
В период равномерного распространения трещины уравнение
для скорости изменения энергии U = D не содержит t и пред-
Гл. 5. Теория распространения трещин
549
Рис. 6. Скорости изменения внеш-
ней работы и энергии закрытия
трещины.
ставляет собой условие для
определения постоянной ско-
скорости трещины Vo. Костров
[72] показал, что U становит-
становится равной нулю при Уо = сд,
откуда следует, что Fo, полу-
полученная из равенства U = 2),
не может быть большей ско-
скорости волны Рэлея или рав-
равной ей. Чтобы вычислить С/,
Костров выбрал область R
в виде прямоугольника со сторонами 2бх и 262 в направлениях г и z
соответственно и положил 62-> О при фиксированном бх. При этом
интегралы вдоль б2 равны нулю. В принципе, однако, U не долж-
должна зависеть от формы области R, и поскольку полоска нулевой
толщины при различной ориентации должна была бы давать
различные значения С/, имеются некоторые сомнения в приме-
применимости метода, использованного Костровым для вычисления U.
Этот вопрос будет обсуждаться дополнительно в следующем раз-
разделе. Костров [73] рассматривает плоскую задачу о трещине
поперечного сдвига, которая представляет аналог плоской задачи,
решенной Бробергом [13] и Крэггсом [25]. Предположения, ход
решения и выводы последующей статьи Кострова [73] те же, что
и в случае дискообразной трещины, рассмотренной в его более
ранней статье [72] х).
3. Дальнейшее обсуждение баланса энергии и энергии закрытия
трещины
Рассмотрим твердое тело, разрушающееся по некоторой пло-
плоскости. Пусть величина a{t) описывает изменение положения
контура, или фронта распространяющейся трещины, а Л —
г) Недавно задача о дискообразной трещине была также рассмотрена
Крэггсом в работе [26], в которой с учетом критерия разрушения типа кри-
терия^Баренблатта строится зависимость коэффициента интенсивности напря-
напряжений oz от отношения скоростей.
550 Ф. Эрдоган
малая область, окружающая край трещины, и гладкая кривая L
служит границей сечения этой области (см. рис. 5). Рассматривая
явление как зависящее от данного момента времени, будем счи-
считать, что скорость изменения внешней работы, совершенной над
областью R напряжениями, действующими на ее поверхности,
равна сумме скоростей изменения потенциальной энергии (т. е.
энергии деформации), кинетической энергии и диссипируемой
энергии в области R:
U = V + f + D. D3)
Чтобы избежать усложнений, которые могут возникнуть из-за
того, что положение кривой L по отношению к фронту трещины
не зависит от времени (т. е. область R движется вместе с продви-
продвигающимся фронтом трещины), будем предполагать, что материал
в основном упругий, что зона диссипации энергии ограничивается
ближайшей окрестностью фронта трещины и что область R велика
по сравнению с этой зоной диссипации. Например, если значи-
значительная часть L проходит через область среды, которая испытала
пластические деформации до рассматриваемого момента времени,
•
то оценка U на основе упругого решения может быть ошибочна.
Очевидно, если эта зона диссипации (например, пластическая
зона) не мала по сравнению с Л, оценки V и Т также будут оши-
ошибочны. Член D в уравнении D3) включает скорость изменения
энергии поверхностного натяжения и увеличение энергии, пере-
переходящей в тепло вследствие пластической работы или вязкого
трения в зоне диссипации.
Рассмотрим теперь для простоты симметричный случай, в
котором в плоскости трещины поверхностные усилия отсутствуют
на поверхности трещины, а касательные напряжения и смещение,
перпендикулярное к плоскости трещины, отсутствуют вне тре-
трещины. Допустим, что твердое тело разделяется на две половины
плоскостью трещины и поддерживается в равновесии путем при-
приложения подходящих нормальных усилий по плоскости раздела.
Предположим, далее, что эти усилия те же самые, что и нормаль-
нормальные напряжения на плоскости раздела вне поверхности трещины,
полученные из динамического решения задачи. Задача для поло-
половины твердого тела тогда будет в точности эквивалентна исходной
вадаче о распространении трещины.
С другой стороны, задача для половины твердого тела по идее
представляет собой простую задачу динамической теории упру-
упругости с граничными условиями, зависящими от времени. Если
теперь мы рассмотрим половину области Л, скорость изменения
плотностей кинетической и потенциальной энергий в этой области
будет та же самая, что и в исходной задаче. Часть работы, совер-
совершенной поверхностными усилиями, действующими на L, будет
Гл. 5. Теория распространения трещин 551
14 IV х
d-adt a U*adt
Рис. 7. Обозначения, принятые при вычислении Ес.
•
равна U/2 [т. е. та же самая, что и в уравнении D3)], а оставшаяся
часть внешней работы будет совершаться фиктивными усилиями,
приложенными вдоль плоскости раздела. Так как разрушение
•
отсутствует, D будет равно нулю. Когда фронт трещины a(t)
продвигается, поверхностные усилия у ее контура исчезают.
Так как смещение, перпендикулярное плоскости раздела, и каса-
касательные напряжения остаются равными нулю впереди фронта тре-
трещины, очевидно, что работа обратившихся в нуль усилий будет
единственным вкладом во внешнюю работу от плоской границы
области R. Очевидно также, что скорость изменения этой работы
во времени будет отрицательной величиной, так как направления
усилий противоположны направлениям смещений в зоне раздела.
Обозначая эту скорость изменения энергии через —EJ2, видим,
что Ес есть не что иное, как скорость изменения во времени энер-
энергии закрытия трещины. Если оу и иу — напряжение на плоскости
раздела и смещение поверхности трещины, перпендикулярное
плоскости, то, обращаясь к рис. 7, мы можем написать
a+adt
dEc = Ecdt = 2 f Y0y(a)uy(a — adt)da. D4)
a
Баланс скорости изменения энергии для половины области R
можно тогда выразить в виде
^U-±EC = ±T + ±V. D5)
Сравнивая уравнения D3) и D5), видим
D = EC, D6)
т. е. скорость изменения во времени энергии закрытия трещины
равна скорости диссипации.
Строго говоря, уравнение D6) справедливо только для идеаль-
идеально хрупких материалов, в которых нет диссипации, а все затраты
идут на создание поверхностной свободной энергии. Однако при
помощи тех же соображений, что и использованные Ирвином [67]
и Орованом [94, 95] при обобщении теории Гриффитса на квази-
квазихрупкое разрушение, с той же степенью точности можно приме-
552 ф. Эрдоган
нять уравнение D6) также и в динамике разрушения квазихруп-
квазихрупких материалов. Следует отметить, что, когда скорость трещины
приближается к нулю, тогда F->0, T-*§ ж U приближается
к скорости изменения энергии раскрытия трещины, или более
точно
lim (I/a) Ec = dEjda = lim (U/a) = dU/da.
Следует также отметить, что в динамических задачах Ес не рав-
равна скорости высвобождения энергии деформации. В самом деле,
рассматривая теперь все тело с внутренней трещиной, распро-
страняющейся в плоскости, имеем U = О для сферической (воз-
(возмущенной) области радиуса erf, а уравнение для скорости изме-
изменения энергии принимает вид
0; D7)
это равенство с использованием уравнения D6) можно записать
в виде
~V=T + EC. D8)
В уравнении D8) (—V) — скорость высвобождения полной энергии
деформации и Т — скорость изменения кинетической энергии
в шаре радиусом cxt. Таким образом, если ТфО, то скорости
высвобождения упругой энергии и изменения энергии закрытия
трещины не будут равны. Важность уравнения D6) станет более
очевидной, если учесть тот факт, что Ес представляет собой наи-
наиболее легко вычисляемую скорость изменения энергии, если полу-
получено решение вблизи контура трещины.
В качестве примера рассмотрим задачу о плоскости с распро-
распространяющейся центральной трещиной, решение которой имеется
[13, 25]. В этом случае напряжение в плоскости трещины вблизи
конца х = а определяется уравнением (8), где г соответствует
a — а на рис. 7, и уравнением D4). По Бробергу [13] смещение
можно представить в виде
щ,
D9)
Гл. 5. Теория распространения трещин 553
Подставляя в уравнение D4) выражения (8) и D9) при х — а —
• • •
— adt — a-^-r— adt и замечая, что a = V0 = vc2, мы получаем
1 f? __ Я P2cjtv* Г/М 241/2 B-^2J
В пределе, когда v-^О, #->—2v2(l—k2) и из уравнения E0)
мы получим соотношение
2зт 9 /л 9\
эта величина представляет собой не что иное, как скорость высво-
высвобождения энергии деформации (или энергии закрытия трещины)
на единицу приращения поверхности трещины в статическом
случае.
В свете проведенного выше обсуждения теперь ясно, что резуль-
результаты, полученные Костровым [72, 73], в основном правильны.
Однако величина, которую он вычислил, есть не скорость изме-
изменения внешней работы U, совершенной в малой области R вблизи
контура трещины, а скорость изменения энергии закрытия тре-
трещины Ес. Уравнение баланса энергии D3) инвариантно по отно-
отношению к выбору области R, и окончательные выражения величин
• • •
U, V и Т не зависят от характерного размера б, если имеется толь-
только один такой параметр, который в пределе стремится к нулю.
Если имеется более чем один независимый характерный размер,
результат будет не однозначен и будет зависеть от деталей пре-
предельного перехода. Так, например, в методе Кострова, если допу-
допустить, что бх — размер прямоугольной области R в направлении
г — стремится к нулю при фиксированном б2 (размер в направ-
направлении г), то опять объем области R будет стремиться к нулю
преждевременно и, следовательно, Т ж V должны были бы обра-
обратиться в нуль, но величина U не стала бы равной значению,
вычисленному Костровым.
На рис. 6 показано изменение i?c/4, полученное из уравне-
уравнения E0), и изменение G/4, определяемое уравнением D1), в зави-
зависимости от отношения скоростей v в случае v = 0,25. При малых
значениях и (например, v < 0,3) Т и V в области R пренебрежимо
малы и как U, так и Ес приблизительно равны соответствующим
статическим значениям. При сравнительно больших значениях и
имеем U > Ес, причем разность этих величин равняется Т + V
в области R. Здесь Ес можно рассматривать как энергию, кото-
рая должна диссипироваться. Из рис. 6 видно, что Ес обратится
554 Ф. Эрдоган
в нуль при скорости волны Рэлея. Этот результат не зависит
от v и является совершенно общим. Например, такой же вывод
был получен Костровым в двух задачах, которые он рассматри-
рассматривал *). Ясный смысл этого результата состоит в том, что если
может быть обеспечено прямолинейное распространение трещины,
то скорость волны Рэлея cR представляет собой верхний предел
скорости распространения трещины; эта скорость может быть
достигнута в пределе только в идеально недиссипативной среде
(т. е. yF = 0), и для распространения трещины со скоростями,
большими cRi требуется производство энергии на контуре тре-
трещины. Это означает, что они практически недостижимы. Воз-
Возможно, это повторение известного результата, полученного Эшел-
би [33] для движущихся краевых дислокаций.
Мы можем также заметить на рис. 6, что скорость Ес потребле-
потребления энергии имеет максимум вблизи v = 0,6 (при v = 0,25
v = 0,62). Даже если величина Ес линейно возрастает со вре-
временем, положение ее максимума не зависит от t. Ясно, что если
yF постоянна или не увеличивается достаточно быстро с увели-
увеличением длины трещины (т. е. со временем и (или) скоростью тре-
трещины), то постоянно увеличивающийся избыток скорости изме-
изменения энергии Ес — D будет ускорять трещину, приводя к тому,
что ее скорость будет асимптотически приближаться к скорости
волны Рэлея. Например, если рс — значение внешней нагрузки,
соответствующее началу движения трещины для малой (имеющей-
(имеющейся) трещины длины 2а0, и yF0 — соответствующая энергия раз-
разрушения, то по теории Гриффитса имеем
2 2EyF0
Полагая р = прс и vc2t=a, получаем из уравнений E0) и E2)
соотношение
' а0 ' / 1 —v а0 Я ( )
которое представлено на рис. 8 при п = 1, yFlyFo = 1 и различ-
различных значениях а/а0. Из рис. 8 следует, что если yF — постоянная
и п = 1 при а = а0, то будет равновесие. Чтобы началось рас-
распространение, п должно быть больше (хотя бы только немного
больше) единицы. Если п > 1, то имеется некоторый избыток ско-
скорости изменения энергии, необходимый для ускорения; когда и воз-
возрастает, этот избыток Ес — D также увеличивается. Это приведет
х) Об аналогичном результате для трещин продольного сдвига см. сле-
следующий раздел.
Гл. 5. Теория распространения трещин
555
0,2
Рис. 8. Избыток скорости из-
изменения энергии, необходимый
для ускорения трещины.
или к ветвлению трещины,
или к увеличению скорости
распространения разруше-
разрушения, асимптотически при-
приближающейся к скорости
волны Рэлея.
С другой стороны, для
некоторого периода роста
трещины, если, как пред-
предполагал Костров, дисси-
диссипация связана главным
образом с пластической
работой в малой зоне дис-
диссипации вблизи конца
трещины, то считая, что
эта работа пропорциональ-
пропорциональна объему зоны диссипации, мы можем написать D = Ага2 и из
равенства а = c2vt получаем D = AvH, где А — некоторая по-
постоянная. В этом случае критерий разрушения Ес = D не будет
содержать t и будет представлять собой уравнение для определе-
определения соответствующей скорости трещины при условии, что постоян-
постоянная А (которая будет зависеть от структуры материала и от
окружающих условий) известна.
На рис. 9 представлен такой результат для некоторого гипо-
гипотетического значения А. Из этого рисунка очевидно, что если
упомянутые выше предположения справедливы, то рост трещины
с предельной скоростью vT устойчив, когда энергия, необходимая
для ускорения трещины, положительна при v <C vT и отрицатель-
отрицательна при v > vT.
Весьма маловероятно, чтобы в реальных материалах условия
для D и yF согласовывались бы с каким-либо из идеальных случаев,
показанных на рис. 8 и 9. Однако, основываясь на получен-
полученных до сих пор результатах, можно сделать некоторые общие
заключения. Экспериментальные данные подтверждают, что
при более высоких скоростях разрушения возрастает шерохова-
шероховатость поверхностей разрушения, приводящая к более высоким
энергиям разрушения. Как предположил Ирвин, это может быть
вызвано тенденцией трещины к разветвлению или тенденцией
556
Ф. Эрдоган
0,8
0,6
0,4
0,2
Рис. 9. Баланс энергии
при yF « уЧ.
[|1/(Яр2с2>] [Ёс/№)]\
D/(v4).
0,2
0,4
0,6 0.8
к образованию, но не распространению маленьких трещин впереди
бегущей трещины в плоскостях, наклоненных под углами 9 =
= ±60° к направлению распространения. Однако, как видно
из рис. 4, вряд ли можно ожидать, что ветвление будет иметь
место при скоростях, меньших г) 0,6с2, которые, по-видимому,
выше, чем экспериментально измеренные предельные скорости
распространения трещины в изотропных материалах.
Важное свойство плоских задач состоит, по-видимому, в том,
что скорость, при которой направление максимального разры-
разрывающего напряжения у фронта трещины отклоняется от основ-
основного направления трещины, примерно та же, что и скорость, при
которой максимальна 2) энергия закрытия трещины Ес (рис. 4 и 6).
Следуя гипотезе Ирвина, можно предположить, что при скоро-
скоростях, больших 0,6с2, энергия разрушения будет возрастать гораздо
быстрее с ростом скорости. Далее, поскольку при и <С 0,6 скорость
изменения энергии, поступающей в окрестность конца трещины,
увеличивается со временем и скоростью разрушения, можно ожи-
ожидать, что скорость трещины будет стремиться стабилизироваться
при и = 0,6 или ниже, если увеличение yF достаточно большое.
С другой "стороны, трещина будет ветвиться вблизи v = 0,6 или
выше, если yF останется сравнительно низкой. Большинство
металлов, испытывающих хрупкое разрушение, ведут себя в соот-
соответствии с первой возможностью, а стекло и некоторые полимеры
при низких температурах — в соответствии со второй.
г) При 0 = 0 имеем дое/дд = 0. Кроме того, для 0 = 0 и v = 0,25 про-
производная д2ае/502 равна нулю при v = 0,629, положительна при и > 0,629
и отрицательна при v <; 0,629. Это означает, что при v > 0,629 максимальное
разрывающее напряжение будет действовать на некотором направлении,
отличном от 0 = 0.
2) Это, по-видимому, не является общим правилом; см., например, сле-
следующий раздел.
Гл. 5. Теория распространения трещин 557
Следует отметить, что предшествующие выводы основывались
на исследовании в двумерном случае бесконечной изотропной
однородной упругой среды при не зависящих от времени одно-
однородных граничных условиях на бесконечности. Очевидно, что
если тело ограничено и «внешние нагрузки» зависят от времени,
то отраженные волны и волны, образованные на границе, должны
были бы привести к изменению напряженного состояния вблизи
фронта трещины. Например, в прямоугольных пластинках с за-
закрепленными краями влияние волн, отраженных от краев, подоб-
подобно влиянию дополнительного поля сжимающих напряжений,
снижающих интенсивность поля напряжений вокруг трещины
и вызывающих уменьшение скорости трещины. Колебательное
изменение скоростей трещины в некоторых экспериментах можно
отнести за счет этого воздействия.
В случае анизотропных материалов вследствие изменения
напряженного состояния и поведения энергии разрушения бла-
благодаря анизотропии ситуация, касающаяся предельной скорости
и ветвления трещины, может быть несколько иной. В большинстве
случаев анизотропные материалы имеют ослабленную плоскость
отрыва, на которой энергия разрушения yF ниже энергии при
других ориентациях. Если разрушение происходит вдоль такой
ослабленной плоскости, то имеется тенденция к ветвлению тре-
трещины при скоростях, больших скорости, полученной на основе
теоретических рассмотрений (т. е. д2ае/д92 = 0). В результате
в анизотропных материалах можно наблюдать скорости трещин,
значительно превышающие скорости, наблюдавшиеся в изотропных
материалах, и превосходящие упомянутый выше предел, при-
приблизительно равный 0,6с2. Например, Халл и Бёрдмор [61] привели
данные о скоростях трещин в монокристаллах вольфрама, дости-
достигающих 0,83с2.
4. Пример. Трещины продольного сдвига
В этом разделе мы рассмотрим антиплоский аналог плоской
задачи с распространяющейся внутренней трещиной в бесконечной
среде в постановке Броберга [13] и Крэггса [25]. Задача ставится
для бесконечной упругой среды, нагруженной равномерно распре-
распределенным на бесконечности касательным напряжением xyz = q
и содержащей сквозную трещину при у = 0 и | х | < а, которая
растет с постоянной скоростью Fo> т. е. а = VQt, t — время
(рис. 10). С практической точки зрения задача не очень интересна,
однако поскольку она допускает сравнительно простое анали-
аналитическое рассмотрение, она здесь используется для того, чтобы
продемонстрировать применение некоторых представлений, рас-
рассмотренных в предыдущих разделах.
558
Ф. Эрдоган
-a a c2t
Рис. 10. Плоскость при продольном сдвиге.
Итак, предполагается, что трещина образуется в момент
t =5 0 и распространяется с постоянной скоростью VQ в плоскости
у = 0. Вследствие геометрических условий и условий нагружения
предполагается также, что возмущения, возникающие от движе-
движения трещины, не зависят от z и поляризованы в плоскости ху.
Единственная ненулевая компонента, z-компонента w вектора
смещения, будет тогда удовлетворять следующему волновому
уравнению:
дЧ»
дх*
E4)
где с2 = ([>t/p)I/2 — скорость волны сдвига в среде, \х и р — модуль
сдвига и плотность материала соответственно. Ненулевые ком-
компоненты тензора напряжений равны
%xz = \х дш/дхл xyz = \л dw/dy,
%TZ = \i dw/dr, t9z = (\i/r) dw/dQ.
E5)
Уравнение E4) должно быть решено при следующих условиях:
: = 0
при ?^0
при у = 0
при у = 0
, \х\>а
E6)
При помощи суперпозиции можно показать, что динамическая
задача эквивалентна задаче о первоначально свободном от напря-
напряжений твердом теле, в котором при t = 0 возникает малая тре-
трещина, распространяющаяся с постоянной скоростью Fo; на по-
поверхность трещины действуют постоянные усилия %уг = —q
при t > 0. Последняя задача связана с возмущениями, вызван-
вызванными распространяющейся трещиной в исходной задаче, и удо-
Гл. 5, Теория распространения трещин 559
влетворяет следующим условиям:
io = 0, w = 0 при ? = 0,
%yz=—q при г/ = 0, \x\<Vot, E7)
w = 0 при у = 0, | ж | ^> Fq^-
Чтобы получить решение задачи, которое применимо вблизи
концов трещины, можно использовать метод, развитый Голд-
стейном и Уордом [126] для сверхзвуковых конических течений.
Этот метод применил Крэггс [25] к плоской задаче, учтя, что
задача не содержит характерной длины.
Полагая
т == c2t, v = V0/c2, a = rlx = sech (—§),
I = I + Щ = sech (p + id), E8)
w = Re ф (?), Ф (?) = фЧО при т| > 0,
Ф (Q = _ф' (S) при т] < 0,
получаем, что концы трещины а; = ±F0^ = ±vx в плоскости г0
соответствуют точкам ветвления \ = +у в плоскости ? и решение,
применимое при малых значениях | ? — г; |, можно записать
в виде
Ф (Г\ ~ 2qT I v \ 1/2 K W
где Z (г;) — полный эллиптический интеграл первого рода. Урав-
Уравнение E9) вместе с формулами преобразования E8) определяет
w, и компоненты напряжения можно получить из соотношений
%rz = (jx/r) dw/да, %Qz = (fji/ат) dw/дв. F0)
Сначала мы получим напряжение сдвига t0z при 0 = 0, кото-
которое в силу уравнений E8) — F0) можно записать в виде
l/2 v ч A
где р = (а — v) х = г — а — малое расстояние от конца тре-
трещины а = v%, При малых значениях v имеем К (v) -> я/2, и урав-
уравнение F1) сводится к равенству xQz = q (a/2pI/2, которое является
статическим решением. Коэффициент интенсивности напряже-
напряжений, полученный из уравнения F1), и соответствующее статиче-
статическое значение, найденное с использованием той же самой длины
трещины, показаны на рис. 11. Изменение коэффициента интен-
интенсивности напряжений аналогично изменению, полученному в пло-
плоской задаче, которое показано на рис. 3. Однако отношение ско-
560
Ф, Эрдоган
0,6
0,4
0,2
0
Рис. 11. Зависимость коэффици-
коэффициента интенсивности напряжений
от отношения скоростей в случае
антиплоской деформации.
динамический случай; "соот-
случай; "соответствующий статический случай; по
оси ординат:
[УР/с2* (Tfl/g)]e=O-
0,2
0,4 0,6
if
0,8
1,0
ростей, при котором коэффициент интенсивности напряжений
достигает максимума, значительно выше соответствующего зна-
значения для плоской задачи @,694 вместо 0,39) 1). Более важно,
что в задаче продольного сдвига коэффициент интенсивности
напряжений становится равным нулю при скорости, равной
скорости с2 волны сдвига, а не при скорости волны Рэлея, как
получено в плоской задаче.
Далее, мы рассмотрим изменение напряжения сдвига тф2
в окрестности конца трещины в зависимости от ф и v (рис. 12).
Замечая, что
t<pz = t9z cos ф — xTZ sin ф,
получаем
Ц
I/2
тф2 = Ц- (а/2рI/2К (v) A -
(I-*;*I
I cos (i|V2) cos ф +
Г1/4, F2)
При v ->¦ 0 выражение F2) сводится к статическому значению
Рис. 12. Обозначения, принятые при вычислении скалывающего напря-
напряжения сдвига.
г) Значения для плоской задачи вычислены при v = 0,25. В задаче
продольного сдвига условие (д/dv) т02 = 0 приводит к равенству 2Е (v) =
= A + *>2) К (у), которое дает v= 0,694 и не содержит упругих посто-
постоянных.
Гл. 5. Теория распространения трещин
561
20
100
3,0 -
2,0-
1,0 -
-
-
¦ 0,9—,
г-0,99 /
" 0,98
гО,9б//
~ I 0,94/ /
" // ^
I
к
V
L
А
/„
/ \Л V
/ж
ш
i
^0,99
>0,98
\
1
60°
120°
180°
60°
120°
180°
Рис. 13. Угловое изменение ска-
скалывающего напряжения сдвига.
По оси ординат:
V
Рис. 14. Угловое изменение скалы-
скалывающего напряжения сдвига.
По оси ординат:
C2t q
Легко проверить, что ср = 0 есть корень уравнения (д/ду) тфг =
= 0. Если вычислить вторую производную, то окажется, что
= 0
<о
>о
при
при
при
дф2 ТФ2
Из этого следует, что при и > 1/]^3 » 0,578 максимум тф2 будет
достигаться в плоскости, отличной от ф = 0. Изменение тф2
в зависимости от v и ф показано на рис. 13 и 14. На рис. 13 пока-
показана только зависящая от ф часть тф2;. Однако чтобы получить
некоторое представление об относительных значениях коэффи-
коэффициентов интенсивности напряжений при различных углах, кото-
которое может быть важным при рассмотрении ветвления, следует
рассмотреть полную зависимость от и, а также от ф. Эти данные
36—0700
562 Ф. Эрдогап
приведены на рис. 14. Видно, что при скоростях вплоть до v =
= 0,7 кривые довольно пологие и ветвление может в значительной
степени зависеть от распределения и ориентации несовершенств,
расположенных на пути бегущей трещины. Когда скорость при-
приближается к с2, коэффициент интенсивности напряжений умень-
уменьшается в интервале 0 < ф < я/2 и непрерывно увеличивается
в интервале л/2 < ф < я.
Мы выберем теперь малую область i?, окружающую конец
трещины и ограниченную прямыми у = Ц 8, я = а ± 6, и опреде-
определим скорости изменения энергии для половины R (т. е. 0 ^ у <С
< 6, а — S < х <С а + б). В силу уравнений E8) — F0)
[(a-,)i/44i-^^ei^' F3>
V \ 1/2 „ , ч CoV т 1
) ^^^
Подставляя эти значения тГ2, т6г и w; в уравнения A9) и B1),
получаем х)
\ А
По смещению поверхности трещины вблизи ее конца
w = Dд/я|1) ^ (i;) (a/2I/2 (д-гI/2 F6)
и напряжению xez при 6 = 0, определяемому уравнением F1),
можно также оценить энергию закрытия трещины:
a+adt
= f yT0z(;r)u?(z—adt)dx
или
Ec = ^IL & (v) v2 A -i;2I72. F7)
x) Заметим, что величины, определенные формулами F4) и F5) и изо-
изображенные на рисунках, составляют одну четверть полных значений.
Гл. 5. Теория распространения трещин
563
Рис. 15. Зависимость скоростей
изменения энергии от отношения
скоростей.
— (U-T-V)/yFc2; - - - b/(yFc2)=v.
1,2-
1,0-
Как показано в предыдущем 0,8
разделе для более общей за-
задачи, Ес представляет собой то 0,6
же самое, что U — V — Т.
Из уравнений F4) и F7) о,4
легко получить, что Т ->¦ 0
и F->0 при i;->0; тогда,
подставляя vc2t = а, полу-
получаем
0,2-
0,2
U/vc2 = Ec/vc2 = (я/4ц) q2a; °
F8)
эта величина представляет собой статическое значение (одну
четвертую скорости высвобождения энергии деформации при рас-
расширении трещины).
Условие баланса энергии Ес = D теперь можно записать
в виде
(q2c22t/n\i) #2 (и) v* A — у2I'2 = yFc2v. F9)
Например, если yF постоянна, начальная длина трещины равна
2а0 и соответствующая критическая нагрузка равна дс, то из усло-
условия равновесия трещины мы можем написать
yF = naoql/4:\i. G0)
Полагая c2vt = а и q = nqc, получаем из уравнений F9) и G0)
я2 а0
G1)
Эта зависимость показана на рис. 15 при п = 1 и различных зна-
значениях а/а0. Из уравнения F4) можно заключить, что при v->- 1
величины Uу V и Т стремятся к бесконечности х). Однако можно
г) Вероятно, это можно было предсказать на том основании, что, когда
*> ->¦ 1, коэффициент интенсивности напряжений при qp = jt/2 стремится
к бесконечности (см. рис. 14).
36*
564 Ф. Эрдоган
также показать, что скорость изменения имеющейся энергии
U— Т— V обращается в нуль (см. рис. 15). Это означает, что
в случае продольного сдвига скорость волны сдвига представляет
собой верхний предел скорости распространения трещины и рас-
распространение со скоростью, большей, чем с2, требует излучения
энергии, а не диссипации в конце трещины. Этот результат согла-
согласуется с данными, полученными Коттрелом [22], о том, что с2
служит верхним пределом скорости движущихся винтовых дисло-
дислокаций в кристалле. Простой вывод, который можно сделать
на основании рис. 15, заключается в том, что если энергия раз-
разрушения yF постоянна и может быть обеспечен прямолинейный
рост трещины, то скорость распространения трещины будет
асимптотически приближаться к скорости волны сдвига.
Существенное различие между задачей продольного сдвига
и плоской задачей заключается в том, что в первой задаче скорости
изменения энергий U, V, Т и коэффициент интенсивности напря-
напряжений при ф = я/2 стремятся к бесконечности, когда скорость
трещяны приближается к характерной скорости упругой волны
(которая в этом случае равна с2), в то время как во второй все
эти величины остаются конечными, когда достигается характерная
скорость волны cR. Другое существенное отличие состоит в том,
что в задаче продольного сдвига величина Ес проходит через
максимум при более высокой скорости (приблизительно 0,91 с2
вместо 0,62с2) и возможная скорость ветвления несколько ниже
@,578с2 вместо 0,629с2). Следовательно, основываясь на резуль-
результатах предыдущего раздела, можно сделать следующий вывод:
в материалах с высокой энергией разрушения вероятность раз-
разветвления трещины выше в случае продольного сдвига, чем в пло-
плоских задачах.
В качестве другого идеализированного случая в этой задаче
мы можем также допустить, что диссипация главным образом
происходит вследствие пластической работы, которая пропорцио-
пропорциональна объему пластической зоны. Предполагая опять, что харак-
характерный размер пластической зоны приблизительно линейно зави-
зависит от длины трещины, мы можем написать 1)
Dp = Aa\ G2)
Для определения постоянной А можно использовать условие
Гриффитса, если принять, что уравнение G2) справедливо для
всех скоростей и длин трещины. Таким образом, если 2а0 —
начальный размер трещины, то
da
1) Опять для одной четверти полной диссипации и на единицу толщины.
Гл. 5. Теория распространения трещин
565
Рис. 16. Зависимость скоро- 1(
стей изменения энергии от
отношения скоростей.
'р-,,;
0,6
0,4
0,2
q/qc=\Ob
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0
и
С учетом равенства а = vc2t мы получим из уравнений G2) и G3)
Dp=(nq2c/A\i)clv4. G4)
Опять положив q/qc = п, приведем критерий баланса энергии
Ес = Dp к виду
EjDp = D/л2) п2К2 (v) A — v2I/2 = 1. G5)
При п = 1 и 1,05 эта зависимость показана на рис. 16, согласно
которому в этом идеализированном случае для каждого данного
отношения нагрузок существует скорость устойчивого распро-
распространения трещины, причем она довольно велика даже в том
случае, когда п очень близко к единице.
Вероятно, наиболее нереалистическим аспектом предыдущей
идеализированной модели является предположение о том, что
скорость изменения диссипируемой энергии, идущей на разруше-
разрушение, представляет собой возрастающую функцию относительно
v при всех скоростях. Однако известно, что в реальных мате-
материалах при малых значениях v величина yF уменьшается с увели-
увеличением скорости. Следовательно, более вероятно, что истинная
скорость диссипации имеет зависимость от v, более похожую на
штриховую кривую на рис. 16, и в результате этого предель-
предельная скорость может быть значительно ниже.
В этом простом примере можно также оценить размер пласти-
пластической зоны и, в частности, исследовать ее изменение в зависи-
зависимости от скорости разрушения. Используя приближение Даг-
дейла [28], получаем оценку для размера пластической зоны р
566 Ф. Эрдоган
=0,2
0i3 рис. 17. Относительный размер
пластической зоны.
y
соответствующее статическое значение*
(см. приложение А)
p = (qV2q2Y)c2vtf(q/qy, v),
G6)
К (v)[E (v)-(l-v*) К (v)) '
д 9у — предел текучести при сдвиге при соответствующей ско-
скорости ис2, а К и Е — полные эллиптические интегралы. Изменение
функции / и (при фиксированном X = q/qr = 0,2) изменение
Ду = vx — и = p/c2t в зависимости от скорости разрушения
v показано на рис. 17.
Оценка, определяемая уравнением G6), основана на предпо-
предположении, что размер пластической зоны р мал по сравнению
с полудлиной трещины а или что внешняя нагрузка q мала по срав-
сравнению с пределом текучести qY. Известно, что в статическом слу-
случае приближение Дагдейла дает достаточно хорошие результаты
[30]. В динамическом случае, если предположить, что при посто-
постоянной скорости разрушения все факторы (такие, как пластические
волны, разгрузка и др.)» влияющие на образование пластической
зоны, а также на ее форму, остаются автономными в процессе
распространения трещины, эту модель все же можно использо-
использовать для получения оценки характерного размера пластической
зоны. Однако оценка в этом случае скорее качественная, и ее
значение главным образом заключается в том, что она также
дает некоторое представление о зависимости размера пластиче-
пластической зоны от скорости трещины. Как показывает угловое из-
изменение коэффициента интенсивности напряжений (рис. 14),
Гл. 5, Теория распространения трещин 567
форма пластической зоны должна быть, в особенности при высо-
высоких скоростях разрушения, совершенно отличной от формы этой
зоны в статическом случае.
Пластическая зона круговой формы, соответствующая ста-
статическому нагружению, должна была бы удлиниться в направле-
направлении, перпендикулярном направлению распространения трещины,
и, как показывают рис. 14 и 17, размер пластической зоны
должен был бы уменьшиться в направлении роста трещины по
сравнению со статическим размером пластической зоны при той же
самой длине трещины и должен был бы увеличиться в направле-
направлении, перпендикулярном направлению роста трещины, при увели-
увеличении скорости трещины. На рис. 18 показано такое изменение,
когда р взято из рис. 17 при q/qY = 0,2 и остальные параметры
произвольны. Отметим сразу же, что из-за разгрузки и возни-
возникающих в результате нее остаточных напряжений по мере того,
как трещина проходит через пластическую зону (а при высоких
скоростях и из-за изменения скорости распространения волн
в этой зоне), размер и форма пластической зоны будут изменяться.
Основываясь на предыдущем рассмотрении и приближенном
вычислении, приведшем к уравнению G6), мы можем сформули-
сформулировать следующие выводы.
а. Гипотеза, выдвинутая Костровым, о том, что размер пла-
пластической зоны линейно зависит от длины трещины, не корректна,
в особенности при скоростях разрушения, при которых динами-
динамические эффекты существенны (рис. 17). Однако, поскольку пла-
пластическая зона становится удлиненной, когда скорость трещины
возрастает, по крайней мере в задачах продольного сдвига, объем
пластической зоны может оставаться приблизительно пропорцио-
пропорциональным а2, где а — полудлина трещины.
б. Оценка пластической работы, основанная на модели Даг-
дейла [47, 133], по-видимому, ошибочна не только из-за изменения
формы пластической зоны с изменением скорости разрушения,
но и из-за сложной природы диссипации энергии в пластической
зоне, в особенности вблизи ее движущейся границы.
Чтобы дать некоторое представление о балансе энергии
в окрестности распространяющейся трещины в течение начальной
Рис. 18. Возможная форма пластической
зоны.
' а+р
568
Ф. Эрдоган,
Рис. 19. Пластическая зона вблизи конца трещины.
стадии роста трещины при наличии пластических деформаций,
можно рассмотреть более простую задачу, относящуюся к про-
продольному сдвигу. Пусть Р — пластическая зона вблизи распро-
распространяющейся трещины и L — граница пластической зоны.
В процессе распространения трещины скорость изменения внеш-
внешней работы, совершенной напряжениями, действующими на Lf
уравновешивается суммой скоростей изменения кинетической
энергии, запасенной упругой энергии и пластической работы
в области Р и свободной поверхностной энергии, возникающей
вследствие образования новой поверхности трещины. Некоторые
грубые оценки для этих скоростей изменения энергии найдены
в приложении Б с использованием статического решения [63, 103]
и предположения о квазистатичности, аналогичного предположе-
предположению Мотта [91]. Обозначения, принятые при анализе, показаны
на рис. 19, и дополнительные упрощающие предположения сфор-
сформулированы в приложении Б. Для половины пластической зоны
Р вблизи конца трещины имеем в расчете на единицу толщины
V-
Ъщ^аа
G7)
В соотношениях G7) VE—скорость изменения упругой энергии,
Vp — скорость изменения пластической работы и у — сиободная
поверхностная энергия, причем VE = nq*aal($\\.q\). Кроме того, U —
• • • • • •
скорость поступления энергии и Г -f F# + D — T-\-Y + ya — скорость
изменения запасенной и диссипированной энергий. Из G7)
ясно, что
Это означает, что начальная стадия распространения трещины,
для которой верны предположения, сформулированные в прило-
приложении Б, устойчива. Другими словами, в противоположность
Гл. 5. Теория распространения трещин 569
случаю идеально хрупкого материала в течение этого периода
для непрерывного роста трещины внешняя нагрузка должна
непрерывно увеличиваться. Как было обнаружено Фелбеком
и Орованом [35] и отмечено Макклинтоком [85], неустойчивость
начинается после того, как трещина проходит расстояние,
приблизительно равное размеру пластической зоны. Очевид-
Очевидно, что при наличии пластических деформаций в начальной
стадии распространения трещины теория энергетического баланса
недостаточна для объяснения явления разрушения и необходимо
некоторое рассмотрение критической деформации. Дальнейшие1
замечания об этой стороне вопроса можно найти в работе Мак-
клинтока и Ирвина [87].
Д. Диссипация энергии и экспериментальные исследования
Беглый обзор континуальных теорий распространения разру-
разрушения, сделанный в предыдущих разделах, показывает, что
с практической точки зрения имеются два важных аспекта явле-
явления, которые должны существенно влиять на характер теории
и предположений, принятых при ее формулировке. Это действи-
действительная кинематика роста трещины и диссипация энергии в про-
процессе распространения разруйения. Сначала мы просто имеем
в виду следующее: зависимость длины трещины от времени в хруп-
хрупком или квазихрупком материале после того, как началось быстрое
разрушение. Существует ли на самом деле предельная скорость
трещины и если да, то какова ее величина? Какова относительная
продолжительность периода установления или ускоренного роста
трещины? Наиболее существенно, представляет ли собой рост
трещины непрерывный или дискретный процесс, т. е. является
ли скорость трещины монотонно возрастающей непрерывной функ-
функцией времени или она разрывная и (или) осциллирующая функ-
функция с зависящими от времени средним значением и амплитудой?
При формулировке теории распространения трещины следует
рассматривать вопрос о природе диссипации энергии, а также
о ее существовании. В этой связи важно было бы выяснить вопросы
о зависимости энергии разрушения от скорости распространения
трещины, о приблизительном размере и форме зоны диссипации
и о механизме и термодинамике диссипации энергии. Два послед-
последних вопроса поднимаются отчасти для того, чтсбы исследовать
применимость линейной теории упругости в качестве рабочего
аппарата и влияние выделения тепла, в зоне диссипации.
С самого начала совершенно ясны две вещи, а именно, что
ответы на две группы вопросов, поставленных выше, должны
быть получены в результате очень точных, тщательных и в не-
некоторых случаях довольно искусных экспериментальных иссле-
исследований и что эти ответы могут очень сильно зависеть от типа
570 Ф. Эрдоган
исследуемого материала и в некоторой степени от рассматривае-
рассматриваемых окружающих условий. Оставляя в стороне высокоэнерго-
<емкий тип медленного разрушения эластомеров и разрушение
в условиях плоского напряженного состояния сильно пластичных
металлических компаундов, можно было бы, видимо, хрупкие
и квазихрупкие твердые тела классифицировать следующим обра-
образом: а) хрупкие монокристаллы; б) высокохрупкие аморфные мате-
материалы; в) полимеры при температурах ниже температуры стекло-
стеклования; г) поликристаллические металлические компаунды.
Имеется, по-видимому, достаточно экспериментальных дан-
дых, подтверждающих предположения о том, что распростране-
распространение трещины представляет по существу дискретный процесс и что
период колебаний скорости уменьшается, когда увеличивается
хрупкость материала и скорость трещины. В хрупких кристал-
кристаллах и некоторых стеклах при низких температурах этот период
.может быть меньше разрешающей способности измерительных
устройств, и, следовательно, во всех отношениях можно рассма-
рассматривать распространение трещины как непрерывное. С другой
стороны, в полимерах и поликристаллических материалах, осо-
особенно при низких скоростях, период колебаний скорости может
быть настолько велик, что поддается обнаружению даже грубой
измерительной техникой, и поэтому может возникнуть серьезное
•сомнение в применимости теорий, основанных на предположении
о непрерывном росте трещины.
В этом разделе мы кратко остановимся на экспериментальных
методах и результатах наиболее существенных эксперименталь-
экспериментальных исследований и попытаемся более широко взглянуть на
лвления диссипации.
1. Методы измерения скорости распространения трещины
Ниже коротко обсуждаются четыре основных эксперимен-
экспериментальных метода, используемых для измерения скорости распро-
распространяющейся трещины.
а. Датчики скорости. Датчики скорости состоят из ряда про-
проводящих «проволочек», размещенных через определенные интер-
интервалы на предполагаемом пути трещины и перпендикулярных
лаправлению распространения. Они образуют одно плечо моста,
которое обычно связано с осциллографом. Моменты разрыва про-
проволочек вследствие распространения трещины определяются по
кривой на экране осциллографа. Среди многих других исследо-
исследователей, которые использовали этот метод, упомянем Хадсона
и Гринфилда [60], Робертсона [106], Холла и др. [7, 54, 132], про-
проводивших опыты в Иллинойсском университете, а также Акиту
аи Икеду [1]. Очевидно, что этим методом можно измерить только
Гл. 5. Теория распространения трещин 571
средние скорости на сравнительно больших рабочих длинах
и очень мало данных можно получить (если это вообще возможно)
о начальной стадии ускоренного роста трещины. Кроме того,
ногут возникать серьезные вопросы относительно одновременности
лрохождения трещины через некоторую точку и разрушения
лроволочки в этой точке, связанные с материалом и способом
соединения этих «проволочек» с образцом. Например, Роберт-
сон [106] в своих экспериментах обнаружил, что металлические
проволоки совершенно непригодны, и вынужден был использовать
покрытую графитом бумагу. В этом методе трудность возникает
из-за неопределенности времени задержки при разрушении про-
проволочки, возникающей вследствие деформаций сдвига в связую-
связующем веществе и растяжения самой проволоки.
б. Импедансный метод. Этот метод, развитый и примененный
Карлсоном [16], заключается в измерении импеданса между двумя
точками пластинки, которые расположены симметрично на каж-
каждой из сторон трещины и связаны с высокочастотным источником
тока. Благодаря скин-эффекту в случае тока высокой частоты
плотность тока вблизи поверхностей трещины будет очень велика
всюду, за исключением участков вокруг концов трещины и обла-
области вблизи двух точек контакта, и не будет зависеть от длины тре-
трещины. Карлсон изучил вопрос теоретически и, кроме того, полу-
получил экспериментальные тарировочные кривые. Тарировка прово-
проводилась при помощи двух половин пластинки, помещенных на
определенном расстоянии друг от друга, причем трещина модели-
моделировалась путем закрывания некоторой части щели между пла-
пластинами проводящей фольгой или путем размещения в щели про-
проводящей прокладки. Так как импеданс можно записывать непре-
непрерывно, используя скоростную аппаратуру, то метод обеспечивает
непрерывное измерение длины трещины как функции времени.
При использовании этого метода следует иметь в виду то обстоя-
обстоятельство, что импеданс очень чувствителен к ширине щели (кото-
(которая, несомненно, имеет форму, подобную эллипсу, а -не прямо-
прямоугольнику, и которую, может быть, не так легко воспроизвести
при тарировке и использовать при анализе), и следует учитывать
возможное влияние на импеданс нерегулярностей действительных
поверхностей разрушения.
в. Высокоскоростная фотография. Одним из наиболее широко
используемых методов регистрации распространения трещины
являлась высокоскоростная фотография. Многоискровая камера,
использованная Шардином и Стругом [111, 112], способна работать
со скоростями вплоть до 106 кадров в секунду. Камера, исполь-
использованная Уэллсом и Постом [127], также была многоискровой.
Высокоскоростная кадровая камера, использованная Биби [8],
могла работать со скоростями вплоть до 105 кадров в секунду.
572 ф, Эрдоган
Несмотря на то что при помощи высокоскоростной фотографиж
наилучшие результаты были получены на прозрачных образцах,,
этот метод может быть также использован для непрозрачных
материалов, если должным образом отполировать поверхность
образцов. Например, кадровая камера с вращающимся зеркалом
Барра и Строуда была успешно использована Ван Элстом [123]
при изучении хрупкого разрушения стальных пластинок в так
называемой экспериментальной схеме Робертсона [106]. Ван Элст
также использовал «стрик»-камеру с вращающимся зеркалом,
в которой изображение в процессе экспонирования смещается от-
относительно пленки, обеспечивая, таким образом, непрерывную
запись процесса разрушения. При этом скорость трещины могла
быть получена по наклону линии на кадре.
г. Ультразвуковой метод. Ультразвуковой метод, который
был развит Керкхофом [69, 70], основан на использовании хорошо
известных линий Уоллнера [125], образующихся при пересечении
фронта трещины поперечными волнами, возникающими главным
образом на несовершенствах, расположенных на поверхности об-
образца и пути трещины. В методе Керкхофа поверхность образца
непрерывно возмущается ультразвуковыми волнами известной
частоты. Несмотря на то что напряжения, вызываемые этими вол-
волнами, очень малы, при наложении их на напряжения у вершины
трещины они порождают периодическое возмущение, которое
достаточно велико для того, чтобы оставить отметки времени на
поверхности разрушения. Эти отметки имеют вид гребней какой-
либо формы, которые можно сделать видимыми при подходящем
освещении. Скорость распространения разрушения оценивается
по расположению этих отметок времени, или гребней, и частота
волн. Этот метод применим к материалам, которые имеют очень
гладкие поверхности разрушения, например к аморфным материа-
материалам и монокристаллам. Обсуждение разновидностей метода, раз-
различных приложений и дальнейшие ссылки по этому вопросу можно
найти в статье Шардина [110]. Некоторые применения этого метода
обсуждались также Кларком и Ирвином [18].
Скорость трещины можно, кроме того, определить по линиям
Уоллнера, появляющимся на поверхности разрушения без помощи
внешних генераторов. По двум семействам пересекающихся линий
Уоллнера Смекал [116] сумел определить скорость трещины в стек-
стекле. Шенд [115] показал, что из-за геометрии линий Уоллнера для
вычисления скорости трещины достаточно одной линии. В обоих
этих случаях предполагается, что известна скорость поперечной
волны в твердом теле, а в методе Шенда требуется, чтобы был
идентифицирован источник поперечной упругой волны.
Недавно Халл и Бёрдмор [61 ] применили эти методы для изме-
измерения скорости трещины в монокристаллах вольфрама. В связи
с этим следует отметить, что распределение несовершенств поверх-
Гл. 5. Теория распространения трещин 573
ности или дефектов, вызывающих линии Уоллнера, случайно и,
следовательно, этим методом в отличие от метода Керкхофа нельзя
получить систематическую запись скорости разрушения.
2. Методы измерения энергии разрушения
Экспериментальные исследования с целью измерения энергии
разрушения для твердого тела преимущественно ограничиваются
вопросами статики, среди которых представляют интерес возник-
возникновение разрушения и медленное разрушение полимерных твер-
твердых тел [48, 104, 129], — явления, рассмотрение которых выходит
за рамки этой главы. Насколько известно автору этой главы, един-
единственная сознательная попытка выполнить экспериментальное
исследование энергии разрушения как функции скорости и тем-
температуры и измерить ее значения была предпринята группой
Ирвина в Научно-исследовательской лаборатории (NRL) Военно-
морских сил. Результаты этих исследований пока еще не доступны.
Скорости, которые достигались в этих экспериментах, были все же
слишком малы. Этот аспект механики разрушения требует как
большого искусства в подготовке и проведении экспериментов,
так и глубокого понимания теории вопроса.
Родственная задача изучалась Краффтом и Сулливаном [75];
они обнаружили, что трещиностойкость (которая представляет
собой меру энергии разрушения в том смысле, в каком это понятие
употребляется здесь) уменьшается при уменьшении температуры
и увеличении скорости деформации. Кроме того, они сообщают
соотношение между критическим значением коэффициента интен-
интенсивности напряжений К1с в случае плоской деформации и скоро-
скоростью трещины (см. также [74]).
Показано, что К1с сначала уменьшается с увеличением ско-
скорости трещины (по-видимому, из-за уменьшения величины пласти-
пластической работы, вызванного влиянием скорости) и затем увеличи-
увеличивается при увеличении скорости. Последнее заключение основано
на обработке данных, полученных Райтом и др. [132]. Следует
отметить, что при таких вычислениях можно определить ошибку,
имеющуюся в оценке энергии закрытия трещины по измерени-
измерениям деформации и статической теории, и отделить динамические
эффекты от истинной диссипации.
3. Краткое рассмотрение типичных экспериментальных исследо-
исследований
При обсуждении типичных и значительных результатов экспе-
экспериментальных исследований будем руководствоваться той гру-
грубой классификацией хрупких и квазихрупких материалов, кото-
которая была дана выше. Несмотря на различие целей этих исследова-
574 ф. Эрдоган
ний, в пределах каждой группы материалов были изучены пример-
примерно одни и те же вопросы. Попытки дать исчерпывающий обзор
текущей литературы здесь не делаются.
а. Монокристаллы. Распространение разрушения в монокри-
монокристаллах вольфрама было недавно изучено Халлом и Бёрдмором-
[61]. Они расклинивали вдоль плоскости {010} прямоугольный
образец поперечного сечения 0,11 X 0,05 см.
Трещина с заострением атомных размеров создавалась лока-
локализованным искровым разрядом. Температура изменялась в пре-
пределах между 20 и 300 К. Оказалось, что при низких уровнях
напряжений и низких скоростях поверхность разрушения очень
гладкая, и можно было легко обнаруживать линии Уоллнера,.
возникавшие на поверхностных дефектах или ступеньках скола. Эта
область соответствует низкой энергии разрушения, которая пред-
представляет собой в значительной мере свободную поверхностную
энергию твердого тела. Измеренная величина энергии разрушения
6300 эрг/см2 хорошо согласуется с теоретическим значением сво-
свободной поверхностной энергии 4850 эрг/см2. При увеличении на-
напряжения и (или) температуры гладкая часть поверхности раз-
разрушения сокращается и возрастает плотность «канавок», остаю-
остающихся на поверхности разрушения после прохождения трещины,,
что означает увеличение энергии разрушения.
Важный результат этого исследования заключается в том, что
энергия разрушения и средняя предельная скорость разрушения
Vt очень сильно зависят от температуры. Было установлено,,
что VT = 0,82 с2 при 20 К, VT = 0,6 с2 при 77 К, а при более высо-
высоких температурах, когда «канавки» были более ярко выражены,.
VT изменялась между 0,2 с2 и 0,55 с2- В более раннем исследова-
исследовании [62] авторы выяснили, что в интервале температур от 290 до
330 К разрушение происходит путем медленного разрыва, в то
время как после 330 К разрушение начинается как пластический
отрыв и становится в конце концов хрупким.
Единственное имеющееся помимо этих экспериментальное
исследование распространения трещины в монокристалле была
выполнено Гилманом и др. [45] на фтористом литии, в котором
предельная скорость трещины оказалась приблизительно равной
одной трети скорости продольной волны.
б. Высокохрупкие аморфные твердые тела. В эту группу мы
включаем главным образом различные виды стекол. Исследова-
Исследования по этому вопросу с необходимыми библиографическими ука-
указаниями тщательно подытожены в статье Шардина [110]. Здесь же
упоминаются лишь некоторые важные результаты. Эксперименты
показали, что при растяжении пластинки, за исключением слу-
случая, когда оно создается баллистическим нагружением, скорость
разрушения вначале низка, а на ранней стадии распространения
Гл. 5. Теория распространения трещин 575
трещины зависимость скорости от времени существенно отли-
отличается от предсказываемой теориями, основанными на гипотезе-
Мотта (см. также Биби [8]). Для данного вида стекла предельная
скорость У г, по-видимому, не зависит от температуры и внешней
нагрузки. Однако VT оказывается очень сильно зависящей от
химического состава материала. Кроме того, установлена связь
между Vt и микротвердостью, которая приводит к следующему
эмпирическому соотношению:
VT = - 560 + 2,48 (ан/рI/2,
где он — микротвердость и р — плотность. Имеется довольна
большой разброс в значениях скорости Fy при исследовании ее
зависимости от с2. Таким образом, приходим к заключению, что
приводимое обычно соотношение VT = 0,5 с2 является в лучшем
случае грубым приближением.
в. Полимеры при температурах ниже температуры стекло-
стеклования. Экспериментальные исследования хрупкого разрушения
полимеров в основном ограничиваются измерениями скоростей
и напряжений. Фотоупругий анализ пластинки из материала CR-39
с краевой трещиной при растяжении провели Уэллс и Пост
[127]. Используя метод умножения полос и многоискровую
камеру, они получили последовательные снимки картины изохром
в пластинке с бегущей трещиной; этим способом, кроме того,
можно определить скорость трещины.
Основные результаты исследования состоят в том, что: а) раз-
различие между порядком полос при статическом и динамическом
нагружениях весьма значительно вдалеке от трещины и мало
вблизи ее конца; б) напряжения возрастают по мере роста трещины
и в) предельная скорость близка к предсказанной Робертсом ее
Уэллсом [105], т.е. 0,38 (?7рI/2. Эксперимент, по-видимому, про-
проводился при комнатной температуре. Последняя и наибольшая
зарегистрированная скорость в этом эксперименте достигалась
на расстоянии 7/ю ширины пластинки, если считать от края, от
которого начала расти трещина. Из-за влияния свободных границ,
динамика в этой задаче довольно сложна, а отклонения от случая
бесконечной плоскости с центральной трещиной, на котором
основаны все существующие теории, в настоящее время еще
не выяснены.
Биби использовал пластинку из хомалита-100 с центральной
трещиной (хомалит-100 представляет собой оптически активный
вязкоупругий полимер из полиэфирной смолы) и пришел при-
примерно к тем же выводам. Однако, несмотря на то что при анализа
изохром всегда существует возможность ошибки до 15%, его
результаты для поля напряжений вокруг вершины трещины
очень хорошо согласуются с динамическим решением Броберга
ИЗ], а не со статическим решением. Предельные скорости, полу-
576 Ф. Эрдоган
ченные Биби, составляли 0,315 с2 при —4,4 °С и 0,342 с2 при
—40 °С. Подобно результатам Шардина для стекла, данные, полу-
полученные Биби, показали, что ветвление трещины имеет место во
всех испытанных образцах при высокой начальной скорости
нагружения и что длина трещины, при которой начиналось ветвле-
ветвление, зависела от величины внешней нагрузки, уменьшаясь с уве-
увеличением нагрузки. В противоположность данным Карлсона [17],
результаты Биби показывают, что ветвление не связано с упру-
упругими волнами, отраженными от ненагруженных границ пластинки.
Он также пришел к заключению, что модель, основанная на под-
подходе, подобном предложенному Моттом, не пригодна для описания
ранней стадии процесса роста трещины.
Коттерел [20] проводил эксперименты по изучению распро-
распространения центральных или краевых трещин в пластинках поли-
метилметакрилата (плексигласа). Скорость трещины измерялась
датчиком скорости (образованным линиями, нанесенными серебря-
серебряной краской), который, как было установлено, дает среднюю ско-
скорость с точностью до 5%. Максимальная скорость, предшествую-
предшествующая ветвлению, полученная в этих экспериментах, составляла при-
приблизительно 0,26 cv Это значение увеличивалось до 0,36 q, если
разрушение происходило вдоль предварительно прорезанных кана-
канавок. В этих экспериментах не было обнаружено существенного
влияния отраженных волн. Коттерел получил также значения
характеристики трещиностойкости материала как функцию скорости
трещины. Однако эти результаты в лучшем случае следует рас-
рассматривать как качественные. По графику скорости, приведен-
приведенному Коттерелом, довольно трудно обосновать использование
решения Броберга для получения достоверных количественных
результатов. (Решение Броберга относится к трещине, равномерно
движущейся начиная с нулевой длины, и, как видно из рис. 3,
коэффициент интенсивности напряжений будет зависеть от вре-
времени (или длины трещины).) Кроме того, в динамических задачах,
за исключением случая очень низких скоростей, квадрат коэффи-
коэффициента интенсивности напряжений не пропорционален энергии
закрытия трещины, что можно видеть из разд. II,Г этой главы.
В экспериментах Коттерела также было обнаружено, что шеро-
шероховатость поверхности разрушения увеличивается с увеличением
скорости трещины.
г. Поликристаллические материалы. По понятной причине
много экспериментальных работ было выполнено по изучению
разрушения конструкционной стали и сплавов алюминия и меди.
Фелбек и Орован [35] изучили распространение разрушения
в стальных пластинках из корабельной стали толщиной 3/4 дюйма
A,9 см) с краевой трещиной. Для испытаний использовалась гид-
гидравлическая машина; поэтому в процессе распространения тре-
трещины происходило значительное падение нагрузки, которое вызы-
Гл. 5. Теория распространения трещин 577
вало иногда остановку трещины. Один из важных результатов,
полученных в этих экспериментах, заключается в том, что для
того, чтобы вновь вызвать распространение трещины, нужно
увеличить внешнюю нагрузку по сравнению с величиной, соот-
соответствовавшей остановке, и что у вершины остановившейся тре-
трещины развивались значительные пластические деформации, при-
приводившие к образованию узкой зоны фибриллярного разрушения,
за которой вновь следовало быстрое хрупкое разрушение.
Обширная серия опытов была выполнена на конструкционной
стали Холлом и его коллегами [7, 54, 132] в Иллинойсском универ-
университете. В этих опытах основное внимание уделялось изучению пове-
поведения при хрупком разрушении корабельных сталей при темпера-
температуре ниже переходной. Образцы брались толщиной от 3/4 A,9 см)
до 1х/8 дюйма C,04 см), шириной от 2 F0, 96 см) до 6 футов A,83 м)
и длиной 18 футов E,5 м). Они охлаждались сухим льдом до
—17,8 °С или —23,4 °С и подвергались действию растягивающих
усилий до 19 000 фунт/дюйм2 A335 кГ/см2). Чтобы инициировать
разрушение, использовался метод удара клином по вырезу. Для
определения скоростей трещины на пути распространяющейся
трещины помещались датчики сопротивления SR-4 типа А-9. Для
изучения замедления и остановки распространяющейся трещины
некоторые эксперименты проведены на пластинках с остаточными
напряжениями. Остаточные напряжения были созданы в пластин-
пластинке путем прорезания двух клиновидных вырезов на каждой стороне
и последующего их заваривания, что приводило к возникновению
поля растягивающих напряжений между заваренными разрезами
вблизи краев и полю сжимающих напряжений в центральной
части пластинки.
В нормальных пластинках измеренные значения скорости тре-
трещины изменялись от 1500 до 5900 фут/с (от 457 до 1800 м/с) г),
в то время как в пластинках с остаточными напряжениями были
получены низкие скорости трещины вплоть до 50 фут/с A5,2 м/с)
в первоначально сжатых областях. Измерения деформации в пред-
предварительно напряженных пластинках ясно показали, что когда
скорость трещины уменьшалась, уменьшалась и интенсивность
поля напряжений вблизи вершины бегущей трещины. На основе
этих исследований предложен критерий распространения тре-
трещины разрыва по критическому напряжению, согласно которому
для распространения трещины напряжения на границе пластиче-
пластической зоны должны быть выше некоторого критического значения.
Как показали Райт и др. [132], это по существу критерий крити-
критической интенсивности напряжения.
х) В этих опытах была получена скорость трещины вплоть до 7550 фут/с
<2,3 км/с) [77]; при с2 = 10400 фут/с C,18 км/с) это соответствует отношению
скоростей (F0/c2) — 0,725. Несмотря на то что отношение скоростей столь
велико, это можно объяснить (см. разд. 1,Г).
37—0700
578 Ф. Эрдоган
Основная трудность, связанная с этими опытами, состоит
в том, что условия закрепления, геометрия образца и удар клином
по разрезу делают очень сложным теоретический анализ, и ни
одно из существующих динамических решений не может быть
применено с какой бы то ни было уверенностью. Многообещающее
начало на пути получения аналитического решения этой задачи
положено Гаусом [39]. Он использовал решетчатую модель для
численного анализа нестационарного распределения деформации,
связанного с трещинами, распространяющимися малыми конечными
скачками. Главным образом из-за несовершенства вычислительной
машины, использованной в то время, результаты следует рассма-
рассматривать как качественные; тем не менее они согласуются с общим
характером полученных экспериментальных зависимостей. Однако
этот подход, который, по-видимому, открывает хорошую воз-
возможность для учета влияния свободных границ, неправильной
геометрии и несимметричных внешних нагрузок (таких, как упо-
упомянутый выше удар), не получил дальнейшего развития.
Аналогичные опыты на конструкционной стали были выпол-
выполнены Акитой и Икедой [1]; они дали совершенно аналогичные
результаты. Было установлено, что средние скорости трещины воз-
возрастали с увеличением начальной нагрузки до появления разру-
разрушения и уменьшались с увеличением температуры испытания.
Растягивающее напряжение изменялось между 50 и 20 кг/м2г
а температура испытания — между — 70 и —10 °С *).
Возможно, менее обширные, но более существенные испытания
на конструкционной стали были выполнены Карлсоном [17}
и Ван Элстом [123]. Карлсон использовал импедансный метод для
измерений скорости и показал, что распространение трещины в кон-
конструкционной стали (при данных условиях опыта) происходит
прерывисто (см. также [122]); впереди основной трещины обра-
образуются и растут микротрещины, которые затем к ней присоеди-
присоединяются. Карлсон отметил и исследовал влияние несимметричных
(т. е. касательных) компонент напряжений вблизи конца трещины
на ее ветвление. Касательные напряжения лишь изменяют направ-
направление плоскости отрыва [32] и, следовательно, могут считаться
одной из причин ветвления трещины. Один из выводов, сделанных
Карлсоном, который, по-видимому, не является общепризнанным
[8, 20], заключается в том, что ветвление возникает в местах, где
волны, отраженные от свободной границы, интерферируют с на-
напряжениями у конца трещины. Отраженные волны расшире-
расширения уменьшают зависимость разрывающего напряжения ае от
угла 6, а волны сдвига стремятся повернуть плоскость отрыва.
х) Приближенное динамическое решение, использованное Акитой и Ике-
Икедой [1J, имеет неправильную особенность. Поэтому сомнительны зависимости
и сопоставления, к которым они пришли.
Гл. 5. Теория распространения трещин 579
Ван Элст [123] использовал в экспериментах машину Роберт-
сона; таким образом, остановка трещины происходила при более
высоких температурах. При помощи «стриюькамеры была полу-
получена непрерывная запись зависимости длины трещины от времени.
Скорости трещины измерялись также с использованием высоко-
высокоскоростной кадровой камеры. Температура испытания изменя-
изменялась от —35 °С (при использовании сухого льда в качестве
охлаждающей среды) до комнатной температуры (температура оста-
остановки 27 °С). Ван Элст установил также, что трещина распростра-
распространяется отдельными скачками, изменяющимися от величины, дохо-
доходящей до 30 мм вблизи температуры остановки, до 2 мм при более
низких температурах и что периоды остановок изменяются между
20 мкс для высоких и 1 мкс для низких температур.
Однако следует признать, что в опытах на конструкционной
стали разрушение по существу происходит в условиях плоской
деформации, но фотографии и измерения скорости трещины отно-
относятся к трещине, которая наблюдается на поверхности. Хотя
нет доказательства существования больших пластических дефор-
деформаций на поверхности образца впереди бегущей трещины, трудно
объяснить (исходя из представления об истинном фронте трещины)
менее различимый оттенок впереди основной трещины, видимый
на фотографиях, полученных в опытах Ван Элста при помощи кад-
кадровой камеры. Следовательно, с категорическими утверждениями
о деталях и природе скачкообразного распространения трещины,
в особенности о максимумах их размеров, следует подождать до
проведения дальнейших исследований. Однако в принципе
результаты Ван Элста, особенно распределение напряжений впереди
бегущей трещины, полученное при помощи фотоупругого покры-
покрытия, по-видимому, дают убедительное доказательство прерывисто-
прерывистого характера распространения трещины в конструкционной
стали.
4. Некоторые замечания о диссипации энергии
В идеально хрупких материалах свободная поверхностная
энергия представляет собой единственный вид энергии, диссипируе-
мой в процессе распространения трещины. В эту группу могут
быть включены кристаллические хрупкие твердые тела, не обла-
обладающие реологическими или пластическими свойствами, стекла,
поведение которых не зависит от скорости воздействия, и некото-
некоторые полимеры при очень низких температурах. В таких материа-
материалах диссипируемая энергия (энергия разрушения, потребная для
образования единицы поверхности трещины yF) непосредственно
связана с геометрией поверхности разрушения, т. е. yF увеличи-
увеличивается с увеличением степени шероховатости поверхности разру-
разрушения. Нерегулярность поверхности разрушения может суще-
существовать в различных формах. На монокристаллах можно наблю-
37*
580 ^ Ф. Эрдоган
дать ступеньки скола, которые образуются, когда фронт трещины
пересекает линии винтовых дислокаций [24] или трещина может
переходить с одной кристаллографической плоскости на другую,
если в кристалле нет плоскости отрыва, которая значительно
слабее, чем другие. В поликристаллических материалах вслед-
вследствие случайной ориентации зерен трещина входит в зерно обычно
непараллельно слабой плоскости отрыва. В результате про-
происходит ее разделение для того, чтобы стала максимальной ее
поверхность, расположенная параллельно выделенной плоскости
отрыва [24].
В случае аморфных твердых тел, таких, как стекло или поли-
полимеры, неровность поверхности имеет форму обычно наблюдае-
наблюдаемой ребристой структуры или гребней. Ребристая структура, или
картина «канавок», наблюдается обычно в течение начального
периода распространения трещины (или начального периода движе-
движения трещины после остановки) и рассматривается как причина
относительно высокого значения энергии разрушения при начале
роста трещины. Развитие гребней может быть отнесено за счет
образования микротрещин впереди основной трещины и в плос-
плоскостях, которые не компланарны плоскости основной трещины.
Какова бы ни была причина образования этих неровностей поверх-
поверхности, обычно признается, что они поглощают энергию (которая
может быть в некоторых случаях непропорционально велика
по сравнению с относительным увеличением площади поверхности
разрушения из-за особого механизма образования неровности)
и что степень грубости поверхности увеличивается с увеличением
скорости разрушения (выше некоторой скорости) и в большинстве
случаев с увеличением температуры.
При хрупком разрушении большинства полимеров и квази-
квазихрупком разрушении металлических компаундов и некоторых моно-
монокристаллов (которые образуют наибольшую группу материалов,
представляющих интерес с технологической точки зрения) явле-
явление диссипации, происходящее в процессе распространения тре-
трещины, представляется гораздо более сложным. В таких материа-
материалах основная часть диссипации энергии обусловлена вязкими
эффектами или пластическими деформациями, а вклад свободной
поверхностной энергии весьма незначителен. Основная причина
сложности явления в этом случае заключается в том, что необра-
необратимые эффекты, такие, как вязкость и пластические деформации,
очень сильно зависят от геометрии тела, от особенностей напря-
напряженного состояния вокруг распространяющейся трещины, от
микроструктуры и определяющих свойств материала, а также
условий окружающей среды. Большая часть из этих факторов
не поддается аналитическому описанию. Более того, некоторые
из этих факторов могут весьма существенно меняться от материала
к материалу, тем самым затрудняя простые обобщения.
Гл. 5. Теория распространения трещин 581
Некоторые простые, обычно наблюдаемые факты, касающиеся
хрупкого разрушения, перечислены ниже для последующего
обсуждения.
а. В материалах с выделенными (слабыми) плоскостями отрыва
скорость трещины может достигать очень больших значений
@,8 с2 и более) без появления ветвления.
б. В материалах с изотропными или почти изотропными по
отношению к разрушению свойствами, по-видимому, существует
максимальная скорость разрушения, которая зависит от конкрет-
конкретных условий окружающей среды, которая не может быть превышена
и при которой происходит ветвление трещины. Обычно эта пре-
предельная скорость не зависит от уровня внешних нагрузок, кото-
которые просто определяют продолжительность периода времени,
в течение которого в данных условиях достигается эта скорость.
В большинстве случаев эта скорость намного меньше, чем ско-
скорость, соответствующая условию <92(Гф/<9ф2 = 0, гдесгф— разрываю-
разрывающее напряжение у конца трещины и ср — угол, измеряемый
от направления трещины; первая обычно изменяется между 0,3
и 0,6 с2, а последняя равна приблизительно 0,6 с2.
в. Предельная скорость трещины, по-видимому, помимо про-
прочего зависит от химического состава и микроструктуры материала.
В дополнение к сказанному мы сделаем следующие замечания,
основанные на теоретических исследованиях.
а. В задачах о распространении трещин нельзя пренебрегать
инерционными эффектами, следует использовать динамическое,
а не статическое решение, и следует включать в любой вид балан-
баланса энергии кинетическую энергию.
б. Если зона диссипации вблизи конца трещины мала, то
энергию, которая затрачивается на диссипацию вблизи конца тре-
трещины, можно получить из соотношения U — V — Т = Ес? где
С/, V и Т — соответственно скорости изменения во времени внеш-
внешней работы, упругой энергии и кинетической энергии в малой
области, окружающей конец трещины, и Ес — скорость измене-
изменения энергии закрытия трещины. Если D — скорость диссипации
энергии, то при постоянной скорости роста трещины Ес = D. Если
при данной скорости, вычисленное значение Ес больше, чем Di
то избыток энергии пойдет на ускорение трещины.
в. При условии, что можно обеспечить прямолинейное движе-
движение трещины, теоретические пределы скорости распространения
трещины равны скорости волны сдвига в задачах продольного
сдвига и скорости волны Рэлея в плоских и трехмерных задачах.
582 Ф. Эрдоган
Это означает, что распространение трещины со скоростями, пре-
превосходящими предельные, требует излучения (а не поглощения)
энергии вблизи контура трещины.
Подобно критерию Гриффитса, мы сначала устанавливаем,
что трещина будет распространяться в направлении максималь-
максимального отношения EJD. Это, по-видимому, является причиной по-
появления искривленных трещин и трещин нерегулярной формы.
Затем мы рассматриваем случай, в котором D — скорость
диссипации вблизи распространяющейся трещины — представляет
собой возрастающую функцию скорости. D может также зависеть
от длины трещины, как указано в разд. II,Г. Из рис. 6 мы заклю-
заключаем, что вплоть до некоторой определенной скорости (ж 0,6 с2)
•
Ес является линейной функцией времени и возрастающей функ-
функцией скорости. В окрестности данной скорости трещины может
оказаться, что дальнейшее увеличение скорости трещины будет
приводить к резкому увеличению D. Более того, может также
оказаться, что в сочетании с другими эффектами в конце трещины
(такими, как несимметрия компонент напряжения или малые
несовершенства) полная диссипация D для разветвленной трещи-
трещины может дать большее отношение EJD. В этом случае трещина
должна разветвиться. Распространение каждой ветви в свою
очередь должно регулироваться соответствующими отношениями
EJD в получившейся динамической задаче с новой геометрией.
Это может быть одной из причин ветвления трещин при отно-
относительно низких скоростях (от 0,3 до 0,5 с2).
Что касается двух наиболее важных вопросов, относящихся
к распространению трещины, а именно истинной кинематики роста
трещины и природы диссипации энергии, то невольно напраши-
напрашивается предположение о том, что распространение трещины пред-
представляет по своей природе дискретный процесс. В предельном слу-
случае идеального кристалла величина скачков распространения мо-
может определяться межатомными расстояниями. В другом предель-
предельном случае квазихрупких металлических компаундов и полимеров
при температурах ниже температуры перехода от хрупкости к
текучести и близких к ней ряды микротрещин, образующихся, рас-
распространяющихся и соединяющихся впереди основной трещины,
могут вызвать ее скачкообразный рост со сравнительно больши-
большими скачками.
Можно привести доводы в пользу того, что в промежуточных
случаях величина этих скачков становится меньше по мере того,
как хрупкость и степень однородности материала увеличи-
увеличиваются. Несмотря на то что это, несомненно, переупрощенная
схема и вопрос нельзя рассматривать отдельно от микроструктуры
Гл. 5. Теория распространения трещин 583
материала, эта схема может быть важна в том отношении, что она
ставит вопрос о возможных различиях между динамическими реше-
решениями, полученными при рассмотрении процесса как непрерыв-
непрерывного, и решениями, полученными при рассмотрении его как преры-
прерывистого. Здесь требуются тщательные экспериментальные и тео-
теоретические исследования.
В настоящее время можно надеяться на некоторый успех в вы-
выяснении природы энергии разрушения только после проведения
фундаментальных экспериментальных исследований, в которых
можно управлять всеми имеющими значение факторами и отде-
отделить влияние каждого из них. Мало смысла в попытках опреде-
определить yF по измерениям деформации вокруг распространяющейся
трещины, если скорость разрушения не постоянна в течение харак-
характерного периода времени; если область, окружающая трещину, не
свободна от влияния отраженных волн; если не могут быть опре-
определены 1) с достаточной степенью точности положения точек, в ко-
которых измеряются деформации, относительно распространяющейся
трещины и моменты измерений и если не могут быть воспроизве-
воспроизведены экспериментально с достаточной степенью близости началь-
начальные и граничные условия, а также геометрическая конфигура-
конфигурация, принятые при теоретическом анализе. В связи с этим отметим
две теоретические задачи, которые представляются важными:
исследование (динамическое) развития ускоряющейся трещины
в упругой среде и динамическую упругопластическую задачу о рас-
распространении трещины с постоянной скоростью. Поскольку интен-
интенсивность поля напряжений вблизи вершины трещины растет
с ростом длины трещины, разумно ожидать, что зона диссипации,
а также диссипируемая энергия будут до некоторой степени воз-
возрастать с ростом трещины. В таком случае важно иметь упрощен-
упрощенную динамическую модель пластической зоны, чтобы иметь
некоторую схему для вычисления пластической работы. Как видно
лз приложения Б и связанного с этим обсуждения в разд. II,Г,
квазистатическая модель не пригодна для этой цели. При малых
скоростях трещины инерционные эффекты, конечно, пренебре-
пренебрежимо малы, и квазистатическая модель, учитывающая зависи-
зависимость процесса от скорости, может быть адекватной. При этих усло-
условиях, например, уменьшение yF, приводящее к началу быстрого
разрушения, объясняется влиянием скорости деформации.
Е. Заключение
В первой части этой главы рассматривались теории распро-
распространения трещины, относящиеся к хрупким и квазихрупким
твердым телам при однократном приложении внешних нагрузок.
х) В этом смысле фотоупругий образец или оптически активное покрытие
«меют преимущество.
584 Ф. Эрдоган
Особое внимание уделялось динамическим аспектам явления раз-
разрушения, и рассмотрение ограничивалось теориями, основанными
на применении механики сплошной среды и классической термо-
термодинамики.
Во-первых, была изложена динамическая теория, основанная
на концепции о модуле сцепления, предложенная Баренблаттом
и его соавторами, приведен критический анализ этой теории и пред-
предложены некоторые ее модификации. Основное преимущество этой
теории заключается в ее простоте и непосредственности, а ее основ-
основной недостаток состоит в слабости лежащих в ее основе физических
соображений.
Далее рассматривались теории, основанные на той или иной
форме баланса энергии вблизи края распространяющейся тре-
трещины. Физическая основа этих теорий, заключающаяся просто
в первом законе термодинамики, весьма здравая. Однако из-за
сложности требуемого математического исследования и отсутствия
физического понимания явления диссипации энергии, происходя-
происходящей в результате разрушения твердого тела, возникают значи-
значительные трудности в применении этих теорий.
В общих чертах теорию, основанную на балансе энергии, мож-
можно сформулировать следующим образом: «В разрушающемся
твердом теле трещина будет распространяться вдоль поверхности»
обладающей наименьшим термодинамическим сопротивлением,,
скорость распространения края трещины будет зависеть от раз-
разницы между (а) скоростью, с которой совершается работа над
твердым телом внешними нагрузками, и (б) суммой скоростей из-
изменения обратимой запасенной, кинетической и диссипируемой
энергий». Условие ветвления трещины, таким образом, должно
быть неотъемлемой частью при формулировке этой теории. Кроме
того, очевидно, что в реальных материалах явление разрушения
представляет собой по существу нестационарный процесс.
В существующих теориях разрушения в значительной сте-
степени из-за соображений математической простоты рассматри-
рассматриваются только идеализированные случаи. В этой главе после
формулировки проблемы в целом изложена теория, основанная
на квазистатическом приближении, предложенном Моттом, ж
обсуждены ее результаты. Далее развита теория энергетического
баланса для хрупких и квазихрупких тел, рассматривающая про-
процесс энергетического обмена только в малой окрестности края
трещины. Показано, что энергия, потребляемая вблизи края тре-
трещины для образования новых поверхностей разрушения или для
покрытия затрат на диссипацию вследствие разрушения, равна
энергии закрытия трещины, которая не равна высвобождающейся
энергии деформации, если инерционными эффектами нельзя прене-
пренебречь. Один из основных выводов этой теории состоит в том, что
если можно обеспечить распространение трещины вдоль плоско-
Гл. 5. Теория распространения трещин 585»
сти, то скорость волны Рэлея в плоских и осесимметричных зада-
задачах и скорость волны сдвига в задачах при антиплоской дефор-
деформации представляют верхние пределы соответствующих скоро-
скоростей распространения трещины. Для распространения трещины
со скоростями, большими этих предельных скоростей, энергия
должна излучаться, а не поглощаться на краю трещины. В дей-
действительности такие высокие скорости могут быть достигнуты
в пределе при условии, что: а) тело очень велико, б) энергия раз-
разрушения или не зависит от скорости разрушения, или не увели-
увеличивается заметно с увеличением скорости разрушения и в) что вслед-
вследствие геометрии (например, глубоко надрезанные или слабо соеди-
соединенные образцы) или структуры (например, сильно анизотропные
образцы) тело имеет выделенную слабую плоскость разрушения-
Теория, исходящая из энергетического баланса в пересмотренном
виде, применяется затем к плоской задаче и задаче продольного
сдвига для бесконечного тела с центральной распространяющейся
трещиной.
Дан обзор экспериментальных работ, посвященных методам
измерения скорости трещины и энергии разрушения. Кратко рас-
рассмотрены основные методы измерения скорости, а именно датчики
скорости, импедансный метод, высокоскоростная фотография и
ультразвуковые методы. Приведены результаты некоторых типич-
типичных экспериментальных исследований, связанных с динамиче-
динамическими аспектами явления распространения трещины, разбитые
на четыре основные группы: монокристаллы, высокохрупкие^
аморфные твердые тела, полимеры при температурах ниже темпера-
температуры стеклования и поликристаллические материалы. Опубли-
Опубликованные до сих пор результаты экспериментальных исследова-
исследований содержат очень мало информации как о природе явления
диссипации вообще, так и об изменении энергии разрушения и
размера зоны диссипации в зависимости от скорости в част-
частности.
По-видимому, общепризнанным является разрывный характер
роста трещины в конструкционной стали — поведение, которое
не наблюдалось в других материалах. Этот вопрос, очевидно,,
нельзя отделять от рассмотрения микроструктуры и степени
хрупкости материала и можно с осторожностью предположить,
что явление разрушения представляет собой по существу преры-
прерывистый процесс, где период колебаний скорости зависит от микро-
микроструктуры и хрупкости твердого тела, быстро уменьшаясь,
когда степень хрупкости и аморфности материала увеличи-
увеличивается.
Наконец, рассмотрен общий вопрос о ветвлении трещины и
его связь с изменением диссипируемой энергии и напряженного со-
состояния вокруг края трещины.
586 Ф. Эрдоган
Ж. Направления дальнейших исследований
После обзора современного состояния наших знаний о дина-
динамике распространения трещины в твердых телах нетрудно заклю-
заключить, что по сравнению с другими областями исследования меха-
механического поведения деформируемых твердых тел рассматривае-
рассматриваемая область находится на довольно примитивном уровне. Это
объясняется высокой сложностью проблемы, а не общим недостат-
недостатком интереса к ней. Важность проблемы динамики разрушения
была осознана давно и изучалась многими исследователями на
атомном, микроструктурном и континуальном уровнях. Даль-
Дальнейшие исследования, очевидно, необходимы на всех этих уров-
уровнях. Однако следующие рекомендации, отражая лишь одну точ-
точку зрения, связаны только с исследованиями, основанными на кон-
континуальном подходе. Опять исключается из рассмотрения про-
процесс пластического разрушения.
Следует продолжить попытки развития пойуэмпирических
моделей распространения трещины. Однако успешность этих
попыток будет столько же зависеть от надежности лежащих в их
основе физических принципов и понимания механизма распростра-
распространения трещин в данном типе материала, сколько и от эффектив-
эффективности необходимого математического аппарата. Возможно, пер-
первый вопрос, который требует выяснения и дальнейшего изучения,
связан с пониманием природы приемлемого критерия разрушения.
Существующие критерии, такие, как модуль сцепления Барен-
блатта, критерий критической деформации Макклинтока и кри-
критерий энергетического баланса, по-видимому, далеко не удовле-
удовлетворительны. По крайней мере, они не развиты до такой степени,
чтобы их можно было использовать как средство для предсказа-
предсказания динамического развития трещины. Совершенно ясно, что
может быть невозможно развить или не имеет смысла рассматри-
рассматривать один критерий или модель, применимые ко всем материалам,
подвергающимся хрупкому разрушению.
Имеются серьезные основания подозревать, что истинная кине-
кинематика роста трещины и механизм разрушения могут быть доста-
достаточно различными в материалах с различными по существу микро-
микроструктурами (например, в аморфных по сравнению с поликристал-
поликристаллическими). Это показывает необходимость тщательного анализа
микромеханизма распространения трещины перед выбором кон-
конкретной континуальной модели. В связи с этим возникает воп-
вопрос, касающийся соотношения между непрерывным и дискретным
распространением трещины. Если дискретный характер роста
трещины достаточно существен и может привести к изменению
динамического распределения напряжений вокруг трещины, то
его, возможно, следует принимать во внимание как при форму-
формулировке, так и при применении теории распространения трещины.
Фотоупругое исследование Ван Элста показывает, что это может
Гл. 5. Теория распространения трещин 587
иметь место в случае конструкционной стали. Однако необходимы,
очевидно, дальнейшие количественные исследования.
Другой связанный с этим вопрос возникает независимо от
того, обусловлена или нет эта дискретность образованием микро-
микротрещин или пустот впереди распространяющейся трещины. Если
имеет место образование микротрещин или пустот, то оно может
вносить элемент случайности в скачкообразное распространение
трещины. Ответы на эти вопросы должны быть получены глав-
главным образом из экспериментов на материалах различных типов.
В настоящее время, возможно, наиболее важной областью,
которая требует пристального внимания и систематических экс-
экспериментальных исследований, является процесс диссипации
энергии, происходящий вследствие образования новых поверхно-
поверхностей разрушения. Этот вопрос имеет отношение к таким важным
явлениям, как устойчивость разрушения, ветвление трещины, пре-
предельная скорость и остановка трещины. Легко показать, что
диссипируемая энергия будет иметь вид свободной поверхно-
поверхностной энергии, пластической работы и (или) вязкого трения.
Важные вопросы заключаются в том, где и как происходят эти
явления, как они зависят от скорости разрушения, микрострук-
микроструктуры и окружающих условий и какое значение имеет преобразо-
преобразование большей части этой энергии в тепло. Эти исследования также
должны быть выполнены на всех типичных группах материалов,
обнаруживающих хрупкое и квазихрупкое поведение.
В исследованиях упомянутых выше типов важно учитывать
имеющиеся теоретические решения и проводить эксперименты
так, чтобы можно было избежать вторичных эффектов, таких,
как эффекты, вызванные геометрией, отраженными волнами
и сдвигом в плоскости, или так, чтобы можно было выявить эти
эффекты, а затем изучить их, вводя их контролируемым образом.
Аналитические задачи, которые было бы желательно решить,
большей частью довольно трудны. С точки зрения изучения дина-
динамики распространения трещины среди таких задач можно от-
отметить следующие.
1. Решение для ускоряющейся трещины в простейшем воз-
возможном случае.
2. Развитие теоретического метода для оценки размера пла-
пластической области, учитывающего влияние пластических волн.
Для двухосного нагружения в случае плоской деформации даже
статическая задача не имеет замкнутого решения. Эта задача,
так же как и задача об ускоряющейся трещине, может быть решена
численно в случае продольного сдвига.
3. Оценка влияния волн, отраженных от свободных границ
прямоугольной пластинки с распространяющейся центральной
трещиной.
4. Влияние волн разгрузки от закрепленных участков.
588 ф. Эрдоган
III. РАСПРОСТРАНЕНИЕ УСТАЛОСТНЫХ ТРЕЩИН
Обычно принимается, что в конструкциях, подвергающихся дей-
действию повторяющихся внешних нагрузок, микротрещины могут
образовываться на очень ранней стадии усталостного нагруже-
ния. В связи с этим общепринято считать, что усталостная долго-
долговечность данного элемента конструкции делится на три периода:
периоды зарождения и распространения усталостных трещин
и период окончательного разрушения. Окончательное разруше-
разрушение представляет собой просто разрушение твердого тела при
однократном приложении нагрузки (т. е. в течение последней
четверти цикла) и может быть рассмотрено методами, описанными
в предыдущих разделах. Однако различие между первыми двумя
периодами не очень ясно. Некоторые исследователи предпочитают
выделять распространение микротрещин в виде отдельного перио-
периода между периодами зарождения и распространения макротре-
макротрещины. Вопрос о том, при каком размере или в какой стадии микро-
микротрещина становится макротрещиной, разумеется, нельзя отделить
от рассмотрения микроструктуры и общей геометрии тела. С этой
точки зрения двумя наиболее важными факторами являются раз-
размер зерна и наименьший характерный размер тела. С надлежащим
учетом микроструктуры среды можно, например, считать трещину
макротрещиной, если она достаточно велика для того, чтобы было
допустимо применение представлений об однородном континууме.
Под распространением усталостной трещины в этом разделе мы будем
понимать рост макротрещин и будем предполагать, что применим
континуальный подход.
Согласно наиболее широко распространенным микроструктур-
микроструктурным теориям, основной механизм зарождения трещины, так же
как и распространения трещины, состоит в циклическом сколь-
скольжении и происходящих в результате этого экструзиях и интру-
интрузиях [23, 36, 92, 121, 124, 131]. Доля усталостной долговечности
конструкции, которая приходится на каждый из этих двух перио-
периодов, сильно зависит от геометрии отдельных элементов. Если де-
деталь довольно велика и не имеет каких-либо концентраторов напря-
напряжений, то период зарождения усталостной трещины будет очень
продолжительным по сравнению с периодом распространения.
В таких случаях методы, используемые для предсказания устало-
усталостной долговечности, основываются на исследованиях, приводящих
к кривым типа S — N. С другой стороны, в конструкциях с боль-
большими концентрациями напряжений, особенно в тонких пластин-
пластинках и оболочках, образование ведущей макротрещины происхо-
происходит на сравнительно раннем периоде усталостной долговечности
и, следовательно, период распространения макротрещины в зави-
зависимости от числа циклов составляет большую часть полной долго-
долговечности.
Гл. 5. Теория распространения трещин 589
До сих пор основная цель микроструктурных теорий усталости
заключалась в том, чтобы предложить подходящий механизм,
при помощи которого можно было бы объяснить зарождение и рас-
распространение усталостных трещин. Ввиду чрезвычайной сложно-
сложности явления на микроструктурном уровне эти теории пока далеко
еще не могут служить рабочим инструментом для количествен-
количественного анализа. С другой стороны, они дают подход к проблеме с точки
зрения механики континуума. В дальнейшем мы сначала приве-
приведем краткий обзор некоторых из существующих континуальных
моделей усталостного распространения трещины, затем довольно
подробно рассмотрим простую модель и некоторые эксперимен-
экспериментальные результаты.
А. Обзор континуальных моделей
Существующие количественные континуальные модели распро-
распространения усталостной трещины почти исключительно относятся
к пластинке с прямолинейной сквозной трещиной, подвергнутой
одноосному повторному нагружению. Это связано отчасти с тем,
что в тонких пластинках и оболочках период распространения
трещины составляет большую часть долговечности, отчасти с тем,
что такие элементы используются в самолето- и кораблестроении
и для них важно изучение явления усталостного разрушения,
ж отчасти с тем, что расчетная схема, получающаяся вследствие
двумерной идеализации, проста. Во всех этих моделях предпо-
предполагается, что da/dn (где а — полудлина или длина трещины и
л — число циклов нагружения) — непрерывная функция таких
переменных, как внешняя нагрузка, размеры и свойства мате-
материала. Основная цель исследования заключается тогда в опре-
определении этой функции.
Одна из первых континуальных моделей разработана Хедом
{57]. Хед рассматривал бесконечную плоскость с центральной
трещиной длиной 2а, подвергнутую одноосному повторному нагру-
нагружению с амплитудой а. Используя механическую модель, в кото-
которой, как он предположил, имеются жесткопластические упрочняю-
упрочняющиеся элементы перед вершиной трещины и упругие элементы
во всей остальной пластинке, он получил следующее соотноше-
соотношение:
da *1*
где o>ys — предел текучести, р — размер пластической зоны
и Сг — постоянная, которая зависит от механических свойств
материала и должна определяться экспериментально.
В исследовании Хеда р предполагалось постоянным в процессе
распространения трещины. Фрост и Дагдейл [38] указали, что
590 ^ Ф. Эрдоган
параметр р не является не зависящим от длины трещины, а про-
пропорционален о2а. На основе анализа размерностей они заключили,
что скорость распространения трещины daldn линейно зависит от
длины трещины. Из экспериментальных данных они также сдела-
сделали вывод, что daldn пропорциональна а3 и предложили следую-
следующую модель:
daldn = С2а3а, G9)
где С2 — характерный параметр материала.
Используя теорию подобия и размерностей более изящным
образом, Лю [79] также пришел к заключению, что
daldn = F (а, ат) а, (80)
где F — функция среднего (ат) и наибольшего (а) значений внеш-
внешних нагрузок. Впоследствии Лю [80] проанализировал задачу, рас-
рассматривая модель с запаздыванием диссипации энергии. Он пока-
показал, что влияние среднего напряжения на распространение тре-
трещины незначительно и что функция F пропорциональна а2:
daldn = СгоЧ. (81)
Мак-Ивли и Илг [90], подходившие к задаче с несколько иной
точки зрения, доказали, что локальное напряжение непосред-
непосредственно впереди конца трещины поднимается до уровня, разру-
разрушающего в результате упрочнения при циклическом нагружении;
это и ведет к разрушению. Затем было установлено, что скорость
распространения трещины daldn должна быть функцией макси-
максимального напряжения вблизи вершины трещины
daldn = / ((Тмакс)- (82)
Предполагая, что трещина представляет собой эллиптическое
отверстие в плоскости, можно выразить сгмакс следующим обра-
образом:
<WC = К8а = [1 + 2 (a/p)V2](r, (83)
где Ks — статический коэффициент интенсивности напряжений
ир — радиус кривизны вблизи конца трещины. гКонкретный
вид функции в уравнении (82) был установлен Мак-Ивли и Илгом
на основе анализа экспериментальных результатов (на медных
и алюминиевых сплавах) в следующем виде:
ж) =0,00509^0-5,472-^^. (84)
Заметив, что сг у а = к представляет собой для рассматри-
рассматриваемой конфигурации коэффициент интенсивности напряжений,
Хардрат и Мак-Ивли [56] позднее указали, что правую часть урав-
уравнения (82) можно также рассматривать как функцию к. Из урав-
уравнения (83) фактически видно, что (Тмакс ^ 2к/Ур при
Гл, 5. Теория распространения трещин
591
10"
1СП-
10"
Рис. 20. Скорость роста трещины
в пластинках из алюминия 2024-ТЗ
при растяжении.
По оси абсцисс: величина &г?(Фунт/дюйм3/2);
по оси ординат: величина cBa)/dn
(дюйм/цикл).
10"
Рис. 21. Скорость роста трещины в
пластинках из алюминия 7076-Т6
при растяжении.
По осям те же величины, Ьчто и на
рис. 20.
1 <С 2 (а/рI/2. Этот фактгбыль независимо замечен Парисом, отме-
отмечен в различных публикациях [2, 97, 99, 100] и разъяснен в его
диссертации [98]. Основное соображение в его аргументации со-
состоит в том, что коэффициент интенсивности напряжений является
тем параметром, который учитывает как геометрию, так и внешние
нагрузки и служит истинной мерой напряженного состояния вбли-
вблизи конца трещины. Следовательно, он должен быть наиболее
важным фактором, влияющим на скорость роста трещины.
Аналогичные континуальные модели были развиты Мак-Ивли
и Бёттнером [89], а также Шейве [113]. Критический анализ различ-
различных упомянутых выше моделей дается в статье Париса и Эрдогана
[99], где на основе обширных данных предполагалось, что
daldn = Сок\ к = а У"а, (85)
где постоянная Сп зависит от характеристик материала (рис. 20
и 21). В обсуждении статьи Париса и Эрдогана [99] Мак-Ивли
указал, что хотя модель с четвертой степенью весьма удовлетво-
592 Ф. Эрдоган
рительно описывает данные для высокопрочных алюминиевых
сплавов, она не так хороша для некоторых сплавов меди. Он далее
заключил, что скорость роста трещины должна быть пропорцио-
пропорциональна энергии, запасенной в пластической зоне. Предположив,
что плотность этой энергии вблизи конца трещины можно
выразить через к2 и соответствующий объем пластической зоны —
через объем прямоугольной полоски^ ер впереди продвигающейся
трещины, он получил
daldn ~ кЧр, (86)
где е — постоянная яр — длина пластической зоны. Можно
показать, что р ~ к2 при малых значениях отношения р/а, и, сле-
следовательно, уравнение (86) сводится к уравнению (85). Если pi a
не мало, то р больше не пропорционально А2, что объясняет более
высокие степени для сплавов меди, упомянутые Мак-Ивли [893.
Недавние работы, посвященные распространению усталостных
трещин, показывают, что имеется прилив энтузиазма в использо-
использовании коэффициента интенсивности напряжений в качестве корре-
корреляционного параметра г). Это, несомненно, отчасти связано с при-
привлекательной простотой данного подхода. Несмотря на то что
в основе подхода, по-видимому, лежит здравая идея, используя
его, необходимо представлять себе его возможности и область
применимости.
В следующем разделе эта мысль будет развита несколько
подробнее.
Б. Простая модель
Основная цель всех континуальных моделей заключается
:в том, чтобы дать инженеру-конструктору количественный метод,
который может быть использован для предсказания характеристик
роста усталостной трещины в данной конструкции при данных
внешних нагрузках и окружающих условиях. С одной стороны,
модель, чтобы быть полезной, должна быть сравнительно простой
и должна оперировать только полевыми континуальными пара-
параметрами системы, которые либо легко доступны, либо могут быть
вычислены инженером-конструктором. С другой стороны, модель,
чтобы обладать широкой областью применения без значительных
изменений, должна иметь здравую физическую основу, т. е.
должна настолько хорошо, насколько это возможно, согла-
согласовываться с основными особенностями 'микроструктурных тео-
теорий, о которых известно, что они правильно объясняют явление
усталости.
г) См., например, статьи, представленные на ежегодную конференцию
-ASTM в Атлантик-Сити, шт. Нью-Йорк, в 1966 г.
Гл. 5. Теория распространения трещин 593
Таким образом, одна из важных функций такой модели должна
была бы состоять в том, чтобы ее можно было использовать для
предсказания характеристик роста трещины в конструкциях
с более сложными геометриями, подвергнутых более сложным
условиям нагружения, по результатам простых одномерных экс-
экспериментов, т. е. она должна была бы служить основой для срав-
сравнения предсказаний и усталостных испытаний.
Если учесть состав и микроструктуру реальных материалов,
различие в геометрии, условиях нагружения и окружающей среде
и, наконец, неудовлетворительное состояние микроструктурных
теорий усталости, то довольно бесполезно было бы, по-видимому,
даже говорить о количественных предсказаниях в рамках одной
модели. Здесь, однако, снова на помощь приходит эмпирика.
В настоящее время в технической литературе имеется большое
количество экспериментальных данных по усталости, которые
должны быть изучены и коррелированы каким-либо подходящим
образом. Результатом этих экспериментальных исследований
неизменно являлось измерение на поверхности размера устало-
усталостных трещин в зависимости от числа циклов. Несмотря на то что
никакие два эксперимента не дают идентичных результатов, все
кривые подобны и удивительно плавны. Это показывает, что,
несмотря на сложность явления, полу эмпирический континуаль-
континуальный подход к его объяснению оправдан.
Однако этот на вид плавный рост макротрещин следует пони-
понимать с учетом относительно низкой чувствительности или разре-
разрешающей способности измерительных приборов и как среднее от
существенно нерегулярного распространения трещины в отдель-
отдельных зернах и по границам зерен. Как фронт трещины не является
гладкой кривой, остающейся параллельной фиксированному на-
направлению в процессе распространения, так и поверхность раз-
разрушения не является зеркально гладкой плоскостью. Некоторые
фрактографические исследования [58, 76, 113] показывают, что
трещина непрерывно растет в каждом цикле (например, в спла-
сплавах алюминия и меди), а некоторые [56, 78] отмечают, что рост
происходит в основном скачкообразно (например, в сплавах алю-
алюминия и цинка и в алюминии после холодной прокатки). Кроме
того, имеются различные подтверждения того факта, что направ-
направление наблюдаемых полосок зависит от ориентации отдельного
зерна и не обязательно перпендикулярно направлению роста
большой трещины [58].
Учитывая эти факты для того, чтобы построить количествен-
количественную модель, мы предположим, что на микроструктурном уровне
зарождение трещины и ее рост вызываются периодическими сдви-
сдвигами, которые геометрически представляют собой последователь-
последовательность перемещений дислокаций вдоль плоскостей скольжения.
В общем распространение усталостной трещины обусловлено обра-
образе— 0700
594 Ф. Эрдоган
зованием, ростом и слиянием микротрещин, которые могут возни-
возникать у вершины основной трещины или впереди нее и которые
могут быть или не быть компланарны с основной трещиной. В та-
таком случае ясно, что, поскольку на микроструктурном уровне
движение дислокаций есть наиболее важный фактор, вносящий
основной вклад в локальное зарождение, рост и распространение
усталостных трещин, то и в континуальной модели главными фак-
факторами, влияющими на распространение усталостной трещины,
должны быть факторы, определяющие плотность этих дислока-
дислокаций и движущие их силы. Поэтому начнем со следующего простого
выражения для скорости роста трещины [31, 113]:
Да/Аи = фягЬ, (87)
где а — характерная длина усталостной трещины, например поло-
половина длины трещины в широкой пластинке с центральной трещи-
трещиной, п — число циклов нагружения, т представляет собой
некоторый вид среднего (в основных плоскостях скольжения
вдоль фронта трещины) общего числа движущихся дислокаций,
которые, возможно, могли бы способствовать расширению тре-
трещины, ф — коэффициент, представляющий часть общего числа
дислокаций, которая действительно способствует росту трещины
(О < ф < 1), и Ь — величина вектора Бюргерса. Обычно пред-
предполагается [113], что при низких скоростях роста трещины дисло-
дислокации движутся навстречу трещине и «втекают» в область конца
(механизм поглощения дислокаций), а при высоких скоростях
роста трещины вследствие высоких напряжений сдвига они «по-
«порождаются» у вершины трещины (механизм порождения дисло-
дислокаций). Более вероятно, что оба механизма могут действовать
одновременно, первый является преобладающим при низких ско-
скоростях роста трещины, а последний при высоких скоростях роста*
Очевидно, что величины ф и т будут зависеть от микрострук-
микроструктуры конкретного материала, а также от основных переменных,
которыми описывается сплошная среда, например геометрии,
температуры и распределения напряжений (или деформаций)
вблизи фронта трещины. Один из основных недостатков контину-
континуальных моделей (включая и рассматриваемую) заключается в томг
что с их помощью невозможно разумным образом количественна
учесть особенности микроструктуры (даже столь простой и столь
важный фактор, как размер зерна). Фактически они полностью
исключают из рассмотрения эти факторы. Таким образом, даже
если вся цепь рассуждений, приводящая к соотношению между
Ф и т, с одной стороны, и континуальными переменными — с дру-
другой, безупречна, то все равно при помощи такой модели успех
может быть достигнут лишь частично. В этом, конечно, заклю-
заключается причина противоречий, с которыми сталкиваются при
попытке найти корреляцию между результатами усталостных испы-
Гл. 5. Теория распространения трещин 595
таний на макроскопически одинаковых материалах с разной мик-
микроструктурой при помощи одного и того же параметра (такого,
как коэффициент интенсивности напряжений). Это в некоторой
степени серьезное ограничение должно учитываться при рассмо-
рассмотрении континуальных моделей столь сложного явления, как
явление усталости.
Чтобы связать микроструктурные переменные ср и т с конти-
континуальными вблизи фронта трещины, мы будем предполагать, что
движения дислокаций концентрируются главным образом в пла-
пластической зоне и что на образование новой поверхности в дан-
данном цикле будут в первую очередь влиять те из них, которые
расположены в некоторой плоскости, исходящей из фронта. Коли-
Количественно эти две группы переменных связаны соотношением
ер = рАЬ, (88)
где 8Р — пластическая деформация, р — плотность дислокаций,
А — общая площадь, занятая дислокациями, и Ъ — величина
вектора Бюргерса. Таким образом, можно предположить, что
коэффициент га будет функцией характерной длины пластической
зоны, измеряемой от конца трещины, и величины пластических
деформаций. В настоящее время имеются надежные сведения
только о пластических деформациях при продольном сдвиге
исходного материала [63, 103]. Следовательно, благодаря отсут-
отсутствию количественных данных о пластических деформациях
в плоских задачах при повторном нагружении и учету того обстоя-
обстоятельства, что размер пластической зоны р зависит от распределе-
распределения этих деформаций, можно при упрощающем предположении
о геометрическом подобии считать, что и обратно величина пла-
пластических деформаций будет зависеть от размера пластической
зоны. Поскольку пг — общее число дислокаций в данной пло-
плоскости скольжения, его можно представить в виде функции макси-
максимального размера пластической зоны
m=fl (/We)- ' (89)
Легко показать, что коэффициент <р должен быть функцией
параметров, определяющих движение дислокаций. Мы также
считаем, что рост трещины происходит в результате явлений,
имеющих место в пластической зоне, и что истинной мерой
интенсивности сил, движущих дислокации в пластической зоне,
является величина пластических деформаций! Таким образом,
мы можем предположить, что ф есть функция средней величины
пластических деформаций или, рассуждая как и раньше, что
Ф — функция соответствующей средней величины размера пла-
пластической зоны рГ:
Ф = U (Рг)- (90)
38*
596 Ф. Эрдоган
Как показано в работах [27, 113], деформации вблизи вершины
трещины или надреза стабилизируются после первых нескольких
циклов, и, следовательно, не лишено смысла говорить о макси-
максимальной или средней величинах пластических деформаций или
соответствующих размерах пластической зоны.
Поведение функций Д и /2 неизвестно, за исключением того,
что они монотонно возрастающие и обращаются в нуль в нуле.
Таким образом, при известных областях изменения рмакс и рт
функции Д и /2 можно аппроксимировать подходящими степен-
степенными функциями:
/i GWc) « Ai?2RC, U (Pr) « А2р% (91)
где Аг, Аг, (%1 и а2 — положительные постоянные. Объединяя
постоянные и рассматривая рост трещины как непрерывный про-
процесс, можно уравнение (87) записать в виде
Из соображений, приведших к уравнению (92), ясно, что
структура функций /х и /2 и, следовательно, значения постоянных
А, аг и а2 будут различными для различных материалов, а также
для одного и того же материала с различными микроструктурами.
Кроме того, можно ожидать, что постоянные а± и а2 зависят
от значений переменных рмакс и рг, принимая большие значения
при больших рмакс и рГ1 поскольку аппроксимация (91) не всегда
применима. Таким образом, возможность существования универ-
универсального степенного закона исключается.
Чтобы применять модель, определяемую уравнением (92),
будут необходимы теоретические оценки рмакс и рг и экспери-
экспериментальная оценка постоянных А, ах и а2. Хотя нет точных реше-
решений, размеры пластической зоны могут быть достаточно хорошо
оценены различными путями. Метод, использованный для этой
цели Дагдейлом [28] и позднее распространенный Розенфилдом
и др. [107] на упрочняющиеся материалы, представляется доволь-
довольно удачным, и оценка согласуется с экспериментальными резуль-
результатами вполне удовлетворительно. Метод Дагдейла основан на
устранении особенности напряжения в вершине трещины путем
введения жесткопластической полоски впереди трещины. Для
задачи о плоскости с центральной трещиной длиной 2а модель
Дагдейла дает
р = a [sec (Я0°720у8) - 1], (93)
где о°° — одноосное напряжение на бесконечности и crys — пре-
предел текучести. Чтобы получить оценки для ритс и рг в уравне-
уравнении (93), 0°° можно заменить максимальным и средним значения-
значениями напряжения за цикл, используя в то же время несколько
Гл. 5. Теория распространения трещин 597
большее значение для ays, обусловленное упрочнением материала.
Заметим, что если отношение ширины трещины к ее длине
недостаточно велико, то должны быть внесены необходимые
поправки в рыакс и рг.
При пластичности в малом масштабе (т. е. если размер пла-
пластической зоны мал по сравнению с длиной трещины) уравне-
уравнение (93) можно аппроксимировать следующим образом:
где к = о°° У а — коэффициент интенсивности напряжений.
С учетом равенств &макс = ОмаксУа и кТ = о™ У а тогда получаем
Рмшо « у йакс (я/2(ту8J, рг «1К (Jt/2aysJ, (95)
где ог~ = (^макс""амин)/2- С Учетом Формул (95) уравнение (92)
принимает вид
или, полагая р = (а-акс + а~ин)/(а-акс~а-ин), мы имеем
(96)
Очевидное преимущество уравнения (96) заключается в том, что
до тех пор, пока применимо предположение о малости упруго-
пластических деформаций, это приближение применимо ко всем
плоским задачам с распространяющейся сквозной трещиной,
а не только к нагруженной на бесконечности плоскости с цент-
центральной трещиной, для которой оно получено.
Чтобы показать применимость модели для сопоставления дан-
данных, полученных в разных условиях, рассмотрим задачу о цилинд-
цилиндрическом изгибе тонкой пластинки. В этом случае размер пла-
пластической зоны ръ по оценкам [31] равен
ръ = a [sec (jca~/4ays) — 1 ], (97)
где a?° — величина напряжения на бесконечности. Опять в случае
маломасштабной текучести мы можем написать
РЪ, макс « Y fcb>[MaKC (я/4аУвJ» РЪт « у к* (ЗХ/4(ТУ8J» (98)
где къ = аь° У а — коэффициент интенсивности напряжений при
изгибе. Если вследствие подобия типов разрушения предполо-
предположить, что постоянные А, ах и а2 в уравнении (92) будут одни
и те же при растяжении и изгибе, то из уравнения (92) с учетом.
598 ф. Эрдоган
формул (98) получим
(da/dn)b = B(l + PJe*(ftbr/2J(ei+e«). . (99)
Сравнивая формулы (99) и (96), находим
da \ 1 ( кьн \2^i+a2> i 1 + fc, \2<*i da
Другими словами, если характеристики роста усталостной тре-
трещины при растяжении известны, то, согласно уравнению A00),
можно получить скорость роста трещины при изгибе в том же
самом материале. В уравнении A00) индекс Ъ относится к слу-
случаю изгиба. Наконец, следует отметить, что в модели, рассмотрен-
рассмотренной выше, не учтены эффекты микроструктуры, температуры
и другие факторы внешней среды, например атмосферные условия.
Предполагается, что эмпирических постоянных А (или В), а± и а2
достаточно для учета изменений условий нагружения и геоме-
геометрии, однако сомнительно, чтобы какой-либо подходящей кор-
корректировкой можно было с их помощью учесть полностью другие
факторы, упомянутые выше. На самом деле сомнительно, чтобы
в рамках какой-либо континуальной модели это можно было
сделать.
В. Некоторые экспериментальные результаты
В качестве применения уравнения (96) рассмотрим эксперимен-
экспериментальные данные, полученные в работе [14] *). Здесь использова-
использовались в качестве образцов пластинки с центральными трещинами
из алюминиевых сплавов 2024-ТЗ и 7075-Т6. Основная цель
исследования заключалась в систематическом изучении влияния
среднего напряжения на скорость роста трещины, когда Р изме-
изменялось между 1,13 и 4,8. В последующем анализе коэффициенты
интенсивности напряжений были исправлены с учетом ширины
пластинки при помощи результатов работы [68].
При анализе результатов [14] сначала была установлена зави-
зависимость скорости роста трещины da/dn от кт для каждого зна-
значения р с учетом того, что при фиксированном J5 величина
В A + PJai постоянна. На графике в логарифмическом масштабе
это дает значения для 2 (а± + а2), которые приведены в столбце 2
в табл. I и II. В столбце 3 приведен коэффициент корреляции г
для построенных методом наименьших квадратов прямолинейных
г) В данных, приведенных в упомянутой работе, для всех образцов отно-
отношение ^макс^ув было меньше, чем 0,5; таким образом, ошибка, имеющаяся
в определении соответствующих размеров пластической зоны из-за прибли-
приближений, принятых при выводе уравнения (95), будет меньше 15% (см. [31]).
Гл. 5. Теория распространения трещин
599
Таблица I
A)
э
4,80
3,60
3,00
2,25
1,85
1,80
1,38
1,41
1,13
2024-ТЗ
B)
2 («1 + а2)
3,584
3,814
3,639
3,697
4,176
, 3,378
3,816
3,445
3,048
[14]
C)
г
0,988_
0,967
0,982
0,980
0,982
0,981
0,984
0,979
0,976
D)
В a + pJai.toi8
B (ai + аг) = 3,62)
*3,715
2,827
2,332
1,661
1,544
1,428
0,961
1,112
0,719
Таблица II
A)
э
4,80
3,60
3,00
2,25
1,85
1,80
1,38
1,41
1,13
7075-Т6
B)
2 (ai + «2)
4,199
3,817
4,262
3,731
4,343
3,462
4,208
3,463
3,644
[14]
C)
г
0,989
0,989
0,983
0,977
0,983
0,984
0,991
0,984
0,976
D)
в (i + pJai-1019
.B(ai + a2) = 3,9)
28,719
18,559
14,311
9,594
5,148
7,390
4,272
4,704
2,939
зависимостей log (da/dn) от log kT. Близость г к единице показы-
показывает, что в рассматриваемой области предположение о степенном
соотношении выполняется. Во всех опытах величина 2 (а± + 0&2)
изменялась между 3,05 и 4,34 со средними значениями 3,62 для
сплава 2024-ТЗ и 3,9 для сплава 7075-Т6. В столбце 4 в таблицах
приведены значения В A + PJai, полученные по уравнению (96)
€ использованием средних значений для 2 (ах + а2). Величины В
и аг были затем получены из логарифмической зависимости
В A + PJai от A + Р). В этом случае также обработка по методу
600
Ф. Эрдоган
наименьших квадратов дала коэффициенты корреляции, близкие
к единице. Используя эти значения, скорость роста трещины для
опытов [14] можно выразить следующим образом:
A01)
72^r'62 для 2024-ТЗ,
da/dn = 6,221. КГ20 A + РI'78 &г3'9 для 7075-Т6.
Для крайних значений E экспериментальные результаты и зна-
значения, определяемые уравнением A01), показаны на рис. 22 и 23.
Рисунки показывают сдвиг теоретических кривых, а также экспе-
экспериментальных данных, при изменении значений |3; кроме того,
из этих рисунков ясно видно, что влиянием среднего напряжения
на скорость роста усталостной трещины пренебрегать нельзя.
На рис. 24 и 25 показаны скорости распространения трещины
в пластинках из алюминия 2024-ТЗ и 7075-Т6 с центральными
трещинами при цилиндрическом изгибе [31]. Сравнимые резуль-
результаты, относящиеся к растяжению при р = 0 и полученные ранее
Илгом и Мак-Ивли [64], показаны на рис. 26 и 27. Сводка этих
результатов дана в табл. III. В столбцах 3, 4 и 5 приведены значе-
Таблица III
A)
7075-Т6
Плакированный
и неплакированный,
изгиб, Р = 0
2024-ТЗ
Плакированный
и неплакированный,
изгиб, |3 = 0
7075-Т6
Растяжение, C = 01)
2024-ТЗ
Растяжение, Р = 0 *)
B)
Толщина,
мм
1,27
2,54
3,05
1,27
2,03
2,54
3,18
4,07'
2,06
2,06
C)
2(ai + a2)
3,06
3,21
2,83
4,19
4,43
4,35
3,99
2,89
3,68
3,84
D)
в
2,62-10-18
8,80-10-19
3,80-10-17
5,35-10-23
5,20-10-24
1,08-10-23
3,99-10-22
9,20-10-18
4,12-10-20
2,09-10-20
E)
г
0,87
0,96
0,99
0,96
0,97
0,97
0,99
0,98
0,98
0,99
F)
А,
B(ai + a2) = 4)
0,460
0,474
0,479
0,483
0,493
0,500
0,502
0,441
—
—
1) По данным работы [64].
ния показателя 2 (аг + а2), постоянной В и коэффициента корре-
корреляции г для наилучшего приближения зависимости da/dn от кг
в логарифмическом масштабе. В случае Р = 0 из уравнения A00)
* *ое
О
- «agjjf
Ы
S.B.
5 g 8 е§ Н
РцНИВ
si:
fix
¦в;
о S rt й Я g II
нччйи и"
li И H И и ?•
Гл. 5, Теория распространения треЩин 603
следует, что скорость роста трещины при изгибе можно получить
умножением скорости роста трещины при растяжении, соответ-
соответствующей тому же самому коэффициенту интенсивности напряже-
напряжений, на 2-2(а*+а2). Из уравнений (96) и (99), таким образом,
получаем
J(OCi+a*\ A02)
При выводе уравнений A02) предполагалось, что, вследствие
подобия типов разрушения, в первом приближении постоянные Ву
щ и а2 одни и те же при растяжении и изгибе. Из табл. III сле-
следует, что различные наборы значений получаются не только для
изгиба и растяжения, но и в пределах каждой группы опытов
при любом из двух видов нагружения. Следовательно, для сравне-
сравнения скоростей роста трещины при растяжении и изгибе мы должны
иметь возможность выделить подходящее фиксированное значе-
значение для 2 (аг + а2). Для удобства мы выбираем 2 (аг + а2) = 4
и представляем экспериментальные результаты в следующем
виде:
?'#, (da/dn)m = В'ХЩГ. A03)
Из уравнения A02) следует, что теоретическое значение X равно
0,5, в то время как экспериментальные значения приведены
в табл. III. Учитывая возможные различия в материалах, исполь-
использованных в опытах на растяжение и изгиб, и приближение, вклю-
включающее выбор общего показателя 2 (ах + а2), согласование можно
признать удовлетворительным.
На рис. 28 показаны скорости роста трещины при растяжении
и изгибе (последние показаны только полосой разброса, содержа-
содержащей 95% всех данных), построенные в зависимости от размера
пластической зоны. В некотором смысле рис. 28 можно рассматри-
рассматривать как подтверждение модели, данной уравнением (92), а также
того факта, что постоянные В и а± + а2 по существу одинаковы
при растяжении и изгибе. Однако из-за очень ограниченного
характера данных этот вывод следует рассматривать как предва-
предварительный, а любое надежное утверждение по этому поводу
может быть сделано по результатам дальнейших исследований.
Наконец, мы сделаем следующие замечания, касающиеся важ-
важности и необходимости размера пластической зоны и пластиче-
пластических деформаций как корреляционных параметров при анализе яв-
явления усталостного распространения трещины.
а. При наличии любых заметных пластических эффектов пла-
пластические деформации и размер пластической зоны являются
истинной мерой механических явлений, происходящих вблизи
края распространяющейся трещины, независимо от величины
отношения напряжений 0°°/ву8. В этой связи, например, трудно
604
Ф. Эрдоган
10
Рис. 28. Зависимость скорости
роста усталостной трещины от
размера пластической зоны в
пластинках из алюминия 2024-
ТЗ, плакированных и неплаки-
рованных; 2h = 0,081 дюйма
B,05 мм).
•= испытания на изгиб. По оси
абсцисс: величина р (дюйм), по
оси ординат: величина d Ba)/dn
(дюйм/цикл).
оправдать использование
коэффициента интенсивно-
интенсивности напряжений как кор-
корреляционного параметра
при больших значенийх
б. В некоторых конфи-
конфигурациях с теоретически
одним и тем же коэффици-
коэффициентом интенсивности на-
напряжений можно иметь
очень разные скорости ро-
роста, которые не могут
быть предсказаны при ис-
использовании в качестве
корреляционного парамет-
параметра коэффициента интенсивности напряжений, но могут быть легко
объяснены при использовании в качестве такового размера пласти-
пластической зоны. Рассмотренное выше определение скорости роста тре-
трещины при изгибе по скорости роста трещины при растяжении пред-
представляет собой один пример. Возможно, в качестве более важ-
важного примера можно было бы отметить определение связи законов
распространения трещины в тонких пластинках в плоском случае
и при сдвиге или при плоской деформации и при плоском напря-
напряженном состоянии. Хотя этот вопрос может требовать более тща-
тщательного и подробного изучения, результаты, полученные Шейве
[114], указывают на определенное изменение в скоростях роста
трещины при переходе от плоского случая к сдвигу. Скорости
роста трещины выше в случае разрушения при сдвиге. Поскольку
при одном и том же коэффициенте интенсивности напряжений раз-
размер пластической зоны в случае плоского напряженного состояния
больше размера, соответствующего случаю плоской деформации,
модель, описанная выше, по-видимому, в принципе объясняет это
изменение.
Гл. 5. Теория распространения трещин 605
в. Пластические деформации можно рассматривать как есте-
естественное связующее звено между чисто механическими конти-
континуальными переменными и микроструктурой материала. Как
указано ранее, элементарная рациональная модель усталостного
разрушения должна включать не только механические величины,
но также некоторые из важных микроструктурных параметров,
например размер зерна. Вероятность успеха в развитии такой
полной модели можно увеличить, если попытаться количественно
связать важные микроструктурные параметры с пластическими
деформациями.
Г. Заключение
В этом разделе был дан обзор континуальных теорий распро-
распространения усталостной трещины. В существующих теориях рас-
рассматривается почти исключительно распространение усталостных
трещин в тонких пластинках .при симметричных растягивающих
нагрузках, действующих в плоскости, и только влияние механи-
механических континуальных переменных. Результаты неизменно выра-
выражаются уравнением следующего вида:
da/dn = / (а, а, С),
где da/dn — скорость роста трещины, а характеризует внешние
нагрузки (обычно среднее значение циклического напряжения),
а — полудлина трещины и С — постоянная материала, которая
должна определяться экспериментально. Не говоря уже о техно-
технологической важности задачи, исследователей в этой области
ободряет в их поисках континуальных моделей плавный и моно-
монотонный характер экспериментальных данных, особенно возмож-
возможность степенной аппроксимации.
В последние годы использование коэффициента интенсивности
напряжений в качестве корреляционного параметра при анализе
результатов усталостных испытаний приобрело значительный
размах. Это главным образом, по-видимому, связано с простотой
и универсальностью этого представления, а также с тем, что
почти все существующие теории можно полностью или приближен-
приближенно выразить через коэффициент интенсивности напряжений.
Однако при использовании этого понятия следует иметь в виду
некоторые свойственные ему ограничения, а именно что: а) при
наличии заметных пластических деформаций вокруг конца тре-
трещины коэффициент интенсивности больше уже не характеризует
имеющиеся там истинные механические условия и б) он не дает
возможности различать существенно разные ситуации, в ко-
которых могут быть одни и те же коэффициенты интенсивности
напряжений (например, плоскую деформацию и плоское напря-
606 Ф. Эрдоган
женное состояние или плоское растяжение и цилиндрический
изгиб).
Модель, основанная на учете пластических деформаций вблизи
фронта трещины, была развита отчасти для того, чтобы преодо-
преодолеть эти ограничения, и отчасти вследствие уверенности, чта
параметр, являющийся мерой пластических деформаций, может
оказаться более подходящим корреляционным параметром, если
он позволит учесть в теории распространения трещины некото-
некоторые важные микроструктурные особенности.
Чтобы продемонстрировать применение этой теории, рассма-
рассматривалась задача о распространении трещины в пластинках при
переменном среднем напряжении и задача о полностью обратимом
цилиндрическом изгибе. Анализ результатов, относящихся к изги-
изгибу, показывает, что эта модель может оказаться достаточной для
удовлетворительного сопоставления данных по распространению»
усталостной трещины в одном и том же материале при различных
условиях нагружения.
Д. Направления дальнейших исследований
Возможно, одной из наиболее важных областей в изучении
распространения усталостной трещины, требующего пристального
внимания, является количественный анализ влияния микрострук-
микроструктуры и условий окружающей среды и учет некоторых наиболее
важных из этих эффектов в обобщенной теории. В частности,,
в число вопросов, которые следует изучить, можно включить
исследование влияния размера зерна, начиная с материалов
с мелкими зернами и кончая случаем, когда размер зерна уже не
мал по сравнению с наименьшим геометрическим размером.
Другой вопрос, требующий внимания,— это влияние ориента-
ориентации и искажения зерен (например, вследствие холодной обработ-
обработки). В некоторых случаях это влияние можно изучить как явление
анизотропии в рамках континуума, принимая во внимание изме-
изменения основных механических свойств материала с изменением
направлений. Однако, поскольку эти изменения незначительны
по сравнению с наблюдаемыми изменениями характеристик роста
усталостной трещины в материале *), нельзя получить удовлетво-
удовлетворительное объяснение влияния ориентации и искажения зерен без
рассмотрения микроструктуры.
Воздействия окружающей среды, особенно температуры и атмо-
оферных условий, требуют дальнейшего изучения.
х) Например, Шейве [114] сообщает, что в пластинках из алюминиевого,
сплава 2024-ТЗ, нагруженных перпендикулярно направлению прокатки,
скорость роста трещины была на 40% выше скорости, полученной на образ-
образцах, нагруженных параллельно направлению прокатки,
Гл. 5. Теория распространения трещин 607
Еще один вопрос, который должен быть изучен,— это вопрос
о пластических деформациях вблизи фронта распространяющейся
трещины с учетом циклического характера нагружения вместе^
со связанными с ним такими вопросами, как переходные явления
от пластичности к хрупкости и от плоского случая к сдвигу, кото-
которые наблюдались в тонких пластинках. Это требует как экспери-
экспериментальных, так и обширных теоретических исследований.
Несколько вопросов, которые имело бы смысл исследовать^
касаются некоторых макроскопических факторов. Среди них мы
можем упомянуть систематическое изучение влияния толщины
пластинки, частоты нагружения, зависимости от времени ампли-
амплитуды и, возможно, частоты изменения внешних нагрузок (случай-
(случайных или детерминированных) и сложного характера условий
нагружения, приводящего теоретически более чем к одному виду
разрушения в вершине трещины. Например, Шейве [114] отметил*
что скорость роста трещины увеличивается с увеличением толщины
пластинки и незначительно уменьшается с увеличением частоты.
Качественно можно объяснить первое статистическим масштаб-
масштабным эффектом, а второе эффектами скорости деформации. Однако
был бы очень полезен и количественный анализ.
С практической точки зрения суммарное влияние изменяющих-
изменяющихся амплитуд нагрузки на скорость распространения трещины пред-
представляет собой один из наиболее важных факторов, который
заслуживает систематического изучения и без глубокого понима-
понимания которого не может быть предпринята какая-либо осмысленная
попытка изучить явление роста трещины при случайных нагрузках.
ПРИЛОЖЕНИЕ А. ОПРЕДЕЛЕНИЕ РАЗМЕРА ПЛАСТИЧЕСКОЙ
ЗОНЫ В ЗАДАЧЕ О ТРЕЩИНЕ ПРОДОЛЬНОГО СДВИГА
Чтобы исследовать применимость идеальной модели, предло-
предложенной Костровым [72, 73] и использованной в разд. П,Г,3
и П,Г,4 этой главы, а именно предположения, что характерный
размер пластической зоны вблизи контура распространяющейся
трещины пропорционален характерному размеру самой трещины,
определим размер пластической зоны, используя метод Дагдей-
ла [28]. В случае распространяющейся трещины продольного
сдвига задача заключается в следующем. Пусть скорость вну-
внутренней трещины в бесконечной среде при антиплоской деформа-
деформации равна Fo = vc2. Предположим, что пластические деформации
в твердом теле имеют место только вдоль очень тонких полосок,
лежащих в плоскости трещины впереди ее концов, и скорость
распространения внешних концов этих полосок равна V1 =
= v1c2* Далее предположим, что в пластических полосках напря-
напряжение постоянно и равно величине предела текучести материала
при сдвиге qY. Чему тогда равна скорость Ух?
608 Ф. Эрдоган
Критерий, который используется для определения Уг, состоит
в том, что напряженное состояние при х = =F Fx?, полученное
в результате наложения напряжений, вызванных внешней нагруз-
нагрузкой д, действующей на бесконечности, и напряжений %yz = gy,
действующих на поверхности трещины Vot << | х \ < V±t в среде,
содержащей распространяющуюся трещину длиной 2Vxt, не имеет
особенностей. Аналогичная задача для плоскости с полубеско-
полубесконечной трещиной, на поверхности которой действует движущееся
давление, была рассмотрена Гудьером и Филдом [47].
При касательном напряжении %yz = q на бесконечности реше-
решение, пригодное при малых значениях | ? —иг |, как было показано,
имеет вид (см. разд. И,Г,4)
Ф? @ * Bуг/|ш) ^ (Vi) (S2 -i;;)-1/2. (АЛ)
В качестве решения, соответствующего напряжениям хуг
на поверхности трещины, vx < | д: | < ухт, мы получаем
а это при малых значениях |? — Vi\ можно записать в виде
1
?-*t)w f (Ae2)
—»« \1/2
)
1 / i;}—»« \
sm ai = — (-7—г")
где F (ух, ах) — эллиптический интеграл первого рода.
Из уравнений (АЛ) и (А.2) можно получить условие конечно-
конечности напряжений при х = Т^т в следующем виде:
qK (vx) = qYF (i7lf ax). (A.3)
Замечая, что Ау = ^ — у мало по сравнению с у, и используя
асимптотические разложения для эллиптических интегралов, мож-
можно привести уравнение (А.З) к следующей более удобной форме:
l-(q/q7)*K(v)[E(v)-(l-v*)K(v)] '
Легко проверить, что при v ->- 0 уравнение (А.4) сводится
к выражению, дающему размер пластической зоны р в статиче-
статическом случае.
Гл. 5. Теория распространения трещин 609
В самом деле, умножая уравнение (А.4) на т, полагая Дут = р
и v% = а, получаем соотношение
Р — gg2 > vA-D;
которое представляет собой результат, соответствующий статиче-
статической задаче,, когда размер пластической зоны мал [30]. После
определения vx из уравнения (А.4) размер пластической зоны
получается из формулы р = (иг — v) c2t.
ПРИЛОЖЕНИЕ Б. ВЫЧИСЛЕНИЕ ЭНЕРГИИ
В ПЛАСТИЧЕСКОЙ ЗОНЕ
Чтобы получить некоторое представление о природе баланса
энергии вокруг бегущей трещины при наличии пластических
деформаций, мы вычислим ниже очень простым способом различ-
йые составляющие энергии для задачи продольного сдвига. Для
простоты мы сделаем это при довольно ограничительных следую-
следующих предположениях: скорость трещины мала, следовательно
справедливо квазистатическое приближение, подобное приближе-
приближению, предложенному Моттом [91]; нет упрочнения; пластическая
зона, малая по сравнению с длиной трещины, имеет форму
круга и остается такой в процессе роста трещины; и (что наиболее
важно) скорости изменения во времени внешней работы, совер-
совершенной напряжениями, действующими на границе пластической
зоны, пластической работы, запасенной упругой энергии и кине-
кинетической энергии в пластической зоне можно приближенно
вычислить, пренебрегая эффектами разгрузки, остаточными напря-
напряжениями и пластическими волнами, возникающими от движения
пластической зоны вместе с движущейся трещиной. Последнее
предположение довольно серьезно и может уменьшить надеж-
надежность результатов. Однако оно может быть оправдано только
если считать, что все эти эффекты остаются в какой-то степени
автономными в процессе распространения трещины. Совершаемая
при этом ошибка может оказаться не настолько большой, чтобы
изменить характер качественных выводов.
В задаче продольного сдвига смещения и деформации в круго-
круговой пластической зоне вблизи вершины трещины можно запи-
записать следующим образом [63, 103]:
ш(г, 8, а) = ——sinG,
Wy (БЛ)
п q4 cos 9 ч '
Y 0 У
(обозначения см. на рис. 19). Из предположения о квазистатич-
квазистатичности мы имеем w~ dw/daa. Для половины пластической зоны
39—0700
610 . Ф. Эрдоган
и на единицу толщины тогда получим
я/2 р cos 9
С
/ р
=4 С P
2 { {
{ { ^V (Б.2)
(Б.З)
^ == ] ^nz^ ds = \ (xQz dr + %Tzr dQ) w%
(Б.4)
В уравнениях (Б.З) V представляет собой- сумму упругой энергии
VE = щ*а?1\§Щу и пластической работы Vp.
ОБОЗНАЧЕНИЯ
а — полудлина трещины;
сг — скорость волны расширения; с\ ==(A,'+2|i)/p,
V = к в случае плоской деформации, V =5
= 2А,[х/(Я + 2jx) в случае плоского напряжен-
напряженного состояния;
с2 — скорость волны сдвига; с\ = [х/р;
cR — скорость поверхностной волны Рэлея;
сг — скорость продольной волны; с\ == ?7р;
Е — модуль Юнга;
v — коэффициент Пуассона;
Я, fi — постоянные Ламе: X = Ev/(l + v) A — 2v),
jx= ?/2A +v);
p — плотность;
к = с2/сг;
p, q — напряжения на бесконечности;
Vo — скорость трещины;
• v = V0/c2;
г, 6 — полярные координаты;
х, у, z — декартовы координаты;
ut (u, v, w) — компоненты вектора смещения;
t — время;
т = c2t;
Гл. 5. Теория распространения трещин 611
Yf> Yfo — энергия разрушения;
U — работа внешних сил;
V — упругий потенциал;
(&х, %ху> • • •) — компоненты тензора напряжений;
(&х, &ху> • • •) — компоненты тензора деформаций;
da/dn — скорость роста усталостной трещины;
&г> &макс — среднее и максимальное значение коэффи-
коэффициента интенсивности напряжений при цикли-
циклическом нагружении;
Pi Ръ — размер пластической зоны;
qy — предел текучести при сдвиге;
0yS— предел текучести при растяжении;
Ft — компоненты объемных сил;
A (t) — площадь поверхности разрушения;
а0 — начальная длина трещины;
VT — предельная скорость трещины;
Vi — скорость перемещения границы пластической
зоны;
Т — кинетическая энергия;
Ес — энергия закрытия трещины;
D — диссипируемая энергия;
К — модуль сцепления;
R — модуль сцепления для распространяющейся
трещины; .
G (x), g (x) — силы сцепления;
к' — постоянная кинетической энергии Мотта;
рс — критическое растягивающее напряжение;
qc — критическое напряжение при продольном
сдвиге;
п, а2 — параметры нагрузки (а2 = 1/п = p/pc)'i
аг — отношение динамического модуля сцепления
к статическому.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Akita Y., Ikeda К., Rep. No 40, Transportation, Techn. Res. Inst.r
Tokyo, 1959.
2. Anderson W. E., Paris P. C, Metals Eng. Quart., 1 A961), 33.
3. Баренблатт Г. И., Математическая теория равновесных трещин, обра-
образующихся при хрупком разрушении, ПМТФ A961), № 4.
4. Баренблатт Г. И., Черепанов Г. П., ПММ, 24 A960), вып. 4, 667—682.
5. Баренблатт Г. И., Черепанов Г. П., ПММ, 25 A961), вып. 6, 1110—
1119.
6. Баренблатт Г. И., Салганик Р. Л., Черепанов Г. П., ПММ, 26 A962)г
вып. 2, 328—334.
39*
612 Ф. Эрдоган
7. Barton F. W., Hall W. J., Welding /. {N. Y.), Res. SuppL, 39 (I960),
379s.
8. Beebe W. M., Ph. D. Diss., Calif. Inst. Technol., Pasadena, 1966.
9. Benbow J. J., Roesler F. C, Proc. Phys. Soc. London, Ser. B, 70 A957),
201.
10. Berry J. P., /. Mech. Phys. Solids, 8 A960), 194.
11. Berry J. P., /. Appl. Phys., 34 A963), 62.
12. Berry J. P., In «Fracture Processes of Polymeric Solids» (Rosen В., ed),
p. 157, Wiley, New York, 1964. Русский перевод: в сб. «Разрушение
.твердых полимеров» (ред. Б. Роузен), «Химия», М., 1971, стр. 125—155.
13. Broberg К. В., Arkiv Fysik, 18 A960), 159:
14. Broek D., Schijve J., Rep. M.2111, Nat. Aerospace Lab., Amsterdam,
1963.
15. Bueche A. M., Berry J. P., In «Fracture» (Averbach B. L., Felbeck D. K.,
Hahn G. Т., Thomas D. A., eds.), p. 265, Wiley, New York, 1959.
16. Garlsson A. J., Trans. Roy. Inst. Technol. Stockholm, 205 A963).
17. Carlsson A. J., Trans. Roy. Inst. Technol. Stockholm, 207 A963).
18. Clark A. B. J., Irwin G. R., Exptl. Mech., 6 A966), 321.
19. Coffin L. F., Tavernelli J., Trans. AIME, 215 A959), 794.
20. Cotterell В., Appl. Mater. Res., 4 A965), 227.
21. Cottrell A. H., In «Fracture» (Averbach B. L., Felbeck D. K., Hahn G. Т.,
Thomas D. A., eds.), p. 20, Wiley, New York, 1959.
22.*Cottrell A.' H., Theory of Crystal Dislocations, New York, 1964.
Русский перевод: Коттрел А., Теория дислокаций, «Мир», М., 1969.
23. Cottrell A. H., Hull D., Proc. Roy. Soc. London, Ser. A, 242 A957), 211.
24. Craggs*;J.iW., /. Mech. fhys. Solids, 8 A960), 66.
25. Craggs^J. W., In «Fracture of Solids» (Drucker D. C, Gilman J.J., eds.),
Wiley, New York, 1963.
26. CraggsfJ. W., Intern. J. Eng. Sci., 4 A966), 113.
27. Crews J. Й., Jr., Hardrath H. F., /. Soc. Exptl. Stress Anal., 6 A966),
313
28. Dugdale D. S., /. Mech. Phys. Solids, 8 A960), 100.
29. Dulaney E. N., Brace W. F., /. Appl. Phys., 31 A960), 2233.
30: Erdogan F., Intern. J. Solids and Structures, 2 A966), 447.
31. Edogan F., Roberts R., In «Proceedings of the 1st International Confe-
Conference on Fracture, Sendai» (Yokobori Т., Kawasaki Т., Swedlow J. L.,
eds.), 341, Japanese Society for Strength and Fracture of Materials, To-
Tokyo, 1965.
32. Erdogan F., Sih G. C, Trans. ASME, Ser. D, J. Basic Eng., 85 A963),
519. Русский перевод: № 4, 49.
33. Eshelby J. D., Proc. Phys. Soc. London, Ser. A, 62 A949), 353A.
34 Eyring H., Halsey G., In «High Polymer Physics» (Robinson H. A., ed.),
Chemical Publ. Co., Brooklyn, New York, 1948.
35. Felbeck D. K., Orowan E., Welding J. (N.Y.), Res. Suppl., 34 A955),
570s.
36. Forsyth P. J. E., Proc. Roy. Soc. London, Ser. A, 242 A957), 198.
37. Frederickson J. W., Eyring H., Statistical Rate Theory of Metals: I.
Mechanism of Flow and Applications to Tensile Properties, Tech. Publ.,
No 2523, Inst. of Metals Division, AIME, New York, 1948.
38. Frost N. E., Dugdale D. S., /. Mech. Phys. Solids, 6 A958), 92.
39 Gaus M. P., Rep. No SSC-112, Ship Structure Committee, Dep. of the
' Navy, Washington, D. C, 1959.
40 Gibbs P., Cutler I. В., /. Amer. Ceram. Soc., 34 A951), 200.
41. Gibbs P., Eyring H., Can. J. Research, 27B A949), 374.
42. Gilman J. J., Trans. AIME, 200 A954), 621.
43. Gilman J. J., /. Appl. Phys., 27 A956), 1262.
44 Gilman J. J., In «Fracture» (Averbach B. L., Felbeck D. K., Hahn G. T.t
' Thomas D. A., eds.), p. 193, Wiley, New York, 1959,
Гл. 5. Теория распространения трещин
45. Gilman J. J., Knudsen С, Walsh W. P., /. Ар pi. Phys., 29 A958), 601.
46. Glasstone S., Laidler K. J., Eyring H., Theory of Rate Processes,
Mc-Graw-НШ, New York, 1941. Русский перевод: Глестон С,
Лейдлер К., Эйринг Г., Теория абсолютных скоростей реакций,
ИЛ, М., 1948.
47. Goodier J. N.. Field F. A., In «Fracture of Solids» (Drucker D. C, Gil-
man J. J., eds.), p. 103, Wiley, New York, 1963.
48. Greensmith H. W., Mullins L., Thomas A. G., Trans. $oc. Rheology, 4
A960), 179.
49. Griffith A. A., Philos. Trans. Roy. Soc. London, Ser. A, 221 A920), 163.
50. Griffith A. A., In «Proceedings of the 1st International Congress for App-
Applied Mechanics, Delft, 1924», pp. 55—63, J. Waltman, Jr., Delft, 1925.
51. Guernsey R., Gilman J. J., Proc. Soc. Exptl. Stress Anal., 18 A961), 50.
52. Hahn G. Т., AverbachB. L., Owen W. S., Cohen M., In «Fracture» (Aver-
bach B. L., Felbeck D. K., Hahn G. Т., Thomas D. A., eds.), p. 91, Wi-
Wiley, New York, 1959. Русский перевод: в сб. «Атомный механизм раз-
разрушения», Металлургиздат, М., 1963.
53. Hall Е. О., /. Mech. Phys. Solids, 1 A953), 227.
54. Hall W. .Т., Barton F. W., Rep. No 149, Ship Structure Committee, Dep.
of the Navy, Washington, D. C- 1963.
55. Halpin J. C, /. Appl. Phys., 35 A964), 3.133.
56. Hardrath H. F., McEvily A. J., In «Proceedings of the Crack Propagation
Symposium, Cranfield», vol. 1, p. 231, 1961.
57. Head A. K., Philos. Mag., 44 A953), 925.
58. Hertzberg R. W., Ph. D. Diss., Lehigh Univ., Bethlehem, Pennsylva-
Pennsylvania, 1965.
59. Hollomon J. H., In «Fracturing of Metals», p. 262, ASM, Cleveland,
1948.
60. Hudson G., Greenfield N., /. Appl. Phys., 18 A947), 405.
61. Hull D., BeardmoreP., Intern. /. Fracture Mech., 2 A966), 468.
62. Hull D., Beardmore P., Valintine A., Philos. Mag., 12 A965), 1021.
63. Hult J. A. H., McClintock F. A., In «Proceedings of the 9th International
Congress for Applied Mechanics, Brussels», vol. 8, pp. 51—58, 1957.
Русский перевод: Механика, № 6 E8) A959).
64. Illg W., McEvily A. J., NACA TN D-52, 1959.
65. Irwin G. R., Fracture Dynamics, In «Fracturing of Metals», p. 147, ASM,
Cleveland, 1948. ¦
66. Irwin G. R., J. Appl. Mech., 24 A957), 361.
67. Irwin G. R., In «Handbuch der Physik», Band 6, S. 551, Springer, Ber-
Berlin, 1958.
68. Isida M., In «Proceedings of the 4th U.S. National Congress of Applied
Mechanics», p. 955, 1962.
69. Rerkhof F., Naturwiss., 40 A953), 478.
70. Kerkhof F., In «Proceedings of the 3rd International Congress on High
Speed Photography, London», p. 194, 1956.
71. Knauss W. G., In «Proceedings of the 1st International Conference on
Fracture, Sendai» (Yokobori Т., Kawasaki Т., Swedlow J. L., eds.), vol. 2,
p. 1139, Japanese Society for Strength and Fracture of Materials, Tokyo,
1966.
72. Костров Б. В., ПММ, 28 A964), вып. 4, 644-652.
73. Костров Б. В., ПММ, 28 A964), вып. 5, 889—898.
74. Krafft J. M., Irwin G. R., In «Symposium on Fracture Toughness Testing
and Its Applications», STP 381, p. 114, ASTM, Philadelphia, 1965. Рус-
Русский перевод: в сб. «Прикладные вопросы вязкости разрушения», «Мир»,
1968.
75. Krafft J. M., Sullivan A. M,, ASM Trans., 56 A963), 160.
76. Laird С, Smith G. С, Philos. Mag., 7 A962), 847.
77. Lazar В., Hall W. J., Rep. No SSC-112, Ship Structure Committee, Dep.
of the Navy, Washington, D.C., 1959.
€14 Ф. Эрдоган
78. Lipsitt H. A., Forbes F. W., Baird R. В., Proc. ASTM, 59 A959), 73*.
79. Liu H. W., Trans. AS ME, Ser. D, 83 A961), 23, Русский перевод:
№ 1, 30.
80. Liu H. W., Trans. AS ME, Ser. D, 85 A963), 116. Русский перевод:
№ l, 140.
81. Love A. E. H., The Mathematical Theory of Elasticity, Cambridge, Lon-
London, 1944. Русский перевод изд. 1927 г.: Ляв А., Математическая
теория упругости, ОНТИ, М., 1935.
82. Low J. R., In «Fracture» (Averbach В. L., Felbeck D. K., Hahn G: Т.,
Thomas D. A., eds.), p. 68, Wiley, New York, 1959. Русский перевод:
в сб. «Атомный механизм разрушения», Металлургиздат, М., 1963.
83. Manson S. S., Intern. J. Fracture Mech., 2 A966), 327.
84. McGlintock F. A., /. Appl. Mech., 25 A958), 582.
85. McGlintock F. A., In «Fracture of Solids» (Drucker D. G., Gilman J. J.,
eds.), p. 65, Wiley, New^ York, 1963.
86. McGlintock F. A., Argon A. S., Mechanical Behavior of Materials,
Addison—Wesley, Reading, 1966. Русский перевод: Макклинток Ф.,
Аргон А., Деформация и разрушение материалов, «Мир», М., 1970.
87. McGlintock F. A., Irwin G. R., In «Symposium on Fracture Toughness
Testing and Its Applications», STP 381, p. ,84, ASTM, Philadelphia,
' 1965. Русский перевод: в сб. «Прикладные вопросы вязкости разру-
разрушения», «Мир», М., 1968.
88. McClintock F. A., Sukhatme S. Р., /, Mech. Phys. Solids, 8 A960), 187.
89. McEvily A. J., Boettner R. C, Ada Met., 11 A963), 725.
90. McEvily A, J., Illg W., NACA TN 4394, 1958.
91. Mott N. F., Engineering, 165 A948), 16.
92. Mott N. F., Ada Met., 6 A958), 195.
93. Orowan E., Trans. Inst. Engrs. Shipbuilders, Scot., 89.A945), 165.
94. Orowan E., Rept. Progr. Phys., 12 A949), 185.
95. Orowan E., Welding J. (N.Y.), Res. Suppl., 34 A955), 157s.
96. Orowan E., In «Fracture» (Averbach B. L., Felbeck D. K., Hahn G. Т.,
Thomas D. A., eds.), p. 147, Wiley, New York, 1959.
97. Paris P. G., Pap. No 62-Met-3, ASME, New York, 1962.
98. Paris P. C., Ph.D.|Diss., Lehigh Univ.,Bethlehem, Pennsylvania, 1962.
99. Paris P. C., Erdogan F., Trans. ASME, 85 A963), 528. Русский пере-
перевод: № 4, 60.
100. Paris P. C., Gomez M. P., Anderson W. E., The Trend in Engineering, 13
A961), 9.
101. Poncelet E. F., Colloid Chem., 6 A946), 77.
102. Poncelet E. F., In «Fracturing of Metals», p., 201, ASM, Cleveland, 1948.
103. Rice J. R., Intern. J. Fracture Mech., 2 A966), 426.
104. Rivlin R. S., Thomas A. G., /. Polymer Sci., 10 A952), 291.
105. Roberts D. K., Wells A. A., Engineering, 178 A954), 820.
106. Robertson T. S., /. Iron Steel Inst. (London), 175 A953), 361.
107. Rosenfield A. R., Dai P. K., Hahn G. Т., In «Proceedings of the 1st In-
International Conference on Fracture, Sendai» (Yokobori Т., Kawasaki Т.,
Swedlow J. L., eds.), vol. 1, p. 223, Japanese Society for Strength and
Fracture of Materials, Tokyo, 1965.
108. Saibel E., In «Fracturing of Metals», p. 275, ASM, Cleveland, 1948.
109: Sanders J. L., /. Appl. Mech., 27 A960), 352.
110. Schardin H., In «Fracture» (Averbach B. L., Felbeck D. K., Hahn G. Т.,
Thomas D. A., eds.), p. 297, Wiley, New York, 1959. Русский перевод:
в сб. «Атомный механизм разрушения», Металлургиздат, М., 1963.
111. Schardin H., Struth W., Z. Tech. Phys., 18 A937), 474. .
112. Schardin H., Struth W., Glastech. Ber., 16 A938), 219.
113. Schijve J., Rep. M. 2122, Nat. Aerospace Lab., Amsterdam, 1964.
114. Schijve J., In «Fatigue Crack Propagation», STP 415, p. 415, ASTM, Phi-
Philadelphia, 1967.
Гл. 5. Теория распространения трещин 615
115. Shand Е. В., /. Amer. Ceram. Soc, 37 A954), 52.
116. Smekal A., Glastech. Ber., 23 A950), 57.
117. Smith T. L., / Polymer. ScL, A, 1 A963), 3597.
118. Stroh A. N., Philos. Mag., 46 A955), 968.
119. Stroh A. N.f Advan. Phys., 6 A957), 418.
120. Stroh A. N., Philos. Mag., 3 A958), 597.
121. Thompson N.} In «Fracture» (Averbach B. L., Felbeck P. K., Hahn G. Т.,
Thomas D. A., eds.), p. 354, Wiley, New York, 1959.
122. Tipper G. F., /. Iron Steel Inst. (London), 185 A957), 4.
123. Van Elst H. G., Trans. AIME, 230 A964), 460.
124. Wadsworth N. J., Hutchings J., Philos. Mag., 3 A958), 1154.
125. Wallner H., ?, Physik, 114 A939), 368.
126. Ward G. N., Linearized Theory of Steady Highspeed Flow, Cambridge,
London, 1955.
127. Wells A. A., Post D., Proc. Soc. Exptl. Stress Anal., 16 A958), 69.
128. Williams M. L., In «Fracture of Solids» (Drucker D. G., Gilman J. J.,
eds.), p. 157, Wiley, New York, 1963.
129. Williams M. L., Intern. J. Fracture Mech., 1 A965), 292.
130. Wolock I., Kies J. A., Newman S. В., In «Fracture» (Averbach B. L.,
Felbeck D. K., Hahn G. Т., Thomas D. A., eds.), p. 250, Wiley, New
York, 1959.
131. Wood W. A., In «Fracture» (Averbach B. L., Felbeck D. K., Hahn G. Т.,
Thomas D. A., eds.), p. 412, Wiley, New York, 1959.
132. Wright R. N., Hall W. J., Terry S. W., Nordell W. J., Erhard G. R.,
Rep. No SSC-170, Ship Structure Committee, Dep. of the Navy, Washing-
Washington, D.G., 1965.
133. Yokobori Т., Ichikawa M., Trans. Res. Inst. Strength and Fracture of
Materials, 2 A) A966), 21.
134. Zhurkov S. N., Intern. J. Fracture Mech,, 1 A965), 311.
ГЛАВА 6
СТАТИСТИЧЕСКИЙ ПОДХОД
К ХРУПКОМУ РАЗРУШЕНИЮ
А. М. Фрейденталь
I. ВВЕДЕНИЕ . 617
II. СТАТИСТИЧЕСКИЕ КОНЦЕПЦИИ В МЕХАНИКЕ РАЗРУШЕНИЯ 618
A. Распределение дефектов 618
Б. Распределение прочности -622
B. Концепция наислабейшего звена 626
Г. Концепция «классического пучка» 632
ш. приложения 635
A. Распределение прочности на разрыв. Влияние объема образца 635
Б. Влияние вида напряженного состояния 639
B. Экспериментальная проверка 641
IV. НАПРАВЛЕНИЯ ДАЛЬНЕЙШИХ ИССЛЕДОВАНИЙ 642
V. ЗАКЛЮЧЕНИЕ 643
ОБОЗНАЧЕНИЯ 644
список литературы; . . . 645
Поскольку микроструктура реальных материалов неоднородна и начало
разрушения представляет собой явление в высокой степени локализованное,
явлениям разрушения, которым не предшествует значительная остаточная
деформация, присуща низкая воспроизводимость. Широкий разброс резуль-
результатов испытаний, приводящих к хрупкому разрушению, должен поэтому
рассматриваться как характерная черта, которая не может быть отделена
от физических аспектов этого типа разрушения, поскольку в действительно-
действительности она сама является физическим аспектом этого явления.
Природа наблюдаемого разброса должна поэтому анализироваться ста-
статистическими методами с целью последующего использования результатов
для основанного на статистических выводах о тренде и рассеянии предска-
предсказания относительно предстоящих испытаний. Присущий этой процедуре
недостаток заключается в невозможности провести различие между разными
статистическими функциями распределения на основе обычно доступного
умеренного числа испытаний в воспроизводимых условиях. Так, например,
для установления различия логарифмически нормального и экстремального
распределений с разумной степенью надежности, которая оправдывала бы
экстраполяцию, нужно было бы располагать несколькими тысячами резуль-
результатов испытаний.
Иной подход заключается в формулировании имеющих физический смысл
вероятностных моделей, которые затем используются для экстраполяции
за пределы наблюдений и для предсказаний потому, что эти модели физи-
физически подходят для описания явления, а не потому, что распределениями»
Гл. 6. Статистический подход к хрупкому разрушению 617
к которым эти модели приводят, могут быть приближены существующие
результаты испытаний (что не является достаточным условием).
Ниже рассмотрен ряд таких моделей, обсуждены заключенные в них
предположения, особенно в отношении наиболее существенной черты — вос-
воспроизведения влияния размера образца на хрупкую прочность. Наилучшее
представление результатов испытаний по хрупкой прочности дает третья
асимптотическая функция распределения наименьших значений, связанная
с моделью наислабейшего звена, в сочетании с гриффитсовской концепцией
неустойчивости трещины.
I. ВВЕДЕНИЕ
Общеизвестный факт, что хрупкое разрушение представляет
собой гораздо менее воспроизводимое явление, чем разрушение,
которому предшествует значительная пластическая деформация,
концентрирует внимание на статистическом аспекте этого вида
разрушения. Очевидно, что когда результаты испытаний номи-
номинально идентичных образцов при номинально идентичных условиях
нагружения колеблются от одной трети до утроенной величины
среднего значения, значимость этого среднего значения для
оценки материала и конструирования довольно сомнительна.
Возникает необходимость рассматривать разброс результатов
испытаний как неотъемлемую часть явления и изучить его природу
более детально, особенно в связи с природой порождающего его»
физического процесса разрушения.
Э^от процесс начинается в очень локализованных областях
материала, где встречаются врожденные дефекты микроструктуры
или дефекты, возникающие в ходе необратимой деформации,
и приводит к интенсивному локальному возрастанию растягиваю-
растягивающих напряжений, настолько большому, что некоторые из суще-
существующих дефектов превращаются в «повреждения», в которых
сцепление материала фактически нарушено. Агрегация примесей,
в микроструктуре, включения, центры деформационной несовмест-
несовместности и выделения посторонних частиц на границах зерен пред-
представляют примеры таких дефектов. В некоторых случаях, когда
невозможно полностью предотвратить образование пор в про-
процессе создания материала (хотя их размер и может быть снижен
применением соответствующих мер), «повреждения» присущи.
самой структуре материала, например в отливках, в закаленных
металлах и в металлах в зоне, захваченной влиянием сварки.
Таким образом, разрушение представляет собой процесс,,
характерный для дефектной структуры. Термин «хрупкое раз-
разрушение» обозначает группу тех процессов разрушения, кото-
которые не предваряются и не сопровождаются пластической дефор-
деформацией либо потому, что материал не обладает действенным
механизмом скольжения или любым другим механизмом, посред-
посредством которого может быть диссипирована существенная часть
618 А, М. Фрейденталъ
анергии деформирования, либо вследствие блокирования таких
механизмов из-за температуры или других условий окружающей
среды. При таких условиях вся производимая при деформации
работа обратимо запасается в виде энергии деформации,
которая может быть диссипирована лишь в результате образования
новых поверхностей разрушения.
Хрупкая прочность материала в условиях однородного напря-
напряженного состояния связана с дефектами его структуры, а именно
с концентрацией и степенью опасности дефектов данного образца.
Поэтому статистическое рассмотрение приводит к заключению,
что на прочность влияет размер образца. Если для того, чтобы
вызвать разрушение, требуется определенное критическое число
или определенная критическая степень опасности имеющихся
повреждений, то произойдет оно или нет, будет зависеть от ста-
статистического ожидания возникновения таких критических усло-
условий в данном образце. Это ожидание прямо связано с размером
образца: чем он меньше, тем менее вероятны критические условия.
В то время как существование определенного масштабного
эффекта при хрупком разрушении является, таким образом,
неотъемлемой частью физического явления, характер этого эффек-
эффекта будет различным в зависимости от тех допущений, которые
могут быть приняты относительно природы процесса разрушения.
Поскольку масштабный эффект отражает действие случайного
процесса, его теория составляет часть общего статистического
подхода к хрупкому разрушению.
И. СТАТИСТИЧЕСКИЕ КОНЦЕПЦИИ В МЕХАНИКЕ РАЗРУШЕНИЯ
А. Распределение дефектов
Неоднородность характерна для всех реальных материалов;
она может быть закономерной или случайной в зависимости от
того, создается ли она при закономерном изменении средних
характеристик среды или в результате локальных случайных
отклонений характеристик материала от их средних значений
на субмикроскопическом, микроскопическом или макроскопиче-
макроскопическом уровнях агрегации материала.
Случайная неоднородность на субмикроскопическом уровне
обычно связана с отклонением геометрических положений of
средних (геометрические дефекты в почти совершенной струк-
структуре, такие, как вакансии, примеси, дефекты упаковки и дисло-
дислокации). В микромасштабах она связана с размером, ориентацией
или физическими свойствами структурных единиц материала
микроскопического размера, таких, как кристаллы или частицы.
На макроскопическом уровне она связана со случайными колеба-
Гл. 6. Статистический подход к* хрупкому разрушению 619
ниями макроскопических свойств, наблюдаемых локально на
единичном образце (таких, как твердость) или в целом на образцах
номинально идентичных (таких свойств, как деформационные или
прочностные). Очевидно, макроскопическая неоднородность, выра-
выраженная в форме статистической дисперсии (разброса) наблюдае-
наблюдаемых характеристик, является результатом как субмикроскопиче-
субмикроскопических дефектов, так и макроскопических случайных неоднородно-
стей в материале.
Для установления, корреляции между макроскопическими
характеристиками и субмикроскопическими дефектами или микро-
микроскопической структурой было предложено много простых моделей
этой структуры и проанализированы общие выводы, к которым они
приводят. Так, например, макроскопическое повышение твердо-
твердости металла под действием деформирования может быть связано
с субмикроскопическими механизмами, создающими повышенную
плотность дислокаций [18]. С другой стороны, допущение о взаим-
взаимных препятствиях скольжению в соседних монокристаллах, обра-
образующих поликристаллический агрегат, приводит к микроскопиче-
микроскопической модели, на основе которой может быть получено макроско-
макроскопическое соотношение между деформацией и напряжением [18].
В любом случае, когда характерный параметр структурной
модели предполагается распределенным неоднородно и случай-
случайным образом, результирующее макроскопическое соотношение
будет содержать статистический разброс. Аналогично и статисти-
статистическая дисперсия параметров уравнения, связывающего напряже-
напряжения и деформации в упруголластической среде, может быть выве-
выведена из предположения о некотором распределении предела
текучести по отдельным составляющим кристаллам [19]. Интер-
Интервал разброса либо может целиком зависеть от принятого интерва-
интервала распределения начальных неоднородностей в модели и числа
элементов модели, образующих целое [14], либо на него может
также оказывать влияние изменение поведения элементов модели
в процессе деформирования [8].
Некоторый -частный вид простой корреляции макроскопиче-
макроскопических характеристик с субмикроскопическими или микроскопиче-
микроскопическими характеристиками модели структуры материала полу-
получается, когда можно предположить, что эти макроскопические
характеристики зависят не от статистической совокупности состав-
составляющих структурных моделей, а от величины единственного
критического значения статистически распределенного параметра
модели. Так, например, хорошо известно, что прочность твердых
тел на разрыв подвержена сильному влиянию случайных неодно-
неоднородностей их структуры. В монокристалле эта неоднородность
принимает форму распределенных в решетке несовершенств;
в стеклах она принимает форму мельчайших повреждений поверх-
поверхности; в металлических кристаллах достигаемая прочность зависит
620 А. М. Фрейденталъ
от отсутствия возможностей легкого скольжения, для чего тре-
требуется либо отсутствие, либо сильное закрепление дислокаций.
Поскольку расстояние между дислокациями или другими несо-
несовершенствами решетки имеет нижний предел, зависящий от общей
плотности, разумно допустить, что чем меньше объем, или отноше-
отношение поверхности к объему, или площадь сечения, или длина
образца материала, тем менее вероятно существование неоднород-
ностей критической интенсивности и тем ближе поэтому ожидае-
ожидаемая прочность к теоретической прочности межчастичной связи
совершенного кристалла совершенно однородной структуры,
являющейся величиной порядка 0,1Е.
Ожидаемая функциональная связь между вероятностью суще-
существования (физически не уточняемой) неоднородности критиче-
критической интенсивности в определенном объеме (на площади или на
длине) тела (который мы обозначим через У) и величиной У легко
получается из допущения, что эти неоднородности равномерно
распределены по объему (площади или длине) рассматриваемого
тела. Пусть Р* (У) означает вероятность отсутствия критической
неоднородности в некотором объеме У, а Р*(Ух)—ту же вероят-
вероятность для объема Уь не имеющего общих частей с объемом У.
Тогда вероятность отсутствия такой неоднородности в объеме
У + Vi равна
P*(V + Ух) = P*(V) Р*(У0 A)
при предположении, что события с вероятностями Р* (У) и Р*
независимы. Дифференцирование' уравнения A) по У дает
^ ^ B)
Разделив уравнение B) на уравнение A), находим, что
^ ^ C)
так как C) должно быть справедливым при произвольном значе-
значении У1# Полагая Р*@) = 1, так как для того, чтобы обнаружить
неоднородность, необходим конечный объем, и Р*(оо) = 0, что
самоочевидно, интегрированием уравнения C) находим [29] общее
соотношение.
р* (У) = e-cvf D)
где величина с = У, имеющая размерность (У)", обозначает
среднюю концентрацию неоднородностей. Чем меньше У — сред-
средний объем, приходящийся на неоднородность,— т. е. чем больше
концентрация неоднородностей, тем быстрее убывает Р* {V)
с ростом У.
Если считать, что попадание в объем У единственной неодно-
неоднородности критической интенсивности приводит к разрушению
Гл. 6. Статистический подход к хрупкому разрушению 621
этого объема, то вероятность разрушения может быть выражена
как функция, экспоненциально зависящая от объема (площади
или длины)
pF (V) = 1 — P*(V) = 1 — е-*. E)
При одной и той же концентрации неодно родностей вероятность
разрушения быстро возрастет с увеличением объема. С другой
стороны, чтобы обеспечить равную вероятность разрушения раз-
различных объемов, средняя концентрация неоднородностей должна,
резко снижаться с увеличением объема V (площади или длины).
Уравнение E) имеет совершенно общий характер и не зависит
от каких бы то ни было допущений относительно физической при-
природы неоднородностей, поскольку оно было получено на основе
чисто вероятностных соображений. Его вывод основывался на
допущении, что появление всего одной неоднородности в объеме V
приводит к разрушению. Можно, однако, обобщить это допуще-
допущение, введя критическое минимальное число п > 1 неоднородно-
неоднородностей, которые необходимы для того, чтобы произошло разру-
разрушение.
С этой целью нужно считать, что уравнение D) определяет
появление неоднородностей как случайный процесс Пуассона,
для которого вероятность появления к неоднородностей в объеме V
выражается общим уравнением:
р (к) = (Ш) (cV)ke~cV. F)
Если вероятность разрушения отождествляется с вероятностью
появления по крайней мере п неоднородностей, то вероятность-
неразрушения равна вероятности появления менее чем п неод-
неоднородностей, совпадающей с суммой вероятностей появления
от нуля до п — 1 неоднородностей, или
1 - pF (V) = е~сУ "S A/Ы) (cV)k; G)
поэтому
pF (V) = е-* S (I/A!) (cV)k. (8)
Плотность вероятности pF (V) получается дифференцированием
уравнения (8) по V, что дает
Pf(V) = (c/n\)(cV)ne-cV. (9)
Этот закон известен как гамма-распределение. Среднее для него
равно (п + 1I с = (п + 1) F, мода равна nV, а стандартное
отклонение о — (п -\- 1I/2 У. Коэффициент изменчивости для этого
закона, v = ос/(п + 1) = 1/(/г + 1I/2 уменьшается с ростом п.
622 Л. М. Фрейденталъ
При п = 0 уравнение (9) принимает простой экспоненциальный
вид
pF (V) = се-*, A0)
получающийся дифференцированием уравнения E). При ?г > 0
уравнение E) заменяется на
оо оо
f (cx)ne-exd(cx) = l-(l/n\) [ yn
e~ydy. A1)
Введя интегральное и факториальное определения гамма-функ-
гамма-функции и неполной гамма-функции, уравнение A1) можно переписать
в виде
Р, (V) = 1 - [Г (п + 1) - Г (cV, п +1I/Г (п +. 1) = / (cV, n),
A2)
где с = У, а отношение, выражающееся через неполную гамма-
функцию / (V/V, п), затабулировано; это отношение заключено
между нулем и единицей и подобно любой другой функции рас-
распределения возрастает с ростом V/V. Так, например, для V/V = lt
10 и 100 значения PF (F), определенные с четырьмя десятичными
знаками, составляют 0,1899; 0,9896 и 1,0000 при п = 3 и 0,0000;
0,4107 и 1,0000 при п = 10.
Таким образом, основной статистический аспект разруше-
разрушения, состоящий в увеличении вероятности разрушения с ростом
объема (площади или длины) рассматриваемого образца, вытекает
из чисто вероятностных рассуждений, исходя из допущения, что
разрушение обусловлено критическим числом «неоднородностей»
атомной структуры или микроструктуры. Роль напряжения может
быть учтена с помощью дополнительного допущения о том, что
критическое число неоднородностей, необходимых для разруше-
разрушения, возрастает с уменьшением напряжения или п = п0а0/о,
где п0 и а0 — постоянные материала. Подставляя вместо п это
выражение в уравнение A2), можно выразить вероятность раз-
разрушения PF (V) как функцию объема и напряжения.
Б. Распределение прочности
В механике разрушения (основанной на идеализированном
представлении реального твердого тела однородной обычно изо-
изотропной средой преимущественно упругого поведения) уменьше-
уменьшение общей прочности с увеличением объема (площади или длины)
образца — уменьшение, часто наблюдаемое в материалах, не
проявляющих существенной пластической деформации при раз-
разрушении,— объясняется введением представления о поврежде-
повреждениях. Такие повреждения в форме эллиптических полостей или
дискообразных трещин превращают непрерывное однородное твер-
Гл. 6. Статистический подход к хрупкому разрушению 623
дое тело в «перфорированное тело», а повреждения в форме надре-
надрезов различных видов превращают идеально гладкую поверхность
в . поверхность, покрытую распределенными надрезами.
Физическая природа и происхождение таких повреждений
широко обсуждались [15]. Очевидно, выделения различных видов,
локализованные частицы твердой фазы, включения, поры и дру-
другие механические дефекты, так же как и коррозионные ямки
и механические царапины на поверхности,— все они могут порож-
порождать крайне неоднородные поля напряжений в однородно дефор-
деформируемых материалах и поверхностях. Однако подобный эффект
могут давать и другие типы неоднородностей в микроструктуре,
такие, как развитые полосы скольжения, участки незаконченного
скольжения на границах зерен и скопления вакансий (полости),
возникающие при изменяющем направление циклическом сколь-
скольжении, и аналогично в макромасштабе — макроскопические тре-
трещины, надрезы, полости.
Введение повреждений упрощенных типов делает возможным
анализ полей напряжений вокруг них на основе линейной теории
упругости. С помощью таких представлений может быть количе-
количественно объяснено большое различие между (теоретической) проч-
прочностью атомных связей и реальной макроскопической прочностью,
наблюдаемой на образцах конечных размеров, без необходимости
рассмотрения неоднородностей атомного масштаба. Поэтому вве-
введение представления о повреждениях является попыткой построить
в рамках механики сплошных сред аналитическую модель, кото-
которая могла бы воспроизводить определенные черты реальных мате-
материалов. Физически идентифицируемых геометрических аспектов
структуры материала такая модель в общем случае не воспроиз-
воспроизводит. Эта модель превращает однородную среду с теоретической
или неизвестной однородной прочностью в среду с известной неод-
неоднородной прочностью с помощью следующих допущений.
1. Цовреждения различной степени опасности распределены
в среде таким образом, что каждое из них содержится в элементе
объема, прочность которого оно определяет. Однако никакого
взаимодействия между повреждениями нет, так что эффект от
повреждения в каждом элементе объема может быть проанализи-
проанализирован независимо от наличия повреждений в других элементах
объема, как если бы это было единственное имеющееся в среде
повреждение.
2. Прочность элемента объема связана с характеристиками пов-
повреждения, которое он содержит, таким образом, как это уста-
устанавливается теорией Гриффитса неустойчивости трещин [11].
3. Прочность любого макроскопического образца однозначно
определяется прочностью того элемента объема, который содержит
наиболее опасное повреждение.
624 А. М. Фрейдепталъ
Рис. 1. Функциональное соотношение
между полудлиной трещины х = с ж
критическим уровнем напряжения %=¦ а
(по Гриффитсу [11]).
Первые два допущения определяют распределение локальной
прочности по среде через распределение повреждений.
Связь между локальной прочностью и размером трещины
удобно выразить уравнением Гриффитса, определяющим зависи-
зависимость от величины напряжения о критической длины 2с эллип-
эллиптической трещины, которая распространяется благодаря высво-
высвобождению энергии упругой деформации в однородном поле на-
напряжений, действующих в направлении, перпендикулярном ли-
линии трещины:
а Ус'= const = к. A3)
Постоянная к представляет собой параметр, скомбинированный
из упругих постоянных Е и v и скорости производства затрачивае-
затрачиваемой на образование единицы площади трещины работы Гс и имею-
имеющий вид к = B?Тс/яI/2 для плоского напряженного состояния
и к = [2ETJn (I — v)]1/2 для плоской деформации. Если половину
длины трещины с и локальную прочность на разрыв а рассматри-
рассматривать как случайные величины с = х и а = z, то на рис. 1, на
котором графически представлено уравнение A3) в форме Z =
= к/УХ, легко усмотреть, что связь между вероятностными
распределениями Fz (z) и Fx (x) может быть определена из
равенств
Fz (z) = Рг {Z < z) = Pr {X > k*lz*) = 1 — Fx (/c2/z2). A4)
В общем случае произвольно заданной функции распределе-
распределения Fx (x) длин трещин соответствующая функция распределения
Fz (z) локальной прочности не может быть найдена из A4) в замк-
замкнутом виде, но всегда может быть построена численно. Однако
для некоторых заданных,. имеющих физический смысл функций
распределения это уравнение приводит к простым результатам.
Если вместо подразделения всего объема на неравные эле-
элементы объема, содержащие одно-единственное повреждение каж-
каждый, как это предполагает первое допущение, производится его
Гл. 6. Статистический подход к хрупкому разрушению 625
разделение на равные элементы объема, достаточно большие для
того, чтобы любой из них содержал значительное количество
распределенных повреждений различных размеров, и если все
эти повреждения достаточно малы по сравнению с наименьшим
размером элемента объема, чтобы обеспечить взаимную незави-
независимость полей напряжений вокруг каждого из повреждений,
то прочность любого элемента объема будет, согласно уравне-
уравнению A3), однозначно определена наибольшим из повреждений,
имеющихся в этом элементе, поскольку его размеру отвечает
наименьшая величина напряжения а. Следовательно, распределе-
распределение (локальной) прочности по элементам объема может быть
связано с распределением по этим элементам наибольших повреж-
повреждений, а не всех вообще повреждений по всему объему. Преимуще-
Преимущество такого подхода обусловлено тем обстоятельством, что число
распределений экстремальных (наибольших или наименьших)
значений из широкого разнообразия начальных статистических
совокупностей для больших выборок крайне ограничено [13].
В действительности существует только две пары, имеющих
физическое значение функций распределения экстремальных зна-
значений,— одна пара для распределения наибольших и одна для
распределения наименьших значений. В каждой из этих пар одна
функция представляет крайние значения неограниченных началь-
начальных совокупностей «экспоненциального типа», описываемых функ-
функциями распределения, стремящимися к нулю при | х | —>¦ оо
по крайней мере не медленнее, чем е~х, и обладающими всеми
моментами; другая функция представляет крайние значения
начальных совокупностей так называемого типа Коши, ограни-
ограниченные при х = 0, стремящиеся при | х | ->¦ оо к нулю лишь как
x~k и либо не обладающие ни одним моментом, либо обладающие
только конечным числом моментов. Следовательно, распределе-
распределение наибольших повреждений в каждом элементе объема можно
ввести непосредственно, относя (неизвестное) начальное распреде-
распределение либо к экспоненциальному типу, либо к типу Коши; при
этом нет никакой необходимости знать вид статистического рас-
распределения размеров повреждений или предполагать какой-либо
определенный его вид. Для распределений размеров повреждений
типа Коши во всем объеме соответствующая функция распределе-
распределения наибольших повреждений в каждом из элементов объема,
как установил Фреше [6], имеет вид
Fx (x) = ехр [—(х/и)-*]. A5)
С помощью формулы A4) она может быть непосредственно пре-
преобразована в функцию распределения локальной прочности эле-
элементов объема:
Fz (z) = 1 — ехр [—(&2/z2u)"a] = 1 — ехр [—(z/v)™], A6)
40—0700
626 А. М. Фрейденталъ
где v = к/^и = аи— прочность, соответствующая квантили,
Fz (v) = 1 — е, для полудлины трещины х — с = иг отве-
отвечающей квантили Fx (и) = е~1.
Формула A6) дает функцию распределения наименьших зна-
значений, ограниченных при z = 0. Она получается непосредственно
исходя из логического допущения о том, что распределение наи-
наибольших повреждений в элементах объема достаточно близко
(асимптотически) к распределению наибольших значений стати-
статистической совокупности. Интересно заметить, что разброс локаль-
локальной прочности, пропорциональный* 1/Bа), гораздо меньше раз-
разброса размеров повреждений (пропорционального 1/а). В то время
как для функции распределения, выражаемой формулой A5),
существуют лишь моменты порядка ниже а, для функции A6) суще-
существуют все моменты, причем момент порядка к может быть выражен
[13] в виде
mk = vkT (I + к/Bа)). A7)
Для к = 1 среднее
1 = vT A + 1/Bа)) A8)
сходится с ростом а к v. Дисперсия равна
ol = v* [Г A + 1/а) — Г2 A + 1/Bа))]. A9)
Распределение локальной прочности A6) относится к очень
малым элементам объема, которые вообще не могут быть под-
подвергнуты индивидуальным испытаниям. Следовательно, его мода
v = аа = к/Yu может быть определена лишь на основе оценки и.
Считая в грубом приближении, что отношение а/Е ~ 10~3 и что
для хрупких материалов Гс ~ 1 дюйм-фунт/дюйм2@,2 кГсм/см2),
запишем соотношение между аи и с так: guc « 103 фунт/дюйм
B -102 кГ/см). Таким образом, физически разумный размер повреж-
повреждения, отвечающий моде распределения, имеющей порядок от
10~3 до 10~2 см, будет давать модальные значения прочности ои
порядка от 106 до 105 фунт/дюйм2 (от 105 до 104 кГ/см2), что по
крайней мере на порядок превышает значение прочности, полу-
получаемое на образцах конечного размера из типичных хрупких
материалов, таких, как керамики. Следовательно, необходимы
дополнительные соображения, чтобы предсказать прочность образ-
образца в целом на основе знания прочности элемента объема. Эти
соображения содержатся в третьем допущении и известны как
концепция «наислабейшего звена».
В. Концепция наислабейшего звена
Если предполагается, что разрушение образца в целом опре-
определяется локальной прочностью его наиболее слабого элемента
объема, то тем самым подразумевается отождествление разруше-
Гл. 6. Статистический подход к хрупкому разрушению 627
ния образца с неустойчивым распространением наиболее опасной
трещины из этого элемента через весь образец независимо от
локальной прочности остальных элементов на пути трещины.
Возможный механизм распространения трещины посредством
прогрессирующего слияния мелких трещин в расчет не прини-
принимается. Иначе говоря, процесс разрушения образца отождествляет-
отождествляется с разрушением цепи, звенья которой образуют элементы объе-
объема. Как прочность цепи равна прочности ее наислабейшего звена,
точно так же и прочность образца в целом определяется прочно-
прочностью его наислабейшего элемента объема.
Концепция наислабейшего звена широко использовалась при
разработке многих статистических теорий прочности, которые
отличаются одна от другой лишь способом оправдания использо-
использования этой концепции или принимаемым видом функции рас-
распределения локальной прочности [1, 3, 4, 16, 17, 25]. Вероятно,
Пирс [20], который впервые сформулировал концепцию наи-
наислабейшего звена (при исследовании прочности хлопковых воло-
волокон), был также первым, кто осознал тесную связь этой модели
с асимптотической теорией экстремальных значений при больших
выборках из некоторой статистической совокупности. Последняя
теория была развита примерно в то же время Типпетом, Фише-
Фишером [5, 24] и Фреше [6], а несколько позднее обобщена Мизесом
[26] и Гамбелом [12].
Применение концепции наислабейшего звена к простран-
пространственному телу, а не к волокну, впервые было предложе-
предложено Вейбуллом [27], пришедшим, однако, к соответствующей
функции распределения на основе чисто эвристических соображе-
соображений, не связанных с асимптотической теорией.
Статистическая задача о наислабейшем звене в точности экви-
эквивалентна задаче о распределении наименьших значений в выборке
размера п. Если прочность большого образца определяется
локальной прочностью его наислабейшего элемента объема, то
статистическое распределение прочности в целом получается как
распределение наименьших локальных прочностей в макрообраз-
макрообразцах, состоящих из п элементов объема.
Вероятностная теория, на основе которой получается это
распределение, образует специальный раздел теории вероятно-
вероятностей — так называемую теорию упорядоченных статистик [30].
Точные распределения экстремальных (наименьших или наи-
наибольших) значений данного распределения могут быть сразу
выражены как функции начального распределения.
Вероятность того, что в некоторой выборке размера п все
значения непрерывной случайной величины X, имеющей функ-
функцию распределения F (х), меньше, чем х, может быть истолкована
как вероятность Фп (х) того, что х представляет собой наибольшее
из этих значений. Поскольку F (х) равно вероятности Рг {X < х}г
40*
628 А. М. Фрейденталь
из правила умножения следует, что
Ф„ (х) = [F (х)]". B0)
Отсюда видно, что вероятность того, что определенное значение
X = х представляет собой наибольшее значение, уменьшается
с ростом размера выборки п, так как функции Фп (х) для возра-
возрастающих п сдвигаются в сторону больших значений х, не пере-
пересекаясь.
Вероятность того, что все значения в выборке размера п боль-
больше чем х, может быть истолкована как вероятность того, что
х является наименьшим из этих значений, или
l-<b1(x) = [l-F (x)]n, B1)
и поэтому
фг (х) = 1 — [1 — F (х)]п. B2)
Формулы B0) и B2) определяют функции распределения наи-
наибольших и наименьших значений в выборках размера п через
начальную функцию распределения F (х). Соответствующие плот-
плотности вероятности равны
Фп (*) = л*41-1 (*)/(*) B3)
И
ф1 (x) = n[l-F (x)]n-i f (x). B4)
Существование моментов у распределений экстремальных зна-
значений, очевидно, зависит от существования соответствующих
моментов у начального распределения. Эти моменты существуют
или не существуют одновременно. Если они существуют, то
имеют вид
rnnk= J xkyn(x)dx= J хкйФп{х),
B5)
mik= \ xh ф! (х) dx = — \ xkdOi(x).
— оо — оо
Для большинства начальных распределений эти выражения не
могут быть проинтегрированы в замкнутой форме даже при к = 1
(среднее значение).
Для того чтобы решить уравнение B0), рассмотрим т выборок
размера п каждая. В каждой выборке имеется одно наибольшее
значение. Наибольшее значение из тп наблюдений равно наи-
наибольшему из т наибольших значений, полученных для выборок
размера п. Распределение наибольших значений из тп наблюде-
наблюдений будет стремиться к тому же самому асимптотическому рас-
Гл. 6. Статистический подход к хрупкому разрушению 629
пределению, что и распределение наибольших значений в выбор-
выборках размера п, при условии, что это последнее существует.
Две функции распределения имеют один и тот же вид, если
они связаны линейным преобразованием. Таким образом, вероят-
вероятность того, что наибольшее значение меньше х, можно положить
равной линейной функции от х вида
Fn (x) = F (апх), B6)
где ап Ф 1. Из этого соотношения должен находиться параметр ап
как функция тг, а также функция F (х). Сравнивая выражения
[Fn (х)]т = [F (апх)]т = F (апатх) B7)
[Fn (х))т = Fnm (х) = F (атпх), B8)
получаем
Япт = ЯтгЯт; B9)
это будет выполняться, если взять
ап = nk,
где к — некоторая постоянная. Дважды последовательно лога-
логарифмируя равенство B6) и учитывая формулу B9), получаем
следующее соотношение:
In п + In [—In F (x)] = In [—In F (nkx)]. C0)
Таким образом, если х увеличивается на ап = к In тг, то
In [—In F (х)] увеличивается на In тг, так что
In [—In F (x)] — (In х)/к = const, C1)
или
In [_in p (x)) == (In x — In u)/k, C2)
и поэтому
—In F (x) = {xluyih, или F (x) = exp [—(xluyi\ C3)
где и получается преобразованием постоянной в формуле C1).
Если случайная переменная неотрицательна, так что F @) = 0,
то отсюда следует, что к отрицательно:
Цк = —а, где а > 0, C4)
так что F (оо) = 1, и поэтому формула C3) преобразуется в фор-
формулу Фреше A5), т. е. в асимптотическую функцию распределения
наибольших значений. Функциональное соотношение B0) при-
приводит к равенству
Фп (х) = Fn (х) = ехр [—п (х/и)-а] =
= ехр [—(х/ип1**)-*], C5)
630 А, М. Фрейденталь
из которого следует, что если и обозначает длину наибольшей
трещины, отвечающей моде в элементах объема Fo, то длина
трещины, отвечающая моде во всем объеме V = nVQi равна
и (F/F0I/a; множитель (F/F0I/a выражает влияние увеличения
объема на модальную длину трещины.
Зависящее от объема распределение общей прочности с по-
помощью уравнения A3) и преобразования A6) непосредственно
следует из уравнения C5):
которое по форме совпадает с выражением A6), за исключением
того, что модальная прочность снижается от v до iw1/'200, или
от локального значения аи до зависящего от объема значения
для образца в целом аи (WF0)~1/Ba)-
Уравнение C6), выведенное на основе логического допущения
об экстремальности распределения наибольших трещин в эле-
элементах объема в сочетании с концепцией наислабейшего звена,
совпадает с распределением, предложеннымВейбуллом [27], исходя
из эвристических соображений, а именно путем выбора функции
распределения E) и задания зависящего от напряжения «риска
разрушения»
c(z)= ^g(z)dV = V.g(z) C7)
в виде эмпирической зависимости
ПРИ*>2"' C8)
0 при z<.zu,
где zu, z0 и т — постоянные материала. Аналитический вывод
уравнения C6) основан на допущении о неотрицательности случай-
случайной переменной z. Оно поэтому представляет функцию «риска
разрушения», определяемую уравнением C8) с нижним пределам
zu = 0 и т = 2а 1).
х) В то время как в технической литературе формулу C6) часто назы-
называют «распределением Вейбулла», потому что Вейбулл первым предложил
применить ее к проблеме прочности, оно в той же форме раньше успешно
применялось в задачах о распределении обломков или размеров частиц
в процессах дробления и износа, включающих множественные или повторяю-
повторяющиеся процессы разрушения. В соответствующей литературе оно известно
как эмпирическое «соотношение Розина — Рамлера» [21], хотя представляет-
представляется, что применить его к задачам дробления было предложено уже в 1915 г.
[9J. Теоретическое оправдание этого соотношения на основе физической моде-
модели процессов множественного разрушения, включая трещины Гриффитса,
было предложено сравнительно недавно [10].
Гл. 6. Статистический подход к хрупкому разрушению 631
Моменты асимптотических распределений наименьших значе-
значений (определяемых формулами A6) и C6)) легко получаются
интегрированием второго из выражений B5) по положительному
интервалу изменения случайной переменной с использованием
интегрального определения гамма-функции. Для распределе-
распределения A6)
оо
mik - - J (z/v)kd exp [ - (z/vJa] = vkT A + Щ2а)), C9)
о
откуда при к = 1 получается среднее значение Шц = я, опреде-
определенное выражением A8). Дисперсия по отношению к нулевому
среднему а2 = т12 — т\х определена соотношением A9). Для
распределения C6) выражение для моментов совпадает с форму-
формулой C9), в которой и заменено на (vn'1^2a)). Следовательно,
mik = (vn-m)kT (I + k/Ba)), D0)
и поэтому при к = 1
z, = {vn~1/Bа)) Г A + 1/Bа)) = znT1/Bа) D1)
и
а\ =v2n-i/aT(l + l/a)-v2n^i/aT2(l + l/Ba))^o2n-1/a. D2)
Подставляя в эти формулы п = V/Vo, их можно записать так:
i1/i = a1/0 = (F/Fo)-1/Ba); D3)
поэтому коэффициент изменчивости равен k
a! a Г ГA + 1/а)-Г2A + 1/Bа)) ni/2
Н " i L
Н ) J '
Таким образом, и средняя общая прочность, и ее среднеквадра-
среднеквадратичное отклонение уменьшаются с ростом объема, а коэффициент
изменчивости от объема не зависит.
Для а = оо имеем z = гг = v = аи и а2 = о\ = 0; общая
прочность не зависит от объема образца и однозначно определяет-
определяется длиной трещины 2с = 2и, следовательно, она равна ои. Поэто-
Поэтому величина статистической дисперсии общей прочности, как
видно из табл. 1, в которой приведены значения отношения o/z,
вычисленные по формуле D4), обратно пропорциональна 2а.
Чем меньше параметр 2а, тем больше дисперсия общей проч-
прочности и тем отчетливее выражена зависимость средней или модаль-
модальной прочности и ее среднеквадратичного отклонения от объема
Таблица 1
2а:
<sjz:
1
1,0
0
2
,46
0
3
,33
0
4
,25
0
6
,18
0
8
,14
10
0,11
632 А . М. Фрейденталъ
образца. В первом приближении коэффициент изменчивости a/z ~
~ 1/Bа). Наблюдаемые типичные значения 2а = т изменяются
между т от 1 до 2 для волокон и т от 5 до 10 для керамик [23].
Параметр 2а рассматривается как мера плотности трещин
(в теории Вейбулла т = 2а называется показателем плотности
повреждений). Это допущение не кажется верным. Если для
его проверки предположить, что начальное распределение раз-
размеров повреждений принадлежит к типу Коши, например к типу,
подобному распределению A5), то соотношение между этим рас-
распределением и распределением A5) будет тем же самым, что
и соотношение между выражениями A5) и C5). В этом случае
п = т] можно истолковать как число повреждений в единице
объема (плотность повреждений), а 1/а как меру дисперсии их
распределения. Модальное значение и экстремальных размеров
повреждений было бы связано тогда с модальным значением и'
начального распределения размеров повреждений соотношением,
вытекающим из формулы C5):
u = uV/a. D5)
Таким образом, если и' остается постоянным, а ц (начальная
плотность повреждений) возрастает, то модальное значение и,
определяющее модальное значение локальной прочности, будет
также возрастать. Этот рост будет происходить тем быстрее, чем
больше дисперсия начального распределения размеров поврежде-
повреждений и чем меньше поэтому а. При постоянной плотности повреж-
повреждений т] модальное значение и будет расти с ростом и', откуда
следует как общее увеличение начальных длин трещин, так
и уменьшение а. Таким образом, модальная локальная прочность
ви = к1Уп=Ш1/)ч-т D6)
будет убывать с ростом плотности начальных трещин, причем
убывать тем быстрее, чем меньше значение параметра 2а. Поэтому
параметр 2а является мерой не плотности повреждений, а только
их дисперсии: чем больше а, тем ближе распределение размеров
повреждений к однородному и тем меньше поэтому влияние плот-
плотности повреждений, которое исчезает совсем для полностью
однородного распределения их размеров. Это является резуль-
результатом принятия концепции наислабейшего звена.
Г. Концепция «классического пучка»
Концепция наислабейшего звена может быть ослаблена до
той степени, когда более не предполагается, что неустойчи-
неустойчивость повреждения критического размера приводит к разрушению
всего образца, а считается, что критическая трещина Гриффит-
Гл. 6. Статистический подход к хрупкому разрушению 633
са может быть остановлена, прежде чем она разрастется от локаль-
локального масштаба до масштабов образца.Возможность такого процесса
подразумевает либо (а) что наислабейший элемент объема, содер-
содержащий опасную трещину, окружен элементами с настолько
большей локальной прочностью, что напряжение на, наислабей-
наислабейшем элементе может после разрушения этого элемента быть вос-
воспринятым окружающими элементами, либо (б) что ускоренному
распространению критической трещины препятствует пластиче-
пластическая деформация.
Второй случай не имеет отношения к явлению хрупкого раз-
разрушения и поэтому рассматриваться не будет. Построение модели
процесса разрушения, основанное на представлении, относящемся
к первому случаю, приводит к концепции классического пучка*
которым заменяется образец в целом. Этот пучок состоит иа
большого числа параллельных волокон одинаковой длины L
и поперечного сечения А, которые имеют одинаковое происхожде-
происхождение, так что статистическое распределение локальной прочности
волокон однородно и стационарно. На основе аргументации разд. В
можно считать, что распределение прочности является экстре-
экстремальным и выражается формулой A6); отдельное волокно пред-
представляет собой фактически модель наислабейшего звена. Проч-
Прочность этой модели классического пучка так же, как и образца
в целом, который она должна представлять, определяется силами,
под действием которых «цепная реакция» последовательных раз-
разрывов волокон, возникающих в результате поочередной перегруз-
перегрузки уцелевших волокон, приводит к окончательному разрушению
всех волокон. Процесс разрушения начинается в наиболее слабой:
точке пучка, но в противоположность модели наислабейшего
звена он вовсе не обязательно распространяется. Для того чтобы
он распространился (от наислабейшего звена) в пучке из п волокон
с прочностями <xn, (Jn-i, . . ., сг2, ог1? расположенных в порядке
их последовательного разрушения, должна выполняться следую-
следующая совокупность условий:
О < ап < S/(nA) = sn,
D7)
аз < or2 < S/BA) = s2,
о 2 ^ ffi ^ SI A = Si.
Введя плотность вероятности прочностей волокон р (а), вероят-
вероятность событий, определенных соотношениями D7), можно выра-
выразить в виде
sn sn-i S2 sl
Pn (s) = n\ j p{o)do j p(o)do..A p (a) da j p (a) da, D8)
634 А, М. Фрейденталъ
где множителем п\ учтены все возможные способы расположения
волокон. Положив
D9)
где Р (sr) — вероятность разрушения волокна в результате прило-
приложения к нему напряжения sr, выражение D8) можно записать
в виде
Рп Pn-i Рг Pi
Pn(s) = n\[dP f dP... [dP^'dP. E0)
0 Zn-l 22 Zi
Рассматривая асимптотику Рп (s), Даниэле в своей классической
статье [2] показал, что распределение вероятностей для удельной
прочности s = SI(nA) пучка из п волокон стремится при возра-
возрастании п к нормальному распределению с математическим ожида-
ожиданием
Е (з) = аг[1-Р (аг)] E1)
и дисперсией
Var (s) = ol {P (orr) [1 - Р (or)]} n-\ E2)
где ог — то значение о, при котором выражение о [1 — -Р(ст)]
достигает максимума:
±.о[1-Р(о)]а=ог = 0. E3)
Используя для определения Р (а) экстремальное распределение
A6), получаем решение в виде
E4)
откуда
1/BaI/Ba) E5)
Отношение у средней прочности волокна в пучке к средней
индивидуальной прочности волокна, определяемой согласно фор-
формуле A8), поэтому равно
Y = (l/Ba)I/Ba)^1/Ba) [Г A + 1/Bос))Г < 1, E6)
где 1/Bа) можно в первом приближении заменить коэффициентом
изменчивости прочности волокон. Так, например, эффективная
средняя прочность волокна с коэффициентом изменчивости 0,25
Гл, 6. Статистический подход к хрупкому разрушению 635
(а = 2) в большом (теоретически бесконечном) пучке уменьшает-
уменьшается примерно до 65% от средней прочности составляющих индиви-
индивидуальных волокон.
Согласно формуле E2), дисперсия s убывает с ростом п и стре-
стремится к нулю при очень больших п. Дисперсия прочности пучка
поэтому гораздо меньше дисперсии прочности отдельных волокон;
при этом в целом образце, процесс разрушения которого описы-
описывается моделью классического пучка, нельзя ожидать никакого
явно выраженного влияния объема ни на среднюю прочность,
ни на ее дисперсию, за исключением того, что дисперсия может
обнаруживать тенденцию к уменьшению с ростом размера образ-
образца. В частности, именно благодаря этой последней тенденции,
далеко не всегда обнаруживаемой в испытаниях, приводящих
к хрупкому разрушению, полагают, что модель пучка примени-
применима только для описания процессов разрушения материалов,
у которых физически существуют такие пучки, как группы длин-
длинных цепных молекулярных «волокон», например ориентиро-
ориентированных линейных высокополимеров или эластомеров, которые
разрушаются после ориентации цепей в результате большой
деформации.
III. ПРИЛОЖЕНИЯ
А. Распределение прочности на разрыв.
Влияние объема образца
Функция распределения прочности на разрыв ot при хруп-
хрупком разрушении, согласно^ формуле^ C5), с z = ot и at0 =
= <xu (F/F0)/Ba), где gu = k/У и — модальная прочность эле-
элемента объема Fo, представляется следующим образом:
F (ot) = 1 - exp [-(a,/cr,oJa], E7)
или
^* Ы = 1-F (ot) = exp [-(вМо)ш1 E8)
Это выражение с помощью двукратного логарифмирования можно
преобразовать в уравнение прямой
In [—In F* (at)] = 2a [In ot — In ot0] E9)
в координатах In [—In F* (ot)] и In at1 что является основой широ-
широкого применения графических методов представления данных
по хрупкой прочности на вероятностной бумаге для экстремаль-
экстремальных значений. На такой бумаге по оси ординат откладывается
у = In [—In F* {ot)], а по оси абсцисс х = In at и после этого
данные наблюдений приближают следующим теоретическим урав-
636 А. М. Фрейденталъ
нением прямой:
х = In а, = In а, о + у/Bа) = х0 + у/Bа). F0)
Справедливость допущения об адекватности представления рас-
распределения прочности на разрыв при хрупком разрушении форму-
формулой E) проверяется тем, насколько хорошо удается приблизить
наблюдаемые значения прочности теоретической линейной зави-
зависимостью F0).
При представлении на вероятностной бумаге для экстремаль-
экстремальных значений серии из п отдельных наблюдений, которые с этой
целью упорядочиваются по возрастающей величине прочности,
возникает задача о частоте Fm (хт), связанной с т-м наблюде-
наблюдением хт (т = 1, 2, . . ., п) в серии. Если п результатов наблю-
наблюдений хт непрерывной случайной величины расположены в поряд-
порядке возрастания, то т-е ее наблюдение (считая снизу) имеет сум-
суммарную частоту (наблюдений х ^ хт), равную т/п; для наивыс-
наивысшего из них частота равна 1. Если те же наблюдения расположены
в порядке убывания, то т-е наблюдение (сверху) имеет суммар-
суммарную частоту (наблюдений х ^ #w), равную 1 — т/п; для наи-
наименьшего из них частота равна нулю. Так как частоты нуль
и единица не могут получаться при таком построении до тех пор,
пока случайная переменная не примет предельного значения,
необходимо с наблюдением хт связать иной уровень суммарной
частоты, чтобы можно было отложить на графике первое и послед-
последнее наблюдения. «Место построения» Fm для г?г-го наблюдения
получается нахождением средней суммарной частоты т-то наблю-
наблюдения с помощью плотности вероятности ц)п (Fm) частоты т-то
снизу значения в выборке размера п:
A-Я»ГЛ F1)
где 0 ^ Fm ^1 и фп (Fm) — вероятность того, что п — 1 значе-
значений лежит ниже Fmj п — т значений — выше Fm, а одно точно
при Fm. Из моментов порядка к плотности вероятности qn (Fm)
«место построения» яг-го наблюдения получается для к = 1 как
средняя частота m-го наблюдения в виде [13]
Fm = т/(п + 1). F2)
Именно это значение используется обычно в качестве ординаты
ут = In [—In (I — Fm)], связанной с абсциссой хт = In otm,
отвечающей иг-му наблюдению, для сравнения тренда наблюдений
с предсказанием уравнения F0). Если этот тренд наблюдений
достаточно хорошо представляется прямой х — х0 = г//2а, то такая
Гл. 6. Статистический подход к хрупкому разрушению 637
прямая, построенная графически или по методу наименьших квад-
квадратов, может быть использована для определения параметров
формулы E7) оt0 = ехр (х0) и 2а, где х0 — значение х при у = О,
или F (otQ) = 1 — е'1, а 2а = г//(я — #0) — угловой коэффи-
коэффициент прямой.
Отклонение значений в выборке at0 и 2а от значений для ста-
статистической совокупности зависит, очевидно, от размера выборки.
Опыт показывает, что оценки параметров, получаемые на малых
выборках (п <С 10), крайне ненадежны. Только для больших выбо-
выборок, в которых число образцов достигает по крайней мере сотни,
такие оценки могут рассматриваться как заслуживающие дове-
доверия. Едва ли имеет значение, каким методом — графическим или
одним из ряда аналитических [28] — получаются оценки пара-
параметров, если размеры выборки недостаточны. Различные методы
будут давать различные значения параметров, ненадежные в оди-
одинаковой мере.
В формуле E7) влияние объема образца учитывается парамет-
параметром Gt0 = au (F/F0)~1/Ba). Согласно этой формуле, модальные
прочности на разрыв образцов объемов V± и F2 связаны соотно-
соотношением вида
U2a\ F3)
Влияние объема на распределение общей прочности на разрыв
вытекает из уравнения E9), в котором Gt0 заменяется на
(F/F)^2)
In [—In F* (ot)] = 2a (In a* — In att) + In (F/Fo), F4)
или
x = In Gt = In gu + yl{2a) — [l/Ba)] In (V/V0I/i2a>. F5)
Уравнение F5) описывает семейство параллельных прямых, сме-
смещенных в отрицательном направлении оси х на расстояния
tl/Ba)] In (FK/F*-i), где VK > VK-t.
Вероятность разрушения PF образца, растягиваемого прило-
приложенным напряжением а, получается из формулы E7) в виде
a
PF = Pr{at <a}= J f(Gt) dG = 1- exp [ -(a/a,Ja], F6)
где отношение v = (a/a^o) может рассматриваться как «коэф-
«коэффициент безопасности» [7]. Следовательно, соотношение между
коэффициентом безопасности и вероятностью разрушения имеет
вид
In v = —[l/Ba)] In [—In A — PF)]. F7)
638
А. М. Фрейденталъ
434
442
Рис. 2. Результаты испытаний на прочность двух керамик, представленные*
на вероятностной бумаге для экстремальных значений (данные для фарфора
"взяты из работы [22]).
По оси абсцисс: х = In а, по оси ординат: у — In [In A/A — PF))]\ а —образец из Be О
при изгибе, б — образец из фарфора при изгибе.
Соотношение, которое должно иметь место между коэффициен-
коэффициентом безопасности и параметром 2а, чтобы обеспечить некоторую*
заданную величину вероятности разрушения PF, описывается
поэтому уравнением гиперболы
F8)
2а In v = In In , = const.
Коэффициент безопасности, таким образом, зависит от объема.
Если Vi=0^oi/cri связано с объемом Fb a v2=Gm/ff2—с объемом
F2, то для того, чтобы обеспечить постоянство вероятности раз-
разрушения , отношение
F9)
должно быть равно единице, и поэтому
ai/aa = (F2/71IA2a) = am/atoa. G0)
Возможность достаточно хорошо приблизить результаты
наблюдений уравнением F0) позволяет прийти к заключению,
что модель наислабейшего звена дает разумное описание процес-
процесса разрушения, приводящего к этим результатам в рассматривав-
Гл. 6. Статистический подход к хрупкому разрушению 639
мом интервале изменения экспериментальных данных. Следует
заметить, что заключения, выводимые на такой основе, не обяза-
обязательно надежны. Так, например, для значений параметра 2а
в интервале 3,2 < 2а < 3,7 кривая плотности вероятности,
полученная из формулы E7), очень близка к симметричной и прак-
практически неотличима от кривой нормального распределения.
Поэтому невозможно каким-либо простым способом установить
в этом интервале различие между теми наблюдаемыми распреде-
распределениями данных по прочности на разрыв, которые получаются
по модели наислабейшего звена, и теми, которые получаются
из модели пучка. В общем случае результаты испытаний на раз-
разрушение могут быть приближены одним уравнением вида F0)
лишь в довольно ограниченном интервале. Чаще для адекватного
представления данных требуются две прямые различного накло-
наклона [22]; точка пересечения этих прямых может означать изме-
изменение самого механизма разрушения (рис. 2).
Б. Влияние вида напряженного состояния
1. Неоднородное поле напряжений
Когда приложенное в некоторой точке напряжение а (?)
представляет собой функцию единственной координаты ?г«, вероят-
вероятность того, что ни в каком элементе объема не произойдет разру-
разрушение, равна вероятности того, что этого не случится ни в какой
точке \г:
R (It) = Pr {at > or (It)} = Ft [a (?,)], G1)
где Ff = F*(at) находится из формулы E8) при V = Vo и Gt0 =
= gu. Следовательно, полная вероятность неразрушения всего
п
образца равна произведению {Ji? Eг)» распространенному на все
элементы объема. Так как, согласно формуле E8),
Д R (It) = ехр { - _S [a (h)/ou]2a} G2)
и сумма для непрерывного распределения напряжения а (?) пере-
переходит в интеграл, вероятность неразрушения всего образца можно
выразить в виде
R = ехр { - A/Fo) { J j [о(l)/au]2a<%drjdg} , G3)
где rj и ? — направления осей координат, в которых поле напря-
напряжений однородно.
640 А. М. Фрейденталь
Для постоянного поля напряжений сг выражение G3) прини-
принимает вид
R = exV[-(V/V0)(o/ouJa]. G4)
Для того чтобы определить влияние на хрупкое разрушение неод-
неоднородного поля напряжений, сравним, используя условие равной
вероятности неразрушения или разрушения R = R, наиболь-
наибольшее напряжение в неоднородном поле напряжений в момент раз-
разрушения с разрушающим напряжением в однородном поле; таким
образом, получим
Jа&\dr\d^ = V(д/оиJа. G5)
J J J
Например, в случае чистого изгиба балки ширины 5, длины L
и толщины 2а
оA) = ай1/а, G6)
и поэтому на основании уравнения G5)
BL j (oal/aoufa dl = V (ajaufa. G7)
о
Отсюда находим соотношение между напряжениями в волокнах
при изгибном разрушении и прочностью на разрыв
Gjo = [2Ba+l)(V/VB)]m, G8)
где VB = 2aBL — объем балки, а V — объем образца, испыты-
испытываемого на растяжение. Поэтому для совпадающих объемов V =
= VB имеем оа/о=- [2 Bа +1)]1/Bа); например, для 2а = 2, 4 и 8
имеем ога/а = 2,5; 1,8 и 1,4. Соотношения эквивалентности для
других полей напряжений получены в работах [22, 23].
2. Трехмерное напряженное состояние растяжения
Статистический подход к хрупкому разрушению при трехмер-
трехмерном напряженном состоянии может быть основан на допущении,
что по отношению к разрушению напряжения не взаимодействуют.
Таким образом, для неразрушения некоторого элемента объема
требуется, чтобы он оставался целым под действием каждого
из трех главных напряжений аи сг2, а3- Следовательно, полная
вероятность неразрушения равна
R = R (аг) -Я (сг2) -Я (аз), G9)
откуда, используя формулу E8), находим
PF = 1 _я = 1 - ехр [ - (оч/а,оJ06 - (ст2/а,0Jа - (o3/ot0Ja]. (80)
Г л, 6. Статистический подход к хрупкому разрушению 641
Сравнение с вероятностью разрушения под действием одноосного
нагружения напряжением or, определяемой по формуле E7), в кото-
которой положено at = а, дает уравнение равной вероятности разру-
разрушения
(Oi/ofa+(a2/dJa + (a3/aJa = l, (81)
представляющее собой условие трехмерного разрушения, изобра-
изображаемое поверхностью, промежуточной между сферой Bа = 2)
и кубом Bа -> оо).
В. Экспериментальная проверка
Статистический подход к хрупкому разрушению дает объясне-
объяснение определенным наблюдениям, в особенности тем, которые
связаны с влиянием на прочность размера или объема. Это объяс-
объяснение справедливо, однако лишь при условии, что реальный
механизм разрушения находится в разумном соответствии с при-
принятой моделью. Более того, существуют другие физические при-
причины для того, чтобы ожидать влияния размера на разрушение;
эти причины не зависят от статистических характеристик и имеют
место как в хрупких, так и в пластичных материалах, как в метал-
металлах, так и в пластмассах. Одна из них заключается в различии
между скоростью высвобождения запасенной упругой энергии при
распространении трещины в большом и в малом образцах; это
различие приводит к более ранней неустойчивости трещины при
больших размерах. Другая состоит в различном влиянии размера
пластической зоны у конца надреза (которая определяется
локальным полем напряжений и поэтому практически не зависит
от размеров образца) на распространение трещины в большом
и малом образцах. Нет никакого обоснования для априорного
допущения о том, что функция распределения, выведенная из моде-
модели наислабейшего звена, подходит для описания влияния размера
такого типа.
Даже в тех случаях, когда Можно допустить, что модель наи-
наислабейшего звена работает, опыт показывает, что возможность
приближения результатов функцией распределения с единствен-
единственным набором параметров представляет скорее исключение, чем
правило. Чаще результаты следует объединять в две группы,
каждая из которых характеризуется своим набором параметров.
Иначе говоря, вместо унимодальной плотности распределения
по предположению получаемой из однородной серии наблюде-
наблюдений, мы имеем дело с бимодальной плотностью распределения,
что означает отсутствие однородности наблюдений и существование
двух различных физических процессов. Когда же допущение
о модели наислабейшего звена для разрушения тем не менее
41-070Q
642 А. М. Фрейденталъ
представляется оправданным, объяснение этого может заключаться
лишь в том, что существует две (или больше) группы повреждений
различного характера, таких, что каждая из групп играет важную
роль в своем, отличном от других интервале напряжений. Напри-
Например, в случае композитных материалов процесс разрушения может
начинаться в различных областях при различных уровнях напря-
напряжений или скоростей нагружения и тем самым будет определяться
различными группами повреждений.
Использование распределений экстремальных значений при
статистической интерпретации результатов испытаний на разруше-
разрушение часто не связано с допущением, что они являются выражением
имеющего физический смысл механизма разрушения. Скорее оно
мотивируется лишь гибкостью этих распределений, дающих удоб-
удобные кривые для приближения результатов, особенно поскольку
их легко использовать с ограниченной при z ^ со > 0 переменной
(z — со)/(г; — со) вместо ограниченной при z = 0 переменной z/y,
использовавшейся в формуле C6). Хотя трехпараметрическое
распределение (у, а, со) имеет определенные преимущества перед
двухпараметрическим распределением (у, а) с точки зрения при-
приближения результатов кривыми, определение предела со нена-
ненадежно до тех пор, пока речь не идет о нескольких сотнях наблю-
наблюдений. Хотя со можно определить, даже исходя из гораздо меньшей
серии наблюдений, простым построением графика функции F0),
где х = In (z — со) и х0 = In (и — со), с несколькими пробными
значениями со, выбирая то из них, которое дает наибольшую
близость к прямой, определение дисперсии со остается в высшей
степени ненадежным.
IV. НАПРАВЛЕНИЯ ДАЛЬНЕЙШИХ ИССЛЕДОВАНИЙ
При указанных условиях направление экспериментальных
исследований в области статистики хрупкого разрушения стано-
становится довольно неопределенным, особенно если подобные иссле-
исследования проводить с материалами, для которых тип механизма
разрушения не может быть ясно установлен. Такие исследования
легко могут выродиться в неограниченное накопление данных
и приближение их кривыми. Поскольку целью исследований в этой
области является развитие надежной процедуры переноса резуль-
результатов из области испытаний в область конструкционных примене-
применений для предсказания «безопасных» или допустимых в конструк-
конструкциях значений величин, подгонка кривых, в особенности если для
приближения экспериментальных результатов в разных интер-
интервалах требуются разные кривые, не даст решения ни одной про-
проблемы.
Гл. 6. Статистический подход к хрупкому разрушению 643
Представляется желательным более систематическое, чем до сих
пор, использование статистического эффекта размера (длины,
площади, объема) образца как средства дифференциации различных
вероятностных моделей реальных механизмов разрушения, хотя
нет уверенности, что такой метод достаточно чувствителен для
этой цели. Обычные промышленные материалы, которые исполь-
используются с этой целью, такие, как разного рода керамики, могут
оказаться неподходящими для подобных исследований, поскольку
они могут не обладать единственным механизмом зарождения раз-
разрушения, и, возможно, необходимо производить специальные мате-
материалы, например материалы с регулируемыми размером пор
и их объемной концентрацией.
Однако из-за очень большого разброса хрупкой прочности
возникает некоторое сомнение в том, будут ли действительно
полезными предсказания, даже основанные на хорошо установ-
установленных функциях распределения, так как предсказываемые «без-
«безопасные» минимальные значения величин могут оказаться столь
низкими, что это будет означать невозможность использования
хрупких материалов. В этом случае нижний конец распределения
должен был бы устраняться до определенного установленного
предела посредством проверочных испытаний не только на образ-
образцах, но и на всех элементах фактических составных частей или
деталей, подлежащих использованию. Результирующая функция
распределения тех частей, которые прошли через проверочные
испытания, будет таким образом усечена на пределе, при котором
проводятся проверочные испытания, и тем самым статистический
подход к хрупкому разрушению полностью устраняется, так как
вид «усеченного» распределения становится малоинтересным.
V. ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Статистический подход к хрупкому разрушению сводится
к двум проблемам: задаче о функции распределения хрупкой проч-
прочности номинально идентичных образцов при номинально идентич-
идентичных условиях и задаче о влиянии на хрупкую прочность размера
образца, распределения напряжений и напряженного состояния.
Эти задачи взаимосвязаны, и их решение требует построения
правдоподобных физико-статистических моделей процесса разру-
разрушения.
Можно предложить три модели, каждая из которых приводит
к своей функции распределения.
1. Модель с однородным распределением дефектов, приводя-
приводящая к гамма-распределению.
2. Модель наислабейшего звена, приводящая к третьему асимп-
асимптотическому распределению наименьших значений.
644 А. М. Фрейденталъ
3. Модель классического пучка, приводящая к гауссовому
(нормальному) распределению. «
Хотя аналитические выражения для этих трех распределений
совершенно различны, они не всегда легко различимы при исполь-
использовании для представления результатов испытаний с умеренным
числом повторяющихся измерений в воспроизводимых условиях.
Таким образом, отнесение данной функции распределения к опре-
определенному типу при экстраполяции за пределы интервала экспери-
экспериментирования обычно не может быть выполнено, исходя из рассмот-
рассмотрения статистических указаний, основанных на эксперименталь-
экспериментальных результатах, а скорее должно делаться на основе принятия
определенной физической модели разрушения, приводящей к дан-
данной частной функции распределения. Поэтому в большинстве
случаев разрушения истинно хрупких материалов (керамика,
стекло) наилучшее представление результатов испытаний и наибо-
наиболее надежную основу для экстраполяции дает третье асимптоти-
асимптотическое распределение наименьших значений.
ОБОЗНАЧЕНИЯ
ат ат — параметры;
А — площадь;
с —концентрация, полудлина трещины;
Е — модуль Гук&, математическое ожидание;
F, F*, Fx, Fz — вероятностные функции распределения, завися-
зависящие от х, z;
к — число, постоянный параметр;
™<ъ. — &-й момент;
п — число, показатель степени;
р — плотность вероятности;
P,'PF, P* — вероятность, вероятность разрушения, вероят-
вероятность неразрушения;
R — функция надежности;
s — напряжение;
S — сила;
и, v — модальные значения переменных;
F, Fo, V — объем, элемент, среднее значение;
х, г/, z — переменные;
х, у, z — средние значения;
х, г/, z — значения в выборке;
а, а — параметр формы, значение в выборке;
У — удельная прочность волокна в пучке;
Г, Гс — гамма-функция, скорость высвобождения энер-
энергии;
?, It — координата;
Гл. 6. Статистический подход к хрупкому разрушению 645
х\ — координата, начальная плотность повреждений;
v — коэффициент безопасности;
Фъ Фа — плотность вероятности наименьших, наиболь-
наибольших значений;
Ф1» Фи — функции распределения наименьших, наиболь-
наибольших значений;
Gz, °s ®и оа — стандартное отклонение переменной z, растяги-
растягивающее напряжение, прочность на разрыв, проч-
прочность на разрыв для трещины длины и;
со — нижний предел распределения.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Болотин В. В., Статистические методы в строительной механике, Гос.
изд. лит. по строит., архитектуре и строит, материалам, М., 1961.
2. Daniels H. Е., Proc. Roy. Soc. London, Ser. A, 183 A945), 405.
3. Epstein В., /. Amer. Statist. Assoc, 43 A948), 403.
4. Fisher J. C, Hollomon J. H., Amer. Inst. Mining Met. Engrs. Inst. Me-
Metals Div., Trans., 171 A950), 380.
5. Fisher R. A., Tippett L. H. C, Proc. Cambridge Philos. Soc, 24 A928), 180.
6. Frechet M., Ann, Soc. Polon. Mat. (Cracow), 6 A927), 93.
7. Freudenthal A. M., Trans. Amer. Soc. Civil Engrs., 121 A956), 1337.
8. Freudenthal A. M., Reiner M., /. Appl. Phys., 15 A948), 265.
9. Gates A. O., Trans. AIME, 52 A915), 875.
10. Gilvarry J. J., /. Appl. Phys., 32 A961), 391.
11. Griffith A. A., Philos. Trans. Roy. Soc. London, Ser. A, 221 A920), 163.
12. Gumbel E., Ann. Inst. Henri Poincare, 4 A935), 115.
13. Gumbel E., Statistics of Extremes, Columbia Univ. Press, New York, 1958.
14. Hashin Z., In «Applied Mechanics Surveys» (Abramson H. N., Liebowitz H.,
Crowley Т. М., Juhasz S., eds.). p. 272, Spartan, New York, 1966.
15. Hollomon J. EL, Zener C, J.-Appl. Phys., 17 A946), 86.
16. Конторова Т. А., Френкель Я. И., ЖТФ, 2 A941), № 3, 173.
17. Kontorova Т. A., Frenkel Y. I., /. Phys. (USSR), 7 A943), 108.
18. McLean D., Mechanical Properties of Metals, Wiley, New York, 1962.
Русский перевод: Мак Лин Д., Механические свойства металлов, «Ме-
«Металлургия», М., 1965.
19. Murzewski J., Arch. Mech. Stosowanej, 12 A960), 204.
20. Peirce F. Т., /. Textile Inst. Trans., 17 A926), 355.
21. Rosin P., Rammler E., Z. Ver. Deut. Ingr., 71 A927), 1.
22. Salmassy O. K., Bodine E. G., Manning G. K., Tech. Rep. 53-50, vol. 2,
Wright Air Development Center, Wright-Patterson Air Force Base, Day-
Dayton, Ohio, 1955.
23. Salmassy O. K., Duckworth W. EL, Schwope A. D., Tech. Rep. 53-50,
vol. 1, Wright Air Development Center, Wright-Patterson Air Force Base,
Dayton, Ohio, 1955.
24. Tippett L. H. C, Biometrika, 17 A925), 364.
25. Волков С. Д., Статистическая теория прочности, Москва — Свердловск,
Машгиз, 1960.
26. von Mises R., Rev. Mat. Union Interbalkan (Athens), 1 A936), 1.
27. Weibull W., Proc. Ing. Vetenskapsakad. Akad., 151 A939).
28. Weibull W., Rep. № 58, Aeronautics Res. Inst. Stockholm, 1955.
29. Weibull W., Ing.-Arch., 28 A959), 360.
30. Wilks S. S., Bull. Amer. Math. Soc, 54 A948), 6.
ГЛАВА 7
ТЕОРИЯ МИКРОПОЛЯРНОЙ
УПРУГОСТИ
А. К Эринген
I. ВВЕДЕНИЕ 648
II. ДЕФОРМАЦИИ И МИКРОДЕФОРМАЦИИ 652
III. ТЕНЗОРЫ ДЕФОРМАЦИЙ И МИКРОДЕФОРМАЦИЙ .... , „ 656
IV. МИКРОПОЛЯРНЫЕ ДЕФОРМАЦИИ И ВРАЩЕНИЯ 659
V. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ МИКРОПОЛЯРНЫХ ДЕФОРМАЦИЙ
* И ВРАЩЕНИЙ 665
VI. ИНВАРИАНТЫ ТЕНЗОРОВ ДЕФОРМАЦИЙ , 670
VII. ИЗМЕНЕНИЯ ОБЪЕМА 673
VIII. УСЛОВИЯ СОВМЕСТНОСТИ 674
IX. НЕКОТОРЫЕ ЧАСТНЫЕ ВИДЫ ДЕФОРМАЦИЙ '. 676
A. Жесткое деформирование 676
Б. Изохорическая деформация : . . . 677
B. Однородная деформация 677
Г. Плоская деформация 682
X. ДВИЖЕНИЕ, МИКРОДВИЖЕНИЕ И МАТЕРИАЛЬНЫЕ ПРОИЗ-
ПРОИЗВОДНЫЕ ТЕНЗОРОВ ' *. • • 683
XI. СКОРОСТЬ, УСКОРЕНИЕ, МИКРОВРАЩЕНИЕ И СПИН ...... 685
XII. МАТЕРИАЛЬНАЯ ПРОИЗВОДНАЯ ДЛИНЫ ДУГИ ..,,.., 688
XIII. СКОРОСТИ МЕР ДЕФОРМАЦИИ * 692
XIV. ВНЕШНИЕ И ВНУТРЕННИЕ НАГРУЗКИ ........... 694
XV. МЕХАНИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ БАЛАНСА ,...«...,<«.« 698
XVI. НАПРЯЖЕНИЯ И МОМЕНТНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ ....... 702
XVII. ЛОКАЛЬНЫЕ ЗАКОНЫ БАЛАНСА . , « 9 . в . . . 706
XVIII. СОХРАНЕНИЕ ЭНЕРГИИ ,....» 709
XIX. ПРИНЦИП ЭНТРОПИИ . , - 711
XX. ТЕОРИЯ МИКРОПОЛЯРНОЙ УПРУГОСТИ .......,.,, 713
XXI. ОГРАНИЧЕНИЯ НА КОЭФФИЦИЕНТЫ МИКРОПОЛЯРНОЙ
УПРУГОСТИ . 717
XXII. УРАВНЕНИЯ ПОЛЯ, ГРАНИЧНЫЕ И НАЧАЛЬНЫЕ УСЛОВИЯ 719
XXIII. ТЕОРИЯ НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ МОМЕНТНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ 721
XXIV. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЛН В БЕЗГРАНИЧНОМ МИКРОПОЛЯР-
МИКРОПОЛЯРНОМ УПРУГОМ ТВЕРДОМ ТЕЛЕ 725
Гл. 7. Теория микрополярной упругости 647
XXV. ОТРАЖЕНИЕ ВОЛНЫ ПРОДОЛЬНОГО СМЕЩЕНИЯ 730
XXVI. МИКРОПОЛЯРНЫЕ ПОВЕРХНОСТНЫЕ ВОЛНЫ 733
XXVII. КОНЦЕНТРАЦИЯ НАПРЯЖЕНИЙ ОКОЛО КРУГОВОГО ОТВЕР-
ОТВЕРСТИЯ 735
XXVIII. ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГАЛЕРКИНА И ПАПКОВИЧА . 741
XXIX. НЕОГРАНИЧЕННОЕ МИКРОПОЛЯРНОЕ ТВЕРДОЕ ТЕЛО ПОД
ДЕЙСТВИЕМ СОСРЕДОТОЧЕННОЙ СИЛЫ И СОСРЕДОТОЧЕН-
СОСРЕДОТОЧЕННОГО МОМЕНТА 744
А. Сосредоточенная сила 744
ш Б. Сосредоточенный момент . . . 746
XXX. НАПРАВЛЕНИЯ ДАЛЬНЕЙШИХ ИССЛЕДОВАНИЙ 747
XXXI. ЗАКЛЮЧЕНИЕ 747
ОБОЗНАЧЕНИЯ . 748
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 750
В этой главе мы даем по возможности замкнутое изложение современной
теории микрополярной упругости. Нестрого говоря, микрополярные упру-
упругие материалы представляют собой классические упругие материалы с допол-
дополнительными независимыми степенями свободы за счет локальных вращений.
Такие материалы реагируют на инерцию спина и объемные и поверхностные
моменты, и в силу этого проявляются некоторые новые статические и динами-
динамические эффекты, например моментные напряжения и новые типы волн. Эта
теория является полностью определенной в противоположность популярной
в настоящее время теории неопределенных моментных напряжений (ср.
разд. XXIII). Механика некоторых типов материалов с волокнистыми и удли-
удлиненными зернами (например, с гантелевидными зернами) представляет воз-
возможную область применения этой теории.
Геометрия деформации и ее меры вводятся для более общего случая
материалов, обладающих зернистой структурой и микроструктурой (микро-
морфные материалы). Обсуждаются различные типы микродеформаций
и микровращений. Выводятся условия совместности для микрополярных
деформаций. Излагается кинематика деформаций, микродеформаций и вра-
вращений. Постулируются основные законы движения, сохранения массы, сохра-
сохранения микроинерции, баланса количества движения, баланса момента коли-
количества движения и сохранения энергии и получаются их локальные выраже-
выражения. Излагается термодинамика микродолярных твердых тел, и обсуждаются
следствия неравенства для энтропии. Находятся определяющие соотношения
линейной теории микрополярной упругости. Даются основные уравнения
поля, а также начальные и граничные условия.
Показывается, что теория неопределенных моментных напряжений
является частным вариантом этой теории (в случае ограниченного движения).
Для того чтобы продемонстрировать новые физические явления, характерные
для такой теории, решается несколько статических и динамических задач.
Сюда относятся задачи о распространении волн в неограниченных микропо-
микрополярных упругих твердых телах, об отражении, различных типов микропо-
микрополярных волн в полупространстве, о поверхностных волнах, о концентрации
напряжений около круглого отверстия в поле растяжения и об особенностях
силы и момента в неограниченном твердом теле. Даны представления Папко-
вича и Галеркина.
Статья основывается главным образом на опубликованных в течение
последних лет работах Эрингена и его сотрудников. Однако многие разделы
содержат новый материал и некоторые результаты излагаются впервые.
648 •
А. К. Эринген
I. ВВЕДЕНИЕ
Классическая механика континуума опирается на следующую
основную идею: материальные тела обладают непрерывными мас-
массовыми плотностями; при этом законы движения и исходные акси-
аксиомы справедливы для каждой сколь угодно малой части тела.
В соответствии с этим малый объем AF, ограниченный поверх-
поверхностью AS, имеет массовую плотность р, определяемую соотно-
соотношением
ДУ-+0
где Am — общаяг масса, заключенная в AF. Здесь р не зависит
от размера AF и зависит только от радиуса-вектора х точки в AF
и времени t.
Рассмотрим следующий эксперимент для измерения р: можно
приближенно вычислить массовую плотность однородного мате-
материала, взвесив большое количество кусков материала с различ-
различными объемами и подсчитав отношение Am/AV для каждого
куска. Если отложить на графике полученные числа р в зависи-
зависимости от AF, то это отношение окажется приблизительно постоян-
постоянным, когда AF превосходит некоторый критический объем AF*,
и будет обнаруживать зависимость от AF при AF < AF*. Объем
AF* зависит от строения материала. Когда AF приближается
к нулю, эта зависимость становится чрезвычайно сильной (рис. 1).
Такое положение дел становится понятным, если вспомнить
о зернистой и молекулярной природе материалов. Поэтому клас-
классическая теория сплошной среды может не являться хорошей
математической моделью для приближения физической теории
npnAF<AF*.
Классический
континуум
AV* AV
Рис. 1. Массовая плотность как функция объема.
Гл. 7. Теория микрополярной упругости 649
Потеря точности в классической механике континуума может
происходить и по другой важной причине. Если ищется реакция
тела на внешнее физическое воздействие, характерный размер
которого соизмерим со средним размером зерна или молекулы
в теле, то зернистые илж ^молекулярные составляющие тела воз-
возбуждаются индивидуально. В этом случае должны приниматься
во внимание внутренние движения составляющих (микроэлемен-
(микроэлементов). Это становится особенно ясно в связи с распространением
волн с большими частотами или с малыми длинами волн. Если
длина волны является величиной того же порядка, что и средний
размер микроэлементов, то внутренние движения микроэлементов
объема AFno отношению к центру масс этого объема могут вызвать
заметную ответную реакцию. Так обстоит дело в практических
приложениях, когда рассматривается композитный материалу
содержащий макромолекулы, волокна и зерна. Для подобных
материалов критический объем AF* составляет величину порядка
куба долей дюйма — нескольких дюймов. Заряд твердого топлива,
полимерные материалы и стеклопластик — лишь несколько при-
примеров таких материалов.
Другой пример — аномальное поведение крови, протекающей
через капилляры. Кровь представляет собой жидкость (плазму),
в которой диспергированы элементы микроскопических размеров
(кровяные шарики). Когда кровь. протекает через капилляры,,
диаметры которых сравнимы с размерами кровяных шариков,
свойства течения отличаются от тех, которые характерны для
больших сосудов. Еще пример: эксперименты показывают, что
сопротивление твердого тела, движущегося в жидкости, может
быть снижено на одну треть исходного, когда в жидкость вводится
незначительное количество добавок полимеров. Можно полагать,
что рациональная трактовка поверхностного натяжения, микро-
микротрещин, микроразрушения и механики зернистой среды и компо-
композитных материалов в конечном счете должна основываться на тео-
теории микроконтинуума. От этого, несомненно, будет зависеть
характер экспериментальных работ по изучению свойств таких
материалов.
В настоящее время имеется несколько подходов к изложению
микромеханики. Некоторые теории носят весьма общий характер,
но не полны и не замкнуты. Другие касаются тех или иных спе-
специальных типов структуры материала и (или) деформаций. Основ-
Основные идеи, содержащиеся в этих теориях, можно проследить вплоть
до Бернулли и Эйлера в связи с их работой по теории балки.
В элементарной теории балки имеется два набора кинематических
величин, связанных с каждым сечением бруска, а именно вектор
деформации и вектор вращения, и два типа внутренних нагрузок:
усилия и моменты. В теории пластинки мы имеем аналогичную
ситуацию. Теории балки и пластинки, содержащие такие незави-
650 А. К. Эрипген
симые величины, изложены в [38]. Для этих теорий существенно
наличие моментов напряжений, не зависящих от усилий. Для
трехмерных тел эта концепция появляется у Мак-Куллага [27]
в связи с его исследованиями по оптике. Кельвин зашел настолько
далеко, что построил модель среды, которую он назвал «квази-
«квазижестким» эфиром и которая, как предполагается, дает механиче-
механическую модель теории электромагнетизма Максвелла. На существо-
существование моментного напряжения и основание для его включения
б упругость было указано в работе [42] в связи с полярными
молекулами.
В замечательной монографии [4] братья Коссера дали единую
теорию одно-, дву- и трехмерных деформируемых тел. Континуум
Коссера* определяется как трехмерный континуум, каждая точка
которого снабжается триадой 1). Использовав принцип, который
они назвали «евклидовым действием», и вычислив изменение плот-
плотности внутренней энергии, они дали уравнения локального баланса
моментов для напряжений и моментных напряжений и выражения
для поверхностных усилий и моментов. В работе братьев Коссера
влияние моментного напряжения на движение деформируемых
тел полностью принимается во внимание.
В течение пятидесяти лет после работы Коссера исследования
в этой области почти не проводились. Идея континуума Коссера
была возрождена в различных специальных формах в [1, 19, 20,
34]; при этом в работе [20] отмечена также связь с теорией дисло-
дислокаций. Вопрос о моментных напряжениях был вновь переоткрыт
вместе с неполной теорией Коссера стержней и поверхностей
в работе [41]. В работах [5, 30, 39] был рассмотрен специальный
континуум Коссера и сформулирована теория неопределенных
моментных напряжений. В этих теориях вектор вращения не
является независимым вектором и, следовательно, антисиммет-
антисимметричная часть напряжения и симметричная часть моментного напря-
напряжения остаются неопределенными (ср. разд. XXIII).
В работах [6, 7, 15, 16] введена общая теория нелинейного
микроупругого континуума, в которой уравнения баланса меха-
механики сплошной среды дополнены еще одним и приняты во
внимание внутренние движения микроэлементов, содержащихся
в макрообъеме AF. Эта теория включает как частный случай
понятие континуума Коссера и теорию неопределенных моментных
лапряжений.
Микроструктурная теория упругости была независимо опубли-
опубликована в [29], а мультиполярная теория сплошной среды в [17].
Обе эти теории в частных случаях имеют, по-видимому, точки
соприкосновения с теорией из [15, 16]. После появления этих
г) По терминологии из [41, разд. 256] «направляющими»; такая же терми-
терминология и аналогичные идеи использовались в статьях [18, 40].
Гл. 7. Теория микрополярной упругости 651
работ началась интенсивная деятельность, и теперь литература
по данной и смежным областям насчитывает несколько сот статей.
Должная оценка этих работ с соответствующими ссылками выходит
за рамки настоящей главы *).
Данная глава в основном касается специальных типов конти-
континуумов, так называемых микрополярных континуумов. Начало
соответствующей теории было положено в разд. 6 работы [16]
(частный случай исследования, посвященного микроупругому
твердому телу); она была названа теорией моментных напряже-
напряжений. Впоследствии автор [10, 11] пересмотрел эту теорию, дал
ей название микрополярной теории и доказал несколько теорем
единственности. Независимо аналогичная теория для линейного
упругого твердого тела была развита в работе [31].
Хотя теория нова и экспериментальные результаты пока
еще не опубликованы, мы полагаем, что полученные к настоя-
настоящему времени теоретические результаты являются многообе-
многообещающими.
Теория микрополярной упругости рассматривает материаль-
материальные среды с гантелевидными молекулами. Эти элементы допускают
вращение независимо от растяжения. Ожидается, что теория
найдет применение в механике зернистых материалов с вытя-
вытянутыми твердыми зернами и композитных волокнистых матери-
материалов.
В разд. II—IX этой главы дается описание геометрии дефор-
деформации и микродеформации, мер деформации и вращения, усло-
условий совместности и некоторых иллюстративных примеров дефор-
деформации. Разделы X—XIII посвящены кинематике и мерам
скоростей.
Внешние и внутренние нагрузки и уравнения баланса обсуж-
обсуждаются в разд. XIV—XVII, а энергия и энтропия в разд. XVIII
и XIX. Определяющие соотношения теории микрополярной упру-
упругости и ограничения на коэффициенты выводятся в разд. XX
и XXI. Уравнения поля, граничные и начальные условия выписы-
выписываются и обсуждаются в разд. XXII.
В разд. XXIII будет показано, что теория неопределенных
моментных напряжений получается как частный случай микро-
микрополярной теории. Разделы XXIV—XXIX посвящены решениям
различных задач.
Микрополярная механика сплошной среды едва вышла из колы-
колыбели. Линейная теория приемлемо проста и пригодна для реше-
решения некоторых важных задач с граничными и начальными дан-
данными. Большой класс нерешенных задач и экспериментальная
работа бросают вызов будущим исследователям.
2) С краткой оценкой различных теорий читатель может познакомиться
в работе [14].
652
А. К. Эринген
II. ДЕФОРМАЦИИ И МИКРОДЕФОРМАЦИИ
Материальная точка Р тела В, имеющего объем V и поверх-
поверхность S в недеформированном и ненапряженном состоянии может
определяться своими ортогональными координатами Хг, Х2, Х$
(или, кратко, Хк, К = 1, 2, 3) (рис. 2). Если тело будет дви-
двигаться и деформироваться под действием некоторых внешних
нагрузок, то оно займет область, имеющую объем 5^ и поверх-
поверхность #. В той же самой ортогональной системе отсчета новое
положение точки Р будете, х2, х3 (или, кратко, xhj k = 1, 2, 3).
В предположении неразрушаемости и непроницаемости вещества
каждая материальная точка недеформированного тела В займет
единственное положение в деформированном теле 38.
Обратно, каждой точке в 3$ можно сопоставить единственную
точку в В. Таким образом, деформацию тела в момент времени t
можно описать взаимно однозначным отображением
или обратным ему
X2,'X3, t), ft = 1, 2, 3,
К = 1, 2, 3.
B.1)
B.2)
Мы предполагаем, что уравнения B.2) являются единственным
обращением уравнений B.1) во всех точках тела, за исключением,
возможно, некоторых особых поверхностей, линий и точек. Для
этого три функции xh (Xi, Z2, X3, t) должны обладать непре-
непрерывными частными производными по Хи Х2, Х3 в любые моменты
I
! /
I /
Рис. 2. Материальные и пространственные координаты.
Гл. 7. Теория микрополярной упругости 653
времени и якобиан
dxi/dXl dxt/dX2 дх±/дХ9
J — detlT~'=± дх*/дХ1 дхъ1дХъ дх2/дХ3 B.3)
К \dxz/dX± дх3/дХ2 дхг/дХ3
не должен обращаться в нуль. Впредь мы предполагаем, что дело
обстоит именно так.
Частные производные
/у. Л/у» If) у У Я у /Аф (О /l\
называемые градиентами деформации, являются основными вели-
величинами в механике сплошной среды.
Рассмотрим теперь в недеформированном теле элемент объема
AF, заключенный внутри поверхности AS, и предположим, что
его центр масс определяется радиус-вектором X. Все материалы
обладают некоторой зернистой и волокнистой структурами раз-
различных размеров и форм. Если изучаемое физическое явление
имеет определенную характерную длину (такую, как длина волны),
сравнимую с размером зерна в теле, то необходимо принимать
во внимание микроструктуру материала. В таких ситуациях нужно
видоизменить классическую механику континуума, чтобы учесть
влияние зернистости среды. Предположим, что элемент AF + AS
содержит N дискретных материальных микроэлементов AF(a) +
+ Д5(а> (а = 1, 2, . . ., N) с массовой плотностью p(aj каждый.
Радиус-вектор для материальной точки a-го микроэлемента можно
представить следующим образом:
Х«*> = X + S(a>, . B.5)
где S(a) — радиус-вектор точки микроэлемента относительно
центра масс AF + AS (рис. 3). При деформировании тела AF +
+ AS переходит в Аи -{- As с микроэлементом, смещенным отно-
относительно центра масс. Из-за перераспределения и относительных
деформаций микроэлементов центр масс Р может теперь переме-
переместиться в положение р, а материальная точка Q — в новое поло-
положение q в деформированном теле. Конечное положение a-й частицы
будет поэтому
х«*) = х + |<«\ B.6)
где х — новый радиус-вектор центра масс Ду, а |(а) — новый
относительный радиус-вектор точки, первоначально находившейся
в Х<а>. Движение центра масс Р объема AF выражается, как
обычно, уравнением B.1) или, коротко,
х = х (X, *). B.7)
Относительный радиус-вектор |(а> зависит однако не только
от X и t, но также от Е№\ т. е.
*). B.8)
654
А. К. Эринген
Av
Рис. 3. Деформация микрообъема.
Теория, в которой учитывается микроструктура среды, должна
основываться на предположении, касающемся зависимости |^а)
от аргументов. В работах [6, 7, 15,. 16] была развита общая теория,
в которой уравнение B.8) линейно по Е(а\ Так построенная
теория была позднее названа Эрингеном теорией микроморфных
материалов. Основным предположением этой теарии является
Аксиома аффинного движения. Материаль-
Материальные точки в объеме AF + Д? находятся в состоянии однородной
деформации относительно центра масс.
Таким образом,
6(a)=Xi(X,*)Sie) + x«(X,*)Sie) + X8(X4*)Sf, a = l,2, .-.., N,
или, кратко,
&(e) = X*(X4*)S?\ B.9)
где подразумевается суммирование по повторяющимся-индексам.
Это предположение опирается на те физические основания, что
если элемент AV + AS достаточно мал, то его движения состоят
из параллельного переноса, вращения около центра масс и аффин-
аффинной деформации. Отметим, что во всех классических теориях
сплошной среды последнее предположение опускается (ср. [5,
разд. 10]).
Очевидно, теорию можно обобщить, включив квадратичные
по S<a> члены и члены высшего порядка. Однако она быстро
становится очень сложной, теряя свою простоту и полезность.
В этой главе мы фактически будем рассматривать главным обра-
образом гораздо более простой случай, а именно теорию микрополяр-
микрополярной упругости.
Гл. 7. Теория микрополярной упругости 655
В этой последней теории допускаются лишь жесткие микровра-
микровращения микрообъемных элементов относительно центра масс рас-
рассматриваемого элемента объема. Иначе говоря, основное выраже-
выражение B.9) еще упрощается, дополнительные ограничения наклады-
накладываются на три вектор-функции %к. Как мы увидим ниже, это
равносильно уменьшению числа функций микродеформации %к
с трех до одной. В действительности мы будем иметь дело главным
образом с линейной теорией.
В классической механике сплошной среды задача состоит
в определении пространственных радиусов-векторов х для всех
материальных точек тела в данный момент времени. Это означает,,
что, проведя все вычисления, мы определим три функции xk (X, t)~
В теории микроморфных материалов дополнительно необходимо
также определить три вектор-функции %к (X, ?), что эквивалентно
определению девяти скалярных функций. Более сложный характер
задачи и необходимость дополнительных физических соображений
и законов теперь очевидны.
Для пространственного радиуса-вектора материальной точки
в микроэлементе в координатной записи
x{^ = xk(X,t) + XkK(X, t)E%\ к, К = 1,2,3. B.10)
Теперь ясно, что для определения пространственного радиуса-век-
радиуса-вектора а-й материальной точки х^ мы имеем 3 -f 9 = 12 функций
xh(X,t) и XkK(X,t).
Так же, как в B.2), мы вводим обратные микродвижения
ЗСкк таким образом, что
ЗС*Лп = 6Л/, %kK^Lk = 8KL. B.11)
Здесь и всюду в этой главе подразумевается суммирование по
повторяющимся индексам; например,
Символы 8ki и 8KL — дельта-символы Кронекера, которые равны
единице, когда индексы принимают одинаковое численное значе-
значение, и нулю в противоположном случае.
В покомпонентной записи уравнение B.9) выглядит так:
B.12)
Умножая обе части этого равенства на ЗСьъ и используя соотно-
соотношения B.11), получаем
EP = XKh(x,t)&\ B.13)
или, в векторной форме,
Sm = %h{x,t)^\ B.14)
656 А. К. Эринген
Ортогональные компоненты 3Ch обозначаются через Зикк% а %к —
через %&к, т. е.
Хк = W(X, t) ih, Sk = SKk[(x, t)IK, B.15)
где 1К и ik — единичные базисные векторы для материальных
координат Хк и пространственных координат х^ соответственно.
Следовательно, движение ж обратное движение материальной
точки в микроэлементе выражаются формулами
x^ = xh(X,t)+%hK(X,t)Sl<i\ B.16)
ХР = Хк (х, t) + fVKk (x, t) Ua), B.17)
ели, в векторной форме,
х(а) = х(Х,«) + хк(Х,*)Е^ B.18)
Х(а) = X (х, t) + Sk (x, (№>. B.19)
Ясно, что мы можем использовать любое из представлений
B.16) или B.17) и каждый раз, когда найден один из наборов
функций (xk, %кк) или (Хк, 3/Kk), задача решена, поскольку
другой набор определяется по найденному.
III. ТЕНЗОРЫ ДЕФОРМАЦИЙ И МИКРОДЕФОРМАЦИЙ
Дифференциальный линейный элемент в деформируемом теле
вычисляется с помощью формулы B.18)
dxw = (х, к + xl, K&?) dXK + хк dSg\ C.1)
где индекс после запятой обозначает частное дифференцирование.
Такое соглашение будет использовано всюду в этой главе; так,
например, для краткости используются записи
хк^дх/дХк, %ь,к = дХь/дХК1 C.2)
X, k » dX/dxk, Xh h — д&г/дхь. C.3)
Отметим, что выражения C.2)i и C.3)! представляют классические
градиенты деформации, а выражения C.2J и C.3J — градиенты
микродеформации в настоящей теории.
Квадрат длины дуги по дочитывается теперь путем составления
скалярного произведения
Составляя это скалярное произведение и используя C.1), находим
(cfe<«y = (CKL + 2TKMLEM + %kMt KXkN;LEMBN) dXKdXL +
+ 2 (WKL + %kL%kM, KEM) dXK dSL + %hKXkL dSK dEL\ C.4)
Гл. 7, Теория микрополярной упругости
657
Рис. 4, Векторы смещения.
здесь мы также для краткости опустили индекс а у Вк и йЗк,
поскольку он подразумевается всякий раз, когда мы используем
символ S (а также ?). В формуле C.4) мы ввели следующие обозна-
обозначениям
C.5)
C.6)
. C.7)
При этом CKl — классический тензор деформаций Грина, а ^кь
и ^кьм — новые тензоры] микродеформаций, характерные для
настоящей теории.
Мы введем теперь вектор смещения и<а> как вектор, идущий
от Х<а> к х<а> (рис. 4). Таким образом, мы положим
^3 = и +1-3; C.8)
здесь
и == х — X C.9)
— классический вектор смещения, компоненты которого в коор-
координатах Хк и xk соответственно равны
Uк — u.IK = xk8hK~XKy C.10)
wft = u.ift = a:ft—XK8Kkt C.11)
где
8kK = bKk=ik-lK- C.12)
Поскольку пространственная и материальная системы считаются
одной и той же ортогональной системой отсчета, 8kK — не что
42-0700
658 А, if. Эринген
иное, как дельта Кронекера. Можно было бы написать xk8hK =
= хк и XK8Kk е= Х&, но мы придерживаемся соглашения о про-
прописных буквенных индексах для материальной системы и строч-
строчных для пространственной системы отсчета. Это соглашение осо-
особенно удобно в нелинейной теории.
Частным дифференцированием равенств (ЗЛО) и C.11) полу-
получаем
Хк.к = (вьк + иь9к№кь, C.13)
XKtk = Flk-ultk)8Kl. C.14)
Аналогично мы вводим тензоры микросмещения Фьк (Ха t) и
Фл (х, t):
C.15)
C.16)
Используя соотношения C.9), C.15) и C.16), мы видим, что фор-
формулу C.8) можно также записать следующим образом:
) Вь\1к, C.17)
Подставляя выражения C.13) и C.15) в формулы C.5) — C.7)ft
находим
C.19)
C.20)
TKLM = ФяЬ, М + UN, K&NL.M- C.21)
Пока что все записанные выражения являются точными. В линей-
линейной теории предполагают, что члены с произведениями пренебре-
пренебрежимо малы, так что
СКь « 6KL + UKt L + ULt K, C.22)
^kl « бяь + Фкь + Uu к, C.23)
Гим«Фи,м. C.24)
В этом случае различие между пространственным и материальным
представлениями исчезает, так что можно использовать uk вместо
Uk-> 4>ki • вместо Фкь и т. д.— хорошо известный факт в класси-
классической теории сплошной среды (ср. [5, разд. 14]). Для микро-
микродеформации это можно видеть из следующего: подставляя выраже-
выражения C.15) и C.16) в равенства B.11), получаем
Фкь = (8км + Фкм) TmzSMm6Zb. C.25)
Пренебрегая членами с произведениями, мы видим, что
Фкь « ФтгбктАь, ' C.26)
а это доказывает наше утверждение.
Гл. 7. Теория микрополяркой упругости 659
Поскольку мы будем иметь дело с линейной теорией, то не будем
различать материальное и пространственное представления,
за исключением тех случаев, когда это необходимо для ясности
изложения.
Материальный (или лагранжев) тензор деформаций ЕКь и мате-
материальные тензоры микродеформаций %кь и TKLM определяются
в линейной теории формулами
Екь ~ Ч2 (Скь - SKL) = V2 (UKt ь + Uи к)t C.27)
^FU U, C.28)
C.29)
В свете вышеизложенного мы можем аналогичным образом ввести
также пространственный (или эйлеров) тензор деформаций ek;
и пространственные тензоры микродеформаций гк1 и
еы = V2 (и*, i + щш и), C.30)
^hi — Vki + Щ^ - C.31)
7а/ш= — Фл/,т- C.32)
Ясно, что если эти тензоры известны, то можно вычислить изме-
изменения длины дуги и углов при любой деформации тела.
В линейной теории разность между квадратами длины дуги в
деформированном и недеформированном теле, как это следует из
формулы C.4) с учетом равенств C.15) и C.27) — C.29), будет
да 2 (EKL + TKMLEM) dXK dXL +
+ 2 {%kl + TlmkSm) dXK dEL + {%KL + %LK- 2EKL) dEK dBL.
C.33)
В классической механике сплошной среды в правой части этого
равенства остается только первый член, содержащий Екь-
Из формулы C.33) ясно, что когда ЕКы %кь и ТКьм обра-
обращаются в нуль, длина дуги не меняется после деформации.
В таком случае говорят, что тело совершает жесткое движение.
IV. МИКРОПОЛЯРНЫЕ ДЕФОРМАЦИИ И ВРАЩЕНИЯ
Рассмотрим теперь материалы специального вида, в которых
состояние микродеформации можно описать как локальное жесткое
движение микроэлементов. Существует обширный класс мате-
материалов, в которых*микроматериальные элементы представляют
собой гантелевидные молекулы. К этой категории относятся мате-
материалы, состоящие из жестких нитей или вытянутых зерен. Вытя-
чнутые молекулярные элементы содержат, например, древесина,.;
42*
660 А. К. Эринген
некоторые горные породы и минералы; среди жидкостей гантеле-
видные молекулы имеет кровь. Для таких сред теория микроморф-
ного материала значительно упрощается. Математически этот част-
частный случай линейной теории получается при предположении х)
Фкь=~Фьк, D.1)
или, в пространственной записи, <pki = —cpik. В трехмерном
пространстве всякий антисимметричный тензор второго ранга Фкь
может быть выражен через аксиальный вектор Ф#, определяемый
формулой
Фя = 1/2еяьмФмь, D.2)
где &кьм — тензор Леви-Чивиты (альтернирующий тензор), такой,
что
8123 = 8231 == 8312 == —8213 == —8132 == — 8321 == *>
&кьм — 0 в остальных случаях.
Формула D.2) является компактной записью следующих соотно-
соотношений:
Ф± = Ф32, Ф2 = Ф13, Ф3 = Ф21-
Решение уравнения D.2) относительно Фкь дается формулой
Фяь=-%ьмФм; D.3)
подставляя это выражение в C.15), мы видим, что
Ъкк = бкк—ЧкмФм. D.4)
В ^классической теории мы имеем тензор вращения
Якь=-Яьк^11Лик,ь-иь%к). D.5)
Соответствующий аксиальный вектор RK дается формулой
Rk = Ч&кьмЯыь = 1/2Ъкьмим, ь, Rkl = — 8кьм^м- D.6)
Из соотношений C.27) и D.6J мы находим, что
^к, ь = Ekl + Rkl = Erl — 8яьм^м• D.7)
После подстановки этого выражения и D.3) в C.28) и C.29)
мы получим
1м-ФмI D.8)
, M. D.9)
Если RM ="ФМ» то %кь = Екь и TKLM = RKLtM и микродефор-
микродеформации больше не являются независимыми от классических
деформаций и вращений. Таким образом, в микрополярной тео-
теории предполагается, что классическое вращение RK отличается от
х) В нелинейной теории вместо D.1) используется условие Хпк = %Kh
(т. е. предполагается, что %kK — ортогональная матрица).
Гл. 7. Теория микрополярной упругости 661
О
Рис. 5. Микровращение.
микровращения. В микрополярной теории мы должны поэтому
определить шесть функций, а именно UK (X, t) и Фк (X, t). Как
только это сделано, можно полностью вычислить изменения длины
и углов,
В микрополярной теории пространственный радиус-вектор
а-й точки х<а) получается согласно формулам C.8), C.17) и D.3):
x<a> = X + S + u—8хФ. D.10)
Отсюда очевидно, что Ф представляет собой угол поворота микро-
микроэлемента вокруг центра массы деформируемого элемента макро-
макрообъема (| — соответствующий относительный радиус-вектор;
см. рис. 5). Аналогично имеет место соотношение
1 = В-В х Ф, D.11)
которое показывает, что, отвлекаясь от жесткого движения тела,
относительный радиус-вектор В-материальной точки после дефор-
деформации получается параллельным переносом S в центр масс х
деформируемого элемента микрообъема и вращением в соответ-
соответствии с S х Ф. Поскольку мы имеем дело с линейной теорией,
получаем также *
S = | + l хф, D.12)
где ф ^ Ф — пространственное микровращение. В действитель-
действительности для всех соотношений D.1) — D.10) мы имеем двойственные
им соотношения, которые для удобства будут выписаны ниже:
1 / // Л О\
%К1 *= §К1 +"вя*тфт> D.14)
rkl = —ZhlmTmi fh^= /2efe?m^m, h \^-LD)
D.16)
¦m-<Pm), D.17)
D.18)
-|Хф. D.19)
662 А. К. Эринген
Теперь рассмотрим деформацию бесконечно малого вектора сШа> =
= dX + dE при X + 3. При деформации этот вектор становится
равным
кdXк — dЗxФ-BxФ9кdXк. D.20)
Используя соотношения D.7) и D.6), мы можем написать
и, к dXK = UL, к dXKIL = ELK dXKIL + RLK dXKIL ==
= EKLdXKlL-dXxR. D.21)
Аналогично, используя D.9), имеем
S X Ф,у dXN = гкьмЕьФм, N dXNIK = — TKLNEL dXNIK.
Для удобства введем теперь обозначение
TKM = TKLMEL, D.22)
так что .
Bx<D,NdXN=- T(KM) dXM\K - Г[КМ] dXMlK, D.23)
где индексы в круглых (квадратных) скобках указывают на сим-
симметричную (антисимметричную) часть Ткм. Подставляя D.21)
и D.23) в формулу D.20), мы перепишем ее следующим образом:
XKIL; > D.24)
здесь мы определили также новый вектор микровращения Г:
Тк е= 1/2^кьм^мь^ Г[Хь] = — еяьмГм D.25)
Мы называем этот вектор минивращением для того, чтобы отличать
его от микровращения Ф. Если мы подставим в D.25)х выраже-
выражение D.9), то получим
D.26)
Формула D.24) показывает, что деформации вектора dX@C) ==
^ dX -f- d3 можно добиться следующими тремя операциями:
а) жестким переносом dX + dE из материального центра масс
X в пространственный центр масс х;
б) жесткими вращениями dX и d3 на величины dX X (R + Г)
и dE X Ф соответственно;
в) наконец, растяжением, представленным в формуле D.24)
деформациями EKL и T(KL).
Следующие частные случаи помогают наглядно представить
себе эти деформации.
1) Если S — 0, то мы имеем
dx<a> = dx = dX - dX x R + EKL dXKlL. D.27)
Гл. 7. Теория микрополярной упругости 663
Конечно, это хорошо известная теорема классической механики
сплошной среды, принадлежащая Гельмгольцу (ср. [?, разд. 10]).
2) Если S — постоянный вектор, то
dx«*> = dX ~dX x (R + Г) + (EKL + T{KL)) dXKIL. D.28)
Здесь, конечно, нет вращения для dS = 0.
3) Ф — постоянное микровращение. В этом случае Г(КЬ) =
Г Тк = 0, и мы получаем
-dXх R-dB x O + EKLdXKlL. D.29)
В этом случае вращение состоит только из макровращения dX
и микровращения dS.
Мы можем также записать D.24) в виде
dg = dx«*> — dx = dS - dX х Г — dB X Ф + Г(Кь) dXKIL. D.30)
При такой записи мы видим различие между деформацией
и деформацией dX, из которых последняя известна по класси-
классической теории. Таким образом, это различие является результатом
наложения минивращения dX, микровращения dS и минидефор-
мирования dX, характеризуемого Г^). Термин минивращение
используется для Г, а минидеформирование — для T(Kl). Конечно,
для классического вращения R мы используем термин «макровра-
«макровращение».
В пространственном представлении соотношение, двойственное
соотношению D.10), таково:
D.31)
Отсюда аналогично тому, как в случае формулы D.24), получаем
(a) x r + d| X q> — dx X Y) —
D.32)
где г — пространственный вектор макровращения, определенный
формулой D.15), а еы— пространственный тензор макродефор-
макродеформаций. Пространственный вектор минивращения у дается фор-
формулой
= Ч* (ф|, ilk — Ф*. ild
li. D.34)
Наконец, запишем в компонентной форме различные деформации
и вращения в пространственных ортогональных координатах х, у,
z. Компоненты вектора смещения и и вектора микрополярного
вращения ф мы обозначаем через и, v, w и <рх, уу, фг соответ-
соответственно.
А. К. Эринген
Тензор макродеформаций*
е*х-"дх~> e*v~ 2 \ ду ^ дх ) »
ди 1
__ аи? __ 1 / 5м? , [5м \
Тензор микрополярных деформаций:
ди dv
D.36)
Тензор микрополярных деформаций третьего ранга:
ру ру цу
Угхх = — Ухгх = ^ > 7глу=?= ?лгу = q , Yzxz *=* Ухгг = ~gj" t
дфг , дф2 дф2
Тасух = — Уухх 5J~ * Чхуу = -~Ууху -Щ" > 7эс^г = 7ул2 = тш^~ t
во всех остальных случаях yklm = 0. D.37)
Вектор макровращения:
__ 1 / dw dv \ __ 1 / ди dw \ __ 1 / ди ди \
rx~-~2'\W~~dr)% Гу-~т\тг дх)' rz""Tlir^"^;-
D.38)
Вектор микровращения:
Ф==<М + <Ы + ф2к. D.39)
Вектор минивращения:
Гл. 7. Теория микрополярной упругости
665
V. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ МИКРОПОЛЯРБЫХ ДЕФОРМАЦИЙ
И ВРАЩЕНИЙ
Геометрический смысл различных мер деформации и вращения
можно быстро понять, рассматривая приращение dxW вектора <>
как векторную сумму трех приращений, а именно
где
dXKIL,
dy = -dX x Г + T(KL) dXKIL,
E.1)
E.2)
E.3)
dz = dS — dB x Ф. E.4)
Здесь dx известно из классической теории сплошной среды
(ср. [5, разд. 6]). Таким образом, в правой части равенства E.2)
первый член dX представляет перенос dx из точки X в точку х,
второй — вращение, а последний член — деформирование тела.
Точнее, рассмотрим вектор dX в точке X недеформированного
элемента объема dV> Этот вектор после деформации переходит в dx.
Записав выражение E.2) в иной форме:
dx = CKdXKj E.5)
где
Ск = дх/дХк = IK + UMt KIM7
E.6)
мы видим, что параллелепипед с векторами ребер lxdXl9 I2dX.A
и l3dXs после деформации становится прямолинейным параллеле-
параллелепипедом с векторами ребер С^Хг, C2dX2nCsdXd (рис. 6). Удли-
Рис. 6. Деформирование прямоугольного параллелепипеда.
666 А. К. Эринген
пение Л(к) и относительное удлинение Е(щ определяются фор-
формулой
Е =Л I— 1^Х1-1^Х1 "" E 7)
Вычислим теперь относительное удлинение одного из ребер
шедеформированного параллелепипеда в точке X, например I-^dX-^
имеем
I ^y 12 г лу г jy Г
I Ц/Л. | —— \J]U/i\. ^ • \j]yUz\. J ks-y^
следовательно,
E =Л — 1 = (C I/2 —
ш, учитывая, что
лолучаем
^«i> = Лш -1 = A + 2EUI/2-1. .E.8)
Отсюда следует, что
ж при малых Еа) <^ 1 приближенно
Ец*Е<1}; E.9)
^то придает смысл нормальным компонентам Е1г, Е22 и Z?^ тен-
тензора бесконечно малых деформаций. Геометрический смысл дефор-
деформаций сдвига Е121 Е23, Е31 мы найдем подсчетом изменения угла
между векторами двух ребер, такими, как Ii dXx и I2 dX2. Угол 9A2)
между этими двумя векторами после деформации определяется
ло формуле
а ^~*1 ClJ\. j • v«2 О/2\. 2 О j2
COS0(i2) = |С \dX 1С Id — —
2Я12
Изменение угла f(i2) = jt/2 — 9A2) (между начальными и конеч-
конечными направлениями) описывается соотношением
sinfA2) = J^a JT-. E.10)
A2) A+2Е11I/2A+2^22I/2 V ;
Для малых деформаций Е1Х <^ 1, Е22 < 1 и sin f12 « Г12, так
что приближенно имеем
Г12«2Я12, E.11)
а это придает геометрический смысл деформации сдвига Е12-
Аналогичные результаты справедливы, конечно, для Е23 и 2?зг
Гл. 7, Теория микрополярной упругости
667
Рис. 7. Среднее вращение.
Для вектора вращения R мы имеем следующую геометрическую
интерпретацию: пусть N3— единичный вектор, лежащий в пло-
плоскости ХХХ2 с началом в точке X. После деформации N3 становится
вектором п3 в точке х. Перенесем п3 в точку X и найдем его состав-
составляющую п^ в плоскости Х{Х2 (рис. 7). Пусть Э3 — угол между
N3 и п*. Можно показать (ср. [5, разд. 10]), что среднее значение
<tg Э3) по всем углам Ф, которые вектор N3 может образовывать
с осью Хг, связано с i?3 формулой
(tgQ3) = R3[(l + Eti)(l+E22)-E%ry\ E.12)
где Е1Ъ Е22, Е12— составляющие бесконечно малой деформации,
a R3 — составляющая вращения в направлении Х3\ т. е.
При малых деформациях уравнение E.12) можно аппроксимиро-
аппроксимировать соотношением
<ез>«Д3, E.13)
которое придает геометрический смысл Д3. Аналогичная интер-
интерпретация справедлива, конечно, для R± и R2. Таким образом,
для малых деформаций и вращений R представляет собой средний
угол поворота диагонального вектора dX недеформированного
параллелепипеда.
Вышепроведенные рассуждения, касающиеся деформирован-
деформированного параллелепипеда с диагональю dx в точке х, можно исполь-
использовать для того, чтобы придать геометрический смысл деформи-
деформированному параллелепипеду с диагональю dy в точке х. С этой
целью заметим, что в формуле E.3) Г заменяет вектор вращения R,
а Г(ЯЬ) заменяет EKL. В соответствии с этим недеформированный
параллелепипед с диагональным вектором при X + S с фикси-
668
А. К. Эринген
Рис. 8. Макродеформация и микродеформация.
рованным S претерпевает добавочное вращение Г и изменения
длины и угла, описываемые деформацией T(KL), в пространствен-
пространственной точке х -(- |, в которую точка X + 8 переходит после дефор-
деформирования. Это деформирование происходит со смещением S парал-
параллельно самому себе с параллелепипедом с диагональю dX, пост-
построенным в точке 'X+S с фиксированным 3, вместо точки X
в первом случае.
Наконец, параллелепипед с диагональю dS, построенный при
X + В с фиксированным X, жестко перемещается в пространствен-
пространственную точку х + I и поворачивается микровращением Ф в этой
точке. Таким образом, конечный прямолинейный параллелепипед
с диагональю dx<a> 6 х + | образуется в результате этих переносов,
вращений и деформаций.
Картина деформирования в последних рассмотренных случаях
станет еще яснее, если мы напишем (ср. формулу C.1))
dx<«> = (Ск + %к) dXK + %к dEK, E.14)
где
Ък^Ъь.кЪь, E.15)
а %к связано с Фьк соотношением C.15).
Деформации параллелепипеда с диагональю dX в точке X + S
и другого параллелепипеда с диагональю <i3, описываемые фор-
формулой E.14), показаны на рис. 8. Согласно этому рисунку, dX
Гл. 7. Теория микрополярной упругости
669
Рис. 9. Микродеформация при постоянном S.
X2dSz
ПРис# Ю, Микродеформация при постоянном X (минидеформация).
670 А, К. Эринген
в точке X+S с фиксированным S переходит в (Ск + <&к) dXK
(рис. 9), а параллелепипед с диагональю dS в X + S с фикси-
фиксированным X становится параллелепипедом %к^к (рис. 10). Резуль-
Результирующая деформация dX + dS в точке X 4- Е является вектор-
векторной суммой этих двух деформаций (рис. 8).
VI. ИНВАРИАНТЫ ТЕНЗОРОВ ДЕФОРМАЦИЙ
Состояние локальной деформации в точке X + S микроморф-
ного материала полностью определяется, если заданы три мате-
материальных тензора деформаций:
Екь> Шкь, FKLM. F.1)
Если известны эти тензоры, то можно вычислить изменения длин
(ср. формулу C.33)) и углоЁ (разд. V) и найти пространственные
координаты различных материальных точек тела. Вместо величин
F.1) можно, конечно, использовать пространственные тензоры
ekh гм-> У him' Важный вопрос механики сплошной среды состоит
в следующем: существуют ли какие-нибудь функции мер мате-
материальной (пространственной) деформации, которые остаются при
этом неизменными по форме, когда материальные (пространствен-
(пространственные) координаты подвергаются жесткому повороту в точке X
(в точке х).
Ответ на этот вопрос обеспечивает теория инвариантов. В самом
деле, теория инвариантов затрагивает более трудный вопрос,
а именно для заданной совокупности векторов и тензоров тре-
требуется определить полный набор инвариантов (называемый целым
базисом), которые не меняются при произвольной группе преобра-
преобразований координат. Минимальный базис есть частичная совокуп-
совокупность этих инвариантов, через которые можно выразить все
остальные инварианты данной совокупности. Ответ на этот вопрос
важен по двум соображениям.
1. Определяющие соотношения должны оставаться неизмен-
неизменными по форме при жестких движениях пространственной системы
отсчета. Это известно как принцип объективности. Исследование
этого ограничения, наложенного на определяющие соотношения,
часто требует знания инвариантов определяющих величин, таких,
как меры деформации.
2. Свойства симметрии материала накладывают ограничения
на вид определяющих соотношений в тех случаях, когда мате-
материальная система отсчета подвергается некоторой группе преобра-
преобразований. Например, если материал имеет плоскость симметрии,
то определяющие соотношения не должны изменять своей формы,
когда выполняется отражение осей относительно плоскости сим-
симметрии. Аналогично для изотропных материалов определяющие
Гл. 7. Теория микрополярной упругости 671
соотношения остаются инвариантными по форме при действии:
полной группы ортогональных преобразований материальной
системы отсчета. Для анизотропных материалов с некоторыми
осями симметрии группа преобразований менее ограничительна.
Инварианты симметричного тензора второго ранга (такого, как
Екь) в случае трех измерений суть^ -
1е = ЕКК9. 11Е=1и{ЕКкЕьь-ЕкьЕьк), III* в <№?«,. F.2)
Вместо этого набора можно также использовать
trE=[#Kiri teW^EKLELK, tvE3 = EKLELMEMK. F.3)
Вышеприведенные два набора связаны друг с другом. В самом
деле
trE^lE, trE2e=I|^2IIE, trE*«=I?:--3IEIlE + 3IIlE. F.4)
Определение минимального целого базиса для тензоров F.1)
является гораздо более сложной задачей. Действительно, насколько
нам известно, основные инварианты тензоров третьего и высшего
рангов к настоящему времени не изучены. К счастью, в данной
теории TKLM всегда фигурирует только в виде TKLMEL s= ГКм,
так что мы можем взамен искать инварианты для
Екь, %къ, ГЯь. F.5)
В линейной микрополярной теории положение еще упрощается,
так как %{кь) = EKL, и достаточно знать инварианты двух сим-
симметричных и двух антисимметричных тензоров второго ранга
%(KD — EKL, %[KL], IVL), Г[ях]. F.6)
Целый базис собственной ортогональной группы для такой сово-
совокупности изучен различными авторами. Мы даем таблицу для
построения этих инвариантов. Для простоты мы вводим обозначе-
обозначения a, b для симметричных тензоров и u, v для антисимметричных
тензоров. В табл. 1 мы даем целый базис для этих тензоров в вос-
восходящем порядке целых базисов для всех частичных наборов
из а, Ь, и и v. Целый базис для величин, перечисленных в каждой
строке, включает все записи этой строки и целый базис всех частич-
частичных совокупностей этих величин. Так, например, целый базис
для а, Ь во второй строке содержит базисы и для а, и для Ь,
а именно tr a, tr a2, tr а3 и tr b, tr b2, tr b3. К тому же верхний
индекс звездочка (*) у произведений указывает на то, что мы вклю-
включаем в этот список все другие произведения, полученные из этих
циклическими перестановками симметричных матриц.
Верхний индекс плюс (+) указывает на то, что включены все
величины, полученные циклической перестановкой антисиммет-
антисимметричных матриц. Таким образом, например, ab* означает
ab, Ьа;
I a
О
I
%
I
ъ
I
•a
+
1
i
a
I
Сб
•a
ab;
Ъ
1
«6
I
сб
*
uab
uva:
Л
5
I
*
Гл. 7. Теория микрополярной упругости 673
аналогично u2va+ означает включение набора
u2va, vu2a.
Прочие подробности и более полные сведения по теории инва-
инвариантов можно найти в работе [37]. Поскольку мы будем интере-
интересоваться главным образом линейной теорией, то многое в табл. 1
не будет необходимым при составлении определяющих соотноше-
соотношений.
VII. ИЗМЕНЕНИЯ ОБЪЕМА
Здесь мы вычисляем изменение объема при деформации. Элемент
объема dF0= dX1dX2tdX3 в точке X + S с фиксированным S
назовем материальным элементом макрообъема, a dV0 ==
== dE1dE%dE3 с фиксированным X назовем материальным элемен-
элементом микрообъема. После деформации dV0 переходит в dv, a dT
переходит в dv, причем
Xs, G.1)
dv = jdEidE2dE3, G.2)
где /и / — якобианы деформаций с фиксированными S и X соот-
соответственно, т. е.
,K3M), G.3)
G.4)
Для того чтобы найти отношения элементов объема после дефор-
деформации к элементам объема до деформации, нужно вычислить
якобианы / и /• Так как детерминант произведения матриц
равен произведению детерминантов, мы имеем .
/ - {det [(xht K + %hM, KEM) (xht L + lkNt LEN)]}1/2 =
= { det (xh, KZk, L + xkt LXhM, к%м +
или, с учетом соотношений C.5) и C.6),
J = {det (CKL + ГЬМКЕМ + TKNLEN + Трмк^ьСр^ЕмЕх)}1/*, G.5)
где
XptkXQik G.6)
— тензор, обратный CpQ. Для вычисления последнего члена
в правой части равенства G.5) мы использовали соотношение
L, M =
которое следует из C.7).
43-0700
674 А. К, Эринген
Вышеприведенный результат G.5) справедлив для произволь-
произвольного микроморфного материала и может упрощаться далее.
Мы интересуемся лишь линейной теорией, а в этом случае соотно-
соотношение G.5) можно записать приближенно:
J « {det [8KL + 2EKL + 2TiKL)]}v\
Разложение и линеаризация дают
/ « 1 +ЕКК + Ткк. G.7)
Таким образом, изменение макрообъема с фиксированным S
в линейном приближении дается формулой
dv/dV0 — 1 = tr Е + (V X Ф)*3, G.8)
в которой мы использовали соотношение D.9). Здесь в правой
части первый член является классическим выражением для объем-
объемного расширения, а второй член соответствует добавочному изме-
изменению объема из-за микродеформации.
Аналогично мы можем подсчитать элемент миниобъема dv при
помощи якобиана /, определяемого формулой G.4). В этом случае
/ = [det(XfeKXftL)]1/2. G.9)
В линейной теории мы имеем из уравнения C.15)
и, следовательно, уравнение G.9) в линейном приближении выгля-
выглядит так:
7 « [det (8KL + Фкь + Фьк)I/2 = 1 + Фкк. G.10)
В микрополярной теории Ф.к:я = 0» так что мы имеем
dv/dro-l = O; G.11)
следовательно, в линейной микрополярной теории миниобъем
меняться не будет. Миниобъем (для фиксированного X) вращается
жестко без изменения своего объема 1).
VIII. УСЛОВИЯ СОВМЕСТНОСТИ
Тензор деформаций еы и тензоры микрополярных деформаций
&ki и Vkim выражаются через поле смещений и^ и поле микровра-
микровращений cpfe следующим образом:
eftz^Mttft.j + Mj,*)» (8.1)
4i = uiik + elkmymr (8.2)
г) Соотношение G.11) является точным, несмотря на то что мы исполь^
зовали линейную теорию, так как в точной теории %kKtkb — ^кь-
¦ Гл. 7. Теория микрополярной упругости 675
Здесь (8.1) — эйлеров тензор линейных деформаций, известный
из классической теории, формула (8.2) следует из формулы D.17)
с учетом (8.1) и D.15), а (8.3) тождественно соотношению D.18).
Если заданы шесть величин uk и (pfe, то эти поля деформаций опре-
определяются единственным образом из формул (8.1) — (8.3) простой
подстановкой. Если вместо этого заданы шесть деформаций eki,
девять микродеформаций ski и девять ненулевых компонент YfeZm>
то для определения полей смещений и микровращений требуется
решить 24 дифференциальных уравнения в частных производных:
уравнения (8.1) — (8.3) относительно шести неизвестных uk и (pfe.
Такая система переопределена, и необходимо наложить ограниче-
ограничения на ekh skh уыт* Эти ограничивающие условия известны как
условия совместности. Для классического тензора деформаций
eki условия совместности (ср. [36]) суть
CkU тп + втп, Ы — ^kmt In — ^In, km = 0. (8.4)
Замечая, что
^z = e(ftZ) = V2(efez + 8/ft), * (8.5)
уравнение (8.4) можно также записать следующим образом:
гШ), тп + Ъ{тп), hi — 8(ftm>, In — 8(/n), km = 0. (8.6)
Поучителен другой вывод уравнения (8.6): с этой целью мы
вычислим поле смещений uk с помощью формулы (8.2)
uk = u°k + J (Bik + Blkm<pm) dxh (8.7)
где u% — значение uk на одном конце Хт незамкнутой кривой %
в теле. Интегрируя по частям второй подинтегральный член,
мы также пишем
(хЕ — x°i) + J [8^ — sihm {хг — 4) <pTOf t] dxt. (8.8)
Для того чтобы поле смещений uk не зависело от пути % между
точками хт и хт, подинтегральная функция должна представлять
собой полный дифференциал, т. е.
гДе Fk (x,. t) — однозначная функция, обладающая непрерывными
частными производными по xt до второго порядка включительно.
Отсюда следует, что
Fk, и = Fkt л
и- тем самым
(xt — x?) cpw, г1 j — sJkt г + [elhm (^ — x°i) фт, s]t i = 0.
43*
676 А. К. Эринген
Раскрывая второй член и используя формулу (8,3), получаем
°- (8-9)
Это необходимые и достаточные условия для того, чтобы поле
смещений uk было однозначным и непрерывным в односвязной
области. Исключая дифференцированием у из уравнения (8.9)
и используя формулы (8.2) и (8.3), снова получаем уравнение (8.6).
Аналогичный метод можно применить и к Yfe/m* как будет
показано ниже. Сначала мы найдем Фг,т, умножив обе части
формулы (8.3) на гЫг, откуда
к1т. (8Л0)
Интегрирование (8.10) вдоль гладкой незамкнутой кривой % дает
Фг = ф? + Чг J ЧгтЧыт dxm.
Условие однозначности для фг теперь выглядит так:
Чгт (укгт, п — Уыщ т) = 0. (8.11)
Таким образом, мы доказали следующее утверждение.
Теорема. Необходимым и достаточным условием интегри-
интегрируемости системы уравнений (8.1) — (8.3) в односвязной области
является выполнение условий совместности (8.9) и (8.11I).
Отметим^ что члены вне {знака криволинейного интеграла
в^уравнении (8.8) описывают движение тела как жесткого целого.
IX. НЕКОТОРЫЕ ЧАСТНЫЕ ВИДЫ ДЕФОРМАЦИЙ
В этом разделе в иллюстративных целях мы рассматриваем
несколько частных видов деформаций.
А. Жесткое деформирование
Деформирование тела называется жестким, если при нем
не меняется расстояние между любой парой точек Х(а> и Y(a> тела.
Из формулы C.33) следует; что необходимым и достаточным усло-
условием жесткого деформирования линейного микроморфного тела
является
E=g=0, Г=*0. (9,1)
г) Условие (8.9) было получено в работе [33]. В общей нелинейной тео-
теории микроморфных материалов условия совместности даны Эрингером A967)
в ^техническом сообщении НАС А.
Гл. 7. Теория микрополярной упругости • 677
С другой стороны, для пространственных мер деформации
е=8=0, y=0- (9.2)
Для микрополярного тела условие EKL = 0 влечет
(9.3)
где Rkl — произвольный антисимметричный тензор и В.к — про-
произвольный вектор, причем оба они не зависят от X. Условие
Г#ь = 0 влечет, что Фк также не зависит от X. Наконец, %KL = О
дает
Фя = #к, (9.4)
где
Rk^I&klmRml (9.5)
— вектор вращения, не зависящий от X.
Б. Изохорическая деформация
Деформация будет называться макроизохорической, г если
материальный макрообъем остается неизменным, и миниизохори-
ческой, если не меняется миниобъем. Необходимое и достаточное
условие для макроизохорических деформаций, согласно формуле
G.7) или G.8), есть
Екк + Гкк = 0. (9.6)
Условие для миниизохорической деформации вытекает из фор-
формулы G.10). Поскольку для микрополярных тел / = 1, мы видим,
что микрополярные тела подвергаются только миниизохориче-
миниизохорической деформации. Отметим, что обычно это неверно для микроморф-
ных материалов.
Для того чтобы условие (9.6) было справедливо при всех Sf
необходимо и достаточно выполнение равенств
Екк = 0, Г„ = 0-, (9.7)
из которых следует, что V-U = 0 и V ХФ = 0.
В. Однородная деформация
Состояние деформации тела будет называться однородным, если
деформирование линейно и однородно относительно радиусов-
векторов X и S материальных точек, т. е. если
DKXK + 3fKEX9 (9.8)
678 А. К. Эринген
где Djr и 35к — постоянные векторы. В компонентах этих векторовг
равенство (9.8) эквивалентно системе
xk = DkKXK, (9.9)
Ъь^Зкв&к, (9.10)
где DkK и 3)hK являются постоянными при статических деформа-
деформациях и зависят только от времени для динамических, причем
DK = DkKik, 3)K = $kKik. (9.11)
Соотношение (9.9) дает выражение для однородной деформации
в классической механике сплошной среды. Деформирование, описы-
описываемое таким образом, переводит прямые линии в прямые линии,
эллипсы в эллипсы и эллипсоиды в эллипсоиды. Микрооднородная
деформация, описываемая формулой (9.10), нова и обладает такими
же свойствами по отношению к переменной S. Для линейного
микрополярного тела 3)kK нужно заменить одним вектором 3),
определяемым решением уравнения
Якь = 6нь-гньмЯм, (9.12)
а именно
3}м=*-Ч&мыЯкь. . (9.13)
Уравнение (9.12) вытекает из формул C.15) и D.3) при Ф = 35.
Таким образом, микрооднородную деформацию можно также выра-
выразить формулой
i=a-sxs, (9.14)
где вектор 35 не зависит от X и, конечно, от S.
Материальные тензоры деформаций получаются из соотноше-
соотношений C.5) — C.7), (9.9) и (9.10) при 3)hK = %kK. Таким образом,
CKL = DhKDkL, 4KL = DkK3)kLy TKLM = 0. (9.15)
Отсюда теперь ясно, что меры деформации однородны. Для микро-
микрополярного твердого тела, используя уравнение (9.12), получим
yfrKL = DLK — &lmnDnk&m% (9.16)
где мы полагаем
Dlk = SkbDkK*
Теперь разберем несколько частных случаев,
1; Однородное^ макрообъемное расширение
В этом случае D — диагональная матрица с равными диаго-
диагональными элементами, т. е.
~D 0
D= 0 D 0 , 0<?<оо (9.17)
D
0
_0
0
D
0
(Г
0
D_
Гл. 7, Теория микрополярной упругости
679
Рис. 11. Однородное микрорасширение.
Тензоры деформаций в этом случае имеют вид
(9.18)
Деформирование переводит параллелепипед с векторами рёбер
1кAХк в точке Х+ S в параллелепипед с векторами ребер
DdXK\K (рис. 11). Отношение длины ребра к первоначальной длине
(макрорастяжение) L(K) дается поэтому формулой LiK) = D. Угол
между любыми двумя векторами ребер деформируемого макроэле-
макроэлемента составляет 90°. Деформирование переводит макрокуб единич-
единичного объема в макрокуб объема ZK. Микроэлемент изменяется
согласно величинам 3)к. Из уравнения- (9.16) мы имеем в этом
случае
m); (9,19)
отсюда ясно, что
. (9.20)
Микрорастяжение 1{К), т. е. отношение длин векторов ребер дефор-
деформированного и недеформированного микроэлемента, здесь равно
единице:
следовательно, ребра микроэлемента не растягиваются. При
D = 1 нет макродеформаций или микродеформаций, однако микро-
микроэлемент подвергается жесткому вращению, описываемому 3$. Для
общих микроморфных материалов ситуация гораздо сложнее:
микродеформации возможны даже тогда, когда макрообъем
остается неизменным. Такое положение, конечно, известно в моле-
молекулярных теориях кристаллических решеток.
680
А, К, Эринген
2. Одноосная деформация
Рассмотрим однородную деформацию, характеризуемую матри-
матрицей
~D
0
0
0
1
0
<г
0
1
0<D<oo.
(9.22)
В этом случае для микрополярного твердого тела с помощью
соотношений (9.15) и (9.16) получим
С=
"Z?2 0 0"
0 10
D —3)ZD SJT
Макрорастяжение L{K) и микрорастяжение 1(К) суть
Z/A) = D, LB) = ZC) = 1,
(9.23)
(9.24)
При 3)г = 3J ==1 ^з — 0 мы имеем классическую одноосную дефор-
деформацию, в результате которой стержень длины дХг после дефор-
деформации переходит в стержень длины D dXx (рис. 12). При отличных
от нуля 3)(ку мы видим, что микроэлемент жестко поворачивается
на величину | SB | в направлении 3)v Геометрия особенно упро-
упрощается в двумерном случае, для которого мы имеем
01 ГО2 01 [D —333D1
D=[o
Схема этого деформирования показана на рис. 12. Макроэлемент
ОАСВ после деформации переходит в элемент ОА'С'В, вытянутый
Рис. 12. Одноосная деформация.
Гл. 7. Теория микрополярной упругости
684
на величину (D — l)dXi вдоль оси Xt без изменения в боковых
направлениях. Микроэлемент СасЪ жестко поворачивается без растя-
растяжения, переходя в Са'с'Ь''. Таким образом, вокруг оси Х3 проис-
происходит жесткое микровращение. Для микроморфных материалов
возможны также микрорастяжения, не зависящие от макроде-
макродеформаций.
В общем случае, когда стержень растягивается в одном направ-
направлении без каких-либо ограничений на его боковых поверхностях,
будут также меняться его поперечные размеры. Такая ситуация
описывается более реалистично матрицей
О О"
D=
О
0
D2
О
О
(9.26)
В этом случае состояние деформации называется простым растяже-
растяжением. При простом растяжении мы имеем
¦щ
о
о
о
О"
о
D,
-D&,
D,
(9.27)
О В2_
Из (9.27)i ясно, что макроэлемент в форме прямоугольного парал-
параллелепипеда после деформации переходит в другой прямоугольный
параллелепипед с ребрами, растянутыми в jQlf D2, D3 раз. Микро-
Микроэлемент в форме прямоугольного параллелепипеда совсем не изме-
изменяет длины своих ребер, но он поворачивается.
3. Простой сдвиг
В классической механике сплошной среды однородная дефор-
деформация, описываемая матрицей
D =
О 1 О
-О 0 1.
называется простым сдвигом
странственные координаты
-оо<?<оо,
(9.28)
Здесь S не зависит от Хк- Про-
Проk для любой материальной точки
X + S после деформации даются формулами
(9.29)
В случае <2*к— 0 простым сдвигом плоскости Хг = const жестко
поворачиваются вокруг их линий пересечения с плоскостью
А. К. Эринген
Х2 = 0 на угол сдвига у, определяемый формулой
у = arc tg S.
(9.30)
Плоскости Х2 = const жХ3 = const не меняются (ср. [5, разд. 15]).
Тензоры деформации С, W и Г задаются в этом случае формулами
1 — 2U 3)*
(9.31)
1
S
0
1
S
+s<
0
0
'¦ 0
1
Г -0.
Из формул (9.31) видно, что даже когда отсутствует макросдвиг,
т. е. когда 5 = 0, мы имеем микровращение, описываемое тензо-
тензором микродеформации
1 -^з '&
3)i
(9.32)
В этом случае картина плоской микродеформации аналогична той,
что изображена на рис. 12.
Г. Плоекая^деформация
В классической механике сплошной среды в случае, когда
деформирование происходит одинаково в семействе параллельных
плоскостей и исчезает в направлении их общей нормали, говорят,
что осуществляется состояние плоской деформации. Такая пло-
плоская деформация характеризуется поэтому зависимостями
xh, = xk (Xv Х2) (к = 1, 2), xz = Хд.
(9.33)
Для микрополярных деформаций мы определим состояние плоской
микрополярной деформации аналогично. Используя формулу D.11)
и полагая Фх == Ф2 =. 0, Ф3 = Ф, получим
Ех = ах - ф
2,
ф
(9.34)
Таким образом, при плоской макродеформации и микродеформа-
микродеформации деформация описывается полностью, если определены два
неизвестных смещения:
иг (Xlf Х2) = хх — Xlf J7a (Xlf Z2) = ^2 - Z2 (9.35)
и микросмещение Ф (Х1? Х2). Уравнения поля должны состоять
поэтому из трех уравнений в частных производных взамен двух
Гл. 7, Теория микрополярной упругости
683
уравнений классической теории. Как мы увидим, это так и есть
(ср. разд. XXV и XXVI).
Пространственные тензоры деформации при плоской деформа-
деформации суть
Сц С12 О
'21 ^22 ^
0 0 1
0
^12 О'
^22 О
О 1
(9.36)
Г12М = -Г21М = - Ф,м (М = 1, 2),
все остальные TKLM равны нулю.
Формулы C.27) — C.29) и D.3) приводят к соотношениям
между тензорами деформаций и векторами смещений:
CKL = SjtL + 2EKL = 6jjx + UK, L + UL> к,
Ькь-гкьмФм + иь>к, (9.37)
, м-
Таким образомз, для тензоров деформаций EKL и %къ имеем
где
Е =
- dUl
Ец Е12 О
i?21 -^22 О
0 0 0
Н2 О"
Г22 О
О О
(9.38)
dUi
ди2
дХ{ '
^22 = •
(9.39)
©22 :='
dX2
X. ДВИЖЕНИЕ, МИКРОДВИЖЕНИЕ И МАТЕРИАЛЬНЫЕ
ПРОИЗВОДНЫЕ ТЕНЗОРОВ
Материальная точка, положение которой описывается векто-
вектором X Ц- S в момент времени t = 0, переводится в простран-
пространственную точку х + 1 в момент t. Движение этой материальной
точки в теле описывается формулой
х<«> = х (х, *) + !(х, afi)t
A0.1)
где х (X, t) — радиус-вектор центра масс X элемента макро-
макрообъема dV + dS в момент времени t, a | (X,*B, t) — радиус-
вектор точки X + S в момент t относительно центра масс. Для
684 А. К. Эринген
микроморфных тел мы имеем формулу C.9), или
х (X, t) = X + и (X, t), • A0.2)
для х (X, t) и формулу B.9) для 1 (X, S, t). Для микрополярных
тел равенство A0.2) остается справедливым, а равенство B.9)
заменяется D.11), т. е.
I (X, s, t) == а - в х ф (X, г). (Ю.з>
В этих выражениях и (X, t) и Ф (X, t) — векторы макро- и микро-
микросмещения соответственно. Вещественный параметр t представляет
собой время.
Согласно аксиоме сплошности и неразрушимости вещества,,
предполагается, что существуют обратные движения ? (х, t}
и S (х, |, t). Поэтому мы можем также написать
Х(х, *) + S(x,l, *), A0.4)
где для микроморфных тел S дается равенством B.13). Мы имеем
также .
X (х, t) = х - u (x, t). A0.5)
Для микрополярных тел формула B.13) заменяется D.12), т. е-
в = |+-бх ф(х, t). (Ю.6>
Для векторов смещений мы используем одни и те же обозначе-
обозначения и и ф при материальном ж пространственном описаниях.
Однако в первом случае и и ф считаются функциями X и tf.
а в последнем — функциями х и t, поскольку мы можем подста-
подставить X = X (х, t) вместо X в u (X, t) и ф (X, t), чтобы перейти
от материального описания к пространственному. Предполагает-
Предполагается, что существуют однозначные обращения X (х, t) для х (X, ?)•
и S (х, |, t) для 1 = | (X, S, t) в любой момент времени в окре-
окрестности точки X, за исключением, возможно, некоторых сингу-
сингулярных точек, линий и поверхностей в теле. Достаточными усло-
условиями для этого являются непрерывность частных производных
этих функций по Хк и неравенства
det (xkt к) Ф 0, det (%hK) Ф 0 A0.7)
в некоторой окрестности точки Хк в любой момент времени.
Мы предполагаем, что это имеет место.
В кинематике сплошной среды важную роль играют времен-
временные скорости векторов и тензоров, связанные с материальными
точками.
Определение 1. Материальная производная любого?
тензора определяется кап частная производная этого тензора
по времени при фиксированных материальных координатах Х
и Ек.
Гл. 7. Теория микрополярной упругости
685
На то, что берется материальная производная, указывает
либо точка над буквами, либо оператор DIDt. Так, например,
F (X t\— DFk -
Jk (x, t) = —щ- =
jt
A0.8)
5Il
Dt
dt
x-,s
где нижние индексы при вертикальной черте указывают на то,
что соответствующие переменные при дифференцировании счи-
считаются постоянными. Поскольку при движении центра масс
xk = xk (X, t) или Хк = Хк (х, t),
мы имеем также
A0.9)
так что
/ft —
+-
Короче говоря, мы напишем без какой-либо неясности
Первый член в правой части этого равенства представляет вре-
временную скорость изменения, которое происходит в точке х
в момент времени t. Члены второй группы известны как конвек-
конвективные изменения. Они возникают из-за движения материальной
точки X через точку х.
Когда тензоры затрагивают микродвижение, то при материаль-
материальном дифференцировании мы считаем вектор относительного поло-
положения Як также постоянным, ср. уравнение A0.8K. Другой
пример дает дифференцирование равенства D.11):
| ~ь дФм^г) . A0.11)
XI. СКОРОСТЬ, УСКОРЕНИЕ, МИКРОВРАЩЕНИЕ И СПИН
Определение 1. Скорость есть временной темп измене-
изменения радиуса-вектора материальной точки.
Таким образом,
v = x(XB?), vk = xk, A1.1)
А. Я. Эринген
где X остается постоянным. Поскольку х = х (X, t), мы имеем
Отметим, что в теле с микроструктурой X — точка центра масс
элемента макрообъема и в общем случае не обязательно факти-
фактически является материальной точкой. Тем не менее в опреде-
определении временной скорости векторов и тензоров, связанных
с телом, мы рассматриваем X как материальную точку.
Заменив X согласно A0.9J, запишем
v = к (X (х, t), t) = xk (x, t) ik = vk (x, t) iA, A1.2)
где ik — пространственные ортогональные единичные базисные
векторы. Это соотношение определяет поле скоростей uk в про-
пространственной точке х в момент времени t. Эта эйлерова концеп-
концепция поля скоростей занимает ведущее положение в гидродина-
гидродинамике. При лагранжевой точке зрения мы выражаем вектор скоро-
скорости в материальной системе отсчета ХК; таким образом,
v = VK(X,t)IK, VK^ 9afcg'f) 8hK. A1.3)
О.пределение 2. Ускорение есть скорость изменения
во времени вектора скорости материальной точки.
Таким образом,
a = v, ak = vk = Dvh/Dt. A1.4)
При лагранжевом подходе мы имеем
a = AK{X,f)IK, Ак=д?к<?'г) , A1.5)
а при эйлеровом
ak г Dvk/Dt = dvk/dt + vk, рг\ A1.6)
отметим появление здесь конвективных членов vkti vi.
Определенные выше скорость v и ускорение а представляют
собой кинематические величины, описывающие движения центра
масс X в макроматериальном элементе V + S. Теперь мы посту-
поступим так же, чтобы получить относительную скорость и ускоре-
ускорение материальной точки X + S относительно* центра масс X.
Для этого мы возьмем временные производные относительного
движения, задаваемого для микроморфного тела уравнением B,9),
а именно
& = Хк(Х,*K*; A1.7)
тогда
l = %K(X,t)SK, 1=х'я(Х, t)BK. A1.8)
Гл. 7. Теория микрополярной упругости 687
Иные выражения получаются заменой Бк согласно формуле
sK=st;Kh(x, t)U. (Ц-9)
Такл например,
i = vft(x, Ob, iz = v»g*, A1.10)
где
Vft(x, t) = \K{X, t)SCKk{-a, t), vlh = %lK3CKh. A1.11)
Подразумевается, что величина X в аргументе %к также заменяет-
заменяется выражением A0.9J.
Определение 3. Три вектора vfe, определенные форму-
формулами A1.11), называются векторами внутреннего^ вращения, а их
компоненты v^ образуют тензор внутреннего вращения.
Когда задан такой тензор, мы можем вычислить эйлерову
микроскорость | по формуле A1.10). Для микроускорения ана-
аналогичным образом получим:
где мы использовали равенство A1.10J. Следовательно,
*i=ak(x,t)lh9 \k = a>hili, A1.12)
где
mvmh. A1.13)
Определение 4. Величины a^, определенные формула-
формулами A1.13J, называются компонентами тензора спина.
Полную скорость v<a> и ускорение а^ материальной точки
X + 3 можно теперь подсчитать так:
A1.14)
A1.15)
Для микрополярного тела эти выражения видоизменяются за
счет использования формул D.4) и D.14). Так, например,
Ук1=—екшФм + *кКмЪк1тФм<Рт. (И.16)
В линейной теории эта формула упрощается:
Vft*^ — гытУт. A1.17)
Вводя аксиальный вектор vfe, называемый вектором микровра-
Щенця:
1тУт, A1.18)
688 А. К. Эринген
МЫ ВИДИМ, ЧТО
vk = kr . A1.19)
а равенство (ll.lO)i теперь выглядит следующим образом:
|=-Sxv. A1.20)
Аналогично можно вычислить |. Иной подход, который может
быть поучителен, заключается в том, чтобы взять производную
по времени от A1.20):
v)xv. A1.21)
Вспомнив векторное тождество •
(axb)xc = (a.c)b —(Ь-с)а, . A1.22)
вышеприведенное выражение можно переписать так:
l=-lxv+(!.v)v~(v.v)l, (И.23)
или в компонентной форме
lk = dkllh A1.24)
VmVmSkl. A1.25)
Можно видеть, что это совпадает с результатом, следующим из
формулы A1.13J.
Векторы полной скорости и ускорения материальной точки
X + S микрополярного твердого тела можно теперь соответ-
соответственно представить формулами
= у —E-xv, A1.26)
а«») = ?«*> = a+V= V —| х v + (I X v) х v. A1.27)
Здесь v и v относятся к центру масс элемента макрообъема,
а остальные члены в правых частях равенств A1.26) и A1.27)
представляют собой относительную скорость и ускорение отно-
относительно этого центра масс. Формулу A1.27) можно далее лине-
линеаризовать, отбросив член с тройным векторным произведением.
XII. МАТЕРИАЛЬНАЯ ПРОИЗВОДНАЯ ДЛИНЫ ДУГИ
В механике сплошной среды часто требуется знать производ-
производные по времени длины дуги, элемента поверхности и элемента
объема в деформированной конфгиурации. Здесь мы подготовим
Гл. 7, Теория микрополярной упругости* 689
основу для этого, вводя в то же время некоторые новые понятия,
важные для исследования движения.
Основная лбмма 1. Материальная производная гра-
градиента смещения дается формулой
D *
-щ (**, к) = zk,K = vh;i xu K. A2.1)
Доказательство получается немедленно, поскольку D/Dt и д/дХк
можно поменять 'местами, т. е.
D ¦ /v ч / Dxk
SflXk,к№**)] = [*
здесь мы использовали равенство xk = vk (x, t) и правило после-
последовательного дифференцирования. Другое полезное выражение,
которое получается из уравнения A2.1). после умножения его
на dXK, таково:
dxk=pvk, idxi. A2.2)
Естественным следствием основной леммы 1 является равенство
?t(XK,h)=*-XKllvhh, A2.3)
которое доказывается дифференцированием соотношений xht rXk, i —
= 8kh что дает
k, к%к> i = 0.
Умножая этот результат на Хь, ь, получаем равенство A2.3).
Теорема 1. Материальная производная квадрата длины
дуги (dsJ дается формулой
) A2.4)
где
) A2.5)
называются компонентами тензора скоростей деформации.
Чтобы доказать соотношение A2.5), возьмем производную
по времени от (dsJ:
(dsJ = — (dxk dxk) = 2dxk dxk = 2vkt г dxu dxb = (vht г + vlt k) dxk dxu
и A2.5) доказано.
При материальном описании соотношение A2.4) может быть
записано как
(dsJ = 2dkiXfli k%i, ь dXj? dXi,.
44—0700
690 Л. if. Эринген
Используя равенство
(dsf = CKh dXK dXL = (SKL + 2Щ dXK dXL,
получаем
E)*= CXL ЙХЯ dXL = 2ЯКЬ dX* dXL. A2.6)
Сравнивая это с предыдущим выражением и учитывая, что dkU
CKL и jE^l являются симметричными тензорами, мы находим
СКь - 2EKL = 24^, ***, l. A2.7)
Это материальные производные лагранжевых мер деформации С
и Е.
Когда d = 0, мы имеем D (dsf IDt = 0. Обратно, если при
произвольном dx выполняется равенство D (dsf ID t = 0, то d =?
= 0: Таким образом, мы установили следующий результат.
Теорема 2 (Киллинг). Равенство d = 0 есть необходимое
и достаточное условие для того, чтобы макродвижение х (X, t)
было жестким.
Отметим, что жесткость макродвижения не означает жесткости
микродвижения. Как мы увидим ниже, микроэлементы могут
совершать нежесткие движения даже в том случае, когда макро-
макроэлементы могут двигаться только жестко.
Основная лемма 2. Материальная производная для
микродвижения дается формулой
KkK(X,t) = vklXlK, ' A2.8)
Этот результат следует из равенства A1.11J, если умножить его
на %kL и учесть соотношение B.11J.
Следствием A2.8) является соотношение
ifcb^-ZCjLt*^ A2.9)
которое получается, если взять материальную производную по
времени от уравнения B.11)х и умножить результат на 3?ьп-
Теорема 3. Материальная производная градиента микро-
смещения %k#, l дается формулой
-jjf $hK, ь) = %kK, L = VkftlK, L + Vftj, m^lK^m, L- A2.10)
Чтобы доказать эту теорему, возьмем частную производную от
равенства A2.8) по Хь и поменяем местами DlDt и dldXL, по-
поскольку это допустимо.
Гл. 7. Теория микрополярной упругости 691
Следствием теоремы 3 является соотношение
dlk = Vhmdlm + vhlim?ldxm, A2.11)
которое доказывается вычислением материальной производной
от соотношения
dlk = Чк, ь%к dXL + lhK dSK A2.12)
и использованием равенств A2.8), A2.10) и \h =
Теорема 4. Материальная производная квадрата длины
дуги (ds^J дается [6] формулой
+ 2 &, k + vhl + vlrt klr) dxk dh + (vkl + vlk) dU dh. A2.13)
Чтобы доказать ее, мы возьмем материальную производную от
(dsW)* = dxkdxk + 2dxkdtk + dtkdtk A2.14)
и используем соотношения A2.2) и A2.11).
Если мы теперь введем скорости микродеформации
, A2.15)
vkTtilr9 A2.16)
то формулу A2.13) можно представить в виде
-g- [(dsW)*] - 2 [dkl + О(Ы)] dxk dx\ +
+ 2 (bkl + alk) dxk dh + 2 [bm- dhl] dlk db. A2.17)
Для микроморфного тела, когда
d = 0, b = 0, . A2.18)
мы имеем общее решение
"и = ®bi*i + bfc» vM = iokh ' A2.19)
где (uki — угловая скорость, bk — скорость, причем обе они не
зависят от х и
©fci + ©te-=0. A2.20)
После подстановки выражения A2.19) в равенство A2.16)х мы
видим, что akim = 0. Обратно, мы можем показать, что обраще-
обращение в нуль d и Ь также необходимо для того, чтобы имело место
равенство D [(ds^J]/Dt = 0. Таким образом, мы доказали сле-
следующее утверждение.
Теорема 5. Необходимыми и достаточными условиями для
того, чтобы микроморфное тело совершало микрожесткое движе-
44*
692 А. К. Эринген
ние, являются равенства
Ь = d = 0. A2.21)
Эта теорема заменяет теорему Киллинга (теорема 2) для микро-
морфных тел.
В случае линейных микрополярных твердых тел предыдущие
результаты значительно упрощаются. С этой целью мы напомним
соотношения D.4) и A1.18J, а именно
> vkl=-sklmvm. A2.22)
Подстановка этих выражений в формулы A2.8) и A2.10) и лине-
линеаризация дают соответственно
Xfttf « — ЧктУт* %kK, L « — ЧктУт, Ль- A2.23)
Для линейного микрополярного тела формулы A2.11) принимают
вид
Wk== —4imdlivm — Bhmvm%T\idxTf A2.24)
или, в векторной записи,
?=—i6xv — !xv,r dxr. A2.25)
Материальная производная для квадрата длины дуги в этом слу-
случае выражается так:
^ [(dsWf] = 2 [dkl + am] dxk dxt + 2 (bkl + alk) dxk dg,; A2.26)
здесь
bki = vi,h — eklmvm, aki= — Bkrmvmtllr. A2.27)
XIII. СКОРОСТИ МЕР ДЕФОРМАЦИИ
.Определение 1. Временные скорости различных мер
деформации суть не что иное, как их материальные производные.
Так,, например,
EKL = DEKL/Dt, ekl = Dehl/Dtt
'%KL = D%KdDt, ki=D&kl/Dt, A3.1)
Tklm — DYKLM/Dt, yklm = Dyklm/Dt.
Теперь мы дадим явные выражения для этих величин.
Гл. 7. Теория микрополярной упругости 693
Теорема 1. Лагранжевы скорости деформации даются
формулами:
, A3.2)
Шкь = bhixki k%il, A3.3)
= bkl%k, K&IU M + ahlmZk, K^lL^m, M • A3.4)
Доказательство формулы A3.2) было уже дано в разд. XII.
Для того чтобы доказать соотношение A3.3), вычислим матери-
материальную производную от
Шкь = ^кь — 8KL = xkf Al — бяь, A3.5)
откуда
Используя соотношения A2.1) и A2.8), получаем A3.3). Дока-
Доказательство формулы A3.4) проводится аналогично вычислением
Производной по времени от
Гяьм = ^,Аь,м A3.6)
с учетом A2.1) и A2.10).
Теорема 2. Эйлеровы скорости деформации даются форму-
формулами
A3.7)
, h) t A3.8)
). A3.9)
Доказательство довольно длинно и здесь проводиться не
будет. Эти формулы получаются дифференцированием выражений
для деформаций с учетом различных результатов, полученных
в разд. XII. Вывод формулы A3.7) см. в работе [5].
Формулы A3.7)—A3.9) показывают, что эйлеровы скорости
деформации не совпадают с лагранжевыми скоростями деформа-
деформации. Если в момент времени t среда не деформирована и движение
только начинается, мы можем положить х — X и | = S, так что
, A3.10)
(X, 0) =
694 ' А. К. Эринген
, 0) = dhh
,O) = bkh A3.11)
, 0)= —аЫт.
В теории бесконечно малой деформации членами, заключенными
в круглые скобки в правых частях равенств A3.7)—A3.9), можно
пренебречь. Поэтому в таком случае формулы A3.11) должны
быть приближенно справедливы в любой момент времени, т. е
ekl (x, t) ж dkh
eki(x,t)ttbkl, A3.12)
, t) tt — akim.
XIV. ВНЕШНИЕ И ВНУТРЕННИЕ НАГРУЗКИ
Материальное тело под действием внутренних и внешних сил
испытывает деформацию. Эти силы могут быть механической,
электрической, химической или иной природы. Здесь мы касаемся
лишь механических сил. В ньютоновской механике частиц сила F,
действующая на частицу, считается функцией положения части-
частицы х, ее скорости v и времени ?, т. е.
F = F (х, v, t). * A4.1)
Если мы имеем скопление частиц, то для каждой частицы можно
написать
Fa = Fa(xa, va, t) (a =.1, 2, . ..). A4.2)
В элементе объема AV сплошной среды мы имеем большое число
частиц, связанных такими силами. Если частицы сплошной среды
не могут двигаться независимо, то силы их взаимодействия
попарно уравновешиваются. Это обстоятельство накладывает огра-
ограничения на A4.2), так что число независимых сил оказывается
много меньшим, чем для совокупности свободных частиц. В соот-
соответствии с этими ограничениями и основными постулатами меха-
механики сплошной среды силы, действующие на тело, можно объеди-
объединить в результирующую силу *р и результирующий момент e/ft,
з адав аемые формулами
^ = SFa, J = Ex«xFa. A4.3)
Гл. 7. Теория микрополярной упругости
695
Первая из этих формул дает векторную сумму всех сил, действую-
действующих на материальную точку, имеющую радиус-вектор ха, а вто-
вторая — векторную сумму моментов этих сил относительно точки,
от которой откладывается вектор ха. В случае сплошной среды
силовое поле обычно считается непрерывным и соотношения A4.3)
можно заменить интегральными соотношениями:
A4.4)
где d$F — плотность сил в точке х и dX — плотность моментов.
Последний член возникает в классической механике для различ-
различных частиц, связанных в дуплеты или жесткие блоки, так что
некоторые из приложенных к частицам сил составляют также
пару. Такую физическую картину можно использовать при
построении теорий микромеханики.
С точки зрения механики сплошной среды силы и моменты
можно разделить на три категории.
1. Внешние объемные нагрузки
Это силы и моменты, которые возникают при внешних воздей-
воздействиях. Они действуют на точки тела и проявляются в виде объем-
объемных сил и объемных моментов, отнесенных к единице массы тела»
Сила гравитации является примером объемной силы, а электро-
электромагнитный момент в поляризованной среде — примером объем-
объемного момента. Объемный момент может также возникать из-за
неуравновешенного распределения массы между элементами мик-
микрообъема (рис. 13 и 14).
Рис. 13. Элемент макрообъема с си- Рис. 14. Макроэлемент с результи-
лами, действующими на микроэле-
микроэлементы.
рующеи силой и результирующим
моментом.
696 А. К. Эринген
2. Внешние поверхностные нагрузки {контактные нагрузки)
Эти нагрузки возникают при действии одного тела на другое
через соприкасающиеся поверхности. При малой макроповерх-
макроповерхности они равноценны силе и моменту. Так, например, силы,
действующие на макроповерхность в случае, изображенном на
рис. 15, равноценны силе и моменту, приложенным к центру масс
элемента макроповерхности Да (рис. 16).
Когда макрообъем Аи стремится к dv, обычно объемный момент 1
стремится к нулю, поскольку расстояния (плечи пар) стремятся
к нулю, в то время как силы, по предположению, остаются огра-
ограниченными.
Аналогично, когда Да стремится к da, поверхностный момент
m будет стремиться к нулю. Это классическая концепция меха-
механики сплошной среды.
Вследствие зернистой структуры тел приближения элементов
поверхности и объема математическими пределами dv и da могут
оказаться неприемлемыми для различных физических явле-
явлений, в которых приложенные нагрузки вызывают реакции с
некоторыми характерными размерами (например, длинами
волн), сравнимыми с размерами микроэлементов и расстояни-
расстояниями между ними.
В таких случаях Дг; и Да не являются бесконечно малыми и
каким-то образом должно быть учтено зернистое строение тела.
При этом необходимо рассматривать силы и моменты для макро-
макрообъемов и макроэлементов поверхности.
Рис. 15. Внешние поверхностные на- Рис. 16. Результирующая сила и ре-
грузки на макроноверхности Да. зультирующий момент на Л а.
Гл. 7. Теория микрополярной упругости 697
3, Внутренние нагрузки
Внутренние нагрузки возникают из-за взаимодействия пар
частиц, которые расположены внутри тела. Согласно третьему
закону Ньютона, эти силы взаимодействия погашают друг друга*
так что результирующая сила равна нулю.
В механике сплошной среды для того, чтобы найти внутрен-
внутренние нагрузки, выделяют малый макроэлемент из тела и рассмат-
рассматривают действие на него остальной части тела как силы и мо-
моменты на поверхности макроэлемента (рис. 13—16). Внутренние
силы, как мы увидим, дают повод для гипотез о напряжениях
и моментных напряжениях.
Пусть поверхностная сила на* единичной площадке в точке х:
на поверхности тела с внешней нормалью п обозначается через t(n),.
а поверхностный момент на единичной площадке через щП)- Пусть
объемная сила и объемный момент, отнесенные к единице массы,
во внутренней точке тела обозначаются соответственно через
f и 1. Полная сила JF и полный момент JH относительно точки О,
действующие на тело, можно вычислить по формулам (рис. 17):
pf do у A4.5)
: f) do. A4.6)
Сосредоточенные нагрузки возникают в результате предельного
процесса, при котором поверхностные нагрузки или объемные
нагрузки распределены по очень малой области.
Рис. 17. Поверхностные и объемные
нагрузки.
698
А. К. дринген
XV. МЕХАНИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ БАЛАНСА
Механические законы баланса — сохранения массы, баланса
количества движения и баланса момента количества движения —
получаются с помощью осреднения, примененного к элементу
макрообъема, содержащему N микроэлементов, для которых
постулируется справедливость классических законов баланса.
Считается, что каждый из микроэлементов имеет однородную
массовую плотность. -
Закон сохранения массы. Общая масса каждого
микроэлемента остается постоянной при любой деформации.
Таким образом, если р<а) и р<а> обозначают соответственно
массовые плотности микроэлемента а до деформации и после нее,
а ДУ(оа) и Ду(а) — соответствующие объемы (рис. 18), то
р(а>ДУ(°О = р(а)Д1;(<*> A5.1)
{здесь суммирование по а не проводится).
Общая масса макрообъема до деформации и после нее соответ-
соответственно дается формулами
N
a=l
N
а=1
A5.2)
A5.3)
Эти равенства, в сущности, определяют массовые плотности
р0 (X) и р (х, t) для недеформированного и деформированного
Рис. 18. Макроэлементы массы, содержащие микроэлементы массы.
Гл. 7. Теория микрополярной упругости 699
элементов макрообъема. В силу равенства A5.1)
PoAFo = PAv. A5.4)
Если мы допустим, что AV0 и Аг; приближаются к своим пре-
предельным значениям dV0 и dv, то получим соотношения
podVo = pdv, pp/p — dv/dV0 == J = det (xktK), , A5.5)
которые являются эквивалентными выражениями закона сохране-
сохранения массы для элемента макрообъема.
В разд. II мы указывали, что X — радиус-вектор центра масс
макроэлемента. Соответственно
а
или, с учетом A5.1) и B.14),
Поскольку SCh -^=0, это показывает, что радиус-вектор х опре-
определяет центр масс деформированного макрообъема. Следователь-
Следовательно, нами доказана
Теорема 1. Движение переводит центр масс недеформи-
рованного макрообъема в центр масс деформированного макро-
макрообъема [15].
Теперь мы вычислим вторые моменты
ро/йьА7 _ S P(oa)a?>Sia>AF<oa). A5.6)
OS
Подставив в это соотношение A5.1) и B.13), его можно записать
[51 в виде
lKL = iki&Kk&Li, A5.7)
где
P^zA^SP(a)da>r^(a). A5.8)
Величины IKL и ikt называются соответственно компонента-
компонентами тензоров материальной и пространственной микроинерции.
Равенство A5.7) можно сформулировать в виде теоремы.
Теорема 2. Микроинерция сохраняется, т. е.
-jjr(iki&Kk&u)=0. A5.9)
Используя соотношение A2.9), это можно также выразить [6]
следующим образом:
ihU mvm — ikmvim — imivkm = 0.
700 А. К. Эринген
В микрополярной сплошной среде чаще всего встречается некото-
некоторая комбинация из iki и IKL, а именно
Jkl = 1мм 8#ь — /яь, hi = imm &ki — hi- A5.10)
Эти тензоры идентичны тензору инерции, с которым имеют дело
в динамике абсолютно жесткого тела.
Линеаризируя и используя формулы D.14), A5.7) и A5.10),
получаем х)
JKLttJklSKkbLl. A5.11)
Интегральные законы сохранения массы и микроинерции получа-
получаются интегрированием равенств A5.4) й A5.7) по объему тела.
Таким образом,
\[ A5.12)
A5.13)
где V —- недеформированный объем, а Т — деформированный
материальный объех.
Закон баланса количества движения.
Временная скорость изменения количества движения равна сумме
всех сил, действующих на тело.
Механический импульс (количество движения) микроэлемента
Ду(а) есть произведение его массы на его скорость, а именно
р(а) у(а) ду(а)# Общий импульс макроэлемента равен векторной
сумме микроимпульсов его микроэлементов. Для микрополярного
тела мы имеем
Ар = 2 P<aWa>Az;(a> = 2 Pfa) (v +1) А^а> =
а а
= v S pWbvW + v х 2 P(a)Ui;Ca>.
а а
В пределе последний член стремится к нулю, и мы имеем
dp = pv dv.
Общий импульс тела дается поэтому формулой
A5.14)
1) В нелинейной теории можно показать, что точным является
соотношение /jfj, ^^
Гл. 7. Теория микрополярной упругости 701
Закон баланса количества движения выражается следующим об-
образом:
± J pv dv = § t{n) -da+ j pf du. A5.15)
Здесь t(n) — поверхностное усилие на единицу площади, дей-
действующее на поверхности тела of с внешней нормалью п, так что
интеграл по поверхности естъ векторная сумма всех сил, дей-
действующих на #\ Векторная сумма объемных сил дается инте-
интегралом по объему в правой части. Уравнение A5.15) имеет в
точности тот же вид, что и в классической механике сплошной
среды.
Закон баланса момента количества дви-
движения. Спорость изменения во времени момента количества
движения относительно некоторой точки равна сумме всех пар
и моментов всех сил относительно этой точки.
Механический момент количества движения микроэлемента
определяется как момент его импульса, а именно как
Общий момент количества движения макроэлемента подсчиты-
вается по формуле
= S (х +1) X р<а> (v + ?)
а
Выполнив умножение, мы получим
А = Шх X v 2 Р<а)Д г;<а> + S 1 X р(«>|д irf«> +
а а
+х X S Р(а)|Ду(а) - v X 2 р<а>1Дг;(Ч
а а
Последние две суммы обращаются в нуль, поскольку радиус-
вектор | откладывается от центра масс деформируемого макро-
макроэлемента. Подставляя для | выражение A1.20) и переходя к преде-
пределу, мы можем написать
A5.16)
где
poAv = 2 P(a)l X (v x 1) Дг;(а) A5.17)
702 А, К. Эринген
называется внутренним спином. В компонентной форме это
выглядит так:
oi = hi vfe; A5.18)
здесь мы использовали формулы A5.8) и A5.10J после записи
тройного произведения в развернутом виде.
Полный момент количества движения макроэлемента является
црэтому векторной суммой, его момента количества движения
в классическом смысле и внутреннего спина. Полный момент
количества движения микрополярного тела теперь вычисляется
по формуле
j A5.19)
Закон баланса момента количества движения выражается следую-
следующим образом:
| j xxf)di>.
A5.20)
Правая часть дает сумму всех моментов относительно начала
координат, как и в формуле A4.6).
XVI. НАПРЯЖЕНИЯ И МОМЕНТНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ
Поле внутренних нагрузок и их связи с поверхностными на-
нагрузками могут быть найдены применением принципов интеграль-
интегрального баланса количества движений к малым областям, полностью
или частично содержащимся в теле (рис. 19). С этой целью мы
Рис. 19, Поверхностные нагрузки.
Гл. 7. Теория микрополярной упругости
703
Рис. 20. Тетраэдр с поверх-
поверхностными нагрузками.
" 7*1
-t
рассмотрим сначала малый макрообъем v -\- s, целиком располо-
расположенный внутри тела.
В точке х на поверхности s действие остальной части тела
эквивалентно действию поверхностной силы t(n), отнесенной к еди-
единице площади и называемой вектором напряжения, и действию
момента т(П), отнесенного к единице площади и называемого
вектором моментного напряжения. Эти нагрузки зависят от
координаты х, времени t и ориентации поверхности s в точке х,
которая определяется внешней нормалью п к поверхности s в точ-
точке х. Последнюю зависимость можно найти в явной форме, при-
применяя закон сохранения количества движения к области v -\- s*
Такой подход дает также связь между поверхностными нагрузка-
нагрузками и внутренними напряжениями.
Рассмотрим малый тетраэдр, три грани которого образованы
координатными плоскостями, а четвертая грань является частью
поверхности тела (рис. 20). Обозначим векторы напряжения на
координатной плоскости xk = const через —tk, а на поверхности
s — через t(n). К этому тетраэдру можно применить уравнение
баланса количества движения (уравнение A5.1$)). Используя
теорему о среднем для оценки интегралов по объему и по поверх-
поверхности, запишем
-±
= tfn)Aa - tjf Aak + pi *Av,
где звездочками помечены значения соответствующих величин
в некоторых точках элемента v + s. Объем обозначается через Аи,
а площади поверхностей через Aak ж Да. Масса сохраняется,
704 А. К. Эринген
так что
4f(9dv) = O. A6.1)
Разделив обе части предыдущего уравнения на Да и устремив Аа
т Av к нулю, мы видим, что Аи/Аа —>¦ 0, откуда
-= hdak. A6.2)
Четыре грани тетраэдра образуют замкнутую поверхность, и по-
поэтому предел суммы векторов площадей dak должен быть равен
da; следовательно,
da = nda = dakik, A6.3)
юткуда
dak = nkda. . A6.4)
Подставляя это выражение в A6.2), получаем
too = h nk, A6.5)
где tk не зависит от п. Таким образом, мы установили, что вектор
напряжения t(n) является линейной функцией от п. На двух сто-
сторонах поверхности п имеет противоположные знаки: из форму-
формулы A6.5) видно, что .
т. е. векторы напряжения на противоположных сторонах одйой
и той же поверхности в заданной точке равны по величине и про-
противоположны по знаку.
Применив вышеприведенный метод и использовав уравнения
^A5.20) баланса момента количества движения, приходим к соот-
соотношениям • •
m(n) =.mft7ift, A6.7)
m<-n) = —m(n). A6.8)
Понятия тензора напряжений tki и тензора моментных напряже-
напряжений mki следует теперь из разложений
tk = tkl lh A6.9)
mh = mhl ih A6.10)
Таким образом, tki есть 1-я компонента вектора напряжений tfe,
который действует на поверхности xk = const, a mhi есть Z-я
компонента вектора моментного напряжения, который действует
на той же поверхности. Положительные направления для tki
ж mki показаны на рис. 21 и рис. 22 соответственно. Для ты мы
жспользуем «двуглавые» стрелки.
Гл. 7, Теория микрополярной упругости
705
V--k
хо
Рис. 21. Тензор напряжений.
Рис. 22. Тензор моментных напряжений.
45-0700
706 Л. К, Эринген
Из формул A6.5), A6.7), A6.9) и A6.10) следует
t(n) = tkinh ih A6.11)
m<n) = rnkink U. A6.12)
Таким образом, ясно, что для векторов моментных напряжений
верно такое же соглашение о знаке, как и для векторов напряже-
напряжений. Плоскость пары, конечно, перпендикулярна вектору момен-
момента, а направление определяется правилом правого винта.
Развернутая покомпонентная запись для t(n) и Ш(П) в орто-
ортогональных координатах выглядит следующим образом:
*(п)х = txxnx + tyxny + tzxnz,
Чп)у = txy1lx + tyyny + tzynz, A6.13)
t(n)z — txznx + tyzny ~\~ tzznz>
Щп)х = ™
Щп)у = ™>хуП>х + туупу + mzynzi A6.14)
m(n)z = ™<xznx + Щ2пу + mzznz'
XVII. ЛОКАЛЬНЫЕ ЗАКОНЫ БАЛАНСА
Локальные законы баланса получаются исходя из предполо-
предположения, что интегральные законы баланса справедливы для каж-
каждой части тела. В законе сохранения массы A5.12) мы превратим
интеграл по У в интеграл по F; тогда
jPo-p/)^ = O, A7.1)
V
где
/ = det (**.*) A7.2)
— якобиан преобразования. Постулируя, что уравнение A7.1)
справедливо для каждой части тела, мы получим уравнение
локального сохранения массы
ро/р = /. A7.3)
Другая форма, часто используемая в гидродинамике, получается
из этой, если взять материальную производную от '{17.3). Тогда
и можно показать [5, разд. 19], что
J-Jvh9 h = 0.
Гл. 7. Теория микрополярной упругости 707
Следовательно,
P + P^ft, k = 0;
поскольку
p = dp/dt+pthvk,
это можно записать так:
dp/dt + (pvk)tk = O, A7.4)
и мы получили знаменитое уравнение неразрывности. Вместо
A7.4) можно, конечно, с равным успехом использовать уравне-
уравнение A7.3). Иные формы уравнения, которые следуют из уравне-
уравнения A5.4), таковы:
O. A7.5)
Запишем уравнение A7.4) в декартовых координатах в разверну-
развернутом виде:
dp , d(9vx) d(9vy) d(9vz)
ду + dz ~4' I1''0'
где (vx, ify, yz) — декартовы компоненты поля скорости.
Уравнения локального баланса микроинерции даются уже
уравнениями A5.7) и A5.9). В линейной теории, используя
A5.11), получаем
DjMfDt = O. A7.7)
Локальный баланс количества движения и момента количества
движения следует из уравнений A5.15) и A5.20). Выполнив
указанное там дифференцирование, используя уравнение A7.5J
и записав a = v, v = x, мы видим, что
[ p8Ldv = §t(n)da+ [ pidv, A7.8)
J (х х pa + P<*) (to = |(xx t(n) + m(n)) da + J p A + x x f) dv. A7.9)
суй <р cp
Существуют и другие формы записи уравнений интегрального
баланса количества движения. Теперь мы возьмем за °Р + &
малую внутреннюю часть тела y + si, используя A6.5) и A6.7),
запишем
f pady= J tknkda+ j ptdv, A7.10)
xf)dy. A7.11)
45*
708 А. К. Эринген
В декартовых координатах теорема Гаусса — Остроградского запи-
записывается следующим образом:
gknk da = \ gktk dv. A7.12)
S V
Если мы теперь применим эту теорему для превращения
в уравнениях A7.10) и A7.11) интегралов по поверхности в интег-
интегралы по объему, то получим
(f-a)] &; = (), A7.13)
xx [tft, k + p(f-a)]*; = O.
A7.14)
Для того чтобы эти уравнения были справедливы для произ-
произвольного объема v в теле, необходимо и достаточно, чтобы под-
интегральные выражения обращались в нуль; следовательно,
. tfcffc + p(l-v) = O, A7.15)
mftfft + ifcxtft + p.(l-a)=0. A7.16)
Отметим, что второе подинтегральное выражение в уравнении
A7.14) обращается в нуль в силу уравнения A7.15). Эти уравнения
представляют собой выражения для локального баланса коли-
количества движения и момента количества движения. Они идентич-
идентичны уравнениям, приведенным в работе [5] (уравнения C2.7)
и C2.8)), за исключением члена инерции спина pa. Этот член
возникает в силу допущения о независимом микровращении. В дей-
действительности без такой внутренней степени свободы существо-
существование mk и 1 оказывается под вопросом. Подставив A6.9) и A6.10)
в уравнения A7.15) и A7.16), мы получим покомпонентную за-
запись этих уравнений, а именно
tik.i + P(fh-vh) = O, A7.17)
Щк, l + Skmntmn + P(h — <tk)=0- A7.18)
Это первый и второй законы движения Коши, которые выражают
локальный баланс количества движения и момента количества
движения для микрополярных тел х). Если тело неполярно, т. е.
a = mk = 1 = 0, то уравнение A7.18) дает классический резуль-
г) Вместе с соотношением связи A5.18) между ok и vfe эти законы балан-
баланса справедливы в нелинейной микрополярной теории, а уравнения A7.17)
и A7.18) являются точными (ср. [15,16]).
Гл. 7. Теория микрополярной упругости 709
тат
hi = tik, A7.19)
который выражает симметрию тензора напряжений. Мы видим,
что в микрополярных телах тензор напряжений в общем случае
несимметричен и вместо A7.19) должна использоваться новая
система дифференциальных уравнений A7.18).
В декартовых координатах развернутые записи уравнений
A7.17) и A7.18) таковы:
toxx , Щх , dhx , ,, • ч . Л
- + -
дх
dt>cy 5^у
^j/jc ^mz:c
dx { dy ' o>z
d/7ix^ ^wj/j/ ^/wz^
+ -^- + -5Г- + '«-'* + РЛ-^) = 0, A7.21)
дх ' 5y
dmxz dm
XVIII. СОХРАНЕНИЕ ЭНЕРГИИ
Важной аксиомой термомеханики является закон сохранения
энергии, который можно сформулировать следующим образом.
Закон сохранения энергии. Временная ско-
скорость изменения суммы кинетической и внутренней энергии равна
сумме механической энергии, тепловой энергии и других энергий,,
расходуемых в единицу времени.
Мы исключаем из рассмотрения химическую и электрическую
энергии, так что мы можем выразить этот закон математически
следующим образом:
A8.1)
Здесь Ж', g, W, fi — соответственно кинетическая энергия,
внутренняя энергия, работа приложенных нагрузок в единицу
времени и тепловая энергия, расходуемая в единицу времени.
В микрополярной сплошной среде эти величины можно выразить
710 А. Я. Эринген
в интегральном виде:
&С = Va j P (vhvk + hiW) dv, A8.2)
суэ
A8.3)
¦ .
az + J p (/fti;ft + lkvk) dv, A8.4)
= (Б 5ft daft+\ pfcdy. A8.5)
Физический смысл некоторых членов, входящих в эти уравнения,
известен нам из классической теории сплошной среды. Например,
первый член под интегралом в уравнении A8.2) есть кинетическая
энергия макродвижения. Второй член, однако, нов и представляет
собой кинетическую энергию микровращения. В уравнении A8.3)
8 — плотность внутренней энергии в единице массы. В уравне-
уравнении A8.4) интеграл по поверхности представляет работу поверх-
поверхностных усилий и поверхностных моментов за единицу времени,
в то время как интеграл по объему отражает работу объемных
сил и объемных моментов за единицу времени. Наконец, в урав-
уравнении A8.5) интеграл по поверхности дает подводимое тепло
в единицу времени, а интеграл по объему — интенсивность теп-
теплового источника.
Уравнение локального баланса энергии получается при пред-
предположении, что A8.1) справедливо для любого произвольного
объема, содержащегося в теле. С этой целью мы сначала выполним
указанное в A8.1) дифференцирование Ж и % по времени:
Ж = j Р (адъ + въУк) dv, . A8.6)
A8.7)
= j pldv,
где, поскольку в дальнейшем рассматриваются локальные законы,
мы использовали локальные уравнения сохранения массы и инер-
инерции A7.5J и A7.7), а именно
р dv = 0, DhilDt = 0. A8.8)
Теперь преобразуем интегралы по объему в A8.4) и A8.5) в инте-
интегралы по поверхности, используя теорему Гаусса — Остроград-
Гл. 7. Теория микрополярной упругости 711
ского; мы получим
W = j (tikVk, i + rriiu
суд суд
, i + mikvkt t) dv + j [(tlk, i + pfk) vk + (mlk) г + pZfe) vk]dv,
j
суд
Подставляя A8.6), A8.7) и вышеприведенные выражения в уравне-
уравнение A8.1) и используя уравнения локального баланса количества
движения и момента количества движения (уравнения A7.17)
и A7.18)), получаем
J (ре — hkVk, i + ZkmntmnVk — Щк^к, i — qk,k — рй) dv = 0.
суд
Это уравнение предполагается справедливым для каждой части
тела. Таким образом, мы должны иметь
ps = tlhvkt i — skmntmnvk + mlkvht i + qh,k + ph. A8.9)
Это дифференциальное уравнение локального баланса энергии
микрополярного тела *).
В развернутом виде оно читается так:
•
ре = txxdvjdx + tyxdvx/dy + tzxdvx/dz +
+ txydVyldx + tyydVyldy + tzydvyldz +
+ txzdvjdx + tyzdvzldy + tzzdvz/dz —
— (tyz — tZy) Vx — (tzX — tXz) Vy — (tXy — tyX) Vz +
+ mxxdvxldx + myxdvx/dy + mzxdvx/dz +
+ mXydvyldx -f rriyydVy/ду + mzydvy/dz +
+ mxzdvz/dx + myzdvjdy + mzzdvz/dz +
+ dqx/дх + dqy/ду + dqz/dz + ph. A8.10)
Отметим также, что
e = де/dt + ихде/дх + vyd&/dy + uzd&/dz. A8.11)
XIX. ПРИНЦИП ЭНТРОПИИ
Для некоторых классов физических явлений материальное
тело — в пределах области ожидаемых изменений — характеризует-
характеризуется некоторыми определяющими соотношениями. Этими соотно-
г) Снова уравнение баланса энергии A8.9) в таком виде является точным
и выполняется в нелинейной теории.
712 А, К. Эринген,
шениями определяется идеальный материал — приближение
к описанию реального материала. Предполагается, что при любом
термомеханическом изменении определяющие соотношения не
должны нарушать второй закон термодинамики. В механике
сплошной среды этот закон (принцип энтропии) можно сформу-
сформулировать следующим образом.
Принцип энтропии (неравенство Клаузиуса — Дю-
гема). Временная скорость изменения полной энтропии Н никогда
не бывает меньше, чем поток энтропии через поверхность of тела
и объемный приток энтропии В в теле. Это предполагается
верным для всех частей тела и всех независимых процессов [12].
Соответственно запишем
^; A9.1)
так определенное Г есть полное порождение энтропии. Для про-
простых термомеханических процессов мы имеем
Н=\ px\dv, A9.2)
суэ
5= j {ph/fydv, A9.3)
суэ
S = q/9, A9.4)
где т|, fe, q, 0 — плотность энтропии, интенсивность источника
тепла, вектор потока тепла и абсолютная температура соответ-
соответственно. Подстановка A9.2) — A9.4) в неравенство A9.1) дает
T = (dldt) J pr\dv — J (ph/в) dv — § (qk/Q) dak>0. A9.5)
суэ суэ <p
Используя теорему Гаусса — Остроградского для преобразования
интеграла по поверхности в интеграл по объему и выполняя диффе-
дифференцирование по времени, получаем
Г^е J [P4-(qklQ),k-ph/d]dv>0. A9.6)
суэ
Поскольку это справедливо для всех частей тела, то мы должны
иметь
рл-ые).*-рл/е>о A9.7)
— хорошо известное в классической механике сплошной среды
неравенство Клаузиуса — Дюгема. В микрополярных телах оно
также считается справедливым.
Гл. 7. Теория микрополярной упругости 713
Подставив h из уравнения A8.9), мы можем переписать нера-
неравенство A9.7) в следующем виде:
pY = р ft_ ф] + A/9) tklvu k - A/0) skmntmnvk +
+ A/6) mlhvk, г + A/е2) gfteift>0. A9.8)
Другая форма, удобная в некоторых случаях, получается введе-
введением свободной энергии Гельмгольца
•ф = е — 6tj; A9.9)
тогда
рт = - (р/0) (ф + т)в) + A/0) tMvu k - A/0) ehmntmnvk +
+ A/6) mlkvkt г + A/02) qkQt fe>0. A9.10)
Неравенство Клаузиуса — Дюгема (или неравенство A9.8), или
A9.10)) предполагается справедливым при любых независимых
термомеханических изменениях. Это подразумевает, что мы долж-
должны знать независимые переменные, от которых зависят if>, т], tki,
mki и Qh- Для этого в свою очередь требуются определяющие
соотношений для этих переменных. Соответствующий пример
будет приведен в следующем разделе.
Отметим также, что неравенство для энтропии A9.5), как
можно показать [9], приводит к ограничению на нормальную
компоненту q/0 на поверхности тела, т. е.
[q/01.n<O на #\ A9.11)
где жирные скобки означают, что для величины, заключенной
в скобки, вычислена разность на двух различных сторонах cf.
XX. ТЕОРИЯ МИКРОПОЛЯРНОЙ УПРУГОСТИ
Микрополярное упругое твердое тело отличается от упругого
твердого тела тем, что оно может выдерживать объемные и по-
поверхностные моменты. Эти твердые тела могут испытывать макро-
макродеформации и микровращения. Такие материалы можно пред-
представлять себе в виде тел, которые составлены из жестких коротких
цилиндров или гантелевидных молекул.
С точки зрения механики сплошной среды микрополярные
упругие твердые тела можно описывать системой определяющих
соотношений, которые задают упругие свойства таких материалов.
Линейная теория как частный случай нелинейной теории микро-
микроупругих твердых тел была впервые построена в работах [15,16].
Позднее в работах [8,10] эта теория была преобразована и расши-
расширена. Здесь мы дадим замкнутое изложение этой теории.
714 А. К. Эринген
В линейной теории микрополярной упругости мерами дефор-
деформации являются (ср. формулы D.17) и D.18))
4l = ekl + Zklm (Гт — фте) = Щ, k + ?lkm4m, B0.1)
Ук1т = ^ЫпУп, m- B0.2)
Поскольку девять компонент cpfef г независимы и не обращаются
в нуль (см. формулы D.37)), мы можем вместо уы-т использовать
для простоты аксиальный тензор cpfej г. При произвольных враще-
вращениях и отражениях пространственных координат, описываемых
с помощью тензора uki,
xk = &kizi, B0.3)
&hi&mi = &ih&im = hm, det fiw = ± 1, B0.4)
тензоры 8fez и cpfe> г преобразуются согласно формулам
6w = fifemSmn^Zn, Фл, I = ± й^тФт, n@Zn, B0.5)
где в последних уравнениях в силу того, что cpfe — аксиальный
вектор, знак плюс берется при det &kt = + 1 и знак минус при
det Uui = — 1. Уравнения B0.5) отражают тот факт, что гы
и фь, i — объективные тензоры, пригодные для использования
в качестве независимых определяющих переменных. В этот спи-
список переменных мы также включим температуру 6, так как свой-
свойства этих материалов могут зависеть также от температуры.
Определяющими зависимыми переменными являются thi, ты, qk,
i|) и г]. Мы теперь предполагаем, что система определяющих соот-
соотношений имеет вид
tki = Fhl(ersi <рГ|в, 0), mkl = Mkl(srs,q)rtS, 6),
qk = Gh(ers, cprfS, 9), ' '
<Ф = ^'(8гв, фГ|8, 9), T] = JV(8rs, фГ)8, 0).
Вышеприведенные соотношения правильны для линейных однород-
однородных материалов, как изотропных, так и анизотропных. Для не-
нелинейных изотропных материалов они также справедливы в этом
виде. Однако, поскольку мы используем инфинитиземальные меры
деформации, нелинейная теория определяющих соотношений
с линейными мерами деформации не была бы последовательной.
С нелинейной теорией читатель может ознакомиться в рабо-
работах [15,16].
Определяющие соотношения B0.6) должны согласовываться
со вторым законом термодинамики, записанным в виде неравен-
неравенства A9.10). Тогда после подстановки B0.6) в A9.10) имеем
:
B0.7)
Гл. 7. Теория микрополярной упругости 715
В соответствии с линейной теорией
-щ- (Фл, г) = Фа, и *ы ttvlik — eklmym. B0.8)
Постулируется, что неравенство B0.7) справедливо при любых
независимых процессах. Поскольку здесь &ki, cpftZ, 0, Qik могут
изменяться независимо, а неравенство линейно по всем этим
переменным, мы должны положить коэффициенты при этих вели-
величинах равными нулю и, следовательно,
tkl = pd4/dekll mhl = pdW/d<plthl gfe = 0, т|=-ЗТ/0в. B0.9)
Поэтому мы видим, что для микрополярного упругого твердого
тела напряжения, моментные напряжения и плотность энтро-
энтропии получаются из некоторого потенциала, а вектор потока теп-
тепла обращается в нуль. Поскольку мы не рассматриваем градиент
температуры, то теплопроводности нет. Тем не менее свободная
энергия ?, а следовательно, и постоянные материала будут
зависеть от температуры 9. Так как все члены уравнения B0.7)
обращаются в нуль, то плотность производства энтропии также
равна нулю. Таким образом, микрополярное упругое твердое
тело находится в тепловом равновесии.
Здесь мы касаемся линейной теории. Поэтому мы возьмем W
в виде полинома второй степени по мерам деформации eki и <pfti h
т. е.
р? = Ао + АЫгЫ + ^^АытпЧ^тп + Bhl4kt I +
+ i/2Bhlmn4>k, l<Pmtn + CkimnSkl4m, n, B0.10)
где Ao, Akh АЫтп, ..., Ckmn — функции только от 9. Так как
<Рь — аксиальный вектор, нри отражении пространственных осей
четвертый и последний члены изменяют знак, в то время как
другие члены знака не меняют. Из требования инвариантности
функции ? получаем Вы = 0 и Ckimn = 0. Отметим далее
свойства симметрии
— Amnhli В klmn = В тпЫ, B0.11)
которые вытекают очевидным образом из нескольких сумми-
суммирований в уравнении B0.10) и которые показывают, что в наибо-
наиболее общем случае анизотропного упругого твердого тела количест-
количество различных компонент Ahimn и Bmnki равно 45 для каждого
тензора. Дополнительно мы имеем девять членов Aki, которые
задают начальные напряжения в недеформированном теле.
Подставив B0.10) в соотношения B0.9)! и B0.9J, мы получим
hi = Akl + АЫтпгтп, B0.12)
ты = Bikmn<pm, n. B0.13)
716 А. К. Эринген
Это линейные формы определяющих соотношений для напряжений
и моментных напряжений в случае анизотропных микрополярных
упругих твердых тел. Если начальные напряжения равны нулю,
то должны также быть Апг = 0. Таким образом, для микро-
микрополярного твердого тела, свободного от начальных напряжений
и моментных напряжений, имеем:
hi = АЫтпгтп, B0.14)
ты = В1Шпцт,п. B0.15)
Различные условия симметрии материала накладывают дополни-
дополнительные ограничения на определяющие коэффициенты Akimn
и Bikmn. Эти ограничения находятся таким же способом, как
и в классической теории упругости. Мы рассмотрим случай
изотропных твердых тел. Если тело изотропно, как в отношении
напряжений, так и моментных напряжений, то такую изотропию
мы называем изотропией твердого тела. В этом случае опреде-
определяющие коэффициенты должны быть изотропными тензорами.
Для изотропных тензоров второго и четвертого ранга мы имеем
наиболее общие соотношения вида
Aki = A8kh Akimn = ^ А Дщг + A28km8in + A38hn8lm,
Bhlmn = Bidkfimn + B28knfiln + B38kn8im,
где A, Ai, A2, A3, Bi, B2, B3 — функции только 0. В этом случае
соотношения B0.12) и B0.13) принимают специальный вид:
thi = А8Ы + A&Tr8hl + A2ekl + А3г1к, B0.17)
тм = В Mr, Az + #2<Pz, k + ЯзФь, i. B0.18)
Если начального напряжения нет, то А = 0. Полагая
можно переписать вышеприведенные уравнения следующим обра-
образом:
hi - ^rAz + ([х + к) гы + \xslk, B0.20)
mkl = афг, r&ui + РФл, i + 7Ф/, и- B0.21)
Для свободной энергии в этом случае мы находим
р? = V2 [tekhbn + (\i + х) &ki&ki + №hi*ikl +
+V2 (aq>k, uVi, i + Nfe, z9z, h + m m, d- B0.22)
Иная форма уравнений B0.20) —B0.22) такова:
hi = terrPki + BA + x) efez + xeftZm (rm— фте), B0.23)
Фл a» B0.24)
x) eklekl] f n {rk - фЛ) (rh - фЛ) +
+ V2 («Фа, ^Фг.г + Рфй, /Ф/, ft + ТФа, ^Фй, г). B0.25)
Гл. 7. Теория микрополярной упругости 717
Отметим различие между изотропной микрополярной упругостью
и классической упругостью: наличие четырех дополнительных
упругих коэффициентов, а именно х, а, р и у. Когда они обра-
обращаются в нуль, уравнения B0.23) — B0.25) обращаются в закон
Гука для линейного изотропного упругого твердого тела.
XXI. ОГРАНИЧЕНИЯ НА КОЭФФИЦИЕНТЫ МИКРОПОЛЯРНОЙ
УПРУГОСТИ
Устойчивость материалов требует, чтобы запасаемая упругая
энергия была неотрицательной. Это условие существенно также
для единственности решений. Такое требование накладывает
некоторые ограничения на коэффициенты микрополярной упру-
упругости. Нижеследующая теорема [10] указывает эти условия.
Теорема. Длятого чтобы внутренняя энергия была неотри-
неотрицательной, необходимо и достаточно выполнения неравенств
0<2[х + х, 0<х,
~Y<P<Y, 0<Y. BU)
Достаточность условий B1.1) видна из того, что когда имеют
место эти неравенства, каждая из указанных ниже энергий —
составных частей плотности внутренней энергии — неотрица-
неотрицательна:
8 = 8B + 8R+8M, B1.2)
где
реЕ = 72 [kehheu + Bц + х) eklelk],
peR = %(rk — щ) (rk — щ), B1.3)
рем = V2 (окр*, ьФг, i + РФ*, №u k + 7Ф/, k4u k).
Тот факт, что величина ре# при условиях B1.1)х и B1.1J неотри-
неотрицательна, хорошо известен из классической теории упругости.
Нетрудно видеть, что рен неотрицательно при rk ф фА, если
% ^ 0. Чтобы установить то же самое свойство для рем, пере-
перепишем это выражение следующим образом:
2рем = V3 (За + р + у) <pk, hqlt г + (у — Р) ф[й, ^]ф[Л, ч +
+ (У + Р) [ф(л, D — 1/3фг, Аг] [ф(л, D — 1/зФа, shi] j B1.4)
где
<P<ft, D = V2 (фл, i +. ф/, k), Ф[/1, п = Va (Фа, г — Фг, а). B1.5)
Из B1.4) ясно, что при
За + Р + 7>0, у— Р>0, y + P>0 B1.6)
мы имеем рем ^ 0, так что условия B1.1) достаточны для ргм ^ 0.
718 А. К. Эрингеи
Условия B1.1) также необходимы для неотрицательности ps.
Чтобы доказать это, мы вспомним, что величины еы, rk — щ
и q)k,i могут изменяться независимо одна от другой. Поскольку
три вышеприведенные энергии не связаны по этим переменным,
то каждая из этих энергий должна быть неотрицательной в отдель-
отдельности. Тот факт, что условия B1.1)! и B1.1J необходимы для
Р&е ^ 0, известен нам из классической теории упругости. Исклю-
Исключая случай rk = <pk (теория неопределенных моментных напряже-
напряжений), мы видим, что peR неотрицательна тогда и только тогда,
когда х ^ 0. В случае rk = yk при замене 2[х + х новым коэф-
коэффициентом 2(х мы исключим х из определяющих соотношений.
Таким образом, остается доказать необходимость условий B1.1)
для неотрицательности рем. Для этого мы напишем рассматри-
рассматриваемую величину в виде квадратичной формы в девятимерном
пространстве, т. е.
2рем = auytyh atJ = ап (?, j = 1, 2, . . ., 9), B1.7)
где
У\ = Фы> #2 = Ф2,2> Уз = ФЗ,3»
2/4 = Ф1.21 УЬ = ф2,1» У* = Ф2.3»
г/7=Фз,2» 2/8-фз,!, 09 = Ф1.8 B1-8)
%1 = Л22 = tt33 = а + Р + 7» U12 = п13 = ^23 = а»
#44 = а55 = аб6 ^ аП = а88 ~ Й99 ~ 7» а45 = аб7 = а89 = Р?
все остальные atj равны нулю.
Собственные значения at для ац получаются как решения
уравнения
det (af, — обц) -0. B1.9)
Девять корней at этого уравнения таковы:
аг = а2 = а3 = 7 — Р. «4 = «5 = «6 = ai = «8 = 7 + Р»
а9 = За + Р + 7-
Для того чтобы условие psM ^ 0 выполнялось при всех yt, необ-
необходимо (и достаточно), чтобы B1.7) представляло собой уравне-
уравнение эллипсоида в девятимерном пространстве, т. е.
7 — Р > 0, 7 + Р>0, За + р + 7>0-
Это те же самые условия, что и последние три условия в B1.1),
и, следовательно, теорема доказана.
Неотрицательность плотности внутренней энергии имеет важ-
важное значение для теорем единственности, как в статической, так
и в динамической теории микрополярной упругости. Эти и другие
важные результаты приведены в работе [10].
Гл. 7. Теория микрополярной упругости 719
XXII. УРАВНЕНИЯ ПОЛЯ, ГРАНИЧНЫЕ И НАЧАЛЬНЫЕ УСЛОВИЯ
Уравнения поля линейной теории микрополярной упругости
получаются подстановкой выражений B0.23) и B0.24) в уравне-
уравнения A7.17) и A7.18). Это дает
• •
(Я +' V) Щ,т + (Ц + и) uh,u + xeft/m<pm, г + р (fk—щ)=0, B2.1)
(а + Р) ф/, /ft + Y<Pfc, и + пришит, i — 2кщ + p(lh—J(Pk)=O; B2.2)
здесь мы принимаем jhi = ]Ьы для микроизотропного твердого
тела. В линейной теории р и / считаются постоянными, а ускоре-
ускорения uk и фь вычисляются с цомощью приближенных выражений:
щ &d2uk/dt2, ф* жд\к1д?. B2.3)
При исследовании задач в криволинейных координатах оказы-
оказывается удобной векторная форма уравнений. Она получается
умножением вышеприведенных уравнений на ik с учетом соот-
соотношений
Щ, ikh = W-u, 8Ытфт, iik = V X ф,
VxVXu ' J
где V — оператор градиента, так что
Vф =¦ grad ф, V-u ~ div u, V X и = rot и.
Следовательно,
(X + 2fx + и) W-u -(|A + x)VxVxu + )eVX9 +
+рA_и)=0, B2.5)
(а + р + у) VV-ф — yV X V X ф + xV X и — 2хф +
+ р A - ;ф) = 0. B2.6)
В задаче с начальными данными начальные условия имеют вид
и (х, 0) = u0 (x), ii (х, 0) = v0 (x), B2.7)
Ф (х, 0) = ф0 (х), ф (х, 0) = v0 (x) B2.8)
в объеме Т, a u0, v0, ф0, v0 заданы в Т в момент времени t = 0.
Допустимы различные типы граничных условий. Например,
мы можем задать
u (x\ t) = u', B2.9)
ф (х', t) = ф' B2.10)
720 А. Я. Эринген
на граничной поверхности tf тела (x'?cf). Равно допустимы гра-
граничные условия с заданными усилиями и моментами на of, т. е.
hull = *(П)а, B2.11)
mlkni = тш, B2.12)
где tik и 77гг^ — тензоры напряжений и моментных напряжений,
задаваемые соотношениями B0.23) и B0.24), t^n)k и Ш(П)к —
заданные поверхностные усилия и моменты, an — внешняя
нормаль к of.
В некоторых других задачах имеют место комбинации выше-
вышеприведенных двух типов условий; например, на части ofd поверх-
поверхности cf заданы условия B2.9) и B2.10), а на остальной части
oFi = of — ($Pd — условия B2.11) и B2.12). Однако возможны
и другие смешанные условия, включающие некоторые компоненты
одного типа и остальные компоненты из другого типа. Все допу-
допустимые граничные условия, дающие единственные решения, долж-
должны удовлетворять на поверхности of условию [10]
Чп)ЪЦк + Щп)Ш = 0>: *>0, B2.13)
где и, ф, 1(П), Ш(п) — разности величин и, ф, t(n), щП) и их соот-
соответствующих значений на поверхности cf.
Уравнения поля B2.1) и B2.2) справедливы лишь для микро-
микрополярных изотропных твердых тел. Заметим, что когда а, Р, у, 1, /
обращаются в нуль, уравнение B2.1) сводится-к тождеству 0 — 0,
а уравнение B2.1) дает знаменитые уравнения Навье классической
теории упругости.
Для анизотропного микрополярного упругого твердого тела
уравнения поля, заменяющие уравнения B2.1) и B2.2), полу-
получаются подстановкой выражений B0.14) и B0.15) в уравне-
уравнения A7.17) и A7.18), что дает
• •
Alkmn ("п, ml + ептгфг, i) + Р (fk — Uk) = 0» B2.14)
ВштпЧт, nl + &kmnAmnpq (Щ.р + ^qpr^r) + P (*Ь — UhVl) = 0.
B2.15)
Для eki и ak мы использовали выражения B0.1) и A5.18).
В заключение выпишем уравнения поля B2.1) и B2.2) в декар-
декартовых координатах в развернутом виде:
Гл. 7. Теория микрополярной упругости 721
B2.16)
B2.17)
XXIII. ТЕОРИЯ НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ МОМЕНТНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ
В разд. XXII мы указали, что классическая теория упругости
есть частный случай теории микрополярной упругости при % =
= а = р=7 = / = 0и1 = 0. Существуют другие классы огра-
ограничений, которые привлекают внимание исследователей. Из таких
теорий наиболее известна теория неопределенных моментных
напряжений, которая содержится в работе [4]. Впоследствии новые
выводы и различные недостающие части теории были даны неза-
независимо в работах [1, 5, 19, 30, 39, 41]. Эта теория может быть
получена как частный случай микрополярной теолии, если накла-
накладывается ограничение
Um, f. B3.1)
В этом случае определяющие соотношения для напряжений B0.23)
принимают вид
tiki, = terfthi + B[x + х) ем, B3.2)
46—0700
722 А. К. Эринген
где круглые скобки в нижнем индексе указывают, как обычно,
на симметричную часть тензора напряжения. Мы также исполь-
используем квадратные скобки для обозначения антисимметричной части
тензоров, например
аШ) = ги (<*>ki + am), aim = V2 (aki — aik).
Таким образом, когда имеет место B3.1), антисимметричная
часть тензора напряжений не входит в определяющие соотноше-
соотношения. Мы можем, однако, исправить положение с помощью другого
искусственного приема. Для нахождения антисимметричной части
тензора напряжений можно использовать уравнения момента
количества движения A7.18). Умножая A7.18) на eftr8, мы полу-
получаем решение в виде
r — Gr); B3.3)
здесь использовано тождество
?rkl?rmn = 6ftmS/n — 6fcn8/m. B3.4)
Подставляя выражение B3.1) в уравнение B0.24), получаем
7ЮЛГ= (Р/2) SkrsUSt rl + (Т/2) SlrsUs, rk- B3.5)
Подстановка B3.5) и выражения
Gr = j(pr = i/2J^rmnUn, m B3.6)
в уравнение B3.3) дает
tm = (y/2) V2u[kt n - V2P ЫЪ + ]uikt n), B3.7)
где V2 — оператор Лапласа в декартовых координатах:
V2ui^uukk. B3.8)
Теперь^ подставив выражения B3.2) и B3.7) в
tki = t^ki) + t[ki], B3.9)
получим тензор полного напряжения
tki = bur, rhi + (И' + V2>0 (uk, i + uu k) +
+ Ч^2Щи, i] — V*P {trkilr + fu\k, i]). B3.10)
Наличие в этих уравнениях объемного момента 1Г и ускорения
иь, конечно, беспокоит, поскольку определяющие соотношения
в общем случае не должны содержать такие члены. Подставим
B3.10) в уравнение баланса количества движения A7.17):
(к + fX + 1/2* + V47V2) Uk,lk + {\1 + VjX - ViVV2) Uh kh +
+ Р/г = P A — V47V2) Щ+ i/tPJUh. ik. B3.11)
^ Гл. 7. Теория микрополярной упругости 723
Используя тождества B2.4), получим также векторную форму
этих уравнений:
+ Р (f + V*V X 1) - р A + VJV X V X ) и = 0; B3.12)
здесь для оператора Лапласа от вектора использована формула
V2A = VV-A — V X V X А. B3.13)
Если мы напишем \ь вместо \i + х/2х, Л вместо V4y и положим
j = 0, то уравнение B3.12) примет вид уравнения C.27), полу-
полученного в работе [30] совершенно другим способом. Таким обра-
образом, авторы работы [30], как и некоторые другие исследователи,
пренебрегают инерцией микрополярного вращения.
Уравнения B3.11) или B3.12) представляют собой уравнения
поля в теории, известной под названием теории (неопределенных)
моментных напряжений. Следует отметить, что в этой теории
кососимметричная часть тензора напряжений, а следовательно,
и напряжения, зависят от приложенных нагрузок и инерции
и не задаются только характером материала. Это нарушает аксио-
аксиому объективности, поскольку приложенные нагрузки и вклю-
включенные члены инерции не являются объективными величинами.
Второе важное обстоятельство заключается в том, что хотя
по формуле B3.5) можно определить как симметричную, так
и антисимметричную части тензора моментных напряжений, в дей-
действительности это не такая теория моментных напряжений, в кото-
которой определяющие соотношения выводятся из функции свободной
энергии, как это сделано в разд. XX. Из уравнения B0.9J, напри-
например, следует, что все компоненты ф/, k не могут больше рассмат-
рассматриваться как независимые переменные. Действительно, если
использовать связь B3.1) в аргументе свободной энергии Ч\
то окажется, что все девять компонент mki не являются незави-
независимыми. Кроме того, кососимметричные части тензоров напря-
напряжений и моментных напряжений остаются неопределенными *)*
В этом причина использования термина «неопределенный».
Эта ситуация имеет определенное сходство с соотношением
между изохорическими деформациями сжимаемых тел и дефор-
деформациями несжимаемых твердых тел. В последнем случае, как
это хорошо известно, давление не находится из определяющих
соотношений.
Наконец, в теории неопределенных моментных напряжений
число граничных условий для поверхностных усилий и моментов
должно быть понижено с шести до пяти. Согласованный набор
граничных условий не должен нарушать теоремы единственности*
г) В этой связи см. обсуждение в работе [5, разд. 40], а также [16, 30, 39}.
46*
724 А. Я. Эринген
В работе [30] теорема единственности получается при следующих
граничных^ условиях.
Пусть (^i, х2, хг)— ортогональные криволинейные координаты,
выбранные таким образом, что х3 = х\ локально совпадает с поверх-
поверхностью & тела. Граничные условия состоят в определении при
xz = xl одного множителя в каждом из пяти произведений
PiUi, р2и2„ t3Zuz, m3i?i, mZ272, B3.14)
где
(mi2 i ^33 2) P2 = ? + V2 (тП; i~^33; l)»
B3.15)
Здесь индекс после точки с запятой обозначает производную
по направлению вдоль соответствующей криволинейной коорди-
координаты, а черта сверху — граничные значения приведенных здесь
величин. Криволинейные компоненты вектора смещения на по-
поверхности tf обозначаются через uky моментные напряжения —
через mki, а напряжения — через tht.
Если ребро границы является пересечением двух ортогональ-
ортогональных поверхностей х3 = х% и хх = х\, то мы должны также опре-
определить величину
[<]-о-[<]-о или п2. B3.16)
Снижение числа граничных условий с шести до приведенных
в B3.14) пяти аналогично тому, что имеет место в теории тонких
пластин Бернулли — Эйлера. Условия B3.16) являются анало-
аналогами условий в углах.
При надлежащих предположениях регулярности приведенные
выше пять граничных условий вместе с полем объемной силы pf,
величиной rot (pi) и начальными значениями для и и и (с / = 0)
достаточны для однозначного определения ekh rhU t(ha), т{М).
Поле смещений и и вращение г также оказываются однозначными
с точностью до произвольного движения тела как жесткого целого.
Теория неопределенных моментных напряжений, описанная
выше, во многом очевидным образом ограничена. Неизвестно,
могут тела совершать такие вынужденные движения. Появление
необъективных величин в определяющих соотношениях, ограни-
ограничения на инерцию спина и поле объемных моментов, физически
неестественные граничные условия оставляют желать много луч-
лучшего. Существует экспериментальное сравнение в случае неко-
некоторых практических приложений [35]. Обсуждение слабости этой
Гл. 7. Теория микрополярной упругости 725
теории, показывающее разногласие теоретических результатов
с экспериментами, дано в работе [21]. Тем не менее, в современной
литературе содержится большое число решений задач в рамках
этой теории.
XXIV. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЛН В БЕСКОНЕЧНОМ*
МИКРОПОЛЯРНОМ УПРУГОМ ТВЕРДОМ ТЕЛЕ
Здесь и в нескольких следующих разделах мы исследуем
решения некоторых динамических и статических задач линейной
изотропной теории микрополярной упругостиг). При этом мы
используем уравнения поля B2.5) и B2.6) и граничные условия
типа B2.11) — B2.12).
Распространение линейных изотропных микрополярных упру-
упругих волн при нулевых объемных нагрузках описывается урав-
уравнениями B2.5) и B2.6) или
где
С помощью скалярного и векторного потенциалов представим
векторы и и ф следующим образом:
V X V X u+ c|Vx<p = u, B4.1)
-cJV X V X q> + G)gV X и-~2со*ср==ф, B4.2)
<D, У-Ф = 0. B4.4)
Заменяя в уравнениях B4.1) и B4.2) и и <р этими выражениями,
мы видим, что уравнения удовлетворяются, если
(cl + cl)V2u=u, B4.5)
to + cl) V2<P - 2соо2ф = ф, B4.6)
D + cl) V2U + су X Ф; = U, B4.7)
С2у2ф_ гсо^ф + ®у х U = Ф. B4.8)
Можно видеть, что уравнения B4.5) и B4.6) для скалярных потен-
потенциалов и и ф решаются независимо, в то время как уравнения
B4.7) и B4.8) для векторных потенциалов образуют систему
уравнений.
Настоящий раздел основан на работе [32],
726
А. К. Эринген
Рис. 23. Волны продольного
смещения и продольного мик-
микровращения.
1 — направление распространения
волн, 2 — плоская волна продоль-
продольного смещения, распространяющая-
распространяющаяся со скоростью vtt з — плоская
волна продольного микровращения,
распространяющаяся соз скоро-
скоростью vt.
Плоские волны, распространяющиеся в положительном направ-
направлении единичного вектора п, имеют следующий вид:
{и, ф, U, Ф} = {а, 6, А, В}ехр(Л(п.г-1Л)], B4.9)
где (а, Ъ) —комплексные постоянные, (А, В) —комплексные постоян-
постоянные векторы, & —волновое число, г —радиус-вектор. Таким образом,
B4.10)
где I — длина волны.
Подстановка B4.9) в B4.5) дает формулу
)/р, B4-11)
которая показывает, что плоская волна с вектором смещения
п± = 1кгап ехр [ъкг (п-г — v±t)] B4.12)
может распространяться в направлении п (рис. 23). Эти волны
подобны классическим волнам без вращений и сводятся к ним
при к = 0. Мы называем эти волны волнами продольного сме-
смещения.
Другая скалярная плоская волна является решением типа
B4.9) уравнения B4.6). Скорость волны в этом случае равна
vl = cl + cl + 2®lk-*. B4.13)
Если мы введем угловую частоту %
(ot == 2я/| = 2nvt/l = tou B4.14)
то скорость этой волны можно выразить следующей формулой:
Гл. 7. Теория микрополярной упругости 121
Скорость этих волн зависит от частоты; следовательно, они обла-
обладают дисперсией. Если
а + Р + у > О, A2.16)
то, как мы видим, такие волны могут существовать при условии
co2>/2(o0. B4.17)
Эти волны будут называться волнами продольного микровращения
(см. рис. 23). Вектор микровращения дается выражением
r — v2t)]. B4.18)
В случае со2 = }^2 со0 е== сос мы имеем v2 = оо и волны не существует.
Когда со2<1^2(о0> скорость v2 становится чисто мнимой, т. е.
v*=±i\v2\ (i =/31). B4.19)
В этом случае, как можно видеть, возможна стоячая волна вида
Ф = Ъ ехр [ — (оJ/| v21) п • г] ехр (— m2t). B4.20)
Для рассматриваемых волн распространение возможно, если
оJ>/2(о0 и, следовательно, ]/^2 со0 =(ос является критической ча-
частотой для этих волн.
Векторные волновые решения получаются подстановкой B4.9)
в уравнения B4.7) и B4.8). Такая подстановка приводит к двум
векторным уравнениям для неизвестных А и В:
аА А + *аБп х В = 0, фАп X А + рвВ = 0, B4.21)
которые для отличных от нуля ад, аВг рА и Рв удовлетворяют
условиям
п.А = 0, п.В = 0, B4.22)
вытекающим из уравнений B4.4) 2 и B4.4L. Здесь
ал = /с2 (i;2 — e\ — cj), ав = кс\% B4.23)
рА н Ы1, рв я к* (г;2 -с\- 2со02&-2).
Соотношения B4.22) показывают, что векторы А и В лежат в одной
плоскости, an — единичная нормаль к этойплоскости.Решая B4.21 J
относительно В, получаем
В = —i (РА/Рв) п х А. B4.24)
Следовательно, три вектора п, А и В взаимно перпендикулярны.
Кроме того, из обращения в нуль А следует обращение в нуль В.
Поэтому волны этих двух типов взаимосвязаны и не могут суще-
существовать одна без другой. Из B4.4)х и B4.4) 3 следует, что и и ф, со-
соответствующие U и Ф, перпендикулярны друг к другу и к на-
направлению распространения п. Следовательно, эти волны являют-
являются поперечными волнами. Мы называем волны, которые связаны
728
А. К. Эринген
Рис. 24. Векторы связанных попе-
поперечных волн, распространяющихся
со скоростями у3 и у4.
1 —направление распространения волн,
2—волна поперечного смещения, 3—волна
поперечного микровращения.
с U, волнами поперечного смещения, а те, что связаннее Ф,—
волнами поперечного микровращения (рис. 24). Волны попереч-
поперечного смещения имеют классические аналоги в виде эквиволю-
миальных волн и в пределе сводятся к ним.
Скорости распространения этих волн определяются подста-
подстановкой B4.24) в уравнение B4.21)х и использованием B4.22)х.
Это дает
av± _(_ 5у2 + с = 0, B4.25)
где
6 я -[<¦¦ + *» A - 2со*ог2) + с\ A - с
B4.26)
Уравнение B4.25) имеет положительные вещественные корни
Исследуя дискриминант
B4.27)
-4ас = {[cl - 4 - с\ + 2 (с* + V2c32) Ч2»-2
при условиях х ^ 0, 7^0» совместных с неравенствами B1.1),
мы находим, что и3 вещественно при со > сос, а у4 вещественно
при любых значениях со. Частота сос = соо ]/ снова является
критической частотой для волн, распространяющихся со ско-
скоростью v3.
Таким образом, мы нашли, что в бесконечном микрополярном
упругом твердом теле могут существовать плоские волны шести
различных типов, распространяющиеся с четырьмя различными
скоростями. Это следующие волны.
а. Волна продольного смещения, распространяющаяся со ско-
скоростью иг.
б. Волна продольного микровращения, распространяющаяся
в продольном направлении со скоростью и2, если частота этих
волн выше критической частоты сос. Эти два типа волн не взаимо-
взаимосвязаны.
Гл. 7. Теория микрополярной упругости
729
Рис. 25. Схематический график зависимости v\ от со.
Рис. 26. Схематический график зависимости v\ и pj от со.
в. Две совокупности взаимосвязанных волн поперечного смеще-
смещения и поперечного микровращения со скоростями v3 и *;4. Волны
со скоростью vd могут существовать при со > сос; в противном
случае они вырождаются в затухающие с расстоянием синусоидаль-
синусоидальные колебания.
Качественный вид зависимости скоростей волн v2, v3, i?4 от со
представлен на рис. 25 и рис. 26.
В работе [32] показано, что в силу неравенств B1.1) согласо-
согласованное решение для v3 и у4 возможно при условии
/.2 ^> С2 I /.2
730 А. К. Эринген
или при выполнении дополнительного неравенства
ylj >\i + к. B4.28)
Кроме того, скорости как функции со должны удовлетворять
неравенствам
(oo), B4.29)
Было также найдено, что
v\>v\S B4.31)
Для исследования относительных величин v2, v3i i;4 необходимо
знать относительные величины суммы определяющих коэффициен-
коэффициентов а + р и /х. Так,
ПРИ (°с<со,
»l>vt>vl при сос<о)<(о*, а+ р <*/»/*, B4.32)
при со*<со,
где со* — решение уравнения v\ (со*) = v\ (со*) в интервале сос <
<со*<оо. За другими подробностями читатель отсылается
к работе [32].
XXV» ОТРАЖЕНИЕ ВОЛНЫ ПРОДОЛЬНОГО СМЕЩЕНИЯ
В этом разделе мы изучим отражение плоской волны продоль-
продольного смещения от ненапряженной плоскости, ограничивающей по-
полупространство из микрополярного материала. Если х=0— пло-
плоскость, в которой лежит вектор смещения падающей волны, то
отраженные от плоской границы z = О волны, как можно
показать, остаются в этой же плоскости, так что задача является
двумерной. На ^плоской границе z = 0, свободной от усилий,
мы должны иметь t(n) = Ш(П) = 0. Поскольку также иг = ср2 =
= ф3 = 0, согласно уравнениям B2.11) и B2.12) для усилий
на плоскости z = 0у мы имеем
^B)z — tzzi Uz)y == tzy и m(z)x = mzxi
илил в силу определяющих соотношений и уравнений B4.4),
tzy = Ц (U, yz — UXt yy) + (|i + X)>, yz + UXt zz) + B5.1)
+ х(Ф2,2,-Ф2,,2) = 0,
mzx = у (Ф2, yz — Фу, zz) = 0.
Гл. 7. Теория микрополярной упругости 731
Ненулевые компоненты векторных решений типа B4.9) в рас-
рассматриваемой задаче даются формулами
аа exp [i (&tna • г—ш^)],
B5.2)
где щ = к$и$ (а = 1, 2; р = 3, 4); суммирование по повторяющимся
индексам не производится. Коэффициенты А и В связаны друг
с другом следующим образом:
& B5'3)
аналогичное соотношение имеет место для В4
Потенциалы, выписанные в B5.2), удовлетворяют граничным
условиям B5.1)! при z = 0, если
@4 = 003 = 0L = со,
B5.4)
и
[Щ + B[А + х) к\п\г\ а, + [Щ + B\i + к) к\п\г\ а2 -
— B[г + х) к\пгупЪгАЪх — Bfx + и) к1щущ2Аьх = 0. B5.5)
Поскольку падающая волна находится в плоскости х = 0, то
п1зс = 0 и уравнение B5.4K приводит к равенствам
которые доказывают наше утверждение о том, что все отраженные
волны находятся в плоскости х = 0. Полагая
nl2/|= cos 0Х, п2у s cos 02i ^зу ^ cos ^з» пьу ^ cos ^4
(см. рис. 27) и cof = ktvb из уравнения B5.4) получаем
cos 82 = cos 8lf cos 93 = (^3/^) cos 8lf cos 94 = (vju^) cos 8X,
B5.6)
где vt — скорости различных волн, найденные в разд. XXIV.
Из B5.6) ясно, что 0! = 8а.
Подставляя B5.2) в оставшиеся два уравнения B5.1), мы полу-
получим два других уравнения для амплитуд, которые вместе с урав-
уравнением B5.5) достаточны для определения амплитудных отноше-
отношений а2/а1? Азх/а± и А^х/аг. Амплитуда В3 определяется по форму-
формуле B5.3), и по аналогичной формуле определяется амплитуда В4.
Если мы положим в B5.5) п1у = 0, то найдем, что а2 == — ах,
т. е. при нормальном падении отраженная волна продольного
732
А, К. Эринген
Рис. 27. Отражение волны продольного смещения»
смещения также нормальна границе. При п1у Ф О для отноше-
отношений амплитуд волн имеются следующие решения:
= { [к + (к + 2ц + х) tga 6J [(ц + х) tga 04- |i -
B5.7)
-1
, B5.8)
f
B5.9)
Гл, 7, Теория микрополярной упругости 733
Эти решения подробно исследованы в работе [32] для различных
частных случаев. Краткое содержание полученных результатов
приводится ниже.
Волна продольного смещения у плоской ненапряженной гра-
границы образует, вообще говоря, три отраженные^волны (ср. с двумя
волнами классической теории): одна волна продольного смещения,
отраженная под углом, равным углу падения, и две связанные
поперечные волны, распространяющиеся со скоростями v3 и у4
(рис. 27). Их углы отражения вычисляются по уравнениям B5.6).
При нормальном падении @Х = 90°) волны со скоростями и3 и у4
исчезают и отраженная волна является волной продольного сме-
смещения, нормальной к границе. Отношения амплитуд как функции
угла падения 0Х даются формулами B5.7) — B5.9) и аналогич-
аналогичными формулами для jB4.
Решение общего вида преобладает, когда 0! уменьшается от
DO0 до критического угла 0*, при котором 03=О и А±х=0. При этом
угле падения мы имеем поверхностную волну, распространяю-
распространяющуюся со скоростью у3, и отраженную продольную волну, рас-
распространяющуюся со скоростью иг под углом 02 = 0Х = 0f.
Когда 0Х уменьшается от 0* до нуля, угол 03 становится комплекс-
комплексным. Этот случай интерпретируется так: продольные волны отра-
отражаются под углом 0Х, а отраженные связанные поперечные
волны распространяются со скоростью с, где v± ^ с ^ г;3,
затухая с глубиной. Возможно предельное решение с 0Х ->• 0.
В работе [32] было изучено также отражение связанных волн
поперечного смещения и поперечного микровращения, а также
отражение продольной волны микровращения. В этой работе
читатель может найтиj и другие интересные результаты.
XXVI. МИКРОПОЛЯРНЫЕ ПОВЕРХНОСТНЫЕ ВОЛНЫ [16]
В этом разделе мы исследуем распространение поверхностных
волн в полупространстве из микрополярного материала [16].
В разд. XXV мы показали, что падающая и отраженные волны
распространяются в одной и той же плоскости; в качестве этой
плоскости возьмем плоскость х = 0. Таким образом, иг = ср2 =
= Ф3 = 0, 1 = 1 = 0, а и2 sy (у, z, t), uz=zw (у, z, t) и срх =
= ф (у, z, t) являются функциями только г/, z, t. В этом случае
уравнения B2.1) и B2.2) сводятся к уравнениям
734 А. К. Эринген
где у2 — двумерный оператор Лапласа, т. е.
у2 = дЧду2 + d*/dz2.
Рассмотрим волны, которые распространяются в плоскости
ж = 0 с амплитудой, затухающей в направлении оси z:
v = А ехр (—%z) exp [iq (у — ct)],
w = В ехр (—lz) exp [iq {у — с*)], B6.2)
Ф = С ехр (—t>z) exp [iq {у — ct)].
Подстановка B6.2) в уравнения B6.1) приводит к уравнениям
[-(Я, + 2[х + к) 52 + (|х + х) ^2 + pgV] Л -
- (ь + 1*) igS5 - %tc = о,
-(^ + |i) iqlA + [(X + 2|i + х) S2 - ((х + х) g2 +
+ pg2c2] Б — iq%C = 0, B6.3)
xZA + iqyiB + [у (?2 - g2) - 2x + pjgV] С = 0.
Ненулевое решение для А, В и С может существовать, если
определитель из коэффициентов при них обращается в нуль.
Это дает
[ (^)] }0, B6.4)
где
е = с24/с^, B6.5)
а с1,...,с4 даются формулами B4.3). Если пренебречь членами с s2r
то получаются приближенные значения корней уравнения B6.4);
B6.6)
Для поверхностных волн мы должны рассмотреть лишь случай
положительных корней ?lf ^2» ?з- Поля микросмещений и микро-
микровращений теперь можно представить в виде
з
v = 2 А*, ехр (— ?**) ехр [ig (z/ — ct)],
з
'^= 2 М*ехр(-&ьг)ехр[гд(у--с*)], B6-7)
fti
= Мз exp (— ^3z) exp [ig (y — ct)],
Гл. 7. Теория микр о полярной упругости 735
где
На ненапряженной граничной плоскости 2 = 0 мы должны иметь
tzz = Я 5у/йг/ + (Ь + 2ц + х) dw/dz = 0,
+ ((г + x)dv/dz + щ = 0, B6.9)
Подставляя B6.7) в уравнения B6.9), мы получим три однород-
однородных уравнения для Al9 A2, As. Определитель из коэффициентов
должен обращаться в нуль; следовательно,
0K _ 8с02 + 8 (з - к) со - 16 A-й) - 16в A - Ы) = 0, B6.10)
^з^з = 0, B6.11)
где
со = cVcl к == с\1с\. B6.12)
При 8 = 0 уравнение B6.10) сводится к классической формуле
для поверхностных волн Рэлея. Обозначая величину со для этого
случая через сок, в первом приближении по 8 получаем
щ '¦ '2влз>
При fc = 1/3, что соответствует значению V4 для коэффициента
Пуассона, и в случае несжимаемых твердых тел (к== 0), мы соот-
соответственно имеем:
с = 0,919A+0,9328)с2 (/c = V8), B6.14)
с = 0,955 A+ 0,783s) с2 (к = 0).
Члены, содержащие 8, в каждом случае представляют собой
поправки первого порядка к скорости волн Рэлея.
Формула B6.11) дает скорость распространения поверхно-
поверхностной волны нового типа, не встречающейся в классической теории
упругости. Она дается выражением
с/с2 « B8//I/2 q-1. B6.15)
Эта скорость новой волны зависит от ]/8, так что волна обладает
дисперсией.
XXVII. КОНЦЕНТРАЦИЯ НАПРЯЖЕНИЙ ОКОЛО КРУГОВОГО
ОТВЕРСТИЯ
Для определения напряжений в пластинке с круговым отвер-
отверстием нам нужно записать основные уравнения теории микро-
микрополярной упругости в полярных координатах (г, 0) (рис. 28).
736
А. К, Эринген,
Рис. 28. Круговое отверстие в поле растяжения.
Уравнения количества движения и момента количества движения
получаются аналогично классической теории упругости:
dtr
дг
B7Л>
дг
Для ненулевых компонент тензора деформации ski, определенных
формулами D.17), подобно тому; как в дополнении к работе [5],
мы получим
B7.2)
Определяющие соотношения дают для напряжений
trT = (X + 2|х + х) 8г9 + А,8ее, ^ве = ^гг + (X + 2\х+п) гвв,
trQ = (|х + и) 8г9 + \*>Чп кг = Иге + ([х + х) е9г. B7.3)
В этих уравнениях (?гг, ?ге* • • •)« (егг, 8ге, . . .), wr и ^е — физи-
физические компоненты напряжений, деформаций и смещений соот-
соответственно.
Гл. 7. Теория микрополярной упругости 737
Уравнения совместности (8.9) в полярных координатах при-
принимают вид
1 дг
гг
дг * г г
see—Srr 1 ^ге I
г Т д% г
. mez 1 dmrz ^
дг ^ г г .^9 ~
В статических .задачах с нулевыми объемными нагрузками
уравнения B7.1) удовлетворятся тождественно, если ввести функ-
функции напряжений F (г, 0) и G (г, 8) согласно следующим фор-
форму лам:
_ 1 dF . 1 d*F 1 дЮ 1 0G
trr ~~~ Jr ~t~
~ Jr ~t~ г2 д№ г дгдв~т~ г2 дв
1 дЮ 1 ^G
+ г аг 50 Г2 ^е »
1 ^ , 1 ^ -1 9(? 1
i dG
——.
Разрешим. уравнения B7.3) относительно деформаций и затем
в полученные результаты подставим выражения B7.5) для ком-
компонент напряжений. Если мы теперь используем B7.4), то получим
±± _ 2 2 _ 2± B7'6)
где .
/07 7\
Решения следующих уравнений:
V2^ = О, V2 (С - c2V2G) = 0 B7.8)
являются также решениями уравнений B7.6). Для задачи о круго-
круговом отверстии в пластине (или о цилиндрической полости в неогра-
неограниченном твердом теле), подвергающейся простому растяжению на
4 7-0700
738 А. К. Эринген
бесконечности, соответствующее решение уравнений B7.8) таково:
F = (Г/4) г2 A — cos 20) + Аг log r + [AJr2 + A3] cos 29,
G = [AJr2 + АъК2г/с] sin 29, B7.9)
где К2 — модифицированная функция Бесселя второго рода
второго порядка. Эти выражения удовлетворяют уравнениям B7.6),
если
А± = 8A — V)A48- B7.10)
Остальные четыре константы Аг, А2, А& Л4 определяются из
граничных условий:
trr — trQ = mrz = 0 при г = а,
trr = (Г/2) A +cos 20), ^j
гге =— (r/2)sin29, > приг=оо. B7.11)
;z=о J
Здесь Г — поле постоянного растяжения в плоскости х = const
на бесконечности (рис. 28). С помощью формул B7.5) и B7.9)
вычисляем компоненты тензоров напряжений и моментных напря-
напряжений:
+ М§ [Цк0 (г/с) +A + 5J) К, (г/с)] cos 29,
i(l-cos2e)-^ + F^-^)cos29-
-245 [т-*о(г/с)+ (l + тг) Я,(г/с)] cos26,
B7
cos29.
Гл. 7. Теория микрополярной упругости
739
3,0
2,0
1,0
8
10
12 а/с
Рис. 29. Коэффициенты концентрации напряжений при Ь/с = 0,20, v = 0»
а—классическая теория, б—микрополярная теория, в—теория моментных напряжений.
3,0
2.0
0
8 10 12 а/с
Рис. 30. Коэффициенты концентрации напряжений при Ь/с = 0,20, v = 0,5,
Обозначения те же, что на рис. 29.
Используя граничные условия B7.11), мы находим, что
Т о
А2 = -
Та*
TacFt
(а/с) '
B7.13)
47*
740
Л. К, Эринген
3,0
2.0
1,0
\Zafc
Рис. 31. Коэффициенты концентрации напряжений при Ь/с •
v =, 0.
Обозначения те же, что на рис. 29.
где
,27.14,
Подставляя B7.13) в B7.12), найдем поля напряжений и момент-
ных напряжений. Величина ?ее на краю кругового отверстия
представляет наибольший интерес. Для нее мы получаем
B7.15)
Максимальное значение Немане приходится на 6=±я/2:
//
макс
/21-5С =
B7.16)
Величина Sc, так определенная, является коэффициентом концен-
концентрации напряжений. Из определения B7.14) ясно, что Sc зависит
от v, а, Ъ и с.
Вышеприведенный результат B7.16) был дан в работе [21],
в которой авторы опирались на решение такой же задачи в теории
неопределенных моментных напряжений в работе [30]. Если мы
положим Ь2/с2 = 1, то получим для Fx решение, данное в [28],
а именно
fl2 . 2а K0(a/l)-]-i
/to==8A-v)
.17)
где I — характерная физическая длина для данного материала.
Случай Ъ2/с2 = 1 дает х = —2|х, что не представляется физически
приемлемым, поскольку % не может быть столь велико, как
Гл. 7. Теория микрополярной упругости
741
3,0
2,0
IZa/e
Рис. 32. Коэффициенты концентрации напряжений при Ыс — 0,10, v= 0,5.
Обозначения те же, что на рис. 29.
удвоенный модуль сдвига. Обсуждение этих результатов и сопо-
сопоставление коэффициентов концентрации напряжений в теории
неопределенных моментных напряжений и в микрополярной тео-
теории можно найти в [21]. Мы воспроизводим несколько кривых
из этой работы (рис. 29—32).
XXVIII. ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГАЛЕРКИНА И ПАПКОВИЧА [33]
Удобное математическое представление полей смещения
ж микровращения можно построить следующим образом: пусть
ж пусть матрица
где
B8.1)
Lij\\ (i, / = 1Д 2Д ...,6) дается формулой
rL(ll) LA2)-l
k= -^B1) j^B2) » B8.2)
742
А. К. Эринген
LA2) = Lm) =
О
кХ3
-хХ3 :
О —ч
и3
Ф2
_Фз_
= -р
/1
/з
h
h
J3_
Уравнения B2.1) и B2.2) можно представить в матричном виде:
B8.3)
Для матрицы Li}, обратной к матрице Li}, формально имеем
*4 = а п тп ¦ г,п * B8-4)
где
#н = <?з Wi^4 — [(^ + М») ^4 — и2] X?} (i = l,2t3),
Л^» = Qi {Q2Q3 — [(а + Р) ft — >^2] х?-з) («==4» 5> 6)э
i\Ti7- = iV77 = ft [ — (а + Р) ft + и2] -X"i-3^i-3» ^/ (b 7 = 4, 5, 6),
i5=-N5i= iV42 = - iV24 = KQ
u>=-N&i = Ni3 =-N3i=-vQ
Т26 = _ 7V62 = iV53 = - N35 = xQiQ3
Рассмотрим теперь уравнения
и3
Ф1
Ф2
= N
FT
B8.6)
Гл. 7. Теория микрополярной упругости 743
Бели <Di = <?3F и O2 = ^tF*, то с помощью уравнений B8.5)
и B8.6) мы найдем, что
*) = D2a3#2--[(a + P) Cb-^VV-Oa-xDiVxOi, ( #
где
^(Х + 2^ + х)у2-рд2/д*2 П=0* + *)У2-р32Э,
( }
?з a (а + р + у) V2- Р7#W -2х, П4 ^ YV2 -
Из B8.3), B8.4) и B8.7) следует, что Фг и Ф2 удовлетворяют
следующим несвязанным уравнениям:
Di(D2n4 + x2V2)Oi=-pf,
?3(П2П4 + и2У2)Ф2=-р1. "
Если, мы примем х = 0 в уравнении B8.9) 4, то получим предста-
представление, известное из классической теории упругости.
В статическом случае мы положим в уравнениях B8.7) и B8.8)
Г = 0 и г^олучим представление Галеркина для микрополярной
теории упругости, а именно
и (х) - {X + 2ц + х) V2 (TV2 - 2х) Ф4 -
x)]VV-Oi-
+ р + 7)У2-2и]УхФ2,
. B8.10)
где Ф! и Ф2 удовлетворяют уравнениям
{X + 2A + х) V4 № + к) TV2 - х Bfx + х)] Ф4 =:- pf,
При х = 0 формула B8.10L приводит к представлению Галер-
Галеркина классической теории упругости.
Мы разложим объемную силу и объемный момент на потен-
потенциальную и соленоидальную части следующим образом:
pf = Vno + Vxn, pl = Vng + Vxn*, B8.12)
и заметим, что
Из B8.7) и B8.9) теперь следует, что
DiA0=-n0, ПзЛ!=-ПВ, B8.14)
744 А. К. Эринген
и мы получаем
u = VA0 + Vx (DiA)-xV X (V хЛ*),
Ф== -xV X (V X А) +V X (П2А*). (г*-Щ
Таким образом, если для данной задачи мы определим Ло> А,
Л*, то поля смещений и микровращений можно вычислить по
формулам B8.15).
Другое полезное разложение можно вывести из B8.11) в слу-
случае f = ] = 0, выбирая Ф4 и Ф2 в виде суммы трех специальных
вектор-функций. Оно имеет вид
B,16)
+ i-VxA1 + t±^VxA3
где AOf Ai, A2, B4, B2 и В3 удовлетворяют уравнениям
Эти результаты при % -> oo сводятся к соответствующему раз-
разложению в теории неопределенных моментных напряжений, полу-
полученному в работе [30].
XXIX. НЕОГРАНИЧЕННОЕ МИКРОПОЛЯРНОЕ ТВЕРДОЕ ТЕЛО
ПОД ДЕЙСТВИЕМ СОСРЕДОТОЧЕННОЙ СИЛЫ
И СОСРЕДОТОЧЕННОГО МОМЕНТА
Задача о неограниченном твердом теле, подвергающемся дей-
действию сосредоточенной силы F и сосредоточенного момента М
в начале координат х = 0, представляет фундаментальный инте-
интерес. В классической теории эта задача известна как задача Кель-
Кельвина. Эта задача в статическом случае рассматривалась в рабо-
работе [33].
А. Сосредоточенная сила
Пусть F — сосредоточенная сила, действующая в начале коор-
координат х = 0. Положим
pf = F8(x),. B9.1)
где б (х) представляет собой дельта-функцию Дирака.
Гл. 7, Теория микрополярной упругости 745
Решение уравнения B8.12)! дается формулами
По (х) = - [1/Dя)] | pf A). V A/г) dv A),
Cj/D
B9.2)
}
CJ/Э
где
r^f^-^+te-l^ + fe-y2]172. - B9.3)
Используя равенство B9.1), находим
П0=-[1/Dя)]Р.^A/Д), n=-[l/Djt)]FxV(l/i?), B9.4)
где '
Д^(хН^ + ^зI/2. B9.5)
Из уравнений B8.13I>2 в статическом случае получаем
x) V2A0= [1/Dя)] F. V A/Л),
( }
Ло = -
Эти уравнения -имеют решения вида
1 F-x •
8я(Л+2}1+х) R ' ' B9.7)
Л -
D+) fax
где
и _
1 —
Для Л* = 0 уравнения B8.15) в статическом случае дают
5Х+6ц+Зх F . 2Х+2ц+х Fx
8лBц+х)(Я+2ц+х) Л'Г"8яB|х+х)(Я+2ц+х) i?3
X ^V X [(F/i?) (е"Д/г~1H> B9-9)
При х = 7 = 0 решение B9.9)i сводится к известному решению»
задачи Кельвина [26]. Решение этой задачи в теории неопреде-
неопределенных моментных напряжений получается при х ->• оо и приво-
приводит к результату, полученному в работе [30].
746 А. К. Эринген
Б. Сосредоточенный момент
Пусть М — сосредоточенный момент, действующий в точке
х = 0; положим
pl=M6(x).j
В этом случае мы выразим решение уравнения B8.12) таким же
образом, как в случае B8.3). Используя B8.13J, 3 Для статиче-
статического случая, имеем
= -Щ,
[y0a + x)V-xBh + x)V]A=-IT, ( '
где
Щ=—[1/Dя)]М-ГA/Я), П*=-[1/Dя)]МхУA/Л). B9.11)
Уравнения B9.10) имеют решения
8lFBilWV Х (МД) + 4яB}!2+х)^ X КМ/Я) A-*"
где
. B9.13)
Подставляя эти формулы в B8.15) в статическом случае и пола-
полагая Л0 = 0, Л = 0, получаем
B9.14)
+ 4я B^) х Ў X {V X [(Ц/Д) A - '
Эти результаты вместе с уравнениями B0.23) и B0.24) можно
использовать для того, чтобы найти поля напряжений и момент-
ных напряжений.
Здесь следует обратить внимание на то, что фундаментальная
задача о сосредоточенном моменте не выводится как предельное
решение для двух равных параллельных сил, направленных в про-
противоположные стороны. Мы отметим, что в теории микрополярной
упругости понятие объемного момента совсем не зависит от силы
и может существовать даже в том случае, когда объемная сила
отсутствует. Следовательно, в.теории микрополярной упругости
сингулярности для силы и момента будут совершенно различны.
Поэтому можно ожидать, что это обстоятельство оказывает значи-
значительное влияние на теоремы единственности для неограниченных
и ограниченных областей.
Гл. 7. Теория микрополярной упругости 747
XXX. НАПРАВЛЕНИЯ ДАЛЬНЕЙШИХ ИССЛЕДОВАНИЙ
Изложенная здесь теория микрополярной упругости является
одним из простейших обобщений классической теории упругости
для материалов с микроструктурой. Существует обобщение этой
теории на случай микрополярных жидкостей и вязкоупругих
юред [6, 11, 13]. Нелинейная теория также содержится в более
общей теории микроупругости, данной в работах [15, 161. Теория
микроморфных материалов, для которой теория микроупругости
представляет собой характерный раздел теории ориентированных
твердых тел, является многообещающей для проникновения в мир
материалов с зернистой структурой и молекулярными особенно-
особенностями, описываемых с точки зрения сплошной среды. Не следует
удивляться, если такая теория будет широко использоваться
при полном описании материальных свойств композитов, зерни-
зернистых и волокнистых твердых тел.
Уже выявлена связь этих теорий с континуальной теорией
дислокаций. Тесные связи между теорией пластичности и кон-
континуальной теорией дислокаций были установлены в разное
время различными исследователями в этой области (ср. [2, 3, 22—
25]). Теории микромеханики, мультиполярные теории и конти-
континуальная теория дислокаций до сих пор не образовали единое
целое, хотя и делались некоторые попытки в этом направлении.^
В настоящее время прилагаются серьезные усилия, чтобы внести
некоторый порядок в мир микромеханики сплошной среды.
Область микроморфных материалов нуждается во внимании со
стороны теоретиков и экспериментаторов. Особенно ощущается
необходимость в рациональных экспериментах. Теория микро-
нолярной упругости несомненно готова к такому испытанию.
Теория микроморфных материалов с ее логической структурой
и широкими возможными применениями открывает новые горизон-
горизонты для будущих исследователей.
XXXI. ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Изложенная выше теория микрополярной упругости создает
надлежащие предпосылки для последующих аналитических иссле-
исследований и осуществления настоятельно необходимой эксперимен-
экспериментальной программы. Мы полагаем, что в теории хорошо формули-
формулированы уравнения поля, граничные и начальные условия. Дока-
Доказаны некоторые широкие классы теорем единственности [10].
Важные приложения теории возникают прежде всего в связи
с задачами распространения волн. Существование новых типов
волн помимо тех, что даются классической теорией упругости,
должно заинтересовать специалистов, занимающихся эксперимен-
748 А. К. Эринген
тальным исследованием распространения волн. Даже простая
линейная теория дает решение нетривиальных задач с граничными:
и начальными условиями. За счет введения микровращения и инер-
инерции спина как дополнительных внутренних степеней свободы
в число этих задач включаются задачи, содержащие в качестве
основных особенностей поля сосредоточенные объемные и поверх-
поверхностные моменты.
Обсуждаемая область механики сплошной среды сравнительно»
нова и лишь частично исследована. Несмотря на это, логические*
основы теории кажутся нам надежными, а сама она представляется
перспективной для понимания механики микрополярных твер-
твердых тел.
ОБОЗНАЧЕНИЯ
ak — вектор ускорения;
akim — тензор скоростей микродеформации третьего ранга;
bhi — тензор скоростей микродеформации второго ранга;
с — скорость волны;
си — скорости микрополярных упругих волн;
chu Crl — пространственные и материальные тензоры дефор-
деформаций;
d—дифференциальный оператор, как в dx;
da — элемент площади;
dv, dV — пространственный и материальный элементы объема;
йьг-- тензор скоростей деформации;
D/Dt=(') — оператор материальной производной;
eui, EKL — пространственный и материальный тензоры дефор-
деформаций;
fk — объемная сила, отнесенная к единице массы;
h — интенсивность источника тепла, отнесенная к еди-
единице массы;
hh Irl — пространственный и материальный тензоры микро-
микроинерции;
;', / — якобианы;
Ik — объемный момент, отнесенный к единице массы;
ты~тензор моментных напряжений;
И1(П), tfZ(n)fe — поверхностный момент;
Ль, п — вектор внешней нормали к поверхности;
g&, q — вектор потока тепла, направленный наружу поверх-
поверхности;
rk) Rr — пространственный и материальный векторы макро-
макровращения;
rki, Rrl— пространственный и материальный тензоры макро-
макровращения;
5, S — пространственная и материальная поверхности;
t — время; ' .
Гл. 7. Теория микрополярной упругости 749
tki — тензор напряжений;
t(n)> ?(n)fe— поверхностное усилие;
uki UK — пространственный и материальный векторы сме
'щения;
v, V — пространственный и материальный объемы;
v, vk — векор скорости;
Wk—вектор завихренности;
и>ы — тензор завихренности;
х, Xk —пространственные ортогональные координаты;
X, Xk — материальные ортогональные координаты;
ЗСк->%ък — пространственные векторы микросмещения;
а—микрополярная упругая постоянная;
«ft» v<ki — вектор микроускорения;
р — микрополярная упругая постоянная;
7 — микрополярная упругая постоянная;
Уыт, ^кьм — тензоры микродеформаций третьего ранга;
Sftz> $кь— дельта Кронекера ( = 1, когда индексы принимают
одинаковые значения, =0 — в противном случае)
8 — плотность внутренней энергии в единице массы;
8&ь %кь — тензоры микро деформаций второго ранга;
&ыт — тензор Леви-Чивиты (s123 = е2з1 = 83i2 = — s213 ч=
= — 8i32 = — 832i = 1-» ?kim = 0 в остальных случаях);
т] — плотность энтропии, отнесенная к единице массы;
0 — абсолютная температура;
к — микрополярная упругая постоянная; *
К Iх — упругие постоянные;
v, Vk — вектор внутреннего вращения;
vki — тензор внутреннего вращения;
|, |ь — пространственный относительный радиус-вектор;
В, 2Я—материальный относительный радиус-вектор;
р — массовая плотность;
a, ak—вектор внутреннего спина;
ф» ф&—пространственный вектор микровращения;
<pkh ФКь—тензоры микросмещений;
Ф, Фк — материальный вектор микровращения;
Хя> Шик —" материальные векторы микросмещения;
г|) — свободная энергия -Гельмгольца;
^kit ^кь—:тензоры микродеформаций;
I, И, III — инварианты тензоров;
V—оператор градиента;
V2 — оператор Лапласа;
П—волновой оператор.
Индексы в тензорных обозначениях принимают значения 1, 2, 3.
Повторяющиеся индексы указывают на суммирование по зна-
значениям 1, 2, 3, если не оговорено противоположное. Индексы,
750 А. К. Эринген
следующие после запятой, указывают на частное дифференциро-
дифференцирование, например xkt к = dxk/dXK. Точка сверху указывает н&
дифференцирование по времени в фиксированной материальной
точке; например
Индексы, заключенные в круглые и квадратные скобки, указы-
указывают на симметричную и антисимметричную части соответственно;
например
?<Ы) = V2 (*ki + ezft), ¦ e[w] = V2 {4i — ^ik)-
Для перехода к развернутым техническим обозначениям сле-
следует использовать равенства
(Тле, txy, . . . — обычные компоненты напряжения, используе-
используемые иногда в технической литературе.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Аэро Э. Л., Кувшинский Е. В., Физика твердого тела, 2 A960), 1399—
.1409. .
2. Bilby В. A., In «Progress in Solid Mechanics» (Sneddon I. N., Hill R., eds.),
vol. 1, Chap. 7, pp. 331—398, North-Holland, Amsterdam, 1960.
3. Bilby B. A., Gardner L. R. Т., Stroh A. N., IX Congres International de>
Mecanique Appliquee, Extrait des Acts, Tome VIII, pp. 35—42 A957)*
4. Cosserat E., Cosserat F., Theorie des Corps Deformables, Hermann, Paris»
1909.
5. Eringen A. C, Nonlinear Theory of Continuous Media, McGraw-Hill*
New York, 1962.
6. Eringen A. C, Intern. J. Eng. Sci., 2 A964), 205—217.
7. Eringen A. C, Mechanics of Micromorphic Materials, In «Proceedings of
the Uth International Congress of Applied Mechanics, Munich», pp. 131—
138, Springer, Berlin, 1964.
8. Eringen A. C, In «Proceedings of the 9th Midwestern Mechanics Confe-
Conference, Madison, Wisconsin», pp. 23—40, 1965.
9. Eringen A. C, Ingram J. D., Intern. /. Eng. Sci., 3 A965), 197—212.
10. Eringen A. C, /. Math. Mech., 15 A966), 909—924.
11. Eringen A. C, /. Math. Mech., 16 A966), 1—18. Русский перевод: Меха-
Механика, № 4 A16) A969).
12. Eringen А. С, Intern. J. Eng. Sci., 4 A966), 179—202. Русский перевод:
Механика, № 1 A01) A967).
13. Eringen А. С, ZAMP, 18 A967), 12—30.
14. Eringen A. C, Mechanics of Micromorphic Gontinua, In «Proceedings of
1967 IUTAM Symposium on Generalized Continua» (Kroner E., ed.), Sprin-
Springer, Berlin, 1968.
15. Eringen A. C, Suhubi E. S., Intern. J. Eng. Sci., 2 A964), 189—203.
Гл. 7. Теория микрополярной упругости 751
16. Eringen А. С, Suhubi E. S., Intern. J. Eng. Sci., 2 A964), 389—404.
17. Green A. E., Rivlin R. S., Arch. Rational Mech. Anal., 17 A964), 113—147.
18. Green A. E., Naghdi P. M., Rivlin R. S., Intern. J. Eng. Sci., 2 A964),
611—620.
19. Grioli G., Elasticita Asimmetrica, Ann. Mat. PuraAppl., Ser. 4, 50 A960),
389-417.
20. Gimther W., Abhandl. Braunschweig Wiss. Ges., 10 A958), 195—213.
21. Kaloni P. N., Ariman Т., ZAMP, 18 A967), 136—141.
22. Kondo K., RAAG Memoirs, 3 A962), 91—133.
23. Kondo K., Intern. J. Eng. Sci., 1 A963), 71—88.
24. Kroner E., Intern. J. Eng. Sci., 1 A963), 261—278. ,
25. Kroner E., /. Math, and Phys., 42 A) A963), 27—37. . -
26. Love A. E. H., A Treatise on the Mathematical Theory of Elasticity, 4th
ed., Dover, New Vork, 1944. Русский перевод изд. 1927 г.: Ляв А.,
Математическая теория упругости, ОНТИ, М., 1935.
27. MacCullagh J., Trans. Roy. Irish. Acad. Sci., 21 A839), 17—50.
28. Mindlin R. D., Exptl. Mech., 10 A963), 1—7. Русский перевод: Механи-
Механика, № 4 (86) A964).
29. Mindlin R. D., Arch. Rational Mech. Anal., 16 A964), 51—78. Русский
перевод: Механика, № 4 (86) A964).
30. Mindlin R. D., Tiersten H. F., Arch. Rational Mech. Anal, 11 A962), 415—
448. Русский перевод: Механика, № 4 (86) A964).
31. Пальмов В. А., ПММ, 28 A964), 401—408.
32. Parfitt V. R., Eringen A. G., Reflection of Plane Waves from the Flat
Boundary of a Micropolar Elastic Half space, Rep. № 8-3, General Techno-
Technology Corporation, 1966.
33. Sandru N., Intern. J; Eng. Sci., 4 A966), 81—94.
,34. Schaefer H., Miszellaneen der angewandten Mechanik, S. 277—292, Aka-
demie-Verlag, Berlin, 1962.
35. Schijve J., /. Mech. and Phys. Solids, 14 A966), 113—120.
36. Sokolnikoff f. S., Mathematical Theory of Elasticity, 2nd ed., McGraw-
Hill, New York, 1956.
37. Spencer A. J. M., In «Treatise on Continuum Physics» (Eringen A. C, ed.),
vol. 1, Theory of Invariants, chap. 3, Academic, New York, London, 1971.
Русский перевод: Спенсер Э., Теория инвариантов, «Мир», М., 1974.
38. Thomson W.,. Tait P. G., Treatise on Natural Philosophy, 1st ed., Oxford
Univ. Press, London, 1867.
39. Toupin R. A., Arch. Rational Mech. and Anal., 11 A962), 385—414.
40. Toupin R. A., Arch. Rational Mech. and Anal., 17 A964), 85—112.
41. Truesdell C, Toupin R. A., In «Handbuch der Physik», Band 3, S. 1, Sprin-
Springer, Berlin, 1960.
42. Voigt W., Theoretische Studien iiber die Wissenschaften zu Elastizitats-
verhaltnisse der Krystalle, A bhandl. Ges. Gottingen, 34 A887).
43/ Voigt W., Uber Medien ohne innere Krafte und eine durch sie gelieferte
mechanische Deutung der Maxwell-Hertzschen Gleichungen, Gottingen
.. Abhandl. A894), 72—79.
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Аксиома аффинного движения 654
Анизотропия наведенная 454, 477
— начальная 372
Анизотропный материал 122, 372,
478, 479
— —, критерий хрупкого разруше-
разрушения 136
— — микрополярный 714—716, 720
— —, направление максимального
напряжения 142
— —, обобщенное плоское напря-
напряженное состояние и плоская де-
деформация 124
-- —, основные уравнения теории
упругости 124
— —, продольный сдвиг 127
— —, текучести критерии 372
— __ — __ квадратичные 374
— — — начало 372
— — — функция 372
Антиплоская деформация 210, 218
— ч— идеально пластичного мате-
материала 263, 265
Баланса законы механические 698
— количества движения закон 700
— момента количества движения за-
закон 701
Балки теория 247, 248, 649
Баренблатта теория 36—44, 250,
528-534
— —, модификации ее 534—537
— —, связь ее с теорией Гриффитса
44
Баушингера эффект 350
Блокирование полос скольжения 318
Бюргерса вектор 232
Вектор вращения внутреннего 687
— макровращения 664
— мйкровращения 661, 664, 687
— минивращения 662, 664
— напряжения 480
Ветвление трещин 457—458
Виды разрушения по Ирвину 104—
105, 230-232
Волны микровращения поперечного
728
продольного 726, 727
— напряжения 192, 193
— поверхностные 733
— сдвига 192, 193
— сжатия 194
— смещения поперечного 728
— — продольного 726
Высокоскоростная фотография 571
Гидростатическая ось 355
Гидростатическое напряжение 497
Гистерезис упругий 347
Главные направления 490 '
— напряжения 352, 485, 490
— — касательные 367, 497
— плоскости 485
Гриффитса критерий 32, 35, 100—
110, 450
— —, вывод и обобщение его 505
— теория 31—35, 88, 100, 248—249,
454
— —, обобщения ее 524—525
— — в трехмерном пространстве 163
Гудьера — Каннинена теория 59
Дагдейла модель 50—51, 280
Датчики скорости 570
Девиатор напряжений 215, 353
— —, инварианты его 498—499
Девиаторная - плоскость 356
Деформации обобщенные 374
— остаточные 372
Деформаций концентрация 308
— тензор 207 ч
Деформация антиплоская см. Анти-
Антиплоская деформация
— изохорическая 677
— макроизохорическая 677
Предметный указатель
753
Деформация миниизохорическая 677
— однородная 677—678
— пластическая 214, 345
— — избыточная 346
— —, траектория ее 402
— — эквивалентная 399
— плоская 21, 69, 95, 210
— *-, представление ее комплекс-
комплексными потенциалами 67, 68
— упругая 22, 52
Деформирование жесткое 677
Дислокации 214, 241, 318
— винтовые 580
Дислокаций непрерывное распреде-
распределение 242
— скопление 318
Дислокация изолированная 241
— краевая 243
Диссипация энергии 537, 569, 579
Зона пластическая у конца трещины
49-50
_____ — — —, размеры ее 283, 284,
289, 566
— — '— — — — — максималь-
максимальные 289, 290
_____ — — __? форма ее 567
Изгиб пластины с трещиной 178
— __ — —? влияние на него мо-
ментных напряжений 190
Изменения экспериментальные ско-
скорости распространения трещины
импедансным методом 571
— — — — — при помощи высоко-
высокоскоростной фотографии 571
— — — — — — — датчиков ско-
скорости 570
— — — — — ультразвуковым ме-
методом 572
Изотропия и анизотропия 372
— — микроизотропия 719
— твердого тела 716
— цилиндрическая 373
Изотропное упрочнение 378, 383
Изотропный материал 136, 137
— —, критерий хрупкого разруше-
разрушения 137
— — нелинейный 713, 714
Инварианты девиатора напряжений
498—499
— тензора напряжений 491
Интенсивность напряжений 364
Ирвина теория 104
Испытания на сжатие с обжимом 419
Кинематическое упрочнение 384, 385
Континуум Коссера 650
— линейно упругий 25, 26
— микрополярный 651
Концентрация деформаций 308
— напряжений 84, 255, 735
— —, приближенная оценка 258
Концепция «классического пучка» 632
— наислабейшего звена 626
Коэффициент безопасности 637
— интенсивности напряжений 86, 87,
105, 155, 253, 325
— концентрации деформаций 310,
311
— трения 410
Критерий Беккера 435
— Гриффитса см. Гриффитса крите-
критерий
— критического коэффициента ин-
интенсивности напряжений 524
— Кулона 410, 414
— Кулона — Мора 414
— — — записанный в главных на-
напряжениях 415
— — —, кривые разрушения 416
— — —, обобщения его 436
— — —, поверхности разрушения
417
— — — — — с усечением в обла-
области растяжения 421, 435
— максимального напряжения каса-
касательного 360, 434
— — — нормального 434
— — — приведенного 435
— максимальной, деформации 434,
524
— Мизеса см. Мизеса критерий
— Мора 410, 413
— потери несущей способности 339
— текучести, зависящий от давле-
давления 370
— Треска 360
— энергетического баланса 524
Критерии упругого разрушения, со-
сопоставление их 270
Критическая частота для волн, рас-
распространяющихся в микрополяр-
микрополярном теле 727
Критический коэффициент интенсив-
интенсивности напряжений 524
Критическое напряжение растяги-
растягивающее 102, 103
сдвига поперечного 102, 103
— — — продольного 102
Круги Мора 411, 484, 494
— — главные 495
Кусочно-линейное упрочнение 386
48—0760
754
Предметный указатель
Линейно упругий континуум 25, 26
Линейное упрочнение 385
Линии скольжения 217, 285
Л оде экстраполяции метод 349, 388,
404
Локализованное пластическое тече-
течение 233, 260
Материал анизотропный см. Анизо-
Анизотропный материал
— идеально пластический 353, 378
— изотропный 137
— микроморфный 654
— микрополярный 651, 713
— —, деформация одноосная его 680
плоская его 682
— —, простой сдвиг 681, 682
— упругий 208
— устойчиво упрочняющийся 424
Метод импедансный 571
— исследования по податливости 247
— максимальной пластической де-
деформации 404
— остаточных деформаций 404
— предела пропорциональности 390,
404
— ультразвуковой 572
— эквивалентной пластической де-
деформации 404
— экстраполяции Л оде 349, 388,
404
Механизмы разрушения пластичных
материалов 317
Мизеса кривая текучести 363
— критерий 215, 362, 435
— —, обобщения его 436
— —, физическая интерпретация
его 366
— окружность 363
— эллипс 363
Микровращение 661
Микродеформации 652, 653, 668
—, градиенты их 656
—, тензоры их 657, 659, 664
Минивращение 662
Минидеформация 669
Минидеформирование 663
Модель атомная конца трещины 59
— Дагдейла 50—51, 280
— статистическая «классического
пучка» 632, 644
— — наислабейшего звена 626, 643
— — с однородным распределением
дефектов 618, 643
Модуль пластический 380
— сцепления 42, 66
— Юнга 21, 22, 89, 209
Мора критерий 410, 413
— круги см. Круги Мора
Мотта теория 539
Навье уравнения 145
Нагружения поверхность 379
Надвиг 423
Напряжение 22, 479, 480
—, вектор его 480
— гидростатическое 497
— касательное 23, 209, 481
— — среднеквадратичное 502
— критическое растягивающее 102,
103
— — сдвига поперечного 102, 103
— нормальное 23, 481
— — среднее 497
— октаэдрическое см. Октаэдриче-
ское напряжение
— приведенное 360
— растягивающее 481
— сжимающее 481
— эквивалентное 364
— эффективное 364
Напряжений девиатор см. Девиатор
напряжений
— концентрация см. Концентрация
напряжений
— распределение вблизи конца тре-
трещины, особенность его 29, 33, 106,
139, 184, 230, 238, 246, 253
— — __ — —? устранение особен-
особенности 37, 66
— тензор 207, 481
— —, инварианты его 491
Напряжения главные 352, 485, 490
— — касательные 367, 497
Напряженное состояние гидростати-
гидростатическое 497
— — плоское 483
— — — обобщенное 95, 210
— — цилиндрическое 485, 496, 497
— — чистого сдвига 500
Обобщенные деформации 374
— напряжения 364, 373
Однородная деформация 677—678
Октаэдрическая площадка 367, 499
Октаэдрическое напряжение 367, 499
— — касательное 367
— — нормальное 367
Основные типы разрывов земной
коры 423
Остаточные деформации 372
Отрыв нормальный 104—105
Предметный указатель
755
Пластическая зона см. Зона пласти-
пластическая
Пластический модуль 380
— потенциал 382
Пластичность локализованная 261
Плоская деформация см. Деформа-
Деформация плоская
Плоское напряженное состояние см.
Напряженное состояние плоское
Поверхность нагружения 379
— разрушения см. Разрушения по-
поверхность
— текучести см. Текучести поверх-
поверхность
Поле линий скольжения 285
Ползучесть 344
Пор рост и слияние^ 320
Потеря несущей способности 339
Предел пропорциональности 341
— текучести см. Текучести предел
Принцип возможных перемещений
208
— Сен-Венана 26
Прочность длительная хрупких тел
527
Пуассона — Кирхгофа теория 179
— коэффициент 21, 22, 89, 209
Разрушение, виды его по Ирвину
104—105, 230—232
— — — — Рэнкину 470
— катастрофическое 526
— «коническое» 465
— «косое» 465
— пластическое 408, 522
— посредством потери устойчивости
301
— упругохрупкое 248
— в условиях двухосного растяже-
растяжения и поперечного сдвига 95
— — — продольного сдвига 90
— хрупкое 83, 522
— —, статистический подход к не-
нему 616
Разрушения кривая 416
— поверхность 417
— — пирамидальная 424
— — —, параметры ее 429
— — — шестигранная 427
— —, усечение ее в области растя-
растяжения 421
— угол 422
Рейсснера теория 180—181
Релаксация 344
Римана — Гильберта задача 129, 132,
135
Сброс 423
Сдвиг нормальный 423
— поперечный 104, 105, 423
— продольный 104, 105
Силы сцепления 37, 249, 250
— удерживающие 73
Скорость высвобождения энергии де-
деформации 118
Спин внутренний 685, 687, 702
Сцепления модуль 42, 66
Текучести запаздывание 344
— кривая 357
— поверхность 214, 353
— —, выпуклость ее 358
— — мгновенная 379
— — начальная 379
— —, поиски углов на ней 401
— —, сечение ее равного давления
424
— — цилиндрическая 356
— —, экспериментальное определе-
определение ее 388
— предел 341, 342
— — верхний 342
— — нижний 342
— —, удлинение на нем 342
— состояние 352
— точка 342
— функция 352
Тензор вращения 207
— — внутреннего 687
— деформаций 207
— — микрополярных 664
третьего ранга 664
— макродеформации 664
— микроинерции 699
— напряжений 207, 481, 704
— — моментных 704
— напряжения гидростатического
353
— спина 687
Теоретическая прочность материала
48, 49
Теории, основанные на статистиче-
статистической механике 527
— — — энергетическом балансе 537
— пластичности деформационные
— скольжения 387
— течения 215, 381
Теория линий скольжения 217
— микроморфных материалов 654
— микрополярной упругости 654—
655
, уравнения поля 719
48*
756
Предметный указатель
Теория неопределенных [моментных
напряжений 721
— мультиполярная сплошной среды
650 ^;
— трещин с учетом моментных на-
напряжений 186—192
— упругости микроструктурная 650
Трение внутреннее 410
Трения коэффициент 410
Треска кривая текучести 363
— критерий 360
— шестиугольник 363
Трещина, ветвление ее 457—458
— в двумерном поле деформаций 225
— дискообразная 145, 237
— изолированная в бесконечном те-
теле 233
— — — конечном теле 243
— как непрерывное распределение
дислокаций 241
— краевая в полуплоскости 237
— полубесконечная, нагруженная
сосредоточенными силами 185
— равновесная 15
—, распространение ее под дей-
действием температурных напряжений
182
— тонкая 28
— в трехмерном теле 144
— _ — _ дискообразная 145
— _ — _ эллиптическая 149
— _ — — — под действием внут-
внутреннего давления 150
— — — — — в условиях сдвига
152
— эллиптическая 31
Трещиностойкость 525
Трещины в упругопластическом теле
при растяжении 279
Трещины усталостные 526, 588
— —, модель с запаздыванием дис-
диссипации энергии 590
простая 592
Хеда 589
Упрочнение 272
— изотропное 378, 383
— кинематическое 384, 385
— кусочно-линейное 385
— линейное 385
— при разрушении 454
— по степенному закону 276, 292
— текстурное 377
Уравнения движения 207
— Навье 145
— совместности 207
Устойчиво упрочняющийся материал
424
Функция напряжений Эри 106, 211
— текучести 352
Шейки образование 316, 323
Энергия деформации 30, 165
— изменения объема 501
— потенциальная упругого тела 209
— свободная 85
— тела с эллиптической трещиной 89
—, теоремы о ней 71—74
— формоизменения 366, 501
Юнга модуль 21, 22, 89, 209
ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
Абир (Abir D.) 520
Абрамсон (Abramson H. N.) 515, 518
Авербах (Averbach В. L.) 334, 519,
612—615
Айви (Ivey H. J.) 391, 396, 397, 516
Акита (Akita Y.) 570, 578, 611
Андерсон (Anderson W. Е.) 611, 614
Аргирис (Argyris J. H.) 331
Аргон (Argon A. S.) 320, 322, 333,
517, 614
Ариман§ (Ariman Т.) 751
Ауэрбах (Auerbach F.) 515
Ахбах (Achbach W. Р.) 513
Аэро Э. Л. 750
Бабель (Babel H. W.) 377, 513
Бакстон (Buxton W. J.) 365, 513
Балмер (Balmer G. G.) 443, 444, 513
Баренблатт Г. И. 9, 37, 44, 46, 51,
81, 196, 201, 249, 250, 280, 326,
331, 521, 524, 529-531, 535, [547,
584, 611
Бартон (Barton F. W.) 612, 613
Бартуш (Bartush Т. А.) 516
Бассет (Bassett M. В.) 518
BaTAop<|>;(Batdorf S. В.) 387, 401, 5d3
Баушингер (Bauschinger) 350
Бейкер (Baker В. R.) 253, 331
Бейрд (Baird R. В.) 614
Бёкер (Boker R.) 446, 473, 513
Беккер (Becker A. J.) 437, 475, 513
Бекофен (Backofen W. А.) 372, 376,
516, 520
Бельтрами (Beltrami E.) 472, 513
Бенбоу (Benbow J. J.) 184, 201, 612
Бенявский (Bieniawski E. M.) 459,
460, 513
Бёрдмор (Beardmore P.) 557, 573,
574, 613
Берман (Berman I.) 386, 513
Берне (Burns R. S.) 516
Бернулли (Bernoulli) 649
Берри (Berry J. P.) 540, 545, 612
Берроуз (Burrows W. R.) 365, 513
Берч (Bertsch P. K.) 392, 393, 513
Бёттнер (Boettner R. C.) 591, 614
Биби (Beebe W. M.) 571, 575, 576,
612
Бидл (Beadle C. W.) 517
Билби (Bilby B. A.) 283, 284, 331,
750
Бишоп (Bishop J. F. W.) 331, 358,
381, 513
Бленд (Bland D. R.) 513
Бови (Bowie O. L.) 241, 257, 258,
332
Бодин (Bodine E. G.) 645
Бойл (Boyle R. W.) 333
Болотин В. В. 645
Бомболакис (Bombolakis E. G.) 452,
513
Бранд (Brand L.) 201
Браун (Brown W. F.) 233, 332, 335
Брейс (Brace W. F.) 447, 452, 513,
612
Бреслер (Bresler B.) 444, 445, 513
Бриджмен (Bridgman P. W.) 345,
353, 388, 513
Броберг (Broberg К. В.) 196, 201,
253, 332, 531, 534, 543, 547, 549,
552, 557, 575, 576, 612
Броек (Broek D.) 306, 332, 612
Будянский (Budiansky B.) 332, 385,
387, 401, 513
Бурке (Burke J. J.) 516, 520
Бюкнер (Bueckner H. F.) 121, 201
Бюхе (Bueche A. M.) 612
Валинтайн (Valintine A.) 613
Ван (Wang A. J.) 335
Ван (Wang N. M.) 180, 202, 238, 333
Ван Бюрен (Van Bueren H. G.) 335
Ван Элст (Van Elst H. C.) 572, 578,
579, 586, 615
Ватсон (Watson G. N.) 149, 203
Вейбулл (Weibull W.) 7, 627, 630,
645
Вейсс (Weiss V.) 516, 520
758
Именной указатель
Вессель (Wessel E. Т.) 306
Вестергард (Westergaard H. M.) 106,
203, 435, 468, 473, 475, 488, 520
Вильяме (Williams M. L.) 82, 106,
139, 178, 183, 201, 203, 238, 239,
335, 615
Виссер (Visser W.) 82
Войновский-Кригер (Woinowsky-
Krieger S.) 203
Волков С. Д. 645
Волок (Wolock I.) 615
Вуд (Wood W. А.) 615
Галилей (Galilei G.) 469, 515
Гамбел (Gumbel E.) 627, 645
Гангал (Gangal M.) 518
Гарднер (Gardner L. R. Т.) 750
Гарленд (Gurland J.) 320, 333
Гауе (Gaus M. Р.) 578, 612
Гейрингер (Geiringer H.) 368, 515
Гейтс (Gates А. О.) 645
Генки (Hencky H.) 366, 380, 475—
477, 515
Гернси (Guernsey R.) 613
Гест (Guest J.) 360, 472, 473, 515
Гиббс (Gibbs P.) 612
Гилварри (Gilvarry J. J.) 645
Гилл (Gill S. S.) 515
Гилман (Gilman J. J.) 82, 545, 574,
612—615
Глестон (Glasstone S.) 613
Голдстейн (Goldstein) 547, 559
Гомец (Gomez M. P.) 614
Грамберг (Gramberg J.) 519
Грасси (Grassi R. G.) 437, 438, 514,
Грей (Gray G. A.) 403, 518
Грей (Gray К. Е.) 479, 517
Грейф (Grief R.) 245, 332
Григгс (Griggs D.) 515, 518
Грин (Green A. E.) 26, 82, 145, 150,
155, 190, 201, 332, 751
Грин (Green S. J.) 517
Гринсмит (Greensmith H. W.) 613
Гринфйлд (Greenfield N.) 570, 613
Гриоли (Grioli G.) 751
Гриффите (Griffith A. A.) 7, 32—34,
36, 65, 66, 82, 85, 88, 89, 201, 237,
248, 332, 448—450, 454, 475, 515,
521, 524, 529, 613, 624, 645
Гросс (Gross B.) 332, 335
Губер (Huber M. T.) 366, 473, 476,
577, 516
Гудьер (Goodier J. N.) 8, 13, 82,
284, 332, 334, 608
Гюнтер (Gunther W.) 571
да Винчи (da Vinci L.) 469
Дагдейл (Dugdale D. S.) 9, 50, 66,
82, 280, 323, 332, 562—567, 589,
596, 607, 612
Даддерар (Dudderar T. D.) 406, 407,
514
Дакуорт (Duckworth W. H.) 645
Дампье (Dampier W. G.) 514
Даниэле (Daniels H. E.) 634, 645
Даффи (Duffy J.) 406, 407, 514
Девис (Davis E. A.) 348
Дей (Dai P. K.) 82, 334, 614
Делингер (Dehlinger V.) 377, 514
Дженкинс (Jenkins D. R.) 516
Джонс (Jones M. H.) 335
Джонсон (Johnson H. H.) 233,
333
Джухаш (Juhasz S.) 515, 518, 645
Диксон (Dixon J. R.) 82
Дорн (Dorn J. E.) 439, 440, 514, 517,
519
Друккер (Drucker D. G.) 82, 316,
332, 334, 358, 369, 381, 387, 399,
401, 424, 435, 436, 468, 476, 514,
519, 520, 612—615
Дюлани (Dulaney E. N.) 612
Erep (Jaeger J. C.) 446, 516
Екли (Yeakley L. M.) 405, 516
Желтов Ю. П. 82
Журков С. Н. 615
Зак (Sack R. А.) 106, 145, 176, 202
Зенер (Zener С.) 520, 645
Зерна (Zerna W.) 237, 332
Ивлев Д. Д. 358, 516
Икеда (Ikeda К.) 570, 578, 611
Илг (Illg W.) 590, 600, 613, 614
Ильюшин А. А. 333
Ингланд (England A. H.) 82
Инглис (Inglis G. E.) 34, 84, 88, 201,
449, 505, 516
Ингрем (Ingram J. D.) 750
Иноуэ (Inoue M.) 520
Иоффе (Yoffe E.) 196, 203, 253, 254,
326, 335
Иохансен (Johansen К. W.) 516
Ирвин (Irwin G. R.) 86, 122, 137,
140, 155, 156, 201, 203, 231, 233,
238, 246, 247, 263, 266, 296, 304,
306, 316, 333, 524, 531, 551, 555,
569, 572, 573, 612—614
1 Именной указатель
759
Исида (Isida M.) 613
Итикава (Ichikawa M.) 615
Йокобори (Yokobori Т.) 82, 203,
333—335, 344, 520, 612—615
Йосимура (Yoshimura Y.) 520
Кавасаки (Kawasaki Т.) 82,203,333—
335, 612—614
Кадашевич Ю. И. 384, 516
Калони (Kaloni P. N.) 751
Каменцев В. Н. 407
Каннинен (Kanninen M.) 9, 82
Карлсон (Carlsson A. J.) 571, 576,
578, 612
Карман (von Karamn Th.) 7, 446, 473,
474, 516
Карни (Kami J.) 517
Карубе (Karube D.) 442, 519
Кассир (Kassir M. K.) 145, 152, 174,
182, 202, 238, 333
Катлер (Cutler I. B.) 612
Квинни (Quinney H.) 349, 370, 372,
388—390, 519
Keep (Keer L. M.) 82, 333
Кельвин (Kelvin) 469, 650
Кеньон (Kenyon R. L.) 516
Керкхоф (Kerkhof F.) 572, 613
Кесеглиогу (Kecegliogu D.) 468, 516
Кеттлуэлл (Kettlewell J.) 518
Кинсел (Kinsel W. C.) 333
Киркпатрик (Kirkpatrick W.) 420, 516
Кис (Kies J. A.) 615
Клапейрон (Clapeyron) 470, 471
Кларк (Clark A. B. J.) 572, 612
Кларк (Clark W. G.) 306
Клебш (Clebsch A.) 471
Кнаус (Knauss W. G.) 613
Кнудсен (Knudsen C.) 613
Кобаяси (Kobayashi A. S.) 239, 333,
436, 446, 516, 517
Койтер (Koiter W. T.) 237, 333, 386,
387, 516
Кольский (Kolsky H.) 331
Конвей (Conway J. C.) 514
Кондо (Kondo K.) 751
Конторова Т. А. 645
Копсон (Copson E. T.) 201
Корне (Cornet I.) 437, 438, 514, 515
Коскинен (Koskinen M. F.) 266, 333
Koccepa^(Cosserat E.) 186, 201, 650,
750
Koccepa (Cosserat F.) 186, 201, 650,
750
Костров1Б. В. 546, 547, 549, 553—
555, 567, 607, 613
Коттерел (Cotterell B.) 253, 332, 576,
612
Коттрел (Cottrel A. H.) 82, 331, 332,
514, 564, 612
Коуэн (Cowan H. J.) 435, 514
Кофф (Koff W.) 390, 396, 517
Коффин (Coffin L. F.) 437, 439, 463,
471, 473, 514, 612
Коэн (Cohen M.) 613
Коянаги (Koyanagi W.) 436, 446,
516, 517
Кравченко (Kravtchenko J.) 514
Краффт (Krafft J. M.) 327, 332, 333,
524, 573, 613
Крёнер (Kroner E.) 751
Кроссленд (Crossland B.) 353, 388,
514
Кроули (Crowley Т. М.) 515, 518, 645
Крьюз (Crews J. H. Jr.) 612
Крэггс (Craggs J. W.) 196, 201, 253,
332, 534, 546, 547, 549, 557, 559,
612
Кувшинский Е. B. 750
Кук (Cook N. G. W.) 464, 514
Кулон (Coulomb C. A.) 360, 410, 414,
469, 471, 473, 514
Лазар (Lazar B.) 613
Ламб (Lamb H.) 202
Ламе (Lame G.) 470, 471
Лангер (Langer R.) 332
Лёбер (Loeber J. F.) 106, 194, 202,
203
Леви (Levy M.) 381, 471, 516
Лейдлер (Laidler K. J.) 613
Лейрд (Laird C.) 613
Лено (Lenoe E. M.) 442, 443, 516
Ленский В. С. 516
Лехницкий С. Г. 126, 128, 129, 202
Ли (Lee E. Н.) 514-518
Ли (Lee L.) 518
Либовиц (Liebowitz H.) 5, 9, 83, 90,
203, 205, 514, 518, 645
Линдхольм (Lindholm U. S.) 405, 516
Линь (Lin Т. Н.) 387, 516
Липсит (Lipsitt H. А.) 614
Лоде (Lode W.) 348, 372, 388, 516
Лоу (Low J. R.) 318, 333, 614
Лурье А. И. 202
Лю (Liu H. W.) 590, 614
Любан (Lubahn J. D.) 517
Ляв (Love A. E. H.) 202, 516, 614,
751
Майлонас (Mylonas С.) 54, 82, 334
Мак-Айвр (Mclver R. W.) 513
Макгенри (McHenry D.) 517
760
Именной указатель
Мак-Ивен (McEwen A. D.) 82
Мак-Ивли (McEvily A. J.) 590—592,
600, 613, 614
Макклинток (McClintock F. А.) 82
263, 266, 296, 303—306, 316, 320,
322, 323, 326, 327, 333, 451, 462,
517, 546, 547, 569, 613, 614
Маккомб (McComb H. J., Jr.) 517
Мак-Куллаг (MacCullagh J.) 650, 751
Макламор (McLamore R.) 479, 517
Мак Лин (McLean D.) 645
Максвелл (Maxwell J. G.) 366, 469,
476, 477, 517
Маллинс (Mullins L.) 613
Маннинг (Manning G. К.) 645
Марковиц (Markowitz J.) 516
Мацуо (Matsuo S.) 520
Меган (Mehan R. L.) 337, 400, 517
Мейден (Maiden С. Н.) 517
Мейр (Mair W. M.) 395—397, 517
Менсон (Manson S. S.) 614
Меррел (Murrell S. A. F.) 436, 517
Мизес (von Mises R.) 362, 372, 377,
381, 382, 388, 474, 476, 477, 517,
627, 645
Микин (Meakin J. D.) 64, 82
Миндлин (Mindlin R. D.) 186, 202,
751
Мичелл (Michell J. H.) 114, 202
Mop (Mohr O.) 360, 410—412, 473, 517
Моссаковский В. И. 98, 202
Мотт (Mott N. F.) 195, 202, 525, 539
540, 568, 576, 584, 609, 614
Мроз (Mroz Z.) 518
Муки (Muki R.) 187, 188, 190, 192,
203
Мура (Мига Т.) 333
Муржевский (Murzewski J.) 645
Мусхелишвили Н. И. 67, 82, 88, 97,
100, 178, 202, 241, 333, 334
Мястковский (Miastkowski J.) 398—
400, 517
Набарро (Nabarro F. R. N.) 332
Навье (Navier L. M. H.) 414, 469, 517
Надаи (Nadai A.) 348, 367, 371, 387,
436, 446, 464, 468, 470, 474, 476,
517
Нахди (Naghdi P. M.) 190, 201, 390,
396, 397, 403, 469, 517, 751
Нейбер (Neber H.) 114, 202, 256,
272, 308, 334
Нива (Niwa Y.) 436, 446, 517
Нил (Neal D. M.) 257, 258, 332
Нобл (Noble B.) 192, 193, 202
Новожилов В. В. 369, 384, 476, 515,
518
Норделл (Nordell W. J.) 615
Ноулс (Knowles J. K.) 180, 202, 238,
333
Ньюмен (Newman S. B.) 615
Одквист (Odqvist F. K. G.) 518
Олыпак (Olszak W.) 377, 469, 518
Орован (Orowan E.) 334, 474, 518,
524, 530, 551, 569, 576, 612, 614
Оуэн (Owen W. S.) 613
Пагано (Pagano N. J.) 190, 192, 202
Пальмов В. А. 751
Парис (Paris P. C.) 32, 82, 111, 137,
140, 202, 203, 232, 233, 237, 238,
334, 335, 591, 611, 614
Паркер (Parker J.) 515, 518
Парфитт (Parfitt V. R.) 751
Паттик (Puttick К. Е.) 320, 334
Пежина (Perzyna P.) 518
Перрон (Perrone N.) 518
Петерсон (Peterson R. E.) 114, 202,
256, 334
Петч (Petch N. J.) 64, 82
Пжеминиский (Przemieniecki J. S.)
331
Пирс (Peirce F. T.) 7, 627, 645
Пирсон (Pearson C.) 500, 518
Пирсон (Pearson K.) 468, 471, 519
Пистер (Pister K. S.) 444, 445, 513
Плато (Plateau J.) 320, 333
Поль (Paul B.) 10, 336, 386, 424,
437, 439, 518
Понселе (Poncelet E. F.) 614
Пост (Post D.) 542, 571, 575, 615
Прагер (Prager W.) 334, 369, 373,
384, 386, 404, 436, 468, 514, 518
Пью (Pugh H. L. D.) 395—397, 513
Равера (Ravera R. J.) 194, 202
Раджапаксе (Rajapakse Y. D. S.) 35
Райе (Rice J. R.) 10, 82, 106, 202—
204, 238, 266, 270, 272, 276, 284,
285, 292, 308, 315, 334, 614
Райт (Wright R. N.) 573, 577, 615
Рамлер (Rammler E.) 645
Рейнер (Reiner M.) 520, 645
Рейсснер (Reissner E.) 202
Рёслер (Roesler F. C.) 612
Ривлин (Rivlin R. S.) 524, 614,
751
Рид (Reed N.) 516, 520
Роберте (Roberts D. K.) 195, 196,
202, 540—544, 614
Роберте (Roberts R.) 612
Именной указатель
761
Робертсон (Robertson T. S.) 570—
572, 575, 612, 614
Роджерс (Rogers H. С.) 320, 334
Розенгрен (Rosengren G. F.) 292, 334
Розенфилд (Rosenfield A. R.) 50, 82,
281, 290, 333, 334, 596, 614
Розин (Rosin P.) 645
Ронгвед (Rongved L.) 184, 202
Рони (Ronay M.) 82
Роуз (Rose В. А.) 348
Роузен (Rosen В.) 612
Роули (Rowley J. С.) 517
Рыбка М. Т. 98, 202
Рыхлевский (Rychlewski J.) 518
Рэнкин (Rankine W. J. M.) 470, 471,
519
Савин Г. Н. 128, 129, 132, 134, 202,
241, 256, 334
Садовский (Sadowsky M. А.) 26, 256,
334
Саймрндс (Symonds P. S.) 514—518
Сакс (Sachs G.) 377, 519
Салганик Р. Л. 611
Салмасси (Salmassy О. К.) 645
Сандерс (Sanders J. L., Jr.) 87, 121,
202, 245, 246, 332, 334, 545, 614
Сандру (Sandru N.) 751
Саусвелл (Southwell R. V.) 203
Сведлоу (Swedlow J. L.) 82, 203,
308, 333—335, 612—614
Свинден (Swinden К. Н.) 283, 331
Сегедин (Segedin С. М.) 145, 202
Сейбел (Saibel E.) 614
Селденрат (Seldenrath T. R.) 519
Сен-Венан (Saint-Venant В., de) 381,
471, 472, 517, 519
Си (Sih G. C.) 9, 32, 82, 83, 90, yz,
106, 109, 111, 115, 117, 120, 127,
135, 136, 140, 142, 145, 152, 174,
178, 180, 182, 190, 192, 194, 201—
203, 232, 237, 238, 333, 334, 612
Сибата (Shibata T.) 442, 519
Сикарски (Sikarskie D. L.) 518
Симонен (Simonen F. A.) 44
Сирайес (Sirieys P. M.) 514
Скотт (Scott R. F.) 519
Смекал (SmeKal A.) 572, 614
Смит (Smith E.) 283, 284, 334
Смит (Smith G. C.) 613
Смит (Smith T. L.) 614
Снеддон (Sneddon I. N.) 86, 106, 145,
150, 155, 201, 203, 237, 334, 750
Соботка (Sobotka Z.) 377, 519
Сокольников (Sokolnikoff I. S.) 241,
335, 751
Спенсер (Spencer A. J. M.) 751
Сроули (Srawley J. E.) 233, 332, 335
Стасси-Д'Алиа (Stassi-D'Alia F.) 436,
519
Стернберг (Sternberg E.) 26, 187,
188, 190, 192, 203, 256, 334
Стоктон (Stockton F. D.) 369, 401,
403, 514, 519
Стро (Stroh A. N.) 196, 203, 320,
335, 547, 615, 750
Струт (Struth W.) 571
Сулливан (Sullivan A. M.) 333, 573,
613?
Сухатме (Sukhatme S. P.) 546, 547,
614
Сухуби (Suhibi E. S.) 750, 751
Тавернелли (Tavernelly J.) 612
Такенако (Takenako Y.) 520
Талыпов Г. Б. 407, 519
Тегарт (Tegart W. J. M.) 519
Тейлор (Taylor G. I.) 82, 349, 370,
372, 388-390, 519
Теокарис (Theocaris P. S.) 403, 519
Терри (Terry S. W.) 615
Терцаги (Terzaghi K.) 519
Тетельман (Tetelman A. S.) 50, 65, 82
Тимошенко (Timoshenko S. P.) 82,
203, 410, 468, 519
Типпер (Tipper С F.) 615
Типпет (Tippett L. H. C.) 627, 645
Тирстен (Tiersten H. F.) 751
Тодхантер (Todhunter I.) 468, 519
Томас (Thomas A. G.) 524, 613, 614
Томас (Thomas D. A.) 334, 519, 612—
615
Томас (Thomas T. Y.) 382, 519
Томпсон (Thompson N.) 615
Томсен (Thomsen E. G.) 439, 519
Томсон (Thomson W.) 469, 751, см.
также Кельвин
Тредголд (Tredgold T.) 515
Треска (Treska H.) 360, 471, 472, 519,
520
Трефц (Trefftz E.) 146, 203
Трусделл (Truesdell С.) 751
Тункел (Tuncel О.) 335
Тупин (Toupin R. А.) 751
Тэт (Tait P. G.) 751
Уайт (White G. N.) 399, 520
Уилкс (Wilks S. S.) 645
Уилнер (Willner A. M.) 233, 333
Уилсон (Wilson К.) 520
Уитли (Whiteley R. L.) 377, 520
Уиттекер (Whitakker E. Т.) 149, 203
Уодсворт (Wadsworth N. J.) 615
Уоллнер (Wallner H.) 615
762
Именной указатель
Уолтон (Walton H. W.) 519
Уолш (Walsh J. В.) 451, 462, 517
Уолш (Walsh W. Р.) 613
Уорд (Ward G. N.) 547, 559, 615
Урбановский (Urbanowsky W.) 377,
518
Уфлянд Я. С. 185, 203
Уэллс (Wells А. А.) 195, 196, 202,
540—544, 571, 575, 614, 615
Фейрхёрст (Fairhurst С.) 464, 514,
517
Фелбек (Felbeck D. К.) 334, 569,
576, 612—615
Фёппль (Foppl A.) 446
Филд (Field F. А.) 82, 284, 332, 608,
613
Филлипс (Phillips A.) 403, 518
Финдли (Findley W. N.) 392, 393,
513
Финни (Finnie I.) 515
Фишер (Fischer J. С.) 645
Фишер (Fisher R. А.) 627, 645
Флюгге (Fluegge S.) 515
Фойхт (Voigt W.) 751
Фопель (Faupel J. H.) 514
Форбс (Forbes F. W.) 614
Форсайт (Forsyth P. J. E.) 612
Франк (Frank F. С.) 332
Фредериксон (Frederickson J. W.) 612
Фрейденталь (Freudenthal A. М.) 11,
468, 515, 616, 645
Френкель Я. И. 645
Фреше (Frechet M.) 625, 627, 645
Фромм (Fromm H.) 468, 473, 474,
476, 515
Фрост (Frost N. Е.) 589, 612
Хадсон (Hudson G.) 570, 613
Хазел (Hazell G. R.) 403, 519
Халл (Hull D.) 557, 572, 574, 612,
613
Халпин (Halpin J. С.) 613
Халси (Halsey G.) 612
Халт (Hult J. A. H.) 82, 263, 266,
333, 613
Хан (Hahn G. Т.) 82, 290, 333, 334,
612—615
Хардрат (Hardrath H. F.) 590, 612,
613
Хартранфт (Hartranft R. J.) 180, 201
Хатчингс (Hutchings J.) 615
Хатчинсон (Hutchinson J. W.
308, 333, 342
,) 292,
Хаффингтон (Huffington N. J., Jr.)
344, 516
Хапшн (Hashin Z.) 645
Хед (Head A. K.) 589, 613
Хей (Haigh B. P.) 473, 475, 515
Хейторнтуэйт (Haythornthwaite
R. M.) 358, 425, 435, 441, 442, 515
Хеллер (Heller W. R.) 515
Хендин (Handin J.) 515, 518
Херцберг (Hertzberg] R. W.) 613
Хилл (Hill R.) 331, 333, 358, 375,
376, 382—384, 413, 435, 468, 513,
515, 750
Хирасима (Hirashima K.) 517
Ходж (Hodge P. G., Jr.) 334, 364,
365, 386, 395, 468, 513, 515, 518
Ходжкинсон (Hodgkinson E.) 471,
515
Хоек (Hoek E.) 452, 459, 460, 515
Холл (Hall E. O.) 528, 613
Холл (Hall W. J.) 570, 577, 612,
613, 615
Холломон (Hollomon J. H.) 613, 645
Хорт (Hort W.) 515
Хосфорд (Hosford W. F., Jr.) 372,
376, 516
Хоф (Hoff N. J.) 333
Христианович С. A. 9, 52, 66, 82
Xy (Hu L. W.) 516
Циглер (Ziegler H.) 519, 520
Цю (Hsu Т. С.) 516
Чалмерс (Chalmers B.) 345, 513
Чен (Chen W.) 518
Чепкис (Chapkis R. L.) 139, 201
Черепанов Г. П. 196, 201, 530, 611
Черепи (Cherepy R. В.) 333
Черчилл (Churchill R. V.) 67, 81, 332
Читем (Cheatham J. В., Jr.) 514
Шардин (Schardin H.) 334, 571, 572,
574, 576, 614
Швопе (Schwope A. D.) 645
Шейве (Schijve J.) 591, 604, 606,
607, 612, 614, 751
Шенд (Shand T. L.) 572, 614
Шефер (Schaefer H.) 751
Шилд (Shield R. T.) 420,1519
Шоу (Shaw W. A.) 202, 203
Щепинский (Szczepinski W.) 398—
400, 517, 519
Именной указатель
763
Эйлер (Euler L.) 649
Эйринг (Eyring H.) 528, 612, 613
Эйрих (Eirich F. R.) 514
Эйтман (Eitman D. А.) 513
Эйхингер (Eichinger A.) 476, 514
Эшптейн (Epstein В.) 645
Эрдоган (Erdogan F.) 11, 142, 201,
203, 334, 335, 521, 591, 612, 614
Эринген (Eringen А. С.) 11, 646,
647, 654, 676, 750, 751
Эрхард (Erhard G. R.) 615
Эссенбург (Essenburg F.) 390, 396,
517
Эфтис (Eftis J.) 332
Эшелби (Eshelby J. D.) 256, 318,
319, 328, 332, 612
Ян (Yang A. H.) 335
ОГЛАВЛЕНИЕ
ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА 5
ПРЕДИСЛОВИЕ. Перевод Р. Л. Салганика 7
ГЛАВА 1. Дж. Гудьер. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ РАВНОВЕСНЫХ
ТРЕЩИН. Перевод Р. Л. Салганика 13
ГЛАВА 2. Г. Си, Г. ЛибОБИЦ. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ХРУПКО-
ХРУПКОГО РАЗРУШЕНИЯ. Перевод А. С. Вавакина 83
ГЛАВА 3. ДЖ. РаЙС. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ В МЕХАНИКЕ РАЗ-
РАЗРУШЕНИЯ. Перевод В. М. Ентова 204
ГЛАВА 4. Б. ПОЛЬ. МАКРОСКОПИЧЕСКИЕ КРИТЕРИИ ПЛАСТИЧЕСКО-
ПЛАСТИЧЕСКОГО ТЕЧЕНИЯ И ХРУПКОГО РАЗРУШЕНИЯ. Перевод В. М. Ентова
и Р. Л. Салганика 336
ГЛАВА 5. Ф- Эрдоган. ТЕОРИЯ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ТРЕЩИН. Пере-
Перевод Р. В. Голъдштейна 521
глава 6. А. М. Фрейденталь. статистический подход к хруп-
хрупкому РАЗРУШЕНИЮ. Перевод Р. Л. Салганика 616
глава 7. А. К. Эринген. теория микрополярной упругости.
Перевод Р. В. Гольдштейна 646
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ 752
ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ 757
УВАЖАЕМЫЙ ЧИТАТЕЛЬ!
Ваши замечания о содержании книги, ее оформлении,
качестве перевода и другие просим присылать по адресу:
129820, Москва, И-110, ГСП, 1-й Рижский пер., д. 2,
издательство «Мир».
РАЗРУШЕНИЕ
том 2
Редакторы Г. М. Ильичева и П. Я. Корсоюцкая
Художник Н. Г, Мануйлова
Художественный редактор В. И. Шаповалов
Технический редактор Е. С. Потапенкова
Сдано в набор 26/ХИ 1974 г.
Подписано к печати 18/VI 1975 г.
Бумага кн. журн. 60x90Vie, бум. л. 24, печ. л. 48.
Уч.-изд. л. 45,60. Изд. № 1/5605
Цена 3 р. 39 к. Зак. № 0700
ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР»
Москва, 1-й Рижский пер., 2
Ордена Трудового Красного Знамени
Московская типография № 7 «Искра революции»
Союзполиграфпрома при Государственном комитете;
Совета Министров СССР по делам издательств,
полиграфии и книжной торговли
Москва, К-1, Трехпрудный пер., д.9
ВНИМАНИЮ ЧИТАТЕЛЕЙ!
С 1975 г. издательство «Мир» начинает выпуск серии
«Механика. Новое в зарубежной науке».
Редакторы серии: А. Ю. Ишлинский и Г. Г. Черный
В этой серии будут публиковаться обзоры и пере-
переводы статей и небольших книг по наиболее актуальным
вопросам механики, а также обзоры состояния отдель-
отдельных ее областей.
Готовятся к выпуску:
1. Задачи стабилизации составных спутников
2. Определяющие законы механики грунтов
3. Броуд Г. Расчеты взрывов на ЭВМ. Подземные взры-
взрывы
4. Броуд Г. Расчеты взрывов на ЭВМ. Газодинамика
взрывов
5. Проблемы динамики упругопластических сред. Сбор-
Сборник обзоров
6. Динамика разреженных газов
7. Нестационарные процессы в деформируемых телах
8. Де Вит Р. Континуальная теория дисклинаций
9. Проблемы теории пластичности
Если Вы желаете приобрести книги этой серии,
оставьте в книжном магазине предварительный заказ.
Своевременное оформление заказа гарантирует Вам
приобретение нужной книги.
В ИЗДАТЕЛЬСТВЕ «МИР» ГОТОВИТСЯ К ВЫПУСКУ
Определяющие законы механики грунтов. Сб. ст.,
пер. с англ., 18 л.
Книга входит в серию «Механика. Новое в зару-
зарубежной науке», выпуск которой начинается издатель-
издательством «Мир», и посвящена одному из актуальных раз-
разделов современной механики — разработке математи-
математической модели грунта. В сборник включены доклады
на специальном симпозиуме, отражающие эксперимен-
экспериментальные достижения и главные направления зарубеж-
зарубежных исследований по прикладной механике грунта,
а также фундаментальные работы Д. Друккера, В. Пра-
гера, Дж. Раиса и др. по формулировке математических
аспектов проблемы. В приложении эти результаты
рассмотрены в сравнении с исследованиями отечест-
отечественных ученых.
Книга заинтересует механиков и физиков, занятых
исследованием проблем прочности и пластичности, ин-
инженеров различных специальностей, занимающихся ме-
механикой грунтов, а также аспирантов и студентов уни-
университетов и втузов соответствующих специальностей.
Если Вы желаете приобрести эту книгу, оставьте
в книжном магазине предварительный заказ. Своевре-
Своевременное оформление заказа гарантирует Вам приобрете-
приобретение нужной книги.