Основы квантовой электроники - Пантел Р., Путхоф Г.

Автор: Пантел Р. Путхоф Г.

Теги: свойства и структура молекулярных систем физика электроника квантовая электроника квантовая физика издательство мир

Год: 1972

Похожие

Квантовая теория кристаллических твердых тел

Основы кристаллофизики

Физические основы сегнетоэлектрических явлений в кристаллах

Основы теории пластичности

Текст

FUNDAMENTALS OF QUANTUM ELECTRONICS
by
R. H. PANTELL,
Professor, Electrical Engineering
Stanford University,
Stanford, California
H. E. PUTHOFF,
Research Associate
Stanford University,
Stanford, California
JOHN WILEY & SONS, INC.,
NEW YORK, LONDON, SYDNEY, TORONTO
1969

Р. Пантел, Г. Путхоф ОСНОВЫ
КВАНТОВОЙ
ЭЛЕКТРОНИКИ
Перевод с английского
Э. С. ВОРОНИНА и В. С. СОЛОМАТИНА
Под редакцией
Ю. А. ИЛЬИНСКОГО
С предисловием
чл.-корр. АН СССР Р. В. ХОХЛОВА
ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР»
Москва 1972

УДК 539.2-621.378
Предлагаемая вниманию читателей книга известных амери-
американских физиков Р. Пантела и Г. Путхофа — это по существу
фундаментальный учебник монографического характера, общность
изложения материала в котором позволит ему надолго сохранить
актуальность. Для книги характерен единый, последовательный
подход к множеству проблем, включая последние достижения,
относящиеся к нелинейной оптике, полупроводниковым лазерам,
а также изучению процессов взаимодействия излучения с веще-
веществом.
По уровню изложения и охваченному материалу книга пред-
представляет интерес для широкого круга физиков и инженеров,
связанных с исследованиями и практическими разработками в
области квантовой электроники, и, несомненно, будет полезна и
необходима студентам старших курсов, аспирантам и преподава-
преподавателям физико-технических вузов и университетов.
Редакция литературы по физике
Инд. 2-3-2
64-72
Р. Пантел, Г. Путхоф
основы квантовой электроники
Редактор В. И. Самсонова Художник А. Г. Антонова
Художественный редактор П. Ф. Некундэ Технический речактор Г. Б. Алюлина
Корректор А. Шехтер
Сдано в набор 8/VI 1971 г. Подписано к печати 2Э/Х 1971 г. Бум. тип. № 1.60X90"/,,=
-12 бум. л. 24 усл. печ. л. Уч.-изд. л. 21,46. Изд. Нг 2/5949. Цела 1 р. 76 к.
Заказ 1168
ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР»
Москвл, 1-й Рижский пер., 2
Ордена Трудового Красного Знамени
Ленинградская типография № 2 имени Евгении Соколовой Главполиграфпрома
Комитета по печати при Совете Министров СССР. Измайловский проспект, 29.

ПРЕДИСЛОВИЕ К РУССКОМУ ИЗДАНИЮ
На современном этапе развития науки и техники квантовая
электроника играет все возрастающую роль.
Молекулярные генераторы, ставшие стандартами частоты,
парамагнитные усилители с предельно низкими собственными
шумами и, наконец, лазеры, открывшие эру когерентной оптики,
характеризуют основные этапы становления квантовой электро-
электроники как науки.
В настоящее время большое число ученых и инженеров за-
занято изучением проблемы взаимодействия лазерного излучения
с веществом и его использования в разнообразных практических
устройствах. Возникают новые направления, например, нелиней-
нелинейная оптика и голография, обязанные своим появлением лазерам.
Лазеры уже используются в системах связи, локации, обра-
обработки материалов, в метеорологии, медицине, в агротехнике
и т. д. jЧoжнo без преувеличения утверждать, что внедрение до-
достижений квантовой электроники в промышленность и другие
области народного хозяйства явится одним из наиболее важных
направлений в осуществлении научно-технического прогресса.
В этих условиях изучение квантовой электроники как дисцип-
дисциплины в вузах приобретает очень большое значение.
Книга Р. Пантела и Г. Путхофа — это фактически хороший
учебник по квантовой электронике, написанный с большим пе-
педагогическим мастерством. Предполагается, что этот предмет
изучается после курсов квантовой механики и электродинамики.
Отбор материала представляется удачным, книга посвящена
физическим основам квантовой электроники; описание работы
конкретных приборов имеет лишь иллюстративное значение. Это
обстоятельство, а также выяснение физической сущности рас-
рассматриваемых явлений, а не только их математическое описа-
описание, что иногда имеет место, делают учебник особенно ценным
и обеспечивают ему долгую жизнь.
Изложение материала последовательно и не перегружено де-
деталями. Особенно хочется отметить удачно подобранные задачи
и упражнения, которыми заканчивается каждая глава. Для лиц,
специализирующихся в области квантовой электроники, пользу
их проработки трудно переоценить.
Книга написана на основе курса лекций, читавшегося авто-
авторами в Стенфордском университете — одном из ведущих центров

6 Предисловие к русскому изданию
США в области квантовой электроники. Проф. Пантел — круп-
крупный ученый, автор многих важных работ по квантовой элек-
электронике и нелинейной оптике, д-р Путхоф — его ближайший со-
сотрудник. Поэтому научный уровень изложения очень высок. Сле-
Следует специально отметить, что собственные научные интересы
авторов при отборе материала проявлены в разумной степени,
а не чрезмерно, как это часто случается.
Таким образом, книга является хорошим учебным пособием,
полезным и для студентов, и для специалистов, работающих как
в области квантовой электроники, так и в смежных областях.
Р. ХОХЛОВ

ПРЕДИСЛОВИЕ
В связи с тем, что за последнее время квантовая электро-
электроника нашла весьма широкое применение, возникла необходи-
необходимость в создании учебника, в котором к анализу физического
характера явления и описанию приборов квантовой электроники
подходили бы с единой точки зрения. Такой подход желателен
для любой вновь возникающей области науки, но необходимость
в нем особенно велика в квантовой электронике в связи с ее
быстрым развитием, поскольку соответствующая информация
должна поступать от физика-теоретика к специалисту в области
прикладной физики и далее к инженеру. В результате специа-
специалисты в области прикладной физики и инженеры должны
усваивать обширный материал, от основных элементов кванто-
квантовой механики до исследования поведения таких сложных макро-
макроскопических устройств, как лазеры и параметрические системы.
Мы надеемся, что предлагаемый учебник поможет специа-
специалисту в области прикладной физики и инженеру ликвидировать
разрыв между теорией и экспериментом, т. е. начиная с основ-
основных принципов теории (уравнение Шредингера или его эквива-
эквивалент) при помощи довольно стройного последовательного ана-
анализа перейти к описанию макроскопического поведения приборов
квантовой электроники, применяемых на практике. Изложенный
в учебнике материал использовался как основа курса для вы-
выпускников и главным образом аспирантов первого года обуче-
обучения Стенфордского университета, специализирующихся в области
прикладной физики или электроники, т. е. для тех, кто прослу-
прослушал вводный курс квантовой механики. Таким образом, слуша-
слушатели были подготовлены к тому, чтобы овладеть основными
элементами квантовой механики, излагаемыми в этом курсе,
а затем переходить к изучению более мощного аппарата для
анализа поведения макроскопических систем, в основе которого
лежат такие процессы, как вынужденное излучение, многофо-
многофотонные процессы и фотон-фононные взаимодействия. Представ-
Представленный в книге материал как раз предназначен для этой цели
и, следовательно, служит вводным курсом к более детальному
изучению квантовой электроники, теории полупроводников и оп-
оптических свойств твердых тел. Методы анализа, развитые в книге,
иллюстрируются на примерах применения их к задачам,

8 Предисловие
представляющим интерес. Однако упор делается на развитие
методов анализа для решения таких задач, а не на обсуждение
приборов квантовой электроники.
Цель нашей книги — совершить переход от математических
постулатов и формализмов квантовой механики к уравнениям,
включающим интересующие нас макроскопические переменные.
При этом макроскопические наблюдаемые определяются сред-
средними значениями оператора, соответствующего наблюдаемой
величине, а среднее значение определяется матрицей плотности.
Затем уравнения записываются только через средние значения
путем подстановки эквивалентных выражений для матрицы
плотности. В результате приходим к системе уравнений, выра-
выраженных через такие макроскопические переменные, как поля-
поляризация и электрическое поле. При полуклассическом подходе,
когда электромагнитное поле не квантуется, необходимо к урав-
уравнениям для средних значений добавить максвелловские уравне-
уравнения электромагнитного поля. Так образуется самосогласованная
система уравнений.
Существенное внимание было уделено вопросу выбора еди-
единиц измерений, т. е. использовать ли единицы СГС или МКС.
Несмотря на то что в литературе по квантовой электронике ши-
широко применяется система единиц СГС, при составлении курса,
адресованного в основном специалистам по прикладной физике
и инженерам, необходимо было учесть возрастающую тенден-
тенденцию к использованию системы МКС. На основании просьб са-
самих студентов, зная при этом о разногласиях, встречающихся
в литературе, с одной стороны, и о том, что студент считает
удобной ту систему единиц, которую легче изучать, с другой
стороны, было окончательно отдано предпочтение последней си-
системе, т. е. была принята система МКС.
Гл. 1 книги представляет собой обзор некоторых вопросов
квантовой механики, имеющих отношение к материалу, излагае-
излагаемому в последующих главах. Раскрывается понятие матрицы
плотности и подчеркивается ее значимость, поскольку матрица
плотности образует основу взаимосвязи квантовомеханических
операторов и наблюдаемых величин.
В гл. 2 рассматривается взаимодействие между полем излу-
излучения и двухуровневой квантованной средой. Вводятся полу-
полуклассические уравнения, связывающие поляризацию, электро-
электромагнитное поле и населенность уровнен энергии для случаев
как дипольного перехода, так и перехода в системах со спи-
спином 1/2.
Гл. 3 касается резонансного поглощения, насыщения и дис-
дисперсии. Параметры дипольного перехода выражаются через
величины, которые получаются экспериментально, что позволяет
оценить матричные элементы и времена релаксации. Обсуж-

Предисловие 9
дается частотная зависимость комплексного показателя прелом-
преломления при наличии дипольного взаимодействия.
В гл. 4 дается описание лазера, включая условия самовоз-
самовозбуждения, стационарные режимы, переходные процессы, а также
работу лазера с модулированной добротностью. Лазер с одно-
однородно уширенной линией описывается с помощью кинетических
уравнений, полученных в предыдущей главе. Для лазера с неод-
неоднородно уширенной линией используются полуклассические
уравнения.
В гл. 5 рассматривается взаимодействие нерезонансных по-
полей и квантованной среды, т. е. случай, когда частота поля
излучения отличается от частоты, связанной с переходом. Про-
Проводится анализ многофотонного поглощения и генерации гармо-
гармоники. Для такого типа процессов высокого порядка вычислены
вероятности переходов.
Гл. 6 посвящена сравнению полуклассического и квантово-
электродинамического подходов к изучению взаимодействия
излучения и вещества. В частности, в этой главе обсуждается
случай, когда в уравнения входят члены, учитывающие спон-
спонтанное излучение, что приводит к модификации предыдущих
результатов.
В гл. 7 изучается взаимодействие излучения с молекуляр-
молекулярными колебаниями. Рассматриваются вынужденное и спонтан-
спонтанное рамановское и бриллюэновское рассеяния1), определяется
порог возбуждения и условия фазового синхронизма.
В гл. 8 описываются оптические явления в полупроводниках
и рассматривается взаимодействие излучения и системы, имею-
имеющей непрерывный энергетический спектр. В этой главе осве-
освещаются вопросы поглощения и фотопроводимости, а также рас-
рассматриваются полупроводниковые лазеры.
Громоздкие выводы, которые могли бы нарушить стройность
изложения, либо вынесены в приложения, либо включены в за-
задачи, приводимые в конце каждой главы. Задачи следует рас-
рассматривать как необходимое дополнение к тексту для развития
некоторых концепций; последние лучше всего усваиваются при
решении конкретного примера. Ряд задач носит характер скорее
небольшого научного исследования, чем чисто иллюстративный.
На практике исследователь должен уметь делать подходящие
предположения и научиться пользоваться большим количеством
дополнительной литературы. При решении задач исследователь-
исследовательского характера студент получит представление о том, чего
') В отечественной литературе в этом случае используются термины
«комбинационное рассеяние» и «рассеяние Мандельштама — Бриллюэна».
В переводе везде сохранена терминология автора. — Прим. перев.

10 Предисловие
могут ожидать от него или при работе над диссертацией или
после ее окончания.
Авторы выражают свою благодарность проф. Иллинойского
университета П. Крулмену, профессорам Калифорнийского уни-
университета в Беркли С, Шварцу и Е, Виннери за просмотр ру-
рукописи перед выходом в свет,
Ричард Пантел
Стенфорд, Калифорния Гарольд Путхоф
июнь 1969 г.

ОБОЗНАЧЕНИЯ
Л —скорость спонтанной эмиссии
Af — оператор, сопряженный с А
(Л) —среднее значение оператора А
А — векторный потенциал
а — постоянная решетки
af, а —операторы рождения и уничтожения для бозон-
ного поля (легко отличаемые от постоянной ре-
решетки по контексту)
[А, В] — коммутатор операторов А я В
М- — коэффициент затухания для мощности
В —магнитная индукция
Вц — тензор относительной диэлектрической непрони-
непроницаемости
Ь* — величина, комплексно сопряженная с Ь
Ст, CL — постоянные жесткости кристалла для попереч-
поперечных и продольных волн
с — скорость света в вакууме
D — электрическая индукция
d3k — элемент объема в к-пространстве
Ек — собственное значение энергии для ft-го состояния
Е, B?—напряженность электрического поля
е — заряд электрона
f — сила
//г — сила осциллятора для перехода i—*j
F— коэффициент заполнения
G — вектор обратной решетки
g — спектроскопический фактор расщепления
gQ{Qi, <й0) — функция гауссовой формы линии
gi — кратность вырождения г-ro уровня
gL{(i), Q) — функция лоренцевой формы линии (действитель-
(действительная часть)
gL (со, Q) — комплексная функция лоренцевой формы линии
gs — стоксов коэффициент усиления на единицу
длины
') Остальные обозначения поясняются в тексте.

12 Обозначения
Н — напряженность магнитного поля
й — О/гя) X постоянную Планка
hi — момент количества движения
fiQ — разность энергий двух состояний
Ж — гамильтониан
Ж — гамильтониан взаимодействия или гамильтониан
возмущения
Жо — невозмущенный гамильтониан
Ж — гамильтониан случайных взаимодействий
/—интенсивность (мощность на единицу площади)
i— мнимая единица, У — 1
J — плотность тока
k, I k |— величина волнового вектора
к — волновой вектор
L — поправочный множитель Лоренца
L— момент количества движения
3? — лагранжиан
М — масса атома
М—намагниченность
т — масса электрона
т* — эффективная масса электрона
m — магнитный дипольный момент
m*h — эффективная масса дырки
N — разность населенностей единицы объема, N2 — Л/;
УУ — разность населенностей единицы объема, норми-
нормированная к стационарному значению
Ne — разность населенностей единицы объема при
равновесных условиях
Nv — число частиц в единице объема
п — число фотонов
Ж — число
Р — мощность
Р — поляризация
р — канонический импульс, сопряженный с коорди-
координатой q
рп— вероятность того, что квантовомеханическая си-
система характеризуется вектором состояния |я|)п)
р (со) — плотность мод (число мод на единицу объема и
единицу частотного интервала)
Pi/rs ~ фотоупругие коэффициенты
ZP — мощность на единицу объема
Q — относительное смещение атомов или молекул,
Ц2 — Ц\
Qc> Qi ~ добротность резонатора, определяющая ширину
линии

Обозначения 13
q — обобщенная координата
Ж — коэффициент отражения по мощности
Т — температура
7', — время продольной релаксации
Т> — время поперечной релаксации
f — вращательный момент
Sp — след
U — энергия на единицу объема
V — объем
У — потенциал
v — скорость
Wjk — скорость перехода из состояния / в состояние k
Ж — энергия
Z — эффективный заряд
а — поляризуемость
Р — магнетон Бора
Г — коэффициент затухания для мощности
у — гиромагнитное отношение
Асо0 — ширина гауссовой линии
Acot — ширина лоренцевой линии
Ьц — символ Кронекера
6(х — х') — дельта-функция Дирака
е — диэлектрическая проницаемость
е0 — диэлектрическая проницаемость вакуума
£ — телесный угол
т) — показатель преломления
х—постоянная Больцмана или диэлектрическая по-
постоянная (различие видно из текста)
А, — длина волны
ц— магнитная проницаемость
)хе — подвижность электронов
\ih— подвижность дырок
|а0 — магнитная проницаемость вакуума
jti — электрический дипольный момент
| \i,k) — не зависящий от времени собственный вектор со-
состояния
| ц121— матричный элемент оператора дипольного мо-
момента, связывающий состояния | 1) и |2)
v — частота
р — оператор плотности
Р</ ~ '/"й матричный элемент оператора плотности р
рт— плотность массы
р(&) — вероятность того, что электрон будет найден в
единице объема в ^-пространстве
p(v)— электромагнитная энергия на единицу объема и
единицу частотного интервала

14 Обозначения
or — электропроводность
ас — эффективное сечение
а, ах, оу, az — спиновые операторы Паули
г—постоянная затухания
т<, — постоянная затухания резонатора
xd — постоянная затухания, связанная с дифракцион-
дифракционными потерями резонатора
хт — постоянная затухания, связанная с потерями на
зеркалах резонатора
xs — постоянная затухания, связанная с потерями на
рассеяние и поглощение в резонаторе
xsp — время спонтанной эмиссии
Ф—скалярный потенциал
| Фк) — собственный вектор
Ф — плотность фотонов (плотность электромагнитной
энергии, деленная на fico)
ф—нормированная к стационарному значению плот-
плотность фотонов
Хв~ бриллюэновская восприимчивость
Х# — рамановская восприимчивость
%= %' + it" — восприимчивость
г() — волновая функция
| if) — произвольный вектор состояния
го — угловая частота
(о^, —угловая частота резонатора
1*> I»» lz — единичные векторы в направлениях х, у, z

Глава! КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ
§ 1. ВВЕДЕНИЕ
Вводные курсы квантовой механики обычно начинаются с об-
обзора прогрессирующей несостоятельности классической физики
при объяснении некоторых физических экспериментов. Затем
эта несостоятельность подчеркивается при объяснении корпу-
скулярно-волнового дуализма и присущего материи свойства
дискретности — концепций, которые полностью не могут быть
развиты с классической точки зрения. Чтобы более полно объ-
объяснить эти концепции, необходимо переформулировать фунда-
фундаментальные постулаты, на которых основывалась классическая
физика. Для этой цели вводится понятие волновой функции -ф
и постулируется, что эта функция содержит всю информацию,
которая может быть известна о системе. Эта функция в нереля-
нерелятивистском случае удовлетворяет волновому уравнению Шре-
дингера
Ж^ = Ш^. A.1)
Затем излагается теория волновой механики и в процессе ее
развития подробно решается большое количество относительно
простых задач, таких, например, как задача о гармоническом
осцилляторе и атоме водорода.
К сожалению, даже эти сравнительно простые задачи тре-
требуют соответствующего математического фундамента. Поэтому
у студента может сложиться впечатление, что решение задач,
представляющих не только чисто академический интерес, без-
безнадежно сложно. В действительности же применение квантовой
механики к решению некоторых важных практических задач
часто проще во многих отношениях.
В начальной стадии изучения квантовой механики много уси-
усилий направлено на установление явной формы волновой функ-
функции я|), которая определяется гамильтонианом, описывающим
рассматриваемую систему. Однако при применении квантовой
механики к макроскопическим процессам обычно нет необхо-
необходимости определять точный вид волновой функции. Можно бо-
более успешно подойти к решению проблемы, поступая так, как
это делается при выводе теоремы Эренфеста. Напомним, что из

16 Глава 1
терремы Эренфеста, вывод которой является основным в кван-
квантовой механике, следует, что уравнения движения для средних
значений представляют собой близкие аналоги классических
уравнений. Этот вывод весьма важен, поскольку результирую-
результирующие уравнения не зависят от точного вида волновых функций.
Таким образом обеспечивается «мост» для перехода от урав-
уравнений квантовой механики к уравнениям, по форме аналогичным
классическим.
Введение формализма матрицы плотности, позволяющее по-
получить уравнения движения для средних значений квантовоме-
ханических переменных без необходимости определять в явном
виде используемые волновые функции, дает наиболее компакт-
компактный способ приложения описанного выше подхода. В этом под-
подходе нам необходимо лишь предположить, что существует пол-
полный набор известных, но не конкретных волновых функций,
а затем непосредственное применение формализма квантовой
механики приведет к необходимым уравнениям.
Гл. 1 посвящена обзору некоторых вопросов квантовой меха-
механики, относящихся к развитию формализма матрицы плотности.
В § 2 и 3 приводятся постулаты и обсуждается математический
аппарат, необходимый в дальнейшем. В § 4 дается определение
оператора плотности и рассматриваются его свойства.
§ 2. НЕКОТОРЫЕ ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
Предположим, что всю возможную информацию о системе
можно получить из функции состояния я|), которая удовлетво-
удовлетворяет уравнению Шредингера A.1), где Ж — оператор Гамиль-
Гамильтона, а 2дй — постоянная Планка. Функцию -ф удобно норми-
нормировать следующим образом:
Здесь звездочка означает комплексное сопряжение, а интеграл
берется по всем координатам, от которых зависит \|). В общем
случае \\t можно выразить через целый ряд независимых пере-
переменных, таких, как пространственные координаты, спин или
импульс.
Запись можно упростить, если принять обозначения «бра» и
«кет», введенные Дираком [1]. Вектор состояния ty обозначается
|я|)) и называется кет-вектором. Существует одно-однозначное
соответствие между каждым кет-вектором и другим вектором
(я|)|, называемым бра-вектором, причем произведение бра- и кет-
векторов (я|)|г|;) представляет собой интеграл Г г(Л|)с?1Л Вообще
произведение любых бра-векторов (м| и кет-векторов |у) пред-

Квантовая теория 17
ставляет собой Г u*v dV. Постулируем, что это произведение,
называемое скалярным произведением, имеет следующие свой-
ства:
Эти свойства согласуются с интегральным представлением ска-
скалярного произведения.
В обозначениях Дирака волновое уравнение для кет-вектора
имеет вид
а соответствующее условие нормировки будет
Рассмотрим сначала изолированную систему, свободную от
какого-либо взаимодействия или возмущения. Для такой си-
системы существует ряд состояний, обозначаемых \Фи), которые,
в принципе, можно найти, решая уравнение Шредингера в виде
A.2)
^0|<Dft) = fS,
где Жо — невозмущенный гамильтониан системы, считающийся
не зависящим от времени, a k — индекс k-vo квантового состоя-
состояния. Рассмотрим теперь полную систему не зависящих от вре-
времени векторов состояния \uh), каждый из которых удовлетво-
удовлетворяет уравнению на собственные значения
2®0\uk) = Ek\uk) A.3)
и условию ортонормируемости
(О, k ф I,
(uk | щ) = Ьм = . , _ .
где 5,,л — символ Кронекера. Тогда уравнение A.2) можно ре-
решить, предполагая, что решение имеет вид произведения
|Ф*) = М0|и*>. A.4)
Подставляя A.4) и A.3) в A.2), получаем уравнение
решением которого является
ак = ак{0)е k .

18 Глава I
Здесь частота ah = Eh/ti, Если условие нормировки (\|)|i|?) = I
применить к каждому из собственных векторов \Фь), то с точ-
точностью до произвольного фазового множителя найдем ')
\Фк) = е-1^\ик). A.5)
Если изолированная система находится не в одном из ее соб-
собственных состояний, а в состоянии |я|)), представляющем линей-
линейную комбинацию собственных состояний, то вектор состояния
дается суперпозицией собственных векторов
1Ч>> = 2 ск |ФА) = 2 ске-1ш"'\ик), A.6)
к
где |сА|2 — вероятность того, что при измерении мы найдем си-
систему в ее k-м собственном состоянии. Коэффициенты разложе-
разложения сА не зависят от времени, так как мы предположили отсут-
отсутствие взаимодействия или возмущения, изменяющих систему.
Любое данное измерение энергии системы дает одно из соб-
собственных значений гамильтониана, а чтобы установить полную
форму общего вектора состояния |я|з), требуется найти распре-
распределение последовательности таких измерений. Условие норми-
нормировки (^|^)= 1 означает, что xj|c^|2= 1. т. е. сумма вероятно-
к
стей нахождения системы в каком-либо из собственных состоя-
состояний равна единице.
В уравнении A.6) вектор состояния |\|)) представлен в виде
суммы членов, содержащих собственные векторы гамильтониана.
Иногда для такого представления |я|з) полезно взять собствен-
собственные векторы другого оператора, например оператора импульса.
Данная система функций, которая используется для разложе-
разложения, называется системой базисных векторов. В общем случае
в качестве базисных векторов выбирают ортонормированные
функции, так как это упрощает большинство математических
операций. Например, прямым следствием ортонормируемости
\uk) является равенство са = (Фь|я|Л. Вектор состояния |г|;)
часто записывается в виде столбца коэффициентов при ортонор-
') Из свойства скалярного произведения (и \ v) = (v | и) * следует, что
бра-вектор, соответствующий кет-вектору | Ф^), равен
(ФА | = еШк' (uk |.
Таким образом, при переходе от бра-векторов к кет-векторам, и наоборот,
постоянные заменяются комплексно сопряженными, а бра- и кет-векторы
взаимозаменяются.

Квантовая теория 19
мированных базисных векторах:
что является матричной записью вектора состояния.
Если возмущение или взаимодействие Ж\ действует на си-
систему и изменяет ее динамическое состояние, то для решения
уравнения Шредингера A.1) нужно использовать полный га-
гамильтониан Ж = Жй + Ж\. Однако даже при взаимодействии
удобно рассматривать разложение по базисным векторам |м^),
которые являются собственными векторами невозмущенного га-
гамильтониана и находятся из уравнения A.3). В этом случае
решение можно записать в виде A.5) с той разницей, что ко-
коэффициенты разложения являются функциями времени:
Подставляя это разложение в уравнение Шредингера A.1),
получаем систему дифференциальных уравнений для коэффи-
коэффициентов разложения cu(t), которую можно решить методами
приближений, как это делается, например, в теории возмущений.
Однако вместо этого мы будем развивать те математические
способы вычисления, которые пригодны для метода матрицы
плотности и во многих отношениях представляют более полез-
полезный путь решения.
§ 3. НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА ОПЕРАТОРОВ
Оператор — это правило или ряд правил, по которым один
вектор преобразуется в другой. Таким правилом может быть:
«взять производную по времени» или «продифференцировать
по л:». Уравнение в операторной форме имеет вид
\w) = A\v),
где \v) и \w) — векторы, а А — оператор.
Произведение бра- и кет-векторов (и у) является скаляром;
произведение кет- и бра-векторов \у){и , как можно показать,
будет оператором. Действительно, если А определить как \у){и\,
то
A\v) = \y)(u\v).

20
Глава 1
Следовательно, А |и) является произведением константы на
вектор \у), а произведение |#)(м| является оператором.
Так же, как мы могли разложить вектор по ортонормирован-
ной системе базисных векторов \щ), можно разложить оператор
по системе операторов |м,-)(м;-|:
А = 2 Аи I Щ) {и, |.
', /
Из свойства ортонормируемости векторов \и{) находим
Atl = (ut\A\ui), A.7)
и Aij называется ij-ы матричным элементом оператора А.
Элементы матрицы, для которых i = /, называются диагональ-
диагональными. В матричном обозначении оператор записывается в виде
таблицы элементов Л^-:
А
А
Л13 ...
I
Полезным оператором является единичный оператор /, ко-
который удовлетворяет условию IA = AI = А, где А—любой опе-
оператор. Используя систему ортонормированных базисных векто-
векторов, запишем
1= 2l uk)(uk |.
к
То, что это выражение является единичным оператором, можно
показать следующим образом:
= 2 Ail\uk)(uk\ui)(ui\= 2 Aij\uk)bki(uj\ =
i, i, k i. !,k
= 2 Аи I щ) (ut | = A.
Матричный элемент единичного оператора равен
(«; | / | и,) = 2 (иг | uk) (uk | ut) = &i}.
Таким образом, диагональные элементы равны единице, а не-
диагональные — нулю.

Квантовая теория 21
Если оператор А соответствует наблюдаемой величине, то
среднее значение этой наблюдаемой величины равно
Этот постулат позволяет перейти от математического формализ-
формализма квантовой механики к уравнениям движения для величин,
представляющих интерес в связи с конкретным прибором или
экспериментом. Например, считается, что измеряемое значение
дипольного момента молекулы равно (ц), где |д,— оператор ди-
польного момента; измеряемое значение электрического поля
равно {Е), где Е — оператор электрического поля и т. д.
Оператор В называется сопряженным оператору А, если спра-
справедливо следующее равенство:
<ф|ЛК) = <яИВ|ф}*. A.9)
В этом случае В записывается как А . Если А = Af, то опера-
оператор А называется самосопряженным, или эрмитовым. Оператор
Л, соответствующий наблюдаемой величине, эрмитов. Это сле-
следует из того, что среднее значение {А) представляет собой из-
измеряемую величину и поэтому является вещественным, что
в свою очередь требует, чтобы оператор А был эрмитовым.
В матричном обозначении условие самосопряженности опера-
оператора A.9) сводится к равенству Ац = Ац.
§ 4. ОПЕРАТОР ПЛОТНОСТИ
В общем случае нет достаточно полной информации о си-
системе, чтобы описать ее с помощью определенного вектора со-
состояния |я|)). Предположим, например, что имеются две группы
гармонических осцилляторов, приготовленных различным обра-
образом, так что при t = ta
14>в(*о))= 2 ak\uk),
к
Здесь \uh)— ортонормированиая система базисных векторов,
|"Ф«(М) — вектор состояния одной группы осцилляторов,
a iH'b(^o)) — вектор состояния другой группы при t = i0. Сред-
Средние значения оператора А для двух отдельных групп равны
соответственно {^u(t)\A\^a(t)) и (tyb(t) \A U'b(O)- Если УУа ос-
осцилляторов, характеризующихся вектором состояния |т|>а@)>
смешиваются с Ыь осцилляторами, характеризующимися векто-
вектором состояния |т|>ь(О)> и ПРН этом предполагается, что частицы

22 Глава 1
в двух группах не взаимодействуют, то среднее значение А для
этой смеси будет равно
{А) = ра (^ (О \А I ipe @) + рй (^ @ \А | ifc @),
где ра = NJ(Na + Nb) — вероятность того, что осциллятор ха-
характеризуется вектором состояния |т|>а@)- Следовательно, если
необходимо описать систему более чем одним вектором состоя-
состояния, то среднее значение оператора определяется следующим
образом:
где р„ — вероятность того, что система описывается вектором
|г|;„). Различные векторы состояния могут быть ортогональны
и не ортогональны. Все р„ можно определить, если провести
достаточное количество измерений в системе. Если же серия
измерений неполная, то для оценки вероятностей необходимо
использовать теорию статистического распределения.
Вероятность рп, введенная здесь, отличается от вероятности
|сп|2, полученной прежде в связи с распределением собствен-
собственных состояний. В случае, обсуждаемом ранее, предполагалось,
что система находится в известном состоянии |гр), которое яв-
является линейной комбинацией собственных состояний \uh). Та-
Такое состояние известно как чистое состояние. Вероятность |сп|2
найти систему в п-м собственном состоянии не связана с недо-
недостатком знаний о состоянии системы. Она зависит от природы
процесса измерений, присущей квантовой механике (процесс
измерения возмущает систему так, что она переходит в одно из
собственных состояний).
С другой стороны, вероятность рп отражает недостаток ин-
информации о том, в каком из нескольких возможных состояний
\tyi) может находиться система. Это может быть обусловлено
просто недостаточным количеством измерений или, что эквива-
эквивалентно, отсутствием знаний о приготовлении системы. Следова-
Следовательно, возникает необходимость статистического усреднения
в том же смысле, что и в классической физике. В этом случае
квантовое состояние описывается смесью чистых состояний с со-
соответствующими статистическими весами и называется смешан-
смешанным состоянием. Возможные состояния системы и соответствую-
соответствующие им средние значения оператора приведены в табл. 1. Для
дальнейшего рассмотрения этих вопросов отсылаем читателя
к работе [3] (гл. 6).
Можно ввести оператор плотности, переписав A.10) в виде
2 рп<1>п|Л
nk

Квантовая теория 23
Таблица 1
Состояние системы
Среднее значение оператора А
Собственное состояние | и
Чистое состояние | ф)
Смешанное состояние | tya)
Выражение A.11) идентично A.10), так как 21 uk) (uk | — еди-
оператор. Переставив два скал
части A.11), получим
{А) = %Рп{ик\Ъп)ША\ик)^
ничный оператор. Переставив два скалярных произведения в
правой части A.11), получим
где
Р=2/"Л1^(*.). (Ы2)
п
При таком определении оператора плотности р среднее значение
любого оператора А равно сумме диагональных матричных эле-
элементов произведения рЛ. След (шпур) матрицы, обозначаемый
кратко Sp, определяется как сумма диагональных элементов,
так что
• = Sp(p/l). A.13)
Поскольку, используя A.13), можно получить среднее значение
любой наблюдаемой величины, то оператор плотности р содер-
содержит всю существенную с точки зрения физики информацию, ко-
которую можно получить о данной системе. Поэтому переформу-
переформулировка квантовой механики в терминах оператора плотности р
чрезвычайно полезна в приложениях к физическим задачам.
Если векторы состояния выражаются в виде линейных ком-
комбинаций собственных функций гамильтониана, то матричные
элементы р просто связаны с коэффициентами разложения. В со-
соответствии с A.6) можно записать |гр„) в виде
11>п>=2с„*е-'ш*'|«*>. A.14)
Подставляя A.14) в A.12), получаем
р= 2 w>^-
га, к, I
Поскольку матричный элемент pmj- определяется как
Р= 2 Рпспксп1е-1^-^<\ «»><«, |. A.15)
га, к, i

24 Глава 1
то из A.15)
2
Ря, = 2 P,W"'<"»-"'>'■ A.16)
При т — / из A.16) найдем выражение для диагональных
элементов р:
Р// = 2рв|ся/|2. A.17)
п.
Диагональный элемент pjj есть вероятность того, что система
находится в собственном состоянии \uj). Так как вероятность
найти систему в состоянии |if>n) равна рп и так как вероятность
того, что система в состоянии |-ф„) может быть обнаружена
в состоянии \uj), равна |c,,j|2, то произведение рп\с„}\'Л есть
вероятность нахождения системы в состоянии |фп) и одновре-
одновременно в собственном состоянии | iij). Следовательно, полная ве-
вероятность pjj найти систему в состоянии \и}) равна 2/?„ | сп/-12.
п
Для чистого состояния существует только одно |i|?n), поэтому
индекс п можно опустить, и получим
Р// = I c/12- (I-I8)
/. Некоторые свойства оператора плотности р
Для дальнейшего рассмотрения полезны следующие два свой-
свойства оператора плотности р:
1. р — эрмитов оператор.
2. Sp(p)= 1.
Эрмитовость оператора плотности докажем следующим об-
образом:
(Ф1р !«/>) = 2 Р„ (ф I
п
Uф)Г = (<Нр
Для доказательства соотношения Sp(p)=l предположим, что
все |гр„) нормированы так, что (грт, |"фп) = 1 и 2/?„=1. Так
п
как рп есть вероятность, то условие 2 рп = ' означает, что пол-
п
ная вероятность обнаружения системы в каком-либо из состоя-
состояний равна единице. Из определения следа следует
SP (р)= 2 («ft IP l«ft)= 2 Рп (Uk I %) ("Ф п\ Uk) = 2 Рп(Ъп\%г)= !■
(I.19)
Суммирование по /г выпадает, так как 21 «/&)(«& I является еди-
k
ничным оператором.

Квантовая теория 25
2. Зависимость р от времени
Если известен оператор плотности, то с помощью A.13)
можно найти среднее значение любой наблюдаемой величины.
Поэтому наша следующая задача — получить уравнение для
оператора плотности р. Дифференцируя р по времени, получаем
lb If = m 2u Pn VLW- <+» I +1 +»> T^-J • 0-20)
Используя волновое уравнение, можно заменить производные
бра- и кет-векторов по времени в A-20) эквивалентными выра-
выражениями. Волновое уравнение для кет-вектора имеет вид
Умножая обе части этого уравнения на (if>|, переходя к комп-
комплексно сопряженным величинам и используя свойство эрмито-
вости гамильтониана Ж, находим волновое уравнение для бра-
вектора:
Подставляя в A-20) значения производных по времени, найден-
найденные из волновых уравнений, получаем
Оператор Жр — р5^ называется коммутатором и записывается
в виде [J^, p]. Таким образом,
й-|г = [^. Pi- A-21)
Уравнения A.13) и A.21) являются основными, так как их одно-
одновременное решение приводит к уравнениям движения для на-
наблюдаемых величин.
Полезно получить дифференциальные уравнения для мат-
матричных элементов р, используя в качестве базисных векторов
собственные векторы невозмущенного гамильтониана среды Жо.
Пусть гамильтониан имеет вид Ж = Жо + Ж\, где Ж0\ик) =
= E!t\uh) и Ж\ — оператор энергии взаимодействия между сре-
средой и возмущением. Используя A.21), можно показать, что
jf = (Et - Е,) PiI + [Жи р]ь у, A.22)
где индекс Ц означает ij-n матричный элемент.

26 Глава 1
3. Релаксационные члены
Удобно разбить Ж\ на сумму двух частей: части Ж, соответ-
соответствующей взаимодействию между средой и внешним возмуще-
возмущением, таким, как электромагнитное поле, и части Шт, соответ-
соответствующей энергиям внутреннего взаимодействия. Например, Жг
может включать энергию взаимодействия между атомом и ре-
решеткой или обмен энергии при столкновениях молекул. Члены,
входящие в Жт, в гамильтониане, вообще говоря, описывают
изменения в элементах оператора плотности в отсутствие внеш-
внешнего возмущения.
Таким образом, записываем
Ж| = Ж' + Ж . A.23)
Подставляя A.23) в A.22), получаем
1Ь^ = {Е1-Е1)9И + [Ж', 9}ц + [Жт, р]£/. A.24)
Можно показать, что если система при t = 0 характеризуется
вектором состояния |«i), так что при ^ = 0 имеем рц = 6ji6ji,
то наличие части Жг, не зависящей от времени, вызывает вре-
временной спад ри по экспоненциальному закону. Этот результат
был впервые получен Вайскопфом и Вигнером [2]. При малых
значениях t член рп — наибольший элемент матрицы плотности,
и при Ж' = 0 из A.24) имеем
ib ' <*> (Et — Ejj pu — риЖги. для / ф 1 A.25)
и
ft
Как показано в приложении 1, можно получить решение для
pw(t) с помощью преобразования Лапласа
Pu(t) = e-«\ A.27)
где т определяется из уравнения (П. 1.7). Поэтому влияние Жт
можно приближенно учесть, заменяя в A.24) последний член
релаксационным. Полезность любой аппроксимации зависит от
того, насколько хорошо она предсказывает истинное событие,
и на основании этого можно судить, является ли приближение
хорошим.
При тепловом равновесии диагональные элементы матрицы
плотности р, являющиеся вероятностями заселенности, задаются
распределением Больцмана
-Е,-/хт
A.28)
e-Eml*T

Квантовая теория 27
где v. — постоянная Больцмана, Т — температура. С помощью
статистической механики можно показать, что при тепловом
равновесии недиагональные элементы матрицы плотности р рав-
равны нулю [3]:
р,-,- = 0 для 1ф]. A.29)
Роль Жг проявляется в создании таких изменений рг-{ в отсут-
отсутствие какого-либо внешнего возмущения, чтобы возмущенная
система достигала равновесия с окружающей средой.
При Ж' = О и i ф j элементы pfj- обращаются в нуль при
равновесии, так что, видоизменяя A.24), получаем
ib ^- = haujpn + [Ж, p]tl - ^- Рф A.30)
О1 Т
где cofj = (Ei — Ej)/h и [Жг,р]ц заменены релаксационными чле-
членами. Постоянная хц берется вещественной и положительной,
так что pi,—►О при Ж' = 0. Поскольку р является эрмитовым
оператором, необходимо, чтобы хц = т,-,-.
Диагональные элементы pj,- при Ж' —*0 стремятся к не зави-
зависящим от времени равновесным значениям р^. Вероятность пе-
перехода Wi] определяется как отнесенная к единице времени ве-
вероятность перехода из состояния, характеризуемого энергией Ей
в состояние, характеризуемое энергией Eh при Ж' = 0. Введе-
Введение Wtj позволяет учитывать изменение заселенности различ-
различных энергетических состояний в отсутствие внешнего возмуще-
возмущения Ж'. Это дает возможность получить соответствующее стати-
статистическое распределение. В результате этих модификаций по-
получим
^fL S A.31)
Здесь члены вида pkhWh) характеризуют возрастание в единицу
времени вероятности заселенности /-го состояния в результате
переходов из k-vo в /-е состояние, а члены вида —p,,-WJfe — умень-
уменьшение в единицу времени вероятности заселенности /-го состоя-
состояния в результате переходов из /-го состояния в k-e. При Ж' = 0
и в состоянии равновесия необходимо, чтобы pw не зависели от
времени и отсутствовало испускание или поглощение излучения
на любой частоте перехода. Как показано в приложении 2, что-
чтобы удовлетворить этим условиям, число переходов в единицу
времени из /-го состояния в k-e должно быть равно числу пере-
переходов в единицу времени из /г-го состояния в /-е, т. е.

28 Глава 1
Целесообразно ввести время релаксации Тjk, определяемое
следующим образом:
Tjk = -^-. A.33)
/ft
Из уравнения A.32) видно, что Th) = Tjh- Поэтому A.31) мож-
можно записать в виде
Интересно рассмотреть случай, когда все Tjh равны, что при-
приводит к упрощению выражения A.34). Полагая Т-к=Ти из
A.34) получаем
й-^- = [«', p]//+-£2(P«Pj,-P/,Pb). A-35)
к
Выше было показано, что Sp(p) = 1 = Sp(p£"), поэтому A.35)
принимает вид
При Ж' = 0 диагональные элементы pjj изменяются с постоян-
постоянной времени Гь стремясь к равновесному значению р*?...
Если ограничиться рассмотрением системы, для которой су-
существенны только два собственных состояния, соответствующих
собственным значениям оператора энергии Е} и Е2, то имеются
только две постоянные времени: постоянная времени для диа-
диагональных матричных элементов Г12 и постоянная времени для
недиагональных х\2- Постоянная Г12 обычно записывается как
Г, и называется временем продольной, спин-решеточной или ди-
диполь-решеточной релаксации. Эта постоянная характеризует
время, в течение которого система переходит из возмущенного
состояния в состояние энергетического равновесия с окружаю-
окружающей средой. Члены в Жг, из которых определяется Ти обязаны
своим происхождением взаимодействиям между молекулой и
решеткой, взаимодействиям молекул при столкновениях в газе
или в жидкости или спонтанному излучению, как будет пока-
показано в гл. 6.
Постоянная Х\2 обычно обозначается через Т2 и называется
временем поперечной, диполь-дипольной или спин-спиновой ре-
релаксации. Как показано в гл. 3, эта постоянная связана с шири-
шириной линии перехода. В общем случае нас интересует электриче-
электрический или магнитный момент совокупности молекул, а он зависит
от фазовых соотношений между моментами отдельных молекул.

Квантовая теория
29
Если первоначально допустить, что все молекулы колеблются
в фазе, то Т2 будет определять время, через которое молекулы
будут находиться в различных фазах друг относительно друга.
Любой механизм, влияющий на время релаксации Ти например
потеря энергии при взаимодействии молекулы с решеткой, дает
вклад и в Т2, поэтому Тг ^С Т\. Однако могут иметь место слу-
случайные дополнительные взаимодействия между молекулами, ко-
которые дают вклад в Г2, но не дают вклада в Т\. Например, если
при упругом столкновении одна молекула совершает переход
|1)-*|2), а другая — переход |2)-^|1), то в системе энергия
не изменяется, и взаимодействие не влияет на Гь Эти переходы
обычно приводят к потерям информации о фазах и влияют на
время Т2. В табл. 2 указаны два типа релаксации. Причина,
по которой релаксация называется «продольной» и «попереч-
«поперечной», будет обсуждена в гл. 2 при рассмотрении спиновых взаи-
взаимодействий.
Таблица 2
Механизмы релаксации
Обозначение
Название
Влияющие факто-
факторы
Продольная релаксация;
спин-решеточная рела-
релаксация; диполь-решеточ-
диполь-решеточная релаксация
Спонтанное излучение;
взаимодействие с решет-
решеткой; неупругие столкно-
столкновения
Поперечная релаксация;
спин-спиновая релакса-
релаксация; диполь-дипольная
релаксация
Все факторы, влияющие
на Ti\ упругие столкно-
столкновения
4. Оператор плотности системы, имеющей непрерывный спектр
собственных значений
До сих пор мы рассматривали систему с дискретной совокуп-
ностью энергий собственных состояний. Однако (как будет ска-
сказано в гл. 8) иногда приходится иметь дело с системами, обла-
обладающими непрерывным спектром собственных значений. Напри-
Например, собственное значение энергии для электрона в кристалле
есть непрерывная функция вектора к. Запишем вектор состоя-
состояния |"ф) в виде
= Jd3*c(k)|u(k)>,
где dzk = dkxdkydkz — элементарный объем в к-пространстве,
а |«(к)) — базисные функции, удовлетворяющие условию

30 Глава 1
ортогональности
<(к'
= б(к'-к).
Здесь 6 (к' — к) — дельта-функция Дирака (см. также [4]).
Для чистого состояния р определяется как
рН-ФХ-И
и матричные элементы р имеют вид
р (к, к') = (и (к) | р I и (к')> = с (к) с' (к'). A.37)
Диагональные элементы р(к, к) = р(к) являются плотностями
вероятности, и, следовательно, р(к) — вероятность того, что элек-
электрон будет находиться в единичном объеме к-пространства.
Уравнение, соответствующее условию Sp(p)= 1, теперь имеет
вид
jd3/ep(k)= 1, A.38)
где интегрирование производится по всему к-пространству.
Если для совокупности дискретных уровней коммутатор ра-
равен
то в случае непрерывного спектра собственных значений комму-
коммутатор имеет вид
W, p]kk, = J d4" [Жкк„р (к", к') - р (к, к") Жк„к\. A.39)
Уравнения движения для матричных элементов оператора плот-
плотности A.30) и A.36) все еще применимы, однако для непрерыв-
непрерывного спектра собственных значений коммутатор следует брать
в интегральной форме A.39).
Часто бывает удобно выразить плотность вероятности р(к)
в виде произведения трех величин:
p(k) = n(k)W'. A-40)
где п(к)—число собственных состояний в единице объема
к-пространства на единицу объема в координатном простран-
пространстве; Р — вероятность того, что собственное состояние системы
занято электроном; Nv — число электронов в единице объема
координатного пространства.
Любой оператор А имеет среднее значение, определяемое
как
\[Ч'9{к, k'Mk'k, A.41)
где Лк'к имеет обычный смысл
Ап = {и{к')\А\и{\ф.

Квантовая теория 31
Уравнения, рассмотренные в этом параграфе, будут использо-
использованы в гл. 8 при изучении взаимодействия электромагнитного
излучения с электронами в кристалле.
5. Производные по времени от средних значений оператора
В последующих главах нас будут интересовать производные
по времени от средних значений какого-либо оператора. В ча-
частности, рассмотрим случай равенства друг другу как всех %ц,
так и всех Г;3-, т. е. можно записать
тг/ = Т2,
Поскольку (Л) = Sp(pA), то для оператора, не зависящего явно
от времени, имеем
(Л> = Бр(рЛ). A.42)
где
Подставляя выражения A.30) и A.36) в правую часть уравне-
уравнения A.42), получаем
=ж 2 w> ръл+тг
Уравнение A.43) можно упростить, замечая, что
= Sp(p[A, Ж']) = ([А, Ж]) A.44)
р^Л,, = ( [А, Жо]). A.45)
t.i
2
Поскольку pfy = 0 для 1ф), то сумму 2pf,--<4G можно выразить
следующим образом:
A-46)

32 Глава 1
Здесь (А)е — равновесное значение (А) при Ш' = 0. Подставляя
A.44) — A.46) в A.43) и преобразуя некоторые члены, получаем
^ТГ Ж(тГТгJ1<И«. 0-47)
i
где
dts = aviQ т dv> .
Особый интерес представляют следующие два случая.
1. Все диагональные элементы оператора А равны нулю.
Тогда выражение A.47) сводится к уравнению
A i£ L A.48)
2. Только диагональные элементы оператора А не равны
нулю. В этом случае уравнение A.47) запишется в виде
(Л)(Л)е^, Ж]). A.49)
Уравнения A.48) и A.49) будут использованы в последую-
последующих главах при рассмотрении целого ряда задач.
В дальнейшем потребуется также вторая производная по
времени от оператора, у которого диагональные элем'енты равны
нулю. Дифференцируя по времени уравнение A.48), получаем
А ^^ A.50)
Правая часть уравнения A.50) вычисляется на основании урав-
уравнения A.47), в результате чего имеем
£± ±, Эё],
Вообще говоря, нас интересует случай, когда [А,Ж']=0, т. е.
когда последний член в правой части уравнения A.51) равен
нулю.
Уравнения для производных по времени от операторов будут
использованы в гл. 2 при изучении дипольного перехода. Там
получаются уравнения движения в терминах наблюдаемых ве-
величин, чтобы от формализма квантовой механики можно было
перейти к описанию явлений, исследуемых лабораторным пу-
путем. Гл. 3 будет посвящена рассмотрению некоторых экспери-
экспериментально наблюдаемых явлений, таких, как резонансное по-
поглощение, насыщение и дисперсия.

Квантовая теория 33
Л ИТЕРАГУРА
1. Dirac P., The Principles of Quantum Mechanics, 4th ed., Oxford, 1958,
Ch. 1—5. (См. перевод: П. А. Дирак, Принципы квантовой механики,
Физматгиз, 1960.)
2. Weisskopj V. F., Wigner £., Zs. Phys., 63, 54 A930).
3. Louisell W., Radiation and Noise in Quantum Electronics, New York, 1964,
Sec. 6.6.
4. Mandl F., Quantum Mechanics, London, 1957.
5. Fano U., Description of States in Quantum Mechanics by Density Matrix
and Operator Techniques, Rev. Mod. Phys., 29, 74 (January 1957).
ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА')
6. Sherwin С. W., Introduction to Quantum Mechanics, New York, 1959.
7. Lindsay P. A., Introduction to Quantum Mechanics for Electrical Engi-
Engineers, New York, 1967.
8. Pauling L., Wilson E. В., Introduction to Quantum Mechanics, New York, 1935.
9. White R. L., Basic Quantum Mechanics, New York, 1966.
10. Messiah A., Quantum Mechanics, Vol. I, II, Amsterdam, 1961.
11. Dicke R. H., Wittke I. P., Introduction to Quantum Mechanics, Reading,
Mass., 1961.
12. Mandl F., Quantum Mecharics, London, 1957.
13. Schiff L. I., Quantum Mechanics, New York, 1955. (См. перевод: Л. Шифф,
Квантовая механика, ИЛ, 1959.)
И*. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М., Квантовая механика, Фиэматгиз, 1963.
15*. Давыдов А. С, Квантовая механика, Физматгиэ, 1963.
16*. Соколов А. А., Лоскутов Ю. М., Тернов И. М., Квантовая механика,
Учпедгиз, 1962.
17*. Блохинцев Д. И., Основы квантовой механики, М., Высшая школа, 1961.
Задачи
1.1. Доказать или опровергнуть следующие утверждения:
а) оператор с вещественными собственными значениями всегда
эрмитов;
б) собственные значения эрмитового оператора всегда вещест-
вещественны;
в) если среднее значение оператора вещественно для любого
произвольного вектора состояния, то оператор эрмитов.
1.2. Определить условия, которым должна удовлетворять
функция U(t,to), если
есть общее решение волнового уравнения, причем при t = t0
|ф@> равна |i|>(fo)>.
1.3. Показать, что Sp(p2)^l. Чему равен Sp(p2) для соб-
собственного состояния; чистого состояния; смешанного состояния?
') Литература, отмеченная звездочкой, добавлена переводчиком,

34 Глава 1
1.4. Оператор плотности для системы, находящейся в тепло-
тепловом равновесии с окружающей средой, имеет вид [3] (см. также
[15], стр. 59)
^ ехр (- Ж/хТ)
Р Sp ехр (- Ж/хТ) '
Где
ехР (~ 3) I "«> =* ехР (~ 4Й
если
здесь х —постоянная Больцмана [в общем случае /(Л)|м,) =
= f(Ai)\tii), где Л — любой оператор, |ы,-)—собственная функ-
функция, соответствующая собственному значению Л,- оператора Л,
/(Л) —любая функция от А]. Показать, что диагональные эле-
элементы матрицы плотности р дают распределение Больцмана,
а недиагональные равны нулю. Сравнить этот результат с рав-
равновесными значениями матричных элементов р, определяемыми
из A.30) и A.36).
1.5. Энтропия системы есть мера недостатка информации
о системе. Если энтропия увеличивается, то мы знаем меньше
о состоянии системы, и наоборот, при уменьшении энтропии
наши знания о системе возрастают. Энтропию 9* можно выра-
выразить через оператор плотности
9>=- xSp(plnp),
где к — постоянная Больцмана. Для базиса, в котором матрица
Плотности диагональна, проделать следующее:
а) показать, что для системы, находящейся в чистом состоянии,
энтропия равна нулю;
б) получить выражение для энтропии системы, которая с рав-
равной вероятностью может находиться в любом собственном со-
состоянии (при условии Spp = 1);
в) показать, что значение энтропии, полученное в п. «б», яв-
является максимальным.
1.6. В книге дается вероятностная интерпретация диагональ-
диагональных элементов матрицы плотности. Показать, что для системы,
находящейся в чистом состоянии, |p,j| при 1ф\ есть среднее
геометрическое вероятностей того, что состояния |«,) и \и^) за-
замяты.
1.7. а) При выводе A.44) было использовано соотношение
Ж'])-
Доказать это соотношение.

Квантовая теория 35
б) Получить A.45),
1.8. а) Рассмотрим двухуровневую систему с гамильтонианом
Ei О
О Е2
где Ei и Е2— собственные значения энергии. Получить диффе-
дифференциальное уравнение второго порядка по времени для (А)
при условии, что Ж = ЬА, где b = const и
/О а
Л = \а ' О
Рассмотреть физическую систему, которая описывается операто-
оператором А. Какая величина в такой системе является наблюдаемой,
соответствующей оператору Л?
б) Для системы, указанной в п. «а», рассмотреть оператор
/1 (Г
Чо о,
Какая наблюдаемая величина соответствует оператору 5?
Получить дифференциальное уравнение первого порядка по вре-
времени для (В). Каков физический смысл этого уравнения?
1.9. Обычно полагают, что для эрмитового оператора всегда
можно записать
X 2 X?
= \dx(AfTg,
где Л—оператор, а / и g — функции х. Однако справедливость
этого соотношения зависит от граничных условий. Показать,
например, что если А—оператор импульса, то равенство вы-
выполняется лишь при условии

Глава 2 ДИПОЛЬНЫЕ ПЕРЕХОДЫ
§ 1. ВВЕДЕНИЕ
Настоящая глава посвящена более подробному изучению
взаимодействия излучения с двухуровневой квантованной сре-
средой. Это взаимодействие объясняет многие явления, связанные
со свойствами веществ, такие, как поглощение и дисперсия све-
света, насыщение и просветление переходов, генерация когерент-
когерентного электромагнитного излучения в мазерах и лазерах. Рас-
Рассмотрены как электрический дипольный, так и магнитный
дипольный (спин '/г) переходы.
При исследовании этих явлений будет использован полу-
полуклассический подход, при котором поля описываются классиче-
классически, а среда — квантовомеханически. Такой подход справедлив,
пока не рассматриваются шумовые явления, так как макроско-
макроскопически наблюдаемые поля имеют высокие числа заполнения.
Состоянию сильного возбуждения отвечает использование боль-
больших квантовых чисел, а это в свою очередь в согласии с прин-
принципом соответствия квантовой механики означает, что можно
ожидать классическое поведение полей. Подробное сравнение
полуклассического и квантовоэлектродинамического подходов
отложено до гл. 6, где исследовано явление спонтанной эмиссии,
которым пренебрегают при полуклассическом подходе.
§ 2. ГАМИЛЬТОНИАН АТОМА В ЭЛЕКТРОМАГНИТНОМ ПОЛЕ
Начнем с рассмотрения упрощенной модели атома. Пред-
Предположим, что атом состоит из единственного электрона с заря-
зарядом —е и массой т, движущегося вокруг бесконечно тяжелого
ядра с эффективным потенциалом Т (г), где г — положение элек-
электрона относительно ядра. Пренебрегая спином и релятивистски-
релятивистскими эффектами, гамильтониан электрона обычно записывают
в виде [1]
^ = -^-(р + еАJ + Г-еФ, B.1)
Величина р является каноническим импульсом электрона и свя-
связана с обычным импульсом тх соотношением
р = тх — еА,

Дипольные переходы 37
где точка над переменной означает полную производную повре-
повремени. В этих выражениях величины Ф и А являются соответ-
соответственно скалярным и векторным потенциалами внешнего элек-
электромагнитного поля, а е = \е\ — абсолютная величина заряда
электрона.
Следует указать на то важное обстоятельство, что уравне-
уравнение B.1) представляет собой не единственную, а лишь одну из
многих форм записи гамильтониана. Его можно получить под-
подходящим выбором лагранжиана S{q,q,t) и применением пре-
преобразования
36 (q, p, t) = S qiPi - 2 (<7, q, t), B.2)
где q —координата, а канонический импульс pi определяется
соотношением pi = d2>jdqi. Индекс I относится к направлению
координат, поэтому, например, в декартовой системе
2 CfiPi = ЯхРх + ЦуРц + ЦгРг-
Подходящий выбор лагранжиана просто означает, что при под-
подстановке его в уравнения Лагранжа (см. [1])
_
dt [dqj [ dq.
получаются правильные уравнения движения. Лагранжиан, на
котором основано выражение B.1), имеет вид
-ег • А. B.3)
/. Разложение по мультиполям
Векторный потенциал поля А, в котором находится электрон,
в общем случае изменяется от точки к точке пространства. Од-
Однако из-за относительно малых размеров атома пространствен-
пространственное изменение А в пределах атома незначительно для внешних
приложенных полей, представляющих для нас интерес.
Для частот, лежащих ниже ультрафиолетовой области спек-
спектра, длины волн составляют сотни ангстремов и более A А =
= 10"8 см). Для сравнения укажем, что радиус боровской ор-
орбиты основного состояния атома водорода имеет величину а0 —-
== 0,529 А. Следовательно, удобно разложить векторный потен-
потенциал А (л:, у, z, t) в ряд Тейлора относительно положения ядра
R, как показано на фиг. 2.1:
A(R + r, 0 = A(R, Q + (г • V*) A (R, t)+ ... . B.4)

38
Глава 2
В приведенном выше выражении Vr для прямоугольной си-
системы координат определяется соотношением
+ Х+ 1
1
Х
~Щ
Электрон
где l.v, \у и 1г — единичные векторы в направлениях осей х, у
и г, a dfdRx означает частную производную по х, йзятую в точ-
точке расположения ядра. Разложение
B.4) приводит к появлению в гамиль-
гамильтониане членов взаимодействия, соот-
соответствующих электрическому диполь-
ному, магнитному дипольному, элек-
электрическому квадрупольному и другим
взаимодействиям с внешним элек-
электромагнитным полем.
По нашему мнению, целесообраз-
целесообразнее развить метод, предложенный
Фиг. 2.1. Геометрическое первоначально Гепперт-Майер [2, 3],
представление при разло- чем подставлять полученное выше раз-
жении по мультиполям. ложение непосредственно в гамиль-
гамильтониан. В методе Гепперт-Майер это
разложение подставляется в лагранжиан B.3), в результате чего
значительно упрощаются некоторые математические операции.
2. Электрическое дипольное взаимодействие
Подстановка первого члена разложения B.4) в лагранжиан
B.3) дает
S = у mr2 - Г + еФ - ег • A (R, t). B.5)
Это приближение совсем не учитывает пространственного изме-
изменения потенциала А в пределах атома. Так как уравнения
движения системы не изменяются при добавлении к лагран-
лагранжиану полной производной по времени [1], то, прибавляя член
<?-£-[!•• A (R, *)],
можно преобразовать лагранжиан к виду
2 = 1 пгг2 - Г + еФ + ег • A (R, t).
B.6)
Следовательно, в результате получаемого упрощения это пре-
преобразование смещает производную по времени с координаты
электрона на векторный потенциал. В этом случае канониче-
канонический импульс pi = d3?/dqi равен
р = mt,

Дипольные переходы 39
а соответствующий гамильтониан, согласно B.2), будет иметь
вид
Ж = 4гх + Т ~ еФ ~ ег • А (R- 0- B.7)
В свободной от зарядов области можно выбрать потенциалы
таким образом, что скалярный потенциал Ф обращается в нуль,
а поля можно выразить только через векторный потенциал
с помощью соотношений [4]
В = УХА, Е=-~. B.8)
Следовательно, можно переписать B.7) в виде
3g=£ + )P"|llE(R'')' B-9)
Здесь введено определение электрического дипольного момента
ц = —ег и отмечено, что на ядре
Проведенное выше преобразование, в котором используется
первый член разложения A(R + r, t) относительно положения
ядра R, называется электрическим дипольным приближением,
так как взаимодействие электрона с внешним полем имеет вид,
характерный для электрического диполя в квазистатическом
поле. Электрическое дипольное приближение является исклю-
исключительно хорошим даже для оптических полей, простирающихся
в далекую ультрафиолетовую область. Такие поля изменяются
значительно лишь на расстояниях порядка длины волны, типич-
типичное значение которой составляет тысячи ангстремов, в то время
как атомные размеры — порядка нескольких ангстремов. Сле-
Следовательно, в первом приближении пространственным измене-
изменением А можно пренебречь и использовать гамильтониан в фор-
форме B.9).
3. Электрическое квадрупольное, магнитное дипольное и диамаг-
диамагнитное взаимодействия
Если учесть второй член разложения B.4), то в лагран-
лагранжиане появляется дополнительный член
-er-r-VKA(R, t).
Следуя способу, примененному в дипольном случае, добавим
полную производную по времени вида
±j
, 0].

40 Глава 2
Если продифференцировать это выражение и затем использо-
использовать векторное тождество
г ■ г • VRA (R, 0 = г • г • VRA + г • г X [VR X A (R, *)],
то для лагранжиана получим
1_^ + еф + ег. A(R) 0 + |г rVRA(R, 0 +
|r-rX[VRxA(R,0]. B.10)
Канонический импульс pt = d3?!dqi определяется теперь выра-
выражением
p = mr + ~-rX[VRX A(R, 0],
а соответствующий гамильтониан равен
|-г X B(R, t)J + T-fi- E(R, t) +
+ |r.r-VRE(R, 0- B-11)
Здесь опять Потенциалы выбраны так, что скалярный потен-
потенциал Ф обращается в нуль, а электрическое и магнитное поля
определяются только векторным потенциалом А в соответствии
с B.8).
Если в B.11) выражение, заключенное в скобки, возвести
в квадрат и перегруппировать члены, то гамильтониан можно
представить в форме, в которой каждый член определяет неко-
некоторый физический процесс. При возведении в квадрат пере-
перекрестные члены вида р-г X В можно записать, используя обыч-
обычное правило векторно-скалярного произведения, как —гхр-В.
Хотя квантовомеханические операторы г и р не коммутируют,
в нашем случае не требуется соблюдать особую осторожность,
Необходимую при обращении с некоммутирующими оператора-
операторами. Действительно, вектор г X В перпендикулярен г, и, следо-
следовательно, скалярное произведение его на р не приводит к по-
появлению некоммутирующего произведения. Чтобы получить
окончательный вид гамильтониана, используем тот факт, что
движущаяся частица с зарядом —е и массой т имеет магнит-
магнитный момент т, который связан с механическим моментом!
количества движения L = г хр соотношением m = —(e/2m)L,
В результате получаем
{, t) - m ■ В (R, t) +
^frXB(R, OP- B-12)

Дипольные переходы 41
Первые два члена составляют невозмущенный гамильтониан
в отсутствие внешнего электромагнитного поля. Третий и чет-
четвертый члены соответствуют электрическому и магнитному ди-
польным взаимодействиям. Пятый член представляет электри-
электрическое квадрупольное взаимодействие, при котором учитывается
градиент электрического поля. Шестой член учитывает, напри-
например, диамагнитные свойства атома.
С помощью рассмотренного выше метода можно учесть взаи-
взаимодействие сколь угодно высокого порядка. Но так как с уве-
увеличением порядка взаимодействия величина его уменьшается,
то такая необходимость возникает редко. Изящный вывод для
общего случая с помощью канонического преобразования ос-
основной формы гамильтониана B.1) был получен Футаком [5].
В тех случаях, когда обращается в нуль член, соответствую-
соответствующий электрическому дипольному взаимодействию, важное зна-
значение приобретают моменты более высокого порядка. Однако
в дальнейшем нас будут интересовать главным образом такие
случаи, когда электрическое дипольное взаимодействие преоб-
преобладает. Метод, который будет подробно рассмотрен для элек-
электрического дипольного взаимодействия, при необходимости
можно применить также и в других случаях.
4. Системы многих частиц
До сих пор мы рассматривали случай, когда вблизи ядра
находится один-единственный электрон. Однако к интересующим
нас задачам относится рассмотрение систем многих частиц, та-
таких, как атом со многими электронами или кристалл. Поэтому
уместно рассмотреть электрическое дипольное взаимодействие
для этого случая. Гамильтониан B.9) можно обобщить про-
простым переходом к сумме по энергиям всех электронов
Здесь электрический дипольныи момент системы характеризует-
характеризуется теперь соотношением ц= — eZitk, а потенциальная энергия
k
T(rh) определяется кулоновским взаимодействием между от-
отдельными электронами с координатами rft, а также взаимодей-
взаимодействием электронов с ядрами [6]. Предполагается также, что
в этом случае рассматриваемая область достаточно мала по
сравнению с характерными размерами пространственного из-
изменения электрического поля. Поэтому на все электроны дей-
действует одинаковое поле.
Приведенный выше гамильтониан можно переписать в виде

42 Глава 2
Здесь Жо — невозмущенный гамильтониан в отсутствие внеш-
внешнего электромагнитного поля:
а гамильтониан взаимодействия Ж' равен
ЗГ = —1*-Е. B.15)
Очевидно, что обобщение на систему многих частиц не изме-
изменяет существенно проведенного ранее рассмотрения электриче-
электрического дипольного взаимодействия атома с приложенным элек-
электромагнитным полем. Такое же утверждение относится к дру-
другим членам мультипольного разложения. Однако сложность
рассмотрения системы многих частиц состоит не в этом, а в труд-
трудности определения собственных функций и собственных значе-
значений невозмущенного гамильтониана B.14). В этой книге пред-
предполагается, что гамильтониан табулирован.
§ 3. МАТРИЧНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ И ПОНЯТИЕ ЧЕТНОСТИ
Взаимодействие атомной или молекулярной системы с внеш-
внешним электромагнитным полем описывается членом Ж в гамиль-
гамильтониане. Величина взаимодействия зависит от матричных эле-
элементов оператора Ж, которые в принципе можно определить
с помощью квантовомеханических расчетов, если известны вол-
волновые функции. Однако даже в случае, если волновые функции
не известны явно, часто можно определить, будет ли взаимо-
взаимодействие сильным, исходя только из симметрии волновой функ-
функции, которая в свою очередь определяется симметрией системы.
Такие рассуждения проводят с помощью понятия четности,
к рассмотрению которого мы и перейдем.
/. Электрический дипольный переход
Для электрического дипольного взаимодействия матричные
элементы оператора Ж имеют вид
Wmn = <«m ] Ж | и„> = - (um 11* • E | un). B.16)
Предполагается, что \ип) являются собственными векторами
невозмущенного гамильтониана <Ж>, т. е. выполняется уравнение
Ж0\ип) = Еп\ип). B.17)
Как говорилось выше, в дипольном приближении предпола-
предполагается, что пространственное изменение электрического поля Е
S пределах атомных размеров незначительно. Следовательно,
при заданном расположении атома электрическое поле является

Дипольные переходы 43
только функцией времени, его можно вынести из квантовомеха-
нического скалярного произведения в B.16). В результате мат-
матричные элементы оператора Ж определяются матричными эле-
элементами оператора электрического дипольного момента ц,
а электрическое поле Е является сомножителем:
^п=-^,ГЕ- B-18)
Покажем теперь, что из довольно элементарных соображе-
соображений можно определить для данной системы, какие матричные
элементы цтп остаются и какие обращаются в нуль. Это позво-
позволяет определить, например, существует ли постоянный электри-
электрический дипольный момент и возможен ли электрический ди-
польный переход между определенной парой состояний под
влиянием приложенного электромагнитного поля. Оба эти во-
вопроса важны при определении, например, спектров поглощения
вещества.
Для широкого класса систем преобразование инверсии
г—»-—г, примененное к невозмущенному гамильтониану <3^о(г),
оставляет форму гамильтониана неизменной, т. е.
ЗМг) = ЗМ-г). B.19)
Если гамильтониан является функцией нескольких координат
Г[, г2, . . ., го это преобразование следует применить одновре-
одновременно ко всем координатам. Инвариантность гамильтониана по
отношению к этой операции имеет место, например, в системе,
обладающей центром симметрии. Другим важным примером
является изолированный многоэлектронный атом, потенциаль-
потенциальная энергия которого T(rh) является функцией только рас-
расстояния между частицами:
Считая, что условие симметрии B.19) выполнено, рассмо-
рассмотрим первый случай, когда собственные функции гамильтониа-
гамильтониана невырождены и гамильтониан действует на любую собствен-
собственную функцию в соответствии с B.17):
Жо (г) «„ (г) = Епип (г). B.20)
Применяя преобразование г—»—г и используя B.19), получаем
2Мг)и„(-г) = £„ы„(-г). B.21)
Из B.20) и B.21) видно, что «„(г) и м„(—г) являются соб-
собственными функциями, соответствующими Еп. Для невырожден-
невырожденного энергетического уровня существует только одна такая
функция. Поэтому для того, чтобы одновременно выполнялись
соотношения B.20) и B.21), необходимо [7, 8]
и„(- г)= ± и„(г).

44 Глава 2
Иными словами, собственная функция является либо четной,
либо нечетной функцией г. Когда собственная функция есть
четная функция г, то говорят, что соответствующее состояние
является четным состоянием. Если собственная функция являет-
является нечетной функцией г, то говорят о нечетном состоянии. Сле-
Следовательно, собственные состояния могут быть либо четными,
либо нечетными. Говорят, что такие состояния имеют опреде-
определенную четность. Можно показать, что даже в случае выро-
вырождения собственные функции можно выбрать так, что они
будут обладать определенной четностью [7].
Таким образом, если гамильтониан инвариантен относитель-
относительно преобразования г—»—г, то собственные состояния имеют
определенную четность. Они могут быть либо четными, либо
нечетными. Полезность понятия четности как способа класси-
классификации состояний будет очевидна из следующего рассмотрения.
1. Если два собственных состояния \ит) и \ип), принадле-
принадлежащих различным собственным значениям энергии Ет и Еп,
имеют одинаковую четность, то матричный элемент цт« равен
нулю. Действительно, в этом случае вычисление содержит ин-
интегралы по всему пространству вида
R<
а подынтегральное выражение является нечетной функцией.
В § 4 будет показано, что если матричный элемент равен нулю,
то переходы между двумя состояниями под действием прило-
приложенного электромагнитного поля запрещены. Под «запреще-
«запрещением» понимается запрещение в электрическом дипольном при-
'ближении. Для процессов более высокого порядка, таких, как
электрический квадрупольный переход, переходы все же могут
иметь место, но вероятность их в общем случае на несколько
порядков меньше. Следовательно, электрический дипольный пе-
переход может происходить только между состояниями противо-
противоположной четности. Этот тип запрета известен как правило
отбора.
2. Если собственные состояния невырождены и имеют опре-
определенную четность, то диагональные элементы оператора ди-
польного момента \i, а следовательно, и гамильтониана взаимо-
взаимодействия B.18) обращаются в нуль, так как в расчеты входят
интегралы вида
\un{r)run{r)dV.
При этом условии постоянный электрический дипольный мо-
момент, т. е. постоянное, или статическое, среднее значение опе-
оператора \х, = —ег, не может существовать. Это можно показать

Липольные переходы
45
с помощью следующего вычисления, которое в то же время ил-
иллюстрирует обычную процедуру перехода от квантовомеханиче-
ского оператора к наблюдаемой величине. Наблюдаемая вели-
величина, в данном случае дипольный момент, получается просто
нахождением среднего значения соответствующего оператора.
Таким образом,
Pll Pl2 ■ • • О У112 • • ■
Р21 р22 • • • 1*21 О
I
Заметим, что результат содержит лишь недиагональные эле-
элементы pjj. Из A.30) следует, что для стационарного состояния
в отсутствие гамильтониана взаимодействия рц обращается
в нуль. Поэтому система не имеет постоянного, или статиче-
статического, дипольного момента. Это справедливо, например, для ос-
основных состояний всех атомов.
3. С другой стороны, если собственные состояния, хотя и
имеют определенную четность, но являются вырожденными или
близки к этому в отношении теплового возбуждения, то воз-
возможно существование постоянного дипольного момента [8—10].
Это имеет место для некоторых сложных молекул. В таком
случае для вычисления матричных элементов нужна система
ортогональных базисных векторов. Чтобы найти ее, нужно сме-
смешать состояния различной четности. Поэтому базисные векторы
не имеют определенной четности. Диагональные элементы опе-
оператора электрического дипольного момента, которые опреде-
определяют постоянный дипольный момент системы, в этом случае
могут быть отличны от нуля. Вращательные спектры молекул
полностью обусловлены взаимодействиями с постоянными элек-
электрическими дипольными моментами [11].
4. В тех системах, для которых условие инвариантности
B.19) не справедливо, собственные состояния не обладают опре-
определенной четностью. В этом случае могут быть отличны от нуля
все матричные элементы оператора дипольного момента jn.
Следовательно, в общем случае может существовать постоян-
постоянный электрический дипольный момент и возможны дипольные.
переходы между всеми состояниями. Примером такой системы
служит атом, помещенный в среду, в которой существует элек-
электростатическое поле (например, поле кристалла или внешнее
приложенное поле). Такое поле дает вклад в член Т в B.14),
который нарушает симметрию и не позволяет собственным со-
состояниям иметь определенную четность. Индуцируемый постоян-
постоянный дипольный момент соответствует появлению диагональных
членов оператора ц. Следовательно, наложение электростати-

46 Глава 2
ческого поля приводит к тому, что в данном веществе могут
происходить определенные процессы, которые в ином случае
были бы запрещены условиями симметрии.
Важное применение понятия четности состоит в том, что оно
полезно при определении правила отбора для сложных молекул
из соображений симметрии даже в том случае, если нет инфор-
информации о точном виде волновых функций.
2. Электрический квадрупольный и магнитный диппльный пере-
переходы
Как видно из соображений четности, электрические диполь-
ные переходы между определенными состояниями запрещены.
Для таких случаев полезно выяснить, могут ли иметь место
переходы между рассматриваемыми состояниями за счет муль-
типольных членов высокого порядка, таких, как магнитный ди-
польный или электрический квадрупольный. В качестве примера
применения понятий четности к переходам высокого порядка
рассмотрим случай электрического квадрупольного перехода
Согласно разложению B.12), гамильтониан взаимодей-
взаимодействия, соответствующий электрическому квадрупольному взаи-
взаимодействию, имеет матричные элементы вида
Я'«п = <«-, IЖ' | ип) = | (um | г • г ■ VRE (R, t) | ип) =
= у(ит1гт- |an)VRE(R,0. B.22)
Так как функция VrE не зависит от координаты электрона г,
то ее можно вынести из квантовомеханического скалярного
произведения. При вычислении написанных выше произведений
векторов сначала определяется скаляр r>VR. Затем этот скаляр
действует на Е, давая в результате вектор. И, наконец, полу-
полученный вектор скалярно умножается на первый вектор г. Лю-
Любая другая последовательность операций нарушает правила
векторной алгебры.
В этом случае видно, что если два собственных состояния
\ит) и \ип), соответствующих различным собственным значе-
значениям энергии Ет и Е„, имеют противоположную четность, то
матричные элементы в B.22) обращаются в нуль. Действитель-
Действительно, вычисление содержит интегралы по всему пространству вида
\um{x)xyun{r)dV,
в которых подынтегральное выражение есть нечетная функция,
Следовательно, электрические квадрупольные переходы могут
происходить только между состояниями одинаковой четности.

Дипольные переходы 47
Это условие противоположно условию для электрического ди-
польного случая. Поэтому, когда из соображений четности для
одного случая переход запрещен, для другого он разрешен.
Подобным образом можно показать, что, как и для электри-
электрического квадрупольного случая, магнитные дипольные переходы
могут происходить только между состояниями одинаковой чет-
четности. Соображения четности можно аналогичным образом
применить к мультипольным взаимодействиям высокого по-
порядка.
§ 4. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ДЛЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО
ДИПОЛЬНОГО ПЕРЕХОДА
1. Гамильтониан
Взаимодействие, которое имеет место между классическим'
электромагнитным полем и квантованной средой за счет элек-
электрического дипольного перехода, можно описать системой свя-
связанных нелинейных дифференциальных уравнений, которые бу-
будут получены в этом разделе. Электрические дипольные пере-
переходы обычно ответственны за поглощение и дисперсионные
свойства веществ в ультрафиолетовой, видимой и ближней ин-
инфракрасной областях оптического спектра.
Фиг. 2.2. Диаграмма уровней энергии для электрического дипольного пере-
перехода.
Предположим, что среда состоит из набора атомов или мо-
молекул, обладающих парой невырожденных собственных состоя-
состояний противоположной четности |«i) и \и2). Разность энергий,
как показано на фиг. 2.2, равна В2 — Е{ = Ш.
Гамильтониан такой системы определяется выражением
Ж = Ж0 + Ж', B.23)
где Жо — гамильтониан иевозмущенной среды, а гамильтониан
взаимодействия Ж' соответствует электрическому дипольному
переходу
Ж = - ц • Е = - ца£а. B.24)
Индекс а = х, у, г обозначает координатное направление. По
повторяющимся индексам подразумевается суммирование, т. е.

48 Глава 1
Основной гамильтониан Ж о, удовлетворяющий уравнению на
собственные значения Жа\ип) = Еп\ип), имеет матричные эле-
элементы (Шъ)тп = {ит\Жо\ип) = Епбтп и, следовательно, может
быть записан в матричном виде
Ei 0
О Е2
Из соображений четности, рассмотренных в предыдущем
разделе, ясно, что оператор электрического дипольного момен-
момента для двухуровневой системы, обладающей невырожденными
собственными состояниями противоположной четности, дается
выражением 1)
/О Ис
^U о
В написанной выше матрице матричный элемент цх, например,
является просто х-компонентой матричного элемента опера-
оператора ц, взятого между состояниями | ы4) и |м2):
цх = (щ j м-1 «2> - 1*.
Здесь 1Ж — единичный вектор в направлении оси х. Комплекс-
Комплексное сопряжение появляется в B.26) потому, что оператор ц
соответствует физической наблюдаемой величине и должен быть
эрмитовым.
Так как оператор электрического дипольного момента оп-
определяется выражением B.26), то соответствующий гамильто-
гамильтониан взаимодействия B.24) равен
о
B 27)
Здесь снова по повторяющимся индексам подразумевается сум-
суммирование.
Выведем теперь уравнения движения для классических на-
наблюдаемых величин. Развитая здесь техника имеет общую при-
применимость и будет использована для решения многочисленных
задач повсюду в тексте.
') Заметим, что символ ц„ используется для обозначения как оператора
дипольного момента, так и его матричных элементов. Однако из контекста
всегда ясно, что этот символ обозначает. Запись же значительно упрощается
Иначе нужно было бы использовать громоздкие обозначения типа
0 (Ha)

Дшюльные переходы 49
2. Электрический дипольный момент
Важной наблюдаемой величиной в случае электрического
дипольного перехода является среднее значение дипольного мо-
момента (ца), определяемое следом
< . B.28)
Согласно B.26), все диагональные элементы \ia равны нулю.
Следовательно, соответствующее уравнение движения для пер-
первой производной (ца) получим с помощью A.48)
(Ю + -^ = ^г(^аЩ). B.29)
Здесь точка обозначает операцию d/dt.
Вычисление коммутатора [\иа, Ж] с 'иомощыо выражений
B.23) — B.27) дает
[ца, Щ = К, 5^о + Ж\ -= [ца, Жо] + [ца, Ж'\ =
= [ц„, яу = йа/Д. ^aj, B.зо)
где fiQ = £2—-^i- В полученной матрице B.30) нельзя узнать
ни одного оператора из определенных ранее. Однако желатель-
желательно получить выражение, зависящее только от средних значений
величин. Поэтому с помощью A.51) перейдем к выражению
для второй производной (ц.а):
(Да) + -|-(Аа) + ^Г<йа)= ~ ~jr { [ [|1а, Ж\, Ж\). B.31)
2 2
Так как 1ца,<3^'] = 0, то второй член в правой части A.51) ис-
исчезает.
Внутренний коммутатор в правой части B.31) определяется
из B.30). Вычисление внешнего коммутатора, выполненное ана-
аналогично, дает
Пи. *].*!
При выводе этого уравнения использован тот факт, что ца^
является, как доказано в приложении 3, вещественной величи-
величиной.
Матрицу B.32) можно представить в виде двух матриц,
одна из которых соответствует оператору дипольного момента
ца и определяется выражением B.26), а другая является диа-
диагональной:
[ [ца, Ж\, Щ =

51 Глава 2
Здесь D — диагональная матрица
1 О'
B.33)
Чтобы определить, какую наблюдаемую величину представляет
матрица D, воспользуемся выражением B.28):
Таким образом, диагональная матрица соответствует разности
вероятностей заселения нижнего и верхнего энергетических
собственных состояний, Следовательно, уравнение движения
для электрического дипольного момента B.31) преобразуется
к виду
о , 2Р / *\
{\Ха) + -у~ \|Ха) + М 'чЦа) = -g- (.HdHgJ (рП — р.„) Cg m B,00)
В этом конечном уравнении принято О* ~^> ЦТ], что справед-
справедливо для большинства случаев, представляющих для нас инте-
интерес. Физически это соответствует тому, что ширина линии пере-
перехода мала по сравнению с резонансной частотой. Кроме того,
поле записано в виде Е$ок, чтобы подчеркнуть, что на каждый
атом или молекулу действует локальное поле. В плотной среде
это поле не совпадает с полем, входящим в уравнения Максвел-
Максвелла. Локальное поле, действующее на молекулу, отличается от
макроскопического поля вследствие влияния поляризуемости
вещества. Этот вопрос будет подробно рассмотрен в п. 6.
3. Усреднение по молекулам
Предположим, что в единице объема содержится N = JflV
атомов или молекул, дипольный момент которых определяется
выражением B.35). Полную макроскопическую поляризацию
среды найдем как сумму вкладов от каждой молекулы:
<М.аУ = Nv (iO. B.36)
Черта сверху указывает на усреднение по всем молекулам. Ве-
Величина {ца) меняется от молекулы к молекуле, так как каж-
каждая из них может иметь различную ориентацию.
Суммируя и проводя усреднение по ориентациям в B.35),
в правой части получаем выражение
B.37)

Дипольные переходы 51
При этом предполагается, что поле Е$ок постоянно по всему
объему. Если важно пространственное изменение величины
Е$ок, то поле должно быть учтено, когда производится усред-
усреднение. Так как рн есть вероятность заселения г-го состояния,
a Nvpu—усредненное по ориентациям среднее значение числа
молекул, находящихся в /-м состоянии в единице объема, то
используем определение
(.V, - N3) ^ Nvpu - Nvp22 = NV(D). B.38)
Величина (Ni — N2) будет называться разностью населенно-
стей в единице объема.
Предположим сначала, что величина (ри — р22) приблизи-
приблизительно одинакова для всех молекул независимо от их ориента-
ориентации. Это условие часто выполняется, так как величина
(рн — ргг) устанавливается в результате, например, теплового
равновесия с окружающей средой или равновесия с изотропным
источником излучения. При этом условии выражение B.37) для
пространственного усреднения можно переписать в виде
К»*;) Nv (Р.. - Ы = ад) (W, - AQ. B.39)
Если значение (ри — ргг) зависит от ориентации, но все мо-
молекулы ориентированы одинаково, как, например, в однодомен-
ном кристалле, то выражение B.37) снова сводится к B.39).
Если на систему молекул действует сильно поляризованное по-
поле, то величина (рн — ргг) может изменяться, так как имеет
место большое число переходов. При произвольной ориентации
молекул (ри —ргг) зависит от ориентации так же, как и цаЦр.
Для этого случая B.37) преобразуется к виду
ад-^. B-40)
где
При этом О-^Ь-^1. В дальнейшем будем предполагать, что
Ъ « 1, так что справедливо B.39). В этом случае среднее по
ориентации значение произведения (цаЦр)(рп — р22) равно про-
произведению средних значений, и обе функции в произведении
являются независимыми в отношении ориентации. При Ъ ф \
применимы те же уравнения, если (nafifs) умножить на Ь.
В гл. 3, § 4 ив приложении 5 сделана опенка ошибки, появ-
появляющейся при использовании выражение B.39) для сильного
поля. Найдено, что эта ошибка в общем случае незначительна.

52 Глава 1
Производя суммирование в обеих частях B.35) и учитывая при-
приведенные выше рассуждения, находим уравнение движения для
макроскопической поляризации Ра = AV(ua):
1
B.41)
Требуемое усреднение величины (naHg) состоит в усреднении
по всем возможным ориентациям, так как она в общем случае
зависит от ориентации молекулы по отношению к фиксирован-
фиксированной системе координат, которая используется для вычисления
матричных элементов оператора электрического дипольного мо-
момента ц. В качестве примера рассмотрим газ произвольно ори-
ориентированных анизотропных молекул. Любая данная молекула
может иметь в соответствии с B.35) «/-компоненту дипольного
момента, появляющуюся за счет ^-компоненты приложенного
поля, так как вследствие случайной ориентации величина
(ц \С\ может иметь конечное значение. При усреднении, од-
однако, «/-компоненты дипольного момента взаимно уничтожа-
уничтожаются, так как весь газ является изотропным. Это означает,
что х-компонеита поля приводит к появлению только х-компо-
ненты поляризации. С другой стороны, в определенных кри-
кристаллических структурах возможна лишь одна ориентация.
В этом случае средняя величина произведения матричных эле-
элементов имеет такое же значение, как для отдельного атома.
В качестве примера усреднения по ориентациям рассмотрим
изотропный газ анизотропных молекул, о котором упоминалось
выше. Как уже обсуждалось, (цаЦр) = 0 при а ф |3, поскольку
для изотропной среды индуцированный дипольный момент, ус-
усредненный по большому числу молекул, должен иметь то же
направление, что и приложенное поле. Следовательно, необхо-
необходимо рассмотреть только члены \\1х\г, \\1у\г и \\iz\2- Кроме
■ того, в изотропной среде направления х, у и г равноправны и,
следовательно, | \хх\2 = | цу\2 = | Цг\г- Введем величину
Ui,,|2 = UI7F + lT^F+n^T=3|T^T. B.42)
В изотропном случае, используя B.42), уравнение B.41) мож-
можно записать в виде
^^(Ni-N2)EMK. B.43)
Среда с более сложной симметрией рассматривается в гл. 3.
Уравнение B.41) является основным уравнением для поля-
поляризации квантованной среды. Видно, что поляризация среды
ведет себя как гармонический осциллятор частоты Q, возбуж-
возбуждаемый электрическим полем с коэффициентом связи, пропор-

Дипольные переходы S3
шопальпым разности населенностей. Первый вывод, который
ложно сделать из B.41), состоит в том, что в отсутствие при-
южениого поля начальная поляризация будет затухать с по-
:тоянной времени поперечной релаксации Т2 вследствие рас-
разировки индивидуальных диполей в результате взаимодей-
:твия их между собой. Другой важный вывод заключается
5 том, что влияние электрического поля на поляризацию осла-
ослабевает, когда населенность двух уровней становится приблизи-
приблизительно одинаковой. В частности, если населенности равны, то
:вязи с электрическим полем нет. Это означает, что поляриза-
поляризационный осциллятор «не чувствует» возбуждающее поле. Позд-
iee будет видно, что этот эффект лежи г в основе явления на-
:ыщения.
4. Разность населенностей
Другой наблюдаемой величиной, которая представляет ин-
герес в проблеме электрического дипольного перехода, является
разность иаселенностей в единице объема. Эта величина опре-
определяется выражением B.38), которое выводится с помощью
диагонального матричного оператора B.33) и B.34):
(W, - N2) = AV (ри-ра) = Nv Щ. B.44)
Здесь
(Г
-1
Nv — число атомов или молекул в единице объема, а черта
сверху указывает на усреднение по ориентациям.
Разность населенностей является мерой энергии, запасенной
в квантованной среде. Мощность gi, которая поступает в еди-
единицу объема среды, дается выражением
Таким образом, если в единице объема агом переходит с уров-
уровня 1 на уровень 2, то Ni уменьшается на единицу, а М2 увели-
увеличивается на единицу. Разность уменьшается на 2, а запасенная
в единице объема энергия увеличивается на Ш.
Начнем рассмотрение разности населепностей, определяемой
выражением B.44), с получения уравнения движения для пер-
первой производной наблюдаемой величины (D) = (рп — р22).
Из уравнения A.49), которое применимо для оператора, выра-
выражаемого диагональной матрицей, имеем
1 (Р„ ~ Ы + (Р" - Р22) ;,(р" ~^-i (ID, Ж\). B.46)

54 Глава 2
Вычисление коммутатора [D, Ж] с помощью B.23) — B.27)
дает
Id, щ = [D, ж0 + ж/\ = [D, ж0] + [D, ж'] =
_^ qJ. B.47)
В результате получается матрица, появившаяся в B.30). Ком-
Комбинация выражений B.29), B.30) и B.47) и подстановка
в B.46) приводят к уравнению
1 W - Ns) + (N' ~ Nt) ~ <"' ~ N2r = - ^ РаЕГ- B.48)
При этом проведено пространственное усреднение, указанное
в B.36) и B.44), а индекс «лок» подчеркивает, что на молекулы
действует локальное поле. Кроме того, так как для интересую-
интересующих нас случаев QT2 3> 1, то отброшен малый по сравнению
с Ра член PJT2.
Уравнение B.48) для разности населенностей квантованной
среды является другой формой записи исходных уравнений для
диагональных элементов матрицы плотности. Это уравнение яв-
является уравнением баланса мощности. Причем изменение энер-
энергии, запасенной в единице объема квантованной среды, опреде-
определяется мощностью Р-Е. Аналогичный член известен из урав-
уравнений Максвелла, где в теореме Пойнгинга он представляет
энергию, затрачиваемую полем на поляризацию среды.
Если поле отсутствует, то из-за наличия второго члена в ле-
левой части уравнения B.48) начальная разность иаселенностей
(Ni — /V2) уменьшается, стремясь к равновесному значению
с постоянной времени продольной или тепловой релаксации 7Y
Следовательно, второй член соответствует обмену энергией
с окружающей средой. Равновесное значение, к которому стре-
стремится разность населенностей, обычно определяется распреде-
распределением Больцмана. Однако позднее будет показано, что при
определенных процессах возбуждения возможно другое равно-
равновесное значение разности населенностей. Использование таких
процессов возбуждения существенно для работы мазеров и
лазеров.
Уравнения B.41) — B.48) для поляризации и разности на-
населенностей в единице объема получены с помощью метода
матрицы плотности, рассмотренного в гл. 1. Этот метод приво-
приводит к дифференциальным уравнениям для классических пере-
переменных. Такие уравнения имеют физическую интерпретацию,
которая помогает понять основные процессы и дает руководство
при использовании приближенных методов.

Дчпольные переходы 54
5. Уравнения поля
Уравнения движения для поляризации и разности паселен-
ностей описывают поведение среды при наличии электромагнит-
электромагнитного поля. Чтобы система уравнений была замкнутой, необхо-
необходимо включить уравнение поля, которое учитывает обратное
воздействие динамических свойств среды па поле.
Уравнения пэля для изотропной поляризуемой среды в от-
отсутствие свободных зарядов имеют вид
V-B = 0: VD = 0,
VXH=J+^, VXE--4J-, B.49)
J=crE.
Феноменологический член проводимости J = аЕ учитывает по-
потери, возникающие за счет поглощения и рассеяния, обуслов-
обусловленных всеми остальными переходами, кроме рассматривае-
рассматриваемого.
В п. 7 этого параграфа будет показано, что полную поляри-
поляризацию рполн МОЖНо разделить на две части. Первая часть, Ps,
появляется за счет рассматриваемого перехода и связана с по-
поляризацией Р, входящей в уравнения движения B.41) и B.48).
Вторая часть определяется всеми остальными переходами. В ре-
результате такого деления выражение для D можно переписать
в виде
D = еЕ + Ps.
При такой записи влияние рассматриваемого перехода явно уч-
учтено с помощью поляризации Ps. Вклады в поляризацию, свя-
связанные с другими переходами, учитываются путем замены е0
на е. Соответствующее значение е совпадает с измеренным па
частотах выше рассматриваемого перехода [12].
Волновое уравнение для Е можно получить, взяв ротор от
уравнения V X Е и сделав соответствующие подстановки из
других уравнений. В результате получаем
VX(VXE) + Ji-£ + -££—IVS1. B.50)
где с2 = 1/цоео, а показатель преломления среды ц = ]/е/е0 не
включает влияние рассматриваемого перехода. Кроме того,
коэффициент затухания si ~ цостс/т) введем так, что в отсут-
отсутствие поляризации энергия плоской волны, пропорциональная
|Е|2, при распространении в направлении оси г уменьшается
по закону е~Лг.

56 Глава 2
Уравнение такого вида удобно анализировать, представляя
поле в виде бегущих плоских волн:
Е (г, 0 = У] — е' ^~к< • г> + компл. сопр.
i
Такой метод обычно используется при рассмотрении явлений
поглощения, усиления и генерации гармоники.
Другая форма записи уравнений поля полезна при рассмот-
рассмотрении резонаторов. Она получается разложением полей по нор-
нормальным типам колебаний резонатора, как это описано Слэте-
ром [13]. В резонаторах СВЧ, например, нормальные типы ко-
колебаний представляют собой обычные стоячие волны.
Разложение по нормальным типам колебаний получается
при рассмотрении распределения полей внутри резонатора
с идеально проводящими стенками, заполненного диэлектриче-
диэлектрической средой с проницаемостью б. Граничные условия для та-
такого резонатора состоят в том, что тангенциальные компоненты
Е и нормальная компонента В обращаются в нуль на поверх-
поверхности. Показано, что решения уравнений поля, удовлетворяю-
удовлетворяющие граничным условиям, можно записать в виде суммы бес-
бесконечного дискретного набора нормальных типов колебаний
Ео(г), На(г), которые удовлетворяют уравнениям
f ^, B.51)
Из приведенных уравнений видно, что Е, (г) и На(г) являются
собственными функциями оператора (VXVX), соответствую-
соответствующими собственным значениям (<ваг|/сJ. Эти функции ортого-
ортогональны и могут быть нормированы следующим образом:
bab. B.52)
Произвольное поле можно представить в виде разложения
по нормальным модам:
Е = - -^ J] Ра @ Еа (г), Н = -L J] «а<7а @ На (г),
а а
где временная зависимость выражается множителями qa(t),
Pa(t).
Подставляя разложение по нормальным типам колебаний
в волновое уравнение B.50) и используя B.51) и B.52), нахо-
находим дифференциальное уравнение для pa(t):
Ра + ~Ра + <Ра = ^ j ^ ' Еа (Г) dV. B.53)

Дипольные переходы 57
Если предположить, что преобладает единственный нормаль-
нормальный тип колебаний Ес(г), то полное поле дается выражением
F = Рс (t) Ес (г)
Следовательно, B.53) можно записать в виде
Ё + ± Ё + со'^Е = - 1 Ес (г) J Ps ■ Ес (г) dV, B.54)
где тс = r\ls4-c — время затухания резонатора, т. е. время, ко-
которое требуется для того, чтобы в отсутствие возбуждения энер-
энергия в резонаторе уменьшилась в е раз1).
Во многих случаях поляризация Р сама задается полем и
поэтому имеет такое же пространственное распределение, как и
нормальный тип колебаний. В этом случае B.54) можно упро-
упростить к виду
E+J-E + co2E=-i-P. B.55)
При выводе B.55) предполагалось, что источник поляриза-
поляризации целиком заполняет резонатор. Если это не так, то правую
часть B.55) нужно умножить на коэффициент заполнения F,
определяемый соотношением F = |Ee(r)|2dK, где интеграл
берется по объему источника поляризации. Так как Ес(г) есть
функция, нормированная по объему резонатора, то F = 1, если
источник поляризации заполняет весь резонатор. В большинстве
случаев хорошим приближением для F является отношение
объема источника к объему резонатора. До тех пор, пока это
не оговаривается особо, будем полагать F = 1.
Если уравнение поля в форме B.50) или B.54) и B.55)
добавить к уравнениям предыдущей главы, то получим замкну-
замкнутую систему, необходимую для полного описания электриче-
электрического дипольного взаимодействия классического электромагнит-
электромагнитного поля с двухуровневой квантованной средой.
') Время затухания резонатора введено здесь с учетом потерь за счет
проводимости. Однако оно может учитывать все механизмы потерь в резо-
резонаторе. Например, для оптического резонатора
где тт — время затухания, определяемое потерями только на излучение через
зеркала; х, соответствует потерям на рассеяние и поглощение за счет влия-
влияния переходов, исключая рассматриваемый переход, и xd определяется ди-
дифракционными потерями. Выражение для хт в зависимости от коэффициента
отражения зеркал, составляющих резонатор, получено в гл. 4, п. 4; т, = r\lstc,
где st — коэффициент ослабления мощности плоской волны, распространяю-
распространяющейся в среде; величина xd зависит от геометрических размеров, таких, как
расстояние между зеркалами и их радиус [14].

58 Глава 2
6. Электрический дипольный переход. Краткое излоохение резуль-
результатов
Изложим кратко метод, используемый при получении систе-
системы уравнений для электрического диполыюго перехода.
1. Выбирается гамильтониан взаимодействия.
2. Средние значения соответствующих наблюдаемых записы-
записываются с помощью следов.
3. С использованием выражений гл. 1, § 4 для производных
средних значений величин получают дифференциальные урав-
уравнения для переменных, представляющих интерес.
4. Для получения замкнутой системы добавляется уравнение
поля.
В случае электрического дипольного перехода гамильтониан
взаимодействия
0
О
приводит к следующим уравнениям движения для изотропной
среды:
B.56)
Уравнение поля имеет вид
X(VXE) + ^ + ^
^^ ^^^ (для бегущей волны),
B.57)
Ё + — Ё + а2Е = - — Е [ Р5 • Е (г) dV (для резонатора).
7. Поправочный коэффициент для локального поля
Для дальнейшего рассмотрения необходимо перейти от ми-
микроскопических величин к макроскопическим. А именно нужно
определить соотношения, которые существуют, с одной стороны,
между локальным и макроскопическим полями и, с другой сто-
стороны, между поляризационным источником Ps, возбуждающим
макроскопическое поле, и действительной поляризацией Р, ко-
которая входит в уравнения для среды. Различие в этих величи-
величинах связано с влиянием поляризуемого ьощества на локальное
электрическое поле, которое действует на данный атом или мо-
молекулу.

Дппо.гьные переходы 59
Для двух сред, которые совершенно случайно сильно раз-
различаются по плотности, эффекты поляризации можно не учиты-
учитывать. Во-первых, это разреженный газ, где нет близлежащих
молекул, которые влияли бы на локальное поле. Поэтому оно
совпадает с макроскопическим полем. Во-вторых, это электро-
электроны проводимости в полупроводниках и металлах, где волновые
функции электронов скорее размазаны по всему кристаллу, чем
локализованы на данном атоме. В результате нужно учитывать
макроскопическое поле [3]. Для этих двух случаев можно поло-
положить Елок равным Е, a Ps равным Р.
Для других плотных сред различие между локальным и
макроскопическим полями проводится с помощью поправочного
коэффициента Лоренца, который учитывает изменение локаль-
локального поля за счет поляризации. Соответствующее вычисление
для изотропной среды вынесено в приложение 4. Результаты
этого вычисления таковы:
1. Выражение для источника Ps, которое используется
в уравнении поля для учета исследуемого перехода, связано
с действительной поляризацией Р соотношением
B.58)
где г) = У&/&Э ~ показатель преломления среды без учета рас-
рассматриваемого перехода.
2. Локальное поле связано с макроскопическим полем:
С помощью B.58) и B.59) уравнения движения для изо-
изотропной среды приводятся к виду
Р* + — Ps + Q2P* = ^ L ' ц3" '2 М - N2) Е, B.60а)
lf{Nl-N.i) + Т{ =~lQP -E' B-606)
где L = [(rf + 2)/3]2 — поправочный коэффициент Лоренца для
изотропного случая. Уравнения поля остаются в неизменном
виде:
п£Ф <ЭЕ г\2 д2Е d2Ps
УХ(УХЕ)+-^—^ + ^--^=-цо-^г(для бегущей волны),
B.60в)
Ё + —Ё + «2Е= -|"Ес(г) [ Р-'-Ес(г)д[К(для резонатора). B.60г)
Таким образом, видно, что влияние поляризации среды на вид
уравнений для случая электрического дипольного перехода
состоит во введении поправочного коэффициента Лоренца L.

60 Глава 2
Из уравнения B.60а) видно, что поляризация ведет себя по-
подобно гармоническому осциллятору, возбуждаемому электри-
электрическим полем, и коэффициент связи пропорционален разности
населенностей. Уравнение B.606) для разности населенностей
является уравнением баланса мощности и связывает изменения
энергии, запасенной в единице объема среды, с возбуждением
вида PSE. Уравнения B.60в) и B.60г) описывают поведение
макроскопического электромагнитного ноля, причем влияние
среды на поле определяется членом вида Ps. Эта система свя-
связанных уравнений взята в качестве основы в гл. 3 при рас-
рассмотрении различных явлений, таких, как поглощение, диспер-
дисперсия, насыщение и работа лазера.
Уравнения B.60) применимы к изотропной среде. Для ани-
анизотропной среды, например для сложного кристалла, уравнения
в такой форме можно использовать в том случае, если поля-
поляризация и поле направлены вдоль главных осей системы.
(Главные оси — это такие направления, для которых компонен-
компонента поляризации зависит лишь от компоненты поля, имеющей
то же направление, т. е. тензор, связывающий поле с поляри-
поляризацией, является диагональным.) Следовательно, результаты,
полученные в этой главе на основе уравнений B.60), примени-
применимы и для главных осей при замене
е^еа; ц->г]а; L->La; ^f-->\ (цаI212. B.61)
Новые значения соответствуют направлению поляризации а и
будут в общем случае различны для разных направлений.
При произвольном направлении поляризации в анизотроп-
анизотропной среде необходимо вернуться к выражениям B.41) и B.48)
и провести в общем виде рассмотрение, представленное для
изотропного случая.
§ 5. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ДЛЯ МАГНИТНОЙ
ДИПОЛЬНОЙ СИСТЕМЫ, ИМЕЮЩЕЙ СПИН 72
Электрический дипольный переход во многом аналогичен
магнитной дипольной системе со спином 1/2. Одним из приме-
примеров системы со спином '/г является электрон. Другими примера-
примерами служат протоны, нейтроны и некоторые «одноэлектронные»
атомы, такие, как серебро, имеющие заполненные оболочки и
подоболочки, спин которых равен нулю и единственный валент-
валентный электрон находится в s-состоянии [В]. При дальнейшем рас-
рассмотрении мы ограничимся электроном. А1агпитный дипольный
член, рассмотренный в этом параграфе, не связан с индуциро

Напольные переходы 61
ванным диполем, появляющимся при мультипольном разложе-
разложении (§ 2). Он соответствует постоянному магнитному диполю.
Электрон имеет измеримый спиновый момент количества
движения й/2 и магнитный дипольный момент, равный еЪ/2т
в МКС единицах [6]. Эти свойства, хотя и наводят на мысль
о вращающемся заряде, не имеют удовлетворительного класси-
классического объяснения. Следовательно, они должны рассматри-
рассматриваться как чисто квантовомеханические по своей природе и от-
отражающие определенные внутренние степени свободы частицы.
Пучок атомов"' ' - z
у
j:
Магнит
Фиг. 2.3. Схема эксперимента Штерна и Герлаха.
Экспериментально обнаружено, что спин может иметь толь-
только две противоположные ориентации по отношению к некото-
некоторому фиксированному направлению в пространстве, которое
обычно выбирают в качестве оси z. Одна из этих ориентации
параллельна, другая — антипараллельна исходной оси. Такое
поведение можно объяснить квантовомеханически, постулируя
существование двух спиновых собственных состояний, обозна-
обозначаемых |+) и |—), которые удовлетворяют уравнению для соб-
собственных значений
5г|±)=±|-|±), B.62)
где sz — оператор спина, соответствующий измерению г-компо-
ненты спина. Собственные значения этого оператора равны
±Ь/2. Измерения такого типа можно выполнить с помощью
опыта Штерна — Герлаха (фиг. 2.3), в котором поток частиц,
проходя через неоднородное магнитное поле, делится на два
четко разделенных в пространстве пучка в соответствии с их
спинами. Отклонение вызывается силой, которая действует на
магнитный дипольный момент, связанный со спином [7].
При изучении спина удобно ввести матричные обозначения.
Пусть ортогональные собственные состояния |±) представлены
матрицами
) (?) B-63)

62 Глава 2
При таком обозначении произвольное спиновое состояние
представляется матрицей-столбцом
1\ /О
Чтобы одновременно выполнялись соотношения B.62) и B.63),
оператор sz должен иметь вид
_1 , • B-64)
Если к постулату о существовании двух спиновых собствен-
собственных состояний добавить постулат о том, что операторы спина
удовлетворяют обычным коммутационным соотношениям для
момента количества движения
Ге. ,,,1 — //;<;■. (9 fi^ii
I О / у О IJ Ы Ю U у \£d , \J\J I
где i, j, k образуют циклическую перестановку х, у, z, то опе-
операторы sx и sy будут определяться выражениями
'О 1\ W0 -Г
О/' $IJ 2\i О
Постулат B.65) подтверждается сравнением предсказанных
результатов с экспериментальными данными. Введенные выше
операторы спина часто записываются з виде s = (ft/2)а, где
компоненты а являются спиновыми операторами Паули
'01\ /0-i\ (\ О'
О)' ay = \i О
Электрон имеет магнитный момент т, который связан со
спином s соотношением
m=-^s=--lT0'' B-67)
где е = \е\— величина электрического заряда, a y—гиромаг-
y—гиромагнитное отношение1). Используя B.66) и B.67), для операто-
') Уравнение B.67) является частным случаем общей теоремы квантовой
механики, которая утверждает, что магнитный дипольный момент m и момент
количества движения hf изолированной системы связаны соотношением
m= -
где р — магнетон Бора, Р = ehj2m; \~ гиромагнитное отношение, равное
у — gel2m (g — фактор спектроскопического расщепления, равный 2 для спи-
спина электрона).

Дипольные переходы 63
ров магнитного момента получаем
B.68)
До сих пор спиновые собственные состояния рассматрива-
рассматривались так, как если бы они существовали независимо от осталь-
остальной части волновой функции электрона. Строго говоря, такое
приближение можно сделать, лишь пренебрегая спин-орбиталь-
спин-орбитальным взаимодействием между орбитальным и спиновым магнит-
магнитными моментами атома. Это приближение в действительности
является хорошим для всех не слишком тяжелых элементов,
так как обычно лишь малая часть энергии взаимодействия при-
приходится на спин-орбитальное взаимодействие. Когда такое при-
приближение справедливо, можно представить собственный вектор
электрона в виде произведения орбитального и спинового соб-
собственных векторов [6, 14, 15]. Следовательно, данному орби-
орбитальному собственному состоянию электрона \uh) соответст-
соответствуют два собственных вектора
I ф.) = 1 «*)! + ).
Орбитальный и спиновый операторы действуют раздельно соот-
соответственно на орбитальную и спиновую части полного соб-
собственного вектора |ф).
/. Гамильтониан
Чтобы учесть взаимодействие магнитного момента электро-
электрона с магнитными полями, к гамильтониану электрона B.1)
нужно добавить член вида —m-В, где В — магнитная индук-
индукция. Полный гамильтониан можно записать в виде
Ж = Ж0 + Ж' = {Жт + Жо2) + Ж'. B.70)
Первый член гамильтониана Ж^ связан с электрон-электрон-
электрон-электронным и электрон-ядерным взаимодействиями и приводит к орби-
орбитальным собственным состояниям \uh), которые удовлетворяют
уравнению для собственных значений
Ж<л\ик) = Ек\ик). B.71)
Член 5^02 является той частью выражения —m-В, которая
обусловлена статической компонентой магнитного поля Во, ле-
лежащей в направлении оси z:
Жа2 = - m • Во = - т2Вйг. B.72)

64 Глава 2
Через Ж' обозначен член взаимодействий, который учитывает
влияние зависящего от времени магнитного поля В',
Ж' =~т-Ъ'. B.73)
Матричные элементы приведенного выше гамильтониана
вычисляются на основе базисных векторов B.69); Жен действует
только на орбитальную часть собственного вектора \ih.), тогда
как Жо2 и Ж' действуют только на спиновую часть собствен-
собственного вектора. Как и в случае электрического дипольного взаи-
взаимодействия, рассмотренного в предыдущем разделе, поле опи-
описывается классически в духе квазиклассического приближения.
Следовательно, матричные элементы 2eOi и Ж, определяемые
B.72) и B.73), являются просто матричными элементами т,
а магнитная индукция служит множителем.
Рассмотрим сначала основной гамильтониан Ж® = Жм +
+ Ж<&. Типичный матричный элемент определяется следующим
образом:
(Жь)п = (Жт)и + (Ж^и = (ф. I ^о. IФ.) + (Ф, | Ж02
Учитывая, что \qn) определяется выражением B.69), получаем
№ll = («ft I ( + I 30<,1 I «ft) I + ) + («ft I ( + I ^02 I «ft) I + ) =
^021 +)• B.74)
Из B.63) имеем (+|+) = 1; полагая, что собственные векторы
\uh) ортогональны, из B.71) видим, что {uh
= Eh(u,,\uh) = Eh; из B.67) и B.72) получим ( +
= (yhBOz)/2. Следовательно, B.74) приводится к виду
2 02
Другие матричные элементы определяются аналогично. В ре-
результате гамильтониан Жо = Жн + Жог запишется в матричном
виде следующим образом:
О \
Из B.17) видно, что уравнения для собственных значений
, | Ф2) = Е21 ф2)

ДипоАьные переходы
удовлетворяются, если взять
65
Следовательно, в присутствии постоянного магнитного поля
собственное состояние электрона \uh) расщепляется на два
энергетических уровня, разность энергий которых равна
fiQ = byBOz, где большая энергия соответствует спиновому соб-
собственному состоянию | + ) (фиг. 2.4). Заметим, что нумерация
уровней, согласно которой уровень 1 соответствует состоянию
с более высокой энергией, обратпа случаю электрического ди-
польного перехода, изображенному на фиг. 2.2.
Ю с К) 1+) „ *ьва,
Е, -
■£"*-■
Фиг. 2.4. Диаграмма расщепления энергетического уровня для магнитного
дипольного перехода со спином 1]2.
Методом, аналогичным тому, который использовался для оп-
определения матричных элементов <Ж0, найдем, что гамильтониан
взаимодействия B.73) имеет вид
В: В'Х~1В'"- B.76)
2 ( в;
- B'z
2. Уравнения движения
Теперь можно получить уравнения движения для системы
со спином '/г- Применяя уравнение A.48) к оператору диполь-
дипольного момента тх, определяемому B.68), получаем для первой
производной среднего значения {>пх) = Sp(pm^)
/ ... \ 1
B.77)
Вычисление коммутатора [тх, Ш\ с помощью B.75) и B.76)
дает
[тх, Щ = [тх, Жо + Ж'\ = [тх, Ж»] + [тх, М'\ =
= - ih ilniy + Шу {В'у,пг - B'zmy). B.78)

66 Глада 2
Следовательно, уравнение B.77) приводится к виду
(>пх) + -^Д = Y (В' X (т))х - Q (ту). B.79)
Аналогично найдем, что среднее значение оператора диполь-
ного момента mv удовлетворяет уравнению
(т у) + ЩЯ = Y (В' X (т))у + Q (тх). B.80)
1 2
Чтобы получить уравнение движения для (inz) = Sp(p/n2),
применим уравнение A.49), которое используется для операто-
операторов с диагональными матрицами, к оператору дипольного мо-
момента /п.:
{thz) + <"">-<"">'=V(B' X (ш»г. B.81)
Уравнения B.79) — B.81) можно переписать в форме, извест-
известной как уравнения Блоха [16]:
м
-jJL = y (В' X Щ + QMX, B.82)
Мг+ Мг
В приведенных выше уравнениях М является макроскопиче-
макроскопической намагниченностью, равной М = JVr(m), где Nv — число
электронов в единице объема, дающих вклад в полную намаг-
намагниченность, а черта сверху указывает на усреднение по ориеи-
тациям. Отметим здесь также, что
Из этого выражения видно, что компонента намагниченности,
параллельная приложенному постоянному магнитному полю,
определяется только диагональными элементами матрицы плот-
плотности и соответствует разности населепностей двух энергети-
энергетических уровней. Следовательно, 2-компонента намагниченности
является мерой энергии, запасенной в спиновой системе. Вели-
Величина М% является равновесным значением, к которому стре-
стремится Mz в отсутствие приложенного поля В'. Так как частота

Дипольные переходы
67
Q связана с постоянным магнитным полем соотношением Q =
= y^o?. а полное магнитное поле дается выражением
то уравнения B.82) можно упростить:
My
м ч—- = •
М)„,
B.83)
= V(BXM),
Хотя уравнения Блоха могут показаться сложными, они
имеют ясную физическую интерпретацию. Без релаксационных
членов система B.83) сводится к уравнению
L
-^ = Y(BXM), B.84)
которое имеет такой же вид, что и классическое
уравнение для заряженного вращающегося волч-
волчка, помещенного в магнитное поле. Вращение
такого волчка приводит к распределению тока,
а ток в свою очередь порождает магнитный
момент, который взаимодействует с магнитным
полем.
Ф и г. 2.5. Клас-
Проследим аналогию с вращающимся волч- сическая мо-
ком более подробно. Классический волчок со- ^"^ 3,?п.?Л?н"
1 н и го в р а щ а ю *
стоит из отрицательно заряженных частиц, щегося волчка,
имеющих отношение заряда к массе, равное —
е/т; он обладает магнитным дипольным моментом m и момен-
моментом количества движения L, как показано на фиг. 2.5. Если
рт — плотность массы, a v — скорость частицы в любой данной
точке, то m и L определяются выражениями [1]:
L=
Следовательно, они связаны соотношением
m=-~L.
2m
B.85)
В однородном магнитном поле В на волчок действует враща-
вращательный момент
Т = т X В.

68
Глава 2
Уравнение движения при наличии такого момента имеет вид
dt
= m X В.
Используя соотношение B.85) и определение для у, его можно
переписать следующим образом:
Следовательно, уравнения Блоха без учета релаксации и
уравнение движения заряженного вращающегося волчка фор-
формально идентичны и отличаются множителем 2. Этот множитель
характеризует различие между классическим и квантовым опи-
описаниями заряженного вращающегося тела.
м
Фиг. 2.6. Прецессия намагничен-
намагниченности М в статическом магнитном
поле BJZ.
а —в отсутствие потерь; б —при нали-
наличии потерь.
В постоянном магнитном поле, имеющем ^-направление, на-
намагниченность прецессирует вокруг оси z аналогично вращаю-
вращающемуся волчку. Это ясно из B.84), так как намагниченность
подвергается действию вращательного момента, перпендикуляр-
перпендикулярного магнитному полю, а следовательно, лежащего в плоско-
плоскости ху. Вращательный момент в плоскости ху вызывает прецес-
прецессию намагниченности, как показано на фиг. 2.6, а, с частотой
Q = yBOz, где Ш — разность энергий между квантованными
уровнями системы, имеющей спин.
Если в B.82) учесть влияние потерь, то описанное выше
прецессионное движение затухает, как показано на фиг. 2.6, б.
Чтобы показать это, положим в B.82) В' = 0. Тогда
1 2
My
М А - = О М
1V1 у Т у "-'"л
■ = 0.
Таким образом, Т2 учитывает затухание перпендикулярных
к постоянному полю BOi компонент Мх и Ми, а Т\ учитывает

Дшгольпые переходы 69
затухание компоненты Мх, которая параллельна ВОг. Постоян-
Постоянная Т2 является временем поперечной, или спин-спиновой, ре-
релаксации. Она учитывает спин-спиновое взаимодействие, кото-
которое вследствие взаимного возмущающего влияния расфазнрует
движение отдельных спинов и приводит к тому, что среднее зна-
значение поперечных компонент полной намагниченности стремится
к нулю. Постоянная Т\ является временем продольной, или
спин-решеточной, релаксации. Она учитывает обмен энергией
между спиновой системой и окружающей ее средой. Этот об-
обмен приводит к затуханию начальной компоненты Mz, которая
пропорциональна энергии —МВ =—MzBOz, запасенной спино-
спиновой системой в единице объема. Конечное значение Мег, к ко-
которому стремится Mz, является значением, при котором система
находится в равновесии со средой.
Если поле В', поляризованное в плоскости ху, имеет частоту,
близкую к частоте прецессии Q, то в соответствии с уравне-
уравнениями Блоха B.83) оно вызывает прецессию намагниченности.
Это призодит к передаче энергии от поля к спиновой системе.
Такое поглощение энергии поля известно как поглощение за
счет электронного парамагнитного резонанса. Это явление ис-
исследовано более подробно в гл. 3.
3. Уравнения поля для случая магнитной дипольной системы,
имеющей спин '/г
Уравнения Блоха описывают поведение системы, имеющей
спин 1/2, под действием приложенного магнитного поля. Чтобы
система уравнений была полной, добавим уравнения, которые
описывают поведение полей при наличии среды.
Уравнения поля в отсутствие свободных зарядов имеют вид
V- В = 0, V- D = 0,
VXH=J+^, VXE=-f, B.86)
В = |хо(Н + М), D = eE,
J =<тЕ,
где, как и в случае электрического дипольного взаимодействия,
проводимость J = оЕ введена для того, чтобы феноменологи-
феноменологически учесть потери. Волновое уравнение для В получим, взяв
ротор от уравнения, содержащего V X Н, и выразив Н через В.
В результате получим
V X (V X В) + If- -^ + ^-^ - HoV X (V X М), B.87)

70 Глава 2
где с2 = 1/(яо80, r|= l/e/eJ —показатель преломления среды и^ =
= цоос/г| — коэффициент затухания, введенный так, что в от-
отсутствие намагниченности М энергия плоской волны, пропор-
пропорциональная |Н|2, при распространении вдоль оси z уменьшается
как е~-*г. Как и в случае электрического дипольного взаимо-
взаимодействия, поля можно выразить либо в виде бегущих волн, либо
в виде разложения по нормальным модам резонатора. Однако
дальнейшее изучение предмета здесь производиться не будет.
Уравнение поля B.87) совместно с уравнениями Блоха
B.83) составляют необходимую полную систему уравнений, из
которой можно получить самосогласованные решения при
взаимодействии электромагнитного поля со спиновой системой.
Эти уравнения будут взяты в качестве исходных при анализе
электронного парамагнитного резонанса, который дается в гл. 3
ЛИТЕРАТУРА
1. Goldstein II., Classical Mechanics, Reading, Mass.. 1950. (См. перевод:
Г. Голдстейн, Классическая механика, Гостехиздат, 1957.)
2. Goeppert-Mayer N.. Cber Elemcntarakte mit zvei Quantensprungen, Ann.
Phys., 9, 273 A931).
3 Bloembergen N.. Nonlinear Optics, New York, 1965. (См. перевод:
H. Бломберген, Нелинейная оптика, изд-во «Мир», 1966.)
4. Born M., Wolf Е.. Principles of Optics. New York, 1964. (См. перевод:
M. Бори, Э. Вольф, Основы оптики, изд-во «Наука», 1970).
5. Fiutak /., The Multipole Expansion in Quantum Theory, Canad. Journ.
Phys., 41, 12 A963).
6. Raines S.. The Wave Mechanics of Electrons in Metals, Amsterdam, 1961.
7. Messiah A.. Quantum Mechanics, Vol. I. Amsterdam, 1961.
8. Bohm D.. Quantum Theory, Englewood Cliffs, N. J., 1951. (См перевод:
п. Бом. Квантовая теория, пзд-во «Наука», 1965.)
9. Schiff L. /., Quantum Mechanics, New York, 1955. (См. перевод: JJ. Шифф,
Квантовая механика, ИЛ, 1959.)
10. Townes С. Н'., Schauilow A, L., Microwave Spectroscopy, New York, 1955.
11. Herzberg G., Infrared and Raman Spectra, New York, 1945.
12. Kittel C, Introduction (o Solid State Physics. 3rd ed.. New York, 1966.
(См. перевод: '/. Киттель. Введение в физику твердого тела, Фпзматгпз.
1963.)
13. Slater J. С. Microwave Electronics, New York. 1950, Ch. 4.
14. Lengyel B. A.. Introduction to Laser Physics. New York. 1966.
15. Dicke R. H. Wiftke J. P.. Introduction to Quantum Mechanics, Reading
Mass.. i960.
16. Pake G. E., Paramagnetic Resonance, New York. 1962.
17*. Файн В. Af., Ханип Я. И., Квантовая радчофпзчча. пзд-во «Согстское
радио», 1965.
Задачи
2.1. Показать, что если Ш{—г) =Ж{г), то всегда можно
выбрать вырожденные собственные функции с определенной
четностью. Показать также, что в общем случае эти функции
не ортогональны.

Дипольные переходы
71
2.2. Получить уравнения движения для матричных элемен-
элементов оператора плотности для двухуровневой системы, гамиль-
гамильтониан взаимодействия которой Ж определяется электрическим
квадрупольным взаимодействием. Показать, что если состояния
имеют противоположную четность, то их населенности не изме-
изменяются при взаимодействии.
2.3. Показать, как из выражения B.22) получаются члены
вида
\um{r)xyun(r)dV.
2.4. В B.48) величина (Ш/2) (д/dt) (N2 — JV,) является ско-
скоростью изменения энергии в квантованной среде. С помощью
уравнений Максвелла показать, что величина РаЕа есть ско-
скорость обмена энергией между полем и поляризуемой средой.
2.5. Используя B.43) и B.48), показать, что если не учиты-
учитывать релаксацию (т.е. Ти Т2-*оо), то в присутствии приложен-
приложенного поля Е величина (N2— Nx)
изменяется так, как показано на
фиг. 2.7.
Если поле выключено в мо-
момент t = т, то достигается инвер- :
сия населенностей. Определить т.
Если можно пренебречь релак- ч
сацией, то необходимо, чтобы
т <С Т\, Т2. Определить мини-
минимальное значение \Е\2, при ко-
котором выполняется это условие.
Описанный метод для получения инверсии населенностей
известен как 180-градусная импульсная инверсия. В отличие от
рассмотренных в гл. 4 методов получения стационарной инвер-
инверсии здесь мы имеем дело с переходной инверсией.
2.6. В уравнении B,12) магнитный момент m определяется
выражением
Ф н г. 2.7.
Показать, что для электрона, движущегося по круговой ор-
орбите, это определение согласуется с энергией магнитного ди-
диполя
Г= -т- В
и вращательным моментом, действующим на диполь,
Т = т X В.

72 Глава 2
2.7. В B.54) была введена постоянная затухания резона-
резонатора тс. Вычислить значение тс для оптического резонатора дли-
длиной 1 м, использующего плоские зеркала диаметром 2 см.
Можно считать, что световой пучок с длиной волны К = 6000 А
и диаметром 0,5 см является модой ТЕМОоп (плоская волна).
Среда, заполняющая резонатор, ослабляет свет на 0,1% на 1 см,
а каждое зеркало отражает 95% падающего света. Определить
тс для резонатора и показать, что дифракционными потерями
можно пренебречь.
2.8. Из вида матрицы
< =!(' °\
ь* 2\0 -1 )
и соотношения [su s}] = ihsh вывести выражения для двух дру-
других спиновых матриц.
2.9. При переходе от B.54) к B.55) утверждалось, что
Ес(г)
если Ps имеет ту же пространственную зависимость, что и ЕС)
где Ес — нормальная мода поля. Показать, что написанное
выше равенство справедливо при рассматриваемых условиях.
2.10. Мы рассмотрели электрическое дипольное взаимодей-
взаимодействие для двух состояний противоположной четности. Показать,
что если имеет место взаимодействие при наличии двух состоя-
состояний смешанной четности, уравнения движения меняются незна-
незначительно. Операторы Ж и \\ дополнятся диагональными чле-
членами. Диагональные члены оператора Ж внесут небольшое из-
изменение в частоту перехода Q. Получить выражение для этого
сдвига частоты. Диагональные члены в ц дают намного мень-
меньший вклад в среднее значение (ц), чем недиагональные при
ю ~ Q. Оценить отношение вклада диагональных членов к вкла-
вкладу недиагональных членов для матричных элементов, имеющих
примерно одинаковую величину, т. е. для
I V-a I ~ I Н.</ I-
2.11. При ядерном магнитном резонансе (ЯМР) имеет место
взаимодействие между спиновыми состояниями протона и элек-
электромагнитным излучением. Если на вещество действует по-
постоянное магнитное поле 1 вб/м2 в ^-направлении, то какова
частота резонансного поглощения, возникающего за счет рас-
расщепления спиновых состояний протонов? (Предостережение:
оператор спина для протона отличается от оператора спина для
электрона.)

Диппльные переходы 73
2.12. Построить временную зависимость намагниченности М
для следующих случаев (ю0 — частота прецессии):
1) соо> -=- >т-)
1 2 ' 1
— ~ "™—
! ' 1
2) СОд ^> -™— ~ "™
ОЧ „ ~
4) ю„ <
2
2.13. Пусть при наличии постоянного поля BOz в течение вре-
времени А/ действует высокочастотное поле, имеющее круговую
поляризацию и приложенное в плоскости ху, с частотой пре-
прецессии ((£> — yBQz). Если вектор М первоначально направлен
по оси z, то определить амплитуду высокочастотного поля и
время А/, необходимые для того, чтобы в конце импульса век-
вектор М лежал в плоскости ху. (Взять Т{ = 10~3 сек, Т2 =
= 10~5 сек.) Начертить изменение М после выключения им-
импульса. Можно ли ожидать, что после выключения импульса
будет излучаться сигнал, и если да, то как он будет изменяться
во времени? (Этот эффект известен как я/2-импульс.)

Глава 3 РЕЗОНАНСНЫЕ ПРОЦЕССЫ
§ I. ВВЕДЕНИЕ
Взаимодействие электромагнитного поля с веществом явля-
является резонансным, если частота поля близка к частоте пере-
перехода для этого вещества. С резонансным взаимодействием свя-
связан ряд важных явлений. (Принятый в спектроскопии термин
«резонансные линии» носит ограниченный характер, так как
учитывает только те переходы, которые относятся к основному
состоянию. Мы будем пользоваться термином «резонансные
процессы», имея в виду, что учитываются переходы между лю-
любой парой энергетических уровней.) Например, при прохожде-
прохождении через среду излучение может поглощаться, что вызовет
затухание падающей волны. Это явление известно как резо-
резонансное поглощение. Может случиться, что падающая волна,
проходя через среду, усиливается, а не затухает вследствие
процессов, называемых отрицательным поглощением, или вы-
вынужденным излучением. Это происходит в тех случаях, когда
имеется инверсная населенность уровней, т.е. когда среда воз-
возбуждена с помощью некоторого внешнего источника энергии
так, что на верхних энергетических уровнях находится больше
атомов, чем на нижних. На этом явлении основано действие
лазера и мазера. Другое важное явление, связанное с резонанс-
резонансным поглощением, — это насыщение перехода под действием
сильного сигнала. В результате интенсивность излучения, про-
проходящего через среду, остается неизменной. Этот эффект часто
называется просветлением перехода и используется на прак-
практике для получения больших выходных пиковых мощностей
лазеров.
Все эти явления могут быть изучены с помощью уравнений,
полученных в предыдущей главе для электрического и магнит-
магнитного дипольных переходов. Цель настоящей главы — показать,
как можно применять эти уравнения для описания упомянутых
выше проблем.
Будут рассмотрены только резонансные процессы, или про-
процессы первого порядка, т.е. те случаи, когда частоты электро-
электромагнитного поля близки к частотам переходов. Если поле так
же, как и среда, квантуется, то процессам первого порядка
соответствует поглощение пли излучение одного фотона. По-

Резонансные процессы 75
этому такие процессы называются однофотонными. Процессы
высших порядков, эффект от которых, как правило, значитель-
значительно слабее, чем от резонансного, будут рассмотрены в гл. 5.
§ 2. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ДИПОЛЬНЫй ПЕРЕХОД В СТАЦИОНАРНОМ
СОСТОЯНИИ; ПОГЛОЩЕНИЕ, ДИСПЕРСИЯ И НАСЫЩЕНИЕ
Макроскопические явления, такие, как поглощение и дис-
дисперсия света, или когерентное излучение в лазерах, обычно
обусловлены электрическими дипольными переходами между
различными энергетическими уровнями в атомах и молекулах.
Изучение этих явлений мы начнем с анализа уравнений B.60),
полученных в гл. 2 для изотропной среды:
д (N \'\
-N2)E, C.1
2 - 3
— — ji0 ~yy- (случай бегущей волны), C.3а)
jj + J-E+^E-
= --Et,(r) I P-Ec(r)rfK (поле в резонаторг) (З.Зб)
6 .
Индекс s, который имеется в исходных уравнениях, здесь опу-
опущен. Однако будем помнить, что в этих уравнениях через Р
обозначена величина, отличающаяся от обычной поляризации Р
в (л2 + 2)/Зраз [см. B.58)].
Как упоминалось в гл. 2, § 4, п. 7, уравнение C.1) с учетом
C.3) можно применить также к анизотропной среде, когда
векторы поляризации и поля направлены вдоль главной оси
системы и справедлива подстановка B.61), Поэтому результа-
результаты, полученные на основе уравнении C.1) —C.3), можно ис-
использовать в анизотропных средах для направлений вдоль
главной осн. Для произвольных направлений в анизотропной
среде необходимо обратиться к уравнениям B.41) и B.48) и
провести все вычисления в общем случае так же, как это было
сделано для изотропной среды.
Рассматривая эти уравнения, мы в дальнейшем увидим, что
поляризационное уравнение описывает главным образом явле-
явления поглощения и дисперсии в среде, в то время как уравнение
для разности населенностей объясняет эффекты насыщения.

76 Глава 3
Такие явления существенно стационарны и поэтому могут
изучаться на основе относительно простого стационарного под-
подхода.
/. Восприимчивость
В оптическом и СВЧ диапазонах частот обычно интересуются
поляризацией па частоте а, индуцированной полем той же ча-
частоты, не сильно отличающейся от частоты перехода Q. Тогда
для плоской волны, распространяющейся в направлении г, ре-
решение уравнения C.1) ищется в виде
Р = -1ре'(а'-*г' + компл. сопр. C.4)
Аналогично для Е; здесь тильда (~) обозначает комплексную
величину, а компл. сопр. — комплексно-сопряженную величину.
Используя условие близости к резонансу и ~ Q, получаем ре-
решение уравнения C.1):
Кроме того, предполагаем, что разность паселенностей (N\ —
— N2) не зависит от времени. Из уравнения C.2) видно, что
в стационарном состоянии (Nl — N2) имеет высокочастотные
компоненты, но они, как правило, малы по сравнению с постоян-
постоянным членом, так как шТ\ .^> 1.
Удобно выразить приведенное выше соотношение через ли-
линейную восприимчивость %((£>), определяемую соотношением
Р = еоХ(со)Ё, C.5)
где во — диэлектрическая проницаемость свободного простран-
пространства. Получаем
^{Nl-N2)gL{<u,Q); C.6)
здесь gL(a>,Q)— зависящая от частоты характеристика формы
линии, известная как комплексная функция Лоренца. Графики
этой функции приведены на фиг. 3.1
gL((o,Q) = -
■ 1 1/Г
Линейная восприимчивость — частотно-зависящее свойство
среды, устанавливающее связь между поляризацией и электри-

Резонансные процессы
77
ческим полем. Восприимчивость называется линейной, когда по-
поляризация линейно зависит от вызывающего ее поля.
Для рассматриваемой изотропной среды величина x(w) есть
скаляр, связывающий подобные компоненты поляризации и
Фиг. 3.1. Графическое изображение вещественной и мнимой частей комп-
комплексной лореицевой функции формы линии.
поля C.6). Для анизотропной среды х(и) —тензор, устанавли-
устанавливающий связь между заданной компонентой поляризации и
всеми компонентами поля, от которых она зависит. Этот более
общий случай рассматривается в § 3, п. 3.
2. Поглощение и дисперсия
Как видно из C.6) и C.7), выражение для восприимчиво-
восприимчивости х(° ) имеет как вещественную, так и мнимую части и по-
поэтому может быть записано в виде
Х(ш) = х'(со)-НУ'(оо), C.8)
где
-гг I II 12 Г I /О ,-,\ П
C.9)
X" И = -
Ml2
Частотная зависимость вещественной и мнимой частей выра-
выражения для восприимчивости, повторяющая зависимость веще-
вещественной и мнимой частей лоренцевой функции от частоты,
изображена па фиг. 3.1. Покажем теперь, что величины x'(w)
и х"(ш) описывают соответственно дисперсию и поглощение
в среде.

Глава 3
Распространение электромагнитной волны в среде описы-
описывается волновым уравнением C.3а). Для плоской волны C.4)
после подстановки C.6) в C.3а) постоянная распространения
к имеет вид
+ -^]. C.11а)
При этом предполагаем, что ролью всех переходов, кроме рас-
рассматриваемого, можно пренебречь. Извлекая квадратный ко-
корень и используя для случая х(м)Л]2 "С 1 (случай не очень
сильного перехода) разложение \/ 1 + yjrf = 1 + x/2rf, полу-
получаем
7 ((О) 1 , . СОу" ((О) /о \ х ^\
'-«- 'П—тсг—~- (л.Но)
На фиг. 3.2 представлены графики вещественной и мнимой
частей функции к, построенные на основе уравнений C.9) —
C.11). Вещественная часть k зави-
зависит от х'(ю) и описывает диспер-
дисперсионные свойства среды, так как
фазовая скорость волны равна
Vp = U>jk'.
Таким образом, фазовая ско-
скорость равна приблизительно с/ц
с добавкой, быстро изменяющейся
с частотой в окрестности перехода.
Это область аномальной дисперсии,
так как при приближении к часто-
частоте перехода со стороны более низ-
низких частот медленное увеличение
Фиг. 3.2. Характер изменения k' с частотой сменяется быстрым
спадом.
Мнимая часть k зависит от
х"(и) и описывает поглощение в
среде. В частности, поскольку поле
распространяется как e~ihz, то усредненная по времени мощность
на единицу площади / = г|еос| Ee-'ftz|2/2, переносимая волной,
спадает в пространстве по закону
/ = /ое-Гг, C.12)
где коэффициент поглощения Г определяется как Г = —2k".
Из выражений C.10) и C.11) для и ~ п находим выражение
для коэффициента поглощения
комплексного волнового числа
k = k' + ik в окрестности элек-
электрического дипольногоперехода
с частотой Q,
г-
C.13)

Резонансные процессы 79
Здесь £l(w, й) — лоренцева функция формы линии {фиг. 3.5):
Выражение C.14) будет подробно обсуждаться в § 2, п. 4.
Сравнивая C.14) с выражением C.7), видим, что gi.(co, Q)
представляет собой взятую с обратным знаком мнимую часть
комплексной лоренцевои функции gi.{i£>, Q).
Характеристическая ширина лоренцевои линии AcoL опреде-
определяется следующим образом:
, 2
1 2
Здесь Acol — полоса частот, заключенная между точками, рас-
расположенными по обе стороны от вершины кривой, в которых
величина £l(o), Q) равна половине максимального значения.
Величина AcoL называется полной шириной линии на уровне
полувысоты.
Заметим, что коэффициент поглощения Г пропорционален
разности населенностей в единице объема (N\ — Л'2). Коэффи-
Коэффициент Г имеет максимальное значение, если все атомы нахо-
находятся в нижнем состоянии, т. е. когда iV2 = 0. При этом усло-
условии имеет место только процесс поглощения энергии электро-
электромагнитного поля атомами, находящимися в нижнем состоянии,
и переход их в верхнее состояние. Если значение М2 не равно
нулю, то коэффициент поглощения Г уменьшается. Из выраже-
выражения C.13) очевидно, что член, содержащий iV2, характеризует
отрицательное поглощение, или излучение, противодействуя
процессу поглощения атомами, находящимися в нижнем состоя-
состоянии. Процесс противодействия, пропорциональный ■ N2, есть про-
процесс вынужденного излучения, характеризующий передачу энер-
энергии из среды к полю с помощью атомов, вначале находящихся
в верхнем состоянии. Если только N2 может быть больше Nu
коэффициент поглощения Г становится отрицательным, и ин-
интенсивность электромагнитной волны нарастает в процессе ее
распространения через среду. Последнее условие устанавли-
устанавливает принцип, на котором основано действие лазера и мазера.
Как видно из выражения C.12), измерение уменьшения мощ-
мощности на единицу площади при прохождении волны через слабо
поглощающий образец
dl = - Г/ dz
дает прямой метод определения коэффициента поглощения Г.
На фиг. 3.3 приведены результаты таких измерений для «ин-
«инверсионного» перехода, соответствующего СВЧ диапазону спек-
спектра молекулы аммиака NH3 [1, 2]. Переход называется

80
Глава 3
инверсионным потому, что частота его соответструет частоте
симметричных колебаний атома азота относительно плоскости,
содержащей три атома водорода, как показано на фиг. 3,4.
|| 4
Sc 2
= 085 мл* рт сгп
=зоо°к
2/2/7= 23,866 Гщ
24.0
23.7 23,8 23,9
Ф и г. 3.3. Линия поглощения мслеьулы NH3 для инверсионного перехода.
Дииольный матричный элемент | рл,321 можно вычислить с по-
помощью выражения C.13), используя экспериментальные дан-
данные. В качестве примера приведем расчет для перехода в ам-
Ф и г. 3.4. Инверсионные колебания молекулы NH3.
При симметричных колебаниях единственный атом азота
проходит через плоскость, проведенную через три атома
водорода. Эта модель подобна одномерному гармониче-
гармоническому осциллятору.
миаке. Число молекул в единице объема Nv при давлении р =
= 0,83 мм рт. ст. и температуре Т = 298 К определяется из
закона идеального газа '):
0,83 ■ 1,013- 10"
760- 1,38- 10
-23
298
= 2,69 ■ 1022 молекул!м\
Здесь к — постоянная Больцмана, х= 1,38 - 10~23 дж/град. Со-
Согласно оценке для больцмановского распределения, приблизи-
приблизительно 6,4°/о молекул находятся в нижнем состоянии [3], т. е.
р (н!м2) =
р (мм рт. ст.)
760 (мм рт. ст./атм)
1,013- 106
н/м2
атм

Резонансные процессы 81
Л') = 1,71 ■ 1021 молекул/м3. Относительная разность населенно-
стей вычисляется следующим образом:
Для разреженного газа г|~1, и, подставляя в C.13) Q/2n =
= 23,86 Ггц, Г = Ю;! слг1, AwL = 2/Т2 = 2л- 48,8- W рад/сек,
получаем
| и121 = 1,14 дебай.
Дебай является удобной единицей измерения дипольных мо-
моментов:
й = 3,33 • 1(Г30 к- м= 1(Г18 ед. СГСЕ.
При сравнении вычисленного значения для |ц12| со значе-
значением, приводимым в справочниках, необходимо иметь в виду,
что в последних приводится величина эффективного «постоян-
«постоянного» диполыюго момента |л, относящегося к пирамидальной
конфигурации молекул МНз, который мог бы существовать, если
конфигурацию, изображенную на фиг. 3.4, представить статиче-
статической [2]. Для молекулы типа симметричного волчка, какой яв-
является молекула аммиака, эти две величины связаны соотноше-
соотношением
I |2 ' Я2
I М-12 I " V-- /(/+1) •
Здесь f и К — момент количества движения и магнитное кван-
квантовое число волчка, когда он подвергается инверсионным коле-
колебаниям.
В рассматриваемом случае f = К = 3, и если из справочника
взять значение ц = 1,46 дебай, полученное методом точных изме-
измерений эффекта Штарка, то величина |ц]2| будет равна 1,26 дебай,
что вполне согласуется с приведенной выше величиной, которая
была получена на основе экспериментальных данных по погло-
поглощению.
Иногда используется другой способ для определения погло-
поглощающих свойств перехода. Он основан на введении эффектив-
эффективного сечения поглощения на один атом сгс. Эффективное сечение
ас определяется следующим образом: рассматривается случай,
когда все атомы находятся в нижнем энергетическом состоянии,
т. е. /V, = Nv, N2 = 0, так что отсутствует излучение и имеет ме-
место только поглощение. Эффективное сечение ас при этих усло-
условиях определяется как отношение мощности, поглощенной одним
атомом, к мощности падающего излучения на единицу площади:
. C.15)

82 Глава 3
Здесь 5s—мощность, поглощенная в единице объема; Nv —
число атомов в единице объема и /—мощность падающего из-
излучения на единицу площади. Можно показать, что это опреде-
определение соответствует концепции о том, что каждый атом имеет
эффективную площадь ас, если речь идет о его способности по-
поглощать энергию из падающей волны (см. задачу ..1). Можно
рассматривать сгс как эффективную площадь поперечного сече-
сечения поглощающего атома.
Если использовать коэффициент поглощения Г, то для ан-
ансамбля атомов или молекул величина 3* определяется следую-
следующим образом:
<?=_.£. = Г/.
аг
При условии, что все Nv атомов единичного объема находятся
на нижнем уровне, из двух приведенных выше соотношений по-
получим выражение для ас:
Для рассмотренного аммиачного перехода с частотой 23,9 Г,?:;
эффективное сечение при резонансе равно ас(Щ = 1,68 • 10~16 см2.
Введение эффективного сечения на один атом удобно, так как
его величина служит мерой силы перехода, а значит не зависит
от населеиностей уровней N[ и N2, которые изменяются с темпе-
температурой и плотностью вещества.
3. Сила осциллятора и правила сумм
Сила перехода часто определяется другой мерой — силой
осциллятора. Если применить методику получения выражения
C.16) для эффективного сечения к соответствующему классиче-
классическому случаю совокупное!и гармонических осцилляторов, ка-
каждый из которых обладает электрическим дипольным моментом
р = —ег и отношением заряда к массе — ejm, то получим зна-
значение эффективного сечения рассеяния (см. задачу 3.2)
^О). C-17)
Сравнение выражений C.16) и C.17) позволяет определить
силу осциллятора как отношение квантовомеханического эффек-
эффективного сечения к классическому:
Здесь индексы i и / обозначают состояния; f,-j— сила, соот-
соответствующая переходу i-*j. Поскольку частота Qji = {Ej — Ei)/h

Резонансные процессы
83
может быть как положительной, так и отрицательной величиной,
то сила осциллятора также может принимать положительные
и отрицательные значения. Некоторые типичные значения сил
осцилляторов приведены в табл. 3 [1].
Таблица 3
Сила осциллятора для некоторых переходов
атома водорода
Если экспериментальные данные отсутствуют, то величина
матричного элемента может быть оценена с помощью удобного
правила сумм, содержащего силы осциллятора. Например, пред-
предположим, что требуется получить информацию о дипольных мат-
матричных элементах, соответствующих электронным переходам
между данным уровнем i и несколькими уровнями /. Непосред-
Непосредственные вычисления, использующие правила коммутации для
переходов, в которых участвует один электрон, приводят к вы-
выражению (щ! = ц-ц):
[[Ц.^о]. »*] = ~1, C.19)
где р = — ег и 3%0 = р2/2т + Г.
Расписывая коммутаторы, получаем
Повторным включением в это выражение тождественного опера-
оператора / = 2j I «/) («/ I находим
(ui\[[\i,M0]n]\ut) = 2h2iQl[\iltifi C.20)
где |«,), \и}) — собственные векторы Жо. Комбинируя C.18) и
C.19), имеем
2/;<=!• C.21)
Если в некотором переходе участвует более одного электрона,
то сумма сил осцилляторов, относящихся к данному уровню i,
равна числу участвующих электронов. Это известно как правило
cvmm Кюна — Томаса [4].

84 Глава 3
Для переходов, в которых участвует только один электрон,
сумма сил осцилляторов, соответствующих данному уровню,
равна единице. В этом случае сила отдельного осциллятора мо-
может иметь величину, большую единицы, так как, вообще говоря,
в сумму входят как положительные, так и отрицательные значе-
значения. Чтобы показать, как применять правило сумм C.21) для
оценки матричного элемента, рассмотрим в качестве примера
систему с одним электроном, причем состояние i — основное со-
состояние 0. В этом случае все члены суммы C.21) положительны,
максимально возможная сила отдельного осциллятора равна
единице. Величина соответствующего матричного элемента дол-
должна удовлетворять неравенству
I Ц/о I <
Дополнительное правило сумм, которое иногда используется
для оценки величины матричного элемента, можно получить не-
непосредственно, устраняя тождественный оператор / = ^ |«j)(«j|;
тогда имеем
2 I V4i ? = 2 I («/ IЦ I ut) I2 = S (и, IЦ I и,) {и, | ц | к,) = <«£ | Ц21 щ).
/ / /
Так как все члены суммы положительны, то величина соот-
соответствующего матричного элемента должна удовлетворять не-
неравенству
Прежде чем закончить рассмотрение вопроса о силах осцил-
осцилляторов, хотелось бы указать, что близкое формальное сходство
между классическим и квантовомеханнческим эффективными се-
сечениями отражает более общий принцип соответствия для слу-
случая электрического диполя. Этот принцип устанавливает, что
классическое и квантовомеханическое выражения дли поглоще-
поглощения и дисперсии формально идентичны при условии, что для
изотропного случая установлено соответствие
tn ИЗ* ^'
которое эквивалентно условию, что сила осциллятора равна
единице.
Подобные соответствия, которые относительно легко выво-
выводятся, часто используются для проверки расчетов в квантовой
механике.

Резонансные п/.-;,(с
85
'. Лоренцева форма линии. Однородное уширение
Частотная зависимость линии поглощения, определяемая
рормулами C.13) и C.14), соответствует так называемой лорен-
хевой форме линии. Такой вид кривой часто встречается при
«учении частотных характеристик физических систем, например
три изучении явления резонанса в высокодобротных электри-
электрических контурах. Г. Лоренц первоначально получил эту форму
пиши в несколько ином виде, как статистическое распределение
частот излучения соударяющихся молекул в газе, когда частота
соударений между молекулами мала по сравнению с частотой'
излучения иевозмущенной системы.
Выражение, описывающее форму линии, имеет вид C.14)
' ~ч ' 1/Г' . C.14)
Форма линии представлена на фиг. 3.5, где площадь под кривой
нормирована к единице, так что
gL (и, Q) da = 1.
0,637
Как упоминалось выше, характеристическая ширина лоренцевой
линии Ami. — разность частот между точками, расположенными
по обе стороны от вершины,
в которых gL(a,u) равна по-
половине максимального значе-
значения. Ширина линии опреде-
определяется как Дшь = 2/Г2. Урав-
Уравнение C.14) можно записать
в виде
C.22)
Фиг. 3.5. Лоренцева форма линии.
Термин «однородное» приме-
применяется к лоренцеву уширению по следующим причинам. Вывод
поляризационного уравнения C.1), из которого определяется
лоренцева функция C.14), основан на уравнении для диполь-
ного момента отдельного атома B.35). В уравнении B.35) ха-
характерными параметрами являются частота перехода й и время
релаксации Т2. Поляризационное уравнение было получено пу-
путем умножения на Nv — число атомов в единице объема — и
последующего пространственного усреднения, В результате ча-
частотные характеристики полной поляризации совпадают с ча-
частотными характеристиками поляризации отдельных атомов.

86 Глава 3
Следовательно, характеристики полной макроскопической поля-
поляризации будут определяться просто суммой однородного ряда
вкладов от отдельных атомов, каждый из которых имеет одну
и ту же частоту перехода й и ширину линии Лшь = 2/7V Поэ-
Поэтому, резюмируя, можно сказать, что частотные характеристики
линии поглощения, представленные ранее, соответствуют случаю
однородно уширенной лоренцевон линии; однородно уширенная
линия возникает всякий раз, когда уширение обусловлено ре-
релаксационными процессами, действующими одинаково на все
атомы, имеющие одинаковую частоту перехода. Релаксацион-
Релаксационными процессами могут быть взаимодействие с колебаниями
решетки, столкновения, взаимодействие между атомами (напри-
(например, спин-спиновое взаимодействие).
При определенных условиях наблюдается другой вид ушире-
ния линии, известный как неоднородное уширение. Чтобы за-
закончить обсуждение вопроса об уширении линии, рассмотрим
случай неоднородного уширення.
5. Гауссова форма линии. Неоднородное уширение
Если ширина линии совокупности атомов или молекул воз-
возрастает вследствие того, что каждый атом или молекула имеют
разные частоты переходов Q*, то говорят, что имеется неодно-
неоднородное уширение линии. В качестве важного примера можно
привести допплеровское уширение линии в газе. В этом случае
различные молекулы имеют разные частоты переходов из-за
допплеровского сдвига частоты при движении молекул. Другие
источники неоднородного уширения линий включают иные меха-
механизмы, приводящие к смещению основной частоты перехода
вследствие причин, меняющихся от атома к атому, как, напри-
например, вследствие несовершенства кристаллов или неоднородно-
стей магнитного поля, определяющего частоту перехода в спи-
спиновых системах. Если такие изменения частот переходов имеют
часто встречающееся гауссово статистическое распределение, то
линия при неоднородном уширении будет иметь гауссову форму.
В случае неоднородного уширения линии отдельные атомы
обычно имеют однородно уширенные линии, значительно более
узкие, чем полные линии всей совокупности атомов как цело-
целого. Такие узкие однородно уширенные линии, каждая из которых
соответствует линии поглощения атомов, имеющих одинаковую
резонансную частоту переходов Q;, будем называть спиновыми
пакетами, как это принято в теории парамагнетизма (гл. 2, § 5,
и гл. 3, § 5). Полная форма неоднородно уширенной линии опре-
определяется тогда ансамблем спиновых пакетов, причем область
частот переходов й; определяет полную ширину линии, как пока-
показано на фиг. 3.6.

Резонансные процессы
87
Резонансная
линия
Огибающая
Фиг. 3.6. Диаграмма, иллюстрирующая
различие между резонансной линией от-
отдельного атома или спинового пакета и
огибающей, характерной для неоднородного
уширения линии.
Если к такой совокупности атомов приложено поле, то поля-
поляризация определяется суммой независимых вкладов отдельных
спиновых пакетов. Выражение для восприимчивости в этом слу-
случае получается интегри-
интегрированием ряда перекры-
перекрывающихся распределении
от каждого спинового па- ^о
кета [5]. Ниже приводит- |J
ся пример такого расче- ==_
та, применимый к случаю &|
допплеровского уширения
в газе. Однако результа- i. ^ ^- < v i ^-_д.
ты вычислений можно ис-
использовать при любом
неоднородном уширеннн
линии, имеющей гауссову
форму.
В случае допплеров-
допплеровского уширения в газе
молекулы в каждом спиновом пакете имеют различные часто-
частоты переходов Q; вследствие движения молекул газа. Например,
если данная молекула движется с компонентой скорости и,-,
направление которой противоположно направлению распростра-
распространения электромагнитной волны, то частота взаимодействия (не-
(нерелятивистская) будет равна
п.- =
Здесь соо — частота перехода неподвижной молекулы. Эффект
смещения частоты, эффект Донплера, дает начало линии, со-
состоящей из совокупности однородно уширенных лоренцевых ли-
линий, максимумы которых соответствуют различным частотам
переходов Q;.
Число молекул в единице объема dJl в полосе частот пере-
переходов dQ{ определяется из максвелловского распределения по
скоростям при тепловом равновесии в газе [6]:
dJC = Nvga (Qj,cu0) dQt. C.23)
Здесь ;VV — полное число молекул в едннице объема, £«(&;, соо) —
гауссова функция формы линии, представленная на фиг. 3.7:
go (Qi, w0) =
\ [D/л) In 2]
ехр
41п2
0,939 Г . . о (Qj - и0J
= -г ехр — 4 lnz ———-^~
Ди0 г[ (Дао)« J
C.24)

88 Глава 3
Величина Ak>g определяет характеристическую ширину гауссо-
гауссовой линии в радианах в секунду и равна разности частот, соот-
соответствующих точкам по обе стороны центрального максимума,
в которых величина gc(Qi, »o) равна половине максимального
значения. Гауссова функция формы линии нормирована таким
образом, чтобы площадь под кривой была равна единице:
Из сравнения гауссовой и лоренцевой линий одинаковой ширины
(фиг. 3.8) видно, что гауссова линия имеет более высокий мак-
максимум и менее выраженные крылья.
Гауссова пиния
Баренцева линт
"о
Фиг. 3.7. Гауссова форма ли-
линии.
Фиг. 3.8. Сравнение гауссовой и ло-
лоренцевой линий одинаковой ширины.
Продолжим теперь определение восприимчивости при неод-
неоднородном допплеровском уширении линии. Когда поле Ё прило-
приложено к газу (изотропный случай), то любой данный однородно
уширенный спиновый пакет дает вклад в приращение поляриза-
поляризации dP на частоте со, который, согласно выражениям C.5) — C.7),
полученным для случая однородного уширения линии, равен
E, Й,). C.25)
Соответствующее выражение для йх(ы, Я,-) можно получить из
C.6), замечая, что вместо Nv молекул в единице объема, даю-
дающих вклад при однородном уширении, имеется вклад от dJl =
= NvgG(Qit ы0)dQr молекул в единице объема в пределах интер-
интервала частот dQ{. Поэтому вместо C.6) имеем
dX
h^ L
- Щ) gL (о, Q,) gQ (Q(, Шо) d9.t, C.26)

Резонансные процессы 89
Здесь мы воспользовались соотношением Nv (ри — р22) = N\ — N2.
Функция gL(co, Я,) представляет собой комплексную лоренцеву
функцию, определенную в C.7):
Несмотря на то, что лоренцева поправка L на внутреннее поле
для газа равна единице, не будем ее исключать, чтобы можно
было применять результаты к плотным средам, в которых неод-
неоднородное уширение линий имеет гауссову форму.
Поляризация на частоте со, обусловленная перекрывающи-
перекрывающимися вкладами всех спиновых пакетов, определяется как сумма
компонент вида C.25), которые с учетом C.26) и C.27) приво-
приводят к интегралу по диапазону частот переходов Я,-. Полная вос-
восприимчивость тогда имеет вид
C.28)
Учитывая, что giA®, Я;) и gG(Qi,^>o) определяются выражения-
выражениями C.27) и C.24) соответственно, можно свести выражение
C.28) к табличному интегралу [7]:
CO I
— i2
[ Г е dt T „
=я J -7=Г' Im2>0-
где z—комплексная величина.
Обычно ширина линии при однородном уширении 2/Г2, соот-
соответствующая лоренцеву спиновому пакету, значительно меньше
полной ширины Дсой гауссовой линии. При этом условии вычис-
вычисление C.28) значительно упрощается, так как можно предполо-
предположить, что ширина спинового пакета исчезающе мала. Поэтому
при вычислении интеграла C.28) возьмем [8]
где 6(Й,- —со) —дельта-функция Дирака. Подстановка C.29)
в C.28) приводит к результату
X (со) = х' (to) + ix" (to),

90 Глава Я
где
V (со) = - -^ L Щ^ (Nl - N2) gQ (о, со0), C.30)
Здесь РР — главное значение1).
Из выражения C.30) видно, что в случае, когда спиновые
пакеты значительно уже всей линии, линия поглощения при не-
неоднородном уширенни имеет такую же форму, как и при одно-
однородном C.10); отличие состоит в том, что лоренцева функция
gL(Q,Q) заменена гауссовой функцией gG(co, coo).
Как видно из C.31), дисперсия может быть определена по
линии поглощения с помощью интеграла свертки. Такой вид
соотношения между /' и у" имеет место также и для однород-
однородного уширения линии [C.9) и C.10)]. Оба эти случая являются
частным примером известного соотношения Крамерса — Кронига;
Доказательство этих соотношений основано па фундаменталь-
фундаментальной теореме теории функций комплексного переменного, со-
согласно которой действительная и мнимая части комплексной
функции x(z) связаны определенными соотношениями, если
%{z) не имеет полюсов в какой-либо полуплоскости комплекс-
комплексного переменного z (верхней или нижней). Доказательство, ис-
использующее простое контурное интегрирование, дано в прило-
приложении 5. К случаю неоднородного ушнрения линии нам еще
придется возвратиться при рассмотрении гелий-неонового лазе-
лазера в гл. 4.
6. Насыщение
При поглощении средняя энергия излучения, которая долж-
должна передаваться двухуровневой диполыюй системе, обычно до-
довольно быстро рассеивается в окружающей среде вследствие
') В интегральном виде Р означает следующее:
я - в
f(ill)
Hi - и
L — оо со -|- е
dQi = lim j

Резонансные процессы 91
релаксационных процессов. В результате на характеристики ди-
полыюй системы, подверженной действию электромагнитной
волны, процессы поглощения практически не влияют. Однако
если интенсивность излучения достаточно велика, поглощенная
энергия не может быстро рассеиваться вследствие релакса-
релаксационных процессов. В этом случае наблюдается существенное
изменение населенностей уровней, так что поглощение и дис-
дисперсия среды начинают проявлять свойство насыщения. Чтобы
изучить это явление, необходимо принять во внимание следст-
следствие из решений уравнения для разности населенностей C.2).
Для удобства перепишем его снова:
ш (Mi I\-,)+ Г] - т F Ь. (d.dd)
Первый член представляет собой мощность, которая должна
передаваться днпольной системе, второй характеризует обмен
мощностью с окружающей средой, а правая часть уравнения
C.33) характеризует мощность, вносимую приложенным полем.
В отсутствие приложенного поля Е стационарное решение
уравнения для разности населенностей C.33) имеет простой
вид:
(А', - Л',) = (Л\ - N.2Y.
В этом случае обмен с окружающей средой отсутствует, и раз-
разность населенностей имеет постоянное равновесное значение.
Если система находится в тепловом равновесии с окружающей
средой, то равновесная населенность задается больцмановским
распределением.
Однако если учесть действие внешнею поля, т. е. влияние
члена, стоящего в правой части уравнения C,33), то найдем,
что мощность, которая будет передаваться дипольной системе,
приведет к установлению нового равновесного значения. Пред-
Предполагая, что бегущие волны для Р и Е имеют вид C.4), и при-
приравнивая не зависящие от времени компоненты в обеих частях
уравнения C.33), получаем
C.34)
где звездочкой обозначены комплексно сопряженные величины.
Так как поляризация на основании C.5) может быть выражена
через поле, а именно
Р = е/ (ш) Е = ед (х' (и) + if (о)) Ё,
то уравнение C.34) можно переписать в виде
«L м^ы^Ы. = | Qr ы, е р. {з.з5)

92
Глава 3
Физический смысл уравнения C.35) заключается в том, что
в стационарном состоянии среднее по времени значение раз-
разности паселенностей устанавливается таким образом, что мощ-
мощность, теряемая в окружающей среде, соответствует мощности,
которая передается диполыюй системе при поглощении.
Восприимчивость можно исключить из уравнения C.35),
если воспользоваться соотношением C.10). Тогда для случая
однородного уширения линии имеем
/на
gL (и. Q)
7УГ~
C.36)
Здесь / = г|8ос| Ё2/2 — мощность, переносимая волной через еди-
единицу площади, а т] — показатель преломления среды. Параметр
насыщения 11ШС определяется следующим образом:
* нас —
C.37)
Этот параметр характеризует мощность, которая должна пере-
переноситься волной резонансной частоты через единицу площади,
чтобы в результате раз-
разность населенностеп
уменьшалась вдвое по
сравнению со случаем от-
отсутствия насыщения.
График выражения
C.36) представлен на
фиг. 3.9. Видно, что при
высоких интенснвностях
поля разность населен-
ностей стремится к нулю,
т. е. населенности верхне-
верхнего и нижнего уровней
становятся практически
равными. Ни при какой
интенсивности приложен-
приложенного поля невозможно с
помощью процессов ре-
резонансного поглощения добиться инверсии разности населен-
ностей, т, е. получить большее число атомов на верхнем уров-
уровне, чем па нижнем. Инверсия населепностен, необходимая для
работы лазеров и мазеров, достигается в результате процессов,
в которых участвуют и другие энергетические уровни. Эти ме-
методы получения инверсии населениостей сбсуждаются в гл, 4.
Сомножитель отношения ///Пас в C.36) н на фиг. 3.9 равен еди-
единице при ш = Q и меньше единицы в остальных случаях. Это
Фиг, 3.9. Насыщение разности паселен-
паселенностей в единице объема при увеличении
интенсивности поля.

Резонансные процессы
93
означает, что при резонансе имеется наивысшая эффективность
поля в отношении насыщения перехода.
Из уравнений C.13), C.14) и C.36) находим выражение для
коэффициента поглощения в случае, когда насыщение начинает
играть существенную роль:
/ JjLuil (ы — м \е Г UIi 1 /о ооч
Ъгосх\
Значение Г при ненасыщенном режиме можно получить из этого
выражения, положив / = 0. Эффект насыщения проявляется
в уширении и сглаживании формы линии, так что максималь-
максимальное значение коэффициента поглощения уменьшается согласно
выражению
г гю\ = Г (п\ ! ,C,39)
а ширина линии увеличивается до
величины
Л«Л = Л«Лю1ыЛ/1+///нас C.40)
Это иллюстрируется на фиг, 3.10,
_i_
6 8
1/1нп
ю
а й
Фиг. 3.10. Характер измене-
изменения коэффициента гоглошення
в условиях насыщения.
Фиг, 3,11. Мощность, поглощаемая
в единице объема при резонансе в
условиях насыщения.
При достижении уровня мощности, соответствующего насы-
насыщению, сочетание уменьшения коэффициента поглощения и
увеличения интенсивности приводит в результате к тому, что
поглощаемая в единице объема мощность 5s = Г/ насыщается
и не превышает уровня й'нас, показанного на фиг. 3,11. Комби-
Комбинируя C.37) — C.39) для случая ///пас 2> 1. получаем при ре-
резонансе
1 пас
C.41)

94 Глава 3
Из первого равенства в C.41) видно, что мощность, поглощае-
поглощаемая в единице объема, при полном насыщении стремится к ве-
величине, соответствующей мощности, которая поглощалась бы
при интенсивности / = /нас, если бы коэффициент поглощения
был равен своей ненасыщенной величине. Поскольку при этих
условиях дипольная система не может больше поглощать, то
переход называют просветленным, и любая дополнительная
мощность, добавленная к волне, передается через среду без
ослабления.
Измерения эффектов насыщения иногда можно использо-
использовать для определения времени релаксации 7У В этом случае
необходимо измерить ненасыщенный коэффициент поглощения
и ширину линии в отсутствие насыщения (чтобы знать матрич-
матричный элемент \щ2\2 и ширину линии A&>z, = 2/Т2), а затем
измерить либо коэффициент поглощения, либо ширину линии
в условиях насыщения, после чего вычислить по формулам
C.39) или C.40) величину /иас. Тогда время релаксации 7\
можно получить, решая уравнение C.37).
Экспериментально эффекты насыщения наблюдаются иног-
иногда при относительно слабых уровнях мощности порядка
1 мет j см2. Для аммиака в рассмотренном выше случае при
давлении 4-Ю мм рт. ст. получено Tt ~ 1/3-106 сек,
Т2 ~ 1/6,4-106 сек, |ц12| = 1,14 дебай, из уравнения C,37) полу-
получим /„ас ~ 6 Мвт/CM2,
7. Вырождение
До сих пор предполагалось, что уровни яеляются невырож-
невырожденными, и поэтому оставался вне рассмотрения вопрос срав-
сравнительно важный в практических приложениях, а именно, как
видоизменяются уравнения в случае вырождения.
Рассмотрим двухуровневую систему, в которой кратность вы-
вырождения верхнего а нижнего уровней равна соответственно
g2 и gi. Это значит, что кмеется g2 собственных состояний
с энергией Ег и g\ собственных состояний с энергией £,, Вклю-
Включим сюда же случай, когда уровни не точно вырождены, а уда-
удалены друг от друга на расстояние, малое по сравнению с шири-
шириной полосы возбуждающего излучения и по сравнению с хТ,
На фиг. 3.12 изображена рассматриваемая двухуровневая си-
система, где для ясности отдельные состояния в каждом уровне
показаны разделенными.
Для переходов между г'-м и /-м состояниями для поляриза-
поляризации Pjj в изотропном случае па основании C.1) запишем сле-
следующее уравнение:
2 . 29. \ц//!2
р (_ __ р . л. с^р . -^ / J / i\!. — м.\ F (ъ 491
'2 1J О

Резонансные процессы 95
В обычных условиях в отсутствие селективного механизма,
сортирующего молекулы, находящиеся в различных состояниях
на данном вырожденном энергетическом уровне, энергетическое
рассмотрение позволяет считать, что вс° состояния на одном
и том же уровне равно заселены перед началом взаимодейст-
взаимодействия. Поэтому по крайней мере вначале N} — N2jgz и Nt — N,/gu
Фиг. 3.12. Двухуровневая система с вырож-
вырожденными верхним и нижним уровнями.
Кратности вырождения равны g2 и g, соответственно.
где N2 и iVi — полное число атомов или молекул в единице
объема соответственно на верхнем и нижнем уровнях. При этих
условиях C.42) можно записать в виде
^)е. C.43)
Суммируя по множеству состояний па верхнем и нижнем уров-
уровнях, для полной поляризации получаем
Здесь ]jtx±212 определяется теперь следующим образом:
I И1212 = 2 i I I4i I2- C.45)
Если желательно учесть изменения населенностей уровней при
переходах, то для вырожденного случал необходимо записать
уравнение, соответствующее уравнению C.2). Во время перехо-
перехода типичным, по крайней мере для твердых и жидких сред, яв-
является наличие быстрых внутренних кросс-релаксационных про-
процессов между вырожденными состояниями в данном уровне [9].
В результате независимо от того, какие состояния участвуют
в переходах, внутренние релаксационные процессы поддержи-
поддерживают распределение N, = N2jg2 и Nt = ЛЛ/g-j, В этом случае
уравнения C.43) — C.45) применимы для изменяющихся зна-
значений iVi и /V2. [В противном случае надо пользоваться уравне-
уравнениями C.42).] Уравнение для разности населенностей выводит-
выводится следующим путем.
Прежде всего замечаем, что для невырожденного случая
выражение C.2) может быть представлено в виде двух урав-
уравнений, если воспользоваться соотношением N*. + N2 = Nv, где

96 Глава 3
Nv — постоянная величина. Эти уравнения имеют вид
d.V, N,~N\
dt ' Г,
Р • Е, C.46)
C.47)
dt 'Г, Ш * "'
Применяя C.46) к вырожденному случаю, запишем
dN, N[-Net I 1 ri||. . 1 1 .
' | ' ' = у \ p £ = — - P ■ E. C 48)
(-1 /=!
Вид правой части уравнения C.48) обусловлен тем, что при на-
наличии кросс-релаксационных процессов между вырожденными
состояниями населенность состояния i изменяется в результате
всех переходов между уровнями 1 и 2; фактически это измене-
изменение равно l/gi части полного изменения населенности уровня 1.
[Если кросс-релаксационные процессы отсутствуют, то правая
часть C.48) имеет простой вид — A/fiQ) 2 Рц ■ Е, т. е. учиты-
учитываются переходы только между уровнем i и всеми уровнями /'.]
Подобные рассуждения справедливы и по отношению к уров-
уровню /'. Теперь после подстановки N} = Nz/g2 и Л/; = Nt/gi имеем
d iV9 Njg.?NJgo 1 1 •
-тг —+ ' T -1ю— Р-Е. C.50)
Эти уравнения могут быть скомбинированы двумя способа-
способами. Во-первых, видим, что если C.49) умножить на gh a C.50)
на gz и затем вычесть второе уравнение из первого, то снова
получим выражение C.2). Отсюда можно заключить, что урав-
уравнение для разности населенностей, характеризующее баланс
энергии, не изменяет вид для вырожденного случая. Однако
поскольку разность населенностей в поляризационном уравне-
уравнении C.44) учитывается разностью (Ni/gi — N2/g2), то иногда
удобно для получения решений записать C.49) и C.50) в виде,
полученном после вычитания второго выражения из перво-
первого, т. е.
_____ i —|— —
dt \gi g2 I ' Г,

Резонансные процессы 97
Поэтому для вырожденного случая при учете кросс-релак-
кросс-релаксационных процессов между вырожденными состояниями
вместо уравнения C.1) надо пользоваться уравнением C.44),
а уравнение C.2) либо может использоваться в том же виде,
либо может быть заменено эквивалентным в форме C.51).
В заключение выведем соотношение, связывающее населен-
населенности различных энергетических уровней при тепловом равно-
равновесии для вырожденного случая. В случае теплового равнове-
равновесия при абсолютной температуре Т распределение атомов по
различным состояниям характеризуется законом Больцмапа.
Если имеется несколько состояний на данном энергетическом
уровне, го соотношение населенностей в единице объема каких-
либо двух состояний, находящихся па разных уровнях, опре-
определяется следующим образом;
Поэтому, используя населенности уровней в единице объема
п — g2Nj и iVi = g'liVj, получаем выражение
§ 3. ТЕНЗОРНЫЕ СВОЙСТВА ВОСПРИИМЧИВОСТИ
В изотропной среде явления поглощения, дисперсии и насы-
насыщения рассматривались на основе введения скалярной воспри-
восприимчивости /(о), отражающей связь поляризации с электричек
ским полем через соотношение C.5):
Р=еоХ(о))Е. C.53)
Понятие восприимчивости можно успешно распространить на
анизотропные среды. Поскольку анизотропные среды играют
важную роль в практических приложениях, целесообразно рас-
рассмотреть применимость к ним концепции восприимчивости и
обсудить некоторые важные вытекающие отсюда следствия,
Если читатель интересуется только изотропными средами, то
этот параграф может быть опущен без ущерба для дальнейшей
последовательности изложения.
В анизотропном случае уравнение для поляризации имеет
вид
Р + й2Р №)(N-H2)E-™. B.41)
Записывая переменные в комплексной форме,
ра = 1 Рае'"(ш'-*г) + компл. сопр.,
1 ~
^ — -^с^е * ' +компл. сопр.,

98 Глава 3
из уравнения B.41) получим
Р = —7пГп*\ (N — N )р (ш Q) Ё = е у (со) Ё C 54)
Здесь gL(cu, Q) — комплексная лоренцева функция, определяе-
определяемая из C.7), а Ё'(,ок = £р. Для плотных сред, где £р"к ^ £Р,
необходимо вводить поправочный коэффициент локального по-
поля, как и в изотропном случае. Однако для анизотропных сред
выражения становятся более сложными [10].
В приложении 3 показано, что для двухуровневой системы
ра4р = цр[1^ Поэтому для двухуровневой системы и для случая,
когда поправочный лоренцев коэффициент равен единице, имеем
Ца N = Хар (»)• C.55)
На основе термодинамического рассмотрения [11] можно
доказать, что уравнение C.55) применимо и для системы
с большим числом уровней, когда поправочный коэффициент
локального поля не равен единице, а является функцией коор-
координатных индексов.
Восприимчивость хар(со) связывает две физические величи-
величины, каждая из которых имеет смысл, не зависящий от случай-
случайного выбора системы координат. Поэтому восприимчивость,
связывающая эти две величины, должна в некотором смысле
также не зависеть от выбора системы координат. Это значит,
что восприимчивость, имеющая некоторый частный вид в вы-
выбранной системе координат, при изменении системы координат
должна преобразовываться определенным образом, так чтобы
сохранялась требуемая взаимосвязь между физическими вели-
величинами. Такое свойство называется тензорным свойством. В ча-
частности, поскольку хав(со) связывает компоненты двух векторов,
то требуется два координатных индекса. Это — тензор второго
ранга. Число координатных индексов определяет ранг тензора;
вектор есть тензор первого ранга, скаляр — тензор нулевого
ранга.
Тензор второго ранга определяется девятью числами. В пря-
прямоугольной декартовой системе координат компоненты воспри-
восприимчивости Ха|з(к>) записываются в виде таблицы
кх f*xy Kxz
Хух У*уу Xyz
, Xzx Xzy Xzz .
Из девяти элементов в этой таблице только шесть являются не-
независимыми ввиду ограничений, налагаемых условием C.55).
Тензор, для которого справедливо условие C.55), называется
симметричным тензором.

Резонансные процессы
93
Особый интерес представляют трансформационные свойства
тензора восприимчивости при различных преобразованиях си-
системы координат. Эти свойства полно отражают свойства сим-
симметрии среды, которые в свою очередь важны для определения
вида тензора второго ранга линейной восприимчивости ХаВ>
Рассмотрим, например, среду, свойства симметрии которой та-
таковы, что независимо от ориентации по отношению к задан-
заданному полю наведенная поляризация всегда направлена вдоль
поля. В этом случае недиагональные элементы тензора воспри-
восприимчивости х«в должны, очевидно, обращаться в нуль, так как
они характеризуют величину наведенной поляризации по на-
направлениям, не совпадающим с направлением поля [см. уравне-
уравнение C.54)]. Более того, если амплитуда поляризации, наведен-
наведенной данным полем, не зависит от ориентации среды, то диаго-
диагональные элементы тензора восприимчи-
восприимчивости равны друг другу. Фактически
только что были описаны свойства сим-
симметрии изотропной среды, тензор воспри-
восприимчивости для которой Хг*з имеет вид
О
/ Г"~
5Cup :
Чтобы рассматривать более общие Ф иг. 3.13. Преобразова-
случаи, необходимо изучить трансформа- ние координат.
ционные свойства тензора второго ранга
при различных вращениях системы координат. Под вращениями
системы координат будем понимать переход от одной совокуп-
совокупности взаимно перпендикулярных осей, обозначенных хи х2, х3,
к другой, обозначенной х\, х'2, х'3> без изменения положения
начала координат (фиг. 3.13). Преобразование от старой, не-
штрихованпон, совокупности координатных осей к новой, штри-
штрихованной, совокупности подчиняется уравнению преобразова-
преобразования координат
Здесь а^р — косинусы углов между новыми (х'а) и старыми
(яр) осями. По повторяющимся индексам подразумевается сум-
суммирование.
То же самое можно записать в другом виде — в матричных
обозначениях:
х' = Ах,

100 Глава 3
или более подробно
/ X
Здесь таблица из девяти коэффициентов представляет собой
матрицу преобразования А- Преобразование координат — это
преобразование компонент радиуса-вектора. Компоненты любо-
любого другого вектора, как, например, вектора поляризации или
электрического поля, преобразуются таким же образом, как и
радиус-вектор [11]. Так, компоненты вектора Р в повой коорди-
координатной системе выражаются через компоненты его в старой си-
системе следующим образом:
Ра = аарРC, C.56)
или в случае обратного преобразования
Р« = ароРр. C.57)
Заметим, что при переходе от старой системы координат к но-
новой, как в C.56), повторяющиеся индексы оказываются рядом,
в то время как при обратном преобразовании это не имеет
места.
Рассмотрим теперь преобразование тензора второго ранга,
связывающего два вектора. В частности, выясним трансформа-
трансформационные свойства тензора восприимчивое г и второго ранга %ар.
Из C.54) имеем
*а ^оХар^р*
Поляризация в новой координатной системе определяется с по-
помощью C.56), и, учитывая предыдущее выражение, запишем
Ра = га
С другой стороны, Еу преобразуется по закону C.57), поэтому
Pa = е^гфу^а^Еб;
окончательно получаем
Р'а = еумЬ'ъ,
где /^-—восприимчивость в новой координатной системе —
связана с восприимчивостью в старой координатной системе
следующим образом:

Резонансные процессы
101
Это выражение можно записать в матричной форме:
%= А%А{ = А%А~\
C.59)
Здесь X и Л — матрицы из девяти элементов, А1 — матрица,
транспонированная к матрице А, т. е. ее строки заменены
столбцами; Л— обратная матрица, удовлетворяющая условию
А'1А = АА~{ = /, где/ — единичная матрица. При ортогональных
преобразованиях, т. е. при преобразованиях из одной декарто-
декартовой системы координат в другую, обратная и транспонирован-
транспонированная матрицы идентичны друг другу. Преобразование вида
C.59) называется преобразованием подобия.
хг,х,
а
Ф и г. 3,14. Диаграмма, иллюстрирующая действия над средой, необходимые
для определения возможных элементов симметрии.
Измерение, позволяющее определить элементы тензора, проводится в нештриховапной
координатной системе, показанной на фиг. 3.14, а. Затем образец вращается н измеряются
элементы тензора вдоль тех же самых направлений в абсолютном пространстве. Иначе
говоря, элементы тензора сопоставляются с пештриховапнон координатной системой на
фиг 3.14, б. Если тензор восприимчивости одинаков для этих двух измерений, тензор,
отнесенный к штрихованным и к пештрихованпым координатам на фиг. 3.14, б, также
один и тот же. При этом говорят, что греда обладает 9и-градусноц симметрией.
Теперь можно рассмотреть связь трансформационных
свойств тензора восприимчивости при поворотах системы коор-
координат с физическими свойствами среды. Сначала измеряются
компоненты вектора, характеризующего физическую величину,
например поляризацию или электрическое поле в заданной си-
системе координат, т. е. при определенном положении образца
(фиг. 3.14,й). Для этого положения вычисляются элементы тен-
тензора восприимчивости, связывающего эти векторы.
Затем положение образца изменяется, например, поворотом
на угол я/2, и повторяются измерения в тех же самых направ-
направлениях. Если тензор восприимчивости не изменяется, то это
эквивалентно тому, что тензор в штрихованной и в пештрихо-
ванной системах координат (фиг. 3.14,6) один и тот же.
Это дает
х' = г- C.60)
В таком случае говорят, что восприимчивость обладает эле-
элементом симметрии, заданным оператором вращения.

102 Глава 3
Если матрица преобразования А соответствует вращению,
которое не изменяет тензор, как в C.60), то C.59) дает
~\
%= А%А
или
Отсюда получаем полезный результат: если А соответствует
преобразованию симметрии, то
И,х] = о. C.61)
Полученное соотношение устанавливает, каким образом свой-
свойства симметрии среды ограничивают вид %. Это лучше всего
можно проиллюстрировать на конкретном примере. Однако
прежде всего необходимо рассмотреть некоторые общие поня-
понятия.
При изучении физических свойств кристаллов возможные
макроскопические элементы симметрии, которыми обладает
кристалл, и соответствующие преобразования можно классифи-
классифицировать следующим образом [11, 13].
1. Центр симметрии. Преобразование, называемое инвер-
инверсией, заключается в том, что каждая точка с координатами
(х, у, z) переводится в точку (—х, —г/, —г).
2. Зеркальная плоскость. Ей соответствует преобразование,
при котором каждая точка зеркально отражается относительно
данной плоскости.
3. Поворотная ось n-го порядка, п = 1, 2, 3, 4, 6. Вращение
на угол 2л/п вокруг данных осей, называемых соответственно
осью симметрии первого, второго, третьего, четвертого и ше-
шестого порядка.
4. Инверсионная ось п-ro порядка, п —• 1, 2, 3, 4, 6. Произ-
Производится вращение па угол 2л/п вокруг оси с последующей
инверсией.
Возможные комбинации этих макроскопических элементов
симметрии составляют 32 точечные группы, определяющие 32
кристаллических класса в соответствии с точечно-групповой
симметрией, которой обладает кристалл. Термин «точечная
группа» возник потому, что во всех перечисленных выше пре-
преобразованиях не учитывается трансляционная симметрия. Фи-
Физическая структура кристалла может, вообще говоря, обладать
также двумя дополнительными элементами симметрии, назы-
называемыми плоскостью скольжения и винтовой осью п-го порядка.
Оба эти элемента связаны с трансляционными свойствами кри-
кристалла. Если эти дополнительные элементы симметрии прини-
принимать во внимание, то можно составить 230 возможных комби-
комбинаций элементов симметрии, так называемых пространственных

Резонансные процессы
103
групп. Однако при изучении макроскопических свойств кристал-
кристаллов нет необходимости учитывать это дополнительное уточне-
уточнение.
32 кристаллических класса составляют семь кристаллических
систем, для каждой из которых характерны определенные ком-
комбинации элементов симметрии. Эта классификация с указанием
нескольких интересных свойств представлена в табл. 4. Каж-
Каждый из 32 классов обозначается символами' типа Зт, приведен-
приведенными в первом столбце. Символы имеют следующий смысл.
Цифра обозначает порядок поворотной оси, цифра с чертой над
Кристаллические классы
Таблица 4
Обозначение
класса ])
2, т, 1/т
222, тт2, ттт
4,4, 4/m, 422, 4тт,
42т, 4/ттт
3, 3, 32, 3/7), 3/7!
6,6, 6//и, 622, 6mm,
б 7/2, 6/ттт
23, шЗ, 432, 43,
mini
Кристаллическая
система
Триклинная
Моноклинная
Орторомбическая
Тетрагональная
Тригопальпая
Гексагональная
Кубическая
Оптические
свойства
кристалла
Двуосный
Двуосный
Двуосный
Одноосный
Одноосный
Одноосный
Изотропный
Тензо]:
личейцой
восприимчивости
ГХхх
1 Хху
\ Xxz
Г Xxx
°
^ Xxz
( Xxx
0
V 0
/ Xxx
0
V о
/ Xxx
0
V о
/ Xxx
0
V 0
/ Xxx
0
V о
Хху
Xyy
Xyz
0
Xyy
0
0
У»уу
0
0
Xxx
0
0
Xxx
0
0
Xxx
0
0
Xxx
0
Xxz\
Xyz 1
Xzz '
Xxz \
0
Xzz'
0 \
0
Xzz'
0 \
0
Xzz)
0 \
0)
Xzz'
0 \
о
Xzz'
0 \
0
Xxx '
fl Рисунки, иллюстрирующие операции симметрии для кристаллических классов,
представлены и табл, 21 работы III],

iO4 Глава 3
ней обозначает инверсионную ось, а буква т обозначает зер-
зеркальную плоскость. Правила составления полного символа
имеются в книгах по свойствам кристаллов. Кратко они могут
быть суммированы следующим образом:
1. Поворотная ось: X. _
2. Поворотная ось с последующей инверсией: X.
3. Поворотная ось и зеркальная плоскость, перпендикуляр-
перпендикулярная оси: Х/т.
4. Поворотная ось; поворотная ось (оси) второго порядка,
перпендикулярная основной оси: Х2.
5. Поворотная ось; зеркальная плоскость (плоскости), па-
параллельная оси: Хт.
6. Поворотная ось; зеркальная плоскость, перпендикуляр-
перпендикулярная оси, и зеркальные плоскости, параллельные оси:
Х/тт.
7. Поворотная ось; зеркальная плоскость, перпендикулярная
к оси; зеркальная плоскость, параллельная оси; зеркаль-
зеркальная плоскость, параллельная оси и составляющая с пре-
предыдущей плоскостью угол 45°: Х/ттт.
Символ Зт означает, например, что имеется инверсионная
ось третьего порядка и зеркальная плоскость (или плоскости),
параллельная оси.
Названия семи кристаллических систем, соответствующие
геометрии структуры кристалла, перечислены во втором столб-
столбце. В третьем столбце представлена классификация кристаллов
по их оптическим свойствам. Изотропный кристалл представляет
собой кристалл, в котором восприимчивость одна и та же при
распространении полей, поляризованных параллельно любой
из трех осей: х, у или е. Такие кристаллы оптически изотропны
и обладают одним значением показателя преломления. В одно-
одноосных кристаллах восприимчивость при распространении ком-
компоненты поля, поляризованной параллельно одной из осей, на-
называемой оптической осью, отличается от восприимчивости для
компонент поля, поляризованных параллельно другим осям. Это
приводит к двум значениям показателя преломления: одному
для компонент поля, поляризованных параллельно оптической
оси (необыкновенный луч), и другому — для компонент поля,
поляризованных перпендикулярно оптической оси (обыкновен-
(обыкновенный луч). В двуосных кристаллах восприимчивость различна
для всех компонент поля, поляризованных параллельно любой
из трех осей. Такие кристаллы имеют три значения показателя
преломления.
Вид тензоров восприимчивости, представленный в правом
крайнем столбце табл. 4, определяется с помощью уравнения

Резонансные процессы
105
C.61). В качестве простого примера рассмотрим кристалл,
обладающий осью симметрии четвертого порядка, и этой осью
является ось г. Старые (нештрихованные) и новые (штрихован-
(штрихованные) оси выбираются так, как показано на фиг. 3.14,6. Опера-
Оператор симметрии А определяется из уравнения преобразования
координат х'а = аа^х^. В матричном виде уравнение преобразо-
преобразования координат в соответствии с фиг. 3.14,6 записывается
следующим образом:
О 1 О
-10 0
0 0 1
Здесь А есть 3X3 -матрица в этом уравнении.
Используя условие C.61), т. е. [А,%] — О, получаем
0 1 0 \ / Ххх Хху Xxz \ / 1хх Хху Xxz\f 0 1 0
"I ° ° \lx-cy Хуу Хуг ) = ( %ху Хуу Хуг ~ 1 0 0
0 0 \ )\ххг Xyz Хгг I V Xxz Хуг Хгг 1 \ 0 0 1
Это система из девяти уравнений, из которых только шесть
независимы. Решая эту систему, получаем выражения для
Хар. Например, первое уравнение, начитя сверху слева, имеет
вид
Хху Хху
Отсюда имеем %ху = 0. Из второго уравнения вида —Xyv =
= —Xx.v можно сделать вывод, что первые два диагональных
элемента в х равны друг другу. Проводя таким образом вы-
вычисления пока не будут получены все элементы, приходим
к виду тензора %, имеющемуся в табл. 4;
Рассмотренный пример иллюстрирует взаимосвязь между свой-
свойствами симметрии среды и видом тензора восприимчивости /ар-
Хотя в книге для простоты рассматривается главным обра-
образом изотропный случай, результаты, приведенные в данном
параграфе, могут служить основой для обобщения на анизо-
анизотропные среды. Концепция восприимчивости может быть рас-
распространена па нелинейные процессы. Например, при генерации
третьей гармоники возникает поляризация па частоте, в 3 раза
превышающей частоту приложенного поля. В этом случае по-
поляризация и поле связаны через тензор восприимчивости чет-

106 Глава 3
вертого ранга, определяемый выражением
Ра (Зю) = eoXapv6Ep(o>) Ёу (ю)
Здесь в скобках приведены частоты, относящиеся к полям и по-
поляризации.
В наиболее общем случае пользуются разложением поляри-
поляризации в степенной ряд по полю с тензорами восприимчивости
различных рангов, играющих роль коэффициентов разложения.
Часто при рассмотрении нелинейных процессов разложения та-
такого вида принимаются в качестве отправной точки при ана-
анализе [13]. Тензоры восприимчивости при этом рассматриваются
как феноменологические величины, определяемые из экспери-
эксперимента.
§ 4. НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ПРОЦЕССЫ ДЛЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО
ДИПОЛЬНОГО ПЕРЕХОДА. СИСТЕМА АМПЛИТУДНЫХ УРАВНЕНИИ
И КИНЕТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
Поскольку свойства поглощения, дисперсии и насыщения
электрического дипольного перехода, описанные в § 2, относи-
относились к стационарным явлениям, для их описания было доста-
достаточно пользоваться простым стационарным приближением.
Однако при определенных условиях, как, например, в твердотель-
твердотельном лазере, имеет место бурный процесс обмена энергией меж-
между дипольной системой и излучением, что приводит к значитель-
значительным флуктуациям характеристик поглощения и насыщения сре-
среды. В результате возникают переходные процессы во времени н
пространстве. Чтобы изучить эти явления, необходимо решить
систему уравнений C.1) — C.3) для нестационарного случая.
К счастью, не требуется искать полное нестационарное ре-
решение системы уравнений C.1) — C.3), так как часто можно
найти приближение, существенно упрощающее проблему. При
взаимодействии электрической диполыюй системы с внешним
полем обычно отчетливо выделяются две временные шкалы:
одна — это период СВЧ или оптических колебаний и другая —
времена релаксации, характеризующие различные механизмы
потерь. Именно эти времена релаксации характеризуют обмен
энергией между полем и диполыюй системой. В лазере, напри-
например, период колебаний порядка 1О~10 сек, в то время как вре-
времена релаксации обычно порядка 10~10 сек или более. В даль-
дальнейшем мы увидим, что методом усреднения можно отделить
медленные изменения амплитуд от основных высокочастотных
колебаний и сосредоточить внимание на первых. Это позво-
позволяет изучить процессы обмена энергией между средой и полем,
происходящие за время, значительно превышающее период ко-
колебаний.

Резонансные процессы 107
Также отчетливо можно выделить две пространственные
шкалы: одну, связанную с длиной волны излучения, и другую,
характеризующую нарастание или затухание полей на расстоя-
расстояниях, гораздо больших длины волны. Эти две шкалы также
легко разделяются методом усреднения, который часто назы-
называется стробоскопическим методом, поскольку пространствен-
пространственные изменения, соответствующие мелкой шкале, не исследуются,
а проводится лишь рассмотрение изменений, соответствующих
крупной шкале. Используемое нами приближение является
просто квазнстацпопарпым приближением или методом изме-
изменяющихся параметров, когда допускаются медленные измене-
изменения стационарных значений в пространстве и времени.
/. Усиление бегущей волны
В качестве первого примера рассмотрим задачу, касающую-
касающуюся лазерного усилителя бегущей волны (фиг. 3.15). Предполо-
Предположим, что оптическое излучение резонансной частоты падает на
Фиг. 3.15. Усиление сигнала,
l\J\J\J\j~t~ обусловленное инверсией на-
сслепиостсй N2>N]-
среду, в которой разность населенностей инвертирована каким-
либо способом, т. е. среда находится в таком состоянии, что
число атомов или молекул в единице объема в верхнем состоя-
состоянии больше, чем в нижнем (N">Nt). Способы создания инверс-
инверсной разности населенностей описаны в гл. 4. Интуитивно ясно,
что по крайней мере на начальном этапе волна начинает уси-
усиливаться, так как она входит в среду с отрицательным коэф-
коэффициентом поглощения, поскольку величина инверсной разности
населенностей в единице объема (N2 — N{)e>0 [см. уравнение
C.13)]. Однако разумно ожидать, что как только поля будут
усиливаться, возникнут эффекты насыщения того или иного
типа.
Соответствующие уравнения для изотропной среды полу-
получаются из C.1) — C.3) и имеют вид
Р+ 2 p + Q3p=_MLiJ^IL.vEt
1 2 II о
3N , N - Ne 2 • ,
-дГ + —ТГ- = шР-Е, C.62)
r)St dE . л2 д2Е _ д2Р
V Х(\Х Ь) + —-^- + -^--^2- Но dt2
где N = N2 —

108 Глава 3
Предположим, что поляризация, электрическое поле и раз-
разность населенностей в единице объема изменяются следующим
образом:
сопр.,
у сопр., C.63)
N = N(z).
Мы рассматриваем решения в виде бегущих волн. Они пред-
представляют собой стационарные колебания во времени с часто-
частотой й, но допускают медленные изменения в пространстве че-
через комплексные амплитуды Р(г), E(z). Здесь k — постоянная
распространения k = Qr\/c. Изменяющимися во времени ком-
компонентами в N пренебрегаем, поскольку они малы.
Подставляя C.63) в C.62), приходим к следующей системе
амплитудных уравнений:
C.64)
2ik ~
При выводе этих уравнений принималось во внимание, что
д2Е/дг2 <С k(dE/dz) в соответствии с предположением о мед-
медленных изменениях.
Решение системы амплитудных уравнений позволяет полу-
получить амплитуды и фазы медленно изменяющихся компонент
поляризации и поля, а также величину разности населенностей
как функции расстояния в среде.
Исключая поляризацию P(z), а затем умножая уравнение
для поля на Ё* и складывая с комплексно сопряженным, по-
получаем
£\E{z)? + st\E(z)\2=-^L+^N(z)\E{z)?. C.65)
Здесь
N(z) = — = . C.66)
1 + (Г,Г2/Й) £, (| ц1а |а/3) | Е (z) |«
Величина |Е|2 пропорциональна усредненной во времени плот-
плотности энергии поля в бегущей волне. Уравнение C.65) является
кинетическим уравнением, поскольку оно характеризует ско-
скорость передачи энергии из среды в поле по мере распростра-

Резонансные процессы 109
нения поля в среде. В противоположность амплитудным урав-
НСНИЯЛ1 C.G4) кинетическое уравнение уже не содержит инфор-
информации о фазе поля, так как в него входят только значения
квадратов величин. Однако при определении возрастания плот-
плотности энергии нет необходимости рассматривать фазовые со-
соотношения.
Объединяя выражения C.65) и C.66), получаем нелинейное
дифференциальное уравнение
dI -\v '@) + /„ас _
Здесь / — средняя мощность, переносимая волной через еди-
единицу площади, / = х\гос\ Е|2/2; /1ЮС — параметр насыщения,
определяемый из выражения C,37); /@) —величина входной
мощности в плоскости 2 = 0; g(I)—полный коэффициент уси-
усиления, а -уо — коэффициент усиления в плоскости z = 0, пропор-
пропорциональный инверсной разности населенпостей:
Здесь целесообразно обсудить допущение о пространствен-
пространственном усреднении, па котором основан вывод уравнения C.62),
а следовательно, и уравнений C.65) — C.67). Как упомина-
упоминалось в гл. 2, § 4, п. 3, предполагается, что усредненное по про-
пространству произведение матричных элементов п разности на-
населенпостей в единице объема равно произведению средних
величин согласно равенству B.39), т. е.
К$ Nv (Рп ~ Р22) = 0Vle) {Ni ~ ^2>
Когда рассматриваются эффекты насыщения, описываемые вы-
выражениями вида C.66), разность населенпостей является функ-
функцией матричных элементов. Поэтому для одновременного ре-
решения уравнений C.65) и C.66) могла бы, вообще говоря,
потребоваться подстановка неусредненного уравнения вида
C.66) в пеусредненное уравнение C.65) с последующим усред-
усреднением результата. Конечно, если все молекулы идентичны, как
это имеет место в однородном кристалле, то если даже имеется
насыщение, можно применять выражение B.39). Подобные рас-
рассуждения относятся не только к уравнениям C.65) и C.66),
но также и к кинетическим уравнениям, которые будут рас-
рассматриваться в этой главе н использоваться па протяжении
всего материала книги.
Оценим ошибку, которую мы допускаем в коэффициенте уси-
усиления g{l), предполагая, что выражение B.39) справедливо

по
Глава 3
для случая, когда все ориентации молекул равновероят-
равновероятны. В приложении G показано, что применение выражения
B.39) приводит к ошибке вследствие недооценки эффекта на-
насыщения. Однако как для очень больших, так и для очень
малых значений отношения ///,1ас, где /,1ас определяется из
C.37), величина ошибки стремится к нулю. Максимальная
ошибка составляет около .30%; в большинстве случаев такая
величина не играет существенной роли, поэтому н дальнейшем
Фиг. 3.16. Рост или уменьшение интенсивности с расстоянием в лазере
бегущей волны.
Кршше / —/// cool вет* тзуют областям высокого, среднего п низкого зплчепп;') коэффи-
коэффициента усиления соответственно. В об.тлеп] / усиление на единицу длины, обусловленное
инверсией населенiiocieti. превосходит потери па единицу длины, что обеспечивает уси-
усиление входного пучка. В обла.ти II коэффициент усиления не настолько высок, чтобы
вызвать постоянное усиление, но достаточен, чтобы скомпенсировать потерн при оп] е-
деленном уровне интенсивности, что ведет к незатухающему распространению. В иблл-
t-iii /// коэффициент усиления недоелаточен для компенсации поюрь па любом уровне,
и поэтому интенсивность входного сигнала уменьшается до нуля.
мы будем пользоваться выражением B.39). В случае необхо-
необходимости можно ввести в коэффициент усиления поправочный
фактор, определяемый отношением уравнений (П6.2) и (П6.1),
приведенных в приложении 6.
Точное решение уравнения C.67) можно получить методом
разделения переменных (см. задачу 3.14), однако попытаемся
изучить это уравнение с качественной стороны. Предсгавл5:ют
интерес три области, определяемые значением коэффициента
усиления уп.
1. Область I, большое усиление; у0 > si. В этой области пол-
полный коэффициент усиления g(I), введенный в выражении C.67),
является положительной величиной в плоскости 2 = 0, поэтому
величина / начинает возрастать экспоненциально с расстоянием.
Однако по мере увеличения / первый член выражения в скоб-
скобках в C.67) уменьшается (так как у него / входит в знамена-
знаменатель) до тех пор, пока оба члена не станут равны друг другу.
В результате прекращается возрастание интенсивности волны
с расстоянием, поскольку усиление на единице длины компен-
компенсирует потери на том же отрезке, как показано на фиг. 3.16.

Резонансные процессы 111
Предельное значение /, обозначаемое /(сю), получим из C.67),
используя условие g(I) = 0:
/(оо) = ^-[/@) + /нас]-/нас. C.69)
2. Область II, среднее усиление; s4- < -уо < М1ътс1A@) +
+ /нас). В этой области полный коэффициент усиления g(I)
вначале отрицателен в плоскости г = 0, поэтому величина / экс-
экспоненциально уменьшается. Уменьшение величины / в знаме-
знаменателе первого члена выражения в скобках C.67) ведет к уве-
увеличению коэффициента усиления до величины, определяющей
компенсацию потерь, и волна без затухания распространяется
через среду с интенсивностью, определяемой из C.69). Такая
ситуация также показана на фиг. 3.16.
3. Область III, малое усиление; у0 < ^/пас/[/@) + /пас].
В этой области волна начинает затухать, так же как и в об-
области II, однако коэффициент усиления g(I) остается все вре-
время отрицательным, и величина / спадает до нуля, так как
первый член в g{I) никогда не может стать достаточно боль-
большим, чтобы скомпенсировать второй член.
2. Усиление в резонаторе
Лазерный усилитель бегущей волны может служить приме-
примером стационарного во времени, по изменяющегося в простран-
пространстве решения уравнений электрического дипольного перехода.
С другой стороны, усиление в мазере или лазере с резонатором
описывается решениями, нестационарными во времени и имею-
имеющими вид пространственных стоячих волн. Для изотропной
срецы соответствующие уравнения можно получить из C.1) —
C.3):
р + JL р + Q2p ^-f-L i^J- NE,
C.70)
Ё + J- Ё
%c
Здесь мы предполагаем, что поляризация, зависящая от поля
резонатора, имеет такое же пространственное распределение,
как и нормальная мода поля резонатора, так что интеграл в
правой части уравнения C.36) можно опустить, a W обозначает
разность N2 — Л/[.
Прежде чем начать исследование нестационарного решения,
заметим, что уравнения C.70) описывают совместно два ос-
осциллятора: один — поляризационный осциллятор, имеющий

112
Г гава 3
частоту Q, и другой — осциллятор поля в резонаторе, имеющий
частоту wc. Поэтому когда резонансная частота перехода й и
частота резонатора сос не равны точно друг другу, связанная
система из двух осцилляторов колеблется с некоторой промежу-
промежуточной частотой со, т.е. происходит затягивание частоты. Ча-
Частоту колебаний системы можно найти из стационарных реше-
решений.
Предположим, что решения имеют вид
Р = у Ре'ш + компл. сопр.,
подобное же выражение справедливо для Е. Из уравнения для
поляризации и уравнения поля в резонаторе получаем
^-" т
Tl о Е
Здесь ;V — стационарное значение инверсной разности насе-
ленностей в единице объема. Поскольку N — вещественная ве-
—V
шс я Частота
1/гс«?./Тг
а
—V
Фиг. 3.17. Эффекты затягивания частоты для случаев, когда ширины полосы
молекулы и резонатора существенно различны.
Случай, представленный на фиг. Ъ,\1. а. обычно применим к лачеру. r to время как
случай б применим к резонансному лазеру па аммиаке, обсуждаемому в гл. 4. Затянутая
часюта генерации ю лежит ближе к более узкой из двух линий. Величины Q, и Q, —доб-
—добротности соответственно для молекулы и для резонатора, определяемые выражениями
личина, мнимая часть должна быть равна пулю. Это приводит
к результатам, показанным па фиг. 3.17. Из графиков видно,
что частота колебаний системы со затягивается, приближаясь
к частоте, соответствующей наиболее узкой линии.
В связи с этим случаи, изображенный па фиг. 3.17,6 и ха-
характерный для резоиаторного мазера па аммиаке, представляет
собой хороший пример стандарта частоты, поскольку частота

Резонансные процессы 113
определяется скорее молекулярным резонансом, чем свойствами
резонатора. Этого нельзя сказать про случай, изображенный
на фиг. 3.17, а.
Чтобы исследовать переходные процессы, предположим, что
поляризация и электрическое поле изменяются следующим об-
образом:
Р = у Р (/) ет + компл. сопр.,
C-71)
у компл. сопр.
Здесь Р(/) и Е(/) — медленно меняющиеся комплексные ампли-
амплитуды, Q — частота диапазона СВЧ или оптического диапазона,
а фаза поляризации или электрического поля учтена в комп-
комплексной амплитуде. Предположим, что резонатор настроен на
частоту перехода, так что <зс = Q = со. Дифференцируя C.71)
по времени, подставляя затем результат в уравнения C.70)
и приравшшая коэффициенты у членов, содержащих eiat, на-
находим
i>+y2-P = ~L^f^A/E C.72)
и
Е+1^Е=-4|Р. C.73)
Уравнение для медленно меняющихся компонент разности
населешюстей в единице объема Л' можно получить, прирав-
приравнивая члены нулевой частоты. Это дает
При выводе упомянутых выше уравнений мы предполагали,
что ширина линии молекулярного резонанса и ширина линии
резонатора удовлетворяют условиям 2/Т2 «Q и 1/тс <С й. Ис-
Использовались также условия Р <С QP и Е <с QE, поскольку
предполагалось, что комплексные амплитуды медленно ме-
меняются по сравнению с частотой колебаний. Кроме того, мы
пренебрегали наличием высокочастотных членов у разности на-
селепиостей.
Уравнения C.72) — C.74) составляют систему взаимосвя-
взаимосвязанных амплитудных уравнений, учитывающих медленные изме-
изменения амплитуд поляризации и электрического поля и разности
населепностей. Как и для случая лазера бегущей волны, воз-
возможно дальнейшее упрощение, если отказаться от желания по-
получать фазовую информацию о поле.

1[4 Глава 3
3. Лазер с резонатором
Прежде всего займемся рассмотрением значений парамет-
параметров, характерных для лазеров с резонатором. В таких лазерах
ширина молекулярной или атомной линии 2/Тг обычно значи-
значительно больше ширины резонансной кривой резонатора 1/те. Это
позволяет считать д/dt <С 2/Т2, в чем можно убедиться из C.72)
и C.73), вычисляя постоянную времени объединенных уравне-
уравнений в предположении, что N — существенно постоянная вели-
величина. При этом условии в выражении C.72) можно пренебречь
Р по сравнению с Р/Т2 и получить следующие уравнения:
Л/|Ё|2, C.75)
1
LiP|2 = i^iLJ^^^|E|2. (з.76)
Величина |Ё|2 пропорциональна усредненной по времени плот-
плотности энергии в поле резонатора.
Если воспользоваться подстановкой
8 | Е
2fiQ
C.77)
то уравнения C.75) и C.76) можно представить в виде
Мр, C.78)
ф+^-^Ц^Мр. C.79)
Величина ф пропорциональна плотности электромагнитной
энергии (энергии в единице объема) и связана с пространствен-
пространственным изменением характеристик распределения, соответствую-
соответствующих моде резонатора. Переменную ср иногда неточно называют
плотностью фотонов, поскольку для отдельной моды интеграл
от ср = e|E|2/2fifi по объему резонатора определяет число фото-
фотонов в моде при рассмотрении квантования поля. Однако это
приводит к заблуждениям, так как ф по существу является
классической величиной с определенными пространственными
изменениями, в частности она имеет узлы и пучности через чет-
четверть длины волны. Не совсем корректно полагать, что фотоны
собираются в пучностях, так как законы квантовой механики
на основании принципа неопределенности не допускают лока-
локализации отдельных фотонов внутри области пространства, мень-
меньшей чем длина волны [14].
Уравнения C.78) и C.79) называются кинетическими, или
скоростными, уравнениями, поскольку они определяют ско-

Резонансные процессы 115
рости обмена энергией между нолем в резонаторе и средой.
Так же, как в случае усиления бегущей волны, кинетические
уравнения C.78) и C.79) отличаются от амплитудных урав-
уравнений C.72) — C.74) тем, что в них отсутствует фазовая ин-
информация о полях.
Чтобы облегчить применение упомянутых выше кинетических
уравнений, удобно нормировать переменные к стационарным
значениям, введя /V = jV/yV0, ф = ф/ср0, где индекс 0 обозначает
стационарные значения, получаемые приравниванием нулю
временных производных в уравнениях C.78) и C.79). Стацио-
Стационарные значения при отличной от нуля плотности энергии равны
Йе
Nяч • C.80)
<Po=yf4r(^-l). C.81)
В нормированных переменных уравнения C.78) и C.79) при-
примут вид _ _
гт , N-Ne iV-1 гг.
N -| ~ = гг— Мр,
' ' C.82)
Можно легко убедиться, что значения Лг = ф = 1 соответствуют
стационарным решениям, как зто требуется условиями норми-
нормировки. Приведенные выше кинетические уравнения записаны
в виде, в котором они наиболее широко используются в литера-
литературе, относящейся к анализу процессов в лазерах [15]. Эти урав-
уравнения будут взяты за основу при анализе процессов в лазере,
приведенном в гл. 4, где они обсуждаются более подробно.
4. Мазер с резонатором
Приступим теперь к изучению амплитудных уравнении
C.72) —C.74), выраженных через параметры, характерные, на-
например, для резонаторного мазера на аммиаке. В противопо-
противоположность лазеру здесь ширина молекулярной линии и ширина
полосы резонатора поменялись ролями, поскольку ширина по-
полосы резонатора превышает ширину молекулярной линии, т. е.
2/Г2 -С 1/v Это позволяет считать, что d/dt <С 1/тс, и поэтому
членом Ё в выражении C.73) можно пренебречь. Для резонанс-
резонансного случая амплитудные уравнения примут вид

116 Глава 3
Нормируя эти уравнения таким же образом, как и в предыду-
предыдущем разделе, получаем
iV~l =; = f ф,
1 ' C.83)
л 2 _ 2 —_
ф + -у- ф = -у- А'ф.
'2 '2
Здесь нормировочные константы (т. е. стационарные значения)
идентичны нормировочным величинам, соответствующим случаю
лазера с резонатором [уравнения C.80) и C.81)]. Опять полу-
получаем, что значения N = ф = 1 соответствуют стационарному ре-
решению.
Кинетические уравнения для мазера отличаются от кинетиче-
кинетических уравнений для лазера в двух отношениях. Во-первых, урав-
уравнение для плотности энергии в поле резонатора зависит теперь
уже от молекулярной постоянной времени То,, а не от времени
затухания энергии в резонаторе тс. Во-вторых, член, соответ-
соответствующий вынуждающей силе в правой части уравнения для
разности населенностей C.83), пропорционален просто ф, а не
произведению JVqi, как в лазере. Кинетические уравнения, запи-
записанные в таком виде, соответствуют принципу поля реакции,
использованному Андерсоном при рассмотрении магнитного ре-
резонансного усилителя [16]. Подобным же методом они были по-
получены Тангом [17]. Эти уравнения могут служить отправным
пунктом при рассмотрении переходных процессов в резонатор-
ном мазере на аммиаке [18].
5. Вероятность перехода
Уравнение C.75), являющееся кинетическим уравнением для
инверсной разности населенностей в единице объема лазера,
можно записать в следующем виде:
^'lZll (з.84а)
dt ' Г,
Здесь
d/V, , N^-N^WNWN C.846)
C.85)
Чтобы перейти от C.75) к C.84), достаточно применить лишь
условие сохранения числа частиц N\ ■+■ N2 = Nv. Здесь А\—
число атомов в единице объема. При выводе уравнений C.84а)
и C.846) предполагалось, что внешнее поле имеет точно резо-
резонансную частоту, т. е. со = Q. В общем случае при нерезонансных
полях величина Т2 в выражении C.85) должна заменяться на
ng((a, п), где g(co, fi) — функция формы линии.

Резонансные процессы 117
Первый член в левой части уравнения C.84а) или C.846)
несет информацию о чистых изменениях населенности уровня;
второй член отвечает за безызлучательные взаимодействия
с окружающей средой; члены, стоящие в правой части, харак-
характеризуют изменения населенности на уровне, обусловленные
взаимодействием с полем.
Вид уравнений допускает считать величину W скоростью или
вероятностью в единицу времени, с которой атом или молекула
может переходить с одного уровня на другой под действием из-
излучения. Вероятности перехода одного атома с нижнего уровня
на верхний и с верхнего на нижний оказываются одинаковыми.
Переход на верхний уровень соответствует процессу поглощения,
а переход на нижний уровень — процессу вынужденного излу-
излучения.
Кинетические уравнения C.78) и C.79) для лазера с резона-
резонатором могут быть выражены через вероятность перехода сле-
следующим образом:
N + ^~-=^-2WN, C.86а)
ф+JL = U7yv. C.866)
Здесь вероятность перехода W введена для двухуровневого
дипольного резонансного перехода. Концепция вероятности пере-
перехода в единицу времени имеет очень общий характер и будет об-
обсуждаться в гл. 5 при рассмотрении нелинейных эффектов.
§ 5. ПАРАМАГНИТНЫЙ РЕЗОНАНС
Все явления, рассмотренные в предыдущих параграфах для
электрического дипольного перехода, имеют свое отражение
с небольшими изменениями для случая магнитного диполя со
спином '/г- Не повторяя полностью всех выводов, начнем иссле-
исследование с рассмотрения стационарных характеристик поглоще-
поглощения и дисперсии для перехода со спином '/г, как это делалось
в случае электрического дипольного перехода.
Соответствующими уравнениями являются уравнения Блоха
для среды B.83) и уравнения для поля B.87), выведенные в гл. 2:
Мх + ~ = у(Ъ X ML, C.87)
My
My + -f~ = Y (B X ML, C.88)
Mz + M\Mz = У (В Х МJ, C.89)
V X (V X В) + i- ^- = jx0V X (V X M). C.90)

118 Глава 3
Здесь для простоты в уравнении для поля мы пренебрегли чле-
членом, характеризующим потери. Если в направлении z прилага-
прилагается статическое магнитное поле, а в плоскости, перпендикуляр-
перпендикулярной направлению постоянного поля, прилагается переменное
поле, то х- и «/-компоненты намагниченности будут играть такую
же роль, что и поляризация Р в случае электрического днполь-
ного перехода, а z-компонента будет соответствовать разности
наееленностей. Для поперечной плоской волны, распространяю-
распространяющейся в направлении z, решения будем искать в виде
Ма = -к Maei{a>t~kz) + компл. сопр. (а = х, у),
Мг = Ml
Уравнения C.87) и C.88) для поперечных компонент намагни-
намагниченности сводятся к
- (гсо + 4А Му + QMX = y\i0MezHx . C.92)
\ ' 2 /
Здесь учтено то, что статическая z-компонента магнитного поля
определяет угловую частоту перехода Q = yBOz. При выводе
уравнений C.91) и C.92) было использовано также соотноше-
соотношение B.86)
В = цо(Н + М). C.93)
Намагниченность удобно выражать через компоненты с круго-
круговой поляризацией в виде
+ уМ_A*-П|,)е'("'"*-*) +компл. сопр.,
где
М+ = ±(МХ + Шу),
М_ = ± (Мх - Шу).
Аналогично можно записать и Н. Комбинируя уравнения
C.91) и C.92), получаем выражение для магнитной восприимчи-
восприимчивости в случае волны с круговой поляризацией
Х+ (со) = -fi = nWoMlgL (со, Q). C.94)
Здесь gL((,),Q)—комплексная лоренцева функция, определяе-
определяемая выражением C.7). Как и в случае электрического диполь-

Резонансные процессы 119
ного перехода, восприимчивость содержит вещественную и мни-
мнимую части:
Х+Ы = х'+Ы + гх+(со). C.95)
Вещественная и мнимая части описывают соответственно дис-
дисперсионные и поглощательные свойства перехода.
Из волнового уравнения C.90) можно получить выражение,
связывающее k+ и %+(($), аналогичное выражению C.11а) для
электрического дипольного перехода:
£2+ = ^П+Х+(со)]. C.96)
В случае, когда х+^ 1> используя разложение в ряд квадрат-
квадратного корня ]/1 +х+ ^ 1 + Х+/2, имеем
2с •
Как и для электрического днпольного перехода, коэффициент
поглощения определяется выражением Г+= — 2k"+. При со ~ й
из C.94) получаем
Г+=Л5»№_^^(@)й). C.97)
Здесь gL{a, Q) — лоренцева функция формы линии, определяе-
определяемая из выражения C.14), (N2 — Ni) — разность населенностей
в единице объема (для перехода со спином '/г уровень 2 соот-
соответствует нижнему энергетическому состоянию), а чтобы исклю-
исключить Ml, использовалось выражение, аналогичное B.82). Погло-
Поглощение волны с круговой поляризацией Н+ = Нх + Шу происхо-
происходит наиболее интенсивно вблизи частоты перехода Q.
Если приведенное выше рассмотрение применить для воспри-
восприимчивости, связанной с другими компонентами поля с круговой
поляризацией х~(со) = Й-1Й-, то можно показать, что разность
(й — со), входящая в знаменатель выражения C.94), должна
быть заменена суммой (О, + со), что указывает на невозможность
резонансного взаимодействия с компонентой поля #_ при рас-
смотренных условиях распространения. Поэтому если линейно
поляризованная волна с частотой со ~ Q падает на среду, то
одна из двух поляризованных по кругу компонент, имеющих
противоположные направления вращения, будет близка к резо-
резонансу, а другая далека от резонанса, что приводит к селектив-
селективному поглощению одной из компонент с круговой поляризацией.
Приведенное выше рассмотрение стационарных свойств пере-
перехода со спином '/г дает представление о том, как методику, раз-
развитую для случая электрического дипольного перехода, можно

120 Глава 3
распространить на системы со спином '/г- Исследование явлений
насыщения и вывод кинетических уравнений могут быть про-
проведены так же, как и для случая электрического дипольного
перехода.
ЛИТЕРАТУРА
1. Hippel A., Dielectrics and Waves, MIT, Cambridge, Mass., 1954. (См. пере-
перевод: А. Хиппель, Диэлектрики и волны, ИЛ, 1966.)
2. Townes С. Н., Schawlow A. L., Microwave Spectroscopy, New York, 1955.
3. Townes С. H., The Ammonia Spectrum and Line Shapes near 1,15-cm
Wavelength, Phys. Rev., 70, 665 A946).
4. Slater J. C, Quantum Theory of Atomic Structure. New York, 1960.
5. Portis A. M., Electronic Structure of F Centers: Saturation of the Electron
Spin Resonance, Phys. Rev., 91, 1071 A953).
6. Lengyel B. A., Introduction to Laser Physics, New York, 1966.
7. Handbook of Mathematical Functions (ed. M. Abramowitz and I. Stegun),
National Bureau of Standards Applied Mathematics Series 55, 2nd Print-
Printing, November 1964.
8. Messiah A., Quantum Mechanics, vol. 1, Amsterdam. 1961.
9. Siegman A. E., Allen J. W., Pump Power Dependence of Ruby Laser Start-
Starting and Stopping Time, IEEE Journ. Quant. Elect., QE-1, 386 A965).
10. Bloembergen N., Nonlinear Optics (ed. W. A. Benjamin), New York, 1965.
(См. перевод: Н. Бломберген, Нелинейная оптика, изд-во «Мир», 1966.)
11. Nye J. F., Physical Properties of Crystals, Oxford, 1957.
12. K'ittel C, Introduction to Solid-State Physics, New York, 1966. (См. пере-
перевод: Ч. Киттель, Введение в физику твердого тела, Физматгнз, 1963.)
13. Franken P. A., Ward J. £., Optical Harmonics and Nonlinear Phenomena,
Rev. Mod. Phys., 35, 23 A963).
14. Bohm D., Quantum Theory, Englewood Cliffs, N. J., 1963. (См. перевод:
Д. Боя, Квантовая теория, изд-во «Наука», 1965.)
15. Statz П., deMars G. A., Quantum Electronics, (ed. С. Н. Townes), New
York, 1960.
16. Anderson P. W., The Reaction Field and Its Use in Some Solid-State
Amplifiers, Journ. Appl. Phys., 28, 1049 A957).
17. Tang С L., On Maser Rate Equations and Transient Oscillations, Journ.
Appl. Phys., 34, 2935 A963).
18. Jaynes E. Т., Cummings F. W., Comparison of Quantum and Semiclassical
Radiation Theories with Application to the Beam Maser, Proc. IEEE, 51,
89 A963).
Задачи
3.1. Пусть поток из R частиц через единицу площади в еди-
единицу времени падает па пластину толщиной Ах и площадью А.
а) Предполагая, что имеется Nv мишеней в единице объема,
каждая из которых обладает эффективной тормозящей пло-
площадью или эффективным сечением ос, вывести выражение для
числа частиц Л/?, поглощенных на единице площади пластины
в единицу времени.
б) Если частицами являются фотоны с энергией fico, то найти
мощность й9, поглощаемую в единице объема, выразив ее через
поперечное сечение ас и мощность /, приходящуюся на единицу
площади.

Резонансные процессы 121
в) Вывести экспоненциальный закон затухания и определить
коэффициент поглощения Г, выразив его через эффективное се-
сечение ас.
3.2. Вывести выражение C.17) для эффективного сечения рас-
рассеяния для классического гармонического осциллятора.
3.3. Вывести выражение C.20).
3.4. Получить правило сумм для электрического квадруполь-
ного оператора ху. Доказать, что
где Жо =■- {р2/2т) + Т. Из этого равенства получить правило
сумм.
3.5. Описать эксперимент для определения 7\, используя эф-
эффект насыщения. Дать соответствующие формулы для вычис-
вычисления Т\.
3.6. На основании фиг. 3.7 и уравнения C.31) построить
график %' для гауссовой линии.
3.7. Показать, что А1 = А'1 для оператора вращения.
3.8. Пьезоэлектрический тензор связывает поляризацию Ра
с тензором напряжений о$у:
"а — "ар?срг
Коэффициент GfaeY является тензором третьего ранга, у кото-
которого da$Y = daYp,. Определить соотношения между компонента-
компонентами пьезоэлектрического тензора, если среда имеет симметрию 4
относительно оси z.
3.9. Излучение падает на среду, имеющую лоренцеву линию
с частотой й и шириной 2/Г2. Для излучения, имеющего гаус-
гауссово распределение энергии с полосой A«G, определить харак-
характеристики поглощения, когда
а) Дсо0<-=^,
' 2
б) Дсос>^-.
3.10. Написать выражение для дифференциала свободной
Энергии Гельмгольца для поляризуемой среды в электромагнит-
электромагнитном поле. (Функция Гельмгольца определена в любом вводном
курсе по термодинамике.) Поскольку эта величина является

122 Глава 3
полным дифференциалом, показать, что тензор восприимчивости
симметричен.
3.11. Показать, что всегда возможно привести к диагональ-
диагональному виду вещественный симметричный тензор второго ранга.
3.12. Найти главные оси для тензора восприимчивости моно-
моноклинного кристалла, указанного в табл. 3.2.
3.13. Переписать выражение C.38) для случая, когда уровни
являются вырожденными. Если уровни вырождены, то большая
или меньшая мощность требуется для насыщения перехода?
3.14. Статическое магнитное поле величиной 3000 вб/м2 при-
приложено к парамагнитному материалу в положительном направ-
направлении оси z. Высокочастотное магнитное поле, распространяю-
распространяющееся в положительном направлении оси z, имеет частоту резо-
резонанса в системе со спином '/г- Это поле линейно поляризовано.
Значения параметров следующие:
ширина резонансной линии =\Мгц
т) = 1, Y = ~ . Т = 300°/С,
Nv = 1022 электрон/см3,
1 = длина образца =10 см.
Линейно поляризованную волну можно рассматривать как сум-
сумму двух волн, поляризованных по кругу.
а) Какое из направлений круговой поляризации погло-
поглощается?
б) Каков коэффициент поглощения Г для этой поляризации?
в) Каково отношение мощности вы-
ходящего излучения к мощности иа-
дающего излучения?
Призма г) Какую поляризацию имеет выхо-
дящее излучение?
в0/1на д) Если на дальнем конце поместить
металлическое зеркало, то каков будет
Фиг'ЗЛ8- коэффициент поглощения для отражен-
отраженной волны?
е) Если волна отражается призмой, как показано на фнг. 3.18,
то чему будет равен коэффициент поглощения для отраженной
волны?
3.15. Возрастание интенсивности / с расстоянием в лазере
бегущей волны определяется из нелинейного дифференциаль-
дифференциального уравнения C.67).

Резонансные процессы 123
а) Найти решение уравнения методом разделения перемен-
переменных и показать, что оно имеет вид
г /нас ■[ //[/-/(ооI I ./ /-/(оо)
~ I (оо) Ш L / @)/[/ @) - / (оо)] J ш \ / @) - / (оо)
Здесь /@) — интенсивность в плоскости падения и /(оо) — ее
асимптотическое значение, определяющее интенсивность на боль-
больших расстояниях.
б) Изобразить графически решение, подобно тому, как это
сделано на фиг. 3.16, определяя асимптотические значения
/(оо)//1!ас для следующих двух случаев:
Здесь \о определяется из C.68).

Глава 4 ЛАЗЕРЫ
§ 1. ВВЕДЕНИЕ
Одним из наиболее интересных и важных применений кван-
квантовой теории на практике является создание и дальнейшее
совершенствование оптического квантового генератора, или ла-
лазера. Лазеры обладают свойством давать излучение в спект-
спектральном диапазоне от далекой инфракрасной области до ультра-
ультрафиолетовой с пиковой мощностью в импульсе, достигающей
гигаватт, и непрерывной мощностью, превышающей сотни ватт.
С возникновением лазеров стало возможным получать сигналы
очень высокой спектральной чистоты, со стабильностью час-
частоты порядка 10~14.
Основным условием для работы лазера является наличие
среды с отрицательным поглощением, способной усиливать
электромагнитное излучение. Этого можно достичь, имея ди-
польиый переход, у которого населенность верхнего уровня
больше населенности нижнего уровня, т. е. выполняется так на-
называемое условие инверсии1).
Инверсия может быть получена различными методами, часть
которых рассмотрена в § 2. Минимальная величина инверсной
разности паселешюстей, при которой усиление электромагнит-
электромагнитных волн превосходит потерн в системе, определяет пороговые
требования, рассматриваемые в § 3. Выходная мощность стацио-
стационарного режима лазера и процесс установления колебаний рас-
рассматриваются в § 4 и 5. Чрезвычайно высокие пиковые мощ-
мощности импульсов могут быть получены быстрым изменением по-
потерь в резонаторе при так называемом режиме «модуляции
добротности», о чем говорится в § G.
В примерах, приведенных в § 3—6, используются характе-
характеристики рубина, так как у рубинового лазера процессы установ-
установления колебаний обладают интересными особенностями и он
может работать в режиме модулированной добротности. Для
сравнения различных типов оптических генераторов в двух по-
последующих параграфах рассматриваются характеристики не-
одимового лазера и гелий-неонового газового лазера.
') В дальнейшем отношение Nilgi будем называть населенностью состоя-
состояния i в единице объема, где .V; — истинная населенность в единице объема,
а gt — кратность вырождения состояния.

Лазеры
125
Настоящая глава, посвященная лазерам, дает лишь основ-
основные понятия о них и не претендует на исчерпывающее изложе-
изложение. Поэтому некоторые аспекты, касающиеся оптических гене-
генераторов, не будут обсуждаться, но для простоты рассмотрения
будет сделан ряд приближений. В конце главы приведен список
статей и книг, по которым можно более детально изучать ла-
лазеры.
Электрод
§ 2. ИНВЕРСИЯ НАСЕЛЕННОСТЕЙ
В предыдущей главе было отмечено, что дипольный переход
поглощает электромагнитное излучение, когда населенность
нижнего уровня превышает населенность верхнего. Такое поло-
положение существует при тепловом равновесии, Если населенность
верхнего уровня превышает населенность нижнего, то коэффи-
коэффициент поглощения Г становится отрица-
отрицательным и возникает усиление электро-
электромагнитной волны. Говорят, что переход,
в котором населенность верхнего энер-
энергетического уровня больше, чем нижне-
нижнего, имеет инверсию паселенностей. В ла-
лазере, пли оптическом мазере, инверсия
иаселенностен существует между двумя
уровнями с резонансной частотой пере-
перехода в инфракрасной или видимой части
спектра, в то время как в мазере часто-
частота перехода соответствует СВЧ диа-
диапазону.
Для получения инверсии населенно-
стей используется много различных ме-
методов. В 1954 г. был создан первый ма-
мазер [6], в котором инверсия населенно-
стей достигалась путем пространствен-
пространственного разделения энергетических состояний молекул аммиака
На фиг. 4.1 представлено схематическое изображение четы-
рехэлсктродного устройства — квадруполыюго конденсатора,
используемого для сортировки молекул, при которой молекулы,
находящиеся в верхнем состоянии, группируются вдоль оси, а
молекулы, находящиеся в шикнем состоянии, отталкиваются от
оси. Электрическое поле Е вдоль оси равно нулю и возрастает
с увеличением расстояния от оси. Статическое электрическое
ноле, приложенное к индуцированному днпольному переходу,
изменяет энергию состояний молекул таким образом, что в об-
области сильного поля энергия верхнего состояния увеличивается,
а энергия нижнего — уменьшается. Силы, действующие на мо-
молекулу, стремятся уменьшить ее энергию так, что молекулы,
Фиг. 4.1. Квадруполь-
ный конденсатор, исполь-
используемый для разделения
молекул аммигжа, нахо-
находящихся п верхнем и
нижнем энергетических
состояниях.

126
Глава 4
находящиеся в нижнем энергетическом состоянии, устремляются
в область сильных полей, а молекулы, находящиеся в верхнем
состоянии, стремятся в область слабых полей. В результате
молекулы, находящиеся в верхнем состоянии, фокусируются
вдоль оси, где поле равно нулю, а молекулы, находящиеся
в нижнем состоянии, рассеиваются от оси системы.
На фиг. 4.2 показано, как осуществляется пространственное
разделение состояний в конструкции генератора, работающего
па основе использования инверсии населенности. Газообразный
аммиак выпускается через отверстие, и пучок молекул аммиака
Фокусирующее
устройство
Газообраз*
H6IU
Молекуляр-
Молекулярный пучок
У////////'/'//////
■
Резонатор
Коллектор
Ф и г. 4.2. Схематическая диаграмма мазера на аммиаке.
Резонатор настроен на частоту перехода ~23,8 Ггц.
направляется вдоль оси квадруполыюго конденсатора. Под дей-
действием упомянутых выше сил все молекулы, находящиеся в не-
непосредственной близости от оси, покидают квадрупольный кон-
конденсатор, оставаясь в верхнем энергетическом состоянии. Время
пребывания молекул в возбужденном состоянии значительно
больше времени пролета их от квадрупольного конденсатора до
резонатора. В результате почти каждая молекула, попадающая
в резонатор, находится в верхнем энергетическом состоянии.
Если резонатор настроен на частоту дипольного перехода, рав-
равную примерно 23,8 Ггц, электромагнитное излучение в резона-
резонаторе будет усиливаться благодаря инверсии населенностей мо-
молекулярного пучка. Когда усиление становится равным вели-
величине потерь в полости резонатора или превышает ее, возникают
незатухающие колебания. Следовательно, имеются пороговые
условия для существования колебаний, а именно необходимо,
чтобы усиление колебаний, осуществляемое молекулярной си-
системой, компенсировало потери в резонаторе. Более детальное
рассмотрение пороговых требований для существования коле-
колебаний будет проведено в § 3.
Метод пространственного разделения энергетических со-
состояний, используемый в газовом мазере на молекулах аммиа-
аммиака, неприменим к жидкостям или твердым телам. Однако ха-
характерные особенности мазеров на молекулах аммиака яв-

Лазеры
127
ляются общими для всех мазеров и лазеров. К этим особен-
особенностям относятся:
1) Механизм возбуждения. Он осуществляет инверсию на-
населенностей. В мазере на молекулах аммиака эту роль выпол-
выполняет квадрупольный конденсатор.
2) Активная среда. Это газ, жидкость или твердое тело,
способные поддерживать инверсию населенностей. В мазере на
молекулах аммиака — это пу-
пучок молекул аммиака.
3) Цепь вывода энергии.
Электромагнитное излучение
от активной среды выводится
наружу с помощью этой цепи.
В инфракрасном и оптиче-
оптическом диапазонах обычно в ка-
качестве такой цепи применяется
резонатор-интерферометр, а в
мазере на аммиаке исполь-
используется объемный резонатор. ^ lit\_ красная
полоса
28 г
26
22
,/в
= /б
Фиг, 4.3. Энергетические уровни Сг3 +
в окиси алюминия (А12О3).
Обычно лазер работает на длине волны
6943А, которая известна как Я,-переход.
Существует также переход R2 с несколько
большей энергией и длиной волны 693оА.
Справа на энергетической диаграмме по-
показаны цвета, соответствующие различным
энергиям. Релаксация от зеленой и синен
полос к уровням R происходит за счет воз-
возбуждения колебаний решетки, а не за счет
излучения фотонов.
& Ш
4
2
О
6943А-переход R,
Основное
1 состояние
В 1958 г. была предложена конструкция оптического мазе-
мазера [7], а в 1960 г. был создан первый лазер [8]. Это был им-
импульсный рубиновый лазер, в котором активными ионами яв-
являлись ионы хрома в кристаллической решетке окиси алюми-
алюминия. Инверсия населенностей ионов хрома Сг3+ достигалась
с помощью оптической накачки. В рубине происходит погло-
поглощение зеленого и голубого света в довольно широкой полосе
частот и последующий переход возбужденных ионов в более
низкое энергетическое состояние. Это более низкое энергетиче-
энергетическое состояние, соответствующее красноволновому переходу
в основное состояние, имеет большое время релаксации (мета-
стабилыюе состояние), и возможно получить инверсию насе-
населенностей между этим возбужденным уровнем и основным со-
состоянием. На фиг. 4.3 приведена энергетическая диаграмма для
рубина. На диаграмме энергия обозначена в волновых числах

128 Глава 4
(см'1). Волновое число—■ это величина, обратная длине волны
перехода, выраженной в сантиметрах. Так как энергия равна
hv = hex (волновое число), то энергия, соответствующая еди-
единице волнового числа, составляет примерно 2-10~16 эрг,
2-Ю-23 дж, или 1,2-10 эв.
В типовых конструкциях лазеров ксеноновая лампа накачки
поджигается вблизи цилиндрического рубинового стержня. Энер-
Энергия зеленой и голубой областей излучения лампы накачки
(отмеченных на фиг. 4.3) поглощается, вызывая возбуждение
ионов Сг3+ на соответствующие энергетические уровни. Время
релаксации с верхних энергетических уровней на два уровня,
iicei-юновая
6943 Д
М,
О i Q
Ml Рубиновый стержень
Ф и г. 4.4. Схема рубинового лазера.
Оптическая накачка осуществляется с помощью ксенонопой лампы-вспышки; резонатор*
интерферометр образован зеркалами Л1| и ЛЬ-
расположенные выше основного примерно на 15- 103 слг\ на-
намного меньше времени релаксации с этих двух уровней в ос-
основное состояние. В результате этого на уровнях 15-Ю3 см~л
происходит аккумуляция возбужденных ионоь и создается ин-
инверсия населеппостей между этими уровнями и основным со-
состоянием. Излучение лазера с длиной волны около 6943 А про-
происходит обычно при /?1-переходе в основное состояние.
На фиг. 4.4 показано устройство для получения инверсии
населенностей в рубиновом стержне. В первой модели лазера
резонатор образовывался между оптически плоскими и парал-
параллельными концами рубинового стержня, а в устройстве, показан-
показанном на фиг. 4.4, резонатор образуется между внешними зеркала-
зеркалами Mi и М%. При этом по крайней мере одно из зеркал должно
быть частично прозрачным для выхода лазерного излучения.
Как и в мазере па молекулах аммиака, колебания сущест-
существуют, когда усиление за счет инверсии гаселеппостей больше,
чем затухание, обусловленное потерями в резонаторе. Меха-
Механизм возбуждения состоит в оптической накачке от ксеноновой
лампы; рубин — активная среда, а цепью вывода энергии яв-
является резонатор-интерферометр.
Первые лазеры непрерывного действия были получены
в 1961 г. [9] на смеси двух газов — гелия и неона, в которой
поддерживался газовый разряд, вызывающий появление свобод-
свободных электронов и ионов. Соударения между электронами и ато-
атомами гелия приводят к возбуждению части атомов гелия и

Лазеры
129
переходу их в метастабильное энергетическое состояние, рас-
расположенное на 165• 103 см'1 выше основного. Атомы неона
имеют возбужденное состояние, лежащее чуть меньше, чем
на 165- 103 см'1 выше основного состояния. Поэтому при соуда-
соударениях возбужденные атомы гелия передают свою энергию
атомам неона, а небольшая разница в энергии между уровнями
180 г
170 -
Э 160
2 150
g i40
*
I 120
S 120
^ 20
10
О
Гелий
Неон
РёзонанснЬе
столкновение
3,391мкм
Зр
Электронное
возбуждение
атома
s
/152 мк*К2
Is
Релаксация
за счет столкновении
с электронами ч
стенками трубки
. Основное
состояние
Фиг. 4.5. Энергетическая диаграмма для процессов резонансного столкно-
столкновения в смеси гелий — неон.
Хотя возбужденные уровни неона показаны как единичные состояния, в действительно-
действительности каждое состояние представляет собой набор близко расположенных энергетических
уровней [4], Для обозначения состояний неона используются обозначения Пашен а. На
диаграмме иллюстрируется действие трех наиболее известных лазеров с длиной волны
излучения 0,6328, 1,152 и 3,391 мкм.
атомов гелия и неона переходит в кинетическую энергию ато-
атомов. Этот процесс известен как процесс резонансного соударе-
соударения. Между возбужденными уровнями атомов пеона и уровня-
уровнями, соответствующими более низким энергетическим состоя-
состояниям, возникает инверсия населенностей, и в связи с этим
излучение лазера может возникать как в инфракрасной, так и
в красной областях спектра.
На фиг. 4.5 приведена энергетическая диаграмма, иллюст-
иллюстрирующая процесс резонансного соударения в смеси газов пео-
пеона и гелня. Уровни атомов неона, обозначенные 3s и 2s на
фиг. 4.5, населены благодаря процессу резонансного соударе-
соударения, а уровни 2р и Зр при комнатной температуре почти не
населены. Поэтому может возникнуть инверсия населенностей
между состояниями 2s и 2р, 3s и 2р и 3s н Зр. Обычно на этих

130 Глава 4
переходах получают излучение с длинамл волн соответственно
3,391, 1,152 и 0,6328 мкм. Релаксация из ls-состояния в основ-
основное определяется главным образом соударениями возбужден-
возбужденных атомов с электронами и со стенками трубки, в которой
осуществляется разряд. Излучения на длинах волн 3,391 и
0,6328 мкм конкурируют друг с другом, поскольку в процессе
излучения воли той и другой длины истощается населенность
одного и того же уровня 3s.
Характерными особенностями гелий-пгоновых лазеров яв-
являются механизм возбуждения, состоящий в процессе резонанс-
резонансного соударения; наличие активной среды, роль которой играет
газ неон; наличие цепи вывода энергии, роль которой играет
резонатор-интерферометр.
Выше были рассмотрены три метода получения инверсии
населенностей. Однако существуют и другие, которые исполь-
используются в некоторых типах лазеров. Оптические колебания
в инертных газах, таких, как аргон, возникают в разряде в ре-
результате переходов ионов аргона на метастабильный уровень
при соударении со свободными электронами. Лазерное излуче-
излучение на полупроводниках, таких, как арсечид галия, может быть
получено путем инжекции электронов в зону проводимости. Это
создает инверсию населенностей между нижним краем зоны
проводимости и верхним краем валентной зоны или между
зоной проводимости и уровнями примесей, находящимися в не-
непосредственной близости к верхнему краю валентной зоны. На
основе процесса резонансного соударения можно создать ин-
инверсию населенностей между колебательными и вращательными
уровнями молекул и получать излучение в инфракрасной об-
области спектра. На этом принципе основана работа лазера на
углекислом газе (СО2). Такие лазеры наиболее эффективны и
обладают высокой средней мощностью излучения. Более де-
детальное рассмотрение механизмов возбуждения и дополнитель-
дополнительных путей получения инверсии населенностей дано в гл. 10
книги Бирибаума [1].
Условия, обеспечивающие инверсную населенность, еще не-
недостаточны для возникновения оптических колебаний в резона-
резонаторе. Инверсия населенностей должна быть достаточно боль-
большой, чтобы перекрывать потери в резонаторе. Это приводит
к пороговым условиям для значений минимальной населенности
и мощности накачки для возникновения колебаний, которые
будут рассмотрены в следующем параграфе.
§ 3. ПОРОГ ГЕНЕРАЦИИ
Чтобы количественно изучить пороговые условия, рассмот-
рассмотрим дипольный переход, подвергающийся воздействию возбу-
возбуждения, так что населенность верхнего состояния превышает

Лазеры 131
населенность нижнего в отсутствие излучения на частоте пере-
перехода. Для анализа воспользуемся нормированными кинетиче-
кинетическими уравнениями в том виде, в каком они были приведены
в предыдущей главе, с условием, что нормированная разность
равновесных населенностей в единице объема Ne берется поло-
положительной. Положительное значение N" может быть связано
с одним из методов получения инверсии населенностей, опи-
описанных в § 2. Нормированные кинетические уравнения для
случая 2/Г2 >> 1/Тс, согласно C.82), запишутся в виде
N- y— = —^—^Ф> D-1)
ф + ^=±Щ. D.2)
Здесь N—'Нормированная разность населенностей в единице
объема, Шф—'Нормированная плотность энергии и тс—■ время
релаксации электромагнитной энергии. Величина 7"i—■ время
жизни возбужденных состояний при наличии источника возбуж-
возбуждения, и нет необходимости считать это время равным времени
жизни в отсутствие источника возбуждения. Зависимость Г4 от
энергий накачки рассматривается в задаче 4.3, приведенной
в конце этой главы.
Уравнения D.1) и D.2) являются кинетическими уравне-
уравнениями, соответствующими случаю, когда ширина линии моле-
молекулярного резонанса намного больше ширины полосы резона-
резонатора, а это является хорошим приближением почти для всех
лазерных конструкций. Ширина полосы интерферометров,
обычно используемых в качестве резонаторов, по крайней мере
па 1—2 порядка меньше ширины линии молекулярного резо-
резонанса. Например, ширина линии рубина при комнатной темпе-
температуре равна примерно 3,3- Ю11 гц. Ширина полосы интерферо-
интерферометра определяется относительной долей потерь мощности за
каждое прохождение света в интерферометре. Если PJP — от-
относительная величина потерь за одно прохождение, то
_ 2 Pi
шс ~ Тг р .
Здесь Асос — ширина полосы резонатора, Т~ — время одного
прохождения света в резонаторе. Для Pi/P = 0,25 и Тг =
= 10~9 сек (что соответствует интерферометру длиной 30 см)
получаем ширину полосы 8-107 гц. Из этого примера видно,
что ширина линии молекулярного резонанса более чем на 3 по-
порядка превышает ширину полосы резонатора.
Приведенные выше уравнения применимы к однородно уши-
уширенным линиям, что имеет место в рубиновых лазерах,

132 Глава 4
работающих при комнатной температуре. В качестве примера
неоднородного уширения спектральных линий в § 8 будет рас-
рассмотрен спектр гелий-неонового лазера.
В этих уравнениях отсутствуют члены, характеризующие
спонтанное излучение, т. е. не учитывается случай, когда в от-
отсутствие внешнего поля молекула переходит из возбужденного
состояния в низшее состояние, излучая фотон. В гл. 6, где
рассматривается квантованное поле, члены, характеризующие
спонтанное излучение, будут учтены в кинетических уравне-
уравнениях. Плотность энергии спонтанного излучения может быть
сравнима с плотностью энергии вынужденного излучения толь-
только в начальной стадии процесса установления колебаний в ла-
лазере. В стационарном состоянии плотность энергии лазерного
излучения на много порядков превышает плотность энергии
спонтанного излучения.
При дальнейшем анализе будем предполагать, что колеба-
колебания возбуждаются на одной моде резонатора-интерферометра,
а пространственными изменениями разности населенностей и
плотности энергии будем пренебрегать. Между зеркалами ин-
интерферометра могут существовать как моды с различной кон-
конфигурацией в плоскости, перпендикулярной оси резонатора, так
и моды с большими или меньшими фазовыми изменениями
вдоль оси резонатора. Помещая между зеркалами интерферо-
интерферометра добавочные поверхности, можно получить одиомодовый
режим, и в дальнейшем мы будем предполагать, что эти по-
поверхности присутствуют. Разность населенностей и плотность
энергии являются функциями координат вследствие простран-
пространственной зависимости поля в резонаторе. Однако при решении
кинетических уравнений будем пользоваться только простран-
пространственными средними значениями этих переменных. Сделанные
предположения упрощают анализ. Более детальное рассмотре-
рассмотрение с учетом пространственных изменений приводит к незначи-
незначительным отличиям в результатах от полученных па основании
пространственного усреднения [11].
Пороговые условия можно получить, пользуясь уравнением
D,2). Член ф/тс характеризует скорость потерь энергии в ре-
резонаторе, а для существования колебаний необходимо, чтобы
скорость генерации энергии за счет вынужденного излучения
превышала потери. Следовательно, правая часть уравнения
D,2) должна быть больше, чем ф/тс, чтобы величина ф возра-
возрастала. Для этого требуется выполнение условия .V > 1. При по-
пороговых условиях для генерации плотность электромагнитной
энергии исчезающе мала, а стационарным значением величины
„V [согласно уравнению D.1)] будет Ne. Поэтому условием воз-
возникновения колебаний является Ne > 1. Этот метод получения
порогового условия отражает ют факт, что скорость генерации

Лазеры 133
энергии должна превышать потери. Однако необходимо быть
уверенным, что имеется устойчивое стационарное решение.
Пороговые условия можно получить другим путем, рассмат-
рассматривая устойчивость стационарных решений кинетических уравне-
уравнений. Если временные производные в уравнениях D.1) и D.2)
положить равными нулю, то получим два независимых ре-
решения:
#"=ф=1, D.3а)
или
N = Ne, cp = O. D.36)
Первое уравнение соответствует стационарному состоянию
с ненулевой плотностью энергии, второе — состоянию с нуле-
нулевой плотностью. Любой переходный процесс приводит к одному
из этих стационарных решений в зависимости от того, какое
из них является устойчивым в данном случае. Устойчивость
стационарных решений можно проверить, задавая малые откло-
отклонения переменных от стационарных значений и определяя за-
затем, будет ли система возвращаться к исходному стационарно-
стационарному состоянию. Рассматривая сначала уравнения D.3а), по-
положим
где 6 <С 1. Ограничиваясь членами первого порядка по б, из
уравнений D.1) и D.2) получаем
Ne \-K'n
~Y- v = —f— р,
1' i
D.4)
Если предположить для р и v экспоненциальную зависи-
зависимость ог времени вида еа(, то можно получить для а алгебраи-
алгебраическое уравнение. Если все корни этого уравнения имеют от-
отрицательные вещественные части, то возмущение от стационар-
стационарного состояния затухнет до нуля и решение будет устойчивым.
С другой стороны, наличие положительных вещественных ча-
частей в решении уравнения для а указывает на неустойчивость.
Подстановка экспоненциальной временной зависимости для v
и р в уравнение D.4) приводит к следующему выражению
для а:

134 Глава 4
Параметр а имеет только отрицательные вещественные части
в решениях, когда
We>\. D.5)
Поэтому D.3а) будет устойчивым решением только при вы-
выполнении условия D.5).
Аналогичным образом можно показать, что при № < 1 ре-
решение D.36) будет устойчивым. Чтобы получить стационарный
режим работы лазера, необходимо, чтобы удовлетворялось ус-
условие D.5), поскольку это приводит к устойчивому решению
с ненулевым значением плотности энергии. Выражение Ne = 1
является пороговым условием, так как при большем значении
имеет место нарастание колебаний, а при меньшем колебания
существовать не могут.
Ненормированное значение для равновесной разности насе-
ленностей в единице объема N" определяется выражением
Ne — N0Ne, где No — нормировочный коэффициент. Из уравнения
C.80) предыдущей главы имеем
ЗЙе
- N* = L\iiu\*QTeTtF- D'6)
Здесь F — коэффициент заполнения, характеризующий случай,
когда активная среда не целиком заполняет резонатор [см. вы-
выражение B.55), а также задачу 4.12]. Поскольку Ne — 1 —поро-
—пороговое условие, то для существования колебаний ненормирован-
ненормированная величина равновесной разности населенностей в единице
объема подчиняется условию Ne > No. Для случая вырождения
следует заменить равновесные населенности уровней в единице
объема N° и N° на NeJg{ и NeJg2.
Тогда
Условие существования колебаний запишется в виде
Ne2 Ne ЗПе
~g7~~gT> L\lil!\'QrcT2F ' DJ)
Здесь g] и £г — кратности вырождения, a F—коэффициент за-
заполнения. Если уровни имеют одинаковую кратность вырожде-
вырождения, т. е. g2 = g\, то для возникновения колебаний N° должно
превышать N°. Когда кратность вырождения нижнего состояния
больше кратности вырождения верхнего состояния, неравенство
D.7) может иметь место и в случае, если условие Ne>N^ не
выполняется. Заметим, что при уменьшении потерь в резонаторе,

Лазеры 135
чему соответствует увеличение тс, для достижения порога воз-
возбуждения требуется меньшая величина разности населенностей
в единице объема \Ne2lg^) ~ \^V§i)' этого следовало ожидать,
поскольку в резонаторе с меньшими потерями требуется мень-
меньшее усиление в активной среде.
Можно рассчитать мощность, которую должен иметь источник
возбуждения для поддержания необходимой разности насе-
населенностей. В отсутствие накачки разность населенностей в еди-
единице объема релаксирует к тепловому равновесному распреде-
распределению Nt с постоянной времени Т\. Роль источника возбужде-
возбуждения сводится к поддержанию стационарного значения разности
населенностей в единице объема №, причем Ne Ф NeT. В актив-
активной среде существуют постоянные потери энергии за счет Тг
релаксации. Эти потери компенсируются энергией накачки. По-
Поскольку Л;—разность населенностей в единице объема, измене-
изменение /V на две единицы соответствует изменению энергии на fifi
в единице объема, и, таким образом,
№ Ne-NeT
~2 7\
есть мощность в единице объема, требуемая от накачки. Следо-
Следовательно,
I Ne - N \
Ь D-8)
где ^р — мощность накачки на единицу объема, требуемая для
поддержания равновесной разности населенностей в единице
объема Ne. На основании выражения D7) получаем пороговое
значение мощности накачки на единицу объема:
Если нижнее энергетическое состояние является основным для
ионов, как в случае рубинового лазера, то vVf~ — Nv, где Nv —
число активных ионов в единице объема. Иными словами, при
тепловом равновесии почти все ионы находятся в нижнем энер-
энергетическом состоянии.
Выражение D.8) определяет минимальную требуемую мощ-
мощность накачки. Часть мощности теряется в переходах из полос
поглощения, которые населяются источником возбуждения, на
верхний лазерный уровень. Мощность, связанная с этими пере-
переходами, идет на нагрев активной среды.

136 Глава 4
Рубиновый лазер имеет следующие типичные характеристики:
Л' ЗЙе
Лп =
°~ L|M,2|2^,7'2f ~
Nv~2- Ю19 слг3,
Г, ~ 4- \0~3 сек,
hQ ~ 2,7 ■ 10~19 дж.
Здесь Тс — постоянная затухания резонатора—■ выбрана равной
2-Ю""9 сек. Величина плотности пороговой мощности накачки
на основании этих характеристик получается равной примерно
600 вт/см3. Мощность, необходимая для компенсации потерь
в резонаторе, составляет 5% от полной подводимой мощности.
Остальные 95% мощности расходуются на преодоление тепло-
теплового равновесия. Если бы нижний уровень располагался над
основным на расстоянии, равном нескольким kT, то мы получили
бы Л/г ~ 0, мощность накачки расходовалась бы только на
преодоление потерь в резонаторе и могла бы быть значительно
снижена. На этом основана работа четырехуровневого лазера,
описанного в § 7.
§ 4. ВЫХОДНАЯ МОЩНОСТЬ В СТАЦИОНАРНОМ РЕЖИМЕ
Мощность излучения лазера определяется скоростью потерь
запасенной энергии, обусловленных прохождением излучения
через зеркала резонатора. Рассматривая только потери, свя-
связанные с зеркалами, имеем
U = Uue~tlxm. D.10)
Здесь Хщ — время релаксации электромагнитной энергии в ре-
результате прохождения через зеркала; U—■ энергия, запасенная
в единице объема; UQ — энергия в момент времени / = 0. Можно
вычислить постоянную времени тт, полагая, что за интервал
времени, в течение которого электромагнитная волна проходит
расстояние, равное удвоенной длине резонатора, запасенная
энергия уменьшается в pip2 раз, где pj и р2—'Коэффициенты
отражения зеркал. Поэтому из D.10) имеем
Здесь с/т] — скорость света в среде, т] — показатель преломления,
/ — расстояние между зеркалами резонатора. Тогда для т,„
найдем
& DЛ1)

Лазеры 137
Выходная мощность, отнесенная к единичному объему активной
среды &>0, равна —U, и, согласно D.10), запишем
&, = — ■ D.12)
~т
Здесь
U =
Было показано, что при превышении пороговых значений ф = 1,
и поэтому плотность электромагнитной энергии в стационарном
режиме равна qpofiQ. Используя C.81), получаем
где М) определяется из D.6). На основании выражений D.12) и
D.13) для выходной мощности, отнесенной к единице объема,
находим
^ ^^(Ne-\); D.14)
lm
здесь хт определяется из D.11).
В качестве примера рассмотрим рубиновый лазер, объем ак-
активной среды которого равен_1 си3, а мощность накачки дости-
достигает такой величины, что № = 1,2. Если предположить, что
дифракционные потери н потери на рассеяние в резонаторе рав-
равны потерям, обусловленным прохождением через зеркала, то
хс/тт — '/г- Используя характеристики для рубинового лазера,
приведенные в § 3, получаем, что выходная мощность состав-
составляет приблизительно 3 вт.
§ 5. НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ПРОЦЕССЫ
Переходный процесс играет важную роль, когда лазер рабо-
работает в импульсном режиме, так как длительность генерируемых
импульсов может быть сравнима с временными константами ге-
генератора. Для большинства импульсных рубиновых лазеров ста-
стационарный режим никогда не достигается за время импульса.
Мы ограничимся анализом одномодового режима, при кото-
котором существуют регулярные осцилляции. Многомодовый режим
имеет довольно сложный переходный процесс, как это пока-
показано в [12].
Из кинетических уравнений D.1) и D.2) можно видеть, что
переходный процесс может быть разделен во времени на четыре
этапа. Граничные условия при / = 0 будут иметь вид ф<1 и
JV=1, а превышение над пороговым значением определяется
условием Ne>\. Переходный процесс можно представить сле-
следующим образом.

138
Глава 4
1) Из уравнения D.1), пренебрегая членом в правой части
(поскольку ф<С1), видим, что N — величина положительная,
а N экспоненциально возрастает со временем. Из уравнения
D.2) видно, что ф_увеличивается, так как JV> 1, ф > 0.
2) Поскольку N приблизительно равно единице, то, когда ф
становится больше единицы, N становится меньше нуля [из
D.1)], и /V начинает уменьшаться.
Время
Фиг. 4.6. Нормированная разность населенностей на единицу объема и
плотность энергии как функции времени для четырех этапов цикла гене-
генерации светового импульса.
3) Когда .V становится меньше единицы, из уравнения D.2)
видим, что ф отрицательно и ф уменьшается.
4) Когда ф становится меньше единицы, из уравнения D.1)
видим, что N положительно и N увеличивается. Когда N стано-
становится больше единицы, имеют место условия, указанные в п. 1,
и цикл повторяется.
На фиг. 4.6 показаны временные зависимости N и ф в соот-
соответствии с рассмотренными четырьмя этапами.
На фиг. 4.7 изображена осциллограмма светового импульса
рубинового лазера. Цена деления равна 1 мксек. Импульсам
на осциллограмме соответствует переходный процесс, описанный
выше (п. 1—4).

Лазеры
139
Можно провести количественный анализ переходного про-
процесса, пользуясь приближением, что во время цикла величина N
близка к единице.
Ф и г. 4.7. Осциллограмма пич-
ков рубинового лазера с ценой
деления временной шкалы
1 мксек.
Время
Справедливость этого приближения может быть оценена на
основании полученного решения. Деля D.2) на D.1) и сохра-
сохраняя только члены первого порядка
относительно разности между N и
единицей, получаем
rf<p г, (Л/— 1) ф
dN ~~ ic(\-Ne) (ф-1) '
Разделяя переменные и интегрируя,
получаем
2тс(Л"-1)
D.16)
Нормированная разность
населенностей на единицу
объема Ы
плот-
Здесь фг—нормированная
пость энергии при N = 1.
Плоскость ф/V можно разделить
Фиг. 4.8. Прямые линии опре-
определяют наклон кривой ф — iV
в различных сегментах пло-
На Четыре Области, В КаЖДОЙ ИЗ КО- Стрелки пЦТы11~направление
ТОрЫХ йф/йЛ' будет ЦМеТЬ ОПреДе- возрастания времени.
ленный знак.
Это представлено на фиг. 4.8, где наклон прямых указывает
на положительный знак производной в областях / и 3 и отрица-
отрицательный— в областях 2 и 4. Стрелки на прямых показывают на-
направление возрастания времени согласно кинетическим уравне-
уравнениям. На границах между областями производные равны или
нулю или бесконечности. Области плоскости фЖ имеют нуме-
нумерацию от / до 4 в соответствии с временными интервалами, от-
отмеченными на фиг. 4.6.
Стационарный режим определяется точкой ф = ]у=1. На
начальном этапе формирования лазерного пичка ф » 0 и N ~ 1,
и чтобы достичь стационарного состояния, как видно из фиг. 4.8,
необходимо совершить обход против часовой стрелки вокруг
точки <р = N = 1 по скручивающейся спирали. Стационарного

140
Глава 4
26 г- П
состояния нельзя достичь без изменения знака производной, оста-
оставаясь в области / плоскости ф/V. Поэтому скручпвающаяся спи-
спираль должна пересекать все четыре области. Следовательно, ин-
интенсивность излучаемого света как функция времени будет
превосходить стационарную величину в пичках уменьшающейся
высоты при приближении к стационарному состоянию.
На фиг. 4.9 представлена кривая в плоскости фТУ для рубино-
рубинового лазера, построенная на основании характеристик, приве-
приведенных в § 3, причем_]Уе =
Тмакс = 2. Эта величина 'Ne со-
соответствует 10% инверсии
населенностей, т. е. Ne/Nv —
= 0,1 где Ny — число ак-
активных атомов в единице
объема (при рассмотрении
стационарного режима в
§ 4 мы брали N° = 1,2, а
для импульсного режима
примем N° = 2; это связано
с тем, что экспериментально
легче получить большую ин-
инверсную населенность для
импульсного, а не для не-
0,993 юоо 1007 прерывного режима). За на-
нормированнаа разность населенно- чальное значение нормиро-
сгпей на единиц)/ оббема
Фиг. 4.9. График зависимости ф от N
для значений параметров
ванной плотности энергии
фа принимается плотность
энергии спонтанного излу-
излучения при одномодовом ре-
режиме, а именно ф,- ~ 10~10.
Форма кривой на фиг. 4.9
практически не зависит от
величины фг; изменение фг
в 105 раз изменяет пиковую плотность энергии только вдвое.
Более глубокое рассмотрение спонтанного излучения будет
приведено в гл. 6.
Максимальное значение плотности фотонов ф„ак0 имеем при
N = 1. Заметим, что фмако „^ Фь согласно D.16), получим
= 2-10"
фмакс
При фг = Ю"ш это дает фманс = 26, откуда следует, что пиковая
мощность лазерного импульса в 26 раз превышает ее значение
при стационарном режиме. Для рубинового лазера па основании
характеристик § 3 при № = 2, тс/тт = lj2 и объеме активной ере-

Лазеры 141
ды 3 см3, пользуясь формулой D.14), получаем величину пико-
пиковой мощности, примерно равную 1,3 кет. _
Максимальное и минимальное значения для N определим из
D.16), подставляя ф = 1 и используя условие ф, <С 1;
N+ = I ±
Здесь Лг+ и N- — максимальное неминимальное значения N.
При указанных характеристиках N+ = 1 ± 6,6 • 10~3. Разность
паселенностеп изменяется меньше чем на 1% от стационарного
значения. Это подтверждает справедливость начальных пред-
предположений о том, что N ~ 1 за время длительности лазерного
импульса.
Если решить кинетические уравнения, определяя временную
зависимость N и ф, то получим кривые такой же формы, как
на фиг. 4.6. Длительность импульса — порядка 1 мксек, т. е. на-
намного меньше времени релаксации возбужденных ионов Т\, и,
следовательно, почти все изменение энергии в активной среде
за время длительности импульса попадает в резонатор. Таким
образом, на основании фиг. 4.9 можно вычислить энергию W,
излученную во внешнюю цепь:
W = Щ- (N+ - N-) NQV дж. D.17)
Здесь V — объем активной среды. Для рубинового лазера
(N+ — N-) = 13,2- 10~3, поэтому энергия излучения в импульсе,
полученная с объема V = 3 см3, будет
V -2,7- 1СГ3 дж.
При этом мы предполагаем, что одна половина энергии расхо-
расходуется на потери в резонаторе, а другая вдет на излучение.
При N ~ 1 траектория ф как функция N представляет собой
замкнутую кривую (фиг. 4.9). Это значит, что плотность энергии
к концу каждого импульса спадает до уровня шумов и после-
последующий импульс не коррелирован по времени с предыдущим.
Это положение иллюстрируется изображением осциллограмм,
приведенным на фиг. 4.7. Однако точное решение кинетических
уравнений показывает, что ф не спадает до ф,- к концу_каждого
импульса, а превышает величину ф;. На плоскости фЖ в этом
случае траектория будет иметь вид незамкнутого контура,
а скорее спирали, скручивающейся к точке ф = Лт = 1, и плот-
плотность энергии будет представляться во времени последователь-
последовательностью импульсов с уменьшающейся амплитудой. Фиг. 4.10 ил-
иллюстрирует зависимость мощности от времени в рубиновом ла-
лазере.

142 Глава 4
Изменение мощности во времени, показанное на фиг. 4.10,
имеет место тогда, когда ф в конечной стадии лазерного импуль-
импульса значительно превышает уровень шума, а, следовательно, каж-
каждый последующий импульс коррелирован с предыдущим. Из
Фиг. 4.10. Временная зависимость мощности, излучаемой рубиновым лазе-
лазером, по данным Роесса [13].
кинетических уравнений можно определить, что импульсы
с уменьшающейся амплитудой (фиг. 4.10) генерируются тогда,
когда постоянная затухания резонатора велика, а мощность на-
накачки существенно превышает пороговое значение.
§ 6. МОДУЛЯЦИЯ ДОБРОТНОСТИ
Величина пиковой мощности может быть увеличена на не-
несколько порядков по сравнению с величиной мощности в ста-
стационарном режиме при длительностях генерируемых импульсов
от 10 до 100 нсек [14, 15]. В рубиновых лазерах, например, мож-
можно достигать гига ваттных значений пиковой мощности. Метод
генерации таких высокоинтенсивных импульсов, известный как
метод модуляции добротности, состоит в том, что добротность
резонатора изменяется за время, значительно меньшее, чем время
релаксации возбужденных состояний. Метод модуляции доброт-
добротности используется в таких активных средах, как рубин, неодим
и углекислый газ.
В § 5 было отмечено, что максимальная разность населенно-
стей получается в том случае, когда лазерный пик едва превы-
превышает пороговое значение. Причина заключается в том, что коле-
колебания возникают чуть позже достижения порога, а истощение
возбужденных состояний происходит быстрее, чем восстановле-
восстановление их от источника возбуждения. Равновесная разность насе-
ленностей в единице объема №, которая имелась бы в отсут-
отсутствие колебаний, может, однако, быть значительно больше, чем
максимальная разность населенностей, обычно существующая
перед возникновением колебаний. Если бы колебания не могли

Лапсры 143
возникать, пока не достигнуто значение №, то в активной среде
запасалось бы больше энергии и могло бы быть достигнуто зна-
значительное увеличение мощности излучения. Если потери в си-
системе настолько велики, что невозможно достичь пороговых
значений, то колебания не возникают. Мгновенное уменьшение
потерь влечет за собой возникновение колебаний со значительно
большей энергией, запасенной вначале в активной среде. Если
активная среда имеет время релаксации порядка миллисекунд,
то можно, уменьшая потери резонатора за более короткое вре-
время, чем время релаксации, направлять большую часть запасен-
запасенной энергии в резонатор.
□
□
Неподвижное Дктивнаа среда
зеркало а
Вращающая-
СЯ призма
D
Фиг. 4.11. Схема лазера с модуляцией добротности при помощи вращаю-
вращающейся призмы.
а — высокие потери; 6 — низкие потери.
Модуляция добротности, а именно резкое увеличение вели-
величины добротности резонатора Q, может осуществляться несколь-
несколькими способами. Например, устройство, известное под назва-
названием ячейки Керра, можно поместить внутри резонатора, и тогда
появится функциональная зависимость между величиной потерь
и величиной постоянного электрического поля, приложенного
к ячейке Керра. Вначале получается инверсная населенность
при таком электрическом поле, что потери в резонаторе доста-
достаточно велики и генерация возникнуть не может. При достиже-
достижении величины инверсной населенности, равной №, резко изме-
изменяется электрическое поле, что приводит к увеличению доброт-
добротности резонатора, и в результате излучается импульс высокой
интенсивности.
Другой способ модуляции добротности состоит в замене од-
одного из зеркал резонатора вращающейся призмой (фиг. 4.11).
Когда призма занимает положение, показанное на фиг. 4.11, с,
она не образует резонатора с фиксированным зеркалом и воз-
возникают большие потери. При положении призмы, изображенном

144 Глава 4
на фиг. 4.11,6, свет, отраженный от неподвижного зеркала, воз-
возвращается обратно и образуется высокодобротный резонатор.
Инверсная населенность образуется при малом значении Q
(фиг. 4.11, а), а генерация возникает при положении призмы,
изображенном на фиг. 4.11,6.
Имеется еше один способ модуляции добротности, основан-
основанный на применении насыщающихся фильтров из органических
красителей, которые помещаются внутри резонатора. Органи-
Органические красители — это вещества, у которых коэффициент по-
поглощения вследствие эффекта насыщения уменьшается с уве-
увеличением интенсивности света. Прозрачность красителей подби-
подбирается такой, чтобы в случае, когда на красители не попадает
свет, потери были чуть меньше величины, требуемой для воз-
возникновения генерации (при Л/ = АТр). Поэтому пороговое усло-
условие выполняется при N ^ Ne, а поскольку с увеличением мощно-
мощности излучения потери в красителях уменьшаются, то возникает
требуемый эффект модуляции добротности. В этом случае раз-
разность населенпостей в единице объема равна приблизительно
Ne перед каждым импульсом излучения.
Для анализа режима модуляции добротности удобно поль-
пользоваться ф27-плоскостыо. Уже в начальной стадии возникнове-
возникновения импульса плотность энергии светового поля значительно пре-
превышает плотность энергии стационарного режима, т. е. ф 55> 1.
Используя это условие в нормированных кинетических уравне-
уравнениях D.1) и D.2), получаем соотношение
*£ JJibi D 18)
dN rc(Ne-\) N
Это выражение представляет собой отношение кинетических
уравнений, поэтому время исключено. Разделяя переменные
в уравнении D.18) и затем интегрируя, имеем
Г' TlnJV +д^_дЛ. D.19)
tc0V-I)
Здесь граничным условием будет ф= 0 при N = .V'1. На фиг. 4.12
представлены графики функции ф(Лг) при различных значениях
Г?'\ а стрелки указывают направление возрастания времени.
Максимальная плотность энергии достигается тогда, когда нор-
нормированная разность населенностей равна единице, поэтому
можно получить значение фмакс из D.19), подставляя в послед-
последнее /V = 1. При № = 2 максимальная плотность энергии будет
в 0,62- 106 раз превышать стационарное значение. Для парамет-
параметров, приведенных в примере, который рассматривался в § 2—5,
пиковая мощность излучения получается равной примерно
10 Мет для объема 1 см3 при Ne = 2.

Лазеры
145
Энергия посылаемого в резонатор излучения равна потери
энергии в активной среде в течение импульса света, как это
видно из уравнения D.17). При Ne = 2 плотность энергии излу-
излучения составляет приблизительно ОД дж/смъ, если считать, что
потери энергии в резонаторе равны энергии излучения. Можно
0,08 10,4
0,18
Нормированная разность населенностей
на единицу оббема /V
Фиг. 4.12. Зависимость нормированной плотности фотонов от нормирован-
нормированной разности населеиностей в случае модуляции добротности для значения
параметра Tl/tc = 2- 106.
произвести приблизительный расчет длительности импульса,
предполагая, что импульс имеет треугольную форму. Отношение
полной энергии излучения к пиковой мощности излучения дает
значение времени между точками, соответствующими половинной
мощности; для предыдущего примера оно равно 1 • 10~8 сек.
ю
Фиг. 4.13. Осциллограмма импульса
лазера с модуляцией добротности.
Цепа деления времечноП шкалы 100 нсек.
3f
Время
Зависимость плотности энергии от времени для режима мо-
модуляции добротности можно получить из кинетических уравне-
уравнений, используя граничные условия: N = Ne при t = 0, а <р опре-
определяется плотностью спонтанно испущенных фотонов. На
фиг. 4.13 изображен вид типичной осциллограммы импульса, по-
получаемого при модуляции добротности, Цена деления временной
шкалы равна 100 нсек,

146
Глава 4
§ 7. ЧЕТЫРЕХУРОВНЕВЫЙ ЛАЗЕР
В § 3 было отмечено, что, когда нижним уровнем лазерного
перехода является основное состояние ионов, большая часть
мощности накачки при пороговых условиях затрачивается на
изменение разности населенностей, существующей при тепловом
равновесии. В лазере, работающем по принципу четырехуровне-
четырехуровневой схемы, требуется меньшая мощность накачки, чтобы поддер-
поддерживать пороговую разность населенностей, так как нижний ла-
ги-
ю
rn
Ю 650 А
Фиг. 4.14. Энергетическая диаграм-
диаграмма Nda+ в CaWO4.
Свет поглощается заштрихованной полосой,
и лазерное излучение соответствует пере-
переходу иа более низкий уровень, который
лежит примерно на 10 кТ выше основного
состояния при комнатной температуре.
_ Основное
состояние
зерный уровень расположен выше основного состояния на
величину, равную нескольким kT, поэтому величина разности
населенностей в единице объема при тепловом равновесии Nj-
близка к нулю. На фиг. 4.14 изображены четыре энергетических
уровня для ионов неодима Nd3+ в вольфрамате кальция CaWO4.
При комнатной температуре населенность обоих лазерных
уровней ничтожно мала. Полагая NeT = 0, из уравнения D.9)
получаем величину мощности накачки в единице объема, необ-
необходимую для поддержания пороговой разности населенностей:
D.20)
2Z,
Используя характеристики неодима:
Зйе
JV° L\\il2\2uxJ2F
Г, = 10~4 сек,
Ш=1,7- Ю~19 дж,
2,2 ■ 1016 см-3,
для мощности накачки на единицу объема при пороговых усло-
условиях получим значение, равное 19 вт/см3, что составляет пример-

Лазеры 147
но 3% от величины порогового значения мощности накачки для
рубинового лазера. Постоянная времени резонатора выбрана
2- Ю-9 сек.
§ 8. ГЕЛИЙ-НЕОНОВЫЙ ГАЗОВЫЙ ЛАЗЕР
Способ получения инверсии населенностей для гелий-неоно-
гелий-неонового лазера был рассмотрен в § 2; теперь займемся рассмотре-
рассмотрением пороговых требований и выходной мощности в стационар-
стационарном режиме. Существенное различие между газовым лазером
и твердотельными рубиновым или неодимовым лазерами состоит
в том, что активные молекулы в газовом лазере имеют различ-
различные частоты переходов вследствие движения молекул газа. Если
некоторая молекула движется со скоростью vt в направлении
распространения электромагнитной волны, то частота взаимо-
взаимодействия определяется сле-
следующим образом: f .. ^rasnr аи9
V
Здесь шо — частота пере-
хода неподвижной частицы.
Как было указано в гл. 3, § 2, 1
п. 5, эффект такого смеще- ^§>§s, , , л
ния частоты, называемого "о ь
донплеровским смещением, фиг 4.15. Гауссова форма линии, обу-
НрНВОДИТ К тому, ЧТО ЛИ- словленная допплеровским уширением.
ния поглощения для пере-
перехода превращается в совокупность лоренцевых линий, имею-
имеющих различные центральные частоты Qj. Число молекул в еди-
единице объема йЖ в области dfi,- частоты перехода определяется
тепловым равновесным распределением по скоростям в газе и
дается выражениями C.23) и C.24), откуда получаем
D.2!)
Здесь Nv — полное число молекул в единице объема, a cdg
ширина линии в рад/сек, соответствующая разности частот ме-
между точками, которые расположены по разные стороны от пико-
пикового значения и в которых величина йЖ/dQi равна половине
максимального значения в центре линии. Коэффициент перед
экспонентон в D.21) выбран таким образом, что интеграл по Qt
от —оо до оо равен числу молекул в единице объема. На
фиг. 4.15 приведена зависимость dj(/dui от частоты.

148 Глава 4
В гл. 3 было постулировано, что в случае, когда разные
молекулы имеют различные частоты переходов, линия поглоще-
поглощения называется неоднородно уширенной линией, в противопо-
противоположность однородно уширенной для случая, когда все молекулы
имеют одинаковые частоты переходов. В газе линия поглощения,
как правило, представляет собой неоднородно уширенную ли-
линию гауссовой формы с шириной Acdg при центральной частоте
со0- Она образуется из совокупности однородно уширенных ло-
ренцевых линий, каждая из которых имеет ширину Ao>L = 2/7Y
В гл. 2, § 4, были получены уравнения для электрического
дипольного перехода, устанавливающие связь дипольного мо-
момента молекулы (ц.) с разностью вероятностей заселенности
двух уровней:
2
I2Q,
<£> + -jr- (ix) + Qi <ц) = - ^ "f- £ (Лр), D.22)
Ар - (Ap)g _ 2 p /л ч «aoi
Здесь Лр = р22 — рп и для простоты рассматривается одномер-
одномерная задача. Для однородно уширенной линии поляризация Р
получается умножением (|.i) на число молекул в единице объема,
так как все молекулы имеют одинаковую частоту перехода. Од-
Однако для неоднородно уширенной линии при вычислении поля-
поляризации необходимо интегрировать произведение (\x)dJl:
Р= J (n)dj(=\ dQ»AV^exp [- j^(Qt ~<о„J]. D.24)
Видно, что Р представляет собой интеграл свертки лоренцевой
линии (ц) с гауссовой функцией. Уравнение для резонатора
имеет такой же вид, как и в случае однородного уширения ли-
линии, а именно
Ё + ^-Ё + ОсЕ=-— Р. D.25)
те to
Здесь тс — постоянная затухания резонатора, а со,. — резонансная
частота резонатора. Предполагается, что активная среда пол-
полностью заполняет объем резонатора. Дифференциальные урав-
уравнения D.22) — D.25) описывают лазер с гауссовой уширенной
линией.
В дальнейшем будем предполагать, что лазер работает
в одномодовом режиме, и будем использовать экспоненциальные
обозначения, так что, например, Е = [/2ЕеШ1 + комплексно со-
сопряженная, где ы — частота излучения, а знаком тильды над пе-
переменными обозначается комплексная амплитуда, которая в ста-

Лазеры
149
циоиарном режиме постоянна. Из уравнения D.23) для средних
значений по времени (Др) имеем
(Ар) - (AP)g
Id)
D.26)
Можно исключить (Д) из уравнений D.22) и D.26), выразив
тем самым (Др) через электрическое поле;
D.27)
Здесь
p ,2 _ 3fi2
£ 'нас — i ,,
При выводе уравнения D.27) предполагалось, что Qt + м ss 2w.
Если подставить типичные характеристики лазера в выраже-
выражение D.27), то можно видеть, что знаменатель в правой части
равен приблизительно единице всюду, где Qt не слишком близко
к со. Это значит, что (Др)е
становится меньше своего
равновесного значения
вблизи частоты генерации в
интервале частот, равном
ширине лоренцевой линии
2/Г2. Разность населенно-
стей в единице объема, при-
приходящаяся на единичный
частотный интервал dN/dQi,
обнаруживает аналогичные
свойства, поскольку
dN
dQ,
= (Др)
dJ(
Фиг. 4.16. Уменьшение разности насе-
ленностей вблизи частоты генерации при
неоднородно уширенном резонансе.
Следовательно, dN/dQi представляет собой произведение вели-
величины (Др), определяемой уравнением D.27), на гауссову экспо-
экспоненциальную функцию. Сплошная линия на фиг. 4.16 иллюстри-
иллюстрирует уменьшение величины dN/dQi в непосредственной близости
от частоты генерации оз.
При однородном ушнрении резонансной линии разность на-
селенностей уменьшается однородно, поскольку каждая моле-
молекула имеет одну и ту же частоту перехода, в то время как при
неоднородном уширении разность населенностей уменьшается
лишь в диапазоне, определяемом шириной лоренцевой линии.
Этот эффект проиллюстрирован на фиг. 4.16 и называется эф-
эффектом прожигания дырки [16].

150 Глава 4
Кривая, изображенная на фиг. 4.16, характерна для одиноч-
одиночной распространяющейся волны. Однако в резонаторе распро-
распространяются две волны в противоположных направлениях. Волна,
распространяющаяся направо, взаимодействует с молекулами,
имеющими данную скорость, а волна, распространяющаяся на-
налево, взаимодействует с другими молекулами, которые имеют
скорость, равную первой по величине и противоположную по
направлению. Поэтому волна, распространяющаяся в резонаторе
в одном направлении, обнаружит другую дырку, прожженную
с другой стороны от too на таком же частотном интервале. Дырка,
прожженная волной, распространяющейся в противоположном
направлении, показана на фиг. 4.16 пунктирной линией. Если
частота колебаний близка к соо, то дырки сильно влияют друг
на друга, но если ыо — со в несколько раз больше ширины ло-
ренцевой линии, то взаимодействие дырок не учитывается при
определении порога генерации и выходной мощности. При ш — шо
волны, распространяющиеся в противоположных направлениях,
взаимодействуют с одними и теми же молекулами и происходит
уменьшение выходной мощности вблизи центра линии. Если
ы = соо, то только одна дырка прожигается в максимуме гаус-
гауссовой линии и анализ в этом случае можно выполнить, исполь-
используя скорее понятие полного поля в резонаторе, чем метод двух
распространяющихся волн.
Чтобы получить пороговые условия и определить мощность
излучения, необходимо вычислить поляризацию. Это можно сде-
сделать, исключая (Др) из уравнения D.22) с помощью соотноше-
соотношения D.27) и выражая дипольный момент через электрическое
поле, а именно
D.29)
Поляризация определяется интегрированием произведения
гауссовой функции на дипольный момент (ц), вычисленный по
формуле D.28), т. е. необходимо вычислить {$) dj[ ■ Инте-
Интегрирование значительно упрощается, если принять во внимание,
что значение (ц) велико только там, где Q; ~ со, а гауссова
функция является медленно меняющейся, так что ее можно вы-
вынести из-под знака интеграла, положив Q; = со. Если начало от-
отсчета выбрано таким образом, что величина Е вещественна, то
можно видеть, что для определения пороговых условий и вы-
выходной мощности необходима только величина \т{Р) (Im обо-

Лазеры 151
значает мнимую часть). Выполнив интегрирование, найдем
0,939^,, пЁ
D.30)
Здесь значение К вычислено при Q; = ш. Для типичных характе-
характеристик лазеров со^Го ^> 1 4-1 Е \ /\ Е \'иас, и это неравенство исполь-
используется для упрощения выражения D.30).
Перейдем теперь к рассмотрению уравнения для резонатора
D.25). Член Е/хс в левой части этого уравнения характеризует
уменьшение энергии, связанное с потерями в резонаторе. Если
имеет место стационарный режим колебаний, то убыль энергии
в резонаторе за счет потерь должна восполняться вводом энер-
энергии через активную среду. Если Е — величина вещественная, то
баланс потока энергии определяется из уравнения D.25) путем
приравнивания мнимых коэффициентов при ei<oi. Если генерация
происходит на частоте, соответствующей максимуму гауссовой
кривой, т. е. со = «о, то из уравнения для поля резонатора и вы-
выражения D.30) получим
-l^93^ •- D.31)
При пороговом значении величина лазерного поля исчезающе
мала и в выражении D.31) можно положить Е = 0. Тогда поро-
пороговое значение (Лр)„ор будет выражаться через величины лазер-
лазерных характеристик и время жизни фотона.
Мощность накачки на единицу объема, необходимая для под-
поддержания инверсии паселенностей при пороговых условиях,
определяется из D.8) при NeT — 0, поскольку лазерные уровни
не заселены при комнатной температуре (основной уровень не
участвует в переходе) и при Ne = [(Ар)пор^ = Му(Др)*ор. Ис-
Используя значение (Др)*ор, полученное из D.31), и подставляя зна-
значение D.29), находим величину пороговой мощности накачки
на единицу объема
D.32)

152 Глава 4
Гелий-неоновый лазер имеет следующие типичные характери-
характеристики:
ю s» 3 • 1015 рад/сек,
Д(йо ~ 5 • 109 рад/сек,
7"[ ss Ю~ се/с, тс ~ 10" с<?к,
1СГ29
I (а12 I ~ 1,4 дебаг'/ = 1,4 • —— к • .и.
Используя эти значения, получаем, что для поддержания инвер-
инверсии населенностей при пороговых условиях для частоты гене-
генерации, соответствующей максимуму гауссовой кривой, величина
мощности накачки на единицу объема будет равна 1,0 мвт/см3.
Сравнение выражений D.32) и D.20) показывает, что имеется
одна и та же зависимость мощности накачки от лазерных харак-
характеристик как для газовых, так и для твердотельных лазеров,
однако величина мощности накачки для газовых лазеров при-
приблизительно на четыре порядка меньше, чем для твердотельных.
Как будет показано в гл. 6, величина Tilfx^l2 приблизительно
постоянна для всех лазеров.
Разница в величине порогового значения мощности накачки
объясняется тем, что отношение ширины линии поглощения
к постоянной затухания резонатора Ag)g/tc в газовых и твердо-
твердотельных лазерах различна, В твердотельных лазерах время ре-
релаксации энергии обычно на два порядка меньше, чем в газовых,
в связи с большими потерями на рассеяние. Потери на рассея-
рассеяние в типичных для лазеров стержнях длиной 10 см за одно
прохождение составляют 10%, в то время как в газовом лазере
длиной 1 м они имеют ничтожную величину и можно считать,
что при наличии зеркал с коэффициентом отражения 99% те-
теряется только 1% мощности за одно прохождение. Таким об-
образом, время релаксации в газовых лазерах в 100 раз больше.
Кроме того, ширина гауссовой линии поглощения гелий-неоно-
гелий-неонового лазера на два порядка меньше, чем в твердотельных
лазерах.
Поэтому величина отношения Ao)g/tc, а следовательно, и ве-
величина пороговой мощности накачки для гелий-неонового ла-
лазера на четыре порядка меньше.
Мощность излучения лазера можно рассчитать на основании
уравнения D.31). Если разрешить это уравнение относительно
\Ё\2, то получим
£*4(£H <4'33)
Здесь Me=Nv(Ap)e—равновесная разность населенностей
в единице объема при действии накачки, a Neliop = ^(^

Лазеры 153
говое значение разности населенпостей в единице объема. Поль-
Пользуясь выражением D.12), получаем формулу для мощности из-
излучения с единицы объема
^0=^- = ^- D.34)
Здесь т,„ — время жизни фотона, определяемое коэффициентом
пропускания зеркала. Используя уравнения D.33) и D.34), за-
запишем выражение, связывающее выходную мощность с единицы
объема с параметрами лазера:
Н(Я1 D-35)
Пользуясь значениями лазерных характеристик, приведен-
приведенными выше для формулы D.32), а также положив тт = тс =
= Ю-7 сек, Г2 = 4 • 10—8 сек и приняв объем 100 см3, получим
мощность излучения 19 лет, если накачка такова, чтоЛ'е= 1,4/Vf,op.
ЛИТЕРАТУРА
1. Birnbaum G., Optical Masers, New York, 1964.
2. Lamb W. E. Jr., Theory of an Optical Maser, Phys. Rev., 134, No 6A,
A1429-A1450, (June 15, 1964).
3. Lengyel B. A., Introduction to Laser Physics, New York, 1966.
4. Yariv A., Quantum Electronics, New York, 1967, Ch. 15—17.
5. Smith W. V., Sorokin P. P., The Laser, New York, 1966.
6. Gordon J. P., Zeiger H. J., Townes С. Н., The Maser-A Type of Microwave
Amplitier, Frequency Standard, and Spectrometer, Phys. Rev., 99, 1264
(August 1955).
7 Schawlow A. L., Townes С. Н., Infrared and Optical Masers, Phys Rev,
112, 1940 (December 1958).
8. Maiman Т. H., Stimulated Optical Radiation in Ruby Masers, Nature, 187,
493 (August 1960).
9. Javan A., Bennett W. В., Jr., Herriott D. R., Population Inversion and
Continuous Optical Maser Oscillation in a Gas Discharge Containing a
He—Ne Mixture, Phys. Rev. Letters, 6, 106 (February 1961).
10. American Institute of Physics Handbook, New York, 1957, Sect. 7—58.
11. Mikaeliane A. L, Ter-Mikaeliane M. L., Turkov Y. G., Djatchenko V. V.,
The Utilization o: Semiclassical and Rate Equations for the Design of
Steady-State Optical Masers, paper presented at the 1966 ln:ernational
Quantum Electronics Conference, Arizona, April 12—15, 1966.
12. Tang С L., Statz H., deMars G., Jr. Spectral Output and Spiking Behavior
of Solid-State Lasers, Journ. Appl. Phys, 34, No 8, 2289 (August 1963).
13. Roess D., Single-mode Operation of a Room-Temperature CW Ruby Laser,
Appl. Phys. Letters, 8, № 5, 109 (March 1966).
14. Hellwarth R. W., Control of Fluorescent Pulsations, в книге Advances in
Quantum Electronics (ed. J. Singer), New York, 1961, p. 334.
15. Wagner W. G., Lengyel B. A.. Evolution of the Giant Pulse iti a Laser,
Journ. Appl. Phys., 34, 7, 2040 (July 1963).
10. Bennett W. R., Jr., Hole Burning Effects on a He-Ne Optical Maser Phys.
Rev., 126, No 2, 580 (April 15, 1962).

164
Глава 4
Задачи
4.1. Пусть имеется квадрупольный конденсатор для молеку-
молекулярного генератора на аммиаке, в котором радиальная компо-
компонента электростатического поля задана в виде 3-1СИл4 в/см,
а сила, действующая на частицу, определяется по формуле
(f)
а) Используя характеристики для перехода в аммиаке с ча-
частотой 23,87 Ггц, найти зависимость от радиуса радиальной
компоненты силы для верхнего н нижнего энергетических состоя-
состояний молекул.
б) Используя фазовую плоскость г (г), построить график
зависимости г от положения молекулы в конденсаторе для ее
верхнего и нижнего состояний, предполагая, что направление
начальной скорости совпадает с осью конденсатора.
4.2. В трехуровневом лазере для поддержания равновесной
разности населениостей в единице объема Ne, величина которой
отлична от Nj- — значения при тепловом равновесии, поглощает-
поглощается мощность от источника накач-
накачки. Поглощаемая мощность про-
i \ йыстрыи порциональна N у — числу моле-
I ~ \ распа9 ^ КуЛ в единице объема, находя-
|2' щихся в состоянии |1), и вели-
величине |£р|2, где Ер — поле накач-
накачки. Кинетическое уравнение в
I,) этом случае имеет вид
Фотон на -
о- качни с
з энергией
a. fiu
"а
Лазерный
переход
Фиг. 4.17. Трехуровневый лазер.
a NT
Здесь N = Л/2 — Л'ь Л'—некоторая постоянная. Дано, что
Mi + N2 ~ Nv равно числу активных ионов в единице объема,
eT~-Nv.
а) Получить выражение для Nr.
б) Вычислить величину К при следующих условиях: излуче-
излучение накачки поглощается переходом |1)—>|3) с матричным эле-
элементом |Я1з и шириной лоренцевой линии Дм^. Время релакса-
релаксации перехода 3)—»-|2) намного меньше времени релаксации
перехода |2)—♦ 1). Среда изотропна, а уровни невырождены.
На фиг. 4.17 изображен процесс накачки.
4.3. При наличии накачки время релаксации Т\ для пере-
перехода |2)—*|1) отличается от времени релаксации Т\ в .'отсутствие
накачки. Для Nc = 0,2Nv, Nt = - Nv и Т, = 4 • 1СН сек'опреде-
лить Т\ (здесь Nv — число активных ионов в единице
объема).

Лазеры 155
4.4. Рассмотрим эффекты насыщения при неоднородном
уширении линии на примере прожигания дырки в гелий-неоно-
гелий-неоновом лазере. Из уравнения C.28) гл. 3 можно показать, что ко-
коэффициент поглощения Г для гауссовой кривой выражается сле-
следующим образом:
со
Г (а, а„) = J ga (Qt, a0) TL (a, Q,) dQt.
— со
Здесь gG — гауссова функция, определяемая выражением C.24);
TL — коэффициент поглощения для лоренцевой линии, опреде-
определяемый с помощью выражений C.13) и C.14).
а) Для частоты со = ю0, соответствующей максимуму гаус-
гауссовой кривой, показать, что
Г («о, щ) = т^тг ^Чр- (Ni - N2) ^ exp {z2 A - erf z)},
где
2(ln2)'2 -,/,,/ , -ш/ 1 , I л
z = -=—г |/ 1 + -,— , о = А/ 1 + -.— • Дюо — ширина линии.
'2QaH ' нас ' нас
б) В предельном случае неоднородного уширения, когда
■* оо, показать, что
Г = Гн
■ кенас
Yl+Щка
и в предельном случае однородного уширения, когда До)С—»0,
показать, что
Г — Г *
- ненас , + ///тс •
Здесь Гненас — коэффициент поглощения при /->0.
4.5. В каждом нз приведенных ниже примеров указать, яв-
является уширение однородным или неоднородным и почему. Уши-
рение обусловлено:
а) релаксацией при спонтанном излучении (естественное
уширение),
б) распределением скоростей (допплеровское уширение),
в) соударениями с подобными молекулами в газе (хольцмар-
ковское уширение),
г) соударениями с молекулами инородного газа (лоренцево
уширение),
д) электрическим полем, создаваемым ионами и электро-
электронами (уширение, вызванное эффектом Штарка).
В чем состоит существенная разница между однородным и
неоднородным уширением?

156
Глава 4
4.6. Основываясь на рассуждениях, приведенных в гл. 3,
§ 4, п. 2, можно изучить эффекты затягивания частоты в лазере.
Используя условия:
Y~ — резонансная частота активной среды =2,6- 10ь гц,
- = резонансная частота резонатора =-^—+100 Мгц,
2.TL
сек,
хс = 2 • 10
2/Г2 = 2л • 3,3 ■ 10" гц,
а) определить частоту излучения лазера,
б) показать, что в стационарном режиме значение разности
населенностей в единице объема в случае юс =£ Q определяется
следующим образом:
N
No
щ - Q \2
2/Г2
Здесь No — резонансная разность населенностей в единице объ-
объема, определяемая выражением C.80).
4.7. Пусть два лазерных уровня имеют кратности вырожде-
вырождения g[ и g2. Модифицировать следующие выражения:
а) уравнение D.9) для плотности пороговой мощности на-
накачки,
б) уравнение D.14) для выходной мощности в стационар-
пом режиме,
в) уравнение D.17) для энергии импульса,
г) уравнение D.19) для режима модулированной добротно-
добротности лазера.
4.8. Для трехуровнего лазера выразить выходную мощность
в стационарном режиме РВых через отношение РР1РПор, где Рр —
мощность накачки, Рпор—пороговая
мощность накачки.
Показать, что зависимость Рвых
от Рр будет такой, какая изображе-
изображена на фиг. 4.18. Получить выраже-
выражения для 8 и Рмакс- (Пренебречь
"р/р зависимостью величины 7\ от мощ-
mf ности накачки, как это обсужда-
Фиг. 4.18. лось в задаче 4.3.)
4.9. Для примера с рубиновым лазером вычислить ошибку
в определении частоты излучения в случае использования соот-
соотношения Емакр = £лок- Пренебречь анизотропией.
4.10. Используя характеристики, приведенные для пеодимо-
вого лазера, рассчитать пиковую мощность в единице объема,

Лазеры 157
выходную энергию в единице объема и длительность импульса
для лазера, работающего в режиме модуляции добротности.
4.11. Гелий-неоновый лазер выполнен таким образом, что
одно зеркало является полностью отражающим, а выходное
зеркало имеет переменный коэффициент отражения. Пусть по-
потери составляют 1% на одно прохождение в резонаторе, если
выходное зеркало является полностью отражающим. Равновес-
Равновесная разность населенностей в единице объема № поддерживает-
поддерживается постоянной и в 1,2 раза превышает пороговую разность насе-
населенностей, если выходное зеркало является полностью отражаю-
отражающим. Используя характеристики гелий-иеонового лазера,
определить зависимость выходной мощности от отражающей спо-
способности выходного зеркала. Эта зависимость может быть полу-
получена при одновременном решении уравнений D.31), D.33) и
D.34). Начертить график изменения выходной мощности, если
коэффициент отражения меняется от 0,1 до 0,9.
4.12. Преобразовать правую часть выражения C.36) для
случая, когда поляризация Р не целиком заполняет объем резо-
резонатора. Это в свою очередь приводит к изменению вида выраже-
выражения C.79), из которого определяется величина 1\!0. Рассчитать
коэффициент, на который надо умножить D.6), чтобы учесть
частичное заполнение объема резонатора активной средой. Этот
коэффициент называется фактором заполнения.

Глава 5 НЕЛИНЕЙНЫЕ ЭФФЕКТЫ
В КВАНТОВАННЫХ СРЕДАХ
§ 1. ВВЕДЕНИЕ
Явления, рассмотренные в гл. 2—4, включали процессы взаи-
взаимодействия излучения с веществом для случая, когда частота
излучения близка к частоте переходов в среде. Если поле кван-
квантовано, т. е. электромагнитная энергия выражается через энер-
энергию фотона, то рассмотренные явления можно отнести к катего-
категории однофотонных эффектов. Сущность этих эффектов состоит в
том, что при поглощении одного фотона в среде происходит пере-
переход в более высокое энергетическое состояние, и наоборот, при
излучении одного фотона наблюдается соответствующее умень-
уменьшение энергии в среде. На
12> ч фиг. 5.1 показаны энергети-
й -,«,«„, \ш=энергииперехода ЧеСКИе УР°ВНИ Д™ °ДН°Ф°
(ротона Г r r тонного процесса взаимодеи-
|() -I СТВИЯ.
Если внимательно рас-
Фиг. 5.1. Процесс однофотонного вза- смотреть уравнения для
имодействия в случае, когда энергия оператора плотности или по-
фотоиа приблизительно равна энергии луклассические уравнения,
перехода. приведенные в гл. 2, то вид-
видно, что они являются нели-
нелинейными. Наличие произведений переменных в этих уравнениях
говорит о том, что кроме однофотонных эффектов, рассмотрен-
рассмотренных в гл. 2—4, могут иметь место нелинейные процессы. Напри-
Например, наблюдалось [1,2], что в некоторых веществах резонансное
поглощение электромагнитного излучения происходит на частоте,
которая вдвое меньше частоты перехода. Такой вид взаимодей-
взаимодействия называется двухфотонным поглощением, поскольку для
того, чтобы в среде возникал переход, необходимо поглощение
двух фотонов. Это иллюстрируется на фиг. 5.2. Следует заметить,
что энергия сохраняется при двухфотонном поглощении так же,
как и при однофотонном, поскольку поглощенная энергия равна
изменению энергии вещества.
Разновидностями двухфотонных процессов являются погло-
поглощение излучения двух различных частот при условии, что сумма
частот излучения равна частоте перехода, и рамановское рас-

Нелинейные эффекты з квантованных средах
159
сеяние1), при котором происходит поглощение излучения на
частоте, большей, чем частота перехода, и излучение иа разно-
разностной частоте. Эти эффекты иллюстрируются на фиг. 5.3. Из
рассмотрения этих процессов на языке фотонов видно, что за-
закон сохранения энергии выполняется.
12)
> Ш
12)
ЛЯ
а
Фиг. 5.2. Двухфо- Фиг. 5.3. Возможные двухфотонные про-
протонное поглощение,
цессы.
В котором переход а —соотношение энергий для поглощения при двух
осуществляется за
счет взаимодействия
с излучением с ча-
частотой, равной поло-
половине частоты пере-
перехода.
различных частотах; б — энергетическая диаграмма
для рамаиовского рассеяния.
Взаимодействия, аналогичные двухфотонным процессам, су-
существуют и для большего числа фотонов. Трехфотонное погло-
поглощение представлено на фиг. 5.4, а; трехфотонное поглощение
fico,
3hu)t = hSi
a
hu,
u>2
6
Фиг. 5.4. Некоторые возможные трехфотонные процессы.
а - трехфотонное поглощение; б — поглощение на различных частотах; о - рамаиовское
рассеяние.
различных частот показано на фиг. 5.4, б, а возможный трехфо-
тониый рамановский процесс, при котором поглощаются два фо-
') Открыто в 1928 г. Раманом н Кришнаноы в жидкостях и одновремен-
одновременно Г. С. Ландсбергом и Л. И. Мандельштамом при исследовании рассеяния
света в кристаллах. В отечественной литературе называется комбинационным
рассеянием. — Прим. перев.

160 Глава 5
тона с частотой wi, излучается одни фогон с частотой мг
и в среде происходит переход из состояния |1) в состояние |2),
изображен на фиг. 5.4, в.
Существует несколько причин, стимулирующих изучение не-
нелинейных процессов в квантованных средах. Многофотонные
эффекты могут дать информацию, относящуюся к таким свой-
свойствам вещества, как четность состояний или силы осцилляторов
переходов [3]. Например, если собственные состояния имеют
определенную четность, двухфотонное поглощение возникает
между состояниями одинаковой четности. Поэтому такой нели-
нелинейный эффект можно использовать для изучения связи между
состояниями, когда электрический дипольный переход не может
быть полезен для этой цели, поскольку он имеет место между
состояниями противоположной четности. Другая причина состоит
в том, что, хотя здесь рассматриваются исключительно нелиней-i
ности в квантованной среде, сами нелинейные эффекты обла-
обладают общими свойствами независимо от особенностей нелиней-
нелинейных элементов. Будет показано, что вероятность трехфотонного
поглощения, сопровождающегося излучением на частоте nepej
хода, имеет кубическую зависимость от падающего излучения.
Это же справедливо при генерации третьей гармоники в любом
нелинейном материале, пока, конечно, эффекты насыщения не
изменят кубическую зависимость. Еще одна причина для изуче-
изучения таких нелинейных процессов состоит в том, что большинство
макроскопических нелинейных свойств материалов обусловлено
многофотонными процессами, происходящими между уровнями
энергии или энергетическими полосами. Нелинейные элементы
находят весьма широкие применения в конструкциях генераторов
гармоник, модуляторов, детекторов и параметрических генерато-
генераторов для широкого диапазона частот. Наконец, изучение много-
многофотонных процессов — интересный пример, иллюстрирующий при-
применение методов теории возмущений к квантованным средам.
В гл. 8, § 4, п. 2, обсуждается непрямой переход в полупроводни-
полупроводниках, который является фонон-фотонным процессом, имеющим об-
общие характерные черты с многофотонными эффектами. Методи-
Методика, используемая для анализа непрямых переходов, чрезвычайно
близка к методике анализа двухфотонных переходов.
Появление лазера, создающего интенсивное оптическое из-
излучение, вызвало возрастающий интерес к многофотонным про-
процессам, поскольку я-фотонный эффект имеет вероятность пере-
перехода, зависящую от га-й степени мощности падающего излучения.
Поэтому с увеличением интенсивности источника света такие
эффекты проявляются сильнее. Ряд экспериментов по изучению
многофотонных процессов с помощью лазера оннса.ч в лите-
литературе, приведенной в конце главы [4, 5].

Нелинейные эффекты в квантованных средах 161
В этой главе будут выведены условия, при выполнении кото-
которых возникают многофотонные процессы, и вычислена вероят-
вероятность этих событий через вероятность перехода или эффектив-
эффективное сечение рассеяния. Рассмотрению четности состояний и
вероятностей перехода посвящен § 2. Эффективное сечение рас-
рассеяния при двухфотонном поглощении между состояниями оди-
одинаковой четности и при трехфотонном поглощении между со-
состояниями противоположной четности вычисляется в § 3. Гене-
Генерация гармоник как результат многофотонного поглощения
рассматривается в § 4. Выяснению зависимости частоты пере-
перехода от интенсивности электромагнитного поля посвящен § 5.
В § 6 рассматривается рамановское рассеяние.
§ 2. ЧЕТНОСТЬ И ВЕРОЯТНОСТИ ПЕРЕХОДОВ
Вероятность перехода при многофотонном поглощении вы-
вычисляется на основании методов теории возмущений, применяе-
применяемых к уравнениям движения для оператора плотности. Пред-
Предположим, что к гамильтониану добавляется член Ж, характери-
характеризующий взаимодействие или возмущение, и что он значительно
меньше, чем Жо— невозмущенный гамильтониан. Тогда полный
гамильтониан записывается в виде
Ж = Ж^ + ХЖ'. E.1)
Здесь к — параметр, характеризующий возмущение. Каждый
элемент матрицы плотности можно разложить по степеням к,
причем показатель степени обозначает порядок возмущения
ph-IW/. F.2)
р
Возмущение первого порядка матричного элемента р;; записы-
записывается как pW и пропорционально Ж'\ возмущение второго по-
порядка элемента рц записывается как pf) и пропорционально
(Ж'J и т. д. Под вероятностью перехода W понимается вероят-
вероятность того, что система переходит из одного собственного со-
состояния в другое в единицу времени. Поэтому если рассматри-
рассматривается система, находящаяся в состоянии | 1) при t = 0, так что
М* = 0) = Мл. E.3)
то вероятность перехода из состояния | 1) в состояние \k)
выражается следующим образом:
r = -^f. E.4)
Здесь черта обозначает усреднение по времени за период гар-
гармонического возмущения. Усреднение по времени производится

162 Глава 5
потому, что вероятность W должна характеризовать изменение
населенности за интервалы времени, большие по сравнению
с периодом гармонического возмущения.
Поскольку мы интересуемся только индуцированными пере-
переходами между собственными состояниями и не рассматриваем
переходы, возникающие в результате релаксационных процес-
процессов, то соответствующие уравнения движения для диагональных
элементов оператора плотности получаются из A.31) при
Whj = 0:
мЦУ- = [Ш',р]п. E.5)
Если воспользоваться разложением E.2) матричного элемента
Pi,- по степеням Я, подставляя его в E.5) и приравнивая члены
с одинаковыми степенями %, то можно получить выражение для
вычисления возмущения р-то порядка элемента pjj
(Р)
^ = [Ж,р<р-'>]7/. E.6)
Аналогичным образом из A.30) можно определить возмущение
р-го порядка недиагональных матричных элементов оператора
плотности
ft> = [Ж, 9*"-%! при I Ф /, E.7)
Продолжим теперь вычисление вероятностей перехода с по-
помощью E.6) и E.7). Из выражения E.6) получим
Й-^- = 0, ■ E.8)
а из выражения E.7)
. + foj/+_L)p(o» = o при 1Ф\. E.9)
На основании условия E.3), означающего, что система вначале
находится в состоянии |1), из уравнений E.8) и E.9) получаем
Если коммутатор в E.6) записать в виде суммы, то возмущение
первого порядка р',1,' можно выразить в виде
ib

Нелинейные эффекты в квантованных средах 163
Используя выражение E.10) для матричных элементов р<°>,
имеем
ln dt u- EЛ2)
Учет начальных условий E.3) вместе с выражением E.12)
дает
Р(/У = О. E.13)
Из выражения E,7) возмущения первого порядка для недиа-
недиагональных матричных элементов определяются выражением
4) S $ ,). / ф и
и из E.10) имеем
Поскольку оператор р эрмитов, то р'^ = (р[','у. Все другие недиа-
недиагональные матричные элементы первого порядка р'Л равны
нулю. Чтобы определить вероятность перехода при синусои-
синусоидальном возбуждении, оператор Ж' удобно представить в виде
Ж = Щ-(еш + е~1^ E.15)
и соответствующее стационарное решение для р^ определяется
из E.14):
п\
Ж'еш
1\
Для определения вероятности перехода W необходимо вычис-
вычислить производную dpjjldt, величина которой, как было пока-
показано, равна нулю с точностью до членов второго порядка. По-
Поэтому величина наименьшего порядка для W определяется из
производной dpfj/dt, которую можно найти из E.6).
Из уравнения E.6) имеем
В правой части этого уравнения остались только отличные от
нуля члены первого порядка р\]] и рУ,'. Подставив выражение

164 Глава 5
E.16) для р'.'/в E.17) и воспользовавшись выражением
получим
ih
dt \ МЪ (— /со — /со . + l/i
Здесь через В обозначена сумма членов, содержащих времен-
временную зависимость вида e±2iMt. Усредняя по времени правую и ле-
левую части уравнения E.18), исключим В и, комбинируя остав-
оставшиеся в правой части члены, получаем
dt 2hxn Un-<a,f + llT*n (to + co,,J+l/T
При со ~ oj,i первый член в правой части выражения E.19) ста-
становится большим и характеризует резонансный эффект, соот-
соответствующий однофотонному поглощению. В этом случае (со ~
=« со;,) последним членом в правой части выражения E.19)
можно пренебречь, так что вероятность перехода при однофо-
тонном поглощении Ww будет определяться следующим выра-
выражением:
о). E.20)
Здесь ^ь(со) — лоренцева функция формы линии C.22). Вероят-
Вероятность W(i) для двухуровневого электрического дипольного пере-
перехода в изотропной среде, для которой
/ 12 _ 11*12 I I С 12
I — о I *- I >
будет поэтому равна
о). E.21)
При резонансе (когда со = co2i) л;^ь(@21) = Хц = Г2 и выражение
для вероятности W^ становится идентичнд выражению C.85)
при L = 1. Именно это значение имеет величина L для изолиро-
изолированной молекулы. Уравнение E.21) получено для отдельной
молекулы, поэтому g'(co) является лоренцевой функцией. Для
большого числа молекул, когда имеется допплеровское ушире-
ние линии, уравнение E.21) остается справедливым, если gL(a>)

Нелинейные эффекты в квантованных средах 165
заменить гауссовой функцией C.24). При резонансе для гаус-
гауссовой функции
2
1 /"in 2
где Ao)g — ширина линии.
При выводе вероятности перехода предполагалось выполне-
выполнение следующих условий:
1. Применяется одночастотный источник излучения. Это
предположение выполняется, если ширина спектра падающего
излучения значительно меньше ширины линии перехода, что
почти всегда будет иметь место в случае лазерного источника.
Если это условие не выполняется, то для падающего сигнала
можно применить разложение Фурье, а вероятность перехода
вычисляется путем интегрирования по частотному диапазону.
2. Предполагается, что отношение частоты перехода к ши-
ширине линии намного больше единицы. При переходе от E.19)
к E.20) говорилось, что величина [(со — со.,J + I/t2.,] стано-
становится большой вблизи резонанса, т. е. предполагается, что
cojiTji > 1, а это эквивалентно допущению, что отношение час-
частоты перехода к ширине линии должно быть намного больше
единицы.
3. Вероятность перехода вычислялась путем усреднения по
времени за период гармонического возмущения. Чтобы такое
усреднение было справедливым, время перехода, характеризуе-
характеризуемое обратной величиной вероятности перехода, должно быть
значительно больше периода гармонического возмущения, т. е.
co/2itW» 1, где 2л/со —период колебаний, a IF —вероятность
перехода. В соответствии с E.20) это значит, что
n2g, (со)
fi2
E-22)
Неравенство E.22) определяет верхний предел интенсивности
падающего излучения для заданной частоты перехода и задан-
заданного дипольного матричного элемента. Для оптических перехо-
переходов это условие справедливо даже в том случае, когда в качестве
источника используется сфокусированный пучок лазера, рабо-
работающего в режиме модуляции добротности. В диапазоне СВЧ
это условие почти всегда выполняется, однако при использова-
использовании генераторов киловаттной мощности и полых резонаторов
это требование нарушается.
Любой метод теории возмущений требует, чтобы степенной
ряд по h сходился, и это условие справедливо при выполнении
неравенства E.22). Вычисляя вероятности перехода при мно-
многофотонном поглощении, мы будем предполагать, что упомяну-
упомянутые выше условия имеют место.

166 Глава 5
Тем же методом, который применялся для вычисления ве-
вероятности перехода при однофотонном поглощении, из членов,
характеризующих возмущение высшего порядка, может быть
получена вероятность перехода между состояниями 11) и |/)
при двухфотонном поглощении. Если частота падающего излу-
излучения равна половине частоты перехода шц, то резонансный эф-
эффект при двухфотонном поглощении описывается элементами
матрицы плотности, содержащими множитель
; ю,л _ m \ 4- 11т • E.23)
Величина этого выражения становится большой при со ~
~ (Oji/2. Появление множителя такого вида связано с наличием
в правой части уравнения E.7) членов с временной зависи-
зависимостью вида e2i(ot для pij или членов с временной зависимостью
вида е~2гш( для p,-i. Если выписать уравнение для р*2) [на осно-
основании E.7)]
то можно видеть, что справа имеются члены с временной зависи-
зависимостью вида e2iu>t. Действительно, так как
и так как р'1^ имеет временную зависимость вида е±ш, как
это видно из E.16), то произведение ^Щ; будет содержать
члены с e2iat. Если подставить выражение E.16) в E.24), то в
выражении для р<2) коэффициент при члене, содержащем e2iu>t,
будет удовлетворять соотношению
т
\ п )
причем использовались равенства мц = —сом и тн = тп- Знаме-
Знаменатель дроби, стоящий под знаком суммы в E.25), можно упро-
упростить, если принять во внимание, что |ю — сог! | тп ~3> 1; это озна-
означает, что отсутствует непосредственное поглощение излучения.
Тогда, решая E,25) относительно р'Я', имеем
Р(,2) = -
1
4Й2Bю-(о/1-//т/1)
Так как оператор р эрмитов, то рС2) = fpfM*.

Нелинейные эффекты в квантованных средах 167
Теперь получены члены с резонансным знаменателем для
двухфотонного поглощения, и вероятность перехода из основного
состояния в состояние |/) может быть вычислена из dpjj/dt.
Выражение для dpVj/dt, как видно из E.6), содержит произве-
произведение р<2) и Ж. , где первый член имеет временную зависимость
вида е2Ш, второй —вида e±iat, так что dpfjjdt не имеет чле-
членов, не зависящих от времени. Поэтому вероятность перехода,
обусловленного возмущением третьего порядка dp(?)fdt, равна
нулю. Теперь необходимо вычислить dp^j/dt. Из уравнения
E.6) имеем
где р<?> определяется из E.7):
Поскольку резонансный знаменатель для двухфотонного погло-
поглощения с переходом в состояние |/) имеют только члены р'2^ и р'Д»,
то, сохраняя в E,28) только их, можно записать
ih №+Ч/+Ь)9fi=pf/) F;'"щы- E-29)
Дальнейшее упрощение можно провести, если учесть, что не
зависящие от времени члены в E.27) обусловлены наличием
членов в рC\ содержащих временную зависимость вида e±i0}t.
Поскольку в pf) существенны только члены, имеющие времен-
временную зависимость вида е2Ш, то в правой части уравнения E.29)
представляют интерес только те члены, которые содержат вре-
временную зависимость вида eiwt, так как Ж меняется как
е±ш." Поэтому d/dt->i(u и, учитывая условие |а + со,,-1 xq,■ -й>. 1,
получаем
• pC)=_£lifk^M. E.30)
Комбинируя E.27) и E.30) и записывая временную зависи-
зависимость Ж„\ в виде {Жсц/2)(еш + е-ш), получаем выражение для
членов в lh{dp^jdt), не зависящих от времени:

168 Глава 5
При выводе уравнения E.31) принималось во внимание сле-
следующее соотношение:
11 111
со + со , (о + (со . 4- со, Л со + со — со,. со + со , — 2@ со — со .
Вероятность перехода при двухфотонном поглощении W{2)
равна W,2) = dpWIdt. Подставляя E.26) в уравнение E.31), на-
находим
w B)
16/й4
J-J СО-СО,,
со — со ,
9i ;
B(о) ж, ~,0~01 E32)
СО — СО g
<7
Здесь
1 1/т-|
^ ^^ я Bсо-солJ+1/т'л
есть нормированная лоренцева кривая. Так же, как и при одно-
фотонном поглощении, величина gbBa>) определяется из C.24)
для гауссовой формы линии.
Мы видим, что WB) пропорционально четвертой степени поля,
а потому имеет квадратичную зависимость от интенсивности из-
излучения. Это справедливо для электрического дипольного, элек-
электрического квадрупольного и магнитного дипольного взаимодей-
взаимодействий, когда Ж линейно зависит от электрического или магнит-
магнитного поля. С другой стороны, вероятность W(i> имеет линейную
зависимость от интенсивности излучения.
В гл. 2 обсуждались требования к четности состояний при
однофотонном поглощении. Для состояний определенной чет-
четности, если Ж — электрическое дипольное взаимодействие, со-
состояния | 1) и |/) должны иметь противоположную четность,
чтобы величина Ж\\ была отлична от нуля, поскольку диполь-
ный оператор имеет отрицательную четность. Электрические
квадрупольные и магнитные дипольные переходы имеют место
между состояниями одинаковой четности. Рассмотрим условия
четности при двухфотонном поглощении, вероятность которого
определяется выражением E.32). Если Ж — электрическое ди-
дипольное взаимодействие, то, когда состояние 11) имеет положи-
положительную четность, состояние \q) должно иметь отрицательную

Нелинейные эффекты в квантованных средах 169
четность для ненулевого значения Ж„\ и аналогично состояние
|/) должно иметь положительную четность для ненулевого зна-
значения Ж\9. Поэтому двухфотонное поглощение при электриче-
электрическом дипольном взаимодействии может возникать только между
состояниями одинаковой четности. Если Ж' — электрическое
квадруполыюе или магнитное дипольное взаимодействие, то
двухфотонное поглощение возникает также между состояниями
одинаковой четности, однако для переходов на оптических
частотах вероятности перехода приблизительно на двенадцать
порядков меньше, чем для электрического дипольного взаимо-
взаимодействия. Между состояниями, имеющими различную четность,
наиболее интенсивное двухфотонное поглощение возникает вслед-
вследствие комбинации электрического дипольного и электрического
квадрупольного или магнитного дипольного переходов. Это зна-
значит, что Ж?1 может быть электрическим дипольным переходом
между состояниями \q) и |1), имеющими различную четность,
а Ж'-щ — электрическим квадрупольным переходом между со-
состояниями |/') и \q), имеющими одинаковую четность. В этом
случае состояния |/) и 11) имеют противоположную четность.
При переходах на оптических частотах двухфотонное поглоще-
поглощение в переходах между состояниями, имеющими противополож-
противоположную четность, приблизительно на шесть порядков слабее, чем
двухфотонное поглощение в переходах между состояниями
с одинаковой четностью, поскольку в последнем случае вклю-
включаются электрические квадрупольные переходы.
Если в двухфотонном поглощении участвуют только два
уровня, что действительно имеет место, только когда единствен-
единственный отличный от нуля член в E.32) соответствует значениям
q — 1 или q = j, то при электрическом дипольном взаимодей-
взаимодействии необходимо, чтобы состояния | 1) или |/) имели смешан-
смешанную четность. Например, если значению q = 1 соответствует
единственный отличный от нуля член в E.32), то Ж\\ будет
множителем в выражении для Wpy Это означает, что состояние
|1) должно иметь смешанную четность, поскольку электриче-
электрический дипольный оператор имеет отрицательную четность. В изо-
изолированном атоме собственные состояния имеют определенную
четность, так что двухфотонное поглощение не может возникать
при электрическом дипольном взаимодействии, в котором уча-
участвуют только два уровня. Однако в кристалле симметрия га-
гамильтониана относительно инверсии может исчезнуть при нали-
наличии локального поля, и тогда состояния могут иметь смешан-
смешанную четность. То же самое имеет место, когда к среде
приложено постоянное поле.
Вероятность перехода при трехфотонном поглощении в пе-
переходе между состояниями | 1) и |/) вычисляется из dpfHdt,

170
Глава 5
откуда мы находим резонансный член вида
1
I (Зсо — Wyi) + 1/fyi
Методика вычисления W@) аналогична методике вычисления
WB), поэтому получаем
(Зсо)
32Й„
Bш-1
E.33)
Вывод формулы для №(з) не приводится, так как он аналогичен
выводу выражения E.32). Видно, что величина №C) имеет ку-
кубическую зависимость от мощности падающего излучения как
для электрического дипольного, так и для электрического квад-
рупольного и магнитного дипольного взаимодействий.
Из E.33) можно заключить, что для электрического диполь-
дипольного перехода между состояниями определенной четности трех-
трехфотонное поглощение возникает только тогда, когда состояния
| 1) и |/) имеют противоположную четность. Трехфотонное по-
поглощение может возникать в двухуровневой системе между со-
состояниями противоположной четности. В этом можно убедиться,
полагая, что единственный отличный от нуля член в E.33) со-
соответствует значениям k — \ и q = 1. При этих условиях
TCgr (Зсо)
32F
2ю (со-со,,)
E.34)
а Ж\\ отличен от нуля, когда состояния 11) и |/) имеют про-
противоположную четность. Поэтому в двухуровневой системе с со-
состояниями определенной четности трехфотонное поглощение
в переходах между состояниями противоположной четности яв-
является низшим многофотонным процессом поглощения при элек-
электрическом дипольном взаимодействии.
Общее выражение для m-фотонного поглощения в перехо-
переходах между состояниями 11) и |/') имеет вид
W(m)=
ngL
X
X
с k,...s
- О « -
(m - 2) со - cofel]
[2co - cosl] [со- сор,]
E.35)
Если Ж представляет чисто электрическое дипольное взаимо-
взаимодействие, то W(m) зависит от m-й степени мощности излучения
и при состояниях определенной четности состояния 11) и | /')
должны иметь одинаковую четность, когда т — четное число,
и противоположную четность, когда т — нечетное число.

Нелинейные эффекты в квантованных средах 171
§ 3 СЕЧЕНИЯ РАССЕЯНИЯ ДЛЯ ПРОЦЕССОВ МНОГОФОТОННОГО
ПОГЛОЩЕНИЯ
Сечение рассеяния ас, введенное в гл. 3, § 2, определяется
следующей формулой:
°,= лГ7" • E>36)
Здесь З5 — средняя мощность, поглощаемая в единице объема;
Nv — число молекул в единице объема, а / — средняя мощность
падающего излучения, приходящаяся на единицу площади. Се-
Сечение рассеяния является эффективной площадью, на которой
молекула поглощает падающее излучение, так что произведе-
произведение ос на плотность мощности падающего излучения дает мощ-
мощность, поглощаемую одной молекулой.
При однофотонном поглощении величина сечения рассеяния
для переходов с силой осциллятора порядка единицы одного
порядка с физической площадью молекулы. При многофотон-
многофотонном поглощении ас зависит от интенсивности падающего излу-
излучения и даже при сравнительно сильных полях сечение намного
меньше величины, соответствующей однофотонному поглоще-
поглощению. В этом параграфе мы вычислим величину ас для двухфо-
тонного и трехфотонного взаимодействий, используя типичные
значения параметров для электрического дипольного перехода.
Можно выразить ас через вероятность перехода W. По-
Поскольку W является вероятностью перехода в единицу времени
для одной молекулы, величина энергии, поглощенной Nv моле-
молекулами в единице объема в единицу времени, определяется про-
произведением энергии перехода Ла>21 на NVW. Следовательно,
& = Nvfho2iW. E.37)
В бегущей волне плотность мощности равна
Здесь т) — показатель преломления, с — скорость света в сво-
свободном пространстве. Комбинируя E.36) — E.38), получаем
^- E-39)
Сечение при однофотонном поглощении для электрического ди-
дипольного перехода можно вычислить, подставляя W^) из E.21)
в E.39). Имеем

172 Глава 5
При L = 1 это выражение совпадает с C.16). Уравнение E.40)
применимо к изолированной молекуле, а для плотной среды,
когда т] существенно отличается от единицы, необходимо вво-
вводить лоренцев поправочный множитель L.
Сечение рассеяния для двухфотонного поглощения можно
определить, подставляя в E.39) значение W&) из E.32). Для
упрощения вычислений будем предполагать, что в процессе
участвуют только три уровня, так что переход 11) —»■ |2) совер-
совершается через промежуточный уровень |3). Это означает, что
в выражении E.32) надо подставить значения q = 3 и / = 2.
Так как для электрического дипольного перехода в изотропной
среде
то имеем
M-32 |2 ||i31
^B)-—W з 3— (со-со31J"-
Сечение рассеяния для двухфотонного поглощения в трехуров-
трехуровневой системе при oJi = 2со можно найти, если подставить
E.41) в E.39):
ncog.Bco) Ц^Р^з.Рт2
°«2>- 18пСеоЙ3 (со-со31J '• [ЬЛ2>
Для трехфотонного поглощения в переходах, имеющих состояния
противоположной четности в двухуровневой системе, после под-
подстановки E.34) в E.39) с учетом /' = 2 и co2i = Зсо получим
. (Зсо) /1 ц2, р \ |g|
[2(о((о-со21)]2 '
Сечения рассеяния для одно, двух- и трехфотонного погло-
поглощения могут быть вычислены путем подстановки типичных зна-
значений параметров, входящих в E.40), E.42) и E.43). В табл. 5
приводятся приближенные значения этих параметров.
Табл. 6 содержит вычисленные значения ас для различных
процессов. Из табл. 6 видно, что ас ~ Ю~ \Е\'ас для
(m + l) (m)
m-фотонного процесса поглощения. Если зададимся плотностью
мощности падающего излучения порядка 10 Мвт/см2 (величина,
легко достижимая с помощью лазеров, работающих в режиме
модуляции добротности), то, учитывая, что это соответствует
\Е\~9-10* в/см, получаем следующие значения для ас:
<гСB)» 1,5- IQ-25 см2,
аСC)-8- 104 см2.

Нелинейные эффекты в квантованных средах
173
Таблица 5
Предполагаемые значения параметров, необходимых для определения
сечения рассеяния
Параметр
Матричный элемент
Показатель преломления
Функция формы линии
Частота падающего излучения
Частота перехода
Частота перехода для третье-
третьего уровня при двухфотон-
ном поглощении
Обозначение
gL (л*а>) ')
СО
«21
«31
Предполагаемое значение
1 дебай
1,0 (для единичной молекулы)
1 1Г1-12
у 10 сек
2,7 • 1015 рад/сек (частота руби-
рубинового лазера)
B,7- 10'5Хт) рад/сек (для
от-фотонного процесса)
2(o2i (предполагается, что трн
уровня являются равноот-
равноотстоящими)
') Значение функции формы линии g (ma) оценено при резонансном условии:, когда
тв^Вц. Поэтому g (ma) = 7/я = 2/я (Дш) для лоренцевой линии. При ширине линии: Дю,
равной десяти волновым числам, g^ (ma) имеет значение, приведенное в табл. 5.1.
Таблица 6
Сечение рассеяния
Процесс
Однофотонное поглощение
Двухфотонное поглощение в
трехуровневой системе
Трехфотонное поглощение в
двухуровневой системе
для многофотонного поглощения
ос, см?
2,6-Ю"6
1,1 -10 3!|£Т
(Е измеряется в в/см)
l,2-10~54|£|4
(Е измеряется в в/см)
Уравнение
из которого
определено а
F.40)
E.42)
F.43)
Сравнение теоретических и экспериментальных значений W и
ас для двух-, трех- и четырехфотонных процессов поглощения
в антрацене и нафталине проведено в работе [3].
§ 4. ГЕНЕРАЦИЯ ГАРМОНИК
В § 2 и 3 рассматривались процессы многофотонного погло-
поглощения, когда поглощается m фотонов, каждый из которых об-
обладает энергией fico, и в среде возникают переходы из состоя-
состояния 11) в состояние |2), так что mfico = fi<x>2i- С другой сто-
стороны, энергия может сохраняться благодаря излучению фотона

174 Глава 5
с энергией fto>2i. При этом состояние среды пе изменяется. Та-
Таким образом происходит генерация гармоники, когда возникает
излучение энергии с частотой шгь в tn раз превышающей частоту
падающего излучения. Методика расчета интенсивности излу-
излучения гармоники состоит в вычислении компонент поляризации,
которые изменяются на частоте перехода, и нахождении затем
электрического поля на частоте гармоники.
Дипольный момент {ц) записывается в виде
На частоте перехода элементы матрицы плотности р12 и p2i ве-
велики, так как выражения для этих элементов имеют резонанс-
резонансный знаменатель при со = согь Поэтому компонента дипольного
момента (ц), которая изменяется с частотой перехода согь
имеет вид
= Р12И-2! - Р21И12- E.44)
Здесь обозначение A-1J1 применяется для компоненты (|л), из-
изменяющейся с частотой QJi. Если рассматривать состояния опре-
определенной четности, то можно видеть, что в электрических ди-
польных переходах не возникает генерация второй гармоники.
Это связано с тем, что двухфотонное поглощение имеет место
между состояниями одинаковой четности, когда ц\2 = 0, по-
поэтому компонента поляризации на частоте c»2i отсутствует.
Чтобы получить генерацию второй гармоники на электрическом
дипольном переходе, необходимо существование локального
поля либо в самом кристалле, либо приложенного извне, кото-
которое будет нарушать симметрию гамильтониана относительно
инверсии.
Однако если состояния | 1} и |2) имеют противоположную
четность, может возникать генерация третьей гармоники, по-
поскольку матричный элемент ^]2 не равен нулю. В этом случае
представляет интерес компонента pi2, изменяющаяся с часто-
частотой, равной утроенной частоте падающего излучения. Из выра-
выражения E.28) видно, что р<^ содержит член с желаемой часто-
частотой, поскольку Ж$ имеет временную зависимость вида e±iat,
a р^> содержит компоненту с временной зависимостью вида e±2iat,
так что р<|>будет включать член вида e±3iat. Используя выраже-
выражение для р<32> в E.44), находим компоненту дипольного момента,
осциллирующую с частотой, в 3 раза превышающей частоту па-
падающего излучения. Учитывая поляризацию Nv{^)]2, где Nv —
число атомов (предполагается идентичных) в единице объема,
из уравнения B.50) можно найти электрическое поле с часто-
частотой третьей гармоники.

Нелинейные эффекты в квантованных средах 175
Если интересоваться генерацией третьей гармоники в двух-
двухуровневой системе между состояниями противоположной чет-
четности, то несколько проще проводить вычисления на основе
уравнений C.1) — C.3), выраженных через поляризацию. Урав-
Уравнения C,1) и C.2), переписанные ниже, относятся к линейно
поляризованному электрическому полю в изотропной среде
.__
E46)
Здесь N = jV2 — N\ — разность населенностей в единице объема.
Предполагается, что амплитуда электрического поля, создавае-
создаваемого на частоте третьей гармоники, намного меньше амплитуды
поля основной частоты, так что нет необходимости учитывать
обратное воздействие третьей гармоники на систему, Будем
пользоваться экспоненциальными функциями:
Р
Е =-^-е'и' +компл. сопр., E.47)
^^ сопр., E.48)
N = No + (Щ^ ei2at + компл. сопр.). E.49)
Здесь индексы то указывают на компоненты, содержащие
временную зависимость вида eimai.
Поляризация на частоте третьей гармоники обусловлена сле-
следующими процессами:
1) прежде всего благодаря приложенному полю появляется
Ра. Из E.45) видно, что поляризация Ра возникает как резуль-
результат действия Е®\
2) произведение Р и Е обусловливает компоненту N на ча-
частоте 2(о, как видно из E.46);
3) поляризация Р3а возникает за счет произведения N2a, и
Еа в соответствии с E.45).
Это можно изобразить схематически
E.45) E.46) E.45)
Под стрелками указаны номера уравнений, определяющих
связь между переменными.
Каждый этап при генерации ^Зи может быть рассчитан от-
отдельно. Из уравнения E.45) при Q ~ Зсо и пТ2 ^> 1 получаем

176 Глава 5
Из уравнения E.46), замечая, что Q7"i 3> 1, имеем
Наконец, возвращаясь к уравнению F.45) и используя Q = Зсо,
находим
р —
М-12
— р
Комбинируя уравнения E.50) — E.52), выразим поляризацию
Р3щ через Еа:
Если падающее излучение рассматривается в виде бегущей
волны, то поляризацию на частоте гармоники можно записать
в виде
рзи = -^ ei2ate-i3kz + компл. сопр.
Здесь k = tjico/c — постоянная распространения, a rji — показа-
показатель преломления на частоте входного сигнала.
Рассмотрим поле, амплитуда которого является медленно
меняющейся функцией z:
Е?м> = £зю2(г) епше-тг + компл. сопр. E.54)
Подставляя E,54) в C.3а) и пренебрегая потерями (т. е. j^ = 0),
получаем
^ [ (^J] Ёга = ^0 (ЗсоJ Рэи. E.55)
Здесь Tj3 — показатель преломления для третьей гармоники. При
выводе E.55) предполагалось, что
dz2 ^"л dz '
поскольку Еза является медленно меняющейся функцией, так
что второй производной от Е3а по z можно пренебречь. Интегри-
Интегрируя E.55), находим
/сJ L1 ХР\
Зи CftJ-CcoWcJ I Apl 6k
Здесь использовано граничное условие ^Зш = 0 при 2 = 0.
Из соотношения E.38) получим, что плотность мощности тре-
третьей гармоники /зш равна
^зи I2 /г г7ч
• (,0.0/j

Нелинейные эффекты в квантованных средах
177
Подставляя E.53) и E.56) в E.57), находим выражение для
мощности гармоники через напряженность поля входного сиг-
сигнала:
/Зи = /о^- E.58)
Здесь
CftJ-Ca»i,/<f , _ Я#оИМ8-14Ф2о , = |6
и== 2*
На основании E.58) можно сформулировать три существенных
вывода, общие для всех экспериментов по генерации гармоник
независимо от применяе-
применяемых нелинейных сред.
I. Максимальную плот-
плотность мощности гармо-
гармоники можно получить,
когда
3k =
E.59) S
Расстояние г
Фиг. 5.5. Зависимость выходной мощно-
мощности гармоники от расстояния.
Из выражения E.58)
видно, что тогда /зш уве-
увеличивается пропорцио-
пропорционально квадрату расстоя-
расстояния.
Если равенство E.59)
не выполняется, то мощность гармоники изменяется по синусои-
синусоидальному закону, как показано на фиг. 5.5. Период изменений
увеличивается с приближением значения 3k к За)Г]з/с.
Излучение на частоте гармоники имеет постоянную распро-
распространения, определяемую нелинейным процессом и равную 3k.
С другой стороны, естественная постоянная распространения
падающего на среду излучения с частотой Зш равна За>г]з/с.
Максимальное преобразование мощности имеет место, когда эти
две константы равны. Если равенство E.59) выполняется, то
говорят, что для системы выполнено условие импульсного, или
фазового, согласования1).
Если среда не обладает дисперсией, т. е. показатель прелом-
преломления не зависит от частоты, то равенство E.59) выполняется,
поскольку k = Q)T)i/c. Обычно же это равенство не выполняется
вследствие дисперсионных свойств сред. Однако для выполнения
равенства E.59) можно использовать материалы, обладающие
двойным лучепреломлением, и добиться того, чтобы показатель
преломления для обыкновенной волны с одной частотой был
') В отечественной литературе условие фазового согласования называется
обычно условием синхронизма. — Прим. перев.

178 Глава 5
равен показателю преломления необыкновенной волны с другой
частотой. Основанная на этом принципе генерация гармоник
бегущих волн широко освещена в литературе [6]. Условие согла-
согласования показателей преломления E.59) применимо при рас-
рассмотрении генерации любой гармоники, так что для получения
максимальной мощности пг-й гармоники требуется выполнение
равенства
Ц\ = Чт,
где т),п—'Показатель преломления для т-и гармоники.
2. Выходная мощность третьей гармоники имеет кубическую
зависимость от входной мощности. Такая зависимость сохра-
сохраняется до тех пор, пока напряженность поля гармоники не ста-
станет настолько большой, что нельзя будет пренебрегать ее обрат-
обратным воздействием на систему. Вообще говоря, независимо от
вида используемого нелинейного элемента мощность т-й гармо-
гармоники возрастает как (/ш)т. где /ш—■ плотность мощности падаю-
падающего излучения.
3. На генерацию гармоник не накладываются пороговые
требования. Из уравнения E.58) видно, что даже при исче-
зающе малых полях основной частоты существует возможность
генерации гармоник. Наоборот, в лазере или в случае вынуж-
вынужденного рамаыовского рассеяния для возникновения колебаний
необходимо, чтобы мощность падающего излучения превышала
некоторое минимальное значение.
Различие между пороговыми и непороговыми процессами со-
состоит в следующем. В первом случае первый член степенного
разложения поляризации на частоте выходного излучения по
электрическому полю этой же частоты линейно зависит от ве-
величины поля. Для непороговых процессов первый член разло-
разложения не зависит от электрического поля с частотой выходного
излучения.
Если величина Р3а не зависит от Еза, как, например, в выра-
выражении E.52), то на основании уравнений Максвелла C.3а) или
C.36) электрическое поле Е3(а можно выразить через другие
переменные, например Еа. При этом пороговый эффект исклю-
исключается. Если же, например, как в случае лазера, исходить из
уравнения C.1) и учитывать линейную зависимость поляриза-
поляризации от поля с частотой выходного излучения, то обнаруживает-
обнаруживается пороговый эффект. Если выражение для Р подставить в ура-
уравнения Максвелла, то Е сокращается с обеих сторон уравнения
и получается уравнение для постоянной распространения бегу-
бегущей волны k или для частоты со в резонаторе. Для существо-
существования колебаний необходимо, чтобы k или ш были комплексны-
комплексными величинами и имели соответствующие знаки, указывающие
на возрастание амплитуды сигнала. В отсутствие поляризации

Нелинейные эффекты в квантованных средах 179
сигнал экспоненциально уменьшается с расстоянием или во вре-
времени вследствие потерь в системе, и для существования колеба-
колебаний необходимо, чтобы поляризация вносила усиление, превы-
превышающее по величине потери в системе. В § 6, где рассматри-
рассматриваются рамановские колебания, проводится более детальное
обсуждение пороговых условий.
При заданном выборе параметров дипольного перехода мощ-
мощность гармоники можно определить из уравнения E.58). В диа-
диапазоне СВЧ эта мощность была вычислена и измерена Фонтана,
Пантелом и Смитом [7], а в оптическом диапазоне расчет был
проведен Пао и Рентзеписом [8].
§ 5. ШТАРКОВСКОЕ СМЕЩЕНИЕ
В этом параграфе мы рассмотрим нелинейный эффект, при-
приводящий к смещению частоты перехода для дипольного взаи-
взаимодействия при наличии электромагнитного поля. В статиче-
статических полях этот эффект называется постоянным штарковским
смещением; аналогичный эффект наблюдается и в осциллирую-
осциллирующих полях. Если электромагнитное излучение с частотой coi па-
падает на среду, то функцией отклика на пробный сигнал с часто-
частотой со будет кривая поглощения, максимум которой смещается
на величину, пропорциональную интенсивности поля с часто-
частотой о>(.
Чтобы рассчитать величину этого смещения, определим поле,
поляризацию и разность населенностей следующим образом:
сопр., E.60)
е'»г + компл. сопр., E.61)
2
E.62)
Компонента поляризации на частоте ом исключена из уравнения
E.61), поскольку учет этой компоненты не приводит к штар-
ковскому смещению. В выражении для N к штарковскому сме-
смещению имеют отношение только члены, содержащие е1(а±а')(,
поэтому остальные компоненты опущены.
Из уравнения E.45), приравнивая коэффициенты при еш,
получаем
/ /2со \~ 2£2 I м-,о I2 #

180 Глава 5
Из уравнения E.46), приравнивая коэффициенты при е1 (и+И1)' и
е'(и~И|)(, имеем
[. , \ , ' 1 Гг iffl
Математические расчеты упрощаются, если coi достаточно
сильно отличается от со, так что | со—• a>i I 7\ 3> 1. Основной ин-
интерес представляет отклик на пробный сигнал при со ~ Q, а это
значит, что случай coi ~ Q исключен из анализа условием
| со —■ coi | 7"i ^> 1.
Подставляя E.64) в E.63), получаем следующее уравнение:
Q2 - со2 -i 2/2 -г\ 1 £i I H P = LrrL!— Луг. E.65)
Приравнивая к нулю вещественную часть коэффициента
при Р, получаем выражение для резонансной частоты
Вообще говоря, относительное смещение частоты мало, поэто-
поэтому квадратный корень в E.66) можно разложить в степенной
ряд, т. е.
J#%^'2- {57)
Из E.38) находим усредненную по времени мощность h излу-
излучения с частотой coi, приходящуюся на единицу площади:
/^irniceolej2. E.68)
Здесь г|1 — показатель преломления среды для колебаний с ча-
частотой coi- Таким образом, из E.67) и E.68) определим смеще-
смещение частоты AQ
Дм = —Тп у-5 ?г • (О.ЬУ)
Смещение частоты в зависимости от частоты coi для фиксиро-
фиксированной плотности мощности падающего излучения изображено
графически на фиг. 5.6.

Нелинейные эффекты в квантованных средах
181
Таблица 7
Смещение частоты перехода, обусловленное падающим излучением
с частотой го,, для различных значений частоты перехода
и плотности мощности
Частота перехода Q,
рад/сек
1,4- 10"
4- 1015
4- 1015
1,4-10"
4-1015
Частота излучения аи
рад/сек
со, «Q
(О, < й
со,<й
4,1 • 1015
4,1 -10151)
Плотность
мощности /,.
вт/см2
104
ю4
106
104
ю4
Смещение
частоты AQ,
рад/сек
0,2- 108
0,7-104
0,7-106
-0,23
-1.4-105
') Поскольку всегда
10 '4, то удовлетворяется условие I ш — ®! I 7", S> I.
В табл. 7 приводятся штарковские смещения для различных
частот переходов, различных значений coi и различных плотностей
мощности. Предполагается, что показатель преломления равен
II
Фиг. 5.6. Зависимость смещения ча-
частоты перехода AQ для постоянной
плотности мощности падающего из-
излучения от частоты приложенного
электромагнитного поля со,.
единице, \цц\ = 1 дебай. Экспериментальные измерения штарп
ковских смещений были выполнены с помощью лазера, работаю-
работающего в режиме модулированной добротности, и было проведено
сравнение с теоретическими расчетами [8].
§ 6. ВЫНУЖДЕННОЕ РАМАНОВСКОЕ РАССЕЯНИЕ
В § 4 утверждалось, что вынужденное рамановское рассея-
рассеяние представляет собой пороговый процесс. Пороговое условие
для двухфотонного эффекта в трехуровневой системе (фиг. 5.7)
было рассмотрено Джаваном [10], а для трехфотонного процес-
процесса в двухуровневой системе (фиг. 5.4, в) — Фонтана, Паптелом
и Смитом [11].

182 Глава ,5
Рассмотрим для примера рамановский процесс, изображен-
изображенный на фиг. 5.7.
1. Электрическое поле записывается в виде
Р f
Е = ~ еш'' + ~ еш + компл. сопр.
Заметим, что необходимо включать член с возбуждающей ча-
частотой coi и с выходной частотой сог. Таким образом, в гамиль-
гамильтониане матричные элементы Жц члена, соответствующего
взаимодействию, будут иметь компоненты как с частотой соь
так и с частотой сог-
tico,
Фиг. 5.7. Энергетическая диаграмма для
трехуровневого двухфотонного рамауов-
|2\ ского генератора, проанализированного
Джаваном [10].
Предполагается наличие электрической дипольной
связи между состояниями определенной четности,
причем состояния | 1> и |2> имеют одинаковую
четность, состояние \ 3 > — противоположную чет-
четность. Энергия вводится в среду на частоте а1,
рамановские колебания происходят на частоте to.<.
■10
2. Рассматривается равновесное распределение вероятностей,
согласованное с внешними условиями. При тепловом равнове-
равновесии для оптических переходов р3-3- ~ 6\j, где 11) обозначает основ-
основное состояние.
3. Вычисляются матричные элементы оператора р, изменяю-
изменяющиеся с частотой сог, и, поскольку ргз имеет резонансный знаме-
знаменатель на частоте сог, рассматривается этот элемент. Если вы-
выписать в явном виде последовательные члены теории возмуще-
возмущений для ргз, определяемые E.7), то можно видеть, что компо-
компонента с частотой со2 получается в р^> по следующей схеме:
E.14) E.24) E.28)
где цифры под стрелками указывают номера уравнений, кото-
которые используются на каждом этапе. Доказательство того, что
лишь упомянутая последовательность приводит от возбуждаю-
возбуждающего поля к ргз при резонансных взаимодействиях, вынесено
в задачу 5.8. Если частота coi равна частоте перехода из состоя-
состояния |1) в состояние |3), то из E.14) можно найти р[\> в виде
Р'.з' ~ V.^Jxe^. E.70)

Нелинейные эффекты в квантованных средах 183
Из выражения E.24) находим, что р^2> имеет член вида
№~Wl2E.2el*''№)\ E.71)
Из E.28) следует, что р$ имеет член вида
Подставляя E.70) и E.71) в E.72), получаем
о'!'~1и Р и т т т F I F 2 e'W ^74'!
Временная зависимость правой части выражения E.73) указы-
указывает на то, что упомянутая выше последовательность приводит
к члену в р2з, изменяющемуся с частотой оог.
4. Компонента поляризации Р2, содержащая множитель
eia'1, вычисляется из соотношения
Р2 = Nv (P2>J2 + компл. сопр.}, E.74)
где Nv — число идентичных молекул в единице объема. Из вы-
выражений E.73) и E.74) находим Pz в виде
Р2 ~ Nv | ji13121 (i2312 t12t13t23 | £, |2 E2e1^. E.75)
Введем восприимчивость %:
P? = е^Ё2.
Точные расчеты приводят к выражению
^И^З|2|^3|2Т12^23 1^Р ,,. _-.
• E-76)
5. Подставляя Р2 в уравнения Максвелла C.3а) и C.36),
вычислим Ё2- Поскольку величина Р2 пропорциональна Е2, то
обе части уравнения можно сократить на Е2 и в окончательном
выражении останутся только \Ei\2, параметры переходов и ха-
характеристики потерь в среде и резонаторе.
Как указано в § 4, порог достигается тогда, когда мощность,
вносимая за счет поляризационного члена в правой части вы-
выражений C.3а) и C.36), компенсирует потери энер1ии в систе-
системе. Если рассмотреть, например, резонатор с частотой со2, за-
заполненный квантованной средой, то Р2 будет иметь такую же
пространственную зависимость, как и Ег, а Е2 в свою очередь
будет иметь такую же пространственную зависимость, как и
нормальная мода. Поэтому уравнение для Е2 может быть за-
записано подобно B.55):
Е2 + ^Е2 + ^сЕ>=--Р2. E.77)
1С Ь
Здесь
Е2 = -у- еы'{ + компл. сопр.

184 Глава 5
Член (\/хс)Е2 характеризует потери энергии, поэтому пороговое
условие можно записать в виде
-^Е2= —— %Е2. E.78)
Из выражений E.76) и E.78) имеем
1 а2е0 NV I >*13 I2 I >*23 I2 T12Tl3T23 ■ К |2 ,r ?Q,
Уравнение E.79) определяет минимальное значение \Ei\2, при
котором возникают вынужденные рамановские колебания. Если
величина \Ei\2 меньше значения, определяемого уравнением
E.79), то потери в системе превышают вклад энергии, и коле-
колебания не возникают. С другой стороны, при больших значениях
\Ё\\2 напряженность поля на частоте со2 возрастает и достигает
равновесного значения, определяемого эффектами насыщения.
Если предположить, что излучение на частоте со, проходит через
резонатор один раз, то в переходах на оптических частотах при
плотности мощности падающего излучения в несколько ватт на
квадратный сантиметр возникают вынужденные рамановские
колебания. Рокни и Ятсив [12] опубликовали экспериментальные
наблюдения резонансного рамановского эффекта в калии.
Вывод уравнения E.79) основан на предположении, что
все линии имеют лоренцеву форму, а все сигналы — точно резо-
резонансную частоту. Вообще говоря, для произвольных форм ли-
линий и нерезонансных сигналов в правой части уравнения E.79)
необходимо заменить хц на л^гДы), где ga{a>)—нормирован-
ga{a>)—нормированная функция формы линии для перехода |uf)—>• \щ).
В этом параграфе был рассмотрен резонансный раманов-
ский эффект, который называется так потому, что падающее
излучение на частоте а{ вызывает резонансные переходы из
состояния |1) в состояние |3). Часть гл. 7 будет посвящена рас-
рассмотрению нерезонансного рамановского процесса, в котором
состояние |3) не участвует. Некоторые авторы используют тер-
термин «рамановское рассеяние», имея в вчду только рассеяние
света оптическими фононами. Такие процессы рассматриваются
в гл. 7, а в данном параграфе использовалось более общее оп-
определение, когда допускается и рассеяние за счет электронных
состояний.
ЛИТЕРАТУРА
1. Hughes V. W., Grabner L., The Radiofrequency Spectrum of Rb85F and
Rb87F by the Electric Resonance Method, Phys. Rev., 79, 314, 826 A950).
2. Brossel /., Cagnac В., Kastler A., Observations de Resonances Magnetiques
a Plusieurs Quanta Sur un Jet d'Atomes de Sodium Qrientes Optiquement,
Compt Rend., 237, 984 (October 1953).

Нелинейные эффекты в квантованных средах 185
3. Pantell R., Pradere /•"., Hanus ]., Schott M., Puthoff H., Theoretical and
Experimental Values for Two, Three and Four Photon Absorptions Journ
Chera. Phys., 46, 3507 (May 1967).
4. Kaiser W., Garrett C, Two-Photon Excitation in CaF2: Eu2+ Phys Letters
7, 229 (September 1961).
5. Singh S., Bradley L., Three-Photon Absorption in Naphthalene Crystals by
Laser Excitation, 12, 612 (June 1964).
6. Bloembergen N., Nonlinear Optics (ed. W. A. Benjamin), New York, 1965.
(См. перевод: Н. Бломберген, Нелинейная оптика, изд-во «Мир», 1966.)
7. Fontana /., Pantell R., Smith R., Harmonic Generation Using the Ammonia
Inversion Transition, Proc. IRE, 50, 469 (April 1962).
8. Pao Y., Rentzepis P., Multiphoton Absorption and Optical-Harmonic Gene-
Generation in Highly Absorbing Molecular Crystals, Journ. Chem Phys 43,
1281 (August 1965).
9. E, Б. Александров, А. М. Бонч-Бруевш, Н. Н. Костин, В. А. Ходовой.
Смещение частоты оптического перехода в поле световой волны Письма
в ЖЭТФ, т. III, вып. 2, 85 A966).
10. Javan A., Stimulated Raman Effect, Proc. of the International School of
Physics Enrico Fermi Course XXXI, New York, 1964, p. 284.
11. Fontana I., Pantell R., Smith R., Parametric Effects in a Two-Level Electric
Dipole System, Journ. Appl. Phys., 33, 2085 (June 1962).
12. Rokni M., Yatsiv S., Resonance Raman Effect in Free Atoms of Potassium,
Phys. Letters, 24A, 277 (February 1967).
Задачи
5.1. Получить выражение, аналогичное E.32), для двухфо-
тонного поглощения при различных энергиях фотонов (см.
фиг. 5.3,а).
5.2. Для среды с центром симметрии электрическое диполь-
ное взаимодействие приводит к уравнениям E.45) и E.46). По-
Показать на основе этих уравнений, что возбуждаются только не-
нечетные гармоники. Если приложить постоянное поле, то симме-
симметрия нарушается. Показать, что при наличии постоянного поля
возможна генерация четных гармоник.
5.3. Исходя из уравнений Блоха B.83), показать возмож-
возможность генерации второй гармоники. Если приложить постоянное
магнитное поле Во вдоль оси г, то какова должна быть поляри-
поляризация возбуждающего поля и какова будет поляризация поля
второй гармоники?
5.4. Вывести выражение, аналогичное E.58), выявив зависи-
зависимость генерации второй гармоники от расстояния для системы
со спином '/2-
5.5. В § 4 при рассмотрении генерации гармоники мы прене-
пренебрегали уменьшением внешнего поля вследствие нарастания
третьей гармоники. Для случая точного фазового согласования
(т. е. когда ц\ — г\3) на основании выражений E.52) и E.55)

186 Глава !
и условия сохранения энергии
показать, что
где
Изобразить графически (П.5.1) и сравнить с квадратичным за-
законом, полученным из E.58). Показать, что для Z-+0 выражение
(П.5.1) сводится к E.58).
5.6. Используя первый порядок теории возмущений, показать,
что изменение собственного значения £,■ при наличии поля излу-
излучения определяется следующим образом:
. 5.2)
Здесь со — частота излучения, Ьацн = Ei — Ен- Показать, что
уравнение (П.5.2) сводится к выражению для штарковского сме-
смещения E.69) для двухуровневой системы.
5.7. Показать, что максимальное поглощение для двухуров-
двухуровневой электрической дипольной системы при наличии одного
интенсивного сигнала происходит на частоте
05 ~ "
+ 12Й2Й ' (П. 0.6)
где й — невозмущенная частота перехода, L — лоренцев попра-
поправочный множитель. Сравнить (П.5.3) и E.67). Из уравнения
E.67) определяется резонансная частота для пробного сигнала
при наличии другого интенсивного сигнала.
5.8. Показать, что последовательность, приведенная непо-
непосредственно перед E.70),
представляет собой единственный путь, который ведет от воз-
возбуждающего поля к р2з через резонансные взаимодействия. Это
можно доказать, выписывая члены теории возмущений и пред-
предполагая, что система вначале находится в состоянии |1).

Глава 6 КВАНТОВАНИЕ ПОЛЯ
§ 1. ВВЕДЕНИЕ
Гипотеза о том, что энергия в поле излучения существует
в виде отдельных квантов, впервые была выдвинута Эйнштей-
Эйнштейном [1, 2]. Согласно этой гипотезе, энергия на частоте со долж-
должна быть кратна энергии фотона йсо. Это противоречит класси-
классическим представлениям об электромагнитном поле, в кото-
которых предполагается, что энергия принимает непрерывные зна-
значения.
В настоящей главе будет рассмотрено квантование электро-
электромагнитного поля, при котором изменения энергии излучения про-
происходят дискретными количествами в соответствии с гипотезой
Эйнштейна. Математический формализм для описания дискрет-
дискретных изменений энергии в поле излучения основывается на вве-
введении операторов рождения и уничтожения, соответствующих
излучению и поглощению фотонов. Этот подход широко исполь-
используется при описании систем, которые ведут себя как гармони-
гармонические осцилляторы. В таких системах квантами энергии
являются фотоны, фононы, магноны и плазмоны [3].
Уравнения, описывающие взаимодействие излучения с веще-
веществом, будут выведены для случая, когда и поле и среда кван-
квантуются. Сравнение с результатами, полученными полуклассиче-
полуклассическим методом в гл. 3, показывает, что метод кинетических урав-
уравнений, характеризующих взаимодействие излучения с веществом
через средние значения входящих в них переменных, почти экви-
эквивалентен новому подходу. Основная разница заключается в по-
появлении дополнительных членов в подходе квантованного поля,
которые описывают процесс спонтанного излучения. Включение
эффектов спонтанного излучения важно при рассмотрении неко-
некоторых вопросов квантовой электроники. Спонтанное излучение
определяет, например, условия в начале генерации в лазерах,
спектральные свойства излучения в условиях теплового равно-
равновесия и шумовые характеристики лазеров и параметрических
усилителей.
Электромагнитное поле квантуется таким же образом, как
механическая система. Сначала записывается гамильтониан
через координаты qt и канонически сопряженные импульсы р%,

188 Глюа 6
так что уравнения Гамильтона
дЖ .
4
(б-1)
приводят к уравнениям движения системы.
Затем, чтобы перейти от классического рассмотрения к кван-
товомеханическому формализму, переменные цг и pj рассматри-
рассматриваются как операторы, удовлетворяющие перестановочным со-
соотношениям:
[qt, p,] = Mtt. F.2)
Некоммутативность координаты и сопряженного с ней импульса
является требованием, которое представляет собой фундамен-
фундаментальный постулат квантовой механики, и именно здесь в кван-
квантовой механике вводится постоянная Планка. Перестановочные
соотношения [уравнение F.2)] для координаты и импульса при-
применимы как к механическим системам, так и к полю.
Наконец, должно быть получено решение уравнения Шредин-
гера. Когда Ж не зависит явно от времени, решение записывается
в виде A.5):
Здесь \п) и Еп — собственные векторы и собственные значения
оператора Гамильтона Ж, удовлетворяющие не зависящему от
времени уравнению для определения собственных значений:
Ж\п) = Еп\п). F.3)
В § 2 уравнение F,3) будет решено для собственных значений
методом применения операторов рождения и уничтожения для
электромагнитного поля.
§ 2. КВАНТОВАНИЕ ПОЛЕЙ В РЕЗОНАТОРЕ
В качестве введения в метод квантования начнем рассмотре-
рассмотрение простого случая — замкнутого полого резонатора, в кото-
котором отсутствует ток или свободные заряды. Будем предполагать,
что стенки резонатора являются идеально проводящими, а за-
заполняющая среда имеет диэлектрическую проницаемость е и
магнитную проницаемость [X. Распределение поля внутри такого
резонатора может быть выражено через сумму нормальных мод
^а@На(г). F.4)
Здесь Еа и На — ортогональные функции, определяемые выраже-
выражениями B.51) и B.52).

Квантование паля 189
Если рассматривать энергию, запасенную в резонаторе, как
гамильтониан системы, a qa(t) и pa(t) — как координаты и кано-
канонически сопряженные импульсы соответственно, то можно пока-
показать, что такой выбор гамильтониана приводит к правильным
уравнениям движения системы, которые являются уравнениями
Максвелла.
Пусть
Ж = \\ (eE.E + nH.H)dV = ^2j(Pl + <ri)- F-5)
а
Здесь второе выражение получено подстановкой разложения
по нормальным модам F.4) с учетом условия ортогональности
B.52).
Из уравнений Гамильтона имеем
. _ дЖ __
Яа--^Т — Ра-
Поэтому
Из уравнения B.51) получим
Из последних двух уравнений находим V X Е = — \idWdt — одно
из уравнений Максвелла. Аналогичным образом получим
V X Н = edE/dt. Следовательно, выбор гамильтониана в виде
F.5) является удачным.
Гамильтониан для электромагнитного поля F.5) аналогичен
гамильтониану совокупности осцилляторов с единичными масса-
массами. Поэтому квантование электромагнитного поля в резонаторе
сводится к проблеме квантования гармонических осцилляторов.
Чтобы упростить обозначения, рассмотрим поле с одной нормаль-
нормальной модой. При таком предположении знак суммы в F.5) можно
опустить и гамильтониан поля будет идентичен гамильтониану
гармонического осциллятора единичной массы. Отбрасывая ин-
индекс а при со, запишем
Ж = J (Р2 + «V)- F.6)
Теперь определим собственные векторы и собственные значения,
удовлетворяющие уравнению
Ж\п) = Еп\п). F.7)
Здесь Ш берется в виде F.6).

190 Глава 6
Решать уравнение F.7) можно разными способами. Один из
стандартных подходов заключается в подстановке операторов
q{ = qu р{ = —ibdjdqi и в решении полученного дифференциаль-
дифференциального уравнения для определения собственных функций и соб-
собственных значений.
Другой подход заключается в построении совокупности соб-
собственных векторов и определении соответствующих собственных
значений, непосредственно основываясь на формальных опера-
операциях с бра- и кет-векторами. Этот общий подход называется
вторичным квантованием и является наиболее прямым при ре-
решении задачи о гармоническом осцилляторе. Прежде всего по-
полезно определить следующие операторы:
а = >A-fi— (щ + ip), F.8а)
{1р)- {6-8б)
Поскольку операторы р и q соответствуют наблюдаемым и, сле-
следовательно, эрмитовы, то оператор й+ является сопряженным
оператору а. Заметим, что операторы а и af сами по себе не
эрмитовы, так как афаУ, поэтому эти операторы не соответ-
соответствуют наблюдаемым. Операторы о и о1, так же как q и р, не
коммутируют. Если образовать коммутатор для а и аА с по-
помощью определения F.8) и соотношения [q, р] = tft, то найдем
[а, аЧ=1. F.9)
Операторы q и р можно выразить через операторы а и а'1" сле-
следующим образом:
*(а* + а), F.10а)
г(а+-а). F.106)
Подстановка этих выражений в гамильтониан F.6) и примене-
применение перестановочного соотношения F.9) позволяют выразить Ж
через а и а+:
Ж = hatf'a + -7-. F.11)
Подставляя F.10) в F.4), получаем выражения для электриче-
электрического и магнитного полей в следующем виде (для одной моды):
F.12)

Квантование поля 191
Теперь можно определить собственные значения оператора Ж.
Как упоминалось ранее, методика, которая здесь используется,
отличается от наиболее часто применяемой, например, при опре-
определении собственных функций и собственных значений для атома
водорода. В последнем случае, вообще говоря, решается задача
на собственные значения в виде дифференциального уравнения
в частных производных и находится совокупность волновых функ-
функций, зависящих от координат. Волновые функции, однако, сами
не являются наблюдаемыми, и с точки зрения матричной меха-
механики такой подход рассматривается просто как математический
метод определения собственных значений. Вторичное квантова-
квантование— другой подход, предложенный Дираком, позволяет нахо-
находить собственные значения на основе общего бра- и кет-форма-
лизма. Этот метод и будет здесь использован. Действуя на урав-
уравнение F.7) оператором а, получаем
аЖ\п) = аЕп\п).
Подставляя Ж из F.11), имеем
a(hac?a + ^-)\n) = aEn\n), F.13)
однако
а (а*а) = (аа^) а = A + а^а) а. F.14)
Здесь первое равенство вытекает из того, что а и а+ подчиняются
свойству ассоциативности, а второе получено после подстановки
перестановочного соотношения F.9). Подставляя F.14) в урав-
уравнение F.13) и используя F.11), получаем
Из этого равенства ясно, что а\п) является собственным векто-
вектором гамильтониана Ж с собственным значением (Еп — fico). Опе-
Оператор а называется оператором уничтожения, так как при его
действии на собственное состояние возникает другое собственное
состояние, собственное значение энергии у которого меньше, чем
у первоначального состояния. Следовательно, при действии опе-
оператора а одно собственное состояние преобразуется в другое
с одновременным уничтожением энергии, равной по величине fico.
Подобным ьбразом действуя на уравнение F.7) оператором
а+, получаем
2Юа+\п) = (Еп + Ла)сг\п). F.15)
Следовательно, при действии оператора а+ происходит преобра-
преобразование одного собственного состояния в другое, сопровождаю-
сопровождающееся увеличением собственного значения энергии на величину
fico. Поэтому оператор о+ называется оператором рождения.

192 Глава 6
Если начать рассмотрение с собственного состояния |и), то,
применяя оператор рождения или уничтожения, можно получить
новое собственное состояние с энергией, отличающейся от энер-
энергии исходного состояния на величину ha. Этот процесс можно
повторять и получать новые собственные состояния, отличаю-
отличающиеся друг от друга по энергии на величину ha.
Определим теперь область возможных собственных значений
Еп, чтобы установить, можно ли применять процесс повторения
до бесконечности в обоих направлениях для получения собствен-
собственных состояний под действием операторов рождения и уничтоже-
уничтожения. Ответ получается отрицательный, поскольку имеется нижн
ний предел собственных значений энергии, обусловленный тем,
что величина энергии должна быть больше или равна нулю. До-
Доказательство того, что £„ ^ О, начнем с рассмотрения уравнения
Умножив слева обе части уравнения на <ft|, получим
±((n\p2\n) + a2(n\q*\n)) = En. F.16)
Здесь предполагается, что \п) составляют ортонормированную
совокупность. Поскольку операторы р и q эрмитовы, то приме-
применение единичного оператора / = ^j|m)(m| дает
т
(« | р- | «) = 5 (п\р\ т) (т\ р | «) =
т
= 2 (т I p I ft)* (т | р | ft) =
и аналогично (ft|g2|ft)>0. Следовательно, из выражения F.16)
имеем Еп X).
В результате проведенных рассмотрений можно заключить,
что имеется минимальное собственное значение £0^0, которому
соответствует собственное состояние, обозначаемое |0). Посколь-
Поскольку а\п) является собственным состоянием с энергией (Еп — fico),
то должно выполняться равенство а\0) =0, ибо в противном
случае существовали бы собственные значения, меньшие чем Ео.
Поскольку а\0) = 0, то справедливо следующее равенство:
«соа+а|0) = 0. F.17)
Учитывая F.11), можно переписать F.17) в виде
I дв 2~11 U) = I).

Квантование Поля
193
Так как Ж\0) = Е0\0), т0 ^о = /но/2. Таким образом установле-
установлено, что существует собственное состояние |0) с минимальной
энергией Ео = йсо/2.
Последовательное действие оператором а+ на |0) дает новые
собственные состояния с собственными значениями энергии, от-
отличающимися друг от друга на йсо. В связи с этим собственные
значения, расположенные
равномерно по шкале
энергии, определяются
соотношением
£„=(« +у) Аи, F.18)
■/>
I/)
Фиг. 6.1. Диаграмма энергетических уров-
уровней для гармонического осциллятора.
где п — положительное
целое число или нуль.
Итак, показано, что
существует минимальное
собственное значение Ей
и имеется бесконечное
число равномерно распре-
распределенных по шкале энер-
энергий собственных значе-
значений, соответствующих
собственным состояниям,
получаемым последова-
последовательным действием оператора а+. Существуют ли еще какие-ни-
какие-нибудь дополнительные собственные значения, кроме тех, которые
определяются условием F.18)? Предположим, что имеется собст-
собственное значение энергии Ей, не учитываемое условием F.18), и
соответствующее собственное состояние \k). Последовательное
действие оператором а на \k) приводит к собственным значениям
вида (Ей—mfico), где т — положительное целое число. Посколь-
Поскольку собственное значение не может быть отрицательным, должно
существовать минимальное собственное значение энергии Е'а,
которому соответствует собственный вектор |0'), такой, что
а|0')=0. Из выражения F.11) получим результат такой же,
как и прежде, т.е. Е'о = Ео = Л со/2. Поскольку Eh больше Ег0
на целое число йсо, то собственное значение Ек учтено в F.18).
Диаграмма уровней энергии для квантованного гармониче-
гармонического осциллятора представлена па фиг. 6.1. Когда осциллятор
возбужден и находится в п-м собственном состоянии, он обла-
обладает энергией (л+'/г)8^, т.е. энергией, на «йсо превышающей
энергию самого нижнего уровня. В случае электромагнитного
поля возбуждение гармонического осциллятора нормальной моды
на га-е собственное состояние можно описать, говоря, что име-
имеется п фотонов в этой моде, каждый из которых обладает

194 Глава в
энергией йо). Иначе говоря, состояние \п) — Это состояние с п
квантами энергии.
Состояние |0), называемое вакуумным состоянием, характе-
характеризуется отсутствием квантов энергии, однако ему соответствует
«нулевая энергия» fico/2. Нет ничего необычного в наличии нуле-
нулевого энергетического уровня, поскольку измерения энергии но-
носят скорее относительный характер, чем абсолютный, и можно
путем вычета величины ftco/2 из гамильтониана F.11) сместить
энергетическую шкалу так, что нулевая энергия будет равна
нулю. Это допустимо, поскольку добавление постоянной вели-
величины к гамильтониану не изменяет вида ни классических, ни
квантовомеханических уравнений движения. Например, средние
значения электрических и магнитных полей, их квадратов и так
далее не изменяются, если исключить нулевую энергию из га-
гамильтониана (см. задачу 6.3).
Когда оператор рождения а+ действует на собственный век-
вектор \п), соответствующий некоторому собственному состоянию,
содержащему п фотонов, то получается новый собственный век-
вектор |«+1), соответствующий собственному состоянию, содер-
содержащему п + 1 фотон. Поэтому оператор рождения описывает
добавление одного фотона к полю, что приводит к увеличению
энергии на величину fico. Аналогично оператор уничтожения ха-
характеризует уничтожение одного фотона с соответствующим
уменьшением энергии поля на величину fico.
На языке фотонов операторы а и а+ описывают рождение и
уничтожение фотонов, отсюда и их названия. Комбинируя выра-
выражения F.7), F.11) и F.18), замечаем, что произведение опера-
операторов afa удовлетворяет следующему уравнению:
а?а\п) = п\п). F.19)
Оператор afa характеризует число фотонов в моде, причем сред-
среднее значение (а^а) для системы, находящейся в собственном со-
состоянии \п), равно «. Поэтому оператор а+ а называется операто-
оператором числа фотонов.
В общем случае, когда состояние поля не описывается соб-
собственным состоянием \п) с числом фотонов п, а скорее предста-
представляет собой статистическую смесь состояний, под понятием «чис-
«число фотонов в моде» следует понимать среднее значение оператора
числа фотонов:
Здесь матричные элементы (а^а)тп получены умножением слева
выражения F.19) на (пг\. Последний член равенства F.20)
представляет собой стандартную запись для средних значений,

Квантование поля 195
поскольку р„п есть вероятность заселенности собственного со-
состояния, содержащего га-фотонов.
Для вычисления матричных элементов операторов, выражен-
выраженных через а и а+, необходимо определить нормировочные кон-
константы, связанные с этими операторами. Так как в результате
действия оператора а на \п) получается собственное состояние
\п— 1), то можно записать
а\п) = Сп\п-\).
Здесь Сп — коэффициент пропорциональности. Аналогично,
Здесь Dn — коэффициент пропорциональности для оператора
рождения. Из выражения F.19) имеем
а^а |«) = п | ft) = а^Сп | п - 1) = CnDn_, | п).
Отсюда следует
F.21)
Кроме того, поскольку оператор а1' является сопряженным с
оператором а и состояния \п) ортонормированы, находим
(«-I \a\n) = Cn = (n\a+\n-I)' = D*n_v F.22)
Коэффициенты С„ и Dn можно выбрать вещественными без ог-
ограничения общности решения. Поэтому на основании F.21) и
F.22) запишем
Cn=Vn, Dn=/ft~TT.
Действия с операторами а и а+ можно систематизировать сле-
следующим образом:
а 10> = О,
а\п)= \fn\n- I), ft =7^=0,
F.23)
Умножая слева каждое уравнение F.23) на (т\, получаем со-
соответствующие матричные элементы F.24). Они также пред-

196
ставлены в табл. 8;
Глава 6
атп= Vn+
^а)тп = nhmv
F.24)
Определив таким образом матричные элементы, можно при-
приступить к решению интересующих нас проблем.
Таблица 8
Матричные элементы операторов а, 0е и а а
о /I о о ...
О 0/2 0 ...
0 0 0 /3 ...
I )
о о о о ...
Г1 о о о ...
О /2 0 0 ...
\
а а ->
о о о о ...
О 1 0 0 ...
О 0 2 0 ...
/. Затухание энергии в моде резонатора
Рассмотрим применение формализма, развитого в предыду-
предыдущем разделе, к изучению довольно простой задачи о нараста-
нарастании н затухании электромагнитной энергии в резонаторе.
Оператор энергии для поля в резонаторе определяется га-
гамильтонианом F.11). Среднее значение энергии записывается
следующим образом;
Чтобы получить уравнение движения, описывающее поведение
энергии в резонаторе, будем следовать методике, развитой
в гл. 2, где выведено дифференциальное уравнение для сред-
средних значений переменных. Из табл. 8 можно видеть, что все
матричные элементы оператора Ш — ba(cva + '/г), кроме диа-

Квантование поля 197
тональных, равны нулю. Следовательно, соответствующее урав-
уравнение движения для первой производной {Ж) находится с по-
помощью A.49):
i M=0. F.25)
Точкой обозначается дифференцирование по времени d/dt.
Здесь очень важно уяснить себе, что это первый пример в дан-
данной книге, когда метод дифференциальных уравнений для сред-
средних значений величин, развитый в гл. 1, § 4, п. 5, применяется
к системе, имеющей более двух уровней (гармонический осцил-
осциллятор является системой с бесконечным числом уровней). По-
Поэтому необходимо проанализировать предположение о том, что
все времена продольной релаксации Tih равны друг другу и
определяются величиной Тх. Это требование должно удовлет-
удовлетворяться при использовании формализма гл. 1. Для резонатора
с линейным законом потерь в стенках видим, что энергия поля
внутри резонатора затухает во времени экспоненциально с по-
постоянной времени 7\ = тс (постоянной затухания резонатора)
независимо от уровня возбуждения. Поскольку предположение
о том, что Tjk=Th которое приводит к F.25), согласуется
с таким экспоненциальным затуханием, го можно заключить,
что предположение о равенстве времен релаксации в этом слу-
случае оправдано.
С помощью выражений F.11) и F.20) уравнение F.25)
можно записать в виде
Величина (п)е представляет собой число фотонов в моде при
условиях теплового равновесия и определяется из F.20)
2
Таким образом, видим, что среднее значение эперпш в нор-
нормальной моде резонатора подчиняется экспоненциальному зако-
закону затухания вида е~1'т<, где 7\ — постоянная затухания резо-
резонатора тс-, связанная с потерями энергии поля в окружающее
пространство. В результате затухания величина энергии стре-
стремится достичь значения Ъ®((п)е + '/гЬ которое представляет
собой сумму пулевой энергии В и/2 и энергии, соответствующей
числу фотонов в моде при равновесных условиях. При усло-
условиях теплового равновесия устанавливается равновесный уро-
уровень в результате теплового излучения окружающих тел.

198 Глава 6
2. Уравнение поля для отдельной моды резонатора
Другой важной задачей, при рассмотрении которой приме-
применяют квантование поля, является определение временной зави-
зависимости электрического поля. С помощью соотношений F,12)
оператор электрического поля для одной нормальной моды ре-
резонатора можно выразить через операторы рождения и унич-
уничтожения а+ и а следующим образом:
'!E,(r)(at-a). F.26)
На основании табл, 8 видим, что все диагональные элементы
матрицы Е равны нулю. Поэтому, используя A.48), можно по-
получить уравнение движения для первой производной от средне-
среднего значения величины (Е) = Sp(pE):
(E)+^=7L([E, Ж]).
Пользуясь выражениями F.11) и F,26), вычислим коммутатор
[Е, Ж\.
[Е, ^] = /йй)-|/^Еа(г)(а + а+), F.27)
который, как видно из F,12), пропорционален оператору маг-
магнитного поля Н. Используя A.51), получаем выражение для
второй производной (Е):
(Ё) + JL (ё) + -L <Е> = 1 ([ [Е, Ж], Ж]). F.28)
2 2
Внутренний коммутатор в правой части F.28) определяется
выражением F.27). Вычисляя внешний коммутатор, находим
[[Е, Ж], Ж] = П2п>2Е.
Подставляя это выражение в F.28), получаем уравнение, пол-
полностью выраженное через величину (Е):
(Ё)+^(Е) + о2<Е) = 0. F.29)
Здесь мы предположили, что со ^> 1/Г2.
Уравнение F,29) является дифференциальным уравнением
для электрического поля в резонаторе с резонансной частотой
со и с коэффициентом затухания для поля Тг. Решения уравне-
уравнения F.29) записываются в виде е±ше~'1тк Затухание с по-
постоянной времени Тг связано с потерями энергии поля в окру-
окружающем пространстве. Поскольку постоянная времени Г4 = тс
в уравнении F,25) для затухания {Ж) характеризует те же

Квантование поля 199
потери и поскольку {Ж) является величиной, пропорциональной
квадрату электрического поля, то постоянная Г2 связана с Т\
следующим равенством: 1/Г4 = 1/тс = 2/7Y
Рассмотренные примеры показывают, каким образом можно
перейти от квантования поля к описанию интересующих нас
явлений с помощью дифференциальных уравнений для сред-
средних величин,
§ 3. КВАНТОВАНИЕ ПЛОСКИХ ВОЛН
В § 2 при квантовании поля ортонормированные моды в ре-
резонаторе использовались как базисные функции. Вместо этого
иногда удобно применять разложение поля по плоским бегу-
бегущим волнам.
Волновое уравнение для электрического поля Е в свободном
от источников излучения пространстве имеет вид
VX(VxE) + -£-§^- = 0. F.30)
Здесь с=1/|/цоео> а "Л = |^це/цоео—показатель преломления.
Аналогичное уравнение может быть выведено для Н.
Решения волнового уравнения для Е можно представить
в виде плоских волн типа 10ехр[±г(о)к^—'к-г)], где 10 —еди-
—единичный вектор в направлении поляризации, а к — волновой
вектор. Из уравнения V-D = 0 видно, что 10-к = 0, т. е. направ-
направления поляризации и распространения взаимно ортогональны.
Это условие называется условием поперечности. Каждому зна-
значению к соответствуют два независимых направления поляри-
поляризации о = 1, 2 в поперечной плоскости, которые ортогональны
вектору к и друг другу.
Подставляя решение в экспоненциальной форме
10ехр[±г'((й* — k-r)] в волновое уравнение F.30) и используя
равенство
УХA„е±1Ъг)= + гAоХк)е±гк-г,
находим, что к и сок связаны следующим образом:
2 2
С*
где '"
Удобно потребовать, чтобы электрическое и магнитное поля
удовлетворяли периодическим условиям на противоположных
гранях куба с линейными размерами L и объемом V = L3. Это
позволяет выражать поля через моды, которые обладают свой-
свойством дискретности и ортогональности. Вдоль оси х имеем
= e

200 Глава 6
Таким образом, периодические граничные условия включают
в себя требование, чтобы перенос на расстояние L параллель-
параллельно ребру куба не изменял значения экспоненциального реше-
решения. Это требование удовлетворяется при выполнении условий
Здесь пх, пу и nz — целые числа в интервале от —оо до +оо.
Следовательно, постоянные распространения составляют ди-
дискретную совокупность значений.
Если экспоненциальные решения выбрать в виде
ика(г)=10у^, F.32)
то функции Uk0(r) будут удовлетворять условию ортопорми-
ровапности
JKc(r)-Vk,a.(r)dV = 6kk,6aa,. F.33)
Здесь интеграл берется по всему объему куба V.
Электрическое поле может быть записано в виде суммы
Е = '"
к, сг
Здесь для классического поля а^а и Ь^а — изменяющиеся во
времени коэффициенты, а выражение, стоящее перед скобка-
скобками, является нормировочным коэффициентом, который позво-
позволяет выразить Ш для плоских волн в такой форме, которую Ш
имеет для полей резонатора, В классическом случае Е являет-
является вещественной переменной, так что Е = Е*, следовательно,
из F,34) имеем bka = — a*ka. В общем случае при переходе
к квантовомеханическому описанию изменяющиеся во времени
величины (в данном случае а^а и Ь^о) становятся оператора-
операторами. Поскольку Е является наблюдаемой, то оператор, соответ-
соответствующий Е, эрмитов. Отсюда имеем Е = Ef, а это дает с уче-
учетом F.34), что bka= — ак~а. Следовательно, как для классиче-
классического, так и для квантовомеханического случаев можно запи-
записать
^lLk\ W XAakce akae ]■ F-35)
k, cr
В случае плоских воли магнитное поле ортогонально векто-
вектору к и вектору 10, а отношение Е к Н равно Уц/е. Следова-

Квантование поля 201
телыю, магнитное поле можно представить в виде суммы
/■ ficok
Н = «' S У Ш 0к X У Ke""r - <e-"-r]. F.36)
к, сг
Здесь 1к — единичный вектор в направлении вектора к.
Когда гамильтониан выбран таким образом, что он равен
электромагнитной энергии в нормировочном объеме V, т. е.
= i-J (еЕ-Е+цН ■ H)dV,
на основании формул F.32) — F,36) получим
Ж = 1 2 Ашк КЛо- + «кЛ.)' F.37)
к, сг
Если F,37) есть действительно гамильтониан, то, выразив
Яка через координату q и импульс р, из уравнений Гамильтона
получим уравнения Максвелла, Пользуясь выражением F,8)
для определения а^а, можно преобразовать 3$ в гамильтониан
гармонических осцилляторов:
к, сг
Применяя методику, аналогичную использованной при кванто-
квантовании поля резонатора, можно показать, что уравнения Мак-
Максвелла получаются из уравнений Гамильтона. Для квантования
полей далее постулируется, что <7ко и р^а являются оператора-
операторами, удовлетворяющими перестановочным соотношениям
Ко> Рк'о'1= ih\v6aa'- Переменные ака, ак'а можно рассматри-
рассматривать как операторы рождения и уничтожения, для которых
справедливо следующее соотношение: [ака, о+о,] = Ькк,6аУ.
Тогда гамильтониан F,37) записывается в виде
к, о
а разложения F,35) и F.36) рассматриваются как выражения
для квантованных полей через операторы ака, a+a.
После приведения гамильтониана к указанному выше виду
решение задачи о собственных значениях и определение мат-
матричных элементов операторов а и af проводятся точно таким
же способом, какой применялся в предыдущей главе для кван-
квантования поля в резонаторе. Следовательно, матричные элементы
определяются выражением F.24) и табл. 8.

202 Глава 6
Если увеличивать объем, так что L —*■ оо, то суммы в выра-
выражениях настоящего параграфа заменяются интегралами вида
и условие ортогональности F.33) будет иметь вид
У= J Ка С") ■ Ukw (Г) dV = б (к' - к) ви..
Здесь 8(к' — к) —дельта-функция Дирака.
§ 4. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ИЗЛУЧЕНИЯ С ВЕЩЕСТВОМ В СЛУЧАЕ,
КОГДА ПОЛЕ И СРЕДА КВАНТУЮТСЯ
В гл. 2 и 3 рассматривалось взаимодействие излучения
с веществом на основе полуклассического подхода, когда среда
квантована, а поля предполагаются классическими. Полуклас-
Полуклассический подход, вообще говоря, был полностью справедлив
для рассматриваемых задач. Однако в задачах, в которых учи-
учитываются спонтанное излучение и шумы, необходимо применять
полностью квантовый подход, при котором как поле, так и сре-
среда квантуются.
В этом параграфе будет развит полностью квантовый под-
подход к резонансному взаимодействию излучения и двухуровневых
молекулярных систем, связанных электрическим дипольным
переходом. Поскольку эта проблема аналогична той, которая
рассматривалась с полуклассической точки зрения в гл, 2 и 3,
изучение ее позволит заметить разницу между обоими подхо-
подходами. Она будет служить также моделью, на которой мы раз-
разработаем методику, применяемую в тех случаях, когда тре-
требуется полностью квантовый подход, например при рассмотре-
рассмотрении эффектов спонтанного излучения и квантовых шумов.
Предполагается, что рассматриваемая система состоит из
JT атомов или молекул, заполняющих резонатор. Атомы или
молекулы обладают парой невырожденных энергетических соб-
собственных состояний противоположной четности, \ui) и \и2), раз-
различающихся по энергии на величину Ег — Е^ = Ш и связан-
связанных электрическим дипольным переходом. Будем считать, что
резонатор может возбуждаться на одной моде с резонансной
частотой о)а~й. Диаграммы уровней энергии для среды и
поля приведены на фиг. 6,2. Гамильтониан берется в виде
Ж = Жц + Ж. Член 5#о> являющийся гамильтонианом системы
в отсутствие взаимодействия молекул с полем, представляется
в виде суммы двух слагаемых

Квантование поля
203
Первое слагаемое характеризует энергию молекулы в отсут-
отсутствие излучения, второе — энергию поля в отсутствие молекулы.
В качестве базисных функций выберем собственные векторы
\uit n) ~\Ui)\n), удовлетворяющие уравнению
{Шш + дв^)\ щ, п) = \Е1 + \п+-к\П(й\\и1, п),
/= 1, 2; п = 0, 1, 2, ... . F.38)
Здесь | и,) — собственное состояние среды. Член Ж, характе-
характеризующий взаимодействие и соответствующий электрическому
дипольному переходу, записывается в виде
где подразумевается суммирование по повторяющимся индек-
индексам.
Энергия
\иг\
Еп-Еп_,=Ъи>
И
{hcj
Ю>
Среда
Поле
Фиг. 6.2. Диаграммы энергетических уровней для двухуровневой кванто-
квантованной среды и квантованного электромагнитного поля.
При полуклассическом подходе считалось, что ц является
оператором, а Е — классической величиной. При полиостью
квантовом подходе обе величины являются операторами.
В этом случае матричные элементы задаются следующим об-
образом:
Ж\, п-.1,т=~ {Щ | (п | цаЕа \и,)\т)= - {ца)и {Еа)пт. F.39)
Поскольку предполагалось, что состояния |ut) и \и%) имеют
противоположную четность, то отличными от нуля матричными
элементами дипольного оператора {ца)ц будут только (цаI2 =
= (ца)*,=зца. Для поля предполагается наличие одной нормаль-

204
Глава 6
ной моды. Матричные элементы Е„т находятся с помощью
F.24) и F.26):
а)пт= ~ iy ^{Ea)a
6mm+1
Здесь Еа — нормальная мода поля. Следовательно, находим,
что матричными элементами гамильтониана F.39), характери-
характеризующего взаимодействие, будут
^1, я; 2, «-1 = 1 у -
F.40)
/, Уравнения движения для оператора плотности
Уравнения движения для системы получаются из уравнений
для матрицы плотности A.30) и A.36). Обозначения для эле-
элементов матрицы плотности в случае полного квантования не-
несколько сложнее, чем при полуклассическом подходе, посколь-
поскольку как состояние среды, так и состояние поля должны быть
определены. Типичный матричный элемент имеет вид
(щ, п\р\щ, tri) = («,-|(n|p|uj)|m) = р;, n; jt m. Диагональный
элемент pii „;,-, „ характеризует совокупную вероятность того,
что среда находится в состоянии |м,-), а поле — в состоянии
| п). С помощью диагональных элементов можно вычислить
полную вероятность того, что молекула находится в состоя-
состоянии \Ui):
Ра = 2 Р,, „. t „. F.41)
п
Аналогично полная вероятность того, что поле находится
в состоянии \п), равна
Р,ш= 2 р,, „..,„•
F.42)
Уравнения для матрицы плотности системы молекула — по-
поле получаются на основании уравнений A.30) и A.36) и

Квантование поля. 205
имеют вид
гЛР<, я; /. m ~ tmi. n; /, mP«, n; /, m + 7~"~ Р< »■ / m =""
t, n; I, m ' ''
i= 1, 2, /--- 1, 2,
n, m = 0, 1, 2, . . .,
г, /i=^=/, m,
/Ap'-n; '•n+^rifr^''n; '•ii ~p?-/;; '•(i)=[ж/'p1'- «•• '•»' F-44)
«=1, 2,
n _ q i 2
Здесь
Йсог, „; /, m = Ei — Ej + (n — m) Ha. F.45)
Соответствующие значения времен релаксации т;, n;j>m и
Ti,n;i,n выбираются в процессе вывода уравнений для изу-
изучаемых величин.
В большей части книги не применялись непосредственно
уравнения для матрицы плотности A.30) и A.36), а использо-
использовались уравнения, содержащие производные по времени от
среднего значения (гл. 1, § 4, п. 5). Аналогичный подход можно
было бы применить и здесь. Однако при наличии произведений
собственных состояний поля и вещества удобно оперировать
с основными уравнениями для матрицы плотности, что мы и
будем делать в дальнейшем.
2. Кинетические уравнения
Выведем теперь уравнения движения для средних значений
переменных. Одной из переменных является число фотонов
в моде (я), задаваемое выражением F.20):
(п) = (а+а) = Sp (pa+a) = nS jit n. L m {аЧ)и m. { n. F.46)
Матричные элементы оператора afa определяются с по-
помощью выражения (G.24):
(fl+fl)/. m; I, n = <"/ I (m I аЧ I "'> I "> = ^^m&i = ^mAl- F.47)
Комбинируя F.46) и F.47), находим
(я) = 2 npnn- F.48)
П
Здесь рпп определяются из F.42).

206 Глава 6
Чтобы получить уравнение движения, начнем с дифферен-
дифференцирования выражения F.48) по времени
4t W = Ъ "Р»« = S " S К п: I, п = Ц п (Р|, »: 1, я + Н п; 2, „)•
п п i n
F.49)
При вычислении правой части уравнения F.49) надо ввести
ряд довольно громоздких подстановок из уравнений для матри-
матрицы плотности F.43) и F.44). Это вынесено в приложение 7.
В результате получаем
Здесь
gL(a,Q) — лоренцена функция формы линии.
Аналогичным образом можно вывести выражение для раз-
разности вероятностей заселенности верхнего и нижнего состоя-
состояний (ри — ргг), которая определяется из выражения F.41):
Р;, - Ри = 2 (Р,, „. ,, „ - Р2, „. 2. „)• F-52)
Дифференцируя F.52) по времени и используя F.40) и вы-
выражения (П. 7.4) — (П. 7.7) из приложения 7, получаем
= - 2gS«(P,. n: ,.n-P2; п; 2. «) + 2GP22> F-53)
п
где отождествление постоянной времени в левой части F.53)
с Tt соответствует физическому смыслу Т\ как времени про-
продольной релаксации среды, связанного с такими процессами,
которые заставляют вероятности заселенности рц и р2г релак-
сировать к их равновесным значениям.
Уравнения F.50) и F.53) представляют собой разновид-
разновидность кинетических уравнений, которые описывают развитие
процессов во времени, а именно изменение числа фотонов в мо-
моде и изменение разности вероятностей заселенности верхнего и
нижнего состояний молекулы. Кинетические уравнения описы-
описывают изменения этих величин в результате взаимодействия
между полем, молекулой и окружающей средой.
Смысл членов в правой части уравнений F.50) и F.53)
можно проиллюстрировать на двух примерах. Сначала предпо-
предположим, что молекула находится в нижнем состоянии, так что

Квантование поля 207
рп = 1 и р2,п;2,п = 0. Используя F.42) и F.48), уравнение
F.50) можно записать в виде
^(„)+м_(^=_е(„); (б54а)
Таким образом, когда молекула находится в нижнем состоянии,
число фотонов в моде уменьшается со скоростью G{n) вслед-
вследствие взаимодействия с молекулой. Это процесс поглощения,
причем он развивается со скоростью, пропорциональной числу
присутствующих фотонов.
С другой стороны, если молекула находится в верхнем со-
состоянии, так что pi, п-1. п = 0 и р22 = 1, то уравнение F.50)
приобретает вид
it <"> + (П) ~х{сП)е = G <n> + GP22 = G (("> + О- F-546)
Отсюда видно, что, когда молекула находится в верхнем со-
состоянии, число фотонов в резонаторе увеличивается в резуль-
результате взаимодействия с молекулой. Увеличение числа фотонов
обусловлено двумя процессами. Один процесс идет со ско-
скоростью G{n), пропорциональной числу фотонов в моде. Этот
процесс, обратный процессу поглощения, называется вынуж-
вынужденным излучением. Именно вынужденное излучение обеспечи-
обеспечивает работу лазеров. Второй член в правой часги уравнения
F.546) описывает излучение фотонов в моду резонатора моле-
молекулой, находящейся в верхнем состоянии, благодаря процессу,
который не зависит от числа фотонов в моде. Этот процесс су-
существует даже в отсутствие полей и поэтому называется спон-
спонтанным излучением. Поскольку этот член имеет такой же вид,
как и член для вынужденного излучения при (п) = 1, то этот
процесс иногда называют процессом излучения «экстра-фо-
«экстра-фотона».
Когда молекула не находится точно в верхнем или нижнем
состоянии, разделение взаимодействия на процессы поглощения
и излучения, скорость которых пропорциональна (п), не всегда
возможно. Эта трудность вызвана тем, что существует возмож-
возможность статистической зависимости состояний. Элемент матрицы
плотности р;. п;;, п есть вероятность того, что молекула нахо-
находится в состоянии \ui), а поле — в состоянии \п). Если вероят-
вероятность нахождения молекулы в состоянии \щ) зависит от того,
в каком состоянии \п) находится поле, то
Pi. n;i. n^PiiPnn-
Здесь pa — вероятность того, что система находится в состоянии
м,-), а рПп — вероятность нахождения системы в состоянии
п). Когда это неравенство существует, говорят, что состояния

208 Глава б
молекулы и поля статистически зависимы и кинетические урав-
уравнения не могут быть выражены в терминах рн, рзз и {п). Если,
однако,
Р*. n-t,n = Pi Р„„> F55)
то говорят, что состояния молекулы и поля статистически неза-
независимы. В дальнейшем будем предполагать, что состояния
статистически независимы, т. е. справедливо равенство F.55).
Машкевич [4] рассмотрел условия, при которых равенство
F.55) может нарушаться, и нашел, что статистическая зависи-
зависимость играет существенную роль только в лазерах высокой
мощности, работающих в режиме модуляции добротности.
Предполагая, что F.55) выполняется, с помощью выраже-
выражений F.41) и F.42) кинетические уравнения F.50) и F.53)
можно свести к виду
it <"> + ^тг~ = G {^ +1) р22 ~ G (я>р» - <6-56)
Jf IP" ~ Р^ + Г,
= 2G «п> -Ь 1) р23 - 2G (п) р„. F.57)
Первый и второй члены в правой части уравнений F.56) и
F.57) характеризуют соответственно процессы излучения и
поглощения.
Коэффициент G является константой связи, определяемой
выражением F.51). Для изотропной среды выражение для G
сводится к
Щ1^{а> п)Е^ (б-58)
Рассмотрим резонатор, в котором нормальная мода описы-
описывается функцией, пропорциональной cos kx, т. е. Еа ~ cos kx.
Тогда константа связи G, определяемая выражением F.58),
будет пропорциональна cos2kx, а следовательно, будет иметь
узлы и пучности. Для атома, находящегося в окрестности узла,
константа связи G будет иметь малую величину, и согласно
F.57), переходы будут осуществляться с малой скоростью.
Соблазнительно истолковать это так, что в пучностях нормаль-
нормальной моды больше фотонов, чем в узлах, и, следовательно, пере-
переходы в пучностях будут идти с большей скоростью. Однако
это неправильно. Анализ уравнения F.56) и его физическая
интерпретация показывают, что величина (п) характеризует
число фотонов в моде и не изменяется при переходе от одной
точки пространства к другой. Скорость изменения числа фото-
фотонов при определенном положении атома зависит от константы

Квантование ноля 209
связи G, являющейся функцией координат. Переменная (п\
указывает квантованный уровень возбуждения гармонического
осциллятора нормальной моды.
Рассмотрим также основанное на принципе неопределен-
неопределенности доказательство того, что некорректно полагать, будто
фотоны могут быть локализованы в некоторой области прост-
пространства, размеры которой меньше длины волны. Пусть Ах и
Ар—неопределенности в измерении координаты и импульса.
Поскольку р = Ыг = 2л йД и АхАр> fi/2, то Ах > ^2/4лДл. Не-
Неопределенность в измерении длины волны АХ всегда меньше
длины волны к. Отсюда видно, что невозможно локализовать
положение фотона в области Ах, если ее размеры меньше дли-
длины волны фотона.
Кинетические уравнения F.56) и F.57) были получены для
отдельной молекулы. Поскольку константа связи G является
функцией поля нормальной моды Еа, а Еа — функция коорди-
координат, то разность населенностей также зависит от координат.
Рассмотрим теперь случай, когда внутри объема V находится
много молекул. Уравнение F.56) можно распространить на слу-
случай многих молекул, если провести интегрирование правой
части по объему резонатора.
Пренебрегая пространственными изменениями Еа и pti и
рассматривая только усредненные по пространству величины,
для JT молекул, однородно распределенных в объеме резона-
резонатора V, из F.56) — F.58) получим
Ж <"> + ^47^ = К
jf (./Г, - Л\)
F.60)
Здесь Л°1 = yfpii и Jfi = ^Vp22 обозначают полное число моле-
молекул соответственно в нижнем и верхнем состояниях. Константа
связи К задается в виде
3
F.61)
При вычислении К был использован тот факт, что условие
нормировки f E'2adV=l сводится к виду E2aV = 1, если прене-
пренебрегать пространственными изменениями в нормальной моде.
Уравнения F.59) и F.60) справедливы также и при учете
пространственных изменений, если с достаточной точностью вы-
выполняется условие Gpu =■■ Gpa, где черточки указывают на
пространственное усреднение. В противном случае требуется

210 Глава 6
проводить интегрирование по объему резонатора правой части
уравнения F.56).
Кинетические уравнения F.59) и F.60) описывают взаимо-
взаимодействие поля резонатора и двухуровневого электрического ди-
польного перехода и выведены на основе подхода, когда кван-
квантуются как поле, так и среда. Первый член в правой части
уравнения F.59) описывает вынужденное и спонтанное излу-
излучение фотонов в моду резонатора от Jf2 молекул, находящихся
в верхнем состоянии, а второй член характеризует поглощение
фотонов Jfi молекулами, находящимися в нижнем состоянии.
Уравнение F.60) описывает изменение разности населенностей
в результате таких переходов. Множитель 2, который появляет-
появляется в F.60) и отсутствует в F.59), указывает на то, что при лю-
любом процессе поглощения или излучения, приводящем к пере-
переходу молекулы из одного состояния в другое, разность паселен-
ностей изменяется на 2.
Если благодаря накачке имеется инверсная населенность,
т. е. (Jfi — Jf\)e > 0, то уравнения F.59) и F.60) применимы
для описания работы лазера. Поскольку уравнения для лазера
были введены ранее (гл. 3, § 4, и гл. 4) на основе полукласси-
полуклассического анализа, то теперь можно сравнить результаты двух
подходов, полуклассического и полностью квантового, и выяс-
выяснить разницу между ними.
Уравнения, полученные на основе полуклассического рас-
рассмотрения, имеют вид C.78) и C.79). Сравнивая их с F.59) и
F.60), замечаем, что полуклассические переменные N и ср соот-
соответствуют инверсной разности населенностей в единице объема
и энергии /йсо в единице объема. Поэтому прежде чем прово-
проводить сравнение, их надо умножить на объем резонатора V.
После этого можно заметить, что главное различие состоит
в следующем. Когда учитывается квантование поля, скорость
перехода для процессов излучения пропорциональна не (п),
как в полуклассической теории, а ({п) + 1), где дополнитель-
дополнительный член, равный единице, характеризует спонтанное излуче-
излучение. Следовательно, в уравнения, полученные полуклассическим
методом, можно внести поправки, учитывающие результаты
квантования поля, а именно для процессов излучения произ-
произвести замену
где дополнительный член, равный единице, характеризует учет
эффектов спонтанного излучения.
Примененный в предыдущих главах полуклассический под-
подход, при котором поле не квантуется, справедлив, когда выпол-
выполняется условие {п) ^> 1. Для резонатора это означает, что
средняя запасенная энергия должна быть намного больше fico.

Квантование поля 211
В оптическом диапазоне (А, = 5000 А) полуклассический под-
подход дает хорошую аппроксимацию, если энергия значительно
больше 4-Ю9 дж. Полуклассический анализ, развитый в гл. 4,
является исключительно хорошим приближением до тех пор,
пока не интересуются работой лазера на пороге возбуждения
или шумовыми характеристиками лазера.
3. Плотность мод
В предыдущих разделах рассматривалось взаимодействие
только между молекулярным переходом и полем излучения,
имеющим одномодовое распределение. Теперь эти результаты
должны быть распространены на случай перехода, связанного
одновременно с большим числом мод излучения. Поскольку
фотоны излучаются спонтанно во все возможные моды, член,
описывающий спонтанное излучение, должен учитывать наличие
большого числа мод. Более того, когда молекулярный переход
взаимодействует с излучением, имеющим широкий частотный
спектр, члены, описывающие поглощение и вынужденное из-
излучение, также должны учитывать наличие большого количе-
количества мод.
Будем рассматривать только случай, когда размеры резона-
резонатора велики по сравнению с длиной волны. Это предположение
почти всегда справедливо для оптических частот. Когда раз-
размеры резонатора велики по сравнению с длиной волны, нор-
нормальные моды резонатора оказываются очень густо располо-
расположенными по сравнению с оптической частотой и относительно
слабо зависят от точной формы резонатора.
Чтобы изучить взаимодействие с многомодовым излучением,
необходимо рассчитать плотность мод, т. е. число мод в еди-
единице объема, приходящихся на единичный частотный интервал.
Рассмотрим резонатор в виде куба с линейными размерами L
и объемом V = L3. Стоячие волны — нормальные моды резона-
хора—представляют собой тройные произведения синусов и
косинусов с аргументами kxx kvy и кгг (представление в виде
бегущих воли будет рассмотрено ниже).
Граничные условия на идеально проводящих стенках приво-
приводят к следующим требованиям:
__ ПХП _ ПуЛ _ nzn
vu~ L ' z L •
Здесь nx, ny и nz — целые числа от 0 до оо. Допустимые зна-
значения k = \xkx + lyky + \zkz можно представить в виде сово-
совокупности точек в k-пространстве, как показано на фиг. 6.3.
Каждая точка соответствует допустимому значению к,

212
Глава 6
определяемому тройкой целых чисел (пх, пи, пг). Будем приме-
применять следующее обозначение: k = \k\= У k\ + k'u + k%
Каждому значению к, т. е. каждой точке, соответствуют две
моды резонатора ТЕп ninz и ГМ„ п пг- Следовательно, имеют-
имеются две моды в объеме (л/LK k-пространства и плотность мод
равна 2A/лK мод в единице объема в к-пространстве. Число
мод dJf в бесконечно малой области dk определяется произве-
произведением плотности мод на объем сферического слоя в к-про-
к-пространстве, равный 4nk2dk.
Рассматривается только пер-
первый квадрант, поэтому вво-
вводится множитель '/в, учиты-
учитывающий, что целые числа
пх, Пу и пг могут иметь толы
ко положительные значения.
Окончательно имеем
dJf = 2 Д- X 4" X 4nk2dk.
F.62)
Здесь V = L3. Переходя от
совокупности дискретных то-
точек к континууму, предполо-
предположим, что элемент dk велик
по сравнению с расстоянием
Ф и г. 6.3. Распределение точек в k-про- между модами (я/1). По-
странстве, соответствующих решениям скольку частота моды а свя-
в виде нормальных мод резонатора. за на с величиной k cootho-i
шением k — аг\/с, где г\ —
показатель преломления среды, заполняющей резонатор, имеем
dk =(t\/c)da. Поэтому из F.62) находим число мод в частотном
интервале da:
da.
/
/
/
к
/
/
г
Z
/
)

/
t
/
/
)
/
i
/
J
/
/
/
/
/ /
-
Соответствующее число мод в единице объема в частотном ин-
интервале da определяется тогда следующим образом:
р (a) da = -р- = —V da. F.63)
Поскольку ш = 2jtv, выражение F.63) можно зааписать в виде
р (v) dv =
8яу2тK
dv.
F.64)
Итак, рассмотрена задача о плотности мод для случая, когда
решения для нормальных мод можно представить в виде стоя-

Квантование поля.
213
чих волн. Если же рассматриваются моды в виде бегущих волн,
как в § 3, то окончательные результаты получаются такими же,
хотя имеется разница в промежуточных результатах. В этом
случае периодические граничные условия приводят к требованию
F.31). Как и в методе стоячих волн, допустимые значения к
можно представить в виде ряда точек в k-пространстве. Если
в случае стоячих волн точки отстоят друг от друга на расстоянии
(n/L) и рассматриваются только в первом квадранте, как пока-
показано на фиг. 6.3, то в случае бегущих волн они отстоят на Bjt//-)
и допускается их существование во всех квадрантах. Поскольку
для каждого значения к мо-
могут существовать две поля-
поляризации, имеются две моды
в объеме Bn/LK к-про-
к-пространства, и плотность мод
равна 2(L/2jtK мод в едини-
единице объема к-пространства.
Число мод dJf в элементар-
элементарном объеме к-пространства
определяется следующим об-
образом:
Л л<? о ^ Л h A h А и Фиг. 6.4. к — вектор в цилиндрических
~~ dkxdkydkz. координатах.
В сферической системе координат (фиг. 6.4) элемент объема
dkdkdk k2dk i QdQd П
фр р (
dkxdkvdk2 записывается в виде k2dk sin
dJf =
Bя)
k2 dk sin 6fe dQk d(fk =
BяK
^ Поэтому
k2 dk dt.
Здесь dt, — элементарный телесный угол в k-пространстве Сле-
Следовательно, djf—число мод в телесном угле dt, и в элементе dk.
Так как k = ац/с, dk = {r\jc)da, то число мод в единичном телес-
телесном угле, в единице объема и в частотном интервале da опреде-
определяется следующим образом:
dP И а,, _ 1 dA3 _ о coV , .„ ^
При исследовании процессов, для которых характерна угловая
зависимость, часто перед интегрированием по телесному углу
необходимо выражать плотность мод в указанной выше форме.
Если угловая зависимость отсутствует, то определение числа
мод в единице объема в частотном интервале da и телесном
угле t, = 4я по F.65) приводит к выражению F.63), получен-
полученному для случая стоячих волн.
В следующих параграфах выражения для плотности мод бу-
будут использованы для определения величины спонтанного

214 Глапа 6
излучения, чтобы распространить результаты, полученные при
одномодовом рассмотрении, на случай большого количества
мод или широкого частотного интервала.
4. Спонтанное излучение
Согласно F.59), скорость, с которой фотоны в результате
спонтанного излучения попадают в заданную моду резонатора,
определяется выражением
d{) F.66)
dt
Здесь индекс а обозначает рассматриваемую моду; Л32 — число
атомов или молекул в резонаторе, находящихся в верхнем со-
состоянии, а величина К, определяемая F.61), является вероят-
вероятностью излучения фотона в единицу времени атомом, находя-
находящимся в верхнем состоянии. В результате спонтанного излучения
в заданной моде разность населенностей, определяемая F.60),
будет изменяться в соответствии с уравнением
-^ (A°i - Ж2) = 2KJV2- F.67)
В § 4, п. 3 было показано, что, вообще говоря, на заданную
малую частотную область приходится очень большое число мод.
Совокупность мод резонатора, с которыми связан переход, опре-
определяется частотной зависимостью коэффициента связи К, кото-
которая содержит функцию формы линии перехода. Обычно на ши-
ширину линии приходится много мод резонатора. Следовательно,
полный выход фотонов (называемый флуоресценцией), попавших
в результате спонтанного излучения во все моды резонатора,
определяется при обобщении выражения F.66).
Флуоресцентный выход фотонов =
F.68)
Здесь основной вклад в сумму по всем модам дают моды, при-
приходящиеся на ширину молекулярной линии. Отсюда находим
скорость спонтанного излучения А = \/xsp, являющуюся ве-
вероятностью в единицу времени излучения фотона атомом, на-
находящимся в верхнем состоянии:
оо
[ Ж». F.69)

Квантование поля 215
Здесь p(o))da — число мод в единице объема в частотном интер-
интервале da, определяемое F.63); V — объем резонатора; /((со) —
скорость спонтанного излучения при одномодовом рассмотрении,
определяемая F.61), a xsp — время спонтанной эмиссии.
Частотная зависимость подынтегрального выражения в F.69)
определяется главным образом быстро меняющейся функцией
формы линии, содержащейся в Я (со). Поэтому линейную зави-
зависимость К(а) от частоты и квадратичную зависимость /?(ш) от со
можно вынести из-под знака интеграла, заменив со на частоту
перехода Q. Тогда функция формы линии может быть проинте-
проинтегрирована | g(a)dd)= 1) и скорость спонтанного излучения бу-
дет определяться следующим выражением:
v '
Соотношение F.70) связывает | jn-iaj3 с обратной величиной
времени спонтанного излучения. Следовательно, измеряя xsp,
можно оценить матричный элемент, что часто используется на
практике для нахождения |JJI1212- Изменение разности населен-
ностей в результате спонтанного излучения во все моды опре-
определяется уравнением, полученным путем обобщения F.67):
4i (-^i - Л*2) = 2AAV F.71)
5. Модифицированные кинетические уравнения для одномодового
случая
Поскольку спонтанное излучение носит многомодовый харак-
характер, изменение разности населенностей вследствие спонтанного
излучения определяется величиной .4, а не К, т. е. описывается
уравнением F.71), а не F.67). Поэтому необходимо модифици-
модифицировать кинетические уравнения F.59) и F.60), записав их в виде
J°L („) + <*> ~ « =~К(п) (Ж, - Л2) + /СЛ°2, F.72)
01 Т(>
= 2/С (п) (JC2 - JC,) + 2AJT,. F.73)
Это означает, что разность населенностей уменьшается со ско-
скоростью 2А = 2/tsp вследствие спонтанного излучения во всех воз-
возможных модах. Однако из приведенных выше уравнений видно,
что скорость роста числа фотонов в одной моде (п) все еще
определяется величиной К. Поэтому число фотонов, спонтанно
излученных в данную моду, равно К/А от полного спонтанного
излучения.

216 Глава 6
Уравнения F,72) и F,73) можно записать в более компакт-
компактном виде, в котором при (п) 5> 1 они становятся аналогичны
уравнениям C,78) и C.79), полученным полуклассическим
путем:
i {) f (> + т) W, F.74)
A
01 1 |
Здесь
ДЛР = Л9! - Л, Л* = ,f, + К-ъ (nf = (п)е +
Уравнения F.74) и F.75) имеют такой же вид, ка.к и уравнения
C.78) и C.79), если произвести подстановки
В уравнениях F.74) и F.75) поправочный лоренцев коэффи-
коэффициент L принят равным единице и равновесная плотность фото-
фотонов {п)е может быть отлична от нуля. Если не считать этих раз-
различий, то при (п) ^> 1 соответствующие уравнения идентичны.
Скорость продольной релаксации 1/74 определяется двумя
раздельными вкладами: с одной стороны, обычными тепловыми
процессами, как, например, столкновениями или возбуждением
колебаний решетки, и, с другой стороны, спонтанным излучением.
При уменьшении температуры продольная релаксация, обусло-
обусловленная тепловыми процессами, уменьшается, т. е. снижается
скорость 1/Ji. В рубиновом лазере для лазерного перехода с ча-
частотой 6943 А время релаксации Т\ = 3 мсек при комнатной тем-
температуре, когда оба вклада играют существенную роль, увеличи-
увеличивается до 4,3 мсек при 77° К, когда релаксация определяется пол-
полностью спонтанным излучением [5].
6. Взаимодействие немонохроматического излучения с веществом
В предыдущем разделе было рассмотрено взаимодействие
одномодового монохроматического излучения с атомным или
молекулярным переходом. Теперь распространим эти результаты
на молекулярные системы, взаимодействующие с широкополос-
широкополосным излучением, когда полная ширина полосы спектра излуче-
излучения превышает ширину молекулярного перехода.

Кватпвание поля 21Т
Из правой части уравнения F.72) можно определить скорость
перехода с уровня 1 на уровень 2 в присутствии одномодового
поля излучения
Wl2^K(n) F.76)
и скорость перехода с уровня 2 на уровень 1
Wn-=K{n) + A. F.77)
Уравнение для разности населенностей F.73) можно выразить
через скорости переходов
~ (./Г, - А) + 1-^-^)-(^.-^Г_ = 2W2lJf2 - 2Wl2JTl. F.78)
При переходе от случая одномодового излучения к случаю ши-
широкополосного излучения можно еще пользоваться уравнением
F.78), однако скорости переходов W\2 и W2u определяемые
уравнениями F.76) и F.77), должны быть обобщены суммиро-
суммированием или интегрированием по частотному диапазону
Wl2 = ^K {у а) (п Ы) -* V J К (v) р (v) (п (v)) dv, F.79)
а О
СО
W2X ->V J К (v) p (v) (n (v)> rfv + Л. F.80)
о
Здесь p(v)dv — число мод в единице объема в частотном интер-
интервале dv; V — объем резонатора; K(v) — константа для одномодо-
одномодового излучения, определяемая уравнением F.61). Если частотное
распределение поля излучения (n(v)) и плотность мод p(v)
медленно меняются по сравнению с функцией формы линии,
содержащейся в A'(v), то все величины, имеющие частотную
зависимость, отличную от частотной зависимости функции фор-
формы линии, могут быть вынесены из-под знака интеграла. Учи-
Учитывая это, уравнения F.79) и F.80) можно свести к виду
r12 = B12p(v), F.81)
) + A. F.82)
Здесь p(v) — энергия в единице объема, приходящаяся на еди-
единичный частотный интервал, определяется выражением
p(v) = p(v)b(n(v)) F.83)

218 Глава 6
Используя выражение F.69) для А, находим отношение
4 = bp(v)=^P~. F.84a)
С другой стороны, из F.83) и F.84а) можно найти
Здесь (п) — среднее значение числа фотонов в одной моде. При
выводе этих соотношений использовалось выражение для плот-
плотности мод F.64). Из F.81) и F.82) очевидно, что величина А
связана со спонтанным излучением, в то время как величина В
связана с процессами вынужденного излучения и поглощения.
Коэффициенты А и В называются коэффициентами Эйнштей-
Эйнштейна, поскольку первоначально их получил Эйнштейн, однако не
методом квантования поля, а на основании термодинамического
рассмотрения и классических предпосылок. Такой подход будет
рассмотрен в п. 8. Из F.846) видно, что скорость вынужденного
перехода в (п) раз больше скорости спонтанных переходов.
7. Излучение черного тела
Квантование поля позволяет предсказать спектральное рас-
распределение излучения черного тела, т. е. излучение от тела, на-
находящегося в тепловом равновесии с окружающей средой [6].
В качестве излучателя рассмотрим полость, заполненную средой.
В условиях теплового равновесия моды излучения возбуждены
в результате обмена энергией между переходами в среде и по-
полем излучения. В стационарных условиях число молекул на ка-
каждом энергетическом уровне остается постоянным и равным
равновесному значению ввиду баланса между процессами по-
поглощения и излучения.
Рассмотрим теперь некоторую пару уровней, различающихся
по энергии на hv. Из F.78) для стационарного состояния имеем
Это равенство с помощью F.81) — F.83) можно свести к виду
F.85)
Поскольку система в целом находится в состоянии теплового
равновесия, населенности уровней подчиняются больцманов-
скому распределению, так что Jfi = Jf\e~hvlhT. Подстановка этой
формулы в F.85) приводит к выражению для среднего значения
числа фотонов в моде
^^)) Мб)

Квантование поля 219
Так как число мод в единице объема в частотном интервале dv
равно (8n.v2r\3/c3)dv, а энергия, приходящаяся на каждую моду,
равна h\(n), из выражения F.83) получим формулу для энергии
в единице объема в частотном интервале dv:
pMdv-y 'r dVm F87)
Это распределение характеризует излучение черного тела и из-
известно как закон Планка.
8. Эйнштейновское рассмотрение вынужденных и спонтанных пе-
переходов
На основе метода квантования поля были выведены выраже-
выражения F.70) и F.84) для коэффициентов А я В для спонтанного
и вынужденного переходов. Еще до того, как было введено кван-
квантование поля, Эйнштейн высказал предположение [7, 8], что в
стационарном состоянии выражение вида
p(v)Bi2^i = p(v)B21T2 + ^^2 F.88)
должно быть справедливо при рассмотрении переходов, имею-
имеющих место при действии широкополосного излучения, где все
величины те же, что и в п. 6. Покажем теперь, что некоторые
из полученных выше результатов непосредственно вытекают из
F.88). Чтобы найти связь между коэффициентами В12 и В2\, до-
достаточно представить себе эксперимент, в котором величины JPl,
Jf2 и p(v) известны априори. Пример, который сразу же прихо-
приходит в голову, — это излучение черного тела. Здесь населенности
уровней подчиняются больцмановскому закону, а распределение
излучения задается законом Планка.
Подставляя Jf2 = Jf\e~hv\UT в F.88) и разрешая относительно
p(v), получаем
, ч А/В21
Сравнение этого выражения с F.87) приводит к следующим ре-
результатам:
А _ 8яАуэтK
В12 ~ С3
Эти выражения согласуются с результатами, полученными в п. 6
из уравнений, выведенных методом квантования поля.

220 Глава 6
Л ИТЕРАТУРА
1. Einstein A., Ober einen die Erzeugung und Verwandlung des Lichtes be-
treffenden heuristischen Gesichtspunkt, Ann d. Phys., 17, 132 A905). (См.
перевод: А. Эйнштейн, Собрание научных трудов, т. 3, «Наука», 1966,
стр. 92, «Об одной эвристической точке зрения, касающейся возникновения
и превращения света».)
2. Einstein A., Zur Theorie des Lichterzeugnung und Lichtabsorplion, Ann. d.
Phys., 20, 199 A906). (См. перевод: А. Эйнштейн, Собрание научных тру-
трудов, т. 3, «Наука», 1966, стр. 128, «К теории возникновения и поглощения
света».)
3. Kittel С, Quantum Theory of Solids, New York, 1963. (См. перевод:
Ч. Киттель, Квантовая теория твердых тел, изд-во «Наука», 1967.)
4. Mashkevich V. S., Laser Kinetics, New York, 1967, Ch. 2.
5. Lengyel B. A,, Introduction to Laser Physics, New York, 1966, p. 99.
6. Bohm D., Quantum Theory, Englewood Cliffs, N. J., 1951, p. 18. (См.
перевод: Д. Бом, Квантовая теория, Фиаматгиз, 1961.)
7. Einstein A., Zur Quantentheorie der Strahlung, Phys. Zs., 18, 121 A917).
(См. перевод: А, Эйнштейн, Собрание научных трудов, «Наука», т. 3, 1966,
стр. 393, «К квантовой теории излучения».)
8. Einstein A., Strahlungs-Emission und Absorption nach der Quantentheorie,
Verb. d. Deutsch. Phys. Ges., 18, 318 A916). (См. перевод: А. Эйнштейн,
Собрание научных трудов, изд-во «Наука», т. 3, 1966, стр. 386, «Испу-
«Испускание и поглощение излучения по квантовой теории».)
9. Louis-ell W., Radiation and Noise in Quantum Electronics, New York, 1964,
Ch. 4.
10. Heitler W., The Quantum Theory of Radiation, 2nd ed., Oxford, Fair Lawn.
N. J.. 1944, Ch. 1, 2. (См. перевод: В. Гайтлер, Квантовая теория излуче-
излучения, ИЛ, 1956.)
Задачи
6.1. Показать, что с помощью уравнений Гамильтона, соот-
соответствующих гамильтониану F.5), можно получить уравнение
Максвелла
VXH—£.
6.2. Определить (Е), (Н), (Е2), (Н2) и (Ж) для одномодо-
вого поля резонатора в вакуумном состоянии |0). Используя
полученные результаты, найти нулевые флуктуации полей Е и
Н, определяемые выражениями вида
(ЛЕJ = (Е2)-(ЕJ.
6.3. Исходя из гамильтониана поля, в котором опущена
нулевая энергия:
ответить на следующие вопросы:
а) каковы собственные значения энергии?
б) каковы будут результаты задачи 6.2 в этом случае?
в) что можно сказать о смысле пулевой энергии в Ж!

Квантование поля
221
6.4. а) Для одпомодовой квантованной плоской волны пока-
показать, что (Е) удовлетворяет волновому уравнению
I')
б) Для квантованных плоских волн получить выражение
для вектора Пойнтинга через величины а и а+.
в) Получить выражение для матричных элементов вектора
Пойптинга.
6.5. а) Для двухфотонного поглощения было найдено, что
вероятность перехода пропорциональна интенсивности. Поэтому
можно записать
dl _ rj2
dt ~Ll '
Здесь С — коэффициент пропорциональности, / — интенсив-
интенсивность. Это выражение выведено полуклассическим методом для
поглощения в переходе из состоя-
состояния |1) в состояние |2), как по-
показано на фиг. 6.5, а. на
Используя правило п —► п + 1
для излучения и п —* п для по-
поглощения, составить кинетиче-
кинетическое уравнение, применимое при
подходе полного квантования
как для двухфотонного погло-
поглощения, так и для двухфотонного
излучения. Jf\ и J¥i — населен- t,
ности уровней.
б) Рассмотреть процессы ^ 1 . ^
двухфотонного поглощения и из- w, +w, = ffi
лучения, когда два фотона имеют ^
различные энергии, как показано Фиг- б-5- Двухфотонное погло-
на фиг. 6.5, б. Написать кинети- ще"ие и излУчение-
т , , а —энергии фотонов равны; б —энергии
ЧеСКИе уравнения ДЛЯ ailjdt, фотонов различны.
dtiz/dt в случае полного кванто-
квантования. При каких условиях возможно получить усиление на
частоте wi без инверсии населенностей?
6.6. При комптоновско.м рассеянии энергия поглощается
электронами, причем падающий фотон имеет энергию Ьыи рас-
рассеянный фотон — энергию /вдг- Для классических полей соот-
соответствующее выражение имеет вид
С
dl,

222 Глава 6
Здесь С — коэффициент пропорциональности, 1{ и /2—интен-
/2—интенсивности на частотах coi и сог, a Jf — число электронов в объеме
взаимодействия. Составить уравнение для квантованных полей,
описывающее обратный процесс (поглощение кванта энер-
энергии Й)
6.7. а) Сколько мод может существовать в 1 см3 кристалла
рубина (ц = 1,76) в пределах ширины линии (Av = 330 Ггц)
лазерного перехода (к — 6043 А)?
б) Сколько мод ТЕМаоп существует в пределах ширины
линии лазерного перехода, если рассматриваются только те
моды, для которых вектор к направлен вдоль одного направ-
направления кристалла (например, вдоль оси г; при этом kx = ky =
= 0)? Эти моды могут быть возбуждены, если имеются только
две отражающие поверхности и уровень накачки кристалла
превышает порог генерации лазера.
б) Какова разность частот этих мод?
6.8. Показать, что коэффициент поглощения Г (со) для изо-
изотропной среды с лоренцевой линией поглощения можно выра-
выразить через время спонтанного излучения xsp следующим обра-
образом:
Здесь Nj. и Ыг—число молекул в единице объема в нижнем
и верхнем состояниях.

Глава ? ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ
ИЗЛУЧЕНИЯ С ФОНОНАМИ
§ 1. ВВЕДЕНИЕ
В этой главе рассмотрено взаимодействие электромагнит-
электромагнитного излучения с колебаниями среды. Особое внимание уделяет-
уделяется колебаниям кристаллической решетки, хотя полученные ре-
результаты применимы и к непрерывным средам, как к предельно-
предельному случаю.
В § 2, посвященном описанию колебаний кристаллической
решетки, показано, что такие колебания можно разделить на
два класса: акустические и оптические. Акустические колебания
являются звуковыми волнами, распространяющимися в кри-
кристалле, в котором смежные атомы колеблются с малым отно-
относительным сдвигом по фазе. Оптические колебания представ-
представляют собой набор мод, в которых смежные атомы движутся
навстречу друг другу. Акустические и оптические колебания
отличаются друг от друга характеристиками распространения,
параметрами взаимодействия со светом и резонансными ча-
частотами.
В § 3 колебания решетки квантуются. Этот метод подобен
методу квантования электромагнитного излучения, приведен-
приведенному в гл. 6. Результаты также аналогичны: колебания ведут
себя как набор гармонических осцилляторов, а соответствую-
соответствующая интерпретация состоит в том, что свойства различных мод
можно описать с помощью дискретных квантов, называемых
фононами.
Так как основной интерес представляет взаимодействие
электромагнитного излучения с колебаниями решетки, то в § 4
рассмотрена общая задача взаимодействия волн и переноса
энергии. Показано, что применимы общие законы сохранения
энергии и импульса.
В § 5—7 рассмотрены частные случаи взаимодействия элек-
электромагнитного излучения с фононами. В § 5 обсуждается не-
непосредственное линейное поглощение оптическими модами. Не-
Нелинейные процессы рассеяния света, известные как эффекты
Рамана и Бриллюэна, рассмотрены соответственно в § 6 и 7.
Оба эти эффекта являются следствием модуляции диэлектри-
диэлектрической проницаемости колебаниями, имеющими место в среде.
В результате таких флуктуации падающая световая волна

224 Глава 7
рассеивается в среде с появлением частотного смещения, соот-
соответствующего частоте той моды, на которой происходит рассея-
рассеяние. Эффект Рамана связан с рассеянием на оптических колеба-
колебаниях, и смещения частоты имеют величину порядка сотен анг-
ангстрем. Рассеяние Бриллюэна подобно рамановскому рассеянию,
но имеет место не на оптических, а на акустических колебаниях,
и поэтому смещения частоты меньше и составляют несколько
гигагерц. При использовании лазера в качестве источника па-
падающего света оба эффекта наблюдались при превышении
определенного порога как вынужденные эффекты. В результате
рассеянные световые пучки имели интенсивность и направлен-
направленность, сравнимую с интенсивностью и направленностью возбу-
возбуждающего лазерного излучения. Такие нелинейные эффекты,
следовательно, являются эффективными методами генерации но-
новых частот и исследования свойств материалов.
В § 8 описывается явление самофокусировки и самоканали-
самоканализации световых лучей. Это явление представляет интерес ввиду
его заметного влияния на пороговые свойства таких нелинейных
процессов, как вынужденные рамановское и бриллюэновское
рассеяния.
§ 2. КОЛЕБАНИЯ КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ РЕШЕТКИ
Для рассмотрения взаимодействия излучения с колебаниями
кристалла необходимо исследовать свойства самих колебаний.
При анализе будем для простоты идеализировать модель кри-
кристалла, предполагая, что силы, действующие на данные атомы,
определяются только близлежащими атомами и являются цент-
центральными, т. е. направлены по линиям, соединяющим атомы.
В реальном кристалле, если имеется ковалентная связь, силы
не обязательно являются центральными, и необходимо учиты-
учитывать взаимодействия не только близлежащих атомов [1, 2]. Тем
не менее анализ идеализированной модели дает возможность
просто получить результаты, которые описывают поведение
реальных кристаллов.
/. Колебания одноатомной кристаллической решетки
Начнем обсуждение колебаний кристалла с рассмотрения
одноатомной кристаллической решетки, в которой все атомы
идентичны и элементарная ячейка 1) содержит только один
атом. Примером является гранецентрированная кубическая
структура алюминия. Кроме того, ограничимся рассмотрением
') Элементарная ячейка — это единичная ячейка минимального объема,
по которой можно восстановить полную кристаллическую решетку с помощью
ряда соответствующих трансляций,

Взаимодействие излучения с фононами 225
волн, распространяющихся в таких направлениях, для которых
они являются чисто поперечными или чисто продольными.
В кубическом кристалле такими направлениями являются [100],
[111] и [ПО]1). При распространении в этих направлениях це-
целые плоскости атомов движутся в фазе. С другой стороны, при
я ° °
'' '■ —VW—
о ° °
О 'ч 'ч
"~ ' т я)+ /
а
с; о
"° » о с: о -VW-
'-о с: о о о
6
Фиг. 7.1. Распространение поперечной (а) и продольной (б) акустических
волн.
Пунктирные кружки показывают равновесные положения атомов, сплошные кружки —
положения при колебаниях.
распространении в произвольном направлении волны не яв-
являются ни чисто продольными, ни чисто поперечными, а имеют
скорее смешанный характер, причем движение атомов является
более сложным.
Рассмотрим сначала распространение в направлении z та-
такой волны, которая приводит к смещению последовательных
плоскостей атомов в направлении х, как показано на фиг. 7.1, а.
Эта волна является чисто поперечной, так как смещение
') Индексы направления в кристалле [Ш] являются наименьшими це-
целыми числами, которые имеют такие же отношения, как компоненты вектора
в данном направлении, отнесенные к векторам кристаллографических осей.

226 Глава 7
атомов перпендикулярно направлению волнового вектора, обо-
обозначаемого через к.
Когда одна плоскость атомов смещается по отношению
к другой, возникают возвращающие силы, обусловленные раз-
разностью их смещений. Первый член в разложении Тейлора для
силы, действующей на атом в данной плоскости со стороны
атомов, расположенных в других плоскостях, линейно зависит
от относительных смещений. Это эквивалентно предположению
о выполнении закона Гука, который справедлив при малых
смещениях. При взаимодействиях соседних плоскостей имеем
М ^W~ = Ст ^т+1 ~ ^т) ~ Ст (qm ~ Цт-^ = Сг ^m+l ~ 2Цт + qm~^'
G.1)
где М — масса атома; СТ — постоянная жесткости для попереч-
поперечной волны; индекс m является целым числом и обозначает дан-
данную плоскость атомов, a qm — смещение атома, соответствую-
соответствующего плоскости ш, из положения равновесия.
Ищем решение уравнения G.1) в виде бегущей волны
qn=\qe(<ukt *та) + компл. сопр., G.2)
где q — комплексная амплитуда, а — расстояние между пло-
плоскостями, к— величина волнового вектора и coft — частота коле-
колебаний для данного значения к. Подстановка G.2) в G.1) при-
приводит к дисперсионному соотношению, связывающему соА и k:
ka
G.3)
sin.
график которого приведен на фиг. 7.2 для —п/а ^С k ^Сп/а.
Положительные значения k соответствуют поперечным волнам,
распространяющимся в направлении +z, а отрицательные зна-
значения k — волнам, распространяющимся в направлении —z.
Кроме того, заметим, что, хотя в дисперсионном соотношении
G.3) ничто не ограничивает область значений k в пределах
±л/а, значения вне этой области просто воспроизводят реше-
решения, которые соответствуют точно таким же движениям части-
частицы, что и решения при значениях k внутри области, Это легко
проверить с помощью подстановки k = ko + 2рл/а, где ко лежит
внутри области ±п/а, ар — любое положительное или отри-
отрицательное целое число. В этом случае найдем, что решения для
различных значений р в точности эквивалентны решению для
k = ko. Ограниченная область значений k, заключенная в пре-
пределах ±л/а, называется первой зоной Бриллюэна.
На границе зоны k = л/а частота имеет максимальное зна-
значение о)г = 2 УСТ1М, которое является критической частотой

Взаимодействие излучения с фононами
227
для поперечных мод. Длина волны %, определяемая соотноше-
соотношением k — 2лД, равна 2а, и решение G.2) преобразуется к виду
-j qe
компл. сопр. = | q \ cos (akt — шл + ср),
где q = |д|ег>. Следовательно, для значения k на границе зоны
соседние плоскости колеблются со сдвигом фаз, равным 180°.
Движение частиц в этом случае соответствует не распростра-
распространяющемуся вдоль кристалла волновому движению, а скорее
стоячей волне, которая иногда называется я-модой.
Фиг, 7.2. Дисперсионная характе-
характеристика для поперечных мод одио-
атомного кристалла.
Фиг. 7.3. Дисперсионные харак-
характеристики для поперечных и про-
продольных мод одноатомного кри-
кристалла.
Таким образом, для поперечных волн, распространяющихся
в решетке, величина k имеет значения, лежащие в пределах
±л/а. Когда значение k изменяется от- нуля до л/а, частота
увеличивается до критического значения, а длина волны умень-
уменьшается до значения, при котором половина длины волны соот-
соответствует расстоянию между плоскостями решетки, при этом бе-
бегущая волна превращается в стоячую на границе зоны.
Прежде чем закончить рассмотрение поперечных волн, за-
заметим, что возможна также поперечная волна, в которой сме-
смещение происходит в направлении у, а не х, как показано на
фиг. 7.1, а. Это приводит ко второй дисперсионной кривой, ко-
которая может быть как вырожденной, так и невырожденной по
отношению к первой в зависимости от относительных значе-
значений Ст для этих двух случаев.
Рассмотрим теперь распространение такой волны в направ-
направлении 2, когда последовательные плоскости атомов смещаются
в направлении оси г, как показано на фиг. 7.1,6. Такая волна
является чисто продольной. Уравнение движения и его решение
имеют ту же форму, что и G.1) — G.3), только постоянная

228
Глава 7
жесткости для поперечного случая Ст заменена на постоянную
жесткости для продольного случая CL. В результате диспер-
дисперсионная кривая для продольного случая отличается от кривой
для поперечного случая, как показано на фиг. 7.3. Отсутствие
вырождения между продольными и поперечными модами имеет
место даже для среды, упругость которой полностью изотроп-
изотропна [3].
Фиг. 7.4. Дисперсионные кривые
для упругих волн, распространяю-
распространяющихся в алюминии вдоль оси [110].
; — измеренные значения для продоль-
продольной волны; 2 — значения для поперечной
волны Тх, поляризация которой парал-
параллельна оси [100]; 3 — значения для попе-
поперечной волны Тз, поляризация которой
паоаллельна оси [ПО]. Кривые представ-
представляют собой соответствующие решения,
в которых учитываются нецентральные
силы и взаимодействия, вплоть до
третьих соседей [4].
Дисперсионные кривые для упругих волн, распространяю-
распространяющихся вдоль оси [ПО] в кристалле алюминия, найденные с по-
помощью неупругого рассеяния рентгеновских лучей, показаны
на фиг. 7.4. Эти кривые качественно согласуются с проведен-
проведенным выше рассмотрением. Чтобы получить количественное
соответствие, необходимо учесть нецентральные силы, а также
взаимодействие не только соседних атомов [4].
До сих пор рассматривались волны, которые распростра-
распространяются вдоль определенных выбранных осей. Если рассмотреть
распространение в произвольном направлении, то обнаружится,
что дисперсионная кривая все еще имеет три ветви, но соответ-
соответствующие типы колебаний в общем случае не являются чисто
продольными или чисто поперечными.
2. Колебания двухатомной кристаллической решетки
В этом разделе рассмотрим типы колебаний двухатомной
кристаллической структуры, т. е. структуры, которая содержит
два атома в элементарной ячейке, как, например, NaCl или ал-

Взаимодействие излучения с фононами
22 Э
маз. Заметим, что двухатомный кристалл не обязательно со-
содержит атомы двух различных сортов. Он может состоять пол-
полностью из одного элемента, как, например, алмаз, который со-
Ф и г. 7.5. Структура ре-
решетки алмаза.
Решетка алмаза состоит из
двух взаимопроникающих
гранецентрироваиных куби-
кубических решеток, одна из
которых смещена вдоль про-
пространственной диагонали
другой на одну четверть ее
длины.
о
ё
?
0
—zit
0
/
/
CD
/
держит только атомы углерода. Алмаз имеет двухатомную
структуру, так как его кристаллическая решетка состоит из
двух гранецентрированных кубических подрешеток, одна из
Фиг. 7.6. Движение при распро-
распространении поперечной волны в двух-
двухатомном кристалле.
Д'1Я акустической волны обе тюдрешеткн
колеблются вместе; для оптической волны
они колеблются навстречу друг другу.
Zm 2m + 2
о*о«о*о*
Двухатомная решетка
а
Акустическая волна
М,
м,» м2
Оптическая волна
6
которых смещена вдоль диагонали другой на четверть ее дли-
длины, как показано на фиг. 7.5. Такую структуру нельзя воспроиз-
воспроизвести с помощью трансляций элементарной ячейки, содержа-
содержащей один атом, а требуется ячейка, содержащая два атома.

230
Глава 7
Анализ двухатомной решетки проводится аналогично ана-
анализу одноатомной решетки. Снова ограничимся рассмотрением
волн, которые распространяются в таких направлениях, что они
являются чисто поперечными или
чисто продольными. Например,
чисто поперечная или чисто про-
продольная волна в структуре типа
NaCl распространяется в направ-
лении [111].
Пусть атомы с массой М4 ле-
лежат на плоскостях, имеющих не-
нечетные номера, а атомы с мас-
массой М2 — на плоскостях с чет-
четными номерами, как показано на
фиг. 7.6. Предположим, что Mi>
^ М.% Если силовая постоянная
между всеми парами соседних
плоскостей одинакова и рассмат-
рассматривается взаимодействие близле-
близлежащих плоскостей, то для поперечной волны, распространяю-
распространяющейся в двухатомной структуре, имеем
rf2<?2m+i _.
2а
Фиг. 7.7. Дисперсионные харак-
характеристики для поперечных оптиче-
оптических и акустических мод двух-
двухатомного кристалла.
м.
Г" In
— ^Т W2m+2
Л- п t
' 42mh
= Ст {q2m+l - 2q2m + q2m-i),
G.4)
где m обозначает номер данной плоскости атомов.
Ищем решение G.4) отдельно для плоскостей с четными и
нечетными номерами в виде бегущих волн:
л. сопр.,
сопр.
Подстановка G.5) в уравнение G.4) дает
, - 2СТ cos ka
2СТ -
— 2СТ cos ka
2СТ -
_ =0.
4J
G.5)
G.6)
Написанные выше уравнения имеют нетривиальное решение
только в том случае, если определитель из коэффициентов при
qi и д2 равен нулю. В результате
График полученной зависимости изображен на фиг. 7.7 для
п/2а < k < п/2а. Из графика видно, что в случае двухатом-

Взаимодействие излучения с фононами
231
ного кристалла в добавление к акустической ветви имеется вто-
вторая ветвь, частота которой отлична от нуля при k = 0. Приро-
Природу колебаний, которые соответствуют этой ветви, легко понять
из вида решения вблизи k = 0. В таком случае выражение G.7)
имеет вид
г /1 1 \ -11/
G.8)
Подстановка полученного выражения в уравнение G.6) приво-
приводит к следующему соотношению для амплитуд колебаний раз-
различных плоскостей:
Таким образом, разные плоскости колеблются навстречу друг
другу, причем центр масс остается неподвижным, как показано
Фиг. 7.8. Оптическая и акустическая ветви дис-
дисперсионной характеристики для воли, распростра-
распространяющихся в направлении [111] в бромистом калии
(КВг), определенные с помощью неупругого рас-
рассеяния нейтронов.
/ — продольные моды: 2 —поперечные моды. Поперечные
ветви дважды вырождены. Обозначения LO, ТА и т. д.
соответствуют продольной оптической, поперечной аку-
акустической и т. д. ветвям.
на фиг. 7.6, б. Если два атома несут противоположные заряды,
то этот тип движения можно возбудить с помощью электро-
электромагнитной волны, так как поле волны вызывает движение та-
такого типа. Этого не будет происходить в случае акустического
колебания, при котором оба заряда атомов колеблются вместе,
а не навстречу друг другу. Для типичных параметров кристал-
кристалла частота колебаний, при которых смежные плоскости дви-
движутся навстречу друг другу, лежит в инфракрасной области
оптического спектра и потому эта ветвь дисперсионной кривой
называется оптической ветвью. Оптическое и акустическое вол-
волновые движения показаны на фиг. 7.6.

232 Глава 7
Подобный анализ можно повторить для продольных воли.
В этом случае получается ряд дисперсионных кривых, которые
различаются только величиной постоянной жесткости С. Таким
образом, для двухатомного кристалла существуют шесть вет-
ветвей дисперсионной кривой: две поперечные и одна продольная
акустические и две поперечные и одна продольная оптические.
Дисперсионные кривые для упругих волн, распространяющихся
в направлении [111] в кристалле КВг, который имеет такую же
двухатомную структуру, что и NaCl, показаны на фнг. 7.8.
Метод, использованный для одноатомных и двухатомных ре-
решеток, можно обобщить и применить для элементарной ячейки,
состоящей из р атомов. В результате найдем, что существуют Зр
ветвей фононной дисперсионной характеристики: 3 акустические
и Зр — 3 оптические.
§ 3. КВАНТОВАНИЕ КОЛЕБАНИЙ РЕШЕТКИ
В § 2 было установлено, что колебания кристаллической
решетки можно описать с помощью бегущих волн, которые под-
подразделяются на акустические и оптические моды. По аналогии
со случаем распространения электромагнитной волны перейдем
от классического описания к квантовому с помощью квантова-
квантования этих мод. Как и в случае электромагнитной волны, при
квантовании найдем, что моды ведут себя как набор гармони-
гармонических осцилляторов. Ввиду существования ряда дискретных
равномерно отстоящих друг от друга энергетических уровней
возбуждение данного гармонического осциллятора на п-е энер-
энергетическое собственное состояние можно описать, если сказать,
что в этом типе колебаний имеется п квантов, каждый с энер-
энергией fico, где со — круговая частота рассматриваемого гармо-
гармонического осциллятора. Кванты акустических и оптических мод
называются фононами. Рассмотрим сначала квантование про-
продольных акустических колебаний одноатомного кристалла, ко-
которым посвящен § 2, п. 1. Затем последует квантование попе-
поперечных оптических колебаний двухатомного кристалла, рас-
рассмотренных в § 2, п. 2. Анализ, проведенный в этих разделах,
аналогичен анализу для электромагнитного случая, данному
в гл. 6.
/. Периодические граничные условия и нормальные моды
В § 2, н. 1, было показано, что смещение qm атома, находя-
находящегося в плоскости т при колебаниях одноатомного кристалла,
можно записать в виде бегущей волны, которая в одномерном
случае имеет вид
?т = у$e'(<V~*me) + компл. сопр. G.10)

Взаимодействие излучения с фононами 233
Первый шаг, который необходимо сделать при квантовании,
требует классификации возможных решений в виде системы
нормальных мод, удовлетворяющих условиям ортогональности.
Это достигается введением соответствующих граничных усло-
условий. Как и для случая электромагнитного излучения в резона-
резонаторе, имеется выбор в отношении формы решения для нормаль-
нормальных мод. Из решений вида G.10) можно образовать стоячие
волны, которые удовлетворяют граничным условиям, например,
на границах кристалла. Можно также непосредственно исполь-
использовать решения в виде бегущих волн. В этом случае необходи-
необходимое условие нормируемости таких функций вводится за счет
периодических граничных условий. Для системы, которая вклю-
включает большое число узлов решетки, результаты, полученные
любым из этих методов, существенно не различаются. В даль-
дальнейшем мы будем использовать метод бегущей волны с пе-
периодическими граничными условиями.
Для применения периодических граничных условий потре-
потребуем, чтобы смещение атома в плоскости с номером m + JC
было идентично смещению в плоскости ш, т. е. потребуем, чтобы
<7т+ж = <7т. G.11;
Таким образом, имеется JC независимых смещений для JC пло-
плоскостей. Предположим, что JC является очень большим числом,
соответствующим, например, числу плоскостей кристалла
макроскопических размеров.
Для иллюстрации на фиг. 7.9 показаны периодические гра-
граничные условия для случая JC = 8. Как показано на фиг. 7.9, б,
для введения периодических граничных условий кристалл мож-
можно представить себе изогнутым в виде кольца. Эта аналогия
вновь будет принята во внимание при рассмотрении формы га-
гамильтониана.
Применение периодического граничного условия G.11) для
решения в виде бегущей волны G.10) приводит к требованию
Q — ik(m+>ff) a = g — ikma
ИЛИ
которое удовлетворяется, если
где I — любое положительное или отрицательное целое число
или нуль. Однако напомним, что при рассмотрении акустиче-
акустических волн в одноатомном кристалле все возможные движения

234 Глава 7
частиц можно описать, если ограничиться значениями k
в пределах ±п/а. Следовательно, в G.12) можно ограничить
значения I пределами ±/Р/2, где для удобства предполагается,
что JC—четное число. Так как движение при k =—п/а анало-
?о Ъ. h Ь Ч* Ь Ъ- Ъ- Че
о ф 6Ь о> о rs> сю © о
т О 7234567S
: ' ол^^^/'^,
а
Фиг. 7.9. Применение периодических граничных условий для случая про-
продольной акустической моды.
Чтобы применить периодические граничные условия, положим Ят+<№ = Qnv Для показан-
показанного случая <№ = 8.
а —ряд линейных смещений, которые удовлетворяют периодическим граничным условиям;
б — эквивалентное представление, при котором полагается, что атомы вынуждена дви-
двигаться по кругу таким образом, что периодические граничные условия удовлетворяются
автоматически.
гично движению при k = п/а, то независимые моды описывают-
описываются значениями k и /, которые определяются из условий
, _ 2п!
Й~ Jfa '
-^+1</<4" / = 0, ±1, ±2 G.13)
Ограничение разрешенных значений k конечной областью яв-
является одним из отличий квантования акустических волн от
квантования электромагнитного поля. В последнем случае раз-
разрешенные значения k лежат в пределах ± оо. Это отличие
обусловлено невозможностью провести различие между корот-
короткими волнами (т. е. волнами, половина длины волны которых
меньше, чем расстояние между плоскостями) и длинными вол-
волнами (т. е. волнами, половина длины волны которых больше,
чем расстояние между плоскостями), когда речь идет о смеще-
смещении атомов. Следовательно, при рассмотрении колебаний кри-
кристаллической решетки волны с более короткой длиной волны не
принимаются во внимание.

Взаимодействие излучения с фононами
235
Из проведенного выше рассмотрения можно заключить, что
существует JC независимых типов колебаний, для которых зна-
значения k равномерно распределены в k-пространстве, как пока-
показано на фиг. 7.10. Видно, что число независимых мод, как и
следовало ожидать, равно числу независимых переменных,
а именно числу смещений JC плоскостей. Следовательно, диспер-
дисперсионная кривая является квазинепрерывной, приближаясь к не-
непрерывной при увеличении JC.
Теперь докажем ортогональность колебаний, которые соот-
соответствуют приведенным выше дискретным значениям k, т. е.
Фиг. 7.10. Квазинепрерывная дисперсион-
дисперсионная характеристика для продольной аку-
акустической ветви.
Каждое из разрешенных дискретных значений k
{k = '22iliNa, где /—целое число) соответствует
одной из множества оитогональных бегущих мод,
которые получаются при применении периодиче-
периодических граничных усл)внй, Распределение значе-
значений k стремится к непрерывному, когда Ж (число
плоскостей, для которых применяются периодиче-
периодические граничные условия) стремится к бесконечно-
бесконечности,
докажем, что если два решения в виде бегущих волн G.10)
с определенными значениями k перемножить и просуммировать
по всем плоскостям решетки от m = 1 до m = JC, то сумма
равна нулю, если значения k не одинаковы.
Для получения требуемого условия ортогональности пока-
покажем, что
ж
Ъ^Кк-к')та=ЛЬш. G.14)
m = l
Для k = k' это видно сразу. Для k Ф k' из G.12) имеем
т=\
ei(k-k')ma= ^ exp (г
2лA-Пт
Пусть / — I' = p есть целое число, меньшее Л°. Тогда
Spi {k — k') tTla — ^ pvn / " I у ayn
tn — l m=l m—0
Определяя сумму, члены которой образуют геометрическую
прогрессию, получаем
V pi {k-k')ma — _f
Это выражение равно нулю при р ф 0 (k ф k').

233 Глава 7
Это доказывает, что если значения k ограничены значе-
значениями, которые требуются для выполнения периодических
граничных условий, то решения в виде бегущих волн G.10) об-
образуют систему ортогональных базисных функций. Разложим
произвольные смещения по этим функциям. Следовательно,
пусть
?"»= S [~%ШГ) ' \-пк@)*е'(<V~ftma) + компл. сопр,].
k v k'
Это выражение можно переписать в виде
[akeikma + a\e-ikma\ (
Для рассмотренного здесь классического случая ад и а£ яв-
являются просто зависящими от времени коэффициентами разло-
разложения и определяются формулами
ak = ak(<d)e-iab\ a* = aft @)Ym*'. G.156)
Множитель в степени '/г перед квадратной скобкой является
здесь произвольным нормировочным множителем, выраженным
через массу М атомов, образующих одноатомный кристалл, и
число плоскостей JC, в пределах которых применяются периоди-
периодические граничные условия. В дальнейшем будет показано, что
записанное в этом виде уравнение G.15а) для qm справедливо
также для квантового случая, если а+ и а интерпретировать
как операторы рождения и уничтожения для акустической
волны.
2. Квантование акустических мод одноатомного кристалла
Первый шаг в процедуре квантования состоит в том, что мы
перепишем гамильтониан как функцию координат qm и им-
импульсов рт. Для последовательности колеблющихся атомов,
конфигурация которой показана на фиг. 7.9, в случае продоль-
продольных колебаний запишем
G.16)
L. J
т=\
где вследствие периодических граничных условий для члена
с т = JC принято <7«r+i = 9i- Первый член в скобках соответ-
соответствует кинетической энергии колеблющихся атомов, а второй —
потенциальной энергии, связанной с упругими силами, дей-
действующими между плоскостями и подчиняющимися закону Гу-

Взаимодействие излучения с фононами 237
ка. Легко доказать, что при таком выборе гамильтониана урав-
уравнения Гамильтона
дЖ р(
дЖ GЛ7)
Pt= --^- = Ci(<7i+i-<7i)-Ci(<7i-<7i_1)
приводят к соответствующему уравнению движения G,1).
Перепишем далее гамильтониан Ш так, чтобы он имел такой
же вид, что и гамильтониан гармонических осцилляторов еди-
единичной массы, после чего полученные в гл. 6 результаты по кван-
квантованию электромагнитного поля можно непосредственно приме-
применить для квантования колебаний решетки.
Выразим координаты qm и импульсы рт в виде разложения
по нормальным бегущим волнам G.15а):
V 2Л" I 1 к к Г
k
где использованы следующие соотношения, полученные с по-
помощью G.156):
Из G.18) найдем, что
т=\ т=\
ЪМ(£>и, У
\ > ZU \ 2JV I V V ak'e J \ •
J
к'
Используя G.14), это выражение можно записать в виде
т=\ k
При выводе уравнения G.19) мы обращали внимание на сохра-
сохранение порядка коэффициентов af и а, хотя для классического
случая в этом нет необходимости. Однако желательно, чтобы
вывод был применим также и в квантовом случае, когда а+ и
а являются некоммутирующими операторами.

238 Глава 7
С помощью методики, которая аналогична использованной
при выводе G.19), найдем, что
Чт) АЛ 2С L I ft -ft ftft k ft ft -ftj"
nt — i ft
При выводе G.20) необходимо использовать дисперсионное
уравнение G.3), которое связывает соь и k.
Подставляя G.19) и G.20) в выражение G.16), получаем
Если ak и а\ выразить через новые переменные Qh и Ph с по-
помощью соотношений
G.22)
то G.21) приводится к гамильтониану гармонических осцил-i
ляторов
Если считать Ph импульсом, a Qh координатой, то уравнения
Гамильтона, основанные на такой форме гамильтониана, при-
приводят к правильным уравнениям движения G.17) (см. зада-
задачу 7.3).
Основываясь на гамильтониане вида G.23), приступим
к квантованию акустических колебаний, постулируя, что Qk
и Ph являются операторами, удовлетворяющими коммутацион-
коммутационным соотношениям:
[Qft. pft'] = '%ft" G-24)
Такая же процедура была проведена в гл. 6 для бегущих элек-
электромагнитных волн. Переменные а£ и aft, связанные с Qh, Ph
соотношениями G.22), интерпретируются в этом случае как
операторы рождения и уничтожения и в соответствии с G.22)
и G.24) удовлетворяют условию

Взаимодействие излучения с фононами
239
Если использовать коммутационное соотношение для ак и
а\, то гамильтониан G.21) можно переписать в виде
G.25)
Легко показать, что операторы qm и рт, определяемые форму-
формулами G.18), в квантовомеханическом случае являются эрмито-
эрмитовыми, как и должно быть, так как они соответствуют наблю-
наблюдаемым.
+ о
10
Ю>
Фиг. 7.11. Диаграмма энергетических уровней для продольной акустической
бегущей моды при данном значении k.
При возбуждении ft-й моды в м-е энергетическое состояние энергия, содержащаяся в этой
моде, определяется выражением
Тг| h<*b
Е„, -
которое соответствует сумме нулевой энергии ка^/2 н энергии п^ фотонов. Операторы а^
и ад, являются соответственно операторами рождения и уничтожения фононов в моде.
Для гамильтониана акустического поля вида G.25) решение
задачи на собственные значения следует из метода, рассмотрен-
рассмотренного в гл. 6, § 2 для электромагнитного поля.
Каждый член в гамильтониане G.25), характеризуемый дан-
данным значением k, соответствует энергии k-ih моды, которая
представляется одной из точек на фиг. 7.10. Частота шь этой
моды определяется из фиг. 7.10 как ордината. Каждой к-й
моде соответствует диаграмма энергетических уровней, имею-
имеющая вид, показанный на фиг. 7.11. Эта диаграмма изображает
решение уравнения на собственные значения

240 Глава 7
которое определяется выражением
где Ж — один из членов суммы, стоящей в правой части выра-
выражения G.25). Когда k-я мода возбуждена на п-е собственное
состояние, говорят, что в этой моде имеется пи фононов, каж-
каждый из которых обладает энергией йсоь.
Таким образом, полная энергия продольных акустических
колебаний одноатомного кристалла определяется формулой
G.25). Эта энергия состоит из суммы вкладов от отдельных
мод, каждая из которых обозначается индексом k и соответ-
соответствует некоторой точке на дисперсионной характеристике, изо-
изображенной на qbnr. 7.10. Каждая из отдельных мод в свою оче-
очередь имеет собственную диаграмму энергетических уровней
типа показанной на фиг. 7.11, которая определяет энергию, т. е.
число фононов, в этой отдельной моде.
3. Квантование оптических мод двухатомного кристалла
Из § 2, п. 2 настоящей главы видно, что двухатомный кри-
кристалл наряду с акустическими модами обладает также оптиче-
оптическими модами, при которых смежные атомы колеблются на-
м, мг м, м, м, мг м, мг
к к к к
. О . О . о . О
«« ч. ч, я,
Фиг. 7.12. Длинноволновая поперечная оптическая мода в двухатомном
кристалле.
Чередующиеся плоскости атомов движутся в фазе, тогда как обе подрешетки колеблются
навстречу друг другу.
встречу друг другу. Для длинноволновых колебаний (X i§> a)
частота поперечных оптических волн определяется выраже-
выражением G,8):
2СТ\Ъ 1 1 1
Соответствующие амплитуды смещений чередующихся пло-
плоскостей атомов даются формулой G,9):
Яг М,
Фнг. 7,12 иллюстрирует длинноволновое поперечное оптическое
колебание.

Взш1МчдеиспМ1Р излучения с фииоиами 211
Для анализа эффектов взаимодействия света с оптическими
модами достаточно рассмотреть длинноволновое приближение,
так как длина волны инфракрасного излучения всегда значи-
значительно больше постоянной решетки. Например, инфракрасное
поглощение или рамановское рассеяние можно рассчитать,
пользуясь длинноволновым приближением. В этом приближении
уравнения колебаний двух подрешеток принимают вид
М2 ~$ = Ст (</, - q-,) - Ст (q, -qt)=- 2CT (q2 - Ql),
М, ^f- = Ст (q2 - <7.) - Ст (<7i - qd = 2Cr (q2 - </,).
Если разделить первое уравнение на М2, а второе на Мг и вы-
вычесть второе из первого, то получим уравнение для разности
переменных Q = qi — ц2.
^ = 0, G.27)
где М и Q определяются выражениями G.26). Таким образом,
видно, что в длинноволновом приближении оптическая колеба-
колебательная мода эквивалентна гармоническому осциллятору с эф-
эффективной массой М и частотой Q.
Так как процедура квантования гармонического осцилля-
осциллятора хорошо известна (см. гл. 6, § 2), то мы знаем, что с по-
помощью преобразования
"(a-a^) G.28)
гамильтониан гармонического осциллятора
^ = W-|4Q2MC2 G.29)
приводится к виду
G.30)
2 Г
Следовательно, анализ эффектов с участием длинноволно-
длинноволновых оптических фононов можно проводить, используя операто-
операторы G.28) и гамильтониан G.30). Поэтому непосредственно
применимы результаты квантовомехапического анализа, полу-
полученные в гл. 6, § 2.

242 Глава 7
§ 4. СОХРАНЕНИЕ ЭНЕРГИИ И ИМПУЛЬСА В ПРОЦЕССАХ
С УЧАСТИЕМ ФОНОНОВ
1. Законы сохранения
При взаимодействии излучения с колебательными модами
применимы определенные законы сохранения. С классической
точки зрения законы сохранения принимают такой вид, что
сумма частот 2 е0/ и сумма волновых векторов 2 к; упругих
и электромагнитных волн, получающих энергию, должна быть
согласована с соответствующими суммами для волн, теряющих
энергию. На квантовом языке условия согласования частот и
волновых векторов соответствуют законам сохранения энергии
и импульса. В этом разделе мы исследуем законы сохранения,
исходя из самых общих соображений. Особый интерес пред-
представляют определенные методы геометрического построения,
основанные на дисперсионной характеристике, которые полезны
при использовании и интерпретации условий сохранения. Хотя
рассмотрение выполнено на основе классического метода, оно
имеет квантовомеханическии аналог, что и оправдывает при-
применение результатов к описанию квантовых процессов. Это
обусловлено тем, что законы сохранения энергии и импульса
выполняются одинаково хорошо для обоих случаев. Получен-
Полученные результаты применимы независимо от того, являются ли
колебания модами решетки или модами непрерывной среды.
Если электромагнитное поле обменивается энергией с коле-
колебаниями среды, то скорость поступления энергии в среду равна
= jdVP-E, G.31)
AV &V
где AV — объем взаимодействия, a J и Р — те части плотности
тока и поляризации, которые обусловлены колебательным дви-
движением. При линейном поглощении поляризация непосредствен-
непосредственно связана с колебаниями заряженных масс или подрешеток
навстречу друг другу. При таких нелинейных процессах, как
бриллюэновское и рамановское рассеяние, которые будут рас-
рассмотрены ниже, колебания приводят к модуляции диэлектри-
диэлектрической проницаемости или поляризуемости среды и тем самым
обусловливают появление членов нелинейной поляризации.
В соответствии с G.31) энергия, которая поступает в среду
за время At, равна
Ж= j dt j dVi> ■ E. G.32)
\t AV
Для значительного обмена энергией необходимо, чтобы подын-
подынтегральное выражение содержало члены, которые при интегри-

Взаимодействие излучения с фононами 243
ровании по времени и пространству давали бы конечный вклад.
Необходимость удовлетворить этому требованию и приводит
к сохранению частоты и волнового вектора.
Чтобы вывести законы сохранения, предположим сначала,
что поляризация Р, обусловленная наличием поля Е, является
результатом колебаний среды. Далее рассмотрим поляризацию
и поле в виде разложения по плоским волнам:
. Р = Y 2 Р К) с (m^kp'r) + компл, сопр., G.33)
Clip
Е - Ц] Ё (со£) е1'(@£'~k£-r) + компл. сопр. G.34)
«я
Индекс Е относится к электрическому полю, а индекс Р — к по-
поляризации.
Если разложения G.33) и G.34) подставить в G.32), то
получим
4
top. (Og
\dt
Ю X
([(mP-ra£H-(kP-k£)-rl + компл. сопр.=
AV
= 1 2 Re(^P(cop)-E*K
rap, rag I At
где Re означает действительную часть. При интегрировании
этого выражения по большому числу периодов и большому
числу длин волн значительный вклад дадут только члены, ко-
которые содержат под знаком интеграла медленно меняющиеся
экспоненциальные множители.
Например, при интегрировании по времени имеем
G.35)
График этого выражения приведен на фиг. 7.13. Видно, что
наибольший вклад имеет место при сор = а>£, а чтобы интеграл
превышал данное конечное значение, надо увеличить время ин-
интегрирования ЬЛ. Тогда разница между о>р и со£ уменьшается,
причем
lim / = 2яб (сор — со£),
где б (сор — соЕ) — дельта-функция Дирака.

244
Глава 7
Из сказанного выше можно сделать вывод, что для больших
времен [Д/3> 2л/(сор — о>е)] переданная энергия имеет значи-
значительную величину только тогда, когда
соР = сй£. G.36)
Из интеграла по пространству можно заключить, что при
Да' !» 2я/(кр — кЕ)х и при таких же условиях для других коорди-
1,0
Фиг. 7.13. График инте-
интеграла IjSt, входящего
в уравнение G.35).
Интеграл / является множи-
множителем в выражении для сред-
средней энергии, которой обмени-
обмениваются за время At волна
поля н волна поляризации
с различными частотами ag
И 0>р.
[(U)p~tJe)/Z}ut
натных направлений заметный обмен энергией между Р и Е
будет иметь место, если только
ко = кР.
G.37)
Другими словами, обмен энергией происходит только в том
случае, когда возникающая за счет колебаний поляризация
имеет ту же частоту и волновой вектор, что и поле. С физиче-
физической точки зрения условие G.36) означает, что поляризация и
поле остаются в фазе во времени, а условие G.37) означает,
что они остаются в фазе в пространстве. Поэтому поле, гене-
генерируемое в данный момент времени и в данной точке про-
пространства, складывается в фазе с полем, генерируемым в дру-

Взаимодействие излучении с фопопами 245
гой момент времени и в другой точке пространства. Рассмот-
Рассмотрим теперь некоторые частные применения полученных резуль-
результатов. Из этих применений станет ясно, что выражения G.36)
и G.37) определяют соответственно законы сохранения энергии
и импульса.
2. Законы сохранения для бриллюэновского рассеяния
В качестве первого примера законов сохранения рассмотрим
процесс бриллюэновского рассеяния, который будет подробно
обсуждаться в § 7. Бриллюэновское рассеяние является нели-
нелинейным процессом, при котором падающий на среду свет рас-
рассеивается на акустических колебаниях, приобретая сдвиг по
частоте, соответствующий акустической моде. Относительная
величина частотного смещения мала и равна примерно 10~5.
При рассеянии видимого света типичное значение сдвигов со-
составляет несколько гигагерц. При использовании в качестве
источника возбуждения мощного лазера может иметь место
вынужденное бриллюэиовское рассеяние. В этом случае интен-
интенсивность и ширина спектра сдвинутой по частоте рассеянной
световой волны сравнимы с интенсивностью и шириной спектра
излучения лазера. Подробное описание вынужденного рассея-
рассеяния представлено в § 7.
Эффект Бриллюэна возникает в результате модуляции оп-
оптического показателя преломления или поляризуемости среды
звуковой волной. Так как поляризация пропорциональна произ-
произведению поляризуемости и электрического поля, то флуктуации
среды приводят к появлению в поляризации членов, которые
пульсируют на частотах, соответствующих сумме и разности
частоты падающего света и частоты колебаний. Ограничимся
рассмотрением разностного члена.
В соответствии с проведенным выше обсуждением описание
свойств бриллюэновского рассеяния основывается на рассмот-
рассмотрении члена в поляризации, который пропорционален произве-
произведению колебательной координаты и электрического поля. Сле-
Следовательно, имеем
P = bqE, G.38)
где b, q и Е — соответственно коэффициент пропорциональ-
пропорциональности, колебательная координата и электрическое поле. Предпо-
Предположим, что поляризация, колебания и электрическое поле по-
поляризованы в одном направлении. В этом случае векторную за-
запись можно опустить.
Падающая световая волна
£. = 1 Ё,е1 W-V1-) + компл. сопр.,

246
Глава 7
взаимодействуя с упругой волной
. сопр.,
дает член в поляризации, изменяющийся с разностной частотой:
■Р = 1
+ Компл. сопр.
Чтобы указанная поляризация давала заметный вклад
в энергию рассеянной волны Es, определяемую выражением
Es = 4 Ё/
+ компл. сопр.,
должны выполняться законы сохранения G.36) и G.37):
(£>s = @,- —
— к — t
ИЛИ
= Aks + Ак.
Рассеянныи
Падающий (ротон
G.39)
G.40)
Законы сохранения G.39) и G.40) соответствуют законам сохра-
сохранения энергии и импульса. Связь со с энергией икс импульсом
определяется соотношениями де Бройля, которые связывают
волновые и корпускулярные по-
понятия, присущие дуализму при-
природы. В соответствии с соотноше-
соотношениями де Бройля со свободной
частицей, обладающей энергией
Е и импульсом р, связана волна
с частотой со и длиной волны X,
Рассеяннай фонон причем [6]
wi-h Е = ha, G.41)
h 2яЙ . , ,_ . .
При уничтожении падающего фотона
рождается фонон и рассеянный фотон. Следовательно, Эффект ЬриЛЛЮ-
эна можно описать как уничто-
уничтожение падающего фотона, сопровождаемое рождением акусти-
акустического фонона и рассеянного фотона, причем в этом процессе
сохраняются энергия и импульс. Схематически это показано на
фиг. 7.14.
Для колебаний решетки волновой вектор к, который входит
в условие G.40), можно заменить величиной k + G. Здесь G —
любой вектор из k-пространства, который связывает вектор к из
области |к| <я/а4) с теми значениями векторов к из области
Фиг. 7.14. Бриллюэновское рас-
рассеяние.
') Точнее, из neptioft зоны Брпллюэна. — Прим. перев.

Взаимодействие излучения с фононами 247
|к|>л/а, которые соответствуют тем же самым движениям ча-
частиц; здесь а — постоянная решетки. [Вспомните обсуждение
уравнения G.3).] Например, в одномерном случае можно заме-
заменить kx на kx + 2лп/а, где «-—целое число. Вектор G называется
вектором обратной решетки. Вектор G можно добавлять во все
законы сохранения волнового вектора, применимые для кри-
кристаллических решеток. Процессы, для которых G ф О, называют-
называются процессами «переброса». Они важны, например, при опреде-
определении теплового сопротивления решетки [7].
Дальнейшее утверждение связано с обозначением величины
Ьк как импульса. Можно показать, что фононы, за исключением
тех, для которых к = 0, в действительности не несут физического
импульса, так как координаты фононов описывают относитель-
относительное движение всех атомов. (См. задачу 7.2.) Однако вследствие
законов сохранения волнового вектора величина fik играет роль
импульса и поэтому называется импульсом [7].
Так как со и к являются соответственно ординатой и абсцис-
абсциссой на дисперсионной характеристике, то очевидно, что фотон
или фонон можно представить вектором на соответствующей
дисперсионной характеристике, как показано на фиг. 7.15, а.
Вектор, определенный в ык-пространстве и проведенный из на-
начала координат в ту точку дисперсионной кривой, которая со-
соответствует разрешенным при данном рассмотрении значениям
со и к, назовем дисперсионным вектором. Законы сохранения
G.39) и G.40) можно определить как требование, чтобы диспер-
дисперсионные векторы образовывали замкнутую векторную диаграм-
диаграмму, как изображено на фиг. 7.15,6 и в.
Фиг. 7.15,6 соответствует случаю коллииеарного рассеяния
назад падающей световой волны (со,, &г) на акустической моде,
которое приводит к появлению рассеянной световой волны
(cos, ks). Заметим, что если дисперсионный вектор (ш8, ks) пе-
перенести параллельно себе так, чтобы он проходил через начало
координат, то он, как и должно быть, будет лежать на диспер-
дисперсионной кривой для световой волны (т. е. векторы 0s и 0V
имеют одинаковую длину и параллельны).
Чтобы рассмотреть рассеяние под углом, показанное на
фиг. 7.14, необходимо заменить одномерную диаграмму на
7.15,6 двумерной, изображенной на фиг. 7.15, в. Эти диаграммы
соответствуют изотропной среде, в которой дисперсионные ха-
характеристики для световой и акустической волн являются по-
поверхностями вращения. Закон сохранения можно также найти
путем вычитания акустического дисперсионного вектора из
дисперсионного вектора, соответствующего падающему фотону,
на оптической дисперсионной кривой. Дисперсионные векторы,
соответствующие рассеянному свету, в этом случае выходят из
начала координат и заканчиваются на линии пересечения двух

218
Глава 7
поверхностей, как показано на фиг. 7.15, г. Из этой диаграммы
видно, что частота рассеянного света является функцией угла
Оптическая дисперсионная
характеристика
Векторы
дисперсии
Акустическая
дисперсионная
характеристика
Векторы дисперсии
а'
Дисперсионная
■поверхность ;/ля
'акустических мод
Инвертированная
дисперсионная поверх-
поверхность для акустиче-
акустических мод
Фиг. 7.15. а — векторы дисперсии; б — генерация рассеянного назад света,
иллюстрирующая законы сохранения энергии н импульса; в — дисперсионная
векторная диаграмма для рассеяния в плоскости; проекция вектора дисперсии
на вертикальную ось дает частоту волны; проекция на горизонтальную пло-
плоскость дает волновой вектор; сохранение волнового вектора означает, что
проекция в горизонтальной плоскости представляет собой замкнутую вектор-
векторную диаграмму; г —в соответствии с условиями сохранения местоположение
разрешенных векторов дисперсии для рассеянного света дается пересечением
двух поверхностей, получаемых вычитанием поверхности («ft, к), соответ-
соответствующей акустической дисперсии, из той точки дисперсионной характери-
характеристики для света, которая соответствует входному фотону (со,-, к,-). Как видно,
частота рассеянного света зависит от угла в плоскости уг.
между направлением падающего света, который распростра-
распространяется вдоль осп г, и направлением рассеянного света, распро-
распространяющегося в плоскости г/2, Зависимость частоты от угла
рассеяния рассмотрена в § 7,

Взаимодействие излучения с фопопама
249
о. Рамановское рассеяние
Явление римановского рассеяния представляет собой второй
пример процесса с участием фононов, при котором сохраняются
энергия и импульс. Рамановское рассеяние подобно бриллю-
эновскому рассеянию и отличается главным образом тем, что
представляет собой рассеяние света на оптических, а не на аку-
акустических колебательных модах. Рассеяние видимого света на
оптических модах приводит к смещениям частоты, типичное зна-
значение которых имеет порядок нескольких сотен ангстрем.
Дисперсионная
поверхность для
оптических гроно
нов
Фиг. 7,16. Сохранение энергии и импульса для раманоаского рассеяния,
полученные из дисперсионных диаграмм.
а — романовское рассеяние назад; б — рачановское рассеяние и плоскости; в — местополо-
местоположение разрешенных векторов для рассеянного свега, определяемое пересечением двух
поверхностей. Как видно, частота рассеянного света по зависит существенно от угла
в плоскости уг, так как оптическая мода имеет очень малую дисперсию а интересующей
пас области.
Если для возбуждения рамановского эффекта используется
мощный лазер, то может происходить вынужденное рамановское
рассеяние —процесс, при котором смещенное по частоте излу-
излучение с точки зрения спектрального состава и мощности про-
проявляет свойства лазерного излучения. Вынужденный эффект
Рамана, следовательно, дает метод, пригодный для частотного
преобразования когерентных оптических сигналов. Подробное
рассмотрение вынужденного эффекта Рамапа представлено
в §6.
Член нелинейной поляризации, который вызывается рама-
новским процессом, имеет тот же вид, что и соответствующий
член в бриллюэновском рассеянии, и поэтому определяется вы-
выражением G.38). Законы сохранения даются уравнениями
G.39) и G.40). Соответствующие замкнутые дисперсионные
векторные диаграммы показаны на фиг. 7.16. Они аналогичны
диаграммам, изображенным на фиг. 7.15, только дисперсионная

250 Глава 7
характеристика для акустической моды заменена на характе-
характеристику оптической колебательной моды. На фиг. 7.16, в по-
поверхность разрешенных значений дисперсионного вектора для
рассеянного света получена вычитанием дисперсионного вектора
оптической моды из дисперсионного вектора падающего света.
Так как дисперсионная характеристика оптической моды до-
довольно плоская в рассматриваемой области, что является ти-
типичным случаем, то частота рассеянного света не зависит су-
существенно от угла между падающим и рассеянным светом.
В случае сильного взаимодействия оптических мод с электро-
электромагнитной волной (т. е. когда мода определяет инфракрасное
поглощение, как рассмотрено в § 5) оптические моды обладают
дисперсией. В этом случае частота моды и, следовательно, ча-
частота рассеянного света является функцией угла.
Метод, который объединяет законы сохранения и диспер-
дисперсионные диаграммы и который был использован в данном слу-
случае для бриллюэновского и рамановского рассеяния, можно при-
применить к процессам рассеяния в общем случае (см. задачу 7.4).
§ 5. ИНФРАКРАСНЫЕ СВОЙСТВА ОПТИЧЕСКИХ ФОНОНОВ
Когда оптические фононы распространяются в двухатомном
кристалле, то в зависимости от типа связи может возникать
или не возникать разделение зарядов. Кристалл, образованный
за счет ионной связи, например NaCI, составлен из положитель-
положительных и отрицательных ионов. В этом случае при распростране-
распространении оптического фонона имеет место разделение заряда, так
как заряженные подрешетки колеблются навстречу друг другу.
С другой стороны, для такого кристалла, как алмаз, который
образован за счет ковалентной связи, подрешетки по существу
нейтральны, а при их колебаниях навстречу друг другу либо
нет никакого пространственного разделения зарядов, либо оно
очень мало. Кристалл может иметь связь от чисто ионной до
чисто ковалентной. Кристаллы, образованные атомами с почти
заполненными оболочками (галогениды щелочных металлов),
стремятся быть ионными, в то время как кристаллы, образо-
образованные атомами II, III и IV групп периодической таблицы (С,
Ge, Si, Те), имеют тенденцию к валентной связи.
В результате разделения зарядов, которое сопровождает
распространение оптического фонона в кристаллах с ионной
связью, оптические фононы сильно взаимодействуют с электро-
электромагнитным полем, имеющим частоту колебаний, обычно лежа-
лежащую в инфракрасной области. Это взаимодействие приводит
к заметному поглощению и отражению в инфракрасной области,
исследованием которых мы теперь и займемся. Если оптическая

Взаимодействие излучения с фононами 251
мода сильно связана с электромагнитным полем, то говорят,
что она является активной в инфракрасном спектре.
Будем использовать полуклассический подход, при котором
поля описываются классическими, а оптические колебания
среды — квантовомеханическими уравнениями.
Полный гамильтониан для элементарной ячейки дается вы-
выражением
Ж = Жй + Ж', G.43)
где невозмущенная часть гамильтониана Жъ определяется
G.29):
a + Т) - G-44)
а гамильтониан электрического дипольного взаимодействия Ж
равен
, = _ ц . Е = _ ZEQ = _ ZE {-~)k (а + о+). G.45)
Гамильтониан взаимодействия Ж' соответствует разделению
зарядов Z в результате относительного смещения Q двух под-
решеток, причем Q = Цг—Ц\. Рассмотрим здесь случай, когда
электрическое поле и смещение фонона параллельны.
Уравнение движения для среднего значения амплитуды ко-
колебаний (Q) найдем уже знакомым читателю методом, исполь-
используя уравнение A.51):
(Q) + ~ (Q) + -i «2> = - i <[ [Q. ^1- ^1>- G-46)
2 2
Так как Ж' коммутирует с Q, то вычисление с помощью
G.44) внутреннего коммутатора, входящего в уравнение G.46),
дает
Производя аналогичное вычисление для внешнего коммутатора,
получаем
Ж], «Ж] = HQQ .
Следовательно, окончательное уравнение движения имеет вид
<B) + Дс^(B) + О2<<2} = 4г, G.47)
где принято, что Q2 > 1/Г|, а Дсо^ = 2/Г2 является шириной
линии.

252 Глава 7
Если в единице объема содержится Nv = Jf\V идентичных
элементарных ячеек, то связанная с фононной волной поляри-
поляризация определяется выражением
Л"
где Z—величина заряда, разделение которого имеет место
в элементарной ячейке за счет относительного смещения Q
подрешеток.
Уравнения G.47) и G.48) описывают поведение среды, До-
Добавим к ним уравнения распространения электромагнитного
поля B.50):
Л» д2Е _ д'2Р
V X (V X Е) Н ^г~ ^2 — — [г0 ~т^г" • G -49)
С помощью G.52) будет показано, что г|оо является показате-
показателем преломления, измеренным на частотах выше частоты рас-
рассматриваемого перехода. В уравнении G.47) электрические
поля являются локальными полями, а поляризация Р, опреде-
определяемая G.48), есть истинная поляризация. Для плотной среды
они отличаются от членов, описывающих макроскопическое
электрическое поле и поляризационный источник и входящих
в волновое уравнение G.49). Как обсуждалось в гл. 2, § 4.
п. 7, различие между локальным и макроскопическим полями,
а также между истинной поляризацией и поляризационным ис-
источником, возбуждающим поле, появляется за счет влияния
близко расположенного поляризуемого вещества на локальное
поле, действующее на элементарную ячейку. Учет этого эффек-
эффекта приводит к появлению поправочных коэффициентов Ло-
Лоренца.
Если с помощью метода, рассмотренного в гл. 2, § 4, п. 7,
определить коэффициенты Лоренца и, учитывая их, переписать
уравнения G.47) и G.48), то эти уравнения будут иметь тот же
вид, только поля и поляризация, как и в уравнении поля G.49),
будут макроскопическими переменными. Введение поправочных
коэффициентов Лоренца слегка меняет резонансную частоту й
и приводит к появлению постоянного множителя перед эффек-
эффективным зарядом Z. Следовательно, можно рассматривать урав-
уравнения G.47) совместно с G.49) в том виде, в котором они на-
написаны, но считать, что Р и Е являются теперь макроскопиче-
макроскопическими переменными, а поправочный коэффициент Лоренца
учтен в Z.

Взаимодействие излучения с фонопами 253
Решения уравнений G.47) — G.49) для Р, (Q) и Е ищем
в виде бегущих волн, распространяющихся в 2-направлении:
£ = -|-е'(^-^) + компл. сопр. G.50)
Уравнения G.47) -- G.49) имеют два типа решений: попереч-
поперечные и продольные волны, т. с. решения, для которых Р, (Q) и
Е либо перпендикулярны, либо параллельны направлению рас-
распространения. Рассмотрим сначала решения в виде поперечных
волн. Для таких решений V X (V X Е) = W-E и одновременное
решение уравнений G.47) — G.49) приводит к условию
/е2-*-^, G.51)
где относительная комплексная диэлектрическая проницаемость
% определяется выражением
* (со) = ъ. + апг^тш^ • <7-52)
Параметр Дх = NvZ2/u2Me0 определяет вклад ионных колеба-
колебаний в диэлектрическую проницаемость при прохождении через
частоту перехода и является поэтому мерой силы перехода. Ве-
Величина яю = ilL является диэлектрической проницаемостью на
частотах выше частоты исследуемого перехода, в чем можно
убедиться, полагая в G.52) а> —> оо.
В качестве примера рассмотрим кубический кристалл GaP,
принадлежащий к точечной группе 43/п. Соответствующие зна-
значения параметров таковы:
^=^-=27,3 мкм (длина волны поперечных колебаний),
и» = 8,457,
Дк== 1,725,
Дсо
^- = 0,003.
о
Так как величина AaJQ очень мала, то при последующем рас-
рассмотрении можно пренебречь влиянием этого члена (т. е. пре-
пренебречь влиянием затухания), если особо не указано обратное.
Если положить, что величина Aml/S равна пулю, то диэлектри-
диэлектрическая проницаемость x(w), определяемая выражением G.52),
будет действительной.
График и(ш) для GaP показан на фиг. 7.17. При со = 0
диэлектрическая проницаемость имеет статическое значение,

251
Глава 7
равное Истат = ««> + Ли = 10,182, и резко возрастает при при-
приближении к резонансу. В области правее резонанса диэлектри-
диэлектрическая проницаемость возрастает от большого отрицательного
значения, проходит через нуль на частоте щ, определяемой ус-
условием cO(/Q = 1,1, и далее на высоких частотах асимптоти-
асимптотически приближается к значению, равному Иоо = 8,457. Как бу-
будет следовать из решения в виде продольной волны, которое
Фиг. 7.17. Частотная зависимость диэлектрической постоянной х (со) для GaP.
получено ниже, частота со; является частотой продольной моды,
а соответствующая длина волны равна }.г = 24,9 мкм.
Из фиг. 7.17 видно, что в области Q < со < со, диэлектрическая
проницаемость и(со) отрицательна. Это означает, что в указан-
указанной области показатель преломления г| (со) = У у, (со) является
мнимым. Коэффициент поверхностного отражения Я, который
определяет, какая относительная часть падающей мощности
отражается от поверхности с показателем преломления г|((о),
дается выражением [8]
Следовательно, в области, в которой г|(со) —мнимая величина,
коэффициент 31 равен единице. Отсюда следует, что в данном
частотном диапазоне имеется полоса непрозрачности, где элек-
электромагнитное излучение полностью отражается от поверхности.

Взаимодействие излучения с фононами
255
Это явление известно как остаточное свечение, или явление от-
отражения остаточных лучей1).
График коэффициентов отражения для GaP представлен на
фиг, 7.18. Отклонение максимального значения коэффициента
отражения от единицы можно объяснить, если учесть эффекты
затухания. Полоса непрозрачности наблюдается в области, ле-
лежащей между lt = 27,3 мкм и 1, = 24,9 мкм.
Дисперсионная характеристика (сой-диаграмма) предста-
представлена на фиг, 7.19. На частотах, лежащих значительно ниже
частоты колебаний, излучение
распространяется со скоростью
В этой области коле-
г,о
б /р у
бания решетки могут следовать
\Г//IП
а \ь
W 24 28 32 ЗЬ
Л /икм
э,о ю
Фиг. 7.18. Коэффициент отраже-
отражения для кристалла GaP.
Фиг. 7.19. Дисперсионная харак-
характеристика для кристалла Gap.
за медленными изменениями полей, и такое движение дает
вклад в диэлектрическую проницаемость. Однако, поскольку
частота намного ниже резонансной, механические смещения
малы и, следовательно, большая часть энергии заключена
в электромагнитной волне. В этой области система со связан-
связанной модой может быть названа фотоноподобнои.
Когда частота приближается к частоте поперечных колеба-
колебаний решетки Q, колебания решетки оказываются сильно свя-
связанными с инфракрасным излучением и дисперсионная кривая
существенно отклоняется от фотоноподобнои характеристики.
В этой области большая часть энергии представляет собой ме-
механическую энергию, связанную со смещениями решетки. Зави-
Зависимость от k доли механической энергии, выраженной в про-
процентах, представлена на фиг. 7.20 [1].
') Эта терминология связана с тем, что кристаллы такого типа использо-
использовались в экспериментах в качестве поверхностей для многократных отраже-
отражений, в результате которых могут быть получены довольно монохроматические
остаточные лучи от широкополосного источника.

250
Г.юва 7
В полосе непрозрачности Q < го < го/ связанная мода не
распространяется. На высокочастотном краю полосы непрозрач-
мода снова становится преимущественно механическим
колебанием. Однако вдали от
резонанса дисперсионная ха-
характеристика системы со свя-
связанной модой вновь становит-
становится фотоноподобиой, правда, с
уменьшенной диэлектрической
проницаемостью вследствие
того, что колебания решетки
не успевают следовать за бы-
быстро изменяющимся полем.
Вклады в диэлектрическую
проницаемость в этой облает!!
обусловлены более высокоча-
высокочастотными резонансамп, в част-
частности электронными. Для не-
некоторых кристаллов могут су-
существовать также ионные ко-
колебания того же типа, что и
рассмотренные, по с более вы-
высокими частотами. Если это имеет место, то нужно учитывать
также и их вклады. Значения параметров для некоторых рас-
распространенных кристаллов, которые обладают единственным
ионным колебанием,сведены в табл.9.
Таблица 9
Параметры кристаллов для оптических мод, активных
в инфракрасных спектрах
Ф и г. 7.20. Доля механической энер-
энергии, выраженная в процентах, для
поперечных мод [1].
Верхняя и нижняя ветви соенветствугот
частотам выше и ниже частоты перехода 2,
как показано на фиг. 7.19.
Кристалл
LiF
NaF
NaCl
NaBr
KC1
KI
Rbl
CsCl
T1C1
TIBr
AgCl
AgBr
MgO
Структура
NaCl
NaCl
NaCl
NaCl
NaCl
NaCl
NaCl
CsCl
CsCl
CsCl
NaCl
NaCl
NaCl
Статическая
диэлектрическая
постоянная хстат
8,9
5,1
5,9
6,4
4,85
5,1
5,5
7,2
31,9
29,8
12,3
13,1
9,8
Оптическая
лиэ,г_ектрц чес к ая
постоянная к
1,9
1,7
2,25
2,6
2,1
2,7
2,6
2,6
5,1
5,4
4,0
4,6
2,95
Q, \0псек~'
(эксперимен-
(экспериментальное
значение)
5,8
4,5
3,1
2,5
2,7
1,9
1,4
1,9
1,2
0,81
1,9
1,5
7,5

Взаимодействие излучения с фононами
257
16 -
S. й -
8 -
Описанная выше дисперсионная кривая характеризует си-
систему со связанной модой, являющуюся по своей природе ча-
частично электромагнитной, частично механической. Когда связь
между излучением и колебаниями решетки стремится к нулю
(т. е. Z—>0), дисперсионная характеристика, показанная на
фиг. 7.-19, приближается по форме к двум пересекающимся пря-
.мым линиям; одна из них горизонтальна и соответствует фо-
нопной дисперсионной ха-
характеристике, которая су- 'в
шествовала бы в отсутствие
связи с излучением, другая
днагональна и соответствует
дисперсии излучения в от-
отсутствие колебаний. Исходя
из такой точки зрения, мож-
можно видеть, что дисперсион-
дисперсионная характеристика при ко-
конечной связи представляет
собой дисперсионную харак- §| 6
теристику в отсутствие свя- Is
зи, но с расщеплением в об- |а 4
ласти, где частоты и волно- <§§.
вые векторы почти одинако-
одинаковы. Такое поведение типич-
типично для системы со связан-
связанными модлмн.
ЕСЛИ учесть затухание, фиг^ 7_21. Показатель преломления и
то диэлектрическая прони- коэффициент экстинкцни для кристалла
цаемость, определяемая вы- GaP
ражением G.52), имеет как
вещественную, так и мнимую части за счет конечной ширины
линии Acdl. При учете затухания отдельные ветви кривых ди-
диэлектрической проницаемости и дисперсии соединяются в не-
непрерывную кривую, как показано на фиг. 7.22, в и г. Для даль-
дальнейшего рассмотрения эффектов затухания введем комплексный
показатель преломления ]/и(со) = г)(ш) — iK (со), где г)((о)—дей-
г)((о)—действительная часть, а величина К(м), известная как коэффициент
экстннкцпи, учитывает потери. Из G.50) м G.51) видно, что
коэффициент экстнпкции К связан с коэффициентом поглощения
для энергии Г соотношением К = Гс/2<о. Графики величин т] и
Л' для GaP изображены на фиг. 7.2!.
Наряду с решениями в виде поперечных волн G.47) —•
G.49), которые рассмотрены выше, существуют также решения
в виде продольных волн. В этом случае Р, (Q) и Е параллель-
параллельны направлению распространения. Тогда V X (V X Е) = 0 и
решение уравнений G.47)—,G.49) приводит к х = 0, где к
§ 2
а

Значения параметров для MgF2 (E
Q, см~{ Я, (,'лкм) Дх,
с)
247
410
450
40,6
24,4
21,'?.
К1
2,22
0,19
1 = 5,4
0,014
0,033
0,058
5 10 /5 Z0 25 50 55 60 105 130
X, /икм
Ю
/000
IS ZO 25 30 60 90
Л.мкм
9 6 3 S 6 9
Im k■ Ю'1, с/и'' Re k ■ 10, см"'
г
ф н г. 7.22. Поперечные оптические моды в MgF2 для поля Е, перпендику-
перпендикулярного оси с.
а-значения параметров- б - коэффициент отражения; в - действительная часть диэлек-
диэлектрической постоянной Х((о), найденная изданных по отражению; пунктирная кривая соот-
соответствует равному пулю затуханию; г —дисперсионные кривые.

Взаимодействие излучения с фононами 259
опять определяется выражением G.52). Если пренебречь чле-
членом затухания и разрешить G.52) относительно ш, то получим
выражение для частоты продольной моды cof.
G.53)
где Хстат = Хос + Лх. Выражение G.53) известно как соотноше-
соотношение Лиддена — Сакса — Теллера. Видно, что частота продоль-
продольной моды не зависит от волнового вектора к и, следовательно,
соответствующая дисперсионная характеристика является гори-
горизонтальной прямой.
Для продольных мод поляризация, смещение и поле Р, {Q)
и Е поляризованы параллельно направлению распространения.
Следовательно, продольные колебания решетки не связаны с по-
полями светового излучения, которые перпендикулярны направ-
направлению распространения.
Из G.51) видно, что условие х = 0 для продольной моды
соответствует также точке k = 0 для поперечной моды с конеч-
конечной частотой о). Таким образом, верхняя ветвь решения для
поперечной моды начинается при ю = ш/, поэтому со; является
также верхней граничной частотой полосы непрозрачности, свя-
связанной с поперечными модами.
Метод, представленный в этом параграфе, можно расширить
и рассмотреть несколько колебательных мод, частоты которых
лежат между ш = 0 и частотами электронных резонансов [9].
В этом случае выражение G.52) обобщается к виду
% (ш) = у + V — jJ'
Статическое значение диэлектрической проницаемости хСТат
определяется тогда выражением
Значения параметров, коэффициент отражения, диэлектриче-
диэлектрическая проницаемость и дисперсионные кривые для поперечных
мод в MgF2 при условии, что поле Е перпендикулярно оси с,
показаны на фиг. 7.22.
Прежде чем закончить обсуждение вопроса о поглощении и
дисперсионных свойствах оптических фононов, заметим, что ре-
результаты описывают также поглощение и дисперсию, связан-
связанную с электрическими резонансами. Это было рассмотрено
в гл. 3 с точки зрения взаимодействия излучения с электриче-
электрическим дипольпым переходом двухуровневой системы, Анализ
гл. 3 привел к уравнению для постоянной распространения

260
Глава 7
»^vJ»v» fiu)^
C.11a), которое имеет ту же форму, что и уравнения G.51) и
G.52). Следовательно, очевидно, что результаты, основанные
на уравнениях G,51) и G,52), применимы также и в элек-
электронном случае.
§ 6. ЭФФЕКТ РАМЛНА
В 1928 г. Раман и Кришнан в ряде опытов по рассеянию
света в жидкостях и парах наблюдали, что определенная малая
часть интенсивности света A0~6—10~7) испытывает в процессе
рассеяния значительное смещение по частоте (порядка несколь-
нескольких сот ангстрем) [10], В том
же году такие эффекты на-
наблюдались независимо
Ландсбергом и Мандель-
Мандельштамом в опыте с кристал-
кристаллами [11]. В их эксперимен-
экспериментах было обнаружено, что
частотные сдвиги соответ-
соответствуют частотам оптических
колебаний рассеизающего
вещества. Из этих наблю-
наблюдений был сделан вывод, что
диэлектрическая проницае-
проницаемость и поляризуемость сре-
среды модулируются колебания-
колебаниями, а совместное действие
излучения и оптических koj
лебаний приводит к их сме-
смешению и к появлению сум-
суммарной и разностной частот,
Эти процессы иллюстри-
иллюстрируются на фиг. 7.23. Обна-
Обнаруженное явление стало из-
известно как эффект Рамана
и является сейчас основным
методом спектроскопии при
определении структуры
оптических колебаний. Как
метод спектроскопии он служит полезным дополнением к спект-
спектроскопии инфракрасного поглощения, когда колебательные мо-
моды вследствие условий четности не поглощают инфракрасное
излучение, но могут быть активными при рамановском рассея-
рассеянии.
Интерес к эффекту Рамана резко возрос, когда стали до-
доступными интенсивные лазерные источники. Одна из причин
этого интереса заключается в том, что эффект стал теперь бо-
~Л—► i
5
Ф и г. 7.23, Эффект Рамана является
процессом нелинейного рассеяния света,
в котором падающая световая волна
рассеивается на оптической моде среды,
давая фотоны па суммарной и разно-
разностной частотах.
Рисунок показывает, как фотоны падающего
пучка преобразуются в рассеянные фотоны со
сдвигом частоты, приводя к изменению состоя-
состояния среды. Длины вертикальных стрелок соот-
соответствуют энергиям фотонов.
а — образование суммарной частоты (антн-
стоксово рассеяние); б — образование разно-
разностной частоты (стоксово рассеяние).

Взаимодействие излучения с фононами 261
лее легко наблюдаемым и, следовательно, представляет более
удобный метод изучения свойств материалов. Другая причина
состоит в том, что при вынужденных процессах смещенные
спектральные линии сами могут быть похожи по характеристи-
характеристикам на линии лазерного излучения и поэтому действуют как
новые источники когерентного оптического излучения. Такой
эффект называется вынужденным рамановским рассеянием.
Существенные особенности вынужденного эффекта Рамана
лучше всего описать при сравнении его с обычным или спон-
спонтанным рамановским рассеянием. При спонтанном рамановском
рассеянии переизлучаемый на рамаповской частоте (частота
падающего света минус частота моды) свет испускается во
всех направлениях случайно. Так как каждый излучатель дей-
действует независимо от других, то отсутствует фазовая когерент-
когерентность между излучением от различных излучателей. Эффектив-
Эффективность рассеяния мала и имеет порядок 10~6 рассеянных фотонов
на один падающий фотон. Ширина линии выходного излучения
соответствует ширине колебательного уровня среды.
При вынужденном рамановском рассеянии выходное излуче-
излучение испускается не во всех направлениях, а в совершенно опре-
определенном направлении. Поэтому источники излучают не неза-
независимо, а связаны по фазе и направлению излучения за счет
высокой мощности излучения на рамановской частоте. В проти-
противоположность спонтанному эффекту, при вынужденном рама-
рамановском эффекте излучение, уже существующее на рамановской
частоте, влияет на процесс излучения на этой частоте. Высокая
интенсивность, которая может достигать интенсивности падаю-
падающего пучка, получается за счет механизма усиления на рама-
рамановской частоте. Так как усиление существенно зависит от ча-
частоты, то вынужденное излучение происходит главным образом
на той частоте, па которой усиление максимально. В результа-
результате ширина спектральной линии выходного излучения мала по
сравнению с шириной линии спонтанной эмиссии. Разница между
спонтанным и вынужденным излучением рассматривается более
подробно в § 6, п. 2.
Вынужденный эффект Рамана был открыт в 1962 г. в опыте
с рубиновым лазером F943А), работающим в режиме модуля-
модуляции добротности, когда в излучении неожиданно наблюдалась
линия 7670 А [12]. По интенсивности и направленности излуче-
излучения было ясно, что эта новая линия появилась за счет вынуж-
вынужденного излучения, хотя длина волны этого излучения не соот-
соответствовала какому-либо известному переходу в рубине. Эффект
был объяснен как вынужденное рамановское излучение за счет
молекулярных колебаний в ячейке Керра с нитробензолом, ко-
которая использовалась для модуляции добротности [13, 14]. Вско-
Вскоре после открытия вынужденное рамановское излучение наблю-

262 Глава 7
далось в ряде других материалов, включая органические [15]
и неорганические [16] жидкости, кристаллы [17] и газы [18]. Од-
Одновременно с первой экспериментальной работой была развита
теория для объяснения вынужденного эффекта [12, 20—22].
В то время как эффективности обычного рамановского рас-
рассеяния имеют порядок 10~6 рассеянных фотонов на падающий
фотон, вынужденный эффект дает преобразование лазерного из-
излучения в рамановское с эффективностью порядка 30%, а тео-
теоретически эффективность может достигать единицы. Таким об-
образом, вынужденный эффект Рамана дает эффективные методы
создания когерентных оптических источников видимого и ин-
инфракрасного диапазонов, которые до некоторой степени управ-
управляются и требуют использования только лазера —как источни-
источника накачки — и кристалла или ячейки, содержащей жидкость
или газ — как рассеивающей среды. Наблюдалось более 100 ко-
когерентных линий [23, 24], а область полученных частот значи-
значительно превышает область, достигнутую только за счет рама-
новских частотных смещений, так как в последовательных,
а также в параметрических процессах генерируемое первона-
первоначально рамановское излучение само действует как мощная на-
накачка, приводя к дальнейшим смещениям. Список материалов,
в которых наблюдалось вынужденное рамановское рассеяние
ко времени написания книги, приведен в приложении 8.
/. Общее рассмотрение. Классический подход
Основные черты рамановского рассеяния можно понять с по-
помощью относительно простого классического описания. Отдель-
Отдельная молекула или элементарная ячейка кристалла, на которых
имеет место рассеяние, обычно состоит
из двух или более связанных ядер,
окруженных электронным облаком,
как показано на фиг. 7.24.
Если поле падающего излучения,
лежащего в видимой или инфракрас-
инфракрасной области спектрп, взаимодействует
Фиг, 7.24, Неколеблющаяся с молекулой или элементарной ячей-
яд;Гокружен°ныхЯэлеактрон- кой' то индуцируется электрический
иым облаком. днпольный момент (Li. Если частота из-
излучения лежит значительно выше ча-
частот колебательных резонансов и значительно ниже частот элек-
электронных резонансов, то в соответствии с G.47), G.48) и B,35)
дипольный момент прямо пропорционален электрическому полю:
Eos<>)tf G,54)

Взаимодействие излучения с фононами 263
где ctt'j — тензор электронной поляризуемости молекулы. В этом
выражении подразумевается суммирование по повторяющимся
индексам. Поляризуемость ац получается при суммировании
выражений вида B.35) при условии, что частота поля значи-
значительно ниже частоты перехода, Поляризуемость представляет
собой сумму по электронным переходам. При физическом опи-
описании говорят, что дипольный момент появляется за счет сме-
смещения заряженного электронного облака относительно ядер.
При взаимодействии со светом относительно легкое электронное
облако следует за падающим полем, а более тяжелые ядра
Фиг. 7.25. Колеблющаяся молекула.
ННЯ. ДЛЯ ТИПИЧНЫХ Структур (орГаппчслис «ицшчп, ..ш.ри.с), иют или А.'шрифирм,
или кристаллы, например ннобат литня или алмаз) молекулярные колебания лежат
в инфракрасной области спектра в диапазоне 3—30 мкм.
в первом приближении остаются неподвижными. Если предпо-
предположить, что ядра остаются неподвижными, то электронная по-
поляризуемость ац на любой частоте является просто константой,
значение которой определяется молекулой или элементарной
ячейкой. Эта поляризуемость ответственна за показатель пре-
преломления среды на частотах, лежащих выше резонансных ча-
частот ионных колебаний,
Однако предположение о том, что ядра остаются неподвиж-
неподвижными, не совсем корректно, так как некоторая часть поглощен-
поглощенной электронами энергии вследствие движения электронного
облака передается ядрам, В результате ядра начинают осцил-
осциллировать относительно положения равновесия, как показано
на фиг, 7.25,
При колебании ядер электронная поляризуемость ац изме-
изменяется, так как менясзся ядерная конфигурация (фиг, 7.26).
Математически это можно описать, разлагая электронную поля-
поляризуемость a,j в ряд Тейлора по нормальным колебательным
координатам, например по координате Q = q2 — qu которая
пригодна для двухатомного кристалла, рассмотренного в § 3,
п. 3.
Этот метод, предложенный первоначально Плачеком [25],
приводит к выражениям
/ Яп..\ ~
+ .... G.55)

264
Глава 7
где оь — частота колебаний, a (da.ij/dQ)o — значение производ-
производной, вычисленное для равновесного положения ядер.
Подстановка G.55) в G.54) дает
cos at -I- j
co0) t + cos (co;
G.56)
Из этого выражения видно, что при колебаниях молекул изме-
изменения электронной поляризуемости приводят к появлению ди-
польных моментов, которые обусловливают появление двух ли-
линий излучения, одна из которых имеет частоту выше, а дру-
другая — ниже частоты возбуждающего излучения.
Фиг. 7.26. Поляризуемость как функ-
функция колебательной координаты Q.
Если поляризуемость меняется так, как пока-
показано на кривой /, то существует эффект Рамаиа
первого порядка; если поляризуемость ме-
меняется, как показано па кривой II. то эффект
первого порядка отсутствует.
Обе они смещены на величину, которая соответствует ча-
частоте колебаний. Это и есть генерация тех смещенных линий,
которые составляют эффект Рамана. Линия излучения более
низкой частоты называется стоксовой линией, линия более вы-
высокой частоты — антистоксовой. Названия «стоксова» и «анти-
стоксова» обязаны закону Стокса для флуоресценции, согласно
которому линии излучения обычно имеют более низкую частоту,
чем возбуждающие линии.
Как видно из G.56), эффект Рамана пропорционален вели-
величине (daij/dQH. Следовательно, если поляризуемость зависит
от колебательной координаты так, как показано на кривой /
фиг. 7.26, то эффект Рамана имеет место; если же поляризуе-
поляризуемость изменяется так, как показано на кривой //, то эффект Ра-
Рамана первого порядка исчезает и нужно рассматривать следую-
следующие более высокие члены разложения G.55). Эффект Рамана,
следовательно, зависит от изменения поляризуемости как функ-
функции смещений. В книге Герцберга [26] приводятся рамановские
свойства колебаний для всех 32 точечных групп симметрии, от-
откуда можно определить, имеет ли место эффект Рамана при
данной симметрии колебаний для данного типа молекул или
кристаллов.

Взаимодействие излучения с фононами 265
Интенсивности рамановских линий сильно зависят от типа
связи и обычно для ковалентной связи они намного выше, чем
для ионной. Интенсивность рамановского излучения зависит от
того, как сильно изменяется поляризуемость при колебаниях.
В случае ковалентной связи валентные электроны принадлежат
нескольким атомам, а изменение расстояния между ядрами
сильно влияет на поляризуемость. При ионной связи каждый
электрон в основном находится под влиянием только одного
ядра и поляризуемость слабо изменяется при колебаниях.
Теперь можно получить выражение для того члена гамильто-
гамильтониана, который описывает рамановские процессы. Из G.54) и
G,55) видно, что диполоный момент, связанный с эффектом Ра-
Рамана. равен
\il = a'll(Q)Et, G.57)
где a'r(Q) определяется выражением
В присутствии электрического поля член взаимодействия имеет
вид потенциальной энергии, запасенной в поляризуемой среде
[1, 27]:
^'=-\a'l.(Q)EiEt. G.59)
2. Квантовомеханическое рассмотрение
В этом разделе мы выведем уравнения движения, которые
описывают эффект Рамана. Используем полуклассический под-
подход, описывая поля классически, а среду — квантовомехани-
чески. Как и при исследовании резонансного поглощения и
излучения, полуклассический метод позволяет описать только
вынужденное рамаиовское рассеяние. Описание спонтанного эф-
эффекта Рамана, которое следует из квантования поля, можно
получить на основе метода «экстра-фотонов». Согласно изло-
изложенному в гл. 6, этот метод состоит в том, что в полученные
с помощью полуклассического подхода формулы, описывающие
процессы излучения, можно ввести члены, определяющие спон-
спонтанную эмиссию, если заменить п —* п + 1, где п — число фото-
фотонов в моде, имеющей частоту излучения.
Так как эффект Рамана зависит от оптических колебатель-
колебательных мод, то свойства среды можно описать на основе резуль-
результатов по квантованию оптической моды, полученных для двух-
двухатомного кристалла в § 3, п. 3. Результаты для колебаний двух
подрешеток навстречу друг другу в равной мере применимы и
к другим гармоническим колебаниям (например, к колебатель-

266 Глава 7
ным модам молекулы), если подходящим образом определить
эффективную массу.
Полный гамильтониан для этой задачи равен Ж = Жо + Ж',
Невозмущенная часть Жо, согласно G.30), равна
Ж{1 = Пп (afa + у). G,60)
На основании приведенного в § 6, п. 1 рассмотрения член взаи-
взаимодействия для данной колебательной моды имеет вид
G.61)
где, согласно G.28), оператор Q, соответствующий нормаль-
нормальной колебательной моде, дается выражением
Рассмотрим для простоты одномерную задачу, когда поля, ко-
колебания и индуцированные дипольные моменты поляризованы
параллельно, что часто имеет место в условиях эксперимента.
Уравнение движения для среднего значения амплитуды ко-
колебаний (Q) найдем, используя A.51):
Вычисление с помощью G.60) — G.62) внутреннего коммутато-
коммутатора, входящего в G.63), дает
[Q, Щ = [Q, Жй + Ж'\ = [Q, Жо] + [Q, Ж'} =
так как Ж' коммутирует с Q.
Аналогичное вычисление внешнего коммутатора дает
, Ж], Ж] = B2Q2Q - -g- (-||-)о Е* (аа+ - а*а) =
где в правой части G.64) коммутатор (aaf — afa) исключается
вследствие применения коммутационного соотношения [а,а+] = 1.
Как видно из дальнейшего, иногда для облегчения физической
интерпретации результатов полезно сохранить более длинную
форму записи оператора.

Взаимодействие излучения г фононами 267
Подстановка G.64) в G.63) приводит" к двум эквивалентным
выражениям для (Q):
Лео, (Q) + Q* (Q) = ^ (|§)о^ «np> + 1) - ^ (||)о£* <я„),
G.65а)
(Q) + Л«, (Q) + Q2 (Q) = зж (Ц)о £2, G.656)
где Acol = 2/Г2 — ширина линии колебаний, Q — резонансная
частота колебаний, и принято, ч-roQ2» 1/Г|. Величина {пр) яв-
является средним значением числа фонснов, участвующих в ко-
колебаниях. Коэффициенты, выраженные через (пр), появляются
в результате применения формулы F.20) к оператору, стоящему
в круглых скобках в G.64), т. е.
Физический смысл более длинного выражения G.65а) мы ис-
исследуем несколько позже в этом разделе.
Если A'v- = Jf/V есть число элементарных ячеек или молекул
в единице объема, то нелинейную поляризацию, связанную
с фононами, найдем из G.57) и G.58):
{7М)
t=\
где ^ерта сверху указывает на пространственное усреднение.
Уравнения G.65) и G.66) описывают поведение среды в при-
присутствии электромагнитного поля. Чтобы система уравнений
была замкнутой, добавим уравнение распространения ноля
B.50), в котором пренебрежем потерями:
G.67)
В уравнениях G.65) и G.66) поля являются локальными, а по-
поляризация Р, определяемая выражением G.65), есть микро-
микроскопическая поляризация, в то время как в волновом уравнении
G.67) поле и поляризация являются макроскопическими пере-
переменными. Как было показано в гл. 2, § 4, п. 7, влияние близле-
близлежащей поляризуемой среды на локальное электрическое поле,
в котором находится данная молекула или элементарная ячей-
ячейка, обусловливает появление поправочных коэффициентов Ло-
ренца для локального поля. Учет этого эффе.кта приводит
просто к появлению постоянных множителей ш.ред (da/dQH
в G.65) и G.66), а поля и поляризацию тогда можно рассмат-

268 Глава 7
ривать как те же самые макроскопические переменные, кото-
которые входят в уравнение поля G.67). Следовательно, уравнения
G.65) — G.67) совместны, если поправочные коэффициенты
Лоренца учтены в коэффициенте (da/dQ)o-
Уравнения G.65) — G.67) представляют собой самосогласо-
самосогласованное приближение, которое описывает эффект Рамапа, возни-
возникающий при взаимодействии электромагнитного поля с оптиче-
оптической фононной модой. Фононная мода, описываемая уравнением
G.65), ведет себя как гармонический осциллятор с частотой О,
который возбуждается вблизи резонанса за счет произведения
падающего и рассеянного стоксова полей, частоты которых от-
отличаются на частоту колебаний. Поляризация на стоксовой ча-
частоте, требуемая в соответствии с G.67) для генерации сток-
сова поля, в свою очередь является результатом смешения KOi
лебаний с падающим полем в соответствии с уравнением G.66).
3. Римановская восприимчивость
Рассмотрим решение уравнений движения G.65) и G.67).
Предположим, что упругая, падающая и рассеянная стоксова
волны распространяются коллинеарно в 2-направлении. Допу-
Допустим, что решение для упругой волны имеет вид
(Q) = -^e'(V-V) + KOMiifl. сопр. G.68)
Решения для других переменных определим аналогично, па-
пример
Е = 1 Ё/ (V-W + \ Ese К'"V) + компл. сопр.,
где индексы v, i, s обозначают упругую, падающую и рассеян-
рассеянную стоксову волны соответственно. Чтобы получить соотно-
соотношения между амплитудами различных волн, приравняем коэф-
коэффициенты при подобных экспонентах и предположим, что со-
сохраняются энергия и волновой вектор: cos = со*— сощ, ks =
= ki — kv> как рассмотрено в § 4, п. 3. Вещественная часть
уравнения для k является обычным условием сохранения вол-
волнового вектора, а мнимая часть показывает, что стоксово излу-
излучение и колебания возрастают или уменьшаются одинаковым
образом. Величина волнового вектора падающей волны &,• счи-
считается вещественной, так как мы пренебрегаем ослаблением
падающего пучка. Из G.65) и G.66) найдем, что поляризация
на стоксовой частоте имеет вид
1^1'4. G-69)

Взаимодействие излучения с фопонами 269
где Xr(o)c) —рамаповская восприимчивость, определяемая вы-
выражением
Nv (da/dQ)l I
"^^ч^»^- G70)
Следовательно, процесс рамановского рассеяния можно опи-
описать с помощью рамановской восприимчивости %R (соц) =
= У-'рХ^ъ) + 1%'r(^о)' котоРая имеет лоренцеву форму линии и яв-
является чисто мнимой при резонансе. Так как %r(u>v) связывает
поляризацию с кубическим произведением полей, то рамапов-
рамаповская восприимчивость в общем трехмерном случае является
тензором четвертого ранга, характеризующим рассеивающую
среду.
Уравнение поля G.67) принимает вид
комбинируя его с G.69), получаем
k\ - ^-) Es = w%%R К) | Et |2 Es. G.71)
4. Романовское усиление
В соответствии с G.71) постоянная распространения стоксо-
вой волны равна
где принято с2(х0 = 1/ео. Так как второй член в скобках, появ-
появляющийся за счет рамановской нелинейности, мал, то можно
использовать приближенное выражение для квадратного корня
j/l + х ~ 1 + х/2 и получить
Из экспоненциального вида решений ясно, что мнимый член
в ka приводит к усилению на стоксовой частоте. Коэффициент
усиления gs для мощности стоксовой волны определяется из
роста интенсивности стоксовой волны
\~Esf e2k"z = \ES\2 es*z G.74)
и равен
"\Ё2 4ях^/(-

270 Глава 7
где Ks — длина волны стоксова излучения в вакууме и /( =
= (i)i£oc\Ei\z)!2 — плотность мощности для падающей волны.
Из решения для стоксовой волны с учетом G.74) следует, что
интенсивность /s = [(r[aeQc\Es\2)/2]e8sZ удовлетворяет уравнению
нарастания
%t-gsls, G.76)
где gs определяется выражением G.75). Так как нарастание
интенсивности стоксовой волны пропорционально самой интен-
интенсивности, то эффект является индуцированным, или вынужден-
вынужденным. Это определение согласуется с определением вынужден-
вынужденного процесса, данным в гл. 6, так как интенсивность возра-
возрастает со скоростью, пропорциональной самой интенсивности.
Различие между вынужденными и спонтанными эффектами
в рамановских процессах аналогично различию, имеющему
место в однофотонных процессах излучения, рассмотренных
в гл. 6. Спонтанный эффект Рамана рассмотрен в § 6, п. 5 naj
стоящей главы.
В качестве примера типичных значений рассмотрим колеба-
колебания органической молекулы бензола (Cc,H6) с частотой 992 см-1.
При использовании в качестве источника накачки рубинового
лазера (Я,: = 6943 А) можно применять следующие параметры:
%1 (юо = Q) = 8 ■ 10~21 ед. МКС1),
}.s = 7450 А = 7,45 ■ 10~7 м, G.77)
При мощности накачки U = 400 Мвт/см2 выражение G.75) дает
для коэффициента усиления величину порядка 1 см'К Такие
усиления не являются редкими даже для лазеров средней мощ-
мощности .при интспсивностях пучков, обычно увеличенных на один
или два порядка благодаря явлению самофокусировки, обсуж-
обсужденному в § 8. Такие значения усиления легко превышают
обычные оптические потери, и, следовательно, интенсивность
стоксова излучения может нарастать до больших значений
в ячейке длиной в несколько сантиметров.
Отражение стоксовой волны от зеркал или других поверх-
поверхностей, например от окон ячейки, при котором эта волна про-
проходит пучок накачки более одного раза, приводит к усилению
эффекта. Рассмотрим, например, ячейку длиной L, которая со-
содержит в качестве рассеивающей среды бензол и на концах
') Значение %"R получено из соотношения G.93), найденного в гл. 7, §6,
п. 5, которое связывает %'{, с сечением спонтанного рассеяния.

Взаимодействие излучении с фононами 271
которой имеются зеркала, образующие оптический резонатор.
При однократном прохождении через жидкость, как показывает
уравнение G.76), стоксов сигнал будет возрастать от началь-
начального значения /s@) до величины, равной при малом усилении
/Л0)*?'' ~ М°)A + gsL)- Если предположим, что относитель-
относительные потери, например за счет излучения через зеркала при
однократном прохождении, равны 6, то пороговое условие на-
нарастания вынужденного излученш: можно найти, приравнивая
усиление gsL и потери 6 для однократного прохождения:
Это условие совместно с G.75) приводит к следующему выра-
выражению для пороговой интенсивности:
(hlii — : 7Г, ■
Для линии бензола 992 см~1 при ячейке длиной 10 см и поте-
потерях на одно прохождение 10% найдем, что пороговая интенсив-
интенсивность равна (/,)„ = 4 Мет/см2.
Уравнение G.76) можно выразить через среднее значение
числа стоксовых фотонов в моде (ns). При рассмотрении в гл. 6
квантования поля в виде бегущих волн моды были определены
в объеме V = L3, в котором применимы периодические гранич-
граничные условия. Предположим, что размер L велик по сравнению
с длиной волны и мал по сравнению с макроскопическими про-
пространственными изменениями, учтенными в G.76), т. е. мал по
сравнению с расстоянием, на котором интенсивность существен-
существенно изменяется за счет нарастания. В некоторой точке г число
стоксовых фотонов в моде, содержащихся в малом объеме
V = L3, равно (ns). Так как они распространяются со скоростью
c/r\s, то за L/(c/x]s) секунд через площадь L2 проходит (ns) фо-
фотонов, перенося энергию в fio)s(«a) дж. Это означает, что интен-
интенсивность равна
Аналогичное рассмотрение применимо и для падающего пучка.
Следовательно, G.76) можно переписать через средине значе-
значения числа фотонов в моде. Тогда получим
G.79)
где с помощью G.75) для Ks имеем
- G-80)

272
Глава 7
Важно отметить, что замена интенсивности числом фотонов
с помощью подстановки G.78) не изменяет того факта, что
выражение G.79) выведено полуклассическим методом, при ко-
котором поля не квантуются. Следовательно, G.78) нужно рас-
рассматривать просто как замену переменных. К этому мы вернем-
вернемся позже, при обобщении выражения G.79) для случая кван-
квантованных полей.
Чтобы понять физический смысл выражения G.79), вернемся
к уравнению G.65), которое является по существу основным.
При более длинной форме записи в уравнении G.65а) появ-
появляются коэффициенты, которые являются функциями среднего
flu}.
ftOJ-
Пи);
а о
Фиг. 7.27. Излучение и поглощение стоксовых фотонов.
а—преоб^а'юванпе фотонов с энергией йсо- в стоксовы фотоны с энергией йо>6,, сопровождае-
сопровождаемое возбуждением колебательной моды( рождением фонона с энергией fiQ); б—преобразова-
б—преобразование стоксова фотона с энергией йи5 в фотон с энергией h<n-, сопровождаемое девозбужде-
нием моды (поглощением фонопа).
значения числа фотонов в моде (пр). Хотя вывод основывался
на втором уравнении G.656), записанном в более короткой фор-
форме, на данном эгапе можно воспользоваться первой формой за-
записи G.65а). Тогда G.79) принимает вид
- --= Ks ((пр) + 1) (я,) (ns) - Ks (пр) (я,) (ns).
G.81)
Первый член в правой части положителен и, следовательно,
соответствует росту числа стоксовых фотонов с расстоянием.
Для сохранения энергии уничтожение падающего фотона и ге-
генерация стоксова фотона должны сопровождаться возбужде-
возбуждением колебаний, что может быть описано как излучение фоно-
фонона (фиг. 7.27, а). Этот процесс и описывается первым членом
уравнения G.81). Как видно из гл. 6, излучение энергии в кван-
квантованную моду пропорционально ((«) + 1), где (п)—число
квантов в моде. Это справедливо и для фоношюго случая, так
как процессы, включающие генерацию фононов, пропорцио-
пропорциональны ((nv) + I).

Взаимодействие излучения с фоноиами 273
Второй член в правой части G.81) соответствует уменьше-
уменьшению числа стоксовых фотонов, которое сопровождается уничто-
уничтожением фоноиов и приводит к генерации фотона с частотой
падающей волны. Поглощение акустических квантов пропор-
пропорционально величине {пр), которая является характеристикой
поглощения энергии для квантованной моды. В результате об-
общего действия этих двух процессов стоксова волна усиливает-
усиливается в соответствии с уравнением G.79).
Как говорилось после вывода соотношения G.80), полевые
переменные (м{) и (ns), входящие в G.81), являются резуль-
результатом подстановки G.78) в выражение G.76), полученное по-
полуклассическим методом. Другими словами, сами поля не яв-
являются квантованными, и, следовательно, выражение G.78)
представляет собой просто замену переменных. В гл. 6 пока-
показано, что при рассмотрении квантования поля результаты, от-
относящиеся к поглощению и испусканию излучения, идентичны
результатам, полученным на основе полуклассического метода,
с одним исключением. В выражениях, описывающих процессы
излучения и выведенных полукласоическим методом, число фо-
фотонов (п) в моде, имеющей частоту излучения, нужно заменить
на (п)' + 1. Добавление единицы соответствует процессу спон-
спонтанной эмиссии. Рассмотрение проблемы квантования поля для
различных процессов показывает, что такая операция приме-
применима в общем случае. Следовательно, чтобы учесть процессы
спонтанной эмиссии, в G.81) необходимо заменить {п) на (п) + 1.
Тогда уравнение G.81) принимает вид
^^ = /СЛ(Пр) + 1) (««) «"*> + 0 - К* (п„) (ns) ((щ) + 1). G.82)
Уравнение G.82) описывает процесс излучения для случая,
когда поле, как и среда, квантовано. При этом предполагается,
что упругая, падающая и рассеянная волны являются одно-
модовыми.
5. Спонтанное римановское рассеяние
Рассмотрим теперь спонтанное стоксово излучение, при ко-
котором падающий фотон рассеивается на колебательной моде и
стоксов фотон излучается спонтанно. Измерение спонтанного
рассеяния дает информацию, из которой можно определить ра-
мановскую восприимчивость /н и коэффициент усиления gs.
Если принять, что {пр), (tis) < 1 и (tii) > 1, то G.82) уп-
упрощается к виду
ЁАпА^к (п.\

274 Глава 7
Отсюда видно, что для процесса спонтанного стоксова излуче-
излучения не требуется участия стоксовых фотонов, как это было не-
необходимо при вынужденном излучении, которое описывается
уравнением G.79). Решая написанное выше уравнение, нахо-
находим, что число стоксовых фотонов в моде, приходящихся на
объем V и вызванных только спонтанным излучением, увеличи-
увеличивается с расстоянием / по закону
Следовательно, число спонтанно генерируемых фотонов про-
пропорционально интенсивности лазерного излучения и длине рас-
рассеивающего материала.
Коэффициент Ks, определяемый выражением G.80), и коэф-
коэффициент усиления gs, который дается формулой G.75), можно
определить, если известно %". Этот параметр, в свою очередь,
можно найти из измерения сечения спонтанного рамановского
рассеяния ас- Связь между %'£ и ас определим следующим об-
образом.
Прежде всего вернемся к § 6, п. 3 настоящей главы и опре-
определим поляризацию на частоте падающего излучения, а не рас-
рассеянного. Она будет определяться выражением
Проделав тот же вывод (который просто означает, что индекс
s заменен на г, и наоборот, a %R на %'R), найдем, что G.79) и
G.81) заменяются уравнением
Ц~ = - К{ (ns) (я,) = - К{ ««„) + 1) (ns) (л,.) + К{ (пр) (ns) («,.),
G.83)
где
\ • G.84)
Чтобы учесть эффекты спонтанного излучения, которые можно
было бы предсказать при полиостью квантовом подходе, опять
заменим в выражениях для излучения (п) на {п)+1. Тогда
G.83) принимает вид
Ц^- = - К( ((пр) + l)((ns) + 1) (щ) + К{ (пр) (ns) ((щ) + 1). G.85)
При генерации спонтанного стоксова излучения, когда {пр),
{ns) <C 1 и {nt) ^> 1, число фотонов в падающем пучке умень-

Взаимодействие излучения с фононами 275
шается по закону
*-£*- =-КМ)
или
{"«} = {«^=ое"К'г. G.86)
Для одпомодового случая определим сечение римановского
рассеяния d для одного рассеивающего центра, если запишем
G.86) в виде
(ni)(z) = (ni)@)e-^a>2, G.87)
где Nv — число рассеивающих центров в единице объема. Как
можно показать, это определение согласуется с представлением
о том, что каждый рассеивающий центр имеет эффективную
площадь о4, поскольку принимается во внимание его способ-
способность удалять падающие фотоны, связанная с рассеянием впе-
вперед (см. задачу 3.1). Подобное определение уже встречалось
при рассмотрении в гл. 3 сечения поглощения для резонансного
перехода. Из уравнений G.84), G.86) и G.87) получим соот-
соотношение
' G'88)
которое имеет размерность площади. Это выражение для oi
получено для коллипеарного рассеяния вперед в одномодовом
случае.
До сих пор рассматривалось спонтанное излучение на сток-
совой частоте в одной моде. Это привело к соотношению меж-
ДУ 01 и %»• Однако обычно измеряется полное сечение ос, кото-
которое учитывает спонтанное излучение во всех возможных модах.
Следовательно, аналогично случаю однофотонного излучения
(гл. 6, § 4, п. 3 и 4) для описания полного процесса спонтан-
спонтанного излучения нужно просуммировать по всем модам, в кото-
которых может происходить спонтанное излучение. Из G.88) вид-
видно, что сечение, которое характеризует уменьшение числа па-
падающих фотонов в результате спонтанного излучения в одной
моде, пропорционально величине y"R, имеющей лоренцеву фор-
форму линии. Следовательно, полное сечение рамановского спон-
спонтанного рассеяния во всех модах найдем, суммируя по тем мо-
модам, которые лежат в пределах профиля лоренцевой линии.
В гл. 6 было выведено выражение F.65) для плотности мод,
т. е. числа мод (бегущих волн), приходящихся на единицу

276 Глава 7
телесного угла, и на единицу объема для частотного интервала
du> для одной поляризации 4):
dp ЫЛ k>;ti^
где dp (as)I'dt,— число мод в единице телесного угла, единице
объема и единице частотного интервала, a dt, — дифференциал
телесного утла. Следовательно, сечение спонтанного раманов-
ского рассеяния, приходящееся на единицу телесного угла,
dajdt, для рассеяния во всех модах внутри малого телесного уг-
угла можно найти, комбинируя выражение G.88) с написанным
выше выражением для плотности мод и интегрируя по всем
частотам:
da" • - ■ ■ ■ —■• ■ G.90)
где dojdt, и а! являются функциями угла между падающим и
рассеянным пучками. Полное сечение рассеяния найдем, инте-
интегрируя по всем телесным углам:
4Я 2Я Я
.e-^sme. G.9i)
В качестве примера рассмотрим линию 992 см~1 жидкого
бензола (СбНб). Жидкий бензол является изотропным вещест-
веществом. Для изотропной рассеивающей среды угловая зависимость
doddt, имеет такой же вид, как и для обычного дипольного из-
излучения. А именно справедливы следующие два условия:
а) когда плоскость наблюдения перпендикулярна вектору элек-
электрического поля падающей волны, интенсивность рассеянной
волны (а следовательно, и сечение рассеяния) не зависит от уг-
угла наблюдения <р, как показано на фиг. 7.28; б) когда пло-
плоскость наблюдения параллельна вектору электрического ноля
падающей волны, интенсивность изменяется по закону cos2v|),
где t|) — угол между направлениями распространения падаю-
падающей и рассеянной волн, что также показано па фиг. 7.28.
') Рамановскне линии обычно сильно поляризованы, если возбуждаются
поляризованным источником. Следовательно, в расчетах надо учитывать
только одну поляризацию [23]. Плотность мод, определенная G.89), равна
половине величины, получающейся из выражения F.74) для двух поляри-
зашш.

Взаимодействие излучения с фпнонами
277
Из приведенного выше обсуждения следует, что в этом слу-
случае G.91) сводится к
cos2 Ф sin 0 =
«£ /макс
\ (it, Лике J
, G.92)
где (dojdl) макс — максимальное значение {dac/dt,), которое
имеет место при ф — 0.
60° 90° 120°
Направление
наблюдения
Фиг. 7.28. Угловая зависимость интенсивности рамановского рассеяния для
линии 992 см-1 бензола [28].
а —кривая в верхней полуплоскости получена для случая, когда плоскость наблюдения
параллельна вектору электрического поля падающей волны-, нижняя кривая получена
для перпендикулярных направлений; б — геометрическое построение, показывающее па-
правление наблюдения рассеянной волны. Падающая волна поляризована в направлении
оси г и распространяется в {/-направлении.
Величина (dac/dt,)M^c находится из выражения G.90) после
подстановки в пего максимального значения сечения at из
,G.88), вычисленного для рассеяния вперед. Если форма линии

278 Глава 7
является лореицевон, то из C.22) имеем
где
Полное сечение, найденное из G.88), G.90) и G.92), равно
}^Н^)Щ(^^А. G.9з)
Измеренное с помощью гелий-неонового лазера (?.,• = 6328А),
взятого в качестве источника, значение ос для линии бензола
992 сиг1 равно ос = 5,6 • 10~29 см2 [28]. Используя это значение,
находим, что при Nv = 6,78- 1021 сиг3, Асоь = ширина линии =
= 2,5 см'1 и /,s = 6750A, величина ^(ю„ = й) равна 8-Ю1 ед.
МКС.
§ 7. ЭФФЕКТ БРИЛЛЮЭНА
Бриллюэновское рассеяние является процессом нелинейного
рассеяния, при котором свет рассеивается на акустической ко-
колебательной моде, приобретая сдвиг по частоте, соответствую-
соответствующий частоте этой моды. Эффект возникает за счет модуляции
показателя преломления среды при распространении в ней зву-
звуковой волны. Законы сохранения энергии (частоты) и импульса
(волнового вектора) показаны на фиг. 7.29.
Интенсивность рассеянного света, имеющего смещенную ча-
частоту to,,, обычно на много порядков меньше интенсивности па-
падающего пучка. Однако при достаточно большой интенсивности
падающего света может иметь место вынужденное бриллюэнов-
бриллюэновское рассеяние и, следовательно, интенсивность рассеянного
пучка может приближаться к интенсивности падающего. Заме-
Замечания, сделанные в § 6 настоящей главы и противопоставляю-
противопоставляющие спонтанное и вынужденное рамановское рассеяние, приме-
применимы и к эффекту Бриллюэна. Вынужденный эффект Брил-
люэна получен в твердых телах, жидкостях и газах. В дальней-
дальнейшем будет рассматриваться одноатомный кристалл, однако
этот метод легко распространить на непрерывную среду.
Эффект Бриллюэна аналогичен эффекту Рамана, только
роль оптических колебаний играют акустические колебания.
В результате такого различия частотные сдвиги значительно
меньше и имеют порядок не нескольких сотен ангстрем, а не-
нескольких гигагерц. Кроме того, частотный сдвиг не является

Взаимодействие излучения с фононами
279
постоянной величиной, как при рамановском рассеянии, а за-
зависит от угла между падающим и рассеянным пучками, причем
этот сдвиг максимален при рассеянии света назад. Причина со-
состоит в том, что частота акустической волны, участвующей во
взаимодействии, зависит от значения k, как это видно из пред-
представленных на фиг. 7.10 и 7.15 дисперсионных характеристик.
Значение k в свою очередь зависит от углов, которые опреде-
определяются из условия сохранения волнового вектора.
f
v- К
а
Фиг. 7.29. Сохранение энергии (частоты) н импульса (волнового вектора)
для бриллюэповского рассеяния.
а —фотона падающего пучка преоб<>лзуются в рассеянные фотоны со сдвигом частоты.
приводя к изменению состояния среды, в которой рождается фопон с энергией htUt/, дтппы
вертикальных стрелок пропорциональны энергиям фотона и фонопа; б — сохранение
волнового вектора, k. — k^ + k.
Из выражения G.3) для дисперсионной характеристики
одноатомного кристалла для продольной акустической волны
при ka <C л имеем
шк = 2
£av/2
м
ka
sin-
—- I ka — vak,
G.94)
где k — волновой вектор акустической волны, a va — скорость
звука в кристалле. Условие кСя выполняется вследствие за-
закона сохранения волновых векторов, как показано на фиг. 7.29,6,
поскольку для световых волн \ksa\, |/е,а|<л. При (^ = 0); — щ_,

280 Глава 7
угловую зависимость частотного смещения найдем, подставляя
в G.94) значение k, определенное из геометрического построе-
построения фиг. 7.29. Так как kt = «чт),-/с и ks « k{, то
2ш.п.и 8
ш<_Шв = _^siny, G.95)
где 0—угол между падающим и рассеянным световыми пуч-
пучками. Как упоминалось выше, максимальный частотный сдвиг
имеет место при рассеянии назад, т. е. при 9 = я. Угловую за-
зависимость частотного сдвига можно определить графически из
дисперсионных векторных диаграмм, показанных на фиг. 7.15.
//ахающий луч ■ — Рассеянный луч
Ji, hi)toЬL
Дкустичесная волна
(шк, К)
Фиг. 7.30. Бриллюэповское рассеяние, рассматриваемое как дифракция
ил движущейся решетке, создаваемой звуковой волной.
При другом выводе соотношения G.95), который имеет осо-
особое значение с точки зрения физики, можно рассматривать рас-
рассеяние света на движущейся дифракционной решетке, образо-
образованной звуковой волной, как показано на фиг. 7.30. Условие
брэгговского отражения первого порядка1) определяется соот-
соотношением
2Хк sin у = ?-,.,
где hi — длина волны в среде для падающего пучка, a },h —
длина акустической волны или постоянная решетки. Так как
свет отражается от движущегося объекта, то за счет эффекта
') Условие брэгговского отражения от последовательности плоскостей
означает, что отраженные от смежных плоскостей лучи складываются. Усло-
Условие брэгговского отражения гс-го порядка соответствует тому, что разность
хода между интерферирующими волнами составляет п длин волн.

Взаимодействие излучения с фонпнами 281
Допплера частота смещается в соответствии с выражением
@,- cl\ 2 '
которое совпадает с G.95).
/. Гамильтониан
Анализ эффекта Бриллюэна аналогичен анализу эффекта
Рамана» данному в предыдущем параграфе, только в этом
случае флуктуации поляризуемости или показателя преломле-
преломления обусловлены не оптическими, а акустическими колебаниями.
Акустические волны могут быть либо поперечными, либо про-
продольными. Рассмотрим случай, когда падающая и рассеянные
волны поперечны и поляризованы в одном направлении, а аку-
акустическая волна продольна. Средой является одноатомный кри-
кристалл, рассмотренный в § 2, п. 1 и в § 3, п. 1 настоящей главы.
Как указывалось выше, основные положения используемого
метода и многие выражения, выведенные в этом параграфе для
эффекта Бриллюэна, очень близки к полученным для эффекта
Рамана. Поэтому вначале обсудим основные различия. В эф-
эффекте Рамана имеет место рассеяние на оптической моде, т. е.
на колебаниях отдельной молекулы или элементарной ячейки,
которое не зависит существенно от колебаний близлежащих со-
соседей. Это подтверждается тем фактом, что дисперсионная ха-
характеристика для оптической моды является горизонтальной
в интересующей нас области и в этом случае групповая ско-
скорость vg = da/dk равна нулю. Это означает, что энергия не рас-
распространяется вследствие отсутствия связи между соседями.
В результате анализ эффекта Рамана можно проводить с по-
помощью переменных Q, а+ и а, связанных с колебаниями от-
отдельной молекулы или элементарной ячейки, так как каждая
молекула или элементарная ячейка колеблется независимо от
соседей.
С другой стороны, в случае эффекта Бриллюэна, в котором
участвуют не оптические, а акустические моды, необходимо рас-
рассматривать взаимодействие между соседями. Акустическая мода
является по существу коллективным явлением, в котором уча-
участвуют сильно связанные соседи. Групповая скорость vg = da/dk
для акустической моды конечна, что указывает на возможность
распространения энергии акустической волны за счет межмо-
межмолекулярной связи. Поэтому при анализе эффекта Бриллюэна
в кристалле появляются суммы по узлам решетки, и перемен-
переменные акустической моды qr а\ и ah определяются через множе-
множество точек решетки.

282 Глава 7
Электронная поляризуемость ат в m-м узле решетки, обус-
обусловленная распространением акустической волны
дт = ±де1^-кта) +котил, сопр.,
в первом приближении изменяется следующим образом:
^H-^ G.96)
где qm — смещение атома из положения равновесия в m-м узле
решетки. Индекс 0 у производной указывает на то, что она
определяется в положении равновесия решетки. Изменение по-
поляризуемости выражено в виде функции относительных смеще-
смещении соседних атомов, и предполагается, что на поляризуемость
в m-м узле решетки до некоторой степени влияют относительные
смещения всех атомов решетки. Так как индуцированный ди-
польный момент определяется произведением поляризуемости
и электрического поля, то часть дипольного момента в m-м узле,
которая связана с изменением поляризуемости, дается выра-
выражением
где
Поляризуемость в m-м узле, определяемая соотношением
G.97), выражена в виде суммы вкладов, которые вызваны отно-
относительными смещениями атомов в узлах, обозначенных индек-
индексом /. В приложении 9 показано, что соотношение G.97) мож-
можно переписать в виде
a^n^Cb(qm+l-qm), G.98)
где
е-Шл
Таким образом, поляризуемость в m-м узле решетки можно вы-
выразить только через относительное смещение атома в этом узле.
Полученный результат значительно упрощает анализ.
Энергия взаимодействия для /?г-го узла при наличии электри-
электрического поля имеет вид G.59) и характеризует потенциальную
энергию, запасенную в поляризуемой среде:
*;- - i«;£«=~^сьК+1 -о^- G.99)

Взаимодействие излучения с фононами 283
2. Квантовомеханическое описание
В этом разделе будут выведены уравнения движения, кото-
которые описывают эффект Бриллюэна. Как и при анализе эффекта
Рамана, задача излагается полуклассическим методом, т. е. поля
описываются классически, тогда как среда, в данном случае
система акустических мод, описывается квантовомеханически.
Как подробно показано в § 6, п. 2, в связи с эффектом Рамаиа
полуклассическое рассмотрение полей пригодно только для опи-
описания вынужденного эффекта Бриллюэиа; спонтанный эффект
учитывается путем введения «экстра-фотонов», как рассмотрено
в § 6, п. 2, настоящей главы.
При распространении акустической моды с волновым чис-
числом k в одноатомиом кристалле невозмущеиная часть гамиль-
гамильтониана дается выражением G.25)
^о = К \аК + -2) ' ' GЛ0°)
где со/. — частота акустической моды, зависящая от волнового
числа k.
Исходя из G.99), для данной задачи член взаимодействия
записываем в виде
где оператор Ци соответствующий акустической моде, опреде-
определяется выражением G.18):
Т КеШй + ate~iUa}- G.102)
Сумма по всем Jf значениям индекса / в выражении G.101)
охватывает все точки решетки внутри объема, в котором опре-
определены периодические граничные условия, рассмотренные в § 3
п. 1.
Уравнение движения для среднего значения амплитуды (qm)
акустических колебаний в данном пг-м узле решетки найдем,
используя уравнение A.51):
(q,n) + у <?'«> + -рг (Чш) = - -jS-Г < [ [Ят, Щ, Щ )■ G.103)
Вычисление с помощью выражений G.100) и G.102) внут-
внутреннего коммутатора, входящего в уравнение G.103), дает
1<7т, Щ = km, Жо + Ж'\ = [<7„„ Ж,} + [q,n, Ж'\ =
= [qm, Жо] = П

284 ' Глава 7
так как Ж' коммутирует с qm. Аналогичное вычисление внеш-
внешнего коммутатора приводит к выражению
ж
{[qm, Щ *] =
- \)e~ik <«-» «]} {aka\ - а^) =
i ^e~ika - 1^п (>п~1) а+(e'fea -!) e~ik (м~/
Для удобства физического описания, которое будет рассмотрено
ниже в этом разделе, иногда будем предпочитать форму записи,
содержащую оператор (ака\ — afkak), который в написанном вышз
уравнении можно опустить, учитывая коммутационное соотноше-
соотношение \ak, a+] = 1.
При подстановке полученных выше выражений уравнение
движения G.103) принимает вид
(In) + *Ч (О + К{Ят) =
- T^vT Ц [Щ [(«~'*а - 0
/=-•1
G.104a)
,_ \)e-tk(m-l)a}\ G.Ю46)
где A Mi, = 2/7'г и принято, что со*- ^> 1/Г^. Коэффициенты, кото-
которые появляются при более длинной записи уравнения G.104а),
являются функциями среднего значения числа фононов в k-я
моде {п^ — (Щ.ак}- Более длинная форма записи является более
удобной для описания имеющих место физических процессов,
в то время как короткая форма уравнения G.1046) более под-
подходит для математических вычислений.
Если в единице объема содержится Nv элементарных ячеек,
то с помощью G.98) нелинейную поляризацию в m-м узле ре-
решетки можно записать в виде
р _ (У-т) __ дг /„ \ _
m объем элементарной ячейки v 4^m/
= Nv К) Ет = NvCb «9m+1> - Ю) Ея. G.105)

Взаимодействие излучения с фононами
285
Уравнения G.104) п G.105) описывают поведение среды при
наличии поля. Добавим к ним волновое уравнение B.50) для
распространения поля в случае, когда потерями можно пре-
пренебречь:
VX(VX£) + ^-^-=-Ho-^-. G.106)
Как обсуждалось в предыдущем разделе в связи с эффектом
Рамана, поправочные множители для локального поля, кото-
которое нужно включить в уравнения G.104) и G.105), чтобы они
были совместны с уравнением для макроскопического поля
G.106), можно учесть в Сь. Следовательно, уравнения G.104) — -
G.106) можно использовать в том виде, в каком они записаны,
и получить самосогласованное приближение для задачи брил-
люэновского рассеяния. Акустическая мода, описываемая урав-
уравнением G.104), ведет себя как гармонический осциллятор с ча-
частотой cos, который возбуждается вблизи резонанса за счет про-
произведения падающего и рассеянного стоксова полей, частоты
которых различаются на частоту акустической моды. Стоксова
поляризация, которая требуется в G.106) для генерации сток-
стоксова поля, в свою очередь возникает при смешении акустиче-
акустической моды и падающего поля, как указано в уравнении G.105).
Уравнения G.104) — G.106) для эффекта Бриллюэна по су-
существу аналогичны по виду уравнениям G.65) —G.67) для
эффекта Рамана. Главное различие состоит в том, что в возбу-
возбуждающем члене уравнения колебаний G.104) для эффекта
Бриллюэна появилась сумма по всем точкам решетки, тогда
как в уравнении колебаний G.65) для эффекта Рамана имеется
единственный член. Однако, как будет показано при решении,
сумма сводится к единственному члену и в результате оказы-
оказывается, что решения основных уравнений для эффектов Рамана
и Бриллюэна идентичны.
Решения уравнений G.104) — G.106) найдем, предполагая,
что они имеют вид
Ет -_. Щ. е
Щ е< W~\ ',„) JrJkel
компл. сопр., G.107)
Рт =--= -Ц- е
компл. сопр.,
где индексы v, i и s обозначают соответственно акустическую,
падающую и рассеянную стоксову волны; т относится к узлу
решетки и гт — расстояние от фиксированного начала коорди-
координат до ш-го узла решетки. Волновые векторы могут быть

286 Глава 7
комплексными, что позволяет учитывать процесс нарастания, но
величина fet принимается вещественной, т. е. мы пренебрегаем
ослаблением падающего пучка. Предполагается также, что вы-
выполняется условие (Os = о>г — 0)с, которое определяет сохранение
энергии, как рассмотрено в § 4, п. 2.
Для решения G.104) нужно после подстановки G.107) вы-
вычислить сумму, стоящую в правой части. Она принимает вид
S = V /Г(е-«о_ l)e'Mm-lla+(e-<ta_j)e-ZMnt-Oal g- I (k;-k*) . г, 1 =
ж /■ *л
= (e-"a_ \)eikma 2 е"г';'ае~Чк^кз^-г; +
+ (e««- \)e'ikma 2 e'*V(k'-k«)"'.
Используя правило суммирования для решетки G.14),
Л"
упростим написанную выше сумму:
S = ./Г (е'ка - 1) е-"'»" для (к. - к*) • rt = kla,
S = 0 в остальных случаях.
Так как к является волновым вектором акустической волны, то
видно, что S отличается от нуля только тогда, когда выпол-
выполняется условие сохранения волнового вектора.
Из решения уравнений G.104) — G.106), которое получается,
если приравнять коэффициенты при экспонентах одинаковой
частоты, найдем, что поляризация и поле на стоксовой частоте
даются выражениями, по форме аналогичными выражениям, по-
полученным для эффекта Рамана:
Ps = е,,Хв («t.) I Ei I2 Es,
Здесь бриллюэновская восприимчивость у_в определяется выра-
выражением
>± 2 • G.108)
ео8М
При выводе написанного гщше соотношения полагалось
sin2(fea/2) ~ k2a2/4, что справедливо для волновых векторов, уча-
участвующих в бриллюэновском рассеянии, так как ka мало. По-

Взаимодействие излучения с фононами 287
скольку %b(mv) связывает поляризацию с произведением трех
полей, то бриллюэновская восприимчивость для общего трех-
трехмерного случая является тензором четвертого ранга, описываю-
описывающим свойства рассеивающей среды.
Бриллюэновскую восприимчивость можно выразить через из-
измеряемые параметры, связанные с явлением фотоунругости. При
фотоупругом эффекте изменение показателя преломления за
счет напряжения выражается формулой [29]
\Ви = plfrs X (напряжение),^ G.109)
*
где Purs — фотоупругие коэффициенты, Bt} — тензор относитель-
относительной диэлектрической непроницаемости на оптических часто-
частотах, определяемый соотношением Bij = sodEj/dDj. В рассмат-
рассматриваемом случае электрические поля падающей и рассеянной
волн являются поперечными по отношению к направлению рас-
распространения и поляризованы в одном направлении, а акусти-
акустическая волна продольна. Позже в этом разделе будет рассмот-
рассмотрен конкретный пример возбуждении продольной акустической
волны вдоль оси х кварца. При этом будет предполагаться, что
падающая и рассеянная волны поляризованы вдоль оси у п
распространяются вдоль оси х. Следовательно, при дальнейшем
обсуждении можно рассматривать только соответствующий ко-
коэффициент РууХх.
Поэтому имеем
Руухх X (напряжение)^ = АВУУ = А
\y'ytj
где использован тот факт, что если поле направлено вдоль глав-
главной оси, то Dj = EaEi и Ва = ео/е,;. Имеем также общее соот-
соотношение
Dy ~ еууку + Ру ~ \е!/У "г ^гуу> £у>
из которого получим
Г у L\byyU у fcQ 1ЛЛуу1^ у.
Так как Ру определяется G.105), то найдем, что пеличина
Лиуу, входящая в написанное выше выражение, равна
= -^Г" Х (напряжение),,.

288 Глава 7
Следовательно, из G.110) и приведенного выше выражения по-
получаем соотношение
о
Г — — КРе°
-V
Подстановка этого соотношения в G.108) дает
^^-, G.111)
где р,„ =-- Л/у-Л'[ — плотность, %ии — относительная диэлектриче-
диэлектрическая проницаемость, k — величина волнового вектора акустиче-
акустической волны и pVyxx — соответствующий фотоупругий коэффи-
коэффициент.
Используя метод, примененный в § 6, п. 4 для анализа эф-
эффекта Рамана, найдем, что интенсивность стоксовой волны удов-
удовлетворяет уравнению нарастания
% = eJs, G.П2)
где коэффициент усиления по мощности определяется выра-
выражением
В этом выражении у.^ —мнимая часть брпллюэновскоп вос-
восприимчивости %д = у'в + ly"B; Ks~ длина волны стоксова излу-
излучения в вакууме и /, = x\iZQc\Ei\2j2 — интенсивность падающей
волны.
Так как нарастание интенсивности стоксовой волны опреде-
определяется самой стоксовой интенсивностью, то описанный эффект
является индуцированным и называется вынужденным эффек-
эффектом Бриллюэна.
Одним из первых материалов, в котором наблюдалось [30]
вынужденное бриллюэновское рассеяние, был а-кварц, являю-
являющийся одноосным трнгональным кристаллом, принадлежащим
к точечной группе 32. Схема экспериментальной установки и
полученные результаты представлены на фиг. 7.31. В качестве
падающего пучка использовалось излучение импульсного руби-
рубинового лазера с модулированной добротностью, имеющего мощ-
мощность 50 Мет и длительность импульса 30 нсек. Один из экспе-
экспериментов состоит в том, что падающая волна, распространяю-
распространяющаяся вдоль оси х кристалла как обыкновенная волна (т. е. вол-
волна, поляризованная перпендикулярно оси z), приводит к возбу-
возбуждению продольной акустической волны (направленной также

Зеркала
Интертеро -
метр Фабри
Перо
\\/
Пластинка ^ '
а
Фиг. 7.31. Наблюдение вынужденного бриллюэновского рассеяния в обрат-
обратном направлении [30].
а — экспериментальная установка. Малая часть ла
к зеркалам /И, и Д1;, коюрые отражают его вин:
чение, рагпростроняющееся в обратном направлю
лями. Иигкрферочепр Фабри — Перо npeo6paiycr
позволяет, таким образом, пространственно ра»дел
скую волны; б - имгсрфсрограмыа Фабри—Перо
ирного пучка отклоняется делителями
Вынужденное брпллюэновское нзлу-
ии, отклоняется вниз теми же делше-
разпость частот в разность углов, что
шъ па пленке лазерную и бриллюэмов-
азерного излучения (окружности, обо-
обозначенные через L) и брпллюэновского рассеянного излучения (окружности, обозначенные
через В). Левая пнтерферограмма получена от зеркала М\, а правая —от зеркала Mi
Лрн меньшем коэффициенте отражения зеркала Ш интенсивности брпллюэновского и
лазерного излучений будут выравниваться.
10 3;.к

290 Глава 7
вдоль оси х) и рассеянной в обратном направлении стоксовой
волны, имеющей ту же поляризацию, что и падающая волна.
В этом случае [31] можно использовать следующие константы:
хуьг = г|2у = A,54J = 2,37 (диэлектрическая проницаемость),
Руухх = 0,098 (фотоупругий коэффициент),
рт = 2,65 г/см3 (плотность),
Га= 325 см'1 (постоянная акустического затухания
для упругого смещения [32]),
С,, = 8,5 • 10" эрг/см3 (коэффициент жесткости),
va = [—— =5,66- 105 см/сек (скорость звука),
\ Р/п /
АЦ)£ = ^ava = 1.84 • 108 рад/сек (акустическая ширина линии).
При рассеянии в обратном направлении выражение G.95)
дает бриллюэновское смещение частоты, равное 25,1 Ггц, или
0,84 см~{, которое близко к измеренному значению 0,85 см~х
[30]. Из G.94) имеем k = к>й/иа, что с помощью приведенного
выше списка констант позволяет найти бриллюэновскую вос-
восприимчивость, определяемую выражение G.111). При резонансе,
когда Ой = он-, уравнение G.111) дает %в = ОСд = г • 3,3 • 10~2! ед.
МКС. Бриллюэновский коэффициент усиления, найденный для
этого случая из G.113), равен gs = 10"9-/;, где gs выражается
в обратных сантиметрах, а интенсивность падающего излучения
/; — в ваттах на квадратный сантиметр. Следовательно, при
мощности падающего излучения 1 Гвт/см2 коэффициент усиле-
усиления равен 1 см~{, что достаточно для компенсации типичных
оптических потерь (<0,1 см~{) и тем самым обусловливается
нарастание вынужденного бриллюэновского излучения.
Уравнения, описывающие бриллюэновское рассеяние, иден-
идентичны приведенным в предыдущем разделе уравнениям для эф-
эффекта Рамана. Необходимо только заменить %R на %в, чтобы
рамановские уравнения, начиная с G.78), можно было исполь-
использовать для эффекта Бриллюэна. Описание эффекта Бриллюэна
на языке фотонов и фононов получается при подстановке вы-
выражения G.78) в уравнение G.112). Для фотонных переменных
(п;) и (ns), которые являются средними значениями числа фо-
фотонов соответственно падающей и рассеянной волн, имеем
^1 = Ks(ns)(ni); G.114)
здесь /Cs определяется выражением G.80), где y"R заменено на
Xg. Согласно обсуждению, проведенному после уравнения
G.80), написанное выше соотношение, хотя и выражено через

Взаимодействие излучения с фононама 291
фотонные переменные, выведено полуклассическим методом,
в котором поля не квантуются. Например, замена /s на (ns)
является просто заменой переменной.
Уравнение G.114), полученное на основе короткой формы
записи G.1046), можно переписать, используя более длинную
форму G.104а), в которой фигурирует число фононов (nh) в
акустической моде:
^^ = Ks {{nk) + \)(ns) (««) - Ks <%) (ns) (л,). G.115)
Уравнения G.114) и G.115) описывают процесс индуцирован-
индуцированного, или вынужденного, стоксова излучения, так как в этом про-
процессе требуется участие стоксовых фотонов. Как и при анализе
эффекта Рамагга, описание спонтанного эффекта Бриллюэна
можно получить путем замены {п) —* {п) + 1 для процессов
излучения, которая преобразует полученные на основе классиче-
классических полей уравнения к виду, получающемуся при квантовании
полей. В этом случае обобщенное уравнение имеет вид
= Ks (Ы + 1)««,) + 1)<л,) - Ks (nk) (ns) «nf> + 1). G.115a)
Уравнение G.115а) для эффекта Бриллюэна по форме иден-
идентично уравнению G.81) для эффекта Рамана. Как было видно
из рассмотрения эффекта Рамана, первый член в правой части
приведенного выше уравнения соответствует процессу, показан-
показанному на фиг. 7.27, а, в котором падающий фотон преобразуется
в рассеянный стоксов фотон с излучением фонона; второй член
соответствует одновременному исчезновению стоксова фотона и
фонона с появлением фотона с частотой падающей волны кч,
как показано на фиг. 7.27,6. Таким образом, получено описание
эффекта Бриллюэна на чисто квантовом языке, т. е. на языке
фотонов и фононов.
Для спонтанного бриллюэновского рассеяния ns <C 1 илк<1
и выражение G.115а) принимает вид
д (ns) „ , N
-15-= *»<«*>•
Следовательно, как и в эффекте Рамана, спонтанное излучение
пропорционально интенсивности падающего излучения и длине
взаимодействия.
Эффект Бриллюэна представляет научный интерес, посколь-
поскольку он дает информацию об акустических и фотоупругих свой-
свойствах вещества, и находит практическое применение в таких
устройствах, как преобразователи частоты для оптических ге-
гетеродинных систем и систем отклонения светового пучка при
оптическом сканировании.

292 Глава 7
3. Самофокусировка
Важной переменной, входящей в выражения для усиления
в эффектах Рамана и Бриллюэна, является мощность, прихо-
приходящаяся на единицу площади световых пучков. В эксперимен-
экспериментальных исследованиях было найдено, что эффективные коэф-
коэффициенты усиления г| часто на один или два порядка превос-
превосходят ожидаемые значения. Такие результаты показывают, что
эффективные интенсивности могут быть больше ожидаемых
[33—52].
Эффекты аномального усиления возникают в результате яв-
явления, известного под названием самофокусировки или само-
самоканализации. Это явление обусловлено тем, что показатель пре-
преломления г\ в областях высокой оптической интенсивности выше,
чем в областях низкой интенсивности вследствие нелинейных
эффектов [37, 38]. Увеличение показателя преломления в обла-
областях высокой интенсивности создает линзовые эффекты, которые
приводят к формированию интенсивных нитей с диаметром
2—100 мкм. В результате эффективная интенсивность света
много больше той, которую следовало бы ожидать в отсутствие
са мофокусировки.
Увеличение эффективной интенсивности приводит к пони-
понижению порогов для данной плотности падающей мощности, на-
например для вынужденного рамановского излучения. Действи-
Действительно, в самофокусирующих жидкостях пороги зависят не
столько от величины эффективного сечения рамановского рас-
рассеяния, сколько от самофокусирующих свойств жидкости [44].
Явление самофокусировки в изотропной среде может быть
описано через зависимость показателя преломления от интен-
интенсивности, имеющую вид
П = 'По + 'П2^2- G.116)
Коэффициент нелинейности г|2 может быть обусловлен эффектом
Керра для переменного поля, при котором происходит переори-
переориентация молекул, имеющих анизотропные поляризуемости; элек-
трострикционным эффектом, при котором возникают изменения
макроскопической плотности среды, под действием поля; нели-
нейиостями электронной поляризуемости [50]. Для жидкостей
первые два эффекта могут быть сравнимы, в то время как тре-
третий может быть значительно меньше. В случае твердых тел,
в которых молекулярная переориентация заморожена, преоб-
преобладают электрострикционные эффекты.
Постоянные времени эффекта Керра и электрострикцион-
ного эффекта для нелинейных диэлектрических свойств намного
больше периода оптических колебаний. Поэтому в G.116) дол-

Взаимодействие излучения с фононами 293
жна быть сохранена только постоянная компонента тJ£2. При
E — -W Ее1 (ffl-'-te> + компл. сопр.
выражение G.116) примет вид
^-|£ I2 = Ло + Л-П- G.117)
В дальнейшем всегда будем полагать, что поправочный член Лг)
зависящий от интенсивности поля, весьма мал по сравнению с
невозмущенным коэффициентом преломления tio-
Фиг. 7.32. Самоканализация в области
высокого показателя преломления.
Из закона r;0 sin Ф = 11 sin Ф' (Снеллиуса)
канализация происходит за счет полного
внутреннего отражения на границе пучка
при Ф = я/2 или Т|о = Т| sin [(л/2) - 6] =■ т) cos S.
Основные черты явления самофокусировки можно понять
из картины, показанной на фиг. 7.32. Половина угла дифрак-
дифракционной расходимости пучка приближенно равна
^| G-118)
где 9 измеряется между точками поперечного распределения ин-
интенсивности, соответствующими максимальной и половинной
мощностям, a D — начальный диаметр пучка. Луч, распростра-
распространяющийся под этим углом, будет самоканализоваться вследствие
полного внутреннего отражения на границе пучка, если коэф-
коэффициент преломления г\ в пучке превосходит коэффициент пре-
преломления Цо вне пучка на критическую величину. Согласно за-
закону Снеллиуса, для луча будет образовываться канал при
I б2
г|, = ricos в « -п ^ 1 -~y
или при
e-(i£)\ «АЩ
где Лг1 = г| — цо. Приравнивая G.118) и G.119), для требуе-
требуемой разности показателей преломления имеем
Согласно G.117), разность показателей преломления зависит от
поля как Лт) = тJ|Я|2/2. Поэтому критическое поле для образо-

294 Глава 7
вания канала можно найти с помощью выражения G.120), из
которого следует, что канал образуется, когда мощность, пере-
переносимая пучком, Р = (г\ое0с\Е\212) (nD2/4), достигает критиче-
критического значения
Детальный машинный расчет, основанный на решении волнового
уравнения, дает почти такой же результат [45]:
G.122)
Особый интерес в написанных выше выражениях представ-
представляет тот факт, что пучок, имеющий дифракционную расходи-
расходимость, самоканализуется независимо от его сечения или интен-
интенсивности только при условии, что полная мощность, переноси-
переносимая пучком, достигает критической величины. Поэтому пучок
может самоканализоваться при любом произвольном диаметре,
и образование канала будет иметь место при критическом уров-
уровне мощности независимо от диаметра пучка. Если сечение
пучка, несущего критическую мощность, например, удвоить
(а это означает, что интенсивность и, следовательно, нелиней-
нелинейность уменьшаются в 2 раза), то пучок продолжает оставаться
самоканализованным, поскольку для самоканализации требуется
также в 2 раза меньшее изменение показателя преломления.
Если величина мощности превосходит критическую величину,
пучок лучей будет отражаться назад к оси. Это приводит к по-
понятию расстояния фокусировки zf, которое представляет собой
расстояние, проходимое пучком до того, как он достигает фо-
фокуса вследствие эффектов самофокусировки. Чтобы изучить это
понятие, полезно рассмотреть заданное распределение интенсив-
интенсивности по сечению пучка. Для примера рассмотрим пучок с га-
гауссовым распределением интенсивности. Для гауссова пучка
квадрат электрического поля имеет следующее поперечное рас-
распределение:
|£|2(r) = |£m|2e-2'w, GЛ23)
где Ет — величина электрического поля в центре пучка, а — ра-
радиус пучка, т. е. расстояние, на котором интенсивность падает
до е~2 = 0,135 от своего значения на оси. Полная мошность Р,
переносимая пучком, дается выражением
^f)m\\ G.124)

Взаимодействие излучения с фоионами
295
Радиус кривизны R луча в среде с изменяющимся показателем
преломления определяется выражением [53] (см. задачу 7.9)
1 1 дт\(г) _. 1 дх\(г)
дг
дг
Поскольку показатель преломления связан с полем выражением
G.117), то
I2 е-м* ~ T! + -f I Ёт I2
т, =
- i£), G.126)
где второе выражение — это два члена в разложении |_Ё|2
в ряд Тейлора по переменной г2, которое справедливо в интере-
Фиг. 7.33. Фокусировка
луча в среде с изменяю-
изменяющимся показателем пре-
преломления.
Расстояние zc дается фор-
формулой
zf = /«2-(«-г)* ~ Bг«)'/г
при Г « R.
Ось лучи
сующей нас области высокой интенсивности в центральной ча-
части пучка. Подстановка G.126) в G.125) дает выражение для
радиуса кривизны луча через радиус г:
G.127)
Из фиг. 7.33 видно, что если бы параллельный оси луч с радиу-
радиусом г стал двигаться по кругу с начальным радиусом кри-
кривизны R, он пересек бы ось на расстоянии
zf « \r2rR. G.128)
Это расстояние и примем за определение расстояния фокуси-
фокусировки zf. Тогда, комбинируя G.127) и G.128), получаем выра-
выражение

296 Глава 7
При выводе этого выражения мы исходили из предположения
о первоначальной параллельности лучей. Однако гауссов пучок
не является параллельным, а стремится разойтись вследствие
дифракции. Тенденция к расходимости противодействует явле-
явлению самофокусировки. Когда два этих эффекта точно уравно-
уравновешивают друг друга, имеет место самоканализация без расхо-
расходимости пучка. В этом случае пучок не фокусируется в точку.
Поэтому введем поправку в G.129), так что для мощностей
выше критического значения для самоканализации общее рас-
расстояние фокусировки после поправки на дифракционную рас-
расходимость примет вид
а 1 2tio V/* 1 ,
2 |) (
£ V TJ / I £ ~ l-m |кр
где |^„г|кр определяется из выражений G.122) и G.124). Когда
\Ет\ = |^т|кр, то £Общ = °°. ЧТ0 н требуется для самоканализа-
самоканализации без расходимости пучка.
В качестве численного примера рассмотрим самофокусировку
в жидком сероуглероде (CS2), для которого (ri2)crcE «*
« 10-11[(Л2)мкс=@,1Ы0-8)(Л2)СГСЕ - 1,1-Ю-20]. Критическая
мощность для самоканализации пучка излучения рубинового
лазера (А. = 6943 А), согласно G.122), равна Рир ~ 17 кет. Для
пучка мощностью 1 Мет с диаметром 2 мм общая длина само-
самофокусировки, согласно G.130), равна гОбщ ~ 60 см.
Явление самофокусировки наблюдалось экспериментально
как непосредственно, так и косвенно на основе определения по-
порогов для вынужденного эффекта Рамана. В последнем случае
порог для вынужденного рамановского излучения в сильно са-
самофокусирующей жидкости достигается тогда, когда мощность
лазера накачки достаточна, чтобы самофокусировка произошла
внутри рамановской ячейки. Тогда могут сформироваться нити
высокой интенсивности, внутри которых имеет место вынужден-
вынужденное рамановское излучение. Чтобы это показать, перепишем
G.130) в виде
Р''' = Р1& + -^-> G-131)
где, согласно G.124) и G.130),
Следовательно, графики зависимости Р'1г от 1/гОбщ для различ-
различных материалов будут представлять собой прямые линии, а крити-
критическая мощность для самоканализации может быть получена из

Взаимодействие излучения с фононами
297
пересечений прямых с вертикалью. Наглядное подтверждение
этих рассмотрений представлено на фиг. 7.34. В эксперимен-
экспериментальной установке величина гОбщ задается произвольно выбо-
выбором длины ячейки, и Р'12 есть та мощность, которая требуется
6г
ь|2
о
Ф и г. 7.34. Согласно теории самофокусировки, пороговая мощность, необхо-
необходимая для образования нитей в столбе жидкости длиной гОбщ, дается выра-
выражением G.131), где 20бщ —расстояние от передней плоскости до плоскости,
в которой за счет эффектов самофокусировки фокусируется световой пучок.
Таким образом, если порог для вынужденного римановского ьзлучения
соответствует порогу для образования нити, то график зависимости квадрат-
квадратного корня из пороговой мощности лазера для вынужденного излучения
от гобщ должен давать прямые линии, что и получается в эксперименте [44],
1 — бензол; 2 — толуол: 3 — нитробензол.
для возникновения нити и, следовательно, для начала вынуж-
вынужденного рамановского излучения.
ЛИТЕРАТУРА
1. Born M., Huang К-. Dynamical Theory of Crystal Lattices, London, 1951.
(См. перевод: М. Борн, Хуан Кинь, Динамическая теория кристаллических
решеток. ИЛ, 1958.)
2. Smith R. A., Wave Mechanics of Crystalline Solids, London, 1961.
3. Kittel C, Quantum Theory of Solids, New York, 1963. (См. перевод:
Ч. Киттель, Кзантовая теория твердых тел, пзд-во «Наука», 1967.)
4. Walker С. В., X-Ray Study of Lattice Vibrations in Aluminum, Phys. Rev.,
103, 547 A956).
5. Woods A. D. В., Brockhouse B. N.. Cowley R. A., Cochran W.. Lattice
Dynamics of Alkali Halide Crystals-П. Experimental Studies of KB2 and
Nal, Phys. Rev., 131, 1025 A963).
6. Messiah A., Quantum Mechanics, vol I, Amsterdam. 1961.
7. Kittel C, Introduction to Solid State Physics. 3rd cd., New York, 19S6.
(См. перевод: '/. Киттель, Введение в физику твердого теЛа, 2-е изд.,
Фнзматгиз, 1963.)
8. Jenkins F. A., White H. E., Fundamentals of Optics, 3rd ed., New York
1957.
9. Barker A. S., Jr., Transverse and Longitudinal Optic Mode Study in MgF2
and ZnF2, Phys. Rev., 136, AI290 A964).

298 Глава 7
10. Raman С. V., Krishnan R. S., A New Type of Secondary Radiation, Nature,
121, 501 A928).
11. Ландсберг Г., Мандельштам Л., Zuschriften—Eine neue Erscheinung bei
der Lichtzerstreung in Krystallen, Naturwissenschaften. 16, 557 A928).
12. Woodbury E. J., Ng W. K., Ruby Laser Operation in the Near IR, Proc.
IRE (Corr.), 50, 2367 A962).
13. Eckhardt G., Hellwarth R. W., McClung F. J., Schwarz S. E., Weiner D.,
Stimulater Raman Scattering from Organic Liquids, Phys. Rev. Letters,
9, 455 A962).
14. Woodbury E. J., Raman Laser Action in Organic Liquids, в Quantum Elec-
Electronics Proceedings of the Third International Congress (eds. P. Grivet,
N. Bloembergen), vol. 2, New York, 1964, p. 1576.
15. Geller M., Bortfeld D. P., Sooy W. R., New Woodbury-Raman Laser Ma-
Materials, Appl. Phys. Letters, 3, 36 A963).
16. Stoicheff B. P., Characteristics of Stimulated Raman Radiation Generated
by Coherent Light, Phys. Letters, 7, 186 A953).
17. Eckhardt G., Bortfeld D. P., Geller At., Stimulated Emission of Stokes and
Anti-Stokes Raman Lines from Diamond, Calcite, and a-Sulfur Single
Crystals, Appl. Phys. Letters, 3, 137 A963).
18. Minck R. W., Terhunc R. W., Rado W. G., Laser-Stimulated Raman Effect
and Resonant Four-Photon Interactions in Gases H2, D2 and CH4, Appl.
Phys. Letters, 3, 181 A963).
19. Hellwarth R. W., Theory of Stimulated Raman Scattering, Pliys. Rev 130,
1850 A963).
20. Hellwarth R. W., Analysis of Stimulated Raman Scattering of a Giant
Laser Pulse, Appl. Optics, 2, 847 A963).
21. Zeiger H. J., Tannenwald P. E., The Raman Maser в Quantum Electronics
Proceedings of the Third International Congress (eds. P. Grivet, N. Bloem-
Bloembergen), vol. 2. New York, 1964, p. 1583.
22. Uarmire E., Pandarese F., Townes С. Н., Coherently Driven Molecular
Vibrations and Light Modulation, Phys. Rev. Letters, 11, 160 A963).
23. Eckhardt G., Selection of Raman Laser Materials, IEEE Journ. Quant
Elect., QE-2, 1 A966).
24. Martin M. D., Thomas E. L., Infrared Difference Frequency Generation
IEEE Journ. Quant. Efectr., QE-2, 196 A966).
25. Placzek G., Marx Handbuch Der Radiologie (ed E. Marx), 2nd ed., Akade-
mische Verlagsgesellschaft, vol. 6, Leipzig, 1934, Pt. II, p. 205.
26. Herzberg G., Infrared and Raman Spectra at Polyatomic Molecules, vol. 2,
New York, 1945, p. 109. (См. перевод: Герцберг Г., Колебательные н вра-
вращательные спектры многоатомных молекул, ИЛ, 1949.)
27. Stratton J. A., Electromagnetic Theory, New York, 1941, p. 206. (См. пере-
перевод: Дж. Стрэттон, Теория электромагнетизма, Гостехиздат, 1948.)
28. Damen Т. С, Leite R. С. С, Porto S. P. S., Angular Dependence of the
Raman Scattering from Benzene Excited by the He-Ne CW Laser Phys
Rev. Letters, 14, 9 A965).
29. Nye J. F., Physical Properties of Crystals, Oxford, 1957. (См. перевод:
Дж. Най, Физические свойства кристаллов, изд-во «Мир», 1967.)
30. Chiao R. Y., Townes С. Н., Stoicheff В. P., Stimulated Brillouin Scattering
and Generation of Intense Hypersonic Waves, Phys. Rev. Letters, 12, 592 A964).
31. American Institute of Physics Handbook (ed. D. E. Gray), New York, 1965.
32. Kroll N. M., Excitation of Hypersonic Vibrations by Means of Photoelastic
Coupling of High-Intensity Light Waves to Elastic Waves, Journ Appl
Phys., 36, 34 A965).
33. AlcClung F. /., Wagner W. G., Weiner D., Mode-Structure Independence of
Stimulated Raman-Scattering Conversion Efficiencies, Phys. Rev. Letters,
15, 96 A965).

Взаимодействие излучения с фононами 299
34. Weiner £>., Schwarz S. Е., McClung F. ]., Comparison of Observed and
Predicted Stimulated Raman Scattering Conversion Efficiencies Journ Appl
Phys., 36, 2395 A965).
35. Bret G., Mayer G., Forward Emission of Raman Radiation in Various
Liquids, Proc. of the Int'l Conf. on the Phys. of Quant. Elect, (eds.
P. 1.. Kelley, B. Lax, P. E. Tannenwald), New York, 1966.
36. Huuchecorne G., Mayer G., Effets de l'anisotropie moleculaire sur la pro-
propagation d'nne lumiere intense, Conipt. Rend., 261, 4014 A965).
37. Chiao R. Y., Garmire E., Townes С //., Self-Trapping of Optical Beams,
Phys. Rev. Letters, 13, 479 A964).
38. Kelley P. L., Self-Focusing of Optical Beams, Phys. Rev. Letters, 15, 1005
A965).
39. Аскарьян Г. А, Воздействие градиента поля интенсивного электромаг-
электромагнитного луча на электроны и атомы, ЖЭТФ, 42, № 6, 1567 A962).
40. Таланов В. И., Распространение коротких электромагнитных импульсов в
активной среде, Изв. вузов, «Радиофизика», 7, № 3, 491 A964).
41. Пилипецкий Н. Ф., Рустамов А. Р., Наблюдение самофокусировки света
в жидкостях, Письма в редакцию ЖЭТФ, 2, № 2, 88 A965).
42. Shen Y. R., Shaham Y. I., Beam Deterioration and Stimulated Raman
Effect, Phys. Rev. Letters, 15, 1008 A965).
43. Lallemand P., Bloembergen N., Self-Focusing of Laser Beams and Stimu-
Stimulated Raman Gain in Liquids, Phys. Rev. Letters, 15, 1010 A965).
44. Wang С. С, Length-Dependent Threshold for Stimulated Raman Effect and
Self-Focusing of Laser Beams in Liquids, Phys. Rev. Letters, 16, 344
A966).
45. Garmire E., Chiao R. Y., Townes С. H., Dynamics and Characteristics of the
Self-Trapping of Intense Light Beams, Phys. Rev. Letters, 16, 347 A966).
46. Blembergen N.t Lallemand P., The Influence of Self-Focusing on the Sti-
Stimulated Brillouin, Raman and Rayleigh Effects. IEEE Journ, Quantum.
Elect., QE-2, 246 A966).
47. Close D. H., Giuliano С R., Hellwarth R. W., Hess L D., McClung F. ].,
Wagner W. G., The Self-Focusing of Light of Different Polarizations,
IEEE Journ. Quant. Elect., QE-2, 553 A966).
48. Javan A., Kelley P. L., Possibility of Self-Focusing due to Intensity De-
Dependent Anomalous Dispersion, IEEE Journ. Quant. Elect., QE-2, 470
A966).
49. Chiao R. Y., Johnson M. A., Krinsky S., Smith H. A., Townes С. Н., Gar-
Garmire E., A New Class of Trapped Light Filaments, IEEE Journ. Quant
Elect., QE-2, 467 A966).
50. Wang С. С, Nonlinear Susceptibility Constants and Focusing of Optical
Beams in Liquids, Phys. Rev., 152, 149 A966).
51. Hellwarth R. W., Effect of Molecular Redistribution on the Nonlinear Re-
Refractive Index of Liquids, Phys. Rev., 152, 156 A966).
52. Brewer R. G., Townes С. Н., Standing Waves in Self-Trapped Light Fila-
Filaments, Phys. Rev. Letters, 18, 196 A967).
53. Born M., Wolf £., Principles of Optics, 3rd ed., New York, 1965, p. 122.
(См. перевод: М. Борн, Э. Вольф, Основы оптики, изд-во «Наука»,1970).
Задачи
7.1. Показать, что в пределе длинноволновых колебаний
(k-+Q) разностное уравнение G.1) можно заменить дифферен-

300 Глава 7
циальным уравнением вида
дгд _r d2q
которое представляет собой уравнение распространения акусти-
акустических волн вдоль однородной линии с линейной плотностью
рг и коэффициентом упругости С.
7.2. Рассмотреть случаи акустической моды, удовлетворяю-
удовлетворяющей периодическим граничным условиям, которые обсуждались
в гл. 7, § 3, п. 1. Суммируя по вкладам от всех атомов, пока-
показать, что акустические моды, для которых к ф 0, не несут физи-
физического импульса. Чему физически соответствует мода с к = 0?
7.3. Показать, что гамильтониан G.23) приводит к уравне-
уравнениям движения G.17) непосредственно с помощью уравнений
Гамильтона.
7.4. Энергия электрона дается релятивистским выражением
Ж = VР'С2 + ГПгС4 ,
где р — импульс электрона, то—масса покоя и с — скорость
света.
а) Построить дисперсионную диаграмму Wp для электрона
и ее асимптоты.
б) При комптоновском рассеямии падающий фотон рассеи-
рассеивается на электроне со смещением частоты. Разности энергий
и импульсов падающего и рассеянного фотонов передаются
электрону. Вспоминая, что энергия и импульс фотона связаны
соотношением W = рс, построить дисперсионные векторные диа-
диаграммы сохранения для: 1) рассеяния назад на покоящемся
электроне, 2) рассеяния назад на электроне, движущемся про-
противоположно падающему фотону.
7.5. В кристалле LiNbO3 имеется оптическая мода, активная
в поглощении в инфракрасной области с 1/Х = 628 см~* и
Ах = 2,55, а высокочастотная диэлектрическая проницаемость
кристалла у.х = 4,6.
а) Построить дисперсионную характеристику (ю/г-диаграм-
му) для области
500 см~1<^<Ш см-1.
б) Пусть проводится эксперимент по рамановскому рассея-
рассеянию, в котором пучок от гелий'неонового лазера (л = 6328 А)
рассеивается этой модой. Тогда сохранение волнового вектора
приводит к появлению стоксовой компоненты, частота которой
зависит от угла между стоксовым и лазерным пучками. Опре-
Определить угловую зависимость частоты стоксовой компоненты.

Взаимодействие излучения с фононами 301
7.6. Было показано, ччо для достижения порога вынужден-
вынужденного CTOivcoua излучения в резонаторе коэффициент усиления
за один проход должен превышать потерн за один про-
проход б.
а) Обсудить, можно ли снизить порог путем увеличения
длины L рамаповской среды, когда потери б обусловлены
1) фиксированными потерями зеркал, 2) потерями на поглоще-
поглощение в рамаповской среде.
б) Вычислить порог для вынужденного стоксова рассеяния
пучка рубинового лазера (Х = 6943А) на оптической моде
с 1Д — 628 см~1 в кристалле LiNbO.i
(ниобат лития). Считать потери за про-
проход равными 1,1% F = 0,011) н длину
кристалла равной 0,55 см. Взять x\s = Ег-Е,=
= г,; = 2,2 и х£К = О) = 3.6-10-*1 ед.
К>
Фиг. 7.35. Диаграмма
энергетических уровнен
7.7. Рамановское рассеяние возможно ния РаотаНТвСухуроРванСеСвой
не только на колебательных модах, но и электронной системы.
на электронных состояниях. В этом слу-
случае исчезает падающий фотон и возникает стоксов фотон, а раз-
разность энергий поглощается электроном, как показано на фиг. 7.35
Гамильтониан такой системы дается выражением
где
(В, 0
По-прежнему нелинейный дппольпый момент, связанный с ра-
мановским эффектом, равен ц = а'Е.
а) Показать, что уравнение движения для среднего значе-
значения поляризуемости (а') дается выражением
(а') + Да,,, (а') + Q2 (а') = -| | а\2|2 (р,, - р22) Е\
б) Показать, что если в единице объема содержится Nv
атомов, то рамановская восприимчивость даетсл выражением
Xr
2Ве0

302 Глава 7
где N\ — JV2 = Nv{pu — Р22) — разность населенностей в едини-
единице объема, а черта сверху обозначает пространственное усред-
усреднение.
7.8. Дисперсионное соотношение для длинноволновой акусти-
акустической волны имеет вид ц>к = vak, где va — скорость звука
в данной среде. С помощью геометрического построения
фиг. 7.29 для сохранения волнового вектора определить брпл-
люэновский частотный сдвиг, даваемый выражением G.95).
7.9. Показать, что радиус кривизны R луча в среде с пе-
переменным показателем преломления г\(г) дается выражением
I = 1 дц(г)
R ц(г) дг '
(Указание. Рассмотреть предельный сличай закона Снелли^са.)

Глава 8 ЭЛЕКТРОНЫ В КРИСТАППАХ
§ 1. ВВЕДЕНИЕ
В этой главе рассмотрено взаимодействие электронов и элек-
электромагнитных полей в кристаллических средах. Когда атомы
образуют периодическую структуру, такую, как кристалл, дис-
дискретные энергетические уровни изолированного атома расши-
расширяются в энергетические зоны. Существование непрерывного
распределения энергетических уровней означает, что для вычис-
вычисления вероятности перехода или для вычисления проводимости
следует производить интегрирование по энергетическим интер-
интервалам, в противоположность ранее проведенному анализу, ког-
когда вероятность перехода определялась суммированием вкладов,
обусловленных отдельными энергетическими уровнями.
В § 2 обсуждается поведение электрона в кристалле в от-
отсутствие внешнего поля. В первой части параграфа будет рас-
рассматриваться идеальный кристалл, в котором отсутствуют при-
примеси и колебания решетки, во второй части исследуется отра-
отражение и захват электронов примесями. После усвоения основ,
изложенных в § 2, читатель сможет изучать взаимодействие
излучения и электронов в кристаллах. Влияние постоянного
или низкочастотного поля обсуждается в § 3, межзонные пере-
переходы под действием инфракрасных или оптических сигналов
рассмотрены в § 4. Фотопроводимость, т. е. та часть проводи-
проводимости, которая обусловлена поглощением света, изучается в § 5.
Полупроводниковый инжекциопный лазер анализируется в § 6.
§ 2. ЭЛЕКТРОНЫ В КРИСТАЛЛАХ В ОТСУТСТВИЕ ВНЕШНЕГО ПОЛЯ
В этом параграфе будет изучаться поведение электронов в
кристаллических средах в отсутствие внешнего поля. Вначале
рассмотрим идеальный кристалл без примесей. Содержание па-
параграфа будет включать зонную теорию, зоны Бриллюэна, бло-
ховские функции, импульсы и брэгговское отражение. Затем
будут обсуждаться несовершенные кристаллы с точки зрения
отражения и захвата электронов примесями.
Этот материал обеспечивает основу для последующих разде-
разделов, в которых к кристаллу будут приложены внешние поля.

301
Г лава
1. Энергетические зоны
Если рассмотреть неси раничениую одномерную цепочку
идентичных атомов, как показано на фиг. 8.1, то для больших
межатомных расстояний волновая функция электрона, локали-
локализованного вблизи данного атома, будет приблизительно такой
же, как и для электрона вблизи изолированного атома. В этом
— о о о о о —
Фиг. 8.1. Бесконечная одномерная цепочка идентичных атомов, разделен-
разделенных расстоянием с.
случае собственные значения энергии дискретны, причем имеет-
имеется небольшое уширение линии, обусловленное механизмами
релаксации. Однако при сближении атомов энергетические
уровни для электрона уширяются в энергетические полосы
даже в отсутствие процессов релаксации. Этот переход от энер-
энергетического уровня к энергетиче-
энергетической полосе иллюстрируется
фиг. 8.2, где энергия изображена
как функция межатомного рас-
расстояния.
Определим возможные значе-
значения энергии электрона вблизи
атома в случае, когда влияние
атомов-соседей только начинает
сказываться. Гамильтониан при
этом имеет вид
а
Фиг. 8.2. Зависимость энергии
электрона, находящегося вблизи
атома от межатомного расстояния.
Электрон может иметь любое значение
энергии, ложагцее внутри заштрихован-
заштрихованной области.
(8.1)
где Жй — гамильтониан для данного изолированного атома и
Ж' — член, описывающий возмущение со стороны других ато-
атомов.
Можно получить приближенные собственные значения энер-
энергии, сделав разумный выбор собственной функции ф(х) и вы-
вычисляя энергию из волнового уравнения. Разумно выбрать та-
такую функцию ip(jc), для которой выполняется условие
■ф(* + /а)«Ф(л:), (8.2)
где ф(х) —собственная функция изолированного атома, / — це-
целое число, а — межатомное расстояние и х = 0 соответствует
положению одного из атомов. Следовательно, ф(х) выбирается
таким образом, чтобы в каждой атомной ячейке собственная

Электроны в кристаллах 305
функция приблизительно совпадала с собственной функцией
изолированного атома.
Когда атомы достаточно удалены друг от друга, т. е. в слу-
случае слабого взаимодействия, атомная волновая функция ц>(х)
очень мала в тех точках, где находятся соседние атомы и та-
таким образом выполняется условие |<р@)| 3> |<р(±а)|. Следо-
Следовательно, функция, удовлетворяющая условию (8.2), имеет вид
гН*)=2с(*/)ф(*-*(), (8.3)
i
где xi = la. В каждой атомной ячейке функция ф(х), выражае-
выражаемая уравнением (8.3), приблизительно равна атомной волновой
функции, поскольку атомные функции слабо перекрываются.
Используя дираковские обозначения, можно записать (8.3)
в виде
1Ч>) = 2с(/)|/) (8.4)
i
с условием нормировки
(/|/) = 1. (8.5)
Кет-вектор |/) представляет собой атомную волновую функ-
функцию в 1-й ячейке решетки.
В связи с малым перекрытием между волновыми функ-
функциями, связанными со смежными атомами, имее.м
(ш,/)«1 для тф1. (8.6)
Волновое уравнение запишется в виде
(Ж0 + Ж)\^) = Е\$), (8.7)
где Е — собственное значение, которое необходимо определить.
Учитывая выражение (8.4) и соотношение
Ж0\1) = Е0\1), (8.8)
где Ео — собственное значение энергии для изолированного ато-
атома, находим, что
^(Е0 + Ж)сA)\1) = Е^с{1)\1). (8.9)
Умножая обе части уравнения (8.9) на бра-вектор (т\ и ис-
используя условие (8.6) (m\l) ~ бт(, получаем
. (8.10)
Для равноотстоящих друг от друга атомов не существует
зницы между Жт,т + \ и Жт, т-\, так что Ж'т, т+х= Жт.т-{.

306
Глава 8
Наибольшее влияние друг на друга оказывают только ближай-
ближайшие соседи, и поэтому разумно включить в суммирование
в (8.10) только члены с I = т, I = т + 1 и I = т— 1. Тогда
(8.10) примет вид
с{т)\Ей + Ж'тт] + {с{т- 1) + с (т + 1)] Ж'п,т+1 = с{т) Е. (8.11)
Уравнение (8.11)—линейное, однородное разностное урав-
уравнение с постоянными коэффициентами. Решим его относительно
с(т), выбирая решения в виде
Jktna
с (т) = ё
(8.12)
где k — постоянная. Подставляя (8.12) в (8.11), для случая
слабого взаимодействия между ближайшими соседями полу-
получаем связь между Е и k в виде
с1 г? |
5m, i
COS
(8.13)
Если известно Е, можно определить k, и наоборот.
Для X,m+i<0 график зависимости Е от k приведен на
фиг. 8.3. Если 5fsm,m+i>0, то максимум энергетической зоны
-2i/а -п/а
2 л/я
Ф и г. 8.3. Зависимость собственного значения энергии Е от k для электрона
в одномерной цепочке атомов.
лежит при k = 0, а минимум — при k = n/a. Заметим, что если
атомы удаляются друг от друга, то Жтт и Жп, m + i стремятся
к нулю так, что Е -> £0-
Верхние и нижние предельные значения энергии в зоне до-
достигаются при
* = ^> (8-14)
где п — целое число. В § 2, п. 3 будет показано, что условие
(8.14) соответствует брэгговскому отражению, которое обсуж-
обсуждалось ранее на стр. 280 в связи с бриллюэновскпм рассеянием.
Для трехмерной решетки атомов, оси которой расположены

Электроны в кристаллах 307
вдоль декартовых осей, величины к, дающие предельные значе-
значения энергии в полосе, удовлетворяют условию
k-d = nd2, (8.15)
где
к = \xkx + \yku + \zkz,
d1 = d • d
Постоянные a, b, с — межатомные расстояния соответственно
вдоль направлений х, у, г; пх, nv, nz — целые числа, \х, \yt lz —
единичные векторы вдоль направлений х, у, z соответственно.
На фиг. 8.3 показана одна энергетическая зона, обусловлен-
обусловленная уширением одного энергетического уровня Ео. Если рас-
рассматривать дополнительные атомные собственные значения
энергии, то они также будут давать свои энергетические зоны,
которые будут тем шире, чем больше значение Е. Причина та-
такого уширения заключается в том, что атомные волновые функ-
функции для больших собственных значений энергии сильнее раз-
размазаны в пространстве. Это вызывает более сильное перекры-
перекрытие между смежными атомными волновыми функциями при
фиксированном расстоянии между атомами, что приводит к воз-
возрастанию значения \Ж'т,т + \ I- Зависимость E(k) для нескольких
энергетических зон приведена на фиг. 8.4.
Сделанные ранее допущения (такие, как слабое взаимодей-
взаимодействие между ближайшими соседями и допущения, связанные с
соображениями симметрии) приводят к тому, что кривая E(k)
симметрична относительно k = 0; в общем же случае, когда эти
допущения снимаются, кривые энер1етических зон могут быть
несимметричны относительно k = 0.
Уравнение (8.15) определяет поверхности в к-пространстве,
и эти поверхности соответствуют границам энергетической зоны.
Объемы, заключенные внутри таких поверхностей, называются
зонами Бриллюэна.
Для двумерного случая, когда пг = 0 и b = а, соотношение
(8.15) приводится к виду
Каждый набор значений пх и пу определяет линию па плоскости
kx — kv, которая соответствует краю зоны; площади, заключен-
заключенные между линиями, — это двумерные зоны Бриллюэна. Первые
три зоны Бриллюэна для двумерной решетки изображены на
фиг. 8.5.

Пределы
энергии дня
третьей зоны
Предела
энергии для
второй зоны
^Предела
энергии дли
^первой зоны
-Zn/a -п/а О /г/а 2п/а
Ф и г. 8.4. Энергетическая зонная диаграмма.
Каждому значению к соответствует множество значений Е, относящихся к различным
энергетическим зонам.
(-1,0)
2 п/а
(-2,0)
-г /г/а
П/а
-Zn/a
=41
0,0)
п/а
(г.о)
2 п/а
Зоны
□
Фиг. 8.5. Двумерные зоны Бриллюэна.
Числа в скобках, стоящие у линий, дают значение п.х и п„ для каждой линии, т. е. ли-
линия, для которой п =• 1. п„ — 0, обозначается (I, Oi. Эта диаграмма показывает линии
в k-простраистве, для которых имеет место брэгговское отражение.

Электроны в кристаллах 309
2. Функции Блоха
Подставляя выражение (8.12) для с{1) в (8.3), получаем
выражение для собственных функций
ip(*) = 2e"'-fl<P(*-/a). (8.17)
Функция ty(x) удовлетворяет разностному уравнению
ty(x + a) = eika$(x), (8.18)
что можно видеть, переписывая выражение для \\>(х-\-а)
в виде (8.17). Уравнение (8.18) можно написать непосредственно
из соображений симметрии, поскольку для бесконечной цепочки
идентичных атомов вероятность фф* нахождения электрона
в точке х должна быть равна вероятности нахождения электро-
электрона в точке х + а. Поэтому разностное уравнение (8,18) спра-
справедливо для любой периодической структуры с периодом а. Об-
Общее решение уравнения (8.18) имеет вид
гр(£, x)^elkxu{k, x), (8.19)
где
и (k, х + па) = и (k, x) (8.20)
и п — целое число. Функция u(k,x) обладает той же симмет-
симметрией, что и кристалл, и трансляция на любое целое число пе-
периодов решетки не меняет величины функции. Функции в фор-
форме (8.19) называются функциями Блоха. В трехмерном случае
функция Блоха имеет вид
ip(k, r) = e(k-rH(k, r), (8.21)
где г—вектор в пространстве координат, и функция «(к, г)
обладает трансляционной симметрией кристалла.
Для каждого значения к уравнение (8.21) не определяет
однозначно собственную функцию вследствие мультиплетности
собственных значений, обусловленной различными энергетиче-
энергетическими зонами, как показано на фиг. 8.4. Поэтому необходимо
указать зону, с которой связана собственная функция
ipB(k, г) = егк'гив(к, г), (8.22)
где индекс В обозначает энергетическую зону.
Желательно, чтобы набор собственных функций был орто-
нормировапным. Этому условию можно удовлетворить, накла-
накладывая периодические граничные условия, так что в одномерном
случае требуем
грд (k, x + Ga) = г|>д (k, x), (8.23)
где G — целое число, намного большее единицы. Налагаемое
условие означает, что собственная функция совпадает сама

310 Глава 8
с собой при трансляции на большое число периодов решетки.
(Применимость периодических граничных условий более деталь-
детально обсуждается в гл. 7, § 3, п. 1.) Из (8.22) и (8.23) имеем
й-в(k, х + Ga) = eik}x+aa)uB(k, x + Ga) = eikxuB(k, x).
Поскольку uB(k,x + Ga) — uB(k,x), необходимо, чтобы
kGa = 2nn, (8.24)
где п — целое число.
Используя периодические граничные условия, можно дока-
доказать с помощью волнового уравнения, что собственные функции,
соответствующие различным собственным значениям, ортого-
ортогональны:
Ga
j $"B,{k', x)tyB(k, x)dx = 0 для В'фВ или k'=£k.
о
Постоянный множитель в uB(k,x) выберем таким образом,
чтобы при В' = В и k' = k интеграл был нормирован к единице.
В трехмерном случае периодическое граничное условие озна-
означает, что собственная функция совпадает сама с собой при
трансляции па большое целое число единичных ячеек. Единич-
Единичная ячейка — это объем, воспроизводящий кристалл при транс-
трансляциях по различным направлениям. Тогда условие ортогональ-
ортогональности имеет вид
J t;, (k'( г) % (к, г) dV = 6B,B6k,k> (8.25)
F
где интегрирование производится по объему F, называемому
основным доменом и включающему много единичных ячеек.
В дираковских обозначениях можно переписать 4ns(k, г) в виде
|к, В), так что условие ортогональности примет вид
<к', В'|к, В) = дв,в6к>к.
Поскольку размеры объема F выбраны произвольно, они не
имеют физического смысла, так что любое выражение для из-
измеряемой величины не будет содержать размеров объема F.
Периодические граничные условия приводят к тому, что k
может принимать дискретные значения, но при выборе доста-
достаточно большого числа Q расстояние между различными значе-
значениями k становится малым и ^-пространство может рассмат-
рассматриваться как непрерывное. Тогда уравнение (8.25) принимает
вид
| V (k'( г) г|;в (к, г) dV = 6В,В6 (к' - к), (8.26)
где б (к' — к) — дельта-функция Дирака.

Электроны в кристаллах 311
3. Импульс
Для электрона в свободном пространстве, когда
Ж=<£> (8-27)
собственные функции гамильтониана Ж имеют вид
гр(к, г) = егк"\ (8.28)
Среднее значение (р) для электрона в данном энергетическом
состоянии будет
) = ftk. (8.29) ° а
Таким образом, импульс свободного
электрона пропорционален волновому о о о
вектору к. ' ,. ^
Если свободный электрон падает
на кристалл с волновым вектором к, о о о
соответствующим краю зоны, происхо- Л , ог с
- V- ..Фиг. 8.6. Брэгговскос от-
дит брэгговское отражение. Случаи ражение для случая и°
нормального падения иллюстрируется мального падения.
На ФИГ. 8.6. Волна, паДЯЮЩаЯ На КрИ- Волна отражается от внутренне-
1 1-о слоя в Фазе с войной птт
СТЭЛЛ, ПОЛНОСТЬЮ Отражается, КОГДа жеш oft от поверхности
расстояние, проходимое волной, отра-
отраженной от внутреннего атомного слоя, соответствует приходу
отраженной волны в фазе с волной, отраженной от поверх-
поверхности. Из фиг. 8.6 видно, что условие брэгговского отражения
есть
2а = пк, (8.30)
где п — целое число. Поскольку для электрона л = h/p, в од-
одномерном случае из (8.29) получим
Выражение (8.31) дает такое же значение k, что и выражение
(8.14), так что падающий электрон с величиной волнового век-
вектора к, соответствующей краю зоны, испытывает отражение от
кристалла.
Определим теперь импульс электрона в данном энергетиче-
энергетическом состоянии внутри кристалла. Если подействовать на вол-
волновое уравнение оператором Vu, где
У —1 —4-1 д 1 1 д
Vk==l* дкх^1У дку +'г дк2
и 1,- — единичный вектор в направлении i, то, поскольку Ж не
зависит от волнового вектора, получим
|к, В) = Е(к, fl)Vk|k, В) + \к, B)Vk£(k, В). (8.32*

312 Глава 8
Скалярное произведение уравнения (8.32) и (к, В\ дает
(к, В | (Ж - Е) Vk | к, В) = \кЕ, (8.33)
где член £(к, В) записан как Е и член £Vk|k,B) из правой
части уравнения (8.32) перенесен в левую часть уравнения
(8.33).'
Чтобы вычислить левую часть уравнения (8.33), вернемся
к координатному представлению собственной функции. Легко
видеть, что для блоховскои функции
, г) = tripB (к, г) + е" ■ *VkuB (к, г). (8.34)
Следовательно, можно записать левую часть уравнения (8.33)
в виде
(к, В | (Ж - Е) Vk | к, В)=>\ dVtyB {Ж - Е) i
F
; (Ж - Е) е* ■ %мв. (8.35)
Поскольку (Ж—Е) —эрмитов оператор, и функции в подын-
подынтегральном выражении во втором члене справа удовлетворяют
периодическим граничным условиям, можно записать
J dV((Ж ~ Е)^ву eik-^kuB = 0. (8.36)
Хотя (Ж — Е) —эрмитов оператор, его нельзя переносить
влево, если функции не удовлетворяют периодическим гранич-
граничным условиям (см. задачу 1.9). Поскольку /гфв не удовлетво-
удовлетворяет условиям периодичности, прием, использованный в (8.36),
нельзя применить для вычисления первого члена в правой части
уравнения (8.35). Чтобы получить эквивалентное выражение
для этого члена, заметим, что
= (- -^ V2 + Т) ir^B. (8.37)
С учетом векторного тождества
(8.37) примет вид
^ д. (8.38)

Электроны в кристаллах
Следовательно, из (8.38) имеем
J dV^'B {Ж - В) /прв =
F
V%iv {Ж - Е) $в
313
. (8.39)
Первый член в правой части уравнения (8.39) обращается
в нуль, так как удовлетворяется волновое уравнение
(Ж-Е)^в = 0. Подстановка (8.39) „
в (8.35) дает
(к, В | (Ж - Е) \\ | к, В) =
= -£<к, fl|p|k, В),
где использовано тождество
(8.40)
-я/о
я/о
= ^-(к, fl|p|k, В).
Из (8.33) теперь имеем
(к, fl|p|k, 5) = fVk£. (8.41)
-я/,
я/о
Ф п г. 8.7. Зависимость энер-
энергии и (р)х от kx.
Уравнение (8.41) представляет со-
собой выражение для импульса элек-
электрона и данном энергетическом состоянии через градиент соб-
собственного значения в k-пространстве. Фиг. 8.7 иллюстрирует
зависимость (р) от к в одномерном случае.
Импульс электрона может быть положительным или отри-
отрицательным в зависимости от знака наклона энергетических
кривых. На границах энергетической зоны импульс электрона
равен нулю.
4. Рассеяние на примесях ')
До сих пор рассматривалось поведение электрона в идеаль-
идеальном кристалле, в котором расстояния между идентичными ато-
атомами равны. Однако невозможно приготовить кристаллы, со-
совершенно свободные от примесей; минимальная концентрация
') Материал, изложенный в гл. 8, § 2, п. 4 и 5, основан на фейнмаиов-
ских лекциях по физике (Р. Фейнман, Р. Лейтон, М. Сэндс, Фейнмановские
лекции по физике, т. 9, изд-во «Мир», 1967, гл. II).

314 Глава 8
примесей составляет примерно 1014 см. Кроме того, в кристал-
кристалле всегда имеются тепловые колебания решетки, которые нару-
нарушают равенство расстояний между атомами. Эти причины при-
приводят к тому, что электроны рассеиваются или захватываются
примесями.
При столкновении электрона с примесью возможны два ре-
результата:
1. Энергия электрона остается неизменной, но меняется им-
импульс. Это условие рассеяния для случая, когда энергия элек-
электрона остается в пределах энергетической зоны, а электрон
свободно движется в кристалле.
2. Энергия электрона может стать меньше энергии в энер-
энергетической зоне, и электрон, не способный более двигаться че-
через решетку, захватывается атомом примеси. Здесь будет рас-
рассмотрено рассеяние, а в п. 5 мы исследуем захват электрона.
Падающая
волна
Отращенная
■ Прошедшая волна
а
Wind . ~ ^
— о о й о о —
т= -г -I о I г
Фиг. 8.8. Атом лримесн, локализованный в положении /м = 0, а также
падающая, отраженная и проходящая волны, распространяющиеся, как пока-
показано на рисунке.
Рассмотрим одномерную цепочку с примесью, локализован-
локализованной в положении т = О, как показано на фиг. 8.8. Наличие при-
примеси можно учесть, полагая, что в т-и узле собственное значе-
значение для изолированного атома не будет таким же, как для
всех других атомов, т. е.
Жй | т) = Ео | т) для m =£ О
и
Жо | т) = (Ео + &)\т) для т = О,
где Жа — оператор Гамильтона для изолированного атома и
д — разность между собственным значением изолированного
примесного атома и собственным значением для всех других
атомов. Для Ж будем считать, что все атомы идентичны, и при-
примем Жтт = Ж'оо и Ж'т. т+\ = Жо]. Наличие примеси вызовет
также изменение матричных элементов оператора Ж' в окрест-
окрестности примеси, но основные черты процесса рассеяния можно
определить, допуская только изменение в Ео.
Если выражение (8.11) запишем для т = 0, то получим
(8.42)

Электроны в кристаллах 315
В случае рассеяния электрона на примеси необходимо наряду
с падающей волной учитывать отраженную и проходящую
волны. Пусть
c(m) = eikma + Be-ikma для m < О,
c{m) = Ceikma . для т>0, (8'43)
где eihma — падающая волна, Be'ihma — отраженная волна и
Ceihma — проходящая волна. Соотношение для коэффициентов
с (8.11) удовлетворяется вместе с энергетическим соотношением
(8.13) для всех случаев, кроме случая m = О, когда справедливо
уравнение (8.42). Если же подставить (8.13) и (8.43) в (8.42),
то уравнение (8.42) для m = 0 также справедливо при следую-
следующем выражении для В:
В = ^ . (8.44)
Л + 2/^0, sin ka V ;
При выводе выражения (8.44) было учтено, что коэффициенты
с(т) непрерывны при т = 0. Тогда получаем соотношение
С= 1 +В.
Вероятность отражения электрона есть |В|2, вероятность про-
прохождения электрона равна \С\2. Поскольку электрон либо от-
отражается, либо проходит, необходимо, чтобы выполнялось усло-
условие
|В|2 + |С|2=1, (8.45)
которому удовлетворяет выражение (8.44) совместно с соотно-
соотношением С = 1 + В.
Как и следовало ожидать, отраженная волна стремится
к нулю при А ~> 0. Для данного А при ka -> пп амплитуда отра-
отраженной волны приближается к единице. Это значение k соот-
соответствует краю зоны, и тот факт, что имеет место полное отра-
отражение даже для бесконечно малого нарушения однородности,
согласуется с нашим предыдущим обсуждением брэгговского
отражения.
5. Захват
Примесь может улавливать электрон, так что он остается
локализованным на примеси. В этом случае можно ожидать,
что |г|;|2 будет иметь вид, показанный на фиг. 8.9. Вероятность
нахождения электрона в интервале dx уменьшается по мере
возрастания расстояния от примеси таким образом, что вся кар-
картина остается симметричной относительно узла, в котором на-
находится атом примеси.

316
Глава
Для анализа этой проблемы заменим
k ™> iy,
что приводит к затуханию, а не к распространению волн, как
в случае вещественных значений у. Таким образом, допустим
О,
: п (8-46)
с(т) = е~
для
для
т
Все уравнения (8.11) для с{т) удовлетворяются при выпол-
выполнении энергетического соотношения (8.13), за исключением урав-
уравнения (8.42) для т = 0. Для затухающих волн (8.13) прини-
принимает вид
Е = Е0 + Ж'т + 2Ж'тсЬуа, (8.47)
где косинус заменен гиперболическим косинусом. Если подста-
подставить (8.46) и (8.47) в (8.42), то при
Y = — arsh |-
(8.48)
уравнение для т = 0 также удовлетворяется.
Для Ж'й\ < 0 необходимо, чтобы Д было отрицательным,
тогда у будет положительным и с(т) уменьшается по мере
Фиг. 8.9. Зависимость
для захваченного электрона от расстояния до
атома примеси.
удаления от узла т = 0. Таким образом, чтобы получить за-
захват из энергетической зоны, которая имеет минимум при k = 0,
собственное значение энергии изолированного атома примеси
должно быть меньше собственного значения для изолированного
нормального или собственного атома. И наоборот, чтобы полу-
получить захват из энергетической зоны с максимумом при k = 0,
энергия примесного атома должна быть больше, чем энергия
собственного атома.
Подстановка (8.48) в (8.47) дает выражение для энергии
захваченного электрона
(8.49)

Электроны в кристаллах 317
где знак минус берется в том случае, когда при k — 0 имеется
минимум энергии, и знак плюс — когда при k = 0 имеется мак-
максимум энергии. Фиг. 8.3 иллюстрирует случай, когда Ж[ц < 0 и
поэтому в (8.49) берется знак минус. Если Д = 0, то величина
Е, определяемая выражением (8.49), равна величине Е при
k = 0 на фиг. 8.3. Поэтому для конечного значения А энергия
электрона, захваченного примесью, лежит ниже минимальной
энергии энергетической зоны для идеального кристалла, когда
k = 0 соответствует минимуму энергии.
§ 3. ВНУТРИЗОЫНЫЕ ЭФФЕКТЫ
После изучения подготовительного материала, который был
представлен в § 2, читатель готов теперь к исследованию взаи-
взаимодействия между излучением и электронами в кристаллах.
Вначале рассмотрим отклик электрона в кристалле на сигнал,
энергия фотона которого меньше энергии, требуемой для того,
чтобы поднять электрон из одной энергетической зоны в другую
путем однофотонного поглощения. Для полупроводников этому
условию удовлетворяют сигналы, лежащие в диапазоне от по-
постоянного поля до далекой инфракрасной области. Если выбрать
наш основной домен таким образом, что он будет включать не-
несколько сотен единичных ячеек, свойства этого основного до-
домена почти не будут отличаться от свойств бесконечно протя-
протяженного кристалла. Одна длина волны для сигналов, которые
здесь рассматриваются, включает по крайней мере несколько
тысяч единичных ячеек, так что в пределах основного домена
поле приблизительно постоянно и можно использовать диполь-
ное приближение.
Поскольку энергия фотона недостаточна, чтобы вызвать меж-
межзонные переходы, то главный эффект заключается в изменении
энергетического состояния электрона внутри одной энергетиче-
энергетической зоны. Если все энергетические состояния внутри зоны за-
заполнены, никакое изменение состояний внутри зоны невозмож-
невозможно вследствие «принципа запрета», который запрещает более
чем одному электрону занимать данное состояние. Поэтому
внутризонное поглощение, которое заключается в поглощении
излучения и возбуждении электронов внутри зоны, можег иметь
место только для частично заполненной энергетической зоны.
В полупроводниках в этом взаимодействии участвуют в основ-
основном электроны со дна зоны проводимости, известные под на-
названием свободных носителей. Поэтому внутрпзонное поглоще-
поглощение также называется поглощением на свободных носителях.
В данном параграфе вначале будет рассмотрено движение
электрона г, идеальном кристалле: как в k-пространстве, так и
в координатном пространстве. Кроме того, будет введена

318 Глава 8
эффективная масса, проанализировано движение электрона,
включая рассеяние, и получено выражение для электронного
юка. Затем будут определены свойства дырок и оценен ток,
создаваемый движением дырок.
/. Внутризонное движение в идеальном кристалле
Мы покажем, что под действием приложенного поля элек-
электрон движется в k-пространстве согласно уравнению
к @ = iff. (8-5°)
где к(/) — значение к для электрона в момент времени / и f —
сила, действующая на частицу со стороны поля. Уравнение
(8.50) может быть получено из уравнения движения для диа-
диагонального элемента оператора плотности.
В данном случае мы имеем дело с непрерывным набором
базисных функций (поскольку к непрерывно), так что любое
состояние системы можно представить в виде
0= { d*kYcB(k, t)$B(k, r),
где г|)в(к, г) определяется выражением (8.22), d3k представляет
собой элемент объема в к-нространстве dkxdkydkz, а 2—СУМ"
в
ма по различным энергетическим зонам. По непосредственной
аналогии с системой, обладающей дискретными уровнями, ве-
вероятность того, что электрон находится в энергетической зоне В
и в объеме k-пространства dzk, равна \св(к, t)\2d3k. (Мы пола-
полагаем, что читатель к этому моменту перечитал гл. 1, § 4, п. 4,
где рассматривается оператор плотности для непрерывного на-
набора собственных состояний.) Матричные элементы оператора
плотности определяются следующим образом:
Рв,в(к', к, /) = (к', Я'|р@1к. В)
и в соответствии с A.37) диагональные элементы имеют вид
Рвв(Ь, t) = \cB(k, t)\\
где
, к, t) = pBB{k, t).
Уравнение движения для диагонального элемента дается вы-
выражением A.36) и для идеального кристалла (т. е. кристалла,
в котором нет столкновений) следует брать Т\—*<х>. Таким об-

Электроны в кристаллах 319
разом, используя интегральную форму коммутатора A,39),
имеем
= 2 / d3k'\^U к'в'Рв'в(к'> к- 0-компл. сопр.]. (8.51)
в'
При переходе от A.39) к (8,51) было введено суммирование
по различным энергетическим зонам, поскольку каждому зна-
значению к может соответствовать много энергетических зон. Для
внутризонного движения рассматриваем переходы только вну-
внутри зоны: таким образом, в этом случае В' = В.
Гамильтониан взаимодействия Ж .с точностью до аддитив-
аддитивной постоянной есть (ег- 8). Допустим, что длины волны излу-
излучения значительно больше максимального пробега электрона,
и г измеряется в любой фиксированной системе координат
в кристалле. Символ 8 используется для обозначения электри-
электрического поля, чтобы избежать путаницы с собственным значе-
значением энергии Е. С этим значением Ж уравнение (8,51) приоб-
приобретает вид
111
дРвв (к, /)
= eg ■ J d?k' \ dV \рвв (к', к, t) ip'B (к, г) прв (к', г) - компл. сопр.].
(8.52)
Исходя из (8,22), можно написать
нЫк', г) = ге''к''гмв(к', г) =
= - i'Vk,ipfl (к', г) + leiV ■ rVk,uB (kr, r). (8.53)
Подстановка (8.53) в (8.52) дает
дрвв (к)
— компл. conp.j. (8.54)
В приложении 11 показано, что вторая скобка в правой части
(8.54) равна нулю, а первая скобка приводится к виду

320 Глава 8
[/её ■ \7[:рлв(к, /)]. Таким образом, получаем
^^ £/). (8.55)
Общее решение (8,55) есть
(\) (8.56)
в чем можно убедиться подстановкой (8.56) в (8,55). Если рас-
распределение электронов в k-пространстве характеризуется в от-
отсутствие поля функцией р(к), то при наличии поля это распре-
распределение имеет вид
где f = —eS — сила, действующая на электрон.
При изменении времени на А/ необходимо, чтобы измене-
изменение к определялось выражением
Ак = jiM,
с тем чтобы сохранить ту же самую вероятность для локализа-
локализации электрона в данном элементе объема в к-пространстве.
Таким образом, можно сказать, что под действием силы f элек-
электроны движутся в k-пространстве со скоростью
что согласуется с (8,50).
2. Эффективная масса
Из (8,41) среднее значение канонического импульса для ча-
частицы в данном энергетическом состоянии есть
Для днпольного приближения канонический импульс равен
импульсу частицы (см. гл. 2, § 2, п, 2), так что
(v) = {vk£, (8.57)
где (v)—скорость частицы. Продифференцировав обе части
(8,57) по времени, получим
<v)=}(k-Vk)Vk£ (8.58)

Электроны в кристаллах
321
и из (8.50)
где
dkx
У dk.
■ + h
dk.
(8.59)
(8.60)
Если записать выражение для а-компоненты (v) согласно (8.59),
то получим
где каждый из индексов а и р относится к координатам х, у
иМ г и в правой части (8,61) имеется суммирование по повто-
повторяющимся индексам. Например, {\)х есть
Ъ2 dk\
fx +
д*Е f 4- д*Е
dkr dk
dkr dk,
f
Тг
Уравнение (8.61) можно переписать в виде произведения мат-
матриц
или сокращенно
d2E
dkydkx
d2E
dkxdky
d2E
d2E
dkxdkz
dk dkz
dkzdkx
_ dkzdkx
dkz dky
dk~z
7/
fy
(8.62)
(8.63)
где (v) и f — векторы, а \jm* — тензор второго ранга.
Величина m* известна как эффективная масса электрона
в кристалле, поскольку уравнение (8.63) аналогично выражению
для второго закона Ньютона. Элементы тензора эффективной
массы равны
_±_ ' д*Е
^~*2^v ( }
Заметим, что 1/гп* — симметричный тензор вследствие того, что
в (8,64) можно менять порядок дифференцирования. Тензор
эффективной массы имеет те же свойства симметрии, что и
тензор восприимчивости, который обсуждался в гл. 3, § 3. Сим-
Симметричный тензор второго ранга всегда можно диагонализовать
путем вращения осей координат, и направления, для которых

322
Глава 8
матрица диагональна, называются главными осями. Как видно
из табл. 4, для всех кристаллографических классов, кроме двух,
главные оси направлены вдоль осей симметрии кристалла.
Вдоль направления главных осей выражение (8.61) будет иметь
вид
<y)=wi£-f (8-65)
и эффективная масса есть
т =
(8.66)
где (у), /, k — компоненты соответствующих векторов, парал-
параллельные главной оси. В общем случае величина т* имеет раз-
различные значения вдоль каждой из трех главных осей.
-П/а
1
-п/а
\
п/а
т*
)
/
i
п/а
Фиг. 8.10. Поведение эффективной мас-
массы как функции k вдоль главной оси.
Вблизи диа энергетической зоны эффективная
масса положительна, вблизи потолка зоны эф-
эффективная масса отрицательна. В точке пере-
перегиба энергетической кривой эффективная мас-
масса бесконечна.
Фиг. 8.10 иллюстрирует поведение эффективной массы т*
как функции k. Вблизи потолка энергетической зоны эффектив-
эффективная масса отрицательна; это означает, что если свободный элек-
электрон движется в данном направлении под действием приложен-
приложенного поля, то электрон в кристалле движется в противополож-
противоположном направлении, В этом случае импульс, передаваемый
электрону решеткой, больше импульса, обусловленного внешним
полем, и имеет противоположное направление. Как было по-
показано в § 2, п. 3 данной главы, когда достигается верхняя гра-
граница зоны, имеет место брэгговское отражение. Поэтому незна-
незначительное увеличение энергии электрона под действием внеш-
внешнего поля могло бы уменьшить вероятность проникновения его
через решетку вследствие синфазного отражения от кристалли-
кристаллических слоев, Другими словами, малое увеличение энергии элек-
электрона может вызвать резонансный отклик кристалла, который

Электроны в кристаллах
323
передает большую величину импульса электрону в направле-
направлении, противоположном направлению импульса, создаваемого
полем. Вот почему эффективная масса отрицательна вблизи
верхнего края зоны.
Определим теперь временную зависимость энергии волнового
числа k и скорости электрона в кристалле, обусловленную дей-
действием постоянной силы [о, при-
ложенной вдоль главной оси, До-
Допустим, что в момент времени
t = О величина k также равна
нулю, Из (8,50) видно, что k воз-
возрастает линейно со временем, как
изображено на фиг. 8.11, а. По-
Поскольку энергия электрона есть
периодическая функция волново-
волнового числа k, она также будет пе-
периодической функцией времени,
как показано на фиг. 8.11,6, Из
(8,57) видно, что скорость элек-
электрона пропорциональна произ-
производной от энергии по k, и таким
образом, скорость пропорцио-
пропорциональна производной от энергии
по времени, как показано на
фиг. 8,11, в. Поскольку скорость
электрона является периодиче-
периодической функцией времени, положе-
положение электрона также является
периодической функцией време-
времени, т, е, электрон колеблется,
При изображении Результа- фиг. 8Л1. Поведение электрона
тов, иллюстрируемых фиг. 8,11, при наложении постоянного поля
мы пренебрегали эффектами без учета столкновений,
столкновений, и в следующем
разделе мы рассмотрим движение электрона и в к-пространстве,
и в координатном пространстве с учетом столкновений,
3. Движение электрона с учетом столкновений
Как было показано в § 2, п, 4, примесь может вызвать от-
отражение падающего электрона, и на фиг, 8.12, а представлена
схема движения электрона в кристалле с учетом столкновений
в отсутствие приложенного поля, В присутствии поля существует
дрейф в направлении поля (фиг. 8,12,6), Для данного элек-
электрона время между столкновениями меняется, и, таким образом,

324
Глава 8
дрейфовую скорость следует определять из средней скорости,
приобретаемой между столкновениями.
Рассмотрим электрон, который испытал последнее столкно-
столкновение в момент / = t0. Вероятность dp того, что электрон рас-
рассеется в последующий промежуток времени dt, пропорциональ-
пропорциональна dt и вероятности р того, что электрон не испытает столкно-
столкновения за промежуток времени / —10, Таким образом,
dp= ~ -^pdt, (8.67)
где (—1/т) — константа пропорциональности. Из (8.67) видно,
что х— среднее время между столкновениями. Интегрируя
(8.67), находим
p = e-(t-tayxt (8-68)
где положено р = 1 в момент / = t0. Если нас интересует изме-
изменение вероятности того, что электрон не испытает столкновения
*—S
Фиг. 8.12. Движение электрона в кристалле с учетом столкновений.
а —в отсутствие приложенного поля; б — при наличии приложенного поля.
в момент t (которое связано с учетом изменения момента вре-
времени его последнего столкновения), то надо продифференци-
продифференцировать (8.68) по /0. Получим
dp=--e-«-i°)lxdt0. (8.69)
т
Между столкновениями, как видно из (8.65) и (8.66), ско-
скорость вдоль направления главной оси равна
i
4f dt, (8.70)
где (vH — скорость в момент t = t0. Изменение энергии элек-
электрона между столкновениями обычно очень мало, так что

Электроны в кристаллах 325
zE/dk2 существенно не изменяется, и поэтому эффективную
ассу пг* можно считать не зависящей от времени.
При наложении синусоидального сигнала с частотой <в выра-
выражение для силы f можно записать в виде
f=—y~ еШ + компл. сопр., (8.71)
■де е — заряд электрона, ё — не зависящая от времени ампли-
■уда компоненты поля, параллельной главной оси. Скорость
'Лектрона, который в последний раз испытал столкновение в мо-
лент t = t0, определяется путем подстановки (8.71) в (8.70):
(v) = (vH — y^^r[\-e~ia(t-f<>)] +компл. сопр. . (8.72)
4тобы получить среднюю скорость электрона, необходимо усред-
-шть (8.72) по всем возможным моментам столкновения t0.
Среднее значение (v) есть
~~ ~ (8.73)
t
\dP
или из (8.69) и (8.72)
теШ + компл- сопр-]-
Рассеяние на тепловых колебаниях изотропно, так что в этом
случае {v)o = 0 вдоль любого выбранного направления. Если
преимущественно происходит рассеяние на некоторый данный
угол, как, например, при рассеянии ионизованными примесными
центрами, т соответственно видоизменяется [1]. Наше обсужде-
обсуждение будет ограничено случаем изотропного рассеяния.
Типичная область значений т составляет Ю-12—Ю-13 сек, так
что для частот ниже 1012 рад/сек сот <С 1 и из (8.74) совместно
с соотношением (v)= l/2{v)eiat + компл. сопр. имеем
(v) — —^■$ = 11%', (8.75)
где
V = ~*- (8-76)
Постоянная [х называется подвижностью, и для чистого герма-
германия при комнатной температуре равна 0,39 м2/в- сек.

326
Глава 8
Рассмотрим теперь поведение электрона в к-пространстве
с учетом столкновений. В отсутствие столкновений было полу-
получено, что к возрастает линейно со временем при наложении
постоянного поля:
-£•('-'о).
к = к0
(8-77)
где f—амплитуда постоянной приложенной силы и к0 — значе-
значение к при t = t0. Методом, аналогичным использованному для
вычисления средней скорости электрона, найдем, что среднее
значение к равно
к = -£. (8.78)
Фиг. 8.13 иллюстрирует заселенность частично заполненной
энергетической зоны в отсутствие поля и в случае наложения
о
а 6
Фиг. 8.13. Заселенность энергетических состояний.
а —в отсутствие приложенной постоянной силы; б — при приложении постоянной силы.
Вертикальная линия показывает, что собственное состояние занято.
постоянной силы. Имеет место сдвиг среднего значения к для
электронов на величину ft/fi.
4. Плотность тока
Для определения плотности тока, возникающего при нало-
наложении поля, можно использовать два подхода. Можно вычис-
вычислить дрейфовую скорость электрона в присутствии поля и тем
самым получить плотность тока для одного электрона в виде
J = - -у <v), (8.79)
где V — произвольный элементарный объем, по которому нор-
нормируется волновая функция электрона. Величина заряда элек-

Электроны в кристаллах 327
трона равна е, дрейфовая скорость равна (v). Ток, создаваемый
всеми электронами в объеме V, есть
f(v)l-, (8.80)
где индекс i относится к £-му электрону. Обычно интересуются
электронным током, связанным с движением электронов на
дне зоны проводимости, где каждый электрон имеет приблизи-
приблизительно одинаковую скорость. В этом случае
J = -tfe(v), (8.81)
где Ne— число электронов проводимости в единице объема.
Преимуществом этого подхода является простота; в частно-
частности, он полезен, когда время между столкновениями т не зави-
зависит от энергии электрона. Однако, когда учитывается измене-
изменение т с энергией, необходимо найти соответствующее среднее
значение т. Это среднее получается при использовании второго
подхода для определения J, а именно, следует рассмотреть не-
некоторый интервал энергии или скорости и вычислить изменение
плотности заряда, приходящегося на этот интервал в присут-
присутствии приложенного поля. В п. 4 и 5 мы будем использовать
первый метод, а в п. 6 применим второй метод.
Из (8.74) и (8.81) видно, что плотность тока / = l/2Jeiu>t +
'+ компл. сопр. имеет амплитуду
=а (а + мвЛе)<г' (8l82)
где а* — комплексная проводимость; а—вклад в действительную
проводимость, обусловленный движением электронов, и Ае —
вклад в диэлектрическую проницаемость, возникающий за счет
движения электронов. Здесь используются координатные оси,
соответствующие главным осям, так что 7 и <§Г— компоненты
векторов, параллельные главной оси. В общем случае а* имеет
три различных значения вдоль разных главных осей. Из (8.82)
выражение для а имеет вид
(8.83)
о - -£г ! + ((ОТJ ,
а на фиг. 8.14 построен график этой функции. Когда fico больше
энергии, необходимой для осуществления межзонных переходов,
проводимость сильно возрастает, и внутризонным поглощением
или поглощением на свободных носителях обычно пренебрегают
по сравнению с межзонным. Эта тема будет рассмотрена в § 4
настоящей главы.

328
Глава 8
Определим теперь ток, возникающий при наложении постоян-
постоянного поля, для случая заполненной энергетической зоны.
Фиг. 8.15, а иллюстрирует случай заполненной зоны в отсутствие
поля. Заселенность состояний показана только для интервала
значений k от —п/а до +п/а, поскольку электрон со значением k,
Фиг. 8.14. Зависимость проводи-
проводимости от частоты, обусловленная
внутризонным поглощением или по-
поглощением на свободных носителях.
равным k0 + 2n/a, неотличим от электрона со значением k, рав-
равным k0. При наложении поля занятые состояния смещаются
вправо, как показано на фиг. 8.15,6. В отсутствие поля тока нет.
\
-л/а
О
а
nle
-п/а
О
6
л/а
Фиг. 8.15. Заселенность энергетических состояний электрона в заполненной
зоне.
а —в отсутствие поля; б —при наличии поля.
При наложении поля электроны во вновь занятых состояниях
между п/а и 2п/а неотличимы от электронов в ранее занятых со-
состояниях между —п/а и 0. Отсюда заключаем, что когда поле
включается, тока нет.
5. Дырки
Из (8.80) видно, что, когда зона заполнена,
Предположим, что у потолка зоны не хватает одного электрона,
как было бы в случае валентной зоны, когда электрон переходит

Электроны в кристаллах 329
из валентной зоны в зону проводимости. Тогда ток равен
J = - т Е (v)i, (8.85)
i-фр
где р-и электрон удален. Прибавим и вычтем член для р-то элек-
электрона в выражении (8.85):
' —f
Поскольку ток для заполненной зоны равен нулю, видно, что
ток для зоны, в которой не хватает р-го электрона, равен
Можно считать, что ток, определяемый выражением (8.87), соз-
создается частицей с зарядом +е, имеющей скорость, а, следова-
следовательно, и эффективную массу, те же, что и электрон перед его
удалением из зоны. Эта частица называется дыркой. Поскольку
эффективная масса у потолка зоны отрицательна, эффективная
масса дырок tnh определяется как
(mft)ap B dk*dkfi
т. е. отличается от эффективной массы электрона (8.64) знаком
минус. Поэтому из (8.74) видно, что дрейфовая скорость {v)u =
= ll2(v)heitat + компл. сопр. для дырок имеет амплитуду
где индекс h относится к дырке. При выводе (8.74) допускалось,
что координатные оси совпадают с главными осями, так что (ц)й
и I" — компоненты векторов вдоль главной оси. Аналогично, mh
есть компонента тензора эффективной массы вдоль той же оси.
Полный ток, возникающий при наложении низкочастотного
поля, для которого cote, coT/i <C 1, когда существуют как электро-
электроны у дна зоны проводимости, так и дырки у потолка валентной
зоны, равен
J = l-LJ. + -!UL\eiff = (NeVLe + NhVLh)eg, (8.90)
V me mh j
где индекс е относится к электрону, Ne — число электронов про-
проводимости в единице объема, Nh — число дырок в единице объ-
объема, е — заряд электрона.

330 Глава 8
6. Плотность тока из уравнения Больцмана
В § 3, п. 4 и 5 была определена плотность тока путем вы-
вычисления тока для одного электрона и суммирования по всем
электронам. При этом допускалось, что время между столкнове-
столкновениями т не меняется со временем. Однако при движении элек-
электрона его энергия меняется и в общем случае т есть функция
энергии. Чтобы избежать этого затруднения, рассмотрим фикси-
фиксированный интервал энергии и определим ток, который возникает
вследствие изменения плотности заряда, приходящегося на этот
интервал. Полный ток получится интегрированием по энергии
при допущении, что т — функция энергии.
Плотность заряда d\, создаваемая электронами проводимости
в малом объеме k-пространства, равна
d\ = - Nvep22 (к) d4, (8.91)
где d'sk — элемент объема в к-пространстве, равный dksdkvdkz\
ргг(к) —диагональный элемент оператора плотности в зоне про-
проводимости (индекс 2 относится к зоне проводимости), равный
вероятности того, что электрон будет обнаружен в единице объ-
объема в k-пространстве в зоне проводимости; Nv — число электро-
электронов в единице объема в координатном пространстве.
Плотность тока, создаваемая этим элементом заряда, равна
dS = (v (k)) d%. (8.92)
Функция (v(k)) есть скорость для данного значения к, опреде-
определяемая выражением (8.57).
Под действием поля величина р2г меняется вследствие движе-
движения в к-пространстве и, согласно (8.55), имеем
^ = JLS-Vkp22, (8.93)
где 8 — приложенное электрическое поле. Уравнение (8.55) вы-
выведено для электрона, движущегося без столкновений, и явлалось
следствием допущения, что 7\-»-оо в выражении A.36). При на-
наличии столкновений время 7\ конечно, так что выражение (8.93)
будет иметь вид
^^ 1. (М4)
где Т\ — время релаксации и р^ —равновесное значение. Далее
в этом разделе мы свяжем 7\ с постоянной времени т — време-
временем между столкновениями. При наложении низкочастотного
поля (т. е. при ш7\ «С 1) в стационарном состоянии имеем урав-
уравнение
-Т—= ¥gV22. (8-95)

Электроны в кристаллах 331
которое известно как уравнение Больцмана. В первом порядке
по полю величина р2г в правой части уравнения (8.95) берется
равной равновесному значению, поскольку в правой части стоит
множитель 8.
Теперь можно получить выражение для плотности тока как
функции приложенного поля. Из (8.91) и (8.92) имеем
J = - eNv | d*k (v (к)) р22 (к), (8.96)
где из (8.95)
) 4ig Pl2- (8-97)
В отсутствие поля ток J равен нулю, так что член р°22 в правой
части (8.97) не дает вклада в плотность тока и поэтому может
быть опущен.
Из (8.57) имеем
) J (8.57)
где £ —энергия электрона. Комбинация (8.57), (8.96) и (8.97)
дает
'б2 - " '" ~ ' " (8.98)
причем 7\ входит под знак интеграла, так как в общем случае
7\ есть функция Е.
В приложении 13 будет показано, что выражение (8.98) мож-
можно переписать в виде
/„ = ^£-<7\)#„, (8.99)
т
где <$а — электрическое поле вдоль направления а, которое сов-
совпадает с главной осью; т* — эффективная масса у дна зоны про-
проводимости вдоль того же направления; Ne — число электронов
проводимости в единице объема, и
оо
J TtE\'22dE
~ • (8.100)
При сравнении (8.82) и (8.99) можно видеть, что оба эти выра-
выражения совпадут для сигнала низкой частоты, -если принять, что
среднее время между столкновениями т равно G\). Если 7\ не

332 Глава 8
является функцией Е, имеем т = 7\. Выражение (8.100) указы-
указывает приемлемый путь к усреднению константы Ti, когда 7\ есть
функция энергии электрона.
§ 4. МЕЖЗОННЫЕ ЭФФЕКТЫ
Рассмотрим теперь случай, когда энергия фотонов достаточно
велика, чтобы вызвать переходы из валентной зоны в зону про-
проводимости. В полупроводниках это соответствует длинам волн,
которые лежат в инфракрасной или видимой области спектра.
Дипольное приближение для этих длин волн будет либо сомни-
сомнительным, либо недействительным, поэтому будем использовать
гамильтониан
Ze = ~^(p-qAJ + T, (8.101)
где принято V-A = 0 и У — потенциал поля для электрона в
кристалле. Плотность тока для Nv заряженных частиц в еди-
единице объема есть
J = qNv (v)
и для гамильтониана Ж, определяемого выражением (8.101),
оператор скорости связан с каноническим импульсом р соотно-
соотношением, приведенным в гл. 2, § 2:
v = -L(p-qA). (8.102)
Следовательно, плотность тока равна
^ (8.103)
Проблема прямых переходов из валентной зоны в зону про-
проводимости, происходящих при поглощении излучения, будет из-
излагаться с помощью оператора плотности, и будут выведены
уравнения, подобные уравнениям гл. 2, которые свяжут ток и
поле. Мы рассмотрим также непрямые переходы, при которых
взаимодействуют поле, электроны и колебания решетки.
/. Прямые переходы
В этом разделе будет получено выражение для проводимости,
создаваемой прямыми переходами между энергетическими зо-
зонами. Прямой переход — это переход, для которого величина к
для конечного состояния электрона приблизительно та же, что и
для начального состояния, как показано на фиг. 8.16. Чтобы
произошел такой переход, энергия фотона должна быть равна

Электроны в кристаллах
333
Энергия
или больше, чем энергетическая щель между зонами йсо0. По-
Поэтому следует ожидать, что проводимость будет равна нулю для
энергий фотона, меньших йсоо, и отлична от нуля для энергий
выше ficoo. Обратная картина имеет место вслучае проводимости,
обусловленной поглощением на свободных носителях, которая
имеет максимум для постоянного поля и уменьшается с увеличе-
увеличением частоты. На фиг.
8.25 показано инфракрас-
инфракрасное поглощение для арсе-
нида галлия, где при
энергиях ниже 1,45 эв
имеется поглощение на
свободных носителях, а
выше 1,45 эв преобла-
преобладают межзонные перехо-
переходы.
Наш метод анализа
будет близок к процедуре,
использованной в гл. 2,
Зона
провиуимости
Фиг. 8.16. Прямой межзонный переход.
§ 4, п. 2 при выводе урав-
уравнения движения для элек-
электрического дипольного
перехода между двумя дискретными уровнями, т. е. мы сначала
выразим плотность тока через матричные элементы оператора
плотности. Это уравнение вместе с выражением для гамильто-
гамильтониана дает дифференциальное уравнение второго порядка для
плотности тока как функции времени. Единственная значитель-
значительная разница между нашей проблемой и электрическим диполь-
ным переходом, рассмотренным в гл. 2, заключается в том, что
тецерь мы имеем дело с непрерывным набором собственных со-
состояний, так что потребуется интегрирование в к-пространстве.
Из A.41) и (8.103) следует, что выражение для плотности тока
содержит двойной интеграл по к-пространству.
J = ^ (Р ~ QA) ~ J J d?k dW 2 Рвв, (кк') (р - qk\,B,_ kB, (8.104)
в, в'
где
Pflfl<(kk') = (k£|p|k'£'),
(P ~ ?AW>kfl = <k'S'l P - ?A |kB). (8.105)
Переходя от A.41) к (8.104), дополнительно вводим суммирова-
суммирование по энергетическим зонам В и В', поскольку для данного зна-
значения к может существовать много различных энергетических
зон.

334 Глава 8
Если расписать {к'В'\р\кВ) как интеграл по пространствен"
ным координатам, то из вида функций Блоха имеем
(k', S'|p|k, B)= J dlA/>(r)ei(k-k')'r, (8.106)
F
где ф(т)— периодичная функция с периодом решетки. Посколь-
Поскольку экспоненциальные функции ортогональны при интегрировании
по всему основному домену, этот интеграл равен нулю, если
только не выполняется равенство к = к' [2].
Аналогично, если рассмотрим поле, представляющее собой
бегущую волну вида
А= ф<?'т' + компл. сопр., (8.107)
где А меняется как е~*'т, то (к', В'\ А (к, В) можно записать
в виде
(к', В'\ А [к, В)= j dVj>'(г) е1 *-*+»*, (8.108)
где функция ф'(т) имеет периодичность решетки. Мы знаем, что
|к| и |к'|—величины порядка некоторой дробной части от 2л/о,
в то время как |р| -~ 2лД, где К — длина волны сигнала. Для
излучения оптической частоты К ^> а, так что интеграл в (8.108)
также равен нулю, если не выполняется приближенное равен-
равенство к « к'.
Отсюда ясно, почему поглощение фотонов оптических частот
ведет к прямым переходам. Постоянная |3, пропорциональная им-
импульсу излучения, мала по сравнению с обратной величиной пе-
периода решетки, так что закон сохранения импульса (т.е. к — к' +
+ р = 0) приводит к условию
к~к'. (8.109)
Только в том случае, когда длина волны фотона сравнима с пе-
периодом решетки, как это было бы в случае мягких рентгеновских
лучей, поглощение фотона будет вызывать заметное изменение
импульса электрона.
В результате выполнения (8.109) двойной интеграл в к-про-
странстве в (8.104) приводится к однократному интегралу
.-.кв. (8-ПО)
ВВ'
где

Электроны в кристаллах 335
Будем рассматривать только переходы между валентной зо-
зоной, соответствующей В, В'= 1, и зоной проводимости, соответ-
соответствующей В,В' = 2. Тогда (8.110) принимает вид
+ p21(kl |p-<?A |k2> + p,2(k2| p-q\ |kl)}. (8.111)
Первые два члена в подынтегральном выражении в (8.111) дают
токи, обусловленные наличием скорости у электрона, связанной
с данным энергетическим состоянием, последние два члена отно-
относятся к межзонным переходам. Если энергия фотона больше энер-
энергетической щелн между зонами, то p2i и pi2 имеют резонансные
знаменатели, и преобладают последние два члена.
Уравнение (8.111) можно далее упростить, замечая, что для
<к 11 А | к2> « О
вследствие ортогональности собственных функций. Поэтому
(8.111) можно переписать в виде
J = -^ J cPk (p21JW + Pi2M*), (8.112)
где
JW = (kl|p|k2). (8.113)
Удобно ввести плотность тока на единицу объема в к-прост-
ранстве j, так что
(8.114)
Из (8.112) и (8.114) имеем
ЧМ + М*)
. сопр.). (8.115)
Уравнение (8.115) завершает первую половину анализа,
в результате которого получено выражение для плотности тока
через матричные элементы оператора плотности. Следующий
шаг будет состоять в нахождении вида гамильтониана взаимо-
взаимодействия. Из (8.101) имеем
Условие сохранения импульса (8.109) применим к матричному
элементу
2>ё' (к'В'\Ж'\кВ) (8.117)

336 Глава 8
так что единственными отличными от нуля матричными элемен-
элементами для Ж будут элементы с к = к'. Если определим Ж'вв' как
мл/ nJsir /Q 1 1 Q\
<^& по/ == <^?к о ЪП'У yp.llOj
то матрицу Ж можно переписать в виде
%х ^1)' (8Л19)
где индекс 1 относится к валентной зоне, а индекс 2 — к зоне
проводимости. Диагональные элементы в матрице Ж' вызывают
смещение частоты перехода, которое обычно мало, и поэтому
могут быть отброшены. Недиагональные элементы ответственны
за межзонные переходы.
Из (8.116) найдем матричный элемент Жп
30^ = _ JL А • М*, (8.120)
где М определяется выражением (8.113).Член с А2 в выражении
для Ж' не дает вклада в этот матричный элемент при К Э> а
вследствие ортогональности собственных функций. Поэтому мат-
матричное представление для интересующего нас гамильтониана Ж
имеет вид
'П ° ), (8.121)
- ■£■ АЖ 0 /
т а а /
где подразумевается суммирование по повторяющемуся индек-
индексу а.
Уравнения (8.115) и (8.121) идентичны по форме уравнениям
B.28) и B.27) соответственно. Поэтому решение уравнений
B.28) и B.27), даваемое выражением B.35), можно непосред-
непосредственно приложить к настоящей задаче1)
2 . 2 . 2co2,<rW
/а + —/а + «>21/а= ,п2Й (Р22 ~ Рц) МаМрЛ^ (8-122)
где индексы аир относятся к координатным направлениям и
правая часть (8.122) суммируется по повторяющемуся индексу р.
•) Мы видим, что правая часть уравнения (8.122) пропорциональна
(р22—рн)- Вследствие принципа запрета вероятность перехода 2 -> 1 пропор-
пропорциональна р2г( 1 — рп), т. е. если рп = 1, то не может быть никаких пере-
переходов в состояние 1. Однако если учесть переходы в обоих направлениях, то
получим
Р22 A - Pll) -Ри A — Р22> = Р22- Р I |.
так что уравнение (8.122) справедливо в том виде, в котором оно приведено.

Электроны в кристаллах 337
Произведение MaMl есть тензор второго ранга, и если выбрать
оси вдоль главных осей этого тензора, то в (8.122) надо про-
произвести замену
(8.123)
Диагональные элементы оператора плотности дают вероят-
вероятность заселенности. Например, вероятность того, что электрон
находится в валентной зоне в элементе объема d3k в к-простран-
стве, есть pud3k, где ри дается выражением (П. 13.8) в приложе-
приложении 13. При комнатной температуре в полупроводнике с не слиш-
слишком большой концентрацией примесей вероятность заселенности
состояния высока в валентной зоне и низка в зоне проводимости.
Таким образом, из (П.13.8) и (П.13.9) приложения 13 найдем,
что
^- (8-124)
Из уравнений (8.122) —(8.124) видно, что стационарное вы-
выражение для ]а есть
/а 2л3т2Йа> (со], ~ со2J + Bсо/т21J ' { '
где
1а = -^-еш +компл. сопр.,
СОПр. = -
= — ico ~-eiat + компл. сопр.
Действительная часть (8.125) дает вклад в проводимость,
а мнимая — в диэлектрическую постоянную. Чтобы вычислить
проводимость, нужно рассматривать только действительную
часть (8.125).
Определим теперь проводимость, создаваемую межзопнымн
переходами в случае полупроводника, для которого энергия фо-
фотона падающего излучения близка к ширине энергетической щели
между зонами. Фиг. 8.16 иллюстрирует рассматриваемый тил
перехода. Переход показан вертикальной линией, поскольку на-
начальное и конечное значения k равны.
Проводимость есть отношение плотности тока к электриче-
электрическому полю. Плотность тока /а дается выражением
г _ ('

338 Глава 8
и поскольку ja выражается через шгь необходимо представить и
dsk через согь с тем чтобы можно было выполнить интегрирова-
интегрирование. В приложении 10 показано, что
-OH)'/2doJ1, (8.126)
(8.127)
где йшо—минимальная энергия, разделяющая зоны,
1 1 1
На таB) та(')
и т*аB) равна а-компоненте эффективной массы в зоне прово-
проводимости, причем направление а совпадает с главной осью;т^A)
равна а-компоненте эффективной массы в валентной зоне. Из
(8.126) и действительной части (8.125) получим
2 „ „ г B<о2,/т2,) («г, -соо)'/2 j,.
Г _ 2 Г <*> Г BCO2l/T2l)
где
В (8.128) пределы интегрирования по (o2i — от о)О до макси-
максимальной разности частот между зоной проводимости и валентной
зоной. Однако подынтегральное выражение имеет резкий пик
вблизи 0Ji = 0) и, таким образом, интеграл существенно не из-
изменится при замене пределов интегрирования на пределы от
—оо до + оо. Тогда получим
/ = п (м ~Cuo) (S 0)>0)
/« = 0, о) < оH.
Из (8.130) следует
„ ((О - С0о)'/2 -^
°a=Ga ^-, 0)>Ш0г (8131)
Оа = 0, (D < 0H,
где аа — проводимость вдоль направления а.
Следствием конечной проводимости является экспоненциаль-
экспоненциальное затухание излучения с расстоянием. Коэффициент поглоще-
поглощения Г определяется таким образом, что вектор Пойнтинга умень-
уменьшается до 1/е от своей начальной величины на расстоянии, рав-
равном Г. Для поля, поляризованного в направлении а, связь
между Г и аа определяется соотношением
(8.132)

Электроны в кристаллах
339
где г) — показатель преломления в направлении а, с — скорость
света в свободном пространстве и ео — диэлектрическая прони-
проницаемость вакуума. Общий вид коэффициента поглощения, обус-
обусловленного прямыми межзонными переходами, показан на
фиг. 8.17. В окрестности точки со « ю0 коэффициент поглощения
меняется приблизительно как ]/со — со0.
Можно оценить матричные элементы |Л1а|2 и, следовательно,
Ga. Точно такое же правило сумм, как правило сумм для опера-
оператора дипольного момента, даваемое выражением C.21), суще-
существует и для оператора цм-
пульса. Сила осциллятора fB
для ыежзонных переходов из
валентной зоны в В-ю энерге- |
тическую зону
выражением
Г» I
1в =
определяется
(8.133)
mfico
где fico — энергия фотона излу-
излучения, вызывающего переход, и
|М|| = |(к, В|р|к, 1>|2. (8.134)
Фиг. 8.17. Коэффициент погло-
поглощения Г для прямых межзонных
переходов.
Для электромагнитного поля, поляризованного вдоль направле-
направления ее, правило сумм имеет вид [3]
(8.135)
Вф\
таA)
где т'а— а-компонента эффективной массы электрона в валент-
валентной зоне. В общем случае преобладают переходы в зону прово-
проводимости, так что в левую часть (8.135) войдет только один член.
Если принять, что эффективная масса электрона вблизи потолка
валентной зоны приблизительно равна массе свободного элек-
электрона со знаком минус, то из (8.133) и (8.135) получим
|Ма|2^тйсо. (8.136)
Тогда, согласно (8.129) и (8.131), проводимость имеет значе-
ние
-Юо^1.1 -1(
Г3
«>со0, (8.137)
где эффективная масса взята равной массе свободного электро-
электрона, так что уСх = ц'у = [х* = т/2. Для полупроводника с т] = 4 из
(8.132) получим Г л* 10е м~1 для фотона, энергия которого на
0,05 эв превышает минимальную ширину щели между зонами.

340 Глава 8
Это значит, что падающее излучение затухает до \/е от своей на-
начальной величины на расстоянии порядка 10~6 м.
При выводе выражения для проводимости допускалось, что
Ма|2либо не зависит от частоты или слабо меняется дляш^шо.
общем случае можно записать
|AfaP«|Ma|g + ^i^((o-(oo), (8.138)
где оставлены первые два члена в разложении вблизи а=а0.
Если | Ма\^ = 0, то переход называется запрещенным переходом,
и для этого случая из (8.125) и (8.126) находим
•<«=Ч 5 ^' ш^ш°' (8.139)
К = 0, 0) < (D0,
где
Таким образом, для запрещенного перехода коэффициент погло-
поглощения пропорционален разности между энергией фотона и шири-
шириной энергетической щели в степени 3/г-
2. Непрямые переходы
В § 4, п. 1 был рассмотрен случай, когда значение к для ко-
конечного состояния в зоне проводимости равно значению к в на-
начальном состоянии в валентной зоне. Прямые переходы преобла-
преобладают, когда вершине валентной зоны соответствует такое же
значение к, что и дну зоны проводимости, как изображено на
фиг. 8.16. Этот случай соответствует таким полупроводникам,
как арсенид галлия (GaAs) и антимонид индия (InSb), а для
Si и Ge примерный вид энергетической диаграммы показан на
фиг. 8.18. Если частота излучения лежит в пределах <во^ш^ш^,
переходы происходят только с изменением к между начальным и
конечным состояниями. Для случая шашо возможный переход
показан стрелкой на фиг. 8.18.
Оператор вида Qe'^r. где Q не зависит от г, может иметь от-
отличный от нуля матричный элемент {k'B'\Qe'^'r \kB), если
только
k-k' + P = O. (8.141)
Как уже обсуждалось в связи с соотношением (8.108), lP|<C|k|
для электромагнитных полей, так что к' л; к, и происходят только
прямые переходы. Однако если р = к„ соответствует фонону, го

Электроны в кристаллах
341
к' может значительно отличаться от к, поскольку длина волны
фонона сравнима с параметром решетки а. В § 7, п. 4 было от-
отмечено, что выражение (8.141) известно как условие сохранения
волнового вектора.
Рассмотрим теперь, какими способами может осуществляться
переход из \k^Ei) в \k2E2). В гл. 5 по отношению к многофотон-
многофотонным эффектам было отмечено, что для существования резонанс-
резонансного знаменателя необходимо, чтобы сохранялась энергия меж-
между начальными и конечными состояниями. Однако энергия не
Фиг. 8.18. Непрямые переходы.
сохраняется обязательно для каждого матричного элемента, уча-
участвующего в процессе, и это же условие выполняется для непря-
непрямых переходов в полупроводниках. С другой стороны, импульс
должен сохраняться для каждого матричного элемента, или же
элемент равен нулю.
Рассмотрим гамильтониан вида
Ж = Ж0 + Жх+Жг, (8.142)
где Mi и Жг— члены взаимодействия: Ж\— энергия взаимодей-
взаимодействия между электроном и фотоном, Жг— энергия взаимодейст-
взаимодействия между электроном и фононом. Член Ж\ связан только с вер-
вертикальными переходами, в то время как Жг вызывает изменение
в к. Если в процессе участвуют один фотон и один фонон, то пе-
переход \kJiC)-*- \kiE2) может быть следствием произведения
(к2Е2\Ж2\к1Е3)(к1Ег\М1\к1Е1) (8.143)
или произведения
(k2E21 Ж, | k2E4) (k2E, | Ж2 | *,£,). (8.144)
Выражения (8.143) и (8.144) соответствуют единственно возмож-
возможным путям для осуществления желаемых переходов с одним фо-
фотоном и одним фононом, пока переходы в другие энергетические

342 Глава 8
зоны исключаются. Вероятность перехода из \kiEi) в \k2E2) про-
пропорциональна сумме квадратов величин (8.143) и (8.144).
Определим теперь частотную зависимость проводимости, со-
создаваемой непрямыми переходами. Если детально проделать всю
процедуру метода возмущения, как это было сделано в гл. 5, то
найдем, что резонансный знаменатель вида
!(8.145)
@21 ± Юр— (О
появится в выражении для недиагональных элементов оператора
плотности и поэтому в выражение для ja этот член войдет в ка-
качестве множителя. В (8.145) приняты следующие обозначения:
й(йц — энергия фонона,
йсо — энергия фотона.
Переход \/цЕу) -*■ \k2E2) происходит с поглощением фотона и
либо с поглощением, либо с испусканием фонона. В (8.145) знак
плюс соответствует испусканию фонона, а знак минус —погло-
—поглощению фонона. Если фонон поглощается, то резонанс имеет ме-
место, когда энергия перехода равна сумме энергий фотона и фо-
фонона. Если же фонон испускается, то резонанс имеет место, когда
энергия перехода равна разности энергий фотона и фонона. Фи-
Физический смысл выражения (8.145) заключается в том, что вся-
всякий раз, когда энергия в полном процессе сохраняется, компо-
компонента тока ja велика.
Вблизи резонанса выражение для ja имеет вид
где С — функция вероятности заселенности и матричных элемен-
элементов, определяемых выражениями (8.143) и (8.144)'), а поле <§а
входит в это выражение потому, что оно является множителем
в Ж\. Плотность тока /а дается интегралом в к-пространстве
от ja:
\\ , (8.147)
где d3ki — объем в к-пространстве в зоне проводимости, и d3k2 —
объем в к-пространстве в валентной зоне. Для прямых переходов
выражение (8.147) сводится к однократному интегралу, так как
начальное и конечное значения к одинаковы.
') О вычислении этих матричных элементов см., например, раздел 13.5.2
в работе [3].

Электроны в кристаллах
343
Поскольку ja является функцией частоты, величины d3ki и
#/г2 также необходимо выразить через частоту. Этот вывод очень
похож на приведенный в приложении 10 для случая прямых пе-
переходов; используя (П.10.3), а не (П.10.4), чтобы выразить d3k
через частоту, находим
= а{(£>а — @1I/г йа>и
k2 = b (ft>2 — ab)" d«2,
2m; B) m B) /< B)
где величины coi, ©2, u>a и «ь показаны на фиг, 8.19, а т*A) —
эффективная масса в валентной зоне вдоль оси х. Из фиг. 8.19
следует, что
й («„ —(о:) — приращение энергии ниже потолка валентной зоны,
й(а2 — (оЛ) — приращение энергии выше дна зоны
проводимости.
Комбинация уравнений (8.146) — (8.148) дает
(8.149)
где «21 в (8.146) заменено эквивалентным выражением «21 =
= (О2 — «1. Из фиг. 8.19 видно, что нижний предел <й2 есть ©ь,
а верхний предел и4 есть ©а.
Подынтегральное выражение в
интеграле по ш2 резко возра-
стает вблизи иг = ©i + « +
=F ©«, и поэтому необходимо
рассматривать только вклад
в интеграл от полюса при ©2
= аи + ы + (£>v Производя пре-
преобразование этого интеграла,
следует заметить, что С—*0
ад &
Фиг. 8.19. Частоты, соответствую-
непрямым переходам.
при ©2-*оо, поскольку функ-
ция С пропорциональна рас-
распределению Ферми — Дирака, и, таким образом, интеграл будет
конечным при ©2—»-оо. Поэтому интегрирование по ю2 дает
\ («а — «,)'/2
2
(8.150)

344
Глава 8
< «ь — со ± оь, то нижний предел в ин-
инТак как /а = 0 для
теграле по и, можно взять равным («ь — со ± Ши), так что /а
записывается в виде
(8-151)
Интегрирование выражения (8.151) дает желаемую связь между
/в и
/„ = О,
где «о = ыь — соь и й
щели между зонами.
со
со0 ±
(о. IЬ2)
СО < С00 ± СОр,
— ширина минимальной энергетической
1—у
Фиг. 8.20. Коэффициент поглощения Г для непрямых межзонных переходов.
Постоянная С неодинакова для случая испускания и погло-
поглощения фонона, поэтому необходимо рассмотреть отдельно сле-
следующие частотные интервалы:
/„ = 0 CO<CO0-COj,,
/a = Ca^>a(co-co0 + couJ, со0 - cou < со < со0 + со
/„ = Саё"а (со - а0 + ©0J +
+ Сеё'а (СО — С00 — С0иJ, С00 + COj, ^ СО.
При тепловом равновесии отношение постоянной Се для эмиссии
фонона к постоянной Са для поглощения фонона характеризуется
фактором Больцмана
<к = е-Ч,/«-# (8Л54)
(8.153)

Электроны в кристаллах. 345
Эмиссия есть девозбуждение фонона, а поглощение — возбужде-
возбуждение фонона; таким образом, отношение вероятностей этих собы-
событий определяется отношением заселенностей состояния с фоно-
ном и основного состояния, т. е. фактором Больцмана.
На фиг. 8.20 показано поведение коэффициента поглощения,
связанного с непрямыми межзонными переходами. Поглощение
начинается тогда, когда энергия фотона равна разности между
шириной энергетической щели ficoo и энергией фонона йи„. В об-
области wo — ©•»-*С ©-С соо + ©в переходы вызываются поглоще-
поглощением фотона и фонона. В области о)о + (о„ ^= © переходы могут
происходить либо при поглощении фотона и фонона, либо при
поглощении фотона и испускании фонона.
В общем случае частота фонона ©„ является функцией kv,
как и в случае акустических фононов. Величина «в», использо-
использованная в (8.153), соответствует kv = k% — ku где k2 — ki— раз-
разность значений k в конечном и начальном состояниях, как это и
показано на фиг. 8.18.
§ 5. ФОТОПРОВОДИМОСТЬ
В § 3 настоящей главы рассматривались некоторые следствия
внутризонного движения, а в § 4 изучались межзонные пере-
переходы. Фотопроводимость — явление, которое сочетает в себе оба
эти эффекта, ибо это есть изменение проводимости в постоянном
или низкочастотном поле вследствие переходов из зоны в зону.
Рассмотрим плотность тока, создаваемого под действием при-
приложенного постоянного поля,
8, (8.90)
где е — заряд электрона; Ne — число электронов проводимости
в единице объема; Nh— число валентных дырок в единице объ-
объема; \ie и p.h — подвижности электронов и дырок соответственно,
измеренные вдоль направления, совпадающего с главной осью
тензора эффективной массы; Ж — постоянное электрическое поле;
/ — плотность тока. Параметры Ne и Nh вследствие межзонных
переходов зависят от частоты и интенсивности инфракрасного
или видимого излучения, падающего на кристалл. Мы приступим
к вычислению зависимости проводимости для постоянного поля
от плотности мощности падающего излучения оптической частоты
и определим также фототок при постоянном поле. Фототок — это
та компонента тока, которая обусловлена наложением постоян-
постоянного или низкочастотного поля при освещении кристалла.
Вычислим Ne, приравнивая скорость поглощения фотонов
к скорости изменения числа электронов проводимости. Это зна-
значит, что квантовый выход (к. в.) берется равным единице, т. е.
каждый поглощенный фотон вызывает переход электрона из

346 Глава 8
валентной зоны в зону проводимости. Квантовый выход обычно
близок к единице, но если мы хотим учесть, что (к. в.) Ф\, необ-
необходимо просто умножить число поглощенных фотонов на (к. в.).
Полная скорость изменения величины Ne, вызываемого при-
приложенным излучением, равна
где Nee — стационарная плотность электронов проводимости в от-
отсутствие падающего излучения, Те — время жизни свободных но-
носителей, или время жизни электронов в зоне проводимости. Ве-
Величина Те определяется скоростью рекомбинации электронов и
дырок, а также скоростью, с которой электроны захватываются
примесями, как обсуждалось в § 2, п. 5 настоящей главы. Этот
параметр является функцией температуры и может изменяться
на много порядков. В сульфиде кадмия, например, Те меняется
в пределах 10—10~10 сек. При комнатной температуре типичное
значение Те — 10~6 сек.
Если электронно-дырочная рекомбинация является единствен-
единственным механизмом потери электронов проводимости, то ТЦ — Тс,
где Th — время жизни дырок в валентной зоне. Однако при на-
наличии ловушек Th не обязательно равно Те, ибо сечение захвата
для дырок может отличаться от сечения захвата для электронов.
Подробное обсуждение времени жизни дается Роузом [4].
При плотности мощности падающего излучения /, однородно
освещающего кристалл, и при коэффициенте поглощения Г мощ-
мощность, поглощаемая единицей объема, равна Г/. Поэтому число
фотонов, поглощенных в единицу времени единицей объема,
равно
ж- <8-156)
Считая квантовый выход равным единице, можно приравнять
друг другу выражения (8.155) и (8.156), и в стационарном со-
состоянии получим
*^-£- (8Л57>
Аналогично, при поглощении фотона в валентной зоне появляет-
появляется дырка, так что
Подстановка (8.157) и (8.158) в выражение (8.90) дает
& + {Te]le + ThH) (£-) е*, (8.159)

Электроны о кристаллах
347
где первый член в правой части является результатом равновес-
равновесных концентраций, а второй член — фототок — появляется за
счет падающего света. Из (8.159) видно, что увеличение прово-
проводимости Да вследствие эффекта фотопроводимости равно
г/
(8.160)
Частотная зависимость величины Да определяется частотной за-
зависимостью Г, которая в свою очередь зависит от того, является
Фиг. 8.21. Падение однородного излучения на кристалл полупроводника,
к которому приложено постоянное смещение.
ли переход прямым или непрямым. Если квантовый выход не
равен единице, то правую часть (8.160) нужно умножить на его
величину (к. в.).
Фототок /р часто записывается в виде
Ip = eGF, (8.161)
где G — коэффициент усиления при фотопроводимости; F — чис-
число электронно-дырочных пар, создаваемых в единицу времени
при поглощении света, которое равно числу фотонов, поглощае-
поглощаемых в единицу времени (для квантового выхода, равного еди-
единице). Отношение 1р/е есть число носителей, электронов и дырок,
которые проходят между электродами в единицу времени, и,
следовательно, G есть отношение числа носителей к числу созда-
создаваемых электронно-дырочных пар. Чтобы вычислить G, рассмот-
рассмотрим схему, показанную на фиг. 8.21. Ток /Р связан с плотностью

348 Глава 8
тока / соотношением
оо
Ip = w\jdz, (8.162)
о
поэтому с помощью (8.159) найдем, что фототок равен
о
ldz. (8.163)
о
Плотность мощности изменяется по закону
(8.164)
где /о — плотность мощности на передней поверхности. Если раз-
размеры кристалла в направлении оси z значительно больше, чем
Г, так что все излучение поглощается, то
1р = (Те]1е + Т„]1н)^-1о. (8.165)
Время пролета электрона между электродами Тге равно
Т"-^' (8Л66)
а время пролета дырок
7^ = ^. (8.167)
Комбинируя (8.165) —(8.167), получаем
(8-168)
Величина (wllo) — мощность падающего излучения, и поэтому
скорость поглощения фотонов равна Ы/о/йсо. Следовательно,
если квантовая эффективность равна единице, то
Р-^- (8Л69)
Сравнение (8.168), (8.169) и (8.161) дает
^ fh <8Л7°)
те ' rh
Усиление при фотопроводимости зависит от отношения времени
жизни ко времени пролета и может быть больше или меньше
единицы.

Электроны в кристаллах 349
§ 6. ПОЛУПРОВОДНИКОВЫЕ ИНЖЕ1ЩИОННЫЕ ЛАЗЕРЫ
В гл. 4 были рассмотрены различные типы лазеров, в которых
инверсия населенностеи достигалась между дискретными энерге-
энергетическими уровнями. Рассмотрим теперь инверсию населенно-
населенностеи и работу лазера в случае, когда такая инверсия создается
между зоной проводимости и валентной зоной в полупроводнике.
Общее описание и некоторые характеристики полупроводнико-
полупроводникового лазера рассмотрены в § 6, п. 1, а пороговые условия будут
рассчитаны в § 6, п. 2 данной главы.
/. Общее описание
В полупроводниковом инжекционном лазере поток электро-
электронов течет через переход от материала л-типа к материалу р-типа.
На фиг. 8.22 показана общая схема. Поток электронов направ-
направлен вдоль положительного направления оси х, а поверхности
полупроводника, нормальные к направлению оси г, полированы
и параллельны и образуют интерферометр, ось которого направ-
направлена вдоль г.
/Тонированная
поверхность
полированная
поверхность
X. Переход
Фиг. 8.22. Схема полупроводникового инжекционного лазера.
Поток электронов ориентирован вдоль положительного направления оси х\ полировипше
поверхности образуют интерферометр.
Материал «-типа — это полупроводник, легированный донор-
ной примесью, т. е. такой примесью, которая приводит к появле-
появлению электронов в зоне проводимости. Присутствие донорного
атома обусловливает энергетические собственные состояния, рас-
расположенные немного ниже уровня зоны проводимости. Это озна-
означает, что почти все примесные атомы ионизованы, т. е. они отдают
электроны в зону проводимости. Материал р-типа— это полу-
полупроводник, легированный акцепторной примесью, т. е. примесью,
которая создает дырки в валентной зоне. Присутствие акцептор-
акцепторного атома приводит к энергетическим собственным состояниям,
которые расположены немного выше потолка валентной зоны и
на которые захватываются электроны из валентной зоны,

350
Глава 8
При тепловом равновесии в полупроводнике вероятность того,
что собственное состояние занято электроном, определяется рас-
распределением Ферми — Дирака:
(8.171)
' {+e(E-EF)!KT '
где Е — энергия собственного состояния, EF — энергия Ферми,
к — постоянная Больцмана и Т—абсолютная температура. Если
энергия собственного состояния лежит ниже EF более чем на хТ,
то / « 1. Для вырождающей примеси в материале п-типа EF ле-
п-гпип
p~mun
Энергия
В1ШШП1Т
Фиг. 8.23. Энергетическая диаграмма для полупроводника.
Вертикальные линии показывает области, в которых собственные состояния энергии
заняты. Эта энергетическая диаграмма применима в случае теплового равновесия, когда
к переходу не приложено напряжение смещения. Энергия, соответствующая потолку
валентной зоны, обозначена £,, и энергия, соответствующая дну зоны проводимости, обо-
обозначена Е2.
жит в зоне проводимости, а для вырождающей примеси в мате-
материале р-типа — в валентной зоне. Если между материалами
tt-типа и р-типа образуется переход, то величина EF одинакова
для всей среды, и, следовательно, заселенность состояний вблизи
перехода имеет вид, показанный на фиг. 8.23.
Если к переходу приложено напряжение Ф, так что материал
р-типа становится положительным по отношению к материалу
n-типа, то при прохождении электрона через переход из области
п в область р его потенциальная энергия уменьшается на вели-
величину еФ. Поэтому при наличии смещения нужно изменить
фиг. 8.23 так, чтобы энергия в р-области уменьшалась по отно-
отношению к энергии в «-области на величину еФ. На фиг. 8.24

Электроны в кристаллах
351
показана энергетическая диаграмма при прямом смещении, ко-
когда р-область положительна по отношению к «-области.
Электроны проводимости движутся из материала tt-типа в ма-
материал р-типа при наличии смещения, поэтому в материале р-
типа существует область толщиной порядка 1 —10 мкм, в кото-
которой зона проводимости занята, а в валентной зоне имеются
дырки. Это приводит к инверсии населенностей, на которой осно-
основан принцип действия лазера. Инверсия населенностей означает,
что (р22 — рп) является положительной величиной, так что ко-
коэффициент поглощения, определяемый выражением (8.132), ста-
становится отрицательным, откуда следует, что имеется усиление, и
I
еФ
е,
р-тип
Фиг. 8.24. Заселенность собственных состояний для прямого смещения Ф.
Заметим, что в материале р-типа существует инверсия населенностей в непосредственной
близости к переходу.
когда это усиление превосходит полные потери в системе, возни-
возникают незатухающие колебания.
Арсенид галлия GaAs был первым полупроводником, в кото-
котором был получен лазерный эффект [5,6]. Межзонный переход
для этого материала является прямым и имеет довольно боль-
большой матричный элемент, а потери за счет поглощения на свобод-
свободных носителях на частоте перехода малы. Лазерная генерация
в GaAs с длиной волны 0,84 мкм происходит главным образом
в материале р-типа вблизи перехода в области толщиной 1—
10 мкм. Полная эффективность устройства, определенная как от-
отношение выходной мощности света к мощности, развиваемой ис-
источником смещения, может быть порядка 30%. При температуре
жидкого гелия можно получить в непрерывном режиме мощность
свыше 10 вт.
В § 6, п. 1 и 2 настоящей главы рассмотрено действие лазера,
основанное на инверсии населенностей между зоной проводимо-
проводимости и валентной зоной. Имеются другие пути для получения ла-
лазерной генерации в полупроводниках. Эти возможности перечис-
перечислены и рассмотрены в литературе (см., например, [7]).

352 Глава 8
2. Пороговый ток
Колебания возникают, когда усиление за счет инверсии насе-
ленностей превосходит потери. Потери могут быть следующих
типов:
1. Поглощение лазерного излучения на свободных носителях,
которое приводит к возбуждению электронов со дна зоны прово-
проводимости в состояния с более высокой энергией в той же зоне,
а также к возбуждению электронов внутри валентной зоны
в верхние состояния валентной зоны, где существуют дырки.
Концентрация ' - ""К
акцепторов = 16- 10'3см ~3
I.ZO 1,25 1,30 1.35
Энергия. эв
',40
/,45 /.60
-*1 V- 0,017 м
Фиг. 8.25. Коэффициент поглощения в GaAs р-типа при температуре
жидкого азота.
2. Потери на излучение через зеркала или поверхности, обра-
образующие интерферометр.
3. Дифракционные потери в интерферометре.
При температуре жидкого азота 77° К и концентрации при-
примесей около 1018 см'3 потери приводят к коэффициенту ослабле-
ослабления, типичное значение которого составляет примерно 30 см'1.
На фиг. 8.25 показан коэффициент поглощения GaAs вблизи
края зоны при температуре 77°К и концентрации акцепторов
1,6 • 1018 см'3. Поглощение в области ниже 1,45 эв происходит
главным образом за счет поглощения на свободных носителях,
а в области выше 1,45 эв существует, кроме того, поглощение за
счет межзонных переходов. Так как фиг. 8.25 соответствует слу-
случаю заполненной валентной зоны и незаполненной зоны прово-
проводимости, то при инверсии населенностей межзонные переходы
дают вклад в Г другого знака, по сравнению с фиг. 8.25. Чтобы
получить усиление 30 см~1, нужно заполнить состояния, энергия
которых на 0,017 эв больше энергии щели между зонами. Это
означает, что если в материал р-типа инжектируется достаточное
количество электронов, чтобы заполнить состояния с энергией,

Электроны в кристаллах 353
лежащей на 0,017 эв выше дна зоны проводимости, то будет по-
получено усиление 30 см~1. При этом предполагается, что концент-
концентрация акцепторов достаточно высока, так что валентная зона
пуста в области энергий в валентной зоне, соответствующей пря-
прямым переходам.
Определим теперь плотность тока, который необходимо ин-
инжектировать через переход, чтобы достичь порога. Из A.40)
имеем
р22 = rt (к) РЛ/Т',
где я (к)—число собственных состояний на единицу объема к-
пространства и единицу объема координатного пространства;
Р — вероятность того, что состояние занято электроном; Ne —
число электронов проводимости в единице объема координатного
пространства. Так как й3к2р22=и где d3k2—-элемент объема
k-пространства в зоне проводимости (вероятность найти элек-
электрон проводимости где-нибудь в зоне проводимости равна еди-
единице), то из A-40) получим
Ne= j d42n{k)P. (8.172)
С помощью (8.148) можно записать (8.172) в виде
Г 2/л* B)m*. B)m* B) V' г /
Ne = 4я [ * у ■ J J п (к) Р УЧ - щ da2, (8.173)
где йсоь — энергия электрона, находящегося на дне зоны проводи-
проводимости, а йш2 — энергия электрона внутри зоны. Пусть при нали-
наличии инжектированного тока распределение приближается к рас-
распределению Ферми — Дирака, так что
Р = 1 для й (со2 — «(,) ^ А£»
Р = 0 для й (со2 - щ) > А£, (8.174)
где Д£—превышение энергии над дном зоны проводимости при
достижении порога.
Из формулы (П.13.9) приложения 13 имеем n(k) = 2/BяK и
с помощью (8.173) и (8.174) найдем, что
Ne = 3,5 • 1027 [2mrx B) ,пгу B) tnrz B)f (SE)\ (8.175)
где (Д£) измерено в эв, Ne — в иг3 и
т'B) т*Л2) t ,^ m* B)
Выше предполагалось, что вероятность заселенности равна еди-
единице для состояния с энергией ниже данной и пулю для состоя-
состояния с более высокой энергией. Чтобы определить Ne с помощью

354
Глава 8
(8.173)/следует использовать распределение Ферми — Дирака,
особенно при более высоких температурах. Для приведенного
вычисления в этом уточнении нет необходимости и можно учесть
распределение Ферми — Дирака, если потребовать, чтобы ЛЕ
было равно @,017 + хТ)эв. Тогда состояния с энергией на 0,017эв
выше дна зоны проводимости заполнены. При 77° К величина у.Т
составляет около 0,006 эв, так что в (8.175) полагаем Д£ =
= 0,023 эв. Так как для GaAs
B)
то (8.175) дает
= 3,l • 1023
(8.176)
Если из tt-области в р-область течет ток с плотностью /, то
число электронов, инжектируемых в единицу времени
в единицу объема в р-области = ^j,
(8.177)
ю5г
I'
где d—глубина проникновения электронов в р-область. В ста-
стационарном состоянии плотность электронов проводимости, воз-
возникающих в единицу вре-
времени за счет инжекцион-
ноготока, найдем, прирав-
приравнивая (8.155) и (8.177),
^- = ~(к. в.), (8.178)
где . (к. в.) —квантовый
выход, который равен от-
отношению числа инжекти-
инжектируемых электронов к чис-
числу инжектированных
электронов, которые до-
достигают зоны проводимо-
проводимости в материале р-типа.
В (8.155) предполагается,
что Nee — 0, так как в от-
отсутствие инжектированно-
инжектированного тока в полупроводнике
очень мало электронов
проводимости.
Сравним теоретический пороговый ток с измеренными зна-
значениями, полученными в материале с концентрацией примеси
5-1017 см~3. Данные для поглощения приведены на фиг. 8.25 для
другой концентрации, но можно предположить, что наклон кри-
кривой поглощения слабо зависит от примеси. Для GaAs при кон-
ю
/о
Температура , °к
100
Фиг. 8.26. Температурная зависимость
пороговой плотности тока для иижекцион-
ного лазера на GaAs.

Электроны в кристаллах 355
центрации примесей 5-Ю17 смг3 Теж 2,2 • 10~9 сек1). При значе-
значениях параметров
(к. в.)=1,
d = 1 мкм
и при величине Ne, определяемой (8.176), с помощью (8.178) по-
получим пороговую плотность тока
/ = 2,3- 103 а/см2.
Если размеры площадки, перпендикулярной потоку, равны 200 X
X 200 мкм2, то это означает, что требуется инжектированный ток
0,92 а. На фиг. 8,26 показаны экспериментальные данные, полу-
полученные Бернсом, Диллом и Натаном [9], для порогового тока
в зависимости от температуры. При 77° К. измеренная плотность
тока составляет примерно 2- 103 а/см2, что очень близко к вычис-
вычисленному значению. При температурах ниже 20° К пороговый ток
уменьшается до 80 а/см2.
ЛИТЕРАТУРА
1. Smith R. A., Semiconductors, London, 1961, p. 95. (См. перевод: Р. Смит,
Полупроводники, изд-во «Мир», 1962.)
2. Spenke E., Electronic Semiconductors, New York, 1958, App. I, p. 381.
3. Smith R. A., Wave Mechanics of Crystalline Solids, London, 1963, App. 2,
p. 464.
4. Rose A., Concepts in Photoconductivity and Allied Problems, Interscience
Tracts on Physics and Astronomy, No. 19, New York, 1963.
5. Nathan M. I., Dumke W. P., Burns G., Dill F. H., Jr., Lasher G. L, Stimu-
Stimulated Emission of Radiation from GaAs p-n Junctions, Appl. Phys. Letters,
1, 62 A962).
6. Hall R. N., Fenner G. £., Kingsley J. D., Soltys T. J., Carlson R. O., Cohe-
Coherent Light Emission From GaAs Junctions, Phys. Rev. Letters, 9, 366 A962).
7. Birnbaum G., Optical Masers, New York, 1964, p. 155.
8. Smith W. V., Sorokin P. P., The Laser, New York, 1966.
9. Burns G., Dill F. H., Jr. Nathan M. /., The Effect of Temperature on the
Properties of GaAs Lasers, Proc. IEEE, 51, 947 A963).
ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА
к § 2-3.
1. Spenke £., Electronic Semiconductors, New York, 1958, Ch. 7.
2. Kittel C, Introduction to Solid State Physics, 3rd ed., New York, 1966, Ch. 9.
(См. перевод: Ч. Киттель, Введение в физику твердого тела, Физматгиз,
1963.)
3. Feynman R. P., Leighton R. В., Sands M., The Feynman Lectures on Phy-
Physics, Reading, Mass. Vol. Ill, 1965, Ch. 13. (См. перевод: Р. Фейнман,
P. Лейтон, М. Сэндс, Фейнмановские лекции по физике, т. 9, изд-во «Мир»,
1967, гл. 11.)
1) Это значение Те получено из уравнений G.21) и G.24) книги [8].

356 Глава 8
к § 4.
1. Smith R. A., Semiconductors. London, 1961, Ch. 7. (См. перевод: P. Смит,
Полупроводники, иэд-во «Мир*, 1962.)
2. Smith R. A., Wave Mechanics of Crystalline Solids, London, 1963, Ch. 13.
к § 5.
1. Bube R. H., Photoconductivity of Solids. New York, 1960. (См. перевод:
P. Бьюб, Фотопроводимость твердых тел, изд-во «Мир», 1962.)
2. Rose A., Concepts in Photoconductivity and Allied Problems, Literscience
Tracts on Physics and Astronomy, No. 19, New York, 1963.
к§ 6.
1. Birnbaum G., Optical Masers, New York, 1964, Ch. XL
2. Smith W. V., Sorokin P. P., The Laser. New York, 1966, Ch. 7.
3. Lengyel B. A., Introduction to Laser Physics, New York, 1966, p. 136.
4. Yariv A., Quantum Electronics, New York, 1967, Ch. 17.
Задачи
8.1. Вывести для трехмерного случая условие брэгговского
отражения, даваемое формулой (8.15).
8.2. Доказать, что условие ортогональности (8.25) справед-
справедливо для периодических граничных условий.
8.3. Из выражений (8.27) и (8.28) показать, что для свобод-
свободного электрона
F h2k2
Ь ~ Ъп ■
8.4. Определить вероятность отражения или прохождения
электроном узла, содержащего примесь. Используя выражение
(8.44) и считая Л = 0,2Ж'ь изобразить графически вероятности
отражения электрона и прохождения электрона как функциюka.
8.5. Определить положение энергетических уровней для за-
захваченных электронов. Принимая в (8.49) Л = 0,2^ш и
а) для энергетической зоны, в которой Е — \ эв для k = 0 и
Е = 2 эв для k = л/а, определить энергетический уровень захва-
захваченного электрона (ответ: энергия на 'Доп so ниже зоны);
б) для энергетической зоны, в которой Е = 1 эв для k = я/а
и Е = 2 эв для k = 0, определить энергетический уровень захва-
захваченного электрона.
8.6. Показать, что (8.55) удовлетворяет условию сохранения
заряда. Иначе говоря, доказать, что
8.7. Выполнить промежуточные выкладки при выводе (8.58)
из (8.57).

Электроны в кристаллах 357
8.8. На фиг. 8.11 представлены временные зависимости вели-
величин k, E и (v) при наложении постоянного поля и в отсутствие
столкновений. Используя уравнения, выведенные в § 3, п. 3, по-
построить временные зависимости для тех же величии, когда при-
приложено постоянное поле и учитываются столкновения.
8.9. Вывести уравнение (П. 13.9) из приложения 13 для плот-
плотности состояний в к-пространстве.
8.10. Вывести выражение (П.13.2) из приложения 13.
8.11. Показать, что действительная и мнимая части комплек-
комплексной проводимости, даваемой выражением (8.82), согласуются
с соотношениями Крамерса — Кропига.
8.12. а) Получить выражение для изменения проводимости
(8.160) для случая, когда квантовый выход не равен единице.
б) На сколько процентов изменится проводимость, если кри-
кристалл GaAs при комнатной температуре облучать неодимовым
лазером мощностью 100 вт/см2?
8.13. Рассмотреть некоторые особенности поведения коэффи-
коэффициента усиления G для фотопроводимости, который опреде-
определяется формулами (8.161) и (8.170).
а) Показать, что G не зависит от квантового выхода.
б) Что ограничивает бесконечное возрастание коэффициента
G, даваемого выражением (8.170)?
в) Начертить кривую температурной зависимости коэффици-
коэффициента G ').
8.14. Полупроводниковый инжекционный лазер работает при
температуре 77° К и с током через переход, обеспечивающим по-
положения уровня Ферми на 0,023 эв выше дна зоны проводимости.
Построить форму кривой усиления как функции частоты для
энергии фотона от 1,2 до 1,6 эв для случая, когда переход ис-
используется как усилитель, а не как генератор. Предположить,
что коэффициент поглощения, приведенный на фиг, 8.25, есть
коэффициент усиления для случая инверсии населениостеп.
>) R. Н. Bube, Photoconductivity of Solid, New York, 1960. (См. перевод:
P. Бьюб, Фотопроводимость твердых тел, пзд-во «Мир», 1962.)

Приложение 1 ВЛИЯНИЕ Ж НА рп
Решаем уравнения A.25) и A.26) для рц@ с помощью пре-
преобразования Лапласа, которое вводится следующим образом:
(П. 1.1)
Применяя это преобразование к A.25) и A.26) и разрешая от-
относительно pn(s), находим
рп (s)=ттотугн^"! )/(«'+«?)" (П'К2)
Здесь оы = (Е,—Eh)jb. Обратное преобразование Лапласа вы-
выражения (П.1.2) дает
Е+/0О
ШЖ^^)' (пл-3)
Здесь е — малое положительное число.
Член Ш\и может представлять собой, например, матричный
элемент между двумя электронными состояниями молекулы, свя-
связанными с различными типами колебаний решетки. Типы коле-
колебаний решетки расположены очень густо, поэтому суммирование
в (П.1.3) можно заменить интегрированием
Здесь g(o)ift) — число колебательных состояний на единичном ча-
частотном интервале.
В случае слабой связи (т. е. Ж\к« О) вычисление (П.1.3)
сводится к определению вычета в полюсе s = 0, т. е. рп@ — по-
постоянная величина. Следовательно, для слабой связи надо вы-
вычислить интеграл в (П. 1.4) для s « 0. Получим
Ос Off \
| £ (•»,ft) й(йи —2—'4— = 2я£ (tolfe) I W\k p . (П. 1.5)
Таким образом, вычисления приводят к плотности состояний
g{®ih) и матричному элементу \Ж\к\2 для типов колебаний, ко-
которые существуют в исчезающе малой энергетической окрестно-
окрестности электронного состояния.

Приложение 2
Подставляя (П. 1.5)в (П.1.3), получаем
Рп(
где
'~1яГ J
s+l/x
e—у ■»
359
(П. 1.6)
(П. 1.7)
Приложение 2 СКОРОСТИ ПЕРЕХОДОВ
ПРИ РАВНОВЕСИИ
При равновесии требуется, чтобы pj-j была величиной, не за-
зависящей от времени, и чтобы ни при каких частотах переходов
не появлялось никакого результирующего излучения или погло-
поглощения энергии. Для двухуровневой системы это означает, что
число переходов 2)-> 1) в единицу времени должно быть равно
числу переходов 1)-> 2):
ое W = ое W <П 9 П
г 22 21 * 11 12* lii-^.il
Для трехуровневой системы возможно удовлетворить условие
постоянства рц равенством
ne W = ne W = ne W (XI 9 9"»
Это равенство иллюстрируется на фиг. П.2.1. Однако на этой
схеме изображена система, в которой поглощение энергии про-
происходит на частотах <02i и озг, а излучение на частоте соз1- Это
не условие равновесия. Рав-
Равновесие в трехуровневой си-
системе имеет место, если
только скорость перехода из
/-го состояния в k-e состоя-
состояние равна скорости перехо-
перехода из k-ro состояния в /-е,
Фиг. II.2.1. Возможные скорости пере-
переходов для поддержания постоянных
значений рц.
Для четырехуровневой системы возможно равновесие либо при
выполнении условия (П.2.3), либо, например, в том случае, когда
выполняются следующие соотношения:
<о2, = (о43,
Wa = W н = W23 = W24 = W31 = W32 = WH =
(П. 2.4)
0.

360
Приложение 3
Эти соотношения иллюстрируются на фиг. П.2.2. Однако для
удовлетворения (П.2.4) требуется значительно больше условий,
чем для выполнения (П.2.3), и поэтому маловероятно, чтобь.
в условиях равновесия удовлетворялись соотношения (П.2.4).
Рп Щз
Фиг, П.2,2. Возможные скорости переходов для находящейся в равновесии
четырехуровневой системы.
Следовательно, даже для многоуровневых систем исполь-
используются условия равновесия (П.2.3). Уравнение (П.2.3) известно
как принцип детального равновесия. (См. работу [5] в гл. 1.)
Приложение 3 ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
ВЕЩЕСТВЕННОСТИ
ПРОИЗВЕДЕНИЯ ,iyi;
Из определения дипольного матричного элемента имеем
К
= ("l
M2> (U2 | Ь | «l).
Здесь последнее равенство следует из эрмитовости оператора (.«а-.
Тогда, добавляя и вычитая член («i||aa| «i)(mi | ир I ui), находим
Исключая тождественный оператор / = S I "г) ("г I. запишем
это равенство в виде
Кроме того, пользуясь правилом для эрмитова сопряжения опе-
операторов, а также учитывая, что операторы р.а и (x(J эрмитовы,

Приложение 4 361
имеем следующее соотношение:
Однако \ха и (хр — функции только г и, следовательно, являются
коммутирующими наблюдаемыми. Поэтому можно изменить по-
порядок операторов на обратный, записав
т. е. произведение операторов также эрмитово.
Поскольку компоненты дипольного момента и их произведе-
произведения являются эрмитовыми, они представляются эрмитовыми мат-
матрицами, диагональные элементы которых вещественны. Следова-
Следовательно, произведение цац*в> определяемое соотношением (П.3.1)
и выражаемое через диагональные элементы, должно быть ве-
вещественным, что и требовалось доказать.
Величина Н^Ия является коэффициентом связи между а-
компонентой индуцированного дипольного момента и р-компо-
нентой приложенного электрического поля. Таблица из девяти
коэффициентов, которые связывают два вектора, составляет тен-
тензор второго ранга. Поскольку |iaUp = [xjip = \ь$ьа, то этот тензор
является симметричным относительно индексов аир.
Приложение 4 ПОПРАВОЧНЫЙ КОЭФФИЦИЕНТ
ЛОРЕНЦА ДЛЯ ЛОКАЛЬНОГО ПОЛЯ
Уравнения поля для изотропной поляризуемой среды в 07-
сутствие свободных зарядов имеют вид
V ■ В = О, V ■ D = О,
\XH=J+^, VXE = -f, (П. 4.1)
B = |i,,H, D = е,Е + Р1ЮЛ",
J = аЕ.
Особый интерес представляет поляризационный член р110', по-
появляющийся в выражении для электрической индукции D. При
рассмотрении некоторых процессов, имеющих место на атомных
или молекулярных уровнях, таких, как, например, электрический
дипольпый переход, полезно представлять полную поляризацию
в виде суммы двух члетклк
Р""" = Р + Р'. (П. 4.2)

362 Приложение 4
Здесь Р характеризует поляризацию, связанную с исследуемыми
молекулярными процессами, а Р'—поляризацию, возникающую
в результате всех других переходов.
Предположим теперь, что поляризация Р', возникшая в ре-
результате всех других переходов, связана с локальным электри-
электрическим полем Елок следующим образом:
Р'=2Л^ЕЛ0К. (П. 4.3)
i
Здесь Ni — число молекул типа i в единице объема, а а( —
усредненная по ориентациям линейная поляризуемость молекул
типа i. Для переходов, резонансные частоты которых далеки от
частот приложенных полей, поляризуемость си — просто вещест-
вещественное число. Поэтому полную поляризацию Рполн можно запи-
записать на основании (П.4.2) и (П.4.3) следующим образом:
рполн = р + ^ Л^а;Елок. (П. 4.4)
В учебниках по общей физике показано, что в изотропной среде
макроскопическое поле Е отличается от локального электриче-
электрического поля Елок для данного атома или молекулы вследствие
влияния окружающей поляризуемой среды. Эти поля связаны
следующим образом 1):
£ЛОК = £ + 1 рПОЛН^ (П. 4.5)
обо
Комбинируя (П.4.4) и (П.4.5), находим
рполн = 1 р + i Е (П. 4.6)
iSWe i2We
Подставляя (П.4.6) в выражение для D в (П.4.1), получаем
( SVi \
D = e0E + PnMH= ео + -*_ Е+ =-! Р. (П. 4.7)
\ '2^/4/ 'Il¥A
Это выражение содержит два члена. Первый член не зависит от
процессов, связанных с исследуемой поляризацией Р; второй
характеризует вклад за счет этой поляризации. Если характери-
характеризовать диэлектрические свойства среды, исключая при этом влия-
влияние исследуемых процессов с помощью диэлектрической прони-
') См., например, Ч. Киттель, Введение в физику твердого тела, 2-е изд.,
Физматгиз, 1963.

Приложение 4 363
цаемости е, то в отсутствие Р имеем D = еЕ. Поэтому (П.4.7)
перепишем в виде
D = eE + P*. (П. 4.8)
Сравнение (П.4.7) и (П.4.8) показывает, что:
а) диэлектрические свойства среды, исключая эффекты, свя-
связанные с Р, описываются так называемым соотношением Ло-
Лоренц— Лоренца
здесь 1]= Уе/еа — показатель преломления среды без учета влия-
влияния поляризации Р;
б) член Ps (характеризующий поляризационные источники),
который используется в уравнениях макроскопического поля и
отражает влияние исследуемых процессов, связан с действитель-
действительной поляризацией Р соотношением
р* = (J^ii) р. (П. 4.10)
Далее, если уравнения (П.4.6) с учетом (П.4.10) подставить
в (П.4.5), то можно выразить локальное электрическое поле Елок
через макроскопическое поле Е:
Такая аппроксимация вполне удовлетворительна, когда поляри-
поляризационный источник Ps не слишком велик. Множитель (т]2 + 2)/3
в (П.4.10) и (П.4.11) известен как поправочный множитель Ло-
Лоренца для локального поля.
Волновое уравнение для Е получается путем применения опе-
операции rot к уравнению V X Е, подстановки другого уравнения из
(П.4.1) и учета уравнения (П.4.8). Получаем
Здесь с2=1/ц0е0, si- = \х.0ос1ц — коэффициент затухания и ц =
= ]/е/еэ — показатель преломления среды без учета влияния тех
процессов, которые учитываются с помощью члена Ps.
Итак, показано, что для изотропной среды поляризация Р,
возникающая в результате макроскопических процессов, должна
быть скорректирована поправочным множителем Лоренца для
локального поля, согласно (П.4.10), и только после этого можно
рассматривать влияние поляризации на макроскопические поля
с помощью (П.4.12). Кроме того, само макроскопическое поле Е
должно быть скорректировано с помощью (П.4.11), чтобы

364 Приложение 5
получить локальное поле Ел■ж, которое может появиться в урав-
уравнениях, описывающих микроскопические процессы. Все эти рас-
рассуждения справедливы независимо от того, какими процессами,
линейными или нелинейными, определяется Р. Вывод, представ-
представленный здесь для изотропной среды, может быть распространен
на анизотропные среды. В последнем случае поправочные мно-
множители Лоренца являются тензорами !).
Приложение 5 СООТНОШЕНИЯ
КРАМЕРСА- КРОНИГА
Согласно C.5), поляризация Р = У2Ре:Чо( -I- компл. сопр. и
электрическое поле Е = '/гЕе'0' + компл. сопр. в линейной изо-
изотропной среде связаны соотношением
Р = ед(со)Ё. (П. 5.1)
Величина х(ю)—линейная восприимчивость — имеет как веще-
вещественную, так и мнимую части
х(со) = х'М + *Х"М- (П-5-2)
Покажем теперь, что /'(со) и %"(«) связаны таким образом, что,
если одна из них известна, то другую можно определить с по-
помощью совокупности интегральных соотношений, известных как
соотношения Крамерса — Кронига:
(П-5.3)
(П. 5.4)
Здесь Р означает, что берется главное значение интеграла, опре-
определенное несколько ниже C.29).
Рассмотрим интегрирование функции %{ы')/(о/ — о)) по замк-
замкнутому контуру, изображенному на фиг. П.5.1. Для пассивной
среды функция %(а/) является аналитической внутри области,
ограниченной контуром, и, следовательно, фуш 1я [%(а/)]/(о)'—
— о) —также аналитическая в этой области. Следовательно, по
') Bloembergen N., Nonlinear Optics, New York, 1965. (См. перевод-
И. Бломверген, Нелинейная оптика, изд-во «Мир», 1969.)

Приложение б
365
теореме Кошп интеграл по замкнутому контуру равен пулю1):
И-Е ■ R
dco'-f-
■ dm' -f-
J (О —
-R
(П. 5.5)
Перейдем теперь к пределу при R-+oo, e->-0. Первый инте-
интеграл стремится к нулю, так как при /(со'), заданном выраже-
выражением C.6), числитель
подынгегрального выра-
выражения имеет степень по
о)', нм две единицы мень-
меньшую, чем знаменатель.
Поэтому интегрирование
по полуокружности бес-
бесконечного радиуса дает
нуль.
Сумма второго и
третьего интегралов в
пределе при е—>0 являет-
является по определению глав-
главным значением интеграла.
Четвертый интеграл, вы-
вычисленный вокруг просто-
Фиг. П.5.1. Контур на комплексной пло-
плоскости, по которому вычисляются интегра-
интегралы в (П.5.5.).
го полюса со' = со, дает тх(со). Поэтому при #—юо, е~>0 имеем
X («')
d(ar
(со) = О
или
1 @)')
(П. 5.6)
(П. 5.7)
Подставляя (П.5.2) в это соотношение и приравнивая вещест-
вещественную и мнимую части, получаем соотношения Крамерса —
Кронига, т. е. уравнения (П.5.3) и (П.5.4).
Приложение 6 УСРЕДНЕНИЕ ПО ОРИЕНТАЦИЯМ
Рассмотрим ошибку, к которой приводит предполои-тиие, что
соотношение B.39) справедливо при насыщении для случая,
когда все ориентации молекул равновероятны. Равенство B.39)
имеет вид
Nv (^Хз) (Рп ~ Р12) = (Х^р) {N\ ~ Ni)-
') См., например, Macrobert Т. М., Functions of a Complex Variable, Lon-
London, 1954.

366
Приложение 7
Здесь черта указывает на усреднение по ориентациям. Если вес
ориентации молекул равновероятны, то | (lai212 вдоль любого на-
направления имеет зависимость ви-
вида cos2 9, где 9 — угол между
вектором дипольного момента и
направлением координатной оси,
как показано на фиг. П.6.1.
Коэффициент усиления, вве-
введенный в C.67), был получен
в предположении справедливости
B.39), причем последнее приво-
приводят к множителю в коэффициен-
коэффициенте усиления вида
Фиг. П. 6.1. Координатные на-
направления для вычисления сред-
средних по ориентациям.
1
1 + ///нас
(П. 6.1)
Однако если неусредненное
уравнение типа C.66) подставить
в неусредненное уравнение C.65), множитель в коэффициенте
усиления будет иметь вид
1 г
4я J
dQ.
dQ. (п. 6.2)
1 + (///„ас) 3 COS2 9 V '
Здесь dQ — элемент телесного угла. Множитель 3 появился
в (П.6.2) потому, что при выводе (П.6.1) усреднение cos2 9 по
всем направлениям дает множитель '/з-
Отношение (П.6.2) к (П.6.1) всегда больше единицы. Для
очень малых и очень больших значений ///цас это отношение
стремится к единице, а максимальное его значение равно при-
приблизительно 1,3.
Приложение 7
ВЫВОД КИНЕТИЧЕСКОГО
УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ФОТОНОВ
Чтобы вычислить правую часть уравнения F.49), рассмотрим
выражение F.44) для диагональных элементов pi, n; i, п. Комму-
Коммутатор в правой части F.44) получим из F.40):
№'' Pll, п; 1, п = Ж'\, п; 2. n-iP2. n~\; I, n +
[п;,п+,п + П,п С0ПР- (П-7Л)
Рассуждение, приведенное в следующем абзаце, показывает, что
второй член в правой части (П.7.1) может быть опущен.
При решении уравнений движения F.43) и F.44) для опера-
оператора плотности заметим, что можно сделать некоторые упро-

Приложение 7 367
щающие предположения. Однородное решение для р,-, n; it m
имеет вид экспоненциально затухающей синусоиды с резонанс-
резонансной частотой ©г, п; з, т- Следовательно, pi, n;i,m откликается наи-
наиболее сильно на вынуждающий член, который изменяется с есте-
естественной резонансной или с близкой к ней частотой. Поэтому
будем оставлять только те члены в правой части уравнения
F.43), которые имеют синусоидальную зависимость от времени
частоты <ы,П;з,т- Из F.40) видно, что матричные элементы Ж'
не зависят'от времени. Это означает, что частоты в вынуждаю-
вынуждающих членах в F.43)—те же, что и в матричных элементах
Pft, р;1, д- ЧлеНЫ ph,p;l,g ИМеЮТ ЧЭСТОТЫ <йк, р; I, q, В ТО ВреМЯ КЭК
резонансной частотой в F.43) будет аа,П\з,т- При условии бли-
близости этих двух частот из F.45) видим, что сохраняются только
те выражения ph,p-,i,q, для которых справедливо соотношение
Ek-Et + (p- q) Ы ~ Е{ - Е; + {n-m) ha. (П. 7.2)
Любой член, для которого не справедливо соотношение (П.7.2),
не дает вклада на частоте, близкой к резонансной, и поэтому не
учитывается. Это условие применимо, в частности, к диагональ-
диагональным элементам, определяемым выражением F.44), причем
в этом случае резонансная частота близка к нулю, т. е.
Ek-Et + (p-q)h(u**0. (П. 7.3)
С помощью (П.7.3) находим, что сохраняется только первый
член в (П.7.1), который содержит рг, n-i;i,n. Комбинируя F.44)
и (П.7.1), находим
Pi. в; 1, п + — ; (Р|, п; 1, в ~ Pl n; I, n) =
= 71-(^и:2.в-.Р2,в-.:..в
Аналогичным образом получаем
Р2.в;2, в+ т2 n.2 n (P2,n;2,n~Pin;2. n) =
i - (П. 7.5)
Недиагональные члены в правой части (П.7.4) и (П.7.5) мо-
могут быть вычислены из F.43). Для элемента р2, n-i; i, n имеем
иг, n-i; i,n = й — со ~ 0, а для pi,n+i;2, n соответствующей есте-
естественной частотой будет со — Q » 0. Следовательно, эти матрич-
матричные элементы являются медленно меняющимися функциями
времени и, кроме того, для типичных оптических переходов
имеем d/dt < 1/Ti,n:j, m- Из окончательного вида уравнений, ко-
которые будут получены, ясно, что Хг,п;з,т — постоянная времени
поперечной релаксации Т2- Это то же самое условие (т. е. d/dt <
< \/Т2), что и использованное при выводе кинетических

368
Приложение 7
уравнений для лазера C.78) и C.79). При этом условии, которое
подразумевается с самого начала, первым членом в F.43) мож-
можно пренебречь по сравнению с третьим. Следовательно, уравне-
уравнение для недиагональных элементов будет иметь вид
Рз, п-1; I, п
i. ra-
Р^. п; 2, га
Pi, га + 1; 1. ra + lj
Здесь снова в вынуждающих членах оставлены только те члены,
для которых справедливо (П.7.2).
Комбинируя (П.7.4) — (П.7.7) и подставляя результат для
диагональных элементов матрицы плотности в F.49), после
упрощений получаем
д_ , ч _, (п) - (п)е = _2л_ (
Х(Рд„-1: 2, »-|-Pi, „..,,„)
Здесь gb{ti), Q)—лоренцева функция формы линии, определяе-
определяемая выражением
п
2, п; 1, п+1
'l, га; 2. га-1
>!.» + !:
2х
1.га + 1
(П
2.Л-
.7.8)
При выводе (П.7.8) отождествление постоянной времени в левой
части (П.7.8) с тс соответствует условию, что тс является вре-
временем затухания электромагнитной энергии в резонаторе и ха-
характеризует убывание фотонов в резонаторе, обусловленное не
взаимодействием с молекулами, а другими причинами, например
потерями на зеркалах. Аналогично отождествление постоянной
времени, появляющейся в gL((o,Q), с временем поперечной ре-
релаксации среды Т2 обосновывается тем, что окончательный ре-
результат согласуется с выводами, полученными на основе полу-
полуклассического анализа в гл. 3, где более детально рассмотрены
временные константы.
Матричные элементы гамильтониана взаимодействия, входя-
входящие в (П.7.8), определяются из F.40), и после их подстановки
выражение (П.7.8) сводится к виду
д ''Л "I" <")'т<"-)~ = - G Е п (р, „., п - р, п. Si „) + Gp,2, (П. 7.9)
где
(П. 7.10)

Приложении Я
369
Приложение 8
ВЕЩЕСТВА, В КОТОРЫХ
НАБЛЮДАЕТСЯ ВЫНУЖДЕННОЕ
РАМАНОВСКОЕ РАССЕЯНИЕ
Жидкости
Бромофор.м
Тетрахлорэтилен
Четыреххлористый
углерод
Гексафторбензол
Бромоформ
Трихлорэтилен
Сероуглерод
Хлороформ
о-Ксилол
а-Диметилэтокси-
фениламин
Диоксан
Морфолии
Тиофеиол
Нитрометап
Дейтерпрованный
бензол
Кумол
1,3-Дибромбеизол
Бензол
Пиридин
Анилин
Стирол
л-Толуиднп
Бромбепзол
Хлорбензол
Бенлонитрпл
т/и.'т-Бутилбетол
Этилбеизол
Толуол
ФторбЛ1зол
4-Пиколип
л;-Кре:к>Л
.«-Днхлорбензол
1-Фтор, 2-хлор-
беплол
йодбензол
Хлорбензол
Бенаальдегид
Анизол
Пиррол
Фурап
Стирол
Смещение
частоты,
см~]
222
447
460
515
539
640
650
667
730
836
836
841
916
927
944
990
990
992
992
997
998
999
1000
1001
1002
1002
1002
1004
1012
1016
1029
1030
1030
1070
1086
1086
1097
1178
1180
1315
Л и т б у а ■
тура
[3]
[10]
[12]
[121
■Ц
3|
3]
3
2
9
3
[12]
[12]
[12]
[1]
[12]
[10]
[1, 3]
[1]
[8J
[4. 8]
[12]
[8]
[12]
[8]
[10]
[2]
[1.31
[5]
[12]
[12]
[12]
[Ю]
[12
[12
[12
[12
[12
[12
[4, 8J
Жидкости
Нитробензол
1-Бром п афта лип
1-Хлорнпфталин
а-Этилнафталин
иг-Ннтротолуол
Хинолин
Фуран
Метиловый эфир
салициловой
кислоты
Коричный альде-
альдегид
Стирол
З-Метилбутадиен
Пеитадиеп
Изопрен
Бутнлэтнлеп
о-Днхлорбензол
Бензоннтрил
1,2-Диметилани-
лин
Метплциклогек-
сан
Метанол
цис, транс -1,3-
Диметилцикло-
гексан
Тетрагидрофуран
Циклогексан
Час-1,2-Д11метил-
циклогсксан
а-Диметпл-это-
ксифеппламин
Диоксаи
I [пклогексан
Ц'ПчЛогексапоп
цис-, транс-1.%-
Дпметилцнкло-
гексап
цг/с-1,4-Дпметил-
циклогексаи
Циклогексан
Дгх юриста и
Морфолин
Смещение
частоты
см" '
1344
1368
1368
1381
1389
1427
1522
1612
1621
1629
1638
1655
1792
2116
2202
2229
2292
2817
2831
2844
2849
2852
2854
2856
2856
2863
2863
2870
2873
2884
2902
2902
Литера-
Литература
[1, 3]
[1]
[81
10
12
12
12
[12]
[8]
[4, 8]
[7]
[7]
[9]
[12]
[12]
[8]
[12]
[12]
[3]
[10]
[8]
[1. 3J
[Ю]
[9]
[3]
[1, 31
L J 1 v'J
[2]
[Ю]
[10]
[1. 3]
[12]
]12J

370
Приложение 8
Продолжение
Жидкости
2-октен
2.3-Диметил-1, 5-
гексадиен
Лимонен
о-Ксилол
1-Бутилэтилен
ццс-2-Гептен
Мезитилен
2-Бромпропаи
Ацетон
Этанол
Карвон
ЧЫс-1.2-Диметил-
циклогексан
Диметилформамид
2-Хлор-2-метилбу-
тан
2-Октен
цис-транс-1,3-Ц,и-
метилциклогек-
сан
ж-Ксилол
1,2-Диэтилтартрат
о-Ксилол
Пиперидин
1.2-Диэтилбензол
2-Хлор-2-метилбу-
тен
1-Бромпропаи
Пиперидин
Тетрагидрофураи
Пиперидин
1-Нитропропан
2.2-Диэтилкарбо-
нат
1,2-Дихлорэтан
транс- Дихлорэти-
леи
1-Бромпропан
2-хлор-2-метилбу-
тан
а-Диметилэтокси-
фениламин
Диоксан
Циклогексанол
Циклопентан
Циклопентанол '
Бромциклопента»
Смещение
частоты,
см'1
2908
2910
2910
2913
2915
2920
2920
2920
2921
2921
2922
2927
2930
2931
2931
2931
2933
2933
2933
2933
2934
2935
2935
2936
2939
2940
2948
2955
2956
2956
2962
2962
2967
2967
2982
2982
2982
2982
Литера-
Литература
ГЮ]
[10]
[9]
[2]
[12]
[101
Г9]
1 J
[101
[2, 3]
Г31
[9]
[10]
ГЯ]
[10]
[Ю1
[10]
г
г
г
ПО!
[10]
[Ш1
к
Г
[2
Г2|
[12]
[12]
[3]
[101
[10]
Р
[3
V'
[15
Р-
1
1
>]
]
Жидкости
о-Дихлорбензол
п-Хлортолуол
а-Пиколин
п-Ксилол
о-Ксилол
Дибутилфталат
1,1, 1-Трихлор-
этан
ЭтиленхлоргиД-
рин
Изофорон
Нитрозодиметил-
амин
Пропиленгликол
Циклогексаи
Стирол
Бензол
грег-Бутилбензол
1-Фтор-2- хлор-
хлорбензол
Живица
Псевдокумол
Уксусная кислота
Ацетонилацетон
Метилметакрилат
4-Пиколин
Анилин
Вода
Твердые тела
Кварц
Ниобат лития
а-Сера
Ниобат лития
Кварц
а-Сера
Ниобат лития
Вольфрамат каль-
кальция
Стильбен
Полистирол
Кальцит
Алмаз
Нафталин
Стильбен
Смещение
частоты,
см~1
2982
2982
2982
2988
2992
2992
3018
3022
3022
3022
3022
3038
3056
3064
3064
3084
3090
3093
3162
3162
3162
3182
3300
3651
128
152
216
248
466
470
628
911
997
1001
1084
1332
1380
1591
Литера-
Литература
[12]
[12]
[12]
[2]
[2]
[12]
[3]
[12]
[12]
[12]
[12]
[12]
[4, 8]
[1. 3]
[Ю]
[10]
[12
12
12
12
12
12
[8]'
[12]
[И
[15
[8]
[14, 15]
[И]
[8]
[И, 15]
[8]
V
3
8
8
9

Приложение 9
371
Продолжение
Твердые тела
Триглициисульфат
Триглицинсульфат
Триглицинсульфат
Полистирол
Смещение
частоты,
см-1
2422
2702
3022
3054
Литера-
Литература
12
12
12
[3]
Газы
Кислород
Пары калия
Метан
Дейтерий
Водород
Смещение
частоты,
см*1
1552
2721
2916
2991
4155
Литера-
Литература
[8]
[13]
[6]
[6]
[6]
ЛИТЕРАТУРА
1. Eckhardt G., Hellwarth R. W., McClung F. I., Schwarz S. £., Werner D,,
Stimulated Raman Scattering from Organic Liquids, Phys. Rev. Letters,
9, 455 (December 1962).
2. Geller M., Bortfeld D. P., Sooy W. R., New Woodbury-Raman Laser Mate-
Materials, Appl Phys. Letters, 3, 36 (August 1963).
3. Kern S., Feldman В., Stimulated Raman Emission, M. I. T. Lincoln Lab.
Solid-State Res. Rept., 3, 18 A964).
4. Bortfeld D. P., Geller M., Eckhardt G., Combination Lines in the Stimulated
Raman Spectrum of Styrene, Journ. Chem. Phys., 40, 1770 (March 15, 1964).
5 Calviello J. A., Heller Z. H., Raman Laser Action in Mixed Liquids, Appl.
Phys. Letters, 5, 112 (September 1964).
6. Minck R. W., Terhune R, W., Rado W. G,, Laser-Stimulated Raman Effect
and Resonant Four-Photon Interactions in Gases Hi, D2, and C№, Appl.
Phys. Letters, 3, 181 (November 15, 1963).
7. Зубов В. А., Сущинскип М, М., Шувалов И. К., Исследование порога возбу-
возбуждения вынужденного комбинационного рассеяния, ЖЭТФ, 47, 784 A964).
8. Eckhardt G., Selection of Raman Laser Materials, IEEE Journ Quant.
Electr., QE-2, 1 (January 1966).
9 Weinberg D. L., Stimulated Raman Emission in Crystals and Organic
Liquids, M. I. T. Lincoln Lab. Solid-State Res., Rept. 2, 31 A965).
10. Barrett J. J., Tobin M. C, Stimulated Raman Emission Frequencies in
21 Organic Liquids, Journ. Opt. Soc. Amer., 56, 129 (January 1966).
11 Tannenwald P. £., Thaxter J. В., Stimulated Brillouin and Raman Scatter-
Scattering in Quartz at 2,1° to 293° Kelvin, Science, 134, 1319 (December 9, 1966).
12. Martin M. D., Thomas E. L., Infrared Difference Frequency Generation,
IEEE Journ. Quant. Electr., QE-2 (August 1966).
13 Rokni M., Yatsiv S., Resonance Raman Effect in Free Atoms of Potassium,
Phys. Letters, 24a, 277 A967).
14. Kurtz S. K-, Giordmaine J. A., Stimulated Raman Scattering by Polaritons,
Phys. Rev. Letters, 22, 192 (February 3, 1969).
15 Gelbwachs J., Pantell R. H., Puthoff H. E., Yarborough J. M., A Tunable
Stimulated Raman Oscillator, Appl. Phys. Letters, 14 (May 1, 1969).
Приложение 9 СООТНОШЕНИЕ МЕЖДУ
ПОЛЯРИЗУЕМОСТЬЮ
И СМЕЩЕНИЕМ
Из уравнения G.96) видно, что электронная поляризуемость
в m-м узле решетки имеет флуктуирующую компоненту вслед-
вследствие прохождения акустической волны qm- Эта компонента

372 Приложение 9
имеет вид
42(tf^).'*'-*)- (п-9Л)
Здесь
Gl = i_eW"a) + компл. сопр., (П. 9.2)
а / = 0, ±1, ±2, ...— индекс узлов решетки вдоль кристалла.
Это значит, что поляризуемость в узле т зависит от относитель-
относительного смещения атомов в других узлах решетки, соответствующих
различным номерам /. Покажем теперь, что суммирование но
узлам решетки в (П.9.1) приводит к простому выражению
Подставляя
Здесь
(П
F-
.9.2) в
У(
(П
h + \
.9.
—
1),
id.
имеем
= ReF
.t-kla) ^e-aa
(П.
9.4)
9.5)
Поскольку кристаллическая решетка однородна по структуре
и считается бесконечно большой, очевидно, что изменение поля-
поляризуемости в узле решетки т под действием относительных сме-
смещений атомов в узле решетки / и изменение поляризуемости
в узле решетки т + 1 в результате аналогичных смещений ато-
атомов в узле решетки / -!- 1 должны быть тождественны. Следова-
Следовательно,
Выражение (П.9.5) можно записать в виде
р _ V / да,„ \ i(W,t-kla) Г -ika
Здесь /' = /— 1. Приравнивая экспоненциальные члены в (П.9.7),
получаем рекуррентное соотношение
ст = cm+lelka. (П. 9.8)

Приложение 10 373
Здесь ст = [dam/d(qi+i—- qi)]o- Уравнение (П.9.8) является раз-
разностным уравнением, которое может быть решено, если предпо-
предположить, что решение имеет вид ст = Ае?. Получим
ст = сое-!кта. (П. 9.9)
Здесь со = [dao/d(qi+i — qt)]0 есть значение ст в узле решетки
т = 0. Комбинируя (П.9.4), (П.9.5) и (П.9.9), находим
a'n = Re qe' (»*'-*"=") [g-'■'•<• _ l] ^ Сое~Ша =
сопр.
(П. 9.10)
Поскольку / может принимать как положительные, так и отри-
отрицательные значения, а с0 является вещественной величиной, то
(П.9.10) сводится к виду
Здесь Сц является константой
да°
Г -
Таким образом, поляризуемость в т-и узле решетки а'т мол-сет
быть выражена просто как величина, в Со раз превышающая
акустические смещения в узле решетки т.
Приложение 10 ВЫРАЖЕНИЕ ДЛЯ d^k ЧЕРЕЗ <о21
В окрестности к = 0 энергия в зоне проводимости записы-
записывается в виде
£(к,2)~£@, 2) + ^2^(J^«V (П. 10.1)
а, И
Здесь учтены только первые два отличные от нуля члена степен-
степенного ряда. Используя определение эффективной массы, выраже-
выражение (П. 10.1) можно переписать в виде
Е(к, 2) = £@, 2) + ^У -^—~ kak (П. 10.2)
Гр "'а3 ()
Здесь /ЛцрB) — эффективная масса на нижней границе зоны про-
проводимости. Если координатные оси выбрать вдоль направлений

374 Приложение 10
главных осей, то (П. 10.2) сводится к виду
2) + ^-^-4—к1. (П. 10.3)
Здесь а — направление, параллельное главной оси.
Для валентной зоны получается выражение, аналогичное
(П. 10.3), так что имеем
Йсо21 = Е (к, 2) - Е (к, 1) = Йсоо + -^-УЛ-А;2а. (П. 10.4)
Здесь
, 2)-£@, 1) =
минимальное расстояние между энергетическими зонами
Pa maB) та
Теперь определим переменную q в виде
так что
d3k = dk dk dk = VУУV' dqxdq dq (П. 10.5)
Из (П. 10.4) имеем
/ 9 I 9 i 9\ ? / П 1 л /> \
ffl21 ~ M0 = ~5\Ях 4y'Clz)^~<> P # ' 10.0)
Здесь
Переменная р является радиусом в ^-пространстве, так что эле-
элемент объема в ^-пространстве имеет вид
y p. (П. 10.7)
Комбинируя (П.10.5) — (П.10.7), находим
= 4я у 2-^± (со21 - соо) rfco2I. (П. 10.8)
Это и есть желаемое выражение для d3k через co2i.

Приложение 11 375
Приложение 11 ВЫЧИСЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ
В УРАВНЕНИИ (8.54)
Прежде всего рассмотрим интеграл
/, -1 J dVpBB (к', к, t) фв (к, г) егк'-' Vk,uB (к', г) -
— компл. сопр. (П. 11.1)
Поскольку
фв(к, r) = e~"<-'«B(k, г),
то в подынтегральном выражении в (П.11.1) имеется множитель
ef(k'-k)-r( благодаря которому интеграл в координатном прост-
пространстве равен нулю'), пока не выполняется равенство к = к'. По-
Поэтому можно записать /( в виде
/, = i J dVpBBu*B (к, г) vk«B (к, г) - компл. сопр. =
(П. 11.2)
Здесь рВв=Рвв(к>М)- Поскольку J dF|«B|2=l,Vk [ dV\uB\2 = Q,
получим, что h = 0. Это означает, что выражение, стоящее во
вторых скобках в правой части уравнения (8.54), равно нулю.
Теперь рассмотрим интеграл
I2 = i j j d3k' dVpBB (k, k', t) фд (k, г) ук.фв (к', г) - компл. сопр.
(П. 11.3)
Интегрируя (П.11.3) по частям относительно к', получаем
'dVi|>e(k, г)фв(к', r)Vk,pBB(k, k'( t) -компл. сопр.
(П. 11.4)
Из (8.26) имеем J ф'(к, г)фв(к', г) dV = б (к' - к), так что /2
можно переписать в виде
h = - i Игп [Vk,pBB (k', k, 0 + Ук>Рвв (k> k'> Щ- (П. 11.5)
Матричный элемент р определяется из A.37):
',k,t) = ca(k',t)cB(k,t), (П. 11.6)
') См. работу [2] в конце гл. 8.

376 Приложение 12
Здесь cB(k,t) — коэффициент при члене |кВ) в разложении для
вектора состояния. Из (П.11.6) находим, что
Hm|Vk,pBB(k', k, ;) + Vk,pBB(k, к', *)] =
= vkPfle(k, к, o^vkPflB(k, о. (п. п.?)
Отсюда имеем
^=-^кРвв(к- 0- (П. 11.8)
Это соотношение приводит к уравнению (8.55).
Приложение 12 ВЫВОД СООТНОШЕНИЯ
(дЕ/dkj* = Bb*j3m'a) E
В приложении 10 [уравнение (П.10.3)] показано, что
a=jc. i/, г a
Здесь а обозначает координатные направления. Энергия на ниж-
нижней границе зоны проводимости принята равной нулю, а яг* —
эффективная масса на нижней границе зоны проводимости,
когда координатная система выбрана вдоль главных осей. На
основании (П.12.1) можно записать
а- (П. 12.2)
Здесь qa^ ka(m*ay''2. Таким образом,
М\* = ±(Щ. (п. 12.3)
Поскольку
Е = —(q\ + q\ + q2z) > (П. 12.4)
то в q-иространстве поверхностями постоянной энергии являются
сферы и, следовательно, Е одинаково зависит от каждой коор-
координаты q, так что
' ^VO =ЖЕ. (П. 12.5)
Здесь последнее равенство получено из (П.12.2). Из (П.12.5) и
(П. 12.3) имеем
f-.E. (П. 12.6)
А

Приложение IS 377
Приложение 13 ВЫВОД ВЫРАЖЕНИЯ (8.99)
ИЗ (8.98)
Исходим из уравнения
j = _ VL J Vk (Vk£) (8 ■ VkP|2) Г,. (8.98)
Если через Ne обозначить число электронов проводимости в еди-
единице объема, то
\йЧ9%2 = ~^-. (П. 13.1)
Здесь Nv — общее число электронов в единице объема. Кроме
того, можно записать
g.Vn' --^-8-V£ (П. 13.2)
° 1^22 дЕ к
Комбинируя (П.13.1), (8.98) и (П.13.2), запишем плотность тока
в виде
Г 3 (/) vk£) г,
. ,пл,з,
Если электрическое поле приложено вдоль направления а, то
)Tl
*а. (П. 13.4)
В приложении 10 показано, что
d3k пропорционально УЕ dE, (П. 13.5)
а из приложения 12 имеем
Здесь т*а —эффективная масса на нижней границе зоны прово-
проводимости для координатной системы, выбранной вдоль главных
осей. Подставляя (П.12.6) и (П.13.5) в (П.13.4), находим
- 13.6)
3m« J VE pe22 dE
С помощью A.40) величина рггМ записывается в виде
■■n(k)PNvl. (П. 13.7)

378 Приложение 13
Здесь я (к)—число собственных состояний в единице объема
в к-пространстве на единицу объема координатного простран-
пространства; Р—вероятность того, что собственное состояние в зоне
проводимости занято электроном.
При тепловом равновесии величина Р дается распределе-
распределением Ферми — Дирака, так что диагональные элементы реравны
<плз-8)
Здесь EF — так называемая энергия Ферми, х—постоянная
Больцмана, а Т—абсолютная температура. Уравнение (8.24),
связывающее п и k, приводит к следующему выражению для
л(к):
n^ - (П. 13.9)
Здесь множитель 2 введен для учета двух спиновых состоя-
состояний электрона. Из (П.13.8) находим, что
% -^P22A-p2e2)--i-Pf2 Д^ Р^<»- (П. 13.10)
В зоне проводимости ре22 <С 1, поэтому справедливо приближе-
приближение, сделанное в (П. 13.10). Поскольку р|2 с увеличением энер-
энергии затухает экспоненциально, пределы интегрирования в
(П. 13.6) можно выбрать от 0 до оо. Истинными пределами
интегрирования являются нуль и величина максимальной энер-
энергии в зоне проводимости.
В зоне проводимости, где р*2 приблизительно пропорциональ-
пропорционально е~Е/*т, справедливо следующее соотношение:
оо оо
J VEPl2dE = ^KT J ypphdE- (П. 13.11)
о о
Подставляя (П.13.10) и (П.13.11) в (П.13.6), находим
г„. (8.99)
та
Здесь
(8.Ю0)

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Акустические моды 222, 239
Алмаз 229, 250, 370
Аммиака молекула 80
Аналитическая функция 364
Анизотропная среда 60, 97
Атом водорода, радиус боровской ор-
орбиты 37
— — сила осциллятора 82
Базисный вектор 18, 25, 29
Блоха уравнение 66, 117, 185
— функция 309, 334
оольимаиа постоянная 27, 34, 80
— распределение 26, 34, 54, 80, 97,
218
— уравнение 330
Бора магиетон 62
— радиус 37
Бра-вектор 16, 19, 25, 305
Бриллюэиа зоны 226, 307
— эффект 223, 278
— — восприимчивость 287
— — гамильтониан 283
законы сохранения 245
— — коэффициент усиления 288
— — уравнения движения 285
Брэгговское отражение 280, 306, 311,
315
Вектор дисперсии бриллюэновского
рассеяния 248
комптоновского рассеяния 300
— — рамановского рассеяния 249
Винтовая ось 102
Внутризонное движение электронов
318
Внутризонные эффекты 317
Волнового вектора сохранение 242
— — — генерация гармоник 177
непрямые переходы 340
— — — общий случай 244
— при бриллюэновском рассея-
рассеянии 245, 279, 285
— — — — рамаиовском рассеянии
249, 268
прямые переходы 334
Волновое уравнение 15
для парамагнитной среды 69
поляризуемой среды 56
Восприимчивость 76, 364
— анизотропной среды 97
— бриллюэновская 286
— магнитная 118
— при неоднородном уширении линии
88
— рамановская 268
— тензорные свойства 97
Вращательный момент 67, 71
Вращающаяся призма 143
Вторичное квантование 190
Вырождение 44, 94, 134
Галогениды щелочных металлов 250
Гамильтона уравнения 188, 237
Гамильтониан 16
— акустического поля 238
— взаимодействия 19
— внутризонных переходов 319
— гармонического осциллятора 189
— квадруполя 41
— магнитного диполя 40
— межзонных переходов 332
— непрямых переходов 341
— оптической моды 241
— электрического диполя 39
— эффекта Бриллюэна 281
Гармоник генерация 173
Гармонический осциллятор, гамильто-
гамильтониан 189, 194
— — квантование 189
собственные векторы 191
значения 191
Гауссова форма линий 86, 147 165,
168
Гиромагнитное отношение 62
Главная ось 60, 322, 376, 377
Главное значение 90, 364
Гука закон 226, 236, 237
Де Бройля соотношения 246
Диамагнетизм 41
Дирака дельта-фуикция 30
— обозначения 16, 305, 310
Дисперсионные характеристики брил-
люэиовского рассеяния 247
— — определение по рассеянию нейт-
нейтронов 231
— рентгеновских лучей
228
— — рамановского рассеяния 249

380
Предметный указатель
Дисперсия 77
— аномальная 78
Диэлектрическая проницаемость 253,
258
Допплера эффект 281
Допплеровское уширение 86, 147, 155
Дырки 328
Запрещенные переходы 44, 340
Затягивание частоты 112, 156
Захват примесями 315
Зеркальная плоскость 104
Импульс канонический 36
— — свободного электрона 311
частицы 36, 320
— — электрона в кристалле 311
Инверсия населепностей 125, 143, 352
Ионная связь 250, 265
Квадрупольный переход, гамильто-
гамильтониан 40
— — правило сумм 121
— — четность 46
Квантовый выход 346, 354, 357
Керра эффект 292
— ячейка 143, 261
Кет-вектор 16, 19, 25
Кинетические уравнения 114
— — в нормированных переменных
115, 131
— — для лазера 114, 131
— — — — бегущей волны 108, 115
— — — мазера 116
— — — разности населенностей 131,
217
— — — стационарного состояния 133
фотонов 206, 215, 366
Комплексная плоскость 365
Комптоповское рассеяние 221, 300
Кошп теорема 365
Коэффициент заполнения 57, 134, 157
— поглощения 55, 363
для непрямых переходов 344
— — — электрического дипольного
перехода 78
— — при насыщении 93
— — — парамагнитном резонансе
119
— — — фотопроводимости 346
Крамере?! — Кронига соотношения 90
357, 364
Кристалл дпуосньш 103, 104
— изотропный 103, 104
— кубический 103
Кристалл одноосный 103
Кристаллов классы 103
— поле 45
— симметрия 102
— энергетические зоны 304
Кронекера символ 17
Кросс-релаксационные процессы 93,
96
К юн а —Томаса правило 83
Лагранжиан 37
Лазер 124
— бегущей волны 107
— газовый 128
— гелий-неоновый 129, 147, 157
— кинетические уравнения 114, 131
— модуляция добротности 142
— мощность накачки 135
— неодимовый 146, 157
— пол\пповоцпиковый инжекцпопнын
349, 357
— порог генерации 130, 152
— потери 136
— прожигание дырки 14
— рубиновый 127
— с резонатором 114
— четырехуровневый 146
Лапласа преобразования 358
Лпддена — Сакса —Теллера соотно-
соотношение 259
Локальное поле 50, 361
— — в случае анизотропной среды
97
— — поправочный коэффициент 58,
98. 252, 267, 361
Лоренцева форма линии 76, 85, 147,
165, 168
Лоренц — Лоренца соотношение
363
Магнитная восприимчивость 118
Магнитный момент 40
Магнон 187
Мазер 116, 125
Максвелла распределение по скоро-
скоростям 87
— уравнения 53
Матричные диагональные элементы
20, 24, 32
Межзонные эффекты 332
-- — непрямые переходы 340
— — прямые переходы 333
Л'.стястабилыше состояние 127
Многофотонные процессы 160
-- — течение рассеяния 171
— — четность 168

Прсдмегный укаттсль
381
Намагниченность 166
Населенностей разность 51
— — генерация гармоники 174
— — уравнение движения 53
— — штарковское смещение Г/9
Насыщение 90
Необыкновенный луч 104
Непрямые переходы 340
Нормальные моды акустические 232
— — резонатора 56, 188
Нулевая энергия 194, 197, 220
— — флуктуации 220
Обратной решетки вектор 247
Одиофотоиного перехода вероятность
161
Оператор 19
— единичный 20
— коммутатор 25, 30
— плотности 21, 24, 158
— производная по времени 31
— рождения 191
— след 31
— сопряженный 21
— уничтожения 191
— эрмитов 21, 25, 27, 163
Оптические моды 223, 231, 240, 250
Основной домен 310, 317
Остаточные лучи 255
Отражения коэффициент 254
Парамагнитный резонанс 117
Паули принцип запрета 317
— спиновые операторы 62
Периодические граничные условия 199,
213, 232
Плазмой 187
Планка закон 219
— постоянная 16, 188
Плогносгь тока для межзонных перс-
ходов 333
— - -- -- прямых переходов 342
— --- при фотопроводимости 345
-- -■ свободных электронов 327
— -- уравнение Больцмаиа 330
Поглощение 77
— дзухфотошюе 158, 1G6
— многофогонпое 171
— трехфотоппое 159, 169
— ш-фогониое 170
Подвижность 325, 345
Показатель преломления 55, 363
Полное внутреннее отражение 293
Полуклассический анализ 36
Полупроводник 349
Поляризация 50
Поляризуемость 245. 260, 263, 281, 361
Пороговые условия 178
Постоянная распространения 78
Потери в резонаторе 57
Правило отбора 44
Прецессия 68
Примеси акцепторные 349
— донориые 349
Принцип летального равновесия 360
— неопределенности 114, 209
— соответствия 36, 81
Проводимость 55
-- комплексная 327
Просветление 74, 94
Процессы переброса 247
Прямые переходы 332
Разложение по мультиполям 37
Рамана эффект 159, 224, 260
антпетоксово рассеяние 200, 264
— — бензол 270, 276
— — восприимчивость 269
— — вынужденное 261
— — гамильтониан 265
— — пороговые условия 271
— — сечение 274
— —■ стоксово рассеяние 260, 264
— — уравнение движения 266
усиление 269
Резонанс 74
Резонатора время затухания 57 72
197
— затухание энергии 196
— нормальные моды 55. 188
— - плотность мод 211. 213
Рентгеновские лучи 228
Самофокусировка 292
Свободные носители 317
— — время жизни 346
— — поглощение 327
Сила осциллятора 82, 83, 339
Системы многих частиц 41
След 23, 31, 34
Сметанное состояние 22
Спеллиуса закон 293
Собственная функция 18
— вырожденная 44
— кристалла 304
— — непрерывный спектр 29
Сохранение энергии при брнллгоэнов-
счом рассеянии 245
— — — римановском рассеянии 24Э
— — — фоиопном рассеянии 242
Спин 1/2 60, 117, 185
Спиновый пакет 86, 88

382
Предметный указатель
Спин-орбитальное взаимодействие 63
Среднее значение наблюдаемой вели-
величины 21, 25, 30
Стробоскопический метод 107
Тензор 98
Теория возмущений 161
Тепловое равновесие 26, 34, 218, 344
Точечные группы 102
Трехфотонное поглощение 159, 169
Уширение неоднородное 86
— однородное 85, 131, 148
Фабрн — Перо интерферометр 289
Фактор спектроскопического расщеп-
расщепления 62
Ферми — Дирака распределение 343,
350, 378
Флуоресценция 214
Фонон 223, 232
Фотон 187, 194
— я-нмпульс 73
— плотиость 114
Фотопроводимость 345, 357
Фотоупругие коэффициенты 287
Центр симметрии 43, 102
Черного тела излучение 218
Четность 42, 70, 160
Чистое состояние 22, 30
Шредингера уравнение 15
Штарковское смещение 179, 186
Штерна — Герлаха эксперимент 61
Эйнштейна квантовая гипотеза 187
— коэффициенты А н В 218
Экстинкцин коэффициент 257
Экстра-фотон 265, 273, 283, 291
Электрический диполь 39, 44, 45
— дипольный переход 49
— — — восприимчивость 76
— — — вырождение 94
— — — кинетические уравнения 131
— — — коэффициент поглощения 78
матричные элементы 42
— — — насыщение 90
— — — просветление 94
тензорные свойства 98, 100
— — — уравнение движения 58
— — — четность 44
— штарковское смещение 179,
186
Энтропия 34
Эреифеста теорема i5
Эффективная масса 320, 331, 338, 373
Эффективное сеченке поглощения 81
— в классическом случае 82
— — — для многофонониых процес-
процессов 173
при резонансе 82
— — римановского рассеяния 275
Ядерный магнитный резонанс 72

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие к русскому изданию g
Предисловие 7
Обозначения 11
Глава 1. Квантовая теория 15
§ 1. Введение 15
§ 2. Некоторые основные понятия 16
§ 3. Некоторые свойства операторов . ■ т 19
§ 4. Оператор плотности 21
Литература 33
Задачи 33
Глава 2. Дипольные переходы 36
§ 1. Введение 36
§ 2. Гамильтониан атома в электромагнитном поле 36
§ 3. Матричные элементы и понятие четности 42
§ 4. Уравнения движения для электрического дипольного перехода . 47
§ 5. Уравнения движения для магнитной дипольной системы, имею-
имеющей спин '/г 60
Литература 70
Задачи 70
Глава 3. Резонансные процессы 74
§ 1. Введение 74
§ 2. Электрический дипольиый переход в стационарном состоянии;
поглощение, дисперсия и насыщение 75
§ 3. Тензорные свойства восприимчивости 97
§ 4. Нестационарные процессы для электрического дипольиого перехо-
перехода. Система амплитудных уравнений и кинетические уравнения . 106
§ 5. Парамагнитный резонанс 117
Литература 120
Задачи 120
Глава 4. Лазеры 124
§ 1. Введение 124
§ 2. Инверсия населенностей 125
§ 3. Порог генерации 130
§ 4. Выходная мощность в стационарном режиме 136
§ 5. Нестационарные процессы 137
§ 6. Модуляция добротности 142
§ 7. Четырехуровневый лазер 146
§ 8. Гелий-неоиовый газовый лазер 147
Литература . 153
Задачи 154
Глава 5. Нелинейные эффекты в квантованных средах 158
§ 1. Введение . . .- 158
§ 2. Четность и вероятности переходов 161
§ 3. Сечеиия рассеяния для процессов многофотоиного поглощения 171
§ 4. Генерация гармоник 173
§ 5. Штарковское смещение 179

384 Оглавление
§ 6. Вынужденное рамаповское рассеяние 181
Литература . 184
Задачи . 185
Глава 6. Квантование поля , 187
§ 1. Введение ..... 187
§ 2. Квантование полей в резонаторе 188
§ 3. Квантование плоских воли 199
§ 4. Взаимодействие излучения с веществом в случае, когда поле п
среда квантуются 202
Литература ..... 220
Задачи 220
Глава 7. Взаимодействие излучения с фононами 223
§ 1. Введение 223
§ 2. Колебания кристаллической решетки 224
§ 3. Квантование колебаний решетки 232
§ 4. Сохранение энергии и импульса в процессах с участием фонопов 242
§ 5. Инфракрасные свойства оптических фоионов . 250
§ 6. Эффект Рамапа 260
§ 7. Эффект Брнллюэна 278
Литература .... 297
Задачи . 299
Глава 8. Электроны в кристаллах 303
§ 1. Введение 303
§ 2. Электроны в кристаллах в отсутствие внешнего поля .... 303
§ 3. Внутризонные эффекты 317
§ 4. Межзонные эффекты . 332
§ 5. Фотопроводимость ..... 345
§ 6. Полупроводниковые инжекцнонные лазеры 349
Литература "т
Задачи ujo
Приложение 1. Влияние Жг на рц ■jr
Приложение 2. Скорости переходов при равновесии
Приложение 3. Доказательство вещественности произведения I'-aP-g* • • Л'О
Приложение 4. Поправочный коэффициент Лоренца для локального поля 361
Приложение 5. Соотношения Крамерса — Кронига 364
Приложение 6. Усреднение по ориентациям 365
Приложение 7. Вывод кинетического уравнения для фотонов 366
Приложение 8. Вещества, в которых наблюдается вынужденное раманов-
ское рассеяние 369
Приложение 9. Соотношение между поляризуемостью и смещением . .371
Приложение 10. Выражение для d3k через «2i 373
Приложение И. Вычисление интегралов в уравнении (8. 54) 375
Приложение 12. Вывод соотношения (дЕ/дкаJ= Bй2/3/п„) Е 376
Приложение 13. Вывод выражения (8.99) из (8.98) 377
Предметный указатель 379