П.Р. РОДИН
ОСНОВЫ
ФОРМООБРАЗОВАНИЯ
ПОВЕРХНОСТЕЙ
РЕЗАНИЕМ

основы
ФОРМООБРАЗОВАНИЯ
ПОВЕРХНОСТЕЙ
РЕЗАНИЕМ
П. Р. РОДИН
проф. докт. техн, наук
основы
ИООБРАЗОВАНИЯ
ПОВЕРХНОСТЕЙ
РЕЗАНИЕМ
Допущено
Министерством высшего
и среднего специального
образования УССР
в качестве
учебного пособия
для студентов
механических
специальностей вузов
КИЕВ
ГОЛОВНОЕ
ИЗДАТЕЛЬСТВО
ИЗДАТЕЛЬСКОГО
ОБЪЕДИНЕНИЯ
«ВИЩА ШКОЛА»
1977
6П4. 6
Р60
УДК 621.9.02.
Основы формообразования поверхностей резанием. Р о д и н П. Р.
Киев, Издательское объединение «Вища школа», 1977, 192 с.
В книге рассмотрены способы образования и определения исход-
ных инструментальных поверхностей и общие принципы проекти-
рования на их основе высокопроизводительных режущих инстру-
ментов. Большое место отводится анализу условий формообразо-
вания, при соблюдении которых обработка заданной поверхности
детали оказывается возможной. Освещены также вопросы опре-
деления поверхностей деталей, которые могут быть обработаны
заданным инструментом при известной схеме формообразования.
Излагаются методы решения задач, которые возникают при кон-
струировании всевозможных режущих инструментов, предна-
значенных для обработки заданной поверхности детали. Дана
мегодика решения задач нахождения возможных схем фор-
мообразования заданной поверхности детали выбранным ин-
струментом.
Книга предназначена в качестве учебного пособия для студен-
тов механических специальностей вузов. Будет полезна
также для широкого круга инженерно-технических работни-
ков, занимающихся вопросами проектирования и эксплуата-
ции режущих инструментов.
Табл. 1. Ил. 56. Список лит.: 12 назв.
Рецензенты:
Заслуженный деятель науки и техники доктор техиическик наук,
профессор М. Ф. Семко, кандидаты технических наук, доценты
Б. А. Перепелица и 3. И. Комиссарова
Редакция литературы по машиностроению и приборостроению
Зав. редакцией А. О. Добровольский
_31207—073
М211(04)—77
CJ Издательское объединение <Вища школа», 1977
ПРЕДИСЛОВИЕ
Дисциплина «Проектирование металлорежущих инструментов» получила свое
развитие сравнительно недавно. Этот курс впервые в советских высших технических
учебных заведениях начал читаться и разрабатываться в начале 30-х годов, когда
интенсивное развитие в стране получила машиностроительная и, в частности, стан-
коинструментальная промышленность.
В первое время дисциплина «Режущий инструмент» носила в основном рецеп-
турный характер и отражала опыт отдельных специалистов, связанных с проектиро-
ванием и производством режущих инструментов. По мере накопления опыта и его
обобщения, а также в связи с возрастающими требованиями, выдвигаемыми маши-
ностроением, перед инструментальщиками назрела необходимость в решении целого
ряда проблем, касающихся проектирования таких сложных инстру.ментов, как зу-
борезные, работающие методом обкатки, и др.
В связи с этим начинают интенсивно развиваться исследовательские работы
в области режущих инструментов как в специальных научно-исследовательских уч-
реждениях, так и на кафедрах вузов. Все рассматриваемые работы были посвящены
вопросам проектирования какого-либо одного конкретного инструмента.
Эти труды повлияли на развитие дисциплины «Проектирование металлорежу-
щих инструментов», позволили правильно понять конструктивные особенности слож-
ных инструментов, дали возможность конструктору сознательно подходить и гра-
мотно решать вопросы проектирования, производства и эксплуатации конкретных
типов режущих инструментов. Большинство этих работ является ценным фондом
для специалистов в области инструментального производства. Их результаты нашли
отражение в учебных пособиях, написанных советскими учеными для студентов,
специализирующихся в области технологии машиностроения, станков и инстру-
ментов.
Большая роль в развитии курса «Режущие инструменты» как самостоятельной
научной дисциплины принадлежит заслуженному деятелю науки и техники РСФСР,
лауреату Государственной премии СССР, проф. докт. техн, наук И. И. Семенченко,
который с 1930 г. возглавлял кафедру «Инструментальное производство» Московско-
го станкоинструментального института. Капитальными учебными пособиями по кур-
су и ценными руководящими материалами для инженеров-машиностроителей в их
практической работе были труды проф. И. И. Семенченко «Режущий инструмент»
в четырех томах. Ценность их сохраняется до настоящего времени. В первом томе
пособия были рассмотрены напильники, резцы, сверла и развертки (1936 г.), в чет-
вертом — шеверы, инструменты, работающие методом откатки, инструменты для
нарезания конических зубчатых колес (1944 г.). Эти труды проф. И. И. Семенченко
Предисловие
5
не имеют себе равных как по полноте и глубине изложения материала, так и по их
практическому значению.
Большой вклад в формирование курса внес докт. техн, наук, проф. С. С. Четве-
риков, который подготовил учебное пособие «Металлорежущие инструменты», выдер-
жавшее ряд изданий.
В настоящее время по рассматриваемому курсу используются следующие учеб-
ные пособия: И. И. Семенченко, В. М. Матюшин, Г. Н. Сахаров «Проектирование
металлорежущих инструментов» (1962 г.); С. С. Четвериков «Металлорежущие ин-
струменты» (1965 г.); М. М. Палей «Технология производства режущего инструмента»
(1963 г.); П. Р. Родин «Металлорежущие инструменты» (1974 г.) и др.
Однако все эти работы рассматривают вопросы конструирования и производства
отдельных типов режущих инструментов. Между тем в промышленности непрерывно
появляются новые типы инструментов, что вызвано изменением форм деталей машин,
проектированием их новых конструкций, увеличением числа необходимых изделий,
стремлением повысить производительность труда и качество обработки резанием.
В настоящее время в курсе «Проектирование режущего инструмента» уже не-
возможно рассмотреть все типы режущих инструментов, применяемых на практике.
Поэтому актуальной стала проблема разработки общих теоретических основ конст-
руирования режущих инструментов, установления общих законов их проектирова-
ния и расчета. Знание общих закономерностей, общей методики расчета позволяет
инженеру грамотно подходить к решению возникающих на практике задач при
проектировании новых типов инструментов и при совершенствовании извест-
ных, используемых в промышленности. В последнее время исследователи на основа-
нии накопившегося опыта в области расчета и конструирования инструментов и ме-
тодики чтения курса «Проектирование режущего инструмента» интенсивно работают
не над частными задачами, а над общими закономерностями проектирования режу-
щих инструментов.
Академик Академии наук Латвийской ССР, проф., докт. техн, наук Г. И. Гра-
новский является основоположником развития рассматриваемого направления,
в частности кинематики резания металлов. Представляет большой интерес предло-
женная им классификация кинематических схем резания, разработка основ научно-
го метода исследования новых способов обработки, новых конструкций инструмен-
тов и критериев для их выбора.
Фундаментальная работа проф. Г. И. Грановского «Кинематика резания»
(1948 г.) способствовала развитию исследований в области разработки общих прин-
ципов конструирования всевозможных инструментов.
Ряд вопросов из общей теории проектирования режущих инструментов был из-
ложен в монографии проф. В. А. Шишкова «Образование поверхностей резанием по
методу обкатки» (1951 г.). В этой работе описан кинематический метод анализа про-
цессов резания, показаны его преимущества при решении геометрических задач,
возникающих при конструировании и эксплуатации режущих инструментов, таких
как определение профиля инструмента и детали, схем резания и их параметров, по-
грешностей и отклонений в профиле детали и инструмента.
В области разработки общих вопросов профилирования режущих инструмен-
тов известны также оригинальные работы проф. С. С. Петрухина «Основы проектиро-
вания режущей части металлорежущих инструментов» (I960 г.), проф. П. Р. Ро-
дина «Основы теории проектирования режущих инструментов» (1960 г.),
6
Предисловие
проф.Ю. В. Цвиса «Профилирование режущего обкатного инструмента» (1961 г.),
проф. В. С. Люкшина «Теория винтовых поверхностей в проектировании режущих
инструментов» (1968 г.), проф. С. И. Лашнева «Формообразование зубчатых дета-
лей реечными и червячными инструментами» (1971 г.) и др.
Эти работы являются ценным вкладом в разработку общей теории проектирова-
ния режущих инструментов. В них рассмотрены общие методы определения профиля
инструмента, предназначенного для обработки заданной детали, условия формо-
образования обработанных поверхностей, методы образования поверхностей режу-
щей части и др. Ознакомление с этими работами позволяет конструктору-инструмен-
тальщику изыскивать новые способы обработки, проектировать новые высокопроиз-
водительные инструменты и улучшать их существующие конструкции.
Важной задачей при проектировании инструментов является выбор схем обра-
ботки, обеспечение на режущей части оптимальных геометрических параметров, что
существенно влияет на режущую способность инструмента.
Эти вопросы решались многими исследователями. Ценные обобщения были сде-
ланы проф. Г. И. Грановским, проф. И. А. Шевченко «Геометрические параметры
режущей кромки инструментов и сечения среза» (1957 г.), проф. Е. Г. Коноваловым
«Основы новых способов металлообработки» (1961 г.), проф. В. Ф. Бобровым «Влия-
ние угла наклона режущей кромки на процесс резания» (1962 г.), проф. В. Н. Поду-
раевым «Обработка резанием с вибрациями» (1970 г.) и др.
Таким образом, к настоящему времени выполнено значительное количество ис-
следований в области разработки общих принципов и научных основ проектирова-
ния режущих инструментов, накоплен обширный материал, получены важные науч-
ные и практически полезные инженерам-машиностроителям результаты. Поэтому
назрела необходимость разработки соответствующего курса для студентов-машино-
строителей.
Курс «Основы формообразования поверхностей резанием», который на протяже-
нии ряда лет читается автором в Киевском политехническом институте, явился ос-
новой данной книги.
Книга предназначается в качестве учебного пособия для студентов, специали-
зирующихся в области технологии машиностроения, металлорежущих станков и
инструментов. Ее можно использовать как для изучения теоретической части курса,
так и при выполнении студентами исследовательских работ, курсовых и дипломных
проектов.
В книге даны обобщающие материалы по проектированию режущих инструмен-
тов, которые иллюстрируются примерами, новыми конструкциями инструментов.
При их подборе было желание облегчить читателю усвоение основных принципиаль-
ных положений теории проектирования инструментов, знание которых позволит
грамотно решать задачи, возникающие при конструировании всевозможных режу-
щих инструментов.
Книга может быть использована также для повышения квалификации работни-
ков промышленности, занимающихся конструированием режущих инструментов.
ВВЕДЕНИЕ
На XXV съезде Коммунистической партии Советского Союза Генеральный сек-
ретарь ЦК КПСС товарищ Л И Брежнев отметил, что «особая ответственность ло-
жится на отрасли, призванные обеспечить все сферы народного хозяйства современ-
ными машинами и оборудованием, на машиностроение. Уже в десятой пятилетке
общий объем продукции машиностроения намечено увеличить более чем в полтора
раза»* Успешное решение этой задачи требует соответствующего развития произ-
водства металлорежущих станков и инструментов.
Основные направления развития народного хозяйства СССР на 1976—1980
годы, утвержденные XXV съездом КПСС, предусматривают расширение производ-
ства металлообрабатывающего инструмента особенно с применением природных и
синтетических алмазов и других сверхтвердых материалов и сплавов, а также ре-
жущего и вспомогательного инструмента к станкам с числовым программным управ-
лением и к автоматическим линиям, разработку и производство инструмента из ми-
нералокерамических материалов.
Рост производства, проектирование и усовершенствование известных режущих
инструментов требуют знания теоретических основ конструирования, умения решать
возникающие при этом сложные задачи. Одной из основных является задача формо-
образования поверхности детали, т. е. задача проектирования режущего инструмен-
та таким образом, чтобы была обеспечена обработка заданной поверхности детали.
Процесс формирования поверхностей деталей представляет собой процесс по-
следовательного или непрерывного внедрения режущей части инструмента в мате-
риал заготовки и его срезания в виде стружки. В результате срезания стружки про-
исходит образование поверхности детали. Поэтому форма обработанной поверхности
детали будет предопределяться формой и размерами режущих кромок инструмента
и движениями его относительно заготовки.
Рассматриваемый процесс образования обработанной поверхности детали услож-
няется сопутствующими явлениями. К ним относятся деформации детали, инстру-
мента и станка при обработке. Величина деформации зависит от величины усилий
резания. Поэтому такие факторы, как режимы резания, геометрические параметры
режущей части, степень износа инструмента и другие будут влиять и на форму об-
работанной поверхности.
Величины деформаций заготовки, инструмента и элементов (частей) станка за-
висят от жесткости технологической системы, т. е. от формы и размеров заготовки и
детали, конструкции инструмента и станка.
Материалы XXV съезда КПСС. М , Попитиздат, 1976, с. 42.
О Введение
Деформации технологической системы могут вызываться также тепловыми явле-
ниями, которые имеют место при резании металлов. На форму обработанной по-
верхности влияют точность изготовления и установки инструмента на станке, точ-
ность измерений в процессе обработки и настройки на размер и другие факторы.
Таким образом, при формировании обработанной поверхности детали основной
процесс не выступает в чистом виде, а сопровождается всякого рода побочными яв-
лениями, и только в результате их взаимодействия определяется реальная форма
образующейся при обработке поверхности детали. Изучить этот процесс с учетом
всех одновременно действующих факторов и их взаимного влияния затруднительно.
Поэтому в последующем будем анализировать модель процесса.
Считаем, что деталь, инструмент и станок являются абсолютно жесткими; откло-
нений от принятого закона движения инструмента и заготовки в процессе обработки
нет; инструмент и станок в процессе работы не изнашиваются, не имеют места тепло-
вые деформации технологической системы. Подобные допущения могут быть сделаны
при анализе процессов формообразования, разработке и отыскании всевозможных
типов режущих инструментов для обработки заданной детали, при исследовании гео-
метрических параметров режущей части, размеров сечения среза и оценке загрузки
режущей части инструмента и при решении аналогичных задач.
Рассмотренный идеальный процесс формообразования, основанный на указан-
ных допущениях, практически нельзя осуществить, но его анализ оказывает прак-
тике большую помощь. На этой основе возможно создание новых методов обработки,
разработка новых типов режущих инструментов и станков.
Известно, что при обработке деталей инструмент, двигаясь относительно заго-
товки, внедряется своими режущими кромками в ее материал и срезает его в виде
стружки. Для того чтобы при обработке не происходило вырезания нужной части
материала детали, режущие кромки не должны внедряться за пределами заданной
поверхности детали. С другой стороны, для срезания заданного припуска и форми-
рования поверхности детали необходимо, чтобы в процессе обработки режущие кром-
ки непрерывно либо периодически соприкасались с заданной поверхностью. В про-
тивном случае часть материала заготовки, подлежащая срезанию, останется нетро-
нутой и деталь будет иметь большие размеры, чем требуется по чертежу. Поэтому
режущие кромки, которые формируют заданную поверхность, должны располагать-
ся на исходной инструментальной поверхности, касающейся в процессе обработки
поверхности детали. Режущий инструмент можно считать телом, ограниченным ис-
ходной инструментальной поверхностью, которой придана способность срезать со-
прикасающийся с ней в процессе обработки металл.
Отсюда следует, что процесс проектирования всевозможных инструментов, пред-
назначенных для обработки заданной детали, можно разбить на два этапа:
1. Определение исходной инструментальной поверхности, сопряженной с по-
верхностью детали при заданной или выбранной схеме обработки;
2. Превращение тела, ограниченного исходной инструментальной поверхностью,
в работоспособный режущий инструмент.
В соответствии с этим, в книге рассмариваются вопросы определения исходных
<• поверхностей, сопряженных с поверхностью детали, дается классификация схем
формообразования, анализируются условия, при соблюдении которых обеспечивает-
ся обработка заданных деталей в соответствии с чертежом, излагаются вопросы пре-
вращения тела, ограниченного исходной поверхностью, в работоспособный режущий
Введение
9
инструмент, разбираются геометрические параметры режущей части, вопросы за-
точки инструмента и в связи с этим выбора форм поверхностей режущей части, во-
просы рационального распределения загрузки между отдельными участками’ ре-
жущих кромок, а также решаются задачи определения формы и размеров режущей
части инструмента, предназначенного для обработки заданной поверхности детали.
Следует отметить, что задача проектирования инструмента, предназначенного
для обработки заданной детали неоднозначна, так как с поверхностью детали могут
сопрягаться различные исходные поверхности и на их основе конструироваться
всевозможные типы инструментов.
В книге даны способы нахождения возможных инструментов для обработки за-
данной поверхности, что имеет большое практическое значение. Удачное решение
рассматриваемых задач зачастую приводит к новым эффективным способам обработ-
ки, новым высокопроизводительным инструментам и металлорежущим станкам
Практический интерес представляет решение обратной задачи — определение
возможных форм поверхностей деталей, которые могут быть обработаны заданным
инструментом при известной схеме формообразования, т. е. известными движениями
инструмента относительно заготовки в процессе резания
В результате движения инструмента относительно заготовки его режущие
кромки описывают некоторые поверхности резания, огибающая к которым будет
обработанной поверхностью детали. При решении аналогичных задач можно рас-
сматривать не поверхности, описываемые режущими кромками, а каждое отдельное
положение режущей кромки относительно заготовки. Семейство всех режущих кро-
мок в различных их положениях определяет форму обработанной поверхности дета-
ли. С точки зрения процесса формообразования поверхности детали это семейство
кривых можно разбить на отдельные группы, каждая из которых представляет собой
некоторую поверхность. Поэтому вместо реального семейства поверхностей, описы-
ваемых режущими кромками при их движении относительно заготовки, можно
рассматривать произвольное семейство, а поверхность детали как огибающую этого
семейства, что в ряде случаев облегчит решение сложных задач по формообразованию
поверхностей деталей. В этом пособии рассматриваются примеры решения подобных
задач.
Чтобы обработать сложные фасонные поверхности методом копирования, за-
даются поверхностью детали, исходной инструментальной поверхностью и опреде-
ляют движения, которые должен совершить инструмент относительно заготовки.
Методика решения подобных задач основывается на подборе такой схемы обработки,
т. е. таких относительных движений инструмента и заготовки, при которых было бы
обеспечено последовательное касание различных зон поверхности детали исходной
инструментальной поверхностью.
Решение этих вопросов имеет первостепенное значение при разработке техноло-
гических процессов изготовления деталей, ограниченных сложными криволинейны-
ми поверхностями. Подобные детали в современном машиностроении получили зна-
чительное распространение. Исследование возможных схем формообразования
заданных деталей известными инструментами позволяет отыскивать новые способы
обработки сложных фасонных поверхностей деталей.
Глава I
ИСХОДНЫЕ
ИНСТРУМЕНТАЛЬНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
И СПОСОБЫ ИХ ОБРАЗОВАНИЯ
§ 1.	ПОНЯТИЕ ОБ ИСХОДНОЙ
ИНСТРУМЕНТАЛЬНОЙ ПОВЕРХНОСТИ
В процессе обработки металлов резанием режущий инструмент совершает опре-
деленные движения относительно обрабатываемой заготовки. В результате этого
движения инструмент режущими кромками срезает определенные слои металла в
виде стружки. Так происходит образование заданной поверхности детали. Отдель-
ные участки режущих кромок инструмента могут в процессе обработки соприкасать-
ся с поверхностью детали и формировать ее отдельные зоны. Это профилирующие
участки режущих кромок инструмента.
Однако на режущих кромках инструмента могут быть такие участки, которые,
срезая часть припуска, в процессе обработки никогда не соприкасаются с поверх-
ностью детали и не формируют ее. Это непрофилирующие участки режущих кромок.
Например, токарные проходные резцы имеют главную и вспомогательную режущую
кромку и вершину, которая является местом сопряжения главной режущей кромки
со вспомогательной. Вершинная режущая кромка резца при обработке формирует
поверхность детали. Она соответствует профилирующему участку режущей кромки.
Основные участки главной режущей кромки резца, срезая определенные зоны мате-
риала заготовки, не соприкасаются с поверхностью детали и не формируют ее. Это
непрофилирующие участки режущей кромки резца. Для формирования заданной по-
верхности детали необходимо, чтобы профилирующие участки режущих кромок
инструмента располагались на поверхности, которая в процессе обработки касается
поверхности детали. Эту поверхность назовем исходной инструментальной поверх-
ностью И.
Анализируя процесс формирования поверхности детали, необходимо рас-
смотреть движение поверхности детали относительно инструмента при обработке.
В результате этого движения поверхность детали занимает ряд последовательных
положений. Поверхность, касательная к рассматриваемым последовательным поло-
жениям поверхности детали Д, будет исходной инструментальной поверхностью.
В процессе обработки поверхность детали Д может совершать относительно инстру-
мента сложное движение, которое можно разложить на ряд составляющих движений.
Некоторые из этих движений могут приводить поверхность детали Д к скольжению
«самой по себе». При определении огибающей подобные движения можно не учиты-
вать, так как они не изменяют положения поверхности детали относительно инстру-
мента.
Рассмотрим процесс фрезерования плоскости цилиндрической фрезой. При фре-
зеровании инструмент вращается вокруг своей оси, а заготовка движется поступа-
тельно. Скорость v поступательного движения подачи заготовки обычно направлена
перпендикулярно к оси фрезы. Обработанная плоскость Д детали, как правило,
Понятие об исходной
инструментальной поверхности
располагается параллельно оси инструмента. Таким образом, движение плоскости
Д детали относительно инструмента складывается из поступательного движения
подачи со скоростью v и вращения вокруг оси фрезы. В результате поступательного
движения подачи плоскость Д детали скользит «сама по себе». Это движение при ана-
лизе рассматриваемых последовательных положений плоскости Д детали можно не
учитывать. Оно не влияет на характер взаимного расположения плоскости Д и ин-
струмента. Поэтому необходимо рассмотреть только вращение вокруг оси инструмен-
та плоскости Д, которая занимает ряд последовательных положений.
Поверхность, касательная к рассматриваемым последовательным положениям,
будет цилиндрической поверхностью. Она является исходной инструментальной по-
верхностью цилиндрической фрезы. Фрезу можно считать круглым цилиндром, на
периферии которого образованы режущие зубья. Режущие кромки зубьев располо-
жены на исходной инструментальной поверхности. Эта поверхность цилиндрической
фрезы соприкасается с плоскостью детали вдоль линии. Может иметь место такой
случай, когда исходная инструментальная поверхность будет совпадать с поверх-
ностью детали. Это наблюдается тогда, когда относительное движение поверхности
Д детали и инструмента сводится к скольжению поверхности детали «самой по себе».
Примером подобных инструментов могут служить метчики, предназначенные для
обработки резьбы. Исходная инструментальная поверхность у метчиков является
поверхностью резьбы. Поэтому метчик можно рассматривать как винт, сопряженный
с обрабатываемой гайкой, который превращен в режущий инструмент путем проре-
зания стружечных канавок и затылования зубьев.
В процессе нарезания резьбы метчиком поверхность детали, являющаяся вин-
товой поверхностью резьбы гайки, скользит по совпадающей исходной винтовой по-
верхности резьбы сопряженного винта, что соответствует скольжению поверхности
детали «самой по себе».
На практике наблюдаются такие случаи, когда исходная инструментальная
поверхность соприкасается с поверхностью детали в одной или в нескольких точках.
Например обычные червячные фрезы предназначены для обработки цилиндрических
зубчатых колес, шлицевых валов и других аналогичных деталей.
Таким образом, деталь и тело, ограниченное исходной инструментальной поверх-
ностью, можно рассматривать как своеобразный механизм из двух сопряженных
звеньев, все время касающихся друг друга в процессе обработки. Профилирующие
участки режущих кромок инструмента располагаются на исходной инструменталь-
ной поверхности, а непрофилирующие — в пределах тела, сопряженного с деталью
и ограниченного исходной инструментальной поверхностью. При точечном контакте
поверхности детали Д и исходной инструментальной поверхности И непрофилирую-
щие участки режущих кромок могут также располагаться на исходной инструмен-
тальной поверхности.
§ 2.	СПОСОБЫ ОБРАЗОВАНИЯ ИСХОДНЫХ
ИНСТРУМЕНТАЛЬНЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ
Исходную инструментальную поверхность Иу сопряженную с поверхностью де-
тали Д, можно образовать различными способами.
Первый способ заключается в определении поверхности И как огибающей по-
верхности детали Д при движении детали относительно инструмента (Д!И). Извест-
Исходные инструментальные поверхности
и способы их образования
ными считаются поверхность детали Д и схема обра-
ботки, т. е. движения (Д!И), совершаемые в процессе
обработки инструментом и заготовкой.
При образовании исходной инструментальной
поверхности И как огибающей поверхности детали Д
наблюдается линейный контакт, т. е. сопряженные по-
верхности И и Д касаются друг друга вдоль линии Е,
называемой характеристикой.
Превращая такую исходную поверхность в ин-
струмент, в некоторых случаях возможно принять за
режущую кромку характеристику Е или взять для
многозубого инструмента совокупность характеристик,
найденных в различные моменты времени. При про-
ектировании таких инструментов отпадает необходи-
мость в определении всей исходной инструменталь-
ной поверхности, что упрощает решение практичес-
ких задач.
Рассмотрим пример обработки круглой цилин-
дрической поверхности детали Д чашечным резцом по
методу обкатки (рис. 1, а). Точение по методу обкатки
представляет собой быстрое вращение заготовки во-
круг ее оси, являющееся главным движением резания.
Чашечному резцу сообщается сложное движение по-
дачи, состоящее из вращения вокруг своей оси и одно-
временного перемещения вдоль оси детали. Такое
движение резца сводится к обкатке круглого цилин-
дра, связанного с инструментом, ось которого совпа-
дает с осью резца по плоскости. Ось вращения резца
может занимать различное положение относительно
оси детали. Наиболее часто ось резца и ось детали
являются взаимно перпендикулярными прямыми.
Этот метод обработки может быть осуществлен на мо-
Рис. 1. Способы образования ис-
ходных инструментальных по-
верхностей
дернизированном токарном станке.
Чтобы определить исходную инструментальную поверхность, проанализиру-
ем движение цилиндрической поверхности детали Д относительно инструмента.
Сообщим системе координат, связанной с деталью, движения, обратные движениям,
совершаемым инструментом. Тогда инструмент будет неподвижным, а поверхность
детали, вращаясь вокруг своей оси, будет вращаться также вокруг оси инструмента.
В результате этих движений поверхность детали занимает ряд последовательных
положений, огибающая к которым будет исходной инструментальной поверхностью.
Но вращение детали вокруг своей оси приводит к перемещению поверхности детали
«самой по себе». Поскольку это движение не приводит к изменению положения по-
верхности детали, то при определении огибающей им можно пренебречь.
Аналогичная картина наблюдается и при поступательном движении поверхнос-
ти детали. Чтобы определить исходную инструментальную поверхность, необходи-
мо найти огибающую при вращении поверхности детали Д вокруг оси инструмента.
Это будет поверхность тора И. Исходная инструментальная поверхность И касается
Способы образования исходных
инструментальных поверхностей
13
поверхности детали Д по характеристике Е, которая является дугой окружности.
Если создать, например, шлифовальный круг в форме тора, то при рассматриваемой
схеме обработки будет прошлифована поверхность детали Д.
Второй способ образования исходных инструментальных поверхностей включа-
ет нахождение вспомогательной производящей поверхности Т, а затем исходной по-
верхности И. Считаем, что задана схема обработки, т. е. движения поверхности де-
тали Д и инструмента. Выбираем систему координат XYZ и ей сообщаем некоторое
движение. Рассматривая движение поверхности детали относительно системы XYZ,
определяем вспомогательную производящую поверхность Т как огибающую поверх-
ности детали Д. В любой момент времени поверхность детали Д и вспомогательная
поверхность Т будут касаться друг друга по соответствующей характеристике Ег.
Находим исходную инструментальную поверхность И как огибающую вспомогатель-
ной производящей поверхности Т, двигающейся вместе с системой XYZ относитель-
но инструмента.
Вспомогательная поверхность Т и исходная инструментальная поверхность И
могут касаться друг друга по характеристике Е2. Тогда линии Ег и Е2, расположен-
ные на одной поверхности Т, пересекут друг друга в точке К. В этой точке наблю-
дается контакт трех рассматриваемых поверхностей Я, Т и Д. Поверхность детали
Д и исходная поверхность И будут иметь точечный контакт. В частном случае линии
Ег и Е2 могут совпадать друг с другом. Тогда в процессе обработки наблюдается ли-
нейный контакт поверхности детали Д и исходной инструментальной поверхности И.
Наконец, может иметь место такое положение, когда линии Ег и Е2 не будут
пересекать друг друга. Тогда в процессе обработки контакт исходной инструменталь-
ной поверхности И и поверхности детали Д не будет обеспечен и нельзя будет выбрать
подобную исходную поверхность при проектировании инструмента.
Так, анализируя обработку круглого цилиндра чашечным резцом, сообщаем
системе XYZ поступательное движение со скоростью и, параллельной оси инструмен-
та (рис. 1, б). В результате поступательного движения поверхности детали Д со ско-
ростью -ив системе XYZ будет образована вспомогательная производящая поверх-
ность. Это будет плоскость Т, идущая параллельно оси инструмента, которая по ха-
рактеристике Ег касается поверхности детали Д. Определяя плоскость Т, движение
вращения поверхности детали Д вокруг своей оси не рассматриваем, так как оно
сводится к скольжению поверхности детали «самой по себе». Движение плоскости Т
вместе с системой XYZ относительно инструмента будет складываться из вращения
вокруг оси инструмента и поступательного движения, которое сводится к скольже-
нию плоскости Т «самой по себе». Поэтому исходная инструментальная поверхность
И как огибающая плоскости Т при ее вращении вокруг параллельной оси инструмен-
та является круглым цилиндром. Соприкосновение исходного цилиндра И и пло-
скости Т будет наблюдаться по характеристике Е2. Линии Ег и Е2, расположенные
на одной плоскости Т, пересекаются в точке К, в которой поверхности Ди И касают-
ся друг друга.
Если изготовить шлифовальный круг в форме исходного цилиндра Я, то при
рассматриваемой схеме будет обработана заданная поверхность детали Д.
Скорость v прямолинейно-посту пательного движения системы XYZ можно на-
править под определенным углом к оси инструмента. Тогда вспомогательная произ-
водящая плоскость Т не будет параллельна оси инструмента; исходная инструмен-
тальная поверхность будет конической поверхностью И.
Исходные инструментальные поверхности
и способы их образования
При образовании исходной инструментальной поверхности И системе XYZ мож-
но сообщать разнообразные движения. Считаем, что система XYZ вращается вокруг
оси, параллельной оси детали и проходящей через ось инструмента (рис. 1, в). Тог-
да вспомогательной поверхностью будет поверхность круглого цилиндра Т2. Исход-
ной инструментальной поверхностью будет поверхность шара И, которая в процес-
се обработки в точке К коснется поверхности детали Д.
Отметим, что все исходные инструментальные поверхности с точечным контак-
том при определенной схеме обработки касаются исходной инструментальной поверх-
ности, образованной по первому способу и имеющей линейный контакт с поверх-
ностью детали.
Третий способ образования исходных инструментальных поверхностей заклю-
чается в нахождении по первому способу исходной поверхности с линейным контак-
том как огибающей поверхности детали Д при движении ее относительно инструмен-
та. Затем поверхности сообщают некоторое движение и определяют огибающую
поверхность, которую принимают за исходную инструментальную поверхность И2.
Поверхности и Д касаются друг друга по характеристике Еъ а поверхности
И2 и — по Е2. Линии Ег и Е2, расположенные на одной поверхности Иъ пересе-
кутся в точке Л, в которой произойдет контакт всех трех поверхностей Д, И1 и И2.
В этом случае наблюдается точечный контакт поверхности детали Д и исходной
инструментальной поверхности И2. Если же линии Ег и Е2 совпадут, то наблюдается
линейный контакт рассматриваемых поверхностей Д и И2.
Проанализируем схему обработки чашечным резцом круглого цилиндра. Сооб-
щим поверхности тора поступательное движение со скоростью v. Исходной ин-
струментальной поверхностью будет сложная цилиндрическая поверхность И2
(рис. 1, г), касающаяся поверхностей по линии Е1 и Д в точке Л. В неподвижной
системе координат, не связанной ни с инструментом, ни с заготовкой, точка контакта
К поверхностей Д и И2 будет перемещаться. В то же время при образовании исход-
ной инструментальной поверхности по второму способу точка контакта К исходной
поверхности и поверхности детали будет занимать неподвижное положение.
Если создать шлифовальный круг в форме цилиндрического тела, ограничен-
ного поверхностью И2, то при обработке будет прошлифована поверхность детали.
Образование исходной поверхности по второму способу, когда системе XYZ
сообщается поступательное движение со скоростью у, идущей под углом к оси ин-
струмента, приводит к конической поверхности.
Если исходной поверхности сообщить поступательное движение со скоростью
V, параллельной оси инструмента, то исходная поверхность И2, образованная по
третьему способу, представляет круглую цилиндрическую поверхность, совпадаю-
щую с исходной поверхностью, образованной по второму способу.
Таким образом, второй и третий способы образования исходных инструменталь-
ных поверхностей приводят как к различным, так и к тождественным результатам и
соответственно к различным и аналогичным инструментам. Третий способ образова-
ния исходной поверхности влияет на трудоемкость решения рассматриваемой зада-
чи, и его выбор в значительной степени зависит от интуиции конструктора.
По известной схеме обработки можно образовать различные типы исходных ин-
струментальных поверхностей и на их основе спроектировать разнообразные ин-
струменты для обработки заданной поверхности детали. Все исходные поверхности
Способы образования исходных
инструментальных поверхностей
с точечным контактом, образованные по второму и третьему способам, касаются од-
ной поверхности Иг, имеющей линейный контакт с поверхностью детали Д. Поэтому
совокупность исходных инструментальных поверхностей с точечным контактом мо-
жет быть образована как совокупность поверхностей, касательных к исходной ин-
струментальной поверхности которая имеет линейный контакт с поверхностью
детали.
При точечном контакте сопряженных поверхностей в течение конечного отрез-
ка времени нельзя образовать теоретически точную поверхность детали Д движением
одной точки контакта. Практически всегда в оформлении поверхности детали Д
участвует некоторая область сопряженной исходной инструментальной поверхнос-
ти И, расположенная вблизи точки контакта. В силу этого на обработанной поверх-
ности детали Д наблюдаются соответствующие неровности. Величины этих неров-
ностей зависят от характера и скоростей движений, совершаемых заготовкой и ин-
струментом в процессе обработки.
При линейном касании исходной инструментальной поверхности И, сопряжен-
ной с поверхностью детали Д, можно образовать теоретически точно обработанную
поверхность Д движением соответствующей характеристики — линии контакта
рассматриваемых поверхностей И и Д. Однако практически в этом случае зачастую
образуются неровности на обработанной поверхности детали Д.
Такие неровности наблюдаются, например, при фрезеровании. Это объясняется
тем, что при проектировании такого инструмента как фреза создается неполностью
исходная инструментальная поверхность И. Она образуется как совокупность
ограниченного числа режущих кромок, вращающихся вокруг оси фрезы. При этом
обработанная поверхность детали создается не непрерывным движением характе-
ристики, а в результате ограниченного числа резов и соответствующего дискрет-
ного перемещения характеристики. Благодаря этому на поверхности детали Д соз-
даются соответствующие неровности Поэтому с точки зрения точного формирова-
ния поверхности детали Д и возникновения на ней неровностей касание сопряжен-
ных поверхностей И и Д линейное и точечное не имеют принципиальных преимуществ
друг по отношению к другу.
Определение исходных инструментальных поверхностей, образованных рас-
смотренными способами, сводится к нахождению огибающих поверхностей.
Во многих случаях в инструментальном производстве определение исходных
поверхностей И способом плоских сечений приводит к задачам на плоскости. По-
этому теория огибающих поверхностей и плоских кривых занимает большое место
в теории проектирования режущих инструментов.
Глава II
ОГИБАЮЩАЯ СЕМЕЙСТВА ПЛОСКИХ
КРИВЫХ
§ 3.	ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ
Используемые в настоящее время в инструментальном производстве при профи-
лировании режущих инструментов методы определения и исследования огибающих
семейства плоских кривых, несмотря на их разнообразие, могут быть сведены к трем
основным методам: графическому, аналитическому и графоаналитическому.
Графический метод является наиболее простым и наглядным. Он включает ряд
способов и приемов, которыми пользуются различные авторы. Однако все они наи-
более часто сводятся к вычерчиванию семейства плоских кривых и проведению на
чертеже огибающей кривой. Значительная часть графических способов основывается
на найденных свойствах огибающих кривых, что упрощает решение определенного
круга задач.
Например, необходимо определить огибающую к семейству окружностей, кото-
рое образуется при вращении заданной окружности радиуса R вокруг точки р
(рис. 2, а). Чтобы вычертить огибающую, изобразим последовательные положения
окружности радиуса R (рис. 2, б). Как видно, огибающая к ним будет также окруж-
ностью радиуса /?2. Однако в рассматриваемом случае семейство окружностей R мож-
но было бы не изображать, так как при вращении произвольной линии L вокруг точ-
ки р огибающей будет окружность, центр которой совпадает с точкой р. Поэтому
окружность R2 проводят как касательную к окружности R из центра р. Аналогичный
прием широко используется при графическом профилировании фасонных фрез, пред-
назначенных для обработки винтовых поверхностей.
К недостаткам графических способов определения огибающих следует отнести
их малую точность, которая не удовлетворяет практике. Однако графические методы
не утратили своего значения как контрольные, с помощью которых относительно
легко обнаруживаются ошибки, возникающие при аналитических методах расчета
огибающих кривых. В силу наглядности графические построения позволяют в опре-
деленных случаях находить такие новые закономерности и свойства, которые анали-
тически трудно обнаружить.
Аналитический метод определения огибающих кривых является наиболее точ-
ным и в настоящее время широко распространен. В инструментальном производстве
используется как классический метод определения
огибающих кривых, рассматриваемый обычно в кур-
сах «Дифференциальная геометрия», так и кинемати-
ческий метод.
Графоаналитический метод определения огибаю-
щих кривых занимает промежуточное положение
между графическим и аналитическим методами. Он
позволяет довольно часто с достаточной для практики
точностью определять огибающие профили.
Рис. 2. Огибающие семейств
плоских кривых
Общие
сведения
17
§ 4.	АНАЛИТИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ
ОГИБАЮЩЕЙ СЕМЕЙСТВА ПЛОСКИХ КРИВЫХ
Семейство кривых на плоскости, зависящих от параметра С, определяется урав-
нением
F (х, yt С) = 0.
Кривая называется огибающей семейства, если она в каждой своей точке каса-
ется хотя бы одной кривой семейства и каждым своим отрезком касается бесконечно-
го множества кривых семейства.
Огибающая рассматриваемого семейства задается уравнениями:
F (х, у, С) = 0;
dF (х, у, С) _ п
дС
Например, уравнение у2 — (х + Q3 = 0 представляет собой семейство полу-
кубических парабол. Огибающую рассматриваемого семейства находятйз уравнений
у2 — (х + С)3 = 0;
-|^ = -3(х + С) =0.
Исключив С из системы уравнений, получим у* = 0. Таким образом, ось ОХ
является искомой огибающей семейства кривых.
Следует учесть, что система
F (х, у, С) = 0;
 dF(x, у, С) Q
дС
определяет геометрическое место точек, в которых пересекаются бесконечно близ-
кие кривые семейства. Поэтому может иметь место случай, когда особые точки кри-
вых, принадлежащих семейству, будут иметь кромочное соприкосновение с кривой,
определяемой рассматриваемой системой.
Так, семейство кривых дается уравнением у3— (х — С)2 = 0.
Определим огибающую рассматриваемого семейства
"Че"'" = - 2 (%—С) = о-,
г/3-(х-С)2=0
Исключив С из полученной системы уравнений, получим у3 — 0.
Последнее уравнение выражает ось ОХ. Однако в рассматриваемом случае
(рис. 3, а) наблюдается кромочное соприкосновение оси ОХ и семейства кривых
у3 - (х - С)2 = 0.
Семейство кривых может быть задано параметрическими уравнениями вида:
х = /1 (I, С), у = f2 (/, С).
1 Л Огибающая семейства
плоских кривых
Тогда огибающая кривая определится системой
следующих уравнений:
= Q;
Ь = Ш Q;
= 0.
Например, найдем огибающую семейства кривых, за-
данного следующими параметрическими уравнениями:
= cos а + /;
[у — sin а,
где а — переменный параметр, определяющий поло-
жение точки на кривой;
I — переменный параметр, характеризующий
положение кривой.
Частные производные в рассматриваемом случае:
дх	. дх , ду	ду ~
-д— = — sin а; -т— = 1;	= cos а; = 0.
да	д1 ’ да	’ д1
Запишем определитель
— sin а	cos а
1	0
Раскрыв его, получим cos а = 0 а = ± 90°.
Следовательно, огибающая будет определяться системой уравнений:
' х = cos а + /;
у = sin а;
а = + 90°.
Рис. 3. Определение точки кон-
такта сопряженных профилей
-0.
Отсюда уравнения огибающей:
х = Z; у = ± 1,
т. е. огибающей будет прямая, идущая параллельно оси х и отстоящая от нее на рас-
стоянии, равном 1 (рис. 3, б).
Пример определения огибающей для семейства кривых, уравнения которого в
параметрической форме имеют вид:
х = 2R Ц- R cos а; у = R sin а.
Частные производные от х и у по параметрам а и R:
дх п .
—— = — R sin а;
да
ду л	дх о ।	ду .
-^ = /?cosa; ^=2 + cosa; = sin а.
Аналитическое определение огибающей -g Q
семейства плоских кривых
Определитель, составленный нз частных производных, записывается так:
— У? sin a В cos а _
2 + cos а sin а
Раскрыв определитель, получим — R (1 -2 cos а) = 0. Отсюда cos а ==---~ .
Тогда sin а =	• •
Подставив значения cos а и sin а в уравнение семейства кривых и исключив па-
раметр R, получим уравнение огибающей у = х.
I з
Таким образом, огибающей буде1 прямая линия, идущая под углом ±30° к оси X.
В рассматриваемом примере семейство кривых является семейством окружностей,
центры которых располагаются на оси X (рис. 3, в). Это семейство образуется при
движении окружности вдоль оси X, радиус которой увеличивается пропорционально
расстоянию от начала координат до центра двигающейся окружности.
§ 5. КИНЕМАТИЧЕСКИЙ МЕТОД ОПРЕДЕЛЕНИЯ
ОГИБАЮЩЕЙ СЕМЕЙСТВА КРИВЫХ
Частным случаем образования семейства кривых является движение одной не-
изменной кривой S, при котором она занимает ряд последовательных положений.
В этом случае можно использовать кинематический метод определения огибающей.
Рассмотрим шлифование круглого цилиндра цилиндрическим кругом (рис. 4, а).
Проведем сечение, перпендикулярное к осям круга и детали. В этом сечении будем
наблюдать процесс формирования поверхности детали. Относительное движение кру-
га и заготовки сводится к его вращению вокруг оси детали. Поэтому в любой точке
М профиля круга скорость относительного движения v перпендикулярна к прямой
ОГМ, соединяющей ось детали с исследуемой точкой. Нормаль N к профилю круга
пойдет по радиусу, соединяющему центр круга О2 с точкой М. В произвольной точке
М профиля круга нормаль N не перпендикулярна скорости v.
Разложим скорость и на направление нормали и касательной к профилю круга:
V = ип 4- vx.
В результате движения со скоростью их в рассматриваемый момент времени про-
филь круга в зоне точки М будет скользить «сам по себе». Поэтому это движение при
определении огибающей, т. е. при анализе процесса формирования поверхности дета-
ли, можно не учитывать. В результате же движения со скоростью vn окрестность
точки М профиля круга будет внедряться в тело заготовки и срезать ее материал.
В точке А профиля круга нормаль N также не перпендикулярна к скорости и.
Движение рассматриваемой зоны профиля круга со скоростью vn будет переме-
щать окрестность точки А внутрь круга. В этой зоне наблюдается отход профиля
круга от заготовки. Поэтому эта зона не будет срезать материала заготовки.
В точке В профиля круга нормаль N перпендикулярна к скорости v относительно
движения. Составляющая вектора скорости vrl = 0, т. е. окрестность профиля круга
пл Огибающая семейства
пюских кривых
в точке В не будет внедряться ни в материал заго-
товки, ни в тело круга. Точка В будет точкой кон-
такта профиля круга и профиля поверхности детали.
Подобным образом при движении произвольного про-
филя в окрестности точки 1 участок профиля вреза-
ется в тело заготовки (рис. 4, б). В окрестности точки
3 наблюдается отход профиля от заготовки. В точке 2
вектор скорости относительного движения идет по ка-
сательной к профилю. Точка 2 будет точкой контакта
профилей и будет формировать на заготовке сопря-
женную с ней точку огибающей кривой.
Условие контакта профилей, т. е. условие пер-
пендикулярности векторов 2V и v, записывается так:
Nv = 0.
Это условие позволяет определить точки контакта
сопряженных профилей в различные моменты вре-
мени. Совокупность точек контакта в системе коор-
динат, связанной с заготовкой, будет профилем де-
тали, который является огибающей к последователь-
ным положениям движущегося профиля инструмента.
Совокупность же точек контакта в системе, связанной
с инструментом, дает профиль инструмента.
Произвольное движение профиля в плоскости
можно рассматривать как последовательность мгно-
венных вращений вокруг соответствующих полюсов.
Условие контакта в случае мгновенного вращатель-
ного движения сводится к известному свойству об-
щих нормалей. При мгновенном вращении профиля
Рис. 4. Кинематический метод
определения огибающей
вокруг точки р скорость
v любой точки М профиля будет перпендикулярна к радиусу, соединяющему рассма-
триваемую точку М профиля с точкой р. Чтобы скоростё*и была перпендикулярна к
нормали N профиля, нормаль W должна совпадать с радиусом рМ. Отсюда следует,
что при мгновенном вращательном движении в точках контакта сопряженных профи-
лей общая нормаль проходит через центр (полюс) вращения р.
В частном случае движение профиля в плоскости может быть поступательным
со скоростью v. Тогда точки контакта на профиле определяются как такие, в которых
касательная к профилю параллельна скорости v.
Рассмотрим пример определения огибающей семейства кривых, которое обра-
зуется при прямолинейно-поступательном движении параболы у2 = 2х со скоростью
у, направленной под углом 45° к оси X. В начальный момент времени парабола
у2 = 2х будет соприкасаться с огибающей в точке Л7! (х0, у0). Касательная к параболе
в этой точке пойдет параллельно скорости v, т. е. под углом 45° к оси X. Угол наклона
касательной к параболе в точке М определяется по соотношению
Уо J 2х0
Кинематический метод определения О-|
огибающей семейства кривых
Отсюда координаты точки М: у0 = 1, х0 = 0,5.
Двигаясь поступательно со скоростью и вместе с парабо юй, точка М будет опи-
сывать огибающую, т. е. прямую, проходящую через точку М под углбм 45° к оси X.
Ее уравнение записывается так:
у = х -4- 0,5.
Рассмотрим второй пример определения кинематическим методом огибающей
семейства кривых, которое образуется при прямолинейно-поступательном движении
окружности (рис. 3, б). Считаем, что окружность, радиус которой равен единице,
совершает прямолинейно-поступательное движение. Вектор скорости v этого движе-
ния параллелен оси X. Известно, что нормаль N в любой точке окружности идет по
ее радиусу. Определим в каких точках окружности вектор нормали N перпендику-
лярен к вектору скорости ц, т. е. какие точки рассматриваемой окружности будут
точками контакта. Очевидно точками контакта будут те точки окружности, радиусы
которых параллельны оси Y и перпендикулярны к вектору скорости v. В этих точ-
ках координата у = ± 1, т. е. огибающей будут две прямые, идущие параллельно
оси X на расстоянии, равном единице. Этот же результат был получен ранее анали-
тическим методом.
В общем случае решение задачи определения огибающей семейства кривых,
образованного движением заданной кривой, кинематическим методом можно вести
в следующей последовательности:
выбирается система координат XxYv связанная с заданной кривой, которая
вместе с ней движется в системе X2Y2. В результате в системе Х2У2 создается се-
мейство кривых, огибающую которого необходимо определить;
определяются точки контакта на заданной кривой L в системе XxYx в произ-
вольно выбранный момент времени по уравнению контакта N • v = 0,
в соответствии с принятым законом движения системы Х^х в системе X2Y2
записывают формулы перехода от системы XxYx к системе X2Y2,
зная точки контакта на кривой L в различные моменты времени в системе Х\У1,
по формулам преобразования координат рассчитывают координаты точек контакта
в системе X2Y2, совокупность которых представляет искомый огибающий профиль.
При сложном движении системы XxYx в системе Х% Yz для решения рассматри-
ваемых задач вводят промежуточную систему координат X0YQ и в ней определяют
точки контакта в различные моменты времени. Совокупность точек контакта в систе-
ме X0Yq называют линией зацепления или линией профилирования. Удачный выбор
системы координат Х0У0 в ряде упрощает определение огибающих кривых и делает
решение более наглядным.
Находя профиль режущего инструмента И по известному профилю детали Д,
систему Х1У] обычно связывают с профилем детали Д, а систему X2Y2 с профилем
инструмента И. В процессе обработки, как правило, на станке осуществляется опре-
деленное движение как инструмента, так и заготовки и связанных с ними систем
координат XxYx и X2Y2. В этом случае систему координат Х0У0 выбирают как не-
подвижную, т. е. связанную со станиной станка.
Глава III
ОГИБАЮЩИЕ СЕМЕЙСТВА ПОВЕРХНОСТЕЙ
§ 6. АНАЛИТИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ
ОГИБАЮЩЕЙ СЕМЕЙСТВА ПОВЕРХНОСТЕЙ
Семейство поверхностей, зависящее от одного параметра С, может быть задано
уравнением в неявной форме вида
F (х, у, z, С) = 0.
Огибающая рассматриваемого семейства, если она существует, определяется
системой уравнений:
F (х, у, z, С) = 0;
dF(x, у, z, С) __ п
дС	’
При конкретном значении С эти уравнения определяют характеристику, т. е.
линию контакта сопряженных поверхностей. При переменном С система определяет
геометрическое место характеристик, которое будет огибающей поверхностью.
Так, найдем огибающую семейства поверхностей, заданного уравнением
у cos а — z sin а — / (х) = 0.
Если принять а = 0, то получим поверхность у = f (х). Это уравнение цилинд-
рической фасонной поверхности, образующие которой идут параллельно оси Z.
Если сообщить этой поверхности вращение вокруг оси X, то получим указанное се-
мейство поверхностей.
Рассматриваемая задача соответствует определению исходной инструментальной
поверхности при фрезеровании фасонной цилиндрической поверхности у = f (х).
Известно, что в процессе фрезерования инструмент быстро вращается вокруг своей
оси, а цилиндрическая поверхность детали совершает прямолинейно-поступатель-
ное движение подачи. Определяя исходную поверхность, анализируют движение по-
верхности детали относительно инструмента. Оно будет складываться из поступа-
тельного движения подачи и вращения поверхности детали вокруг оси инструмента.
Однако движение подачи приводит к скольжению поверхности детали «самой по се-
бе». Поэтому его можно не учитывать. Таким образом, задача сводится к определе-
нию огибающей поверхности, которая создается при вращении вокруг оси инстру-
мента цилиндрической поверхности детали.
Искомая огибающая поверхность определится системой уравнений:
у cos а — z sin а — f (х) = 0;
 dF	.	А
= — у sm а — z cos а = 0.
да J
Аналитическое определение QO
огибающей семейства поверхностей
Исключим из этих уравнений параметр а. Для этого в первом уравнении величину
/ (х) перенесем в правую часть, а затем оба уравнения возведем в квадрат и сложим.
Тогда
y2 + z2 = [f(xtf.
Это уравнение поверхности вращения, профиль которой при z — 0 будет у = f (х),
Таким образом, при вращении цилиндрической поверхности Д вокруг оси.
перпендикулярной к ее образующей, создается семейство поверхностей. Огибающая
к этому семейству будет поверхностью вращения, профиль которой совпадает с про-
филем поверхности Д.
Одно параметрическое семейство поверхностей может быть задано параметриче-
скими уравнениями вида:
х = Д (и, v, С); y = f2(u, у, Q; 2 = /3(w, и, С).
Огибающая рассматриваемого семейства определяется системой уравнений:
х = А («, у, С); у	= f2 (и,	и, С); z = /3 (w, v, С);
дх	ду	дг
ди	ди	ди
дх	ду	дг __
dv	dv	dv
дх	ду	дг
~дС~	~дС	~дС
семейства поверхностей, заданного параметри-
Например, найдем огибающую
ческими уравнениями:
х = I sin е cos т + Z ctg р sin т -f- С;
у — I ctg р cos т — I sin 8 sin т; z — I cos 8.
В этих уравнениях переменными параметрами являются величины С, I и 8.
Частные производные рассматриваемых функций будут:
дх _ I	дг/ _ А	дг — А-
дС ~ b	дС U’	дС
= sin 8 cos т 4- ctg р sin т;	= ctg р cos т — sin е sin т;
дг	дх .
-тг- = cos е; = I cos 8 cos т;
Н/	7	/So	1
иц	1	♦	ис	< .
= — Z COS 8 Sin т;	-Ч— = — Z Sin 8.
де	де
Определитель, составленный из частных производных,
1	0	0	
sin 8 cos т + ctg р sin т	ctg р cos т — sin 8 sin т	COS 8	= 0.
Z COS Т COS 8	— 1 sin T COS 8	— / sin e	
Огибающие семейства
поверхностей
24
Рис. 5. Огибающая конической
поверхности при ее прямолиней-
но-поступательном движении
Раскрыв определитель и преобразовав, получим
sin е = tg т tg р.
Следовательно, уравнение огибающей поверхности будет определяться системой
уравнений:
(х = I sin 8 cos т + I ctg р sin т 4- С;
у = l ctg р cos т — I sin 8 sin т;
2 — I COS 8;
sin 8 = tg T tg p.
Отсюда
__ ctg p cos т — tg т tg p sin т
2 V1 — tg2 т tg2 p
Преобразовав, имеем
1 /	cos2 T	7
у = Z I/	-~-ъ—----1	•
J r	sin2 p
Таким образом, огибающая в рассматриваемом случае будет плоскостью, которая
идет параллельно оси X. Угол р между этой плоскостью и осью Z будет
, о 1 / COS2 Т <
^ = У-^г- 1.
Переходя к cos р, получаем
Рассматриваемая задача соответствует определению поверхности детали, кото-
рая создается при прямолинейно-поступательном движении конического шлифо-
вального круга со скоростью V, направленной под углом к оси круга (рис. 5, а). Подоб-
ная задача решается, например, при анализе способа одноплоскостной заточки сверл
малого диаметра двумя шлифовальными кругами, установленными на одной оси
(рис. 5, б). В процессе заточки шлифовальные круги вращаются вокруг своей оси,
благодаря чему создается требуемая скорость резания. Затачиваемое сверло совер-
шает прямолинейно-поступательное движение под углом к оси шлифовальных
Аналитическое определение QK
огибающей семейства поверхностей
кругов. Совершая прямолинейно-поступательные движения относительно заготовки,
шлифовальные круги обрабатывают две пересекающиеся плоскости. Эти плоскости
при заточке путем соответствующей установки сверла совмещаются с его задними
плоскостями. Связь между углом наклона осей кругов т, углом профиля кругов р
и углом профиля прошлифованных плоскостей р выражается так:
sin р = cos р cos т.
Линией пересечения задних плоскостей обоих зубьев сверла будет поперечная
режущая кромка. Поэтому при установке сверло поворачивают вокруг его оси до
положения, при котором поперечная кромка будет параллельна направлению прямо-
линейно-поступательных движений. Угол же Р должен быть равен углу между двумя
затачиваемыми задними плоскостями, измеренному в сечении, перпендикулярном
к поперечной режущей кромке.
Семейство поверхностей может зависеть от двух параметров С и К. В этом слу-
чае оно определяется уравнением вида
F (х, у, z, С, К) = 0.
Каждой паре значений С и К соответствует определенная поверхность, изменя-
ющаяся с изменением параметров С и К. Огибающая рассматриваемого семейства
определяется системой уравнений:
F (х, у, z, С, К) — 0;
dF(x, у, г, С, К) _ п. dF(x, у, z, С, К) _п
дС	U’	дК ~и*
Семейство поверхностей может быть задано также параметрическими уравне-
ниями:
х — fi (u> v>
 у = f2 (u, v, С,
2 ~ fa (и>	%).
Огибающая рассматриваемого семейства определяется системой уравнений:
x = /i(u, vt С, К); y = f2(u, v, С, К); z=f3(u, vt С, К);
дх	ду	дг
ди	ди	ди
дх	ду	дг ___~
dv	dv	dv ’
дх	ду	дг
~дС	~дС	~дС
дх	ду	дг
ди	ди	ди
дх	ду	дг  q
dv	ди	dv '
дх	ду	дг
~дК~	~дК	~дК~
Огибающие семейства
поверхностей
§ 7. КИНЕМАТИЧЕСКИЙ МЕТОД ОПРЕДЕЛЕНИЯ
ОГИБАЮЩЕЙ СЕМЕЙСТВА ПОВЕРХНОСТЕЙ
Рассмотрим семейство поверхностей, образованное движением заданной поверх-
ности Д, с которой свяжем систему координат XYZ. За неподвижную систему коор-
динат примем Х0У070.
Пусть поверхность Д в системе координат XYZ задана уравнением
F (х, у, z) = 0.
Положение подвижной системы координат относительно неподвижной опреде-
ляется формулами перехода. Считаем, что движение системы XYZ в системе X0YQZ0
определяется одним параметром t. За параметр t может быть принято, например,
время. Тогда формулы преобразования координат можно записать в виде:
— /] Уо* ^о» 0» Ч	//о» ^о» 0,	/з(^0’ Уо> 2о>
Совместное рассмотрение формул преобразования координат и уравнения по-
верхности Д в системе XYZ позволит определить семейство поверхностей, образо-
ванное движением заданной поверхности детали Д.
Уравнение семейства поверхностей можно записать в виде
F l/i (-^о» //о’ 2o> О/гС^о» //о» 2o> О/зС^о» Ув' 2o> 0] —
Огибающая рассматриваемого семейства определяется системой уравнений:
ЛЛ(х0> ^0» 20» 0/2(*0> 4{р 2о» 0/з(^О> ^0» ^0» 0] ~
dF|7T(x0> j/0, г0, /)/2(х0, (/р, г0, /)/3(х0, у0, z0, Q] = q
dt
Частная производная сложной функции F
dfi , dF
dt df2
_ dF dF
dx ’ of2
dF dF
dt — dfr
tt	dF
Частные производные —
^2	, dF
dt "r
dF
dy ’
<V3
dF
df3
df5
dt ’
dF	.
= могут быть най-
дены из уравнения поверхности Д в системе XYZ, т. е. уравнения F (х, у, z) — 0.
т.	dF dF dF
Известно, что вектор с координатами	является вектором нор-
мали ЛГ к поверхности. Вектор же с координатами 4^-;	будет вектором
DC	DC	DC
скорости V.
Скалярное произведение
д7 7. ___dF_	, dF	df*
dff ' dt ' df2 ’ dt df3 ' dz •
Таким образом, уравнение N • v = 0 равнозначно уравнению
Уо> t)t2(x0, yn, г0, Q/3(x0, y0> Zq, 01 _ n
dt	U’
Условие X • v = 0 означает, что в точках контакта сопряженных поверхностей
их общая нормаль X перпендикулярна к скорости относительного движения vt т е.
Кинематический метод определения
огибающей семейства поверхностей •
если поверхность Д, связанная с системой XYZ, совершает некоторое движение в
системе X0YQZ0 и образует огибающую поверхность И, то характеристику Е можно
определить как линию, в каждой точке которой вектор скорости v направлен по ка-
сательной к поверхности. Совокупность характеристик Е, определенных в различ-
ные моменты времени в системе Хо Yo ZQ дает поверхность Я, а в системе XYZ —
поверхность Д. Поверхность И в этом случае можно найти в следующей последова-
тельности: по уравнению контакта N • v — 0 найдем характеристики Е на поверх-
ности Д в различные моменты времени; по формулам преобразования координат опре-
делим совокупность характеристик Е в системе	которая будет искомой оги-
бающей поверхностью И.
Поверхность Д может совершать сложное движение. В этом случае скорости то-
чек поверхности Д будут определяться как сумма скоростей составляющих движе-
ний:
v = + и2.
Условие контакта сопряженных поверхностей
-V 4- и2) = О,
или
N •	+ N • v2 = 0.
Может иметь место такой случай, когда N • v2 = 0, т. е. в одном из составляющих
движений поверхность Д будет скользить «сама по себе». Это движение при опре-
делении характеристики можно не учитывать и использовать для нахождения огибаю*
щей поверхности И уравнение контакта вида N •	= 0.
Примерами таких движений являются: прямолинейно-поступательное движение
цилиндрической поверхности вдоль своей прямолинейной образующей; вращатель-
ное движение поверхности вращения вокруг своей оси; винтовое движение винтовой
поверхности с той же осью и тем же шагом.
Линия контакта сопряженных поверхностей, т. е. характеристика Е, зависит
не только от формы и размеров поверхности Д, но и от совершаемых ею движений.
Наиболее распространены в инструментальном производстве поступательное и вра-
щательное движения поверхности Д.
Если произвольная поверхность Д движется поступательно, то кривая контакта
(характеристика Е) будет геометрическим местом точек поверхности Д, нормаль к
которым перпендикулярна к направлению (оси) поступательного движения. При
прямолинейно-поступательном движении поверхности Д ось поступательного дви-
жения не меняет своего направления. Поэтому характеристика Е на поверхности Д
будет оставаться неизменной. Огибающей поверхностью будет цилиндрическая по-
верхность, образующие которой параллельны скорости поступательного движения.
За направляющую может быть принята характеристика Е.
Если заданная поверхность Д имеет в исследуемый момент времени мгновенное
вращательное движение вокруг оси Р, то характеристика Е будет геометрическим
местом точек на поверхности Д, в которых нормали к Д проходят через ось Р. В этих
точках скорости будут перпендикулярны к нормалям. Таким образом, характери-
стика Е является ортогональной проекцией оси Р на поверхность Д. Если поверх-
ность Д вращается вокруг неизменной оси Р, то характеристика Е на поверхности
Огибающие семейства
поверхностей
Рис. 6. Огибающая плоскости
при ее винтовом движении
Д не будет изменять своего положения. Огибающей
поверхностью будет поверхность вращения характе-
ристики Е вокруг оси Р.
Пример. Используя кинематический метод, най-
дем огибающую плоскости при ее винтовом движении.
Заданным считается также параметр винтового
движения h. Пусть плоскость Д совершает винтовое
движение, ось которого занимает неизменное положе-
ние в пространстве и составляет угол ф с плос-
костью Д.
Рассматриваемый случай соответствует шлифо-
ванию винтовой поверхности плоской стороной шли-
фовального круга. Подобная же задача решается при
проектировании червячных зуборезных фрез и опре-
делении поверхности исходного червяка фрезы, как
огибающей боковой плоскости зуба рейки, совершаю-
щей винтовое движение.
Решим рассматриваемую задачу, используя кине-
матический метод и уравнение контакта соприкасаю-
щихся поверхностей вида /V • у = 0.
С плоскостью Д свяжем систему координат XYZ.
Ось X направим по оси винтового движения. Ось Y
расположим в плоскости Д. Тогда плоскость Д будет перпендикулярна к плоскости
ZX и в этой плоскости будет измеряться угол ф (рис. 6).
Уравнение плоскости Д будет
2 = % tg ф.
Система XYZ вместе с плоскостью Д совершает заданное винтовое движение в
неподвижной системе XQYQZ0. В системе XYZ вектор нормали N к плоскости Д запи-
сывается так:
n = ^ёФ — k.
В плоскости Д возьмем произвольную точку М (х, у, z), радиус-вектор которой
R = ix + jy + kz.
Скорость точки М при ее винтовом движении
VM = V + [(0 х R],
где v — скорость поступательного движения;
со — угловая скорость вращательного движения.
Поскольку при нахождении характеристики важно направление скорости Vm9
а не ее абсолютная величина, то можно принять длину вектора со = 1. Тогда
а) = i\ v = ih.
Кинематический метод определения QQ
огибающей семейства поверхностей
Следовательно,
i
Um = ih+ 1
x
Отсюда
1 k
0 0
У z
vm = ih — jz 4- ky.
Умножив скалярно вектор нормали N и вектор скорости Vm, получим
N • VM = /2 tg ср — у = 0.
Отсюда уравнение контакта
У = h tg ф.
Совместное рассмотрение этого уравнения и уравнения плоскости Д дает харак-
теристику Е:
z = х tg ф;
У = h tg ф.
Характеристикой Е будет прямая пересечения двух указанных плоскостей. Она
параллельна плоскости ZX и отстоит от нее на расстоянии h tg ф.
При заданном винтовом движении характеристика Е на плоскости Д в системе
X0Z0Z0 будет занимать неизменное положение и описывать огибающую винтовую
поверхность.
Угол поворота системы XYZ вокруг оси X при ее винтовом движении обозначим
через 8. Соответствующее углу поворота 8 поступательное перемещение системы
XYZ вдоль оси X равно Zi8. Тогда формулы перехода от системы XYZ к системе
Хо^о^о будут:
XQ = X 4- /ге; у() — у COS 8 — z sin 8; z0 = Z COS 8 -4 у sin 8.
Совместное рассмотрение характеристики Е и формул перехода от системы
XYZ к системе XqYqZ^ дает искомую огибающую поверхность. Подставив в формулы
перехода величины у = h tg ф и z == х tg ф, получим уравнения винтовой огибающей
поверхности:
х0 = х 4- /18,
Уь = 4 tg (р cos 8 — х tg ф sin 8; z0 = х tg ф cos 8 4- h tg ф sin 8.
Рассмотрим сечение огибающей поверхности плоскостью х0 = х 4- he = 0.
Отсюда х =— he.
Тогда
Уо = /2 tg ф (cos 8 4- he sin 8); z0 = h tg ф (sin e — he cos ej.
Эти уравнения являются уравнениями эвольвенты окружности в параметричес-
кой форме.
Радиус основной окружности эвольвенты
= A tg<p.
Таким образом, при винтовом движении плоскости Д создается огибающая в
форме эвольвентной винтовой поверхности, параметр которой равен h, а радиус ос-
Огибающие семейства
поверхностей
30
новного цилиндра r0 = h tg <р. Эта винтовая поверхность, пересекаясь с основным
цилиндром, дает винтовую линию, угол наклона касательной к которой опреде-
ляется по соотношению
tg со =	.
&
Отсюда tg со = tg <р, со = ф, т. е. прямолинейная образующая Е касается при
своем движении винтовой линии пересечения основного цилиндра с огибающей вин-
товой поверхностью. Поэтому, если взять плоскость Д, касательную к основному
цилиндру, и в ней прямую Е, которая составляет угол ф с его осью, то при качении
без скольжения плоскости А по основному цилиндру прямая Е опишет в пространст-
ве эвольвентную винтовую поверхность.
При определении огибающих поверхностей кинематическим методом разложим
движение поверхности Д на составляющие таким образом, чтобы одно из составляю-
щих движений вызывало скольжение поверхности Д «самой по себе». Тогда при опре-
делении характеристики это движение можно не учитывать. Таким путем можно свес-
ти сложное движение к более простому и упростить нахождение характеристики.
Рассмотрим винювое движение поверхности вращения Д, осью которой будет
прямая В, а осью винтового движения —прямая А. Рассматриваемое винтовое
движение раскладывается на два вращения вокруг оси В и сопряженной оси С, т. е.
винтовое движение представляется как совокупность двух вращений вокруг осей
В и С. Вращение вокруг оси В приводит к скольжению поверхности Д «самой по се-
бе». Это движение при определении характеристики Е можно не учитывать. Следо-
вательно, характеристику Е можно определить из вращательного движения поверх-
ности Д вокруг оси С. Это будет линия, в точках которой нормали к поверхности Д
пересекают ось С, т. е. это будет ортогональная проекция оси С на поверхность Д.
Винтовое движение цилиндрической поверхности целесообразно разложить на
поступательное, ось которого совпадает с образующей цилиндрической поверхности,
и вращательное вокруг сопряженной оси С. В этом случае поступательное движение
будет приводить к скольжению цилиндрической поверхности Д «самой по себе».
Следовательно, характеристику Е можно определить из анализа только вращатель-
ного движения поверхности Д вокруг оси С.
Разложим сложное движение на составляющие при определении огибающей
поверхности, которая создается плоскостью, совершающей винтовое движение.
Винтовое движение плоскости Д с осью Хо будем рассматривать как совокупность
поступательного движения с постоянной скоростью v и осью Хо и вращательного дви-
жения с осью Хо и угловой скоростью <о (рис. 6). Параметр винтового движения h =
|"1
=	. Плоскость Д с осью Хо составляет угол ф.
1®1
Поступательное движение со скоростью v разложим на два движения, т. е.
v = щ 4- v?.
Вектор скорости иг направим по линии пересечения плоскости XZ и плоскости
Д, а вектор и2 по оси Z.
Движение со скоростью при определении характеристики Е можно не учи-
тывать, так как оно приводит к скольжению плоскости Д «самой по себе». Длину
Кинематический метод опредегения
огибающей семейства поверхностей
вектора t>2 находим из треугольника, составленного из векторов v, v„ v2:
П>2| =|y|tg<p.
Поступательное движение со скоростью и2 представим как пару вращения с век-
торами угловых скоростей (о2 и —со2, расположенными друг от друга на расстоянии /.
Длины векторов v2, со2 и —ш2 связаны соотношением
|о2| = |<02|/.
При разложении поступательного движения со скоростью и2 на два вращения
длину вектора со2 можно выбирать произвольно и соответственно определить расстоя-
ние /. Примем со2 = со. Тогда расстояние
со со	& г
Два вращения с угловыми скоростями со и —со2 взаимно компенсируют друг
друга, так как |<х>| = |— со2| по длине, но направлены в противоположные стороны. Та-
ким образом, заданное винтовое движение плоскости Д при определении характери-
стики Е можно свести к одному вращению с угловой скоростью со2. При этом вектор
со, идет параллельно вектору со и отстоит от него на расстоянии I — h, tg ср.
Проекцией вектора со2 на плоскость Д будет прямая Е. Она находится как линия
пересечения плоскости Д с плоскостью, проходящей через вектор со2 перпендикуляр-
но к оси у. Следовательно, характеристикой Е плоскости Д при ее винтовом движе-
нии будет прямая, составляющая угол ф с осью винта Хо и отстоящая от нее на рас-
стоянии h tg ф. В результате заданного винтового движения характеристики Е
описывается эвольвентная винтовая поверхность, которая является огибающей по-
верхностью, образующейся при винтовом движении плоскости Д.
§ 8. СПОСОБ СЕЧЕНИЙ И ЕГО ПРИМЕНЕНИЕ
ПРИ ОПРЕДЕЛЕНИИ ОГИБАЮЩИХ ПОВЕРХНОСТЕЙ
Определение огибающих поверхностей может быть в некоторых случаях упро-
щено с помощью метода сечений. При этом задача сводится к нахождению огибающей
семейства кривых, расположенных на определенной секущей поверхности. Обычно
в качестве секущих поверхностей выбирают плоскости, но в отдельных случаях
принимают и другие формы секущих поверхностей. Методом сечений довольно час-
то пользуются в инструментальном производстве, особенно при графическом профи-
лировании режущего инструмента.
Метод сечений. Задана поверхность Д, совершающая определенное движение
в пространстве. Необходимо отыскать огибающую поверхность И. Возьмем непо-
движную произвольную секущую поверхность П. В каждый исследуемый момент
времени можно найти линию пересечения поверхности П с поверхностью Д. Таким
образом, на поверхности П будет образовано семейство линий ее пересечения с дви-
жущейся поверхностью Д, огибающая С к которым будет располагаться на поверх-
ности И. Совокупность огибающих линий С, расположенных в различных секущих
поверхностях, и будет представлять собой искомую огибающую поверхность И.
Огибающие семейства
поверхностей
Рис. 7. Способ сечений круговыми цилиндрическими поверх-
ностями
цилиндрическими поверхностями, концентричными оси
Линии С контакта со-
прикасающихся кривых в
сечении П находят также,
применяя уравнение кон-
такта Nv = 0, т. е. исполь-
зуя свойство общих норма-
лей N в точках контакта
поверхностей и скоростей и
относительных движений.
Например, определим ха-
рактеристику Е при задан-
ном винтовом движении
плоскости Д, используя
способ сечений круговыми
винтового движения. Рас-
смотрим круговой цилиндр радиуса гх. Скорость Vm произвольной точки этого
цилиндра при ее винтовом движении будет касаться рассматриваемого цилиндра и
составлять с его осью угол сох, который подсчитывается по формуле:
tg сол = -~-
& А h
У
cos e/i ’
где h, — параметр винтового движения.
В плоскости Д найдем точку характеристики, расположенную на цилиндре
радиуса гх (рис. 7). Считаем, что ею будет точка М с координатами х, у, z. Цилиндри-
ческие координаты точки М будут гх, е. В точке М нормаль к плоскости Д перпенди-
кулярна к скорости Vm, т. е. в точке М характеристики вектор скорости распола-
гается в плоскости Д.
Характеристика Е на движущейся поверхности Д является линией скорости
точек, которой касаются поверхности Д. Таким образом, в точке М характеристики
Е вектор скорости им должен лежать в плоскости Д, касаться круглого цилиндра
и составлять с его осью угол <од. Выразим эти условия аналитически:
А4 = i tg Ф — k.
Вектор нормали к секущей цилиндрической поверхности в точке М
JV2 = / 4- & tg 8.
Для того чтобы вектор Vm в точке М лежал в плоскости Д и касался круглого
цилиндра, он должен касаться их линии пересечения. Вектор Т, касательный к ли-
нии пересечения секущего цилиндра и плоскости Д:
Т = [А/, х tf2] = tg <р
О
k
- 1
tg8
/
О
1
Раскрыв определитель, получим
т — ~i~ /tgq?tgе н- k tg<p.
2 6—2906
Способ сечений и его применение ОО
при определении огибающих поверхностей
В точке Л4 угол между вектором Т и осью X 6 = сох, так как по этому направ-
лению идет вектор Vm. Угол 6 определим по соотношению
tg6
_ I [Г X Й I
(Т I)

i
[Т х 7] = 1
1
/	k
— tg ф tg г tg ф
О	О
Отсюда
[Т у 1]= / tg ф + £ tg ф tg е.
Модуль этого произведения
IГ X Й | = I- tg2 ф + tg2 ф tg2 8 =
Скалярное произведение (Т i) = 1 Следовательно,
tg 6 = -= tg со = —^—г-.
cos е	cos eh
Отсюда
у = /^ф.
Таким образом, для цилиндрического сечения любого радиуса гх точки характе-
ристики Е имеют постоянное значение координаты у Характеристикой Е будет пря-
мая линия, лежащая на плоскости Д и отстоящая от плоскости ZX на расстоянии
у = h tg ф Этот же результат был получен ранее другим путем.
Глава IV
УСЛОВИЯ ВОЗМОЖНОСТИ
ФОРМООБРАЗОВАНИЯ ПОВЕРХНОСТИ
ПРИ ЕЕ ОБРАБОТКЕ
§ 9. ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ
На практике наблюдаются случаи, когда невозможно обработать заданную по-
верхность резанием в соответствии с чертежом. Могут иметь место явления подреза-
ния профиля, когда в процессе обработки срезается часть материала детали, или об-
ратное явление, когда часть припуска остается несрезанной. Например, нельзя
без закругления во впадине обработать резьбу групповой фрезой.
При фрезеровании шлицевых валов червячными фрезами обычно у основания
шлица образуется так называемая переходная кривая, т. е. часть материала заго-
товки оказывается несрезанной. Червячные же фрезы с усиками внедряются за пре-
делы окружности впадин и соответственно подрезают ее Подрезание ножки зуба
зубчатого колеса может наблюдаться при обработке червячными фрезами, гребен-
ками и долбяками и т. д.
Выяснение причин отклонений обработанной поверхности детали от ее заданных
размеров и выявление условий, при которых указанные отклонения не имеют места
либо лежат в допустимых пределах, является первостепенной задачей.
Анализируя условия формообразования, считаем известной поверхность детали
и принятую схему обработки, т. е. движения, совершаемые в процессе обработки ин-
струментом и заготовкой. Полагаем, что в процессе обработки воспроизводится пол-
ностью исходная инструментальная поверхность. Это может достигаться либо за
счет создания инструмента в форме шлифовального круга, ограниченного этой по-
верхностью, либо за счет соответствующего движения режущих кромок, в результа-
те которого они описывают исходную поверхность.
§ 10. УСЛОВИЕ СУЩЕСТВОВАНИЯ ИСХОДНОЙ
инструментальной поверхности
Первым условием образования поверхности детали Д является условие сущест-
вования исходной инструментальной поверхности И, соприкасающейся в процессе
обработки с поверхностью Д. Если исходная инструментальная поверхность не бу-
дет существовать, то, естественно, не будет возможности создать инструмент, с по-
мощью которого можно было бы обработать поверхность Д. Как было ранее показа-
но, исходная инструментальная поверхность находится как огибающая некоторого
семейства поверхностей. Профиль этой поверхности в выбранном сечении может
определяться как огибающая соответствующего семейства кривых. Не во всех слу-
чаях к заданному семейству кривых или поверхностей можно провести огибающую.
2*
Условие существования исходной
инструментальной поверхности
Рассмотрим семейство кривых, заданных уравнением
у — х— С = О,
где С — переменный параметр.
тт	dF	1
Частная производная = — 1.
тт	dF р.
Для того чтобы существовала огибающая, частная производная == 0, что
в данном случае невозможно. Следовательно, огибающий профиль не существует.
Образование рассматриваемого семейства кривых можно представить следующим
образом: взята прямая у = X, идущая под углом 45° к оси X. Этой прямой было
сообщено прямолинейно-поступательное движение вдоль оси Y. В этом случае ско-
рость v любой точки прямой у = х, направленная параллельно оси Y, никогда не
будет перпендикулярна к нормали N, идущей под углом 45° к оси Y. Поскольку ус-
ловие контакта N • v = 0, т. е. условие перпендикулярности векторов N и v в точ-
ках прямой Д не соблюдается, огибающий профиль не существует; невозможно
спроектировать инструмент, с помощью которого можно было бы при принятых дви-
жениях прямой Д относительно инструмента ее обработать. Также невозможно
отыскать огибающий профиль к семейству кривых, заданному уравнением
х2 + у2 — С2 = 0.
dF
В этом случае = — 2С = 0. Отсюда С — 0.
Тогда из уравнения семейства получим
у = xV—1 .
Отсюда следует, что огибающий профиль не существует. Образование рассмат-
риваемого семейства кривых можно представить следующим образом: из начала
координат как из центра проводятся окружности, радиусы которых, равные пара-
метру С, непрерывно изменяются. Естественно, в этом случае огибающий профиль не
существует.
Для существования огибающей исходной инструментальной поверхности И
необходимо, чтобы нормаль N к поверхности Д во всех ее точках хотя бы один раз
за все время обработки была перпендикулярна к скорости и движения поверхности
Д относительно инструмента. Иными словами, необходимо, чтобы векторы скорос-
тей v относительного движения Д/И во всех точках поверхности Д хотя бы один раз
за время обработки касались поверхности Д.
Условие контакта точек поверхности Д с соответствующими точками поверхнос-
ти И записывается так:
N • v = 0.
Положение нормалей N к поверхности детали при заданной ее форме в любой
точке является вполне определенным. Изменить положение нормали, не изменяя фор-
му поверхности Д, нельзя. Поэтому при выбранной схеме обработки, т. е. при
известных движениях, которые совершают инструмент и заготовка, влиять на усло-
вие контакта можно путем изменения направления скорости и движения поверхнос-
ти Д относительно инструмента. Изменить направление скорости v в различных точ-
Условия воз нежности формообразования
поверхности при ее обработке
ках поверхности Д можно изменением установки (положения) детали на станке либо
изменением скоростей движений, совершаемых инструментом и заготовкой при слож-
ных схемах обработки.
Например, рассмотрим схему обработки плоскости Д, считая, что движение ее
относительно инструмента является вращением вокруг постоянной оси А. Примем,
что ось вращения А располагается в плоскости Д. Тогда скорость v вращения любой
точки вокруг оси А будет перпендикулярна к плоскости Д. Следовательно, скорость
v будет параллельна нормали N к плоскости Д. Условие перпендикулярности век-
торов N и v, т. е. условие контакта N • и = 0, не будет соблюдаться. Поэтому оги-
бающей поверхности не будет. Обработка плоскости при рассматриваемых условиях
будет невозможной. Для того чтобы выполнить условие контакта и изменить направ-
ление скорости v относительного движения Д!И, попытаемся изменить положение
оси вращения А. Считаем, что ось А параллельна плоскости Д и проходит на рас-
стоянии г от нее. Тогда проекция оси А на плоскость Д будет характеристикой Е.
Вращаясь вокруг оси Л, характеристика Е опишет исходную инструментальную
поверхность, которая будет круглым цилиндром И. Этот случай соответствует фрезе-
рованию плоскости цилиндрической фрезой. Схема фрезерования включает враще-
ние фрезы вокруг ее оси и поступательное движение подачи заготовки.
Чтобы отыскать исходную инструментальную поверхность, образованную по
первому способу, необходимо рассмотреть движение плоскости Д относительно ин-
струмента и найти огибающую. Движение плоскости Д относительно инструмента
будет складываться из поступательного движения подачи и вращения вокруг оси
А инструмента. Поступательное движение подачи приводит к скольжению поверхнос-
ти детали «самой по себе», поэтому его при определении огибающей можно не учиты-
вать. Задача сводится к определению огибающей при вращении плоскости Д вокруг
оси А. Исходной инструментальной поверхностью в рассматриваемом случае будет
круглый цилиндр. Прорезав тело этого цилиндра стружечными канавками и зато-
чив зубья по задней поверхности, получим цилиндрическую фрезу.
Ось вращения А может занимать наклонное положение относительно плоскос-
ти Д. Тогда исходная инструментальная поверхность как огибающая плоскости Д
будет конической поверхностью. Прорезав тело, ограниченное исходной кониче-
ской поверхностью, стружечными канавками, и заточив зубья, получим угловую
фрезу.
Наконец ось А может быть перпендикулярной плоскости Д. В этом случае при
вращении вокруг оси А плоскость Д скользит «сама по себе». Исходная инструмен-
тальная поверхность совпадает с плоскостью Д. Исходное тело инструмента является
цилиндром, рабочий торец которого, совпадающий с плоскостью Д, будет исход-
ной инструментальной поверхностью. Превратив такой цилиндр в режущий инстру-
мент, можно спроектировать торцовую фрезу, предназначенную для обработки плос-
кости Д.
Условие контакта N • v = 0 точек поверхности Д с соответствующими точками
исходной инструментальной поверхности можно конкретизировать для отдельных
схем обработки, учитывая их особенности. Так, если поверхность Д совершает пря-
молинейно-поступательное движение, то направление скорости v постоянно для всех
точек. Для существования исходной инструментальной поверхности И необходимо,
Условие существования исходной
инструментальной поверхности
чтобы нормали Я в точках поверхности Д в какой-то момент времени были перпенди-
кулярны к направлению поступательного движения. Основываясь на этом условии,
выбирают расположение поверхности Д относительно направления поступательного
движения, при котором возможна обработка поверхности Д. Рассмотрим схему об-
работки цилиндрической фасонной поверхности Д, включающей прямолинейно-
поступательное движение. Известно, что нормали N к цилиндрической поверхности
лежат в плоскости S, которая перпендикулярна к образующим. Поэтому, чтобы нор-
мали Я были перпендикулярны к скорости v, необходимо направление поступатель-
ного движения сделать параллельным образующим поверхности Д. Тогда поверх-
ность Д будет скользить «сама по себе», и с ней будет совпадать исходная инструмен-
тальная поверхность И. Этот случай соответствует протягиванию фасонных цилинд-
рических поверхностей Д. Если скорость непараллельна образующим поверхности
Д, то при рассматриваемой схеме обработка заданной поверхности Д невоз-
можна.
Движение поверхности Д в любой момент времени может быть мгновенным вра-
щением вокруг соответствующей оси А. Совокупность осей А мгновенного вращения
в системе, связанной с поверхностью Д, образует аксоид поверхности Д. Поэтому
для существования исходной инструментальной поверхности и возможности обработ-
ки заданной поверхности Д необходимо, чтобы нормали N во всех точках поверхности
Д пересекали ее аксоид.
При мгновенном винтовом движении геометрическая интерпретация условия
существования исходной инструментальной поверхности более сложна и не так на-
глядна.
В точке контакта нормаль к поверхности Д должна лежать в плоскости, перпен-
дикулярной к вектору скорости, который с осью винтового движения составляет
угол (ох, равный
tg®,=-£-,
где гх — расстояние от рассматриваемой точки поверхности Д до оси винтового
движения;
h — параметр винтового движения.
§ 11. УСЛОВИЕ СОПРИКОСНОВЕНИЯ ИСХОДНОЙ
ИНСТРУМЕНТАЛЬНОЙ ПОВЕРХНОСТИ
С ОБРАБОТАННОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ БЕЗ ВНЕДРЕНИЯ
В ТЕЛО ДЕТАЛИ
В процессе обработки наблюдается соприкосновение исходной поверхности И
и поверхности детали Д. Поверхность Я, касаясь поверхности Д, может распола-
гаться вне тела детали. В этом случае инструмент не будет внедряться в тело детали
и подрезание детали не произойдет. В том случае, когда исходная инструментальная
поверхность И, касаясь поверхности детали, проходит в теле детали, т. е. внедря-
ется в тело детали, вырезая на детали соответствующие ее части. В результате деталь
окажется подрезанной.
Условия возможности формообразования
поверхности при ее обработке
Рассмотрим процесс фрезерования пальцевой
фрезой внутренней поверхности полукольца. Если
радиус фрезы меньше радиуса внутренней поверх-
ности полукольца, то наблюдается внешнее касание
исходной поверхности инструмента и поверхности дета-
ли и ее обработка оказывается возможной. Если
же радиус фрезы больше радиуса внутренней по-
верхности полукольца, то будет внутреннее касание
исходной поверхности и поверхности детали и обра-
ботка будет невозможна.
Таким образом, для того чтобы сформировать за-
данную поверхность детали Д, необходимо обеспечить
соприкосновение исходной поверхности и поверх-
ности детали без внедрения исходной инструменталь-
ной поверхности в тело детали.
Анализируя характер соприкосновения поверх-
ности детали Д и исходной поверхности И, можно
воспользоваться способом сечений плоскостями, про-
ходящими через точки контакта. В секущих плоскос-
тях могут наблюдаться различные виды контакта со-
прикасающихся профилей.
Так, при соприкосновении выпуклого профиля с
выпуклым внедрения не будет при любых радиусах

а
5
б
г
Рис. 8. Виды контакта сопря-
женных профилей
кривизны (рис. 8, а). Если выпуклый профиль будет соприкасаться с вогнутым
(рис. 8, б), то внедрения профилей не произойдет, когда радиус кривизны вогнутого
профиля будет больше радиуса кривизны выпуклого.
Сопряженные профили могут иметь точки возврата. Возможны две разновиднос-
ти профилей с точкой возврата первого рода: выпуклый профиль (рис. 8, в) и вогну-
тый профиль (рис. 8, г).
В первом случае будет наблюдаться внедрение профилей, если с точкой возвра-
та будет соприкасаться точка сопряженного профиля, не являющаяся особой точкой.
Внедрения можно избежать, если использовать только часть профиля до точки воз-
врата и обеспечить соприкосновение выпуклых профилей, т. е. точка возврата явля-
ется границей практически приемлемого профиля.
Во втором случае возможно соприкосновение без внедрения только с выпуклым
сопряженным профилем. Таким образом, исследуя характер соприкосновения со-
пряженных профилей в соответствующих секущих плоскостях, необходимо знать
радиусы кривизны профилей и их особые точки.
Если плоская кривая задана уравнением у = f (х), то радиус кривизны может
быть определен по формуле
[1+тт
\ дх ) J
д*У
dx*
39
Условие соприкосновения исходной
* инструментальной поверхности с обработанной
Если уравнение кривой задано в параметрической форме х = <р (0 и у = (р (0,
то радиус кривизны определяется по формуле
з
Г/ dx у I dy \2] 2
Ц dt ) ‘ \ dt ) ]
Г	dx dy
~di~ ~дГ
d~x d2y
dt1 dt1
В случае задания уравнения кривой в полярных координатах р = р (9) радиус
кривизны
з
Например, определим радиус кривизны архимедовой спирали, заданной уравне-
нием
р =	= R -со.
Продифференцировав, получим:
dp _ r d2p _ п
d0	d02
Следовательно,
3
_ [С2 + (R — С0)2] 2
Г ~~ 2C2-Y(R — С0)2 *
Для точки, у которойр == /?, О =0,
3
[С2 4- /?2] 2
2С2 + /?2 *
Решение задач инструментального производства в некоторых случаях может
быть упрощено, если воспользоваться известной формулой Эйлера и теоремой Менье.
В заданной точке поверхности можно найти главные радиусы кривизны, т е.
наибольшее rt и наименьшее г2 значения. Они получаются при главных нормальных
сечениях С1 и С2 поверхности, которые являются взаимно перпендикулярными и
проходят через вектор W нормали в исследуемой точке поверхности. По формуле
Эйлера определяем радиус кривизны г в произвольном нормальном сечении С, со-
аавляющем угол а с сечением Сх:
1 cos2 а . sin2 а
+ ~^~-
В соответствии с теоремой Менье, определяем радиус г кривизны наклонного
сечения поверхности по известному радиусу rN кривизны нормального сечения,
Условия возможности формообразования
поверхности при ее обработке
Рис. 9 Образование конической поверхности цилиндром и
конусом
проходящего через ту же
касательную, что и наклон-
ное сечение:
г = г n cosa,
где а — угол между рас-
сматриваемыми сечениями.
Радиус кривизны на-
клонного сечения поверх-
ности равен проекции на
его плоскость радиуса кри-
визны нормального сече-
ния, проведенного через ка-
сательную к наклонному
сечению в рассматриваемой
точке поверхности. Опре-
делим радиус кривизны rN в сечении конической поверхности плоскостью NN,
перпендикулярной образующей (рис. 9, а). В сечении I—I радиус кривизны г будем
считать известным. Сечение N—N проходит через нормаль к конической поверх-
ности в точке М. Поэтому по теореме Менье можно записать
г = tn cos р.
Отсюда rN=-^-.
Этой формулой можно воспользоваться, решая задачу выбора диаметра цилинд-
рического круга при шлифовании внутренней конической поверхности (рис. 9, б).
Линией контакта детали и шлифовального круга будет образующая АВ.
Ось круга и ось шлифуемой конической поверхности — пересекающиеся прямые.
Для обеспечения обработки конуса необходимо радиус круга выбрать так, чтобы не
было внедрения наружной поверхности круга в тело детали. Рассмотрим секущие
плоскости NN, проходящие перпендикулярно образующей АВ. В сечениях получим
соприкасающиеся профили, которыми будут окружности постоянного радиуса гк
пересечения круга и плоскости MV, а также эллипсы пересечения плоскости AW и
конической поверхности детали. Размеры эллиптических профилей будут уменьшать-
ся при перемещении сечения N—N от точки А к точке В. С точки зрения внедрения
окружности круга в эллипс детали, наиболее опасным будет сечение W—N, прохо-
дящее через точку В. В этом сечении радиус кривизны конической поверхности
г
rN =------,
cos р
где г — радиус кривизны в сечении /—I.
Для того чтобы не было внедрения круга в тело детали, радиус rN должен быть
больше либо в предельном случае равен радиусу шлифовального круга rft, т. е.
г г
k cos р
Аналогичным образом можно определить предельный размер конического шли-
фовального круга, предназначенного для обработки внутренней конической поверх-
Условие соприкосновения исходной
инструментальной поверхности с обработанной
ности. Этот случай соответствует заточке передней поверхности круглых протя-
жек. Линией контакта конической поверхности детали и конической поверхности
инструмента будет образующая А^. Ось круга и ось конической поверхности дета-
ли пересекают друг друга.
Взаимное расположение соприкасающихся профилей рассмотрим в сечениях
Д\—Nv перпендикулярных образующей А1В1. Наиболее опасным с точки зрения
внедрения профиля круга в профиль детали и его подрезания будет сечение, прохо-
дящее через крайнюю точку образующей.
Радиус кривизны поверхности детали в этом сечении
т	т
rN == -----=------•
COS Pi	Sin T
Радиус кривизны поверхности инструмента в том же сечении
rn = ——.
cos р2
Однако угол р2 может быть определен по соотношению
р2 = 90°-(р-7).
Отсюда
Rn = мп (р - у) '
В предельном случае радиусы кривизны профиля детали и инструмента в рас-
сматриваемом сечении	равны друг другу.
R	г
Следовательно, ---7л----— =-----.
* Sin (Р — у)	sin у
Максимально допустимый размер диаметра шлифовального круга, который мо-
жет обеспечить обработку без подрезания заданной конической поверхности, опре-
делим по формуле
= r sin (Р — Y)
sin у
Как было указано, соприкасающиеся профили детали и инструмента могут
иметь особые точки, в частности точку возврата, которая является границей практи-
чески приемлемого участка профиля.
К особым точкам кривой относятся узловые точки, в которых кривая сама себя
пересекает, точки возврата или заострения, в которых направление кривой меня-
ется на обратное, и др.
Если кривая задана уравнением F (х; у) =- 0, то координаты особой ее точки
удовлетворяют одновременно трем уравнениям:
Е(х; у) =0;
dF (х, у) __ Q. dF (х, у) = q
дх	’ ду
Кривая может быть задана в параметрической форме. Тогда в особой точке Кри-
вой будем иметь:
х = fi (0; у (0;
Условия возможности формообразования
поверхности при ее обработке
Если рассматриваемая кривая является огибаю-
щей семейства кривых F (х; у\ t) — 0, то ее особая
точка определяется системой следующих уравнений:
F (х; у\ t) = 0;
OF (х; у, t) _ d2F (х; у\ 0 _ q
dt	’ dt2	U*
Например, найдем особую точку кривой, заданной
уравнением
F (х; у) = х3 4- у* — Зху — 0.
Дифференцируя, получаем
= Зх2 — Зу = 0; dF{x'	= Зу2 — Зх = 0.
дх	v ' ду	J
Рис. 10. Схема образования
рейки долбяком
Рассмотрение этих уравнений показывает, что особая точка кривой имеет координа-
ты (0, 0). Особая точка, совпадающая с началом координат, является узловой точ-
кой. Узловая точка кривой, как и точка возврата, является границей практически
приемлемого участка профиля, так как в этом случае осуществить в металле полно-
стью подобный профиль нельзя.
Рассмотрим уравнения кривой в параметрической форме:
х = R sin ср — Rq> cos ф;
у = R cos ср 4- Rq sin <р.
Найдем особую точку Мо этой кривой:
• = R cos ср — R cos ф 4- /?ф sin ф = 0;
= — R sin ф 4- R sin ф 4- cos ф = 0.
Из этих уравнений ф = 0.
Следовательно, координаты особой точки Мо
Хо = 0 и Yo = R.
Кривая, соответствующая заданным уравнениям, является эвольвентой ок-
ружности. Радиус ее основной окружности равен R, а параметр ф соответствует углу
развернутости эвольвенты. Особая точка Мо, точка возврата, лежит на основной
окружности. Известно, что эвольвентный профиль является сопряженным с профи-
лем прямозубой зуборезной рейки. Схема соприкосновения профиля детали и ин-
струмента, соответствующая формированию профиля боковой стороны рейки с по-
мощью эвольвентного профиля долбяка изображена на рис. 10. В начальный период
наблюдается касание без внедрения прямой профиля рейки, занимающей последо-
вательные положения aJw аф2\ ...с эвольвентным профилем долбяка. В положении
же аЛЬ4 соприкасается точка т4 профиля детали сточкой возврата ci профиля инстру-
мента. В последующем наблюдается внутреннее касание второй ветви эвольвенты
и прямой профиля рейки. Поэтому эту ветвь эвольвенты не должен иметь профиль
долбяка.
Условие соприкосновения исходной
инструментальной поверхности с обработанной
Прямолинейный участок 1ща± профиля детали в
рассматриваемом случае обработать нельзя. Границей
возможного участка обработки будет точка /И, сопри-
касающаяся с точкой возврата с профиля инстру-
мента. Таким образом, при обработке всевозможных
поверхностей может наблюдаться внедрение исходной
инструментальной поверхности в тело детали в преде-
лах зоны их касания.
Может иметь место такой случай, когда внедре-
ние исходной инструментальной поверхности в тело
детали будет происходить при их сближении до со-
прикосновения за пределами зоны их касания. Подоб-
Рис. 11. Схема фрезерования
фасонной канавки
ное явление иногда наблюдается при обработке долбя-
ками колес внутреннего зацепления. В ряде случаев
срезание части зубьев происходит еще до того, как они
нарезаны окончательно, т. е. в процессе врезания дол-
бяка в заготовку.
Для обработки поверхности детали в соответствии
с чертежом, необходимо обеспечить такие условия
формообразования, при которых отсутствовало бы
внедрение исходной инструментальной поверхности в
тело детали. Если рассматриваемое условие не выпол-
няется при известной схеме обработки заданной по-
верхности детали Д, то необходимо изменить характер контакта сопряженных по-
верхностей Д и И другим расположением поверхности детали относительно инстру-
мента, иными его габаритными размерами и другими конструктивными параметрами.
Например, при установке фрезы относительно детали обработка заданной поверх-
ности канавки на участке Ьс невозможна, так как в этой зоне при фрезеровании на-
блюдается внедрение в тело детали исходной инструментальной поверхности
(рис. 11, а). Если же изменить положение детали относительно инструмента, повер-
нув ее вокруг своей оси (рис. 11, б), то взаимного внедрения поверхностей Д и И
не будет и деталь может быть профрезирована в соответствии с ее заданными раз-
мерами.
В случае соприкосновения выпуклого профиля с вогнутым отсутствие внедре-
ния обеспечивается либо увеличением радиуса кривизны вогнутого профиля, либо
уменьшением радиуса кривизны выпуклого профиля. Часто это можно получить из-
менением размеров инструмента. Уменьшение размеров инструмента, как правило,
приводит к соответствующему сокращению радиуса кривизны его профиля, а воз-
растание — к повышению. При наличии точки возврата на профиле инструмента
следует стремиться к тому, чтобы она обрабатывала крайнюю точку профиля детали.
§ 12. УСЛОВИЕ ОТСУТСТВИЯ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ
СМЕЖНЫХ УЧАСТКОВ ИСХОДНОЙ
ИНСТРУМЕНТАЛЬНОЙ ПОВЕРХНОСТИ
Поверхности деталей машин, обрабатываемые режущим инструментом, состоят
из ряда участков. Например, шлицевой вал имеет наружную цилиндрическую по-
верхность, круглую цилиндрическую поверхность впадины зуба, а также боковые
Условия возможности формообразования
поверхности при ее обработке
плоскости шлицев. Со-
ответствующая исходная
инструментальная поверх-
ность также должна состо-
ять из совокупности участ-
ков различных поверхнос-
тей, соприкасающихся в
процессе обработки с раз-
личными участками поверх-
ности детали. Смежные
участки исходной инстру-
ментальной поверхности
могут соприкасаться друг
с другом, отстоять на опре-
деленном расстоянии друг
от друга, либо пересекать
друг друга.
Если смежные участки
исходной инструментальной
поверхности соприкасаются
друг с другом либо отстоят
друг от друга на определенном расстоянии, то при проектировании инструмента
они могут быть полностью воспроизведены. В результате поверхность детали будет
обработана в соответствии с чертежом, без переходных поверхностей на грани-
цах участков.
Иная картина наблюдается в том случае, когда смежные участки исходной ин-
струментальной поверхности пересекают друг друга. В этом случае на режущей час-
ти инструмента практически нельзя полностью осуществить смежные участки исход-
ной инструментальной поверхности. Поэтому те зоны поверхности детали, которые
должны были бы формироваться неосуществленными в металле частями участков
исходной инструментальной поверхности, не будут обработаны. В результате на
границе смежных участков детали будут образовываться так называемые переходные
поверхности, которые создаются граничной линией L пересечения смежных участков
исходной инструментальной поверхности при ее движении относительно заго-
товки. На переходных поверхностях наблюдается их кромочное соприкосновение с
исходной инструментальной поверхностью по линии L (рис. 3, а).
Следует учитывать, что в некоторых случаях целесообразно фасонные поверх-
ности деталей формировать граничной линией пересечения смежных участков исход-
ной инструментальной поверхности. Это иногда позволяет при относительно простой
форме исходной инструментальной поверхности и линии L обрабатывать сложные
фасонные поверхности. Этот способ часто сочетается с образованием поверх-
ности детали исходной инструментальной поверхностью при их взаимном ка-
сании.
Рассмотрим пример фрезерования призмы, поверхность которой ограничена
двумя плоскостями Д1 и Д2 (рис. 12). Угол между направлением призмы (образую-
v w
щей) и осью фрезы обозначим е. Выбраны системы плоскостей проекций	и
Условие отсутствия пересечения смежных участков ДК
исходной инструментальной поверхности
За плоскость V принята плоскость, перпендикулярная образующей детали На
эту плоскость в натуральную величину проецируется профиль призмы. За плоскость
U7 принята плоскость, перпендикулярная оси фрезы, за И —опорная плоскость
призмы, за Q —плоскость, параллельная оси фрезы и перпендикулярная плоскости
Н. Для определения исходной инструментальной поверхности вращения, ось кото-
рой совпадает с осью фрезы, воспользуемся способом сечений плоскостями /, II,
III, . ., перпендикулярными к оси фрезы и параллельными плоскости W.
Рассмотрим сечение Ill. Оно пересекается с плокостями и Д2 призмы по
линии АСВ, проекции которой соответственно обозначены через acb, а'с'Ь' и а'с'Ь".
Искомая исходная инструментальная поверхность вращения пересекается с плос-
костью ///по окружности, которая проецируется в натуральную величину на плос-
кость W. Поскольку исходная инструментальная поверхность касается поверхности
призмы, рассматриваемая окружность проводится из точки О" как из центра таким
образом, чтобы она касалась линии А СВ в точках Е и К. Радиус этой окружности
обозначен г3. Окружность радиуса г3 касается как плоскости Дг, так и плоскости Д2
и формирует точки е' и k' профиля детали.
Линией пересечения сечения IV с плоскостями Д1 и Д2 будет ломаная LNM
(проекции ее I, п, т. и Гп"т"). В сечении IV окружностью радиуса г2 будет окруж-
ность, касающаяся плоскости Ду и соответственно прямой LN, а окружностью ра-
диуса г4 будет окружность, касающаяся плоскости Д2 и соответственно прямой NM.
Аналогично сечению IV можно определить окружности в других секущих плоско-
стях /, //, ... с центром на оси фрезы, касающимися плоскостей Дг и Д2. Совокуп-
ность этих окружностей даст исходную инструментальную поверхность вращения.
Профиль этой поверхности в натуральную величину спроецирован на плоскость Q.
Он состоит из двух участков. Участок соответствует исходной инструменталь-
ной конической поверхности //р касающейся плоскости Дг в пределах ее профиля
а'с . Участок p'"S"' соответствует исходной конической поверхности //2, касающейся
плоскости Д2 в пределах ее профиля Ь'с . Как видно участки Иг и И2 исходной по-
верхности пересекают друг друга, поэтому полностью эти оба участка осуществить
на фрезе нельзя. Если на инструменте воспроизвести инструментальную поверх-
ность, соответствующую профилю p"'c[t'", то обработать призму без отклонений от
чертежа будет невозможно. В зоне пересечения плоскостей Д2 и Д2 будет образова-
на переходная поверхность, так как части c^S"' ncj'" профиля инструментальной
поверхности не будут воспроизведены на инструменте. Плоскость Д1 будет обрабо-
тана на участке профиля а'е', а плоскость Д2 — на участке b'k'. Переходная поверх-
ность, имеющая эллиптический профиль e'c'ik', будет формироваться граничной
окружностью радиуса г3 при ее поступательном движении вдоль образующей приз-
мы Таким путем относительно простой двухугловой фрезой можно обработать до-
вольно сложную фасонную цилиндрическую поверхность на детали. Можно также на
инструменте воспроизвести исходную поверхность с профилем Тогда полностью
будет обработана плоскость Дх с профилем ас и полностью срезана плоскость Д2.
Если осуществить на инструменте профиль p"'S"r исходной поверхности, то можно
будет в точном соответствии с чертежом обработать плоскость Д2, но при этом пол-
ностью будет срезана плоскость Дг.
При решении рассматриваемой задачи можно воспользоваться свойством общих
нормалей к соприкасающимся поверхностям Д и И. Это позволяет несколько упро-
У еловая возможности формообразования
поверхности при ее обработке
Рис. 13. Определение профиля фрезы способом общих нормалей
в точках образующей АВ располагаются в плоскости Л\,
кости V.
стить построение (рис. 13).
Примем те же плоскости
проекций Н, V, W, Q. Про-
филь детали изобразим в
натуральную величину на
плоскости V. Это будет ло-
маная линия, соответствую-
щая плоскостям Д1 и Д2.
Найдем характеристику Е
на плоскости Др т. е. ли-
нию ее контакта с исходной
инструментальной поверх-
ностью вращения. Харак-
теристикой будет ортого-
нальная проекция оси вра-
щения 00 на плоскость Дг
На плоскости Дг рассмот-
рим образующую АВ.
Нормали к поверхности Д1
перпендикулярной к плос-
Плоскость Д\ пересекается с осью фрезы в точке К. Таким образом, нормаль КА
к плоскости Дг пересекает ось фрезы. Следовательно, точка А будет точкой характе-
ристики.
Подобно плоскости Nlt через вторую крайнюю точку С профиля проведем плос-
кость W2, в которой располагаются нормали к плоскости Дг в точках ее второй край-
ней образующей. Плоскость N2 пересекается с осью фрезы в точке М (проекции ее
т, т'). Нормалью к плоскости Д, проходящей через точку М оси фрезы, будет
прямая МС. Следовательно, второй крайней точкой характеристики Е будет точка С,
в которой нормаль к поверхности Д1 пересекает ось 00. Соединив точки АС, получим
характеристику EL, т. е. линию касания поверхности Д1 с исходной инструменталь-
ной поверхностью вращения. При вращении характеристики Е. вокруг оси фрезы
образуется исходная инструментальная поверхность соприкасающаяся с поверх-
ностью ДР Профилем этой поверхности будет прямая , т. е. исходная инстру-
ментальная поверхность в рассматриваемом случае будет конической поверхностью.
Это объясняется тем, что прямолинейная характеристика АС пересекает ось 00.
Аналогично находится на плоскости Д2 прямолинейная характеристика Е2, пересе-
кающая ось 00. Вращая характеристику Е2 вокруг оси 00, получаем исходную
инструментальную поверхность И2, сопряженную с поверхностью Д?. Это будет
круглая коническая поверхность, профилем которой будет прямая pF"SF". Как сле-
дует из построения, при обработке призмы участки и И2 пересекают друг друга.
Поэтому для того чтобы не врезаться в тело детали, участки Иг и Я2 в металле можно
обработать только до точки сх пересечения их профилей. Тогда части исходных ин-
струментальных поверхностей, соответствующие профилю cxf"' и c"xS"F, которые
формируют стыки участков поверхности детали Дх и Д2, не будут обработаны.
В результате на границе участков Дг и Д2 будет образована фасонная цилиндрическая
Условие отсутствия пересечения смежных участков ЛТЧ
исходной инструментальной поверхности
переходная поверхность.
Ниже переходной поверх-
ности невозможна обработ-
ка ни одной из поверхнос-
тей детали Дг и Д2 без под-
резания смежного участка.
Характерно отметить, что
в рассматриваемом случае
на линии пересечения
смежных участков Д1 и Д2
поверхности детали харак-
теристики Ех и Е2 имеют
разрыв. В результате этого
и наблюдается пересечение
смежных участков Иг и И2
исходной инструменталь-
ной поверхности и образо-	~	\
г Рис. 14. Определение профиля фрезы для обработки выступа
вание при обработке пере- на детали
ходной поверхности.
Подобная же картина наблюдается при фрезеровании резьбы гребенчатыми
(групповыми) фрезами, когда ось инструмента устанавливается параллельно оси
детали. В зоне обработки впадина резьбы может быть приближенно заменена ци-
линдрической поверхностью, подобной впадине призмы. Направление образующих
этой цилиндрической поверхности совпадает с направлением впадины резьбы, ко-
торая расположена под углом к оси детали, а следовательно, и к оси инстру-
мента.
Из-за наклона оси фрезы к направлению обрабатываемого витка во впадине
резьбы образуется переходная поверхность. Переходная поверхность и небольшое
закругление впадины резьбы не ухудшают качество обрабатываемых деталей. Поэ-
тому обработка резьбы гребенчатыми фрезами практически оказывается приемле-
мой, хотя рассматриваемым инструментом нельзя сформировать остроугольную
(без закругления) впадину резьбы. Иная картина наблюдается при обработке вы-
ступа, ограниченного двумя плоскими поверхностями Дг и Д2 (рис. 14). Исходная
инструментальная поверхность при фрезеровании рассматриваемой детали графи-
чески определена на рис. 12. Ось фрезы 00 установлена наклонно.
Характеристики Ех и Е2, расположенные в плоскостях Д1 и Д2, определены как
такие прямые, в точках которых нормали к плоскостям Дг и Д2 пересекают ось фре-
зы. При вращении характеристик EY и Е., вокруг оси 00 фрезы создаются исходные
инструментальные поверхности вращения. Это будут усеченные конические поверх-
ности, поскольку прямолинейные характеристики Ег и Е2 пересекают ось фрезы
00. В рассматриваемом случае обработки выступа характеристики Е\ и Е2на грани-
це ЛЕ поверхностей Дх и Д, имеют разрыв. Однако они расположены относительно
оси фрезы 00 таким образом, что исходные конические поверхности Иг и Я2, каса-
ющиеся плоскостей ДА и Д2, отстоят на определенном расстоянии друг от друга и не
пересекаются. Поэтому они полностью могут быть осуществлены при конструиро-
вании инструмента, что позволяет обработать заданную деталь без отклонений от
чертежа.
Условия возможности формообразования
поверхности при ее обработке
Таким образом, при обработке рассматриваемой
детали можно установить на оправке две угловые
фрезы на определенном расстоянии друг от друга.
При этом за счет наклонной установки оси фрезы
можно обеспечить перекрытие зон обработки и отсут-
ствие заусенцев на детали на границе двух участков
Д1 и Д2.
По сравнению с известными способами перекры-
тия зон обработки при применении наборов фрез прин-
цип наклонной установки инструмента имеет ряд пре-
имуществ. Он может применяться не только при фре-
зеровании цилиндрических поверхностей, но и при
других способах обработки всевозможных поверх-
ностей.
При проектировании рассматриваемых инстру-
ментов возникает задача уточнения возможного про-
филя исходной поверхности, соединяющей два участ-
ка и И2.
Поэтому инструментальная переходная поверх-
ность, соединяющая смежные участки и Я2, должна
быть выбрана таким образом, чтобы она не внедря-
лась в деталь и в крайнем случае лишь соприкаса-
лась с ней.
Если принять, что переходная поверхность будет
иметь кромочное соприкосновение с поверхностью
детали, то ее необходимо образовать вращением вок-
руг оси фрезы 00 граничной линии АЕ. Профилем
такой переходной поверхности будет кривая .
Практически на инструменте профиля смежных
участков исходной поверхности и И2 можно соеди-
нять произвольной линией, лежащей выше профиля
переходной поверхности. В этом случае обработка де-
тали будет производиться в точном соответствии с чер-
тежом, но переходная поверхность не будет соприка-
саться с поверхностью детали. Итак, смежные участки
детали могут быть ограничены различными поверх-
Рис. 15. Взаимное расположение
ностями, например уступами или впадинами. Зоны различных участков исходной
переходов от одного участка к другому не всегда могут динь; и ВЬ1СТупа детали
быть обработаны. Будем считать, что необходимо обра-
ботать деталь, поверхность которой состоит из двух участков и Д2(рис. 15, а). Гра-
ницей участков будет линия А В. В точках линии А В можно провести две нормали
Wj и N2 соответственно к участкам Дх и Д2. При резком переходе от одного участка
к другому нормали Л\ и N2 не будут совпадать друг с другом. Отсюда следует, что
характеристика на поверхности детали на линии АВ будет иметь разрыв, так как
оба условия контакта Л\ • v = 0 и N2 • v = 0 одновременно в одной точке линии
АВ в общем случае не могут выполняться. Это объясняется тем, что векторы и
Условие отсутствия пересечения смежных участков	JQ
исходной инструментальной поверхности	****
N2 не совпадают друг с другом, а поэтому в общем случае одновременно не могут быть
перпендикулярны третьему вектору скорости и.
Предположим, что обрабатывают выступ детали (рис. 15, б), т. е. детали, у ко-
торой углы в сечениях, перпендикулярных границе АВ участков, при их измерении
в теле детали будут меньше 180°. Характеристиками пусть будут линии и £2-
Тогда исходные инструментальные поверхности и Я2, касающиеся в точках ха-
рактеристики поверхности детали, будут располагаться по обе стороны детали и ее
выступ будет как бы разделять их друг от друга.
При обработке впадины (рис. 15, я) оба участка исходной инструментальной по-
верхности и будут располагаться во впадине, касаясь детали в точках характе-
ристик, а затем отходя от ее поверхности. Так как характеристики имеют разрыв,
то смежные участки исходной инструментальной поверхности будут пересекать друг
друга. Счедовательно, с точки зрения пересечения смежных участков исходных ин-
струментальных поверхностей опасным случаем будет обработка впадин на дета-
лях. Смежные участки исходной инструментальной поверхности при обработке впа-
дины не будут пересекать друг друга тогда, когда характеристики на границе уча-
стков поверхности детали не будут иметь разрыв (рис. 15, г). Это будет тогда, когда
вектор скорости v относительного движения в точке М пересечения характеристик
с границей А В участков будет направлен по касательной к АВ либо равен нулю.
В этом случае точка М будет находиться одновременно в контакте независимо от
того, принадлежит ли она участку Дг или участку Д2 поверхности детали. Это объяс-
няется тем, что вектор скорости v в точке М перпендикулярен к обеим нормалям
А7! и N2 на участках поверхностей и Д2. Следовательно, в точке М соблюдается
одновременно оба уравнения контакта Nr • v = 0; N2 • v = 0.
Аналогичная картина имеет место и тогда, когда в точке М скорость относитель-
ного движения равна нулю. В этом случае возможна обработка заданной впадины
детали в соответствии с чертежом без переходных поверхностей.
Так, в примере обработки призмы фрезами при наклонной установке оси инстру-
мента это имеет место тогда, когда ось фрезы перпендикулярна прямой пересечения
плоскостей Дх и Д2. В точке скрещивания оси фрезы и прямой пересечения плоскос-
тей Дг и Д2 скорость вращения вокруг оси 00 будет направлена по прямой пересе-
чения плоскостей Ду и Д2. Характеристика тогда будет совпадать с профилем поверх-
ности детали и являться линией пересечения поверхности детали с плоскостью,
проходящей через ось инструмента перпендикулярно границе участков на поверх-
ности детали. Вращаясь вокруг оси фрезы, характеристика опишет две соприкаса-
ющиеся друг с другом конические поверхности, которые будут смежными участками
исходной инструментальной поверхности. Такая исходная инструментальная по-
верхность позволит точно обработать оба участка поверхности детали без переходных
поверхностей. Однако подобный путь уменьшения размеров переходных поверхнос-
тей не всегда можно использовать. Это объясняется тем, что, уменьшая переходные
поверхности в некоторой зоне, можно вызывать нарушение необходимых условий
формообразования на других участках поверхности детали. Это приводит к недопу-
стимым отклонениям полученной при обработке поверхности детали от заданной
по чертежу. Например, при обработке резьбы гребенчатой фрезой во впадине созда-
ется переходная поверхность и нельзя образовать остроугольный профиль
впадины.
ЕЛ Условия возможности формообразования
поверхности при ее обработке
Рис. 16. Схема фрезирования
прямоугольной канавки
Для того чтобы образовать исследуемую впадину
резьбы без закругления, необходимо ось фрезы уста-
новить в плоскости S, перпендикулярной границе АВ
участков винтовой поверхности, т. е. в плоскости S,
идущей к оси фрезы под углом т подъема винтовой
пограничной линии АВ. В этом случае скорость вра-
щения точки М пересечения линии АВ и плоскости S
вокруг оси фрезы будет направлена по касательной к
линии АВ. Поэтому точка М будет профилироваться
одновременно независимо от того, какой участок по-
верхности впадины резьбы рассматривается. Характе-
ристика на границе участков не будет иметь разрыва,
и будет обеспечено формирование остроугольного профиля впадины резьбы без пере-
ходной поверхности. Однако такая установка возможна только для дисковых
фрез. При подобной же установке гребенчатой фрезы, когда ее ось не параллельна
оси детали, будет формироваться резьба не на цилиндре, а на гиперболоиде вра-
щения, поскольку витки исходной инструментальной поверхности гребенчатой
фрезы находятся на разных расстояниях от оси детали. Поэтому такая установка
гребенчатой фрезы не может быть принята.
Смежные участки и И2 исходной инструментальной поверхности могут не
только пересекаться, соприкасаться или отстоять друг от друга на определенном
расстоянии, но и совпадать друг с другом, либо находиться один внутри
другого.
Совпадение смежных участков Иг и Я2 исходной инструментальной поверхности
имеет место, например, при фрезеровании прямозубых зубчатых колес пальцевыми
фрезами, когда одна и та же исходная инструментальная поверхность контактирует
как с правой, так и с левой стороны впадины зуба. Обработка заданной поверхности
детали в подобных случаях возможна без отклонения от чертежа.
Однако, если ось пальцевой фрезы установить несимметрично относительно
боковых сторон впадины зуба, то один участок исходной инструментальной поверх-
ности будет располагаться внутри другого. Наружным будет участок исходной по-
верхности касающийся более удаленной от оси фрезы боковой стороны впа-
дины зуба. Внутренним будет участок исходной поверхности И2, касающийся бли-
жайшей к оси фрезы стороны Д2 впадины зуба. Если создать пальцевую фрезу на
основе участка Иг исходной поверхности, то при обработке будет точно сформирова-
на боковая сторона Дг впадины зуба, но обработка участка Д2 будет невозможна,
так как инструмент врежется в материал детали за пределами поверхности Д2 и
часть зуба окажется срезанной.
Если же создать пальцевую фрезу на основе участка И2 исходной поверхности,
то часть материала впадины зуба окажется не срезанной. Поэтому с точки зрения
формообразования заданной поверхности детали следует избегать такого положения,
когда один участок исходной инструментальной поверхности располагается внутри
другого, а осуществить оба участка при проектировании инструмента невозможно.
Таким образом, проектируя режущие инструменты, необходимо учитывать все усло-
вия формообразования, выбирать такие параметры схем обработки и элементы кон-
струкции инструмента, при которых была бы обеспечена обработка деталей с допус-
тимыми отклонениями от заданной геометрической формы.
Условие отсутствия пересечения смежных участков К-|
исходной инструментальной поверхности
Рассмотренные условия формообразования поверхности детали в точном соот-
ветствии с чертежом приводят часто к неоднозначным решениям и поэтому можно
спроектировать ряд инструментов для обработки заданной поверхности. Из сово-
купности возможных инструментов, обеспечивающих обработку заданной детали с
требуемой точностью, необходимо принять для практического использования луч-
шие, которые обладали бы наивысшими качественными показателями и обеспечива-
ли высокую производительность труда.
На рис. 16 изображены две фрезы, предназначенные для обработки одной и
той же канавки. Одна из фрез имеет небольшой длины активную режущую кромку,
сильно загруженную, а следовательно, интенсивно изнашивающуюся (рис. 16, а).
Другая фреза имеет большую по длине активную режущую кромку с меньшей
загрузкой, а следовательно, медленнее изнашивающуюся и более производительную
(рис. 16, б).
При наклонной установке рассматриваемая деталь может быть обработана уг-
ловой фрезой. Профиль этой фрезы при изменении наклона детали также изменяет-
ся. Различные виды фрез, предназначенных для обработки заданной детали, можно
получить также за счет изменения диаметра инструмента.
Таким образом можно спроектировать множество фрез, в процессе обработки ко-
торыми соблюдаются условия формообразования и обеспечивается обработка за-
данной поверхности детали.
Следует учитывать, что поверхность детали, состоящую из ряда смежных участ-
ков, можно рассматривать как единую поверхность. Причем точку излома профиля
поверхности, расположенную на границе смежных участков, можно считать участ-
ком дуги окружности, радиус которой стремится к нулю. В этом случае, для того
чтобы определить, возможна ли обработка заданной поверхности детали без откло-
нений от чертежа, необходимо проанализировать только первые два условия формо-
образования. В частности, определить, будет ли на границе участков, в точке излома
профиля, соблюдаться второе условие формообразования. Иными словами, необхо-
димо отыскать такие параметры обработки, при которых исходная инструменталь-
ная поверхность не пересекала бы тело детали во всех точках профиля, включая точ-
ку излома.
При анализе условий формообразования поверхности детали необходимо также
выяснить, изменяется ли в процессе обработки характер взаимного расположения
исходной поверхности И и обработанной поверхности Д. Если это имеет место,
т. е. если наблюдается изменение формы кривой контакта исходной инструмен-
тальной поверхности И и поверхности детали Д, то следует анализировать соблюде-
ние условий формообразования на протяжении всего процесса формирования об-
работанной поверхности детали. Только в этом случае можно быть уверенным, что
будет обеспечена точная обработка заданной поверхности детали.
Глава V
ОСНОВЫ КОНСТРУИРОВАНИЯ
РЕЖУЩЕЙ ЧАСТИ НА БАЗЕ
ИСХОДНОГО ТЕЛА ИНСТРУМЕНТА
§ 13. ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ
Считаем, что существует исходная инструментальная поверхность, соприкаса-
ющаяся в процессе обработки с поверхностью детали, выполняются все рассмотрен-
ные условия формообразования и исходная инструментальная поверхность позволя-
ет вести обработку заданной детали без отклонений от чертежа. В этом случае на
базе известной исходной инструментальной поверхности возникает необходимость
спроектировать работоспособный инструмент.
На практике используется несколько способов превращения тела, ограниченно-
го исходной инструментальной поверхностью, в режущий инструмент. Можно вос-
произвести полностью исходную инструментальную поверхность, обладающую
режущими свойствами, создав, например, шлифовальный круг соответствующих
размеров и формы. У таких инструментов, как шеверы, исходная поверхность пол-
ностью воспроизводится как совокупность большого числа режущих кромок. Исход-
ную инструментальную поверхность можно также создать с помощью абразивной
ленты, скользящей по профильному кулаку, либо описать режущей кромкой инстру-
мента при его соответствующем движении. Этот способ используется, например,
при проектировании фрез, у которых режущие кромки зубьев в результате вращения
вокруг оси инструмента описывают исходную инструментальную поверхность. Ис-
ходная инструментальная поверхность может быть воспроизведена на инструменте
как совокупность ограниченного числа режущих кромок, расположенных на рас
сматриваемой поверхности. Примерами таких инструментов могут служить фасон-
ные резцы, червячные фрезы и др.
Инструменты, у которых режущие кромки всех зубьев лежат на исходной
инструментальной поверхности, относят к инструментам с профильной схемой ре-
зания.
В промышленности используются также инструменты с последовательной схе-
мой резания. У этих инструментов исходная инструментальная поверхность вос-
производится как совокупность отдельных точек режущих кромок, расположенных
на ней. В этом случае режущие кромки сравнительно простой формы в виде прямых
линий либо дуг окружностей располагаются в пределах исходного тела и только их
профилирующие, обычно граничные, участки располагаются на исходной инструмен-
тальной поверхности. Примером подобных инструментов могут служить обычные
токарные проходные резцы, у которых прямолинейная режущая кромка заканчи-
вается профилирующим участком вершины резца, расположенным на исходной ин-
струментальной поверхности и формирующим поверхность детали в процессе обра-
ботки. Остальной же участок режущей кромки только срезает материал заготовки,
но не формирует, не соприкасается с поверхностью детали. К подобным инструмен-
Общие КО
положения
там относятся также метчики, плашки, резьбовые гребенки, торцовые фрезы, сверла,
зенкеры, развертки и др. В этом случае форма обработанной поверхности детали
практически не зависит от формы режущей кромки инструмента.
Могут проектироваться также инструменты, у которых часть исходной поверх-
ности воспроизводится как совокупность режущих кромок, а часть — как совокуп-
ность отдельных точек кромок. Примером такого инструмента может служить шли-
цевая протяжка, которая формирует боковые стороны шлицев отдельными точками
режущих кромок по последовательной схеме резания, а цилиндрические поверхности
шлица —по профильной схеме резания.
На практике используются также инструменты, имеющие предварительные и
профилирующие зубья. У предварительных зубьев режущие кромки расположены
в пределах пространства, ограниченного исходной инструментальной поверхностью.
Профилирующих точек на своих режущих кромках они не имеют. Поэтому с точки
зрения образования заданной поверхности детали форма режущих кромок предва-
рительных зубьев может быть произвольной, так как они не участвуют в оформлении
поверхности детали. Из этих же соображений точность изготовления предваритель-
ных зубьев может быть пониженной. Профилирующие же (чистовые) зубья воспроиз-
водят тем или иным способом исходную инструментальную поверхность и формиру-
ют в процессе обработки заданную поверхность детали.
Рассмотрим, какие условия надо соблюдать при воспроизведении исходной
инструментальной поверхности различными способами для того, чтобы обеспечить
обработку заданной поверхности детали.
Если полностью воспроизводится требуемая исходная инструментальная по-
верхность, то формирование заданной поверхности детали будет обеспечено. Во всех
остальных случаях необходимо проанализировать характер контактирования со-
пряженных поверхностей Д и И. Соприкосновение поверхности детали Д и исход-
ной инструментальной поверхности И может наблюдаться по линии либо в одной точ-
ке. В частном случае поверхность детали Д и исходная инструментальная поверх-
ность И могут совпадать. При линейном касании поверхностей И и Д и их совпаде-
нии все точки исходной инструментальной поверхности являются профилирующими
и в определенные моменты времени соприкасаются с соответствующими точками
поверхности детали и их формируют. Точки контакта поверхности И могут быть не-
взаимозаменяемыми. Любая точка поверхности И может в этом случае соприкасать-
ся только с соответствующей точкой поверхности детали Д, и никакая другая точка
поверхности И не может ее сформировать. Поэтому для того, чтобы в результате
обработки получить заданную поверхность детали, необходимо воспроизвести пол-
ностью всю исходную инструментальную поверхность И. Если в этом случае исход-
ная инструментальная поверхность будет воспроизведена реальным инструментом
только частично, как, например совокупность ограниченного числа режущих кро-
мок, то поверхность детали будет обработана с соответствующими отклонениями от
чертежа. Число режущих кромок, а также другие параметры инструмента и режимы
резания необходимо выбирать так, чтобы указанные отклонения лежали в допус-
тимых пределах.
При линейном касании поверхности И и Д точки контакта поверхности И мо-
гут быть взаимозаменяемыми и с выбранной точкой профиля поверхности детали
могут соприкасаться точки исходной поверхности И, расположенные на некоторой
линии L. Причем при переходе от одной точки профиля детали к другой линии L
Основы конструирования режущей части
на базе исходного тела инструмента
могут изменяться и не быть взаимозаменяемыми. Тогда
для того, чтобы обработать заданную поверхность де-
тали, необходимо на инструменте воспроизвести хотя
бы по одной точке каждой линии L. Примером подоб-
ных инструментов могут служить фасонные фрезы,
предназначенные для обработки прямых канавок.
Будем считать, что ось фрезы располагается в
плоскости, перпендикулярной к образующим обраба-
тываемой цилиндрической фасонной поверхности.
Тогда исходная инструментальная поверхность вра-
щения И будет иметь профиль ambc (рис. 17), сов-
падающий с профилем поверхности детали Д. С произ-
вольной точкой т профиля детали при вращении фрезы
вокруг своей оси Оф Оф будут контактироваться точки
окружности Lm, лежащей на исходной инструменталь-
ной поверхности И. Аналогично соприкасающимися с
точкой b профиля детали будут точки окружности Lb,
расположенной на поверхности И в сечении, кото-
рое перпендикулярно оси фрезы и проходит через
точку Ь. Все точки окружностей Lm и Lb взаимозаме-
няемы. Поэтому для того чтобы формировать задан-
ную поверхность детали, достаточно на режущей
кромке инструмента иметь хотя бы по одной точке
всех линий L, создав, например однозубую фрезу.
В качестев режущей кромки зуба инструмента в ана-
логичных случаях можно принять характеристику Е,
т. е. линию контакта поверхности детали Ди исходной
инструментальной поверхности И. Это позволяет про-
ектировать инструменты, находя в определенные мо-
менты времени характеристики Е и принимая их за
режущие кромки. При этом не отыскивают полностью
всю исходную инструментальную поверхность, что в
некоторых случаях упрощает решение задач.
Например, рассмотрим одну из наиболее сложных
схем формообразования, включающую два равномер-
ных вращения вокруг скрещивающихся осей. Этой
схеме соответствует обработка зубчатой детали чер-
вячной фрезой. В рассматриваемом случае при проек-
тировании фрез постоянной установки возникает необ-
ходимость определения исходной инструментальной
поверхности при ее линейном контакте с поверх-
ностью детали. Считаем, что необходимо обработать
шестишлицевый вал (рис. 18, а), наружный диаметр
которого равен 44,4 мм. Кратчайшее расстояние меж-
ду осями вала и инструмента А — 67,2 мм, угол
установки инструмента т = 6° 30'. Если принять угло-
вую скорость вала (cojI = 1, то угловая скорость вра-
Рис. 17. Схема расположения
точек контакта на исходной по-
верхности фрезы, сопряженных с
заданной точкой профиля детали
Z
Wo
&
Рис. 18. Определение характе-
ристики при обработке шлицево-
го вала фрезой постоянной ус-
тановки
Общие
положения
55
щения инструмента |со2| = 6. Движение детали^ относительно инструмента будет
складываться из вращения с угловой скоростью вокруг оси вала и вращения со
скоростью — со2 вокруг оси инструмента. Результирующим двух вращений вокруг
скрещивающихся осей будет винтовое движение. В рассматриваемом случае параметр
результирующего винтового движения детали относительно инструмента р = 10 мм,
ось его СС (рис. 18, б) будет составлять с осью вала угол е = 74° 30' и отстоять от
нее на расстоянии b = 63,5 мм.
С поверхностью детали свяжем неразрывно систему координат X^Zp а с ин-
струментом — X2/2Z2. Выберем также неподвижную систему координат X0E0Z0.
Начальное положение этих систем координат изображено на рис. 18, б. Система
XlYlZ1 будет вращаться относительно системы X2Y2Z2 вокруг оси XY со скоростью
<о1 и одновременно вокруг оси Y2 со скоростью со2. Если обозначить через t угол по-
ворота вокруг оси Хи то угол поворота вокруг оси Y2 будет равен k • t = 6/. Тогда
формулы перехода от системы XyYxZx к системе XnE0Z0 будут:
х0 = хл; у0 = zx sin t 4- уL cos t; z0 ~ zY cos t — yx sin t — b.
Формулы перехода от системы X0EftZ0 к системе X2Y2Z2 записываются таким
образом:
х2 — (Уо sin т 4- x0 cos т) cos kt — (z0 — a) sin kt;
z2 = (yn sin т + cos t) sin kt 4- (z0 — a) cos kt;
у 2 = z/0 cos т — x0 sin t,
где a = A — b = 3,7 мм.
Переход от системы XyYYZV к системе X.X2Z2 производится по формулам:
х2 = cos kt [sin т (Zj sin t 4- y± cos t) 4- xr cos t) — sin kt (Zj cos t — yx sin t — b — a);
y2 = cos т (sin tzY yr cos t) — xx sin t;
z2 = sin kt [(zx sin t 4- r/i cos t) sin т 4- xr cos /] 4- cos kt (z1 cos t — yx sin t — b — a).
Уравнение боковой плоскости шлица в системе XxYxZx может быть записано та-
ким образом:
Zj = /г cos гр! 4- Z sin фр ух — I cos ф2—h sin фР
Угол, составляемый боковой плоскостью шлица с осью при повороте системы
Xi^Zi на угол t, будет равен ф0 = Ф1 — Вектор нормали N к боковой плоскости
шлица в системе X^YqZq запишем
X = / sin ф0 — k cos ф0.
Мгновенное винтовое движение боковой плоскости шлица рассмотрим как со-
вокупность вращения с угловой скоростью |со| = 1 и поступательного движения со
скоростью |рп| = р (где р — параметр винтового движения). Тогда скорость произ-
вольной точки боковой плоскости шлица при мгновенном винтовом движении
V = vn 4- [СО X р].
В системе X0E0Z0 векторы vn, со, идущие по оси СС, и радиус-вектор р записывают
следующим образом:
со = / cos 8 — /sine; vn = ip cose — /psine; p = ixQ 4~ 1Уо + kz0.
Основы конструирования режущей части
на базе исходного тела инструмента
Следовательно,
v = ip cos e — jp sin 8 4-
i
COS 8
1	k
— sin 8 0
Уо	*0
%0
Tfi
Раскрыв определитель и преобразовав, получим
v = i (р cos е — z0 sin e) — / (z0 cos 8 4- p sin 8) 4- ~k (y0 cos e 4- x0 sin 8).
Уравнение контакта (N • v = 0) для рассматриваемого случая
- sin ф0 (— p sin e — z0 cos 8) — cos ф0 (yQ cos 8 + x0 sin 8) = 0.
Отсюда
Xo = — tg l|50 (p + z0 ctg e) — yB ctg 8.
Совместное рассмотрение уравнения контакта с уравнением боковой плос-
кости шлица и формулами преобразования координат определяет исходную инстру-
ментальную поверхность.
Координаты точек контакта, т. е. точек характеристики, в любой произвольно
выбранный момент времени t можно рассчитать следующим образом:
возьмем на поверхности детали образующие А ВСЕ, у которых zx и уг следующие
Точки	z„ мм	Z/1, мм	ч?
А	26,5	7,23	60
В	21,7	4,5	60
С	21,7	—4,5	90 4-30= 120
Е	26,5	—7,23	90 4-30 = 120
По формулам преобразования координат определим координаты z0» г/0 ПРИ ~
Точки	?о. мм	t/о» мм	Точки	г0, мм	t/0, мм
А	—37	7,23	С	—41,8	—4,5
В	—41,8	4,5	Е	—37	—7,23
Точки контакта в системе X0K0Z0 на образующих А ВСЕ определяем по уравне-
нию контакта
*0 = — tg Ч>0 (г0 ctg 74° 30' + 10) — у0 ctg 74е 30'.
Произведя подсчеты, получаем:
Т очки	А	в	С	Е
х0, мм	— 1.5	+ 1,52	— 1,52	+ 1,5
Общие
положения ** •
Соответствующие точки характеристики, т. е. линии контакта исходной инстру-
ментальной поверхности и поверхности детали, в системе X2Y2Z2 определяем по фор-
мулам преобразования координат. При t — О
х2 — У о 8*п т + хо cos т'« z2 — 2о — а> У 2 — Уоcos т — хо sin т-
Расчеты по написанным соотношениям дают следующие величины координат
точек характеристик, расположенных на исходной инструментальной поверхности:
Точки	х2, мм	у2, мм	г2, мм
А	—0,67	7,35	—40,7
В	2,0	4,3	—45,5
С	—2,0	—4,3	—45,5
Е	0,67	—7,35	—40,7
Прямые АВ и СЕ и будут характеристиками в моменты времени t = 0. Эти пря-
мые могут быть приняты за режущие кромки однозубой (червячной) фрезы постоян-
ной установки, предназначенной для обработки шлицевого вала методом обкатки.
Рассматривая моменты времени tly /2, /3, можно подобным образом отыскать дру-
гие характеристики, которые также могут быть приняты за режущие кромки инстру-
мента. Таким путем можно спроектировать многозубую фрезу постоянной установки
с прямолинейными режущими кромками, предназначенную для обработки шлицевого
вала методом обкатки.
Следует заметить, что приводимое в литературе для фрез постоянной установки
утверждение о совпадении ее профиля с профилем впадины на детали, является не-
точным, и профилирование фрез, базирующееся на этом соображении, является при-
ближенным. Анализ уравнения контакта показывает, что контакт исходной инстру-
ментальной поверхности и поверхности детали в плоскости Хо = 0 одновременно во
всех точках профиля не имеет места.
При линейном контакте исходной инструментальной поверхности И и поверх-
ности детали Д или их совпадении может иметь место такой случай, когда все точки
поверхности И будут взаимозаменяемыми. Любая точка исходной поверхности И
может быть введена в соприкосновение с любой точкой поверхности детали. Тогда
для того, чтобы сформировать поверхность детали, требуется на режущей кромке
инструмента воспроизвести только одну профилирующую точку, лежащую на исход-
ной поверхности. Подобный случай контакта имеет место, например, при точении
цилиндрического вала, когда исходная инструментальная поверхность И совпа-
дает с поверхностью детали и любая точка поверхности И может быть введена в
соприкосновение с любой точкой поверхности детали вращением заготовки вокруг
ее оси и поступательного движения инструмента вдоль оси детали. Поэтому теорети-
чески достаточно на резце иметь одну профилирующую точку режущей кромки,
чтобы сформировать заданную поверхность детали. Практически в формировании
цилиндрической поверхности при точении проходными резцами участвует неболь-
шой участок вершинной кромки.
Исходная инструментальная поверхность И и поверхность детали Д могут
соприкасаться друг с другом только в одной точке. Точка контакта в процессе обра-
Основы конструирования режущей части
на базе исходного тела инструмента
Рис. 1$. Схема определения
профиля передней поверхности
однокромочного шевера

точкой линии Л, Поэтому
части
на
ботки будет перемещаться
как по поверхности детали,
так и по исходной инстру-
ментальной поверхности.
На исходной инструмен-
тальной поверхности И
можно отыскать линию Л
ее контакта с поверхностью
детали Д. Точки линии Л
могут быть взаимозаменяе-
мы, и произвольная точка
поверхности детали Д мо-
жет быть введена в сопри-
косновение с любой из то-
чек линии Л. Тогда для
образования поверхности
детали достаточно создать
на режущей части инстру-
мента одну формообразую-
щую точку режущей кром-
ки, расположенную на ли-
нии Л. Точки линии Л
контакта поверхности И с
поверхностью детали могут
быть невзаимозаменяемы-
ми. Произвольная точка
поверхности детали может
быть образована только од-
ной соответствующей ей
1та необходимо воспроизвес-
ти всю линию Л, чтобы в точном соответствии с чертежом обработать заданную по-
верхность детали.
На практике, однако, применяются инструменты, у которых линия Л воспроиз-
водится как совокупность ряда ее точек, в результате чего поверхность детали будет
иметь соответствующие погрешности — огранку. Проектируя инструменты и выби-
рая режимы резания, необходимо добиваться того, чтобы эти погрешности лежали в
допустимых пределах. Примером подобных инструментов могут служить червячные
фрезы для обработки цилиндрических эвольвентных зубчатых колес. Исходной ин-
струментальной поверхностью этих инструментов является эвольвентный червяк,
имеющий точечный контакт с боковой поверхностью зуба колеса. Если число режу-
щих кромок бесконечно велико, а подача фрезы мала, то можно считать, что линия
контакта Л будет полностью воспроизводиться инструментом, и будет обеспечена
теоретически точная обработка поверхности детали. Однако червячная фреза имеет
конечное число зубьев, поэтому линия Л воспроизводится как совокупность ряда то-
чек. Эвольвентный профиль зуба колеса создается в результате ограниченного числа
резцов и имеет соответствующую огранку. Однако рассматриваемые погрешности не-
велики и ими обычно можно пренебречь.
Общие
положения
59
В случае точечного контакта исходной инструментальной поверхности и поверх-
ности детали наряду с многозубыми можно создавать однозубые инструменты, при-
няв за режущую кромку линию Л.
Рассмотрим схему образования цилиндрической эвольвентной поверхности Д
зубьев прямозубого колеса, включающую вращение заготовки вокруг своей оси и
вращение инструмента вокруг его оси (рис. 19). Угол между осями заготовки и ин-
струмента обозначим р. Рассматриваемая схема обработки соответствует винтовой
передаче, когда деталь представляет собой прямозубое эвольвентное колесо, а ин-
струментальная поверхность — косозубое колесо. Образуем исходную инструмен-
тальную поверхность с точечнььм контактом при помощи вспомогательной произво-
дящей поверхности.
Примем, что вспомогательная производящая поверхность Т совершает поступа-
тельное движение со скоростью v, перпендикулярной к оси заготовки. Тогда движе-
ние поверхности детали Д относительно поверхности Т будет качением начального
цилиндра радиуса связанного с заготовкой по начальной плоскости, которая свя-
зана с поверхностью Т. Поверхность Т, как огибающая эвольвентных зубьев коле-
са, будет поверхностью прямозубой зуборезной рейки. Угол ап профиля рейки в
нормальном сечении будет равен углу давления эвольвенты зуба радиуса гг. При
рассматриваемых движениях контакт зубьев колеса и зубьев рейки наблюдается в
плоскости зацепления W, которая проходит через полюс р перпендикулярно к боко-
вой плоскости зуба рейки Т. Чтобы определить исходную инструментальную поверх-
ность, необходимо рассмотреть движение рейки Т относительно инструмента. По-
ступательное движение рейки Т со скоростью v разложим на два поступательных
движения:
у =	+ и2.
Движение со скоростью v2 приводит к перемещению рейки Т «самой по себе»,
поэтому его при определении поверхности И можно не учитывать. Тогда движение
рейки Т относительно инструмента можно представить как качение начального ци-
линдра радиуса г2 по начальной плоскости рейки Т. Огибающая рейки Т при ее рас-
сматриваемом движении будет эвольвентной винтовой поверхностью зуба косозу-
бого колеса. Угол давления эвольвенты на радиусе г2 будет равен углу as профиля
рейки в сечении, перпендикулярном оси исходной поверхности. Касание поверхнос-
ти зубьев рейки Т и эвольвентной винтовой поверхности зуба колеса будет наблю-
даться в плоскости зацепления /?, которая проходит через полюс р под углом as к
горизонтальной плоскости проекций Н. Линией пересечения плоскостей N и R бу-
дет прямая СРВ. В точках этой линии будет наблюдаться контакт боковой поверх-
ности зуба прямозубого колеса с поверхностью рейки Тис эвольвентной винтовой
поверхностью косозубого колеса, являющейся исходной инструментальной поверх-
ностью, т. е. прямая СРВ будет линией зацепления. Точки исходной боковой эволь-
вентной винтовой поверхности при ее вращении вокруг оси Х2 будут попадать в
определенные моменты времени на линию зацепления и соприкасаться с соответст-
вующими точками боковой поверхности зубьев обрабатываемого колеса. Чтобы оты-
скать рассматриваемые точки контакта на эвольвентной винтовой исходной поверх-
ности, сообщим линии зацепления СВ и исходной поверхности вращение вокруг
оси Х2, обратное вращению инструмента. Тогда исходное косозубое колесо будет как
Основы конструирования режущей части
на базе исходного тела инструмента
бы неподвижным, а линия зацепления СВ опишет в пространстве гиперболоид вра-
щения, профиль которого будет линией mke.
В результате пересечения гиперболоида вращения с исходной боковой эволь-
вентной винтовой поверхностью создается линия Л, ка«к совокупность точек поверх-
ности И, которые в соответствующие моменты времени соприкасаются с сопряжен-
ными точками поверхности детали. Превращая исходное косозубое колесо в инстру-
мент, линию Л можно принять за режущую кромку, поверхность гиперболоида вра-
щения — за переднюю поверхность, а исходную инструментальную поверхность
зубьев — за заднюю поверхность. Тогда получим инструмент, называемый одно-
кромочным шевером, с помощью которого можно обработать одну боковую стерону
зубьев прямозубого колеса. Чтобы обработать обе стороны зуба колеса, используют
два однокромочных шевера. Шеверы А и Б и обрабатываемое колесо вращаются
вокруг своих осей, образуя винтовую передачу. Одновременно в зацеплении с коле-
сом находится один инструмент, обрабатывающий одну из сторон зуба колеса. Вра-
щающееся колесо из крайнего левого положения перемещается вдоль своей оси, вхо-
дит в соприкосновение с инструментом, в результате чего обрабатывается одна сто-
рона зуба. Затем в рабочее положение подводится инструмент Б, колесо перемеща-
ется к инструменту и производится отделка второй стороны зуба.
Таким образом, при определении формы и размеров режущей части необходимо
рассмотреть условия контактирования поверхностней И и Д и воспроизвести на ре-
жущих кромках инструмента профилирующие точки исходной поверхности И, с
помощью которых можно сформировать с требуемой точностью заданную поверх-
ность детали.
§ 14. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПАРАМЕТРЫ
РЕЖУЩЕЙ ЧАСТИ ИНСТРУМЕНТА
Для того чтобы тело, ограниченное исходной поверхностью И, превратить в ра-
ботоспособный инструмент, необходимо на его режущих кромках создать такие
геометрические параметры: передние углы у, задние углы а, углы наклона режущих
кромок Z. Многочисленными экспериментами и данными производства доказано,
что одним из важных путей совершенствования инструментов и повышения произ-
водительности обработки является создание оптимальных геометрических парамет-
ров на режущей части.
Оптимальными величинами геометрических параметров обычно считают такие,
которые обеспечивают наивысшую стойкость инструмента при его определенном
износе. Однако при некоторых конкретных условиях эксплуатации инструмента
целесообразно отходить от подобного выбора геометрических параметров и опреде-
лять их в зависимости от других факторов. К таким факторам может относится,
например, высокая размерная стойкость инструмента, что особенно важно для ра-
боты автоматических линий.
Размерная стойкость режущего инструмента определяется количеством деталей,
полученных в пределах допуска без регулирования или смены инструмента. Опыт
эксплуатации инструмента на автоматических линиях показывает, что размерная
стойкость составляет только некоторую долю общей стойкости инструмента, опреде-
ляемой износом инструмента и потерей им режущей способности.
В некоторых случаях выбор величин геометрических параметров инструмента
обусловливается необходимостью обеспечить требуемую точность обработки. Так,
Геометрические параметры
режущей части инструмента
например, заметное влияние на точность обработки зубчатых колес долбяками ока-
зывают величины передних и задних углов. Их увеличение приводит к возрастанию
погрешностей обработки профиля зуба колеса. Поэтому в этом случае оказывается
целесообразным выбирать небольшие величины передних и задних углов чистовых
долбяков, не превышающих 5°.
Величина оптимального переднего угла зависит от свойств обрабатываемого и
инструментального материалов. С увеличением прочности и твердости обрабатывае-
мого материала оптимальный передний угол уменьшается, а с увеличением прочнос-
ти инструментального материала — возрастает. Ориентировочно при обработке ин-
струментом из быстрорежущей стали алюминиевых и магниевых сплавов передние
углы уд? = 20	30°, конструкционных сталей yN = 20—10°, легированных конст-
рукционных сталей ун = 10-4-5°, высоколегированных сталей ун = 15 4- 0°,
чугуна ун = 10 4- 0°, титановых сплавов ун = 8 -4- 3°. Для инструментов из твер-
дых сплавов передние углы выбираются меньшие по величине и при обработке раз-
личных материалов колеблются в пределах от —10° до 4-10°.
Оптимальная величина заднего угла в основном зависит от толщины срезаемо-
го слоя.
Многолетней практикой и исследованиями установлено, что с уменьшением тол-
щины срезаемого слоя оптимальные величины задних углов увеличиваются. При
черновой обработке задние углы обычно берутся в пределах от 5 до 10°, а при чисто-
вой — от 10 до 15°. У инструментов типа прорезных фрез, снимающих весьма тонкие
сечения среза, задние углы увеличиваются до 20—30°. Однако с увеличением заднего
угла шероховатость обработанной поверхности увеличивается, а размерная стойкость
уменьшается. Поэтому для случаев, когда требуется высокая точность и небольшая
шероховатость, величина заднего угла должна быть не более 10°.
Стремление снизить нормальное давление на задней поверхности привело к соз-
данию инструментов, имеющих фаски на задней поверхности шириной / = 0,07 4-
4- 0,1 мм при заднем угле на фаске <%ф = 0. Такая фаска укрепляет режущую кром-
ку, замедляет износ и снижает интенсивность роста шероховатости обработанной
поверхности.
Угол наклона режущей кромки X у разных инструментов колеблется от 0° до
60° и имеет различное назначение.
Так, для того чтобы обеспечить отвод стружки в требуемом направлении, угол
X выбирают в пределах от 5 до 15°. Угол X влияет на процесс стружкообразования,
на усадку стружки, на интенсивность износа режущих элементов инструмента, на
увеличение исходной номинальной контактной площадки на передней поверхности,
что приводит к изменению силовой и тепловой напряженности на контактных пло-
щадках. Это обстоятельство используется, например при конструировании инстру-
ментов для обработки закаленных сталей, где оптимальная величина угла X доходит
до 45°. Угол X = 30 4- 45° принимается у концевых фрез при неравномерном шаге
их зубьев. Опыты по фрезерованию жаропрочных сплавов парными цилиндрически-
ми фрезами показали, что наилучшие результаты достигаются при угле X = 60°.
Механическая обработка инструментами с большим рабочим углом X особенно
эффективна при срезании тонких стружек. В этом случае значение угла X = 60 4-
4-80°, что имеет место, например у шевера. Для нежестких инструмен-
тов и при обработке нежестких деталей рекомендуется величины углов X сни-
жать.
Основы конструирования режущей части
на базе исходного тела инструмента
Для определенных конкретных условий обработки существует оптимальное со-
четание геометрических параметров режущей части инструмента, обеспечивающее
наивысшую его стойкость. Причем отклонение любого из параметров от его опти-
мального значения приводит к необходимости изменять величины и других парамет-
ров, для того чтобы обеспечить при этом максимально возможную стойкость инстру-
мента. Так, увеличение переднего угла приводит к необходимости уменьшать задний
угол и наоборот. Например, при обработке стали средней твердости резцом с перед-
ним углом у = 30 4- 35° задний угол должен быть уменьшен до 4—6°.
Увеличение угла наклона режущей кромки X вызывает уменьшение оптимальной
величины переднего угла у.
Опыты показывают, что величины геометрических параметров оказывают зна-
чительное влияние на работу инструмента. Например, отклонение величины перед-
него угла только на 5° против его оптимального значения может привести к снижению
стойкости у резцов до 3 раз, у фрез — до 2 раз; отклонение величины заднего
угла на 5° может вызывать уменьшение стойкости у резцов в 2 раза, у фрез — до
5 раз и привести к выкрашиванию режущих кромок в случае увеличения задних
углов.
При выборе геометрических параметров режущей части инструмента необходи-
мо иметь в виду, что излишняя их дифференциация в соответствии с конкретными ус-
ловиями работы инструмента, сильно осложняет инструментальное хозяйство.
В связи с этим целесообразно устанавливать определенные группы геометрических
параметров применительно к наиболее распространенным условиям работы.
На характер изменения геометрических параметров режущей части непосредст-
венно влияют формы передних и задних поверхностей, так как величины передних
и задних углов с одной стороны ограничены линиями, касательными к рассматрива-
емым поверхностям.
Наиболее простой формой передних и задних поверхностей инструмента явля-
ется плоская. Плоская поверхность режущей части является наиболее распростра-
ненной для большинства инструментов. Однако опыты показывают, что стойкость
инструмента может быть значительно повышена, если вдоль режущей кромки с по-
ложительным передним углом значительной величины порядка +30° для инстру-
ментов из быстрорежущей стали и +15° для твердосплавных инструментов зато-
чить узкую фаску с малым передним углом уф =0 4- 10°. Ширина фаски должна
примерно равняться толщине срезаемого слоя для быстрорежущих инструментов
и в 1,5—2 раза превышать ее для инструментов, оснащенных твердым сплавом. На-
ходит применение криволинейная форма передней поверхности с фаской. Профиль
криволинейной передней поверхности в сечении, перпендикулярном к режущей
кромке, очерчивается по дуге окружности. Такая форма передней поверхности обес-
печивает завивание стружки. Размеры криволинейной выточки зависят в основном
от толщины срезаемого слоя: чем больше толщина среза, тем больше берется радиус
выемки и ее ширина.
Эксперименты, проведенные в основном в лабораторных условиях, показы-
вают, что повышения стойкости инструмента можно достигнуть за счет использова-
ния фасонной передней поверхности с криволинейным профилем в сечении, парал-
лельном режущей кромки. Так, например, были опробованы резцы с криволинейной
режущей кромкой, которая образовывалась путем прорезания плоской задней по-
верхностью цилиндрической круговой передней поверхности диаметром d. Стойкость
Геометрические параметры
режущей части инструмента
таких резцов была в несколько раз больше стойкости обычного проходного резца.
После износа резец перетачивают только по задней плоскости. Задняя поверхность
инструментов может также выполняться с фаской, шириной 0,07—0,1 мм и задним
углом С1ф = 0. Такая фаска снижает интенсивность радиального износа и роста ше-
роховатости обработанной поверхности. Фаски на задней поверхности с отрицатель-
ным задним углом от —5 до —45° гасят вибрации.
При конструировании инструмента и оценке его работоспособности важным
является вопрос выбора системы отсчета геометрических параметров режущей части.
При прямоугольном резании (X = 0) передний у и задний а углы в процессе ре-
зания принято измерять в плоскости, перпендикулярной режущей кромке. В этом
случае эта плоскость проходить через вектор скорости v перпендикулярно поверх-
ности резания и соответствует направлению движения стружки по передней поверх-
ности.
При косоугольном резании (X =/= 0) нет единого мнения по вопросу измерения
переднего у и заднего а углов. Это вызвано тем, что до сих пор еще недостаточно изу-
чены влияния различных углов инструмента на физические явления, происходящие
в процессе резания.
Передний и задний углы могут измеряться в сечении, перпендикулярном к ре-
жущей кромке, и обозначаться у#, ад/, в главной секущей плоскости, перпендику-
лярной плоскости резания и проходящей через вектор скорости и, и обозначаться
у и а.
Ведущие специалисты в области резания металлов считают, что определение пе-
редних и задних углов в одной секущей плоскости создает определенные практичес-
кие преимущества, но с научной точки зрения представляется необоснованным. Счи-
тается, что задний угол следует измерять в поверхности движения или плоскости,
касательной к ней.
Ряд исследователей полагают, что передний угол ут должен измеряться в на-
правлении схода стружки по передней поверхности инструмента, так как контактные
процессы происходят именно в этом направлении и интегральная сила, необходимая
для превращения срезаемого слоя в стружку, также зависит от этого направления.
Можно вывести следующие зависимости для определения передних и задних углов
в различных системах отсчета:
tg y,v = tg у cos X; ctg Un = ctg a cos X;
sin y? = 1 — cos2 X (1 — sin уд/).
При выводе последней формулы было принято, что направление схода стружки
по передней поверхности составляет угол X с перпендикуляром к режущей кромке,
проведенным также в передней плоскости. Под передним углом ут понимался угол
между плоскостью, перпендикулярной к вектору скорости резания, и касательной
к передней поверхности инструмента в направлении схода стружки.
Рассматриваемые углы, характеризующие взаимное положение режущего кли-
на инструмента и поверхности резания, наблюдаемое в процессе обработки, принято
считать кинематическими углами или геометрическими параметрами режущей час-
ти инструмента в процессе резания.
Проектируя режущий инструмент, конструктор должен назначить определенные
величины передних и задних углов в выбранной системе отсчета, удобной для изго-
Основы конструирования режущей части
на базе исходного тела инструмента
Рис. 20. Геометрия резцов с до-
полнительной режущей кромкой
товления и контроля инструмента. Эти углы обычно
называют статическими геометрическими параметрами
режущей части инструмента. Они характеризуют по-
ложение передних и задних поверхностей и могут за-
даваться в различных системах отсчета и зачастую не
совпадать с геометрическими параметрами в процессе
резания.
При решении вопроса выбора статических геомет-
рических параметров конструктор должен опираться
на накопленный опыт в области обработки металлов
резанием. Проектируя новый инструмент, ему прихо-
дится решать, в какой системе отсчета необходимо
сохранить найденные опытным путем оптимальные ве-
личины геометрических параметров в процессе реза-
ния для другого инструмента. Решение этого вопроса требует дополнительных глу-
боких исследований в области изучения процесса резания металлов различными
режушими инструментами. Однако было бы целесообразным, чтобы результаты по-
добных исследований как рекомендации конструктору инструмента выдавались
в одной единой системе отсчета. Такой единой системой отсчета передних и задних
углов инструмента может служить сечение, перпендикулярное к режущей кромке.
Решение рассматриваемого вопроса облегчается тем, что в значительном числе
случаев инструменты проектируются с малыми углами наклона режущей кромки
X либо равными нулю, когда сечение, перпендикулярное к режущей кромке, совпа-
дает с главной секущей плоскостью и с плоскостью схода стружки.
Следует также учитывать, что очень часто величины геометрических параметров
не остаются постоянными при переходе от одной точки режущей кромки к другой и
не представляется возможным обеспечить независимые величины геометрических
параметров в различных точках кромки. В фиксированной исследуемой точке кром-
ки геометрические параметры могут изменяться во времени. В этом случае создают
оптимальные геометрические параметры в наиболее нагруженных точках либо стре-
мятся к тому, чтобы их средние значения на режущей части были близки к оптималь-
ным величинам.
Таким образом, для того чтобы спроектировать работоспособный инструмент
и оценить его режущую способность, необходимо уметь определять величины гео-
метрических параметров на режущей части в процессе резания и их изменения.
В зависимости от конструкции режущего инструмента и измерительных средств
для контроля углов при изготовлении может возникнуть необходимость пересчета
углов, рассматриваемых в различных секущих плоскостях. Так, определение перед-
них и задних углов в продольном и поперечном сечениях имеет большое практичес-
кое значение при заточке резцов, зубьев торцовых фрез, конструировании сборных
инструментов. Способы решения подобных задач могут быть различные. Например,
можно воспользоваться положением о том, что смешанное, векторно-скалярное про-
изведение трех векторов, лежащих в одной плоскости, равно нулю.
Используя это положение, проанализируем геометрию резцов с дополнитель-
ной режущей кромкой (рис. 20), которая расположена параллельно оси обрабаты-
ваемой заготовки. Это обеспечивает получение повышенного класса чистоты обрабо-
танной поверхности. Определим, при каких соотношениях геометрических парамет-
3 С.—2SC6	Геометрические параметры
режущей части инструмента °*-'
ров главной режущей кромки дополнительная кромка будет идти параллельно оси
заготовки. В системе координат XYZ запишем вектор р, идущий по главной режу-
щей кромке. Длину вектора р выберем так, чтобы длина его проекции на ось X бы-
ла равна единице. Тогда
р = i + HgX.
Предположим, что длина проекции вектора ръ идущего по дополнительной кром-
ке, на ось X равна единице. Тогда
Ра = — 7 + 7 tg Ф-
Определим вектор /г, расположенный на линии пересечения передней плоскости
с плоскостью YZ:
п =~j—ktg у.
Все рассматриваемые векторы лежат в одной передней плоскости, поэтому и>
смешанное произведение
[р X п\ • Pi = 0.
Выразим это произведение в координатной форме:
0 tgX
1	— tg у
tg ср 0
= 0.
Вычислив определитель, получим
tg<ptgт4- tgЛ = 0.
Это соотношение определяет связь величин ф, у и X, при которой дополнительная
режущая кромка параллельна оси заготовки. Из трех величин углов ф, у и X две
можно выбирать произвольно, а третью нужно определить.
Так, если выбрать независимо углы ф и у, то угол X необходимо рассчитать ц
формуле
tgX = — tg ф tg у.
В частном случае при заданном угле ф#=0 можно принять угол X = 0. Тогда
tg<ptgy = 0.
Отсюда у = 0.
Подобные задачи по определению передних и задних углов в различных секу-
щих плоскостях можно решать графически, используя методы начертательной гео-
метрии. Так, например, графически по заданным величинам задних углов резца в
продольном апр и поперечном ап сечениях, а также величине угла в плане ф опреде-
лим угол наклона режущей кромки X и задний угол а, измеряя его в главной секущей
плоскости. Выберем систему плоскостей проекций V, Н, IF. За плоскость Н примем
опорную плоскость резца, за плоскость V — поперечное сечение, перпендикулярное
оси резца, за плоскость W — продольное сечение.
В выбранной системе плоскостей проекций берем (рис. 21) произвольную точку
а режущей кромки резца. Через эту точку а в продольном и поперечном сечениях
проводим прямые ab и ас, лежащие на задней плоскости резца. Положение прямой
Основы конструирования режущей части
на базе исходного тела инструмента
Рис. 21. Графическое определение углов резца
ab характеризуется углом
апр, который в истинную
величину проектируется на
плоскость W, так как она
идет параллельно продоль-
ному сечению. Положение
прямой ас характеризу-
ется углом ап, который в
истинную величину проек-
тируется на плоскость V.
Для того чтобы определить
угол наклона режущей
кромки X, под углом <р про-
водится через точку с гори-
зонтально проектирующая
плоскость Р. Эта плоскость
с прямыми ас и ab пересе-
кается в точках сие. Ли-
ния се параллельна режу-
щей кромке резца. Угол,
составляемый прямой се с
плоскостью //, будет утлом
наклона режущей кромки.
Его истинная величина на-
ходится в проекции на
плоскость Q, которая па-
раллельна плоскости Р.
Угол X заключен между
прямой с"'е"г и следом
Q//7.
Рис. 22. Геометрия резца при установке выше центра
Чтобы определить задний угол а, измеряемый в главной секущей плоскости, про-
водим через точку а горизонтально проецирующую плоскость N. С линией се плос-
кость N пересекается в точке k. Поэтому прямая ak будет линией пересечения задней
плоскости резца и плоскости А/. Положение этой прямой определяет задний угол а,
величина которого без искажения проецируется на плоскость S, параллельную
плоскости Af. Угол между линией alvZ?IV и перпендикуляром к следу S/H будет
искомым задним углом а.
При анализе геометрии режущих инструментов в ряде случаев возникает не-
обходимость определять углы между двумя линиями, т. е. между двумя векторами.
Угол между векторами А и В может быть подсчитан по формуле
М • В)
COS 8 —	_ -- .
V м I2 • | fi|2
Так, например, найдем угол наклона Хр в исследуемой точке С режущей кромки рез-
ца в процессе резания, у которого режущая кромка горизонтальна, при его установ-
ке выше центра (рис. 22).
3*
Геометрические параметры
режущей части инструмента ” •
По горизонтальной режущей кромке резца проведем вектор р. В системе XYZ
он может быть записан так:
Р = I + 7 tg ф.
Расстояние от режущей кромки резца до оси заготовки обозначим через h, а
радиус исследуемой точки С через Rx. Тогда угол ц будет равен:
/г
sin и •
Вектор v скорости резания в точке С при ее вращении вокруг оси заготовки
v = — / tg р, + k.
Угол между векторами р и v равен 90° — Лр. Поэтому
Выражая векторы v и р через их координаты, получаем
Я1-п у =________— tg р tg <р___
р ± V (1 + tg2 ц) (1 + tg2 ф)
Отсюда
sin Хр = sin фэш р.
По этой формуле может быть подсчитан угол наклона режущей кромки в любой
ее точке при установке рассматриваемого резца выше центра. Установка резца выше
центра вызывает также изменения в величинах передних и задних углов. Это вызва-
но тем, что отсчет, например статического заднего угла а к резца, который рассматри-
вается как геометрическое тело, производится от плоскости, проходящей через ре-
жущую кромку перпендикулярно плоскости проекции И. Плоскость же резания в
процессе резания, в силу установки резца выше центра, будет занимать наклонное
положение по отношению к плоскости Н. Угол между плоскостью резания и гори
зонтально-проектирующей плоскостью, проходящей через режущую кромку, обо
значим т. Этот угол будем измерять в нормальном сечении, перпендикулярном ре
жущей кромке. Тогда задний угол в процессе резания в нормальном сечении
ар = av — т.
Соответственно передний угол
?р =
Угол т как двугранный угол между двумя плоскостями может быть найден как
угол между нормалями к плоскостям по формуле
X УУ2]|
g • ^2)
Нормаль A/j к горизонтально-проектирующей плоскости, проходящей через ре-
жущую кромку,
Mi = — ^ф + /.
Основы конструирования режущей части
на базе исходного тела инструмента
Нормаль М2 к плоскости резания является векторным произведением векторов
v и р, расположенных в этой плоскости,
М2 = [их р].
записывается так:
В координатной форме это произведение
М2 = О
1
/
— tgp
tg Ф
k
О
Раскрыв определитель, получим
w2 = о— tg ф) + 7 + k tg р.
Векторное произведение
[Лг} х Му] = — tgср 1
Следовательно,
k
О
— 1£ф 1 tg р.
[iVi х М2\ = ~t tg и + 7 tg ф tg р.
Отсюда
| [Л\ х N2] I = ]/ tg2 н + tg2 <Р tg2 (1 =
Скалярное произведение
(л\ • ^)=tg2 ф+1 =	•
Тогда для подсчета угла т получим следующую формулу:
.	tg p/COS ф	,
fgT = l/cos2<T=tg(XCOS<P-
Так как угол р зависит от радиуса 7?х, угол т будет изменяться вдоль режущей
кромки и соответственно переменными будут передние и задние углы резца.
Зная колебания угла т, углы ад- и у и при проектировании рассматриваемого рез-
ца подбирают так, чтобы углы ар и ур были близки к их оптимальным значениям.
Анализ геометрических параметров режущей части инструментов позволяет на-
ходить их наиболее целесообразные конструкции с точки зрения характера измене-
ния передних и задних углов вдоль режущей кромки.
Рассмотрим геометрические параметры режущей части призматического фасон-
ного резца, предназначенного для обработки поверхности детали (рис. 23). Будем
(.читать, что передняя плоскость резца проходит через ось детали. Режущая кромка
резца АВСЕ, являясь линией пересечения передней плоскости и поверхности детали,
будет совпадать с профилем детали. В любой точке режущей кромки передние углы
и углы наклона режущей кромки будут равны нулю. База крепления такого резца
может быть параллельна оси детали. В этом случае на участке ВС режущей кромки
задние углы равны нулю, что приводит к интенсивному износу резца в зоне В режу-
щей кромки.
Геометрические параметры
режущей части инструмента
Для того чтобы на
участке ВС режущей кром-
ки получить положитель-
ные задние углы, применя-
ют фасонные призматичес-
кие радиальные резцы с на-
клонной базой крепления.
В этом случае величины
задних углов на различных
участках режущих кромок
зависят от угла 8. Опреде-
лим, какой величины угол
8 установки базы крепле-
ния необходимо принять,
чтобы на всех участках ре-
жущей кромки получить
х
Рис. 23. Геометрия задней поверхности призматического фасон-
ного резца
одинаковые величины задних углов при их измерении в нормальном к режущей
кромке сечении. Задний угол в торцовом сечении резца, который создается за счет
наклонной установки его в державке, обозначим а. По известной величине угла а,
измеряемого в сечении I—/, определим задние углы в нормальных сечениях на уча-
стках АВ и ВС режущей кромки. Для этого в плоскости, касательной к задней по-
верхности, проведем три вектора 3, Зг и р. Вектор 3 лежит в сечении I—I, вектор
Зг — в нормальном к режущей кромке сечении, вектор р идет по режущей кромке.
В системе XYZ векторы 3, Зп р записывают так:
3 — i sin 8 j cos 8 — k ctg a;
Зг = i tg ofy — k\ p = i.
Смешанное произведение этих векторов, лежащих в одной плоскости,
1 О
sine cos 8
О tg a/у,
О
— ctg a
— 1
Раскрывая определитель и определяя tg aN , получаем
tg aw, = tg a cos 8.
По этой формуле рассчитываются величины задних углов измеряемых в
нормальном сечении на участке АВ режущей кромки.
Для того чтобы определить задние углы на участке ВС кромки, в исследуемой
точке проведем три вектора 3,3 2 и р2. Вектор 3 идет по линии пересечения задней
поверхности и сечения /—/. Вектор 32 — в нормальном сечении по касательной к
задней поверхности, вектор р2 — по режущей кромке ВС. Векторы 3, 32, р2 записы-
ваются таким образом:
3 = i sin 8 + j cos 8 — k ctg a;
32 = i tg a/v, —	P2 = /.
F7A Основы конструирования режущей части
• 'J на базе исходного тела инструмента
Смешанное произведение этих векторов равно нулю, так как они лежат в одной
плоскости, касающейся в исследуемой точке кромки задней поверхности:
О
tg а*,
sin е
1 О
О	— 1	= 0.
cos е — ctg а
Раскрыв определитель, получим
tgajy2 = tga sin е.
По этой формуле рассчитываются величины задних углов а^г, измеряемых в
нормальном сечении, на участке ВС режущей кромки. Если принять, что задние
углы в нормальном сечении на участках АВ и ВС равны друг другу, то
tg a cos 8 = tg a sin 8.
Отсюда tg 8 = 1 и 8 = 45°.
Таким образом, для того чтобы в рассматриваемом случае обработки детали на
всем протяжении режущей кромки призматического радиального резца получить
одинаковые величины задних углов необходимо базу крепления установить
наклонно для обеспечения величины угла установки 8, равной 45°.
Этот пример показывает, что, изменяя конструктивные параметры инструмента,
можно влиять на характер изменения геометрических параметров режущей части.
Поэтому возникает проблема оценить, при каком характере изменения геометриче-
ских параметров на режущей части инструмент будет наиболее износостойким и высо-
копроизводительным, т. е. проблема выбора оптимальной конструкции инструмента
с точки зрения характера изменения геометрических параметров на режущей части.
Эта проблема еще не решена. Наиболее часто решение подобных задач проводится
экспериментально путем сравнительных испытаний инструментов с различным ха-
рактером изменения геометрических параметров на режущей части. Оптимальная
геометрия режущей части инструмента в настоящее время уточняется эксперимен-
тально.
§ 15. О РАСПРЕДЕЛЕНИИ РАБОТЫ РЕЗАНИЯ
МЕЖДУ РЕЖУЩИМИ КРОМКАМИ ИНСТРУМЕНТА
В процессе резания в результате взаимодействия обрабатываемого и инструмен-
тального материалов контактные площадки на передних и задних поверхностях ин-
струмента изнашиваются. Износ инструмента происходит непрерывно. При опреде-
ленной величине износа, соответствующей принятой величине критерия затупления,
инструмент снимают со станка и перетачивают. Наиболее часто наблюдается нерав-
номерный износ инструмента вдоль режущих кромок. Например, наиболее интен-
сивно изнашивается вершина резца, уголки на периферийных участках режущих
кромок сверла. После того как относительно небольшой участок кромки износится
до принятого критерия затупления, инструмент следует переточить, хотя другие
участки кромок еще способны производить резание. Так, например, суммарный
О распределении работы резания
между режущими кромками инструмента •
периметр режущих кромок зубьев червячной фрезы модуля 5 мм приблизительно
равен 1500 мм. До полного же износа, после которого производят переточку, дово-
дятся только около 5—6 мм длины режущих кромок. Это вершины трех — четырех
зубьев, расположенных ближе к центру заготовки. Причина такого нерационально-
го использования режущих кромок заключается в том, что отдельные участки за-
гружены неравномерно. Интенсивный износ имеет место на тех участках, где усло-
вия работы наиболее тяжелые.
Степень совершенства конструкции режущего инструмента, наряду с соответст-
вием величин геометрических параметров их оптимальным значениям, характери-
зуется также равномерностью нагрузки различных участков их режущих кромок.
Нагрузка исследуемой точки режущей кромки при обработке заданной заготовки из-
вестным инструментом характеризуется главным образом скоростью резания и,
толщиной среза а, а также продолжительностью ее контакта с материалом заготовки,
т. е. временем резания и «отдыха».
Поэтому для успешного решения задачи создания новых совершенных конст-
рукций инструментов необходимо ясно представлять законы изменения нагрузки на
разных участках режущих кромок, т. е. знать величины скорости резания v, толщи-
ны среза а и времени резания.
Скорость резания v для исследуемой точки режущей кромки инструмента в лю-
бой момент времени есть скорость движения этой точки относительно заготовки.
В практике металлообработки используются самые разнообразные методы получения
различных поверхностей деталей. В большинстве случаев они основаны на сочетании
элементарных движений, совершаемых инструментом и заготовкой на станке. Наи-
более часто рассматриваемые элементарные движения являются прямолинейно-по-
ступательными и вращательными равномерными движениями. Известно, что при
поступательном движении твердого тела все его точки имеют в любой момент време-
ни одинаковые по величине и направлению скорости v.
Вращательное движение тела вокруг некоторой оси О характеризуется вектором
угловой скорости со, направленным по оси вращения так, чтобы наблюдатель, смот-
рящий с конца этого вектора, видел вращение, совершающимся против движения
стрелки часов.
Скорость любой точки тела М может быть представлена как векторное произве-
дение вектора со и радиуса г точки М, т. е. радиуса, соединяющего точку М с произ-
вольной точкой О оси вращения. Примем точку О за начало прямоугольной системы
координат XYZ.
Тогда
Vm = X г] =
k
z
где i, ], k — орты соответствующих осей;
сог, (Dy, (ог — проекции вектора со на оси координат;
х, у, г — координаты точки М.
Наиболее простой совокупностью поступательного и вращательного движений
является винтовое движение, когда вектор скорости поступательного движения
Основы конструирования режущей части
на базе исходного тела инструмента
Рис. 24. Сложение вращения и
поступательного движения
v направлен по оси вращения. Скорость vm любой точки тела будет равна сумме ско-
ростей поступательного и вращательного движения, т. е.
vm — v 4- [со X г].
При обработке металлов резанием часто вместо угловой скорости задаются чис-
лом оборотов п. В этом случае величина угловой скорости может быть определена
по формуле
со = 2ли.
Винтовое движение инструмента относительно заготовки наблюдается при то-
чении круглых цилиндрических поверхностей, сверлении, зенкеровании, разверты-
вании. Однако во всех рассматриваемых случаях скорость поступательного движе-
ния мала по сравнению со скоростью вращения и при расчете скорости резания ею
пренебрегают. Поэтому при точении, сверлении, зенкеровании, развертывании ско-
рость резания определяют как скорость вращения инструмента относительно заго-
товки.
Совокупность двух вращений с равными и противоположно направленными
угловыми скоростями (пара вращений) приводит к поступательному движению.
Скорость v поступательного движения перпендикулярна плоскости, в которой распо-
ложены векторы со угловых скоростей, и направлена так, что с конца вектора v видна
пара, вращающаяся против часовой стрелки.
Рассмотрим совокупность двух движений: вращательного и поступательного,
направленного перпендикулярно к оси вращения. Пусть тело S вращается вокруг
оси О с угловой скоростью со. Ось О движется поступательно со скоростью v, пер-
пендикулярной со. Поступательное движение со скоростью v заменим парой враще-
ния, выбрав величины угловых скоростей, равными |со| (рис. 24, а).
I®il =|й2| = Й-
Одну из угловых скоростей со2 направим по оси О противоположно вектору со.
Тогда второй вектор coj будет идти параллельно оси О и находиться от нее на расстоя-
в плоскости, перпендикулярной к скорости v. Совокупность со и со2
нулю. Таким образом, результирующим движением будет вращатель-
нии г = -^4-
|со|
эквивалентна
О распределении работы резания
между режущими кромками инструмента /о
ное движение с угловой скоростью со вокруг мгновенной оси, параллельной прежней
и отстоящей от нее на расстоянии г.
Если рассматриваемые движения будут равномерными и, кроме того, поступа-
тельное движение будет прямолинейным, то результирующее движение можно
представить как качение без скольжения круглого цилиндра радиуса г по неподвиж-
ной плоскости. Общая касательная этих поверхностей в каждый данный момент
будет мгновенной осью вращения. Подобный случай имеет место при затыловании
резцом фасонных фрез (рис. 24, б). В процессе изготовления затылованных фрез их
задняя поверхность создается фасонным затыловочным резцом. Передняя плоскость
резца обычно устанавливается в осевой плоскости фрезы. При этом режущая кром-
ка резца будет совпадать с режущей кромкой фрезы, имеющей у = 0 и X — 0.
При радиальном затыловании фреза равномерно вращается вокруг своей оси с
угловой скоростью coj, а резец движется прямолинейно поступательно со скоростью
v, перпендикулярной к оси фрезы. В результате движения режущей кромки резца
относительно фрезы образуется задняя поверхность ее зубьев. Движение затыловоч-
ного резца относительно фрезы будет складываться из поступательного движения со
скоростью v и вращательного с угловой скоростью со вокруг оси фрезы. Скорость со
равна скорости соъ но направлена в противоположную сторону. Это движение бу-
дет вращением вокруг мгновенной оси р, расположенной в плоскости, перпендику-
лярной к и, идущей параллельно оси фрезы и отстоящей от нее на расстоянии
V
г =---.
CD
Если обозначить расстояние от исследуемой точки с режущей кромки резца до
оси фрезы через /?£-, то расстояние ее до оси мгновенного вращения р
Тогда скорость резания ис, т. е. скорость перемещения точки с резца относитель-
но фрезы, можно определить как скорость вращения вокруг оси р с угловой ско-
ростью со. Следовательно,
। ।=<о /т??+-j-=iwk •
Вектор vc будет лежать в плоскости, перпендикулярной к оси фрезы, и идти
перпендикулярно к радиусу рс. Вектор vc будет касаться траектории движения точ-
ки с режущей кромки резца, т. е. касаться задней поверхности зуба фрезы. Поэтому
расположение вектора vc будет определять величину заднего угла а. зуба фрезы в
произвольной точке с. По построению задний угол а£- в сечении, перпендикулярном
к оси фрезы, равен < рсо. Следовательно,
,	г	V
tg а,- = -ту- = —5- .
6 1 Ri	uRi
В частности, для вершинной точки зуба фрезы
,	v
где R — радиус вершинной точки зуба фрезы.
гч л Основы конструирования режущей части
• на базе исходного тела инструмента
Сравнив два написанных соотношения, получим
tga, =-^-tgas.
Формула позволяет определить задний угол at в произвольной точке режущей
кромки, если известна его величина аь на вершине зуба.
При затыловании по архимедовой спирали, когда равномерному вращению
фрезы вокруг ее оси соответствует равномерное прямолинейно-поступательное дви-
жение затылованного резца, задается величина затылования К. Величина затыло-
вания К — это путь затыловочного резца при его прямолинейно-поступательном
движении со скоростью v при повороте фрезы на один зуб, т. е. на угол за время
t (z — число зубьев фрезы).
Угол поворота при равномерном вращательном движении будет равен:
2л ,
---= со/.
Z
При равномерном прямолинейно-поступательном движении
К =vt.
Тогда
у   Кг
со	2л
Следовательно, при затыловании по архимедовой спирали скорость резания
в произвольней точке режущей кромки резца
1^1 = ш|/ /?‘+(^г)2-
Если вместо угловой скорости вращения фрезы будет задано число ее оборотов
п, то скорость резания будет подсчитываться по формуле
М=пУ (2л/?,)2 4-(Kz)2 .
Соответственно задний угол на вершине зуба фрезы
.	Кг
Рассмотрим совокупность двух вращений вокруг параллельных осей с неравны-
ми и противоположно направленными угловыми скоростями. Пусть тело В вращает-
ся вокруг оси Ох с угловой скоростью coj. Ось Ог вращается вокруг оси О2 с угловой
скоростью со2. Предположим, что Itojl > |со2|.
В точке В, расположенной на оси О2 (рис. 25, а), приложим два противополож-
ных вектора (ох и —соР Тогда вектор cdj, приложенный в точке А оси Olf и вектор й)п
приложенный в точке В, составляет пару вращения, эквивалентную поступательно-
му движению со скоростью
|Ь| =1^1/,
где I — расстояние между осями и О2.
О распределении работы резания /ТЕ
между режущими кромками инструмента • **
Вектор о»!, приложенный в точке В, и вектор со2 дают суммарный вектор о)3 =
= Oj — со2. В результате два вращения вокруг параллельных осей приводятся к
вращательному движению вокруг оси 02 с угловой скоростью со3 и поступательному
движению со скоростью и, перпендикулярной оси вращения 02. Такая совокупность
сводится к мгновенному вращательному движению с той же угловой скоростью со 3
около мгновенной оси 03, параллельной оси 02 и отстоящей от нее на расстоянии /
Расстояние г определяется таким образом:
г = Й =
I со31 сох — С02
ИЛИ
Г __ CDj
I	CDj — G>2 ,
Таким образом, в результате сложения двух вращений, направленных в разные
стороны, вокруг параллельных осей 0х и 02 получается вращение вокруг оси 0^,
параллельной данным и лежащей в одной с ними плоскости. Угловая скорость со3
результирующего вращения равна геометрической сумме угловых скоростей coj
и со2 слагаемых вращений. Рассматриваемое движение можно представить как ка-
чение без скольжения цилиндра с осью 0г радиуса, равного г — I = АС, по цилинд-
ру с осью 02 радиуса, равного г — ВС. Причем первый цилиндр лежит внутри до-
рого. Если два вращения вокруг параллельных осей с угловыми скоростями (ох и
со2, направленными в одну сторону, сложить, то результирующее движение будет
мгновенным вращением. Его можно будет представить как качение цилиндра по
цилиндру, внешним образом соприкасающихся друг с другом. Общая касательная
этих цилиндров в каждый данный момент будет мгновенной осью вращения.
Случай сложения двух вращений вокруг параллельных осей имеет место при то-
чении многогранных валиков. Схема обработки многогранников сочетанием враще-
ния детали и резцовой головки приведена на рис. 25.	_
Угловые скорости вращения заготовки со0 и вращения резцовой головки сор
имеют одинаковое направление и находятся друг от друга на расстоянии I.
Основы конструирования режущей части
на базе исходного тела инструмента
Отношение величин угловых скоростей выбирается по соотношению
(Ор _ _л/_
соп т ’
где N — число граней многогранника;
т — количество резцов, установленных в головке.
В относительном движении, как показывахот исследования, вершина резца,
имеющая радиус вращения я2, на участке контакта с деталью описывает кривую,
близкую к прямой, что и позволяет этим способом с достаточно высокой точностью
обрабатывать многогранники.
Движение резцовой головки относительно заготовки при этом будет мгновенным
вращением с угловой скоростью
(О = (Ор _ со0.
При обработке квадратного вала
ар = 2<о0.
Отсюда
со = 2со0 — со0 = с^о-
Расстояние от мгновенной оси вращения до оси заготовки
г ==--------I.
СОр со0
Для квадратного вала
Скорость резания ир произвольной точки М режущей кромки резцовой головки
может быть определена как скорость ее вращения вокруг мгновенной оси р с угло-
вой скоростью со. Скорость резания v будет перпендикулярна радиусу рМ, соединяю-
щему точку М с точкой р. Если обозначить угол поворота точки М вокруг оси рез-
цовой головки через е, то можно получить следующее соотношение для подсчета
величины радиуса рМ = Rt:
Rt = ]/(/ -f- а2 cos e)2 4- (a2 sin e)2.
Скорость резания
|ЬР| =й*.-
Угол р между радиусом Rt и горизонтальной прямой, проходящей через оси
заготовки и головки, определяем из выражения
На величину угла р будет уменьшаться задний угол и увеличиваться передний
угол для тех моментов времени, когда исследуемая точка М кромки будет распола-
гаться ниже прямой рО. При этом будет увеличиваться задний угол и уменьшаться
передний угол для тех моментов времени, когда точка М будет находиться выше ли-
нии рО.
О распределении работы резания тчтч
между режущими кромками инструмента • •
5
Рис. 26 Сложение двух враще-
ний вокруг перекрещивающихся
осей
Максимальная скорость резания цр тах будет в
тот момент времени, когда угол в = 0. Ее величина
будет равна:
| Ур max | = | О) | (/ 4- а2).
В процессе же обработки скорость резания vp пе-
ременна. Поскольку величины углов е, соответствую-
щие дуге контакта инструмента с заготовкой, отно-
сительно невелики, колебания скорости резания vp и
величин передних и задних углов в процессе резания
будут небольшими, что является одним из преиму-
ществ рассматриваемого способа обработки.
Одной из наиболее общих схем обработки, ис-
пользуемых в металлообработке, является схема,
основанная на двух вращениях вокруг перекрещива-
ющихся осей. На этой схеме основан широко распро-
страненный способ обработки зубчатых колес червяч-
ными фрезами, процесс шевингования зубчатых ко-
лес дисковым шевером и т. п.
Пусть тело S вращается вокруг оси Ог с угловой скоростью сор Ось в свою
очередь, вращается вокруг оси О2 с угловой скоростью со2. Найдем вектор со3, равный
сумме векторов coj и со2, считая, что они приложены к одной точке (рис. 26, а). Раз-
ложим каждое из вращений с угловыми скоростями coj и со2 на два вращения. Векто-
ры угловых скоростей первых вращений направим параллельно вектору со3. Их вели-
чины будут равны (Oj cos а и (о2 cos р. Здесь аир — углы, которые образуют векто-
ры сог и со2 с вектором (о3 (рис. 26, а).
Векторы угловых скоростей вторых вращений, величины которых равны
сох sin а и со2 sin р, направим перпендикулярно к вектору со3 в плоскости, перпен-
дикулярной кратчайшему расстоянию между осями Ог и О2 (рис. 26, б). Составляю-
щие сох cos а и со2 cos р как параллельные и одинаково направленные эквивалент-
ны вращению с угловой скоростью (о3 вокруг оси О3. Положение оси О3 должно удов-
летворять следующему равенству:
01^3	___ ^1^2 ____ Оз^2
со2 cos р со3 cdj cos а
Составляющие (or sin а и <о2 sin р, равные по величине, но противоположные
по направлению. Они образуют пару вращений, которая эквивалентна поступатель-
ному движению со скоростью v, параллельной со3.
Величина скорости поступательного движения
v = Ofl^ sin а = Ofl2(a2 sin р.
Совокупность двух движений: вращательного с угловой скоростью со3 и посту-
пательного со скоростью vt направленной параллельно со3, дает винтовое движение
Основы конструирования режущей части
на базе исходного тела инструмента
с параметром
у 0102о)1 sin а  О1О2о?2 sin |3
=	= “з ~ «з ’
НО
__O1O2C0i coS а _ 0102со2 cos 3
0)3 ОА	’
Следовательно,
/г = О3О2 tga = С\О3 tg р.
Отсюда
О3О2 _ tgp
ОХО<1 tg а
Таким образом, при сложении двух вращений вокруг перекрещивающихся осей
получается результирующее мгновенное винтовое движение. Мгновенная ось этого
винтового движения параллельна диагонали параллелограмма, построенного на
угловых скоростях слагаемых вращений. Ось мгновенного винтового движения про-
ходит через точку, которая делит кратчайшее расстояние между осями вращений на
части, прямо пропорциональные тангенсам углов, образуемых слагаемыми враще-
ниями с осью результирующего (винтового) движения. Рассматриваемое движение
можно представить как качение со скольжением подвижного гиперболоида вращения,
связанного с телом S, по неподвижному гиперболоиду вращения. Подвижный ги-
перболоид вращения (подвижный аксоид) образуется при вращении оси О3 вокруг
оси а неподвижный гиперболоид вращения (неподвижный аксоид) образуется
при вращении оси О3 вокруг оси 02. Качение и скольжение происходят вокруг и
вдоль образующих, с которыми они в данный момент соприкасаются.
Скорость резания в случае, когда движение инструмента относительно заготов-
ки складывается из ряда элементарных движений, можно определить не находя ре-
зультирующее движение, а определяя вектор скорости исследуемой точки режущей
кромки при каждом из составляющих движений. Тогда скорость резания будет гео-
метрической суммой векторов скоростей составляющих движений.
Толщина среза а в рассматриваемой точке режущей кромки инструмента есть
расстояние от поверхности резания до внешней поверхности срезаемого слоя мате-
риала заготовки в данный момент. Толщина среза измеряется по нормали к поверх-
ности резания. Внешней поверхностью срезаемого слоя может быть обрабатываемая
поверхность заготовки, поверхность резания предыдущего прохода либо поверх-
ность резания, образующаяся режущей кромкой, смежной с исследуемой.
Определяя толщину среза а очень часто вначале находят вектор подачи S,
равный расстоянию между поверхностью резания и внешней поверхностью срезае-
мого слоя, который измеряют по произвольному направлению. Затем находят тол-
щину среза а. Вектор подачи S либо задан, либо относительно просто определяется.
Так, например, при точении круглых цилиндрических поверхностей задается век-
тор подачи S как величина перемещения резца вдоль оси детали за один ее оборот.
При сверлении вектор подачи S как расстояние между смежными поверхностями ре-
зания будет равен половине подачи на оборот сверла So и направлен вдоль оси ин-
струмента. Вектор подачи S при фрезеровании равен подаче на зуб Зг,
О распределении работы резания FTQ
между режущими кромками инструмента • V
Если обозначить угол
между вектором N нормали
к поверхности резания и
вектором S через 8, то при-
ближенно толщину среза а
можно подсчитать по фор-
муле
а — Seos 8.
Определим угол между
векторами N и § из соот-
ношения
(N -5)
cos 8 = —=---=—.
m -|5|
Рис. 27. Определение толщины среза при точении резьбы
Следовательно, толщина среза а может быть определена таким образом:
m
Воспользовавшись этой формулой, найдем толщину среза а при точении резцом
винтовой поверхности резьбы. Считаем, что резец после каждого прохода углубля-
ется на величину S и резание производится главным образом одной режущей кром-
кой. Угол между направлением подачи 5 и осью X обозначим через е (рис. 27).
Тогда
S = iS cos 8 — jS sin 8.
Для вершинной точки режущей кромки резца, расположенной на радиусе Rit
скорость резания при винтовом движении
ир = iv 4- [со х Ri] = iv 4- kaR,.
Вектор p, идущий по режущей кромке, записывается так:
р — i cos ф + j sin ф.
Нормаль к поверхности резания определится как векторное произведение векто-
ров v и р:
k
О
_ _ z /
N = [р х и] = cos ф sin ф
v О
Раскрыв определитель, получим
N = iwRi sin ф — juRi cos ф — kv sin ф.
Длину вектора N определяют из выражения
| N | = (о ]/^R? 4- h2 sin2 ф ,
где h — параметр винтового движения резца.
80
Основы конструирования режущей части
на базе исходного тела инструмента
Следовательно,
o)RtS sin ф cos е	cos ф sin 8
w + /i2 sin2 ф
Отсюда
= SRj sin (ф 4- 8)
V/?? 4- h2 sin2 ф
В частном случае при точении круглых цилиндрических поверхностей с про-
дольной подачей 8 = 0 и h = 0. Тогда формула для подсчета толщины среза примет
вид
а = S sin ср.
Анализ показывает, что у многих инструментов скорость резания, а также тол-
щина среза изменяются во времени и по длине кромки. Так, например, по длине
режущей кромки сверла изменяется скорость резания и толщина среза. Причем на
периферии сверла скорость резания будет максимальной, а толщина среза — мини-
мальной. При одновременном изменении толщины среза и скорости резания за крите-
рий загрузки режущих кромок может быть принята интенсивность износа режущей
части инструмента либо его стойкость.
У инструментов с равномерной загрузкой стойкость, или интенсивность износа,
в различных точках режущих кромок должна быть постоянной. Возникает вопрос,
какие условия должны соблюдаться для того, чтобы рассматриваемое требование
выполнялось. Дать исчерпывающий ответ на этот вопрос в настоящее время не пред-
ставляется возможным. Еще не выявлена в полной мере степень влияния различных
факторов на характер износа режущих кромок и их различных участков друг на дру-
га. Эмпирическая зависимость между стойкостью режущего инструмента, скоростью
резания и параметрами сечения среза имеет следующий вид:
гр _ Су
vnb*vav
ИЛИ
ТтЬхау ’
где b — ширина срезаемого слоя;
а —толщина среза;
Т — стойкость;
v—скорость резания.
С помощью этих формул приближенно можно оценить степень нагрузки различ-
ных участков режущих кромок и влияние на нее конструктивных элементов инстру-
мента. Будем считать, что в выбранной базовой точке при скорости резания тол-
щина среза стойкость равна 7\ и коэффициент нагрузки /Сн = 1. В любой другой
исследуемой точке, где скорость резания v2, толщина среза а2, стойкость Т2, а коэф-
фициент нагрузки
О распределении работы резания
между режущими кромками инструмента
Если Кн > 1, то рассматриваемая произвольная точка режущей кромки будет на-
гружена больше, чем базовая. По величинам коэффициентов нагрузки 7<н-в различ-
ных точках режущих кромок можно ориентировочно судить о неравномерности
нагрузки и выявить наиболее и наименее нагруженные участки. У инструментов с рав-
номерной нагрузкой стойкость в различных точках кромок постоянна и коэффици-
ент нагрузки равен единице. Выравнивание нагрузки по длине режущих кромок
является одним из возможных путей совершенствования инструментов.
Практика показывает, что наиболее интенсивно изнашиваются точки режущих
кромок, в которых наблюдается излом. Это вершины проходных резцов, уголки на
периферии сверл и зенкеров, вершины зубьев торцовых фрез и т. п. На этих участ-
ках срезаемый металл претерпевает сложную и сильную деформацию, здесь выделя-
ется особенно много тепла, а отвод его в глубь инструмента затруднен. Чтобы умень-
шить нагрузку в рассматриваемых зонах и снизить интенсивность износа, применяют
инструменты с переходными режущими кромками. В этом случае участок сопряже-
ния режущих кромок оформляется в виде дуги сравнительно небольшого радиуса,
равного 0,5—3,0 мм, или отрезка прямой, длиной 1—4 мм, идущей под определенным
углом к сопрягаемым участкам. Переходные кромки снижают интенсивность их
загрузки, уменьшают толщину среза, улучшают отвод тепла и приводят к повыше-
нию стойкости инструмента до двух-трех раз.
Для того чтобы выравнять загрузку режущих кромок, в некоторых случаях
целесообразно увеличить нагрузку, т. е. увеличить толщину среза на тех участках,
где она мала. Так, например, используют фрезы с зубьями попеременно чередую-
щегося направления, у которых в шахматном порядке срезаются боковые режущие
кромки. Каждый зуб работает только одной стороной. Поэтому эти фрезы имеют
меньшее число более прочных зубьев. Это приводит к рациональному распределению
нагрузки, улучшает условия резания, обеспечивает повышение производительности
и позволяет снимать большие припуски. Условия протекания процесса резания
ограничивают не только максимальные, но и минимальные толщины среза. При не-
значительных толщинах среза в результате округления режущей кромки резание
происходит с большими по величине, но отрицательными передними углами, вслед-
ствие чего наблюдаются высокая температура в зоне контакта, повышенные усилия
резания, быстрый износ инструмента. Рекомендуется минимальная толщина среза
для обычных условий обработки не менее 0,015 мм.
Загрузка режущей части инструмента наряду с величинами толщин среза, ско-
ростей резания, геометрических параметров и т. п. характеризуется также величи-
ной активной длины режущих кромок. Активная длина — это та часть режущей
кромки, которая соприкасается с материалом заготовки и срезает его в виде сгружки.
Обработку желательно вести при больших активных длинах режущих кромок, что
способствует повышению производительности труда.
Основными путями увеличения активной длины режущих кромок являются:
создание новых схем обработки и соответствующих инструментов; применение мно-
гозубых инструментов вместо однозубых; удлинение активных участков режущих
кромок у инструментов с последовательной схемой резания. Так, например, одним
из многозубых инструментов с наиболее развитой длиной активных режущих кромок
являются протяжки. Длина режущих кромок четырех одновременно работающих
зубьев протяжки при ее диаметре, равном 20 мм, составляет 250 мм. При протягива-
нии это обеспечивает высокую производительность труда.
Основы конструирования режущей части
на базе исходного тела инструмента
Увеличение активной длины режущих кромок токарных проходных резцов,
формирующих поверхность детали по последовательной схеме резания, можно полу-
чить уменьшением углов в плане, применением резцов с круглой режущей частью
или безвершинных резцов с большим углом наклона режущей кромки X. Этот же путь
используется так же для торцовых фрез и других подобных инструментов.
Однако увеличение активной длины режущих кромок приводит к повышению
сил резания, необходимой мощности привода станка, деформаций системы станок—
приспособление — инструмент — деталь. Поэтому при увеличении активной дли-
ны режущих кромок прочность инструмента, детали или элементов станка может
оказаться недостаточной, могут появиться вибрации при обработке и соответст-
венно повысится интенсивность износа инструмента. Кроме того, у отдельных ин-
струментов как, например у сверл, увеличение активной длины режущих кромок
вызывает увеличение времени, затрачиваемого на врезание инструмента в заготов-
ку, что соответственно снижает производительность труда.
У фасонных резцов активная длина режущей кромки ограничена прочностью
детали, а следовательно, ее размерами, прочностью державки резца, возможностью
появления нежелательных вибраций при обработке. Так, например, допустимая
ширина профиля круглого резца при диаметре обрабатываемой детали, равном 10—
15 мм, колеблется в зависимости от величины подачи, свойств обрабатываемого мате-
риала и т. п. от 10 до 25 мм, а при диаметре детали, равном 20—30 мм, допустимая
ширина будет приблизительно равна 40—75 мм. Таким образом, при выборе активной
длины режущей кромки приходится учитывать противоположно действующие
факторы. Это приводит к выбору наиболее целесообразной для определенных усло-
вий обработки длины активных участков режущих кромок.
Максимально допустимую длину активных участков режущих кромок можно
увеличить, применяя многозубые инструменты со стружкоразделительными канав-
ками либо соответствующие комплекты однозубых инструментов. В результате из-
готовления стружкоразделительных канавок в шахматном порядке на зубьях ин-
струмента срезаются отдельные участки режущих кромок, благодаря чему уменьша-
ется их активная длина и увеличивается толщина среза. Увеличение толщины среза
и соответствующее сокращение активной длины кромок оказывается целесообраз-
ным с точки зрения суммарных усилий резания, особенно при обработке с малыми
толщинами среза. Стружкоразделительные канавки можно наблюдать на напильни-
ках, протяжках и других инструментах. Так, например, применяют цилиндриче-
ские затылованные фрезы со стружкоразделительными канавками, которые в про-
цессе резания производят разделение широкой стружки на ряд мелких. Особенно
хорошо обрабатывать этими фрезами глубокие пазы. Фрезы обеспечивают возмож-
ность работы с относительно высокими режимами резания, пониженными усилиями
при сравнительно малом расходе энергии для фрезерования. Положительный эф-
фект дают стружкоразделительные канавки на сверлах значительных размеров
и других инструментах.
С точки зрения загрузки инструмента и производительности труда при обработ-
ке крупногабаритных деталей целесообразно в ряде случаев применять контурное
вырезание материала заготовки, т. е. срезание только небольшой части припуска по
контуру детали и снижение таким путем общей загрузки инструмента. Примером
могут служить сверла для кольцевого сверления. Такое сверло представляет собой
корпус в форме трубы с закрепленными в нем резцами. Режущие кромки резцов
О распределении работы резания ОО
между режущими кромками инструмента OtJ
выступают как со стороны торца, так и со стороны наружного и внутреннего диаметров
корпуса. Эти сверла вырезают только кольцевую полость, что позволяет в несколь-
ко раз уменьшить объем срезаемого материала заготовки и за счет этого повысить
производительность труда. Контур вырезаемого материала при таком сверлении сов-
падает с контуром детали. При обработке же фасонных поверхностей обработанный
контур зачастую только приближенно напоминает контур детали. Так, например,
при обработке крупномодульных зубчатых колес оказывается целесообразным чер-
новую обработку впадин зубьев проводить двумя трехсторонними фрезами. В этом
случае вырезается только небольшая часть материала заготовки и создается предва-
рительно профиль боковой стороны впадины зуба в форме прямой линии, а не эволь-
венты. Однако при большом числе зубьев колеса, равном 150—200, прямолинейный
профиль мало отличается от эвольвентного. В этом случае вырезание материала
впадины по прямолинейному контуру дает практически постоянную по профилю
зуба величину припуска на последующую чистовую обработку.
При обработке крупномодульных колес с большим числом зубьев замена эволь-
вентного профиля прямолинейным дает большие преимущества в сокращении вре-
мени нарезания, упрощении конструкции режущего инструмента, повышении ка-
чества получаемых зубчатых колес. Мощное воздействие на загрузку режущих кро-
мок оказывает скорость резания. Создавая высокопроизводительные инструменты
с равномерной загрузкой, трудно использовать этот факт, так как очень часто при
заданном типе режущего инструмента не представляется возможным влиять на ха-
рактер изменения скорости резания по длине режущих кромок. На практике возра-
стание интенсивности загрузки инструмента и повышение производительности труда
за счет увеличения скорости резания обеспечивается применением новых инструмен-
тальных материалов с более высокими свойствами, т. е. применением твердосплав-
ных инструментов вместо быстрорежущих и т. п.
Следует отметить, что в настоящее время не представляется возможным для
конкретных производственных условий решить расчетным путем задачу нахожде-
ния наиболее целесообразного инструмента с точки зрения загрузки его режущих
кромок. Поэтому были высказаны лишь общие соображения, которые следует учи-
тывать при проектировании инструментов.
§ 16. ФОРМЫ ПОВЕРХНОСТЕЙ
РЕЖУЩЕЙ ЧАСТИ ИНСТРУМЕНТА,
ОБЕСПЕЧИВАЮЩИЕ ВОЗМОЖНОСТИ ЕГО ПЕРЕТОЧЕК
Передние и задние поверхности режущей части инструментов имеют разнообраз-
ные формы. Выбирая форму передней или задней поверхностей, при проектировании
конструктору приходится учитывать ряд требований. Основными из них являются
следующие:
поверхности режущей части инструмента должны быть достаточно простыми
с тем, чтобы их на известном оборудовании можно было относительно легко изго-
товить;
форма и расположение поверхностей режущей части должны обеспечивать бла-
гоприятные величины геометрических параметров, т. е. высокие эксплуатационные
качества инструмента;
Основы, конструирования режущей части
на базе исходного тела инструмента
поверхности режущей части должны быть выбраны такими, чтобы они позволя-
ли инструмент перетачивать и чтобы новым и переточенным инструментом можно бы-
ло бы обрабатывать одни и те же детали.
Проектируя режущие инструменты, наиболее часто формы передних и задних
поверхностей выбирают исходя из третьего требования, а затем уточняют, какая из
возможных приемлемых поверхностей наилучшим образом удовлетворяет первым
двум требованиям.
Обычно вместо сохранения неизменной обработанной поверхности детали при
проектировании инструмента поверхности его режущей части выбирают такими,
чтобы при переточках форма и размеры его режущей кромки не менялись. При уста-
новке переточенного инструмента на станок как бы «совмещают» режущую кромку
переточенного инструмента с положением, которое занимала режущая кромка но-
вого инструмента. В процессе обработки режущая кромка переточенного инструмен-
та должна относительно заготовки совершать точно такие же перемещения, что и
режущая кромка нового. Только в этом случае можно утверждать, что новым и пе-
реточенным инструментом будет обеспечена обработка одних и тех же деталей.
В процессе эксплуатации инструменты могут перетачиваться по передней либо
по задней поверхности, либо одновременно по передней и задней поверхностям. В
последнем случае каждый раз при переточках воспроизводится передняя и задняя
поверхности. Поэтому независимо от их принятой формы режущая кромка при
переточках сохраняется неизменной, т. е. в этом случае переточки инструмента не
налагают никаких ограничений на выбор форм передних и задних поверхностей.
У этих инструментов формы поверхностей режущей части выбираются из техноло-
гических соображений и необходимости обеспечения на режущей части инструмен-
та требуемых величин геометрических параметров.
У инструментов, перетачиваемых по одной передней или задней поверхности,
форма перетачиваемой поверхности режущей части может выбираться несколько
произвольно. Она должна включать режущую кромку, обеспечивать целесообраз-
ные геометрические параметры режущей части, быть сравнительно простой, отно-
сительно легко воспроизводимой на существующих станках при заточке инстру-
мента.
Наиболее простой с точки зрения изготовления является плоская поверхность.
У различных инструментов она широко используется в качестве перетачиваемой
поверхности. К таким инструментам относятся сверла, зенкеры, фасонные затыло-
ванные фрезы, радиальные и тангенциальные, круглые и призматические фасонные
резцы, строгальные резцы и дисковые фрезы для обработки конических прямозу-
бых колес, резцовые головки для обработки спиральнозубых конических колес и
другие инструменты.
В том случае, когда плоская поверхность по каким-либо соображениям оказы-
вается неприемлемой, переходят на другие формы перетачиваемых поверхностей ре-
жущей части. Так, например, у круглых протяжек выбирается коническая передняя
поверхность, по которой инструмент перетачивается в процессе эксплуатации. Ось
конической передней поверхности совпадает с осью протяжки. Коническая поверх-
ность позволяет создать в любой точке режущей кромки положительные передние
углы, чего нельзя получить при плоской передней поверхности. Для того чтобы соз-
дать на режущей части инструмента положительные передние углы, принимают
коническую переднюю поверхность у зуборезных долбяков, по которой они в
Формы поверхностей режущей части инструмента,
обеспечивающие возможности его переточек
процессе эксплуатации перетачиваются. По конической задней поверхности часто
перетачиваются спиральные сверла, так как при заточке каждого зуба сверла по
одной плоскости иногда невозможно обеспечить создание на режущей части задан-
ных величин заднего угла, угла при вершине и угла наклона поперечной кромки,
а также беспрепятственное перемещение задней поверхности в процессе резания.
Наряду с плоской и конической поверхностями, в качестве перетачиваемой по-
верхности режущей части используется также фасонная цилиндрическая поверхно-
ность. Например, метчики могут иметь как плоскую, так и фасонную цилиндриче-
скую переднюю поверхность, по которой они перетачиваются. Первая форма более
распространена, так как упрощает заточку. Фасонная же цилиндрическая передняя
поверхность метчика способствует лучшему образованию и отводу стружки, в осо-
бенности при обработке вязких материалов.
Перетачиваемая передняя поверхность круглых плашек также может быть как
плоской, так и цилиндрической поверхностью. Цилиндрическая криволинейная
поверхность рекомендуется в качестве передней поверхности фасонных затыло-
ванных фрез с целью повышения их точности. В этом случае профиль передней по-
верхности выполняется в форме архимедовой спирали. С этой же целью предложено
у зуборезных долбя ков в качестве передней поверхности использовать фасонную
поверхность вращения с криволинейным профилем.
В качестве перетачиваемой поверхности режущей части инструмента распростра-
нена винтовая поверхность постоянного шага. Она используется в первую очередь
для оформления перетачиваемой поверхности режущей части инструментов, имею-
щих винтовую режущую кромку. К таким инструментам относятся цилиндрические
и концевые фрезы с винтовыми зубьями, винтовые штифтовые развертки и дру-
гие им подобные инструменты. Винтовые зубья рассматриваемых инструментов
имеют ряд преимуществ по сравнению с прямыми зубьями. Они обеспечивают бо-
лее плавную работу, большую производительность и стойкость, повышение чис-
тоты обработанной поверхности, способствуют лучшему отводу стружки, сниже-
нию вибраций и выкрашиваний.
Винтовая передняя поверхность часто используется при конструировании ин-
струментов на базе винтовой исходной инструментальной поверхности. К таким ин-
струментам относятся червячные фрезы, предназначенные для обработки зубчатых
колес, шлицевых валов и других деталей.
Технологически переднюю поверхность червячной фрезы наиболее просто по-
лучить в форме плоскости. Однако, если принять плоскую переднюю поверхность,
параллельную оси фрезы, то передний угол на одной из боковых кромок будет по-
ложительный, а на другой — отрицательный. Чтобы получить на обеих сторонах
зубьев одинаковые передние углы, червячные фрезы выполняются с винтовой перед-
ней поверхностью, по которой они перетачиваются в процессе эксплуатации. Чер-
вячные фрезы с плоской передней поверхностью, параллельной оси, делаются при
относительно малых углах подъема резьбы исходного червяка т 3 4- 5°. Однако
некоторые заводы успешно применяют червячные фрезы с плоской передней поверх-
ностью и при больших величинах угла т.
Винтовая поверхность в качестве перетачиваемой задней поверхности использу-
ется у сверл. Заточка сверл по винтовым поверхностям характеризуется непрерыв-
ностью процесса, что позволяет использовать его для станков, работающих по авто-
матическому циклу.
Основы конструирования режущей части
на базе исходного тела инструмента
Таким образом, наибольшее распространение в качестве перетачиваемой поверх-
ности режущей части инструмента получила плоскость. Наряду с плоской поверх-
ностью используются также цилиндрические, конические, винтовые и в отдельных
случаях сложные фасонные поверхности. Переход от плоскости к другой форме
перетачиваемой поверхности вызывается стремлением обеспечить более целесообраз-
ные величины геометрических параметров на режущей части, лучшие условия струж-
кообразования и ее отвода, создать более технологичную конструкцию инструмента.
Для улучшения геометрических параметров и условий резания применяют
всевозможные методы подточек перетачиваемой поверхности. Так, на резцах вдоль
режущей кромки могу г затачиваться выкружки, на зуборезных гребенках могут
на плоской передней поверхности вышлифовываться лунки как на вершинной, так
и на боковых режущих кромках и т. п. Однако при всевозможных подточках, как
правило, режущая кромка сохраняется и не подтачивается. При плоской перетачи-
ваемой поверхности режущая кромка в результате подточек не меняет своей формы
и остается плоской кривой.
При известной перетачиваемой поверхности неперетачиваемая поверхность ре-
жущей части инструмента, обеспечивающая сохранение формы и размеров режущей
кромки при переточках, может быть образована следующим образом. Заставим пе-
ретачиваемую поверхность А с расположенной в ней режущей кромкой совершать
определенное движение. Режущая кромка при этом опишет в пространстве некоторую
поверхность В, которая может быть принята за неперетачиваемую поверхность.
В этом случае неперетачиваемая поверхность В будет представлять собой совокуп-
ность режущих кромок. При переточках каждый раз срезается одна из кромок и об-
наруживается новая той же формы и размеров.
При произвольном движении перетачиваемой поверхности А форма неперета-
чиваемой поверхности В может быть самой разнообразной. Из всего разнообразия
поверхностей В в качестве реальной поверхности режущей части инструмента можно
принять только ту поверхность, которую легко можно было бы изготовить и которая
обеспечивала бы целесообразные величины геометрических параметров на режущей
части. Неперетачиваемая поверхность В должна быть также такой, чтобы при пере-
точках конструкция станка и инструмента позволяли мысленно совместить режу-
щую кромку переточенного инструмента с режущей кромкой нового инструмента.
Другими словами, движения перетачиваемой поверхности А при образовании непе-
ретачиваемой поверхности В должны быть согласованы с возможными установоч-
ными перемещениями, допускаемыми конструкцией станка, инструмента и кинема-
тикой резания, и должны быть обратными рассматриваемым возможным перемеще-
ниям. С точки зрения простоты изготовления поверхности В целесообразно сообщать
поверхности А сравнительно простые движения: вращательное движение, прямоли-
нейно-поступательное, совокупность вращательного и одного или нескольких пря-
молинейно-поступательных движений. В соответствии с принятым движением по-
верхности А с расположенной в ней режущей кромкой, формы неперетачиваемых по-
верхностей могут быть различными. При вращательном движении режущая кромка
описывает поверхность вращения, ось которой совпадает с принятым положением
оси вращения. В результате прямолинейно-поступательного движения режущая
кромка описывает цилиндрическую поверхность, за направляющую которой может
быть принята режущая кромка, а образующие идут параллельно скорости рассмат-
риваемого прямолинейно-поступательного движения. Совокупность вращательно-
• Формы поверхностей режущей части инструмента,
обеспечивающие возможности его переточек
го и поступательного дви-
жения с той же осью при-
водит к винтовому движе-
нию режущей кромки и
соответственно винтовой
неперетачиваемой поверх-
ности В. Ось и параметр
поверхности В совпадает с
осью и параметром винто-
вого движения.
Сочетание вращатель-
ного и нескольких поступа-
тельных движений с раз-
личными направлениями
приводит к сложным спи-
рально-винтовым неперета-
чиваемым поверхностям В.
Рассмотрим схему обра-
зования неперетачиваемой
поверхности для случая,
когда режущая кромка бу-
Рис. 28. Схема образования неперетачиваемой поверхности ре-
жущей части инструмента
дет совершать вращение
вокруг оси X и три прямолинейно-поступательных движения, направление скорос-
тей которых идет параллельно координатным осям X,Y,Z (рис. 28). Совокупность
этих трех прямолинейно-поступательных движений дает одно прямолинейно-по-
ступательное движение с произвольным направлением, которое зависит от соотно-
шения величин скоростей vlt v2 и v3. Примем, что режущая кромка инструмента
является плоской кривой, расположенной в плоскости Z = h. В произвольной
точке М с координатами xlf ух и zL проведем по касательной к режущей кромке
вектор р. Угол между этим векторов р и осью X обозначим е. В системе XYZ
Р = i —/tge.
В точке XI определим положение плоскости, касательной к неперетачиваемой
поверхности В. Для этого определим вектор Vm скорости точки М при заданных дви-
жениях режущей кромки:
vm = [со X Я(] —	4- kv2 4- iv3,
ГД£ 0) = id),
Rt = 'ix + ~1У +~kz.
Отсюда
vM = iv3 — / (Ui 4- coz) 4- k (v2 4- wz/).
Вектор vm касается траектории движения точки М режущей кромки и лежит в
плоскости, касательной к неперетачиваемой поверхности В. Следовательно, два
вектора р и vM определяют положение плоскости, касающейся в точке М поверхнос-
ти В. Найдем углы, составляемые плоскостью В с осью Z, в сечении, перпендикуляр-
88
Основы конструирования режущей части
на базе исходного тела инструмента
Рис. 29. Образование неперетачиваемых поверхностей:
и — призматического резца; б — круглою резца
ном к оси X, и в сечении,
нормальном к режущей
кромке в точке М. Угол в
сечении, перпендикуляр-
ном оси X, обозначим че-
рез 6, а угол в нормальном
сечении через бдг. Тогда
вектор С, касательный к
поверхности В и лежащий
в сечении, которое перпен-
дикулярно к оси X, может
быть записан таким обра-
зом:
С = — / tg 6 + k.
Определим вектор Ё,
касающийся поверхности В
в точке М и лежащий в нормальном к режущей кромке сечении:
Е = — i tg бдг sin 8 — / tg 6// cos e 4- k.
Три вектора С, р и v\i лежат в одной плоскости, поэтому их смешанное произве-
дение равно нулю:	1	— tge	0	
	0	— tg 6	1	= 0.
		— (v, + wz)	(у2 + ®Z/)	
Вычисляя определитель, получаем
4- coz — tg e
v2 + coz/
tg 6
Векторы p, С и E также лежат в одной плоскости, касающейся в точке М по-
верхности В. Их смешанное произведение также равно нулю:
1
О
— tg 6 Д' sin 8
— tgs
— tg 6
— tg 6;v COS 8
0
1 = 0.
1
Раскрывая определитель, после несложных преобразований имеем
tg = tg 6 cos 8,
или
tg бд/ =
Ui 4- (OZ — t»o tg 8
—!------;----COS 8.
U2 +
Проанализируем форму неперетачиваемой поверхности режущей части призма-
тических фасонных радиальных резцов. Примем, что передняя перетачиваемая плос-
кость призматического резца (рис. 29, а) проходит через ось детали и передний угол
у = 0. Неперетачиваемая задняя поверхность призматического резца создается в
Формы поверхностей режущей части инструмента, 89
обеспечивающие возможности его переточек
результате поступательного движения режущей кромки, скорость которого обычно
располагается в сечении, перпендикулярном оси детали. Направление поступатель-
ного движения необходимо выбирать так, чтобы получить на базовом участке АВ
режущей кромки заданную величину заднего угла а при его измерении в сечении,
перпендикулярном оси детали. Если совместить плоскость Z = h (рис. 28) с передней
плоскостью резца и ось X направить параллельно оси детали, то для рассматриваемо-
го случая проектирования призматического фасонного резца со =0,	= 0, а = 6.
Отсюда
tg а =	.
ё v2
Величины задних углов в сечениях, перпендикулярных режущей кромке, aN =
= 6л/. Следовательно,
tgajv = tga cos 8.
Анализ этой формулы показывает, что на участке ВС режущей кромки резца
задние углы av =0, так как величина угла 8 = 90°. Для того чтобы получить по-
ложительные задние углы, равные oq в нормальных сечениях на участке АВ режу-
щей кромки и равные а2 на участке ВС, необходимо режущей кромке сообщить
дополнительное движение со скоростью и3.
Тогда для участка АВ режущей кромки
8=0; со = 0; tg a. =	.
v2
Для участка ВС режущей кромки
8 = 90°; со = 0;
,	г?1 — Vntge
tg a9 = — --—— cos e,
V2
или
.	Vi	Po
tg a9 = —— cos 8----— sm e.
& 2 V2	v2
Отсюда
Таким образом, для получения заданных задних углов а! и а2 на режущей час-
ти призматического фасонного радиального резца необходимо, чтобы были выдержа-
ны следующие соотношения между величинами скоростей прямолинейно-поступа-
тельных движений режущей кромки:
= tg oq, = — tg а2.
q & v2	& 2
В этом случае образующая цилиндрической задней поверхности резца не будет
лежать в сечении, перпендикулярном оси детали. Такие фасонные резцы относят
к резцам с наклонным расположением базы крепления.
Рассмотрим образование задней неперетачиваемой поверхности круглых фа-
сонных радиальных резцов. При конструировании круглого фасонного резца вы-
Основы конструирования режущей части
на базе исходного тела инструмента
берем плоскую переднюю поверхность, проходящую через ось обрабатываемой де-
тали. Тогда в любой ее точке передний угол у = 0 и угол наклона режущей кромки
X = 0, а вектор скорости резания будет перпендикулярен передней плоскости.
Задняя поверхность резца создается при вращении режущей кромки вокруг его
оси. Ось резца может идти либо параллельно оси детали, либо составлять угол [3 с
осью детали (рис. 29, б). Будем считать, что угол (3=0.
Если совместить плоскость Z = h (рис. 28) с передней плоскостью резца и ось
X направить параллельно оси детали, то для круглого фасонного резца при (3=0
будем иметь: 14 = и2 = v3 = 0, а = 6, где а — задний угол на резце в сечении,
перпендикулярном его оси.
Отсюда
Обозначим радиус базовой точки режущей кромки резца, в которой задан
задний угол а, через Q. Тогда
y==yQ2_h2
Отсюда
Следовательно,
h — Q sin а.
По этой формуле подсчитывают величину превышения h оси резца над осью де-
тали. На круглых радиальных фасонных резцах в выбранной базовой точке величина
h позволяет получить требуемую величину заднего угла а при его измерении в сече-
нии, перпендикулярном оси резца. Величины задних углов при их измерении в
нормальном к режущей кромке сечении определим по формуле
tg = tg 6/v = tg a cos f,
где 8 — угол между касательной к режущей кромке в исследуемой ее точке и осью
резца или осью детали, поскольку они параллельны. Для участков режущих кро-
мок, обрабатывающих торцовые плоскости детали, получим 8 = 90°, a/v = 0. С точ-
ки зрения работы инструмента подобные величины задних углов являются небла-
гоприятными, так как в процессе работы на рассматриваемом участке кромки будет
наблюдаться соприкосновение и усиленное трение задней поверхности резца и по-
верхности детали.
Для того чтобы получить на рассматриваемом участке положительные задние
углы, необходимо либо создать заднюю поверхность резца в форме винтовой поверх-
ности, либо использовать наклонную установку оси резца по отношению к оси
детали.
Угол между осью детали и осью резца обозначим (3, а угол между осью детали и
режущей кромкой р. Тогда
8 = [3 — р.
Формы поверхностей режущей части инструмента,
обеспечивающие возможности его переточек
Следовательно, задний угол измеренный в нормальном к режущей кромке
сечении, определим по формуле
tg ajV = A cos (Р — р) = tg ат cos ф — р),
где аг — задний угол в сечении, перпендикулярном оси резца.
Для участка режущей кромки, у которого угол р = 90°,
tgaw = tgarsinp.
Таким образом, наклонная установка оси круглого резца позволяет получить
положительные задние углы на участках режущих кромок, обрабатывающих тор-
цовые плоскости на детали. Этот же эффект можно получить, создавая заднюю по-
верхность резца в форме винтовой поверхности. В этом случае наряду с вращением
вокруг оси резца с угловой скоростью а режущая кромка будет совершать поступа-
тельное движение параллельно оси резца со скоростью v3. Тогда задний угол aN при
его измерении в сечении, нормальном к режущей кромке, если = v2 = 0, подсчи-
таем по формуле
,	(OZ — tg g
tgav = -------——cos 8.
°	cor/
Преобразуя, получаем
,	II /D .	sin (6 — p)
tg a у = — cos (6 — p)---------.
У	co у
Обозначим
Il	,	v<>
— = tgar; —— = p,
у	& co
где p — параметр винтового движения режущей кромки;
ат — задний угол в сечении, перпендикулярном оси резца,
tgav = tgar cosф — р) — -^-sin ф — р).
Анализ этой формулы показывает, что для получения положительных задних
углов во всех точках режущей кромки при обработке поверхностей с углами р,
близкими к нулю, нужно проектировать резец с осью, параллельной оси детали.
У этого резца задняя поверхность будет поверхностью вращения. При обработке фа-
сонных поверхностей вращения, для которых угол р близок 90°, целесообразно ось
круглого фасонного резца, имеющего заднюю поверхность вращения, устанавливать
перпендикулярно оси детали. Для открытых поверхностей, имеющих участки с
углом р, близким к 0 и к 90°, следует использовать наклонную установку оси резца
по отношению к оси детали или проектировать резец с винтовой задней поверхностью.
Рассмотрим образование задней неперетачиваемой поверхности фасонных заты-
лованных фрез. Считаем, что перетачиваемая передняя поверхность затылованной
фрезы будет плоскостью, проходящей через ее ось, т. е. передний угол у = 0 и угол
наклона режущей кромки X = 0.
Задняя поверхность зуба фрезы образуется при сложном движении режущей
кромки, которое складывается из ее вращения вокруг оси фрезы и прямолинейно-
поступательного движения. Направление прямолинейно-поступательного движения
Основы конструирования режущей части
на базе исходного тела инструмента
может быть различным. Оно может быть направлено перпендикулярно оси фрезы.
Такой способ образования задней поверхности называют радиальным затылова-
нием.
Если совместить плоскость Z = h (рис. 28) с передней плоскостью зуба и ось X
направить по оси фрезы, то для рассматриваемого случая h = 0, и2 = 0 и3 = О,
Ь = а.
Задний угол а измеряем в сечении, перпендикулярном оси, и определяем по сле-
дующей формуле:
,	V-t	V-t
tga — —,
ь ту	(x)Ri
где R. — радиус рассматриваемой точки режущей кромки, т. е. ее расстояние до
оси X.
Задний угол ав в вершинной точке режущей кромки, расположенной на радиу-
се 7?, определим по формуле
tgaB ==“йя"’
Сравнив два написанных выражения, получим
tga =“^-tg ав-
Формула позволяет определить задний угол а в произвольной точке, если из-
вестна его величина ав на вершине зуба, независимо от принятого закона изменения
скоростей со и и,. Соответственно находим задний угол в сечении, перпендикуляр-
ном к режущей кромке:
tg ад? = tg a cos 8.
Поэтому независимо от принятого закона изменения скоростей со и при одина-
ковых величинах задних углов ав на вершине задние углы в нормальном сечении
будут одними и теми же.
Анализ формулы для подсчета задних углов в нормальном сечении показы-
вает, что на участке режущей кромки, соответствующем углу 8 = 90°, задние углы
a,v = 0.
Для того чтобы получить при образовании задней поверхности положительные
задние углы а^, используют так называемый осевой способ затылования, при кото-
ром режущая кромка наряду с вращением вокруг оси совершает прямолинейно-по-
ступательное движение вдоль оси фрезы со скоростью v3. Для этого случая = 0,
v2 = 0, h = 0,	= aN.
Подставив эти величины в общую формулу для подсчета угла б/v, получим
Со tg £
=------cos е<
coz/
Чтобы получить положительные задние углы a.v, направление скорости и3
изменим на обратное. Тогда
= 7^-sine-
где Rl — радиус рассматриваемой точки режущей кромки.
Формы поверхностей режущей части инструмента, QO
обеспечивающие возможности его переточек
Наиболее часто при затыловании равномерному вращению вокруг оси фрезы
соответствует равномерное поступательное движение со скоростью и3. Перемещение
режущей кромки со скоростью у3 за время t поворота фрезы вокруг ее оси на один зуб,
2 л,
т. е. на угол —, обозначается и называется величиной затылования.
Тогда
_ Кг
ш ~ 2.1 ‘
Следовательно,
.	Kz .
lS7Ts,ne-
где z — число зубьев фрезы.
В рассматриваемом случае любая точка режущей кромки будет описывать винто-
вую линию и задняя поверхность будет винтовой поверхностью. Подобный метод
затылования используется при обработке задней поверхности зубьев резцовых голо-
вок, предназначенных для изготовления спиральнозубых конических колес.
При радиальном затыловании фрез, когда равномерному вращению со скоростью
(о соответствует равномерное поступательное движение со скоростью любая точка
режущей кромки будет описывать архимедову спираль. В этом случае
Л. = J<L'
со 2л
Соответственно имеем:
tgaB =
Отсюда
K=_^_tgaB.
г
По =»той формуле подсчитывается при проектировании фрез величина затылова-
ния Л, если выбрана величина заднего угла на вершине зуба ав. В некоторых слу-
чаях, когда режущая кромка имеет участки, где углы 8 близки к 0 и к 90°, оказыва-
ется целесообразно применять затылование под углом ф. При этом наряду с враще-
нием вокруг оси фрезы режущая кромка совершает два прямолинейно-поступатель-
ных движения со скоростями vx и —у3. Тогда h = 0, бд, = a^, v2 = 0, у — Ri.
Подставив эти величины в формулу для подсчета угла 6;у, получим
,	У.—(—Un) tg >•
tga.y == —— »	— cos 8,
или
+ 4rtg f)cose-
QA Основы конструирования режущц^ части
на базе исходного тела инструмента
Совокупность двух поступательных движений со скоростями vx и —и3 дает по-
ступательное движение со скоростью и, величина которой равна:
и = —Ч- >
cos W
где гр — угол между направлением скорости v1 и скорости v.
Величина угла гр определяется по формуле
Следовательно,
tg ан = —(cos 8 + tg гр sin е),
или
tga" = "^rcos(£~'W-
Отношение •£• при равномерных составляющих движениях может быть пред-
ставлено в таком виде:
у __ Кг
(О	2п
Тогда
tg a/v =	cos (s — ip).
При проектировании фрез, затылованных под углом, задаются величинами за-
дних углов в двух точках режущей кромки и определяют угол гр и величину затыло-
вания Л. Считаем, что в первой точке режущей кромки, расположенной на радиусе
Rlt угол 8j = 0 и задний угол av = aP Тогда для этой точки
,	Кг
tg av, = —-— cos гр.
6 2nRt
Во второй точке, расположенной на радиусе Т?2, считаем известными 82 = 90° и
(Х;у = 0^2*
Тогда
,	Кг . ,
Поделив одно уравнение на другое, получим формулу для определения угла гр:
К2 tg aNi
Ъ tg
Величина Л' соответственно определяется по формуле
__ 2л/?т tg _ 2л/?2 tg aNz
г cos г|>	г sin \|
Формы поверхностей режущей части инструмента, QX
обеспечивающие возможности его переточек
В общем случае в двух выбранных базовых точках режущей кромки зуба заты-
лованной фрезы углы е могут иметь произвольные величины.
Тогда для первой точки
C0S ~
для второй точки
tg“A'= = cos(e2 — Ч’)-
Решив эти уравнения относительно угла ф, получим
7?! tg ал, cos е2 — /?2 tg <4v cos ei
tg ib =-------5--------------------
/?2 tg sin tgaVj sin t2
Эта формула позволяет определить угол ф при любых кривых профиля кулач-
ка, применяемого при затыловании. Если профиль кулачка очерчен по архимедо-
вой спирали, то величина затылования
_ 2л/?! tg _ 2л/?2 tg aN2
Z COS (£j — ф) Z COS (f2 — ф)
При проектировании фасонных затылованных фрез обычно задаются максималь-
но дупустимой величиной заднего углаадг = 8 ~ 15°, чаще всего = 10 ~ 12°.
Минимально допустимая величина заднего угла колеблется в пределах aN = 2 4- 3°
и только в исключительных случаях она снижается до a,v — 1 4- 1,5°. Анализ ха-
рактера изменения задних углов по длине режущей кромки позволяет выбрать на-
иболее приемлемый способ затылования.
Наряду с фрезами затылованная неперетачиваемая поверхность создается так-
же у метчиков, плашек и других инструментов.
Изложенное показывает, что задача определения форм поверхностей режущей
части инструмента, обеспечивающих возможность переточек его в процессе эксплуа-
тации, неоднозначна. Иными словами, можно образовать множество всевозможных
инструментов, обеспечивающих обработку новым и переточенным инструментом од-
них и тех же деталей. Пути нахождения этого множества включают выбор разнооб-
разных форм перетачиваемых поверхностей и определение всевозможных форм не-
перетачиваемых поверхностей режущей части. Форма перетачиваемой поверхности
заданного инструмента может быть различной, т. е. один и тот же инструмент можно
перетачивать по различным поверхностям, включающим режущую кромку. Всевоз-
можные же формы неперетачиваемых поверхностей и соответствующие им типы
инструментов находятся путем изменения характера и направления движения режу-
щей кромки при образовании рассматриваемой поверхности режущей части.
Глава VI
ПРОФИЛИРОВАНИЕ ФАСОННЫХ РЕЖУЩИХ
ИНСТРУМЕНТОВ
§ 17. ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ
Профилирование заключается в определении формы и размеров режущей
части инструмента, когда заданы поверхность детали и технические условия ее изго-
товления. Наряду с этим учитывается также необходимость создания работоспособ-
ного инструмента. Он должен иметь на режущей части целесообразные величины
геометрических параметров, перетачиваться в процессе эксплуатации с целью вос-
становления его режущей способности и т. п.
Однако основным условием, из которого исходят при профилировании инстру-
мента, является условие обработки спроектированным инструментом заданной по-
верхности детали.
Форма и размеры режущей части инструмента характеризуются формой и раз-
мерами передней и задней поверхностей и режущей кромки Они находятся при
профилировании режущих инструментов. При известной исходной поверхности И
решение задачи определения формы режущей части инструмента зависит от приня-
той схемы резания.
Проектируя инструменты с последовательной схемой резания, как бы создают
из инструментального материала тело, которое ограничивается исходной поверхнос-
тью И. На полученной заготовке прорезают зубья с режущими кромками обычно
в виде дуги окружности или отрезка прямой. Граничные точки режущих кромок
лежат на исходной поверхности и должны включать ее профилирующие точки, необ-
ходимые для образования заданной поверхности детали.
Более сложно решаются вопросы профилирования фасонных инструментов
с профильной схемой резания. В этом случае режущая кромка будет линией пересе-
чения передней, задней и исходной инструментальной поверхностей и не может иметь
произвольную форму.
Последовательность профилирования рассматриваемых инструментов следую-
щая:
—	определяют исходную инструментальную поверхность И, сопряженную при
принятой схеме обработки с поверхностью детали Д;
—	выбирают перетачиваемую поверхность режущей части инструмента и ее
расположение относительно поверхности И\
—	находят режущую кромку как линию пересечения перетачиваемой поверх-
ности с исходной инструментальной поверхностью И\
—	создают неперетачиваемую поверхность режущей части и определяют ее
профиль.
Наиболее часто в качестве перетачиваемой поверхности режущей части фасон-
ных инструментов принимается передняя поверхность в форме плоскости, ццлин-
4 С —2SCb	Общие (NT
положения *7 •
дрической, конической либо винтовой поверхности. Можно при профилировании
рассматриваемых инструментов в качестве перетачиваемой поверхности выбирать
заднюю поверхность сравнительно простой формы. Однако часто этот путь приво-
дит к практически неприемлемым результатам, так как передняя поверхность стру-
жечных канавок инструмента получает сложную форму и ее изготовление оказы-
вается неоправданно трудным. Кроме того, в этом случае сложно обеспечить целе-
сообразные величины геометрических параметров в различных точках кромки.
Из всего разнообразия фасонных режущих инструментов наиболее распростра-
нены фасонные резцы, фасонные фрезы и инструменты, работающие методом обкатки.
§ 18. ФАСОННЫЕ РЕЗЦЫ
Фасонные резцы используют при строгании фасонных цилиндрических поверх-
ностей, а также при точении поверхностей вращения и винтовых поверхностей.
Схема обработки цилиндрической поверхности Д фасонным резцом включает прямо-
линейно-поступательное движение резания и движение подачи. Скорость прямоли-
нейно-поступательного движения резания направлена вдоль образующей цилиндри-
ческой поверхности детали Д. В результате движения подачи происходит периоди-
ческое углубление инструмента в материал заготовки, пока режущая кромка не
выйдет на поверхность детали. В момент формирования поверхности детали Д дви-
жение подачи выключается. Поэтому исходная инструментальная поверхность И
будет совпадать с поверхностью детали, так как прямолинейно-поступательное
движение резания приводит к скольжению цилиндрической поверхности детали
«самой по себе».
При известной исходной поверхности И методика профилирования строгаль-
ных призматических резцов, перетачиваемых по передней плоскости Р, следующая:
—	определяют режущую кромку как линию пересечения исходной поверх-
ности И и передней плоскости Р, расположенной под передним углом у;
—	создают цилиндрическую фасонную заднюю поверхность, которая описы-
вается режущей кромкой при ее прямолинейно-поступательном движении, на-
правленном под задним углом а к скорости резания;
—	находят профиль задней поверхности как линию ее пересечения с плос-
костью, перпендикулярной образующим.
Пример графического профилирования фасонного строгального резца пока-
зан на рис. 30. За плоскость проекций W принята плоскость, перпендикулярная
образующим фасонной цилиндрической поверхности детали, а за плоскость V —
плоскость, параллельная направлениям движения резания и движения подачи.
В принятой системе плоскостей проекций изображается цилиндрическая поверх-
ность детали Д. Профиль этой поверхности пусть будет линией a" k" b". Он изобра-
жается в натуральную величину на плоскости W. Образующие поверхности Д на
плоскость V проецируются в прямые, перпендикулярные оси проекций V/W. Выбе-
рем в качестве перетачиваемой поверхности переднюю поверхность в форме плос-
кости Р. Положение передней плоскости Р примем наклонным, чтобы на режущей
части создать положительные передние углы у в сечениях, параллельных плоскости
V. Рассмотрим случай, когда передняя плоскость перпендикулярна плоскости К
Заметим, что, выбирая ряд положений передней плоскости Р, можно спроектировать
различные виды фасонных строгальных резцов.
QO	П рофилирование фасонных
<70 режущих инструментов
Рис. 30. Профилирование строгательного резца с плоской перед-
ней поверхностью
Режущей кромкой рез-
ца будет линия пересече-
ния поверхности детали Д
и передней плоскости Р.
Поскольку поверхность де-
тали Д является профиль-
но-проецирующей, а перед-
няя плоскость — верти-
кально-проецирующей, их
линией пересечения будет
кривая АКБ (ее проекции
обозначены через a'k'b' и
a" k" b"). Зная режущую
кромку АКБ, заставим ее двигаться в пространстве и образовывать не-
перетачиваемую заднюю поверхность. Принимая различные движения режущей
кромки, можно получить разнообразные задние поверхности и соответственно раз-
личные типы фасонных резцов. Так, если кромку АКБ заставить совершать враща-
тельное движение, то получим круглый фасонный резец с задней поверхностью вра-
щения. Если режущая кромка имеет винтовое движение, то получают резец с вин-
товой задней поверхностью.
Предположим, что при образовании неперетачиваемой поверхности режущей
части кромка АКБ движется прямолинейно-поступательно со скоростью, парал-
лельной плоскости V. Задняя поверхность резца будет цилиндрической поверхностью,
образующие которой АС, КМ, БЕ пойдут с заданным задним углом а параллельно
плоскости V. Совокупность образующих на чертеже изобразит заднюю поверхность
резца. Профиль резца определится как линия пересечения задней поверхности с
вертикально-проецирующей плоскостью AZ, перпендикулярной образующим задней
поверхности. На плоскости V проекция с'т'е' профиля резца расположится на
вертикальном следе плоскости К. На плоскости V проекции с'т'е' точек С, М, Е
будут лежать на соответствующих проекциях задней поверхности. Натуральная
величина профиля резца находится путем перемены плоскостей проекции и перехода
к системе плоскостей проекций V/N вместо системы V/W. Линия сте будет иско-
мым профилем призматического фасонного резца, предназначенного для строгания
фасонной цилиндрической поверхности.
Используя рассмотренное графическое построение, можно получить следующие
аналитические зависимости для расчета профиля резца:
р р	cos у
Следовательно, размеры длины профиля детали без искаженья переносятся на
профиль резца. Размеры /р профиля резца соответственно искажаются. Коэффи-
<os (а 4- v)
циент искажения для данного резца имеет постоянное значение и равен у ♦
Это показывает, что если деталь будет иметь прямолинейный профиль, то теорети-
чески точный профиль резца будет также прямолинейным.
Для того чтобы повысить производительность труда, нужно создать ряд рас-
сматриваемых фасонных резцов и установить их друг за другом на разных строго
4*	Фасонные QQ
резцы
определенных расстояниях
от поверхности детали.
В результате получим мно-
гозубый инструмент, пред-
ставляющий собой фасон-
ную протяжку с профиль-
ной схемой резания. Этот
инструмент в процессе ра-
боты будет иметь только од-
но возвратно-поступатель-
ное движение резания. Рас-
пределение работы резания
между зубьями обеспечится
конструкцией инструмента.
Рассматриваемый приз-
матический фасонный стро-
гальный резец можно спро-
Рис. 31 Профилирование строгального резца с плоской задней
поверхностью
ектировать как инструмент
с перетачиваемой задней, а не передней плоскостью. В этом случае методика
профилирования такого инструмента следующая:
—	определяют режущую кромку как линию пересечения исходной поверх-
ности И, совпадающей с поверхностью детали, и задней плоскостью, расположенной
под соответствующим задним углом а;
—	создают фасонную цилиндрическую переднюю поверхность путем посту-
пательного перемещения режущей кромки, направление которого соответствует вы-
бранной величине переднего угла у;
—	находят профиль передней поверхности как линию пересечения ее с плос-
костью, перпендикулярной образующим.
Графическое профилирование призматического строгального резца с перета-
чиваемой плоской задней поверхностью приведено на рис. 31. В системе плоскостей
проекций VIW изображена цилиндрическая поверхность детали Д. Профиль этой
поверхности a" k" b" проецируется в натуральную величину на плоскость W. Обра-
зующие поверхности Д на плоскость V проецируются в прямые, перпендикуляр-
ные оси проекций V/W.
Выберем в качестве перетачиваемой поверхности заднюю плоскость резца. По-
ложение задней плоскости резца зададим двумя прямыми. Одной прямой будет ли-
ния А К, расположенная в плоскости, перпендикулярной образующим поверхности
Д. Ее положение характеризуется углом е, который целесообразно выбирать так,
чюбы прямая a" k" была близка к криволинейному профилю детали a" k" b". Второй
прямой, лежащей в задней плоскости, будет фронталь АО (ее проекции а'о' и а" о"),
идущая под углом а. Величину заднего угла ос выбирают на основе известных реко-
мендаций науки о резании металлов и считают при профилировании известной. Най-
дем режущую кромку резца как линию пересечения поверхности Д и задней плос-
кости. Для этого рассмотрим ряд вспомогательных секущих плоскостей, параллель-
ных плоскости V. Так, например, сечение, проходящее через крайнюю точку В,
с прямой А К пересекается в точке Р, а с задней плоскостью по фронтали PSy кото-
рая идет параллельно фронтали АО. Рассматриваемое сечение пересекается также
1 ОО Профилирование фасонных
режущих инструментов
с цилиндрической поверхностью детали по образующей BS. Точка S пересечения
образующей BS и фронтали PS будет точкой режущей кромки резца. Аналогично
точке S находятся другие точки режущей кромки AKS (ее проекции обозначены
a"k"s" и a'k's'). Режущую кромку AKS заставим двигаться в пространстве и образо-
вывать неперетачиваемую переднюю поверхность резца. Принимая различные дви-
жения режущей кромки, можно получить разнообразные передние поверхности и
соответствующие типы фасонных резцов. Считаем, что при образовании передней
неперетачиваемой поверхности режущей части кромка AKS движется прямолинейно-
поступательно со скоростью, параллельной плоскости V. Тогда передняя поверх-
ность резца будет цилиндрической поверхностью. За ее направляющую можно при-
нять режущую кромку AKS. Образующие АС, КМ будут идти параллельно плос-
кости V так, чтобы образовать требуемую величину переднего угла у. Передний угол
упри профилировании резца считаем известным. Совокупность образующих АС,
КМ на чертеже изобразит переднюю поверхность резца. Профиль резца определяют
как линию пересечения передней поверхности с вертикально-проецирующей плос-
костью V, перпендикулярной образующим передней поверхности. Проекция профиля
резца е'с'т' на плоскость V будет лежать на вертикальном следе плоскости N. На
плоскости W проекции с", т", е" точек С, Л4, Е будут лежать на соответствующих
проекциях образующих передней поверхности. Натуральная величина профиля
резца находится путем перемены плоскостей проекций и перехода от системы VIW
к системе VIN. Линия сте будет искомым профилем фасонного строгального резца
с плоской задней поверхностью, по которой резец перетачивается в процессе обра-
ботки.
Используя рассмотренное графическое построение, можно получить следующие
аналитические зависимости для расчета профиля резца:
Zp = 1’	= W — I tg 8) ctg a — t tg y] cos y,
где Z, t — координаты точки профиля детали;
/р, /р — координаты соответствующей точки профиля резца.
Аналогично резцам для строгания фасонных цилиндрических поверхностей про-
ектируются радиальные фасонные резцы для точения поверхностей вращения и винто-
вых поверхностей. При обработке поверхности вращения заготовка быстро вращается
вокруг своей оси, а резец совершает поступательное движение поперечной подачи. В
момент окончания обработки и формирования поверхностей детали движение подачи
отключается. В результате вращения вокруг оси заготовки поверхность вращения
детали будет скользить «сама по себе» и исходная инструментальная поверхность
совпадает с поверхностью детали. Совпадение исходной инструментальной поверх-
ности с поверхностью детали наблюдается также при точении фасонным радиальным
резцом винтовой поверхности. Поэтому методика профилирования фасонных ра-
диальных резцов для точения винтовых поверхностей и поверхностей вращения
включает выбор неперетачиваемой поверхности. Обычно за такую поверхность
принимают переднюю плоскость резца. Пересекаясь с поверхностью детали, перед-
няя плоскость дает режущую кромку. Сообщив режхщей кромке прямолинейно-
поступательное перемещение, получим заднюю неперетачиваемую поверхность.
Это будет цилиндрическая фасонная поверхность призматического фасонного
резца. Если режущая кромка, образуя неперетачиваемую поверхность, совершает
Фасонные 1 Q1
резцы
вращение, то получаем заднюю поверхность вращения круглого фасонного резца.
Таким образом, у фасонных радиальных резцов исходная инструментальная по-
верхность совпадает с поверхностью детали.
Рис. 32. Взаимное расположение
систем координат при фрезеро-
вании винтовой поверхности
§ 19. ФАСОННЫЕ ФРЕЗЫ
У большинства фасонных инструментов исходная поверхность и поверхность
детали не совпадают. Поэтому, проектируя подобные инструменты, в первую оче-
редь приходится отыскивать исходную инструментальную поверхность. К таким ин-
струментам относятся, например, фасонные фрезы, предназначенные для обра-
ботки винтовых фасонных поверхностей. При фрезеровании винтовой поверхности
детали Д движение ее относительно инструмента сводится к вращению вокруг
оси фрезы. Это объясняется тем, что при винтовом движении подачи винтовая по-
верхность детали скользит «сама по себе». Поэтому это движение, определяя ис-
ходную поверхность, можно не учитывать. В результате вращения вокруг оси фрезы
винтовая поверхность детали Д занимает ряд последо-
вательных положений, огибающая к которым будет
исходной инструментальной поверхностью враще-
ния И. Ось фрезы относительно детали может распо-
лагаться различным образом. Благодаря этому, при
рассматриваемой схеме обработки можно образовать
различные типы исходных инструментальных поверх-
ностей и соответственно концевые, торцовые, диско-
вые фрезы на их основе. При фрезеровании винтовых
поверхностей наибольшее применение нашли диско-
вые фрезы (рис. 32). Считаем, что в системе XYZ за-
дана обработанная винтовая поверхность детали.
Профиль осевого сечения этой поверхности в плос-
кости Y = 0 считаем известным:
Я=хл = /(г0).
В выбранной произвольной точке профиля
(х0, го) угол наклона касательной обозначим е. Пара-
метр винтовой поверхности детали обозначим р. Тогда
уравнения винтовой поверхности детали запишем так:
у — R sin 6; х = R cos 6; z = z0 + рб.
Запишем в векторной форме уравнение винтовой
поверхности детали:
rt = if (z0) cos d +// (z0) sin 6 4- k (z0 + p6).
Выберем также систему координат XUYUZU, напра-
вив ось Хи по оси X, а ось Zu — по оси инструмента.
Формулы перехода из системы координат XYZ в си-
стему XUYUZU представляются в следующем виде:
хи = х — А; уи = у cos т + z sin т;
ги = г cos т — у sin т,
где т — угол между осями инструмента и детали;
А — межосевое расстояние.
П рофилирование фасонных
режущих инструментов
Тогда уравнение винтовой поверхности в системе XUYUZU запишем так:
~ги = к If (2о) cos 6 —	4- lu If (М sin 6 cos т н- (z0 + рб) sin т] 4-
4- ku [(z0 + рб) cos т — f (z0) sin 6 sin т].
Векторы В и С, касательные к винтовой поверхности, определяются следующим
образом:
В=-|й-, С=-^~.
д?о	до
Продифференцировав уравнение винтовой поверхности детали, получим:
В = iu tg е cos 6 4- jtt (tg е sin б cos т 4- sin т) + ku (cos т — tg e sin 6 sin r);
C = iu |— f (z0) sin 6] 4- ju [f (z0) cos 6 cos т 4- p sin t] 4- ku [p cos т — f (z0) cos 6 sin т].
Определим вектор нормали N к винтовой поверхности детали
N = [В X С].
Вектор нормали в координатной форме

tg е cos 6;
— / (z0) sin 6;
i и
(tgEsin 6cost 4- sin t);
[f (z0) cos 6 cos т 4- p sin t];
ku
(cos т — tg e sin 6 sin t)
[p cos т — f (z0) cos 6 sin t]
Раскрыв определитель, после преобразования получим:
N = iu [р tg е sin б — f (z0) cos б] — ja [p cos т tg e cos 6 4- f (z0) sin 6 cos т —
— /4М sin Ttg e] 4- ku [psin т tg e cos 6 4- f(zQ) sin 6 sin т 4-f(z0)tg£cosT],
В процессе фрезерования относительное движение поверхности детали и ин-
струмента сводится к вращению вокруг оси инструмента. Считаем, что угловая ско-
рость этого вращения равна единице, т. е.
со = iu.
Тогда скорости точек винтовой поверхности детали равны:
В координатной форме
[со X ги].
1и
1и
О о
У и
где хм, уи, zu — координаты вектора ги.
Раскрыв определитель, получим
V=— lu2u + ktyu.
Подставив вместо zu и уи их значения, определим вектор скорости:
v = — iu [(2ГО 4- рб) cos т — / (z0) sin б sin т] 4-
+ ku К2о + Pty sin т 4- / (z0) sin б cos т].
Фасонное ЛО
фре^ы AUO
Уравнение контакта для рассматриваемого случая записывается так:
N • v = [р cos т tg е cos 6 + / (zo) s^n cos т — f (zo) s’n т tg е] X
X [(z0 + рб)cos т — f (z0)sin 6 sin t] 4- [p sin т tg e cos 6 4- / (z0) sin 6 sin т 4-
+ f Uo) tg e cos Tl [<2o 4- p6) sin т 4- f (z0) sin 6 cos t| = 0,
или
N • v = (z0 4- p5)ptg8cos6 4- (z0 4- p6)f (z0) sin 6 4- f2 (z0) sin d tg & = 0.
Разделив на tg g sin 6, получим
(г0 4- рб) p ctg d 4- (z0 + p6) xQ ctg g 4- x2 = 0.
Это уравнение является трансцендентным относительно искомого параметра 6.
Оно решается одним из приближенных способов хорд, касательных или итераций.
Для применения, например, способа итераций рассматриваемое уравнение
разрешим относительно 6:
6_____________Х1_________
р2 Ctg 6 -h рхо ctg Е р '
В качестве нулевого приближения можно принять, что касание винтовой по-
верхности детали и исходной инструментальной поверхности происходит в плос-
кости Yu = 0.
Тогда нулевое приближение б0 можно вычислять по соотношению
tg б0 = cos т sin т.
Первое приближение бх определяется по формуле
§ =___________5__________ZSL
1	р2 ctg д0 -- pxQ ctg t р '
Аналогично находятся следующие приближения. Так, второе приближение
2	Р2 ctg dj 4- pxQ ctg 8	p '
Зная угол 6, рассчитывают координаты точек линии контакта Е на поверх-
ности детали и по формулам преобразования координат в системе Хи Уи Zu,
связанной с инструментом. Вращая линию контакта Е вокрхг оси инструмента,
получим исходную инструментальную поверхность И. Профиль исходной инстру-
ментальной поверхности вращения, сопряженной с винтовой поверхностью детали,
можно рассчитать по следующей методике:
—	на заданном профиле поверхности детали выбирают ряд точек с координа-
тами х0, z0 и угол наклона касательных е;
—	по уравнению контакта определяют угол б для выбранных точек профиля:
6 ___________________________h. •
р2 ctg 6 -t- рхп ctg t Р
1 Профилирование фасонных
режущих инструментов
—	находят характеристику Е (линию контакта) на поверхности детали, коор-
динаты соответствующих точек которой
у = х0 sin 6; х = xQ cos d; z = z0 4- pd;
—	по формулам преобразования координат определяют характеристику в си-
стеме Хи Yи Zu> связанной с инструментом:
хи = х — А; уи = у cost + z sin т; zu=z cost— r/sinx;
— рассчитывают профиль исходной инструментальной поверхности вращения
характеристики вокруг оси Zu инструмента. Определяют координаты х1У yL точек
профиля исходной инструментальной поверхности:
z, = 2«; х> = х“ + </«
Следует заметить, что задача определения исходной инструментальной поверх-
ности вращения, сопряженной с винтовой поверхностью детали, является многова-
риантной. Находя в рассматриваемом случае исходные инструментальные поверх
ности, можно изменять расстояние I от крайней точки В профиля до оси, а также
варьировать величиной угла т между осями детали и инструмента. В результате
определяется семейство исходных инструментальных поверхностей, сопряженных
с заданной винтовой поверхностью детали. При проектировании инструмента из
всего многообразия исходных поверхностей выбирают ту, которая обеспечивает
образование поверхности детали в соответствии с чертежом, т. е. обеспечивает не-
обходимые условия касания сопряженных поверхностей без их взаимного внедре-
ния, а также выполнение конструктивных технологических и эксплуатационных
требований проектируемого инструмента. Поэтому для создания рациональной
конструкции инструмента необходимо проанализировать влияние параметров I
и т установки инструмента относительно детали на условия формообразования за-
данной винтовой поверхности, на режущие свойства инструмента, его технологич-
ность и конструктивное совершенство. Это весьма трудоемкая задача, которая ус-
пешно решается при использовании ЭВМ.
При известной исходной инструментальной поверхности И методика профили-
рования фасонных затылованных фрез, перетачиваемых по плоской передней по-
верхности, может быть следующей:
—	определяют режущую кромку как линию пересечения исходной поверх-
ности И и передней плоскости, расположенной под соответствующим передним
углом у;
—	создают заднюю поверхность как поверхность, описываемую режущей
кромкой при ее вращении вокруг оси инструмента и одновременном приближении
к этой оси в результате прямолинейно-поступательного движения, направленного
перпендикулярно оси инструмента (радиальное затылование);
—	находят профиль задней поверхности как линию ее пересечения с плос-
костью, проходящей через ось фрезы.
Графическое решение рассматриваемой задачи в соответствии с указанной
методикой представлено на рис. 33. Графическое построение показывает, что про-
филь фрезы по передней поверхности не совпадает с профилем обработанной детали.
Фасонные ЛК
фрезы
Поэтому для контроля про-
филя фрезы шаблоном про-
водят его расчет по следую-
щим формулам:
Г = У • /7 =	Sin(P
V sin у
где угол ф определяется по
соотношению
• /	।	\ /?siny
sin(<P + Y) = -^z^
Профиль фрезы, в се-
чении проходящем через ее
ось, который необходим для
проектирования затылован-
ного резца, предназначен-
ного для обработки задней
Рис. 33. Графическое профилирование затылованной фрезы
поверхности, подсчитывается по формулам:
x$i — xi> УФ( — У; 360 »
где xt, i// — координаты произвольной точки профиля детали;
х, у — координаты соответствующей точки профиля фрезы по передней
поверхности;
хф? Уф1 — координаты точки профиля фрезы в осевом сечении;
у — передний угол в базовой точке;
R — радиус фрезы;
К — величина затылования;
z — число зубьев фрезы.
Приведенные теоретические формулы показывают, что профиль фрезы в осевом
сечении и передней плоскости зависит от радиуса фрезы R.
В процессе переточек радиус фрезы уменьшается. Поэтому профиль фрезы в
осевом сечении должен был бы соответственно изменяться. Однако в действитель-
ности при затыловании резцом профиль фрезы в осевом сечении сохраняется неиз-
менным. В результате переточки фрезы вносят некоторые погрешности в профиль
обработанной поверхности. Однако эти погрешности невелики и обычно ими пре-
небрегают.
§ 20. ИНСТРУМЕНТЫ,
РАБОТАЮЩИЕ МЕТОДОМ ОБКАТКИ
Для определения исходной инструментальной поверхности рассмотрим движе-
ние поверхности детали относительно инструмента. Оно сводится к качению без
скольжения аксоида, связанного с деталью, по аксоиду, связанному с инструмен-
том, т. е. в любой произвольно выбранный момент времени движение поверхности
детали относительно инструмента будет мгновенным вращением. Ось мгновенного
1 ЛА Профилирование фасонных
-LVU режущих инструментов
Рис. 34. Схема обработки рейки
долбя ком с наклонной осью
вращения будет прямой линией, по которой происхо-
дит касание аксоида детали и аксоида инструмента.
Такие инструменты принято называть инструмента-
ми, работающими методом обкатки.
Аксоидами могут быть разнообразные линей-
чатые поверхности. Наиболее часто аксоидами служат
плоскость, круглый цилиндр или конус. Их формы
определяют тип рассматриваемых инструментов. Так,
например, при обработке долбяками аксоид инстру-
мента и аксоид детали представляют собой круглые
цилиндры, при обработке гребенками аксоид инстру-
мента представляет собой плоскость, а аксоид детали —
круглый цилиндр, при долблении реек аксоидом
инструмента будет цилиндр, а аксоидом детали —
плоскость. Эта плоскость может занимать различное
положение относительно нарезаемой рейки. Наиболее
часто она идет параллельно средней плоскости зубьев.
В общем же случае эта плоскость может идти наклон-
но к обрабатываемым зубьям, что дает возможность
применять более простые по конструкции долбяки с
наклонной осью по сравнению с обычно применяемы-
ми долбяками, у которых ось параллельна направле-
нию зубьев. Долбяки с наклонной осью могут иметь
заднюю поверхность зубьев в форме цилиндрической
поверхности с образующими, параллельными оси
инструмента. В этом случае положительные задние
углы на режущих кромках образуются за счет на-
клонной установки долбяка (рис. 34).
Схема обработки реек долбяками с наклонной
осью включает взаимосвязанные вращения долбяка
вокруг своей оси и поступательное перемещение за-
готовки, в результате чего начальный цилиндр ради-
уса Rh и, связанный с инструментом, без скольжения
катится по начальной плоскости, связанной с обраба-
тываемой рейкой. При этом начальная плоскость располагается под углом а к обра-
зующим цилиндрической поверхности детали и идет параллельно оси инструмента.
Для рассматриваемой схемы обработки определим исходную инструментальную
поверхность И как огибающую поверхности детали Д при ее движении относитель-
но инструмента.
С поверхностью детали Д свяжем систему координат XYZ, с инструментом —
Хи Y„ (рис. 34, б). Выберем также неподвижную систему координат 0Z0.
Ось z направим параллельно образующим поверхности Д\ ось 2И — по оси инстру-
мента; ось Zo — по линии касания начального цилиндра инструмента и начальной
плоскости детали. В исходном положении плоскости ZY, 7ИУИ и 20У0 и начала
координат систем XYZ и ХИУИ7И совпадают. Примем, что система XMYUZU по-
вернулась от исходного положения вокруг оси на угол t. Тогда система XYZ,
двигаясь поступательно, переместится вдоль оси X на величину В этом
Инструменты, работающие
методом обкатки Av<
случае формулы перехода от системы XYZ к системе X^Y^Z^ таковы:
Хо — х — RHMt;
у0 = у cos а — z sin а + /?н.и; z0 = у sin а 4- z cos а.
Обратные формулы имеют вид:
х == х0 4- Я, у = yQ cos а 4- z0 sin а — /?н.и cos а;
z = — yQ sin а + 20 cos а 4- 7?и и sin а.
Формулы перехода от системы XYZ к системе ХИУИ7И записываются так:
хи = х cos t — у cos a sin t 4- z sin a sin t — /?н и/ cos /;
yK = x sin t 4- у cos a cos t — z sin a cos t — RH.nt sin /;
z„ = у sin а 4- z cos a.
Уравнение заданной цилиндрической поверхности детали в системе XYZ\
y = t(x).
Обозначим через ф угол, составленный касательной к профилю в произвольной точ-
ке и осью Y (рис. 34, в). Тогда уравнение нормали к поверхности детали в системе
XYZ запишем так:
X = i cos ф 4- / sin ф.
В системе X0YQZ0 уравнение нормали X находится с помощью формул преобра-
зования координат:
X = i0 cos ф 4- /0 cos a sin ф 4- k0 sin a sin ф.
Скорость v относительного движения произвольной точки М поверхности де-
тали Д определится как скорость вращательного движения вокруг мгновенной
оси Zo:
v = [(О X /?],
где со — угловая скорость вращения, величина которой может быть равна единице;
R — радиус-вектор рассматриваемой точки поверхности детали,
4~ }Уо 4- kozo.
Выражая векторное произведение в координатной форме, получаем
Отсюда
*о /о
0 0
хо Уо
1
у = jxa — ioyo.
Уравнение контакта записывается таким образом:
X • v = 0.
Следовательно,
х0 cos a sin ф — у0 cos ф = 0.
1 ЛА Профилирование фасонных
AVO режущих инструментов
и
X
35. Определение эвольвент-
профиля долбяка, сопря-
Рис.
ного
женного с прямозубой рейкой
Отсюда
eta г|>
Хо = У о--- •
и .л; cos а
Тогда уравнение контакта в системе XYZ примет вид
X	С t
z = ~ё----(I/ cos a — г sin a + R„M)	
и	^н.и cos a
Совместное рассмотрение уравнения поверхности
детали, уравнения контакта и формул преобразования
координат дает исходную инструментальную поверх-
ность.
Проектируя инструмент на базе исходной поверх-
ности И, принимаем переднюю коническую поверх-
ность, ось которой совпадает с осью создаваемого
долбяка. В этом случае обеспечиваются идентичные
геометрические параметры режущих кромок различ-
ных зубьев долбяка. Положение образующей перед-
ней конической поверхности определяется величиной
переднего угла у. Передняя коническая поверхность,
пересекаясь с исходной инструментальной поверх-
ностью, дает режущую кромку долбяка, проекция
которой на плоскость ХИУИ будет профилем задней поверхности долбяка.
В частном случае поверхность обрабатываемой детали может быть поверхностью
зубчатой рейки с прямолинейным профилем зубьев. Аналогично стандартным зубо-
резным долбякам считаем, что долбяк с наклонной осью, предназначенный для обра-
ботки зубчатых реек с прямолинейным профилем, имеет эвольвентный профиль
зубьев. Такой долбяк подобен прямозубому эвольвентному зубчатому колесу,
торец которого заточен по передней конической поверхности.
Параметры эвольвентного профиля зубьев долбяка определим из условия каса-
ния теоретически точного профиля и заменяющей его эвольвенты в точке К режу-
щей кромки долбяка, расположенной на радиусе /?н и-
Выберем прямоугольную систему координат XYZ (рис. 35). Ось Z направим
параллельно образующим обрабатываемой поверхности, т. е. под углом а к оси
долбяка. Ось Y проведем в осевой плоскости инструмента.
Пусть в рассматриваемый момент времени точка К режущей кромки сопряга-
ется с обрабатываемой плоской боковой поверхностью зуба рейки. Тогда плоскость,
касательная к исходной инструментальной поверхности И в точке А, будет сов-
падать с боковой плоскостью Д зуба рейки и располагаться под углом а0 к оси Y.
В плоскости Д проведем через точку К два вектора: А в плоскости XY, В в плос-
кости, касательной к передней конической поверхности долбяка.
Векторы А и В в системе XYZ могут быть записаны так:
А = — i tg a0 4- /; В = — i tg <p 4- / cos у 4- k sin y,
где ф — угол, составляемый касательной в точке К к режущей кромке и плос-
костью ZY\
у — передний угол на вершинной кромке зуба долбяка, равный уст — а.
Инструменты, работающие ЛП
методом обкатки
Векторы /(, Д и В лежат в плоскости Д Поэтому их смешанное произведение
равно нулю, т. е
[К х Л| . В =0.
В координатной форме это произведение записывается так:
0	1
1	0
0
— tga0
— tg ср cos у sin у
= 0.
Раскрыв определитель, получим
tg<p= tga0cosy.
По касательной к профилю зуба долбяка в сечении, перпендикулярном 1с его
оси, проведем вектор С. В системе XYZ он может быть записан так:
С = — i tg аи 4- / cos а — k sin а,
где аи — угол давления эвольвенты зуба долбяка в точке А, расположенной на
его начальной окружности,
a — угол наклона оси долбяка по отношению к образующим обрабатываемой
поверхности рейки
По образующей задней поверхности долбяка из точки /С проведем вектор Е\
Е = / sin a + ~k cos a.
Векторы E, В и С лежат в одной плоскости, касательной к задней поверхности
зуба долбяка. Поэтому
sin a
cosy
cos a
cos a
sin у
— sin a
= 0.
0
— tg<p
— tga»
Раскрыв определитель, получим
tea
° и cos (a + у)
Подставим вместо tg ф его значение
ua =J£5l£22T_
g и cos (a + у) 1
Радиус основной окружности эвольвентного профиля зуба долбяка
Ron ~ Ено COS ОСи.
Таким образом, основные параметры эвольвентного профиля зуба долбяка с
наклонной осью для обработки зубчатых реек найдены
Замена теоретически точного профиля боковой стороны зуба долбяка эвольвент-
ным приводит к соответствующим погрешностям профиля обработанной рейки.
Анализ величин этих погрешностей показывает, что в ряде случаев подобная заме-
на является приемлемой с точки зрения точности обработки. Это позволяет приме-
нять относительно простую технологическую конструкцию инструмента Однако
1 1 А Профилирование фасонных
л. л.” режущих инструментов
Рис. 36. Схема обработки
цилиндрических зубчатых колес
долбяком с наклонной осью
обработка таким инструментом может осуществляться на станках, которые обеспе-
чивают наклонное расположение оси долбяка и его соответствующие движения отно-
сительно заготовки. На обычных станках угол наклона оси долбяка по отношению
к образующим поверхности рейки равен нулю, т. е. а = 0. Тогда формулы преоб-
разования координат примут вид:
хи = (х—/?H.H/)cosZ— у sin С уи = (х — R^t) sin t + у cos t\ zK = z.
Запишем уравнение контакта
x _ ctg (у — /?н и)
1 ~ /?ни
Если считать величины х, у, z и ф переменными, то совместное рассмотрение на-
писанных уравнений даст искомую исходную инструментальную поверхность И,
профиль которой можно определить в сечении Z = const.
Рассматриваемые формулы можно использовать также при расчете профиля
чашечного резца, работающего методом обкатки. Чашечными резцами обрабаты-
ваются фасонные поверхности вращения Д. При обработке деталь быстро враща-
ется вокруг своей оси. Однако это движение приводит к скольжению поверхности
детали Д «самой по себе» и при определении огибающей исходной поверхности его
можно не учитывать. Резцу сообщают сложное движение подачи, складывающееся
из вращения его вокруг своей оси и одновременного перемещения вдоль оси дета-
ли. Эти движения сводятся к обкатке цилиндра, связанного с инструментом, по плос-
кости, связанной с профилем детали. Поэтому в процессе обработки наблюдается
каю бы зацепление рейки, профиль которой совпадает с профилем детали, с инстру-
ментом.
Наиболее общей схемой работы обкаточных инструментов является схема
обработки цилиндрических зубчатых деталей долбяками с наклонной осью. Эта
схема включает взаимосвязанные вращательные движения заготовки и инструмента
вокруг своих осей, которые пересекаются под углом 8 (рис. 36, а).
Угловая скоросгь вращения детали пусть будет <ох, а угловая скорость вра-
щения инструмента со2. Тогда относительное движение детали и инструмента в про-
цессе обработки можно представить как качение без скольжения начального конуса
Инструменты, работающие 1 1 1
методом обкатки
детали с углом при вершине 2е, по начальному конусу инструмента с углом при
вершине 2е2.
Углы Ej и е2 при известных угловых скоростях со2 и заданном угле между
осями е определим из соотношений:
Если заданы не угловые скорости, а число зубьев детали гд и инструмента
2Н, то
2Д __ Sin gj
ги ~ sin е2 *
Выберем следующие системы координат:
X Y Z — система, связанная с деталью;
ХИУИ2И — система, связанная с инструментом;
Хо Уо ZQ — неподвижная система координат.
При этом ось Zj направим по оси детали, ось Z2 — по оси инструмента, ось
Zo — по прямой касания начальных конусов. Оси ZT, Z2, Zo лежат в одной плоскос-
ти, а оси Х\, Х2, Хо — в начальный момент времени совпадают и идут перпенди-
кулярно к плоскости, в которой располагаются оси Zx и Z2.
В процессе обработки система XYZ, связанная с деталью, вращается вокруг
оси Z с угловой скоростью (Dj (рис. 36, б). Угол поворота системы XYZ обозначим
тг Система ХИУИ/И вращается вокруг оси ZB с угловой скоростью со2 (рис. 36, в).
Угол поворота ее обозначим т2.
Соотношение между углами Tj и т2:
ij   sm е2
т2	sin е1
Запишем формулы перехода от системы XYZ к системе X0Y0Z0:
х0 — х cos Tj — у sin тг;
yQ = X sin Tj COS Et + у COS Tj COS Ej — z sin 8T;
z0 — x sin Tj sin Ej + У cos t1 sin Ej + z cos 8.
Формулы перехода от системы X(iY0Z0 к системе XYZ:
х = х0 cos Tj + у0 sin Tj cos 8j 4- z0 sin Ej sin xf,
У = — Xo Sin Tj 4~ Уо COS Ej COS Tj 4~ Zo Sin Ej cos Xf,
Z = ZQ COS Ei — y0 sin 8p
Формулы перехода от системы XHYUZ„ к системе Х0У0/0:
= хи cos т2 4- ун sin т2;
у о = — хи sin т2 cos е2 4~ Уо cos т2 cos е2 4- ги sin е2;
z0 = хи sin т2 sin е2 — Уп cos т2 sin е2 4- zH cos 82.
Формулы перехода от системы XoyoZo к системе XHKHZH:
хи = cos т2 — у0 cos е2 sin х2 4- z0 sin 82 sin т2;
112
Профилирование фасонных
режущих инструментов
Уи = Х0 sin Т2 + Уо C0S е2 C0S Т2  20 SW 8 2 C0S Т2^
zH = i/0sins2+ z0 cos e2.
Формулы перехода от системы XYZ к системе ХаУк7к:
хи = xfcosTj cos т2 — sin т2 sin Tj cos(Ej 4- e2)| 4-
4- у |—cos т2 sin Tj — sinT2cosTj cos^j 4- e2)] 4- zsinT2sin(£1 4- e2);
yn = x [cos Tj sin t2 4- cos t2 sin Tj cos (e, 4- e2)] 4-
4- у [cos Tj cos t2 cos (Ej 4- s2) — sin t2 sin tJ — z cos t2 sin (6j 4- e2);
zH = x sin Tj sin (Ej 4- e2) 4- У cos t1 sin (eT 4- e2) + 2 cos (ei + 82)-
В системе координат XYZ пусть задана цилиндрическая поверхность детали,
образующие которой идут параллельно оси Z. Уравнение профиля этой поверхности
в общем виде у = f (х).
Пусть касательная к кривой профиля в произвольной точке М составляет с
осью Y (рис. 36, г) угол ф. Тогда уравнение нормали к цилиндрической поверхности
в системе XYZ имеет вид
N = i cos ф 4- j sin ф.
В неподвижной системе XoyoZo уравнение нормали к цилиндрической поверх-
ности записывают так:
W = i0 (cos ф cos т, — sin ф sin tJ 4- /0 (cos ф sin cos 4~ sin ф cos cos eJ 4-
4- k0 (cos ф sin tx sin Ej 4~ sin ф cos tt sin eJ.
Преобразовав, получим
W = iQ cos (ф 4-	4- /0 cos Ej sin (ф 4- tJ 4- k0 sin Ej sin (ф 4- tJ,
где i0, /0» ^0 — единичные векторы системы X0Y0Z0.
При рассматриваемой схеме обработки относительное движение будет мгно-
венным вращением вокруг ocnZ0. Поэтому скорость v относительного движения про-
извольной точки поверхности детали определится как скорость вращательного дви-
жения вокруг мгновенной оси Zo:
и = [со X /?],
где со — угловая скорость вращения;
R — радиус-вектор рассматриваемой точки.
Если координаты рассматриваемой точки обозначить х0, z/0, г0, то радиус-вектор
R = ixn 4- )Уп 4- kz{).
Принимая величину вектора
Тогда
1о /о
V = о О
хо Уо
со, равной единице, можем записать со =
— io( Уо) — / (	*о)»
k.
Уравнение контакта X - v = 0.
Инструменты, работающие 119
методом обкатки
Подставив вместо N и v их значения и вычислив скалярное произведение,
получим
— yQ cos (ф ф- 4- х0 cos e sin (ф 4- tJ = 0.
Уравнение контакта в системе координат XYZ
(х sin Tj COS 8j 4- У COS тг COS 8j-Z sin 8) COS (Ф 4" Tj = {X COS Tj — у sin T]) COS 8j X
X sin (ф 4- tJ.
Определив из этого уравнения угол тп получим
, . .	. у cos U — х sin ib
cos (ф 4- Tj = --------------
r 1	ztgtj
Нетрудно увидеть, что величина z tg 8j равна радиусу начальной окружности
7?НО/ детали в исследуемом сечении, перпендикулярном к ее оси 7?нох = z tg ele
Тогда уравнение контакта запишем так:
. , , ч у cos t| — X sin
cos(ф 4-T,) =---
О1
В исследуемом случае использования долбяков с наклонной осью радиус 7?н о< на-
чальной окружности детали является величиной переменной и зависит от положе-
ния рассматриваемого сечения.
Уравнение цилиндрической поверхности детали в системе XYZ в общем виде
У = fW.
Совместное рассмотрение уравнения поверхности детали, уравнения контакта
и формул перехода от системы XYZ к системе ХИУИ2И дает искомую исходную ин-
струментальную поверхность.
Рассмотрим частный случай и запишем уравнение контакта для плоской поверх-
ности детали. Этот случай соответствует обработке валов с прямолинейным профилем
шлицев.
Уравнение боковой плоской стороны шлица х = /г, где h — расстояние от
плоской стороны шлица до оси шлицевого вала.
Угол ф между касательной к профилю и осью Y во всех точках, т. е. ф = 0.
Поэтому уравнение контакта в рассматриваемом частном случае запишем
у
cos т. =------,
1 г tg ех
или
У = г tg 8j cos тР
Определим уравнение контакта для эвольвентного профиля детали (рис. 37, а).
Радиус основной окружности обозначим г0; точку начала эвольвенты — Мо, произ-
вольную точку эвольвенты — М.
Уравнение эвольвенты в параметрической форме
= cos 04, 6x = invax.
Д Профилирование фасонных
режущих инструментов
Рис. 37. Профили деталей:
а — эвольвента, б — окружность
Эвольвентный угол 0Х в этом случае отсчитывается от радиуса ОЛ40. Обозна-
чим угол между этим радиусом ОМ0 и осью Y через р. Тогда угол между касатель-
ной к эвольвенте в произвольной точке М и осью Y
Ф = «х +	— Р = Фх — Р.
Координаты произвольной точки М. в системе XY:
х = rxsin(P —ех); у = rxcos(p — 0J.
Уравнение контакта в рассматриваемом частном случае записывается так:
Cos (<р — р + Т1) = Гх cos ~ cos ~ ~sin <Р ~ е*)sin (Ф* ~ Р)
2 tg
Преобразовав это выражение, получим уравнение контакта для эвольвентного
профиля:
cos(q),-f5+T1) = ^-.
Рассмотрим поверхность детали, профиль которой очерчен по дуге окружности
(рис. 37, б). Координаты произвольной точки М дугового профиля детали следу-
ющие:
х = г cos ф; у = с 4- г sin ф,
где г — радиус дугового профиля;
с — расстояние от начала координат до центра дугового профиля;
ф — угол, составляемый касательной к профилю в точке /И с осью Y,
Уравнение контакта для цилиндрической поверхности с профилем в форме
дуги окружности
гпе Аь  т х __	+ ' Sm Ф) COS Ф — Г COS ф Sin ф
cos 1ф 4" т1/ —------------------------
После преобразований получим
, , ,	. с cos ф
cos (ф 4- тП = —;.
Т 1 v Z tg gj
При заданной цилиндрической поверхности детали координаты точек исходной
инструментальной поверхности определяем и подсчитываем следующим образом:
2tg е.
Инструменты, работающие 1 1
методом обкатки	± о
задаемся точкой на поверхности детали с координатами XKZ и углом ф
между касательной к профилю в этой точке и осью Y\
определяем по уравнению контакта угол ть при котором рассматриваемая
точка поверхности детали будет соприкасаться с сопряженной точкой исходной
инструментальной поверхности;
рассчитываем координаты хи, ги сопряженной точки исходной инструмен-
тальной поверхности по известным значениям величин х, у, г и тт. Аналогично
находим другие сопряженные точки, совокупность которых является исходной ин-
струментальной поверхностью.
При профилировании долбяков с наклонной осью подобно обычным доблякам
принимаем профильную схему резания и считаем, что переточка долбяка произво-
дится по передней поверхности.
Наиболее простой формой передней поверхности является плоскость. Для того
чтобы на всех зубьях создать идентичные условия резания, т. е. одинаковые перед-
ние углы, необходимо в качестве передней плоскости принять плоскость, перпенди-
кулярную оси инструмента. В этом случае статические передние углы равны нулю.
В процессе же резания за счет наклонной установки инструмента передние углы
будут отрицательные. Если необходимо получить положительные передние углы на
режущей части долбяка, следует переднюю поверхность принять в форме кониче-
ской поверхности. Ось передней конической поверхности должна совпадать с осью
долбяка, так как только в этом случае на всех зубьях долбяка будут создаваться
идентичные условия резания.
Режущая кромка долбяка, как и любого другого инструмента, лежит на перед-
ней поверхности; с другой стороны, при профильной схеме резания режущая кромка
лежит на исходной инструментальной поверхности. Поэтому в рассматриваемом
случае профилирования долбяков с наклонной осью их режущая кромка может быть
найдена как линия пересечения исходной инструментальной поверхности и передней
поверхности.
Известно, что форма задней поверхности инструмента должна обеспечить полу-
чение положительных задних углов на режущей кромке инструмента, беспрепят-
ственное перемещение задней поверхности в процессе резания, возможность перето-
чек инструмента с тем, чтобы новым и переточенным инструментом можно было бы
обрабатывать идентичные детали. Кроме того, задняя поверхность должна доста-
точно просто воспроизводиться при обработке, т. е. конструкция разрабатываемого
инструмента должна быть технологичной.
При проектировании долбяков с наклонной осью указанным условиям в наи-
большей степени удовлетворяет фасонная цилиндрическая поверхность. За направ-
ляющую этой поверхности принимается режущая кромка. Образующие же задней
поверхности проводятся параллельно оси инструмента. Профиль цилиндрической
задней поверхности в этом случае будет проекцией режущей кромки на плоскость,
перпендикулярную к оси долбяка.
Рассмотрим случай профилирования долбяка для обработки шлицевого вала
при плоской передней его поверхности. Уравнение передней плоскости
~ ^1,
где Cj — расстояние от начала координат системы ХИУИХИ до передней плоскости.
-| £* Профилирование фасонных
режущих инструментов
Приняв zH = q, имеем:
х sin Ti sin (е1 4- е2) 4- у cos т2 sin (е2 + s2) +
4- zcos (Ei 4- е2) = ci-
Учитывая, что для шлицевого вала х = h и
у = z tg Ej cos ть найдем координату z:
_ сг — h sin к sin т1
COS E 4- sin 8 COS2 Tj tg Ej
По этим формулам, задаваясь рядом частных зна-
чений угла тп находят на поверхности детали точки
контакта, соответствующие точкам режущей кромки
инструмента. Зная координаты х, у, z, указанных точек
контакта, определяют по формулам преобразования
координат точки режущей кромки долбяка в системе
у у /
ZVH-' И^И'
Для случая конической передней поверхности
необходимо при отыскании режущей кромки долбяка
рассмотреть совместно уравнение передней поверх-
ности и уравнения, определяющие исходную инстру-
ментальную поверхность.
Уравнения передней конической поверхности в
системе ХИУИ7И:
Хи — I cos ус cos Р; Ги = / cos ус sin [3;
ZH = b — I sin yc,
где b — расстояние от начала координат системы
до вершины конической передней поверх-
ности;
ус — статический передний угол долбяка между
образующей конической поверхности и
плоскостью, перпендикулярной оси;
Z и р — текущие параметры.
При профилировании долбяка с конической пе-
Рис. 38. Определение профиля
долбяка для обработки шлицево-
го вала
редней поверхностью рассчитывают его профиль для
ряда плоских передних поверхностей, удаленных на расстоянии clt с2, и с3 от нача-
ла координат системы ХИУИ7И, а затем — коническую переднюю поверхность.
Пусть необходимо спроектировать долбяк для обработки шлицевого вала, про-
филь которого показан на рис. 38, а. Примем угол а = 12° и у = 12°.
Из технологических соображений теоретически точный профиль боковой сто-
роны зуба долбяка заменим дугой окружности. Для этого рассчитаем координаты
трех точек теоретически точного профиля зуба долбяка: точки / у ножки зуба, соот-
ветствующей точке боковой стороны шлица на его наружном радиусе; точки 2 —
промежуточной по высоте зуба; точки 5, расположенной на наружном радиусе дол-
бяка. Начальные радиусы шлицевого вала и долбяка примем равными 50 мм
(рис. 38, б). Тогда
7?и.о = 7?н.и = 50 мм; у = а = с = 12°; Р = 90 — а — у = 66°; Ej = е2 = 6°.
Инструменты, работающие 1 1
методом обкатки
Для точки 1:
Ri = Ян.и = 50 мм; сл = R'i ctg е2 = 50, ctg 6° = 475,7182 мм.
Для точки 2, задав величину ad = 5 мм:
& = /?н.н + ad =50+5	• & = 54,6698 мм;
сг = с, - ad = 475,7182 - 5	; с2 = 473,6391 мм.
Разность наружного и внутреннего радиусов шлицевого вала
Re— R<= 50 — 40 = 10 мм.
Отсюда для точки 3:
R3 = 50 + 10	= 59,3395 мм
И
с3 = 475,7182—10-2^ = 471,56 мм.
3	cos 12	’
Точка 1 режущей кромки долбяка обрабатывает крайнюю точку М профиля
шлицевого вала, расположенную на наружной окружности, которая является на-
чальной окружностью детали. Поэтому для точки М угол Tj определяют из соот-
ношения
sin т, = JL= JL = 0,16; + = 9,207°.
Координаты точки М в системе XYZ в момент контакта ее сточкой 1 режущей
кромки:
_	— h sin 8 sin т1 _ 475,7182 — 8 sin 12° sin 9,207°
Z cos e -f- sin e cos2 t1 tg 8X cos 12° 4~ sin 12° cos2 9,207° tg'6°
Отсюда
z = 475,7182 mm;
у — z tg £j cos Tj = 475,7182 tg 6° cos 9,207°;
у = 49,3557 мм, x = 8 мм.
Так как /?н.о = 7?н.и и = 82, то для сопряженных точек 1 и 2И, лежащих на
начальных окружностях, будут справедливы соотношения:
хи = х = 8 мм; уи = — у = — 49,3557 мм.
Для точки 2 ориентировочно задаемся первым значением угла ti-i = 22°. Тогда
получим
_	473,6391 —8 sin 12 sin 22°
Z cos 12' 4- sin 12° cos2 22° tg 6" ’
z =s 474,4710 mm; y = 474,4710 tg 6° cos 22° = 46,2376 мм; x = 8 мм.
i 1 О Профилирование фасонных
режущих инструментов
По формулам преобразования координат находим координаты рассматривае-
мой точки в системе XHYHZ„ с учетом того, что = е2 и тт = т2 = 22°:
хи = 8(cos2 22° - sin2 22° cos 12°) 4- 46,2374 (- cos 22° sin 22° —sin 22ccos 22° cos 12°) +
+ 474,471 sin 22° sin 12° = 10,9650 мм,
yK = 8(1 + cos 12°) cos 22° sin 22°+ 46,2374 (cos2 22° cos 12° — sin2 22°) —
— 474,471 cos 22° sin 12° = — 53,5764 мм.
Расстояние от точки 2 до оси долбяка
/?2_, = к Хи + у„ = |/ 10.9652 + 53.57642 = 54,687 мм.
Точка, принадлежащая плоскости гл = сп, может являться точкой режущей
кромки, если она лежит на конической поверхности и соблюдается равенство Rln =
= Rn. Плоскость ги = 473, 6391 мм пересекает коническую переднюю поверхность
по окружности радиуса R2 = 54,6698 мм.
Величина погрешности = R2—R2-1 = 54,6698 — 54,6870 = —0,0172 мм.
Допускается ошибка только в четверкам знаке после запятой. Поэтому требу-
ется уточнить значение тх для второй точки. Примем второе значение ti_2 = 21,5°.
Произведем в той же последовательности вычисления, что и для tj_i. Тогда R2-2 =
= 54,3941 мм, а Д2 = R’2 — R2-2 = 54,6698 — 54,3941 = + 0,2757 мм.
Поскольку ошибки Дт и Д2 имеют разные знаки, используя метод хорд, опре-
деляем уточненное значение величины п_з по соотношению
Ti—1++
Отсюда
_ 22 - 0,2757 + 21,5 . 0,0172 _91Q7o
Т1“3 ~	0,0172 + 0,2757	“ 21,У/’
Выполнив расчеты при ti-з = 21,97е аналогично расчету при ti-i = 22°, имеем:
хк = 10,9506 мм; у„ = 53,5612 мм; /?2-з = 54,6692 мм; Д3 = +0,0006 мм.
Произведем в той же последовательности вычисления для точки 3:
Т]_з= 29,36°; хи= 15,791 мм; ук — — 57,2 мм.
Зная координаты хи и у„ точек /, 2, 3 профиля долбяка, проводим известными
способами через них окружность. Радиус заменяющей окружности р = 17,881 мм.
Координаты центра заменяющей окружности:
хи = 23,962 мм, уи = — 41,296 мм.
Аналогично расчету профиля долбяка, предназначенного для обработки шли-
цевого вала, можно проектировать долбяк с наклонной осью для обработки других
зубчатых деталей, в частности зуборезные долбяки для обработки прямозубых зуб-
чатых колес. Однако изготовить зуборезный долбяк с теоретически точным профилем
зуба технологически трудно.
Из технологических соображений примем, что долбяк с наклонной осью, пред-
назначенный для обработки прямозубых эвольвентных зубчатых колес, имеет
Инструменты, работающие 1 1 Q
методом обкатки
Начальный конус детали
а
Рис 39. Определение профиля
долбяка для обработки эволь-
вентного зубчатого колеса
также эвольвентный профиль цилиндрической задней
поверхности. В этом случае рассматриваемый долбяк
будет прямозубым эвольвентным зубчатым колесом,
один торец которого заточен по конической передней
поверхности.
Эвольвентный профиль долбяка определим из
условия касания теоретически точного профиля дол-
бяка и заменяющей его эвольвенты в средней точке
режущей кромки, расположенной на радиусе
В этом случае обеспечивается точная обработка коле-
са в центральной зоне зуба.
Схема зацепления зубчатого прямозубого колеса
и долбяка изображена на рис. 39, а. Зацепление со-
пряженных профилей детали и исходной инструмен-
тальной поверхности в центральных точках, распо-
ложенных на начальных окружностях 7?но и 7?ни,
произойдет в тот момент, когда они попадут в точку Ро
мгновенной оси вращения. Рассмотрим зацепление со-
пряженных профилей в этот момент времени. Плос-
кость, касательная к поверхности зуба колеса в цен-
тральной точке, является вертикально проектирую-
щей плоскостью и составляет угол а0 с осью Y
(рис. 39, б). Эта плоскость касается исходной инстру-
ментальной поверхности в центральной точке.
Следовательно, в этой плоскости лежит прямая,
касательная к режущей кромке в центральной точке.
Эта прямая также лежит в плоскости, касательной в
центральной точке к передней конической поверх-
ности. Поэтому касательная к режущей кромке в
центральной точке может быть найдена как линия
пересечения двух рассматриваемых плоскостей.
В плоскости, касательной к передней поверхности,
проведем вектор В, а в плоскости, касательной к ис-
ходной поверхности, вектор А.
Запишем эти векторы в системе XYZ:
А = _ 7tga0+ /; В - — i tg ср + /cosy + k sin у,
где i, j, ~k — орты по осям координат;
a0—угол давления эвольвенты зуба обрабатываемого колеса на радиусе
°*
<р — угол, составляемый касательной к режущей кромке в центральной
точке с плоскостью ZY.
Векторы К, А и В лежат в одной плоскости, касательной к поверхности зуба
колеса. Поэтому их векторно-скалярное произведение
[К X Л] • В = 0.
1 9Л П рофилирование фасонных
режущих инструментов

Запишем это произведение в координатной форме:
0	1
1	о
= 0.
0
— tg“o
— tg ф cos у sin у
Определив отсюда tg ф, получим
tg ф = tg а0 cos у.
Проведем по касательной в центральной точке к профилю зуба долбяка вектор
С. В системе XYZ он может быть записан так:
С = — i tg аи 4- / cos 8 — k sin 8,
где аи — угол давления профиля зуба долбяка в центральной точке.
Вектор £, идущий по образующей задней поверхности зуба долбяка,
Е = j sin 8 + k cos 8.
Векторы E, В, С лежат в одной плоскости, касательной в центральной точке
Поэтому их векторно-скалярное произведение
к задней поверхности зуба долбяка.
[£ X В] • С — 0. Следовательно,
0
— tg ф
— tg «и
sin е
cos у
COS 8
COS 8
sin у
— sin 8
= 0.
Отсюда
'и
tg<P
COS (Е 4- у)
Подставив вместо tg ф его значение, получим
t = Jgancosjy
ё и COS (Е 4- у)
Радиус основной окружности эвольвентного профиля зуба долбяка
Го и = $н.и COS ОСИ.
Толщина зуба долбяка на делительной окружности радиуса 7?н.и равна ширине
впадины зуба обрабатываемого колеса, измерянной по окружности радиуса Ra,o.
Высота головки
1ги = h" cos(e + ^ = 1,25m -с^-(е+т> 
cos у	’	cos у
Высота ножки зуба долбяка
h"„	1,25m cos(e + v) .
’	cos у
Остальные размеры долбяка определяют аналогично обычным прямозубым
колесам.
Инструменты, работающие 1П1
методом обкатки
Рис 40. Схемы обработки зубча-
тых деталей обкаточными ин-
струментами
Наиболее часто ось долбяка и ось детали парал-
лельны. Исходная инструментальная поверхность в
этом случае определяется системой следующих урав-
нений (рис. 40, а)\
уравнение цилиндрической поверхности детали
z = f(y),
уравнение контакта
• /I  У cos ib 4- z sin ib
sin (ip 4-1) = y--.
Формулы преобразования координат:
хи ~
уи = г sin (t +) — у cos [t /?1 +) —
sin
z„ = (Я1 + Я2) cos (/	— г cos (/ R' +	—
где 7?! — радиус начального цилиндра, связанного с
поверхностью детали;
R2 — радиус начального цилиндра, связанного с
инструментом.
Система XYZ связана с деталью, а система
ХИУИ7И — с инструментом. Угол хр в исследуемой
точке поверхности детали заключен между осью Y и касательной к профилю де-
тали, определяемому в сечении X — const.
Для случая обработки цилиндрических зубчатых деталей гребенками движе-
ние поверхности детали относительно инструмента сводится к качению без сколь-
жения начального цилиндра, связанного с деталью, по начальной плоскости, свя-
занной с инструментом (рис. 40, б). В этом случае исходная инструментальная по-
верхность определяется системой следующих уравнений:
уравнение цилиндрической поверхности детали
Z = l(y),
уравнение контакта
sin (гр 4- /) =
Формулы преобразования координат:
д/ cos i| 4- г sin ip
Кц о
хи = х; y„=ycost— z sin t + 7?н.оЛ = у яп t + zcost—RnO.
К подобной схеме зачастую относят также обработку червячными фрезами,
считая приближенно, что профиль фрезы в нормальном сечении совпадает с про-
филем рейки, сопряженной с деталью.
-| рр Профилирование фасонных
режущих инструментов
Наряду с рассмотренными инструментами, при работе которых скорости со-
ставляющих элементарных движений сохраняются постоянными, применяются ин-
струменты, в процессе обработки которыми скорости составляющих движений из-
меняются по определенному закону. Изменение скорости движений, совершаемых
инструментом и заготовкой, происходит за счет настройки станка с изменяющимися
передаточными отношениями кинематических цепей. В процессе обработки может
также меняться взаимное положение инструмента и заготовки в результате измене-
ния межосевого расстояния и угла между осями детали и инструмента. Все это в
определенных условиях расширяет возможности обработки, позволяет обрабаты-
вать такие профили, которые при обычных условиях обработки получить невозмож-
но. Однако модификация движений, совершаемых в процессе обработки инструмен-
том и заготовкой, приводит к соответствующему усложнению конструкции станка,
приспособления или инструмента.
Проектируя инструменты, работающие методом обкатки, профиль их можно
выбирать таким образом, чтобы поверхность детали формировала только одна точка
режущей кромки зуба, подобно тому, как формирует плоскость одна вершинная
точка зуба торцовой фрезы. Профиль детали при обработке такими гребенками или
червячными фрезами ограничивается удлиненной эвольвентой, а при обработке
долбяками на обычных зубодолбежных станках — по удлиненной эпициклоиде.
Эти кривые описываются вершинными точками зубьев. Если вершины рассматри-
ваемых инструментов имеют закругление, то профиль детали получается по эквиди-
станте к удлиненной эвольвенте или эпициклоиде. Таким путем можно обеспечить
обработку методом обкатки деталей с поднутрением, что является его существен-
ным преимуществом. Рассматриваемые виды инструментов могут применяться для
обработки деталей, не требующих точного выполнения формы, так как образуемый
профиль может недостаточно точно соответствовать требуемому.
§ 21. О ГЕОМЕТРИЧЕСКИ ТОЧНЫХ
МЕТАЛЛОРЕЖУЩИХ ИНСТРУМЕНТАХ
При профилировании режущих инструментов зачастую определяются коор-
динаты узловых точек профиля, которые по технологическим соображениям соеди-
няются отрезками прямых линий либо дугами окружностей. Подобные допущения
вносят определенные погрешности в профиль обработанной инструментом детали.
Кроме того, режущие инструменты даже с идеально точной и неизменной при пере-
точках режущей кромкой не всегда обеспечивают точную обработку заданной по-
верхности детали. Это объясняется тем, что при обработке переточенным инстру-
ментом кинематика резания может изменяться по сравнению с работой нового ин-
струмента, т. е. могут изменяться траектории движения различных точек режущих
кромок относительно заготовки. Поэтому возникает задача проектирования геомет-
рически точных инструментов, при переточках которых не изменялась бы форма
и размеры детали и не наблюдалось бы искажения профиля. В общем случае режу-
щая часть такого инструмента должна проектироваться таким образом, чтобы при
переточках форма режущей кромки изменялась и компенсировала искажения в
профиле детали, вызванные кинематикой резания.
Неперетачиваемая поверхность режущей части такого инструмента должна пред-
ставлять собой совокупность режущих кромок переменной формы. Формы и размеры
О геометрически точных
металлорежущих инструментах
режущих кромок нового
и переточенного инструмен-
та определяются при про-
филировании из условия
образования заданной по-
верхности детали с учетом
изменения размеров ин-
струмента и кинематики
резания при переточках.
Примером такого теорети-
чески точного инструмента
может служить зуборезный
долбя к с нулевым перед-
ним углом, предназначен-
ный для обработки цилин-
дрических прямозубых
эвольвентных колес. В лю-
бом сечении, перпендику-
лярном оси, долбяк имеет
Рис. 41. Круглый резец с криволинейной передней поверхностью
корригированный профиль зубьев, который, как известно из теории механизмов и
машин, может находиться в правильном зацеплении с эвольвентным зубчатым
колесом и точно его формировать.
Однако следут заметить, что неперетачиваемые поверхности режущих частей
теоретически точных инструментов с переменной при переточках формой режущих
кромок довольно сложны и технологически трудно осуществимы. Поэтому не всегда
практически возможно создать теоретически точные инструменты и компенсировать
искажения кинематики резания переточенного инструмента соответствующим изме-
нением формы его режущей кромки. Однако знание форм поверхностей режущей
части теоретически точных инструментов и их сравнение с реальными инструмен-
тами позволяют выявить погрешности обработки и пути их уменьшения до допусти-
мых пределов.
Примером инструментов, у которых в профиль вносятся погрешности по тех-
нологическим соображениям, служат радиальные фасонные резцы. Известно, что
как призматические, так и круглые радиальные резцы с передним углом, не равным
нулю, не обеспечивают точной обработки конических участков поверхности детали.
У теоретически точного резца режущая кромка должна быть кривой пересечения
передней плоскости и конической поверхности детали. Однако подобные резцы слож-
ны в изготовлении. По технологическим соображениям криволинейная режущая
кромка заменяется прямолинейной. Чтобы избежать этих погрешностей, применяют
фасонные резцы с двойным наклоном передней плоскости. Положение передней
плоскости выбирают таким, чтобы она пересекала вершину конической поверх-
ности детали. В этом случае призматические резцы обеспечивают точную обработку
конических участков. Круглые же резцы с осью, параллельной оси детали, все рав-
но дают искажения, так как при вращении прямой режущей кромки вокруг скре-
щивающейся с ней оси резца создается задняя поверхность в форме гиперболоида
вращения. Однако по технологическим соображениям профиль задней поверхности
резца принимается прямолинейным. Чтобы обработать коническую поверхность
1 Профилирование фасонных
режущих и нет р у ментов
круглым резцом без погрешностей, ось его устанавливают наклонно и параллель-
но образующей, которая принимается за режущую кромку резца. Однако в этом
случае не обеспечивается точная обработка цилиндрических участков поверхности
детали.
Рассматриваемый недостаток радиальных фасонных резцов может быть устра-
нен заточкой их по криволинейной фасонной передней поверхности. Этот путь менее
разработан и распространен на практике.
Определим форму передней поверхности теоретически точного круглого фасон-
ного радиального резца. Графическое решение рассматриваемой задачи приведено
на рис. 41. Прямолинейный профиль резца k"m" определим по известной и общепри-
нятой методике. Зная таким образом спроектированную заднюю поверхность резца,
определяем его режущую кромку как линию пересечения этой задней поверхности
и поверхности детали. Для этого рассматриваются вспомогательные сечения, пер-
пендикулярные оси резца. Например, сечение II пересекается с задней поверхнос-
тью резца по окружности СЕ, а с поверхностью детали — по окружности NC. Точка
С пересечения окружностей СЕ и NC и является точкой режущей кромки, располо-
женной в сечении П. Аналогично находятся другие точки режущей кромки. Проек-
ция а с'Ь' режущей кромки на плоскость V — искомый профиль круглого фасонного
резца, с помощью которого можно теоретически точно обработать как конические,
так и цилиндрические участки поверхности детали.
Рассматривая приведенное графическое построение, получаем следующие зави-
симости для расчета координат хс, ус произвольной точки с' профиля передней по-
верхности резца:
хс =гсС05(ф— яИ)— га; ус= rcsin(ip —ipj,
где
! /	\ li	, А + р ~	1	.	Q sin а
r. = ra + (rb-ra) — -, COS4’=-----2^----; tg^= ra + QCOSa-;
L = Г fa + 2Qracosa + Q2; qc = Q — (Q — q„)-j- ;
qe — V Q2 4- t2 — 2Q/ ccs(a + y'); t = Cd — (rs sin y')2— ra cosy'.
Координаты точки b’ профиля передней поверхности резца:
л = i cos у'; у = — t sin у'.
Для призматического фасонного радиального резца величина Q = <х>. Профиль
его криволинейной передней поверхности, обеспечивающей точную обработку кони-
ческого участка поверхности детали, определяют следующим образом:
находят глубину профиля резца по передней поверхности
t = I G — (ra sin у')2 — ra cos у';
определяют координаты точки bf профиля передней поверхности:
x = /cosy'; у = —/sin у';
затем координаты хс, ус произвольной точки с' профиля передней поверхности
резца:
хс = rccos(e — а)— га, ус = —rc sin (s — а);
О геометрически точных ПК
металлорежущих инструментах
где
ra cos a -4-1 cos (a 4- ?') -y-
cos e ------------------------------------------
Tc

Примером инструментов, у которых при переточках меняется кинематика реза-
ния за счет уменьшения диаметральных размеров и вносятся искажения в форму
обработанной поверхности, служат фасонные фрезы с передним углом, отличным
от нуля.
Найдем форму задней поверхности теоретически точной фрезы и определим ве-
личины погрешностей, которые имеют место при обработке обычной переточенной
фрезой.
Профиль осевого сечения зуба новой фрезы, предназначенной для обработки
заданной детали, рассчитывается по формулам:
kzq> . .	.	. R sin у
уф1=у1-----sm(<p + Y)=
При затыловании по архимедовой спирали уменьшение радиуса фрезы Д7? при
стачивании ее на угол 8 определяют по формуле
А*=-ёг
Примем, что при переточках передний угол у не изменяется. Тогда профиль
осевого сечения зуба теоретически точной фрезы, при переточках которой профиль
обработанной поверхности не изменяется, рассчитывают по формулам:

По этим формулам определяется переменный профиль осевого сечения зубьев
геометрически точной фазы с передним углом у =/= 0. При обычных способах затыло-
вания фрезы изготовляются так, что профиль осевого сечения их зубьев сохраняется
неизменным. Поэтому при переточках обычных фрез вносятся погрешности в про-
филь детали. Погрешность в форме задней поверхности зуба фрезы при ее изме-
рении вдоль оси Уф
&Уф = УФ'—У.	Ф1)-
Погрешность, измеренная по нормали к исходной инструментальной поверхности,
Ап = д</ф cos ц,
где р — угол между осью и касательной к профилю осевого сечения исходной
инструментальной поверхности.
Погрешность по нормали к исходной поверхности переносится без искажения
на обработанную поверхность детали и измеряется по нормали к ней.
Пример. Рассчитаем погрешности обработки детали предельно сточенной фре-
зой при следующих исходных данных: х, = у, — 12 мм, К = 5 мм, z = 10, диа-
126
Профилирование фасонных
режущих инструментов
метр новой фрезы 90 мм, передний угол у = 15°. Координаты профиля осевого сече-
ния исследуемой точки зуба новой фрезы: °
1 о	• /	45 sin 15^
Хф =	= 12 мм; sin (ф + у) =
Отсюда ф 4- у = 20,67°; ф = 5,67°;
Уф = 12
5 • 10 • 5,67
360
Рассчитаем профиль осевого сечения предельно сточенной фрезы, считая, что
переточка ведется на половину окружного шага зубьев. Уменьшение радиуса пре-
дельно сточенной фрезы А/? = 0,5/С. Тогда
1П	* /	.	\	(45— 2,5) sin 15е
Хф = xi — 12 мм; sin (Ф2 4- у) =	45 _- 2)5_ 12
Отсюда
е 1ло.	ю 5 - 10 • 6,14
Ф1 6,14,	{/ф1	12	36Q
Следовательно,
фрезы
в рассматриваемом случае погрешность предельно сточенной

= </Ф, — Уф = -^36^- (5,67 — 6,14) = — 0,065 мм.
При уменьшении (в рассматриваемом случае) переднего угла у до 10° величина
погрешности снижается до —0,042 мм. Расчеты показывают, что величины погреш-
ностей растут пропорционально величине переднего угла у. При переднем угле, рав-
ном нулю, новая и переточенная фреза теоретически точно обрабатывает изделия
и ее переточки не вносят погрешности в профиль детали.
При у = 0 ф = фх и А//ф = 0.
Следует заметить, что уменьшение заднего угла и соответственно величины
затылования К также приводит к снижению погрешностей. При К = 0 погрешнос-
тей не будет, но при отсутствии задних углов инструмент не сможет производить
резание.
Рассматриваемый недостаток фасонных затылованных фрез устраняют заточ-
кой их по криволинейной фасонной передней поверхности. Определим форму этой
поверхности, считая, что прямолинейный участок профиля детали теоретически
точно обрабатывается фрезой, имеющей также прямолинейный профиль зуба. Пусть
профилем детали будет прямая k"tn" (рис. 42). По известной методике определяем
точки k" и п" профиля зуба фрезы, соответствующие точкам k", т" профиля дета
ли, при плоской передней поверхности с передним углом у' и принятой величине
заднего угла на вершине, равного ав. Соединив точки k" и п" отрезком прямой,
получим прямолинейный профиль зуба фрезы. Однако такая фреза не может точно
воспроизвести наклонный участок k"m" профиля детали. Поэтому приходится кор-
ректировать форму передней поверхности и соответствующим образом ее опреде-
лять из условия точной обработки участка k"m" профиля детали при не измененной
прямолинейной форме k"n" профиля задней поверхности. Для этого на профиле
детали возьмем произвольную точку е", положение которой характеризуется вели-
О геометрически точных -|
металлорежущих инструментах •
чинами h{ и I,. В сечении,
перпендикулярном оси фре-
зы, на профиле задней по-
верхности будет р\ поло-
жение которой характери-
зуется величинами lt и /i3z.
Через точку р' проводим
кривую затылования (архи-
медову спираль) р'е', рас-
положенную на задней по-
верхности зуба фрезы. На
ней должна располагаться
точка режущей кромки зу-
ба фрезы, обрабатывающая
точку е" профиля детали.
С другой стороны, для того
чтобы обработать точку е"
профиля детали, необходи-
мо, чтобы точка режущей
Рис. 42. Геометрически точные фрезы, затылованные по архиме-
довой спирали
кромки в рассматриваемом сечении, вращаясь вокруг оси фрезы, описывала окруж-
ность е'с', проведенную из центра О'. Точка С'пересечения окружности е'с и кривой
затылования р'е' будет искомой проекцией-точки режущей кромки, формирующей
точку е профиля детали. Аналогично находим проекции на плоскость V других то-
чек режущей кромки. Соединив их,- получим профиль криволинейной передней по-
верхности фрезы,с помощью которой можно теоретически точно обработать наклон-
ный участок поверхности детали.
Найдем, уравнение передней поверхности такой фрезы. Для этого рассмотрим
произвольную точку с' передней поверхности. В полярной системе координат
(рис. 42) ее радиус Rt и полярный угол гр:
Ri = R — fit = R — Л tg 8;
Р,р' = h, — h3l = (tg e — ta if);
где 8 — угол наклона прямолинейного участка профиля детали;
ф — угол наклона прямолинейного профиля зуба фрезы в осевом сечении;
р'е' — путь затыловочного резца при его поступательном движении со ско-
ростью v за время I поворота фрезы на угол ср:
р'е' = /t (tg 8 — tg ф) = vt, <р = со/.
Отсюда
V _ lj (tg е — tg W)
(О	ф
При затыловании по архимедовой спирали
У Kz п 4-^
-- = ^5—	=	tga_.
со 2л	в
Следовательно,
ср	6	В	’
1 ПО	Профилирование фасонных
режущих инструментов
или
/ =	«в .
1 tg 8 — tg Я?
Таким образом, величину определяем из выражения
о = п /? tg ав tg в
Л tg8- tg ф ’
Обозначим
£ = R tg aB tg g
tg 8 “~ tg ф
Тогда Ri = R — bq>.
Написанное уравнение профиля передней поверхности, которому соответствуют
координаты Rit ф (произвольной ее точки), является уравнением архимедовой спи-
рали. Если обозначить передний угол у в вершинной точке k', то
R ctg у = Ь,
или
ctg у
tg ав tg s
tg 8 — tg гр
Отсюда
tgt = ctg\-tga°tge.
b T	ctg у &
По этой формуле рассчитывают угол наклона профиля инструмента при извест-
ной величине угла наклона профиля детали.
Для рассматриваемых фрез
= Ьф; h3i — (b + а) ф.
Отсюда
^3i ~ ft ^1»
где а= Rtg ав— параметр архимедовой спирали, которая является кривой заты-
лования и расположена на задней поверхности зуба.
Высоту профиля зуба фрезы h3l определяют по известной высоте h, профиля дета-
ли. Как видно, высота профиля h3l зуба фрезы не зависит от радиуса фрезы R.
Поэтому при изменении радиуса при переточках высота профиля зуба, оставаясь
постоянной, будет давать при обработке заданную величину высоты профиля дета-
ли. Затылованные по архимедовой спирали фрезы, имеющие криволинейную пе-
реднюю поверхность, профиль которой очерчен также по архимедовой спирали,
являются теоретически точными инструментами. Их переточки не вносят погреш-
ностей в профиль обработанной детали.
На практике по технологическим соображениям при проектировании сборных
фасонных фрез отходят от задней затылованной по архимедовой спирали поверх-
ности, заменяя ее поверхностью вращения, т. е. как бы производя затылование по
окружности.
5 6—2906	о геометрически точных QQ
металлорежущих инструментах *-£**'
Чтобы обеспечить по-
лучение положительных
задних углов, ось задней
поверхности вращения сме-
щают с оси фрезы. Заты-
лование по окружности
производят на токарном или
круглошлифовальном стан-
ке обточкой зубьев в при-
способлении.
Обычные сборные фре-
зы, затылованные по ок-
ружности и имеющие плос-
кую переднюю поверхность,
не обеспечивают точную
обработку наклонных участ-
ков профиля детали. Этот
недостаток устраняют за-
точкой их по криволиней-
ной фасонной передней по-
верхности. Определим фор-
му этой поверхности, счи-
Рис. 43. Схема корригирования сборных фрез, затылованных по
окружности
тая, что прямолинейный участок профиля детали теоретически точно обрабатывается
фрезой, имеющей также прямолинейный профиль. Пусть профиль детали будет km
(рис. 43). По известной методике определяют прямолинейный профиль фрезы k"n",
соответствующий заданному профилю детали, при плоской передней поверхности
с передним углом у' и при принятой величине заднего угла на вершине, равно-
го ав. Однако такая фреза с плоской передней поверхностью не может точно вос-
произвести наклонный участок km профиля детали. Поэтому приходится коррек-
тировать форму передней поверхности и соответствующим образом ее определять
при неизменной форме k"n" профиля задней поверхности.
Для этого на профиле детали возьмем произвольную точку е, отстоящую от
оси Y на расстоянии Z£. Рассмотрим сечение, проходящее через эту точку, перпенди-
кулярно оси фрезы. Точкой, лежащей в том же сечении на профиле задней поверх-
ности, будет точка р", отстоящая на расстоянии Zz от оси Y±. Из центра О' через
точку р' радиусом p3z проводим окружность, которая будет лежать на задней по-
верхности фрезы.
С другой стороны, для обработки точки е профиля детали необходимо, чтобы точка
режущей кромки в рассматриваемом сечении описывала окружность e'f, проведенную
из центра О. Таким образом, точка Z' пересечения окружностей p't' и e't’ будет ис-
комой проекцией точки режущей кромки, формирующей точку е профиля детали.
Аналогичным образом находят другие точки режущей кромки. Соединив точки
kr, /', b', получим скорригированный профиль передней поверхности сборной фре-
зы, с помощью которой можно теоретически обработать наклонный участок поверх-
ности детали.
Анализируя приведенное графическое построение, можно придти к следующей
методике расчета корригированного профиля передней поверхности зуба фрезы:
1 Qfl Профилирование фасонных
режущих инструментов
1.	При расчете считают известными координаты точек профиля детали km, пе-
редний угол у' при плоской передней поверхности, задний угол ав на вершине,
радиус фрезы 7?, равный радиусу приспособления, в котором производится затыло-
вание по окружности проектируемой сборной фрезы.
2.	Координаты точки h" профиля задней поверхности зуба фрезы определяют
следующим образом:
sin 6 = s*n ^Z; ₽ ~ 180°—(6 4- у');
I * __ (/?—/?) cos fl — 7? (1 — cos g3) .
®	R sin aB 4- (R— h) sin 0	*
— s*n aB 4- (7? — h) sin fl ,
Рз	cos Д	’
/l3 = 7?	p3.
3.	Расчет координат zz, yL произвольной точки t' профиля передней поверх-
Йости зуба фрезы производят в такой последовательности:
1 h .	< hn ,	,	.	sinaB
hi = — li, h3i = -f-lf-, tg ifx =	°	;
kb	1 VUj
cos if = 2j?2 ~ cos + ^ ~hh2 ~(R~	.
V	2(t? —й,)7?К2(1—cosaa) ’
г,- = (R — Л() si n (if — if,); yt = (R — Л,) cos (if — if Д
Зная координаты ряда точек профиля передней поверхности, по технологиче-
ским соображениям можно его заменить дугой окружности. Радиус этой окружности
и координаты центра определяют по известной методике.
Подобно рассмотренным могут быть проанализированы различные типы режу-
щих инструментов, найдены возможные величины погрешностей обработки деталей,
вызванные несовершенством конструкции инструментов, выявлены способы умень-
шения этих погрешностей.
Решение этих вопросов имеет важное значение, так как развитие машиностро-
ения приводит к непрерывному повышению требований, предъявляемых к точности
изготовления всевозможных деталей машин.
Глава VII
ИНСТРУМЕНТЫ
ДЛЯ ОБРАБОТКИ ЗАДАННОЙ ДЕТАЛИ
И ИХ НАХОЖДЕНИЕ
§ 22. ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ
Задача проектирования инструмента для обработки заданной поверхности де-
тали неоднозначна. Поэтому можно спроектировать множество режущих инстру-
ментов, которые обеспечат обработку заданной детали в соответствии с приняты-
ми техническими условиями на ее изготовление. Нахождение этого множества воз-
можных инструментов, предназначенных для обработки заданной детали, является
важной задачей. Решение этой задачи позволяет отыскать новые инструменты и,
анализируя их, выбрать наиболее целесообразные варианты технологического про-
цесса для определенных конкретных производственных условий. Единого решения
рассматриваемой многовариантной задачи нет. При ее анализе исследователи идут
различными путями, каждый из которых имеет свои преимущества и недостатки.
Их цель прийти к неизвестным техническим решениям, которые для определенных
условий окажутся наиболее прогрессивными по сравнению с ранее применявши-
мися.
Один из возможных путей решения задачи отыскания множества инструмен-
тов для обработки заданной детали и будет рассмотрен ниже.
Общая схема проектирования всевозможных режущих инструментов:
определяют исходную инструментальную поверхность Я, сопряженную с по-
верхностью детали по выбранной схеме обработки, т. е. при известных движениях
инструмента и заготовки, совершаемых в процессе обработки;
превращают тело, ограниченное исходной поверхностью Я, в реальный режущий
инструмент.
Возможные типы исходных инструментальных поверхностей при проектирова-
нии режущих инструментов находят путем последовательного рассмотрения различ-
ных схем обработки. Поэтому для решения рассматриваемой задачи необходимо
знать, в какой последовательности следует анализировать схемы обработки, т. е.
иметь классификацию возможных схем обработки.
В пределах одной схемы возможные исходные инструментальные поверхности
образуются тремя различными, рассмотренными ранее, способами, в частности, варь-
ируя характером и направлением вспомогательных движений, вводимых в схему
при нахождении исходных поверхностей с точечным контактом. Кроме того, можно
изменять размеры и положения аксоидов детали и инструмента и таким путем влиять
на форму и размеры исходной инструментальной поверхности.
При известной исходной поверхности Я решение задачи определения формы и
размеров режущей части инструмента приводит к выбору схемы резания, схемы
срезания припуска и формирования поверхности детали.
ч ОО Инструменты для обработки заданной детали
-*-*-*“ и их нахождение
Проектируя режущие инструменты, принимают различные схемы резания и
создают разнообразные типы инструментов, предназначенных для обработки задан-
ной детали.
В настоящее время еще невозможно для конкретных производственных условий
вывести общие аналитические зависимости, связывающие все факторы, влияющие
на выбор наиболее целесообразной схемы резания, и решить рассматриваемую зада-
чу расчетным путем. Ее решение зачастую основывается на накопленном опыте
и инженерной интуиции конструктора. В некоторых случаях приходится идти на
создание опытных конструкций и их экспериментальную проверку.
Можно привести лишь общие соображения по выбору схем резания, которые
следует учитывать при проектировании инструментов.
Инструменты, формирующие поверхность детали по последовательной схеме,
по сравнению с инструментами по профильной схеме резания, обычно имеют более
простые конструктивные формы зубьев. Это объясняется тем, что при их проекти-
ровании и уточнении форм режущих кромок не накладывается условие их располо-
жения на исходной инструментальной поверхности. Поэтому режущие кромки выби-
раются простой формы в виде прямой или дуги окружности. Это позволяет сравни-
тельно легко обрабатывать зубья такого инструмента, создавать на режущей части
рациональные величины геометрических параметров, целесообразно загружать
различные участки режущих кромок. Однако фасонные инструменты с последова-
тельной схемой резания обычно имеют большое количество зубьев, так как каждый
зуб формирует сравнительно небольшой участок поверхности детали. В силу фор-
мирования поверхности детали многими зубьями увеличивается шероховатость
обработанной поверхности. Наличие большего числа зубьев усложняет и удорожает
конструкцию. Поэтому очень часто фасонные режущие инструменты проектируются
как инструменты с профильной схемой резания.
Следует отметить, что в последнее время наметилась тенденция применения
инструментов с последовательной схемой резания и для обработки фасонных поверх-
ностей детали вершиной зуба. Это обеспечивается за счет соответствующих движе-
ний инструмента и выбора необходимого профиля его зубьев. Таким путем можно,
например, обеспечить обработку фасонной винтовой канавки сверла угловой фрезой
за счет соответствующего поворота оси инструмента относительно оси заготовки;
обработать впадины зубьев с положительными передними углами у концевых фрез
и протяжек с помощью червячных фрез и обкаточных резцов и т. п.
В ряде случаев целесообразно спроектировать инструмент, который включает
предварительные и чистовые зубья. Предварительные зубья располагаются в пре-
делах пространства, ограниченного исходной поверхностью и их режущие кромки
не включают профилирующие точки. Чистовые зубья имеют профилирующие участ-
ки режущих кромок, которые формируют обработанную поверхность детали. В
этом случае предварительные зубья, как правило, работают по последовательной
схеме, а чистовые — по профильной, что обеспечивает получение обработанной по-
верхности высокого качества.
При обработке деталей, ограниченных поверхностями различных форм, целе-
сообразно использовать профильно проследовательную схему резания, при которой
отдельные участки поверхности детали формируются в соответствии с профиль-
ной схемой резания, а другие — в соответствии с последовательной. Если возни-
кает при конструировании многозубого инструмента необходимость увеличить
Общие -1 оо
положения
толщину среза при постоянном его поперечном сечении, применяют шахматно про-
фильную схему резания. Тогда в шахматном порядке срезаются отдельные участки
режущих кромок. Так, например, у фрез с разнонаправленными зубьями в шахмат-
ном порядке срезаются боковые режущие кромки, что улучшает условия работы
инструмента.
Следующим шагом в решении задачи нахождения возможных режущих инстру-
ментов для обработки заданной детали является выбор различных форм перетачи-
ваемых поверхностей режущей части и определение соответствующих этим поверх-
ностям режущих кромок.
Наиболее часто в качестве перетачиваемой поверхности режущей части фасон-
ного инструмента принимается передняя поверхность. Она выбирается сравнительно
простой формы, что позволяет как при изготовлении, так и при эксплуатации пере-
точки инструмента вести на универсальном оборудовании.
В качестве перетачиваемых передних поверхностей инструмента используют
плоскость, коническую поверхность, винтовую поверхность и др.
Следует отметить, что один и тот же инструмент можно проектировать с раз-
личными формами передней поверхности. Например, червячные зуборезные фрезы
могут проектироваться как с винтовой, так и с плоской передней поверхностью, по
которой они перетачиваются.
Теоретически рассуждая, можно выбрать относительно простую заднюю по-
верхность и вести переточки инструмента по этой поверхности. Однако наиболее
часто у фасонных инструментов с профильной схемой резания этот путь приводит к
практически неприемлемым результатам, так как передняя поверхность стружеч-
ных канавок получает сложную форму и ее изготовление оказывается неоправ-
данно трудным.
Как правило, задняя поверхность фасонных инструментов с профильной схе-
мой резания как неперетачиваемая поверхность описывается режущей кромкой
при выбранном ее движении. В качестве задних поверхностей инструментов исполь-
зуются поверхности цилиндрические, вращения, винтовые, спиральные, образую-
щиеся при радиальном затыловании, спирально-винтовые, образующиеся при
затыловании под углом и др.
Разнообразие инструментов получается не только за счет перехода от одной
формы задней поверхности к другой, но и за счет изменения положения образующей
цилиндрической поверхности либо оси поверхности вращения, либо винтовой по-
верхности.
Таким образом, задача нахождения возможных инструментов, предназначен-
ных для обработки заданной поверхности детали, сводится к рассмотрению и реше-
нию следующих вопросов:
к исследованию различных схем формообразования и определению всевозмож-
ных исходных инструментальных поверхностей, сопряженных с поверхностью
детали;
к выбору способов превращения тела, ограниченного исходной поверхностью,
в инструмент и схем резания;
к уточнению способа переточек инструмента, возможных форм перетачиваемых
поверхностей и определению различных форм неперетачиваемых поверхностей режу-
щей части.
1 Q/i Инструменты для обработки заданной детали
и их нахождение
§ 23. ОБЗОР ПРИНЦИПИАЛЬНЫХ
КИНЕМАТИЧЕСКИХ СХЕМ ОБРАБОТКИ
Процесс обработки деталей резанием заключается во взаимодействии заготовки
и инструмента, совершающих определенные движения в пространстве. Для того
чтобы охарактеризовать различные методы обработки деталей, необходимо класси-
фицировать их в соответствии с движениями, совершаемыми инструментом и за-
готовкой на станке, их скоростью, направлением в пространстве и т. п. Указанные
параметры влияют на протекание процесса резания и формирование обработанной
поверхности детали. Например, при протягивании поступательное движение про-
тяжки может происходить в горизонтальном или вертикальном направлении. В соот-
ветствии с направлением движения инструмента применяются горизонтально-
протяжные или вертикально-протяжные станки. Относительное движение инстру-
мента и заготовки в рассматриваемом случае одно и то же. Однако условия работы
протяжки на рассматриваемых станках различные. В частности, под действием соб-
ственного веса протяжка на горизонтально-протяжном станке будет изгибаться, в
то время как на вертикально-протяжном станке она будет растягиваться. Площади,
необходимые для установки станка, при вертикальной и горизонтальной компановке
разные. Различны также условия работы сверла на станках токарных и сверлиль-
ных. Относительное винтовое движение сверла и заготовки одинаково, но оно обес-
печивается различными сочетаниями движений инструмента и детали. Классифи-
кация принципиальных схем обработки была разработана академиком АН Латвий-
ской ССР проф. Г. И. Грановским. Схемы обработки он назвал «кинематическими схе-
мами резания». Они выражают абсолютные движения, сообщаемые в процессе реза-
ния инструменту и обрабатываемой заготовке механизмом станка. Движение холос-
тых циклов, в течение которых инструмент и заготовка не соприкасаются друг
с другом, принципиальными кинематическими схемами резания не выражаются.
Все принципиальные кинематические схемы резания, по которым осуществляется
обработка резанием, основаны на сочетаниях прямолинейно-поступательного и
вращательного движений. Количество используемых в кинематической схеме реза-
ния движений различно. В зависимости от этого, кинематические схемы резания
классифицируются по группам.
Первая группа включает одно прямолинейное движение. Одно движение дает
единственное сочетание. Но рассматриваемое движение может происходить в раз-
личных направлениях (вертикальном, горизонтальном либо наклонном) и со-
общаться либо заготовке, либо инструменту. В этом проявляется своеобразие
схемы. Разнообразные варианты схемы требуются для осуществления различного
оборудования, отличающегося друг от друга главным образом компановкой отдель-
ных узлов.
Вторая группа включает два прямолинейных движения, которые можно сооб-
щить как инструменту, так и изделию. Результирующее обоих равномерных прямо-
линейных движений будет также равномерным прямолинейным движением, направ-
ление которого в пространстве зависит от направления скоростей составляющих
движений и их соотношения. Примером рассматриваемых схем служит разрезка
металлов ленточными пилами и ножовками.
Третья группа, основанная на одном вращательном движении инструмента
или заготовки, не имеет широкого практического применения. Она используется,
например, при круговом протягивании сегментов на вращающемся столе.
Обзор принципиальных l ОК
кинематических схем обработки
Четвертая группа выражает сочетания из двух движений: прямолинейного и
вращательного. Схемы четвертой группы еще на заре развития техники нашли прак-
тическое применение. На них основаны такие широко распространенные методы
обработки, как точение, фрезерование, сверление, зенкерование, развертывание,
нарезание резьбы резцами, метчиками, плашками, гребенками, протягивание вин-
товых пазов и др.
Многообразие методов обработки в рассматриваемом случае достигается за
счет взаимной комбинации движений, сообщаемых инструменту или заготовке,
изменения соотношения величин скоростей, составляющих движений, и их взаим-
ного расположения.
Пятая группа основывается на сочетаниях двух вращательных движений.
К схемам этой группы относятся такие методы обработки, как наружное протягивание
тел вращения спиральными протяжками, фрезерование тел вращения, зубофрезеро-
вание червячными фрезами червячных колес и др.
Шестая группа кинематических схем резания основана на двух прямолинейных
и одном вращательном движении, седьмая группа — на двух вращательных и одном
прямолинейном движении, восьмая группа — на трех вращательных движениях.
К этим группам, основанным на сочетаниях трех движений, относятся такие методы
обработки, как затылование режущих инструментов, фрезерование винтовых кана-
вок, зубодолбление цилиндрических косозубых зубчатых колес, фрезерование чер-
вячными фрезами цилиндрических зубчатых колес, нарезание конических зубчатых
колес резцовыми головками и другие.
Возможно построение кинематических схем резания при сочетании четырех
и большего количества движений. Однако подобные схемы требуют для своего осу-
ществления сложного оборудования и используются сравнительно редко.
§ 24. КИНЕМАТИЧЕСКИЕ СХЕМЫ
ФОРМООБРАЗОВАНИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ ДЕТАЛЕЙ
Проектирование режущих инструментов включает определение исходных по-
верхности И, сопряженных с поверхностью Д детали, а затем превращение тела,
ограниченного поверхностью И, в работоспособный режущий инструмент. Опреде-
ляя исходною поверхность И, рассматривают движение поверхности детали относи-
тельно инструмента во время формирования обработанной поверхности детали Д.
Поэтомх для того, чтобы найти возможные исходные поверхности и соответствую-
щие режущие инструменты, необходимо рассмотреть различные варианты движений
поверхности детали Д относительно инструмента. Совокупность движений поверх-
ности детали относительно инструмента, которые рассматриваются при определе-
нии исходной поверхности Я, будем считать кинематической схемой формообразо-
вания
С точки зрения процесса формообразования безразлично какими сочетаниями
движений заготовки и инструмента получено на станке исследуемое относительное
движение Так, при сверлении отверстий на токарном и сверлильном станке форма
обработанной поверхности детали получается идентичной, хотя винтовое движение
сверла относительно заготовки обеспечивается при этом различными сочетаниями
движений инструмента и детали.
1 Инструменты для обработки заданной детали
а их нахождение
Таблица
Схемы формообразования поверхностей, основанные на сочетании двух равномерных движений:
прямолинейно-поступательного и вращательного
Класс схемы	Тип схе- мы	Составляющие движения из- делия и инструмента, учитываемые при профилировании	Суммар- ное мгно- венное движение	Представление относительно го движения с помощью аксоидов	Эскиз взаимного расположения аксоидов	Аксоиды	
						инстру- мента	изделия
0	1	Нет					
I	1	Поступальное	Поступа- тельное		—	Прямая	Прямая
I	2	Вращательное	Враща тельное		—	Прямая	Прямая
I	3	Винтовое	Винтовое		—	Прямая	Прямая
II	1	Вращательное и поступа- тельное, скорость кото- рого перпендикулярна оси вращения	Враща- тельное	Качение ци- линдра по плоскости		Плос- кость	Ци- линдр
						Ци- линдр	Плос- кость
II	2	Два вращения вокруг параллельных осей (ис- ключая пару вращений)	Враща- тельное	Качение ци- линдра по цилиндру	ЛУгх // |\ /	Ци- линдр	Ци- линдр
11	3	Два вращения вокруг пересекающихся осей (угол между осью мгновенного относительного вращения и осью одного из состав- ляющих вращений — пря- мой)	Враща- тельное	Качение ко- нуса по плос- кости	и)2	со.	Конус	Плос- кость
						Плос- кость	Конус
II	4	Два вращения вокруг пересекающихся осей	Враща- тельное	Качение ко- нуса по ко- нусу	X^Z*'*^*	Конус	Конус
II	5	Пара вращений	Поступа- тельное	Скольжение кольца по кольцу	а)2	Кольцо	Кольцо
III	1	Вращательное и поступа- тельное, скорость которо- го направлена под углом к оси вращения	Винтовое	Качение со скольжением цилиндра по плоскости	V /jX /^1	Плос- кость	Ци- линдр
						Ци- линдр	Плос- кость
Кинематические схемы огт
формообразования поверхностей деталей -*-О«
Продолжение табл.
Класс схемы	Тип схе- мы	Составляющие движения из- делия и инструмента, учитываемые при профилировании	Суммар- ное мгно- венное движение	Представление относительного движения с помощью аксоидов	Эскиз взаимного расположения аксоидов	Аксоиды	
						инстру- менты	изделия
III	2	Два вращения вокруг скре- щивающихся осей (угол между одной из осей вращения и осью резуль- тирующихся винта прямой. Ось мгновенного винта и вторая ось вращения — пересекающиеся прямые)	Винтовое	Качение со скольжением конуса по плоскости		Конус	Плос- кость
						Плос- кость	Конус
III	3	Два вращения вокруг скрещивающихся осей	Винтовое	Качение со скольжением гиперболоида по гипербо- лоиду		Гипер- болоид	Гипер- болоид
। Выбирая различные движения поверхности Д относительно инструмента при
определении исходной поверхности И, можно придти к различным возможным ки-
нематическим схемам формообразования. Для получения более простых схем метал-
лорежущих станков необходимо, чтобы движения поверхности детали относительно
инструмента были сравнительно простыми. В результате на практике получили
распространение схемы формообразования, основанные на прямолинейно-поступа-
тельном и вращательном движениях и их сочетаниях.
Возможные схемы формообразования, основанные на сочетании двух равно-
мерных движений поверхности детали Д относительно инструмента (прямолинейно-
поступательного и вращательного) приведены в таблице. Схемы формообразования,
сочетающие большое количество элементарных движений, на практике используются
редко.
К нулевому классу относят те кинематические схемы формообразования, при
которых исходная поверхность совпадает с поверхностью детали, например, процес-
сы протягивания, нарезание резьб метчиками и т. п. В этом случае движение по-
верхности детали Д относительно инструмента сводится к ее перемещению «самой
по себе», благодаря чему создается определенная скорость резания. Однако при
определении исходной инструментальной поверхности это движение не учитывается.
К первому классу отнесены те кинематические схемы формообразования, при
которых движение поверхности детали Д относительно инструмента будет прямо-
линейно-поступательным, вращательным либо винтовым. Эти схемы характери-
зуются тем, что у них подвижный и неподвижный аксоиды совпадают друг с другом
и преобразуются в прямую,, которая является соответствен! осью поступательного
движения, либо вращения, либо осью винтового движения. Первый класс включает
три типа кинематических схем формообразования. Первый тип схемы имеет прямо-
линейно-поступательное движение Д1И. К этой схеме формообразования относятся
процессы протягивания наружных поверхностей вращения, точения фасонных по-
верхностей вращения тангенциальными фасонными резцами с прямолинейным дви-
1 ЧЛ Инструменты для обработки заданной детали
Л.ОО и их нахождение
жением подачи. Второй тип схем рассматриваемого класса соответствует вращатель-
ному движению Д/И. По этой схеме происходит фрезерование фасонных ци-
линдрических, винтовых поверхностей, поверхностей вращения дисковыми фре-
зами. Третий тип соответствует винтовому движению Д/И. Примером рассматривае-
мого типа схем является фрезерование червячными фрезами прямозубых зубчатых
реек. Типы схем в первом классе расположены в таком порядке, когда предыдущая
схема является частным случаем схемы последующей. Так, например, схе-
мы первого типа можно рассматривать как частные случаи схем второго типа, по-
скольку поступательное движение можно рассматривать как частный случай враща-
тельного движения, при котором ось вращения удалена в бесконечность.
Кинематические схемы формообразования считаются схемами второго класса,
если исходное относительное движение Д/И будет мгновенным вращательным либо
мгновенным поступательным движением. Второй класс включает четыре типа ки-
нематических схем формообразования, при которых аксоиды детали и инструмента
обкатываются друг по другу без скольжения. Аксоидами могут быть цилиндр и
плоскость, цилиндр и цилиндр, конус и плоскость, конус и конус. Примером подоб-
ных схем формообразования могут служить процессы обработки зубчатых колес
долбяками и гребенками и др. В этом случае, когда аксоиды имеют различную фор-
му, возможны два варианта схем формообразования в зависимости от того, какой из
аксоидов принят за аксоид инструмента, а какой за аксоид детали. Например, если
аксоидами будут цилиндр и плоскость, то за аксоид инструмента можно принять
цилиндр, а за аксоид детали — плоскость. Это соответствует обработке зуборезной
рейки долбяком. Если же аксоидом инструмента будет плоскость, а аксоидом дета-
ли— цилиндр, то это будет соответствовать обработке зубчатых колес гребенками.
Этот же класс включает схему формообразования, у которой относительное
движение будет мгновенным поступательным движением, являющимся результа-
том двух вращений вокруг параллельных осей с равными и одинаково направлен-
ными угловыми скоростями. У схем второго класса рассматриваемые относитель-
ные движения Д1И являются результирующими двух вращений вокруг параллель-
ных или пересекающихся осей. При этом схема, соответствующая качению без
скольжения цилиндра по плоскости, может рассматриваться как результат двух
вращений вокруг параллельных осей. При этом поступательное движение можно
считать предельным случаем вращения, а плоскость — цилиндром бесконечно боль-
шого радиуса.
Третий класс кинематических схем формообразования характеризуется тем,
что относительное движение Д/И является мгновенным винтовым движением. Тре-
тий класс включает три типа кинематических схем формообразования, при которых
аксоиды обкатываются друг по другу со скольжением.
Аксоидами могут быть цилиндр и плоскость, конус и плоскость, гиперболоид
и гиперболоид. У схем третьего класса относительное мгновенное винтовое движе-
ние Д/И является результатом двух вращений вокруг скрещивающихся осей.
Схема формообразования, основанная на сочетании двух вращений вокруг скре-
щивающихся осей, относительное движение при которой может быть представлено
как качение со скольжением гиперболоида по гиперболоиду, является наиболее
общей.
Все ранее рассмотренные схемы являются частными случаями этой схемы, полу-
чаемыми при определенных частных положениях осей вращения и соответствующих
Кинематические схемы OQ
формообразования поверхностей деталей
величинах угловых скоростей. Примером рассматриваемого типа схем формообразо-
вания может служить фрезерование червячными фрезами цилиндрических зубча-
тых колес и других деталей.
Следует отметить, что, не нарушая кинематическую схему формообразования,
т. е. не нарушая характер соприкосновения поверхности детали Д и исходной ин-
струментальной поверхности Я, можно сообщить поверхностям Д и И движения
скольжения «самих по себе». Движение исходной поверхности И «самой по себе»
может быть вызвано стремлением обеспечить определенные режимные условия работы
инструмента. Например, при зубодолблении на станках с параллельными осями
детали и инструмента схема формообразования включает обкатку двух сопряжен-
ных колес, одно из которых соответствует долбяку, а другое — детали. Для дости-
жения же определенной скорости резания инструменту сообщают возвратно-посту-
пательные движения скольжения его исходной поверхности «самой по себе». В не-
которых случаях, как например при обработке зубчатых колес долбяками с наклон-
ной осью, оказывается целесообразным для обеспечения определенной скорости ре-
зания сообщить поверхности детали движения скольжения «самой по себе». Могут
быть такие случаи, когда требуемые режимные условия работы инструмента обес-
печиваются как движением скольжения исходной поверхности И «самой по себе»,
так и движением поверхности детали «самой по себе». Движения скольжения поверх-
ности детали «самой по себе» зачастую приходится вводить в схему обработки для
того, чтобы обеспечить полную обработку поверхности детали Д на всем ее протя-
жении. Характер этих движений определяется в результате анализа условий кон-
тактирования поверхности детали Д и исходной инструментальной поверхности И,
В случае, когда поверхности И и Д совпадают, обеспечивается полная обра-
ботка поверхности Д без дополнительных движений. Наиболее часто в рассматри-
ваемом случае схем формообразования нулевого класса способность срезать мате-
риал придается исходной поверхности за счет скольжения «самой по себе» исход-
ной поверхности или поверхности детали, благодаря чему обеспечивается заданная
скорость резания. При линейном контакте поверхностей И и Д может иметь место
такой случай, когда характеристики £, соответствующие различным моментам вре-
мени, полностью заполнят поверхность Д. Поэтому нет нужды вводить дополни-
тельные движения в схему формообразования с точки зрения полного образования
заданной поверхности детали Д. Это имеет место, например, при накатывании резьбы
плоскими плашками. Характеристики Е могут занимать неизменное положение
на поверхности Д либо образовывать ее небольшую зону. В этом случае, чтобы обес-
печить полную обработку поверхности Д, необходимо ей сообщить движение сколь-
жения «самой по себе». Это дополнительное движение должно приводить к сколь-
жению характеристики Е по поверхности детали Д и ее полному образованию. При-
чем рассматриваемое дополнительное движение поверхности детали «самой по себе»
относительно исходной поверхности И может быть осуществлено на станке как за
счет движения заготовки, так и за счет обратного движения инструмента, либо за
счет соответствующих движений инструмента и заготовки. Дополнительное движе-
ние может быть выбрано таким образом, что характеристика Е будет скользить «сама
по себе». Подобное дополнительное движение не приведет к полному образованию
поверхности детали и будет с рассматриваемой точки зрения бесполезным. Необхо-
димость его введения вызывается другими соображениями,' в частности стремлением
ввести в соприкосновение с заготовкой новые неизношенные участки исходной по-
1 Инструменты для обработки заданной детали
и их нахождение
верхности/ Это имеет место, например при диагональном фрезеровании зубчатых
колес червячными фрезами, когда червячная фреза в процессе резания смещается
вдоль собственной оси, благодаря чему в работу последовательно вступают новые
зубья инструмента.
Дополнительное движение скольжения поверхности Д «самой по себе» (для
формирования поверхности Д) может быть кинематически не связанным с другими
движениями, так как оно не влияет на характер соприкосновения поверхностей
И и Д. Примером схем формообразования, при которых характеристика Е занимает
неизменное положение на поверхности детали Д, служит фрезерование. При фре-
зеровании исходная инструментальная поверхность является поверхностью враще-
ния, ось которой совпадает с осью фрезы. Она определяется как огибающая поверх-
ность, которая создается в результате относительного вращательного движения
поверхности детали вокруг своей оси. Но, если при реальной обработке осущест-
вить только вращательное движение инструмента относительно заготовки, то полу-
чить обработанную поверхность Д невозможно. В рассматриваемом случаем можно
создать на детали только одну линию — характеристику Е касания поверхностей
И и Д.
Для того чтобы образовать всю поверхность Д детали, необходимо линию Е
заставить перемещаться вдоль поверхности Д. Иными словами, необходимо осуще-
ствить наряду с вращательным движением также и движение подачи, т. е. движение
скольжения поверхности Д «самой по себе». При обработке прямых канавок это
будет поступательное движение. При обработке же винтовых канавок это будет
винтовое движение.
При точечном контакте поверхностей Д и И точка контакта К может занимать
неизменное положение на поверхности Д. В этом случае дополнительное движение
должно быть сложным, состоящим не менее чем из двух элементарных движений.
В результате одного из движений точка К опишег на поверхности Д только одну
линию, которая при втором движении опишет полностью поверхность Д. На прак-
тике, однако, этот случай встречается крайне редко. Наиболее часто точка контакта
К в различные моменты обработки занимает различное положение на поверхности
детали Д и формирует таким образом одну линию X на поверхности Д. Тогда для
полного образования поверхности детали достаточно заставить линию X скользить
по поверхности детали. Так, при шевинговании зубчатых колес дисковым шевером
наблюдается точечный контакт поверхности Д зубьев обрабатываемого колеса и
исходной поверхности И. Однако точка контакта не остается неподвижной
на поверхности зубьев, а перемещается по ней, формируя одну линию на поверх-
ности Д, идущую от головки до ножки зуба. Поэтому для того, чтобы обработать
всю поверхность, в схему формообразования вводят прямолинейно-поступатель-
ное движение, направленное вдоль оси заготовки, в результате которого поверх-
ность Д зубьев скользит «сама по себе» и контактная линия % полностью форми-
рует поверхность зубьев.
Таким образом, при точечном контакте поверхностей И и Д схемы формообра-
зования должны включать движения скольжения поверхности Д «самой по себе».
Поэтому, используя рассмотренные схемы формообразования при точечном контак-
те поверхностей Д и И, нельзя обработать сложные поверхности, которые не допус-
кают скольжения «самих по себе». Чтобы обеспечить постепенное вырезание мате-
риала заготовки, часто в реальных условиях обработки не сразу вводят в контакт
Кинематические схемы
формообразования поверхностей, деталей
поверхности Д’ и Я, а осуществляют относительно медленное сближение поверхнос-
тей Д и Я, т. е. кинематическую схему формообразования дополняют движениями
врезания.
Эная относительные движения заготовки и инструмента в процессе обработки,
т. е. зная кинематическую схему формообразования, необходимо решить следующие
вопросы: как получить на станке эти относительные движения, какие движения
необходимо сообщить непосредственно инструменту и какие движения сообщить
заготовке. Решение этой задачи не является однозначным. Например, при строга-
нии плоскостей можно заставить поступательно двигаться деталь, как это имеет
место на продольно-строгальных станках, а можно это движение сообщить инстру-
менту, как это имеет место на поперечно-строгальных станках, хотя в обоих случаях
схема формообразования будет одной и той же.
Принципиальные кинематические схемы резания не тождественны принципи-
альным кинематическим схемам станка, они не включают движения холостых цик-
лов. Усложняя принципиальную кинематическую схему резания введением необ-
ходимых движений управления и вспомогательных движений, связанных с тран-
спортировкой и зажимом заготовки, снятием и транспортировкой готовых изделий,
установкой, подводом и отводом инструмента и т. п., приходим к принципиальной
кинематической схеме металлорежущего станка. Каждое в отдельности заданное
исполнительное движение, соответствующее принципиальной кинематической схеме
станка, создается кинематической исполнительной группой. Группа состоит из трех
обязательных элементов: исполнительного органа, источника движения и связей
между ними, которые могут быть механические, включающие валы, зубчатые колеса
и другие механизмы, а также гидравлические, пневматические, электрические и
другие. В различных кинематических группах реального станка могут быть одни и
те же элементы. Например, все группы станка могут приводиться в движение от
одного электродвигателя и т. п. Совокупность кинематических групп будет реаль-
ной кинематической схемой металлорежущего станка. Она будет зависеть прежде
всего от числа, характера сочетаемых групп и их назначения.
Таким образом, кинематическая структура станка слагается из:
определения схемы формообразования, обеспечивающей обработку заданной
поверхности детали;
разработки принципиальной кинематической схемы резания и уточнения дви-
жений, совершаемых инструментом и заготовкой в процессе обработки, которые
обеспечивали бы необходимые относительные движения Д/И, предусмотренные
выбранной схемой формообразования;
проектирования принципиальной кинематической схемы станка путем введе-
ния в кинематическую схему резания движений холостых ходов исполнительных
органов;
детальной проработки кинематической структуры станка как совокупности
необходимых кинематических групп, которые обеспечивают заданные параметры
создаваемого исполнительного движения.
Таким образом, проектируя кинематическую схему реального металлорежущего
станка, необходимо в первую очередь уточнить схему формообразования, которая
должна быть положена в основу разрабатываемой схемы. Если станок проектиру-
ется как многоинструментный, необходимо уточнить схему формообразования
для работы каждого инструмента, т. е. для обработки каждой заданной поверх-
1 АР Инструменты, для обработки заданной детали
и их нахождение
ности Д изделия. Поэтому важной является задача определения возможных форм
обработанных поверхностей Д при различных кинематических схемах их формообра-
зования.
Рассмотрим схему формообразования первого класса, включающую вращатель-
ное движение поверхности Д относительно инструмента. При мгновенном вращатель-
ном движении поверхности Д вокруг оси В характеристика будет ортогональной
проекцией оси В на поверхность Д. В системе XYZ, связанной с деталью при приме-
нении схемы формообразования первого класса, ось В не будет менять своего распо-
ложения относительно поверхности Д. Поэтому на поверхности Д характеристика
будет занимать неизменное положение. Для полного образования поверхности Д
необходимо заставить ее скользить «саму по себе», в результате чего характеристика
опишет поверхность Д. Следовательно, при рассматриваемой схеме формообразо-
вания можно обрабатывать только поверхности, допускающие скольжение «самих
по себе».
Аналогичная картина наблюдается и при других схемах формообразования пер-
вого класса. Так, при мгновенном винтовом движении характеристика £ является
геометрическим местом точек на поверхности Д, в которых нормаль к поверхности Д
составляет угол 8 с осью мгновенного винта:
. h
tge= —•
где h — параметр винтового движения;
г — кратчайшее расстояние между рассматриваемой нормалью и осью мгно-
венного винта.
В системе XYZ, связанной с поверхностью детали, при использовании схемы
формообразования первого класса ось винтового движения и его параметр остают-
ся неизменными. Поэтому на поверхности Д характеристика Е будет занимать
одно вполне определенное положение. Отсюда для полного образования поверхнос-
ти Д ей необходимо сообщить движение скольжения «самой по себе». Следователь-
но, кинематические схемы формообразования первого класса позволяют обрабаты-
вать фасонные цилиндрические поверхности, поверхности вращения и винтовые
поверхности постоянного шага, допускающие скольжение «самих по себе».
Первый класс схем формообразования не обеспечивает обработку сложных фа-
сонных поверхностей с образующими переменного вида. Кинематические схемы фор-
мообразования второго и третьего класса имеют аксоиды в форме поверхностей.
В этом случае оси соответствующего мгновенного относительного движения Д1И
будут менять свое положение в системе координат XYZ, неразрывно связанной с
поверхностью детали Д. Поэтому характеристика Е может иметь переменную фор-
му. Ее можно рассматривать как своеобразную проекцию оси мгновенного движе-
ния на поверхности Д. Если изменить положение оси, то в общем случае ее проек-
ция на поверхность Д также изменит свое положение. Отсюда следует важный для
практики вывод, что кинематические схемы формообразования второго и третьего
классов позволяют обрабатывать всевозможные поверхности как допускающие
скольжение «самих по себе», так и сложные фасонные поверхности с образующими
переменного вида.
В последние годы подобные способы обработки сложных фасонных поверхнос-
тей с образующими переменного вида методом обкатки получают все более широкое
распространение.
Кинематические схемы. 40
формообразования поверхностей деталей
§ 25. ТИПЫ ИНСТРУМЕНТОВ ДЛЯ ОБРАБОТКИ
ПРЯМОЗУБЫХ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ЗУБЧАТЫХ КОЛЕС
Определим возможные типы инструментов для обработки прямозубых цилиндри-
ческих зубчатых колес. Рассмотрим ряд схем формообразования и определим исход-
ные инструментальные поверхности, сопряженные с поверхностью зубьев колеса.
Относительное движение Д/И при схеме первого класса первого типа будет пря-
молинейно-поступательным, со скоростью, направленной по оси колеса. Тогда
исходная поверхность будет совпадать с поверхностью детали (рис. 44). В процессе
обработки наблюдается их взаимное скольжение. Превращая тело, ограниченное
исходной поверхностью,
для
обработки зубчатых
/7
в инструмент, можно получить эвольвентную протяжку
колес, либо зубодолбежную головку для одновременной
обработки всех впадин зубьев зубчатого колеса. Эти
инструменты являются высокопроизводительными, но
сложными и специальными, поэтому они находят
применение при массовом изготовлении зубчатых ко-
лес. Эти инструменты могут быть отнесены не толь-
ко к первому, но и к нулевому классу, поскольку у
них исходная поверхность И и поверхность детали Д
совпадают. При анализе рассматриваемой схемы мож-
но принять скорость поступательного движения под
углом к оси колеса. Однако в этом случае не соблюда-
44. Исходная поверхность
зубчатого колеса при ис-
схемы первого
класса первого типа
Рис.
для
пользовании
fl '	5
Рис. 45. Исходные поверхности
для зубчатого колеса при исполь-
зовании схемы первого класса
второго типа
ются условия формообразования и обработка заданной
поверхности детали невозможна.
Рассмотрим схему формообразования первого
класса второго типа, при которой относительное дви-
жение Д1И будет вращательным. Исходной инстру-
ментальной поверхностью, которая является огибаю-
щей поверхностью при вращении поверхности детали
Д вокруг оси инструмента, будет поверхность вра-
щения. В зависимости от положения оси вращения
можно получить различные виды исходных инстру-
ментальных поверхностей, которые изображены на
рис. 45. На базе поверхности (а) проектируются диско-
вые фасонные зуборезные фрезы, шлифовальные круги
для фасонной обработки зубчатых колес и протяжки
при больших диаметральных размерах инструмента.
Оси этих инструментов располагаются перпендику-
лярно оси симметрии обрабатываемой впадины зуба
и оси зубчатого колеса. Поверхность (б) является ис-
ходной при проектировании пальцевых фрез, ось ко-
торых совпадает с осью симметрии обрабатываемой
впадины зуба колеса. Поверхность (в) является общей
исходной поверхностью. Ось ее наклонена относительно
оси симметрии впадины обрабатываемого зуба и распо-
ложена таким образом, что она охватывает обрабаты-
ваемое колесо. На практике широкого распростране-
144
Инструменты для обработки заданной детали
и их нахождение
ния подобная исходная инструментальная поверхность не получила и ее возмож-
ности в полной мере не выявлены. На базе этой поверхности можно создать соответ-
ствующие фасонные зуборезные фрезы или протяжки для кругового протягива-
ния зубьев. ПреимуществОхМ этих инструментов будет значительная зона контакта
зуба инструмента с заготовкой, что позволяет обеспечить большее число зубьев
инструмента в контакте с материалом заготовки и более равномерную работу ин-
струмента. Такой инструмент целесообразно изменяет толщину среза во времени
по сравнению с дисковыми и пальцевыми фрезами и автоматически обеспечивает
бочкообразную форму зубьев обрабатываемого колеса.
Обычные фасонные затылованные зуборезные фрезы, спроектированные на базе
исходной поверхности (а), имеют незначительные величины задних углов на боковых
кромках, что снижает их режущую способность. Поэтому целесообразна конструк-
ция дисковой фрезы, спроектированная на базе исходной поверхности (г). Такие ин-
струменты обрабатывают только одну сторону впадины зуба зубчатого колеса. Для
полной обработки впадины зуба требуются две подобных фрезы. Профиль таких
фрез, предназначенных для обработки одной стороны впадины зуба, зависит от ве-
личины радиуса основной окружности. Поэтому появляется возможность обработки
такими инструментами зубчатых колес различных модулей, но имеющих одинако-
вые или близкие радиусы основных окружностей. При увеличении числа зубьев
зубчатого колеса профиль таких фрез все время будет приближаться к прямолиней-
ному, что позволит профили зубьев крупногабаритных зубчатых колес обрабаты-
вать двумя дисковыми фрезами, вырезая только часть материала впадины зуба.
Этот способ является более производительным, чем обработка обычными фасонны-
ми зуборезными фрезами.
Образование исходной инструментальной поверхности И2 с точечным контак-
том заключается в том, что определяется исходная поверхность И с линейным кон-
тактом по характеристике Е с поверхностью детали. Затем в пределах поверхности
И конструируется поверхность И2 выбранной формы так, чтобы она касалась по
некоторой линии Л поверхности И. Линии Л и Е, лежащие на одной поверхности Я,
в общем случае пересекают друг друга в точке /(, в которой наблюдается контакт
поверхности И2 и поверхности детали. Для рассматриваемого случая обработки зуб-
чатых колес дисковыми фасонными фрезами в качестве поверхности И2 возьмем по-
верхность вращения с прямолинейным профилем, ось которой совпадает с осью
поверхности И. Тогда при обработке фрезой, спроектированной на базе поверхнос-
ти Я2, получим прямолинейный профиль зуба, касающийся в одной точке заданного
профиля зуба зубчатого колеса. Для того чтобы профиль зуба был ограничен лома-
ной линией, касающейся заданного профиля зуба колеса в различных точках, на
одной оправке устанавливают несколько поверхностей И2 в ряде впадин зубьев
(рис. 45, д). На базе этих исходных поверхностей И2 с точечным контактом можно
спроектировать набор фрез для нарезания зубчатого колеса, который обеспечивает
производительную обработку колес, но с соответствующими погрешностями про-
филя зуба колеса. Таким образом, при рассматриваемой схеме формообразования
могут быть определены различные исходные поверхности. В зависимости от при-
нятого способа переточек, на базе известной исходной поверхности вращения Я,
сопряженной с обрабатываемым колесом, можно проектировать затылованные
инструменты, перетачиваемые по передней поверхности, и инструменты с остроко-
нечными зубьями, перетачиваемые по задней поверхности.
Типы инструментов для обработки прямозубых ДК
цилиндрических зубчатых колес
При проектировании рассматриваемых инструментов принимают различные
схемы резания, схемы срезания материала заготовки. В частности, можно вести обра-
ботку с подачей фрезы вдоль зуба. В этом случае большая часть времени при обработке
колеса будет затрачиваться на врезание инструмента в деталь, особенно при обра-
ботке колес с малой шириной зубчатого венца. Для того чтобы увеличить произво-
дительность обработки, используют радиальное врезание, т. е. постепенное прибли-
жение оси инструмента (фрезы) к оси обрабатываемого колеса. Это приводит к умень-
шению пути перемещения инструмента при врезании. При неподвижной оси инст-
румента врезание его зубьев в материал заготовки можно обеспечить за счет их
расположения на разных расстояниях от оси, т. е. создать секцию черновых
зубьев, работающих по схеме кругового протягивания. Эти зубья могут быть спроек-
тированы как на основе профильной, так и на основе последовательной схем резания.
Это будут черновые зубья. Они обрабатывают впадину с определенным припус-
ком, который срезают чистовые зубья, работающие по обычной схеме фрезерования.
Инструмент типа диска, на периферии которого располагаются режущие зубья,
должен быть большого диаметра и при одном его обороте должен обеспечивать пол-
ную обработку одной впадины зубчатого колеса. Такой инструмент является высоко-
производительным, но дорогостоящим.
Кроме рассмотренных могут быть использованы и другие схемы срезания мате-
риала заготовки и на этой основе спроектированы соответствующие режущие инстру-
менты. Как видно, даже на базе только одной кинематической схемы формообра-
зования можно спроектировать множество режущих инструментов, предназначенных
для обработки заданной детали.
Первый класс схем формообразования включает также схему, по которой отно-
сительное движение Д/И будет винтовым. В этом случае исходная инструменталь-
ная поверхность как огибающая поверхность детали Д будет винтовой поверхнос-
тью. На базе этой поверхности можно создать соответствующие зуборезные инстру-
менты. Однако эти инструменты более сложны, чем ранее рассмотренные, не имеют
существенных преимуществ. Поэтому они не разрабатывались и не нашли примене-
ния в производстве.
Большое распространение при обработке зубчатых колес получили схемы фор-
мообразования второго класса, по которым относительное движение Д/И будет
мгновенным вращением. Первый тип схемы второго класса сводится к качению без
скольжения цилиндра по плоскости. Допустим, что аксоидом детали есть цилиндр,
ось которого совпадает с осью детали. Тогда условия формирования всех зубьев
будут тождественными и исходная инструментальная поверхность будет цилиндри-
ческой поверхностью рейки (рис. 46, а), состоящей из одинаковых зубьев. Если ось
аксоида детали расположить иным образом, то поверхности отдельных зубьев будут
различным образом располагаться относительно аксоида. Тогда инструментальная
поверхность будет более сложной поверхностью, состоящей из неодинаковых зубьев.
Поэтому путь образования различных исходных поверхностей за счет изменения
положения аксоида детали в рассматриваемом случае нецелесообразен. Для
того чтобы получить различные исходные поверхности зуборезных реек, сопряжен-
ных с зубчатым колесом, нужно изменить радиус аксоида или, иными словами,
изменить радиус начальной окружности детали. Как показывают исследования,
изменение радиуса начальной окружности детали приводит к изменению профиля
сопряженной исходной рейки. Угол профиля рейки равен углу давления эвольвен-
1 Инструменты для обработки заданной детали
и их нахождение
Рис. 46. Исходные поверхности, сопряженные с поверхностью
зубьев колеса при схемах формообразования второго класса
ты зуба, измеренному в
точке профиля, которая
расположена на начальной
окружности. Шаг зубьев
рейки, измеренный вдоль
средней линии, равен шагу
зубьев колеса, измеренно-
му на начальной окруж-
ности. Общим для всех реек
будет шаг по нормали к
профилю зубьев, равный
шагу зубьев обрабатывае-
мого зубчатого колеса, из-
меренному на основной ок-
ружности. Используя эти
сопряженные рейки, можно
спроектировать различные
режущие инструменты для
обработки заданного зубча-
того колеса. На практике
из рассматриваемых ин-
струментов наиболее рас-
пространены зуборезные
гребенки. Обычная зубо-
резная гребенка представ-
ляет собой рейку, сопря-
женную с нарезаемым ко-
лесом, которая превращена
в инструмент заточкой пе-
редней плоскости под углом у и формированием цилиндрической задней поверх-
ности при поступательном движении ее режущей кромки. По конструкции гре-
бенка напоминает фасонный призматический строгальный резец. Создавая заднюю
поверхность, можно режущей кромке сообщить вращательное движение. Тогда ре-
жущая кромка опишет заднюю поверхность вращения. Однако подобные круглые
гребенки не получили распространения на практике. Для того чтобы получить опре-
деленную скорость резания, гребенке сообщают возвратно-поступательное движе-
ние, в результате которых исходная инструментальная поверхность скользит «сама
по себе». Заготовка совершает сложное движение обкатки, состоящее из вращения
вокруг своей оси и поступательного движения, скорость которого перпендикулярна
оси. Можно в принципе спроектировать зубострогальный станок таким образом,
чтобы движение обкатки было результирующим движением вращения заготовки
и поступательного движения исходной рейки, т. е. зуборезной гребенки. Гребенка
имеет ограниченное число зубьев, меньшее числа зубьев обрабатываемого колеса.
В результате происходит не беспрерывное, а периодическое нарезание зубьев. По
этой причине кинематика зубострогательного станка предусматривает также перио-
дическое движение, в результате которого происходит пересопряжение зубьев
гребенки и заготовки, т. е. движение деления.
Типы инструментов для обработки прямозубых Агч
цилиндрических зубчатых колес
Представим схему зубострогального станка, на котором с помощью зубостро-
гальной гребенки происходит непрерывная обработка зубчатых колес. Принципи-
альная кинематическая схема такого станка позволяет включать возвратно-посту-
пательные движения резания гребенки. Наряду с этим в конце каждого двойного
хода гребенки заготовка будет поворачиваться на один зуб до тех пор, пока при
данном положении гребенки не будут обработаны все впадины зубьев. Затем осу-
ществляется движение обкатки на определенный шаг, т. е. заготовка поворачива-
ется на некоторый угол и зуборезная гребенка получает соответствующее поступа-
тельное перемещение вдоль средней линии. Далее процесс повторяется. В резуль-
тате ряда подобных циклов даже одним зубом гребенки могут быть обработаны все
впадины зуба зубчатого колеса. При соответствующей настройке станка движение
обкатки может идти непрерывно. Кинематическая схема рассматриваемых станков
сложнее обычно применяемых зубострогальных станков. На производстве подоб-
ные станки не распространены.
Для того чтобы образовать исходную поверхность с точечным контактом, нужно
поверхности зуборезной рейки сообщить, например, вращательное движение.
Тогда получим огибающую поверхности рейки —исходную поверхность вращения,
имеющую точечный контакт с поверхностью детали. В зависимости от расположе-
ния оси вращения, исходная поверхность с точечным контактом может быть внеш-
ней (рис. 46, б) и внутренней, охватывающей, поверхностью (рис. 46, в). На базе
внешней поверхности вращения ЭНИМС разработал соответствующий инструмент
и станок для обработки зубчатых колес гребенчатыми фрезами, профиль которых
совпадал с профилем зуборезной рейки. Число витков фрезы равно или больше числа
зубьев обрабатываемого колеса. В процессе нарезания фреза сравнительно большого
диаметра вращалась вокруг своей оси, а заготовка перекатывалась от одного конца
фрезы на другой, благодаря чему обеспечивалось качение без скольжения началь-
ного цилиндра заготовки по начальной плоскости, связанной с инструментом. Про-
цесс нарезания колес осуществляется непрерывно при одновременной обработке
нескольких заготовок. По данным ЭНИМСа применение этого метода при обработке
колес привода швейных машин позволило в несколько раз повысить производитель-
ность труда по сравнению с обработкой дисковыми фрезами.
Внутренняя исходная поверхность вращения (рис. 46, в) на практике обработки
зубчатых колес не используется, и ее возможности, достоинства и недостатки не ис-
следованы. Инструментом, спроектированным на базе этой поверхности, можно
обеспечить автоматическое изготовление бочкообразных зубчатых колес. Ось
поверхности вращения можно выбрать перпендикулярно боковой поверхности зуба
рейки. Тогда исходная поверхность совпадет с поверхностью зуба рейки и будет
торцовой плоскостью фрезы. Если угол наклона оси вращения увеличить, то исход-
ная инструментальная поверхность с точечным контактом будет внутренней кони-
ческой поверхностью. Две такие исходные внутренние конические поверхности
(рис. 46, г) воспроизводят в пространстве один зуб зуборезной рейки. На базе этих
поверхностей можно спроектировать две дисковые фрезы, которые позволят методом
обкатки обработать одну впадину зуба зубчатого колеса. Отличие от нарезания ко-
лес гребенками в данном случае заключается в том, что необходимая скорость реза-
ния создается благодаря вращению инструмента, а не в результате его возвратно-
поступательных движений. Замена возвратно-поступательного движения вращением
является преимуществом рассматриваемой схемы обработки.
1 Инструменты для обработки заданной детали
и их нахождение
При соответствующем выборе диаметра инструмента и положения его оси от-
носительно рейки можно получить на обработанном колесе желаемую степень бочко-
образное™ зуба. Рассматриваемые инструменты не получили распространения при
обработке прямозубых цилиндрических колес. Однако подобный способ нареза-
ния зубьев нашел применение при обработке конических прямозубых зубчатых
колес, так как он обеспечивает в 3—5 раз более высокую производи-
тельность по сравнению со строганием колес двумя резцами по методу об-
катки.
Рассматриваемая схема включает также такой вариант, при котором аксоидом
инструмента является цилиндр, а аксоидом детали — плоскость. В процессе обра-
ботки они катятся друг по другу без скольжения. Однако, если в качестве аксоида
детали выбрать плоскость, то поверхности отдельных зубьев будут различным обра-
зом располагаться относительно аксоида. Тогда инструментальная поверхность
будет сложной поверхностью, состоящей из ряда неодинаковых зубьев, которые
зачастую внедряются друг в друга. Поэтому рассматриваемый случай практически
оказывается неприемлемым. Он может быть использован только при обработке од-
ной впадины зуба и делении заготовки на следующий зуб после окончания цикла
обработки одной впадины. Ось начального цилиндра заготовки расположим,
например, перпендикулярно плоскости симметрии впадины зуба. Тогда начальная
плоскость, связанная с обрабатываемым колесом, пойдет параллельно оси детали
и оси начального цилиндра. В процессе обработки будет наблюдаться качение без
скольжения начального цилиндра по начальной плоскости. В результате этого по-
верхность впадины зуба относительно инструмента занимает ряд последователь-
ных положений, огибающая к которым будет исходной инструментальной поверх-
ностью И. Это поверхность вращения, аналогичная той, которая была взята за
основу при проектировании дисковой модульной фрезы. Однако при обработке диско-
вой фрезой между движением вращения и движением подачи не было жесткой кине-
матической связи. В рассматриваемом же случае эта связь существует. Радиус
начального цилиндра обычно выбирается так, чтобы можно было сформировать пол-
ностью впадину зуба на части оборота исходной поверхности, т. е. длина началь-
ной окружности инструмента должна быть значительно больше ширины венца зуб-
чатого колеса. Благодаря этому, определенная зона исходной поверхности будет
формировать также определенную зону поверхности впадины зуба колеса. Это поз-
волит спроектировать исходную поверхность И так, чтобы обеспечить обработку
инструментом бочкообразных зубьев. У такого инструмента, как круговая диско-
вая протяжка, зубья, формирующие впадину у торцов колеса, более широкие, чем
зубья, формирующие впадину в середине зуба колеса. Подобный инструмент не на-
шел широкого применения при обработке прямозубых цилиндрических колес, но
он используется при обработке прямозубых конических колес с помощью круговых
протяжек. Из всех известных способов нарезания конических прямозубых колес
круговое протягивание является наиболее производительным.
При обработке зубчатых колес по методу обкатки используется также схема
формообразования, у которой движение поверхности детали относительно инстру-
мента сводится к качению без скольжения начального цилиндра детали по началь-
ному цилиндру инструмента. Исходной инструментальной поверхностью, сопря-
женной с поверхностью зубьев обрабатываемого колеса, будет поверхность эволь-
вентного зубчатого колеса (рис. 46, д).
Типы инструментов для обработки прямозубых 1 Л Q
цилиндрических зубчатых колес
По рассматриваемой схеме производится обработка зубчатых колес зуборезны-
ми долбя ками. Различные исходные инструментальные поверхности зуборезных
долбяков можно получить, меняя в определенных пределах радиус начального
цилиндра обрабатываемого колеса или радиус начального цилиндра инструмента.
Это часто используется на практике. Можно также менять положение оси инстру-
мента относительно зоны обработки и применять исходную инструментальную по-
верхность долбяка в форме эвольвентного колеса внутреннего зацепления. В этом
случае возрастает число зубьев долбяка, находящихся в контакте с заготовкой, что
приводит к соответствующему повышению интенсивности съема материала заготов-
ки. Однако подобные долбяки на практике не нашли в настоящее время приме-
нения.
Схема формообразования, включающая качение конуса по плоскости, не имеет
применения при обработке цилиндрических зубчатых колес. Схема же качения ко-
нуса по конусу при обработке методом обкатки прямозубых цилиндрических колес
имеет ряд преимуществ по сравнению с распространенной схемой зубодолбления.
Известно, что одним из основных недостатков зуборезных долбяков является небла-
гоприятный характер изменения геометрических параметров на режущей части,
в частности весьма малые величины передних и- задних углов на боковых режущих
кромках. Кроме того, ограничивается выбор отдельных конструктивных элементов
долбяка возможным заострением вершины его зуба, т. е. изменяющейся при пере-
точках шириной наиболее нагруженной вершинной режущей кромки. Этих недо-
статков лишены долбяки с наклонной осью, в основу проектирования кото-
рых положена схема формообразования, сводящаяся к качению без скольжения
начального конуса детали по начальному конусу инструмента. Исходная инстру-
ментальная поверхность как огибающая поверхности зубчатого колеса будет слож-
ной поверхностью зубьев конического колеса, имеющего линейный контакт с
поверхностью детали. Подобно обычным зуборезным долбя кам для долбяков с наклон-
ной осью при проектировании выбирается передняя коническая поверхность, а пе-
редний угол у в этом случае может создаваться оптимальной величины, соответст-
вующей принятым условиям резания, но не близким к 5°, как это принято у обыч-
ных долбяков. В результате пересечения передней конической поверхности и исход-
ной поверхности И определяется фасонная режущая кромка долбяка. Двигаясь
поступательно вдоль оси инструмента, фасонная режущая кромка описывает цилин-
дрическую заднюю поверхность долбяка с наклонной осью. У такого долбяка все
сечения, перпендикулярные его оси, имеют одинаковые размеры, в частности, длина
наиболее нагруженной вершинной режущей кромки сохраняется неизменной при
переточках. Переточка долбяка не вносит никаких изменений в профиль нарезае-
мого колеса, в условия зацепления долбяка и обрабатываемой детали, что имеет
место у долбяков обычной конструкции. Длина зубьев долбяка с наклонной осью
может выбираться независимо от условий зацепления долбяка и колеса, что приводит
к возрастанию числа возможных переточек. При этом упрощается технология изго-
товления рассматриваемых инструментов, так как их задняя поверхность обрабаты-
вается аналогично обработке цилиндрических зубчатых изделий.
Несмотря на отмеченные преимущества этот путь создания более совершенных
долбяков не нашел широкого применения. Это объясняется некоторым усложнением
конструкции соответствующего зубодолбежного станка, а также отсутствием раз-
работанной теории проектирования таких инструментов и опыта их эксплуатации.
1 Инструменты для обработки заданной детали
и их нахождение
Их схем третьего клас-
са нашли применение при
обработке цилиндрических
зубчатых колес схема, сво-
дящаяся к качению со
скольжением плоскости и
цилиндра, и схема, при
которой наблюдается каче-
ние со скольжением гипер-
болоида по гиперболоиду.
При качении со скольже-
нием цилиндра, связанного
с обрабатываемым колесом,
по плоскости, связанной с
инструментом, образуется
__________исходная поверхность И
д
Рис. 47. Исходные поверхности, сопряженные с поверхностью
зубьев колеса при схемах формообразования третьего класса
т ’|й
как огибающая поверхности
детали Д. Поверхность И
представляет собой рейку.
В процессе рассматривае-
мых движений зубья рейки скользят вдоль зубьев обрабатываемого колеса. Эта
скорость скольжения является скоростью резания у такого инструмента, как шевер-
рейка. Процесс шевингования зубчатых колес с помощью шевер-рейки основан на
рассматриваемой схеме формообразования. Теоретически рассуждая, на базе рас-
сматриваемой исходной поверхности зубьев рейки можно спроектировать зуборез-
ный инструмент типа гребенки. Однако подобный инструмент не используется на
практике, так как не имеет существенных преимуществ по сравнению с обычными
зуборезными гребенками.
Относительное движение поверхности детали Д и инструмента при наиболее
общей схеме формообразования будет винтовым, которое является результатом
двух взаимосвязанных вращений вокруг скрещивающихся осей детали и инстру-
мента. При движении поверхности детали Д относительно инструмента она будет
занимать ряд последовательных положений, огибающая к которым будет исходной
поверхностью (рис. 47, а). Это будет сложная поверхность, несколько напоминаю-
щая глобоидный червяк, который имеет линейный контакт с поверхностью детали.
Подобная инструментальная поверхность и ее возможности в полной мере не иссле-
дованы. На базе этой поверхности возможно проектирование червячных фрез опреде-
ленной установки. Однако в силу сложности конструкции, вызванной тем, что
каждый зуб такого инструмента имеет свою своеобразную фасонную форму режущей
кромки, они не получили применения на практике. Каждый зуб такого инструмента
может обрабатывать заданное зубчатое колесо по методу обкатки. Такие резцы-
летучки могут найти применение при изготовлении колес в одном экземпляре.
При большом передаточном отношении исходная инструментальная поверхность
будет сложной поверхностью многозубого колеса. В отличие от обычных колес вин-
товой передачи рассматриваемое исходное колесо имеет линейный контакте поверх-
ностью детали. На базе такой поверхности разработан новый метод зубообработки,
названный зуботочением, и создан специальный инструмент — обкаточный резец
Типы инструментов для обработки прямозубых 1К1
цилиндрических зубчатых колес
Рис. 48 Определение угла <р ме-
жду осью инструмента и боковой
плоскостью рейки
для обработки цилиндрических зубчатых колес. По
сравнению с зубофрезерованием зуботочение увели-
чило производительность обработки в 2,5—3,0 раза и
стойкость инструмента до 3 раз.
Для того чтобы образовать исходную поверхность
с точечным контактом, сообщим рассмотренной исход-
ной поверхности с линейным контактом вращение
вокруг оси СЕ (рис. 47, б) Тогда огибающей поверх-
ностью детали Д будет поверхность вращения, кото-
рая может быть принята за исходную поверхность,
имеющая точечный контакт с поверхностью детали.
Превратив тело, которое ограничено этой исходной
поверхностью, в инструмент, можно спроектировать
фасонную дисковую фрезу для обработки прямозубых
колес методом обкатки. В процессе обработки колес
таким инструментом заготовка и инструмент враща-
ются вокруг своих осей. Эти два вращения кинемати-
чески связаны друг с другом. Чтобы обработать
впадины зубьев на их полную длину, на станке долж-
но осуществляться движение подачи инструмента
вдоль оси детали. Оптимальная скорость резания обеспечивается вращением
инструмента вокруг его оси СЕ, что приводит к скольжению исходной
поверхности «самой по себе». Это движение поэтому может не иметь жесткой кинема-
тической связи с другими движениями. Профиль зубьев такой фрезы в первом при-
ближении можно принять аналогичным профилю фасонных модульных фрез, пред-
назначенных для обработки зубчатых колес. Предварительные опыты показали,
что по сравнению с обработкой червячными фрезами рассматриваемый способ обес-
печивает более высокую производительность зубонарезания в 1,5—1,7 раза. Он
отличается простотой используемого инструмента, но более сложной кинемати-
кой соответствующего зуборезного станка.
Исходную инструментальную поверхность с точечным контактом можно обра-
зовать, сообщив системе XYZ, не связанной ни с заготовкой, ни с инструментом,
например прямолинейно-поступательное движение со скоростью v, перпендикуляр-
ной оси колеса (рис. 47, в). Тогда движение поверхности детали Д относительно
системы XYZ можно свести к качению без скольжения начального цилиндра детали
по начальной плоскости, связанной с системой XYZ. Вспомогательная производя-
щая поверхность Т в этом случае будет поверхностью зуборезной рейки, сопряжен-
ной с поверхностью зубьев обрабатываемого колеса.
Движение поверхности Т относительно инструмента складывается из враще-
ния инструмента вокруг своей оси АВ (рис. 48) и поступательного движения поверх-
ности рейки Т со скоростью v. Поступательное движение со скоростью v разложим
на два движения:
V = vQ 4- Ут.
Скорость у0 направим по оси АВ, а скорость vr — по образующей рейки Т.
При определении исходной поверхности движение со скоростью уг можно не учи-
"| КО Инструменты для обработки заданной детали
и их нахождение
тывать, так как оно приводит к скольжению рейки Т «самой по себе». Поэтому дви-
жение рейки Т относительно инструмента будет винтовым движением с осью АВ.
Параметр этсго движения
h = v° == v — r»-°
to2 (О2 cos |3 z cos |3
Если шаг зубьев на начальной окружности обрабатываемого колеса будет ра-
вен лт, то параметр винтового движения
, _ m
п~ 2 cos (3 ’
В результате винтового движения боковых плоскостей зубьев рейки Т отно-
сительно инструмента создается огибающая исходная инструментальная поверх-
ность. Как было показано ранее, это будет эвольвентная винтовая поверхность,
радиус основного цилиндра которой
Го .и = Mgcp,
где (р — угол между осью винтового движения АВ и боковой плоскостью Q
зуба рейки.
Для нахождения угла ср повернем в системе V/Q прямую АВ вокруг прямой
ВС, перпендикулярной плоскости Q, до положения, параллельного плоскости V.
Проекции прямой АВ в повернутом положении обозначены а\Ь' и а\Ь". Между пря-
мой а\Ь’ и осью проекций V/Q будет угол ср, величину которого подсчитывают по
формуле
sin ср = cos аи cos р.
Отсюда
г __ ГН О___________cos аи_____
2 V 1 — cos2 atl cos213
Если шаг зубьев на начальной окружности колеса равен пт, то
г ___	m cos ан
2	1 — cos2 а cos2 |3
Шаг эвольвентной винтовой поверхности исходного червяка, измеренный вдоль
оси АВ,
н.о
2лг.
= 2л • h = zcosp .
Шаг по нормали /н.о, измеренный на развертке основного цилиндра эвольвент-
ного червяка,
н.о
.	2лгн о cos аи cos (3 2лго к
*к.о - /ос Sin <Г----	- ts,
где го.к — радиус основной окружности обрабатываемого колеса;
/н — шаг зубьев обрабатываемого колеса, измеренный на основной окруж-
ности.
Таким образом, с заданным зубчатым колесом могут быть сопряжены многие
эвольвентные червяки. На их базе можно спроектировать разнообразные червяч-
Типы инструментов для обработки прямозубых КО
цилиндрических зубчатых ко чес
Рис. 49. Определение исходной
поверхности червячной кониче-
ской фрезы
ные фрезы с различными углами профиля исходной
рейки Т, различными радиусами основных цилиндров.
Но у всех фрез, предназначенных для обработки за-
данного колеса, шаг зубьев по нормали, измеренный
на основном цилиндре исходного червяка, будет об-
щим и равным шагу зубьев обрабатываемого колеса,
измеренному на его основной окружности.
В рассматриваемом случае зона контакта исход-
ной поверхности червяка и обрабатываемого колеса
лежит между осями инструмента и заготовки. Эволь-
вентный исходный червяк при этом внешним образом
соприкасается с поверхностью детали, т. е. наблюда-
ется наружное зацепление червяка и колеса.
Может иметь место такой случай, когда ось за-
готовки располагается между осью инструмента и
зоной его контакта с поверхностью обрабатываемого
колеса. Тогда исходная инструментальная поверх-
ность является внутренней поверхностью эвольвент-
ного червяка (рис. 47, г). На базе таких поверхностей
могут быть спроектированы разнообразные червячные
охватывающие фрезы, предназначенные для обработки
заданного цилиндрического зубчатого колеса. Они
формируют бочкообразные зубья в силу того, что
контакт исходной поверхности и поверхности детали будет внутренний. Величину
бочкообразности можно изменять за счет изменения размеров инструмента. По-
добные конструкции инструментов не исследованы и не опробированы.
При нахождении исходной инструментальной поверхности в общем случае си-
стеме XYZ сообщают поступательное движение со скоростью v, направленной под
углом к оси инструмента. Тогда вспомогательная производящая поверхность зу-
борезной рейки Т перемещается поступательно под углом к оси инструмента и
образовывает исходную поверхность конического червяка (рис. 47, д). Плоскости, со-
ответствующие вершинам и впадинам зубьев рейки, в результате движения относи-
тельно инструмента образуют круговые конические поверхности, ось которых сов-
падает с осью инструмента. Определим форму исходной инструментальной поверх-
ности, сопряженной с боковой плоскостью вспомогательной производящей рейки Т
(рис. 49). Обозначим угол наклона сопряженной рейки 8, а угол установки оси фре-
зы ф. С рейкой Т свяжем систему координат хг Ось У\ направим по средней
линии рейки, ось — по образующей рейки, а ось — перпендикулярно средней
плоскости рейки. Расстояние от начала координат этой системы до оси инструмента
обозначим С, шаг зубьев рейки, измеренный вдоль ее средней линии,— /р, ширину
впадины зубьев рейки —S, углы профиля зубьев для левой и правой сторон —
соответственно ал и ап. Для случая, когда диаметр начального цилиндра некорри-
гированного колеса при его зацеплении с рейкой совпадает с диаметром делитель-
ной окружности,
ал = “о = “о = 20°.
Выберем также систему координат Х0У070, связанную с исходной инструмен-
1 Инструменты для обработки заданной детали
и их нахождение
тальной поверхностью. Ось Уо направим по оси инструмента, ось Zo — вертикально
так, чтобы она проходила через начало координат системы
Формулы преобразования координат:
z0 = У1 sin 8 + zi cos 8 — С;
х0 = cos гр -4- sin гр (уг cos 8 — zL sin 8);
у0 = cos ф (z/i cos 8 — Zi sin s) — Xi sin ф.
Обратные формулы имеют вид
Zi = (z0 + C) cos 8 — (x0 sin ф + y0 cos ф) sin s;
yx = cos 8 (x0 sin ф + y0 cos ф) + (z0 + C) sin 8;
Xi = x0 cos ф — y9 sin ф.
В системе XiY\Zi уравнение правой плоскости П зуба рейки
Z/i = — zi tg Ян-
Нормаль к плоскости П записывается следующим образом:
Mi = 7i + Mgan.
В системе XQYQZQ в соответствии с формулами преобразования координат урав-
нение плоскости П принимает вид
cos 8 (х0 sin ф yQ cos ф) 4- (z0 + О sin 8 =
= — tg ап [(z0 4- С) cos 8 — (х0 sin ф 4- у0 cos ф) sin в].
Преобразовав, получим
х0sin ф 4~ Уоcosф 4- zo tg(в 4- ап) 4- Ctg (s 4- ап) = 0.
Нормаль Ni к плоскости П в системе XqYqZq
Ni = i0 sin ф 4- 7o cos Ф 4- tg (8 4- ап).
В соответствии с рассматриваемой схемой формообразования плоскость П
зуба рейки относительно инструмента двигается поступательно со скоростью v вдоль
оси Yi и вращается вокруг оси инструмента Yo с угловой скоростью со. За один обо-
рот плоскость П поступательно перемещается на величину шага ^р. Поэтому
v   ip
(о	2л *
Поступательное движение плоскости П со скоростью v разложим на два посту-
пательных движения:
v =	4- v2.
Скорость v2 направим параллельно оси инструмента, а вектор скорости иг рас-
положим в плоскости П. Движение со скоростью приводит к перемещению плос-
кости П «самой по себе». Поэтому при определении огибающей его можно не учи-
тывать. Величина скорости
„ sinetg(e4-an)4-cose ,
*	cos ф	1
Типы инструментов для обработки прямозубых -1 КК
цилиндрических зубчатых колес
Поэтому можно считать, что плоскость П совершает винтовое движение, осью
которого является ось инструмента и параметр которого
р1~ U) — ш kl ~ “йГkl-
Определим скорость произвольной точки М (х0, у0, 20) при винтовом ее движе-
нии, считая, чю угловая скорость вращения равна единице, а величина скорости
v2 поступательного движения равна р^.
им ~ *о2о JoPi koxo.
Для точек плоскости П уравнение контакта N • и = 0 будет
z0 sin хр + Pi cos ф — х0 tg (& + ап) = 0.
Совместное рассмотрение уравнения контакта и уравнения боковой плоскости
П дает характеристику Е. Совершая винтовое движение, характеристика Е опишет
исходную инструментальную поверхность в неподвижной системе координат XYZ,
которая совпадает в начальный момент времени с системой X0Y0Z0. Формулы преоб-
разования координат в этом случае имеют вид:
У о — У о + Р1т» 2 = zocos т — хо sin т» х = z0 sin т + х0 cos т,
где т — угол поворота в радианах системы X0Y0Z0 вокруг оси Y.
Исходная инструментальная поверхность будет винтовой эвольвентной поверх-
ностью с параметром рг. Радиус ее основного цилиндра
г = _________Pi cos ф_____
01 У sin2ф 4- tg2 (е + ап)
Уравнение второй плоскости П2 зуба рейки в системе XqY^Zq
х„ sin ф + j/o cos + г0 tg (8 — ал) + С tg (е — ад) — S — ТХ . = 0.
где S — ширина впадины зуба рейки;
ал — угол профиля второй стороны зуба рейки.
Уравнение контакта
z0 sin ф 4- р2 cos ф + х0 tg (8 — ал) = 0.
Параметр винтового движения плоскости П2 будет
Р2 = “2^" ^2»
_ cos 8 4- Sin £ tg (8 — ал)
2	cos ф
Формулы преобразования координат записываются так:
У ~ У о + Р2Т» z = zo cos т — х0 sin т; х = z0 sin т 4- х0 cos т.
Совместное рассмотрение всех написанных соотношений для второй плоскости
П2 дает исходную инструментальную поверхность второй стороны витка червячной
1 Инструменты для обработки заданной детали
и их нахождение
конической фрезы. Это будет винтовая эвольвентная поверхность с параметром ра
и радиусом основного цилиндра
г = _________Р2 COS ф____.
02 V sin2 ф + tg2 (8 — ал)
Для того чтобы тело, ограниченное исходной поверхностью, превратить в чер-
вячную коническую фрезу, его прорезают продольными стружечными канавками.
Затем зубья затылуются и создается задняя поверхность. Если в приведенных выше
зависимостях принять 8 = 0, то можно получить зависимости для определения ис-
ходного эвольвентного червяка обычных червячных фрез.
Применение конических червячных фрез при нарезании цилиндрических зуб-
чатых колес позволяет более равномерно распределить нагрузку между зубьями
фрезы и соответственно повысить стойкость инструмента. Предварительные испы-
тания показали, что эффект повышения стойкости при применении конических чер-
вячных фрез повышается при увеличении числа зубьев обрабатываемых колес.
Аналогично цилиндрическим фрезам при проектировании червячных кониче-
ских фрез ось ее и ось заготовки можно расположить по одну сторону от зоны кон-
такта исходной поверхности и поверхности детали Д. Тогда исходная инструмен-
тальная поверхность будет внутренней поверхностью эвольвентного конического
червяка. На базе такой поверхности можно спроектировать охватывающую кониче-
скую червячную фрезу, предназначенную для обработки заданного цилиндриче-
ского прямозубого зубчатого колеса.
Меняя межосевое расстояние или направление скорости и, т. е. угол к, можно
определить различные исходные инструментальные поверхности и на их базе спро-
ектировать разнообразные конические червячные фрезы для обработки цилиндри-
ческих зубчатых колес. Множество возможных конических червячных фрез можно
также получить за счет изменения угла профиля вспомогательной производящей
рейки Т. Допустимые пределы изменений рассматриваемых параметров следует
определять с учетом условий формообразования, исходя из необходимости обработки
заданных зубчатых колес с требуемой точностью.
Конические червячные зуборезные фрезы подобно цилиндрическим также не
являются инструментами постоянной установки. В процессе эксплуатации их можно
периодически передвигать вдоль своей оси при одновременном изменении межосе-
вого расстояния, вводя в работу малоизношенные участки режущих кромок. Можно
также применять диагональный метод зубофрезерования, при котором в процессе
резания фреза перемещается не только вдоль оси заготовки, но и вдоль собственной
оси при одновременном соответствующем изменении межосевого расстояния.
Подобно рассмотренному, проанализировав различные схемы формообразова-
ния, можно отыскать всевозможные типы режущих инструментов и для других обра-
батываемых деталей.
Глава VIII
ФОРМЫ ПОВЕРХНОСТЕЙ ДЕТАЛЕЙ,
ОБРАБОТАННЫХ ЗАДАННЫМ
ИНСТРУМЕНТОМ ПРИ ИЗВЕСТНОЙ СХЕМЕ
ФОРМООБРАЗОВАНИЯ
§ 26. ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ
Наряду с решением задачи проектирования режущего инструмента, предна-
значенного для обработки заданной детали по известной схеме формообразования,
практический интерес представляет и обратная задача. Она сводится к определению
возможных форм поверхностей деталей, которые могут быть обработаны заданным
инструментом по известной схеме формообразования, т. е. обработана по известным
движениям инструмента относительно заготовки в процессе резания.
В результате рассматриваемых движений режущие кромки инструмента опи-
сывают поверхности резания, по которым происходит отделение стружки от заготов-
ки. Поверхность, огибающая к семейству поверхностей резания, будет обработанной
поверхностью детали. При решении задачи определения формы обработанной поверх-
ности можно рассматривать не поверхности резания, описываемые режущими кром-
ками при их движении относительно заготовки, а каждое отдельное положение ре-
жущей кромки. Множество отдельных положений режущих кромок можно разбить
на ряд совокупностей, каждую из которых рассматривают как некоторую поверх-
ность. Огибающая подобных поверхностей будет поверхностью детали.
Удачный выбор семейства поверхностей позволяет облегчить решение сложных
геометрических задач по образованию поверхностей резанием.
В процессе резания инструмент относительно заготовки обычно совершает слож-
ное движение, состоящее из ряда элементарных движений. При каждом из эле-
ментарных движений режущие кромки инструмента описывают некоторые се-
мейства поверхностей, которые и могут рассматриваться, определяя поверхность
детали.
Например, при фрезеровании прямых фасонных канавок фреза относительно
заготовки совершает сложное движение, которое складывается из вращения вокруг
оси инструмента и прямолинейно-поступательного движения вдоль образующей
цилиндрической поверхности детали Д. Траекторией любой точки режущей кромки
фрезы является удлиненная циклоида.
Чтобы найти форму поверхности детали при заданной фрезе, рассмотрим по-
верхности вращения режущих кромок вокруг оси инструмента. Обычно зубья фре-
зы имеют идентичные режущие кромки, поэтому поверхность их вращения вокруг
оси инструмента будет одна и та же. Двигаясь поступательно по направлению по-
дачи, эта поверхность будет занимать ряд последовательных положений. Огибаю-
щая к ним будет искомой поверхностью детали, т. е. в данном случае задача отыс-
кания поверхности детали сводится к нахождению огибающей к поверхности вра-
щения, двигающейся поступательно.
1 Формы поверхностей деталей,
XvO обработанных заданным инструментом
Наряду с этим методом решения рассмотрим семейство поверхностей, которое
образуется при прямолинейно-поступательном движении подачи режущих кромок
зубьев фрезы. Даже при невращающейся фрезе режущие кромки зубьев будут опи-
сывать различные поверхности. Это объясняется тем, что направление скорости пос-
тупательного движения различным образом ориентировано относительно режущей
кромки. Если рассмотреть положение зубьев фрезы при различных поворотах ее
вокруг своей оси, то в каждом положении можно найти совокупность разнообраз-
ных поверхностей, образующихся при поступательном движении режущих кромок.
Огибающая к множеству таких поверхностей будет искомой поверхностью детали Д.
Однако этот путь решения более сложен, чем рассмотренный ранее, так как прихо-
дится анализировать семейство различных по форме поверхностей и искать огибаю-
щую к ним.
Если определяют форму поверхности детали, обрабатываемой заданным ин-
струментом по известной исходной поверхности И, то рассматривают семейство
поверхностей, образующихся при движении поверхности И относительно заготовки.
Огибающая к этому семейству поверхностей может быть принята за поверхность
детали. Задача определения формы поверхности детали, обработанной известным
инструментом, является неоднозначной, т. е. одним и тем же инструментом можно
обработать разнообразные поверхности. Для того чтобы найти это множество по-
верхностей, необходимо проанализировать различные схемы формообразования.
В пределах одной схемы формообразования различные варианты обработанных по-
верхностей можно получить изменением положения инструмента относительно заго-
товки и изменением направления и скоростей, составляющих движения. Определе-
ние возможных форм обработанных поверхностей упрощается для инструментов
с последовательной схемой резания, у которых одна точка режущей кромки форми-
рует поверхность детали. Подобные инструменты в литературе иногда называют
инструментами с профилированием по переходной кривой. Такой инструмент мо-
жет совершать относительно заготовки сложное движение, состоящее, например из
двух элементарных. В результате одного из них профилирующие точки режущих
кромок описывают некоторую линию Л, которая, двигаясь относительно заготовки,
в соответствии со вторым движением будет описывать обработанную поверхность
детали. Например, по последовательной схеме резания формируется поверхность
отверстия при зенкеровании. У зенкера профилирующей является периферийная
точка режущей кромки каждого зуба. В результате вращения инструмента вокруг
его оси все профилирующие точки зубьев описывают одну окружность Л, распо-
ложенную в плоскости, которая перпендикулярна оси зенкера. В соответствии
с движением подачи окружность Л, двигаясь вдоль оси инструмента, формирует
поверхность отверстия.
§ 27. ФРЕЗЕРОВАНИЕ ВИНТОВЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ
УГЛОВОЙ ФРЕЗОЙ
Определим форму винтовой поверхности детали при ее фрезеровании угловой
фрезой. Выберем систему координат X1Y1Z1 (рис. 50), связанную с заготовкой.
Ось Xi направим по оси заготовки, ось Уг — в осевой плоскости заготовки, парал-
лельной оси фрезы. С фрезой свяжем систему координат X0Y0Z0. Считаем, что в
исходный момент времени ось Zo совпадает с осью Zb а оси Yo, Ylt Хо, Xi лежат
Фрезерование винтовых поверхностей EQ
угловой фрезой
в одной плоскости. Ось Уо идет параллельно оси фре-
зы. Угол между осями Yo и Уг в начальный момент
времени обозначим в; расстояние между осями заго-
товки и фрезы — А, расстояние от начала координат
до торцовой рабочей плоскости фрезы — С, радиус
фрезы в торцовой плоскости — 7?ф, угол между обра-
зующей конического участка фрезы и ее осью — ф.
Обрабатывая винтовую поверхность, фреза относи-
тельно заготовки совершает ('ложное движение, ко-
торое складывается из вращения инструмента вокруг
его оси и винтового движения подачи, осью кото-
рого является ось заготовки Хг. Параметр винтового
движения подачи обозначим h. Вращаясь вокруг оси,
режущие кромки фрезы описывают поверхность усе-
ченного конуса И Весь материал заготовки, с кото-
рым входит в контакт поверхность этого усеченного
конуса И, окажется срезанным Совершая относи-
Рис. 50. Схема фрезерования тельно заготовки ьинтовое движение подачи, поверх-
винтовой поверхности угловой ность усеченного конуса И будет занимать ряд после-
фрезои довательных положений, огибающая к которым будет
искомой винтовой поверхностью детали Винтовое
движение с параметром h можно рассматривать как совокупность вращательного
и поступательного движения. Повороту на угол ср вокруг оси будет соответ-
ствовать перемещение вдоль оси Л! на расстояние, равное /цр. Запишем формулы
перехода от системы X0/0Z0 к системе X^Zf.
%! — х0 cos е — z/0 sin е 4- Лер;
Zi = z() cos ср 4- (х0 sin е 4- i/o cos е) sin ср;
у — (х0 sin г 4- z/0cos 8) cos ср — 20sincp.
Уравнения конической поверхности И в системе Xoy0Z0:
xo = /?sin0, yQ = R4- С, z0 = R cos 0 — А,
где R — радиус поверхности И в произвольном сечении, перпендикулярном оси
фрезы,
0 — угол, отсчитываемый от плоскости K0Z0 до осевой плоскости фрезы, про-
ходящей через исследуемую точку конической поверхности.
Для конической поверхности И запишем уравнение контакта
X • v = 0.
В системе координат X0YnZ0 уравнение конической поверхности в векторной
форме будет
р = iR sin 0 4- i (——^ф- 4- С j 4- k (R cos 0 — Л).
Формы поверхностей деталей
обработанных заданным инструментом
Векторы А и В, касательные к конической поверхности, определяются таким
образом:
А = i/?cos0 — kR sin 0; В = -^- = i sin 0 4- fctg ф 4-icos 0.
Вектор нормали
N = [A X B] =
i
R cos 0
sin0
i	k
0	— R sin 0
ctg ф	cos 0
Раскрыв определитель, получим
N = iR ctg ф sin 0 — jR + kR cos 0 ctg ф.
Примем длину вектора угловой скорости со = 1. Тогда в системе Хо Yo Zo
со — i COS 8 — j sin 8.
Вектор скорости поступательного движения по длине уп = Л, где h — пара-
метр винтового движения. В системе X0V0Z0
ип = ih cos 8 — jh sin 8.
Скорость v произвольной точки конической поверхности И можно подсчитать
так:
v = уп [со х р] = ih cos 8 — jh sin 8 4-
I	j	k
COS 8	— sin 8	0
R sin 0 — -j.	4- C 7? cos 0 — A
Раскрыв определитель, получим
v — i [— sin 8 (R cos 0 — A) 4- h cos 8] —
— 7[cos e (R cos e — A) + h sin e] + k [(	+ c) cos e 4- R sin 0 sin ej.
Подставив координаты векторов v и N в уравнение контакта и преобразовав,
имеем
sin е(Л tgе 4-/1) 4- cosh(r tgip 4- —+	= tg — fttge).
Это уравнение контакта совместно с уравнениями конической поверхности и
формулами преобразования координат выражает искомую винтовую поверхность,
сопряженную с конической поверхностью фрезы. Решаем рассматриваемую систе-
му уравнений и отыскиваем осевое сечение Zx = О винтовой поверхности в такой
последовательности:
в пределах заданного участка конической поверхности выбираем и подсчиты-
ваем z/0 по формуле
у R-R^ | С-
^0	tg гр п-ь,
6 6—2906
Фрезерование винтовых поверхностей
угловой фрезой AVA
из уравнения контакта находим угол 6 по соотношениям:
.	A tg 8 4- h	(А — h tg е) tg Ф	n .
tg T1 = . .	; cos T = ————, / ---------cos yi; В = yi 4- t;
si д tg 4 + y0	R tg ip + y0	”	1
рассчитываем координаты точек контакта на конической поверхности:
х0 = R sin 0; z0 = R cos 0 — A.
По формулам преобразования, определив координаты осевого сечения поверх-
ности детали из уравнения zx = 0, получим
tg ф =-------:----y------•
ь	Хо Sin Е 4- Uo COS 8
Находим координаты точек осевого сечения:
хх = х0 cos е — у0 sin е 4- /г<р; ух = (х0 sin 8 4- Уо cos е) cos ф — z0 sin ф.
Граничные точки характеристик (кривых контакта конической поверхности И
и поверхности детали Д) и соответственно граничные точки профиля винтовой по-
верхности, сопряженные с заданным участком конической поверхности, опреде-
ляются по приведенным зависимостям для случая, когда у0 = С и R — /?ф.
Наряду с коническим участком поверхности И, поверхность детали Д может
формировать и торцовая плоскость инструмента, уравнение которой yQ = С.
Тогда ф = 90°.
Следовательно, уравнение контакта в этом частном случае примет вид
R cos 0 cos 8 = Л cos 8 — h sin 8.
Отсюда
n A — h tg 8
cos 0 = -----5——--•
R
Координаты точек контакта на торцовой плоскости фрезы
Уо =
Эти уравнения выражают две плоскости, на пересечении которых располагаю-
тся точки характеристики, т. е. точки контакта поверхностей И и Д. Реальный
участок 1—2 характеристики лежит в пределах торца фрезы. Координата гранич-
ных точек 1—2 характеристики
х0 = ± £ф cos 0,
• о h tg 8 — А
где ьш р =-----.
*'Ф
По формулам преобразования координат при известной характеристике нахо-
дится профиль винтовой эвольвентной поверхности детали, сопряженный с торцовой
плоскостью инструмента. Анализ показывает, что граничные точки характеристик
на торцовой плоскости и коническом участке поверхности И не совпадают друг с
другом. Имеет место разрыв характеристик на границе участков. Это означает,
что часть поверхности канавки обрабатывается границей участков, т. е. окруж-
ностью радиуса /?ф, расположенной на торце инструмента в сечении ух = С.
1 fiP Форлш поверхностей деталей,
обработанных заданным инструментом
Если в точках характеристик наблюдается касание конической поверхности и
торцовой плоскости с поверхностью детали, то в точках пограничной окружности
радиуса /?ф наблюдается кромочное соприкосновение обработанной поверхности и
тела вращения, ограниченного поверхностью И.
Уравнение пограничной окружности радиуса /?ф в системе A0K0Z0 будет//0 = С;
4 + (г0 + Л)2 = R&.
Эта окружность, совершая винтовое движение, описывает искомую часть вин-
товой канавки, т. е. уравнение окружности радиуса /?ф совместно с формулами пре-
образования координат будет выражать искомую часть винтовой поверхности детали.
Таким образом, профиль винтовой поверхности детали, образованный угловой
фрезой, состоит из ряда участков: участка, сформированного конической поверх-
ностью, участка, сформированного торцовой плоскостью, и участка, обработанного
граничной окружностью радиуса /?ф. При отсутствии подрезания профиля все
участки поверхности детали плавно сопрягаются друг с другом. В случае подреза-
ния профиль детали имеет резкие перегибы. Определяя профиль винтовой поверх-
ности детали, необходимо учесть, что заготовка имеет ограниченные размеры. По-
этому могут иметь место такие случаи, когда некоторые из рассмотренных участков
профиля будут располагаться вне пределов заготовки и отсутствовать на реаль-
ном профиле детали.
Пример расчета профиля винтовой поверхности, обработанной угловой фрезой.
Примем: радиус фрезы 7?ф = 10 мм, расстояние между осями фрезы и заготов-
ки А — 3,5 мм, величину С — 4,0 мм, угол установки оси концевой угловой фрезы
8 = 14°, угол ф = —15°, параметр винтового движения /г =7,14 мм.
Найдем координаты точек осевого сечения участка винтовой поверхности,
образованного участком конической поверхности И.
Для этого рассмотрим три секущие плоскости Yo = 4 мм, Уо — 7 мм и Yo =
— 10 мм. Радиус фрезы 7? в этих секущих плоскостях определяется по формуле
R = я* + (Уо — С) tg ip.
Для сечения Yo — 7 мм
R = 10 + (7 — 4) tg (— 15°) = 9,1936 мм.
Соответственно для сечения Yo = 4 мм R = 10 мм, а для сечения Yo = 10 мм
R = 8,3926 мм.
Решив уравнение контакта, определим для каждого сечения, при каком угле
поворота 0 происходит контакт конической поверхности И и поверхности детали.
Для Yo = 4 мм
х	3,5 tg 14“ -р 7,14	fyn'je
^= 10tg(- 15е) + 4 ~ 6,0675.
Отсюда 1] = 80,64° и г) = 260,64°.
При т] = 80,64°
(3,5 — 7,14 tg 14°) tg(— 15°) Qnc.o
C0S* = -------10 tel- 15е) + 4---- C0S 80-64 ’
cos I — — 0,34889.
Отсюда т = 93,255° и т = 260,64\
При q = 260,64°.
cos т = + 0,34889; т = 86,745° и т = 273,255°.
6*
Фрезерование винтовых поверхностей -1
угловой фрезой
Следовательно, для Уо — 4 мм
9 =г] + т.
Подставив соответствующие числовые значения, имеем:
9 = 80,64 4- 93,255 = 173,895°; 9 = 80,64 + 266,745 = 347,385°;
9 = 260,64 4- 86,745 = 347,385°; 9 = 260,64 4- 273,255° = 533,895°.
Таким образом, для сечения =4 мм 0 = 173,895° и 9 = 347,385°. Анало-
гично определяются углы 9 и для других сечений Yo = const. Для сечения Yo =
= 7 мм угол 9 = 153,360° и 9 — 327,620°, а для сечения Yo = 10 угол 9 =
= 138,320° и 9 = 313,580°.
Координаты х0, z0 точек контакта на конической поверхности рассчитываются
по формулам:
x0 = /?sin9; z0=7?cos9— А.
Запишем результаты расчетов:
Уо> ММ	R, мм	Хо	z0
4	10	—2,1852	6,2580
4	10	1,0634	— 13,4430
7	9,1663	—4,92540	4,2658
7	9,1963	4,1241	— 11,7200
10	8,3926	—6,0799	2,2851
10	8,3926	5,5818	—9,7673
Координаты xlt yL точек осевого сечения участка винтовой поверхности, образо-
ванного конической поверхностью Я, рассчитываются по формулам:
Xj = х0 cos 14е — z/0 sin 14е + 7,14<р;
z/i = (х0 sin 14е А- Уо cos 14°) cos <р — z0 sin <р,
где
Запишем результаты расчетов:
х0 sin 14“ 4- у0 cos 14°
Z/o, ММ	ф, радиан	мм	z/i, мм
4	— 1,0789	— 10,791	7,099
4	1,2721	9,1469	14,065
7	—0,6509	— 11,120	7,040
7	0,9842	9,3355	14,073
10	—0,2708	— 10,252	8,5434
10	0,7238	8,1649	14,751
164
Формы поверхностей деталей,
обработанных заданным инструментом
Наряду с конической поверхностью, винтовую поверхность детали на опре-
деленном ее участке формирует граничная окружность. В системе X0K0Z0 коорди-
наты точек граничной окружности рассчитываются по формулам:
z/0 = 4; х0 — 10 sin 0; z0 — 10 cos 0 — 3,5.
В записанных соотношениях угол 0=0-? 360°, если рассматривать полную
окружность. Реальный профиль детали при заданных условиях соответствует углу
0 = ± 20 ± ± 100°.
Запишем результаты вычислений координат х0, z0 точек граничной окружности:
0Г	х0, мм	г0, мм	0’	х0, мм	г0, мм
±20	±3,4199	5,8900	±70	±9,3958	—0,0793
±40	±6,4280	4,1611	±80	±9,8474	— 1,7622
±60	±8,6603	1,4997	±100	±9,8474	—5,2353
Профиль винтовой поверхности Д при ее образовании граничной окружностью
по известным координатам х0, у0, z0 будет рассчитываться по формулам преобразо-
вания координат при zx = 0. Запишем результаты вычисления координат xlt уг то-
чек осевого сечения винтовой детали, сопряженного с граничной окружностью:
0*	хи мм	z/t, мм	xv мм	У» мм
±20	— 12,089	6,6405	—4,0532	7,5448
±40	— 14,781	4,7669	0,6052	6,8455
±60	— 14,358	2,3321	5,6805	6,1619
±70	—9,7330	1,6102	8,2413	6,1546
±80	—4,3400	2,3133	10,5470	6,5067
±100	— 1,2980	5,4455	13,5590	6,1630
В формировании профиля винтовой поверхности детали принимает участие
также торцовая плоскость инструмента. Координаты z/0 и z0 точек контакта торцо-
вой плоскости и поверхности детали будут рассчитываться по формулам:
yQ = С = 4 мм; z0 = — 7,14 tg 14° = — 1,7804.
Координаты х0 граничных точек реального участка характеристики следующие:
. о 7,14 tg 14° — 3,5
Sin Р —-------------:— •
10
₽ = 10,35°; х0 = ± Ю cos 10,35° = ±9,8512.
В пределах ± 9,8512 значения координат х0 можно выбирать произвольно.
При известных координатах х0, z/0, 2о точек характеристики координаты хг, уг точек
Фрезерование винтовых поверхностей
угловой фрезой
осевого сечения винтовой поверхности детали рассчитывают по известным формулам
преобразования координат при = 0:
ха, мм	q,. радиан	х2, мм	уи мм
9,8512	0,2753	10,568	6,512
—9,8512	0,8590	-4,305	2,327
7,8133	0,2992	8,727	6,039
—7,8133	0,7296	—3,340	2,671
5,7482	0,5257	6,910	5,600
—5,7482	0,6207	—2,113	3,061
3,6121	0,3583	5,095	5,077
—3,6121	0,5345	—0,656	3,495
1,0213	0,4072	2,931	4,496
— 1,0213	0,4555	1,2936	4,047
Анализ показывает, что форма и размеры винтовых поверхностей деталей, обра-
ботанных угловыми фрезами, изменяются в довольно широких пределах в зависи-
мости от размеров фрезы и ее установки относительно заготовки. Увеличение меж-
осевого расстояния, угла наклона винтовой канавки, угла 8 наклона оси фрезы, а
также уменьшение ее диаметра приводят к соответствующему уменьшению ширины
обработанной канавки при заданной глубине фрезерования.
§ 28. ФОРМИРОВАНИЕ ВИНТОВЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ
И ПОВЕРХНОСТЕЙ ВРАЩЕНИЯ ТОРЦОВЫМИ ФРЕЗАМИ
В СООТВЕТСТВИИ С ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОЙ
СХЕМОЙ РЕЗАНИЯ
Определим поверхности, которые могут быть обработаны торцовыми фрезами.
Торцовые фрезы широко распространены в промышленности. Они надежны и высо-
копроизводительны.
Рассмотрим схему обработки, которая включает вращение фрезы вокруг свсей
оси, вращение заготовки вокруг ее оси и связанное с ним продольное поступатель-
ное движение заготовки вдоль оси фрезы. Примем, что ось торцовой фрезы и ось
заготовки являются скрещивающимися прямыми (рис. 51, а). Угол наклона оси
фрезы обозначим 8, расстояние между осями фрезы и заготовки —через А, расстоя-
ние от оси заготовки до центра окружности, описываемой вершинными точками
зубьев вращающейся фрезы, — С. Считаем, что в результате вращения фрезы вер-
шинные точки ее зубьев описывают окружность Л, которая формирует поверхность
детали, т. е. рассмотрим торцовую фрезу как инструмент, формирующий поверх-
ность детали по последовательной схеме резания, когда в процессе обработки наб-
людается кромочное соприкосновение поверхности И вращения режущих кромок
фрезы и поверхности детали. Как правило, работа торцовых фрез основывается на
этих принципах. Следовательно, искомая обработанная поверхность детали Д будет
описываться профилирующей окружностью Л вращения вершин зубьев фрезы вок-
руг ее оси. С окружностью Л, т. е. с торцовой фрезой, свяжем систему координат
XYZ, направив ось Y по оси фрезы, а ось Z — перпендикулярно к оси заготовки.
1	(^°Рм-ы поверхностей деталей,
J.UU обработанных заданным инструментом
Рис. 51. Схема обработки фа-
сонных поверхностей торцовой
фрезой
Выберем также систему координат Х^^1г связанную с заготовкой. Начало
координат Ог этой системы совместим с точкой скрещивания осей фрезы и заготов-
ки. Ось направим по оси заготовки, а ось Zx — перпендикулярно осям фрезы и
заготовки.
В соответствии с принятой схемой, торцовая фреза вместе с профилирующей
окружностью Л совершает относительно заготовки винтовое движение. Оно являе-
тся результирующим вращения заготовки и ее прямолинейно-поступательного
движения. Ось этого винтового движения будет совпадать с осью заготовки, т. е.
с осью
Угол поворота системы XYZ вокруг оси при ее винтовом движении обозна-
чим ф. Тогда соответствующее ей поступательное перемещение вдоль оси Х2 равно
Лф, где Л — параметр винтового движения фрезы относительно заготовки.
Запишем формулы перехода от системы XYZ к системе X1K1Z1.
Xj = х cos s + у sin 8 + Лф ctg 8;
yr = (z/ cos 8 — x sin 8 -J- C) cos ф'— (z 4- Л) sin ф;
= (z 4- A) cos ф 4- (y cos & — x sin 8 4- C) sin ф.
Уравнение профилирующей окружности Л в системе XYZ в параметрической
Ф°Рме:	х = R cos Р; у = 0; z — R sin р,
где R — радиус профилирующей окружности.
Совместное рассмотрение уравнений профилирующей окружности и формул
преобразования координат дает искомую винтовую поверхность. Если рассечь вин-
товую поверхность детали плоскостью = 0, то получим ее профиль:
Zj = (z 4- Л) cos ф 4- (у cos 8 — х sin 8 4- С) sin ф = 0.
Формирование винтовых поверхностей -|
и поверхностей вращения торцовыми фрезами
Отсюда определим угол ср:
<	z -f- А
tg ф = -------—-------.
ь т	X Sin 8 — у COS 8 — С
Расчет профиля детали можно вести в такой последовательности:
на профилирующей окружности J1 выбираем координаты х, у, z ряда точек;
учитывая, что у = 0, определяем для каждой точки окружности Л угол ф по
уравнению
j	z A
tgч> = x.sine_c ;
по формулам преобразования координат находим точки профиля винтовой по-
верхности детали:
хг = х cos & + /кр 4- Ctg е;
уг = (— х sin 8 -j- С) cos ф — (z 4- Л) sin ф.
Рассмотрим частный случай, когда межосевое расстояние Л = 0 и параметр
винтового движения h = 0, т. е. ось фрезы пересекает ось заготовки и фреза в про-
цессе обработки, а вместе с ней и профилирующая окружность Л только вращается
вокруг оси заготовки. Обработанная поверхность детали тогда будет определяться
совокупностью уравнений окружности Л в системе XYZ и формулами преобразова-
ния координат.
Подставив в формулы преобразования величины х, у, z, соответствующие про-
филирующей окружности Л, и величины Л = 0 и h = 0, получим:
Xj = R cos Р cos 8 4- С tg б;
у, = (С — R cos p sin 8) cos ф — R sin p sin ф;
?! = R sin p cos ф 4- (C — R cos p sin 8) sin ф.
Возведем в квадрат эти равенства и сложим их, а после преобразований получим
А + А + А = R2 + С(Х •
Это уравнение является уравнением сферы, радиус которой
R=]f R2+-^—.
с F	1 COS2 8
Таким образом, торцовой фрезой при Л = 0 и h =0 можно обработать сфери-
ческую поверхность, требуемый радиус которой может быть обеспечен соответст-
вующим выбором размеров радиуса фрезы, величины С и угла 8. Это известный спо-
соб обработки поверхности шара торцовой фрезой при ее соответствующей уста-
новке относительно заготовки, когда быстро вращается фреза, а заготовка медленно
вращается вокруг своей оси.
В частном случае угол наклона оси фрезы 8=0. Тогда радиус обработанной
сферы
rc = Yr* + с2.
Если величина С = 0, то Rc = R и плоскость, в которой расположена профи-
лирующая окружность Л, проходит через центр шаровой поверхности детали.
1 AR Ф°РМЫ поверхностей деталей.
J.4JO обработанных заданным инструментом
Если принять угол е = 90°, то радиус обработанной сферы
R, = У R2 + = °° •
Таким образом, в рассматриваемом случае торцовой фрезой обеспечивается обра-
ботка сферы бесконечно большого радиуса, т. е. обработка плоской поверхности.
Этот случай соответствует обработке плоскостей торцовой фрезой при закреплении
заготовок на вращающемся столе.
Если величина С = оо, то радиус обработанной сферы /?с = оо. Этот случай
соответствует обычной обработке плоскости торцовой фрезой с прямолинейным
движением подачи.
Рассмотрим второй частный случай анализируемой схемы обработки, когда
угол 8 = 0 и ось фрезы занимает положение, перпендикулярное оси заготовки.
Тогда обработанная поверхность детали определится совокупностью уравнений
окружности Л в системе XYZ и формулами преобразования координат:
х = R cos р,	Xj = х 4- /кр;
z/= 0, z/1=Ccos<p — (z A) sin <р;
z = R sin p, Zj — (z 4- A) cos cp 4- C sin ф.
Профиль этой поверхности в сечении = 0 определится системой следующих
уравнений:
хг — R cos р 4-
z/i = С cos ф — (R sin р 4- Л) sin ф,
где
,	z 4- A R sin В 4- А
Полученные уравнения выражают профиль винтовой поверхности, которая
образуется в результате винтового движения профилирующей окружности Л отно-
сительно заготовки. Частью этой поверхности будет обработанная поверхность
детали Д. Винтовая поверхность, образованная окружностью Л, будет состоять из
ряда витков, смещенных вдоль оси детали на величину шага h 2л. Поэтому кривая
профиля поверхности Д будет включать ряд повторяющихся участков, также сме-
щенных вдоль оси Хг на величину шага Л2л. Профиль поверхности, в действитель-
ности образующейся на заготовке, ограничен частью кривой профиля витка. Этот
участок кривой действительного профиля детали лежит между точками пересечения
двух профилей смежных витков винтовой поверхности. Рассматриваемые точки
пересечения двух профилей соответствуют точкам пересечения двух последова-
тельных положений профилирующей окружности, сдвинутых относительно друг
друга на величину шага Л2л (рис. 51, б). Граничные точки реального профиля
детали, соответствующие точкам пересечения сдвинутых на шаг окружностей, опре-
делятся величиной угла р
Q Jl/l
COS0 = —.
Формирование винтовых поверхностей Z5Q
и поверхностей вращения торцовыми фрезами
Уравнение для расчета координаты z/i профиля детали можно упростить, если
вместо —(/? sin р + 4) подставить равную величину С tg ср.. Тогда
^=7^=1/С2 + ^"Р+Л)2-
Найдем экстремальные значения величины уг\
dyA _	2 (/? sin ft 4~ ^) /? cos |3	_q
~ 2VC2 + (/?sinft + Л)'2 “
Отсюда
R sin р + А — 0; cos р = 0.
Следовательно, экстремальные значения функции yL соответствуют величине
sin р ----. Поэтому
А
f/i = ]/с2 + [/?(-4) + л|2 = с.
Это минимальное значение функции уг.
Максимальные значения функции ут соответствуют величине р = ± 90°, ког-
да cos р = 0 и
Z/lmax = VC2 -J- (А-/?)2.
Значение z/imax = ]/С2 + (А + 7?)2 обычно лежит за пределами реального про-
филя детали.
С точки зрения практики важной является задача определения условий, при
которых оказывается возможной обработка с определенными погрешностями задан-
ной поверхности детали.
Считаем, что необходимо обработать торцовой фрезой при е = 0 круглую ци-
линдрическую поверхность детали. Обозначим минимальное значение радиуса де-
тали г, а максимально допустимую величину отклонения радиуса детали от его
минимального значения 6, т. е. разность максимально и минимально возможных зна-
чений радиуса детали. Нетрудно понять, что радиус детали равен координате уг ее
профиля. Минимальное значение величины ух — С. Следовательно, при обработке
круглой цилиндрической поверхности необходимо принять С = г.
Максимальное значение радиуса детали:
г + 6 = ]/С2 + (4 —/?)2 = С + 6.
Отсюда, пренебрегая величиной 62 ввиду ее малости, получаем
A — R = V2CS.
По этому соотношению выбирается размер А при известных размерах фрезы
и величине допустимой погрешности 6. В граничных точках профиля детали размер
уг должен быть также не более С + 6.
В этих точках координата ут подсчитывается по формуле
ух = |С2 + sin р + 4)2 = /с2 + [j/fl —(л/i)2 + Л]2 = С + 6.
1/7Л Формы поверхностей деталей,
Л- • " обработанных заданным инструментом
Определим отсюда параметр винтового движения:
h=-^-VA(R—A).
Величина Sn продольной подачи фрезы на один оборот заготовки равна шагу
винтового движения, т. е.
Sn = Л2л = 4 V A{R — A).
Анализ показывает, что производительность торцового фрезерования зависит
от конструктивных параметров фрезы, а также от диаметра обрабатываемой детали
и принятой величины неточности обработки 6. Торцовое фрезерование целесообраз-
но применять при обработке валов больших диаметров и длин. Одновременность
работы нескольких зубьев фрезы снижает время обработки по сравнению с точе-
нием. Преимуществом торцового фрезерования крупногабаритных цилиндриче-
ских деталей является также возможность высокопроизводительной обработки
несбалансированных деталей. При торцовом фрезеровании автоматически разре-
шается также проблема стружкоразделения.
Анализ форм обработанных поверхностей проведен для случая, когда профи-
лирующей точкой режущей кромки является вершина зуба фрезы. Попытаемся
определить область применения приведенных выше соотношений и выяснить, когда
только вершина зуба фрезы будет формировать обработанную поверхность. Оче-
видно, вспомогательная режущая кромка не будет формировать поверхность де-
тали, если она в процессе резания не внедряется в обработанную вершиной зуба
поверхность детали. Свободу перемещения вспомогательной режущей кромки отно-
сительно обработанной поверхности будем характеризовать углом рг Считаем, что
угол Pi заключен между проекцией вспомогательной режущей кромки на осевую
плоскость, проходящую через вершину рассматриваемого зуба, и линией пересече-
ния обработанной поверхности с той же осевой плоскостью. Если угол pt> 0, то
вспомогательная кромка не будет формировать обработанную поверхность детали.
Участок вспомогательной кромки, непосредственно прилегающий к вершине зуба
и срезающий металл на небольшой длине в пределах сечения среза, при этом не учи-
тывается. Его величина заметно влияет на образующиеся при резании остаточные
гребешки и микронеровности. Однако они невелики и ими пренебрегают при оцен-
ке общего профиля детали в целом.
По аналогии главная режущая кромка зуба не соприкасается с обработанной
поверхностью, если для этой кромки р > 0. Примем, что угол р в процессе реза-
ния заключен между проекцией главной режущей кромки на осевую плоскость,
проходящую через вершину рассматриваемого зуба, и линией пересечения обрабо-
танной поверхности с этой же осевой плоскостью.
При конструировании торцовых фрез положение режущих кромок зуба за-
дается статистическими углами в плане: <рф — для главной и cpi — для вспомогатель-
ной режущей кромки. Углы в плане срф, и углы р и рх измеряются в одной и той же
плоскости. Одна из линий, ограничивающих углы р и <рф, у них общая. Это про-
екция режущей кромки на осевую плоскость, проходящую через вершину зуба.
Обозначим р угол, заключенный между линией пересечения обработанной поверх-
ности с рассматриваемой осевой плоскостью и линией пересечения в плос-
кости, перпендикулярной оси фрезы. Тогда
Hi = Ф1 + р; р = фф — р-
Формирование винтовых поверхностей 1^71
и поверхностей вращения торцовыми фрезами -- < J-
Определим угол р для случая, когда ось фрезы идет перпендикулярно оси заго-
товки.
Уравнение поверхности Д, образующейся при винтовом движении окружности
Л относительно заготовки, может быть записано (при 8 = 0 и у =0) в векторной
форме следующим образом:
р = i (R cos р + /ир) 4- / {С cos ф — (R sin р 4- A) sin ф) 4-
4-	k {(R sin р 4- A) cos ф 4- С sin ф).
Векторы, касательные к поверхности Д:
г - и 7 -
1 дц> и 2 ар ’
или
G = ih 4- / {—С sin ф — (7? sin Р + А) созф) 4- k {—(/? sin р 4- A) sin ф + С cos ф};
г2 = * (— sin Р) + / (— R cos Р sin ф) J- k (R cos p cos ф).
Вектор N нормали к поверхности Д определится как векторное произведение
касательных векторов гг и г2*
У = [Г1 X г2].
Вычислив это векторное произведение, получим
N — i (— R2 sin р cos р — AR cos р) —
— j (Rh cos p cos ф — R2 sin2 p sin ф — RA sin P sin ф 4- RC sin p cos ф) 4*
+ k (— Rh cos p sin ф — RC sin p sin ф — R2 sin2 P cos ф — RA sin p cos ф).
В начальный момент времени при ф = 0
N = i(— R2 sin Р cos р — AR cos р) — j (Rh cos p 4- RC sin p) 4*
+ k (— R2 sin2 P — RA sin P).
Единичный вектор п0, перпендикулярный осевой плоскости S фрезы, в которой
измеряется угол р, определяют по формуле
п = i sin р — k cos р.
Вектор Т, расположенный в плоскости S и касательный к поверхности Д, опре-
деляется как векторное произведение векторов п0 и У, т. е.
Т= [й0 X Л7].
В координатной форме это векторное произведение выражается таким образом:
Т = i cos р (— Rh cos р — RC sin p) 4- i (R2 sin p 4- RA) +
4- k sin p (Rh cos p 4- RC sin p).
1 формы поверхностей деталей,
-* • “ обработанных заданным инструментом
Угол между направлениями векторов Т и j равен 90° — р. Тангенс угла р опреде-
лится по соотношению
tgp=-nrar-
Представив числитель и знаменатель в координатах, имеем:
(T-J) = /?2sinP4-/M;
[Г х /] = i sin р (Rh cos р + RC sin P) + k cos p (— Rh cos P — RC sin p).
Модуль векторного произведения
| [T • j] | = Rh cos p + RC sin p.
Подставив в формулу tg p значения скалярного произведения и модуля вектор-
ного произведения, имеем
tgp = -gs-in^ + /> .
® С sin р -j- h cos р
Полученное соотношение позволяет определить величину угла р при винтовом
движении профилирующей окружности относительно заготовки. Зная углы р, на
дуге контакта профилирующей окружности и поверхности детали при конструиро-
вании торцовой фрезы можно выбрать величины углов в плане больше соответствую-
щих значений углов р и тем самым обеспечить формирование поверхности детали
только вершинными кромками зубьев.
§ 29. ОБРАБОТКА ФАСОННЫХ ПРОФИЛЕЙ
НА ЗУБОДОЛБЕЖНОМ СТАНКЕ
Определим возможные формы поверхностей, которые можно обработать на зубо-
долбежном станке резцом, если в формировании поверхности детали участвует толь-
ко его вершина. Схема обработки (рис. 52, а) включает вращение заготовки вокруг
ее оси и кинематически связанное с ним вращение инструмента вокруг оси шпинде-
ля станка. В результате относительное движение инструмента и обрабатываемой
детали сводится к качению начального цилиндра радиуса R2, связанного с инстру-
ментом, по начальному цилиндру радиуса Ru связанному с деталью. Кроме этих
движений инструмент совершает возвратно-поступательные движения резания,
направленные параллельно оси детали, в результате которых вершина резца, дви-
гаясь прямолинейно-поступательно, описывает образующую цилиндрической фасон-
ной поверхности детали.
На станке может осуществляться также движение врезания инструмента в
материал заготовки, при котором наблюдается сближение осей заготовки и инстру-
мента. Обозначим угловую скорость вращения заготовки вокруг ее оси сот, угловую
скорость вращения инструмента вокруг его оси со2, скорость сближения осей заго-
товки и инструмента v, а их начальное межосевое расстояние Ао. С поверхностью
детали свяжем систему координат X1Y1Z1, ас инструментом —X2Y2Z2. Оси Хг и Х2
направим соответственно по осям заготовки и инструмента, оси Zx и Z2 в начальный
момент расположим в плоскости, проходящей через оси детали и инструмента.
Обработка фасонных профилен -| Г7О
на зубодолбежном станке А •
-2
В процессе обработки система XxYyZx будет вращаться
вокруг оси Хг. Угол поворота за промежуток времени
t будет равен со^. Система X2Y2Z2 будет вращаться
вокруг оси Х2. Угол поворота за время t будет равен
со2/. Перемещение оси инструмента к оси детали за
время t будет равно vt.
Формулы перехода от системы X2Y2Z2 к системе
имеют следующий вид:
У1 = [У2 — Ио — sin cos (^	+ l22 +
4-	(/40 — vl) cos	sin И4 + CO2/)j
Z1 = lZ2 + (4--- C0S (02^ C0S И4 + W20 -----
— [y2 — (Ло — vt) sin co2/] sin (co^ + co20i
*1 = x2.
Считаем, что вершина резца, формирующая по-
верхность детали, лежит на оси Z2 на расстоянии а от
начала координат О2, расположенного на оси шпинде-
ля станка. Тогда в системе X2Y2Z2 координаты вер-
шинной точки М резца будут: х2 =0, у2 — 0,
z2 = —а. В соответствии с формулами преобразо-
вания координат, траектория движения точки М в
системе Х^^х, связанной с деталью, определится
следующими уравнениями:
%! = 0;
У! = (— Ло 4~ vt) sin (i)2t cos (coj/ +
4- [— a 4- (Ло — vt) cos cd2£] sin 4~ 03
г1 = [— a 4- (Ло — vt) cos co2/] cos (со^ 4-	4-
4- (Ло — vt) sin co2Z sin (co^ 4- co2/).
По этим уравнениям рассчитываем профиль дета-
ли, которую можно обработать резцом с одной профи-
лирующей вершинной точкой при рассматриваемой схеме обработки на зубодолбеж-
ном станке.
В частном случае одно из составляющих движений может отключаться. Так,
например, считаем, что в процессе обработки инструмент не вращается вокруг своей
оси и со, == 0. Тогда профиль обработанной поверхности детали определится си-
стемой следующих уравнений:
ух = [— а 4- Ло — vt] sin со^; = [— а 4- Ло — vt Jcos со^.
Легко показать, что эти уравнения выражают спираль Архимеда. Поэтому в
рассматриваемом случае можно обработать всевозможные кулачки, профиль кото-
рых очерчивается по спирали Архимеда. Определим радиус-вектор произвольной
точки рассматриваемой кривой, считая, что в процессе обработки происходят рав-
номерные движения, т. е.
б
Рис 52. Схема обработки фасон-
ных профилей на зубодолбежном
станке
V = const И (О — const.
1 ’7 Л Ф°РМЫ поверхностей деталей,
А обработанных заданным инструментом
Тогда
R = ’z y\ + A = Л — a —
Угол поворота системы X1Y1Z1 обозначим ф. Следовательно, ф = откуда
t =Л-
(О1
Отсюда радиус-вектор произвольной точки кривой
R =А0 —а--------ср = (Ло — а) — Сф.
Примем, что в частном случае не угловая скорость со2, а скорость поступатель-
ного движения v = 0, т. е. в процессе обработки сохраняется неизменным межосевое
расстояние Ао.
Тогда профиль обработанной поверхности детали определится системой следую-
щих уравнений:
уг — — Ао sin 04/ cos (coj/ 4- со2/) 4- [— а 4- Ао cos a>2t] sin (04/ 4- со2/);
— {— а Ао cos со2/) cos (04/ 4- w2/) 4- Ло sin со2/ sin (со^ 4- <о2/).
Преобразовав, получим:
уА — Ло sin (04 — a sin (04/ 4- со2/);
г1 = Ап cos 04 Z — a cos (04/ 4- со2/).
Анализ этих уравнений показывает, что по рассматриваемой схеме можно
обработать цилиндрические поверхности деталей с различными поперечными сече-
ниями, описанными эпи- и гипоциклоидами, а также «укороченными» и «удлинен-
ными» эпи- и гипоциклоидами.
В качестве частных случаев эпи- и гипоциклоид можно получить ряд извест-
ных кривых. Например, рассмотрим случай, когда (о2 = —Подставив эти зна-
чения в формулы для подсчета координат /4 и кривой профиля детали, имеем:
уг = Ао sin 04/ — a sin (04 — 2со4) = (Ло 4- a) sin 04/;
zx = Ао cos 04/ — a cos (04/ — 2а>4) = (Ло — a) cos 04/,
или
= cos (dj.
—— = sin 04/;	—
44-а	А0-а
Возводя обе части этих равенств в квадрат и складывая, получаем
2	2
_.£—+_________5_____= 1
(Л+«)3 Т (Л,-а)2
Таким образом, в данном примере обработанная деталь имеет эллиптический
профиль.
Рассмотрим случай, когда со2 = —4g4, межосевое расстояние А = 9, а размер
между осью шпинделя и вершиной резца а = 1. Подставив эти значения в формулы
для подсчета координат уъ zx кривой профиля детали, получим:
/4=9 sin (04/) 4- sin (Зсо^);
zx = 9 cos (04/) — cos (8(14/).
Обработка фасонных профилей
на зубодолбежном станке J- • tJ
Запишем подсчитанные по этим формулам координаты уг, точек профиля
детали при различных величинах угла <р =
У1 21	0 0 8,0	15 3,05 7,99	30 5,5 7,8	45 7,1 7,1	60 7,8 5,5	75 7,99 3,05	90 8,0 0	105 7,99 —3,05	120 7,8 —5,5
((£>10°	135	150	165	180	195	210	225	240	255
У1	7,1	5,5	3,05	0	—3,05	—5,5	—7,1	—7,8	—7,99
21	—7,1	—7,8	—7,99	-8,0	—7,99	—7,8	—7,1	—5,5	—3,05
	270	285	300	315	330	345	360				
У1	—8,0	—7,99	-7,8	—7,1	—5,5	—3,05	0	—	—
21	0	3,05	5,5	7,1	7,8	7,99	8,0	—	—
По результатам расчета на рис. 52, б изображен профиль детали. Как видим,
это четырехугольник. Изменяя параметры схемы, т. е. соотношение скоростей
(о2 и и величины расстояний Айа, можно получить самые разнообразные профили.
В частности, контуры деталей, обработанных вершиной резца на зубодолбежном
станке, могут быть в форме треугольника, улитки Паскаля, овала и т. п. Обработка
таких деталей на зубодолбежном станке характеризуется простотой наладки стан-
ка, элементарно простой оснасткой, получением профилей деталей с высокой точ-
ностью. В качестве инструмента при обработке всевозможных профилей на зубо-
долбежном станке может быть принят круглый чашечный резец радиуса г. Такой
резец имеет простые конструктивные формы. Его режущая кромка является окруж-
ностью пересечения конической передней и конической задней поверхностей. Ось
такого круглого резца смещается с оси шпинделя станка на расстояние, равное а,
т. е. ось резца совмещается с точкой М. Траектория движения оси резца в системе
Xi^iZi, связанной с деталью, описывается ранее выведенными уравнениями. Про-
филь же детали эквидистантен к траектории движения оси круглого резца. Это
следует из того, что эквидистантная кривая является огибающей семейства окруж-
ностей постоянного радиуса г, центры которых расположены на заданной кривой.
Эквидистантную кривую по отношению к данной можно определить как геометри-
ческое место концов отрезков постоянной длины, равной г, которые отложены на
нормалях к заданной кривой (рис. 52, в). При неизменном межосевом расстоянии
А. траектория движения точки М, соответствующей оси круглого резца, описыва-
ется следующими уравнениями:
ух == Ло sin — a sin (со^ + со2/);
Zi = Ло cos (coxZ) — a cos (со^ + со2/).
Координаты Yq, Zo точки эквидистантной кривой:
Уо = У1 г sin a; zQ =	— г cos а.
Полученные уравнения являются уравнениями эквидистантной кривой, если
считать координаты ylt zx координатами заданной кривой. В этих соотношениях
ГТ Л Формы поверхностей деталей,
1- 4 VF обработанных заданным инструментом
угол а наклона касательной в точке М заданной кривой определяется по формуле
,	dZ'/dt
Продифференцировав уравнения траектории движения точки М, получим:
= согЛ0 cos — a (сот + со2) cos (coj/ 4- (о2/);
-^2. = — sin (OjZ 4- cl (сох 4- со2) sin (со^ 4~ по-
следовательно,
,	__ —	0 Sin (Dt/ 4~ fl (<°1 + C02) Sin (<*>1/ 4- oV)
®	~ со^о cos g)j/ — a (toj 4- (o2) cos (coj/ 4- co2/)
При расчетах необходимо учитывать, что в пределах от 0 до 360° имеется два
значения угла а, удовлетворяющих рассматриваемой формуле. Одно из значений
соответствует расположению эквидистантной кривой выше заданной кривой, а вто-
рое — ниже заданной кривой.
Анализ показывает, что эквидистантная кривая может значительно отличаться
по профилю от заданной. Это особенно сильно проявляется в случае расположения
эквидистантной кривой с вогнутой стороны заданной кривой при относитель-
но больших, по сравнению с радиусом кривизны, размерах окружности радиуса г.
Эквидистантные профили эпи- и гипоциклоид можно обработать на зубодолбеж-
ном станке с помощью круглого чашечного резца. Имея соответствующие приспо-
собления, такие профили можно получить также при фрезеровании и шлифовании.
В качестве инструмента в этой случае используют концевые фрезы, либо соответству-
ющие шлифовальные круги, у которых исходная инструментальная поверхность
является поверхностью вращения.
При обработке криволинейных профилей такими инструментами необходимо,
чтобы центр инструмента описывал эквидистанту профиля детали и чтобы соблю-
дались условия формообразования В частном случае наименьший радиус кривизны
кривой, описывающей профиль детали, должен быть больше радиуса инструмента.
Эти соображения следует учитывать при выборе диаметральных размеров инстру-
мента.
Глава IX
СХЕМЫ ФОРМООБРАЗОВАНИЯ
ЗАДАННОЙ ПОВЕРХНОСТИ ДЕТАЛИ
ИЗВЕСТНЫМ ИНСТРУМЕНТОМ
§ 30. ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ
В современной технике все большее распространение получают детали машин,
ограниченные сложными фасонными поверхностями. Это лопатки турбин и реак-
тивных двигателей, плоские и пространственные кулачки, изделия типа лопастей
гребных винтов, пропеллеров и т. п.
Обработка таких поверхностей довольно часто производится выбранным ин-
струментом относительно простой формы, который получает сложное принудитель-
ное движение, подчиняющееся определенному закону. В этом случае необходимо
определить движение инструмента относительно заготовки, которое формирует
заданную поверхность детали.
В качестве режущего инструмента при обработке сложных фасонных поверх-
ностей используются резцы, концевые фрезы, торцовые фрезы, шлифовальные круги.
Формирование поверхности детали резцами обычно производится его верши-
ной, которую условно можно считать точкой. В действительности небольшой учас-
ток вершинной режущей кромки резца принимает участие в формировании поверх-
ности детали в соответствии с последовательной схемой резания.
Обработка фрезерованием и шлифованием дисковыми или цилиндрическими
фрезами и шлифовальными кругами зачастую сводится к формированию плоских
сечений обработанной поверхности Д с помощью окружности. В случае применения
фрез со сферической режущей частью поверхность детали Д формируется с помощью
сферической поверхности, которая создается в зоне обработки в результате враще-
ния режущих кромок вокруг оси инструмента.
Наряду с рассмотренными, на практике при обработке поверхностей с образую-
щими переменного вида находят применение и более сложные фасонные инстру-
менты. Их применение зачастую приводит к увеличению активной длины режущей
кромки, формирующей поверхность детали, и соответствующему повышению
производительности труда.
Так, открытые линейчатые поверхности с процентной разбивкой могут обраба-
тываться строганием или фрезерованием. Особенностью этих поверхностей является
то, что их граничные торцовые сечения имеют разные размеры, что исключает воз-
можность обработки за один проход. Фрезерование таких поверхностей можно вести
концевой фрезой со сферической режущей частью. Этот способ обработки является
наиболее универсальным, но наименее производительным, так как поверхность
детали формируется относительно небольшим участком сферы и поэтому требуется
большое число проходов.
Обработать рассматриваемую поверхность можно также плоским торцом фре-
зы. В этом случае возрастает зона формирования поверхности детали, увеличива-
1 ^хе иы ФоРмо°бРазования заданной
•1 • О поверхности детали известным инструментом,
ется шаг периодической подачи и соответственно по-
вышается производительность труда. Обработка плос-
ким торцом фрезы особенно эффективна для крупно-
габаритных изделий с большими значениями радиусов
кривизны обработанной поверхности. Однако более
высокую производительность можно получить, при-
меняя фасонные фрезы, профиль которых соответ-
ствует максимальному по размерам поперечному се-
чению детали. В этом случае резко сокращается
число проходов, необходимых для формирования за-
данной поверхности детали, так как увеличивается
шаг периодической подачи и площадь обработанной
за один проход поверхности.
Возможные движения режущего инструмента и
заготовки в процессе обработки определяются из усло-
вия соприкосновения профилирующих участков режу-
щих кромок инструмента или соответствующих
инструментальных поверхностей с обработанной по-
верхностью детали Д. Это условие неоднозначно опре-
деляет схему формообразования. Можно заставить
формирующие элементы режущего инструмента самым
различным образом перемещаться по поверхности де-
тали и производить ее обработку.
Однако для того чтобы схемы механизмов были
сравнительно простыми, движения инструмента отно-
сительно заготовки складываются из ряда прямоли-
нейно-поступательных и вращательных. Они могут
быть непрерывными и периодическими, равномерными
и неравномерными. Требуемый закон движения ин-
Рис. 53. Схемы обработки фасон-
ной поверхности с помощью ме-
ханизма-построителя и копиро-
ванием
струмента и заготовки на станке осуществляется с
помощью механизмов-построителей, копиров, систем программного управления.
Применение построителей основывается на синтезе механизмов, обеспечиваю-
щих требуемый характер движения заготовки и инструмента. Они рассчитываются
как на точное, так и на приближенное воспроизведение заданной поверхности в пре-
делах допустимых отклонений.
Механизмы-построители могут быть положены в основу проектирования спе-
циальных станков либо приспособлений к станкам общего назначения. Так, напри-
мер, на рис. 53, а изображена схема приспособления для обработки на токарном
станке сферической поверхности. Заготовку 1 закрепляют в патроне токарного стан-
ка, и она вращается вокруг своей оси. Резцу 2 сообщают сложное движение, состоя-
щее из двух прямолинейно-поступательных движений. Продольный суппорт 3
движется прямолинейно-поступательно вдоль оси заготовки, а сидящий на нем по-
перечный суппорт 5 — в перпендикулярном направлении. Поперечный суппорт
5 стержнем 6 соединен с шатуном 7 на оси 8, закрепленной на станине.
Если от винта 4 перемещать поперечный суппорт 5 перпендикулярно оси заго-
товки, то продольный суппорт 3 будет двигаться вдоль оси заготовки. В результате
вершина резца 2, закрепленного в резцедержателе, будет перемещаться по радиусу,
Общие -1 ГТЛ
положения X t U
равному расстоянию от оси 8 до оси стержня 6, и обрабатывать вогнутую сфериче-
скую поверхность детали.
К недостаткам механизмов-построителей следует отнести их неуниверсальность
и ограниченное число обрабатываемых профилей.
При копирном методе обработки сложных поверхностей необходимое относи-
тельное движение инструмента и заготовки воспроизводится с помощью копиров.
В зависимости от принятой схемы, может использоваться один или несколько плос-
ких или объемных копиров.
Так, на рис. 53, б приведена схема фрезерования кулачка плоским копиром.
На вращающейся планшайбе 2 установлен копир, а на второй, синхронно вращаю-
щейся с ней планшайбе 1 закреплена заготовка. Шпиндельная бабка 6 с фрезой 7
и копировальным прибором 3 перемещается вместе с поперечиной 5 вертикально по
стойке 4 так, что все время обеспечивается соприкосновение пальца 3 с копиром.
В результате фреза, копируя движения пальца 3, обрабатывает деталь, форма кото-
рой является копией копира.
Замыкание между пальцем и копиром в копировальных станках создается с
помощью груза, давления пружины и т. п. С целью уменьшения усилий, возникаю-
щих в результате взаимодействия пальца и копира, применяют копирование с
помощью следящего привода. Следящее, или копировально-измерительное, устрой-
ство представляет собой точный измерительный прибор, палец которого при неболь-
шом усилии ощупывает поверхность копира. Перемещения пальца в виде соответ-
ствующих команд передаются в специальные усилительные устройства, которые
воздействуют на исполнительные органы и перемещают инструмент и заготовку.
В качестве усилителей используется различная электромеханическая и гидравли-
ческая аппаратура.
К недостаткам обработки сложных поверхностей по копиру относится большая
трудоемкость изготовления весьма точных копиров, относительно низкая точность
обработки, вызываемая погрешностями инструмента, копира и цепи, передающей
движение от пальца к инструменту, а также ошибками ощупывания, которые воз-
никают из-за значительных усилий, необходимых для замыкания цепи, а при нали-
чии следящей системы с усилением — вследствие ее рассогласования.
Перспективным при обработке сложных поверхностей является применение
станков с программным управлением.
Программное управление можно рассматривать как копировальное управление,
в котором вместо копира, геометрически подобного обрабатываемой поверхности,
применяются носители. В них информация о форме изделия хранится в закодиро-
ванном виде, представляя собой программу обработки.
В программу включается запись не только информации о движениях инстру-
мента и заготовки в процессе резания, но и обо всех других вспомогательных дви-
жениях и движениях управления, что позволяет полностью автоматизировать про-
цесс обработки.
Особенностью станков с программным управлением является возможность их
быстрой переналадки путем замены программы.
Подготовка программ обработки сложных поверхностей включает как один из
важнейших этапов определение перемещений, которые должны совершать инстру-
мент и заготовка в процессе обработки на станке.
1 АП Схемы формообразования заданной
ЛОМ поверхности детали известным инструментом
§ 31. СХЕМЫ ФОРМООБРАЗОВАНИЯ
ФАСОННЫХ ПРОФИЛЕЙ ОКРУЖНОСТЬЮ
При обработке сложных фасонных поверхностей широкое распространение
получили фрезерование и шлифование. В процессе рассматриваемых методов обра-
ботки инструмент вращается вокруг своей оси, в результате чего его режущие кром-
ки описывают в пространстве исходную поверхность вращения И. Исходная
поверхность вращения, двигаясь относительно заготовки, формирует обработанную
поверхность детали Д. Если рассматривать сечения, перпендикулярные оси инстру-
мента, то в процессе обработки наблюдается контакт окружностей, расположенных
на исходной поверхности, с соответствующим профилем детали. Иначе говоря, в се-
чениях, перпендикулярных оси инструмента, наблюдается формирование профиля
детали с помощью окружности И. Определим, при каких схемах формообразова-
ния, т. е. при каких движениях инструмента относительно заготовки, с помощью
окружности И может образоваться заданный фасонный профиль детали.
Анализ показывает, что если окружность И совершает одно прямолинейно-
поступательное движение или только вращается вокруг заданной оси, обработка
фасонного профиля оказывается невозможной. При прямолинейно-поступательном
движении окружности образуется прямолинейный профиль детали, а при ее враще-
нии создается профиль детали в форме окружности. Образование фасонного про-
филя возможно в случае использования схем, включающих два или более дви-
жений.
Рассмотрим схемы формобразования фасонных профилей, основанные на со-
четании двух элементарных движений: прямолинейно-поступательного и враща-
тельного.
Возможные сочетания этих движений:
два прямолинейно-поступательных;
прямолинейно-поступательное и вращательное;
два вращательных.
Характерным является сочетание двух прямолинейно-поступательных движе-
ний, направления которььх взаимно перпендикулярны (рис. 54, а). С профилем
инструмента свяжем систему координат ХИУИ, а с профилем детали — XY. В про-
цессе обработки система ХгУг движется прямолинейно-поступательно вдоль оси
Уи. В системе ХгУ} система XY движется вдоль оси Хт.
Для рассматриваемой схемы обработки формулы преобразования координат
записываются так:
хи = *^1 х, ук — у 52.
Считаем известным профиль детали у = f (х), т. е. координаты точек профиля
и углы ф наклона касательных, определяемых по формуле
tg ф —	.
s т dx
Уравнение профилирующей окружности в системе ХИУН
х» + yl = R2.
Схемы формообразования Q-1
фасонных профилей окружностью -ЮЛ.
Угол р наклона касательной к профилирующей окружности находим из выра-
жения
tgP = —
Уи
Условие контактирования выбранной точки М профиля детали с сопряженной
точкой инструмента, т. е. условие совпадения касательных к профилям детали и
инструмента:
₽ = ф.
Совместное рассмотрение приведенных соотношений определяет искомое вза-
имное расположение систем координат XV и ХИУИ для случая контакта выбранной
точки М профиля детали с сопряженной точкой профиля инструмента. Из равенства
Р = ср следует, что
— *и =Ms<p.
Решив это уравнение совместно с уравнением профилирующей окружности,
получим для точки контакта М:
х„ = R sin ср; У» — — R cos (р.
Из формул преобразования координат имеем:
S] = R sin ср — х\ S2 = R cos ср 4- у,
где х, у — координаты выбранной точки М профиля детали;
ср — угол наклона касательной к профилю детали в точке Л1;
R — радиус профилирующей окружности.
"1 ЛР Схемы формообразования заданной
ХОл поверхности детали известным инструментом
Если считать величины х, у переменными, соответствующими заданному про-
филю детали, то величины и S2 также переменны и определяют перемещения ин-
струмента относительно детали в процессе обработки.
В частном случае при R = О
Si = х; S2 = у.
Таким образом, при обработке детали одной профилирующей точкой, напри-
мер вершиной резца, она должна двигаться в процессе обработки непосредственно
по профилю детали.
Рассмотрим схемы, основанные на сочетании поступательного и вращательного
движений. Считаем, что прямолинейно-поступательное движение является пере-
носным и сообщено системе а вращательное движение — относительным дви-
жением вращения системы XY в системе XxYr (рис. 54, б). В этом случае формулы
преобразования координат имеют следующий вид:
хи = Xi 4~	//и = У1 С
и
хА = х cos / — у sin /; у} = у cos I 4- х sin t.
Следовательно,
хи = х cos t — у sin t + S; ул = у cos t 4- x sin t — C.
Уравнение окружности в системе ХИУИ и угол наклона касательной р опре-
деляют так:
+ tgP = -4
Угол между касательной к профилю детали и осью X обозначим ср. Тогда с
осью Хи угол наклона рассматриваемой касательной будет <р + /. Условие кон-
такта выбранной точки М профиля детали с сопряженной точкой инструмента
р = ср -j- t.
Следовательно,
— *и = г/и tg (<р 4- 0-
Решив это уравнение совместно с уравнением профилирующей окружности,
для точки контакта М получим:
хи = 7? sin (ф 4- /); у* = — R cos (ф 4-t).
Подставив эти величины в формулы преобразования координат, имеем:
R sin (ф 4- /) = х cos / — у sin t 4- S; — R cos (ф 4- /) = у cos t 4- x sin t — C.
Решив последнее уравнение относительно /, найдем угол поворота системы
XY, при котором выбранная точка профиля детали соприкасается с сопряженной
точкой профиля инструмента, из выражения:
t = П 4- т,
где
. R sin ф 4 х	С
tg Т] = -5---*-4-; COS Т = -о------;— cos п.
1 R cos ф 4~ У	° cos ф 4- у 1
Схемы формообразования -j ОО
фасонных профилей окружностью -1-00
В соответствии с формулами преобразования координат
S = sin (ф + t) + У sin t — х cos t,
где S — перемещение инструмента относительно заготовки.
В частном случае при С = О
ctg t —---#sin Ф + *	£ = # sin (ф + /) + У sin t — х cos t.
b	R cos ф + у	\ г । / । у
По этим формулам рассчитывают перемещения инструмента относительно загото-
вки, обеспечивающие обработку заданного профиля детали по рассматриваемой схе-
ме формообразования.
В частном случае при R = 0 и С = О
S = у sin t — х cos /; 0 = у cos t 4- х sin t.
Возведя обе части равенств в квадрат и складывая, получаем
S2 = у2 4- х2.
Таким образом, при обработке заготовки одной профилирующей точкой инстру-
мента поступательное перемещение равно длине радиуса-вектора обрабатываемой
точки профиля детали в рассматриваемый момент времени, что при соответствую-
щем вращательном движении заготовки приводит к скольжению профилирующей
точки инструмента про профилю детали.
Переносное движение системы ХгУ} может быть вращательным, а прямолиней-
но-поступательное — относительным движением системы ХУ в системе ХгУг
(рис. 54, в). Тогда формулы преобразования координат можно записать в следую-
щем виде:
хн = (х — •$) cos t — у sin t 4- b’t уа = (x — S) sin t 4- У cos t — a,
где R — радиус профилирующей окружности инструмента;
a, b — размеры, характеризующие положение начала координат системы XlYl
в системе ХИУИ;
Ф — угол наклона касательной к профилю детали в системе ХУ;
Р — угол наклона касательной к профилирующей окружности в системе
t — угол поворота системы Х}Уг относительно системы ХИУК;
S — путь прямолинейно-поступательного движения системы ХУ в системе
Условие контакта профилирующей окружности инструмента и профиля детали,
т. е. условие равенства углов наклона касательных в выбранной точке профиля
детали и в сопряженной точке профиля инструмента, записывается так:
р = Ф 4-
Следовательно, в точке контакта
хи = 7? sin (ф 4- /); ук = — 7?со5(ф 4- /).
Подставив эти величины в формулы преобразования координат, получим:
R sin (ф 4-1) = (х — S) cos t — у sin t 4- b;
— R cos (ф 4-t) = (x — 5) sin t 4- у cos t — a.
g O J Схемы формообразования заданной
поверхности детали известным инструментом
Умножив первое равенство на cos Z, а второе на sin t и сложив, имеем
R sin ср = (х — S) 4- b cos I — a sin Z.
Умножив первое равенство на (— sin Z), а второе на cos t и сложив, получим
b sin t 4- a cos t — (у 4- R cos ф) = 0.
Решив это уравнение, найдем угол поворота
t = т] 4- т,
где
, Ь	у 4- У? cos ф
tg т] = — ; cos т = т -------— cos т).
Зная угол Z, величину перемещения S определим по формуле
S = b cos t 4- х — R sin ф — a sin t.
Сочетание двух вращательных движений приводит к одной схеме формообра-
зования (рис. 54, г). Переносным будет вращательное движение системы Х,^ вокруг
начала координат.
Угол поворота системы X^j обозначим tv В системе вращается система
ХУ. Угол ее поворота обозначим Z2. Величины А, а, b определяют положение начал
координат рассматриваемых систем. Формулы преобразования координат записы-
ваются следующим образом:
хи = х cos (Z2 — ^i) + У sin (Z2 — ZJ 4- cos tx — b,
уп = у cos (t2 — Zx) — x sin (t2 — ZJ 4- A sin Zj — a.
Условие контакта профилирующей окружности инструмента и профиля детали,
т. е. условие равенства углов наклона касательных в сопряженной точке, записы-
вается так:
р = ф_(/2 —/1).
В точке контакта имеем:
хи = /? sin [ф — (Z2 — ZJ]; уа = — R cos [ф — (Z2 — ZJ].
Подставив эти величины в формулы преобразования координат, получим:
R sin [ф — (Z2 — ZJ] = х cos (Z2 — Zi) 4- у sin (Z2 — ZJ 4- A cos — b;
•—/?со$[ф — (Z2 — ZJ] = r/cos(Z2— Zj) — xsin(Z2 — t±) 4- AsinZT— a.
Совместное решение полученных уравнений дает значения углов поворота
Zj и Z2.
Обработка фасонных профилей может производиться и по более сложным схе-
мам, включающим три и более составляющих движений. Число возможных разно-
видностей таких схем обработки соответственно возрастает. Анализ показывает, что
схемы, основанные на сочетаниях трех и более движений, позволяют любую точку
профиля детали ввести в соприкосновение с любой выбранной точкой на профиле
инструмента. Поэтому задача обработки заданного профиля детали становится
многовариантной. Рассмотрим схему обработки, составленную из трех элементарных
движений (рис. 54, д). Схема включает вращение системы ХУ вокруг начала коор-
Схемы формообразования
фасонных профилей окружностью
динат и два поступательных движения и S2. Формулы преобразования коорди-
нат записываются в этом случае так:
хи = х cos t 4- у sin t — Sp ун = у cost — х sin t — S2.
Запишем условие равенства углов наклона касательных к соприкасающимся
профилям:
р = <р—t.
В точке контакта имеем:
xH = 7?sin(q) — /);	= — /?cos(cp — /).
Подставив эти величины в формулы преобразования координат, получим:
R sin (ф — t) = х cos t 4- у sin t —
— R cos (ф — t) = у cos t — x sin t — S2.
Эта система двух уравнений с тремя неизвестными t, Sx и S2 имеет множество
решений. Одна из величин выбирается произвольно. Считаем, что угол поворота
равен постоянной величине, т. е. у = t. Тогда
Sj = х cos р -р У sin р — R sin (ф — р);
S2 = pcosp — xsinp 4- /?со5(ф — р).
По этим формулам определяются перемещения и S2 инструмента относитель-
но заготовки, обеспечивающие обработку заданного профиля детали.
Большое количество составляющих схему обработки элементарных движений
усложняет конструкцию оборудования. Однако в некоторых случаях оно является
оправданным, так как упрощается процесс наладки станка.
Реальные схемы обработки поверхностей деталей сложнее рассмотренных. Они
дополнительно включают перемещения инструмента, необходимые для перехода
от обработки одного сечения детали к другому. Эти движения могут быть как непре-
рывными, так и периодическими. Для того чтобы обеспечить определенную скорость
резания, инструменту сообщают вращение вокруг его оси. Ось фрезы или шлифо-
вального круга при принятом сочетании элементарных движений инструмента и
заготовки располагается различным образом относительно поверхности детали.
Изменяется также направление перемещения профилирующей окружности инстру-
мента по поверхности детали. Это дает возможность разработать множество раз-
личных вариантов обработки заданной поверхности детали и выбрать наиболее
приемлемый.
Фрезерование фасонных поверхностей, как правило, производится с периоди-
ческой подачей инструмента — «строчками». Это приводит к соответствующим пог-
решностям, гребешкам на обработанной поверхности детали. Рассмотрим следы
двух проходов фрезы радиуса R (рис. 55). Величина периодической подачи, т. е.
расстояние между «строчками», пусть будет 5. Тогда высота (приближенно) гребеш-
ков на поверхности детали
д=*-]А-(Я-
Из этого соотношения можно определить величину периодической подачи S,
при которой обрабатывается поверхность детали с заданной высотой гребешков Д.
1 Ай Схемы формообразования заданной
XOVJ поверхности детали известным инструментом
Решив написанное соотношение относительно величи-
ны подачи 8, получим
8 = 2//?2 —(/? —А)2.
Если пренебречь величиной А2 ввиду ее малости,
то величину периодической подачи можно определить
по формуле
Рис. 55. Определение величины
периодической подачи
8 = 2 |/27?А.
Рассмотрение этой формулы показывает, что уве-
личение величины периодической подачи 8 можно
получить либо за счет повышения допустимой высоты
гребешков А, либо за счет увеличения размеров фре-
зы. Однако при увеличении радиуса фрезы, обрабаты-
вающей вогнутые поверхности, наблюдается зарезание
материала детали (если радиус фрезы больше радиуса кривизны профиля), что обычно
является недопустимым. Размеры фрез зависят также от характера производимых
работ и применяемого оборудования. Для обработки штампов наиболее распростра-
нены фрезы 0 25—50 мм. Для обдирочных работ применяются фрезы 0 60—75 мм
и более. При обработке алюминиевых сплавов используются фрезы 0 200—225 мм.
Рассмотрим пример обработки эллиптического профиля детали инструментом,
профиль которого является окружностью. Считаем, что в системе координат XY
уравнение эллиптического профиля детали следующее:
—+ -^-= 1
9^4 Ь
На профиле детали возьмем произвольно точку A4t, у которой xt- = 2,9. Тогда
вторая координата
У, = 2 ]/ 1---J- = 2 у 1-----= 0,51.
Угол ф наклона касательной в точке Mt определяется по формуле
.	b2xt	4 2,9 о
‘g •₽ = -	= —ТйГйГ = -2’52-
Отсюда ср = 68,3°.
Допустим, обработка заданного профиля производится по схеме, включающей
два прямолинейно-поступательных движения (рис. 54, а). В этом случае положе-
ние профиля инструмента относительно профиля детали определяется следующими
величинами:
8, = R sin ф — х; S2 = R cos ф 4- у.
Соответственно для точки имеем:
8г = 10sin(— 68,3е)— 2,9 = — 12,2 мм;
82 = 10 cos (— 68,3°) 4- 0,51 = 4,2 мм,
где R = 10 — радиус окружности профиля инструмента.
Схемы формообразования	QFT
фасонных профилей окружностью •
Аналогично точке Mt для других точек эллиптического профиля детали опре-
делены углы наклона касательных и положения профиля инструмента. Запишем зна-
чения величин ср, и S2 для выбранных на профиле детали точек:
xt, мм	yt, мм	Ф°	Slt мм	S2, мм	xt, мм	yt, мм	ф®	Slt мм	мм
0	2,0	0	0	12	—0,5	— 1,97	— 186,4	1,6	— 11,9
0,5	1,97	—6,4	— 1,6	11,9	— 1,о	— 1,87	-193,3	3,3	— 11,6
1,0	1,87	-13,3	—3,3	11,6	— 1,5	— 1,7	—201	5,1	— 11,0
1,5	1,7	-21,0	—5,1	11,0	—20	-1,5	—210,8	7,1	— 10,1
2,0	1,5	-30,8	-7,1	10,1	—2,5	— 1,1	—225,1	9,6	—8,2
2,5	1,1	—45,1	—9,6	8,2	—2,8	-0,7	—240,1	11,5	—5,7
2,8	0,7	—60,1	— 11,5	5,7	—2,9	—0,5	—248,3	12,2	—4,2
2,9	0,5	—68,3	— 12,2	4,2	—3,0	0	—270	13,0	0
3,0	0	-90,0	— 13,0	0	—2,9	0,5	-291,7	12,2	4,2
2,9	-0,5	-111,7	— 12,2	—4,2	—2,8	0,7	-300	11,5	5,7
2,8	-0,7	— 120	— 11,5	—5,7	—2,5	1,1 1,5	-314,9	9,6	8,2
2,5	— 1,1	— 135	—9,6	—8,2	—2,0		—329,2	7,1	Ю,1
2,0	— 1,5	— 149,2	—7,1	— 10,1	— 1,5	1,7	—339	5,1	11,0
1,5	-1,7	— 159	—5,1	— 11,0	— 1,0	1,87	—346,7	3,3	11,6
1,0	— 1,87	166,7	—3,3	-11,6	—0,5	1,97	—353,6	1,6	11,9
0,5 0	— 1,97 —2,0	— 173,6 — 180	-1,6 0	— 11,9 — 12	0	2,0	—360	0	12
Величины Si и S2 определяют перемещение инструмента относительно детали
при обработке заданного профиля. Эти перемещения тем или иным способом воспро-
изводятся на станке.
* Следует, однако, учесть, что при рассматриваемой схеме зачастую полная
обработка замкнутого профиля детали практически невозможна и приходится после
обработки одной части профиля поворачивать его на 180° для того, чтобы обеспе-
чить обработку другой части профиля.
Обработать полностью замкнутый профиль без изменения установки заготовки
можно по схеме, включающей вращение заготовки и поступательное перемещение
инструмента (рис. 54, б). В этом случае перемещения инструмента относительно
заготовки, обеспечивающие обработку заданного профиля детали, рассчитываются
при С = 0 по формулам:
, , R sin ф — х с п	.
= ------—;—J	#sin (ф + /) 4- у sin/ — xcos/.
& R cos ф + у ’	\ т ।	/ I rz
Для точки эллиптического профиля детали с координатами xt = 2,9, yL —
= 0,51, ф = —68,3° угол t определяют так:
_	10 sin (—68,3°) —2,9	_ __ о о
Щ 10 cos (—68,3°)+ 0,51
откуда t = 161°.
Соответственно расстояние S для точки Mt:
S = /? sin (161 — 68,3) + 0,51 sin 161° —2,9cos 161°;
S= 12,89.
1 OO Схемы формообразования заданной
±OO поверхности детали известным инструментом.
Запишем аналогично найденные для различных точек эллиптического профиля
детали величины углов поворота t и расстояния S:
X/, мм	У[, мм			S, мм	I Х[, мм	У[, ММ	ф°	Г	S, мм
—3	0	—270	0	13,00	2,9	—0,51	— 112	199	12,89
—2,9	0,51	—292	19	12,89	2,8	—0,71	— 120	206	12,81
-2,8	0,71	—300	26	12,81	2,5	-1,1	— 135	220	12,58
—2,5	1,10	—315	40,5	12,58	2,0	— 1,49	— 149	235	12,34
-2,0	1,49	—329	55	12,34	1,5	— 1,73	— 159	245	12,17
— 1,5	1,73	—339	65	12,17	1,0	-1,87	— 167	254	12,06
— 1,0	1,87	—347	74	12,06	0,5	— 1,97	-174	262	12,01
—0,5	1,97	—354	82	12,01	0	—2	— 180	270	12,00
0	2,0	0	90	12,00	—0,5	— 1,97	— 186,4	278	12,01
0,5	1,97	—6,4	98	12,01	— 1,0	— 1,87	— 193,3	286	12,06
1,0	1,87	— 13,3	106	12,06	-1,5	-1,73	—201	295	12,17
1,5	1,73	—21,0	115	12,17	-2,0	— 1,49	—211	305	12,34
2,0	1,49	—30,8	125	12,34	-2,5	— 1,1	—225	319	12,58
2,5	1,1 0,71	—45,1	139,5	12,58	-2,8	—0,71	—240	334	12,81
2,8		—60,1	154	12,81	—2,9	—0,51	—248	341	12,89
2,9 3,0	0,51 0	—68,3 —90	161 180	12,89 13,00	—3,0	0	—270	360	13,00
Приведенные величины S определяют поступательные перемещения центра
инструмента относительно начала координат системы XY при соответствующих
углах поворота t заготовки, которые необходимо обеспечить на станке при обработ-
ке заданной детали.
Анализ приведенных данных показывает, что при обработке заданного профиля
детали направление поступательного перемещения инструмента изменяется с пе-
риодичностью, соответствующей повороту заготовки на 90°. Амплитуда поступатель-
ных перемещений, т. е. величина Smax — Smin = 13—12 = 1, в то время как при
двух поступательных перемещениях амплитуды Sj = 26 и S2 = 24.
Если же ось вращения заготовки совместить с точкой профиля детали, имеющей
координаты X/ = 3 и у( = 0, то периодичность изменения направления поступа-
тельного перемещения соответствует 180°. При этом амплитуда поступательных пе-
ремещений инструмента равна шести.
Рассмотренный пример показывает, что заданную фасонную поверхность де-
тали можно обработать одним и тем же инструментом при различных сочетаниях
относительных перемещений инструмента и заготовки. Число таких сочетаний,
даже в пределах одной относительно простой схемы обработки, включающей враще-
ние заготовки и поступательное перемещение инструмента, может быть бесконечно
большим. Это множество образуется изменением положения оси вращения заготовки.
Следует заметить, что многие задачи техники имеют множество решений. Это
позволяет выбрать из множества возможных оптимальные решения для соответ-
ствующей конкретной производственной обстановки. Но для того, чтобы выбрать
оптимальное, надо уметь находить множество возможных решений.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Бобров В. Ф. Основы теории резания металлов. М., «Машиностроение», 1975.
Грановский Г. И. Кинематика резания. М., Машгиз, 1948.
Грановский Г. И., Панченко К. П. Фасонные резцы. М., «Машинострое-
ние», 1975.
Карелин Н. М. Бескопирная обработка цилиндрических деталей. М., «Машиностроение»,
1966.
Л а ш н е в С. И. Формообразование зубчатых деталей реечными и червячными инструментами.
М., «Машиностроение», 1971.
Лашнев С. И., Юликов М. И. Расчет и конструирование металлорежущих инструмен-
тов с применением ЭВМ. М., «Машиностроение», 1975.
Л ю к ш и н В. С. Теория винтовых поверхностей в проектировании режущих инструментов.
М., «Машиностроение», 1968.
Петрухин С. С. Основы проектирования режущей части металлорежущих инструментов.
М., /Машгиз, 1960.
Подураев В. Н., Камалов В. С. Физико-химические методы обработки. М., «Маши-
ностроение», 1973.
Подураев В. Н. Резание труднообрабатываемых материалов. М., «Высшая школа», 1974.
Родин П. Р. Основы теории проектирования режущих инструментов. Киев, Машгиз, 1960.
Семенченко И. И., Матюшин В. М., Сахаров Г. Н. Проектирование
металлорежущих инструментов. М., Машгиз, 1962.
Федотенок А А. Кинематические связи в металлорежущих станках. М., /Машгиз, I960.
Ц в и с Ю. В. Профилирование режущего обкатного инструмента. М., Машгиз, 1961
Шевченко Н. А. Геометрические параметры режущей кромки инструментов и сечения сре-
за. М., Машгиз, 1957.
Шишков В. А. Образование поверхностей резанием по методу обкатки. М., Машгиз, 1951.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие	.........................................  5
Введение ............................................  8
Глава 1
Исходные инструментальные поверхности и способы их об*
разования ............................... .........	11
§ 1.	Понятие об исходной инструментальной поверхности.....................      .	11
§2.	Способы образования исходных инструментальных поверхностей..................  12
Г л а в а II
Огибающая семейства плоских кривых ..........	17
§ 3.	Общие сведения.........................................................    .	17
§ 4.	Аналитическое определение огибающей семейства плоских кривых................  18
§ 5.	Кинематический метод определения огибающей семейства кривых.................. 20
Глава III
Огибающие семейства поверхностей ...........	23
§ 6.	Аналитическое определение огибающей семейства поверхностей .............	23
§ 7.	Кинематический метод определения огибающей семейства поверхностей .........	27
§ 8.	Способ сечений и его применение при определении огибающих поверхностей...  .	32
Г л а в а IV
Условия возможности формообразования поверхности при
ее обработке........................................ 35
§ 9.	Общие положения..........................................................    35
§ 10.	Условие существования исходной инструментальной поверхности ...........	35
§11.	Условие соприкосновения исходной инструментальной поверхности с обработанной повер-
хностью без внедрения в тело детали ...».......................................... 38
§ 12.	Условие отсутствия пересечения смежных участков исходной инструментальной поверх-
ности ................. ........... .................................... ........	44
Глава V
Основы конструирования режущей части на базе исходного
тела инструмента.................................... 53
§ 13.	Общие положения ...........................................................  53
§ 14.	Геометрические параметры режущей части инструмента......................  .	61
§ 15.	О распределении работы резания между режущими кромками инструмента.......... 71
§ 16.	Формы поверхностей режущей части инструмента, обеспечивающие возможности его пере-
точек ......... ................................. ....	.............. .	84
Глава VI
Профилирование фасонных режущих инструментов ....	97
§ 17.	Общие положения ...........................................................  97
§ 18.	Фасонные резцы .........................................................  .	98
§ 19.	Фасонные фрезы .............................................................102
§20.	Инструменты, работающие методом обкатки.....................................106
§21.	О геометрически точных металлорежущих инструментах..........................123
Оглавление
Глава VII
Инструменты для обработки заданной детали и их нахожде-
ние ................................................132
§ 22.	Общие положения . .......................*.................*................ 132
§ 23.	Обзор принципиальных кинематических схем обработки...........................135
§24.	Кинематические схемы формообразования поверхностей деталей...................136
§25.	Типы инструментов для обработки прямозубых цилиндрических зубчатых колес .... 144
Глава VIII
Формы поверхностей деталей, обработанных заданным ин
струментом при известной схеме формообразования .... 158
§26.	Общие положения ...........................................................*	158
§27.	Фрезерование винтовых поверхностей угловой фрезой............................159
§ 28.	Формирование винтовых поверхностей и поверхностей вращения торцовыми фрезами в со-
ответствии с последовательной схемой резания.......................................166
§29	Обработка фасонных профилей на зубодолбежном станке...........................173
Глава IX
Схемы формообразования заданной поверхности детали изве-
стным инструментом................................  178
§30.	Общие положения .......................................................      178
§31.	Схемы формообразования фасонных профилей окружностью . ....................  181
Список литературы * . . . .........................................................190
Петр Родионович Родин
ОСНОВЫ ФОРМООБРАЗОВАНИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ
РЕЗАНИЕМ
Киев, Головное издательство
издательского объединения «Вища школа»
Редактор Т. Г Сняты некая
Художественное редактирование и оформление
Ю П Щепкина
Технический редактор Л Ф Волкова
Корректоры Н В Волкова, Л. Д Мягкоход
Информ бланк № 1171
Сдано в набор 22 10 197b г Подписано в печать 26 04 1977 г Формат
70Х90*/1в Бумага типографская N> 1 14,04 усл печ л + 0,29 форз 13,39
уч изд л + 0,52 форз Тираж 7 000 экз Изд № 2775 БФ 08259 Зак
Ь—2906 Цена 92 к
Головное издательство издательского объединения «Вища школа»,
252054, Киев 54, ул Гоголевская, 7
Головное предприятие республиканского производственного объедине-
ния «Полиграфкнига» Госкомиздата УССР, г Киев, Довженко, 3