/
ISBN: 906-610-002-9
Текст
В.В.Зозуля, А.В.Мартыненко, А.Н.Лукин
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ
МЕХАНИКА
Харьков - 2004
ББКЗО.З
3 78
Зозуля В.В., Мартыненко А.В., Лукин А.Н.
378 Теоретическая механика. - Харьков: Изд-во Нац. ун-та
внутр, дел, 2004. - 244 с.
ISBN 906-610-002-9
Предлагаемый курс теоретической механики обобщает много-
летний опыт преподавания построенных на ее основе курсов техниче-
ских и естественно научных дисциплин в Харьковском национальном
автомобильно-дорожном техническом университете (ХАДИ), в Неза-
висимом университете штата Юкатан (Мексика) и в Харьковском на-
циональном университете им.В.Н.Каразина. Вместе с тем, настоящая
книга вбирает в себя и личный опыт научных исследований авторов за
последние четверть века.
Для студентов механико-математических факультетов универ-
ситетов, изучающим курс теоретической механики; для студентов тех-
нических специальностей при изучении предметов, базирующиеся на
знании теоретической механики. Аспирантам и преподавателям учеб-
ник может помочь при углубленном изучении предмета и при чтении
лекций курса «Теоретическая механика».
2004070000-037
2004
ББК30.3
ISBN 906-610-002-9
© В.В. Зозуля, А.В. Мартыненко, А.Н. Лукин, 2004
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 8
Глава 1. Введение 9
1.1 Предмет и основные понятия механики 9
1.2 Основные законы механики 9
1.3 Краткая история развития механики 10
Глава 2. Кинематика точки 11
2.1 Основные понятия кинематики 11
2.2 Способы задания закона движения точки 11
2.3 Основные характеристики движения точки в декартовой
системе координат 14
2.4 Основные характеристики движения точки в криволиней-
ной системе координат 18
Глава 3. Кинематика твердого тела 28
3.1 Закон движения твердого тела 28
3.2 Классификация движения твердого тела 31
3.3 Скорость точек твердого тела. Формула Эйлера 34
3.4 Исследование поля скоростей твердого тела 37
3.5 Вычисление скорости точки твердого тела для частных
случаев движения 40
3.6 Поле скоростей при плоскопараллельном движении твер-
дого тела 46
3.7 Определение ускорения точек твердого тела 49
Глава 4. Сложное движение точки 52
4.1 Абсолютное, относительное и переносное движение 52
4.2 Абсолютная и относительная производные по времени и
связь между ними 53
4.3 Формула сложения скоростей 55
4.4 Формула сложения ускорений 56
Глава 5. Динамика материальной точки 59
5.1 Основные понятия классической механики 59
5.2 Формулировка основных законов классической механики
(законов Ньютона) 61
5.3 Задачи, решаемые с помощью основного уравнения дина-
мики 62
5.4 Прямолинейное движение материальной точки 70
5.5 Динамика несвободной материальной точки 77
Глава 6. Общие теоремы динамика материальной точки 87
6.1 Первые интегралы уравнений механики 87
6.2 Теорема об изменении количества движения 87
6.3 Теорема об изменении момента количества движения 90
6.4 Теорема об изменении кинетической энергии 95
6.5 Классификация силовых полей 97
Глава 7. Динамика систем материальных точек 105
7.1 Основные понятия 105
7.2 Моменты инерции 109
7.3 Основные динамические характеристики для системы
материальных точек 112
7.4 Теорема Кенига 114
7.5 Основные теоремы динамики системы материальных
точек 119
Глава 8. Аналитическая механика. Уравнения Лагранжа 128
8.1 Классификация связей 128
8.2 Действительные, возможные и виртуальные перемещения. 131
8.3 Основная задача динамики для системы с идеальными
связями 137
8.4 Уравнения Даламбера-Лагранжа 140
8.5 Уравнение Лагранжа 2-го рода 143
8.6 Теорема об изменении полной механической энергии в
голономной системе 153
Глава 9. Малые колебания голономных систем 161
9.1 Теорема Дирихле-Лагранжа об устойчивом положении
равновесия 161
9.2 Дифференциальные уравнения малых колебаний голоном-
ной системы 165
9.3 Свободные колебания систем с одной степенью свободы 168
9.4 Вынужденные колебания системы с 1-ой степенью свобо-
ды без учета сил сопротивления 173
9.5 Вынужденные колебания системы с 1-ой степенью свобо-
ды с учетом сил сопротивления 178
9.6 Свободные малые колебания консервативной системы с
п степенями свободы 182
9.7 Свободные колебания системы с п степенями свободы с
учетом сил сопротивления 190
9.8 Вынужденные колебания системы с п степенями свободы 193
Глава 10. Динамика твердого тела 197
10.1 Геометрия масс. Тензор инерции 197
10.2 Основные динамические характеристики твердого тела 202
10.3 Дифференциальные уравнения движения твердого тела
с неподвижной точкой. Динамические уравнения Эйлера 205
10.4 Движение твердого тела с неподвижной осью 208
Глава 11. Вариационные принципы механики 211
11.1 Введение 211
11.2 Понятие простой вариации 211
11.3 Вариационный принцип Гамильтона-Остроградского 215
11.4 Канонические уравнения Гамильтона 217
11.5 Первые интегралы системы канонических уравнений
Гамильтона 219
11.6 Скобки Пуассона и их свойства 223
Глава 12. Специальная теория относительности 228
12.1 Введение 228
12.2 Преобразования Лоренца 231
12.3 Релятивистская динамика 236
Литература 241
Contents 242
ПРЕДИСЛОВИЕ
Теоретическая механика - фундаментальная наука, изучаю-
щая механическое движение и взаимодействие материальных
тел в пространстве и с течением времени. Сэр Исаак Ньютон оп-
ределял теоретическую механику как «учение о движениях, про-
изводимых какими бы то ни было силами, и о силах, требуемых
для производства каких бы то ни было движений, точно изло-
женное и доказанное». И хотя используемые в определении по-
нятия «движения и силы» были ограничены механистическим
представлениями о Природе трехсотлетней давности, результат
применения строгих методов «изложения и доказательства», и,
прежде всего математики, дал блестящие плоды современной
нам науки и техники. Гений ученых, воздвигших в достаточной
мере стройное здание теоретической механики, состоял в удач-
ной формализации всей совокупности наблюдаемых механиче-
ских движений в природе (аксиоматизация классической механи-
ки) и строгом и последовательном применении математических
методов (методология исследования). Сегодня, отчетливо по-
нимая, что теоретическая механика, являясь лишь частью наших
исследований и описаний различных форм движения материи,
мы видим, как она в полной мере продемонстрировала, своими
результатами и достижениями использования их на практике,
всю мощь научного познания человеком Природы.
Предлагаемый курс теоретической механики обобщает
многолетний опыт преподавания построенных на ее основе кур-
сов технических и естественно научных дисциплин в Харьковском
национальном автомобильно-дорожном техническом универси-
тете (ХАДИ), в Независимом университете штата Юкатан (Мек-
сика) и в Харьковском национальном университете. Особенно-
стью настоящего курса является его органическая целостность с
предыдущими разделами Механики, уже изданными нами.
Именно поэтому в книгу не включен раздел «Статика».
Авторы искренне надеются, что учебник поможет студен-
там университетов, изучающим теоретическую механику, глубже
понимать и уметь применять полученные фундаментальные зна-
ния. А для тех, кто будет изучать предметы, базирующиеся на
знании теоретической механики, это может стать первой сту-
пенькой к освоению сложных, но очень интересных разделов ес-
тествознания. Аспирантам и преподавателям учебник может
помочь при углубленном изучении предмета и при чтении лек-
ций курса «Теоретическая механика».
ГЛАВА!
ВВЕДЕНИЕ
1.1 Предмет и основные понятия механики
Пространство - абстрактно в том смысле, что оно неизмеримо,
безотносительно по всем объектам и неподвижно.
Время - абсолютно; протекает одинаково во всех частях вселен-
ной и не зависит от внешних факторов (от пространства, движения и
т.д.). Это определение справедливо в классической механике. Вопро-
сы теории относительности здесь не затрагиваются.
Материальные точки - материальный объект, размерами кото-
рого в данной конкретной задаче можно пренебречь. Это понятие от-
носительно, т.е., в одних задачах данный объект может считаться ма-
териальной точкой, в других нет.
Система материальных точек - система объектов, каждый из
которых может считаться материальной точкой.
Абсолютно твердое тело - совокупность материальных точек,
расстояния между которыми не меняется.
Все эти понятия абсолютны в том смысле, что не существуют в
природе выше указанных объектов.
Классическая механика делится на: кинематику, статику и дина-
мику.
Кинематика изучает только геометрическое движение тел вне
зависимости от причин, вызывающих это движение.
Динамика изучает движение в зависимости от причин, вызвав-
ших его.
Статика изучает условия механического равновесия точек, тел и
систем.
1.2 Основные законы механики
Теоретическая механика в своей аксиоматике опирается на за-
коны, установленные в опыте и изучаемые в экспериментальной
(опытной) механике. Эти законы принимаются за аксиомы - истины,
не требующие доказательства. Опираясь на аксиомы, как на извест-
ные, достоверные и экспериментально подтвержденные факты,
дальнейшие построения в теоретической механике выполняются на
основании строгих математических выкладок. В этом смысле теоре-
тическая механика носит дедуктивный характер.
Аксиомы классической механики не образуют замкнутую, пол-
ную и независимую аксиоматическую систему, что, безусловно, явля-
ется недостатком теоретической механики. Однако, за всю историю
развития этой науки, насчитывающую не одну сотню лет, никому так
и не удалось исправить этот недостаток. Поэтому примем современ-
ное представление аксиоматики Ньютона, относящееся к простей-
шему объекту механики - материальной точке.
Полное изложение аксиом (законов) классической механике бу-
дет дано ниже, здесь мы лишь кратко перечислим их:
1. закон инерции, открытый еще Галилеем, устанавливает инер-
циальную систему отсчета в теоретической механике;
2. основной закон динамики, открытый Ньютоном, связывает
ускорение материальной точки относительно инерциальной системы
отсчета с силой, действующей на точку, и массой точки;
3. закон о равенстве сил действия и противодействия, устанав-
ливающий взаимодействие между двумя материальными точками
для инерциального наблюдателя;
4. закон независимого действия или суперпозиции сил.
Следует отметить, что аксиомы классической механики хорошо
согласуются с результатами опытов для скоростей гораздо меньших
скорости света в вакууме и в системе ограничений понятия «матери-
альная точка». В случае скоростей движения, сравнимых со скоростью
света, следует применять механику специальной теории относитель-
ности (см. Главу 12).
1.3 Краткая история развития механики
Как и всякая естественнонаучная дисциплина, теоретическая
механика берет свое начало с античных времен и может быть связана
с именем «отца физики» - Аристотеля. Наибольший вклад в основу
теоретической механики внесли гениальные естествоиспытатели
Г.Галилей (1564-1642) и И.Ньютон (1643-1727). Дальнейшее развитие
теоретической механики связано с именами выдающихся ученых
Г.Гюйгенса, Д.Даламбера, Л.Эйлера, Ж.-Л.Лагранжа, В.Гамильтона,
АПуанкаре. Выдающийся вклад в развитие теоретической механики
внесли ученые, работавшие в пределах Российской Империи (до и по-
сле ее распада) - М. Остроградский, Н.Жуковский, С.Ковалевская,
А.Ляпунов, КЦиолковский, А.Крылов, АЛурье и другие.
ГЛАВА2
КИНЕМАТИКА ТОЧКИ
2.1 Основные понятия кинематики
Кинематика изучает движение материальных тел с геометриче-
ской точки зрения. Пространство классической механики Эвклидово и
поэтому движение тел будет согласовываться с эвклидовой геометри-
ей. Предполагается существование неподвижной системы отсчета,
относительно которой будет изучаться движение. Эта системы отсче-
та вводятся каждый раз по-разному. Так как неподвижная система ко-
ординат относительна, то покой и движение также являются относи-
тельными понятиями.
Перемещением тела из положения А (начало) в положение В
(конец) будем считать перенос его любым способом за некоторый
промежуток времени At. Перемещение характеризуется начальным и
конечным положениями.
Движение тела - перенос его из начального в конечное положе-
ние определенным способом за промежуток времени At.
Понятие движения предполагает, что каждому положению тела
поставлен в соответствие определенный момент времени t. Зависи-
мость положения точки от времени называется законом движения.
Закон движения считается заданным, если можно однозначно указать
положение тела в данный момент времени. Траектория движения это
множество точек пространства, через которые проходит тело.
2.2 Способы задания закона движения точки
Задать движение точки - значит, определить ее положение от-
носительно выбранной системы отсчёта в любой момент времени.
Это можно сделать одним из ниже следующих способов.
а) Векторный способ задания закона движения точки.
Предположим, что точка М движется относительно неподвиж-
ной точки О (Рис. 2.1). Зададим вектор г = r(t), который определяет
положение точки М относительно точки О. При векторном способе
задания движения, вектор-функция г = r(t) должна быть дважды диф-
ференцируема и однозначна.
Рис. 2.1
б) Координатный способ задания закона движения точки.
Предположим, что точка М движется относительно неподвиж-
ной точки О как и в предыдущем случае. Зададим систему координат,
связанную с неподвижной точкой (Рис. 2.2) и координаты движущейся
точки как функции времени (2.1)
Xj = Xj(^)
х2 — х2(^) (2-1)
х3 = х3 (t)
Рис. 2.2
При координатном способе задания движения функции (2.1)
xz = х;.(?) должны быть дважды дифференцируемы и однозначны.
Векторный и координатный способы легко приводимы друг к
другу. Действительно, для получения из векторной формы коорди-
натную вводим систему координат и представляем вектор в форме
г = х1 (?)( + х2 (?)i2 + х3 (z )i3, (2.2)
где (, i2, i3 - векторы координатного базиса. В прямоугольной де-
картовой системе координат векторы координатного базиса - орты,
единичные ортогональные векторы.
Тогда умножая (2.2) скалярно на векторы базиса, получим
Х1(О = (г0) • ii)> х20 = И) • i2 )> x3 W = (rW • i3 )• (2-3)
Таким образом,
чтобы получить из координатной формы задания
движения векторную, нужно умножить координаты
на соответствующие векторы базиса и сложить.
В результате получим (2.2):
г = х3 W1 + х2 + х3 (?)i3.
с) Естественный способ задания закона движения точки.
Для задания закона движения естественным способом нужно:
1. задать траекторию, каким либо способом;
2. выбрать начальную точку отсчёта S();
3. выбрать положительное направление отсчёта;
4. задать линейный масштаб для измерения координаты точки
вдоль траектории;
5. задать зависимость координаты точки вдоль траектории от
времени S = S(t) (Рис. 2.3)
Для перехода от координатного способа к естественному необ-
ходимо:
1. составить уравнение траектории движения в виде
г = r(5') = x1(5')i1 +x2(5)i2 + x3(/)i3 (2.4)
о
s = s(t)
2. выбрать начальную точку отсчета, например г(50) (Рис. 2.4);
3, 4. выбрать положительное направление отсчёта и масштаб не
представляет труда;
5. задать зависимость координаты точки вдоль траектории от
времени. Для этого рассмотрим дифференциал
dS = д/х^)2 + х2(?)2 + х3(?)2dt.
После интегрирования (2.5) получим (2.6)
5 = j д/ л?1 {if + х2 {if + х3 {if dt.
(2-5)
(2-6)
Обратный переход от естественного способа задания движения
к координатному довольно сложен и мы его делать не будем.
Замечание. Не следует путать координату вдоль траектории и
путь, пройденный точкой. Для определения пути поступим следую-
щим образом. Разобьем промежуток времени - г0 на интервалы
Лг/9 / = 1,...,и так, чтобы в пределах каждого интервала точка двига-
лась в одном направлении. Тогда путь L определим как
И—>00
2.3 Основные характеристики движения точки
в декартовой системе координат
Рассмотрим в качестве системы отсчёта прямоугольную декар-
тову систему координат и определим основные характеристики дви-
жения в ней.
Скорость точки определяется как первая производная от радиус-
вектора по времени.
При векторном способе задания закона движения имеем
(Рис.2.5)
Если закон движения задан при помощи координатного способа,
то
Г = X] (г>1 + х2 (/)*2 +x3(?)i3.
Тогда для скорости получим выражение
V = Xj(2-8)
или
Ъ =*<(*)> / = 1,2,3. (2.9)
Модуль вектора скорости и его направляющие косинусы опре-
делим по формулам (2.10) и (2.11)
•2 , -2 , -2
Y] + X2 + X3
(2.10)
cos N,x.
Xj
V
cos V,x2
Х2
V
cos V,x3
х3
V
(2.11)
Если скорость задана при помощи естественного способа, то бу-
дем считать, что г = г(5(г)) сложная функция от t. Воспользовавшись
правилом дифференцирования сложной функции, получим
V = —. — = st. (2.12)
dS dt v 7
dr
Выясним смысл производной — = т. Из Рис. 2.6 следует, что
dS
Рис. 2.6
т - касательный к траектории вектор, а также
т = lim
1 AS->0
Ar
AS
= 1.
Следовательно, т - единичный касательный вектор, т.е. каса-
тельный орт.
Умножив скорость V (2.12) скалярно на т, получим
(V • т) = — = S или VT = S.
dt
Величина вектора скорости определяется формулой
Ускорение точки определяется как производная от вектора ско-
рости по времени.
При векторном способе задания закона движения имеем
W = V или W = r. (2.13)
При координатном способе задания закона движения для уско-
рения получим выражение
W = x1(^)i1 + x2(^)i2 +x3(^)i3 (2.14)
или
Wl=xl(t'), z = 1,2,3.
(2-15)
Модуль вектора ускорения и его направляющие косинусы опре-
делим по формулам (2.16) и (2.17)
cos W,Xj
W — + х2 + х3
cos W,x2
cos W,x3
x3
W'
(2-16)
(2.17)
W
% 2
w
При естественном способе задания закона движения имеем
W = V = — (st)=St + S—.
dt dt
(2.18)
Учитывая, что
dt _ dt dS
dt dS dt ’
и продифференцировав очевидное равенство (т • т) = 1, получим
Следовательно, вектор — лежит в плоскости перпендикуляр-
675
ной вектору т и совпадает по направлению с главной нормалью к
траектории.
Вычислим величину вектора
бТг
~dS
dr
~dS
= lim
AS^O
Из Рис. 2.7 видно, что вектор — направлен в сторону центра
dS
кривизны
* ~
Ar = 2sin—— ,
sin
lim ——= 1
А^->0
Т
lim —
где р - радиус кривизны кривой.
В результате получим формулу Френеля
бТг _ п
~dS~~p
(2.19)
Следовательно, вектор ускорения определяется формулой
р
с2
W = Sr + — n, (2.20)
P
где n - единичный вектор, совпадающий по направлению с главной
52
нормалью. Величина 5г называется касательным ускорением, а —п
Р
- нормальным ускорением.
Таким образом, мы получили, что касательное ускорение равно
WT = S = V. (2.21)
Нормальное ускорение равно
S1 V1
Wn= — =—. (2.22)
Р Р
Кривизна к выражается через радиус кривизны формулой
к = ~. (2.23)
Р
S2
Слагаемое 5т характеризует ускорение по величине, а —п по
Р
направлению.
При равномерном и прямолинейном движении оба ускорения
равны нулю: Wr = 0, Wn=Q. При равномерном движении WT =0. При
равноускоренном движении WT = const.
Следует заметить, что все рассуждения велись для прямолиней-
ной системы координат и для криволинейных систем полученные
формулы непригодны.
2.4 Основные характеристики движения точки
в криволинейной системе координат
Пусть х1? х2, х3 координаты точки М в декартовой системе ко-
Тогда любые три взаимно однозначные и дифференцируемые функ-
ции декартовых координат
(7; Qi (-^1 5 5 Л-3 ), i 1?2,3
однозначно определяют положение точки в пространстве. Три произ-
вольных параметра qx, q3, q3 можно рассматривать как новые коор-
динаты точки. Назовем их криволинейными координатами. Так как
рассматриваемые функции взаимно однозначны, то декартовы коор-
динаты точки можно выразить через криволинейные в виде
Х;- X- , q3 5 , i 1j2,3 .
Такие преобразования называются точечными.
Таким образом, любые три независимые параметра однозначно
определяющие положение точки в пространстве назовем криволи-
нейными координатами.
Рассмотрим равенства ^z(x15x2,x3) = Cz, / = 1,2,3. С геометриче-
ской точки зрения это поверхности, проходящие через одну точку. Эти
поверхности называются координатными. В декартовой системе ко-
ординат эти поверхности вырождаются в плоскости и называются ко-
ординатными плоскостями.
Пример 1. В цилиндрической системе координат имеем
х1 = Г COS (р ,
х2 = rsin^j,
х3 = Z.
В цилиндрической системе координат координатные поверхно-
сти определяются так
z = С3 - цилиндр,
г = Q - плоскость,
(р = С3 - плоскость.
Пример 2. В сферической системе координат имеем (Рис. 2.9)
г = Q - сфера,
ср = С? - конус,
в = С3 - плоскость.
Координатные линии
- окружность радиуса р = Сх cos (р,
-окружностьрадиуса р = С,,
- прямая.
Рис. 2.9
Линии пересечения координатных поверхностей - координатные
линии. Проведем касательные к этим линиям. Это оси криволиней-
ной системы координат (Рис. 2.10). Векторы вдоль этих осей называ-
ются криволинейным базисом.
У криволинейного базиса очень важное свойство, в отличие от
декартового базиса:
в каждой точке криволинейной системы координат
имеется свой базис.
Такой базис называется локальным базисом.
Для примера рассмотрим плоское движение точки (Рис. 2.11). В
декартовой системе координат имеем
г = + x2i2. (2.24)
После дифференцирования (2.24) получим выражение для ско-
рости в виде
V = + x2i2.
В полярной системе координат положение точки определяется
вектором
г = гег+^,
а вектор скорости
У = гег+гёг+^ + ^,
(неверно было бы писать V = гсг + фс(р, т.к. векторы базиса ег и не
постоянны).
Определим вектор скорости в криволинейной системе коорди-
нат. Для этого положение точки будем описывать в виде
г — %1 (^, q2, q3 )ii + х2 (^, q2, q3 )i2 + x3 (^, q2, q3 )i3 — r(^, q2, q3).
Пусть закон движения задан в криволинейных координатах
функциями вида
4i=<lSf\ / = 1ДЗ.
По определению имеем
_7 . Л дг . дг . дг . дг .
м dq, dq} dq2 dq3
где
dr = lim r(gl + Agl, g2, g3) -r(gl,q2,q3)
dq} ^i-»0 A^]
Остальные производные определяются аналогично.
Рассмотрим геометрический смысл этих производных. Из
Рис.2.12 видно, что в предельном положении этот вектор стремиться
быть касательным. Назовем его базисным.
Другие базисные векторы определяются аналогично:
о _ dr _ 1 о о
ez , i 1,2,3.
d^z
Для примера рассмотрим полярную систему координат
(Рис.2.13). Определим длину вектора е^:
о •
2r sin——
Ie J = lim-----— = г.
। w A(p->o
Для вектора er имеем
Рис. 2.14
Ie I = lim —= 1.
Ar->0 Ду
В криволинейной системе координат базисные векторы не обя-
зательно имеет единичную длину (Рис. 2.14).
Единичный базис введем соотношением
Обозначим скалярное произведение базисных векторов в виде
' дг дг 4
д<1к>
i,k = 1,2,3.
Это метрический тензор. Очевидно, что
к •ег)=^гг
и
Тогда единичный базис можно определить в виде
Умножим выражение
3 dr 3
V = r = E^,=ZeA
z=i dqt z=i
на e". В результате получим
3 1 3 1 3
vk = Е(е* >егк =-/=Е(е* >егк =-/=Е&л-
г=1 у ёкк z=l у Skk /=’
=-}=Е^лг-
"у ёкк г=1
(2.25)
Вычислим квадрат скорости
3
У = 2>Л-
г=1
Для этого скалярно умножим вектор скорости на себя. В результате
получим
3
i.k=\
Продифференцируем это выражение по qk. Используя теорему Эйле-
ра для квадратичных форм, получим
= 2Е SikQi = ^4s^kvk >
Отсюда следует что
1 д
V
Vk =
Skk tylk \ 2
Обозначим
К
т=—
2
или
1 3
т= Т ЕёМ-
2 t,k=i
(2.26)
Тогда окончательно получим
Vk =
1 дТ
gkk дЯк
(2.27)
Эта формула (2.27) полезна при вычислении скорости и ускоре-
ния.
Теперь вычислим ускорение. По определению имеем
W = V.
(2.28)
Скалярно умножив (2.28) на единичный базисный вектор, получим
(w-e’)=(v-e“),
ИЛИ
Tg”(w-er) = 7i“(v-e,")=(v-e,).
После преобразований получим
3
v=Z
г=1
Рассмотрим равенство
Продифференцировав его по qt получим
дУ _ дг
d dr d2r _ д 3 dr . _ Q з ,_av
г, o ^lk ^lk /л £^^k^lk /л
dt dqt k^dq^q, dqik=idqk dq, k=i oqt
Тогда
d 'Sr 4 d dr 4
dt{ dq.) dtdqu
4v.^'
dt I ,
и
ar2 _ Г dv'
~~ ▼
\ dqt
=
d_dT^
dt dq(
dT
Окончательно получим выражение для проекций ускорения на
оси криволинейной системы координат в виде
Trz 1 (d дТ дт]
^[dtdq, dq^
1 3 К2
T = ^YSiMk =v
2 i,k=[
(2.29)
(2.30)
В ортогональной системе координат эти формулы (2.29) и (2.30)
упрощаются. Так в ортогональной системе координат все элементы
матрицы метрического тензора gik, кроме диагональных, равны ну-
лю, т.е.
где = y/g..
Sik
i Ф к
i = k
- коэффициенты Ляме.
Упростим выведенные формулы проекций V и W. Функция Т
имеет вид
1 3
2 ;=1
Коэффициенты Ляме определяются выражением
Тогда скорость и ускорение можно вычислить по формулам
к Hkdqk
wk=— нк ' d дТ дт} , к = 1,2,3
^dtdqk dqk>
1 3
Формула Vk = .— ^gikqi преобразуется к виду
V Skk г=1
Vk=^-Hlqk=Hkqt, к = 1,2,3.
(2.31)
(2.32)
(2.34)
(2.35)
(2.36)
Пример 1. Цилиндрическая система координат:
Г ф (?2 ’ Z
Хх=Г COS ф
’ х2 = г sin ф
х3= Z
Вычисляем коэффициенты Ляме:
П] = yjcos2 ф + sin2 ф = 1,
ЯГ2 2 ; 2 '• 2
2 = д/ Г COS ф + Г Sin ф = г,
Н3 =1.
Метрический тензор:
1 О О
О г2 О
О 0 1
1 3 1 / \
Г-*- х ' г г 2 • 2 I • 2 . 2 • 2 . • 2 I
= rXHi4i +r <Р +z Л
2 ;=1 2
Компоненты скорости (проекции вектора скорости):
Vv=H^=Vr=r\
У^У^гф
У3 =z
Найдем проекции вектора ускорения:
Wl=Wr =
' d дТ
dt dqk
= г- гф1,
г dt
Пример 2. Сферическая система координат:
r = qn <P = q2, & =
Xj = rcos#>cos0
’ х2 = rsin^sin^
х3 = z sin (p
Коэффициенты Ляме:
(7П = 1, G22 = г2, G33 = г2 cos2 (р.
Компоненты скорости
Vr=r
'Уд, = гф
Ve=r cos (р • О
1 3 1 / . \
х 1 т" 7" 2 • 2 1 / • 2 , 2*2, 2 2 /12 |
= — 2^Hiqi =—(г +г ф +r cos (р-0 ).
2 г=1 2
= wr
' d дТ
<------
dt dqk
Ut .. .2 2 /12
----> = г - гф -г- COS (р • О ,
дЧк}
FF2 =W =—{гф + '1г(рг-г2 sin^cos^-^2)=^> + 2^r-rsin^cos^-^2
г
УУ3=№0=-------1---(r2 cos2 q) + 2rrcosq)0 + Ir1 cos(psin(p • 0ф\ =
r - cos в
= r cos (p + 2гв + 2r sin (p • Оф
ГЛАВА3
КИНЕМАТИКА ТВЁРДОГО ТЕЛА
3.1 Закон движения твердого тела
Задать закон движения точки в декартовой системе координат,
значит задать три функции времени
xi=xSf\ i = 1,2,3.
Задать закон движения твёрдого тела - значит, получить такое
соотношение, которое позволяло бы определить положение любой
точки твёрдого тела в любой момент времени. Возникает вопрос:
сколько степеней свободы у твердого тела? Для ответа на этот во-
прос рассмотрим твердое тело в двух системах координат (Рис.3.1) -
неподвижной (не штрихованной) и подвижной, связанной с твердым
телом (штрихованной).
Координаты х. с течением времени не изменяются, т.е.,
х- = const. С другой стороны можем записать
3
г=1
где \'к - орты подвижной системы координат, т.е. \'к - это функции
времени.
Учитывая, что
г = г0+г',
получим
3
г = г0 + 2>&. (3.1)
г=1
Спроектируем (3.1) на оси неподвижной системы координат (Рис.3.1).
Рис. 3.1
Введем орты неподвижной системы координат и рассмотрим
скалярное произведение:
Умножим (3.1) на iy, j = 1,2,3, в результате получим
Xj' = X0j + S Хк V* ’ • / = X0j + akjXk ’ (j = 1 ’2,3) (3'2)
г=1 г=1
Здесь xOj - функции времени, их всего три. Величины aVj также явля-
ются функциями времени, их всего девять.
Таким образом, мы получили, что движение твердого тела мо-
жет быть описано не более чем двенадцатью величинами.
Пусть - орт неподвижной системы координат = 1,2,3. Пере-
несем в центр - точку О, подвижную систему координат, и выразим их
через подвижные координаты:
3
(3-3)
7=1
Умножив (3.3) скалярно на in, и учитывая, что
(ijt ’ К)= $кп •>
где 8кп - символ Кронекера, получим
3
8кп = к = W (3.4)
7=1
Здесь всего девять параметров, которые связаны шестью зави-
симостями, поэтому только три из них являются независимыми.
Таким образом, необходимо задать 6 параметров для определе-
ния положения твердого тела: это 3 координат центра подвижной
системы координат точка О и 3 угла. В качестве независимых углов
выбирают углы Эйлера.
Рассмотрим подробнее углы Эйлера. Для этого совместим на-
чало подвижной и независимой системы координат. Найдем линию
пересечения плоскостей х'Ох2 и xtOx2. На Рис.3.2 п - линия пересече-
ния плоскостей х'Ох2 и х,Ох2
Углами Эйлера называют 3 угла: (р, д/, 0.
1) Угол (р называется углом собственного вращения. Предпо-
ложим, что д/ = const и 0 = const, т.е. зафиксированы, а (р - меняется.
Следовательно, тело будет вращаться вокруг оси перпендикулярной
п,х[х'2, и, следовательно, это ось х'. Ее называют осью собственного
вращения. Такое движение называют движением собственного вра-
щения (Рис. 3.2)
2) Угол у/ - угол прецессии. Пусть р = const и 0 - const . Так как
у/ - меняется, следовательно, твердое тело вращается вокруг оси х3,
которую называют осью прецессии, а само движение совершает пре-
цессионное движение.
3) Угол в - угол нутации. Пусть р = const и у/ = const. Меняется
угол в, следовательно, вращение будет вокруг оси п, которую назы-
вают осью нутации, а само движение нутацией.
Таким образом, движение твердого тела задается шестью урав-
нениями:
- три уравнения для описания движения координат точки О
хог=хог(4 / = 1,2,3 (3.5)
- три уравнения для описания вращения твёрдого тема, задавае-
мого углами Эйлера
(p = (p(t)'
v=HO >
0 = 0(0,
(3.6)
Есть частные случаи, когда для описания движения твёрдого те-
ла необходимо меньше уравнений.
3.2 Классификация движения твердого тела
Рассмотрим частные случаи движения твёрдого тела.
1) Поступательное движение твердого тела - движение, при ко-
тором любая прямая, проведенная в нем, перемещается параллельно
самой себе (Рис. 3.3).
Выбираем подвижную систему координат так, чтобы х[ было
параллельно х2 параллельно х2, х'3 параллельно х3. В этом случае
нужно задать лишь закон движения точки О, так как углы Эйлера рав-
ны нулю.
хог=хог(4 1 = 1 ДЗ (3.7)
2) Вращение твердого тела относительно неподвижной точки -
движение при котором точка О остается неподвижной (Рис. 3.4). При
этом меняются все углы Эйлера, а координаты точки О не изменя-
ются.
Выбираем подвижную систему координат так, чтобы её начало
совпадало с началом неподвижной системы координат. В этом случае
нужно задать лишь закон изменения углов Эйлера, так как координа-
ты точки О равны нулю.
<Р =
W = ИО (3-8)
0 = 0(t)
3) Вращение твердого тела относительно неподвижной оси.
Пусть точки О и А остаются неподвижными придвижении тела
(Рис.3.5). Ось, проходящая через эти неподвижные точки, называется
осью вращения. Для задания закона движения твёрдого тела в этом
случае достаточно задать закон вращения оси
(3-9)
4) Плоскопараллельное движение твердого тела - движение, при
котором все его точки движутся в плоскостях, параллельных одной
плоскости (например, плоскости а) (Рис. 3.6).
Все точки на прямой перпендикулярны плоскости а и имеют
одинаковый закон движения. Таким образом, имеет смысл заменить
движение твердого тела движением сечения твердого тела плоско-
стью, параллельной а .
Пусть оси х3 и х' параллельны. Запишем закон движения твер-
дого тела при его плоскопараллельном движении. Для этого доста-
точно задать координаты движения любой точки в плоскости и угол
вращения (см. Рис. 3.7)
Часто путают поступательное движение с прямолинейным. По-
ступательное движение может быть и криволинейным. Точка посту-
пательного движения не имеет, так как она неизмерима.
3.3 Скорость точек твердого тела. Формула Эйлера
Рассмотрим произвольное движение твёрдого тела. Для этого
введём неподвижную и подвижную системы координат как показано
на Рис. 3.8.
Представим радиус-вектор произвольной точки тела в форме
3
r = r0+r' = r0 + Xx'iv. (3.10)
к'=\
По определению производная радиус - вектора (3.10) имеет вид:
dr drn d J
(3.11)
dt dt dth k’
где x'k = const, a i* = f(i) - функция времени. После дифференциро-
вания (3.11) получим
3 d\
V (3.12)
r=i dt
Спроектируем вектор скорости V на оси подвижной системы
координат, т.е. умножим скалярно на базисный вектор iy,:
где 1•
dt
= <ojk •
з
V' = V'
i 0 j к ik “
k'=l
(/ = 1.2.3)
(3.13)
Учитывая, что
)=ъ>
к
дифференцируя по времени, получим следующую зависимость
dVky
dt j
= 0.
Так как coik
dt
Ч d\'k
ц и ^jk - ь • dt ’то
=0 или a)kj=-a)ik,
т.е., матрица, составленная из этих величин антисимметричная
0 <»12 <»13
— 6У12 0 6У23
^13 — ^23 0 >
и имеет только три независимых величины.
Введём вектор, задающий данную матрицу. Для этого введём
обозначения
6У32 = О)}
«13 = 6У2
«21 = «3
и рассмотрим вектор и(а>}, а>2, а>3).
Тогда формулу (3.13) для скорости твёрдого тела можно пред-
ставить в виде
К= Ко\ + 0 - х2й>3 + х3гу2, j = 1
КД = КД + х\ах + 0 - х',69,, i = 2
2. {JZ, 1 j эк'
КД = КД + х\со. + х'.со. + 0, j = 3
э \Jj к Z, Z, к '
или используя формулу для векторного произведения
1
2
(охг'=й
(О3
= ij (х3<»2 - х2<»3)+i2 (- х'3а\ - х[со3) + i' (х3а\ - х[со2)
xi
х3
для первой, второй и третьей компоненты векторного произведения
можно записать
К^^+ю^г'
к/ = к(;2+ш2хг'
к;=ко;+ш3хг'
Умножим все уравнение соответственно на и сложим, в
результате получим формулу распределения скоростей твердого тела
или формулу Эйлера.
(3-14)
V = Vo + со х г'.
Определим физический смысл вектора о. Для этого рассмот-
рим частные случаи движения твёрдого тела.
Начнём со случая движения твердого тела с неподвижной точ-
кой. В этом случае Vo = 0 и формула для скорости имеет вид:
V = со х г'.
Рассмотрим уравнение
сохг' = 0. (3.15)
Решение этого уравнения соответствует геометрическому месту
точек, скорость которых равна нулю, т.е. V = 0. Это - прямая, прохо-
дящая через точку О - неподвижную точку параллельную вектору со.
Все точки, лежащие на этой прямой в данный момент имеют ско-
рость V = 0.
Решением уравнения (3.15) будет вектор вида
г' = Асо0.
Проведем плоскость через прямую со, как показано на Рис. 3.9.
Пусть точка М принадлежит плоскости и твердому телу. Най-
дем перемещение этой точки:
dr = Ndt = (сох r'^dt.
Вычислим величину этого перемещения:
|c7r| = |(o|-|r'|sincz • dt = cohdt, где со = |о>|.
Найдем ту же величину, используя условие, что в какой-то мо-
мент времени ось со неподвижна, и, следовательно, точка М пере-
местится в М', т.е.
ММ = |c7r| = h-dcp
Сравним эти две формулы. Приравниваем правые части выражений,
получим
hdcp = cohdt.
Откуда
dcp
со = —!~.
dt
В результате получили, что со это производная от угла поворота
твердого тела величина. Таким образом, со это вектор мгновенной
угловой скорости. Он определяет величину угла поворота.
Ось, проходящую через неподвижную точку О и параллельную
со, называют мгновенной осью вращения. Можно рассматривать по-
лученную формулу для скорости, как сумму скорости полюса и скоро-
сти мгновенного вращения вокруг своего полюса (дополнительная
скорость). За полюс можно взять любую точку, принадлежащую твер-
дому телу.
3.4 Исследование поля скоростей твердого тела
Рассмотрим вопрос, будет ли вектор со изменяться с изменени-
ем выбора полюса? За полюс (точку О) возьмем любую точку
(Рис.3.10). Ответ на этот вопрос дает следующая теорема.
Теорема.
Вектор угловой скорости инвариантен относительно полюса.
Доказательство:
Скорость точки М относительно полюса О определяется выра-
жением
Vm=V„+«>„xOM, (3.16))
Скорость той же точки относительно полюса Q равна
Vm = V01 + с»01 х OjM. (3.17)
Но
V01 = Vo + <о0 х OOj. (3.18)
Вычтем из формулы (3.16) формулу (3.18) и учтем, что
ОМ = OOj + ОХМ. В результате получим
V;-V0| =ю0хОМ-ОО1 -со()хО,М, (3.19)
V,,, “ Voi = о01 х ОДО.
(3.20)
У выражений (3.19) и (3.20) равные левые части, следовательно, рав-
ны и правые
ю0 х OjM = ю01 х OjM,
Таким образом
(ю0 -e>01)xOjM = 0, (3.21)
Откуда следует, что-либо один из сомножителей равен нулю, либо
вектора ю0 -со01 и С^М параллельны.
Поскольку вектор OJM произволен, следовательно, ю0 - со01 = 0
и сэ0 = е>01, т.е., за полюс можно брать любую точку. При этом вектор
угловой скорости не изменится.
Поэтому этим вектор со называют первым инвариантом поля
скоростей.
Теорема.
Проекция вектора скорости на направление вектора угло-
вой скорости есть величина постоянная, не зависящая от
выбора полюса.
Доказательство:
Рассмотрим вектор скорости точки
VA = Vo + со х О А,
(3.22)
где А - произвольная точка, VA - проекция вектора скорости на на-
правление вектора угловой скорости о.
Умножим скалярно уравнение (3.22) на вектор ю° равный
со
В результате получим
Здесь слева - проекция скорости точки А на направление о, справа -
проекция скорости точки О на направление о.
т.е. (v-©°)=INK
Эта величина называется вторым инвариантом поля скоростей.
Теорема Эйлера.
Проекции скоростей двух точек твердого тела на прямую
их соединяющую равны.
Доказательство:
Рассмотрим твердое тело (Рис. 3.11). Выбираем в качестве по-
люса точку Л. Тогда вектор скорости точки В определяется выраже-
нием VB = VA + U)o х АВ
Рис. 3.11
Умножим скалярно это уравнение на вектор АВ, где АВ - прямая со-
единяющая точки Л и В. В результате получим
(VB • AB) = (VA • AB),
где слева проекция VB, а справа проекция VA. Что и доказывает тео-
рему Эйлера.
Может ли быть движение, пока-
занное на Рис. 3.12?
Согласно теореме Эйлера такого дви-
жения быть не может. Вообще, что по-
казывают теорема Эйлера? Теорема
показывает, что расстояния между
точками твердого тела не изменяются.
3.5 Вычисление скорости точки твердого тела
для частных случаев движения
Рассмотрим, как вычисляются скорости любой точки твёрдого
тела в частных случаях движения.
1. Поступательное движение твердого тела. Рассмотрим твёр-
дое тело, как показано на Рис. 3.13. Оси xz и х. параллельны в любой
момент времени. Закон движения при поступательном движении
описывается законом движения любой точки тела
Xf ‘^'Ог (О’ i 1’2,3.
Для определения скорости используем формулу Эйлера:
VM =V0+oxr'.
Из Рис.3.13 найдем
гм=г0-г'. (3.23)
Продифференцируем равенство (3.23) по t. Так как г' = const, в силу
того, что движение поступательное, в результате получим
VM=Vo + O.
Таким образом, о = 0, и, следовательно, для поступательного движе-
ния закон определения скорости:
А)/ (О’
i = 1,2,3.
(3.24)
2. Вращение твердого тела относительно неподвижной оси. Рас-
смотрим ,
Рис. 3.14
твёрдое тело, вращающееся вокруг неподвижной оси, как показано на
Рис. 3.14. Пусть закон движения описывается функцией (р = (p(t).
За полюс возьмем неподвижную точку О, расположенную на оси
вращения. Для определения скорости воспользуемся формулой Эйле-
ра
Vw = ш х ОМ.
Из общей формулы для рассматриваемого частного случая имеем
_ dcp
или
CD =ф\\.
В результате получим:
VM =^(i3xOM),
VM =^OMsina = h<p.
Найдем проекции скорости, для чего спроектируем векторные
скорости на оси координат. В результате получим
*1
VM =^>(i3 хОМ) = ^> О
х[
*2
О
х2
*з
1
х3
З.Вращение твердого тела относительно неподвижной точки.
Рассмотрим твёрдое тело, вращающееся вокруг неподвижной точки,
как показано на Рис. 3.15. Такое движение характеризуется тремя уг-
лами Эйлера (р,у/,0.
х2
Рис. 3.15
Здесь п - линия углов.
Закон движения тела при вращении его относительно непод-
вижной точки имеет вид:
<Р = <№
V = НО
0 = 0(t)
Для определения скорости воспользуемся формулой Эйлера. За
полюс возьмем точку О. Тогда
VM = со х ОМ.
Пусть ф,0 = const. Следовательно, получим случай 2), т.е. дви-
жение характеризуется углом ф - движение вокруг оси х3
со = ф i'.
Если ф, qj= const - получим вращение твердого тела вокруг оси п
О)= 0п.
Если ф,0 = const, то получаем вращение тела вокруг оси х3
а = ф13
Если меняются все углы, то необходимо сложить их влияние:
&} = ф1'3 + 0п + у/13.
Найдем формулы для проекции скорости. Для этого спроекти-
руем о на оси подвижной системы координат. В результате необхо-
димо получить:
со = + w3i3.
Разложим вектора п и i3 на оси подвижной системы координат.
Нарисуем плоскость пх\х7 как показано на (Рис. 3.16). Введем ось п',
которая перпендикулярна оси п.
Получим две системы координат, которые повёрнуты на угол ф
друг относительно друга. Очевидно
n = ij cos ф - i'2 sin ф.
Найдем n' = i' sin^ + i2 cos<^ для дальнейшего расчета. Для этого
разложим орт i3. Из Рис. 3.17 видно, что
Рис. 3.17
i3 = i3 cos# + n'sin# = i2 cos# + i{ sin^sin^> + i2 sin#cos#>.
Тогда:
о = ^i3 + 0[i' cos ф - i'2 sin q>\ + ^[i3 cos 0 + ij sin 0 sin ф + i'2 sin 0 cos q>\.
Найдём проекции на оси координат
бу' = iff sin 0sin ф + 0cos ф
6У2 = ^sin0cos#>-0sin^
6У3 = if/ cos 0 + ф
(3.25)
В результате получили кинетические формулы Эйлера.
Можно было бы получить разложения по осям неподвижной
системы координат и прийти к такому же результату.
Найдем проекции вектора скорости на оси подвижной системы
координат
VM = фхг' =
6У2
х2
6У3
х3
= i' (<»2Х3 “ ®3Х2 ) + *2 (&3Х' - ) + *3 (®1Х2 “ ) •
Проекции вектора скорости - это коэффициенты при i'.
4. Плоскопараллельное движение. Рассмотрим тело, движущее-
ся параллельно плоскости х15х2, как показано на Рис. 3.18. Закон дви-
жения в этом случае задается системой уравнений вида
Х1 Х10 V
Х1 ~ Х20 (
<р=^(0
Определим скорость любой точки М, используя формулу Эйлера
VW =V0+oxr'.
Введем подвижную систему координат, связанную с телом, в которой
ось х, параллельна оси и ось х2 параллельна х2. В этой системе
координат получим вращение тела вокруг неподвижной оси х3 = х3 с
вектором угловой скорости
со = ^>i3 = ф\'3.
Вектор скорости в подвижной системе координат имеет вид
VM — ^3 Х + Х2^2 ) ,
здесь
(г • i,) = %! = х' cos ф - х2 sin ф, (г • i2) = х2 = х[ sin ф + х2 cos ф.
Спроектируем VM на оси координат. Для этого выпишем в яв-
ном виде векторное произведение
В результате получим
= Ао “ Ф (А 8*п Ф + A cos
К2 = х20 + ф (х' cos ср + х2 sin #>)
В этих формулах использованы только закон движения, углы и проек-
ции.
3.6 Поле скоростей при плоскопараллельном движении твердого тела
Рассмотрим плоскопараллельное движение тела. Пусть полюс
находится в точке О (Рис. 3.19). Тогда, скорость другой точки выража-
ется формулой:
V = Vo + со х г'.
Возможно, где-то есть точка, скорость которой равна О. Возьмем эту
точку за полюс. Тогда формула для определения скорости упростится
V = сох г',
vc = 0,
Рис. 3.19
здесь С- точка плоского твердого тела, скорость которой в данный
момент равна нулю. Такая точка называется мгновенным центром
скоростей.
Пусть вектор о направлен перпендикулярно плоскости рисунка
в сторону наблюдателя и пусть вращение, направленное против часо-
вой стрелки положительно (Рис. 3.20). Найдем центр мгновенных
скоростей. Скорость любой точки перпендикулярна вектору, соеди-
няющему его и мгновенный центр скоростей.
Рассмотрим несколько частных случаев:
1) Известны направления скоростей в точках А и В: VA и VB и из-
вестна величина VA. Найти точку С - мгновенный центр скоростей и о.
Проведем перпендикуляры через точки А и В. Пересечением их
будет точка С (Рис. 3.21).
Тогда скорость точки А определяется формулой
VA =юхСА.
Модуль вектора скорости в силу того, что sin 90° = 1 равен
КА =бУ-СА.
Откуда находим модуль угловой скорости
Определим направление вектора о. Учитывая введенное выше пра-
вило вектора должны составлять правую тройку, поэтому о должен
быть направлен в сторону от наблюдателя.
Модуль вектора VB определяется соотношением
v
кв =^СВ.
в СА
2) Вектора скорости точек А и В параллельны и вектор VA не пер-
пендикулярен АВ (Рис. 3.22).
Мгновенный центр скоростей расположен на бесконечности.
Угловая скорость
со = О
Это мгновенно - поступательное движение
Рис. 3.22
3) Векторы VA и VB параллельны, и VA перпендикулярен АВ.
Предположим, что известны VA и VB. Найдем точку С - мгновенный
центр скоростей и о.
Если бы вектора VA и VB были равны, то точка С находилась бы
на бесконечности. Так как скорость распределяется по мгновенному
закону, то, соединив концы векторов VA и VB, находим точку С
(Рис.3.23).
К = а> • х,
D у
КА =6у(х + АВ).
С
Рис. 3.23
0 °
Отсюда
КА = Кв + 6уАВ
со = —----
АВ
Найдем х:
Кв
JC = — =
со
АВ
у -V
' А 'в
Вектор о направлен от нас. Других случаев нет.
3.7 Определение ускорения точек твердого тела
По определению ускорение - это производная от скорости по
времени. Для определения скорости твёрдого тела используется
формула Эйлера
V = Vo + со х г'.
Продифференцируем по времени эту зависимость. В результате по-
лучим
W = Wo + х г + о х — == Wo + £х г' + со х (со х г'), (3.26)
dt dt
dm dr' ,
где -j-xr = £xr, £ - угловое ускорение, — = оxr - скорость относи-
тельного движения.
Слагаемые уравнения (1) для ускорения имеют свои названия:
первое слагаемое Wo - ускорение полюса; второе - вращательное ус-
корение Wep; третье - осестремительное ускорение Woc. Причём по-
следние два слагаемых зависят от выбора полюса. С учётом этих обо-
значений формулу для ускорения (3.26) можно представить в виде
W = Wo+W®7’+ Woc. (3.27)
Направления вращательного ускорения подчинено правилу пра-
вого винта - перпендикулярно к плоскости, где лежат г' и £
(Рис.3.24). Вращательное ускорение определяется формулой
W87’ =£ХГ'
Wep = £ г' sin а = she
Рассмотрим осесимметричное ускорение
Woc =юх(юхг') = о(о-г')-г'ю2 = ф2{ф°(ф° • г')—г'},
так как со = а> со
(e>°r')- г' = МР, т.е. Woc = а/МР.
Рис. 3.24
Осесимметричное ускорение всегда перпендикулярно к о
(Рис.3.25)
Рис. 3.25
А его величина равны
Woc =corha.
Рассмотрим частный случай плоскопараллельного движения
плоского тела (Рис. 3.26). Для определения ускорения имеем формулу
W = Wo + £xr' + cox(coxr').
Продифференцируем вектор угловой скорости
U)= ДД3
по времени. В результате получили угловое ускорение £:
Рис. 3.26
Исходную формулу можем упростить, так как знаем, что i3 перпенди
кулярно г' (Рис. 3.27). В результате получим
W = Wo + е (i3 х r')+ <»2(i3 х (i3 х г')) = Wo + £ (i3 х г')- <»2r',
Рис. 3.27
На Рис. 3.27 £ - направлено перпендикулярно плоскости в сторону на
блюдателя.
Так как
Ц)=6У-Ц)0,
после дифференцирования получим
£ = й)= £U)° + 6Уй)° = £U)° + X Ц),
где угловая скорость, с которой поворачивается ось о.
ГЛАВА4
СЛОЖНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ
4.1 Абсолютное, относительное и переносное движение
Прежде чем перейти к обсуждению дальнейшего материала
нужно договориться о том, какие системы отсчета есть и как мы усло-
вимся их называть. Можно отметить известный факт, что систем от-
счета может быть бесконечное множество. Известно, что Исаак Нью-
тон считал, что где-то имеется абсолютно неподвижная координат-
ная система. К сожалению, это не так.
Данный вопрос можно было не затрагивать, пока рассматрива-
лись вопросы кинематики, но для динамики все гораздо сложнее. Все
системы координат движутся относительно друг друга и пока не най-
дена такая абсолютно неподвижная система.
Движение в различных координатных системах фиксируются и
описываются различно. Если известны кинематические характери-
стики перехода от одной системы к другой, то известны такие харак-
теристики для каждой из этих систем. Условно можно назвать одну из
координатных систем неподвижной, а другую подвижной.
Рассмотрим движение точки в неподвижной декартовой систе-
ме координат хгх2х3 и подвижной х'х2х3 (Рис. 4.1).
Рис. 4.1
Движение точки в неподвижной системе координат называется
абсолютным, а относительно подвижной - относительным движени-
ем.
Движение подвижной системы координат относительно непод-
вижной называется переносным. А саму систему координат иногда
называют переносящей.
Рассмотрим:
г = г0 + г'.
Так как точка М движется, то и радиус - вектор г' меняется (в отли-
чие от твердого тела).
4.2 Абсолютная и относительная производные по времени
и связь между ними
Рассмотрим случай, при котором центры подвижной и непод-
вижной систем координат совпадают, как показано на Рис. 4.2. Как и
раньше, оси неподвижной системы координат без штрихов, а подвиж-
ной - штрихованные.
Рассмотрим точку М в пространстве и её радиус вектор г. Име-
ем равенство
г = г\
Сами вектора равны, но приращения у них различны: Аг и Аг'.
Рис. 4.2
Рассмотрим приращение радиус-вектора в неподвижной систе-
ме координат. Его предел по времени равен:
5. Ar dr
lim— = — = г.
А^° Ar dt
Так как приращение рассматривалось в неподвижной системе коор-
динат, следовательно, получили абсолютную производную.
Теперь рассмотрим приращение радиус-вектора в подвижной
системе координат. Его предел по времени равен:
v Ar' dr'
lim = — = r .
А^° At dt
Это относительная производная.
Найдём связь между гиг'. Для этого разложим вектор г по
осям подвижной системы координат:
3
г =
к=1
Вычислим абсолютную производную по времени от этого равенства:
г'
к dt
где i'k - единичный вектор.
При вводе формулы Эйлера было получено выражение:
б/а
— = оха,
dt
т.е.
di'
— = oxi,
dt
где о - угловая скорость, с которой поворачивается вектор i' (т.е. по-
ворот подвижной системы координат)
3
3
dr
dt
к=\ к=\
. t • t dr
где 2-ЛЛ =------относительная производная.
dt
к=1
Преобразовав далее
dr
dt
dr' v-
=-^+шх2>л
dt
к=1
.. dr' dr'
и, переобозначив, — = —, окончательно получим формулу Мещер-
dt dt
ского
dr'
+ охг
dt
(4.1)
3
3
Данная формула устанавливает связь между абсолютными и относи-
тельными производными, и очень важна для решения многих задач.
4.3 Формула сложения скоростей
Для вывода формулы сложения скоростей при сложном движе-
нии точки рассмотрим выражение
г = г0 + г'. (4.2)
Продифференцируем выражение (4.2) по времени:
dr drn dr'
— = —- + —.
dt dt dt
При этом вычислим абсолютную производную радиус-вектора по
времени, используя формулу Мещерского:
dr dr' ,
—— +— + СОХГ
dt dt
Vм = Vo + V(r) + oxr' = V(r) + Vo + о X r' = V(r) + V(e),
формула Эйлера
где V(/,) - абсолютная скорость, Vo - абсолютная скорость точки О,
- относительная скорость, V(a) - переносная скорость точки М.
Окончательно получили:
(4-3)
Здесь обозначено
= Vo + о х г'.
Выражение (4.3) - это известная формула сложения скоростей.
При вычислении скорости материальной точки совершающей
сложное движение полезно следовать следующим правилам:
1) Чтобы определить относительную скорость, необходимо, мыс-
ленно остановить подвижную систему координат.
2) Останавливаем (закрепляем) точку с подвижной системой ко-
ординат, следовательно, исчезнет относительная скорость и ос-
танется только переносная.
3) Сложение скоростей производится по правилу сложения векто-
ров.
Пример. Кольцо движется вдоль стержня как показано на
(Рис.4.3). Требуется найти скорость точки М.
Рис. 4.3
Общие рекомендации, при решении задач подобного типа сле-
дующие. Надо выбрать подвижную систему координат, следуя сле-
дующим правилам:
1) подвижная система координат должна двигаться по более просто-
му закону: поступательно или вращаться вокруг оси;
2) точка, рассматриваемая в неподвижной системе координат, долж-
на двигаться по наиболее простому закону в подвижной системе
координат: по прямой или по окружности.
В рассматриваемой задаче останавливаем систему в виде, изобра-
женном на Рис.4.3. Тогда легко получит следующие зависимости
ОМ = х' = ut, — х1 — и, = а> • ОМ = иа> t,
и затем значение скорости точки А.
К(л) =7к(е)2 + Г02 =Vw2+w26»V + .
4.4 Формула сложения ускорений
Используя формулу Мещерского, запишем формальное решение
задачи о сложении ускорений при сложном движении точки в виде
dV(a) dV^ dV^ dV(r)
dt dt dt dt
dV,. da , dr'
—— + — x r + co x — =
dt dt
dt
= + со х + Wo + £xr' + ox + со х г'
(a dV^
Здесь учтено, что W- > =--.
dt
Тогда окончательно получим
уу(«) = w^ + W0 + £хг' + фх(фхг')+2-(фх V^),
Введём следующие обозначения
= Wo + ex г' + ш х (о хг')+2 (о х ) - Кориолисово ускорение,
= Wo +£хг' + шх (юхг') - переносное ускорение,
- относительное ускорение.
Получена формула сложения ускорений при сложном движении
материальной точки, которая окончательно имеет в виде
w(a) = W(r) + Wo + W(c). (4.4)
При вычислении ускорений материальной точки совершающей
сложное движение полезно следовать следующим правилам:
1. Если остановить подвижную систему координат, то, вычислив ус-
корение точки, найдем относительное ускорение.
2. Остановим точку в подвижной системе координат - найдем пе-
реносное ускорение.
3. Кориолисово ускорение считаем по формуле:
= Wo +£xr' + ox(oxr')+2-(ox V^^). (4.5)
Пример. Продолжим рассматривать пример, изображенный на
Рис. 4.4. Нужно найти полное ускорение в точке М.
Рис. 4.4
Расстояние точки М до точки О изменяется по закону
~, at1
ОМ =----h ut.
2
Воспользуемся следующей формулой для вычисления ускорения
уу(«) _ yyW + уу(е) + .
Следуя описанному выше правилу:
1) Останавливаем оси подвижной системе координат в точке М.
Тогда
, at2 „ди ...
х =---h ut , Ж, = х = а
1 2 ’11
2) Фиксируем точку М на стержне и для неё вычисляем
w(e) = w0 + w(e7,) + w(oc).
Входящие в эту формулу слагаемые, находим в виде
WW=€xr'> fF(4p) = fi-OM,
W(oc) = со х (со х г'), = со2 • ОМ,
3) Определим все ускорения, действующие на точку М. Используя
(Рис. 4.5) получим
V^=at + u, W(c) = 2coV (г).
=w(r) _WM
<
wa =
Можно найти направление полного (суммарного) ускорения че-
рез tga, где а - угол между осью х и вектором полного ускорения.
Очевидно, что
f Wy
tga = —
W
ГЛАВА5
ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
5.1 Основные понятия классической механики
Динамика это часть теоретической механики, которая изучает
движение механических систем в зависимости от сил, вызывающих
это движение. Ниже приведем определения основных понятий ис-
пользуемых в динамике.
Сила - есть мера взаимодействия тел, в результате которого
изменяется движение этих тел.
Масса - мера инертности тела. Она зависит от количества веще-
ства твердого тела.
Далее будем обозначать силы через F, иногда R; массу через М
или т.
Изолированная материальная точка - материальная точка, не
взаимодействующая с другими телами или точка, на которую не дей-
ствуют никакие силы. Изолированная материальная точка сохраняет
состояние покоя или равномерного прямолинейного движения в сис-
теме координат движущейся равномерно, поступательно и прямоли-
нейно.
Материальная точка называется свободной, если на её движение
не наложены никакие заранее заданные ограничения.
Пример 1: Движение Земли вокруг Солнца (Рис. 5.1).
/ \ Земля
! •
VI..,/
Рис. 5.1
Здесь Земля и Солнце - свободные материальные точки.
Если на движение материальной точки наложены ограничения,
то точка называется несвободной.
Пример 2. На Рис. 5.2 и 5.3 приведены примеры не свободной
материально точки.
Ограничение, накладываемое на движение материальной точки,
называется связью. В рассмотренных выше примерах это нить и пру-
жина.
Связь, накладывающая ограничение только на положение точки
в пространстве, называется геометрической. Связь, накладывающая
ограничение на скорость, называется кинематической.
Любую несвободную материальную точку можно освободить от
связей, заменив их действие реакциями. Этот приём называется
принципом освобождения от связей.
Силы, действующие на материальную точку, разделяются на ак-
тивные и реакции связей.
Активные силы вызывают ускорение материальных тел и реак-
ции связей. Силы реакции не могут вызывать ускорение и появляются
при наличии активных сил.
Освобождение от связей производится следующим образом. В
месте наложения связи прикладывается сила реакции, а связь удаля-
ется. Реакции связи могут иметь единственное направление или зави-
сеть от величины и направления активных сил и от формы движения.
Примеры освобождения от связей и сил реакции приведены на
Рис.5.4.
////////
R
wg
V х
Рис. 5.4
5.2 Формулировка основных законов классической механики
(законов Ньютона)
Основные законы классической механики в явной форме были
сформулированы Ньютоном. Приведём формулировки этих законов.
I. Первый закон Ньютона.
Существует, по крайней мере, одна система координат,
называемая инерциальной, в которой изолированная матери-
альная точка совершает прямолинейное равномерное движение
или находится в состоянии покоя.
Суть этого закона заключается в том, что постулируется сущест-
вование инерциальной системы отсчета. Вообще то таких систем от-
счёта в природе нет. Закон такие системы постулирует.
II. Второй закон Ньютона.
В инерциальных системах отсчета сила и ускорение, вы-
зываемое этой силой, сонаправлены и пропорциональны. Ко-
эффициентом пропорциональности является масса.
mW = F
III. Третий закон Ньютона.
Силы, с которыми взаимодействуют две материальные
точки, действуют вдоль прямой, соединяющими их, равны по
величине и противоположно направлены.
Кроме законов Ньютона в динамике широко используется так
называемый принцип независимости действия сил или принцип су-
перпозиции. Суть этого принципа заключается в следующем.
Ускорение, вызываемое системой сил, действующей на ма-
териальную точку или систему материальных точек, равно
сумме ускорений, вызываемых каждой силой в отдельности.
Рассмотрим систему сил, действующих на материальную точку,
как показано на Рис. 5.5.
Для каждой силы можем записать уравнение, соответствующее
второму закону Ньютона. Просуммировав, получим
mW, = Ц
mW2 = F2
+ .......
^=F
= mfji
i-l i-l
В соответствии с принципом суперпозиции можем записать
mW = F,
raeW=jw,H F = £F,.
г-1 i-l
Силу F = ^F. - называют равнодействующей этих сил. В конеч-
i-i
ном итоге, естественно считать, что на тело действует одна сила.
В общем случае, сила зависит от времени, положения и скорости:
mW = F(f,r,v).
Учитывая, что
V = r, W = r
из второго закона Ньютона получили дифференцированное уравне-
ние второго порядка:
Это основное уравнение динамики.
5.3 Задачи, решаемые с помощью основного уравнения динамики
Различают две основные задачи динамики, решаемые с помо-
щью основного уравнения.
Прямая задача динамики
По заданной силе действующей на точку нужно найти
ее закон движения.
В этом случае дополнительно нужно знать, где находилась точка
в начальный момент времени
г(о) = го>
и какова её начальная скорость:
r(O)=Vo.
Таким образом, в этом случае основное уравнение динамики
решается с учётом начальных условий. Как известно, задачи такого
типа называются задачами Коши, решение которой сводится к интег-
рированию соответствующего дифференциального уравнения. Так
как имеются две постоянные, то и нужно два начальных условия.
Обратная задача динамики
По заданному закону движения нужно найти силу, дей-
ствующей на точку.
Для известного при начальных условиях закона движения, запишем:
r = r(r,r0,V0). (5.2)
Подставив эту зависимость (5.2) в основное уравнение динами-
ки, получим силовое поле, т.е., полную информацию о движении.
Рассмотрим уравнения основной задачи динамики в координат-
ной форме. Для этого спроектируем эту систему на оси декартовой
системы координат х19х2,х3
(5-3)
Здесь записаны три уравнения. Спроектируем начальные параметры:
tn xi = t, хк, хк), i = 1,2,3, к = 1,2,3.
xz А (0) (0) •^/0’ i 1^,3 •^70’ i > - всего 6 уравнений
Получили основную задачу динамики в координатной форме.
Пример: Пусть линия действия силы F все время проходит че-
рез центр тяжести - точку О (Рис. 5.6). Такие силы называют цен-
тральными. Нужно определить закон движения точки, если F = к- ОМ
или в векторной форме F = -кг. Это сила упругости (при к = const).
Решение:
Основное дифференциальное уравнение динамики на основании
второго закона Ньютона имеет вид
т г = -кг. (5-5)
Начальные условия запишем в виде
г(0)=г» 1
r(0)=V„J
Решать задачу будем в скалярной форме. Для этого введем сис-
тему координат следующим образом. Ось х направлена по началь-
ному направлению, ось у лежит в плоскости с г0 и Vo.
Проектируем векторное дифференциальное уравнение (5.5) и
начальные условия на оси координат. В результате получим систему
дифференциальных уравнений и начальные условия в координатной
форме
тх + кх = О
< ту + ку = О
mz + kz = О
х(о) = а pc(o) = K0cos« = 0
« у(0) = 0 , « X0) = го sin« = Vo
z(0) = 0 [z(o) = O
Дифференциальные уравнения такого типа решаются с помо-
щью представления решения в экспоненциальном виде. Запишем со-
ответствующее характеристическое уравнение:
тх2 +к = 0.
Его корни имеют вид
+• F
X = ±lJ— .
V т
Частные решения этого уравнения имеют вид
Запишем общее решение как суперпозицию частных решений в
виде
х = А}ё^т + А2е
Учитывая, что корни мнимые, можно перейти к cos и sin через
известные формулы Эйлера:
ix . -ix ix -ix
e +e . e -e
cos x =-------, sin x =--------.
2 2
В конечном итоге получим:
х = Q cos
Аналогично для других координат
у = С3 cos
t
z = C5 cos
I.
t.
Определим константы, которые там содержатся. Из условия
х(о) = а получим а = Q. Из х(о) = 0 получим вторую константу С2 = 0.
Аналогично получим
В результате получили выражения для нахождения x,y,z:
[Г
х = a cos.—t
V т
z = 0
Эти выражения и представляют собой закон движения для рас-
сматриваемой механической системы.
Чтобы найти уравнение траектории исключим время t из этих
уравнений. В результате получим уравнение эллипса
Покажем, как эту задачу можно решить в цилиндрической сис-
теме координат. Для этого запишем основное уравнение динамики
mr = F^,r,r)
в цилиндрической системе координат и спроектируем на оси коорди-
нат. В результате получим
т 1А (г2^) = р (^ г,г,ф,г),
г аг
т(г -гф2)= Fr (t, г, (р, г,г,ф,г),
mz = Fz{t,r,(p,z,r^,z).
Начальные условия в этом случае имеет вид
г(о)=го, ф)=^,
^(О) = 0>о, rcos^(o) = K^,
z(0) = z0, ^ = VZo,
где ф - полярный угол.
Спроектируем векторное уравнение движения на оси естествен-
ного трехгранника (естественной системы координат): касательную,
нормаль и бинормаль
ms = Fr(t,s,s),
^2
m— = Fn(t,s,s),
Р
0 = Fb(t,s,s).
Начальные условия имеют вид:
s(0) = \,
Ф) = ^о
т(0)=т„
Рассмотрим задачу о движении электрона в однородном посто-
янном магнитном поле.
Задача. Пусть электрон имеет заряд е и массу т. Обозначим
через Н - вектор напряжения магнитного поля, и пусть он постоянен
Н. = const. Нужно определить траекторию движения электрона в за-
данном магнитном поле.
Решение. Из уравнения Лоренца имеем
т‘г = — Нхг, (5.6)
с
где с - скорость света в вакууме.
Спроектируем уравнение Лоренца (5.6) на оси естественной сис-
темы координат:
ms=FT =—((Нх v)-r) = О,
с
V = Vrr,
т.е. 5 = 0, следовательно, скорость электрона постоянна и
5 = Q = Ко,
5 = Vot + С2 = Vot + 50.
Это закон движения, но траектория движения электрона пока не из-
вестна.
Спроектировав на нормаль, получим
— = F,=H(Hxr)-.)
Р с
и третье уравнение имеет вид:
0 = Fb = К—((Нхг)хЬ).
с
Что можно сказать о векторе напряжения магнитного поля Н
используя последнее уравнение? Для этого рассмотрим Рис. 5.7.
Известно, что
((Hxr)-b) = 0.
Спроектируем на все три оси естественной системы координат
вектор напряжения магнитного поля Н:
Н = НТт + Нпк + НЬЪ,
или
((Ягт х т) • b) + ((//п х т) • b) + ((ЯйЬ х т) • b) = 0.
Здесь ((ЯйЬхт)-Ь) = О. Кроме этого, траектория вектора Н такова,
что Нп =0.
Умножим исходное уравнение скалярно на Н:
m'rН = — (Нхг)-Н.
с
В результате получим, что
Следовательно,
(dV >
— Н =0.
< dt )
Так как Н = const, то
d
—(V-H) = 0 и (V-H) = contf.
dt
Откуда следует, что
V • Н • cos а = const,
а значит, а = const.
Таким образом, имеем
тУ02
= ——Н sina
или
е и •
= — Н sina
с
(5-7)
Р с
Р
где р - радиус кривизны траектории электрона.
Из последнего равенства (5.7) находим выражение для радиуса
кривизны
тиКс
р =----у— = const,
еН sin а
Таким образом, получили траекторию движения электрона в по-
стоянном магнитном поле. Эта траектория - винтовая линия, а если
а = 90° окружность (Рис. 5.9)
mVoc
еН
= R.
Рис. 5.9
Если « = 0, то р = оо - траектория движения прямая линия.
Эту задачу можно было решить в декартовой системе коорди-
нат, но решение в этом случае получается сложнее.
Покажем основные этапы решения задачи в декартовой системе
координат. Спроектируем векторное уравнение движения электрона
•• егт
тг=—Нхг
с
на оси декартовой системы координат (Рис.5.10).
i
О
х
j
О
Учитывая, что
к
Н = -(у\-х])Н
У z
получим:
- проекция на ось х:
тх = -—Ну,
с
- на ось у:
.. е ТТ.
шу = —Нх,
с
- на ось z:
mz = 0.
Начальные условия можно записать так:
х(о) = а х(0) = -Ко sin а
у(0) = 0 у(0) = 0
z(0) = 0 z(0) = cosa
5.4 Прямолинейное движение материальной точки
Для того чтобы материальная точка совершала прямолинейное
движение, должны выполняться условия, сформулированные в сле-
дующей теореме.
Теорема.
Для того чтобы точка совершила прямолинейное дви-
жение, необходимо и достаточно, чтобы сила, действую-
щая на точку, сохраняла направление этой прямой, а на-
чальная скорость была бы параллельна этой прямой или
равнялась нулю.
Доказательство:
1) Необходимость. Пусть точка движется вдоль прямой. Тогда из-
вестно, что W, V и Vo - действуют вдоль той же прямой
(Рис.5.11).
Vo VW
----------►-----------« ► ►------------
Рис. 5.11
Следовательно, доказательство необходимости вытекает из второго
закона Ньютона
wW = F.
2) Достаточность. Пусть вектор силы F параллелен некоторой
прямой во все время движения, а начальная скорость, либо рав-
на нулю, либо тоже параллельна этой прямой.
Введем систему координат как показано на (Рис. 5.12).
Спроектируем основное уравнение динамики
т г = F.
на оси координат у и z.
Проекция на ось у:
т у = 0.
Проекция на ось z:
т z = 0.
Начальные условия:
Яо)=о, >(о)=о,
z(0) = 0, z(0) = 0.
Полученные дифференциальные уравнения и соответствующие
им задачи Коши однородны. Их решения имеют вид
У = 0, 7 = 0.
В силу теоремы единственности решения задачи Коши, решение
единственно, т.е. и достаточность доказана.
Из теоремы следует, что проекция уравнения
т г = F
единственна вдоль оси х:
тх = F(t,x,x)
при начальных условиях х(о) = х0, х(О) = Ко.
Рассмотрим частные случаи, для которых решение данного
уравнения гарантировано:
1) Сила зависит только от времени t
F = F(t).
Тогда имеем следующее дифференциальное уравнение
х = — F(t)
т
Интегрируя один раз по времени, получим
х = — f Ftdt + Q .
тJ
Из условия х(о) = Ио найдем Q, т.е.
x = <p(t,V0).
Интегрируем еще раз:
х = j <p(t,V0)dt + С2
Из условия х(о) = х0 находим С2
х = x(t, х0, Ко).
2) Сила зависит только от координаты х
F = F(x)
Тогда имеем следующее дифференциальное уравнение
тх = F(x)
введем замену переменных
х = к(х(г)),
тогда
dV dx dV TZ
x =-----------V,
dx dt dx
Vdv
mV-----= F[x).
dx
Получили уравнение с разделяющимися переменными:
т VdV = F(x)dx
mV1
= j F(x)dx + Cj.
Из начального условия получим Q
mV1
= p(x,x0,K0) = — .
Откуда находим
K = 0(x,xo,KQ) = —.
' ” dt
Это уравнение с разделенными переменными. Еще раз интегрируем
dx
в{х, х0, v0)
= dt.
В результате получим:
е dx
—(------\ = t + <
0{x,xQ,VQ)
С2 находили из начальных условий:
t = р(х,х0,К0).
После обращения получим:
3) Сила зависит только от скорости V
F = F(x).
Тогда имеем следующее дифференциальное уравнение
тх = F(x).
Сделав замену переменных
х = V(t).
получим дифференцированное уравнение вида
Это уравнение с разделенными переменными
г mdV
*7(F)=f+C1-
После интегрирования получим
t=<pfy,v„Y
Найдём из этого равенства V
Откуда имеем
dx = \i/(t,Vo)-dt.
Проинтегрировав, получим
х = dt + С2, или x = x(t,VQ,Xo).
Пример. Рассмотрим задачу о движении материальной точки в
среде с сопротивлением. Такая задача называется задачей о парашю-
те (Рис.5.13).
Пусть т - масса материальной точки. Сила сопротивления зада-
ется выражением
F = aV2,
где V = ^х2 + у2 +z2. Коэффициент а зависит от площади и строения
парашюта.
Движение этой материальной точки описывается при помощи
второго закона Ньютона
т г = mg + F.
Покажем, что сила F = -aV • V направлена по прямой вдоль оси
х. Дифференциальное уравнение динамики имеет вид
Спроектируем выражение (5.8) на оси координат
тх = mg - aVx
ту = -aVy
mz = -aVz
Начальные условия получим из расположения центра системы
координат:
х(о) = 0, х(о) = Ко;
Яо)=о, Х°)=о;
z(0) = 0, z(0) = 0.
Второе и третье уравнения удовлетворяются тождественно при:
у = 0, z = 0. Из теоремы существования единственности решения за-
дачи Коши можно утверждать, что другого решения нет. Т.е., если на-
чальная скорость направлена по прямой, следовательно, и сила со-
противления направлена по прямой.
В результате получили одно дифференциальное уравнение вида
mix = mg - ах2,
которое соответствует третьему из рассмотренных выше случаев ин-
тегрирования, когда сила зависит от скорости F(x).
После замены переменных
х = P(t)
получим дифференциальное уравнение вида
^L = g_ELy^ =EL( т8
dt т т\ а ,
Обозначим:
a mg 2
— = а, ---= о .
т а
Тогда будем иметь
dV Л2 Tz2\ dV
— = a\b - V ) или —---- = adt.
dt v 7 b2-V2
После интегрирования получим
Исключив постоянную интегрирования, находим
In
(&+к)-(ь-г0)
(*-К)-(* + К0)
= labt.
Разрешим это уравнение относительно b. Для чего нужно снять
модуль, т.е. узнать знак функции под модулем. Эта функция меняется
при нуле или бесконечности, т.е., рассматривая эту функцию на ко-
нечном промежутке, модуль можно убрать. Зная начальное значение
t, получим:
Ь + V _ 1 2abt
b-V А
(5-8)
где
А-^
b + Va'
Домножив (5.8) на (b - К), и разрешив полученное уравнение от-
носительно V, получим
b ±e2abt -1
1 glabt
b(e2abt - А)
e2abt + А
Исследуем полученное решение. Для этого, преобразуем его,
разделив выражение на e2abt:
y_b(l-Ae-2abt)
1 + Ae~2abt
Найдём предел
^едеЛЬ1Юе=}^=Ь = .^-
/^00 у а
Рассмотрим выражение
(1-Ae~2abt)
l + Ae-2abt ’
Можно сказать, что скорость, при полете с парашютом, через не-
сколько секунд стабилизируется.
Нарисуем график V = f(t) (Рис. 5.14).
1) Если V.<Vnped
Рис. 5.14
3) Если V0=Vnped= const.
Можно также найти закон движения, проинтегрировав дифферен-
циальное уравнение
dt~ ~ 1 + Ae~2bat
5.5 Динамика несвободной материальной точки
Материальная точка называется несвободной, если на её движе-
ния наложены наперед заданные ограничения, то есть связи. Рас-
смотрим связи более подробно.
1) Геометрические связи (Рис. 5.15) - это такие связи, которые на-
кладывают ограничения только на положение точки (скорость не ог-
раничена).
Рис. 5.15
2) Кинематические связи - это связи, которые накладывают огра-
ничения на положение, и скорость точки. Пример изображен на
Рис.5.16.
Ограничения
• положения центра С,
• качение без проскальзывания Vk = 0.
3) Неосвобождающиеся связи - связи, действие которых не может
прекратиться. Например, жесткий стержень (Рис. 5.17)
4) Освобождающиеся связи - связи, действие которых может пре-
кратиться. Например, гибкая нить (Рис. 5.18)
////////////
Связь - нить
Рис. 5.18
Классификация связей в зависимости от времени:
• Если связь с течением времени не изменилась, она называется
стационарной (например, маятник - стационарная связь).
• В противном случае связь называют не стационарной (напри-
мер, муха, сидящая на шарике (Рис. 5.19), связана с ним неста-
ционарной связью при надувании шарика).
Муха
Шарик
Надуваем
Рис. 5.19
Связь осуществляется при помощи тел или устройств. Действие
связи эквивалентно действию некоторой силы.
Принцип освобождаемосги от связи
Любую несвободную материальную точку можно освободить от
связи, заменив ее силой, называемой силой реакции связи.
Силы, которые не зависят от движения точки, называют актив-
ными и они заранее заданы. Например, силы тяжести, упругости и
другие.
Различия между обычной силой и силой реакции:
1) Силы реакции зависят активных сил и от движения точки.
2) Если активной силой подействовать на материальную точку, то
может возникнуть ускорение точки и реакция. Силы реакции не могут
вызывать ускорение. Они могут только изменить движение. Поэтому
их называют пассивными.
3) Активные силы - это всегда заданные силы; реакции - это неиз-
вестные силы.
Обычно, силы реакции направлены, в ту сторону, куда связь пре-
пятствует перемещению (Рис. 5.20).
////////////
Рис. 5.20
На Рис.5.21 рассмотрена та же механическая система, но без
движения:
////////////
R = mg
mg
Рис. 5.21
В общем случае направление и величина силы реакции зависит
от положения точки и скорости движения. В рассматриваемом на
Рис.5.22 случае от угла (р и скорости V.
Рис. 5.22
Другой пример представлен на Рис. 5.23. По плоскости катится
точка. Пусть N - нормальная составляющая реакции (нормальное
давление), Fmp - сила трения, действующая в сторону, противополож-
ную направлению движения точки. Здесь направление реакции зави-
сит еще и от качества поверхности. Если сила трения настолько мала,
что ею можно пренебречь, то связь называют идеально гладкой (или
идеальной). Для нее R = N. Чем больше коэффициент трения - тем
больше отклонение R от N.
Рис. 5.23
Обычно в механике предполагается, что силы трения следуют
законам Кулона. Рассмотрим вкратце эти законы.
Законы Кулона для силы трения
1-й закон Кулона
Сила трения скольжения лежит в общей касательной плос-
кости соприкасающихся тел и направлена в сторону, противо-
положного возможного движения тела под действием активных
сил и изменяется в пределах:
0<F <F
тр. mp.vaax.
Здесь Fmp max достигается в момент выхода тела из состояния покоя.
2-й закон Кулона
Максимальная сила трения не зависит от площади соприка-
сающихся тел (при прочих равных условиях) и равна:
(5.9)
где f - коэффициент трения, N - нормальное давление.
Коэффициент трения f зависит от материала соприкасающихся
тел и от физического состояния соприкасающихся тел.
Из Рис. 5.23 видно, что геометрически коэффициент трения f
представляет собой тангенс угла наклона силы реакции R.
f = ^ = tga. (5.10)
Рассмотрим основную задачу динамики для несвободной мате-
риальной точки. Пусть на несвободную материальную точку действу-
ет сила F. Тогда, используя принцип освобождения от связи, можем
использовать закон Ньютона, если приложим эквивалентную реак-
цию связи, т.е., точка будет свободной, но на неё будут действовать
две силы:
mr-F + R. (5.11)
Эта система уравнений (5.11) содержит шесть неизвестных:
У •> Z ’ Ry ’ RZ ’
для определения которых имеем всего три уравнения:
тх = Fx + Rx,
my = Fy + Ry,
mz = F.+R..
z z
Если переобозначить входящие сюда величины
то рассматриваемую систему уравнений (5.11) можно записать в виде
mxi =Ft+ Rt, i = 1,2,3. (5.12)
Для решения этих уравнений нужно написать три дополнитель-
ные соотношения. Для этого используются уравнения связи.
Уравнение связи
1) При движении материальной точки по поверхности она принад-
лежит ей, следовательно,
• при стационарной связи f(x, y,z) = 0
• при нестационарной: f(x,y,z,t) = 0
2) Пусть материальная точка движется по кривой. Тогда получим 2
уравнения связи (как пересечение двух поверхностей)
f^x,y,z,t) = 0,
f2(x,y,z,t) = 0.
Пример 1. Пусть материальная точка М движется по поверхно-
сти сферы как показано на (Рис.5.24). Уравнение связи в этом случае
имеет вид
Рис. 5.24
Пример 2. Материальная точка М движется по окружности, ле-
жащей в плоскости хоу (Рис. 5.25). Уравнения связи в этом случае
имеют вид
Пусть точка движется по поверхности. Тогда имеем 4 уравне-
ния:
wx = Fx + Rx
my = Fy + Ry
| mz = F+ R7
z z
f(x,y,z,t) = 0
Далее необходимо использовать информацию о том, какая связь
наложена на точку. Рассмотрим наиболее часто встречающиеся слу-
чаи.
1) пусть поверхность идеально гладкая, следовательно, известно
направление реакции R = N (Рис.5.26).
N = 7V-n, п = -Д4
|W|
Необходимые для вычисления соотношения приведены ниже
Рис. 5.26
В результате для этого случая получили
Vf
mf = V + N-^-.
|W|
Имеем четыре уравнения и четыре неизвестных.
2) пусть поверхность скольжения не идеальная, а шероховатая.
Раскладываем реакцию связи на составляющие
R = N + F^,
Vf V
где N = N • - нормальная, a Fm/) = -Fmp---касательная состав-
I J I
ляющая реакции. Причём последняя направлена в сторону противо-
положную движению. Таким образом, реакция связи в этом случае
определяется выражением
R = 7V-t^
а дифференциальное уравнение движения имеет вид
Vf V
mr = F + 7V-^--F_ —.
Согласно второму закону Кулона
F
тр.
В результате получили пять уравнений и пять неизвестных.
Пример. Пусть точка движется по окружности, расположенной в
плоскости хоу (Рис. 5.27). Обозначим через т - массу материальной
точки, и пусть а - радиус окружности, а Ко - начальная скорость. Счи-
таем, что окружность идеально гладкой. Нужно найти закон движения
и силу реакции.
Рис. 5.27
Эту задачу удобнее решать, проектируя все силы на оси естест-
венного трехгранника. Направление реакции N неизвестно.
Проектируем mw = F + N уравнение движения на оси трехгран-
ника. В результате получим проекции:
- на касательную т
- на нормаль п
ms = 0,
V2
m— = Nn,
a
- на направление b
О = -mg + Nb.
В результате получили три уравнения и три неизвестные - s,Nn,Nb.
Из первого уравнения после первого интегрирования имеем
и после повторного интегрирования получим
s = Vot + С2.
Из начального условия 5(0) = 0 получим С = 0 и
s = Vot.
Найдем составляющие реакции:
mV2
Nn=^, Nb=mg,
а
1у4 .
N = mJ-^- + g .
V а
Направление реакции N определяется углом наклона
tga = — = —.
ГЛАВА6
ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
6.1 Первые интегралы уравнений механики
Первые интегралы уравнений движения механики - это соотно-
шения, обращающиеся в тождество на решениях системы, т.е.
f(x,y,z,x,y,z,t) = C. (6.1)
Возникает вопрос: сколько можно написать первых интегралов для
системы дифференциальных уравнений движения точки
тх = Fx + Rx
« ту = Fy+Ry (6.2)
mz = Fz+Rz
Всего для системы (6.2) первых интегралов можно написать
максимум шесть, и если все они определены, то известно все о дви-
жении системы. Действительно определив из шести соотношений ти-
па (6.1) координаты и скорости материальной точки получим
х x(t,C} ,...,С6)
y = y(t,C1,...,C6)
z = z(r,C15...,C6)
х x(t,C\ ,...,С6)
у=у(^с1,...,с6)
z = z(t,Cr,...,C6)
Однако только в очень редких случаях удаётся найти все шесть
первых интегралов. Но часто бывает достаточно знать один или два
первых интеграла. Методы нахождения первых интегралов системы
дифференциальных уравнений, описывающих движение, основаны на
общих теоремах динамики материальной точки.
6.2 Теорема об изменении количества движения
Количеством движения называется величина равная произведе-
нию массы на скорость.
Q = mV.
Производная количества движения (6.3) по времени равна
dQ
dt
F -dt = ds
dQ = ds.
В случае, когда масса - величина постоянная т = const, то
dQ dV
dt dt
Таким образом, получили теорему об изменении количества
движения материальной точки
(6-4)
Производная от количества движения равна силе,
действующей на точку.
Если домножить выражение (6.4) для производной импульса на
dt, то получим
JQ = FJ/,
Величина
(6-5)
называется элементарным импульсом силы. Тогда теорему об изме-
нении количества движения материальной точки можно также сфор-
мулировать в виде
(6-6)
Дифференциал количества движения материальной
точки равен импульсу движения этой материальной
точки.
Проинтегрировав
h
s = jFdt,
получим импульс силы за конечный промежуток времени от до t2.
Таким образом, получили ещё одну формулировку теоремы об
изменении количества движения материальной точки
(6-7)
Изменение количества движения материальной точ-
ки за промежуток времени от tx до t2 равно импульсу
силы за этот же промежуток времени.
Q2-Qi = s.
Эта теорема позволяет в некоторых случаях находить первые
интегралы для уравнений движения. Рассмотрим случаи, когда это
возможно:
1. Если одна из проекций силы равна нулю, например Fx = 0.
Спроектируем уравнение (6.4) на осьх:
—^- = 0.
dt
В результате получим первый интеграл в виде
QX=Q,
или, что то же самое, в виде
тх = С1.
2. Сила параллельна координатной оси, например oz. Тогда име-
ем
F'= 0 и Fv = 0.
Л у
По аналогии с предыдущим случаем, получим два первых инте-
грала вида
QX=C„ Qy=C2.
3. Материальная точка изолирована. Следовательно, все проекции
равны нулю.
^ = 0.
dt
Следовательно,
Q = const,
что эквивалентно трем первым интегралам
a=q, Qy=C2, QZ=C3.
Пример: Путь материальная точка движется под действием си-
лы тяжести.
Очевидно, в этом случае имеем два первых интеграла:
тх = С1} ту = С2.
Сформулируем теорему об изменении количества движения ма-
териальной точки для случая несвободной материальной точки.
Закон Ньютона в этом случае имеет вид
mW = F + R,
где R - сила реакции.
Используя принцип освобождения от связей, получим:
— = F + R,
dt
или
dQ = dS + dSr.
Например: По идеально гладкой поверхности движется матери-
альное тело. Тогда, первый интеграл будет иметь вид:
Рис. 6.1
тх = С].
6.3 Теорема об изменении момента количества движения
Моментом количества движения материальной точки относи-
тельно неподвижной точки О (Рис. 6.2) называют векторное произве-
дение:
К() — г х ш V = rxQ.
(6.8)
Моментом количества движения материальной точки относи-
тельно оси и (Рис. 6.3) называется проекция момента количества
движения относительно неподвижной точки О, лежащей на оси и, на
эту же ось:
Рис 6.3
Ки = (ко -u°) = (rxmV,u':ij,
где и° - орт оси и.
Момент силы Мо относительно точки О - это, по определению,
векторное произведение:
M„(F)=(rxF).
Моментом силы относительно оси и называется проекция век-
торного произведения на эту же ось:
JW.(F)=(M0(F)-u’)=(rxF-u°).
Если все векторы г, F и и0компланарны, т.е. лежат в одной
плоскости, то
M„(F) = 0.
Рассмотрим теорему.
Теорема.
Производная по времени от момента количества дви-
жения материальной точки относительно некоторой не-
подвижной точки О равна моменту силы относительно
этой же точки
Доказательство:
Найдём производную по времени от момента количества дви-
жения материальной точки. После очевидных преобразований полу-
чим
--- = —rxmV = — хшУ + ГХ/И = rx/nW = rxF =M0(F
dt dt dt dt
Таким образом,
^ = M0(F). (6.9)
dt
Рассмотрим случаи, когда эта теорема дает первый интеграл.
Для этого спроектируем равенство (6.9) на оси декартовых координат.
Вспомним, что
к
i
х
j
У
К() = г х mN =
= \(myz - mzy) + \(mzx - mxz)+k(mxy - тух).
тх ту
mz
Проекции на оси соответственно равны
[myz - mzy) = М
d
—(mzx-mxz
dt
) = M
—(mxy - тух) = Mz.
dt
Первые интегралы существуют в следующих случаях:
1) Когда одна из проекций равна нулю, например
М =0.
Следовательно, первый интеграл имеет вид
yz-zy = C1.
2) Когда две проекции равны нулю, например,
Мх=0, Му=0.
Следовательно, имеем первые интегралы
у г - zy = Cj, zx - xz = C2.
3) Когда все три проекции равны нулю, следовательно:
Мо=О.
Тогда имеем векторное равенство
г х mN = С,
что эквивалентно трем первым интегралам:
yz-zy = C}
<! zx - xz = С 2
ху - ух = С3
В действительности случая 2 не может быть, так как если есть
два первых интеграла, то обязательно есть и третий.
Пример: Рассмотрим движение материальной точки под дейст-
вием центральной силы.
Центральной называется такая сила, линия действия которой
все время проходит через одну и ту же неподвижную точку (Рис. 6.4).
Попытаемся получить больше информации из теоремы об изменении
момента количества движения.
Момент силы относительно точки О равен
Но из Рис.6.4 следует, что
F = -F-,
Г
следовательно,
F
Мо =----г хг = 0.
г
Тогда момент количества движения материальной точки равен
произвольному постоянному вектору
Ко = г х mV = С.
Следовательно, г и V лежат в одной плоскости перпендикулярной
вектору С, и, следовательно, под действием центральной силы дви-
жение происходит в этой плоскости (Рис. 6.5).
Рис. 6.5
Пусть о - площадь с направлением, тогда можно определить
приращение
* 1
Ло = — г х Аг.
2
(6.10)
Разделим (6.10) на Аг и перейдем к пределу:
v Ло lv (
lim— = —lim г
Д/-»0 2 Ai—>01
ЛгА
X —
Аг;
В результате получим
do 1 (
— = — (г х V) = const.
dt 2
n do
Здесь-----скорость изменения площади, так называемая сектори-
dt
альная скорость. Поскольку эта скорость постоянна, то радиус вектор
г за равные промежутки времени описывает одну и ту же площадь.
В результате получили один из законов Кеплера - закон площа-
аей.
Доказательство было проведено для свободной материальной
точки. Для несвободной получим:
^ = M0(F)+M0(R
at
Случаи, когда известны первые интегралы, сложнее, так как в
этом случае нужно учитывать взаимодействие сил реакций и активных
сил F.
Пример: Рассмотрим несвободную материальную точку, пока-
занную на Рис. 6.6.
Найдём дифференциальное уравнение движения, не содержащее силу
N. Для этого проектируем теорему об изменении момента количест-
ва движения на ось z перпендикулярную N. В результате получим
^- = M,(f)+M,(r).
at
Здесь Afz(R) = г х N = 0, так как вектора г и N параллельны.
Mz(f) = К • (г х mg) = -(К • г • mg sin ф • К) = -mgrsinф.
Знак «-» показывает, что поворот вектора производится по часовой
стрелке.
В результате имеем
dKz
dt
= -mgl sin ф.
6.4 Теорема об изменении кинетической энергии
Кинетической энергией называется величина:
Мощность силы определяется формулой
7V = (F-V).
Теорема об изменении кинетической энергии гласит:
Производная по времени от кинетической энергии мате-
риальной точки равна мощности силы, действующей на
эту материальную точку.
— = N.
dt
Доказательство:
Найдём производную от кинетической энергии по времени. И
после несложных преобразований получим
dT
dt
d m ( \ m(dV A m( dVA ( dN\
— —(у . v) = —- —-V +— V-— = mN-——
dt 2 2\dt J 2 dt ) dt ,
dt ,
dt ,
= m(\ -W)=(V -F) = 7V
Что и доказывает теорему.
Приведем другую формулировку, в дифференциалах
dT = Ndt = (F • N)dt = (F • dr),
где (F • dr) = d'A - элементарная работа силы. С учётом этого обозна-
чения имеем третью формулировку:
dT = d'A.
Если точка перемещается из положения Мх в положение М2,
как показано на (Рис. 6.7), то интеграл
м,м2
характеризует работу силы на перемещении точки из положения Мх в
положение ЛГ2.
Этот интеграл криволинейный. Если проинтегрировать выражение
dT = d'A, то получим еще одну формулировку теоремы в интеграль-
ной форме:
^2 — = Дг •
Изменение кинетической энергии материальной точ-
ки при ее перемещении из положения 1 в положение 2
равно работе силы, действующей на точку на этом
перемещении.
В некоторых случаях и эта теорема дает первый интеграл. На-
пример, если сил нет, то получаем тривиальный первый интеграл.
Его можно получить из предыдущих теорем.
В общем случае сила - это функция F(r,r,v). Но существует
класс сил, которые от скорости не зависят, т.е. F(r,r). Такие силы об-
разуют силовые поля.
Силовым полем называют область пространства, в каждой точ-
ке которой на материальную точку действует сила, являющаяся одно-
значной функцией от координат и быть может от времени. Например,
поле силы тяжести.
6.5 Классификация силовых полей
Рассмотрим наиболее часто встречающиеся в механике силовые
поля и дадим классификацию этих полей.
1. Если сила, образующая поле, зависит явно от времени, то поле
называется нестационарным F(r,r).
2. Если сила, образующая поле, не зависит явно от времени, то по-
ле называется стационарным F(r), т.е. оно зависит только от
координат.
3. Силовое поле называется потенциальным, если существует од-
нозначная скалярная функция П(г,/) от координат и возможно
от времени такая, что проекции силы равны частным производ-
ным от этой функции по координатам:
ап F ап F ап
дх ’ у ду ’ z dz
(6.11)
В большинстве случаев функция П должна быть непрерывна и
дважды дифференцируема по координатам, и один раз дифференци-
руема по времени.
Все три выше приведенные равенства (6.11) можно заменить
одним:
F=-Vn.
Функция /7, если она существует, называется потенциальной
энергией силы.
4) Если функция П не существует и ее нельзя указать явно, то по-
ле не потенциальное.
Проверить потенциальное поле или нет можно при помощи условия
rolVII = 0,
или
rolF = 0.
Следовательно, если сила потенциальна, то и порождающее ее поле
потенциальное. Это необходимое и достаточное условие потенциаль-
ности силового ПОЛЯ.
Можно также решить эту задачу скалярно. Условие потенциаль-
ности силы имеет вид
dF\_dF^ dFy дЕ
ду дх ’ dz дх ’ dz ду
Пример: Пусть сила не зависит от координат F = F(r). Следова-
тельно, все производные по координатам равны нулю. Поэтому, не-
обходимое и достаточное условия выполняются т.е.
rotF = 0,
а значит поле потенциально.
Найдем потенциальную функцию для этого силового поля П.
Используя соотношения
дх ду dz
получим:
n=-Fr*-F<.y-Fz-z+cW>
или в векторной записи:
n = -(F(r)-r) + C(0.
Рассмотрим случай, когда сила F - сила тяжести. Известно, что
F = mg, следовательно, можем воспользоваться предыдущей форму-
лой:
П = ±(/ng-r)+ С.
Знак перед скобкой зависит от выбора осей координат.
1) Сила mg направлена вниз, а ось z - вверх, следовательно,
П = mgz + С;
2) Сила mg направлена вниз, ось z - тоже вниз, следовательно,
П = -mgz + С.
Вычислим элементарную работы d'A потенциальной силы. По
определению имеем
def
d'A = (F • dr) = Fxdx + Fydy + Fzdz.
Если сила потенциальная, то
л. 5П j 5П j 5П j
dA =-----dx----dy-----dz.
dx dy dz
В случае, когда поле стационарно, т.е., n(x,y,z) имеем
d'A = -dn.
Работа, по перемещению материальной точки из точки Мх в
не зависит от формы пути и равна разности потенциальной энергии в
конечной и начальной точках:
л12 =(-п(м2)+п(м,)).
Работа силы на замкнутом пути равна нулю. Это следует из од-
нозначности потенциальной энергии П в каждой точке. Часто это
свойство берут за определение потенциальности силового поля.
Если поле не стационарно, т.е. зависит еще и от t: П(х, y,z,t), то
в этом случае элементарная работа равна
,,. 5П 6П 6П 6П 6П „ 6П
dA =----dx-----dy-----dz-----dt ч--dt = -dV\ ч-dt
dx dy dz dt dt dt
Примеры силовых полей
1) Поле центральной силы (Рис. 6.8). Пусть в этом случае величина
силы зависит только от расстояния до неподвижной точки. Тогда
Рис. 6.8
где F(r) - проекция силы на направление радиус вектора. При этом
возможны два варианта. В случае F(r) > 0 имеет место притяжение,
при F(r) < 0 имеет место отталкивание.
Проверим, потенциальная эта сила или нет. Для этого вычис-
лим
rotF = V х F,
3 д
где V = ^ег-----дифференциальный оператор Гамильтона.
г=1 dxt
Обозначим:
г
Запишем rot F с учетом того, что г = yjx2 + х22 + х32 и при дифферен-
цировании необходимо применять формулу дифференцирования
сложной функции:
rot F = VxF = — х (p\r)-r = 2_,е, —— хг =
г-=1 dxt z=i dxt
3 Л*. 3 у ».
= Z —хг = Х^ег. — х г = (р'-хт = 0.
г=1 oxt г-=1 г г
3
При выводе этой формулы также учитывалось, что ^хгег. = г- Равен-
г=1
ство нулю следует из того, что записано векторное произведение двух
одинаковых векторов, т.е., любая центральная сила потенциальна.
Найдем потенциальную энергию. В данном случае, легче снача-
ла вычислить элементарную работу, а затем найти потенциальную
энергию. Элементарная работа равна
d'A = -^^(г • dr),
г
Сначала рассмотрим выражение:
(г-г) = г2.
Продифференцировав его, получим
(dr • г) + (г • dr) = Irdr.
Откуда
(г • dr) = rdr.
Подставив в выражение для элементарной работы, получим
d'A = - rc[r = -Q)(r)dr.
г
Откуда имеем выражение для потенциальной энергии центральной
силы.
П = |ф(г)7г + С.
Пример 1. Сила Ньютоновского притяжения (Рис. 6.9) опреде-
ляется формулой
о г
где г = — - орт, и т? - массы взаимодействующих тел, у -
г
коэффициент пропорциональности.
Из этой формулы имеем
F(r) = ®_.
Г
Найдем потенциальную энергию:
f ar ym}m?
П = ут^т-, I -r- = L—+ C.
j r
Предполагаем, что при бесконечном удалении тел взаимодей-
ствия не будет, следовательно С = 0.
Пример 2. Сила упругости (закон Гука) равна
17 7 dr
F = -кг —.
г
dr
Здесь — = г° - орт, к - коэффициент упругости, г - удлинение (пру-
г
жины, упругой нити и т.д.).
Потенциал упругой силы равен
F(r) = кг.
Найдем потенциальную энергию:
„ кг2
TI = \krdr + C = — + C.
На практике удобно применять формулу:
п =—.
2
Пример 3. Кулоновские силы взаимодействия электрических за-
рядов (Рис. 6.10).
Рис. 6.10
Закон Кулона определяет силы взаимодействия в виде:
F=^I.
г г
Потенциал взаимодействия равен
Найдем потенциальную энергию:
П = ^.
г
Учитывая, что С = 0 получим
П = ^.
г
Все задачи подобного типа можно было решить, используя зави-
симости типа:
ап
дх
Рассмотрим свободную материальную точку. Для неё имеем
dT = d'A = -dn + —dt.
dt
Возникает вопрос, когда это соотношение можно проинтегрировать?
Ответ на этот вопрос следующий: когда поле будет потенциальным
стационарным, а, следовательно, не содержащим второго члена спра-
ва, т.е.
®=0,
dt
тогда слева и справа имеем полные дифференциалы и
dT-d'A = 0.
Как следствие получили закон сохранения полной механической энер-
гии:
4Г + П) = О или Т + П = const
или
Е=Т+П.
Это первый интеграл.
В случае несвободной материальной точки (Рис. 6.11) имеем
dT = d'A^+d'A(R),
d'A(R) - элементарная работа сил реакции.
Рис. 6.11
Учитывая, что элементарная работа реактивных сил равна
d'A = (R-dr),
получим
dT = d'4F)+(N-*)+(F4,..*).
Когда это соотношение можно проинтегрировать? Предполо-
жим, что активные силы потенциальны, тогда
dT = -dn + — dt + (N • rfr)+ (F • Jr).
dr p'
Будем предполагать, что работа активных сил потенциальна и ста-
ционарна, следовательно
®=0.
dt
Для того чтобы слева и справа иметь полные дифференциалы необ-
ходимо наложить дополнительные условия
(N-*)=0 и (F^-<Zr)=O.
Связь должна быть стационарной, т.е. не меняться со временем
и идеальная (Fm/) = о).
В этом случае окончательно получаем:
Т + П = const,
т.е. тот же результат, что и для свободной материальной точки, но
при этом налагаются дополнительные условия на реакции связей.
ГЛАВА7
ДИНАМИКА СИСТЕМЫ МАТЕРИАЛЬНЫХ ТОЧЕК
7.1 Основные понятия
Системой материальных точек называют такую их совокуп-
ность, в которой положение и движение любой точки зависит от по-
ложения и движения других точек.
Систему материальных точек называют свободной, если на точ-
ки, входящие в систему, не наложены никакие наперед заданные ог-
раничения. Примером свободной системы может служить Солнечная
система.
Система называется несвободной, если на ее точки наложены
наперед заданные ограничения, называемые связями.
Пример несвободной системы приведен на (Рис. 7.1)
Из несвободной точки (системы) всегда можно сделать свобод-
ную, добавив силу реакции.
Частный случай несвободных систем - неизменяемые системы.
Расстояние между точками у неизменяемой системы не изменяется.
Пример. Невесомый стержень с массами т, и т? на концах
(Рис.7.2).
Рис. 7.2
При бросании стержня расстояние между точками не меняется.
Частным случаем неизменяемой системы является твердое те-
ло. Число точек в нем равно бесконечности.
Основные понятия для системы материальных точек. Рассмот-
рим какую-то систему из N материальных точек (Рис. 7.3).
Рис. 7.3
Центром масс системы называется такая точка радиус - вектор,
которой определяется по следующей формуле:
, (7.1)
где г, - радиус - вектор точки с номером i.
С определённой материальной точкой центр масс (в отличие от
центра тяжести) не связан.
Если разделить систему на две подсистемы, то можно ввести
понятие центра масс для каждой из них:
М ^2
w* — *С1 — ’ г=1 - N2 ’ Xmi2 г=1
N N}
здесь ^т(=М - масса всей системы, = - масса первой
г=1 г=1
*2
подсистемы, ^jni2 = М2 - масса второй подсистемы.
г=1
Существует формула:
^^1ГС1+^2ГС2
С тг
т.е. любую систему можно разбить на подсистемы, что иногда удобно
при выполнении расчётов.
Основные понятия для твердого тела. Рассмотрим твердое тело
(Рис. 7.4). Возьмем вокруг некоторой точки М этого тела бесконечно
малый куб объемом ЛК и массой Ат.
Рис. 7.4
Тогда можно найти предел
.. Ат
lim---= Рт ,
ДК->0 Д^ т
где рт - плотность твердого тела в точке М, если конечно, такой
предел существует.
Если плотность постоянна р = const, т.е. не зависит от местопо-
ложения точки, тело называется однородным. Тогда масса твердого
тела равна:
ДМ = /?АК или dm = pdV.
Массу всего тела можно вычислить по формуле:
м = fffdm = jjjpd7.
Если тело однородное, то формула упрощается и его масса рав-
на
M = pV.
Центр масс в твёрдом теле определяется формулой
' - ’
где г - радиус-вектор точки твердого тела.
Твердое тело можно так же, как и системы материальных точек,
разбивать на части.
Динамическая ось симметрии совпадает с геометрической осью
симметрии, если массы симметричных точек равны (Рис. 7.5).
т} т3
т2 т4
Рис. 7.5
т, = т2
т3 = т4
Аналогично, плоскость динамической симметрии совпадает с
геометрической осью симметрии, если массы симметрии точек равны
(Рис. 7.6).
Рис. 7.6
Очевидно, что если система имеет ось или плоскость динамиче-
ской симметрии, то центр масс лежит на оси динамической симмет-
рии или плоскости динамической симметрии.
Например, в сплошном однородном цилиндре оси и плоскости
геометрической и динамической симметрии совпадают (Рис. 7.7).
7.2 Моменты инерции
Рассмотрим систему координат и в ней материальную точку
массы т (Рис. 7.8). Введем расстояние от т до плоскости хоу = z.
Назовем произведение mz статистическим моментом точки т
относительно плоскости хоу (момент 1-й степени).
Можно для одной материальной точки ввести три таких момен-
та:
sxy=mz, sxz = ™У, Syz=mx.
Можно обобщить это понятие на случай систем материальных
точек:
N N N
Sxy=Xm^’ Sxz =Хт1У1’ Sxz = Е •
г=1 г=1 г=1
Можно ввести векторную величину, умножив последние уравнения на
ez, е и ех, соответственно, и сложив их:
s = 2>iri •
Получили статистический момент относительно начала коорди-
нат. Тогда центр масс системы материальных точек можно опреде-
лить по формуле
Момент инерции (момент 2-й степени) вводится аналогично
статическому моменту (Рис. 7.9):
- для материальной точки
Ju = mh2,
- для системы материальных точек
Ju =Xmih^’
г=1
- для твердого тела
ju=^h2pdv.
V
Здесь h - переменная как показано на Рис. 7.9.
Рис. 7.9
Пример: Рассмотрим однородный стержень (Рис. 7.10). Вычис-
лим момент инерции относительно его левого конца.
Рис. 7.10
Будем рассматривать стержень как одномерное тело. Тогда
t t х2
J = | x2 pdx = x2 dx = p—
о о 3
Пример: Рассмотрим однородный стержень с осью посредине
(Рис. 7.11). Вычислим момент инерции относительно этой оси.
и
Рис. 7.11
X
->
Моменты инерции левой и правой половины равны, поэтому,
используя предыдущий результат, получим
т('2
~1Г'
Пример: Вычислим момент инерции диска, относительно оси,
проходящей через центр масс перпендикулярно поверхности диска
(Рис. 7.12).
Рис. 7.12
Диск имеет следующие параметры: R - радиус, m - масса. Об-
ласть d(p - можно считать прямоугольником ввиду малости угла.
В полярных координатах имеем
ds = rdrd(p.
, 2?r < R* mR2
Ju = jj r2 prdrdcp =рЦ r’drdq) = p-1л----.
s oo 4 2
В механике часто приходится иметь дело с другими величинами,
такими как, например, моменты инерции относительно осей
(Рис.7.13):
Jj = Ш(Х22 + = Ш(Х12 + Х32 = Ш(Х12 + Х22
V V V
Рис. 7.13
и центробежные моменты:
fflx^dm = Jn, J13 = fflx^dm и т.д.
V V
Если переобозначить осевые моменты инерции
то получим матрицу - тензор моментов инерции:
Полярный момент инерции вычисляется относительно начала
координат по формуле
7.3 Основные динамические характеристики
для системы материальных точек
Количество движения системы. Количеством движения системы
материальных точек называется вектор, равный сумме количества
движения каждой точки системы
Q = fm,V,.
г=1
Количество движения твердого тела определяется формулой
Q = JJJVdm = JJJpV<*.
V V
Используя формулу (7.1) для центра масс системы материаль-
ных точек
N
У тх.
I I
__ /=1
можно вывести полезную формулу для вычисления количества дви-
жения системы материальных точек. Домножив это уравнение на М,
и продифференцировав, получим
Mvc=fm,v,=Q,
г=1
Аналогично, используя формулу (7.1) для центра масс твердого
тела
получим аналогичную формулу для твёрдого тела
Q = MVC.
Момент количество движения системы. Момент количества
движения или кинетический момент системы материальных точек
относительно точки О определяется формулой
def N
Ко =Xrz хти.ху.,
г=1
Аналогично для твердого тела имеем
def
ко =fff(rxV^ = fff(rxV>x/K.
V V
Здесь г - радиус - вектор любой точки твердого тела.
Кинетическая энергия. Кинетическая энергия системы матери-
альных точек определяется как сумма кинетических энергий каждой
точки системы
ту?
2
Кинетическая энергия твердого тела определяется формулой
7.4 Теорема Кёнига
Пусть имеется система материальных точек, движение которой
рассматривается в декартовой системе координат xtx2x3 (Рис. 7.14).
Центр масс этой системы находится в точке С.
Система координат, центр которой находится в центре масс
системы материальных точек, а сама она движется поступательно,
относительно некоторой инерциальной системе координат (хгх2х3)
называется системой Кенига.
Кинетическая энергия системы материальных точек вычисляет-
ся по формуле
т^2
2
Радиус-вектор и вектор скорости можно представить в виде
r/=rc+<
v,=v,w+v,w = v,'+vc,
где Vc - скорость центра масс.
Следовательно
1 „ \ 1 N „ ( N А МУ2
T = -Xmi[vi,2+2(y,i-y,c) + yc )=~Хт^2 + VC£>V' +--------
г=1 2 г=1 V г=1 / 2
1 N 2
Здесь Т' = — У mV. , У mN' = MN' = 0 - количество движения систе-
/ч II' II
г=1 г=1
мы в системе Кёнига.
Эта зависимость представляет собой теорему Кенига, которая
формулируется следующим образом:
Кинетическая энергия системы материальных точек равна
кинетической энергии центра масс, в предположении, что в
этом центре масс находится точка с массой всей системы
плюс кинетическая энергия относительно центра масс.
(7.2)
мрс2
2
С
Применим теорему Кенега к твердому телу, для чего рассмот-
рим частные случаи.
1) Поступательное движение твердого тела (Рис. 7.15).
Рис. 7.15
Так как движение рассматривается в системе Кенига (система
жестко соединена с твердым телом), то кинетическая энергия центра
масс твердого тела равна нулю:
Т' =0
Следовательно, кинетическая энергия тела при поступательном дви-
жении равна
т,мгс2
2) Вращение твердого тела относительно неподвижной оси и. Рас-
смотрим общий случай (Рис. 7.16), когда центр масс не лежит на оси
вращения с<£и. По определению кинетическая энергия равна
2 V
Скорость определяется по формуле Эйлера:
V = (охг.
Тогда
Т = 1JJJсо2 г2 sin2 apdV = JJJh2pdV.
Окончательно получим
T = -J со2.
2 ”
Рис. 7.16
3) Плоскопараллельное движение (Рис. 7.17) Рассмотрим плоско-
параллельное движение тела в неподвижной (не штрихованной) и
подвижной (штрихованной) системах координат. Подвижную систему
координат выберем так, что бы она являлась системой Кёнига.
Кинетическая энергия по теореме Кёнига равна (7.2)
МКС2 , Jca?
2 2 ’
где Jc - момент инерции относительно оси, параллельной телу и
проходит через центральную материальную точку С.
Пример: Определить кинетическую энергию Т однородного
твердого тела, которое катиться без скольжения по гладкой поверх-
ности (Рис. 7.18). Масса тела равна т, R - радиус, С - центр масс, Vo
- скорость. Очевидно, что тело совершает плоскопараллельное дви-
жение.
Рис. 7.18
Кинетическая энергия по теореме Кёнига равна
тУ02
2
mV' 2
-----а>
2____
2
Учитывая, что а> равна
^0
СА R
получим
ЗтиК02
4
Теорема Штейнера.
Момент инерции твёрдого тела относительно парал-
лельной оси определяется по следующей формуле:
J'i=Ji+d1M,
(7.3)
где d - расстояние от центра масс до соответствующей оси.
Доказательство.
Введем две системы координат как показано на (Рис. 7.19).
Рис. 7.19
Момент инерции относительно оси х' вычисляется по формуле:
7' =!Ц(х2)2/^7’
где х?-х?+(1.
Учитывая, что х2 координата центра масс твёрдого тела, полу-
чим доказательство теоремы. Для остальных координат и соответст-
венно моментов инерции теорема доказывается аналогично.
Момент количества движения относительно точки О определя-
ется формулой
ко=Ш(гхУ)/х//и-
Его проекция на ось - это момент количества движения твердо-
го тела относительно оси (Рис. 7.20) и определяется по формуле
^=(к0-и°).
Рис. 7.20
Подставив сюда значения момент количества движения относи-
тельно тоски и скорость, после преобразований получим
Кп = и° • |||rx(c)xr)/x7K = u° •|||[юг2 - г(ф х r)|c¥7K =
V V
= со ||| (г2 - z2 ^pdV = бу||| h1 pdV = Jnco.
v v
Получили, что момент количества движения твердого тела ра-
вен произведению момента инерции этого тела относительно оси и
на угловую скорость со
7.5 Основные теоремы динамики системы материальных точек
Силы, действующие на материальные точки динамических сис-
тем, делятся на внешние и внутренние.
Внешние силы - это силы взаимодействия точек системы с те-
лами не входящими в систему.
Внутренние силы - это силы взаимодействия между точками
системы.
Рассмотрим систему материальных точек, на которую действу-
ют внешние и внутренние силы (Рис. 7.21). Обозначим силы с индек-
сом (е) - внешние, с индексом (/) - внутренние силы.
Рис. 7.21
По третьему закону Ньютона
рр) = _р(0
kk/ rjk ’
поэтому можно обозначить внутренние силы так
7=1
7*^
Главный вектор внешних сил - это сумма всех внешних сил, дей-
ствующих на материальные точки системы.
F(e) =XFie)-
k=i
Это сила, которая может быть не приложена ни к одной из точек сис-
темы, она равна равнодействующей всех сил.
Главный вектор внутренних сил равен нулю
FO)=fF(O=ffF(<) = ().
£=1 £=1 у=1
j*k
Это следует из третьего закона Ньютона.
Главный момент внешних сил определяется формулой
к=\
Главный момент внутренних сил равен нулю
LV = f(rtxF»)=0.
к=\
Для доказательства можно взять две точки и записать момент
сил относительно какой-то точки О (Рис. 7.22), а так как каждой силе
противодействует реакция, т.е. такая же сила по величине, но проти-
воположно направленная, то это равенство нулю в последней форму-
ле можно обобщить на систему материальных точек.
Рис. 7.22
Основная задача динамики материальных точек. Рассмотрим
систему свободных материальных точек (Рис. 7.23). Выделим в ней
точку К.
Рис. 7.23
Используя второй закон Ньютона, запишем систему дифферен-
циальных уравнений движения точки
+ k = ^N.
Начальные условия имеют вид
(0) = Г„,
n(0)=vM.
Таким образом, нахождение закона движения каждой точки сис-
темы по заданным внешним силам и начальным условиям - это ос-
новная задача динамики системы материальных точек.
Основная сложность в определении внутренних силах. Если число
точек мало, то решение задачи не представляет большой сложности.
Рассмотрим основные теоремы динамики для системы матери-
альных точек.
Теорема об изменении количества движения.
Производная количества движения по времени равна глав-
ному вектору внешних сил,
^0=Fw.
dt
Доказательство. Количество движения системы - это сумма:
N
9 =
к=1
Дифференцируя по времени, получим
d ~ d ”
dt dt
Используя закон Ньютона
mkrk =F,(e)+F,(z)
получим
d N < \ N / \ \
4q=Lf<'>+2>«=f<'>.
at k=i k=i
Следствие о движении центра масс. Центр масс движется, как
материальная точка, в которой сосредоточена масса всей системы, и
приложены все силы действующие на систему
МКС =F(e).
Укажем основные случаи, когда существуют первые интегралы.
1-й случай. Главный вектор внешних сил имеет проекцию на ось
х равную нулю:
F/e) = О,
тогда как следует из теоремы
^ = 0 и QX=C.
dt
2-й случай. Пусть главный вектор внешних сил имеет две проек-
ции равные нулю:
^(е)=0 и F2(e)=0,
тогда по аналогии с предыдущим случаем имеем
3-й случай: Рассмотрим случай, когда система движется только
под действием внутренних сил. Тогда
Q = C.
Пример. Пусть в вертикальной плоскости движется стержень
под действием силы тяжести. Его толкнули, и он стал падать
(Рис.7.24).
Здесь N - нормальное давление, mg - сила тяжести.
Первый интеграл в этом случае можно записать в виде
кСх=с1 = 0,
следовательно, центр масс движется только по вертикали.
Теорема об изменении момента количества движения системы
Производная от момента количества движения системы
материальных точек относительно точки О равна глав-
ному моменту внешних сил относительно точки О
d iz _ т
К() Lo
at
Доказательство.
Выполнив последовательные преобразования, получим
4 Ко = 4 S (г* х mk^k ) = ЦУк* т)Ук) +2 (г* х J =
at at k=i k=i k=i
= f(rt XF<‘>)+F<‘> = f (rt xF<'>)+f fc X F»)= L'.
k=\ k=\ k=\
Здесь (v* x mkNk) = 0, так как векторно перемножаются два парал-
лельных вектора; Х(глх^ 0 “ главный момент внешних сил;
к=\
х F^)= 0 - главный момент внутренних сил.
к=\
Теорема доказана.
Эта теорема особенно важна, когда она дает первый интеграл, а
это происходит тогда, когда одна из компонент равна нулю.
1) =0, следовательно, Кх = const (сохранение момента количе-
ства движения относительно первой оси).
2) 1^ = 1^ = 0, следовательно, к~ Q, к2 =С2.
3) = 0, следовательно, Ко = const или к. = Ср к2 = С2, к3=С3.
Теорема об изменении кинетической энергии
Дифференциал кинетической энергии равен элементарной
работе внешней и внутренней силы.
dT = d'A^ + d'A^.
Доказательство.
Берем величину кинетической энергии системы и дифференци-
руем по времени:
d _ d
dt dtk^\ 2
-^Хтк(Ук 'Ук) = Хтк(Ук <»к) =
2 at к=[ к=\
= fx(vt • [f« + F»])= f VtF<'> + £ V^'1 - + №'> = N.
k=\ k=\ k=\
или dT = d'A^ + d'A^
dt
В результате получили, что изменение кинетической энергии
системы равно сумме мощностей внешних и внутренних сил.
Если домножим последнее выражение на dt, то получим эле-
ментарную работу
N-dt = (ydt^) = $-dr) = d'A
Для неизменяемых тел, в частности для твердого тела, работа
внутренних сил равна нулю.
Эта теорема даст первый дифференциал, если внешние силы
потенциальны и потенциал энергии явно не зависит от времени. То-
гда закон сохранения энергии имеет вид:
Т + П{е) + n{i) = const.
Для систем, для которых справедливы две последствие теоре-
мы, справедлива и теорема Кенига. Переформулируем их так, что бы
они были справедливы и для систем Кёнига. Для этого рассмотрим
систему материальных точек х15х2,х3 и введем систему Кенига как
показано на Рис. 7.25
Теорема об изменении момента количества движения
Производная по времени от момента количества дви-
жения центра масс равна главному моменту внешних сил
относительно центра масс.
<^С _ I (е)
dt с'
Доказательство.
Момент количества движения относительно точки О равен
^0 _ т (е)
dt 0 '
Учитывая, что
rz=< + rc; VZ=V' + VC,
преобразуем момент количества движения
Ко = X (г, х т.У. ) =Х ((г; + гс) х (mk V' + ткУс )) =
к=1 к=1
= SfeX^Vfc)+SfeX^Vc)+S(reX^Vfc)+S(reX^Vc) =
к=1 к=1 к=1 к=1
= Kc+(rcxMVc).
Здесь X(r/> x/w^Yt) = Kc - момент количества движения относительно
k=i
центра масс; £(r^х тк^с)= X(rkmkх Vc) = г£ • Af = 0 - статический мо-
к=1 к=1
N
мент относительно центра масс; X(rJx = 0 - скорость центра
к=\
масс; Х(Г' хтк^с) = (гс ху^У( ) _ количество движения центра масс от-
k=i
носительно точки О.
Аналогично преобразуем главный момент внешних сил
= У гп х =У г' + гг х =
к=1 к=\.
= Efe х F1‘’)+ rc * EF»'1 =4 + rc XFW.
к=1 к=\
Здесь гс х =rcх •
k=i
Тогда будем иметь
—Кг +—гс хMVr = Lfc} + rr хF(e).
dt c dt c c c c
После дифференцирования получим
—Kr + (rr xМшг) = Lfe? + rr x
dt
По теореме о движении центра масс Мшс = F<e\ Тогда
_ I (е)
dt с'
Теорема об изменении момент количества движения имеет ме-
сто в тех системах, где действует теорема Кенига.
Теорема об изменении кинетической энергии
Дифференциал кинетической энергии, вычисленный в сис-
теме Кёнига, равен элементарной работе внешней и внут-
ренней силы, вычисленным в системе Кёнига.
dV = d'A^ + d'A^
Доказательство:
Можем записать теорему об изменении количества кинетиче-
ской энергии:
— = N^ + N^ или dT = d'A{e) + d'A{i).
dt
Учитывая, что
rz=r/+rc; Vz=v/+Vc,
преобразуем.
Тогда
МК2 N ( t a С ' \\ N ( С ' \\
dT = <7--^ + dT = Y F,(e)-L/r, +drc +У F,(,)-h/r, +drc =
I /v I /v / I I /v I /v / J
k=[ \ V // k=[ \ v //
= d’A^ + (F(e) • rfrc)+ d’A^ + (F(z) • drc\
Элементарная работа внешних сил d'A^ равна
MWC =F(e),
следовательно,
,.w;
а---—
2
= (р(е)-б7гс)
и, учитывая, что
(f«’.*c)=0
получим теорему об изменении кинетической энергии для центра
масс.
dV^d'A^ + d'A^.
ГЛАВА8
АНАЛИТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА. УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА
8.1 Классификация связей
Рассмотрим некоторую систему из N точек материальных точек
Ру (j =1,N). Положение этих точек определяется их радиус-векторами
гу (Рис. 8.1).
Рис. 8.1
Уравнение связи в общем виде записывается так
Дг,г7,г7.) = °. (8.1)
Такая связь, когда в уравнение связи входят и координаты и их
производные, называется дифференциальной связью.
Может оказаться, что в уравнении связи отсутствует производ-
ная
r7. =V = 0.
Тогда уравнение связи имеет вид
/(t,rJ = O. (8.2)
Такая связь называется геометрической или конечной.
Вычислим полную производную по времени — от функции
dt
Используя набла-оператор Гамильтона (градиент)
V7/Y \_df df df
V/(x15x2,x3)- e3 + e2 + e3,
dxr dx2 dx3
получим
E(vy/-r )+^ = о.
7 7' dt
Здесь
V7 \ df df df
jJ\ 17’ 27’ з7/ dx^ i dx^ 2 дх^ 3
В сумме содержится 3N слагаемых.
Если удается проинтегрировать уравнения связи записанное в
дифференциальной форме, то получим уравнение вида
Длг.) = С. (8.3)
Такие связи, уравнения которых могут быть проинтегрированы,
называются интегрируемыми связями. Дифференциальные связи, как
правило, нельзя проинтегрировать.
В дальнейшем, будем рассматривать дифференциальные, ли-
нейно зависящие от скорости связи:
f(errJ+D = 0.
7=1
Здесь ey(rz,z), Z?(r ,z) - функции координат и времени.
Связь, уравнение которой не содержит явно времени, называют
стационарной
/(w,)=0. (8.4)
Таким образом, это стационарно-дифференциальная связь.
Если уравнение связи явно содержит время, то связь называют
нестационарной
о. (8.5)
Если уравнение связи записывается с помощью знака равенства,
то связь называется удерживающей. Если уравнение связи записано в
виде неравенства, например, в общем виде:
то связь называют неудерживающей.
В дальнейшем будем рассматривать только удерживающие связи.
Примеры связей
1. Математический маятник (Рис. 8.2). Материальная точка удер-
живается на растяжимой нити. Закон движения имеет вид:
2 , 2 . ,2
х, + х2 <1 .
Рис. 8.2
Здесь связь неудерживающая, конечная, стационарная.
2. Математический маятник (Рис. 8.3). Материальная точка удер-
живается на жестком стержне.
2 , 2 ,2
%! +Х2 =1 .
Рис. 8.3
В этом случае связь удерживающая, конечная, стационарная
3. Разматывается нить по какому-то закону (Рис. 8.4)
х/ +х22 <
Рис. 8.4
Здесь связь неудерживающая, конечная, нестационарная
4. Диск катиться без проскальзывания в плоскости (Рис. 8.5). Дви-
жение диска описывается координатами его центра и углом поворота
Рис. 8.5
Так как диск катится, то имеется первое ограничение - связь
удерживающая конечная стационарная:
•*20 = R •
Второе ограничение качение происходит без проскальзывания:
•*ю = R<p.
Это интегрируемое уравнение:
х10 =R(p + С.
Система материальных точек, на которую действуют только ко-
нечные или интегрируемые связи называются голономной. Если на
систему наложены дифференциальные связи, то система называется
не голономной.
Система, на которую наложены только стационарные связи, на-
зывается стационарной (склерономной). Если на систему наложены
нестационарные связи, называют не стационарной (реономной).
8.2 Действительные, возможные и виртуальные перемещения
Рассмотрим материальную точку, на которую наложена одна
конечная связь:
/(<,г)=0.
Действительным перемещение точки называется бесконечно
малое перемещение точки, допускаемое связью, совершаемое под
действием заданных сил за бесконечно малый промежуток времени
dt. Действительное перемещение обозначается dr.
Возможным перемещением точки называется бесконечно малое
перемещение, допускаемое связью и совершаемое за бесконечно ма-
лый промежуток времени dt. Возможные перемещение обозначается
также dr. Их может быть бесконечное множество.
Из выше сказанного следует, что действительное перемещение
- это одно из возможных.
Продифференцировав уравнение связи f(t,r) = O, получим урав-
нение связи для возможных перемещений
(yf-dr) + ^-dt = 0. (8.6)
dt
Это алгебраическое уравнение относительно dr.
Виртуальным перемещением называют воображаемое беско-
нечно малое перемещение точки, допускаемое связью в данный мо-
мент времени.
Виртуальное перемещение обозначается 8г, оно равно разности
двух возможных перемещений
8r = dr' -dr.
Операция дифференцирования при постоянном времени назы-
вается варьированием, а величина 8г - вариацией.
Запишем уравнение связи для виртуальных перемещений. Для
этого фиксируем время и дифференцируем. В результате получим
(V/-*) = 0. (Б)
Уравнение (Б) можно было получить из (А) записав его для двух
различных виртуальных перемещений
—dt = O и (V/-Jr') + —Л = 0
dt v ' dt
а затем, вычтя одно из другого,
(V/(*-*')) = (V/-Sr) = 0.
Основные свойства действительных, возможных и виртуальных
перемещений сведены в таблицу.
Тип перемещения Удовлетво- ряет урав- нению свя- зей Под дейст- вием за- данных сил Обладает длительно- стью
Действительные + + +
Возможные + — +
Виртуальные + — —
Пример: Рассмотрим сферическую поверхность, которая может
расширяться (Рис. 8.6). Пусть по этой поверхности движется точка. Её
возможные перемещения показаны на Рис. 8.6. Задав силу, получим
только одно действительное перемещение.
Рис. 8.6
Виртуальные перемещения лежат в касательной плоскости. Но
это перемещение никогда не будет совершаться.
Для стационарных связей возможные и виртуальные перемеще-
ния совпадают.
Перейдем к рассмотрению систем с У точками Ру:
/.(г,г) = О, (z = l,«),
где а - стационарные, fl - линейные дифференциальные связи.
£(е,(‘Ч)+А=°> * = СЛ
7=1
Все приведенные выше определения для одной связи верны и
для связей. Совокупность векторов - это все действительные
перемещения системы. Как и раньше обозначаем - дейст-
вительные перемещения, а^,...^) - виртуальные перемещения
Запишем уравнения, которым должны удовлетворять возмож-
ные перемещения. Для этого надо продифференцировать уравнения
связей.
1) для стационарных связей ft (t, Tj) = 0, i = 1, а получим
(8.7)
i=l Ut
где i = \,а - номер связи, a j = - номер точки.
2) для дифференциальных связей -r^+Dk = 0 с учётом того,
7=1
ЧТО
• dr . . , _т,
г =—, dr = rdt = Ndt.
dt
Получим:
Х(е^^гу)+£>^ = 0, к = (8.8)
7=1
В результате получили систему уравнений, которым должны удовле-
творять возможные перемещения
Л{ \ df —
^jfi'drj}+^-dt = ^ i = \,a
I i=l dt
X(ef-drj)+Dtdt = O, k = \J3
Всего получили a + fl уравнений, которые связывают ЗУУ диф-
ференциалов (перемещений) от координат.
a + /3<3N.
Возможная скорость определяется как производная по времени
dr,.
V,. = —L = г, .
7 dt 7
Разделим выше систему уравнений на dt. В результате получим
Если записать системы типа (8.7) и (8.8) для возможных пере-
мещений dr и dr', и из соответствующих уравнений одной системы
вычесть уравнения второй системы, вычисленные в определенный
момент времени, то получим
Z(v,Z*,)=o,
г=1
Z«‘4)=0-
7=1
i = 1, а
k = V0
(8.9)
а + /7<ЗЛГ.
Идеальными связями называются связи, виртуальная работа ре-
акций которых равна нулю
Виртуальная работа это работа сил на виртуальных перемеще-
ниях.
Примеры идеальных связей
Приведем примеры идеальных связей.
1. Рассмотрим неподвижную идеально гладкую поверхность, по
которой движется точка (Рис. 8.7).
Рис. 8.7
В этом случае виртуальное перемещение равно возможному
Sr = dr.
Вычислим возможную и виртуальную работу. В силу того, что
векторы виртуальных перемещений и реакции связи перпендикуляр-
ны, то виртуальная работа равна нулю
<$4 = d4 = (R.<5r) = O.
2. Рассмотрим не стационарную, но идеально гладкую поверхность
(Рис. 8.8).
Рис. 8.8
В этом случае виртуальное перемещение не равно возможному
8г ф dr.
Вычислим возможную работу
d4 = (R-Jr)*0.
Вычислим виртуальную работу
<S4 = (R.<5r) = O.
3. По шероховатой поверхности катиться без проскальзывания
тело (Рис. 8.9). В этом случае реакция связи будет направлена под уг-
лом к поверхности.
Покажем, что и в случае стационарной шероховатой поверхно-
сти связь идеальная.
Рис. 8.9
Поскольку поверхность стационарна, то виртуальное перемеще-
ние равно возможному
8r = dr,
а, следовательно, возможная работа равна виртуальной
&4 = dA.
Вычислим возможную работу:
dA = (R • dr\
Связь стационарна, поэтому возможная скорость Vc = 0. Тогда полу-
чаем
ЗА = (R • 3r) = (R • dr) = (R • V)dt = 0.
Следовательно, и в случае стационарной шероховатой поверх-
ности связь идеальная.
8.3 Основная задача динамики для системы с идеальными связями
Пусть имеется система N материальных точек, на которую на-
ложено а стационарных
ДцМ к=\^, (8.10)
Р дифференциальных связей
£(eW-r7.)+nw = 0, т = \р. (8.11)
7=1
Основная задача динамики несвободной системы матери-
альных точек состоит в нахождении закона движения
системы и сил реакции связи, если заданы активные силы
и совместимые со связями начальное положение и началь-
ная скорость точек системы.
Запишем для каждой точки закон Ньютона:
m£=Fz+Rz, z = lJV. (8.12)
Здесь Fz - активные силы, в общем случае зависящие от времени,
положения и скорости точек
7;. =F(r,r„rJ.
Неизвестными, входящими в эти уравнения, являются векторы
г( , определяющие положение каждой точки системы в процессе дви-
жения, и Rz силы реакции. Таким образом, всего имеем 6УУ неизвест-
ных. Для их определения ЗУУ + а + р уравнений, причем а + р < 3N,
следовательно, 3N + а + ft < 67V. Получается, что имеющаяся система
уравнений не замкнута.
Если предположить, что связи, наложенные на систему, идеаль-
ны, т.е.
&l = f(R,*,) = (), (8.13)
г=1
то получим замкнутую систему.
Получается, что система будет иметь S = 3N -а- р степеней
свободы.
Из уравнений (8.10) и (8.11) получим уравнения для виртуально-
го перемещения. Продифференцировав (8.10) получим
Z(V,/A,) = 0, к = \а. (8.14)
г=1
А из уравнений (3) получим
Z(e*">-*/)=0, (8.15)
7=1
Всего имеется виртуальных перемещений 3N. До сих пор координаты
материальных точек мы обозначали
xx,yx,zx - координаты 1-й точки,
xN, yN, zN - координаты N -й точки.
Для наших целей такие обозначения не удобны. Введём сле-
дующие обозначения для координаты материальных точек
•^1 «^1 j .... ^3N—2
_У1 = х2, ... yN = x3N_}
Zj Х3, .... Zj^
Теперь вектора базиса также переобозначим следующим образом
pw _ pW p(m) «w)
C1 \rix ’^ly ’Hz / v5! >c2 ’^3 /
PW_LW >) «HLLH Лт)
CW — \^Nx ’^Ny ’^Nz /
Активные силы также обозначим
^lx = -^1> •••• ’ ^Nx = ^3N-2
F\y = -^2’ •••• ’ Fty = F-}N^
F\z ~ ^з ’ •••• ’ FNz — F3N
В новых обозначениях из уравнений (8.14) и (8.15) получим:
ЗУ Я/' / ---\
=0 (£ = 1,«) (8.16)
7=1 ^Xi
Е («•“’&; )=о (т = 1^) (8.17)
7=1
Мы получили уравнений а + /7 и неизвестных ЗУУ, причём
а + fi < 37V. Но независимых переменных S = 3N -a- fl.
Предположим, что первые S независимых переменных вирту-
альные: 8xt, i = X,S, тогда (8.16) и (8.17) представим в виде двух сумм:
3N j=S+l UXi s Af = -\AJlQx k = l,a ^dXi 1
зу ? \ s ( х __
т^Р
j=S+\ j=\
Здесь а + fl уравнений и а + fl неизвестных. Поэтому мы эту систему
можем решить и все независимые переменные выразить через зави-
симые:
S ________
&с.=УА..&с., i = S + l,3N.
I IJ I
j=l
Теперь перепишем (8.13) во введенных нами обозначениях
ЗУ S 3N
XRt А = ° или XRi -fci + XRi А = °-
Z=1 г=1 i=S+l
Выразив зависимые переменные через независимые, имеем
S 3N ( S А
ЕЛА+ХЛ ЕЛА =°
г=1 г^ЗЧ-! у=1 у
Поменяв порядок суммирования, получим
$ ( зу А
Е 7?,+ ЕЛЛ *<=<>•
г=1 j=S+l /
Здесь все Зк( независимые. Тогда выражение в скобках должно быть
равно нулю.
ЗУ \
=о5
i=S+l
/ = 1,5.
Теперь для решения задачи мы имеем 6N уравнений
ЗЛ/ + а + р + S = 3N + a + j3 + 3N -a- fi = 6N.
Таким образом, основная задача динамики разрешима, если свя-
зи идеальные. Если связь не идеальная, то ее нужно разложить на со-
ставляющие и искать дополнительные соотношения.
8.4 Уравнения Даламбера - Лагранжа
Рассмотрим систему материальных точек и запишем закон
Ньютона для каждой точки
=F+R’ О'=1л).
Пусть связи идеальные, тогда
f(R, •*,)=«,
г=1
учитывая, что
R =m/r/-F/,
получим основное уравнение динамики в виде
Здесь бесконечное множество уравнений, причем, независимых
3N-a- ft уравнений.
Уравнение Лагранжа 1-го рода. Запишем основные уравнения
динамики для системы материальных точек (всего 6N уравнений)
m,r,=F,+R, (8.18)
f(R,-*,)=O (8.19)
г=1
ДцМ к=Щ (8.20)
^(eW-rJ+ZlW^O, m = \J3 (8.21)
7=1
Z(V,/A,)=0, k = Va (8.22)
г=1
Уравнения для виртуальных перемещений имеют вид
f(e’"’-*,)=O, m = (8.23)
7=1
Методом неопределенных множителей Лагранжа исключим ре-
акции связи из уравнений. Кроме этого, вычтем из уравнения (8.18)
уравнение (8.19), и умножим уравнение (8.22) на Лк
(8-24)
к=\
а умножим уравнение (8.23) на р,т
£дт(е<<*,) . (8.25)
т=\
Из уравнения (8.19) вычтем выражения (8.24) и (8.25), в резуль-
тате получим
Е (R, • *,) - Z 14 (v,/А,) - f t л. • <*,)= 0 •
z=l i—1 к=\ z=l т=1
Поменяем порядок суммирования, преобразуем это уравнение к
виду
У J R. У ~ Y Ате(Г} I • <5г = 0.
I к iJ к • гп VI
z=l L. к=\ т=\ J
Предположим, что первые S виртуальных перемещений,
(z = 1,5'), являются независимыми, а остальные зависимые. Выбираем
/лт,Лк, такими, чтобы все скобки при зависимых виртуальных пере-
мещениях равнялись нулю. Это сделать можно, так как уравнения
(8.22) и (8.23) линейно независимы и определители этих систем отли-
чены от нуля. В результате получим
К,-ЁЛ^Л-^ле<”’ = 0 (8.26)
к=\ т=\
Из соотношения (8.26) имеем:
к=\ т=1
Подставляем Rz в (8.18) найдём
'«,i;=F1+ZAV,/t + f/z>e,(") (8.27)
к=\ т=1
Уравнения (8.27), (8.20) и (8.21) представляют собой систему
уравнений Лагранжа 1-го рода. Она отличается тем, что нет уравне-
ний связи, но появилось цт. Полученная система состоит из
меньшего числа уравнений, так как реакций Ri а + /3< 3N штук.
Такой подход применяется для неголономных систем.
Принцип виртуальных перемещений. Запишем уравнение Да-
ламбера - Лагранжа
г=1
Определение. Если в некотором положении системы, допус-
каемом связями, система находится в начальный момент времени с
нулевыми скоростями, то такое положение называется положением
равновесия, при условии, что она находится в этом положении сколь-
ко угодно долго.
Пусть некоторое положение системы является положением
равновесия. Тогда
vz=o,
во все рассматриваемы моменты времени, а, следовательно, ускоре-
ния^. = О, i = l,N.
В результате из уравнения Даламбера - Лагранжа получим принцип
виртуальных перемещений
Е(ед)=о.
г=1
Это уравнение имеет место для системы, находящейся в положении
равновесия.
Принцип виртуальных перемещений
Для того чтобы механическая система находилась в по-
ложении равновесия необходимо и достаточно, чтобы
виртуальная работа активных сил в этом положении
равнялась нулю.
Можно сформулировать этот принцип по-другому:
для того чтобы некоторое, допускаемое связями поло-
жение механической системы, было положением равнове-
сия необходимо и достаточно, чтобы виртуальная работа
всех активных сил в этом положении равнялась нулю.
8.5 Уравнение Лагранжа 2-го рода
При выводе уравнений Лагранжа 1-го рода рассматривалась ме-
ханическая система состоящая из N точек, «-конечных связей, р-
дифференциальных связей. Причём связи должны быть идеальными,
т.е., уравнения Лагранжа 1-го рода получили для не голономных сис-
тем.
Теперь найдем уравнения Лагранжа для голономных систем,
т.е., будем рассматривать систему, на которую наложены только ко-
нечные связи
/Дг*) = О, / = 1,«.
Виртуальная работа сил реакция или условия идеальности связи
имеет вид
<S48=f(RA)=o.
к=\
Предполагаем, что все а связей независимы. Число степеней
свободы для ЗУУ координат xi,yi,zi, i = l,N, связанных а-
соотношениями равно S = 3N - а. Среди ЗУУ координат независимых
S и а зависимых. Получается, что мы можем все зависимые коорди-
наты выразить через независимые.
Переобозначим координаты точек следующим образом
Х1 Х1, ..... X3N-2
У1 = Х2’.... Уы = X3N-1
Пусть зависимые первые а координат х15...,ха, тогда ха+1,..., хздг
- независимые, xz = xz(xa+1 ,...,x3N,t\ i = X,a.
Независимые координаты, полностью определяют положение
системы.
Определение. Независимые параметры, однозначно определяющие
положение системы, называются обобщенными координатами.
Всегда одни независимые параметры можно выражать через другие,
например
xj=xj(t,qi,...,qs\ j = a + l,3N.
Зависимые координаты также можно определить через обобщённые
координаты
xi=xi(t,qi,...,qs), i = \,a.
Таким образом, все 37V декартовых координат выражаются че-
рез S обобщенных координат.
X- x-(t,q^,...,qs^, i 1,37V
Радиус-вектора точки также выражаются через обобщенные
координаты:
л;. =л;.(г,^1,...,^), i = l,N (2)
Обобщенные координаты всегда можно выбрать так, что если
связи стационарные, то и для радиус-вектора можно исключить t.
Если же в уравнениях связи присутствует t, то ив выражении для
радиус-вектора г присутствует t.
Для вывода уравнений Лагранжа 2-го рода рассмотрим уравне-
ние Даламбера - Лагранжа
)•*,) = 0.
г=1
Найдем дг из (2), т.е., найдем его дифференциал по qt
S ЛГ
7-1
и подставим его в предыдущее уравнение:
N t S S N A
<%,=0.
z=i 7=i dq. j=i z=i dqf )
Обозначим обобщенную силу, т.е., выражение
N (
е =£ F'--^ . (8.28)
-11 Ч )
Её можно найти также из выражения
# , S N S
SA = £(F, •*, =E£F, -^8qj -^Qj (8.29)
m >1 m dqj 7=1
Этой формулой обычно пользуются для нахождения обобщенной си-
лы. Обобщенные силы - это коэффициенты, которые стоят в выраже-
нии для виртуальной работы при независимых виртуальных переме-
щениях.
Преобразуем второе слагаемое в уравнении Даламбера-
Лагранжа
d * . Sr. * . d Sr.
dt^ 1 dq. м dt [dq,.
(8.30)
Найдём зависимости, необходимые для дальнейшего преобразования
уравнений. Продифференцировав (2) по t, получим выражение для
скорости
Sr. Л Sr. .
—+ У—
dt j^dql J
(8.31)
Из (5) следует, что
Srz _ Srz
S^y dq}. '
(8.32)
Продифференцируем (8.31) no q,:
Sr. _ S Srz
4 dt [dq. 7
s
z
k=l
s
k=l
N
следовательно
Srz _ d dr. 4
dqj dt [dqj ? ’
Подставив полученные зависимости в (4а), получим
(8.33)
<7 * S ГгЛ
dt м dqt 2 J
Здесь T =
S Л 2 д * Гг^
dt dqt г=1 dqt z=i 2 J
d dT ST
dt dq. dq.
(8.34)
- кинетическая энергия.
£ m^2
м 2
Тогда уравнения Даламбера-Лагранжа преобразуются к виду
5 Sr 5
е,-
М 7=1 dq( 7=1 I
ST
В силу того, что dqt независимое виртуальное перемещение, все
выражения в скобках равны нулю. В результате получаем уравнение
Лагранжа 2-го рода
d ат ат
dt Bq. dqj
j = \S.
(8.35)
Здесь S = 3N - a, уравнения, т.е. чем больше связей, тем лучше.
Число уравнений Лагранжа - это минимальное число уравнений
для голономной системы и в этом его преимущество.
Системы (8.35) содержат S уравнений Лагранжа 2-го порядка и
имеется 2S начальных условий
(/io
(/io’-"’(/so
Отсюда видно, что в системе уравнений Лагранжа 2-го рода не
может быть меньше S уравнений 2-го порядка.
Уравнение Лагранжа 2-го рода существует только для голоном-
ных систем, а если имеемся неголономная система, то нужно исполь-
зовать уравнение Лагранжа 1-го рода.
Еще одно достоинство уравнения Лагранжа 2-го рода в том, что
оно не содержит сил реакции. Однако чтобы решить динамическую
задачу полностью, нужно найти реакции связи.
Силы реакции находятся после решения уравнений Лагранжа 2-
го рода в виде
Qj ~ Qj Qjo 5 Qjo )> J — 1? *$ •
После этого находим радиус-вектор каждой точки системы
г/=гг(м7о>^о)> / = 1,У-
Затем используя закон Ньютона:
miri = FZ + RZ,
реакции связей можно выразить через известные силу и радиус-вектор
7?z = mz rz (г, qjQ i = \,N.
Система линейных уравнений Лагранжа 2-го рода нелинейна и
поэтому трудно разрешима. Исследуем уравнение (8.35). Для чего
рассмотрим квадрат скорости, которая входит в выражение для кине-
тической энергии:
<dri ! у dri
< St ы Sqk
Sqk •
Тогда кинетическую энергию представим в виде
где
Д my2 1 *
=~Lmi
:=1 2 Z i=l
= To+X<ijX mi
7=1 M I
dr\ N
+25>.
1 # s
1
2 1=1 УЛ=
6r. dr
dr dr
drt A drt
• QjQk ~
1 s
j,k=\ i=l
6г. drz
drt
2 ;=1 i dt
s
N
Введем обозначения
N
= aj, Xmi
dr.
ajk ’ J 1’*$
Тогда кинетическая энергия будет иметь вид
S 1 s
T = го+E ajaj + т S w •
2 ;,£=!
7=1
Обозначим
=ri,
7=1
Таким образом, получили
] '
^lajk^j4k = ?2 •
2 j,k=l
i J. 2 -Г J. 1 -Г J. o,
где T2 - квадратичная форма от обобщенной скорости V, Т\- линей-
ная функция от обобщенной скорости V, То - от обобщенной скоро-
сти V не зависит.
Если связи стационарны, то Т = Т2, т.е., кинетическая энергия Т
является квадратичной формой, причём Т2 положительно - опреде-
ленная квадратичная форма.
Продифференцируем кинетическую энергию
dT dT2 dT} * .
-^ = ^ + ^ = bajk4k+aj,
dq- к=1
d dT s .. rz . \
7^ = L ajk4k + /П, <h> Я к) •
dt oqj k=i
Тогда уравнение Лагранжа 2-го рода (8.35) можно представить в виде
k=i
Здесь |йд| ф 0, так как это положительно определенная квадратичная
форма и, следовательно, определитель ее не равен нулю. Поэтому
последнее уравнение можно разрешить относительно qk и записать
его в виде
k = l,S.
В результате получили уравнения Лагранжа 2-го рода в нор-
мальной форме.
Частные случаи уравнения Лагранжа 2-го рода. Ниже мы рас-
смотрим некоторые важные для применения частные случаи полу-
ченных нами уравнений.
Определение. Силы, действующие в системе называются потен-
циальными, если существует функция П, зависящая от времени t, не-
прерывная и дважды дифференциальная по координатам Tl(t,qk), та-
кая что
k = l,S.
Если в системе действуют только потенциальные силы, то урав-
нения Лагранжа имеют вид:
d дТ дТ _ ЭЛ
dt dqj. dq^ dqj
—д^т п)——(г-п)=о.
dt dq , dq f
Пусть L = T - П - функция Лагранжа, тогда
(8.36)
d dL dL
dt dqj dq-
Это уравнение Лагранжа для случая, когда действующие силы
потенциальны.
(8.37)
Это уравнения Лагранжа для случая, если есть и потенциальная и не
потенциальная силы.
Рассмотрим вопрос о существовании первых интегралов для
уравнения Лагранжа 2-го рода.
Определение. Соотношение вида
= (8.38)
называется первым интегралом второго рода, если оно обращается в
тождество при подстановке qk.
Обозначим через Р. =--обобщенный импульс. Тогда
dt dqj 7
Определение. Координата qn, от которой функция Лагранжа не
зависит, т.е., если -= 0, то qn называется циклической координа-
дЧп
той.
Предположим, что qn - циклическая координата, а обобщенная
сила, соответствующая этой координате равна нулю Qn = 0. Тогда
Интегрируя, получим
Рп=С.
Это циклический первый интеграл для уравнения Лагранжа 2-го
рода.
Пусть имеется всего циклических интегралов S. Умножим каж-
дое уравнение (8.37) на qj и все уравнения суммируем
S d dT s dT s ~
X----q — X —q = X Q q •
Преобразуем это уравнение к виду
d dL . ) * dL ..
j, X p X д. qj +
) j=1dq.
dT s ~
dqt 7=1
(8.39).
Здесь L = L{t,qj9qj,) - функция Лагранжа. Продифференцировав её по
времени, получим
dL dL °( dL . dL .Д
dt dt ^\dq“J dq.*J)
Тогда уравнение (8.39) запишем в виде
d dL dL dL *
dt /=1 dq j dt dt »=i
J \ 4 / J
ИЛИ
d
--«
dt
S ~
= ^Qj4j
7=1
Выражение в фигурных скобках называется обобщенной энерги-
ей и обозначается
тт/ . ч Л dL . т
^\Lqk,qk) = L^<lj -L.
Пусть функция Лагранжа не зависит явно от t, т.е., — = 0.
dt
Предположим, потенциала обобщенных сил Q. нет или их мощ-
ность равна нулю:
7=1
тогда
Это обобщенный интеграл энергии.
Вычислим обобщенную энергию
/ ч s dT s dT s dT
H(t,qk,qk) = X^-qj ~L = t^-qj + £77^7 “ r2 “ 7? “ го + n •
7=1 dqj >1 dqj M dqt
Используя теорему Эйлера об однородной функции, получим
Н = 2Т2 + Т\ - Т2 - Т\ - То + П = Т2 - То + П.
Теперь понятно, почему Н называется обобщенной энергией.
Пусть наша система стационарна, тогда величина
Т = Т2 + П,
является полной энергией системы.
Пример 1. В плоскости движется материальная точка m как по-
казано на Рис. 8.10
У
т
mg
х
>
О
Рис. 8.10
Точка имеет две степени свободы q}=x, q2=y- Найдем её
кинетическую энергию
_ т V2 _ т(х2 +>’2)
2 2 '
Потенциальная энергия равна П = mgy. Тогда функция Лагранжа
имеет вид
т(х2+у2)
L = Т - П = — 7 - mgy,
а уравнения Лагранжа 2-го рода запишем в виде
d dL dL _ Q
dt dx dx
d dL dL _ q
dt dy dy
Поскольку потенциальная энергия от координаты х не зависит,
получаем систему дифференциальных уравнений
тх = О
ту + mg = О
В результате мы получили, что уравнения Лагранжа 2-го рода
совпадают с проекциями закона Ньютона на оси декартовой системы
координат.
Найдем обобщенный импульс:
D dL . D dL
x dx y dy 7
Получили обычный импульс в проекция на оси координат.
Найдем первые интегралы:
тх = const.
Так как связи стационарны, то закон сохранения обобщенной энергии
совпадает с полной энергией. Второй первый интеграл имеет вид
Т + П = const.
Пример 2. Рассмотрим математический маятник, показанный
на Рис. 8.11. В предыдущей задаче рассматривалась свободная точка, а
здесь точка со связями.
Рис. 8.11
В рассматриваемой задаче число степеней свободы равно 1. Это
следует из того, что положение точки определяет две координаты, и
имеется одна связь. В качестве обобщенной координаты выберем
угол отклонения от положения равновесия q = cp. Кинетическая энер-
гия равна
_ mV2 _ т12ф2
2 “ 2 ’
Потенциальная энергия равна
П = -mgl cos р;
Функция Лагранжа имеет вид
т1?ф?
L = Т - П = —+ mgl cos ф;
Уравнение Лагранжа
d dL dL _ Q
dt d$ dф
для рассматриваемой задачи имеет вид
т1гф + mgl sin ф = 0.
Найдем обобщенный импульс
Р = — = ml1 (i) = ml(l(p\ = mlV.
* дф V '
Поскольку связь стационарна, то первый интеграл имеет вид
—------mgl cos ср = С.
8.6 Теорема об изменении полной механической энергии
в голономной системе
Полная механическая энергия определяется формулой
£=Т+П.
Определим производную по времени от полной механической энер-
гии. Сначала вычислим производную от потенциальной энергии
П = П(^,^):
dn ап * ап.
at dt k=i dqk
При вычислении производной от кинетической энергии учтём, что
Т = T(t,qf,q{). Используя правило дифференцирования сложной функ-
ции, получим
dT дТ * дТ . * дТ..
dt dt k=i dqk k=i dqk
dT sdT . d *
dt k=i dqk dt k=i
dT
sd\dT\.
&
<h =
к
dT d^dT. *
dt dt k=i dqk k=i
dT
dqk
Используем следующие обозначения
s dTT
T=7[ + T2 + To, Y^qk=^T2,
fc=i dqk
б/ Г ат ат ап ~
б/^a^J dqk к dqk
После некоторых преобразований получим следующую формулу
для производной от кинетической энергии
dT дТ ^dT dT} ~dT( dn 5П * ~
dt dt dt dt dt dt dt ы
Учитывая, что
dE dT dV[
— —-----1--
dt dt dt
окончательно получим:
dE dT dT, dTn 5П * ~
dt dt dt dt dt h
Выясним, каким условиям должна удовлетворять голономная
система, чтобы правая часть равнялась нулю. Рассмотрим следующие
условия:
1) Связи должны быть стационарными, т.е., система стационарна.
Тогда исчезают первые три слагаемых
_бт+^+2^;
dt dt dt ’
2) Все силы, действующие в системе должны быть потенциальны-
ми. Тогда исчезает пятое слагаемое
S ~
fc=i
3) Потенциальная энергия должна не зависеть явно от времени.
Тогда исчезает четвёртое слагаемое
ап
dt
Таким образом, при выполнении трёх этих условий производная
по времени от полной механической энергии равна нулю, т.е.
dE
— = 0, следовательно, Е = Т + П = const.
Эти равенства представляют собой закон сохранения энергии.
В механике системы, которые удовлетворяют перечисленным трем
условиям, называют консервативными.
Таким образом, для консервативных систем получим закон со-
хранения полной механической энергии.
Рассмотрим теорему о полной механической энергии для сис-
тем только со следующими двумя условиями:
1) Связи, наложенные на систему, стационарны.
2) Потенциальная энергия, соответствующая потенциальным си-
лам, не зависит явно от времени.
Тогда производная от полной механической энергии равна
dF 5 ~
at k=i
Это мощность не потенциальных сил.
Рассмотрим силы имеющие потенциал, не зависящий явно от
времени.
1. Гироскопические силы, по определению ^Qkqk =0, т.е., это си-
k=i
лы, не совершающие работы.
Пример 1. Сила действует на заряженную частицу в электрон-
ном магнитном поле (т.е. сила Лоренца):
F = -(HxV),
с
# = (f-v)=-((hxv)-v)=o.
с
Получили, что работа равна нулю. Следовательно, сила Лоренца - ги-
роскопическая сила.
Пример 2. Кориолисово ускорение определяется формулой
W° =oxV.
Соответствующая ему Кориолисова сила равна
F(e)=-w(oxVH).
Она действует на частицу, которая движется в инерциальных подвиж-
ных системах координат. По аналогии с силой Лоренца имеем
N = (р(е) • v)= -w((u)x Ун)• v)= 0.
Получили, по аналогии с примером 1, что Кориолисова сила также
является гироскопической.
2. Диссипативные силы по определению удовлетворяют условию
S ~
12л so.
k=l
Пример 1. Рассмотрим силу сопротивления, действующую на
тело, движущееся в вязкой среде, например падающее в воздухе
(Рис.8.11).
F =-к\
////////////////////
Рис. 8.11
Мощность силы определяется выражением
7V = (Fc .у) = -£К2.
В верхней точке V = 0, следовательно, в начальный момент
N = 0. Далее во время падения мощность отрицательна.
Предположим, что связи, наложенные на систему, стационарны,
т.е. система стационарная, а гироскопические и диссипативные силы
являются линейными функциями от обобщенных скоростей, т.е.
Qk = Xrjk4j’
k=q
где
1) Предположим, что это гироскопические силы. Вычислим
мощность этих сил:
5 ~ 5 5 5 , v
N = S Qk4k = Е Уjk4j4k = Е Yjflj + E Vjk4fik + Ykj4k4j)=
£=1 k,j=\ j=l j<k=i
j^k
=f.7+
/=1 j^k=l
Анализ этих формул показывает что, для того чтобы рассмотренные
силы были гигроскопичны необходимо и достаточно, чтобы матрица
/ была антисимметричной, т.е.
J = VS
Yjk = -П/
2) Рассмотрим диссипативные силы:
Qk = •
7=1
Предположим, что симметричная матрица bjk = bkj и квадратичная
форма положительно определенная
S
Xbjkxjxk °,
7=1
Для проверки, что данные предположения ведут к диссипатив-
ной силе, подсчитаем мощность:
N = XQk4k = ~ Xbjk4j4k 0•
k=i j,k=i
Диссипативная функция Рэлея. По определению диссипативной
функцией Рэлея называется функция:
1 s
7?=^EMA-°-
2 УЛ=1
Через эту функцию можно записать обобщенную силу в виде
Тогда
™ = ,=-2R.
dt h dqk k
Так как энергия под действием этих сил уменьшается, то функ-
ция называется диссипативной. Таким образом, диссипативная функ-
ция Рэлея характеризует скорость убывания энергии.
Необходимое и достаточное условие равновесия стационарной
голономной системы. Для любой механической системы необходимое
и достаточное условие стационарности
г=1
можно получить из уравнения Лагранжа 2-го рода.
Рассмотрим систему с одной степенью свободы. Как уже отме-
чалось выше, некоторое положение системы, совместимое со связями
называется положением равновесия, если система со скоростью V = О
находится в этом положении сколь угодно долго.
Пусть в положении равновесия
4.i ~ (?' —
9, (»)=?,,
9,(0) = 0,
следовательно, <7г(?) = <7г.
В нашем случае 5 = 1, следовательно, имеется только координа-
та то q. Уравнение Лагранжа 2-го рода для системы с одной степе-
нью свободы в общем виде записывается так
dt\ dq
dq
где7Ж
2
- кинетическая энергия.
Посчитаем левую часть уравнения
dt\ dq
da .о ( \..
= —^ + a\q)q
dq
dT 1 da .2
— =-----q
dq 2 dq
Подставив в уравнение Лагранжа 2-го рода, получим
2 dq
Пусть положение системы, определяемое координатой q = q,
является положением равновесия, т.е.,
tf(0) = 0, q(0) = q,
следовательно,
q = q, q = 0.
Из уравнения Лагранжа 2-го рода, получим необходимое усло-
вие равновесия в виде
е(?,о)=о.
Покажем, что это условие является и достаточным. Начальные
условия имеют вид
q(9)=q, ?(o)=O-
Этим условиям удовлетворяет решение уравнения Лагранжа 2-го ро-
да вида q = q. В соответствие с теоремой Коши это решение единст-
венно.
Но q = q - положение равновесия. Следовательно, доказана и
достаточность.
Теорема:
необходимым и достаточным условием положения
равновесия системы с одной степенью свободы являет-
ся равенство нулю обобщенной силы:
е(9,о)=о.
Обобщим этот результат на S степенней свободы. Пусть имеем
S обобщённых координат и обобщённых сил
Теорема:
необходимым и достаточным условием положения
равновесия системы с S степенями свободы является
равенство нулю все обобщенных сил:
Найдем тот же результат из выражения для виртуальной рабо-
ты. Пусть
В? II ч. S to' со со II о II
тогда
s (N ( r)r 'Й s
=za<%t=o.
fc=i ;=i oqk у J k=\
Последнее равенство нулю следует из равенства нулю Qk в по-
ложении равновесия. Если голономная система находится в равнове-
сии, то все обобщенные силы равны нулю.
Если все силы консервативные, то имеется потенциальная
функция
П(^, 5'"5 Qn )•
Обобщенные силы определяются дифференцированием потенциаль-
ной функции по координатам
а=-^. (*=й)-
d<h
Таким образом, мы получили, что для консервативной системы
в положении равновесия потенциальная энергия имеет стационар-
ную точку, т.е., в положении равновесия достигается минимум или
максимум потенциальной энергии.
Заметим, что добавление к консервативной системе в положе-
нии равновесия гироскопических и диссипативных сил не изменит по-
ложения равновесия системы, так как обе силы зависят от скорости, а
скорость в положении равновесия равна нулю.
ГЛАВА 9
МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ ГОЛОНОМНЫХ СИСТЕМ
9.1 Теорема Дирихле - Лагранжа об устойчивом положении равновесия
Будем обозначать обобщенные координаты через
(715 (?2’ Яп ’
а через qi обозначим отклонение системы от положения равновесия.
Вспомним, что положением равновесия системы называется та-
кое ее состояние, в котором система может оставаться достаточно
долго. Для того, чтобы задать положение равновесия системы с п
степенями свободы, нужно задать все обобщенные координаты
qx, q7, qn в этом положении.
Устойчивое положение равновесия. Рассмотрим систему с N сте-
пенями свободы и дадим определение устойчивого положения равно-
весия для этой системы.
Определение. Положение равновесия голономной системы оп-
ределяемой координатами qlfq2,...,qn называют устойчивым, если для
любой £ > 0 найдется такое ^(f) > 0, что |^(г)| < £ и |^(г)| < £, [к = 1, w),
если |^(о)< 8 и |^(о)< 8.
Дадим геометрическую интерпретацию определению устойчи-
вого положения равновесия для системы с одной степенью свободы
(Рис. 9.1).
q
£
-£
— £
Рис. 9.1
* <1
Подразумевается, что 3 и е, образуют малые квадраты. В на-
чальный момент времени точка находилась в малом 8 квадрате. Если
в течение сколь угодно большого времени точка перемещается в пре-
делах большего £ квадрата, следовательно, положение равновесия
устойчивое.
Можно также сказать, что положение равновесия устойчиво, ес-
ли малые отклонения от положения равновесия в начальный момент
будут оставаться малыми и в последующие моменты.
Пространство, координатами которого являются обобщенные
координаты qx, q2,...,qn и обобщенные скорости q2,...,qn, называют
пространством - состояния или фазовым пространством. Точка с ко-
ординатами qx, q2,...,qn и ^15 q2,...,qn в фазовом пространстве называ-
ется изображающей точкой в пространстве состояний.
Нарисуем фазовое пространство для системы с одной степенью
свободы п = 1 (Рис. 9.2).
Рис. 9.2
Движение, при котором система движется вокруг положения
равновесия, отклоняясь от него на малую величину, как показано на
(Рис. 9.3), называется малыми колебаниями.
Теорема Дирихле - Лагранжа.
Если в некотором положении консервативной системы
потенциальная энергия имеет изолированный минимум,
то это положение является устойчивым положением
равновесия.
Доказательство:
Так как система консервативна, то потенциальная энергия
П(<715...,<7и) не зависит от времени t. Выбираем начало координат в
точке С, в которой наблюдается минимум потенциальной энергии.
Обобщенные координаты этой точки
(71 <72 ...,цп 0.
Поскольку потенциальная энергия выбирается с точностью до
константы, то её можно выбрать так, что
п(о,...,о)=о.
Это положение является положением изолированного минимума,
следовательно,
По определению
Следовательно,
т.е. это положение равновесия.
Докажем, что оно устойчивое. Потенциальная энергия П явля-
ется непрерывной функцией, которая обращается в нуль в некоторой
точке. Следовательно, можно указать окрестность А, в которой
П>0.
Рассмотрим полную механическую энергию
£=Т+П.
Так как система консервативная, то
1 ”
Здесь — aik4Ak ~ положительно определенная квадратичная форма.
2 i,k=i
Если возьмем £ < Л, то Е > 0 внутри £ -окрестности (Рис. 9.4).
Граница окрестности представляет собой замкнутое множество. Из-
вестно, что на любом замкнутом множестве функция достигает на-
большего и наименьшего значения. Пусть имеем минимум
Е* = min ЕЛ
(9-1)
Очевидно, что этот минимум (9.1) положителен, т.е.
Е*>0.
Возьмем меньшую окрестность £<Д, т.е., меньший квадрат (см.
Рис.9.4) и пусть
Ы<з, \ъ\<з.
Внутри этого квадрата найдётся точка, где энергия будет Е<Е*, так
как система консервативна, то полная энергия сохраняется. Следова-
тельно, внутри квадрата энергия точки Е <Е*.
Таким образом, мы получили, что точка движется внутри боль-
шого квадрата, т.е., вокруг устойчивого положения равновесия.
Эта теорема остается справедливой и тогда, когда в системе
действуют гироскопические и диссипативные силы, так как гироско-
пические силы ни как не влияют на энергию Е, а диссипативные
уменьшают ее.
9.2 Дифференциальные уравнения малых колебаний
голономной системы
Если = 0, (г = 1, п) является положением устойчивого равнове-
сия, то, как показано в предыдущем разделе, малые отклонения от
положения равновесия в начальный момент
остаются малыми и в последующие моменты, следовательно
В этом случае можно перейти от координат qt, (г = 1,и) к координа-
там qf, (z = 1, п). Эта операция называется лианизацией.
Рассмотрим голономную стационарную систему, на которую
действуют потенциальные и диссипативные силы, которые линейно
зависят от скорости.
Запишем для этой системы уравнения Лагранжа 2-го рода
d (дт}
дТ 5П 8R
(9-2)
dt^dqj dqt dqt dq/
Разложим все входящие в уравнение (9.2) функции в ряд Тейлора с
точностью до малых второго порядка.
Кинетическая энергия в этом случае имеет вид:
После разложения получим
С точностью до членов второго порядка кинетическая энергия
представляется в виде
1
7”— ~ ^LattA/lk
2 i,k=i
где
aik
= aik(9) =
д2Т
SqtSqk
qj=O
Разложим в ряд Тейлора функцию потенциальной энергии П:
п <7 ЯП 1 А 52П
П=П(0)+Х—- = qs+—^——— +...
7=1 d<lj qi=0 2 *='d4td<h
Выбираем произвольную константу так, чтобы П(о) = О. Следо-
вательно, второй член тоже равен нулю, так как система находится в
положении устойчивого равновесия.
Тогда, с точностью до членов второго порядка, потенциальная
энергия представляется в виде
2 t,k=i
Здесь обозначено
ik
а2п
Qq^qk
qj=O
Проделаем такую же операцию с диссипативной функцией
П 2—< IKXJ.J
2 t,k=i
В результате получим
1 ”
t,k=i
гдеЬЛ=йЛ(0)=-^- .
3А
Известно, что функция кинетической энергии Т есть положи-
тельно определенная квадратная форма. Функция потенциальной
энергии П также является положительно определенной квадратной
формой при любых значениях обобщенных координат. Диссипативная
функция R также положительно определенная форма из определения
этой функции.
Подставив в уравнение Лагранжа 2-го рода, после дифференци-
рования получим
п п п / ____\
Z atk<ik - о=-£ cikqk - Z btkqk > v=1 л )•
к=1 к=1 к=1
После преобразования получим уравнения
п X(aik4k+bik4k+cik4k) к=[ = 0, (/ = !,« •
(9-3)
Это система уравнений, описывающая малые свободные колебания
голономной стационарной системы с учетом сил сопротивления.
В частности, если система (9.3) консервативная, то сопротивле-
ние R не будет. Тогда:
Л = 7’-П,
и система уравнений малых свободных колебаний (9.3) для случая
консервативных сил будет иметь вид:
п X (.aik4k + Сik4к ) = 0’ к=[ i=l,n •
(9-4)
В системе кроме перечисленных сил могут действовать силы,
зависящие явно от времени. Тогда система уравнений Лагранжа име-
ет вид:
d(dT} дТ
dt [dq, J dq,
ЭЛ dR
d<li dq,
и совершает вынужденные колебания, а силы, зависящие явно только
от времени называются вынуждающими. Аналогичным образом по-
лучим систему уравнений, описывающих вынужденные малые коле-
бания:
- с учетом сил сопротивления
п ~ X(aik4k+bik4k+Cik4k) = Qi(t\ i = Vn.
к=\
- без учета сил сопротивления:
к=\
(9-5)
(9-6)
Зависимость Q, от времени t может быть периодической, тогда
их можно разложить в ряд Фурье:
~ 00
Q.If) = X Aik sin(pfa + a J,
г=1
где А,к - для каждой функции свои, р - круговая частота вынуждаю-
2л
щей силы р = —
т
т -период функции.
Так как обе системы (9.5) и (9.6) линейны, то достаточно решить
задачу для
2(0 = 4sinQ?r + az).
9.3 Свободные колебания систем с одной степенью свободы
Рассмотрим свободные колебания механической системы с од-
ной степенью свободы п = 1. Уравнение, описывающее малые свобод-
ные колебания имеет вид
aq + cq = 0. (9.7)
Найдём характеристическое уравнение для (9.7) имеет вид
аЯ2 + с = 0.
Корни этого уравнения 2 = ±. — мнимые.
V а
Обозначим J— = а. Тогда общее решение уравнения (9.7) будет
V а
иметь вид:
q = C1sin<vt + C2cos<vt = Asin(<vt + a), (9.8)
где С19 С2, А, а - произвольные постоянные, которые находятся из
начальных условий:
?(о) = ?о> ?(о) = ?о-
Найдем Q и С2:
q0=C2, ^=Сха, С] = .
а
Тогда решение (9.8) перепишем в виде
q = qQ sin at +—sin at,
a
где a - частота свободных колебаний или круговая частота, А - ам-
плитуда колебаний в рядах Фурье, а - начальная фаза.
Найдем из начальных условий А и а:
<70 =^4sincr, <70=Лгусо8«, — = A cos а,
а
г • \2
ql + , tga = ^^-, a = arctg-^-.
/ Яо Яо
Свойство изохронности свободных малых колебаний. Это свой-
ство можно сформулировать следующим образом:
Если выведем систему из равновесия и отпустим без на-
чальной скорости, то время, за которое система вернется
в положение равновесия, не будет зависеть от величины
начального отклонения qQ (Рис. 9.5)
Рис. 9.5
Начальные условия в этом случае имеют вид
= ?(о) = О-
Чтобы найти Т, положим q = 0, тогда
sin(fi# + а) = 0.
Выбираем at + а = л, тогда
т = л-а
со
а найдем, используя выражение
cos а =
Так как = 0, следовательно, а = — и
а> 1а>
Решим следующий вопрос о том, по какой траектории движется
свободная точка. Её координата и скорость определяются функциями
я = Л sin(tf# + «)
1 / \ (9-9)
q = Aa>cos\a>t + а)
Разделим уравнения системы (9.9) на |гу|2 и сложим, в результате по-
лучим
• 2
(О
Или
Это эллипс. Меняя параметр А, получим не пересекающиеся
эллипсы (Рис. 9.5). Такая система называется одномерным гармони-
ческим осциллятором. Пространство состояний или фазовый портрет
движения системы изображен на Рис. 9.5.
Рассмотрим свободные колебания механической системы с од-
ной степенью свободы п = 1 при учёте силы сопротивления.
Малые свободные колебания с одной степенью свободы систе-
мы материальных точек с учетом силы сопротивления (диссипатив-
ной силы) имеют вид
aq + bq + cq = 0, (9.10)
или, разделив (9.10) на а, получим
.. b . с
q + — q + — q = 0.
а а
Обозначим:
с 2 Ъ
— = со , — = 2п.
а а
Тогда уравнение свободных колебаний с учетом силы сопротив-
ления (9.10) приобретает вид
q + 2nq + co2q = 0. (9.11)
Его характеристическое уравнение имеет вид
А + 2пА + со — 0.
Корни характеристического уравнения определяются формулой
Д 2 = — п + V«2 — 6У2 .
Корни могут быть как вещественными, так и мнимыми. Рас-
смотрим различные случаи.
1) Пусть п > со - сила сопротивления большая, корни оба вещест-
венные и отрицательные. Решение уравнения (9.11) может быть пред-
ставлено в виде
q = e~nt + С2е~^1),
q = e~nt (л • sh[yjn2 - co2tj+ В • ch[^n2 - co2tjj,
q = H • e~ntsh[xjn2 - co21 + a).
Здесь CY,C2,A,B,H,a - произвольные постоянные. Они определяют-
ся из начальных условий.
Система будет стремиться к положению равновесия, как пока-
Эти графики можно получить, исследовав функцию q на экс-
тремум. Следует помнить, что речь идет о малых колебаниях, т.е., та-
ких колебаниях, при которых происходит отклонение меньшее на по-
рядок, чем длина нити.
2) Пусть п = со, тогда корни характеристического уравнения равны
А,2 =-«•
Тогда решение уравнения (9.11) имеет вид
q = e~nt(C1t + C2),
и описывает затухающее движение.
Пусть начальные условия имеют вид
^(О) = ^о, ?(о)=о«
Найдем постоянные интегрирования:
Яо ~ ^2 ’
^--^"'(C.Z + Cj+C,^"',
Яо = ~п^2 "* Q ’ Q = Яо + пЯо •
Решение с найденными постоянными интегрирования имеет
вид:
Я = е~п‘[(Яп +пЯо^ + Яо]-
Приравниваем q = 0 и определим критические точки.
В первом случае процесс затухания будет быстрей, чем во втором (см.
Рис.9.6а,б).
3) Пусть п<со, тогда корни характеристического уравнения вы-
числяются по формулам
V9 9 . * * / 9 ?
00 -п = -n + ico , 00 =^00 ~П .
Тогда решение уравнения (9.11) имеет вид
q = e (Cj cos co t + C2 sin co t) = A • e sin co t + a.
Траектория движения изображена на Рис. 9.7. В этом случае дви-
жение затухающее так как e~nt.
Свойство изохронности:
При qQ=0 время, за которое точка вернется в положе-
ние равновесия, не зависит от величины отклонения qQ.
Время можно определить из условия
co* *tr + а = 7с.
Если qQ = О
тс - a 7t 1 q{xo*
=------=---------arctg -—5----
со* со* со* q0 + nq0
Так как со* не зависит от q0, то
тс 1 со*
t} =--------arctg—.
со* со* п
Получим декремент затухания колебаний:
Ае nt sin^Z
ПТ /
Ae~nte 2 sin co*t +
Г „ \
*
-----+ а
2
Ae nt sin(<»J + a)
ПТ
Ae~nte 2 sin(<»J + тс + a)
Декрементом затухания называется функция:
?(0
пТ.
= е 2 =т].
Иногда выделяют логарифмический декремент затухания коле-
баний:
, пТ*
9.4 Вынужденные колебания системы с 1-ой степенью свободы
без учета сил сопротивления
Дифференциальное уравнение в случае вынужденных колебаний
систем с 1-й степенью свободы без учёта сил сопротивления имеет
вид:
aq + cq = е(0> (9.12)
где Q(t) - вынуждающая сила.
Рассмотрим случай, когда вынуждающая сила имеет вид
Q(t) = Н sin(jtf + а).
Введем обозначения
с 2 Н ,
— = со , — = п.
а а
Тогда уравнение (9.12) будет иметь вид:
q + co2q = hsin(pt + a). (9.13)
Это линейное неоднородное уравнение второго порядка с по-
стоянными коэффициентами. Его общее решение имеет вид
Я. Яоднор Я. части ’
где Чоднор - общее решение однородного уравнения (9.13), a q4acmii - ча-
стное решение неоднородного уравнения (9.13).
Как было показано ранее, общее решение однородного уравне-
ния имеет вид
Чоднор = G cos + Q sin GJt = A sin(&)Z + а).
Для вычисления частного решения q4acmH нужно рассмотреть два
случая:
1) соф р, т.е., частота свободных колебаний не совпадает с часто-
той вынуждающих сил. Тогда частное решение можно представить в
виде
(l4acm=B^\Pt + a)-
Подставив в уравнение (9.13), найдем В
- Вр2 + В со2 = h,
со -р
В этом случае частное решение имеет вид:
<1^ = 2Р 2sn(pt + a).
со -р
Тогда общее решение
q = C1 cos cot + С2 sin cot + 2 sin(/?/ + a).
co -p
(9.14)
Здесь члены
Q cos cot + C2 sin cot
имеют частоту свободных гармонических колебаний и называются
гармоническими, а
/ 2sin(p* + a)
со -р
имеет частоту вынужденных колебаний, и называются вынужденны-
ми.
Постоянные интегрирования найдем из начальных условий
?(о) = 2о> ?(о)Мо-
Подставив в уравнение (9.14) t = 0, получим
„ h
q0=C\+ —--------------------------2 sin а.
со -р
Продифференцируем общее решение (9.14) и подставим г = 0, полу-
чим
qQ=C2co + —----- p cos a.
co -p
Из этих соотношений найдём
r h
----------г----Fsm6Z
co -p
r _J_ • _
'-'2 — 4o
CO
hp
—;----7 COS a
co -p
Подставим найденные постоянные и, перегруппировав члены,
получим
qn . h
q = q0 cos cot + — sin cot--2—
co co —
p
Sin « COS + —COS « Sin <2# +
CO
h
sin(/?Z + а) = q^ + q® + q®
где
q® = q0 cos cot +—sin cot - свободные колебания, которые совершала бы
со
система, если бы не было вынуждающей си-
лы;
М П . О .
q 1 =---:-- sin a cos cot +—cos a sin cot
co - />2 L co
- это вынужденное колеба-
ние, которое происходит с частотой свобод-
ных колебаний;
------sinQtf + а) - чисто вынужденные колебания.
со - р2
В сумме мы имеет сложное колебательное движение.
Рассмотрим амплитуду вынужденных колебаний:
График зависимости амплитуды от частоты вынужденной силы
приведен на Рис. 9.7.
Рис. 9.7
Явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колеба-
ний при приближении его частоты к частоте свободных колебаний на-
зывается резонансом.
Рассмотрим случай, когда частоты собственных и вынужденных
колебаний почти совпадают: — «1, но все же не совпадают.
со
Для этого рассмотрим два слагаемых q® и :
q = q^ + q® = —у [sin (/?/ + a) - (sin a cos cot + cos a sin cot)] =
co -p
= —у [sin(/?/ + a) - sin(a)/ + «)] =
co -p
1h . (p-co\ ((p + co)t A /sk4
= —„-----sin1^----^-cos —----- + a . (*)
2 2 r\ r\ V '
cd -p 2 <2 у
Здесь р + со&2р & 2со, однако, р - со заменить нулём нельзя.
Обозначим:
_/ \ 2h . (р- со)
со -р 2
t.
Тогда
q = B(t)cos(pt + а).
В результате получаем, что частота колебаний очень маленькая,
а период очень большой (Рис. 9.8).
Такие движения называются биением. Дальше, при приближе-
нии р к со нужно ждать резонанса.
Из уравнения колебаний
q + со1 q = AsinQtf + а), (9.15)
при со = р, получим
^=^cos(pf + a). (9.16)
Продифференцируем (9.16):
q = В cos(pt + а) - Btp sin (/?/ + а),
q = -2 5/? sin (/Д + а) - Btp2 cos(pt + a),
и подставим в уравнение (9.15)
- 2Врsin(/?Z + a)-Btp2 cos(pt + а)+Btp2 cos(pt + а) = /z sin (/?/ + а).
В результате получим
Я-част
Этот же результат можно было получить предельным переходом при
р со в уравнении (9.15).
График изменения этой функции показан на Рис. 9.9. Здесь на-
блюдается явление резонанса.
Рис. 9.9
9.5 Вынужденные колебания системы с 1-ой степенью свободы
с учетом сил сопротивления
В этом случае дифференциальное уравнение колебаний имеет
вид:
aq + bq + cq = Hsin(pt + a). (9.17)
Член bq - характеризует силы сопротивления.
Обозначим:
Ъ . с 2 77
— = лп, — = со , — = п.
а а а
Тогда уравнение колебаний (9.17) запишем в виде
q + 2nq +co2q = hsva{pt +а). (9.18)
Аналогично предыдущему случаю, решение представим в виде
(Z Я-одн "I" Я.част '
Однородное решение qodH было получено ранее для различных
случаев:
при п > со
q = H • e~ntshwn2 -co2t + а),
При П — CD,
q = e~nt(C]t + C2),
при n< co,
q = A- e~nt sin 7«2 - CD2t + a.
Поэтому рассмотрим частное решение q4acm.
Частное решение (9.18) будем искать в виде
=5sin(pf+ «-<?),
или, что тоже самое, в виде суммы
sin (/?/ + а) + cosQtf + а).
Вычислим q и q, и подставим в исходное уравнение (9.18):
- Вр2 sm.(pt + а - 8)+ 2прВ cos(pt + а - d>) +
+ cd2В sin (/?/ + а - 8) = h sm(pt + а)
Преобразуем правую часть (9.19):
Asin(/tf+ «) = Asin(/tf + «- 8 + j)=
= h sin (/?/ + a - j)cos 8 + h cos(pt + a - j)sin 8
Сгруппируем все слагаемые (9.20) и перенесём в левую часть:
[- Вр2 + со2В - h • cos j]sin(/tf + а - j)+ \2npB - h sin j]cos(/tf + a - 8) = 0.
Это соотношение имеет место для любого t, т.е., все квадрат-
ные скобки равны нулю
или
- Вр2 + со2В - hcosS = 0
2прВ - hsin8 = 0
b\cd2 — ] — Acos 8
2рпВ = Asin cd8
(9.21)
Возведем оба уравнения (9.21) в квадрат и сложим:
В результате получим
т>2 / 2 2 'V . д 22 1 2
В \cd - р )+Ар п =h .
В =
2пр
tg8 = ——5-.
CD ~р
Здесь В - амплитуда колебаний, 8 - сдвиг фазы, на который отстает
фаза вынужденных колебаний от вынуждающей силы.
Рассмотрим функцию В^р). Она ни при каких значениях р не
стремиться к бесконечности. Исследуем на экстремум функцию В(р).
Для этого достаточно исследовать подкоренное выражение:
(си2 -p2J + 4рV = f(p). (9.22)
Приравняем первую производную (9.22) нулю
(9.23)
Корни уравнения (9.23) равны
р, =0, р2= V- 2п2 + со2 .
Случай р, = 0 тривиальный, он соответствует отсутствию внешней
нагрузки. Поэтому нас интересует корень р7. Для определения ми-
нимума функции вычислим вторую производную
/"(^) = -46у2 + 12/>2 -8«2.
Подставив р2, получим
f”(p2) = -4су2 + 8«2 - 24«2 + 12су2 = -16«2 + 8су2 = 8(су2 - 2«2).
о
Вторая производная отрицательна при п < > что соответст-
вует минимуму функции и соответственно максимуму амплитуды
В"“ =В^= .]4па+4а>2-2п2)п2 = 2ил/®2-»2 ’
Получили, что 5тах обязательно конечное значение. На Рис. 9.10
показан график зависимости В(р) для различных значений п.
Рис. 9.10
В случае, когда п > т, не будет точки экстремума, кроме не
интересной в начале координат: если действует большая сила сопро-
тивления, тогда ни какие силы не могут раскачать систему, и резонан-
са наблюдаться не будет.
Если рассмотреть отдельно графики частного и общего реше-
ния (Рис. 9.11), а затем их сложить (Рис. 9.12), то видно, что в конце
остаются только вынужденные колебания.
Ячаст 11
9.6 Свободные малые колебания консервативной системы
с н степенями свободы
Свободные малые колебания консервативной системы с п сте-
пенями свободы описываются системой уравнений вида
п / __\
Е(ад*+ад*)=о,
г=1
(9.24)
Это система линейных дифференциальных уравнений второго
порядка с постоянными коэффициентами. Из теории дифференци-
альных уравнений известно, что решение этой системы (9.24) имеет
форму
qk = ик si n (см/ + а), (к = 1, п). (9.25)
Здесь а> = const - частота, а = const - начальная фаза.
Подставляем выражение (9.25) в систему уравнений (9.24). После
дифференцирования получим систему алгебраических уравнений:
(9.26)
Система однородных линейных алгебраических уравнений (9.26) име-
ет нетривиальные решения, если определитель равен нулю
det||cft-6»X
= 0.
(9.27)
Сделаем замену переменных ю2 = А и найдем корни полученного ха-
рактеристического многочлена Д, ...,Лк.
Уравнение (9.27) в механике называется уравнением частот или
частотным уравнением. В теории дифференциальных уравнений оно
называется характеристическим уравнением.
Подставляем Я,. в систему (9.26)
Ё (cft - ^aik )w/7) = 0, (j = 1, n}.
i=l
Покажем что корни характеристического уравнения вещественные
и положительные. Для удобства перейдем к векторной форме записи
этой системы уравнений. Введем две матрицы:
аи
с1„
ап1
апп
и два вектора:
Запишем систему (9.24) в этих обозначениях:
Aq + Cq = 0. (9.28)
Её решение запишем в форме:
q = usin(^ + а).
Уравнение (9.26) имеет вид:
Cu + 2Au = 0. (9.29)
Характеристическое уравнение:
det||C - АА|| = 0. (9.30)
Введем понятие билинейной формы. Квадратичная форма (на-
пример, кинетическая энергия) имеет вид:
1 "
Т = S аМ. ’
2 i,k=i
а произвольная квадратичная форма
t.aikxixk •
i,k=\
Билинейная форма записывается в виде
Евдл •
i,k=l
Будем обозначать через A(x,j/) - билинейную форму и через
А(х,х) - квадратичную.
Выпишем основные свойства билинейной формы:
1. А(х} + х2,у) = А(х},у) + А(х2,у).
2. А(Ах,у)=ЛА(х,у).
3. А(у,х) = А(х,у), (Aik = Ah.), т.е., матрица Aik - симметрична.
4. Предположим и - комплексный вектор. Введем комплексно-
сопряженный к нему вектор и:
щ =ах+/Зх,
и\=ах-
Утверждение.
Квадратичная форма a(u, и)
- вещественна.
Доказательство:
Пусть имеем
U = X + /у И U = х - /у.
Здесь х, у - вещественные векторы.
a(u, и) = А(х + /у, х - /у) =
= А(х,х) - «А(х,у) + zA(y, х) + А(у,у) =
= А(х,х)+А(у,у).
Получили вещественные слагаемые.
5. Если иии- комплексно-сопряженные векторы и если матри-
ца А соответствует положительно определенной квадратичной
форме, то
a(u,u)> 0.
Доказательство вытекает из доказательства свойства 4.
6. Предположим, что есть некоторое характеристическое уравне-
ние, записанное с помощью матриц А и С:
Cu = AAu. (9.31)
Предположим, что 2 является корнем соответствующего ха-
рактеристического уравнения (9.31) (любой корень). Тогда, имеет ме-
сто следующее уравнение:
C(u,v) = AA(u,v). (9.32)
Доказательство: Пусть имеем
п п
X ^ikUk = aikUi •
г=1 г=1
(9.33)
Это система п соотношений. Умножим каждое уравнение на vk:
п п
Xcikuivk = AXaikuivk ’
i,k=[ i,k=\
или в векторной записи
C(u,v) = AA(u,v).
7. Если лил различные корни характеристического уравнения,
которое соответствует системе (4), а и и и' - соответствующие
им амплитудные векторы, то A(u,u') = 0.
Доказательство:
На основании свойства 6 имеем
C(u,u') = AA(u,u').
Здесь и - амплитудный, а и' - произвольный вектор.
Также имеем
Cu' = 2'Au'.
Из свойства 3 следует
C(u',u) = AA(u',u).
При вычитании одного результата из другого получим:
0 = (2-A')A(u,u'),
т.е.,
A(u,u') = 0. (9.34)
Докажем, что корни характеристического уравнения (9.34) веще-
ственные и положительные. Допустим противное, пусть Л - ком-
плексный корень частотного уравнения. Тогда есть и комплексно-
сопряженный корень Л (для уравнений с действительными коэффи-
циентами).
Предположим, соответственно, что 1 соответствует амплитуд-
ный вектор и, а Л соответствует амплитудный вектор и. Тогда поль-
зуясь свойством 5, получим
A(u,u')> О,
а из свойства 7 следует
a(u,u) = 0.
В результате пришли к противоречию, т.е., наше предположение не
верно и Л комплексным корнем не может быть, т.е., Л - веществен-
ный корень.
Докажем положительную определенность корней характеристи-
ческого уравнения А. Запишем характеристическое уравнение
Си = ЛАи.
Из свойства 6 следует
C(u,v) = 2A(u,v)-
Здесь v любой вектор. Пусть v = и, тогда
С(и,и) = ЛА(и,и).
Откуда находим
л с(ц>ц)
A(u,u)
Здесь А и С положительно определенные квадратичные формы и,
следовательно, А положительно.
Будем искать решения системы алгебраических уравнений:
i(ci-2<»a,i)UW = 0. (9.35)
г=1
Определитель этой системы равен нулю:
МЫ1=°-
Пока ограничимся случаем, когда все корни различны:
А А ••• А>
тогда
rang\\Cik-A{j)aik\\ = n-l.
Обозначим:
Тогда исходная система (9.35) примет вид:
dnux + dnu2 + ••• + dinun = О
А-1М1 + Аг-1,2 W2 + ••• + dn_x>nUn = 0
dn\u\ "* ^n2w2 + ••• + dnnun = 0
Так как ранг rang = n-\, следовательно, можно исключить любое
уравнение, так как оно есть линейная комбинация остальных (в об-
щем случае то, которое надо исключить, ставим на последнее место),
т.е., имеем п -1 уравнение с п неизвестными.
Разделим каждое уравнение (9.35) на ип.
dn^ + ... + dln=O
.................>.
<1;Д+...+<1=о
и
п J
Теперь имеем п -1 уравнений и столько же неизвестных
Щ_ d Щ d ^ = _d
“11 ~ “12 T'"™ln-1 “in
Un Un Un
<................................. , (9.36)
<1,1 - + <1,2 - + ••• + <i,n-l = -<i,n
и и и
I n n n
причём
rang = n -1, detp|| Ф 0.
Теперь эту систему уравнений можно решить по правилу Крамера:
= / = 1л-1. (9.37)
Un ^пп
Здесь dnn - определитель системы, dni - алгебраическое дополнение
исходной системы.
Перепишем соотношения (9.37) в виде
или в общем случае:
и, _ М2 _ _ ип
д-
т п2 пп
Тогда решение можно представить в виде
М1=сАп1
М2
сАп2
следовательно, wz = cAnZ
и =сА
V п пп
j, = 1,п).
= с^\п^а)\
где постоянная для каждого корня своя.
Так как система (9.36) была однородная, то в решении имеется
произвольная постоянная с.
Выпишем фундаментальную систему решений (9.36):
sin co J + a j = C(y)A . ni coj )sin cOjt + a j i = l,n •
3. Найдём общее решение как сумму фундаментальных решений
Ч. = X k°j )sin(fi>/ + ctj), (/ = 1, n).
j=t
Здесь содержится 2n постоянных интегрирования, а именно n
постоянных и n o№ постоянных. Для их определения имеем 2п на-
чальных условий
^(0) = rf _
........., i = 1, п.
Ч(°)=й0
Главные (нормальные) колебания. Возможность перехода к
главным осям обеспечивает следующая теорема.
Теорема:
Две квадратичные формы, из которых одна не отрица-
тельная, а вторая положительная определенная, одним
преобразованием их можно привести к диагональному виду.
Основываясь на этой теореме, мы всегда можем одним преоб-
разованием координат исходные квадратичные формы
A(u, u) = X aikuiUk , с(и, и) = X CikuiUk,
г=1 г=1
преобразовать к диагональному виду
п п
л(е,е)=2Х, с(е,е)=ЕМ2-
г=1 г=1
Обозначим
0j = sin(fiy + ctj} (j = 1, w),
и подставим в общее решение:
Qi = X k = E AA ’ 0 =n\
j=i j=i
(9.39)
(9.40)
где Д = Ли/ (ctjj.) - матрица размера п х п.
Получили линейное преобразование координат, записанное яв-
но. Координаты 0j. называются главными (нормальными) координа-
тами. Переходом к главным координатам мы облегчили себе реше-
ние. Каждая координата колеблется со своей частотой. С учётом нор-
мальных параметров имеем два уравнения с двумя неизвестными.
Продифференцировав два раза (9.39), получим
0j = -afjC^ sin(fiy + aj)= •
Таким образом, дифференциальное уравнение, которому удов-
летворяют главные координаты, имеет вид:
<97. + ^7.=0, 7 = 1^. (9.41)
Сравнив (9.41) с (9.36) видим, что в качестве обобщенных коор-
динат удобно брать главные координаты.
Теперь вычислим кинетическую и потенциальную энергию для
случая а = 1 и С = со2:
2 ’ 2
В общем случае:
1 П . 1 п
Т=-^, n=W
Z ;=1 Z г-=1
Как видим, Т и П можно записать в канонической форме.
Функция Лагранжа получится аналогично.
Рассмотрим случай, когда есть кратные частоты. Например,
а\ = а>2, следовательно, Тогда следовало бы ожидать, что ре-
шение представляется в квазилинейном виде:
(cj + c2i)sm(a),t + а) .
Перейдём к главным координатам и запишем систему уравне-
ний
= О
Oi + o-Oi =0
Её решение имеет вид
Ох = sin^, t + ах)
07 = С® sin^, t + а7)
0t = sin(6yz, t + a,)
Как видно, каждой частоте соответствует своё колебание кроме
частот с номерами 1 и 2. Но у этих колебаний разняться амплитуды и
начальные фазы. Различие есть с теорией дифференциальных уравне-
ний, так как матрицы А и С не любые, а положительно определен-
ные.
Рассмотрение случаев с кратными корнями в общем виде очень
сложно. В случае двух кратных корней мы имеем ситуацию, изобра-
9.7 Свободные колебания системы с п степенями свободы
с учетом сил сопротивления.
Дифференциальное уравнение, которое описывает движение та-
кой системы, имеет вид:
X (aikqt + bikqt + cikqt) = 0, к = 1 ,п. (9.42)
г=1
где aik, bik, cik - константы, образующие положительно определенные
матрицы.
Методы решения этой системы уравнений те же, что и в случае
колебаний без учёта сил сопротивления.
Частное решение системы (9.42) ищем в форме:
qi=Aieu, i = \,n,
Подставляем это решение в дифференциальное уравнение (9.42) и
получим систему алгебраических уравнений:
± (а^Л1 +Ь,кЛ + clt Ц =0, (Л = 1^). (9.43)
г=1
Эти уравнения однородные. Определитель этой системы обозначим:
Д(Л)=|аа22+М + с»|- (9-44)
Чтобы система (9.44) имела не тривиальное решение нужно, чтобы:
л(л)=о.
Раскрыв определитель, получим многочлен степени 2п, т.е., в
общем случае будет 2п корней любых вещественных и комплексных.
Обозначим комплексно-сопряжённые корни:
= -па + ia)a и Л” = -па - ia)a.
Такие корни появляются в решении парами, следовательно, их четное
число. Отсюда следует, что вещественных корней также четное коли-
чество.
Для удобства вещественные коэффициенты обозначим:
Л+ = — п+, Л" = — п .
а а ’ а а
Покажем, что все числа па, п+а, п~ положительны. Суперпозиция
частных решений уравнения Л(2) = 0 даст:
2«
9,=Z4W^'.
а=1
Так как рассматриваемая система диссипативная, следовательно,
полная механическая энергия Т + П должна убывать.
Но кинетическая энергия имеет вид
1 ”
т = ~ Е аиААк •
г'Л=1
Поэтому если хотя бы одно из Ла < 0, то, подставляя qtв Т, получим,
неограниченное возрастание кинетической энергии Т, следовательно,
и возрастание Т + П - общей энергии, чего по физическим соображе-
ниям не может быть.
После нахождения корней характеристического уравнения 2г ,
подставляем их по очереди в уравнение
£ (а,Л + ... + c,t)j,w = 0.
Из этого уравнения найдем амплитуды Д.. Уравнение Л(2) = О
имеет не тривиальное решение. Пусть все корни характеристического
уравнения различны, тогда ранг матриц
что соответствует уравнению (9.43).
Имеем п -1 независимых уравнений. Переставим уравнения в
нужном порядке, как делали в предыдущем случае.
Решение запишем в форме:
4°':: дДл)
А(а) Л (Л Y
где Лии - детерминант системы, а - алгебраическое дополнение
элемента на пересечении «-ой строки и А:-го столбца.
Перепишем это равенство в виде
л(«) л(«)
---=—п-г^ = Са^ к = Х,п-Х.
А. 2 А 2
Здесь Са - постоянная, одинаковая для всех элементов с индексом
к = 1,п-1. В результате получим
4“’=с«-д^(л)-
1) Запишем решение, для случая, когда все корни характеристиче-
ского уравнения комплексные и различные:
<?, = £4“’^' = ЁСд-(л>(-‘*“‘)' .
а=1 а=1 а=1
Решение должно быть вещественным, следовательно, выделим из
общего решения только вещественную часть:
gt - +С«‘Д-(лк"-')- (9-45)
а=1
Здесь С+а, С~ - постоянные, их достаточное количество для удовле-
творения начальным условиям.
2) Случай, когда все корни различны и вещественные. Решение
имеет вид
ч. = 1 (сдй (л н +С;д„ (л; У*). (9.46)
а=1
3) Случай, когда корни и комплексные и вещественные. Пусть
имеем 2m комплексных корней, а остальные 2и - 2m - вещественные.
Можем записать первые комплексные корни:
ч, +с;дй(л;>-*}+
, (9.47)
а=т
В этом решении есть экспонента с отрицательной степенью,
следовательно, имеем затухающие колебания. Анализ этих уравнений
показывает, что: в уравнении (9.45) - по каждой координате имеем
затухающие колебания, в уравнении (9.46) - апериодическая функция,
а в уравнении (9.47) - по каждой координате затухающие колебания
плюс апериодические движения (т.е., без колебаний).
В случае колебаний без затухания удобно было перейти к глав-
ным координатам. Тогда система распадается на независимые диф-
ференциальные уравнения второго порядка:
q, + &iQi = О-
В случае колебаний с затуханием ввести главные координаты в
общем случае нельзя, но в некоторых частных случаях можно. Если
то никаких главных координат ввести нельзя. Этот
вывод исходит из алгебры, т.к. у нас не две, а три квадратичные фор-
мы (1): aik, bik, cik. Но если ЛиД^) = Ank(A~), то этот множитель мож-
но вынести за скобки:
9, - Re(c>‘"-'
а=1
где ва = (с+ае1Юа* + - главные координаты.
9.8 Вынужденные колебания системы с п степенями свободы
Дифференциальные уравнения, описывающие вынужденные ко-
лебания механической системы с учетом сил сопротивления, имеют
вид:
Е (aikQi + bikQi + cikQi) = Qk (О • (9-48)
г=1
Здесь Qk(t) - возбуждающая сила. Если она периодична, может быть
представлена рядом Фурье, а если она гармоническая, то, например,
косинусом
Qk(t) = Hkcos(pt + a),
который представляет собой первый член разложения в ряд Фурье по
косинусам.
Так как
cosQtf + а) = Rce'(7"*a),
то рассматривать будем эквивалентную систему:
„ i(pt+a)
Z (М, + bikqt + cikqt) = Qk (t) = Hke , (9.49)
г=1
и решение представим в виде
qt. -Rc7;(// ).
Если бы взяли вместо косинусов синусы, то получили бы мнимые час-
ти корней.
Итак, решение системы уравнений в случае вынужденных коле-
баний с учетом сил сопротивления ищем в виде
qk = Чкодн + Укчаст ’
где qkodH - общее решение однородного уравнения (рассмотрено в
предыдущем разделе), qk4acm - частное решение неоднородного урав-
нения.
Частное решение будем искать в форме:
qk = Akei{pt+a+s*\
где дополнительный параметр дк появился из-за существования bik.
После подстановки в систему дифференциальных уравнений по-
лучим
X((ip)2ajk +iPbjk +cjk)AkeiSk =нр (j = 1л),
k=i
систему линейных алгебраических уравнений. Подлежат определению
^к’
Для удобства обозначим ip = 2. Нужно, чтобы определитель
этой системы был отличен от нуля:
д(Х)*о.
Тогда
где Лд-Я] - алгебраическое дополнение А-го элемента.
Предположим, что характеристическое уравнение имеет только
комплексные корни. Используем те же обозначения, что и в преды-
дущем разделе:
Ла =~na+iG)a’
Xa=-na-iG>a’ а = \,П .
л(л)=ап(л-лАл-л;).
Вычислим л(й,), учитывая что 2 = ip, Л+а, 2“
а(л ) = а п (л — л: \л — л )=
X / 1 \ / \ /
а=\
= и п (л2 — л (л+а + Ла) + Л^а + Ла)=
= а п(— »2 + In ip + n2 + со2).
Обозначим 2 * = -//?, тогда значение многочлена от комплексно
- сопряженного корня равно
л(л *)= а П [- р2 - 2naip + п2а + со2 ].
Учитывая, что
А = *) = aw(W*)
‘ A(W*) ’
a=lL' '
и elSk = 1 найдем вещественное число Ак.
Зная Ак можно найти начальную фазу. Определим, когда ам-
плитуда максимальна и минимальна. Для этого найдем производную:
- ^р(п2а +о2а-р2У + 8п2р = 0,
а = о; р2 = л1й)2а-п2а-
Корень рх = 0 соответствует случаю отсутствия вынуждающей силы, и
поэтому рассматриваться не будет. При не большом сопротивлении
среды существуют корни при соа > па. В этом случае р2 - резонансная
частота и существует много резонансных пиков. Если па > соа, то ре-
зонансных пиков не будет при любом значении возмущающих сил, так
как действует большая сила сопротивления, и ни какие силы не могут
раскачать систему, и резонанса наблюдаться не будет.
Вынужденные колебания без учета сил сопротивления. Этот слу-
чай легко получается из рассмотренного выше, если есть стремление
па 0 (па = о). Здесь
л(Х)Иа=0=ап[^-^2].
Тогда:
|aw(X)
п Г 1 "
«п[^-р2]
Резонанс наступает при а>? = р. В этом случае амплитуда воз-
растает бесконечно. Решение аналогично случаи без учета сил сопро-
тивления с 1-й степенью свободы.
ГЛАВА 10
ДИНАМИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА
10.1 Геометрия масс. Тензор инерции
Рассмотрим геометрию распределения масс в твердом теле.
Определим плотность твердого тела в точке М. Для этого рассмот-
рим малый элемент объёма АР массой Ат (Рис. 10.1) и возьмём их
Ат
отношение----.
АР
Рис. 10.1
Определение. Плотность твёрдого тела в точке определяется
пределом отношения:
lim = р(х, у, z).
ДК->0ДР"
Если плотность тела р постоянна, то тело однородное.
Масса тела через его плотность выражается формулой:
м =
V
Определение. Статический момент относительно точки О опре-
деляется формулой
S„ = ffjrdm ,
V V
где г - радиус - вектор любой точки твердого тела.
Если спроектируем статический момент So на оси координат, то
получим статические моменты относительно плоскостей:
V
С помощью статического момента можно определить центр
масс по формуле:
S0 _ V_____
м|
V
и координаты центра масс (центра тяжести)
s
°xz _ V______
М fflpdV ’
V
У2 _ V_____________
S
у __ ХУ __ V______
‘ ” м fflpdr
Если посчитать статический момент относительно центра масс,
то получим, что
Sc = 0 или ffjrcdm = 0.
v
Иногда статические моменты называют моментами первой сте-
пени.
Определение. Моменты инерции относительно плоскостей оп-
ределяется по формулам
V
\\\y2dm = Jxz,
v
\\\z1dm = Jxy .
v
Моменты инерции относительно осей определяется по формулам
7- = Ш(х2
V
7хх=Ш(/ + z2)dm,
v
Jy,=^(x2+z2')dm-
Момент инерции относительно полюса (центра системы коор-
динат), определяется по формулам
Обычно такой момент инерции называют полярным.
Центробежные моменты инерции определяется по формулам
J*y
V
Jxz=SSSxzdm’
V
Jyz=-\\\yZdm-
V
Центробежные и осевые моменты инерции можно записать, ис-
пользуя более унифицированную запись осей. Для этого переобозна-
чим координаты
Тогда моменты инерции будут иметь вид:
Jik=-$xixkdm’
V
JЦ = Ш(* = 1’3)-
v
Jik=m(r2dik-xixk)dm-
V
Последние две формулы можно объединить:
(10.1)
Здесь в формуле (10.1) записаны сразу все центробежные и осевые
моменты инерции.
Если перейти из одной системы координат к другой с матрицей
преобразования
( Л
a,,, =cos xf.x,
и для простоты центры системы координат совместить, то новые
моменты инерции вычисляться по закону:
3
Л'Г = aiiakkdik •
i.k=\
(10.2)
Всего формулой (10.1) записано 9 величин. Величины, которые при
замене координат преобразуются по формулам (10.2) называются
тензорами второго ранга. Таким образом, центробежные и осевые
моменты инерции образуют тензор второго ранга, называемый тен-
зором моментов инерции. Заметим, что тензор моментов инерции
симметричен.
Пример: Рассмотрим твердое тело, показанное на Рис. 10.2. Вы-
бираем некоторую (не штрихованную) систему координат. Посчитаем
по формуле (10.1) моменты инерции.
Выберем ось и с единичным вектором и0, определяющим её
направление и направляющими косинусами:
Д = cos u°,xz
Введем новую систему координат, в которой х[ = и. Центры новой и
старой систем координат совпадают. Тогда момент инерции относи-
тельно оси и определяется выражением
3 3
\ ~ ^LaViaVk^\к = PiPk^ik •
i,k=\ i,k=\
Здесь Pi=aVi, fik=aVk.
Рис. 10.2
Таким образом, момент инерции относительно любой оси мож-
но определить по формуле
3
Jп ~ ^LPiPk^ik •
i,k=l
(10.3)
Каждому тензору можно поставить соответствующую тензор-
ную поверхность. Тензору моментов инерции соответствует эллипсо-
ид моментов инерции.
Вдоль оси и отложим отрезок
ОМ =
11° = г
Направляющие косинусы:
А = хг-<-
• I I у W
Подставив Д. в соотношение (2), получим
3
JikXiXk = 1 •
i,k=l
(Ю.4)
Это уравнение поверхности эллипсоида моментов инерции.
Уравнение (10.4) можно привести к каноническому виду:
2 2 2
•Х-1 , Х2 , Х3 _ 1
2 2 ' 2 1
а2 а3
где at - полуоси эллипсоида.
Из выражения следует, что а1 - осевые моменты
инерции. Если аг=а2, следовательно, Jn=J22 и, следовательно, эл-
липсоид инерции является эллипсоидом вращения относительно
третьей оси, и наоборот. Это условие симметрии твердого тела. Ко-
гда тензор моментов инерции имеет диагональный вид, его называ-
ют тензором в главных осях:
0 0
0 J2 0
0 0 J3
и I
В этом случае все центробежные моменты инерции равны нулю.
Например: если ./13 = Jn = 0, то тензор моментов инерции будет
иметь вид:
Л1
о
о
о о
•^22 'Аз
Аз Аз
Здесь первая координатная ось является главной осью инерции.
Для симметричного тензора главные оси всегда можно найти.
Может быть, что главных осей три. Тогда тензор моментов инерции
называют шаровым тензором и Jx= J2= J3, Jik = 0.
Главную ось называют главной центральной осью тензора
инерции, если она проходит через центр масс.
Пример: Для цилиндра показанного на Рис. 10.3 имеем место
равенство Jn = J22.
Здесь ось симметрии является главной центральной осью.
10.2 Основные динамические характеристики твердого тела
Основными динамическими характеристиками твердого тела
являются:
1. момент количества движения Ко.
2. кинетическая энергия Т.
3. количество движения Q = MVC.
Момент количества движения Ко. Рассмотрим твердое тело, с
которым связаны подвижная хг и неподвижная системы координат
(Рис. 10.4)
Определение. Момент количества движения твёрдого тела
относительно неподвижной точки определяется формулой
Ко, =JJJ(PxV)6/w’ (10-5)
V
где V - скорость точки М.
Пусть
p = p0+r, V = V0+oxr.
Подставив эти соотношения в предыдущую формулу (10.5), по-
лучим
Ко. = Ш((Ро + r)x(vo +wxr)>Zm =
Рис. 10.4
= Ш(Ро х % Ут + JJJ(р0 х (шх r))dm + JJJ(г х Vo )dm + JJJ(г х (шх r))dm =
V V V V
= М (р„ х V„) + (р„ х (ых г)) + (S„ х V„) + fff (ыг2 - г х (Шх r^dm
v
Для упрощения последнего слагаемого воспользуемся равенствами:
3 3 3
coXг = Хад, <» = Х>А ’ г = •
г=1 к=1 к=1
Тогда получим
3 (
к» = ЕШ
к=\ V \
3 \ 3
~хкекхх^ dm=x^k
г=1 / k,i=l
Ш г2^к~хкекХх^ dm-
V \ г=1 Z
Здесь использовалось равенство
3
г=1
где 8ik - символ Кронекера.
Учтем, что
( 3 А
Ш dm = Jik
v \ »=1 /
- тензор моментов инерции относительно точки О. Тогда момент
количества движения твёрдого тела относительно точки О выража-
ется формулой
3
Ко = •
k,i=\
С учётом этой формулы момент количества движения твёрдого
тела относительно точки (\ примет вид
ко, = м(Ро х %) + (р0 х (wx г)) + (So х Vo) + X Jikcopk.
k,i=\
Частные случаи.
1) Пусть точка О - центр масс, т.е., О = С. Тогда момент количе-
ства движения вычисляется по формуле
3
К0] =pcxA/Vc + XJik^k •
i,k=i
Известно, что MVC = Q.
2) точка О - неподвижна. Следовательно, системы координат со-
вмещены и О = Q. Тогда р0 = 0 и
3
Ко] = Ко = .
i.k=\
Кинетическая энергия. По теореме Кёнега кинетическая энер-
гия вычисляется формулой
т ___ МУС2 ।
2 2
где - момент инерции относительно оси со проходящей через
точку С. Преобразуем это выражение:
где Jik - моменты инерции относительно центра масс.
Частные случаи
1) Точка С - неподвижная точка. Тогда кинетическая энергия рав-
1 3
2 i,k=[
Здесь опять присутствует тензор моментов инерции.
2) Тело движется поступательно. Тогда кинетическая энергия
равна
10.3 Дифференциальные уравнения движения твердого тела с непод-
вижной точкой. Динамические уравнения Эйлера
Рассмотрим твердое тело, с которым связаны подвижная хг и
неподвижная системы координат (Рис. 10.5). На тело действуют
активные силы и имеются реакции связи R.
Рис. 10.5
Рассмотрим теорему об изменении момента количества движе-
ния. Момент количества движения будем вычислять относительно
точки О. Тогда получим
—— = Lo (F(e)) или Ко = £ JikcoiQk .
at i,k=i
Запишем Ко в подвижной системе координат, в которой Ко по-
стоянно. По формуле Мещерского имеем
da da
— = — + шха.
dt dt
Она устанавливает связь производных в подвижной и непод-
вижной системах координат. После подстановки получим
^ + U)xK0=L0(F(e)).
dt ° °\ /
Спроектируем это уравнение на оси координат. В результате получим
—Ку + (<w2A?3 — со3К2) — Ly,
—К2 + (со3Ку — (ОуК3) — Z,2,
Здесь
3 3 3
К = = Yj.d),. , К3 = УК®.
1 zl I " 2 iZ i " 3 13 i
z=l z=l z=l
Мы использовали представление векторного произведения в
виде
61 е2 ез
6У1 6У2 6У3 = ШхК0.
к.
Так как подвижные оси выбраны произвольно, то предположим что
это главные оси инерции. Тогда
Кк
= JkG)k-
(10.6)
или
-^^1 J1у ~ J2 ^2 ^3 3 ^3
Производная (10.6) по времени имеем вид
d_T _ т •
, кык •
at
В результате получили динамические уравнения Эйлера в виде:
Jxd)x + (J3 - Л )бУ26У3 = Д
< Сл— Д )^1^з= д
./3693 + (./2 - .L ^а)2а)х = L3
(10.7)
Неизвестными здесь являются а\, со2, со3, 0, ф и у/. Для их определе-
ния имеем также кинематические уравнения Эйлера:
бу' = у/ sin 0sin ф + 0cos р
* а>? = ^sin0cos#>-0sin^
= у/ cos 0 + ф
Таким образом, получили систему из шести уравнений с шестью
неизвестными. Уравнения нелинейны, что усложняет решение. Реше-
ние этой системы должно также удовлетворять начальным условиям.
Общий интеграл можно записать только в трех случаях. Рассмотрим
1. Случай Эйлера (1758 г.). Пусть твердое
тело закреплено в центре масс, как показано на
Рис. 10.6 и вращается вокруг этой точки. Его на-
зывают волчок Эйлера. В общем случае
Л фJ2фJ3 •
Рис. 10.7
2. Случай Лагранжа. (1788 г.) Рас-
смотрим симметричное твердое тело,
показанное на Рис. 10.7 и вращающееся
вокруг оси симметрии. Его называют
волчок Лагранжа. В этом случае
Рис. 10.8
3. Случай Ковалевской.
(1886 г.) В этом случае
J, = = 2./3, т.е., центр
масс не лежит на оси
вращения (Рис. 10.8). Его
называют волчок Кова-
левской. За решение этой
задачи Софья Ковалев-
ская выиграла конкурс,
объявленный Парижской
академией наук.
Есть много других частных случаев при начальных условиях спе-
циального вида.
Волчек имеет следующие полезные свойства: устойчивость, не
инерционность, может под действием силы двигаться против направ-
ления действия силы.
10.4 Движение твердого тела с неподвижной осью
Рассмотрим твердое тело, в котором имеется две неподвижные
точки (Рис. 10.9). Пусть через эти точки проведена ось, относительно
которой происходит вращение тела.
"^3/1 “^35
С учётом сил реакции составим дифференциальное уравнение,
описывающее движение твердого тела исходя из теоремы об измене-
нии количества движения (изменения движения центра масс):
Спроектируем эти уравнения на оси подвижной системы коор-
динат:
Mhd) = F^ + Х7Л+ Х7В
Z. Z.A Z.D
о = + X +Х
V I 3 т лЗАт лзв
(10.8)
где
Используя разложение по формуле Мещерского, получим
(10.9)
—2- + «>xK„=L„(f4 R^Rb),
at
«I е2 ез
сох К() = 0 0 о ,
3 J3]a) ^32 (У 3 J33a)
Ко — i,k=l — ^Зк^к • к=1
Спроектируем уравнение (10.9) на оси подвижной системы ко-
ординат. В результате получим
J3}d) ^23^ — Д Х2вЬ
< J32d) + Jl3a)2 = L2(f^)- XlAa + XlBb,
J33d) =Z3(F(e))
4. ' '
где
-^^i — J3/0 ? -^2 — 5 *3 — 33^^ *
Вектор F(<) содержит и компоненты, учитывающие силу тяже-
сти.
Из последнего уравнения можно найти закон движения твердо-
го тела (р = (p(t}. Остальные уравнения нужны только для определения
силы реакции.
Можно заметить, что в (10.8) два неизвестных, т.е. получается 5
уравнений с 6-ю неизвестными. Одно неизвестное обычно выбрасы-
вается: из условия Хзв =0, т.е. не закрепляют ось в точке В.
Предположим, что твердое тело закреплено. Тогда получим
обычное условие равновесия, из которого можно найти реакции, на-
зываемые статическими. Они определяются внешними статическими
силами:
R^Rf’ + R?’,
где Rj - статические силы (левые части уравнений равны нулю).
Для динамических реакций, т.е. реакций, которые зависят от
вращения, а не от сил реакции имеем
[-Mho2 =xff + x[^
Mhd) = X^ + X{2B}
Z.A 2.П
J32d> - J23d)2 = X<ffa - X<ffb
J3.d) + J,3o)2 = -X$a + X$b
JI U Ln Ln
Когда все динамические реакции равны нулю, получим
-Mhco1 = 0
Mhd) = 0
к.
т.е. h = 0, а значит, ось вращения проходит через центр тяжести.
./3?69 “ 'Аз ~ 0
<
J3Xd) + JX3a>2 = 0
Из второй группы уравнения имеем JX3 = J23=0, т.е. ось вращения
должна быть главной центральной осью.
ГЛАВА 11
ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ МЕХАНИКИ
11.1 Введение
В этой главе мы рассмотрим общие свойства движений механи-
ческих систем, основанные на вариационных принципах.
Принципы - это наиболее общие законы, на основании которых
строится теория.
Общие требования, предъявляемые к принципам, следующие:
1) должен охватывать все, что известно на момент его формули-
ровки;
2) из принципа должны следовать новая информация (факты и за-
коны), которые не были известны на момент его формулировки.
Примерами принципов могут служить законы Ньютона, принцип
виртуальных перемещений, уравнения Максвелла, периодический за-
кон Менделеева, и др.
До сих пор, мы изучали частные случаи движения механических
систем, писали дифференциальные уравнения движения и на основа-
нии их решения получали траекторию движения. В этой главе мы
рассмотрим обратную задачу, которая решается в вариационном ис-
числении.
Нам нужно:
1) построить функционал (функцию, зависящую от характеристик
движения системы), зависящую от динамических переменных
(71, ^2’ •••’ Чп’ ’ $2’ •••’ Чп’ и времени t,
2) определить класс движений, из которых будем выбирать истин-
ное, соответствующее рассматриваемой задаче.
3) указать, при помощи какого критерия следует выбирать среди
возможных вариантов движения истинное.
11.2 Понятие простой вариации
Рассмотрим понятие простой вариации для системы с одной
степенью свободы, движение которой описывается при помощи
функции q(t), т.е.
Нарисовав эту функцию, получим её график как показано на Рис. 11.1
q
t
t t+M
Рис. 11.1
Вычислим дифференциал функции dq, который представляет
собой изменение функции вследствие изменения её аргумента Az (см.
Рис. 11.1).
Рассмотрим другую ситуацию, которая иллюстрируется на
(Рис.11.2).
Рис. 11.2
Здесь мы вводим новую функцию, такую что
q(t,£) = q(t)+£(p(t),
где (p(t) - некоторая функция.
Для фиксированного момента времени рассмотрим прираще-
ние функции
3q = £(p = q - q.
Величина 8q появляется вследствие изменения самой функции при
фиксированном t. Такое изменение функции называется простой или
изохорной вариацией.
При дифференцировании изменялось время, а при простой ва-
риации изменяется сама функция при фиксированном времени. Оче-
видно
q(t,O) = q(t), 8q = ^-8s.
Сложной называется такая вариация, при которой изменяется и
вид функции, и время.
Свойства простой вариации.
1. Операции дифференцирования по времени и взятия вариации
функции перестановочны
Доказательство:
2. Операции интегрирования по времени и взятия вариации
функции перестановочны
h h
S^qdt = ^8qdt
h h
Доказательство:
h h
J = j qdt, = j q(t, s^jdt,
3J(e) = — f q{t, E^dtSs
de,
Эти свойства верны для непрерывно-дифференцируемых функ-
ций, например, функций используемых в механике.
Рассмотрим движение механической системы, определив её
обобщенными координатами q(, i = l,n. Пространство, координатами
которого являются обобщенные координаты qlf q2, ..., qn называются
координатными.
Например, при п = 2 имеем ситуацию, представленную на
Рис.11.3. Здесь А изображающая точка в координатном пространстве.
Если к обобщенным координатам добавить еще одну координа-
ту - время t и рассмотреть такое п + 1- мерное пространство, то та-
кое пространство называется расширенным (Рис. 11.4).
Рис.11.4
Предположим, что введена система координат. Рассмотрим по-
ложение рассматриваемой системы в этой системе координат (Рис.
1) в момент времени t0 имеем координаты qn, q2],..., qnl;
2) в момент времени tn имеем другие координаты q]n, q2n,..., qnn.
Если система совершает движение под действием заданных сил,
то изображающая точка описывает в расширенном пространстве со-
вершаемое движение, которое называется истинным или прямым пу-
тем. Он изображён сплошной линией на Рис. 11.5.
Если удалить силу и пытаться перемещать А в точку В, то по-
лучим большое количество траекторий. Любой путь, который соеди-
няет точки А и В называется путем сравнения или окольным путем.
Время движения по всем путям (Рис. 11.5) одно и то же. Отли-
чие прямого от окольного пути в том, что при прямом пути действу-
ют силы. А вообще, количество траекторий бесконечно, - лишь бы
траектории были совместимы со связями.
Итак, имеем класс допустимых движений. Будем искать прямой
или истинный путь. Для этого рассмотрим функцию:
w = \L(t,qi,qi')dt,
h
где L - функция Лагранжа.
Эта функция называется действие по Гамильтону. Вариацион-
ный принцип позволяет из всех возможных путей выбрать истинный.
11.3 Вариационный принцип Гамильтона - Остроградского
Сформулируем принцип Гамильтона - Остроградского. Вообще,
этот принцип верен для голономных систем с потенциальными сила-
ми, однако, принцип можно доказать и для более широкого класса го-
лономных сил.
1-я формулировка принципа
Вариация действия по Гамильтону на прямом пути
равна нулю:
<%Р = 0.
2-я формулировка принципа
На прямом пути
стационарное значение.
действие по Гамильтону имеет
Доказательство:
Запишем систему уравнений Лагранжа 2-го рода:
dL
dt [dq, J dq,
i = \,n.
(11.1)
Это уравнение описывает действительное движение механической
системы. Нужно перейти от этого уравнения к функции действия по
Гамильтону W.
Умножим каждое из уравнений (11.1) на 3qi и просуммируем:
Учитывая свойство простой вариации, получим
dL d
dq( dt
и после преобразования
n dT
/=1 dqt
Выражение для полного дифференциала имеет вид
JT dL dL dL .Д
dL =—dt + x —dq,-—dql
dt i=\dqi dqt J
и для вариации вид
В выражении для вариации t - параметр, который не изменяется, а в
выражении для полного дифференциала изменяется.
Рассмотрим разность
и проинтегрируем это выражение по времени:
zo
d i dL
dt г=1 dqt
Интегрированием по частям преобразуем это выражение к виду
h
- j 8Ldt = 0.
zo
Так как в точках А и В вариация 8qt равна нулю, то
h
| SLdt = 0.
zo
Рис. 11.6
Операцию варьирования и интегрирования по времени можно
представлять, поэтому из последнего уравнения следует
h
8\Ldt = Q.
zo
В результате получаем, что
8W = Q.
Для голономных систем из уравнения Гамильтона - Остроград-
ского можно получить все уравнения механики.
11.4 Канонические уравнения Гамильтона
До сих пор нами рассматривались обобщенные координаты и
скорости
(71 > (?2’ •••’ 4п’ 41’ 41’ •••’ 4п’
Если они известны, то о системе известно все. Эти переменные назы-
ваются переменными Лагранжа.
Гамильтон предложил использовать другие координаты, свя-
занные с обобщенными импульсами. Они называются переменными
Гамильтона:
41’ 41’ •••’ 4п’ Pi’ Pi’ •••’ Рп’
дь • г-
гдс, 1 = 1,п.
d4i
Из определения pi видно соответствие между обеими система-
ми. Для перехода к переменным Гамильтона введем функцию Га-
мильтона:
H(t, ql,q2,...,qn,pl,p2,...,pn)='£tpiqi- <L
Z=1
Здесь предполагается, что все обобщенные скорости выражены через
обобщенный импульс (это отмечено значком л над соответствующей
функцией, например L).
Рассмотрим вариационный принцип Гамильтона - Остроград-
ского:
h
^(^5 (71 5 (?2’"'5 (7n ’ (71 5 (?2’"'5 (7и — 0 •
zo
Из определения функции Гамильтона имеем:
т.е.,
L^Pili-H,
г=1
*1 / п
Д* /
Далее действуем в порядке, обратном тому, что был использо-
ван при выводе принципа Гамильтона - Остроградского.
Вносим 8 под интеграл. Это можно делать на основании второ-
го свойства простой вариации
Переставим местами дифференцирование и варьирование:
(11.2)
Второе слагаемое при интегрировании даёт нуль. Кроме этого,
q^t) и p^t) не независимы, а связаны между собой зависимостью.
Продифференцируем функцию Гамильтона по рк
Л dL dq.
2^^
м dq, dpk
dL
где —- = А-
В результате получили первое из канонических уравнений Га-
мильтона
. дН
Qk ~ д
дРк
к = l,w.
В результате оказывается, что в уравнении (11.1) первое слагае-
мое равно нулю. Остается интеграл
Так как интервал интегрирования произволен, то подынтегральная
функция равна нулю:
Так как вариация произвольна, то это равенство возможно при
• дн а
Р,+ — = ®
i = \,n.
Получили систему канонических уравнений Гамильтона:
ч '. дН Qk - я , к = 1,п. дН Рк= - L dQk
Сравнивая системы уравнений Лагранжа и Гамильтона можно
отметить, что первая имеет порядок уравнений 2 и содержит п урав-
нений; вторая - порядок уравнений 1, но количество уравнений 2п.
Система уравнений Гамильтона удобна тем, что для нее проще оты-
скать первые интегралы. При малом количестве уравнений все же
удобнее применять систему уравнений Лагранжа.
11.5 Первые интегралы системы канонических уравнений Гамильтона
Первым интегралом некоторой динамической системы называ-
ется соотношение
Qu Qi’’"’ Qn’Pi’Pi’"’’Pn} ~ C ’
которое после подстановки в него обобщённых координат, соответст-
вующих истинному движению, обращается в тождество.
Оказывается, что при некоторых условиях первым интегралом
является сама функция Гамильтона:
H{$’Q\’Q'i’"‘’Qn’P\’P'i’"‘’Pn}~ С•
Продифференцировав предыдущее равенство по времени, полу-
чим
или
dt
dll dll dll dlT
^dpi dptdqu
s______ ______/
= 0.
дН «
равно нулю
дН Л dH дН Л
Таким образом, если — = 0, то-----= — = 0, следовательно, Н
dt dt dt
не зависит явно от времени.
Получили 1-й интеграл, который называется интегралом энер-
гии и выражает закон сохранения энергии.
H^qiiPi) = C.
(11.3)
Рассмотрим функцию Гамильтона
« _ n dT ~
н = XPAi-L = fJ-rqi-L.
i=i i=i dqt
Учитывая, что функция Лагранжа представляется через кинетическую
и потенциальную энергию в виде
£ = Т-П = Т2 -7] +Т0-П,
функцию Гамильтона представим
” dT
Н = У----q. -L = 2Г)+Т}-Та-Т,-Т} + П = Т -Т+П.
• л. I 2 1 U 1 1 2 и
/=1 dq.
Здесь
п дТ
^^qi=2T2+Tx.
/=1 dq,
Таким образом, мы показали, что функция Гамильтона Н име-
ет размерность энергии.
Координата qa называется циклической, если функция Гамиль-
тона от нее не зависит, т.е.
следовательно,
Л=о и Ра=с-
Этот первый интеграл называется циклическим.
Пример 1. Движение свободной материальной точки под дейст-
вием силы тяжести (Рис. 11.7).
Выберем в качестве обобщенных координат декартовы коорди-
наты и построим функцию Гамильтона:
H = ±ptqt-T.
г=1
□ dL • г-
Здесь pt = —, i = 1, п.
Рис. 11.7
Запишем функцию Лагранжа, которая в рассматриваемом слу-
чае равна
L=T-H=
-mgz.
Найдём проекции импульсов на координатные оси
р.=рх=тх, Р1=Ру=ту, p3=pz=mz.
Тогда
Подставим эти значения в функцию Гамильтона:
Получили функцию полной энергии, зависящую от обобщенных ко-
ординат и импульсов.
Запишем уравнения Гамильтона для этой задачи:
Рх =0
х = Р±
т
.Ру . п
]У = —, Ру=® ,
т
• Pz
z = —, pz=-mg
т
к
Имеемо систему из шести уравнений первого порядка. Выпишем пер-
вые интегралы системы:
1) Так как функция Гамильтона не зависит явно от времени, то
существует первый интеграл вида
Н = С{.
2) Так как координаты х и у циклические, то существуют первые
интегралы вида
РХ=С2 и ру=С3.
Пример 2. Задача о движении материальной точки под действи-
ем центральной силы (Рис. 11.8).
В этом случае сила потенциальна и представима в виде
F = F(r)-.
г
Движение происходит по плоской траектории, поэтому удобно
пользоваться полярными координатами.
Функция Гамильтона может быть представлена в виде
Н = Т + П.
Так как система консервативна, то
/•2 , 2 • 2 , -2^
тг m\r +r (р +z I ___/ ч
Н = —*-----------+ П(г).
Функция Лагранжа имеет вид:
(V2 2^2 Т2\
г + гр + z )_п(г)
Обобщенные импульсы равны
dL . dL 2. „
Pr=^7 = mr’ P(p= — = mr cp = mrV , pz=mz.
or оф
Как и в предыдущем примере, здесь также существует три пер-
вых интеграла:
1) Так как функция Гамильтона не зависит явно от времени, то
существует первый интеграл вида
Н = СХ.
2) Так как координаты (риг циклические, то существуют первые
интегралы вида
Р<р = ^2 5 Pz = С3.
Наличие первых интегралов зависит от выбора системы коор-
динат. Так в рассматриваемой задаче в декартовых координатах не
было бы первых интегралов вида р<р = С2и pz=C3.
В любой заданной динамической системе всего существует пер-
вых интегралов 2п, т.е.,
У^(^5^15^Г2’"'’^п’/,1’/,2’"'’/,п) — — 1,2/7 .
Все они линейно независимы, т.е. якобиан производных левых частей
этой системы не равен нулю и, следовательно, систему можно разре-
шить относительно qt, р^ т.е.
, ч, 1=1,п.
Р, =рЬ,с,...с2.)
Отсюда следует, что если известны все первые интегралы, то
известен и закон движения системы.
11.6 Скобки Пуассона и их свойства
Прежде чем изучать свойства скобок Пуассона, рассмотрим тео-
рему.
Теорема.
Необходимое и достаточное условие того, что функция
f(t,qx,q2,-,qn,Px,P2,-,P,^ является первым интегралом и
имеет вид
где
J+(M)=°
г=1
' df dH df dlT
^q( dpt dp,. dqt ,
называется скобкой Пуассона.
Необходимость. Пусть имеется функция
> ^2’ Pl’ Р'!•>••••> Рп) ~ ^7»
и пусть эта функция является первым интегралом. Вычислим от не
производную по времени:
df ! df ан df dHy
dt г=1dp( dpt dq,. ,
В результате имеем
(И-4)
Таким образом, если выполняется (11.4), то рассматриваемая
функция является первым интегралом.
Достаточность: Допустим, что имеет место (11.4). Необходимо
показать, что из него следует условие Н = const. Для этого достаточно
проделать предыдущие выкладки в обратном порядке.
Из условия Н = const легко можно найти еще один интеграл:
Для этого достаточно подставить в формулу f = Н.
Свойства скобок Пуассона. Имеют место следующие свойства:
1) (#>,/) = -(/, <р) - следует из определения
2) Если С = const, то (C(p,f) = C(f,<p) - тоже следует из определе-
ния
3) (<р + f,ip) = (<p,ip)+(f,ip) - это следует из равенства производной
суммы сумме производных
д_
dt
dq)
5) Тождество Пуассона: ((<р, = ((у, q)), f)+((/, q/\q>) = 0.
Доказательство:
Рассмотрим линейные дифференциальные операторы
Z = XY -YX - коммутатор
Z(/) = Х(Г(/)) - Г(Х(/)) = хГ t yf] - / £ x,f
V=1 OXi у V Z=1 OXi у
d j
= гЛ.хьУ1-^-
k=i i=i dxkdxt
п п d2 f п п
ЕЕтл^-z—ЕЕл
к=\ z=l иХ^иХ} к=\ z=l
dxk dxt
у у dxi df
oxk dxi k=\ z=i dxt
Получили, что коммутатор является линейным дифференци-
альным оператором.
Скобки Пуассона - линейный оператор, действующий на функ-
цию /,т.е.,
ф(/)=(?>,/)=Ё
г=1
dq) df dq) df
dq, dpi dpt dq,.
Покажем, что тождество Пуассона не содержит вторых произ-
водных. Первое слагаемое, очевидно, их не содержит.
(C/>k)+((^/W=-W»))- W^>/))=
=(Ш/))- Ш/)))=ч'(ф/)-ф(ч'/)=(тф - фт)/
Введенные операторы Т, Ф, действуют на функцию f. Так как
q), q/ и f входят симметрично, то q), q/ не содержат вторых произ-
водных. Так как каждое из четырех слагаемых содержит вторые про-
изводные, а сумма нет, то она равна нулю.
Теорема Якоби - Пуассона.
Если функция f и q) являются первыми интегралами
канонической системы уравнений Гамильтона, то скобки
Пуассона также являются первым интегралом канониче-
ской системы уравнений Гамильтона
Доказательство:
Нужно доказать, что если f и ср являются первыми интеграла-
ми, т.е.
^+(/,я)=о,
dt
^ + (<р,Н) = 0,
dt
то отсюда следует, что
((#>,/),#) = о.
dt
Продифференцируем в этом равенстве скобки Пуассона, ис-
пользуя свойство 4
\dt J { dtj
В результате после перестановки получим:
Отсюда следует, что (/,<£>) является первым интегралом.
Следует заметить, что не всегда полученный таким способом
первый интеграл является независимым.
Рассмотрим динамическую систему с одной степенью свободы,
которая движется в поле центральной силы. Функция Лагранжа имеет
вид
(-2 , -2 ,
£ _ + *2 Х2 / _
где г = д/х2 + х2 +х2 •
Тогда обобщенные импульсы вычисляются по формуле
-ГТ
р} = тх}, p2 = mx2, p3 = mx3.
Запишем функцию Гамильтона:
H = T + TI = Pi +P2 +Рз +П(г).
2m
Введем момент количества движения Ко:
Проекции вектора момента количества движения на коорди-
натные оси дают соотношения
=х2/»3-х3/»2
к2 = х3р1-х1р3
К3 = х}р2-х2р}
Проверим, не является ли К,, i = 1,3 первыми интегралами. Для
этого воспользуемся теоремой и покажем, что
—!.+(^,Я)=0, « = 1.3.
dt
Учитывая, что К, не зависят явно от времени, получим
з [ dK} dH
dK} dlT
dpi dxu
Sxz dp,
= АЛ+ХзП^-^--х2П,^- = 0,
m rm r
dr x,
где----= —.
dx2 r
Следовательно, Kr - первый интеграл на решениях системы и
Аналогично получим
К2 = С2.
Для получения третьего интеграла воспользуемся теоремой
Якоби - Пуассона. Вычислив скобку Пуассона, получим
i(dK,dK2 dK.dK Л
L д д ~ д д = Р2Х1~Р1Х2=К3-
=i I SXi dp, dx, J
Эта функция не зависит от К} и К2, следовательно, Кх также незави-
симый первый интеграл
К3=С3.
ГЛАВА 12
СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
12.1 Введение
Как известно в основе классической механики, основы которой
рассматривались в предыдущих главах, лежит принцип относительно-
сти Галилея. Согласно этому принципу все динамические явления
протекают одинаково в любых инерциальных системах отсчёта.
Инерционными называются системы координат, в которых верно
преобразование Галилея.
Рассмотрим неподвижную нештрихованную и подвижную штри-
хованную системы координат. Пусть подвижная система координат
движется с постоянной скоростью и в направлении оси у (Рис. 12.1).
Преобразование Галилея в этом случае имеет вид
х' = х, y' = y-ut, z' = z, t' = t.
Второй закон Ньютона
mr = F
инвариантен относительно преобразований Галилея.
Согласно принципу Галилея время абсолютно, т.е., протекает
одинаково во всех инерциальных системах отсчёта. Также вводится
понятие абсолютного пространства. Это особая инерциальная систе-
ма отсчета, абсолютно связанная с неподвижными звездами.
Известно, что распространение звука и света, есть волновые
процессы. Звук распространяется в атмосфере, и скорость звука зави-
сит от системы координат, в которой измеряется. Предполагалось,
что свет также распространяется в особой среде - эфире. Таким об-
разом, эфир - носитель света, т.е. среда, в которой распространяется
свет. Главное затруднение при проверке гипотезы эфира заключалось
в необходимости точного измерения величины скорости света. Как
„ км
известно скорость света в вакууме равна с = 3 • Ю —.
с
Опыты по проверке гипотезы эфира в конце 19 века был выпол-
нен Майкельсоном и Морли. Принцип действия их эксперименталь-
ной установки показан на Рис. 12.2.
D
----х---
С
Рис. 12.2
Луч света, выпущенный из точки О, проходит через полупро-
зрачное зеркало, расположенное в точке А. Часть луча распространя-
ется до зеркала В, расположенного на расстоянии Zl? и, отражаясь,
возвращается обратно. Другая часть луча проходит до зеркала С, рас-
положенного на расстоянии /2, и, отражаясь, возвращается обратно.
Оба луча встречаются в точке А и вместе приходят в точку D, где
происходит интерференция света. Подсчитав интерференционные
полосы можно точно установить разность путей пройденных светом.
Время необходимое свету для того, что бы прийти от точки А
до точки В и обратно равно
Z, Z, 27, I
^1 + = —-------2 ’
с—и с + и С
Пусть время необходимое свету для того, чтобы пройти от точки А
до точки С и обратно равно t7. Прибор ориентирован так, что за это
время зеркало в точек С проходит расстояние
, и Г,
а = —-
2
относительно эфира. Тогда, полная длина пути, пройденного светом,
равна
Так как скорость всегда в эфире равна с, то
2Л 2 4 (l2 u2t2}
t2 = — или t2 = — /2 + —-
с с < 4 J
Тогда
Пусть /, = /2 = /(). Тогда вычислим разность
л к (и\
С \С)
Целью опыта было экспериментальное определение этой разно-
сти. На этом основании можно было бы определить скорость движе-
ния Земли относительно эфира. Однако приборы показали, что Аг = 0.
Результаты этих опытов ставили под сомнение существование эфира.
Для спасения гипотезы существования эфира Лоренц предполо-
жил, что при движении протяженного тела со скоростью и его длина
в направлении движения уменьшается на величину
Если подставить эти значения в и t2, то получим
и
2 О
И = ZQ /1 — —
При этом возник вопрос, возможно ли с изменением длины и изме-
нение времени? На этот и другие вопросы в рамках существующих
представлений ответов не было.
12.2 Преобразования Лоренца
Для разрешения возникшего кризиса Эйнштейн сформулировал
так называемый частный принцип относительности. Согласно этому
принципу законы физики - это некоторые соотношения, которые не
зависят от системы координат, т.е. закон физики есть инвариант.
1) Все законы физики имеют один и тот же вид для любой пары
систем координат, движущихся друг относительно друга с неко-
торой постоянной скоростью (частный принцип относительно-
сти).
2) Пространство скорости света удовлетворяет принципу относи-
тельности (Рис. 12.3).
Предположим, что при t = 0 в начале координат О произошла
вспышка света. Нужно определить его положение в момент времени
t. Он пройдет расстояние ct. Уравнение сферы сместится:
(cr)2_x2-/-z2=0.
Пусть для второй системы
(cf)2-y2-/2-/2=0.
Как связаны между собой эти системы?
Выясним, какой вид преобразований оставляет инвариантным
выражение (сг)2 - х2 - у2 - z2. Вращение и отражение не изменяют
данное выражение.
Рассмотрим следующее преобразование:
Vz
выпишем
2 2 Г Z 2 тл2 2
ct +—-------z -Vt
C 2.2 2 2 2
--------------:-------= C t — x - у — Z .
(V\
1- -
И это преобразование сохраняет выражение.
Замечание. Если два преобразования Txf = f и T2f = f, то и их
композиция сохраняет форму T\T7 f = f.
Рассмотренное выше преобразование обратимо. Обратное пре-
образование имеет вид:
Предположим, что оно сохраняет преобразование, тогда
Построив алгебраическое замыкание преобразований, получим
V
группу преобразований Лоренца. Для этого предположим, что-----> О,
с
тогда получим преобразование Галилея (Рис. 12.4):
z’ = z-Vt, х' = х, у' = у, t' = t.
Это преобразование от системы отсчета xyz к системе x'y'z'
движется со скоростью V в направлении оси z. Поэтому, преобразо-
вание Лоренца естественно назвать преобразованием от системы xyz
к системе x’y’z’ движется в направлении оси z со скоростью V отно-
сительно системы xyz.
Возможны и другие преобразования, сохраняющие форму. Нам
важно, чтобы решение уравнения сохранялось.
3) Переход от одной системы координат к другой описывается
Свойства преобразований Лоренца
Пусть имеется две системы координат: А и В (Рис. 12.5)
Система В движется относительно А со скоростью V. Все объекты
находятся на оси z. Будем считать, что х = у = 0.
В системе А рассмотрим две точки: zx и z2. Пусть в момент
времени t произошли некоторые события в точках гиг,. Как эти со-
бытия регистрируются в системе В. Для этого рассмотрим преобра-
зования:
z.-Vt .
Пусть в системе А события произошли одновременно. Тогда в
системе В - разность
t' _t' — 2 ~Z1)
2 '’4#Г
V \cj
Получили, что события, одновременные в одной системе коор-
динат, различны по времени в другой.
Предположим, что в неподвижной системе координат произош-
ли два события: одно в момент времени , другое в момент времени
t2. Определим, как эти события будут регистрироваться в системе В:
1) (0,а)
2) (Ол)
Промежутки времени связаны следующим образом:
t2 -1 kt
Получили, что в движущейся системе время замедляется.
В системе В: zx = 0, z2=l0.
Что увидит наблюдатель, оставшийся в системе Л? Для этого
рассмотрим время t в системе координат А:
z,-Ft
i — i—;—:
, z~-Vt
7 =---------
Z2 I--------
1-
1-
Важно, чтобы измерение в
момент времени, что и в В
А производилось в один и тот же
При движении твердого тела со скоростью V его длина в на-
правлении движения сокращается.
Закон сложения скоростей
Пусть в системе координат В по оси z' движется точка со ско-
ростью и, т.е.
z' = ut'.
Какую скорость измеряет наблюдатель, находящийся в системе
Л?
1) t' = 0, z' = 0
= z' = ut'.
Рассмотрим события в системе А:
1) zx = 0, = 0
, Vut’
ut’ + Vt’ 1 + г
u + V
Пусть и = V = ас, тогда
Получили, что
V<c.
12.3 Релятивистская динамика
При малых скоростях динамику точки можно описать при по-
мощи второго закона Ньютона:
ma = F.
(12.1)
Но уравнение (12.1) не является инвариантом относительно преобра-
зования Лоренца. Следовательно, в теории относительности второй
закон Ньютона требует уточнения.
Введем импульс
Тогда, при т = const
р = mV
Получили второй закон Ньютона в импульсах.
Если подобрать импульс соответствующим образом, то полу-
чим инвариантность, относительно преобразования Лоренца.
Для этого нужно рассмотреть системы А и В (Рис. 12.7). Пусть
Р = m.V. + т2Г2 = 0.
М = тг+т2.
Скорость центра масс
z
>
-Г
»—«
т} т2
Z
>
Рис. 12.7
Предположим, что V = 0. Система В движется вдоль оси z со
скоростью V. В этой системе координат пары точек с центром масс
движутся со скоростью V". Массы:
М' = т[ + т2.
Здесь точка 1 имеет массу т\ и скорость К/, точка 2 имеет массу т2 и
скорость У'2 (Рис. 12.7).
Импульс:
Р=irly'{Jfniy[=M'V.
Скорости К/, У[ и V зависимы.
Следовательно, имеются следующие соотношения:
m2 У2
«У у2-у;
т'2 V-V'
Выразим скорость в системе В через скорость системы А
V'=—-1-—
1 VV
1+?
2 У?''
1+^
Подставим:
т[
ти2
'2 ' Г_
vy
[+у
vv'
1+^
2)
Разделим (12.2) на (12.1). Получим
т} _ т[т2 _ с2
т2 т'2т} । + УУ
т2 с2
(12.3)
Рассмотрим выражение, учтя, что
v' = —-1——-
1 W
' W К2К'2 1 „ W 1
1+2-^-+-^Ц—* 4-г2
с с с с с
1
уу
2
С
yll
Т
с
2
£
2
С
1
уу7
с2
Аналогично можно проделать выкладки и для индекса 2:
YZL-I
с2
I/2 у,2
1-^-. 1- —
1 „2 Л 1 ^2
С \ С
I У'2
Подставив это выражение в (12.3) получим
т{
mL=][
т'2
т2 )
тг2 у,2
1 — 1 1 2
г 1 с2 в(у,,у;)
ГХ О? ВМ
с2Г с2
Здесь обозначили В{УГ, У{) =
. Тогда
J _ \т2 J
В(У„У,')~ В(У2, у;)
Получим
Предположим, что в системе А частицы покоятся. Тогда = 0.
1
=—,
г7
J1-—
V с2
При переходе к движущейся системе координат масса изменяет-
ся.
Обозначим т0 - масса покоя тела, т.е. инертная масса тела в
нерелятивистском случае.
В предельном случае, когда К/—>0, получаем, что т{^тх и,
следовательно, К = 0. Получили закон преобразования масс:
й
Импульс при этом запишется:
тУ
Р=\ ,
Я?
Уравнение Ньютона - Эйнштейна имеет вид
d
— p = F.
dt
Закон сохранения массы и закон сохранения импульса можно
сформулировать так же, как и для релятивистского случая, но вид у
них другой.
Если суммарный импульс и масса сохраняются в какой-то сис-
теме координат, то они сохраняются в любой системе координат
движущейся с постоянной скоростью.
Пусть имеется N точек массами т;, движущихся со скоростями
Vj. Тогда суммарные масса и импульс равны:
Р _ у1 *4'0^
Используя соотношение
у2 yl2
1-1Я. 1- —
1 2 Д 1 2
С у С
vv'
получим
N
М' = £
i=l
vy
у
M+—P
Если в системе А сохраняется масса и импульс, то в системе В
они так же сохраняются.
Об энергии системы
Релятивистская масса частицы с массой покоя /иопри движении
ее относительно наблюдателя со скоростью V будет:
w(F) = ^o
= тп0 1 +
If!
2 с2
Умножив данное выражение на с2, получим полную релятивистскую
энергию Е:
тс2 = тпс2 + — ту2 +...
0 2
Т
где Т - кинетическая энергия точки в нерелятивистском пределе.
К 2 2
Если —«1, то me =mQc +Т. Считая, что данное выражение
с
верно для больших скоростей (при этом кинетическая энергия будет
другой, отличной от Т) получим:
- в классической физике энергия определяется с точностью до посто-
янной;
- считаем, что Е = moc2 - Т;
- если точка неподвижна, то Е = тос2. Это энергия покоя.
ЛИТЕРАТУРА
1. Бом Д. Специальная теория относительности. Мир. -М., 1967. -
288с.
2. Бухгольц Н.Н. Основной курс теоретической механики. Часть 1.
Наука. Главная редакция физико-математической литературы. -М.,
1972. -468с.
3. Бухгольц Н.Н. Основной курс теоретической механики. Часть 2.
Наука. Главная редакция физико-математической литературы. -М.,
1972. -332с.
4. Кильчевский Н.А. Курс теоретической механики, т.1 (кинематика,
статика, динамика точки). Изд. 2-е. Наука. Главная редакция физи-
ко-математической литературы. -М., 1977. -480с.
5. Кильчевский Н.А. Курс теоретической механики, т.2 (динамика сис-
темы, аналитическая механика, элементы теории потенциала, ме-
ханики сплошной среды, специальной и общей теории относитель-
ности). Изд. 2-е. Наука. Главная редакция физико-математической
литературы. -М., 1977. -544с.
6. Лойцянский Л.Г., Лурье АИ. Курс теоретической механики: В 2-х
томах. Т.1. Кинематика, статика, динамика точки. -2-е издание, пе-
рераб. и доп. Наука. Главная редакция физико-математической ли-
тературы. - М., 1983. -480с.
7. Лойцянский Л.Г., Лурье А.И. Курс теоретической механики: В 2-х
томах. Т.2. Динамика. -6-е издание, перераб. и доп. Наука. Главная
редакция физико-математической литературы. -М., 1983. -640с.
CONTENTS
Preface.............................................................. 8
Chapter 1. Introduction.............................................. 9
1.1 Subj ect and main concepts of mechanics 9
1.2 Basic lows of mechanics.................................... 9
1.3 Brief history of mechanics development 10
Chapter 2. Kinematics of point..................................... 11
2.1 Basic concepts of kinematics............................. 11
2.2 Methods of a motion law assign........................... 11
2.3 Basic characteristics of a point motion in Cartesian system of
coordinates................................................... 14
2.4 Basic characteristics of a point motion in curvilinear system of
coordinates................................................... 18
Chapter 3. Kinematics of rigid body................................ 28
3.1 Law of a rigid body motion................................ 28
3.2 Classification of a rigid body motion 31
3.3 Velocity of a rigid body points, Euler’s formula......... 34
3.4 Study of a rigid velocity field.......................... 37
3.5 Calculation of velocity a rigid body point for particular motions 40
3.6 Calculation of velocity filed for a flat parallel rigid body motion 46
3.7 Definition of a rigid body point acceleration............ 49
Chapter 4. Complicate motion of point............................. 52
4.1 Absolute, relative and transitional motions 52
4.2 Absolute and relative derivatives with respect to time and
relation between them......................................... 53
4.3 Formula for velocity addition 55
4.4 Formula for acceleration addition 56
Chapter 5. Dynamics of material point.............................. 59
5.1 Basic concepts of classical mechanics..................... 59
5.2 Main laws of classical mechanics (Newton’s laws).......... 61
5.3 The problems could be solved using main equation of dynamics. 62
5.4 Rectilinear motion of a material point.................... 70
5.5 Dynamics of constrained material point 77
Chapter 6. Basic theorems of material body dynamics................ 87
6.1 First integrals of equations of mechanics.................. 87
6.2 Theorem of a impulse change 87
6.3 Theorem of a momentum of impulse change 90
6.4 Theorem of kinetic energy change.......................... 95
6.5 Classification of forces fields........................... 97
Chapter 7. Dynamics of system of material points................... 105
7.1 Basic concepts............................................ 105
7.2 Moments of inertia........................................ 109
7.3 Main dynamical characteristics of system of material points 112
7.4 Koenig’s theorem.......................................... 114
7.5 Main theorems for dynamics of system of material points.... 119
Chapter 8. Analytical mechanics. Lagrange equations................ 128
8.1 Classification of connections............................. 128
8.2 Real, possible and virtual displacements.................. 131
8.3 Main problem of dynamics for system with ideal connections 137
8.4 D’Alembert-Lagrange equations............................. 140
8.5 Lagrange equations of 2-d kind............................ 143
8.6 Theorem of mechanical energy change in holonomial system 153
Chapter 9. Small oscillation of holonomial system.................. 161
9.1 Dirichlet-Lagrange theorem of stable state of equilibrium.. 161
9.2 Small oscillations of holonomial system differential equations. 165
9.3 Free oscillations of system with one degree of freedom 168
9.4 Forced oscillations of system with one degree of freedom
without account dissipation.................................... 173
9.5 Forced oscillations of system with one degree of freedom with
account dissipation............................................ 178
9.6 Free oscillations of n degrees of freedom conservative system. 182
9.7 Free oscillations of n degrees of freedom conservative system
with account dissipation....................................... 190
9.8 Forced oscillations of system with n degrees of freedom.... 193
Chapter 10. Dynamics of rigid body................................. 197
10.1 Geometry of mass. Inertia tensor......................... 197
10.2 Main dynamical characteristics of rigid body............. 202
10.3 Differential equations of rigid body with fixed point motion.
Euler’s dynamical equations.....................................205
10.4 Rigid body with fixed axis motion........................ 208
Chapter 11. Variational principles of mechanics.................... 211
11.1 Introduction............................................. 211
11.2 Concept of simple variation.............................. 211
11.3 Hamilton-Ostrogradskii principle......................... 215
11.4 Hamiltonians canonical equations......................... 217
11.5 First integrals of the Hamiltonians canonical equations 219
11.6 Poisson brackets and their properties.................... 223
Chapter 12. Special theory of relativity............................228
12.1 Introduction............................................. 228
12.2 Lorentz transformations.................................. 231
12.3 Relativistic dynamics.................................... 236
References.......................................................... 241
Contents 242
Учебное издание
Зозуля Владимир Васильевич
Мартыненко Александр Витальевич
Лукин Александр Николаевич
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА
Издано в авторской редакции
Художник обложки О.Ю. Полтавская
Поди, в печать 15.07.2004. Формат 60x84/32.
Печать офсетная. Бумага офсетная. Гарнитура Dutch.
Усл. печ. л. 14,3. Уч.-изд. л. 17,2. Тираж 500 экз.
Изд. № 43/4.
Издательство Национального университета внутренних дел.
Украина, Харьков, пр. 50-летия СССР, 27.