Строительная механика и металлоконструкции строительных и дорожных машин - Живейнов Н.Н., Карасев Г.Н., Цвей И.Ю.

Автор: Живейнов Н.Н. Карасев Г.Н. Цвей И.Ю.
Теги: cтроительная механика графический и аналитический методы статики для исследования и расчета строительных конструкций теоретические основы строительства металлические конструкции строительная механика эвм
ISBN: 5-217-00091-0
Год: 1988
Похожие
Машиностроение. Энциклопедия. Строительные, дорожные и коммунальные машины. Оборудование для производства строительных материалов. Том IV-9
Современные стальные конструкции большепролетных покрытий уникальных зданий и сооружений
Металлические конструкции подъемно-транспортных машин
Металлоконструкции и их монтаж
Текст
                    длязуэов
НЛ.Живейнов
Г.ИКарасев
И.Ю.Цвей
СТРОИТЕЛЬНАЯ
МЕХАНИКА
И МЕТАЛЛО-
КОНСТРУКЦИИ
СТРОИТЕЛЬНЫХ
И ДОРОЖНЫХ
МАШИН
МАШИНОСТРОЕНИЕ
ДЛЯ ВУЗОВ
Н.Н.Живейнов
Г.Н.Карасев
И.Ю.Цвей
СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА
И МЕТАЛЛОКОНСТРУКЦИИ
СТРОИТЕЛЬНЫХ
И ДОРОЖНЫХ МАШИН
Допущено Министерством высшего
и среднего специального образования СССР
в качестве учебника для студентов
машиностроительных специальностей вузов
МОСКВА
«МАШИНОСТРОЕНИЕ»
1988
ББК 38.112
Ж66
УДК 624.04(075.8)
Рецензенты: кафедра ’’Дорожные машины” СибАДИ;
д-р техн, наук, проф. А.В. Вершинский
ЖивейновН.Н. и др.
Ж66 Строительная механика и металлоконструкции строительных и
дорожных машин: Учебник для вузов по специальности ’’Строи-
тельные и дорожные машины и оборудование” /НЛ. Живейнов,
Г.Н. Карасев, И.Ю. Цвей. — М.:Машиностроение, 1988. — 280 с.:ил.
ISBN 5-217-00091-0
Ланы основы строительной механики, методы расчета статически оп-
ределимых и неопределимых стержневых и пластинчатых систем на проч-
ность, устойчивость и динамические воздействия. Приведены основы проек-
тирования металлоконструкций строительных и дорожных машин, изложены
вопросы расчета балочных, решетчатых, рамных и листовых конструкций.
Рассмотрено применение ЭВМ при проектировании металлоконструкций
строительных и дорожных машин.
3204010000-087
Ж ---------------- 87-88
038(01) 88
ББК 38.112
ISBN 5-217-00091-0
©Издательство "Машиностроение”, 1988
ПРЕДИСЛОВИЕ
В ’’Основных направлениях экономического и социального разви-
тия СССР на 1986 — 1990 годы и на период до 2000 года”, принятых
XXVII съездом КПСС, указано на необходимость ’’снизить в двенадца-
той пятилетке удельную металлоемкость машин и оборудования на
12 — 18 процентов”. Поэтому конструктивное совершенствование
строительных и дорожных машин, направленное на снижение металлоем-
кости, является задачей первостепенной важности.
Проектирование надежных и экономичных машин требует от инже-
нера-конструктора применения современных методов расчета. Это в пер-
вую очередь относится к несущим металлоконструкциям, удельный вес
которых в строительных и дорожных машинах очень высок. Совершенст-
вование методов расчета заключается в применении обоснованных рас-
четных схем конструкций, уточнении наиболее опасных сочетаний нагру-
зок, выборе рациональных материалов для элементов конструкций,
применении вычислительной техники и т.п.
Настоящий учебник отражает современные методы и приемы расчета
металлоконструкций строительных и дорожных машин, изучение кото-
рых является целью курса ’’Строительная механика и металлоконструк-
ции строительных и дорожных машин”. Этот курс обычно читается пос-
ле курса ’’Сопротивление материалов” и предшествует изучению спе-
циальны:; дисциплин по строительным и дорожным машинам.
Учебник состоит из двух частей. В первой части излагаются основы
теории и расчета стержневых систем и пластин на прочность при статичес-
ких и динамических воздействиях. Современные прочностные расчеты
требуют применения ЭВМ и численных методов, среди которых наи-
большее распре стран ение получил метод конечных элементов. В связи
с этим наряду с изложением традиционных разделов строительной ме-
ханики в учебнике большое внимание уделено фундаментальным состав-
ляющим метода конечных элементов: энергетическим принципам, мето-
ду перемещений и расчетам в матричной форме.
Вторая часть посвящена общим принципам проектирования основ-
ных типов металлоконструкций строительных и дорожных машин и их
элементов. В ней содеожатся сведения о материалах, методах расчета
конструкций на прочность, устойчивость и усталостную долговечность;
методах расчета соединений, а также сведения о расчете и проектирова-
3
нии балочных, решетчатых и листовых конструкций. Даны основные
принципы расчетов металлоконструкций с учетом действующих нагру-
зок, характерных для строительных и дорожных машин.
Часть материала посвящена решению задач проектирования металло-
конструкций с помощью ЭВМ отлажены основные принципы разработки
математических моделей, алгоритмов и программ для расчета и оптими-
зации несущих конструкций строительных и дорожных машин.
Учитывая большой объем информации в учебнике, авторы стреми-
лись к компактному изложению материала, иллюстрируя его по возмож-
ности примерами. Материал учебника опирается на современные дости-
жения науки и практики проектирования металлоконструкций, а п.кже
на действующие нормативные документы.
Предисловие написано канд. техн, наук Н.Н. Живейновым, канд.
техн, наук Г.Н. Карасевым и канд. техн, наук И.Ю. Цвеем; гл. 1.1 — 1.8
(за исключением п. 1.8.4), пп. 2.2.3, 2.6.2, 2.7.2, 2.8.3 — написаны
И.Ю. Цвеем, гл. 2.1, 2.3, 2.9 и п. 2.2.1, 2.6.5, 2.7.1, 2.7.4 - Н.Н. Живей-
новым, гл. 2.5, 2.8 (за исключением п. 2.8.3), п. 1.8.4, 2.2.2, 2.6.4 —
Г.Н. Карасевым. Гл. 2.4 и п. 2.6.1, 2.6.3, 2.6.6, 2.7.3 — написаны
Н.Н. Живейновым и Г.Н. Карасевым.
Часть 1. СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА
1.1.	КИНЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ СИСТЕМ
1.1.1.	ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ
Общие задачи строительной механики. Строительная механика —
наука о принципах и методах расчета конструкций на прочность, жест-
кость и устойчивость при статических и динамических воздействиях.
В ней рассматриваются те же вопросы, что и в сопротивлении материа-
лов, только объектом изучения является не отдельный элемент конст-
рукции, а совокупность (система) многих элементов: стержней, пластин,
оболочек и др.
Проектируемая конструкция должна удовлетворять требованиям не
только прочности, но и экономичности, что можно обеспечить лишь при
достаточно точном прочностном расчете. Рассчитывают конструкцию
исходя из внешних воздействий на нее и ее сопротивления этим воз-
действиям. Внешние воздействия разделяют на силовые, температурные
и дислокационные (задаваемые перемещения из-за неточности изготовле-
ния, осадки опор и т.п.). Сопротивление представляет собой основную
функцию несущей конструкции; оно определяется физическими харак-
теристиками и геометрическими параметрами элементов и их соедине-
ний. Воздействия в отличие от сопротивления обычно имеют случайный
характер, поэтому расчет конструкций в общем представляет предмет
теории надежности с применением вероятностных методов.
Изучая основы строительной механики, будем рассматривать детер-
минированные воздействия и характеристики сопротивления. При этом
объектами изучения будут не сами конструкции и даже не их расчетные
схемы, а некоторые системы, объединяющие однотипные расчетные
схемы разных конструкций.
Особенности металлоконструкций строительных и дорожных машин.
Несущие конструкции строительных и дорожных машин (или просто ме-
таллоконструкции) отличаются от строительных конструкций как по
характеру воздействия, так и по характеристикам сопротивления. В про-
цессе работы их конфигурация не остается постоянной, а внешние воз-
действия на рабочий орган (например, на ковш экскаватора) непрерыв-
но изменяются по значению и направлению. Кроме того, металлоконст-
рукции некоторых машин являются многофункциональными и при раз-
личном съемном рабочем оборудовании испытывают качественно различ-
ные воздействия. Вопросы выбора оптимального конструктивного реше-
ния в этом случае особенно актуальны.
5
1*
Металлоконструкции строительных и дорожных машин имеют
разнообразные соединения между составляющими их элементами, в том
числе и упругоподатливые (канат, пружина и т.п.). Широкое применение
получили соединения в виде гидроцилиндров; они одновременно изме-
няют конфигурацию конструкции и воздействия на нее.
Металлоконструкции машин работают в динамическом режиме, ис-
пытывая переменные во времени напряжения, что приводит к быстрой
усталости материала и уменьшению долговечности конструкции. Поэто-
му в некоторых случаях, несмотря на большую массу, отдают предпочте-
ние листовым конструкциям балочного типа, у которых по сравнению с
решетчатыми выше сопротивление усталости.
Следует обратить внимание на то, что размеры некоторых элементов
металлоконструкций машин определяются условиями не только проч-
ности, но и долговременной работы на износ.
Расчетные схемы. Для определения прочностных и деформационных
свойств несущей конструкции, обычно рассматривают ее расчетную
схему, в которой идеализируют элементы, их соединения, опорные уст-
ройства, нагрузку. Например, балки, стойки и другие стержневые эле-
менты конструкции представляют в виде линий, совпадающих с осями
элементов, нагрузку считают сосредоточенной в отдельных точках или
распределенной вдоль осей и т.д.
Расчетные схемы конструкций могут представлять собой системы
различного вида: шарнирно-стержневые, рамные, пластинчатые и др.
В зависимости от требований точности расчета для одной и той же конст-
рукции можно принять различные расчетные схемы. Обычно для пред-
варительных расчетов выбирают упрощенную расчетную схему, а для
окончательных — более сложную и точную.
Классический пример реальной конструкции — ферма (рис. Г.1 а)
узлы которой, как правило, пред-
ставляют собой сварные соединения.
Упрощенной расчетной схемой фер-
мы является шарнирно-стержневая
система (рис. 1.1,6), а более точ-
ной — рама с жесткими узлами
(рис. 1.1, в). В первом случае расчет
можно выполнить ’’вручную”, а во
втором — только с применением вы-
числительной техники, так как не-
обходимо решить систему алгебраи-
ческих уравнений высокого порядка.
Расчеты ферм по упрощенной схеме
дают, как правило, приемлемые для
инженерной практики результаты, ес-
ли система состоит из относительно
длинных стержней (/ > ЮЛ, см.
рис. 1.1, а).
Рис. 1.1. Плоская ферма и ее расчетные
схемы
11
t
*
и
0
л
<1
1»
'0
I*
*
л
0
L'
*
01
я
IT
1
IV
10
'
II
Н
'
II
1.Т
«ч
гл
111
Ч
и
ЧП
*1
6
Одна и та же система может быть расчетной схемой совершенно
различных конструкций. Поэтому прежде чем рассматривать расчетные
схемы реальных конструкций, в строительной механике изучают абст-
рактные системы, их образование и методы расчета.
По геометрическим параметрам различают следующие элементы
систем: стержневые, длина которых значительно больше размеров по-
перечного сечения; пластинчатые (листовые), толщина которых значи-
тельно меньше длины и ширины, и массивные, размеры которых в трех
направлениях имеют один порядок.
Несущие конструкции строительных и дорожных машин в основном
состоят из стержневых и пластинчатых элементов.
Системы по кинематическим параметрам разделяют на неизменяе-
мые (изменение формы обусловливается лишь деформацией материала)
и изменяемые (изменение формы, в том числе и мгновенное, возможно
без деформации материала). Естественно, что применение изменяемых
систем недопустимо, так как оно не обеспечивает сопротивление конст-
рукции внешним воздействиям.
Прежде чем рассчитывать систему на внешние воздействия, необхо-
димо исследовать ее структуру на изменяемость, т.е. провести кинема-
тический анализ.
1.1.2.	КИНЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ПЛОСКИХ
И ПРОСТРАНСТВЕННЫХ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
Тела и связи. Расчетную схему любой конструкции представляют
в виде системы связанных между собой элементов, которые можно с
достаточной точностью считать абсолютно жесткими телами. В плоских
системах их называют дисками, а в пространственных — блоками. Зем-
лю (основание конструкции) также можно считать телом.
Соединяющие элементы называют связями. Простая связь соединяет
два тела, сложная (кратная) — несколько тел (ее кратность на единицу
меньше числа соединяемых тел). Связь, препятствующую взаимному
поступательному (линейному) перемещению тел, называют линейной,
а связь, препятствующую взаимному вращательному (угловому) пере-
мещению тел, — угловой.
Связь, препятствующую взаимному перемещению двух тел в одном
определенном направлении, называют элементарной.
Обычно рассматривают двусторонние связи, препятствующие пере-
мещению тел в двух противоположных направлениях. Наряду с ними
существуют и односторонние связи (например, канат). Связи, соединяю-
щие тело (систему) с землей, называют опорными (внешними), а связи
внутри системы — внутренними. Если земля входит в состав системы,
т.е. считается телом, то все связи будут внутренними.
Для плоских систем основными жесткими связями являются: стер-
жень с шарнирными концами — линейная связь (рис. 1.2, а); шарнир —
связь, эквивалентная двум линейным связям (рис. 1.2, б); заделка —
связь, эквивалентная трем элементарным связям и препятствующая уг-
ловому и двум линейным перемещениям (рис 1.2, в).
7
К основным жестким связям пространственных систем относятся:
стержень; шаровой шарнир — связь, эквивалентная трем элементарным
связям (рис. 1.2, г); цилиндрический шарнир — связь, эквивалентная
пяти элементарным связям и допускающая лишь взаимный поворот
блоков в одной плоскости (рис. 1.2, д); заделка — связь, эквивалентная
шести элементарным связям.
В конструкциях строительных и дорожных машин часто применяют
связь, представляющую собой совокупность двух взаимно перпендику-
лярно расположенных цилиндрических шарниров (см. п. 2.8.2). Она до-
пускает повороты блоков в двух взаимно перпендикулярных плоскос-
тях и эквивалентна четырем элементарным связям.
На рис. 1.2, е, з, л, м показаны реакции (сосредоточенные силы R
и моменты М), возникающие в соответствующих связях. На рис. 1.2, и, к
изображены упругоподатливые связи — линейная и угловая (упругое
защемление). В них возникают те же реакции, что и в жестких связях.
Определение реакций в связях от внешних воздействий на систему
представляет основную задачу расчета. Здесь важно подчеркнуть, что
членение системы на тела и связи условно — все зависит от того, что при-
нимается за соединяемые, а что — за соединяющие элементы. Например,
в плоской шарнирно-стержневой системе (рис. 1.3) за диски можно при-
нять стержни, а за связи — шарниры в узлах — точках соединения стерж-
ней; но можно поступить наоборот — считать, что соединяются между
собой линейными связями узлы, которые иногда называют вырожден-
ными дисками — дисками, имеющими нулевую площадь.
Степень изменяемости системы. Как уже отмечалось, свойство сис-
темы изменять свою форму при отсутствии деформаций в элементах
называется ее изменяемостью. При определении степени изменяемости
системы все ее элементы (тела и связи) считают абсолютно жесткими.
8
i
i
t
i
t
n
fl
я
if
k
at
ns
KJ
vl
L> I
M
4-t
j(
l*’|l
Mi
«l-s
sw
Mi
nitis
• Min
•4
Каждый диск в плоскости обладает тремя степенями свободы отно-
сительно земли или любого другого диска, принимаемого за землю.
Этими степенями свободы являются два линейных (в направлении коор-
динатных осей) и одно угловое перемещения (поворот). Блок в прост-
ранстве обладает шестью степенями свободы — тремя линейными и тре-
мя угловыми перемещениями. Шарнирный узел имеет две степени свобо-
ды в плоскости и три — в пространстве; он может иметь только линей-
ные перемещения.
Каждая элементарная связь отнимает одну степень свободы. Поэто-
му общее число степеней свободы, называемое степенью изменяемости И
системы, определяется разностью между степенью свободы всех тел и
числом элементарных связей с учетом их кратности. Для плоской систе-
мы, прикрепленной к земле,
И=ЗД-С3,	(1.1)
а для пространственной —
Я=6Б-СЭ,	(1.2)
где Д — число дисков; Б — число блоков; Сэ — общее число элементарных связей.
В шарнирис-стержневых системах за соединяемые элементы удобнее
принимать узлы, а за соединяющие — стержни. В этом случае для
плоской системы, прикрепленной к земле,
И=2У-С,	(1.3)
а для пространственной —
И=ЗУ-С,	(1.4)
где У — число узлов; С — число стержней.
Если рассматриваемая система является свободной, т.е. отделенной
от земли или в системе земля считается диском, то формулы (1.1) —
(1.4) будут иметь следующий вид:
Я=ЗД-СЭ-3;	(1.5)
И=6Б-С3 — 6;	(1.6)
И=2У-С-3;	(1.7)
И=ЗУ-С-6.	(1.8)
Например, для свободной	плоской	системы	(см.	рис.	1.3)	в	соот-
ветствии с формулой (1.7)	получим: У=5,С=7и#=2-5	— 7 — 3 = 0.
Используя формулу (1.5), с учетом кратности шарниров (отмечены на
рисунке кружочками) находим: Д = 7 ,Ш— 2СЭ = 18и#=3-7 — 18 —
— 3 = 0 (здесь Ш — число шарниров). Как видим, использование форму-
лы (1.5) для шарнирно-стержневых систем нерационально.
Если в приведе шмх формулах И = 0, то связей достаточно для того,
чтобы при правильной их расстановке система была неизменяемой; если
И < 0, то связей в избытке, если же И> 0, то связей не хватает, и систе-
ма изменяема. Подчеркнем, что аналитический признак И < 0 является
необходимым, но не достаточным для того, ч-обы считать систему не-
9
изменяемой; надо, чтобы связи в ней были расставлены в соответствии
с определенными правилами образования систем.
Отметим, что если прикрепленная к земле система становится не-
изменяемой, то ее называют неподвижной.
Если И = 0 и связи расставлены правильно, то система статически
определима — в ней усилия во всех связях можно найти из условий ста-
тики; если же И < 0, то система статически неопределима. При этом сте-
пень статической неопределимости равна числу избыточных (лишних)
связей: п = -И.
Отметим, что для удобного использования формул (1.1) — (1.8)
следует предварительно отдельные части системы представить в виде
укрупненных дисков или блоков, основываясь на правилах образования
геометрически неизменяемых систем.
Образование и кинематический анализ систем. Сначала рассмотрим
правила образования плоских неизменяемых систем (при И = 0). Преж-
де всего отметим, что любой узел, прикрепленный к диску при помо-
щи диады — двух линейных связей, не лежащих на одной прямой
(рис. 1.4, а), будет неподвижен относительно этого диска. На основании
этого можно заключить, что последовательное присоединение к неизме-
няемой системе любого числа узлов при помощи диад образует в целом
неизменяемую систему. Например, образование ранее рассмотренной
шарнирно-стержневой системы (см. рис. 1.3) можно представить так:
к стержню 1-2, выбранному за основание (диск), прикрепляют после-
довательно узлы 5, 4 и 3. Полезно запомнить, что фермы с треугольной
решеткой являются неизменяемыми системами.
Второй путь образования плоской системы основывается на присое-
динении к диску I другого диска II при помощи трех элементарных
связей: либо шарнира А и стержня ВС, не проходящего через этот шар-
нир (рис. 1.4, б), либо тремя стержнями 1, 2, 3, не пересекающимися в
одной точке (рис. 1.4, в).
Заметим, что два любых стержня, не объединенные общим шарни-
ром, создают в точке пересечения соответствующих прямых мгновен-
ный центр вращения одного диска i относительно другого /; таким
образом, точка выполняет функцию ’’мгновенного шарнира”.
10
На рис. 1.4, г, д показаны плоские системы, образованные из трех
дисков. Каждый диск соединен с каждым другим при помощи шарнира
(см. рис. 1.4, г) или двух линейных связей (’’мгновенного шарнира”)
(см. рис. 1.4, д). Важно, чтобы три шарнира, соединяющие диски, или,
что то же самое, три мгновенных центра вращения не лежали на од-
ной прямой.
Если указанные требования о расположении связей между соеди-
няемыми дисками не выполняются, то диски имеют бесконечно малые
взаимные перемещения; такие системы называются мгновенно изменяе-
мыми. Так, в системах из двух дисков, изображенных на рис. 1.5, а, б,
соединяющие связи образуют единый мгновенный центр вращения, а в
системах, показанных на рис. 1.5, в, г, три диска соединены шарнирами
либо ’’мгновенными шарнирами”, лежащими на одной прямой.
Следует различать мгновенно изменяемые и просто изменяемые
системы. На рис. 1.5, д показана мгновенно изменяемая система, у кото-
рой три связи, соединяющие два диска, параллельны (пересекаются в
бесконечности). При смещении одного диска относительно другого на
некоторую малую величину Д связи уже не будут пересекаться в одной
точке в силу непараллельности стержней в новом состоянии; это мгно-
венно изменяемая система. Система, изображенная на рис. 1.5, е, похо-
жа на предыдущую, но в ней все три параллельные связи имеют одина-
ковую длину; при смещении одного диска относительно другого на ве-
личину Д параллельность связей сохранится, и система будет изменять
свое положение и дальше; это просто изменяемая система, у которой
одна из связей ложная.
Аналогичным образом устанавливаются правила образования неиз-
меняемых пространственных систем. Пространственная система будет
неизменяемой (при И — 0) ; 1 — если она образована путем присоедине-
ния узла к блоку при помощи триады — трех линейных связей, не лежа-
щих в одной плоскости (рис. 1.6, а); 2 — если она образована путем
соединения двух блоков (одним из которых может быть земля) шестью
связями таким образом, что они не пересекаются одной прямой и при
этом три связи, лежащие в одной плоскости, не пересекаются в одной
Рис. 13. Плоские мгновенно изменяемые системы
11
Рис. 1.6. Образование пространственных неизменяемых систем
Рис. 1.7. Схемы для кинематического анализа плоских систем
точке (рис. 1.6, б) ; 3 — если она представляет собой сетчатую систему —
шарнирно-стержневую ферму в виде выпуклого многогранника, в кото-
ром каждая грань — неизменяемая в своей плоскости ферма (рис. 1.6.в).
Кинематический анализ плоских и пространственных систем основан
на изложенных правилах образования, а также на некоторых признаках,
вытекающих из общих методов расчета сложных систем, которые будут
рассмотрены ниже. Его можно проводить либо на основе рассмотрения
последовательного образования (монтажа), либо последовательного
разрушения (демонтажа) системы. Отметим, что если при демонтаже
какой-либо части системы оставшаяся часть остается неизменяемой, то
удаленная часть называется дополнительной (по отношению к остав-
шейся) , а оставшаяся — главной частью системы.
Поясним проведение кинематического анализа на примерах различных систем.
Свободная система, изображенная на рис. 1.7, а (типа экскаватора, оборудо-
ванного обратной лопатой), содержит шесть дисков (отмеченных римскими циф-
рами) , пять простых шарниров (А, В, С, D н Е) и пять стержней. В соответствии
с формулой (1.5) Я=3-6 — 5-2-5-3=0. Проследим путь образования этой
системы. К диску I при помощи шарнира Л и стержня 1 — Г присоединяется диск
II, далее аналогично диски III, IV, V и VI. Следовательно, система неизменяема. От-
метим, что диск VI по отношению к другим дискам представляет дополнительную
часть, так как его удаление (вместе с шарниром Е и стержнем 5 - 5') не влияет на
неизменяемость оставшейся системы. Аналогичным образом диск IV совместно с
дисками V и VI представляет собой дополнительную часть по отношению к части
системы, состоящей из дисков I, II, III, но совместно с последними дисками яв-
ляется главной частью по отношению к дополнительной части системы, состоя-
щей из дисков V и VI.
Прикрепленная к земле система, изображенная на рис. 1.7, б, имеет 22 узла
и 44 линейные связи, включая опорные. В соответствии с формулой (1.3) И= О,
однако кинематический анализ показывает, что система изменяема. Последователь-
ное прикрепление диад позволяет представить данную систему в виде двух дисков
/и II (рис. 1.7, в), соединенных между собой всего двумя связями-дисками (12 —
14 - 16 и 13 — 15 — 18). Таким образом, вся система изменяема с лишним стерж-
нем 12 — 13 в диске I. Достаточно этот стержень переставить в поле 12 - 13 — 18 —
16 в виде стержня 12 — 18 (или 13 — 16) и вся система станет неизменяемой.
Рассмотрим свободную систему, показанную на рис. 1.7, г. Для нее У = 8,
С = 13 и согласно формуле (1.7) И = 0. Эту систему можно считать состоящей из
трех дисков: треугольников 2 - 3 - 7н4-5-8н стержня 1-6 (рис. 1.7, д).
Так как при этом три мгновенных центра вращения не лежат на одной прямой,
система неизменяема. Все элементы — главные. Отметим, что если диски 2-3-7
Рис. 1.8. Схемы для кинематического анализа пространственных систем
13
и 4 - 5 - 8 соединить не перекрещивающимися стержнями, а параллельными
(3 — 4 и 7 — 8), то система станет мгновенно изменяемой, так как в этом случае
три мгновенных центра вращения будут лежать на горизонтальной прямой.
Пространственная система, изображенная на рис. 18, а, неизменяема, так как
представляет собой два блока (диск АВС в пространстве и ’’земля”), правильно
соединенных между собой шестью стержнями. Ее можно также рассматривать как
сетчатую систему.
Образование пространственной шарнирно-стержневой системы, изображен-
ной на рис. 1.8, б, можно представить в виде последовательного присоединения
триад к неизменяемому тетраэдру 1 - 2 - 3 - 4 (рис. 1.8, в): сначала узел 7 —
триадой 2 — 7, 3 - 7 и 4 - 7, затем узел 6 — триадой 2 — 6, 3-6м7 — 6, затем
узел 5 и т.д. Следовательно, система неизменяема.
Подчеркнем еще раз, что при проведении кинематического анализа
формулы (1.1) — (1.8) играют вспомогательную роль; использование
их не обязательно, если руководствоваться правилами образования
неизменяемых систем.
1.2.	РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМЫХ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
ПРИ ДЕЙСТВИИ НЕПОДВИЖНОЙ НАГРУЗКИ
1.2.1.	ОБЩИЕ МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ СИЛ
В СВЯЗЯХ ПЛОСКИХ И ПРОСТРАНСТВЕННЫХ СИСТЕМ
Основные предпосылки. В статически-определимых системах внут-
ренние силы (усилия в связях) возникают только от действия нагрузки
(силовых внешних воздействий). Температурные и дислокационные
воздействия внутренних сил не вызывают.
При определении внутренних сил 5 и перемещений точек Д предпола-
гают, что система обладает упругими свойствами, ее деформированное
состояние незначительно отличается от недеформированного и рост
внутренних сил и перемещений от внешних воздействий следует по ли-
нейному закону. Такие системы называют линейно деформируемыми.
Определение внутренних сил и перемещений в этих системах основы-
вается на принципе независимости воздействий (принципе суперпози-
ции) . Внутренняя сила 5 в i-й связи от суммы п воздействий равна сум-
ме внутренних сил в этой же связи, возникающих от каждого воздейст-
вия, т.е.
5il=5h + 5/2+  + sij+-- + sin-	(1.9)
Аналогично для перемещений
Д*Х = \-! + Д^+--- + ДЛ/ + --- + Д^-	(1-Ю)
Статически определимые неизменяемые системы обладают следую-
щими свойствами: при отсутствии нагрузки все внутренние силы равны
нулю (в противном случае система мгновенно изменяема); под дейст-
вием нагрузки усилие в любой связи имеет только одно значение (в про-
тивном случае система мгновенно изменяема), если к диску (блоку)
приложена уравновешенная система сил (рис. 1.9, о), то усилия во внеш-
них связях этого диска (блока) равны нулю (на рисунке отмечено чер-
14
Рис. 1.9. Статически определимые системы
точками); усилия во внешних связях диска (блока) не изменятся, ес-
ли силы, действующие на этот диск (блок), заменить равнодействующи-
ми (или наоборот), т.е. произвести эквивалентное преобразование
нагрузки (рис. 1.9, б); нагрузка, действующая на дополнительные части
системы, передается на главные части, а от последних на дополнитель-
ные не передается (см. рис. 1.9, в, г, где балка AD является главной,
а балка DC — вспомогательной частью системы; VA, и Vc — верти-
кальные опорные реакции).
Статический метод. Этот метод основан на способе сечений. Любая
часть системы, находящейся в равновесии, также должна находиться
в равновесии. Поэтому, расчленяя систему на отдельные части путем
проведения разрезов (сечений), можно к любой из них применить урав-
нения статики, которые будут содержать как внешние силы, так и уси-
лия в разрезанных связях. Из совместного решения этих уравнений на-
ходят искомые силы.
Применительно к шарнирно-стержневым системам (фермам) с узло-
вой нагрузкой способ сечений разделяют на способ вырезания узлов и
способ моментной точки (или моментной оси — для пространственных
систем).
Обычно все силы в разрезанных стержнях принимают направленны-
ми от узлов, т.е. считают каждый стержень растянутым. Отрицательный
знак в решении показывает, что стержень сжат.
Способ вырезания узлов заключается в следующем. Каждым сече-
нием вырезают один узел, к которому прикладывают внешние силы
(если они есть) и продольные силы 7V, в разрезанных стержнях. Для каж-
дого узла плоской фермы составляют два уравнения статики (уравнения
проекций:	= 0и2К = 0),а для всей фермы — 2У уравнений, где
У — число узлов фермы.
Так как в статически определимой плоской ферме, прикрепленной
к земле, число стержней (включая опорные) также равно 2У, то в общем
случае получают полную систему 2У алгебраических уравнений с 2 У не-
известными. Аналогично, для пространственной фермы получают — ЗУ
уравнений с ЗУ неизвестными. Для свободной плоской фермы (см.
15
рис. 1.3) число стержней равно 2У — 3, и таким образом три уравнения
статики будут избыточными; они могут служить для контроля решения.
Наиболее простое решение способ вырезания узлов дает тогда, когда
к вырезанному узлу плоской фермы сходятся лишь два ’’неизвестных”
стержня, а к узлу пространственной фермы — три.
На основе способа вырезания узлов можно легко установить следую-
щие признаки нулевых (неработающих) стержней: в ненагруженном
двухстержневом узле плоской фермы оба стержня являются нулевыми,
если их оси не лежат на одной прямой (рис. 1.10, а); если в ненагружен-
ном трехстержневом узле плоской фермы оси двух стержней лежат на
одной прямой, то третий стержень является нулевым (рис. 1.10, 6), то
же, если вместо второго стержня будет приложена силаР (рис. 1.10,в);
в ненагруженном трехстержневом узле пространственной фермы все
стержни нулевые, если их оси не лежат в одной плоскости (рис. 1.10, г).
Отметим, что графический способ построения диаграммы усилий
Максвелла—Кремоны; известный читателю из курса теоретической ме-
ханики, основан на способе вырезания узлов.
Способ моментной точки заключается в следующем (для плоских
ферм). Систему расчленяют сечением на две части, каждую из которых
можно рассматривать как диск. Разрез проводят через стержень Z, в кото-
ром определяют усилие, и через два других стержня (или большее число
стержней, если они сходятся в одной точке к,). Затем для одной из час-
тей фермы составляют уравнение моментов (ЕЛГ*. = 0), содержащее
нагрузку и лишь одну неизвестную силу N,. В этом уравнении к, — мо-
ментная точка для 1-го стержня, лежащая на пересечении других разре-
занных стержней. При расчете пространственной фермы составляют
уравнение моментов относительно моментной оси.
При удалении моментной точки в бесконечность (при параллельнос-
ти других разрезанных стержней) уравнение моментов ’’переходит” в
уравнение проекций сил S Y = 0, где ось у перпендикулярна параллель-
ным разрезанным стержням. В этом случае способ называется способом
проекций.
Покажем применение статического метода на примере плоской фермы, изо-
браженной на рис. 1.11, а. Ферма прикреплена к земле при помощи шарнира Л и
Рис- 1.10. Признаки нулевых стержней
16
i.
ИЙЦ®7,з
аф ij
Mfflflul,
ияф
ШИЦлИр
jpaiqm.
;дуииеч|и
П,Щ19
ECIiJffl'fl
ifei
fUIHlI
1фЯ^
ХКЯИГ’1г
стержня (оттяжки) BB‘ и нагружена в узле 8 силой Р. Сначала из уравнений стати-
ки определим опорные реакции:
ЪМА = R^r-P-5d = 0; ЕЛ = НД - K^cosa = 0;
Е Y = Уд + Rg sin а - Р = 0.
По способу вырезания узлов найдем, например, усилия в стержнях 6 - В и
7 — В. Для этого вырежем узел В (рис. 1.11, б) и решим совместно уравнения
равновесия EZ = 0 и Е Y = 0. По способу моментной точки найдем усилия Ng-g
и Л^4-8- Проведем сечение II — II и рассмотрим равновесие правой части фермы
(рис. 1.11, в). Моментной точкой для стержня 8—9 является точка 4. Поэтому
усилие в стержне 8 - 9 Ng.g определим из уравнения EAf4 =Ns_9d+ Pd - R^i =
= 0. Моментная точка для стержня 4 — 8 лежит в бесконечности на горизонтали.
Поэтому усилие в стержне 4—8 N9.g найдем из уравнения Е Y = TV4.8 sin (3 - Р +
+ Rg sin а = 0.
При внеузловом действии нагрузки на ферму (рис. 1.12, а) нагружен-
ный стержень i — к испытывает не только растяжение (или сжатие), но
и поперечный изгиб. Для определения изгибающих моментов М и попе-
речных сил Q и построения соответствующих зпюр стержень рассматри-
вают как шарнирно-опертую по концам балку (рис. 1.12, б). Для нахож-
дения продольных сил в стержнях фермы (в том числе и в стержне
i - к) внеузловую нагрузку заменяют узловыми силами Р,- и Рк (см.
рис. 1.12, а), равными соответственно опорным реакциям/?, и7?^ балки
(см. рис. 1.12, б), но имеющими противоположные направления. Это
соответствует эквивалентному преобразованию нагрузки на диске, о
котором говорилось выше.
Основы кинематического метода. Кинематический метод основан
Рис. 1.11. Схемы для расчета плоской фермы
статическим методом при приложении нагрузки
в узле
♦♦I
=;
Рис. 1.12. Схема плоской фермы и эпюры изги-
бающих моментов и поперечных сил при при-
ложении виеузловой нагрузки

pa»1*
17
на применении принципа возможных перемещений, который заключается
в следующем. Если система находится в равновесии, то сумма работ
всех приложенных к ней сил на возможных бесконечно малых переме-
щениях равна нулю. При этом под возможным перемещением пони-
мается любое бесконечно малое перемещение, не противоречащее связям
системы.
Для определения усилия (реакции) S в 1-й связи ее разрезают (устра-
няют), а вместо нее прикладывают соответствующие равные и проти-
воположно направленные усилия Полученной системе задают возмож-
ное перемещение и составляют уравнение работ всех сил, включая уси-
лия S, в следующем виде'
п
S PfcA*+5As = 0,	(1.11)
к= 1
где Р^ - внешние сипы, действующие на систему; и Д5 — перемещения точек
приложения сил Р^ и 5 по направлениям их действия; S — усилия в устраненной
связи.
Наиболее удобен и целесообразен кинематический метод при расчете
плоских сложных статически определимых систем, когда усилие надо
определить в одной связи. Если система неизменяема и не имеет лишних
связей, то она при удалении одной связи превращается в механизм
{И = 1). Все возможные перемещения А точек механизма необходимо
связать между собой одним параметром, который при использовании
уравнения (1.11) сократится.
Перемещения А можно найти различными способами. При примене-
нии любого из них предполагается, что ввиду малости перемещений
точка к диска перемещается не по дуге окружности с центром в мгно-
венном центре вращения, а по касательной к дуге.
Непосредственное применение способа возможных перемещений
поясним на примере определения опорной реакции RB многопролетной
балки (рис. 1.13, а). Удаляя опорную связь В и давая полученному
механизму возможные перемещения (рис. 1.13, б), в соответствии с
выражением (2.3) находим
-РДр + RB Ar = 0.
Первое слагаемое имеет знак ’’минус”, так как сила Р и переме-
щение точки ее приложения противоположно направлены. Установив
из геометрических соотношений зависимость между перемещениями
Ар и Ar , получим
В-д ~ РАр/&в — P(J + b)bt b2/{_la\ а2).
Для определения усилий в сложных стержневых системах переме-
щения А можно находить по способу изображающих точек, который
основан на построении неполярного плана возможных перемещений
(скоростей) точек образовавшегося механизма.
Перемещение каждой точки к (рис. 1.13, в) относительно мгновен-
18
В)
Рис. 1.13. Схемы для определения усилий в миогопролетной балке кинематическим
методом
ного центра вращения Ок изображают вектором кк' (в определенном
масштабе), повернутым на 90° по отношению к действительному направ-
лению перемещения кк\. Конец повернутого вектора называют изобра-
жающей точкой к', или изображением точки к. Общее выражение прин-
ципа возможных перемещений записывают в виде
^Pk\cos(Pk, ДА) = 0,	(1.12)
где суммирование распространяется на все силы, как внешние, так и
определяемые.
Учитывая, что величина cos (Рк, Д*) представляет собой плечо
силы Рк относительно точки к', выражение (1.12) можно представить
так:
= ърк\' = °-	(113)
где моменты М^, определяют с учетом знака.
Таким образом, искомое усилие S определяют из условия равенства
нулю моментов всех действующих на механизм сил относительно изобра-
жающих точек их приложения.
При изменении этого способа руководствуются следующими прави-
лами: изображающая точка лежит на радиусе-векторе с началом в
мгновенном центре вращения; изображающая точка неподвижной точки
совпадает с ней самой; всякий прямолинейный отрезок на диске изобра-
жается отрезком параллельной прямой на плане перемещений (ско-
ростей) .
Поясним применение способа изображающих точек на примере сложной шар-
нирно-стержневой системы (рис. 1.14, с). Ранее было показано (см. рис. 1.7, г),
что эта система геометрически неизменяема и статически определима. Сложной
она считается потому, что ко всем ее узлам сходятся по три и более стержней.
При использовании способа вырезания узлов для определения сил А' в 13 стерж-
нях необходимо с учетом симметрии решать совместно систему семи уравнений с
семью неизвестными.
Пусть, например, требуется определить усилие в стержне 1-6. Удалим этот
стержень и взамен его к узлам 1 и 6 приложим искомые усилия N (рис. 1.14, 6V
Рассматриваемая система является свободной, поэтому один из дисков (например,
2-3—7) можно считать неподвижным. Тогда изображения 2', 3’, 7 точек 2, 3 и
7 будут совпадать с ними самими.
19
Рис- 1.14. Схемы для определения усилий в стержнях сложной фермы кинематичес-
ким методом и методом замены связей
Положения других изображающих точек определим в следующем порядке.
Сначала на радиусе-векторе 1 — 2 произвольным отрезком а получим положение
изображающей точки Г (точка 2 является центром вращения). Изображающую
точку 8' определим как точку, лежащую на пересечении линий Г - 8' и 3' — 8',
параллельных 1 — 8 и 3 — 8, так как они являются изображениями этих отрезков.
Затем найдем изображающую точку 4', лежащую на пересечении линий 4’ — 7’ и
4* — 8'. Далее аналогичным образом найдем положения изображающих точек 5'
и 6'. Величины X,. определим из геометрических соотношений; X/ =а; Х2' = 0;
Xg'=0,5о; Х6'= 1,5с. Следовательно, согласно выражению (1.13)
ЪМк, = -TVXf + NK6- + />Х2’ + РХ5' = 0,
откуда
PKs'	Р-0,5а
N = --------- = -------- = -Р.
Xjr — Х^'	а — 1,5с
Отметим, что если системе с устраненной связью (полученному
механизму) нельзя задать возможное перемещение As по направлению
устраненной связи, т.е. Д$ = 0, то в этом случае согласно выражению
(1.11) S — 00. Как уже отмечалось, получение усилия, равного бесконеч-
ности или неопределенности, свидетельствует о мгновенной изменяе-
мости системы. Таким образом, если As = 0, то система мгновенно из-
меняема (по кинематическому признаку).
Основы метода замены связей. Согласно этому методу расчет задан-
ной сложной системы заменяется расчетом другой, преобразованной
(заменяющей) системы, которая должна быть также неизменяемой
и статически определимой, но более простой и полученной из заданной
системы путем замены связей.
Действие устраненных из заданной системы связей заменяется
действием неизвестных сил X, и при этом накладывается условие: сум-
марное усилие (реакция) в каждой ;-й введенной связи от действия
на систему всех сил как нагрузки Р, так и неизвестных X, должно быть
равно нулю.
Если заменяется только одна связь (этот случай представляет наи-
больший интерес), то зто условие записывается так:
+ Pip =0,	(1.14)
где г, , - реакция во введенной связи от действия сил Х1 = 1;Л,р - реакция во
введенной связи от действия нагрузки.
20
Из уравнения (1.14) находят Xt, а затем согласно выражению
(1.9) все остальные силы 5, по формуле:
Si = Sj'i + Sjp,	(1-15)
где S/, — усилие в i-й связи от действия сил X, = 1 (черточка сверху показывает,
что эта сила безразмерная) ; Sip — усилие в i-й связи от действия нагрузки.
Отметим, что метод замены связей в данном случае требует расчетг
преобразованной системы дважды: отдельно на нагрузку и на силу
Xi = 1. Однако при расчете вручную это проще, чем проводить расчет
сложной системы путем решения системы уравнений высокого порядка.
Поясним применение этого метода на примере расчета ранее рассмотренной
сложной системы (см. рис. 1.14, а). На рис. 1.14, в изображена преобразованная
система, в которой удален стержень 1 - 6, а вместо него приложены силы Xt и
введен стержень 3—4. Вырезая последовательно узлы 1, 2, 7 и 3 и учитывая сим-
метричность системы, получаем от действия сил Р следующие ненулевые усилия
в стержнях:
<7 = <8 = ~Р’ "Ъ =	=~>Г2Р-.
<7 = <8 =	<4 = *хР = «
От действия сил Л,= 1 аналогично находим:
•	^1-6 = 1:	^1-8 = ^6-7 =	^1-2 = ^5.6 = 1;
^2-7 = ^5-8 = “I! ^2-3 = ^4-5 =	’
^4-7 — ^3-8 = 0’ ^3-7 ~ ^4-8 = —1’ ^3-4 = Г11 ~ !-
Согласно выражению (1.14) X, = — Р и в соответствии с формулой (1.15):
*	1-6 = *1-2 = *5-6 = ~Р->	*1-8 = *6-7 =
*	2-7 = *5-8 = °! *2-3 = *4-5 = ~^ТР^
*	4-1 = *3-8 =	*3-7 = *4-8 = 2Р-
Признак мгновенной изменяемости по методу замены связей заклю-
чается в равенстве нулю коэффициента rx j (при замене одной связи); в
этом случае согласно выражению (1.14) Х^ =°°.
1.2.2. РАСЧЕТ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ФЕРМ
Применение общих методов расчета. Все реальные конструкции
пространственны: они имеют пространственные опорные закрепления
и несут пространственную нагрузку. Расчет пространственной системы
вручную намного сложнее, чем расчет плоской, но в ряде случаев его
можно упростить путем разложения пространственной системы на плос-
кие. Так поступают, в частности, при расчете пространственных ферм,
представляющих собой сетчатые системы. Об этом будет сказано ниже, а
здесь рассмотрим случаи точного расчета пространственных ферм при
непосредственном использовании методов, изложенные: в предыдущем
параграфе.
21
Рис. 1-16- Схемы для
расчета пространствен-
ной фермы методом за-
мены связей
Рис. 1.15. Схемы для расчета пространственной фермы
статическим методом
Например, при расчете пространственной фермы, изображенной на
рис. 1.15, а, можно использовать статический метод. Прежде всего выя-
вим наличие нулевых стержней. Так как трехстержневой узел 2 не нагру-
жен, стержни 1 -2, 3-2и5-2 будут нулевыми. Легко установить, что
нулевыми являются и стержни 1 — 3, 5 — 3 и б — 3. Все нулевые стержни
при расчете можно мысленно отбросить (рис. 1.15, б). Вырезая узел 1 и
решая совместно три уравнения статики: SX = 0, S У = 0 и S Z = 0,
находим усилия Л^_4, Л\_5 и Л\.6. Усилие Ni.4 можно определить
также способом моментной оси из уравнения моментов SAfs _6 — -PH -
-М-4/1 = 0.
При расчете сложных пространственных ферм целесообразно исполь-
зовать метод замены связей. Например, пространственная ферма, изобра-
женная на рис. 1.8, с,является сложной, так как в каждом ее узле схо-
дятся по четыре стержня, и при непосредственном использовании способа
вырезания узлов требуется решить систему алгебраических уравнений
высокого порядка. На рис. 1.16 показана преобразованная система для
этой пространственной фермы. Она получена из заданной фермы путем
устранения стержня ВС и введения стержня AD. Так как в заменяющей
системе в узлах В и С сходятся только по три стержня, усилия в них
от действия нагрузки и сил Xi = 1 найдем по способу вырезания узлов.
Затем определим усилия в стержнях, примыкающих к узлу Л. Используя
формулы (1.14) и (1.15), вычислим усилия в стержнях заданной фермы.
Расчет сетчатых ферм путем разложения их на плоские системы.
Если пространственная статически определимая ферма состоит из плос-
ких ферм, каждая из которых в своей плоскости геометрически неизме-
няема и неподвижна, то от нагрузки, приложенной в плоскости любой
фермы, возникают усилия только в стержнях этой плоской фермы;
все остальные стержни пространственной фермы будут нулевыми.
На основании этого свойства можно легко находить усилия в стерж-
нях ферм, имеющих вид призм или усеченных пирамид, если сосредото-
ченные силы в узлах предварительно разложить на составляющие, каж-
дая из которых действует в плоскостях соответствующих граней. Под-
черкнем при этом, что пространственная ферма не только должна пред-
22
ставлять собой сетчатую систему; каждая из ее плоских ферм должна
быть неподвижной, т.е. иметь опорные закрепления, воспринимающие
нагрузку.
Поясним сказанное на примере пространственной фермы треуголь-
ного очертания в поперечном сечении (рис 1.17, а). Она представляет
собой сетчатую систему, в которой каждая плоская грань неподвижна.
Разложив силу Р, как зто показано на рис. 1.17, б, можно любым из
способов (например, способом вырезания узлов) рассчитать каждую
плоскую ферму (рис. 1.17, в, г); затем усилия в стержнях, принадлежа-
щих двум смежным граням, надо сложить. Из рассмотренного примера,
в частности, следует, что все стержни решетки грани А - В - 8 - 7
будут нулевыми.
Отметим, что многопанельные пространственные фермы (башни
и стрелы кранов и др.) при расчетах часто считаются решетчатыми стерж-
нями. Поэтому к их деформациям применяют термины сопротивления
материалов и, в частности, говорят о кручении ферм, подразумевая под
этим повороты сечений под действием нагрузки, приложенной перпен-
дикулярно оси решетчатого стержня (как это и было в рассмотренном
примере). В связи с этим отметим, что кручение пространственных ферм
может возникать даже тогда, когда нагрузка лежит в плоскости лишь
одной ее грани.
Особенности расчета пространственных ферм на кручение. На
рис. 1.18, а изображена простейшая пространственная ферма четырех-
угольного очертания в ’’поперечном сечении”. Отделенная от опор эта
система является сетчатой и, таким образом, геометрически неизменяе-
мой (/7=3-8 — 18—6=0). Однако, будучи прикрепленной к земле
необходимыми шестью связями, эта система станет принципиально от-
личной от ранее рассмотренной (см. рис. 1.17, а). Здесь входящие в со-
став пространственной фермы плоские фермы 5-6-8-7и1-5-
Рис. 1.17. Схемы для расчета пространственной фермы путем разложения ее иа
плоские системы
23
Рис. 1.18. Схемы для расчета пространственных ферм иа кручение
7 - 3 не имеют в своих плоскостях необходимых опорных закреплений
и не являются неподвижными системами. Отсюда следует, что внешние
силы, действующие в этих плоскостях, будут восприниматься стержня-
ми других граней пространственной системы.
При расчете подобных ферм на действие пары сил в торцовом сече-
нии используют следующий способ. Пространственную ферму расчле-
няют на плоские, затем к каждой плоской ферме прикладывают внеш-
ние силы (нагрузку и реакции) и внутренние силы взаимодействия F,
со смежными фермами, которые являются для каждой выделенной
плоской фермы внешними силами (см. рис. 1.18, б). Естественно, что
при сложении плоских ферм в единую пространственную систему силы
Fj должны взаимно уравновешиваться.
Определив из совместного решения уравнений равновесия плоских
ферм силы Fi, находят усилия в стержнях соответствующих граней от
всех действующих сил; затем усилия в стержнях пространственной фер-
мы, принадлежащих двум смежным плоским фермам, суммируют.
Поясним сказанное на примере (см. рис. 1.18, с). Определив из условий
статики опорные реакции R = Pb/а (остальные реакции равны нулю), расчленим
систему на шесть плоских ферм (см. рис. 1.18, б). После этого к узлам торцовой
фермы 1 - 2 — 6 — 5 приложим силы Р и силы взаимодействия Ру и F2, представ-
ляющие собой проекции усилий в раскосах боковых ферм на торцовую плоскость
(F( = Л<4_6 cos a; F? = N1 cos (3). Из условия равновесия торцовой фермы SAf6 =
= 0 получим =F]fl+ F2i.
Действие боковых граней друг на друга определяется узловыми силами F3.
Прикладывая эти силы к узлам соответствующих плоских ферм совместно с си-
лами Fj и F2, запишем уравнения равновесия: Fvl — F3b mF21 = F3a. Выразив из
этих уравнений Fj и F2 через F3 и подставив полученные величины в уравнение
равновесия для торцовой фермы, получим F3 = Pl)(2c)-, F2 = Р/ 2; Fj = Pb/(2a).
Зная все силы, действующие в плоских фермах, найдем по способу вырезания
узлов усилия в стержнях каждой из шести плоских ферм. Вертикальные стержни
(пояса) пространственной фермы в данном случае будут нулевыми. Кручению
фермы препятствуют только наклонные стержни (раскосы).
Отметим, что в многопанельных фермах постоянного поперечного
сечения усилия в поясах при кручении будут незначительными. Однако
роль поясов возрастет, если ферма будет иметь пирамидальный вид
[2,14].
1.3. РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМЫХ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
ПРИ ДЕЙСТВИИ ПОДВИЖНОЙ НАГРУЗКИ
1.3.1. ТЕОРИЯ ЛИНИЙ ВЛИЯНИЯ
Основные понятия. Подвижной нагрузкой называется группа парал-
лельных сил, неизменных по значению, направлению и взаимному распо-
ложению, которая совершает поступательное движение по системе
(например, подвижная каретка с грузом на стреле башенного крана).
Естественно, что усилие S, в любой 1-й связи системы зависит от поло-
жения нагрузки. Невыгоднейшим (для i-й связи) называется такое по-
ложение нагрузки, при котором 5) имеет экстремальное значение.
Простейшей подвижной нагрузкой является безразмерная единичная
силаР = 1. График изменения усилия S’,- (или перемещения Д^) от дейст-
вия единичной силы Р постоянного направления в зависимости от ее
положения (координаты z) называется линией влияния (л.в.) усилия —
л.в. Sj (или перемещения — л.в. Д^).
Линию влияния Sz(z) строят на базисе, соответствующем грузовой
линии — прямой, перпендикулярной направлению действия силы Р = 1.
Ордината линии влияния S, в какой-либо точке / выражает значение
усилия Sj при положении силы Р на грузовой линии в точке /. Размер-
ность ординат [у] линии влияния 5 определяется формулой [S]/[P], где
[5] - размерность исследуемой величины, а [Р] — размерность силы.
Положительные значения ординаты будем откладывать вниз от базиса.
Зная линию влияния S/, можно, используя принцип независимости
действия сил, определить значение S, от действия любой системы сил.
Линии влияния строят на основе общих методов определения усилий
в связях, изложенных в предыдущем параграфе.
Статический метод построения линий влияния усилий в балках.
Построение линий влияния усилий (опорных реакций и внутренних
сил) в балках статическим методом заключается в следующем. Силу
Р — 1 прикладывают в произвольной точке балки. Положение этой точки
фиксируется абсциссой z при произвольно выбранном начале отсчета.
Используя условие статики, получают выражение искомой величины S,
содержащее в общем случае абсциссу z. Считая z переменной величиной,
получают уравнение л.в. S. Для получения уравнений линий влияния
опорных реакций в простой балке достаточно зафиксировать положение
силы Р = 1 один раз, а для получения уравнений линий влияния внутрен-
них сил Si 2 раза (слева и справа от рассматриваемого сечения i), для
каждого из двух участков балки выводить свое уравнение S(z). Как
будет показано ниже, в статически определимых системах уравнения
линии влияния S содержат z в первой степени. Таким образом, все ли-
нии влияния усилий состоят из прямолинейных отрезков и, следователь-
но, для их построения надо на каждом участке задать лишь два значения
абсциссы z.
Поясним сказанное на примере. Задаваясь абсциссой z (рис. 1.19. а)
25
из условий статики %МВ — VA I — Р (I — z) — 0 и ~SMA — Vgl - Pz ~ О,
получим уравнения опорных реакций:
VA = (l-z)ll и VB = z/l.
Полагая z = 0 и z — I, находим значения соответствующих ординат.
Линии влияния реакций VA и VB изображены на рис. 1.19, б, в.
При построении линий влияния внутренних сил (изгибающего
момента М и поперечной силы Q) в Z-м сечении балки уравнения ли-
нии влияния Sj будут различными при положении силы Р слева и справа
от сечения. Поэтому линии влияния 5/ будут состоять из двух прямых -
левой и правой.
При построении линии влияния S, в межопорных сечениях (точка 1
на рис. 1.19, а) следует при приложении силы Р слева (справа) от i-ro
сечения усилие 5,- выразить через правую (левую) опорную реакцию.
Например, при приложении силы Р = 1 справа от сечения — Мi = VA а =
= (/ - z}a/l, а при приложении слева — Mi = VBb — zb/l. Нетрудно убе-
диться в том, что левая и правая прямые линии влияния Mi пересекают-
ся под самим сечением (рис. 1.19, г). Из любого уравнения получим,
что при приложении силы Р = 1 в точке 1 (z = а) Мх = ab/l.
Аналогично, при приложении силы Р = 1 справа Qi = VA = (I - z)/l,
а при приложении слева Qi = —VB = -z/l. Следовательно, левая и правая
прямые л.в. Qi параллельны и имеют разрыв под сечением на величину,
равную единице (рис. 1.19, д).
При построении л.в. S, в консольных сечениях (точка 2 на
рис. 1.19, а) следует всегда выражать величину S,,рассматривая лишь
консольную часть балки. Так, при отсутствии силы Pi = 1 на консольной
части, т.е. правее точки 2 внутренние усилия и Qi будут равны нулю,
а при приложении силы Р = 1 на консольной части — М2 = -1 - z|£ и
Qi = 1. Таким образом, и для консольного сечения левая и правая
прямые линии влияния М2 (рис. 1.19, е) пересекаются под сечением, а
в линии влияния Qi они параллельны (рис. 1.19, ж), причем разрыв
(скачок) в линии влияния Q2 будет, как и ранее, в месте сечения.
Кинематический метод построения линий влияния усилий в балках.
Этот метод удобен в первую очередь для определения характера линии
влияния. Используя уравнение (1.11) и учитывая, что внешней нагруз-
кой является только сила Р = 1, получим уравнение 5 = —&pl&s. Пос-
кольку в нем ДА представляет взаимное перемещение точек приложения
усилий S и является постоянной величиной, а Др представляет переме-
щения всех точек грузовой линии, т.е. эпюру возможных перемещений
(эп. Др) образовавшегося механизма (системы с i-й устраненной
связью), уравнение линии влияния можно записать так:
1
л.в.5г = - ---- зп. Др.	(1.16)
Чтобы 'положительные ординаты линии влияния были расположены
внизу, следует механизму дать возможные перемещения от отрицатель-
26
г)
е)
ж)
Рис. 1.20. Построение линий влияния
усилий в балках кинематическим мето-
дом
ПК II
[р '
И-
Щ2111
fplill
И*»
S-"
гя»1
Ч )1‘
но направленных сил S,. Эпюра перемещений будет определять линию
влияния не только по характеру и знаку, если в качестве масштаба
принять задаваемое перемещение Дх по абсолютному значению равным
единице.
Отметим, что при построении линии влияния Afz надо в ьм сечении
врезать шарнир, а действие устраненной связи скомпенсировать прило-
жением двух равных и противоположно направленных моментов
(рис. 1.20, а). При построении линии влияния Qi для устранения соот-
ветствующей связи необходимо в i-е сечение ввести четырехзвенный
механизм ’’нулевой” длины (’’ползун”), а к концам устраненной связи
приложить поперечные силы (рис. 1.20, б). Аналогично поступают при
построении линии влияния Л,- (рис. 1.20, в).
На рис. 1.20, г-ж изображены построенные кинематическим мето-
дом линии влияния опорной реакции VA, момента в консольном сече-
нии Мс и поперечной силы QD в пролетном сечении. Как следует из
рассмотрения л.в. Мс, величина As представляет собой взаимный угол
поворота, который определяется ввиду малости перемещений отноше-
нием As = Д/с (рис. 1.20, е); отсюда Д = с. Из аналогичных рассуждений
найдем величины Дл и Дп на линии влияния QD (рис. 1.20,ж). Так как,
с одной стороны, Д£ = Дл + Дп, а с другой, — ^nla = &п/Ъ, то Дл =
= а! {а + Ь) и Дп = Ъ/ (а + Ь).
Определение усилий по линиям влияния. Усилие 5 от действия
1“
27
неподвижной или подвижной нагрузки определяют путем загружения
линий влияния 5. Если нагрузка представляет собой систему сосредото-
ченных сил Pi (рис. 1.21, а), то в соответствии с выражением (1.9)
5 = РХУ1 + Р2у2 + . . . + Рпуп = 2 Piyi,	(1.17)
i = 1
где у, — ординаты линии влияния S в точках приложения сил Pj.
При действии распределенной нагрузки q(z) суммирование заме-
няется интегрированием (рис. 1.21, б):
Ь
S = fq(z)y(z)dz,	(1.18)
а
где а и b — абсциссы начальной и конечной точек действия нагрузки.
Если q = const, то
Ь
S = q f y(z)dz = qGja^b,
а
где ыа-Ь — площадь фигуры, ограниченной линией влияния на участке действия
нагрузки (рис. 1.21,6).
Рис. 1.21. Загружение линий влияния неподвижной и подвижной нагрузкой
28
Отметим, что произвольную нагрузку, действующую на прямолиней-
ном участке линии влияния (рис. 1.21, в), можно заменить ее равнодей-
ствующей R. Как следует из рис. 1.21, в,
S =	= SPj.tga = tg а ЪР. z. =
= Rzr tg q = RyR.	(1.19)
Невыгоднейшее положение подвижной нагрузки, т.е. такое положе-
ние, при котором искомая величина 5 имеет экстремальное значение,
определяют в общем случае из условия экстремума dS/ dz = 0. Если
имеется система связанных между собой сосредоточенных грузов и ли-
ния влияния криволинейна (например, л.в. Д на рис. 1.21,г), то условие
экстремума в соответствии с выражением (1-19) запишется так
(рис. 1.21, д):
^'=°.	(1-20)
Если линия влияния 5 имеет треугольное очертание (рис. 1.21, е), то
в такой записи условие экстремума использовать нельзя, так как функ-
ция y(z) = S(z) имеет излом, а производная у'(г) претерпевает разрыв
(рис. 1.21, ж). В этом случае условие (1.20) необходимо заменить таким
условием, при котором переход одной из сосредоточенных сил через
вершину треугольника изменит знак выражения EP-jA. Эту силу назы-
вают критической Ркр.
Обозначим равнодействующие сил, расположенных в пределах левой
и правой прямых, соответственно через Rn и Rn. Тогда при бесконечно
малом перемещении системы сил влево
dS/dz = (Rn+ Ркр) tg а - Рп tg 0 > 0,
а при смещении вправо
dS/dz = Rn tga —(Яп + PKp)tg0<O.
Подставив в зти уравнения значения tg а = с/а и tg /3 = c/b, получим
систему двух неравенств, определяющих невыгоднейшее загружение
треугольной линии влияния:
Ял+РКр	Rn	Rn	ТКр+7?п
	- > 	 н 	 < --	.	(121)
a-----------------------------------------------------b-а-b
Отметим, что эти неравенства применимы только тогда, когда сис-
тема нагрузок при малых перемещениях остается на грузовой линии.
Линии влияния при узловой передаче нагрузки. В конструкциях
подвижная нагрузка может передаваться не непосредственно, а через
другие, вспомогательные балки, которые опираются на рассматриваемую
главную балку в узлах (рис. 1.22,а). Такая передача нагрузки называет-
ся узловой.
При приложении единичной силы Р между узлами М и N на главную
балку будут передаваться опорные усилия, равные F = (d - z~)/d и
29
Рис. 1.22. Линии влияния усилий при
узловой передаче нагрузки
V = z/d. В результате совместно-
го влияния этих неподвижных, но
переменных сил
d - z	z
s =	+ yN’
d	d
(1.22)
т.е. линия влияния 5 на участке
М— N представляет собой прямую,
соединяющую концы ординат ум
^yN.
Таким образом, для построения линии влияния 5 при узловой
передаче нагрузки необходимо на построенную линию влияния 5 (при
передвижении силы Р непосредственно по балке АВ) спроектировать
узлы, а затем проекции смежных узлов соединить прямолинейными
отрезками. На рис. 1.22, б, в показаны в качестве примера линии влия-
ния Мк и Qk при узловой передаче нагрузки. Подчеркнем, что линии
влияния строятся на базисе CD.
1.3.2. ПОСТРОЕНИЕ ЛИНИЙ ВЛИЯНИЯ УСИЛИЙ В ФЕРМАХ
Статический метод. Построение линий влияния усилий N в стержнях
ферм статическим методом основывается на общих способах определе-
ния усилий в фермах и на основных понятиях о межопорных и консоль-
ных сечениях, изложенных ранее. Особенность линии влияния N в фер-
мах заключается в том, что при рассечении фермы на две части (два дис-
ка) разрезается панель грузового пояса между двумя узлами. Поэтому,
если используется способ моментной точки, то линия влияния N будет
состоять из трех прямых: левой, правой и соединительной. Левая (пра-
вая) прямая соответствует грузовой линии левого (правого) диска, а
соединительная — участку разрезанной панели.
При построении л.в. N в фермах используют те же уравнения стати-
ки, что и при построении линии влияния усилий в балках. Отличие за-
ключается в том, что при определении усилий Nj моменты вычисляют
относительно моментной точки О,-. При этом левая и правая прямые
линии влияния N, должны пересекаться под моментной точкой О,.
Поясним сказанное на примере. Построим линии влияния усилий
в стержнях фермы типа стрелы башенного крана (рис. 1.23, с) при дви-
жении силы Р = 1 по нижнему поясу (’’понизу”). Сначала построим
линии влияния опорных реакций. Из уравнения = R^r - Pz = О
получим RB = z/r (рис. 1.23, б). Из уравнения ZAf4 = Уд • 4d -P(4d -
~ z) — 0 получим VA = (4d - z)/(4d) (рис. 1.23, в). Из уравнения
EZ = О получим НА = RB cos 0 = (z cos fi)/r (рис. 1.23, г).
30
rid
rn,aa
Ж hi
Д 7
!<
fSNpni
iffiGHT
aiM

iSfllBffl
MB

Kirf
Ml A"
-
Ml(W
e«
Рис. 1.23. Построение линий влияния усилий в фермах стати-аескчм методом
(Л. п. — левая прямая; С. и. — соединительная прямая, П. п. — правая прямая )
Для построения линии влияния Ni-2 проведем межопорное сечение
I -I. Моментная точка для стерхсня 1 — 2 находится в точке 10. Прило-
жим силу Р = 1 к образовавшемуся левому диску (А — 1 - 77). Из
уравнения равновесия правого диска = N^_2h - RBrt = О полу-
чим уравнение левой прямой TVj_2 = RBr^ lh (рис. 1.23,0). Таким обра-
зом, ординаты левой прямой линии влияния TVj _2 (на участке Л - 7)
31
отличаются от ординат линии влияния RB только множителем rl/h.
При приложении силы Р = 1 к правому диску (2-10-7-6) рассмат-
риваем равновесие левой части фермы (левого диска). Из уравнения
ЕЛ/лев = VA  1,5с? -HAh - М-2^ = 0 получим M-2 =	' 1,5<7/Л -
- НА. Подставляя в это уравнение выражения опорных реакций Уд и
Нд, получаем уравнение правой прямой:
4d - z	d z
Лг.2 = -------- 1,5-----—cos/3.
4d	hr
При z — 0 M-2 =	при z = 4d N1-2 — ~(4d cos 0)/r
(рис. 1.23, d).
Легко убедиться в том, что точка пересечения левой и правой пря-
мых лежит под моментной точкой 10. Соединительная прямая соединяет
правый конец левой прямой под точкой 1 и левый конец правой прямой
под точкой 2.
Для построения линий влияния Агз-8 иЛв-9 проведем консольное
сечение II —II. Моментная точка стержня 3 — 8 лежит в бесконечности на
горизонтали. Используя уравнение проекций 2 Y = 0, получим, что при
приложении силы Р — 1 к правому диску М-8 = — 1/sin а, а при прило-
жении к левому — М-8 = 0 (рис. 1 -23, е). Таким образом, левая и пра-
вая прямые параллельны.
Моментной точкой стержня 8—9 является точка 3. Если сила Р— 1
приложена к правому диску, то из уравнения ЪМ3 = -М-9^ + lzi = О
получим М-9 ~ zjh. При приложении силы к левому диску М-9 — О
(рис. 1.23, ж). Отметим, что левая и правая прямые пересекаются под
моментной точкой 3, а соединительная прямая совпадает с правой
прямой.
Для построения л.в. М-7 используем способ вырезания узлов. Вы-
режем узел 5 сечением III - III. Если сила Р = 1 приложена в узле 5, то
из уравнения ST = М-7 sin а — 1 = О получим М-7 — 1/sin а, а если
приложена в других узлах (т.е. вне узла 5), то стержень 5—7 будет
нулевым. Для построения л.в. М-7 надо под узлом 5 отложить ордина-
ту, равную 1/sin а, и конец ее соединить нулевыми ординатами под уз-
лами 4 и 6 (рис. 1.23, з).
Кинематический метод. Построение линий влияния усилий в стерж-
нях ферм базируется на уравнении (1.16), согласно которому л.в.
к по хаРактеРУ представляет собой зпюру возможных перемещений
грузовой линии механизма. Линию влияния W. *. строят в следующем
порядке: разрезают (выключают) стержень i — к; полученному механиз-
му задают возможные перемещения и строят эпюру вертикальных
перемещений Др грузовой линии; определяют - взаимное переме-
щение точек i и к.
Эпюру вертикальных перемещений Др проще всего строить при по-
мощи мгновенных центров вращения отдельных дисков, полученных
в результате выключения связи i — к. Из этой же зпюры можно опреде-
лить и Ддг- Для того чтобы эпюра Др и л.в. N совпадали по знаку, надо
32
Wwmu
MliJ
иприт
|кадпрйд
иж
рпвбеска-1
:0,JOiyfflr
йрм,.ж
(J. fab
1ЧуДВСКуЛ'|_;
«ки:
ивд» t
ину»
ФУ
Bd-'i
«H-
ИШ®
эпюру возможных перемещений строить от отрицательно направленных
сил N.
Поясним сказанное на примерах.
Для построения линии влияния TV^ р (рис. 1.24, а) разрежем стержень С - D.
Полученный механизм, состоящий из двух дисков, будет присоединен к земле -
третьему неподвижному диску (рис. 1.24, б). Мгновенный центр вращения О® ц
второго диска относительно земли совпадает с неподвижной опорой. Положение
мгновенного центра вращения Oq j первого диска относительно земли можно
найти, если диск II считать стержнем; тогда диск I будет присоединен к земле
двумя стержнями; подвижной опорой А и воображаемым стержнем ц - Oj jp
мгновенный центр вращения , будет лежать на пересечении этих стержней
(рис. 1.24,6).	и’
Для построения эпюры Др зададим поворот первому диску на угол dip,. Если
сила при этом имеет отрицательное направление, то диск / повернется отно-
сительно мгновенного центра вращения Од j по часовой стрелке. В результате
поворота получим линию перемещения ак диска I (рнс. 1.24, в). Линия перемеще-
ния kb диска II должна пересекаться с линией ак под мгновенным центром враще-
ния (1, 2) в точке к и проходить через мгновенный центр вращения Од ц. Таким
образом, диск II повернется против часовой стрелки на угол dip,. Снося на полу-
ченные линии перемещений грузовые линии АС и DB обоих дисков, получим левую
и правую прямые линии влияния, а соединив концевые точки с и d, получим соеди-
нительную прямую.
Чтобы получить масштаб линии влияния, надо в эпюре перемещений
Др отложить от точки к по горизонтали (в любую сторону) отрезок,
равный плечу h силы N относительно мгновенного центра п, и затем
вертикальную ординату Дд, между линиями перемещений в конце от-
резка принять равной единице (см. рис. 1.24, в). Это следует из того, что
взаимный угол поворота дисков dp = dp^ + dp2 должен быть при Дд, —
= 1 равен h.
Рассуждая аналогично, построим линию влияния	Разрежем стержень
Е - D. Определим положения мгновенных центров вращения (рис. 1.24, г). Под
действием отрицательно направленной силы диск I повернется относнтель-
от1
Ij®)®®1
01(4^
Рис. 1.24. Построение линий влияния усилий в фермах кинематическим методом
2-555
33
но точки Oq р против часовой стрелки на угол «Др, (рис. 1.24, д). На линию ас
перемещения диска I снесем точку к, расположенную под мгновенным центром
вращения ц и соединим ее с точкой Ь, находящейся под точкой Oq ц. Отметим,
что оба диска повернулись против часовой стрелки. В этом случае взаимный угол
поворота dip -- dip, - dip,. Отложим от точки к отрезок кк', равный плечу й, - пер-
пендикуляру, опущенному из мгновенного центра вращения Oj д на линию дейст-
вия силы	Проведем через конец отрезка (точку к') вертикальную прямую;
отрезок, заключенный между линиями перемещения дисков, и определит масштаб
ЛИНИИ ВЛИЯНИЯ Njy
1.3.3. ТЕОРИЯ ОКРУЖНОСТЕЙ ВЛИЯНИЯ
Основные понятия. Приложенную к конструкции силу Р, изменяю-
щую свое направление при сохранении точки приложения, называют вра-
щающейся. В некоторых случаях (например, при расчете крановых
стрел) саму поворачивающуюся конструкцию можно принять неподвиж-
ной, а силы тяжести — вращающимися. Очевидно, что любой фактор
(усилие S, напряжение о или перемещение Д) будет функцией угла а
наклона силы Р к некоторой фиксированной оси. График функции 5(a)
представляет собой две одинаковые касающиеся друг друга окружности,
которые называются окружностями влияния (о.в.).
Пусть в какой-либо точке конструкции приложена безразмерная
сила Р = 1 под углом а к некоторому начальному направлению
(рис. 1.25, д). Для определения ее влияния на усилие 5(a) разложим
сначала силу Р на две взаимно перпендикулярные составляющие, направ-
ленные по осям Оу и Ох; они будут равны соответственно cos а и sin a.
Обозначим влияние единичной силы, направленной по оси Оу, на уси-
лие 5(a) через а, а единичной силы, направленной по оси Ох, через Ь.
Если силаР = 1 наклонена к оси Оу под углом а, то
5(a) = «zcosa + b sina.	(1-23)
Для графического изображения этой функции сложим геометричес-
ки (рис. 1.25, б) векторы а и Ь, представляющие собой некоторые конс-
танты (не зависящие от угла а). Затем замыкающую линию ОА спроек-
тируем на ось MN, параллельную линии действия силы Р и образующую
с вектором а угол а. Так как проекция замыкающей равна сумме проек-
ций составляющих, то ОВ = a cos a + b sin a — 5, т.е. влияние силы Р
выражается вектором ОВ.
При изменении направления силы Р проекция замыкающей будет
OBt (рис. 1.25, б). Прямые углы ОБА и OPj/1 опираются на неподвиж-
ный отрезок ОА, откуда следует, что геометрическое место точек В
представляет собой окружность диаметром ОА. Теоретически угол a
может изменяться от 0 до 360°. Поэтому таких окружностей будет две.
В совокупности они и представляют собой радиальную диаграмму вели-
чин 5 для вращающейся силы Р = 1. Хорда ОВ, проведенная параллельно
любому направлению силы Р, выражает собой величину 5. Одна из ок-
ружностей соответствует положительным значениям 5, а другая — отри-
цательным.
Для построения окружностей влияния надо знать влияния силы
34
ИИИу/до
Wjf,8il>
I pet) J
onpuf 
5Torai&i(i
!гфунюаяг,
jpynojjr
fflifea
юму ЦФ
iei(t)pii:
шине,»
ашо««11
Borahs
aft,if
I1
sirw?
mp
®ojtr
ф)1-
IQ«»P
,ИК -
a®jj
B«ax9>
aajfl1
_C®
ЗЙ)
upjff-'
)>В('
И-И5»
HB<C
|*-Шц,
«тис (к
^аыпм
Н?*
<W-
P = 1 для каких-либо двух ее направлений. Проводя из точки О по этим
направлениям радиусы-векторы и откладывая на них соответствующие
влияния в виде отрезков ОБ и ОВг, по трем точкам О, В и строят
сначала одну окружность, а затем вторую, касательную к первой в точ-
ке О (рис. 1.25, е).
Из радиальной диаграммы следует, что всегда существует такое
направление вращающейся силы Р = 1, при котором S =0 (т.е. сила
направлена по касательной к окружностям); два направления силы,
из которых одно соответствует наибольшему влиянию, а другое — нуле-
вому, всегда взаимно перпендикулярны; сумма квадратов влияний,
вызываемых двумя взаимно перпендикулярными единичными силами,
не зависит от направления этих сил и равна квадрату максимального
влияния одной вращающейся силы Р = 1, откуда следует, что
•Smax =	+ ^/2 - а) ''	(I-24)
Определение усилий и напряжений по окружностям влияния. На
рис. 1.26, а условно изображена расчетная схема телескопической крано-
вой стрелы, которая поднимается и соответственно поворачивается
вокруг точки С при помощи гидроцилиндра (ED) . На свободном конце
стрелы через блок перекинут канат, на который действует сила Р. В ре-
зультате в точке О конструкции действуют силы Р и Pt = Р (силами
трения в блоке пренебрегаем). Полагая, для простоты решения, что диа-
метр блока мал и сила Pi направлена по оси ОС, исследуем, как изме-
няются наибольшие напряжения в сечении I — I при теоретическом
изменении угла наклона стрелы от 0 до 180°; для этого достаточно
построить одну окружность влияния.
Раскладывая силу Р по направлениям Ох и Оу и используя формулу
для определения краевых напряжений (в краевых, наиболее удаленных
точках сечения)
о = N/F + M/W,	(1-25)
где N — продольная сила; М — изгибающий момент, F — площадь; И* — момент
сопротивления поперечного сечения,
получаем для нижней краевой точки сечения
Р,	Р	Plt
он = — Г — + — cos а + ------ sin а ].
н 1 F	F	W	„
Первое слагаемое ор — Р\/F, представляющее собой константу, при
построении окружности влияния можно не учитывать, а затем при полу-
чении окончательного результата прибавить: о = ор + ор. Таким обра-
зом, по окружности влияния исследуется величина ор = Р cos а/ F +
+ РЦ sin a/W. Записывая выражение этой величины согласно формуле
(1.23), получаем
S = ор = a cos а + b sin а,	(1-26)
где о - Р/F нЬ = Pl, /W.
Полагая условно Р = 1, д = 3 и Z? = 4, построим окружность влияния
(рис. 1.26, б). Отрезок ОВ = а отложим по оси Оу, а отрезок ОВ} = b —
по оси Ох. Через точки О, В и В i проведем окружность. Отрезок О А
выражает равнодействующую векторов ОВ и ОВХ и является диаметром
окружности. Пользуясь формулой (1.24), легко установить, что5тах =
= О А = 5 и максимум краевого напряжения будет при а0 = arctg (4/3).
Этот же результат можно получить, исследуя на экстремум выражение
(1.26). Напряжение в нижней краевой точке будет равно нулю при/Зо =
= (а0 + 90 ), т.е. когда стрела опустится ниже горизонта и оба слагае-
мых в выражении (1.25) будут равны по значению, но противоположны
по знаку.
Отметим, что в реальных конструкциях телескопических стрел
коробчатого сечения величина а (напряжения от сжатия) значительно
36
меньше величины b (напряжений от изгиба). В решетчатых стрелах
расхождения между величинами а и b меньше.
На рис. 1.26, в схематично изображена решетчатая стрела. Построим
окружности влияния усилия Ns_1. Поскольку стержни решетки стрелы
являются нулевыми, при действии силы Р в направлении I TV5_7 = О,
а при действии в направлении II Ns_q = 1. Поэтому, проведя через выб-
ранную точку О прямую, параллельную линии I, получим линию миниму-
ма, касательную к окружностям влияния (рис. 1.26, г); восстановив в
точке О перпендикуляр к этой касательной, получим линию максимума;
далее отложим от точки О отрезок OB = 1 по направлению, параллель-
ному линии II, и, восставив в точке В перпендикуляр, получим точку Л;
на диаметре ОА построим окружность. Из графика следует, что при
действии силы Р в направлении III TVS_7 имеет максимальное значение,
что естественно, так как при этом плечо силы Р относительно момент-
ной точки 6 стержня 5-7 будет максимальным (рис. 1.26, в).
1.4.	ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ ТЕОРЕМЫ
И ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ
1.4.1.	ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
Обобщенная сила и обобщенное перемещение. Под внешним воздей-
ствием система деформируется, и ее точки получают перемещения Д
(обычно перемещения записывают с двумя индексами, например, Д^т,
первый указывает точку и направление перемещения, а второй — причи-
ну, его вызывающую). Перемещение точки к от действия силы Рк по ее
направлению обозначается &кк и называется собственным, а переме-
щение &кт от действия силы Рт — побочным.
Перемещения от действия любой силы, приходящиеся на единицу
силы, называют единичными и обозначаются буквой 8. Они также мо-
гут быть собственными и побочными:
Ькк = b-kklPk> Skm = \т1Рт‘	С1-27)
В дальнейшем рассматриваются только линейно деформируемые
системы, для которых в соответствии с принципом независимости
воздействий и с учетом формул (1.27)
\ =	=	+ ЬкгР2 + •- +
+ *ккРк +	+ ЧпРп-	(1-28)
В процессе упругой деформации системы внешние и внутренние
силы совершают работу, а сама система накапливает потенциальную
энергию. Для общности рассуждений введем понятия обобщенной силы
и обобщенного перемещения. Обобщенной силой назовем любую группу
сил (сосредоточенные силы, моменты, распределенные нагрузки и их
сочетания), которые выражаются через какой-либо один силовой фактор
37
(например, через интенсивность нагрузки q: Pi = ql, Р2 — 2ql, M —
= 4ql2 и т.п.). Каждой обобщенной внешней силе Рк соответствует
свое обобщенное перемещение Д^.^. (сосредоточенной силе — линейное
перемещение, моменту — угол поворота и т.д.). Так как умножение
обобщенной силы на обобщенное перемещение дает работу, то обоб-
щенное перемещение представляет собой множитель при обобщенной
силе в выражении работы Л.
Действительная работа внешних и внутренних сил. Потенциальная
энергия деформации. Если внешняя сила Рк возрастает от нуля до конеч-
ного значения медленно и силами инерции можно пренебречь, то дейст-
вие этой силы называется статическим. Работа силы Рк на собственном
перемещении &кк называется действительной работой А внешней силы.
Эта работа положительна (А > 0).
Получим выражение работы А, для чего рассмотрим статическое
действие силы Р = Рк на перемещении Д = Д^.^. (рис. 1.27, д). Обозна-
чим переменное значение этой силы через X, а переменное значение
соответствующего перемещения — через X (рис. 1.27, б). При бесконечно
малом приращении перемещения <7Х dA = XdX. Так как перемещение
пропорционально силе, то в соответствии с выражением (1.28) X = 8Х,
где 5 — перемещение, вызываемое силой X = 1. Отсюда dX = 8dX и
Р
dA = 8XdX. Следовательно, А = 8 fXdX = 8Р2/2. Так как конечное
о
перемещение равно Д, то ЗР = Д и
А = °’5Рк\к-	(1-29)
Таким образом, действительная работа внешней силы равна поло-
вине произведения конечного значения этой силы на конечное значение
соответствующего перемещения (теорема Клайперона).
38
Отметим, что действию каждой обобщенной силы Рк соответствует
свое к-е состояние системы.
Если на систему действует п обобщенных сил, то каждая сила Рк
будет совершать работу на суммарном перемещении Д^Ер, и суммар-
ная работа внешних сил
п
А = 0,5 Е Рк\ър.	(1.30)
к=\
В то время, как обобщенные внешние силы Р совершают работу А
на обобщенных перемещениях, обобщенные внутренние силы S совер-
шают работу V на сопряженных с ними обобщенных деформациях. В
соответствии с принципом возможных перемещений А + V = 0, и, следо-
вательно, работа внутренних сил равна работе внешних сил, но имеет
противоположный знак. Таким образом, действительная работа внут-
ренних сил отрицательна ( V < 0). Это следует также из того, что внут-
ренние силы противодействуют деформациям, вызываемым внешними
силами.
Рассмотрим деформированные состояния элемента dz стержня при
действии порознь приложенных к нему внутренних сил N. М, Мкр и Q,
которые являются составляющими обобщенной внутренней силы S. По
отношению к элементу dz эти силы будут внешними (рис. 1.27, в — е).
Как известно из курса сопротивления материалов, относительные
деформации прямолинейно! о элемента от действия продольных сил N,
изгибающих М и крутящих Мкр моментов равны (рис. 1.27 в — д):
Edz	N	1	d<p	М
е — ----- = ----- ;	--- = ---- = ----- ;
dz	EF	р	dz	EJ
d4>k	Мкр
в = ----- = ----- ,	(1.31)
dz	GJKp
где е, 1/р, в — относительные деформации растяжения, изгиба и кручения; Edz,
dtp, d>pK — соответствующие полные деформации элемента; Е и G — модули упру-
гости материала элемента первого и второго рода; F — площадь поперечного
сечения элемента; J - осевой момент инерции; JKp — момент инерции сечения
при кручении.
Выражения действительных работ внутренних сил N, М и на
абсолютных деформациях элемента:
N2dz	M2dz
_ _ ^pdz
кр	2GJKp
Особым образом получается выражение действительной рабо-
ты внутренней силы Q, возникающей при поперечном изгибе. На
рис. 1.26, е, показан суммарный линейный сдвиг полосок элемента,
параллельных оси х. На каждой полоске площадью dF — bdy действует
касательное напряжение т = QS/(bdx) (где S = S0TC — статический
момент отсеченной площади). Линейное перемещение полоски, соот-
ветствующее ее сдвигу, по закону Гука второго рода равно ydz =
= rdz]G (7 — угол сдвига). Отсюда следует, что полная работа сил
сдвига для элемента dz
rdz
dVn = - f TdF-------=
Q	r 2G
dz
— f T2dF = -
2G p.
Q2dz S2
----- f — dF.
2CJ2X F b*
Введя обозначение к = —
dF, получим
dVQ =
IGF
Величина к зависит лишь от формы поперечного сечения. Для прямо-
угольного сечения к — 1,2; для прокатных профилей к = F/FCT (где
F — площадь поперечного сечения всего профиля, FCT — площадь попе-
речного сечения стенки).
Чтобы получить выражение действительной работы внутренних сил
всей системы, надо сначала просуммировать (проинтегрировать) полу-
ченные элементарные работы dV в пределах длины I каждого стержня
М2 dz
Zf —
I 2EJV
N2dz
V = —[SJ-----
z 2EF
и далее просуммировать полученные значения по всем стержням систе-
мы. Для пространственной системы
М2 dz
2 f
I 2£\
(1-32)
В этой формуле первый член учитывает продольные деформации,
второй и третий — деформации изгиба в перпендикулярных плоскостях,
четвертый и пятый — деформации сдвига в перпендикулярных плоскос-
тях, а последний — деформации кручения.
Потенциальная энергия W упругой деформации, возвращающая
систему в первоначальное состояние после снятия нагрузки, равна по аб-
солютному значению, но противоположна по знаку действительной
работе внутренних сил. Следовательно, W = — V = А. Для плоской
стержневой системы
N2 dz
W = ?! -----
z 2EF
М2 dz	kQ2dz
SJ ----- + 2 J ------
z 2EJ z 2GF
(1.33)
40
Из формулы (1.33) следует, что потенциальная энергия деформации
всегда положительна (даже при действии различных обобщенных сил),
поскольку под знаком интегралов стоят внутренние силы во второй
степени. Следовательно, и суммарная работав [см. выражение (1.30)]
также положительна.
Стметим, что потенциальная энергия упругой деформации, так же
как и работы внешних и внутренних сил, представляет собой квадратич-
ную функцию (квадратичную форму) усилий. Поэтому при ее вычисле-
нии нельзя использовать принцип суперпозиции, т.е.
^(Р. + Р,) * ^Р, +
Если сила Р и перемещение Д получат приращения соответственно
dP и с?Д (рис. 1.28), то приращение энергии упругой деформации с точ-
ностью до величин высшего порядка малости dW = Pdb.. Из этого ра-
венства следует теорема Лагранжа: в положении равновесия производная
от потенциальной энергии деформации по перемещению равна соответст-
вующей силе
dW/db. = Р.	(1-34)
Аналогично доказывается теорема Кастильяно: в положении равно-
весия производная от потенциальной энергии деформации по силе равна
соответствующему перемещению
dW/dP = Д.	(1.35)
Возможная работа внешних и внутренних сил. Возможной работой
внешней силы Р^ называют работу этой силы на перемещении
^ктг вызваннЬ1м воздействием; иными словами — это работа силы
к-то состояния системы на перемещениях ее m-го состояния:
Акт = Рк\т-	(1-36)
Поясним сказанное на примере. Будем нагружать консольную
балку Л В (рис. 1.29, а) последовательно обобщенными силами Рк и Рт.
От действия силы Рк балка изогнется и займет положение ABt. Сила Рк
при этом совершит действительную работу на собственном перемещении
^кк' Ак ~ ®’5р^кк- Затем приложим силу Рт. От ее действия балка
займет положение АВ2. При этом сила Рт совершит действительную ра-
боту Ат — 0,5Рт &.тт, а силаР^, уже не изменяя своего значения при
нарастании прогиба, совершит возможную работу на побочном переме-
щенИиЛ^ =Рк\т-
Возможная работа отличается от действи-
тельной тем, что, во-первых, в ее выражении
отсутствует коэффициент 0,5, а во-вторых,
что она может иметь любой знак и, в частнос-
ти, быть равной нулю.
Рис. 1.28, Схема для определения приращения
энергии упругой деформации
41
Рис. 1-29- Схемы для вывода теорем о взаимности работ и перемещений
Возможная работа внутренних сил к-го состояния на деформациях
ти-го состояния для плоских систем:
dz
Vkm =	—)m +
I	I p
+ ^fQk(ydz)m.	(1.37)
I
Если возможные деформации вызваны действием нагрузки, то по-
добно выражению (1.35)
N .N dz	М .М dz
ft р	К р
VKp =
kQkQpdz
+ 2J ——-------- ],	(1.38)
I GF
где	— внутренние факторы, соответствующие fc-му состоянию сис-
темы; N М Q — внутренние силовые факторы, соответствующие грузовому
состоянию (вместо общего индекса т ставится индекс р).
Если возможные деформации вызваны действием температуры
{т = г), то при условии ее линейного перепада по высоте h сечения
и расположения центра тяжести посредине его высоты
(Adz) = О,5(Г, + r2)dz; (dz/pl = -“У1 ~ M dz;
h
(ydz)t = 0,
(1-39)
42
где Z, и f2 — температуры в краевых волокнах сечения; а — коэффициент
линейного расширения.
Подставляя выражения (1.39) в формулу (1.37), получаем
a<fi + М
vkt =	+
I	2
a('l - t,)
+ —А---------------— dz].	(1.40)
Z	Л
Отметим, что в соответствии с принципом возможных перемещений
1.4.2. ТЕОРЕМЫ О ВЗАИМНОСТИ
Теорема о взаимности работ. Продолжим рассмотрение примера по-
следовательного загружения балки обобщенными силами. Будем теперь
нагружать балку сначала силой Рт, а затем силой Рк (рис. 1.29, 5). Из
равенства выражений суммарной работы в первом (рис. 1.29, а) и во
втором (рис. 1.29, б) случаях нагружения:
А1 = 0,5РкДк/с + 0,5РтЛтт + Pk\m,
Аи = 0,5 РтЛтт + 0,5РкД.кк + РтД.тк,
получим
Р/Лт = Р"\гк ти Акт = Атк-	С1'42)
В этом заключается теорема о взаимности возможных работ (теоре-
ма Бетти): в линейно деформируемой системе возможная работа внеш-
них (внутренних) сил к-го состояния системы на соответствующих пе-
ремещениях (деформациях) m-го состояния системы равна возможной
работе внешних (внутренних) сил m-го состояния системы на соот-
ветствующих перемещениях (деформациях) к-го состояния системы
(рис. 1.29,6, г).
Из этой фундаментальной теоремы строительной механики вытекает
ряд частных теорем.
Теорема о взаимности перемещений. Разделив левую и правую части
равенства (1.42) на произведениеР^Рт, получим
V =	(>«)
что выражает теорему о взаимности перемещений-, перемещение по к-му
направлению от m-й единичной силы равно перемещению по m-му направ-
лению от к-й единичной силы.
Из этой теоремы, в частности, следует, что линия влияния перемеще-
ния любой точки к (по направлению действия силыР =1) совпадает с
эпюрой перемещений (Эп.) точек грузовой линии от действия обобщен-
ной силы Р = 1, приложенной в данной точке, т.е.
Л.в.6,р = Эи.8рк.	(1.44)
43
Поясним сказанное на примере. Чтобы построить линию влияния
(рис. 1.29, д), надо согласно выражению (1.44) построить эпюру
прогибов балки от действия Мв = 1 (рис. 1.29, е).
Теорему о взаимности перемещений можно использовать при экспе-
риментальном определении перемещений. Например,, если требуется
найти прогибы балки (рис. 1.29, ж) в различных точках i от действия
силы Р, приложенной в точке к (а выполнить зто по каким-либо причи-
нам неудобно), то можно замерять прогибы в одной точке к, а силуР
прикладывать последовательно в точках i (рис. 1.29, з). Это следует из
того, что при Р =Рк=Р согласно выражению (1.43) A/Jt = &kj.
Теорема о взаимности реакций. Рассмотрим два состояния (к и т)
статически неопределимой системы (рис. 1.30, а, б). Каждое состояние
определяется перемещением (дислокацией d) одной из связей. От этих
перемещений в связях возникнут реакции Rkm (первый индекс соот-
ветствует связи, реакция в которой определяется, а второй — состоянию
системы). В соответствии с выражением (1.42)
RK„A =	(>.4S)
Разделив обе части равенства на произведение дислокаций dk dm, по-
лучим аналогично формуле (1.43)
RknJdm = Rmk!dk тИ Гкт = Гт к’	О'46)
ГДеЪдИ'^
единичные реакции.
Отсюда следует теорема о взаимности реакций: реакция в к-й связи
от единичного перемещения m-й связи равна реакции в т-й связи от
единичного перемещения к-й связи.
Теорема о взаимности реакций и перемещений. Если Л-е состояние
статически неопределимой системы вызвано действием силы Рк, а m-е —
перемещением (дислокацией) dm (рис. 1.30, в, г), то силы fc-ro состоя-
к-е состояние
Рис. 1.30. Схемы для вывода теорем
перемещений
о взаимности реакций и реакций и
44
ния системы совершат на перемещениях m-го состояния возможную
работу	+ Rmkdm. Работа сил т-го состояния на перемещениях
к-го состояния будет равна нулю поскольку в к-м состоянии отсутствуют
перемещения опорных связей. Следовательно, в соответствии с выраже-
нием (1.42)
Rmkdm = -Рк\т-	(1-47)
Разделив обе части этого равенства на/). dm, получим
ЛтЛ=_Д*Л ИЛИ гтк = ~8кт-	О-48)
В этом заключается теорема о взаимности реакций и перемещений:
реакция в m-й связи от единичной силы Рк равна перемещению точки
приложения силы Рк по направлению ее действия, вызванному единич-
ным перемещением dm = 1 связи и взятому с противоположным знаком.
1.4.3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ ПО МЕТОДУ МОРА
Формула Мора. Рассмотрим два состояния системы (например,
плоской рамы, изображенной на рис. 1.31, а). Действительное состояние
m зависит от внешнего воздействия (в данном случае от нагрузки m = р).
Фиктивное (единичное) состояние к зависит от искомого перемещения
Да-р; по направлению этого обобщенного перемещения прикладывается
сопряженная с ним обобщенная безразмерная единичная сила Рк = 1
(рис. 1.31, б).
Выразим возможную работу внешней силы Рк = 1 на перемещении
&кр (вызванном действием нагрузки Р) через возможную работу внут-
ренних сил, пользуясь формулой (1.38). Отбрасывая в выражении
Акр - 1  единичную силу, получим с учетом (1.41) формулу Мора
для определения перемещений, которая для плоских систем, состоящих
из прямолинейных стержней, имеет вид:
(1-49)
где Nк, Qk и Мк — внутренние силы в
системе от действия силы = 1;Л^, Qp
и Мр — внутренние силы от действия
нагрузки.
Рис. 1.31* Действительное и фиктивное
состояния системы
Я
Состояние

45
Формула Мора для пространственных систем, состоящих из прямо-
линейных стержней, имеет вид:
N. N dz
К p
*kp =
I tr
kx^xkQxpdz
+ 2/
I
Zf
I
M ,M dz
xk xp
EJ.
к Q , Q dz
y^yk^yp
GF
GF
М ,М dz
ук ур
Zf-
I
EJ
Xf
I
MkpkMkppdz
GJkp
(1.50)
I
В этой формуле кроме индексов, определяющих единичное (к) и
грузовое (р) состояния системы, вводятся индексы х и у, показываю-
щие, относительно каких осей берутся изгибающие моменты М и осевые
моменты инерции J, а также каким направлениям соответствуют попе-
речные силы Q и коэффициенты к.
При использовании формулы Мора обычно не учитывают те слагае-
мые, влиянием которых можно пренебречь. Например, при расчете
балок и рам пренебрегают деформациями растяжения (сжатия) и сдвига.
Для плоских рам и балок формула Мора имеет вид:
М dz
— р
—
(1-51)
Отметим, что если система состоит из коротких стержней (I < Sh,
где h — высота поперечного сечения), то пренебрегать деформациями
сдвига нельзя.
Для шарнирных ферм (плоских или пространственных), в стержнях
которых при узловой нагрузке возникают только продольные усилия N,
\р =
I
N dz
Р
EF
(1.52)
Поскольку по длине каждого стержня силыЛ^ nNp и жесткости EF
постоянны, а интеграл от dz равен /, то формулу Мора записывают так:
%
т
S
1= 1
N..N. I.
ik ip i
E.F.
(1.53)
Здесь суммирование проводится по всем т стержням фермы.
Вычисление интегралов Мора. Каждое слагаемое в формулах
(1.49) — (1.52) представляет собой интеграл типа
. Л (z)/2 (z)
J-------------dz.
I fl (z)
(1.54)
46
Для криволинейных стержней интегрирование проводят не по длине
I, а по дуге s, и интеграл Мора записывают так:
. Л (s)/3 (s) ,
f ------ ds.
s f3 U)
(1.55)
В общем виде зти интегралы вычисляют приближенно. Однако в
некоторых случаях их можно вычислить точно, например, когда /3 =
= const (что соответствует постоянной жесткости по длине стержня) и
одна из функций Л или /2 линейна (что всегда соответствует единичному
состоянию системы, состоящей из прямолинейных элементов).
Вычисление интеграла от произведения двух функций, одна из кото-
рых линейна (например,/2 (z) = а + Ъг), можно выполнить по способу
’’перемножения эпюр”, называемому правилом Верещагина:
f fi(z)f2(z)dz = соус,	(1.56)
Z
где — площадь эпюры произвольной функции	— ордината линейной
эпюры /, (z ), расположенная под центром тяжести С эпюры (z ) (рис. 1.32, а, б).
Формула (1.56) выводится так же, как и формула (1.19).
Полагая далее, что функциями /(z) являются изгибающие моменты,
т.е. что Л (z) = Mi (z) и Ji (z) = M2 (z), приведем некоторые формулы,
удобные для вычислений. Если обе эпюры M(z) на участке интегрирова-
ния линейны, т.е. представляют собой трапеции (рис. 1.32, в, г), то сог-
ласно выражению (1.56):
f Mt(z)M2(z)dz =— [2М.М. + 2MRMR + M.MR +

(1-57)
где Мд и M R - значения моментов на концах участка Z, определяемые по единич-
ной эпюре М, (z), &Мд hMr — то же, но по грузовой эпюреМ2 (z).
Если функция f2(z) = M2(z) представляет собой, квадратичную
или кубическую параболу, a/Jz) = Л/( (z) — линейна, то интеграл Мора
следует вычислять по формуле Симпсона:
I. _
f M2(z)M2(z)dz = —[МдМА +
+ 4Mr.Mr + Л?С7ИС].
(1-58)
где М^, и М^ — моменты посредине участка I., определяемые по единичной и грузо-
вой эпюрам моментов соответственно (рис. 1.32, д, е).
47
Рис. 1.32. Схемы, поясняющие вычисление интегралов Мора разными способами
Формулу Симпсона удобно использовать при приближенном вычис-
лении интеграла Мора, например, когда /3(z) #= const (рис. 1.32, д-ж).
Если /з (z) = E’J(z), то
I. М.М.
j. М (z)M (z)dz _ 1	-4 А +
j EJ(z)	6 EJ^
M-Mr м,.м„
С C	D D
+ 4 ------- + ---------- ].	(1,59)
EJr,	EJd
С	D
Рассмотрим примеры вычисления перемещений по формуле Мора от дейст-
вия нагрузки. Определим вертикальное перемещение точки В и угол поворота
сечения, проходящего через эту точку, в криволинейном стержне постоянной жест-
кости, нагруженном на конце силой Р (рис. 1.33, а). Влиянием продольных и попе-
речных сил пренебрегаем. Изгибающий момент от нагрузки и в произвольном се-
чении М = PR sin а.
Выберем соответствующее единичное состояние: приложим в точке В верти-
кально направленную силу Р = 1 (рис. 1.33, б). Изгибающий момент в сечении
от этой силы Л/, = — 1  А(1 — cos а). Подставляя полученные выражения момен-
тов в формулу (1.55) и учитывая, что ds = Rda, путем непосредственного интегри-
рования находим
1 ’	2PR3
ЛВ вепт ~ Л1 п ~ J _ (PR sin a) R (1 - cos а) Rda = — -----.
Р Р EJ о	EJ
Для определения угла поворота выберем другое, второе единичное состояние:
приложим в сечении В моментМ = 1 (рис. 1.33, в). Изгибающий момент в сечении
от этого Момента = — 1. Производя соответствующее интегрирование, получаем
1 Г	2PR2
'Рп - д „ = --- J -(PR sin a) Rda = — ------.
° 2е FI	г;
48
jert
и?
1113'
Рис. 1.33. Определение перемещения под действием нагрузки
Знак минус в полученных выражениях показывает, что определяемые переме-
1
jW'
щения имеют направления, противоположные направлениям единичных сил.
На рис 1.33, г изображена плоская рама, нагруженная силой Р, направленной
перпендикулярно плоскости рамы. Определим вертикальное перемещение точки С,
полагая, что сечение элементов рамы постоянно и при этом отношение жесткостей
при изгибе и кручении EJ/GJ^ = 2. Здесь нельзя пренебрегать деформациями
кручения элементов, поэтому формулу (1.50) следует записать так:
Л
М, М dz	М , М dz
А	, к р	г крк крр
кР t EJ	, GJKp
(1.60)
к«1»-
<0
На основе построенных грузовых и единичных эпюр изгибающих и крутящих
моментов (рис. 1.33, д—и) получим после перемножения соответствующих эпюр,
чтоДСвер- -Екр =-2SP^/(l2EJ).
Рекомендуем читателю проделать вычисления самостоятельно.
49
Определение перемещений от температурных и дислокационных
воздействий. Как отмечалось выше, формула Мора выражает возможную
работу внутренних сил к-го единичного состояния на деформациях ш-го
действительного состояния системы. Если действительное состояние
определяется температурным воздействием, то в соответствии с выраже-
ниями (1.39) и (1.40) формула Мора будет иметь вид:
а (Г. + t2)
ДЛг = Б	f Nkdz +
2 I
a(t, - t2)
+ LJ -----!----— f Mkdz.	(1.61)
h I
Здесь суммирование ведется по всем участкам системы, на которых
произошло изменение температуры.
Для прямолинейных или ломаных стержней интегралы можно вы-
числить как площади единичных эпюр, и формула перемещений (1.61)
примет вид:
a(tt + t2 )	_ a(t2 - t2 )
— S ----------- Шуу + X ------------- ^м, ’	(1-62)
2	к	h Mk
где u>.-,
nk

— площади единичных эпюр TVk и
Отметим, что каждое слагаемое в выражении (1.62) берется с поло-
жительным знаком, если соответствующие деформации от температуры
и от силыР = 1 одного знака.
На рис. 1.34, а изображена ^ама, у которой краевые волокна стерж-
ней внутри нагреты на О = +10 С, а снаружи охлаждены на t2 = — 20ъС.
Определим горизонтальное перемещение точки В. Приложив силу Р=
= 1 в точке В по искомому направлению и построив эпюры Ми N
(рис. 1.34, б, в), найдем в соответствии с выражением (1.62) :
1° 1 ,
Д. = а[ —5Z + 30 ------ (2 -— I2 + Z2)] = 595а/.
г	I 2
Формулу для определения перемещений точек системы от дислока-
ций (задаваемых перемещений) получим на основе теоремы о взаимнос-
ти реакций и перемещений. Разделив обе части равенства (1.47) на Рк
и заменив индекс т на d, получим
ДЫ = ~rdkd-	(1-63)
Если задается не одна дислокация, а несколько, то
п
\d=~ Е rddi-	(1-64)
i= 1	'
Таким образом, для определения перемещения Д^ от дислокаций
d. надо в точке к приложить соответствующую единичную силу и опреде-
50
Ij-r
t2=-Z0°C
h = lhO
h
' t,= -HD°C
L
В
°)
Рис. 1.34. Определение переме-
щения под действием темпера-
туры
Рис. 1.35. Определение переме-
щения от дислокаций
И|| ?-
ряг
лить от ее действия реакции г, во всех г-х связях. При перемножении этих
реакций с дислокациями берется положительный знак, если реакция и
перемещение имеет одно направление.
Определим, например, вертикальное перемещение точки к рамы
(рис. 1.35, а), основание которой одновременно переместилось вертикально на dA
и повернулось на угол Для этого найдем в заделке А (в связи, получившей
дислокации) реакции от силы = 1, приложенной по направлению искомого пе-
ремещения (рис. 1.35, 6). В соответствии с формулой (1.64) получим =
= - ( - ldA - hA) = dA + hpA .
ШИВ
1.4.4. ОСНОВЫ ВАРИАЦИОННЫХ ПРИНЦИПОВ
И МЕТОДОВ РАСЧЕТА
Полная энергия деформированной системы. Ранее было введено по-
нятие потенциальной энергии упругой деформации IV системы. Теперь
введем понятие полной энергии Э (потенциала всех сил) системы, кото-
рое понадобится для изучения вариационных принципов, лежащих в
основе самого совершенного метода расчета конструкций любых ти-
дцй» пов — метода конечных элементов.
В упругом теле накапливается потенциальная энергия деформа-
I ции W. При этом внешние силы, перемещаясь вместе с точками дефор-
мируемого тела, изменяют потенциальную энергию положения. С энерге-
тической точки зрения, явление деформирования тела — это процесс об-
мена энергиями двух систем или полей сил — внутренних и внешних.
Таким образом, энергия деформации тела W представляет собой лишь
часть энергии взаимодействующих полей сил.
Полная энергия Э (потенциал всех сил) равна работе, которую со-
вершают как внутренние, так и внешние силы при переводе (а не при
разгрузке!) системы из ее деформированного состояния в начальное,
недеформированное:
Э = W + Т,	(1.65)
51
(1.66)
где W — энергия упругой деформации (упругий потенциал) (W > 0) ; Г — энергия
(потенциал) внешних сил — величина отрицательная и равная произведению обоб-
щенной силы на обобщенное перемещение без множителя 0,5 (в силу того, что при
переводе системы из деформированного состояния' в недеформированное внеш-
ние силы остаются постоянными).
Энергию деформации W так же, как и потенциал внешних сил Т,
можно представить через функции перемещения точек системы. Для
этого внутренние силы в выражении (1.33) надо выразить (в соответст-
вии с формулами сопротивления материалов) через соответствующие
перемещения. Например, при изгибе балки A/(z) = —EJv"(z) и, следо-
вательно,
W = O.SSJFJCv")2 dz.
I
Таким образом, полную энергию Э системы можно представить как
функцию перемещений v(z):
Э = 3(v).	(1.67)
Отметим, что величина, зависящая не от z, а от v(z), в математике
называется функционалом.
В ряде случаев энергию деформации И7 отдельного стержня удобно
выразить не через функцию v(z) (при изгибе), а через дискретные пе-
ремещения одного или нескольких его сечений. Например, для изогну-
той балки постоянной жесткости (рис. 1.36) с учетом того, что прогиб
fB=Pl3 /(3EJ), можно записать:
W = 0,5 PfB = 0,5(3EJ/l3)fB.
Следовательно, энергию деформации W и полную энергию системы
Э можно представить через функции перемещений v(z) или через не-
сколько дискретных параметров, определяющих состояние системы.
Например, для рассмотренной балки этим параметром является пере-
мещение fB в точке В. Согласно (1.65)
1 3EJ ,
Э=Т ~PfB-
Как видим, здесь полная энергия системы определяется через одно
перемещение fB.
В общем же случае величина Э будет зависеть от выбора функций
v(z) или от дискретных перемещений, обозначаемых в общем случае
через Z,. Перемещения Z( называются обобщенными координатами.
В стержневых системах функцию перемещений, например v(z), можно
точно выразить через обобщенные координаты Z,. Потенциал всех сил
системы Э = Э (Z, ,Z2 ...) в этом случае вычисляется точно.
Вариационные принципы деформируемых систем и основы вариа-
ционных методов. Полная энергия системы обладает экстремальными
свойствами, на основе которых строятся приближенные методы расчета
континуальных систем. Эти энергетические свойства, выраженные в со-
ответствующей математической форме, называются вариационными
принципами.
52
Рис. 1.36. Схема для определения полной энергии
системы
Рис. 1.37. Схемы, поясняющие вариационные прин-
ципы
1 ?ЦР1)
- 1,5
1,0
0,5 f
-Ч,
тпЭ
5 К= —
(принцип Лагранжа) читается так:
Принцип вариации перемещений
из всех мыслимых перемещений упругой системы истинные перемеще-
ния сообщают энергии минимальное значение.
Поясним его на примере. Выразим потенциал сил для балки, изобра-
женной на рис. 1.37, а через функцию прогибов v(z), С учетом формулы
(1.66) получим
9(v) = W(v) + T(v) = 0,5/£J(v")2 dz - Pf.
I
Исследуем, как изменяется потенциал сил 3 в зависимости от произ-
вольного изменения (вариации) изогнутой оси балки. Увеличим, напри-
мер, все ординаты v(z) в к раз (рис. 1.37, а), так что vk = kv и fk = kf.
Тогда функционал (1.67)
^(v) = к2 0,5 fEJ(y")2 dz - kPf.
I
Так как потенциальная энергия упругой деформации И7 численно
равна действительной работе внешней силы А,
Эк(у) = к2 0,5Pf - kPf = Pf(0,5k2 - к).	(1.68)
Как видим, функционал 3 представляет собой функцию второй
степени от коэффициента к = fk/f. На рис. 1.37, б изображена зависи-
мость 3 (к), из которой следует, что в действительном состоянии (при
к = 1) полная энергия имеет отрицательное минимальное значение:
3 (v) = min. Здесь приращение энергии равно нулю:
6Э = 0.	(1.69)
Сказанное (для устойчивых систем, которые мы рассматриваем)
можно выразить и в такой форме:
d3/dfk = 0; d23/dfk > 0.	(1.70)
Вариационное уравнение (1.69) используется для приближенного
определения деформированного состояния сложных систем (пластин,
оболочек и др.). Применение его для дискретных систем заключается
53
в следующем. Функцию перемещений, например v(z), можно предста-
вить в виде совокупности п базисных функций /^(z):
v(z) = ai/i(z)+ a2f2(z) + ...+ anfn(z),	(1-71)
где каждая из базисных функций fj(z) соответствует /-му состоянию
системы и не противоречит граничным условиям, а неизвестные коэф-
фициенты (параметры) а, представляют собой обобщенные координаты
Z. В этом случае функция Э будет зависеть от параметров а, и от на-
грузки Р:
Э = Э(а1,а2,...ап,Р).	(1.72)
Условие равенства нулю полной вариации S Э:
ЪЭ	ъэ	ъэ
8Э = ----- da, + -----da2 + ... + ------ dan = О
Эс,	да2	дап
при произвольных и независимых вариациях 5 а; может быть выполнено
только в случае соблюдения равенств:
ъЭ bW ът
---— ----- + ----- = 0;
Эа(	да,	да,
....................................................... (1-73)
ЪЭ	ЭИ'	ът
--- = ---- + ----- = о,
образующих линейную систему п алгебраических уравнений, каждое
из которых выражает условие равновесия, соответствующее /-му состоя-
нию системы. Решая эту систему уравнений, находят неизвестные пара-
метры с,.
Аналогично формулируется и доказывается принцип вариации
внутренних усилий (принцип Кастильяно): энергия системы в действи-
тельном состоянии имеет минимальное значение. Для линейно-дефор-
мируемых систем при использовании принципа Кастильяно сохраняются
те же уравнения (1.73), только в них роль обобщенных координат Z
выполняют не перемещения, а неизвестные силы — ’’силовые параметры”.
Если в выражении (1.72) нагрузку Р надо определить, например,
в задачах устойчивости, то из нетривиального решения системы урав-
нений (1.73) находят искомый параметр нагрузки, а параметры д, ос-
таются неопределенными. В этом заключается применение метода Ритца
для отыскания так называемых собственных значений (критических
сил или частот свободных колебаний) (см. пп. 1.8.2, 2.2.3).
1.5.	РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ
СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
1.5.1.	СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫЕ СИСТЕМЫ
И ОБЩИЕ ПРЕДПОСЫЛКИ МЕТОДОВ ИХ РАСЧЕТА
Статически неопределимые системы. Статически неопределимой
называется система, расчет которой на основе одних уравнений статики
невозможен. Кинематическим признаком статически неопределимых
систем является наличие в их структуре лишних (избыточных) связей.
Число лишних связей определяет степень статической неопределимости
п системы. Одновременное разрезание (удаление) лишних связей превра-
щает систему в статически определимую.
Если лишними являются только внешние связи, то систему назы-
вают внешне статически неопределимой. Если лишние связи имеются
только во внутреннем образовании свободной (отделенной от опор)
системы, то она называется внутренне статически неопределимой. Такое
деление условно, поскольку оно зависит от того, какие связи прини-
маются за лишние. Системы могут быть одновременно внешне и внут-
ренне статически неопределимые.
Статически неопределимые системы обладают следующими отли-
чительными свойствами: внутренние силы в них возникают не только
от нагрузки, но и от температурных и дислокационных воздействий;
внутренние силы в них зависят не только от внешних сил, но и от соот-
ношения жесткостей элементов системы; зти системы могут находиться
в состоянии самонапряжения, т.е. в напряженном состоянии без нагруз-
ки. Последнее свойство используют для создания предварительно напря-
женных конструкций. В целом же статически неопределимые системы
оказывают большее сопротивление воздействиям, чем статически опре-
делимые, так как в отличие от них удаление некоторых (лишних)
связей не ведет к изменяемости, а следовательно, и к разрушению конст-
рукции.
Расчет статически неопределимой системы начинается с установления
ее степени статической неопределимости п. Для плоских рам, состоящих
из замкнутых контуров, удобно использовать формулу
п = 3k - ш,	(1-74)
где к — число замкнутых контуров; ш — число врезанных шарниров с учетом
их кратности.
При разрезании (’’размыкании”) плоского замкнутого стержня
(контура) удаляются три связи (рис. 1.38, а) : две связи, препятствую-
щие взаимным линейным перемещениям, и одна связь, препятствующая
взаимному угловому перемещению сечений контура в месте разреза.
Этим обобщенным перемещениям соответствуют обобщенные внутрен-
ние силы М, Q и N.
На рис. 1.38, б показана рама с двумя контурами (земля считается
замыкающей связью). Шарниры А и С - однократные, а шарнир D —
двукратный. Поэтому согласно выражению (1.74) л = 3-2 — 4=2.
55
Q
a)
Рис. 1.38. Основные системы метода сил
Рама, изображенная на рис. 1.38, в, 7 раз статически неопределима (и =
= 3 - 3 — 2 = 7). На рис. 1.38, г, д показаны системы, полученные из за-
данных после удаления лишних связей. Эти системы статически опреде-
лимы.
Отметим, что при удалении шарнира удаляются две внутренние
(линейные) связи; при разрезании затяжки CD (рис. 1.38, б, г) (это
делается обязательно) удаляется одна (линейная) связь; также одна
связь (угловая) удаляется при врезании в контур шарнира.
Общие предпосылки методов расчета статически неопределимых
систем. Расчету статически неопределимой системы подлежит не задан-
ная, а преобразованная система, которая должна быть эквивалентна ей в
статическом и кинематическом отношениях — все усилия и перемещения
в эквивалентной системе должны быть такими же, как и в заданной.
Условия эквивалентности заданной и преобразованной систем вы-
полняются при соблюдении принципа заменяемости связей, согласно
которому:
любая i-я связь может быть разрезана (удалена), если вместо нее
приложены обобщенные силы X, и принято, что взаимное перемещение,
соответствующее этим силам, равно нулю, т.е.
Д/ = 0;	(1.75)
любая i-я связь может быть введена, если при этом введенная связь
получит соответствующее перемещение Z, и будет принято, что реакция
(усилие) в этой связи равна нулю, т.е.
Ri = 0-	(1.76)
Система, полученная из заданной путем удаления связей или введе-
ния их, называется основной системой, а соответствующие ей неизвест-
ные X, и Z, — основными неизвестными.
Условие кинематической эквивалентности представляет собой
равенство нулю обобщенного перемещения Д/ от действия на преобра-
зованную систему как внешних воздействий, так и основных неизвест-
56
LJ
ных X, или Zj. Обозначая для общности рассуждений основные неизвест-
ные через Yj, представим это условие в виде
Д/ = Д/У> + д,У1 + .. + д/Г + ... + &.Y + д/т = о,
”	(1.77)
где п — число основных неизвестных У/, а т — фактор внешнего воздействия.
Любой член этого уравнения, за исключением последнего, можно
представить в виде произведения единичного перемещения Ь-к на соот-
ветствующее неизвестное Уд.: Д.у = б^Уд,. Следовательно, выражение
(1.77) можно записать так:

И11.Ц
ф
I-
jiat
kiLffli
Ifo1'.
Ip®
k"

к Is-1
ms’
к
Г
i».
и
Д/ — б/i У] + 5/2 Yi + ... 5^ Уд. + ... + 8/п Уп + Д/т = О,
(1-78)
где Д/,п - обобщенное перемещение Д/ от внешнего воздействия т на основную
систему.
Исходя из аналогичных рассуждений, запишем условие статической
эквивалентности (1.76):
Ri = rii У1 + т/г Уз + . .. + r.j, Yк + ... + г/„ У„ + Rjm = О,
(1-79)
где rik ~ Реяния в ,-й введенной связи от У, = 1; Rj/n — реакция в той же связи
от внешнего воздействия.
Число уравнений типа (1.78) и (1.79) равно числу п основных
неизвестных. В совокупности они образуют систему канонических
уравнений:
Cj 1 У, + Ci 2 Уг + . . - + cik^'k +    + cin Yn + Cim = 0;
?21 Yt + С22 Y2 + ... + с2 д. Уд. + ... + С2п Yn + Сгт ~ О'»	(1.80)
сп 1	+ сп2 Y2 +	+ cnj_ Уд + ... + спп Yn + Спт — 0,
где с;д — единичные коэффициенты (5(-д или г.д), не зависящие от внешнего воз-
действия; С1т — свободные члены (Д/т или Rim), зависящие от внешнего воз-
действия.
Размерность единичного коэффициента cik определяется отношением
размерности свободного члена С/т к размерности соответствующего
неизвестного Уд: [с.д] = [С1П1]/[Уд]. Отметим, что в соответствии с
теоремами о взаимности [см. формулы (1.43) и (1.46)] cik = cki.
Вычислив коэффициенты cik и свободные члены Cim из решения
системы и уравнений с п неизвестными (1.80), находят величины У/.
Затем в соответствии с принципом суперпозиции определяют усилия
S- в любой /-й связи или перемещения Ду любого /-го узла:
S . = S- У, + s-„ У, + ... + s. У + 5- ;	(1.81)
/	/1 1 °/2 2	°in п /т ’	'	’
L = 6., У, + 5-, У, + ...+ 6. У + Д. ,
/	/1	1	/2 2	/И И /т’
где — усилие в /'-й связи;
вия в основной системе.
(1.82)
перемещение /-го узла от внешнего воздейст-
57
Как видим, математическая часть расчета сводится в оснэвном к
решению системы алгебраических уравнений, которое при большом
числе неизвестных выполняется с помощью вычислительных машин.
Если основная система получена из заданной только путем удаления
связей и основными неизвестными являются силы X,, то метод расчета
называется методом сил; если основная система получена из ?аданной
только путем наложения связей и основными неизвестными являются
перемещения Z,-, то метод расчета называется методом перемещений;
если же основная система получена путем одновременного и удаления, и
наложения связей и основными неизвестными являются силы X, и
перемещения Z,, то метод расчета называется смешанным.
Универсальный контроль решения по любому из этих методов
заключается в том, что перемещение Л. по направлению любой отбро-
шенной /-й связи, вычисленное по формуле (1.82), должно быть равно
нулю; также должна быть равна нулю реакция вычисленная по
формуле (1.81) в любой введенной /-й связи.
1.5.2.	МЕТОД СИЛ
Особенности метода. Основной системой метода сил является неиз-
меняемая и статически определимая (хотя зто и не обязательно) систе-
ма, полученная из заданной путем устранения всех лишних связей. От-
метим, что основных систем в методе сил множество, так как разрезать
замкнутый стержень или врезать шарнир можно в различных точках.
Каждой основной системе соответствуют свои основные неизвестные —
силы Xf.
Число уравнений кинематической эквивалентности всегда равно
числу удаленных связей. Группируя п уравнений (1-77), получают
систему п алгебраических уравнений с п неизвестными Х[. Система ка-
нонических уравнений метода сил при внешнем воздействии в виде
нагрузки (щ = р) имеет вид:
Si 1 Ал + 512-^2 + ...+ 81лА'п + Д1р=0;
®2i Xt + 822X2 + ... + 82пХп + Д2р = 0;	(1.83)
5 и 1 Xt + 8Л2 Х2 + .. . + Ъпп Хп + ДПр — 0.
Еди 'ичные коэффициенты 8[к и свободные члены Д1р представляют
собой перемещения и определяются по формуле Мора, согласно которой
(для плоских рам):
M2dz
s« = 2'^r: s« =
М.М° dz
i v
bip = S J--t__ ,
I EJ
M.Mk dz
Xf~-----
I EJ
(1-84)
где Af ° - моменты в сечениях основной системы от заданной нагрузки.
58
вадх
Яб*/ВЯ|
к
«if
Для рам, имеющих затяжку — ненагруженный стержень с шарнир-
ными концами (см. рис. 1.38, б), собственное перемещение
M*.dz
8ц = Е f -2_
/ EJ
/
зат
EF
(1-85)
где 1зат — длина стержня-затяжки.
Если система имеет упругоподатливые связи, то они так же, как и
затяжки, разрезаются, и 8ц определяется по формуле, аналогичной
(1-82):
M*dz
бц = 8ПИ + \1/ = Z J----- + 0
I EJ
(1.86)
ГД6 *ии — перемещение, зависящее только от изгибных деформаций системы;
ф — коэффициент податливости связи.
В матричной форме система канонических уравнений (1.83) запи-
сывается так:
(1-87)
и да
Л|М1
ггшя
ЙЙД»
Ий1 [Г
DX + Dp = О,
—>
где X — матрица-столбец основных неизвестных; Dp - матрица-столбец свободных
членов; D — матрица единичных коэффициентов:
	«в	512	
D =	821	522	
	1		&пп
			—
(1.88)
Элементы 8ц, расположенные на главной диагонали, называются
главными (собственными) единичными коэффициентами; они согласно
выражению (1.84) всегда положительны. Остальные элементы 8{/.(к ^i)
называются побочными, они могут иметь любой знак и быть равными
нулю.
Основную систему следует выбирать так, чтобы как можно больше
побочных коэффициентов обратилось в нуль. Этого всегда можно до-
биться при расчете симметричных систем (см. ниже).
Определив по формулам (1.84) коэффициенты 8ik и члены Д1р, из
решения системы (1.83) находят силы X,. После этого любую внутрен-
нюю силу S- можно найти в соответствии с принципом суперпозиции
[ см. формулу (1.81) ]:
= SiP +	+ ^Х2 + -+	+ ‘/Л’	О’89)
где 5° — внутренняя сила в /-м сечении основной системы от нагрузки; s;l. — то
/Р	„	,	1К
же, но от соответствующей силы = 1.
В соответствии с выражением (1.89) строят эпюры внутренних
сил в заданной системе.
59
(1-90)
Обратим внимание на то, что на каждом этапе расчета можно вы-
полнять контроль вычислений. Например, правильность определения
коэффициентов и свободных членов Д,р можно проверить путем
умножения так называемой суммарно-единичной эпюры моментов
Ms = саму на себя и, отдельно, на грузовую зпюру моментов М°.
В результате должны выполняться равенства:
M’dz	М М‘ dz
$	s Р
£ EJ	J tt J
Для рам с затяжками (или с податливыми опорами) в левой части
первого равенства надо учесть деформацию затяжки, как зто сделано
в формуле (1.85).
Подчеркнем, что контроль по выражениям (1.90) является лишь
этапным и не отражает правильности построения единичных и грузовой
зпюры.
Универсальный контроль расчета системы методом сил заключается
в кинематической проверке. Если все вычисления правильны, то пере-
мещение любой точки к по направлению соответствующей удаленной
связи должно быть равно нулю, т.е. должно выполняться условие
(для плоских рам) :
М.М dz
к р
где Mfr — момент в любой (желательно новой) основной системе от силы Рр = 1,
приложенной по направлению удаленной связи; Мр — момент в заданной системе
от нагрузки.
Для
вид
J
(1.91)
M. M dz
к p
EJ
A.
Arp
(1.92)
= S/
/
рамы с затяжками формула универсального контроля имеет
X I
зат зат
S---------- = о,
EF
зат
где Хздт, ^зат ~ усилия в затяжках и площади их поперечных сечений.
Порядок и примеры расчета. Порядок расчета поясним на примере
расчета плоской рамы, изображенной на рис. 1.39, а.
1.	Определяем степень статической неопределимости системы. Здесь
две лишние связи. Следовательно, п = 2.
2.	Выбираем основную систему с основными неизвестными
(рис. 1.39, б).
3.	Строим грузовую и единичную эпюру моментов, соответствующие
грузовому и единичным состояниям системы (рис. 1.39, в-д).
4.	Вычисляем единичные коэффициенты и свободные члены системы
канонических уравнений по формуле Мора (1.51): ЕЛп = 813 •
EJ8i2 = —/3/3; EJ822 = Z3/18; EJblp= 5,5Pl3j EJb_2p = -0,25Р/3.
5.	Строим суммарно-единичную эпюру Ms = Mi + М2 (рис. 1.39, е)
и по формулам (1.90) проверяем правильность вычисленных коэффи-
циентов и свободных членов.
60
0
4
II
*
6.	Записываем систему канонических уравнений (1.83) в численном
виде. После сокращения общих множителей получаем
8Хх------ Х2 + — Р = 0;
3	2
- — X, + — Х2 - — Р = 0.
Ч	3	18	4
7.	Определяем основные неизвестные X, из решения системы урав-
нений. Получаем Xj = — 2F/3 и Х2 = Р/2.
8.	Строим в соответствии с формулой (1.81) суммарную (резуль-
тирующую) эпюру моментов Мр в заданной системе. Здесь Мр = М° +
+ Мх Хх + М2 Х2 (рис. 1.39, ж).
61
9.	Выполняем универсальный контроль по формуле (1.91) путем
умножения эпюры Л/р на любую из эпюр Л/1 ,М2
10.	Строим эпюру поперечных сил Qp в заданной системе. Эпюру
Qp можно построить в соответствии с формулой (1.81): Q. = Q-x Хг +
+ Q.X. + Q° или непосредственно путем дифференцирования эпюры
7 2	2	]р
Мр, Поскольку Q = dM/ dz, на каждом участке рамы длиной d
Мп - Мп	d
Q = --------- + <7 (----z),
d	2
(1.93)
где Мп и Мп — значения моментов на правом и левом концах участка; q — интен-
сивность равномерно распределенной нагрузки на участке (если она есть) ; z — те-
кущая абсцисса с началом на левом конце участка.
Эпюра Qp для данного примера показана на рис. 1.39, з.
11.	Строим эпюру нормальных сил Np в соответствии с формулой
(1.81) или способом вырезания узлов (рис. 1.39,iz).
12.	Проверяем правильность построения эпюр Qp и Np, рассматри-
вая равновесие любой отсеченной части. В данном случае вырезаем ри-
гель рамы и прикладываем к нему внешнюю силу Х2 = Р/2 и внутренние
силы N и Q в местах разреза (рис. 1.39, к). Проектируя все силы на оси
х и у, убеждаемся, что эти уравнения равновесия выполнены. Также
равна нулю сумма моментов относительно любой выбранной точки.
Рассмотрим плоскопространственную раму, имеющую упругоподат-
ливую связь (рис. 1.40, а). Особенность расчета такой системы заклю-
чается в следующем. Единичные коэффициенты и свободные члены
определяют, во-первых, с учетом кручения элементов рамы по форму-
лам, аналогичным (1.60), а во-вторых, с учетом податливости опор по
формуле (1.86). Предполагая, что EJ = const, GJKp = const и EJ =
= 2GJKp, получаем EJ8u = 8/3/3; EJklp = —Pl3/3. Каноническое
уравнение имеет вид (811и + 0) Xi + Д1р = 0, откуда следует, что
Хг = ОДР. Результаты расчета показаны на рис. 1.40, б - ж.
При проведении универсального контроля следует учесть, что пере-
62
мещение Дд зависит не только от деформации рамы, но и от деформа-
ции опорной связи, т.е.
М, М dz
р
д = s J
л l EJ
М л/ dz
кр 1 крр
Е J ----—_ + хх 0 = 0.
, GJ
I	кр
Рекомендуем читателю убедиться самостоятельно в правильности
полученного результата.
Рассмотрим особенности расчета шпренгельных балок (рис. 1.41, а);
подобные системы являются расчетной схемой некоторых экскаваторов
и кранов. Выбрав основную систему (рис. (1.41, б) и определив усилия
в ее элементах от нагрузки и от единичных сил Ху = 1 (рис. 1.41, в - б),
найдем Д1р по формуле (1.84) и51] по формуле (1.85), которая для
данного случая имеет вид:
М’ dz
б11 = Ef _!------
, EJ
N'l.
Е ——
EiFi
Отметим, что от действия нагрузки усилия в шпренгельных элемен-
тах основной системы не возникают, поэтому при определении свобод-
ного члена Д1р учитывают лишь изгибающие моменты Му иЛЛ
Особенности расчета симметричных рам. В симметричных рамах
ось симметрии может либо перерезать элемент системы, либо совпа-
дать с ним. В любом случае основная система должна быть симметрич-
ной. Если в основной системе ось симметрии перерезает элемент, то ос-
новные неизвестные представляют собой парные симметричные и косо-
симметричные обобщенные силы. Симметричными являются продольные
силы N и изгибающие моменты М, а кососимметричными — поперечные
силы Q, а в пространственных системах и крутящие моменты Мкр.
Основные неизвестные, приложенные в точках, не лежащих на оси сим-
метрии, можно сгруппировать в симметричные и кососимметричные
составляющие.
На рис. 1.38, б изображена рама, ось симметрии которой перерезает
ригель и проходит по средней стойке. На рис. 1.38, д и 1.42, а показана
Рис. 1.41. Схемы для расчета шпренгельной
балки методом сил
одна и та же основная система рамы, но в первом случае основные не-
известные Xt, Х2, Х3 и Х$ не сгруппированы, а во втором — сгруппиро-
ваны в симметричные и кососимметричные составляющие.
Нагрузку, действующую на симметричную систему (см. рис. 1.38, в),
следует обязательно разложить на симметричную и кососимметричную
составляющие (рис. 1.42, б, в). От симметричных воздействий (от
нагрузки или от единичных сил) эпюры М (а также 7V) будут симметрич-
ными (Л/С), а от кососимметричных воздействий — кососимметричными
(7ИКС). Результатом ’’перемножения” этих эпюр будет нуль. Такие эпю-
ры называются взаимно ортогональными. В рассматриваемом примере
такими эпюрами будут, например эпюры АЛ 0 и М^с0 (рис. 1.42, г, д)
и эпюры Mi и М2 (рис. 1.42, е, ж), построенные от единичных обоб-
щенных сил Xi = 1 и12 = 1.
Можно доказать, что от симметричной нагрузки возникают только
симметричные неизвестные, а кососимметричные равны нулю. И, наобо-
рот, от кососимметричной нагрузки возникают лишь кососимметричные
неизвестные, а симметричные равны нулю.
Выбор симметричной основной системы и разложение нагрузки на
симметричные и кососимметричные составляющие приводит к тому,
что систему рассчитывают дважды (на симметричную и кососимметрич-
ную нагрузки), но порядок систем уравнений при этом сокращается,
что существенно упрощает расчеты даже на ЭВМ. После того, как систе-
ма будет дважды рассчитана, суммарные усилия 5 получают по формуле:
5 = 5е + 5КС.	(1.94)
В данном примере от действия симметричной нагрузки (см.
рис. 1.42л б) Х2 = Х4 = Х6 = 0, а от действия кососимметричной на-
грузки (см. рис: 1.42, в) Х1 = Х3 = Х5 = Х2 = 0. Таким образом
вместо решения системы семи уравнений с семью неизвестными (см.
рис. 1.38, б) следует порознь решить системы уравнений четвертого и
третьего порядка.
64
Рис. 1.43. Схемы для расчета статически неопределимых систем при температурных
и дислокационных воздействиях
Особенности расчета на температурные и дислокационные воздейст-
вия. При расчете статически неопределимых систем методом сил на
температурные или дислокационные воздействия в системе каноничес-
ких уравнений (1.83) изменятся только свободные члены; вместо
Д/р этими членами будут соответственно Д/г или Д^, которые вычис-
ляют по формулам (1.62) или (1.64). Особенность расчетов заключается
также в том, что при определении суммарных усилий S- в выражении
(1.81) усилия S? в основной системе будут равны нулю.
Формула для универсального контроля при расчете на температур-
ные воздействия будет иметь вид, аналогичный (1.92) :
Мк М dz
+	0-95)
При расчете на дислокационные воздействия индекс г надо заме-
нить на d.
Приведем пример расчета рамы, изображенной на рис. 1.43, а. Эта
рама отличается от ранее рассмотренной статически определимой рамы
(см. рис. 1.34, а) наличием горизонтальной связи в точке В. Таким об-
разом, заданная система один раз статически неопределима; основное
неизвестное определим из уравнения Xt = — Д1Г/6ц. Поскольку пере-
мещение Д и в основной системе (см. рис. 1.34, а) было ранее найдено
(Д^г = Д j f = 595at), здесь определим лишь коэффициент 6! j. Умножая
зпюру моментов (см. рис. 1.34, б) саму на себя, получим EJ8 lt =
= 5/3/3. Следовательно, Х{ = — hSIaEJ/l1. Умножая все ординаты
эпюры М на эту величину, найдем окончательную зпюру Mt в заданной
системе (рис. 1.43, б). Выполняя универсальный контроль по формуле
(1.95), получим
I3 , 2 ,	357 aEJ	п
д ---------( — + 1) --------+ 595 al = 0.
fcr Ej з	г-
Рассчитаем статически неопределимую ферму (рис. 1.43, в) на дис-
локационное воздействие. Пусть стержень 3-4 выполнен короче расчет-
ной длины на (1/1000), т.е. дислокация d — -1/1000. Основная система
изображена ни рис. 1.43, г, там же даны значения усилий N, от сил Хх =
= 1. По формуле, аналогичной (1.53), получим
т К*1-	пгсг,
511 = S _LL = _L(4+ 2(-VT)2
E.F.	EF	EF
В соответствии с формулой (1.63) Дц/ = —1(—d) = //1000. Здесь
знак минус при величине d берется потому, что реакция rj (усилие в
связи 3-4) положительна, а перемещение от дислокации отрицательно.
Следовательно, Xt = -Д^/Бц = £7*79656 и, таким образом,^усилия
в стержнях системы будут иметь тот же знак, что и от силы Xt =1.
Как видим, чем жесткость EF стержней на растяжение будет больше,
тем больше будут усилия в стержнях системы.
1.5.3. МЕТОД ПЕРЕМЕЩЕНИЙ
Основы метода. Основная система метода перемещений получается
из заданной путем введения (наложения) связей. Связи вводятся таким
образом, чтобы система представляла собой совокупность сочлененных
в узлах однопролетных балок с неподвижными концами. Вводимые
связи, препятствующие повороту узлов, называют угловыми (’’плаваю-
щими заделками”, воспринимающими только момент), а связи, препят-
ствующие поступательным перемещениям, — линейными.
Чтобы преобразованная система была эквивалентна заданной в ки-
нематическом отношении, связям одновременно с их введением задают
соответствующие угловые или линейные перемещения Z,; они являются
основными неизвестными. Статическая эквивалентность согласно выра-
жению (1.79) достигается путай составления уравнений равновесия,
каждое из которых выражает равенство нулю реакции во введенной 1-й
связи от действия нагрузки и основных неизвестных:
г{1г1 + г.2г2 + ...+ г{кгк+...+ Г{пгп+я.р = о, (1.96)
где г.^ — реакция в i-й введенной связи от перемещения k-Vi связи Z^ = 1; R. -
реакция в i-й связи от нагрузки.
Число вводимых связей зависит от степени подвижности узлов,
называемой степенью кинематической неопределимости — ик.
Узлы разделяют на шарнирные (рис. 1.44, а) и жесткие (рис. 1.44, б,
в). И те и другие могут быть свободными и опорными. Свободный
шарнирный узел может обладать лишь линейной подвижностью, а сво-
бодный жесткий узел обязательно обладает угловой подвижностью и
может обладать линейной подвижностью. Степень кинематической
неопределимости системы равна сумме степеней угловой (пу) и линей-
ной (ил) подвижности узлов:
ик = иу + ил.	(1.97)
Степень угловой подвижности пу плоской рамы равна числу свобод-
ных жестких узлов. Степень линейной подвижности пл равна числу
независимых поступательных перемещений узлов системы и опреде-
ляются степенью изменяемости так называемой шарнирной схемы —
а)	б)	в)
Рис. 144. Узлы системы
66
«,№>
вцва,
щ
шорти ।
BiCiu.
I®V
M«),l
ЙИН
ИМИ
швея
«I,
plfflll
(рк;
ЙЦИЗ
и
системы, полученной путем врезания шарниров во все узлы заданной
системы.
Отметим, что при определении линейной подвижности в рамах
пренебрегают продольными деформациями и деформациями сдвига
стержней.
Для получения основной системы угловые связи — ’’плавающие
заделки” вводят во все свободные жесткие узлы, а линейные связи
вводят так, чтобы шарнирная схема превратилась в неизменяемую
систему. На рис. 1.45, а — в показаны плоская рама, ее шарнирная схема
и основная система. Вводимые угловые связи изображаются черными
прямоугольниками, а линейные — стержнями, обозначенными двумя
линиями.
Как видим, основная система единственна (в отличие от расчета
по методу сил) и представляет собой совокупность балок трех типов
(рис. 1.45, г -е), сочлененных между собой в узлах. Эти балки пред-
ставляют собой конечные элементы, расчет которых на различные воз-
действия может быть произведен заранее.
В соответствии с выражением (1.96) система канонических уравне-
ний при расчете методом перемещений имеет вид:
ruZi + r2Z2 + ... + rlnZn + Rip = 0;
^2 1^1 + r22Z2 + ... + r2nZn + R2p = 0;
(1.98)
if
irtoal;
ГП1%1 + ГП2%2 +  • • + TnnZn + Rnp ~ 0
или в матричной форме:
(1.99)
i :W
1ШЛ
КртЩЦЫ
KjMEl-
л;~
SJ ®£
RZ + Rp = О,
—►
где Z — матрица-столбец основных неизвестных; R/; - матрица-столбец свободных
членов; R —матрица единичных коэффициентов:
R =
Г22
Г2П
(1.100)
Ж!®"!
(ИМИ-
rni rn2    rnn
Собственные единичные реакции Гц > 0, а побочные rik(k #= i) могут
иметь любой знак и быть равными нулю. Размерность коэффициентов
rjk определяется по формуле [г.^ ]=[^p]/[ZJ.
Определив единичные коэффициенты г*. и свободные члены /?1р,
из решения системы (1.98) находят основные неизвестные Z/. После
этого любую внутреннюю силу S- можно определить по формуле анало-
гичной (1.89):
S> =S№ + !/.Z. + !/>Z« + ' ' + S,»Z»'
а затем построить требуемые эпюры внутренних сил в заданной системе.
Универсальный контроль результатов расчета системы по методу
перемещений заключается в статической проверке: реакция в каждой
67
введенной связи от совокупности воздействий должна быть равна нулю.
Поэтому все узлы и отсеченные части в заданной системе должны нахо-
диться в равновесии.
Преимущества метода перемещений при расчете сложных рам, имею-
щих небольшое число свободных узлов при большом числе стержней,
очевидны. Например, для расчета 7 раз статически неопределимой плос-
кой рамы, показанной на рис. 1.45, ж, по методу перемещений требуется
составить и решить всего лишь одно уравнение с одним неизвестным.
Основная система этой рамы изображена на рис. 1.45, з.
Определение коэффициентов и свободных членов канонических
уравнений. Определение коэффициентов rjk и свободных членов основы-
вается на предварительных расчетах однопролетных балок, результаты
которых сведены в табл. 1.1. Используя их, можно построить единичные
и грузовые зпюры моментов в основной системе. Так как эпюры момен-
тов строятся в системе со всеми введенными связями, то от действия
нагрузки на каком-либо элементе системы эпюра будет отличной
от нуля только на этом элементе. От сосредоточенных сил и моментов,
приложенных в узлах, зпюра моментов ЛК будет нулевой.
При повороте i-го узла на угол Z, = 1 моменты будут возникать
лишь в тех элементах, которые примыкают к данному узлу. От линей-
ного (горизонтального) перемещения z-ro узла на Z, = 1 на эту же вели-
чину смещаются все узлы соответствующего ригеля рамы. Поэтому
моменты будут возникать во всех стойках, примыкающих к данному
ригелю.
Реакции г.^ и могут быть двух типов: сосредоточенные момен-
ты (в угловых связях) и сосредоточенные силы (в линейных связях).
Сосредоточенный момент определяется из рассмотрения равновесия
z-го узла, вырезанного из соответствующей к-й единичной или грузовой
эпюры моментов. К введенной z-й угловой связи прикладывают момент-
ную реакцию, внешний сосредоточенный момент в узле (если он есть),
а также моменты в сечениях балок, примыкающих к данному узлу;
затем из уравнения равновесия ХМ/ = 0 находят искомую реакцию.
68
~	» 7 7.	7	’ .» у 7 а	177Г . -JJ-
V»«5<*V?!S3JrS!^ilifg fff lf
Табл. 1.1. Реакции и моменты в балках постоянной жесткости
Схема балки и
воздействия на нее
Эпюра моментов
и реакций
Схема балки и
воздействия на нее
Эпюра моментов
и реакций
О'
40
2=/
^=уР-''2АЛ=^>«>
о	8
Ч
л TH Н Н ♦ ITKg
I
z=i
Сосредоточенная сила определяется из рассмотрения равновесия
вырезанного ригеля, узлы которого получают линейное перемещение.
К введенной г-й линейной связи прикладывают соответствующую реак-
цию, а к ригелю — поперечные (и нормальные) силы в сечениях примы-
кающих стоек, а также сосредоточенные внешние силр! (если они есть);
затем из уравнения статики ЕХ = 0 находят искомую реакцию. Отме-
тим, что значения поперечных сил определяют в соответствии с табл. 1.1
или по формуле (1.93).
Описанный способ определения единичных и грузовых реакций
называется статическим. Наряду с ним используют (в основном для
контроля вычислений коэффициентов г-^_) способ перемножения эпюр,
согласно которому
М.М, dz
1 к
rik = Zf----------- •	(1.Ю2)
I EJ
Если в заданной системе имеется упругоподатливая связь z, то
ГИ = <1 +	<1103)
где г' — реакция в i-й связи без учета ее податливости; ф - коэффициент подат-
ливости связи.
При определении свободных членов Rjt от температурных воздейст-
вий следует учитывать, что температурное воздействие на стержень /
можно представить в виде суммы двух воздействий: равномерного на-
грева (охлаждения) на t' °C и неравномерного нагрева на t" °C. От
равномерного нагрева стержень / удлиняется, что приводит к пере-
мещению концов сопряженных с ним стержней (балок) и к действию
в них изгибающих моментов M't. От неравномерного нагрева изгибаю-
щие моменты M't возникают только в самом стержне /. Таким образом,
Rit = Rtt + R'it- При линейной дислокации реакции определяют
так же, как при равномерном нагреве.
Порядок и примеры расчета. Порядок расчета поясним на примере
расчета плоской рамы (рис. 1.46,а).
1.	Определяем степень кинематической неопределимости (степень
подвижности узлов). Здесь иу = 1,ил = 1 и согласно выражению (1.97)
нк = 2.
2.	Выбираем основную систему с основными неизвестными
(рис. 1.46, б). Задаем углы поворота по часовой стрелке, а линейные пе-
ремещения — слева направо.
3.	Строим единичные и грузовую эпюры моментов, используя дан-
ные табл. 1.1 (рис. 1.46, в — д) (штриховой линией показано деформи-
рованное состояние элементов рамы).
4.	Определяем единичные и грузовые реакции. Вырезая узлы, нахо-
дим моментные реакции (рис. 1.46, е), а вырезая ригели, т.е. смещаю-
щиеся части рамы, — силовые реакции (рис. 1.46, ж). Здесь г2, =
= 10£J кН • м; П2 = r21 =-1.5FJ кН; Я1р =-9 кН  м; г22 =
— 3,15 EJ кН/м; R2p — —Р = —5,7 кН. Знак минус показывает, что
70
Рис. 146. Схемы для расчета плоской рамы методом перемещений
реакция направлена в сторону, противоположную соответствующему
перемещению.
5.	Решаем систему уравнений (1.98) и получаем Zj = 1,2/(EJ);
Z2 = 2/(ЕГ) м.
6.	Строим в соответствии .с выражением (1.101) суммарную эпюру
моментов Мр (кН • м) в заданной системе (рис. 1.46, з).
7.	Производим универсальный контроль решения — проверяем рав-
новесие узлов и отсеченных частей (рис. 1.46, и). Эпюры Qp и Np в
заданной сйстеме строятся по правилам, изложенным ранее (см. ме-
тод сил).
71
Пространственные рамы рассчитывают в той же последовательности.
Особенность состоит в том, что в свободные жесткие узлы вводят прост-
ранственные плавающие заделки (изображенные в виде параллелепипе-
дов), которым задают угловые перемещения в трех плоскостях. От
поворота узла одни стержни (лежащие в плоскости поворота) изгибают-
ся, а другие (лежащие в перпендикулярной плоскости) закручиваются
(если имеются связи, препятствующие повороту сечения). Так как
угол закручивания в этом случае определяется по формуле =
= ^кр'Д^-'Аср)» то при — 1 Л/Кр — GJKV/l.
Коэффициенты г.к и свободные члены Rjp определяют на основе
эпюр изгибающих и крутящих моментов.
На рис. 1.47, а изображена плоскопространственная система, имею-
щая упругоподатливую линейную связь в точке С, а на рис. 1.47, б —
соответствующая основная система. Число отличных от нуля основных
неизвестных равно трем (угол поворота узла в плоскости рамы заведо-
мо равен нулю).
При построении эпюр следует учесть, что от линейного перемещения
Zi = 1, а также от силы Р в элементах рамы возникнут только изгибаю-
щие моменты; от угла поворота Z2 = 1 в элементах ЕС и CD возникнут
изгибающие моменты, а в элементах АВ и CD — крутящие моменты;
от поворота Z3 = 1 в элементах АВ и CD возникнут изгибающие момен-
ты, а в элементе CD — крутящие моменты (кручения в элементе СЕ
не будет, так как линейная опорная связь Е не препятствует поворотам
сечения).
Вырезав узел С в различных состояниях системы иэ уравнений
равновесия SZ = О, ZMX = 0 и ZMy = 0 определим коэффициенты
rjk и Rjp-, далее при составлении системы канонических уравнений
следует учесть, что согласно выражению (1.103) Гц =	+ 1/ф.
Особенности расчета симметричных рам. Основная система любой
симметричной системы должна быть симметричной. При этом так же,
как и в методе сил, нагрузку следует разложить на симметричную и
кососимметричную составляющие, а неизвестные — сгруппировать.
Особенно удобен метод перемещений при расчете симметричных систем
на действие симметричной нагрузки. В этом случае в силу симметрии
будут заведомо равны нулю основные неизвестные, определяющие
линейные перемещения частей рамы (ригелей), расположенных поперек
оси симметрии, а также углы поворота узлов рамы, лежащих на ее оси
Рис. 1.47. Схемы для расчета плоскопространственной рамы методом перемещений
72
симметрии. Естественно, будут также равны нулю все кососимметрич-
ные неизвестные.
Изображенная на рис. 1.48, а рама 7 раз кинематически неопреде-
лима. Здесь пу = 5 и пп = 2 (см. рис. 1.48, 6). Однако в силу сказанного
выше Z3 = Z4 = Zs = Z6 = Z1 =0 (рис. 1.48, в) и, таким образом,
при расчете рамы надо решат*, только два уравнения с двумя неизвест-
ными. На рис. 1.48, г - е построены едчн"чные и грузовая эпюры мо-
ментов. Следует отметить особенность характера эпюры моментов
на верхнем ригеле в первом единичном состоянии — она имеет прямо-
угольное очертание, так как построена от одновременного воздействия
парных углов поворотаZ i = 1.
Определив ri 1/2 = bEJ/l\ rl2!2 - 2EJ/’-, r22f2 = WEJ/Г, Rlp!2 =
73
= -<?/2/3 и R2p — 0 из решения системы уравнений, получим Zx —
- 5,5 ql31(93 ЕJ) и Z2 = -ql3/(93EJ). На рис. 1.48, е - з показаны
эпюры внутренних сил в заданной системе
1.6. МАТРИЧНЫЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТА
СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
1.6.1. ОСНОВЫ МАТРИЧНЫХ МЕТОДОВ РАСЧЕТА
Общие понятия. В связи с широким использованием ЭВМ в инже-
нерной практике многие задачи расчета конструкций решаются в мат-
ричной форме. Благодаря использованию матричного языка изложение
методов расчета получило более компактную форму, существенно
упростилось программирование на ЭВМ итд. Следует отметить, что при
расчетах в матричной форме континуальная задача заменяется дискрет-
ной — значения искомой функции (усилий или перемещений) опреде-
ляются не для всех точек базиса, а лишь для узловых точек. На интерва-
ле между узловыми точками значение функции интерполируется.
Предполагая, что читатель знаком с матрицами и действиями над
ними, напомним смысл матричных операций на простейших примерах.
Запишем принцип независимости действия сил в обычной форме:
Si = зцРх + si2P2 + ... + sjkPk + ... + sinPn,
где Sj - усилие в i-й связи системы; Р^_ - сила,приложенная в k-Vi точке; каждый
из коэффициентов численно равен усилию S, от соответствующей безразмерной
силы Рк = 1.
В матричной форме эта формула записывается так:
% — [ Si 1 Si 2
Pi
Рг
от действия
записывают:
Если необходимо вычислить не одно, а т усилий S,
той же группы сил, то аналогично выражению (1.104)
(1.104)
или сокращенно
S = LSP
(1.105)
74
где S — матрица-столбец (вектор) внутренних сил; L — матрица коэффициентов
линейного преобразования; Р — матрица-столбец (вектор) нагрузки.
В общем случае т =# п. Например, в ферме (рис. 1.1, б), состоящей
из 11 стержней и нагруженной силами в пяти узлах, т = 11 ии = 5.
Аналогичный вид имеет формула перемещений Д^ от действа
нагрузки:								
	Д1		8ц	612	6 ш		Pl	
	Д2		621	622	&2П		Р2	
	•	=					X	•	(1.106)
	Дщ		1	£>т 2	&тп		Рп	
или сокращенно:
а = DP,	(1.107)
где D =	- матрица коэффициентов линейного преобразования, называемая
иногда матрицей влияния.
Чаще всего в расчетах необходимо вычислить перемещения Д^ всех
узловых точек, где приложены обобщенные силы Рк. В этом случае
т = п и матрица коэффициентов линейного преобразования будет квад-
ратной размером и х и.
В строительной механике решают и обратные задачи: по известным
перемещениям Д^ или внутренним силам Sk определяют внешние силы
Рк. В матричной форме это записывается так:								
	~ Pi Р2	=	611 62 1	612 62 2	61Л1 62лг	X	Г 1 Д1 д2	(1.108)
	Рп		6л 1	6л 2	бллг		Дщ	
или сокращенно:
Р = ВД,	(1.109)
где матрица линейного преобразования В в общем случае так же, как и матрицы
L или D, — прямоугольная (rn X п).
Если т = п, то матрицы В и D будут взаимно обратными (DB =
= BD = Е) и
В = D1	(1-110)
Операция вычисления матрицы В по имеющейся матрице D (или на-
оборот) называется обращением матрицы.
Выражение действительной работы внешних сил в матричной форме:
1	->Т->
А =— Р Д,	(1-111)
2	-Т
где матрица-столбец Р записана в виде матрицы-строки: Р = (Pt Рг ... Рп).
75
Г=Р Рис. 1.49. Схемы, поясняющие податливость и
д	f д	жесткость элемента
С учетом выражения (1.107) эту же
*  формулу можно записать так:
"5s	1 -*т ->
,	А = — Р DP.	(1-112)
2
В]	' Р	Операция замены столбцов строками (и
а)	наоборот) называется транспонированием
матрицы.
Матрицы податливости и жесткости системы. Квадратная матрица
коэффициентов линейного преобразования, входящая в формулу
(1.106), называется матрицей податливости:
	81 1	812	8 in	
D =	62i	822	82д	(1.113)
		8д2	8 ПИ	
Элемент 6-, матрицы D представляет собой перемещение точки i
по направлению силы Р/ = 1, вызванное действием единичной силы
Р. Так как = 6^., матрица податливости является симметричной.
Отметим, что матрица (1.113) является невырожденной — ее опреде-
литель не равен нулю: Det D =# 0.
Понятию податливость противостоит понятие жесткость. Например,
для пружины (рис. 1.49, а) податливость 6 равна перемещению, выз-
ванному силой Р= 1, а жесткость г равна силеР (рис. 1.49, б), вызываю-
щей единичное удлинение Д = 1 пружины. Эти коэффициенты входят
во взаимно обратные зависимости:
Д = 6Р и Р = гД,
где« — г-1 иг = г*‘.
(1-114)
(1.115)
Наряду с понятием матрицы податливости системы аналогично
зависимостям (1.115) вводится понятие матрицы жесткости или мат-
рицы реакций:
	П 1	Г1 2	Гщ	
R =	f 2 1	r22	Гщ	(1.116)
где 'уу ~ реакция во введенной /-й связи от перемещения Д • = 1 (см. метод пере-
мещений) .	f
С помощью матрицы R вектор сил Р можно выразить через вектор
перемещений Д аналогично зависимости (1.114):
Р = КД.
76
(1.И7)

Отметим, что матрицы жесткости и податливости взаимно обратны:

R = D-1 и D = R1.
(1-118)
Существование матрицы R следует из условия Det D =# 0. Из симмет-
рии матрицы D следует, что при ее обращении и матрица R будет сим-
метричной, т.е. гу = г..; это соответствует выражению (1.46).
м
1.6.2. РАСЧЕТЫ В МАТРИЧНОЙ ФОРМЕ
Ш.К11 ||
Определение перемещений. Запишем в матричной форме интеграл
Мора для /-го участка при определении перемещений, зависящих только
от деформаций изгиба в одной плоскости:
М.М dz
к р	->т
А. = Г --------- = М .. А. М - ,
Лр J FJ	]к ] ip’
(1-119)
ЕЕ
где Му^ — транспонированная матрица-столбец единичных моментов на/-м участке:
М., = [ЛГ?. Л/S Мп. I;
]к ]к ]к /к1’
В Ж
ЯЯй
!
А. — диагональная матрица податливости на /-м участке:
I.
ии'
Г*.
А,- = -------
1 6EJ.
о
о
о
о
о
о
п
аЦ
(1.120)

здесь a.j = Je /'J.. - относительная
мент инерции, принятый за основной, J..
1.)\ Мур — грузовая матрица-столбец на/-м участке:
податливость (70 — любой фиксированный мо-
— момент инерции в z-м сечении элемента
IM"
*iP
мл
1Р
м?
1Р
ма
]Р
В этих формулах верхние индексы л, с и и указывают, что величины
соответствуют левому, среднему и правому сечениям элемента /..
Легко убедит ься в том, что перемножение матриц в формуле (1.119)
полностью совпадает с вычислением интеграла Мора с использованием
формулы Симпсона (1.59).
Суммируя результаты вычислений по всем и участкам системы, по-
лучаем:
” -Т
Д. = S Л . А. М. .
кр	]к ] ]р
7=1
(1-121)
77
Это выражение можно записать в блочной форме:
		_ т - т	-Т	
А	tp	[М1Л М2Л .	• м пк	] X
	Aj	0	0	
X	0	А2	0	X
	0	0	Ап	
Для вектора перемещений Др,
г г' К)	н-	(1.122)
Мир	
с компонентами Д1р, Д2р, . . .
Дтр, вместо одной строки М-к надо написать т строк:
-► -т -*
Др -= М АМр.
(1.123)
Если на /-м участке EJ. — const, то диагональная матрица податли-
вости (1.120) имеет вид:			
/.	'1 0	О'	
А,- = —— '	6EJ.	0 4	0	(1.124)
1	0 0	1	
Если на ;-м участке обе эпюры моментов Мк и Мр линейны, то их
средние ординаты можно выразить через крайние. В этом случае фор-
мулу (1.119) можно записать так:
(1.125)
При EJ- = const
вид:
матрица податливости в выражении (1.125) имеет
6£V	1
1
2
(1.126)
Она может быть записана еще проще, если на одном конце участка
имеется шарнир и нет сосредоточенного момента:
А>=-^7|2!-	(1.127)
Естественно, что при этом моменты М и Мр в узловой точке для
шарнира не записываются, так как они заведомо равны нулю.
78
Отметим, что уменьшение порядка матрицы податливости играет
существенную роль при вычислениях на ЭВМ,
Если при расчете системы эпюры внутренних сил и податливостей
непрерывны, то нет смысла дважды вписывать каждую их ординату на
границах участков в соответствующих матрицах. Можно каждую орди-
нату в матрицах моментов вводить один раз, но при этом в блочной
матрице податливостей наложить углами соседние блоки, т.е. сложить
значения ’’пограничных” элементов. Например, при EJ = const и четырех
участках одинаковой длины / = d блочная матрица податливости соглас-
но выражению (1.126) будет иметь вид:
Рассмотрим пример. Определим перемещение точки 4 балки переменного
сечения Uo/Jz = 1 + z/Z), нагруженной в узловых точках силами Р (рис. 1.50,а).
Вычислив узловые и промежуточные значения моментов Мр и М^, а также относи-
тельных податливостей а (рис. 1.50, б - г), запишем их в блочной форме и прове-
дем в соответствии с выражениями (1.119) и (1.120) вычисления. Учитывая при
этом сложение пограничных элементов, получим:
Pd3	
\р =	[	3	2,5
6EJB	
	
	1	0
	0	1,125
	0	0
	0	0
X	0	0
	0	0
	0	0
	0	0
	0	0
2	1.5	1	0,5
0	0	0	0
0	0	0	0
2,5	0	0	0
0	1,375	0	0
0	0	3	0
0	0	0	1,625
0	0	0	0
0	0	0	0
0	0	0	0
0	0	о]х			
		—	«-	-1		
0	0	0		10	
0	0	0		8	
0	0	0		6	
0	0	0		4,5	
0	0	0	X	3	=
0	0	0		2	
3,5	0	0		1	
0	1,875	0		0,5	
0	0	2		0	
РР
= 17,07 ---- ,
EJB
где JB — момент инерции сечения балки в точке 1 (при z = 0).
Мы рассмотрели матричную запись формулы Мора для определения переме-
щений при изгибе. При учете других деформаций матрицы описываются аналогично.
Расчет статически неопределимых рам методом сил. Система кано-
нических уравнений метода сил в матричной форме описывается выра-
жением (1.87).
79
Рис. 1.50. Определение перемещения в мат-
ричной форме
При рассмотрении ряда комбина-
-* ->
ний нагружений векторы X и D заме-
няют на матрицы X и D?:
	Xtl	Х12	Xik	
X =	х2)	Х22 ..	Х2к	>
	ХП1	Хп2	Хпк	
	^ipi	Л1Д2	^ipk
Dp =		^2р2	&2рк
&npi	 ^прк
где к — число рассматриваемых вариантов загружения.
При расчете системы на температурные или дислокационные воз-
действия надо в матрице Dp заменить индексы р на t или d.
Изложим порядок расчета статически неопределимых систем в мат-
ричной форме на примере плоской рамы, изображенной на рис. 1.51, а.
1.	Выбираем основную систему (рис. 1.51, б) и составляем исходные
матрицы М, М° и А, разбивая длины стержней по участкам, как это по-
казано на рис. 1.51, а. В соответствии с рис. 1.51, б - д получаем
В матрице А первый блок, состоящий из одного элемента, относится
к участку 0—1 (длиной /, см. рис. 1.51, а), второй — к участку 2 — 3
и третий — к участку 4 — 5.
80
4
4
4
Рис. 1.51. Схемы для расчета рамы методом сил в матрич-
ной форме
2.	Вычисляем элементы матрицы D, являющие-
ся коэффициентами канонических уравнений. В
соответствии с формулами (1.89) и (1.123).
D = МТАМ.
Для удобства вычислений вводим промежуточную матрицу С —
= мТа; таким образом, D = СМ. Найдем матрицу С, произведя предва-
рительно транспонирование матрицы М:
Г-1	-1	-1	-1
С = I
О 0	0,5	0,5
Г
Ив!
[ВМГ
и'
№1
JWl...
4,
х
	4	0	0	0	0	
	0	2	1	0	0			-ч
						I	р	_4	-3	_3	-3	-3
X	0	1	2	0	0		 — 
						12FJ'	12£J	0	0,5	1	2	2,5
	0	0	0	2	1	
	0	0	0	1	2	
Следовательно,
— 4	-3	-3
0	0,5	1
I3	16	-6
12 £7	-6	4
L.
I1
D = -------
12£J
-3 -3
2	2,5
- 1
- 1
-1
-1
-1
0
0
0,5
0,5
1
- 1
1

3.	Производим обращение матрицы D по известным формулам ли-
нейной алгебры. Операция обращения при порядке матрицы п > 3 произ-
водится на ЭВМ. В данном случае (и = 2) выполняя расчет вручную,
получим
Г4
12£J 1 6	16J
D1 = ------- -------- .
I3 28
81
Правильность произведенной операции проверяем по условию
D-1 • D = Е, где Е — единичная матрица. (Рекомендуем читателю сде-
лать проверку самостоятельно).
4.	Вычисляем элементы матрицы Dp, являющиеся свободными чле-
нами Д;р канонических уравнений. В соответствии с формулами (1.84)
и (1 123)
Dp = МТАМр.
Используя промежуточную матрицу С, получаем:
о
о
Dp =------
12EJ
— 4	-3
О 0,5
-3	-3	-3
1	2	2,5
Ml1
"-6 
12EJ
4,5
О
М
м
5. Определяем значение
основных неизвестных X,. В соответствии
с формулой (1.87) X = -D1 Dp получим
м
12EV
Х= — -----
28Z3
6 16
-6
4,5
Ml2
12EJ
6. Определяем моменты в заданных
уравнения (1.89) Мр = М° + MX,где
-3
-36
-3
28Z
сечениях. На основе общего
-36
281	28
+ 3
-15
-5
4	6
+ 3
м м
Суммарная эпюра моментов Мр представлена на рис. 1.51, е.
7.	Выполняем универсальный контроль решения согласно которому
произведение матриц М и Мр должно быть равно нулю (ММр = 0).
Читатель в этом может убедиться самостоятельно.
1.6.3. ОСНОВЫ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
Общие понятия. В настоящее время конструкции различных типов
рассчитывают с использованием ЭВМ по методу конечных элементов.
Согласно этому методу систему разбивают на отдельные части (’’конеч-
ные элементы”), для которых составляют уравнения, описывающие
их совместную работу. При этом предварительно изучают напряженно-
деформированное состояние каждого элемента в отдельности.
В стержневых системах конечным элементом является стержень,
в котором напряжения ji деформации определяются без особых затруд-
нений по формулам сопротивления материалов. В пластинках и оболоч-
82
ках точное определение деформаций и напряжений сопряжено с боль-
шими математическими трудностями. Именно поэтому и получили ши-
рокое развитие численные методы расчета, среди которых наиболее
универсальным является метод конечных элементов. Чаще всего этот
метод применяют в форме метода перемещений.
Напомним, что основная система метода перемещений состоит из
отдельных стержней — конечных элементов, сопряженных своими кон-
цами в узлах системы. Если перемещения Z, этих узлов известны, то
можно найти перемещения всех точек и усилия во всех стержнях. При
этом решение будет точным в рамках принятых допущений.
Канонические уравнения метода перемещений в матричной форме
(1.99): RZ + Rp = 0 содержат матрицу единичных реакций R [см. выра-
жение (1.100)], представляющую собой общую матрицу жесткости
системы (1.60). Подчеркнем, что порядок общей матрицы жесткости R
не зависит от числа элементов системы, а определяется числом основных
неизвестных Z. Естественно, что сами коэффициенты матрицы зави-
сят и от числа элементов, и от их геометрическо-кинематических харак-
теристик.
Для формирования общей матрицы жесткости системы надо сначала
составить матрицу жесткости для каждого элемента. Эта матрица, уста-
навливающая связь между перемещениями и усилиями (реакциями)
на концах стержня, называется локальной матрицей жесткости R3 эле-
мента.
Матрицу R3 стержневого элемента можно записать в местной системе
координат x'y'z' (рис. 1.52, а) или в общей системе координат xyz
(рис. 1.52, б). Для перехода от матрицы жесткости R3 в местной систе-
ме координат к матрице жесткости R3 в общей системе координат ис-
пользуют матрицу преобразования координат Т. Любой коэффициент
R^ общей матрицы жесткости R представляет собой сумму соответст-
вующих коэффициентов матриц жесткости ВД для элементов, соеди-
няющихся в узле i, т.е.
Rjy = ZR3ik.‘	(1.128)
Аналогичным образом надо записать матрицу-вектор грузовых
реакций Rgp элемента в местной системе координат; совершить пре-
образование грузового вектора к общей системе координат и затем
произвести поэлементное суммирование для получения матрицы Rp
в выражении (1.99).
Отметим, что при разработке алгоритмов и программ для ЭВМ обыч-
но используют наиболее общую модификацию метода перемещений, в
которой учитывают все возможные виды деформаций элемет тов-стерж-
ней, т.е. при расчете рам предполагают, что EF^°°. В этом случае основ-
ная система получается стандартной: все узлы закрепляются от линей-
ных и угловых перемещений; стандартными получаются матрицы жест-
кости и преобразования координат. Естественно, что при этом сущест-
венно возрастает число неизвестных Z (по сравнению с моделью EF =
= °°), но построение алгоритма упрощается.
83
Матрица жесткости и грузовая матрица
элемента в местной и общей системе коор-
динат. На рис. 1.52, а изображен стержень
постоянного сечения (конечный элемент),
отнесенный к собственной, местной систе-
т-з
Рис. 1.52. Стержень как конечный элемент в мест-
ной и общей системе координат
ме координат х у z . На концах н (начало) и к (конец) стержня имеются
связи, препятствующие перемещениям Zt, ...,Z6. От задаваемых единич-
ных перемещений Z(' в шести связях будут возникать единичные реакции.
Составим матрицу жесткости элемента плоской системы. В ней элементы
первого столбца r'x t, г\],..., г'ь j представляют собой реакции в связях от
угла поворота Z'( = 1, элементы второго столбца — реакции от продоль-
ного смещения Z'2 = 1 и т.д. Численные значения реакций, соответствую-
щих изгибу стержня, определим из табл. 1.1, а реакций, соответствую-
щих продольным деформациям, — из формулы Д/ = Nl/(EF). Отметим,
что направление каждой положительной реакции совпадает с направле-
нием соответствующего положительного перемещения.
Таким образом,
	4EJ/1 0	0 EF/1	-6EJ/P 0	2EJ/1 0	0 -EF/l	6EJ/P 0
И'э =	-6EJ/P	0	12KJ/P	-6EJ/P	0	-12EJ/1
	2EJ/1	0	Y2EJ/P	4EJ/P	0	6EJ/P
	0	-EF/l	0	0	EF/l	0
	6EJ/P	0	-12EJ/Z3	6EJ/P	0	Y2EJ/P
(1.129)
Аналогично строят матрицы жесткости при кручении стержня и при
его изгибе в двух плоскостях. В общем случае порядок матрицы опреде-
ляется числом реакций (перемещений) в концевых точках стержня.
Матрицу R'3 можно представить в следующем блочном виде:
М
нгаыЬвг
ШИ
игру--
ЙЙ’
изобржг
(0ИИ1
Ю1,И
impKir
даию
дт
ш.№
И®
ЯВИ’
kwr
Й№“
«I
sit
где каждый блок представляет собой матрицу реакций, возникающих в связях
начала (н) и конца (к) стержня; например, R'hk - блок реакций на конце н от еди-
ничных перемещений связей на конце к стержня.
Рассмотрим теперь этот же стержень в составе системы, заданной в
общей системе координат (рис. 1.52, б). Линейные связи на концах
ориентированы вдоль осей х и у и им соответствуют узловые переме-
щения и реакции (обозначенные без штрихов). Для получения матрицы
жесткости R3 элемента в общей системе координат через матрицу жест-
кости R3 используют матрицу преобразования Т. Она связывает между
собой матрицы перемещений (или усилий), записанные в различных
системах координат:
Z' = TZ.	(1131)
Так как работа сил не зависит от системы координат, согласно вы-
ражениям (1.112) и (1.117) Z Trz = (Z')Tr'Zоткуда с учетом фор-
мулы (1.131) следует, что
R3 = TTR3T.	(1.132)
Для получения матрицы преобразования Т выразим составляющие
полных линейных перемещений Z' через перемещения/. Проектируя
вектор полного линейного перемещения Zn на местные (х\ у ) и повер-
нутые общие (х, у) координатные оси (рис. 1.52, в) и учитывая, что уг-
лы поворота Z't и Z'4 при повороте осей не меняются, получим следую-
щие соотношения:
Z' = Zt; Z'2 = Z2 cos а + Z3 sin а;
=	-Z2 sin а + Z3 cos a; Z'4 = Z4;
=	Zs cos a + Z6 sin a;
=	—Z, sin a + Z, cos a.
3	О
коэффициентов при Zj, стоящих в правой части равенств , обра-
зуется матрица Т, которую можно записать в блочной форме:
Z3
Z's
z'6
Из
-120.
С	О
---------; С =
О	С
О
cos а
— sin а
о
sin а
cos а
(1.133)
120/
1“
П(р0|
дахо
К
1‘
Подставляя выражения (1.130) и (1.133) в формулу (1.122) полу-
чаем матрицу жесткости элемента в общей системе координат:
Рассматривая блоки матриц как обычные элементы, можно записать:
R3 =	cTrhh С CTR' С КН	C R кк С	=	RHH RKH	l__R™ I RKK	(1.134)
		J			1	85
т =
1
о
о
Грузовые реакции на концах стержня от ввеузловой нагрузки в
местной системе координат определяют обычным путем. Напрпмер,
для стержня, нагруженного посредине силой Р (рис. 1.52, г), после раз-
ложения силы на составляющие векторы грузовых реакций в начале и
конце стержня будут согласно табл. 1.1 иметь вид:
(Pl/8) cos а
(Р/2) sin а
(Р/2)cos а
(-Р1/8) cos а
(Р/2) sin а.
(Р/2) cos а
Rhp
; R'
’ кр
Переход от вектора R3p в местной системе координат к вектору
R3p в общей системе координат осуществляется с использованием
матрицы преобразования Т. Аналогично выражению (1.131) получим:
с *
Rap ~ Т 1 R эр
RHp
(1.135)
С- 1 I
RKp
где матрица
С1 =
О
cos а
sin а
О
— sin а
cos а
в противоположность матрице С [см. выражение (1.133)] совершает
переход от осейх', у' к осям х, у.
Формирование общей матрицы жесткости и расчет системы. Общая
матрица жесткости R системы формируется из матриц жесткости от-
дельных стержней. Ее строят в общей системе координат. В общем виде
R.n
Pin
(1.136)
Pni Pni	Рпп
где первый индекс каждого элемента R^ указывает номер узла, в котором возни-
кает блок реакций, а второй - номер узла, от перемещения которого эти реакции
возникают (в плоских системах размер каждого блока R   3X3).
Рис. 1.53. Схемы, поясняющие формирование матрицы жесткости системы
R =
1
О
О
Л1 1 Рц
^2 1 Рг 2
86
Структура блочной матрицы (1.136) аналогична структуре обычной
матрицы реакций [r-у]. Особенность заключается лишь в том, что каждой
строке в матрице (1.136) соответствует группа реакций в соответствую-
щем узле.
На рис. 1.53, а изображена плоская стержневая система, имеющая
пять узлов и шесть стержней. В каждом узле введено три связи и имеет-
ся по три неизвестных перемещения. Предполагая, что для каждого
стержня f локальная матрица жесткости RJ в общей системе координат
построена, сформируем из этих матриц общую матрицу жесткости R.
В данном случае размер ее 15 х 15, что отвечает вектору узловых пере-
мещений Z = [Z! ... Z1 s ]т. Матрица имеет блочный вид:
	R, 1	R, 2	0	0	R»3
		R2 2	R2 3	0	R2 s
R =	0	R3 2	R3 3	RM	0
	0	0	R4 3	R««	R*5
	RJ1	RS3	0	Rs«	Rss
где первый индекс указывает номер узла, в котором возникает блок реакций, а
второй индекс - номер узла, от перемещений которого эти реакции возникают;
каждый нуль означает, что соответствующие два узла не связаны между собой
стержнем, и, следовательно, непосредственно не взаимодействуют.
При построении матриц жесткости R^ необходимо зафиксировать
начало и конец каждого стержня f (рис. 1.53, а). Каждый коэффициент
общей матрицы жесткости R получается путем суммирования соответст-
вующих элементов матриц жесткости отдельных стержней [см. выраже-
ние (1.128)]. Покажем построение второй блочной строки для рассмат-
риваемого примера:
R„ - >4.;	+	♦ >4,;
Ч2, =	ч2. = »; ч„ = к’и1<
Суммирование блоков (3 х 3), указанных в составе R22, ведется
поэлементно.
При разработке программ автоматизированного расчета конструк-
ций процесс формирования матрицы R системы формализуется [15].
Рассмотренная матрица жесткости R является особенной, т.е. не
имеет обратной матрицы R -1, а следовательно, и матрицы податливости;
зто происходит потому, что система является свободной, незакреплен-
ной. Решить систему канонических уравнений можно лишь в том случае,
когда будут учтены закрепления узлов, и матрица R станет неособенной.
Это достигается различными путями.
Наиболее удобный для программирования путь заключается в том,
что все имеющиеся опорные связи рассматриваются как упругоподат-
ливые, жесткость которых с = 1/ ф можно назначать в пределах 0 < с <
< °°. При этом учет i-й опорной связи заключается в том, что в матрице
87
R вместо коэффициента гц в соответствии с выражением (1.103) вычис-
ляют коэффициент * = г-г- + с.. Так, для абсолютно жестких опорных
связей 2, 3, 5 (рис. 1.53, б) с = °°; практически эти величины задаются
настолько большими числами, что обратные им величины воспринимают-
ся машиной как нуль. Таким образом оказываются равными нулю со-
ответствующие перемещения; в данном случае Z2 — Z3 = ZS =0. Если
опорная связь в узле i податлива (например, связь 9), то г* #= °°, и соот-
ветствующее перемещение Zi #= 0 (Z9 =#= 0).
После формирования матриц R и Rp и решения уравнений (1.99)
находят перемещения Z в общей системе координат. Для вычисления
усилий в любом стержне надо сначала определить перемещения его кон-
цевых сечений в локальной системе координат — Z , используя зависи-
мость (1.131), а затем вычислить его концевые реакции г с помощью
-> ->
матрицы R' по формуле г = R3Z'.
1.7. РАСЧЕТ ПЛАСТИН ЧИСЛЕННЫМИ МЕТОДАМИ
1.7.1. ОСНОВЫ ТЕОРИИ РАСЧЕТА ПЛАСТИН
Основные понятия и гипотезы. Пластиной называется тело, тол-
щина h которого мала по сравнению с размерами оснований (а, Ь)
(рис. 1.54, а). Плоскость, проходящая посредине толщины пластинки,
называется срединной. Линия пересечения срединной плоскости с бо-
ковой поверхностью называется контуром пластины. Пластины бывают
прямоугольными, круглыми, параллелограммными и др. При расчете
пластин начало координатных осей помещают в одной из точек сре-
динной плоскости.
Перемещения точек пластины в направлении осей х. у. z обозначают
соответственно через и, v, iv. В общем случае эти перемещения являются
функциями трех координат, т.е. и = и(х, у, z), v = v(x. у, z), w =
= w(x, y, z). От действия поперечной нагрузки срединная плоскость
(средний слой) переходит в срединную поверхность. Перемещения и>
точек срединной плоскости называются прогибами.
Пластины условно подразделяются на плиты [й/(а, b ) > 0,2 ] жесткие
пластины [0,2 > й/(а, Ь) > 0,01 ], очень тонкие пластины [й/(д, й) <
< 0,01]. Далее рассматриваются обычные жесткие пластины, в которых
при действии поперечной нагрузки можно пренебречь напряжениями
растяжения и сдвига в срединной поверхности. В основе расчета таких
пластин лежат следующие гипотезы.
1.	Гипотеза прямых нормалей, согласно которой нормали (прямо-
линейные элементы) к срединной плоскости остаются при деформации
пластины прямолинейными и перпендикулярными к срединной поверх-
ности. Эта гипотеза аналогична гипотезе плоских сечений в балках. В
соответствии с этой гипотезой углы сдвига ухг и у 2 равны нулю:
2.	Гипотеза о недеформируемости срединного слоя, согласно кото-
рой линейные ех и Су и угловые уху деформации в срединном слое
равны нулю, т.е.
е?
3“
^-о = О; '°
a v
^=«=0;
а и
= ( —
а у
a w
ТГ^ = о
о х
= 0.
3.	Гипотеза плоского напряженного состояния, согласно которой
отсутствует надавливание слоев пластины друг на друга, т.е. напряжение
о2 = 0. Одновременно с этим принимается допущение о том, что и дефор-
мации ez = 0, иэ которого следует, что перемещения w всех слоев плас-
тины равны между собой; таким образом, прогибы w не зависят от ко-
ординаты z, т.е. w = iv(x. у).
В соответствии с двумя первыми гипотезами перемещения и и v
произвольной точки к пластины (рис. 1.54,6) в направлениях соответ-
ствующих координат х и у выражаются формулами:
и = -z(dwfdx'); v = -z(9w/3y),
89
а линейные  угловые деформации:
	Эи	Э3 iv	Эу	Э3 >v
?Х —		z	г ’ еУ	
	Ъх	Эх3	by	by2
	Эи	Эу	Э3 iv
У =	(—+—) = -2z		.	(1.137)
*ху	by	Эх	bxby
Обобщенный закон Гука с		учетом третьей гипотезы записывается
так:
ех=~ (°Х-^ОуУ’ €У=Т
тху 2(1+ р)
у = ------= --------- 7
'ху G	Е ху’
где Е - модуль упругости материала; м — коэффициент Пуассона.
Решая эти уравнения относительно напряжений и учитывая зависи-
мости (1.137), получаем
О = X	Ez	Э2 и* +	Д	Э3 IV у	
	1-Mj(	Эх3		Эу3	
а = У	Ez	Э2 w (	4-	Э3 w	) 
	1-м2	by2			) >
т = ху	Гух = ~	Ez		Э3 iv	
		1+м		ЭхЭу	
(1.138)
Вырезая из пластины элементарную призму dx х dyxh (рис. 1.54, в),
можно выразить распределенные (приходящиеся на единицу длины)
изгибающие Мх и Му и крутящие Мху = Мух моменты через соответст-
вующие нормальные сх и оу и касательные тху = тух напряжения
(рис. 1.54, в). Затем, используя выражения (1.138), получаем
^/2	Э3 н>	Э3 iv	1	м
7И = f ozdz = —D(--------- + д----- )=-£>(—+ -------);
-й/2	9x1	дУ’	рх	ру
Э3 w	Э3	iv
M=f о zdz = —£>(---------- + д ---- ) =	(1.139)
У -hli	дУ2	3x2
ру рх
hl2
Мху = Мух = f Txvzdz = ~D(l------------------— = ~D (1 -Д) -------
-Л/2	9хЭ^	рХу
где D — цилиндрическая жесткость.
D = Eh*/[12(1 -д3)];	(1.140)
90
llpx — Ъ'хм/Ъх1 и Мру — Э2и’/Эу2 - относительные кривизны при изгибе; \!рху =
= Ъ7 w/(ЬхЪу) — относительная кривизна при кручении.
Два первых уравнения (1.139) аналогичны дифференциальному
уравнению изгиба балки:
М = -EJy".
Как видим, все перемещения, деформации, напряжения и внутрен-
ние силы выражаются через функцию прогибов w = w(x, у), поэтому
эта функция называется разрешающей.
Расчет пластины при действии поперечной нагрузки. Рассмотрим
пластину произвольной формы, нагруженную перпендикулярно ее
плоскости. Для составления дифференциального уравнения, связываю-
щего прогиб w(x, у) с нагрузкой q(x, у), вырежем элемент пластины
dx х dy х h, обозначенный на рис. 1.54, г только срединной плоскостью
dx и dy. К этому элементу приложим внешнюю силу qdxdy и действую-
щие по его граням внутренние силы (поперечные силы, изгибающие
и крутящие моменты), учитывая, что при приращении координат х и у
они также получат соответствующие приращения. Из условий равнове-
сия элемента: SZ = 0; 27ИХ = 0; ЕМу = 0 получим дифференциальные
зависимости между внутренними силами и интенсивностью нагрузки
d(x,y)-.
dQx/dx + dQy/ду = -q;
ZMjdx + ЪМху1Ъу = Qx\	(1.141)
дМу/ду + дМху/дх = Qy.
Взяв частные производные dQ/dx и dQ/dy н подставив их выраже-
ния в первое уравнение (1.141), получим
Э2МХ	Э2Л7Ху	Э2ЛГу	q(x.y)
ах2	ахау	ay2	D
И, наконец, подставляя в это уравнение выражения (1.139), получим
дифференциальное уравнение изогнутой поверхности пластины (уравне-
ние Софи Жермен):
Э4н>	Э4и>	Э4 w	q(x,y)
---+ 2-------- + ------ = -----—
Эх*	Эх2Эу2	Эу4	D
(1-142)
Его можно назвать основным, поскольку оно непосредственно свя-
зывает разрешающую функцию с нагрузкой. Если это уравнение будет
решено, т.е. будет найдена разрешающая функция w(x, у), то по форму-
лам (1.139) можно определить значения Мх, Му и Мху. Значения попе-
речных сил Qx и Qy можно определить в соответствии с выражениями
(1.141) по формулам:
Qx =	-D(	a3 w 	 + ax3	a’w ЭхЭу2	(1-143)
Qy	-D{	a3w 	 + ay3	a3 w ax2 ay	91
По найденным моментам и поперечным силам можно вычислить
напряжения в любой точке пластины:
	12Л/Х	12ЛЛ. о , = 	Z;
		
X	h3	У	h3
т =	12Мху	6QX b2 т = 	-(	z2); гх	h3 4
ху	h3	
тгу ~	6Qy Л2 Л3 4	- ^)-
Итак, главная задача расчета пластины на поперечную нагрузку
заключается в отыскании разрешающей функции w(x, у), которая
должна удовлетворять дифференциальному уравнению (1.142) и гранич-
ным условиям — условиям на контуре пластины, зависящим от характе-
ра ее закрепления по краям.
Граничные условия необходимо записать также через разрешающую
функцию »v(x, >')• Рассмотрим простейшие граничные условия на приме-
ре пластины с заделанным, шарнирно опертым и свободным краями
(рис. 1.55).
На заделанном краю (АС) кинематические факторы — прогибы и
углы поворота должны быть равны нулю, т.е.
wx = 0 = 0; (9w/ax)x = 0 = 0.	(1.144)
На шарнирном краю (CD) равны нулю прогибы и изгибающие
моменты, т.е.
a2w a2w
w . = М , = -D( ----------- + р ----)	. = 0.
У~ь	у Ь	ъу2 ъх2 У = ь
Так как при непрерывном шарнирном опирании этого края кривиз-
на d2w/<h.-2 равна нулю, в соответствии с выражениями (1.139) гранич-
ные условия записываются так:
Э2 w
и’ _. = 0; (--------)	, = 0.
У = ь	v Sy2 ГУ = Ь
(1.145)
На свободном краю (АВ) равны нулю статические факторы:
(Afy)y=O = 0. (Су)у=0 = 0 и (Мху)у— о = 0. Здесь имеется одно
избыточное граничное условие, для устранения которого вводят поня-
тие приведенной поперечной силы Q*(Q* - Q + дМх /дх). Эту силу
и приравнивают нулю. В соответствии с выражениями (1.139) и (1.143)
граничные условия имеют вид:
(1.146)
92
Рис. 1.55. Схема для определения граничных ус-
ловий для пластины
Определение точного выражения
функции w (х, у) представляет собой
разрешимую задачу лишь для некоторых
частных случаев. Например, для эллипти-
ческих (и, в частности, круглых) пласти-
нок, заделанных по контуру и нагруженных равномерно распределенной
нагрузкой q:
w(x, у) =-----------------------------------X
D [ 24/а2 + 16/(а2 + Ь2 ) + 24/Ь2 |
где а н b — полуоси эллипса, а начало координат находится в центре пластины.
Это решение удовлетворяет основному уравнению (1.142) и гранич-
ным условиям.
Для круглой пластины (а = Ь) при д — 0,3 получим: в центре плас-
тины wmax = 0,17 <?я4/(ЕЛ3), Мо =0,0813 да2 и у края =—0,125 «ус2 .
Существуют различные приближенные методы определения разре-
шающей функции w (х, у) и внутренних сил. Наиболее общими из них
являются метод конечных разностей (МКР) и метод конечных элемен-
тов (МКЭ) (методы математической дискретизации континуальной
системы).
1.7.2. МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ
Основы метода. Метод конечных разностей заключается в замене
дифференциального уравнения задачи системой алгебраических урав-
нений при использовании приближенных выражений для производных
искомой функции. Этот метод можно успешно применять, если извест-
но дифференциальное уравнение задачи.
Запишем выражение производных функций у (х) в точке к
(рис. 1.56, а) в конечных разностях при постоянном шаге (интервале)
s между узловыми точками на оси х. Производная у'к будет иметь сле-
дующее выражение:
y'k = ^+1	(1.147)
Эта зависимость называется главной центральной разностью и пред-
ставляет собой тангенс угла наклона секущей, проходящей через точки
{к + 1) и (к — 1). Очевидно, что при s 0 эта секущая будет совпадать
с касательной к кривой у (х) в точке к.
Записывая аналогичным образом выражения первых производных
функции в промежуточных точках а и Ь, расположенных посредине
93
Рис. 136. Схемы для пояснения метода конечных разностей и его применения к
расчету балок
интервалов s, получим выражение второй производной у"к как первой
производной от них, т.е.
у"к = <у'ь - y'ay/s =	1 - 2>’к +	О-148)
Третью производную получим как первую производную от вторых:
y'k = Ot.2 -	1 + 2Ук-I -	(1149)
а четвертую как вторую производную от вторых:
4V= 0^+2 - 4>V 1 + Ьук -	+ Ук_2)/^-	(1.150)
Отметим, что при получении каждой последующей производной
использовалась центральная разность [см. выражение (1.147)]. Это эк-
вивалентно тому, что и функция у (х), и ее производные аппроксими-
руются квадратной параболой на участке трех снежных узловлх точек.
Прежде чем перейти к двумерным задачам, поясним применение
метода конечных разностей на одномерной задаче об изгибе балки.
При EJ — const дифференциальные уравнения изгиба имеют вид:
EJv" = -М- EJn" = -Q\ EJv™ = q.
В конечных разностях эти уравнения с учетом выражений (1.148) —
(1.150) можно записать так:
vfc + 1 - 2vk + vfc-l = -Mks2l(EJ)-
vk+ 2 ~ 2vk+ 1 + 2vk- I ~ vk- 2 ~ ~2®kS	(1-151)
vit+ 2 - 4vit+1 + 6vit - 4v)t-i + vk-2 = qk^KEJ).
Последнее уравнение (1.151) является основным, так как оно не-
посредственно связывает искомые прогибы с нагрузкой qk в узловых
точках. Заменяя распределенную нагрузку q на участках сосредоточен-
ными силами qs (рис. 1.56, б) и разнося эти силы по правилу рычага в
узлы, получим для промежуточных узловых точек Рк = qs, а для кон-
цевых — Ро = Рп = qs/2. Исходя из этого приведенная нагрузка для про-
94
межуточных узловых точек — PjJs, а для концевых — q0 = 2P0/s
или q = 2Р Is.
п'
После решения системы основных уравнений, составленных для каж-
дой узловой точки балки, можно в соответствии с формулами (1.51)
определить внутренние силы:
мк = ~4+1 - 4 +	(1-152)
Qk = "4+2 - 4+ 1 + 4-1 - vjt_2)£V/(2s3).	(1.153)
Граничные условия (условия опирания балки) также необходимо
записать в конечных разностях. В общем случае их выражения будут
содержать прогибы v двух законцевых (заопорных) точек с каждого
конца (v.2;v.i и v„+i, v„+2). Если прогибы v0 или v„ равны нулю, то
записывать выражение прогибов для второй законтурной точки не надо.
Наиболее простые граничные условия соответствуют заделке (v =
- v' = 0), шарнирной опоре (v = М = 0) или свободному концу (М =
= Q = 0). В соответствии с выражениями (1.147), (1.152) и (1.153)
после преобразований [8] можно получить для левого конца балки
(* = 0):
для заделки
v-i = V!; v0 = 0; Qo = (4v, - v2 + q0)EJ/s3,	(1.154)
для жесткого шарнирного опирания
v-i = -Vi; v0 =0; Qo = (2vl - v2 + q^EJ/s3,	(1.155)
для свободного конца
v-i = 3vj - 2v2 + q0-, v0 = 2vj - v2 + q0; Qo =0, (1.156)
где q„ = qos* I (2£J).
Формулы граничных условий на правом конце балки (к — п) будут
иметь аналогичный вид; только в выражениях для Qn надо знак изме-
нить на обратный.
Если опора имеет упругоповорачивающееся защемление (v0 = 0,
угол поворота <р0	0) (рис. 1.56, в), то граничные условия записывают-
ся так:
1 - 2.В
v.i = vi ------- ; v0 = 0;
1 + 2В
EJ	1 - 2В
Qo - — [(3 + -----------)v.i - v2 + <7о ],
s3	1 + 2В
где В = у Ej/s (здесь !р — податливость опоры при повороте).
Поясним применение метода конечных разностей на примере. Опре-
делим прогибь, моменты и поперечные силы в узловых точках балки
(рис. 1.56, г). Составзыя уравнения (1.151) в конечных разностях для
каждой узловой точки и учитывая граничные условия (1.156), получим
5vi — 4v2 + v3 = Ps3/(EJ~); —4v2 + 6v2 + 4v3 = 0;
Vi — 4v2 + 5v3 =0,
95

Рис. 137. Схсмь. цля расчета пластин методом конечных разностей
откуда
V1 = 7Ps3/(8£J); v2 = Ps3 l(EJ);
v3 = 5Ps3/(8EJ).
На основании зависимостей (1.152) и (1.153) с учетом формул
(1.155) получи: л
Mi = 37’7/16; М2 = 27’7/16; М3 = Р1/16;
Со = Gin = ЗР/4; Qi = Qln = -Р/4;
Q3 = -PI4; Qa = -PI4.
Обратим внимание на то, что значения М и Q получились точно,
несмотря на то, что значения прогибов отличаются от точных. Это объяс-
няется тем, что уравнение искомой функции описывается ветвями
кубической параболы, а ее производные — линиями низших степеней.
Применение метода конечных разностей к расчету пластин. Расчет
прямоугольных пластин на изгиб по методу конечных разностей заклю-
чается в следующем. На пластину наносят сетку с прямоугольными или
квадратными ячейками. Естественно, что чем меньше ячейка сетки,
тем точнее будет решение. Для приближенных расчетов можно рекомен-
довать каждую сторону прямоугольной пластины разбивать на шесть —
восемь частей. Прямоугольная сетка является более общей, так как она
не требует соблюдения кратности сторон. Квадратная сетка приводит
к более простой записи основных уравнений.
Порядок расчета пластин тот же, что и порядок расчета балок. Все
узлы, которые могут иметь прогибы w, нумеруют в определенной после-
довательности. Нумерации подлежат все внутриконтурные точки, а так-
же точки на краю пластины, если этот край свободен или имеет упруго-
податливое опирание (рис. 1.57, а).
Основное уравнение (1.142) составляют для каждой узловой точки
пластины. Общее выражение основного уравнения получают аналогично
третьему уравнению (1.151) на основе записи производных от w (х, _у)
в конечных разностях. Для узла i, j передвижной квадратной сетки
(рис. 1.57,6) при£) = const
20%,/ -	1 +	+ wi+ и +	+
+	+ wi+l,/-l + wi-lJ+l + ^-i,/-i) +
7 (w./+2 + w. ,_2 + w.+ 2 . + w._2 .) = P..S-/D.	(1.157)
В соответствии с формулами (1.139) записывают выражения изги-
бающих и крутящих моментов в конечных разностях:
Мх = ~^Wi + lJ +	+ ^Wi,i+ 1 +	-
D
-	2(1 + p)w ] — ;	(1.158)
' s2
му =	i +	+	+	-
-	2(1 + M)w ]	;
7 S
м*у ~ ~	-----К+ i./+ 1 - Г/-1.Л 1 - Wi+ 1./-1 +
+	(1.159)
Граничные условия также записывают в конечных разностях через
прогибы точек, расположенных на контуре и внутри контура пластины.
Помещая центральную точку передвижной сетки на край пластины
(рис. 1.57, в), получим в соответствии с выражениями (1.144) и (1.145)
для заделанного края (рис. 1.57, г) :
wQj. = 0; Wj. = + w1	(1.160)
для шарнирного края (рис. 1.57, б):
wo,i = 0; W-U = ~Wi,r	(1.161)
Как видим, в обоих случаях прогибы законтурных точек выра-
жаются чере" прогибы точек, лежащих внутри контура пластины.
На рис. 1.58, а изображена шарнирно-опертая по контуру и нагру-
женная равномерно распределенной нагрузкой квадратная пластина.
Определим максимальный прогиб и максимальный изгибающий момент,
принимая квадратную сетку с s = я/4. Ввиду того, что данная пластина
имеет две оси симметрии (геометрические и по расположению нагруз-
ки) , расчетными (’’характерными”) являются три точки 1, 2 и 3. Состав-
ляя для них основные уравнении (1.159) с учетом граничных условий
(1.161), получим
для точки 7 20wj — 32w-z + 8w3 — qs4/D',
для точки 2 — 8и>1 + 24w2 — 16w3 = qs4/D~,
для точки 5 2wj — 16w2 + 20w3 = qs4/D.
Решая эту систему уравнений, находим (рис. 1.58, б)
w, = 65?s4/(64 Л); w2 = 48qs4/(64£>);
w3 I 25qs4/(64£>).
Учитывая выражение (1.140) и принимая р = 0,3, получим для
центра пластины wmax = Wj = 0,044 qa41 {Eh3 ); (расхождение с точным
4-5*5	97
решением менее 1 %); Л/Шах =Mxi = Myt = 0,0457 qa1 (расхождение
с точным решением около 4,5 %).
Применение метода конечных разностей к расчету перекрестных
систем. Отдельные части строительных и дорожных машин представляют
собой листовые конструкции, усиленные ребрами жесткости. Точный
расчет таких систем весьма сложен. Один из приближенных методов
расчета заключается в замене заданной системы системой перекрестных
балок (’’перекрестной системой”). Такой подход называется физичес-
кой дискретизацией, так как заданная континуальная система заменяет-
ся еще до расчета другой физической моделью. Рассчитать эту модель
можно различными методами, в том числе и методом конечных раз-
ностей.
Иногда для упрощения расчетов предполагают, что в каждом узле
перекрестной системы имеется только шарнирная связь между балками
(рис. 1.59, а) и, таким образом, влиянием кручения балок друг на друга
пренебрегают. Учитывая только деформации изгиба балок, дифферен-
циальное уравнение изгиба можно записать в виде
В)
я* w	а4 iv
EJX ------ + EJy ------- = q, (1.162)
Эх4	Эу4
где EJX и EJy — жесткости балок при изгибе
(индексы соответствуют направлениям осей
балок); w = w (х, у) - искомая функция,
представляющая собой, как и в пластинах,
прогиб; q = qx + qy - приведенная к узлу
распределенная (линейная) нагрузка.
Рис. 1.58. Схемы для расчета квадратной плас-
тины методом конечных разностей
Рис. 159. Схемы для расчета перекрестных
систем методом конечных разностей
Для записи основного уравнения (1.162) в конечных разностях
рассмотрим выражения дифференциальных зависимостей, соответствую-
щих сетке с постоянными интервалами s и t (рис. 1.59, б). Введя обо-
значения
а = EJxl(EJy)-, (3 = t/s и т) = а/(34	(1.163)
и используя зависимости (1.147) — (1.150), запишем основное уравне-
ние задачи в конечных разностях:
6wi. /(1 +	- 4<WI+ 1,/ +	+ 4wiJ+ 1 +
7+2,/ + ”7-2,/ + ””7.7+2 +
+ ””7,/-1
+ r]Wi,j-2^ =	(1.164)
Если нагрузка сосредоточена в узлах, то между узловой силой Р
и распределенной нагрузкой q можно установить зависимость, рассуж-
дая следующим образом. Так как
? =	+ a qx = Pjs и qy = Py/t
(где Рх и Ру — составляющие узловой силы Р, приходящиеся на соот-
ветствующие балки, пересекающиеся в узле), то q = Px/s + Ру/1. Пред-
полагая, что соотношение сил Рх и Ру обратно пропорционально подат-
ливости балок при изгибе, запишем
Рх	EJX	t3
— = — ----------= а(Зэ
Ру	s3	EJy
С учетом того, что Р = Рх + Ру, после преобразования получим
Рх = Р/(1 + у), Ру =Ру!(У + у). Следовательно,
Р (1+ л)
(1.165)
(1.166)
<7 = —
S
В частном случае, когда а = 1 и (3 = 1 и, следовательно, у — q = 1,
уравнение (1.164) имеет вид:
12и7,/ - 4(w.+ ! у + w._iz + w./+ j
(1 + 7)
+ (w.. - . + w. _ . + w
v i+ 2,/	<-2,7 i
и>.	.)
i,l- 1'
Ps3
+ И’. . o) = ---------
'/-2 EJ
(1.167)
Определив из решения системы основных уравнений значения w^,
найдем изгибающие моменты:
Е/х
Mxi,i = “ — <”7+ I,/ - 2wi,j + wi- l.A	<1Л68)
EJV
Myi.i = ~ —^,7+ 1 - 2Wi.i +
Рассмотрим пример расчета симметричной перекрестной системы, на которую
в узлах действуют силы Р (рис. 1.59, в). Опорные закрепления на рисунке пока-
99
завы повернутыми на 90° в плоскость чертежа. Полагая, что а — 0,5 и Р = 0,5,
получим ч = 8 и 7 = 4. Далее составим уравнения (1.164) для двух характерных то-
чек. Помещая центр передвижной сетки (рис. 1.59, 6} в узел 1, получаем
6w, (1 + 8) - 4(w2 + w0 + 8w0 + 8w, ) +
+ (w2 + w_, + 8w0 + 8iv. j ) = <?, s* /(EJX).
Учитывая, что при шарнирном опирании w.t = —w, и согласно выражению
(1.166) <7, = l,8P/s, запишем это уравнение в виде
13и>, - 3w2 = l,8Ps3/(EJX).
Поступая аналогично, получим основное уравнение для узла 2:
-3w, + 10w2 = l,8Ps3/(EJx).
Решая эти уравнения совместно, находим
Wj = 0,1934/V !(EJX) и w2 = 0,238Ps3/(£'/x).
Затем в соответствии с уравнениями (1.168) получим
MXl = 0,1488Ps; Myi = 0,3868Ps; МХ2 = 0,0447Ps; Му2 = OAlbPs.
На рис. 1.59, г изображена эпюра изгибающих моментов для данной системы.
1.7.3.	МЕТОД КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
Основы метода. В стержневых системах напряженно-деформирован-
ное состояние каждого стержня полностью определялось значениями
перемещений Z на концах (см. п. 1.6.3), поэтому решение задачи получа-
лось точным. В пластинах и других плоских и пространственных телах
поведение каждого континуального элемента описывается конечным
числом обобщенных координат, и уже поэтому расчет является прибли-
женным.
На рис. 1.60 изображена в плане трапециевидная пластина, которую
можно представить состоящей из отдельных прямоугольных и треуголь-
ных конечных элементов, соединенных между собой только в узловых
точках. При расчете на поперечную нагрузку предполагается, что пере-
мещения Zi (линейные — w и угловые — dw/Эх и Эщ/dy) в узлах со-
прягаемых элементов одинаковы.
Основная идея метода заключается в том, чтобы, с одной стороны,
описать напряженно-деформированное состояние каждого типа конеч-
ного элемента через обобщенные координаты Z, а с другой стороны,
установить связь между нагрузкой, действующей на систему (пластину),
и выбранными обобщенными координатами Z,. В методе конечных эле-
ментов, так же как и в методе конечных разностей, нагрузка считается
приложенной в узлах. Существуют различные способы замены распреде-
ленной поперечной нагрузки внешними узловыми силами.
Одной из основных задач метода конечных элементов является
вывод матрицы жесткости R3 конечного элемента, которая для двумер-
ных и трехмерных элементов (в отличие от стержней) является при-
ближенной. В основе этого вывода лежат энергетические теоремы (см.
п 1.4.4) и матричная форма расчетов (см. n. 1.6.3). На основе матриц жест-
100
кости R3 отдельных элементов формируют матрицу жесткости R всей
системы, входящую в систему канонических уравнений (см. п. 1.5.3):
RZ + Rp = 0,	(1.169)
—►
где R р - матрица узловых нагрузок.
Следует отметить, что размер матрицы жесткости R всей системы
определяется числом основных неизвестных Z — обобщенных перемеще-
ний узлов, которое зависит от граничных условий, симметричности си-
стемы и, естественно, от числа элементов, определяемого выбранной
расчетной сеткой.
Ниже показано, как метод конечных элементов применяется для
расчета прямоугольных пластин при действии поперечной нагрузки. При
действии нагрузки в плоскости пластины последнюю рассчитывают мето-
дом конечных элементов в соответствии с уравнениями плоской задачи
теории упругости [12], которая в этом учебнике не изложена.
Матрица жесткости для прямоугольного элемента пластины. Матри-
цу жесткости R3 для прямоугольного и, в частности, для квадратного
элемента пластины, отнесенного к локальной системе координат
(рис. 1.61), выводят в следующем порядке.
1.	В каждый узел элемента пластины вводят одну линейную и две
угловые связи, которым дают соответствующие узловые перемеще-
ния Z,. Задают функцию прогибов w (х, перемещений точек элемен-
та в виде ряда, имеющего 12 произвольных постоянных параметров а,
по числу независимых линейных и угловых перемещений / узлов плас-
тины i, j, к, I. Эта функция, называемая функцией формы, должна удов-
летворять однородному дифференциальному уравнению, полученному
из основного уравнения (1.142). Однородным оно является потому,
что нагрузка действует в узлах и, следовательно, на поверхности конеч-
ного элемента q (х, у) = 0.
Обычно (но не всегда [ 4] ) разрешающую функцию w (х, у) записы-
вают в виде неполного полинома четвертой степени (члены, содержа-
щие х2у2, х4 и у4, отсутствуют) :
w(x, у) = flj + а2х + а3у + а4х2 + asy2 + а6ху + ihx2y +
+ аьху2 + а9х3 + flioj'3 + ПцХ3у + fli2xy3.	(1.170)
Рис. 1.60. Пластина и ее конечные эле-
менты
Рис. 1.61. Схема для вывода матрицы
жесткости квадратного элемента пла-
стины
101
2.	В соответствии с выбранной функцией (1.170) составляют выра-
жения угловых перемещений dw/dx и dw/dy для произвольных точек
элемента, а затем записывают матрацу перемещений u(w; Эи>/Эх;
Эы/Эу) в следующем виде:
u = l7,	(1.171)
где а — матрица-столбец (вектор) неизвестных независимых параметров a/; L —
матрица коэффициентов, соответствующих выбранному полиному (1.170) :
	~1	X	у	X2	У2	*У	х2у	ху2	X3	У3	х3у ху3
L =	0	1	0	Тх	0	У	Тху	У2	Зх2	0	Зх2 у у2
	0	0	1	0	1у	X	X2	Тху	0	Зу2	х3 Зху
										->	(1. 172)
Таким образом, каждая строка в матрице-столбце и представляет
собой функцию, зависящую от координат х и у. Задаваясь значения-
ми х и у в матрице (1.172), получают численные значения w, dw/Ъх и
dw/Ъу в выбранной точке элемента, связанные с параметрами дг-.
3. Подставляя в матрицу L последовательно координаты четырех
узлов: i (х = 0, у = 0), j (х = а, у = 0), к (х = а, у = Ь), 1(х = 0,
у = b), получают квадратную матрицу размером 12 х 12, которая назы-
вается матрицей связи Н. Для квадратного элемента (Ь = а) матрица
Н дана на с. 103.
Матрица связи Н позволяет выразить вектор узловых перемещений
Z через вектор параметров а :
Z = На.	(1.173)
4.	На основании формулы (1.173) выражают вектор параметров а
->
через вектор узловых перемещений Z :
а = Н1 Z,	(1174)
где Н"1 — матрица, полученная путем обращения матрицы Н; она называется
матрицей влияния.
Для квадратного элемента матрица Н дана на с. 103.
5.	На основании формул (1.171) и (1.174) получают вектор пере-
мещений и, выраженный через вектор узловых перемещений Z :
u=LH*Z.	(1.175)
Из этой формулы видно, что линейные и угловые перемещения
всех точек прямоугольного элемента выражены через двенадцать узло-
вых перемещений Zj.
6.	Записывают вектор обобщенных относи тельных деформаций к ,
представляющих собой относительные кривизны при изгибе (1/рх =
= Э2 w/dx2, 1/ру = d2w/dy2) и кручении (\/рху = д2и>/ЭхЭу) :
а2 к/ах2
a2w/ay2
Ъ2 W /дХЪу
102
I
103
Вектор относительных деформаций к связывают с вектором пара-
метров а зависимостью, аналогичной зависимости (1.171):
к = Ва,	(1.176)
где В — матрица коэффициентов, полученных путем соответствующего дифферен-
цирования матрицы L;				0	0	1у	0	6х	0	бху	0
	0	0	0 | 2								
В =	0	0	0 1 0 1	2	0	»	1х	0 _			0	6
	0	0	0 । 0	0	1	1х	2у	0	0	Зх2	Зу2
С учетом зависимости (1.174) вектор относительных деформаций
к = ВН'1 t
(1.177)
7.	В соответствии с выражениями (1.139) вектор обобщенных внут-
—У
ренних сил (изгибающих и крутящих моментов) М:
	 мх
м =		1 * § 	1
(1.178)
связывают с вектором относительных деформаций к :
м = сГ,
где С — матрица физических констант; для изотропных пластин
С = —D	1	и	0 д	1	0 0	0	(1—д)	>
здесь D — цилиндрическая жесткость пластинки, ад — коэффициент Пуассона.
Подставляя зависимость (1.177) в выражение (1 178), получают
M=CBH*Z.	(1.179)
Таким образом, все внутренние силы в конечном элементе выра-
жаются через узловые перемещения Z,
8.	Записывают в матричном виде выражение вариации плотности
потенциальной энергии деформации элемента:
81? = (8 ic )ТМ .
С учетом зависимостей (1.177) и (1.179) получают
ZW = (8Z)T(H-* )TBTCBH-‘Z .
104
Следовательно, для всего элемента вариация потенцильной энергии
деформации
51V = f 8Wdv = f (SZ^H^VcBH1 Z dv. (1.180)
V	V
Интегрирование ведется по объему v конечного элемента. Так как
-►
матрицы Н-1 и (Н-1)т , а также матрица узловых перемещений Z ( в
отличие от матриц В и Вт) не зависят от координат х и у, выражение
(1.180) можно записать так:
8W = (Sz/cH^/t / BTCBdv]H-1 Z .	(1.181)
V
9.	Записывают выражение работы узловых сил Р на возможных
узловых перемещениях 8z:
8 А = (3Z)TP	(1.182)
и из равенства выражения энергий (1.181) и (1.182) находят матрицу
сил Р:
Р = (Н1)1! f BTCBdv]H-’ Z	(1.183)
V
Следовательно, получена зависимость между внешними силами и
узловыми перемещениями.
10.	Так как узловые силы связаны с узловыми перемещениями
общей зависимостью (1.117):
Р = R3Z,	(1.184)
из сравнения выражений (1.183) и (1.184) получают матрицу жесткости
R3 конечного элемента:
R3 = (Н_,)Т[ J ВТС В dv] Н'1.	(1.185)
V
Производя соответствующие операции над выражением (1.185), пос-
ле подстановки координат х и у узлов i, /, k nl находят коэффициенты
матрицы жесткости R3 для квадратного элемента. При д = 0,3 матрица
R3 приведена на с. 106 (при всех членах матрицы множитель £>/5д2).
Напомним, что каждый коэффициент г[к матрицы жесткости эле-
мента представляет собой реакцию в г-й связи от перемещения Zk — 1.
При этом rjk = гк..
Порядок и пример расчета пластины. Порядок расчета поясним на
примере квадратной шарнирно-опертой по краям пластины, на которую
действует равномерно распределенная нагрузка q. Коэффициент Пуас-
сона д = 0,3. Проведем расчет в грубом приближении, выбрав квадрат-
ную сетку со стороной а = 1/2 (рис. 1.62, а).
105
8
	52,8	12,2 a	12,2 a	-22,8	10,7 a	2,8 a	-7,2a	4,3 a	4,3 a	-22,8	2,8 a	10,7a
		7,6 a’	1,5 a’	- 10,7 a	3,1 a-	0	-4,3a	1,9a’	0	2,8 a	2,4 a’	0
			7,6 a2	2,8 a	0	2,4 a’	-4,3 a	0	1,9a’	- 10,7 a	0	3,1 a’
				52,8	-12,2a	12,2a	-22,8	-2,8a	10,7a	-7,2	- 4,3 a	43 a
D 						7,6 a’	-1,5 a’	-2,8a	2,4 a’	0	4,3 a	1,9a’	0
R3 -			Симметрично			7,6 o’	-10,7 a	0	3,1a’	— 4,3 a	0	1,9a’
							52,8	-12,2 a	- 12,2a	-22,8	- 10,7 a	-2,8
								7,6 a’	1,5 a’	10,7a	3,1a’	0
									7,6 a’	-2,8a	0	2,4 a’
										52,8	12,2 a	- 12,2 a
											7,6 a’	-1,5 a’
7,6 a1
Рис. 1.62. Расчет пластины методом конечных элементов
1.	Определяем общее число неизвестных узловых перемещений Z
и записываем систему уравнений (1.169). Здесь из-за наличия двойной
симметрии будем иметь только два независимых ненулевых перемеще-
ния: Zi — прогиб в центре всей пластины hZ2 — обобщенное неизвест-
ное, определяющее углы поворота в узловых точках на краях. Следо-
вательно, система канонических уравнений имеет вид:
RuZi "* R12Z2 + ^ip =
T?2iZi + 7?22^2 "* &2р = О,
где R-^ — обобщенные единичные реакции всей системы (в отличие от единичных
реакций г-^ одного элемента).
2.	Формируем матрицу жесткости R системы, для чего определяем
коэффициенты RiJ(. В данном примере можно, используя двойную сим-
метрию задачи, рассмотреть лишь четверть пластины (рис. 1.62, б). В
соответствии с матрицей жесткости элемента получим
R11 = Hi ~ 52,8Z)/5zz2; Ri2 = ^21 = ri,s + ri,i2 =
= — 21,4£)/(5д);
R22 = rss + ri2,i2 = 15,2.0/5.
3.	Формируем матрицу нагрузки Р. Распределенную нагрузку заме-
няем эквивалентной узловой из условия равенства возможных работ
узловых сил и заданной распределенной нагрузки. При произвольно
распределенной нагрузке q (х, у) [ 4]
а b
Р = (Н-1)Т/ f q(x, y)dxdy.	(1.186)
о о
По этой формуле находим сосредоточенные силы и моменты для
каждого элемента. Затем для узловых точек суммируем соответствую-
щие силы, примыкающие к рассматриваемому узлу.
Обычно в уравнении (1.186) учитывают только первую строку
матрицы L, получая, таким образом, лишь сосредоточенные силы, дейст-
вующие в узлах пластины (рис. 1.63, а). Эти силы в узлах суммируют.
Моменты при густой сетке обычно не вычисляют, так как, во-первых,
при уменьшении размера а их влияние быстро уменьшается, а, во-вто-
107
Рис. 1.63. Схемы, поясняющие формирование матрицы нагрузки
рых, для внутренних узлов пластины берется разность узловых момен-
тов ввиду их противоположных направлений.
При q = const для квадратного элемента узловые силы равны Р/4 =
= (qa2 ) /4, а узловые моменты — М = (qa3 )/12.
Из рассмотрения стержневой модели (рис. 1.63, б), приближенно
аппроксимирующей квадратную пластину, следует, что от нагрузки
Р = qa2, приложенной в центре перекрестной системы, возникают узло-
вые моменты Мх =Му =Ра/8 = qa3 /32.
4.	Определяем свободные члены R;p в соответствии с полученной
матрицей Р и решаем систему уравнений (1.169). Рассчитывая пластину
в первом приближении (без учета узловых моментов), получим (для
четверти пластины) RJp = —Р{4 и R2p = 0. Следовательно, система
уравнений будет иметь вид:
52,8Zj - 21,4aZ2 = (5ga4)/(4£);
— 21,4aZ1 + 15,2a2Z2 = 0,
откуда
wmax =	= 0,003446<7 Z4 / D и Z2 = 0,00970q/3/£>.
Отметим, что, разбивая каждую сторону квадратной пластины на
четыре части, т.е. принимая а = 1/4, с учетом симметричности задачи
получаем сеть неизвестных Z и wmax = 0,003939 qlA /D [4]. Обратим
внимание на то, что, рассчитывая эту же пластину методом конечных
разностей, мы получили при а = Z/4 и решении задачи всего с тремя
неизвестными wmax = 0,004028 qlA/D (точное решение wraax =
= 0,004062 qlA/D).
Решая эту же задачу при а = 1/2 более точно, с учетом узловых
моментов, получим для четверти пластины узловые моменты М =
= -qa2 /12; с учетом двух введенных угловых связей в четверти
пластины R2p = - qa2 /6. Решая систему уравнений:
52,8Zj - 21,4aZ2 = (5<7с4)/(4Р);
-21,4^ - 15,2a2Z2 = (5Qfls)/(24Z)),
находим wmax = Z1 = 0,00425 qlA/D, что отличается от точного решения
на + 4,75 %. Неучет угловых связей привел к погрешности 15 %.
108
Принимая значения узловых моментов по стержневой модели, по-
лучим wmax = 0,00375 ql4/D, что ниже точного решения на 7,68 %.
5.	Определяем распределенные изгибающие и крутящие моменты
через найденные узловые перемещения / по формуле (1.179), которую
можно записать так:
М = СВН1 Z = м0 z.
В матрицу Мо подставляют значения координат узлов. Определенный с
помощью матрицы Мо [4] изгибающий момент в центре пластины
Мшах = 0,05720 ql2. При делении стороны пластины на четыре части
(а = 1/4) Мтах = 0,04873 ql2, что в 1,017 раза больше точного значения
(^Лпах = 0,0479 ql1). Решение этой же задачи методом конечных раз-
ностей при а = Z/4 и трех неизвестных давало заниженный результат:
Мтах =0,0457 ql2.
1.8. ОСНОВЫ ДИНАМИКИ КОНСТРУКЦИЙ
1.8.1. СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМ
Общие понятия. Нагрузки на конструкции строительных и дорож-
ных машин чаще всего являются динамическими. От них возникают
ускоренные движения масс и соответствующие инерционные силы. В
большинстве случаев динамические нагрузки вызывают колебания
систем.
Колебания систем могут быть свободными или вынужденными.
Если систему вывести каким-либо импульсом из состояния равновесия,
а затем этот импульс устранить, то она будет совершать свободные
(собственные) колебания, во время которых происходит непрерывный
обмен кинетической энергии и энергии деформации. При непрерывном
действии переменной во времени вынуждающей (возмущающей) силы
P(t) система совершает вынужденные колебания.
Отношение значения какого-либо динамического фактора 5ДИН
(например, внутренней силы или перемещения), вызванного силой
P(t), к аналогичному статическому фактору 5СТ, вызванному статичес-
ки действующей силой Рт^х, называется динамическим коэффициентом:
&д ~ ^дии/'^ст-	(1.187)
В сеязи с тем, что в конструкциях всегда имеются силы сопротив-
ления (например, внутренние силы трения), поглощающие энергию,
свободные колебания совершаются не бесконечно, а со временем зату-
хают. Фактор затухания влияет и на вынужденные колебания и, в част-
ности, на динамический коэффициент.
Основными динамическими характеристиками системы являются
частоты и соответствующие им формы собственных колебаний. Эти
характеристики зависят от числа степеней свободы системы. Под дина-
мической свободой понимают возможность перемещений масс с учетом
имеющихся связей и характера деформаций элементов системы. Число
199
Рис. 1,64. Схемы для определения числа степеней свободы
сгстем
степеней свободы лд плоской системы равно удвоен-
ному числу сосредоточенных масс, поскольку каждая
сосредоточенная масса обладает на плоскости двумя
степенями свободы, если считаются возможными
все виды деформаций элементов системы. Если же
какие-то виды деформаций невозможны или ими можно пренебречь, то
число степеней свободы па уменьшается. Обычно в плоских рамах и
балках перемещения точек определяют только деформациями изгиба.
На рис. 1.64, а изображена балка с двумя сосредоточенными массами. В общем
случае число степеней свободы этой системы равно четырем. Однако, если учиты-
вать только деформации изгиба балки и считать EF — то перемещения масс
вдоль балки будут равны нулю; таким образом лд = 2. На рис. 1.64, б, в показаны
две возможные формы колебаний этой системы. Если жесткость балки намного
больше жесткости упругой опоры В и можно считать, что EJ = EF = °°, то' пд — 1,
так как положение балки в любой момент времени определяется одним парамет-
ром — утлом s₽ (рис. 1.64, г).
В общем случае число степеней свободы определяется минимальным
числом наложенных связей, устраняющих перемещения всех масс.
Если нет необходимости учитывать инерцию вращающихся масс, то
накладываются только линейные связи. Например, для системы, изобра-
женной на рис. 1.64, д, nR = 4 (рис. 1.64, е). Отметим, что эта рама один
раз статически неопределима и 5 раз неопределима кинематически.
Число степеней свободы системы с распределенной массой равно
бесконечности. В расчетах конструкций распределенную массу обычно
заменяют несколькими сосредоточенными массами, используя различ-
ные способы их приведения.
Колебания системы с одной степенью свободы. Рассмотрим простей-
шую модель системы с одной степенью свободы — массу т, подвешен-
ную на невесомой пружине и нагруженную возмущающей силой P(t),
которая представляет собой произвольную функцию от времени t
(рис. 1.65, а). Пусть пружина обладает жесткостью с = rt i (податли-
вость пружины равна 6, j = 1/с). В дальнейшем эта пружина будет опре-
делять любую упругую связь системы.
Для описания движения массы составим общее динамическое урав-
нение равновесия. Будем отсчитывать перемещения у от того положения
массы, в котором она находилась до действия на нее силы Р(г). Поло-
жительные перемещения у, скорости у, ускорения у, а также положитель-
ные силы будем считать направленными вниз.
При отклонении массы т на величину у на нее кроме силы Р(1)
ПО
Рис. 1.65. Модель системы с одной степенью свободы
будут действовать восстанавливающая сила Р*, стремящая вернуть
массу в начальное положение (Р* = —су); сила инерции / = — ту и сила
сопротивления Rc, которая в общем случае может также зависеть от
t [*c(OL Все силы будут направлены в сторону, противоположную
отклонению у. Следовательно (рис. 1.65,6),
ту + су + Rc(t) = P(t).	(1.188)
При отсутствии вынуждающей силы P(t) и силы сопротивления
Rc(t) получим однородное дифференциальное уравнение свободных
колебаний:
ту + су = 0,	(1.189)
решение которого имеет вид.
y(t) = yocoscot + — sin сот,	(1.190)
GJ
где уа и у 0 — отклонение массы и скорость ее движения в начальный момент вре-
мени Г = 0; gj — х/с/т — круговая частота колебаний системы.
Скорость движения массы в любой момент времени
y(t) = — Уо<о sin cot + ;y0coscor.
Выражение (1.190) можно преобразовать так:
y(t) = A sin (cot + </>),	(1.191)
где А и <р — амплитуда и фаза колебаний.
Как следует из формул (1.190) и (1.191), функция y(t) описывает
незатухающий колебательный процесс, периодически повторяющийся
через промежуток времени Г = 2 л/со, называемый периодом колебаний.
Такое колебательное движение (см. рис. 1.65, в) называется гармони-
ческим.
В конструкциях роль условной жесткости с пружины выполняет
величина, обратная податливости — единичному перемещению 6: с = 1/5.
Таким образом, для систем с одной степенью свободы
/ I ‘	,_____
со = V ------ ; Т = 2 л V ш511 .	(1.192)
111
Например, для невесомой балки, на которую действует сила Р (см.
рис. 1.65, г),
т = P/g-, 8И = .Уст = /3/(48ЕУ);
Т = 71- V Pl^YlEJgj ; со = V 48EJgl(Pl3).
Как следует из полученных выражений, частота' собственных коле-
баний растет с увеличением жесткости балки при изгибе и с уменьшени-
ем массы груза. Таким образом, изменяя эти величины, можно при не-
обходимости изменить частоту собственных колебаний.
Рассмотрим определение частоты собственных колебаний массы
из энергетических соображений. Если время t отсчитывать от того мо-
мента, когда масса проходит через среднее положение, то из выражения
(1.190) можно получить
У = (Л’о sin о; t)/со и у = у0 coscot.
Тогда
Утах = Уо!^ И Утах = Уо = <^Утах-
Максимальная кинетическая энергия массы
^тах = ^Утах/2 = ^Утах^ /2-	(1.193)
Потенциальная энергия деформации пружины имеет максимальное
значение JVmax при крайнем положении массы, когда кинетическая
энергия равна нулю:
И'тах = Р*Утах/2 = су^ах/2 = У^К^и)-	(1-194)
Из равенства выражений (1.193) и (1.194) получим то же выраже-
ние частоты, приведенное в формуле (1.192).
Затухание колебаний. Сила сопротивления Rc, благодаря которой
происходит затухание колебаний, может быть либо постоянной, либо
пропорциональной отклонению или скорости и т.д. Рассмотрим только
один вид свободных колебаний с затуханием, когда сила сопротивления
пропорциональна скорости: Rc = ay (где а — коэффициент пропорцио-
нальности). В этом случае дифференциальное уравнение (1.189) будет
иметь вид:
ту + ау + су = 0.
Разделив все члены уравнения на т, придем к выражению
у + 2еу + со2 у = 0,	(1.195)
где е = а 11т — коэффициент затухания; сс = с/т— круговая частота свободных
колебаний без затухания.
Коэффициент затухания е можно определить, если известны отноше-
ния соседних амплитуд колебаний и частота со. Для металлических кон-
струкций е = (0,016 ... 0,08)coi, где cOj — круговая частота свободных
затухающих колебаний. Если е < со, что встречается в инженерной прак-
тике наиболее часто, то решение уравнения (1.195) можно представить
в виде, аналогичном выражению (1.191):
у = Ле~еГ sin (coi t + ф),	(1.196)
112
где
<j, = хЛа? - е2'.	(1.197)
Обычно для слабо гасящей колебания среды (например, для возду-
ха) можно без большой погрешности считать, что coj « со, т.е. считать,
что период колебаний от затухания не зависит. При этом, однако, отно-
шение двух последующих амплитуд (через период колебаний) быстро
уменьшается (рис. 1.66). Это отношение постоянно и равно е-е7\ Коэф-
фициент у = еТ, выражающий логарифм отношения двух соседних ам-
плитуд колебаний (Ап+ \/Ап), называется логарифмическим декремен-
том затухания. Его определяют экспериментальным путем.
Покажем, что даже сильное затухание колебаний слабо отражается
на изменении частоты. Примем, что затухание наступает так быстро, что
каждая последующая амплитуда уменьшается в 2 раза, т.е , что е~ 7 =
= 0,5. Учитывая, что у = — In 0,5 = 0,693, получим е = у/Т =	/(2тг) =
= 0,11 «]. Подставляя вычисленное значение е в формулу (1.197), най-
дем ш, = 0,994 <л.
Свободные колебания систем с конечным числом свободы. Рассмот-
рим поперечные колебания невесомой балки с п сосредоточенными
массами (рис. 1.67, а). В каждой i-й точке будет действовать сила инер-
ции Jj = —mjyi. Перемещение любой точки к под действием силы J,
равно yki = t>ki( my,), где 8к- - перемещение точки к от силы Р; = 1
(рис. 1.67, б). Общее перемещение точки к под действием сил инерции
всех масс
У к =	- - -
- ЬккткУк - - - 5кптпУП-
Составляя подобные уравнения для всех масс (в общем случае чис-
ло уравнений п = па), получим систему уравнений:
У1	+	Wj8i 1У1	+	«ъ 812У2	+	—	+	mn8i„y„	=	0;
у2	+	«i 62 ijj	+	ГП2822У2	+	+	тп82пуп	=	°;	(1.198)
Уп	+	mibniyi	+	т28п2У2	+	-	+	т„8п„уП	=	0.
Перемещения масс в любой момент времени можно выразить анало-
гично формуле (1.191)
_yi = Ау sin (gjZ + <р);
yk = Ak sin (wr + <р);
(1.199)
уп = Ап sin (со7 + <р),
где Ак — амплитуда колебаний к-й массы.
Отметим, что частота и фаза колебаний для всех масс одинаковы
поскольку они относятся к одной системе
113
Дважды дифференцируя выражения (1.199) и подставляя получен-
ные зависимости в формулы (1.198), придем к следующей системе
уравнений:
(1 — ли 1 8 11 со2)^ 1 —	со2^42 — ••• —	1 псо Ап О,
-mt 621 со2Л1 + (1 — лп2522 со2 )Л2 — ... — тп82пи>2 Ап = 0; (1.200)
-m^ni^At -т28п2а>2А2 - ... + (1 -тп8пт oj2 )Ап = 0.
Нетривиальное решение (все А( ¥= 0) этой системы однородных
уравнений заключается в равенстве нулю определителя, составленного
из коэффициентов уравнений при неизвестных амплитудах А,:
(1	-m2612oi2	— тп6 ,п^‘		
-т, 62 j о>2	(1 -ma822w2).	 - —	= 0.	(1.201)
-m,6nt u>2	-иг26П2о? ....	(1 — тп^пт'А1)		
Раскрывая этот определитель, получим уравнение п-й степени отно-
сительно параметра у = ы2. Решая его, найдем и корней v. Наименьшая
частота wmin — \/ I’min называется основной частотой или основным
тоном колебаний, а другие частоты — обертонами. Вся совокупность
частот свободных колебаний системы называется спектром ее собствен-
ных частот.
Отметим, что перемещения yi при этом остаются неопределенными.
Однако можно найти соотношения амплитуд А* для каждой к-й частоты
co*.. Эти соотношения определяют форму свободных колебаний. На
рис. 1.67, в, г показаны формы колебаний, соответствующие первым
двум тонам. Главные формы колебаний обладают свойством ортого-
нальности;
п
Е пцА^А^ = 0,
(1.202)
г I
где А. и А. — амплитуды колебаний i-й массы,
соответствующие к-й и /-й частотам.
Рис. 1.66. Изменение амплитуды затухающих
колебаний
Рис. 1.67. Свободные колебания системы с конеч-
ным числом степеней свободы
114
Рис. 1.68. Схемы для определения частот и форм свободных колебаний системы
с двумя степенями свободы

Условие (1.202) отражает равенство нулю работы внешних сил од-
ной главной формы на перемещениях другой главной формы коле-
баний.
Поясним сказанное на примере рамы с одной сосредоточенной
массой (рис. 1.68, а). Здесь число степеней свободы зависит от пере-
мещений в направлениях 1 и 2, определяющих движение массы, т.е.
Ид = 2 (л?1 = ли2 = л?). Для определения коэффициентов прило-
жим единичные силы и построим соответствующие единичные эпюры
изгибающих моментов (рис. 1.68, б, в). Далее согласно выражению
(1.84) найдем £У6ц = 4/3/(3£У), EJt>22 = I3 !{2EJ) и EJ812 =
= EJt>2i — I31 (IEJ). Подставляя зти значения в уравнение (1.201) и
учитывая, что = т2 = т, получаем после решения квадратного урав-
нения относительно v = со2:
= 0,807 yjEJKml*)' и со2 = 2,82 y/EJ^ml3) '
Определим направления движения массы, отвечающие первой (к =
= 1) и второй (/ = 2) частотам колебаний. Подставив со2 в первое
уравнение системы (1.200), найдем Д2/Лi = tg0i =2,414(0! =67°30').
Поступая аналогично, найдем,- что второй частоте соответствует отно-
шение А2/А" = tg 02 = —0,4И (02 = 157°30'). Как видим (см.
рис. 1.70, а), направления колебаний взаимно перпендикулярны (02 —
— 01) = 90°, т.е. их формы взаимно ортогональны.
1.8.2. ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ЧАСТОТ
СВОБОДНЫХ КОЛЕБАНИЙ
При большом числе степеней свободы решение систем si (1.201)
требует очень высокой точности из-за перемножения болыпих чисел
на малые, представляющие, в свою очередь, разность больших чисел.
Существуют различные приближенные методы определения частот сво-
бодных колебаний, дающие приемлемую точность особенно для основ-
ной частоты, имеющей первостепенное значение в решении многих ин-
женерных задач.
115
Энергетический метод. Энергетический метод основан на законе
сохранения энергии. При колебаниях системы сумма кинетической К
и потенциальной W энергий остается постоянной в любой момент вре-
мени: K(f) + И'(Г) = const. Так как в момент наибольшего отклонения
массы от положения равновесия К — 0, а И7 = lVmax и> наоборот, в мо-
мент прохождения массы через положение равновесия К = Кт-лу_ и W =
= 0, то
^тах = ^тах-	(1.203)
Рассмотрим сначала колебания балки с распределенной массой
д(г) (рис. 1.69, а). Предположим, что отклонение в произвольной
точке определяется уравнением y(z, t) = y(z) sin (a>t + >p) и, соответ-
ственно, скорость y(z, t) = y(z) co cos (cot + <p). Тогда кинетическая
энергия согласно общей формуле А" =0,5 ту2 определяется так:
K(t)= 0,5со2 cos(cot+ ip) f ц(г) у2 (z) dz,	(1.204)
/
Kmax = 0,5 co2 f U(z)y2 (z) dz.
I
Согласно выражению (1.66) максимальное значение потенциаль-
ной энергии для балки
H/max=0,5J£’J[y"(z)]2Jz.	(1.205)
1
Подставляя выражения (1.204) и (1.205) в формулу (1.203), по-
лучаем
I EJ[y"(z)\2 dz
f v(z)y2 (z)dz
Рис. 1-69. Схема для определения частот свободных колебаний энергетическим
методом
116
Здесь функция упругой линии y(z) неизвестна; ей приходится за-
даваться с учетом граничных условий. Чем точнее она выбрана, тем точ-
нее будет решение. Если при этом функция задана с одним неопреде-
ленным параметром а, то этот параметр, входя в числитель и в знамена-
тель выражения (1.206), сократится. В непосредственном применении
формулы (1.206) заключается энергетический метод Рэлея.
Определим основную частоту колебаний балки с распределенной
массой д = const (см. рис. 1.69, с). Задаваясь уравнением упругой линии
в виде квадратной параболы j = 4g(/z - z2)//2, получим у" = - 8g//2,
и в соответствии с выражением (1.206) найдем со = 10,95 ( EJ/ityt1,
что на 11 % выше точного значения: со = 9,87 ( V £У/д)//2. Если зада-
ваемая функция y(z) будет представлять параболу четвертой степени,
результат будет значительно точнее.
В случае сосредоточенных масс формула (1.204) имеет вид
= 0,5S™zA2-,	(1.207)
где Ду — перемещение массы пц.
Соответственно, формула (1.206) имеет вид
/ EJ [y"(z)]2 dz
со2 = —---------------	(1.208)
L И/Д2-
Более точное определение частот собственных колебаний дает энер-
гетический метод в форме метода Ритца (см. в п. 1.4.4). Поскольку
упругая кривая задается в виде семейства функций y(z) — Еа^(г), то
параметры а,, входящие в числитель и знаменатель формул (1.206) или
(1.208), уже не сократятся. Поэтому для решения задачи необходимо
составить систему и уравнений типа
а
(^max — ^тах) = 0»	(1.209)
Эв/
а затем из нетривиального решения полученной системы однородных
уравнений определлть спектр частот.
Если за параметры принимать неопределенные силы а, — ’’силовые
параметры”, то создаваемые ими упругие кривые будут автоматически
удовлетворять граничным условиям и зависеть от изменения жесткости
элементов системы; при этом расчет нолуается более точным. Отметим,
что при использовании силовых параметров потенциальную энергию сис-
темы удобнее записывать через внутренние силы. Для плоских рам и
балок [см. выражение (1.33) ]
M2dz
W = 0,5 2/--------.	(1.210)
z EJ
Поясним порядок применения метода Ритца с использованием сило-
вых параметров на примере невесомой балки с тремя равными сосредо-
точенными массами. При этом EJ = const (рис. 1.69, б).
117
1.	Приложим в точках, где сосредоточены массы, неопределенные
силы д,. Для точного определения всех частот надо приложить п сил,
т.е в данном случае — три силы , а2 и д3, а для приближенного опре-
деления основной частоты — только силу ах.
2.	От действия этих сил построим эпюру моментовМа (рис. 1.69, в)
и в соответствии с ней по формуле (1.210) вычислим И'тах- При точном
решении задачи
И^ах = [ I3 /W «	4  8 + 4 + 2д, а2 • 14 +
+ 2а1а3  4 + 2а2а3  2,5).	(1.211)
3.	Приложим последовательно к узлам 7, 2 и Э_единичные силыР= 1
и построим соответствующие единичные эпюры Л7,- (рекомендуем чита-
телю это выполнить самостоятельно).
Используя формулу Мора, найдем перемещения А,. В данном случае
получим
Д1 = (fli - 54 + д2 - 28 + д3 • 8) /3 /(6£У);
Д2 = (д,  28 + д2 16+д3 •5)/3/(6£’У);	(1.212)
Д3 = (д, • 8 + д2 • 5 + д3 • 2) l3/(6EJ).
4	Определим выражение /Стах ио формуле (1.207). В результате
вычислений получим
/Стах = (fli ' 3764 + а22  1065 + д2 - 93 + 2flj д2 2000 +
+ 2д1Д3 -588 + 2д2д3 • 314) gj2 mZ6/(72Е'2 У2 ).
5.	Выполнив условия (1.209) и раскрыв определитель соответствую-
щей системы однородных уравнений третьего порядка, получим куби-
ческое уравнение 676 X3 - 1703 X2 + 468 X — 3,25 = 0, в котором пара-
метр X,- = mw2Z3/(12/ГУ). Корни этого уравнения X! = 7,129 10"3,
Х2 = 0,3056 и Х3 = 2,207 определяют точные значения частот, поскольку
число неопределенных параметров равно числу степеней свободы систе-
мы. Здесь ш2 = 0,0855 EJj(ml3 ).
6.	Если необходимо определить формы колебаний, то надо найден-
ные значения X/ порознь подставить в систему и — 1 уравнений (1.209) и
затем решить ее относительно д,. Определив относительные значения
сил д,-, можно по формуле Мора найти перемещения узлов с точностью
до принятого за единицу параметра а. На рис. 1.69, г - е показаны фор-
мы колебания для данной задачи.
Обычно наибольший интерес представляет определение основной
частоты. Если к балке приложить только одну силу аА, то эпюра момен-
тов Ма будет линейной. Выполняя расчеты в той же последовательности,
получим из решения уравнения первой степени значение щ2; превышаю-
щее точное значение на 0,6.
Отметим, что энергетический метод всегда дает завышенные значе-
ния частот' (’’собственные значения”), если число неопределенных па-
раметров А/ меньше, чем число степеней свободы системы. Этот метод
можно применять при расчете различных конструкций (ферм,рамит.д.).
118
Рис, 1.70. Схемы для определения частот свободных колебаний методами замены и
приведения масс
Методы замены и приведения масс. Наряду с широко применяю-
щимся энергетическим методом определения частот и форм свободных
колебаний в инженерных расчетах используются различные приближен-
ные методы, основанные на замене или приведении масс. Изложим суть
некоторых из них, иллюстрируя соответствующими примерами.
Прежде всего отметим, что при применении численных методов
распределенную массу заменяют сосредоточенными массами. Поясним,
как это делается на примере шарнирно опертой по концам балки с рав-
номерно распределенной массой р (рис. 1.70, а). Разбивая длину балки
на участки длиной d и разнося массы fid по правилу рычага, получаем
замедляющие сосредоточенные массы.
На рис. 1.70, б показано применение этого способа в первом прибли-
жении. Разбивая длину балки на два участка d = 0,5/, после разнесения
масс получим посредине сосредоточенную массу 0,5 д/. Так как только
эта масса будет участвовать в движении, то полученная система будет
иметь лишь одну степень свободы. В этом случае б 11 = /3 /(48EJ) и со-
гласно выражению (1.192) coi = 9,80 ( V EJ/д )//2, что незначительно
меньше точного решения.
Метод замены (переноса) масс применяют для определения основ-
ной низшей частоты. Он заключается в том, что систему с рядом сосре-
доточенных масс т, приводят к системе с одной массой М. Вывод фор-
мулы, определяющей основную частоту, заключается в следующем.
Перенесем условно массу с некоторым поправочным коэффи-
циентом «1 в произвольную точку к (рис. 1.70, в, г). Согласно выраже-
нию (1.192) до переноса со* = 1/(т1бц), а после переноса со2 =
= 1/(а1т1Ькк), при соблюдении равенства частот со = со, получим
«1 =Ьи15кк-
Если система имеет п масс, то, перенося все массы в точку к, полу-
п
чим заменяющую массу М = S цпц = С£т;Ьц)1Ькк, откуда в соот-
i = 1
ветствии с выражением (1.192) находим
— = М5.к = 'Егщ&ц,
tjj2
119
или
(1.213)
Как видим, эта формула не связана с выбором расположения заме-
няющей массы и определением ее значения, что приводит к единствен-
ности решения задачи. Поскольку при решении не учитывалось взаим-
ное влияние масс на колебания системы, при использовании этого метода
получают заниженное значение частоты. Например, в консольной балке
с тремя сосредоточенными массами (рис. 1.69, б) 6ц = (З/)3/(3EV),
622 = (2/)3/(3EV), бзз = /3/(ЗЕУ), и в соответствии с выражением
(1.213) получим 1/gj2 = 12ml3/(ЕЕ) и w2 = 0,0833EJ/(w/3 ), что лишь
на 2,5 % меньше точного значения.
Метод приведения масс заключается в том, что и сосредоточенные
и распределенные массы приводят в одну фиксированную точку, чаще
всего в точку приложения динамической силы P(l). При этом приведен-
ную массу М определяют из равенства кинетической энергии заданной
и приведенной динамических систем: к^т = км.
Принимая соотношения скоростей масс равными соотношениям их
перемещений во времени, получим на основании выражения (1.193),
что ЛТД 2М = 1mA1., откуда (при сосредоточенных массах)
(144)
м
Чтобы знать перемещения Д( масс, следует задать упругую линию
у = y(z), от удачного выбора которой зависит точность решения. Можно
получить уравнение упругой линии от единичной силы по направлению
силыР(г). Например, при приведении масс (рис. 1.69, б) к свободному
концу консоли (рис. 1.71, б) уравнение упругой линии от силыР = 1
имеет вид у = (3lz2 - z3/3)/(2E’J), следовательно, = 9/3/(£/),
Дг = 4,66713 Д3 = 1,333I3 l(EJ) и таким образом согласно фор-
муле (1.214) М2 = 1,291 т. Учитывая, что &llM = 9/3/(E’J), получим
сс2 = 0,0861 EJ/(ml3); это превышает точное значение всего на 0,7 %.
1.8.3.	ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМ
Вынужденные колебания системы с одной степенью свободы. Дейст-
вие переменной во времени силы P(t) на систему можно представить в
виде суммарного действия отдельных импульсов dS = Pdt (рис. 1.71, а).
Если затухание не учитывать, то согласно выражению (1.188) дифферен-
циальное уравнение вынужденых колебаний системы с одной степенью
свободы будет иметь вид
у + со2 у = P(t)/m.	(1.215)
Решение этого неоднородного уравнения состоит из общего интег-
рала Уобщ однородного уравнения (1.189) и частного решения участ.
120
Рис. 1.71. Возмущающие нагрузки и графики движения массы
Обозначая P(f)lm = F(f) и объединяя общий и частный интегралы, по-
лучают следующее уравнение движения:
Уо	1 - COS О>Г
у(Г) = уо cos cot + ---- sin cor + P'o ----------- +
CJ	cj2
cot — sin cot ..	1 co212
+ Fo ------------- + Fo-------(---------1 + coscor)+..., (1.216)
co3	co* 2
где FB, FB — начальные параметры, представляющие собой функцию F(t) и ее
производные в начальный момент времени Г = 0.
Отметим, что в уравнении (1.216) каждый предыдущий коэффи-
циент при начальном параметре является производной от коэффициента
при последующем параметре. Два первых члена уравнения (1.216) зави-
сят от начальных условий движения, а остальные — от характера силы
F(r). Для системы, находящейся в состоянии покоя перед приложением
силы Р(г), первые два членау0 иу0 равны нулю.
Рассмотрим действие различных вынужденных сил.
1.	Постоянная сила P(t) = Р. Если сила Р внезапно приложена и дей-
ствует долговременно (см. рис. 1.71, б), то приу0 = У о — 0 уравнение
движения будет следующим:
Р
y(t) =------- (1 — cos cot),
mco2
поскольку Fo, Fo,... равны нулю (приР = const).
Так как выражение Р/mco2 = Р/с — есть статическое перемещение,
то у (Г) = уст (1 — cos cot) (рис. 1.71, в). Следовательно, наибольший
(амплитудный) динамический коэффициент ка согласно выражению
(1.187) в этом случае равен двум.
Если сила Р внезапно приложена в мгновение t = Го, а затем в мгно-
вение t = tj внезапно снята, то можно представить устранение силы Р
121
как приложение силы (—Р) в мгновение tt; в этом случае получают
уравнение движения (при t > ty) в виде
Р
y(t) = ------ [ cos со (Г — Г1) — cos cot ],
mu2
которое после преобразований можно записать так:
у(Г) = [ 2P/(mco2)] [ sin (соГ - 0,5 co/j) sin (соГ]/2)].	(1.217)
Из этого уравнения следует, что при sin (cot — 0,5соГ1) = 1 kR =
= 2 sin 0,5 coti = 2 sin Tt(tilT) и, в частности, при кратковременном
действии силы (ti < Р/6) к™ах < 1.
2.	Произвольно изменяющаяся сила. Прежде чем составить уравне-
ние движения при действии произвольной вынуждающей силы (см.
рис. 1.71, а), определим действие мгновенного импульса dS; под ним
понимается произведение силы Р на очень малый промежуток времени
dt, т.е. dS = Pdt (рис. 1.71, г). Для этого в уравнении (1.217) заменим
ti на dr и у на dy. Учитывая, что sin 0,5 со dt = 0,5 codt, a sin (cot —
- 0,5 codt) - sin cot, получаем
dy = [ 2P/(mco2)] (sin cot) (Q,5codt) = (dS/mco) sin cot.
Если в мгновение t = и к массе будет приложен импульс силы P(w)dw
(см. рис. 1.71,0), то при t>u
dy = (dS/mco) sin co (t - u).
Полагая, что до приложения нагрузки масса находилась в покое,
получим уравнение движения при произвольной возмущающей силе
путем интегрирования этого выражения. В результате будем иметь
1 '
y(t) = ------ f Р(и) sin со (t - и) du.	(1.218)
rrifjJ
* о
3.	Периодически изменяющаяся сила (вибрационная нагрузка).
Если на массу действует сила, изменяющаяся по гармоническому
закону P(r) = Р sin 6t, где Р — амплитуда силы, а в — ее круговая часто-
та, то уравнение движения можно получить, подставляя в выражение
(1.218) под знак интеграла Р(и) = Р sin Ot. Полагая t0 = 0, после интег-
рирования находим
Р	е
y(t) — ------------ (sin 0Г - — sin cor).
zn(bc>2 - e2)	w
Учитывая, что Р/(mco2 ) = УСТ, запишем это выражение так:
1	в
у(') = Уст1 -------------- (sinOr------sin cor)].	(1.219)
Тогда наибольший (амплитудный) динамический коэффициент
“ TTP7ZZ 	(1.220)
122
Следовательно, при в/со -> 1 динамический коэффициент быстро
возрастает, а при в/со = 1 обращается в бесконечность. В действительнос-
ти, из-за сил сопротивления при совпадении частоты вынужденных ко-
лебаний в с частотой свободных колебаний со ни прогибы, ни, следова-
тельно, напряжения в балке не обращаются в бесконечность, хотя они и
достигают больших значений.
Явление сильного нарастания амплитуд при в со называется резо-
нансом. Острый резонанс сглаживается с ростом величины у = 2е/со (где
₽ — коэффициент затухания, а со — круговая частота свободных колеба-
ний) (рис 1.72).
Вынужденные колебания системы с несколькими степенями свобо-
ды. Рассмотрим систему с и степенями свободы, на которую дейст-
вует сила Р(г) = Psin6t, изменяющаяся по гармоническому закону
(рис. 1.73, а). Запишем выражение для перемещения точки к, учитывая,
что теперь на систему кроме инерционных сил Ji(Ji = — mtyi) действует
сила Р(1):
У к = ~т1У15к1 ~ т2У2^к2 - ... -
- mnyn8kn + Р(Г)8кр.
Считая, что при установившихся колебаниях отклонение массы тк
в произвольный момент времени подчиняется закону ук = Ск sin 6t,
получим после сокращения на sin 6t следующую систему неоднородных
дифференциальных уравнений:
(1 -m151i02)Ci -w251202C2 - ...-ли„51„02С„ =Л1р;
—w?i52i02Ci + (1 — т2 622 О2 ) С2 ... — wn52n в 2 Сп = Д 2р;
................................................... (1.221)
—	\ 62 С\ — т2 б«2 С2 — ... + (1 — тц8пп02)Сп = Дпр-
Отметим, что в отличие от задачи определения частот свободных ко-
лебаний здесь из решения системы уравнений (1.221) определяются
амплитуды колебаний Q, а затем и силы инерции тах:
Ji max = mi в 2 Ci-	(1.222)
Найдя силы инерции 7,- и приложив их вместе с силой Р к системе,
можно построить соответствующие эпюры внутренних сил от динами-
ческой нагрузки. При этом положительные 7/ должны быть направлены
в сторону положительных перемещений.
Поясним порядок расчета системы на вынужденные колебания на
примере шарнирно опертой по концам балки, на которую действует рав-
номерно распределенная нагрузка q = 2000 Н/м и периодическая сила
P(t) = 2000 sin 50г(Н), жесткость балки при изгибе EJ = 4  106 Нм2
(рис. 1 73, б).
1.	Заменив распределенную нагрузку двумя сосредоточенными мас-
сами (см. рис. 1.75, в) в соответствии с правилом, изложенным ранее
(см. п. 1.8.2), получим
mi = т2 = т = ql[(2g) = 407,75 кг.
1
123
Рис. 1.72. Зависимости дина: [ического ко-
эффициента от отнс шеи ия в/cj частот
вынужденных и свободных колебаний
Рис. 1.73. Расчет балки на вынуж-
денные колебания
2.	Определим по фоомуле Мора (1.51) единичные и грузовые (от
амплитудной силы Р = 2000 Н) перемещения:
«и = 822 = 1,875 • 10’7 м/Н; 512 = 521 = 1,4575 - 10’7 м/Н;
Д1р = 29,15  IO’5 м; Д2р = 37,5 • 10’5 м.
3.	Вычислим по формуле (1.201) частоты свободных колебаний:
сс>1 = 85,8 Гц; сс2 = 242,7 Гц.
4.	Подставляя найденные перемещения в систему уравнений (1.221)
с учетом того, что Р = 50 Гц, получаем
0,8089Q - 0,1485 С2 = 29,15-Ю-5;
- 0,1485 G + 0,8089С2 = 37,5  10~5.
Решая эту систему уравнений, находим амплитуды колебаний то-
чек 1 и 2 под действием периодической силы P(t): Q = 4,61  10^* м-
С2 = 5,48 • IO’4 м.
5.	Определяем изгибающий момент М2 от действия силы Р{ t):
ТИ2 = M2i Ji + М22 J2 + М2р,
где М2 J и М22 — моменты в сечении 2 от сил Р = 1, приложенных соот-
ветственно в точках 1 и 2", Ji и J2 — инерционные силы, определяемые
по формуле (1.222); М2р — момент от амплитудной силы Р
Для рассматриваемого примера М21 = 0,25 м, М22 = 0,75 м,М2р =
= 1500 Н-м; Ji = 470 Н, J2 = 558,6 Н. Следовательно, М2 = 117 5 +
+ 419+ 1500= 2036,5 Н-м.
124
Отметим, что полученный момент в 1,36 раз больше момента от
статически приложенной амплитудной силыР = 2000 Н.
6.	Определяем суммарный изгибающий момент от действия
силы P(t) и статической нагрузки, приложенной в точках 1 и 2 Для
данного примера Л/2	= 4000 Н м. Следовательно, М2 £ = 6036,5 Н-м.
Обратим внимание на то, что если частота в будет совпадать с любой
частотой а>/, то определитель системы уравнений, составленный из коэф-
фициентов при неизвестных С., будет равен нулю согласно (1.201).
Следовательно, все определяемые перемещения С*. будут равны беско-
нечности. Таким образом, в системах с п степенями свободы при вибра-
ционной нагрузке может быть п резонансных областей.
Подчеркнем, что в системах с п степенями свободы динамические
коэффициенты по силовым и кинематическим характеристикам в меж-
резонансных областях в отличие от систем с одной степенью свободы не
едины, а различаются между собой. Так, в рассмотренном примере: по
моментам — 1,36, а по перемещениям ЛдД = C2l&ip = 1,46 (для
сечения 2).
1.8.4. ОСОБЕННОСТИ ДИНАМИЧЕСКИХ РАСЧЕТОВ
МЕТАЛЛОКОНСТРУКЦИЙ СТРОИТЕЛЬНЫХ И ДОРОЖНЫХ МАШИН
Общие положения. В отличие от строительных конструкций, для ко-
торых динамические нагрузки определяются внешними динамическими
воздействиями, в металлоконструкциях строительных и дорожных ма-
шин они обусловливаются как внешними, так и внутренними динамичес-
кими воздействиями. Внутренними динамическими воздействиями яв-
ляются сила или момент, развиваемые двигателем машины. При этом
внешние воздействия на металлоконструкцию (например, сила инерции
при подъеме груза, сопротивления на рабочем органе и др.) определяют-
ся механической характеристикой двигателя, т.е. законом изменения
его частоты вращения от момента сопротивления на валу.
При работе отдельных механизмов машины силовое воздействие
от двигателя или тормоза передается на металлоконструкцию через
систему привода механизма, жесткость элементов которого значитель-
но превышает жесткость металлоконструкции.
Поэтому без снижения практической точности расчетов металличес-
ких конструкций можно не учитывать упругость жестких передач.
Массы элементов привода механизмов строительно-дорожной маши-
ны, приведенные к рассчитываемому элементу металлоконструкции,
могут достигать 90 % и выше от обшей суммарной массы. В таких слу-
чаях при составлении расчетных схем определения динамических нагру-
зок можно пренебрегать массой металлоконструкции, что в значитель-
ной степени упрощает расчет.
Динамические наргузки, воспринимаемые металлической конструк-
цией, являются следствием взаимодействия исполнительных рабочих
органов машины со средой или перемещаемым предметом в условиях
неустановившегося режима движения. Для строительных и дорожных
125
машин можно выделить три характерных случая возникновения дина-
мических нагрузок:
режим ^установившегося движения (разгон-торможение) в усло-
виях одновременного движения всех масс привода механизма;
двухэтапный режим движения, когда массы конструкции машины
и тел-объектов воздействия вовлекаются в движение не одновременно,
а по мере выбора слабины или люфтов; затем все массы одновременно
участвуют в движении;
внезапный удар о непреодолимое препятствие или обрыв какого-
либо элемента конструкции (например, каната грузоподъемного меха-
низма) .
Расчетные схемы. В расчетах строительных и дорожных машин часто
используют одномассовую (с одной степенью свободы) систему с приве-
денной массой Мп и приведенной жесткостью сп. Точкой приведения
массы и жесткостей является точка приложения внешнего динамическо-
го воздействия.
Приведенную жесткость металлоконструкции определяют через
податливость конструкции в направлении действия динамической на-
грузки (см. п. 1.8.1) :
сп = 1/^11-
Применение одномассовых систем характерно при анализе динами-
ческих процессов, сопровождаемых резким (ударным) изменением
внешних воздействий на металлоконструкцию, например при встрече
рабочих органов машин с непреодолимыми препятствиями или при
подъеме груза механизмом с первоначально ослабленным тросом.
При анализе динамических процессов, сопровождаемых одновре-
менным участием в движении всех масс системы, применяют двухмас-
совые системы (с двумя степенями свободы). В этом случае элементом
приведения масс является рассчитываемый на прочность элемент конст-
рукции.
Критерием эквивалентности одно-двухмассовой системы действи-
тельной многомассовой системе является равенство суммы кинетичес-
ких и суммы потенциальных энергий этих двух систем. В результате
такого упрощения динамические нагрузки определяют с меньшей точ-
ностью, так как не учитывают гармоники высокочастотных колебаний,
получаемые при решении многомассовой системы. Так как гармоники
высоких частот затухают быстрее, чем низкочастотные составляющие
достигнут существенного значения, основное влияние на прочность
конструкции оказывают медленно затухающие колебания низшей часто-
ты. Практически в большинстве случаев достаточно ограничиться рас-
смотрением только основной низшей частоты.
Пример определения динамической нагрузки в металлоконструкции
крановой установки при подъеме груза. Рассмотрим процесс подхвата
груза с опоры, допустив, что скорость механизма подъема к моменту
выбора слабины троса увеличивается до некоторого значения v и что
после отрыва груза от опорной поверхности остается постоянной, так
как приведенная масса движущихся частей механизма подъема во много
126
Рис. 1.74. Расчетная схема для определения
динамических нагрузок
♦' -< |
ано
<0f|
131 иг
tens
1®
раз больше массы поднимаемого груза.
Учитывая, что в канатах колебания затуха-
ют достаточно быстро, влиянием их на
колебательный процесс металлоконструк-
ции пренебрегаем. Расчетная схема для
определения динамических нагрузок в
металлоконструкции крана показана на
рис. 1.74 ( 7ИП и сп — масса и жесткость
металлоконструкции крана, приведенные
к точке подвеса груза). Такую расчетную

/////////
///////^
схему можно применить к расчету металлоконструкции стрелового или
мостового крана.
Динамическое воздействие груза на конструкцию складывается
из двух этапов. На первом этапе до момента отрыва груза от опорной
поверхности усилие в металлоконструкции увеличивается до значения Q
силы воздействия груза при неподвижной его массе М. Эксперименталь-
но доказана возможность допущения, что усилие в канатах в процессе
их натягивания, пока груз еще находится на опорной поверхности,
возрастает линейно. В таком случае дифференциальное уравнение движе-
nine
MJ1
Ее»
Я»
U
ния системы до момента отрыва груза имеет вид
М„у + спу = Qt/Г),
откуда
Q
2
мп
где о> = \J сп/Мп — частота собственных колебаний системы; t, - время, за ко-
торое нагрузка в канате достигает наибольшего значения Q.
134
d
(<Й
и»
К«‘
lip
taf
Biff
иг
Siil
Общее решение этого уравнения получим, воспользовавшись урав-
нением движения (1.216); для рассматриваемого случая при 7=0
У о = У о = 0, Fo =0, Fo = QKjiMn)-
Учитывая, что статическое перемещение jct — Q/Cn — C/(Afnco2),
получаем
7"ст	sin cot
у =------ (7----------).
Tj	u>
В момент отрыва груза от опорной поверхности (t = f i)
sin cot,
yt =J?CT<1------------)’	<1223)
*	cot,
Уст
у = ----- (1- coso>7i).	(1.224)
'• г.
127
На втором этапе (Г> н) (см. рис. 1.74) дифференциальное уравне-
ние колебаний массы Мп имеет вид
Мпу + спу = Q,
откуда
у + со2 у = Q/Mn
Общее решение этого уравнения получим, воспользовавшись урав-
нением (1.216). В этом случае у0 = у , у0 — У{ ,&F0 = Q/Mn. Тогда,
используя выражения (1.223) и (1.224), находим
sin gjZ,
У = J’(1  ------------) cos ы (Г - О ) +
СО t!
V
z СТ
+ ----- (1 - cos wlj) sin co (t - Г1) +
Gjfj
Q 1 — cos gj (f - f, )
+ __ ---------------------
Мп	gj2
После преобразований получим
2 u>r, w (2t — t,)
У = JctI1----------sin --cos -------------]•	(1.225)
CT	GJ t,	2	2
Так как период собственных колебаний Т = 2тг1а>, динамическое пере-
мещение можно представить в виде
Т nti я
У = Уст 11---------sin --cos — (2г - ti )],
CT	TTt1	T	т
максимальное динамическое перемещение
Т	nti
J'max = ^ст I 1 + ---- | Sin — | ].
lIldA	.	Т
ТГГ,	i
Определим значение динамического коэффициента
Лпах	Т	яг,
ка = ------ = 1 + — | sin-----1.
у„„	яг,	Т
Теоретический анализ полученной зависимости позволил вычислить
максимальное значение динамического коэффициента при Ц/Т > 0,5
по формуле
Лд = 1 + Tl(nti).	(1.226)
Кроме того, было установлено, что если время изменения нагруз-
ки ti более чем в 6 раз превышает период собственных колебаний систе-
мы, динамическим влиянием нагрузки на систему можно пренебречь
(с точностью до 5 %). Если Г1 = 0, то kR = 2.
Учитывая, что на втором этапе после отрыва от опорной поверхности
128
груз совершает колебания совместно с металлоконструкцией [ 2],
получаем
Г = 2тг V(Л/п + М)1 сп ; ti » Ост + XCT)/(0,5v),
где Хст — деформация каната под действием веса Q груза
Тогда
ve	/ М„ + М
ка= 1 + —---------- V—----------,
у + Л	Сп
z ст	ст	11
где е — коэффициент, учитывающий неточность определения г,.
При ориентировочных расчетах металлоконструкций грузоподъем-
ных машин динамический коэффициент можно определять по зависи-
мости, учитывающей только жесткость каната:
кд 1 + v/ х/ &кст 
Часть 2. РАСЧЕТ И ПРОЕКТИРОВАНИЕ
МЕТАЛЛОКОНСТРУКЦИЙ
2.1.	МАТЕРИАЛЫ МЕТАЛЛИЧЕСКИХ КОНСТРУКЦИЙ
2.1.1.	ХАРАКТЕРИСТИКИ МАТЕРИАЛОВ
Металлы, применяемые для несущих конструкций. Металлы, приме-
няемые для конструкций дорожно-строительных машин, должны обла-
дать механическими свойствами, обеспечивающими работоспособность
конструкций в течение длительного срока службы в заданных условиях
эксплуатации. Они должны быть прочными, упругими, должны сопро-
тивляться циклическим и ударным воздействиям как при положитель-
ных, так и при отрицательных температурах, обладать коррозионной
стойкостью и хорошей свариваемостью.
Указанным требованиям соответствуют стали с содержанием угле-
рода не более 0,22 ... 0,25 %. Стали с большим содержанием углерода,
несмотря на высокую прочность, для несущих конструкций не приме-
няют из-за склонности к хрупкому разрушению и плохой свариваемости.
Алюминиевые и титановые сплавы пока еще не нашли широкого приме-
нения для несущих конструкций дорожных машин.
Углеродистые стали обыкновенного качества поставляются заказчи-
ку по ГОСТ 380—71 * с гарантией механических свойств и (или) с гаран-
тированным химическим составом. Сталь группы А поставляется с гаран-
тией механических свойств, группы Б — с гарантией химического соста-
ва, группы В — с гарантией механических свойств и химического состава.
Низколегированные стали имеют по сравнению с углеродистыми
лучшие механические свойства, что достигается введением легирующих
добавок. Применение этих сталей позволяет на 20 ... 30% снизить массу
5-555
129
2.1* Механические свойства наиболее распространенных сталей (при толщине проката не более 32 мм)
Марка стали	сгт, МПа	сгв, МПа	6, %	а, Дж/см2, при температуре, ° С			C.J, МПа
				+ 20	-40	-70	
СтЗкп	230	370	26	50	—			150
СтЗпс; СтЗсп	240	380	25	70	30	—	150
09Г2, 09Г2Д	300	450	21	—	30	30	150
14Г2	330	460	21	—	30	30	155
09Г2С; 09Г2СД	330	470	21	60	35	30	160
10Г2С1; 10Г2С1Д	350	480	21	60	30	25	210
15ГФ; 15ГФД	360	470	21	—	30		
ВСтЗпс, термоупрочненная	390	490	20	—			29	
10ХСНД	400	540	19	—	40	30	180
15Г2СФ; 15Г2СФД	400	550	19	—	35				
16Г2АФД; 16Г2АФ	450	600	20	—	40	30	200
18Г2АФпс; 18Г2АФДпс	450	600	19	—	40	30	200
14Х2ГМ; 14Х2ГМР	600	700	14	—	40	—	
14ХГНМ	760	850	12	—	50	35	—
конструкций и увеличить их срок службы. В настоящее время основные
несущие конструкции дорожно-строительных машин изготовляют из
низколегированных сталей (ГОСТ 19282—73, ГОСТ 19281-73).
Ввиду относительно высокой стоимости низколегированной стали
и дефицитности некоторых легирующих добавок металлургическая
промышленность освоила новый вид стального проката — термоупроч-
ненную углеродистую сталь. При незначительном повышении стоимости
изготовления (по сравнению со стоимостью обычной углеродистой ста-
ли) термоупрочненная сталь имеет лучшие механические свойства, дости-
гая прочности низколегированных сталей. Недостатком некоторых ви-
дов термоупрочненных сталей является их частичное разупрочнение из-за
нагрева при сварке. Для металлоконструкций дорожно-строительных
машин рекомендуются термоупрочненные стали, не обладающие этим
недостатком (с пределом текучести не более 440 МПа). Маркировка тер-
моупрочненных сталей аналогична маркировке углеродистых сталей, но
с указанием технических условий на изготовление: ВСтЗ, термоупроч-
ненная по ТУ 14-1-3090—81.
Механические свойства сталей характеризуются временным сопро-
тивлением разрыву ов, модулем упругости Е = 2 • 10s МПа, пределом
текучести от, относительным удлинением 5, ударной вязкостью а, преде-
лом выносливости а.! и другими показателями (табл. 2.1).
Отметим, что предел выносливости a.i не регламентируется стандар-
тами. Значения а.15 приведенные в таблице, являются приближенными
и могут использоваться только для ориентировочных расчетов.
2.1.2.	РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ВЫБОРУ СТАЛИ
С УЧЕТОМ УСЛОВИЙ ЭКСПЛУАТАЦИИ МАШИН
Выбор марки стали зависит от условий эксплуатации конструкций,
особенностей технологического процесса их изготовления, требований
к массе и стоимости конструкции. Для снижения массы конструкций
рекомендуется применять низколегированные стали высокой прочности
При этом следует иметь в виду, что трудоемкость изготовления конст-
рукций из легированных сталей обычно выше, чем из углеродистых.
Кроме того, легированные сталц дороже углеродистых. Например, про-
кат из сталей 09Г2, 09Г2Д приблизительно на 30 % прочнее и на 17 %
дороже проката из стали СтЗ, а сталь 10ХСНД на 70% прочнее стали СтЗ
и на столько же дороже.
При выборе марки стали необходимо учитывать возможность рабо-
ты дорожно-строительных машин в различных климатических зонах.
Согласно ГОСТ 15150—69 половина территории СССР относится к зоне с
холодным климатом, для которой регламентируется работоспособность
машин при температуре —60 °C. Однако и для зоны с умеренным клима-
том температура достигает —40 ... —50 С.
Механические характеристики сталей, в том числе приведенные в
табл. 2.1, получают путем лабораторных испытаний, проводимых по стан-
дартным методикам. В реальных условиях эксплуатации характеристики
131
Известно, что твердые тела разрушаются
пластических (сдвиговых) деформаций или в
Рис. 2.1. Изменение предельных напряжений
в функции отрицательной температуры
механических свойств стали могут
отличаться от стандартных значений.
Наибольшее влияние на механические
свойства стали оказывают два факто-
ра: скорость деформации и темпе-
ратура.
в результате развития
результате отрыва при
хрупком разрушении. При положительной температуре и относительно
малой скорости приложения нагрузки конструкционные стали разру-
шаются от деформации сдвига. При понижении температуры и увеличе-
нии скорости деформации предел текучести стали увеличивается и ста-
новится больше предельного сопротивления отрыву сготр, что соответст-
вует переходу от пластического к хрупкому разрушению. Температу-
ра ткр (рис. 2.1), при которой от = аотр, называется порогом хладно-
ломкости. При t < /кр сталь склонна к хрупкому разрушению, при этом
резко снижается долговечность конструкций и возрастает риск их вне-
запной поломки при наличии дефектов сварки, микротрещин и других
концентраторов напряжений. Поэтому стали выбирают с учетом темпера-
туры, при которой будут работать металлоконструкции.
Институтом электросварки им. Е.О. Патона разработаны рекоменда-
ции по выбору сталей для сварных конструкций, вошедшие в приложе-
ние к ГОСТ 14892—69**. Для основных несущих конструкций, работаю-
щих при t = —40 ... -50 °C, при толщине проката до 20 ... 40 мм реко-
мендуются низколегированные стали 09Г2, 09Г2С, 10Г2С1, 15ХСНД,
10ХСНД, 14Г2АФ, 15Г2АФДсп. Эти же стали рекомендуются для t =
= — 50 ... —65 С при условии контроля их ударной вязкости при тем-
пературе —70 С. Применение углеродистых сталей в условиях отри-
цательных температур —50 С и ниже допускается только для вспомо-
гательных элементов (ограждений, настилов, кожухов и т.д.). При про-
верке усталостной прочности следует пользоваться пониженными зна-
чениями предела выносливости, установленными ГОСТ 14892—69** в
зависимости от вида сварного соединения в пределах 10 ... 50 МПа.
2.1.3. СОРТАМЕНТ
Сортамент — совокупность типоразмеров прокатных профилей,
выпускаемых металлургической промышленностью: двутавров по
ГОСТ 8239—72, швеллеров по ГОСТ 8240—72, стали угловой равнопо-
лочной по ГОСТ 8509—72 и неравнополочной по ГОСТ 8510—72, сталь-
ных труб, листовой и широкополосовой стали. Эти прокатные профили
применяются самостоятельно или в составе сечений более сложной
конфигурации (рис. 2.2. а - д).
Использование стандартных профилей не всегда является наилуч-
шим решением для металлоконструкций машин. Стандартные профили
132
Рис. 2.2. Прокатные профили н сечения
балок
Рис. 2.3. Расчетная схема рукояти экска-
ватора
типа двутавров и швеллеров перво-
начально были созданы для изго-
товления несущих конструкций зда-
ний и сооружений. Профили имеют
массивные полки и тонкие стенки, в результате чего обладают большим
моментом инерции сечения в вертикальной плоскости. Такое решение
обеспечивает большое сопротивление изгибу балок, воспринимающих
силы тяжести и другие нагрузки, действующие перпендикулярно пол-
кам. Этот случай нагружения характерен для строительных конструкций
и не типичен для несущих конструкций машин. Металлоконструкции
дорожных мапшн подвержены действию нагрузок в различных плоскос-
тях. Более того, в процессе работы машин нагрузки изменяются как по
значению, так и по направлению. Поэтому рациональные формы попереч-
ных сечений элементов конструкций, как правило, отличаются от стан-
дартных прокатных профилей.
Наиболее распространенными являются гнуто-сварные и сварные
профили (рис. 2.2, г-д), изготовляемые из листовой стали. Они обла-
дают рядом преимуществ: относительной простотой изготовления, ра-
циональностью форм поперечных сечений, возможностью изготовления
балок с переменными по длине сечениями, эстетичностью конструкций.
Применение гнуто-сварных профилей позволяет снизить массу металло-
конструкций. Например, применение гнуто-сварной конструкции рукоя-
ти экскаватора позволило выполнить ее с переменным по длине сече-
нием так, что форма рукояти приблизительно соответствует конфигу-
рации эпюры моментов (рис. 2.3). Такое конструкторское решение
способствует более равномерному распределению напряжений по различ-
ным сечениям, что приводит к экономии металла.
Металлургическая промышленность выпускает гнуто-сварные замк-
нутые профили коробчатого сечения, квадратной и прямоугольной
форм (табл. 2.2).
Когда коробчатое сечение должно быть переменным по длине балки,
учитывают необходимость раскроя стального листа с минимальными
потерями.
133
134
2.2, Характеристики некоторых гнуто-сварных профилей коробчатого сечения (ГОСТ 25577- 83, см, рис. 2.2, г)
Форма сечения	Л, мм	Ь, мм	J, мм	Г, см’	/х, см4	Wx, см3	Jy, см4	Wy, см’	Масса 1 м, кг
	100	100	5	17,8	256	51,1	—	—	13,9
Квадрат	140	140	5	25,8	780	109	—	—	20,2
	140	140	8	38,7	1055	151	—	—	30,4
	150	150	8	41,9	1330	177	-	-	32,9
	150	100	8	34,4	960	128	514	103	27,0
Прямоугольник	160	130	7	36,1	1263	158	921	142	28,3
	230	100	5	29,9	1868	162	525	105	23,5
	230	100	8	46,5	2804	-243	770	154	36,6
Условные обозначения: F — площадь поперечного сечения; Jx, Jy — моменты инерции сечения относительно осей х и у
соответственно Wx, Wy - моменты сопротивления сечения при изгибе относительно осей* и у соответственно,
2.2.	МЕТОДЫ РАСЧЕТА
НА ПРОЧНОСТЬ И УСТОЙЧИВОСТЬ
2.2.1.	НАГРУЗКИ, ДЕЙСТВУЮЩИЕ
НА МЕТАЛЛОКОНСТРУКЦИИ МАШИН
Нагрузки, действующие на стационарные конструкции. При проекти-
ровании стационарных конструкций, таких, как каркасы зданий, несу-
щие конструкции асфальтосмесительных установок и т.д., необходимо
выполнять требования СНиП П-6—74 ’’Нагрузки и воздействия”. Соглас-
но этим нормам все нагрузки разделяют на постоянные и временные.
К постоянным относятся силы тяжести сооружений, а к временным —
длительные (вес стационарного оборудования; давление жидкостей,
газов и сыпучих тел в емкостях; температурные воздействия; нагрузки
от мостовых кранов и др.); кратковременные (вес людей, нагрузки от
подъемно-транспортного оборудования, снеговые и ветровые нагрузки,
монтажные нагрузки) и особые нагрузки (сейсмические, взрывные
и т.д.).
Нагрузки разделяют на нормативные и расчетные. Нормативные
нагрузки и их сочетания устанавливаются нормами на проектирование
в виде численных значений или расчетных формул. Расчетные нагрузки
принимаются равными соответствующим нормативным нагрузкам,
умноженным на коэффициент перегрузки п, учитывающий возможность
превышения нормативной нагрузки. При расчетах на усталостную долго-
вечность принимают п = 1, а при расчетах на прочность и > 1.
Нагрузки, действующие на несущие конструкции машин. При проек-
тировании несущих конструкций машин нагрузки разделяют на основ-
ные (нормативные), случайные и аварийные. К основным относят на-
грузки, действующие на металлоконструкцию в условиях ее нормальной
эксплуатации; к случайным — совокупность одновременно действую-
щих нагрузок в сочетании, наихудшем для прочности рассчитываемого
элемента конструкции; к аварийным — нагрузки, вероятность появле-
ния которых мала.
Например, при проектировании башенных кранов основными нагруз-
ками являются силы тяжести крана и груза, ветровая нагрузка и испыта-
тельная нагрузка. Случайными являются нагрузки, характеризуемые
некоторым статистическим распределением (возможное превышение
веса груза; нагрузка, вызванная колебаниями крана при пульсации ди-
намического давления ветра; динамические нагрузки, возникающие при
подъеме и опускании груза, при повороте, разгоне и торможении крана).
Для выполнения проектных расчетов принципиальное значение
имеет правильный выбор расчетных сочетаний действующих нагрузок.
В тех случаях, когда работают в относительно стабильных условиях
эксплуатации и имеется статистический материал о значениях действую-
щих нагрузок, их расчетные сочетания регламентированы нормами или
методиками расчета. Примером являются нормы расчета башенных кра-
нов (ГОСТ 13994-81).
Для большинства дорожных машин таких норм пока не существует
135
Ргтах
Ppmin
t
Рис- 2.4. Схемы для определения
нагрузок, действующих иа рабочий
орган рыхлителя
Рис. 2.5. Расчетная схема рыхлителя
и разработчики вынуждены само-
стоятельно определять расчетные
комбинации нагрузок.
Общий принцип определения
расчетных сочетаний нагрузок со-
стоит в том, что проектируемая
конструкция не должна разру-
случайных нагрузок и длительного
прочностных расчетах и расчетах на
шаться от однократного действия
действия основных. Поэтому при
устойчивость исходят из наиболее неблагоприятного сочетания случайных
и основных нагрузок (максимальных нагрузок). При расчетах же на
усталость исходят из эквивалентной нагрузки — условной нагрузки с
постоянной асимметрией цикла, эквивалентной по интенсивности накоп-
ления усталостных повреждений действительной нагрузке.
Определим нагрузки, действующие на зуб рыхлителя (рис. 2.4, а).
Основными нагрузками, действующими на зуб, являются горизонтальная
и вертикальная Рв составляющие усилия копания. При продвижении зуба в грунте
сила копания и ее составляющие периодически.изменяются во времени t по значе-
нию из-за выкалывания перед зубом элементов грунтовой стружки. В момент
скола усилие копания снижается на 30 ... 50 % по сравнению с максимальным зна-
чением (рис. 2.4, б). Составляющие Рг и Рв можно определить по формулам, при-
водимым в литературе по теории резания грунтов.
Для расчета иа усталость основную нагрузку (рис. 2.4, 6) заменяют эквива-
лентной синусоидальной нагрузкой (рис. 2.4, в), коэффициент асимметрии кото-
рой R =/>гтт/Лтпах- гДеЛ'т1п и/'гтах - минимальное и максимальное значения
горизонтальной составляющей усилия копания. Определив эквивалентную нагруз-
ку, дальнейший расчет выполняют по методике, изложенной в гл. 2.5.
136
Для расчета иа прочность необходимо выбрать наиболее опасные сочетания
нагрузок, действующих на зуб. Они возникают при реализации максимальной мощ-
ности базового трактора и трактора-толкача, когда зуб упирается в непреодолимое
препятствие. Расчет выполняют для тех положений рабочего оборудования, при ко-
торых в элементе конструкции можно ожидать появления наибольших напряжений,
например для упора зуба в препятствие при одновременном выглублеиии его из
грунта (рис. 2.5). В этом положении нагрузка Рг равна сумме максимальной тя-
говой силы Т базового трактора и силы Тт трактора-толкача: Рг = Т + Тт, а верти-
кальная нагрузка Рв определится из уравнения моментов относительно точки Л:
Рв = (Ga+ Prh+ Т^сУ/b
2.2.2.	РАСЧЕТ ПО ДОПУСКАЕМЫМ НАПРЯЖЕНИЯМ
И ПРЕДЕЛЬНЫМ СОСТОЯНИЯМ
Существует три метода расчета металлоконструкций машин: по до-
пускаемым напряжениям, по предельным состояниям и на надежность.
Расчет по допускаемым напряжениям. В основе расчета по допускае-
мым напряжениям лежит гипотеза идеально упругого тела, для кото-
рого закон Гука о прямой пропорциональности между напряжениями и
деформациями считается справедливым до начала текучести материала.
Основной формулой расчета является
о < [о] = оп/и,	(2.1)
где о — напряжение от действия основных и случайных или аварийных нагрузок;
(о) — допускаемое напряжение; ап — предельное напряжение для данного материа-
ла; для пластичных материалов — это предел текучести, для хрупких — предел
прочности; п — коэффициент запаса прочности.
Коэффициент запаса прочности устанавливается на основании опыт-
ных данных применительно к конкретным видам машин.
При расчете на устойчивость или усталость формула (2.1) принимает
вид
о < ф[о ] или а < 7[о],	(2.2)
где и 7 — коэффициенты, учитывающие соответственно снижение допускаемого
напряжения в задачах устойчивости и усталостного разрушения конструкций.
При расчете по методу допускаемых напряжений применяют единый
коэффициент запаса прочности, который не оценивает изменчивость и
статистическую природу параметров, определяющих поведение конст-
рукций. Это приводит в ряде случаев к неправильной оценке несущей
способности конструкции (завышенному или заниженному запасу
прочности).
Расчет по предельным состояниям. Метод расчета по предельным
состояниям основывается на анализе процессов перехода конструкций
в одно из состояний, при котором они теряют способность сопротивлять-
ся внешним воздействиям или перестают удовлетворять предъявляемым
к ним тербованиям функционального назначения.
Применительно к металлоконструкциям дорожно-строительных ма-
шин различают два вида предельных состояний:
1)	состояние по несущей способности (прочности, устойчивости и
усталости), при достижении которого конструкция теряет способность
137
сопротивляться внешним воздействиям или в ней возникают такие оста-
точные изменения, при которых она перестает удовлетворять предъяв-
ляемым к ней эксплуатационным требованиям;
2)	состояние по развитию чрезмерных деформаций от действия
статических или динамических нагрузок, при достижении которого в
конструкции, сохраняющей прочность и устойчивость, появляются об-
ратимые деформации или колебания, вследствие чего конструкция пе-
рестает удовлетворять предъявляемым к ней эксплуатационным требо-
ваниям.
Расчетной для оценки предельного состояния металлоконструкции
по несущей способности является формула
< от кку = Rky,	(2.3)
где о, - напряжение в данной точке, вызываемое действием одной из расчетных
нагрузок; и/ — коэффициент возможного превышения расчетной нагрузки (собст-
венного веса и веса цруза, статических и динамических воздействий); от — норма-
тивный предел прочности (для стали предел текучести); к - коэффициент, учи-
тывающий случайное изменение сопротивления материала (по рекомендациям
ЦНИИСа для стали СтЗ к = 0,9, для более прочных сталей к — 0,85 ... 0,75, для
стального питья к = 0,75); R - расчетное сопротивление материала; ку — коэф-
фициент условий работы конструкций, определяемый согласно ГОСТ 13994— 81
по формуле ку = куК ку2, где Лу, — коэффициент ответственности, значение кото-
рого зависит от области применения крана и целевого назначения элемента его
конструкции (Л'у, = 0,85... 1,05); Лу2 — коэффициент, учитывающий особенности
работы элемента или части металлической конструкции, изменяющийся в преде-
лах 0,8 ... 0,9; для металлоконструкций других строительных и дорожных машин
коэффициент условий работы конструкции можно определять по СНиП П-А.10.—71.
Коэффициенты возможной перегрузки и, для металлоконструкций
башенных кранов определяются по ГОСТ 13994-81, а для машин других
типов по СНиП И-6—74, где значение этих коэффициентов дифференци-
ровано по типам нагрузки: для веса конструкции = 1,1, снеговой на-
грузки п2 = 1,4, ветровой л3 = 1,2, весов оборудования, расположенного
на конструкциях, п4 = 1,0 ... 1,3, веса поднимаемого груза = 1,05 ...
1,4 (большие значения для меньшей грузоподъемности), вертикальных
динамических нагрузок пь = 1,05 ... 1,4, горизонтальных динамических
нагрузок и7 =1,1 и т.д.
Например, при расчете металлоконструкции стрелы крана (рис. 2.6, а)
суммарное расчетное напряжение в опасной точке А сечения I —I
консоли
So/Mj — 1,1ак + 1,3(7^ + 1,ЗОцц.в + 1»1^ин.г
где ок - напряжение от веса G конструкции; aq - напряжение от веса Q поднимае-
мого груза; оин в - напряжение от вертикальной силы инерции движения груза;
о ин. г ~ напряжение от горизонтальной силы инерции движения груза в плоскости
подвеса и стрелы крана; omj - напряжение от горизонтальной силы инерции
движения груза в направлении, перпендикулярном плоскости подвеса и стрелы
крана (рис. 2.6, б).
При расчете по второй группе предельных состояний (по развитию
чрезмерных деформаций или колебаний) предельное условие не отличает-
138
Рис. 2.6. Схема и эпюры для определения суммарных расчетных напряжений в
металлоконструкции стрелы крана
ся в принципе от соответствующей проверки по методу допускаемых
напряжений; оно имеет вид
Гр < [г]
или
где ?р и |Г | — соответственно расчетное и допускаемое значение времени затухания
колебаний конструкций; f/l и [///] - расчетное и допускаемое значение относи-
тельно прогиба (здесь f — прогиб; I — длина конструкции).
Расчеты по второму предельному состоянию проводят при коэффи-
циентах перегрузки, равных единице, т.е. по нормативным нагрузкам.
При расчетах на усталость коэффициент перегрузки отличен от еди-
ницы только для постоянных нагрузок, а для изменяющихся нагрузок
коэффициенты перегрузки принимают равными единице.
Расчет на надежность. Металлоконструкции строительно-дорожных
машин рассчитывают на надежность, исходя из условия, которое форму-
лируется следующим образом. Если в течение некоторого срока службы
Гсл вероятность того, что напряжение в конструкции а не превысит ха-
рактеристику прочности R не менее, чем заданная вероятность безотказ-
ной работы Рт , то надежность конструкции обеспечена. Это условие
1 СП
записывается в виде
Р(о < Л) > Рт 	<2.4)
1 СП сл
139
Расчет на надежность является развитием метода предельных состоя-
ний и пока не получил широкого распространения. Вопросу обоснования
показателей надежности металлоконструкций строительных и дорожных
машин посвящены работы [ 13,16].
В заключение следует отметить, что в настоящее, время нет доста-
точной информации для определения соответствующих коэффициентов,
характеризующих возможные перегрузки для различных типов дорож-
ных и строительных машин, поэтому часто пользуются методом расчета
по допускаемому напряжению.
2.2.3.	ОСНОВЫ РАСЧЕТА КОНСТРУКЦИЙ НА УСТОЙЧИВОСТЬ
И ПО ДЕФОРМИРОВАННОМУ СОСТОЯНИЮ
Общие понятия. Из курса сопротивления материалов известно, что
при достижении сжимающей силой Р некоторого значения Ркр исходная
форма равновесия стержня, соответствующая деформации сжатия, ста-
новится неустойчивой; даже незначительное увеличение силы Ркр приве-
дет к новой форме равновесия соответствующей деформации изгиба
(рис. 2.7, а, б). Это явление называется потерей устойчивости (первого
рода) в виде продольного изгиба, а максимальная силаРКр, при которой
стержень сохраняет первоначальную форму равновесия, называется
критической.
Явление потери устойчивости относится не только к сжатым элемен-
там. Могут потерять устойчивость первоначальной формы равновесия
изгибаемые балки, скручиваемые валы и т.п.
Критической сжимающей силе соответствует критическое напря-
жение
акр = N/F = Ркр/F	(2.5)
Это напряжение, как правило, ниже допускаемого. Однако при по-
тере устойчивости к нему добавляется напряжение от изгиба, которое
с ростом силы Р резко возрастает; это может привести к потере проч-
ности. Поэтому критическое напряжение является предельным.
Рис. 2.7. Схемы, поясняющие устойчивость центрально и внецеятрснио сжатых
стержней
140
Идеально сжатых элементов в конструкциях нет. Различные факто-
ры (эксцентриситет сжимающей силы, начальный прогиб и т.п.) приво-
дят к тому, что в стержне с самого начала нагружения возникают сов-
местные напряжения от сжатия и изгиба; максимальные краевые напря-
жения определяют по формуле
°max = N/F + M/W.	(2.6)
При этом изгибающий момент в произвольном сечении (рис. 2.8, в)
М = Р(е + у) = Мп + Ру,	(2.7)
где Мп = Ре — момент от нагрузки, определяемый по недеформированной перво-
начальной расчетной схеме.
В сжато-изогнутом стержне (рис. 2.7, в, г) при/’-*РКр быстро уве-
личиваются прогибы, изгибающие моменты и напряжения, что приводит
к потере несущей способности (называемой также потерей устойчивос-
ти второго рода). Явления потери устойчивости первого и второго рода
качественно различны, но их объединяет одинаковая физическая сущ-
ность — внезапный или весьма быстрый рост деформации изгиба, а также
то, что в обоих случаях расчеты проводят на основе рассмотрения дефор-
мированного состояния стержня (см. далее).
Основной характеристикой стержня при продольном изгибе является
гибкость: Л = pl/ i (где р — коэффициент приведения длины, зависящий
от граничных условий — условий закрепления и характера поведения
нагрузки при продольном изгибе; I —длина стержня; i — радиус инерции
поперечного сечения). Коэффициент р и радиус инерции i, а следователь-
но, и гибкость Л могут быть различными в разных плоскостях. Естест-
венно, что стержень будет терять устойчивость в плоскости наибольшей
гибкости Хтах.
При продольном изгибе в упругой стадии критическая сила опреде-
ляется по формуле Эйлера:
Р3 = л2 EJI(pl)2.	(2.8)
где EJ — жесткость стержня при изгибе; ц1 — приведенная длина стержня.
Этой силе соответствуют критическое напряжение акр = ifE/'t? max.
Поскольку в данном случае акр <оПц, условие использования формулы
Эйлера записывают так: Лтах > х/тг^Е’/опц . ЕслиЧэно не выполняется,
то продольный изгиб происходит за пределом упругости. В этом случае
критические напряжения связаны с гибкостью стержня более сложными
зависимостями [ 3] (рис. 2.8).
При расчете сжатых стержней на устойчивость гибкость Л учитывают
путем введения коэффициента продольного изгиба = <р(Х). Условие
устойчивости центрально сжатых стержней имеет вид:
о = N/F < ф[о] или орасч = Мрасч/F < <pRky,
где ку — коэффициент условия работы; N и Л'расч ~ нормативная и расчетная
продольные силы соответственно.
141
Устойчивость внецентренно сжатых стержней в плоскости действия
момента проверяется по аналогичным формулам:
Л «г- г 1	^расч
—	и™ -------^вн^У’
Jp>	И м	77	и П
где ₽вн < <р — коэффициент, зависящий от гибкости стержня X и от приведенного
эксцентриситета т}, учитывающего форму поперечного сечения. Значения >р, tnt,
^>вн и ку определяют для различных материалов по таблицам и формулам, приве-
денным в СНиП П-23-81.
На рис. 2.9 показаны схемы, определяющие граничные условия при
продольном изгибе стержня, и приведены соответствующие значения
коэффициентов д. Из рис. 2.9, а — г видно, что приведенная длина стерж-
ня (11 равна длине соответствующей полуволны синусоиды. Это относит-
ся и к случаю, когда сила при продольном изгибе постоянно направлена
в полюс (рис. 2.9, д), что соответствует потере устойчивости крановой
стрелы из плоскости действия нагрузки. Существенное влияние на сни-
жение критической нагрузки может оказать податливость опорных
связей (рис. 2.9, ё).
Основные методы определения критических нагрузок. Статический
метод заключается в исследовании уравнений равновесия стержня, нахо-
дящегося в деформированном со-
стоянии. Поскольку прогибы v при
переходе от исходной к отклонен-
ной форме равновесия малы, эти
уравнения можно записать прибли-
женно, основываясь на общем диф-
ференциальном уравнении изгиба:
EJy" =-М.
Рис. 2.8. Зависимость критического на-
пряжения от гибкости стержня
рис. 2.9. Схемы для определения гра-
ничных условий при продольном изгибе
142
Рис. 2-10. Деформированное состоя-
ние стержия при продольном изгибе
Выведем уравнение упру-
гой линии при продольном
изгибе, используя метод началь-
ных параметров. При определе-
нии момента в произвольном
сечении к (рис. 2.10, а) будем
считать, что на левом конце
стержня (в начале координат)
из-за наличия упругоподатли-
вых связей отличны от нуля к
(Мо и Qo) факторы — начальные параметры. Кроме того, допустим, что
сила Р = Ркр при продольном изгибе направлена в ’’полюс” - точку С
(при удалении точки С в бесконечность получим частный случай, соот-
ветствующий задаче Эйлера).
Раскладывая силу Р на составляющие Ру и Pz и полагая, что угол а
очень мал, получаем Pz = Р,гРу = Pv^/b и, следовательно,
M(z) = Мо + Qoz + P^z/b + P(v - v0).
Подставляя это выражение в общее дифференциальное уравнение
изгиба, после преобразований получим дифференциальное уравнение
продольного изгиба:
EJ(v" + a2v) = - [Mo + Qoz + Pv^z/b - 1)],	(2.9)
где a = \J PKp/ (EJ) — параметр критической нагрузки P = РКр, подлежащий
определению.
Отметим, что a = я/(д/) ид = тг/(а/).
Интегрируя неоднородное дифференциальное уравнение и выражая
постоянные интегрирования через начальные параметры, находим
z sin az	sin az
v(z) = V0(l--------+ ---------) + V0 ---------
b	ab	a
( 1 — cos az )	(az — sin az )
_ Mo--------------------Qo -----------------	(2.10)
a2 EJ	a2 EJ
cos az
v'(z) = v0(--------
b
(1 — cos az)
- Qo -------------
a2EJ
1	,	sin az
	) + v0 cos az - Mo 	
b---------------------------------aEJ
(2.11)
M(z) = —EJn" = v0EJa
sin az ,
------ + Vo EJ sin az +
b
sin az
+ Mo cos az + Qo -------------•
a
(2.12)
143
Для определения поперечной силы Q по недеформированной схеме
рассмотрим равновесие элемента ds стержня, находящегося в деформи-
рованном состоянии (рис. 2.10, и) Из уравнения = 0 получим
Сд = dM/dz = Q + P(dv/dz),	(2.13)
где Сд - поперечная сила, определяемая по деформированной схеме.
Из этого выражения с учетом формулы (2.11) следует, что в общем
случае
Q(z) = v0a2£J/b.	(2.14)
При b — 00 все приведенные выше уравнения упрощаются и, в част-
ности. g(z) = go-
Дифференцируя выражение (2.13), можно получить выражение
фиктивной поперечной нагрузки q. (по деформированной схеме). Учи-
тывая, что при сжатии стержня <7 = 0, получаем
<7ф=^"	(2.15)
Дважды дифференцируя уравнение (2.9) при EJ = const, можно за-
писать дифференциальное уравнение продольного изгиба в виде
EJv™ + Pv" = 0 или EJv™ = -<7ф-	(2.16)
В уравнениях (2.10) — (2.14) неизвестными всегда являются лишь
два начальных параметра; два других либо известны, либо связаны с
неизвестными параметрами определенными зависимостями (в случае
податливой опоры на левом конце). При этом прогиб v0 связан с попе-
речной силой Qo, а угол поворота Vo — с моментом Мо; каждому кине-
матическому фактору соответствует статический.
Используя два граничных условия на правом конце стержня, полу-
чаем два однородных уравнения, содержащих кроме двух неизвестных
начальных параметров искомый параметр критической нагрузки а. Для
получения нетривиального решения задачи — определения параметра а,
приравнивают нулю определитель, составленный из коэффициентов при
неизвестных начальных параметрах:
D = 0.	(2.17)
Это условие называется уравнением устойчивости. Минимальный
корень при решении этого уравнения определяет критическую нагрузку.
Поясним сказанное на примерах. На рис. 2.11, а изображен консольный стер-
жень, сжатый силой, направленной при продольном изгибе в полюс С, лежащий в за-
делке В. Параметры b = I, М„ = 0, Qo = 0, vj = 0 и v" = 0, перемещение v0 и угол по-
ворота vc неизвестны. Используя формулы (2.10) и (2.11), получим следующую
систему уравнений:
sin al	sin al
vo ----- + v0'-----= 0;
al	a
cos al— 1
v0 (---------) + cos al = 0.
144
Раскрывая определитель (2.17), получим sin al = 0, откуда al = птт (и = 1, 2,
3 ...); таким образом, наименьшая критическая сила (п = 1) РКр = я2EJ/Р (ц- 1).
Следовательно, при силе, направленной в полюс, лежащий в заделанном конце
Г стержня, критическая сила в 4 раза больше, чем в том случае, когда сила сохраня-
ет свое первоначальное направление (рис. 2.19, б).
Исследуем роль податливости ip закрепления. На рис. 2.11, б изображен кон-
сольный стержень с упругозащемленным правым концом. Сила Р сохраняет перво-
начальное направление при потере устойчивости (Ь = °°); начальные параметры:
v„ и Vg неизвестны,Мо = О, Q„ = 0; граничные условия: v, = 0; v; = — Mi^ = Рч^у.
Используя формулы (2.10) и (2.11) и учитывая, что Р = a1 EJ, после преобразова-
ли иий получаем систему уравнений:
sin al
v0 + vj------= 0;
ИГ»
к-
Ism
'JH
a2E7^v0 + vo'coso'/=0.
Вводя обозначение относительной податливости:
EJ
A =-------=------<p ,
U(EJ) I
из решения системы уравнений находим
a/-tgcj = 1/Л.
Из анализа этого выражения следует, что при жесткой опоре Я(^ = А = 0)
tg al = о»; а! = я/2 и ц = 2. Если, например, А = 1, то а! = 0,8605 и ц = 3,65. Таким об-
разом, критическая нагрузка в этом случае будет в 3,33 раза меньше, чем в стерж-
не с абсолютно жесткой опорой.
Когда жесткость стержня при изгибе переменна по длине, т.е. EJ Е
=# const, интегрирование дифференциального уравнения (2.9) существен-
но усложняется, и точное решение можно получить лишь для частных
задач.
Метод конечных разностей не усложняется при расчете стержней с
EJE const. В этом его основное преимущество.
Применяя метод конечных разностей, обычно перемещения у отсчи-
тывают не от оси стержня, а от линии действия силы. Обратим внимание
на то, что лишь в стержнях, жестко закрепленных по концам, зти переме-
щения равны прогибам v. Вследствие изложенного момент от продоль-
ной критической силы Р в произвольном сечении М-Ру Подставляя
это выражение в общее дифференциальное уравнение изгиба EJv = — М
и записывая производную v” в конечных разностях (см. п. 1.7.2),после
145
преобразований получаем следующее уравнение продольного изгиба в
конечных разностях для к-й узловой точки:
Ук+i + ^к~2УУк + Ук-1 = 0’
P = Ps2I (£70),	(218)
где у — перемещения узловых точек упругой линии;	— коэффициент уз-
ловой жесткости (здесь /0 — момент инерции произвольного сечения, принимае-
мый за основной; — момент инерции в к-м сечении стержня); s — интервал меж-
ду узлами; р — параметр критической нагрузки (рис. 2.12, а, б) .
Уравнение (2.18) можно использовать лишь в тех случаях, когда за-
дача внешне статически определима (рис. 2.12, а, 6) . Если же она внешне
статически неопределима (рис. 2.12, в), то в основу расчета следует по-
ложить дифференциальное уравнение (2.16) четвертого порядка, кото-
рое в конечных разностях (при EJ = const) имеет вид:
У*_2+ (/3-4)^_1 + 2(3-(3)^+ (/3"4)УЛ+1 + ^+2 = 0.
(2.19)
Составляя систему алгебраических уравнений (2.18) и используя ус-
ловие (2.17), получают уравнение, разрешимое относительно парамет-
ра /3.
Рассмотрим пример определения критической силы для шарнирно опертого
стержня, момент инерции которого изменяется по закону квадратной параболы:
4z(/-z)
/ = Jo --------(рис. 2.12, б). Для этого разобьем длину стержня на четыре рав-
Z	J2
ные части. С учетом симметрии получим следующую систему уравнений (2.18) :
(рс, -2)у, + у2 =0;
2>, + (0с2 - 2)у2 = 0.
Так как Jt - 0,75 J2, то с, = 4/3, ас, = 1.В соответствии с (2.17) получим
ftnin = 0,5, а следовательно, Ркр = "PEJ/t2, что совпадает с точным решением [ 5 ].
Характерно, что, разбивая длину стержня даже пополам, получим тот же резуль-
тат. В данном случае точное решение задачи обусловлено тем, что уравнением упру-
гой линии является квадратная парабола, совпадающая с аппроксимирующей кри-
вой метода конечных разностей. Во всех других случаях метод конечных разнос-
Рис. 2.12. Схемы для опре-
деления критических сил
методом конечных разнос-
тей
146
тей дает приближенное значение критической нагрузки, причем для стержней пос-
тоянного сечения - заниженное.
Энергетический метод основан на рассмотрении полной энергии сис-
темы Э, находящейся в отклоненном деформированном состоянии. Ча-
ще всего его применяют в форме метода Ритца (см. п. 1.4.4). Задаваясь
уравнением изогнутой оси стержня v = v (z) при помощи семейства упру-
гих кривых (z), каждая из которых должна удовлетворять кинемати-
ческим граничным условиям, составляют выражение полной энергии
системы (1.65), в котором первое слагаемое IV представляет собой энер-
гию изгиба стержня, а второе Т — работу, совершаемую силой Р, на вза-
имном перемещении Д концов стержня при его изгибе (рис. 2.13, а).
Величину Д связывают с функцией v(z), для чего определяют раз-
ность между длиной элемента ds изогнутой оси и длиной его проекции
dz; затем полученное выражение интегрируют по длине (рис. 2.13,а, б).
Так как dz = у/ds2 ~ dv2' я» ds [ 1 - 0,5 (v')2 ], то Adz = 0,5 (v')2 dz и, следова-
тельно,
Д =0,5 ( (y’)2dz .	(2.20)
I
Таким образом,
1	M'dz	1
3=W-T= — S ---------~—PS (v)2dz ,	(2.21)
2 I EJ	2	I
или
Э = — J EJ(y")2 dz-^-P S (v')2 dz .	(2.22)
2 l	2 I
Из условий минимизации энергии (1 73) получают систему п линей-
ных алгебраических уравнений относительно неопределенных парамет-
ров а-. Затем находят критическую нагрузку из равенства нулю опреде-
лителя полученной системы уравнений — условия, аналогичного (2.17) .
Если параметр а один, то из выражения (1.73) непосредственно следует

Отметим, что критическая нагрузка, определяемая энергетическим
методом, всегда получается завышенной (если, конечно, упругая кривая
не оказалась выбранной точно).
При применении метода Ритца часто расчеты можно упростить, если
за неопределенные параметры а,- принимать не перемещения, а силы. В
этом случае получаемые упругие кривые будут автоматически удовлет-
ворять граничным условиям и ’’учитывать” изменение момента инер-
ции по длине.
Поясним сказанное на примере определения критической силы для консоль-
ного стержня (см. рнс. 2.13, а). Задаваясь упругой кривой в виде ряда v = c,z2 +
+ a2z4 (рис. 2.13, в), получим в соответствии с выражением (2.21):
Э=2ЕЛ[а2 + 4a.a2Z2 + (36/ 5)а2 Г ] - 2РР [ (1/3) а? +
+ (4/5) а,агГ + (4/7) а2Р ].
Выполняя условия минимизации (1.73) , получаем систему уравнений
(£J-PZ2/3)a1 + (2£Л2 -2Я4/5)с2 =0;
(£7-Р12/5)о, + (18ЕЛ2/5-2/74/7)с2 =0.
Из условия, аналогичного (2.7), получаем квадратное уравнение относитель-
но (Pl/EJ), решая которое находим. Л<рт1п = 2>5 что лишь на 1,2 % вы-
ше точного значения.
Решим эту же задачу с использованием силовых параметров с/. Прикладывая
к свободному концу стержня неопределенную силу а (рис. 2.13, г), построим эпю-
ру моментов Ма н запишем уравнение упругой кривой: v = |о/ (EJ) ] (lz/2 — z3 /6).
В соответствии с выражением (1.33) получим W = а2 Р / (6EJ). Дифференцируя
v(z) и подставляя полученное выражение в формулу (2.20), получаем Д =
= c2l5/(15£2J2). Используя зависимость (2.23), находим Ркр = 2,SEJ/P. Этот ре-
зультат решения задачи с одним силовым параметром совпал с результатом, полу-
ченным при применении двух кинематических параметров.
Устойчивость пластин. Стенки высоких балок, ребра жесткости и
другие элементы сложных конструкций представляют собой прямо-
угольные пластины, в срединной плоскости которых могут действовать
нормальные ох и оу и касательные т = тху - тух напряжения
(рис. 2.14, д). Толщина этих элементов, определяемая из условий проч-
ности, может быть достаточно малой, поэтому их необходимо рассчиты-
вать на устойчивость. Местная потеря устойчивости пластины, как эле-
мента конструкции, может произойти раньше, чем наступит общая поте-
ря устойчивости конструкции в целом. Однако вследствие потери устой-
чивости элемента могут существенно перераспределиться усилия и воз-
никнет опасность потери общей устойчивости конструкции.
Методы расчета пластин на устойчивость те же, что и при расчете стер-
жней, только при этом определяют не критические силы, а критические
напряжения.
Статический метод определения критических напряжений основан на
решении дифференциального уравнения (1.142) изогнутой поверхности
пластины, в котором выражение q(x, у) представляет собой фиктивную
интенсивность поперечной нагрузки <7ф(х, у), полученную аналогично
выражению (2.15):
a2 w a2w
<7. = — (о --------+ о -------
ф х Эх2 У ду2
a2 iv
+ 2т---------)h .
эхау
(2-24)
148
Рис. 2.14. Схемы для определения критических напряжений в пластинах
SipU
Таким образом, дифференциальное уравнение изгиба пластины при
потере устойчивости имеет ввд:
D	a4w	d4w
— (----- + 2------+
h	эх4	ах2ay2
a4w
ay4
•) +
a2™ a!w a2w
+ (o ------+ 2т--------+ и --------) = 0.
ax2 ax ay y ъу2
(2-25)
При интегрировании этого уравнения необходимо учитывать гранич-
ные условия.
Если пластина сжата в одном направлении (рис. 2.14, б, в), уравне-
ние (2.25) имеет вид:
£> a4w a4w a4w a2w
— (-----+ 2 - —— + -----) + ov---= 0.
h ax4 ax2 ay2 ay4	ax2
(2.26)
При шарнирном опирании торцовых краев пластины и свободных
продольных краях (см. рис. 2.14, б) выпучивание ее происходит по ци-
линдрической поверхности w = w(x), и критическое напряжение опреде-
ляют по формуле Эйлера с заменой жесткости EJ на цилиндрическую
жесткость/): акр = тг2/)/(Лс2).
Обычно формула критических напряжений в пластинах содержит не
длину а пластины, а основание b и имеет следующий вид:
7Г2П „2е	h „
и = к------= к----------(—)2
кр hb2 12 (1-м2) b
(2.27)
где к — коэффициент, зависящий как от отношения а/b размеров пластины, так и
от граничных условий; значения коэффициента к для этого и других случаев табу-
лированы (Справочник проектировщика (расчетно-теоретический). (Кн. 2
М.: Стройиздат, 1973. С. 270 - 277).
149
При шарнирном опирании всех четырех краев пластины (см.
рис. 2.14, в) решение уравнения (2.26), удовлетворяющее всем гранич-
ным условиям, имеет вид w = /sin (тттх/а) sin (trny/b), где тип — числа
полуволн по направлениям осей х и у.
Найдем значение акр для квадратной пластины (а = Ь), шарнирно
опертой по краям, полагая т = п = 1. Подставив выражение w(x, у) в
уравнение (2.26), получим окр = 4 л2 Z>/ (йб2), что в 4 раза больше крити-
ческого напряжения для шарнирно опертой по двум краям пластины. Ха-
рактерно, что для длинных пластин (а > 26), шарнирно опертых по кра-
ям, критическое напряжение вычисляют по этой же формуле, так как
изогнутая поверхность пластины состоит из участков, близких к квад-
ратным; при этом в каждых смежных участках образуются полуволны
разных знаков (рис. 2.14,г).
Если по краям шарнирно опертой пластины действуют только каса-
тельные напряжения тху, то критическое напряжение сдвига при а~2*Ъ
можно определить по формуле, аналогичной (2.27) .
гдеЛ, = 5,34 + 4 (6/<?)2.
При комбинированном напряженном состоянии пластины крити-
ческие напряжения будут меньше, чем критические напряжения при раз-
дельных напряженных состояниях. Например, при совместном действии
усилий сжатия, равномерно распределенных по краям л = Оих=а, и
касательных усилий, равномерно распределенных по всем краям шар-
нирно опертой пластинки, формула для определения критических напря-
жений имеет вид
°КР + ( гкр уг _ J
°0 кр токр
где аокр и тОкр - критические напряжения сжатия и сдвига для пластины заданных
размеров н граничных условий при раздельном действии усилий сжатия и сдвига.
Из этого уравнения можно найти критические напряжения, если зада-
но отношение окр/ткр или одна из этих величин. При других комбина-
циях напряжений формулы, определяющие критические напряжения, бу-
дут иметь иной ввд [3].
Применение метода конечных разностей проиллюстрируем на приме-
ре пластины, сжатой в одном направлении. Запишем уравнение (2.26) в
конечных разностях для узла ij квадратной сетки (см. п. 1.7.2):
D
[20 w.. - 8 (ж j+l + w. j + w. + t, . +
+ wi- l,/>+ 2<^ + 1,/+ 1 + wi- i,/+ i + ”l + i.,_ i +
+	+ (wi,i+2 + wiJ-2 + wi + 2,j + wi-2,^ +
+ okp<wi+	+ W'I-1,/)] = O-	(2-29)
150
n'ul 1
w
>1\^.
Пжцу
Ввр
/C-.il
".ж да»
imr.
й('“
Рис. 2.15. Схемы для определения критических напряжений в пластинах методами
конечных разностей и энергетическим
Определим критическое напряжение окр для квадратной пластины
(а — Ь), шарнирно опертой по всем краям. Решим задачу в самом грубом
м	приблю гении, полэгах; $ = 6/2 (рис. 2.15,с). Используя уравнение (2.29)
_	и учитывая граничные условия (w_, = - Wj), получаем окр = 8D/ (hs2 ) =
j,ipi = 32£>/ (hb2). Это в 1,23 раза меньше точного значения, что естественно
ио-чпри такой "грубой” сетке.
иныхыиг Применение энергетического метода поясним на примере сжатой
ширя пластинь , имеющей шарнирные опирания на нагруженных краях и жест-
кие защемления на ненагруженных краях (рис. 2.15, б). Сначала запи-
шем общие выражения потенциала внутренних и внешних сил. Потен-
циальная энергия деформации изгиба пластины:
гари- вкк®	D о b f H/=	j j <(	+ 2 00^ B2W	1 -( — YUdxdy. dxdy	J	d2W	B2W d2W ——)-2(l-JU)[ —- — -- 3y	Bx By2	(2.30)
M)f- М.1	Работа внешних сил при h a b	aw T = — J J [ox(	)2 2 0 0	sx	потере устойчивости пластины Bw _ + O (	У + y Sy	
	Bw Bw + It	] dxdy. y ax dy		(2-31)
При сжатии пластины в одном направлен™ (о = const, о = т = 0)
х	у ху
h b	a	aw
т= — f °х [ f (---)2 dx]dy.
2 о	о	э*
151
Задаваясь уравнением изогнутой поверхности пластины w =
= f sin (jn-пх/а) sin2 (jty/b), которое удовлетворяет всем граничным ус-
ловиям задачи, получаем
п“	Зт* b 8m2	16 а
---Df ( — + -----------+ ------);
32	а3 аЪ Ь3
3	, , „ Ь
Т =----ohf1 т2 тГ —
32 х	а
Так как выражение полной энергии Э = W — Т системы содержит
только один неопределенный параметр f, то непосредственно из равен-
ства IV и Т находим
где X = с/ (mb).
Если а > Ъ, то минимальное значение Од. находим из условия ЭОд./ЭХ =
= 0, откуда получаем X = 0,658 и окр = 7 3 ir D/ (hb2), что превышает точ-
ное значение всего на 4 %. Следовательно, при жестком защемлении про-
дольных краев пластины критическое напряжение значительно выше
(в 1,825 раза), чем при их шарнирном опирании.
Расчет систем по деформированному состоянию. Сжато-изогнутые
стержни рассчитывают по деформированному состоянию, при котором
нарушается линейная зависимость между усилиями в связях (или пере-
мещениями точек) и нагрузкой.
Нелинейность силовых и кинематических факторов от действия на-
грузки может быть физической (не соблюдается закон Гука) и геомет-
рической. Ниже рассматриваются вопросы, связанные с геометрической
нелинейностью, обусловленной относительно большими перемещениями
точек системы. В этих случаях принцип суперпозиции неприменим и рас-
четы по недеформированному состоянию недопустимы.
На рис. 2.16, а показан стержень в состоянии продольно-поперечного
изгиба, а на рис. 2.16, б приведена зависимость прогибов v от продоль-
ной силы Р(Т = кР); из которой следует, что рост перемещений v и,
соответственно, внутренних сил опережает увеличение силы Р. Могут
быть и другие зависимости между этими факторами. В двухстержневой
системе (рис. 2.16, в), моделирующей участок деформируемой цепи или
гибкой нити, при увеличении силы Р угол у и усилия в стержнях уменьша-
ются. В этом случае интенсивность увеличения внутренних сил и, соот-
ветственно, перемещения Д меньше интенсивности увеличения силы Р
(рис. 2.16, г).
Рассчитывать сжато-изогнутые стержни по деформированному со-
стоянию можно различными методами. Поясним их применение на прос-
тейшем примере консольного стержня, нагруженного продольной силой
Р и поперечной силой Т на свободном конце консоли (рис. 2.16, а). В се-
чениях помимо сжимающих усилий возникают изгибающие моменты от
152
Рис. 2.16. Схема и зависимости для расчета систем по деформированному
состоянию
поперечной и продольной нагрузок. В соответствии с выражением (2.6)
максимальное напряжение сжатия
N	Мп+ Ny
О--------+ ----------
ГПах р	w
(2.32)
гдеЛ = Р; у — плечо силы N; Мп - момент от поперечной нагрузки.
Точное решение задачи [5] заключается в решении неоднородного
дифференциального уравнения продольно-поперечного изгиба:
EJ(y" + *v) = -Mn,	(233)
где к = J PI (EJ).
По структуре это уравнение похоже на дифференциальное уравнение
продольного изгиба (2.9). Структурно совпадает и уравнение упругой
линии, записанное по методу начальных параметров. Принципиальное от-
личие заключается в том, что при продольно-поперечном изгибе опреде-
ляется не параметр нагрузки (к известно), а перемещения v (z). Если
продольная сила Р связана с поперечной силой Т линейной зависимостью
Р = РТ (или, наоборот, 7’ = /3iP), го функция v(z) будет зависеть лишь от
одного силового фактора Р (или 7).
Уравнение упругой линии v(z) для рассматриваемого случая имеет
вид
, sin kz (kz — sin kz)
v = v0 + v0 -----+ T--------------.
к	к3 E J
Дважды дифференцируя это выражение и учитывая граничные усло-
вия (yz _ i - 0 и v'z _ i = 0), после преобразований получим полный мо-
153
мент в заделке М - - T(tg kl) /к. В частном случае, когда Р - EJ/12 -
= 0,4Рэ (k^l/l),Mz = l = -i,56Tl.
На рис. 2.16, д изображена зависимость omax = f(P), из которой сле-
дует, что при продольно-поперечном изгибе интенсивность увеличения на-
пряжений больше интенсивности увеличения нагрузки. Поэтому оценка
прочности при продольно-поперечном изгибе по допускаемым напряже-
ниям не обеспечивает истинного запаса прочности; расчет следует вести
по допускаемым нагрузкам: [Р] = Рт/к3 (где к3 — коэффициент запаса).
Кроме точного метода, сопряженного с математическими сложнос-
тями, существуют различные приближенные методы. Чаще всего приме-
няют в различных вариантах способ последовательных приближений
(итераций). Изложим порядок расчета по одному из них на примере рас-
сматриваемого стержня (рис. 2.17, с).
1.	Для заданной системы по недеформированной схеме определяют
основные силы 5° и прогибы v°, соответствующие основному деформи-
рованному состоянию. (При расчете крановых стрел в основном дефор-
мируемом состоянии учитывают также неточность изготовления, зада-
ваемую отношением возможных прогибов к длине стрелы).
Как следует из рис. 2.16, е, в рассматриваемом примере Мд = —П и
= 773/(ЗЕ7).
2.	По основному деформированному состоянию определяют прира-
щение любого фактора Д5' в первом приближении. В данном примере
этим фактором является изгибающий момент ДМ' - Pv°. При этом
ДМд = - Р(Т13)/(ЗЕЕ). Принимая, как и ранее, Р = EJ/11, получают
ДМ^=-77/3.
3.	Систему вновь рассчитывают по недеформированной схеме на дей-
ствие приращения Д5', в результате чего определяют приращения пере-
мещений Ду' и параметры деформированного состояния в первом приб-
лижении.
Далее процесс повторяют, и полные усилия и перемещения определя-
ют по формулам:
5 = 5° + Д5’ + Д5" + ...;	(2.34)
v = v° + Ду'+ Ду" + ....	(2.35)
Как правило, эти ряды быстро сходятся и для определения 5 и v
достаточно двух- трех итераций.
Для данного примера при использовании графоаналитического ме-
тода определения перемещений [8] получим; Ду^ ~ 0,437 vj = 0,145 X
X 773/ (EJ), ДМ" = - 0,145 П, Ду^ « 0,437 n'a = 0,064 77 3 / (£7), ДМ1" =
= - 0,064 77; следовательно,М„ = - (1 + 0333 + 0,145 + 0,064) 77 = — 1,542Х
X 77 и v = (0333 + 0,145 + 0,0&) ТГЦЕЕ) = 0,542 773/ (£7). Как видим, от-
клонение от точного значения момента Мо составляет около 1 %.
Отметим, что в данном случае процесс итерации сходится медленно
из-за сравнительно большой продольной силы (Р * 0,4 Рэ). При мень-
шей продольной силе сходимость ряда осуществляется значительно быст-
рее. Если Р -*Рэ, процесс итерации вообще не будет сходящимся.
Существует еще один способ приближенного расчета по деформиру-
154
емому состоянию,согласно которому прогиб v при продольно-поперечном
изгибе определяют по формуле (справедливой лишь при Р/Рэ < 0,75)
vn
v =-------
1 ~р/рэ
(2.36)
где vn - прогибы от поперечной нагрузки, определяемые по недеформированной
схеме; Р - продольная сила; Рэ = п2EJ/ (ц/)2 - эйлерова сила.
Для рассматриваемого примера (P=EJ/l2} vA = 0,56 773/(£У), что
незначительно отличается от прогиба, полученного выше. Отметим, что
формулой (2.36) удобно пользоваться тогда, когда упругие линии при
продольно-поперечном изгибе и при поперечном изгибе подобны по ха-
рактеру.
2.3.	РАСЧЕТ И ПРОЕКТИРОВАНИЕ СВАРНЫХ,
ЗАКЛЕПОЧНЫХ И БОЛТОВЫХ СОЕДИНЕНИЙ
в
2.3.1.	ОСНОЕНЫЕ ТИПЫ СОЕДИНЕНИЙ
Металлические конструкции образуются из отдельных узлов и дета-
лей при помощи соединений. Соединением называется совокупность сое-
диняемых деталей и соединительных элементов (сварных швов, болтов
и тд.). Кинематически соединяемые детали можно рассматривать как
диски или блоки, а соединительные элементы — как связи. В зависимос-
ти от характера связей различают подвижные и неподвижные соеди-
нения.
Неподвижные соединения разделяют на разъемные и неразъемные.
Разъемные соединения применяют тогда, когда в период эксплуатации
металлоконструкции может потребоваться ее монтаж или демонтаж. Не-
разъемные соединения применяют в тех случаях, когда демонтаж конс-
трукции не требуется в течение всего срока эксплуатации. Основным
разъемным соединением является болтовое; в качестве неразъемного
соединения в большинстве случаев используют сварное, реже — заклепоч-
ное соединение.
2.3.2.	СВАРНЫЕ СОЕДИНЕНИЯ
Типы сварных соединений и сварных швов. Сварные соединения со-
гласно ГОСТ 5264—80 разделяют на стыковое (рис. 2.17, а, б, в) , угло-
вое (рис. 2 17, д), тавровое (рис. 2.17, е) , нахлесточное (рис. 2.17, г) .
Каждое соединение может быть односторонним (рис. 2.17,6,6) иди дву-
сторонним (рис. 2.17, г, е) ; со скосом кромок (рис. 2.17, б) или без
скоса (рис. 2.17, в), с отбортовкой (рис. 2.17,а); сварка выполняется с
подкладкой (рис. 2.17, в) зли без нее (рис. 2.17,6). Сварные швы мо-
гу” быть стыковыми или угловыми. Например, нахлесточное соединение,
показанное на рис. 2.17, г, выполнено угловым швом, а соединения, по-
казанные на рис. 2.17, б — в, — стыковыми швами. Угловые швы наи-
155
Рис. 2.17. Сварные соединения эле-
ментов конструкций
Рис. 2.18- Сварные швы
более распространены и по мас-
се наплавленного металла сос-
тавляют около 90 % от общего
числа сварныЛ швов.
По расположению относительно внешнего растягивающего усилия
(рис. 2.18) стыковые швы разделяют на прямые (Л) и косые (III), а уг-
ловые — на лобовые (I), фланговые (IV) и косые. По ответственности
швы разделяют на рабочие и связующие. Разрушение рабочего шва при-
водит к разрушению конструкции. Связующие швы деформируются сов-
местно с соединяемыми деталями, которые способны сопротивляться на-
грузке и без швов. Следовательно, связующие швы служат только для
взаимной фиксации деталей и на прочность не рассчитываются.
Размеры сечения сварных швов. Толщину стыковых швов при свар-
ке элементов конструкции, выполненных из стальных листов, обычно
принимают равной минимальной толщине листа. Основным размером,
характеризующим сечение углового шва, является катет шва к (см.
рис. 2.17, г). Максимальное значение катета шва не должно превышать
1,2 толщины более тонкого из свариваемых элементов. Минимальное
значение катета шва определяется из прочностного расчета и должно на-
ходиться в пределах, указанных ниже.
Толщина более
толстого из сва-
риваемых эле-
ментов, мм . . .	От 3 до 4	Св. 4 до 5	Св. 5 до 10	Св 10 ДО 16	Св. 16 до 22	Св. 22 до 32	Св. 32 до 40
Минимальный							
катет шва (мм)							
при пределе							
текучести ста-							
ли, МПа:							
До 400		3	4	5	6	7	8	9
Св. 400 до 450 . .	4	5	6	7	8	9	10
Сопряжеиие элементов в сварных узлах. Отдельные балки, выпол-
ненные из прокатных профилей (швеллеров, угловой стали) и образую-
щие раму, соединяют в узлах сваркой (рис. 2.19, а, б) . Сопрягаемые эле-
менты подготавливают для сварки: делают скосы кромок (см.
рис. 2.17); при соединении деталей по схеме, показанной на рис. 2.19, б,
156
а) е)
Рис. 2.19. Сварные узлы
полки одной из балок срезают, чтобы стенка этой балки могла располо-
житься внутри второй балки, что позволяет увеличить суммарную длину
швов. Для увеличения жесткости используют косынки (рис. 2.19, с), а
для обеспечения местной устойчивости стенок и полок — ребра жест-
кости.
Для решетчатых систем, выполненных из угловой стали, предпочти-
тельными являются узлы с использованием сдвоенных уголков
(рис. 2.19, в). При симметрии узла относительно плоскости фермы и пе-
ресечении геометрических осей стержней, сходящихся в узле, в одной
точке в узлах не действуют изгибающие моменты. Использование косы-
нок позволяет расположить на них сварные швы нужной длины. Однако
такая конструкция не лишена недостатков, главным из которых явля-
ется относительная сложность изготовления. Поэтому в решетчатых си-
стемах, используемых в дорожностроительных машинах, чаще применя-
ют одинарные уголки, свариваемые без косынок (рис. 2.19, г). Такая
конструкция допустима при условии, что расчетная длина шва не превы-
шает длину контура прилегания свариваемых деталей. Геометрические
оси стержней в таких узлах, как правило, не пересекаются в одной точке,
что приводит к появлению в узле изгибающего момента.
При действии узловых изгибающих моментов стержни работают на
растяжение-сжатие с изгибом, что приводит к некоторому увеличению
массы конструкции.
Если в решетчатой конструкции применены стержни из труб, то при-
легание элементов в узле обеспечивается различными способами
(рис. 2.19, д-к). Соединение, изображенное на рис. 2.21, и, обеспечиваю-
щее хороший контакт свариваемых деталей, требует сложной механи-
ческой обработки. Более распространенными являются варианты с врез-
кой (рис. 2.19, е) или с расплющиванием конца привариваемой трубы
(рис. 2.19, д, ж).
Учет технологических факторов при проектировании сварных узлов.
При проектировании сварных соединений необходимо иметь информа-
157
цию о возможностях завода-изготовителя, так как расчет соединений
учитывает технологию их изготовления.
Рекомендуется применять автоматическую или полуавтоматическую
сварку под флюсом или в углекислом газе; ручную сварку целесообраз-
но применять только в тех случаях, когда более совершенные способы
сварки использовать невозможно.
С целью увеличения усталостной долговечности швов, в том числе
для металлоконструкций, работающих в условиях холодного климата,
необходимо на стадии проектирования учитывать рекомендации, разра-
ботанные Институтом электросварки им. Е.О. Патона и вошедшие в
ГОСТ 14892—69**. В одном соединении не следует применять более двух
разных марок стали. Сечения сварных элементов рекомендуется проек-
тировать симметричными без стыковых швов в зоне растяжения. Запре-
щается использовать комбинированные соединения с применением одно-
временно сварки и заклепок (болтов) . Следует избегать резких измене-
ний сечений и других факторов, вызывающих повышенную концентра-
цию напряжений; необходимо отдавать предпочтение соединениям с на-
именьшей концентрацией напряжений, таким, как стыковые, нахлесточ-
ные с обваркой по всему контуру. Целесообразно применять обработку
соединений после сварки для снятия остаточных напряжений и повыше-
ния выносливости соединения: термообработку (отпуск) , механическую
обработку швов, предварительную перегрузку, местное пластическое об-
жатие металла вблизи соединения и т.д. Рекомендуется избегать пересе-
чения угловых швов. Угловые швы должны иметь вогнутую форму с
плавным переходом к основному металлу, что достигается выбором ре-
жима сварки или механической обработкой шва. Расчетная длина шва
должна быть не менее 40 мм и не менее четырехкратного размера катета
шва.
2.3.3.	РАСЧЕТ СВАРНЫХ СОЕДИНЕНИЙ
Стыковые швы. Косые стыковые швы при угле наклона а < 67° не
уступают по прочности основному металлу и на прочность не рассчиты-
ваются. Однако применение их не всегда экономически оправдано из-за
потерь при раскрое листовой стали. Прямые стыковые швы равнопрочны
с основным металлом при условии соблюдения всех рекомендаций и ка-
чественного провара начала и конца шва. При поверочном расчете пря-
мых стыковых швов сравнивают напряжение о с расчетным сопротивле-
нием разрыву RCB металла шва. При одновременном действии на соеди-
нение продольной силы N и изгибающего момента М (см. рис. 2.18,
шов 1Г) прочность проверяют по неравенству:
N	М	N
О =--+ ---=----- +
F	W	Ы
Р
6М
<R к
св у
(2.37)
где F — площадь сечения шва; W — момент сопротивления сечения шва; 6 — толщи-
на шва; /р - расчетная длина шва, равная его действительной длине, если применя-
лись выводные планки, или уменьшенная на 10 ... 20 мм в противном случае; ку —
коэффициент условий работы.	Л
158
2.3. Расчетные сопротивления металла
угловых швов
Тип элек-	Марка	Я св .с
трода	проволоки	МПа
342; 342А	Св-08; Св-08А	180
346; Э46А	СВ-08ГА	200
350; 350А	СВ-О8Г2С	215
360	Св-ЮНМА	2ч0
370	СВ-10ХГ2СМА	280
Рис. 2.20. Расчетная схема сварного сое-
динения
Угловые швы. Сварные соединения с угловыми швами рассчитывают
на срез по одного из двух сечений: по металлу шва (по площадке,про-
ходящей через биссектрису угла шва; линия г на рис. 2.17, г) или по ме-
таллу границы сплавления основной детали и шва. Расчетным является
соотношение
к ,	(2.38)
св.с у'	v '
где т — касательное напряжение; Лсв с — расчетное сопротивление срезу (см.
табл. 2.3).
Согласно СН.1П П-23—81 и ’’Пособию по расчету и конструированию
сварных соединений стальных конструкций” (ЦНИИСК им. Кучерен-
ко. — М.гСтройиздат, 1984. — 40 с.) расчетные сопротивления определя-
ются типом электрода или маркой сварочной проволоки.
Основной трудностью при расчете сварных швов является обосно-
ванное определение максимального касательного напряжения в наиболее
нагруженном участке шва. Для этого принимают допущения о вероятном
характере распределения напряжений по отдельным швам и по длине
швов.
Рассмотрим расчет сварного соединения, нагруженного моментом
Mi, продольной силой N и поперечной силой Q (рис. 2.20). Он основан
на допущении, что детали являются жесткими, а деформируются только
сварные швы, причем под действием момента соединяемые детали пово-
рачиваются одна относительно другой вокруг центра масс О шва. Мо-
мент М является суммой внешнего момента Мi и момента, создаваемого
поперечной силой Q:
М=Мг+ (L + li-a)Q.	(2.39)
Сначала найдем напряжения, создаваемые моментом М. Его можно
представить как сумму элементарных моментов, воспринимаемых эле-
ментарными участками шва:
dM = rdT=rrMdF,	(2.40)
где г — расстояние от рассматриваемой точки К шва до центра О; dT — элементар-
ная сила, действующая на участок шва; — касательное напряжение; dF — эле-
ментарная площадь.
159
Поскольку приняли, что соединяемые детали не деформируются, де-
формации участков шва пропорциональны расстояниям г и, следователь-
но, тм - сг, где с — коэффициент пропорциональности, равный касатель-
ному напряжению в точке, удаленной от точки О на расстояние г = 1. Ин-
тегрируя выражение (2.40), получаем
М = с J r2dF-cJ=c(J + J),	(2.41)
F	"	'
где Jp — полярный момент инерции; Jx, Jy — осевые моменты инерции швов.
Из формулы (2.41) находим
c=M/(Jx + J).	(2.42)
Напряжение от момента М в рассматриваемой точке К
TM=Mr/(Jx + Jyy	<2-43)
Наибольшее касательное напряжение гтах действует в точке А, для
которой г = rmax - \Jx2 + у2, где х, у — координаты точки А:х=11 ~а,
у = h /2. Следовательно,
ТМ = ТМ max =Му/х2+у2 I (Jx + Jy).	(2.44)
Напряжения tn от действия продольной силы N определим исходя из
предположения об их равенстве на всех участках швов:
N N
F (21, + 12)к(3
(2-45)
где к - катет шва; р - коэффициент, учитывающий технологию процесса сварки
(/3 = 0,7 ... 1,1; принимается по данным СНиП 11-23-81; для ручной дуговой сварки
/3 = 0,7).
Аналогично определяем напряжение то, создаваемое поперечной си-
лой Q:
tq = Q/F = QI (2/i + l2) k(5 .	(2.46)
Суммарное касательное максимальное напряжение
т =7М + TN + TQ 	(2-47)
Геометрическую сумму (2.47) можно вычислить, используя уравне-
ния векторной алгебры или определить методом построения многоуголь-
ника напряжений. При проверке условия (2.68) принимают ку = 1, при
работе конструкции в районах холодного климата ку = 0,85.
В частных случаях расчет угловых швов упрощается. Рассмотрим на-
хлесточное соединение несимметричного профиля (например, углового)
с плоским элементом при действии продольной силы N и сварке фланго-
выми швами. Из уравнения проекций всех сил на ось уголка (рис. 2.21)
получим 7?! + R2 = N (где R} и R2 — силы реакции в швах), система
один раз статически неопределима. Чтобы напряжения в двух швах бы-
160
Рис. 2-21. Расчетная схема для нагружения
соединения продольной силой
ли одинаковыми, длины /1 и 12 швов дол-
жны быть разными и находиться в соот-
ношении:
l\lh~R\IR2 = (я-z)/ z, (2.48)
где а — ширина полки; z - расстояние от центральной оси до полки уголка.
При указанном соотношении из условия прочности
N	N
— =--------------к
F (/, + 12)кр свс у
можно определить суммарную длину швов (^ + /2) и по выражению
(2.48) найти длину каждого шва.
Если сваоное соединение подвержено действию циклически изменяю-
щихся нагрузок, его надо рассчитывать не только на статическую проч-
ность, но и на усталостную долговечность с использованием методов, из-
ложенных в п. 2.5.
2.3 .4 ЗАКЛЕПОЧНЫЕ И БОЛТОВЫЕ СОЕДИНЕНИЯ
Заклепочные соединения. Заклепочные соединения используют пре-
имущественно при плохой свариваемости соединяемых деталей или при
недопустимости их нагрева при сварке. Одиночные заклепки для соеди-
нений не применяют, так как в этом случае бътл бы возможен взаимный
поворот соединяемых деталей. При проектировании заклепочного соеди-
нения рекомендуется принимать минимальное расстояние между осями
соседних заклепок равным 3d, а между осью заклепки и краем детали —
не менее (1,5 ... 2)d, где d — диаметр заклепки. Как правило, все за-
клепки одного соединения имеют одинаковый диаметр, причем суммар-
ная толщина соединяемых деталей не должна превышать 5d.
Расчет заклепочного соединения включает проверку прочности сое-
диняемых деталей и расчет на прочность самих заклепок. При этом опре-
деляют напряжения в сечениях, ослабленных отверстиями под заклепки
(например, в сечении .4—.4 на рис. 2.22).
Заклепки рассчитывают на срез и на смятие в два этапа. Сначала вы-
являют наихудший случай нагружения, что сводится к поиску наиболее
нагруженной заклепки и определению усилия среза Гтах, действующего
на нее. Затем проверяют прочность этой заклепки.
Известны два метода расчета заклепочных соединений. При так назы-
ваемом широком заклепочном поле (b/а < 3, рис. 2.22, а) принимают,
что деформация заклепок от действия момента М происходит при пово-
роте деталей относительно центра О заклепочного поля. При узком
заклепочном поле, т.е. при b/а > 3 (рис. 2.22, б), принимают, что дефор-
мация происходит аналогичнс изгибу балки, причем наиболее нагружен-
ными оказываются заклепки, наиболее удаленные от оси балки. В обоих
6 - 555	161
Рис. 2.22. Расчетные схемы заклепочных соединений
методах допускают, что продольная N и поперечная Q силы восприни-
маются равномерно всеми заклепками полустыка.
Определим силу Ттах для узкого заклепочного поля, нагруженного
моментом М, продольной силой N и поперечной силой Q (рис. 2.22, б).
Момент М уравновешивается суммой моментов Rfhit передаваемых на
каждую пару горизонтальных рядов полустыка:
M = Rxhx + R2h2 + ... + R.h.= £ R.h.,	(2.49)
1 1 i = 1 1 ’
где ] = mr/2 при четном числе горизонтальных рядов mr и / = (mr — 1) /2 при нечет-
ном числе рядов, так как полагается, что заклепки, расположенные на оси симмет-
рии, не способны сопротивляться действию момента М.
Из подобия треугольников следует
Ri/R*=hilhi «ли Rt = R i hjh,.
Тогда
М= Ь Rxh2/hi = (Rt/h1) S h2 .
1=1	'	i = 1 '
Отсюда определим суммарную силу сопротивления R r, создаваемую
всеми заклепками внешнего ряда при действии на соединение момен-
та М:
Rx=Mhil S й?,	(2.50)
гдей, - расстояние между внешними горизонтальными рядами заклепок; ^-рас-
стояние между рядами, расположенными симметрично относительно оси.
162
На одну заклепку внешнего ряда действует сила /?]/га, где га — число
вертикальных рядов в полустыке.
Найдем силу Т = Тгпах как геометрическую сумму составляющих
сил:
Гтах = RRJm+ N/")2 + (G/«)2,
(2.51)
где л — mmr — общее число заклепок в полустыке.
Аналогичные выкладки, выполненные для широкого заклепочного
поля в соответствии со схемой, приведенной на рис. 2.22,47, приводят к
следующим расчетным формулам:
гт.« =V<V W + («1у+W;
Myt	Мхх
Х(х’+у?)	S(x?+jA)
(2-52)
R,
lx
(2-53)
где х,, у, — координаты наиболее нагруженной заклепки, находящейся на наиболь-
шем расстоянии от центра О; Xj, yj — координаты i-й заклепки полустыка; л — чис-
ло заклепок в полустыке.
Определив Ттлх, приступаем к проверке прочности наиболее нагру-
женной заклепки на срез и смятие. Обозначим через кп — число поверх-
ностей среза, z — наименьшую суммарную толщину элементов, сминае-
мых в одном направлении. Например, для заклепки, изображенной на
рис. 2.22, в, кп = 2; 2 = 6,+ 63 при 61 +	<62. в противном случае
z = 62.
Проверку прочности заклепки на срез выполняем по условию
т=4Т /(к -nd2)<k R ,	(2.54)
max' v п ' у ср ’	v 7
где d — диаметр заклепки; ку — коэффициент условий работы; ЛСр — расчетное
сопротивление срезу.
Проверку прочности заклепки на смятие выполняем по условию:
о =Т /(zd)<k R ,	(2.55)
см max' v 7 у см ’	v 7
где 1?см — расчетное сопротивление смятию.
Заклепки изготовляют из сталей, прочность которых не превышает
прочности соединяемых элементов, поэтому смягие детали заклепкой
проверять не требуется.
Болтовые соединения. Для болтовых соединений металлоконструк-
ций применяют либо чистые болты, устанавливаемые в отверстия соеди-
няемых деталей без зазора, либо высокопрочные болты, устанавливае-
мые с зазором. Чистые болты рассчитывают на срез и смятие методами,
изложенными применительно к заклепочному соединению.
Высокопрочные болты, устанавливаемые с зазором, более техноло-
гичны, так как не требуют большой точности совпадения отверстий со-
прягаемых деталей. В отличие от чистых болтов высокопрочные болты
163
обеспечивают неподвижность соединения за счет сил трения, создаваемых
затяжкой болтов. Поэтому болты необходимо проверять на разрыв от
силы затяжки Р по условию:
4P/(^2)<A:y/?p,	(2.56)
где di — диаметр болта по внутренней поверхности резьбы; Яр — расчетное сопро-
тивление растяжению.
Сила затяжки Р = 0,7 oBF, где ив — временное сопротивление; F —
площадь сечения болта по резьбе.
В ряде металлоконструкций дорожных машин применяют монтаж-
ные стыки. Соединение осуществляется высокопрочными болтами; для
увеличения точности совпадения соединяемых деталей иногда кроме бол-
тов используют штифты, устанавливаемые без зазора.
При расчете болтов монтажных стыков принимают допущение о не-
деформируемости соединяемых конструкций, что позволяет получить
расчетные схемы исходя из анализа возможных деформаций болтов. Рас-
смотрим соединения двух металлоконструкций, воспринимающих внеш-
ние нагрузки и Р2 (рис. 2.23, а). Выполнив приведение всех сил к
центру О соединения, получим, что на него действуют продольная сила
N = Pt (рис. 2.23, б), поперечная сила Т = Р2 и изгибающий момент М =
= Р2Н.
Допустим, что продольная сила N равномерно распределена между
всеми п болтами соединения и, следовательно, напряжение от действия
этой силы
о^=^/(пГ),
(2.57)
где F - минимальная площадь сечения болта (по резьбе) .
Сила предварительной за-
тяжки болтов должна обеспечи-
вать плотное прижатие фланцев
соединения, находящегося под
действием внешней нагрузки.
При этом поперечная сила Т
уравновешивается силами тре-
ния фланцев и на болты не пе-
редается.
Изгибающий момент М на-
гружает болты неравномерно.
Считая жесткими основные эле-
менты конструкции, приходим
к выводу, что при заданном на
рис. 2.23, б направлении мо-
Рис. 2-23. Расчетная схема монтаж-
ного стыка
164
мента деформации, а следовательно, и напряжения в болтах тем больше,
чем больше расстояние*' болтов от оси у'
п
ам = Mxi / . ? h F(x'i )2 >	(2 -58)
и
где см - напряжение от действия момента М-, L F (х'/) 2 - момент ннерцин сече-
i= 1
ний всех болтов относительно оси.?'.
При нагружении соединения двумя моментами Му = Ми Мх , дейст-
вующими во взаимно перпендикулярных плоскостяхzOx и zOy
ОМ =Myx'J S г F(x')2 + Mxy't / S F(y$,	(2.59)
n
где e F(y )2 - момент инерции сечений всех болтов относительно оси*'.
1= 1 1
Очевидно, что наиболее нагруженными являются болты, для кото-
рых х- -> max и у -> max; в рассматриваемой конструкции это болты,
расположенные в углах фланцев.
Поскольку направления напряжений oN и ом совпадают, результиру-
ющее напряжение о определяют как их алгебраическую сумму. С учетом
дополнительных напряжений от предварительной затяжки болтов сум-
марное напряжение о увеличивают в 1,3 ... 1,5 раза:
a = (a v + ом),	(2.60)
1,3 ..1,5.
Сгметим, что при направлении силы N в сторону фланцев она не на-
гружает болты и при расчете по формуле (2.60) принимают oN = 0.
2.4.	СВАРНЫЕ УЗЛЫ ШАРНИРНЫХ СОЕДИНЕНИЙ
2.4.1.	КОНСТРУКТИВНЫЕ ФОРМЫ СВАРНЫХ УЗЛОВ
ШАРНИРНЫХ СОЕДИНЕНИЙ
Назначение шарнирных соединений. Шарнирные соединения применя-
ют в следующих случаях:
1)	для образования из элементов металлоконструкции шарнирных
механизмов;
2)	для образования конструкций по схеме статически определимых
систем. Преимущество шарнионых соединений по сравнению с жесткими
сварными, болтовыми и заклепочными соединениями состоит в том, что
шарнирные статически определимые конструкции нечувствительны к
неточности монтажа и в них отсутствуют напряжения, вызванные нерав-
номерным нагревом элементов;
3)	для образования сборно-разборных конструкций, обеспечиваю-
щих возможность монтажа и демонтажа
165
Типы шарнирных соединений металлоконструкций. В металлокон-
струкциях дорожностроительных машин используют сферические (с
тремя степенями свободы), цилиндрические (с одной степенью свободы)
и комбинированные шарнирные соединения.
Сферическое шарнирное соединение (рис. 2.24, а) состоит из шарни-
ра 2, крышки 1 и соединяемых металлоконструкций 3 и 4. Соединяемые
части конструкции могут поворачиваться в трех взаимно перпендикуляр-
ных направлениях. Примерами сферических шарнирных соединений яв-
ляются соединение тяговой рамы автогрейдера с основной рамой, соеди-
нение отвала универсального бульдозера с толкающей рамой.
Цилиндрическое шарнирное соединение (рис. 2.24,6) состоит из сое-
диняемых элементов металлоконструкций 5 и 9, проушин 6 и 8, оси 7.
Кроме того, в него могут входить детали, фиксирующие ось в проуши-
нах; кольца, снижающие трение проушин об ось; накладки и ребра жест-
кости, увеличивающие прочность соединения проушины с элементом ме-
таллоконструкции.
Комбинированное шарнирное соединение представляет собой комби-
нацию цилиндрического и сферического шарнирных соединений. В основ-
ном его применяют в местах крепления гидроцилиндров рабочего обору-
дования строительных и дорожных машин.
В отличие от сферических шарнирных соединений, для которых ха-
рактерно болтовое крепление к металлоконструкции, цилиндрические и
комбинированные шарнирные соединения крепят при помощи проушин,
привариваемых к элементам металлоконструкций. Место крепления про-
ушин к элементам металлоконструкций получило название сварного уз-
ла шарнирного соединения.
Сварные узлы шарнирных соединений. Основные типы сварных уз-
лов показаны на рис. 2.25. Проушина может быть симметричной
(рис. 2.25, а) или несимметричной (рис. 2.25, 6). Сварные узлы выпол-
няют с промежуточной накладкой (рис. 2.25, а, г) или без нее
(рис. 2.25, б, в), с врезными проушинами (рис. 2.25, Э) или с проушина-
ми, изготовленными как одно целое с несущей конструкцией
(рис. 2.25, е). Промежуточные накладки могут иметь прямоугольную,
овальную или многоугольную конфигурацию в плане. Поскольку стенки
проушин изготовлены из относительно тонких листов, для обеспечения
достаточной площади контакта оси с проушиной предусмотрены врезные
или накладные кольца.
Помимо указанных выше конструктивных форм типовых сварных
Рис. 2.24. Сферическое и цилиндрическое шарнирные соединения
166
Рис. 2.25. Сварные узлы шарнирных соединений
узлов шарнирных соединений в конструкциях строительных и дорожных
машин часто применяют проушины, встроенные во внутренний контур
несущей металлоконструкции (рис. 2.25, в, г, е).
2 4.2. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ НАПРЯЖЕНИЙ
В СВАРНЫХ УЗЛАХ ШАРНИРНЫХ СОЕДИНЕНИЙ
Напряженное состояние в сварных узлах шарнирных соединений яв-
ляется результатом действия внешних периферийных нагрузок на основ-
ную несущую конструкцию и местной внешней нагрузки, приложенной
непосредственно к шарниру (рис. 2.26).
Напряжения от нее распределены по сечениям элементов проушины
неравномерно и не могут быть определены методами сопротивления ма-
териалов. Поэтому напряженное состояние в проушинах и прилегающих
к ним элементам основных конструкций исследуют экспериментально и
рассчитывают методами теории упругости.
Напряженное состояние зависит от направления местной силы Р, ко-
торое при работе дорожностроительных машин постоянно изменяется,
что приводит к перераспределению напряжений как по значению, так и
по знаку. Поэтому сварные узлы шарнирных соединений необходимо
рассчитывать не только на прочность, но и на сопротивление усталости.
На рис. 2.26 показано напряженное состояние в проушине для слу-
чая, когда сила Р направлена к ней. При этом ось давит на проушину та-
ким образом, что максимальное сжимающее напряжение создается в точ-
ке В, а максимальное растягивающее — в точке А контура отверстия про-
ушины. Наибольшее касательное напряжение появляется в точке С по
167
Рис. 2.26. Напряженное состояние в про-
ушине
контуру приварки проушины к ос-
новной несущей конструкции или к
промежуточной накладке. На внеш-
нем контуре проушины действуют
напряжения как растяжения, так и
сжатия.
При направлении силы Р от проушины существенное влияние на
прочность оказывают нормальные напряжения на внешнем контуре про-
ушины.
Проушины рассчитывают на прочность путем сопоставления напря-
жений, возникающих в точках А и В, с предельными напряжениями, ко-
торые для каждого типа машины устанавливают индивидуально, в зави-
симости от условий эксплуатации и режима нагружения. Для зазоров
между пальцем и проушиной не более посадочного размера//?7/d9 кон-
тактные напряжения в точках Л и В:
Р 4R2±d2
8td 4R2 - d2
(2.61)
где R - геометрические параметры проушины (см. рис. 2.27) .
Для точки Л о2 = 0, для точки В сц = 0.
Расчет напряжений при больших зазорах в проушине, напряжений в
промежуточной накладке и несущей конструкции выполняют по форму-
лам, приведенным в работе [13].
2.4.3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ПАРАМЕТРОВ ПРОУШИН
Рациональные параметры как проушин, так и сварного узла шарнир-
ного соединения должны обеспечивать возможно меньшую их массу при
условии достаточной прочности.
Проушина. Проушины строительно-дорожных машин, как правило,
изготовляют из листового проката толщиной 5=6... 30 мм. Исходными
данными для проектирования проушины являются размер Lo, значение и
диапазон изменения направления силы, воспринимаемой проушиной.
Конструктивная форма и параметры проушин регламентированы
РД 2201-16—81. При действии силы Р в пределах угла /3 = 50° ... 130° ре-
комендуются проушины симметричного очертания (см. рис. 2.25,а); ес-
ли же сила Р действует в пределах (3 = - 10° ... 50°, предпочтительной яв-
ляется несимметричная форма проушины (см. рис. 2.25,6).
Параметры d (диаметр отверстия), 5 (толщина листа), 5 j (ширина
втулки) определяют при расчете на прочность как проушины (см.
п. 2.4.2), так и оси шарнирного соединения, которую рассчитывают на
изгиб, срез и смятие контактных поверхностей. Рекомендуемый радиус
R внешнего контура проушины равен диаметру оси d. Высота расположе-
ния центра отверстия проушины h > 2d, длина основания проушины s >
168
2h. Остальные характеристики рациональной проушины представлены
на рис. 2.27, где к — катет шва.
Сварной узел. Конструктивную форму и параметры сварного узла
шарнирного соединения определяют исходя из возможно более равно-
мерного распределения напряжений по всему контуру сечения основной
несущей конструкции. Если проушина приварена к несущей металло-
конструкции, то при действии местной силы Р наибольшие напряжения
возникают в ее полке, которая воспринимает до 70 % от силы Р, в то
время как боковые стенки воспринимают 20 ... 30 %, а нижняя полка —
10 ... 20 %.
Применение накладок или конструкции с врезными проушинами
приводит к перераспределению напряжений. Так, при использовании
врезных проушин несущая полка воспринимает 40 ... 50 % нагрузки, а
противоположная полка — 20 ... 30 % Применение накладок приводит к
снижению напряжений в несущей полке на 15 ... 20 % и увеличению нап-
ряжений в стенках на 30 ... 40 %. Таким образом накладки и врезные
проушинь обеспечивают более выгодные условия работы металла по
сравнению с непосредственно привариваемыми проушинами. Следует от-
метить, что сварные узлы с врезными проушинами (см. рис. 2.25,д) ме-
нее технологичны по сравнению с другими типами сварных узлов. Одна-
ко с увеличением расстояния между двумя параллельными проушина?®
нагруженность несущей полки снижается. При расположении проушин в
одной плоскости со стенками (см. рис. 2.25, е) нагрузка, действующая
на полки, снижается в 1,4 раза, а нагрузка, действующая на стенки, воз-
растает в 1,2 ... 13 раза.
Таким образом, для сварных узлов шарнирных соединений металло-
конструкций дорожно-строительных машин можно рекомендовать вари-
ант с расположением проушин в одной плоскости со стенками. Если рас-
стояние между стенками больше, чем должно быть расстояние между
проушинами, то рациональным является применение промежуточной
овальной накладки, что позволяет снизить концентрации напряжений в
несущей полке конструкции и увеличить усталостную долговечность
сварного узла. При этом рекомендуется приваривать накладку по всему
контуру. Размеры накладки приведены на рис. 2.27.
При проектировании металлоконструкций рабочего оборудования
строительно-дорожных машин следует избегать применения в них свар-
ных узлов шарнирных соединений, испытывающих нагрузки, направлен-
ные от привариваемого листа металлоконструкции, так как в этом случае
наблюдается резкое снижение усталостной долговечности сварного узла.
2.5.	УСТАЛОСТНАЯ ДОЛГОВЕЧНОСТЬ СВАРНЫХ УЗЛОВ
2.5.1.	МЕХАНИЗМ УСТАЛОСТНОГО РАЗРУШЕНИЯ
Основные понятия. Под усталостью понимается процесс постепенно-
го накопления повреждений материала под действием переменных напря-
жений, приводящих к образованию трещин, их развитию и разрушению.
Свойство материала противостоять усталости называется сопротивле-
нием усталости. Около 90 % разрушений происходит от усталости.
Если усталостное повреждение или разрушение происходит при упру-
гопластическом деформировании, то усталость называют малоцикловой.
Число циклов до разрушения при малоцикловой усталости составляет
102 ... 5  104 (ГОСТ 25502—79). Если усталостное повреждение или раз-
рушение происходит в основном при упругом деформировании, то уста-
лость называют многоцикловой.
Металлические конструкции строительно-дорожных машин рассчи-
тывают на много цикловую усталость.
Процесс усталостного разрушения. Многоцикловая усталость проис-
ходит при напряжениях, не превышающих предела упругости.
Картину разрушения образца под действием циклической нагрузки,
меньшей предела текучести, можно представить следующим образом:
сначала в образце нет каких-либо видимых изменений; затем, начиная с
некоторого числа циклов, в материале обнаруживаются дислокация, суб-
микротрещины, которые растут с увеличением числа циклов; далее по-
являются микротрещины; заключительная стадия характеризуется рос-
том одной макротрещины, приводящим к хрупкому разрушению об-
разца.
До разрушения начало усталостного процесса проследить практичес-
ки невозможно.
Современные методы расчета прочности деталей основаны на гипоте-
зах непрерывности, однородности и изотропности материала. В действи-
тельности, усилия между зернами металла распределены неравномерно.
170
При этом в некоторых зернах могут иметь место значительные пласти-
ческие деформации, в результате чего образуются микротрещины.
В окрестности отверстия или надреза напряжения могут значительно
превышать разрушающие напряжения для данного материала даже в тех
случаях, когда общий средний уровень напряжений невысок. Эти напря-
жения можно оценить по формуле Инглиса
о£ =а(1 + 2V L/r),
где о — напряжение в рассчитываемом сечении детали, определяемое по обычным
формулам сопромата; L — длина трещины или выемки; г — радиус конца трещи-
ны или выемки.
У трещин длиной в несколько сантиметров радиус конца может
иметь молекулярные размеры, поэтому напряжение у конца трещины
может быть в сотню или даже в тысячу раз больше, чем напряжение в
других местах материала.
Объяснение того, почему конструкции, воспринимающие столь вы-
сокие напряжения, продолжают оставаться работоспособными, было
предложено Гриффитсом. Суть его теории состоит в следующем. Ингли-
сова концентрация напряжений с энергетической точки зрения является
просто механизмом (чем-то вроде застежки-молнии) для превращения
упругой энергии в энергию разрушения. Чтобы раздвинуть атомы мате-
риала, недостаточно одной только концентрации напряжений, а необхо-
дим еще подвод упругой энергии. Если он прекращается, останавливает-
ся и процесс разрушения. В результате Гриффитсу удалось обосновать
значение критического напряжения, при достижении которого трещина
развивается лавинообразно.
Поскольку очагом зарождения усталостных трещин обычно служат
микропоры, микровключения, дефекты поверхности и тл., положение
которых и размеры стохастичны, результаты испытаний на усталость
имеют значительный статистический разброс. Поэтому в настоящее вре-
мя расчет на усталость выполняют по эмпирическим формулам.
2.5.2.	ФАКТОРЫ, ВЛИЯЮЩИЕ
НА УСТАЛОСТНУЮ ДОЛГОВЕЧНОСТЬ
Основные термины и определения. Процесс изменения напряжений в
элементах металлоконструкций характеризуется циклом напряжений
(рис. 2.28), совокупностью последовательных значений напряжений за
один период их изменения при регулярном нагружении. Характеристи-
ками цикла напряжений являются: коэффициент асимметрии цикла
R = CTmin/ffmax; среднее напряжение цикла om = (отах + ат1П)/2;
амплитуда напряжений цикла oa = (атах _ amin)/2, где отах и omin -
наибольшее и наименьшее алгебраические значения напряжений цикла.
Циклы, среднее напряжение которых равно нулю, называются сим-
метричными (R = - 1). Знакопостоянный цикл напряжений, изменяю-
щихся от нуля до максимума (amin - 0) или от нуля до минимума
(отах = 0), называется отнулевым циклом. При среднем напряжении,
не равном нулю, цикл называют асимметричным (R =£- 1).
171
Рис. 2.28. Виды циклов переменных
напряжений
Рнс. 2.29. Кривые усталости
Данные поведения металлов при переменных нагрузках обычно по-
лучают экспериментально. Образцы на специальных испытательных ма-
шинах подвергают действию нагрузок, изменяющихся во времени по за-
данному закону. По данным испытаний образцов получают кривую уста-
лости (рис. 2.29) — зависимость между максимальным напряжением о и
числом нагружений N, которая может быть построена в простых
(рис. 2.29, а) .логарифмических (рис. 2.29, б) координатах.
Пределом ограниченной выносливости oRN называют максимальное
по абсолютному значению напряжение цикла, при котором еще не проис-
ходит усталостное разрушение в момент N-ro нагружения.
Кривая усталости позволяет установить значения пределов выносли-
вости oR, т.е. максимальных по абсолютному значению напряжений цик-
ла, при которых не происходит усталостное разрушение до числа циклов
нагружения 7V6, называемого базой испытания.
База испытания Nq — это предварительно задаваемая наибольшая
продолжительность испытаний на усталость, обычно принимаемая равной
экономически целесообразному сроку службы изделия. На практике чис-
ло 7V6 выбирают в диапазоне 106 ... 3-106 циклов, в среднем = 2-106.
Для большинства случаев базу испытаний принимают равной числу цик-
лов, соответствующему точке перелома кривой усталости, представляе-
мой в логарифмических координатах двумя прямыми линиями.
Важнейшим параметром, по которому оценивается сопротивление
усталости, является эффективный коэффициент концентрации напряже-
ний К = oR/oRR, т.е. отношение предела выносливости oR образцов без
концентрации напряжений к пределу выносливости oRR образцов с кон-
центрацией напряжений.
При оценке работоспособности конструкции в качестве исходных
данных необходимо иметь информацию о законах изменения во времени
нагрузки, действующей на элементы конструкции.
По характеру изменения нагрузки во времени различают регулярные
и случайные нагружения. Регулярным называют нагружение, характери-
зующееся периодическим законом изменения нагрузок с одним макси-
мумом и одним минимумом в течение одного периода при постоянстве
параметров цикла напряжений в течение всего времени испытаний или
эксплуатации.
В большинстве случаев на практике имеет место случайное нагруже-
ние, являющееся случайным процессом.
172
Регулярное нагружение встречается сравнительно редко, в основном
при производстве лабораторных и стендовых испытаний, направленных
на изучение поведения образцов в условиях восприятия переменных на-
грузок. В результате этих испытаний определены основные факторы,
влияющие на усталостную долговечность сварных узлов: свойства ма-
териала конструкции, условия эксплуатации и окружающей среды, гео-
метрические особенности сварных узлов и технологические приемы их
изготовления.
Материал конструкции. Прочность при переменных нагрузках эле-
ментов металлических конструкций, изготовленных из различных мате-
риалов, оценивается экспериментально при построении кривых усталос-
ти образцов металла без концентраторов напряжений (см. рис. 2.29).
В качестве расчетной характеристики материала конструкции использу-
ют предел выносливости.
В табл. 2.1 приведены пределы выносливости стальных образцов из
стали различны.. марок, соответствующие базовому числу циклов 7V6 =
= 2-10° при коэффициенте асимметрии R = — 1, по опытным данным ис-
пытаний образцов с необработанной прокатной поверхностью. При от-
сутствии таких данных приближенно можно принимать a_j = ов/3.
Условия эксплуатации. Зависимости напряжений от времени харак-
теризуются амплитудой напряжений, коэффициентом асимметрии, чис-
лом циклов нагружения, а также параметрами, определяющими прост-
ранственность схемы нагружения изделия.
Количество циклов нагру: :ения N. Цля углеродистых и низколеги-
рованны: сталей кривая усталости в логарифмических координатах ап-
проксимируется двумя прямыми линиями: наклонной в диапазоне чисел
циклов 104 ... (1 ... 3)-106 и горизонтальной. Для наклонного участка
уравнение кривой усталости имеет вид
(2.62)
где тп — показатель степени, зависящий от угла наклона кривой усталости, постро-
енной в логарифмически-; координатах (см. рис. 2.29 6) . по данным испытаний
сварных образцов кранозых металлоконструкций из углеродистых и низколеги-
рованных сталей
тп = 0,05 O j + 1,2.	(2.63)
Воспользовавшись формулой (2.62), можно определить предел огра-
ниченной выносливости для симметричного цикла нагружения:
о_ lN = о_ J v’ N6/N 	(2-64)
Часть кривой усталости в логарифмических координатах, параллель-
ная оси 1g N, соответствует пределу неограниченной выносливости, т.е.
такому уровню напряжений, при которых в изделиях не возникают по-
вреждения Для сталей, применяемых в металлоконструкциях строитель-
но-дорожных машин, этот предел рекомендуется принимать равным
0,5 a_i-
Коэффициент асимметрии цикла нагружения R. Так как предел вы-
носливости определяется экспериментально, то естественно, что путем
173
Рис. 2.30. Схематизированная диаграмма
предельных напряжений
испытаний установить его при всех
различных R невозможно. Если ре-
зультаты испытаний по определению
пределов выносливости изобразить
в виде диаграммы (рис. 2.30) , на ко-
торой по оси ординат отложить зна-
чения отах и amin, а по оси абсцисс
от, то такая диаграмма может быть
образована из прямых линий. Назы-
вается она диаграммой предельных напряжений цикла и строится по дан-
ным испытаний при базовом числе циклов нагружения 7Уб.
Наибольшее значение предела выносливости не должно превышать
предела текучести материала, поэтому верхняя и нижняя части диаграм-
мы ограничиваются значением ат.
Если значения атах и omin лежат, на контурной линии диаграммы,
то напряженное состояние элемента соответствует пределу выносливос-
ти, если внутри контурной линии диаграммы, то имеется запас по отно-
шению к пределу выносливости, а если вне контурной линии, то напря-
женное состояние соответствует пределу ограниченной выносливости.
Для произвольной точки М
°ь + от =°-1 +°т 1Е7илиоа = 01 - aw(l-tgT) = <7_j ~фот,
(2.65)
где tg у - 2(а0 — а_1)/а0; ф = (2a_j — а^1о0 характеризует наклон линии пре-
дельных напряжений и называется коэффициентом чувствительности металла к
асимметрии цикла. Для углеродистых сталей = 0,1 ... 0,2, для легированных
= 0,2 ... 0,3 (10] (в расчетах рекомендуется принимать для малоуглеродистых ста-
лей ф = 0,2, для низколегированных и высокопрочных сталей - 0,3) .
Уравнения (2.65) можно использовать для приведения асимметрич-
ного цикла нагружения к эквивалентному ему по повреждениям сим-
метричному циклу согласно выражению
°-lnp=aa + ^-	(2-66)
В этом случае работоспособность изделия оценивают при известном
числе циклов нагружения N, коэффициенте асимметрии/?, уровне макси-
мальных напряжений <jR и пределе выносливости материала o_j по
выражению
°-1Л'>а-1пр 
Учитывая, что при I о I > I о I
’	г	max min
°R =amax’ °a = °R C1 ~ RV 2 и = aR (1 + K)/2, получаем
m / ^6	° R
а_17^>-у-[(1-/?)+1Д(1+ /?)].
(2 67)
174
ПР Чах1 <lominl °R = °min’ °a = °R (‘ "°^°R^ +
+ R)l(2R), это же условие имеет вид
°R
2R
(1-Я)+ ^(1 + Я)].
(2.68)
Если о_ j рр или, что то же, правые части выражений (2.67) и (2.68)
меньше 0,5 о_ ।, изделие следует считать работоспособным, так как та-
кие циклические напряжения не создают повреждений.
Режимы нагружения. Изменение напряжений обусловлено случай-
ным изменением внешних сил и значения от и оа не явлются постоянны-
ми величинами в течение времени. При оценке работоспособности машин
в этом случае пользуются линейным законом суммирования поврежде-
ний:
(2-69)
ПК nj — общее число циклов за время действия нагрузки, при которой число цик-
лов до разрушения равно TV*.
Согласно этому закону деталь металлоконструкции, которая выра-
ботала при напряжении симметричного цикла нагружения «ь половину
ресурса Nt и потом стала работать при напряжении о2, будет иметь ос-
тавшийся ресурс, равный половине N2. В общзм случае в правой части
уравнений должна стоять велич:ша накопленного повреждения а, опре-
деляемая экспериментально, в большинстве случаев довольно близ-
кая к 1.
Умножая числитель и знаменатель уравнения (2.69) на и учи-
тывая, что	= const, получаем в предельном случае для серии
симметричных циклов нагружений
Если изделие подвергается нагружениям асимметричного цикла при
различных напряжениях, в левой части уравнения (2.70) используют при-
веденные к симметричному циклу напряжения, определяемые по форму-
ле (2.66), и условие неразрушения изделия записывают в виде
(2-71)
При этом необходимо учитывать, что циклы нагружений, имеющие
оа + ^°т <	ст-1> при суммировании не учитываются, так как они не
создают повреждающего воздействия.
В случае необходимости условие неразрушимости можно выразить
через максимальное значение напряжения, воспринимаемое изделием, в
заданной серии асимметричных циклов нагружений. Введем для этого
обозначения oR = amax при lamaxl > laminl или oR = omin при
I om ax । < । CTmin' > т°гда соответствующее асимметричному циклу нагру-
175
жение, приведенное к симметричному циклу с учетом выражений (2.67)
и (2.68), запишем в виде
’-.„р = -у-1(1 -Я> + W + «)1 "Р- 1 ”mSx 1 > 1 ’mln 1
ИЛИ
Р-ПфI*1* *0 * Чах1 < W-
Принимая а_1 = аа_1 пр и используя формулу (2.71), получим ус-
ловие предельного состояния изделия:
где а - коэффициент режима нагружения, определяющий долю накопленных изде-
лием повреждений при восприятии переменных нагрузок:
т
g-lnpi ni
т
о .
— 1пр
(2.72)
N5
В итоге условие работоспособности изделия при заданном режиме
нагружения, состоящем из блоков регулярного цикла нагружения, мож-
но представить через максимальное значение напряжения в вцце:
ИРИ^тах1 >1(7minl °R <
2c_j
а[(1 -Л) + ф (1 + Л)]
при I ст „ I < I а - I оп <
r	т ах	т т R
(2.73)
(2.74)
а[(1 -Л) + Ф (1 + Я)!
Схема нагружения. До сих пор речь шла об одноосном случайном на-
гружении изделия. В большинстве же практических ситуаций при расчете
сварных узлов металлических конструкций строительно-дорожных ма-
шин приходится иметь дело с многоосным случайным нагружением. При
этом используют допущение о синхронности изменения главных напря-
жений от внешней нагрузки в локальном участке и определяют эквива-
лентное напряжение согласно энергетической теории формоизменения.
В условиях двухосного напряженного состояния эквивалентное макси-
мальное напряжение
аЛэкв V°Rl+<*R2 °R1°R2
(2-75)
где о^| и о^2 - соответственно максимальные напряжения при случайном нагру-
жении по направлениям главных осей I и 2.
Работоспособность оценивают по формулам (2.73) или (2.74), в ко-
торые вместо oR подставляют стЛэкв.
В дальнейшем при изложении материала о влиянии различных факто-
ров на усталостную долговечность для простоты ограничимся рассмотре-
нием только одноосного случайного нагружения.
176
Окружающая среда. При проектировании строительно-дорожных ма-
шин большое значение для оценки сопротивляемости усталостному раз-
рушению имеет учет температурного фона и условий коррозии. Анализ
исследований [6] показал, что предел выносливости в условиях коррозии
не зависит от предела прочности стали, вследствие чего применение боль-
шинства высокопрочных легированных сталей при работе изделий в кор-
розионной среде нецелесообразно.
Изменение температуры эксплуатации металлических конструкций
оказывает также существенное влияние на их способность сопротивлять-
ся усталостному разрушению. Практикой установлено, что у всех сталей,
применяемых для сварных металлоконструкций строительных и дорож-
ных машин, предел прочности и текучести с понижением температуры
возрастает. Однако при понижении температуры увеличивается чувстви-
тельность металлов к концентрациям напряжений и снижается их удар-
ная вязкость, что в общем итоге может привести к снижению способнос-
ти воспринимать переменные во времени нагрузки.
При расчете эти факторы учитывают на основании результатов ис-
следований Института электросварки им. Е.О. Патона.
Концентрация напряжений. Особенностью сварных металлоконс-
трукций строительно-дорожных машин является наличие в них локаль-
ных участков с повышенной концентрацией напряжений. Обычно кон-
центрация напряжений является следствием резких изменений размеров
или формы поперечных сечений по длине элементов металлоконструк-
ций, что характерно для сварных узлов. Для оценки концентрации на-
пряжений используют теоретический коэффициент концентрации напря-
жений ао, определяемый как отношение максимального напряжения в
зоне концентратора к номинальному напряжению детали при упругом
деформировании. Номинальные напряжения при этом вычисляют по
обычным формулам сопротивления материалов.
Для оценки влияния концентрации напряжения на усталость сварных
узлов используют эффективный коэффициент концентрации напряже-
ний, определяемый отношением пределов выносливости деталей без кон-
центратора напряжений и с концентратором напряжений.
Теоретический и эффективный коэффициент концентрации напряже-
ний для сварных узлов металлических конструкций строительно-дорож-
ных машин определяют по рекомендациям РД 2201-8—80 ’’Нормативные
значения коэффициентов концентрации напряжений и изменения остаточ-
ных напряжений в сварных узлах”.
В табл. 2.4 приведены ориентировочные значения эффективных ко-
эффициентов концентрации для сварных соединений металлоконструк-
ций строительных и дорожных машин (Ка — эффективный коэффици-
ент концентрации при определении напряжений поперек шва; Ко — то
же, вдоль шва; VK — коэффициент вариации эффективного коэффици-
ента концентрации напряжений).
Приведенные в табл. 2.4 значения Ка соответствуют вероятности их
появления Р = 0,5 Экспериментами установлено, что вероятностный раз-
брос значений эффективных коэффициентов концентрации с большой
точностью можно описать нормальным законом распределения. В этом
177
2.4.	Расчетные коэффициенты концентрации напряжений Ко и Ко?
и коэффициенты вариации (по данным РД 2201-3—85)
Сварное соединение	св, МПа	К а	Кп а2	ч
Стыковое*	400	1,2	1,05	0,1
	600	1,25	1,07	0,12
	800	1,3	1,1	0,14
Нахлесточное	400	1,55	1,05 1,3	0,12
	600	1,7	1,07 1,4	0,125
	800	1,85	1,1 1Д	0,16
Тавровое	400	1,6	1,05 1,3	0,1
	600	1,75	1,07 1,4	0,1
	800	1,9	1,1 1Д	0,14
* При полном проваре и отсутствии смещения свариваемых кромок.
Примечания. 1.В числителе указаны значения Ко вдоль шва кроме его
концов, в знаменателе — значение Ко на концах швов.
2. При выводе концов швов нахлесточных или тавровых соединений за пределы
свариваемых элементов коэффициент концентрации К’о? = ОД (1 + KOj) .
случае для определения значений эффективных коэффициентов концен-
трации, соответствующих иным вероятностям, можно рекомендовать за-
висимость
Ko,P=Ka,0,SV+UPVK )•	(2-76)
о
гае Up - квантиль нормального распределения при вероятности Р;
Вероят-
ность со-
бытия Р	ОД 0,6	0,7	0,75	0,8	0,85	0,9	0,95	0,99
ир	0 0,253	0,524	0,675	0,842	1,036	1,281	1,645	2,326
Например, при необходимости определения Ко с вероятностью Р =
- 0,95 для нахлесточного сварного соединения, используя приведенные
данные и уравнение (2.76), получим К os=l,7; VK =0,125; U
= 1,645; Ко 095 = 1,7(1 + 1,645-0,125) = 2£5.	°	35
При расчетах усталостной долговечности концентрацию напряжения
учитывают введением в расчетные зависимости вместо предела вынос-
ливости a_j величины
178
Учитывают концентрацию напряжения и при определении показателя
степени кривой усталости:
т =0,05 о_х/Ка + 1,2 .	(2.77)
Технология изготовления сварных узлов. Исследованиями установ-
лено, что кроме напряжений, возникающих от действия внешних нагру-
зок, в металлических конструкциях строительных и дорожных машин
действуют напряжения, являющиеся следствием технологических опера-
ций их изготовления. В результате монтажа, правки, сварки конструкций
из-за неравномерного изменения объемов тел возникают остаточные на-
пряжения.
Несущая способность элементов металлоконструкций существенно
зависит от остаточных напряжений, которые при сложении с рабочими
могут привести к возникновению разрушающих напряжений. Влияние
остаточных напряжений оос в расчетах на усталостную долговечность
учитывают при определении предела выносливости материала конс-
трукции:
о	- фо	(2.78)
1 jX £/	U С
U
По данным исследований [1,9, 13], значения и характер распределе-
ния остаточных напряжений зависят от большого числа факторов, кото-
рые оценивают экспериментально.
Остаточные напряжения, деформации и перемещения, образовавши-
еся после изготовления конструкции, называют начальными. Остаточные
напряжения в конструкции, которые имеют место после определенного
срока эксплуатации, называют вторичными.
Остаточные напряжения в сварных конструкциях изменяются при
изменении температурных условий, при действии на конструкцию стати-
ческой, динамической или вибрационной нагрузок. Это положение ис-
пользуется для разработки технологических способов, повышающих ус-
талостную долговечность сварных узлов.
Основными технологическими приемами повышения усталостной
долговечности сварных узлов металлоконструкций являются механи-
ческая зачистка швов наждачным кругом, проковка и прокатка ролика-
ми шва и околошовной зоны, оплавление шва неплавящимся электро-
дом в инертном газе, виброрезонансная обработка, термообработка (вы-
сокий отпуск) и обработка ультразвуком. Опыт использования и эффек-
тивность применения этих методов обобщены в РД 2201-8—80 и РД
2201-3—85 в виде таблиц с рекомендациям’-! на параметры режимов уп-
рочняющих обработок и коэффициентов, характеризующих изменение
остаточного начального напряжения, эффективного коэффициента кон-
центрации, пределов текучести и выносливости околошовний зоны ме-
талла.
Существенную роль в формировании остаточных напряжений играют
перегрузочные напряжения, которые возникают в сварных узлах метал-
локонструкций при создании предварительной перегрузки. При этом на-
чальные остаточные напряжения релаксируются, теряют свое значение в
179
изменении предела выносливости и формируются вторичные сжимаю-
щие остаточные напряжения, существенно изменяющие показатель сте-
пени кривой усталости.
Принципиальную схему формирования вторичных остаточных на-
пряжений поясним на упрощенном примере [13]. На рис. 2.31, а показа-
на в виде прямоугольников упрощенная эпюра начальных остаточных
напряжений в поперечном сечении образца с продольным швом.
Сварочные напряжения характеризуют внутренние усилия в образ-
це. Эти усилия должны быть уравновешены, следовательно, суммарное
усилие от остаточных напряжений по площади сечения равно нулю. Для
простоты изложения примем толщину пластины 5 = 1. Тогда начальные
остаточные напряжения в точке D определятся из условия
а п (В — Ь) + о ,Ь=0;
oc.hD v 7 ос.нЛ ’
__ ь
°ос.н£> аос.нА в _ & '
При действии силы растяжения в сечении возникают равномерно рас-
пределенные номинальные напряжения ап, которые суммируются с на-
чальными остаточными напряжениями. Пусть для рассматриваемого при-
мера В = 45; аос нА = 0,75 ат, тогда аосmD = - 0,25 от; значение перегру-
зочного напряжения примем равным оп = 0,75 от. В этом случае относи-
тельная деформация точек сечения при увеличении напряжения растяже-
ния до значения оп будет происходить по следующей схеме.
Сначала при увеличении напряжения растяжения до 0,25 от относи-
тельная деформация во всех точках сечения происходит одинаково по
условию упругого деформирования. При последующем увеличении на-
пряжения (рис. 2.31, г) сопротивление растяжению будут оказывать
только те части сечения образца, которые находятся в упругой зоне, т.е.
в зоне (В - Ъ). Относительная деформация образца при изменении оп от
0,25 ат до 0,75 от составит е" =0,5 игВ/[ (В - Ъ) F], т.е. при принятых со-
а	а

<гп
°)	S)	6)	г)
Рис. 2.31. Изменение остаточных напряжений в сварном образце при действии
статической нагрузки
180
отношениях В и b е" - 2от/ (ЗЕ). Напряжения в точках А к D
(рис. 2 31,6):
аА = от> °р=2ог/3,
относительные деформации в точках A hD показаны на рис. 2.31,г и яв-
ляются абсциссами точек ах и Jj.
Снятие нагрузки будет сопровождаться упругим деформированием
образца по всему сечению. При этом напряжения в точках А и D
(рис. 2.31, в):
Ъ
°осА -ат~°п ’ аосР=О<ап И™ аосР = аосЛ V”Г ’
в — о
для рассматриваемого примера носу1 - 0,25 ат, стосд -0,08 ат .
Таким образом для формирования вторичных остаточных напряже-
ний необходимо, чтобы сумма начальных остаточных и перегрузочных
напряжений в какой-либо точке сечения превышала предел текучести ма-
териала. В противном случае, начальные остаточные напряжения после
снятия нагрузки не изменяются. Чем ближе значение перегрузочного на-
пряжения к пределу текучести, тем меньше вторичные остаточные напря-
жения . Это положение необходимо учитывать при определении парамет-
ров упрочня ощих обработок.
Учитывая реологичность свойств явления изменения начальных ос-
таточных напряжений, в качестве перегрузочных напряжений принимают
максимальные номинальные напряжения от внешней нагрузки при одно-
кратном нагружении, если длительность их действия не менее 30 с При
длительности действия внешней нагрузки менее 30 с в качестве перегру-
зочных напряжений оп принимают максимальные напряжения, соответ-
ствующие 95 %-ной вероятности кривой распределения максимальных
напряжений при случайном нагружении.
В процессе экспериментальных исследований установлено, что оста-
точные напряжения в сварных соединениях создают такую же концентра 
цию напряжений в местах изменения геометрической формы узла, как и
нормальные напряжения от внешней нагрузки.
Если при нагружении сварного узла суммарные напряжения от на-
чальных остаточных напряжений и внешней нагрузки в какой-либо точке
превысят предел текучести, т.е.
К (а + а ) > о ,
a v ос н п7 т ’
то пластическая деформация произойдет в зоне ко щентратора. После
снятия нагрузки остаточное напряжение в этой точке
а =о/К 	(2.79)
ос т' о п
Экспериментально установлено влияние перегрузочных напряжений
на показатель угла наклона кривой ус-алости, который рекомендовано
определять по зависимости:
m = (0,05 о 1jr + 1,2)-------------- ,	(2.8SJ)
-1* 1g % -lg°_lK
181
°_1 - V'a-r
где a ,t'=------------ — предел ограниченной выносливости, определяемый без
^1Л	(1-ф)Ка
учета предварительной перегрузки путем подстановки в уравнения (2.78) и (2.79)
значения оп=
2.5.3.	РАСЧЕТ УСТАЛОСТНОЙ ДОЛГОВЕЧНОСТИ
Исходные данные. В металлоконструкциях рабочего оборудования
строительных и дорожных машин наиболее нагруженными являются
участки, расположенные в непосредственной близости к сварным узлам
шарнирных соединений. Исходя из этого, сварным узлам шарнирных со-
единений уделяется особое внимание, так как они определяют усталост-
ную долговечность металлоконструкций рабочего оборудования в
целом.
Для расчета усталостной долговечности необходимо иметь следую-
щие исходные данные:
марку стали сварного узла и ее характеристики ат, a_j, Ф; конс-
труктивную схему сварного узла, его размеры и параметры Ка, оос н;
метод технологической упрочняющей обработки сварного узла и ко-
эффициенты, характеризующие эффективность его применения (коэф-
фициенты корректировки от, о_ j, оос н, Ко);
планируемый срок службы сварного узла Т, ч;
параметры, характеризующие условия эксплуатации сварного узла
по воспринимаемым нагрузкам (режим нагружения) .
Учитывая, что коэффициенты концентрации Ко в сварных узлах
строительных и дорожных машин, предел текучести от и предел выносли-
вости o_i материала конструкции являются случайными величинами,
возникает необходимость в вероятностной оценке усталостной долговеч-
ности рассчитываемого узла. Для этого надо знать коэффициенты вариа-
ции указанных случайных величин	, К . Кроме того, необхо-
о ит ° — 1
димо указать вероятность неразрушения Р изделия в планируемый пери-
од работы, обоснование которой должно быть произведено экономи-
чески.
Формирование расчетных режимов нагружения. Нагрузки в металло-
конструкциях машин являются функциями многих аргументов, напри-
мер, физико-механических свойств рабочей среды, параметров и состоя-
ния рабочих органов, скоростей и траекторий их движения и т.д. Значи-
тельная часть этих аргументов случайно изменяется в пространстве и во
времени. Поэтому нагружения узлов металлоконструкций представляют
собой случайные процессы, и анализ результатов действия напряжений
необходимо производить на основании статистических данных.
Для анализа усталостной долговечности конструкций используют
схематизацию процессов, целью которой является получение функции
распределения амплитуд напряжений, эквивалентных данному случайно-
му процессу по степени вносимого усталостного повреждения. Схемати-
зацию случайного процесса производят на основе следующих предпо-
сылок :
182
1)	характер изменения напряжения между смежными экстремальны-
ми значениями не влияет на сопротивление усталости материала, поэто-
му различные ф эрмы циклов рассматривают как эквивалентные;
2)	изменение частоты нагружения в достаточно широких пределах
не влияет на сопротивление усталости;
3)	произвольное, в том числе случайное, чередование циклов напря-
жений с различной амплитудой и асимметрией можно заменить упорядоч-
ным чередованием циклов, эквивалентным по степени повреждения.
Существует несколько методов схематизации процессов нагружения,
к которым относятся методы максимумов, экстремумов, размахов, пол-
ных циклов с различными видоизменениями. Экспериментальными ис-
следованиями доказано преимущество метода полных циклов.
Остановимся подробнее на описании схематизации методом полных
циклов, рекомендованным РД 2201-3—79. Для этого рассмотрим пример
обработки фрагмента осциллограммы изменения напряжения во време-
ни (рис. 2.32), сопровождая пояснения, где возможно, числовыми дан-
ными. Предварительно отметим, что необходимая длина записи осцилло-
граммы (наименьшее время записи) должна быть обоснована методом
математической статистики по критериям стабилизации функций изме-
нения математического ожидания и среднеквадратичного отклонения
процессов нагружения и независимости корреляционной функции от
длины реализации. Определенная таким образом длина записи осцилло-
граммы соответс-в /ет одному блоку нагружения в заданных условиях
эксплуатации, под которым понимают совокупность последовательных
значений переменных напряжений при определенной наработке Гб, изме-
ренной в часах работы машины.
Число блоков нагружения за срок службы Т
\ = T/t&.	(231)
Осциллограмму обрабатывают в следующей последовательности:
1. Определяют наименьший размах напряжений (на рис. 232
20 МПа).
2.	Интервал изменения напряжений от ffmin до атах разбивают на
кратные наименьшему размаху интервалы напряжений или на 10 ... 12
интервалов. На осциллограмму наносят шкалу с ценой деления, соот-
б
во
40
-40
2еа^20МПа
б
2ба<40>1Пй

t-
-40
JDc
В)
а)
Рис. 2.32. Обработка осциллограммы по методу полных циклов
183
184
23. Корреляционная таблица схематизированного процесса
Интервалы МПа max’	Интервалы а  , МПа r	mm’							
	-40 ... -20 (-30)	- 20 ...0	0 ... 20	20 ...40	40 ...60	60... 80	80 ... 100	100  120 (110)
		(-10)	(Ю)	(30)	(50)	(70)	(90)	
-40 ... -20 (-30)	ш							
-20... 0 (-10)								
0 ... 20 (10)		10 "						
20 ...40	"4	и5 = 1						
(30)	30	22						
40... 60 (50)	и7 42	Ид 34	и9 26					
60 ... 80	"и	"ч	"и	”14 = 1	”u = 3 22			
(70)	54	46	38	30				
80 ... 100	"ю	"17	"ч	”1»	”20	”п = 1		
(90)	66	58	50	42	34	26		
100 ... 120	л« ~2	«23	”14	”и	»26 = 1	”27	”20	
(110)	78	70	62	54	46	38	30	
Примечание.В знаменателе в скобках указаны средние значения	и а_;_ „
*	Illo-A-Vp 111LI1 Up
ветствующей или близкой к наименьшему размаху напряжений (в рас-
сматриваемом примере — 20 МПа);
3.	Составляют корреляционную таблицу схематизированного процес-
са (табл. 2.5).
4.	В клетках корреляционной таблицы по данным осциллограммы
указывают число случаев появления данного размаха напряжений «,-
(в числителе) и напряжение симметричного цикла нагружения пр ,
эквивалентное по повреждениям асимметричному циклу нагружения с
параметрами птахср и amincp, определенное по формуле:
q = °тахсР ~ Pmincp °тахср + amincp ,
-1пр	2	2
Так, например, в клетке с координатами отахср - 30 МПа и стт,пср=
= 10 МПа указано число случаев появления данного размаха напряжений
«6 = 2, в знаменателе указано приведенное напряжение симметричного
цикла нагружения o_inp6 = 14 МПа. При подсчете о_1пр принято -
= 0,2. При дальнейшем анализе осциллограммы (рис. 2.32,6) зафиксиро-
ванные в корреляционной таблице размахи напряжений (заштрихован-
ные области на рис. 232, а) из рассмотрения исключаются. Затем регис-
трируют ближайшие по значениям к занесенным в таблицу ранее размахи
напряжений (2аа < 40 МПа). Для рассматриваемого примера зти данные
указаны в корреляционной таблице по координатам атахср = 70 МПа,
ffmincp ~ 50 МПа (л15 — 2, Д_1Пп — 22 МПа) и ffmaxcp — 90 МПа, omjncp —
= 70 МПа (и21 = 1, а_]Пр = 26 МПа). Таким же образом регистрируются
данные последующих размахов напряжений. При 2аа < 60 МПа
(рис. 2.32, в) указаны данные соответственно по координатам корреля-
ционной таблицы:
°такср = 70 МПа’ °ттер = 30 МПа = '•’-Up = 30 МПа> •
°т „ ср = 30 МПа"	ер = - >»	“ 1 • °- 1„р =“ МПа)
°т„ср = 110МПа.<,т,||Ср =50МПа = 1,а_1пр -46МПа).
При 2аа < 160 МПа (рис. 232, г) flaxen ~ ПО МПа, omincp -
= - 30 МПа (п22 = 2, а_ i пр = 78 МПа).
5.	Исключают из дальнейшего расчета значения приведенных ампли-
туд менее или равные 0,5 .В корреляционной таблице клетки с ам-
плитудами, меньшими или равными 0,5 перечеркнуты.
6.	По данным корреляционной таблицы определяют суммарное чис-
ло повреждающих полуциклов (без учета вычеркнутых клеток):
П = «4 + П$ + Пч + п6 + «9 + Иц + ... .
7.	Используя формулу (2.72) и учитывая число блоков нагружения
X за весь срок службы [см. выражение (2.81) ], рассчитывают коэффици-
ент режима нагружения а, соответствующий максимальному напряже-
нию блока нагружения aR, по формуле
mJ °-1пр» ni
(2.82)
185
— 1пр о
где o—i пр, и п/ — данные корреляционной таблицы (без учета вычеркнутых кле-
ток), o_Jnp приведенное к симметричному циклу напряжение, соответствую-
щее максимальному размаху напряжений блока нагружения.
Определяют коэффициент асимметрии R цикла максимального раз-
маха напряжений.
Для рассматриваемого примера о_1пр = 78 МПа при oR = nmax =
= 110 МПа и/? = 110/—30 = — 3,67.
8.	По данным корреляционной таблицы строят гистограмму распре-
деления отахср средних максимумов напряжений (если в блоке нагру-
жения I amil? I > I отах I, строят гистограмму amincp) - Для этого сумми-
руют числа «г по горизонтали при соответствующем Дтахср и определя-
ют частость t = ------------— , где п — сумма всех без исключения
"тахср п'
циклов корреляционной таблицы. Так, например, частость отахср =
= 50 МПа
1
Г50 = -- («7 + «8 + П9 + И10).
п'
Далее производят выравнивание статистического ряда и определя-
ют математическое ожидание оср и моду ом максимальных напряжений.
9.	По гистограмме распределения максимальных напряжений нахо-
дят напряжения <тп перегрузки при вероятности 0,95. При наличии на ос-
циллограмме блока нагружения очевидных участков длительностью 30 с
и более знакопостоянных напряжений в направлении максимальных по
абсолютному значению напряжений оп определяют непосредственно из
осциллограммы (рис. 2.32,а).
При расчете вновь проектируемых или модернизируемых узлов ме-
таллоконструкций строительных и дорожных машин для формирования
расчетных режимов нагружения пользуются законом распределения ам-
плитуд напряжений для подобных машин с последующим пересчетом на-
грузок. При отсутствии каких-либо экспериментальных данных нагруз-
ки рассчитывают по теоретическим зависимостям с учетом динамичес-
ких процессов неустановившихся режимов движения и вероятностных
характеристик параметров среды — объекта воздействия проектируемо-
го технического средства.
Порядок расчета. При проектировании металлоконструкций строи-
тельных и дорожных машин расчет на усталостную долговечность может
производиться с целью проверки способности металлоконструкции не
разрушаться в течение заданного интервала времени при восприятии пе-
ременных нагрузок или для оценки вероятного срока службы изделия
при восприятии нагрузок, изменяющихся во времени по заданному за-
кону.
В первом случае расчет сводится к сопоставлению максимального на-
пряжения блока нагружения с предельным напряжением материала кон-
струкции согласно зависимости (2.2). При этом коэффициент снижения
предельного напряжения определяют по формулам
186
----------------------------, если Io I > I о I :
oT <4(1-«)+ ф (1 + «))------max m,n
2a_j^	R	(2.83)
------- —--------------------, если I g I < I о . I,
aT a[ (1 - Я) + ф (1 + Л)]---max mln
nh
•i»'
KfeO
;c4
10
Г-
ip
г
I®
«•
Я*
*
f*
где значения и а вычисляют при аргументах, равных математическим ожи-
даниям.
При несоблюдении указанного условия вводят изменения в конс-
трукцию сварного узла или предусматривают упрочняющую технологи-
ческую обработку, направленную на повышение усталостной долговеч-
ности. Затем производят перерасчет с целью проверки эффективности
мероприятия по повышению усталостной долговечности.
Во втором случае расчета усталостной долговечности сопоставляют
вероятный срок службы Тр изделия по чистому времени работы с задан-
ной вероятностью неразрушения Р с экономически обоснованным сро-
ком службы [Т], т.е.
Тр < [Т].	(2.84)
Вероятный срок службы Тр изделия определяют через вероятную
циклическую долговечность Np при известном числе повреждающих цик-
лов п и длительности реализации Тб блока нагружения:
N„
T=-P-t..	(2.85)
' п
Циклическую долговечность сварного узла при заданной вероятнос-
ти Р в условиях восприятия переменных нагрузок находят из зависимос-
ти [13]
In Лр =M(ln TV)-С7р S'(In 7V),	(2.86)
где ТИ(1л TV) — математическое ожидание логарифма циклической долговечности
изделия при заданном режиме нагружения, выраженной через количество циклов
блока нагружения:
кг m
N5°-\K
М (In M = In ----------п	(2.87)
_ m
°-lnpi ni
и определяемый по математическим ожиданиям величин о_р KQ и «т; № (In TV) -
дисперсия логарифма циклической долговечности, значение корня квадратного из
которой (среднее квадратичное отклонение) согласно РД 2201-3—85 можно опре-
делить по формуле:
WlO_1	I/O
s(In ТУ) =----1--(а'VI + 0)1' ;	(2-88)
К о 1jr
а —1Л
здесь V& — коэффициент вариации эффективного коэффициента концентрации;
а и 0 — коэффициенты, определяемые по таблицам в зависимости от группы стали
187
и вида напряженного состояния, для одноосного напряженного состояния а = 0,3 и
р = 0,002 для сталей I группы (СтЗ, 09Г2, 09Г2С, 14Г2, 15ХСНД, 10ХСНД), а =
= 0,25 и р = 0,0025 для сталей II группы (15Г2АФД пс, 16Г2АФ, 18Г2АФ пс), а' =
= 0,17 и р= 0,004 для сталей III группы (12Г2СМФ, 14Х2ГМР, 14ХМНДФР) ,
Общий порядок расчета усталостной долговечности можно предста-
вить в следующей последовательности.
1.	По данным обработки осциллограмм, соответствующих одному
блоку нагружения, составляют корреляционную таблицу схематизации
случайного процесса нагружения сварного узла (см. табл. 2.5 и
рис. 2.32).
2.	По данным корреляционной таблицы строят гистограмму распре-
деления максимальных напряжений и определяют напряжение перегруз-
ки оп.
3.	Вычисляют параметры сопротивления усталостному разрушению.
3.1.	Корректируют параметры материала и сварного узла после уп-
рочняющей технологической обработки (если она была) : <тт, оос н,
К	(по таблицам РД 2201-3—85).
°°Т—1<Т
3.2.	Определяют вторичное остаточное напряжение
°т
------ о„, если К (о „ „ + о ) > о ;
Л	V- П	О v ос.н п у т ’
аос = Ао
<т , если К (а + о ) < а .
ос.н ’ иv ос.н п7 т
3.3.	По выражению (2.78) находят предел выносливости сварного
узлао_1Л?
3.4.	По формуле (2.80) определяют показатель степени т кривой
усталости.
4.	Вычисляют параметры режима случайного нагружения.
4.1.	По выражению (2.81) определяют число блоков нагружения X.
4.2.	Из корреляционной таблицы исключают амплитуды циклов на-
гружения, меньшие 0,5
4.3.	Определяют число и повреждающих циклов в блоке нагружения.
4.4.	Вычисляют сумму повреждающих воздействий в одном блоке
нагружения Z о пр1- и,.
4.5.	По формуле (2.82) определяют коэффициент а режима нагру-
жения.
5.	Проверяют условия неразрушения сварного узла при восприятии
переменных нагрузок в течение заданного срока службы.
5.1.	Определяют максимальное напряжение блока циклов нагру-
жения.
5.2.	Находят коэффициент R асимметрии цикла, соответствующего
максимальному размаху напряжений в блоке нагружения.
5.3.	По формуле (2.83) определяют коэффициент у снижения пре-
дельного напряжения.
5.4.	Сопоставляют максимальное напряжение ол блока нагружения с
предельным напряжением материала конструкции. Принимают решение
о необходимости изменения сварного узла. В случае произведенных
188
изменений выполняют поверочный расчет в указанной выше последо-
вательности.
6.	Оценивают вероятный ресурс сварного узла.
6.1.	По данным п. 3 и 4 с использованием выражения (2.87) опреде-
ляют математическое ожидание логарифма ресурса изделия Л/(In TV), вы-
раженного числом циклов нагружения.
6.2.	По формуле (2.88) рассчитывают дисперсию логарифма цикли-
ческой долговечности.
63. Определяют квантиль нормального распределения Up (см.
с. 178), соответствующий заданной вероятности Р.
6.4. По выражению (2.86) вычисляют логарифм циклической долго-
вечности In TV сварного узла при заданной вероятности и соответствую-
щее ему значение Np.
6.5. По формуле (2.85) находят вероятный срок службы сварного
узла и сравнивают его с экономически рациональным сроком службы
[см. выражение (2.84)]. При необходимости разрабатывают мероприятия
для повышения срока службы.
2.6.	БАЛОЧНЫЕ КОНСТРУКЦИИ
2.6.1.	МЕТАЛЛОКОНСТРУКЦИИ БАЛОЧНОГО ТИПА
И ОБЩИЕ ПРИНЦИПЫ ИХ РАСЧЕТА
Общая характеристика балок. Балки нашли широкое применение
в конструкциях строительных и дорожных машин. Стрелы и рукояти
экскаваторов, толкающие брусья бульдозеров, хребтовая балка основ-
ной рамы автогрейдера и ряд других узлов машин являются конструк-
циями балочного типа.
По виду поперечного сечения балки разделяют на прокатные и сос-
тавные. Прокатные балки отличаются простотой конструкции и малой
стоимостью, однако из-за ограниченности сортамента и несоответствия
геометрических характеристик сечений условиям нагружения большого
распространения они не получили.
По конфигурации сечения различают балки с открытым (типа
швеллеров, двутавров, уголков) и замкнутым профилями. Последние
получили преимущественное распространение в конструкциях дорож-
ных машин благодаря лучшим условиям защиты металла от коррозии
и способности сопротивляться не только изгибающим, но и крутящим
моментам. Так как изгибающие моменты, действующие во взаимно пер-
пендикулярных плоскостях, как правило, неодинаковы, наиболее часто
применяют балки прямоугольного коробчатого сечения. При приблизи-
тельном равенстве изгибающих моментов целесообразно использовать
балки трубчатого сечения.
Выбор сечения и расчет прокатных балок. Прокатные профили типа
двутавров и швеллеров имеют массивные полки и тонкие стенки. Такие
профили выгодно применять только в тех случаях, когда балка работает
в основном на изгиб в одной плоскости.
189
Сечения прокатных балок выбирают на основе данных статического
расчета по заданному изгибающему моменту М. Требуемый момент со-
противления прокатных балок
WTp=M/(Rky),	(2.89)
где R - расчетное сопротивление растяжению при изгибе; ку — коэффициент усло-
вий работы.
Далее по сортаменту определяют номер профиля, имеющий момент
сопротивления IV > WTp, и проверяют его прочность, общую устойчивость
и жесткость. Прочность проверяют с учетом продольной силы Л'по фор-
муле нормальных напряжений:
a = M/W + N/F^Rky
и по формуле касательных напряжений от расчетной поперечной силы Q:
QS
т =------ <7? к ,,
/а ср У
ст
(2.90)
(2.91)
где F - площадь сечения балки; 5 - статический момент половины сечения балки
относительно нейтральной оси; J — момент инерции сечения; 6^. - толщина стен-
ки; /?Ср - расчетное сопротивление срезу.
Напряжение в выбранном сечении должно быть меньше предельного
напряжения на 7 ... 10%.
Если сжатый пояс балки недостаточно закреплен от боковых смеще-
ний или отношение расчетной длины балки I к ширине сжатого пояса b
превышает 15, балку проверяют на общую устойчивость по формуле
о=М! (^W)<Rky,	(2.92)
где - коэффициент снижения напряжений при потере устойчивости, определя-
емый по справочным таблицам.
Жесткость балки оценивают относительным прогибом f/l под на-
грузкой, который не должен превышать нормативного значения [f/l\.
Относительный прогиб определяют от действия нормативных нагрузок
без учета коэффициента перегрузки:
f/l = Mll(kEJ)<\f/l},
(2-93)
где М — наибольший нормативный изгибающий момент; к — коэффициент, зави-
сящий от схемы балки и от нагрузки.
Если подобранное сечение балки удовлетворяет требованию прочнос-
ти, но не удовлетворяет требованию жесткости, то следует увеличить мо-
мент инерции сечения.
Местную устойчивость поясов и стенки прокатных балок не проверя-
ют, так как размеры стандартных профилей назначают с учетом работы
при различных напряженных состояниях.
Общие принципы расчета коробчатых балок. Коробчатые балки до-
рожностроительных машин работают, как правило, в условиях сложно-
го сопротивления, воспринимая шесть внутренних сил (рис. 2.33): про-
190
дольную силу N, поперечные силы Qx, Qy-, изгибающие моменты Мх,
Му\ крутящий момент Мкр. При этом в сечениях появляются нормаль-
ные вмх’ аМу и касательные tq*, Tq , тм напряжения (индекса-
ми обозначены соответствующие внутренние силы), которые неравно-
мерно распределены по сечению, причем наибольшие напряжения дейст-
вуют в точках внешнего контура сечения (рис. 233, а). В различных точ-
ках внешнего контура напряжения также не одинаковы. Поскольку нор-
мальные напряжения перпендикулярны плоскости сечения, а касатель-
ные лежат в этой плоскости, прочность оценивают по эквивалентному на-
пряжению, определяемому по гипотезе удельной энергии формоизме-
нения:
экв
(2-94)
где а - суммарное нормальное напряжение:
N Мгу М х
О = ±-- ± -—-— ± -2_
F	JX	Jy
т — суммарное касательное напряжение:
(2-95)
(2.96)
7=±7Qx±7Qy ±7Мкр-
Рис. 2.33. Схема напряжений, действующих по внешнему контуру коробчатого
сечения при сложном напряженном состоянии
191
Касательные напряжения в точках внешнего контура сечения, распо-
ложенных на вертикальных стенках, вычисляют по формулам:
ТС
@у$х .
^х^х
(2.97)
(2.98)
Мкр 26с (*-6с)(Л-6п) 1 h
при Ijl > (Л - 25п)/2
Ъ h2
sx = T( — -y2)-, Ъх = ъ-
TQx=Q~>
при I у I < (h - 25п)/2
b h2	(6 —2SC) (А—26п)
Sx = — (-----J2)--------— [---------— -У2]; bx=2Sc;
х	2	4	2	4	х
Qx(b-6cVyl
TQx 2J„
(2.99)
(2.100)
где у — координата рассматриваемой точки контура сечения; Sx — статический мо-
мент относительно оси х части сечения, расположенной выше рассматриваемой точ-
ки; Ьх — ширина сечения на уровне рассматриваемой точки; прочие обозначения
даны на рис. 2.33, б.
Напряжения в точках внешнего контура, расположенных на горизон-
тальных полках сечения, определяют по аналогичным формулам, кото-
рые нетрудно получить, повернув мысленно сечение на 90°. Знаки напря-
жений при их подстановке в формулу (2.96) зависят от направлений Qx,
Qy, М и координат х, у рассматриваемой точки контура сечения (см.
рис. 233, б - г).
Из формул (2.94) ... (2.96) и эпюр, показанных на рис. 233,а, сле-
дует, что, не выполнив расчета, нельзя предсказать, в какой именно точ-
ке внешнего контура сечения эквивалентное напряжение будет макси-
мальным.
При расчете по методикам, излагаемым в научно-технической и учеб-
ной литературе, нередко допускают неточность, заключающуюся в том,
что в условие (2.94) подставляют максимальные значения напряжений
о и т, не учитывая, что они имеют место в разных точках сечения. Дейст-
вительно, о = отах в одной из угловых точек, а т = ттах — в одной из то-
чек внешнего контура, лежащих на оси симметрии сечения. Такой расчет
недопустим, так как ошибка, идущая в запас прочности, может быть су-
щественной, что приведет к неоправданному увеличению массы конс-
трукции.
Желательно рассчитывать азкв для множества точек внешнего кон-
тура по всему периметру сечения, что из-за большого объема вычислений
требует использования ЭВМ.. В противном случае необходимо, как
192
I
минимум, вычислить стэкв в точках/1. В, С, D, Е (см. рис. 2.33,а) или же
в аналогичных точках других квадрантов, в которых составляющие на-
пряжения имеют одинаковые направления После выявления максималь-
ного эквивалентного напряжения его сравнивают с расчетным сопротив-
лением (или с допускаемым напряжением) для проверки прочности.
Приведенные формулы достаточно точны для коробчатых сечений
при условии, что отношения Ь/8И и Л/6С находятся в пределах от 5 ... 10
до 55 ... 70. При более тонких стенках или полках требуется проверка их
местной устойчивости.
2.6.2.	ОСОБЕННОСТИ РАСЧЕТА ТОНКОСТЕННЫХ БАЛОК
Прочность тонкостенных балок. Тонкостенными называют балки
(стержни), у которых толщина 6 элементов (стенок) значительно (на
порядок) меньше габаритных размеров поперечного сечения. Сечение
тонкостенной балки определяется контуром (линией, проходящей посре-
дине элементов) и толщиной 6.
Тонкостенные элементы из-за малой толщины не могут обеспечить
жесткость всего поперечного сечения балки; оно перестает быть плоским
в процессе ее деформации. Это явление называется депланацией сечения.
Опорные закрепления и внутренние связи в балке препятствуют продоль-
ным перемещениям точек, стесняют депланацию, поэтому в сечениях воз-
никают дополнительные напряжения. Это наиболее характерно при стес-
ненном кручении тонкостенных балок открытого профиля. В сечениях
балки возникают нормальные и касательные напряжения, соответствую-
щие особым внутренним силам: бимоменту В (z) и изгибно-крутильному
моменту (z) = dB/dz. Эти факторы, присущие только тонкостенным
стержням, в отличие от других внутренних сил нельзя найти из уравне-
ний статики; их определяют из решения дифференциального уравнения
стесненного кручения.
При расчете тонкостенных стержней на кручение вместо гипотезы
плоских сечений используют гипотезу о недеформируемости контура:
проекция контура на плоскость, перпендикулярную оси стержня, в про-
цессе деформации сохраняет свои размеры и форму. Вводится ряд новых
геометрических характеристик, зависящих не только от линейных коор-
динат х и у точек сечения, но и от векториальной координаты ш; она рав-
на удвоенной площади F сектора, образованного при вращении радиуса-
вектора АМ0 по контуру сечения $ до точки К (рис. 234, а):
s
со = J r(s)ds,
о
где г — перпендикуляр, опущенный из точки Л на касательную к контуру в точке К.
Точка А называется полюсом, точка Мо — начальной точкой отсчета.
Поскольку секториальная координата имеет размер площади, ее также
называют секториальной площадью. Знак со считается положительным,
если радиус-вектор вращается по часовой стрелке. На рис. 2.34,6 — г по-
казаны эпюры линейных и секториальных координат для двутавра, а на
рис. 2.34, д — эпюра со для швеллера.
193
7-555
Рис. 2.34. Схемы и эпюры для расчета
тонкостенных балок открытого профиля
В общем случае положения точек А иМ0 надо определить .Если сече-
ние имеет одну ось симметрии, то точки Л и7И0 лежат на оси симметрии.
В сечении с двумя осями симметрии полюс А совпадает с центром тя-
жести. Для определения положения точек А и Мо помимо обычных ис-
пользуют геометрические характеристики: секториальный статический
момент, = J (jj2dF; линейно-секториальные моменты,5шХ = J wydF
F	F
и „ = J (jjxdF. Определив положение точек А и 7ИП, строят эпюру глав-
У F
ных секториальных координат (рис. 2.34,г, д) . Далее определяют секто-
риальный момент инерции
J=j M2dF,	(2.101)
F
где cj — главная секториальная координата.
Для контуров, состоящих из прямолинейных элементов, эти интегра-
лы можно вычислять по правилу Верещагина (1.56) с учетом того, что
dF= bds.
Если плоскость действия поперечной нагрузки проходит через точку
Л, а не через центр тяжести сечения, то балка будет только изгибаться;
поэтому полюс А называется центром изгиба. Если же плоскость дейст-
вия нагрузки не проходит через центр изгиба, то изгиб будет сопровож-
даться кручением балки.
Дифференциальное уравнение стесненного кручения имеет вид
(2.102)
194
гдеу — y(z) — угол закручивания; т — dM/dz — внешний распределенный момент;
к - так называемая изгибно-крутильная характеристика:
* = х/ GJK/EJW	(2.103)
здесь С модуль упругости второго рода; JK — момент инерции при свободном
кручении; для тонкостенных стержней открытого профиля
<=—(2104)
з	II
где а - коэффициент, зависящий от формы сечения и характера изготовления бал-
ки (например, для прокатного двутавра а = 1,2, для сварных балок с ребрами
жесткости а = 1,5); й(- и 6, — длина и толщина /-го элемента.
Выражая полный крутящий момент в сечении 7Икр в виде суммы
М =М + М°,	(2.105)
кр и> ’	V 7
где - изгибно-крутильный момент; М° — момент чистого кручения.
После интегрирования уравнения (2.102) получаем уравнение углов
закручивания tp(z), записанное по методу начальных параметров. Для од-
ного участка балки
shfcz	(1 —chfcz)	(kz-shkz)
У = Уо + Уо	+	+	+
к	GJK	кри kGJK
(k2z2/2 + 1 - ch kz)
MB*
В®'
да*
где^о - угол поворота сечения; ip0* - фактор депланации; Во - бимомент; Мкрд -
крутящий момент в начале координат; mQ = qe — распределенный момент в начале
координат (е — эксцентриситет распределенной нагрузки q относительно центра
изгиба); sh kz и ch kz - гиперболические функции.
Между статическими и кинематическими факторами при стесненном
кручении имеются следующие дифференциальные зависимости:
В = -EJ^ у" и = dB/dz = -EJ^у'",	(2.107)
аналогичные зависимостям при изгибе: М = - EJv" и Q = - EJn".
Записывая выражения производных от функции y>(z) и используя
граничные условия на правом конце балки, определяют неизвестные на-
чальные параметры, а затем находят кинематические ф и у и силовые
факторы (В, М М°) для любого сечения балки.
Нормальные напряжения от бимомента В
Od=B<^IJ	(2.108)
D	' СО

Эти напряжения распределяются в сечении по закону секториальных
координат (рис. 2.34, г) и обычно соизмеримы с напряжениями изгиба.
С учетом выражения (2.108) получают общую формулу нормальных на-
пряжений от действия всех силовых факторов в сечении:
N	MY
О =---- + -— у +
F	Jx
М-. Blj
—2- х + ---
(2.109)
195
Аналогичным образом к касательным напряжениям от поперечных
сил Qx и Qy и от крутящего момента чистого кручения/И0 добавляются
касательные напряжения от изгибно-крутильного момента М^. В тонко-
стенных балках открытого профиля они обычно значительно меньше ка-
сательных напряжений, обусловленных чистым кручением, и в расчете
их можно не учитывать.
Поясним сказанное на примере. На рис. 2.34, е, изображена балка, на которую
действует равномерно распределенная нагрузка q с эксцентриситетом е. Здесь <р0 =
= О, £0 = О (из-за возможности свободной депланации на опоре) , тп - qe, AfKp0 =
= — 0,5 ml (по условиям симметрии) . Неизвестный начальный параметр опреде-
ляют из граничного условия: = 0. После этого записывают уравнение <Дг)
(2.106) и путем соответствующего дифференцирования получают выражения для
(z) , В (z),	(z) . На рис. 2.34, з представлены эпюры всех этнх.факторов. Бимо-
мент достигает максимума в среднем сечении балки (z = е/2):
т	1
В =------(1-------------).	(2.110)
к2 ch 0,5 ке
Определим нормальные напряжения в балке двутаврового сечения I № 33
(ГОСТ 8239-72), условно изображенного на рис. 2.34, ж. Используя формулу
(1.56) в соответствии с рис. 2.34, в, получим
4= ! У1 dF = 2[ (0,5 bh)0Bh6n+ (0,5-0,5 h 0,5 h) (2Л/3) 6С] = 9858 см4
F
(по ГОСТ 8239-72	= 9840 см4, расхождение 0,18 %);
/ = f co3c?F= 41 (0,5-0,25 Мг) 0,5 6(2/3) (0,25 Wi)] 6П = 130 145 см6.
F
Согласно выражению (2.104) момент инерции при чистом кручении /к =
= 20,11 см4.
Полагая Е = 2,1-105 МПа и G = 0,810s МПа, из формулы (2.103) получим
fc = V(0,8-20,11)/(2,1-130 145) =0,7672-Ю-1 см’*.
При q = 10 кН/м, е = 0,5 см и / = 6 м находим ке =4,6, ch4,6 = 49,747 и сог-
ласно выражению (2.110) : В = ~ 8324 кН-см3.
Так как для данного сечения u>max = 0,25 bh = 111,58 см3, то на основании
формулы (2.108)
8324 111,58	кН
Максимальное напряжение от изгибающего момента М = ql2 /8 = 4500 кН-см3 :
4500	кН
°Мтях =-------- 16’5 = 7-546 --= 75-46 МПа.
Мтах 9840	см,
Следовательно, согласно выражению (2.109)
"max = "Mmax + "fimax = 146’83 МПа-
Как видим, напряжение от бимомента в опасной точке сечения составляет
почти 50 % от полного напряжения.
196
При определении нормальных напряжений в балках замкнутого про-
филя в формулу (2.108) вместо координаты си вводят обобщенную
секториальную координату
—	s'
w= w-^к >	(2.111)
SK
где gj — секториальная координата данной точки; Г2К — удвоенная площадь, огра-
ниченная средней линией контура; s^ = £ (s/б) — приведенный периметр контура;
s' = s/б — приведенная длина стороны периметра s
Для коробчатого симметричного сечения (рис. 2.35, а)
_	2bh s
о> = со-------------,	(2.112)
£ (s/б) б
где 6 - толщина стенки или полки (бс или бп).
В коробчатых тонкостенных балках из-за стеснения деформаций
сдвига возникает стесненный изгиб. Закон распределения напряжений
нельзя описать уравнением плоскости; напряжения в точках полки, рас-
положенных вблизи стенки, становятся больше, чем в средней части
(рис. 2.35, б). Перенапряжения в углах сечения можно определить по
формуле о = о0 (1 + £), где а0 = а коэффициент к зависит от отно-
шения ширины балки к ее длине: к = к(Ь/I).
Для шарнирно опертой по концам балки при симметричной нагрузке
в среднем сечении, где депланация отсутствует, к = Агтах = 1,75 Ъ/l. По
мере удаления от середины балки к опорам этот коэффициент умень-
шается.
Общая устойчивость тонкостенных балок. Балка, нагруженная в
плоскости ее наибольшей жесткости, являющейся плоскостью симметрии,
вначале изгибается только в этой же плоскости. Когда нагрузка достиг-
нет критического значения, плоская форма изгиба перестает быть устой-
чивой и балка выпучивается в сторону, испытывая при этом кручение и
изгиб в плоскости наименьшей жесткости. Нагрузка и нормальные на-
пряжения в балке, соответствующие моменту потери устойчивости, назы-
ваются критическими (рис. 236).
Для определения критической нагрузки (которой могут быть сосре-
доточенная сила Р, сосредоточенный момент М или распределенная на-
грузка q) рассматривают новое деформированное состояние балки и
составляют соответствующее дифференциальное уравнение равновесия
подобно тому, как эго делалось в задачах продольного изгиба.
Так, например, для шарнирно опертой тонкостенной балкг, сечение
которой имеет две оси симметрии, а сила Р приложена посредине, диф-
ференциальное уравнение имеет вид [3]
дм 2
EJ (pIV -GJ <р"~------2^-z2</>=0,
“	к l*EJy
где — жесткость балки при совместном изгибе и кручении (’’изгибно-крутиль-
ная жесткость”) ; GJK — жесткость балки при чистом кручении; EJy — жесткость
7* - 555	197
Рис. 2,35. Схемы для расчета тонко- Рис. 2.36. Устойчивость тонкостенных
стенных балок замкнутого профиля балок
при изгибе в плоскости наибольшей гибкости; = <^(z) — угол закручивания; z —
координата сечения; Afma> — момент в среднем сечении (z = Z/2).
Принимая приближенно функцию ф = A sin (kz/Z) , удовлетворяющую
граничным условиям, получают критическое значение Мтах:
М
кр max
(я/Z) х/ GJKEJy	я2 EJ^
х/1/3 + 2/тта	Z’ gjk
(2.113)
Если стесненное кручение не учитывают и считают, что = 0, то из
ч	4,28	_______
выражения (2.113) получают Мкр тах = —----GJKEJy (точное значе-
ние числового коэффициента в этой формуле равно 4,23).
В общем случае критическую силу для балок симметричного профи-
ля определяют по формуле, совпадающей по структуре с формулой Эй-
лера:
к^Гвс
Р =---------ф,
кр р
(2.114)
где к — коэффициент, зависящий от вида нагрузки, точки ее приложения и от гра-
ничных условий для балки; В = EJy — жесткость балки при изгибе относительно
вертикальной оси у; С = GJK — жесткость балки при чистом кручении; - попра-
вочный коэффициент, учитывающий стесненное кручение: ф = V 1 + (п2Е/и)/(Р X
X I I ~ свободная длина сжатого пояса.
Критические напряжения, соответствующие наибольшему моменту
(2.113) или критической нагрузке (2.114), определяют по общей фор-
муле акр =Л/Кр/И/Х. Например, при сосредоточенной силе посредине про-
лета
_ fKpZ h
Gkp 4 2JX
k\Ja
------ЕФ ,
16
GJK	I	Jy	h
где a = 4-------(---)2, а Ф =-----( — )’ .
£7^,	h	Jx	I
198
Значения коэффициентов к = f(a) табулированы для различных ви-
дов нагружения балки (Справочник проектировщика. Кн. 2. М.: Строй-
издат, с. 263 — 264).
Отметим, что на критические силы и напряжения влияет расположе-
ние нагрузки: на верхнем или нижнем поясе балки. В первом случае мо-
мент, возникающий при кручении балки, способствует увеличению де-
формации кручения, а во втором случае — препятствует.
Местная устойчивость элементов тонкостенных балок. Элементы
тонкостенных конструкций балочного типа открытого или замкнутого
профиля представляют собой пластины, которые при недостаточной тол-
щине могут потерять устойчивость раньше, чем наступит потеря общей
устойчивости балки. Для увеличения сопротивления стенок и поясов
(полок) потере местной устойчивости в составных балках устанавлива-
ют ребра жесткости или диафрагмы. В зависимости от места нахождения
в балке элемент-пластина может испытывать нормальные напряжения от
изгиба или от осевого сжатия, касательные напряжения, напряжения
местного сжатия и их сочетания.
В шарнирно опертой по концам балке (см. п. 2.63), воспринимаю-
щей нагрузку в вертикальной плоскости, можно отметить различные зо-
ны характерных напряженных состояний. На участках, примыкающих к
опорам, в стенках возникают преимущественно касательные напряжения
(ттах; а ~ 0),в середине пролета — главным образом нормальные на-
пряжения (<7тах)5 в промежуточных участках (отсеках) в стенке дейст-
вуют нормальные и касательные напряжения (0 < а < отах, 0 < т <
<ттах ). В зонах действия сосредоточенных сил в стенке возникают
местные напряжения сжатия (смятия).
Каждому виду напряженного состояния соответствуют свои крити-
ческие напряжения (см. п. 2.23). Приведем некоторые расчетные форму-
лы [2].
Для опорных участков, где определяющими силовыми факторами
являются поперечные силы, пластину рассматривают в состоянии равно-
мерного сдвига; в этом случае для стенки с учетом ее упругого защемле-
ния в поясах критическое напряжение (МПа)
т =[1250 + 950 (fe/д)2] (5/Ь)2-103,	(2.115)
кр
где а и b - большая и меньшая стороны пластины.
Коэффициент запаса местной устойчивости п0 = ткр/7>и, где п —
коэффициент запаса прочности. При этом касательные напряжения счи-
таются усредненными: т = £7/(/гс6с) (где Q ~ сРеднее значение попереч-
ной силы в пределах отсека; hc и 6С — высота и толщина стенки).
Для средних участков, где определяющими факторами являются
нормальные напряжения изгиба, критическое напряжение (МПа) для
стенки коробчатой балки
акр=7460(6с/Лс)2103 .	(2.П6)
Коэффициент запаса местной устойчивости п0 =окр1о>п. При этом
краевое напряжение о = М/W вычисляют по среднему значению М в пре-
199
делах участка, если его длина не превышает высоты Лс; в противном слу-
чае принимают среднее значение М для наиболее нагруженной части отсе-
ка длиной, равной hc.
Местную устойчивость стенок, укрепленных только поперечными
ребрами жесткости, при совместном действии нормальных и касатель-
ных напряжений проверяют по формуле
V(o/oKp)2 + (т/ткр)2 < 1,	(2.117)
где оКр и ткр определяют по выражениям (2.115) и (2.116).
При использовании формулы (2.117) предполагается, что местные
напряжения отсутствуют. Отметим, что действие сосредоточенных сил
также может привести к потере устойчивости пластины. Устойчивость
стенки балки при наличии местных напряжений проверяют в зависимос-
ти от установки поперечных и продольных ребер жесткости.
При изгибе балок в вертикальной плоскости поясной лист рассма-
тривают как пластину, находящуюся под действием равномерно распре-
деленных сжимающих напряжений по коротким сторонам. Для одно-
стенных балок рассматривают половину пояса (по одну сторону от стен-
ки) . Опорами этой пластины являются стенка и два соседних ребра жест-
кости. При длине пластины, намного превышающей ее ширину, акр =
= 81 (бп/bj)2 103 МПа (где 6П — толщина поясного листа,а b! —полови-
на ширины пояса).
В коробчатых балках сжатый пояс рассматривают как опертую по
четырем сторонам пластину, на короткие стороны которой действуют
равномерно распределенные сжимающие напряжения. В этом случае
акр = 1000(6П/Ь)2 103 МПа. Более общие случае нагружения стенок и
поясов балок рассмотрены в работе [2].
2.6.3. ОСОБЕННОСТИ ПРОЕКТИРОВАНИЯ СОСТАВНЫХ БАЛОК
Составной называется балка, образованная из нискольких, как пра-
вило, сваренных прокатных профилей. По сравнению с прокатными сос-
тавные балки имеют ряд преимуществ: более равномерное распределе-
ние напряжений; возможность придания балке формы, наиболее соот-
ветствующей назначению конструкции; эстетичный внешний вид; мень-
шая масса. Основным недостатком составных балок является более вы-
сокая стоимость их изготовления.
Составные балки отличаются конструктивным разнообразием, одна-
ко наибольшее применение для строительных и дорожных машин полу-
чили балки замкнутого сечения, а из их числа — балки прямоугольного
коробчатого сечения. Их применяют как самостоятельные элементы ме-
таллоконструкций или в составе более сложных конструкций.
Составная балка, изображенная на рис. 2.37, а, характерна для мосто-
вых конструкций, используемых на предприятиях строительной индус-
трии (в самоходных бункерах, бетоноотделочных машинах, съемниках,
передаточных мостах и тд.). При проектировании таких балок применя-
200
ют рекомендации, разработанные для проектирования главных балок
мостовых кранов.
Габаритные размеры сечения главной балки Ъ и h рекомендуется
принимать с соблюдением неравенств:
£//><60, h/b <3,5,
где L - длина балки.
Значения Ъ и h рассчитывают методом, изложенным в пп. 2.6.1 и 2.6.2.
Для снижения массы составных коробчатых балок целесообразно
увеличивать размеры b, h при одновременном уменьшении толщины по-
лок 5П и стенок 5С.Однако при уменьшении отношений 6С/Л и 6п//> воз-
можна потеря местной устойчивости стенки или полки. Согласно сущест-
вующим рекомендациям
Л/6С < 90 и h/Sc <70
при___
/210
(2.118)
R
где R — расчетное сопротивление, МПа, предел текучести в наиболее на-
груженных точках сечения достигается раньше, чем произойдет потеря
местной устойчивости. В этом случае укреплять основные элементы кон-
струкции ребрами жесткости нецелесообразно.
При несоблюдении неравенств (2.118) необходимо применять ребра
жесткости или диафрагмы. В современных коробчатых балках допуска-
ется А/6С < (200 ... 300) при 6С > (4 ... 5) мм. При этом рекомендуется
принимать расстояние между большими диафрагмами 1 (рис. 2.37, а)
I = (1,5 ... 2) А. Диафрамы могут быть сплошными или с отверстиями.
Для обеспечения местной устойчивости стенок при действии нормальных
напряжений в зоне сжатия устанавливают продольную диафрагму 3 на
расстоянии (0,2 ... 03) Л от сжатой полки. Между диафрагмой и полкой
располагают малые диафрагмы 2, придающие конструкции дополни-
тельную жесткость и выполняющие роль промежуточных опор для рель-
сов, по которым движется тележка, транспортирующая груз (бункер бе-
тонной смеси и т.д.).
201
На рис. 237, б показано продольное сечение рукояти экскаватора
Э0-4321А. Составная балка образована поясами 4, стенками 5, коробкой
жесткости 6 для усиления проушин 7 гидроцилиндров. Внутри рукояти
расположены наклонные диафрагмы 9. Установка диафрагм под углом к
оси рукояти напоминает расположение раскосов в фермах. Вместе с по-
ясами диафрагмы как бы образуют геометрически неизменяемую систе-
му. Применение диафрагм не только привело к уменьшению толщины
основных элементов и массы рукояти, но и способствовало более равно-
мерному нагружению конструкции усилием, действующим в проушине
8 крепления рукояти к стрелке экскаватора.
Использование элементов жесткости при одновременном уменьше-
нии толщин основных элементов является действенным средством сни-
жения массы балок. Однако при этом конструкция усложняется и ее
стоимость может увеличиться. Кроме того, металлоконструкции дорож-
ных машин нередко подвергаются действию местных сосредоточенных
нагрузок, что накладывает ограничение на минимальную толщину основ-
ных элементов, которые не рекомендуется делать из листов толщиной
менее 5 мм.
Составные балок дорожных машин обычно выполняют из проката
неодинаковой толщины. Так, толщина полок превышает толщину стенок
в 1,5 ... 3 раза. В некоторых конструкциях полки имеют переменную тол-
щину. Например, согласно исследованиям МИСИ балки телескопических
стрел кранов (рис. 2.37, в) воспринимают значительные местные нагруз-
ки от опорных устройств (роликов или скольэунов), ввиду чего часть
пояса, являющуюся поверхностью качения ролика, рекомендуется де-
лать утолщенной (61п > 62п).
При проектировании составных балок необходимо не только пра-
вильно рассчитать размеры сечения, но и выполнить расчет сварных
швов, соединяющих полки и стенки. Пояса и стенки при изгибе стремят-
ся сместиться друг относительно друга (рис. 2.38). Поэтому в соедине-
нии поясов со стенками возникают усилия Т сдвига, на которые рассчи-
тывают поясные швы.
Усилие Т сдвига (на единицу длины балки)
T=Q^JJ. ,
п' ор ’
где Q - расчетная поперечная сила в рассматриваемом сечении; 5П - статический
момент смещающейся части сечения относительно нейтральной осн (статический
момент инерции поясного листа) ; 7бр - момент инерции сечения балки (брутто) .
Силу Т воспринимают два угловых шва, соединяющих пояс со стен-
ками. Касательные напряжения в швах получим, разделив силу Т на ра-
бочую площадь этих швов (на единицу длины) Flu:
Г С5П
7 =----- = ----— <7? к
2kPJ6p св-с У’
где к - катет шва; /3- коэффициент, учитывающий технологию сварки (см.
п. 2.3.3).
202
Рис. 2.38. Схема
швов
для расчета поясных
Рис. 2.39. Распределение местных на-
пряжений в стенке под сосредоточенной
силой
Из этой формулы можно определить требуемый катет шва
* к>
2/?^бр^св.с^у
Если на балку действует сосредоточенная подвижная нагрузка
(рис. 239), то она воспринимается поясными швами и передается на
стенки балки неравномерно, распространяясь на некоторую длину X, ана-
логично давлению балки, лежащей на упругом основании. В расчетах для
упрощения принимают равномерное распределение давления от сосредо-
точенной силы на условной длине:
где с - коэффициент, принимаемый для сварных балок равным 3,25; /п — момент
инерции пояса и рельса относительно нейтральной оси.
В таком случае на единицу длины поясных швов приходится сила
V = Pjz (где Р — сосредоточенная нагрузка).
Сварные швы мест соединения поясов со стенками при восприятии
сосредоточенной нагрузки необходимо рассчитывать на суммарное воз-
действие сил V пТ (на единицу длины):
у/т2 + К2 =У( --Н-)2 + ( —У < 2pkR к .
Asp	*	У
2.6.4. ПРОЕКТИРОВАНИЕ БАЛОК НАИМЕНЬШЕЙ МАССЫ
Общие положения. При создании конструкций машин необходимо
обеспечить два основных противоречивых требования — обеспечить на-
дежность и прочность конструкции и наибольшую экономию материалов.
Важное значение для экономии металла имеет знание законов изменения
массы в зависимости от основных параметров конструкции.
Задача оптимизации параметров составной балки по минимуму мас-
203
сы может быть сформулирована как задача математического программи-
рования. Для этого необходимо наличие двух компонентов: 1) целевой
функции, соответствующей выбранному критерию оптимальности;
2) системы ограничений, описывающих условия функционирования
балки.
В качестве критерия оптимизации используете? масса балки и це-
левая функция имеет вид
-*min или М5 =р J F(x)dx ->min ,
о
где р — плотность материала балки; I - длина проектируемой балки; F(x) — функ-
ция изменения площади поперечного сечения балки по ее длине Г, х - координата
положения сечения по длине балки.
Изменение площади поперечного сечения по длине балки при уело-
вии минимизации ее массы соответствует распределению изгибающего
момента по длине I. Поэтому многие элементы металлоконструкций
строительных и дорожных машин имеют переменную по длине форму по-
перечного сечения.
Для создания конструкций балок минимальной массы необходимо
уметь определять параметры поперечного сечения балки, имеющей ми-
нимальную площадь. В таком случае в качестве целевой функции необхо- 5
димо использовать F -> min при известном законе распределения напря-
жений по сечению балки. Система ограничений в задаче оптимизации
параметров балки включает следующие условия: требования по прочнос-
ти, устойчивости, гибкости, деформативности и т.п.; габаритные ограни- >1.
чения для искомых параметров конструкции; ограничения на применяе-
мый сортамент проката, марки стали, соединения элементов; ограниче-
ния, зависящие от условий изготовления, монтажа или эксплуатации
конструкции.
Представим формулировку задачи в терминах математического про-
граммирования. Нужно найти размеры сечения сварного коробчатого
элемента минимальной площади. Заданы изгибающие моменты относи-
тельно осей х и у поперечного сечения: соответственно Мх и Му. Извест-
ны расчетное сопротивление материала конструкции балки R и коэффи- 4
циент условий работы ку. Высота балки не должна превышать размера Н
и быть менее Н], определяемого по условию допускаемых деформаций *1'
конструкции (жесткость).	*'
Для простоты изложения примем, что условия устойчивости балки Ч
в целом и устойчивости стенок и пояса выполняются. В принципе в попе-
речном сечении балки могут действовать совместно или в любой комби- I®
нации различные внутренние силы (см. рис. 2.33). Для упрощения пояс- *Г
нений рассмотрим действие только двух моментов Мх и Му и примем ЭД
5С =Sn = 6. Площадь сечения
F = bh- (b-2S)(h~28).
Момент сопротивления относительно осей х и у
bh3 - (Ь- 2b)(h - 2б)3
6Л
(2Л19>
(2.120) «ан
204
b3 h — (b — 26)3 (h — 2S)
%-
(2.121)
6b
Задачу оптимизации можно сформулировать так: при заданной тол-
щине листового проката 6 найти значения b и /г, при которых F достигает
минимума, причем выполняются условия:
6Mxh
bh3 - (й-28)(й-28)э
6Myb
hb3 - (ft — 2S) (ft — 26)э
(2.122)

h<H-,
h>Hx.
(2.123)
(2.124)
Оптимизация параметров балки. Сформулированная задача относит-
ся к классу задач нелинейного программирования. Ограничение (2.122)
выражает условие прочности, а входящая в формулу величина R обус-
ловливает применяемую марку стали. Ограничение (2.123) является ус-
ловием соблюдения габарита балки. Ограничение (2.124) обусловливает
деформативные свойства балки.
Приведем геометрическую иллюстрацию рассматриваемого примера.
При этом учтем дополнительные ограничения в соответствии с физичес-
ким смыслом задачи, так как переменные b и h не могут быть отрица-
тельными:
fe>0; h>0.
(2.125)
На рис. 2.40 кривая 1 соответствует ограничению (2.122), вертикаль-
ные прямые 2 — ограничению (2.123), 3 — ограничению (2.124), коорди-
натные оси — ограничениям (2.125).
Огибающая ограничений отмечена штриховкой со стороны недопус-
тимой области. В целевой функции для любого значения F переменные
b и h связаны линейной зависимостью, так как согласно выражению
(2.119)
F=2S(b+ h-28).
Поэтому линии одинаковых уров-
ней целевой функции (на рис. 2.40
показаны штриховыми линиями) пред-
ставляют собой семейство параллель-
ных прямых. Угол их наклона опреде-
ляется из условия F = 0. Одна из линий
этого семейства, касательная к огиба-
ющей ограничений, соответствует опти-
мальному значению целевой функции,
а точка касания имеет координаты, рав-
ные оптимальному сочетанию Ьо и h0.
Рис. 2.40. Схема поиска оптимального со-
отношения размеров сечения составной балки
205
В реальных условиях учитывают большее число ограничений, и целе-
вая функция может включать большее число переменных аргументов.
Кроме того, математические модели ограничения по прочности могут
иметь достаточно сложный для ’’ручного” способа расчета вид (см.
п. 2.6.1). Поэтому целесообразно задачи подобного рода решать с помо-
щью ЭВМ.
2.65 ОПРЕДЕЛЕНИЕ НАГРУЗОК И РАСЧЕТ
МЕТАЛЛОКОНСТРУКЦИЙ РАБОЧЕГО ОБОРУДОВАНИЯ
ОДНОКОВШОВЫХ ЭКСКАВАТОРОВ
Металлоконструкции рабочего оборудования одноковшовых экска-
ваторов. Более 95 % современных одноковшовых экскаваторов, приме-
няемых в строительстве, имеют гидравлический привод, поэтому несу-
щие конструкции рабочего оборудования экскаваторов с механическим
приводом в учебнике не рассматриваются.
Основными металлоконструкциями рабочего оборудования экскава-
тора (рис. 2.41) являются стрела 1 и рукоять 2. Стрелы могут быть
моноблочными (рис. 2.42) или состоять из нескольких секций. Однако
составные стрелы тяжелее моноблочных на 15 ... 30 %.
Металлоконструкция стрелы представляет собой изогнутую балку
коробчатого сечения. Высота балки переменная: наибольшая в сечении
А-А, где действует максимальный изгибающий момент, и наименьшая
на концах балки. Стрела выполнена в виде сварной конструкции из
стальных листов. В наиболее нагруженных участках предусмотрено уси-
ление конструкции в виде накладок. Проушины гидроцилиндров оформ-
лены с соблюдением рекомендаций, изложенных в гл. 2.4.
Рукояти, как правило, имеют моноблочную сварную или гнутосвар-
ную коробчатую конструкцию (см. рис. 237) с переменными по длине
балки сечениями.
Расчетное положение рабочего оборудования. Расчетным положени-
ем называют такое взаимное расположение элементов рабочего обору-
дования и внешних нагрузок, при котором в рассчитываемом сечении
возникают наибольшие внутренние силы.
Рассмотрим методику определения расчетных положений рабочего
оборудования одноковшового экскаватора. При копании грунта на стре-
лу и рукоять действуют силы на штоках гидроцилиндров, а также силы,
передаваемые от ковша через шарнир В (рис. 2.43,а). На ковш действу-
ет сила сопротивления копанию Р. Массой грунта в ковше и массами эле-
ментов конструкции при поиске расчетного положения можно прене-
бречь.
Естественно, что чем прочнее грунт, тем больше сила Р. Наибольшего
значения сила Р и, соответственно, нагруженность металлоконструкций
достигают при упоре ковша в непреодолимое препятствие, который мо-
жет произойти при самых различных положениях стрелы, рукояти и ков-
ша. Для расчета важное значение имеет положение рабочего оборудова-
ния, при котором произошел упор в препятствие: в зависимости от по-
ложения меняются плечи, направления и значения сил.
206
1
Рис. 2.41. Рабочее оборудование одноковшового гидравлического экскаватора
Рис. 2.43. Схемы для определения силы, действующей на кромку ковша
Рабочее оборудование экскаватора допускает несколько независи-
мых движений: поворот стрелы относительно платформы, поврот рукоя-
ти относительно стрелы, поворот ковша относительно рукояти, в резуль-
тате чего существует бесконечно большое число различных положений
рабочего оборудования. Например, приняв 10 различных положений
стрелы, 10 положений рукояти при каждом положении стрелы, 10 поло-
жений ковша при каждом положении рукояти и 10 различных направле-
ний силы, действующей на ковш, получим 10 000 различных положений
207
рабочего оборудования, из которых нужно выбрать одно, наиболее опас-
ное для прочности рассчитываемого элемента конструкции. Вычисление
при поиске расчетных положений выполняют с применением ЭВМ. Зная
расчетное положение, нетрудно найти силы, действующие на конструк-
цию, и проверить ее прочность.
Определим силу Р, действующую со стороцы непреодолимого
препятствия на кромку ковша при максимальной силе, развиваемой ци-
линдром поворота ковша. Обозначим силу Р, найденную для этого слу-
чая, через Р^. Ее определяют из равенства моментов всех сил, действую-
щих на ковш, относительно шарнира В (рис. 2.43, б):
PN = Рц.к Ь1а = Рц.к Ь! <*к sin ’
где Рц.к - максимальная сила, развиваемая цилиндром поворота ковша; RK — ра-
диус ковша (отрезок прямой, заключенный между шарниром В и кромкой ковша
А); а — угол между направлениями силы Р и радиуса ковша.
Величина PN тем больше, чем меньше плечо а, которое зависит от по-
ложения препятствия в грунте (рис. 2.43, в). Однако сила Р достигает
максимального значения Р^ не при всех положениях рабочего оборудо-
вания, так как она ограничена условиями устойчивости экскаватора
(рис. 2.44). Так, в положении, показанном на рис. 2.44, а, сила Рне мо-
жет превзойти значения Ру = Gxi/x2 , где G — сила тяжести экскаватора,
так как при этом значении начнется опрокидывание экскаватора отно-
сительно точки U. В положении, показанном на рис. 2.44, 5, ограничени-
ем является начало опрокидывания относительно ребра Т. На рис. 2.44, в
показан третий случай нарушения устойчивости: при Р = Gf (rnef— ко-
эффициент сопротивления перемещению экскаватора) начнется ”прос- i
кальзывание” экскаватора по опорной поверхности грунта.
Теперь можно сформулировать задачу поиска расчетного положения
рабочего оборудования. Пусть оно определяется углами ас (поворота
стрелы относительно оси х), ар (поворота рукояти относительно стре- .
лы) и ак (поворота ковша относительна рукояти) (рис. 2.45, а). Тогда
задача формулируется так: из всевозможных положений рабочего обору-
дования, определяемых углами ас, Ор, ак и а, найти положение, при ко-
тором в рассчитываемом сечении металлоконструкции возникают наи-
большие внутренние силы (или напряжения), при силе Р,ограниченной
условиями:
Р^Ру,Р<Рт,Р<Рп VP<PN,
где By, Рт максимально возможные значения Р по условиям опрокидывания от-
носительно ребер U и Г; Рп - максимальное возможное значение Р по условию
проскальзывания; Ру — максимальная сила Р, создаваемая силой гидроцилиндра.
Пусть, например, нужно определить расчетное положение для проч-
ностного расчета рукояти. За критерий нагруженности можно условно
принять изгибающий момент в опасном сечении, проходящем через точ-
ку С (см. рис. 2.43, а), так как напряжения от продольных и попереч-
ных сил, как правило, значительно меньше, чем от изгибающего момен- !#•
та. Чтобы расчетные формулы были пригодны для любых углов, в рас- з,
208
Рис. 2.45. Схема для поиска расчетного положения рабочего оборудования
четной схеме изобразим все углы положительными, отсчитываемыми
против часовой стрелки (см. рис. 2.45). Момент в рассматриваемом се-
чении применительно к схеме рис. 2.45, д:
Мс = iPsin as (х -хс)-Рcos а£ (у _pc)l ->niax,	(2.126)
Где
= а + а + а + a :
S с р к ’
хс = х0 + Rc cosac>
ус=у<, + ^csin%;
х=хс + Rp cos <% + V +ЛК cos (“с + “р +“к);
У=УС + Лр 8111 <% + “р) +RK sin (“с + “р +“к)-
(2.127)
(2.128)
(2.129)
(2.130)
(2.131)
Отметим, что формула (2.126) несправедлива для случая, показан-
ного на рис. 2.47, а, когда точка D крепления цилиндра находится выше
точки С. В этом случае определение изгибающего момента в сечении, про-
ходящем через точку С, несколько сложнее.
В отличие от частчых случаев, рассмотренных на рис. 2.44, на устой-
209
чивость экскаватора влияет вертикальная проекция силы Р. Если проек-
ция Р sin а2 направлена вниз, то она, как и сила тяжести экскаватора G,
прижимает его к опорной поверхности, увеличивая сопротивление прос-
кальзыванию. Если эта сила направлена вверх, то она действует противо-
положно силе тяжести и вероятность проскальзывания увеличивается.
Поэтому, в общем случае, условие невозможности проскальзывания вы-
ражается неравенством
Р cos а < (G-Р sin а„ )/,
из которого следует
Рп - G/ (sin аг + I cos а£ I //).
Условие невозможности опрокидывания относительно ребра U в об-
щем случае выражается неравенством
Р cos	• у — Р sin	X
х (х-х0)< Gxj,
откуда
PU=GX\/[y cosas -
- (х —х0) sin а£ ].
Аналогично определяют силу
Рх, при которой еще невозможно
опрокидывание относительно реб-
ра Т. Полностью процедура поиска
расчетного положения представ-
лена в виде алгоритма на рис. 2.46.
Расчет на ЭВМ приводит к различ-
ным положениям в зависимости
от исходных данных. Одно из
возможных расчетных положений
показано на рис. 2.45, б. Линия
действия силы Р проходит через
опорную площадку (между реб-
рами U и Т) и поскольку она нап-
равлена вниз, опрокидывание от-
носительно этих ребер невозмож-
но. Вертикальная проекция силы Р
совместно с силой тяжести G
прижимает экскаватор к опорной
поверхности. При этом сила со-
Рис, 2.46. Схема алгоритма определе-
ния расчетного положения рабочего
оборудования
210
противления перемещению экскаватора по опорной поверхности оказы-
вается достаточно большой, чтобы проскальзывания не происходило. В
результате сила Р не ограничена условиями устойчивости и достигает
большого значения, что приводит к возникновению в рассматриваемом
сечении наибольших изгибающих моментов.
Расчет рабочего оборудования на прочность. К расчету на прочность
приступают после того, как определены расчетные положения. Напом-
ним, что для каждого из элементов рабочего оборудования они могут
быть разными. Однако для упрощения изложения рассмотрим случай,
когда расчетные положения для стрелы и рукояти совпадают и соответ-
ствуют схеме, показанной на рис. 2.47, а.
Определим все внешние нагрузки, действующие на элементы рабоче-
го оборудования. Сила Р, приложенная к кромке ковша, уже найдена
при поиске расчетного положения. Сила тяжести грунта в ковше опре-
деляется по вместимости ковша и плотности грунта. Силы тяжести ме-
таллоконструкций (стрелы, рукояти, ковша) на данной стадии расчета
неизвестны, их принимают по аналогии с существующими конструкция-
ми. Для выполнения поверочного расчета все силы тяжести даны в кон-
структорской документации.
До сих пор мы рассматривали действие сил в плоскости симметрии
рабочего оборудования, однако на самом деле рабочее оборудование яв-
ляется пространственной системой. Примем, что сила Р приложена к
крайнему зубу ковша, при этом в стреле и рукояти действуют не только
изгибающие, но и крутящие моменты. Кроме силы Р на ковш действует
боковая силаРб (рис. 2.47, б).
Эта схема сил характерна для копания, когда действующие силы, за
исключением Р§, расположены в вертикальной пл. скости симметрии ра-
бочего оборудования. Еще один расчетный случай (в дальнейшем не рас-
сматриваемый) соответствует торможению поворотной платформы при
груженом ковше и максимальном вылете рабочего оборудования. При
этом на рабочее оборудование в горизонтальных плоскостях действуют
силы инерции.
Далее определяют реакции в шарнирах и усилия в стержнях исходя
из уравнений статики. Затем методами сопротивления материалов нахо-
дят напряжения и сравнивают их с допускаемыми.
Рассмотрим для примера поверочный расчет стрелы и рукояти (см.
рис. 2.47, а). Из условий равновесия рабочего оборудования в целом оп-
ределим суммарную реактивную силу в гидроцилиндрах стрелы /?ц с
и реакцию в шарнире крепления стрелы к платформе R 0:
R = (апР — a G -a G —a G )1а	,
ц.с ' ° с с р р к к-" ц.с ’
где G G и G„ — сипы тяжести соответственно стрелы, рукояти и ковша с грунтом,
с р к
Реакцию Ro найдем из многоугольника сил (рис. 2.47, в).
Рассмотрим равновесие частей рабочего оборудования. Из уравнения
моментов всех сил, приложенных к системе рукоять — ковш, относи-
тельно точки С (рис. 2.47,г) следует
Лц.Р = (С°Р+ cvGv +скСк>/сц.р’
гдеЛц р - реактивная сила в гидроцилиндре рукояти.
211
212
Рис. 2.47, Схемы для определения сил, действующих на элементы рабочего оборудования
Рис. 2.48. Расчетная схема ру-
кояти и эпюры внутренних
усилий
Из многоугольника сил
(рис. 2.47, з) найдем реак-
цию Rc в шарнире С рукоя-
ти. Из условий равновесия
ковша (рис. 2.47, д) сле-
дует:
*Т1 = (М>-
-bG)/b .
К К7' Т1
Реакцию RB в шарнире
В найдем из многоугольни-
ка сил, действующих на
ковш (рис. 2.47, ж), а из
рассмотрения равновесия
вырезанного узла К опреде-
лим усилие Т?т3 в тяге и
усилие Т?ц к в гидроци-
линдре поворота ковша
(рис. 2.47, е, и).
Определив усилия во всех стержнях и шарнирах, перейдем к расчету
рукояти (расчет стрелы отдельно не рассматриваем, так как он аналоги-
чен расчету рукояти). Изобразим на схеме изолированную рукоять, при-
ложив к ней внешние силы, включая опорные реакции (рис. 2.48). По-
путно выполним проверку предыдущих расчетов: сумма проекций всех
сил на произвольную ось и сумма моментов всех сил относительно про-
извольной точки должны быть равны нулю.
Учитывая несимметричное приложение силы Р и наличие боковой си-
лы Р5, изобразим на схеме вторую проекцию рукояти (рис. 2.48,6) . Ру-
коять крепится к стреле с помощью цилиндрического шарнира, допус-
кающего поворот только в плоскости zBy и работающего как заделка в
плоскости zBx, поэтому изгибающие моменты от сил Р$ и Р cos е и кру-
тящий момент от силы Р sin е на плече xt действуют только на участке
ВС. Эпюры продольных ТУ и поперечных Q{, Q2 сил, изгибающих момен-
тов Мх и М2 и крутящего момента МКр показаны на рис. 2.48, в. Наибо-
лее нагруженным является сечение в шарнире С, для которого:
TV =Rr -R* +Gr ;
с в т2 р ’
TV' = -T?r +Rr ;
с ц.р ц.к’
е;с=^вР-^.к;
213
Mlmax=-/?B<Z1 + z2 + z3)-^2(z2 + z3)—GBz3 ;
Go =^K;
^2c	6 ’
Af2max=jP6(z° + Z1 +z2 + za) + p*i cose;
Мкр =PsineJCi + рб^2
Имеем два случая: для сечения, расположенного левее точки С, дей-
ствует совокупность сил Nc, 21с, 22с и моментов ^imax. ^2max> ^кр.
а для сечения правее С — комбинация Nc, Q^c, Mlmax. В принципе, не-
обходимо проверить оба случая, однако для рассматриваемого примера
наиболее неблагоприятен первый случай.
Сечение в точке С характеризуется сложным напряженным состоя-
нием: изгиб в двух плоскостях с кручением и растяжением сжатием.
Для проверки прочности вычисляют эквивалентное напряжение по энер-
гетической гипотезе прочности:
стэкв °2 +Зт2>
где а — суммарное нормальное напряжение в рассматриваемой точке внешнего кон-
тура сечения от совместного действия изгибающих моментов Mj max, ^2max и ПР°‘
дольной силы N , т — суммарное касательное напряжение в той же точке от дейст-
вия поперечных сил £21с, С2с и крутящего моментаМКр.
Напряжения и, т, дэкв вычисляют для нескольких точек контура се-
чения по формулам сопротивления материалов, после чего выявляют
максимальное приведенное напряжение оэкв тах и, сравнивая его с до-
пускаемым напряжением (или расчетным сопротивлением), делают вы-
вод о прочности рукояти в рассматриваемом сечении.
2.6.6. ОПРЕДЕЛЕНИЕ НАГРУЗОК
И РАСЧЕТ ТЕЛЕСКОПИЧЕСКИХ СТРЕЛ
Телескопические стрелы и действующие иа них нагрузки. Несмотря
на высокую стоимость и большую массу, телескопические стрелы по
сравнению с решетчатыми имеют широкое применение. Это объясняется
тем, что для монтажа решетчатой стрелы, состоящей из отдельных сек-
ций, требуется несколько часов, в то время как кран с телескопической
стрелой постоянно готов к эксплуатации.
Телескопические стрелы применяют в качестве рабочего оборудова-
ния автомобильных, самоходных и других кранов, экскаваторов-плани-
ровщиков, экскаваторов с грузоподъемными и грейферными рабочими
органами, строительных манипуляторов.
Примером машины с телескопическим рабочим оборудованием яв-
ляется автомобильный кран (рис. 2.49). Телескопическая стрела 2 зак-
реплена на кронштейнах поворотной платформы базового автомобиля
4 с помощью цилиндрического шарнира 1. Поворот стрелы осуществля-
ется гидроцилиндром 3. Стрела 2 состоит из нескольких секций. Внут-
ренние секции могут выдвигаться из внешних секций с помощью гидро-
цилиндров или других механизмов (канатных, винтовых), находящих-
214
дит через неподвижные
блоки, расположенные на осях головки 6 верхней секции стрелы и через
подвижные блоки 7 грузовой обоймы полиспаста.
Стрела воспринимает внешние нагрузки, для определения которых
должно быть задано расчетное положение рабочего оборудования. Поло-
жение стрелы в плоскости подвеса груза определяется двумя незави-
симыми параметрами: углом подъема а (рис. 2.50) и длиной I. Эти пере-
менные размеры определяют вылет стрелы L = I cos а, от которого зави-
сит максимальная сила тяжести поднимаемого груза Сг: чем больше L,
тем меньше масса груза, который можно поднять без риска опрокиды-
вания крана. Кроме того, от положения стрелы зависят координаты то-
чек приложения внешних сил и углы наклона их к оси стрелы, что влияет
на значения внутренних сил и напряжений в металлоконструкции стрелы.
Расчетные положения, т.е. величины I и а, при которых в рассчитывае-
мых элементах металлоконструкции возникают наибольшие напряже-
ния, можно определить с помощью ЭВМ по методике, аналогичной изло-
женной в п. 2.6.5 применительно к рабочему оборудованию одноковшо-
вых экскаваторов.
Рассмотрим нагрузки, действующие на телескопическую стрелу, по-
лагая расчетное положение заданным (см. рис. 2.50). Стрела в совокуп-
ности с нагрузками образует пространственную систему, при анализе ко-
торой одни нагрузки представляют действующими в плоскости подвеса
груза, а другие — в плоскости, проходящей через ось стрелы перпенди-
кулярно плоскости подвеса.
В плоскости подвеса груза могут действовать сила тяжести груза Сг,
сила инерции груза /д, достигающая максимального значения в момент
отрыва груза от земли; усилие в подъемном канате Рк; силы тяжести
нижней Gc и верхней GB секций стрелы (при наличии нескольких внут-
ренних секций необходим раздельный учет их сил тяжести: 6В] , Свт и
т.д.). Кроме указанных на расчетной схеме сил на конструкцию телескопи-
ческой стрелы в плоскости подвеса груза могут действовать сила ветра,
силы инерции секций стрелы и груза, пропорциональные центробежному
ускорению при вращении поворотной платформы крана или как след-
215
ствие неустановившегося режима движения стрелы при изменении угла
ее наклона. Силы, возникающие в шарнире Л (7?^ и Кду), и силу на
штоке гидроцилиндра RB можно найти как опорные реакции из трех
уравнений равновесия всех сил, расположенных в плоскости подвеса
груза.
В осевой плоскости, перпендикулярной плоскости подвеса груза,
действуют силы инерции груза Рн г, нижней Рк с и верхней Рив секций
стрелы (или нескольких секций). Силы инерции возникают при разгоне
и торможении поворотной платформы крана. Кроме того, на стрелу дей-
ствуют ветровые нагрузки Рв г, Рв с, Рв в. Силы инерции приложены в
центрах масс элементов стрелы, а ветровые нагрузки в центрах ветрово-
го давления и поэтому линии действия сил инерции и ветровых нагрузок
могут не совпадать. Если ветровые нагрузки были учтены в плоскости
подвеса груза, то в перпендикулярной ей плоскости их не учитывают.
Пята стрелы в рассматриваемой плоскости работает как заделка.
В ней возникают опорные реакции, которые определяются из уравнений
равновесия. Реакцию RAz находят из уравнений проекций на ось z, мо-
мент в заделке Мп - из уравнения моментов всех сил, расположенных в
рассматриваемой плоскости, относительно точки Л'. Кроме того, в опо-
ре А' возникает реактивный крутящий моментЛ^Кр/4 > равный внешнему
крутящему моменту Л7кр:
М =(Р +Р )с,	(2.132)
кр v и.г в.г7 ’	4	7
где С - эксцентриситет точки К подвеса груза относительно оси стрелы.
Кроме рассмотренных в системе действуют силы Рм, создаваемые
механизмом выдвижения секций. Поскольку они взаимно уравновеше-
ны (являются внутренними силами для стрелы в целом), в уравнениях
равновесия стрелы их не учитывают.
Внутренние силы и напряжения в сечениях стрелы. Сечения секций
стрелы находятся в различных условиях напряженного состояния и,
кроме того, некоторые из них подвержены действию местных нагрузок,
что рассматривается далее.
В сечениях верхней секции стрелы действуют изгибающий момент в
плоскости подвеса груза 7И; изгибающий момент в осевой плоскости,
перпендикулярной плоскости подвеса ; крутящий момент Мк; попе-
речные силы Q и 2б и продольная сила 7V. В сечениях нижних секций
стрелы действуют те же внутренние усилия, кроме продольной силы 7V,
так как продольные внешние нагрузки верхней секции стрелы восприни-
маются механизмом выдвижения секций и на нижние секции не пере-
даются.
Внутренние усилия определяют, как обычно, методом сечений. При
нахождении продольной силы N учитывают все силы, приложенные к
верхней секции стрелы, проекции которых на ось стрелы не равны нулю.
Согласно расчетной схеме (см. рис. 2.50) продольная сила без учета силы
тяжести верхней секции стрелы
N = PK + (G, + Jp) sin а.
216

l«Bj:
75 ‘;
иец
«01!
Я-
assiii
«xc
я.С
и .
!•
Верхнюю секцию телескопической стрелы необходимо рассчитывать
из условия продольно-поперечного изгиба. В этом случае при определе-
нии максимальных напряжений сжатия надо учитывать прогиб секции
стрелы от действия поперечных и продольных нагрузок, который вычис-
ляют по приближенной формуле (2.36):
1-Л7Рэ
где fn - наибольший прогиб от действия поперечных нагрузок; Рэ - критическая
сила при расчете на продольный изгиб, найденная по формуле Эйлера в зависимос-
ти от условий крепления верхней секции стрелы в рассматриваемой плоскости.
Расчет выполняют из условия продольно-поперечного изгиба в плос-
кости подвеса стрелы и перпендикулярно ей.
При расчете внутренних усилий, действующих в плоскости подвеса
стрелы учитывают эксцентриситет е приложения равнодействующей N
продольных сил:
е = с (Gr + ,7д) sin aJN- P^a/N.
Полный изгибающий момент при одновременном действии заданных
поперечных и продольных сил в этом случае
М = М + N(e+ f),
m ах	v J ' ’
где М — изгибающий момент от действия поперечной силы в опасном сечении
(рис. 2.51);
™	М = (Gr + J_ ) cos а(1в - b)
I X’l
При расчете внутренних усилий, действующих в плоскости, перпен-
дикулярной плоскости подвеса груза (см. рис. 2.50):
!®[г М = М + Nf\
Ijg-	max
““ М = (Р +Р )(l -b)+M(P
v И.Г В-Г7 v в 7	4 и.в* В.В'’
1ЛО1'
III!
ИВ-*'"
&
1
где М (Ри в, Рв в) - изгибающий момент в нижнем сечении верхней секции стрелы
от действия распределенной нагрузки (сил инерции и ветра) .
Максимальное нормальное напряжение в таком случае
о =N/F +М IW „,
max ' нт max' нт’
где Fm — площадь поперечного
сечения нетто верхней секции
стрелы; 1VHT — момент сопро-
тивления поперечного сечения
нетто верхней секции стрелы в
зависимости от рассматриваемо-
го случая: в плоскости подвеса
груза или перпендикулярной ей.
Рис. 2.51. Схема сил, действую-
щих на верхнюю секцию стрелы
217
8 - 555
Кроме изгибающих и сжимающих нагрузок учитывают также воздей-
ствие крутящего момента, который для всех сечений стрелы определяет-
ся по формуле (2.132).
Стрелы и выдвижные секции, как правило, имеют коробчатые сече-
ния (см. рис. 2.50). В общем случае загружения на элементарных
площадках сечения возникают нормальные и касательные напряжения.
Эквивалентное (приведенное) напряжение определяют по энергетичес-
кой гипотезе прочности.
Напряжения от местных нагрузок. Внутренние секции стрелы опира-
ются на ролики или ползуны, закрепленные на внешних секциях (см.
рис 2.51). В опорных элементах под действием внешних сил возникают
реакции, которые являются местными нагрузками для несущих конс-
трукций стрелы. Для расчетного случая, показанного на рис. 2.51, из
уравнений равновесия вставки получим:
h	h
GB [ (lG - b) cos a - — sin a] + (Gr + /д) [ (c - —) sin a +
h 2 h )
h
/?,=-
b
+ (/B-ZOcosa]+ PM
1
R2 = — <G (l„ cos a + — sin a) + (G + J ) 17 cos a +
в v G	2	7 v г д71в
+ ( — + c)sin a]-P(a-—)-P — -.
2	K 2 M 2
h	h
Реакции RY и R2 действуют на сечения I и II выдвижной секции, а
численно равные им силы R [ и R2 — на сечения I и II стрелы. Следует от-
метить, что из-за выдвижения секций действию этих местных нагрузок
подвергаются различные сечения промежуточных секций стрелы-
Под действием местных нагрузок в стенках и полках сечения появля-
ются нормальные напряжения, которые суммируются с напряжениями от
остальных (внешних) нагрузок. На рис. 2.52 показано изменение сум-
марного напряжения (в функции времени выдвижения секции), полу-
ченное экспериментально [ 13].Время Т соответствует прохождению из-
мерительной тензорозетки над опорными роликами. Линия АВ соответ-
ствует напряжениям от внешних сил без учета местной нагрузки. Сум-
марное приведенное напряжение
=о +а ,
пр н оп ’
где ан - напряжение от действия внешних нагрузок; ооп - напряжение от действия
местной нагрузки, создаваемой роликами или ползунами.
Согласно экспериментальным данным aon/aH > 2. Таким образом,
расчет напряжений от местной нагрузки необходим.
Учитывая, что телескопические стрелы
и выдвижные секции коробчатого сечения
выполнены из листовой стали малой тол-
>
Рис. 2.52. Изменение напряжений при выдвижении
секции стрелы
шины, целесообразно использовать метод конечных разностей или метод
конечных элементов в условиях двухосного напряженного состояния
(см. гл. 1.7). Кроме того, необходимо проверить местную устойчивость
стенок балочной конструкции секций телескопической стрелы (см.
п. 2.6.2).
2.7.	РЕШЕТЧАТЫЕ КОНСТРУКЦИИ
2.7.1. ПРИМЕРЫ РЕШЕТЧАТЫХ МЕТАЛЛОКОНСТРУКЦИЙ
И ОБЩИЕ ПРИНЦИПЫ ИХ РАСЧЕТА
Решетчатые конструкции дорожностроительных машин. Решетчатой
конструкцией (фермой) называется стержневая система, сохраняющая
геометрическую неизменяемость при замене всех жестких узлов шарни-
рами. Металлоконструкции решетчатого типа применяют в дорожно-
строительных машинах реже, чем рамные и балочные конструкции. При-
мерами решетчатых конструкций являются башни и стрелы кранов и
драйглайнов;фермы, мачты копровых и буровых установок; несущие
конструкции ленточных транспортеров и т.д.
Решетчатая конструкция состоит из элементов. В геометрическом
смысле элементами ферм являются стержни, узлы и опорные связи. Кон-
структивными элементами являются пояса, раскосы, стойки, соедини-
тельные элементы (косынки, фланцы). Например, элементами плоской
фермы, изображенной на рис. 2.53, являются верхний пояс 7,нижний по-
яс 2, раскосы 3, стойки 4, косынки 5, сварные узлы опорных устройств
6. Расстояние L между опорами называется пролетом фермы.
Классификация решетчатых конструкций. По расположению элемен-
тов в пространстве решетчатые конструкции разделяют на плоские
(рис. 2.53,а, в—л) и пространственные (рис. 2.53,6). Плоские конструк-
219
ции не сопротивляются нагрузкам, действующим из плоскости фермы,
поэтому их укрепляют связями или образуют пространственные конс-
трукции из двух или нескольких плоских решетчатых систем.
Решетчатые конструкции бывают статически определимыми и не-
определимыми (рис. 2.53, ж). Статически определимые фермы применя-
ют чаше из-за удобства расчета и нечувствительности к неточности изго-
товления и монтажа.
По структуре решетки различают конструкции с треугольной решет-
кой (рис. 2.53, г), с раскосной решеткой (рис. 2.53, з), с треугольной ре-
шеткой и дополнительными стойками (рис. 2.53, в), с полураскосной ре-
шеткой (рис. 2.53, и), шпренгельные (рис. 2.53, 0). Для ферм с тре-
угольной решеткой характерно чередование знаков усилий в раскосах:
растянутые раскосы чередуются со сжатыми. Конструкции с раскосными
решетками рекомендуется проектировать так, чтобы на продольный из-
гиб работали более короткие стержни: стойки, а не раскосы. Если
нагрузки действуют сверху вниз (силы тяжести), из схем, показанных N
на рис. 2.53, а, з, более рациональной является схема, изображенная на
рис. 2.53, а. Дополнительные стойки ферм с треугольной решеткой поз-
воляют, например, передать усилия от тележки крана, движущейся по
верхнему поясу, на узлы нижнего пояса.
По очертанию поясов плоские фермы разделяют на прямоугольные м
(с параллельными поясами), треугольные (рис. 2.53,к),полигональные
(рис. 2.53, е) и арочные (рис. 2.53,л).
Рекомендации по проектированию решетчатых конструкций. Основ-
ными параметрами плоских решетчатых конструкций являются пролет
L, высота h и угол наклона раскосов а. Пролет, как правило, задан, а ос- щ
тальные параметры конструктор должен выбрать.
Для стропильных ферм отношение L/h = 6 ... 10, для ферм мосто-
вых кранов L/h - 12 ... 16, для стрел экскаваторов и самоходных кранов □ ,
Z/Л < 40. Угол а рекомендуется принимать равным 45° для конструкций 17
с треугольной решеткой и 33° ... 55° для конструкций с раскосной ре-
шеткой. Следует отметить, что оптимальные отношения L/h и углы на- И
клона раскосов, при которых масса минимальна, зависят от конкретных
нагрузок, действующих на конструкцию, и могут отличаться от приве-
денных выше значений.
Все действующие на решетчатую конструкцию нагрузки должны
быть приложены в узлах. Иногда приходится отказываться от симмет-
ричности конструкции, чтобы расположить узлы в местах действия внеш-
них сил. При действии на решетчатую конструкцию распределенных или
подвижных нагрузок целесообразно использовать балку, опирающуюся
на узлы и воспринимающую изгибающие моменты.
Несмотря на то, что внутренние усилия в стержнях различны, как
правило, ограничиваются тремя-четырьмя типоразмерами прокатных
профилей: профили двух типоразмеров для поясов, третьего — для рас-
косов, четвертого — для стоек. При этом некоторые стержни оказывают-
ся излишне прочными, однако увеличение массы конструкции окупает-
ся снижением стоимости изготовления. Стержни из сдвоенных уголков
соединены планками шириной 40 ... 60 мм, вваренными между уголка- 
Ив)(
.....
•181
"-•Д|
ди
220
ми с шагом не более 40/ для сжатых и 80/ для растянутых стержней, где
/ — минимальный радиус инерции одного уголка. Стержни в узлах свари-
вают, реже применяют заклепочные соединения. Сварные узлы проекти-
руют с учетом рекомендаций, изложенных в п. 2.3.2.
При расчете решетчатых конструкций определяют их параметры и
проверяют работоспособность. Определение параметров решетчатой кон-
струкции выполняют с учетом рекомендаций, полученных исходя из на-
учных исследований и предшествующего опыта проектирования. Важное
значение имеет оптимизация параметров решетчатых систем для дости-
жения их минимальной массы или минимальной стоимости. Подход к оп-
тимизации решетчатых систем изложен ниже в гл. 2.9.
Проверку работоспособности выполняют для металлоконструкций,
основные параметры которых уже определены. Исходными данными яв-
ляются геометрические размеры (пролет, расстояние между узлами, уг-
.лы наклона раскосов и тд.); значения и направления неподвижных
внешних нагрузок (сил, моментов и распределенных нагрузок, включая
инерционные составляющие, а также силу тяжести решетчатой конструк-
ции, распределенную по узлам); подвижные внешние нагрузки; харак-
теристики стали и сечений всех стержней; данные, характеризующие кон-
структивные и технологические особенности сварных узлов (эксцентри-
ситеты геометрических осей элементов, сходящихся в узле; данные, поз-
воляющие оценить вероятные величины остаточных напряжений); усло-
вия эксплуатации конструкции и требуемый срок службы.
Критерии работоспособности зависят от требований, предъявляемых
к конструкции. Как правило, должны выполняться требования прочнос-
ти, жесткости, усталостной долговечности.
Последовательность поверочного расчета может быть следующей.
1.	Составляют расчетную схему, предполагая, что во всех узлах
решетчатой конструкции расположены шарниры. На схеме указывают
линейные и угловые размеры, внешние нагрузки и опорные реакции.
2.	На основе принципа независимости действия сил определяют сна-
чала силы во всех стержнях от действия неподвижной нагрузки (метода-
ми, изложенными в п. 1.2.1), а затем — от действия подвижной нагрузки
(по п. 1.3.2). Суммарные продольные силы в стержнях находят алгебра-
ически.
3.	Из стержней, выполненных из одного и того же прокатного профи-
ля, выявляют те, в которых действуют максимальные суммарные силы.
Вычисляют напряжения в этих стержнях как сумму напряжений растя-
жения (сжатия) от продольной силы и изгибающего момента М = Ne,
вызванного эксцентриситетом е (при невыполнении условия пересечения
геометрических осей стержней, сходящихся в узле, в одной точке; см.
п. 2.7.2). Если не планируются меры по устранению остаточных свароч-
ных напряжений в узлах, эти напряжения учитывают согласно рекомен-
дациям, изложенным в п. 2.73.
4.	Максимальные напряжения сравнивают с предельными (допуска-
емыми напряжениями или расчетными сопротивлениями для проверки
прочности стержней. Сжатые стержни рассчитывают на устойчивость.
5.	Пользуясь известными значениями сил в стержнях и общей
221
формулой перемещений (см. п. 1.4.3), определяют перемещения в задан-
ных точках конструкции. Обычно ограничиваются проверкой перемеще-
ния узла в середине фермы или крайнего узла в консольной ферме. Най-
денное перемещение сравнивают с предельно допустимым для проверки
жесткости конструкции.
6.	Согласно п. 2.3.3 выполняют расчет на прочность сварных соеди-
нений.
7.	Исходя из заданного срока службы вычисляют необходимое число
циклов нагружения за весь срок службы конструкции. После этого при-
ступают к расчету на усталостную долговечность (см. гл. 2.5) .
Если решетчатые конструкции работают на сжатие или на сжатие и
изгиб (например, крановые стрелы, башни и некоторые другие металло-
конструкции строительных машин), то последовательность расчета из-
меняется. В этом случае выполняют проверку общей устойчивости (см.
пл. 2.2.3; 2.7.2) или расчет по деформированному состоянию.
2.7.2 УСТОЙЧИВОСТЬ РЕШЕТЧАТЫХ КОНСТРУКЦИЙ
Для уменьшения массы многие конструкции выполняются в виде со-
ставных (решетчатых) стержней, пояса (ветви) которых соединены ре-
шеткой (рис. 2.54, а) или планками (рис. 2.54, б). В первом случае рас-
четной схемой конструкции (составного стержня) является многопа-
нельная ферма, а во втором — многопанельная рама.
Рис. 2.54. Схемы для расчета устойчивости
решетчатых стержней
222
Life
При потере устойчивости составного стержня на перемещения, а сле-
довательно, и на критическую силу заметное влияние оказывают дефор-
мации сдвига, зависящие от жесткости решетки или планок. В этом за-
ключается отличие работы составных стержней от работы сплошных,
для которых деформациями сдвига можно пренебречь.
Рассмотрим один из способов учета влияния деформаций сдвига на
потерю общей устойчивости решетчатых стержней; он основан на теоре-
ме П.Ф. Папковича, которая выражается формулой:
llPKp = 1lP3 + llPd-	(2.133)
где ?Кр - критическая сила, определяемая для решетчатого стержня; Рэ - эйлеро-
ва критическая сила, определяемая по формуле (2.8) в предположении абсолют-
ной жесткости элементов решетки, т.е. как для сплошного стержня; Pj - крити-
ческая сила, определяемая в предположении абсолютной жесткости поясов и зави-
сящая лишь от местной потери устойчивости панели фермы.
Для плоской однопанельной фермы при ’’ферменной” потере устой-
чивости (при изменении конфигурации фермы без продольного изгиба
ее элементов, рис. 2.54, в)
Р. - EF sin2 a cos а,
d р
£= где Л’ - модуль упругости материала; Fp - площадь сечения раскоса.
Подставляя это выражение и формулу (2.8) в формулу (2.133), пос-
ле преобразований, получаем
I
I
ti'
1
tPEJ
Р =-------
кр
Z2
F 1 x
— —)
FP Х
(2.134)
где J = pF = (А/2) 2F — момент инерции сечения стойки; р - коэффициент приве-
дения длины, зависящий от граничных условий (см. п. 2.2.3); к, = r2/(sin2 a cos а)
(рис. 2.54, а, в), F = 2Fn - суммарная площадь сечений поясов (для стержня из
двух ветвей).
Знаменатель второго сомножителя можно рассматривать как квад-
рат коэффициента приведения длины решетчатого стержня — дпр. Тогда,
обозначая приведенную гибкость решетчатого стержня как Хпр = pnpl/i,
после преобразований получим
\р	(2135)
где X — общая гибкость стержня, определяемая без учета деформаций решетки по
формуле X = pZ/i; X' — параметр, характеризующий ’’местную гибкость”, завися-
щую от типа решетки.
Для плоских решетчатых конструкций с треугольной или раскосной
решеткой (X')2 = k^F/F-p, где к} — коэффициент, зависящий от угла а
наклона раскоса. Следовательно,
X =Vx2 + klF/F .	'	(2-136)
пр v	' Р
223
Эта формула приведена в СНиП П-23—81. Там же даны значения ко-
эффициентов А?! (например, при а = 30° kt =45, при а = 45 ... 60 к} =
= 27).
Для пространственных решетчатых конструкций прямоугольного
очертания в поперечном сечении (рис. 2.54,г)
хпр =х/х2 + (Х17 + (X/)2 = 7х2 + Г(*^р1 +fc2Fp2),	(2.137)
где X.J и — параметры ’’местной гибкости” в двух взаимно перпендикулярных
плоскостях; и Fp2 — площади сечений раскосов, расположенных во взаим-
но перпендикулярных плоскостях.
Если решетчатый стержень имеет треугольное очертание в попереч-
ном сечении (рис. 2.54, е ), то сила Pd будет в 1,5 раза больше, чем для
плоской однопанельной фермы [8]. Следовательно,
хпр =Vx2 + 0,67A:IF/Fp.	(2.138)
Отметим, что если сечение решетчатой стойки не является равносто-
ронним треугольником ((? 60°), то критической нагрузке будет соот-
ветствовать не изгибная, а изгибно-крутильная форма потери устойчи-
вости. При этом влияние кручения на изгиб тем значительнее, чем мень-
ше отношения 1/Ь и Fp/F. Если 1/Ь > 10 и Fp/F > 0,2, то влиянием кру-
чения можно пренебречь.
При расчете составных стержней из ветвей с планками (многопа-
нельных рам, см. рис. 2.54, б) приведенную гибкость определяют по
аналогичным формулам; для стержней, состоящих из двух ветвей:
Хпр = ч/Х2 + X2 ; для стержней, состоящих из четырех ветвей: Хпр -
= VX2 + X2 + Х2 [где X], Х2 — гибкости отдельных ветвей относительно
собственных осей, параллельных главным осям всего сечения, на участ-
ках между приваренными планками (в свету); для стальных конструк-
ций значения X! и Х2 должны быть не более 40].
Как видим, во всех случаях Хпр для составного стержня будет боль-
ше, а следовательно, критическая сила Ркр и критическое напряжение
®кр = л2 Е/Х2пр будут меньше, чем эти же величины, вычисленные без уче-
та деформаций решетки.	»
Многие решетчатые конструкции (например, крановые стрелы) име-
ют переменное по длине сечение (рис. 2.54, е). Для решетчатых стоек с
поясами постоянного поперечного сечения при изменении ширины Ъ по
линейному закону момент инерции сечения изменяется по квадратично-
му закону: J » 2Fn (fe/2)2 , поскольку собственными моментами инерции
поясов можно пренебречь. В этом случае критическую силу Рэ (без учета
жесткости решетки) можно вычислить, в частности, методом конечных
разностей.
Обычно критическую силу для стержней переменного сечения опре-
деляют по формуле Эйлера:
^EJ1
224
считая, что стержень имеет постоянное по длине значение момента инер-
ции J = Ji, равное наибольшему значению момента инерции Ji  При этом
коэффициент приведения длины д =	д2) учитывает как условия
опирания концов стержня , так и закон изменения момента инерции
подлине стержня (д2 > 1).
Значения коэффициента д2 = для стрел башенных кранов даны в
ГОСТ 13994-81.
Таким образом, приведенную гибкость решетчатого стержня пере-
менного сечения можно определять по формулам (2.135)	(2.138),
принимая в них X = Pi, Hil/i-
Рассматривая вопросы устойчивости решетчатой конструкции, мы
идеализировали ее расчетную схему, считая, что элементы соединяются
между собой шарнирно, геометрические оси элементов пересекаются в
узловых точках и т.д. В реальных конструкциях этого нет. Сварка эле-
ментов, с одной стороны, делает всю конструкцию более жесткой по
сравнению с шарнирной расчетной схемой, но, с другой стороны, сущест-
венным образом изменяет нагружение элементов; кроме продольных
сил в них возникают еще и изгибающие моменты.
В связи с этим при расчете панели пояса на местную устойчивость
расчетной схемой этого элемента является не шарнирно опертый по кон-
цам стержень, а стержень, имеющий упругоподатливые защемления. На
него действует как продольная сила, так и изгибающий момент, кото-
рые существенно зависят от остаточных сварочных напряжений. Дефор-
мации изгиба возникают из-за того, что сварочные швы находятся на не-
котором удалении от оси элемента.
В работе [13] проведено исследование влияния остаточных напряже-
ний на снижение критических сил. Например, выявлено, что на остаточ-
ные напряжения оказывает существенное влияние форма сечения пояса.
Показано, в частности, что начальные остаточные напряжения изгиба в
поясах из труб могут быть в 1,1 ... 1,5 раза меньше, чем в поясах из угол-
ков, причем с увеличением сечения пояса этот коэффициент увеличива-
ется. Изменение жесткости раскоса практически не влияет на начальные
остаточные напряжения в поясах. В работе приведены конструктивно-
технологические рекомендации по снижению остаточных напряжений.
В заключение отметим, что сжатые решетчатые стойки металлокон-
струкций строительных и дорожных машин должны обладать достаточ-
ной жесткостью; их предельные гибкости ограничиваются (Хпред <
< 100 ... 120 для стали СтЗ), причем для конструкций, подверженных
динамическим воздействиям, жесткость должна быть выше. Для созда-
ния экономичной конструкции надо стремиться к тому, чтобы решетча-
тая стойка была равноустойчивой относительно главных осей, т.е. чтобы
приведенные гибкости относительно осей х и у (Хх и Ху) были прибли-
зительно равны.
2.7.3 ВЛИЯНИЕ ОСТАТОЧНЫХ СВАРОЧНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ
НА НАГРУЖЕННОСТЬ РЕШЕТЧАТЫХ КОНСТРУКЦИЙ
•
Сварочные напряжения и деформации. Процесс сварки протекает
при температуре, превышающей температуру плавления стали и дости-
гающей 1500 ... 1600°С. Металл в области шва и в околошовной зоне
претерпевает структурные и химические изменения. Существенно, что
различные участки соединяемых деталей нагреваются до различных тем-
ператур и поэтому структура металла после сварки становится неод-
нородной.
Неравноменость нагрева и остывания металла в области сварного
шва может стать причиной образования трещин. Так называемые ’’горя-
чие” трещины могут появиться при охлаждении стали до температуры
около 1000 °C. Незаметные сначала, впоследствии эти трещины могут
развиться от действия на конструкцию динамических нагрузок. При бы-
стром охлаждении металл приобретает повышенную хрупкость, что мо-
жет стать причиной появления ’’холодных” трещин. Поскольку вероят-
ность появления трещин зависит от степени раскисления стали, для от-
ветственных сварных конструкций рекомендуется использовать спокой-
ную сталь.
Процесс остывания сварного соединения сопровождается появлени-
ем остаточных сварочных напряжений как в области сварных швов, так
и в металлоконструкции в целом. Эти напряжения зависят от конструк-
тивной формы и материала свариваемого изделия, режима сварки и тех-
нологической послесварочной обработки. Причиной образования оста-
точных сварочных напряжений является неравномерность нагрева и ох-
лаждения элементов металлоконструкции в процессе сварки. Например,
при локальном нагреве или охлаждении стального стержня-элемента ме-
таллоконструкции на Дг относительное изменение его длины /:
где Д/ - абсолютная деформация стержня; а — температурный коэффициент линей-
ного расширения материала стержня (для низколегированной и низкоуглеродистой
стали а = (12 ... 16) 10'6 1/°С.
При Д/ = 100 °C и а= 12-10“6 1/°С е= 12-Ю-4. Такое относительное
удлинение стержня при модуле упругости £ = 2-10s МПа соответствует
напряжению о = еЕ = 12-10-4 -2-10s = 240 МПа, если бы концы стержня-
элемента конструкции были жестко заделаны.
Реальные конструкции не являются абсолютно жесткими и локаль-
ные температурные перепады выше 100 °C, кроме того, при температуре
более 200 С сталь обладает повышенной пластичностью, с ростом темпе-
ратуры наблюдается снижение предела текучести от, модуля упругости Е
и сдвига G. Процесс образования остаточных сварочных напряжений в
металлоконструкциях достаточно сложен и является предметом специ-
альных исследований [1, 9, 13], изучению которых посвящены специаль-
ные дисциплины.
Остаточные напряжения н деформации в решетчатых конструкциях.
Решетчатые конструкции имеют ряд особенностей, влияющих на де-
226
Рис. 2.55. Остаточные сварочные напряжения н вызываемые ими деформации
решетчатой системы
формацию и распределение остаточных сварочных напряжений. К ним
относится небольшое сопротивление изгибу стержней поясов и раскосов,
жесткая конструкция узлов, форма (в ряде случаев - несимметричная)
поперечных сечений стержней.
Наличие остаточных напряжений в решетчатых сварных крановых
стрелах приводит к заметным искривлениям их элементов (поясов и
раскосов) (рис. 2.55), так как напряжения в них достигают величин по-
рядка (0,2 ... 0,6) от и более.
Экспериментальные исследования, выполненные в МИСИ и
ВНИИстройдормаше [13] по изучению напряженного состояния решетча-
тых конструкций, показали, что остаточные сварочные напряжения не-
равномерно распределены по сечению стержней из углового проката
(рис. 2.55). Наибольшие напряжения сжатия от изгиба возникают всегда
у обушка углового профиля, а напряжения растяжения оиу — на свобод-
ных концах полок. Кроме того, в поясах и раскосах действуют напряже-
ния от осевого растяжения — сжатия о0, которые не превышают 0,35 опу
Для поясов и 0,5 ону для раскосов. По длине стержней поясов и раскосов
напряжения распределены по линейному закону, причем в поясах напря-
жения варьируют незначительно, а в раскосах заметно изменяются по
значению и направлению.
В результате действия остаточных сварочных напряжений стержни
деформируются, в основном, в направлении наибольшей гибкости угол-
ков, т.е. относительно оси у0. Напряжения от изгиба иих относительно
оси л0 меньше напряжений ану в 3 ... 6 раз. Стержни поясов изгибаются
внутрь фермы, а раскосы изгибаются как в одну, так и в другую сторону
от осей недеформированной конструкции.
Установлено, что стержни с остаточными напряжениями по сравне-
нию с такими же стержнями без остаточных напряжений теряют устой-
чивость при меньшей сжимающей критической нагрузке. При этом
критическая нагрузка сварных решетчатых стрел снижается на 20 ... 25 %.
Остаточные напряжения в решетчатых конструкциях с трубчатыми
стержнями в 2 ... 3 раза меньше, чем в аналогичных конструкциях из
уголков. Это объясняется симметричностью сечений и увеличением
минимального момента инерции сечения по сравнению с моментом инер-
ции сечения углового профиля при равных площадях сечения.
В конструкциях с несовмещенными узлами остаточные напряжения
в 2 раза меньше остаточных напряжений в конструкциях с совмещенны-
227
ми узлами, так как число сходящихся в узле раскосов (сварных швов)
для первого типа узла также в 2 раза меньше.
Снижение остаточных начальных напряжений можно достигнуть сле-
дующими конструктивными мероприятиями: уменьшением высоты кате-
та углового шва; приваркой раскосов с наружной стороны уголков поя-
сов, что позволяет снизить остаточные напряжения в 15 ... 20 раз по от-
ношению к случаю, когда раскосы привариваются к внутренней стороне
полки пояса; правильным выбором вида сварки, диаметра электрода
и режима сварки.
Для снижения остаточных напряжений в решетчатых конструкциях
могут быть рекомендованы следующие технологические способы: про-
ковка зон сварных соединений, импульсная обработка сварных узлов
взрывом, концентрированный нагрев определенных зон поясов, отпуск.
Рекомендуется применение статического обжатия, в процессе которого
максимальные прогибы от остаточных сварочных напряжений уменьша-
ются в 2 и более раза.
Решетчатые конструкции проектируют, как правило, с повышенным
запасом прочности. После сварки и охлаждения целесообразно подверг-
нуть готовую решетчатую сварную конструкцию нескольким циклам на-
гружения при нагрузке, в 1,5 ... 2 раза превышающей расчетную. Этот
процесс можно осуществить на специальных нагрузочных стендах, что
позволит снизить сварочные остаточные напряжения на 30 ... 40 %.
2.7.4. ОСОБЕННОСТИ РАСЧЕТА МЕТАЛЛОКОНСТРУКЦИЙ
БАШЕННЫХ КРАНОВ
Металлоконструкции башенных кранов. Масса металлоконструкций
составляет 50 ... 80 % общей массы башенных кранов. К несущим кон-
струкциям относятся башня 1 (рис. 2.56), стрела 8, консоль 6, рама
поворотной платформы 2, ходовая рама 3, кронштейны 4, распорки 5,
оголовок 7. У кранов с поворотной башней оголовок неподвижен отно-
сительно башни. У кранов с поворотной стрелой (рис. 2.56, б) оголовок
7, стрела 8 и противовесная консоль 6 совместно вращаются относитель-
но башни 1, неподвижно закрепленной на портале 9. Неподвижные краны
опираются на основание и крепятся дополнительными связями к кон-
струкции строящегося здания.
Конструктивно башни и стрелы разделяют на трубчатые (рис. 2.56,д)
и решетчатые (рис. 2.56, б)  Стержни решетчатых стрел и башен изготов-
ляют из стального проката: уголков или труб.
Основные сведения о расчете стрел и башен. Стрелы и башни рассчи-
тывают по ГОСТ 13994—81. Методика расчета имеет ряд особенностей:
расчет выполняют по предельному состоянию (см. п. 2.2.2); при проч-
ностном расчете учитывают деформированное состояние стрелы и баш-
ни; общую устойчивость стрелы и башни не проверяют. Ниже даны ос-
новные положения расчета, однако необходимо подчеркнуть, что при
выполнении практических расчетов разработчики должны пользоваться
ГОСТ 13994-81.
Расчет на прочность выполняют для рабочего состояния крана с гру-
fa 1
и
и
IH
ж
HKI
ж
|ф
«Я
К И
-KI
228
(f зом и без груза, для нерабочего состояния (например, при монтаже) и
"Н для крана, находящегося под действием испытательной нагрузки. В каж-
дом состоянии регламентируется определенное сочетание нормативных
и случайных нагрузок (см. п. 2.2.1). Так, в рабочем состоянии с грузом
учитывают нормативные нагрузки: веса крана и груза, ветровую нагруз-
[г- ку, динамическую, возникающую при повороте, а также случайные на-
' грузки: отклонения веса груза от нормативного значения; пульсацию
ветровой нагрузки; случайные составляющие динамических нагрузок,
возникающих при повороте, подъеме и опускании груза и при пере-
4- движении крана.
Прочность крана или его элементов проверяют по условию
р	(2Л40)
(W	где К = К, К2 + 1 — коэффициент перегрузки (здесь К, = 4 ... 6 — коэффициент на-
«И	дежности, К2 - коэффициент изменяемости напряжений) ; ач - нормальное или
касательное напряжение от нормативных составляющих нагрузок, МПа; ку =
= £у]Лу2 — коэффициент условий работы, учитывающий ответственность кон-
229
струкции (Л.. j = 0,85 ... 1,05) и назначение рассчитываемого элемента (Лу2 =
= 0,75 ...0,90); Яр - расчетное сопротивление стали.
Таким образом, напряжения определяют только от нормативных на-
грузок, а случайные нагрузки входят в коэффициент
К2=уГ^!ок,	(2.141)
где а(- — напряжение от среднего квадратического отклонения случайной составля-
ющей нагрузки, МПа.
Прочностной расчет выполняют в следующей последовательности:
вычисляют нормативные и случайные нагрузки, определяют расчетное
положение (наиболее неблагоприятное взаимное положение частей кра-
на и нагрузок), находят опорные реакции крана или отдельных его час-
тей, вычисляют внутренние усилия в элементах металлоконструкции, де-
формации стрелы и башни, уточняют значения внутренних усилий в эле-
ментах с учетом деформированного состояния, рассчитывают напряже-
ния, проверяют прочность по условию (2.140).
Нагрузки, действующие на металлоконструкции башенных кранов.
Расчетная схема крана с указанием нормативных и случайных нагрузок
показана на рис. 2.57.
Нормативные нагрузки определяют следующим образом. Силы тя-
жести крана <2К или его узлов Qc н (стрелы), QK н (консоли), Q6 н
(башни) принимают по
конструкторской докумен-
тации, а на начальных ста-
диях проектирования, ког-
да площади поперечных се-
чений элементов еще неиз-
вестны, силы тяжести за-
дают, ориентируясь на их
значения для ранее спроек-
тированных кранов. Вес
груза Сн определяют исхо-
дя из устойчивости крана
против опрокидывания,
для чего используют графи-
ки грузоподъемности, по-
казывающие закон измене-
ния допускаемого веса гру-
за в функции вылета груза
L. Ветровую нагрузку WH,
действующую на груз и час-
ти крана (И/1б н, И/2б н,
^сн)’ рассчитывают по
ГОСТ 1451-77.
Рис. 2.57. Расчетная схема на-
гружения башенного крана
230
Динамическая нагрузка Рповн от поворота для кранов с поворотной
башней считается приложенной к точке подвеса груза и действующей го-
ризонтально и перпендикулярно плоскости подвеса стрелы (рис. 2.57).
Ее определяют в зависимости от избыточного момента на валу дви-
гателя или тормоза по формулеГповн =^избыоД-> гДе и0 — общее пере-
даточное число механизма поворота. Избыточный момент при разгоне ра-
вен разности между моментом, развиваемым двигателем, и суммой мо-
ментов статических сопротивлений, приведенных к валу двигателя. При
торможении МИЭб — это сумма тормозного момента и моментов стати-
ческих сопротивлений.
Кроме упомянутых в ГОСТе нормативных нагрузок рекомендуется
учитывать центробежные силы вращающихся масс, расположенные го-
ризонтально в плоскости подвеса стрелы (РщРц.с и тд.). Сила Рц (Н),
действующая на груз:
(Сн+ 4)
Р = oj L------------------------
ц Зп	g 900
где — сумма масс груза и подвески, кг; и = тги/30 — угловая скорость, рад/с;
(?н — вес груза, Н; q — вес грузовой подвески, Н; g — ускорение свободного паде-
ния, м/с2; и — частота вращения платформы, об/мин; L — вылет, м.
Случайные нагрузки от силы тяжести груза Sq и ветровые 5W1-,
SW2, $wc> Sw определяют в зависимости от соответствующих норматив-
ных нагрузок: сила Sq составляет 4 ... 10 % веса груза QH. Средние квад-
ратические отклонения ветровых нагрузок, действующих на элементы
крана, определяют по формуле Swj = тп^/н (тп — коэффициент, учи-
тывающий пульсации ветровой нагрузки, тп = 0,07 ... 0,12; £ — динами-
ческий коэффициент, для вычисления которого в ГОСТ 13994—81 при-
водятся формулы и таблицы). Среднее квадратическое отклонение слу-
чайной составляющей ветровой нагрузки, действующей на груз, Sw =
- 0,1 JVH. Случайные динамические нагрузки, возникающие при подъеме-
опускании груза (5д1 и Spj), при повороте (5д3) и разгоне-торможе-
нии крана (*$д4) рассчитывают на основе второго закона Ньютона. На-
пример, вертикальная динамическая нагрузка 5д2 > а2я1зп, где Д2 ~
- 0,5 м/с2. Массы башни, стрелы, консоли приводят к опорному шарни-
ру С стрелы, где приложены горизонтальные случайные нагрузки 5Д1,
5дЗ. ^д4> причем их значения не должны быть меньше аг (wiin + те2п)>
(где и wi2n — массы частей крана, приведенные к точке подвеса стре-
лы и к концу стрелы, ау = 0,1 м/с7).
Расчетное положение крана определяют в его рабочем состоянии при
учете действия только нормативных нагрузок, причем упругие деформа-
ции на этой стадии расчета не учитывают. Методы поиска наиболее небла-
гоприятного для прочности взаимного положения частей крана зависят
от его конструкции. Для кранов, в которых вылет L изменяется при
подъеме и опускании стрелы (см. рис. 2.56, д), можно применить метод
окружностей влияния, а для кранов с горизонтальной стрелой и переме-
щающейся кареткой — метод линий влияния.
Расчет стрел по деформированному состоянию. После того, как опре-
231
Рис. 2-58. Схемы для расчета стрелы в деформированном состоянии
делены действующие нагрузки и выбрано расчетное положение, дальней-
ший расчет выполняют методами сопротивления материалов и строитель-
ной механики. Особенностью расчета башенных кранов является учет на-
чального прогиба и упругих деформаций от нагрузок. Изгибающие мо-
менты и поперечные силы в стреле надо определять как при деформации
стрелы в плоскости подвеса груза, так и в плоскости, перпендикулярной
ей. В первом случае начальный прогиб /н в любом сечении стрелы на
участке 1-2 (рис. 2.58, а) вычисляют в функции максимально допуска-
емого прогиба в середине стрелы f = /с/800 (где 1С — длина стрелы, м):
/н = /sin	(здесь z — расстояние от точки крепления расчала к стре-
ле до рассматриваемого сечения, м). Изгибающие моменты в сечениях
стрелы равны сумме момента Мо от внешних нагрузок без учета дефор-
мации и момента Ма, возникающего вследствие деформаций:
М=М0 + Мд.	(2.142)
В приложении к ГОСТ 13994—81 приводятся расчетные формулы
и таблицы для определения 7ИД. При ориентировочном расчете можно
применить формулы М = Мо + AV, где N — продольная сила в сечении;
v = V, + / — прогиб в рассматриваемом сечении, равный сумме прогибов
от действующих нагрузок (v,) и начального прогиба (/). Прогибы опре-
деляют методами, изложенными в п. 2.2.3. Поперечная сила от действия
нагрузок с учетом деформации системы
е = Со + ед-	(2.143)
При деформации стрелы в плоскости, перпендикулярной плоскости
подвеса груза (рис. 2.58,б),момент
Ма= Д/И(1 + ДМ/М0)	(2.144)
и поперечная сила
Сд= 1,15 4(2,	(2.145)
те
AA/=7Vz+ «21*у“в,Лр// р)г;	(2.146)
AC=^cVz+ е,<₽у-6Лр//р;	(2.147)
232
лМ и Д£? — изгибающие момент и поперечная сила, создаваемые продольными уси-
лиями за счет деформаций, вычисленных без учета продольных сил; Nc иТУр - про-
дольные усилия в стреле и растяжке; Qt — вертикальная нагрузка, действую-
щая на головку стрелы; остальные обозначения приведены на рис. 2.58, б.
После определения N, М и Q в сечении проводится расчет напряжений
в поясах стрелы или башни и проверка прочности по условию (2.140).
Расчет на усталость выполняют методами, изложенными в п 2.5.3.
При этом полагают, что кран работает с грузом наибольшей массы в тече-
ние^ циклов нагружения, причем
М=^рЛ^,	(2.148)
где/Vp - расчетное число циклов работы крана; Kq = 0,125 . 1,0 - расчетный ко-
эффициент нагрузки крана, зависящий от группы режима работы
Допускают, что остальные 7Vp - циклов кран работает без груза.
Эти циклы учитывают только при расчете элементов, расположенных ни-
же опорно-поворотного устройства.
2.8.	РАМНЫЕ И ЛИСТОВЫЕ КОНСТРУКЦИИ
2.8.1.	ПРИМЕРЫ РАМНЫХ КОНСТРУКЦИЙ
И ОБЩИЕ ПРИНЦИПЫ ИХ РАСЧЕТА
Общие положения. Форма рамной конструкции (рамы) и ее расчет-
ная схема определяются назначением машины. Например, несущая кон-
струкция рабочего оборудования бульдозера или рыхлителя представля-
ет собой рамную конструкцию, способную изменять форму в процессе
эксплуатации, что необходимо для обеспечения изменения положения ра-
бочего органа в пространстве. Подобного типа рамные конструкции ха-
рактерны для машин с навесным оборудованием, когда рабочие органы
устанавливаются на базовых тягачах при помощи специальной металло-
конструкции. В этом случае узлы рам выполняют в виде цилиндрических
или сферических шарнирных соединений, которые в расчетах можно
представить в виде жестких узлов или шарнирных сочленений. Специфи-
ка расчета рам навесного оборудования представлена в п. 2.8.2.
В любой машине имеются рамные базовые несущие конструкции не-
изменной формы. Многообразие их форм можно свести к следующим ти-
повым: рамы, имеющие развитые формы в направлении одной из плос-
костей пространства (рамы машин и оборудования для устройства и ре-
монта дорожных покрытий); пространственные рамы, воспринимающие
пространственно ориентированные нагрузки (металлоконструкция авто-
грейдера) ; рамы, элементы которых являются рамными и в процессе
выполнения основных функций машины изменяют положение друг от-
носительно друга (металлоконструкция скрепера).
Рамы машин и оборудования для устройства и ремонта дорожных
покрытий. Большинство рам этого типа машин представляет собой
сварную конструкцию из продольных и поперечных балок, образующих
систему перекрестных балок (рис. 2.59, а). В общем случае такие систе-
мы многократно статически неопределимы. Их точный расчет весьма
трудоемкий, особенно для конструкций, имеющих кроме основных
несущих балок ряд дополнительных элементов в виде вспомогательных
кронштейнов и раскосов. В то же время, принимая во внимание вспомо-
гательную роль дополнительных элементов, в некоторых случаях можно
рассчитывать основной несущий контур, составленный из продольных и
поперечных балок, что увеличивает запас прочности.
На основе принципа независимости действия сил внутренние усилия
в элементах рам определяют дифференцированно, т.е. от внешних нагру-
зок, линии действия которых расположены в плоскости рамы, и от сил,
линии действия которых расположены перпендикулярно плоскости
рамы.
При расчете систем перекрестных балок на нагрузку, действующую
в плоскости рамы, узлы считают жесткими, а при расчете на нагрузку,
действующую из плоскости, полагают, что между перекрещивающимися
в узле балками имеется только шарнирная связь (см. рис. 1.59, а). Та-
ким образом, в последнем случае раму рассматривают как систему, со-
стоящую из простых балок, воспринимающих только изгибающие мо-
менты. Влиянием крутящих моментов в балках одного направления при
изгибе перпендикулярных им балок перенебрегают. Такое допущение
оправдано в тех случаях, когда жесткости при кручении GJ^/Ц, приходя-
щиеся на единицу длины элементов балок одного направления, значи-
тельно меньше жесткостей при изгибе EJx/lj, приходящихся на единицу
длины элементов балок другого направления. Это наблюдается при изго-
товлении рам из прокатных балок открытого профиля. Так, например,
для швеллера № 22 при Jx = 2110 см4 и Jfc =7,48 см4 и равных расстоя-
ниях между узлами в перпендикулярных направлениях EJXI(GJ^) « 705.
В расчете приняты модуль упругости Е = 2,1-10s МПа и модуль сдвига
G = 0,810s МПа.
Рис. 2.59. Схемы для расчета средней секции рамы рабочих органов бетоноуклад-
чика
234
Рассмотрим расчет средней секции рамы рабочих органов бетоноук-
ладчика ДС-11 (см. рис. 2.59, а). Секция состоит из трех поперечных пря-
моугольных балок коробчатого сечения, к которым приварены четыре
продольные балки, установленные с одинаковым интервалом. Конструк-
ция средней секции рамы рабочих органов симметрична относительно
продольной оси х-х.
По концам крайних продольных балок установлены проушины креп-
ления рамы рабочих органов к основной раме бетоноукладчика. Про-
дольные балки являются опорными для поперечных балок, на которые
опираются две внутренние продольные балки. Каждая из балок рамы,
кроме двух внутренних продольных, имеет по два опорных узла и явля-
‘ ется статически определимый. Внутренние продольные балки опираются
на поперечные в трех точках и имеют по одной лишней связи.
В силу симметрии конструкции рамы рабочих органов и расположе-
ния технологического оборудования на ней относительно продольной оси
х-х нагрузки, воспринимаемые рамой, считают симметричными. На
рис. 2.59, а представлена схема нагрузок, действующих на среднюю сек-
цию рамы рабочих органов: Р} — сила тяжести виброзаслонки и нагрузка
от передней секции рамы, которая крепится фланцами к передним тор-
цам продольных балок средней секции; Mt иМ3 — моменты, определяе-
мые смещением центра масс передней секции относительно фланца креп-
ления; Р2 — нагрузка от задней секции рамы, которая прикреплена к
' ' торцам продольных балок средней секции; М2 иМ^ — моменты, опреде-
ляемые смещением центра масс задней секции относительно фланцев
крепления; Р3, Р4 и Р2 - нагрузки от скользящей формы; Ps и Р6 — на-
грузки от качающихся брусьев; М5 и М6 — моменты, возникающие в по-
перечных балках в местах крепления гидроцилиндров подъема качаю-
щихся брусьев.
При расчете статически неопределимых систем перекрестных балок
i- используют метод сил (п. 1.5.2). Выбор основной системы сводится к
удалению лишних шарнирных связей и замене их равными противопо-
лл. ложно направленными неизвестными сосредоточенными силами.
Р!,1 1	На рис. 2.59, б представлена основная система рассчитываемой сек-
ции рамы, для лишние неизвестные связи приняты равными между со-
бой (А\) из-за симметричного положения их относительно продольной
оси х-х рамы.
В дальнейшем расчет проводят по обычной схеме: составляют кано-
ническое уравнение 5цХ! +	=0; строят эпюры изгибающих момен-
тов от действия единичных сил %i и внешних нагрузок, приложенных к
основной системе расчетной схемы рамы; определяют коэффициенты
«у канонического уравнения, после подстановки которых в уравнение на-
ходят значение неизвестной Xt; строят суммарные эпюры изгибающих
моментов.
К J	Расчет рамы по нагрузкам, действующим в ее плоскости, изложен в
п. 1.5.2. Нагрузки и место их приложения определяют из анализа про-
' цессов взаимодействия рабочих органов с обрабатываемой средой. Пог-
ле построения эпюр изгибающих моментов в раме рабочих органов от
действия вертикальных и горизонтальных нагрузок по максимальным
235
моментам выявляют опасные сечения конструкции и проверяют их проч-
ность с учетом суммарного воздействия нагрузок.
Металлоконструкции автогрейдеров*. Основной несущей металло-
конструкцией автогрейдера является основная рама, на которой монти-
руются все силовые агрегаты, рабочее и ходовое оборудование. В число
металлоконструкций автогрейдера входят также тяговая рама и отвал.
Рама автогрейдера (рис. 2.60) сварная и состоит из подмоторной час-
ти 1, хребтовой (основной) балки 2 и головки 3. Передней частью рама
опирается на переднюю ось. На головке 3 крепится бульдозер или кир-
ковщик, к заднему листу головки приварена опора шарового шарнира
тяговой рамы.
Хребтовая балка 2 выполнена в виде изогнутого бруса, в средней
части которого размещены кронштейны крепления гидроцилиндров
подъема тяговой рамы.
Подмоторная часть 1 рамы состоит из двух лонжеронов, соединен-
ных между собой в задней части поперечной балкой, в передней — тру-
бой, которая одновременно служит баком гидросистемы. На эту часть
рамы монтируют двигатель, кабину, капот, коробку передач, баки, снизу
подмоторная часть опирается на два поперечных цилиндрических шарни-
ра, которые являются осями правого и левого балансиров.
Многообразие операций, выполняемых автогрейдером, обусловли-
вает многообразие положений рабочего органа относительно рамы и, сле-
довательно, нагрузок, действующих на раму. Это значительно усложняет
поиск расчетного положения элемента конструкции рамы при расчете на
прочность. Расчетное положение характеризуется максимальным напря-
жением в рассчитываемом месте конструкции при упоре рабочего органа
в непреодолимое препятствие с учетом ограничений, определяемых мощ-
ностью энергетической установки, параметрами предохранительных уст-
ройств гидросистемы управления,положением рабочего органа,парамет-
рами ходового оборудования и характеристиками опорной поверхности.
Нагрузки на раму автогрейдера передаются от ходовых устройств и
тяговой рамы. Для учета влияния сил на штоках гидроцилиндров управ-
ления тяговой рамой и реакций в шаровом шарнире необходимо знать их
пространственное положение, которое задается координатами точек их
крепления к основной и тяговой рамам автогрейдера. Линии действия
сил на штоках цилиндров совпадают с прямыми /L4j, BBlt В}С
4
* Написано по материалам исследований доц. М.А. Кононенко.
!11,Ь
V
- !Й,в
Иф
Г
-Ml
м
UVH
^КОП)
236
-2 -' Ряс. 2.61. Схемы для определения нагрузок, действующих на тяговую раму авто-
. _ 4- грейдера
(рис. 2.61, а) и определяются направляющими косинусами углов между
данными прямыми и осями координат. Длг прямой AAt:
ХА~ХА.	„ УА~УА	ZA~ZA
cos а. =----------1— ; cos Р . =------------- ; cos у .----------
^АА,	^aAj	^AAt
где£^д —длина отрезка AAt.
Аналогичным образом определяют направляющие косинусы для пря-
мых Ш?! H5jC.
При заданных геометрических параметрах машины известными и
постоянными являются координаты точек А тл В крепления цилиндров
подъема и опускания тяговой рамы, точки С крепления цилиндра выноса
237
тяговой рамы в сторону к основной раме, точки О крепления тяговой ра-
мы к основной.
Координаты точек А/иВ, крепления цилиндров подъема к тяговой
раме определяют ходами штоков цилиндров подъема (АА^В^ и выно-
са в сторону тяговой рамы (СВХ) (рис. 2.61, а).
К постоянным размерам относятся также длины ЬА La q =
= q как конструктивные параметры тяговой рамы.
Для определения направления действия сил на штоках цилиндров по
заданным длинам выдвижения штоков находят координаты точек A j и
Вг. Решение поставленной задачи начинают с вычисления координат точ-
ки, которую можно рассматривать как точку пересечения трех сфер
радиусами OBi, BBt и CBj с центрами соответственно в точках О, В, С.
Уравнения сфер имеют вид:
х5, + yBt + ^ZB1~ZO^2 =LOBl ’
-xbv +	~ув^2 + (ZBt ~ZB^ =^BB, ’
<XB, -Xc)2 + (yB^ ~УС)2 +	-zc)2 =LCB, ‘
Решая совместно полученные уравнения, определяют координаты
точки Б] (хв , уБ , zB ) крепления гидроцилиндра к тяговой раме.
Аналогичным образом находят координаты точки A j. В этом случае
точка A j находится на пересечении трех сфер радиусами R j = LOA ,
^2 = Laa , R3 = La в с центрами соответственно в точках О, А, Вх.
Уравнения этих сфер имеют вид:
ХА, + У2Ах + <ZA. ~ZO>2 = LOAl >
-хл)2 + (уЛ1 -уА)2 + (zAi -zAy =L2AAi;
&аГхвУ+ <УаГув?+ ^аГ'вГ^а.в, •
После того, как найдены направления сил, действующих на штоках
цилиндров, можно вычислить и их значения. При этом силы, действую-
щие на отвал, и координаты тдчки их приложения считаются заданны-
ми, определенными из условия упора рабочего органа автогрейдера в не-
преодолимое препятствие с учетом ограничений, перечисленных выше.
Расс: итривая равновесие тяговой рамы в координатах х, у, z, можно
записать следующую систему уравнений (рис. 2.61,6):
ZX = PSPA^PBSPC^PO'=<>--
ЪГ^РУ‘>РЛу^РВу*РСу*РОу‘0-.
^‘ргрл^рвгрСг*ро,‘°-
238
'EM =P у + P z — P. Z . —P V — p 7	—
x	z'	y~ £AyzAt rAzPA, ByZB,
~PCyZBt ~POyZO + PCz->X + РВгУв1 - °’
™У	?xz PZX PAzyAl~PBzXB~PCzXBt+PAxZAl +
+ PBxZBl + PCxZBl + POxZO =°5
SM = -Pxy + PyX + PAxyA > + PAyxA . -
PBxyBt + PByXBt ~PCxyBt + PCyXBt =0,
rue x, y, z - координаты точки приложения равнодействующей сил, действующих
со стороны непреодолимого препятствия на отвал; РОх, РОу, Ро, - составляющие
реакции, возникающей в переднем шаровом шарнире крепления тяговой рамы к
основной; РАх, РДу, PAz;Pgx, РВу, РБг; РСх, РСу, PCz - составляющие сил, дейст-
вующих соответственно в цилиндрах подъема и выноса в сторону тяговой рамы.
Зная углы между направлениями сил на штоках цилиндров и осями
координат, можно записать:
РАх =РА COS аА ’ РАу = РА COS @A’PAz =РА COS 1А ’
РВх = РВ COS аВ ’ РВу ~ РВ COS ®В ’ PBz ~РВ В ’
РСх = РС COS аС ’ РСу = РС COS @С ’ PCz = РС COS 'Г С’
гдеРд,Р^,Р^ - силы на штоках цилиндров.
Подставив зти значения в систему уравнений и произведя необходи-
мые алгебраические преобразования, можно получить систему из шести
уравнений с шестью неизвестными, три из которых являются силами на
штоках цилиндров, а три — силами, действующими в шаровом шарнире
крепления тяговой рамы к основной.
Учитывая нагрузки, воспринимаемые рамой от элементов конструк-
ции автогрейдера: распределенную нагрузку q от силы тяжести рамы, си-
лы тяжести двигателя Рдв, трансмиссии РТр и кабины/^, реакции в мес-
тах крепления тяговой рамы Ро, Рд, Рв иРс,а также реакции в местах
крепления рамы к передней оси автогрейдера РЕх, РЕу, РЕг и к осям ба-
лансирной тележки правого Р^х, Р^у, Р^г, и левого PNx, Р^у, P^z,
бортов, расчетную схему рамы можно представить в виде, показан-
ном на рис. 2.62.
Расчет рамы удобнее начать с передней части, внутренние силы в ко-
торой определяют так же, как для консольной балки. Для этого строят
эпюрь. изгибающих в вертикальной и горизонтальной плоскостях момен-
тов, эпюры крутящих моментов. Находят опасные сечения и суммарные
напряжения, действующие в них, с учетом напряжений от продольных
сил. Касательными напряжениями от поперечных сил в расчете пренебре-
гают. Затем сравнивают суммарные приведенные напряжения с допуска-
емыми.
Несколько труднее рассчитывать подмоторную часть рамы, где име-
239
Рис. 2.63. Расчетные схемы подмоторной части рамы автогрейдера
ется замкнутый контур (рис. 2.63, а), который при нагружении прост-
ранственной системой сил является 6 раз статически неопределимым. Не-
известные силы, подлежащие определению в процессе расчета, могут
быть выявлены из анализа основной системы замкнутого контура (см.
п. 15.2), показанной на рис. 2.63, б. После решения канонических урав-
нений строят суммарные эпюры моментов, действующих на подмотор-
ную часть рамы, выявляют опасные сечения и производят проверку на
прочность.
Расчет тяговой рамы аналогичен расчету основной, так как здесь так-
же имеется замкнутый контур.
Металлоконструкции скреперов. Скрепер — землеройно-транспорт-
ная машина, основными элементами металлоконструкции которой яв-
ляются тяговая рама 2 (рис. 2.64, а), ковш 3, заслонка 1 и задняя стен-
ка 4 ковша.
240
lilhmu
BUI'
Г
(Kt*
I.JXH -
J (?'--

Тяговая рама скрепера (рис. 2.64, в) сварная, П-образной формы;
в передней части имеется стойка 8 с двумя проушинами для пальцев оси
вертикального шкворня сцепного устройства машины и хобот который
представляет собой кривой брус коробчатого сечения. К поперечной бал-
ке 10 рамы приварены две тяги 11 коробчатого сечения и кронштейны 9
гвдроцилиндров подъема ковша. Тяги имеют проушины 12 для шквор-
ней, соединяющих раму с ковшом скрепера.
Ковш скрепера (рис. 2.64, б) — сварной, состоит из двух боковых
стенок 5, днища 6 и заднего буфера 7. Боковые стенки ковша изготовле-
ны из листовой стали с приваренными по определенным направлениям
балками — коробками жесткости. Днище ковша состоит из основного
листа, подножевой плиты и гнутых профилей, образующих с основным
листом коробчатое секционное сечение. Крайняя коробчатая секция дни-
ща используется в качестве задней нижней связи боковых стенок, в
которую упираются балки буфера. Буфер ковша представляет собой
пространственную ферму, состоящую из балок коробчатого сечения.
Заслонка (см. рис. 2.64, а) выполнена из стального листа, к которо-
му приварены две изогнутые усиливающие накладки и боковые щеки.
Рычаги заслонки имеют коробчатое сечение. На концах рычагов выполне-
241
ны проушины, при помощи которых заслонка крепится к боковым стен-
кам ковша. К рычагам в средней части приварены кронштейны для креп-
ления штоков гидроцилиндров подъема заслонки.
Задняя стенка (рис. 2.64,г) ковша представляет собой сварную кон-
струкцию и состоит из щита 13 и толкателя 14. Сзади щит усилен раско-
сами 15. Толкатель изготовлен из двух швеллеров, сваренных с помо-
щью накладок в брус коробчатого сечения. В средней части толкателя
имеются два кронштейна 16 для крепления штоков гидроцилиндров вы-
движения задней стенки.
В процессе работы на машину действуют силы тяжести тягача и скре-
пера с грунтом G (значение и точка приложения этих нагрузок известны).
На ноже ковша возникает сила сопротивления копанию или реактивная
сила Р от упора в непреодолимое препятствие, которая в общем случае
может быть направлена под произвольным углом а к горизонту
(рис. 2.65, а). Ее находят из условия полной остановки скрепера при ре-
ализации тяговых возможностей. Обычно скреперы не обеспечивают пол-
ного заполнения ковша без дополнительного толкача (дополнительная
толкающая сила Т). На колесах тягача и скрепера действуют вертикаль-
ные реакции Rt и R2, силы сопротивления перекатыванию и сила тяги
Т\ тягача скрепера, максимальное значение которой определяется по
формуле Тх = RiXp, где — коэффициент сцепления шины тягача скрепе-
ра с опорной поверхностью.
Вертикальные реакции не проходят через ось колес, а смещены от-
носительно ее на величину, определяемую трением качения, однако из-за
ее малого значения смещением реакций можно пренебречь. Так как силы
сопротивления перекатыванию малы по отношению к другим силам, ими
тоже можно пренебречь.
Таким образом, неизвестными из внешних сил будут вертикальные
реакции R i иЛ2. возникающие на передних и задних колесах, и сила Р на
ноже ковша, которые определяются из уравнений согласно расчетной
схемы (см. рис. 2.65,а):
ЪХ = 0; Р cos а - 7\ - Т cos /3 = 0;
ST = 0; R\ + R2 + Psina + Tsin/? — G = 0;
= 0; Gat- T sin (3 b -Rxl—	(tg a-c-h) -
- T cos |3 (tg a-c - d) = 0,
откуда
Ga + r[sin p-b — cos /3(tg a-c — d)]
R, =-----------------------------------------;
I + (tg a-c - Л)
Ga + r[sin p-b — cos p(tg a-c — d)J
R2 = G------------------------------------------- (1 + tga </>)-
/ + ч> (tg a-c - h)
- T (cos |3 tg a + sin |3);
Ga+ r[sin p-b — cos p(tg a-c — d) ]	cos p
(l/ip + tga-c — Л) cos a	cos a
При расчетах следует учитывать ограничение максимальной тяги
скрепера по мощности Nего двигателя:
N п
Т.	= Rt	,
1 max 1 max
min
откуда
Nn
R. < ------------,
1 max
V’vmin
где ч - КПД трансмиссии скрепера; vmjn - минимальная скорость движения скре-
пера на низшей передаче.
Силы, действующие непосредственно на раму, определяют из усло-
вия равновесия тягача (рис. 2.65. б). Влияние отброшенного скрепера
заменяется реакциями Rр, R^ и F^, действующими на тягач в седельном
устройстве. Составляя уравнения суммы проекций на осих и у сил и мо-
мента относительно точки К, получают
Л£. = [См(а1 + a2)-Ri(^h1 + at)]/h2;
RK =[/?!</> (Л1 + h2) + RiOi - Gm (at + a2)]/h2
F = G -Rlt
A M
Где GM — сила тяжести тягача.
243
Из условия равновесия ковша (рис. 2.65, в) при рассмотрении сум-
мы моментов относительно точки D крепление тяговой рамы к ковшу
определяют силы в механизме подъема ковша:
2Рц = 2- [ Gk + г/д +R2lz + P(hp cos a-lp sin a) +
+ Г(/т sin /3 + йт cos/?)],
где Рц — сила на штоке гидроцилиндра подъема ковша; Ск + г — сила тяжести ков-
ша с грунтом.
Составляют расчетную схему тяговой рамы скрепера с учетом всех
сил, действующих на нее (рис. 2.65, г), при этом реактивные силы в уп-
ряжных шарнирах рамы представляют в виде проекций на оси коорди-
нат х, у, z.
Составляющие реакций в упряжных шарнирах, перпендикулярные
плоскости рамы, RBz и RDz в силу симметрии точек приложения дейст-
вующих нагрузок и симметрии рамы будут равны между собой:
1
RBz =RDz = ~	+ ЯдЭ&пу-FK cosy] + Рц cos5 .
Составляющие реакций упряжных шарниров в плоскости рамы
(RBxi RDx’ RBy< определяют от действия сил, приведенных в плос-
кость рамы. В этом случае расчетная схема рамы (рис. 2.66, а) будет
один раз статически неопределимой, и искомые неизвестные рассчиты-
вают методом сил (см п. 1.5.2). Реакция хобота рамы, действующая на
поперечную балку (см. рис. 2.65,г и 2.66, с) :
R' = (Re + R^ ) cos У + sin у
Составляющая силы на штоке цилиндра, подъема ковша, действую-
щая в плоскости рамы:
Рй=Рц sin5’
Хобот рамы рассчитывают как кривой брус на изгиб от действия си-
лы Rg, R% uFr.
Поперечная балка рамы находится в сложно напряженном состоянии
под действием крутящего момента (см. рис. 2.65, г)
М =Rn I.,
кр Dz 1 ’
а также изгибающих моментов в плоскостях ху и xz:
^5(6/2-*,);
cos5(ft/2-M-
Упряжные тяги рассчитывают на изгиб в плоскостях zx и ху с учетом
продольной силы RDx и RBx .
Ковш скрепера представляет собой оболочку незамкнутого профи-
244
Рис. 2.66. Расчетные схемы тяговой рамы скрепера, боковых ребер жесткости
ковша и задней стенки ковша
ля. Его можно рассчитать на основе приближенных методов конечных
элементов или конечных разностей (см. п. 1.7.2,1.7.3).
Возможен упрощенный расчет, основанный на принципе функцио-
нального деления элементов конструкции ковша, согласно которому
пластинчатая конструкция ковша выполняет функции стенок, ограни-
чивающих объем набранного грунта от просыпания, и должна рассчиты-
ваться как бункерное устройство (см. п. 2.8.4).
Ребра жесткости конструкции остова ковша служат для передачи
сил, развиваемых тягачом и толкачом, к ножу скрепера. В таком слу-
чае остов ковша рассчитывают как пространственную комбинирован-
ную балочно-рамную конструкцию.
Подножевую плиту представляют в виде балки, защемленной в мес-
тах приварки к боковым стенкам, и рассчитывают на изгиб от действия
горизонтальной и вертикальной составляющих силы Р по формулам со-
противления материалов.
Буфер рассматривают как плоскую ферму, усилия в стержнях ко-
торой определяют любым известным методом (см. п. 13.1).
Верхние и нижние стержни буфера прикреплены к задним балкам
ковша и нагружают их усилиями, равными усилиям в стержнях и дейст-
вующими по направлению стержня. Напряжения в задних балках опре-
деляют, рассматривая их как защемленные в местах приварки к боко-
вым стенкам. На прочность проверяют также сварные швы в местах
крепления буфера к задним балкам и задних балок к боковым стенкам
(см. п. 23.2).
Систему боковых ребер жесткости остова ковша представляют в ви-
де плоской рамной конструкции, воспринимающей нагрузки, приложен-
ные в плоскости рамы (рис. 2.66, б; Р3 и R3 — соответственно реакции
в местах крепления гидроцилиндра подъема заслонки и самой передней
заслонки к ковшу; и — силы в стержнях буфера). Из-за наличия
двух замкнутых контуров расчетная схема рамы из боковых ребер жест-
245
кости ковша будет 6 раз статически неопределима и расчет ее произво-
дится согласно рекомендаций гл. 1.3.
Заслонку скрепера рассчитывают по максимальной силе на штоке ги-
дроцилиндра подъема заслонки, развиваемой в момент упора заслонки
в твердый предмет при ее закрытии. Из суммы моментов относительно
шарнира заслонки определяют силу на ее кромке. Из уравнений суммы
проекций на оси находят составляющие реакции в шарнире. Опасные се-
чения — место приварки рычага гидроцилиндра к рычагу заслонки, сече-
ние рычага заслонки и место приварки рычага к заслонке. В этих сечени-
ях необходимо определить действующие моменты и проверить прочность
сварных швов и металлоконструкции узла.
Заднюю стенку рассчитывают на прочность для случая ее заклинива-
ния (см. рис. 2.66, в) при упоре в непреодолимое препятствие А. Гидро-
цилиндр выдвижения развивает максимальное усилие /’цс, которое вос-
принимается направляющими роликами. Нагрузка на ролик
Л1 =Pncdlb-, Р22 =P2i
Эта же сила действует на направляющую раму задней стенки. На
прочность проверяют сечения направляющей рамы, место приварки ее.
Проверяют также прочность щита.
Подводя итог, отметим, что для каждого конкретного места метал-
локонструкции скрепера существуют свои расчетные положения, харак-
теризующиеся наибольшим внутренним усилием. Поэтому при расчете
необходимо находить расчетное положение, соответствующее рассма-
триваемому элементу конструкции. Так, например, расчетное положе-
ние при расчете сечения приварки подножевой плиты к боковым стен-
кам ковша определяется таким направлением линии действия силы Р
(рис. 2.65, а), при котором достигается максимальное ее значение. При
этом с учетом ограничения тягового усилия по мощности двигателя угол
наклона линии действия силы Р к горизонту
а= arctg
N-n	i
Ga + T (sin p-b + cos p-d) + -------(Л------)
vmin
с (T cos p +	— )
vmin
2.8.2. ОСОБЕННОСТИ РАСЧЕТА РАМНЫХ КОНСТРУКЦИЙ
ЗЕМЛЕРОЙНЫХ МАШИН С НАВЕСНЫМ ОБОРУДОВАНИЕМ
Металлоконструкции бульдозеров. На рис. 2.67, а представлена схе-
ма конструкции рабочего оборудования бульдозера ДЗ-110А, которое
состоит из отвала 4, левого 1 и правого 6 толкающих брусьев, горизон-
тального 7, вертикального 5 раскосов и гидроцилиндров 3 подъема-опус-
кания и 2 перекоса отвала бульдозера. Левый толкающий брус 1 осна-
щен кронштейном, в котором расположен двойной цилиндрический шар-
нир 8 крепления горизонтального раскоса 7.
Согласно расчетной схеме рабочего оборудования бульдозера
246
Рис. 2.67. Рабочее оборудование бульдозера и его расчетная схема
(рис. 2.67, б) гидроцилиндры подъема-опускания и перекоса отвала и
вертикальный раскос являются простыми стержнями с шаровыми опора-
ми на концах. Хвостовая часть толкающих брусьев присоединяется к ра-
ме трактора шаровыми шарнирами 1, 12. Передняя часть толкающих
брусьев крепится к отвалу двойными цилиндрическими шарнирами 3, 9,
позволяющими передней части брусьев и отвалу поворачиваться относи-
тельно друг друга вокруг осейх иг.
Горизонтальный раскос одним концом 11 присоединяется шаровым
шарниром к правому толкающему брусу, а другим крепится к крон-
штейну левого бруса двойным цилиндрическим шарниром 7, позволяю-
щим горизонтальному раскосу и кронштейну поворачиваться относи-
тельно друг друга вокруг осей х и г. .
Для кинематического анализа воспользуемся формулой (1.2). В рас-
сматриваемом случае Б = 4, т.е. как тела учитываются отвал, левый и
правый толкающие брусья и горизонтальный раскос; Л/2ц = 3 — число
двойных цилиндрических шарниров передней части толкающих брусьев
и горизонтального раскоса, эквивалентных четырем элементарным свя-
зям; Шш = 3 — число сферических шарниров задней части толкающих
брусьев и горизонтального раскоса, эквивалентных трем элементарным
связям; С = 4 — число кинематических связей от гидроциливдров подъе-
ма-опускания и перекоса отвала и вертикального раскоса, как простых
стержней с шаровыми опорами на концах.
В результате имеем U = — 1, т.е. представленная расчетная схема об-
ладает одной лишней кинематической связью. Однако необходимо учи-
тывать, что штоковые и поршневые полости гидроциливдров подъема-
опускания отвала гидравлически связаны и одинаковы по размерам. Это
условие выражается в виде дополнительного уравнения, определяющего
равенство сил Р$ и Р6 на штоках гидроциливдров, на основе равенства
давлений в их полостях, т.е.
Л =p6 =Ps6.	(2-149)
247
Рис. 2-68. Силы, действующие вне
плоскости системы
- Для упрощения решения за-
дачи приложенную в произволь-
ной точке отвала равнодейству-
ющую силу Р переносят в точку
Ох, расположенную на оси сим-
метрии отвала бульдозера в
плоскости хОу толкающих
брусьев и горизонтального рас-
коса. Система находится под
действием проекций Рх, Ру, Pz,
равнодействующей Р, прило-
женной в точке Ot, и момен-
тов Мхп, Муа, Mzn, учитывающих перенос равнодействующей сил из точ-
ки А (х, у, z) в точку Ol (b/2,1,0) :
MXn=-PZ(y-^-PyZ>
Myn = Pz(x-b/2) + Pxz-,
Мгп=-ру(х-Ы2)^рх(у-Т).
Учитывая равенство (2.149), из условия ЪМХ = 0 определим силы на
штоках гидроцилиндров подъема-опускания рабочего оборудования
(рис. 2.68):
„ _	+ G (>о УцМ + Pzl
rS6--------------------,
2(zfe sin а + yJ6 cos а)
где Сб.о - сила тяжести бульдозерного оборудования; уц.м — координата центра
масс бульдозерного оборудования; zS6 и у56 — координаты точек крепления ги-
дроцилиндров к отвалу.
Силы на штоках гидроцилиндров подъема-опускания рабочего обо-
рудования, приведенные в точку О\, представим в виде ортогональных
составляющих, действующих вне (Р^) и в плоскости (Ру) системы (тол-
кающие брусья — горизонтальный раскос — отвал), и момента Мх отно-
сительно оси, параллельной оси х:
Z
МХП + ^б .О-Уцт + Pzt
---------------------------— cos а ;
zu sin а + у56 cos а
п I ^хп+ Сб оуцт + /’2/
Р =------------------------ sin а;
У zu sin а + уи cos а
мх = Ру ZS6 + P'(yS6 -/).
Моменты относительно осей, проходящих через точку Ог и парал-
лельных осям у и z основной системы отсчета, в силу симметрии распо-
248
a
ложения гидроцилиндров относительно точки Ох и равенства (2.149)
равны нулю.
Определим реакции в шарнирах 1 и 12 (см. рис. 2.67,5) от сил и мо-
ментов, действующих вне плоскости системы ’’толкающие брусья — го-
ризонтальный раскос - отвал”. Согласно расчетной схеме (см. рис. 2.68)
S Z = 0; Zj + Zi2 ~Р7 + Р ~G = 0;
* Z 0.0
ZMy = 0; -Zx2b + Муп + Сб о Ь/2 - (Р -Р^Ы2 = О,
откуда
Zi =— (Р -Р' + б’ ) - М /Ь;
1	2 V z z б.О'' уп' ’
Z12 =— (Р -Р' + GK ) +М /Ъ.
12	2 V z z б о? yn
08 BI-:
Здесь и далее индекс i при реакциях X, Y, Z hR означает, что реакция
действует в узле i.
Для определения внутренних усилий от сил и моментов, приложен-
ных в плоскости рамы, рассмотрим расчетные схемы, представленные на
рис. 2.69, а, б, в, г, и составим системы уравнений.
Уравнения равновесия отвала (рис. 2.69, б) : ZX = 0; 2У = 0; ЪМ3 =0,
т.е.
Х3 + х9 -р=о-,
| :«>--•	Л
г3' + у9’-р,-р;=о;
Y'9b -Mza-{Py^P^bt2 = G.
Из условия равновесия левого толкающего бруса (рис. 2.69, в) име-
ем EZ=0; ЕУ = 0; ЕМ7 = 0,т.е.
до	.Z] Ar3 + P7sin^=0j
„ У1 - У3-P7 cos</> = 0;
(У3'_ y1)57 + X1Z7 + y3(/-Z7) = 0.
ВК< Рис. 2.69. Силы, действующие в плоскости системы
249
'	9 - 555
Рис. 2.70. Силы, действующие в
толкающих брусьях и отвале буль-
дозера
При рассмотрении равно-
весия правого бруса (рис. 2.69,
г) получим ЕХ = 0; EY = 0;
ЕМг 1 = 0, т.е.
X j2 X 9 Д11 sin <р = 0 j
У12 - Yg + Rlt cos v? =0;
(У12 - Y9')bu + Xt2l2 +
+ X9(Z-Z2) = 0.
Из условия равновесия горизонтального раскоса Д7 = R п.
В итоге имеем систему из десяти уравнений, решение которой поз-
волит определить искомые десять неизвестных усилий: X1F Уь Х3, У3,
Д?» Rn, Х9, Y9, Х12 и У12. Недостающие неизвестные силы на штоке ги-
дроцилиндра перекоса отвала, вертикальном раскосе (R2 = Л4 и А8 =
= Дю) и реакции У и Z в узлах 3 и 9 находят из рассмотрения равнове-
сия толкающих брусьев, находящихся под действием сил, указанных на
рис. 2.70.
Для левого бруса EZ = 0, ЕУ = 0, ЕМЗЛГ = 0 (рис. 2.70, а) :
Z1 + Z3 + R2 sin Pi =0;
Yj + У3 + R2 cos Pi — R2 cos<p = 0;
-Zil-R2 sin/?! (Z-ZI)-/?2«cos/31 =0.
Для правого бруса EZ = 0, E Y = 0, EM9x = 0 (рис. 2.70,6):
Z ]2 + Z9 + R jo sin p2 = 0 j
У12 + У9 + Дю cosp2 + Rit cos</> = 0;
-Z12l-Ri0 sin/32 -Ri0acosp2 =0.
Совместное решение полученных уравнений позволит определить не-
достающие неизвестные.
250
После определения внутренних сил переходят к определению напря-
жений.
Горизонтальный и вертикальный раскосы рассчитывают как и ги-
дроцилиндры на действие продольной силы. Толкающие брусья рассчи-
тывают на действие изгибающих моментов в плоскостях хОу и yOz и
продольных сил. Суммарные нормальные напряжения
Mz	мх	N
о =----+ ------+ ----
IV z	Wx	F
Опасные сечения, подвергаемые проверке, расположены в местах,
где крепят шарниры раскосов. Обычно действие поперечных сил и кру-
тящих моментов в сечениях брусов не ^итывают. При этом погрешность
при расчете наибольших суммарных напряжений в брусе не превышает
10%.
Отвал рассчитывают как балку на двух опорах, реакции в которых
определяют из условия приведения всех активных и реактивных сил к
линии, соединяющей передние концы толкающих брусьев. Расчетная схе-
ма отвала представлена на рис. 2.70, в.
Реакции в узлах 3 и 9 отвала определяют из уравнений
(рис. 2.70, а-в):
Af3o =/?4z4 cosPi; М90 = Rszs cosp2 ;
*	А^9о — -^9 ;
Y3 о = Рз ^4 COS Р i J У90 — ^9+^8 COS Р2 >
Z30 = Z3 + Rq sin Pi j ^90 Z9 R& sin P2 •
Реакции X3, Y3, Z3, Rs, R4, X9, Y9, Z9 определяют из системы урав-
нений согласно расчетным схемам, представленным на рис. 2.70, б, в
(угол а см на рис. 2.68) :
Psy=Ps sin а ; Р6У =Р6 sin а;
Rsz =	cos а; P6Z=P6cosa.
Моменты:
Ms -P$zs sin а;
М6 =P6z6 sin а;
М = -Р (у-/) + Pz;
X Z 1 У ’
М =Р у,
z х-'’
где zs и zt — координаты точек приложения сил Ps к Pt (сь(. рис. 2.68); у, z, I —
см. на рис. 2.67,
являются следствием переноса линий действия сил гидроцилиндров
подъема-опускания отвала и равнодействующей сил сопротивления
251
внешней нагрузки на линию, соединяющую передние концы толкающих
брусьев.
Под действием внешних сил в отвале возникают усилия в виде изги-
бающих моментов в плоскостях хОу и xOz, крутящего момента и про- Л
дольных сил. При расчете отвала допускают, что его размеры и форма се-
чения по длине постоянны. Отвал рассчитывают .по формулам вычисле-
ния напряжений для общего случая сложного сопротивления тонкостен-
ного стержня.
Расчет элементов соединения конструкции рабочего оборудования
бульдозера проушин, осей, шарниров, болтовых и сварных соединений
производится по реактивным усилиям, определенным настоящим расче-
том с использованием методик определения прочностных параметров
элементов (см. 2.3; 2.4).
В расчете усилий, действующих на элементы конструкции рабочего
оборудования бульдозера, внешнюю нагрузку на рабочем органе считают
приложенной в произвольно выбранной точке А с координатами х, у, z
и действующей в произвольном направлении, что позволяет анализиро-
вать влияние места приложения и направления действия внешней нагруз-
ки на загруженность элементов конструкции с целью поиска наихудше-
го случая эагружения.
Расчет на прочность элемента конструкции бульдозера проводят в
следующем порядке:
1)	на отвал наносят координатную сетку, в узлах которой намечают
точку приложения внешней нагрузки переменного направления;
2)	составляют уравнения для определения максимального значения
внешней нагрузки в зависимости от места приложения и направления ее
действия с учетом ограничений по тягово-сцепным свойствам ходового
оборудования, мощности двигателя и условия опрокидывания тягача;
3)	определяют напряжения в рассчитываемом сечении элемента кон-
струкции от действия максимальной внешней нагрузки, поочередно при-
ложенной в узлах координатной сетки;
4)	сравнивают полученные значения напряжений и определяют его
максимальное значение;
5)	по максимальному значению напряжения рассчитывают на проч-
ность рассматриваемый элемент конструкции рабочего оборудования
бульдозера.
Представленный порядок расчета соответствует условию восприятия
рабочим оборудованиям нагрузок через рабочий орган — отвал бульдозе-
ра. Однако на практике при расчете на прочность металлоконструкции
рабочего оборудования бульдозера необходимо учитывать возможность
непосредственного соприкосновения элементов его несущей части (напри-
мер, толкающего бруса) с объектами воздействия (с грунтом, камнями,
валунами и пр.). В таких случаях расчет на прочность рекомендуется
проводить в указанной выше последовательности, расширив п. 1 рас-
смотрением положений приложения внешней нагрузки по координатам
возможного контакта несущей части конструкции с препятствиями. Та-
кой расчет сопряжен с выполнением большого числа однотипных вычис-
252
Ш1 iHSi! *. mr.m i u nmmm
лительных операций, что предопределяет необходимость использования
ЭВМ.
Металлоконструкции рыхлителей. Навесные рыхлители крепятся к
остову базового тягача или к корпусу его заднего моста при помощи
трех или четырехзвенной подвески. Наибольшее распространение полу-
чила четырехзвенная подвеска рыхлителя, обеспечивающая постоянный
или малоизменяющийся угол рыхления.
На примере рыхлителя Д-652АС рассмотрим схему навесного рыхли-
тельного оборудования с четырехзвенной подвеской (рис. 2.71 ,а). Обору-
дование состоит из нижней 1 и верхней 4 рам, рабочей балки 3, рабочих
органов-зубьев 2 и гидросистемы управления с гидроциливдрами 5.
Нижняя рама 1 представляет собой две параллельные тяги, соеди-
ненные цилиндрическими шарнирами с рабочей балкой 3 коробчатого
сечения, сваренной из двух гнутых листов. Передние концы тяг рамы 1
соединяются с трактором двумя цилиндрическими шарнирами, пальцы
которых проходят через проушины тягача и серьги гидроцилиндров 5
подъема-опускания рыхлителя.
Верхняя рама 4 представляет собой сварную конструкцию, перед-
ние концы тяг который соединены цилиндрическими шарнирами с проу-
шинами тягача, а задние — с верхними кронштейнами рабочей балки 3.
Задние проушины верхней рамы 4 соединены с кронштейнами рабочей
балки длинной осью, на выступающих концах которой расположены
серьги штоков гидроцилиндров 5.
При определении числа степеней свободы системы навески рыхлите-
ля к тягачу местную кинематическую свободу флюгерного крепления ра-
бочего органа — зуба к рабочей балке на учитывают. Система рабочего
оборудования рыхлителя состоит из четырех тел (блоков): рабочей
балки с рабочими органами — зубьями, верхней рамы, нижней рамы, ос-
това тягача, т.е. Б = 4. Число цилиндрических шарниров Шц = 4, так как
каждый из парных цилиндрических шарниров на концах нижней и верх-
ней рам принят за один цилиндрический шарнир (рис. 2.71,1?). Два ги-
дроцилиндра управления рыхлителем представляют стержневые связи
сшаровыми опорами (С=2). Тогда t/=-4.
Система статически неопределима и имеет четыре лишние связи, для
253
определения усилий в которых надо ввести дополнительные уравнения,
одним из которых является равенство усилий в гидроцилиндрах управ-
ления рыхлителем, так как они имеют одинаковые параметры, и равен-
ство давлений в одноименных полостях гвдроцилиндров, так как они ги-
дравлически связаны: Рц> =РЦ =^ц/2-
Расчет элементов металлоконструкций рыхлителя начинают с опре-
деления реакций опор и силы на штоке гидроцилиндра Рц. В узле 1
(рис. 2.71,5) неизвестными являются реакцииZb Хг, Y2, моменты Mzv
Мх j; в-узле 2 — Z2, Х2, Y2, Mz2, Мх2.
Равнодействующую сил со стороны препятствия, приложенную к
конструкции оборудования в произвольной точке А с координатами х,
у, z, перенесем в точку В плоскости симметрии рыхлителя, расположен-
ную на оси рабочей балки, координаты которой хв = г cos а, ув = 0, zB -
= - г sin а (где г и а см. рис. 2.71, а). При этом моменты от приведенных
сил:
МхВ=~РгУ~Ру (z-г sin а);
МуВ =Pz (x-rcosa) -Px(z-rsinа);
MzB =-Рху + Py(x-rcos a).
Рассмотрим отдельно равновесие системы под действием сил в плос-
кости симметрии xOz (рис. 2.72). Для этого проведем сечение I—I и со-
ставим уравнения равновесия левой части подвески рыхлителя:
Т7И3 =0; Siti =Рх/cos а-МуВ/(Н cos а)-
'EM j = 0; .S’23 = (Pz г cos a-Pxr sin а + МуВ )/ (Н cos а);
SZ' = 0; 7’ц = (Рх sina-Pz cosa)/sin/3,
где sin р = Н cos a//; 514 и S33 — силы в тягах, соединяющих узлы 1 и4 и 2,3 соот-
ветственно;
Тогда
Рц = (Рх sin а - Pz cos а) Ц (Н cos a).
Длина гидроцилиндра I в зависимости от угла наклона рам рыхлите-
ля (см. рис. 2.71, д):
1=>JНг + г1 — 2Hr sin а .
Зная величины />2з, и Рц, определяют реакции опор 7 и 2 в узлах
крепления рыхлителя к тягачу в плоскости xOz:
=~РХ~ —~ — (Pr sin а - Р cos a);
х Н Н х z
zi =-Pz(----- sina-l)+ - - “ (P rsina + M „);
н	н x ув
254
Х2 = —+ ----------- (Р sin Q—Р cos а);
Н Н х z
Z2 = Р_------- sin а -
z Я
tg а
Н
(P/sina + МуВ).
Рассмотрим равновесие системы рыхлителя при действии сил и мо-
ментов вне плоскости его симметрии. Из расчетной схемы (рис. 2.73, а)
следует, что в точке В к подвеске рыхлителя приложены нагрузки Р
МхВ, MzB, воспринимаемые цилиндрическими опорами 1 и 2; реакции в
которых Мх , Mz , Уь Мх2, Mz2, Y2. Для определения шести неизвест-
ных реакций воспользуемся методом сил (см. п. 1.5.2). Основная систе-
ма представлена на рис. 2.73, б. Здесь в отличие от опорных реакций X,
Y, Z, X* X*, X* — основные неизвестные, определяемые методом сил.
После составления и решения канонических уравнений находят зна-
чения X*, X* и X* и строят действительные суммарные эпюры изгибаю-
щих и крутящих моментов, действующих в элементах конструкции под-
вески рыхлителя вне плоскости ее симметрии.
Далее по найденным значениям реакций в шарнире 2 (Мх2 — Z*;
Y2 = Х*\ Mz2 = Х3) иэ уравнений равновесия подвески рыхлителя опре-
делим реакции в цилиндрическом шарнире опоры 1 (см. рис. 2.73,а, б):
2У = 0; У, =Py~Y2-
ъмх=о-мх1=-мхВ +
+ P^rsin а-Л/х2;
ZM =0; М , = -М „ +
z ’ z 1 zB
+ Р rcosa-М .
У	Z2
Рис. 2.72. Нагрузки, действующие
в плоскости симметрии навески
рыхлителя
Рис. 2.73. Нагрузки, действующие
вне плоскости симметрии иавески
рыхлителя
255
По известным значениям реакций опор в цилиндрических шарни-
рах, изгибающих и крутящих моментов и продольных сил в элементах
конструкции подвески рыхлителя определяют опасные сечения и макси-
мальные напряжения.
Рабочий орган — зуб рыхлителя рассчитывают по схеме расчета прос-
той балки. В зависимости от конструкции узла крепления зуб может
иметь вид балки, защемленной одним концом или установленной на
двух опорах с цилиндрическими шарнирами.
Наибольшие нагрузки в элементах конструкции рыхлителя возни-
кают при упоре рабочего органа-зуба рыхлителя в непреодолимое пре-
пятствие. При этом наибольшее тяговое усилие соответствует положе-
нию линии действия и направлению равнодействующей реакции отпора
непреодолимого препятствия на конструкции трактор-рыхлитель. Поми-
мо этого нагрузка в конкретном элементе конструкции рыхлителя зави-
сит от положения рабочего оборудования в пространстве.
Применение известных аналитических и графических методов стро-
ительной механики (линии влияния и окружности влияния) для опре-
деления наихудшего случая нагружения элемента конструкции рыхли-
теля невозможно из-за непостоянства максимальной реакции со сторо-
ны препятствия в зависимости от места соприкосновения оборудования
рыхлителя с препятствием и направления ее действия. Эту величину не-
обходимо определять с учетом мощности двигателя тягача, сцепного веса
тягача, по условиям опрокидывания тягача относительно контура опор-
ной поверхности, юза ходового оборудования тягача в направлении от-
пора со стороны препятствия, разворота тягача относительно точки со-
прикосновения с препятствием и срабатывания предохранительных кла-
панов в гидросистеме рабочего оборудования рыхлителя.
В силу этого поиск расчетного положения конкретного элемента
конструкции сопряжен с выполнением огромного количества однотип-
ных вычислительных операций определения максимального напряжения
в рассчитываемом элементе при переменных значениях координат х, у, z
точки контакта препятствия с рабочим оборудованием, углов, опреде-
ляющих положение линии действия реакции отпора в пространстве, и
угла , характеризующего положение рабочего оборудования рыхлите-
ля относительно тягача. В этом случае для решения поставленной задачи
целесообразно использовать ЭВМ.
2.8.3. ЛИСТОВЫЕ КОНСТРУКЦИИ
Листовые конструкции, широко применяемые в строительном и до-
рожном машиностроении, весьма разнообразны; к ним относятся экс-
каваторные и скреперные ковши, отвалы бульдозеров, поворотные
платформы экскаваторов и кранов, барабаны бетономешалок, бункеры,
цистерны и др. В этих конструкциях листы обычно сочленяются с балоч-
ными элементами; балки служат жесткостным каркасом или вместе с
листами образуют несущую конструкцию.
По характеру работы листовые конструкции можно условно разде-
лить на три вида:
256

10
№>
Bari
[ЛИ
л
й?
л
«1
и к
л в®
’Л
уши
жн
виол]
да р<
|СТ№
МНИ
mi; 1
Item
№И1
faffl
•|®ННИ,П
ник
шуп-
ЛИ,П(
ГШМум
МИИ
-тирави
-ап®,
Wtee
ч'Ш
’М
1)	конструкции, в которых листовые элементы работают самостоя-
тельно, непосредственно воспринимая нагрузку (цистерны, бункеры и
т.п.);
2)	конструкции, в которых листовые элементы работают совместно
с балками, представляя в совокупности с ними сложные пластины (по-
воротные платформы кранов и экскаваторов и т.п.);
3)	конструкции, в которых листы являются элементами составных
балок; они воспринимают не только общую нагрузку, действующую на
балку в целом, но и местную нагрузку (пояса составных балок, к кото-
рым крепятся проушины гидроцилиндров и т.п.).
Нагрузки, действующие на листовые конструкции, обычно имеют
сложный характер; они вызывают не только напряженное состояние в
листах, но часто и интенсивное изнашивание (истирание). Особенность
проектирования подобных конструкций заключается в том, что толщи-
на листов в них определяется не только из условий прочности, но и из
условий их жесткости и долговечности работы. Это в первую очередь от-
носится к конструкциям первого вида — бункерам, барабанам и тд.
Рассмотрим некоторые особенности расчета листовых конструкций
разных видов.
Расчет тонкостенных сосудов, работающих под давлением
(рис. 2.74, д), основан на теории расчета оболочек вращения.
Оболочкой называется тело, ограниченное двумя криволинейными
поверхностями, расстояние между которыми — толщина 6 — мало по
сравнению с размерами самих поверхностей. Формы оболочек разнооб-
разны и определяются видом срединной поверхности. При нагружении
оболочки рассматривают различные напряженные состояния ее стенки.
Если в стенке превалируют напряжения растяжения (или сжатия), а из-
гибными напряжениями можно пренебречь, то оболочку называют без-
моментной-, также называют и теорию расчета оболочки.
В соответствии с безмоментной теорией в плоскостях, касательных
срединной поверхности, действуют мембранные напряжения — нормаль-
ные ох и Оу и касательные тху.
Оболочки вращения (рис. 2.74, б) имеют меридианы (АВ) и парал-
лели (линии, перпендикулярные меридианам). Радиус кривизны мериди-
ана рт = Оtm (рис. 2.74, в) и радиус кривизны параллели pt = О2т назы-
ваются главными радиусами; они определяют так называемую гауссо-
ву кривизну к - 1/(pmpt), от знака которой зависит тип дифференциаль-
ных уравнений теории оболочек. Здесь рассматриваются только оболоч-
ки вращения, подверженные внутреннему давлению р, симметрично рас-
пределенному относительно оси вращения.
Будем полагать, что меридианальные кривые изменяются плавно.
Рассмотрим равновесие элемента оболочки со сторонами тп и sq, выре-
занного из стенки оболочки двумя меридианальными сечениями тп и sq
и двумя сечениями ms и qn, перпендикулярными к меридиану
(рис. 2.74, б, в). Из условия симметрии следует, что по граням элемента
действуют только нормальные напряжения (т — 0). Полные усилия, рас-
тяжения, действующие по граням элемента, равны ot6ds2 O2Sdst
(рис. 2.74, г).
257
Составляющая меридианального усилия в направлении нормали к
элементу (рис. 2.74, в) OiSdsi dO = al8dslds2/pm. Аналогично, усилия
растяжения, действующие по граням тп и sq, имеют нормальную состав-
ляющую о2^dsidtp = o2bdsids2/pt. Сумма нормальных составляющих по
условию равновесия должна быть равна силе давления на элемент
pdsids2  Следовательно,
<hlpm +G2lpt=p/b.
Эту зависимость между напряжениями Oj и о2, возникающими в ре-
зультате действия давления р, и толщиной 5 называют формулой Лап-
ласа.
Из этой формулы можно определить напряжения для различных ти-
пов оболочек вращения. Например, в сферических оболочках при р =
= const pmpt = R и о, = о2 = о; следовательно, о = pR/ (25). В цилиндри-
ческих оболочках (рис. 2.74, а) рт =« и, следовательно, окружные на-
пряжения о2 - pR/Ъ; меридианальные напряжения ot получают путем
деления силы давления, действующей на днище оболочки Ni = pitR2,
на площадь ее поперечного сечения F, = 2nR :ot =pRJ (25).
Определив напряжения в элементах (обечайках и днищах) тонко-
стенного сосуда, проводят его расчет, используя чаще всего энергетичес-
кую теорию прочности, согласно которой
%kb = v "Г ~°2^ + ('°2 ~°3^2 + (°3	’	(2.150)
где о,, а2 и а, — главные напряжения.
В соответствии с этой формулой и с учетом того, что 04 = pRI(2$),
о2 =pRlb,za3= 0, для цилиндрических оболочек:
%кв " С^^З)/(45).	(2.151)
258
Учитывая, что D - DBH + S, и вводя коэффициент <&', понижающий до-
пускаемое напряжение, из-за наличия сварного шва получают формулу
для определения расчетной толщины обечайки:
Р^вн
о----------------
2,31 [а]	- р
(2.152)
Отметим, что фактическая толщина обечайки должна быть больше
на величину с, зависящую от сроков службы, коррозийности среды, не-
точности изготовления и т.п.
Сложные пластины широко применяют при конструировании машин
как несущие конструкции, служащие основанием станин механизмов
и оборудования. Основой сложных пластин является система перекрест-
ных балок, имеющая листовой настил с одной или с двух сторон. В пер-
вом случае пластину называют однослойной (рис. 2.75, а), а во втором —
двухслойной (рис. 2.75, б). Иногда роль балок выполняют ребра жест-
кости (’’балки-стенки”). Точный расчет сложных пластин, да и то с опре-
деленными допущениями, возможен лишь на ЭВМ большой мощности
при использовании метода конечных элементов. Конечными элемента-
ми будут пластины, балки и балки-стенки.
Один из приближенных методов расчета сложных пластин на верти-
кальную нагрузку заключается в замене сложной пластины системой пе-
рекрестных балок, жесткости которых при изгибе и кручении определя-
ют с учетом жесткостей листов. Ширина полок листов В, определяющая
геометрию приведенного сечения (рис. 2.75, в), зависит от размеров сет-
ки перекрестной системы; при этом В < 506 для определения осевого
момента инерции и В < 205 для определения момента инерции сечения на
кручение.
Полученную систему перекрестных балок можно точно рассчитать
на ЭВМ по методу перемещений, не пренебрегая жесткостями при круче-
нии. В приближенных расчетах жесткостями при кручении можно прене-
бречь только при расчете однослойных пластин, в которых приведенные
жесткости при кручении CJKp// значительно меньше приведенных жест-
костей EJ/1 при изгибе балок во взаимно перпендикулярных направлени-
ях. В этом случае узлы пересечения балок (рис. 2.75,г) считают шарнир-
259
Рис. 2.76. Схемы для расчета верхнего пояса балки коробчатого сечения при дейст-
вии местной нагрузки
ными (рис. 2.75, д) и расчет проводят по методу сил (рис. 2.75, е) или
по методу конечных разностей (см. п. 1.7.2).
Примером листовой конструкции третьего вида может служить пол-
ка балки коробчатого сечения (рукоять обратной лопаты экскаватора),
к которой крепятся проушины гидроцилиндров (рис. 2.76, а). В этом
случае в полке возникают напряжения не только как в элементе сечения
тонкостенной балки, но и местные напряжения.
Местные напряжения в полке от действия поперечной нагрузки мож-
но определить, если рассмотреть полку как пластину, имеющую шар-
нирные и упругоподатливые опирания по краям (рис. 2.75,6, в). При-
ближенный расчет можно проводить по методу конечных разностей
(см. п. 1.7.2). В расчетной схеме пластины размер а (рис. 2.75, в) следу-
ет принять равным расстоянию между диафрагмами или а = 1Ъ. Опреде-
ление коэффициентов податливости у продольных краев, а также выраже-
ния перемещений законтурных точек можно выполнить в соответствии
с рекомендациями, содержащимися в работе [8]. В первом приближении
края можно считать шарнирно опертыми.
Центральную ось х следует совместить с линией, проходящей через
точки приложения сил Ру (на рис. 2.76, в это точки 2 и точка 1, если ве-
личина с не кратна s).
Отметим, что в полке составной балки кроме местных напряжений
изгиба от поперечных сил Р возникают местные напряжения растяже-
ния-сжатия от действия сил Pz в плоскости пластины. Эти напряжения
можно определить по методу конечных разностей, но решая совсем иную
задачу, которая называется ’’плоской задачей” и рассматривается в кур-
сах теории упругости.
2 8.4. ОСОБЕННОСТИ РАСЧЕТА ЦИСТЕРН И БУНКЕРОВ
В практике дорожно-строительного машиностроения широкое рас-
пространение получили цистерны цилиндрической и эллиптической фор-
мы, выполненные на базе автомобиля или в виде прицепа к седельному
автомобилю-тягачу. Конструкция цистерн обеспечивает выгрузку и по-
грузку сыпучих и жидких материалов пневматическим и гидравличес-
ким способами, что обусловливает необходимость расчета цистерн на
прочность при действии внутреннего давления и на устойчивость формы
при действии внешнего давления.
Цистерны рассчитывают на прочность по допускаемым напряжениям,
которые для обечаек и днищ согласно правилам Госгортехнадзора опре-
деляют исходя из испытательного давления. Коэффициент запаса проч-
ности при этом должен быть не менее 1,88.
Исходными данными для расчета цистерны на прочное п> являются
внутреннее рабочее давление рв, зависящее от свойств транспортируемо-
го материала или условий транспортирования его при погрузке-выгруз-
ке материала; возможное давление при вакууме рвк, возникающем при
погрузке и выгрузке материалов; объеь цистерны, ее геометрические
размеры и принятое расположение опорных устройств; материал цистер-
ны и допускаемые напряжения; масса технологического оборудования
т? и материала тм.
Расчет выполняют в такой последовательности.
1.	Составляют расчетную схему цистерны (рис. 2.77) с указанием не-
обходимых геометрически?; размеров.
2.	Определяют внутреннее давление в цистерне по данным техничес-
ких характеристик вспомогательного оборудования или характеристик
транспортируемого материала.
3.	Вычисляют толщину обечайки и днищ цистерны.
Толщину S об обечайки рассчитывают по уравнениям для определе-
ния толщины стенок тонкостенных сосудов, в основу которых положена
первая или четвертая гипотезы теории прочности. Первая гипотеза осно-
вывается на предположении, что в тонкостенных сосудах, работающих
под внутренним давлением, наиболее опасными являются кольцевые
напряжения. При этом
_ Рв^об.вн	.. Рв^об.н
о , =------------+ с или о - =---------
06 21a]V-pB	06	2[а]^рв
где [а] - допускаемое напряжение для материала стенки цистерны; - коэффици-
ент, учитывающий влияние сварки, для стыковых сварных швов с двусторонним
проваром <р = 1, для автоматической сварки под флюсом при одностороннем прова-
ре шва >р = 0,8; с — поправка, учитывающая коррозию и неточность изготовления
проката (для углеродистых сталей с= 0,3 мм на каждый год в течение 5 лет эксплу-
атации) .
Расчет по приведенным формулам дает несколько завышенную тол-
щину обечайки, поэтому для тонкостенных сосудов, работающих при
261
Й
Й
«
« V.
И
*
(*
ИИ
Рис. 2.77. Схемы для расчета цистерны
1-
:-и*
ijaa
<И
.1).
j(fe
I
Vv
'Нд.
трсош
зунрс
mmi
температуре не выше 250 °C, по рекомендации Госгортехнадзора толщи-
ну обейчайки можно определить по четвертой гипотезе теории прочности, !жоро
согласно которой опасное состояние характеризуется предельным значе-
нием удельной потенциальной энергии, накопленной в стенках сосуда. .
При этом	1 т
_ Рв^об.вн	_ Рв^об.н
5°б" Т7Г,—+ с или 6об =	—
2,3 [о].р - ръ	2,3 IcJ^j + рв
|-Чшл
Чили
Для вычисления толщины эллиптических днищ цистерны можно ис-
пользовать формулу ЦКТИ им. И.И. Ползунова для паровых котлов:
t _ Рв^об.вн
О -----------------
ДН.ЭЛ лГ 1
4[aJ>p —рв
где Л - высота выпуклой части днища цистерны; с принимают в зависимости от
толщины днища.
।
^об.вн
2h
’V
««Wn
262
Толщину плоского днища рассчитывают так же, как металлические
мембраны. В большинстве случаев толщину таких днищ, усиленных ко-
сынками и кольцами жесткости, принимают на 10 ... 12 % больше толщи-
ны обечайки.
При расчете цистерны эллиптической формы вместо £>об.вн в форму-
лы расчета толщин стенок подставляют значение большей оси эллипса d.
4.	Проверяют устойчивость формы цистерны от действия внешнего
давления и дасления при вакууме по критическому давлению ркр, кото-
рое зависит от геометрической формы, размерот цистерны и механи-
ческих свойств материала:
ггЧбрб-с)_____________1___________
^КР D -	я^лб вн
об.вн п* + o s ( ------об вн )*	-<
21
X___________?------------- + 4(6(Й~С- [л2 + (-1Р°б^Н_у] 
1 и2 ( -- 2/---) + I]2 П(Роб.вн>2	21
об.вн
где Е — модуль упругости материала; I — расстояние между уголками колец жест-
кости, определяется из условия, чтобы замыкаемый между ними объем не превы-
шал 5000 л; и — число волн, образующихся в результате смятия цистерны (п =
= 6 ...8).
Для обеспечения устойчивости цистерны должно выполняться ус-
ловие
р /р =5 ... 6.
*кр' явк
5.	Проверяют прочность цистерны на восприятие изгибающего мо-
мента, рассматривая цистерну как балку, лежащую на двух опорах и на-
груженную распределенной нагрузкой от сил тяжести цистерны <7Ц тех-
нологического оборудования GT и материала GM.‘
р = (G + G + G )/ L .
п ' ц т м-" р
Условие прочности цистерны имеет вид
°" ^шах^М.
где ан — напряжение при изгибе; Мтах _ максимальный изгибающий момент; W —
момент сопротивления цистерны; для цистерны цилиндрл°еской формы
п
W =----- (Р с, + D , )2 (6 --с);
16	' об.вн об л 'об
для цистерны эллиптической формы
V =—— (a?b - а3b) и W= — (ojhf-oh3);
уу 32а,	хх 32 ft,
здесь а, =а+ (F^g —с); b,=b+ (6og—с); при этом в расчете принимают наимень-
шее значение момента сопротивления.
263
Если цистерна установлена на трех опорах, то Л1тах определяют по
уравнению трех моментов.
6.	Проверяют устойчивость цистерны цилиндрической формы при
восприятии изгибающего момента по критическому напряжению акр в
крайнем волокне изгибаемой цистерны. Ориентировочно окр =
= 137Е’т(26об/£>об.н)2.
Коэффициент запаса устойчивости цистерны цилиндрической формы
от действия изгибающих нагрузок должен быть / = окр/о > 2. При i < 2
в цилиндре следует устанавливать кольца жесткости.
7.	Проверяют возможность вмятия цистерны под опорой по крити-
ческой нагрузке:
Р =9,kEJI(D , )3,
кр	' 4 об.н' ’
где к — коэффициент (к = 3 при отсутствии распорных стержней и к = 8 при нали-
чии распорной рамы); Е — модуль упругостй материала; J — момент инерции се-
чения стенки вместе с подкладным листом на длине I = (20 ... 30) 6од.
Фактическая удельная нагрузка, приходящаяся на подкладной лист:
Руд=7?л/<£’об.н sina/2),
гдеЛд — реакция опоры; а — угол захвата опорной стенки (обычно 120°).
Условие устойчивости стенки цистерны рКр/Руд ^5.
8.	Днища и обечайки, ослабленные отверстиями, укрепляют с помо-
щью привариваемых воротников, штуцеров и фланцев. Укрепление яв-
ляется обязательным при диаметре присоединенного к отверстию патруб-
ка более 50 мм или при диаметре отверстия для цилиндрической обе-
чайки:
d > 3,75 х/КТ [ 5 г ~с~р D К I (2 Г о] -р ) 1,
отв	v об.вн 1 об гв обвн1'-1 1	'
для сферических отбортованных и эллиптических днищ
d > 0,95 £> ,	[ 1 -
отв	об.вн 1
Рв
4[а[
^об.вн
6об~с
£*об.ВН
2Л
-!)]
Рекомендуется укреплять днища и обечайки в местах расположения
отверстий диаметром менее 50 мм при резких колебаниях давления в
цистерне, при динамических нагрузках на цистерну в процессе эксплуа-
тации и при расположении отверстий на сварном шве обечайки или дни-
ща и нахождении осей отверстий на расстоянии, меньшем их диаметра.
Диаметр укрепляющего воротника dB - 2doTB при у>= 1 и dB = 1,9 JOTB
при = 0,95. Толщину укрепляющего воротника принимают равной тол-
щине стенки обечайки или днища цистерны.
Бункера для хранения сыпучих материалов. Бункера применяют для
приема, хранения и подачи на транспортные средства насыпных грузов.
Они представляют собой сосуды, имеющие вверху загрузочные, а внизу
разгрузочные отверстия.
Конструкция, форма и размеры сечений бункеров зависят от многих
264
Рис. 2.78. Расчетная схема бункера
|ГЛГ"
CiJ
r.X, 
факторов: компоновки сооруже-
ния, массы и физических свойств
(крупности, плотности, углов ес-
тественного откоса) хранимых ма-
териалов, способов загрузки и раз-
грузки, типа несущих конструкций.
По форме сечений бункера разде-
ляют на прямоугольные, круглые
и корытообразные. Для хранения
больших объемов сыпучих матери-
алов применяют силосы, которые
имеют высокую цилиндрическую
часть, и подвесные бункера с гибкими стенками параболического очер-
тания.
7	'
й’-' ;
"3!1
цв»ж
На рис. 2.78 показана схема прямоугольного бункера, состоящего из
вертикальных стенок и пирамидальной воронки, стенки которой укреп-
лены ребрами жесткости из уголков. Угол наклона плоскости воронки к
горизонту а должен быть не менее угла трения материала о стенку бунке-
ра. Размеры выпускного отверстия определяются размером максималь-
ного сводообразующего отверстия.
На каждую стенку бункера действуют силы местного изгиба, возни-
кающего в результате давления материала непосредственно на стенку,
горизонтальные растяжение, вызываемое давлением материала на попе-
речные стенки, и скатное растяжение от влияния расположенного ниже
участка бункера.
Первая стадия расчета бункера состоит в определении его геометри-
ческих параметров, объема и массы с заполняющим бункер материалом
и положения центра масс относительно координатных осей. Для предва-
рительного нахождения массы бункера в процессе проектирования мож-
но пользоваться приведенными ниже данными.
	Пирамидальные бункера			
Объем, м3 .... Удельная масса,	25	50	75	100	150	200	300
кг/м3	170	140	125 ПО	100	95	85
01.Е'!с
r“'?;
J Ik
Силосы
Объем, м3 . ... Удельная масса, кг/м3	100 80	200 300 70	65	400 60	500 58	6 ОС 55	700 53	800 51	900 50
Объем, м3 ...	Параболические бункера 300	600	900 1200				1500	1800	2100	
Удельная масса, кг/м3	145	130	118	110	105	100	95	
265
Давление материала на стенки бункера зависит от свойств материала
и конфигурации бункера. Для материалов, по свойствам близких к жид-
костям (например, жидкий бетон, строительные растворы и т.п.), давле-
ние на стенки распределяется по гидростатическому закону р = hpgk,
где h — глубина расположения рассматриваемой точки стенки под уров-
нем материала; р — плотность материала; g — ускорение свободного па-
дения; к — коэффициент перегрузки (к- 1,2... 1,3).
Для сыпучих материалов распределение давлений отклоняется от ги-
дростатического закона и определяется формулой
p = kmopgh,	(2.153)
где тв = cos2 а + еп sin2 а; а — угол наклона плоскости к горизонту; е — коэффи-
циент, учитывающий вертикальные силы трения насыпного груза о стенки бункера,
е = n'hfjR-, п — коэффициент бокового давления; п' = 0,18/f; f — коэффициент
внутреннего трения материала; /, — коэффициент трения материала о стенки бун-
кера; R — гидравлический радиус бункера, равный частному от деления площади
горизонтального сечения бункера на его периметр.
Вследствие слеживаемости материала и трения его о вертикальные и
наклонные поверхности давление на стенки значительно уменьшается по
отношению к значениям, рассчитанным по приведенным выше форму-
лам, причем это уменьшение тем значительнее, чем больший слой мате-
риала находится над рассматриваемой точкой. При расчете бункеров, в
которых высота слоя материала сравнительно невелика, этим умень-
шением пренебрегают.
Усилие растяжения вертикальных участков бункера в горизонталь-
ном направлении (по ширине стенки) от действия материала, приходя-
щееся на единицу высоты:
N = pb)2,
где р — давление, определяемое по формуле (2.153) , на поперечные вертикальные
стенки; b - ширина поперечных стен на данной глубине.
Для наклонной пирамидальной части бункера
—, р'Ь'
N =----------- sin а,,
2 sin2 а2
где р' — сумма давления материала и распределенной составляющей силы тяжести
стенки, действующая на поперечные стенки, р' = kmopgh '+ 1,1 q cos а2 (здесь q -
сила тяжести 1 м2 стенки воронки; 1,1 — коэффициент перегрузки); Ь' — ширина
бункера на данной глубине; а, — угол наклона рассматриваемой стенки к горизон-
ту; Oj — угол наклона поперечной стенки.
В скатном направлении (по длине стенки) при симметричных бунке-
рах зти силы предполагаются равномерно распределенными вдоль всей
стенки, и для вертикальных стенок растягивающая (скатная) сила, при-
ходящаяся на единицу длины стенки:
Г =G/[2(fcj + />2)],
где G - вес бункера, полностью заполненного материалом с учетом коэффициента
перегрузки; Ь, и — геометрические размеры бункера.
266
В наклонных стенках скатное усилие
V' = G/\2 (b' + b") sin aj ].
При расчете несимметричных бункеров скатные силы распределя-
ются вдоль каждой стенки по закону трапеции, определяемому таблич-
ными коэффициентами в зависимости от размеров и положения центра
тяжести бункера.
Далее рассчитывают обшивку бункера на изгиб с растяжением как
тонкую пластину под действием нормального к ее поверхности давления
и растягивающих сил. Расчет на изгиб выполняют по формулам и табли-
цам расчета пластин прямоугольного и трапециевидного очертания от
действия распределенной по линейному_закону нормальной нагрузки Р.
Напряжения от растягивающих сил N и V в плоскости пластин:
N	у
где 6СТ - толщина стенки бункера.
Суммарное напряжение
°	(°х +	+	+	’
где ах - напряжение изгиба по горизонтальному направлению; а у — напряжение
изгиба по направлению скатных усилий.
2.9. ПРИМЕНЕНИЕ ЭВМ
ПРИ ПРОЕКТИРОВАНИИ МЕТАЛЛОКОНСТРУКЦИЙ
Общие сведения. Проектирование несущих конструкций машин свя-
зано с выполнением достаточно сложных расчетов на прочность, жест-
кость, общую и местную устойчивость, усталость. Стремление уменьшить
сложность и трудоемкость расчетов привело к распространению прибли-
женных методов. Из-за приближенности методов результаты расчетов
имеют погрешности, для компенсации которых приходится увеличивать
запасы прочности, что приводит к излишнему расходу металла.
В настоящее время в распоряжение проектировщиков предоставле-
ны мощные средства вычислительной техники, что позволяет перейти к
более точным методам расчета, применяя приближенные методы для
предварительных расчетов на ранних стадиях проектирования. В частнос-
ти, с помощью ЭВМ рассчитывают металлоконструкции методами конеч-
ных элементов и конечных разностей. Применение,ЭВМ позволяет иссле-
довать всевозможные сочетания нагрузок, действующих на проектируй
мую конструкцию, а не ограничиваться несколькими расчетными поло-
жениями (см. п. 2.6.5). Использование ЭВМ позволяет выбрать опти-
267
мальный вариант конструкции, имеющей меньшую массу, стоимость и
трудоемкость изготовления.
Создание алгоритмов и программ расчета и оптимизации металло-
конструкций является трудоемким и дорогостоящим процессом, поэто-
му прежде, чем приступить к самостоятельной разработке программы,
необходимо убедиться, что для решения поставленной задачи нельзя вос-
пользоваться существующими программами. Если самостоятельная раз-
работка программы все же необходима, нужно обеспечить ее высокое ка-
чество: быстродействие, универсальность, модифицируемость, удобство
эксплуатации и др.
Разработка программы включает следующие этапы работ: постановку
задачи, разработку математической модели, разработку и детализацию
алгоритма, написание программы, тестирование и отладку, оформление
документации по ГОСТ 19.101—77.
В качестве примера рассмотрим разработку программы для расчета
опорных реакций рамы, изображенной на рис. 2.79, а.
Постановка задачи. Определение реакций — часто встречающаяся за-
дача расчета конструкций, поэтому имеет смысл разработать программу
не только для заданной рамы, но и для любой плоской системы, нагру-
женной произвольным числом сил, моментов и равномерно распределен-
ных нагрузок. Чтобы чрезмерно не усложнять программу, ограничимся
случаем закрепления конструкции с помощью одной шарнирно-подвиж-
ной и одной шарнирно-неподвижной опоры. Задача формулируется сле-
дующим образом: разработать программу вычисления опорных реакций
произвольной плоской системы, расположенной на двух опорах (шар-
нирно-неподвижной и шарнирно-подвижной) при заданных значениях и
положениях внешних нагрузок.
Математическая модель. Дана плоская система, содержащая I сосре-
доточенных сил Ру m моментов Mj и п равномерно распределенных на-
грузок qk с заданными значениями, координатами точек приложения и
углами наклона к оси х (отсчитываемыми от оси х против часовой стрел-
ки, рис. 2.79, б). Начало координат расположим в шарнирно-неподвижной
опоре А, вторая опора задана координатамихБ, ув шарнира В и углом у.
Требуется определить реакции Rp, Вду, R^x- Распределение на длине tk
нагрузки qk заменим сосредоточенными силами q^, приложенными в
Рис. 2.79. Расчетная схема для опреде- г"
ления опорных реакций на ЭВМ	б)
268
средних точках с координатами ха , уп . Из уравнения моментов отно-
.	4 к чк
сительно точки А получим
I
£ (Р, sin	cos а^у.) +
RB =
Уд cos у — Xg sin у
т	п
+ F (Л9+ f
Из уравнения проекций всех сил на оси х и у находим
I	п
RAy = ~ sin у + Е (К sin а.) + S (qktk sin &к) ];
/	71
RAx=~^RB cosT' (Pfcosa, + 2 ^klk cosPfcH
(2.154)
(2.155)
(2.156)
Задача не имеет решения при/) =У$ cos у ~Xg sin у = 0, что соответ-
ствует прохождению линии действия реакции Rв через точку А (мгно-
венно изменяемая система).
Алгоритм и его детализация. Разработку алгоритма выполняем мето-
дом ’’сверху—вниз”: сначала составляем алгоритм в общем виде, а потом
осуществляем поэтапную его детализацию. В общем виде (рис. 2.80, а)
алгоритм вклю'.ает главную программу, в которой выполняется ввод
данных и печать результатов, и подпрограмму вычисления реакций по
Рис. 2.8С. Последовательность разработки алгоритма определения
реакций опор
269
R Е А К Т
ОПРЕДЕЛЕНИЕ РЕАКЦИЙ ОПОР ПРОИЗВОЛЬНОЙ ПЛОСКОЙ СИСТЕМЫ, ИМЕЮЯЕЙ ШАРНИРНО-
НЕПОДВИННУЮ ОПОРУ В НАЧАЛЕ КООРДИНАТ "а- И ШАРНИРНО-ПОДВИЖНУЮ ОПОРУ в
ТОЧКЕ “B-t	входные параметры:
L, N, N - КОЛИЧЕСТВО СИЛ, МОМЕНТОВ И РаВнОНЕРнО-РАСПРЕДЕЛЕННЫХ НАГРУЗОК!
р, мои, о - массивы величин сил, моментов и распределенных нагрузок;
X, Y - МАССИВЫ КООРДИНАТ ТОЧЕК ПРИЛОЖЕНИЯ СИЛ ’P’J
XQ, YQ - МАССИВЫ КООРДИНАТ СРЕДНИХ ТОЧЕК РАСПРЕДЕЛЕННЫХ НАГРУЗОК *0"!
Т - МАССИВ ДЛИН УЧАСТКОВ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ НАГРУЗКАМИ;
ХВ, YB, GAMMA - КООРДИНАТЫ И УГОЛ НАКЛОНА ОПОРЫ "В" К ОСИ "X*, ГРАД.!
ALFA, ВЕТА - МАССИВЫ УГЛОВ НАКЛОНА СИЛ *Р* И НАГРУЗОК "О’ К ОСИ "Х")
( УГЛЫ ОТСЧИТЫВАЮТСЯ ПРОТИВ ЧАСОВОЙ СТРЕЛКИ ),
выходные параметры:
RAX, RAY, RB - РЕАКЦИИ ОПОР "А- И “В"!
IER - ПРИЗНАК МГНОВЕННОЙ ИЗМЕНЯЕМОСТИ: ПРИ IERK1 СИСТЕМА ИЗМЕНЯЕМА.
разработчик;	дата:
subroutine
DIMENSION
REAL MOM
DATA SPX
ier = e
REACT ( L, M, n, p, moh, q,
GAMMA. ALFA, BETA,
P(L), MOM(M>, Q(N>, X(L), *
ALFA(L), BETA(N)
, XQ. YQ, Т, ХВ, ТВ
RAX, RB, IER )
XQcN), YQ(N), T(N),
SPY, SMP, SQX, SQY, SMQ, SMDM /?••./
---..— ОПЕРАТОР-ФУНКЦИЯ ПЕРЕВОДА ГРАДУСОВ В РАДИАНЫ
RAO (Z) = 3.1Ц6 • Z / 160.
 ——---ПРОВЕРКА МГНОВЕННОЙ ИЗМЕНЯЕМОСТИ СИСТЕМЫ
SING = SIN (RAO (GAMMA))
COSG = COS (RAO (GAMMA))
D = YB • COSG - XB « SING
IF ( O.ED.O ) GO TO 99
—..... СУММА ПРОЕКЦИЙ СИЛ
——----- СУММА МОМЕНТОВ СИЛ
DO 10 I = 1,L
PSIN = P(I) ♦ SIN (RAD
PCOS = P(I) « СОЗ (RAD
SPX = SPX -------
SPY a SPY
SMP = SMp
CONTINUE
PCOS
PS1N
20
C —
НА ОСИ X,Y (SPX, SPY) И
ОТНОСИТЕЛЬНО ТОЧКИ «А*
PCOS
00 20 К = 1.N
CSIN = -2(1
OCOS = Q(l
SQX = SQX
SQY = SQY
SMQ c SMQ
CONTINUE
проекций
МОМЕНТОВ
« OCOS
♦ QSIN
♦ QSIN
НАГРУЗОК ’О" НА ОСИ X.Y (SQX. SQY) И
ОТ -Q- ОТНОСИТЕЛЬНО ТОЧКИ “Аь
SIN
COS
(RAO (BETA(K)>)
(RAD (BETA(K)))
XQ(K) ♦ QCOS • YQ(K)
ВНЕШНИХ МОМЕНТОВ
DO 30 J = |,M
5МПМ = Sm0m ♦ MOM(J)
30 CONTINUE
C--------------- Вычисление реакций ОПОР
RB = ( SMP ♦ SMOM ♦	SMQ )	/	o
RAY - - ( RB * SING	* SPY	«	SQY	)
RAY = - ( RB * COSG	* SPX	»	SQX	>
C--------- — -— КОНЕЦ
RETURN
09
IER = 1
TYPE ». *	*•* МГНОВЕННО ИЗМЕНЯЕМАЯ СИСТЕМА! »*• ’
RETURN
END
Рис. 2.81. Программа определения реакций опор
формулам (2.154) — (2.156). Первая детализация (рис. 2.80, б) содер-
жит перевод градусов в радианы, вычисление D и проверку мгновенной
изменяемости системы. По полученному на этом этапе алгоритму еще
трудно писать программу, так как не раскрыта процедура накопления
сумм, входящих в формулы (2.154) — (2.156). Следующий этап детали-
зации (рис. 2.80, в) конкретизирует накопление сумм:
I	I
SPY = S Р. sin а., SPX = S Р. cos а.,
ill	I	I*
I	1
SMP = S (Р- sin а. X. - Р cos af. yf);
остальные суммы, входящие в выражения (2.154) — (2.156), вычисля-
ются аналогично. Отметим, что при достигнутой степени детализации ал-
горитма написание программы становится почти автоматическим про-
цессом.
Подпрограмма вычисления реакций представлена на рис. 2.81. Она
содержит комментарии, облегчающие ее понимание.
Тестирование программы выполним, решая с ее помощью первона-
270
чально поставленную задачу. Задавая исходные данные в соответствии с
рис. 2.79, а, получим RB = - 1,25 кН,/?л =-0,25 кН,/?Лх =-3,696 кН.
Оптимизация металлоконструкций. Многолетняя практика создания
несущих конструкций позволила выработать рекомендации, на основе
которых разрабатываются прочные, жесткие, легкие и экономичные кон-
струкции. Дальнейшее снижение их массы и стоимости является не прос-
той задачей, требующей от разработчиков умения использовать совре-
менные математические методы оптимизации.
Задачи оптимизации металлоконструкций можно классифицировать
следующим образом:
1)	выбор оптимальной структуры (например, для плоской фермы —
выбор наилучшего способа соединения узлов стержнями);
2)	определение оптимальных геометрических размеров при заданной
структуре;
3)	определение оптимальных характеристик и размеров сечений эле-
ментов при заданных геометрических размерах структуры.
Величину, которую требуется минимизировать, называют критерием
оптимизации. Критерий, выраженный через оптимизируемые параметры,
называют функцией цели, а дополнительные условия, записанные в виде
равенств или неравенств, — ограничениями. В общем виде задача оптими-
зации формулируется следующим образом: ’’найти такие значения пара-
метров металлоконструкции xlt х2, ... хп, при которых функция цели
К = fk(xl, х2, .... хп) + min при ограничениях f\ (хь х2, .... х„) > 0,
/г(*1. х2, ..., хп) <0, ... fm(xx, х2, .... х„) = 0, где К -критерий, хь ...,
х„ — параметры оптимизации”.
Выбор критерия оптимизации зависит от цели разработки. Критери-
ем оптимизации металлоконструкций обычно является либо масса кон-
струкции или ее стоимость. В зависимости от поставленной задачи, ре-
комендуется использовать один из следующих критериев, предложенных
Я.М. Лихтарниковым.
1.	Теоретическая масса тт, определяемая как сумма масс основных
элементов конструкции moi без учета масс вспомогательных элементов
(ребер, косынок, проушин и т.д.) :
= S mQj.	(2.157)
1
При вычислении теоретической массы не учитывают отличия расчет-
ных параметров поперечных сечений элементов от фактических пара-
метров, взятых по ГОСТам на прокатную сталь. Если металлоконструк-
ция выполнена из элементов с постоянными поперечными сечениями,
то теоретическую массу определяют по формуле
Яр
тт=р 2 F.I.,	(2.158)
1
где р — плотность стали (7850 кг/м3 ); Ff- — теоретическая площадь сечения i-ro
профиля, м2; Zj — длина i-ro профиля, м; пв — число основных элементов метал-
локонструкции.
271
2.	Масса конструкции т, определяемая с учетом масс вспомогатель-
ных элементов и фактических площадей поперечных сечений Fz- Следует
отметить, что при решении оптимизационной задачи конструктивные па-
раметры вспомогательных элементов еще не определены, поэтому массу
вспомогательных элементов учитывают с помощью конструктивного ко-
эффициента массы:
«о
ш=РфЕГ.7..	(2.159)
Коэффициент равен отношению полной массы конструкции т к
массе основных элементов т0 и принимается на основе анализа прото-
типов.
3.	Стоимость материала
«о
CiF'.l.,	(2.160)
где с2- — стоимость 1 кг стали.
Если вся металлоконструкция сделана из стали одной марки, резуль-
таты оптимизации по уравнениям (2.159) и (2.160) совпадают.
4.	Заводская стоимость С, в которую входит как стоимость матери-
ала См, так и стоимость изготовления металлоконструкции Си:
С=См+Си	(2-161)
Выше отмечалось, что параметры конструкций, оптимальных по мас-
се, отличаются от параметров конструкций, оптимальных по стоимости.
Действительно, более легкие конструкции часто сделаны из более проч-
ных сталей, которые дороже и труднее поддаются обработке, в частности,
требуют бопее дорогостоящих способов сварки. Стоимость изготовления
Сн зависит от трудоемкости изготовления, которая возрастает при уве-
личении как массы, так и числа основных деталей п0:
СиаТ>	(2-162)
т=^<руС\/топо ,
(2.163)
где а — постоянный коэффициент (а « 3,6); Т — трудоемкость изготовления; к^ —
коэффициент, учитывающй вид стали (1,1 ... 1,25); у>т — коэффициент трудоем-
кости; с - коэффициент, зависящий от вида конструкции (для балок с— 3,5 ...4,
для ферм с = 1,5).
Коэффициент трудоемкости
- 1 +
’т
(2.164)
где (3 — коэффициент, отражающий различие в трудоемкости изготовления основ-
ных и вспомогательных деталей (1,5 для ферм из труб; 0.8 .. 1 для балок) ; п
тв — число и масса вспомогательных деталей.	’ В’
5.	Приведенные затраты Спр, учитывающие стоимость материала См,
стоимость изготовления С стоимость монтажа С-.-,, (если монтаж вы-
**	1*1 ин
272
полняется вне завода-изготовителя), стоимость эксплуатации Сэ и ка-
питаловложения в производство С
С =С + С +С +С +С	(2 165)
пр м и мон э к
Показатель Спр наиболее полно характеризует в целом качество ме-
таллоконструкции, однако является сложным для разработки математи-
ческой модели, алгоритма и программ оптимизации.
В число ограничений входят ограничения по прочности, жесткости,
устойчивости, выносливости, по типам прокатных профилей, по габари-
там и др. Для решения оптимизационной задачи функцию цели и ограни-
чения выражают через оптимизируемые параметры, после чего выбирают
метод оптимизации, реализуют его на ЭВМ и выполняют поиск опти-
мального варианта.
Рассмотрим следующий пример. Для фермы с треугольной решеткой
(рис. 2.82) задан пролет L и сила Р, приложенная в среднем узле. Соста-
вим математическую Модель для определения числа узлов N, высоты Н
и площадей поперечных сечений стержней, при которых теоретическая
масса фермы гит минимальна.
Вариация числа узлов N и высоты фермы Н приводит к множеству
ферм; некоторые из них показаны на рис. 2.82, б—ж. Из этого множества
нужно найти ферму минимальной массы. Ферма должна выдерживать на-
грузку Р, следовательно, каждый стержень должен выдерживать внут-
ренее усилие, создаваемое в нем силой Р. Примем, что все стержни верх-
него пояса имеют одинаковые сечения площадью FB, стержни нижнего
пояса — FH, раскосы — Fp. Тогда ограничения по прочности можно найти
из условий, что напряжения в наиболее нагруженных стержнях верхнего
273
и нижнего пояса и раскосов не превышают допускаемых значений. Необ-
ходимо учесть также ограничения на параметры оптимизацииNhH: они
по физическому смыслу не могут быть отрицательными или бесконечно
большими.
Математическая модель в данном случае сводится к записи функции
цели и ограничений, выраженных через N и Н. Предварительно по
рис. 2.82, а определим длины стержней, а также суммарные длины верх-
него и нижнего пояса и раскосов. Методом сечений найдем усилия в наи-
более нагруженных стержнях (табл. 2.6).
Функцию цели (массу фермы) определим суммированием длин по-
ясов, умноженных на площади сечений и плотность стали р:
и н in. р jP
(2.166)
Ограничения по прочности с учетом устойчивости для сжатых стерж-
ней найдем из условия прочности 15l / (<р[о]), где S — усилие в стерж-
не, — коэффициент продольного изгиба. Процедура определения </>, за-
висящего от длин и площадей сечений стержней, здесь не приводится.
Для стержней, работающих на растяжение, F >Л^До].
Например, для нижнего пояса FH >5н/[о], где — усилие в наибо-
лее нагруженном стержне нижнего пояса, взятое из табл. 2.6. Отсюда
следует
или
FH<0.
(2.167)
2Jb. Длины стержней и усилия в них
Часть фермы, к кото- рой при- надле- жит стер- жень	Число стержней п		Длина / одного стержня	Суммарная длина всех стержней	Усилие 5 в наиболее нагруженном стержне
Верхний пояс	п	N-3	2L 1 =	/У-З I — f	Р1 Q —
	в	2	в Л-1	SB Л-1	в	АН
Нижний		TV—1	2L 1 —		PL(N-3) н 4Я(Л-1)
пояс	н	2	н Л-1		
Раскосы	”р	= 7У-1	/ L '		У р	Л-1		р 2Я
			+ АН2	= s/L2 + A/FX X (Л—~1)’	
274
Рис. 2.83. Схема алгоритма оптимиза-
ции фермы
Аналогично,для верхнего поя-
са и раскосов получим ограни-
чения:
РЬКШАоУ) -FB<0;
(2.168)
Py/L2 + 4Я2 (7V-iy/(2/f х
х (TV- 1)<р[о]) -Fp < 0.
(2.169)
Ограничения по параметрам:
ЖЯ  Я>0; Я>5;
max’ ’	’
(рис. 2.82, б),
fB>0; f„>0; Fp>0;
F
в в max ’
F <F ; F <F
н н max ’ p p max ’
(2.170)
причем максимальные значения
задаются исходя из реальных ус-
ловий (необходимости вписаться
в габарит здания, наличия сорта-
мента и тд.). Таким образом,
задача региена: функция цели
и ограничения выражены через
оптимизируемые параметр >j. Дальнейший расчет на ЭВМ можно выпол-
нить по алгоритму, изображенному на рис. 2.83, где ^min — минималь-
ная масса фермы.
СПИСОК ЛИТЕРА туры
1.	Вершинский АЛ. Технологичность и несущая способность металлоконструк-
ций. М.: Машиностроение, 1984. 167 с.
2.	Вершинский АЛ., Гохберг М.М., Семенов В.П. Строительная механика и ме-
таллические конструкции. Л.: Машиностроение, 1984. 231 с.
3.	Вольмир А.С. Устойчивость деформируемых систем. М.: Наука, 1967. 984 с.
4.	Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике: Пер. с англ. М.: Мир,
1975.539 с.
275
5.	Киселев В.А. Строительная механика: Специальный курс. М.: Стройиздат,
1980.616 с.
6.	Когаев В.П., Махутов Н.А., Гусенков А.П. Расчеты деталей машин и конс-
трукций на прочность и долговечность: Справочник. М.: Машиностроение, 1985.
224 с.
7.	Кубланов НЛ., Спенглер И.Е. Строительная механика и металлические кон-
струкции кранов. Киев: Буд вельник, 1968. 667 с.
8.	Металлические конструкции строительных и дорожных машин /В.А. Ряхин,
И.Ю. Цвей, М.С. Балаховский и др.; Под. ред. В.А. Ряхина. М.: Машиностроение,
1972.312 с.
9.	Николаев Г.А., Куркин С.А., Винокуров В.А. Сварные конструкции. М.:
Высшая школа, 1982. 272 с.
10.	Рабинович ИЛ4. Курс строительной механики: В 2 ч. М.: Стройиздат, 1950 —
1954. Ч. 1: Статически определимые системы. 1950. 387 с.; Ч. 2: Статически неопре-
делимые системы. 1954.544 с.
11.	Расчет и проектирование строительных и дорожных машин на ЭВМ/Е.Ю. Ма-
линовский, Л.Б, Зарецкий, Ю.Г. Беренгард и др.; Под ред Е.Ю. Малиновского.
М.: Машиностроение, 1980. 216 с.
12.	Ржаницыи АЛ. Строительная механика. М.: Высшая школа, 1982. 400 с.
13.	Ряхин В.А., Мошкарев ГЛ. Долговечность и устойчивость сварных конс-
трукций строительных и дорожных машин. М.: Машиностроение, 1984. 232 с.
14.	СпицыиаДЛ. Строительная механика стержневых машиностроительных
конструкций. М.: Высшая школа, 1977. 248 с.
15.	Строительная механика. Стержневые системы /А.Ф. Смирнов, А.В. Алек-
сандров, Б.Я. Лащенников, Н.Н. Шапошников. М.: Стройиздат, 1981. 512 с.
16.	Федоров Д.И., Бондарович БА. Надежность рабочего оборудования земле-
ройных машин. М.: Машиностроение, 1981. 280 с.
С
в
в
Я
к
.1*
л
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ

Алгоритм 269
-	анализ кинематический 10
Балка коробчатая 190
-	прокатная 189
—	составная 200
—	тонкостенная 193
Бимомент 193
Гибкость стержня простого 140
--составного 22 3
Диаграмма предельных напряжений 174
Долговечность 182
Колебания вынужденные 120
— свободные 109
Коэффициент запаса прочности 137
—	концентрации напряжений 177
—	превышения расчетной нагрузки
138
-	продольного изгиба 140, 222
-	режима нагружения 176
-	снижения предельного напряжения
176
-	условий работы 138
—	чувствительности к асимметрии цик-
ла 174
Кривые усталости 172
Линии влияния 25, 30
Матрица жесткости 76, 101
—	податливости 76
Металлоконструкции автогрейдера 236
-	бетоноукладчика 234
-	бульдозера 246
-	бункера 264
-	крана башенного 228
—	крана с телескопической стрелой 214
—	рыхлителя 253
—	скрепера 240
-	цистерны 261
—	экскаватора 206
Метод вариационный 52
—	вырезания узлов 14
-	допускаемых напряжений 137
-	кинематический 17
—	конечных разностей 93
-	конечных элементов 82, 100
—	матричный 74
-	перемещений 66
-	предельных состояний 137
-Ритца 54, 117, 147
— сечений 14
—	сил 58
—	статический 15
276
Надежность 139
Нагрузки 1 35
-динамические 120
-	неподвижные 14
-	подвижные 25
Напряжение критическое 140
- эквивалентное 176, 191, 258
Напряжения остаточные вторичные 180
--начальные 179
— по контуру коробчатого сечения 190
Неизменяемость систем геометричес-
кая 7
--мгновенная 11
Оболочки 257
Окружность влияния 34
Оптимизация металлоконструкций,
классификация задач 271
--критерии 272
-	параметров балки 203, 205
--фермы 27 3
Перемещения 37
Пластины обычные 88
-	сложные 259
Предел выносливости 130, 172
—	ограниченной выносливости 172
-	прочности 130
—	текучести 130
Принцип Кастильяно 54
-	Лагранжа 5 3
-	суперпозиции 59
Проушины 167
Профили гнуто-сварные 134
-	прокатные 132
Работа сил внешних 43
--внутренних 43
--возможная 41
--действительная 38
Рамы 55, 233
Расчет в матричной форме 77
—	динамический 109
-	на прочность 135
—	перемещений 45, 51
—	по деформированному состоянию 140
-	усилий в стержнях 14, 25
—	усталости 170
—	устойчивости 222,140,193
-	швов 158, 159
Решетчатые конструкции, классифика-
ция 219
— остаточные напряжения и деформа-
ции 226
--, расчет 221
--, рекомендации по проектированию
220
--, устойчивость 222
Связь линейная 7
—	угловая 7
Системы статически определимые 14
--неопределимые 55
-	перекрестные 58
Соединения металлоконструкций 155
-	болтовые 163
- заклепочные 161
--, расчет 162
— —, рекомендации по конструирова-
нию 161
—	сварные 155
--, конструкции узлов 157
--, расчет 158, 159
--, рекомендации по проектированию
158
-	шарнирные 165
—--—, конструктивное исполнение 166
	, напряженное состояние в проуши-
нах 167
— —, рекомендации по выбору пара-
метров 168
Стали, механические свойства 130
- низколегированные 129,130
-	рекомендации по применению 131
-	сортамент 134
—	термоупрочняемые 131
-	углеродистые 129
Степень изменяемости 9
—	кинематической неопределимости 55
—	статической неопределимости 66
Стрела башенного крана 228
—	телескопическая 215
-	экскаватора 207
Стыки монтажные 164
Схематизация процесса нагружения 182
Теоремы о взаимности работ 43
-	перемещений 43
Устойчивость стержней 140
—	пластин 148
—	решетчатых конструкций 222
-	тонкостенных балок 197
Фермы 6, 21, 219, 222, 226
Формула Лапласа 258
—	Мора 45
-	Эйлера 141
Цикл нагружения асимметричный 171
—	отнупевой 171
-	симметричный 171
Швы сварные 156
—	, катет шва 156
—	, повышение долговечности 158
ЭВМ 267
—	, примеры использования 210, 268,
273
—	, этапы решения задач 267
ТП
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие .	....................................
Часть 1. Строительная механика......................................
1.1,	Кинематический анализ систем .	. .	 . .
1.1.1.	Общие сведения .........................................
1.1.2.	Кинематический анализ плоских и пространственных стержневых
систем.......... ...............................................
1.2.	Расчет статически определимых стержневых систем при действии непод-
вижной нагрузки........................... .........................
1.2.1.	Общие методы определения сил в связях плоских и пространствен-
ных систем......................................................
1.2.2.	Расчет пространственных ферм .	..........................
1.3.	Расчет статически определимых стержневых систем при действии подвиж-
ной нагрузки..................................................   .
1.3.1.	Теория линий влияния............... ...
1.3.2.	Построение линий влияния усилий в фермах .... ...........
1 3.3. Теория окружностей влияния............................ .	.
1.4.	Энергетические теоремы и определение перемещений .	. . ...
1.4.1.	Основные понятия	......
1.4.2.	Теоремы о взаимности............... .	......
1.4.3.	Определение перемещений по методу Мора .....
1.4.4.	Основы вариационных принципов и методов расчета	......
1.5.	Расчет статически неопределимых стержневых систем .............
1.5.1.	Статически неопределимые системы и общие предпосылки методов
их расчета ...	....................................
1.5.2	Метод сил . .	. .	......
1.5.3.	Метод перемещений ..............
1.6.	Матричные методы расчета стержневых систем .	..................
1.6.1.	Основы матричных методов расчета .. ...............
1.6.2.	Расчеты в матричной форме . ....	......................
1.6.3.	Основы метода конечных элементов . .
1.7.	Расчет пластин численными методами........................  .
1.7.1	Основы теории расчета пластин .	...	....
1.7.2.	Метод конечных разностей	......
1.7.3.	Метод конечных элементов	. .
1.8.	Основы динамики конструкций ...
1.8.1.	Свободные колебания систем ..............................
1.8.2.	Приближенные методы определения частот свободных колебаний
1.8.3.	Вынужденные колебания систем . .	..................
1.8.4.	Особенности динамических расчетов металлоконструкций строи-
тельных и дорожных машин
Часть 2. Расчет и проектирование металлоконструкций.................
2.1.	Материалы металлических конструкций............................
2.1.1.	Характеристики материалов................................ 129
2.1.2.	Рекомендации по выбору стали с учетом условий эксплуатаци
машин........................................................... 131
2.1.3.	Сортамент ............................................... 132
2.2.	Методы расчета на прочность и устойчивость .................... 135
2.2.1.	Нагрузки, действующие на металлоконструкции машин	. .	135
2.2.2.	Расчет по допускаемым напряжениям и предельным состояниям .	137
2.2.3.	Основы расчета конструкций на устойчивость и по деформированно-
му состоянию............... .	..... 140
2.3.	Расчет и проектирование сварных, заклепочных и болтовых соединений 155
2.3.1.	Основные типы соединений	...... 155
2.3.2.	Сварные соединения ...	. .	155
2.3.3.	Расчет сварных соединений................................ 158
2.3.4.	Заклепочные и болтовые соединения .	161
2.4.	Сварные узлы шарнирных соединений ... ......................... 165
2.4.1.	Конструктивные формы сварных узлов шарнирных'соединений 165
2.4.2.	Распределение напряжений в сварных узлах шарнирных соедине-
ний	 167
2.4.3.	Определение рациональных параметров проушин	168
2.5.	Усталостная долговечность сварных узлов . . . .	170
25.1.	Механизм усталостного разрушения ...	170
2.5.2.	Факторы, влияющие на усталостную долговечность	171
2.5.3.	Расчет усталостной долговечности .	182
2.6.	Балочные конструкции ......... ............ . .	189
2.6.1.	Металлоконструкции балочного типа и общие принципы их расчета 189
2.6.2.	Особенности расчета тонкостенных балок................... 193
2.6.3.	Особенности проектирования составных балок	200
2.6.4.	Проектирование балок наименьшей массы.................... 203
2.6.5.	Определение нагрузок и расчет металлоконструкций рабочего обо-
рудования одноковшовых экскаваторов............................. 206
2.6.6.	Определение нагрузок и расчет телескопических стрел	214
2.7.	Решетчатые конструкции......................................... 219
2.7.1.	Примеры решетчатых металлоконструкций и общие принципы их
расчета......................................................... 219
2.7.2.	Устойчивость решетчатых конструкций...................... 222
2.7.3.	Влияние остаточных сварочных напряжений на нагруженность ре-
шетчатых конструкций............................................ 226
2.7.4.	Особенности расчета металлоконструкций башенных кранов .	228
2.8.	Рамные и листовые конструкции ................................. 233
2.8.1.	Примеры рамных конструкций и общие принципы их расчета...... 233
2.8.2.	Особенности расчета рамных конструкций землеройных машин с на-
весным оборудованием ....	246
2.8.3.	Листовые конструкции ....	. .	256
2.8.4.	Особенности расчета цистерн и бункеров ...	...	261
2.9.	Применение ЭВМ при проектировании металлоконструкций . .	.... 267
Список литературы...	...	...	275
Предметный указатель ............................................... 276