/
Текст
= СЭ-JK -
СПРАВОЧНАЯ КНИГА
ДЛЯ ЭЛЕКТРОТЕХНИКОВ
ПОД ОБЩЕЙ РЕДАКЦИЕЙ ПРОФЕССОРОВ
М. А. ШАТЕЛЕНА
В. Ф. МИТКЕВИЧА
В. А. ТОЛВИНСКОГО
В ПЯТИ ТОМАХ
ТОМ ПЕРВЫЙ
ИЗДАТЕЛЬСТВО
К У Б У Ч
ЛЕНИНГРАД
1930
Ленинградский Областлит Ns 60385. Тир. 5000.
Зак. 3276.
Гоо. тип. изд. .Лениягр. Правда*, Ленинград, Социалистическая, 11.
ПРЕДИСЛОВИЕ.
.Справочная книга для электротехников" имеет целью слу?
жить настольной книгой для электриков, принимающих активное
участие в электропромышленности, электроснабжении и электро?
строительстве Союза С. С. Р. Потребность в таком издании давно
уже назрела. Она не может быть удовлетворена ^переводом на
русский язык какого-либо из заграничных справочников по двум
причинам. Во-первых, каждый из них составляется с учетом со-
вокупности условий инженерной работы определенной страны
и ориентируется на практику и изделия заводов этой страны;
нашему же инженеру-электрику приходится пользоваться в своей
повседневной работе, в первую очередь, изделиями заводов
С. С. С. Р., а в случае надобности обратиться к. заграничным
изделиям, ему необходимо иметь такие указания, которые позво-
лили бы беспристрастно оценить и сравнить изделия главнейших
из заграничных электротехнических фирм. Во-вторых, выход
в свет лучших-из заграничных справочников, по электротехнике
датируется 1922 годом,, а потому в них нельзя найти ответа на
целый ряд вопросов, приобревших первостепенное значение как
раз за последние 5. лет.
Приступая к работе, Редакция первоначально намеревалась
составить сравнительно, небольшой справочник,. уделив в нем
главное внимание основным областям электротехники. Однако,
вскоре, под воздействием полученных Редакцией писем,, план
работы и об'ем справочника были значительно расширены, и, вы-
пускаемая „Справочная книга для электротехников" будет охва-
тывать все отделы электротехники сильных токов и почти все
отделы слабых токов.
Выполнение в короткий срок такого большого и ответствен-
ного труда, как составление оригинального справочника, воз-
можно только согласованными, дружными усилиями'коллектива,
связанного общностью школы н совместйой работой, и при на-
личии дружной поддержки широких кругов инженеров-электри-
ков. Таким коллективом явился профессорско-преподавательский
состав Электромеханического Факультета Ленинградского Поли-
технического Института имени М. И. Калинина, в среде кото-
рого возникла мысль отметить исполнявшееся 25-летие Факуль-
тета выпуском этого справочника, задуманного еще в 1919 голу.
IV
Непосредственная связь большинства составителей „Справоч-
ной книги" с различными областями применений электрической
энергии, а также живой отклик инженеров-практиков на обра-
щение Редакции, напечатанное в журналах „Электричество"
и „Технико-Экономический Вестник", послужили тем бодрящим
стимулом, благодаря которому предпринятая работа могла быть
выполнена в столь короткий срок,—около года.
Так как „Справочная книга" не может и ие должна брать
на себя задачи учебника, то в изложении отдельных техниче-
ских вопросов опущены систематические теоретические обосно-
вания и доказательства, а всему материалу Редакция старалась
придать такой вид, который позволяет быстро найти нужную
справку в возможно ясной и конкретной форме.
Для труда, предназначаемого служить настольной книгой,
необходимо краткое, легко запоминаемое название. В качестве
такового для „Справочной книги для ЭлектроТехииков" Редак-
ция выбрала соединение трех вышеподчеркнутых букв, — СЭТ.
Сложность работы по согласованию рукописей и по коррек-
туре, которую необходимо было выполнить в сравнительно ко-
роткий срок, не дала возможности избежать в выпускаемом
I-om томе некоторых промахов и опечаток. Давая на вкладном
листке исправления главнейших из замеченных недочетов, Ре-
дакция обращается с покорнейшей просьбой ко всем подписчи-
кам СЭТ'а сообщит ей все свои замечания, направляя нх по
адресу члена Редакции профессора В. А. Толвинского (Ленин-
град, Сосновка, Политехнический Институт, кв. 83).
Редакторы не могут не выразить своей глубокой призна-
тельности ближайшему их помощнику инженеру Г. А. Аглиц-
кому, оказавшему неоценимые услуги в трудном деле обработки
и согласования материалов.
Редакция выражает также большую благодарность Издатель-
ству Кубуч, в лице С. Ф. Сиротова и Л. М. Сафроновича, за
чрезвычайное внимание, проявленное ко всем пожеланиям Ре-
дакции, и за стремление придать СЭТ'у наиболее удобный для
пользования и возможно изящный вид.
Редакция
Ленинград, Сосновка
Политехнический Институт
19284-29
СОСТАВ СОТРУДНИКОВ
В составлении СЭТ*а принимают участие нижеследующие
профессора и преподаватели Ленинградского Политехниче-
ского Института имени М. И. Калинина:
П. А. Азбукин, И. И. Бентковский, Б. К. Блумберг,
М. М. Богословский, П. В. Боролнн, В. В. Болотов, Н. П. Вере-
щагин, Н. П. Виноградов, Б. Е. Воробьев, А. А. Вульф,
В. В. Голов, А. А. Горев, С. М. Гохберг, А. И. Гурнн, Д. В.
Ефремов, Д. А. Завалишин, Л. В. Залуцкий, А. М. Залесский,
С. И. Зилнтинкевич, В. П. Иванов, П. Л. Калантаров, М. Д.
Каменский, Е. Н. Кизеветтер, М. П. Костенко, В. К. Крапивин,
А. Б. Лебедев, Г. А. Люст, Н. А. Магский, В. Ф. Миткевич,
М. М. Михайлов, К. И. Несмачный, Н. А, Петров, Л. М. Пиотров-
ский, В. И. Полонский, Н. Н. Пономарев, В. К. Попов, А. А.
Сабанеев, Ю. В. Скобельцын, А. А. Солодовников, А. В. Соро-
кин, В. А. Суходский, П. М. Тиходеев, В. А. Толвинский, А. И.
Тхоржевский, Ф. ,Н. Хараджа, В. П. Хащинский, П. П. Цепляев,
Н. Н. Циклннский, Н. Н. Черносвитов, А. А. Чернышев,
М. А. Шателен, В. И. Шаров, В. А. Шевалин, Е. Г. Шрам-
ков, С. М. Шрейбер, Н. Н. Щедрин.
Кроме того, к работам по составлению СЭТ’а Редакция
привлекла инженер - электриков, окончивших Ленинградский
Политехнический Институт: Г. А. Аглнцкого, В. М. Вятских,
А. Г. Лурье, Б. Н. Раевского, Н. Н. Сидорова, Ф. Ф. Струнни-
кова и Е. А. Тер-Маркарянца,
К СВЕДЕНИЮ ПОЛЬЗУЮЩИХСЯ СЭТ'ом.
Справочная книга распадается на отделы, имеющие само-
стоятельную нумерацию страниц, параграфов н рисунков. Не-
которые отделы разделяются на под'отделы, которые обо-
значаются заглавными латинскими буквами. Номера страниц
стоят вверху у корешка, номера отделов—вверху страниц у на-
ружного края н напечатаны жирным шрифтом; рядом с номе-
ром отдела, отделяясь от него при помощи тире, стоит напе-
чатанный светлым шрифтом номер параграфа,—первого сверху
на данной странице.
Ссылки в тексте на параграфы другого отдела сопрово-
ждаются соответствующим указанием отдела, напр.: (Ртд. 2, § 25);
для ссылок на параграфы того же отдела, применено сокраще-
ние, напр.: (§13).
Ссылки в квадратных скобках, напр.: [Л. 5]— являются
ссылками на указатель литературы данного отдела, если во
всем отделе один такой указатель, как, напр., в Отд. 3, или на
указатель под'отдела, если последний имеет свой самостоятель-
ный указатель, как, напр., все под'отделы Отдела 4.
Для обозначения физических величин, для которых имеются
международные символы, Редакция стремилась придерживаться
таковых, используя, однако, не только главные символы, но
и „рекомендуемые, когда главный символ неудобен" (См. Отд. 1,
§ 148); так, напр., для частоты принят символ ч, а не /. Для
обозначения единиц и сокращенных обозначений мер и весов
приняты латинские обозначения, рекомендованные МЭИ (Отд. I,
§ 148), Вследствие чрезвычайной пестроты применяемых у нас
терминов, Редакции пришлось уделить серьезное внимание
выбору таковых; прн этой работе были использованы мате-
риалы РЭК МЭК, представленные пленуму МЭИ в сентябре
1927 г. (пока не опубликованные).
В указателях литературы прн сокращении названий жур-
налов Редакция придерживалась сокращений, применяемых
журналом „Электричество" !).
Для названий иностранных электротехнических фирм при-
няты следующие сокращения;
А. Е. О.—Allgemeine Elektrizitats-Gesellschaft.
S. S. W.—Siemens-Schuckert Werke.
S. & H.—Siemens & Halske.
H. & B.—Hartmann & Braun.
В. В. C.—Brown, Boveri Cie.
G. E. C.—General Electric Co.
*) Список сокращений печатается ежегодно s № 1 журнала) в начале
рефератного отдела.
СОДЕРЖАНИЕ 1 ТОМА
(Отделы 1*—6; УШ 4- 752 стр.; 423 рисунка)
Отдел 1. — Общий отдел.—Составили И. И. БентковскиЙ и
В. А. Толвинский.
А. Математика,— Приближенные вычисления. — Функции веще-
ственного переменного. — Функции комплексного переменного. —
Векторная алгебра. — Векторный анализ. — Расчет сложных процен-
тов. — Ряды Фурье.
В» Сопротивление материалов. — Простые напряженные
состояния прямых брусьев.—Сложные напряженные состояния прямых
брусьев.—Моменты плоских фигур.—Гибкая нить.
С. Механические свойства материале в.— Общие све-
дения.—Численные значения величин, характеризующих механические
свойства материалов. — Допускаемые напряжения.
D. Н'е к о т о р ы е х и м и ч е с к и е и ф и з и ч е с к н е величины?
Е. Системы е д и в и ц и не р.—Абсолютная система измерения. —
Практические системы измерения. — .Международная метрическая
система мер и весов.—Законные меры Союза .ССР.—Система (старых)
русских мер. — Система английских мер,—Международные символы.
F. Вспомогательные таблицы.
Отдел 2. — Теоретические основы электротехники. Под
редакцией В. Ф. Миткевича составил П. Л. Калантаров.
Магнитное поле.—Электрическое поле.—Электрический ток.—Электри-
ческая цепь.—Магнитная цепь. — Электродинамика. — Переменные
токи.—Переходные режимы.—Переменный магнитный поток.—Движе-
ние электромагнитной энергии.—Прохождение электричества через
газы и пустоту. — Указатель литературы.
Отдел 3.—Электрические и магнитные измерения. Под
редакцией М. А. Шателена составили М. М. Михайлов,
И. Н. Пономарев, Е. Г. Шрамков, С. М. Шрейбер,
П. П.. Цепляев.
А. Электрические н з м е-р ев ия, — Вычисление погрешно-
стей.—Эталоны.—Магазины сопротивлений. — Гальванометры.—Элек-
трометры. — Потенциометры. — Измерительные трансформаторы. —
Системы электроизмерительных приборов.—Измерение сопротивле-
ний.— Измерение емкости, коэффициентов самоиндукции и взаимо-
индукции.—Измерение напряжения и силы тока.—Измерение мощ-
ности-—Измерение количества электричества.—Измерение электриче-
ской эн ргнн. — Измерение угла сдвига фаз.—Измерение чаототы.—
Синхроноскопы. — Определение порядка следования фаз. — Само-
пишущие приборы.—Снятие кривых напряжения и силы тока.—Анализ
периодических кривых.
В. Jit at1 н й t й ы ё измёрёйия. — Общие задачи, — Определенна
основной кривой намагничения и гистерезисного цикла.—Измерение
напряжения магнитного поля н м. д. силы.—Измерение потерь ва
гистерезис и токи Фуко.
Отдел 4. — Электротехнические материалы. Под редакцией
Л. В. Залуцкого составили М. М. Михайлов и Е. Г. Шрам-
ков.
А. Проводниковые материалы.—Указатель литературы.
В. Материалы высокого с о_п ротивления. — Указатель
литературы,
С. Магнитные материалы. — Сплавы о железом, ниппелем и
кобальтом.—Листовая электротехническая сталь. — Материалы для
постоянных магнитов.—Указатель литературы.
D. Изолирующие материал ы.—Основные свойства и методы
их определения.—Материалы естественного происхождения.—Кера-
мические материалы. — Смолы, асфальты и масла. — Лакн и ком-
паунды. — Волокнистые материалы. — Слюда и миканиты. — Каучук
и каучуковые материалы. — Прессованные материалы. — Травофор-
маторное масло.—Указатель литературы.
Отдел 5. — Постоянные магниты, электромагниты, реле,
индукторы, конденсаторы. Под редакцией В. А. Толвнн-
ского составили С. М. Гохберг, М. М. Михайлов, А. А. Со-
лодовников, А. И. Тхоржевский, В. И. Шаров, Е. Г. Шрам-
ков.
А. Постоянные магнит ы.—Важнейшие стадии изготовления.—
Характеристики.—Укаватель литературы.
В. Электромагниты. — Характеристики. — Специальные типы.—
Расчет.—Указатель литературы.
С. Реле (электрические). — Типы реле по характеру работы. — Кон-
такты. — Типы реле по принципу устройства рабочего элемента.—
Указатель литературы.
D. Индукторы (катушкн Румкорфа). — Теория. — Расчет н кон-
струкция.—Прерыватели.—Работа индуктора в различных условиях
нагрузки и питания.—Указатель литературы.
Е. Конденсатор ы.—Указатель литературы.
Отдел 6. — Выпрямители. Под редакцией П. Л. Калантарова
составили Ф. Н. Хараджа и В. К. Крапивин.
А. Выпрямители механические и электрические
(кроме ртутных). — Механические выпрямители. — Электрические. —
указатель литературы.
В. Ртутные выпрямители. — Фнзичеокан теория. — Ртутные
выпрямители со стеклянными колбами.—Ртутные выпрямители метал-
лической конструкции.—Указатель литературы.
ОТДЕЛ I
ОБЩИЙ ОТДЕЛ
СОСТАВИЛИ
И. И. БЕНТКОВСКИЙ (§§ 1—118; §§ 151—152)
В. А. ТОЛВИНСКИЙ (§§ 119-150)
СОДЕРЖАНИЕ
(числа указывают параграфы).
А. Математика.
Приближенные вычисления.................................. 1
Функция вещественного переменного................. 15
Функции комплексного переменного.................. 18
Векторная алгебра ................................ 25
Векторный анализ.................................. 81
Расчет сложных процентов. ................. 88
Ряды Фурье....................................... 40
В. Сопротивление материалов............................ «а
Простые напряженные состояния прямых бруоьев..... 51
Сложные напряженные состояния прямых брусьев ..... 63
Моменты плоских фигур........................... 75
Гибкая нить....................................... 77
С. Механические свойства материалов.
Общие сведения................................. 78
Численные значения величия, характеризующих механиче-
ские свойства материалов ..................... 84
Допускаемые напряжения......................... 103
D. Некоторые химические и физические величины .... ют
Е. Системы единиц и мер.
Абсолютная система измерения..................... 119
Практические системы измерения................... 126
Международная метрическая система мер и весов.... 186
Законные меры Союза ССР.......................... 139
Система (отарых) русских мер.................... 146
Система английских мер........................... 147
Международные символы ........................... 148
F. Вспомогательные таблицы............................. isi
Отдел 1.
1
А. Математика.
Приближенные вычисления.
I. Определение. При производстве вычислений приходится
совершать действия иад числами, выражающими результаты
измерении разного рода величин. Так как ие существует абсо-
лютно точных способов измерения, то даже в тех случаях,
когда измеряемая величина а соизмерима с величиной, приня-
той за единицу меры, число, выражающее результат измерения,
дает значение а не абсолютно точно, а лишь с некоторым при-
ближением, или, как говорят иначе, с некоторой точностью.
Такое число называют приближенным значением
величины а.
Если численное значение величины а определяется с по-
мощью действий иад численными значениями величин b, С, d...,
из коих, хотя бы одно является .приближенным, то найденное
значение величины' а будет также приближенным,
2. Для оценки приближения, или точности, с которой данное
приближенное значение выражает рассматриваемую величину а,
установлены следующие определения и теоремы.
Пусть А обозначает точное значение величины а, и А' —
приближенное значение той же величины. Тогда число а =
= А' — А будет абсолютной погрешностью числа А
Если а > 0, то А1 будет значением приближенным п о
избытку; при а<0' А' является приближенным понедо-
с т а т к у.
Пусть А = если Аг = 751,9, то а == -J- 0,08; ори А' = 750,0 а ш
« — 1,82. , , .......
Так как в действительности А остается неизвестным, то
неизвестно и'точное значение а, и, в наиболее благоприятном
случае, известен лишь'знак числа а. Кроме того, обычно можно
установить, что численное значение а не превосходит некото-
рого числа а', которое называют иерхиим пределом
абсолютной погрешности. Зная А' и а’, мы можем утверждать,
что
. Д1=А' — а'<А<А'4-в' = А2. ,
Ах называют нижним пределом, а Д2 — верхним
пределом числа А. ‘ ’
Пусть Л'= 2,847 и а'=0,02; тогда Д, = 2,627, Д, = 2,667.
Если, кроме того, известен и знак а, то указанные пределы
сближаются.
Так, если А' — 2,847, а' = 0,02 и а > о, то Л1 = 2,627 и А, = 2,6'47, т.-е.
А, = А'; при а < о At = А' «о 2,847, и А, = 2,867.
Числа а' и а сами по себе недостаточны для оценки при-
ближения, которое дает А', так как при одном и том же зна-
чении а' приближение, или точность, будет различная при раз-
ных значениях А'.
Так, еслн а' = 1 тт, а А’ — 100 т, приближение будет весьма велико;
если же а'=1 тт, но Аг = 3 mm, приближение будет грубое.
а
Обычно приближение определяют отношением 8а = д, на-
зываемым относительной погрешностью. Зиая 8а,
легко получить а = А X 8а. Однако, так как в большинстве
случаев а и А неизвестны) то на практике приходится брать
а'
отношениеВ'а=-д->6а, называемое верхним пределом
относительной погрешности. По известному 8'а
можно составить произведение Д2 X 8'а, которое, очевидно,
больше, чем а, и может быть принято за верхний предел а.
Так, при А' = 101 ст к а! = 1 ст, имеем А, = 100 ст, Д2 — 102 ст,
8а < 8'а = 0,01 и а o,oi X 102 = 1,02 ст.
3. Для сокращения вычислительной работы
в каждом приближенном числе сохраняют лишь столько цифр,
сколько нужно для получения результата вычислений с желае-
мой точностью. Остальные цифры отбрасывают, если разряд их
ниже 1, и заменяют нулями, если он равен или выше. При
совершении этой операции нужно иметь в виду нижеследующее.
Если абсолютная погрешность а приближенного числа А'
меньше 1-цы разряда последней его цифры, то сохраняя в ием
п первых, считая слева, зиачущих цифр и отбрасывая или за-
меняя нулями все остальные, начиная с (л-|-1)"0^ получим
число В' приближенное по недостатку с абсолютной погреш-
ностью р меньшей 1-цЫ разряда последней из оставленных цифр,
которую обозначим через г. Если при этом цифру г увеличить
иа 1, то получим число С' приближенное по избытку с абсо-
лютной погрешностью у также меиьшей 1-цы разряда цифры г.
В обоих случаях все п цифр полученных чисел В' и С' назы-
вают точны м и цифрами.
Пусть А = ^0,0702 ж Д'= 0,014 142, при чем а 2> 0,060 001. Тогда
В’ = 0,014, р SS 0,000 142 0,001; В' — приближенное по недостатку и имеет
2 точных цифры 1 и 4. Увеличив 4 на1, получим С' =0,015, f=0,000858<^0,001;
С* — приближенное по избытку и также имеем 2 точные цифры: 1 н б.
Обычно цифру г оставляют без изменения, если первая из
отбрасываемых цифр<5, и увеличивают нанесли она>5.
При соблюдении этого, правила—и равила дополнен и я—
абсолютная погрешность полученного числа будет меньше
1/2 единицы разряда цифры г.
Пусть Л'= 3,1416 и а 0,0001. Тогда у В'= 3,14 будет Р ££ 0,0015
<С */з X 0.01 = 0,006- Число же С — 3,142 будет иметь ^<С0,00Э6. В’ имеет
Зи С' — 4 точных цифры.
Если А' = 1296 и а 1, то В' = 1300 имеет р 10 и 3 точных цифры:
1, 3 и 0.
В тех случаях, когда абсолютная погрешность А' больше
1-цы разряда последней его цифры, но меньше 1-цы разряда
л-ой значущей цифры, необходимо отбросить или заменить ну-
лями все цифры, начиная с (п + 1)-ой, как ненадежные. При
этом руководствуются следующим правилом.
Если а > 0, т -е. приближение по избытку, то л-ую
цифру z оставляют без изменения; если а < 0, цифру z увели-
чивают на 1. В обоих случаях новое число будет иметь л точ-
ных цифр. Если же знак а неизвестен, сохраняют лишь п — 1
значущуЮ цифру; все они будут точными в указанном выше
смысле. Если при этом л-ая цифра будет 9, то (л — 1)-ую
нужно увеличить на единицу.
1) Пусть А’ = 18,65326 и извеотяо, что a <Z о,001 ,но 2> 0,0001.
Если А = 18,652 97, то, взг в В' = 18,663, сделаем Р = 0,00029, что мень-
ше 0,001, и, следовательно, В' имеет 6 точных цифр. Если же А —18,65417,
то Р = 18,65417 — 18,653 = 0,00117 > 0,001 и В' будет иметь 4 точных цифры.
Увеличив 3 на 1, получим число С = 18,654, у которого f = 0,00017 0,001
и, следовательно, С имеет 5 точных цифр. Если бы знак приближения был
неизвестен, то мы могли бы сохранить, как точные, только 4 цифры: 18,65.
2) Пусть А' = 18,65926, а 0,001, ио > 0,0001 и знак приближения
неизвестен. Тогда, при Л=18,66876, число В'=18,66 имеет р=0,00876 ^>0,01,
ио при А = 18,66011 то же В' сделает р = 0,01011 > 0,01 Если же вместо В'
взять С = 18,66, то при обоих сделанных предположениях о точном вва-
ченни А величина f будет меньше 0,01 и С будет иметь 4 точных цифры.
4. Зная число точных цифр, можно указать и верхний
предел относительной погрешности.
Теорема I. Если число А' имеет п точных цифр, при
чем (л Ц- 1)-ая цифра неизвестна, то относительная погрешность
1
Ъа
%. 10 л-1’
где £ — первая слева значущая цифра числа А'
Если же (л -|~ 1)"ая цифра известна и соблюдено правило допол-
нения, то 8л
Так, если А' = 0,00049 имеет 2 точных цифры, то 8я<^ 1/40 в первом
случае и меньше 1/80 во втором.
Теорема II. Если число Апервая слева значущая цифра
которого есть 4», имеет о а <С Юл—i ’ Т0, есЛИ знак ПРИ$ЛИ'
жения известен, можно утверждать, что А' имеет л точных цифр,
если же знак иеизвестендо можно ручаться лишь за (л—1) цифру.
Так как # 9, то теорема и подавно справедлива, если la .
Пусть А' — 61,8636 н Яоио> чт0 и = i. Если приближение
по явбытку» io Вг = Ь1,85 имеет 4 точных цифры; если приближение по иедо-
ст»т«у точными цифрами будут 61,86. Есин знак приближения неизвестен,
можно ручаться за 51,8^ Если, кроме того, А' = 51,8938, то число с 3 точными
цифрами было бы 51,9.
В. Сложение. Абсолютная погрешность о суммы S' не больше
суммы абсолютных погрешностей слагаемых. Относительная по-
грешность 8S суммы не превосходит наибольшую из относи-
тельных погрешностей слагаемых. Это последнее правило дает,
однако, слишком высокий предел в тех случаях, когда наиболь-
шее будет принадлежать слагаемому Z?' весьма малому по
сравнению с другими. Поэтому лучше определять 8S по в',
т.-е. 8 S<c'/5'..
Прн сложении чисел одного и того же порядка следует
брать их с одинаковым числом точных цифр; если же слагаемые
разного порядка, то нужно первым написать наибольшее из них,
сохранив в нем все точные цифры; в остальных сохраняют
только те, которые могут влиять на величину предпоследней
цифры первого. Иногда пользуются правилом отбрасывать во
всех слагаемых, начиная со второго, все знаки, разряд коих на
два и более ниже разряда последней цифры первого слагаемого.
1) Пусть слагаемые одного порядка имеют по 2 десятичных и по 6 .точ-
ных цифр и написаны по правилу дополнения. Так как при этой абсолютная
погрешность каждого не больше 0,0Э6, то а 0,005 X 6 = 0,03.
566^36 Знак приближения неизвестен, и следовательно, 2399,42 <^S
343,08 2390,48. Взяв S' = 2391,4, будем иметь о 0,1, 6 точных
470 27 знаков и 6 $ 0,0002. Есин правило дополнении не соблюдено,
136^63 ° <С 0,06; поэтому 2390,39 <^ $ <^ 2390,61. Так как может ока-
2390 45 затьоя, что в действительности $ = 2390,39, то, написав $'=2390,6,
’ Получим о — 0,11. Значит, приходится считать, что $' = 2390,0; это
число будет иметь 4 точных цифры прн о 1 н 8 $ <0,002.
2) Пусть слагаемые разных порядков. В лучшем случае о ^0,06 -f- 0.005-|-
9025,7 4- 0,0006 + 0,00006 = 0,06566. Сохраняя все знаки, получим:
686,29 6687,09876 < $ <6687,20985. Если в действительности $=6637,099,
^i’otJbS) т0’ пРииив & — 6687,2, сделаем a =z 0,101 2> 0,1. Приходится, сле-
6687 16(43) Д<>вательио, принять $' = 6637,0 при о < 1 и 6 $ < 0,006. Знаки,
.’ ™ * поставленные в скобках, могли быть при сложения опущены.
Если бы у первого слагаемого последняя цифра была 8, можно было бы во
всех остальных отбросить цифры разряда ниже 0,1.
6. Вычитание. Абсолютная погрешность разности не больше
суммы абсолютных погрешностей уменьшаемого А' и вычитае-
мого В’. Относительная погрешность определяется как при сло-
жении, т.-е. 8 S < . Еслн^ А' и В близки друг к другу, то
8S значительно больше, чем 8 о и 8 ft.
Пусть А' 823,6, —а < 0,06, 6 а < аТзТЧо» = вООО’’ ^'=321,73, 0 <0,06,
(, <0^0 > тогда $' = А’ - прн чем 9< ОД н 8 $ < -Д-
7. Умножение. При двух сомножителях А' и Д' абсолютная
погрешность т произведения С' определяется неравенством
Y* < Д2 0' а'. При любом числе сомножителей относитель-
ная погрешность произведения меньше суммы относит, погр.
сомножителей: 8/? <8 д’-)-ой-|-8f-|-......
При перемножении двух чисел можно сильно сократить вык-
ладки, применяя сокращенное умножение, способ про-
изводства которого исеи из примера.
Пусть иужно найти с точностью до 0,1 произведение чисел 60,769 484
и 32,983 756. Пишем первое как множимое, & второе подписываем в обратном
порядка н при том так, чтобы цифра его простых единиц, т-е. 2 стояла под
той цифрой множимого, разряд которой в 100 раз меньше заданной точности;
в данном случае это будет цифра тысячных, т,-е. 9. Затем производим перемно-
жение в следующем порядке. Помножаем на крайним) цифру множителя,
котйсмял т,‘е’3» все ^ифры множимого, начиная с той, которая стоит над 3,
®О76Э484 т»-е. ° Получаем 1-°е частное произведение. Затем множим
65788928 на 2 все цифры множимого, начиная с цифры, стоящей над 2,
1523082 т.-а. с 9. Следующее произведение получим умножая на 9 все
101588 цифры множителя, начиная с 6 и т. д. Последним будет проиэве-
45884 деиие 7 на стоящее над ним 5. Все произведения подписываем
4056' одно вод другий так, чтобы последние цифры стояли в одном
150 столбце и складываем. Полученная сумма к будет искомым про*
85 взведением. Чтобы получить заданную точность, нужно, яезявм-
1674545 “ е*ив отво веямчвяы, отбр оситьдв е последние цифры
с п р а в а (в данном случае 4 н 5), а последнюю из оотав-
шиюя увеличить на 1 (Общее п р а в в л о). Эта цифра и будет
цнфройг произведения разряда, одинакового с разрядом заданной точности.
Таким Образом, в данном случае произведение будет 1674,6 с точдот» До 0,1.
Если бы последней цифрой множивого была 6, то 9 и 4 нужно было заме-
нить нулями. Если вы последней цифрой множителя &W& 8, то число
частных произведений было на 2 меньше.
8. Вомыиинив в степень. Если А' — В'п , ТО абсолютная
погрешность « < в ₽' Z?2"
Пуотъ В'ззЗД, р.^0,1, п=4. Тогда ^'=0,1, В,=з,2 в а<^4.<М .3,2*,
т.7е, приблизительно а<^13,2. Действительно, если {$<^0,1, то 3^<jB<C8>2
и 81,0 В‘ 104,88. Взяв 3,1* = 82,4, мы получим число, кокяй может
отличаться на 11 и даже на 12 от В1.
Относительная погрешность 8 а < п . 6 Ь.
В разобранном примере 8 = « 8 а < $j~O,lS.
9. Деление. Абсолютная погрешность 7 частного С^Иух
чисел А' и В' определяется неравенством 7
Вгг
Относительная погрешность 8с<Ча + од.
Сокращенное деление. Пусть требуется найти часткое<чисел
51,467 805 34 и 3,571126 59 о аб<ь погр. а 0,01. Тяг цак разряд
5146781367112
167566
цифры частного будут десятки, то для получения
точности нужно 4 точных цифр. $ил этого д0отато4йо>||рв*
142844
14722
14284
488
857
лимом и делителе сохранить по в цифр, т;-е. на 2 божЫМК
Вообще, если число точных цифр частного л; то в делИмрН
и делителе оставляют по п -J- 2 цифр. Полученные чисак
делят так: первая цифра частного й первый остаток Ц6ХЛ
как обычно. Затем отбрасывают 1-ую о конца цифр/
делителя (2) и находят вторую цифру чаотивго и 2-ой
От<’Р°спв 2*ю Цифру делителя (1), находят 3-ю цифру
частного И 3-й остаток, '
Операцию повторяют тем же путем, дока не .получат
п цифр частного; в данном случае оно 14,41. Если при получе-
нии какого-либо остатка в уменьшаемом нехватает цифр, их
заменяют нулями. Если какой-нибудь остаток содержит новый
делитель 10 раз, то последнюю из найденных перед этим цифру
частного увеличивают на 1-цу, а все последующие заменяют
нулями.
10. Извлечение корня. Если А' В', то абсолютная по-
грешность а<------l-----Относительная погрешность — .
В)/ ВТ~1 П
Сокращенное вычисление квадратного кор-
ня основано иа том, что, если VА должен иметь 2m илн2/п+1
цифр, то, найдя (т +1) первые цифры, образующие число В,
можно написать: y'A +
2Z?
Пусть задано найти с точностью до 0,0001, т,-е. с Б цифрами; тогда
2/n + 1 =: Б и m +1 = 3; три первых цифры находим с помощью таблицы
квадратов. Так как корень должен иметь 5 знаков, то придется
, ваять л = 3,1415 92 00; по таблицам ближайшее число S = 17Т й
8692001354 В» — з 13 29. Вычитая, находим = 869200; 2В — 354 (при пронз-
‘9° 124 водотве зтнх операций не обращают внимание иа запятую). Нако-
161 нец, делим Ь иа 2В по цр а виду сокр аще ня о го де-
140 л е д.и я и находим две остальные цифры 2 к 4. При атом в дели-
~2j мои оказались неиспользованными цифры 200. Найденное зна-
чение Ух"= 1,7724.
II. Применение алгебрапческпх формул для упрощения вычис*
донна.
1) (а + Ь)га2 + 2аЬ + Ьг;
82» =(80+ 2)» = 6400 + 320 + 4 = 6724.
2) (а — ЬУ = а2 — 2аЬ + й2;
87» = (90 — З)2 = 8100 — 540 + 9 = 7569.
3) а* - й» = (о + Ь) (а - й);
372 — 232 = 60.14 = 840.
4) ab = J-) — 2 ) •
75.25 = 50’ -25» = 2500 -625=1875. =
5)(а*й)з = а’±3а2й + 3ай,±»»; , ;
283 = (30 — 2)3 = 27000 — 5400-}-ЗбО — 8 = 21952. ’ *
6) v/J* + 4/й = )/ Д’ й + 2 \/ab; ''
;<! + V/^2 = v/5+T2 + 12 = v^?- '
7) Vo — Vb *» ± Va + b—sVafr; ~ _ _!
VT — \/12 = — V3+12 — 12 = — VS’.
8) - а^~ь + 2У^ •
у/а — у/b а —b
у/3 + д/12 = 3 + 12 + 2 , 6 _ _ з
у/3—02 3—12
В отдельных случаях вычисления могут быть значительно
упрощены разложением чисел на множители и вынесением
общих множителей за скобки.
'9) ^676 =-/^64 = 8 X 8 = 24.
.. „„ Зв — 7зв> + 4.32.81 .
10) 32х» — Звх — 81 = 0; X —-У % -------•
36» + 4.32.81 = 36» + 4.4.8.91 = 36» + 8.36» = Зв» (1 + 8; = 9.36»;
__ 36 ± 3.36 , _ 4.36 _ 9 _ ' 2.36 9
*— 2.32 ’ ~ 2.32 ~ 4 ’ 2.32 “ ~ 8
12. Поверив умножения и делении.
3617.2034 = 7 356 978. Сложим цифры множимого : 34-6-}-1-|-7 = 17;
сложим цифры 14- 7 = 8. Сложим цифры множители: 24-04-3-|-4 = 9.
Перемножим 8 . 9 = 72 и еще раз сложим: 7 + 2 — 9. Теперь сложим цифры
проиэзедеиия: 74-34-54"в-г®4"74-8 = 4б. Сложим 4 4-5 = 9. Так как
операции над цифрами сомножителей, с о дно й стороны, и произведения/
с другой, привели к одному и тому же результату — 9, умножение совер-
шено верно. *
131 872 : 317 = 416 Поварка основана на том, что 416X317 = 131872.
4 4-1 4-8 = 11; 14-1 = 2; 8 4-14-7 = 11; 14-1 = 2; 2 4- 2 = 4; в другой
стороны: 14-34-14-84-74-2 = 22; 2 4-2 = 4. Так как 4 = 4, деление
совершено верно.
13. Применение бииомиальиоге ряда для приближенных вычис-
пений.
Выражения вида (а±Ь)п могут быть преобразованы в
п А Ь \л Ь п
а \ \±~] , или,полагая —= х, в выражениесг (1 ± х) •
Если b < а, то х < 1 и при любом вещественном зиачеиии л
(1 ±х)" = 1 ± JLX + п(п-Х} 2 + л(л —1)(д —2) 3 ,
1 1.2 — 1.2.3 ’
При п > 1 ряд конечный и в’меет (Л 1) член. При
п < 1 ряд бесконечный. Взяв в разложении Z? первых членов
и отбросив остальные, сделаем абсолютную погрешность а, рав-
ную сумме S отброшенных членов. Если знаки этих членов че-
редуются, то а = S < • • • (п ~ ^+1}. х*,т.-е. а меньше
.0 1.2...^ '
Первого из отброшенИМХ^еНОв; если же все члены суммы 5
ogrero знаке, ад ? < jo^ если<х и
х* < оТэло'”,
В большинстве случаев можно получить достаточную точность,
взяв в разложении 3 и даже 2 члена, если х ие превосходит
некоторого определенного числа.
Л) При п>1 и целом выражение (1 — х)" дает ряд знако-
переменный.
а) п = 2; А' = 1 — 2х;
а < 0,01 при х < 0,14; а < 0,001 при х < 0,044.
1) о,912 = (I — 0,09)>; Д' = 1 — 0,18 = 0,82, & та® как 'приближение по
недостатку, последнюю цифру увеличиваем иа единицу, так что 0,91*^0,83
а < 0,01.
2) 0,97Б2 = (1 — 0,02В)2 — 1 — 2.0,t>25 = 0,950. По тем хе соображениям
0,975* 0.951, а 0,001.
b) п — 3; А' = 1 — Зх. Вообще а < Зх2;
а < 0,01 при х < 0,063; а < 0,001 при х < 0,025.
1) 0,943» = (1 — 0,057)» « 1 —3. 0,057 =а 0,829 0,83, а < 0,01.
2) 0,982» = (1 — 0,018)» 1 - 3. 0,018 = 0.94в S 0,947, а < 0/01.
с) При л>3 нетрудно установить в каждом отдельном
случае, до какого значения х первые $ членов достаточны для
получения заданной а.
Пусть п — 8. k = 3. а <С 0,001. Нужно, чтобы 4-ый член разложения
8.7.6
г . 2 . 8 ~ 56x3 0,001, т.-е. х 0,026. Найдя предел х, можно найти,
иапрвмер: 0,98* = (1 — 0,02)а « 1 — 8. 0,02 4- 28.0,02* = (ДО12 0,851. Здесь
последнюю нэ оставленных цифр не увеличиваем, так как приближение
по избытку.
В) При и > 1 выражение (1 4- х)” д а е т ряд с поло-
жительными ч-л е и а м и.
а) п = 2; Д' = 1 +2х,—приближение по недостатку.
а <0,01 при х<0,14; а <0,001 при х<0,04.
Ь) п = 3; Д' — 1 -|- Зх,—приближение по недостатку.
а < 0,01 При х < 0,062, а < 0,001 при х < 0,025.
Так 1,015» 3 . 0,015 = 1,045 g 1,046; а < 0,001.
1,052» S14-3. 0,052 = 1,156 И 1,16; а <0,01.
с) При п > 3 предел х устанавливается в каждое отдельном
случае.
Пусть п = 5, = 3, а < 0,001. Для этого достаточно, чтобы:
1) х < =« 0,2 и 2) р-~ X3 < 0,9.0,001, или х3 < 9.10-\
Т.-е. х< 0,0448. Поэтому
1,02s ан о,О2 + 10. 0,022 = 1,104 Эй 1,195.
С)1>п>0;(1+х)л.
vT+a=1+±х - +144 л» - +-
2 2.4 2.4.0 2.4 . О . р
V1 ц-хэи 4--^ х,—приближение по избытку, а < Ах2;
2 8
в <0,01 при х< 0,282; а< 0,001 при х< 0,0894.
I) 41,28 к 1 + /, 0,28 = 1,14; а < 0,01.
2) 4 1,08» 1 + Ча 0,089 = 1,044э 1,044; а < 0.001.
। х — 1 j_J_ х_1 • 2 хз । 1 • 2 . 5 з_ 1 . 2.5.8 .
|/1+х 1+^х 3 бх+—_^Х 12х«+..
j । 1 х _ 1 Xs 4- 5 х3_Ю х4 I 22 х5_
Г + Ух 9X+8iX 243^ + 729^
1 + х 1 х, — приближение по избытку, а < 2.х>.
а < 0,01 при х < 0,3; а < 0,001 при х < 0,0948.
D) 1>п>0; (1— х)п.
vrr^=l-i|x-1 Х>-* х3- * х*- ? х3-...
2 о 10 12о 2ЭО
д/1 — х sz 1 — ^х ,—приближение по избытку.
а < 0,01 при х < 0,268; а < 0,001 при х < 0,0848.
i/\_х =1__ 1 х_ ' Xs_— х3 — Ю х*_ 22 vs _
У1 х 1 3х Тх 81х 243^ 729х ’ *
^1— х^1— -А-х,—приближение по избытку.
а < 0,01 при х < 0,284;' а 0,001 . при х < 0,09.
1) 4 0,916 — -/1 — 0,084^ 1 — 0,042 = 0,988; а < 0,001.
3 ' 3 ___
2) ^0,73=$/1 — 0,27 = 1 — 0,09 = 0,91;а<°>01-
•• £).•>»>-!; (1+х)“.
^“^Тх + Нх’-^хз + А^х4-...
' =1-^х+4х’-йх3+5х4-йх8+-
1'1 Q - .
•.stl— — x; а <.х х’,—приближение по недостатку.
V 1 Ч* X 2 о
11
Приближенные вычисления Отд. 1—13
а <0,01 при х <0,164; а<0,001 при х <0,0516.
1.4„, 1.4.7^ , 1.4.7.10
р/Г+^
•±
3
2
’ з
3.6 3.6.9 * 1 3.6.9.12
. 2 Х2 — Ц з 35 __ 91 5
9Х 81 + 213 729Х
1 1 о
= 1 “д- х,~приближение по недостатку, а <4.
а < 0,01 при х < 0,212; а < 0,001 при х < 0,0670.
F) Р>и> — I; (1-х)п.
-------= 14- — х-4- — х24- — х‘4- $** х* 4- —• х54- .
V1 —* + 2 8 Х + 16х ' f2§ ^256Х ' ’
—== 1 + А х,— приближение по недостатку.
а <0,01 при х <0,154; а <0,001 при х < 0,0489.
= 1 + 1 х4-1 ха4- Ц х=> 4 ,£1 х<+91 х»+ .
1/TTZT 3 9 т 81 243 ' 729
1
— 1 4- у х,—приближение по недостатку.
а <0,01 при х< 0,201; а <0,001 при х< 0,0636.
О) п = — I
1
—?— s 1 - х, а < х2,—приближение по недостатку.
! + х
«< 0,01 при =х<0,14; а <0,001 при х< 0,044.
_1— = 1+ х + х’ + х3 * + х‘ + х5+ . . .
1— X
у-!— 1 + х,—приближение по недостатку.
«<0,01 при х<0,13; а <0,01 при х< 0,043.
1
(1±х)л
Л (Л + 1) vs — П (п + 1) (л + 2) s
‘1.2 * 1.2.3
' 4-frfr *1) (л+ 2) (л+ 3)^
+ д ,, 1>2>-3/4 -
a) n = 2.
1
(1±X)2
= 1 pz 2x + Зх2 zp4x3 4- 5x4 zp.
1
(1 + x)2
a <
1
(1-X)2
1 — 2x; a < Зх2,—приближение no недостатку.
0,01 при x < 0,08; a < 0,001 при x < 0,026.
^1 + 2 x,—приближение по недостатку.
a < 0,01 при x < 0,075; a < 0,001 при x < 0,025.
b) n = 3.
__1----= 1 zp 3x + бх2 zp 10x3 + 15x4zp . . .
(lztx)3
(1 -^ x)3 1 — 3x;“ < 6x2,“приближение no недостатку.
a <0,01 при x< 0,053; a <0,001 при x< 0,016.
---1---si + Зх,—приближение no недостатку.
(1-x)3
a <0,01 при x< 0,050; a <0,001 при x< 0,016.
7) Для случаев, не указанных выше, можно применить
общие формулы.
Ь) П = |
1 ’
V(la:xZ
1) ПуОТЬ Я:
0.
Р
Я
Р(Р+«7) Р(Д+<7)(Р+2<7)
,<7 • 2?
:=3А; р/ (1+xF=H-4
1 . 2<7.3<7
з , , 3.6 _
178 е* + ГТП21^
1
3 • • 3
Af = 1 -Ь —г,—приближение по избытку; а < л»;
-.32
a < 0,01 при х« < . 0.01ИЛИ 0,323.
Поэтому 1,326» S 1 + »/, . 0,326= 1,244 1,24.
2) Пуетья = -4:^ = 1 + 4ж+^х. + *Л^х,+ ...
ур-х)«
А' = 1 + 4'зХ,—ириблвже . пей оета,ку; *лЯ - ппп, • ..
4.7 4.7 . 10 7 7 0,001 ИуЖЯ0‘ ',тови
зТ« **: ЗИГ? 9 ** > 10, х < °>08 и -f-g “• < 0,001,0.9 т.-е. *,<0,024.
Следовательно, -г—--= 1+ -т- 0,024 — 1,032 £ 1,033.
О /---~ 3
у 0,976*
/ ~ & &
с) \/а (а — Ь) = о I/ 1 ± — asffdt-Q-, т.-е. геометрическое
у и £
среднее равно арифметическому среднему.
,________ Ъ
у а приближение по избытку.
а <0,01 при Ь < 0,28 а; а < 0,001 при b < 0,089 у/Тт.
.________ b
у а(а — Ь)^а — -2 .—приближение по избытку.
а < 0,01 при Ь < 0,26 \/ а; а < 0,001 при b < 0,084 у/ а.
Так / 9.9,84 S.» + 0,42 = 9,42, ябо 0,28 /9 = 0,84; а < 0,01.
/9.8,22 = / 9 (9 — 0,78) S 9 — 0,39 = 8,61, ибо 0,26 / 9"= 0,78; а < 0,01.
d) Ta же формула дает.
/ ьу
(a .t -j I. = а (а ± b) — приближение по недостатку.
b Ь
а<^0,0Х при-2-<0,1; а<0,001 при-у <0,03.
' 14. Логарифмы.
Если d° = N, то х есть логарифм N при основании а.
Если д —10, логарифмы называют обыкновенными, деся-
тичными или Бригговыми и обозначают lg N. Если
за основание принято число е = 2,718 281 ..., логарифмы назы-
вают натуральными и обозначают InN1).
Формулы:
lg N — lg е . In N — 0,434 294 In N,
“ lnN~ln 10.lgN^‘2^5X) lg N
дают переход от одних логарифмов к другим и обратно.
Число 0,4343 = "2збз называют модулем десятичных
логарифмов и обозначают М.
При переходе от числа N к числу где А<М при-
ращение логарифма Д = lg (N й) — lg N = lg =
( fl \
1 ’дГ ) • Так как для любого числа х, при условии
— 1 < х < + 1, имеем .
I) В формулах по электротехнике тавто основание натуральных лога-
рпфмов обозначают чераз к. так как е олумИт Символом ». д. силы.
..... *2 . X3 X4 , X5
In (1 + х) — х — 2 4- 3 — 4 + 5 — • • •,
Л
то, полагая х = -ff-, находим:
. .. . Л Л \ ,, ГЛ ' 1 /л\ 1 /Л V 1
Д = л/. Zzr Ql + NJ =м [д,-2 + 3 {Nj -...].
Л Л
Откуда с достаточной точностью: эг0,43-^, на чем
и основано применение пропорциональных частей.
Если для W дано лишь приближенное значение N' с абсо-
лютной погрешностью т, то имеем N — N' и
lg N = 4- v) = lg N' + Д = lgN'+
4 1
где -тп- = 5ЛГ. Как известно oN < -———г, где — первая
' ’ х к. 1
слева значущая цифра числа N1, а л—число его точных цифр.
Значит, принимая IgNez IgN', делаем абсолютную погрешность
т 0,43 4,3
« = 0,437r<r^ = -riF.
5 1 1 1
При«<4, прн«>4,^<в<~.
Пусть Л~4; при Л<4: ±->a>_L; ирн * > Ь:-L <a<_L .
Следовательно, при нахождении логарифма мы
в лучшем случае получаем столько точных цифр мантисс ы. сколькр
их имеет Число N’. Значит, бесполезно для числа с л точе-
ными цифрами брать логарифмы с (л4~1) знаками.
При нахождении числа по логарифму абсо-
лютная погрешность а логарифма меньше 1-цы последнего
знака мантиссы, следовательно, . :. г с
.А,_У______а 1 *
п N' 0,43 ^0,43.10я 43.10я-2 ’
где л—число знаков мантиссы.
При 5-значных логарифмах
1 1
8ЛГ< 43 . IO3 < 4.104 •
Следовательно, если знак приближения неизвестен, найденное
число N' будет иметь 4 точных цифры в ТОМ случае, когда
первая слева значущая цифра ф числа N' будет ^<3 и 3 точных
цифр если ^>4. Если знак приближения известен, то число
точных цифр числа № нолучнтся соответственно: 5 и 4.
Таблица!. Десятичные, или Бриггоиы, логарифмы.
N 0 1 2 3 4 5 6 7* 8 V
10 00000 00*32 00860 01284 0170В 02119 08531 02938 03342 08743
11 04139 04582 04922 05808 05690 06070 064*8 06819 07188 07555
12 07918 08270 08686 08991 09342 09691 10037 10380 10721 11059
18 11894 11727 12057 12386 12710 13033 13354 13872 13988 14801
14 14813 14822 15229 15634 15838 16137 18435 16732 17028 17819
15 17809 17838 iaa 18469 18752 19083 19312 19690 19888 20140
16 20412 20883 20962 21219 21484 21748 22011 22272 22531 22789
17 23045 23300 23553 23805 24055 24304 24551 24797 25042 25286
18 25627 26768 28007 28245 28482 26717 26951 27184 27416 276*6
19 27876 28103 28830 28566 28780 29003 29228 294*7 29887 29885
20 80108 30320 30635 80760 30983 31175 31387 31597 31806 83015
21 82222 32*28 32634 32838 83041 332*4 834*5 33848 338*6 840*4
22 34242 34*39 84635 34830 35025 35218 35411 ЗбвОв 35793 35984
28 36178 30381 36549 86736 38922 87107 87291 37475 87658 87840
24 38021 38202 38382 88561 38739 38917 39094 39270 39*45 39620
25 39794 39967 40140 40312 40488, 40864 40824 40998 «1182 «1330
28 27 41497 43136 41684 48207 41830 43457 41996 48616 42160 43775 42325 43938 62468 44091 42851 44248 42818 44484 42975 44580
28 44716 4*871 45025 4517Г 45332 45484 45687 45788 аяю 49090
29 *вг*о *8380 46538 *8887 48836 48982 47129 47276 47422 47567
80 47712 «7857 *8001 48144 48287 48430 48572 48714 *8(56 48998
81 49136 40278 49415 49654 49698 49831 49969 501Q8 602*3 60379
82 50515 60851 60788 50920 61055 61188 51322 51456 51587 51720
38 51851 51983 52114 52244 52375 52504 52634 52768 52892 63030
34 58148 63275 63408 53528 63858 53782 53908 54033 6*158 54283
35 54407 54531 54854 54777 54900 55145 56287 65388 55509
Зв 55630 65761 55871 55991 58110 68348 58487 58585 56703
37 58820 56837 57064 57171 57887 67408 57519 57834 677*9 87884
Зв 67878 68092 58206 58320 58*38 68548 68869 58771 58883 58995
89 59108 59218 59329 59*39 59550 69880 69770 59879 69888 66087
40 00206 80314 60428 60581 80838 «0746 80853 «0069 вшв 61172
41 (81278 61884 61490 61595 81700 «1805 61909 «301* 82118 82221
48 (82325 62*28 62531 62634 82737 32839 62941 83048 «8144 «32*4
48 «за» 68443 835*8 68649 «3748 «3849 63949 84048 8*1*7 84248
44 «4346 64*44 8*642 84840 84738 84838 64938 «5081 86128 65225
45 85321 65*18 86514 65610 85708 86801 «5898 «8992 88087 88181
46 66276 88370 66464 66558 66652 .887*5 «8839 66932 87U25 87117
47 67210 67802 67394 67486 87578 87889 «7781 вхи» 87948
48 «8124 68216 68305 68895 88486 «857* 88884 «8763 68842 ляявх,
49 «9030 «9108 69197 89285 89378 «9*81 89548 <89888 «9723 «818
50 «9807 азов* 70070 70157 70213 70829 70415 70601 70588 70872
51 70757 908*2 70927 71012 71098 71161 71265 71349 71488 71617
52 71600 явв* 71767 71850 71938 72018 72099 72181 72288 723*8
58 54 72428 73289 72609 73820 72591 73400 72873 73480 72754 73580 7364$ 72918 78719 72997 73799 73078 78878 73159 78957
N 0 1 2 . 8 4 5 в Я 8.. '45-.
Продолжение Таблицы I.
н 0 ' 1 2 3 4 6 6 7 8 9
бб 74036 74116 .74194 74273 74351 74429 74507 74586 74663 .74741
66 74819 74896 74974 76051 76128 75205 76282 75358 75436 75511
67 76587 76664 76740 76816 75891 76967 76042 76118 76193 76268
68 76343 73418 75492 76567 76641 76716 76790 76864 76938 77012
6» 77085 77169 77282 77305 77379 77462 77625 77697 77670 77743
60 77816 77867 77960 78032 78104 78176 78247 78319 78390 78462
61 78533 78304 78675 78749 78817 78888 73958 79029 79099 79169
62 79289 79309 79379 79449 79618 79588 79667 79727 79796 79865
68 79934 80003 80072 80140 80209 80277 80345 80414 80482 80550
64 80618 80686 80754 80821 80889 80956 81023 81090 81158 81224
66 81291 81368 81425 81491 81658 81624 81690 81767 81823 81889
66 81964 82020 82086 82161 82217 82282 82347 32413 82478 82543
67 82607 82672 82737 82802 82866 82930 82995 83059 83123 83187
68 83261 83316 83378 83442 83506 83559 32632 83696 32769 83822
69 83885 83948 84011 84073 84135 84158 84261 84323 84386 84448
то 84510 84572 84634 84696 84767 84819 84880 84942 85003 85055
71 85126 85187 85248 86309 85370 85431 85491 85552 85512 85673
72 85733 85794 85854 85914 85974 86034 86094 86153 85213 86273
78 86332 86392 86451 86510 85570 86629 86688 85747 86806 85854
. 74 86923 86982 87040 87099 87157 87216 87274 87332 87390 87448
76 87606 87664 87622 87679 87737 87796 87852 87910 87587 88024
76 88081 88128 88196 88252 88309 88366 88423 88480 88536 86593
77 88649 88705 88762 88818 88874 88930 88985 89042 89098 80154
78 89209 89266 89321 89376 89432 89487 89542 89597 89653 89708
79 88758 89818 89873 89927 89932 90037 90091 90146 90200 90255
80 90309 90363 90417 90472 90526 90580 90634 90587 90741 90795
81 90849 90902 90956 91009 91062 91116 91169 91222 91275 91328
83 91381 91434 91487 91540 91693 91645 91698 91751 91808 91855
83 91906 91960 92012 92095 92117 92169 92221 92273 92324 92375
84 92428 92480 93581 92683 92634 92686 92737 92788 92840 92891
86 92942 92993 93044 93095 98148 93197 93247 93298 93349 93399
86 93460 93600 93551 93901 93551 93702 93752 93802 93852 98902
87 93952 94002 94052 94101 84151 94201 94250 94300 94349 «4899
88 94448 94498 94547 94596 94646 94694 94743 94792 94841 94890
89 94939 94988 95036 95085 95134 95182 96231 95279 95828 95376
80 95424 95472 95521 96669 96617 95865 96713 95761 95809 95855
91 96904 95952 95989 96047 96096 96142 96190 96237 95284 96332
82 93379 96426 96473 96520 95557 96614 96551 96708 96755 96802
. 83 98848 96895 99943 96988 97035 97081 97128 97174 тм 97267
94 97313 97359 97405 97461 97497 97543 97589 97635 97581 97727
86 •97772 97818 97894 97909 97955 98000 98Q46 98091 98137 58182
96 98227 98272 98318 98363 98408 98453 98498 98543 98588 98632
97 98377 98722 98767 98811 98856 98900 98945 98988 99034 99078
98 99123 5915Т 99211 99256 99300 99344 99388 99432 99476 99520
99 99664 99607 99951 99695 99789 99782 99825 99870 99913 99957
7
N ;0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Т в б л и ц а II. Натуральные логарифмы.
н 1 а 1 2 2 4 6 в 7 8 ' Й »
0 — ОО 0.0000 0.6931 1.0086 1.3869 1.6094 1.7918 1.9459 2.0784 2.1972
1< 2.30» 2.9971 2.4841 2.564! 2.6391 2.7081 2.77» 3.8889 £8901 2.9444
2( 2.0951 3.0445 3.091С 3.1856 3.1781 3.2189 8.2581 3.29И 3.8332 8*673
80 8.4012 3.4840 3.4667 3.4965 3.5264 3.5558 3.5836 5.5109 3.6376 3.6630
40 3.0889 8.7136 3.7377 8.7612 3.7842 3.8067 3.8286 3.8501 8.8712 8.8918
« 8.91» 8.93Н 3.9512 3.9708 3.9890 4.0073 4.0254 4.0431 4.0601 .40775
60 4.0848 4.1109 41271 4.1431 4.1588 4.1744 4.1897 4.2047 4.2196 4.2841
то 4.2486 4.2027 4.2707 4.2006 4.8041 4.8175 4.3307 4.3438 4.3607 4.8094
8( 4.88» 4.3944 4.4067 4.4188 4.430? 4.4427 4.4548 4.4659 4.477S 4.4886
90 4.4888 4.5109 4.5218 4.6326 4.5483 4.558» 4.5643 4.5747 4.5850 4.6961
100 4.60» 4.0161 4.6250 4.6847 4.0444 4.6640 4.6634 4.0728 4.6821 4.6691
1Д' 4.7006 4.7095 4.7185 4.7274 .4.7369 .4.7449 4 753А 4.7629 4.7701 4.7791
19 И •4.7958 4.8Й4О 4.8122 4.8209 4.8283 4.8363 4.8442 4.8520 4*588
Ui 4.8752 4.8828 4.8903 4.8978 4.9053 4.9127 4.9200 4.9273 4.9846
1« ШШв 4 9488 4.9558 4.9628 4.9698 4.9707 4.9886 4.9904 4.»»72 5.0039
1К .4.0101 5.0179 5.0289 6.03М 6.0371 5.0434 5.0499 5.0502 6.0626 5.0689
1« 5.07И 6.0814 5.0876 6.0938 5.099» 6.106» 5.1120 5.1190 5.1240 5.1299
170 8.1868 6.1417 5.1475 5.1583 6.1591 6.1648 6.1706 6.1761 5.1818 6.1874
1М 6.1980 5.1985 5.2040 6.2095 6.214# 5.2204 5.2267 5.2811 5.2304 6.W7
196 6.2470 6.2623 6.2576 6.2027 6.2679 5.2730 6.2781 5.2833 5.2883 5.2983
20С 5.2988 5.3033 5 3083 6.3132 5.3181 5.3230 5.327» 5.3827 5:8875 5*423
21С 5.3471 6.3519 6.3560 5.3013 5.366# 5.8700 5.8758 5.8790 6.3845 6.3891
22С 5.3936 6.8982 5.4027 5.4072 .5.411# 5.4161 5.005 5.4256 5.4293 5.4387
23G 5.4881 5.4424 6.4467 5.4510 5.4551 5.4596 5.4638 5.4681 6.4723 5.4765
24С 5.4806 5.4848 6.4889 5.4931 6.4972 5.5013 6.5053 5.5094 злт 6.Й75
25С 5.6215 5.5356 6.5294 5.6334 5.5371 5.5413 5.5452 5.5491 6.653d 5.5568
две 6.6407 5Л645 5.вр83 6.5722 5.575# 5.5797 5*836 5.5872 Б.5»10 ;б.«мя
это 6.5804 6.5021 5.0U68 5.6096 6.6181 5.6168 6*904 6*М> 6.6376 6*312
28С !.«йв 5 5384 5641» вами 5.649# 4.6525 5.6600 SMK 5.6630 *.0664
S8C M4W 6.5733 5.0788 5.0892 6.099# 5.6870 6.0904 5*987 6.0ЭТ1 5.ТО04
эов 0 6.7071 5.7104 6.713» 6.7174 5.72В6 5.7236 5.7208 5.7804 *7838
ЗИ 5.7398 6.7430 «пр» -3W 5.7494 5.7528 5.7557 6.768» 6.7624 6Л662
320 5.7083 5.7714 5.7740 5ЛвЙ 5.7838 5.78W -5.ТО00 5.7930 6.7901
вэе £7991 5.8021 6.8051 5.8081 5.8111 6.8441 5.8171 6W 6.8230 ,5.8260
:.<й« 4.328» 5*31» 5.8348 5.8377 5.840# 5.8435 5*464 5ЖЗ 5.86Й «.«S61
8» №&70 6.8830 5.8066 *•8098 5.8721 5.874» 6.8777 6.8805 S.8B33
зво 6.8801 5 888» 618918 5.8944 №8971 БЛ9М 5.9036 8.Ю54 5.9084 6.9108
ЭТО 6.9136 6.9102 o.ew 6.9210 №9241 5.9Ш 5.9296 6ММ 5.634»
8вв 6.9402 5.9428 6:9464 5.Я48С <6.9Б0< .5ЛШ Л 5.9556 ЛЛ№6 вдеи 5.9663
ж 5.0661 5 9607 6.O71S 5.8736 5.070- 5,66145*83»
й 424 мы 5.9940 5.9905 5.098» 4.0011 6.803» 610964 «леев 6.011»
«диво 5.0420 6 0210 0.0460 80234 670474 (5ЛЙБ# 0.04»! 610183 вшя 6Л6ЗД 6ХМ1 6Ш8 6.03»
436 воем 6*681 6.0684 0.070» 6.077» влММ
«в 8.0886 вдш 6.0913 6.0936 влм в.<*81| в.ИО» влиял ЖШТ
456 0.1002 5.1116 6.1137 0.115» 8.1181 блбйд 6.1138
ДО 0.1312 6.1834 6.4866 0.1977 0.1394 6.14301 • 1403
46 0Л527 0.1640 в.шо; 0.1W1 влево «.ММ в.ИЗЗ^ 8ЛЗМ 64.6U
ас 01738 0.1760 0.177»! 0.1821 0.18411 «.им 6Д8Й
490| в.1944{ 6.1954 6.1985 0.2006 Б.ММ| влом; ».«бб| 6Л06Й 4МЙ{
Отдел 1.
2
Продолжение Таблицы II.
н 1 0 1 ! 2 3 4 5 1 6 1 7 8 1 9
5001 6.2146 6.2166 6.2186 6,2206 6.2226 6.2246 6.2265 6.2285 6.2305 6.2824
610 6.2344 6.2264 .6.2389 6.2405 6.2422 6.2442 6.2461 6.248С 6.2500 6.2519
,в» 6.253$ 6.2556 6.2577 ,6.259$ б.Ш 6.2634 6.265$ 6.2672 6.2691 6.2710
. . 63С 6.2729 6.2748 .6.2766 ,6.2785 6.2804 6.2828 6.2841 6.2860 6.2879 6.2897
540 6.2916 6.2934 6,2958 6.2971 6.2989 6.3008 6.8026 6.3044 6.3063 6.3081
550 6.809$ 6.8117 6,3135 6.3154 6.3172 6.3190 6.320$ 6.8226 6.3244 6.3261
Б60 6.3279 6.8297 6.3315 6.3333 6.3350 6.8368 6.8386 6.8404 6.3121 6.8439
670 6.3456 6.3474 6.3491 6.3509 6.3526 6.3544 6.3561 6.3578 6.3598 6.3618
. 580 6.3630 6.8648 .6.3665 6.8682 6.3699 6.3716 6.8733 6.8750 6.3767 6.8784
. 590 6.3801 6.3818 6.3835 ,6.3852 . 6.3869 6.3886 6.3902 6.3919 6.8936 > 6.8953
600 6.8969 6.8986 6.4003 6.4019 6.4036 6.4052 6.4069 6.4085 6.4102 . 6.4118
ею 6.4135 6.4151 «.4167 6.4184 6.4200 6.4216 6.4232 6.4249 6.4265 6.4281
. 620 6,4297 6.4318 6.432$ .6.4845 6.4362 6.4378 6.4394 6.4409 6.4425 < 6.4441
. .630 6.4457 .6.4478 6.4489 6.4505 6.4520 6.1536 6.4552 .6.1568 ,6.4583 ; 6.4599
. 640 6.4615 6.4680 6.4646 6.4661 6.4677 6.4698 6.4708 6.4723 6.4739 6.4754
. 650 6.4770 6.4785 <6.4800 6.4816 6.4831 6.4846 6.4862 6.4877 6.4892 6.4907
660 6.4923 6Л938 6.4953 6.4968 6.4983 6.4998 6.5013 6.5038 6.5048 ,6.5058
670 6.5078 6.5088 6.5102 6.5117 6.5132 6.5147 6.5162 6.5177 6.5191 6.5206
680 6.5221 6.5236 6.5250 9.5285 6.5280 6.5294 6.5309 6.5323 6.5338 6.5352
; 690 6.5367 6.5381 6.5396 6.5410 6.5425 6.5439 6.5453 6.5468 6.5182 6.54V7
. 700 6.5511 6.5525 6.5539 6.5554 6.5568 6.5582 6.5596 6.561Q 6.5624 6.5639
710 6.5653 6.5567 6.5681 .6.5665 6.5709 6.5723 6.5787 6.5751 6.5765 6.5779
,720 6.5798 6.5806 6.5820 «,5831 6.5848 6.5862 6.5876 6.5889 $.5903 6.5917
. .730 6.5930 6.5944 6-.5Э58 6.5971 6.5985 6.5999 6.6012 6.6026 6.6039 «.6053
740 6.6067 6.6080 6.6083 6.6107 6.6120 6.6131 6.6147 6.6161 6.6171 6.0187
750 6.6201 6.6214 6.6227 6.62*1 6.6254 6.6267 6.6280 6.6294 6.6307 6.6320
.760 6.6333 6.6346 6.6359 6.8373 6.6386 6,6399 6.6112 8,6*25 6.6138 6.6*51
770 6.6464 6.6177 6.649$ 6.6508 6.6516 6.6529 8.6512 6,6551 6.6567 6.6580
780 6.6598 6.6606 6.6619 6.6631 6.6644 6.6657 6.6670 6.6682 6.6695 6.6708
790 6.6720 6.6733 6.6746 6.6758 64771 6.6788 6.6796 6.6809 6.6821 ,«.683*
. 800 6.6816 6.6859 6.6371 ,6.6881 6.68ЭД 6.6908 6.6921 6.6933 в.выв 6.6958
810 6.6970 6.6983 6.6995 6.7007 4,7020 4.7032 в,7ОИ 6.7056 6.7069 6.7081
820 6.7093 ,6.7105 6.7117 6.7130 6.7142 6.7154 6.7166 6.7178 6.7190 6.7202
.830 6,7214 6.7226 6.7288 6,7250 8.7262 6.7274 «.7286 6.7298 6.7310 6.7322
840 6,7334 6.7316 6.7358 6.7870 4,7382 6.7393 6.7*05 6.7117 6,7*» Й.7М1
850 6.7452 6,7464 6.7476 6,7188 4.7192 6.7511 6.7523 6.753* 6.75*6 М.7558
86« "6.7569 6.7681 6.7593 4.7601 6.7618 6.7627 6.7639 6.7650 «.7662 «.7673
876 8.7685 6,7686 $.7708 4.7719 6.7731 6.7742 6.7754 6.7765 6.7776 #,7788
. .880 6Л799 6.78Ц 6.7822 6,7833 6.781В 6.7856 6.7867 6.7878 6.7899 0601
«К 6,7912 6.7923 4,7935 6Д946 6.7957 6,7968 6.7979 «.7991 «ЛОИ ШЛ013
900 6.8024 6.8035 6.8046 6.8057 6.8068 6.8079 6.8090 ,6.6101 в.дздж #.«123
910 ,«.8184 6.81*5 6.6156 6.8167 6.8178 6.8183 6.8200 8.8211 Жвйв
920 4.8266 6.8265 6.8276 6.8287 6.8298 6,830» 6.8320 «.88» 6.83*1
. 930 «Л352 6.8363 6.8273 6.8381 6.8395 6.8105 6,8*16 6.8*27 6,8*37 6.84*8
940 6.815» 6.8169 6.8480 6.8491 6.8501 6.8513 6,8522 6.8533 6,351* 6.8554
950 *«8565 6.8575 6.8586 6.8596 6.8607 6.8617 6.8628 6.8688 6.8648 6.6659
960 6-8669 6.8680 6.8690 6.8701 6.8711 6.8721 6.8732 6.8712 6.8752 6.8763
970 *.8778 6.8783 6.8791 6.8801 6.88*1 6.8824 6.8885 6.8845 6.8855 6.8865
980 6.8876 6.8886 6.8896 6.8906 618616 6.8926 6.8937 6.8947 6.69*7 6.8967
. 990| 6.86J7 6,8987 6.8997 4.6097 «.9017] 6.9027 «.9037 6.90*7 6.9057 6.9068
Функции вещественного переменного.
15. Тригонометрические функции.
Значение функций вычисляется с помощью рядов:
№ X5 Х^
sin х = х — ’зу + зр— ’тГ + 'эГ- ' • • х<°°«
Ха X* X® X8
cos х = 1 — ~2j- + -4Р — -gj- + -gj- — . . , х<оо,
х3 2 17 62 тс тс
^х = х+’3+ТЗх5 +ЗТ5Х’ +2835 х9 + • ’ ’ ~У <Х<У’
1 х х3 2 <, 1 „ _ „
cigx- х — з —45 —S45-*5 — 4725х ' • ’ ”<*<’'•
Можно* принимать;
sin хо*х по .избытку
с а <0,00001 при х <0,03897 = 2°14’,
. а <0,0001 . х< 0,0840 = 4°48'46*,
.а <0,001 . х <0,118 = 6°45’39*.
х3
sm х &х — -g- по* недостатку
с а < 0,00001 при х < 0,28000 = 16°2'34*,
„а <0,0001 . х< 0,4690 = 26°52'18*
„а <0,001 . х< 0,744 = 42°37'41*.
cos х Sbl по избытку
с а < 0,00001 при х < 0,00400 = 0°ТЗ'4У, .
.а <0,0001 . х< 0,0140 = 0°48'8",
, а <0,001 ... Х<0,044 =2°31'16".
X2
cos xssA — ~2~ по недостатку
с а <0,00001 при х < 0,146 = 8°21'5У,
. а<0,0001 . х<0,259= 14050'22*,
; а<0,001 . х<0,462 = 26°28' 15*.
tgx^x по недостатку
с.а < 0,00001 при х <0,003 = 0°10’19»,
.а <0,0001 . х <0,006 = 0°20'38",
„ а<0,001 х<0,010 = 0°34'23*.
х3
tg хзах-}--§-по недостатку •'
с а < 0,00001 при х < 0,170 = 9°44'25*.
„ -о <0,0001 , х< 0,269 = 15°24'45*,
, а <0,001 . х<0,427 = 24°27'55*.
Перевод градусного измерения в радианы производится при
Таблиц» III. Значения »1*и’а от 0° до 1° и coalm’a
от 89° до 90° через 1'.
0° оо
м Sinus м Sinus
0 0,00000 60 31 0,00902 29
0,00029 0,00058 32 0,00931 28
2 58 33 0,00960 0,00989 0,01018 0,01047 27
3 0,00087 57
4 0,00116 . 66 36 25 24
5 0,00148 ББ 37 0,01076 28
6 0,00174 54 38 0,01106 22 1
7 0,00204 53 0,01184
8 0,00233 52
9 0,00282 51 40 0,01163 20
10 0,00291 50 41 0,01133 19
0,00820 0,00349 0,99378 0,00407 42 0,01222 18
11 12 13 . 14 49 48 47 46 5 S3S 0^01261 0,012® , o,oi3® ОдоЗр 17 16 15 14
1Б о,«доа 45 47 0,01387 - 13
16 0,00468 44 48 0,01326 < 12
17 18 pjOO494 . 0,00624 43 48 4» 0,01425 11
10 0,00663 41 50 0,01454 10
и> ОДО632 40 . 51 0,01483 8
21 одой 3» 52 • 58 0,01512 ‘Г
22 Ц00640 28 54
23 0,00680 87 55 к • ‘ ' б
24 26 М Я одаи 0,00727 чддо •„ - 0,00786 36 35 34 33 56 - 57 58 0^01629 0,01868 0,01087 4. ’ * . л
я 0,00814 32 59 0,01716 1
0,00843 81 60 v.oiiu 0
*>' 1 z лдотз . . 30
"* •
Zz’ С о s’i n'u s ' " М с i n и» м
.. V ?... - , , '
89° ОО»
Таблица IV. Значеиия «iaae’a, aosiava’a, tanjena'a
и cotaagtM'a от 0° до 90й через 10'.
О ' ч S i П U » ,
0' 10' 20' 30' 40' 50' 60'
0 0,00000 0,00201 0,00582 0,00873 0,01164 0,01454 0,01745 89
1 0,01715 0,02036 0,02327 0,02618 0,02908 0,03199 0,03490 88
2 0,02400 0,03181 0,04011 0,04382 0,04653 0,04943 0,05234 87
3 0,05234 0,06524 0,05814 0,06105 0,06395 0,06685 0,06976 86
4 0,09976 0,07266 0,07556 0,07846 0,09585 0,08136 0,08426 0,08716 85
5 0,06716 0,09005 0,09285 0,09874 0,10161 0,10453 84
6 0,10463 0,10742 0,11031 0,11320 0,11609 0,11898 0,12187 83
1 0,12107 0,12476 0,12764 0Д3053 0,13841 0,13629 0,13917 82
8 0,lS»i7 0,14205 0,14493 0,14781 0,15008 0,15356 0,15643. 8t
9 0ДМ43 0,15381 0,16218 0,16505 0,16702 s 0,17078 0,17365 80
10 0Д1365 0,17651 0,17987 0,18224 0,18509 0,18795 0,19081 79
11 12 0,19081 0,20791 0,19366 0,21076 0,19602 0,21300 0,10937 0.21614 0^0222 0,21928 0,20507 0,22212 OJ2D791 0,23495 78 77
1» 0,22495 0,22778 0,23062 0,23345 0,23627 0,23910 0,24192 76
н 0,21192 0,24474 0,24756 '0,26443 0,25038 0Д5320 0,25601 0,25882 75
13 0,25882 0,26153 0,20724 0,27<XH 0,27284 0,27584 74
16 одой 0.278ЙЗ 0,29515 0,31178 0,28123 0,28402 0,28680 0,28859 0,28237 73
17 O,W7 0,29793 «мт 0,30848 0,30625 0,30902 72
18 0,39902. 0,31454 0,81730 0,32006 0,32282 0.32557 71
19 0,32557 0,32882 0,33106 0,33381 0,33655 0^3928 0,84202 70
20 Ц34282 0,34475 0,84748 &,»oei 0,35283 0,35585 0.85837 69
21 22 SSffi 0,36t08 . 0,37730 ОЛМЛ» 0,37989 0,36650 0,38288 0,36921 0,88507 0^7191 0,38805 0ДО61 0ДО78 68 67
2? 0,30073 0,39341 0,39608 0,30875 0,40142 0,«t34 0,43313 0,40408 0,40674 60
24 26 O,«074 0,40339 >0,42625 0,41204 0,42786 0,41489 0,43051 ОЛМ08 МЗЮ5 CU432S3 &Й&7 61
. одйЕ 0,4»U Ж 0,44308 0,45917 0,47460 0,47716 0’44880 o’twi 0,48226 Я 0,4ЙЮ 63 62 61
' 0,48481 0,48135 0,48989 0,48242 0,49495 0,48148 О^ОИОО ;Ю
0,50000 0,50252 0,50503 0,50754 0,5104 0,5125410,51504 6S
S .0,51504 0,51753 0,62002 . 0.53Й8 0,52745 0,52992
11 • oJteTTs - o,«mS2 Иш 0,63158 0,53Й4 0.5Й51 lips 0,53730 . 0^5194 щей 1 0160076 ; O*e>Sil 4^53608 i 0,50975 0Ж36 0^6880 0,58Ю7 0,59^6 m 0,54220 0^55678 адй» 0,ЯмЗ зд 0,80909 0,57308 о’^ R 65 54 W 1
405 ШКие 0,64501 ' ’О- ^ВЯМ
41 i а 44 Я 0,65825 : 0,67120 l 0.68112 ОЛвбЙ 0.67Й4 0,68824 0,6088» феей •А.лй’. ' ЙЙЙЧб» /Я .i дм т ••ir
w : 40' W 7 .W
• Co '»Av4i-
Продолжение Таблицы IV.
! Orad. - - - ----- - - . - — - * — - - С os i n us
O' 10' 20' 30' 40' 50' 60'
0 1,00000 1,00000 0,99998 0,99996 0,99993 0,99989 0,99985 89
1 0,99985 0,99979 0,99973 0,99966 0,99958 0,99949 0,93939 88
2 0,99939 0,99929 0,99917 0,99905 0,99892 0,99878 0,99863 87
3 0,99863 0,99847 0,99736 0,99831 0,99813 0,99795 0,99776 0,99756 86
4 0,99753 0,99714 0,99692 0,99368 0,99619 85
Б 0,99619 0,99?94 0,99567 0,99540 0,99511 0,09482 0,99452 84
6 7 0,99452 0,99255 0,99421 0,99219 0,99390 0,99182 0,99357 0,99144 0,99824 0,99106 o',99067 0,99255 в 33 82
в. 0,99027 0,98986 0,98944 0,98902 0,98858 0,98814
9 0,98739 0,98723 0,98376 0,98629 0,98580 0,98531 0,98481
10' 0,98481 0,98430 0,98378 0,98325 0,98272 0,98218 0,98169 79
11 0,98133 0,98107 0,98050 0,97992 0,97934 o,«W 0,9?Ш
12 18 0,97815 0,97437 0,97754 0,97371 ж 0,97630 0,97237 0,97566 0,97139 0,97502 0,97100 0,97437 0.9W
И 0,97030 0,93959 0,83887 0,93815 0,98742 0,93667
15 0,93593 0,86517 0,93440 0,93333 0,93285 0,9®P3
16 0,98123 . 0,96046 0,95934 0,95882 0,95799 г ЙЙж 2
17 0,95330 0,95545 0,05459 °’95S? 0,95284 та..
18 0,96103 0,95015 0,94924 0,94832 0,94740 71
19 0,94552 0,94457 0,94331 0,94234 0,94167 70
20 0,93939 0,93839 0,93769 .0,93667 0,93665 69
21 0,93358 0,93253 0,93148 0,93042 0,92985 0,92^7 38.
22 23 24 № 0,92718 0,92050 ж 0,92309 0,91933 0,91236 s 0,92388 0,91706 9,90990 0,92276 0,91590 0,00875 0,90133 ц ; гРбдкуул 37. 63 36 й
26 27 28 29 0,89879 w 0*80752 0,88938 в o’S? 0,89363 0,83892 o’sbsm оД 1111 3
30 0?8в6ОЗ 0,83467 0,83310 0,83015
31 0,86717 , 0,85637 0,85416 0,85112
32 83 0,84806 ’ 0,83837 ? 0,84182 0,83228 1И
Г 0,82904 Ж8191& 031748 0*81580 0*81412 ОШ sB&w r-J
33 । 37 за ’ в’товзз w 0,78622 —911» 0,80558 .0,79512 0,78442 0,77347 0,80386 0,79336 ||| 1
40Й 0,73417 0,76229 0,76941 0,75631
£ . 0,74® 0,78728 Ж «№ Ж г/мм&К
44 air?» O’S 0,71121 ОЛ0916
;
•ЙГ A- «*'- 80'. 20'. 1 11.11. £
- »Г i П . « s ff*" i, -. - . -
Продолжение Таблицы IV. -
Т а е n s
S о (И 1 10' 20' 30' 40' 50' 60'
0 0,00000 0.ЧЮ291 0,00582 0,00873 0,01164 0,02465 0,01746 -89
1 2 3 4 5 6 7 8 9 0,01746 0,03492 0,05241 0,06993 0,08749 0,10510 0,12278 0,14054 0,15838 0,02036 0,93783 0,05533 0,07285 0,-99042 0,10805 0,12574 0,14351 0,16137 0,02328 0^04075 0,05824 0,0*1578 0,09335 0,11099 0,12869 ; 0,14648 , 0,16485 0,02319 0,04366 0,06116 0,07870 0,09629 0;11394 0,13165 0,14945 0,16734 0,02910 0,04658 0,06408 0,08163 0,09923 0,11688 0,13461 0,15243 0,17033 0,03201 0,04949 0.06700 0,0^456 0,40216 0,11983 0,13758 0,15540 0,17333 0,93492 0,05241 0,06093 0,08149 0,10010 0,12278 0,1*054 0,10838 0,17633 88 87 86 86 84 83 81 80
10 0,17633 0,17933 V 0,18233 0,18534 0,18835 0,19136 0,19438 79
11 12 13 14 15 16 17 18 1.9 0,13438 0,21256 0,20087 0,2*933 0,26795 0,28675 0,30573 0,32492 0,34433 0,19740 0,21560 0,23393 0,25242 0,27107 0,28990 0130891 0,32814 0,34758 0,20042 0,21864 0,23700 05552 0,27419 0,29305 0,61210 0,33130 0,35085 0,20345 0,22169 0Д4008 0,25862 0,27732 0,29621 0,31530 0,33460 0,35412 0,20648 0,22475 0,24316 0,26172 0,28046 .0,20938 0,31850 0,33733 0,35740 0,29952 0,22781 0ДД624 0,26483 0,28360 0,30255 0,32171 0,34106 .0,36068 0,21256, A24938 Is 0,8*433 78 -77 % -7* 78 7g да
20 0,36397 0,36727 0,3?067 0,37388 0,31720 0,38053 0,383& »»
21 22 23 S3' 25 26 27 28 2В 0,38386 0,40403 0,42*47 0,44523 0,4бв31 0,48773 0,60953 0,53171 - 0,55431 0,38721 0,40741 0,42791 . О,**872 0,46985 ^0,49134 0.51320 0,53546 0,55812 0,39055 0,41081 0,43136 .0,45222 0.47341 0,49495 0,51688 0,63920 0,66194 0,39391 0,41421 0,43481 0,45573 0.47698 . 0,49858 0,52057 . 0,54296 0,50577 0,30727 0,41763 0,43828 0,45924 0,48055 0,5^22 0,52427 0,54673 0,56962 0,40065 0,42105 0,4*175 0,46277 0,48*14 0,59587 0,52798- 0,50061 0,07848 0,59691 0Д2447 0,44523 Ж 4&ДО8 ; 0,60171 f 0^5*31 10,51735 0^Ш1 5,67451 1,700’1 Ж да В
ЗЬ 0,57735 0,68124 0,54513 0,59297 да
Зв 37 Зв » 0,60085 0,62487 0,64941 0,67451 . 0,70021 0,72664 0,75355 0,78129 .< 0,80978 оЖ»2 о4мж 0.67875 О’31*?9 оЖ ‘ 0,60881 0,63299 0,65771 0,68301 0,70891 0,73547 0,76272 0,79070 0,81946 0Л8723 0,71829 0,73996 0,76738 0,79544 0,83434 0,61681 0,64117 0,66608 0,69157 Ж 0,77196 0,80020 0,83928 0-60063 ОМЙ28 0,67028 0,69588 0,72211 0,7*900 0,17661 0,80498 да 56 8 !
40 0,84407 0,84906 0,85408 0,85912 0,86419
41 0,87441 0,90569 0,93797 0,97133 о,8Ш 0,91099 0,94345 0^700 0,83473 0,91633 0,94896 0,98270 0,88992 0,02170 0,95451 0,08843 одеге 0Л2ТО9 0,9^008 0,9^420 0^39 1
с < > t a u gen 8 Ч».
«О' 40' 30- SV 1
Продолжение Таблицы IV.
II WO Cotangeos
0' 10' | 20' 30' 40' 60' «И
• 00 1 343,77371 171,88540 114,58866 85,03978 68,75009 67,28096 89
1 67,28996 49,10388 48,96408 38,18846 34,36777 81,24158 28,63625 88
2 28,63025 28,48160, 24,64170 22,90377 21,47040 20,20555 19,00114 87
2 19,08114 18,07498, 17,16934 16,34086 15,00478 14,92442 14,30067 86
4 14,30067 13,72674 13,19688 12.70620 12,25061 11,82617 11,43005 85
Б 11,49005 11,06943 10,7Ц91 10,38540 10,07803 9,78817 9,51436 34
б 0,51436 «,28530 9,00983 8,77689 8,55555 8,14436 83
7 8,14436 7,95302 7,77036 7,59575 7,42871 7,26873 . 7,11637 82
8 7,!lg7 6,06823 6,83694 6,69116 6,66055 6,48484 6,31376 81
6 8,31376 6,19703 6,08444 5,97576 *.87080 5,76937 6,67128 80
10 6,87128 6,57638 6,48451 Б.ЗДББ2 5,30028 5,22566 6,14465 1»
11 5,14455 6,06584 4,98940 4.91616 4,84300 4,77286 4,70463 те
12 4,70483 4,03825 4,57363 4,51071 4,44942 4,38969 4,33143 77
18 4,39143 4,27471 421933 4,16530 4,11256 4,06107 4,01078 76
14 4,01078 3,96166 8,91364 3,86671 3,82083 8,77595 3,73205 76
16 3,7ffi06 8,68900 04705 3,60588 3,56557
10 3,48741 3,44051 3,41236 3,37594 3,34023 з’.ЮШ тз
17 3,27086 3,23714 3,20406 ' 3,17159 3,13972 »;о77« 72
18 3,07788 3,04749 3,01783 2,98869 2,96004 71
1» 2,30421 2,87700 2,86023 2,82391 2,79802 2*77254 2,74748 70
20 2,74748 2,72281 2,69853 2,67462 2,65109 2,62791 2,60509 69
21 3,60609 2,58261 4,58046 2,53865 2,5171б1 2,«697 2,47509 68
22 2,47600 2,46461 2,48422 2,41421 2,8944» 2,37504 2,35585 67
28 2,85585 2,33693 2,31826 2,29984 2,28167 2,28374 2,24604 66
24 2,22857 2,21133 2,19420 2,17749 2,16096 2,14451 65
2,14451 2.1Ж2 2,11233 2,09654 2,08094 «,«5И 64
2,06030 ,2,03626 2,02039 2,00569 1,99116 1,9788С 1,96261 63
1,94858 1,03170 1,90098 1,90741 1,89400 - 1,88073 62
' 1,86760 1,85462 1,84177 1,82906 1,81649 1,80405 61
28 1,79174 1,77965 1,7674» 1,75556 1,74376 1,78205 00
30 МЙЙ 1,7^047 1,70901 1,69766 1.88648 1,68643 " 1,64428
31 1,66428 1,65637 1,64256 1,68185 1,62125 1,61074
33 88 1,60038 1,58986 1,66002 1,57981 1Л3010 1,52043 1,66969 1.51084 1,55988 1,50133 да 1’*^
Мвм 1,41880 1,46411 1,45501 1,44698 14Й03
бб 1,4^5 1,41934 1.41Q61 1,40196 1,39336 1,«*Ы
1,зтез8 1.86800 1,85068 1,36142 1,34323 1Ши 1,32704
87 1,31904 1,31110 1,80323 1,20541 128764
28 1,27230 1,86471, 1,25717 1,24969 1,24й7 1,2349$
2» 1,22758 1.22031 1,21310 1,20693 1.19&82
88 1,18474 1,17777 1,17085 1,16398 1,16716 49
«1 " 1,моз7 . 04363 1,13694 1,13029 1,12869 1,11713 48
48 1’10414 1,09770 1,08131 1,08496 1,01864 47
43 1107237 106613 1,05994 1.05378 1,04766 1,04158 1,08563 46
4* 1,02952 1,02355 1,0П61 1,01170 1,00582 1 1,00000 4Б
- Та п g е n S
~1ГГ Шт,иг-1 «И [ 40' 30' «О' 6' о
16. Функции е*.
Значение функции может быть вычислено с помощью рядов
№ х$
1) г* = 1 + х + у -I- у + . . при всяком х.
Приближенно
ех^1-}~х по недостатку с а <0,0001 при х<0,019,
... .«<0,001 . Х<0,062.
х2
г* = 1 + х + ~у по недостатку „ а < 0,0001 , х< 0,033,
• . я <0,001 х< 0,106.
, у-2
_ _л< _ tAr tAf . .
2) е _ — 1 — х т у зГ Ч- • • •
Приближенно
е~х= 1 —- х по недостатку с я<0,0001 при х<0,02 ,
Л . я<0,001 , х<0,063.
С~х Эй 1 — х + -у по избытку » я < 0,0001 , х < 0,084,
, «<0,001 , Х< 0,181.
Можно также иайти е—х с помощью логарифмов, пользуясь
тем, что если , то lg N = х . Ige — х. 0,43429, а при
е~х, lg N = - х . 0,43429..
Зависимость между г* и другими функциями дают сле-
дующие формулы:
y<7r + «-x)=i'Ax = cosZx = l +у+ у + у4* . . •;
1 № х$
л7ж)=₽5Ах=—7$/л/х=!=х + з|-4- gj- + • •. •;
е/х я» coi X + Isln х; е^ ^cosx — l sin х.
у (?* + ^~fa:) = c-osx; у (e& —е~4’) = з/вх<
Таблица V. Значения е* для х от 0,00 до 5,99.
ав 0.00 0Л1 0.02 0.08 1- лол 0.05 0.06 0.07 0.08 . 0.0»
0.0 1.0000 1.0101 1.0202 1.0306 .10408 1.061S 1.0618 1.072S 1.0838 1.0942
0.1 Д.1О52 Ы163 1.1216 1.1388 1.1503 1.1618 1.1735 1.1853 1.1972 1.2093
0.2 1.2214 1.2331 1.2461 1.2586 1.2712 1.281С 1.2969 1-W 1.8331 1.3384
0.3 1.3499 1.3634 1.3171 1.391С 1.4049 1.4191 1.4333 1.4417 1.4833 1.4770
0.4 1.4918 1.5088 < 1.5220 1.5873 1.5527 1.5883 1.5Й41 1.6000 1.6161 -1.8323
05 1.8481 1.6659 1.6820 1.8989 1.7160 1.7333 1-754*7 1.7683 1.7860 1.8040
0.61 1.8221 1.8404 1.8589 J 1.8776 1.8965 1.9155 1.9348 1.9542 1*9739 1.9939
от 2.0138 2.0340 2.0544 2.0751 '2.0959 2.1170 2.1383 2.1598 2.1815 2.2034
. 0.8 • 20256 2.2479 2.2705 2.2933 2.3184 2.3398 2.3832 2.3869 2.4109 2.4351
0.9 2.4596 2.4843 2.5093 2.5345 2.5600 2.5857 2.8117 2.6379 2.8845 2.6912
1.0 2.7183 2.1458 2.7732 2.8011 2.8292 2.8577 $8864 2.91Б4 2.1)447 2.9743
1.1 3.0042 3.0344 3.0649 3.0957 3.1268 3.1582 3.1899 3.2220 3.2644 3.2871
1.2 3.3201 3.3535 3.3872 3.4212 3.4558 3.4903 3.5254 злею &698в 13.6328
13 3.6693 2.7062 3.7434 3.7810 3.8190 8.8574 3 8982 8.9364 3.9749 4.0149
1.4 4.0552 4.0960 4.1371 4.1787 4.2207 4.2831 4.3060 4.302 4.3929 4.4971
1.Б 4,4817 4.5267 4.Б722 4.6182 4.8848 4.7115 4.7588 4.8088 4.8550 4.9037
1.6 4.9530 5.0028 Б.0531 Б. 1039 5.1552 5.2070 5.2593 5.3122 5.Э8И J»41*5
1.7 Б.4739 5.5290 5.5845 5.6407 5.8973 5.7548 5.8124 5.8709 5.9299 1.9895
1.8 8.0496 8.1104 6.1719 8.2339 6.2965 8.3598 6.4237 8.4883 0.5536 8.8194
1.9 8.6859 6.7581 6.8210 8.8895 8.9588 7.0287 7.0993 7.1707 7.2427 7.3155
2.0 7.3891 7.4833 7.5383 7.8141 7.8906 7.7879 7.8460 7.9248 8.0045 8.0S49
2.1 8.1862 8.2482 8.3311 8.4149 8.4994 8.5849 8.8711 8.7583 8JM08 8.9352
2.2 . 9.0250 9.1157 9.2073 9.2969 9.3933 9.4877 9.5831 9.8794 9.7787 9.8749
2.3 9.9748 1&074 10.178 10*278 10.381 10.486 10.591 10.897 10.806 10Л18
ХА 11.023 11.134 lt.246 11.359 11.473 11.588 11.706 11.822 1L90 12.081
2.5 12.182 12.305 12.429 12.554 12.880 12.807 12.939 13.068 13.197 13.330
2.6 13.484 13.Б99 18.736 13.874 14.018 14.154 14.296 14-440 14.585 14.732
2.7 14.880 15.029 15.180 15.333 15.487 15.643 1Б.800 15.959 18.119 18.281
2.8 18.446 18.810 .16.777 16.945 17.116 17*288 17.462 17.837 17.814 17.993
2-9 18.174 18.357 18.541 18.723 18.918 19.106 19.298 19.492 19.888 19.886
3.0 20.086 20.287 20.491 20.697 20.905 21.115 21.828 21.542 21.758 21'977
3.1 22.198 22.481 22.646 22.874 23.104 23.336 22.Б71 23.807 24.047 21.288
3.2 24.533 24.779 2Б.028 25.280 25.534 25.790 24050 26.311 28.578 28.843
8.8 27.113 21.885 27.880 27.939 28.219 28.503 28.789 29.079 29.871 29088
0.00 охи
аоз
аве
Продолжение Таблицы V.
аМ
0.05
а®
ао7
84
85
3.6
А»
3.8
3.9
1о
4.1.
М
4.4
k-
М
м
4.9
4.9
8.1.
5.2
5-3
5.4
5.5
Б.в
5.7
5.8
6.9
».м«
88.118
86.596
40.447
®.7Ш
49.402
54.6®
80.340
86.680
73.700
81.451
90.017
99.484
109.95
121.61
134.29
148.41
Ш.02
181.27
200.34
221.41
244.89
270.43
298.87
330.30
385,04
30.288
38448
38.988
40.854
45.150
49.899
58.147
80.947
87.357
74.440
83.269
90.922
100.48
111.05
122.78
135.84
ШАО
165.87
188,09
202.35
223ЛЗ
247.15
273.14
ЭШ .87
333.82
388.71
'30.569
33.784
87 АМ
41.284
45.804
60.400
55.701
61.659
88.033
75.189
83.096
91.838
101.49
112.17
123.97
127.00
151.41
187.34
164.93
204.83
225.88
249.84
275.®
304.®
338.97
372.41
90.877
34.124
37.718
41.879
48.083
50.907
58.281
82.178
68.717
75.944
82.931
22.759
102.51
113.®
126.21
138.33
152.93
189.08
188.79
208.44
228.16
262.14
278.®
807.97
340.38
,378.15
81.187
34.467
38.092
42.038
М.525
51.419
58.826
82.803
89.408
76.708
84.775
93М1
102.54
114,48
128.47
139.77
154.47
170.72
18в.в7
208.&1
230.44
254.®
261.®
311.08
343.78
379.93
81.600
34.818
88.475
42.521
48.993
61.985
57.897
®.®4
70.106
77.478
86.627
94.832
104.58
115.38
127.74
141.17
158.02
172.®
190.57
210.81
232.78
257.24
284.29
314.19
347,23
383.76
81.817
85.1®
36.861
42.9®
47.М5
52.М7
57.974
84.072
70.810
78.257
М.488
95.583
105.84
118.75
129.02
1®39
157.59
174.18
192.®
212.72
М.187
85.517
39.252
48.3®
47.942
52.985
М.557
64.715
71.522
79.044
87.357
96.544
108.70
117.92
130.22
Ш.08
159.17
175.91
235.10
259.®
287.15
194.42
214.®
237.®
817.35
360.72
337.61
282.48
290.03
320.54
354.25
391.51
85.874
39.648
«.818
®.424
53-517
59.1®
65.3®
72.240
79.838
М.235
97.514
107.77
119.10
131.®
Ш.47
1®.77
177.®
198.87
217.02
289.®
285.07
292Л5
823.76
367.81
395.®
36.234
40.045
44.258
48.911
54.066
59.740
М.О23.
78.966
Ю.640
89.121
98,494
1®.®
120.30
182.96
U6.94
182.3Й
179.47
1М.84
219.®,
242.28
267.74
296.®
327.01
381.41
399.41
О
0,001
Та б л и ц а. Значения е~*
..I1 J" »1 “Ml!
. Ддаг » от 0,ОО(Ю др 0,090»
Рашюотя,для к. 10—*
3
0,00
1,0000
0,989Q
0»Й$4
0,9996
0,8588
Л 9502
0,0880
9,9881
0.9830
0 0881
0,9970
0.8871
0,3870
К2Ж
0,2645
0,2393
0,2671
0,2417
0,4366
6,4493 | 0,4449
0,4085
0,8642
&«Я0
0,9474
0,9880
ОЛ287
0,9194
.222®
0,002 ( 0,008 | 0,004
X),W
О,
0.0465
0,9871:
0,8277
0.9185
0,0094
&84&Г
«00»
6,8810
»Ш1
0,9714
ОЛИГ
0,9522
0,000). 2 8 4
1 2
1 • 2
1
1
1
\2
1 2
1 2
, 1 ' 2
1 2
Г' 1 2
3.
$
8
3
8
3
3
4
4
4
4
4
4
3 4.
3 4
3 4
5
.5
5
••*
5
5
6
5
5
5
3
в 7 8 Л
в‘ 7 8 9
6-7 8 9
в 7'8 »
О* - 7 :8
О>
*для ® от одоо тздадо
Г
в
в
в
в
8
7 •_< 8
7
7
8
7 . 8
7 8
1.8
»
9
9
9
9
9
9
Емкости для kb 10~3
I
0,01
0,02 | 0,03 | 0,04 | 0,05 0.06 0,97 1 0,08 ]; 0,08; ikooi 3 3 4
о,sees
Я®'
Й|К
0,8521
0,7711
>6977
8313
0,5712
0,5169
«4677
0,8270
0,7488
о,вта
Ш0-
о.&эт
28 84
~9 - 17
39
а «
0,5827
8
7
6
0,8894
0,7866
is
14
18
12
W
0,5768.
0,5220
0,4124
да-
о,эйв:
10 16 Я
9
9
•
*
• Продолжение Таблицы VI. $
, р, Для а от 1^00 д» 2,в9# Разиоотя для k. 10-3
.? в •' 0,01 6,09 , 0.04 ;р.о^' 1 саде 0,07 . 0.08 0,09 6,001 2 3 4 8 в 7 8 9’
1*? 1.6 • 1,7 • М 1*7 i» Г ад а# 1 ’0,2231 0,2019' 0,1827 0.1653? 0,1496 0,135» .01228 >0,1108 0,1003 0,0907 0,0821 0.0743 0,0372 0,1308 0,0550 0.2Й». Ж ж 0,1340 ♦,1И2 Ж 0,0813 s о,овд> «й. в 0.1Я27 ® (L09BS $088%; оювоа. 0,0728 0,06» 04859 0JW73 (М30Д. 04451 0481&1 «1188 04075 «9873 0,0880 0,0797 0;8721 0,0852 0,0590 0,0534 ;88? 20,1800 «1177 0,1035 0,0883 0,0812 0,0789 0,0714 0,0843 0,0584 0,0529 ШЖШ1. 0,2101 ОД901 0,1720 «И»7 0,1409 0,1275 0,1153 0,1044 J0.9944 0,0854 О,0ЙГ ОЛ573 6.0518 0,2080 - 0,1Й2 0,1703 0,1641 0,1»»6 0,1262 0,1142 0,1083 0,0985 0,0843 0,0735 0,0393 8«в«7 •0,0537 0,0513 0,9030 ж °0’Ж 0,1249' 0,1130. 0,1028 0,0923 0,0837 0,0758 0,0686 0,0620 0,0561. 0,0508 «2039 0,1845 одето «1287 ОДИ» 0,1013 да «0750 0,0379 0,0314 0,0566 0,0503 2. , -4 в 8 2 4 в 8 2 8 5 7 ' 2 3 5 6 1 3.4 3 1 3 4 5 1 2 :4 5 • 1 2 8 4 1 2 8 1 1 2 3 3 1 .2 2 3 1 J 2 8 1 ' 2 8 1 1 12 2 1 12 2 11 10 0 8 7 в в 5 & 4 4 8 8 8 13 15 IT 19 S' 12 13 15 IT * 10 12 14 13 В 9 И 13 14 * 4 10 11 13 • . J9 '9Ю 12 8 /7 8 9 11 э <67895 в 7 8. 9 S 3 0 7 8 | 5 5 3 7 g 4 8 ‘ в в л» 4 4 5 в 3 4 5,5^ ? *Л‘ ft
- 3 ? Для 8 ОТ 8,0 ДО а* - ; х _• • . '* HHOtO Отд. 1,—1в
л »v 0 w. ; ол г “Г* •..- °'к 7 °>6 . ' 0,7 °>в
г 5 V X: <«04»: 0,0183 0,0037 «0025 'б.оовв. 0,0450 0,<ЯМ ,0,003V '0,0022 0,0008 0,0008 о,ой< о,оаа й $0003 0.0368 0>13в «0018 0,0007 0,0002 0,0384 0,0128 0,0045 • 0,0617 0,0006 0,0003 >»<я. 0,«Ю2 ie,ow» о,дж o,eoS Й 2 Н О.О22£ W 0,0011 0,0005 0,0002
17. Гиперболически» функции.
Функции определяются формулами:
1 х8 ’ Jt* ,
сЛ х »=-у (f*+« *) = 1 +-2r+"^f . . i •
1 е31-^* е*-Г
tflx^cth~^ + e-^^ + i‘ ,1. f
При вещественных аначенкях х-.
Sil х может принимать любые положительные или отрица-
тельные аиачеиия: -
гйх>1, /й’х<1, tfA»x>T. t
зЛОчвО^ ch 0 = 1, М О = О, со.== оо. гА оо » об,/Л со == 1.
При нзмеиении знака аргумента х имеем:
sh (— х) === — sh х, eh (— х) =» 4- ch x,
th{—x) = — thx, cth(-~x) ^ — cth*.
Так. e3'1 ^cosy tshty), ?o,:eJt+?*lt/
н 4f*‘+**< = ± e*, откуда следует, что гиперболические функции
периодичны:
«<.ДЯ (х-|-2^я/) —#Лх, Ch (х^2^/) = сЛ;Х. 1
th (x-\-hyt) = thx, cth (^4^ = cMx. t 4
Обратные гиперболические; функции определяются слеДую-
щимиформулами: • <
. , 3йя и = shx имеем х JkU/rbVp’-Mjh.
u = chx
w=thx
x = arg ch и = in {a i Vf’—
x = argth и «-у /д ч »
.. 1 , «+1
, u = cthx . „ . х »argcth и=-^ lx -g—р.
Двойной знак у корня в выражении arg ch и о6‘лсяпкгт
четностью функции chx. Если для х ищут положительное зна-
чение, перед корнем нужно «завить 4-. <
argshO*=&, argehi — O; argthO = O;
argshco=ca; arg ch co = co;arg th oo = co. ]
argshtg Intg^^ + ^^^argthsin-yi
’) Кроуе о4о8в*чвн«я arg, привитого во фрввцувокой лчтератур»,. »уп«-
етвуют обоввачеийе аг, пршмтое в жемецво» лит«ра-гурв -ж овоаи*вевма
riah~11 янжятые уиммид j
Основные соотношения между гиперболическими функциями:
chx + shx^e*, ch х — sh х = е~х.
ch?x — Sh3x = 1,
thx. cthx = l.
Юх
sh’x-
£гЛ*х= 1-ГЛ2х
сй*х-*-1 sh?x
thx** cK2x - i+sffix‘
sh(x ±y) ~ sh xchy ±ch xshy,
chtx ±y) — ch xchy ±shxshy,
' th(x^yy=*(thx±thy)-{\ ±thx . thy),
^ГЛ(х «>)’-•(! ^. cth x cthy):(cthx^cthy).
\sh2x => lshxchx = 2th x;(1 — th*x),
ch2x *=ch3 x -f- sh3 x — 2sh? x + 1 = 2 ch? x — 1 =
th 2x == 2th x: (1 + th3 x),
cth 2x = (1 + cth3x): 2cth X.
X -fc- V XXV
sh x dt. sh у = 2 sh —grr ch —%— •
х-4-v x—v
chx + chy = 2ch —j21- ch—
dix — ehy ** 2>sh-£-^-sh —g->
:• / ch x^shx 1 + thx
chx-shx i-thx
J s lfr* ± thy = sfi(x^zy) :cfixchy.
shx .shy~^lchte + y) —ch(x—y)l,
sh x. ch у = -у [$й (x + у) sh (х—у)],
1
Ch x shy — у А (х + у) — sh (х—у)],
ch х .chy.** у- [ch (х Ц-у) Ц- ch (х—y)J.
«й3Хг-лЛ2у =t№xT-ch3y = sA(x4-y). sh[x — у),
cfflx-[-sh3y — sh3xtJt.ch?у = ch\x-}-y). ch(x—y).
£
£
s
•». ЙЛЙ РЙР Р“Я РРР .= !»!» Р?«5» PRf»
35
S3
Я.
ре «а ЯН9* ЯНН ррр ЯНН ЯЙ* pcxoi ЯЯ* ЯЯЯ ЯЯЯ ©ЯН ©НН ЯНН ЯНН ЯНН
*А *Л Ял лЛ м Ли. ЛЛ Л Л*и ЛЛ МЬ «А. М ли ха М _ ЛЛи- L-k ЛЯь « - * Ан «Л Вк« Ь-Х *« А\ А АА НА 1-Х А» али A —S' М> * X X А. Ьк
в
Отдел 1
8
S
S
S
£
э
йот ротот Of-» Рмг- ppp PPP PPP PPP РРР Р1?И
£
£
8
I
i
S
Продолжение Таблицы VII.
X 0.00 0.01 0.02 0.08 0.04 0.05 0.06 0.07. 0.08 0.09
8.0 10.018 10.068 0.9951 10.11S 10.168 0.9962 10.22 10.271 0.99Ы 10.324 10.871 0.9961 10.42! 10.47! 0,9364 1О.Б& 10.681 0.9961 10.64< 10.681 0.995< 10.741 10.794 0.9951 10.865 10,90! 10.966 11.011 0.9969
3.1 11.078 11.121 11.186 11.289 11.301 11.34Е 11.411 11.451 11.5W 11.671 Н.вГ 11.88$ 11.764 и .ем 11.883 11.926 .0.9966 l^OM 12Л44 12.124 12.185
0.9960 0.9960 0.9961 0.9962 0.9963 0.9968 0.9964 0.9966 0.9966
1&494 12.626 12.660 0.9969 12.747 12.786 0.9969 12.8W 12.016 13.269 18.Э07 0.9972 13.403 13.440 0.9972
я, 2 12^287 0.8987 12.534 ,0.9968
0.9968 0.9370 0.9971 j 04971
3.3 18.538 13.578 0.9378 18.674 18.711 0.9978 13.812 18.848 13.951 13.987 14.Q92 14.Ш 14.284 14,269 14Л77 14.412 14.668 X 14.816 14.860 0.9977
0.9974 0.9974 0.9975 0.9976 0.9976 0.9976
14.986 14.999 0.9978 15.416 16.149 0.9978 15.268 15Л22 15.577 16.234 16.766 <69^0 15.808 16.378 16.408 0.9981
8.4 15.801 0.9979 15.466 0.9979 15.610 0.9979 15.924 0.9980 16.084 0.9981 10.245 0Ж
8.6 16.643 18.678 0.9982 16.709 16.789 0.9982 16.877 16.907 №9983 17.047 17.077 0.9983 17.219 17.248 0.9983 1«2 17.421 0.9984 17.667 17.696 0.9984 17.744 17Л72 0.9984 17.923 17.951 0.9986 18.108 18.131 0.9985
8.6 18.285 18.313 0.9986 18.470 18.497 0.9985 18.666 18.682 0.9986 18,843 18.870 0.9986 19.038 19.059 0.9986 19.224 19.350 0.9987 19.418 19.444 0.9987 19.613 19.669 0.9987 w 19-M9 0.9961 20.010 20.035 0.9988
8.7 20.211 20.238 0.9988 20.415 20.439 0.9988 20.620 20.644 09988 20.828 20.852 0.9989 21.087 21.061 0.9989 21.249 21.272 0.9989 21.463 21.486 0.9989 21.079 21.702 0.9989 22.117 22.139 0.9990
2Й.ЕЙ4 22.791 28.020 28.042 0.1991 23.252 28Л86 аада 83.743 0.9901 231961 (в 24.202 гмей 0.9992 24.446 24.466 0.9992
3.8 22.862 0.9990 22.586 0.9990 32.913 0.8990 23.273 0.9991 23.507 0.9991
8.9 24.691 24.711 24.939 24.959 26.190 25.210 25.444 25.463 26.700 2&Ш 25.958 М.977 М.218 2&SO2 2Ш 27.018 27.037 0.9998
0.9992 0.9992 0.9992 0.9832 0.9993 0.8*5 0,9993 0.9993
4.0 27.290 27.308 27.564 27.583 27.842 37.860 28.123 23.404 28.422 28.690 28.707 28.978 20.9Н 29.270 23,287 1MH 29.581 29.882 29.87ft
0.9993 0.9993 09994 ,0.9994 0.9894 0.8894 0.9994 0.9994
4.1 80462 80.178 30.465 80.482 90.772 90Л88 31.081 81.097 31.893 81.409 81.509 81.725 32,028 22.Ш astJel «58.875 82.691 28.004 33.019 0.9996
0.9995 0.9995 0.9996 0.9995 0.9996 0.9095 0(9995 0.9995 0.9995
ЯЯ.836 28.671 94.009 84.851 34.897 36.396 36.412 0.9999 86.764 36,768 0,9896 36.113 36.127 0.9993 36.476 36.490 0.9996
4.2 33.251 0.9996 33.686 0.9996 94.024 0.9999 34.366 0.9998 34.711 0.9996 №9990
4.8 38.843 88.857 0.9996 27.214 87.227 0.9996 27.688 37.601 0.9997 £-“S 38,'звО 0.9997 88.738 33,746 0.9997 30.122 89.135 0.9997 88.515 39.918 39.925 0.9997 40.326 40.314 0.9997
4.4 j 40.719 40,788 0.9997 41.129 41.141 O.W97 41.542 41.554 0.9997 41.960 41.972 0.9997 олШ i 42.608 42.819 0.9997 43.238 43.250 0.9997 43.673 43.684 0.9997 44.112 44123 0.9997 44.555 44.666 0.9998
Продолжение Таблицы VII.
X 0;00 0.01 0.02 < 0.01Г 0,0*, 0.05 0.06 0.07 аов 0.09
4.6 45.008 45^014 0.9998 45.455 46.466 0.9998 45.912 45.923 0.9998 46.374 46.385 0.9998 46.840 ! 46.851 ' 0.9998 47.811 47.321 0.9998 47.787 47.797 0.9998 48.267 48.277 0.9998 48.762 48.762 0.9998 49.242 49.252 0.9998
4.6 49.787 49.747 0.9998 50.287 50.247 0.9998 50.742 50.752 0.9998 51.252 51.262 •0.9998 51.767 51.777 0,9998 52.288 52.297 0.9998 52.818 52.823 0.9998 50.844 53.354 0.9998 53.880 58.890 0.9998 64.422 54.431 0.9998
4.7 54.969 54.978 0.9998 55.522 55.531 0.99Й 58.080 56.089 0.9998 56.643 56.652 0.9998 57.218 57.221 0.9999 57.788 57.796 0.9999 58.869 58.877 0.9999 58.955 58.964 0.9999 59.548 59.556 0.9999 60.147 60.155 0.9999
4.8 , 60.751 60.759 0.9999 61.362 61.870 0.9999 61.979 61.987 0.9999 62.601 62.609 0.3999 63.231 63.239 0.9999 68.866 63.874 0.9999 64.508 64.516 0.9999 65.157 65.164 0.9999 65.812 65.819 0.9999 66.478 ! 68.481 0.9999
4.9 67.141 67.149 0.9999 07.810 07.823 0.9999 66.498 88.505 0.9999 69.186 69.193 0.9999 69.882 69.889 0.9999 70.584 70.591 0.9999 71.998 71.800 0.9999 72.010 72.017 0.9999 72.734 72.741 0.9999 78.465 78.472 0.9999
5.0 74.203 74.210 0.9999 74.949 74.956 0.9999 75.702 75.709 0.^99 76.468 76.470 0.9999 77.232 77.288 0.9999 78.008 78.014 0.9999 78.792 78.798 0.9999 79.584 79.590 0.9999 60.384 60.890 0.9999 81.192 81198 0.9999
5.1 82.008 82.014 0.9999 82.882 82.888 0.9999 83.665 482.671 0.9999 84.506 84.512 0.9999 85.355 85.361 0.9999 86.213 86 219 0.9999 87.079 87.085 0.9999 87.955 87.960 0.9999 88.839 88.844 0.9999 89.782 89.737 0.9999
5.2 90.633 90.639 0.9999 91.544 91.550 0.9999 92.464 92.470 0.9999 93.894 93.399 0.9999 94.332 94.333 0.9999 95.281 95.286 0.9999 36.238 М.243 1.0600 97.205 97.211 1.0000 98.182 98.188 1.0000 99.166 М.174 1.0000
Б.З 100.17 100.17 1.0000 101.17 101.18 1.0000 102.19 102.19 1.0000 108.22 103.22 1.0000 104.25 104.26 1.0000 105.80 105.31 1.0000 106.36 106.67 1.0000 107.42 107.43 1.0000 108.51 108.51 1.0000 10Л60 109.60 1.0000
5.4 Йоло 110Л1 1.0000 111.81 111.82 1.0000 112.94 112.94 1.0000 114.07 114.08 1.0000 ‘115.22 115.22 1.0000 116.88 116.88 1.0000 117.55 117.55 1.0000 118.78 118.78 1.0000 119.92 119.98 1.0000 121.13 121.13 1.0000
5.5 122.34 122.35 1.0000 128.57 123.58 1.0000 124.82 124.82 1.0000 126.07 128.07 1.0000 127.34 127.34 1.0000 128.63 128.62 1.0000 129.91 129.91 1.0000 181.22 181.22 1.0000 132.58 132.54 1.0000 132.87 133.87 1.0000
5.6 185.21 135.22 1.0000 136.57 186.57 1.0000 137.94 137;95 1.0000 189.33 189.33 1.0000 140.73 140.73 1.0000 142.14 142.15 1.0000 143.57 143.58 1.0000 145.02 145.02 1.0000 146.47 146.48 1.0000 147.95 147.95 1,0000
5.7 149.43 149.44 1.0000 150.93 150.94 1.0000 152.45 152.45 1.0000 153.98 153.99 1.0000 155.63 155.58 1.0000 157.09 157.10 1.0000 158.67 158.68 1.0000 160.27 160.27 1*0000 161.63 161.88 1.0000 163.51 163.51 1.0000
5.8 165.15 165.15 1.0000 166.81 166.81 1.0000 168.48 168.49 1.0000 170.18 170.18 1.0000 171.89 171.89 1.0000 178.62 173.62 1.0000 175.86 175.36 1.0000 177.12 177.18 1.0000 17М& 178.91 1.0000 180.70 180.70 1,0000
5.9 182.52 182.52 1.0000 184.35 184.85 1.0000 186.20 186.21 1.0000 188.08 188.08 1.0000 189.97 Л 89.97 1.0000 191.88 191.88 1.0000 193.80 193.81 1.0000 195.75 195.75 1.0000 197.72 197.72 1.0000 199.71 199.71 1.0000
Функции комплексного переменного,
18. Коипмкеным числом называют выражения вида g-j~bi,
где а и fr—вещественные числа, а / = \/ -* 1 есть величина
мнимая1).
/**==4-1; lik + 1=^l; /4* + 2 = —1; /tt + 3 = -I.
а — вещественная часть комплексного числа, bi —мнимая
часть его. ‘
аbl >= сdi тогда и только тоща, когда а = с и‘Ь = d;
а 4- bl = 0, если а = 0 и b — 0.
Всякое комплексное число а-\-Ы можно представить в дру-
гой форме г (cos ft-}-/ sin ®),такчто a-} bl=r (colt ft-H S/л ®)*=(Л $)>
где г>0; г есть модуль комплексного числа,ft — аргу-
мент его.
,_____ а а
+ «3® = - = ^^==,
b ь
а) Сложение и вычитание комплексных
чисел.
(Д1 + ^10 + (ffa + bj) 4-.... -f- (ап 4- £„/) = Л 4- Bl,
т.-е. сумма комплексных чисел есть комплексное число, в коем
А = а, 4- а3 4- • - • ~Ь°л и 5 = Л) + + • • • Ьп.
Также можно написать:
(>t. «а) + Оа. ®а) + • • • + (Г„ , ft„ )« 0?Л),
причем ft = Л cosft,-J-ros ft3 4~ • • -}-гл£03®я
И /?5«П ft — riSZnftj-j-raS/n ft24* • • •+ГЛ^Л^Л-
Модуль R суммы не больше суммы модулей.
Два числа а 4~ bl и а — bl называют сопряженными,
сумма их всегда вещественна и равна 2а.
Разность двух комплексных чисел
(®i4- bji)—(а3 + b3z) = А 4*В1,
где А = — На И В = — 63.
Также (rt, ftj — (гъ ft3) = (R, ft), при чем
R cos ft = rt cos ft] — r2 cos ®a й Rsln ft = ri sin ftt —r3 sin fta.
*) В аямтмтсхиикв часто шесто ежквола <=/— 1 применяют /=/ — 1,
гак жш чарса I оЛоаиачают силу,тока. 4
Модуль R разности не более суммы модулей л и г2 и не менее
их разности.
Ь) Умножение и деление комплексных чисел.,
(Д14- b\l} (да 4* bj) = А 4~ В1,
где А д2Да — и = gi^2 4“ ga^i.
Или (rlt Oj) (г2, 82) = (R, 8), при чем
R — П^з> 0 = &i 4- 82 4" 2^я.
При п сомножителях
/? = rtr2. . . г„, 8 = 814-834-_ . . _ря4-2£7с.
Для двух сопряженных сомножителей
(a^-bi)(a-bl) = a* + b2,
или [г (cos 8 4-1 sin 8)] [г (cos 8 — z sin 9)] = Л
Частное двух комплексных чисел
-^i^T = A+Bi, или
а2 4“ ^2*
при чем
__Д1Д2 + bjbj __biCt? — b?fl\
~ al + bl ’ ~ Да + ’
(п,»»)
(га, 8а) *>*
г
R^~, 8 = 81-8а4-2^
'2
с) Возведение в целую и положительную
степень.
(д 4- W)" = А 4- Bi, или (г, 8)л = (/?, 0), <
при чем
л - «•- +
',1л-^"~2) <-»+....
R = г" и 0 =л8, так что
{Г (fos &-\-lsin 8)]л = 1я (cos л8 + / sin
откуда следует формула Моавра:
(cos 8 4- / sin 8)л = cos л8 4-1 sin л8.
d) Извлечение корня степени л.
]/(г, 0) = (R, 0), где = и 0=»Д^2~
19. Функция е? при комплексной г. f
г==1+_£_+_ + _+. . ,+-г+. . .
<fJ'=1-^г+1г~ • • • • •)=*"
= cosy-\~lslny.
e~ly=cosy — islny,
е* = е* (cos у1 sin у) = г (cos & +1 sin ty,
где r = e*, »=.у + 2£к
Формулы Эйлера;
sin у = -gjr (?•’' — e~iy)-, cosy=-^- (^'y 4- e~ly).
20. Тригонометрические функции при комплексном аргументе.
ДлЯГ = Х-|*^
z z$ z^
$1пг = Т~~зГ + ~бГ~- • •
z? z*
COS 2 = 1 21 + *4Г • • •
COS (Zt 4* Z2) = cos Zt COS Z2 — sin Zj sin z3,
sin (Z1 4* ZS) — Sin Zi COS Za 4- Sin za cos zt.
Формулы Эйлера прн подстановке вместо у величины 1у
дают зависимость между тригонометрическими
и гиперболическими функциями.
е~У —
sin ly =----2/---= 1 shy, shу = — isiniy, .
е~ул-^
cos ly =---J-—" == ch у, chy = cos ly,
tgly = lthy, thy = — tgly,
ctgly = —Icthy, cthy = Ictgly.
| sin (x 4- ly) = sin x . ch у 4-1 cos x . shy,
Iros(x4- 1У) = cosx . chy — Isinx . shy,
1 sin 4x-\-lsh2y _ sln2x +1sh 2y
tg(x+iy) = ~2 ' сО52х-}-5Ь2У ~ cos2x-{-ch2y *
, 1 sin 2x — I sh 2y sln2x — i sh 2y
ctg(x-\-ly) у • si^x-fs^y ' ~ cos2x-ch2y ’
21. Логарифм комплонснога числа.
г = х + 1у = г (cos re®.
Igz = ter-H ($4- 2^rc) Ige,
Inz — In r4-/ft + /2#*;
главным значением логарифма называют lnz = lnr-\-®<
lgl~0; lg(— 1) = /я Ige; lgl = i-^ Ige; lg(-*l)=3ly Ige;
Ini = 0; In (— 1) = /я; In I = I -y; In (—i) = 31 -y •
Пользуясь выражением In z, можно найти za , где и = a-\-b I.
ru _______ M ,lnN , eulnz__ Ja 4- Ы) (Inr + + i2kit)
ec+di e gC gdl,
где c = a. Inr —b(b 4- 2h~) н d = b. Inr + a (ft + 2%~).
Следовательно, N = p (cos <p + I sin гр), где p = ec, <p = af.
, J SJtlt Я
Частный случай: г = e г .так как с = — -g- и а = 0.
22. Гиперболические функции кемпленснего аргумента. При
z — x + yl, shz = у (г2 — е-г) = ^~(exeyi — е~х е“•>'*)=
* Xх -i-e~ х
= —СО5У + ----i sin у, т. е.
sh (х ± /у) =4= sh х. cosy ±1 ch х. sin у, sh ly = I. sin у,
ch (x ± ly) = ch x. cos у ±1 sh x. sin y, ch ly = cos y;
th(x-Vly) = ^±n^-, thly = ltgy.
Отсюда выражение тригонометрических функ-
ций черезгиперболические:
sin у — -—Ish ly; cos у = ch ly; tg у = — I th ly.
23. Обратные тригонометрические и гиперболические функции
комплексного аргумента.
г = х4-ly = sin и = i (<?“' — e~ui) = £. -,1 == z.
2/ %1еш , 2lo
логарифмируя, имеем: и = arcsin z = -1 In (iz± 0—г3) =
= l^argshiz. Получаем две серии значений благодаря двой-
ному знаку: корня и бесчисленному множеству значений 1т
Зная одно из значений, легко найти все остальные. Взяв перед
корнем-!-, получаем главное значение функции и. \
arcsin z == — IargshIz => — I ln{lz-\- 0 — г2),
arc cos z — —i arg ch z — ±l ln(z-\-l 0 — z2),
arc tg z = — i arg th iz = -1_ In -,
* 2,1 1 / z
arc ctg z = I arg cth lz = — In •
arcsin ly = Iargshy-lln{y-\-y/l + y"),
arccos iy = — i arg ch ly=~±l l+_y2).
arc tgly = l arg th y = 4^ In * ~*'y,
arc ctg ly — — I argcthy = 4r In V
2 у — 1
24. Преобразование комплекснего чиела на одной формы
в другую. Переход от формы г = а± Ы к формам
z = г (cosy± I з1п у) = г. = ех
и обратно совершается с помощью формул:
7 = 02 + &2, cosy = у , sin у = А, х = In г.
г ~ ех, a = r cosy, b = г sifty.^
3 4
1) Пусть л=3 — r=5: cos v= <sZny='—. ПЪ таблицам у—53° 8'=
9 Б
= 63,13° = 0,9273, X=1,«0М.
3—</=5 {cos 63,13°—I sin 63,13°)=S ✓—‘53,13° _г1,в094— i. Ц8ЛЗ
2) z=«1.e + ‘ °-53 ; r=el’a = 4,9680, y=0^3=30°22',
COS y=o,83281, sin у =.0,60^63,: a= 4,28; 3 = 2,61. ;
,1,34-1. 0,63 _ 41953O 30°22'4- i sin 30°22') = 4,28 + 2.61
41 Функции комплексного переменного Отд. (—24
Таблица VIII. Значения выражений y'l cP и у дляпре-
образования комплексных чисел из формы <r±j> / в формv г g— fr-
а 0 1 » 3 4 5 в- 7 8 9
0,00 0,50 0,057 0&200 0,115 0,450 0,172 0=800 0,229 0,125 0,287 0,180 0,344 0«245 0,401 04320 0,458 04405 0,516
0,01 04б0 0,57 0,63 0*78 0,69 0,85 0,74 0498 0,80 0*113 0,86 0,128 0^2 0*145 0,97 0462 1,03 0*181 1,09
0,02 0*200 1,15 0,221 1,20 <№42 1,26 0*265 1,32 0,288 1,37 (№13 1,43 (№38 1,49 0*365 lft5 <№92 1,60 (№21 1,66
0,03 0в45 1,72 0з48 1,78 0,51 1,83 0,55 1,89 0,58 1,95 <№1 2,00 0,65 2,06 W 2,12 e.72 2.18 аде 2,23
0,04 0д80 2,29 (№4 2,35 0,88 2,41 0=93 2,46 о=97 2,52 00101 2,85 00106 2,63 00111 2,69 00115 2,75 00120 2,81
0,05 00125 2,86 00J30 2,92 00135 2,98 00141 3,03 00146 3,09 00151 3,15 00157 3,21 00163 3,26 00168 3,32 00174 3,38
о,ов 00180 3,43 00188 3,49 00192 3,55 00199 3,60 00205 3,66 00211 3,72 00218 3,78 00225 3,83 00231 3,89 00238 3,95
0,07 00245 4,00 00252 4,06 (Ю^9 00253 4,18 00274 4,23 00281 4,29 00288 4,35 00296 4,40 0030Э 4.46 00311 4,52
0,08 08819 4,57 00828 4,63 00386 4,69 00844 4,74 00352 4,80 00361 4,86 оозво <92 00878 4,97 00386 5,04 00395 6,09
0,09 00404 5,14 00413 5,20 00422 5,26 00432 5,31 00441 5ft7 00450 5,43 00460 5,48 00469 5,54 00479 5,60 00489 5ft5
0,1 0050 5,71 0060 6,28 0072 6,84 0084 7,4/ 0098 7,97 0112 8,53 0123 9,09 0143 9,65 0161 10,20 0179 10,76
0,2 0198 17,3 0218 11,9 0239 12,4 0261 13ft 0284 13,6 0308 14,0 0332 14,6 0358 15,1 0384 15,6 0412 16,2
0,3 044 16,7 047 17,2 050 17,7 053 18,3 056 18,8 059 19,3 063 19,8 "li 070 20,8 073 21,3
0,4 077 21,8 081 22,3 085 22,8 069 23ft 093 23,7 097 24,2 101 24,7 105 25ft 109 25,6 114 26,1
0,5 118 26,6 123 27,0 127 27,5 132 27,9 187 23,4 141 23,8 14в 29,3 151 29,7 156 30,1 161 30,5
0,6 166 31,0 171 31,4 177 31,8 182 32,2 187 32,6 198 33,0 198 33,4 204 33,8 209 34,2 215 34,6
0,7 221 35,0 226 35.4 232 35,8 238 86,1 214 36,5 250 36ft 256 37,2 262 37,6 268 38,0 274 38,3
0,8 «8 , 287 39,0 29» 39,4 800 39,7 зов 40,р 312 40,4 319 40,7 826 41,0 332 339 41,7
0,9 845 42,0 352 42,3 359 42,6 зев 42,9 372 43,2 379 43,5 386 43,8 893 44ft 400 44,4 407 44a
Примечание. Поягнеппя см. $ 24.
Если при преобразовании можно довольствоваться неболь-
шим числом знаков, пользуются Таблицей VIII, составленной
на основании следующих соотношений.
При а > b угол у < 45°; полагая bja = d, имеем:
г = а у/1 + zZ2, у = arc cos ------------.
у/1 4-zZ3
По заданным акЬ найдем d и, если известно значение у/1 j-d2 =
определяем г = а%. ______
Обратно, при заданном Г можно, по известному \/1 + (Р =
-= £ и zZ, найти а — г/b и b = a. d.
При а<~Ь угол у>45°; полагая d = ajb, имеем:
г = b If Z1 и у = 90° — arc sin —-1 - .
у/14- (Р
При данных а и Ь и известном % находим г = b t>. При обрат-
ном переходе b — rjb и а = bd.
Таблица VIII дает для d, заданного в пределах от 0,001
до 0,99, значения \/1 d2 и у. Так как у/1 4- cP ~ 1 . . . , то
в таблице помещены лишь цифры, стоящие после запятой, при
чем для случаев, когда первые цифры после запятой нули,
введено условное обозначение, а именно, 03145 обозначает 000145.
Значения у напечатаны курсивом и даны в градусах. Для
а <С_Ь, т.-е у > 45° табличное значение у следует вычесть из 90°.
1) Пусть z =: 4 — 3 г, d~ ~ = 0,76. Таблиц* дает 4 1 + d* — 1,250 и
у = ЗВ,9°; г — 4.1,260 = Б; z = 6 е~ ‘ 36’9".
2) z = 60 е1 4°48'. у4,8°. Таблица дает = 1,00362 я d — 0,084.
кл
Тогда а — ——— = 49’8'' * = w-8 0,084 = 4’2; z = 49-8 + ‘-2 '•
3) z = 3 - 4Z; <1 — 0,75; k — 1,250; у = 90° — Зв,!Г-’—68,Г>; г=4.1,26=5
г^5г-63,1°
4) г = 5,154 е' "6/ 90° — 715° = 14°. По таблице k = 1,0308, <1 = 0,26.
Тогда Ь = ~~~ =5; а = 5 . 0,25 = 1,25; z — 1,25 + 6 1.
l,0oUo
Значения d, % и у, в таблице не указанные, могут быть
найдены интерполированием.
Векторная алгебра.
25. Определения. Физическая величина, вполне опреде-
ляемая числом, выражающим отношение рассматриваемой вели-
чины к величине, принятой за единицу измерения, называется
скаларом. Примерами скалярных величин могут служить: масса,
Количество электричества, разность потенциалов. Отвлеченная
величина есть также скалар. Над скаларами можно производить все
алгебраические дейетвия, как над алгебраическими величинами.
Физические величины, для полного определения коих необ-
ходимо, кроме числа выражающего отношение величины к еди-
нице меры, указать также и направление, и которые
могут быть складываемы геометрически, назы-
ваются векторами, Примерами векториальных величин явля-
ются: перемещение точки, скорость, ускорение, напряжение поля.
Каждый вектор имеет скаларную часть: единицу меры и число.
Вектор изображается отрезком прямой, длина которого пред-
ставляет в некотором масштабе скаларную часть вектора, а на
правление параллельно направлению вектора. Чтобы указать-
которое из двух взаимно-противоположных направлений изобра-
жающего отреза параллельно направлению вектора, на отрезке
ставят стрелку.
Обозначения векторов. В соответствии с изобра-
жением вектора отрезком, конечные точки которого обозначены
буквами, напр. А и В, вектор может быть обозначен АВ, если
он направлен от А к В или ВА, при направлении от В к А.
У вектора АВ точку А называют началом вектора, точку В—
концом его; у вектора В А названия обратны.
В современной литературе применяются различные обо-
значения.
Векторы
Скаларные
величины их
В немецкой, стандартное . . ЭД, Ж,_а,_ш, | ЭД|, |Ж|,|а_|, | m I
„ не стандартное А, В, R, а, Ь, Г А, В, |А|, |51, а, |а|
В английской и русской
литературе................А, А, а, а А, а.
В русской литературе . . А, В, R, а, Ь, г А, В, Р, а, Ь, Г.
26. Основные положения. Два вектора равны между собой
только в том случае, если при одинаковой единице измерения
скаларные величины их равны и направления одинаковы, или,
выражаясь иначе, если при одинаковом масштабе они изобра-
жаются отрезками одинаковой длины и направления.
Вектор равен нулю, если начальная и конечная точки
изображающего его отрезка совпадают. В этом случае скаляр-
ная величина вектора равна нулю, а направление остается
неопределенным.
Два вектора а = PQ и — а = QP имеют одинаковую длину
и прямо про.ивоположные направления. Скаларные величины
обоих одинаковы по величине и знаку.
Произведение вектора А на с к ал ар т есть
также вектор А скалар которого Р в т раз больше скаляра А
что обозначается А—т.А. . >
При этом, если т > 0, векторы А и А параллельны н одина-
ково направлены; при т < 0 они параллельны, но направление
их взаимно противоположно; при т = 0 и А = 0. >
Единичный вектор А\ вектора А есть вектор одина-
кового с А направления и имеющий скалар, равный единице.
Очевидно, что А = A. As.
27. Сложение и вычитание векторов, а) Сумма нескольких
векторов есть вектор, являющийся замыкающей стороной век-
торного многоугольника, построенного из всех слагаемых век-
торов таким образом, что начало каждого вектора совпадает
с концом- предшествующего вектора. Вектор-сумма- направлен от
начала первого нз слагаемых к концу последнего. Сумма векторов
ке зависит от порядка сложения.
Три вектора, сумма которых равна нулю, называют ком-
планарными.
Ь) Разность двух Векторов А н В эквивалентна сумме
лекторов А и—Ё.
Из этих основных правил следует, что 1) векторное равен-
ство не нарушается, если к обеим частям его прибавить по одина-
ковому вектору и 2) в векторном^уравнении можно перенести
любой его член из одной асти уравнения в другую, изменив
знак члена на обратный.
28. Произведение векторов, а) Скалярное или внут-
реннее произведение двух векторов А и В естй про-
изведение скялариой величины одного нз них ня проекцию
другого векторя на направление первого:
А. В’ = А ВА == В Ав = А В cos (А, В).
Если векторы А и В параллельны друг другу, то А.В= А В.
Прн взаимно-перпеидикулярных векторах А . А = О,
Произведение двух векторов пермутативно, т.-е
А . Ё = В . А. Скалариое умножение дистрибутивно, т.-е.
А(7?+С) = А . #+А -С.
Если число сомножителей больше двух, нужно принимать
во внимание кх последовательность. При 3-х сомножителях А, В
л С имеем: так как скаларное произведение 2-х векторов есть
всегда скалар, то произведение скаляра А. В на вектор С есть
вектор (АЁ) С паралельный вектору С, и, очевидно, отличный
т векторо в (ВС) А и (СА) В-
Вместо принятого здесь обозначения
(АВ)С, (ВС)А , (СА^В ,
обыкновенно применяют обозначение:
АВ С, Вё • А , С А В
Ь) Векторное произведение двух векторов А и В
есть вектор, скалярная величина которого С = АВ sin (А, В), т.-е.
равна площади параллелограмма, построенного на векторах
А и В. Вектор 0 направлен по положительной нормали к пло-
щади означенного параллелограмма. В Герма-
,, нии, положительным направлением нормали
с,читается то, которое образует с произвольно
_____выбранным положительным направлением
л /__7 обвода по расположенному на площади замк-
в/ / нутому контуру право-винтовую систему
7\ / (рис. 1) [Л. 9, стр. 19; Л. 10, стр. 12]. Для век-
X торного перемножения применяется следу-
ющее обозначение: С — [А Д].
Рво- При A JJ В вектор [А А] = 0; обратно,
если [А/?] — 0, А ф Он ДфО, то А || В.
Очевидно, что {А А] = 0.
Если А I б, то [АД] = АВ.
Произведение [ДА] = ДА sin (В, А); так как А и Д суть
скалары, то АД = ДА. Положительное направление обвода по
контуру выбирается так, чтобы, вращая вектор А в положитель-
ном направлении привести его к совпадению с направлением В
1Ййтчайшим путем. При этом условии углы (А,В) и (Д’Л)> 8 сле-
давательно, них синусы обратны по знаку. Отсюда следует,
-Жо—АД] = — [ДА].
ис Векторное произведение дистрибутивно, т -е. [А (Д'+ С)] *•
[АД]ф[А£], при любом числе слагаемых.
л А с) Сложные пронвведеиия век-
Доров.
- 1) Скаларное произведение
А [вс] имеет геометрическое значение; оно
^рвно об'ему параллелепипеда, построенного
£А, В и С как на ребрах. Оно положи-
ьно только тогда, когда А, В и С обра-
Зуют право-винтовую систему (рис. 2). По-
этому А [ДС] = В [СА] » С [АД], . но =
А [СД].
кн. «Если А [ВС] = 0, то векторы А, 41 н С комйяаиариы.
2) Двойное векторное произведение [Д [ВС У/
есть вектор Ё перпендикулярный к А н к (АО]; вектор Ё ле-
жит в плоскости (В, С) а перпендикулярен вектору Ё (рис. 3)
.-е. проекции А на плоскость (А, С). Вектор D *= [АС].
Произведение [А [АС]] = А (АС) — С (АА).
29. Разложение вектора на две составляющих, параллель
ную н перпендикулярную направлеивю един ичного вектора л
Для вектора А составляющая • И л равна л . Ал,
J.W . [л [Ал]].
30. Комплексное изображение
компланарных векторов. Пусть
дана плоская система векторов перпендикулярных вектору л,
направление которого определяет положительный смысл враще-
ния на плоскости. Выбрав на плоскости произвольное постоян-
ное направление X, установим второе направление jf, по-
вернутое относительно к на + л/2. Тогда любой вектор /Ждан-
ной системы может быть изображен комплексным числом
£ = &'+ /#2, где & равно проекции вектора на X и fa — проек-
ции его на У (рис. 4). Если А изображен числом а = at + 1аг,
а А — числом b «= bi + ifa, то чвсло с = Ci + lc-2 = (at -{- fa) +
i (а2 д2) изображает C=A-f-A. То же справедливо для
любого числа векторов и для вычитания.
Если написать а в виде а = г (cos <р -]- / sin <е)—Ге{ Т, то
г дям численное значение А, а <р —угол, на который А Повёр-
нут относительно А"
Если b = р (cos <]> + I sin ф) =* р е1изображает вектор А, то
ab = Г р е1 (Ч + Ф) изображает вектор С, длина которого в р раз
больше длины А и который повернут относительно А на
угол + ф. Такое произведение векторов А я б называется
комплексно-алгебранческнм. Умножение на р>О
соответствует удлинению вектора; умножение на е1Ф = (cos ф -f-
4-I stn Ф) — вращению на угол + ф; умножение на I — враще*
j
нию на 4-—.
1 2
Деление на вектор b = ре1Ф эквивалентно умножению
на — . е~'Ф н, следовательно, соответствует уменьшению длины
Р
Авр раз и повороту на угол — ф.
Возведение в степень. Так как ат = г”1 (cos т <р +
+ isinт 'р) = г”1 то ат изображает вектор, длина кото
рого в гт~1 раз больше длины А и который повернут отно-
сительно А на угол + (т — 1) <р.
Скаларное произведение А.В = а2Ь2.
Векторное , [А5] = п (агЬ2 — as&i).
Комплексно-алгебраическое произведение вектора с на вектор
сопряженный Ь, т.-е.
(«1 +1 «а) (*i — = (^1*1 + оьМ + i (aj>i — щЬ2)
Векторный анализ.
31. Функция екаларной переменной. Если А из-
меняется по величине и направлению, как функция
екаларной величины t, его обозначают A (t).
Производная = lim I Л)-—Л(ОI
dt | А 1 л о
дГ(А +Д) dA jdB
dt dt^~ dt’
dAB idB.ndA. d[AB\ Гд^1
-dF^A~dt+B si' -^ = r-3d~Lfi-3rr
Если x — есть скалар, то ‘L= х^ + А~.
dt dt dt
Если t есть функция х, то — = — . _.
dx dt dx
Если — есть функция от t, то = А ( ),
Разложение Тейлора применимо и к векторам.
Если А имеет постоянное направление, т.-е Л = Ат, где
dA * dA
т = const., то его производная ~ = т т.-е. вектор па-
dt dt
раллельный т.
Если = 0> то направление А постоянно.
Дифференциалы. d(A + 5) = dA 4- dB,
dAB = AdB + BdA, d = (X - [ЯЛ4].
Так как Ai2 = 1, то dA^ ~ 2 At dAt = 0.
f Для всякого вектора AdA = AdA.
32. Элемент ds кривой 01 А (рнс.6)
Y У? I есть вектор, проекции которого на оси
/А у прямоугольных координат обозначают-
о№~——ся dx, dy, dz, так что (rfs)3 = {dx}2 -f-
рио. в. + (^У)’Ч Интеграл / d's — А,
01 А
т.-е. геометрическая сумма векторов ds, взятых по кривой 01А,
. А
равна замыкающей ОА‘, f ds — А, т.-е. значение интеграла не
02А
зависит от пути интегрирования, а только от положения то-
А А А * О
чек О н А: / ds — f ds= f ds = A; f ds — —A.
01A 02A 0 A (
A 0
Интеграл по замкнутому контуру f°ds = J ds-}- f ds = 0.
Элемент d§ поверхности изображают элементар-
ным вектором dri, направленным по положительной нормали
к площади dS. Геометрическая сумма всех d$>, т.-е. всех dn, назы-
вается интегралом по поверхности f dS = п.
Интеграл по замкнутой поверхности f dS = 0.
Элемент об'ема равен скалярному произведению век-
тора элементарной площадки на вектор элемента длины:
dV^dS .ds.
33. Скалярная функции точки. ^Градиент. Функция
точки есть величина, значение которой зависит от положе-
ния точки, К которой величина относится. Пространство, в кото-
ром эта зависимость существует есть поле рассматриваемой-
величины. Если в точках Ps иРо, отстоящих на величину ds
скалярная функция ? точки имеет значения и <ро, то п р о-
нзводная от <f по направлению s выразится:
d~s~lim
-?o L
I ds I ds^ о
Производные по направлению от сложных скаларных функ-
ций вычисляются по правилам дифференциального исчисления:
^_{ ,6)==$?+^. ^-(<р.хф) = <р.^+ф
ds 'г ' ‘> ds~ds1 ds * ds‘y ds’
d dF dy dF d<l>
ds W’ •) dy ds ‘ dt ds •
(fy dy dy
Обозначив = Gx, == Gy, — Qz, можем написать, что
dy д'У Z<O • •
~ dx ~^"dy dz ~ ^s> где есть вектоР> проек-
dy dy dy
ции которого на оси координат равны §х> dy ц dz-
Вектор G показывает направление наибольшего возраста-
ния у и называется градиентом функции у: G ~ grad у.
Проекция градиента на любоенаправлеиие
равна производной функции <р по этому на-
правлению.
Градиент может быть получен и иным путем: окружив точку
Ро оболочкой, разобьем ее поверхность на элементы dS, возь-
мем интеграл по поверхности оболочки f у dS и разделим его на
об'ем V заключенный в оболочке.
Тогда grad у =V у = lim v . 1 / <р dS.
Знак V> называемый оператором Гамильтона,обозначает
совокупность только что перечисленных операций, послу ж гв-
ших для определения grad у. Для образования градиента слож-
ных функций служат обычные правила диффер. исчисления:
grad ('Н А) = grad у -f- grad ф,
grad ('<4) = у grad | grad у.
Если есть функция от другой функции точки ']?, тс
dy
grad 'т* = grad ф н . т, п.
Отдвт 1.
4
3*. Векторные функции точки. Рассмотрим вектор, меняющий
в Пространстве свое значение от точки к точке. Пусть при пере-
мещении точки приложения на dr — sds, его значение изменяется
из А в Д'; тогда производная от А по направлению
дА А' — А
единичного вектора з будет: =* Пт ----— •
<&-» о
Производные эти подчиняются следующим правилам:
d , , . dA . дв д . . dA • d?
ds ~ ds “Ь ds ’ ds ~ ds + ds •
d .. .dB.dk d Г. .1 Г. dfil , ГЛ4 .1.
ds (Aty ~ A ds & ds ’ ds l ~ J L ds ’
= + + ит.д.
35. Пространственное дифференцирование векторных функций.
Дивергенция. Возьмем в векторном поле ^постоянную точку Р„,
окружим ее оболочкой, поверхность которой разобьем на эле-
менты dS', об’ем, занимаемый оболочкой, обозначим через V. Тогда
дивергенция вектора к
divA=\JA = Нт Цг f dSA.
v-> о %
Поверхностный интеграл / dSA называют п от оком
О
вектора А через поверхность S.
Теорема Гаусса. Интеграл по об'ему от дивергенции
вектора равен полному потоку этого вектора через внешнюю
оболочку об'ема: [dV div А — f dS. А.
v S0
Если трактовать произвольный вектор А, как вектор ско-
рости несжимаемой жидкости» то в тех местах, где div А > в,
возникает новая жидкость; где div А < 0, происходит сток жид-
кости, наконец, там, где div А = 0, говорят, что вектор сво-
боден от источников.
Следствие теоремы Гаусса. Поток вектора,
свободного от источников, через поверхность с данной погра-
ничной кривой не зависит от формы этой поверхности.
Ротор, вихрь или завихрение вектора А есть
вектор, обозначаемый rot А и равный
rot А = [Х7Л] = Пт С дод].
м->ч> 4
Применяют также обозначение curl А (керл—завиток).
Возьмем в векторном поле две точки, соединим нх кривой К,
разобьем ее на бесконечно-малые направленные элементы dr
и образуем скаларные произведения dr А. Сумма fdrA, распро-
страненная на все элементы кривой /С называется линейным
интегралом вектора А вдоль кривой. Линейный
интеграл вдоль замкнутой кривой обозначают f dr А и называют
О
интегралом по контуру или циркуляцией
вектора А.
Проекция вектора rot А на направление единичного
вектора zip ihrotA=^ dr А/
* о
Теорема Стокса. Линейный интеграл вектора А вдоль
замкнутой кривой К равен интегралу нормальной составляющей
rot А, распространенному по любой поверхности, ограниченной
кривой К'. J* drA = dS . rot А = f dS .li.rotA .
s s'
Из теоремы Стокса следует, что rot А свободен от источников:
div rot А =0.
Если направление вектора А постоянно и если его значение
не меняется в поперечном к вектору направлении, то rot А = 0.
Вектор, не имеющий ротора, называют безвихревым.
Безвихревый вектор может быть всегда представлен, как гра-
диент скалярной функции точки. Поэтому rot grad <f> = 0, что
иногда пишут так: IW?] = 0.
ЗВ. Пространственное дифференцирование сложных функций
точки.
div <рА = <f div А A grad <р,
rot f А = rof А {grad <р А] = <? rot А — [A grad <р),
div [А5] =i В rot А — Arot В.
Обозначим через (A grad) В вектор, который будучи умно-
жен на А, даст изменение, получаемое вектором В при пере-
мещении на единицу длины в направлении вектора А:
(A grad) В = lim ~^-/Ad^B,
г->о J
о
при чем интегрирование не распространяется на А. Тогда:
grad АВ — (A grad) В + (ё grad) А + [A rot fij 4- [Z? rot А},
rot [Лё] = (A grad) ё—(B grad) A -f- В div A — A div B,
(grad А) ё — (A grad) ё-]-В div A.
3?. Вторые производные екДларней функции.
rot grad у = 0; div grad у = W? = V2?>
где V’T называется функцией Лапласа. В декартовых коорди-
натах:
v ? = dx1 + dys + dz2
Вторые производные векторной функции
div rot А = 0; grad div А = VVA;
rot rot A = grad div A — V2A,
где V2As= lim -ГГ [\dS grad) A-
V-5 0 ’go
38. Функции точки с разрывом сплошности. Если на неко-
торой поверхности S c нормалью а функция у переходах скач-
ком от значения на одной стороне поверхности к значению
s—на другой ее стороне, или функция А от значения А\
к значению А3, то такой переход называют разрывом сплош-
ности функции, а поверхность S поверхностью разрыва. В этом
случае определенные ранее пространственные произ-
водные: grad, dtv и rot приобретают бесконечно-большие
значения н теряют смысл. Поэтому для поверхностей разрыва
вводится понятие о поверхностных производных
определяемых следующими формулами.
Поверхностный градиент Grady = п(<р3 — ?j).
Поверхностная дивергенция Div А h (А2—Ai)
Поверхностный ротор R6tА = [л(А3 — AJ].
Расчет сложных процентов.
39. Капитал А при р годовых сложных процентах через п лет
обращается в Ап, определяемое по формуле:
= Л I1 +“100
р
где ^=1+-^
Капитал, образующийся из ежегодных вкладов а, вносимых
в начале каждого года, составит к концу п-го года, прн начис-
лении р годовых сложных процентов, сумму Вя, равную
и/(а/л —1) 1004- р _
Вп = а -„—Г2- - а ----------(дя"-1).
Если ежегодный вклад а производится в конце года, то при
р сложных процентах к концу л-го года образуется капитал С„:
„ «'"—I
С л — я ш _ 1
Ежегодная уплата d для погашения в течение п лет суммы D
(см. Табл. IX на след, стр.) вместе с наросшими иа нее процен-
тами, при р сложных процентах н производстве взносов в конце
года вычисляется по формуле:
ц>”(а>- 1> р w*
а~и a," —1 ~~ ЮО w — 1 ’
Ряды Фурье.
40. Осиевиыэ фермулы. Прн исследовании физических
явлений весьма удобно пользоваться разложением функций,
выражающих эти явления в тригонометрические ряды, иначе
называемые рядами Фурье. В ряд Фурье может быть разложена
любая функция, если только она удовлетворяет определенным
условиям, известным под именем условий Дирихле [Л. 1, стр. 156].
Хотя существование функций, неудовлетворяющих условиям
ДиряХле, в математике в установлено, факт существования
таких функций особого практического значения не имеет, так как
для функций, интересующих физику и технику, названные
условия обычно оказываются соблюденными. Но нельзя, конечно,
утверждать, что среди функций, имеющих физический смысл,
не может встретиться такой, которая условиям Дирихле не удо-
влетворяет. Ряды Фурье особенно часто применяются для ана-
литического выражения явлений периодических: в акустике,
механике и электротехнике.
Общий вид разложения следующий:
/ (X) =» яв at cos х я3 cos 2х • • • + ап cos пхс-\-
bi sin х 4- b3 sin 2x^-... +b„ sin nx +
Таблица IX. Ежегодная уплата для погашения 100 руб.
Число лет. Ч и в л о процентов
2 2'/1 3 3*/> 4 4'А <7«
Б 21,2158 21,5247 21,8355 22,1481 22,4627 22,8207 22,7793
10 11,132? 11,4259 11,7231 12,0241 12;3291 12,4830 12,637»
15 07,7825 8,0766 8,3767 8,6825 8,9941 9,1520 »;3114
20 в, 1167 6,4147 6,7216 7,0361 7,3582 7,5220 7,6876
25 5,1220 5,4276 5,7428 6,0674 6,4012 6,5715 6,7439
30 4,4650 4,7778 5,1019 5,4371 5,7830 5,9598 вдвое
35 4,0002 4,3206 4,6539 <9998 5,3577 5,5410 5,7270
40 а.вбвв 3,9836 4,3262 4,6827 5,0522 5,2418 5,1343
45 3,3910 3,7268 4,0785 4,4453 4,8262 5,0217 5,2202 ‘
50 3,1823 3,5258 3,8866 4,2634 4.6550 4,6560 5,0602
55 3,0143 3,3654 3,7349 4,1213 4,5231 4,7293 4,9368
во 2,8768 3,2353 3,6133 4,0089 ' 4,4202 4,6812 4,3454
65 2,7026 8,1285 8,5146 3,9188 4,8890 4,5544 4,7730
70 2,6668 3,0397 3,4337 3,8461 4,2745 4,4940 4,7165
75 2,6855 2,9654 3,3668 3,7869 4,2229 4,4460 4,6721
во 2,5161 2,9026 3,3112 3,7385 4,1814 4,4078 4,6371
90 2,4046 2,8038 3,2256 3,6658 4,1208 4,3528 4,5873
100 2,3203 2,7312 3,1647 3,6158 4,0808 4,3172 4,5558
Число лет Число процеитвв
*»/. 5 ВЧ* 5Ч« •
5 22,9381 23,0975 23,2573 23,4176 23,5784 23,7396
10 12,7937 12,9505 13,1082 13,2668 13,4263 13,5868
15 9,4721 9,6342 9,7977 9,9626 10,1288 10,2683
20 7,8550 8,0243 8,1952 8,3879 8,5424 8,7185
25 6,9185 7,0952 7,2741 7,4549 7,6378 7,8227
30 6,3209 6,5051 6,6917 6,8805 7,0716 7,2649
35 5,9158 6,1072 6,3011 6,4975 в,шз 6,8074
40 5,6297 5,8278 6,0286 6,2320 6,4379 6,6462
45 5,4218 5,6262 5,6333 6.0431 6 2554 6,4701
50 5,2675 5,4777 5,6906 5,9061 6,1241 6.3Ш
55 5,1513 5,3667 5.5848 5,8065 6,0285 6,2537
60 5,0627 5,2828 5,5055 5,7307 5,9581 6,1876
6? 4,9946 5,2189 5,4457-' 5,6748 45,9000 6,1381
та 4,8419 5,1699 5,4003 5.6328 5,8672 в,1033
75 4,9009 5,1322 5,3656 5,6010 5,8382 6,0768
80 4,8689 5,1030 5.3391 5,5769 5,8164 6,0573
60 4,8241 5,0627 5,3030 5,5448 5,7878 6,0318
100 4,7968 5,0383 5,2817 5,5261 5,7715 6,0177
Число членов разложения определяется желаемой степенью
точности, и задача, следовательно; сводится к разысканию зна-
чений постоянного члена разложения а0 и достаточного числа
коеффициентов at, at, ... ап и ft1( ft3, . . . Ьп. Правая сто
рона формулы (1) представляет периодическую ф'/нкцию с пе-
риодом 2л, левая—разлагаемую функцию. Если эта последняя
также периодична, то мы имеем дело с разложением сложного
периодического явления на ряд простых, напр., сложного коле-
бания на ряд простых гармонических колебаний. В самом деле,
пусть периодическая функция F(t) с периодом'2л представлена
суммой простых синусоидальных функций:
Р (0 — Со 4- Ci sin 4- 4" с3 sin 4* fs) 4* • • • 4*
4- cn sin (n^t 4- ?„) 4- • • •.
где Cj, c2.......cn можно рассматривать как амплитуды,
fi, fj, • • • fn — как начальные фазы и •>, 2<u,. . . лш — как
частоты отдельных гармонических колебаний. Полагая wt — х
и разлагая все sin (l^>tук) по известной формуле
sin (а -|— Р) = sin a cos 0 -|- sin р cos а,
мы перейдем к общему виду разложения—(1), при чем а0 = са,
ак = Ск sin fk'f bk = ск cos ък, следовательно:
Ск = V sin = —- И cosvk = — •
К К
В тех случаях, когда требуется разложить ив периодическую
функцию f(x) в интервале «<x<ft, мы прежде всего пере-
ходим, путем замены переменных, от интервала (а, Ь) к интер-
ft— а
валу (0, 2л), для чего достаточно положить х = «-|-——z<
и преобразуем функцию /(х) в ?(z), Затем мы ищем тригоно-
метрический ряд, представляющий периодическую функцию
которая при всяком значении г в интервале 0 — 2л совпадает
по значению с (г), или, что то же, с / (х).
Значения а0, ак н Ьк определяются следующими формулами
Эйлера:
/»2л । л 2л
оь = 2^- / /(X) dx, ак = — J J(X) cos tfxax,
О *0
bk - У'у(х) s/л tfxdx,
*0
(2)
где под / (х) подразумевается функция, заданная в интервале
О — 2х.
Если /(х) задана в интервале от а до b = a-f-2[, то
ч , ях . 2кх , , лях ,
f(x)=aQ+a1CffS-j--l-a3cos — -l-...+a„cos —+ I
, . . ЯХ , . ' 2хХ . , . , п~х v
-|~^i*wzr j 4"b3sin j ..-J-drtsin 4~***
и формулы Эйлера принимают вид:
. 1 Га+2‘ 1 Га+21 «*х
a<>~~2lJ fWdx‘ — / /(*)cos-j-dx,
а а
bk=-j-j /(х) sin ~*~dx.
а
(4)
Если задан интервал от — я до 4- я, то в формулах (2)
пределы интегрирования также будут —л и 4-х; при интер-
вале от — I до + I, аналогично изменяются пределы интегри-
рования в формулах (4).
Если/(х) является четной функцией, т.-е./(х) =/(—х),
то все bk—0; если/(х) —нечетная, т-е. /(х) = —/(—х).
то все ak — 0. Если /(х4-я) = — /(х), то обращаются в нуль
все ak н bk, у которых # есть четное число (0 считаем четным
числом).
Вычисление интегралов . в формулах Эйлера производится
по правилам интегрирования трансцендентных функций.
41. Прииеры разложения.
д
1 .Равнобокая трапеция:/(х) = — хприИ^=х^а,
f(x) — A при д^х^х — а,
/—г-» А
4 |\я * zpb /(’f) — а (я х) при я а^х^хЯ,
Определенная таким образом функ-
Ряс. т. ция развертывается в следующий ряд;
4А ( 1 1
^(х) — (-рг sin asln х-\- jp- sin За sin Зх-f-
4 sin За sin 5х 4~ • • • ) •
Я
2. Равнобокая трапецня для случая а = -у;
6 \/4Г 1
7(х) = —A (sin х — sln-5x 4-
4-^~з/л7х— -jp-s/л 11x4-• • • )•
3. Прямоугольник. Полагая в трапеции а «= 0, полу
чаем функцию /(х) = А при 0^=х^=те. /(х) = — А при
я с^х^ 2л, разложение которой имеет вид:
Рис. 8.
J (х) = ~~ (sinx-Y-^- sin Зх -h
4-S $ sin 5x 4~ • • • )•
4. Прямоугольник для случая
/(x) = А при 0s< x /(x) = — А при -y;
p\ 4 n ___>n /<*)=•“ (cos x — -о-спз 3x +
,4L>
„ „ + ~E- cos 5x — . . . ).
Ряс. 9. О ’ '
. 5. Прямоугольник для случая
— к 2к
/(х) =— А при O^Xf^-g-, у(х) = О при ~з~х&-у>
Ряс. 10.
/(х) = А прн-у-^=х^=
н т. д.:
3
2 v/3 1
/(х) = —-— A (cos х — -g- cos 5х 4“
1
4- 7 cos 7х —. . .).
6. Треугольник равнобедренный. При а = тра-
'&Йия превращается в треугольник; разложение принимает вид:
/(х) i —j- (sin х — -g,- sin Зх 4-
Ряс. 11.
4- sin 5х ~ .).
7. Треугольник равнобедренный для случаи f (х) =
2 А / л \ „ .. ч 24 ( п \
= прн О^х^гс и /(х) = — (^х — 3 -2-J
при - ^=х^=2гс- имеет разложение следующего вида:
Рас- 12.
/(х) == {cos X -35- cos Зх -J-
“I- cos 5х Ц- . * • }•
8. Треугольник равнобедренный для случая /(х) = х
при О^х^’ н /(х) = 2п —х прн гс^х^2гс получает раз-
чожение:
Z(x) = -у- — (cos х cos Зх-(-
о ” гп I
₽.0,1з. +зг^5х+...).
9. Прямоугольный треугольник.
/•(х) = ^-(гс —х) прн 0^х^2^: '
Рис. 14.
f(x) = —(sin -1~ х ~2 sin 2* +
-}- sin Зх . . - )*
10. Прямоугольный треугольник.
/(Х) = ~-х при 0^=х^гс,/(х) = — (х —2я)пригс^х^=2гс:
2Л , , 1 , „ ,
/W = № х - 2 stn 2х +
-}- sin Зх — . . . ).
. .11. 15.
11. Парабола. Х(х) = А~ (х —гс^ при 0^х^2п:
иИС. 16.
, 4Д / it’ 1
/(x)==-2j-f-g-—cosx — "22 os 2Х —
1 о 'l
— -3$ cos Зх— • • 1,
А 3
12. Парабола, /(х) = -у (1 — у х2) прн О^х^тг:
А Я
/(х)=-у [1---j(x — 2-)2] прн кг^х^Зк.
, 6Л 1
J РО — ^2 COS X 2з 2х +
1
+ уг<25 Зх —• • • ). .
13. Коммутированная синусоида;
. 2Л Icosx 2cos2x
/Т\ / W = -у (1 — уу - —3~5—
V ♦ V
О пгп 2 cos Зх
14. К о м м у т и р о в а и и а я к о*с н и у с о н да:
г^_ г-т- . 8Л / 1 2
А Дх) ~ -у (уд sin х 4- j—§ sin 2х
74' з ' \
~ cos Зх +. • • } •
1’НС. 19. • /
15. Полукруг:
/ к X 1 (Зк \
/(х) = 2А [Д (-у } sin их — -у Д I-у ) sin Зтсх +
Р1.с. 20.
4~ $ Д j у 5лх 4-. . .
где Д (а) есть Бесселева функция первого
рода. По подстановке ее значений разложе-
ние принимает следующий вид:
/ (х) = 2А (0,566 sin кх 4- О»094 sfn З1'* + °-042 5«х 4- • • •)
16. Кривая колебаний в цепи вольтовой дуги
(2-го рода):
F 7) = Ло 4- <41 cos a>t 4- Л2 Cos 2o>f 4- . . ,
rue. 21.
2(1 - a)
где Ло = ’ Л;
It
4Л 1 — а
Ak = ~V Т^^(Г- ip cos -
ш =2к/Г; а определяется равенством: a = (1 — a) 7.
42. Гармонический анализ кривых, полученных опытным
путем, может быть осуществлен либо с помощью прибо-
ров—г армони чес ки х анализаторо в—Michelson’a и
Stratton’a [Л. 2J, Henrici [Л. 1; 8], Mader’a [Л. 3), либо аналити-
ческими приемами—Runge, Fischer-Hinnen’a, Г. А. Акимова-
Перетц и др.
43. Способ Кивдо [Л. 4] основан иа вычислении определен-
ных интегралов по способу трапеций.
2я
Полагая х = -jr t, можем написать формулы (2) (см. § 40)
в следующем виде:
1 Г 2 Г 2я
= / F(t)dt, ak—-=p / /*(/) cosl^—pt dt,
. (5)
— j* I "(0 Sift % т Г dt
Разделим период T иа 4 п равных частей и обозначим
через у, : у0, уъ у2, . . . у4л —значения функции F(t), отве-
чающие значениям переменного t соответственно равным
Т -
j{ = i . Тогда по правилу, трапеций и в виду того, что
>о = Л„. имеем:
у,- sin
2я 2.т
где ft = j- . ti ~ I •
Пусть п = 3; тогда ft = 30°, ft = «0°. ft = Э0° . . . ft2 = 330°.
Приняв во внимание» что sin 30°» 0,5, и cos 30° = 0.866 и пользуясь
соотношениями между тригонометрическими функциями дополнительных и
пополнительных дуг, можем написать:
Де =-^~(Уо 4-У14“ Уа 4" • • •-Ь№+.У»1)>
ot — ~ (у, cos 30° 4- yt cos 60° 4- ft «w 90° 4-. . .4-ytJ cos 330° 4-
4- Ул cos 360°) — ~ (у» cos 30° 4-yt sin Stf3 —yt sin 30° — У» cos 30° —
6
— У« — У1 cos 30° — yt sin 30° 4- ya sin 30° -^yn cos 30° + yj> =
= 4 LVj - У, + 0,5 (y, 4- л, - у, -yj 4-0,866 (yt 4- y„ - и, - v,)),
0 i
.и аналогично
*1 = -у Ь'.—У* + °'6 О* +Л — У’ ~Уи) + ?’8вй О'! +>.—Л — У>.)1-
Число п должно быть выбрано сообразно с желаемым
числом членов разложения. Так, если мы хотим получить раз-
ложение в виде:
У(х) = а0 4- «1 cos х + <z3 cos 2х + . . . + ar cos rx +
4- bx sin x b2 sin 2x + . . . + br sin rx,
иначе говоря, определить 2r-f-l коэффициент, то нужно вы-
брать 2п > Г. Условие это является необходимым для того,
чтобы средняя квадратичная ошибка, т.-е. величин*
I — 4л
i=1
где у[ есть действительное значение функции, a f(xl ) — зна-
чение, вычисленное по найденной формуле разложения, была
Возможно меньшей. Разобрав условия, при соблюдении которых
эта ошибка становится наименьшей, Runge дает следующее
простое правило:
Если период разбит на 4п равных частей,
и мы знаем, следовательно, 4л различных ординат: ув = yin yit
у3, . • то в разложении могут быть на-
писаны лишь следующие члены:
f(x) = л0-|-cixcosх + a2cos2x-\-...-|- а2л_ t cos(2n—l)x+
-|- а2п cos 2пх
+ bt sin x-\-b2 sin 2х-\-b2n_i sin (2л — 1) x.
При этом a0 и все ak и bk при значениях # = 1,
2,. . . 2л — 1 вычисляются по формулам (6); для вычисления же
коэффициента слуАит формула:
i — ia
= "4л 2 "s2/l<Pz...............~ • (7)
/=1
Таким образом, при n =. Я мы можем вычислить: Од, at, • • » • . at и
blf . blf т.-е. получить 12 членов разложения.
♦
Для того, чтобы облегчить процесс вычисления коэффи-
циентов, Runge предложил специальные схемы вычислений:
одну для л = 3, другую для л = 6. Первая из них приводится
ниже; вторую можно найти в книге Runge [Л. 4].
44. Схема вычислений по способу Runge для п = 3.
Ординаты уь у2, Уз, у4, yit yG
У12> Ун> Ую> Уэ. Ув> У1
Разности иь и2> И3, uit и6
Суммы п0, vu v2, v3, vb v,, ve.
Здесь = y, — Уи, иа = уа—Ую. н т. д,;
Vo = У13. vx = У1 + Ун, . . . У6 = уа.
Вычисление коэффициентов при членах
разложения, содержащих cosQx. Выписываем по-'
лученные суммы:
Vo, vu v2, v3
Ув, Vs, Vj
Суммы: Co, Ct, c2, ca
Разности: r0. fa-
Порядок образования разностей тот же, что и в предыду-
Суммы, обозначенные цифрами I и И, получаются из эле-
ментов, соответственных столбцов, при чем каждый из элементов
предварительно умножается на синус угла, стоящий в одной
строке с данным элементом.
Вычисление коэффициентов при членах
разложения, содержащих sin %х. Порядок действий
вполне аналогичен только что изложенному. Выписываем
разности:
И1, «2. Из
и5. и4
Суммы: Sj, Sj,
Рмностн: db d2.
sin 30° sin 60° sin 90° 5з «2 de «1 — Se
Суммы I II II I II
Суммы I + II. . . . . Разности I — II. . . . 6fti 6ft5 6d3 664 6ft3
Прн вычислении достаточно принимать sin 60° = 0,866;
для работы с логарифмической линейкой выгодно заменить 0,866
разностью 1 —-0,134.
Пример. Пусть даны yv yit. . . соответственно равные
4-18, -|- 20, + 1», 4-10, — 1, — Ю, — 14, —15, —14, — 10, 4- 3, 4-18.
Ординаты 18 20 18 10 — 1 —10
13 3 — 10-14—15—14
Суммы: 13 21 10 4 — 5 —15—10
Разности: 15 30 32 25 13.
Вычисление хоеффицнентов для членов с годами
Суммы: 13 21' 10 4
— 10—15 — 5
Суммы: 3 в 54
Разности: 23 36 15
sin 30° = 0,5
Sin 60° = 0,866
sin 9и°=1 *
sin 90° = 1
36X0,866
— 5X0,3 6X0,5
30,5 31,2
0,5 —1 23 —15
18
— 2
— 0,5
+м
„ .18 , 61,7 0,5 , в .
Отсюда: о» —-j-—, а, = ---------—, а, =-------— , я, = 4-—,
, 1,5 0,7 2
в.- + —в-, = а,—------jj-.
Вычисление коэффициентов для членов с у/п'ямн.
Разности: 15 30 32
13 25
Суммы: 28 55 32
Разности: 2 5
sin 30° = 0,5 sin 60° = 0,866 sin 90° — 1 28X0,5 32 55 X 0,868 2 X о,8вв 6 X 0.886 28 — 32
46 47,6 4.i 4,3 28 “,3
93,6 — 1,6 6,0 - 2,6 — 4 *
_ _ . . 93,6 . . 6,0 . 4 t 2,6 * 1,6
Отсюда »,^+-г, ft. = + -g, ». = -т, ». =---«-
Искомое разложение будет:
/ (х) z=. 1,5 4- 10,28 cos х — 0,06 «и 2х 1,33 cos 3® 4-
4- 0,35 cos 4х — 0,12 cos 6х — 0,16 cos 6®4~
t 4" 16,6 sin х 4-1,00 Sin2x — 0,66 sin Зх—0,43 sin 4x—0,27. sin bx
45. Способ F.scher-Hinoen’a. Способ, предложенный Чебы-
шевым, введенный в электротехнику Fischer-Ншпеп’ом и из-
вестный под его именем [Л. 5], основан иа следующем свойстве
периодических функций stnx и cosx.
Если разделить целое число периодов т2к на р равных
частей: хр = и вычислить значения функций и = sin х и
v — cos х при значениях аргумента последовательно равных
хр, 2Хр, Зхр, . . .рхр, то суммы
ui ~ sin 2я + sin 2 2" + • • . + sin р ~ 2л
и
Sm „ , , т „ , , т „
Vt = C0S — 2лCtfs 2— 2л. 4-с0$^у2л
обладают следующими свойствами:
1) если — целое число, то tul = 0, 'i.vi = р\
2) если —дробь, то = 0 н Х14 = 0.
Эти свойства дают возможность составить достаточное число
линейных уравнений для определения коэффициентов разло-
жения- а ряд Фурье периодической функции, если известно
достаточное число ее значений. Последнее условие вполне удо-
влетворено, если разлагаемая функция дана в виде графического
изображения ее кривой.
В дальнейшем излагается способ составления необходимых
уравнений для случая, когда искомое разложение имеет вид:
у = а0 + «Jcosха3cos2x-±-a3cos3x + .апcosпх
4- Ъ3 sin х -i-b3sln2x-i- b3 sin Зх 4-... -j- bn sin nxj
иначе говоря, содержит 2n неизвестных коэффициентов и неиз-
вестный свободней член.
Отложим на графике разлагаемой функции от произвольно
выбранной на оси абцисс точки О отрезок, равный одному
периоду, разделим его на р равных частей и определим вели-
чины ординат, проведенных через точки деления. Мы получим
таким путем р значений разлагаемой функции: уи у2, Уз • • • Ур
отвечающих р значениям аргумента, которые соответственно
раниы:
Коэффициенты искомого разложения, очевидно, должны удовле-
творять р равенствам следующего вида, получаемым из (8):
2л „ 2л
vA = а0 + а3 cos — + а3 cos 2 — 4-
' 2п 2п
+ . .+ancosn ~+biSin —+
_ 2п 2п
+ b3 sin 2 — + . . . . . 4- bn sin п
где одно из чисел 1, 2, 3, ... .р.
Складывая эти равенства/ получаем уравнение:
У1 + У2+Уз,+ - • -+УР =
(9)
VI / 2/л 21т. , , 2/л\
= РЛО + 2-iai\cos 4-... .4-cosp— J+
+S bi "v+sin 2 пг + • •+sin р пН) •
-г-=1
-
На основании указанных выше свойств сумм 'iui н мы
можем сказать, что коэффициенты при всех bt равны нулю;
что же касается коэффициентов при, а {, то те из них, у ко-
торых I кратно р будут равны р{остальные же обратятся в нули.
Отдел 1.
5
Давая р последовательно значения: 1, 2, 3,. . .Д, нолучим л
таких уравнений, а именно:
//=1, = ДаН- fli 4“ Яз + • • •~Ьая>
Р = 2, ух + уа = 2 (ДоН-Дз + Д* 4* - • •+л2а}, где
2а—наибольшее из чисел кратных 2и<л;
Р — 3, 4-Уз Нг Уз =
= з (До Н-аз 4-ав 4 д» + • • • Н- дзр);
Р = 4, У14-Уз+л+У4 =
= 4(д04-д44-д84-- • •+%);
(И)
> = & У1 + у3-Ь- -4-Уа =
— #(Ло4-Лл 4-д2* + йЗл+ • • • + aV-k );
Р = п, У14-Уз4--- +УЛ = л(До’4-Дл)-‘
Указатель обозначает наибольшее из чисел кратных и<л.
Величина может быть определена графически. Для этой
цели проводим прямую у = d, подобрав зна-
А Л чеиие d таким образом, чтобы площади,
Г i \xf \«7 * ограниченные кривой, ц проведенной прямой
? I/ V и лежащие по разным сторонам от ррямой,
были равны друг другу: <ох — о>2 (рис. .22);
Рис. 22. тогда будем иметь д0 = d. После этого п
коэффициентов д1( д2, Да, . . . а„ могут быть
найдены из системы уравнений (11). Заметим, что в. левых ча-
стях этих уравнений ур остается одно и то же; что же касается
Уь Уз, • • Ур-i,
то величина каждого из них в различных уравнениях различна.
Определение коэффициентов Ьь Ь2,. . . Ьи производится
путем-совершенно аналогичным. Следует только-принять во вни-
мание, что для составления одного из уравнений, аналогичных
уравнениям (11), необходимо каждый раз перемещать точку О
по оси абцисс в сторону возрастания х в новое положение О',
Л
при чем расстояние ОО' определяется равенством ОО' — т^р •
Очевидно, что при этом абциссы точек, делящих отрезок,
равный одному периоду, на р частей относительно начала коор-
динат О, будут:
2л , л 4л t it 6л _ л 2л , л
+ /Г+’гр’ 5^’+‘2р>- • ’р~р>1р'
соответствующие нм значения ординат обозначим:
У'1, У'згУ'з, - - • У'р.
Напишем р равенств вида:
. । 2те , it \ , ' Сте 'те \
у'ь^ъ+ъсоз^Ц — + ^)+а3соз2{* — + j +
f 2те те \
+• -+anC0Sn^y + ^) +
(2те те \ . ( 2те те \
^~р +1^у + ^ sin2\Jl— +^р) +
( 2те те \
+ . . .^-bnSin — J,
где % одно из чисел: 1, 2, 3, . . . р.
Сложив эти равенства, получим уравнение:
У'1 +УЛ2 4- y's + • • --^-y'p —
Нетрудно заметить, что стоящие в скобках суммы синусов
и косинусов отличаются от сумм и 2t>z только тем, что
к каждому из значений аргумента прибавлена одна и та жё
/те ' I
величина х0=~^. Отсюда ясно, что если — есть дробь,
то скобки при at и bt обращаются н нуль; если же — есть
целое число т, то при tn четном суммы косинусов равны ± р,
а суммы синусов равны нулю; при т нечетном обращаются
в нуль суммы косинусов, суммы же синусов дают р.
Давая р последовательно значения: 1, 2, 3, . . . п, получим
систему п уравнений, аналогичных уравнениям (11).
Чтобы не затруднять изложение сложным вадом указателей,
которые необходимо было бы ввести, чтобы написать уравне-
ния (IV) в общем случае, приведем их для частного случая л = 15.
Р — 1, у\ — Оо — Оз + 01 — Ог^-Оз — Д10 4“flis —Оц+
4- bi — ba -f- b$ — 4" ba — Ьц -f- Ьц — Ьц,
2,
3,
= 2 (д0 — Qi + Да — Ou 4“ ^2 — Ь6 + — Ьц);
Р =
Р =
Р =
Р =
Р =
Р =
Р =
Р =
Р =
Р =
4,
5,
6,
7,
8,
9,
10,
И,
12,
13,
= 3 (д0 — д« + Д13 4~ Ьз — Ь$ + Ьц);
У'1 + У’з + У'з+У'« = 4(Яо — Да + £4— &13);
+ У'ь = 5 (До — Ды + Ь6 — Ьц);
4- У 'в= 6 (я# — я1а + W;
+ У 'ч = 7 (Ло — Оц 4~ Ьз);
+ У1» — 8 я0 + Ьв);
+-у'з = 9 (Др + bs);
+ У'ю = 10 (Ло ~ ~ Лю)»
+ >>’11 = и \ао--Ьц);
Р = 14,
р=15,
У1+У3 +
У1-к> +
У1+У3--
У1+У3+
У1+Уз+
У1 + У3 +
v'i-5’’3 +
y'l- У 2 +
У'1 тУ з +
+ У' is — 12 (д0 ~ -
+ у'is —13 (oq 4- &13);
. . . , . . + У'и= If Wo+^н);
У\ + У’з + • • + У'15 = 15 (Яо + Ьц).
(И')
Р =
Р =
46. Если искомое разложение ио содержит свободного члена
и четных гармонических и имеет, следовательно, вид:
у = cos х 4-д3 cos Зх4-я6сД5 5x4-. . . 4-
4-д2и_1со5(2л —1)х4-
4- bi sin х 4- ba sin Зх + bb sin 5x 4- . . . 4’
+ b^^sinf.ln — l)x,
то решеине поставленной задачи значительно упрощается.
При составлении уравнений, служащих для определения
коэффициентов дь д3, д5, . . . достаточно давать р только
нечетные значения. При этом получатся уравнения:
д=1, У1 = Д14-Дз4-д6 +.. •Ч'Лад-!;
р = з, У14"У2*Ьуз = 3(дз4-д94-д154-.. •4"дза)>
Р — 5, У14-Л+ • • “гУз = 5(д64~Д154"Яз54"• • •Ч-а5р);
Р = Ъп — 1, У14“Л4“-' •+>’20 — 1 —(2л — 1)л2п_1,
где За, 5₽, . . . обозначают наибольшие из нечетных чисел
С 2л — 1 и кратные соответственно 3, 5, . . .
Для составления уравнений, определяющих коэффициенты
bi. ba, Ьга, . . . также достаточно давать р только нечетные
аачения. Кроме того, точку О достаточно переместить только
один раз в положение О", при чем QO* = ^".
Тогда уравнения (10') примут вид:
v", + v",4-V", + . . .-4-v' =
+ 2
+ . . + sini
. (109
Очевидно, что l здесь принимает лишь нечетные значения.
Если Цр есть дробь, то суммы синусов и косинусов обращаются
в нули; если I кратно р, то суммы косинусов обращаются
в нули, а суммы синусов в гЕ р.
Полагая для частного случая 2л —1=15, выпишем систему
уравнений (11'9:
Р-= 1. У1
3, "
Р =
Р =
Р =
. р =
Д=»
Р =
5,
7,
9,
11,
13,
У'1
bi—b$-\-b6—bi -{ ba—Ьц-\-Ьц—
p=15,
У1-Л +
У1-Уз+
У1+У»—
У1+У3—
У1+Уз-
У1+Уз+
— 3 (— Ь$ + Ьа — Ь15);
• +У5 5(&5-&16);
• -Ут =- 7^;
bv>,
--Уз = +
—Ун — — 11^115
—У1» = + 13&1з!
+ У15 = — 15^15-
<119
47. Споссб Г. А. Акимова-Перети, недавно опубликованный,
основан на замене исследуемой кривой вписанной в нее ло-
манной линией. При достаточно близком совпадении очертания
обеих линий можно считать, что их коэффициенты разложения
соответственно равны друг другу;
Достоинство способа заключается в том, что он позволяет
брать иа осн абцнсс точки не иа одинаковых расстояниях Друг от
друга, а на различных и, таким образом, дает возм< ясность
улавливать влияние всех особенностей очертания исследуемой
кривой, не увеличивая числа точек сверх минимально необхо-
димого. Подробнее см. Электричество, 1927 г., стр. 268.
48. Указатель литературы.
1. А. Н. Крылов.— Лекции о приближенных вычисле-
ниях.—СПБ., 1911.
2. A. A. Michelson & S. W. Straton.—A. New• Наг-
monic Analyser—Phil. Mag., 1898, январь.
3. О. Made г.—Ein einfacher harmonische? Analysator mit
beliebiger Basis.—ETZ, 1909, сто. 847. it
4. C. Runge.—Theorie und Praxis der Reihen.—Leipzig, 1904.
5. J. F i s c h e r-H i и и e и.—Methode zur schnellen Bestim-
mung harmonischer Wellen.—ETZ, 1901, стр. 396. t
6. Г. А. А к и м о в-П еретц. — Определение высших гар-
моник в экспериментальных кривых,—Э. 1927, стр. 268.
7. W. Hort.—Technische Schwingungslehre.— Berlin, 1922.
8. E. О r 1 i c h.—Aufnahme und Analyse von Wechselstrom-
kurven.—Braunschweig, 1906.
9. А. А. Эйхенвальд.—Теоретическая физика.—Часть I.
Теория воля.—Госиздат, 1926 (см. Главу 1: Векторы).
10. Я. Н. Ш п и л ь р е й н,—Векторное исчисление - Москва,
1925.
В. Сопротивление материалов.
49. Овределаиия. В каждом реальном и, следовательно,
упругом твердом теле под действием системы внешних взаимно-
уравновешенных сил возникают внутренние силы и сопрово-
ждающие их изменения во взаимном расположении точек тела.
Такое состояние тела и такое тело называют напряженным.
Внутренние силы могут возникнуть в каждой точке тела.
Выделим у одной нз таких точек бесконечно-малую и произ-
вольно направленную площадку d» и обозначим величину равно-
действующей внутренних сил на этой площадке через dr. Тогда
dF
отношение t == определит интенсивность внутренних сил,.
или напряжение в даниой точке.
Если <во всех точках площадки, выделенной у той же точки
и ориентированной так же, как d<», но имеющей конечную ве-
личину «>, напряжение t остается постоянным по величине и
направлению, то равнодействующая /•'внутренних сил, действую-
щих на площадке ш, будет F —t<o. В этом случае мы можем
определить величину напряженич t с помощью равенства
t = Fl<o, если только нам известна величина F.
Так как мы положили, что площадка d<o направлена произ-
вольно, то, очевидно, В дайной точке можно определить бес-
численное множество напряжений t различных По величине и
направлению. Напряжение t, действующее иа некоторой данной
площадке, может быть разложено на две составляющие: а—нор-
мальную к площадке, н о р м а л ь н о е напряжение их—лежа-
щую в плоскости площадки, касательное напряжение
Происходящие в напряженном теле изменения во взаимном
расположении точек тела влекут за собою изменения размеров
н формы тела, которые носят название деформаций.
Определить величину напряжений и деформаций можно,
вообще говоря, лишь в том случае, когда, кроме системы
внешних сил, заданы также размеры и форма тела и достаточ-
ное число коэффициентов, определяющих упругие свойства
материала, из которого данное тело состоит.
Если некоторая плоская фигура перемещается так, что
плоскость ее остается нормальной к прямой, проходящей через
центр ее тяжести, то об'ем, выделенный в пространстве пере-
мещающейся фигурой, носит название прямого бруса.
Если величина и форма фигуры во время ее перемещения
остаются5 неизменными, то выделенный об'ем называют пря-
мым б,русом с п р с т ря н ны м с е ч ейи ем. ...
Брусе пер е м е н н ы м с е ч ё ни ем получится в том
случае, если во время перемещения фигуры изменяется ее
величина, или форма, или и то и другое одновременно.
50. Классвфвнация напряженных состояний прямых брусьев.
Разделим данный брус сечением нормальным к его оси на
две части и рассмотрим одну из них вместе с приложенными
к ней внешними силами. Отнесем рассматриваемую часть к си-
стеме координатных осей OXYZ, поместив начало координат О
в центре тяжести сделанного сечения и направив ОХ по оси
бруса, a.OY.a.QZ, по главным центральным осям инерции дан-
ного сечения. Определим проекции главного вектора и главного
момента^ относительно точки О внешних сил, приложенных
к рассматриваемой' части бруса: Ух> Vy, Vz, Мх,Му, Mz
В зависимости от того, какие из. этих 6 величин отличны
от пуля, мы получим различные напряженные состояния, при
чем: ,
а) простыми напряженными состояннямн
называют те из них, когда из 6 указанных величин отличны от
нуля лишь следующие:
1)Ухф0— растяжение или сжатие, смотря по
знаку Vx ;
2)
3)
4) Му фО — чистый изгиб в плоскости OXZ",
5) Mz фО — чистый изгиб в плоскости ОХУ;
6) Vy ф 0, Mz фО — плоский из гиб в плоскости ОХУ
7) Vz ф 0, Му ф 0 •— плоский изгибе плоскости OXZ,
Ъ) Сложные напряженные состояния являются
комбинациями простых; из них наиболее распространенными
будут следующие:
1) Ухф0, У фО, Л/гф0
2) Ухф0, Vz фО, Л/уф0
стяжением или сжатием;
3) Ухф0, Л/хф0 — кручение с растяжением
или сжатием;
4) Уу ф 0, У, ф 0, Му ф 0, ф 0 - косой изгиб;
V ф 0, Vz ф 0 — срез;
гМ-ко учение;
плоский изгиб с; ра-
д. ййЙй**яив *ия*“мм
п
плоек и й изгиб с кру-
6) У,#Д v
41 * г $ °* , Ф 0. ф О, Л/, ф О - изгиб
с рдо? ?*Лвнем или сжатием.
П|йс’|йншкряже*1ные состояния прямых брусьев.
. ****'"> приложенными и торцу Ipyea.
а)/Поражения. Условия равновесия отсеченной части
” (рис. 23) Мают:
Рио. S3.
—P-{-Jedto = 0 '. .
ш
Если 9 во всех точках сечеиия
стояние по величине, то уравнение (12) дает:
•(12)
«> но
р
............... (13)
• Предположение, что а = const справедливо только в том
случае, когда внешние силы равиомерио распределены по торцу
бруса. Если это условие ие соблюдено, и мы зиаем только, что
равнодействующая внешних сил равна Р, то формула (13)
даст лишь среднее значение напряжения на площади нормаль-
ного сечёния. Принимают, однако, что на некотором расстояний
от торца напряжение во всяком случае будет во всех точках
нормального сечеиия одно и то же, и, следовательно, фор-
мула (13) определит величину иапряжеиия в данной точке.
Если сечение сделано под углом а
------_)5<.к оси бруса (рис. 24), то при тех же огра-
______* х ничеииях, что и выше, напряжение в дан-
______иой точке определится равенством:.
Рво. 24. t ~ .
“а ’ ‘ ‘ *..............
где <»а — площадь проведенного сечеиия. Напряжение / раз-
лагается ва иормальиое
а' = t sin а = as/л’ а,........................... . . , (15)
и касательное
с' = t COS а — -$• sin 2а
(16)
Формула (.15) показывает, что наибольшее значение нор-
мального напряжения получится на нормальном сечении (а = KfiJ
и равго У = а = Р/<», а наибольшее касательное при а = к/4
и равно г' — а/2 = Р/2«> • , ' .
Если нормальное сечение сохраняет свою величину по всей
длине бруса, то и а = Р/и> остается постоянным. Для бруса
с переменным, сечением шх напряжение <х~Р^х переменно и
достигает наибольшего значения при наименьше^ значении шх .
Ь) Деформации. Основными деформациями являются:
продольная — приращение А/,длины бруса I и попереч-
ная— уменьшение размеров в плоскости OYZ.
За меру продольной деформации принимают либо абсо-
лютное удлинение А/, либо относительное
удлинение
Продольная деформация может быть определена либо
экспериментально, либо с помощью формулы, называемой за-
коном Нооск’а:
а - Е1Х.....................(18)
где Е—модуль нормальной упругости для мате-
риала бруса *); так как 1Х, согласно равенству (17) Является
величиной отвлеченной, то Е измеряется так же, как и в, т.-е.
согласно формуле (13), единицами силы, отнесенными к единице
площади.
Формула (18) с помощью равенств (13) и (17) может быть
написана распространенно:
........................................................(19)
. Формулы (18) и (19) дают возможность написаты
...............(20)
и Р1
...............(21)
Величину Еи> иногда называют жесткостью бруса
при растяжении.
Ф о р м у л ы (18), (19), (20) и (21) могут быть при-
менены непосредственно лишь для бруса по-
стоянного поперечного сечеиия.
Деформации бруса переменного сёчення
определяют интегрируя уравнение, которое получится, если
написать формулу (21) для участка бруса длины бх:
= •......С22)
Тогда абсолютное удлинение для участка бруса от до
определится равенством:
/*.
.... . .‘(23)
*) Значения модулей для применяемых в технике строительных мате*
рвало* см. дальше 84—102.
Величина Иоперечиб» деформаций1 опре-
деляется Зависимость»:5' 4 -
?/ , ' ’гфП.
где [л — коэффициент Пуассона. «
в
82. Равтяимит об'еиньМй силами. а)_Напряжения.
Так как об'емная сила приложена к каждой точке тСлЛ,То ве-
личина Vx изменяется в зависимости от положения ' pWftMtjtat-
ваемого сечения. Об'емной. силой является обычно вес .тела
’ Если х — абсцисса рассматриваемого нормального
сечения (рис. 25), Т —• вес единицы об’ема М1 <о —
_• влощадь сечения, то сила QXt действующая в даж»
ном сечевии, будет Qx — хшу, а напряжение 1
1 а = = IX. • < • • * ‘ • • (24)
а = /»»-<- = ух.
' - ,
Рис. ж. Таким Образом; напряжение не завиР
сит от величины сечения и изменяется
пропорционально х. Наибольшее значение напряжения будет
® = ;/, где /'нолная длийа бруса.
Если сечение переменно, то Qx — vxy, где vx об'ем
рассматриваемой отсеченной части бруса, определяемый обыч-
ными формулами геометрии, и
М
- = .................(25)
Ь) Деформации. П р н. ,п о ст о я и н о м с е че и и И
абсолютное удлинение определяемся дифференциальным урав-
нением: ’ !
1 ух ' с
ДЛс = -^-Лс,
которое после интегрирования дает для участки t бруса от
Xj до х3: '
.....(26)
Удлинение’ всего бруса (xt = 0, х3 = /) равно:
уР QI
• .........<27>
где Q — вес исего бруса. г
При переменномсечении:
А(х3 — Xj) =-1- / -^i-dx, . . . . .(28)
EJ “*
где ох и <0Х должны быть выражены в функции от х по задан-
ным в каждой'отдельной аЯЛаче условием.
53. ОдйоврйгаяИое действм терцевых и об‘емных сил. На
основании принципа независимости действия сил, действия от-
дельных сил складываются алгебраически.
'Поэтому при 'пос той не бм сечении напряжение
‘ 1
Ш <0
деформация всего бруса: 1
P+~2~Q
----1.............(30)
64. Сжатие получается ириперемеие знаке у Vx. Поэтому
если в формулй йя' растяжения измерить знак растягивающей
сиЛЫ; to дня *со^|ййят свою сйЛу и iaa рассматриваемого на-
пряжеиного состояния.' Абсолютная и относительная про-
дольная деформация при сжатий становятся отрицательными.
Коэффициенты В и р, вообще говоря, имеют то же числен-
ное значение, что и прн растяжении. Следует, однако, иметь
в виду, что При некоторых соотношениях между продольными
и поперечными размерами бруса состояние сжатия переходит
в состояние продольного изгиба (см. ниже § 72).
56. Предвя применимости ферму* для «пределеняя деформации
при растяжении и сжатии. Формулы для определения деформа-
ций основаны на законе Нооск'а, который сохраняет свою силу
только до некоторого, для каждого материала различного, пре-
дельного значения напряжения вр, которое иазвано преде-
лом пропорциональности.
56. Расчет брусьев на растяжение и сжатие. Рассчитать брус—
это значит определить размеры его поперечного сечеиия <о так,
Чтобы йи в одной из точек бруса напряжение в ие превзошло
некоторого вполне определенного для материала бруса предела,
называемого допускаемым напряжением. Допу-
скаемые напряжения обозначаются: для растяжения -Rif для
сжатия—’).
Так как расчетное условие требует, чтобы а < Р, то рас-
четные уравневия получают следующий вид:
При действии енл, приложенных к торцу, и постоянном
сечении: р
..................(31)
При тех же силах и переменном сечений:
‘ .Л . , ' Z-
..................(3*)
‘) 8в»ч«иия дойусвмиыг »«пр«квмив ом. далым Н 103—108.
При действии веса бруса величина сечения <> ие оказывает
влияния на напряжения н можно говорить лшц^ об определении
наибольшей допустимой длины при которой напряжения
не превзойдут R-. ' - -
s(33)
При одновременном действии торцевых сил н веса:
•••• . . .(34)
Из формулы (29) видно, что наибольшее напряжение будет
существовать только в одном сечении, при х = /, и потому
величина ^.определенная но,формуле (34) для остальных сечений
будет преувеличенной. Отсюда возникает, вопрос, как должно
изменяться сечеиие <ь, чтобы' при всех значениях X напряжение
было одно и то же. Брус, удовлетворяют!.й этому условию
называют брусом равного сопротивления растя-
жению нли сжатию- Сечение такого бруса определяется
формулой: ;
..................................................... (35)
где е—основание натуральных логарифмов.
57. Растяжение и сиштиа отизмеиенни температуры бруса.
Если концы бруса при некоторой температуре его t0 наглухо
заделаны в плоскостях, которые можно принять за неизменяемые,
то прн изменении температуры ДО Л в брусе появятся напря-
жения, равные
^-ЕаДГх-Го), . . ..... .(36)
где at —коэффициент линейного температурного расширения.
Знак минус показывает, что прн брус будет сжат,
прн t0— растянут. , -
Напряжения от изменения температуры могут достигать
значительных величин. Так,при Е = 2 Х10* fygjcm2, 0^=125X10'’,
(железо) и — ta = 40° С, в = 1 000 Qgl ст2.
58. Срез получается при действии сил, по-
Л казанной на рис. 26. Осуществить такое распо-
., f х ложение сил в точности на практике иевоз-
Сл-------------------VST*"® можно- Кая бы ни были тонки те лезвия, коими
передается брусу срезывающее усилие, все же
они имеют конечную толщину 2d и поэтому
Рис. 2в. сила р в действительности создает пару с мо-
ментом Pd, которая вызывает сопутствующий
срезу изгиб. Если Момент Pd не велик, то можно в практиче-
ских расчетах им пренебречь. Если' сверх того предположить,
что вызываемые силой Р касательные, напряжения распределены
по площади ш сечения равномерно, то можно написать, что
касательное напряжение.
Р
(37)
По этой грубо приближенной формуле производится расчет
на срез заклепок, болтов, шпонок, врубок и т. п.
Расчетное уравнение будет:
<» = -—.................- (38)
где Р3—допускаемое напряжение на скалывание.
Рис. 21.
59. Кручение. Брус круглого,
поперечного сечения, напряженный
на скручивание, часто называют
валом.
а) Напряжение в нор-.
мальном сечении определяется фор-
мулой:
. . . .(39)
/о
Здесь Мх —1 крутящий момент, р — радиус вектор рассматри-
ваемой точки сечения, /0 — полярный момент инерции площади
кругового сечения вала:
itr*
4— 2
00)
где г—радиус сечения вала.
Формула (39)'показывает, что величина напря-
жения изменяется пропорционально значению^ по I 'к )
закону прямой линии (рис. 28). Наибольшее значе-
ине напряжение будет иметь в точках иа периферии
сечения при р = Г, а именно: Рис. 2».
Мхг мх
хтах— Wo...........
где Wo—поляриый момент сопротивления круга,
_______ равный
АХ / д \ 7\ /„ т.г3
Wo= f =-2-. . . (42)
\ ‘ \X- b) Деформации. В отношении
x x деформации кручение представляет
собою случай чистого сдвига
Рис. 29- (рис. 29). Перемещение аа' — аб-
солютный сдвиг. ОжИоиенне
--относительный сдвиг. Относительный
сдвиг связан с величиной касательного напряжения законом
прямой вропорцноналкности: HvM-U .'.<• : сд
t = Ofi ". '• • чмф>»;уу<6Э)
где О —модуль касательной у пру гости,-коэффи-
циент, измеряемый в единицах напряжения. Обычно, однако,
за меру-деформации при крученимй|т1ЯММШ>иё сдвиг,, д у г qa
кручения, пропорциональный отиоеитдлкиому сдвигу, ,
; Углам дру^е,д»л ДДЯ Дл и-
/. -..7~\ вы вала I называют угол у,
fc-\ А т -т на к от о р ы й одно из сечений
I*-!" вала поворачивается qx н о-
сй^ё'льно другого сёченЮг,
-'V® Находящегося на расдТоя-
' ниц I о! первого (рис. 30):
/ Jfxl
Полые валы. Формул^! для напряжений н деформаций
полого вала—имеют тот же вид, что и для сплошного вала,
с той лншь разницей, что полярный момент инерции сечения
‘ 4 = -J(r?-ro‘) , ....... (45)
где л—радиус наружной окружности, а г3—радиус внутренней
окружности кругового колыХа сечения вала.
60. Расчет валов на иручеиие. Прирасчете ставятся два условия:
J) и 2) <Р</ <fd, где Х?з—допускаемое напряжение
на скалывание для материала вала, a <?d —допускаемая величина
угла кручения на 1 т длины вала. ,
Если заданы мощность машины, приводящей вал в дви-
жение, — Р, выраженная в киловаттах и число оборотов
вала в минуту—л, то величина крутящего момента Мх будет!:
„ />х 1О»Х6О
Мх —------------------ в килограмм-сантнметрах . (46)
Тогда расчетные формулы для сплошного вала примут вид:
по условию прочности:
_ ъ/" ЯX 102 X МУХ60
Г ~ г - п3ПИз ’
по условию предельной Деформациям
т / 102 X 10* X 60 хкГ
. . .(47)
. . . (48)
Из двух полученных значений выбирают наибольшее.
При расчете полых валов нужно задаться отношением
если = в, То /о = - (1 — в4) н расчетные формулы при-
'1 z
мут виД:
Р х 102 х 10я X 60
А-Г
i/ ’ Р х 102 х 10я х 60 х 10я
,6|. Чистый изгиб. Пусть изгиб происходит в плоскости ХОУ
от действия момента Мг .
а) Напряжения. В сечеиии нормальном к осн бруса
будут существовать только нормальные напряжения (рис. 31):
Mz . у
а; =
(49)
где ’ у-*- коэрдината рассматриваемой точки, а lz — главный
центральный момент ниерции речения бруса относительно OZ.
Напряжения, следователь-
но, изменяются пропор
циональио у; в точках,
лежащих на OZ, ®х = 0;
эти точки образуют ней-
тральный слой. Если
наибольшие значения у
равны + у, и —у2, то наи-
большие значения ах бу-
У
Т’
. дут (рис. 31):
Mzy.
а.
мх
Рис. 81
Л/2 y2 Mz
ах " ~ + / = + 1 • (5®)
где W' =-7- и
1 Ух
~ — моменты сопрот ив-
Уа г
ления сечения относительно OZ. Если OZ есть ось
. А
симметрии сечения, то у± = у2 =~2~i
= W'z = Wz = -~2 H
/И2 h
max max
Mz
= . (51)
РЯС. 32.
Кг
Рис. 33.
Ь) Деформация оси брус i происходит в плоскости
действия сил и определяется с помнимо дифференциального
уравнения изогнутой оси ити упругой линии:
...........(52)
Если считать положительными направления OS, ОУо , OZg
и Мг при расположении
их, указанном на рис. 33,
то в формуле (52) необ-
ходимо брать знак +;
если изменится направле-
ние одной из осей или
момента, то нужно изме-
нить и знак правой части
уравнения упругой линий.
Первый интеграл этого уравнения
............................................... ... (53)
дает возможность определить для любой точки оси бруса, опре-
деляемой значением с, угол, на который повернется относительно
OZ нормальное сечение бруса, так кан, согласно нашим, пред-
ставлениям о деформации при изгибе, сечение бруса нормаль-
ное к оси бруса до изгиба и после изгиба остается к ней нор-
мальным.
Второй интеграл уравнения (52)
м
Е/гу = ±Л/гу + Се + Л............... . (54)
служит для вычисления ординат упругой линии, называемых
прогибами. Наибольшую из них J иногда называют стре-
лойпрогиба.
, Произвольные постоянные С и D определяются по погра-
ничным условиям.
Пример. Дан брус, изображенный иа рис. 34. Опорные реакции
А — В — 0. Уравнение упругой линии:
М
Ряс. 34.
EIzy” — Mz.
Интегрируя его, получаем:
£7гУ = Жге+С . . .
ЕГгу = Мг у + :
.(Вб)
. .(63)
Пограничные условия: при g = 0, у = 0; при g = L, у 0, так как ати
точки лежат иа опорах. Из уравнения (БЗ) находим: по первому условию
Л4’ z L
D = 0, во второму С =----—. Наибольшей прогиб / получится при
при ; —Y
у' — 0, т.-е.
Л4г L*
и будет равен: /= — ggy—.
Знак минус показывает, что прогиб направлен в сторону отрицательных
значений у.
Угол поворота опорного сечения определится из ур-ния (56). На левов
опоре, прн g — 0, имеем:
Mz L
Х— — — 2Е1г"'
на правой опоре, при t =: £,
Мг L
Так как при выводе ур-ння (52) принимают, что радиус крн-
d2y.
визиы упругой лиинн р = 1: > т0 ур-ние (52) можно иапи-
сать в виде
Е1г ~+^р
(57)
При брусе постоянного сечення из данного материала £"и 1г
постоянны; а так как при чистом изгибе и Mz=^cpnst, то
и р = const, т.-е. упругая линия есть- окружн0РШ/ХТ10этому
чистый изгиб называют также круговым из^Ном, '''
62. Плоский кзгиб получается при 1^,фО^и,^Йг фО.
а) Напряжения. В сечении нормальном к осн бруса
существуют напряжения: нормальное вх и касательное, или
скалывающее, т. Нормальное напряжение в* определяется
формулой (49), т.-е.
мгу
в
‘ Z
прн чем все сказанное о нем в предыдущим параграфе сохра-
няет свою силу и для случая плоского изгиба. То же относится
к формулам (50) и 51).
Скалывающее напряженнее имеет, вообще говоря, две соста-
вляющие ty и тг, соответственно параллельные ОУ и OZ, из
коих обычно определяют лишь одну , выражаемую формулой;
V S
г . . .(58)
v Ыг ’ -
где Sz — статический момент отно-
сительно OZ части сечения, кото-
рая лежит выше линии р q (рнс. 35),
проведенной , через рассматривае-
мую точку о — длина отрезка
р q, lz — момент инерции сечения
относительно OZ. В отдельных слу- ’
чаях формула (58) может быть написана в соответствующем форме
сечення виде.
Отдел L.
6
Прямоугольное сечение (рис. 36), = 0:
6Уу (М Л
и --</.• • • -(59)
Круговое сечение (рис. 37), т2 ф 0:
sz = 3V(^-yj)3. /г = т
и • • :(60>
Напряжение ху в обоих случаях изме-
няется по параболическому закону, достигая
наибольшего значения в точках нейтрального
слоя, т.-е. при _у==>0. Эти наибольшие
значения будут:
3 V 3 Уу
для прямоугольного сечеиня: ту = — -у
4 Vy 4 V '
для кругового сечення: ту = — -g- —,
где <о — площадь сечения.
Л
В точках, наиболее удаленных от нейтрального слоя: у = у
или, соответственно, у = г, напряжение = 0. Диаграмма
изменения напряжений показана на рис. 36.
Ь) П еререзывающне силы н изгибающие мо-
менты. Величину Vy прн изгибе называют перерезывающей
силой в данном сеченнн, a Mz — изгибающим моментом. Онн
являются функциями внешних сил и абсциссы 5, определяющей
положение сечеиня, и связаны соотношением: V** —тео-
рема Шве дл ер а. Прн чистом изгибе Vy = Он, следовательно,
Mz = const. При плоском изгибе Мг всегда переменно, а У/у
либо остается постоянным, либо также переменно, в зависи-
мости от характера внешних сил. Аналитические выражения
Vy н Мг различны для различных участков балки. Грани-
цами участков являются те точки оси, в которых или прило-
жена сосредоточенная сила, йлй изменяется характер непрерыв-
ной нагрузки, а также точки* определяющие положение, тех
сечений бруса* к которым приложены внешние пары сил с век-
торами параллельными OZ.
Так у бруса, изображенного иа рис. 38, нужно различать
5 участков: I, II,. .. V. Выражения перерезывающей силы
н изгибающего момента для них будут следующие:
l)Vy~A; Л/г=А5;
II) Vy = A-P~^-ap.
О
Мг = А$-/>($-а)-^ (?-«)»;
Рис. 88.
Ill) Vv = A-P-<2-9(?-a-6);
Мг =A?-P(?-a)-Q^-a-y)-J(;-a-^;
IV) Vy=A—-P—Q — qc,
Мг = А? — P(S — а) — Q — a — — qc (t—a — b—^
V) Vy = A—P—Q~qc,
Мг =AZ—P(i—a)— — a — — qc(^-~ a—b—t^—Mo
с) Деформации осн бруса так же, как н прн чистом
изгибе, происходят в плоскости действия сил и определяются
с помощью уравнения упругой линии (52):
_ <РУ
^z — Mz •
Прн расположении осей, указанном на рис. 38, в правой
части уравнения следует писать каждый член выражения Мг
с тем знаком, который он получит, если считать положитель-
ным момент вращающий по часовой стрелке.
Уравнений вида (52) придется написать п, где п число
участков. При Интегрировании получится 2п произвольных по-
стоянных, для определения которых служат пограничные условия.
Каждая граница двух участков, jf-ro и (4> + 1)-го дает
два условия: y'k = y't + 1,yA = У*+1» т.-е. значения у' и у,
вычисленные прн значении с, равном абсциесе смежной для
обоих участков точки, по уравнениям ^-го и (# + 1)-го участ-
ков должны быть равны между собой.
Каждая свободная (шарнирная) опора дает 1 условие:
у == 0 — ордината опорной точки равна пулю,—если опора не
является промежуточной точкой бруса, и 3 условия: у = О,
У'* = У *4-1» У к = У*-|-1> еслн опора является промежуточной
точкой бруса. Еслн опора 1-го из указанных типов не свободная,
а защемляющая брус, то она дает два условия: у' =0 и у = 0.
У брусьев, опорные реакции которых могут быть опреде-
лены при помощц уравнений статики, число пограничных условий
будет 2л, где п — число участков бруса. Если же число опорных
реакций превышает число уравнений статики на: т, то число
пограничных условий, равно 2п~\-т.
63. Расчет брусьев при чистой и плоской изгибе. Брус обычно
рассчитывается по наибольшему значению <зх и найденное сече-
ние проверяется по наибольшему значению . Обозначая че-
рез допускаемое напряжение на растяжение для материала
бруса н через — на сжатие, различаем следующие случаи:
a) R, = Ri = R.
1) Сечение бруса симметрично
т е л ь н о OZ. Расчетное уравнение будет:
max Mz max
VK Wz> • •
относи-
• :
2) Сечение бруса несимметрично относи-
тельно OZ:
м м
^гтах /Л1 м
IV . <R> Wz min > Р , .... (61')
rv г min
где Wz min — наименьший из двух моментов сопротивления
W' z и w"z сечения бруса (см. § 61).
b) R, Ф R^
1) Сечение бруса симметрично относи-
тельно OZ:
1 Мг max Mz max
W <^min’ Wz> р >• • • -(61 )
z кпип . ,
где Rmln — наименьшая из двух величии Ri afy.
2) Сечение бруса несимметрично относи-
тельно OZ. Чтобы удовлетворить обоим условиям:
наибольшее положительное, — растягивающее: sx<^R1,
, • отрицательное, — сжимающее: вх < Rt,
нужно соблюсти два неравеиства:
М М
и W'z>-^- , . . . (61'")
где W/z момент сопротивления, соответствующий части сече-
ния, испытывающей растяжение, a Wz — испытывающей сжатие.
Например, если Мг > 0, Наибольшая положительная
ордината точки сечеиия + у1г а наибольшая по абсолютному
значению отрицательная ордината —у2, то
^z Z
При Л/2тах<0, и ^г=“'
Определение размеров сечения производится
разными приемами в зависимости от обстоятельств.
Если сеченвю желают дать форму из числа имеющихся
В сортаменте, то выбирают по таблицам сортамента такие раз-
меры сёчения, чтобы соответствующий момент сопротивления
удовлетворял расчетному уравнению, применяемому в дан-
ном случае.
Если в сортаменте нет сечения необходимых размеров, но
форма сечения такова, что ее можно состарить из частей сор-
тамента, то подбирают эти последние так, чтобы размеры сече-
ния удовлетворяли соответствующему расчетному уравнению.
Наконец, если форма сечения нли материал бруса не допускают
применения частей сортамента, то размеры сечения назначают
по потребности при непременном соблюдении расчетных
уравнений.
Поверка на скалывающие напряжения сече-
ния, подобранного по нормальным напряжениям, производится
по условию:
наибольшее значение
<л. ...., ,(62)
‘z X и ' max
5
В большинстве случаев —— достигает наибольшего значе-
д
ния для точек нейтрального слоя.
Определение тах нМгтах производится или ана-
литически с помощью выражений для V и Мг, составленных
для всех участков бруса, либо графически с помощью
диаграмм Vy и Mz, построенных на основании их аналитиче-
ских выражений.
В тех случаях, когда ставится условие, чтобы наиболь-
ший прогиб бруса, Утах , не превосходил некоторой заданной
величины, обычно выражаемой в долях пролета, необходимо
произвести соответственную проверку. Для этой цели слу-
жат 1-ый и 2-ой интегралы уравнения (54); найдя с их по-
мощью Утах = /, проверяют соблюдено ли условие
/<аА.....................(63)
Где L — длина соответствующего пролета бруса, а а — уста-
новленная нормами расчета правильная дробь, обычно ие пре-
восходящая 1/500
Таблица X. Основные формулы,
постоянного сечения прн различном устрой
В приводимых формулах оеь £ названа осью
№ Нагрузка. Опорные реакции А и В. Изгибающий моцеит Mz. ^пускаемая нагрузка р.
1 - 1 Ж В=Р. Мг Рх. max М = Р1. RWZ Р-^Г-
2 X J — Т ~"'>Ь ж В А ~ В — . .. Рх Mz — 2 для участка АС. „ Р1 max M = -f. ARWZ Р- t
3 /| J Ji е 1 < -*Ьчк ” IL* О, , Pb „ Ра д _ ; ; В- , . лл Рь Mz^^x — для участка АС. РЬ Мг = ~х-Р1х-а)- для участка СВ. Рад max М = —j—.
4 р й и /> А =&= Р. Для участка АВ. Мл=Рс — const. р~™1 с
мр«деля1мцне вменяй изгиб прямого бруса
одре опор и различных случаях нагрузки.
X, ось У предволож^иЬ напрмлвнной вине.
Уравнение упругой линии. Прогибы. Примечания.
РР (X 1 х«\ у - 2Е/ k1 ~ 3 Р )' , РР /1 х2\ tg^-У ~ 2EI\l~ Р)' РР 3f tg’fo - 2Е/ “ 2/ * 1 РР 3 Е1 ' fmax f* Опасное сеченне у опоры.
РР (х 4 х3\ у ~ 16EI \1~ 3 PJ для участка АС. \ РР 48 EI ‘ fmax Опасное сечение в середине пролета.
Р (РЬ3 / х х х3 \ у~ EI 61 Г а + b~ a3b) ~ для участка АС. | y^fXbflal>U + l>)x + 1 (х — а)3 — bx3]— ! для участка СВ. Л P аЧР 3 EI I • при a > b fmax при ,/1 , 2 b x = a\ з + з nP« a <b fmax при Опасное сечение в точке С.
’ /1 2 a x~l~b\/ з + з b •
У = Л - (Р - V?2 - (0,5/ - Х)г) - для участка <4 С,. , £/ Р ~ Ре ’ В середине продета 1 PPc Л “ 8 EI ‘ На конце конссл» 1 Рс3 ( 31 \ ~ 3 EI V + 2 / ’ Опасным является лю бое сечение между А и В
Нагрузка. Опорные реакции А и В. Изгибающий момент Mz. =======“?*= Допускаемая нагрузка Р.
5 “*t* £-*« " 1SSI* 1 I г й й Р' Д_ р£. R PU+cr Mz = Ах—дла участка АВ\ Mz = Ax — B(x — [}— для конёоли. max М = Рс—* точке в. RW, р~ г •
6 ^лпипппптД В = Р. РХ* Мг~ 21 • Р1 max М = -у. 1RW,
7 Atom A=B = ^-. ЛХ Px (л X A 2 V — I) • .. Pl max M = -Q- 8 8Р W, Р- 1
жл ч Л = Я = у. .. Pxi. Л/г = -2-[1---Т>)-ЛЛЯ AB; .. Px1 Mz 21 для левой консоли. , p<? Определяется
8 ЧП? L —a MA ~ — 21 • P(1 Mc~ 2 V ~c)- При c — 0,207 I MA = MC ~ max из условия; max М= WZR.
гри c 0,2071 каябольшвм «вляот- ея Mg; при C~^> 0,207 / наибольшим будет Мд — Мд.
(Продолжение Таблицы X).
Уравнение упругой лиини. Прогибы. При мечання.
Р Рс (х х3\ у = Ei ~G' АВ: У “ Ё1 61 - (f+Л ~ Я3- — СРх] — для ноксо.чи. Наибольший прогиб между А и В прн 1 х — уз f ~f _ Рср Опасное сеченне у опоры В.
Jmax Qy/lEI ‘ P(l+c)(? ЗЕ/
РР (X 1 у~ GEI \1 ~ 4 р) • J 8Е/ 'max- Опасное сеченне у опоры В.
РР f х 2х3 х4\ у~ MEI \l Р Т р)' 5 PP “ 384 EI • Опасное сеченне в середина пролега.
У ~’С1Х -Са) — для левой коясоля. 1 гр** р . У ~ El L 24/ — 12 ' —С1Х —Сг^—ДЛ* продета АВ. Здесь Cl = (jc— Рс с2= 24/- + 6ZC2 - GPC + Р). В середине пролета. РР f ~ MEI ‘ К' где К “ 16 ~ 2 1 + 6с8 4с3 с* + /3 J8 /4 • Опасными ЯВЛЯЮТСЯ сечення в А, В я С
₽= № Нагрузка. Опорные реакций Л Т'К Изгибающий момент Допускаемая , ^(Грузка Р.
9 -Д- 'г Н] Л==1бР; В = ^Р. для участка >|С; 5 / ' 1\ Mz ~ 16 Рл — Р\х~ 2/ для учаот а СВ , ЗР! max М = —jg- • ь P=~V 1 ;•
10 II Мг Mz А = В = • Р1(х 1\ - 2 для участва АС-, Р1 /х 3 \ - 2 V/ ~т;~ для участка СВ max М - • 8/?. Wz Р~ 1 •
Л _х_ t J* _ \ (М*- яв
п Л И Р^ THf * N 11 А’ ю|оо и|"* • II 1 5|°° ftj СО |чг || , 00 |оо . * 11 S 8/?1Г Р- 1 •
л=^=4- Р1 (1 X , X2 \
12 1 Р. ЯшЯ Л/г = 12>?. W
ж 2. \ 6 — 1 + Р J
с 1 max М = .
(Продолжение Таблицы X)
Уравнение упругой линии. Прогибы. Примечания.
Р Р (х 5 х3 \ У~~Ё1 32 U “ 3 Р )~ для участка АС. В точке С 1 РР 768 Е1 1 _ 1 РР Ттах ~ 48 ' Опасное сечение у опоры В.
Р Р /№ 4 Х3\ у~ Е1 16 < Р 3 Р ) для участка АС, f_f L.fL. J — J max 192 El Опасные сечения у опбр и в середине пролета.
Р Р / X Зх8 2х4\ у~ EI 48 V Р + Р ) При x » 0,4215 Z 1 pp fmax — 185 El ‘ Опасное сечение у опоры В.
Р Р / Xs X3 X4 \ у~ Е/ 24 V Р 2 Р + Р ) 1 PP 384 El Опасные сечения у опор
Таблица XI. Брусья равнего еепротивлепня изгибу.
1 * Фасады, планы и попе- речные разрезы брусьев. Сечение. Линия контура фасада или плана. - — -м Формулы для вычисления * размеров сечения.
1 2 3 4 1 А -*и b Прямоугольник постоянной шири- иы b и переменной высоты >. Сверху — прямая; снизу—обыкновен- ная парабола. Сопротивление мапи й .1^ .5*
1 W Обыкновенная паробола.
,ЛВ>, / Л J*1—1—- 1 1® —i-gj— Прямоугольник постоянной высо- ты А и переменной ширины у. Прямая линия. ?> 6/5 § У ~ h*R х- | - GPI Ь~ VP'
ш А -• 4 —*у Круг переменного диаметра у. Кубическая парабола. 32Р ~wx- ,*<32?/ ® “~У -ас-
5 1 £ /*• ч|ч1 QF •*- f*“| Прямоугольник постоянной шири- ны Ь и переменной высоты у. Снизу — прямая; сверху — две обыкновенных параболы. У blR х , вРр У1 ~ blRXi'
h = \/&р^—Р)Р V blR
Нагрузка равномерна распределенная по всей длине бруса.
6 Прямоугольник постоянной шири- ны А и переменной высоты у. Прямая линия. >=^-
7 ^——4 йёд 1. Прямоугольник постоянной высо- ты А и переменной ширины у. Обыкновенная парабола. 3Q # У ~ IR Ь? ' h 3QI Rh^'
8 Хф>ДВ tw Прямоугольник постоянной шири- ны А и переменной высоты у. Снизу — прямая; сверху — эллипс. \2j 4bR v 4bR
84. Брусья равного сопротивлений иегибу. Брус, у которого
сечение нормальное к его оси изменяется соответственно из-
менению изгибающего момента Mz так, что наибольшее нор-
мальное напряжение Mz / Wz в каждом сечении равное допускае-
мому — называется брусом равного сопротивления изгибу.
Дайные для некоторых видов таких брусьев см. Табл.; XI на
предыдущей странице.
Сложный напряженные состояния прямых брусьев.
65. Косой нагиб получается тогда, когда действующие силы
не лежат я плоскости, содержащей одну из главных централь-
ных осей инерции сечения бруса. Раз-
лагая каждую из сил на две составля-
ющих по направлению этих осей, полу-
чаем (рнс. 39) две системы сил, дающих
одна Vy н Mz, друга» Vz и Му и вы-
зывающих, каждая в отдельности, состоя-
ния плоского изгиба — одна в плоскости
ХОУ, другая —в XOZ.
а) Напряжения при косом изгибе
определяются, поэтому, формулами:
Mz у М z
ях--—Г~ + -~1 ’ • :
'z ‘у
гдё у н е — координаты рассматриваемой точки.
Vv $z Уг Sv _____
^^+4- • .... (65)
Ь) Деформации. Прогиб определяется формулой
и = v/ya-j-z’,..................(66)
где у и z координаты точки упругой линци, определенные
с помощью уравнений:
tPy d2 z
Еh rf-i ~ — Mz и Sly — — Mv .
Если все действующие силы лёжат в одной плоскости
заключающей в себе ось бруса, а сечение бруса имеет такую
форму, что ly — lz и, следовательно, элипс инерции (см. § 76)
обращается в круг (например, квадрат, правильный много-
угольник, круг), то, при любом положении плоскости сил,
изгиб будет плоским.
Одним из часто встречающихся частных случаев косого
изгиба является представленный на рис. 40.
6_l qL t
*2*e“T
Mx~ M COS а, Му=-М sin а
М COS а. у. 12 , М Sin a . Z . 12 -
*» ** + й »3
( C0Sa sina \
наиб. *х = х —- V —/г + ~~Ь~) ’
Где знак + отвечает напряжениям в точке а,
знак — точке с..
Расчет бруса при косом из-
гибе ведется по условиям:
наиб. », </?! н Ръ наиб.
Рас. 40 .
: 6в. Изгиб, ооедииеииый с растнжеиием или
чается при У„ф0, Vz ФО, ф0, Mz фО.
сжатием, полу
Нормальные напряжения определя-
ются формулой:
vx мгу
* -- ш 1г
где у и z координаты
точки.
Л/ z
. (67)
‘у
рассматриваемой
Точки, в коих нормальные напряже-
ния равны нулю, образуют нулевую
линию, уравнение которой:.
Мг У Муз.
^ + -^---7^=0, ... (68)
г 2 “у .
где pz и Ру — радиусы инерция
сечения бруса относительно главных цен-
тральных осей сечения.
Если моменты вызваны действием
силы Р параллельной оси бруса, но при-
ложенной не в центре Тяжести сечения, а и точке k (и, и}
(рцс, 41), то формулы (44) и (45) примут вид:
,’Р Pv Ри
' *2 *V
• . (69)
о
, , v и
• • (70)
Если необходимо, чтобы нулевая линия не пересекала се-
чение (прн расчете каменных сооружений), точка Л приложения
силы Р должна быть внутри илр, в крайнем случае, на контуре
фигуры, называемой ядром сечення.
В случае, еслн = 0 или а = 0, формулы (67)—(ТО) при-
нимают вид:
V, М, у Му
= ^ + -^- = 0’ ’ * (67')-(68=3
’ж-—У’ 1 + -р^У ==°. • • (б97-€Ж)
т.-е. нулевая линия параллельна OZ (рие. 42). Диаграммы I*,
I, III показывают положение нулевой линии аа' и напряжений
жена
Рио. 42.
Рао. 44.
для случаен, когда сила Р прило-
в точке k, лежащей: 1-вму-
(рис. 43), диагонали которого
Л
Ядро сечення круга
трн ядра сече-
ния, : II—на; кон-
туре ядра, Ш—
вне ядра.
Ядро сече-
ния для пря-
м о угольно-
го сечения
имеет форму
ромба тпрд
ь
. . имеет форму круга, радиус
которого г/4, где г—радиус сечення (рис. 44).
Скалывающие напряжения могут быть опреде-
лены, как при косом изгибе.
Расчет бруса производится по условиям:
наиб, а < 7?! и А?3, наиб.
67. Изгиб, соединенный е ирученнмк Нормальное на
пряжение вх определяется в зависимости от характера-
внешних сил по формулам плоского или косого изгиба.
Скалывающее напряжение в каждой точке сече-
ння является равнодействующей скалывающих напряжений: т',
вызываемого крутящим моментом Мх и -с", вызываемого дей-
ствием перерезывающей силы V, которая представляет собой
равнодействующую Vy н Vz . В валах большее значение имеют
напряжения %', иозникающие от кручения.
Расчет вала производится по илн ъправ. (см § 69).
68. Кручение, соединенное с растяжением ияи сжатием. Нор-
мальное напряжение ах = Р/ш , где Р—сила, действующая
по оси бруса.
Скалывающее напряжение т определяется по
формулам кручения; наибольшие значения т будут:
для круга т — где г— радиус круга;
2Л/Х
для кругового кольца т = тс/:з(Г—ё4), где г — радиус
внешней Окружности;
М х
для квадрата т = 0ЖЙд3> г«е Л — сторона квадрата.
Расчет производится по или ал/>ов (см. § 69).'
69. Главные и приведенные напряжения. Пусть даны напря-
жения на двух взаимно-перпендикулярных площадках 1 и 2
(рис. 45), проходящих через рассматриваемую точку О. Пусть
эти напряжения не имеют составляющих параллельных лниии
пересечения площадок ОСУ, иначе говоря, лежат в плоскости
перпендикулярной ОСУ. Тогда не трудно определить напряжения
на любой площадке 3, проходящей через ОО‘.
Из условий равновесия элементарного параллелепипеда,
выделенного внутри напряженного тела, следует (рнс. 46), что
отдел 1
7
ху = хх *= т — скалывакниие напряжения на 2 взаимно перпен-
дикулярных площадках равны между собой.
Обозначим ох, а я х нормальные и скалывающие напря-
жения на гранях YOZ И XOZ элементарной призмы, ребра
у
Рис. 47.
которой равны dx, dy, dz (рис. 47). Условия равновесия этой
призмы дадут:
+ ®у °х ~ ау
а' = ---9-----—-----9---- COS 2<р + т Sin 2а>
(W
т' =-----2 -* sin 2<р 4- т cos 2ср.
Это и будут величины напряжений на площадке, проходящей
через OZ и параллельной наклонной грани призмы.
Аналитический maximum и minimum нормальных напряжений
с' определяется равенствами:
Чх + О 1 ________________
° max = °1 =----2-----+ ~2^ (°* ~ + 4x3
ах + ау 1 /---------------
° min = °2 =----2~ ~ Т ~ - 4x3
(72)
°тах и ’т/л—главные напряжения получатся на двух
взаимно перпендикулярных площадках, направление которых
определяется величиной угла ср, равной:
— 2т л
X “у .
Скалывающие напряжения на этих площадках т' = 0.
Сумма нормальных напряжений на двух взаимно перпенди-
кулярных площадках есть величина постоянная н равна сумме
главных напряжений: -|~ °у = ai + аз •
Наибольшее и наименьшее скалывающие напряжения опре-
деляются равенствами:
хтах = — ~Т ...........(73)
min
иначе говоря, численно равны полуразности главных напряжений
____31 —
хтах — 2 ’
min
н действуют на двух взаимно перпендикулярных площадках
определяемых величиной угла <f, равной:
I , ’х “ «
<f = Tarctg—2Г- + п Т’
Очевидно, что <р" = <?' + (2^4-1) , т.-е. площадки, на кото-
рых действуют •етлх и tmZn, делят пополам углы между пло-
щадками главных напряжений. Нормальные напряжения а на
площадках и не обращаются в нуль, а равны полу-
3i “I" За
сумме главных напряжений: а = —$—.
Напряжения а' и т' могут быть яыражены через главные
(рис. 48:
, ®1 + 33
а, __-— — ~~~п— cos 2?
г4>
т’ =---sln 2?.
70. Три теории прочности. I) При-
чиной разрушения тела являются нор-
мальные напряжения и мерой проч-
ности—главные напряжения. Условие
прочности:
де R — допускаемая величина для нормальных напряжений.
II) Причиной разрушения являются скалывающие напря-
кения и мерой прочности—хтах и tmZn. Условие прочности:
хтах >?з •
min
где А?3 — допускаемая величина для скалывающих напряжений.
III) Причиной разрушения являются деформации. Мерой
прочности служат наибольшие деформации:
1 1
h = ~~ “ 4 <3а — P-°i). • • • (75)
где [1—коэффициент Пуассона.
Для удобства вычислений вместо деформаций вводят напря-
о
ження, так как по закону Hoock'a I = -g . Эти напряжения
называются, приведенными. Подставляя в (75) выра-
жения (72), получим:
max .. . 'х + 'у 1+H./J----------• (76)
min априв = (1 — Н)-2~~ — —2~~ V~ + 4
Условие прочности будет: “прав где ^ — допускаемая
величина для нормальных напряжений.
Очевидно, что прн применении любого из условий проч-
ности иужио брать численный, а не аналитический максимум,
так как последний определяется из условия, что положительная
величина всегда больше отрицательной. Для расчета же важно
учитывать и абсолютную величину напряжения.
71. Применение н расчету теорий прочности.
1) Растяжение и сжатие.
ах
91 = вЖ» ’2=0, = ± 2 , ол/,ив=’ж.
mln
Достаточно рассчитывать по напряжению так как обычно
^?з> 2 и 2 *
2) Кручение.
01 = т, а3 = —х, апраа = * (1 ф р) х.
mln
Так как A?i и Д?2 больше, чем Д?3, достаточно рассчитывать
по условию т<Г^з, определяя х для точки на поверхности вала.
3)Цистыйнзгиб.
°*
°1 = ах > ’а = °> "max — ~2~ ° прав “ ах •
min
Достаточно рассчитать по напряжению ах, по тем же сообра-
жениям, что и при растяжения.
4) Плоский изгиб прн Vy ф 0, Mz ф 6-
°1=T ax + 4zy • = — ах + 4^у ‘
'тах^-^^ + ^у, (77)
min
max ч___•*
m/л *прив — V Hv 2
1 + P 7 »2 + 4x2
—2— v x г у
В точках наиболее удаленных от нейтрального слоя, где вх
достигает иаибьльшего значения, а ху = 0, получим:
°1 = °х ! ’з = °! ттах = — ~2~ : Х ЧР»*’1 •т1паприв .
min
В точках нейтрального слоя — 0, х достигает наиболь-
шего значения: *
,°i = Ty, ®а =—v =—
min
Поэтому расчет ведут по наибольшим значениям ая и ху .
5) Косой изгиб. Там, где ах достигает наибольшего
значения, ху или хх могут ие обратиться в нуль. Точно также,
там, где ху или хг достигают наибольшего значения, вх ие равио
нулю. Необходимость поверки иа главные, наибольшие скалы-
вающие н приведенные напряжения приходится устанавливать
в каждом отдельном случае.
6) Изгиб с растяжением или сжатием.
Формулы принимают вид аналогичный формулам (77), с той
разницей, что вместо ху может стоять xz илн т = у ^ + ^-
Необходимость поверки выясняется в каждом отдельном случае.
7) Кручение с растяжением или сжатием.
ах= — , т—по формулам параграфа 58.
<>1 =-у+-2"V 4+41:3; °2 = ~2~а*+4,1:’;
^ = -4^ 4 + 4т2;
mln
(78)
® X 1 —|~ Ц, f—“—*———
max а = (1 — иЛ zt —х— V <г 4- 4т1 .
ли априв V ^2 2 v •
8) Кручение с изгибом. Напряжения определяют
для точки, в которой вх достигает наибольшего значения.
Если рассчитывают сплошной вал круглого сечения,
то формулы принимают вид:
Мизгиб ^^изгиб крут ^крут ,
= VV' “ ЯГ» ’ ’ W-3 “ W~'r
91 2W ^азг + А^изг + ^крут ) I
! , • • <79>
°2 2 W (^яда ’ ^изг + крут) •
+м;руя;......(80)
min
«при, - wD1-»1)* (1 + Р) +Mjpym ]; (81)
принимая р.« 0,3, получаем:
X °пРие = -W (О’35 ± 0.65 АЛг+Л/^т ) • (82)
Европейские конструкторы чаще рассчитывают по фор-
муле (82), англо-американские по формуле (80).
72. Продольный изгиб. При сжатии бруса осевой силой Р
может получиться, при соответствующем соотношении между
продольными и поперечными размерами бруса, изгиб в плоскости
Рис. 49.
наименьшей жесткости бруса, т.-е. перпендикулярной главной
центральной оси сечения, относительно которой момент инерции
сечения достигает наименьшего значения. Такую деформацию
называют продольным изгибом. Брус данных размеров
может начать изгибаться, если сила Р будет иметь определенную
величину, называемую критической силой — Ркр. Вели-
чина критической силы может быть определена по формулам
Эйлера, общий вид которых следующий:
EI
• ............(83)
В зависимости от устройства опор бруса, # принимает значения:
I) случай: % = 1/4; II) £ = 1; III) £ = 2; IV) £ = 4.
Так как/тг7, = Рш, где ш-сечение бруса, а ряй-радиус
инерции, соответствующий Imint то критическое напря-
жение
г? 2
. * Р min Е
’ № -р- = & , -/ у...................(84)
\ ?mln)
Формула Эйлера (84) применима для определения вкр только
I
в тех случаях, когда X = —---- ие меньше некоторого предель-
rmin ' v
ного значения Хь различного для различных материалов.
При X < Xi критические напряжения определяют по эмпи-
рическим формулам вида: = а — дХ — сх2, где а—п редел
текучести данного материала (см. дальше § 78), а b и с—
полученные опытом коэффициенты. Эти формулы сохраняют
смысл, пока Х2^Х<Х1, где Х3—некоторое определенное число,
также различное для различных материалов.
При X < Х3 критическое напряжение акр = в? — пределу
текучести данного материала.
Когда известно акр, то можно установить вдоп, положив
= гДе 0<а<1.
Так как адоп < допускаемого напряжения на простое сжатие,
то можно также положить
°Л>«='РУ?2> где 0 <7<1-
Зная адоп , достаточно для расчета на продольный изгиб про-
верить сечение бруса <о по условию:
Р
= ............(85)
Величина коэффициента уменьшения—зависит
от величины X и коэффициента безопасности —
п = —, также ’ зависящего от X.
а г
Для удобства расчетов составляют таблицы значений <р для
разных значений X и разных материалов. В СССР приняты
следующие таблицы:
1) Таблица XII—по нормам НКПС для литого железа, при-
меняемого в мостах.
Таблица XII.
X 0 0,870 10 0,846 20 0,820 30 0,796 40 0,771 50 0,746 60 0,722 70 0,688 80 0,642 90 0,583 100 0,515
А 110 120 120 140 150 160 170 180 190 200
<р .0,437 0.362 0,287 0,237 0,196 0,164 0,138 дне 1 ’ 0,098 0,080
2) Таблица XIII — по нормам для механического расчета
воздушных линий сильного тока, утвержденным IX Всесоюзным
Электротехническим С'ездом (1921 г.).
Таблица XIII.
xe_L_ Рт/л Значения ср для Х = _±_ Рт/л Значения ср для
Железа Дерева Железо- бетона Желез а'Дерева । Железо- . батона
10 1,000 1,000 1,000 85 0.636 0,446 0,615
15 0,990 0,979 0,989. 90 0,610 0,418 0,687
20 0,976 0,950 0,974 95 0,582 0,392 0,560
25 0,960 0,916 0,935 100 0,558 0,367 0,534
30 0,940 0,878 0,934 105 0,534 0,333 0,510
36 0,917 0,836 0,910 110 0,482 0,303 0,486
40 0,893 0,793 0,883 115 0,441 0,277 0,464
45 0,866 0,749 0,855 120 0,405 0,351 0,443
50 0,839 0,705 0,826 130 0,345 0,217 0,404
55 0,811 0,663 0.795 140 0,298 0,187 0,368
60 0,781 0,622 0,764 150 .0,259 0,163 0,337
65 0,752 0,582 0,731 160 0,228 0,143 0,308
70 0,722 0,545 0,703 170 0,202 0,127 • 0,283
75 0,694 0,510 0,373 180 0,180 0,113 0.260
80 0,665 0,477 0,643 200 ОД46 0,092 0,222
Для значений X промежуточных между помещенными в таб-
лицах значение ср определяется прямолинейной интерполяцией.
При пользовании таблицами расчет сводится к следующему:
по заданным Р н I подбирают на ощупь сечение и Определяют
. \ / Imiti ,
для него «> и вычислив о„1я - V ”,или взявегоизтаб-
/7*4Л 1 e/Ufi " (о
лиц сортамента, находят X = берут из таблиц ср,' соответ-
Р mln
ствуюшее найденному X и заданному материалу и проверяют
условие:
Таблицы составлены по значениям akp, определенным для
случая II — шарнирного закрепления концов бруса. Если закре-
пление концов отвечает случаям I, III или IV, берут:
‘ 2Z Z I
в 1 случае X = -; в Ш Х=—в IV Х = х——,
Рл»/л у % mm min.
- В случае, если продольный изгиб осложнен изгибом от
действия силы Q, перпендикулярной оси бруса (рис; 50), расчет
ведут па формуле:
fr ~ + ............да
j / I где <о — площадь сечения; — момент сопротивле-
!/ j ния сечения бруса относительно оси перпендикуляр-
'J । ной плоскости ХОУ;
I I Q /~р~
max М = - tg (al), где а = у •
Рио. бо. Иногда вместо формулы (86) применяют формулу
Р QI ~
+ Wz
где ? — коэффициент уменьшения, определенный по приведен-
ным выше таблицам.
Моменты плоских фигур.
73. Определения. Если плоскую
фигуру (рис. 51) "отнести к системе
прямоугольных осей ХОУ, то, обозна-
чив: х, у — координаты точки М фи-
гуры, a d<o— выделенную у точки-Л/
площадку, можем вычислить следую-
щие интегралы.
— fm yda> —статический
момент площади фигуры относи-
тельно ОХ,
Sy = f ^xdv — статический момент площади фи-
гуры относительно ОУ;
/* =— момент инерции площади фигур»!
относительно ОХ
ly = .fioXld<o — момент инерции площади фигуры
этиосительно ОУ;
/0 = J ю рМ« — момент инерции площади фигуры
относительно точки О.
I Ху = /шху du> — центробежный момент площади
фигуры относительно ОХ и ОУ. к/ :
Статические моменты измеряются единицами дляны в 3-ей
степени, моменты инерции н центробежный — единицами длины
в 4-й степени. Моменты инерции всегда положительные вели-
чины, статические и центробежный могут быть положительными,
отрицательными и равными нулю, *
Момент инерции относительно оси называют также эква-
ториальным, относительно точки — полярным.
Если начало координат совпадает с центром тяжести фи-
гуры, все моменты получают название центральных.
Обозначая <о — площадь фигуры, хс я ус — координаты ее
центра тяжести, имеем:
Sx —шус, Sy = и>хс............. (87)
Центральные статические моменты раьпы поэтому нулю.
Разбив фигуру на частей, имеем:
........
I == 1 i » 1
где ®z , xic, yic — площадь и координаты центра тяжести части
фигуры с номером /.
Формулы (87) и (88) служат также для определения коор-
динат центра тяжести фигуры.
Аналогично имеем:
i=k i = k ' i = k
h = ^^1 hx'' h ~ hy' ~ ho' hy = hxy' ($$)
i = 1 i=i i = 1 i = 1
74. Зависимость между моментами относительно параллель-
ных осей. Перенося начало координат в точку Ot(fl, b), имеем:
1Х =/Xi +2b SXi +Ь3в>;/у =/у +2aSVf + а3^ 1
/ху = 4>л +nSXi + bSyi 4 ab*. J •
Если Oi совпадает с центром тяжести фигуры, получим:
^=41+>2с<»; А, =/У1+*3С<“; | (д
hy = AtjVi "t" * с Ус *“• J
75. Изменение моментов при повороте осей. Повернув осн
около начала координат на угол а (рис. 52), получим:7
IXi = Ix COS3 а — Ixy sin 2а + /у sitfia
I ' — / Sin3a + 1 sin 2 a -f- [ COS3a
!x—1
!X1y1 = Ixy cos 2a 4- — sin 2a
При значении угла
1 Vxy
• (92)
, : .(93)
IXl достигает наибольшего значения (/таз.) среди моментов
относительно осей, проходящих через данную точку О; Iyi по-
лучает при этом наименьшее значение
среди тех же моментов, а I
обращается в нуль. Осн, определяе-
мые значением угла а по формуле (93)
называются главными осями
инерции, а моменты инерции отно-
сительно них—гл а в н ым и момен-
тами инерции для точки О.
Чтобы из всех углов, определяемых
формулой (93), выбрать тот, который
дает !тах, нужно определить знак sin 2а и cos 2а по формулам:
2/жу
sin 2а =
— >/(/„-/,)’ + 4 Рху
cos 2а =---------1х
-y/(/y-/J’ + 4/^
и, выбрав угол 2а в соответствующей четверти, разделить его
пополам.
Всякая ось симметрии фигуры пройдет через центр тяже-
сти фигуры и, кроме того, будет ее главной осью. Если фигура
имеет две оси симметрии, то они будут ее главными центральными
осями.
Главные моменты инерции определяются формулой:
!тах — ~ Т ^^х ~ + 4 ^х V • (9 О
min
Из формулы (91) следует, что, когда оси и OtY
являются главными центральными осями, то
Асу ~ *с Ус ю • '........(9$)
76. Радиусы инерции; эллипс инерции. Момент инерции отно-
сительно любой оси X можно представить в виде 1х — р2г ш,
где <о — площадь фигуры, а рх — радиус инерции фигуры
относительно оси X, определяемый равенством:
₽-=v/4.....................
Изменение моментов инерции при вращений оси около
точки О может быть изображено эллипсом, инерции, уравне-
ние которого
рз , + ₽з — 1.........................
“ min г max
Таблица XIV. Моменты инерции н Моменты сопротивления
наиболее распространенных сечений.
№ Сечявив Момент инерции Момевт оопротн- вдеия
1 Ир **-£-*J , bh* w-^- wz— e
2 J-JL ‘z~ 12 w WZ— e
3 «ав г* тиеь -
4 t.Jti it C=^(a‘^-a>‘bl) a‘(a+Sb)d a(a-}-3b)d
r.d* f*-~er Ttd* , W'hS 3^=01^
(Продолжение Таблицы XIV).
_ВН" + 4Л«
Zz- 12
_вл«+&л»
z~ в7г—
Оси симметрии этого эллипса направлены по главный
для данной точки О о с я м, Pmin = \Jртих =
при чем предположено, что за ось X принята та ось, относи-
тельно которой / = IтаХ-
Если /отал. = /mZn, эллипс инерции обращается и круг; при
этом любая ось будет главной осью. (См. Табл. XIV, пред. стр.).
Гибкая нить.
77. Гибкая нйть, подвешенная в точках А нВ под дей-
ствием равномерно распределенной по длине нити нагрузки
принимает вид цепной линии, уравнение которой (рис. ,53):
х х
v = 4(<fe а) = а ch*..
2 а
Тяжеиие в дайной точке (х,у) нити направлено по каса-
тельной и равно Т = qy = qa ch где q — нагрузка иа еди-
ницу длины нити.
Для пологих нитей, с достаточной степенью
точности, можно принять, что нить располагается по параболе:
у = qx3j2 Н, где Н — тяжеиие в наинизшей точке нити.
Рве. М.
При несимметричном расположении точек подвеса (рис. 54)
дт3 дп3
Ti~ 2Н • /з~ 2Н
тяжение Н в наинизшей точке проиода:
L)gL (L — 2tri\gL
М~ “ 2(/а-Л) •
При симметричном расположении точек подвеса:
L qL3 qL3
от = л = -2-(рис. 55), 7 = -^-, //=--.
Тяжеиие в любой. точке
Рис. 55.
иити г=с^~а = VfF+q& .
Наибольшей величины 7 достигает
L
в точках подвеса при х =^:
Г^ = ^(Ч-8^-).
Длина симметрично подвешеи-
8 /»
ной иити: S= L (1 + "jf-£»')•
Если нить подвешена при температуре tQ со стрелой /о, то
при возрастании температуры до t стрела получит значение Л
при чем
8 qL2 113 3 qH „
3 + —*b) — 'ъё^' f0 J 8 64 Eu> =0,
где a — коэффициент линейного расширения материала иити,
Е-—модуль нормальной упругости материала нити, ш — пло-
qL2
шадь сечеиия нити. Так как /0 = , то, полагая q = 7<»
а Но = 2?<о, где т — вес единицы об'ема нити, а 7? — допу-
скаемое напряжение для материала нити, получим:
f3 Г1 ,2, £ l£‘-n
С. Механические свойства материалов.
Общие сведения.
78. Сопротивление растяжению. При растяжении зависи-
мость между напряжением а и- относительной (продольной)
деформацией I выражается формулой Hoock’a: а = Ei.
Растягивая постепенно возрастающей силой Р стержень,
имевший до растяжения первоначальную длину /0,
а первоначальную площадь поперечного сеченияя ш0,
и измеряя соответствующие различным значениям Р величины
абсолютной деформации Д/ = I —1п, вычисляют по этим данным-
Р Д/ /-/о.’
напряжения а -- и относительные удлинения i = -j- = —»
С помощью найденных таким путем значений а и i определяют
для материала стержня предел пропорциональности
ар — наибольшее напряжение, прн котором формула ' Hoock’a
еще сохраняет свою силу.
Если растянутый силой Р стержень совершенно разгрузить,
доведя значеняе силы до нуля, то, в зависимости от величины
вызванного ею напряжения, полученная стержнец деформация
или исчезает полностью, или частью исчезает, часть1» остается.
Исчезающую деформацию называют упругой;’ остающаяся
в стержне часть деформации носит название остаточной.
Наибольшее значение напряжения, при котором деформа-
ция еще полностью' исчезает, называется пределом упру-
гости. На практике пределом упругости считают то наиболь-
шее 'напряжение, прй котором остаточная относительная дефор-
мация не превосходит некоторой обусловленной, конечно весьма
незначительвой, величины, напр. 0,03%.
За пределом пропорциональности зависимость между он/
не имеет общего для различных материалов аналитического
выражения и изображается графически — диаграммойрас-
тяжения, которую, обычно строят не в координатах (/, а),
а в координатах (Д/, Р).
На рис. 56 представлены два типа диаграмм растяжения,
' от начала опыта до разрыва
стержня и полученных
с помощью самопишуще-
го прибора. Для материа-
лов, имеющих диаграмму
типа I, обыкновение опре-
деляют по средней на-
грузке участка ВС напря-
жение а (рис. 56),1 назы-
ваемое пределом те-
кучести (в немецкой
литературе—-Streckgrenze
или Fliessgrenze, в английской — yield point, во французской—
limite d’PlasticitP apparente). Это напряжение характеризуется
довольно значительным нарастанием деформации прн постоян-
ном или почти постоянном значения силы Р.
Напряжение <»д, определяемое по наибольшей из бывших
во время опыта нагрузок (точка D на диаграмме 1,
точка В на диаграмме' И), называется — временным сопро-
Р
тнвлением прн растяжении: вв = (в немецкой лите-
ра
ратуре — Zugfestigkeit, в английской — tensile strength, во фран-
цузской — resistance a la traction,.resistance й la rupture, la limite
dp rupture, coefficient de rupture).
Отношение остаточного удлинения, соответствующего мо-
менту разрыва, к первоначальной длине стержня называется
относительным удлинением прн разрыве
(в немецкой литературе — Dehnung, в английской — elongation,
во французской — dilatation). Оно вычисляется по формуле
।в = t..... а t где 1В — длина стержня после разрыва, и вы-
»о
ражается обычно в %.
Отношение ф = —: , где <о н — площадь сечення разор-
ванного стержня в месте разрыва/ также выражаемое в % %, на-
зывается относительным поперечным сжатием
(в немецкой литературе — Einschniirung, В английской — reduc-
tion of area, во французской — diminution de section). Величина
ф служит мерой вязкости материала (у сапожного вара ф as 1;
у чугуна, стекла ф = 0).
79. Сопрегивлеияе сжатию. При сжатии достаточно
к о р о т к их стержней явление протекает до некоторой
степени аналогично с растяжением, подчиняясь до определен-
ного напряжения формуле Hoock’a. Вообще говоря, и при сжа-
тии могут быть определяемы пределы пропорциональности, упру-
гости н текучести (последний, конечно, в том случае, когда он
существует), ио, так как постановка опытов на сжатие сопря-
жена с большими трудностями, в большинстве , случаев ограни-
чиваются определением временного сопротивления. (Для предела
текучести при сжатии в немецкой литературе принят термин —
Quetschgrenze; для . временного сопротивления при сжатии:
в немецкой литературе -г Druekfestigkeit, или Wiirfelfestigkeit —
последний в тех случаях, когда испытуемый образец материала
Имеет форму куба, — в английской — crushing strength, во фран-
цузской — la resistance 4 la compression).
80. Сепротивлеииа кручеяяю. При кручении (сдвиге) зави-
симость между скалывающим напряжением т и относительным
сдвигом у выражается формулой т = Of, сохраняющей силу до
некоторого, предельного значения , называемого пределом
пропорциональности при кручении.
Временное сопротивление ггр^и кручении
тв иногда вычисляют по формуле т в — . , где М щах
наибольшее значение крутящего момента, испытанное стержнем
прн скручивании его до разрушения, а г —радиус сечения
стержня. Полученное этим путем значение имеет совер-
2Л/
т.енно условный характер, так как формула
выведена в предположении, что х =» Gt, последнее же имеет
место лишь нри значениях т *Слр.
Для практических целей прннймают tB =* р1вв , где pi —
некоторый отвлеченный коэффициент, а а в —временное сопро-
тивление растяжению.
Опи р.
8
81. Сепротивлвнш мгибу. Временное сопротивление изгибу
о' в иногда определяют по формуле подставляя
в нее значение Мтах, вычисленное по наибольшему значению
достигнутому во время опытд изгибаю щейсило^, полученное
этим путём значение a's является совершенно5 условной вели-
чиной, так как формула для*1 нормальных нКПряжешб! при
изгибе, строго говоря; имеет смысл лишь пока йапряЖёйИе не
превзошло предела: пропорциональности.
83. Сопмтиаяение диммичМким маадэйатавм. Практическое
распростр«страиейие: получило лишь испытание на ударный
изгиб сосредоточенной силой, приложенной в середине длины:
испытуемого образца. Испытание на ударный изгиб приме-
няется у нас ПОЧТИ исключительно к металлам;
в Западной Европе его применяют также для
испытаний дерева (во Франции) н технического
фарфора (в Германии). Образец квадратного се-
чёЯия имеет со стороны противоположной той;
которая воспринимает f№pt надре* определенной
₽жо. st.
формы, различной в практике ' разных стран
(рис. 57). При испытании дерева и фарфора
образцы надреза иеиМеюТ. Отношение А коли-
чества работы Т, затраченной на йзломобразаа к площади его
поперечного сечения *>, служит мерой «нфотивления материала
динамическим воздействиям. ВеличйааА=—измеряется, следова-
тельно, в facm/cm3. (8 русской лйтёратуре ойЬ *недЦуёйла
твердо установившегося едэвАцИй/инЬ^Й бе;^^шЙ*'Йс#Йы м
сопротивлением и.ЗГйгЙу, в
в английской и французской— resilience).
83. Твердаётыв йазьМают сопрдтявлетйе данной ййё^алМ
проникновений в негодругого материала, - приимтого за эталон
сражения. Измеряя твердость какого-либо материала» мы будем
получать различные числа в зависимости от обстоятельств опыта:
характера проникновения, фб^яйы проникающего тела, причины
производимого им, давлвния.прододжительностиопыта ит. д.
Поэтому дляоцеджи.уор вдцидозд ч й ел а, т не рд о с т и нуж-
но в точности знйть, каким путрм оно получено, Твё^достй опреде-
ляют, главным образом, дли металлов. Наиболее распространён-
ными способами определения являются спрсрбыВг1пе1Га и Shore’a.
а) Способ Brinel l а состоитв том, что в испытуемый
обрЯОер вдавливают силой Р стильной шарик диаметра D ые*
чение определенного промежутка времени и, измерив затем
диаметр а цолу пившейся на обряаме луночки, вычисляют ведцчниу
if . =.4_j___________" ! Jtg_
п в я .----тт3
y(Da —Z> уТ)1 —
Величина Нв называется числом Brinell'a или твер-
достью по ВНпеП’ю. Диаметр шарика Dt величину силы Р
и продОлжйтельиость Т ее действия соразмеряют с толщиной
и материалом образца, а именно берут по Таблице XV.
Таблица XV.
Материал Толщина образца:
3 mm от S до в mm в mm
D mm Р kg т sec D mm р kg т sec D mm 4 т Мб
Железо и оталь . . . 2,5 187,5 10 В 780 10 10 3 000 10
Медь и ее сплааы . . 2,5 62,5 so б 250 so 10 1000 30
Ь) Способ Shore'а. В этом способе предоставляют
стальному шарику определенного веса (2,2 £) падать с опреде-
ленной высоты. (250mm} на испытуемой образец и измеряют
по шкале высоту, на которую подскочит шарик после удара
о поверхность образца.
Твердость по Shore'y выражают числом делений шкалы,
измеряющей высоту подскока.
Численные значения величин, характеризующих
механические свойства материалов.
84. Обезпаченпя.
Д —модуль нормальной упругости,
G —модуль касательной упругости,
ар — предел пропорциональности,
а— предел текучести,
аг — временное сопротивление прн растяжении,
<*</ — » » » сжатии,
»г> — „ . . » изгибе,
тд—временное сопротивление срезу (сдвигу, скалыванию),
8 — остаточное относительное удлинение прн разрыве,
ф.— относительное поперечное сжатие , , ,
А — живое сопротивление изгибу,
И в— твердость по Вг1пе1Гю,
tis — твердость по Shore’y.
85. Железе, сталь к чугун. Основные данные см. Таб-
лицу XVI.
Таблица XVI. Модули и основные напряжения.
ч
я
я
я«
ь
я
S
*о
й й “ н И
а а а 5з
§§ § §
+ 7- “ +
§ 1 1 §
§
" В '"is§
§ § л !-=з
и и Т
ills
L
Т I S?
. л
i
со
4-
I
§ § § i
® со г- Д со
я + +/\ .|.
8 § § §
। § «
" 8
а
ЛАЛ
Я Я I я
I § §
юг- ос
§ § § § §§.§' §8§
3 3 3 2 , 2 2’8 8»8
t- X СО СО 1 СО 00 00 СЧЧ*
§ § § § § § § § §О§
§8§1 1 1 § §
W М М СО СМ СМ СМ СМ тЧ
I
о
S
н
R
5
в» со t- . во . о*
Приведенные в Таблице XVI значения ар и af одинаково
относятся к случаям как растяжения, так и сжатия. Для сва-
рочного железа | волокнам az от 2 800-?-3 500.
Значения ар и у для. чугуна Не могут быть даны, так как
чугун не подчиняется закону Нооск’а. Зависимость между
Напряжением и деформацией для Чугуна может быть выражена
формулой Bach'a - Schiile:
при растяжении а" = 1 250 С00 / , где п = 1,1;
при сжатии о" = 1 180000 / , , п — 1,05.
Следует иметь в виду, что термин «литое железо' в настоящее
. время начинает понемногу уступать место термину «литая сталь'.
В Германии последнее время действует классификация же-
лезных металлов по номерам твердости (не смешивать с числами
твердости по ВйпеП’ю или jShore’y!), приведенная в Таблице XVII;
значения 8,’ указанные в таблице. Определены для длины 10 =
= 100 тт = 10 d, где 4/ —диаметр стержня. Это следует иметь
в виду, так как 8 зависит от длины образца, применяемого для
испытания свойств материала.
88. Влияние химичаекоге состава и териичвекей обра-
ботки на свойства стали, применяемой в машиностроении видно
из Таблицы XIX, стр. 120-121.
Приведенные в таблице значения 8 вычислены для lo = $тт
:= 5 d, где d — диаметр стержня.
Величина 8 при lo =5d получается всегда несколько больше,
чем при /0 = 10 А, обычно 8g = 1,2 —1,3 310.
Так для динамного железа (Dynamoflusseisen) с a f = \lt(gjmm2
и ei от 35-г-42 ^gjmrrfi, Зю = 20%, 85 = 24°/0.
87. У чугуна временное сопротивление изгибу имеет сле-
дующие ^редине значения:
ав 8
Машиностроительный обыкновенных сортов не 2800 kg',ст' 1 %
. хороших „ <^3100 . ю „
В . высоких „ . <^3800 . 10 .
Строительный и для труб .<^2 300 » в.
88. Врсхеннее еепротиалевие срезу. = при чем
uj имеет следующие значения:
Чугун.............
Сварочное железо в стержнях J_
волокнам ....... ................
Сварочное желево в листах.......
Литое желево волокнам. . , • .
от до в среднем
1,02 1,17 1,10
0,78 0,82 0,80
0,81 0,87
(поперек (вдоль
прокатки) прокатки)
. 0,84 0,87
Таблица XVII. Классификация железа и стали,
принятая в Германии.
Я 5 •1 Я It о аг kgimm' & % Название, сворства и пржмеисяие
ООО ч , 0,00 84 -г Зв '30 4-35 С амо е мл г ко • ли то е хе лево. Хорошосваривается, ие принимает %а- калки. Проволока, тонкое листовое же- лез», тянутые трубы.
00 . 0,0» Зв 4-38 27 4-3» . м«гкое;,лжт о а ж.Яево. Хоройю озарпвкетея, яе пряциияст рааалкв. Лис- tobj. железо, тянутые и сваренные трубы, проволока, аакленки, проволочные гвозди.
.0 0,13 38 4-41 23- ‘-28 Мягкое ли тоо ж е лев о. Хорошо сваривается, же принимает мшипиц Листы, тянутые и сваренные трубы, проволока, ваклепки, болты, шинное железо."
1 оде 41 4-44 21- кЗв Литое, ж е л е з о. Сваривается, ее принимает закалин. Жмеадюдорржиыещпа лы, рельсовые накладки, маши иные части, листы, двутавровые балки и фасонное железо всех форм, цепи, крюки, лопаты.
2 0,20 44 4-47 19 4-23 Мягкая о т ал ь. Мало закаливается. Шпалы, лопаты, спиральные пружины.
3 0,2Б 47 4-53 17 4-22 Сталь вредней мягкости. Закаливается. Ося, поКевкм, баядржв.
4 0,35 53 4-в0 14 4-19 Ст&ль средней твердости. Хорошо накаливается. Ружейные стволы, бжнтажн, осн, лопаты, плуга; лучшие спиральные пружины.
6 0,45 во 4-68 114-16 Вявкая инструментальная сталь. Рельсы, бандажи, молота, плуга’, крюки, лопаты, косы, вилы, ножницы, лучшие пружины.
в 0,55 68 4-76 9-4- 13 Инструментальная сталь средней твердости. Трамвайные рельсы, бандажи, матрицы, молота, напиль- ники, «убила. плугц, дооаты, вялы, косы, лучшие пружины, Твердая проволока, троссы.
7 ' 0,65 J 76 4-84 6 4-11 Твердая инструментальная сталь. В&лдажи в влектричеокой тяге полотна пнл, напильники, зубила, буры троосы.
8 0,75 84 4-92 84-8 Очень Твердая инструмен- та л ь и а.я с тал ь> Полотна пял, шары дли шаровых мельниц.
0,80 92- - 100 24-5 Твердая сталь. Вальды, буры, сверла, фревы.
89. Влииние температуры на механические свойства,
а) Сварочное железо.
При температуре..........100“ 200° 300° 400° 500° 600» 700» 830° С
В % °Т такового ПРИ 200 $ • *104 И% 96 76 42 25 15 '
Ь) Ч у г у н (по С. Bach'y)
При температуре..............300° 400° 500» 570» С '
о в % от такового при 20° С .... 99 92 76 52
с) -П и Хй £ „ж е л е з о. Приводнм^дарные ДМ. материала,
который в доставленном состоянии имел:
вг = 4100^7'4771’, 3 = 26,9 о/о, ф = 48,3%;
в отожженном'
= 385 kg!ст1, 3 = 30,4 «/о, ф = 53,6 о/о.
Температура С. . . . —20° -4-20» 100» 200® 300» 400» 500» 600»
вг в kg-cnp..... 4100 3850 3950 5100 4 750 3300 1 900 1 070
Ebt/cm’ ...... 2070 2070 2010 1950 1880 1790- 1510 1340
& В % • • 37 ,31 J?8. 1» 23 .43 95 99
ф в %............. 57 58 51 41 23 56 78 90,5
90. Медь и ее сплавы.
Таблица XVIII*
Материал Е 3Р az 8
» - kgcm' %
Красная медь в листах про- катанная . 1150 000 2 000-^2 300 354-38 454-50
Латунь литая......... 800 000 650 1500 13 17,5
. прокатанная . . • • . — — 4 500 144-24 45
Вроввовые отливки 900 000 900 2000 64-20 10,5
Пушечная бронза 1100 000 800 3 000 — . —
То же уплотненная 1100 000 900 3 200 — —
Фосфористая бронза — 3 850 71 66
Марганцовистая бронза( 1% Мп) катанная 1200 000 260 2 900 41 68
То же (15% Мп) литая .... 940 000 770 3 570 34 44
Эрликфиовская, грекованная . — 2 800 4 4004-5 600 154-25 —
Высокосортная бронза . . . . 1200 000 — ДО 8 800 84-38 104-38
Никкеле-марганцовнстая бронз? — — 5 300 29 .29
Алюминиевая бровэа литая (Юб At) 1200 000 6200 0,5_ -
Таблица XIX.
1 Содержание в % Отожженная Отпущенная Закаленная
.г § С Si Мп Ni Cr V Е kgtmm' а н 9» А т/сяО 1 £ 1 А vtfcm* tWiu V ъ* 1 г»
t kgimm* S? kg’mm‘ St kglmm‘ St
1 0,05 20 31 42 20 -
2 0,10 26 39 34 20 35 55 24 20
3 0,20 28 45 30 13 40 30 20 13
4 0,30 30 50 28 11 32 53 23 14
6 0,40 20 700 32 53 23 8 33 ' 63 23 11
‘6 0,50 24 33 20 3 40 70 20 8
7 0,60 37 70 ,17 4 43 78 17 3
& 0,70 40 78. 14 3 46 86 16 4
л 0,80 . 42 85 12 3 48 92 13 3
10 0,40 1,5 1 20 SQ0 50 78 20 7
11 , 0,50 1,6 Г 55 85 13 5
|125 140 7 2
12 0,70 1,6 20 300 125 140 7 2
13 0,20 1,0 33 50 27 12 35 66 26 16
14 0,30 1,0 40 33 23 13
16 0,40 1,6 52 78 19 10
16 <40 1,0 20 800 85 115 1 3
17 OjSO 1,0 8® . 115 7 3
18 1,20 ' 12,0 35 100 30
10 0,40 0,6 1,6 55 80 20 »
20 О3О 1,5 1,6 60 85 Й 8
о
й
8
22 о;зо 1,0 1 36 56 26 12 88 63 24
23 0.40 1.0 > 20 400 87 63 22 9 42 70 22 11
24 0,50 1,0 I 39 70 19 5 45 78 20 8
25 0,60 1,0 1 48 8$ IT 5
26 0,10 3.0 30 60 28 20 85 66 28- 26 so те 18 18
27 0,20 3,0 40 63 24 22
28 0,10 4,6 20 400 36 60 28 25 40 56 28 30 85 . so 15 18
29 0.20 4,6 48 65 22, . 26
80 0,30 4,5 51 70 20 ' 20 ।
31 0,12 25,0 18200 80ч 63 38 30
32 0,30 30,0 34 66 36 30
33 0,80 36,0 16 600 38 66 84 30
34 0,15 0,75 30 60 26 15 40 50 75 16 8
35 0,25 1,26 20 700 68 20 15
36 0,40 1,5 72 92 16 10
37 0,30 1,6 / 86 115 8 4
- 1 95 126 6 3
38 0,25 2,0 1,0 45 66 22 17
as 0,35 1,0 1,6 60 65 22 1»
0.80 2,0 1,0 50 70 21 16
41 0,30 1.0 1,6 55 76 20 16
4*L 0,35 2,0 1,0 20 400 55 75 20 15
43" 0,40 1,0 1,5 72 92 17 12
44 0,13 2,75 0,7 36 55 24 20 48 63 24 22 75 100 13 10
45 0,40 2,0 0,8 65 80 18 14
46 0,20 3,0 0,6 60 65 22 21
47 0,60 3,0 1,5 75 1)6 20 1(4 20 15
1 95 116 12 . 8
1115 140 8 6
48 .0,16 3,6 0,8 40 65 22 18 60 75 •22 22 100 120 12 10
49 0,20 4,0 1,2 | 20 400 45 TV 20 16 / 70 86 18 20 140 150 8 5
1 90 105 12 14
50 0,30 4,6 1,5 60 75 18 14 86 100 14 16 150 175 6 4
51 0,85 4,0 1,5 1,0 /110 125 12 . 10
1130 140 10 6 100
52 0,10 1,6 15,0 65 80 18 20 135 10 6
53 0,Ю 0,5 16,0 21 700 62 70 22 22
54 0,15' 7,0 20,0 19 900 45 80 40 80
( 30 66 60 30
55 0,60 6,0 15,0 | 19 600 i 55 < 80 30 20
/ 86 70 45 30
66 0,50 6,0 12,0 3,0 \ 65 86 25 15 L
Механические свойства материалов 120 121 Численные значения велйчйн
о
а) Красная медь кованная имеет аг = 2 700, тянутая
«л = 3150, электролитически полученнаяа2=3800^/с/л’;
продолжительная ковка может повысить а2 на 50% ио прн
этом & понижается на 80%: яр 0, после сильной проковки
или повторных высоких напряжений ар повышается до 600££. ст3
к этому состоянию материала и относится указанное значение
£== 1150000 №ст>.
Твердость по Brinell’» для мягких сортов краснай-меди
около 50, для твердых около 90. ~ «
Ь) Бронза состава 94% Си и 6% Sn, применяемая
для изготовления пружин, а также в виде полос н проволоки
имеет в отожженном состоянии в2 = 40 ^g/mm2, 5 = 50%'
В Германии изготовляется в 4 степенях твердости, имеющих:
az . • 50 60 80 (0 kg‘mm'
5 . . . IS 10 б 2*
при толщине полое..... 0,14-2 0,14-2 0,14-2 0,14-2 тт
ЛИШКИ прйЗОЛоки . . . 0,б4-3 0ДХЯ 0,64-2 0,54-1 тт
с) Бронза сортава 95% Си я 5Р/0 А1, применяемая
в виде стержней круглого сечения и проволоки, имеет в отожжен-
ном состоянии аг = 35 t(glmm3 и 5 = 40%.
В Германии изготовляется в 4 степенях твердости, имеющих
аг . . « во во
} ... 18- 10 б
. при диаметре стержней . . . 14-100 14-20 тт —
, . проволока. . 0,84-6 0,84-5 0,84-4
80 kg! mW
0,84-3 тт
d) Б рвиза состава 99,9%Си и 0,1% Л/^идетнаизго-
товление проволоки диаметром от Зн-5 тт и имеет вг от
50-4-52 ^g\mm3‘, при перегибании на радиусе г =2,5 d выдер-
живает 8--9 перегибов; ее электропроводность 48 т 2 тт\
е) Бронза состава 99,6% Си и 0,4% Mg служит
также для изготовления проволоки d от 1,5 4-2 тт и имеет
аг = 66 4- 70 ^glrnnfi', на радиусе r = 2,bd выдерживает 7—8 пе-
регибов; электропроводность 36 /77/2 тт3.
f) Томпак — снлав состава 68% Си и 32% Zn идет на
изготовление труб'пружин, винтов, а также применяется в виде
листов и проволоки; изготовляется в 3 степенях твердости,
имеющих а, = 30, 40 и 45 bg/mm1 и соответственно 8 = 30, 25
и 10%
g) Томпак состава 72% Си н 28% Zn идет на из-
готовление лопаток паровых турбин, а также в виде листов и
проволоки; изготовляется в 5 сортах твердости, имеющих:
0g = 25 30 95 40 50 kglmW
1 = SS 30 25 15 10%. ,
Электропроводность 14,3 m/Qmiti1.
h) Томпак состава 85% Си и 15% Zu изготовляется
' в виде полос и проволоки при 5 степенях твердости с теми же
звачениям н 8, что н предыдущий, но имеет бэлее высокую
электропроводность: 18,2 mfiimnP. *
i) Латунь состава 63—65% Си и 37—35%Zn из-
готовляется и виде листов, полос и проволоки в -6 -степенях
. твердости, имеющих: :J i :
Ог= so as в 4,я тодйиж» \
J = 35 30 25 10 з 2%; ,
последний сорт идет только для проволоки.
•к) Латунь состава 57,5% Си, 1,5% Рй, 3% Sn и
38% Zn отличается высоким сопротивлением истиранию и идет
на изготовление сильно труш>цся частей. Прессованная вгоря-
чем состояний имеет ag ДО Qgjmm'* при 8 = З0/^
I) Латунь состава 50% Си, 10% Ni и 40% Zb
идет на изготовление лопаток паровых турбин и имеет:
прессованная аг 2=; 40 %g[mtn'i при 8 = 30%
тянутая <s2 50 fyglmm1 прн 8 = 15°/о.
91. Влитии температуры на механические евейетва меди и
ее сплавов. $
а) Красная медь в
. При температуре ... 50° КО»
вг в % от таиового
листах.
150° 200° 250° 230°'М7 451° 55в° С
при 10°С._. • • .08 95
Ь) Латунь состава: 50% Си,
<0,1,/’/’-
Теыпература . .
ог kg, ст*
91 85 79 75
10 Ni, 40
ев si за
Zn, <0,5 Ре,
У
ISO
5400
4400
100°
5250
4000
42 95
200°
4800
8400
28
300°
4100
2700
29
400» с
2400
900
95
с) Бронза состава; 91,4% Си, 2,8 Zn, 5,5 Sn; при 20° С
в, = 2 400 ttglcm*. 8 = 36%, ф = 52%.
При температуре . .
сг в % от <sz при 20°
100°
100
«в
91
200°
94
9»
93
300»
57
а
31
400°
28
О
0
6 . % . 6 .20°
ф . % . ф .20»
d) Б р о н з а состава: 69% Си, 20 Ni, 9 Zn, 1 Ре.
500° С
18
О
О
Температура.... 15° 200° . 300°
02 kglcm> ... 1500 1450 1000
&%.... 11 13 8
ф%........ 20 21 11
92 Алюминий и его сплавы.
400»
1020
7
10
500° С
7бО
2
3
а) Чистый алюминий с содержанием 98 ч-99% Д/, имеет
литой 0,1 = 74-8 6 = 3%; прокатанный и отожжен,
ный а, = 10 Мтт?, 5 = 30% прн твердости по Brinell’u
(Р = 500 Jfg, D = 10 тт, Т.=,, 30 sec) Нв 30.
Проковкой в холодном состоянии можно довести а2 до
20-=-25 %glmm? (в зависимости от толщины), при чем полу-
чается 8=»5%, Нв — 60.
У Немецкий сплав D составу 88я/0 At, 10% Zn и
2% Си имеет следующие механические свойства:
литой %. = 12 н-17 №тт\ 8 = 2-г-4%, Z7fi*=. 55f;
механически обработанный: •
твердый — 30 %g[mm\ 8 = 10%, Нв = 90,
мягкий аг = 20 , , 8 — 20%, ffB = 55.
d Американский сплав А состава 92% At и
8% Си почти тождествен по механическим свойством сплаву D.
d) Магналий — от 3-ч-25% Л/£-, остальное At. При O'/bMg
имеет ez => 30 ^gmnP. Хрупкость растет с увеличением содер-
жания Mg\ к атмосферным воздействиям нечувствителен, но
неустойчив против действия соленой Воды.
е)Дуралюмни — сплав алюминия с Си 3,5ч-5,5%,
Мп 0,5-т-1% н Mg 0,5%. Состав меняется в зависимости от
назначения сплава.
, После механической обработки Металл нагревают до
420°—520°, затем быстро охлаждают и Оставляют лежать в те-
чение 5 дней.
Такая операция носит название „улучшения" и имеет
целью повысить временное сопротивление. Улучшенный металл
теряет свои повышенные свойства, если его нагреть выше 200°,
н может их восстановить, если повторить операцию улучшения.
Механические свойства некоторых сортов дуралюмина при-
ведены в Таблице XX.
Т а блица XX.
Марка н состояние металла V kg'mm* kglmm'- «э а? 1 -э- ае »В
П. Листы толщиной 1 тт, улучшен* иый 19 36 25,0 84 98
Прокатанные до толщины 4 тт . . — 43,5 5,0 13 131
. . . 2 . ... — 47,5 4.0 12 189
681 А. Лноты Толщиной 7 тт, улуч- тонны й 24,7 41,8 21,1 29,5 118
Прокатанные до толщины 4 тт . . 48,6 52,7 5,0 14,5 149
• . . 2 „ . . 53,0 66,0 4,0 13,2 157
вВЮ. Лиоты толщиной 7 тт, уйуч- иеикый » 25,9 «.» 17,5 21,0 125
ПроыЯакиые ло толщины 4 тт 45,2 55,2 6,6 16Д —
. . . 2 . . 54.1 .. 62,1 м 174
f) Алюдур. Состав неизвестен, предполагается незначи-
тельное содержание Si н Mg. «Механические свойства отдель-
ных марок металла следующие.
Таблица XXI.
Маржа 6z 8 ‘ Нв Электропроводность
533 А 16—22 kgimm1 27—20 % 40— 50
633 В 22—27 „ 25—15 w 55— 70 284-30 ——-
633 D 27-31 , 1Б—10 , 75— 30 Qmm"
533Е 35—45 „ 6—3,6 „ 85—100
670 А 20 -26 , SO—25 „ 40— 45
670 В 29-32 , 26—20 . 55— 55 24-Т-27 у Q тт3
670 D 38-41 » 20—14 , 30—100 1
670 В 50-60 , 6,5—-3,5 „ . 95—110 J
Марка 533 L имеет oz на 40% выше, а электропроводность
всего иа 3 — 4% ниже,'чем чистый алюминий
g) С к л е р о и—сплав М, Си, Zn и Lt, в2 = 4.6-t-50 Qg/mrri2,
8 = 10 ч- 15«/о, Нп = 120 ч-130.
Хорошо обрабатывается режущими инструментами.
h) Аёрон: аг = 36 ч- 42 Ifglmm^, 8 = 18 -4- 25°/0»
=90-5-110.
i) Лаута л ы ог = 38 ч- 43 bg/rnrri*, 8 =184-23%.
к) Силумин содержит кроме А! от 11ч-14% St,
вг = 20 Qglmtri2, 8 =5 ч10%.
S3. Дерево. Механические свойства дерева значительно
изменяются в зависимости от: 1) степени его влажности, при чем
они понижаются с увеличением последней; 2) от направления
действующей силы по отношению к волокнам; 3) от Возраста
древесины—сердцевина н заболонь имеют различные механи-
ческие свойства. Приводимые в таблице XXII цифры относятся
ко всему сечению ствола в целом.
Порода. вг | аа Об хъ Е , аР
Параллельно ваяоюшм Парал- лельно волок- нам Перпен- дику- лярно волок- нам
t/cm*
Ду* . . 1,00 0,35 0,00 0,075 0,30 100—110 0,15—0,60
Бук 1,35 0,30 А® 0,085 130—180. ОДО—о’вб
Соска 0,80 Дзо оМ 0,26 . 90-110 0,15—0,20 -
Ель . 0,75 0,25 0,40 0,040 — 90—110^0,15-0,23
Призменные . цифрам относятся к дереву с 20% влажности.
Цйфры пр^яыя пропорциональности (в_) Показаны изме-
няющимися в весьма широких пределах, что обусловлено нх
малой надежностью для дерева может быть определено
лишь весьма ’ приблизительно).
«отбеленные н искусственные.
Для камней обычно определяется лишь временное сопро-
тивление сжатшр а d >), при чем величина его ЗавИСйт eft раз-
меров Применяемого для испытания кура (в общем, чём мёнщие
куб, едг выше получаемая цифра erf; Чаше всего ёстествЫй^е
камин испытываются в виде кубов с ребром в 7 ст нлн 5 ст),
а такай от ориентировки куба по отношению к массиву камен-
ной породы, из которого берется куб. Кирпич и подобные ему
по размерам и форме исцуственные камни испытываются в виде
кубов, полученный путем наложения друг на друга двух поло-
вим распиленного поперек кирпича; ПОЛОВИНЫ эти соединяют
в одно целое с помощью слоя растрора из чистого цемента.
При выборе камня необходимо установить; как изменяются
eh> свойства под действием влаги (испытание в насыщенном
водою состоянии) и насколько камень устойчив Против атмо-
сферных воздействий (испытание на повторяое заморажйванле).
Таблица XXIII.
Повода или сорт камня tfd » kgfem* Жорода ил» сорт йймия 9 Л
ГранитУ . *60—ЗЙ0и> Иавестково сйликатиЫЙ
Сиениты . . 800-2200 - кирпич . .. .... МО
Порфиры ....... 500—3500 г Шлаковый кирпич . . 20-100
Ваяальты к- дикбазы . iooo-sooo Кирдия кг доменных ШЛЫКОВ . . ... • ' • 60—200
Известняки: мрамор . 600—1800 Клипер 300—800
Плотима известняки . jst^-iwo , р- Кярвич*еииьиот» об-
Пористые . 50— 600 ЖШЪ'е ....... 260—850
Песчаники . 200—2000. Строительный кирпич I-го сорт» > 150
Бетой *0— *00 и > СтроительиыД кирпич П-ro сорта
Исхусствеингае иве- сткякв 150— 450 > 100
’) б последнее время америвдйкая Практика испытаний начала перехо-
дах» от испытание иа- сжатие В* Мймтшю иа МгДб. Это необходимо кйй'т»
в ВИДУ, даи( ;жаа сопротивления каМКЯ «икчЫу айамтельио меньше, чем
сжатию.
Приведенные цифры дают нределЫ колебаний ad по дан-
ным различных лабораторий Западной Европы. Для камней, до-
бываемых и производимых в СССР, можно указать следующие
значения erf:
Таблица XXIV.
Порода или <х>рт камня kg/ст* Порода или сорт камня
Граниты: Известняк:
Сердабольский . . . 720—1770 . Иикершанский . , , 8^— 135
Воронежский .... «35—1020 Одесский ...... 75— 2Ю
Крымски* 765 СеваСтопсльскпЗ . . 80—1220
Уральский . ... . 870—1100 Тарусский ..... 520
Фастовскнй 1300—1600 Чудевсккй 500
ШейсиМекий .... Кварцит Шокшиискйй'. «80—12W 2600—3800 Плита Волконская . . . Путиловская . 1000 «40
Диабаз Олонецкий . . Песчаник: S100—4100 Кирпич (по данным до 1917 г.):
Бутовы* . . . . . . 300—1000 Желеацяк. . . . . . 1«б— №0
Люберецкий 1400—1000 Красный *4* 480
Котелъкмцкнй .... 700—1630 Полукрасный .... 85— 160
Уральски* 2170-2340 Алый ВО— 130
Иамстшк: Балаклавский ; ... tee Ккрют ‘ по совреыевь . вас яормш:
Гатчинский . . . 300— too 1 сорт. . • .... не <7 100
Влепляй 300— 880 И . ....... < **
Жигулевекпй .... 160— 430 Ш » Я < 00
Величина модуля В зависит от величины напряжения.
Так, по С. Bach’y для гранита (баварского) имеем:
при з от 0 н- 41 kg'ст* модуль £ = >29100 kgicm*,
. аотО-^.138 . . £=128100 .
для крупно-зерНйсТоГо песчаника:
при с от 4-г-8 bg'cnfr махуяъ Е = “230306 Qglcm*,
в от 4 ч-16 » „ £'=246200- »
По О. drafy для машинного кирпича:
&Н в от,7ч-17 k&lcnP модуль £ — Ш600
1 a Ot 7-4-48 . £= ПЮ00, . » •
Й.' Йанённая и ннрпнчн$иГ кладам имее^ зд^^е^Й^,
* тивление значительно меньше, чем камень или кирпич, йЗ кЬегб
Отд. 1—96 Механические свойства материалов 128
она сложена, и зависящее от механических свойств связываю-
щего кладку раствора. « '
Так, av. кладки из кирпича при аа кирпича от
100-=-400 ^g/crri* на известковом растворе 1:2 оказалась
20-5-40 tfglciri1, а на цементном растворе 1:4 от 40-5-90 ст\
Кладка из песчаника в# == 770 pglcrrfi на цементном раст-
воре 1:2 имела с ва — 250 ^g cni*.
Sa. Бетон. Механические свойства бетона' зависят:
1) от количества и качества примененной при затворении
бетона, воды;
2) от механических свойств вяжущего; .
3) от состава или об'емиой пропорции составляющих частей,
обозначаемого иди \ :а:Ь, или 1:г, где 1—об‘ем вяжущего
вещества, а — песка, Ь —гравия или щебия, с = а + Ь;
4) 'от зернового состава песка;
5; от зернового состава н механических свойств гравия
или щебня;
6) от количества и качества примесей в песке и гравие;
7) от возраста бетона, т.-е. от времени, прошедшего со дня
затворения бетона.
В большинстве случаев ва определяют для бетона в воз-
расте 28 дней, довольно часто для 42 дней, реже для 90 дней
И 1 года. В последнее время стали определять ва для 7 дней,
чтобы с помощью эмпирической формулы судить о вели-
чине sa через 28 дней.
При прочих равных условиях od определяется ко-
личеством воды, примененной для затворения, или, как
говорят иначе, консистенцией бетона. С увеличением
количества воды ва уменьшается, при чем для бетона на порт-
ланд-цементе зависимость достаточно близко отвечает формуле
. В
°28 — Л • ’
где А—коэффициент, зависящий от механических свойств при-
меняемого портланд-цемента, .В и С—эмпирические постоянные,
а х—отношение неса воды к весу цемента 1 /ла бетона.
. Различают три консистенции бетона — трамбованный
(erdfeuchte),'пластичный (plastische или weiche), лнтой
(fliissfge). Разграничение этих консистенций до настоящего вре-
мени не .установлено с достаточной определенностью; трамбо-
ванный может быть применяем только для чисто бетонных
сооружений, для железо-бетонных конструкций можно применять
только пластичный и литой бетон; литой бетон может переме-
щаться самотеком по довольно длинным жёлобам с углом на-
клона до 30° и даже до 20°.
Влияние состава видно из приводимых цифр., данных
Burchartz’ew для 28-дневного трамбованного бетона; пропорция
выражена в форме 1: с.
1 : с.........1:3 1:41:5 1:8 1:8 1:10 1:12 1:15 1:20
3d В kg/cm* • • 350 270. 215 175 130 90 80 50 40.
Влияние возраста зависит от Консистенции; у пластичного
и литого бетона <sa для ранних сроков твердения значительно'
меньше, чем у трамбованного, но иаростаиие прочности идет
интенсивнее, и к 1 году пластичный и литой бетон может дать
большую величину, чем трамбованный. По О. Graf’y, если при-
нять аа через 28 дней за 1, то для других сроков получи^:
3 дня 7 дней 28 дней 45 дней в месяЦ 'В
0,35—0,53; 0,80—0,78; 1,00; 1,05—1,15; 1,15—1,50.
Для остальных сопротивлений получаются следующие вели-'
чины: ог около -jg- аа с сильными отклонениями в ту и дру-
гую сторону; н реальных строительных условиях аг редко больше
15 Qglcm2; ®6 —от 20-н 30 Qglcm2-, т6 = ок. 2,5 я2 .
Е для бетона зависит от состава и возраста. По О. Graf’y;
при 0^—100 200 300 400 500 800 legion’
£=205 300 380 410 440 483 tian’.
Величины, принимаемые при расчете, обыкновенно значи-
тельно Меньше. Так, по немецким нормам 1925 г. при определении
внешних сил принимают Е = 210 ЦсМ1, а при определении
напряжений Е — 140 Цст2.
Следует иметь в виду, что бетой при твердении на воздухе
дает уменьшение об'ема—усадку, а при твердении в воде —
разбухание.
97- Вяжущие вещества для строительных раство-
ров делятся на две группы: группа I—вещества, получаемые
из естественного сырья путем обжига,1 и группа II — вещества,
получаемые путер смещения одного из веществ группы I со
.специальными пррошко-образными веществами, называемыми
гидравлическими добавками, без обжига.
Группа I распадается на: Л) ноздушные вяжущие
вещества и В) гидравлические вяжущие вещества.
А) Воздушные вяжущие вещества: 1) воздушная известь,
2) штукатурный гипс , (алебастр), 3) гидравлический гипс,
4) гипсовый цемент, 5) каустический магнезит.
В) Гидравлические вяжущие вещества: 1) гидравлическая
известь, 2) роман-цемеит, 3) портланд-цемент, 4) глиноземистый
или бокситовый цемент. ' '
Группа П состоит из: Г) известково-шлаковых цементов (10—
30% извести), 2) известково-пуццолановых цементов (10—30%
извести), 3) шлаковых портланд-цементов (30—70% шлака),
4) пуццолановых портлаид - цементов (количество добавки ие
нормировано).
Отдел 1.
9
&ТД--i—98 MexaHUHetfiut слоИетвй ма^и^йдЛбА 130
Гидравлические добавки делятся на ^естественны е:
1) пуццоланы, 2) трассы, 3) кремнеземистые осадочвые; породы
(инфузорная земля, трепал и т. п.) и В\ и с куст верные:
1) гранулированные основные шлаки, 2) глинистые материалы
(обожженная едина, битый кирпич и т. п.), 3) гёзы. ,
Наиболее, распространенными из перечисленных ве^цеСТв
.являются (йиррть й цортлан^емёйт. '
Механйчеёкйе свбЙйвД портланд-цемента обычно уйй&гет-
воряют трёбдванияА дейСТвукицих в данной ст^ййв Wbtt.
По нормай СССР чиСтый портланд-цемент дОяжей йбсть
через 7 ЛЙВЙ *г>25 и через 28 дней — 35г
раствор с нормальным песком нз 1 части цемента я
3 частей песку должен иметь через 7 Дней «г > 10 kglcn?,
а Черер 28 дней: с* > 14 а4-> 140
Механические свойства извести не нормированы; хороший
извеСТковый раствор дает через 28 дней ad *= IB ^gjctnK
99. Фарфор электротехнический имеет: вг == 200-М50 ^gicm'*,
ad = 4 000 4-1500 Ifglcm9, Of, = 600 ч- 800 hgem*, Е = 7 000 -ь
8000 Wcfrt3.
99. Стекло. Значения модуля упругости и временных сопро-
тивлений в Hgiim*.
Сорт
Кронглас ..........
Фливтглав...........
Зеркальное .........
Обыкновенное. . . . .
Е «г вЛ
6 500 в—8 70—100
б «00 4—в 00—90
6 000 7 100
«ООО в 80.
Для обыкновенного литого стекла
аь = 200 + 160 (1,5—з)3 в Qg'cm'2,
где з—толщнид стекла в сантиметрах.
100. Првволрхд (по Hiitte 1925 года).
Таблица XXV.
Нанвание £ 9р Дг
» kg;a и*'
4 gQO
от лз₽ йЕанття я ... а ... а «ХЮ® 2000 4 0Q0
Бееоамеровокой стали: бела Б 200 W
• отожжевв&я . 2,16X10® 2 260 4,оео-вооо
лтасти ........... 115 V 10® 10 000 9000—10 000
Хрсвго-шосселевая 9 070
< В вр аг
К kg/cm*
е
Никкелевая. . ъ... . — — .4 800—5 300
Никаелин кая — — 6 250
МеДиая (красной медн)........ 1,3 х юв 1 200 ' 4 000—4 500
Бронзовая — — 4 000—7 10О
ДвоДиая бронзовая. . .. . ... , ... . -т— — 7000
Фоефористо! бронзы отоликеаиая . . — — 6 300
Кремниевое бронзы. ......... — — '6 000—7 000
Латунная. . . . , 1Х1°® 1800 5 000—6 100
Алюминиевая * тт мягкая — — 1 670—2 040
. * тт ‘твердая — — 2 300—2 700
Алюминиевой бронзы — — 6 500
Алюдуровая о,вз X1°® — 2800 и>
Цинковая. ' оде X10® — 1900
Свинцовая мягкая о,от х10* — 170
твердая. . . • 0,07 X10® —- 220
Танталовая 0,085 Wflft •••••< _ 17000
Вольфрамовая Д=о/Иб тт . ... . — — во 000-70 000
* . . . 4 =ц о,08 тт .... .ч — — 42 000
Молибденовая до d» 0,04 тт . • . . - — 22000
101. Кожаные ремни. а* — 250 ч- 450 Aglcta* при быстром
разрыве; прн продолжительной нагрузке понижается до 3/3 ука-
занных цифр; для нового ремня вр = 160 Jtgfcnfr' и
Е—1 250 kglcnf1', для бывшего в употреблении Е 22S0iig/an?.
102. Певьковые на ваты манильские. аг для нового каната
1 200 ч-1 350 bglcmF, для старого — 500 kgjcrri2; Е = 6 000 ч-
15000 Qglcm2.
Допускаемые напряжения*
ЮЗ. Напряженвв. допускаемые в машиноетроевии, завися* от
рода напряжения я рода нагрузки. Различают 3 рода нагрузки:
I — спокойная нагрузка постоянной по величине силой Р;
II —нагрузка переменная, изменяющаяся от 0 до Р;
III— . • ' . , . — Рдо + Р.
Таблица XXVI. Величины допускаемых Напряжении
в кф'ст2 > •
Род напряжения н иагруэНи Свароч- ное- • железо Литое железо Литая сталь Стальные отлнвки -Чугун
от г до от ДО от ДО
т 900 -ООО 1 500 1200 1800 800 1200 ;п 300.
Раотяжеиие Rt • , п 540 540 900 720 1080 - 300 720
III 450 450 750 600 900 800 800
I 900 900 1500 1200 1800 900 1500 900
Сжатие Яг .... п 540 540 900 720 1080 640 900 - МО
III 450 450 760 , 900 900 300 600 150 •
I 900 900 1500 1 200 1 800 750 1200 —
Изгиб Я...... II 540 540 900 720 1080 450 720
П1 450 450 750 аьо 900 3?5 «об —
I 720 . 720 1200 960 1440 480 960 300
Скалывание Яг • II 430 430 720 580 880 290 580 180
ш 360 360 600 480 720 240 480 180
I 860 600 1 200 900 1 440 '480 960 —.
Кручение/^ . • • II 220 860 720 540 600 290 . 580
ш 180 300 600 450 720 240 480 —
Для чугуна прн изгибе следует брать * для растянутых во-
локон для сжатых R.i, при кручении берут для крупного
сплошного сечения для круглого полого ^4=(0,8ге-1^?^
104. Напряжения, допускаеиые в металлических кенструк-
цикх едакий. Па немецким нормам, 1925 г.
Таблица XXVII.
'„..-..Г: ' I" ......amrrifi и n.iiпи! —
:: Рид жид «лк*-- • РоД напряжения Вhglcn' | Сварочное железо
Сталь 37 Сталь № 48]
Вт стержнях м ждепаянах. ‘ частях Of ' j$..' я .0? 1200 1000 ' 1 660 : 1300
В ааИленках . я, 1000 1 300 на 10 «
Вобыквоввкных болтах. . . R* . й». .. 800 ' tW; ДВОО 1040 2 080 меньше
В анкерных болтах .... К, 800 1040
/?5— допускаемое напряжение на смятие.
105. Допускаемые напряжения для дерева. Для воздушно-
сухого дерева имеют в среднем следующие значения
Твблицв XXVIII.
Раотяже- : вне Сжатие Срез или скалывание
Порода Параллельно волокнам Изгиб /? < Парал- лельно Перпен- дикулярно
Я, у ' у ; • вояокявМ
Дув..... . 100—120 1'7 ,-sh то—еоА- •t ’ 80—120 16—20 88—50
Бук 100—120 70—90 80—100 10 —
Сосна • * . . 80—ТОО 50^60 во—100 10-16 20—30
Ель '80—100 50—60 60—100 10—15 20—30
103. Депусиаемое напряжение для камня на сжатие
имеет обычно следующие величины — в kgicm*-.
_ Опорные Тонине _
Порода камин колонны. Свады
Гранит ........ «0—90 25—30 «—вО
Песчаник» ............. 30—60 15—30 25—30
Иавастияк ...... 30—40 12—16 20—30
107. Допускаемые напряжения для камеииой кладки на
сжатие.
Кирпич IT-ro сорта на известковом растворе 1:3. до 1 kg,'cm
. 1-ГО . » . . . , 10 .
1-го , „ Р.аств. 1 ч. цсм., 2 ч. ввв., 3 ч. песку . 14 ,
Бутовая кладка на цементном растворе 1:3. в 25—30 .
108. Допускаемые напрнжеиия по принятым в СССР нЬр-
мам IX Электротехнического С'ездв для механического расчета
линий сильного тока. '
1) Для литого железа:
на растяжение = -25 °2 • на сжатие .
принимая в среднем аг — a rf = 40 ifglmtrfi.
2) Для пропитанного или непропитанного дерева:
' 1 1
на растяжение = —у ог , на сжатие = —у ®d,
1
на сжатие прн изгибе R =’'"§§ в#>
принимая: для ели и сосны az = 720 %glcm\ sd =* 350 ^g/Cn^
для дуба в? =« 900 kg/erri1, = 500 ^g/errf,
Отд 1^-109 Химические и физические величины
U
3) Дйя бетона:
на сжатие Д?3 = . на сжатие прн изгибе R = —$— sd,
принимая, в случае отсутствия опытных данных, что для
соо^а- 1:1,5:3,0, 1:2:4, 1:2,5:5, 1:3:6, 1:4:8
srf = 200 , 180 , 140 , 100 , 80 Мет? .
D. Некоторые химические и физические величины.
109. Химические елементы.
Тавлица"ХХ1Х.
Сим- АтомИыЙ Атомный
Название элемента. <
ВОЛ. веГ. номер.
Ас Актиний (227) .89
Ag Серебро (Argentum) 107,88 47
Al Алюминий 26.97 13
Ar Apron . . . % . 39.88 18
As Мышьяк (Arsenicum) ...... 74,96 33
Au Золото (Aurum) 197,20 79
В Бор ; . . 10,82 5
Ba Барий 137,40 56
Be Бериллий ...... 4
Bl Висмут (Bismuth) 209,0 83
Br Бром *. . 79,92 35
C Углерод (Carboniiim) 12,00 6
Ca Кальций .......... . .407 20-
Cd Кадмий . . . , ... Цр 48
Ce Церий г....... 140,2 58
Cl Хлор (Chlor) 35,46 17
Co Кобальт 58,97 27
Cp Кассиопей 175,0 71
Cr Хром (Chrcimum) ....... , 52,00 24
Cs цезий >. , 132,8 55
Си Медь (Cuprumum) . 63;57 29
Dy Днспросий . . . 1625 66
Em Эманация *. 222 86
Er Эрбий 167,7 68
Eu Европий 152,0 63
£* Фтор (Fluorum) . . . . . . ; . . 19.00 9
Ее Железо (Ferrum) 55,84 26
Ga Галлий t•. 69,72 31
y I (Продолжение).
ChW- ! Атрмный Атомный
Название элемента.
ВОЛ. вес. номер.
.. . .
Gi ГаДо^иний 157,3 64
72'5 32
Водород [Hydrogenium) .... 1,008 i
Гедоуй (fielium) 4,00 2
fa Гафний . 180,8- 72
Nf РтутЬ (Hydrargyrum) 200,6 80
Но Хоайий 1635 67
in Индйй . . . . 114’8 49
ir Иридий 193,1 77
Р’ Иод* • 126,92 53
К Калий 39;10 19
№ La Крийтон Лантан 82,9 138,9 36 57
LI Литий 6,94 3 -
Ma Мазурий 1. 1» 43
Mg Магний 24,32 12
Mn MapWeeu (Mangamim) 54,93 25
Mo Молибден 96,0 42
N Азот {Nitrogenium) 14,008 7
Na Nb Натрий . Ниобий. . • 23,00 93,5 И 41
Nd Неодим . ’ 144,3 60
Ne Неон 20/2 10
Nl Нацель . . • • . • 58.68 28
gr .(Фта®1®"! Осмии 16,00 190,9 8 76
p ФосхЬоо . . . • 31',04 15
Pa Прсггоактинйй • ......... (230) 91
Pb Свинец (Plumbum) 82
Pd- Палладий 106,7 46
Pa Полоний (210) 84
Pr Празеодим .... 140,9 59
Pt Платина 195.2 78
Na Pb Ряднй ... 226,0 88
Рубидий . 85,5
/& Рений • —*
Ph Родий 102,9 45
рц Рутряий .... ..... 101 7 44
Седа (Sulfur) . ......... 32,07. 16
Sb Сурьма (Stibium) 121,8 51
Сим- Йазнаиие элемента. Атомиый Атомный
вол. Вес. номер.
Sc Скандий . 45,10 79,2 28,06 21
Se Si ' ’ 34
Кремний (Silicium) . . . . . . . Самарий ! 14 62,
Sm Sn Sr 150,4 118,7 87,6 1§1.5
Олово (Stanum) 5а 38
Стронций
Ta Тантал. 73
Tb Тербий . . . 159,2 65
Те Теллур 127,5 ; 52
Th Торий 232,1 90
Ti Титад 48,1 204,4 22.
Tl Таллий . . • 81
Tu Тулий 169,4 69
u Уран 238,2 51,0 . 92
V Ванадий 23
W - Вольфрам . 184,0 74
X Ксенон (Xenon) 130,2 54
Y Иттрий (Ittrium) 88,95 173,5 65,37 91.2 39
Yb Иттербий (Ytterbium) 70
Zn Цинк . . . . 30. , 40
Zr Цирконий
НО. Удельные веса.
Таблица XXX. А. Удельные вееатвердЫКгтел.
----------------— i;.—,Z-Jj
Асбест ...................................
Асбестовый картов...................... . . .
Алюминий чистый........................
„ прокованный.....................V
„ литой ......................... .
Алюминиевая бронза.....................
Антрацит....................................
Асфальт .......................
Бабйт белый........................... .
Базальт . . •......................... . .
Бетой . ..................................
Борное стекло ........................ . .
Брикеты угольные . . ...................
2,1-2,8
1/2
2,70
2,75
1 2,56
7,7
1,4—1,7
1,1-1,5
7,1
2,7—3,2
1,8-2.45
2,6
1.25
Бронза (от 7,9 до 14% Sn)......-...........
, фосфористая............................
Бурый уголь..................................
Виемут-литой . ....................... . . .
Вольфрам...................................
Гипс обожженный...............•............
, сухой, литой . . • . ................
Глина свеже-вырытая .................. .
.. сухая ....................... .......
Глинистый сланец...........................
Горный хрусталь, чистый....................
Граний сухой ... ..........................
, сырой ;................................
Гранит . . : ................................
Графит .................
Гуттаперча............•....................
Дельта^металл..............................
7,4-8,9
8,8
1,2-1,5
9,82
1,67-2,85
1,52
2,76—2,88
2,6
1.8
2,0
2,51—3,05
1,9—2,3
0,96—0,99
8,6
Дренесиые породы. Сухие. Снеже- рубленые.
Акация 1 . . 0,58-0,86 0,75—1,00
Бакаут •.... 1,17—1,39
Береза 0,51—0,77 0,80—1,09
Буксовое (самшит) 0,91—1,16 1Д0-1>
Бук белый 0,62-0,82 0,92-1,25
. красный 0,68-0,97 0,85-1,12
Вяз 0,62
Дуб 0,69-1,03 0,93—1,28
Ель . . . .• 0,37-0,75 0,77—1,23
Ива. 0,49-0,59 0,79
Каштан конский 0,58
Кедр 0,57 —
Клеи ..... 0,53-0,80 0,83—1,05
Красное дерево 0,56-1,06
Липа . 0,32-0,59 0,58-0,87
Лиственница . . . ^ 0,47—0,56 0,81
Ольха 0,55 0,90
Орех • 0,44—0,68 0,91—0,92
Пихта 0,35-0,74 0,40-1,07
Pitchepine . 0,75—0,85
Дрёвесные породы. Сухие.. —।— я bj Свеже- долевые. .«ГН*
Пробка...................
Сосна .... •.............
Тополь . . . . • . . . .
Чёрное дерево ...........
Ясёиь . . - .............
Древесный уголь с воздухом
t , плотный
Доломит..................
Железо химическое чистое .
0,24
0,31—0,76
0,39-0,49
1,26
0,57-0,94
O,70-rl,14
. °-4
2,9
. ^сварочное..............................
, литое .... .............................
Железная проволока...........................
Жернова (кварц)..............................
Жиры .................................... .
Земля, свежая, глинистая, плотно утрамбованная
, сухая....................................
Земля садовая свежая .....................;
. садовая сухая ........................ .
, ’ , тощая.............................
Золото литое ................................
Известь обожженная, насыпная.................
. гашеная ...................
Известковый раствор свежий.............• . .
» сухой . . ...........................
» в среднем . • . . . . • .............
Известняк ...................................
Калиевые квасцы.......................... .
Кальций карбид ........... ..................
Каменная соль ... .......................
Каменный уголь в куеках......................
Каолнн ......................................
Каучук сирой .......................... . . •
Кварц.................................. . .
Кирпич обыкновенный.............• ......
, клинкёр . . . . •......... . .
Кирпичная кладка сплошная свежая .......
, сухая................................... .
Кожа смазанная............. . ..............
, сухая . ...................................
Кокс в кусках . .......... . .
. 7,85
7,60-7,75
1,25—1,60
0,92—0,94
2,0
1,6-1,9
2,05
2,63
19,25
о.эщ^з»
1,15^-41,2»
Г,78
2,46—2,84
1,7
2,22
2,28—2,41
1,2—15
22
0,92-0,96
2,5-2,8
1,4—1,60
1,70—2,00"
1,57—1,63
1.42-—TJ46
О,В?
Кремень................................ .
ЛДВа базальтовая...........................
к Трахитовая . .........................
Латунь прокатная ..........................
, литая .............. . . . ........
Латунь тянутая.................... . . .
Лед ................................ . . .
ЛиноЛёум............................ . . . .
Магний ................. . . .
Марганец.................................
. руда красная................(.......
.», . черная .......................
Медь Красная литая ........................
, прокованная и прокатка . . ...........
й Проволочная...........................
* Ясйдкая.................................
.» электрическая ........................
Мергель землистый..........................
' , твердый ............................
Мостовая деревянная .........................
Мрамор . . ...........................
Мука насыпная .............................
Наждак ....................................
Миккель . ................................
Олово прокованное или катанное.............
, , литое ...... ..........................
, жидкое. . . .................
Песок «^«озернистый сухой ...................
, крупнозернистый сухой.................
Песчаник ..................................
Платина кЬванная .... .....................
»• литая .............................
Поваренная соль
Пробка ....................................
Резиновыё изделия......................
Свинец . . : . . . .....................
Селитра калиевая..........•..................
. натриевая ..........................
, чилийская .... .....................
Серебро литое .............................
, прокованное . , ...........
Снег в среднем ... ........................
Сталь , . . .
2,6
2 <8—3,0
? 2,0—2,7
8,52—8,62
8,4—8,7
843—8,73
0,88-0,92
1,15-1,39
1,74
7,15-8,03
3.46
3,9-4,1
8,8
8,93 8,95
8,8- 9,0
8,22
8,9-8,95
2,3
2,5
0,69-0,72
2,52-2,85
0,4-0,5
4,0
8,6—8.9
7,3—7,5
7,2
7,025
1,20-1.65
1,90-2,05
1,4—13
2,2-2,5
21,3-21,5
' 21,15
2,15-2,17
0,24
1,0 2,0
11,25 11,37
10,42-10,53
10,50-10,6
0,125
7,85-tj87
Стекло бутылочное ....... . .
. „ оконное ....... • .
, зеркальное ............. .
» флинтглас .....
» хрустальное .......
Строительные камни а среднем . .
Торф сухой . . ..... . . . . •
„ землистый . . . . . . ... .
Грасс молотый . . . . . . . . . .
Фарфор берлинский . . . .... .
«Фосфористая бронза . .........
Цемент.........................
Цинк литой . . . ..............
, прокатанный .................
Чугун белый....................
, серый.....................
. литейный . . . ...........
Шамотный кирпич ........
Шлаки доменных печей . . .. .
2,6
' И. *4—2,7 ,
—2’^2
„11^3.90
*9-3,0
0,51
0,64
0,95
АТ
0,82—1,95
6,86
7,13-7,20
7,0-7,8
6,7—7,6
7,25
1,85^2,2
2,5—3,0
В. Удельные веса жидкостей.
Алкоголь безводный • . . . .
Бензин .......... .
Бензол \ ...............
Вода дистиллированная . . .
. морская ..............
Глицерин безводный......
с 50% воды ....
Древесный спирт.........
Керосин.................
Креозотовое масло.......
Минеральные смазочные масла
Нефть...............
Ртуть ..................
При °C.
15? . 0,79
0,68-0,70
0° 0,90'
4° . 1,00
15° 1,02-1,03
0° 1,26
Ijl3
20° 0,81
15° 0,79-0,82
15° 1,04—1,10
20? 0,9-0,93
19° 0,76
0° 13,5956
III. Вода. Температура плавления + 0° С при 1 of давления
4-0,008° С н пустоте, — 20° С при 2Q00af. Температура1 Испа<
рения при У at равна 100° С,
ТаблмЦа XXXI. Плотность воды при различных температурах.
t Плот- ность t Плот- ность t Плот- ность t Плот- ность t Плот- ность
0° 0,99987 25° 0,99707 КР 0,98807 . 75° 0,97489 110° 0,9510
4° 1,00000 30° 0,99567 ; 55° 0,98573 80° 0,97183 120° 0,9435
10° 0,99973 85° 0,09106 60° 0,98324 85° 0,96865 130° 0,9351
15° 0,89913 ; <0° 0,98224 . 65° .0,98059 90° 0,90834 140° 0,9263
20° 0,99823 45° 0,99024 70°' 0,97781 100° 0,95838 150° 0,9172
Таблица XXXII. Теплоемкость воды (г) при различных
' температурах. >
t С t С t С t С С
0° 1,0091 25° 0,9978 50° 0,9977 75° 1,0007 100° 1,0043
5° 1,0050 30° 0,9978 55° 0,9982 80° 1,0014
10° 1,0020 35° 0,9971 60° 0,998» 85° 1,0021
15° 1,0000 40° 0,9971 65° 0,9994 90° 1,0028
20° 0,9987 45° 0,9973 70° 1,0001 95° 1,0034
Скрыта и теплота плавления для ноды раина 80 kcal.
. , парообразонания , „ 539 „при 1а/
112. Воздух. С о ста и ноздуха и %%•.
По весу По о&ему
Авота ................. 75,60 78,06
Кислорода............... 23,20 21,00
Аргона................... 1/-0 0,91
Таблица XXXIII. Вес воздуха при различных давлениях
и температурах в ItglBfi.
Давление в тт ртутного столба
t 720 730 740 750 . 760 770
1Л» 1,1611 1,1772 1,1933 1,2095 1,2256 1,2417
20° 1,1412 1,1571 1,1729 1,1888 1,2046 1,2205
25° 1,1220 1,1376 1,1532 1,1688 1,1844 1,2001
30° 1,1035 1,1188 1,1342 1,1496 1,1648 1,4800
т«« л ии» XXXIV. Вк ввзд^д в>м16в«<г|Туп1Огвстолба
113. П«р»вод градусе».
Таблица XXXVI.
1 1 1 Шкалы, Точка замерза-' Точка кяпения Интервал
на воды воды
0 80 80
82 212 180
Стоградусная (С) ...... . 0 100 1W
Перевод градусов одной шкалы в градусы другой совер-
шается иа основании следующих соотношений:
1° С «*/5° /г = »/,? Л1° 7? == *// С=« »/4° F; Г F =. «// R *=.^° С,
Так как 0°С соответствуют (РД’и + 32° F, то для получе-
ния числа t° одной шкалы, если известны f\ или <°а какой-
либо из двух других шкал, имеем следующие равенства:
= 6/3 (А°F- 32е)« »/4 t°3 R,
t°R = >i° С = «/, (Г, F - 32°),
FF= ®/5 tt° С + 32° == »/4 t3° R + 32°.
Пример. Температура во Фаренгейту ее Р; тогда температура во
стоградусной шкале будет % (б — {2)?= —15° С, а по Реомюру
— •/, (5— 42} = — п° R.
Если температура по стоградусной шкате равна — 6° С, то температура
ао Фаренгейту будет — •/, 5° С J-»2° ==+.?»'Кд по Реомюру
— •/, .5Q,C = — <°R.
Абсол дут^аят^мце^дту рдТ измеряется в граду-
сах стоградусной шкалы и отсчитывается от точки, лежащей иа
27з° q .свик&шшияйчто
7^ = 7 + 273,1.
Нааример. при t = — 20° С, Т = 253 К,
' ' „ 7 = + Н5°С, Г =4-388° Д'/
Здесь К обозначает .градусы Кельвина", т.-е. указывает, что
температура отсчитана от абсолютного нуля.
114. Изменение размеров твердых тел при изменении темпе-
ратуры.
Изменение длины. Пусть /0 — растение между двумя
точками тела прн температуре Zo а Ц ~ растояние между теми
же точками при температуре t. Зависимость между lt и /0 обычно
выражают формулой:
. lt = /0 (1+«(Z~4+ (98)
а в случае если Zo = 0°:
lt = 1й (1 + «О, - (98')
т.-е. считают к о эФФиниеит линейного расширения
а величиной постоянной.
3 действительности значение а изменяется при изменении
температуры и в тех случаях, когда требуется ббльшая точность,
следует вместо формул (98) и (98') применять формулу;
lt = lo [I + a (t - Zo) + b (Z - А>Я, (99)
ИЛИ прн Z0 = 0°
/, = 4(1+o* + tt*).
(99')
Таким образом, формулы (99) и (99') предполагает, что
а = а + b (t — 70), или а = а 4- bt.
Так как а определяется по наблюденным значениям Zo, lt , Zo
и Z с помощью формулы:
Zz~Z« , 1
4 *-4
то значение коаффиниеита а, а также и коэффициентов а и b
зависит от того, в каком интервале температур (Zq, Z) произво-
дились наблюдения.
Изменение поверхности. Полагая з« Р, имеем:
3/ = $о Р+4 (*—4)12>
откуда —---— X и st й* s0 [1 + 2a(Z — Z„)],
s0 Z —4
Изменение »б‘ема. Полагая р s=/?, находим тем же
путем Uf^ oQ (Т 4-3® (Z —4)]. :
Таблица XXXVII. Коэффициенты линейного расширения
твердых тел.
Название тела Интервал температуры а><10» eXio»
от до t
Алюминий . . 0 100 2 380 ‘ —' J —
16 250 2 444 — -Г
»• • ••••«• • ••*•• 0 610 — 2 363,6 0,7071
БрО"ММ Ся4-в5л4-9 2л4-1 РЬ . 16 260 1820 — —•
. 81;2 Си+8,в 264-9,9 Sn+ + 0,2 Pb 0 80 — 1755,2 0,460
Бррнза алюминиевая 99 Co-f- 1 Al. 20 90 1490 —• —
, . 95С«+ 20 90 1420 — • —
, . 90-Си-)-10 41. 20 90 1570 — —
. - . №Cu+UAl. 20 90 1620 — —
Бронза фосфористая 97,6 Си 4* 4- 2,5 Sn-4- 0,2 Р твердая, . . 0 80 — 1 666,4 0,462
Та же, отожженная 0 80 — 1657,5 0,608
Вольфрам . ............ 20 100 336 —
Железо мягкое 0,067% С, 0,13%Мп, 0,06% Si 0 160 1100 — —
Желеэо сварочное 0,1% С « * . • 16 . 250 1 300 — —-
Чугун 6% С 16 250 1 144 — —
Сталь 0,6% С лнтая 16 260 1 260 — - —
. 1,6% С закаленная .... 16 250 1000 — —
Та же, отпущенная 16 250 1116 — —
Сталь никнелевая 24% Ni . . . • 0 38 — 1 74»,4 0,711
. . 36,1% Ni (инвар) 0 38 — 87,7 0,127
, . - 20% NI ... . 0 20 1 149,9 — —
, » 36,1 % М (инвар) 0 20 90,2 —- —
Константан 56,7 Си 4* 42,7 Ni 4- 4- 0,2 Ft 4 29 1523 — •. —
Константин 80,0 Pt -)- 20,0 Ir -. . . 16 500 893 — - —
я я ... 0 1000 — 819,8 0,1418
90,0 Pt 4-10,0 аг . . . 0 ЙО — 866,8 одев
Кваре (J оси — 190 4-100 — - 708,5 0,9386
.11 -. 0 80 — 716,14 0,81
. X 0* : 80 — 1 326,16 1,163
(Продолжение Таблицы XXXVII)
. йа а а и а тела. Иятервал температуры аХИ* оХ«> 4X1*
0« h ло t
Кварц аморфный (плавленный) • • — 190 4-100 —w 383 0,1382
* я я • • 0 80 — 38,5 0,115
Латунь 02 Си + 38 Zn 18 230 1982 —
, 71 Си + 2» Zn 0 100 1 908 — —J
. 73,7Co+24,4Z»+l,5Sn + + 0,3 РЬ 1793,9
0 80 — 0,456
Медь красная 0 100 1 850 — —
100 300 1 640 — —
Магналий 95,» А! +12,7 Mg + Si, 0 325 — 1 з7о 0,403
Ре и Си 12 39 2 380 — -*
Магний а 0 100 2 800 — —
Олаве. . . . < 19 100 2 870 — —
8 95 — 2 033 2,63
Платина ..... ........ 0 100 899 — —
0 1000 1 019 — - —
— 190 4-1оо — 891,1 0,4
0 80 — 890,1 ОД
0 1 000 — 883,8 0,1
Сввяец 0 100 2 848 — 1
14 94 — 2 728 0,7
Серебро 0 100 1968 — —
0 800 2 210 — —
0 750 — 1 827 0,4793
Стекло мягкое 0 100 883 — —
„ мржальное 0 100 891 — —
„ неясное боро-силикатное 94
Crown 18 798 — —
Стекло меховое для термометров яормальиое боро-сплккатяое 100
18—Ш 0 807 — —
Стекло вековое для термометров нормальное боро-снлнкатное 0,391
1»-Ш — 182 4-18 —• 789,4
Отдал
10
(Продолжение Таблицы XXXVII)
H«sn8i« тела. . Интервал | температуры «Х104, оХю1 W»’
ОТ Л 1 ДО t
Стекло йенское для термометров Нормальное боро-силякатное 16-1П ...... ...... 0 100 — 772,3 0,350
Стекло йенское для термометров нормальное боро-силикатное Б9-1П 0 100 Б7О —
Стекло неясное для термометров нормальное , боро-сялнкатное 59—Ш. 20 100 — 560,8 б,2®0
Фарфор берлинский ........ — 191 16 1 790 —
16 1000 4340 — —
20 100 — 272,1 0,306
Мрамор 15 100 1170 —
Цини 19 100 1711 — —
9 96 — 2 741. 2,34
Лед • • — 189 0 2 700 — —
• • —10 0 5 070 — —
Бакелит • 20 100 2 950 —
Эбонит ....... 17 25 7 700 — ,
25 ЗБ 8420 — —
Бук поперек волокон 2 34 6140 —
я вдоль я ....... 2 34 257 , — —
Дуб поперек :„ 2 34 5 440
. вдоль я ....... 2 34 492 — —5
Ель поперек „ ....... 2 34 3 410 . — —
. вдоль я 2 34 . 541 —. —
Сосна поперек 2 34 5840 — —
Я ВДОЛЬ 9 . 2 34 371 — —
Цемент чистый портланд ..... —16 + 72 1260, — —
Бетон состава 1 я. цем.: 1 я. ннерт. —16 + 72 1100 — —
1 :2 — — 1010 —
» » 1 :4 ' — 1 040 ——
. . 1=6 2_ 920 —
. . 1:8 — — 950
I IS. Линейная усадка некоторых металлов. (Уменьшение
линейных размеров литого изделия при затвердевании и осты-
вании). .... . - _
Таблица XXXVIH.
Бронза ...........
Желево мелкозернистое . . .
Желево пол осевое катанное
Лвпя сталь ........
1:63
1 172
1: 55
1:64
Пудлинговая сталь . . . . . . 1: 72
Стальные откивяй ..........1: 50
ПушечныВ металл ......
Латунь ............
Олово.......... . . .
СВвнец . . ...... . - .
Цинк ЛИТ Й....... . -.
ЧуГуи , . . .........
1:134
1:95
1:128
,1:92
1:62
1: 96
11б. Тепяоемкооть. Теплоемкостью тела с называется изме-
ренное а килограмм-калориях (kcal) -количество тепла,' необхо-
димое для повышения на 1° С температуры 1 tfg данного тела.
Количество Q тепла, необходимое для того, чтобы поиысить
температуруО тела от 73 до 73 равно:
Q — Ос (73 — fj) в kcal, если с — const
и Ql>= О J cdt в kcal, если с переменно.
Если с = а + то
В" 7
q ~ о [«а3 -+-%- м - и)+- 7?)i.
„ о
, Величина ст . q j росит название средней
теплоемкости в интервале (tb t3).
Таблиц* ХХХ1Х. Средняя теплоемкость в kcal для неко-
торых твердых и жидцих тел.
Название тела
Интервал
температуры
п
Алюминий ................. . . .
» ...........................
Асбест ..................... .
Гипс ....................
Гранит .......... ...............
Графит . ................
-182°,4- 15° 0,1677
15°, 185°. 0,2189
15°, 435°, 0,2356
20°, 98°, 0,1947
0°, 100°, 0 20
12°, 100°; 019
0°, 100° 0,20
0°, 2000°| 0,475
ПродолжениеТаблицы XXXIX
Название Тела Интервал температуры . .. С"‘
Графит.........
Древесный уголь.
Дуб.....................
Ель....................
Железо 0,5 % С.......,
. о,о&уо с ..... .
... 0,01% С ......
0,01% с........
. 0,01% с...........
. б (11% с .... .
Железо и сталь .......
Известняк.........
Каменный уголь ......
, » газовый . .
Кирпич .................
Кокс....................
Лед.....................
Магний..................
Медь (красная) чистая . .
Мрамор............ . . . . . i .
Никкель................. . . ; .
в ........ ..............
Олово . . . ...................
Песчаник.......................
. содерж. .слюду.............
Платина..........................
Ртуть ...........................
Свине i..........................
Серебро . . .....................
Сосна .•..........................
0°, 0°, 3000° 99° 0,535 0’1935
о°, 224° 0,2385
0°, 100е 0,57
о°, 100? 0,65
18°. 0° 100° 200° о,из 0,1175
. .0°, JU338 Q,W;
. 0°. 850? гОдш;
А 1050° 0,1512
W 0,12
15?, . 100° 0,2166
0°. '100° 0,31
. 20”, 1040? 0,3145
0°. 100° 0,22
0°, 100° 0,20
- 20°, 0° 0,50
0°. 100? 0,25
20°, 100° 0,0936
0°, 360° . 0,104
360°, 580е 0,125
. 580?,. 780° 0,09
780°, 1000° 0,118
100° о;и
0% 105° 0,1081
О’, 309° 0,1174
0°, 100° 0.559
о°, 100° 0,174
0°, 100° 0,240
о°, 100° 0,032
о°, 300° 0,03277
0°, 1000° 0,0377
О’, 100° 0,033
о°, 100° 0,031
о°, 260°, 0.0565
260°, 660°
669°, 900° 0,066
0°, 100° 0,65
Название тела . Интервал С
температуры
Сплавы: Бронза 88 Си + 12 Sn 20°, 100° 0,08737
„ 88,7 CaJ-11,3 Al 20°, 100° 0,10432
Константан 60 Си 4- 40 Nl 0°, 100° 0,098
Латунь 60 Си + 40 Zn . 20°, 100° 0,0917
Никкель - железо 24% Ы1\ 0,36% С;
0,4% Мп 20°, 100° 0,1126
Стекло 0°, 19° 0,1706
56°, 78° 0,1915
» зеркальное , йенское нормальное дли тер* 10°, 50° 0,186
мометров 16-111 19°, 100° 0,1988
Цинк литой 0°, 110° 0,096
110°, 300° 0,105
• » • 300°, 400° 0,122
I17. Температура нлавлевия.
Таблица XL. Температура плавлеиия или затвердеваипя
различных тел по стоградусной шкале при давлении в 760 тт
ртутного столба.
Углерод ....... около 3 920 Броиаа . . около 900
Вольфрам » 3000 Алюминий 658
Такты . .. •. а еоо лЦмам- 419
Иридий ....... . ззво Свинец ЗШ
Платина 1764 Олово • - 232.
Берлинский фарфор . . 1050' Book 64
Жалево (чистое) . . . 1520 Стеарин , 50
Никель 1450 Вода 0
Литое железо . . . • . 1350—1460 Р,уть.. . — .38,9
Сталь . . . 1 300—1400 Аммиак — 77
Доменные шлани • . . 1300—1430 ’Углекислота ..... — 79
Чугун серый 1,200 » при даЕле-. : инн 5,27 at.n ....
• белый 1iso — 56,3
Медь красная toss' Эфир —118
3O.TQT> 1 06?. Алкоголь безводный . —114
Серебро но Азот —210
Латук ь около S00 Кислород ••••••• —219
Таблица XLI. Температура плавления солей пр стоградус- ной шкале (°C).
Солк °C Соли
Фто}йстый кальций . . . . . „ . барий „ алюминий. • • • . Хлориетый .барий....... Углекислый калий (поташ) . . „ «атрий (сода) . . Поваренная соль Хлористый калий „ халълий . . . » , (Составлено по Inten Data Physics Chemistry ar i seo 1 280 1040 925 861 851 804 m 772 lationa id Tec Хлористый магний • • • » свинец ... „ серебро . цинк Азотнокислый калий' .... Едкий натр ......... Авотиожиолый натрий (се- литра) Едкий калий . 1 Critical Tables of Nun inology). 712 ,501 «6 365 337 318,4 308 260 lerical
118. Теипопроводность.
Таблица XLII. Теплопроводность 1 в kcai/°Cmh.
Металлы. к Строитель^, материалы К
Алюмжий . » » »• . t 175 Кирпич 0,64—0.45
Ероша ........ 55 Кладка кёринчиая пор- г Л У :
Железе ........ 4G—50 мальва влажная . « 0,6—0,8
Золото ........ 265 . <1 Совершенно сухая . . 0,35—0,45
Константан . . . . • . 20 Кладка из пустотелого кирпича ...... 0,27
Латунь . - • » . . . 75—100 Кладка бутовая.... 1,3-42,1
Медь красная 300—340 Линолеум ....... ‘ 0,16
Пиксель ....... 50 Мрамор 1,8—3,0
Олово 55 Песок 0% влажности 0,28
Платила « 60 . в,»»/. 0,97*
Свинец ........ 30 Песчаник ....... 1,1—1/
Серебро. 360 Сосна 1 волокнам . / 0,16
Цинк /. ...... 95 - ’ tl . 1 0,30
(Продолжение Таблицы XLIJ).
.Строятельн. материалы X Против материалы. X
Аобест 0,19 Каучук ........ . 0,1—0,2
Асфальт литов .... 0,6 Котельная накипь . . ' 1н-3, ,
Базальт. ...... 1,1—2,4 Лед. . . 1,5
Ветов > 0,7—1,2 Стекло . ...... 0,5—0,8
9 шлаковый.... 0,2 Уголь каменный . . . 0,12—0,15
Гипс 0,32—0,37 . ретортный . . . 3,7
Гнейс ......... м » пыль...... ОД
Гранят ........ 2,7—3,5 Фарфор ........ 0,9
Дуб 1 волокнами . . 0,18 Целлулоид белый . . оде
. ц . 0,35 . Целлулова прессовали. 0Д1
Известила . . ... 0,6—0,8
Е. Системы единиц и мер.
Абсолютная система измерения.
119. Единицы огненные и производные. Измерить величину
значит сравнить ее с другой величиной данного рода, приня-
той за единицу меры. Выбор единицы является, вообще говоря,
произвольным. Эмпирически й о бррзец едини цы, или
э тал о н, должен быть постоянен, т.-е. не должен меняться ни
со временем, ни от переноса в другое место, для того, чтобы все
измерения, произведенные этой единицей, были сравнимы между
собой; кроме того, эталон должен быть легко воспроизводим.
Но единица меры может быть определена такжё поеред-
. ством математических соотношений между нею и единиодми дру-
гого рода, установленными ранее. Определенные: таким обра-
зом единицы называются дроизирдными; по отношению
к ним ранее установленные единицы называются основными.
120. Определение абсолютной системы. При составлении
единиц меры для данной совокупности величин можно избрать
некоторое число основных (эмпирических) единиц и вывести из
них все остальные, как производные, В силу трудности приго-
товления эталонов, удовлетворяющих уеловиямпостоянства,
система измерения должна"" считаться тем совершеннее, чем
менее число эмпирическихединиц, в ней. Минимальцое число
эмпирических единиц для данной системы зависит от природы
^величин, подлежащих цзмер^дцю. Т|к, в геометрии^ гд^ рарсма-
$$йвается только йоНятйе о пространстве, Д(&Тат0ЧЙр: дадй
основной единицы, а именно единицы длины (геометри-
ческая единица); в вопросах кинематики вводится новое основ-
ное понятие о времени, и, следователько, необходимо должна
быть выбрана какая-либо единица временя (Кинематиче-
ская единица); наконец, в области механики, где вводится по-
нятие о массе, необходимо установить еще третью основную
единицу, а именно единицу массы (механическая еди-
ница) 1).
: Система , измерения, основанная только на трех эмпириче-
ских единицах, — единицах длины, массы и времени, впервые
разработана н введена в пауку Гауссом, которому принадле-
жит й наименование ее абсолютной.
Установив понятие об абсолютном измерении, Гаусс прило-
жил его к явлениям магнитизма; Кирхгофф показал возмож-
ность измерения н электрических величин при помощи абсо-
лютной системы, заслуга же приведения этой системы в строгий
порядок Принадлежит Вильгельму Веберу. Таким образом,
абсолютная система единиц в том виде и толковании, какое
она получила в результате трудов помянутых ученых, покоится
только на .грех единицах, каковых достаточно для измерения
не только механических, ио и магнитных и электрических ве-
личии.
121. Абсолютная система CQS. Меняя абсолютные величины
трех основных (эмпирических) едяциц. можно получить бесчи-
сленное множество различных абсолютных систем единиц. Науч-.
Ное значение имеют, однако, только системы, в которых за еди-
ницу времени взята секунда (§ 126), а единицы длины н массы
выражены в метрических мерах (§ 136). Таких систем было
предложено несколько [Л. 7), широкое же применение и рас-
пространение получила только самая старая из них, — система
COS, основные едикицы которой суть сантиметр (Q —зрамм
(О) —секунда (S). Система COS впервые была предложена
Британской Ассоциацией для развития наук. На Международ-
ном Электротехническом Конгрессе в 1881 г. эта система была
принята официально и с тех пор прочно вошла в науку.
Тогда же было условлено называть производные единицы этой
системы просто COS - единицами, не присваивая им особых
названий; исключение было сделано только для единиц сивы
и работы, которые были названы соответственно днной и эргом:
дина есть сила, под влиянием которой масса Трамм при-
обретает ускорение, равное одному сантиметру в секунду,
эрг—работа, производимая стой в одну дину на нрепя-
жеани одного сантиметра.
122. Формулы размер кости. Если обозначим черев М
и Т основные единицы длины, массы и времени, то всякая
Ивогда^цеханичесхимк еддирцами р»»Ч»а»Т »се три пою »ао»мные
производная единица может быть приведена, независимо от по-
стоянных множителей, К виду:
£“Л/₽ГТ.
где а, 0 н х — некоторые числа, положительные или отрицатель-
ные, — целые, дробные или нули. Это символическое выра-
жение дает закон, по которому изменяется производная единица
при изменении единцц основных; говорят, что это выражает
размерности производной единицы.
Если At есть значение производной единицы в системе,
основанной на эмпирических единицах £ь Ми Ти и если за
но?ые эмпирические единицы принимаются Z,3, Af3, Г» то про-
изводная единица примет такое значение, что будем иметь:
Если Пх есть число, дающее меру некоторой величины при еди-
нице А,, то та же величина при новой единице А3 выразится
числом д-к при чем будем иметь:
fljAj = л3А3, или л,: л3 = А3: Ап
т.-е. отношение числовых значений одной и той же величины при
разных единицах обратно отношению соответствующих единиц.
123. Ратериостн меМмнчевккх едкнкц в системе COS даны
в нижеследующей таблице:
Таблица XLIII. Размерности механических единиц.
Наименования Символ и опреде- ляющая формула Формула размерности
Основные единицы.
Длина 1
Масса . m
Время . t
М е х а- н н ч е с кие едини Ц Ы.
СКОРОСТЬ . . ...... dt Il Г1}
Ускорение ...... , . dv w*= — dt |ЛГ-‘]
Сила . J=tnw [Z.A/T’-’l
Работа A=fl
Энергия . . . . . . .' A =«= —-m?1
Мощность . liwf-3!
124. Раниернести магнитных и мантрических единиц. Сущ-
ность н природа магнитных явлений нам не известны, а потому
мы не знаем, каковы в действительности физические размер-
ности магинтных величин. Однако, если выбрать по произволу
размерность одной нз этих величин;: то размерности других ока-
жутся вполне определенными и на этих основанияхможет быть
установлена система Измерения' эТнх вёл’нчда.'Слежййуеяьио,
магнитные величины могут быть бесконечно разнотипными
способами выражены в основных единицах абсолютной1 системы.
Естественно, что следует избрать такой способ, которой вйбеит
наибольшие упрощений bv формулы И вычисления. ’
.При. исследований магнитных полей в основание1 принято
класть формулу Кулона (Отд. 2, §3), постоянная которой >
(магнитная проницаемость) входит' почти во все соотношения
между магнитными величинами; Если эту величину рассматри-
вать как простое чйсло, то нз формулы Кулона легко опреде-
лить единицу магнитной массы и её размерность. Размерности
всех остальных магнитных величин определяются тогда Непо-
средственно нз существующих между ними соотношений.
Все вышесказанное относительно магнитных величин может
быть повторено относительно величин электрических. Физические
размерности этих величин, нам также не известны, но возможно
бесконечно большим числом способов выразить их в единицах
абсолютной системы измерения, выбрав по произволу размер-
ность одной нз электрических величин. Стремясь здесь также
к наибольшему упрощению, Мы Можем обратиться к формуле
Кулона для электрического поля (Отд 2, §24) и рассматривать
постоянную е (диэлектрическую постоянную), как простое число,
не имеющее размерности. ' г
Так как между магнитными и электрическими .явлениями
существует связь, выражаемая обобщенным законом Био-Савара,
(Отд, 2, § 63), то, положив р числом отвлеченным и выведя раз-
мерности всех магнитных величии, мы можем получить размер-
ности и всех электрических величин. Точно так же, положиве чи-
слом отвлеченным н выведя размерности электрических вёличии,
мы можем получить и размерности всех магнитных. величин.
Очевидно, что прн том н другом способе определения
размерности магнитных и электрических величин этй размер-
ности будут различны; иными словами, мы получим две
абсолютных системы электрических и магнитных единиц. : .
Если для единиц длины, массы н времени взять единицы
COS, то, положив |л числом отвлеченным, получим, так назы-
ваемую, «систему электромагнитных единиu,rCQS‘
взяв те же единицы для длины, пассы' н времени И полейййй "е
числом отвлеченным, получим «систему электростати-
ческих единиц COS’, Общая формула размерности для
единиц этих систем имеет тот же |ид, что и для единиц, механи-
ческих (§122),
При измерении- магнитных величин применение находит
себе -только система электромагнитных единиц COS, при изме-
нении электрических — н та н другая. Установление двух
систем измерения электрических единиц вызвано тем, что поря-
док величин разных количеств оказывается различным, смотря
по тому, рассматриваем,ли мы электричество в состоянии рав-
иовееия, или в состоянии движения. Так как явления электро-
статического характера имеют относительно узкое практическое
значение, то измерение электрических- величин в электромаг-
нитных единицах COS получило преобладающее значение
н распространение.
Вышеуказанный способ вывода размерности электрических
и Магнитных единиц, при котором либо р либо « принимается
числом отвлеченным, содержит, по существу, предположение,
что природа магнитных н электрических. явлений та же, что
н у явлений механических,— механистическое воззрение на
природу. Однако, в виду того, что произведенные до Сего
времени попытки свести все веления в природе к механическим
не увенчались успехом, возникло течение, согласно которому,
при определении размерности магнитных н электрических явле-
ний вводится, кроме трех механических единиц (длины, массы
н времени), еще четвертая, характеризующая среду, в- которой
происходят эти явления. Вводя в качестве четвертой основной
единицы .единицу магнитной проницаемости* и обозначая ее
через и, получим .электромагнитную систему единиц COSp*,
для которых формула размерности в общем виде напи-
шется так:
ГТ
Принимая за четвертую основную единицу .единицу диэлектри-
ческой постоянной" и обозначая ее через е, получим .электро-
статическую систему, единиц CGSi“ с формулой размерности.
LaM? ГТ а.
За единицу магнитной проницаемости н за единицу диэлектри-
ческой постоянной принимают нх величины для пустоты (Отд. 2,
§ 3 н § 24). В нижеследующей Таблице XLIV размерности глав-
нейших электрических и магнитных величин прнведецы в еди-
ницах COS ри С.OS е.
Полагая в третьем столбце таблицы р — 1, получим размер-
ности абсолютных электромагнитных единиц COS, полагая же
в четвертом столбце г = 1, получим размерности абсолютных
электростатических единиц COS.
В дальнейшем, ради краткости, ^электромагнитные еднЯЯцы
абсолютной системы COS* будем именовать единицами COSM,
а „элсктростетическИе единицы абсолютной системы COS*—
единицами CGSE (см. Отд. 2).
Таблица XLIV. Размерности электрических и магнитных единиц. (hju 1-^124
Наименование Символ и определяю- щая формула Электромагнитная система Электростатическая система
^Количество электриче- ( ства ....... у p1) [L'l’Af'1* T-1] ₽
<7=#
s
Электрическое ''«ещение [L^Af^] [«%]. [L^^' T-1]. ft
Электрическая сила . . . [Д'’Л^Г~21 [e-V’J [L-^Af^T-i} I e 45
Электрический потенциал [p>] [L,l*Afr 7'-2] {e-V.] R 4
Электродвижущая сила . е
Электрическая емкость * г q IC1! KJ
Д-млектрт четкая пс- ( £ Ы
4п
стойнная т е"° f'9 [(I-’J Г/.-2у2}
СЛ О»
Сгла^леНрического то- ка >-*г '!>] Г"1} {e*/.j [L^A^ T~2\
Плотность электрическо- го тока . v'l [L^'Af'1' T-1] [«V1] [L^l* Af>'T-^\ СЛ •4
Электрическое сопроти- вление е Г = Т [ri [LT-1] [«“’I (A"1 71
Удельное сопротивление rs р= — [ri IL2 7“1] [.-1] [Л
Электрическая проводи- мость . 1 1 е~ г ~ t ' [h_Tl [Д-1 71 [el [L 7'-1] I-
Удельная проводимость . * Р S If*-’1 IL~2 71 [el [7-1! s §
т = 1у/~М [ix%) [L',,Af'/T-1l £
Магнитная масса . . im sin б dl [«-’«] l^Af!*} g
*
/ ai
Магнитная сила .... ti = ~ m [p.-,/2J T^-1] [»1&1 [Z/W^T"2! s
Магнитный потенциал. . и A m ’ ’frt [Г/’Л/Л7'--1] pj рЛ^7-2) X & Jo
Магнитодвижущая сила M О
[p.V»J [L-^A^T-1] H 3»
Магнитная индукция . |
' dt Ю 4b.
Продолжение Таблицы XLIV
125. Отношениемежду едкннцами CQSE и CGSM. Обо*
зкачая череде отношение между единицами количества электри-
чества в системах CQSE н CGSM, нетрудно убедиться,
во-первых, в том. что с имеет размерность скорости, и, во-вторых,
что отношения между другими единицами могут быть легко
выражены через с,—см. Табл. XLV. .
Т н б л*и ц a XLV. Отношения между единицами C6SE и CGSM
к главнейших электрнчёскйх величии.
Количество электричества
Сила тока
Электрическая сила
Электр, потенциал
Э. д. сила
Емкость W
Эл. сопротивление 1
Коэфф, самонндукц. >с~х
„ взамоинд. > J
Между числовыми значениями одной н той же величины,
измеренной по двум системам, существуют, очевидно (§ 122),
отношения, обратные вышеприведенным, j
Найденное опытами среднее значение с совпадает со Средним7
опытным значением скорости света: f = 3 X. Ю10 cm[sec. Необ-
ходимдеть Втого Тождества вытекает н из электромагнитной
теорий <#ёТа МаскделЛа. ; '
Переход от формул размерности единиц системы CQ5[*
(3-ий столбец Таблицы.XL1V) к единицам системы СО5е (4-ый
столбец ТОЙ же таблицы) можно.осуществить при помощи выве-
деедрй Максвеллом формулы:
памятуя, что с имеет размерность скорости.
Практические системы измерения.
126. Практические измерения механических величин • еди-
ницах С05 часто связано с неудобствами из-за того, что для
данного измерения эти, единицы чересчур малы, или, наоборот,
чересчур велики'. Вследствие этого, при измерениях времени
пользуются не только секундами, но и кратными единицами
(сутки, час, минута,—см. Табл. XLVI); при измерениях длий,
площадей н об'емов пользуются всей шкалой мер, даваемой
международной метрической системой'). Для измерения же
>) Соотимюиия мп мер воялввувякояовные в Союзе ССР .Превила
об измерениях, производимых в метрических мерах* (см. § 140).
работы и мощности были введены единицы, представляющие
собой единицы COS, умноженные на СТетгени 10,-а именно:
За единицу работы был принят джоуль «107 erg.
За единицу мощности был принят ватт ДО erg!sec.
Эти единицы привились в электротеЯнйКё, Я механике же
всеобщее распространение получила; Таю'ИазйваёмаЯ, техниче-
ская система механических единиц (§ 127).
f а 6 л и ц ц Единицы времени.
Е д а н н ц ы и р е д I я I солнечных
е>ток часок1 мнйут секуйД
1 солнечный год. 3*5,3 8 7** *2*Х1<* 818*0X10
1 неделя (1 дней). .... 7 166 10 080 *04,9 X К»*
1 среди, солиечх. сутки ) 1 24 1440 8*,4 X 10*
1 средний ооляечиыЯ чао. 0,041*7 3 «0 8*6°
Ярямечанне. При техмчеоаях расчеты обычно приплмшвт 1 год =
= 8№ дао# яс 81*0 часов.
127. Техническая система механических единиц MSK-
Основные единицы: метр (Л^—ёдиннцаДдтшы, секунда (S)—
единица времени, кнлограмм-снла (д)—единица Йнлы.
При этом килограмм-сила определяется как Мс *"’ пустоте
международного прототипа килограмма при иоржальйбМу^йо-
рении свббодного падения §,80665 т[зес\ Такое определение
требует, конечно, последующего указаний ТоЧНых еойтаойенйй
между килограмм-силой н весом килограмма в различных мест-
ностях, но с точностью до 0,2% килограмм-силу можно считать
равной весу килограмма в данном месте.
Система дает как важнейшие производные меха-
нические единицы следующие:
Единица массы
(килограмм-сила) X (секунда)2
Метр '
единица работы и энергии = килограмметр s= (кйлогр*1И1-еил*)Х <“»тр)
единица МОЩНОСТИ ... — килограммеТр В сеКувДу =
(килограмм-снла) X (»«*тр)
секунда
единица механического
напряжения . . . . =
килограим-оела
ДВадр. метр
*) 1 ввевдные сутки — 0,9918 оредих оолиечных суток = 143* солнечных
ммуг, т^е.. на 4 солнечных махуты ыаю средних оолжечаых суток
лримешиотоа к астроиомин.
Кроме того, для измерения мощности применяется лоша-
диная сила = 75 килограмметров в секунду.
Эта лошадиная сила носит иногда название метрической
лошадиной силы, в целях отличения ее от лошадиных
сил, выраженных в других единицах. В Германии она обозна-
чается через PS (Pferdestarke), во Франции иногда через CV
(Cheval-vapeur). Во Франции, кроме того, в ходу единица мощ-
ности понселе (Poncelet) = 100 килограмметров в секунду.
Несмотря на недостатки этой системы (§ 128), она имеет
много сторонников в Германии, где, между прочим,часто „кило-
грамм-масса* и ее подразделения отмечаются крестиком (Л’-S't),
а „килограмм-сила* и ее подразделения—звездочкой
123. Недостатки «кетены MSK [Л. 6]. Термин масса впервые
введен в науку Ньютоном в его „Philosophia naturalis principle
mathematica"; количество материи и масса вводятся как сино-
нимы, выражающие меру материи, определяемую ее плотностью
и об'емом; ио это определение недостаточно потому, что оно
содержит в себе понятие плотности, которое само требует
определения, и Ньютон тут же указывает, что масса нахо-
дится по весу, так как она пропорциональна ему. Таким
образом, масса была тесно связана с весом, и впоследствии
на протяжении всего XVIII века в различных трактатах по
механике мы встречаем массу и вес, как два эквивалентных
понятия.
Понятие силы представляется более ясным уже потому, что
всякому это понятие знакомо по ощущению, которое он испы-
тывает, удерживая или поддерживая груз, сжимая пружину;
такого антропоморфического выяснения мы не имеем для массы.
Поэтому естественно, что техника предпочла взять за основную
величину для своих измерений не.масс у, а силу, именно
вес, тем более, что в первой половине прошлого века техни-
ческие расчеты в громадном большинстве случаев имели стати-
ческий характер, а при таких расчетах масса, как мера Инерции
тела, очевидно, не играет роли.
С теоретической точки зрения обе системы, из которых
одна принимает за основные величины длину, массу н время
(абсолютная), а другая—длину, время н силу (техническая)
равноправны во всех отношениях: в первой сила выражается
как произведение массы на ускорение, во второй—масса как
частное от делении силы на ускорение; следовательно, вся раз-
ница в том, что ускорение в одном случае является множителем,
в другом—делителем.
Неравноценность этих систем обнаруживается тогда,
когда мы переходим от основных величии к основным
единицам.
Единица массы имеет везде и во всякое время одно и то же
значение,—она неизменяема и воспроизводима. Этими свойствами
Отдел 1.
11
не обладает единица силы, как вес Некоторой массы: она имеет
различные значения в различны/ местах и даже в одном месте
изменяется с течением времени, вследствие изменения величины
ускорения силы тяжести. Для науки это обстоятельство имело
решающее значение: за основные единицы для механических
измерений наука приняла единицы длины, массы я вре-
мени. Для техники изменяемость единицы силы не имела столь
важного значения, так как эта изменяемость относительно
ие велика. Действительно, разность, в зависимости от широты,'
между крайними значениями ускорения силы тяжести иа уровне
моря не превосходит 0,53% наименьшего значения; в зависи-
мости от высоты над уровнем моря ускорение силы тяжести
изменяется на 0,03% иа каждый километр; изменение в зависи-
мости от долготы места и от времени вполне' пренебрежимо,
вследствие крайней малости; поэтому числа, выражающие одну
и ту же силу в единицах, которые представляют вес некоторой
единицы массы в различных местах, могут различаться ие более,
чем на 0,7%; в случаях, которые представляет практика, разница
будет, конечно, гораздо меньше: и разность широт меньше 90°
и разность высот меньше 6 километров; для обычных прибли-
женных технических расчетов такая разница вполне допустимая,
и техника сохранила силу, как основную величину, несмотря
на изменяемость ее единицы.
129. Соотиошания между механическими единицами систем
MSK и CGS. Обозначая ускорение силы тяжести через g,
имеем:
1 килограмм-сила = 10s g дин,
1 кнлограмметр — 10’ g эрг = g джоулей,
1 кнлограмметр в секунду = 10’ g эрг/сек.,
1 лошадиная сила = 75 X IO7 g эрг/сек. = 736 ватт,
1 джоуль = \\g килограмметров,
1 ватт = ’/га лошадиной силы,
1 киловатт = 1,36 лошадиной силы,
= 102 килограмметра в секунду.
130. Практическая система электромагнитных единиц. На
практике система единиц CQSM оказалась для измерения
электрических величин неудобной: многие единицы в ней либо
чрезмерно крупны, либо слишком мелки для технических изме-
рений ’). Поэтому принятая на практике система измерения
хотя и основывается иа единицах QGSM, ио различные еди-
ницы последней умножаются на коэффициенты, представ-
ляющие некоторые степени 10. Выбрав коэффициенты для
двух каких-либо единиц, можно тотчас, пользуясь формулами
размерности, установить значение коэффициентов для всех
остальных.
*) Для практических целей система CGSE еще менее удобна, ом. § 124.
Практические единицы главнейших элект-
рических величии суть:
Для сопротивления: .
Для э. д. силы н раз-
ности потенциалов:
Для силы тока:
Для количества элек-
тричества:
Ом — 10* emfste, т.-е. 10* абс. эл.-магнитных
единиц сопротивления.
Вольт = 10*
sec9
т.-е. 10* або. эл.-м, единиц э. д. силы,
_ вольт ____
Ампер = — - ~ ю —>
г V* ScC
т.-е, IO-”1 абс. эл.-магн. единиц
силы тока,
__1 ст1'* fl
Кулой = х сек. = 10 — — ,
т.-е. 10—Л або. эл.-магн. единиц ко-
лен. эл-ьа.
ж кулон _ . в ‘
Фарада = se&icm,
т. е. 1(Г~* або. эл.-магн. единиц
емкости.
Для емкости:
Для коэффнц. само- М1ь1
и взаимоиндукции: Генри = au~„„r се* = ceK X »м = :о> ст,
т.-е. 10* або. эл.-йаги. единиц =
четверти меридиана, или квадранту.
Приведенные коэффициенты для практических единиц, равно
как н названия ом, вольт н фарада, предложены Британской
Ассоциацией для развития наук и привяты иа. Международном
Электротехническом Конгрессе в Париже в 1881 году, который
установил также наименования единиц ампер и кулон. Назва-
ние геирн установлено иа конгрессе в Чикаго в 1893 г.
вместо ранее применявшихся названий квадрант н секом.
' Парижский конгресс 1881 принял также для кратных н долей
практических единиц наименования, применяемые в метрической
системе мер,’ прибавив, кроме того, названия мега и мирна для
обозначения единиц в 10° раз больших н в 10е раз меньших.
Эта практическая система является, как легко убедиться,
абсолютной электромагнитной системой, имеющей следующие
основные единицы:
единица длины — 109 ст, нлн квадрант,
единица массы — 10-п g,
единица времени — секунда.
(3(. Международные электрические единицы.,Для возможности
пользоваться электрическими единицами практической системы
необходимо наличие соответствующих, легко воспроизводимых
эталонов. Международным Электротехническим Конгрессом в Чи-
каго в 1893 г. были точно формулированы правила, соблюдение ко-
торых обеспечивает изготовление эталонного ома, ампера я вольта
с наибольшим возможным прнблнжениемк их теоретическим вели-
чинам (§ 130). На основании этих определений были составлены
затем определения и всех остальных практических единиц. Позд-
нее, в 1908 г., иа конгрессе в Лондоне было принято постановле-
ние, согласно которому ом является первой единицей, ампер—
второй единицей, вольт же получил определение поому н ам-
перу. Установленные таким образом, практические электриче-
ские единицы получили название международных (ин-
тернациональных): международный ом, международный ампер
и т. д').
Эпитет «международный* имеет целью подчеркнуть,! Ито
эти единицы, представляя при данном состоянии измерительной
техники наибольшее возможное приближение к теоретически
заведенным размерностям одноименных практических электри-
ческих единиц (§ 130), в действительности несколько отличаются
от последних.
До коагреооа Чикаго в технике пользовались эталонами, определение
которых было дано иа конгрессе в Париже, я которые носили название
легальных: легальный ш, легальны* рмпер, легальный водьт. Они
предотаамян переходную стадию приближения к современным международ-
ным влентричеокии едапнцам.
Самым старым из всех эталонов электрических величин является э-алои
ома, определение которого было даио Британской АоооДнацНОЙ дпг развитии
наук, и который носит название .ом (В. А_)“. Этот эталон, вредяестэениик
легального ома, отличается от международного больше, нем легальный.
132. Практически^ кзкереиия магнитных величин производятся
в единицах CGSM- Принятое международным элекротедиическим
конгрессам постановление о том, чтобы единицам абсолютной
сцстемы Не давать специальных названий (§ 121), оказалось,
однако, и при этих измерениях, как и При измерениях механи-
ческих и электрических, очень неудобным, Эго вызвало появле-
ние целого ряха предложений наименований для наиболее
часто встречаемых магнитных величии. Из этих наименований
широкое применение нашли себе до сих пор только Названия
максвелл—для единицы магнитного потока (Отд. 2, § "13) и
гаусс—для единицы магнитной сйлы (ОтД 2, § 5).
Так как р. принимается числом отвлеченным. тр' гаусс
является также единицей и магнитной индукции (Отд. 2, § 12).
Имеются, кроме того, предложения наименований, которые
частично и применяются:
гильберт — для единицы магнитодвижущей силы
(Отд. 2, § 65),
гильберт иа сантиметр—для единицы напря-
жения поля,
эрстед —для единицы магнитного сопротивления.
Для магнитной нидукции и намагничивающей силы (или
магнитной силы) применяются и некоторые другие единицы,
приводимые в следующих таблицах: Из иих особо широкое
применение получнла практическая единица магнитодвижущей
) Определвим жеждувародиых влвктржчвоких еджэжц вошлж в у»*ко-
яеииые в Селом ССР «Правила об влвктржчесхих иэмэреших* (ей. 1142).
силы -ампер-виток, равный 0,796 0,8 гильберта.
В связи с установлением международных электрических
единиц естественным становится определять через них и маг-
нитные единицы. Получаем следующие определения единиц,
которые, в случае принятия их в международном масштабе,
будут, вероятно, сопровождаться эпитетом „международный":
максвелл — единица магнитного потока—поток, который
Прн. равномерном изменении в течение 1 секунды индуктирует
в охватывающем его единичном контуре (витке) э. д. силу, рав-
ную 10~8 международных вольтов;
гаусс — единица магнитной индукции — индукция в
теле, в котором иа ' каждый квадратный сантиметр сечения,
нормального к направлению магнитных линий, приходится
магнитный поток, равный одному (международному) максвеллу;
гильберт — единица магнитодвижущей силы—разность
магнитных потенциалов между двумя плоскими эквипотенциаль-
ными поверхностями, расположенными параллельно одна другой
на расстоянии одного сантиметра, если магнитное поле в про-
странстве между этими поверхностями равномерно, и индукция
равна одному (международному) гауссу;
амп'(. р - вито к - практическая единица магнитодвижу-
щей силы^—м. д. сила, которая возбуждается в магнитной цепи
одним витком проводника, по которому проходит ток силою
в один международный дмпер.
Таблица XLVII. Перевод единиц нидукции.
Е д и и ц ц ы - 3 КИЛОГВУО- сы или килрляиин на 1 ст* ксвеллы I линии) 1 ст* новеллы клинии) 1 дм'. h т КЩ
£ пгя) «и « Ч св 1 и d d «в S
1 гаусс 1 0,001 1 6,45 0,00645[ 0,001075
1 килогаусс 1000 1 1 000 0450 6,45 1,075
X линия иа 1 ст*. . . .. 1 0,001 1 6,45 0,00645 0,001075
1 максвелл на 1 ст' . . . 1 0,001 1 6,45 0,00645 0,001075
1 киломаксвелл иа 1 ст* • 1000 1 1 000 6 450 6,45 1,075
1 капп иа 1 ст* 6 000 6 0 000 38 ТОО 38,7 6,45
1 линия на 1 дм*« . » • . 0,155 0,000155 0,155 1 0.001 0,000167
1 максвелл на 1 дм' . . . 0,155 0,000155 0,155 : 1 0,001 О/ЮО167
1 кнлолииня на 1 дм' . 153 0,155 155 1000 1 0‘,167
1 килонакевелл на 1 дм' . 155 0,155 155 1000 1 0,167
1 напп на 1 дм' ..... 030 0,03 930 6 000 в 1
Таблица XLI1I. Перевод единиц намагничивающей силы
Единицы Гауссы Гильберты на 1 ст Ампер-витки аа 1 ст. 1 Амнер-внтки на 1 дм
1 гаусс . . .... 1 1 0,796 2,оа
1 гильберт на 1 ст 1 1 0,796 2,02
1 ампер-ваток на 1 ст 1,255 1,255 1 2,54
1 ампер-виток на 1 дм 0,495 0,495 0,394 1
133. Попытка присвоить наименование единицам CGSM и
CGSE главнейших электрических величии были сделаны
в С. Ш. А.'). Было предложено применять наименования прак-
тических электромагнитных единиц с приставками „аб“ или «абс*
для единиц системы CGSM и с приставками „абстат" или просто
„стат*—для единиц системы CGSE, как указано в Табл. XLIX.
Эти приставки ие узаконены и приводятся здесь лишь для
пояснения могущих встретиться в иностранной литературе
терминов.
134. Система MTS. Непригодность для практических изме-
рений единиц системы CGS (§ 130), во-первых, существенные
недостатки с метрологической точки зрения технической си-
стемы MSK (одна из основных единиц, единица силы—в виде
веса гири, меняет свое значение,—см, § 128), во-вторых, и пу-
таница, которая постоянно возникает при механических расче-
тах нз-за того, что обе системы — абсолютная CGS и техни-
ческая MSK— используют один и тот же термин «килограмм*
в различных значениях (в абсолютной килограмм является еди-
ницей массы, в технической—единицей силы), в третьих, побу-
дили французских ученых заняться выработкой новой, более
совершенной системы. Требования; которым должна удовлетво-
рять такая система: 1) система должна быть абсолютной, т. е.
построенной на единицах длины, маесы и времени, 2) единицы
ее должны быть удобны для практических измерений, 3) система
должна охватывать как механические, так и электрические еди-
ницы таким образом, чтобы переводные множители от междуна-
родных электрических единиц к электромагнитным единицам
новой системы были степени числа 10 с целыми показателями.
Указанным требованиям оказалась удовлетворяющей система,
получившая наименование MTS, сообразно с теми тремя еди-
ницами, которые положены в ее основание: метр (Л/)—единица
1} Tr. А. I, в, июль 1&QX, сом 22, стр, $29,
Таблица XL1X. Соотношения между практическими единицами и единицами CGS.
Примечааие. Цифры, ваклпчеииыо в оковки, означают периодическую }робь.
длины, тонна (7), равная 1 000' килограммов, — единица массы
и секунда (S) —единица иремеии. Эта система была узаконена
ио Франции, где соответстиующий закон вошел и силу 5 августа
1920 г. и и Союзе ССР с 5 октбяря 1927 г. (см. § 145).
135. Определения едкнкц системы MTS [Л. 7 и 4]. Все еди-
ницы разбиты на семь категорий, а именно: на геометрические
единицы, единицы массы, единицы времени, механические,
электрические, тепловые единицы, в, наконец, оптические.
1) В состав геометрических единиц иходят: а) еди-
ницы длины: метр (т) *)—длина при 0° международного про-
тотипа с обычными кратными н подразделениями от мегаметра
до миллимикрона иключительио. Сверх того иведеиа, в качестве
временной единицы, морская миля = 1 852 метрам; Ь) единицы
поверхности: квадратный метр (т3), с его обычными
кратными н подразделениями от квадр. километра до квадр.
миллиметра включительно, и, дяяГ измерения полеиых площадей,
гектар, ар и саитиар = Г кв. метру; с) единицы об'ема: куби-
ческий метр (т3) с кратными и подразделениями от куб.
километра до куб. миллиметра включительно; для жидких и
сыпучих тел и для зерна, — л и т р (7) с его обычными крат-
ными и подразделениями, и, для дров, — с т э р (sZ) = 1 куб.
метру н децистэр. Закон разрешает называть кубический деци-
метр литром и считать литр равным одному кубическому деци-
метру, и ииду того, что это равенстио справедливо с точностью,
превосходящей 1/300%; d) единицы угла: прямой угол (fl)
с его обычными подразделениями иа градусы (d или °), минуты
и секунды, с одной стороны, и иа сотые, тысячные, десяти-
тысячные и стотысячные доли, соответственно именуемые; гра-
дом (gr), дециградом, сантиградом и миллиградом’).
2) В разряд единиц массы ивеДены: а) единицы
массы; килограмм (fag), — масса международного прототипа,
с его обычными кратными н подразделениями от тоииы
(7)=1 ООО %g до миллиграмма включительно; для употребления
и торговле драгоценными камнями введен карат = 2 дециграм-
мам; -Ь) единицы плотности: градус плотности (degrC
densimetrique), определяемый тем, что „плотностьтел иыражается
и числах десятичной системы от плотности тела, которое
обладает массою и одну тонну прн об'еме в одни кубический
метр, принятой за единицу*; при этом закон оговаривает, что
.вода, лишенная воздуха, при 4° под давлением столба ртутя
и 76 ст высотою имеет плотность, равную 1 (без 1/30000 при-
близительно)“. Сверх того, сюда же входит градус стоградус-
ной алкоголометрической шкалы по Гей-Люссаку. Градусы Бомэ
из употребления новым законом из'яты.
») И скобках здесь приводятся символы, присвоенные единицам; под-
робнее об обозначениях метрических мер см. 88 138, 148 и 149.
«) 1° или 14f=l/9OZ?; l' = l/e0rf; г'= 1/8600 rf; 1 гг = 1ДО0 Q-,
1/1000 D; 1 = 1 >10000 D; 1 ДО» £>.
3) В категорию единиц - иремеии внесены: се-
куида (з) — как ,1 86400 срёйцих солнечных суток“, и крат-
ные от нее минута (/яд), час (Л) й сутки (/).
4) В категорвю механических единиц вошли
а) единицы силы; стен (sn) ’),—.сила, которая в одну секунду
сообщает массе, .равной одной тонне, увеличение скорости на
один метр в секунду*, с его десятичными кратными и под-
разделениями от килостена до миллнстена включительно; сверх
того виедена дина = 10~8 стена и, в качестве временных еди-
ниц, тонна - вес, килограмм - вес, грамм - вес н миллиграмм-
вес; о последних четырех единицах оговорено, что .во всей
континентальной части Франции могут употребляться с ошибкой,
ие превосходящей 1/1 000, следующие соотношения: тонна-
вес «а 9,8 стена, килограмм-иес — 0,98 сантистена и т. д. В та-
блице имеется 1акже указание, что сантистен представляет
собой мегадину; Ь) единицы работы или энергии: кило-
джоуль (йД—работа, производимая одним стеной, при пере-
мещении его точки приложения иа 1 метр в направлении
силы**, и при нем мегаджоуль и джоуль; сверх того введен
эрг s=e 10-lu килоджоуля и, в качестве временной единицы, кило-
грамметр = 9,8 джоулям. Тут же имеются оговорки, что ,1 кило-
ватт-час отвечает 3,6 мегаджоулям* и что „международный
килоджоуль численно отличается очень мало от килоджоуля;
с) единицы мощности: киловатт равный 10-10 еди-
ниц CGS—.мощность, производящая 1 килоджоуль и секунду',
с его подразделениями гектоваттом и ваттом. Кроме того,
и качестве временных единиц, введены в таблицу пон-
селе —100 килограмметррв в секунду = 0,98 киловатта и паро-
вая лошадь (cheval vapeur) = 75 килограмметров = 0,736 кило-
иатта; d) единицы давления; пьеза (рг) — .равномерное
давление, которое, будучи распределено по поверхности и 1 кв.
метр, дает общее усилие и 1 стен**, с кратными и подразделе-
ниями и виде мнрнапьеэы, гектопьезы и сантипьезы. Сверх того
виедеиы бария = 1 X Ю"4 пьезы и, в качестве временных еди-
ниц, килограмм-вес на 1 кв. мм = 0,98' мегапьезц, килограмм-
иес на 1 кв. дец. — 0,98 пьезы и килограмм-вес иа 1 кв.
метр да 0,98 сантииьезы. В таблице имеется указание, что
.нормальное атмосферное давление в 76 см ртути при 0° v
при нормальном ускорении силы тяжести (980,665 cm/seC2).
также часто употребляемое и качестве едивицы давления, отве-
чает 1,013 гектопьевы или 1,033 килограмм-иеса на 1 кв. см*.
5) В категорию электрических единиц введены:
а) международный ом (0) = 10’ электромагнитных еди-
ниц MTS с мегомом и микромом; Ь) международн_ы й
>) Фражцу жокее важменозавже Щйее цорусски врзвдньоитоя стеж. Прж
ужажоввявн ж Союзе ССР пой сиртемы (см. дальше $ U6) было пржгйто во
согласорацжю о Всесоюзно* Акмокжей Наук начертание .стен*.
ампер (Л) = 10-® электромагнитных единиц MTS с кило-
ампером, миллиампером и микроапером; с) международ-
ный вольт (V) = 10» электромагнитных единиц MTS с мил-
ливольтом и микровольтом, и d) международный
кулон (С) = 10~6 электромагнитных единиц MTS с кило-
кулоном.
6) В состав тепловых единиц вошли: а), единица
разности температур: градус стоградусной шкалы,
которому в законе дано, наименование „degrd centesimal" вза-
мен „degrfi centigrad*, во избежание совпадения последнего
эпитета с наименованием единицы угла, равной сотой доле
града1). Величина градуса температуры определена, как «изме-
нение температуры, которое вызывает сотую часть приращения
давления, • претерпеваемого массой совершенного газа, когда,
прн постоянном об'еме, температура переходит от точки 0°
(температуры тающего льда) к температуре 100” (температуре
кипения воды), этим двум точкам, отвечающим определениям,
которые им бгяли даны международными конференциями мер н
весов'1889 и 1913 годов". Тут же указано, что осуществляется
эта единица, как „изменение температуры, которое вызывает
сотую часть приращения давления, претерпеваемого массой
водорода, когда, 'прн постоянном об'еме, температура переходит
от температуры таяния чистого льда ((F) к температуре пара
дистиллированной воды, кипящей под нормальным атмосферным
давлением (100°); нормальное атмосферное давление осуще-
ствляется давлением столба ртути, высотою в 760 миллиметров,
имеющего плотность 13,59593 н подверженного нормальному
напряжению силы тяжести,. измеряемому ускорением, рав-
ным 9,80 665 т1$ес\ Ь) Единицы количества тепяа: т е р-
мня (th)— «Количество тепла, необходимое для того, чтобы
поднять на 1° температуру массы тела, удельная теплоемкость
которого равна удельной теплоемкости воды прн 15°, под
давлением в 1,013 гектопьезы (нормальное атмосферное
давлевне)". Кроме термии, введены миллитермня нли большая
калория, микротермня нли малая калория и, для употребления
в холодильном деле, фригория, по абсолютной величине равная
большой калории. Здесь же оговорено, что практически «мнкро-
термия эквивалентна 4,18 джоулям (или 0,426 килограмметра
на протяжении континентальной Франции).
7) Наконец, в состав оптических единиц введены:
а) единица Силы света: депимальная свеча (bd)2) — источник
g силою света, равной 1/20 силы света эталона Виоля, н тут же
») В соответствии с этим встречаемое в научных статьях обозначение °C
нужно читать не „градусы Цельзия*, а „градусы стоградусной (водородной)
шкалы".
в) Децимальная свеча, после ее принятия международным осветительным
конгрессом в 1921 ГОДУ» получила название международной овочн, см,
ртд. 7, J в.
определяется эталон Виоля (Отд. 7, § 6),Ъ); единица светового
потока: люмен (7л)— световой поток, исходящий1 от равно-
мерно излучаюшёго источника бесконечно малых размеров и
силою в одну децимальную свечу, и излучаемый в течение од-
ной секунды в телесный угол, который вырезает площадь в 1 кв.
метр на поверхности' шара, радиусом в 1 метр, имеющего цен-
тром указанный источник; с) единица освещенности люкс (7х),—
освещенность поверхности в 1 кв. метр, получающей равномерно
распределенный световой поток в 1 люмен; d) единица силы
оптических стекол диоптрия—сила оптической системы,
фокусное расстояние которой есть 1 метр.
Международная метрическая система мер и весов.
136. Происхождение и развитие метричесиой системы. Си-
стема разработана в 1791 —1799 г. французскими учеными и
инженерами. Основная идея: создать систему, основанную, во-пер-
вых, „на неизменном прототипе, взятом из природы, с тем, чтобы
ее могли принять все нации*, й, во-вторых, построенную по де-
сятичной системе, соответствующей системе нашего счисления
и тем упрощающей расчеты. .Сведенная к наипростейшей форме,
оиа станет доступной всем; все дети будут знать ее, и, таким'
образом, отпадет еще одна причина неравенства между людьми*
[Л. 8]. За единицу длины был выбран метр, „равный десятн-
мнллионной части дуги земного меридиана, заключающейся
между северным полюсом н экватором".
Практический смысл выбора метра, как единицы длины;
усматривался в том, что при десятичном подразделении угла;
т.-е. принимая 100° вместо 90°, километр, равный 1 000 метрам,
получал смысл .натуральной морской единицы расстоянии*,
так как он должен был составлять сотую часть метрического
градуса, подобно тому как английская морская миля определяется
как шестидесятая часть обыкновенного ‘градуса. Позднейшие
измерения показали, однако, что метр, изготовленный по .архив-
ному метру*, (который был создан творцами системы) и. окон-
чательно утвержденный международным соглашением, копоче
своей теоретической длины на О,О2°/о.
Вследствие этого, „международный метр* опре-
деляется как единица длины, первичный эталон которой хра-
нится в Международном Бюро мер н весов н Севре, близ
Парижа (в здании, которое было об‘явлено международно неза-
висимым, или вне французской территории). Копни международ-
ного метра, изготовленные Международным Бюро мер н весов
в количестве 31-го, были по жребию распределены в 1891 г.
между государствами, участвовавшими в создании Международ-
ного Бюро,—эти копии н являются рациональными эталонами
международного метра. При жеребьевке Россия получила два
таких эталона: № 11 и № 28. Эталон № И хранится в Акаде-
мии Наук, эталон № 28 в Главной Палате мер и весов. Эталоны
представляют собою платино-нридаевыв стержни (90%. Pt,
1<У>10 1г) с поперечным сеченяем, похожим иа букву X с пло-
щадкой в средней части. С каждого конца на горизонтальной
поверхности полоски, составляющей дао верхней половины,
иаиесеиы соответствующие черточки, расстояние между кото-
рыми и принимается за метр.
Единицей массы в метрической системе был принят
грамм; эта единица была определена как масса 1 куб. саЦтн-
метра дистиллированной воды при 0° С (позднее при 4° С). Крат-
ная величина, а именно, один килограмм, равный 1000 граммов,
был изготовлен в Международном Бюро мер и весов й принят,
Жак эталон массы, —международный килограмм. Из
того же сплава, что и образцовые метры, были изготовлены
иатем образцовые килограммы г виде цилиндров со слегка закру-
гленными краями и распределены по жребию между странами.
Россия получила два таких эталона: килограмм № 12, храня-
щийся, в Главной Палате мер и весов, н килограмм № 26,
хранящийся в Академии Наук. Позднейшие исследования по-
казали, что основной эталон массы несколько разнится от того,
который соответствовал его первоначальному теоретическому
определению. В виду этого, грамм и настоящее время опреде-
ляется как .одна тысячная доля международного килограмма".
Третьей основной единицей метрической системы является
единица вместимости, служащая для измерения жид-
ких и сыпучих тел. Первоначальное определение этой единицы,
названной литром: об'ем одного кубического дециметра воды
при 4° С. Литр, установленный международным соглашением
и носящий название международного литра; опреде-
ляется как об'ем одного международного килограмма воды при
температуре ее наибольшей плотности и при нормальном атмо-
сферном давления; международный лМтр больше 1 иуб. деци-
метра, а именно, он равен 1,00016 куб, дециметра.
Как видно из вышесказанного, метр, килограмм и литр
утратили ту связь с природными величинами, которую им ста-
рались придать основатели метрической системы. Там ие менее,
эта. система получила применение во всех европейских странах,
кроме Великобритании, и в С. Ш. А.
137. Причиаин расвростраиеннн всеебщего нрныпвм метрвчесвой системы,
несмотря на утрату ею характера „естественной* системы, нужно считать,
во-первых, десятичное построевне, делауошее систему крайне удобной при
расчетах; десятичное подразделение было распространено творцами метри-
ческой системы к на измерение углов и времени; десятичное деление времени
нигде не цашло себе применения, а десятичное деление углов применилось
н применяется весьма ограниченна (только во' Франции).
’Другой причиной всеобщего признания метрической системы является
необходимость для науки в единой общепонятной системе : мер о возможвз
точным восрронзведеицеи единиц.
Неоднократно поднимался воцрмх а том, как быть вслучае иотерй или
поовецвняого изменения ныко устачоадеКной еДийипы длины, вследствие
киях-лжбо велнигх пятастроф ала вследствие постепенной порча эталонов.
Американский ученый Michelson указал па воэмшкнасть лосстановлевия эта-
лона метра, основанную на определении отношения метра я такой длине,
Коуораж может быть получена путем наблюдений определенного явления,
павдсящрго только от основных свойств материи и эфира. Таким явле-
нием представляется распространение световых колебаний черев воедух,
находящийся при определенной температуре п при определенном давлении
(Michelson, .Traveaux et Mtaolres du Bureau international des Poids et Mesu-
res", t- XI).
138. Десятичное построение метрической системы является
основным ёё качеством. Названия производных единиц соста-
влены по следующему правилу: берется название основной еди-
ницы (inStre — метр, gramme — грамм, litre — литр) и к нему
прибавляются приставки, взятые для кратных мер из греческого
языка, а для подразделений — из латинского языка, и обозна-
чающие:
При станки = 10® = 10* Сохряще- иия ') м та
mega myria (мега) (мирна)
Греческие приставки . . kilo (кило) = IO®
hecto (гекто) = IO» fi
deca (дека) = 10 da
’ deci (деци) = 10 1 d
Латинские вриставкн . . centi (санти) =* IO ’ g
milli (милли) = 10 з mm
Не все этя приставки одинаково употребительны, так как
вместо того, чтобы говорить гектограмм, можно сказать 100 грам-
мов и т. д. Последовательное применение этой системы нару-
шается лишь немногими исключениями для единиц, которые
были введены и систему позднее: 1) центнер (в некоторых
странах называемый также квинталом) — (д) = 100 килограмма^,
2) микрон (|х) = 0,001 миллиметра, 3) ар (а) = 100 кв. метров,
4) стер (st) = 1 куб. метру—специально и применении к изме-
рению дров (употребляется в немногих странах).
Нарушение внесло также применение для миллионных долей
основных единиц греческой приставки
Р—micro (микро) = 10-*.
В употреблении, хотя и не узаконенном международным
соглашением:
т р — millimicro (миллнмикро) = 10"®,
Р Р — micromicro (микромикро) = 10-13.
Определенно международных мер и весов с их кратными
и подразделениями вошли в узаконенные СССР «Правила обизме-
реннях, производимых в метрической системе*. (См. иижеЛ 140).
*) Руоежяэ оомыпеяпыэ обоввпчши приставов см. § 140.
Законные меры Союза ССР.
139. Общие пеяоженин. Согласно конституции СССР, уста-
новление системы мер и весов есть функция верховных органов
Союза, поэтому относящиеся к мерам законы обязательны для
всех союзных и автономных республик, об'единяющихся в одно
союзное государство, разрабатываются Правительством Союза
и издаются после согласования с союзными республиками.
Основным законом в этой области является Положение
0. мерах н весах от 6 июня 1924 года, согласно которому
при всякого рода Измерениях, производимых в торговле, про-
мышленности, науке, технике и во всех отраслях народного
хозяйства Союза ССР, применяется международная метрическая
система мер ‘)- Из них в законе названы только основные
меры: международный килограмм (единица массы)
и международный метр (единица длины) и указано,
что основными эталонами этих мер для Союза служат копия
международного килограмма, носящая знак № 12, и копия
международного метра, носящая знак № 28 (см. выше, § 136).
Эти эталоны, как и вообще все эталоны, обязательные для всего
Союза, хранятся в Главной Палате мер н весов.
Из остальных мер в законе указывается лишь единица
времени' — сутки, нли 24 часа по среднему солнечному
времени. Закон предоставляет ВСНХ СССР (по Главной Палате
мер н весов) издавать инструкции я технические правила по
применению Положения о мерах и весах, вследствие чего все
дальнейшие постановления, касающиеся мер и весов, были изданы
именно и этом порядке.
Ниже приводятся извлечения из приказов, имеющих Наи-
более существенное значение.
140. Правила об изиерениях, производимых в метрических
мерах. (Из приказа № 341 от 26/1—1925 г.) 2).
1. При всех измерениях- массы (веса), длины, поверхности,
об'ема н вместимости, производимых в торговле, промышленности
технике и во всех отраслях народного хозяйства Союза ССР,
должны применяться или основные единицы международной
метрической системы мер, или указанные в §§ 2—8 их подраз-
деления и кратные.
2. Единица массы — килограмм (кг) подразделяется на
100 декаграммов (дкг) или на 1 000 граммов (г); грамм подраз-
деляется на 10 дециграммов (дг) или на 100 сантиграммов (сг),
или на 1 000 миллиграммов (мг); 1 000' килограммов составляют
*) Декрет Совета Народных Комиссаров о предстоящем введении метра-
ческой системы был обнародован 14 сентября 1918 года.
•) Как видно нз приводимого ниже» сокращения наименований мерх стоя-
щие после числовых величин, надлежит писать строчными буквами без после-
дующей точки, н только после сокращенных слов квадратный к кубический
ставятся точки, напр.: Б кв. и, 10 куб. м ж т. д.
тонну (т); 100 килограммов составляют центнер (ц). Для взве-
шивания драгоценных камней и жемчуга служит метрический
карат (к), равный 200 миллиграммам.
3. Единица длины — метр (м) подразделяется на 10 деци-
метров (дм), или на 100 сантиметров (см), или на 1 000 милли-
метров (мм); миллиметр подразделяется на 1 000 микронов (ц);
1000 метров составляет километр (км).
4. Мера поверхности — квадратный метр (м3 или кд. м)
подразделяется на 100 квадратных дециметров (дм3 или кв. дм),
или на 10 000 кв. сантиметров (см3 нли кв. см), или на 1 000 000 ква-
дратных миллиметров (мм3 илн кв. мм); 100 квадратных метров
составляют ар (а); 100 ар, или 10 000 квадратных м.етров, соста-
вляют гектар (га), 100 гектаров, или 1 000 000 квадратных метров
составляют квадратный километр (км3 нли кв. км).
5. Мера об'ема— кубический метр (м3 или куб’, м) под-
разделяется на 1 000 кубических дециметров (дм3 или куб. дм),
или на 1 000000 кубических сантиметров (см3 или куб. см); илн
на 1000 000 000 кубических миллиметров (мм3 >нли куб. мм);
1000000000 кубических метров составляют кубический кило-
метр (км3 или куб. км).
6. Единицей вместимости сосудов служит литр, предста-
вляющий об'ем одного килограмма воды при температуре ее
наибольшей плотности и под нормальным атмосферным давле-
нием.
Првмечаине. Нормальное атмосферное давление выражается
давлением находящегося под действием нормал> ной силы тяжести столба
ртутя в 760 тт высотой, при плотности 13,69613. Нормальное ускорение
силы тяжести составляет 980,665 см/сек*.
7. Литр (л) подразделяется на 10 децилитров (дл) или на
100 сантилитров (сл), или на 1 000 миллилитров (мл), 10 литров
составляют декалитр (дкл), 100 литров составляют гектолитр.(гл),
1000 литров составляют килолитр (кл). 4
8. Для измерения вместимости, не требующей высшей
степени точности, литр может считаться равным кубическому
дециметру, миллилитр — кубическому сантиметру, килолитр —
кубическому метру.
9. Меры длины, меры вместимости, гири и весы должны
удовлетворять требованиям особых правил об их изготовлении,
проверке и клеймении, издаваемых ВСНХ СССР (по Главной
Палате мер и весов).
141. Правила об измереиинх времен и. (Из Приказа № 341 от
26/1 1925),
1. При всех измерениях промежутков времени, произво-
димых в торговле, промышленности, технике и во всех отраслях
народного хозяйства Союза ССР, должно применяться среднее
солнечное время.
2. Единица времени — средние солнечные сутки — подраз-
деляется на 24 часа, час — на 60 минут, минута — на 60 секунд.
3. Измерительные приборы, служащие для определения
бремени в случаях, указанных в $ 1 должны удовлетворять прави-
лам, издаваемым ВСНХ СССР (по Главной Палате мер и весов).
142. Правила об электрических измерениях. (Из Приказа
№' 341 от 26/1 —1925 г.)
1. При всех электрических измерениях, производимых в тор-
говле, промышленности, технике и во всех отраслях народного
хозяйства Союза ССР, должны применяться международные
электрические единицы, как-то: международный ом, междуна-
родный ампер, международный вольт и международный ватт,
д также их кратные, подразделения и производные от них еди-
ницы, указанные в §§ 2-г-9.
Примечание. Во хеех олучах кпгвреввй, ухававяых в настав-
шем 8. слово .международный'' в ншшехоМнавх элентрнчесхих единиц
мажет опускаться.
2. Международный ом есть сопротивление, оказываемое
нензменяющемуся электрическому току при температуре тающего
льда ртутным столбом, имеющим повсюду одинаковое поперечное
сечение, длину 106,300 сантиметров и массу в 14,4521 грамма.
Ом подразделяется иа 1000 000 микромов, 1000000 омов
составляют мегом.
3. Международный ампер есть сила нензменяюшегося элек-
трического трка, который отлагает 0,0011800 грамма серебра
в секунду, проходя через водный раствор азотио - кислого
серебра. Ампер подразделяется иа Т 000 миллиампер или на
1 000 000 микроампер.
4 .Международный вольт есть электрическое напряжение, ко-
торое в проводнике, имеющем сопротивление в один ом, произво-
дит ток силою в 1 ампер. Вольт подразделяется на 1000 милливольт
ил j на 1 000 000 микровольт, 1 000 вольт составляют киловольт.
5. Международный ватт есть мощность иеизменяющегося
электрического тока силою в 1 ампер при напряжении в 1 вольт;
I 300 ватт составляют киловатт.
6. Международный кулон {или ампер-секунда) есть количество
электричества, протекающее по проводнику в течение 1 секунды
при токе силою в 1 ампер; 3600 кулонов составляют ампер-час.
7. Ватт-секувда (международный джоуль) есть работа, совер-
шаемая электрическим током в течение 1 секунды при мощ-
ности тока в 1 ватт; 3600 ватт-секунд составляют ватт-час,
100 ватт-часов составляют гектоватт-час, 1 000 ватт-часов соста-
вляют киловатт-час.
8. Международная фарада есть емкость конденсатора, заря-
жаемого до напряжения в 1 вольт одним кулоном. Фарада под-
разделяется иа 1000000 микрофарад.
9. Международный генри есть Самоиндукция цепи, в которой
индуктируется напряжение в 1 вольт при изменении.тркар этой
цепи со скоростью 1 ампера в: секунду. Генри подразделяется
на 1 000 миллигенри или на 1000000 ммсрогенри.
10. Точная величина международного ома (единица сопро-
тивления), обязательная для всего Союза ССР, определяется
ртутными образцами ома Главной Палаты мер и весов, изготовлен-
ными согласно международных постановлений и спесификаций.
11. Точная величина международного ампера (единицы силы
электрического тока), обязательная для всего Союза ССР, опре-
деляется по серебряному вольтаметру Главной Палаты мер
и весов, установленному согласно международных постановлений
и спесификаций.
12. ТочНая величина международного вольта (единицы электри-
ческого напряжения), обязательная для всего Союза ССР, устана-
вливается посредством нормальных элементов Главной Палаты мер
и весов, изготовленных согласно международных постановлений и
спесификаций н проверенных посредством серебряного вольтамет-
ра и ртутных образцов ома,указанных⧧ 10—11 настоящих правил.
13. Все электрические измерительные приборы, применяемые
для контроля за производством электрической энергии, или для
ее учета, должны удовлетворять требованиям особых правил,
издаваемых ВСНХ СССР (по Главной Палате мер и весов).
14. Все Электрические счетчики, служащие для расчета
между потребителями и поставщиками электрической энергии,
должны удовлетворять требованиям правил об электрических
счетчиках, изданных ВСНХ СССР (по Главной Палате мер
и весов) 11 сентября 1923 г. и распубликованных в сборнике
приказов по ВСНХ № 17 за 1923 г.
143. Правила о световых измерениях (Приказ № 815,
от 13/V—1925 г.),—см. Отдел 7, § 6.
144. Правила об измерениях температур. (Из приказа №946,
от 23/VI—1925 г.).
1. При всех измерениях температур, производимых в тор-
говле, промышленности, технике и во всех отраслях народного
хозяйства Союза ССР, должна применяться международная сто-
градусная шкала температур.
Примечанпе. На освования статьи 2 постановления от 25 марта
1925 г. о переходе в пределах СССР иа измерение температур по 100 гр.
шкале, применение шкал температурных, ниже стоградусной, разрешено
до 1 января 1927 г., а в исключительных случаях, согласно статьи
4-ой того же постановления, и после означенного срока.
2. Основанием международной стоградусной шкалы темпе-
ратур служит разность температур, таяния льда и кипения воды
при норм. атм. давлевин. Означенная разность температур раз-
деляется на сто частей, называемых градусами, при чем темпе-
ратура таяния льда принимается за нуль градусов.
3. Точная величина градусов (единица температуры), обяза-
тельная для всего Союза ССР, определяется показаниями тер-
мометра Главной Палаты мер и весов при ВСНХ СССР.
4. Все термометры должны удовлетворять требованиям
правил, издаваемых иа этот предмет ВСНХ СССР (по Главной
Палате мер и весов).
Отлей 1
1 >
145. Правила о механических измерениях, составленные
Главной Палатой мер н весов и согласованные как со Все*
союзной Академией Наук, так и с заинтересованными Кругами
техники и промышленности, рассмотрены и приняты Президиумом
ВСНХ СССР 5 октября 1927 г. (Приказ № 17). В основу этих
правил положена абсолютная система MTS (см. выше §§ 134—135,
в русском обозначении Главной Палаты система МТС). Поста-
новление Президиума ВСНХ, устанавливая для применения при
технических измерениях упомянутую абсолютную систему, допу-
скает, вместе с тем, временное применение и системы технической
MSK (см. выше §§ 127 — 128, в русском обозначении Главной
Палаты система МСК). Такое решение принято.потому, что в на-
стоящее время техническая система находит себе применение
в промышленности всех стран, не исключая и Франции, в кото-
рой законом она признана подлежащей отмене. Поэтому, в слу-
чае запрещения применения этой системы в Союзе, промышлен-
ность и техника Союза могли бы оказаться в области технических
расчетов и измерений оторванными от других стран.
В технической системе основными единицами принимаются:
метр, секунда и килограмм-сила (система МСК). Временно допу-
щенными к применению считаются: килограмметр, килограмметр
в секунду, лошадиная сила (равная 75 килограмметрам в секунду)
и килограмм-сила на 1 кв. м или на 1 кв. см. В то же время в тех ра-
счетах, где одновременно с силами, выраженными в кнлограмм-сн-.
лах, входят массы, за единицу массы принимается не килограмм,
а масса тела, которому сила в 1 килограмм-силу сообщает ускоре-
ние, равное 1 метру в сек2, т. е. массу, равную 9,80665 килограмма.
Точные соотношения между единицами технической MS К
и абсолютной системы MTS определяются следующими
выражениями:
1 килограмм-сила = 0,00980665 стена,
1 килограмметр = 0,00980665 килоджоуля,
1 килограмметр в секунду = 0,00980665 киловатта,
1
килограмм-сила
кв. сантиметр
= 98,0665 пьезы.
Система (старых) русских мер.
146. Соотношения между русскими и метричесиими мерами.
I. Меры длины.
1 сотая саженн = 2,13360 см.
1 Дюйм = 10 линиям = 2,54000 см.
1 фут =12 дюймам = 0,30480 м.
1 вершок = 4,4450 см.
1 аршин =16 вершкам = 28 дм.
= 0.71120 м.
1 сажень =s 2,13360 м.
1 верста = 1,06680 км.
1 сантиметр = 0,39370 дюйма
= 0,46869 сотки.
1 метр = 0,46869 сажени
= 1,40607 аршнна.
1 километр = 0,93738 версты.
2. Меры па
1 кв. дюйм — 6,4516 кв. см.
1 кв. фут. = 929,03 кв. см.
= 0,092903 кв. м.
1 кв. вершок = 19.7580 кв. см.
1 кв. аршин = 0,50580 кв. м.
1 кв. сажень — 4,55224 кв. м.
1 десятина — 2400 кв. саж. =
0,01092 кв. км. = 1,09254 га.
1 кв. верста = 113,806 гектара
— 1,13806 кв. км.
3. Меры
а) Меры ку
1 куб. дюйм = 16,3870 куб. см.
1 куб. фут = 0,02831 куб. м.
1 куб. аршнн = 0,3597 куб. м.
1 куб. сажень = 9,7126 куб. м.
Ь) Меры ж
1 водочная бутылка (Vao ведра)
= 0,61497 литра
1 винная бутылка (Vw ведра)
= 0,76871 лнтра.
1 ведро = 10 штофам = 20 во-
дочн. бутылкам = 16 винным
бутылкам = 12,2994 литра.
Примечание. 1 i
1 куб. сажень воды ве<
прн наибольшей плотности,
та = 12,299 кг воды.
с) Меры сыну1
1 гарнец = 3,2798 литра.
1 четверик = 26,2387 лнтра.
1 четверть = 8 четверикам,
, =64 гарнцам,
, .= 209,909 лнтра.
4. Mepi
1 доля = 44,4349 мг.
1 золотник = 96 долям
= 4,26575 (рамма.
1 фунт = 96 золотникам
= 0,40951 кг.
1 пуд = 16,38049 кг.
Примечание. 1 квиитал =
ческому центнеру = 1 немецком;
1 германский фунт = 500 гр
1 кв. сайтам. = 0,1550 кв. дм.
1 кв. метр = 10,7639 кв. фута
= 0,21967 кв. саж.
1 гектар = 0.91529 десятины.
1 кв. км = 0,87868 кв. версты.
бнческие.
1 куб. см. = 0,06102 куб. дм.
1 куб. м. = 35,3146 куб. фута
= 0,10295*8 куб. саж.
д к о с т е й.
1 литр = 0,0813 ведра,
= 1,6260 вод. бут.
1 куб. метрсодерж. 81,30 ведра.
уб. сажень = 789,668 ведра,
нт 592,926 пуда = 9712,4 кг
1 ведро содержит 30,0343 фун-
их веществ.
1 литр = 0,038 четверика.
веса.
1 тонна = 61,04821 пуда.
1 килограмм = 2,44192 фунта.
1 грамм = 0,23442 золотинка.
100 килограммам = 1 метри-
Doppelzentner.
Система английских мер.
147. Английские меры. Сокращен- ное англнй« Значение в метрических
значение» . иерах ').
1. М е р ы длины.
1 дюйм (inch) in. 2,540 cm
1 хенд (hand) = 4 дюймам ..... 0,1016 т
1 межевой линк (link) = 7,92 дюймам 0,2012 т
1 фут (foot) = 12 дюймам ft- 0,3048 т
1 ярд (yard) = 3 футам yd- 0,9144 т
1 1 fathom (фасзбм) = 6 футам .... род (rod) или перч (perch) — 5,5 ярдам 1,829. т 5,029 т
1 чей (chain) = 22 ярдам = 66 футам . ch. 20,12 т
1 строительный чен (engineer’s chain) = = 100 футам ch. 30,48 т
1 болт (bolt) = 40 ярдам 36,58 т
1 фбрлонг (furlong) = 40 родам = = 220 ярдам 201,2 т
1 законная миля (statute mile) = 8 фер- лонгам = 5 280 футам 1,609 km
1 английская миля (London mile) = = 5 000 футам 1,524 km
1 морская миля (nautical mile) = 1,152 законной мили = 6 080 футам . . . 1,853 km
1 лаг (league) = 3 законным милям . 4,827 km
1 Градус (degree) = 60 морским милям 111,100 km
2. Меры поверхности.
1 кв. дюйм (square inch) кв. фут (sq. foot) = 144 кв. дюймам sq. in. 6,452 cm*
1 sq. ft. 0,0929 m*
1 кв. ярд (sq. yard) = 9 кв. футам . 0,8361 m*
1 кв. род (sq. rod) нлн перч (sq. perch) = 30,25 кв. ярдам 25,29 m*
1 руд (rood) = 40 кв. родам .... 1012 m*
1 акр (acre) = 4 рудам = 160 кв. родам 4047 m*
1 кв. миля (sq. mile) = 640 акрам . . 2,590 #n2
' 3. Меры объема.
а) Меры жндних тел.
1 джил (gill) 0,1421.1
1 пинта (pint) = 4 джилам ..... Pt. 0,5682 I
1 кварта (quart) = 2 пиитам .... Qt- 1,1365 I
*) Значения мер в метрических единицах даны о точностью до. 4 значу
щих цифр, .что вполне достаточно для практических целей. Водее точный
числовые значения см. в трудах американского Bureau of Standards.
Продолжение.
1 галлон имперский (Imperial gallon)= = 4 квартам gal. 4,546 I
1 галлон старый (Winchester gallon) = = 0,83292 имперского галлона . . 3,785 i
1 полубочка (half hogshead) = 31,5 галл. 143,2 I
1 терция (tierce) = 42 галлонам . . . 190,9 I
1 бочка (hogshead) — 63 галлонам . . hhd. 286,4 I
1 пуишои (puncheon) = 2 терциям . 381,8 I
1 пайп (pipe) = 2 бочкам 572,8 I
1 тбн (tun) = 2 пайпам ..... . . 1146,0 I
Ь) Меры сыпучих тел.
1 пинта (pint) . . Pt. 0,5682 I
1 кварта (quart) = 2 пиитам qt. 1,136 I
1 галлон (gallon) = 4 квартам .... gal. 4,546 I
1 пек (peck) = 2 галлонам 9,092 I
1 бушель (bushel) = 4 пекам . . . 36,37 I
1 квартер (quarter) = 8 бушелям . . 290,9 I
1 чельдрон (chaldron) = 36 бушелям . 1309 I
4. Меры веса.
a) Avoirdupois ?)
1 гран (grain) gr- 799 g
1 1 дралма (dram) унция (ounce) = 16 драхмам . . . 0 1 772 g 28,35 g
1 фунт (pound) = 16 унциям = 7 000 гр. lb. 453,6 g
1 стон (legal stone) = 14 фунтам . . 6,350 l(g
1 центнер (hundredweight) = 8 стонам cwt. 50,80
1 английская тонна (long ton или ton) = = 20 центнерам = 2 240 фунтам . 1 g
1 короткая тонна (short ton,—США) = = 2 000 англ, фунтам 907,2 &
b) Troy (ювелирны* вес)
1 граи (grain) gr. 0,064799 g
1 1 пении вес (pennyweight) = 24 гр. уиция (ounce) — 20 пении dwt. oz. 1,555 g 31,10 g
1 фуит (pound) = 12 унциям .... lb. 373,2 g
1) Торговый вое, фунт которого был прн Елизавете узаконен равным
1 000 тройских граиов; Б 780 тройских гравов составляет тройский фунт, ныве
применяемый лишь в ювелирном деле. Тройскиемеры римского происхождения-
В С. Ш. А. иа ряду о метрическими мерами применяются также адглий,
окне, при нем нужно иметь в виду, что между величиной английского дюйма
и величиной дюйма, принятого в Америке (американский дюйм) существует
небольшая разница: точное значение англ, дюйма 2,630998 см, американского—
2,5400051 см. Такого же порядка различия существуют и между дру;пми
американскими мерами английского происхождения и рнглрйскрмр,
Международные символы.
148. Международная Электротехническая Комиссия (МЭК) орга-
низована в 1906 году по постановлению Международного Электро-
технического Конгресса, состоявшегося в 1904 году в Саи-Луи
в С. Ш. А. В задачи Комиссии входит со дер стране унификации
терминов н'символов и об'едииеиие в международном масштабе
правил и норм. В своей работе МЭК опирается иа национальные
Комитеты, созданные в тех странах, которые выразили желание
принять участие в работе Комиссии. К реальной работе Комиссия
приступила только в 1911 году. После перерыва, вызванного
войной 1914—1918 г„ работа МЭК была возобновлена в 1919 г„
но первые реальные результаты впослевоениое время были достиг-
нуты лишь в апреле 1926 года на общем собрании, состоявшемся
в Ныо-Иорке (Электричество, 1926 г., стр. 400), при чем в обла-
сти об'единения символов работа пока реально ие продвинулась
дальше того, что было сделано в довоенное время,—см. Табл. L.
Таблица-L. Международные символы (принятые Между-
народной Электротехнической Комиссией).
Наименование величины.
Сим-
вол.
Снмволы, рекомендуе-
мые, когда главный
символ неудобен.
1. Длина.....................
2. Масса. ... • . ...........
3. Время...................•
4. Углы......................
5. Ускорение силы тяжести . . .
6. Работа....................'.
7. Энергия...................
8. Мощность..................
9. Отдача....................
10. Число оборотов в един. врем.
11. Температура °C . . • . . . .
12. Абсолютная температура . . .
13. Период •..................
• я ( Угловая скорость (вращения)
' 1 Угловая частота (перем, тока)
15. Частота..................
16. Сдвиг фазы................
17. Электродвижущая сила ....
18. Сила тока............• . .
19. Сопротивление (акт виое) . •
20. Удельное сопротивл ние . . .
21. Проводимость......... .
22. Количество электричества . .
23, Электрическое смещение . . .
В уравнениях изме-
рений употреблять
L, М, Т
о, о
е
и
v
Продолжение.
24. Емкость..................
25. Диэлектрическая постоянная
26. Самоиндукция.............
27. Взаимная индукция ....
28. Реактивное сопротивление .
29. Полное сопротивление . . .
30. Магнитное сопротивление .
31. Магнитный поток..........
32. Магнитная индукция ....
33. Магнитная сила (напряжение)
34. Напряженность намагничения
35. Магнитная проницаемость .
36. Магнитная восприимчивость
37. Разность электр. потенциалов
38. Магнитодвижущая сила . .
L
М
X
Z
S
ф
в
н
J
L
м
X
Z
R
F
В
н
J
о
ж
ч
к
о
К
О
aS
3
х
X
Правила» относящийся к величинам.
А. Мгновенные значения электрических величин, изменяющихся во вре-
меня, изображаются строчными буквами. В случае двусмысленности можно
снабдить эти последние вначком „/*.
В. Действующие или постоянные вначення электрических и магнитных
величин изображаются заглавными буквами.
С. Наибольшие вначення периодических электрических и магнитных
величин изображаются заглавными буквами со значком „/и*.
IX В случае желания отличать постоянные или переменные магнитные
величины от величин электрических, следует п{ едставлять магнитные вели-
чины заглавными буквами шрифта рондо, или же жирным шрифтом, или
шрифтом специального типа. Буквы рондо следует употреблять только для
обозначения магнитных величия.
Е. Углы изображаются греческими строчными буквами.
F. Величины, не имеющие измерения и, так называемые, удельные вели-
чины, изображаются по мере возможности греческими строчными буквами.
Таблица LI. Единицы и обозначения единиц.
Наименование. Обозна- чение. Наименование. Обозна- чение.
I. Ампер .... А 9. Вольт-кулон . УС
2. Вольт V 10. Ватт-час . . . Wh
3. Ом 0,2 11. Вольт-ампер . УД
4. Кулон .... С 12. Ампер-час . . Ah
5. Джоуль .... J 13. Милли-ампер . mA
6. Ватт . ... W 14. Киловатт . . . kw
7. Фарада .... F 15. Киловольт-амп. t>VA
8. Генри Н 16. Киловатт-час . kWh
от—обозначение для милли, р.—обозначение для микро или микр,
обозначение для кило, М—обозначение для мега или мег.
Эти обозначения Электрических единиц должны быть
употребляемы только после числовых значений,
Таблица LII. Математические символы.
Наименование.
Символы, рекомендуе-
мые, когда главный
символ неудобен.
Полный дифференциал ....
Частный дифференциал ....
Основан, неперовыхлогарифмов.
Мнимое число 1.............
Отношение длины окружности
к диаметру ................
Сумма . ...................
Интеграл................:
1. Показателя, изображенные арабскими цифрами, обозначают только
степень; поэтому желательно, чтобы выражения sin tang~~lx, употре-
бляемые в некоторых странах, были заменены выражениями: arc sin х,
arc tang х,
2. Запятая или точка (в зависимости от того, как это принято в данной
стране) употребляются для отделения десятичных виаков; в чнелах классы
(нз 3 цифр) отделяются друг от друга промежутками, но не точкой и Не за-
пятой (напр.: 1 000 000).
3. Для умножения чисел и для умножения геометрических количеств,
обозначенных буквами, рекомендуется употреблять знак X я пользоваться
точкой лишь в тех случах, когда от этого не может произойти никакие не-
доразумений.
4. Для обозначения деления рекомендуется пользоваться горизонтальной
чертой илн двумя точками. Косую черту можно употреблять тогда, когда от
этогохне могут возникнуть недоразумения; для ясности можно употреблять
простые скобки ( ), квадратные [ ] или фигурные { }.
Сокращояиыо обозначения для мер и весов.
Длина: m, km, dm, ст, тт, ц — 0,001 тт.
Поверхность: a, ha, т2, кт2, dm2, ст2, тт2.
Об’ем: 1, hl, dl, cl, ml, m3, km3, dm3, cm3, mm3.
Масса: g, t, kg,- dg, eg, mg.
149. Русский Электротехнически* Комитет Международно*
ЭлоктроТехиической Комиссии (РЭК МЭК) был организован
в 1911 году (Э., 1911 г., стр. 394). На общем собрании
состоявшемся 31 января 1923 года в Москве (первом после
войны 1914 —1918 г.) Комитет принял следующее постановле-
ние (Э., 1923 г., стр. 62):
1) Для сокращенного обозначения электрических единиц,
кроме принятой МЭК'ом системы обозначений латинским шриф-
том, принимаются следующие русские сокращенные обозначе-
ния:
1. Ампер............ . а 5. Джоуль................дж
2. Вольт................в 6. Ватт..............вт
3. Ом..................ом 7. Фарада..............ф
'4. Кулон к 8, Генрн рр
9. Вольт-кулон . . . . в-к 13. Миллиампер..............ма
10. Ватт-час . . /. . вт-ч 14. Киловатт........квт
11. Вольт-ампер . . . . в-а 15. Киловольт-ампер . . кв-а
12. Ампер-час .... а-ч 16. Киловатт-час . . . квт-ч
М —для обозначения милли
к —для обозначения кило
мк — для обозначения микро
мг —для обозначения мега
2) Эти обозначения, как и обозначения МЭК'а, должны
быть употребляемы только после числовых значений и притом
лишь в тех случаях, когда употребление обозначений МЭК'а
(латинский шрифт) представляется затруднитель-
ным (в популярных изданиях, при переписке
на пишущей машинке с русским шрифтом
н т. п.).
Собранием Комитета от 31 января 1926 г. предложено,
кроме того, применять для русских обозначений исключительно
строчные буквы шрифта, и так же, как в обозначениях латин-
ским шрифтом, не ставить точек после букв, обозначающих
единицы.
150. Указатель литературы.
1. О. ДХвольсон. — Курс физики. — Том I и IV. Бер-
лин, 1923 (Госиздат).
2. Handbuch der Physik.— Herausgegeben von Н. Geiger
und K. Scheel.—Bd. XVI. Apparate und Messmethoden fiir Elek-
trizitat und Magnetismus.—Berlin, 1927.
3. G al i 1 e о Ferraris. — Научные основы электротех-
ники.—Перевод с итальянского под ред. проф. Н. А, Артемьева.—
Киев, 1904.
4. М. A. lliovici. — Cours d’Electrotechnique—Livre I:
Lois gdnferales de l’electricit6 et du magnetisme.—Paris 1921.
5. C. Hering. — Ready Reference Tables.—N.-Y., 1904.
6. И. В. Мещерский. Современное положение вопроса
о механических единицах.—.Поверочное дело*, 1927, № 1 (8).
стр. 29.
7. В. В. Скобельцын. — О рациональном выборе еди-
ниц измерения.—Т.-е». В., 1921 г., № 1 (ноябрь).
8. Л. Д. И с а к о в. — На все времена, для всех народов
(Очерки по истории метрической системы). — Ленинград, 1925.
9. О. Д. X в о л ь с о н. — Метрическая система мер и весов.
—Москва, 1925.
Ю. Л. Д Исаков. — Международная метрическая си-
стема.—Ленинград, 1922 г.
11. «Поверочное дело",—журнал, издаваемый Главной Пала»
ТОЙ мер и весов.—1925, № 2 (3) и № 3 (4).
F. Вспомогательные таблицы.
(51. Таблицы перевода мер и весов.
1. Перевод англ, футов и дюймов в метр. меры.
Футы кв. фут куб. фут т | tri* т3 Дюймы кв.дм, куб.дм. ст ст3 ст3
1 0,304800 0,092903 0,028317 1 2,5400 6,4516 16,387
2 0,609599 0,185806 0,056634 2 5,0800 12,9032 32,774
3 0,914399 0,278709 0,084950 3 7,6200 19,3548 49,161
4 1,219199 0,371612 0,113267 4 10,1600 25,8063 65,548
5 1,523999 0,464514 0,141584 5 12,7000 32,2579 81,935
6 1,828798 0,557417 0,169901 6 15,2400 38,7095 98,322
7 2,133598 0,650320 0,198217 7 17,7800 45,1611 114,709
8 2,438398 0,743223 0,226534 8 20,3200 51,6127 131,096
9 2,743198 0,836126 0,254851 9 22,8600 58,0643 147,483
2. Перевод 64-ых долей англ, дюйма в миллиметры.
Дюйм тт Дюйм тт Дюйм тт Дюйм тт
Vm 0,39 17/м 6,75 33/б4 13,10 49/в4 19,45
0,79 732 7,14 ”/32 13,49 25/32 19,84
Зы 1,19 19/з4 7,54 «/м 13,89 И/в4 20,24
716 1,59 Ь/16 7,94 9/1в 14,29 I3/ie 20,64
5/м 1,98 27/б4 8,33 37/б4 14,68 53?в4 21,03
3/32 2,38 7 7* 32 8,73 13/32 15,08 27/з2 21,43
7<И 2 78 23/б4 9,13 зв/в4 15,48 21,83
7 8 3,17 3/8 9,52 7з 15,87 7/е 22,22
3,57 25/М 9,92 41/М 1527 37/б4 22,62'
5,з2 3,97 13/32 10,32 31/32 1567 2в/32 23,02
11/м 4,37 27/в4 10,72 «/<54 17,07 «Ум 23,42
я/1в 4,76 Vie 11,11 ’7.6 17,46 «Ле 23,81
13/е 5,16 И/С1 11,51 «/в* 17,86 67в4 24,21
’/зз 5,56 ’7з2 11,91 23/32 18,26 31/32 24,61
7м 5,95 37ei 12,30 18,65 63/в4 25,00
6,35 ’/2 12,70 3Л 19,05 1 25,40
3. Перевод фут/мин. в mfsec и обратно.
Фут мин. 1 2 3 4 Б 6 7 8 9
misec 0,00508 0,01016 0,01524 0,02032 0,02540 0,03048 0,03558 0,04064 0,04572 *
mlsec 1 2 3 4 5 ' 6 т 8 9
Фут МЯН. 196,9 4. П 393,T врешц 690,6 анп 787,4 i« ми; 984 1Ь В К 1181 иломе 13Т8 тры. 1 575 1 772
Stat, mile 1 2 3 4 5 в т 8 9
km 1,609 3,219 4,828 6,437 8,047 9,656 11,265 12,875 14,484
Naut. mile 1 2 3 4 5 6 7 8 9
km 1,853 3,106 5.П 5,560 еревол 7,413 у ЗЛО 9,266 в в т 11,119 jsec. 12.972 14,825 16,679
Узлы 1 2 3 4 5 в Т 8 9
mlsec 0,514 1,029 1,543- 2,058 2,572 3,087 3,601 4,116 4,630
6. Перевод галлонов в литры.
Imperial Gallon (=277,274 куб. лм^-для сыпучих тел и Winchester Gallon
(также северо-американский, равный 231 куб. дм)—для жидкостей.
Imp. Gall. 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Литры 4,543 9,087 13,630 18,174 22,117 27.261 31,804 36,348 40,891
Winch. Gall. 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Литры 3,785 7,570 11,356 15,141 18,928 22,711 26,496 30,282 34,067
1 bushel — 8 Imperials Gallons == 36,37 1.
J ЬЗГГ?1 = 31’/? Winch, Gallons = 119,2 J,
7. Перевод английских мер весе в килограммы.
1 quarter = 28 pounds = 28 lbs; 1 houndredweight = 1 cwt=4 quarter =112 lbs;
1 long ton = 20 cwts = 1 ton.
lbs kg
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
18
14
0,454
0,907
1,361
1,814
2,268
2,722
3,175
3,629
4,082
4,536
4,990
5,443
5,897
6,350
lbs kg quar ter kg cwts kg tong tons kg
15 6,804 1 12,701 9 457,22 1 1016,05
16 7,257 2 25,401 10 508,02 2 2032,1
17 7,711 8 38.102 11 558,83 3 3048,1
18 8,105 4 50,80 12 609,68 4 4064,2
19 8,618 13 «60,13 5 5080,2
20 9,072 cwts kg 14 711,23 6 6096,3
21 9Л25 1 50,80 15 762,04 7 7112,3
22 9,979 2 101,60 16 812,84 8 8128,4
23 10,433 3 152,41 17 863,64 9 9144,4
21 10,886 4 203,21 18 914,44 10 10160,5
25 11,310 5 254,01 19 965,24
26 11,793 6 804,81 20 1016,05
27 12,247 7 355,62
28 12,701 8 406,42
Примечание. В С. Ш. A. (U. S. A.) 1 houndredweight обозначается
также 1 cwt, но равен 100 lbs, т.-е. 1 cwt = 45,36 kg; 20 cwts — 1 short
ton — 907,2 kg; на раду с этим употребляют также long ton тоё же
величины, что я в Англия.
в. Перевод фуит/фут и фуят/ярд в ^gjm.
Фунт Фут 1 2 3 4 5 6 7 8 9
hg!m 1,488 2,976 4,465 5,953 7,441 8,929 10,417 11,906 13,394
Фунт Ярд 1 2 3 4 5 6 7 8 9
kglm 0,4961 0,9921 1,4882 1,9843 2,4803 2,9764 8,4724 3,9685 4,4646
9. Перевод фунт/кв. дюйн в llg'icm1 и фунт/кв. фут в t^g/nfi.
Фунт кв. дм. 1 2 3 4 5 6 ' 7 8 9
kg! ст' 0,0703 0,1406 0,2iСО 0,2812 0,3515 0,4218 0,4921 0,5625 0,6328
Фуат 1 2 3 4 5 6 7 .8 9
kgim' 4,8824 9,7649 14,6473 19,5297 24,4121 29,2946 34,1770 39,0594 43,9418
10. Перевод авглвйсквх тон/кв. дюйм в fyflem*.
Тонн 0 1 2 3 4 5 6 7 8.. 9 '
кв. дм.
0 — 157,5 - 315,0 472,5 630,0 787,5 945,0 1102,5 1260,0 1417,5
10 1575 1732 1890 2047 2205 2362 2520 2677 2835 2992
20 3150 3307 3465 3622 8780 3937 4095 4252 4410 4567
80 4725 4882 5040 5197 5355 5512 5670 5827 5985 6142
40 6300 6457 6615 6772 6930 7087 7245 7402 7560 7717
11. Перевод фунт/куб. дюйм в kgicm3 и фунт/куб. фут в t>g!m3.
Фунт Кб. дм. 1 2 3 4 5 6 7 8 9
kglcm3 0,0277 0,0551 f 0,0830 0,1107 1 ’ 0,1384 0,1661 0,1938 0,2214 0.2491
ФуНТ куб. ф. 1 2 3 4 5 6 7 8 9
kginfi • 16,0196 32,0392 48,0588 64,0784 80,0980 96,1175 112,1371 128,1567 144,1763
12. Перевод давлений прн О°С.
1 kgfem* = 10 ОСЮ тт В. С. (водяного столба) = 735,53 тт Р. С. (ртут
ного столба.
1 тт Р. С. = 13,596 тт В. С. = 0,001359 kg/cm*.
N
м Л4 — mm Р. С. Л4—дюймы Р.С. Л4 — kglcm' ц фунты
ка. дм.
N— тт В. С. N—mm В. С. N — тт Р. С. W — тт Р. С.
1 13,60 345,3 735,5 51,7
2 27,19 690,7 1 471,1 103; 4
3 40,79 1 036,0 2 206,6 155,1
4 54,38 1 381,8 2 942,1 206,9
5 67,98 • 1 726,6 3 677,7 258,6
6 81,57 2 072,0 4 413,2 810,3
7 95,17 ’ .. 2 417,3 Б 148,7 862,0
8 108,76 2 762,6 5 884,3 413,7 ,
8 122,36 8 108,0 6 619,8 465,4
13. Соотношения между атмосферами и высотой ртутного
столба.
Старая атмосфера =£ давлению P. С. высоту Высота ртутного столба в
760 тт 28Парижск. дюйм. тт Англ. ДЮЙМ Дарижск. дюйм.
n == 1 metr. at “ а стар. at. 0,96778 | 0,97039 1 metr. 735,61 at = п единиц Р* С. 28,958 27,171
1'0 — 1 стар. at=±l/h metr. at. 1,033296 | 1,0306 1 единица Р. С. = 1/n metr. at 0,0013596 | 0,0345 | 0,0368
14. Перевод англ, термических единиц (BTU) в килограмм-
калории.
1 BTU в kcal BTU/lbs в kcal/kg BTU/cu. ft в kcal/m" BTU/sq. ft в kcal/ш* 6 BTU в kcal втильз в kcal/kg BTU/cu. ft в kcal/m* BTU/sq, ft в kcal/m1
0,252 0,556 8399 2,712 1,512 3,333 53,395 16,275
1,2 0,302 0,667 10,679 3,255 в, 2 1,562 3,444 55,175 16,817
1,4 0,353 0,778 12,459 3,797 в, 4 1,613 3,555 56,955 17,360
1,6 0,40$ 0,889 14,239 4,340 в,в 1,663 3,667 58,735 17,902
1,8 0,454 1,000 16,019 4,882 в, 8 1,714 3,778 60,515 18,445
2 0,504 1,111 17,798 5,425 7 1,764 3,889 62,294 18,987
2,2 0,654 1,222 19,578 5,967 7,2 1,814 4,000 64,074 19,530
2,4 0,605 1,333 21,358 6,510 ’7,4 1,865 4,111 65,854 20,072
2,6 0,655 1,444 23,138 7,052 7,6 1,915 4,222 67,634 20,615
2,8 0,706 1,655 24,918 7,595 7,8 1,966 4,333 «9,111 21,157
3 0,756 1,667 26,698 8,137 8 2,016 4,444 71,194 21,700
3,2 0,806 1,778 28,477 8,680 8,2 2,066 4,555 72,973 22,242
м 0,657 1,889 30,357 9,222 8,4 2,117 4,667 74,753 22,785
3,6 0,907 2,000 32,037 9,765 8,6 2,167 4,778 76,533 23,327
3,8 0,958 2,111 33,817 10,807 8,8 2,218 4,889 78,313 23,870
4 1,008 2,222 35,597 10,850 9 2,268 5,000 80,093 24,412
4,2 1,058 2,333 37,377 11,392 9,2 2,318 5,111 81,878 21,956
м 1,109 2,444 39,156 11,935 9,4 2,369 5,222 83,652 25,497
4,6 1,159 2,555 40,936 12,477 9,в 2,419 5,333 85,432 26,040
4,8 1,210 2,667 42,716 13,020 9,8 2,470 5,444 87,212 26,582
6 1,260 2,778 44,496 13,562 10 2,520 5,555 88,992 27,125
5,2 1,310 2,889 46,276 14,105 10,2 2,570 5,667 90,772 27,667
5,4 1,361 3,000 48,056 14,647 10,4 2,621 5,778 92,552 28,210
5,6 1,411 3,111 49,836 15,190 10,6 2,671 5,889 94,332 28,752
5,8 1,462 3,222 51,615 15,732 10,8 2,722 6,000 96,111 29,295
1 kcal = 3,968 BTU; 1 kcal/kg = 1,80 BTU/lbs; 1 kcal/tn* — 0,112BTUku. ft.
1 kcal/m3 = 0,369 BTU/sq. ft.
17. Перевод метр. лош. сил в киловатты и обратно.
PS 1 2 3 4 6 1 6 7 . | 8 9
kW 0,736 1,471 2,207 2,943 3,679 4,414 5,150 5,886 6,622
kW 1 2 3 4 5 « 1 1 8 9
PS 1,359 2,718 4,078 5,437 6,796 8,155 9,514 10,874 12,233
152. Валюта. Иностранные деньги в русской золотой ва-
люте (по довоенному паритету):
А. в с т р о-В е я г р и я— 1 крона зол. = 60 крейцерам = 89,35 коп.
Аргентина — 1 пезо зол. — 100 цеитавам =. 1 руб. 80 коп.; 1 пезо
бумажн. около 90 коп.
Бельгия — см. Франция.
Болгария — 1 лев = 100 стотинкам = 37х/» коп.
Боливия — 1 боливиано = 100 цеитавам = 78 коп.
Бразилия — 1 милльрейс зол. = 1 руб. 0 коп., милльрейс бумажн. =
= 60,7 коп.
Великобритания — 1 фунг стерлингов = 20 шиллингам = 240 пен-
сам = 960 фартингам = 9 руб. 46 коп.
Германия — 1 марка = 100 пфеннингам = 46 коп.
Греция — 1 драхма = 100 лептам = 37,5 коп.
Дания — 1 крона = 100 оран = 52 коп.
Египет — 1 секнн (егип. фунт) = 100 пиастрам = 1000 ошра (эльгар-
шам) = 4000 парам=48000 гедидам=9 руб. 20 коп.; 1 бойтелъ = 500 пиастрам.
Иопания — 1 пезета = 100 сентимам — 37,5 коп., дурокуаво = 1 руб.
87 коп. = эритрейскому талеру.
Италия — 1 лира=100 чентеземам=37,5 коп.; 1 скудо=5 лирам =±
= 1 эритрейскому талер’.
Канада — 1 доллар = 100 центам»1 руб. 91 коп.
Китай — 1 таэль = 1 руб. S7 коп.
Корея — 1 зол. доллар = 1 иене = 100 никкел. цент. = 46 Won.
Люксембург — см, Франция.
М е к с и к а—1 пезо—дуро =100 центавам=8 реп лам=32 квартал л ам=
= 2 руб. 4 коп. иомин., по курсу 92 коп.; 1 зол. гндалью = 10 зол. пезо =
= 19 руб. 12 коп; 1 онца = 8 эскудо = 16 медио = 32 руб. 23 коЦ.
Ниде рлаиды — 1 гульден = флорину = 100 центам = 78,12 коп.;
1 р и к с д а л е р = 2,5 флорина; 1 дукат = 4 руб. 43 коп.
Норвегия — 1 крона = 100 срам = 52.коп.
О о т -И ид и я — рупий = 0 анна = 192 папсам = 08 коп.; 1 могур =
= 15 рупиям.
Персия — 1 туман = 10 кранам=100 сеиаарам = 1000 биств=10000 ди-
нарам =8 руб. 75 коп. номинальна, по куроу около 2 руб.
Португалия — 1 крона = 10 милльрейсам = 21 руб.; 1 тоотао =
= 100 рейсам = 21 коп. = 1 бум. милльрейс = 1 руб. 00 коп.; 1 крузадо =
= 480 рейсам.
Румыния — 1 лев = 100 бааи = 87.5 кош; 1 карольдор = 20 лавам.
Сербия — 1 динар = 100 парам=37,5 коп.
С. штаты Сев. Аме р.— 1 доллар = 100 центам = 1 руб. 94*/i коп.
Турция — 1 лира = 100 пиастрам; пиастр = 40 парам=120 аеаерам =
= 8 р. 54 коп.; 1 меджидие = 100 пиастрам.
Финляндия — 1 марка = 100 пенни = 87,5 коп.
Франция — 1 франк = 100 сантимам = 87,5 коп.
Швеция — см. Дания.
Щвейцария — см. Франция.
Я п о и и я — 1 иен = 100 оеиам = 1000 рннам = 97 коп.