Устойчивость движения сложных систем - Мартынюк А.А.

Автор: Мартынюк А.А.
Теги: динамика кинетика математическая физика механика монография теория устойчивости математические методы
Год: 1975
Похожие
Теория устойчивости движения
История механики твердого тела
Устойчивость процессов деформирования вязкопластических тел
Устойчивость движения (методы Ляпунова и их применение)
Текст
                    АКАДЕМИЯ НАУК УКРАИНСКОЙ ССР
ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ
ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ
А. А. МАРТЫНЮК
УСТОЙЧИВОСТЬ
ДВИЖЕНИЯ
СЛОЖНЫХ СИСТЕМ
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКОВА ДУМКА»
КИЕВ - 1975

УДК 531.36
Монография посвящена разделу теории устой-
устойчивости движения, возникшему в последние годы
в связи с новыми потребностями анализа больших
систем. Изложены результаты, полученные при ис-
исследовании устойчивости движения сложных сис-
систем обыкновенных дифференциальных уравнений,
систем уравнений, содержащих малый параметр,
а также запаздывания и случайные функции. Изу-
Изучаются вопросы устойчивости при сложных возму-
возмущениях, а также вопросы устойчивости взаимодей-
взаимодействующих подсистем. Исследуется задача иденти-
идентификации (оценки параметров) обособленных под-
подсистем.
Книга рассчитана на математиков и механиков,
специализирующихся в области теории устойчиво-
устойчивости движения, мокет быть использована аспиран-
аспирантами и студентами вузов.
Ответственный редактор
академик АН УССР Ю. А. Митропольский
Рецензенты:
чл.-кср. АН УССР И. Н. Коваленко,
д-р физ.-мат. наук //. В. Азбелев,
д-р физ.-мат. наук А. М. Самойленко
Редакция математики й кибернетики
М М221@4)-75 8—74 © Издательство «Наукова думка», 1975 г.

ОГЛАВЛЕНИЕ
От редактора 7
Предисловие 9
Условные обозначения 12
Введение 13
§ 1. Постановка задачи 13
1.1. Примеры сложных систем A3). 1.2. Характерные
черты сложных систем A7). 1.3. Общее определение
устойчивости сложной системы A8). 1.4. Определение
устойчивости при постоянно действующих связях под-
подсистем B1).
§ 2. Функции Ляпунова и уравнения сравнения .... 24
2.1. Основные понятия и теоремы метода функций Ля-
Ляпунова B4). 2.2. Определение векторной функции
Ляпунова B8). 2.3. Системы сравнения C0).
Глава /. Исследование устойчивости сложных систем обыкновен-
обыкновенных дифференциальных уравнений 33
§ 3. Оценки вспомогательных функций на решениях возму-
возмущенных систем дифференциальных уравнений ... 34
3.1. Леммы об оценке вспомогательной функции C4).
3.2. Случай классических возмущений C7). 3.3. Оценки
для сложных систем с однотипными подсистемами D0).
§ 4. Оценки изменения решений сложной системы ... 42
4.1. Вспомогательная лемма D2). 4.2. Оценки откло-
отклонения решений свободных и взаимодействующих под-
подсистем D3). 4.3. Системы с малым параметром D7).
§ 5. Влияние связей на устойчивость сложной системы,
полученной объединением обособленных подсистем 49
5.1. Связи, ограниченные в каждый момент време-
времени D9). 5.2. Влияние связей, ограниченных в сред-
среднем E3). 5.3. Приложение теорем Н. Г. Четаева о вли-
влиянии новой связи E4).
§ 6. Общие теоремы об устойчивости и оценке решений воз-
возмущенных систем 55
6.1. Теорема об устойчивости сложно возмущенной си-
системы E5). 6.2. Оценки решений на конечном интер-
интервале F3).
§ 7. Исследование устойчивости в конечном за ограничен-
ограниченный промежуток времени сложной системы с однотип-
однотипными подсистемами 67
7.1. Устойчивость на конечном интервале обособленной
3

подсистемы F7). 7.2. Условия устойчивости связанных
подсистем G1).
§ 8. Устойчивость движения в конечном по отдельным за-
заданным координатам 72
8.1. Предварительные сведения G3). 8.2. Теоремы об ус-
устойчивости G5).
§ 9. Условия устойчивости сложной системы с неполной
информацией о функциях связей подсистем .... 78
9.1. Теоремы об устойчивости G8). 9.2. Устойчивость по
координатам обособленной подсистемы (81).
§ 10. Условия устойчивости сложных систем с асимптотически
устойчивыми подсистемами 84
10.1. Идея Ф. Н. Бейли (84). 10.2. Сложные системы с
нелинейно связанными линейными асимптотически устой-
устойчивыми подсистемами (92) 10.3. Случай внутренних
подсистем линейных и нестационарных (96). 10.4. Не-
Нелинейные системы (98).
§11.06 устойчивости сложной системы с нейтрально устой-
устойчивыми подсистемами 100
11.1. Теорема о равномерной устойчивости A01). 11.2.
Оценки функций связей на конечном интервале A02).
11.3. Нелинейные системы с особенным линейным при-
приближением A04). 11.4. Специальный особенный слу-
случай A11). 11.5. Устойчивость в развивающихся сис-
системах A14).
§12. Применение многоуровневых систем сравнения . .116
12.1. Сложные стационарные системы A16). 12.2. Рав-
Равномерная устойчивость A22).
Вопросы для исследования 123
Глава f/. Исследование устойчивости решений систем, содержа-
содержащих малый параметр 125
§ 13. Постановка задачи .126
§ 14. Оценки вспомогательных функций вдоль решений слож-
сложных систем с параметром 129
14.1. Идея расширения основной системы A29). 14.2.
Оценки изменения вспомогательных функций A30).
§ 15. Метод возмущений и функции Ляпунова .... 135
15.1. Построение вспомогательной системы A36),
15.2. Построение функций Ляпунова для асимптотичес-
асимптотически устойчивого решения невозмущенной системы A38).
15.3. Квазилинейные системы A40). 15.4. Построение
функций Ляпунова в критических случаях A41).
15.5. Построение функций Ляпунова для последующих
приближений A44). 15.6. Построение полиномиаль-
полиномиальных решений A47). 15.7. Построение функций Ляпуно-
Ляпунова в специальном критическом случае A49).
§ 16. Функции Ляпунова и устойчивость линейных нестацио-
нестационарных систем 157
16.1. Общее решение матричного дифференциального
уравнения Ляпунова A57). 16.2. Функция Ляпунова
для линейной нестационарной системы с малым парамет-
параметром A59). 16.3. Функция Ляпунова для линейной систе-
системы дифференциальных уравнений с периодическими

коэффициентами A61). 16.4. Условия конечной устойчи-
устойчивости линейной системы A62) 16.5 Коэффициенты функ-
функции Ляпунова для псевдолииейной системы A63).
§ 17. Рекуррентные алгоритмы построения решений систем
дифференциальных уравнений с переменными коэффици-
коэффициентами 165
17.1. Применение степенных рядов A65). 17.2. При-
Применение интегрирующих слагаемых A67). 17.3. Приме-
Применение вспомогательных функций A72). 17.4. Нелиней-
Нелинейные системы A76). 180
§ 18. Устойчивость решения сложно возмущенной системы
18.1. Теоремы об устойчивости на бесконечном интерва-
интервале времени A80). 18.2. Системы с малыми возмуще-
возмущениями A82). 18.3. Стационарные системы с развива-
развивающимися возмущениями A83). 18.4. Оценки решений
на заданном интервале A87).
§ 19. О неустойчивости взаимодействующей подсистемы в
сложной системе 190
19.1. Определения сильной и слабой неустойчивости взаи-
взаимодействующей подсистемы A90). 19.2. Теорема о неу-
неустойчивости A91). 19.3. Условия неустойчивости подси-
подсистемы с развивающимися связями A95). 19.4. Теорема
о [д,-неустойчивости взаимодействующей подсистемы A97).
§ 20.0 применимости усредненных уравнений при иссле-
исследовании устойчивости точных решений нестационарных
систем 199
20.1. Теорема Н. Г. Четаева A99). 20.2. Общий случай
нелинейной системы B02).
§21. Область притяжения решений усредненных уравнений 205
21.1. Теорема Н. Н. Боголюбова B06). 21.2. Область
асимптотической устойчивости усредненных уравне-
уравнений B08).
§ 22. Теоремы об устойчивости стандартной системы при по-
постоянно действующих возмущениях 217
22.1. Леммы об оценке расстояния между решениями
B10). 22.2. Теорема об устойчивости B13). 22.3. Аддитив-
Аддитивно возмущенные стандартные системы B17).
§ 23. Квазиустойчивость и устойчивость по Ляпунову систем
с малым параметром 218
23.1. Обозначения и определения B19). 23.2. Теорема
об устойчивости связанных стандартных систем B22).
§ 24. Устойчивость и периодические движения нелинейных
систем со слабым взаимодействием 226
24.1. Построение векторной функции Ляпунова B26).
24.2. Нетривиальные примеры B28). 24.3. О применении
средних вдоль решений порождающей системы B31).
24.4. Расчет периодических решений B34). 24.5. Нели-
Нелинейное уравнение Релея B36).
§ 25. Качественное исследование поведения систем слабо-
слабосвязанных осцилляторов 237
25.1. Две общие теоремы о системах B4.13) B37).
25.2. Слабосвязанные системы второго порядка B39).
25.3. Система двух связанных осцилляторов B42).
25.4. Система трех связанных осцилляторов B49).

§ 26. Условия устойчивости двухроторного гирокомпаса с
успокоителями колебаний 257
26.1. Теорема об устойчивости по части переменных B58).
26.2. Условия устойчивости гирокомпаса B60).
§ 27. Деформация свойств движений под действием интеграль-
интегральных возмущений 264
27.1. Интегральные возмущения линейных стационар-
стационарных систем B64). 27.2. Случай линейной нестационар-
нестационарной системы B67). 27.3. О структуре области допусти-
допустимых параметров интегральных связей B70).
Вопросы для исследования 272
Глава III. Исследование сложных систем с разнородными под-
подсистемами 273
§ 28. Предварительные замечания 274
28.1. Математическое описание сложной системы с разно-
разнородными подсистемами B74). 28.2. Применение дифферен-
дифференциальных форм B76). 28.3. Построение возмущенных
функционалов Ляпунова B77).
§ 29. Условия отсутствия замкнутых многообразий решений в
многомерных стационарных системах 280
29.1. Критерий Дюлака B82). 29.2. Критерий Пуанка-
Пуанкаре B84).
§ 30. Исследование устойчивости сложной системы с запаз-
запаздываниями 285
30.1. Предварительные сведения B86). 30.2. Задача о
конечной устойчивости систем с последействием B88).
30.3. Теоремы об устойчивости и неустойчивости в ко-
конечном систем с последействием B89). 30.4. Системы с
запаздываниями в связях B92).
§ 31. Исследопание устойчивости решений конечноразност-
ных уравнений 297
31.1. Постановка задачи B97). 31.2. Теоремы об устой-
устойчивости B98). 31.3. Декомпозиция систем разностных
уравнений C03). 31.4. Достаточные условия устойчи-
устойчивости s-й подсистемы C08). 31.5. Численно-аналитичес-
Численно-аналитический алгоритм синтеза устойчивых систем регулирования
(£09). 31.6. Устойчивость в произведении пространств C11).
§ 32. Об устойчивости по Четаеву сложных систем со случай-
случайными параметрами 312
32.1. Постановка задачи C12). 32.2. Вспомогательные
леммы C13). 32.3. Определения и теоремы о конечной
устойчивости C14). 32.4. Детерминированные системы
со случайным взаимодействием C23).
§33. Алгоритмизация оценки параметров моделей обособлен-
обособленных подсистем 225
33.1. Задачи исследования C25). 33.2. Принцип пакет-
пакетного входа C26). 33.3. Линейные нестационарные сис-
системы C30). 33.4. Некоторые частные случаи C35).
33.5. Оценка коэффициента демпфирования в системе
второго порядка C42).
Вопросы для исследования 345
Литература 346

ОТ РЕДАКТОРА
Современные задачи устойчивости процессов, изучаемых в физике,
технике, экономике и биологии, сопряжены с необходимостью учета
многих факторов, действующих на системы при их функционировании.
Это «действие» проявляется в разрывности и нестационарности дина-
динамического режима систем, статистическом характере изменения струк-
структурных свойств агрегатов, наличии параметрических и внешних воз-
возмущений, появлении неинтегрируемых (неголономных) связей, ди-
скретнссти и т. д. Исследование таких систем требует как совершен-
совершенствования качественных и аналитических методов, так и создания
достаточно простых математических моделей изучаемых процессов.
Все эти пути имеют одну цель — получение содержательных резуль-
результатов анализа и синтеза соответствующих систем дифференциальных
уравнений. Поэтому большой интерес представляют исследования, на-
направленные на создание проблемно-ориентированных методов качест-
качественного и численно-аналитического анализа организованного мно-
множества структурных элементов, связанных между собой для реализа-
реализации определенных процессов. Результаты такого рода исследований
содержит настоящая монография. В ней изложены результаты иссле-
исследования динамики и устойчивости возмущенных параметрически и
внешним образом систем, а также больших систем, полученных объе-
объединением обособленных подсистем (в книге принят термин «сложные
системы»), описываемых обыкновенными дифференциальными урав-
уравнениями, системами с малым параметром, последействием, случай-
случайными функциями и дискретностью.
Аппаратом исследования является второй метод Ляпунова и сис-
систематическое применение дифференциальных (теорема Чаплыгина—
Важевского) и интегральных неравенств. При изучении ряда конкрет-
конкретных задач устойчивости и идентификации систем применяется метод
возмущений и параметрические разложения. Проведенные исследова-
исследования охватывают как вопросы устойчивости по Ляпунову, так и устой-
устойчивости в конечном на ограниченном интервале времени. Общие ре-
результаты иллюстрируются модельными примерами и решением ряда
задач устойчивости гирогоризснткомпасов, связанных осцилляторов и
других систем колебательного типа. При этом реализуется, общая идея

качественного исследования процессов, заключающаяся в расширении
первоначальной системы и отыскании некоторого общего интеграль-
интегрального многообразия.
Значительный интерес представляют рассмотренные в книге при-
примеры и вопросы для исследования.
В целом монография А. А. Мартынюка представляет собой су-
существенно нсвый вклад в теорию и практику применения качественных
методов в исследовании сложных систем Ее издание, несомненно,
принесет большую пользу широкому кругу исследователей, работаю-
работающих в упомянутой области.
Академик АН УССР
Ю. А. Митропольский

ПРЕДИСЛОВИЕ
Теория устойчивости движения, созданная в трудах великого рус-
русского ученого-математика и механика А. М. Ляпунова, нашла мно-
многочисленные применения в самых различных задачах физики, техники,
ядерной энергетики, математической кибернетики, биологии. После
опубликования в 1892 г. сочинения А. М. Ляпунова «Общая задача об
устойчивости движения» важнейшие результаты по теории устойчи-
устойчивости движения получены, в основном, советскими математиками.
В первоначальной постановке вопрос об устойчивости нулевого
решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений
ifi _ г а х v \ с - 1 о п а)
где fa (/, Xi,.. , хп) —степенные ряды переменных t, xu , хп, схо-
сходящиеся в окрестности ха=0, s=l, 2,..., м, решался А. М Ляпуно-
Ляпуновым двумя созданными им методами* методом разложения решений
системы A) в ряды специального вида и методом вспомогательных
функций v(t, Хи . • •, хп), которые вместе со своими производными по
/ в силу уравнений A)
dv(Ux) . v, dv(t, x) r .. v
dt
обладают некоторыми свойствами как функции точки (t, xu ..., хп).
Если такие функции удается построить, то подходящие условия, ко-
которым они должны удовлетворять, дают достаточные, а также необ-
необходимые и достаточные условия различных типов устойчивости нуле*
всго решения системы A).
В общем случае большинство методов качественного анализа
свойств решений системы дифференциальных уравнений A) могут
быть сведены в следующую схему. По системе уравнений A) строится
вспомогательная система дифференциальных уравнений
%=W(t,u,x) B)

такая, что расширенная система A), B) имеет интегральное много-
многообразие, определяемое уравнением
г|)(/,и,х)=0. C)
Фактическое построение системы B) и уравнений интегрального
многообразия C) связано с решением уравнений в частных производ-
производных первого порядка. Такого рода уравнения могут быть решены, если
исходная система A) или ее часть интегрируются в замкнутой форме.
В ряде случаев вспомогательную систему B) можно построить с пра-
еой частью W, не содержащей х. Получающаяся при этом система
уравнений
§=У0(*,и) D)
должна быть в каком-то смысле проще для исследования, чем исход-
исходная. Например, размерность вектора и меньше, чем размерность век-
вектора х\ система D) может не содержать явно времени или правая
часть системы D) в том или ином смысле мала по норме. В частном
случае уравнения C) могут определять замену переменных х на и.
Построение одной или нескольких функций (вектор-функций) Ляпу-
Ляпунова для системы A) является одной из возможных реализаций ме-
метода расширения первоначальной системы.
Данная книга представляет собой попытку разработки изложен-
изложенной общей идеи применительно к сложно возмущенным и сложным
системам обыкновенных дифференциальных уравнений, а также сис-
системам уравнений с малым параметром. Некоторые результаты пере-
переносятся также на системы уравнений с запаздываниями и разностные
уравнения.
Первая глава содержит методы исследования задачи устойчивости
сложной системы обыкновенных дифференциальных уравнений Здесь
установлены сценки вспомогательных скалярных и векторных функ-
функций Ляпунова вдоль решений возмущенных и взаимодействующих
подсистем, на основе которых получены условия устойчивости на
заданном конечном и неограниченном интервале времени. При этом
свойство устойчивости нулевого решения исходной системы тесно свя-
связывается со свойством верхних (нижних) решений уравнений (систем)
сравнения B) или D). Взаимодействующие подсистемы изучены при
различных предположениях как о свойствах их решений (устойчи-
(устойчивость, неустойчивость, асимптотическая устойчивость), так и различ-
различных свойствах функций связи между ними.
Во второй главе изучаются системы с малым параметром. На
Основе второго метода Ляпунова для векторной функции в сочетании
с принципом сравнения С. А. Чаплыгина проводится качественное ис-
исследование свойств решений сложно возмущенных и слабо взаимо-
Ю

действующих подсистем и устанавливаются оценки движения исход-
исходных систем на основе усредненных уравнений. Исследования основаны
на фактическом построении функций Ляпунова методом возмущений,
включая критические случаи. Рассмотрены системы осцилляторов при
нестационарном нелинейном взаимодействии, найдены условия устой-
устойчивости гирогоризонткомпаса, оборудованного гидродинамическими
демпферами, а также рассмотрены вопросы устойчивости линейных
интегрально-возмущенных систем, содержащих параметр.
Третья глава содержит исследования сложных систем уравнений
с разнородными подсистемами. Здесь установлены оценки параметров
систем, устойчивых на конечном интервале и содержащих запаздыва-
запаздывания, дискретное время, а также случайные параметры. Для оценки
параметров моделей (идентификация) обособленных взаимодействую-
взаимодействующих подсистем сформулирован принцип пакетного входа, состоящий
в последовательном наблюдении выхода (s — 1) модели при заданном
входном воздействии на s-ю модель. Для некоторых видов входных
воздействий (степенные ряды, полиномы) задача оценки параметров
сведена к решению систем алгебраических уравнений. Способ иллю-
иллюстрируется на примере оценки параметров некоторых моделей коле-
колебательных систем.
Отдельные результаты, содержащиеся в настоящей книге, опуб-
опубликованы в статьях [12, 16, 20, 27, 53—67, 69, 70]; часть результатов
публикуется впервые. Наряду с этим в книгу включены некоторые
результаты исследований советских и зарубежных авторов, что отме-
отмечено ссылкой на первоисточник.
В заключение автор выражает глубокую признательность акаде-
академику АН УССР Ю. А. Митропольскому за ряд полезных советов и
замечаний, использованных в процессе работы над рукописью, а также
члену-корреспонденту АН УССР И. Н. Коваленко и Е. Л. Тонкову за
большую помощь, оказанную при окончательной подготовке рукописи
к изданию.
Автср благодарит Н. В. Азбелева, Ю. С. Богданова, К. Г. Вале-
ева, В. И. Зубова, В. М. Старжинского и М. М. Хапаева, принявших
участие в обсуждении отдельных результатов и книги в целом. Их
замечания и ценные советы помогли значительно улучшить изложение
материала-

УСЛОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
JQ — множество значений (t: О < / < + оо);
J
Q — множество значений (t : 0 <! t < а);
JT dJa— множество значений {t: tQ ^ t <; *Q -\- T);
J ClJf — множество значений (t : (г ^ / ^ /J;
JT — множество значений {t '.tQ^,t <^ /() + Г);
|| х || = Bх?J — евклидова норма,
Q (Н) — множество (х : || х \\<^ Н, Н = const или Я = оо);
р(л, М) — расстояние от точки х до множества М,
YA, Г^ — конечные области в евклидовом пространстве Еп\
дГА — граница области ГА,
д£ — граница цепи £р (xv .. . , хп) степени р,
xg = (xls,... , xrss) — вектор размерности rg;
Г (фх, .. , фт) — определитель Грама;
V = (t/j,. . . , Ут) — векторная функция Ляпунова;
G#, т) — множество точек {(V, т) || V ||< /?, / > т};
тах /,х) при ||
^'D @ = sup (v (/, х, у) при || t/1| < X, г £ D);
i£'D @ = sup (» (*, у, 2) при у g Г^\Г6, 2 g D);
у — квантор общности,
3 — квантор существования;
V — или;
Dob (*) 5ф. (х)
**(х) = —sr^ = ~^г~~~матрица Якоби;
М — оператор усреднения по t\
(,) — символ скалярного произведения;
int G — внутренняя часть G .

ВВЕДЕНИЕ
§ 1. Постановка задачи
В последние годы внимание большого числа математи-
математиков и. механиков сосредоточено на изучении широкого кру-
круга проблем, связанных с анализом и синтезом «сложных си-
систем» (употребляется еще термин «больших систем», «крупно-
«крупномасштабных систем»). Отсутствие строгого определения
сложной системы порождает определенную многословность
в ее описании, которая относится в той или иной ситуации к
разряду сложных. Понятно также, что причисление кон-
конкретной системы к разряду сложных носит условный ха-
характер и определяется во многом средствами исследования
и их математическим обеспечением. Рассмотрим некоторые
примеры сложных систем, образованных из большого числа
взаимосвязанных и взаимодействующих между собой от-
относительно простых подсистем.
1.1. Примеры сложных систем.
Пример 1.1. Пусть имеется голономная материальная система,
несущая тело и состоящая из свободного твердого тела Ро. Предположим,
что это тело имеет полость, целиком или частично наполненную идеаль-
идеальной однородной несжимаемой жидкостью плотности рх. Пусть также с
телом Ро связаны упругие тела с плотностью р2 и Л/ некоторых других
твердых тел и материальных точек.
Уравнения движения рассматриваемой системы имеют вид
A.1)
V '
N
Fp.^P- s«z,...,n, A.3)
-тг +o)Xv = F — — grad p в области т^, A.4)
13

^+т% в области v AJ5)
dU . л dA
oq = -gj os, 0G = -^уг 67 в области xg, A.6)
к которым присовокупляются динамические граничные условия
р = ро+2#а на 5,
cos0 = — -~ на /, A.7)
Рд = рл на S2'
Здесь приняты следующие обозначения: рп = р^ + р2я2 + р3яз —
плотность упругих напряжений на площадке с внешней нормалью,
з
п = ^ ns\s, К и L — главный вектор и главный момент всех прило-
s=l
женных к системе активных сил относительно точки О, являющейся
началом прямоугольной декардовой системы координат Охгх2х , жестко
связанной с телом PQ и совпадающей с центром масс тела PQ; F и
Fn — плотности массовых и внешних поверхностных сил, действующих
на упругое тело и жидкость; 2# — средняя кривизна поверхности
жидкости; 0 — краевой угол на линии / пересечения свободной поверх-
поверхности S жидкости со стенками полости а, %х и т2 — области простран-
пространства; я^Хд — занятые в данный момент жидкостью и упругим телом*,
U = U (е.., s) — внутренняя энергия, отнесенная к единице упругого
13 dV дА
тела; Т = ^- или s = —~df~ ~ абсолютная температура; Л=Л (е^,Г)^
свободная энергия;
(i, / = 1, 2, 3) — компоненты тензора деформации; Q — количество дви-
движения; G — момент количества движения системы относительно точки О;
= Mvc,
rcxMv0 + 0.(o + ^ rvXmvrv;
V
■f- гс — вектор скорости центра масс; Е — кинети-
кинетическая энергия системы, равная
14

Е = -2-Mvo + Mvo-((°Xrc)+ ^-(o.0-ro +v0 •
rv + mv'v + T Ц m'
V
м
= V mv — масса системы; rc = ^- \ mvrv—радиус-вектор центра
масс системы относительно точки О; Э — тензор инерции системы для
точки О; vQ и (о — векторы скорости точки О и мгновенной угловой
скорости тела PQ; rv — вектор скорости точки Pv.
Динамические уравнения A.1) — A.5), уравнения неразрывности
divr = O, -^
уравнения состояния
ди дА
PU = Р2 Ж7 = Р2 1^7
и уравнения притока тепла
dq = 7ds
вместе с граничными условиями A.7) образуют замкнутую систему
нелинейных уравнений (обыкновенных и в частных производных) дви-
движения сложной системы. Подробный вывод этих уравнений имеется в
работе В. В. Румянцева [98].
Пример 1.2 [9]. Рассмотрим систему управления полетом са-
самолетов крупного аэродрома. Весьма упрощенная схема этой системы
пирведена на рис. 1. В ее состав входят система дальнего обнаружения
и управления, состоящая из радиолокационной станции дальнего обнару-
обнаружения, аппаратура съема данных, вычислительное устройство, аппарату-
аппаратура отображения информации (табло, экраны и т. д.), аппаратура выда-
выдачи информации наземным системам и обмен информацией с бортом само-
самолета 10].
В процессе функционирования системы данные о самолетах, полу-
полученные от радиолокатора дальнего обнаружения, поступают в вычисли-
вычислительное устройство и соответствующим образом обрабатываются. С помо-
помощью системы многоканальной дальней связи с бортом самолета устанав-
устанавливается двусторонняя радиосвязь. Поступающая информация позволяет
произвести отсев самолетов, следующих в другие аэропорты. Сведения
о таких самолетах дальнейшей обработке не подвергаются; в слу-
случае необходимости радиосвязь может служить для передачи на борт ме-
метеорологических и топографических данных, сведений о радиомаяках и
т. д. Информация о самолетах, следующих в данный аэропорт, подлежит
дальнейшей обработке и передаче другим наземным системам. В первую
очередь эта информация поступает в систему диспетчеризации и обра-
обрабатывается в центральном вычислительном устройстве. Здесь определя-
определяется порядок посадки каждого самолета, выделяется соответствующая
посадочная полоса и канал многоканальной системы слепой посадки и
15

бортовая
аппаратура
самолета
^Система дальнего~\ ^Система многоканальной^
обнаружения . ( дальней связи
и управления '
Радио-
Радиопередатчик
Радиолокацион-
Радиолокационный передатчик
Многоканальная система
слепой посадки и взлета
самолетов
диспетчеризации
Радиолокационный
передатчик
Родиолокоцион-
ный приемник
Радио-
Радиоприемник
Аппаратура
съема данных
U ввода ввычи
слительное
устройство
Радиолокацион-
Радиолокационный лередат чик
Станция
передачи
команды
Цент-
Центральное
вычис-
литель-
лительное ус-
трой-
тройство
Аппаратурасъе-
маданных и вво-
Аппарату-
Аппаратура выдачи
команд
вычислительное
устройство
да в вычислитель-
вычислительное устройство
Аппаратура
обменоинфор-1
мацией с д ортом
сомопето I
ппа-
, тураотдх
Сражения ]
инфор
Аппаратура
ввода данных в
вы числительное
устройство
Вычисли -
тельное ус-
устройство
Аппаратура
выдачи инфор -
мации наземным^ \
системам ' '
Рис. 1.

взлета самолетов. Последняя имеет радиолокационную станцию аэро-
аэродромного обзора, вычислительное устройство с аппаратурой ввода дан-
данных и систему передачи команд на борт самолета. По команде системы
диспетчеризации информация об определенном самолете от системы даль-
дальнего'обнаружения передается в соответствующий канал системы слепой
посадки. Дальнейшая разработка информации производится в этой си-
системе. Посадочные характеристики непрерывно передаются на борт са-
самолета и фиксируются специальными (например, стрелочными) прибо-
приборами. Совмещение в каждый момент времени (при помощи органов уп-
управления самолетом) соответствующих стрелок обеспечивает движение
самолета по закону, выработанному вычислительным устройством, и ус-
успешную его посадку. Таким образом, система слепой посадки вместе
с бортовыми стрелочными приборами и пилотом (или автопилотом)
представляет собой замкнутый контур управления с обратной связью,
осуществляемой через радиолокатор аэродромного обзора.
К разряду сложных систем относятся также [9, 44] система город-
городского транспорта, производственный процесс, информационная систе-
система, управление химическим производством или известная иерархи-
иерархическая (многоуровневая) система управления с помощью ЭЦВМ метал-
металлургическими заводами Спенсера (Англия).
1.2. Характерные черты сложных систем. В большин-
большинстве практически интересных случаев сложные системы об-
обладают переменной структурой, нелинейными звеньями,
неголономными связями, возмущениями стохастической при-
природы как параметрическими, так и внешними. В общем слож-
сложность той или иной системы определяется совокупностью
признаков.
Следуя [44], к таким характерным признакам отнесем:
1) многомерность;
2) многообразие структуры системы (сети, деревья,
иерархические структуры и т. д.);
3) многосвязанность элементов системы (взаимосвязь
подсистем в одном уровне и между различными уровнями
иерархии);
4) многообразие природы элементов (машины, автоматы,
люди-операторы);
5) многократность изменения состава и состояния си-
системы (переменность структуры, связей и состава системы);
6) многокритериальность систем (различие локальных
критериев для подсистем и глобального критерия для си-
системы в целом, противоречивость их);
7) многоплановость в научном отношении.
Эти обстоятельства зачастую приводят к непреодолимым
трудностям на пути практического решения задачи анализа
сложной системы. Поэтому возникает ряд направлений,
связанных с приведением систем к более простым и созда-
17

нием таких методов анализа, которые наиболее сильно за-
висили бы от особых свойств или структурных особенностей
анализируемых систем.
Известными методами, учитывающими эти особенности,
являются метод Крона—Стюарда 1421, метод итеративного
агрегирования (замена исходной системы другой с меньшим
числом переменных), а также прямые методы численного ре-
решения. Достоинства и недостатки этих методов отмечаются
в работе [44].
Прежде чем перейти к строгой формулировке задачи,
являющейся предметом исследования в настоящей работе,
отметим, что задача анализа устойчивости движения слож-
сложных систем по частям является составной частью общей тео-
теории сложных систем и поэтому предлагаемые исследования
рассматриваются нами как попытка создания необходимого
рабочего аппарата для решения важнейших практических
задач в этом направлении.
1.3. Общее определение устойчивости сложной системы.
Рассмотрим поведение сложной системы S в фазовом про-
пространстве £. Пусть множество X содержится в Е.
Если задан закон, согласно которому любому элементу
р£Х соответствует вещественное число v(p), ip говорят,
что на X а Е задан функционал v(p).
Предположим, что движение сложной системы S опре-
определяется некоторым набором параметров или конституэнт а,
принадлежащих пространству параметров А. Если измене-
изменение состояния системы S на Ja характеризовать функцией
z (/, а), то при фиксированном V £ Ja г (/*, а) £ Е. Рассмотрим
пространство ЭЛ непрерывных функций, состоящее из кус-
кусков траекторий z(t,a), получающихся при фиксированном
т(/<т) и изменяющемся а£А. Чтобы оценить качество
движения системы S, введем однопараметрическое семейство
действительных функционалов Fx(a) = Fx[z(t,a)J < т].
Очевидно, при закрепленном значении а£А выражение
Fx (а) определит вещественную функцию вещественного
аргумента т. При фиксированном х значение функционала
Fx(a) характеризует движение системы S до момента т.
Рассмотрим множество g действительных непрерывных
на Ja функций. Пусть В — система подмножеств этого
множества, образующая о-алгебру. Напомним, что система В
называется о-алгеброй, если &£б и, кроме того, операции
пересечения, объединения и взятия дополнения к простран-
пространству £, совершаемые над элементами класса В, не выво-
18

дят из класса В. Для каждого множества В£В определим
совокупность By (В) непересекающихся подмножеств В,
определяемую параметром «/у. Пусть вместе с любой после-
последовательностью непересекающихся множеств Ву (В), содер-
содержащихся в любом фиксированном множестве В, их объеди-
объединение U Ву (В), пересечение П Ву (В) и дополнение B\fiv (В)
принадлежат В.
Аналогично проделанному для множества И определим Л
как систему подмножеств параметров А. Для каждого мно-
множества А£Л определим совокупность AV(A) непересекаю-
непересекающихся подмножеств А, определяемую параметром у.
Предположим, что и Л является а-алгеброй. Счетно-
аддитивную меру |л функционала FT [z(t, a), t < т] определим
на минимальной а-алгебре, соответствующей о-алгебрам
множеств В и А.
Определение 1.1. Сложная система совершает устойчивое
движение относительно (В, {Bv}, A, {Av}, Fx(a), е0, Уа), если
для любого 0 < е < е0 < 1 и любого множества В£В можно
найти множество А£А такое, что для каждого А,£ЛВ(А)
существует В^ВД (В), удовлетворяющее условию
И {(Fx [z (U a), t < т]) б В^} > 1 - е A.8)
при всех а £ Ах и x£Ja-
Здесь в качестве параметра для набора совокупностей
{Av} выступают множества В из В, а параметрами для {Ву}
являются множества из Лв.
Грубо говоря, смысл этого определения состоит в том,
что мера некоторого свойства движения сложной системы
S на заранее заданном интервале не меньше наперед задан-
заданной величины.
Замечание 1.1. Определение устойчивости функциониро-
функционирования сложной системы, рассматривая последнюю как су-
существенно стохастическую, дано в [34 и 9, с. 249]. При
этом неравенство вида A.8) носит вероятностный смысл.
Замечание 1.2. Все определения различных понятий ус-
устойчивости, рассматриваемых далее в книге, можно получить
из определения 1.1, выбирая соответствующим образом «ат-
«атрибуты» этих определений, обусловленные их «окраской».
Чтобы не загромождать изложение, не будем каждый раз
повторять эти выкладки, отметив лишь, что несмотря на
2* 19

некоторую громоздкость, определение 1.1 содержит не бо-
более понятий, чем различные частные определения.
Если условие A.8) не выполняется, будем говорить, что
сложная система функционирует неустойчиво.
Объектом исследования в настоящей работе являются
системы дифференциальных уравнений
%=X(t,xtp(ttx),r(t,x)), A.9)
где х££п, вектор-функция p(t,x) определяет параметри-
параметрические возмущения, которые могут быть известными функ-
функциями х с известными оценками || р (/, х) || при || х || < Ну
t > t0. Относительно г (t, x) предполагается, что эти функ-
функции описывают постоянно действующие возмущения, яв-
являются малыми и для них известны только некоторые оценки.
Наряду с системой A.9) рассматривается «невозмущен-
«невозмущенная» система
^- = Xtf,*,po,ro), A.10)
которая может быть как детерминированной, так и стохас-
стохастической в зависимости от природы связей и математической
модели, принятой для описания реально действующей си-
системы.
Предполагаем, что в некоторой области Q (Я, т)
||х||<Я, />х @<//<оо, т>0) A.11)
выполнены условия существования и единственности реше-
решений x(tJOixo) систем A.9) и A.10), принимающих значение
х0 при t = t0, x^Qo^cQ^), и для систем A.9), A.10)
точка х = 0 является положением равновесия.
Остановимся кратко на интерпретации записи уравне-
уравнений, описывающих функционирование рассматриваемых
систем в виде
%=X(t,x,p(t,x), F(t,x)), A.12)
т
где x£Eni xs£Er$i причем 2rs==/z> вектор-функция
s==.l
Fs (t, x) = Fs (t, Xj xs_p xs+1 xj осуществляет
взаимосвязь подсистем. Необходимость рассмотрения систем
дифференциальных уравнений A.9) или A.12) обычно зави-
20

сит от физического смысла задачи и характера ее матема-
математической модели.
Если сложная система A.12) состоит из взаимосвязанных
простых подсистем, to, полагая, например,
F(t>x)=u(t) и р(/,*) = 0, y=*h(x(f)9f)9
где x(t) — ^-мерный вектор состояния, и (t) — р-мерный
вектор входа и y(t) — ^-мерный вектор выхода, ее можно
записать в виде
A.13)
Если известно множество подсистем Sit i = 1, 2, ..., m,
тогда, определяя сложную систему как соединение подси-
подсистем, входной вектор i-й подсистемы представляется в виде
Л + С^ /=1,2,...,т, A.14)
где и. — вектор входа t-й подсистемы, у. — выходной вектор
/-й подсистемы, и — внешний входной вектор, B..bGi — пос-
постоянные матрицы. Матрица
характеризует структуру внутренних связей сложной си-
системы. Отметим, что при таком способе объединения под-
подсистем предполагается, что модели отдельных переходных
систем не подвергаются воздействию различных типов сое-
соединений. Это предположение может быть оправдано для
большого числа физически связанных систем.
1.4. Определение устойчивости при постоянно действую-
действующих связях подсистем. Рассмотрим систему A.12), предполо-
предположив, что F (t9 x) суть функции связи подсистем как параме-
параметрические, так и внешние. В качестве пространства параметров
А выберем совокупность двух множеств: пространства началь-
21

ных состояний системы A.12), совпадающих с £, и простран-
пространства ограниченных (в том или ином смысле) связей F (t, х).
Определим в произведении ExJ0 замкнутое множество
М такое, что его сечение М (ij) гиперплоскостью / = тг
при любом тх £ Jo не пусто в Е. При непрерывной на
JaaJ0 функции x(t) функция p(x(t),M(f)) непрерывна и
сечение Мо (/0) множества Мо = М f| Йо, Qo = Е хТ0 гипер-
гиперплоскостью t = t0 не пусто в ЕоаЕ при любом /0£Г0,
где Го — множество начальных моментов времени /0.
Отметим, что
р (х (/), М @) = inf (|| х @ - х° ||: х° £ Л! @)
обозначает расстояние от точки х£Е до множества Л!(/):
Л1 (t)° = {х: л:е Яо; Р (х (/)• Л4 (*)) < а},
а—окрестность множества Л1(ф в £, М (t)° — замыкание
@е в £.
Предположим, что функция
суммируема на любом интервале JTaJa.
В множестве А зафиксируем некоторую точку а0 с коор-
координатами («q, aj), где а'о принадлежит пространству началь-
начальных состояний, a|J — пространству ограниченных связей
F(t,x). В качестве Fx выберем
ft {x (t, eg: t < т, /, т е уг} - р (х (*,«;), м (О).
Пусть совокупность 5 состоит из всевозможных множеств
Ве неотрицательных действительных функций {F, т £ Уг}
вида
Ве = {рт:рт<е> x$Jr e>°>-
Очевидно, В0 си В0 при Q{ > 02 и, кроме того, В0 = [0, 0)
для всех t£JT. Предположим, что совокупность ВА (В) не
зависит от Аг и состоит из одного множества В:
Примем, что совокупность Л состоит из всевозможных
множеств АА и А* вида
22

6t = К : p (x (/, *0, ^), M (t0)) < б, (в,
ЛЛв = {осо: IIZ7 (Л ^) || < 62 (в, /о), хе ЛГG)^}. A.15)
Совокупность Лв(Л)={Л} для всех В£В. Теперь из
определения 1.1 получим определение устойчивости мно-
множества M(t) при ограниченных связях F(t,x).
Определение 1.2. А) множество М а Еп (относительно
сложной системы A.12)) устойчиво при ограниченных связях
малых в каждый момент, если для любого 9 существуют
такие Ьх F, ^0) и б2 F, £0), что при любом aQf удовлетворяю-
удовлетворяющем условию
w^;)J('))<8i(^o). AЛ6)
\\F(t,x)\\<
для решения х (tv tQt х0) с х0 £ Ео с Е
р (х (t, tQt х0), М (t)) < 0 при Есех / > /0; (Ы7)
Б) М равномерно по /0, устойчиво при ограниченных свя-
связях малых в каждый момент, если выполняется условие А)
определения 1.2 и бъ б2, независящими от /0;
В) М устойчиво при ограниченных связях малых в
среднем (соответственно интегрально), если для любого
6 < 0, t0 6 Т существуют такие бх F, t0) и б2 F, tQ), что
при A.16) имеет место A.17), лишь только
t+\
j g (s, 6) ds < б2 при t £ Ja
(oo
соответственно f g (/, 9) dt
Г) УН устойчиво равномерно (по /0) при ограниченных
связях малых в среднем (соответственно интегрально),
если справедливо условие В) определения 1.2 и б1э б2, не-
независящими от /0.
Если в системе уравнений A.12) функции F (/, х) входят аддитивно
и являются функциями постоянно действующих возмущений, то оп-
определение 1.2 (А—Г) суть определения В. М. Матросова [79], обобщаю-
обобщающие соответствующие определения И. Г. Малкина, X. Л. Массера,
Г. Н. Дубошина, В. Е. Гермаидзе и Н. Н. Красовского, С. И. Горшина
и др. (см. [79]).
23

Из общего определения 1.1 можно получить определения различных
типов конечной устойчивости ((X, Л, tQ, Г, || . JJ )-устойчивости) в детерми-
детерминированной и стохастической постановке [5/, 61], устойчивости движе-
движения относительно части переменных [63] и др.
§ 2. Функции Ляпунова и уравнения сравнения
В этом параграфе приведем некоторые вспомогательные
для дальнейшего изложения сведения о методе качествен-
качественного исследования поведения интегральных кривых систе-
системы дифференциальных уравнений без непосредственного их
построения. Этот подход восходит к трудам А. Пуанкаре
[90] и получил гениальное воплощение в классическом со-
сочинении А. М. Ляпунова [50].
Прежде всего отметим, что одним из направлений развития метода
функций Ляпунова (прямого метода [112] исследования устойчивости),
активно разрабатываемых в последние годы, является направление,
связанное с применением нескольких функций и дифференциальных не-
неравенств типа неравенств С. А. Чаплыгина [109] (теорема Т. Важевского
[131]), в сочетании с принципом сравнения с решением скалярного урав-
уравнения сравнения. Отметим здесь работы [1, 30, 39, 48, 81, 83, 121, 128],
в которых были выяснены границы применимости теоремы С. А. Чаплы-
Чаплыгина и предложена общая идея применения дифференциальных нера-
неравенств в теории устойчивости движения. В последствии [121] был разра-
разработан принцип сравнения со скалярной функцией (функционалом) Ляпу-
Ляпунова, с помощью которого получаются многие, ранее установленные,
теоремы метода функций Ляпунова. В работах В. М. Матросова [76—
79] разработан принцип сравнения с использованием вектор-функции
Ляпунова, удовлетворяющей некоторому дифференциальному неравен-
неравенству типа неравенства С. А. Чаплыгина. Весьма подробный обзор работ
по этому и примыкающим вопросам читатель найдет в работах [74, 75,
127].
Напомним, что в качестве функций Ляпунова рассмат-
рассматриваются некоторые функции v(t, xlt ..., хп), вещественные,
однозначные и непрерывные в области A.11) при всяком
t >tOt а также уничтожающиеся при хх = х2 = ... = хп =
= 0; т. е. v (t> 0) = 0, что решает вопрос об устойчивости
решений рассматриваемой системы.
2.1. Основные понятия и теоремы метода функций Ляпу-
Ляпунова. Рассмотрим систему дифференциальных уравнений
dx
± XM(xv...,xn), s = l,2, ...,/г, B.1)
dt
в которой, функции Xs не зависят от времени t, удовлетво-
удовлетворяют условию Xs @, . . ., 0) = 0 и предположениям, обес-
24

печивающим существование и единственность ее реше-
решений в области Q(#, т). В этой же области рассмотрим
функцию w (х) = w(xl9 . . . , хп). Предположим, что
функция w(x) имеет в области Q непрерывные частные
производные.
Функция w (х) называется определенно-положительной в
области Q, если w @) = 0 и w (х) > 0 при всех х ф 0,
х £ Q. Если же выполняется неравенство w (х) < 0, то
функция w(x) называется определенно отрицательной.
Если в области Q всюду имеет место неравенство w (x) >
> 0 или w (х) < 0, то функция w (х) называется знакопо-
знакопостоянной, причем в первом случае функция называется зна-
знакоположительной. Если функция w принимает в области Q
значения как положительного, так и отрицательного знака,
то в этом случае w (x) называется знакопеременной.
Применение функций Ляпунова позволяет исследовать
малые окрестности начала координат. Исследование ко-
конечной устойчивости движения требует изучения движения
в конечных областях фазового пространства. С этой целью
вводится следующее понятие.
Функцию Ляпунова w (x) назовем локально большой,
если при заданной оценке А для любого с @ < с < А) су-
существует положительное число г такое, что вне сферы (л:,
хJ = г2 имеет место неравенство w (x) > с.
Например, функция
является локально большой при Л=1. В этом случае поверхности
уровня w = с замкнуты, ограничены для 0<с<О и не ограниче-
ограничены при с> 1.
Если А = со, то локально большая функция Ляпунова w (x)
становится бесконечно большой по определению Барбашина-Красовско-
го [5]. Очевидно, всякая бесконечно большая функция w (x) является
локально большой.
Для исследования устойчивости неавтономных систем
-^ = *(/,*), Х(/,0) = 0 B.2)
применяются нестационарные функции Ляпунова v (/, xv . ..
... , хп) = v (t, х)У непрерывно дифференцируемые или
удовлетворяющие условию Липшица в некоторой конечной
области фазового пространства Е и обращающиеся в нуль

в начале координат. Функция v(t, x) называется знакопо-
знакопостоянной, если всюду в области Q при t > t0 имеет место
неравенство v (t, x) > 0 или v (/, х)<С 0« .
Функция v(t, x) называется знакоопределенной, если
существует определенно-положительная функция w(x) та-
такая, что при t > t0 имеет место неравенство v(t, х) > w(x)
или v(t, х) < —w(x).
Функция v (ty x) называется локально большой, если при
заданной оценке А для любого с (О < с < А) при t0 > О су-
существует положительное число г (tOt с) такое, что вне сферы
(х, хJ = г2 имеет место неравенство у (/, х) > с при всех
£ > /0 163]. Локально большая функция v (/, х) называется
определенно-положительной в области Q, если существу-
существует локально большая, определенно-положительная функ-
функция w (х) такая, что выполняется неравенство
v(t,x)>w(x), x£TAczQ(H), t>t0.
Пусть система B.2) имеет единственное решение х (/,
t0, х0), определенное при t > t0 и х0 6 Йо. Если функция
v @ = v {t, х {ty tOy х0)) имеет производную по ty то говорят,
что функция v (ty x) дифференцируема в силу системы B.2)
вдоль выбранного решения, и обозначают
п
ir = ж + L-дГ
/=1 J
При решении конкретных задач часто применяются вспо-
вспомогательные функции в виде квадратичных форм перемен-
переменных хъ ..., хп и их полные производные, взятые в силу
рассматриваемых уравнений.
В связи с этим отметим, что функция
с зависящими от t коэффициентами аи, непрерывными и ог-
ограниченными при t 6 Jo.» является определенно-положи-
определенно-положительной, если выполняются неравенства Сильвестра, а
именно:
. . . аи (О
(s= 1, 2, . . .уП-у k = const >0).
«si @ . . . ciss (t)
26

Приведем теперь определения устойчивости нулевого
решения системы B.2), следуя [40, с. 9].
Определение 2.1. Решение х = 0 системы уравнений
B.2) называется устойчивым, если для любого числа е > 0
можно указать число б > 0 такое, что выполняется нера-
неравенство
II х (/, /0, х0) || < е при всех / > /0>
если только
И *oll< fi-
fill противном случае нулевое решение системы B.2) не-
неустойчиво.
Определение 2.2. Решение х = 0 системы уравнений B.2)
асимптотически устойчиво в области G6 пространства {хг}
и лежит в области притяжения точки х = 0, если наряду
с выполнением условий определения 2.1 выполняются ус-
условия
lim х (/, /0, х0) =я 0 при t -> оо
*Мо>*оNг при f >/0
для всех начальных данных д; 6 G^. Здесь Г — некоторая
область, лежащая в Q (Я) и определенная конкретными ус-
условиями задачи.
Сформулируем теоремы, установленные А. М. Ляпуно-
Ляпуновым.
Теорема об устойчивости [50, с. 82]. Пусть выполняются
следующие условия:
1°. Для системы B.2) в области A.11) существует оп-
определенно-положительная (определенно-отрицательная)
функция v (t, х).
2°. Полная производная функции v (t, x) удовлетворяет
неравенству ~<0 (^ >о).
Тогда нулевое решение системы B.2) устойчиво.
Примечание к теореме об устойчивости. Нулевое ре-
решение системы B.2) будет асимптотически устойчивым,
если выполняются условия теоремы об устойчивости и,
кроме того, производная в силу системы определенно-отри-
определенно-отрицательная, а функция v (/, х) допускает бесконечно малый
высший предел.
Первая теорема Ляпунова о неустойчивости [50, с. 87].
Пусть выполняются следующие условия.
27

1°. Для системы B.2) в области A.11) существует оп-
определенно-положительная {определенно-отрицательная) у
допускающая бесконечно малый высший предел, функция
v (t, х).
2°. Для каждого сколь угодно малого положительно-
положительного г) > 0 при t > т функция v (t, х) может принять при
|| л; || < г) знак, совпадающий со знаком -£-.
Тогда нулевое решение системы B.2) неустойчиво.
Вторая теорема Ляпунова о неустойчивости [50, с. 92].
Пусть выполняются следующие условия.
Г. Для системы B.2) существует ограниченная функ-
функция v(t, х) при достаточно малом \\x\\ и t > т.
2°. Полная производная функции v(t,x) приводится к
виду
^- = Xv + w, B.3)
где X — положительная постоянная, aw (x) > 0.
3°. Для каждого сколь угодно малого положительного
г\ > 0 при t > х функция v (t, x) может принять при \\x\\ < ц
знак, совпадающий со знаком w.
Тогда нулевое решение системы B.2) неустойчиво.
Эти теоремы составляют основное содержание второго
метода А. М. Ляпунова в его первоначальной форме.
Далее понадобится еще одна теорема о неустойчивости,
полученная Н. Г. Четаевым [112] (см. также [93, с. 71]).
Теорема Четаева о неустойчивости. Пусть задана авто-
автономная система
■£ = /(*), х£Еп B.4)
и выполняются следующие условия.
Г. Функции v(x) и (vx(x), f (x)) положительны в облас-
области &ц где Qx—подмножество в шаре \\x\\ = Я.
2°. v (х) = 0 на_£1г()п2, где Q2 обозначает дополнение
к &г в \\х\\<Н (Qv й2 соответственно связаны с О,г и
Q2).
3°. х « 0 принадлежит Qx П £22, / @) = 0.
Тогда нулевое решение системы B.4) неустойчиво.
2.2. Определение векторной функции Ляпунова. Рас-
Рассматривается система дифференциальных уравнений
^- = Хг (t, xv . . ., хп), i = 1, 2, . . ., п, B.5)
28

допускающая нулевое решение х{ = 0. Рассмотрим сово-
совокупность вещественных функций
vs (U х\ s = 1, 2, . . ., m, vs (U 0) = 0, B.6)
дифференцируемых по всем аргументам в области Q (Я, т) и
объединенных в вектор V = (^(Л х), . . ., vm(t, x)).
Определим норму вектора V формулой
и сформулируем следующее определение.
Функция V (/, х) допускает в области G (#0, т)
высший предел, бесконечно малый в точке х = 0, если су-
существует непрерывная функция W (х), удовлетворяющая ус-
условиям
\\V(t,x)\\<W(x) при
где W @) = 0.
Если удастся установить, что в силу уравнений B.5)
IIV (/, х (/)) || -* 0 при t -+ оо, то отсюда будет следовать
свойство асимптотической устойчивости нулевого реше ия
системы B.5). Из ограниченности ||V(/, x(t))\\ при />0
следует ограниченность || x(t)\\ для решений х (t) системы
B.5). Если же для некоторого г > 0 и любого бх > 0 най-
найдутся такие /0, х0, t0 > 0, || х01| < б, что для некоторого
t > t0 будет выполнено неравенство || V (t, x (t)) || > е для
некоторого решения х (t) системы B.5), то нулевое решение
системы B.5) будет неустойчивым.
Предположим, что производные функции vs (ty x) в силу
системы B.5) могут быть представлены в виде
8 Jt = C8 {и v (/, x (/))) + U8 (/, * (/)),
s= 1, 2, . . ., m, B.7)
где функции Cs (t, V) непрерывны и обращаются в нуль
при V = 0. Если при произвольных непрерывных функ-
функциях Us (/, л:), обеспечивающих существование и единствен-
единственность решений системы B.7) и удовлетворяющих неравен-
неравенствам
и8 (t, х) < U8 (/, х) <Ъ8 (Л х), 1 < s < m, B.8)
29

где us (ty x) и us (/, x) — некоторые заданные функции, ну-
нулевое решение системы B.7) является- устойчивым (неус-
(неустойчивым), то функцию \ (t, x) с компонентами vs(t> x)
будем называть вектор-функцией Ляпунова.
Устойчивость нулевого решения системы
dy
-^J-= Cs(/,*,,,..., */J, l<s<m, B.9)
не должна зависеть от возмущений Us (/, х) при ограниче-
ограничениях вида B.8).
Замечание 2.1. Термин «векторная функция Ляпунова» введен
Р. Беллманом [117]. Мажорирующие функции С8 (t, V) в неравенст-
неравенстве B.7) предполагаются неубывающими по их 0s_lf i>s_f-i> . . .
. . ., vm. Напомним, что функцию С8 (t, V) называют неубывающей
по vx vs_{, i>s+1, . . ., vm> если для любых (t, v), (tt v) таких,
что
имеет место неравенство
C8(t,v)<C9(t9v), 8=1,2... .,m.
Предполагается еще, что существует 1 < / <I m такое, что сумма
v& (ty x) определенно-положительная.
s=\
2.3. Системы сравнения. Мажорирующую функцию С (ty V)
будем считать определенной в открытой области A czQm(#) х Jo-
Пусть в системе уравнений B.9) функции С 8 (/, у) опре-
определены в некоторой открытой области А (т + 1)-мерного про-
пространства и при любом s = 1, 2, . .., т функция Cs(ty у)
является неубывающей по (у{, . . ., ys_v ys+v . . ., ут). При
этом через каждую точку (^0, f/0)€A проходит одно верх-
верхнее у (ty tQJ у0) и одно нижнее у (ty tQ, y0) решение системы
B.9) относительно этой точки и интервала [t0, a).
Пусть на интервале [t0> а) @ < а < оо) заданы непре-
непрерывно дифференцируемые функции яр1 (/), . . ., я|?ш (t) такие,
что г|)8 (/q) = y°t при / = tQ.
30

1. Если
TO
2. Если
то
Эта теорема установлена Т. Важевским [131] и широко
используется в теории устойчивости движения (см., на-
например, [71—80]).
Рассмотрим вектор x\(t) = (ri1 (t), . . ., Лт@) с компонен-
компонентами r]s (/), непрерывным при всех /£«/а.
В системе
^«C^+4,...-.i^ + 4j. s = l,2,...,m, B.10)
относительно функций Cs(t,u) предположим, что они моно-
монотонно возрастающие по и1% . . ., as_j, ws+1, . . ., ит (сокра-
щенно и), где и = у + т].
Скажем, что функция С8 (/, а) называется монотонно
возрастающей по uv . . ., ws__p ws+1, . . ., ит, если для любых
ut и таких, что при
их < и1% . . ., us^ < ms-1, us+{ < Ui+V . . м ит < ^
имеет место неравенство
Ce(<f u)<C8(t,Z), s= 1,2, .. .,m.
Лемма 2.1. Пусть при всех t > ^
B.11)
31

где u(f) и х] (t) — непрерывные при всех t > t0 функции и
C(tt и) —монотонно возрастающая по и' и непрерывная по
t функция. Тогда
при всех t > /0, где у (t> t0> y0) — верхнее решение систе-
системы сравнения B-10), обращающееся в уо = у (t0) nput = t0.
В связи с оценкой B.12) имеются работы [126, 121,
с.40].

Глава I
ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ
ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
В настоящей главе содержится некоторое развитие вто-
второго метода А. М. Ляпунова и его применение в сочетании
с принципом сравнения при исследовании устойчивости дви-
движения сложно возмущенных и составных систем, обыкно-
обыкновенных дифференциальных уравнений. Развитие состоит
в получении новых оценок вспомогательных функций на
траекториях возмущенных систем дифференциальных урав-
уравнений и их применении к решению вопросов качественного
поведения сложных систем с однотипными подсистемами.
В основе этого подхода лежат идеи А. М. Ляпунова [50],
С. А. Чаплыгина [109], Т. Важевского [131] о дифференци-
дифференциальных неравенствах и некоторые интегральные нера-
неравенства [121].
В начале главы (§ 3) устанавливаются оценки вспомога-
вспомогательных функций (скалярных и векторных) на решениях
возмущенных систем дифференциальных уравнений и ре-
решениях сложных систем с однотипными подсистемами. Эти
оценки систематически используются в этой и следующих
главах. Некоторые простейшие оценки изменения решений
сложной системы рассматриваются в § 4. В § 5 выясня-
выясняются условия, которые обеспечивают существование опре-
определенного типа устойчивости при объединении обособленных
подсистем в сложную систему. Здесь рассматриваются свя-
связи, ограниченные в каждый момент времени и в среднем.
Наиболее общая теорема об устойчивости сложно воз-
возмущенной системы (возмущения параметрические и внеш-
внешние) формулируется в § 6. Развитый в этом параграфе спо-
способ применяется при исследовании устойчивости в конеч-
конечном сложных систем с однотипными подсистемами (§ 7),
а также устойчивости по отдельным заданным координатам
(§ 8, 9).
Наибольший по объему § 10 посвящен изучению слож-
сложных систем с асимптотически устойчивыми подсистемами.
3-4-761 33

В § 11 исследуются возмущенные и сложные системы в слу-
случае только устойчивости иевозмущенных систем (свободных
подсистем). Вводятся новые понятия развивающихся воз-
возмущений, которые в гл. II используются при решении во-
вопроса об устойчивости слабо взаимодействующих подсистем с
развивающимися связями. Второй метод Ляпунова здесь
применяется с систематическим использованием второй про-
производной вспомогательной функции.
В заключительном § 12 предлагается применять при
решении вопросов об устойчивости вспомогательные функ-
функции агрегатов переменных обособленных подсистем.
§ 3. Оценки вспомогательных функций
на решениях возмущенных систем
дифференциальных уравнений
В этом параграфе устанавливаются оценки вспомога-
вспомогательных функций (скалярных и векторных) на решениях
возмущенных систем. При этом как и обычно о возмущениях
предполагается, что они в том или ином смысле малы. Полу-
Полученные оценки применяются далее для исследования устой-
устойчивости решений соответствующих систем дифференциаль-
дифференциальных уравнений. Важно отметить, что влияние малых возму-
возмущающих сил на устойчивость движения механических си-
систем впервые исследовано Н. Г. Четаевым еще в 1935—
36 гг. (см. [112]; а также обзор В. В. Румянцева в [82]).
3.1. Леммы об оценке вспомогательной функции. Рас-
Рассмотрим две системы дифференциальных уравнений
)% г (*,*)).
^ = X(f,x,p0, r0).
Вектор-функции р (t, x) и г (/, х) имеют смысл возму-
возмущений параметрических и внешних. Обозначим
R (*, х, р,г) =Х (/, х, р (/, х), г (t, х)) — X (t, х, р0, г0)
возмущения правой части системы A.10). Если в выражении
функции R (t, х, р, г) вместо переменных х (входящих как в
р, так иг) подставить решение х (t) системы A.10) при t =
= tOi обращающееся в х0У то над выражением, в котором вы-
выполнена эта операция, будем ставить черту сверху,
34

Лемма 3.1. Пусть выполняются следующие условия.
Г. Существуют функции с/, (/, х) > 0,..., vm (t, x) > О,
непрерывные и имеющие непрерывные частные производ-
производные по переменным (t, х)£п(Н> т).
29. В области A.11) выполняются неравенства
-gT + DV' Vx @) Х «' х> Ро> го) < С* И, V) C.1)
где С8 (ty V) — непрерывные по t и монотонно возрастающие
по V функции, определенные в области А.
3°. Существуют интегралы
C.2)
вычисленные вдоль решения x(t) системы A.10), обращаю-
обращающегося в х0 при t = /0.
4°. Существуют постоянные М8(Н) и интегрируемая
на J7 функция h (t) такиеУ что
Dv (U x) DvA
C.3)
и интеграл
t
h(s)ds C.4)
ограничен при t0 <С t < оо.
5°. Существует верхнее решение 'у (/, /0, */0) системы
сравнения
где о @ = (a, (t) от @); os (t) = Ms (H) [ h (s) ds при
и
начальных условиях (/0, у0) g A.
Яр^ выполнении перечисленных условий для функций
vs(t>x) вдоль решения x(t) возмущенной системы A.9),
для которого v8 (t0, x0) < у0$, справедливы оценки
vs (U х @) ^ ys (/, t0, у0) + Ts (t% tQ, x0) + os (/) C.6)
t>t0, s= 1,2, ...,/n.
35

Очевидно, что оценку C.6) можно получить и для функции
m
v (tf х) — \] v8 (^ х) аналогично предыдущему:
v (U х @) < У (U tQt yQ) + T (t, tQf xQ) + а @ C.7)
при всех (> tQ, где у (t, tQ> yQ) — верхнее решение скалярного уравне-
уравнения сравнения
при
/ m
о @ = M (Я) f h (s) ds, M (H) = const > 0,
Доказательство. Учитывая условия C.1) — C.4),
для полной производной функции vs (ty x) получим оценку
-^ ^ CM(U V) +^^R (U х, р, г) +Ms(H)h(t), C.8)
выполняющуюся при всех / > t0.
Образуем с помощью вектор-функции C(ttu) систему
сравнения
■f-C(/fy + T(/f/0,*a)+^@). C.9)
В силу условия 5я на Ja обеспечено существование ее
верхнего решения у (tt t{), y0) при
у -vi№(/0-r(/,/0,jc0)-o(g. (зло)
Из C.8) вытекает
о, (t, х ф) < vs (t0, х0) + J [С, (х, V)] &х + Ts (t, t0, xj + as @-
C.11)
36

Отсюда в силу леммы 2.1 получаем оценки C.6).
3.2. Случай классических возмущений. Рассмотрим при-
приложение леммы 3.1 к классическим возмущенным системам
^-Х (/,*) +Я (*,*), C.12)
Где х — д-мерная вектор-функция, определенная в области
A.11), R (tt х) — постоянно действующие возмущения.
Предполагается, что решение системы C.12) существует и
единственно при t 6 Лх и х0 6 £20.
Будем различать два случая возмущений.
Случай I. Функции R (?, *) практически неизвестны. Относительно
их предполагается лишь, что они удовлетворяют общим условиям, обес-
обеспечивающим существование единственного решения системы C.12),
достаточно малы и R (t, 0) Ф 0 при х = 0. Это соответствует случаю
классических постоянно действующих возмущений [52, с. 301; 82, с. 51].
Случай II. Функции R (t> х) — суть известные функции перемен-
переменных xv . .., хп быть может более высокого порядка по сравнению с
X (/, х) и R (t, 0) = 0. Кроме того, существует постоянная М > 0 та-
такая, что [| R (t, х)\\<^М равномерно относительно t £ [t0,oo).
Следствие ЗА. Пусть для невозмущенной системы
^ ), C.13)
соответствующей C.12), существуют скалярные функции
v (t, л:) и С (/, v), где v (t> x) определенно положительна
С (/, v) непрерывна по /, монотонно возрастает по v и удов-
удовлетворяет следующим условиям,
Г. В области A.11)
Существует интеграл
Т (U tot х0) = j -5^il R (,, х) dt C.15)
вдоль решения x = x(t) невозмущенной системы C.13)
((') ^0)
(оо о от)
3°. Существуют постоянная М (Н) и интегрируемая на JT
функция h (t) такие, что
37

и интеграл a(t) = М(Н) \h{f) dt на Ja ограничен.
4®. Существует верхнее решение ]/(t,to,yo) уравнения
сравнения
|г = С(/, у +Г(/, /0, до) +а(/)), C.16)
принимающее значение */0 при / = /0, где
1J ~**~ t/ it I —^ /^ ^ / У I ■■"■• О (f I
fc/fl """"" гпзх ^ (у V П' 0' 0' V 0'*
При выполнении перечисленных условий вдоль решения
х (t) возмущенной системы C.12) для функции v (/, л:) спра-
справедлива оценка
v (t, х t)) < t/ (/, tv у.) + T (/, /., х0) + о (t) C.17)
при всех / > /0, лишь только v (/0, л:0) < f/0.
Остановимся теперь на случае I.
Следствие 3.2. Пусть существуют функции v (/, х) и
С (t, у), указанные в следствии 3.1, и выполняется нера-
неравенство C.14).
Если интеграл
ограничен, где
при || х || < /
) ||< А @.
а уравнение сравнения
■} = С (/,r/ +a @) C.19)
при (/0, t/0) £ А имеет верхнее решение у (/, /0, t/0) при всех
/>/0 и a(/0, ^о)<Уо» то Для функции v(t,x) справедлива
оценка
38

При исследовании возмущенных систем C.12) и других
задач, сводящихся к этому виду систем, наряду с система-
системами (уравнениями) сравнения C.16) применяются возмущен-
возмущенные системы (уравнения) сравнения (см. [76, 79] и др.)
% )y C.20)
где
Приведем следующее утверждение.
Лемма 3.2. Пусть выполняются следующие условия.
Г. Существует вектор-функция сравнения \(t,x) для
невозмущенной системы C.13).
2°.
при {to,xo)£Ql,(tQ,yo)£A.
3j Решение x(tttOtxo) системы C.12) и верхнее реше-
решение у (/, /0, у0) системы сравнения C.20) определены на
Т = [*0,т). Тогда
V(t,x(t))<y(t,tQ,yQ) C.22)
при всех /£7\ лишь только
V(/0,*0XV C.23)
Доказательство более общего утверждения приводится в
работе [76].
Рассмотрим некоторые примеры, иллюстрирующие применение
приведенных лемм. Для простоты будем рассматривать скалярные функ-
функции v (t, х).
Пример 3.1. Пусть задана система
dx dy
где К, \i —. действительные числа. Для функции v =» — ху
dv
— =*-(X + ii)xy
Уравнение сравнения C.5) примет вид

где С (/, у) = (X + ц) у. Пусть vQ = — хог/о (*„(/„ > 0), тогда
и, следовательно,
v(xW.y(toJ
при всех t £Ja.
Пример 3.2. Рассмотрим юзмущенную систему
-А = ха + /?(/, *]f *а), А = - *! - а (^ - 1) х2 . C.24)
Для функции v (х[} х2) = х\ + х\ получим
^- - 2x{R (/, хр х2) - 2а^ (х? - 1). C.25)
Пусть
2xxR (t, xv x2) < 2а (xj + 4) + 2ал:2 (*i — 0.
При этом выражение C.25) принимает вид
и аналогично предыдущему находим
v(xl(t),x2(t))<y(t,tQty^
где
3.3. Оценки для сложных систем с однотипными под-
подсистемами. Рассмотрим теперь сложную систему
7Г = fs ('• xs) + FsС» xi» - . xs-i> Xs+r - » xn)> s= Ь 2,..., m,
C.26)
с однотипными подсистемами, где
и предположим, что ее решение существует и единственно
в области Q1(Ht т).
Рассмотрим векторную функцию Ляпунова
40

обладающую в некоторой окрестности невозмущенного дви-
движения следующими свойствами:
ТГ + ^ШГ- U С х) < Cs С V). C-27)
s=l
где cv c2 > 0.
Предположим также, что в области (Гл \ 1\) х Jг
вдоль решения систем -т*- = /s (/, xs), s = 1, 2,..., m, при
xs (/0) = xQs существуют интегралы
c'Dv,
l о
Лемма 3.3. Пусть выполняются следующие условия.
1 °. Существует векторная функция Ляпунова, обладаю-
обладающая свойствами C.27), C.28).
2°. Существуют интегралы C.29) в области
З*3. Существуют постоянные М8(Н) и интегрируемая
на J функция ф @ таковы, что
w интегралы
o{t)=Ms{H)[<?{s)ds
i
ограничены при t £JT.
4°. Яра * > f j (^ g Ут) существует верхнее решение
y(t>to,yQ) системы сравнения
%=C(t,y+Q>(t, tQt xQ) + а @), C.30)
41

принимающее значение у1 при t = t{, еде у{=(у[9.. -»
с компонентами
Ух - *1max Cl) - Ф1 (Л-'о^о) - а (*!>■
При выполнении перечисленных условий для компонент
v{ (t,x{),... >vm(t, xm) на решениях xs(t) подсистем слож-
сложной системы C.26) имеют место оценки при всех t > tx
vs (Л xs if)) < ys (f, U У,) + Ф5 (/, /0, x0) + gs (/), C.31)
лашь только vs (/0, xs°) < ys0.
Доказательство этого утверждения проводится анало-
аналогично предыдущему с использованием леммы 2.1.
Оценки C.6), C.17), C.31) находят применение для динамического
анализа классических систем с постоянно действующими возмущениями,
систем с последействием, с неполной информацией и особенно сложных
систем управления. При исследовании последних появляется возмож-
возможность эффективного учета взаимовлияния в многомасштабной системе
независимых подсистем при подключении или отключении фиксирован-
фиксированной подсистемы.
§ 4. Оценки изменения
решений сложной системы
В этом параграфе устанавливается изменение решений
многомерной системы при изменении начальных условий и
некоторых ограничениях на функции связи подсистем.
Эти оценки используются далее при решении вопроса о
сохранении устойчивости при переходе от обособленных
подсистем к сложной системе. Самостоятельный интерес
они могут представлять при оценке движения индивидуаль-
индивидуальных подсистем, составляющих систему достаточно большой
размерности.
4.1. Вспомогательная лемма. Приведем вначале следую-
следующую лемму.
Лемма 4.1 [31. Пусть и (t) — непрерывная функция,
удовлетворяющая при t > t0 неравенству
0<u(t)<6+[D + Lu(s))ds, D.1)
42

где б, т), L — постоянные и б > О, т) > О, L > О. Гогда
справедливо неравенство
и (t) < -J- (eL('~'o) - 1) + 6eL('"fi). D.2)
Доказательство, При / = t0 неравенство D.2)
очевидно. При t > tOt если только разность / — /0 доста-
достаточно мала, справедливость оценки D.2) следует из не-
непрерывности функции и (t). Предположим теперь, что в
момент / = т неравенство D.2) нарушается, т. е. превраща-
превращается в равенство. Из D.1) при / = т получим
u(i)<6+\\y) + L\f (eU{t~h) — 1) + SeL(l-t0} dU
to
Интегрируя выражение в правой части неравенства, по-
получаем
что противоречит выбору значения т. Лемма доказана.
4.2. Оценки отклонения решений свободных и взаимо-
взаимодействующих подсистем. Перейдем теперь к вопросу оцен-
оценки изменения решения сложной системы
%-X(t,x,F(O)), D.3)
где х£Еп, вектор-функция X(t,x, и) имеет ограниченные
частные производные -^ (*',/= 1,2,...,т) в области Q(H,
т), функции F (t, х) = (Fj (/, х),..., f те (/, х)) именуются свя-
связями, причем Fs (t9 х) не зависит от xs £ Ег. Сокращенно
далее л: обозначает (х{ xs_v xs+l,..., xj. Предполо-
жим, что связи F (/, л;) малы, и представим правую часть
системы D.3) в виде
43

Учитывая это, систему D.3) можно аппроксимировать при-
приближению системой
%) D.4)
с аддитивно входящими функциями связей Q(t,x). Здесь
<г с *>-■£-
дХ
ди «=о
F(t,x).
Предполагается, что система
представима в виде
^- = /,(^.У,). s=l,2,...,m D.4')
Следовательно, систему D.4) можно переписать так:
~4Г =!,(*>*)+ <1в(*>х)> s=l,2,...,m. D.5)
Пусть в области
11*11 <Н, |И|<#, t>T
выполняется неравенство
\\X(t,x,F(t,x))—X(t,y,0)\\4.
<L\\x-y\\ + \\Q(t^)\\, L>0~const, D^6)
и связи подсистем Q (t> х) ограничены постоянной ц = const > О
\\Q{t^)\\<r\. D.7)
Здесь и далее при рассмотрении сложных систем D.5),
состоящих из подсистем обыкновенных дифференциальных
уравнений D.4), норма вектора х определяется формулой
т \1/2
)
где || xs || — евклидова норма вектора
44

Рассмотрим теперь решение y(tjo,xo) системы D.3) и
решение х (Л t0> х0) системы D.4). Пусть начальные усло-
условия, определяющие эти решения, удовлетворяют неравенству
К-^о IK*- <4'8)
Теорема 4.1. Пусть выполняются условия D.7)-—
D.8), тогда при to^Ct 4.to + T имеет место оценка
IIхф-у @II < f [еШ~и) ~ 1] + ^"^ ' D'9)
Доказательство. Представим уравнения D.3) и
D.4) в виде интегральных уравнений
x(t) =xo H
Отсюда в силу условий D.6) — D.7) нетрудно найти
Оценка D.9) следует теперь из леммы 4.1.
Отметим случай, имеющий место в реальных составных
системах, когда К = 0 и г\ Ф 0. При этом оценка D.9) при-
принимает вид
\\x(t)-y(t)\\<^{eLit^U)-l). D.10)
Из этой оценки следует, что для заданного постоянного А
можно подобрать такие ограничения на функции связи под-
подсистем (величина ц > 0), что на отрезке t0 < t < t0 + Т
будет выполняться условие
\\x(t)-y(f)\\<A. D.11)
В частности, если функции связи Q (t, x) непрерывно за-
зависят от некоторых параметров р 6 Ф, то оценка D.11) ука-
указывает на возможность «управления» отклонением решения
подсистемы надлежащим выбором параметров C из допус-
допустимого множества Ф.
45

Предположим теперь, что функции связи подсистем под-
подчинены оценке вида
||F(*,jc)||<A!||*||, M «const >0 D.12)
и нулевое решение системы D.4') устойчиво, т. е. удовле-
удовлетворяет неравенству
\\уЦ> V У о) II < *' ПРИ всех ' > 'с D-] 3)
лишь только \\уо\\ < 6', е' — сколь угодно малое положи-
положительное число.
Теорема 4.2. Если выполняются условия D.6), D.12),
D.13), то на интервале времени to^Ct<Cto + T имеет
место оценка
IIх«)~У (О II < лгпг [eM+L)"-^ - И D.14)
при одинаковых начальных условиях для решений x(t,t0,
*о) и y(t,to,xo).
Доказательство. Как и выше, нетрудно получить
неравенство
\\x(t)-y(t)\\<l[L\\x(t)-y(t)\\ + M\\x(t)\\]dt. D.15)
Учитывая, что
D.16)
а также условие D.13) из D.15), находим
\\x(t)-y(t)\\<l[M*+(M+L)\\x(t)-y(t)\\]dt.D.l7)
to
Теперь оценка D.14) следует из неравенства D.17), к
которому следует применить лемму 4.1.
Замечание 4.1. Легко повторить выкладки теорем 4.1 и 4.2 для
систем D.4) и D.5):
^^fs(ttx8) + Qs(tS), s=l,2 m, D.18)
и
^f- = fa(t- У,)- D-19)
46

Полученные при этом оценки будут характеризовать отклонение реше-
решений свободной фиксированной и соответствующей ей взаимодействующей
подсистем.
4.3. Системы с малым параметром. Рассмотрим слож-
сложную систему, содержащую малый параметр
il = А @ х + Н (Л к) + iiF, (t, x, y\ D.20)
^ ^2 (/>*>#), D.21)
где х — /i-мерный вектор, |i — малый параметр, H(t>x) — п-
мерная вектор-функция, удовлетворяющая условию Липшица
по х с константой Lo и непрерывная по t. Функции связи
Ft и F2 удовлетворяют условиям Липшица:
\\Fl(Ux,y)-Fl(t9xr,if)\\<Ll\\x-x'\\+L2\\y-y'\\9
D.22;
\\F2(t.x,y)-Ft(t,xr9y4\\<LJx-*\\+LA\\y-y'\\.
Пусть также при х = у = 0 функции Flt F2, H ограничены:
||^(/,0,0)||<г)р |Р2(/,0,0)||<г12, ||Я(/,0,0)||<т|0,D.23)
а для фундаментальных матриц Nx (/, т) и N2 (/, т) подсистем
§=A(t)x, D.24)
f=B(t)y D.25)
имеют место оценки
Пусть х (t, tQ9 xQ) — решение подсистемы D.24). Обозначим
через у (t, tOy x (т)) решение дифференциального уравнения
tJ(t)9y), y(to) = yo. D.26)
Уравнение D.26) эквивалентно интегральному уравнению
t
У С Уо. х (т)) = Nt (/, /0) yo + n^N2 (t, s) F2 (s, x(s),y (s) ds,
D.27)
47

i з которого нетрудно получить ряд оценок для решения
У(ЬУо>х(т)).
Пусть теперь L2L3 Ф О, А, > Lo.
Тогда при х (т) == О
Следовательно,
y(t,yQi0)£Dc:Ent D.28)
где D — некоторая ограниченная область и у (t, y0, 0) про-
должимо по t на Уа. Это обстоятельство понадобится при
исследовании частичной устойчивости двухроторного гиро-
гирокомпаса с успокоителями колебаний.
Пусть далее х (f) — решение полного уравнения D.20) и
при всех т < t справедлива оценка
\\x(t)-x(t)\\<q(T).
Как и выше из уравнения D.27) получаем такую оценку:
\\y(Uy,x (t)) - у (tf у, х (t)) || < Ce-L<f || yx -y2\\ +
о
В частном случае, если
\\x(T)-x(x)\\<QeLit-x)
и
имеем
Пусть
II ^2 (t, х, 0) ||< а || х \\п (л > 0, а - const)
\\х(х)\\<\\хо\\еЦ'-х)>
k — nL — \\i\CL4>0.
Тогда для у (/, 0, л: (/)) справедлива оценка
48

Приведенные неравенства позволяют оценить поведение
решений подсистем в зависимости от изменения функций
связи и структурных элементов самой сложной системы.
§ 5. Влияние связей на устойчивость
сложной системы, полученной объединением
обособленных подсистем
Исследования, приведенные в этом параграфе, посвя-
посвящены выяснению вопроса о свойствах решения сложной
системы, полученной при объединении индивидуальных
подсистем функциями связи, подчиненными различным
ограничениям, встречающимся в реальных системах.
5.1. Связи, ограниченные в каждый момент времени.
Рассмотрим системы
dx ~
-df^fs С xs)+ QsV'X)* s=1.2,...,m, E.2)
где xs £ Er, вектор-функции /s и Qs подчинены ограничениям,
обеспечивающим существование единственных решений этих
систем при xs (t0) = х°, ys (/0) = yj.
Приведем определение устойчивости системы E.1) при
наличии связей, ограниченных в каждый момент времени.
Определение 5.1. Невозмущенное движение системы E.1)
называется устойчивым при наложении функций связи Q (t, x),
если для всякого положительного е существуют такие числа
% (е) > 0 и ri2 (е) > 0, что всякое решение уравнений E.2)
с начальными значениями, удовлетворяющими неравенству
при наличии связей Q(t,x), подчиненных в области D оценке
удовлетворяет при всех t > t0 неравенству
Следующая теорема оценивает влияние ограниченных в
4 - 4-761 49

каждый момент времени функций связи на обособленные
подсистемы.
Теорема 5.1. Пусть выполняются следующие условия.
Г. Для подсистем E. 1) существуют функции
vx (/, x{)>0,...,vm (/, xj >0 и функция v (/, а-)
v{ (t, x{) + >.. + vm (t, xw),
определенно-положительная,
m
2°. Полная производная функции V vs С» xs) e силУ
s=l
системы E.1) определенно-отрицательная.
3°. Б области п (Я, т) слагаемые V
ограничены
s=l
постоянными Ms > 0, s = 1, 2,..., m.
Тогда нулевое решение сложной системы E. 1) устой-
устойчиво при наложении достаточно малых связей, ограничен-
ограниченных в каждый момент времени.
Доказательство. Зададим произвольное число е > О
и найдем другое число
?t = inf[t;1(^x1) + ...+t;m(/,xm) при ||*|| = е, t > /0].
Подберем число тI (е) так, чтобы
^s (Л xs) < Я при Ц xs ||< т], ^ > to- E.3)
Рассмотрим теперь вдоль решений xs (t, tQ9 x^1), s = 1, 2,...
... ,/п, систем E.1), выходящих из области || xj|| < г]^ из-
менение функции "S vs (t> x).
т
vs
Согласно второму условию теоремы 5.1
Учитывая E.4) длл полной производной функции ^ ^s 0» xs)»
$=«1
50

в силу системы E.2) имеем выражение
Отсюда в силу условия 3° теоремы 5.1 легко найти оценку
т
Ип «-"* ^
Теперь выберем тJ(е) таким, что в области т], < \\x\\ <г
вдоль решении xs(/,/0,x) функция v(t,x) будет убывать,
т.е.
.|-<—6, 6 = const>0.
Легко видеть, что эта оценка будет иметь место, если
Следовательно,
вдоль всяких решений xs (t, *0, x°) в кольце тI < || х \\ •< е.
Предположим теперь, что существуют решения xs(/, /0,
х°) такие, что ||х°|| <г\{ (е) и ||xs(/lff0, xj)|| > едпя неко-
некоторого /, > to. При этом в силу непрерывности решений
xb(t) найдется значение /C<*2<*,, при котором
Тогда получим неравенстю
v(t,x(t))>X при t>t%% E.5)
которое противоречит E.3) и E.5). Это противоречие по-
показывает, что траектории xs (/, /п, х°), начинающиеся в облас-
ти ll xs II < ^i (g)» остаются в области || х ||< 8 при всех / > /0.
Теорема доказана.*
* Теорема 5.1 является теоремой И. Г. Малкина [51] для слож-
сложной системы, состоящей из подсистем с малыми в каждый момент
времени объединяющими связями.
4* 51

Если же подсистемы с вырожденными функциями связи
равномерно по t0 асимптотически устойчивы, то имеет место
следующее утверждение.-
Теорема 5.2. Пусть выполняются следующие условия.
Iе. Невозмущенное движение системы E. 1) экспонен-
экспоненциально устойчиво, т.е. существуют постоянные е', а,
р > 1 такие, что при || у01| < %! имеет место
IIУ (О II < е' и || у (/) || < Bl'e~a{t^\ E.6)
2е. Правые части систем D. 3), D.4) удовлетворяют
неравенству D.6).
Тогда существует Мо > О — const такое, что при
любых связях Q (/, я), удовлетворяющих неравенству
||Q(MJ||<A!||x||, М<М0, E.7)
равномерная асимптотическая устойчивость сложной си-
системы E.1) сохраняется.
Доказательство. Покажем, что существует
М > 0, при котором сложная система E.1) равномерно по
tQ асимптотически устойчива, если невозмущенное движе-
движение обособленных подсистем обладает этим типом устой-
устойчивости.
Пусть при t = t0 > 0 начальные значения х (/0) =
= У Ю=*о удовлетворяют условию |, х0 \\ <А/, где у (t) —
решение, продолжаемое на всю полуось t > /0, и удовле-
удовлетворяет условию E.6). Согласно теореме 4.2 об оценке
отклонения решений следует, что пока ||х|| < Я, в некоторой
окрестности точки t0 справедливо неравенство
при одинаковых начальных условиях.
Пусть теперь для произвольного 0 < е' < е < Н спра-
справедливо неравенство || у (t) \\ < -™ , а величины Т = — 1п45
и Л1 настолько малы, что выполняется неравенство
52

Учитывая E.6) и полагая е'< -^-, для некоторого t{>t0
из неравенства е = || х (/,) ||< || у (/,) || + || х (/,) - у (/,) || на-
ходим
Полученное противоречие показывает, что при t0 + Г
/ + ^ + имеет место оценка
^ 6 —аГ , 8 8
Продолжая рассматривать решение *(/) на интервалах
длины [f0 + п (Г + т), <0 + (л + 1) (Г + т)], заметим, что
если || х (t0) || < -|g, то при t = to+n(T + x) решение х (/)
лежит в е/2/г-окрестности точ и х = 0. Это и доказывает
равномерную по /0 асимптотическую устойчивость решения
х = 0 сложной системы E.2).
5.2. Влияние связей, ограниченных в среднем. Приве-
Приведем теперь определение устойчивости сложной системы E.1)
*>*
при наличии связей Q (t, x)> малых в среднем.
Определение 5.2. Невозмущенное движение х = 0 слож-
сложной системы E.1) будем называть устойчивым при наличии
связей, ограниченных в среднем, если для любой пары чи-
чисел е > 0 и Т > 0 можно указать два таких числа б > 0 и
т] > 0, что при выполнении неравенства
t+T
J <p (s) ds < т],
t
где <р (t) — непрерывная функция, удовлетворя сЩая условию
каждое решение х(/,/0,х0) системы E.2) с начальными дан-
данными || х0 // < б удовлетворяет неравенству
при всех t > /0.
Замечание 5.1. Это определение является обобщением определения
5.1, сформулированного на основе определения И. Г. Малкина [51],
в том смысле, что движение, устойчивое при наличии связей, ограничен-
ограниченных в среднем, тем более устойчиво при наличии связей, ограниченных в
каждый момент времени.
63

Теорема 5.3. Если невозмущенное движение х = О слож-
сложной системы E.1) асимптотически устойчиво равномерно по
х0 и /0, то невозмущенное движение х = 0 сложной системы
E.2) б#дет устойчиво при наложении связей, ограниченных в
среднем.
Доказательство этой теоремы проводится аналогично
имеющемуся доказательству теоремы об устойчивости при
постоянно действующих возмущениях, ограниченных в
среднем [18].
5.3. Приложение георем Н. Г. Четаева о влиянии новой
связи. Пусть xv обозначают значения нормальных коорди-
координат системы. При малых ||xv|| новую связь можно записать
уравнением
2 2
v=1 v=l
где постоянные Av не все нули\ a Sxv*— возможные вариации
нормальных координат. Уравнения движения системы со
связями E.8) могут быть записаны в виде
v=i
откуда
*v + Vv + K = °> v=l,2,...,n, E.9)
где \х — неопределенный множитель.
Из E.9) видно, что если Av = 0 для некоторых *v, то
уравнения движения будут сохранять свой вид. Влиянию
новой связи будут подвергнуты те координаты, для которых
Ах Ф 0. Найдем характеристические показатели для коор-
координат #v, стесненных новой связью. Пусть
xv = В/^ и \х
тогда из E.9) и уравнения связи E.8) находим
2
l
Ал = о.
54

Из этих соотношений получаем
v=l
В это выражение входят лишь те значения Х^ ,..., A,v из
X , которым отвечают отличные от нуля постоянные Av.
Функция f (X) при изменении К на интервалах (A,v,, Xv )
будет переходить от положительных значений к отрицатель-
отрицательным, и, следовательно, / (X) будет иметь по крайней мере
один корень. Исходя из этого, на основе результатов
Н. Г. Четаева [112] сформулируем следующие утверждения.
Теорема 5.4. Если начальное положение равновесия ком-
композиции систем устойчиво, то при наложении новой связи
устойчивость будет сохраняться.
Теорема 5.5. Если начальное положение равновесия ком-
композиции свободных подсистем имеет степень неустойчивос-
неустойчивости, больше 1 (число неположительных A,v), то при наложении
одной новой связи неустойчивость положения равновесия
сохраняется.
Теорема 5.6. Если начальное положение равновесия ком-
композиции свободных подсистем имеет степень неустойчивости,
равную 1 (т. е. число неположительных Xv равно 1), то нало-
наложением одной подходящей новой связи положение равновесия
может быть упрочнено.
§ 6. Общие теоремы об устойчивости
и оценке решений возмущенных систем
В настоящем параграфе приведены две общие теоремы об
устойчивости возмущенных систем дифференциальных урав-
уравнений. Вопрос об устойчивости в теореме 6.1 связан с фак-
фактом поведения верхнего решения системы сравнения; в те-
теореме 6.2 — с наличием количественных ограничений на
изменение верхнего решения соответствующей системы срав-
сравнения. Теорема 6.2 дает возможность эффективно исследо-
исследовать системы на заданном интервале времени при конечных
начальных и последующих возмущениях.
6.1. Теорема об устойчивости сложно возмущенной си-
системы. Рассмотрим систему дифференциальных уравнений
в векторной форме
-£- = X(t9x,p(t,x)9r(t,x)). F.1)
55

Предположим, что функции р, (t, х) определены и не-
непрерывны в области В A + /г)-мерного пространства £ц_л.
Функции rL принадлежат семейству суммируемых функций
{rj и могут рассматриваться как постоянно действующие
возмущения.
В качестве «невозмущенной» системы, соответствующей
F.1), будем рассматривать систему уравнений
^ = Х(/,х,/70,г0), F.2)
где р0 £ {рг (ty х)} и г0 £ {гь (/, *)} фиксированные элементы,
причем р0 = (рор ..., р J и г0 = (г01,..., г0/).
Систему F.2) будем рассматривать при возмущениях
R (/, х, р, г) = X (/, х, р (/, х), г (/, х)) — X (/, х, р0, г0), F.3)
относительно которых далее примем некоторые соглашения,
учитывающие характер зависимости от р и г.
С системой F.2) рассмотрим векторную функцию Ляпу-
Ляпунова
Vfrx.Po.ro) «@р..., 0j, F.4)
компоненты которой vs(t,x, p0, г0) учитывают зависимость
от р0 и г0. Если при каждом наборе р0, г0 из {р2 (/,*)},
(М^*)} векторная функция F.4) будет обладать в силу
системы F.1) нужными свойствами, то задача об устой-
устойчивости будет решена.
Мажорирующую вектор-функцию C(^,V) рассмотрим в
области
||V||<fflf t>0, F.5)
где
= sup (||V(/,х,р0,г„)|| при
(x.t)bQ(H.X)
Пусть в области й(Я,т) выполняются неравенства
*L +^± X (/,х, р0, г0) < С, (/, V), s = 1, 2,...,ш, <6.6)
где С8 (/, V) — непрерывные по t и монотонно возрастающие
по V.
56

Предположим, что функции R (/, х> р, г) непрерывно диф-
дифференцируемы по р и г. Тогда с точностью до линейно вхо-
входящих p(t,x) nr(t,x) их можно представить в виде
R (/, х, р, г) = Rr (t9 x, 0, г) + Rp (/, х, р, 0) +.
, OR
Обозначим
r (
при ро(
дЯ
p(t;X)
0
при p(/,x)e{pj, ^-(Лх)е{
Пусть Rp (/, л:, р, 0) и i?r (/, x, 0, г) таковы, что имеют
место оценки
F.7)
F.8)
при всех t > t0 и х £ Q (Я), где функции ф @ и -ф (/) ин-
интегрируемы на любом конечном интервале.
Этим обеспечивается существование интегралов
F.9)
F.10)
которые используются далее при построении систем срав-
сравнения. Учитывая выражения F.6)—F.10), образуем возму-
возмущенную систему сравнения
F.11)
где
0;/) = (et @,..., em @), х
, ...,xm @) F.12)
57

суть функции, интегрируемые на каждом конечном интер-
интервале.
Введем обозначения
ж
Yo^suP II" @||. Ti = sup \ || и (т)|| dt,
/«■M \l/2
Y2=SUp/ J||u(T)||«Aj .
Наряду с системой F.11) будем рассматривать соот-
соответствующую ей невозмущенную систему сравнения
$- = C(t,y). F.13)
Определение 6.1. Нулевое решение у~0 системы срав-
сравнения F.13) называется устойчивым относительно yv ...9у
при у* > 0,. . ., у] > 0, 1 < / < т, при постоянно действу-
действующих возмущениях, если для любого е > 0 можно подо-
подобрать положительные числа у и б такие, что для решения
системы F.11) имеет место неравенство
при / > /0, как только ||yQ|| < б при ^>0и выполняется
одно из условий
а) То < Y» б) Yi < Y. в) Ъ < У- FЛ5)
В зависимости от выполненияодного из неравенств F.15)
будем говорить, что нулевое решение системы сравнения
устойчиво при постоянно действующих возмущениях, ог-
ограниченных (случай а), ограниченных в среднем (случай б)
и ограниченных в среднем квадратичном (случай в).
Пример 6.1. Пусть правая часть системы F.11) в окрестности
точки у = 0 такова, что имеет смысл выражение
-~- = Р (t) у + C!(t, у) + и (t), F.16)
где Р (t) — (m X т)-действигельная матрица с непрерывными на каж-
каждом конечном интервале элементами, вектор-функция С(/, у) такова, что
в области A a Qm
II C(t, y)\\<L\\y\\,L>0- const. F.17)
58

Обозначим N (t, т) матрицу Коши линейной части системы сравне-
сравнения F.16):
-& -P(t)y, F.18)
и предположим, что
II N it т\ II <£ Rp~~a^""т^ F.19)
где (ауВ) — положительные постоянные, не зависящие от т.
Лемма 6.1. Для нормы решения y(t,tQ,y0) системы сравнения
F. 16) имеет место оценка
где
t
ф3 (t) = е~м [е^и (s) dst
X s=s ос — BL.
Доказательство. В силу условия F.19) оценки F.20) полу-
получаются из эквивалентного уравнению F.16) интегрального уравнения
t
у ft *в. у0) - ^ ft g ^о + fN &
'0
Напомним попутно, что для функции Ф2 @ известны [4] следую-
следующие оценки:
А YgX F.21)
Ф2@<А Фа(/)< . .
л • 1 _ е~ *
Теорема 6.1 (об устойчивости возмущенной системы сравнения).
Пусть в г-окрестности точки у=*0 выполнено условие F.17) и
имеет несто оценка F.19). причем постоянные а, В и L связаны со-
соотношением
оценок
решение y(tt tQ, yQ) системы сравнения F. 16) при ^> 0,...
\Рт > 0 м II Уо 'К 2В" ^бт Удовлетворять неравенству \\ у (/, /0,
в при все^ / > ^0, лмшб только будет иметь место одна из
59

e / 2X у/2 ,
V2 < 2B [ -^ 1 A — e~%). F.22)
Доказательство теоремы получается на основе оценки F.20) нормы
решения y(t>tQ,y0) и неравенств F.21).
Теорема 6.2. Пусть в области Q (Я, т) существуют
функции vs (t, х, р0, г0), обладающие такими свойствами.
Г. Функции vt (/, х, р0, г0) > 0, 1 < / < т и функция
у (t, х, р0, г0) = "V vs (t, x, p0, rQ) определенно-положительная,
допускающая бесконечно малый высший предел и имеющая
ограниченные частные производные -~- < k < оо.
2°. В области п(Н,х) выполняются неравенства F.6).
3°. Яри возмущениях u(t) (ограниченных, ограниченных
в среднем, ограниченных в среднем квадратичном) решение
У (ty t0, у0) системы сравнения F. 11) устойчиво относительно
Уъ- • • уУь при у°{ > 0,...,у\ > 0.
Тогда нулевое решение системы F.1) устойчиво при огра-
ограниченных, ограниченных в среднем, ограниченных в среднем
квадратичном постоянно действующих возмущениях.
Доказательство проведем для случая ограниченных
возмущений. Пусть существуют функции vs, v, C(t,V), ука-
указанные в условиях Г, 2° теоремы 6.2 и решение y(t,tQ,yQ)
системы F.12) устойчиво относительно yv»»-,yl при
условии у\ > 0,...,у\ > 0 и возмущениях Т(f) no (t). Для
заданного А @ < А < Я) в силу Г условия теоремы по-
получим
0 < Inf I 2 vs (*»*> Ро> го) ПРИ II * II < Л, t > /п | < с,
и, следовательно, для любого е(Л) такого, что
\s=l
имеет место
m
| х || < А при / > 0 и 2 vs С»х» Ро» ro) < 8-
60

Так как у г ... ,#, устойчиво при возмущениях u(t), то
по в (А) и для to>O найдутся б^е,^) и yMq) такие, что
/
s=l
для всех / > /0, лишь только
s=l
Учитывая условия 2° теоремы 6. 2 и применяя теорему Ва-
жевского для возмущенных систем сравнения, получаем
vs (t, х (t, f0, yQ) p0, rQ) < ys (/, /0, y0) при всех / > /0.
Предположив теперь, что при /* справедливо равенство
Ц х (/*, /0, х0) || = Л, при / € [*<>' '*) — неравенство || х (Л /0,
х0) || < Л, получим
s=l s=l
Но тогда согласно выбору e имеем || x (/*, /0, x0) || < Л, что
противоречит сделанному предположению. Это и доказывает
теорему. Аналогично доказываются и два других случая ус-
устойчивости.
Пример 6.2. Рассмотрим систему C.12). При С(?, а) = — №
получим
dy
-^- *z—k2+Mg (t, a), F.24)
где
q (U а) = sup (|| R (t, x)|| при
Очевидно, если
I R (<> х) || < ба,
61

то решение ~y(t) уравнения F.24) устойчиво при постоянно действу-
действующих возмущениях малых в каждый момент, если
; 6а при t £ Jw
то устойчиво при постоянно действующих возмущениях малых в среднем
и, наконец, если
то устойчиво интегрально.
В силу условий теоремы 6.2 находим, что нулевое решение сис-
системы C.12) обладает соответствующим типом устойчивости при постоян-
постоянно действующих возмущениях малых в каждый момент в среднем или
интегрально.
Продолжим пример 6.1, воспользовавшись оценкой F.20) в нера-
неравенстве F.23). Полагая || у \\ = \] | ys |, получим
f < (U х, р0, rQ) < В (Ф, @ + Ф2 @). F. 25)
Если теперь воспользоваться условиями теоремы 6.1 и оценками
F.21), то получим из' F. 25)
(t, х, ро,го)<е, /=* 1,2,.... in
и, следовательно, || х (t, tQy х0) ||<[ А при всех t ;> t0.
Таким образом, условия 1°, 2° теоремы 6.2 совместно с условиями
теоремы 6.1 обеспечивают устойчивость решения х =* 0 возмущенной
системы F.2).
Рассмотрим еще теорему, основанную на оценке F.25),
Теорема 6.3. Пусть в г-окрестности точки у = 0 вы-
выполнены условия FЛ7), F.19), соотношение
X = а — BL > 0
и одно из неравенств
.А*
62

где 0 < р < 1; О < б < — . Тогда существует положитель-
положительное число Т такое, что при t>T и\\у^\\ <6, у\ > 0,...
• • •, у] > 0 решение у (/, t0, y0) уравнения сравнения F.16)
удовлетворяет неравенству || у (/, /0, у0) \\ < 6.
Для доказательства теоремы достаточно положить Т >
1 В
> —In-:—— и при />Т воспользоваться оценкой F.20).
Л< 1 р
Как и выше, совместное выполнение условий Г, 2° тео-
теоремы 6.2 и теоремы 6.3 обеспечивают диссипативную ус-
устойчивость нулевого решения возмущенной системы.
6.2. Оценки решений на коневом интервале. Рассмотрим
конечные области ГА и Г^ в Еп и определим значения
Vmax@ И Vmm@ формулами
vLx (t) = max (V (Л х) при \\х ||< Л),
<п @ = min (V (t, х) при || jc || < А). F-26)
При этом предполагаем, что X < Л и <9Г^ П ^Гл = 0.
Теорема 6. 4. Пусть выполняются следующие условия.
1°. Существуют локально большие функции vs (i\ х, р0, г0),
обладающие свойствами vs > 0, и*функция v(t,x,pQ9 го) =
(^, л:, р0, г0) непрерывно-дифференцируемая.
2°. 5 области (Гл\Г^) х /г выполняются неравенства
F.6).
3°. Существуют интегралы
ТЛ*>*о>хо) = j —ЬТ^ Х(^^> Ро'го)^ s = 1, 2,... ,т,
<* _ __ F.27)
вдоль решений x(t) системы F.2) пра х(/0)=.х0.
4°. Существует интегрируемая на JT функция h (t) и
постоянные MS(H) такие, при которых справедливо
неравенство
63

и интегралы
ограниченб1.
5°. Верхнее решение у (t> tQJ y0) системы сравнения C.5)
при начальных значениях (/0, yQ) £ А, где yQ = (у\,. .., у°),
*0>0,
^° = ^^-ТЛ***'*д-°А^ s = 1, 2,... ,т,
удовлетворяет неравенствам
- rs с '<■■ *о> - as о F-28)
г, s = 1, 2,...,т.
р выполнении перечисленных условий для заданных
KAyJT решение x(t) системы F.1), начавшееся в об-
области || х0 \\ < А,, будет удовлетворять оценке \\ х (t, tQJ
л:0)||<Л при всех t£JT.
Доказательство. В силу условий теоремы 3.1 для
vs (t, x (f)) вдоль решений системы F.2) имеем оценку
vs (t, х (/), р0, л0) < ys {U tQ% у,) + Ts (t, tQ9 x0) + as (/),
s= l,2,...,m, F.29)
при всех t(iJT. Пусть теперь при \|хо||<Я на JT суще-
существует t*, при котором || х (/*, /0, д:0) \\=А и при / £ [/0,
^*) II ^ С» 'о' хо) II < ^- ТогДа в момент /*, как следует из
F.28) и F.29), должно быть
v, {t\ х (f, ^0, ^ р0, r0) < vfmln (П Ks<m.
Это неравенство не выполняется при определении V^in (/)
согласно F.26) и, следовательно, t%Jr
Этим теорема доказана.
Отметим, что если функции р (t, х) = 0, г {t> x) — неиз-
неизвестные и входят аддитивно, то для решения вопроса об
устойчивости следует воспользоваться оценкой C.17) из
следствия 3.1 либо леммой 3.2 и, соответственно, системой
сравнения C.20).
64

Рассмотрим систему уравнений возмущенного движения
%~X(t,x)+R(t9x)9 F.30)
где х£Еп, X и R обеспечивают существование единствен-
единственного решения х (/0) при х (tQ) £ Qo (#) в области
\\х\\<Н9 Н>А, tQ<t<tQ+T. F.31)
Изложим некоторые теоремы о (к, А, /0, Г)-устойчивости си-
систем F. 30), основанные на методе скалярной функции Ля-
Ляпунова и ее количественных оценках в областях Г^ и Гл, где,
как и выше, 0 < X < А — заданные числа. Наряду с си-
системой F.30) рассмотрим невозмущенную систему
%=X(t,x) F.32)
и сформулируем некоторые утверждения.
Теорема 6.5. Пусть выполнены следующие условия.
1°. Для системы F.32) существует локально большая,
непрерывная и дифференцируемая функция v (t, лх).
2°. Полная производная по t функции v (t, x) в силу не-
возмущенной системы F.32) неположительная:
в области \\ х \\ < Л, t0 < t < t0 + Т.
3°. Существуют интегрируемая на JT функция y(t) и
постоянная у0 такие, что в области || х || < А
ll^ftx)||<Y@. $y(s)ds<yo(t2-t{), t2>t{.
и
4°. В области \\x\\ < Л, t£JT частные производные
функции v(t,x) ограничены, т.е.
\<М (М = const > 0).
5°. Справедливо неравенство
max v (/0, а:) + Му0Т < min и (t, x).
Н*И<а 11цА
5 - 4-761
65

Тогда невозмущенное движение (К A, tOi Т)-уапойчиво
при суммируемых возмущениях.
Теорема 6.6. Пуспь
1) выполняются условия 1° — 4* теоремы 6.5;
2) функция v (/, х) такова, что в области (Г4\ I\) x
X JT выполняется неравенство
и
max v (t, х) + М \ у (s) ds < min v (t, x),
где
(tvt2)£[to,to + T].
Тогда невозмущенное движение равномерно (k,A>toiT)-
устойчиво при суммируемых возмущениях, т. е. (Я, Л, t'^ T)-
устойчиво для любого fQ$Jr
Обозначим [15]
о1= max (*
о.-шах ($
Теорема 6.7. Пусть
1) выполняются условия Г — 4° теоремы 6.5;
2) ах > 0 а справедливо неравенство
min у (*, х) — max v (*0, л;) > [а! + Mv0] Т.
невозмущенное движение системы F.30)
, Л, ^0, Т)-устойчиво при суммируемых возмущениях.
Теорема 6.8. Пусть
1) выполняются условия Г — 49 теоремы 6.5;
2) о2 > 0 « справедливо неравенство
min р (^, *) — max у (t> х) > [а2 + Му0] Г.
Тогда невозмущенное движение равномерно (К, A, t0, T)-
успгойчиво при суммируемых возмущениях,
66

Доказательства теорем 6.5—6.8 однотипны и приво-
приводятся методом, широко используемым в монографии [68]
и настоящей книге.
Замечание 6.1. Теоремы 6.5—6.8 в сочетании со спо-
способом построения функции Ляпунова, развитым в § 15—16,
позволяют эффективно осуществить численное решение
задачи о (К, A, to> Г)-устойчивости при суммируемых
возмущениях систем F.30).
§ 7. Исследование устойчивости в конечном
за ограниченный промежуток времени сложной системы
с однотипными подсистемами
5 исследовании конечной устойчивости сложной сис-
системы C.32) предположим, что решения xs(/), s = 1, 2,.. .
..., т подсистем существуют и единственны в рассматриваемых
конечных областях фазового пространства Ег, а вспомога-
вспомогательные функции, рассматриваемые при этом, являются ло-
локально большими.
7.1. Устойчивость на конечном интервале обособленной
подсистемы. Сложные системы C. 26) исследуем с помощью
локально большой функции vk(t, xk), xk £Er, соответствующей
свободной k-й подсистеме
hf<tJ Gi)
из совокупности C.26).
Аналогично теореме 6.4 доказывается следующее утверж-
утверждение.
Теорема 7.1. Пусть выполняются следующие условия.
Г. Для k-й подсистемы G.1) существуют функции
vk (t, xk) > 0 и Ck (t, vk), непрерывные по t и монотонно
возрастающие по vk\ а также существует интеграл
"Dv "Z
"DiJ-Fk <?> *> dt>
2°. В области ТА\Т% выполняется неравенство
+Мс
67

3°. Существуют постоянная Mh (H) и интегрируемая
на JT функция hk(t) такие, что
Dv. ~ Dv. tZ I
TZrFk{t,x)—fi*Fk(t,x)\<M
h h
и интеграл
ok{t)=Mk{H)\hk{t)dt
и
ограничен.
4°. Верхнее решение zk (t, /0, z°) уравнения сравнения
ЧГ=Сн V, zk + Фл (Л *0, ^ + ал @) G.3)
с начальным значением
удовлетворяет неравенству
h (t, <o. «S) < ^,„ @
при всех t^JT.
При выполнении перечисленных условий k-я взаимодей-
взаимодействующая подсистема
%-f >«.*,)+Fh<t,4 G.5)
(Xk, Ak, J Т)-устойчива.
Установим условия равномерной по tQ (VA^*> ^r) "Ус"
тойчиюсти подсистемы G.5).
Определение 7.1. При заданных оценках Kk,Ak,Fl9JT
подсистема G.5) называется равномерно по /0 (kk%Ak,Fl,JT)~
устойчивой, если для всякого решения xk (t), начинающегося
в области
при связях \\Fh(t,lc)\\<FQh Vt£JT,!c€D выполняется нера-
неравенство
IIM0IK4
при всех

Теорема 7,2» Если выполняются условия Г и 3° тео-
теоремы 7.1 и верхнее решение zfc(f,fo,zj) уравнения G.3) с
начальным условием
где t{ £ ^г удовлетворяет неравенству
Ч (t, t0, z\) < t£ln @ - Фк (/, /,, х0) - о, @ G.6)
f>tx(t^JT)y то k-я подсистема G.5) равномерно
относительно tQ (^, Лл, FJ, JT)-устойчива.
Доказательство. Пусть решение xh(t) начинается в
области Г^ : || x°k \\ < %к. Покажем, что при выполнении ус-
условий теоремы 7.2 не существует значения t2 £ JT при ко-
котором || х^ (t2) || = Ak.
Пусть для to<t{<t2 и некоторого ak б (А,Л, Л^) норма
|| xk (t{) || достигает значение ak и
при всех t^(tlit2]- Согласно лемме 3.3 получим оценку
vk {U xh (t)) < zk (t9 tQ, zj) + Ok (t> tQ, xQ) + ak (/), G.7)
справедливую при всех t£JT.
Учитывая неравенство G.6), из оценки G.7) получаем
2). G.8)
Откуда вновь находим, что
Таким образом || xk (t) \\ < Ah при всех t>t{£JT и теорема
доказана.
Определение 7.2. При заданных оценках величин (lr Bh, JT)
подсистема G. 5) квазирасширяюще (ХЛ, Bk, JT) -устой-
-устойчива, если для всякого решения xk(f) с начальным значе-
значением || xk (t0) || < Xk найдется t{ б Jr начиная с которого
II *k (f) || < Bk при всех значениях t£(tvtQ+T].
69

Теорема 7.3, Пусть выполняются условия 1° и 3° теоре-
теоремы 7.1 и следующие условия.
1°. Существуют функции vk (t, xk) и С (t, vk), указанные
в теореме 7.2, и существует интеграл G.2).
2°. Максимальное решение zk(t9tvzj) уравнения срав-
сравнения G.3) с начальным условием
при t £Jt удовлетворяет неравенству
)- Фк (t0 +
G.9)
{t0 + Т, tv zl) < of*ln (to + T)- Фк (t0
3°. При всех \k g Гв имеет место оценка
^0 + T). G.10)
Тогда k-я подсистема G.5)(kk,Bk,F0k,JT)-Kea3upaciuu-
ряюще устойчива.
Доказательство. Покажем, что для любого реше-
решения xk (t) подсистемы G.5), выходящего из области || xk (t0) ||<
< A,ft, при выполнении условий теоремы 7.3 имеет место
оценка || xk (tQ + T)\\<Bk. Предположим обратное, что при
IIЧ (Q II < К существует tx £ Jr при котором || х^) ||=Вк>
\\xk{t)\\>Bh при всех t£[tvt0 + Г], где t{£JT.
Согласно лемме 3.3 и первому условию теоремы 7.3
находим оценку
vk {U xk @) <\ (t, tv gj) + Ok (/, tQ, x0) + ok @, G.11)
справедливую при всех t£[tQ,tQ + T]. Из неравенств G.9),
G.11) следует, что
h
Полученное противоречие доказывает теорему.
Определение 7.3. При заданных оценках \>Bk,JT(\>
> Bk) подсистема G,5) квазисжимающе (\, ВЛ, Уг)-устойчива,
70

если для любого решения х^ (t) при условии || xk (tQ) || < \
существует значение tx £ J такое, что
\\*М\<в>
при всех t>tv (t,tx)£JT.
Аналогично предыдущему доказывается такое утверж-
утверждение.
Теорема 7.4. Пусть выполняются следующие условия,
Г. Существуют функции vk(t,xk), C(t,vk), указанные в
лемме 3.3, а интеграл G.2).
2q*. При всех t£ JT и xk£TB выполняется неравенство
2Э из теоремы 7.1.
3°. Верхнее решение zk(t>tvzlk) уравнения сравнения
G.3) с начальным условием г\ = v*kmln (t{) — Ф^ (tv tQ, xQ) —
— ok (t{) при t£JT удовлетворяет условиям
h (<o + T> *v 4) < <
Co + Г, /„, h) < <*min C
4е. При всех xk g Г5 имеет место оценка
fk«о + Т, xk (t0 + Т)) > tfk*mla (t0 + Т).
Тогда k-я подсистема G.5) квазисжимающе устойчива.
7.2. Условия устойчивости связанных подсистем. За-
Закончим этот параграф изучением всей совокупности подсис-
подсистем G.5). С этой целью в пространстве Еп введем норму
/ т \1/2
11*11= 2ИМ2) • гДе ||хЛ||—норма вектора х5 в Ers.
Обозначим Qc область в пространстве ЕПУ определяемую фор-
формулой
Qc - [к II х ||< 2 Cs), Cs « const > 0 ,
71

Определение 7.4. При заданных оценках Q2V Q2>1, JT
сложная система G.5) (Q2V Q^, Уг)-устойчивая и область
Q2X лежит в области притяжения точки х = 0 в Еп, если
для всякого решения x(t)> начинающегося в области
( 1/2
2
выполняется условие
(т \ 1/2 m
s /
где A,s, As, s = 1, 2,..., m — числа, фигурирующие в опре-
определении конечной устойчивости подсистем.
Нетрудно заметить, что если все фиксированные подсис-
подсистемы G.5) (kk> Ак> Уг)-устойчивы, то сложная система G.5)
(Qsv QzA, /г)-устойчива.
Замечание 7.1. Аналогично можно найти условия квазирасши-
квазирасширяющейся (сжимающейся) (Q^, Q^, /^)"УСТ0^ЧИВ0СТИ сложной си-
системы G.5) на основе анализа обособленных подсистем.
Примеры конкретного построения векторных систем сравнения
вида G.3) и условия конечной устойчивости сложных систем в которых
подсистемы «ежемгновенно» гурвицевы, можно найти в монографии
[68, с. 37—40].
Замечание 7.2. Теоремы о (X, A, R0, ./^-устойчивости системы
C.12) при различных предположениях о свойствах полной производ-
производной скалярной функции v (t, x) в силу невозмущенной системы, вклю-
включая случай нейтральной устойчивости невозмущенной системы, явля-
являются более глубокими по сравнению с теоремами об устойчивости при
постоянно действующих возмущениях, в которых фигурируют только
оценки вида || R (/, л;) \\<Сц (ц-const j> 0), и поэтому требуют более
полного знания системы C.12) и возмущений R (t, x), оказывающих
постоянное воздействие на систему C.13). Отсутствие ограничений на
grad xv (кроме непрерывности) (см. теоремы об устойчивости из статьи
[132]) позволяет применить установленные нами теоремы при иссле-
довани 1 некоторых специальных систем, встречающихся в теории авто-
автоматического регулирования.
§ 8. Устойчивость движения в конечном
по отдельным заданным координатам
3 зтом параграфе исследуется устойчивость в конечном
за ограниченный промежуток времени относительно от-
отдельных заданных координат. Необходимость в таких ис-
72

следованиях возникает во многих прикладных задачах.
Примером могут быть задачи динамического анализа,
крупномасштабных систем, содержащих циклические ко-
координаты, неголономных систем, сложных систем с раз-
разнородными подсистемами и т. п. Здесь излагается общий
метод исследования задач такого рода в плане дальнейшего
развития некоторых предыдущих результатов.
Постановка задачи о частичной устойчивости принадлежит
A. М. Ляпунову [49]. Лервые результаты в этой задаче получены
B. В. Румянцевым [99]. Обзор современного состояния вопроса име-
имеется в статье [86]. Отметим еще, что необходимость разработки само-
самостоятельного метода исследования конечной устойчивости по отдель-
отдельным заданным координатам связана с тем, что такого рода устойчи-
устойчивость не может быть сведена к исследованию устойчивости ни компакт-
компактного, ни замкнутого множеств, для которых развиты соответствующие
теории.
8.1. Предварительные сведения. Рассмотрим уравне-
уравнения возмущенного движения
-tf- = Xg(t,xv...,xn)9 s = 1,2,...,л, (8.1)
где xs — вещественные переменные, характеризующие
отклонение системы от невозмущенного движения,
Xs (ty хъ. . ., хп) —вещественные функции, определенные и
непрерывные при всех значениях (>0 в некоторой об-
области G пространства {xs}> содержащей точку xs = 0.
Обозначим переменные xv ... ,xk через ty. (I < I < k), a
остальные т = п — k переменных—через £..
Перепишем систему (8.1) в виде
л (8>2)
-/=*/('. Б,,.--, б*,'*! %)•
Будем предполагать, что решение x8(t) системы (8.1)
существует в области Gp(i|)), %£D и продолжимо на полу-
полуось [0, оо) по £;£D. Кроме того, предполагаем, что решение
£7@ остается ограниченным при t > 0.
Области Gp (\p) и D предположим следующими:
Ср - <♦: II ♦ ||< Р}; D - {I: || Б ||< оо} - Еп_г.
73

Определение 8.1. При заданных оценках (А,, Л, JT) си-
система (8.2) ^-устойчива, если для всякого решения
l(t))y начинающегося в области
II ♦ Со) IK*.
выполняется неравенство
Чтобы применить метод функций Ляпунова для иссле-
исследования конечной устойчивости по координатам г|), опре-
определим вспомогательную функцию, локально большую по
этим переменным [63].
Определение 8.2. Функцию t/(^,\|),£) назовем локально
большой относительно переменных г|) (локально -ф-большой),
если при заданном А для любого eg (О, Л) существует
положительное число А такое, что вне сферы 2г|)^ = Д2
имеет место неравенство v (/, "Ф, £) > с при t^t0 и всех ££D.
Обозначим
Dv ЛГ1Х % Е), (8.3)
(8.4)
o(t)^M^<p(s)ds,
где Уг = [tQi tQ + T) и М — постоянная, определяемая из
условия
Функция ф(/) интегрируема на любом конечном интервале
JaJT и такова, что при -ф£G , 56^ выполняется нера-
неравенство
Аналогично предыдущему для функции u(^,\|), 5) устанавли-
устанавливается оценка на решениях системы (8.2).
Лемма 8.1. Пусть длч системы (8.2) существует ло-
локально ^-большая определенно-положительная по я|э функ-
функция v (t, ф, I) и непрерывная монотонно возрастающая при
74

всех t£JT no v функция C(t>v). Пусть существует верх-
верхнее решение y(t,tQtyQ) уравнения сравнения
Cly f> /i i /A\ /О С\
—ЗГ = ^ if» У ~Г ^ (*// (О'Ч)
пра начальных значениях (/0, #0), гЗ^ ^ g Уг и
Тогда если выполняется дифференциальное неравенство
С (f, v) (8.6)
dv_
dt
Y
при всех t£JT, i|) £ Гл\1\, l£ D> то вдоль решения
(Ф (t) i Б @) имеет место оценка
y(t,tvy{) + o(t). (8.7)
Доказательство. При обозначениях (8.3) — (8.5) и
условии (8.6) нетрудно найти оценку
%<C(t,v) + M<p®. (8.8)
Интегрируя неравенство (8.8) и применяя лемму 2.1, по-
получаем оценку (8.7).
8.2. Теоремы об устойчивости. Рассмотрим теперь во-
вопрос о конечной устойчивости движения по отношению к
отдельным координатам.
Введем обозначения
t&? (О = sup (v (t, г|), I) при
t&? (О = inf (у (/, г|), g) при
vto(t) = sup(v(ty^l) при
vlD @ = sup (о (/, г|), Б) при г|) € Г^\Г6, I e D).
Сформулируем следующую теорему.
Теорема 8.1. Система (8.2) -^-устойчива в конечном
на ограниченном интервале, если существуют функции
v (ty г|\ I) и С (t, v), указанные в лемме 8.1, и выполняются
следующие условия.
Г. Неравенство (8.6) выполняется в области я|)£Гл\1\,
при t£JT и l£D.
75

2f. Верхнее решение уравнения (8.5) с начальным зна-
значением у0 = c^u'i? Со) — ° Со) удовлетворяет неравенству
y{t,tvy()<tfcD({)-o(t) (8.9)
при всех t£Jr
Доказательство. Пусть решение x(t) выходит из
области ||г|H|| < Х> £0£D и предположим, что в некоторый
момент t{^JT норма решения г|) (/) достигла значения Л,
т.е. ||г|)(^) || = Л. Проследим за изменением функции
p(/,i|>, I) вдоль решения (г|)@, £@) из условий теоремы 8.1
на основании леммы 8.1 получаем
v {U * (О, Б @) < У (U tQ, Уо) + о @ у' 6 «/г
Отсюда согласно условию (8.9) находим
Полученное противоречие показывает, что ^ g Jr a это
и доказывает теорему.
Определение 8.3. При заданных оценках (А,, Л, Уг) си-
система (8.2) равномерно по tx£JT г|)-устойчива, если для
всякого решения Dj)@>£@)> начинающегося в области
выполняется неравенство
Теорема 8.2. Система (8.2) равномерно ^-устойчива
относительно (X, A, JT), если существуют функции v (/, г|), I)
и C(tyv), указанные в лемме 8.1 и выполняются следую-
следующие условия.
Г. Неравенство (8.6) имеет место в области г|)£Гл\Г^>
l£D при всех t£JT.
2°. Верхнее решение y{t,tvy) уравнения сравнения
(8.5) с начальным условием ух = v\^ (t{) — a (t{) для любого
t{£JT удовлетворяет неравенству (8.9) при всех t>tv
(t,tx)£Jr
Доказательство аналогично предыдущему.
76

Следующее определение более полно учитывает свой-
свойства г|)-устойчивых решений систем (8.2).
Определение 8.4. При заданных оценках (L,B, JT) (B< h)
система (8.2) квазисжимающе я|)-устойчива, если для вся-
всякого решения (ф@> 5@)» начинающегося в области
найдется такое t{£Jr что
1Ж01КД,
Теорема 8.3. Система (8.2) квазисжимающе tyy
чивау если для нее существуют функции v (tf i|), |) и С (t, v)>
указанные в лемме 8.1, и выполняются следующие условия,
_ Г. Неравенство (8.6; имеет место в области г|)£
£YB\Yvl£D при веек t£JT.
2°. Верхнее решение y(t>tvy{) уравнения сравнения
(8.5) с начальным условием ух = v^D (tx) — a (tx) для лю-
любого t£JT удовлетворяет неравенствам
а) ~У (t0 + Г, tvУх) < v*f (t0 +T)-o(tQ+ T);
б) у (t0 + Г, /0, t%D (tQ) - a (g) < i£/> (tQ +T)-o(t0 + П
а также
в области i[)gfi, id
Доказательство. Пусть решение х (t) выходит
из области || % ||< К £0 g D л пусть || г|) (tQ + Т) \\ > В. Со-
гласно первому условию теоремы и леммы 8.1 имеем
v (t, * @.1 @) < У С <р ^i) + а @ V' 6 ^.
Учитывая условия а) и б) теоремы 8.3, находим
v?nf Со + Т) < v(*о>хСо
Из этого неравенства следует, что || гр (^0 + Т) || < В.
77

Пусть теперь решение x{t) начинается в области \|H£
£ГВ, l^D и ||г|)(/0 + Г)||>Я, (Х>В). При t = t0 + Т
выполняется условие v^D (tQ -f Т) < v (/0 + Г, * (*0 + 7>
Однако из условий Г и 2° теоремы 8.3 и леммы 8.1 полу-
получаем:
°£fD Со + Г) < °('о + Г,*(*о + Г)) < ^(^о + Tttvy{) +
Полученное противоречие доказывает теорему.
Других теорем об яр-устойчивости в конечном решении системы
(8.2) приводить не будем. В следующем параграфе изложим применение
этого способа к исследованию конечной устойчивости многокомпо-
многокомпонентных систем с неполной информацией о функциях связи подсистем.
§ 9. Условия устойчивости сложной системы
с неполной информацией о функциях связей подсистем
Продолжим исследования устойчивости сложных си-
систем в том случае, когда для функции связей подсистем
известны лишь оценки. Это соответствует ситуации, когда
сложная система функционирует в режиме подключения
или отключения новых блоков подсистем, причем для
структурных изменений функций связей известны только
оценки. Будем рассматривать сложную систему
%) (9.1)
и соответствующую ей при Q(/,x)aO систему
§- = X(t,x,0). (9.2)
Здесь x££n, X (t, x, 0) — я-мерная вектор-функция. Предпо-
Предполагается, что решение x(t) =x(t,tOixo) системы (9.2) суще-
существует и единственно на Й(Я)х/а, где при любом наборе
начальных значений #0£Q0GQ.
Построение условий устойчивости основано на пред-
предположении о существовании непрерывно-дифференцируемых
функций Ляпунова для системы (9.2).
9.1. Теоремы об устойчивости. Имеет место следующее
утверждение.
78

Теорема 9.1. Пусть выполняются следующие условия.
Г. Для системы (9.1) существует векторная функция
Л я" у нова V(t,x).
2°. Существуют непрерывные по t и неубывающие по V
функции С8(Л V) такие, что полные производные функций
vs(t,x) в силу системы (9.1) удовлетворяют дифферен-
дифференциальным неравенствам
^ + ^X(t,x,0)<C§(t,V) (9.3)
в трубке (х, t) £ (Гл\1\) X JT при всех 5=1,2, ..., /п.
3°. Существуют также непрерывные функции kx(f),...
• • •»km (t) и постоянная о > О такие, что || Q (ty x) || <
<а при
''^jG (9.4)
в области (x,t)£SxJr Здесь S = ГЛ\ГГ
4°. Существует верхнее решение у (t, tQ, yQ) системы
сравнения
% (9.5)
с начальным условием y^s = ^max^0) при всех t£JT, удов-
удовлетворяющее неравенству
Тогда при любых связях Q(tyx)> удовлетворяющих
оценке ||Q(/,x)||<a, система (9.1) (KA,<j>JT)-ycmoU4uea.
Для доказательства теоремы покажем, что при выполне-
выполнении условий теоремы 9.1 предположение о существовании
t{ £ JTy при котором || х (t{) || = Л, не состоятельно. Итак,
пусть решение х (t) = х (t, t0, #0) начинается в области Т%
при t = t0. Предположим, что связи Q (ty x) удовлетворяют
неравенству || Q (J, х) \\ < а, х б Q (Я), где / £ Уг, || д: (tv /0,
)|Л.
силу непрерывности решения x(t) имеем
79

Из выражения
dv dv Dv ~
1Г " ТГ + -Ш(Х <'• *• 0) + Q <'• х))> <97)
учитывая (9.3), получим
dvo Dv *v/
^± < С. (*,V)+_LQ (*,*), s=l,2,...,m. (9.8)
Отсюда, учитывая (9.4), находим
dv ~
-a^<Ci(/,V)+ft1@||Q(/,x)||, s = l,2,...,m. (9.9)
Для компонент t>8(/, л:) находим
vs (t, х @) < ys (t, t0, y0) при всех t>to,t£ JT, (9.10)
где
Для значения /«^ из четвертого условия теоремы 9.1
получаем неравенство
£sMo>^)<^in('i)> s-lf2f...fm. (9.11)
Из неравенств (9.10) и (9.11) находим, что в момент t = /х
Эго неравенство противоречит определению £^mIn@ и, следо-
следовательно, предположение о существовании tx g JT, при кото-
котором ||#(^)|| = А, ошибочно. Повторяя рассуждения для
любого tkdJT> находим, что \\x(tk, tQ>xQ)\\ < Л, лишь только
|| х01| < А, и || Q (^, х) || < а. Осуществляя теперь предельный
переход, находим, что || х (t> tQ, х0) \\<А у^ JT.
Этим теорема доказана.
Определение 9Л. Сложная система (9.2) называется
равномерно устойчивой относительно количеств К A, a, JT
(А,<Л), если для всякого решения x(t>t^x^, где %£JT
ПРИ \\ хо II < ^ и IIQ С»х) II < а» выполняется условие
80

Теорема 9.2. Пусть выполняются следующие условия.
1°. Существуют функции V(t9x) и С(/, V), указанные
в теореме 9.1.
2°. Неравенство (9.3) выполняется в области (t,x)£Jfx
3°. Выполняется условие (9.4) равномерно по t£JT.
4°. При любом % £ J7 максимальное решение у (/, т, у0)
уравнения сравнения (9.5) с начальным условием tfQ =
= tAmax (/0) удовлетворяет неравенству
Тогда система (9.2) равномерно (kt Л, о, 3ТУустойчива
not0.
Доказательство теоремы аналогично предыдущему.
9.2. Устойчивость по координатам обособленной подси-
подсистемы. Применим теперь методику п. 9.1 к исследованию
устойчивости сложной системы C.26) по переменным первой
подсистемы
i*L =/1(/,x1)+/?1(/,2), х,€ЯГ1. (9Л2)
Здесь символом г обозначен вектор
z = (дс2,..., хт).
Рассмотрим вспомогательную функцир vt(ttxvz)t ло-
локально большую, непрерывно-дифференцируемую, и непрерыв-
непрерывную монотонно возрастающую по vx функцию С (/, vx). Пред-
Предположим, что производная
удовлетворяет неравенству
dvt Dt;t (f, х-, z)
в области || Xj || < A,, z e E^^, t£JT, D = En_r:
6-4-761 81

Обозначим
и предположим, что существуют интегрируемые функции
ф@ и o(t) такие, что
М (9Л5)
\\F(t,xvz)\\<o(t) (9.16)
при всех t g JT, где F = (^ (f, х^, F2 (t, z)).
Теперь для полной производной функции г;(/,х;,г) в
силу системы (9.12) можем получить оценку
do
где
Приведем следующее определение.
Определение 9.2. Сложную систему (9.2) будем называть
квазирасширяюще устойчивой по координатам первой под-
подсистемы относительно заданных чисел Xv AVJ,%X < Av
если для решения %(/)=(х, (t),z(t))t начинающегося в области
IIх? II < V zo € Д существует значение tx £ Jr начиная с
которого имеет место неравенство
\\xx(t)\\<Av z(t)£D
при всех t£(tv to + T].
Теорема 9,3, Пусть выполняются следующие условия,
Г. Существуют функции vl(tixvz) и С(/, vx).
2°. Выполняется условие
^ + ^ll±fAt,Xi)<C(t,Vl) (9.18)
в области \\х{\\ < hl9z£D, t£JT, а такоюе существует
интеграл
82

Зэ. Верхнее решение уравнения сравнения
%-C(t,y + u®) (9.19)
с начальными значениями (tvyl)^Ai где tl^Jryl =
= vf^f(t{) — и (t{) таково, что
а) у Со + 7\ tv ух) < v*y? (t0 + Т)-и (t0 + П
б) у Со + Т, /0, v^ (/0) - и (@)) < vfa? (t0 + T) -
-u(to + T), (9.20)
где ^W-sup^.XpZ) при х^Г^ЧГ^, z£D).
4°. Ъри всех х{ g TA, z£D и t = to + T
o1(/,xlt2)>of|j^@. (9.21)
При выполнении перечисленных условий сложная си-
система (9.12) квазирасширяюще устойчива по первой под-
подсистеме относительно количеств XvA[tJT.
Доказательство. Пусть траектория x@=(*i@tZ@)
системы (9.1) начинается в области ||*i(fo)|l <^» zodD и
норма решения первой подсистемы такова, что || Xj (/0 + Т)\\ >
> Av При этом найдется t{ £ JT такое, при котором
II хх (^) || = Л.
В силу условия 2е теоремы 9.3 имеем
Далее из условия (9.19) и (9.20) следует
»feP Со + T)<vx (t0 + Г, xv z) < y(U /0. Уо) +
Полученное противоречие показывает, что при t=L + T
i(t* + T)\\<Av
Пусть теперь траектория x(t) начинается в области
1\
Предположим, как и ьыше, что || хг (tQ + Т) \\ > Л^
тогда при t «= /0 + т
е, Со + т» хр «). (9.23)
83

Из неравенства (9.22) и условий (9.21) получаем
°№Vo + TX о, (t0 + T,xvz)<y (t0 + T,tvy) -
-u(to:+T)<v^(to + T).
Полученное противоречие доказываег теорему.
Замечание 9.1. В том случае, когда функции связей подсистем
удовлетворяют во всем пространстве Еп условию
где /g (t) — интегрируемые функции на JT, взаимовлияние подсистем
оценивается функцией
J (9.24)
§ 10. Условия устойчивости сложных систем
с асимптотически устойчивыми подсистемами
В этом параграфе применяется метод исследования
сложной системы, основанный на применении векторной
функции Ляпунова в соответствии с идеей Ф. Н. Бейли
[115, 116] и дальнейшим ее развитием.
Отметим, что озаглавленные системы исследованы к настоящему
времени наиболее полно. Среди работ, в которых исследовались такого
рода системы, отметим работы [4, 28, 64, 68, 75]. Обзор состояния
вопроса по этим и другим работам имеется в статьях [74, 75, 127]. Сле-
Следует отметить, что идейной основой этого подхода можно считать тео-
теорему И. Г. Малкина [51] об устойчивости при постоянно действующих
возмущениях.
10.1. Идея Ф. Н. Бейли. Пусть задана сложная система
ЗГ =/s ('> xs) + fs (Л s = 1.2, ...,m, (ЮЛ)
решение которой x(t) = (x] (f),...,xm(t)) существует и един-
единственно при x'^QQ на любом конечном интервале J г xs££r .
64

Предположим, что для каждой индивидуальной подсис-
подсистемы
~s =tfs(t%x) A0.2)
найдена функция v5 (U xs), удовлетворяющая оценкам, харак-
характерным для квадратичных форм [40]
%г + ^4^- К С xJ < - сл || xs ||2, A0.3)
Условия A0.3) будут выполняться, если нулевое ре-
решение каждой из подсистем A0.2) является экспонен-
экспоненциально устойчивым, т. е. существуют такие положитель-
положительные постоянные а и Б, при которых выполняется нера-
неравенство
|| xs (*, *0, xs°) |К В || х° || ехр (-<*(*- у) A0.4)
при всех t > /0.
Далее предполагается, что условие A0.4) выполняется
и, следовательно, существуют функции v8(t, xs), s =
= 1, 2, . . . , m, для которых имеют место неравенства
A0.3) (см. [40]).
Пример 10. 1. Классом сложных нелинейных систем, для которых
нулевое решение является экспоненциально устойчивым, является класс,
для которого можно подобрать симметричные матрицы Dfi, имеющие
положительные собственгые числа и такие, что матрицы
имеют отрицательные собственные числа Kt (t, xg), удовлетворяющие
при всех / > tQ и xs£Er неравенствам Х^< — V (V—const>0) (см. [40,
с 109]).
Приведем теперь леммы, потребующиеся далее.
Лемма 10.1. Пусть A(t) есть матрица с неотрица-
неотрицательными недиагональными элементами. Если x(tyt0,x0)
85

удовлетворяет неравенству
% <A(t)x, A0.5)
а у (/, tQt x0) — решение уравнения
^ =Ay,y(t0) =л;0, A0.6)
то при всех t^t^ имеет место неравенство
x(ttx)<Cu(ttx) ПО 7)
Здесь выполнение неравенства х < у понимается компо-
компонентно, т. е. х1 4, у для всех I = 1, 2,.. . ,п.
Лемма 10.2. Если а > 0, Ь > 0, р2>1, ^=4 [\ — ~]>
У 0, то при г > 0 справедливо неравенство
-az2 + bz<-±z2+£a. A0.8)
Продолжим изучение системы A0.1), предполагая, что
связи Fs (t, x) могут быть представлены в виде
и обозначим
CSJ =
где Q = Q(#fT):||*||<#,*>T.
Имеет место следующее утверждение [28].
Теорема ЮЛ. Пусть выполняются условия,
1°. Для каждой индивидуальной подсистемы существу-
существуют функции vs(t>xs), удовлетворяющие оценкам A0.3).
2°. Функции связи подсистем Fs(t,x) имеют вид A0.9).
3°. Нулевое решение системы сравнения
%-Ру, A0.10)
88

где у — т-мерный вектор, Р — (тхт)-матрица с элемен-
элементами
с
— при s = /
26
-2 (Ю.11)
прав
асимптотически устойчиво.
Тогда нулевое решение сложной системы A0.1) асимпто-
асимптотически устойчиво в целом.
Доказательство. Вычислив производную от
vs в силу s-й подсистемы совокупности A0.1), будем иметь
Отсюда, применяя лемму 10.2, получим следующую
оценку:
m m
**-&'-+№ ^ ^ "°-12)
/=
Повторяя теперь выкладки для каждого 1 < 5 < т и
рассматривая вектор V (t, x) как функцию с компонентами
0р * • •» vm> получаем неравенство
~ <PV. A0.13)
При выполнении условий A0.3) можно указать такую
функцию а (|| я ||), что
V(t,x)>a(\]x\\)t
где а (г) — возрастающая функция г£ [0, h].
По условию теоремы решение у = 0 системы сравнения
A0.10) асимптотически устойчиво, и, следоЕательно, суще-
существует г) (8,/q) > 0 такое, что из условия || у0 \\ < ц следует
IIУ С ^о» Уо) И< «(8)> а lim У С. 'о. Уо) = О-
В силу оценки 10.7 находим последовательность нера-
неравенств а (|| х @ ||) < V (/, jc @)< || у (/, /01 Уо) || < а (е).
Отсюда имеем || х (t) \\ < а~1а (г) = е, || х01| < 6.
87

Этим доказана устойчивость решения х =» 0 системы
A0.1).
Асимптотическая устойчивость решения х = 0 следует
из неравенства
\\x(t)\\<a-{(V)
и тех фактов, что V (/, х (t)) < у (t, tQy х0) и функция а (г)
возрастающая.
В случае, если Pi = И-« = 2, лемма 10.2 и теорема 10.1
соответствуют лемме и теореме Ф. Бейли из работы [115].
Приведем теорему этой работы.
Теорема 10.2. Пусть выполняются следующие условия.
1°. Условие 1° теоремы 10.1.
2°. Функции связи Fs (t, x) имеют вид
т
^ ('•*>= 2 C./IIX/II.C., —const. -
/=l(/*s)
3°. Нулевое решение у = 0 системы сравнения A0.13)
с матрицей Р
Cs3
* 2 "с""а (ШЛ4)
асимптотически устойчиво. Тогда нулевое решение системы
A0.1) асимптотически устойчиво.
Рассмотрим теперь некоторые примеры [4, 87].
Пример 10.2. Пусть имеется сложная система
A0.15)
где х и у — векторы, вообще говоря, разной размерности, X @) =»
= Y @) = 0.
88

Матрица Р, фигурирующая в теореме 10.2, имеет вид
. Jk C4l || р ||2N
9г Or r I' 12
ZC21 ZC3\C\2
„,
Условие Рауса — Гурвица, обеспечивающее устойчивость решения
системы A0.15), запишется так!
!и!н\1/я|^21|1||ги||.
L2\C22J
Пример 10.3. Исследуем устойчивость продольного движения
самолета. Уравнения возмущенного движения самолета могут бы*ь
представлены в виде
A0.16)
где
Pg>0, r>0. ра<0, /@)=0, о/@)>a A0.17)
Систему A0.16) декомпозируем на две подсистемы — первую
dx.
A0.18)
«Гх,
Г "
и будем считать, что Рх < р2 < Р3 < Р4. и вторую
*l=rpo-f(o). A0.19)
a/ *
89

Для подсистемы A0.18) и A0.19) выполняются условия существо-
существования для них функций vx и vr удовлетворяющих оценкам A0.3). В
качестве таких функций можно взять
4
При этом константы csj (I = 1, 2, 3, 4; s = I, 2) принимают значение
сп = с21 == с*, с31 = 2с* рг с41 = 2с*,
Матрицы F2j, Z7^ имеют соответственно вид
т
1 f
/ * У/2
и, следовательно, || F21 || = 2, II F12 ||=I ^ Ps I • ^атРица Р имеет вид
\s=i /
8с
4В
Обозначив £, = L_, достаточное условие устойчиюсти движения
РАГ
системы A0.16) выразим неравенством
4
2^<1- A0-20)
Сравнивая это условие с условием устойчивости, полученным в [47]:
2%<1 6> = т7=-* = 1'2'зл Aа21)
нетрудно заметить, что неравенство A0.20) дает в пространстве пара-
параметров системы A0.16) новые области устойчивости по сравнению с
условием A0.21).
Пример 10. 4. Получим условия устойчивости системы регули-
регулирования с одной нелинейностью. Пусть задана система
^ ), о = <П/, A0.22)
90

где у =- (yv .... уп+{) — (п+ 1)-мерный вектор, В-(п + 1)х (п + 1)-
устойчивая матрица; С — (л + 1)-мерный единичный вектор-столбец;
d* — (я -|11)-мерная вектор-строка и
/@) = 0, а/(а)>0, 0<а/(а)<А:а. A0.23)
Предположим, что среди характеристических корней матрицы В
имеется один действительный (— рп), РЛ > 0, а остальные — с отрица-
отрицательными вещественными частями. При этом линейным неособым
преобразованием систему A0.22) можно привести к виду
^ » Ах + bf (a),
Л' A0.24)
rie А — устойчивая (пхп)-матрица, Ъ — n-мерный вектор-столбец;
г, alf..., ад — действительные числа. Теперь систему A0.24) разделим
на две подсистемы
§ - Ах A0.25)
И
*°.~-рпо-г!(о). A0.26)
Выполняя выкладки теоремы 10.2 для функций v± = (Rx, x) иу2=з
1=3 " °2* соответствующих этим подсистемам, и предполагая, что
- rf(c) o + o^ <*sx8<o\\ a || Ц х\\,
s=l
получаем условия устойчивости системы A0.22):
2с31'
K4| ,
Т к'
91

10.2 Сложные системы с нелинейно связанными линей-
линейными асимптотически устойчивыми подсистемами. Рас-
Рассмотрим сложную систему
Ъ = Л*хз + ^s (хг • • •. *s-p *s+i XJ* (Ю-27)
где As — устойчивые (rs X г5)-матрицы s = 1, 2,... , m.
Предположим, что связи подсистем Fs(x) подчинены во
всем пространстве Еп ограничениям
\\р$ш< 2 'ьН^н. с1028)
где lsk — неотрицательные числа.
Обратимся к независимым подсистемам
^ = ЛЛ, s= 1,2,..., т. A0.29)
Из того, что матрицы А8 устойчивые, следует существо-
существование матриц Bs определенно-положительных и симметрич-
симметричных, которые разрешают уравнения Ляпунова
A]BS + BsAs = - Gs, s - 1,2,..., m, A0.30)
где G8 — любая определенно-положительная симметрич-
симметричная матрица.
Отметим попутно одно решение матричного уравнения Ляпунова,
которое может оказаться полезным при рассмотрении подсистем A0.29)
не очень высокой размерности. Предположим, что матрицы As имеют
простые элементарные делители и их собственные значения А^,... Дг
такие, что Re Xj<!i 0, / = 1, 2,.. . , г&. При этом решение матричного
уравнения Ляпунова имеет вид
где С^1 == [А,Н] U, I = 1, 2,.. . , rs) — матрица Вандермонда, G$ =»
==[^sfe] = C*SGSC8, Xh—комплексно-сопряженные характеристические чи-
числа матрицы As при фиксированном s.
Очевидно, функции vs = (Bsxs, xs) с матрицей Bs будут
удовлетворять оценкам
92

где 4 m in и 4 max "" наименьшие и наибольшие характерис-
тичные числа матриц Bs, 1 < s < т.
Далее, так как
Dv
4(G)
то
ёM'. A0-32>
где щтах~~ максимальное характеристичное число матрицы
Dv
Оценку для -g-1 получим следующим образом:
Xs Dv
и, следовательно,
и окончательно
Теорема 10.3. Пусть выполняются условия.
Г. Для каждой подсистемы с вырожденными функци-
функциями связей существуют функции vs(xs)t удовлетворяющие
условиям A0.31) — A0.33).
2°. Функции связи Fs во всем пространстве Еп удовлет-
удовлетворяют неравенству A0. 8).
34 Система сравнения
еде у — т-мерный вектор и Р — (тхт)-матрица с эле-
элементами
Р =
s max^ min ^-J Л5
A0.34)
2
Kkmin
асимптотически устойчива.
93

Тогда нулевое решение сложной системы A0.27) асимп-
асимптотически устойчиво в целом.
Доказательство. Чтобы получить здесь не-
неравенство
%<PV,V~(vx vm\ A0.35)
рассмотрим производную компоненты vs, соответствующую
s-й подсистеме, и применим лемму 10.2 при р. « ^ — 2.
Нетрудно показать справедлиюсть оценки
из которой, применяя неравенство Шварца, получаем
Hi ^ " 2X
max
Собирая оценки, полученные для v8 при 1 <$ s ^ /n,
в одну, имеем неравенство A0.35). Дальнейшее доказа-
доказательство совпадает с доказательством теоремы 10.1.
Напомним, что матрица Р в неравенстве A0.35) будет обладать
свойством позитивности (Р ij ^ 0, f ф. /), если и только если выполняют-
выполняются услоьия Севастьянова-Котелянского
(-о5
Р Р
Р Р
Г S1' ' * Г8
Рассмотрим теперь некоторые примеры.
Пример 10.5. Пусть задана сложная система
где векторы хх и х2 имеют размерность гх и r2, Ft @) = F2 @) = 0,
94

Пусть С = Е , 1 < s < 2, где Е$ — единичные матрицы соответст-
соответствующей размерности. Тогда \i± = \i2 = 1 и матрица Р имеет вид
9 Л1 max /2
1 12
Л2 min
Условие устойчивости Рауса-Гурвица системы A0.36) записывается
так:
^1 mln^2 min ^ ^"^2 min^2 max 12 21 •
Пример 10.6. Исследуем устойчивость сложной системы с нели-
нейностями специального вида
A0.37)
где Лв, s = l,2,—устойчивые матрицы размером ггхгг и г2Хг2 со-
соответственно; 0 < Fx (at) ax < kxo\\ 0 < F2 (a2) a2 < Aja^, ^ и сг — ве-
векторы размерности гг и Ь2,с2 — векторы размерности га.
Для независимых подсистем
^i - dx
построим функции v% (xx) и у2 (*а) в виде квадратичных форм
которые будут удовлетворять неравенствам, характерным для квгдр а-
тичных форм с константами сп = К{ mIn, с27=Хх тах, с31 = 1, cAi -
s==2^l max» с\2 e^2 min» С22 =^2 max» С31 в !» С12==2Ч max» где К min' ^smax
(s «a 1,2)—наименьшее и наибольшее собственные числа матриц В^В^
при этом G8 = £$ (s = I, 2).
Матрица Р принимает вид
О _
95

Теперь достаточное условие устойчивости системы A0.37) запишется
так:
*1 m!n*2 min > 1вХ? maxX23 max II К if И \ ПС1 f И сг ^k\kl
10.3. Случай внутренних подсистем линейных и неста-
нестационарных. Рассмотрим сложную систему
§-= 4 (Ох. + Р9 (/.х), КК/я, A0.38)
в которой элементы a$(f) матриц As суть функции, огра-
ограниченные и непрерывные при t£ Ja. Предположим, что под-
подсистемы
^Г = 4@хз A0.39)
экспоненциально устойчивы. При этом существуют квадра-
квадратичные формы
vs Ы = (Вв @хв, xs), I < s <m, A0.40)
с ограниченными матрицами В8 (/), зависящими от t.
Функции A0.40) будут удовлетворять оценкам
(О IM* < vs W <
где ^smin W и ^smax @ — наименьшие и наибольшие корни
характеристических уравнений
det(Bs(t)—'KE8)=:Oi 5= 1,2,...,m,
для каждого значения независимой переменной /.
Пусть для каждого значения независимой переменной /
справедливо соотношение
Л;@5,@+5.@^.@+^^ =-Я,. s=l,2,...,m, A0.42)
где Н8 — постоянные определенно-положительные матрицы.
Пусть |Asmin и |ismax—наименьшие и наибольшие собст-
собственные числа матриц #s, s = 1,2,... ,/п. Тогда известно,
что
В качестве Hs можно взять, например, Е8 — единичную мат-
матрицу размером rs x г%.
96

Для полной производной функции vs (/,xs) в силу s-й
подсистемы A0.38) имеем
Dvs (t,xs)
Dx,
<2XJx3)\.
A0,44)
A0.45)
Предполагая, как и выше, что функции связей Fa(t,x)
удовлетворяют во всем пространстве Еп условию
\\F8{t7x
<
'./(ONI.
(Ю-46)
где /вУ(/) — неотрицательные функции при всех значениях
независимой переменной t для A0.44), получим оценку
xs|| 2
Далее находим
2 ^
s= 1,2,,, Mm.
Отсюда в силу неравенства Шварца следует неравенство
Резюмируем изложенное следующей теоремой.
Теорема 10.4. Пусть выполняются следующие условия.
Г. Для свободных нестационарных подсистем сложной
системы A0.38) существуют функции v8 (/,x8), s = 1,2М #.
..., т. удовлетворяющие оценкам A0.41), (Ш.42).
2°. Функции связи подсистем Fs(t,x) удовлетворяют
условию A0.46).
7-4-761
97

3°. Нулевое решение системы сравнения с переменными
коэффициентами
% = P{t)y, A0.47)
где у — т-мерный вектор и P(t) — (т X т)- матрица с
элементами
Psk-
M'smiAtmin
асимптотически устойчиво.
Тогда нулевое решение сложной системы A0.38) асимп-
асимптотически устойчиво.
10.4. Нелинейные системы. Рассмотрим теперь класс
сложных систем, у которых подсистемы линейного прибли-
приближения удовлетворяют условию Г теоремы 10.4:
5г = Аш @ х8 + /f (/,xs) + FJ$7x)> (Ю.48)
где fs (tyx8) — сходящиеся ряды в области
содержащие х5 в степени выше второй.
Вычислив полную производную функции vs (f,xs), в си-
силу системы A0.48) получаем
dv Dv Dv f*>
-£ < -^smin ||xslj2 +5^ U (<,x.) + ^8 Fs (t,x). A0.49)
8 S
Очевидно, чтобы воспользоваться схемой доказательств
предыдущих теорем, необходимо слагаемое Dva/Dxs(fs (/,xs))
оценить в неравенстве A0.49).
Введем функцию
\\Dv ||
где р. —область, в которой определена s-я подсистема.

В области Гд имеет место оценка
Учитывая A0.50) для vs, получаем неравенства
Аналогично предыдущему доказывается теперь следую-
следую*
щая теорема*
Т
р
Теорема 10.5. Пусть
1) выполняются первое и второе условия теоремы 10.4;
2) нулевое решение системы сравнения A0.47), в которой
матрица Р (t) содержит элементы
M>s min — Rsh max £
«7 ПрИ К = S,
2 smaxD - У. 4 при
Prt =
асимптотически устойчиво. Тогда нулевое решение слож-
сложной системы A0.48) асимптотически устойчиво.
Метод, рассмотренный в этом параграфе, основан на
«слишком достаточных» условиях устойчивости индиви-
индивидуальных подсистем, обеспечиваемых наличием условий
A0.3). В направлении ослабления этих условий выпол-
выполнена работа [28], где рассматриваются следующие оценки
для vB(U xs):
v8 (U) <Cs2||xf, °^^ - Gs (/,xs)xs
* При этом tfs в уравнении A0.42) выбираются из условия \is mIn—
при / £ Ja.
99

Здесь CsV Cs2, xs, 1 < s < m, — некоторые положительные
постоянные, G8 (t,xs) — матрица размерности rs x r8. Приме-
Применяя оценки A0.51).к системе (ЮЛ), в которой связи Fs(Cx)
имеют вид A0.9), система сравнения у = Ру будет иметь
матрицу Р с элементами
A0.52)
Vftl
где
SUp
||xft||
учитывают оценку
Постоянные а^р| удовлетворяют условию д^
Условия устойчивости системы A0.1) с помощью системы
сравнения у = Ру с матрицей A0.52) формулируются анало-
аналогично приведенным выше.
§ 11. Об устойчивости сложной системы
с нейтрально устойчивыми подсистемами
Во многих практических задачах, связанных с анали-
анализом сложных систем, возникает вопрос об ограничениях,
которым следует подчинить связи подсистем, не изменяю-
изменяющих качества системы при подключении к ней или отклю-
отключении отдельных подсистем, обладающих свойством только
устойчивости» В настоящем параграфе этот вопрос иссле-
исследуется с помощью векторной функции Ляпунова и прин-
принципа сравнения с решением скалярного уравнения в слу-
случае устойчивости по Ляпунову и с помощью применения
теоремы 6.4 в случае конечной устойчивости по Четаеву,
100

11.1. Теорема о равномерной устойчивости. Опреде-
Определим векторную функцию (иг /,х),.,. ,vm (/,*)) и рассмотрим
выражение
v(t,x) = ^v8(t,x), '=» 1.2,. ...т. A1.1)
s=l
Пусть vt(t, х) > 0, а у (/, х) — определенно-положи-
определенно-положительная функция, допускающая бесконечно малый вы-
высший предел.
Теорема 11.1. Пусть выполняются следующие условия.
1°. Для свободных подсистем системы A0.2) существует
векторная функция Ляпунова и сумма A1.1) удовлетво-
удовлетворяет условию
»(/,*)> а A|*||). A1.2)
где а (г) (а @) = 0) — непрерывная, монотонно возрастаю-
возрастающая функция при г£[0,А].
2Ф. В области \\x\\ <h,t>t0 функция v (t,x) удовлетво-
удовлетворяет условию Липшица с константой L > 0
\v(Ux)-v(Uy)\<L\\x-y\\.
3°. Сумма полных производных компонент vv... ,vm в си-
силу свободных подсистем системы A0.2) неположитель-
неположительная, т. е.
4°. Существуют интегрируемая функция ср(/) а функция
у (г) (типа функции а (г)) такие, что
Ф (s)ds < + оо.
о
Тогда нумвое решение сложной системы A0.1)
чиво равномерно относительно t0.
Доказательство. Согласно A1.3) находим, что
dv , Dv (ttx)
а? + ПЕГ"
Так как \\х\\**а l(v(t,x))9 следовательно,
dv , Dv(t,x)
101

Рассмотрим теперь1 уравнение сравнения [119]
f = L(p(/)p(r/), r/(g = r/oeA, (П.4)
f
где Р{у) = у{аГх(у)). В силу A1.4)
и полуось у = 0 уравнения сравнения A1.4) устойчива рав-
равномерно по /0. С другой стороны,
где у (to,to,yo) = у0. Так как у = 0 устойчиво из условий
теоремы, то существует такое т)(е)>0, что из 0(*о*о)<т)
следует v(t>x) <а(е) при всех ^ >^0.
В силу условия A1.2) \\х (t)\\ < а" (а (е)) = 8 при всех
* > ^о равномерно по t0. Теорема доказана.
11.2. Оценки функций связей на конечном интервале.
Рассмотрим теперь вопрос об оценке функций связи между
устойчивыми подсистемами в случае конечной устойчи-
устойчивости на ограниченном интервале.
Теорема 11.2. Пусть выполняются следующие условия.
Г. В области (ГА\Тк) xJTсиЙ(Я.т) выполняются ус-
условия 1°— 3° теоремы 11.1.
2°. На каждом конечном интервале J a JT существует
интеграл
который вычисляется на решениях xs(t) независимых под-
подсистем сложной системы A0.2) при xs(^0)==xs, l<s<m.
3°. Существуют постоянные УИ,Ло>0 и интегрируе-
интегрируемая функция h(t) такие, что
102

4°. Значение Ф(/,/о>*о)» определяемое формулой A1.5),
удовлетворяет неравенству
t2-tx)< ^in(g-cx(^i) (п-в)
при всех (tx,tj£JTt t2>tlu
Тогда система A0.1) устойчива в конечном на ограни-
ограниченном интервале.
Доказательство. Пусть решение х(t)системы A0.1)
выходит из области ||xo|| < X. Проследим за изменением
вспомогательной функции A1.1), получим
2
Принимая во внимание обозначение A1.5) из A1.7), на-
находим оценку
v (t,x @) < v (^0До) + ф С^о) + Mh0 (t - /0), A1.8)
имеющую место при всех />^0> t£JT»
Пусть при t = tx£JT норма решения х(t) достигает зна-
значения Л, т. е. ||л;(*1)|| = Л. Усиливая оценку A1.8), найдем
v (tvx (tx)) < ^ах (g + ф (/;, /оЛ,) + Mh0 (t± - g. A1.9)
Отсюда в силу A1.6) имеем неравенство
Это неравенство опровергает предположение, что 3 tl £ JT с: Ja,
при котором ||*ft))! «Л и, следовательно, t^Jr.
Теорема доказана.
Замечание ILL Эти теоремы позволяют рассмотреть ситуацию, при
которой среди обособленных подсистем

могут быть такие, что
"Ж Ш •* ' 7 ~" ■*
и
) — const).
В этом случае вопрос об устойчивости по Ляпунову системы C.26)
решает теорема 11.1, а устойчивости по Четаеву—теорема 11.2 при до-
/' г
полните льном ограничении 2 fy + 2 ^г ^ ®* где 1 ^ *' + *" ^ т-
11.3. Нелинейные системы с особенным линейным при-
приближением. Рассмотрим две я-мерные системы
7?=А®х (П.10)
% R(t,y)9 A1.11)
где х £ ЕпУ А @ — матрица с непрерывными на каждом
конечном интервале элементами. Вектор-функция R (t, у) -—
заданная функция переменных t, у, содержащая у в сте-
степени выше первой. Предположим, что нулевое решение си-
системы A1.10) устойчиво и, более того, известна ее матрица
Коши N (t, т) = U (t) и~1(т)у где U (t) — фундаменталь-
фундаментальная матрица системы A1.10). В силу предположения об
устойчивости системы A1.10) для нее существует такая
определенно-положительная квадратичная форма v {t, x),
при которой
В силу устойчивости системы A1.10) матрица Коши ограни-
ограничена: || N (t, т) || < т при всех t > т, т > 0 — const [6].
При х (t0) = у (t0) оценка расстояния между решениями
x(t) и y(t) систем A1.10), A1.11) дается в следующей
лемме.
Лемма 11.3. Пусть выполняются условия
1) система A1.10) устойчива, /п. е. по заданному г'
можно указать б' такое, что при ||*о||<6' для всех
t^t0 имеет место ||#(/)||<е' и для разрешающей мат-
матрицы N (tx х) имеет место оценка || N (t, т) || < т < оо;
104

2) вектор-функция R (t, у) такова, что
\\R(t>y)\\<M\\y\\* M=const>0.
Тогда для расстояния между решениями систем A1.10)
и A1.11) имеет место неравенство
\\y®-x(t)\\<*'(emmi-l) A1.13)
на любом конечном интервале t0 < t < t0 + 2/, / > 0—const-
Доказательство. Из исходных уравнений при хо=уо
находим
\\y(t)-x(t)\\<$\\N(t,T)\\\\R(T,y)\\dx.
U
Отсюда, учитывая второе условие леммы 11.3 и то, что
.ЫК1М1 +\\У— *Ь получим
Далее, в силу условия Г леммы 11,3 имеем
t
||у @ -х(t) || < f {тМг' + тМ \ у{%)-х{х) ||)dt,
L
где т = const > 0 такое, что || Af (t, т) || < т < с», t > т.
Применяя к этому неравенству лемму 4.1, получим
оценку A1.13).
Теорема 11.3. Пусть выполняются следующие условия.
1°. Система A1.10) устойчива и это обеспечивается
существованием определенно-положительной квадратичной
формы v (ty x) такой, что выполняется условие A1,12).
2°, Существует интеграл
t ,
и
вдоль решения x(f) системы A1.10), обращающегося в
х0 Ф0 при t = t0.
3°. В сколь угодно малой окрестности точки xQ = 0
равномерно по (хо> t0) выполняется условие
<D(Uo>*o)<--6(/-Q, 6>0~const, Yt>t0.
105

4°. Существуют интегрируемая на J функция o(t)
постоянная а0 и неубывающая функция %(а), Птх(а) = О,
а-»0
таковы, что
t2>tv
При выполнении перечисленных условий существует та-
такое значение Мо, что как только
\\R(t>y)\\<M\\y\\ при всех t>t0, A1.14)
гдеМ<СМ0, то решение системы A1.11) устойчиво по
Ляпунову.
Доказательство. По заданному числу 0<е<# введем
в рассмотрение другое число 0<е' <е. В силу устойчивос-
устойчивости системы A1.10) можно указать такое 8'> 0, что как
только ||#о|1<6' будет выполняться неравенство ||#@И<8'
при всех t > t0 > 0. Заданному е' поставим в соответствие
число с так, чтобы Sg-окрестность точки х = 0 лежала внут-
внутри множества
Gc = {х: v (t, х) < с}, Sc cz int Gc, с == const > 0.
Очевидно, всегда можно подобрать такое сх^@9 с), что
GcjGSs'cSg. Пусть решение y(t) начинается в области
Ge\ т. е. ||#0||<6'. Вдоль этого решения скорость измене-
изменения функции v (t, у) определяется выражением
do Dv(t,y) р(. А
^ КУУ)
1Г^ —Dy—КУ>У)-
Отсюда нетрудно найти изменение самой функции
t
v (t, у @) < v (ft, у (tj) +\Dv %yy {t)) R (t, у (/)) dt. A1.15)
\Dv %yy {t)) R
106

В силу условий 2° и 4° теоремы 11.3 находим оценку
второго слагаемого в выражении A1.15):
+ $%(\\y(t)-*(t)\\)o(t)dt. A1.16)
Выберем М в неравенстве A1.14) так, чтобы на интервале
to<t <£to + 2l выполнялось неравенство
E. A1.17)
Из оценок A1.13) и (П. 17) следует, что для этого доста-
достаточно взять
В силу условия 4° теоремы 11.3 значение М2 подберем так,
чтобы
(в'[«"•"•"-1 ]) о, <f. A1.18)
Выбрав теперь Мо = min (Mv М2), получим, что при 0
имеет место || у (t)\\ < е на интервале t0 < t < t0 + 21 и ин-
интеграл в правой части выражения A1.15) отрицателен. Дей-
Действительно, в силу условия 3° теоремы 11.3 и оценки A1.18)
имеем
I
при всех t0 < t -4. t0 + 2/. Таким образом,
v{Uy{t)) < v(to,y(to)) -| (^^0) (U.19)
и тогда найдется значение tx £ [f0, t0 + 21], при котором
v V> У @) будет убывать и, следовательно, решение у (t) пе-
пересечет поверхность v = сг снаружи внутрь. В силу равно-
равномерности всех оценок по (*0, х0) решение у (t) при всех / > t0
будет оставаться в области || у \\ < е, пересекая сколько угод-
угодно раз поверхность v =* cv Этим теорема доказана.
iO7

Замечание 11.2. Развитый в этом пункте метод иссле-
исследования устойчивости может быть распространен на
л-мерные системы нелинейных дифференциальных уравнений
■§■ = /('.*). (П.20)
^j=f(t,y)+R(t,y), A1.21)
где / и R— известные функции переменных (t, у), вектор-
функция / (t, х) удовлетворяет условиям Липшица, a R (tt у)—
условию
\\R(t,y)\\<M\\y\\9 M = const>0.
Теорема 11.4. Пусть выполняются следующие условия.
1°. Существует определенно-положительная функция
v(tyx), допускающая бесконечно малый высший предел
Ж + -£15Г1 /('.*)< 0, (*,06G(//,t).
2°. Вдоль решения х (t) системы A1.20), принимающем
значение х0 при t = t0, существует интеграл
t
3°. Существуют интегрируемая функция o(t), посто-
постоянная о0 и неубывающая функция %(а), limx(oc) = 0, та-
а->-0
ковы, что
t%>tv
4*. Вектор-функция R (/, у) обеспечивает существование
непрерывного решения y(t) системы A1.21) при y(to)=*
**уовжхо и удовлетворяет условию A1.14).
5°. Равномерно относительно t0, x0 при всех t>t0 вы-
выполняется условие
108

При выполнении перечисленных условий можно указать
такое Мо> что при М < Мо в неравенстве A1.14) нулевое
решение системы A1.21) устойчиво по Ляпунову.
Замечание 11.3. Условие Г теоремы 11.4 можно осла-
ослабить, потребовав существования знакопостоянных функций
т
vl > 0, ..., vm > 0 таких, что лишь функция v = > vs (t, x)
s=l
определенно-положительная и допускает бесконечно малый
высший предел. Видоизменение условий теоремы 11.4 при
этом очевидно, и приводить их не будем.
Замечание 11.4. Построение функции v (/, х) для си-
системы C.13) или A1.10) подчас сталкивается с непреодо-
непреодолимыми трудностями, в то же время может быть построена
е-точная функция Ляпунова [68], т. е. функция в виде
конечного отрезка ряда
V (I, X) = Vq (Г, X) -\- Vi[T9 X) -\- ... -j- Vm yly X) -j- . . . , ^11 .ll)
где vm (ty x) — однородная форма m-й степени относительно
xv ... ,хп. Для систем A1.10) рекуррентные формулы по-
построения такого рода форм легко получаются на основе
способа В. И. Зубова" [31, с. 100]. Сходимость ряда A1.22)
при достаточно малых |#s| следует из результатов [50].
В частном случае (см. §15) последующие приближения vm(t,x)
могут быть квадратичными формами, матрицы которых вы-
вычисляются из рекуррентных систем обыкновенных дифферен-
дифференциальных уравнений. Сформулируем теорему, обосновываю-
обосновывающую применение приближенной функции Ляпунова при ис-
исследовании устойчивости систем A1.11).
Теорема 11.5. Пусть выполняются следующие условия.
Г. Существует определенно-положитгльнаяУ допускаю-
допускающая бесконечно высший предглу функция vo(tyx).
2°. В области Q (Я, т) выполняется условие
т
/=о' ш
3°. Вдэль решений системы A1.10)
Dv.
-=r±-R(t,y)dt = 0 для
109

Г Dv
Фт (U t0, xo) = ]-firR (t, y) it Ф 0.
и
4°. Существуют неубывающая функция % (a), lim х (а)=0
>0
и интегрируемая на J функция о (t) и постоянная о0 > О
таковы, что
т т
SDv. w-i Dv.
~оу-R(*> у)-LSjf-RС у) <%<\\у-х\\)о®,
/«О /=0
5°. В сколь угодно малой окрестности точки х = 0,
как только \\ х || > у (у < Я), то у^ > t0
Фт (/• /о. ^о)< - б (* - W» 6 > 0 - COnst
равномерно по (/0, х0) g Qo.
ГогЗа Зля заданного е > 0 можно указать X > 0,
М0>0 такое, что как только ||#0|1<^> та |1#@11<8»
/>/0 ДР^ любых R{t,y)y удовлетворяющих оценке
W,y)\\<M\\y\\, M<M0.
Доказательство теоремы 11.4 проводится аналогично
доказательству теоремы 11.3, поэтому в деталях повторять
его не будем. Укажем лишь полученные оценки для функ-
функции v (t9 у (t)) вдоль решения системы A1.11).
Для функции A1.22) имеем
% [
A1.23)
Первое слагаемое в правой части неравенства A1.23) оце-
оценивается как и выше в теореме 11.4. Для второго слагае-
слагаемого имеет место следующая ситуация. В силу непрерыв-
непрерывности функции v(t,y) ограниченности R(t,y) и устойчивос-
устойчивости системы A1.10), учитывая сходимость ряда A1.22) в лю-
любой ограниченной области G: {|| х \\ < Му t0 < / < t0 + 21}, для
по

всякого Р > 0 можно указать такое у > О, что как только
■•<Т(Мо,2/,Д). то
Учитывая, что || у || < || л: ||+ || У —* |1> получим при Р < C°,
где
6
3 [Л' + е' (e2""M - 1)]
справедливость оценки
/=m+l
Выбором Mi < Mo можно добиться того, что
Тогда, учитывая условия теоремы 11.4, найдем
Отсюда и вытекает справедливость утверждения теоремы
11.5.
11.4. Специальный особенный случай. Далее, относи-
относительно правых частей систем дифференциальных уравнений
A1.20), A1.21) будем предполагать, что ft (/, х) определены,
а/.
непрерывно дифференцируемы, а производные г~- ограниче-
ограничены в области
\х\\<Н\
A1.24)
Функции R (t, у) — заданные и обеспечивают существование
единственного решения системы A1.20) с начальными значе-
значениями (/0, х0) б Qq с Q. Системы A1.20) и A1.21) допускают
невозмущенное движение х = 0, т. е. ft (U Q)=Rt (t9 0) = 0.
С системой A1.20) свяжем непрерывные в Q (Я, т) функции
v (t, х), имеющие частные производные по xv ..., хп, t первого
ill

и второго порядков. Функции v(t, x), а также их первые [50]
и вторые [71] производные в силу системы A1.20)
непрерывны в Q (#, т) и уничтожаются при х = 0:
Условимся говорить, что для системы A1.20) имеет
место специальный особенный случай общей задачи об
устойчивости движения, если уравнения A1.20) таковы,
что
2^ f >fo A1.25)
2) ^/(и)+|ч<0 при всех />/0.
A1.26)
В пространстве переменных xv...,xn в области ||х||<#
рассмотрим уравнения v (/, х) = ch, представляющие собой
некоторые подвижные поверхности [112, с. 18]. Через начало
координат, где предполагается xs = 0 A < s < n)> проходит
поверхность v(/, х)= 0. Следовательно, при lim ch~ 0 поверх-
ности г; (Л #) = сА ограничивают стягивающиеся к нулю ок-
окрестности.
Интеграл
(—:
j^-/?С. *)* (И.27)
рассматривается вдоль решений л:@ системы A1.20) с на-
начальным значением х0 £{x:v (t, x) < ck}> х0 Ф 0.
Справедливо следующее утверждение.
Теорема 11.6. Пусть
1) существует определенно-положительная функция
v (ty x), первая и вторая производные которой в силу уравне-
уравнений возмущенного движения A1,20) удовлетворяют A1.25),
A1.26);
112

2) выражения dv/dt, Dv/Dx, Dv/Dx ограничены;
3) в области численно достаточно малых значений пе-
переменных х8 выполняется условие
Ф (t$ t0, x0) <—b(t — to)f б > 0 — const
при всех t > to\
4) существуют интегрируемая на J функция o(t), пос-
постоянная ао>0 и неубывающая функция %(&)> Нтх(а)=0
• а->0
такие, что
[)_ г, (i /Л Do V, х) Q ( v
В этих предположениях невозмущенное движение си-
системы A1.12) устойчиво в следующем смысле: для любого
е > 0 @ < е < Я) существует два таких числа К (г) > О
и Цо (8) > 0, что из неравенств
и
\\R(t,y)\\ <r\ Mt>t0, \\у\\<г,
где т) -< тH (в), вытекает неравенство
|| г/ @1| < е при всех t > t0, lim || у (t) \\ - О.
Доказательство. Принимая во внимание
A1.27), согласно условий теоремы 11.5 аналогично дока-
доказательству теоремы 11.3 нетрудно найти оценку
справедливую при всех * > £0.
В силу того, что функция v(t, x)— определенно-положи-
определенно-положительная, а ее производная A1.28)—строго отрицательная,
векторное поле системы A1.21), направленное внутрь, и
x(t, /0, х0) не покинут области || х ||< 8 при х0 £ {л:: || л;01|< М-
Более того, v (t, x (t)) ->• 0 при / ->• оо и ck -*- 0. Следователь-
Следовательно» ILv(OII"*'O ПРИ ^->0°-
8-4-761 ИЗ

11.5. Устойчивость в развивающихся системах. В ряде
прикладных задач, связанных с техническим прогрессом,
представляет интерес следующая задача. Поведение меха-
механической системы описывается автономной системой не-
нелинейных дифференциальных уравнений
■$■-/,(*!• ••••*«)• s=l,2,...f/if A1.29)
где fs(xlt . . . , хп) —функции, заданные в Еп, веществен-
вещественные и непрерывно дифференцируемые. Эта система имеет
единственное положение равновесия х = О, т. е.
/,(*1» •••.*n)Le«osssO» *=* 1, 2, ...f п.
При t = t0 > 0 система начинает движение с устойчи-
устойчивого состояния равновесия х =^ 0, т. е. выполняется, на-
например, условие
№ < о,
где
\Df(x) (Df (х)
Для любого t > /0 система подвергается действию возмуща-
возмущающих сил /?s (/, xv ... , лгЛ), удовлетворяющих условиям
1) Rs (t0, xv . •. , хп) = 0, s = 1, 2, . •. , п\
A1.30)
2) /?.('.*!. •••.*n)Ls-* — °. s-1,2 /г.
Возмущения R8 (t, xv ... t xn)f удовлетворяющие условиям
A1.30) и предположению ограниченности вместе с частными
dR8
производными -^~, будем называть развивающимися.
Таким образом, поведение системы при / > t0 описы-
описывается системой дифференциальных уравнений
£~f(x)+R(t9x)9 A1.31)
учитывающих ее изменяющуюся структуру.
Требуется найти условия устойчивости решения х = 0
системы A1.29) при развивающихся возмущениях A1.30),
Решение этой задачи проведем вторым методом Ляпу-
Ляпунова с использованием производных вспомогательной функ-
114

ции v (x) выше первого порядка. Справедливо утверждение.
Теорема 11.7. Пусть
1) для системы A1.29) существует определенно-поло-
определенно-положительная функция Ляпунова v (х)\
2) в области Q (Н)
вне сколь угодно малой окрестности тонки xt = О
3) в области Q(H) выражения -^, -ц-j- ограничены,
т. е. существуют постоянные М > О, N >0 такие, что
в Q(H) выполнены неравенства
Dv
Dv
Ш
и выполняются условия A1.30).
При выполнении перечисленных условий система A1.29)
устойчива в следующем смысле: для любого е > 0 @ < е<#)
существуют такие два числа х\г (г) и х\% (е), что из нера-
неравенств
IIЯ С*) IK 42 (в) при \\х\\<г, t>t0
вытекает неравенство
||* @|| <е при всех t>t0.
Доказательство. В силу определенной положитель-
положительности функции v(x) существует такое положительное число
г)! (е), что v (*)< т на сфере Н (л,) и v (х) > т на сфере
// (в), где m — точная нижняя граница значений v (x) на
поверхности сферы Н (е). Рассмотрим траекторию системы
A1.31), начинающуюся в области ||*||<TJi(8)> и допустим,
что эта траектория попадает в кольцо цг < || х || < е. Из
соотношения
if = -m
115

находим
Отсюда
t
dv ("Di
5T<J-
v(x{t))
+ R(s,
<v(x0)
X))
f
ds
0.
Следовательно, производная -—- функции v(x) не воз-
возрастает вдоль любой траектории системы A1.31) в кольце
■Hi^lMl^e и поэтому ни одна траектория не достигнет
поверхности ||л;||=8. Теорема доказана.
§ 12. Применение многоуровневых систем сравнения
Построение систем сравнения при исследовании устой-
устойчивости систем высокого порядка является, по-видимому,
одним из наиболее эффективных путей преодоления боль-
больших трудностей, встречающихся при непосредственном
применении к ним классических методов исследования.
Учитывая, что многие сложные системы в действитель-
действительности являются составными системами (т. е. системами,
состоящими из большого числа соединенных между собой
относительно простых подсистем), были предложены спо-
способы [42, 115, 124] анализа систем на основе исследования
подсистем и их взаимных связей.
При исследовании асимптотической устойчивости в боль-
большом (см. [40]) получил распространение метод Ф. Н. Бейли,
о котором уже шла речь в § 10.
В этом параграфе предлагается схема построения си-
систем сравнения на основе некоторых аппроксимационных
процедур. В предложенной схеме процесс итераций полу-
получения последующих систем сравнения (более высоких уров-
уровней) можно продолжить и, таким образом, с помощью
конечного итерационного процесса построить систему срав-
сравнения заранее заданого порядка. Для простоты изложения
построение выполнено для первой итерации.
12.1. Сложные стационарные системы. Пусть задана
система
116

где xs £ £г, / и /% — вектор-функции соответствующей раз-
размерности. Предположим, что при xs°£Q0 решение xs(/) =
= xs (t, L, x°) существует и единственно при t£Jr
Рассмотрим вещественные функции ^ (х{), ... , Фт(х/),
определенные и непрерывные в области
||х|| <//,//> 0 —const,
где
\s=l /
Для совокупности этих функций введем норму
Рассматривая функции ф5 (xs), будем предполагать, что
||>а(|И|), A2.2)
где а (г) — непрерывная, монотонно возрастающая функция
г б [О, Л], Л > 0 — const, обращающаяся в нуль при г = 0.
По заданным q>s (xs) подберем некоторые произвольные
функции i|)s (хр ... , xm) так, чтобы совместно с произволь-
произвольными постоянными Xs ш > 0 удовлетворялись соотношения
где t|)s (х,, ... , xm) суть функции переменных xlf ... , xm>
обращающиеся в нуль при обращении в нуль этих перемен-
переменных.
С учетом A2.3) производная вектора ф = (фр ... , ф ) в
силу системы A2.1) примет вид
т
Г = L Ч-Ф/ + Gs (хр ... , xj, I < s < m, A2.4)
/«1
где
/«1

Отметим, что функции Ф8, I ^ s <| m, удовлетворяющие уравнени -
ям A2.3), можно выбрать линейно независимыми в любой области
Q' a Q. Известным условием линейной независимости элементов
Фх, . . . , <рт на Q' является условие
Г (Фг . . ., фт) = det | j y^do | ф О,
где а — лебегова мера множества i¥ a Q.
В подпространстве В' а В, образованном линейными ком-
комбинациями cpj, ... , cpm, определим оператор R равенством
Далее следует определить элементы h's/ матрицы Н' так,
чтобы
и при этом
||6(x)||B,->mta, A2.6)
где
/ т \1/2
При условии согласованности норм в области Q для вектора
б (х) можно указать число L > 0 такое, что равномерно по
x£Q справедлива оценка
||6(*)||<L||cp(x)l|, A2.7)
где || ф || — евклидова норма.
Теперь система A2.4) с учетом A2.5) приводится к виду
т
= ЕАЛ + МХ^ l<s<m, A2.8)
где hsj = %s. + h'sj.
Напомним, что множество всех значений (^0, х^), для которых реше-
решение х8 (/) системы A2.1) устойчиво по Ляпунову и удовлетворяет условию
т
хз С» 'о' xs) II ~> 0 при ^ -> со,
118

называется областью асимптотической устойчивости (область А). При-
Применительно к системе A2.8) область А есть область значений (tQ, фД
для которых ф @ — устойчиво по Ляпунову и Нф(*(О) |1 ->0 при
t—юо.
Теорема 12.1. Пусть система
%=Ну, A2.9)
где *у£Ет, Н = (Ksj + h'sf), имеет асимптотически устойчи-
устойчивое нулевое решение. При этом для функций 8S (х,, ... , хт)
можно указать такой высший предел Д(х), что при
||б||<Д(л;) система A2.8) и вслед за ней система A2.1)
будут иметь асимптотически устойчивое в целом решение.
Доказательство. В силу предположений о системе
A2.9) существует функция а(фр ... , фт) определенно-поло-
определенно-положительная и определенная в области, не меньшей области
определения функций Фр • • • > фт такая, что
где w (ф) — определенно-отрицательная функция
ш(Ф)<-а(р)<0 при ||ф/|>Р>0.
Легко видеть, что если А(х) выбрать в виде
AW- "Л *->""Ф" ■ 0<х<т.
то
-^(Яф + б) <#-а1<0, ||фЦ>р>0.
Следовательно, найдена такая функция а(ф), что
полная производная которой определенно-отрицательная. Но
тогда в области Q' для любого 8 > 0 можно указать б > О
такое, что || ф (/) ||< е у' > *0, как только || ф01| < б. Действи-
119

тельно, из оценки A2.2) имеем || x(t)\\<a ] (|| ф ({) ||) = е
Y^>/0, если только ||<po||<6. Теорема доказана.
Теорема 12.2. Пусть для матрацы Коши системы
A2.9) имеет место оценка
\\W(U%)\\<Be-*«-*\ A2.10)
где В и а — положительные постоянные, независящие от
т. Если выполнена оценка A2.7) и неравенство
b = a-fiL>0, A2.11)
то нулевое решение системы A2.1) асимптотически устой-
устойчиво.
Доказательство. При выполнении условий
теоремы нетрудно найти, что
а в силу A2.2) получаем
(U @1|< а-1 (II Ф (^) II)
при всех t > t0. Отсюда, учитывая неравенство A2.11),
и следует утверждение теоремы.
Рассмотрим систему
в которой li^WJJ -> 0 при II * || -* 0.
Пусть в результате декомпозиции система A2.12) представлена в
виде
где xg £ Er , Sr = д, Ag — (rs X г5)-матрицы, вектор-функции F8 (x)
учитывают перекрестные связи независимых подсистем
%--АЛ A2.14)
и функции Х8(хг ..., хп).
Пусть все корни уравнений
det (Л — КЕ) = 0, s = 1, 2, ... , т,
имеют отрицательные действительные части.
120

Зададим функции <ps (*), как решения систем уравнений в частных
производных вида A2.3)
= K*. + *.l*i xw). A2.I
удовлетворяющие условию A2.2).
Отметим, что если \|з8 (х) = 0, то <ps определяются из системы
(см. [52, с. 63 — 65])
° f д # ф -|- , t -4- Д. ф j = А ф ^1л.ID)
при соответствующих предположениях о корнях Pg уравнений
det (C8 — РЯ5) = О,
где С8 — матрицы, элементы которых суть постоянные, являющиеся
линейными комбинациями элементов матриц А&.
В данном случае функции G8 имеют вид
В случае гильбертова подпространства В' пространства В можно ука-
указать систему чисел h®j (s, / = 1, 2, ... , т) таких, что величина
т
^1, 1 ^s^m,
будет минимальной. В этом случае
/ т \
^«/ Фу» Б I = Of I < s < m,
где любой элемент гиперплоскости £, состоящий из линейно независи-
независимых элементов ф» Но тогда h®. определяются как решение неоднород-
неоднородной системы
т
где
121

<о,ф)-[о.
Вспомогательная система A2.13) принимает вид
,#Ф*+ <U*». l<s<m, A2.18)
где
при минимальной невязке
Известно, что компоненты вектора 6* (х) с помощью определителя Гра-
ма выражаются формулой
Г(Фг...,фт,08)
s()
Для однородной системы, соответствующей A2.18), рассмотрим
квадратичную форму Ляпунова v (ф) = (Лф, ф), матрица которой
А вычисляется из уравнения Ляпунова
•- — G A2.19)
по формуле
со
А = — [ eCHGeCidU A* = Л, A2.20)
= _fec*/Gea
где С — комплексно сопряженная с С матрица.
12.2. Равномерная устойчивость. Вопрос о равномерной
асимптотической устойчивости системы A2.18) и, следова-
следовательно, A2.12) решает следующая теорема.
Теорема 12.3. Пусть выполняются следующие условия.
1°. Нулевое решение системы
£ = Cz A2.21)
равномерно асимптотически устойчиво с функциями ах (X),
bz(X) и т(А).
2°. Существуют функции яф(А,), &ф(А,), для которых,
при г>0 и 0<А,<г выполняются неравенства аг(А,)<
< аф (К) < X < Ьг (X) < &ф (X), а также у (г) такова, что
122

где L>Ou аф(А,), 6ф(Я), az(X), Ьг (К) и у (г)—функции,
строго возрастающие при X £ [О, гг] и обращающиеся
в нуль при X = О, х(Х) — положительная функция.
3°. При t > О и || ф || < г имеет место оценка \\ 6(х) \\<
< Y[fyp(ЭД равномерно по х£п' czQ.
При выполнении перечисленных условий нулевое реше-
решение системы A2.12) равномерно по t0 асимптотически ус-
устойчиво.
Доказательство. Пусть г(/, tQ> z0) и <р(Л t0, ср0) —ре-
—решения систем A2.21) с начальными условиями z0 = <р0,
II ф0 II < г- Пусть также || г (t) \\ < Ьг (К) на интервале t0 ^
< t ^ t0 + т(А,), что возможно по условиям теоремы. Тогда
+11 Ф@-«(Oil <*«W+
фХ)]т(^^тШ<6фМ A2.22)
и, следовательно,
при Есех /0 < / < ^0 + т (X). Из цепочки неравенств
II Ф Со + ^ W) II < II Ф Со + ^ W) 11 + II Ф Со + т W) —
- г (t0 + т (К) || < аг (X) + 2Т [&ф (X)] т (X) х в"*<*> < аф (Я),
A2.23)
условий 2° и 3° теоремы 12.3 и неравенств A2.22) и A2.23)
следует теперь, что решение системы A2.18) равномерно
по ^о асимптотически устойчиво. Учитывая, что норма век-
вектора ф удовлетворяет условию A2.2), находим, что нуле-
нулевое решение системы A2.12) равномерно по tQ асимптоти-
асимптотически устойчиво. Теорема доказана.
Вопросы для исследования
1. Построить конечные области притяжения с помощью теоремы 6.2
для задачи Лурье (рассмотреть стационарный и нестационарный
случаи).
2. Провести исследование устойчивости системы A1.11) на основе
теоремы 11.3 при различных предположениях о системе A1.10).
123

3. Исследовать устойчивость решения систем вида A1.11) методом
векторной функции Ляпунова с возмущениями R(tt у)~\ Q(f—
о
—i)y(t)dx в случае устойчивости (неустойчивости) соответствую-
соответствующей системы сравнения, Q(f) —матричное ядро.
4. Для систем вида A1.11) построить коэффициентные критерии ко-
конечной устойчивости по Четаеву [112] на основе экстремальных
свойств пучка квадратичных форм, построенных по алгоритмам
§ 15—16.
5. Получить условия структурной устойчивости линейных и нелиней-
нелинейных систем при развивающихся возмущениях.

Глава II
ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ РЕШЕНИЙ
СИСТЕМ, СОДЕРЖАЩИХ МАЛЫЙ ПАРАМЕТР
Многие задачи физики и техники формализуются мате-
математическими моделями, описание которых осуществляется
с помощью систем обыкновенных дифференциальных урав-
уравнений, содержащих малый или большой положительный
параметр. Вхождение положительного параметра в си-
систему дифференциальных уравнений может быть различ-
различным в зависимости от существа и природы исследуемой
задачи. Математические методы исследования такого ряда
систем содержатся в трудах [8, И, 17, 22, 84, 85, 93]. В
общем этим системам посвящено большое число специаль-
специальных научных исследований и учебных пособий, часть из
которых приведены в обзоре В. М. Волосова в книге [82].
В этой главе вопросы качественного поведения систем
с малым параметром рассматриваются в соответствии с
общим подходом работы, основанным на идеях второго
метода Ляпунова и принципа сравнения Чаплыгина-. Более
детально здесь исследуются вопросы качественного пове-
поведения решений систем, содержащих малый параметр, си-
систем, содержащих постоянно действующие возмущения в
правой части соответствующих дифференциальных уравне-
уравнений, многокомпонентных периодических систем и даются
некоторые приложения общих методов к решению конкрет-
конкретных задач.
По параграфам главы материал располагается сле-
следующим образом. В § 13 дана постановка задачи об устой-
устойчивости систем с постоянно действующими возмущениями
и приводится анализ различия понятия устойчивости по
Ляпунову и устойчивости систем с параметром. Теоремы
об устойчивости такого рода систем основаны на оценках
вспомогательной функции v (t, х) на траекториях возмущен-
возмущенной системы дифференциальных уравнений, которые при-
приведены в § 14. В § 15—17 разработан алгоритм построения
функций Ляпунова для широкого класса систем и указаны
125

приближенные аналитические решения этих систем. Далее,
в § 18, 19 доказана теорема об устойчивости системы с воз-
возмущениями сложного характера, при которых имеется ма-
малый параметр и установлены условия неустойчивости вза-
взаимодействующей подсистемы. В § 20 сформулированы усло-
условия применимости усредненных уравнений при исследова-
исследовании нестационарных систем. В § 21 производится оценка
притяжения решений усредненных уравнений. Стандарт-
Стандартные системы с малыми возмущениями исследованы в § 22
в предположении, что для усредненной системы существует
функция Ляпунова, производная которой в силу этой
системы тождественно равна нулю. Вопрос об устойчивости
положения равновесия связанных стандартных систем ре-
решен в § 23 на основе рассмотрения квазиустойчивости под-
подсистем. Применение одной теоремы этого параграфа ил-
иллюстрируется на примере системы регулирования, для ко-
которой получен конкретный критерий устойчивости движе-
движения. В § 24 исследуются решения нелинейных систем со
слабым взаимодействием. Эти теоремы могут оказаться
полезными при исследовании переходных процессов в
крупномасштабных составных системах. В § 25 осуществле-
осуществлено детальное исследование качественного поведения ре-
решений систем осцилляторов со слабым нелинейным взаимо-
взаимодействием. В § 26 проводится исследование устойчивости
движения двухроторного гирокомпаса, оборудованного дву-
двумя успокоителями колебаний.
В заключительном § 27 рассмотрены вопросы деформа-
деформации свойств движений под действием интегральных воз-
возмущений.
§ 13. Постановка задачи
В предыдущей главе была изучена задача об устойчи-
устойчивости сложной системы обыкновенных дифференциальных
уравнений при различных предположениях о подсистемах
соответствующих «невозмущенных» систем. Методы пер-
первой главы могут быть распространены на системы, содер-
содержащие малый параметр. Специфика этих систем (наличие
малого параметра) позволяет произвести эффективное ис-
исследование соответствующих систем сравнения с помощью
хорошо развитых методов нелинейной механики.
Прежде всего приведем определение сложной системы,
содержащей малый параметр.
126

Система обыкновенных дифференциальных уравнений
4£. = X(t9x, p(t,x), \ir(ty x))t A3.1)
где х и X—точки n-мерного пространства, \х—малый положи-
положительный параметр, называется сложной системой дифферен-
дифференциальных уравнений с малым параметром. Здесь правые час-
части X(t, ху ру \ir) определены в области Q (//, т, |х°) и таковы,
что ее решение x(t) = х (/, tQ9 xj с х0 £ Qo (H{)> t0 £ Ja суще-
существует и единственно на Ja при |х < |i°. В общем случае
правые части уравнений возмущенного движения A3.1) по
отношению к t не периодичны. К системам вида A3.1) при-
приводятся многие важные технические задачи, в связи с чем
они стали привлекать внимание исследователей.
В настоящей главе в основном исследуется задача об
устойчивости сложно-возмущенных и сложных систем, со-
содержащих малый параметр. Ввиду того, что решение этой
задачи использует методику, основанную на методе функ-
функций Ляпунова, этой проблеме посвящены § 15, 16, в которых
применяются идеи метода возмущений и дается решение
вопроса для некоторых классов нестационарных систем.
Относительно функций р (£, х) и г (/, х), входящих в
правую часть системы A3.1), предполагается, что функции
р (/, х) известным образом содержат координаты х (если не
указаны особо другие условия), р (t, 0) == 0, а для функций
г (t, x) известны оценки [1051
■!*■
где h (f) — интегрируемая функция на J. Вообще говоря,
функции г (t, x) при х = 0 не обращаются в нуль.
Таким образом, функции г (t, x) (как и в системе A.9))
имеют смысл постоянно действующих возмущений. Поня-
Понятие устойчивости нулевого решения систем, содержащих
малый параметр \л > 0, может, в общем случае, отличаться
от понятия устойчивости по Ляпунову системы обыкновен-
обыкновенных ^дифференциальных уравнений, или других понятий
устойчивости систем обыкновенных дифференциальных
уравнений.
Поясним различие некоторых понятий устойчивости на приме-
127

Пример 13.1. Исследуем устойчивость нулевого решения
системы дифференциальных уравнений
L (*ftf JJLe*f + |Ui. A3.2)
Для полной производной функции Ляпунова
получим выражение
При достаточно малых \х эта производная определенно-отрицатель-
определенно-отрицательная. Несмотря на это при ц = 0 нулевое решение системы A3.2) не-
неустойчиво по Ляпунову. Все же для любого А<^НХ можно указать
такие X и \i° > 0 (к < Л), что если х210 + х\§ < А,, то при всех / > О
будет иметь место неравенство а^ (^) + *\ (О < Л, лишь только Ц<<СИ'0-
Отметим, что устойчивость в N-м приближении по ji также отли-
отличается от устойчивости по Ляпунову.
Пример. 13.2. Рассмотрим систему дифференциальных уравнений
^L = -^ + li( х + x*)t ^L=:-.^23 + ti2( x +x\). A3.3)
at at
Нулевое решение системы A3.3) при \i Ф 0 неустойчиво по Ляпунову,
но устойчиво в первом приближении при \х > 0
Таким образом, для системы дифференциальных урав-
уравнений, содержащих малый параметр, наряду с определе-
определением устойчивости Ляпунова имеет место следующее опре-
определение: для любого 0 < А < #х можно указать числа
А, > 0, |х° > 0 и значение tQ > 0 такие, что решение, вы-
выходящее из области ||хо|| < К (Л, £0) при всех t > t0, будет
оставаться в области ||х|| < А при любых |х < \х° (Л, /0)«
В этом случае термин «устойчивость» применительно
к системам A3.1) будем сопровождать символом [а ([А-устой-
чивость), что и будет указывать на существующую зависи-
зависимость свойств решений от малого параметра |х.
Если в приведенном определении к и |х° можно выбрать
независимыми от t0, ^-устойчивость будет равномерной
по г0-
123

§ 14. Оценки вспомогательных функций
вдоль решений сложных систем с параметром
В этом параграфе анонсируется общая схема исследо-
исследования сложных систем с параметром и устанавливаются
оценки изменения вспомогательных функций вдоль ре-
решений сложных систем. Не лишним будет отметить, что
прогресс в обобщении метода функций Ляпунова по суще-
существу связан с привлечением новых идей, позволивших
получить оценки этих функций вдоль решений рассматри-
рассматриваемых систем. Эту мысль иллюстрируют результаты работ
[52, с. 301; 30, с. 161; 105, 63, 76 — 79]. Упомянутые оценки
здесь связаны с понятием верхнего (нижнего) решений
специальных систем сравнения.
14.1. Идея расширения основной системы. Общую схе-
схему качественного исследования систем дифференциальных
уравнений, содержащих малый параметр, можно предста-
представить следующим образом. Наряду с системой A3.1)
рассматривается вспомогательная система уравнений
%.-W(t9x,V9V) A4.1)
такая, что расширенная система A3.1), A4.1) имеет инте-
интегральное многообразие, определяемое уравнением
i|>(*,x,Vf|i)«0f ц<И(|. A4.2)
Исследование интегрального многообразия A4.2) при со-
соответствующих предположениях о правой части системы
A4.1) позволяет судить о поведении решений исходной
системы A3.1) на основе анализа свойств нулевого решения
вспомогательной системы A4.1).
Приведем примеры, иллюстрирующие сказанное.
Пример 14.1 [50]. Положив в системе A3.1) \х = 1, p(t, x)==0t
r(ttx)~0, запишем ее в виде
J- = X«.x)9x£En. *<ff0)-a A4.3)
В качестве вспомогательной системы уравнений A4.1) выступает
полная производная функции Ляпунова v (t, х) в силу системы A4.3):
исследование которой и решает вопрос о поведении ее нулевого решения.
9-4-761 129

Пример 14.2. Пусть V = (vlt . . . , vm) — векторная функция
Ляпунова [71]. Вопрос о поведении решений системы A4.3) решается
путем исследования системы сравнения
JjL=C(t,y,x), (НА)
построенной для исходной системы A4.3).
Рассмотрим подробнее этот случай. Положим V = vu гле vx —
неотрицательная функция, определенная в ограниченной области
G (R). Оценив в системе A4.1) влияние х, в области Q (Н) получим
неравенство
^.<1Г (<,»!. и), A4.5)
at
заданное в области G (R) X Уо. Оценку изменения решения vx (t, v01)
дифференциального неравенства A4.5), как уже отмечалось в первой
главе, можно выразить через верхнее (нижнее) решение мажорирую-
мажорирующего A4.5) уравнения сравнения
в виде
где t£Ja.
Перейдем теперь к непосредственному построению оце-
оценок изменения вспомогательных функций вдоль решений
сложной системы A3.1).
14.2. Оценки изменения вспомогательных функций.
Предположим, что правая часть системы A3.1) имеет вид
X (Л ху р (/, х), \ir (t, х)) = X (t, х, р0, ixro)+
+ X (/, х, р (t, х), 0) + X (t, x, 0, \ir (Л jc)). A4.7)
В частности, если функции р (t, x) и г (/, х) входят
аддитивно в систему A3.1), то последняя имеет правую
часть вида A4.7)
i£ = / (t, x) + р (t, х) + \ir (/, х). A4.8)
Предположим, для «невозмущенной» системы
-£ = *(*, х,/70, ^г0) A4.9)
130

существование непрерывно-дифференцируемой функции
v(t,x)y допускающей ограниченные частные производные, и
функции С (/, v)y непрерывной по / и монотонно возрас-
возрастающей по vy С (/, 0) = 0.
Лемма 14.1. Пусть выполняются следующие условия.
1°. Существуют функции v (/, х) и С (t, v)y указанные
выше.
2°. Имеет место неравенство
C{i)V) (ИЛ0)
при всех t£Ja, ||х|| < Я-
3°. Существует интеграл
t
Т (/, t0, х0) = j Dv^xx«»X (/, х @, Р {U х (/)), 0) dU (И. 11)
который вычисляется на решениях системы A4.9) при
х (/0) = х0,
4°. В области Q (Я, т) выполняются оценки
Dv (t, х)
Dx
М9 || X(/, jc, 0t pr{t9x))\\<h(t), A4.12)
yr- А (Г, X, p (t, X), V)—
Dx
и существует интеграл
t
v С. I*) = J ftiAfft (/) + fop '/)) *. A*. * = const > 0 A4.13)
на любом конечном интервале J с Ja при \i < \i°.
5°. При t£Jau \i < fx0 существует верхнее решение
У С» ^о» ^о^ УРав*ени>я сравнения
% t, t0, x0) + о(t, у)) A4.14)
при начальном значении у (t0) = yQ g A.
9* 131

Тогда вдоль решения x(f) системы A3.1) такого, что
v(to' x^o)) ^-Уо для функции v (t, x) имеет место оценка
v(t,x(t))<y(t, /0, yo)+T(t, t0, y0) + o(tt )i) A4.15)
при всех t£Ja и \х < \i°.
Доказательство. Вычислим производную функции
v(t, х) вдоль траектории системы A3.1)
dv dv Dv(ttx) v ., /и \ ,л w /1 л \а\
— =="^- + —J^X&X'PitfX), Vf(tfx)). A4.16)
Принимая во внимание A4.7)—A4.13), получаем
%<C(t9v) + 2°g±£-X(t9 xtP(t9x)9 0) + |iA№ (t) + fcp(/).
A4.17)
Интегрируя это неравенстю от значения t = t0 и принимая
во внимание условия 3°, 4° леммы 14.1, находим
v(/, х (/))<v(t0,х (t0)) + ^C(s,v)ds + T (t09 U x0) + о (Л ц).
A4.18)
Составим теперь уравнение сравнения A4.14), которое по
условию 5е леммы 14.1 имеет верхнее решение y(t,t0, x0)
при
Уо - о»Й"(<1) -Г(/Р /0- ^о) - а('и I*) 6 А, A4.19)
где
©И11 @ = sup(о(/, х) при Х1£Гл\1\)-
Применяя к неравенству A4.18) лемму 2.1, получаем
оценку A4.15).
Замечание 14.1. Оценку вида A4.15) можно получить
для случая векторной функции V (ty x) аналогично приве-
приведенному выше и учитывая результаты § 3,
Рассмотрим теперь систему A4.8), в которой (гг(*, л;) =
= R(lyxy \x) и предположим, что при \х = 0 и p(t, x) = 0
для нее существует функция v(t, x), указанная в лемме 14.1
и такая, что
Следствие 14Л. Пусть
1) выполняется условие 1° леммы 14.1;
132

2) в области £2(Я, т) имеет место тождество A4.20);
3) при 0 < \i < р" в области Q (Я, т) справедливо нера-
неравенство
4) в области й (Я, т) выполняется оценка
kq> @,
существуют интегралы
t
a(t) = f ky(t)dt.
Г.
Тогда для функции v (t, x) на решениях х (/), удовле-
удовлетворяющих условию v(t0, х (/0))<у0» возмущенной системы
A4.1) имеет место оценка
v (/, х @) < у (t, tQ9 у0) +ТР (/, tQt х0) + о @, A4.21)
где у (t, tQi y0) — верхнее решение уравнения сравнения
% = \>C(t,y+Tp (t9t0,xj+o(f)) A4.22)
с правой частью, пропорциональной малому параметру \х, при
Доказательство следствия 14.1 аналогично предыдущему.
Замечание 14.2. При практическом использовании следствия 14.1
для отыскания решения уравнения A4.22) могут применяться методы,
разработанные в нелинейной механике [8,84].
Положим в A4.8) p(t,x)^0 и рассмотрим систему
7T=f{t*x)+Vr{t>x) A4.23)
в области Q (Я, т, у,0).
133

Лемма 14.2. Пусть в области Q(H, т, |я°) существует
вектор-функция сравнения \(t,x) и (t0, *0)бЯСэ (/0, уо)£\,
Ja = [О, а)<^ Уо, ^ < ^° такие, что V (/0, х{)) < у0. Неко-
Некоторое решение x(t,t0, x0) и верхнее решение y(t>to,yo)
системы сравнения
^ aI A4.24)
где
g (t, о) = sup (|| г (/, х) || при х € Щ)%
определены на Ja при \i < jli°. Тогда для вектор-функции
Сравнения имеет место оценка
V(U(Uo,xoK^(Uo,i/0) A4.25)
при всех t£Ja, ц< \х°.
Доказательство легко получить на основе результатов
работ [76, 791.
Лемма 14.3. Пусть в области Q (Я, т) выполняются
следующие условия.
1°. Имеет место неравенство
2°. Существуем среднее [17, 105]
r ^ x) dt> A4-27)
где предельный переход осуществляется равномерно относи-
относительно (х0 /0,) из области Q (Я, т).
3°. Выполняется неравенство
Dx v> ' Dx
k<f (t)
в области Q(H, т).
4°. При t£Ja и \i<\i° существует верхнее решение
У С» ^о» ^о) скалярного уравнения сравнения
*!L = с (t, у + цл @ + cf @). A4.28)
134

/-►со
где
П @ =
При выполнении перечисленных условий для вспомога-
вспомогательной функции v(ttx) на решениях x(t)системы A4.23),
для которой v (t0, x (t0)) < yOt имее.п место оценка
v (/, х @) < у (/, *0> Уо) + М @ + а @ A4-29)
при вех а
Доказательство. Учитывая, что
r ('• ^) dt =
из неравенства
JC(
to
s, u)ds + Мг) @ + a (t)
получим оценку A4.29), примелиз к нему лемму 2.1 при
Полученные оценки позволяют получить условия устой-
устойчивости рассматриваемых систем, а также многокомпо-
многокомпонентных систем со слабым взаимодействием.
§ 15. Метод возмущений и функции Ляпунова
Ж. Л. Лагранж и П. С. Лаплас исключительно много
труда и времени уделили вопросам теории возмущений.
Подробный перечень мемуаров, относящихся сюда, име-
имеется в [45, с. 67; 122].
Строгое обоснование и дальнейшее развитие этого ме-
метода было дано А. Пуанкаре и А. М. Ляпуновым [90, 50].
В настоящее время метод возмущений получил широкое
распространение и находит новые области эффективного
приложения (см. [114, с. 248]).
В настоящем параграфе указываются некоторые воз-
возможности этого метода в решении вопросов устойчивости
систем, содержащих малый параметр, и вопроса построе-
135

ния функций Ляпунова. Результаты, излагаемые в этом
параграфе, опубликованы в статье [12].
15.1. Построение вспомогательной системы. Пусть си-
система уравнений возмущенного движения A4.1) имеет вид
ММ)> A5.1)
где \i > 0 — малый параметр, fk (t, х) — достаточное число
раз дифференцируемые функции при t > О, х£п{Н). Ряд в
правой части A5.1) предполагается [авномерно сходящимся
относительно (t, x)£Q(//, т) при |л < р,0.
Предположим, что порождающая система
Ъ-М'*) A5-2)
полностью интегрируема и имеет решение
x(t) = l(t,x9x(T)), A5.3)
удовлетворяющее очевидному групповому свойству
Б (т, /• х (т)) = I (т, s, £ (s, U * W)). A5.4)
Найдем вектор-функцию V (/, х) в виде ряда
V = % (t, x) + |гф, (/, х) + |х«ф2 (/, *) + ..., A5.5)
удовлетворяющую системе уравнений
Ц- = Й7О (/, V, х) + ц^ (/, V, *) + ^2 (/, V, х) + ... A5.6)
Вектор-функции Wk(t, V, л;) предполагаются достаточ-
достаточное число раз дифференцируемыми по всем аргументам.
Дифференцируя равенство A5.5) по / в силу системы A5.1)
и исключая вектор V с помощью A5.5), придем к рекуррент-
рекуррентной системе уравнений с частными производными первого
порядка:
(t,x) DVh(t,x)
Ft ' Ш 'о V« х> =
136

Вектор х имеет ^.-компоненты, i|)s-компоненты вектора г|).
Через Gh (/, х) обозначены выражения, зависящие от t, x и
от векторов г^Д/, л:), W^t, \|H (t, х), х), I = 0, 1, . . . , k—-1,
и их частных производных.
Осуществим в уравнениях A5.7) замену переменных, по-
полагая
х = I (t, 0, у),. \ (t, I (t, 0, у)) == Фк (/, у).
Тогда уравнения A5.7) примут более простой вид:
-5L = V0(/fO0,£(/,0fy))f A5.8)
Если первая система A5.8) для Фо интегрируется в замк-
замкнутой форме, то и все последующие системы A5.8) могут
быть проинтегрированы, так как однородная часть этих
систем является уравнениями в вариациях для первой си-
системы A5.8). Итак, показано, что возможность построения
формального ряда A5.5) для V (t, x) зависит от разреши-
разрешимости системы A5.2) и первой системы A5.8) при фикси-
фиксированных значениях у.
Рассмотрим более простой случай, когда в правую часть
системы A5.6) вектор V не входит. В этом случае системы
A5.7) могут быть последовательно решены, если известен
способ интегрирования системы уравнений с частными
производными
После замены переменных
* = £(/, 0,*/),
придем к простой системе дифференциальных уравнений
которая имеет общее решение
t
Ф С У) - J V (т, £(т, 0, y))dx + C(y). A5.10)
137

Здесь компонентами вектора С (у) являются произволь-
произвольные дифференцируемые функции. Возвращаясь к старым
переменным с помощью формул у = {• @, ty х), г|) (t, у) =
= ф {U I (ty О, у)) и учитывая свойство A5.4) при s = О,
получим общее решение системы A5.9)
if (/, x) = \W (т, 6 (т, Л *)) dx -f С (|, @, t, x)). A5.11)
а
Следовательно, если вектор-функция Wo (/, V, х) не зависит
явно от V, то при заданной правой части системы A5.6) всег-
всегда можно построить V (/, х).
Замечание 15.1. Если системы уравнений A5.1), A5.5), A5.6) за-
записать в виде
V = ф (/, х,
-
то при заданной вектор-функции W (t, х, V, ji) вектор-функция г|)(/, jc, ц)
удовлетворяет системе интегральных уравнений
(т, I (т, Л *), [I), I (т, /, a;), |i) dx -
которую можно решать приближенно с помощью метода последователь-
последовательных приближений.
15.2. Построение функций Ляпунова для асимптотичес-
асимптотически устойчивого решения невозмущенной системы. Пусть
fk (ty 0) ss 0, k = 1, 2, . . . , тогда система A5.1) допускает
нулевое решение. Предположим, что порождающая си-
система A5.2) имеет равномерно экспоненциально устойчивое
решение х = 0, т. е. при t > т>0 || * (т) || < б (б > 0)
для решения A5.3) выполнено неравенство
||Б(/,^(т),тЖа||^(т)||ехр{-х(/-т)}, а > 1. A5.12)
В этом случае уравнение с частными производными
■!+-т!Нх-/о <?.*>-«<'.*> <15ЛЗ)
138

имеет решение вида A5.10)
v(t9 х) = -J ш(т, £(т, /, x))dx. A5.14)
Пусть функция w (ty х) дифференцируема по х при ||х|| <^б,
t > 0, интегрируема по ^ и допускает бесконечно малый
высший предел. В силу условия A5.12) несобственный
интеграл A5.14) сходится равномерно по х и t. Из формулы
A5.14) видно, что функция v (t, x) определенно-положитель-
определенно-положительная, допускающая бесконечно малый высший предел.
Из формулы A5.14) следует существование функции
Ляпунова v (ty x). Фактически, с помощью аналогичной
формулы доказывалось существование функции Ляпунова
в работе [52].
Рассмотрим некоторые частные случаи использования
формулы A5.14). Для асимптотически устойчивой системы
линейных дифференциальных уравнений с постоянными
коэффициентами
,, /хХ%
dt '
матрица А имеет все собственные числа с отрицательными
вещественными частями. Пусть w (x) — определенно-по-
определенно-положительная квадратичная форма
w(x) - (Вху х).
Функция Ляпунова v (x)9 удовлетворяющая уравнению
Dv(x) л t ч
Dx Ах = —w(x),
найдется из A5.14) в виде определенно-положительной
квадратичной формы
v(х) = GeAHBeAtdtXy x\. A5.15)
Формула A5.15) приводится в работе [31]. Если w (ty x)—
определенно-положительная квадратичная форма, допу-
допускающая бесконечно малый высший предел
w(Ux)~(C(t)x,x)y *\\xf<w(t9xL>$\\x№9 а>0,
139

то функция Ляпунова v (t, x), удовлетворяющая урав-
уравнению
to_ + Dv(ux) Ax ss_wy9 х^
определяется по формуле
v(t9 х) = ( J eA*xC{t + х)еАхйтху х) . A5.16)
15.3. Квазилинейные системы. Часто встречаются си-
системы вида
^ = Ах + iiF (U x), F (*, 0) = 0, A5.17)
которые при \i = 0 асимптотически устойчивы. Пусть ком-
компоненты вектора F (ty x) ограничены вместе с частными
производными первого порядка при || х \\ <//, />0. Для
отыскания условий устойчивости и области притяжения
обычно строится функция v0 (x) для заданной определенно-
положительной функции w (х) из уравнения
Затем полученную функцию v0 (x) используют для системы
A5.17)-при \i Ф 0. Из результатов замечания 15.1 следует,
что в качестве функции Ляпунова v (t, x) в первом при-
приближении получим функцию
v(t,x)=:vQ(x) + iivi(t,x)f A5.18)
где использовано обозначение
/, х) - \S(t + т, eAxx)dx, S(t9 x) -^^ F(t,x).
\S(t + т,
При дифференцировании v(t> x) в силу системы A5.17)
найдем
F(t,x).
Пример 15.1. Для системы дифференциальных уравнений
A5.19)
140

при \i = О можно взять функцию Ляпунова vQ (х, у) = л:2 + у2. Уточ-
Уточненная функция Ляпунова, полученная по формуле A5.18), примет вид
A5.20)
Система A5.19) при ц = 0 асимптотически устойчива и, следова-
следовательно, в силу теоремы Ляпунова вопрос об устойчивости полной си-
системы A5.19) решается по первому приближению. Функция A5.20)
позволяет оценить более точно область устойчивости системы A5.19).
15.4. Построение функций Ляпунова в критических
случаях. Пусть система A5.1) допускает нулевое решение
х = 0, которое является устойчивым решением порождаю-
порождающей системы A5.2). Предположим теперь, что это решение
не является асимптотически устойчивым, т. е. имеет место
критический случай. При этом, в общем случае, непре-
непреодолимые затруднения возникают при построении функций
Ляпунова уже в нулевом приближении. Рассмотрим далее
один из наиболее простых случаев. Пусть из множества
всех решений системы A5.2) можно выделить два инте-
интегральных многообразия Ми М2, определяемых нелиней-
нелинейными проекторами РДт, х (т)):
Pi (т, х (т)) + Р2 (т, х (т)) в х (т), || х (т) || < б,
A5.21)
Pi (т, Рг (т, х (т))) =РХ (т, х (т)), Р2 (т, Р2 (т, х (т))) =Р2 (т, х (т)),
Рг (т, Р2 (т, х (т))) = 0, Р2 (т, Рг (т, х (т))) = 0.
Пусть a: (OGAli при Рг (т, а: (т))=0, x(f)£M2 при Р2 (т, х (т))=0.
Предполагаем, что на интегральном многообразии Мх ре-
решение х = 0 является равномерно экспоненциально устой-
устойчивым, т. е. при Рг(т,х(т)) = 0 выполнено условие A5.12).
Если || х (т) || < б, Р2 (т, х (т)) = 0, то соответствующее ре-
решение I (tу т, х (т)) предполагается ограниченным при всех
tf, т>0. Уравнение A5.13) с частными производными уже
может иметь неограниченное при всех t > 0 решение при
знакоопределенной функции w(t,x)t так как интеграл A5.14)
расходится. Наложим на знакопостоянную неотрицательную
функцию w (ty x) условие
а; (*, Pi (/,*))-0, A5.22)
.141

т. е. на решениях x(t)£M2 функция w(t>x(t)) обращается
в нуль. Аналогично, на знакопостоянную неотрицательную
функцию С (у) наложим условие
С(Р8@,у)) — 0. A5.23)
Как следует из свойств A5.21), для выполнения усло-
условий A5.22), A5.23) достаточно взять две определенно-
положительные функции w *(/, у), С* (у) и положить
w(Ux) = w*(UPb(Ux))> C(y)=Ci,(P1@iy)) A5.24)
Из предыдущего следует, что в качестве функции Ляпу-
Ляпунова v0 (ty x)y удовлетворяющей уравнению
дил Dv. (/, х)
^Г + —*-bT-h<t,x) = -w(t9x)9
можно взять функцию
v0 (/, х) = fiw (т, I (т, U х)) dx + C{l @, /, х)) в
= Ja». (т, Р2 (т, | (т, /, х))) dx + С* (Рг @, g @, /, дс))). A5.25)
Эта формула особенно упрощается для системы линей-
линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэф-
коэффициентами
%=Ах. A5.26)
Пусть Pv P2 — проекторы матрицы А:
Пусть контур 1\ охватывает спектр матрицы Л, лежащий
на мнимой оси, а контур Г2—остальную часть спектра,
лежащую в левой полуплоскости Rep < 0. Возьмем две
произвольные определенно-положительные функции w%(t> x),
С*(у). Функция Ляпунова находится по формуле A5.25)
емх)dx + С (Ре ~At
vQ(/, x)=$Wt(t + т, Р2емх)dx + С, (Р{е ~Atx). A5.27)
о
142

Пример 15.2. Рассмотрим систему дифференциальных уравнений
dt -'"• ~
Характеристическими показателями являются числа 0, —4. Находим
вспомогательные матрицы
A5.28)
Возьмем две определенно-положительные функции
Из формулы A5.27), учитывая A5.28), A5.29), находим функцию Ля-
Ляпунова
"о W = -Ш <2*i ~ х/ + -Ш <2*i + *2J- ■§■ = - Ж <Ч - *«>'
со знакопостоянной производной.
Замечание 15.2. При рассмотрении системы A5.2) полезна предва-
предварительная замена переменных, разделяющая решения, принадлежа-
принадлежащие разным многообразиям Mlt M2. Для этого переходим к новым
переменным
У, = Ф7. (Р2 (W), 28 - *в (Pj (*, х))> j - I, 2,.. ., яу, s = 1, 2,
где тъ щ — размерности интегральных многообразий Мъ М2. Пред-
Предполагаем, что функции у. (/, х)у ,г$ (tt x) независимые.
Замечание 15.3. В задачах механики для гамильтоновых систем
в случае устойчивости многообразие Мх имеет нулевое измерение и
функция Ляпунова v (/, х) имеет вид
v (t9 х) = С Ц (О, U х)),
т. е. является интегралом системы A5.2). Один из простейших приемов
состоит в выборе функции С (у) в виде
что указано в работе [89].
Замечание 15.4. Укажем способ отыскания нелинейных проекторов
Pj (т, х (т)) A5.21) для квазилинейной системы
dx
— = А (/) х + \iF (t, x)} F (t, 0) = 0. A5.30)
143

Предположим, что при \х = 0 система A5.30) имеет матрицу Грина
G (/, х). Матрица G (/, x) определяется как решение уравнения
', х) + £6т, A5.31)
где 6т— мера Дирака, сосредоточенная в точке т, а уравнение A5.31)
понимается в смысле теории распределений.
Предположим, что
Введем нелинейный оператор Грина Я (/, х, х (х)) как ограничен-
ограниченное при U х!>0 решение векторного уравнения
с)Я(/,х,л:(х)) =sA{f)H ^ Т) ^ (т))
A5.32)
Если оператор Грина Я (t, т, # (т)) существует, то он удовлетворяет
следующим условиям:
==A{t)H {tt т> х (т)) + рР {tf н (/> Tj х (т))) при
2) Я (х + 0, х, х (х)) - Я (х - 0, х, х (х)) = л; (х).
С помощью оператора Грина G (tf x) запишем решение системы
A6.36)
со
Я (*, х, * (х)) = G (t, т) х (х) + ц f G (f, s) F (s, Я (s, x, x (x))) ds. A5.33)
о
Если вектор-функция F (t, x) интегрируема по t и удовлетворяет
условию Липшица по х:
II F (*. хг) — F (t, хг) || <L || хг — х2 ||, A5.34)
то при достаточно малом \i0 для fA <С М-о решение системы интегральных
уравнений A5.33) может быть найдено с помощью метода последова-
последовательных приближений. Можно показать, что в качестве \i0 можно взять
число 0,25 Я b~~l L. После отыскания нелинейного оператора Грина
Я (/, х, х (х)) находим нелинейные проекторы A5.21)
Рг (х, х (х)) - - Я (х - 0, х, х (х)), Р2 (т, х (х)) = Я (х + 0, х, л: (т)).
A5.35)
Если система A5.1) имеет вид A5.30), то можно приближенно по-
построить проекторы A5.21) с помощью предварительной замены пере-
переменных
15.5. Построение функций Ляпунова для последующих
приближений. В предыдущем пункте был указан способ
построения фуйкции Ляпунова в нулевом приближении
144

по формуле A5.25), в которую входят две произвольные
функции w# (t, х), С* (у). В этом пункте излагается метод
малого параметра для построения функций Ляпунова при
исследовании устойчивости в высших приближениях.
Ищется функция Ляпунова v (t, х) для системы A5,1)
в виде разложения
и(t, х) = v0(U х) + \iv, (/, x) + v?v(/,*) + ... A5.36)
в предположении, что система A5.1) допускает нулевое
решение и нулевое решение порождающей системы A5.2)
устойчиво. Вычислим производную функции v (/, х) в силу
системы A5.1):
2 А% + Т5Г11 ^ ('• *>) = -I»"» (/' *>•A537)
s=0 / k—0
где wk(tfx),vk(t, а:)—функции, подлежащие определению.
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях ц,,
придем к рекуррентной системе уравнений с частными произ-
производными
IF + ^UT1 fo «> *) = ~ «»о ({> х). A5-38)
T + DVhX) h<S *)*('• x) = -wk (t, x), k = 1, 2,...,
IT
A5.39)
где введено обозначение
Предполагаем, что имеет место критический случай,
т. е. для порождающей системы A5.2) решение х = 0 не
является асимптотически устойчивым. Вопрос о решении
уравнения A5.38) рассматривался в предыдущем пункте.
Пусть найдена дифференцируемая, положительно опре-
определенная функция v0 (t, х) по формуле A5.25), где w0 (/, х)
получена по формуле A5.24) и удовлетворяет условию
о>0 (*,/>,(*, *))s=0. A5.40)
Ю-4-761 145

Для того чтобы остальные уравнения A5.39) имели огра-
ограниченные при / > 0 решения vk (t, x)y достаточно, чтобы
наряду с A5,40) выполнились условия
!М*.*>--♦*(<• Л (<•*)>. *=1.2f... A5.41)
Действительно, при этом неоднородная часть уравне-
уравнений A5.38) — A5.39) удовлетворяет условию A5.22), так
как в силу A5,21)
% ('• рх С pi % х
-*Л(/, Рх (/, х)) -^ (f, Pt (Л х)) -0.
При этом получим функции vk(t, x), k = 1, 2,..., в виде
со
4k (U х) - J №Л (т, Pj (т, g (т, U х))) - г|), (т, Б (т, /, х))] rfx.
A5.42)
Произвольное слагаемое в формуле A5.42) полагается равным
нулю.
Пусть при некотором k = N функция
wmN(t, х) =юо(/, х) + |ш>, (/,*) + ... + |**4('. ^) A5-43)
является определенно-положительной. Возьмем функцию
Ляпунова
Из способа построения функций ул (^, х) следует, что
В этом случае решение х = 0 системы A5.1) устойчиво в
N-м приближении, если функция
N / оо ч
Sb I dv. Dv, (tt x) \
определенно-положительная.
146

15.6. Построение полиномиальных решений. В работе
[14] указаны необходимые и достаточные условия суще-
существования полиномиальных решений системы линейных
дифференциальных уравнений с частными производными
A5.45)
где Л, В —- постоянные матрицы, F (х) — вектор с поли-
полиномиальными относительно проекций х19 . ♦ * , хт компо-
компонентами. Укажем способ отыскания полиномиального ре-
решения Ф (х), т. е. вектора Ф (х) с полиномиальными от-
относительно хъ . . . , хт компонентами.
Рассмотрим вспомогательную систему уравнений
ж + ^Чг- Ах - ^ <?• *> = р W-
Используя замену переменных
приходим к более простой системе уравнений
которая имеет частное решение
О
Обратная замена переменных определяет частное решение
системы A5.46)
t
ф (/, х) == J eBxF (e~Axx) dr. A5.47)
о
Представим это решение в виде разложения
♦ ('• *> = 2 2 %п
fe0
2
0 n=0
где все показатели ал различны. В силу конечности суммы
и линейной независимости функций ехр {akt}, вектор-функция
I0* 147

является решением системы A5.46). Это выражение будем
называть средним членом разложения A5.48) и будем
обозначать символом
/
Операцию отыскания среднего члена назовем осреднением.
В частном случае, когда / = 0, Re ak < 0, придем к извест-
известной формуле
Достаточные условия для существования полиномиаль-
полиномиального решения системы A5.45) дает следующая теорема.
Теорема 15.1. Если выполнено условие
(eBtF{e~Mx))=Q> A5.49)
то система уравнений A5.45) с полиномиальной правой
частью F (х) имеет полиномиальное решение
t
ф (х) = ( J eBxF (e~Axx) dx). A5.50)
о
Доказательство. Так как средний член подын-
подынтегрального выражения в A5.50) равен нулю, то средний
член я|э (/, х) не зависит от t и поэтому является стационар-
стационарным решением системы A5.46), т. е. удовлетворяет си-
системе уравнений A5.45). Это доказывает теорему.
Замечание 15.5. Условие A5.49) более общее, чем условие, указанное
А. М. Ляпуновым [50, т. II, с. 109]. А именно: условие A5.49) будет
выполнено, если собственные числа alt ..., ат матрицы Л и собствен-
собственные числа Plf . . . , Рг матрицы В удовлетворяют неравенствам
A5.51)
Обратное неверно, что видно из следующего примера.
Пример 15.3. Ищем полиномиальное гешение уравнения
дхг 2 дх2 ] 1
148

Условие A5.51) не выполнено. По формуле A5.50) находим
Ф (х) = ( f [(jcxcos т — *2sin т)а — (хг sin т + *2cos тJ] dx) =
«= ( J. (x\ — д|) sin 2t + x^cos 2t — x{x2) = — x{x2.
Замечание 15.6. Решение уравнений с частными производными
c = /(x) A5.52)
дх
находится по формуле, получаемой из A5.50):
С помощью этой формулы можно доказать следующий результат.
Пусть / (х) — отрицательно определенная квадратичная форма.
Если матрица А имеет q собственных чисел с отрицательной веществен-
вещественной частью и т — q собственных чисел с положительной вещественной
частью и существует решение ф (х) уравнения A5.52) в виде квадратич-
квадратичной формы, то сигнатура этой формы равна 2 q — т.
Аналогичный результат имеет место и для квадратичных эрмито-
эрмитовых форм.
15.7. Построение функций Ляпунова в специальном
критическом случае. Рассмотрим устойчивость нулевого
решения системы дифференциальных уравнений
со
%n(t,u), A5.53)
П=2
где компоненты вектора Fn(t, и) — однородные много-
многочлены степени п относительно переменных иъ . . . , ит%
объединенных в вектор и с ограниченными при t > 0 коэф-
коэффициентами. Предположим, что степенные ряды, опре-
определяющие правую часть системы A5.53), сходятся при
|Н|<6(8>0) и ограничены:
< m
1/1=2
а матрица Р имеет несколько собственных чисел с нулевой
вещественной частью, которым соответствуют простые эле-
149

ментарные делители. Остальные собственные числа ма-
матрицы Р имеют отрицательные вещественные части, Сделаем
неособенную замену переменных
X = \iPxUt у = \iP2U (|A > 0)
такую, что система A5.53) примет вид более удобный для
последующих вычислений
s=l < = 1
A5.54)
Здесь А «— матрица, собственные числа которой имеют ну-
нулевую вещественную часть. Матрица В имеет собственные
числа с отрицательными вещественными частями. Компо-
Компоненты векторов G8 (t> х, у), Hs {t, x} у) являются однород-
однородными многочленами относительно проекций векторов ху у
степени s + 1 с ограниченными при всех t > О коэффи-
коэффициентами. Для заданных а > О, b > О существует такое
pi0 > 0, что при всех fx <$ |х0 ряды в правых частях системы
A5.54) сходятся при ||х||< а, ||у|| < Ь.
Произведем формальную замену переменных в системе
A5.54),
х = г + 21*4 ('• z> У)' У = У> A5-55)
s=l
где z, у удовлетворяют системе дифференциальных уравнений
%■ = Аг + У ц5О (t, г), % = By + V »SPS(t, г, у). A5.56)
s=j s=l
Здесь i|)s (/, z, y), Qs (t, z), Ps (/, z, у) — полиномиальные век-
векторы измерения 5 + 1, т. е. компоненты этих векторов явля-
являются однородными многочленами степени s + 1. Осуществляя
замену, придем к рекуррентной системе уравнений с частны-
частными произв'одными для определения векторов i|)s (t, z, у):
dab Dtyo(t,z,y) D^ (t,z,y) n
-W + —^ ^ + —i^ By-Ays(t, z, y) +
+ Qs(t, z) = Ls (t, z,y), s= 1,2 A5.57)
150

где Lt (t, г, у) — коэффициенты при ц,' в разложении
S=l S=l /1=1
s=l
(
s=l s=l \ /1=1
Векторы Р8 (/, г, у) находятся из разложений
S=l S=l \ rt=l /
Покажем, что в уравнениях A5.57) можно выбрать поли-
полиномиальные векторы Qs (/, z) так, чтобы эти уравнения имели
полиномиальное решение i|)s (t, z, у) при заданной правой
части Ls (/, z, у).
Действительно, возьмем
Qs (U z) = Ls (t, г, 0), s = 1,2,... A5.58)
Отыскивая частное решение системы A5.57) аналогично ре-
решению системы A5.46), получим
t
%(t,z,y)= [eA{t-x)[Ls(xt
За счет выбора Qs{t,z) в A5.58) интеграл будет сходя-
сходящимся при замене а на + сю. Замена переменной интегри-
интегрирования приводит к следующему выражению для i|)s (t, z, у):
(t, z,y) = - |° e~M[Lt (t + t, eMz, eBxy) -
+ T, eMz,O)]dt, A5.59)
151

Выберем некоторое натуральное число N. В системе
A5.56) ограничимся членами до порядка fi^ включительно.
Пусть для системы уравнений
нулевое решение является асимптотически устойчивым при
|х < fxx, что устанавливается с помощью определенно-
положительной функции Ляпунова:
vx (/, z, у.) = vl0(z) + [ivn (t$ z)+... + v>N~\N_{ (t, z), A5.61)
где v10 (z) <— определенно-положительная квадратичная фор-
форма. Предполагаем, что производная этой функции в силу
системы A5.60) удовлетворяет условию
где ф (г) — некоторая определенно-положительная функция
измерения N + 1. При этих предположениях из устойчивости
нулевого решения системы
■§■ - Az + J n>Qs (*, г) + nwG (/, z) A5.63)
S=l
при A = 0 следует устойчивость нулевого решения систе-
системы A5.63), где при достаточно малом значении \л > 0 ком-
компоненты вектора G (/, z) являются многочленами Л/-го
порядка и выше с ограниченными при t > 0 коэффициен-
коэффициентами. Преобразуем теперь другую систему уравнений
N—1
sPs(', ?,</) A5.64)
S=l
с помощью замены переменных
У = Л + 2 №*&$ О5-65)
s=l
к виду
^ = JSr, + J MW. (/, г, то + цХ (/, г, Чэ ^,
152

где для векторов N8 (t, z, r\) выполняюгся условия
Na(t9z9O) — O s = 1,2,..., N—U A5.66)
а вектор AL (/, z, т), \x) имеет голоморфные при \\z\\<C а,
IIЛII ^ Ь, |[Л< Ц<2 компоненты при достаточно малом значе-
значении \х2 > 0. Для отыскания векторов Фв (/, rj) получим ре-
рекуррентную систему уравнений с частными производными
—^ + —^ Лг -ВФ8 (/, г, п) =г
= /?.(/. г, ч) —N9(t,z9rdt s = 1,2,..., JV—1, A5.67)
где /? (/, г, rj) — известный полиномиальный вектор.
Выберем вектор N8 (/, г, rj) из условия
N9(ttztri)=R9(ttz,ri} — R8(t,z,0)9 s= 1,2,..., tf-l.
Ясно, что при выборе N8(/, г, rj) условия A5.67) будут вы-
выполнены. При этом система A5.67) имеет частное решение
(т, ^(^т)г, 0) dx =
Найдем теперь другую функцию v2 (/, z, rj, ji) в виде
разложения
v2(t9 z, т|, ц) = v20{y\) + \iv2{ (/, z,rj) + ... +
+ ^"Члг-i С г« П). A5.68)
производная которой в силу системы A5.60) и системы
//—1
принимает вид
153

Здесь функция п (/, z, г), \i) является полиномом степени
N + 1 относительно z, г), \i с ограниченными при / > О коэф-
коэффициентами.
Дифференцируя A5.68), приходим к уравнениям относи-
относительно функций v^:
Из первой системы следует, что функция v20(r\) является
положительно определенной квадратичной формой. Аналогич-
Аналогично предыдущему находим решение
v2k {U г, <n) = J п8 (т, еА<х~% e^S) dx =
= Jn(t + /, eAsz, eB\)dx.
о
При этом несобственные интегралы сходятся, так как все
функции я8 (/, г, г)) обращаются тождественно в нуль при
г] = 0. Точнее функции я3 (£, z, rj), а следовательно, и функ-
функции v2k (t, г, т)) являются многочленами степени не ниже
второй относительно проекций вектора т|.
Сделаем в системе A5.54) замену переменных:
*=z+2 л(^,л+^*ф*{ti Z)V
s—1 \ A=l /
A5.70)
В силу выбора векторов xPs(ti z, у), ФЛ(/» z) придем к си-
системе дифференциальных уравнений вида
ЛЛ-1
-1 =: Лг + V usQc (/, z) + M^#i (^> z» Л» M<)>
A5.71)
лг-i
154
/, г, т,)

Здесь Rlt R2 — векторы, голоморфные относительно про-
проекций векторов z, т), разложение которых в степенные ряды
начинается с членов измерения N + 1. Покажем, что
v (U г, т)> |i) = vx (U z, |i) + v2 (t% z, rj, |i) A5.72)
является функцией Ляпунова для системы A5.71). Диф-
Дифференцируя эту функцию, получим в силу выбора функций
wx (t> z, ц) равенство
-WaWi ('• z> & + Ь* Л) - A {U г, л, ji). A5.73)
Полиномиальный остаточный член имеет выражение
Dv+ (U 2, л, ц)
г (/, г, л, |i) = —L-Si /?, С, г, г,, (г) +
ВП
. I*)-
Все слагаемые, входящие в него, имеют измерение не ниже
W + 2 относительно проекций векторов г, т). Эти слагаемые
можно разбить на две суммы. К первой сумме гх (/, z, т|, \х)
отнесем слагаемые, линейные относительно проекций вектора
т). Они будут иметь измерение не ниже N -\- 1 относительно
проекций вектора z и при достаточно малых значениях ||т|||
будет выполнено неравенство
ФB)>г1(/,г,г), (х), гфО. A5.74)
Остальные слагаемые, образующие сумму г2 (/, z, rj, (j,),
имеют измерение не ниже второго относительно проекций
вектора т) и поэтому при достаточно малом значении ц,>0
будет выполнено неравенство
(г), г]) > р"г2(t, z, г], ix)t цфО. A5.75)
Из неравенств A5.62), A5.74), A5.75) вытекает опре-
определенная положительность правой части равенства A5.73).
Этот вывод окончательно доказывает устойчивость нуле-
нулевого решения системы A5.54).
Почти дословным повторением предыдущего будет по-
построение функции Ляпунова для доказательства неустой-
неустойчивости нулевого решения системы A5.54), если неустой-
155

чивость нулевого решения системы A5.60) определяется с
помощью полиномиальной относительно г функции Ляпу-
Ляпунова vx (t, z, ц), принимающей положительные значения в
любой окрестности точки z = 0 при \i > 0 и имеющей
определенно-положительную производную в силу системы
A5.60) вида
Здесь предполагается, что ф (z) ■— определенно-положи-
определенно-положительная функция измерения N + 1- Окончательный ре-
результат можно сформулировать в виде теоремы.
Теорема 15.2. Пусть для системы A5.53) отделены кри-
критические переменные z с помощью замены вида A5.55).
Если асимптотическая устойчивость (неустойчивость) ну-
нулевого решения вспомогательной системы
N-\
не зависит при достаточно малом \х > 0 от выбора поли-
полиномиального вектора R (г), компоненты которого являются
многочленами от проекций вектора z и содержат члены
измерения не ниже N + 1, то нулевое решение системы
A5.53) асимптотически устойчиво (неустойчиво).
Замечание 15.7. Установление факта устойчивости или неустой-
неустойчивости системы A5.53) значительно проще, чем построение функ-
функций Ляпунова. Для построения функций Ляпунова следует исполь-
использовать сразу более сложную замену:
х = г + 2 1*4 Q, г. Л). У = Ч + J W- г>-
s=l s=l
Аналогичные замены использовались ранее в более простых случа-
случаях в работах [36, 52].
Замечание 15.8. В простейших критических случаях, рассмотрен-
рассмотренных А. М. Ляпуновым [50], система A5.60) сводится к уравнению пер-
первого порядка
А. М. Ляпунов ограничивается отысканием первого ненулевого коэф-
коэффициента gn. Например, если п — нечетное число и gn<^ 0, то имеем
случай асимптотической устойчивости.
156

§ 16. Функции Ляпунова и устойчивость
линейных нестационарных систем
Вопрос построения функций Ляпунова для озаглавлен-
озаглавленных систем давно привлекает внимание исследователей.
Среди работ, посвященных решению этой задачи, отметим
работы [40, 46, 92, 112].
В настоящем параграфе, следуя [681 и § 15, предлага-
предлагаются выражения функций Ляпунова для классов неста-
нестационарных линейных систем в виде квадратичных форм,
матрицы которых эффективно вычисляются.
16.1. Общее решение матричного дифференциального
уравнения Ляпунова. Рассмотрим систему дифференциаль-
дифференциальных уравнений
^=P(t)x, A6.1)
где х £ £n, P (t) -— ограниченная матрица п х п с опре-
определенными и непрерывными элементами для t £ Ja .
Из первой теоремы А. М. Ляпунова об устойчивости
движения и известной теоремы обращения К. П. Персид-
Персидского следует, что необходимым и достаточным условием
устойчивости нулевого решения системы A6.1) является
существование положительно определенной квадратичной
формы v (/, а:), полная производная которой по / в силу
системы A6.1) тождественно равна нулю (см. [40, с. 551).
В связи с этим возникает две задачи: во-первых, ука-
указать для систем A6.1) с устойчивым нулевым решением
алгоритм построения функций Ляпунова v (/, я) и, во-
вторых, указать коэффициентные условия устойчивости
нулевого решения.
Будем искать функцию Ляпунова в виде скалярного
произведения v (/, *) => (В (t) x, х), где В (t) — веществен-
вещественная матрица порядка /г, зависящая от t.
Нетрудно найти, что ее производная в силу системы
A6.1) имеет вид
Предположим, что
([Г + Р*5 + ВР] *.*) = - (с @ х> х), A6.3)
157

где С @ — определенно-положительная при / £ Ja наперед
заданная матрица. Из A6.3) легко найти, что
j
A6.4)
Положим В @) = £0 и обозначим Ф (/, s) фундаменталь-
фундаментальную матрицу системы, присоединенной к A6.1):
Из A6.4) находим
В (t) = Ф (/, 0) В0Ф* @, 0 — J Ф (/, з) С (s) Ф* (s, t) ds. A6.5)
о
Формулой A6.5) выражается общее решение матричного
дифференциального уравнения Ляпунова A6.4). При со-
соответствующих предположениях о свойствах решений си-
системы A6.1) форма v (/, х) с матрицей В (t) является опре-
определенно-положительной. Из формулы A6.5) получим ряд
следствий.
Следствие 16Л. Пусть выполняются условия:
1) 50 = О, где О — нулевая матрица;
2) С (t) — определенно-положительная при / £ Ja матрица.
Тогда
В (t) = — J Ф (*, s) С (s) Ф* (s, f) ds. A6.6)
о
Следствие 16.2. Пусть выполняются условия:
1) Во = О, где О.— нулевая матрица;
2) С (t) = £(£" — единичная матрица).
Тогда на основе формулы A6.6) имеем
t)x\\*ds, A6.7)
где Ц-Ц •— евклидова норма.
Следствие 16.3. Пусть выполняются условия:
1) Во « Е,
2) С (t) = О при всех * > 0.
Тогда из A6.5) находим
5(/) = Ф(^, 0)Ф*@, t) A6.8)
158

Очевидно при этом v (t, x) > 0 и v (t9 х) = 0.
16.2. Функция Ляпунова для линейной нестационарной
системы с малим параметром. Рассмотрим теперь систему
дифференциальных уравнений
= (А + iiF (/)) х, || F @|| < V, t > 0, A6.9)
4L
где А — постоянная матрица, fi — малый параметр. При
(i = 0 система A6.9) предполагается асимптотически устой-
устойчивой. Пусть # (t, т, fx) — фундаментальная нормирован-
нормированная при t = т матрица, удовлетворяющая матричному
уравнению
# (*, т, |i) = eA('-t) + \i j ^'-^ (s) tf (s, r,
Матрицу Л^ (/, t, \i) можно найти в виде матричного ряда по
степеням \л:
2
k=Q
No (t, x) = eMt~x\ Nk+l (t, x) = J eA{t~s)F (s) Nk (s, t) ds.
t
Для данной определенно-положительной функции w (x)
функция Ляпунова v (/, х), удовлетворяющая уравнению
dv (t, х) . Dv (t, x) , л
dt + Dx И
найдется из формулы
J /f|i),^)dT. A6.11)
Этим способом можно построить функцию v (t, x) с любой
степенью точности. В частности, этот способ дополняет
способ построения функций Ляпунова для системы линей-
линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэф-
коэффициентами, предложенный Н. Г. Четаевым.
159

Пример 16.1. Рассмотрим систему уравнений [112, с. 198] при
а = 1
|i cos 2^ хг + {\- ft sin 20 *ff A6.12)
При [х = 0 получим интегрируемую систему линейных уравнений'
с постоянными коэффициентами
dx (Xl\ /—0,5 1
Находим матрицу N0(t, т) в A6.10)
\— sin (f + т) — cos (/ + т) /
Из формул A6.10) получим следующую матрицу:
Выберем функцию w (x) = х\ + х\ Из формулы A6.11), отбрасывая
члены второго порядка и выше огнозительно |х, получим
v(t, х) = х\ A + 2}х cos 2t) — 4\ixxx2 sin 2/ + A 0 — 2^ cos 20-
Найдем производную этой функции Ляпунова по времени в силу
уравнений A6.12)
ОО (Г, X) л..2ч /9 | -2ч
^ — — w V, л;, u/ v^» л; — у* — ^* ; V^l Л^ л2/'
Функция у (/, х) определенно-положптальна при | ц |< 0,5. При | [i |>0,5
функция w (/, х) опргделенно-отрицательна и по теореме Ляпунова ну-
нулевое решение системы A6.12) неустойчиво. При | |х | = 0,5 w (t, x) = 0,
поэтому имеем интеграл v (/, л;) = с. Замена переменных
гг = х^ sin t + х2 cos /, г2 = хг cos ^ — ^
приводит систему A6.12) к системе с постоянными коэффициентами
Из нее видно, что при | fx | = 0,5 система A6.12) устойчива.
160

Интересно отметить, что характеристическими показателями пе-
переменной матрицы коэффициентов системы A6.12)
(— -g- + й cos 2/ 1 — \i sin Tt
1
— 1 - |A sin 2t — -у — и cos 2^
являются постоянные величины
Например, при ц = 1 система A6.12) неустойчивая, хотя характери-
характеристические показатели Л^ Х2 отрицательные. Следовательно, пример
Н. Г. Четаева еще раз подтверждает, что для системы с переменными
коэффициентами нельзя использовать многие методы, разработанные
для уравнений с постоянными коэффициентами.
16.3. Функция Ляпунова для линейной системы диф-
дифференциальных уравнений с периодическими коэффициен-
коэффициентами. Пусть нулевое решение системы линейных дифферен-
дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами
£=A(f)x, АЦ + Т)ш*А® A6.13)
асимптотически устойчиво. Для определенно-положительной
квадратичной формы
функцию Ляпунова v(t, x), удовлетворяющую уравнению
dv (/, х) , Dv (tt х
я +—gj-
можно найти в виде квадратичной формы
v (tt х) = (В @ х, х), Ву+Т)шзВ @- A6.14)
Симметрическая матрица В (f) определяется по формуле
B(t) = 2 (МУй®М\ D(t) « [N'(x + t, t) x
A6.15)
где N (ty т) — фундаментальная матрица решений систе-
системы A6.13), нормированная при t === т, М = N (Г, 0).
U- 4-761

16.4. Условия конечной устойчивости линейной си-
системы. Рассмотрим систему A6.1) и укажем условия (X, Л,
^о» Т)-устойчивости ее нулевого решения [15],
Пусть построена^ функция v (t, x) = (В {f) x, х), где
B(t) = O(t9 0)Ф*@, t)
н ее полная производная в силу системы A6.1) тожде-
тождественно равна нулю, т. е.
-$*- + A*(t) В® + B(t)A(t) ш=0 A6.16)
при В @) = Е.
Нулевое решение системы A6.1) будет (X, Л, tOi Т)-
устойчивым, если наряду с условием A6Л6) выполняется
неравенство
max v (/0, х) < min v (t, x).
Нулевое решение системы A6.1) будет (X, A, t0, Л-ус-
тойчивым равномерно по /0, eaii при ^^Г^ХГ^ выполняется
неравенство
где
x(t)((t) при \\х\\ = Х),
i ) при \\х\\=А)
и при всех t£JT имеет место A6.16).
Пусть аь (/), i = 1, 2, .. . , п, —корни характеристичес-
характеристического уравнения
det (В (t) — аЕ) = 0.
Вычислив
Amin = ?!1П <а1 ®> ' • ' ' ап @).
Ащах
нетрудно установить, что
min v (/, х) = А А\ max v (t, x)
'■-'^'- mtn ||а|1=^л€^7
162

Отсюда условия (А,, Л, tQ, 7>устойчивости и равномерной
(К А, tQi Л-устойчивости нулевого решения системы A6.1)
имеют соответственно вид
АтпА\
16.5. Коэффициенты функции Ляпунова для псевдо-
псевдолинейной системы. Рассмотрим систему
•^ = Ф (*,*)*, A6.17)
где матрица-функция Ф Щ х) определяется соотношениями
(о
Приведем к виду A6.17) нелинейные системы, в которых
правые части — действительные непрерывные функции
переменных (/, х), аналитические относительно х1% . . ., хп в
области Q(H, т). Неоднозначность в общем коэффициентов
<t>£Vfe) (/) следует из неоднозначности представления нелиней-
нелинейной системы к виду A6.17). Из [15, 133] имеем утверждение.
Теорема 16.1, Чтобы невозмущенное движение системы
A6.17) было (X, Л, f0, T)-устойчиво\ необходимо и достаточно
выполнение следующих условий.
1°. Для системы A6.17) существует обобщенная ква-
квадратичная форма
v(tf х) = (K(t9 x)x, х), А:* = /(. A6.18)
2°. В области Q(H,JT) выполняется уравнение
A6Л9>
И* 163

при начальном условии
К (tOi х) = Я, A6.20)
где индекс j за скобкой означает, что берется j-я компо-
компонента стоящего в скобке вектора, О — нулевая и Е —
единичная матрицы.
3°. В области ||х|| < A, t£[t0, tQ + Т] выполняется не-
неравенство
max v (L, х) < min v It, x).
Нетрудно найти, что уравнению A6.19) с начальным
условием A6,20) удовлетворяет матричная функция
*(/, х) - Ко® + 2*Л('. *). /(* = /(> A6.21)
где
viH-.-.+Voi
/Со и /C^v/f) (/) удовлетворяют счетной системе уравнений
1
'1 ft > 1, A6.22)
» <м - - е I £ D\:(<> ^
^1 »/
При этом Ко (У = £» ^ГЛ) (У = °» fe > 1 и Ряд A6-21) схо"
дится абсолютно и равномерно по крайней мере в области
где е > 0 — сколь угодно мллая величина, г — гаранти-
гарантированный радиус сходимости рядов Ляпунова по степе-
степеням произвольной постоянной,
164

Решение первого из уравнений системы A6.22) нахо-
находится как и в п. 16.1 через известную фундаментальную
матрицу для системы, присоединенной к системе
!-<■>.«>*.
Решение последующих уравнений системы A6.22) суще-
существенно использует понятие среднего члена, которое вве-
введено в предыдущем параграфе.
Сделаем несколько заключительных замечаний.
1. Приведенные рекуррентные формулы вычисления
функций Ляпунова легко программируются на ЦВМ и
построение функций Ляпунова может быть проведено с
любой заранее назначенной точностью.
2. Функции Ляпунова с матрицей в виде сходящихся
рядов в достаточно малой окрестности начала координат
допускают аналитическое продолжение вдоль любого луча,
исходящего из начала координат вплоть до границы об-
области устойчивости соответствующей системы.
3. Рассматривая семейство поверхностей
vv (/, х) = — \i (\i = const > 0), v = 0, 1, 2, ... ?
можно сколь угодно точно приблизиться к границе области
устойчивости в пространстве параметров данных систем.
§ 17. Рекуррентные алгоритмы построения
решений систем дифференциальных уравнений
с переменными коэффициентами
В этом параграфе предлагаются приемы построения
решений систем дифференциальных уравнений с перемен-
переменными коэффициентами.
Основные результаты этого параграфа содержатся в
работах [65, 68].
17.1. Применение степенных рядов. Рассмотрим си-
систему дифференциальных уравнений
1ГГ=Е/>./(<)*/. s=l,2, .... п. A7.1)
/=1
Предположим, что заданы начальные условия
*,(',,) = *S. s=1.2 п, A7.2)

а коэффициенты ps} (f) в окрестности / = t0 допускают раз-
разложения
m=0
где aSJm — известные постоянные; ряды справа сходятся в
некотором ! нтервале JT с: Ja.
Теорема 17.1. Если в системе A7.1) коэффициенты
ps/(t) таковы, что ряды A7.3) сходятся при всех t£JT,
то решение xs(t) задачи A7.1), A7.2) представимо рядом
сходящимся при всех t£JT с:Уг, а коэффициенты csm вы-
ражаются по рекуррентной системе формул
*?■
,-,
(/, s = 1,2,..., n\ m == 0, 1, 2,...),
р начальные значения A7.2) w параметры системы
A7.1).
Доказательство теоремы имеется в монографии [68].
Пример 17.1 Рассмотрим нестационарную систему
^ ^ v fi>0, A7.Г)
при начальных условиях
^•@) = 1, ^ @) = 1. A7.5)
Формула A7.4) принимает вид
7=1
166
+ 1 1 2-1 'a«Mc/mM J
* / i '

где
auo = »i-3' аш = -1' aiu = 0 при
«210 =-2' «Ш--1' a2lft = °
«220 =»*' a221 = 1' a22ft = ° "P"
Легко видеть, что
c2ft = (Arl)-1 (fx — 2)*
и, окончательно,
A7.6)
Ряды A7.6) сходятся при всех /€Уаи являются решением системы
A7. Г) при начальных условиях A7.5), в чем легко убедиться непо-
непосредственной подстановкой.
17.2. Применение интегрирующих слагаемых. Продол-
Продолжим построение решений линейных систем с переменными
параметрами специального вида [65].
Пусть задана система
х + M(t)x+N(t)x = 0, A7.7)
где
М @ = diag (m, @, • •., тп (/)), N (t) = (nlf @)?,/яГ
Элементы матрицы М (t) предполагаются дважды непрерыв-
непрерывно дифференцируемыми функциями. Диагональные элементы
матрицы N (/) — такжз, дважды непрерывно дифференцируе-
дифференцируемы функции на любом конечном интервале JT cz Ja, a
остальные — интегрируемые для всех t£Jr Представляя
матрицу N @ в виде N (f) = Nx (t) +NX (f), где Nt(t) =
« diag (nx (t),..., nn (/)), Nx (t) — матрица с интегрируемы-
интегрируемыми элементами t£JT, систему A7.7) представим так:
х + М (t)x + N± (t)x = N2 (f)x, A7.8)
где Ы2(*) = -Яг®.
167

Для исследования системы A7.8) вводятся интегрирую-
интегрирующие слагаемые
r)j (t) — I71 (О Lx (t) — -j- (L71 @ Lt (f)f +
где
Li @ - -Т^- Кт^? @ -МО. 07.10)
i = 1,2,. ..,я.
Образуем матрицу
Л @ = diag (х\х (/),... t4ki@),
и к обеим частям системы A7.8) прибавим слагаемое i\A)x:
'х + M(t) х + (Nx(t) + r\(t)) х = (i](t)x + N2(t))x. A7 11)
Лемма 17.1. Решение однородной системы, соответст-
соответствующей A7.11):
y + ()y + (Nx (t) + г)(t))y = 0, A7.12)
имеет вид
у^СлЮ+С&Ц), A7.13)
где
г1 (/) - diag (Ф| (t) Fn @, Ф2 @ ^ • • •> Фя @ ^/й @). A7.14)
«
(
—ijm2(T)dx Lf1/2@, A7.15)
о /
A7.16)
2(T)dT, A7.17)
/=1,2. A7.18)
Доказательство леммы 17Л осуществляется непо-
непосредственной проверкой.
168

Пользуясь формулой A7.13) и методом вариации про-
произвольных постоянных, систему A7.11) преобразуем к си-
системе интегральных уравнений Вольтерра второго рода:
х @ = у (t) + гх @ j z2 (x) [N2 (т) + Ц (т)] х (т) dx -
О
- z2 (t) J zx (т) [Л^2 (т) + Ч (т)] х (т) dx. A7.19)
о
Представим матрицы zx {t) и z2 (/) в виде
z1(t) = u(f)b1(f), z2(f) = u(t)b2(t),
где
«@ = diag (ф, @, ...,<р„(')).
Тогда уравнение A7.19) принимает вид
x(t)=y (t) + и (t) j и (х) S (t, x) [N, (х) + ц (х)} х (т) dx,
A7.20)
где элементы диагональной матрицы S (t, x) суть выражения
s, (U т) = Ьп (т) F2i (t) - Fn (t) b2i (т), I = 1, 2,..., п.
Наряду с A7.11) рассмотрим вспомогательную систему
x + M(t)x + (ЛМО + Л (t))x - е (W2 @ + л @) *> A 7.21)
в которой е > 0 — вспомогательный параметр.
Решение системы A7.21) будем искать в виде разложе-
разложений по степеням параметра г:
со
х (t) = 2 e"Vm) @- A7.22)
m=0
Подставляя это выражение в A7.21) и приравнивая члены
при одинаковых степенях е, получим рекуррентную си-
систему векторно-матричных дифференциальных уравнений:
169

где
L [xw] = *(v) + M (t) *(v) + [N\ (t) + ц (t)} x(v\
Положив в A7.22) e =1, получим систему A7.11) и со-
соответственно ряд A7.22) в виде
|m)@- A7-23)
т=0
Положим
х @) = у„ х @) = у0 (^> @) = i<'> @) =0, ;= 1, 2,..., п)
A7.24)
Пользуясь формулой A7.20) и начальными условиями
A7.24), запишем решение рекуррентных уравнений A7.22)
в виде
х{1) @ = и (О J а (т) S (*, т) Р (т) *@) (т) dx9
°. A7.25)
xiv) (t) = а (О J и (т) S (/, т) Р (т) x{v~l) (x) dx.
о
Докажем, что ряд A7.23) сходится равномерно. В си-
системе A7.25) перейдем к оценке по норме. Пусть
11</@11<я0Ф@> а0>0-const, ф@ = 2ф>@ A7'26)
в интервале /а- Тогда будем иметь
|| ^@) @ || < а0ф @, \\xil)(t)\\<aoy(t)u(t), (П.27)
170

где
и (О
u(t)=[\\^(r)\\\\S(t,x)\\\\P(r)\\dx.
Следовательно, для нормы членов ряда A7.23) мажорант-
мажорантным будет
/71=1
Отсюда для нормы суммы ряда A7.23) имеем оценку
т=1
Остаточный член ряда A7.23) оценивается так:
т=к
а0ф@ ехр^^-^^Г1
L m=l J
Ряд A7.23) сходится к своей сумме со скоростью, не
меньшей
-дП. ~tZ2^J A7-28)
Следовательно, имеет место утверждение.
Теорема 17.2. Пусть выполняется условие A7.26) и
Ф <#!<«> a
Тогда при начальных условиях A7.24) ряд A7.23) будет
абсолютно и равномерно сходящимся в интервале Ja и
скорость его сходимости к своей сумме оценивается выра-
выражением A7.28).
. Замечание 17.1. Изложенный метод построения решения системы
47.7) может быть применен к системе
171

где Л @ а В (t) имеют квазидиагональную структуру
Л @ = diag (Л2 (О, Л2 (/) Лт(О),
^(O^diagtVO^W Bm(t))f
причем Ar (t) и Bf (t), r = 1,..., m, —матрицы порядка nf X nf та-
такого вида:
faf(t) 10 0 0 0
О a (t) I 0 О О
О О О О ar(t)
bf(t) 1 0 0 ... О О
о МО- 1 о ... о
о о о ... о ьг (о
17.3. Применение вспомогательных функций. Иссле-
Исследуем теперь систему
2 К
С этой целью введем замену переменных по формуле
A7.30)
где
L{k) (t) = o{k) (t) exp (- m (t) i),
т ([- ^ W + ^(^ ^)J +4oJ
A7.31)
с
со (а) = __ \ со (т) dt, с > Ь.
В выражение а<*> (/), A? = 1, 2,.. ., n, входят функции coft @»
являющиеся собственными частотами, определяемыми из
уравнений
det {l}k)®-xn (— ap (t) со2 + Йр @ со + ср @)) = О,
172

и вспомогательные функции m{t)y производные которых
определяются из равенства
a{k) @ = 2fo (a) Vl+m {t) exp (m (/) О
по формулам
Осуществив в системе A7.29) замену A7.30), получим
г—1
2 L71/2 (t) [ар @ у + (bp (t) - ар @) L7 @ ^P@i/ + -U7.32)
где
^ @ = flp W [t^ W'^p W f
f
Для сокращения записи введем обозначения Qp (t):
QP @ = [2ар @ - Ф71 @ % @) ар @ +
+ ф;1 w фр (О I**;1 w ip (о -
где фр@, Р = 1» 2, • , . , п,.— нормальные функции, яв-
являющиеся нетривиальными решениями некоторых систем
алгебраических уравнений (фундаментальные функции).
Лемма 17.2. Решения однородной системы
2L71/2 Ш% (t)'y + (b:,(t)-ap(t))L-\t)Lp{t)y +
"~ +(cP(t) + Qp(t))y] = O, A7.33)
соответствующие нормальным колебаниям, имеют вид
УР @ = % @ ехр Шо, (т) dt J, A7.34)
173

где фр (t), p = 1,2,..., л, — фундаментальные функции,
удовлетворяющие системе алгебраических уравнений
п
2 {- ар (/) ©2 + й>„ (О со + Ср @} Фр (/) =0. A7.35)
p=i
Доказ-ательство. Утверждение леммы 17.2
следует непосредственно после подстановки выражений
A7.34) в уравнение A7.33).
Далее систему A7.33) представим так:
C(t)y = O, A7.36)
где
У = (УХ У„).
A7.37)
А@ = (LTm@о, @,. •.,Lnm (t)an(/)),
В @ = (Lr1/2 @ + (*i @ - «1 @) ЬГ1 @ 1Р @, • • •
.... Ln/2 @ + (ft» (/) - an @) L71 (/) 1„ @).
Q (/) = (LTm @ Qi @ LZm @ Qn @),
c, @ = (Lr1/2 @ c, @,. •., lji/2 @ с„ @).
Наряду с системой A7.36) рассмотрим вспомогательную
систему
A (t) y'+B{t)y + C(t)y = eD (/) у, A7.38)
где
Ф @ = Ц-щ W Л, @. • • -. Кш W Ч, @).
Как и выше, решение системы A7.38) будем искать в
виде векторного ряда по сгепеням параметра г
J/W = |eVffl)@. A7.39)
Подставляя A7.39) в A7.38), получим рекуррентную си-
систему дифференциальных уравнений
174

L[yll)]=D(f)yw, A7.40)
где
L \ум] ^ A (t)'y(v) + В (t) ум + С (О УМ.
Положив в A7.38) е=1, приходим к системе A7.32),
решение которой принимает вид
2
т=0
Положим
ут @) = у0. ут @) = у0, (уи) @) = уи) @) = о, / > 1).
A7.42)
Пользуясь формулами A7.34) и начальными услови-
условиями A7.42), решения рекуррентной системы A7.40) пред-
представим в виде
УФ) it) = у {t),
A7.43)
где
* V' %) -
Vi(t) и V2(() — частные решения системы A7.33), построен-
построенные из yp(t) и которые, в свою очередь, вычисляются по
формулам A7.34).
Теорема 17.3, Пусть выполняются условия
1) 11у'0)Н <яо> я0 — const,
2) ||S(ffT)D(T)||<M0 V^>0.
175

Тогда ряд A7.41) сходится равномерно и абсолютно
для всех t£Ja.
Доказательство теоремы 17.3. аналогично доказательству
теоремы 17.2.
17.4. Нелинейные системы. Пусть задана система
= f(t,x)> A7.44)
х @) = *0, х @) = л:0,
где
P (t) = diag (P[ (/),. . ., pn (/)), Q (i) = diag (q{ (t), ...,qn (t)).
Прибавляя к обеим частям уравнения A7.44) выражение
k (t) '
где
L(/) = diag(L1@,...,L7l@),
получим
x+^P(/)~^Jx+(Q(/) + L@)x==9^x,x), A7.45)
где
Пусть в области
вектор-функция q> удовлетворяет условию
|| Ф (t, х, х) - Ф (t, у, у) \\< N @1| х - у ||. A7.46)
Выполняя операции дифференцирования в левой части
равенства
176

ехр Г - j (lh (t) + k2 (т)) dx I -1. Гехр К
A7.47)
и приравнивая коэффициенты полученного выражения к
соответствующим коэффициентам уравнения A7.45), най-
найдем
h(t) « _ £^ -уу @ - 4 (Qfl) + L @),
Из соотношения A7.47) легко получим выражение
для x(t):
° N° X
о
X ф (a, x (a), х (a)) rfadx, A7.48)
где
' t x
° ° j °
je ° do,
о
Теперь искомое решение системы A7.44) построим со-
согласно равенству A7,48) по следующей формуле:
° ftf° X
о о
X Ф (°. ^„_, (о), *„_, (о)) sfxdo. A7.49)
12-4-761 m

Ecmi y (t) — фундаментальная матрица однородной систе-
системы, соответствующей A7.44), то равенство A7.48) будет
удовлетворено, если в обеих частях выражения A7.49) при-
принять х = "у (t), т. е.
r ;■
x
X q>(o%y(o),y(o))dTdo.
Из выражений A7.48) и A7.49) находим
/ X I
л п п
~jkt{x)dx -^8<o)rfo? J(*
8 У
x
A7.50)
где е„ (/) = || у — x || и е„_, @ = || у — х,^ || представляют
собой погрешности n-го приближения.
Лемма 17.3. Пусть функции ф(/) и ty(t) положитель-
положительны у£ ^ @, а] Тогда справедливо неравенство
J бф(т> (т) dx < em J ф (т) dx A7.51)
р ^ @, а].
В справедливости леммы можно убедиться путем сравне-
сравнения дифференциалов выражений, находящихся в каждой
части неравенства A7.51). Согласно лемме 17.3 неравен-
неравенство A7.50) примет вид (рассмотрим сначала случай, когда
kx и k2 вещественные)
J J
ей @ < Noe ° J j e° 8||-1 (x) dxrfa, A7.52)
J j
где k = kx + k2, No = max iV (/).
178

Пусть 0 < е0 < М. Тогда, определяя последовательно
из A7.52) elf . . ., efc>. . ., найдем
-J
ИЛИ
где 9 = @ -г- l)/i.
Легко видим из вышеизложенного, что случай, когда
k комплексное, исследуется точно также и получается не-
неравенство вида A7.54). Из неравенств A7.53) и A7.54)
следует, что для всех t £ Уа, &п -> 0, когда п -> оо, т. е.
Отметим следующий случай, важный в приложениях.
Если коэффициент k (или его вещественная часть) положи-
положительный, то при h -> оо выражение в квадратных скобках
неравенства A7.53) стремится к нулю и для гп (t) будет
иметь место такая оценка:
вп@<Л«Г№. A7.55)
Следовательно, если
k>0, N0<k\ A7 56)
то можно построить асимптотическое решение заданной
системы A7.44), а погрешность этого решения оценивается
неравенством A7.55).
Пример 17.2. Определить решения уравнения
V + Ee-2t + 2) х + 4г е-**х = a cos со/ -
/23 о/ 3 АЛ 3 о .
^(6" +& + Т5 )Х-Тх +х
4
в области | х |<; 1.
В качестве вспомогательной функции выбираем
4( ^ f
179

Тогда
N (t) = max | ф (t, x,x)\ **-*•
Ф (L) = a cos со/ + hg- + 2e~*44 x — -g- *3 + л;,
fe=y A + бе"').
Из N и fc видно, что условие A7.56) выполняется и формула A7.49)
для уравнения A7.56) примет вид
/ 5 n/ t t I 5 от
A7<58)
Начиная g нулевого приближения х'°\ можно найти
используя для этого формулу A7.58).
Погрешность приближений имеет вид
k2) •
Оценивая погрешности по неравенству A7.59), первого, второго и третье-
третьего приближений находим, что в пределах | х \ < 1 ех = 23%, е2 = 9%,
е3 = 5%.
§18. Устойчивость решения
сложно возмущенной системы
В настоящем параграфе формулируются условия устой-
устойчивости озаглавленных систем. Методы построения функций
Ляпунова, изложенные в § 15, 16, в сочетании со способами
построения решений некоторых нестационарных систем
§ 17 позволяют осуществить практическое применение об-
общих теорем этого параграфа для широкого класса воз-
возмущенных и сложных систем.
18.1. Теоремы об усюйчивости на бесконечном интер-
интервале времени. Рассмотрим систему A3.1) и соответствую-
соответствующую ей невозмущенную систему A4.9), Имеет место утвер-
утверждение»
180

Теорема 18.1. Пусть выполняются следующие условия.
\°, Для «невозмущенной» системы
A8.1)
существуют функции vx > 0,..., vm > 0 такие, шпо функ-
т
ция v = V vs (t9Xy \i) при [i ^ jij (ji, = const > 0) опреде-
s=l
ленно-положительна и имеет ограниченные частные про-
производные.
2Q. Выполняются неравенства
-Ж + **£>*' ^ Х {t'х' р°' ^о) ^ Cs {U V)> 5=Ь2,...,я,
A8.2)
где С8 (t, V) — непрерывная по t функция, монотонно воз-
растающая по V.
3°. Существуют интегралы
, tot x0, |i) = J —^— X (/, дс (/), р, jir) Л, A8.3)
которые вычисляются вдоль решения х (t) невозмущенной
системы A8.1) при x(t0) = хо£п (Я),
X (/, х @, р, И = X (Л х, р (Л х), цг (^, х)) -
4*. Относительно yiQ > 0,.. ., ymQ > О при \х < \х2
(\i2 = const > 0) верхнее решение у (ty /0, yj системы срав-
сравнения
■у = С (f, £/ + Г (/, /0, л:0, (г) + G (/, о, |i))f A8.5)
где
G (U а, (г) = (d (/, а, (г),..., Gn (/, а, (*)),
A8.6)
181
G8 (/, а, jx) = sup (| ^j- X (^, ^, P, И -
- ж х с» ^- Р'

устойчиво (соответственно равномерно по t0 устойчиво)
при возмущениях ограниченных, ограниченных в среднем
или ограниченных в среднем квадратичном.
Тогда при любом |л £ [0, jx0], где (л0 = min ((xlf ^2),
нулевое решение системы A3.1) ^-устойчиво (соответственно
равномерно по t0 \х-устойчиво) при возмущениях ограничен-
ограниченных, ограниченных в среднем, ограниченных в среднем ква-
квадратичном.
Доказательство теоремы проводится аналогично дока-
доказательству теоремы 6.2. Отличительной особенностью яв-
является то, что выбором (и < ^0 ограничивается «возмуще-
«возмущение» в правой части системы сравнения A8.5) вектора у.
Функции G (t, a, fx) в зависимости от типа «обобщенных»
возмущений предполагаются такими, что выполняется
одно из условий:
а) ||Х(*,х,р,|1г)||<:в2 при x£M(t)a9
б) [ G (s, (я, a) ds <C б2 при t£J ;
со
в) J G (t, а, |г) dt < б2.
Из условий теоремы следует, что при наличии функций
vs> Cs, существовании интегралов A8.3) решение вопроса
об устойчивости исходной системы связано с изучением
этого свойства решений для уравнения сравнения A8.5)
относительно у1 > 0, . . . , ут > 0 (т < п).
В связи с этим весьма важно иметь эффективные ме-
методы исследования устойчивости систем сравнения A8.5)
или получающихся из них систем в зависимости от свойств
исходной системы A3.1). Для некоторых систем сравнения
такие методы могут быть основаны на общих результатах
теории устойчивости при постоянно действующих возму-
возмущениях (см. [75] и обзор В. В. Румянцева в книге [82]).
18.2. Системы с малыми возмущениями. Предположим,
что в системе A4.8) р (t, х) s 0 и функции \х г (t, x) суть
произвольные функции координат, не обращающиеся в
нуль при х = 0, входящие аддитивно в правую часть
системы
TT=f(t,x) + iir(t9x) A8.7)
182

и обеспечивающие совместно с / (/, х) существование единст
венного решения при хо£йо, t > х > 0.
Системы A8.7) и другие, содержащие слагаемые, про-
пропорциональные малому параметру или его высшим степе-
степеням, изучались А. Пуанкаре, И. Г. Малкиным, Г. В. Ка-
Каменковым и др.
Применяя теорему 18.1 к системе A8.7), получим сле-
следующее утверждение.
Теорема 18.2. Пусть выполняются следующие условия.
1°, Для системы
f = f(t,x) A8.8)
существуют функции vx > 0,.. ., vm > 0 a Cs (t> V),
s = 1,2, .. .,n, указанные в условии Г теоремы 18.1.
2°. В области Q (Н, т) выполняются неравенства
!T + DV8DxX) f(t>x)<CsV>V)> s=l,2,...,m. A8.9)
3°. При ii < \i0 относительно ух > 0,..., ym > 0 верх-
верхнее решение у (/, tQ, y0) системы сравнения
% ), / = const >0, A8.10)
где
при x£M{t)% A8.11)
устойчиво (соответственно равномерно по t0 устойчиво) при
постоянно действующих возмущениях, ограниченных в каж-
каждый момент времени, ограниченных в среднем или инте-
интегрально.
Тогда при ц> < \i0 нулевое решение системы A8.7) устой-
устойчиво (соответственно равномерно по t0 устойчиво) при по-
постоянно действующих возмущениях, ограниченных в каж-
каждый момент времени, ограниченных в среднем или инте-
интегрально.
Доказательство теоремы основано на оценке A4.25)
леммы 14.2.
18.3. Стационарные системы с развивающимися возму-
возмущениями. Рассмотрим систему
f№+R(tx)9 A8.12)
183

где функции / (х) определены и непрерывно дифференци-
дифференцируемы, а их производные df (х)/дх ограничены в области
Q (Я), / @) == 0 и R (/, 0) = 0 при [х Ф 0, т. е. система
A8.12) допускает нулевое решение х = 0. В области Q (Я)
рассмотрим вещественные функции v (x), имеющие в Q (Я)
непрерывные частные производные первого и второго по-
порядка [50, 71]:
п
dv IT"! dv ,c , ч гл /a w /1 о 1 о\
" = — = V я- (/, (х) + |г/?. (*, X», A8.13)
dt
A8-14)
/=1
На невозмущенном движении х = 0 функции v, v> v уничто-
уничтожаются, т. е.
Имеет место следующее утверждение.
Теорема 18.3. Для того чтобы решение х = 0 автоном-
автономной системы
-^ = /(*), /@) = 0 A8.15)
было устойчиво при постоянно действующих возмущениях
R (/, х) (R (/,0)^0), достаточно, чтобы существовала
определенно-положительная функция v (x), полная про-
производная которой в силу системы A8.15) определенно отри-
отрицательная»
Исследуем вопрос об устойчивости системы A8.15) при
следующих предположениях. Правые части системы A8.15)
возмущаются известными силами \xR (/, л:) такими, что в
начальный момент времени / = /0 > 0 функции R (t, x)
обращаются в нуль тождественно; движение системы
A8.15) при t = t0 начинается из устойчивого состояния
равновесия
тт Jxj чv 1' ' Ш ^ v '
н. при / = t0
R(tQyX) = O при x£Q{H). A8.17)
184

Проинтегрировав выражение A8.14) от /0 до /, получим
dv __ dv
~df ~~ dt
Принимая во внимание условия A8.16), A8.17), находим
оценку
>о/=1
Пусть теперь при всех / > /0 и ц <
A8.19)
Тогда при ограниченных выражениях
dv
дх
любых возмущениях R(t,x)y удовлетворяющих A8.17)»
получаем
Очевидно при |л < |i0 имеем v(x(t)) < v(x0).
Резюмируем изложенное следующей теоремой.
Теорема 18.4. Пусть
1) для системы A8.15) существует определенно-положи-
определенно-положительная функция v (х) и имеет место условие A8.16);
2) выражения dv/дх и dv/dx ограничены в области Й(Я);
3) вне сколь угодно малой окрестности точки х = О
имеет место неравенство A8.19) при всех t>to\
4) возмущения R(/,х) непрерывны по х^п(Н) и удов-
удовлетворяют условию A8.17) при t = t0.
При выполнении перечисленных условий решение х = О
системы A8.15) ^-устойчиво при развивающихся возму-
возмущениях.
Перейдем теперь к более тонкому случаю поставленной
задачи. А именно: предположим, что в области значен ий
переменных x£Q(H)
185

Теорема 18.5. Пусть
1) выполняется условие 1) теоремы 18.4 « условие A8.20);
2) существует интеграл
t п
который вычисляется вдоль решения x(t) системы A8.15)»
принимающего значение xo£Qo(H) при t = to\
3) существует интегрируемая на J функция о (/),
постоянная <т0 > 0 w неубывающая функция %(а), lim x (а)=0,
а->0
таковы у что
A8.21)
4) вне сколь угодно малой окрестности точки х = 0 вь/-
полняется неравенство
Ф (*, /0» ^о)< — S (t — Q при всех t > to\
5) выполняется условие 4) теоремы 18.4.
/7/ш выполнении перечисленных условий решение х = О
системы A8.15) р-устойчиво асимптотически при разви-
развивающихся возмущениях.
Доказательство. Повторяя с небольшими из-
изменениями выкладки, проведенные при доказательстве
теоремы 11.3, нетрудно найти оценку
-£ <-4 <'-<•>• <18'22>
имеющую место при всех \i < jx° и / > /0 > О»
186

Интегрируя A8.22), получаем yt > О
v (х (t, О, х0)) < - 4 /2 + v (х0). A8.23)
Так как || х (t, О, х0) || < б' при всех / > 0 и функция у (*)
определенно-положительная, то v (x (t, О, х0)) > |3 > 0. Левая
часть неравенства A8.23) при t->-oo стремится к—оо. По-
Полученное противоречие показывает, что || х (t, 0, х0) || -> 0
при /->оо. Это доказывает теорему.
18.4, Оценки решений на заданном интервале. Рас-
Рассмотрим я-мерную систему
^L = f(tfX) + \xR (t, x) + H (t, x), A8.24)
в которой |i>0 — малый параметр, вектор-функции /(/,*),
R (/, х) и Я (f, jc) обеспечивают локальное существование
непрерывного решения х (t) в области Q (Я, /7) си й (Я, /а)
при любом наборе вещественных значений (^о>*о) из области
Q'oczQ{H,JT).
Наряду с системой A8.24) будем рассматривать невоз-
невозмущенную систему A8.8).
Теорема 18.6. Система A8.24) (X, Л, R°f J^-устойчива,
если существуют функции vx > 0,..., vm > 0 и Cs (/, V),
указанные в теореме 18.1, и выполняются следующие ус-
условия,
Г. В области ТА а £2(Я) при всех t£JT имеют место
неравенства
dv8 Dv8 (t, х)
2°. В области ТА х JT существуют интегралы
t' —
Т8 (U t0, xQ) = f —^^ R (t, x)dt, Ks< m, A8.26)
to
которые вычисляются на решении x(t) системы A8.8),
принимающим значение xo£Qo(H) при t = /0, х0ф0.
3°. В области Q (Я, JT) выполняются условия
а)
\\H(t,x)\\<h(t)9
187

причем интегралы
t
о* @ = Ms^h (s) ds, Ms = const > 0,
и
ограничены при всех t£JT,
б) существуют постоянные Ls (Q) > 0 и такая функ-
функция ф(/), что
Dv (t,x) Dv (/,
)i A8.27)
причем
ограничены при t£JT, \i < (.i0.
4°. Яра (г < ji° a f £ /Г существует верхнее решение
У (^» ^о» ^о) системы сравнения
% t0, t,х0) + 2(/, ц)), A8.28)
2(Лц) = о@ + а1@. Со^о)еД A8.29)
которое при начальном значении
Уо = ^" Со) - VT Vo' 'о- *о) - 2 Со' И) € А A8.30)
удовлетворяет неравенству
У {U t0, у0) < v** (t) - vT(U t0, x0) - 2 (/0, p) A8.31)
при всех t£JT и \х < |л°.
Доказательство. В заданной области ГА в силу
ограничений на функцию v(t,x) существует такая функция
w(x), что v(t,x)>w(x) при всех /£У7, ^£ГЛ. Подходя-
Подходящим выбором с > 0 можно достигнуть того, чтобы поверх-
поверхность w (х) = с целиком содержалась в области ТА и не
имела с границей дТА области Гл общих точек. Выпустим
теперь решение x(t) системы A8.1) из области ||*0||<Я,
188

TKd{x\w (x) <c) и предположим, что на заданном интер-
интервале J7 существует момент /* £ JT, в который ||х(/*)|| = Л.
Это может произойти не иначе как поел3 пересечения по-
поверхности v (/Р х) = с — а, 0 < 2а < с (здесь tx<.t*£ JT).
Для компонент vs вспомогательной функции v (t, x) вдоль
решений системы A8.24) согласно A8.25) получим оценку
dv Dv (t,x) Dv (t,x)
A8.32)
Интегрируя неравенство A8.32) и учитывая A8.26),
A8.27), получим
vg (t, x (t)) < vs (tQ9 xj + J С (Л V) dt + ixTs (t, t0,xj
l<s<m. A8.33)
Согласно лемме 2.1 для функций vs(t,x(t)) имеем оценки
vs (t, х (t)) < ys {t, t0, y0) + iiTs (/, to,xQ) + Es (/, ^ A8.34)
выполняющиеся при т^сех t £ JT и jx < \x°.
При выполнении неравенства A8.31) в момент t*£JT из
A8.34) находим
fs (Л х (Л /о, *о)) < t;fmin(/*), 5 = 1, 2,..., m. A8.35)
Неравенство A8.35) противоречит определению ySmin (t) =
i ( (^ ) || || А) * )
() рр р ()
= min (fs (^, д:) при || x || < А) и, следовательно, /* g )r, т. е.
на интервале заданной длительности У7 решение системы
A8.24), выходящее из области Гя, не покинет области
Гл. Этим теорема доказана.
189

§ 19. О неустойчивости взаимодействующей подсистемы
Э сложной системе
Структура сложной системы во многом обусловлена
существом процессов, протекающих в обособленных под-
подсистемах, взаимодействующих друг с другом. В общем
случае среди взаимодействующих подсистем имеются та-
такие, которые «сами по себе» (т. е. будучи обособленными)
являются неустойчивыми или наоборот сильно (например,
экспоненциально) устойчивыми. Наконец, в сложной си-
системе могут быть подсистемы обоих отмеченных выше ти-
типов. В этом параграфе установлены условия неустойчи-
неустойчивости взаимодействующей подсистемы, если свободная под-
подсистема неустойчива.
19.1. Определения сильной и слабой неустойчивости
взаимодействующей подсистемы. Рассмотрим k-ю взаимо-
взаимодействующую подсистему
dxh
где х^ £ Er , fk и Fk — вектор-функции соответствующей раз-
размерности.
Определение 19.1. Невозмущенное движение k-й под-
подсистемы A9.1) называется сильно неустойчивым при пос-
постоянно действующих связях Fk (t, х{,.. ., xk_{, xk+v .. ., xm),
если существуют А > О и /* > О такие, что для любых
б > 0, \i<ii0 найдутся интегрируемая функция hk (t) и
достаточно малое число ft{j, что при (/*, х°)
II МОИ <б A9.2)
всегда найдется решение, которое при некотором значении
Vj > t* будет удовлетворять неравенству
\\хк(^)\\>А A9.3)
при любых связях Fh(t,x), как бы ни выбирались, лишь
бы удовлетворяли в области Q (Я, т) неравенству
II Pk (U х) || < hk (О, J hk (s) ds < №к (t2 - tx) A9.4)
при любом t2 > tx.
190

Может оказаться, что среди допустимых связей Fh (/, х)
существует такая связь Fk(t>x)> что при [а < fx0, выполне-
выполнении условия A9.2) и неравенств
\
имеет место оценка || xh (t) \\<А при всех t > t0 и сколь
угодно малом А > О, если только || х (/*) || < б. При этом
будем называть невозмущенное движение подсистемы A9.1)
слабо неустойчивым. Следовательно, при постоянно действую-
действующих связях Fk(ttx)£{F) неустойчивость подсистемы A9.1)
может быть слабой либо сильной.
19.2. Теорема о неустойчивости. Метод решения задачи
о неустойчивости взаимодействующей подсистемы основан
на применении идей Ляпунова и Чаплыгина в форме прин-
принципа сравнения с вектор-функцией Ляпунова. Рассмотрим
вначале вспомогательную систему
-jf- = Cs (t, yx,..., yj + pMf (t, a), s = 1, 2 m, A9.5)
где /(/, о) учитывают связи подсистемы A9.1):
f (t, о) = sup (|| Fk (t, x) || при х~£ Mjf),
Co свободной k-й подсистемой
■7Г -MW. х^£гл 09.6)
свяжем вещественные функции vx (/, xft),..., vm (t, xk), опре-
определенные и непрерывные в области Q (Я, т) со своими произ-
производными по времени, причем vs (t, 0) = ue"(/, 0) = 0. Для со-
совокупности функций (vl9.. ., vj введем норму || V || = К| +...
• • • + I °т I- Функции Cs (/, ур .. ., t/J неубывающие по
(У\> • • •» i/s 1»f/s+1,..., ^/т) = у в области G (R, т).
На основе определения из статьи [71] сформулируем
следующее определение.
Определение 19.2. Нулевое решение системы
-£- = Cs (/, У[У .,., Ут)у s = 1, 2, ..., т, A9.7)
191

сильно -|- у{ неустойчиво при наличии связей ограниченных,
ограниченных в среднем или ограниченных интегрально, если
для любых положительных чисел б,, е, V0^0, удовлетворяю-
удовлетворяющих условиям 0<б1<е<7</?,и достаточно малом ц >0
найдутся положительное число Т £ Уо и точка х° (|| х\ || < б)
такие, что всякое решение y(t,tQtyQ) системы A9.5) с на-
начальными условиями
^. = М'о'*?)' s = 1>2 /и, A9.8)
^og/o при всех значениях t£[tQ,tQ + T] остается в G и
удовлетворяет условиям
У! Со + Г> #10' • • •' У то) > 8» I Ую I + • • ' + I </«0 I < 6
при любых связях Fk (t, x), удовлетворяющих в области
Q (Ну т) одному из таких неравенств:
a) Vo<V; б) Vl<T; в) y2<V» A9.9
где
t+i
у = sup / (/, a), Vi = sup f / (U о) dx,
+
f
J
В зависимости от условий а), б), в) будем различать
сильную + ух неустойчивость при наличии связей, огра-
ограниченных в каждый момент (случай а), ограниченных в
среднем (случай б) или интегрально ограниченных (слу-
(случай в).
Георема 19.1. Пусть выполняются следующие условия.
Г. Для подсистемы A9.6) существуют функции
vv .. .,0ОТ, причем vx (t, xk) допускает бесконечно малый
высший предел.
2°. В области G (/?, т) выполняются неравенства
, 2,. ..,т, A9.10)
где С$ — суть функции, неубывающие по у.
192

3\ В области G(R,r) выполняются условия
DV*4) C ). s— 1,2 m, A9.11)
где а$ = const > 0.
4°. Нулевое решение системы A9.5) при \i < ц° сильно
+ ух неустойчиво при наличии связей ограниченных, огра-
ограниченных в среднем или ограниченных интегрально.
Тогда возмущенное движение k-й подсистемы A9.1) силь-
сильно неустойчиво при связях ограниченных, ограниченных в
среднем или ограниченных интегрально.
Доказательство. Отметим вначале следующий
факт.
Лемма 19.1. Если для функции v1(tixk) выполняются
условия A9.10), A9.11), причем ylQ = v{ (tQ1 x°), то при
всех t > t0
vx(t>*k(f))>y{(t,tQtylu), A9.12)
где ух (t, /0, #10) — нижнее решение уравнения сравнения
7Г=Су,У1)+)>аДЪо), у10>0. A9.13)
В силу условия Г теоремы 19.1 для любого достаточно
малого е £ @, R) можно указато Н° (Н° < R) такое, что
fi (t* xh) ^ 8 лишь только || xk || < Я0 для всех t > 0. Тео-
Теорема 19.1 будет доказана, если будет установлено, что при
выполнении ее условий найдется значение tx > t\ такое, что
будет справедливо неравенство A9.3) при условии A9.2) и
любых связях Fh(ttx)t как бы они не выбирались, лишь бы
удовлетворяли неравенству A9.4), или одному из неравенств
A9.9). Предположим обратное. Пусть при выполнении усло-
условий теоремы 19.1 решение xh(t) устойчиво при наличии свя-
зей Fk(t,x)> удовлетворяющих в области Q (Я, т) условиям
A9.4), т.е. || xk (t> f0, x°) || < А при всех t > tQ. Определив
ysn = vs (/0, х°), выбором достаточно малого б > 0 можно
достигнуть того, что
т т
o<2>soi<2>^°iX*)|<8> A9Л4)
s=--l s=l
как только || xg || < б.
13 — 4-751 193

В силу условия 4° теоремы 19.1 найдутся точка Т aJOy
значение ц0 и || x°k || < б такие, что решение у (t> tQi уй) сис-
системы A9.5) при |х < [л0 и t(z[tQ>tQ + T] будет оставаться в
области G, a yx (t0 + Т,у%, tQ) > e при любом выборе свя-
связей Fk(tyx)y удовлетворяющих одному из условий A9.9).
В силу леммы 19.1 получаем для всех s = 1, 2,. .., m
v (t x (О) *> и (t t u^) t€-J П915^
Из неравенства A9.15) для v1(tfxh(t)I учитывая A9.12),
получаем
что согласно выбору е означает || xk (t0 + Г, tQ, x°) || >//°>Л.]
Полученное противоречие доказывает теорему.
Замечание 19.1. Теорема 19.1, переформулированная для систем
с постоянно действующими возмущениями (R (t, 0) ф 0)
dX "■■ ). A9.16)
при (л = 1 содержит теоремы 2.2 и 2.3 из статьи С. И. Горшина [21
и совпадает с теоремой В. М. Матросова [79]. При R (t, х) = 0 яв-
является модификацией теоремы Н. Г. Четаева о неустойчивости [112]
и содержит обе классические теоремы А. М. Ляпунова [50]:
С (t, V) = m @ ф (V), Ф (V) > 0 при V = 0,
со
где m (t) > 0 и f m (t) dt = оо.
Полезным признаком устойчивости k-u взаимодей-
взаимодействующей подсистемы A9.1) при \i = 1 является следую-
следующий.
Теорема 19.2. Если нулевое решение k-й свободной побей-
спгемы A9.6) равномерно и асимптотически устойчиво по
Ляпунову и сходимость решений к нулю равномерная отно-
относительно начальных значений, то нулевое решение подси-
подсистемы A9.1) будет равномерно устойчивым при наличии
связей ограниченных (случай а), ограниченных в среднем
[случай б), ограниченных интегрально (случай в).
194

Утверждение теоремы 19.2 в случае а) следует из более
общей теоремы 2.4 С. И. Горшина [21]. Два других случая
легко доказываются.
Как уже отмечалось в § 18, конкретные условия неустой-
неустойчивости подсистемы A4.1) связаны с исследованием не-
неустойчивости уравнений (систем) сравнения вида A9.13),
A9.5). В случае cs(tt V) = 0 в условии A9,10) вопрос оне-
устойчивости уравнения
решается условием
Ш (/(< )dt = оо
Шп (/(<, o)dt
при Ц<|х0.
19.3. Условия неустойчивости подсистемы с развиваю-
развивающимися связями. Продолжим исследование k-и подсистемы
A9.1) при некоторых дополнительных предположениях о
связях Fk(t>x). А именно: будем считать, что в начальный
момент времени /0 > 0 k-я подсистема не взаимодействует с
другими подсистемами, т.е. /?Л(*о,х1,...,хЛ_1, хЛ+1,...,хт)=0.
Такие связи будем называть развивающимися.
Теорема 19.3. Пусть выполняются следующие условия.
Г. Для подсистемы A8.6) существует ограниченная
функция vh (/, xft), имеющая ограниченные частные произ-
производные по xv..., xrk и t первого и второго порядков
2°. Функции fk(Ux$ и рк(*>х) (/?a(/«xi»-»x*-i» х*-и»-
...,хЛ)^0 при t = t0) определены, непрерывно дифферен-
цируемы, а их производные -^ и у^- ограничены в об-
области £1(Н,т).
3°. При t>t0
dv, Dvb(ttx.) ,
+ k ^
4°. Существует положительная постоянная о такая,
что в области значений xk£Q(H)
13* 195

5°. В области п(Н,х)
to
где wh (t, x) — знакопостоянная функция или wk (t, x) == 0.
6°. При сколь угодно малом #>0 в области й(#,т)
найдутся точки xft, для которых vk (t> xk) имеет знак
wh(t,x).
Тогда невозмущенное движение k-й взаимодействующей
подсистемы A9.1) неустойчиво.
Доказательство. При выполнении условий Г — 5Q
теоремы 19.3 для производной функции vh{tix^j из выра-
выражения
2 * *
находим
dvu
JL(tJ + (t,x). A9.17)
Отсюда в силу условия 6° теоремы 19.3* для системы
A9.1) выполняются все условия второй теоремы А. М. Ля-
Ляпунова [50, с. 92] о неустойчивости. Из A9.17) получим
f |i j
L to
(t, xk (t)) = eG^u) f |i j е~«*-*\ (t, x) dt + vk (tQ, xk)
L
Если теперь wh (t, x) знакопостоянно (wh (t,x) > 0), то
для взаимодействующей подсистемы A9.2) при сколь угодно
малых || х£ || можно принять vk (tQ, xg) > 0 и тогда
vk(t,xk(t))>vk(tQtxok)ea{t-t>). A9.18)
Если же &yft (/, х) = 0, то в выражении A9.18) будем иметь
знак равенства при произвольном знаке vk(tQ,xfy. Однако,
как и в первом случае, в силу ограниченности vk(t,xh) и
положительности о условие A9.18) приводит к противоре-
противоречию, устранить которое можно лишь, допустив существова-
существование значения t* > t0, при котором перестанут действовать
свойства функций vk(t,xh) и wk(t,x). Теорема доказана.
Рассмотрим вместо условия 4° более общее условнее
А именно сформулируем следующую теорему.
196

Теорема 19.4. Пусть
1) выполняются условия Г — 3° теоремы 19.3;
2) существует непрерывная по t функция C(t,vk),
неубывающая по vk, и при t>t0 выполняется оценка
3) существует постоянная ak = const > 0 и при /> ;
t .
4) нулевое решение уравнения
при \i < \i0 сильно +yt неустойчиво при наличии разви-
развивающихся связей ограниченных, ограниченных в среднем или
ограниченных интегрально.
Тогда невозмущенное движение k-й подсистемы A9.1)
сильно неустойчиво при развивающихся связях ограничен-
ограниченных, ограниченных в среднем, ограниченных интегрально.
Доказательство. При выполнении условий
1)'—3) теоремы 19.4 для вспомогательной функции vk(t, xk)
имеет место оценка
%- > С (*, vh) + а„МУ (/, а) A9.19)
при всех / > tQ и (х < (х0. Рассматривая нижнее решение
#(*>*о»#о) Уравнения сравнения
^f = C(t,y) + ahM°lif(t,o), A9.20)
аналогично доказательству теоремы 19.1 приводится даль-
дальнейшее доказательство настоящей теоремы.
19.4. Теорема о |л неустойчивости взаимодействующей
подсистемы. В этом пункте изложим способ эффективного
учета взаимодействующей обособленной подсистемы и уста-
установим условия неустойчивости ее нулевого решения. Для
197

подсистемы A9.1) множество точек xfe, удовлетворяющих
условиям
vh(t,xh)>Ot xk£Erk,
будем называть областью оЛ>0, а поверхность vh (/, xfe)=0—
ее границей.
Теорема 19.5. Пусть
1) выполняются Г — 3° теоремы 19.3;
2) условие 2) теоремы 19.4 выполняется при С (t> уа)=0;
3) вдоль решений ys(t,tQi х°), s = 1, 2, ...,m, независи-
независимых подсистем интеграл
t
с*
Ф С 'о» *о) = \
ограничен при всех a
4) существует неубывающая функция %(а), lim%(a)=0
а интегрируемая на Ja функция o(t) такие, что
Dvk
еде yk — решение подсистемы A9.6);
5) при всех t>tQ в области vh (t, xh) > 0 справедливо
неравенство
Ф(М(р*о)>6(/-/о), 8^= const >0.
При выполнении перечисленных условий нулевое реше-
решение подсистемы A9.1) ^-неустойчиво при развивающихся
связях.
Доказательство. Как и выше, при выполне-
выполнении условий 1) — 4) теоремы 19.5 для производной функ-
функции vk (t, xk) получаем оценку
dt
198
Ф(t,t0,x<)+\%(I|хЛ -yhI)oA(t)dt. A9.21)

Согласно условию 5) теоремы из A9.21) получаем не-
неравенство
d_!^v@)>|(/_a 6 = const>0,
из которого следует, что vh(t,xh(f)) при /-*оо неограни-
чено возрастает. Полученное противоречие (функция vk (t, xh)
ограничена по условию теоремы) указывает, что существует
значение Г > t0, при котором решение хк (/) покинет об-
область |J xj| < e при любых х° £ Er^ vk (tQ, х°) > 0 и \i < \i0.
Теорема доказана.
Замечание 19.2. Если среднее
существует и является знакоопределенным относительно
л^,..., #о, то условие 5) теоремы 19.5 может быть заменено
условием ф (tbi х0) > б, б = const > 0 в области vk (t, xfe)>0.
Обратим внимание, что ф(/,а:0) зависит от полного век-
вектора (xj,..., х£,..., xjy, но знакоопределенность требуется
относительно вектора х£ (начального значения решений xk (t)
k-и подсистемы).
§ 20. О применимости усредненных уравнений
при исследовании устойчивости точных решений
нестационарных систем
Н. Г. Четаев предложил прием исследования устойчи-
устойчивости периодического решения, состоящий в замене пе-
периодических коэффициентов постоянными осредненными за
один период. Этот метод Н. Г. Четаева получил развитие
и применение [35] при решении многих практических за-
задач. В настоящем параграфе излагаются общие теоремы
об устойчивости точных решений, основанные на приме-
применении вспомогательных функций Ляпунова для усреднен-
усредненных уравнений.
20.1. Теорема Н. Г. Четаева [112]. Рассмотрим систему
дифференциальных уравнений возмущенного движения
Xl B0.1)
199

где psr(t)— периодические, непрерывные функции веще-
вещественного переменного t с одним и тем же периодом со.
Предположим, что
psr(t) =csr + \ifsr(t), B0.2)
где csr = const, fsr — периодические функции /, fx > 0 —
малый параметр, причем
\r{t)dt, s,r = 1,2,.. .,п. B0.3)
о
Наряду с системой B0.1) рассмотрим систему
Л. А
которая описывает, вообще говоря, другое движение, чем
система B0.1). Все Же устойчивость или неустойчивость
решений системы B0.4) сопровождает устойчивость или
неустойчивость системы B0.1) при малых значениях [я.
В связи с этим важно знать, когда такая подмена уравне-
уравнений дает возможность исследовать задачу об устойчивости
движения изучаемой системы с переменными коэффициен-
коэффициентами. Для независимых решений x8r(t) системы B0.1) на-
начальные условия можно выбрать в виде
xsr@) = 8sr (s, r = 1,2,...,n), B0.5)
где 8sr — символ Кронекера.
Характеристическое уравнение системы B0.4) будет
D (К) = det (С — %Е) » 0.
С помощью системы линейно независимых решений x°sr (t)
уравнений B0.4) k-e приближение решений xsr(t) уравнений
B0.1) по методу Пикара определяется формулой
t п
*<*> (t) = 6sr +12 Pst w xtrX) (т)dt» k >L
Характеристическое уравнение &-го приближения
D (к) = det (/ (со) - *{k)E) = 0, B0.6)
200

где
X(k) (о) = Xik) (o)), s,r== 1,2,...,A2.
Уравнение с постоянными коэффициентами в k-м прибли-
приближении имеет вид
£ - £ 44. B0-7)
где
f
о i=\
а характеристическое уравнение этой системы
D (Xik)) = det (Cik) — А,(/г)£) = 0. B0.8)
Связь между корнями k\k\ ... Лпк) уравнений B0.8) и B0.6)
устанавливается соотношением
х?} — 1 - (о^, 5 « 1, 2,..., п. B0.9)
Если для любых целых неотрицательных чисел тъ ...,тп>
имеющих в сумме 2, выражение
не обращается в нуль, то для системы B0.7) можно ука-
указать квадратичную форму
Ч=°2^*Л (t=U B0-10)
такую, что
4" ^=^ + ... + ^. B0.11)
В силу исходной системы B0.1) производная функции vh
имеет вид
ТГ- £ WA. B012)
201

Форма B0.12) определенно-положительна, если на-
найдется такое число |i0 (|i0 > 0), что вещественная квадра-
квадратичная форма с периодическими коэффициентами
положительна. Это будет всегда, когда определитель \\hW\\
будет иметь главные диагональные миноры, удовлетворяю-
удовлетворяющие условиям
Д1=|Л(п)|>0,Д2 =
где
AIV
Можем резюмировать изложенное следующей теоремой.
Теорема 20.1. Если дифференциальные уравнения B0.7)
таковы, что можно указать форму B0.10), разрешающую
уравнение B0.11), а ее полная производная B0.12) будет
определенно-положительна, то асимптотической устойчи-
устойчивости (неустойчивости) нулевого решения в уравнениях
B0.7) будет соответствовать асимптотическая устойчи-'
вость (неустойчивость) исходных уравнений B0.1) с перио-
дическ им и коэффиц иентам и.
20.2. Общий случай нелинейной системы. Пусть возму-
возмущенное движение описывается системой дифференциаль-
дифференциальных уравнений
4г = Xlt,x), B0.13)
где ху X — точки л-мерного пространства Еп. Введем обо-
обозначение [84]
M{X(t,x)} = fQ(x), B0.14)
t
где М — оператор усреднения при постоянных х или опе-
t
ратор усреднения по явно содержащемуся времени, и сис-
систему уравнений B0.13) представим в виде
202

где ДХ (/, х) - X (*, х) - М {X (Л х)}.
С усредненной системой
7jT=M*> B0.16)
свяжем векторную функцию V (х) = (t^ (я),..., уш (х)), опре-
определенную в области G (R):
||V||<& Л = sup (|| V|| npnx£Q(#)).
Функции ДХ(/,х) и множество Л1(/) предположим
такими, что для любого а функция
Д (/, а) = sup (Ц ДХ (М ||: х £ М @а)
суммируема на любом отрезке 7\ cz Jo. При этом задаад
об устойчивости системы B0.13) решается исследованием
системы B0.16) при наличии функций ДХ (/, х), которые
можно интерпретировать как постоянно действующие воз-
возмущения. Условия малости этих функций совместно с не-
некоторыми условиями на полную производную вектор-
функции V (х) обеспечивают устойчивость нулевого ре-
решения системы B0.13). Будем рассматривать устойчивость
множества М (t) относительно уравнения B0.13) [80].
Определение 20Л, Множество M(t) устойчиво относи-
относительно уравнения B0.13), если для любых е и /0 сущест-
существуют в1(в,/0), 8а(в,/0) такие, что p(x(t,to,xo), M(t))<e
при всех t > t0 для любого решения x(t,to>xo) с xo£Qo,
уравнения B0.15), для которого
||ДХ(/,х)||<62 при хбЩТ)а, *>/0. B0.17)
Определение 20.2. Множество М (t) равномерно устой-
устойчиво относительно уравнения B0.13), если выполняются
все условия определения 20.1 с 8г и б2, не зависящими
от tQ.
Определение-20.3. Множество М (t) устойчиво относи-
относительно уравнения B0.13) при функциях ДХ (*, х), малых
в среднем (соответственно интегрально), если для любых
203

ent0 существуют постоянные бх и б2 такие, что р (х (t> t0, xo)>
М @)<е при всех t^t0 для любого решения х (t, t0, x0) с
х0 £ Йо,
9(x0M(t0))< 8^0,6)
уравнения B0.15), для которого
ж
f A (s, a) ds < б2 при t > t0 B0.18)
( соответственно f A (ty а) Л < 62 I. B0.19)
V и J
Определение 20А, Множество М (t) равномерно устой-
устойчиво относительно уравнения B0.13), если выполняются
все условия определения 20.3 с бх и б2, не зависящими
от f0-
Основываясь на результатах статьи [79], сформулируем
следующую теорему.
Теорема 20.2. Пусть выполняются следующие условия.
Г. Для системы B0.16) существует векторная функ-
функция Ляпунова V = (vx (х)у..., vm (#)), удовлетворяющая
условию Липшица по х в области Ма с константой
2°. Компоненты вектор-функции V (х) определенно-
положительны относительно М.
3°. Выполняются неравенства
Dv (х)
-^Г f* М < Cs (V)« ^ = 1, 2,..., m, B0.20)
где C8(V) удовлетворяет условию Важевского.
4°. Относительно у{ > 0,..., ут > 0 решение у (t, /0, у0)
системы сравнения
-gf =C(j/) + /A(ffa) B0.21)
устойчиво (соответственно равномерно устойчиво) при функ-
функциях М (/), удовлетворяющих одному из неравенств B0.17)—
B0.19).
Тогда множество М (t) устойчиво (соответственно рав-
равномерно устойчиво) в смысле определения 20.1 относитель-
относительно уравнения B0.13)*
204

Доказательство. В силу условий теоремы
.2 нетрудно найти, что
Применяя лемму В. М. Матросова [76] к возмущенной
системе сравнения B0.21), получаем оценку
vs(f,х(/)) < y~s(t> *0, #o)> s = 1. 2,...,т,
имеющую место при всех t £ Ja. Дальнейшее доказа-
доказательство приводится стандартным для данной книги ме-
методом.
Теорема 20.3. Пусть выполнены условия.
1°. Условия 1°, 2° теоремы 20.2.
2°. Имеет место неравенство, противоположное по смы-
смыслу неравенству B0.20).
3°. Относительно ух > 0, . . . , ут> 0 решение у (f, f0,
у0) системы сравнения B0.21) сильно + ух неустойчиво
при функциях АХ (/, х), удовлетворяющих одному из нера-
неравенств B0.17) —B0.19).
Тогда множество М (t) сильно неустойчиво относи-
относительно системы B0.13) при наличии функций АХ (t, x),
удовлетворяющих одному из неравенств B0.17) — B0.19).
Доказательство теоремы проводится аналогично до-
доказательству теоремы 18.1.
Теоремы 20.2, 20.3 позволяют в общем случае нелиней-
нелинейной системы обосновать применимость метода усреднения
системы при анализе устойчивости (неустойчивости) ре-
решений исходной системы.
Замечание 20.1. В том случае, когда надлежит установить оценки
решений системы B0.13) на конечном интервале, нужно воспользоваться
результатами п. 6.2 или §8 в случае устойчивости в конечном по от-
отдельным заданным координатам. Пример такого применения приво-
приводится в следующем параграфе при исследовании стандартных систем.
§ 21. Область притяжения решений
усредненных уравнений
Получившие широкое распространение стандартные си-
системы исследованы в настоящее время достаточно полно
[8, И, 22, 84] с помощью метода усреднения [84], асимпто-
асимптотических методов нелинейной механики, метода интеграль-
205

ных многообразий и других. В настоящем параграфе уста-
установлены условия существования области асимптотической
устойчивости А точных решений стандартной системы на
основе усредненных уравнений.
21.1. Теорема Н. Н. Боголюбова. Рассмотрим веще-
вещественную систему дифференциальных уравнений
. -J =|i/(f,x,|i), B1.1)
где х — n-мерный вектор 0 < ц < ц0 и / — функция, отобра-
отображающая множество
В {k,\x) = {(t, x,\i): 0 < \л ^ \1°, — оо <*< оо,||х||<Л}
в пространство Еп.
Теорема 21.1. Предположим, что в области В (&, |i)
выполняются условия.
1 °. f ограничена и имеет ограниченные первые производ-
производные по х.
2°. / почти периодична по t равномерно по х для каждого
фиксированного \х.
Рассмотрим также усредненную систему уравнений
§ = Ц/оA). B1-2)
где
Пусть 10 —постоянное решение уравнения B1.2),
которое вместе со своей Q-окрестностью лежит в мно-
множестве В (k) = {х : || х || < &}, и пусть для системы урав-
уравнений B1.2) существует такая определенно-положитель-
определенно-положительная функция Ляпунова vo(Q> что
где w (£) — некоторая определенно-отрицательная функция.
Пусть задано некоторое достаточно малое число р>0 и
пусть %(t) —решение уравнения B1.2), причем l(O)£B(k),
которое вместе со своей а-окрестнсстью остается в В (k)
для всех t > 0 и, кроме того,
t->GO
206

При этих условиях мы можем заключить, что для
любого т]> 0 существует |х\ О < ^г* < ^°, такое, что для
всех 0<|n<fx* решение x(t,\i) уравнения B1.1) с началь-
начальными значениями х (О, \х) = £ @) удовлетворяет условию
II х (t, ii) — I t) || < г) при всех t > 0.
Кроме того, существует п-мерная вектор-функция
x(t, (л), непрерывная по t и \i, почти периодическая по t,
которая является решением уравнения B1.1) и такая, что
M№n)-y =0, lim||x(/,|i)-J(
Условие существования функции Ляпунова v0 (l) усред-
усредненной системы, удовлетворяющей условию B1.3), обе-
обеспечивает здесь отрицательность действительных частей
корней системы уравнения в вариациях, соответствующей
B1.2). Это условие фигурирует в стандартных формули-
формулировках теоремы 21.1, восходящих к трудам Н. Н. Бого-
Боголюбова.
Установим теперь множество начальных условий усред-
усредненной системы B1.2), при которых все решения стремятся
к частному асимптотически устойчивому постоянному ре-
решению при /-> оо. Как известно, множество таких на-
начальных условий называется областью притяжения по-
постоянного решения £0 уравнения B1.2) и определяет так:
где I (t, z) — решения уравнения B1.2) с начальным усло-
условием I @, z) = z.
Из теоремы 21.1 непосредственно следует.
Теорема 21.2. Пусть AQ cz A (g0) — замкнутое инвари-
инвариантное подмножество множества А (£0), причем граница AQ
находится внутри множества А (£0). Тогда для любого
заданного г\ > 0 существует \х* > 0 такое, что для всех
Ц'0<М-<иЛ все решения системы B1.1) с начальным
условием в Ао для любого /0£ Ja остаются внутри области
размером г\ множества Ао во в е последующие момеирул
времени t:
lim || х (*, f0>xQ, |i) —x{t, tu) || = 0, lim || x (t, tQ, jc0, \i) — lQ [\<ц.
Из теоремы 21.2 следует, что решения системы B1.1)
с начальными условиями, лежащими в замкнутом инва-
207

риантном подмножестве Ао области притяжения устой-
устойчивых постоянных решений усредненной системы B1.2),
остаются достаточно близкими к этому множеству и в
пределе стремятся к почти периодическому движению, ле-
лежащему вблизи постоянного решения усредненных урав-
уравнений.
21.2. Область асимптотической устойчивости усреднен-
усредненных уравнений. Принимая во внимание условия теоремы
21.1, систему B1.1) представим в виде
§- = |x/0(x) + jiA/(^,|x), B1.4)
где вектор Д/ (/, х, fi) учитывает осцилляционные члены.
Теорема 21.3. Пусть система усредненных уравнений
B1.2) имеет асимптотически устойчивое нулевое решение,
обладающее некоторой областью асимптотической устой-
устойчивости А (|0). Тогда можно указать такое значение цо>0
и такой высший предел f (х) функций Д/ (t> x, ц), что при
р, < р,0, \\Af\\<](x) система B1.1) будет иметь асимпто-
асимптотически устойчивое нулевое решение с той же областью
асимптотической устойчивости А (£0).
Доказательство. При выполнении условий
теоремы для системы B1.2) существует функция Ляпу-
Ляпунова v0 (£), обладающая свойствами
^ щ /о (£) = w О» ^<И'О'
где w (I) — определенно-отрицательная, непрерывно диф-
дифференцируемая функция
w^....,W<-a(P)<0 B1.5)
при
более того,
v0 © ->■ оо при (lv ...9%)-+M* {А\А (%).
Для полной произюдной функции vo(l) в силу системы
B1.4) имеем
^l =.(!) + , ^-Д/(/,х,,). B1.6)
208

Для второго слагаемого в выражении B1.6), применяя
неравенство Буняковского, получим
<
I "Si/ r ^
/=1 /=1
<
где / (x) — высший предел функций А/ (/, x, \i) при / > 0.
Выберем \i° так, чтобы при всех \х < \х°
/~" ~d
где х (х1э..., xn) < — . Нетрудно видеть, что [х° можно
. выражеи
\х° = sup -
х€А
2
определить выражением
цО =
Но тогда в силу неравенства
^-<w(x) + *(xv...txn)\w(x)\
и условия B1.5) находим, что при \i < fx°
-£-<-ахф)<0 при 2б?>Р>0. B17)
Таким образом, имеем определенно-положительную функ-
функцию v0 (l) такую, что при \i < (Л°
»o(Sp---.U-^+«> при (^,...,у->М
14 — 4-761 209

в то время, как ее полная производная — функция опре-
определенно-отрицательная. Отсюда ясно, что А (£о) является
областью асимптотической устойчивости системы B1.1).
Теорема доказана.
Замечание 21.1. Если область А (£0) совпадает со всем простран-
пространством, то нулевое решение стандартной системы B1.1) будет асимпто-
асимптотически устойчивым в целом.
Замечание 21.2. Для стандартной системы
£) B1.8)
с правой частью, не имеющей среднего значения, можно ввести систему
в которой правая часть определяется с помощью оператора S^ (/):
*■* - т $ьь ]' {■ • • $ Ь « *) *■ • ■•) <ч ■"-■
0 0 О
k = 0, 1,..., 5^ (/) = /(т), являющегося аналогом ^-кратного сумми-
суммирования рядов по Чезаро, в виде
если этот предел существует равномерно по х £ Q (Н). После этого
систему B1.8) можно представить в виде B1.4) и осуществить как и
выше расчет области устойчивости точных решений системы B1.8).
§ 22. Теоремы об устойчивости стандартной системы
при постоянно действующих возмущениях
В этом параграфе исследуются стандартные системы
только с устойчивыми усредненными уравнениями и уста-
устанавливаются условия устойчивости на конечном интер-
интервале при соответствующих ограничениях на верхнее ре-
решение стандартной системы уравнений сравнения.
22.1. Леммы об оценке расстояния между решениями.
Установим оценку расстояния между решениями рассма-
рассматриваемых систем. Пусть задана стандартная система с
постоянно действующими возмущениями
% = lLX(t,x,R{t,x))t B2.1)
210

где х £ ЕпУ \i > О — малый параметр, R (t, x) — постоянно
действующие возмущения, (R (/, 0) Ф 0) — вектор-функции,
X(t,x,R) обеспечивают существование решения в области
Q (//, т)г
II ^ tl ^ IJ 4 »^w — /«- n. П\ .. ^^ II /00 0\
|| ■* || "Ч^ /i> I £> Т [Т ^ К)), \1 <^ [Д.0. \LL.L)
Наряду с системой B2.1) будем рассматривать две си-
системы: первую систему — систему без возмущений
dx "/A r, 0), B2.3)
вторую — соответствующую ей усредненную систему
решение которой | (/) принимает при / = t0 значение х0 и
l(Q = х0. Здесь
fo(t)=M{X(t,t,0)}. B2.5)
Оценим теперь расстояние между решениями систем
B2.1) и B2.3) и B2.1), B2.4).
Приведем предварительно следующую формулировку леммы Грону-
олла-Беллмана [б], встречающуюся в статье [96].
Лемма 22.1. Пусть при tQ^t^T непрерывная функция u(t)
удовлетворяет неравенству
t
u(t)<f(t)+c f к (x) dxf
*'.
где f (t) непрерывна на [/0, Т]. Тогда
t
и @ < / @ + с { '/ (т) ec^x)dT. .B2.6)
'о
В частности, если f (t) имеет непрерывную производную, то
t
и @ < / @ *С('~'о) + [ / (т) ecV~x)d%. B2.7)
14* 211

Доказательство. Легко видеть, что
t
и* (t) = f(t) + c^f{i)ec«
U
является решением интегрального уравнения
t
Неравенство B2.6) будет доказано, если установить, что
N @ = и0 @ — и @ > О,
Очевидно,
# @ > с j /V (т) dx.
to
Ввиду того, что
X
можем записать
t X t
^ @ > с2 f ( N (ц) dx\dx = с2 J (t — т) iV (т) dx.
t
Продолжая процесс замены, под интегралом N (I) на с \ /V (г|) <
'о
Получим
N (t) > с \ (* — т)" Л^ (т) dt, n = 1, 2, 3, ...
Переходя в этом неравенстве к пределу при п -> оо, получим УУ @^,
что и требовалось. Неравенство B2.7) получается интегрированием
по частям.
Лемма 22.2. Пусть при to^t ^to-{- Т и х £ Q (Н) выполняются
неравенства
|| X (tt x,R)-X (t, 7, 0)|| < N21| x -~x~ || + || Я (t, x)\l B2.8)
\\R(t,x)\\<r(t), ^r(i)dt<Cro(t%-t& /,>*!. B2.9)
212

Тогда для расстояния между решениями систем B2.1) и BS.3)
при одинаковых начальных условиях имеет место оценка
ll*@-"*@ll<]5j-(e|i">T-l) B2-10)
для всех t0^ (^, @ -\- Т.
Доказательство. Из уравнений B2.1), B2.3) получаем
t
\\х @ — 7@11 < ^ (II X С х @. R (t, х (О)) — X (f,7@> 0)|| dt.
B2.11)
Учитывая условия B2.8), B2.9), из неравенства B2.11) находим
t
\\ х @ -~х (ОН < И#2 j || х @ - * (ОН # + ^о У ~ ^о).
Применяя к этому неравенству лемму 22.1, получаем оценку B2.10).
Аналогично устанавливается оценка расстояния между решениями
систем B2.1) и B2.4).
Лемма 22.3. Пусть при t0 < t < t0 + Т
1) правая часть усредненной системы в области Q (Н) удовлетво-
удовлетворяет условию Липшица
\\fo(x)-foa)\\<N1\\x-l\\; B2.12)
2) существуют интегрируемая функция m(t) и постоянная
т0 > 0 такие, что
|| X (/, х, R) - fQ (х)\\ < || R (U х)\\ + т @, B2.13)
«W^<«o(^-W. t%>h, B2.14)
на любом конечном интервале J a JT.
Тогда для расстояния между решениями систем B2.1) и B2.4)
при одинаковых начальных условиях имеет место оценка
Их(о-6(ОН< ЩигГ* ^NlT- 1) <22-!5)
аля всех /0 < / < /0 + Г.
22.2. Теорема об устойчивости. Сформулируем сначала
следующее определение.
Невозмущенное движение (тривиальное решение х = 0)
стандартной системы B2.3) называется устойчивым при
постоянно действующих возмущениях, если для всякого
положительного А существуют положительное число К,
Интегрируемая функция г (t) и постоянная г0 такие, что
213

всякое решение уравнения B2.1) с начальными значени-
значениями х0 при t = tQ
\\x(tQ)\\<K
при произвольных R (/, х), удовлетворяющих в области
Q (Я, т) на любом конечном интервале [/lf t2] неравенствам
t»
\\R(t*x)\\<r(()9
удовлетворяет при всех / > t0 и \i < |х° неравенству
|| х @||< А.
Отметим, что это определение близко по форме опре-
определению И. Г. Малкина [51], но отличается от него ограни-
ограничениями на постоянно действующие возмущения и нали-
наличием условия \i < [г°. Оба эти обстоятельства связаны со
спецификой системы B2.1) (см. § 13).
Предположим теперь, что усредненная система B2.4)
имеет функцию Ляпунова такую, что при \л < |х0
^/о©<О. B2.16)
Введем среднее i|H (/0, х^ по формуле
^M{t)^)dU B2.17)
где *"(/)— решение невозмущенной системы, удовлетворяющее
условию x(t0) = х0ФО. В силу [105] имеем утверждение.
Теорема 22.1. Пусть выполняются следующие условия.
1°. Для усредненной системы B2.4) существует функ-
функция Ляпунова v0 (£), удовлетворяющая условию B2.16).
2°. Постоянно действующие возмущения R (t, x) удо-
удовлетворяют условию B2.9).
3°. Равномерно относительно (to> х0) в области Q (Я, т)
существует знакоопределенное относительно x°v . . . , х°п
среднее B2.17) и вне сколь угодно малой окрестности
точки х = 0 выполняется неравенство
% ('о' хо> < - б2 < 0 (б - const > 0). B2.18)
214

4°. Существуют интегрируемая функция o(t), посто-
постоянная <то>О и неубывающая функция %(«)> lim%(a)=O$
oc-tf)
такие, что при t > О и x£Q(H) выполняются условия
ь
B2.19)
t2>tl9
«а любом конечном интервале J.
При выполнении перечисленных условий решение х (/)
системы B2.1) будет \л-устойчивым при постоянно дей-
действующих возмущениях.
Доказательство. По заданному числу А £ (О, Н) вы-
выберем число Аг £ (О, Л). В силу устойчивости по Ляпунову
усредненной системы B2.4) можно указать такое Хг < Аъ
что при || \ (/0)[| < Ях для всех / > /0 будет иметь место не-
неравенство || I @|| < Av
По способу Ляпунова заданному Аг поставим в соответ-
соответствие число с так, чтобы ^-окрестность точки х = 0 лежа-
лежала внутри поверхности
Gc = {x:x£En, vo(x)<c}, с = const > 0,
и, кроме того, Gc а ТА ={х:\\х\\< А{}.
Пусть решение х (t) системы B2.1) начинается в области
||# || < V Вдоль этого решения рассмотрим поведение функ-
функций v(f)=vo(x(t)). В силу системы B2.1) имеем неравенство
■3F <PifcX(t'X>RQ'X))- B2-20)
Интегрируя это соотношение от t0 до /, находим
t
v(t) < v(t0) + ii ^X(t, x,R(t, x))dt, v(t0) > 0.
B2.21)
В силу того, что
достаточно найти условие убывания интеграла в правой час-
части соотношения B2.21).
215

С этой целью составим соотношение
' *±X(t,x,R)dt=i%LX(trx,O)dt
to t0
t
X ('• *• *> - Т5Г * C' *> °>] *• B2-22)
По определению среднего B2.17) существует [84] функ-
функция и(/) такая, что limx(/) = 0 и
t
g-Xit, х, 0) dt = (/ - у [фс (/0, ^ + х (О]. B2.23)
?! J
Оценку для у (t) будем строить при tQ-4t<t0 + 2L,
где L настолько большое, чго
|х@|<~- при t>tQ + L B2.24)
Интеграл от разности в выражении B2.22) оценим так, что-
чтобы решение х (t) не покинуло области Глаи (Н) и чтобы
интеграл в левой части выражения B2.21) был отрицателен
на интервале t0 + L < t < t0 + 2L. Выбором параметра \хг
можно достигнуть того, что
1И0-ШКЛ-А B2.25)
при [х<|л1 и t£J2L. Из оценки B2.15) следует, чго для
этого достаточно взять
B2.26)
В силу четвертого условия теоремы 22.1 определим зна-
значение ц2 > 0 так, чтобы
Определив теперь fi0 = min (\il9 \i2), получим при
[г < |х0 неравенство ||х (Щ<А для всех t0 <: t < /0 + 2 L.

Таким образом, интеграл в правой части B2.21) отрица-
отрицателен. Действительно, собирая оценки B2.23), B2.24),
B2.27) из соотношения B2.22), находим
I-
Интегральная кривая x(t) после пересечения поверхности
щ == с при (х < [х0 остается в области || х || < А. В силу от-
отрицательности указанного интеграла найдется значение tv
t0 < t± < tQ + 2L, начиная с которого t; @ будет убывать
вдоль решения x(t) и, следовательно, кривая *(/) пересечет
поверхность vo = с снаружи внутрь. В силу равномерности
всех оценок по (/0, х0) в области Q (Я, т) кривая х (t) может
любое число раз покидать поверхность v0 = с или входить
в нее, оставаясь в области || х || < А при всех t > 0. В си-
силу оценки для v теорема доказана.
22.3. Аддитивно возмущенные стандартные системы.
Рассмотрим n-мерную систему
% = Vf(Ux)+R(Ux). B2.28)
Вектор-функция R (/, х) является неизвестной функцией ко-
координат х, но такой, что при всех t£JT и x£Q(H) спра-
справедливо неравенство
и
|| R (/, х)\\ < г (О, J r (t) dt < r0 (t2 - /j), /a > tv
для любых (tvt2)^JT, где r(/) — интегрируемая функция
на «/.
Теорема 22.2. Пусть выполняются следующие условия.
1°. Для системы
ЧТ = ^ (/? *)
существуют функции vx (t, x) > 0, . . . , ym (/, л:) > 0 та-
т
кие, что функция v=^?vs(t,x)— непрерывно дифференци-
руема и допускает ограниченные частные производные.
217

2°. При \х < jj0 и (xtt)ZU (Я, т) выполняются нера-
неравенства
dv Dv (/, х)
Cs(tt\) удовлетворяет условию Важевского.
t
3°. Существует интеграл o(t)=M( r (s)ds и
«о
Af, М = const>0.
4°. Существует верхнее решение у (/, ^0, у0) стандарт-
стандартной системы сравнения
У Со. 'о»Уо) == ^о и Iх ^ И-о» которое при всех t£JT удов-
удовлетворяет неравенству
У5 С ^о» Уо) < V!L@—cts@, s = lf 2, . . . , m.
ГогЗа Зля любого А > 0 можно указать X (А) и
|л° = |л° (Л) такие, что решение x(t), начавшееся в области
||хо||<А,, удовлетворяет оценке ||х(/)||<Л при всех t£JT
U \i< Цо.
Доказательство теоремы 22.2 основано на оценке A4.15)
из леммы 14.1 для вспомогательной функции v(t, x) на ре-
решениях возмущенной системы.
§ 23. Квазиустойчивость и устойчивость по Ляпунову
систем с малым параметром
Понятие квазиустойчивости решений, введенное
К. П. Персидским [88] (см. также [72^—73]), естественным
образом возникает при исследовании связанных систем.
Это понятие оказывается также полезным при исследова-
исследовании устойчивости по части переменных [731 и исследова-
исследовании сложных систем с запаздываниями в функциях связи
подсистем [69]. В этом параграфе получены условия устой-
устойчивости озаглавленных систем при различных предполо-
предположениях о свойствах независимых подсистем.
218

23.1. Обозначения и определения. Пусть задана си-
система связанных стандартных уравнений
^ iF1(tix,y))t B3.1)
% ,F%(t9x,y)), B3.2)
где х, Х£Ег и у, Y£E , jx —малый параметр, а правые
части подсистем B3.1) и B3.2) определены в области
Q(tf, т) = {(*,
непрерывны по t и удовлетворяют условиям
||X {U х, Л) - X (/, х, 0)|| <N±\\x- х\\ + ||Fx(/, х, у%
B3.3)
II У (*, У, F2) - Y (U у, 0)|| <N2\\y -у || + || Рш (/, х, у)\\.
B3.4)
Здесь X (/, х, 0) и Y (t, у, 0) — правые части независимых
подсистем
^ = иХ(/,х,0), B3.5)
f = |iK(/ty,0)t B3.6)
которые являются стандартными подсистемами с вырожден-
вырожденными функциями связей. Относительно функций связей
Т7! и ^ будем предполагать, что они, вообще говоря, неизвест-
неизвестны, но известны их оценки в виде
II Fx (t, x, 0)|| < а, @, J о{ @ Л < о? (t2 - tx)9 B3.7)
i
где ах(/) и а2 (/) —некоторые интегрируемые функции на
каждом конечном ингервале J а Уг, а а°, а§ > 0—константы.
С системами B3.5) и B3.6) свяжем две совокупности
вещественных функций:
V (/,*)
(
= @Х (Л У), • • ■ , f/и' (Л Й),
219

определенных и непрерывных в области G (/?, т) вместе со
своими производными, взятыми в силу уравнений B3.1) и
B3.2) соответственно. Будем предполагать, что vs(t, 0) = 0
и vs(t, 0)э0 и рассматривать функции C8(t, V, z) в области
IIVIKAb || z ||< Я, *>0, B3.10)
где
k, > k = sup (|| V || при (z, t) £ Q (Я, Я, т)),
условившись, что Cs (/, 0, 0) = 0, s = 1, 2, . . . , m -f m'.
Пусть ti (t) — непрерывная дифференцируемая ^-мер-
^-мерная вектор-функция. Рассмотрим подсистему B3.1), по-
построенную с помощью этой вектор-функции:
§,т|(/)), B3.11)
и соответствующую ей вспомогательную систему уравнений
g /, С, Л (/)), B3.12)
где £i
Определим функцию ф (А) по заданной определенно-по-
определенно-положительной функции V (х) (V @) = 0, | V (х)\ < k) при
|| х || < Н формулой
l при Л<||х||<#)
или ф2 (А) = sup (V (x) при || х || •< А).
В соответствии с определениями в [88, 73] введем следующие
определения.
Определение 23.1. Нулевое решение £ = 0 называется
квазиустойчивым в силу системы B3.12) относительно Си • • •
• • • , ti (I < tf*i) при функции ф (Л), если для любых поло-
положительных чисел А < Н и ^0 найдутся такие положитель-
положительные числа а (Л, ^0) (а < ф (А)) и |л°(Л, /0), чю для любой
непрерывно дифференцируемой при / > t0 функции ц (t) та-
такой, что || ц (t)\\ < а, любое решение С@ системы B3.12) с
начальными условиями || С (/0)|| ■< а определено и удовлетю-
ряет неравенству
I £i @1 + • • • + I ti @1 < Ф (А) при f > ^0, ^<jx0, и || л @||<Л.
Определение 23.2. Нулевое решение С = 0 (/ > 0) назы-
называется квазиустойчивым равномерно по /0, если в определе-
определении 23.1 можно выбрать числа а и \iQy не зависящие от t0
220

Определение 23.3. Нулевое решение £ = 0 (t > 0) назы-
называется асимптотически квазиустойчивым в силу системы
B3.12) относительно £1э . . . , ^(/^т^ при функции ф (Л),
если оно квазиустойчиво и для любых положительных чисел
Л, /0, В (В < Л < Я, В < ф (Л)) найдутся такие положитель-
положительные числа а (Л, /0) (а<Л, а < <р (Л)) и значение |а°(Л,/0),
что для любой'непрерывно дифференцируемой функции r\(t),
удовлетворяющей условиям ||т|(/0)|| < а, \\ц(Щ < А при t>tQ,
и любого решения t,{t) системы B3.12) с начальными дан-
данными || £ (fo)|| < а найдется положительное число Т такое,
что £ @ определено при t £ [to> оо) и (л < |х° и выполняются
неравенства
|£i@I+...+IU0I<cpD) при />/01
IU0I + ... + IU0KS при t>to+T.
Определение 23.4. Нулевое решение £ = 0 (/ > 0) назы-
называется асимптотически квазиустойчивым в силу системы
B3.12) относительно Ъъ . . . , tt (/ < m) при функции ф (Л)
равномерно по Со» А>» Л» если оно квазиустойчиво равномерно
по t0 и для любых положительных чисел Л, В (В < Л < Я,
В<ф(Л)) найдутся положительные числа а (Л), Г (Л, В),
(а<Л, <ф(Л)) и значение \л°(А) такие, что для любого
t0 > 0 и любой непрерывно дифференцируемой функции
v]@» удовлетворяющей условию
IIЛ (УК «, ||г]@||<Л при />/0,
любое решение ^(/) системы B3.12) с начальными данными
IIС (^о)Ц *^ а определено при \х < ^° и удовлетворяет неравен-
неравенствам
ICi@1 + - - - +1Ci@1< фИ) при />/01
Ui@I+... + |Ci@|<b при t>to + T.
Далее будем рассматривать системы B3.11), B3.12),
принимая во внимание, что все изложенное можно по-
построить и для систем, соответствующих B3.2).
Теперь потребуется следующий результат К. П. Пер-
Персидского [88].
Если положения равновесия подсистем B3.1), B3.2)
квазиустойчивы, то общее положение равновесия х = у =0
в пространстве Ех х Еу устойчиво по Ляпунову.
221

На основе этой теоремы исследование устойчивости свя-
связанной системы сводится к исследованию квазиустойчи-
квазиустойчивости нулевого решения индивидуальных подсистем.
23.2. Теорема об устойчивости связанных стандартных
систем. Сформулируем теперь несколько предложений об
устойчивости системы B3.1), B3.2).
Теорема 23.1. Пусть выполняются следдющие условия.
1°. Для систем B3.5), B3.6) существуют вектор-функ-
вектор-функции
таковы, что
vx (U x) + v2 (t, x) + ... + vm. (t9!) >V (x),
vx (U~y) + v2(t,y)+...+ vm,\U y) >V(y),
где V (x) и \f (у) — определенно-положительные функции.
2°. Полные производные компонент функций V (/, х) и
V (tt у) в силу подсистем B3.1), B3.2) приводятся к виду
dv
1 < iC8 (t, V (t, x), Pt (t, x, y)), B3.13)
dt ^
-J. < pCj (/, V (f, y), ^2 (U x, y)). B3.14)
3°. Функции Cs и Cj A < s < m', 1 < / < m") неубы-
неубывающие no внедиагональным элементам V (t> x) и V (/, у).
4°. Решения t = 0 и £i = 0 систем сравнения
' п //^ /93 1 ^
^v^®) B3.16)
квазиустойчивы (соответственно асимптотически квази-
устойчивы) относительно £i, . . . Cm'» £i» • • • Сп" при функ-
функциях _ __
ф| (Л) = inf [V(x) при А < \\x\\ < Н],
<р2 {А) = inf [V (у) пра А < Ц у || < Н].
222

Тогда положение равновесия х = у = 0 системы B3.1),
B3.2) устойчиво (соответственно асимптотически устой-
устойчиво). __ _
Если при этом функции V (/, х) и V (/, у) не зависят от
выбора вектор-функций r\(t) и тJ (/), допускают бесконечно
малый высший предел и квазиустойчивость систем сравнения
B4.15), B4.16), указанная в 4° теоремы равномерна по t0
(соответственно асимптотическая квазиустойчивость равно-
равномерна по £°, £°, /0, т], t]j), то устойчивость точки х=г у = 0
будет равномерной по t0 (соответственно асимптотическая
устойчивость будет равномерной по (дс0, #0, /0)).
Доказательство. Будем рассматривать под-
подсистему B3.1). Пусть выполняются условия 1°—4° теоре-
теоремы и задано произвольное положительное число А < Я,
В силу условий 1°, 4° имеем
О < ф1 (А) = inf (V (х) при А < || х ||< Я) < &
и, следовательно,
\\х\\<А при КA)<Ф1(Л).
По заданным числам A nt0 можно указать число а (Л, /0)
и значение |л° (Л, Q такие, что при любой непрерывно диф-
дифференцируемой функции т] (t) в неравенстве || Fx (U х, у)\\ <
<t](t) при/>/0, (л:, y)£Q(H, Я), такой, что ||т](д||<а
любое решение С(/,/о»£о) системы сравнения B3.15) с на-
начальными данными || go || < а (С? > 0, . . . , ^ > 0) опреде-
определено и удовлетворяет неравенству | ^ (/, /0, tc)l + • • •
• • • + I Sm' (^» *о» WI < Ф И) в любом отрезке [/0, t% в ко-
котором ||т]@||<Л и ji<li°.
Покажем, что не существует л£, /* (|| х* || < р, /* > /0) та-
таких, что || х (Г, /0, хо)|| = Д ||х(/,/0,^)||<Л при /£[/0,Л
Предположим обратное. В силу условия 3° теоремы из
неравенств B3.13V B3.14)_и уравнений B3.15) и B3.16)
находим ^s (/, х (/, ^ х$) < ls (U ^, /0) при / g [/0, f + Д*) и
М- < I-*0» Cos = ^s (tQt x*Q) (A/ — достаточно малое).
Но тогда
т' т'
v (х (t, tc, x'o)) < 2 vs (f, t0, Д# < ^ I ^(^' '«>• ^)l < Ф. №
223

при /£ [tQ, f] и \i< \i°. Отсюда получаем \\x(t, /0, x*)\\ < A
при t£[tQ9 Г) и H'<M'° и, в частности, ||*(*V0' *$ll < Л,
что противоречит сделанному предположению. Полученное
противоречие доказывает устойчивость первой подсистемы.
Аналогично устанавливается усюйчивость второй подсистемы.
Асимптотическая устойчивость связанной системы легко
устанавливается с помощью функции V (/, х у) = V (/, х) +
+ V (/,*/).
Замечание 23.1. На основе результатов § 19 могут быть установ-
установлены условия неустойчивости взаимодействующей подсистемы путем
рассмотрения сильной квазинеустойчивости систем сравнения. Оста-
Останавливаться подробно на этом не будем.
Отметим некоторые случаи, возникающие при исследовании систем
вида B3.1), B3.2). Для определенности будем рассматривать систему
B3.1).
Пусть система
dx
-д = \iX (t, x, 0)
такова, что
^JL+liDV*^X) X(t,x,0) <-k\ l<s<V, B3.17)
или
Dv
И-р|ЧФ<°. Ks<m', B3.18)
где
f(l)M{X(tl0)}
и vSQ—s~n компонента вектор-функции усредненной подсистемы
В случае неравенства B3.17) вопрос об ограничениях на функции
связи Fx (t, x, у), при которых имеет место квазиустойчивость решения
системы B3.1), решается на основе обобщения теоремы И. Г. Малкина
[51] (рассматривается векторная функция Ляпунова) об устойчивости
при постоянно действующих возмущениях. При наличии неравенства
B3.18) следует воспользоваться теоремой 22.1 при исследовании ква-
квазиустойчивости подсистем.
Пример 23.1. Исследуем устойчивость следующей связанной
системы регулирования:
■^ = |iX (f, x) + F, (/, х, у) f (a), B3.19)
do
-# = Vv x) — cif (a)»
224

-§- = (/» У)-<tf(p). B3.20)
В подсистеме B3.19) Ft (t, x, у) — непрерывная ограниченная вектор-
функция, осуществляющая связь подсистем; /х — постоянный ^-мер-
^-мерный вектор; а, р и clf с2 — скаляры; f (a) — непрерывная функция,
обладающая свойством
{ f (о) da = +оо.
Аналогичное содержание имеют F2 (t, x, у) и г1 -мерный постоянный
вектор /2.
Рассмотрим подсистему B3.19) и предположим, что для усреднен-
усредненной системы
■§-=М/0F) B3.21)
существует такая постоянная определенно-положительная матрица В,
что в области £ £ Q (Я)
«DjB+flO^-^ + G,), B3.22)
где
1
фо=
и Gj и G2 — произвольные определенно-положительные матрицы.
Для этой подсистемы рассмотрим функцию
о
v0 (х, а) = (Вх, x) + ^f (о) do. B3.23)
о
Очевидно, функция v0 (х, а) -> оо при || х||2 + а2->со и является
определенно-положительной. Для полной производной функции B3.23)
в силу подсистемы B3.19) получим выражение
-^ = |х (/ [Ф*Д + ВФ0] х + 2ВАХ (/, дс) /) -
- cj% (а) + 2/ (a) FbF! (/, х, у) + -^ /i] * B3.24)
где вектор-функция АХ (t, x) учитывает осциляционные члены.
15-4-761 225

Учитывая B3.22) и полагая r\ (t) = Ft (t, x, у), находим
~2Г = - (Gi*. х) - @2*. х) + 2|*0ДЛ' (/, *) х* -
- *i/2 (а) + 2/ (а) [ял @ + у /iI *• B3.25)
Нетрудно проверить, что
dv0
dt
\iX(t,x)
<0, B3.26)
если Ф0В + ВФ0 = — G, и
и . (ПА
B3.27)
где #(/) —некоторая функция, оценивающая выражение
\B£bX(t, x)x*\
max J ~—i—L m B3.28)
Следовательно, полная производная. B3.25) будет определенно-
отрицательной, если квадратичная форма
(G2x, х) + qf (о) - 2/ (а) Вц (t) + -j
определенно-положительная относительно х^ , . . , х , / (а). Это будет
иметь место, если
ct > max [ Вц (t) + ir /J Of1 \вц (t) + T l]. B3.29)
Таким образом, при выполнении условий B3.27) и B3.29) полная
производная функция v0 (x, о) в силу системы B3.19) определенно-
отрицательная. Это обеспечивает квазиустойчивость подсистемы B3.19).
Аналогично устанавливается квазиустойчивость подсистемы B3.20) и
на основе теоремы К. П. Персидского устойчивость связанной системы
регулирования при любых с < с0 = min (clt c2).
§ 24. Устойчивость и периодические движения
нелинейных систем со слабым взаимодействием
В этом параграфе исследуются слабосвязанные системы
в предположении только устойчивости (неустойчивости)
подсистем с вырожденными функциями связей.
24.1. Построение векторной функции Ляпунова. Часто
встречаются системы, которые в первом приближении ока-
226

зываются независимыми [59]. Предположим, что система
^- = /ДЛ xs) + |iF,(/, x, хт), s - 1, 2 m, B4.1)
где вектор xs £ £rs, устойчива при \х = 0. Следовательно,
существуют определенно-положительные, допускающие
бесконечно малые высшие пределы функции Ляпунова
Vao {U xs) такие, что
о
Предположим, что правые части системы B4.1) полино-
полиномиальные относительно проекций вектора х = (хх, ... , хт).
Будем искать переменные vs (/, *) в виде разложений
v8 (/• х) = t;80 (/, х8) + \ivsl (t, x) + |Aea ('^) + ... , B4.2)
удовлетворяющих системе дифференциальных уравнений
^ {V) + ''' B4'3)
Для отыскания функций v8j (/, x) получим систему ли-
линейных дифференциальных уравнений с частными производ-
производными
B4-4)
Здесь gs/ (/, х) — известные функции. Если за счет выбора
ограниченных при / > 0 функций w8j (V) можно обеспе-
обеспечить существование ограниченного решения vsj (/, х) уравне-
уравнений B4.4), то осуществимо построение разложений B4.2),
B4.3). В частности, всегда можно подобрать функции
wsj (V), обеспечивающие существование ограниченных при
/>0 решений уравнений B4.4), если любой алгебраический
относительно х интеграл системы B4.1) при \х = 0 полино-
полиномиально выражается через интегралы
V8o(t>*s)> s= 1, 2, ... , m.
Ограничиваясь конечным числом членов в разложении
B4.2), придем к системе уравнений вида B4.3), исследова-
исследование устойчивости которой можно осуществить с помощью
построения одной векторной функции Ляпунова V (/, v, x).
15*
227

24.2. Нетривиальные примеры.
Пример 24.1. Для системы дифференциальных уравнений
dt
*t
• ■. «7).
где все частоты cofe рационально независимы, возьмем векторную функ-
функцию Ляпунова с компонентами
(*=1, 2, ...,?). B4.6)
Уравнение B4.4) примет простой вид
(gr W & kk) », h/ *. г/)- B4J)
r=l Г г
Здесь переменные xk, yk объединены в векторы х, у. Легко доказывается,
что любой полиномиальный, не зависящий от / интеграл системы B4.5)
при jjl == 0 является полиномом от функций B4.6). Поэтому уравнение
B4.7) всегда имеет полиномиальное решение при соответствующем
выборе функций ^fe/(V). Следовательно, для переменных
vk = 4 + yl + V>vk\ t*» У) + ^Ча (*» У) + • • •
можно за счет выбора функций vk. (*, у) построить систему дифферен-
дифференциальных уравнений
Этот вывод совпадает с результатом Г. В. Каменкова [36]. Аналогич-
Аналогичный результат получится, если в правые части системы
входят тригонометрические многочлены от t с частотами ve> рациональ-
рационально несоизмеримыми с частотами coft.
Пример 24. 2. Рассмотрим систему уравнений
Г = ^Л1 "^ = ~ ЮЛ + ^А V«cos vt>
228
1Г ^
B4.8)
-аг = юл§"/ = ^ ал + ^л^лsin v^

Для преобразования системы удобнее перейти к переменным
Отыскивая компоненты функции Ляпунова в виде
'• гГ V 23'
придем к системе дифференциальных уравнений
где
a =-
32
•
1
2со2 v — 2сох — 2со2
1
*^
"f" v + 2c0i - 2со2 + v — 2coj + 2q J
Следовательно, при достаточно малых значениях [л > 0 нулевое ре-
решение системы B4.8) устойчиво при а < 0 и неустойчиво при а > О,
Замечание 24.1. В наиболее интересном и еще мало изученном
случае, когда частоты о)д в системе B4.5) рационально зависимы, вместо
системы B4.3) придем к более сложной системе
N
■^Г = 5У К/ (V)
B4.9)
где функции /ifey (^, х) являются интегралами системы B4.1) при [х = 0.
Один из возможных способов преодоления затруднений сосюьт во вве-
введении новых полиномиальных интегралов vkQ (t, x), k = q + 1 /,
таких, что любой полиномиальный интеграл системы
1,2 m,
B4.10)
может быть выражен полиномиально через интегралы yft (t, x). Но при
этом интегралы yfe0(^ ^f) могут оказаться зависимыми, и дополненную
новыми дифференциальными уравнениями систему B4.9) следует рас-
рассматривать на некотором интегральном многообразии измерения меньше
/. Другой путь состоит в оценке членов hkj(t, x), выраженных через
функции от V.
Пример 24.3. Исследуем устойчивость нулевого решения си-
системы уравнений второго порядка:
B4.11)
229

Перейдем к новым переменным
dxi • dxi , • ***
ш a/ at
. dx2
Ч = *2 ~l "oT •
Введем вспомогательные функции
= V2
для которых с помощью выбора функций ф. (Z) получим систему диф-
дифференциальных уравнений
^L = ца [- 4иЛ + (гг г4J + (г2г3J] + О (^г2),
B4.12)
^1 = 1^6 [— 4^2 + (гЛJ + (г2г3J] + О (Д
Так как имеет место неравенство
го систему уравнений B4.12) можно записать в виде
dv
--1. = -4отЛ[1+т|] + О(|г1I ]т||<0Д
из которого вытекает устойчивость нулевого решения системы B4.11)
при а > 0, &>0и достаточно малом значении ц > 0. В общем случае
введем новые переменные
которые будем называть переменными связи между различными фор-
формами" колебаний. Расширенная система B4.12) примет вид
flfu, о 2 л 2
—L = ца (— 4^ -f- из ~г* va) 4" ^ (М- )>
—^. = |л& (— 4ухо2 + v\ +1>4) + ^ (l^2);
—1 =fx (at>2 + bvx) (i»4 — 1
dV4
nr'~
230

Устойчивость нулевого решения этой системы надо рассматривать на
интегральном многообразии с уравнением [14]
»Л ~ v3vA = 0.
Используя это уравнение для понижения порядка, придем к системе
третьего порядка с медленно изменяющимися переменными
dt dt
dl , t . , .. a. . 1 ,
-^j- == — /л (av2 + wt) | + 0 (fr), g = -g (£J3 + ^4).
Пусть a > ^, ^ <C 0- Замена переменных
yx = awlt v2 = — bu2, I = |/ — -£- г!, —
приводит эту систему к более простому виду
= т
_ [if hiWi] + О (Ц), [Ul«2 - г)»] + О
1
Из рассмотрения интегральных кривых уравнений первого при-
приближения следует устойчивость нулевого решения системы в октанте
• 0, и2 > 0, т] > 0. Следовательно, нулевое решение системы
4.11) устойчиво в первом приближении при ab < 0.
B4?
24.3. О применении средних вдоль решений порождаю-
порождающей системы. Рассмотрим систему обыкновенных диффе-
дифференциальных уравнений
■§ = /(/,x) + ptX(/,x), B4.13)
где x£Q(H), f{tyX) удовлетворяет условию Липшица по
x£Q(H) и непрерывно по / на любом конечном интервале
J> X (t, x) — известные функции (/, х) и обращающиеся в
нуль при х = 0. Так что система B4.13) имеет положение
равновесия х = 0.
Предположим, что для порождающей системы, соот-
соответствующей B4.13), известна определенно-положитель-
определенно-положительная, допускающая бесконечно малый высший предел,
функция v {t, x) и ее решение
x(t) = l(t,x,x(T)). B4.14)
231

Укажем некоторые условия, при которых средние [17, 105]
Г MJ± B4.15)
не будут знакоопределенными функциями относительно
л[$ . . . , лп.
Теорема 24.1. Пусть
1) для порождающей системы
существует определенно-положительная допускающая бес-
бесконечно малый высший предел функция v (/, х)\
2) -J + Dv^x) f(U x) < 0 в области Q(Я, т);
3) порождающая система имеет интегральное много-
многообразие решений у экспоненциально стремящихся к нулю.
Тогда среднее B4.15) не будет знакоопределенной функ-
функцией относительно тех значений (х°, . , . , х°), k < ny ко-
которые порождают интегральное многообразие решений^
экспоненциально стремящихся к нулю.
В связи с этим рассмотрим некоторые примеры.
Пример 24.4. Исследуем устойчивость нулевого решения систе-
системы
^i =|u2 + tfaxl !^L=-x2- iibx\. B4.16)
at at
При \x = 0 получим линейную систему
которая имеет функцию Ляпунова и0 (я) = х\ + л| •
Методом, развитым в § 16, построим функцию Ляпунова в виде
разложения
V (X) =х] + Х22 + JX»! (X) + Ц202 (X) + . . .
Дифференцируя ее по ^ в силу системы B4.16) и полагая
dv 2
232

придем к системе уравнений
2*2 = wQ,
—к х2 + 2bxxx2 — 2*1#2 = wx,
^—— Лп —р УЛ| ' —• ■ ■ Л2 <6иЛ| 1*^2 •
Введем проекторы матрицы Л, соответствующие Хх = О, Х2 = — 1:
) р
о/' 2
Дифференциальное уравнение с частными производными
4^м—w
имеет частное ограниченное решение, если взять
т. е. положить х2 ==0. Используя это, найдем
w{ (х) = 0, v{ (х) = 2ххх2
ш2 (х) = 2 F — а) х\ — 262j
Полагая Л^ = 3, получим функцию Ляпунова
* + Ц B^^ - 2Ьх\Х2) + ^ (*
Дифференцируя эту функцию в силу уравнений B4.16), найдем
- TF > xl I2 + 2^2 (* - «) А
+ |А* [2 (а - 6) A - ji) + 262^ + 6|ib (а -
Из этого выражения видно, что нулевое решение системы B4.16)
отес й \j^U >6
р у р
асимптотически устойчиво при \\ij<^U если а>6.
Система B4.16) при р, = 0 имеет интегральное многообразие реше-
решений, экспоненциально стремящихся к нулю. Следовательно, средние
tyk (t, xQ), ^=1,2 могут оказаться незнакоопределенными функ-
функциями.
При исследовании устойчивости стандартных систем [84] нера-
неравенство в условии 2) теоремы 24.1 обращается в тождество. Покажем,
что и в этом случае среднее B4.15) может оказаться функцией незнако-
определенной,
233

Пример 24.5. Рассмотрим систему дифференциальных урав-
уравнений
^ = M*iSin/ + *?cosO, -^ = -*u2, Ц>0. B4.17)
При \i — О система имеет функцию Ляпунова vQ (х) = х\ + х\
Вычисляя среднее \|)Q согласно B4 15), находим
t,+T
% (f0, xv х2) = lim 7-1 f Bх{ sin / + 2х\ cos * — 2х\) dt~-2x\.
Полученное среднее значение ф0 не является знакоопределенной функ-
функцией.
Указанным в § 16 способом находим функцию Ляпунова
v (U х) = х\ + х\ + ^ Bх\ cos / — 2х\ sin /) +
+ и-2 {х\ cos 2t — Ъх\ sin 2* — 2л^ cos 2/), B4.18)
производная которой в силу B4.17) имеет вид
Следовательно, нулевое решение системы B4.17) устойчиво во втором
приближении. Естественно, что для v (t, x) можно найти и следующие
приближения.
24.4. Расчет периодических решений. Изложим идею
построения периодических решений на основе метода
Г. В. Каменкова [36] и идей работы [104].
Рассмотрим систему дифференциальных уравнений вида
Ay
— e
B4.19)
где \i > 0 — малый параметр; Хи Yj — однородные по-
полиномы относительно переменных х и у. Пусть х = у = 0—
единственная особая точка системы B4.19).
Рассмотрим функцию
v (х, у) = v0 + щ (х, у) + р\ (х,у)+...9 B4,20)
234

где v0 = х2 + У% и последующие приближения уА (х, «/)
определяются из системы уравнений B4.4), так как
О,
B4.21)
Рис. 2
Известно, что каждому постоянному значению величины
v в фазовой плоскости отвечает замкнутая кривая (рис. Z)
Пусть мы имеем две кривые, отвечающие сг и с2 <cv Пред-
Предположим, что вычислением
надлежащего значения vh(x, у)
мы добились того, что произ-
производные функции v(x, у), вычи-
вычисленные при v = сх и v =
=с2, в силу уравнений B4.19)
имеют разные знаки. Это оз-
означает, что решение системы
B4.19) пересекают внешний
контур снаружи внутрь и
внутренний изнутри наружу
(см. рис. 2). Тогда по теореме
Бендиксона между этими кон-
контурами лежит по крайней
мере один такой замкнутый контур с я с*, который явля-
является предельным циклом системы уравнений B4.19).
При выполнении условия B4.21) при нахождении пре-
предельного цикла можно воспользоваться средними B4.15),
если последние окажутся знакоопределенными функция-
функциями относительно х°, я°. Действительно, пусть в системе
B4.19) члены при fi2 и выше равны нулю. Тогда
и, следовательно,
Если среднее
J ф
£ Y)j dt
236

определенно-положительное относительно хоуО1 то при ц <
< |х° может оказаться, что
*M*o>#o)>fia>° B4-22)
при (х0, yQ)£Me, где Ме — множество всех точек простран-
пространства, расстояние от каждой из которых до начала коорди-
координат строго меньше е и
V*o></o)<-fi2<° B4.23)
всюду на дополнении множества Ме до всего Е2. При этом
в слой толщиной 2 е будет происходить «выброс» траекто-
траекторий системы B4.19) изнутри области v < v0 — е и из вне
области v > vQ + e. Тогда, как указывалось выше, по
теореме Бендиксона между этими контурами имеется по
крайней мере один предельный цикл. В некоторых слу-
случаях такой цикл может быть обнаружен на основе реше-
решения уравнения
\ (*о> У,) = 0. B4.24)
Приведем простой пример, иллюстрирующий сказан-
сказанное.
24.5. Нелинейное уравнение Релея. В связи с аккустичными явле-
явлениями и установившимися колебаниями представляет интерес урав-
уравнение Релея
Рассмотрим вместо уравнения B4.25) систему
f = y, -f^-x-t^y + YV3). B4-26)
Линейное приближение
dx dy
этой системы имеет единственную критическую точку х = у = 0, на-
начало координат которой всегда неустойчиво и представляет собой
при pi> 2 узел и фокус при \х < 2.
Положим теперь в системе B4.26) \i = 0 и рассмотрим функцию
щ (ху у) = х2 + у2. Полная производная этой функции в силу поро-
порождающей системы, соответствующей B4.26), тождественно равна нулю.
Учитывая, что решение этой порождающей системы имеет вид
236

x(t) =
y(t) = — xQ sin t + yQ cos U *0. Уо Ф 0,
среднее ф0 (xQ, yQ), вычисленное по формуле B4.15), запишется так:
Согласно B4.24) из выражения B4.27) получаем известный ре-
результат для уравнения Релея — уравнение предельного цикла:
§ 25. Качественное исследование поведения
систем слабосвязанных осцилляторов
В этом параграфе исследуется поведение решений оза-
озаглавленных систем в окрестности положения равновесия в
зависимости от знака произведения ненулевых начальных
условий. Результаты настоящего параграфа изложены в
работах [20, 58].
25.1. Две общие теоремы о системах B4.13).
Теорема 25.1. Пусть справедливы следующие условия.
\-. Существуют знакопостоянные функции vx (/, х) >
т
> 0,..., vm (/, х) > 0 и функция v (/, х) = 2 ve (/, х), on-
ределенно-положительная и допускающая бесконечно ма-
малый высший предел.
2Р. Условие
8=1
выполняется в области Q (Я, т), содержащей точку
х = 0.
3®. Сумма частных производных -^ непрерывна по х
в области Q (Н) равномерно по 0 < t < оо.
4°. Функции X{tyx) непрерывны по x£Q(H) равномер-
равномерно относительно t в промежутке 0 < t < оо и ограниче-
ограничены константой М.
5е. Равномерно относительно (tQ}xo)£Q(H,т) сущест-
существует среднее
237

to+T m
знакоопределенное относительно x\,..., x°.
6°. £я£ с/соль угодно малой окрестности точки
х = О выполняется строгое неравенство
/7рм выполнении перечисленных условий нулевое реше-
решение системы B4.13) ^-устойчиво,
В качестве функций ^ и у2 в примерах 24.4 и 24.5 мо-
могут быть выбраны функции
Vl=Zi (*1 + Х2J' V2 = 4 (*1 — Я/'
которые удовлетворяют условию ^ > 0, и2 > 0. Функция
у = vx + у2 = х\ + ^1 определенно-положительная. Тем
самым условие 1° теоремы 25 позволяет привлечь более
широкий класс вспомогательных функций, пригодных для
исследования систем B4.13), а условие 5° исключает
те системы, для которых вопрос о ^-устойчивости при
выполнении условий теоремы 25.1 оставался бы от-
открытым.
Аналогично может быть сформулирована теорема о
(и-устойчивости системы B4.13) при использовании функции
v (ty x) в виде
v (/, х) - vQ (t, х) + \ivx (/, х) + |Л>2 (t,x) + ...
Замечание 25.1. Условие 5° теоремы нельзя ослабить до требова-
требования лишь существования среднего фо(ло) с т-знакопостоянными
функциями, указанными в условии 1°, или с одной функцией v(t, x),
определенно-положительной и допускающей бесконечно малый выс-
высший предел. В частности, в этом убеждает пример 24.5.
Теорема 25.2. Пусть
1) выполняется условие 1° теоремы 25.1;
2) в области Й(Я, т) имеется подобласть, в которой
238

3) условие
s=l
выполняется в сколь угодно малой окрестности точки
х-О,
4) выполняются условия 3° —5° теоремы 25.1;
5) в области значений (to,xo)9 для которых и(/0, хо)>
> а2, среднее % (tQ, xQ) > б2, б = const > 0.
При выполнении перечисленных условий точка х = 0
системы B4.13) ^-неустойчива.
Замечание 25.2. При исследовании слабосвязанных систем в ка-
качестве функций Vi(t, х)у ..., Vrn(t, х) могут быть выбраны знакопо-
знакопостоянные функции Vi(t, X\), ..., vm(t, xm), где A-S€£rs, зависящие от
меньшего числа переменных таких, что лишь функция v(t, я) =
/72
Uj(t хЛ) определенно-положительная, допускающая бесконечно
малый высший предел.
Основоположными для теоремы 25.1 и 25.2 являются некоторые
обобщающие результаты работ [104—106]. Настоящие формулировки
ослабляют некоторые условия теорем о системах B4.13) из работ
[105,106].
25.2. Слабосвязанные системы второго порядка. Рас-
Рассмотрим динамическую систему с функцией Гамильтона:
N 2
Н = Т 2 {(тг
Система дифференциальных уравнений, соответствующая
этому гамильтониану, имеет вид
B5.1)
где ц > 0 —малый параметр и / (х, х) = -^- g*(*, х).
Предположим, что
B5-2)
239

ив области Q(H, т) решение xk(t) системы B5.1) сущест-
существует и единственно при t£ Ja.
При [а = 0 система B5.1) распадается на N независи-
независимых подсистем второго порядка
= 1,2 iV,
B5.3)
которая эквивалентна системе 2N уравнений первого поряд-
порядка
dz,
dt
dz,
dt
B5.4)
2N-\
dz,
dt
Рассматривая определенно-положительную функцию
N
B5.5)
находим
-0,
Система B5.4) имеет решение
Z2*-I = Ak^X C0S W^
B5.6)
* ^ ~ Z2k-l^k Sm ®к* + Zlk C0S ^^
B5.7)
Положив fm (x, x) = fflg^j... хш_х д;2т+1 ...xN cos vmU
рассмотрим систему дифференциальных уравнений
^2/71-1
^2m '
B5.8)
240

d*2m __ 2 J_ 2 /
m= 1,2, ...,ЛЛ
Здесь co^, vm, m = 1, 2,..., N, — постоянные параметры.
Средние ^{t^ xQ), определяемые формулой B4.15), имеют
вид
о 2 **+т
2cof
zcoz r»
"T" \ 9(at,u4,0cosv^, B5.9)
где
Ф К, ЬЛ, /) = П ^~а1 + &л sin
М2
-ft . _ о vo
В силу того что вдоль решений системы B5.8)
t
o
тогда, если
% Co. v = 2 ^s) (/°' ^ < -б2 < °- B5Л0)
при [I < ^i0 интеграл в правой част убывает, начиная с не-
некоторого значения t£[t0J0+2L] и, следовательно, vQ(x(t))t
убывая, стягивает соответствующие решения в окрестность
точки х = 0 при всех t > t0.
Если же при некотором а > 0 в области
8 = {х : у0 (х) > а}
сумма средних Фо (/0, х0) удовлетворяет неравенству
О, B5 11)
то vo(x(t)) возрастает, увлекая и решение x(t) системы
B5.8).
16-4 761 241

25.3. Система двух связанных осцилляторов. Рассмот-
Рассмотрим систему дифференциальных уравнений двух слабосвя-
слабосвязанных осцилляторов:
dt ~*2'
—1 = — (о^, + [uoftjy^ cos v/,
B5.12)
dx
dt *4'
dxA
± ^ + ^ cos V-
Среднее ^ (/0, ^?0) для перзой подсистемы имеет вид
\ vxtdt, B5.13)
У
'О
где
Ф (a, bt с, d, 0 = — [(ас + bd) cos 2 (©! — со2) / +
+ (— ас + W)cos 2 (©, + со2) + (od — be) sin 2 (<о, — ю2) / +
+ (ad + 6с) sin 2 (со,+<o2)f],
> c
Возможными ситуациями, при которых -ф^ (/0, х0) =^= О,
будут следующие.
I. При v1 = 2|@j — оJ| могут представиться два случая:
а) если со, =т^ со2 =й= 0, тогда
2
Ч#)('о.*о>--т<да+м>; B5Л4)
б) если (о1 = со2 Ф 0, тогда
^l»(/o.Xo)-<n?(flc + M)i B5.15)
II. При v, = 2 (ю, + со2) имеем
2
242

Для второй подсистемы среднее г|)[>2) (/0, х0) имеет вид
%0) » lim -^~ С ф (а, 6, с, d, t) cos vJett. B5.17)
7Чэ© y J
Среднее B4.20) будет отлично от нуля в следующих
ситуациях.
I. При v2 = 21 со, —со2|, как и выше, имеем два случая:
а) если cOj Ф со2 Ф 0, тогда
%2)(tvXj = -^№+bd); B5.18)
б) если o)j = со2 Ф 0, тогда я|)^ (tQt xQ) = со^ (ас + bd).
B5.19)
II. При v2 = 2 (cot + оJ) и (Dj = со2 =^= 0 имеем
Средние B5.14), B5.15) и B5 18), B5.19) будут опре-
определенно-положительными, если
Д - xfсо?) (xf - xfc^) + 4@,@^»^) > О-
Или, окончательно,
(х°2—x?2wf) (х»2 — 44) + 4*»|в>2х?44х4 > °- B5-2!)
С целью сокращения записи введем обозначения р = -i-
Предположим, что начальные значения л;°, 1 < s < 4,
не нулевые. Получим условия определенной положительнос-
положительности i|){/> и -ф^) в следующих трех случаях.
I. v, = v2 = 2|©,—©2|.
II. vx-v2~2(qx + ®J.
III. Vj ^= v2, Vj = 21 (Oj — oJ1, v2 = 2 ((Oj + oJ)
либо наоборот.
243

Случай I. Анализируя выражение B5.21)
— xf {xf — xf®D cof + 4со1со2*?;#° +
Ot B5.22)
относительно o^ нетрудно установить следующее.
Пусть х°{ и х% имеют один и тот же знак (т. е. а > 0),
тогда B5.22) будет выполняться, если
а) при 0 < со2 < | р | значение а)г удовлетворяет условиям
б) при оJ = | р | и х^х\ > 0 значение (Oj положительно,
при ю2 = | Р| и х\х\ < 0 значение coj отрицательно;
в) при оJ > | р | значение Oj удовлетворяет одному из
неравенств
4Ф
B5.24)
^ - х§а>2
ИЛИ
">-вта- B5-25)
Если же х^ и ^ — величины противоположных знаков,
(т. е. а < 0), то условия B5.23)—B5.25) положительности
средних принимают такой вид:
а') при 0 < ыг < | р | значение coj должно удовлетворять
условиям
а — — < о)! < — а -г-
б') при о2 = | р | и х\х\ > 0 значение cOj < 0,
при со2 = | р | и jcgxj < 0 значение ы{ > 0;
в') при со2 = | р | значение (ог удовлетворяет одному из
неравенств
^4 ~г *з 2
244

Средние значения г|#> и ^ будут отрицательны, если
знаки неравенств в B5.23), B5. 4) соответственно поменять
на противоположные. На рис. 3, а, б представлены в коор-
координатах coi и (о2 области положительности и отрицательнос-
отрицательности средних ^1} и ф£2). Учитывая, что задача имеет физичес-
физический смысл только при значениях сох > 0 и со2 > 0, в первом
Рис. 3
квадранте построены области значений параметров притяжения
и отталкивания решений связанных осцилляторов B5.12).
Если *ЭД|*§*2 > 0, то на рис. 3, а видно, что область пара-
параметров отталкивания решений от положения равновесия пред-
представляет собой область, заключенную между двумя гипербо-
гиперболами, пересекающими оси координат 0% и 0со2 соответственно
в точках (|а|, 0) и @, | р|). Область притяжения — две об-
области, расположенные в полуполосах: первая
вторая
В случае, когда одно из начальных условий имеет знак,
противоположный остальным, области параметров притя-
притяжения и отталкивания представлены на рис. 3, б.
Случай II. В этом случае знаки фП> и о|><2> совпадают
со знаком выражения —ac + bd и определенная положитель-
245

ность средних обеспечивается условием —ас + bd > 0 или,
учитывая обозначения а, 6, с% d:
0. B5.26)
Аналогично предыдущему находим, что если х\ и х\ —
величины одного знака (т. е. а > 0), то B5.26) будет вы-
выполняться в трех случаях:
а) при 0 < оJ < | р | значение сох удовлетворяет одному
из неравенств
*<-*PlS B5'27)
или
б) при оJ = | р | и х\х\ > 0 значение Oj положительно,
при ©2 == | р | и х\х^ < 0 значение со1 отрицательно;
в) при ©а > | Р | значение ©х удовлетворяет неравенствам
,25.29,
Если же х\ и х\ имеют противоположные знаки (т. е. а < 0),
то условия положительности средних принимают вид:
а') при 0 < ©2 < | Р | значение ©х должно удовлетворять
одному из неравенств
• ч S* еч 4 З^З /ПС ОЛ\
©1 'Ч, Об Q Q \LO,0\J)
Х^ + ^з®2
ИЛИ
Х4 Х 3®2
б') при ©2 в | р | и л:^ > 0 значение ©j должно быть
отрицательным,
при ©2 = |р| и л?^<0 значение ©t должно быть
положительным;
в') при ©2 > | РI значение ©х должно лежать в границах
246

Чтобы получить условия отрицательности средних, до-
достаточно в неравенствах B5.27) — B5.29) поменять знак
неравенства на обратный. На рис. 4, а, б представлены
соответствующие области параметров притяжения и от-
отталкивания решений для случаев д^ х%хогх°4 >0 и ЭД|§2
0
Рис. 4
Случай III (рис. 5, а). Область отталкивания ре-
решений полной системы при х\ х\ х\ х\ > 0 ограничена
четырьмя гиперболами, характеризующими области от-
отталкивания решений каждой из подсистем, и получается
наложением областей рис. 3, а и 4, а. При этом не сущест-
существует значений параметров системы, обеспечивающих одно-
одновременно отрицательность средних при щ > 0 и о>2 > 0.
Область притяжения всей системы, когда одно из на-
начальных значений имеет знак, противоположный осталь-
остальным, получаем аналогично. Положим теперь Фо ^Ф^-НОД0.
Возможными ситуациями, при которых Фо Ф 0, бу-
будут следующие:
3) Ч>Г (*0. *о) * ° и Ц*> (*0, х0) ф 0 одновременно.
Исследование первых двух случаев не дает ничего ново-
нового по сравненью с рассмотренными ранее. Области значений
параметров притяжения решений совпадают с построенными
для Vj = va = 21 щ — щ | и vx = v2 = 2 (coj + со2) и пред-
представлены на рис. 3, а, б и 4, а, б.
247

Предположим теперь, что одновременно ^01)ФО и 0
Тогда для Vjl = va = 21 сох — со21 области притяжения и от-
отталкивания представлены на рис. 3, а, б, а для vL = v2 =
= 2 ((Ox + (оа) — на рис. 4, а, б.
Рассмотрим под обнее случай ^хф^2.
I. Пусть Vj = 21 сох — со21, v2 = 2 (о)! + со2), сох Ф со2Ф 0.
Рис.5
Тогда согласно B4.7) и B4.19)
фо = 1 [Ц - 0$ ас + (со? + со
откуда, учитывая обозначения а, £, с, dt получим условие
положительности Фо
(СО? - Ц) (jf - Xf CD?) (jcf -
M К + Ц) > °- B5.32)
Пусть *2^0, 1 <s<4.
Тогда выражение B5.32) можно переписать в виде
(со? - сор (а2 - со?) (р2 - со2) + 4араIсо2 (со? + со2) > 0. B5.33)
Анализ выражения B5.33), проведенный на ЭВМ, по-
позволил получить кривые, представленные на рис. 5,а, б.
При этом случаю x°jt°jt°x£ > 0 соответствует рис. 5,а, a
случаю *?*§*JkJ < О—рис. 5,6. Область параметров притя-
притяжения на рис. 5,а, отмеченная штриховкой с наклоном
вправо, представляет собой объединение трех областей: об-
области, примыкающей к оси 0со2 на интервале @, | р|) и огра-

ниченной справа дугой кривой корней уравнения B5.33),
области, примыкающей к оси 0 ©х при о^ >| а | и ограни-
ограниченной сверху кривой корней уравнения B5.33), почти
совпадающей с гиперболой
и области, лежащей выше кривой корней уравнения B5.33),
имеющей две асимптоты.
На рис. 5, б область параметров притяжения пред-
представляет собой первый квадрант, за исключением областей,
определяемых аналогично предыдущему с той лишь раз-
разницей, что а>1 и со2 меняются ролями.
II. Пусть теперь vx = 2 (сох + со2), v2 = 21 сох — со21,
ф со2 Ф 0.
Тогда
фо = т К- ^ + ^ас + К + *® bd]-
Отсюда, учитывая обозначения а, Ь, с, d, получим условие
положительности Фо в виде
(со? - со2) (xf - xfe® (xf - *f аф -
— ^^Jcoj^ (со? + 0J) < 0. B5.34)
При х°$Ф0, s= 1, 2, 3, 4, B5.34) принимает вид
(со? — 0J) (а2 — о)?) (р2 — 0J) — 4аРо)!ОJ (со? + со*) < 0. B5.35)
Если дс^дс^о > 0, то представление об области в простран-
пространстве параметров (о)ь со2), при значениях которых решения
системы притягиваются, дает рис. 5, б, на котором области
отталкивания становятся областями притяжения и наоборот.
Если одно из начальных условий имеет знак, противополож-
противоположный остальным, то для получения областей притяжения и
отталкивания достаточно на рис. 5, а области отталкивания
считать областями притяжения и наоборот.
25.4. Система трех связанных осцилляторов. Рассмо-
Рассмотрим систему дифференциальных уравнений трех слабо-
слабосвязанных осцилляторов:
249

?t Ф + Кcos V; B5-36)
ЧГ = **' it = ~ Фв + »*Ц*Л*А*5 cos V
с начальными условиями xs@) =х°8Ф0 A < s < 6). Здесь
О < I М-1 ^ч 1 -~ малый параметр; соЛ, v^ — постоянные пара-
параметры.
Средние Ц{\ tyW и ^)9 определяемые формулой B4.15),
имеют вид
2©2 с
» *о) = lim -f" ) ф (аА» feA' 0 cos vs/d/, s = 1, 2, 3,
a
м
k 2со.
С08фл
Возможными ситуациями, п и которых i|)(s) ^ О, s = 1,
2, 3, будут следующие.
1. При V8 «а 2 | СОх + С03 + 0K | , (Og ^ (Oj + 02,
если coi^cog, оJ^=со8» то
-a.aA + b.Lb,); B5.38)
если ©х =« со8 и соа Ф со8» то
3
+ sin (—9j
250

еСЛИ GJ = 0K И COi ф 0D3, ТО
3
^s)(^o»^o)==T03
in (Ф, + Ф, - Фз)
sin (ф, — ф2 + Ф3)] = у ©J6, (а2а
если о)! = оJ = со3» то
3
i
,s)('o>*o) = т ®514 Уа* + bl[sin ^1 + ^ - °Рз)
+ sin (—ф1 + ф2 + фз) + sin (ф, — Ф2 + ф3)] =
1
2. При v5 = 21 —O)i + со2 + со31,
если о)! =7^= Wa> ^i ^ ^з» то
з
if) (^ *о) = Т ^ П K^T6f s'n (-
ф2
если ©! = (оа, соа ^ со3» то
sin (Ф, -
если 0! = со3,
[Sin (-Ф, + Ф2 + ф3)
j, то
3
Л-1
ф2 -
sin (-
Фз)] = I
251

если щ = оJ = со3, то
3
(s) (f; Ч = 1 2
[sin
+ sin (—q>, + ф2 + ф3) + sin (ф1 — ф2 + ф3)] =
= Т ®s
3. При v2 = 21 (ог — oJ + (o31, co2 =^= % + oK имеем
2^3
lim IT f П K^T&I {sin [4 (co2 - co3) /
Г->с©
если
-Ф2 — Ф31 + §|Г
+ sin (ф1 — Ф2 + ф3)} dt\
®\Фщ и оJФоK, то
3
А)' Х() ^T^li 1Уа1+Ч Sin (Ф1 — Ф2
если (ох в со2 и (о2 =^= оK, то
з
1
[sin (-
+ sin (ф1 — ф2 + ф3)] = у <*#>з (aia
если
и со2 s^ со3, то
3
7
' sin (Ф! — ф2 ■+ ф3)] = y ^s'
Ф2- Ф3)
252

если (Ох = (о2 = со8, то
Ц8) ('о* *о> - Т«5 (
4. При v8 = 2 (со, + (о2 + (о3)
3
Следовательно, Фо (to> x0) будет отлично от нуля, если
а) среднее 1#>(*0, д^О,
б) среднее %2)(*0>х0)Ф О,
в) среднее фC) (/0, х0) ^ О,
г) -ф^) и ф<2), либо г|)<2> и \|?C), либо ^2^ и \|><3> не рав-
равны нулю одновременно;
д) фП>^о, ^B)^0, ^3)=^0 одновременно.
Рассмотрим подробнее случай, когда все не обращающи-
обращающиеся в нуль средние \j^s) (<0, *0) определяются выражением
B5.37), т. е. если ф(»> (/0, х^ ф 0, vs = 21 cot + со2 — ©81,
+0J» f°j ^=(о3, (О2^=со3. Тогда условие положитель-
з
ности Фо = 2 ^os) Со» хо) пРимет
Ьх^ад + а!&2а8 — ЯА^з + &1&2&з > °» B5.39)
откуда, обозначив
уо vo vo
х\ Х3 ХЬ
получаем
асох (Р2 - со') (т2 - col) + рсо2 (а2 - со?) (у2 - ©|) -
— Y«3 (а2 — со2) (Р2 — со2) + 4аРусо1аJсо3 > 0. B5.40)
Анализ выражения B5.40) дает следующие результаты.
Обозначив
253

получим, что Фо (/0, х0) при у > О
а) положительно при
(асо2 + рсох) (ар — ^cog) > 0 и 0 э
или
(асо2 + рсох) (ар — со^) < 0 и со3 > ау,
б) обращается в нуль при
со3 = со8;
в) отрицательно (имеет место устойчивость) при
(асо2 + рсох) (ар — ща>2) > О и со3 > со3
или
(асо2 + рсох) (ар — ^щ) < 0 и 0 <со3 < Zs.
Для у <0 имеют место следующие возможности:
а) среднее Фо (*0, х0) > 0 при
(асо2 + Рсог) (ар — сог(й2) > 0, 0 < со3 < со3
или
(асо2 + Рсох) (ар — сохсо2) < 0, со3 > оу,
б) среднее Фо = 0 при со8 = со3;
в) среднее Фо < 0 при
(аа>2 + Рсох) (ар — (огщ) > 0, со3 > со3
или
(ааJ + Рсох) (ар — (^(Оа) < 0, 0 < со3 < а>3.
Области положительности и отрицательности Фо(/о> ^о)
строим в пространстве Охуг, где
^i ^о ®о
причем области притяжения и отталкивания решения сис-
системы трех слабосвязанных осцилляторов находятся для
V>0
в первом октанте для а > О, Р > О,
во втором октанте для а < О, Р > О,
в третьем октанте для а < 0, р < О,
254

в четвертом октанте для а > О, Р < 0;
для y < 0
в пятом октанте для а > 0, р > О,
в шестом октанте для а < 0, Р > 0,
в седьмом октанте для а < 0, р < 0,
в восьмом октанте для а > 0, Р < 0,
ч\
fill
Рис. 6
и ограничиваются поверхностями, на которых Фо (/0, х0)
обращается в нуль. Уравнения этих поверхностей:
х ~ и
г = YZT~^— поверхность I,
г = -^~ — пов^хность И.
Поверхность II представлена на рис. 6. Легко пока-
показать, что она представляет собой двухполостныи гипер-
255

болоид вращения, направляющие косинусы оси враще-
/з Уз Уз"
ния которого равны -Цр —-» — —- , причем гипер-
гиперболоид пересекает свою ось вращения в точках
р (_У± __££ /з \ р (Уз Уз Уз)
Чтобы дать представление об областях притяжения и
отталкивания системы B5.35), построим их в пересечении
Рис. 7
Рис. 8
пространства Oxyz пучком плоскостей у = kx> проходя-
проходящих через ось Ог. На рис. 7—9 изображены в координа-
координатах Ох'г области положительности и отрицательности
Фо (*о> *о) ПРИ различных значениях ky причем ось Ох'
направлена вдоль линии пересечения плоскости сечения
у = kx и координатной плоскости Оху таким образом, что
кратчайший поворот от оси Ох до оси Ох' совершается в
положительном направлении. Сплошной (линия I) изобра-
изображена линия пересечения поверхности I с плоскостью у =
= kx, пунктирной (линия II)-—линия пересечения по-
поверхности II с той же плоскостью.
Для k > 0 соответствующая картина представлена на
рис. 7. Области устойчивости находятся над линией I и под
линией II. Линия II проходит через нуль в точках х' =
= ± у —г—» линия I имеет в этих же точках вертикаль-
вертикальные асимптоты. При k-*0 или ft-^оо (т. е. плоскость
у = kx «стремится» к координатной плоскости Oxyz или Оуг)
точка
256
х' = + у "*" (х1 = — У k X )
устремляется к

+ оо (соответственно к — оо), линия I «стремится» к пря-
прямой г =« х\ а линия II —к положению гиперболы г = — -р.
При дальнейшем вращении плоскости сечения у = kx
в положительном направлении k принимает значения — оо <
< k < — 1. Здесь линия I имеет максимум в точке х' =
и минимум в точке х' = — у —~—. При
х'-*~-\-оо линия I приближается к оси Ох' сверху, а при
х'->—оо — снизу. Кривая
II имеет наклонную асимп-
Рис. 9
тоту г = - х .
Vk*+1 (k+l)
При увеличении k наимень-
наименьший угол между асимптотой
и осью Ох' увеличивается, и
при &->— 1 — 0 асимптота
стремится к положению оси
Oz. Кривая I при А-»-—1
стремится к положению оси
Ох\ обласгь притяжения —
к полуплоскости г > 0, об-
область отталкивания — к по-
полуплоскости г < 0.
При дальнейшем повороте плоскости у = kx и увели-
увеличении k (— 1 < &< 0) получаем картину, изображенную
на рис. 9. Она представляет собой зеркальное отражение
относительно оси Oz рис. 8.
§ 26. Условия устойчивости
двухроторного гирокомпаса с успокоителями колебаний
В этом параграфе исследуется устойчивость движения
чувствительного элемента пространственного гирогоризонт-.
компаса, снабженного двумя успокоителями колебаний
[16]. Поведение такой системы описывается системой диф-
дифференциальных уравнений шестого порядка с переменны-
переменными коэффициентами.
Посредством декомпозиций исходной системы на две
подсистемы найдены условия устойчивости исходной сис-
системы в зависимости от фактора перетекания жидкости в
успокоителях,
17 - 4-761
257

26.1. Теорема об устойчивости по части переменных.
Рассматривается система уравнений
■f =Л@* + ^(/,х,у), B6.1)
1 - У (Л х, у),
где jx> 0 — малый параметр, x£G (x), y£D> A(t) — мат-
матрица с непрерывными элементами на каждом конечном ин-
интервале Jr у — т-мерный вектор, вектор-функции F (t, x> у)
и Y (/, л:, у) удовлетворяют условиям Липшица с констан-
константами Ls(l < s < 4),
\\P(t,x9y)-F(t9tffy')\\<£Ll\\x-x'\\ + L2\\y-y'\\9
\\Y(t,x,y)-Y{t,x',y')\\<La\\x-x'\\+L4\\y-y'\\.
B6.2)
Функции F(ttx,y) и Y (t, x> у) предположим ограниченны-
ограниченными при х = у = 0:
\\F(t, 0, 0) || < М19 || Y (/, 0, 0) || < М2. B6.3)
Обозначим че ез %(t,to,xo) решение системы
£ = А®х, B6.4)
обращающееся в х0 при t =t0. Из уравнения
f-=y(/,y,x(/,/0,x0)) B6.5)
находим
Пусть 5 = 0и/0 = 0, тогда из B6.6) в силу B6.2),
B6.3) находим
o
откуда
\\У (t, 0, Уо)\\ < ^(eLJ - \)
при всех / > 0.
258

Отсюда следует, что на любом конечном интервале JczJ(i
y(t,O,yQ) принадлежит некоторой ограниченной обла-
области D.
Предположим, что решение £ = О системы B6.4) устой-
устойчиво по Ляпунову. При этом существует определенно-
положительная квадратичная форма по переменным х,
удовлетворяющая условию
(i)K<0. B6.7)
Для полной производной функции v (t, х) в силу системы
B6.1) найдем
^^^LF{UXiy), B6.8)
Учет второй подсистемы из совокупности B6.1) осуще-
осуществляется прямой подстановкой ее решений в первую под-
подсистему.
Далее рассматривается среднее
где интеграл вычисляется вдоль решения х = I (/, /0, х0) сис-
системы B6.4), обращающегося в х0 при / = t0 == 0, д:0 £ Gp (x), и
решения у (ty 0, г/()) с начальным условием у0 g Z).
Имеет место следующее предложение.
Теорема 26.1. Пусть выполняются условия.
1°. Подсистема B6.4) устойчива по Ляпунову.
2°. Существует определенно-положительная квадратич-
квадратичная форма v (/, х).
3°. Существует знакоопределенное по х0 среднее B6.9)
и вне сколь угодно малой окрестности точки х = 0,
% @. *<>' У о) < — S2> s = const > 0. B6.10)
Я/ш выполнении перечисленных условий для всякого е>0
можно указать 8(е) u jx0 (e) такие, что любое решение
(х (t)y у (/)) начальными условиями из области \\ х0 \\ < б,
У о ^ D nPu yc(t)£D и \i < ц0 (8) йлл вс^л / > 0 удовлетво-
удовлетворяет неравенству |j a: (/) || < е.
17* 259

Доказательство. Аналогично предыдущему (см. § 18)
при выполнении услозий теоремы 26.1 следует устойчивость
уравнения сравнения без главной части
при £ (t, 0, £0) € D. Отсюда без труда устанавливается
факт устойчивости по переменным х системы уравнений
B5.1).
26.2. Условия устойчивости гирокомпаса. Система диф-
дифференциальных уравнений возмущенного движения чув-
чувствительного элемента пространственного гирогоризонт-
компаса, снабженного двумя идентичными успокоителями
колебаний (северо-южным и восточно-западным), имеет
вид 116]
dx
1F =
igi = - QXi + vx3 + eew6, B6.11)
Напомним, что здесь
Va Q 2Bsinag
X5
cN cE
причем eN и e£ — малые параметры.
В общем случае V и Q являются некоторыми извест-
известными функциями времени. Остальные коэффициенты си-
системы являются постоянными величинами,
260

Полагая для определенности sN = ksE, рассмотрим си-
систему B6.11) при гЕ = 0. В этом случае она распадается
на две подсистемы более низкого порядка:
dx9
B6.12)
dx4
— =—aXl + vx3
и
dXb Г A ±_x _p x __p x _f 1 QV
6_ z== p Q д; /^ v /? X -\ -— F V. B6. 13)
Известно, что уравнения B6.12) интегрируются в зам-
замкнутой форме. Функция Ляпунова для этой системы, про-
производная которой равна нулю, может быть выбрана в
виде 4
"о =2 4 B6.14)
Полученное А. Ю. Ишлинским [33] решение системы
B6.12) преобразуем к виду
*<°> (t) = sin (vt + %) cos 9 (t) + sin (v/ + %) sin 6 (/),
*<°> (t) = - sin (-£ v/ + ф, - ~-)cos9(/) -
— sin [vt + % —£_) sin 9 @, B6.15)
40) @ = sin [vt + \|)j 2.) sin 0 (t) —
— sin(v^ + г|J J-) cos 0 (/),
0) @ = — sin (vt + %) sin 6 (t) +
261

Здесь
6(/) = JQ(x)dx. B6.16)
о
Решение B6.15) рассматривается как нулевое при-
приближение решения исходной системы B6.11).
Подставив значения х[0) (t)> I < i < 4 в систему B6.13),
приходим к двум линейным уравнениям первого порядка с
решениями
@ - <гМ j ^ v^ /"т [sin (vx + г|>0 cos 0 (х)
vx + iK — -И X
+ sin (vx + г|J) sin 0 (x)] dx + f FNe
о
X [sin /vx + ifo — -~- j cos 6 (x) + sin U
in 9 (x)l dx — f FN -j eF"xQ (x) V (x) dx + x5 @I, B6.17)
t
(t) e e-F*| ( I. /^£Q (x) eFEX [sin (vx + ^) cos 6 (x) +
X sin
+ sin (vx + i|J) sin 0 (x)] dx + ( FEeFE% f — sin /vx + ipj —
о
—~ j sin В (x) + sin (vx + ip2 ~ j cos 6 (x) 1 dx +
262

Компоненш F8 (/, х,у), s = 1, 2,..., 6 функции F (t, x,y)
имеют вид
Среднее
Т 4
% (°> *о' Уо> = lim Г~1 1 li "аГ Fi ('•'
^ 0 /=1 J
при движении корабля по параллели с постоянной скоростью
(Q = t/ sin ф + -~- tg ф; 6 @ = Q/; V = oj
имеет вид
Условия устойчивости системы B6.11), сформулирован-
сформулированные в теореме 26.1, сводятся к требованию выполнения
неравенства
'
которое выполняется в предположении FE>0, FN>0 при
tf<va + fS,, B6.19)
F*s + 24 (v2 + Q2) + (v2-Q2J < ^
Из неравенства B6.19) при Fn ^ 0 получаются известные
условия устойчивости движения гирокомпаса [331; усло-
условия B6.20) являются новыми и учитывают гидродинамику
демпферов прибора.
263

§ 27. Деформация свойств движений
под действием интегральных возмущений
В этом параграфе выясняются условия, при которых
интегральные возмущения деформируют свойства движе-
движений невозмущенных систем на противоположные.
Нелинейные системы с интегральным взаимодействием
исследуются с целью определения структуры области до-
допустимых параметров функций связи, обеспечивающих
отрицательность некоторых средних значений вдоль связей
взаимодействующих подсистем.
27.1. Интегральные возмущения линейных стационар-
стационарных систем. Пусть нулевое решение системы линейных
дифференциальных уравнений с постоянными коэффициен-
коэффициентами
ЧГ-Ау B7.1)
неустойчиво. Предполагаем, что все характеристичные
числа матрицы А просты и отличны от нуля, так что ма-
матрица А имеет обратную: Л~~1. Наряду с системой B7.1)
рассмотрим возмущенную систему
B7.2)
где X > О — большой параметр, В (t) — п х п-матричное
ядро, непрерывное на Jo. Укажем условия, при выполне-
выполнении которых нулевое решение системы B7.2) устойчиво
по Ляпунову.
Умножим левую и правую часть равенства B7,2) слева
на Л-1 и обозначим
t
Q(t — s)x(s)ds = z(t), t>0t B7.3)
где Q(t) = —A~~xB(f). С помощью резольвенты Г(/) матрич-
матричного ядра Q(t) решение уравнения B7.3) можно представить
в виде
t
x(t) = z (t) +l^T(t — s1X)z (s) ds, I > 0, B7.4)
о
264

где
Предполагая дифференцируемость Г (/, X) на JQ и учиты-
учитывая, чго -^г = Аг, из B7.4) получаем
si t>0. B7.5)
Так как Г (ОД) = — А ХВ @), ю окончательно получаем
систему интегро-дифференциальных уравнений
t
[Y(t — s,X)z(s)dt, />0, B7.6)
о
где () ()
Обозначим U (ty X) фундаментальную матрицу системы
-§- = #(?t)z, />0 B7.7)
и Ф (/, 0 Д) = U (/, ?0 f/ @, X) — матрицу Коши, являющу-
являющуюся решением матричной задачи Коши
i=#(A,)X, X@)=£, B7.8)
где £ — единичная матрица. Для решения системы B7.6),
удовлетворяющего условию z (t0) = z0, справедлива формула
t s
z (t) = Ф (/, 0, Я) Zq—X [ [ Ф (s, 0, X) f E — т, X) z E) dxds. B7.9)
о о
Предположим существование таких постоянных М > 0,
а > 0, при которых выполнено неравенство
IIФ (t, 0 Д) || < Ме~ш при всех / > 0. B7.10)
Следовательно, система B7.7) экспоненциально устойчива.
Это свойство решений системы B7.7) можно обеспечить вы-
выбором такого значения Хг > 0, что при всех X < Хх вещест-
265

венные части ot всех корней $t (К), i = 1, 2,.. ., п9 уравнения
det (H (к) — р£) = 0 были отрицательны.
В силу B7.10) для нормы вектора z(t) получим оценку
|| г (t) || < Ве-«< || z01| + KB j" j <r« || f (s- x, X) || || z (r) || dsrfr.
о о
B7.11)
П
Здесь норма ||z|| определяется равенством ||z|| =
/г=1
Норма матрицы Л = (ал</), согласованная с введенной нормой
вектора, определяется формулой
где cij — j-и столбец матрицы А.
Введем функцию m(t) = eat \\z(t) ||. Легко видеть, что
m(t) 4.B || г01| + ЯЛ f f ^~as || Г (s — т, Я) || m (s) dsdx.
о о
Отсюда, предполагая, что
со
М== {||Г(/Д)||Л< оо, B7.12)
о
получаем
II <-* /А II S D II <t II ЛР(^)^ /07 1 Q\
I) % \l) II -^> LJ II -^0 I] £ » ^Z/ . loj
где р(Я) = Я5/И —a. Выберем Я2 > 0 так, чтобы при всех
XfiM— a = p(X)<0. B7.14)
Тогда в силу B7.13) из соотношения B7.14) получим оценку
II х (t) || < В || х01| (е-Р<*>< + X f || Г (s, X) || e-P^W). B7.15)
Далее в неравенстве B7.15) полагаем, что X < Хо =
= min (Х1э ^2)- Легко проверить, что предположение о
непрерывной дифференцируемости Г (/, X) по t равносильно
266

предположению о непрерывной дифференцируемости ядра
В (/). Из вышеизложенного вытекает следующее утвер-
утверждение.
Теорема 27.1. Пусть выполняются следующие условия.
Г. Нулевое решение системы B7.1) неустойчиво.
2°. Все характеристические числа матрицы А простые
и отличные от нуля.
3°. При всех t > О матричное ядро В (t) непрерывно
дифференцируемо.
4°. Существует такое число Хо > 0, что при всех зна-
значениях % < Ко матрица Коши Ф (t, X, 0) уравнения B7.8)
удовлетворяет оценке B7.10) и выполняется неравенство
B7.14).
5°. Выполняется условие B7.12) и одно из неравенств:
а) J||r(s,b)||ds<oo,
б) || Г (/, X) || < Го < оо
или
в) ||Г(*Д)||->0 при /->оо.
Тогда при л < Хо нулевое решение системы B7.2) устой-
устойчиво (условия 5°, а, б) или асимптотически устойчиво
(условие 5°, в) по Ляпунову.
Утверждение теоремы следует непосредственно из оцен-
оценки B7.15).
27.2. Случай линейной нестационарной системы. Рас-
Рассмотрим линейную нестационарную систему
^-=Л(/)г/, B7.16)
где у 6 Еп, A (t)—непрерывная на Jo матрица п х п.
Пусть нулевое решение системы B7.16) неустойчиво. На-
Наряду с системой B7.16) рассмотрим возмущенную систему
t
4L = A (t) x + X j В (U т) х (x)dt, B7.17)
о
где В (t, т) — (п х я)-матрица с непрерывными при / > т > 0
элементами. Как и в п. 27.1 введем выражение
t
х - К j Q (U s)x(s)ds = z (/), B7.18)
267

с помощью которого получим интегро-дифференциальную
систему
t
*L = H(tД) - X J* Г, (*, т) 2 (т) dx, B7.19)
6
где
Г* (/, т) — резольвента матричного ядра Q (U s) = — Л"" (t) X
XB(t,s).
Рассмотрим систему
§)г, г@) = го. B7.20)
Пусть Ф (t9 0, X) —- матрица Коши системы уравнений
^)Х, Х@)=Е. B7.21)
Предположим существование чисел В > 1, а>0 и
таких, что
|| Ф (/, 0, X) || < Be~at при всех t > 0 B7.22)
и X < Хг
Соотношение B7.19) представим в интегральной форме
— Х[ |ФE,0Д)Г(E,т)
B7.23)
Далее, учитывая B7.22), находим
z(t)\\<Be-«<
Предположим,
II zo II + *
что
M0 = J|
0
0 0
1 г( (/, т;
"as II г,
)ll dt <
(s, т) || ||
оо
z(s)\\dsdx.
B7.24)
B7.25)
при всех / > т > 0. Назначим Я2 > 0 такое, чтобы при
-a = pQ(X)<0. B7.26)
268

При этом, как и выше, получаем оценку
II х @1| < В || х01| (егММ + х Г||Г« E, т
\ о
\ о
B7.27)
В неравенстве B7.27) полагаем % < h0 = min (Я1э Х2)-
Теорема 27.2. Пусть выполняются следующие условия.
1°. Нулевое решение системы B7.16) неустойчиво.
2°. Матрица A (t) имеет обратную A~l (t) и непрерыв-
непрерывна вместе с ней на Jo.
3°. Резольвента Tt (t, т) непрерывно дифференцируема
по t при t > т > 0.
4°. Существует Хо > 0 ma/сое, что при X < Хо матри-
матрица Коши системы B7.20) удовлетворяет условию B7.21)
и выполняется неравенство B7.25).
5°. Выполняется условие B7.25).
6°. Выполняются условия
а) ф @ = J|| Г, E, х) || e-^K)sds < kx < оо;
б) ф(/)->0 При /-^оо.
Тогда при К < Хо нулевое решение системы B7.17)
устойчиво (условие 6°, а) ила асимптотически устойчиво
(случай 6°, б) по Ляпунову.
Замечание 27'.1. Условие 4° теорем 27.1, 27.2 по суще-
существу означает, что системы B7.8), B7.20) экспоненциаль-
экспоненциально устойчивы. В случае системы B7.8) это означает, что
полином Р (Р) = det ф£ — Н (X)) асимптотически устой-
устойчив.
Напомним, что полином Р (р) называется асимптотиче-
асимптотически устойчивым, если все его корни имеют строго отри-
отрицательные вещественные части. Необходимые и достаточные
условия асимптотической устойчивости полинома да-
даются теоремой Рауса — Гурвица [112]. Условия устой-
устойчивости систем B7.2) и B7.17) можно получить и при
более сильных условиях относительно систем B7.8), B7.20).
Такие условия при X = 1 содержатся в работе [32].
Укажем теперь в эффективных терминах некоторые
условия асимптотической устойчивости системы B7.20).
С этой целью B7.20) представим в виде
-у «Щ>(Ь)+В(/Д)]2, B7.28)
269

где
Но (X) = lim T~] J (А (/) + К A~\t) В (/, 0) dt,
а матрица В (t, X) характеризует отклонение матрицы
Н0[(Х) от матрицы Я (/, X).
"Теорема 27.3. Пусть при всех t > 0 и X < Хо выполне-
выполнено неравенство || ехр Яо (Л,) /1| < М ехр (— at). Если найдут-
найдутся такие tx > t0 и г > 0, «^то при t>t1 и X < Хо справед-
справедливо неравенство \\ В (t, X) \\ < е < -^-, то система B7.20)
асимптотически устойчива.
Теорема 27.3 является теоремой А. М. Ляпунова [50],
сформулированной для системы B7.20).
Введем функцию
где б > 0«— некоторое число, при котором характеристи-
характеристический полином матрицы Но (К) + $Е асимптотически
устойчив.
Пусть Мо -— наибольшее значение функции ^ (/) на
полуоси Jo. Если теперь при достаточно больших t и Х?
выполнено неравенство
то система B7.20) асимптотически устойчива.
Если В (t, X) -> 0 при / -> оо и характеристический
полином матрицы Но (К) при X < Хо асимптотически устой-
устойчив, то система B7.20) асимптотически устойчива.
Доказательства приведенных утверждений можно
провести на основе результатов монографии [103, с.
32—36].
27.3. О структуре области допустимых параметров ин-
интегральных связей. Рассмотрим систему интегрально свя-
связанных подсистем
i/(/ + ?]5(p)()a'x) 5=1,2 т.
B7.29)
270

Здесь xs (= £л, функции /s(/, xs) непрерывны по / и удовлет-
удовлетворяют условию Липшица по xs, Bs (t, xv .. ., xs_p xs+1,...
. ..,xm) —суть функции /g/a, xs^Q(H)} и р£В E —до-
—допустимое множество параметров). Предположим, что прд
Х — О для систем B7.29) существуют такие функции vs(t,
xs) > 0, что v (/, х) = 2 us (^ x8) — функция определенно-по-
s
ложительная, допускающая бесконечно малый высший
предел.
Ограничимся для простоты случаем s = 1, 2 и предпо-
предположим, что
^ + А^'.<'.*,)«0. B7.30)
Учитывая B7.30) для функции v8(t,xa(t)) вдоль решений
х (t) с начальными условиями х°, получим оценки
I
o S 0
Существование и знакоопределенность среднего
to+T 1
С DV (t,X) С ~
^^ ^ (ТI Х1 Р) х^ (Т)) ,,^ = ^^ (/
играет существенную роль при качественном исследовании
свойств решений системы B7.29).
Пусть Вг (р) и В2 (Р) — области, где
♦Л.'о'Рх-8?; *2('о^о«Р)<-^ B7-31)
Введем в рассмотрение Ла операцию [95], определяемую
формулой
т
B7.32)
где а = а (х, у) — произвольная функция, удовлетворяющая
условиям — 1 < а < 1; а (х, у) = а (у, х) = а (jc, г/)=а (*/, х).
При а = 0 из B7.32) имеем
271

Если операцию извлечения квадратного корня заменить
операцией взятия модуля, то при а = 1 из B7.32) полу-
получаем
1/. , . |, • i\
Недифференцируемость этой операции можно устранить,
умножив | х | на я, т. е. введя операцию у = Modmjc s
= \х\хт£Ст.
Определим область В (а, р) с помощью неравенства
i|Vy|J<-62 (— 1 <сб< 1). B7.33)
Область В (а, р), определяемая с помощью неравенства
B7.33), является областью допустимых параметров свя-
связей, обеспечивающих одновременное выполнение условий
B7.31).
Вопросы для исследования
1. Применить развитый в § 16 алгоритм построения функций Ляпунова
и получить условия устойчивости в задаче трех тел.
2. Алгоритмизовать процесс исследования устойчивости на основе
результатов § 15 и 17 при выполнении условий для систем, огово-
оговоренных в этих параграфах.
3. Развить способ § 16 построения функции Ляпунова и исследовать
резонансные случаи в линейных канонических системах.
4. Установить принцип сравнения с функционалом Ляпунова, выра-
выраженным в виде разложения по степеням малого параметра.
5. Построить области притяжения решений в задаче о пространствен-
пространственных движениях твердого тела.
6. Развить алгоритм построения периодических решений на основе
двусторонних приближений Чаплыгина и метода построения функ-
функций Ляпунова (§ 16) для соответствующих классов систем.
7. Получить условия, при которых система B7.17) неустойчива, в то
время как система B7.16) устойчива. Естественность такой поста-
постановки доставляет пример системы
dxx
dt
dx2
dt
1
t+l
x* A- A
1
^4-1
('T+l
0
Xn t ^
при К = i (см. [32]).

Глава III
ИССЛЕДОВАНИЕ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ
С РАЗНОРОДНЫМИ ПОДСИСТЕМАМИ
В этой главе рассматриваются вопросы качественного
поведения решений озаглавленных систем с подсистемами,
содержащими распределенные параметры запаздывания и
случайные функции. Рассмотрен также случай дискрет-
дискретных систем. В заключение главы рассматривается вопрос
оценки параметров моделей обособленных подсистем слож-
сложной системы на примере систем обыкновенных дифферен-
дифференциальных уравнений. Сформулированный при этом прин-
принцип пакетного входа нашел применение при построении и
исследовании автономных инверторов модуляционного типа
с повышенным качеством выходной энергии [102].
В главе принят следующий порядок изложения: в
§ 28 приводится общий вид дифференциальных уравнений,
описывающих движение системы с разнородными подси-
подсистемами и анонсируется идея применения дифференци-
дифференциальных форм при исследовании систем, индуцирующих
общую систему [31] в метрическом линейном нормиро-
нормированном пространстве, в § 29 эта идея применяется для
исследования замкнутых многообразий решений много-
многомерных динамических систем, в § 30 проводится исследо-
исследование конечной устойчивости за ограниченный промежуток
времени общего вида систем с последействием и иссле-
исследуется устойчивость по Ляпунову систем, связанных не-
нелинейных дифференциальных уравнений с запаздывания-
запаздываниями, в § 31 исследованы аналогичные вопросы для разност-
разностных уравнений, в § 32 рассмотрены системы со случай-
случайными марковскими процессами и установлены теоремы об
устойчивости по вероятности систем на конечном интер-
интервале времени, в § 33 приведены алгоритмы оценки пара-
параметров моделей обособленной подсистемы и подробно рас-
рассмотрен класс линейных нестационарных систем.
Некоторые вопросы, изучаемые в настоящей главе,
рассматривались также в работах [7, 9, 44, 74, 108, 1251.
18-4-761
273

§ 28. Предварительные замечания
28Л. Математическое описание сложной системы с раз-
разнородными подсистемами. Приведенные уравнения A.1)—
A.5) совместно с уравнениями неразрывности, состояния
и притока тепла и граничными условиями A.7) — суть
уравнения возмущенного движения сложной системы с
разнородными подсистемами. Таким образом, в общем
случае, т взаимосвязанных подсистем различной приро-
природы могут быть описаны следующими системами уравне-
уравнений [741.
1°. Конечной (или счетной) системой обыкновенных
дифференциальных уравнений
^ = X(t,xvu{), B8.1)
где /€4>«[0,оо), *,€£,. <*,€*/,. я, (/0) € ЯJ с= £,,
X(t,xl,ul):JoxEl xUx-+Ex.
2°. Системой интегро-дифференциальных уравнений
^ = Y (yv U q> и2) + J К iyv U Я, p. u2) dp, B8.2)
Q
где
Y,K: Jo X E2 x E3xU2-+EA.
3°, Системой параболических уравнений с сильно эллип-
эллиптическим оператором
q,ym_l{t,0,^^,um_^ B8.3)
'-1.2 nm_v
Здесь
274

при
£m_,-^(Q), A™(t,q):TxE3,
Г _, :T х Е3 х £m_, x £m_, x Um_,.
Путем введения подходящих функциональных про-
пространств £ц уравнения каждой fi-й подсистемы сводятся
к обыкновенному дифференциальному уравнению в функцио-
функциональном пространстве £д. В свою очередь из такого рода
подсистем можно получить замкнутую систему дифферен-
дифференциальных уравнений
§-= *(/,*(/)) B8.4)
в произведении пространств Е = Е{ х Е2 х ... X Ет .
Оператор X (/, х (/)) в системе B8.4), вообще говоря,
неограничен. Предположим, что выполняются условия су-
существования решения x(t, to,xo) на промежутке Т= [t0, т) с;
G /0 при л: (/о) £НоаЕ.
Предположим, что совокупность систем дифференциаль-
дифференциальных уравнений B8.1)— B8.3) индуцируют некоторую об-
общую [31] систему.
Напомним [31], что в метрическом пространстве Ф задана общая
система, если определено двупараметрическое семейство FJ преобра-
преобразований R на себя, обладающее следующими свойствами:
1) для любого р £ R и tQ > 0 определено множество F^Jip) (Z /?
при / > tQ, F\jLp) не пусто;
2) F\o(p)^p при t-+to + 0;
3) для любого элемента рг £ F\ (p) определено множество F\ (рг)
такое, что
F*tt (Pi) = F\9 (Р) ПРИ * > к Рх € Р\й (РУ
Множество М называется инвариантным по отношению к общей си-
системе, если из р£М следует, что F\ (р)сМ при любом *>*0.
Здесь через F\9 (p) обозначена траектория движения.
Введем понятие замкнутого инвариантного многообра-
многообразия решений общей системы, расположенной в метри-
метрическом пространстве.
18* 275

28.2. Применение дифференциальных форм [56]. Пред-
Предположим, что на многообразии ЗЛ с R определена тополо-
топология n-мерных сингулярных кубов. На р-мерных цепях
1Р(*,, • •., *„) = 2 «(/l""W хп Л • • • Л х1р B8.5)
рассмотрим дифференциальные формы
юр(хр ....*„) = 2 *Х'р*1Х Л • • • Л */р
Г@
р-й степени, где Гю — множество систем индексов {/р ...
Определение 28Л. Замкнутым инвариантным многообра-
многообразием (поверхностью решений общей системы) будем
называть границу (или дифференциал) р+ 1-мерной цепи
£р+1(кр ..., хп), определенной на многообразии Ж.
Напомним, что границей (дифференциалом) р-мерной цепи назы-
называется (р — 1)-мерная цепь
dlP(xv ..., хп) =
где
^^ 2^
Лемма 28.1. Если общая система такова, что для
нее существует дифференциальная форма сор, обращаю-
обращающаяся в нуль на любых (р + \)-мерных цепях £р+1 (хъ ...
...,хп), а ее внешняя производная dof не обращается в
нуль всюду на DH, то у нее не существует замкнутых
многообразий решений.
Доказательство. В соответствии с опреде-
определением введем следующее обозначение:
шр = ^Р+1 B8.6)
Далее предположим, что условия леммы 28.1 выпол-
выполняются и существует замкнутое многообразие решений
общей системы. Принимая во внимание обозначение B8.6),
обобщенную формулу Стокса [100] запишем в виде
J со"= J Ж/. B8.7)
276

При выполнении условий леммы 28.1 имеем
Г (М*ФО всюду на ОТ B8.8)
+1
И
f сор = 0 всюду на £Р+1 £ ЭП B8.9)
в силу формулы Стокса B8.7) и свойства двойственно-
двойственности между векторами и формами, а также формами и их
внешними производными одновременное выполнение усло-
условий B8.8) и B8.9) невозможно. Полученное противоречие
доказывает лемму 28.1.
28.3. Построение возмущенных функционалов Ляпу-
Ляпунова. Предложенный в § 16 способ построения функций
Ляпунова применим к исследованию устойчивости реше-
решений систем уравнений с частными производными.
Пример 28.1. Исследуем устойчивость нулевого решения си-
системы дифференциальных уравнений [12]
B8.10)
Совершим замену переменных
х (t) = г @ + \iAu (f, s), и (/, s) = а (/, s),
где Л — некоторый оператор над функциями от s, заданными на [0,я].
Пусть z (t) — решение дифференциального уравнения
dz (t)
-3T"=|wz@ + |i1/?. B8.11)
Осуществляя замену, получим
а = а — Л/ (s), R = аАи (t, s),
где оператор Л удовлетворяет уравнению
2 Я
Л —гт = \ и (t, s) ds, и (t, 0) = и (/, л) = 0.
277

Решая это уравнение с помощью разложения и (t, s) в ряд Фурье, по-
получим явное выражение для А:
Следовательно, нулевое решение системы B8.10) устойчиво в пер-
первом приближении, если а < 0, т. е. при выполнении неравенства
^пB*-
Построим при а<0 в первом приближении функционал Ляпунова
и для системы B8.10). Сделаем в уравнении
JaJLA.=i!«j££L + / (S) (z (о
JaJL£
замену переменных
u(U s) = y(t, s) + <p(s) z (О, Ф@) - Ф(л) - 0,
где функция ф (s) удовлетворяет уравнению
d 2Ф (s)
^ + / («) + ^ (/ (s) - ^а) Лф (s) - «W (s) = 0. B8.12)
as
Это уравнение можно решать обычными методами. В частности,
если / (s) se sin s, получим
Ф (s) » A + |i) A + aji)-1 (ц + sin s).
В общем случае дифференциальное уравнение B8.12) приводится к
интегральному:
я s
где
я
♦ (т) s / (т) - ^аф (т) - ii (/ (т) - 1Ш) Г ^
0 *»
Это уравнение может быть решено с помощью метода последователь-
последовательных приближений. Для у (t, s) получим кнтегро-дифференциальное
уравнение
I — [хаф (s))x
B8.13)
J Ad Я^Л— 1)"
О А—1
278

Для системы уравнений B8.11), B8.13) имеем определенно-положи
тельный функционал
л
v (г, у) = 22 + f у2 (/, s) ds.
о
Переходя к переменным системы B8.10), получим определенно-
положительный функционал Ляпунова
4 sin B/g — 1)т
лB£-IK
) ds.
Замечание 28.1. Построение функционалов Ляпунова для уравне-
уравнений с частными производными можно осуществить с помощью внеш-
внешних дифференциальных форм [123]. Возможность применения аппара-
аппарата дифференциальных форм к анализу систем с частными производны-
производными (включая системы Пфаффа) отмечалась в статье [56].
Замечание 28.2. Метод дифференциальных неравенств, исполь-
используемый в гл. I, II, имеет эффективное применение и при исследовании
устойчивости систем с частными производными.
Пример 28.2 [94]. Пусть в ограниченной области G прост-
пространства Еп с границей Г = dG задано уравнение
ди
-$f = Lu + f(t, х, «), (U x)£JQxG, u\T= О,
и (О, х) = ф (л-),
где / — возмущение эллиптического оператора Lu в области G.
Предположим, что в области G выполняется неравенство
uLudx < — % [ иЧх, и |г = О
о G
при некотором ^
Рассмотрим функцию v (t, и) = |) и (t, x) ||, где
|| и || = V{u7u~), {и, v) = [ uvdx,
= J .
и предположим, что для некоторого 0<Y<^tf<^co, k<^% при
II и II <С V> t > 0 возмущения удовлетворяют оценке
II/(/, х, и) ||<Л|| и ||+ + (/) || и ||1+а. а>0
279
еа{к~К)

Тогда для любого положительного е <; у при
Г со —1/2
||ф||<б= e-a + ajea<*-*4(s)ds
для функции v (t, и) имеет место оценка
и('.«@) <ze{k-%)t B8.14)
при любом t £ [t0, т).
Уравнение сравнения при этом является уравнением Бернулли:
Условие устойчивости из неравенства B8.14) следует очевидным
образом.
§ 29. Условия отсутствия
замкнутых многообразий решений
в многомерных стационарных системах
В этом параграфе лемма 28.1 применяется для иссле-
исследования стационарных многомерных систем
•^ =Х>(хр...,*„), i=l,2,...,/i, B9.1)
правые части которых Хг—достаточное число раз диффе-
дифференцируемые функции. Предполагается, что на промежутке
Ja решение x(t) системы B9.1) существует и единственно.
Опр делим в области Gn с Еп цепь t? как совокупность
точек, зависящих от р-парамегров у[У.. . ,ур. В этом лу1|ае
координагы xv...,xn точки s£Gn суть функции этих пара*
метров
*, = *i (Ур • • • >УР)>
х2 = %(У{>'-->Ур),
B9.2)
*п =
280

Составим матрицу
А =
I9*!
дУР" ' дУ*
Х2 ...Хп I
которая характеризует взаиморасположение векторного поля
X (х) и векторов zs = (-^— ,..., -gjp j» 1 < s ^ p.
Легко видеть, что направление векторного поля Х(х) и
векторов z8 суть касательные к гиперповерхности B9.2).
Так как при этом Х(х) и z8 линейно зависимы, то любой
из определителей ^...у +1i 1 <: /t < ... < /р+1 < л, матри-
матрицы Л удовлетворяет условию
/р+1
D.
=0.
B9.3)
Определим теперь некоторую класса С1 функцию
В. J (х) в области Gn и составим дифференциальную
форму
(ор = У Bf , (х) D. . dy. Л • • • Л dyn. B9.4)
Простые преобразования дифференциальную форму B9.4)
приводят к виду
B9.5)
• •. Л
Л • •. Л
x.
где «^» означает пропуск этого индекса.
Следовательно, в силу B9.3) дифференциальная форма
B9.4) или B9,5) обращается в нуль на цепи £р,
281

29.1. Критерий Дюлака. Имеет место следующее пред-
предложение.
Теорема 29.1. Если для многомерной системы B9.1)
можно указать в области Gn функцию В (х) класса С1
такую, что дивергенция вектора ВХ в области Gn
def
ила
divEX)<0 B9.7)
{при этом знак равенства допускается лишь на множестве
точек меры нуль), то в области Gn многомерная система
B9.1) не имеет замкнутых многообразий решений.
Доказательство. Исходя из леммы 28.1, вычис-
вычислим для дифференциальной формы о/, определенной выра-
выражением B9.5) (с/ = 0 на £р), внешнюю производную do/
на Ж
2 )d*nA--*Adv B9-8)
где
-1)m+I signn (/°-r) x
X
B9.9)
При р == п — г из формулы B9.9) находим
и, следовательно, для дифференциальной формы
dop = div {BX)dx{ Д ... Л ^
выполняется условие (ор == dcop~1. Но так как о/~ =0 на
ai^1, то f о/-1 = о.
282

По формуле Стокса имеем
j B9.10)
Однако ввиду того, что произведение dxx Л • • • Л &р
как элемент объема, a div(fiX) по условию теоремы 29.1
сохраняет знак, то f daP Ф 0. Но это противоречит теореме
V
Стокса в форме B9.10).
Полученное противоречие доказывает теорему.
Следствие 29.1. (Критерий Дюлака [2] для односвяз-
ной области). Пусть
% -P(x.y). f-Q(x.y) B9.11)
— аналитическая динамическая система, G — некоторая
односвязная область, входящая в область определения си-
системы B9.11). Если существует определенная в области G
функция В (х, у) класса С1 такая, что
ИЛИ
(при этом знак равенства допускается на множестве, со-
состоящем из конечного числа отдельных точек и гладких
кривых), то в области G не существует простых замкну-
замкнутых кривых, составленных из траекторий системы B9.11).
Из теоремы 29.1 получим обобщенный критерий Бендик-
сона. Пусть функция В (хи . . . , хп) представляет собой
первый интеграл системы B9.1).
Теорема 29.2. Если для многомерной системы B9.1)
существует первый интеграл
В(хг,... ,хп),
образующий при изменяющемся h семейство односвязных
поверхностей, и каждая простая замкнутая линия, пол-
полностью лежащая на поверхности В (xlt . . . , хп) = Л,
ограничивает конечную ее часть и выполняется условие
п
div X (х) = V 4- X (х) > 0 B9.12)
283

или
divX(x)<0
(при этом знак равенства допускается лишь на множестве
точек меры нуль), то система B9.1) не имеет замкнутых
(я-—\)-мерных многообразий решений.
Доказательство. Теорема 29.2 является след-
следствием теоремы 29.1.
Следствие 29.2. (Критерий В, Б. Демидовича [120].)
Пусть в системе
^=P(x,y9z),-^ = Q(x9y9z)9-§- = R(x9y,z) B9.13)
правые части Р (х, у, z), Q (х9 у, z), R (х, у, г) определены
и непрерывно дифференцируемы в односвязной области G3.
Если система B9.13) имеет первый интеграл
Н(х9у9г9) = h
и при изменяющемся 0 < h < оо образуется семейство про-
простых связных поверхностей, каждая простая замкнутая,
полностью лежащая на поверхности Н (х9 у, z) = h'y
линия ограничивает конечную часть этой поверхности,
кроме того, в области G3 выполняется условие
или
где
и (i, /, k) — единичные векторы (при этом знак равенства
допускается лишь на множестве точек области G3 меры
нуль), то система B9.13) не имеет проходящих во всей об-
области G3 замкнутых кривых решения.
29.2. Критерий Пуанкаре. Установим теперь критерий,
обобщающий результат А. Пуанкаре [90].
Рассмотрим дифференциальную форму конкретного вида
и предположим
<о" = do" = 2 G7l , (х) dx Л ... Л dx B9.14)
Гй) " *
где Q, . (х) — некоторые функции класса С1.
284

Пусть в Gn а ЗН существуют аналитические функции
^...трф. гда
Щ < т2 < ... < тр+1 < л; а =1,2,..., е\ е=р!(п__р)! •
Теорема 29.3. £ош Зля многомерной системы B9 Л) мож-
но указать в области Gn функции (^
С1, при которых определитель
(х)
0а
т{
Q
т\
...тр
...тр
класса
где
r=l 1=1 -к
сохраняет постоянный знак, т. в.
sign а — const, B9.15)
за исключением особых точек, то в области Gn cz ЗД не со
держится замкнутых многообразий решений системы B9.1)
{Доказательство. Выполняя преобразования,
аналогичные проведенным в теореме 29.1, и применяя
лемму 28.1, нетрудно убедиться в справедливости тео-
теоремы 29.3.
Следствие 29.3. Для системы B9.11) из условия B9.15)
вытекает классический критерий А. Пуанкаре отсутствия
замкнутых траекторий на плоскости. Так как в этом случае
<* = Р!2 (*> У) №хр (*> У) + Q^Q (*> У)]>
то условие B9.15) означает, что
sign (Qi Pj (x, y)+Q{yQ (х, у)) Р|2 (х, у) - const
везде на G2, за исключением особых точек.
§ 30. Исследование устойчивости
сложной системы с запаздываниями
Задачи устойчивости систем с последействием были
предметом ряда исследований [29, 40, 41, 54, 92, 113]
и других. В результате проведенных исследований установ-
установлено, что формулировки основных теорем А, М. Ляпунова
285

почти не изменяются, если систему обыкновенных диффе-
дифференциальных уравнений заменить системой уравнений с
запаздываниями. Все же приемы такого перенесения ока-
оказались малоплодотворными. В работе [92] было дано более
эффективное развитие метода функций А. М. Ляпунова,
однако необратимость предложенных теорем лишала их
главного достоинства — универсальности. Специфика си-
систем с последействием обнаруживается путем использо-
использования вместо вспомогательных функций функционалов Ля-
Ляпунова. Этим методом в работах 140, 41 j были получены
общие теоремы об устойчивости систем с последействием и
их обращение.
В настоящем параграфе исследуются озаглавленные
системы на устойчивость в конечном за ограниченный про-
промежуток времени, а также в случае наличия запаздываний
в функциях связи подсистем.
30.1. Предварительные сведения. Рассмотрим систему
с последействием общего вида
^ = Л'. [t,x} (t + 0),.. .,xn(t + Щ, i = 1,2,.. ., л, C0.1)
и предположим, что правые части Хг (t,x{(d),.. >,хп(Щ
определены на кусочно-непрерывных функциях хг @) аргу-
аргумента Ф, который изменяется в пределах — т < Ь < 0
(т = const > 0).
Введем обозначения
||* ф)\\т = sup (| хх (Щ при 1 < i < я), C0.2)
— т < д < 0,
сохраняя символ ||х|| без индекса для обозначения нормы
вектора х в арифметическом пространстве. Предположим,
что Xt удовлетворяет условию Липшица, т. е.
\\Х(/,х) -X(/,х')\\ <L\\x-x% L = const > 0,
где X(t, х) = (Х{9..., Хп), и как обычно предполагаем, что
Х} (/, х. Щ = 0 при х. (О) = 0, I = 1,2,..., п\ / = 1,2,.. .,л;
— х<.Ъ <0.
При выполнении перечисленных условий решение (обозна-
(обозначим его через х(хо(ОоМо»0> ^0 ^ [—х, 0]) системы C0.1)
существует при начальной кусочно-непрерывной функции
286

{}, * «1,2,..., л; Фое[—т,0]. Эти решения
будут продолжимы для всех тех / > /0, у которых кривая
остается в области
\\х (Щ\х <Н (И = const > 0). C0.3)
Пусть на отрезке [—т,0] определены непрерывные век-
вектор-функции х($) с компонентами {хх (О),..., хп @)}. При
каждом фиксированном t > t0 на непрерывных вектор-
функциях х (Ф) £ С ([ — т,0], £„) определяется функционал
Приведем следующие определения [40].
Определение 30.1. Функционал 0 [/,*(#)], определенный
на непрерывной вектор-функции #(ft)gC([—т, 0], Еп)
при
|И#|<Я0(#0<#), C0.4)
называется определенно-положительным в области C0.4),
если можно указать непрерывную функцию w (г) > 0 при
г ф 0, удовлетворяющую условию
v[tix(n>w(\\x\\), C0.5)
и если ti[/,0]s0.
Определение 30.2, Функционал v U, х (О)] допускает в
области C0.4) бесконечно малый высший предел, если
можно указать непрерывную функцию W (г), удовлетворя-
удовлетворяющую условиям
v И, хх (#),..., хп {Щ < W (\\х(Ъ)П W @) = 0. C0.6)
Подставим в функционал v [t, x{ ($),..., хп @)] вектор-
функцию (xt(x0(-)9 <0,/0 + Ф)), ^0(-)еС([—т,0), £я), опре-
определяющую элемент траектории, соответствующий моменту
времени < > /0. При этом функция
l(f) = v \U х{ (х0 (О), <0, / + О) ^ (х0 @), fof /0 + 0)] C0.7)
есть функция времени.
Величина
д(->+оРХ1 v ow. о- C{)8)
ф), < + Afl — о 1х (дг0 (•), /0. 'о + О), П) /А/}
287

называется верхним производным числом для функции v(t).
Эту величину будем обозначать символом | lim sup )
W+ /()
где индекс C0.1) обозначает номер систем, вдоль траектории
которой вычисляется предел -д~-.
Величина этого предела называется определенно-отри-
определенно-отрицательной в области C0.4), если можно указать непре-
непрерывную функцию wt(r), удовлетворяющую условиям
* -"■<»*('•(*•)• '••' +»>«)• (зо.9)
щ@)=0 и wx(r) > 0 при гф09Цх(х0 (.), '<» t + Щ\*<Н, t > 0.
Величина lim sup -Л- играет роль производной -^- в
Af->+0 ai at
Af>+0
силу уравнений C0.1).
Определение 30.3, Функционал vx [/, хг (д),.. .,хп {&)]
называется нижним производным функционалом от функцио-
функционала v[t,x($)] в силу системы C0.1), если при подстановке
в этот функционал любого решения х (х0 (%), /0, /) системы
C0.1) из области C0.2) справедливо соотношение
=Vi lt> x {x° (*o)> to> t)]-
30.2. Задача о конечной устойчивости систем с после-
последействием. Сформулируем теперь постановку задачи о
(X, Л, /0, 7, ||-^-устойчивости для уравнений с последей-
последействием. Важность такой задачи для уравнений C0.1), как
и для систем обыкновенных дифференциальных уравне-
уравнений, определяется рядом технических вопросов, при ре-
решении которых величины X, Л, /0, Т и ||-|| заранее фик-
фиксируются.
Определение 30.4. Нулевое решение системы 30.1 назы-
называется (X, Л, /0, Г, ||.||) -устойчивым, если для решения
х (х0 (д0), /0, t) с начальной функцией х0 (д0) из области
<b C0.10)
выполняется неравенство
1И*о(#о)Л,0||т<Л C0.11)
для всех t$[t09T].
288

Определение 30.5. Нулевое решение системы C0.1) на-
называется (А,, Л, t0, 7\ || • ||) -неустойчивым, если для решения
x(xo($o)tto,t) с начальными функциями из области
существует момент времени tx g [t0, T] такой, что
><1IГ==Л. C0.12)
30.3. Теоремы об устойчивости и неустойчивости в ко-
конечном систем с последействием. Прежде чем переходить
к формулировке соответствующих теорем, при заданных
К и А (к < А) определим
vfnf (t) = inf (v [ty x m при \\x (Щ? = A\
<> W = SUP (v I'. *
Теорема 30.1. Пусть система C0.1) такова, что су-
существуют функционал v[t, х(Щ и интегрируемая функция
Ф (t)y определенные на интервале [t0, t0 + 71] а такие, что
нижний производный функционал Vx[tyx{&)] удовлетворяет
условиям
Г. vx [t,x@)] < ф @ Зля всех дс(«) gГ~\1\, C0.13)
2°. J Ф (s) ds < ^nf (g - ^up (^), /2 > tv C0.14)
*i
тогда решение х = 0 (А,, Л, ^0, Г, || -||) -устойчиво.
Доказательство. Пусть x(x(ft), t0, t) — траектория
системы C0.1) и существует t2 > t0 такое, что
Тогда существует момент времени tx < t2, при котором
\\х (х (*), /0> у II = ^,^i € [<о. 1о + Л, ^i < 'г
Можем записать
C0.15)
19-4-761 289

В силу условия C0.13) и определения iA (t) получим
v [x (#), t2] < сЛцр (у + ] у (s) ds C0.16)
и в силу C0.14)
2]<v?nf(t2). C0.17)
Из C0.17) следует \\х (х (#), t0, t2)\\T ф Л, что противоре-
противоречит первоначальным предположениям о t2. Следовательно,
t2£JT и ||* (х ($),t0J /) ||т < Л для всех /£[/0,Г]. Теорема
доказана.
Определим количества
)]9
9, T]
и сформулируем следствие теоремы 30.1.
Следствие 30. L Невозмущенное движение системы C0.1)
(к, Л, t0, Г, ||.||) -устойчиво, если существует функцио-
функционал v (ty х @)), указанный в теореме 30.1, ер (/) ==s 0 и вы-
выполняется неравенство
sup v [К Т] < inf v [Л, Т] в области \\х (Щ\ < Л.
Замечание 30.1. В формулировке теоремы 30.1 и ее следствии ЗОЛ
требование определенной положительности функционала v[t, x($)] и
условие v[t, 0]=0 могут не выполняться. Это, разумеется, недопустимо
в случае исследования устойчивости систем C0.1) по Ляпунову.
Теорема 30.2. Если для системы C0.1) существуют функ-
функционал и функция {х @, указанные в теореме C0.1), а также
Y < Л и выполняются условия
vx
Г. vx [t, x (*)] < \х (/), х @) б TA\Tr 16 У;
2е.
3°.
mo решение х*= 0 системы C0.1) (К, у, *0,7\||.||) -устой-
-устойчиво.
290

Доказательство теоремы подобно доказательству преды-
предыдущей теоремы и на нем останавливаться не будем, а дока-
докажем теорему о неустойчивости [66], аналогичную теореме
Н. Г. Четаева [112].
Теорема 30.3. Система C0.1) будет (%,A,to,T,\\.^-неустой-
(%,A,to,T,\\.^-неустойчива, если существуют функционал v[x(ft),t], интегрируемая
функция ф (t) у/ £ J с JT и у<К Г, < Т и множества Q,
Ф (t) = {л: (д):р [х (О), /] > i£p @), /(Е ^
где if (/) = Q П Ф (t)—связное и непустое для t^Jr,1^ (to +
+ Г,) П дТА = 0, такие, что
■ 1) vi[x(if),t]>\i(f) для всех t£JT,
*(*)€*(/); C0.18)
2) существует х0 (ft) g ij) (/0), V< II хо (*) Ц< ^
a)
6) j fi (s) ds > t£up (g - v [x0 (d), g; C0.19)
(',
3) v [x (V), t0 + T{] < vfup (t0 + Tx) при всех
f Т.). C0.20)
Доказательство. Рассмотрим траекторию х(х(■&),?0,
0 такую, что х (х0 (*), /„, g = л:0 (д) g т|) (g. Пусть ^2 б I*,
*о + Л! ~~ пеРвый момент времени такой, что у [х (О), /0, д=
Предположим, что || х (х0 (*), /0,0 ||т < Л для всех /£[*„,
/г). Тогда
у !'я. * (*0 W. 'о» 'яМ > <йр 02) C0.21)
и мы получаем противоречие с существованием t2. Следова-
Следовательно, v It, х (#)] > yvup до ПрИ всех ^ е [<о) ^ + 71. О1сюда
следует || х (х0 (d), t0, t) ||* < Л для всех / ^ ['„, t0 + Т] и тогда
(*)O ПРИ всех //
19* 291

Предположим, что ||х(хо(Ф),/о>/)||х < А при всех t£[tQ,
to + T{]. Тогда
v[tQ + Tl9x (*0 (О), /0, t0 + Г,)] > с;^х (/0 + Г,), C0.22)
что противоречит предположению C0. 20), и первоначальное
предположение относительно x(xQ('b)JQit) неверно. Следова-
Следовательно, существует t3£[tQitQ + T{] такое, что
т.е. система C0. 1) неустойчива в конечном.
Условия устойчивости и неустойчивости систем с по-
последействием, полученные с помощью функции Ляпунова,
имеются в [68].
30.4. Системы с запаздываниями в связях. Исследуется
устойчивость сложных систем с запаздываниями в связях
с помощью функций Ляпунова укороченных систем при
наличии ограничений на связи [69],
Пусть задана система
■^- = X, (Uxv ....*„,*, (t- т, @),... ,уп(t-x,
t= 1,2, ...,m,
■%■ =Ys(t,y{9 MMifB^, (t~\ (Oh ...,yn(t-x,
5= 1,2, ,♦ .,tl.
В дальнейшем для краткости будем ее записывать в виде
C0.23)
Вектор-функция X (t, х, у), зависящая от (таг + 1)-го
аргумента, непрерывна по t и удовлетворяет условию Лип-
Липшица по х и у (равномерно относительно /):
292
C0.24)
Ml*-*0II+ №-0°II).

Аналогичному условию удовлетворяет вектор-функция Y (t,
\\Y(t%y9x)-Y(t,tf,xP)\\<
< L2 (|| у - у" || + || х - jfi ||), L{, L2 = const > 0. C0.25)
Будем считать условия C0. 24), C0. 25) выполненными
в области
Q (Я, Я, т) = {(/, х, у):\\ х\\<Н,\\у\\< И4 > т}.
Пусть функции т/(/), определенные при />а, Неотрица-
Неотрицательные, непрерывные и ограниченные: ij (/) < т° (т0 =
= const > 0).
Основная начальная задача для связанных систем
C0.23) ставится следующим образом. Пусть даны t0 > a
и системы непрерывных функций
ЧгФ> ttltv—AtQ], i=* 1,2, ...,m,
*s@. t£[to — i»,tQ]9 s- 1,2,....n.
Требуется найти системы непрерывных функций
**(*). ^>^о» i= 1,2,... ,m;
Л@. ^>^о» s= 1,2,... ,п,
удовлетворяющие условиям
и первой подсистеме из C0. 23), а также условиям
и второй подсистеме из C0.23), причем если t — Tj(f) < /0,
то y8(t — V(t)) в правой части первой подсистемы C0.23)
должно заменяться на ips(/ — ту (/)) и xx(t — т. (t)) в правой
части вюрой подсистемы C0.23) должно заменяться на
ч>1 е-•*(*)).
Из результатов [113] следует, что если |фх (t) \ + ...
-+| Фт @ I + I *i @ I + •. • + I \ @1 <#, то начальная за-
задача при сделанных предположениях имеет единственное ре-
решение, определенное в некоторой правой полуокрестности
тоыки /0. В дальнейшем предполагается, что решение (*(/),
293

y{t))y определенное начальными функциями (ф(/),^@) (в лю-
любой момент /0), удовлетворяющими неравенству
s=l
при достаточно малых б, продолжаемо на всю полуось ^>/0.
Пусть i\®-y(t — т..@) € ЭП„, С(/) = х(t-т, @) 6ЭПт,
где ЭН„ и ЭЛТО— пространства функций {#(•)}. {*(•)} с
нормами
- х, @) 1Г =/Sup^(| f/s/1 при / - т. @ < /0, s = 1,2,...,«),
xy @) ||T = sup(|xXj | при / — xy @ < t0, i= 1, 2,... ,m).
/€[1./*]
Предположим, что вектор-функции v)(t) и ^@ непре-
непрерывны и удовлетворяют условиям
| Я.
Наряду с системой C0.23) рассмотрим вспомогательные
системы
^ ,г,(/)) C0.26)
^ C0.27)
Обозначим через Ох и О начала координат пространств
Ех и Ev а через О — начало координат Ех X £2-
Условимся говорить, что точка Ох подсистемы C0.26)
квазиустойчива, если для достаточно малого е < Н и t0 > т
существует положительное число б (г, t0) < e такое, что лю-
любое решение подсистемы х (t) удовлетворяет условию || x(t) ||<e
для всякого /0 < / < t{ с начальными функциями ф (/), удов-
удовлетворяющими при t = /0 неравенству
если в любом интервале t0 < /
в и
Аналогично определяется квазиустойчивость точки О^
другой подсистемы.
294

Устойчивость по Ляпунову связанной системы C0.23)
решается теперь теоремой К. Персидского для системы с
запаздываниями.
Принимая в подсистеме C0.26) к\ (/) = 0, рассмотрим
систему
% = X(t9x,0), C0.28)
и, полагая £(/) =0, систему
% = Y(t,y,O). C0.29)
Теорема 30.4. Пусть выполняются следующие условия.
1°. Для подсистем C0.28) и C0.29) существуют опреде-
определенно-положительные квадратичные формы v (х) = (Ах, х)
и v (у) = (Byу у) таковы, что их производные в силу укоро-
укороченных систем C0.28) и C0.29) — определенно-отрица-
определенно-отрицательные функции, т. е.
v (х) < wx (х)9 wx (x) = (Ахх9 х)9 C0.30)
v (у) < w2 (у), w2 (у) = (Вх у, у), C0.31)
где Аг и Вх — положительно определенные симметрические
матрицы.
2°. Существуют частные производные
DX {t, х, и) DY (U х, у)
Du Dv
нормы которых в области Q (Я, Я, т) достаточно малы.
Тогда точка О для системы C0.23) устойчива по Ляпу-
Ляпунову.
Доказательство. Как и выше, для решения
вопроса об устойчивости по Ляпунову системы C0.23) до-
достаточно показать квазиустойчивость подсистем. Рас-
Рассмотрим первую подсистему. Перепишем ее в виде
C0.32)
где
Ri = X(t9x9y(t-x(f))-X(t,x90).
295

С помощью теоремы о среднем получаем последователь-
последовательность оценок
„ DX
^1Н||—
где
(t,x,u)SQ(x,H,H)
Отсюда для нормы вектора Rx (/, x, и) получим оценку
\\Ri(t,x,u)\\<o\\u\\9
C0.33)
t>t0, s^i^ — t, g.
Таким образом, систему C0.32) можно считать возму-
возмущенной по отношению к системе C0.28), возмущения ко-
которой подчинены ограничениям C0.33). Дальнейшее дока-
доказательство теоремы проводится с использованием идеи до-
доказательства теоремы И. Г. Малкина об устойчивости при
постоянно действующих возмущениях [51].
Аналогично доказывается квазиустойчивость точки Оу.
На основе теоремы К. Персидского [88] заключаем об устой-
устойчивости точки О системы C0.23).
Теорема 30.5. Если точки ОхиОу укороченных подсистем
равномерно асимптотически устойчивы, то точки Ох и Оу
квазиустойчивы при постоянно действующих связях, со-
содержащих запаздывания.
Доказательство этой теоремы проводится путем приме-
применения леммы Ю. М. Репина к уравнениям C0.26), C0.27),
преобразованными в интегральные, учитывая результа-
результаты § 5 (см. [96]).
Замечание ЗОЛ. Аналогично тому, как проведены оценки
взаимодействия подсистем обыкновенных дифференциаль-
дифференциальных уравнений (см. § 6, 19), можно провести анализ систем
с последействием.
При построении решений на конечном интервале неза-
независимых подсистем, содержащих запаздывания, эффектив-
эффективными могут оказаться методы параметрического представ-
представления решения по степеням преобразованного аргумента
(см. [31, 68, 90]) или в простейшем случае степенные раз-
разложения.
296

§31. Исследование устойчивости
решений конечноразностных уравнений
31.1. Постановка задачи. Предположим, что задана
система разностных уравнений
х[т] =Н(х[т— 1],т — 1), т =то,то + 1,... ,mo+mN,
C1.1)
где х — /г-мерный вектор, Н — я-мерная вектор-функция.
Значение т £ Jm, где Jm = [m0, m0 + mN] = {m0, m0 + 1, ...
..., m0 + m^}. Наряду с интервалом Jm рассмотрим откры-
открытый интервал Jm « [m0, m0 + m^), т. e. {m0, m0 + m^) =
«= {m0, mo+ 1,..., m0 + mN — 1}. В общем случае правые
части системы C1. 1) зависят от некоторых конструктивных
параметров системы (Зр ..., |3Г
В пространстве Еп определим евклидову норму вектора х
и рассмотрим области Гл, Г^, ГА\Х = ГЛ\ГГ
Введем в рассмотрение функцию и[т, х], локально боль-
большую, заданную в ТА х Jm-*RX-
Определение 31.1. Функция v[m>x] называется локально
большой, если при заданном 0 < А < оо существует с > О
такое, что поверхности уровня v [m, x] = с замкнутые и со-
содержат в себе область ТА при m$Jm.
Определим некоторые количественные оценки функции
v[m,x]:
;[m'A:I ПРИ |1*11<
e mitl (V Im> ^1 ПРИ II ^ II < *
Je max (^ fm» ^^ при Л < IIх I
l = min (^ fm> ^1 ПРИ ^ < И * Н< Л)'
[m] ^ тах (у [т> ^ при Л < || л: || < Л
1^1 = т1п (» И. *] при Л < || * ||< Л + а),
Iml = max (v fm» л:] при Л — а < || л: ||< Л),
1п~а Iml ^ min (» И» л:] при Л — оь < || л: || < Л).
297

В области ГА X Jm определим первую разность функции
v[m,x] вдоль решения х[т] системы C1. 1):
Av[m,x] = v[m+ l,x(m+ 1)] — v[m,x(m)]. C1.3)
Выражение C1.3) можно представить в виде
Av [m, x] = yv [m, х (т)] Ах (т) + v [т + 1, х (т + 1)] —
— v[m,x(m)]9 C1.4)
где
Ах(т) = х(т+ 1)—х(т) C1.5)
и
и [m+l, дсх (т + 1)] — р [т + 1, ^ (т)]
^х (т + 1) — ^ (т)
v [т + 1, . .., хп (т + 1)] — v [т + 1,.. ., хп (т)]
*п(т+ 0 — ^п(т)
C1.6)
Остановимся теперь на связи, существующей между
областями Гл, Г^, областью допустимых параметров Ф си-
системы и свойствами движения х (т) системы C1.1).
1. Предположим, что заданы области Гл и Ф. Требуется
определить область 1\. Этот случай включает в себя клас-
классическое определение устойчивости при рассмотрении не-
неограниченного интервала времени и встречается при ана-
анализе реально функционирующих систем.
2. Заданы области 1\ и Ф. Требуется определить об-
область Гл, которую не покидают решения х (т) при tn£Jm.
Такой случай может представиться тогда, когда по задан-
заданному множеству начальных отклонений при анализе дан-
данной системы требуется определить состояние этой системы
в момент m* £ Jm.
3. Заданы области Г*, и Гл. Требуется определить мно-
множество Ф. Такие задачи возникают при синтезе реальных
систем, причем область Гл определяется качеством синтези-
синтезируемой системы, а Тх ^- техническими условиями ее ра-
работы.
31.2. Теоремы об устойчивости. Поставленная в п. 31.1
задача об устойчивости системы C1.1) может быть эффек-
эффективно решена при помощи второго метода Ляпунова [50,
125].
298

Найдем условия устойчивости системы C1.1) согласно
определению локально большой функции Ляпунова.
Определение 31.2. При заданных оценках %, А нулевое
решение системы C1.1) (X, Л, m0, m#)-устойчиво, если для
всякого решения х (т), начинающегося в области
справедливо неравенство
\\х{т)\\<А (к<А) C1.8)
при всех m£Jm.
Теорема 31. 1. Пусть выполняются условия.
Г. Для системы C1.1) существует локально боль-
большая функция v[m, х], ограниченная при всех m£jmu
х(т) с действительными значениями.
2°. Существует функция ф (т) с действительными зна-
значениями при m£Jm и ограниченная при m£Jm.
3°. Конечная разность Дх (т) удовлетворяет условию
II л*И II < А^Х *=1> о>2 при всех т£ Jm.
4е. Первая разность функции v[m,x] такова, что
t [m,x] < ф (т) при всех m^Jtx^ ГЛ\ГГ
°* Имеет место оценка
при всех m{,m2£Jmim2> mv
Тогда нулевое решение системы C1.1) (Х,Л,т0, mN)-
устойчиво.
Доказательство. Предположим, что решение х[т]
системы C1. 1) начинается в области ||*(m0) | < к. Пусть
существует значение тр £ Jm, при котором | х (тр) || > А.
Тогда найдется значение т2 = mQ— 1, m2£Jm, при котором
1Ит2)||<Л.
Предположим, что решение х (тр) такое, что || х (тр) ||<Л,
тогда существует значение m{=mQ+ I, mx£Jm, такое, что
|| х (тх) || > X. Учитывая условие 3° теоремы 31.1 для зна-
значений тх и т2 в цепочке неравенств
то < тР < т\ < т2 < тР>

найдем
^<\\х(т)\\<Х + 1
А — Ы\\х(т2)\\<А
из соотношения
и [т, х lm]] = v [тъ х (тх)] + ^ Ау [Л, л:
то < mi < т < тг
Учитывая определение ^+/д[т], по формулам C1.2) в
силу условия 4° теоремы 31. 1 найдем
тг—\
v [т2, х(m2)] < t^+f-' [m,] + j Ф (*)• C1-9)
Из неравенства C1.9) и условия 5° теоремы 31.1 на-
находим
Это неравенство противоречит определению v^A~l[m], а по-
полученное в предположении существования тр, при котором
II * (^р) || > Af показывает, что mp£Jm. Теорема доказана.
Определение 31.3. При заданных оценках К Л,£,/г?0,
тм(к<4.А<В) нулевое решение системы C1.1) квази-
сжимающе (к, Л, В, т0, т^)-устойчиво (при этом X < А < В),
если для нормы всякого решения х (т), начинающегося в
области Г^, выполняются такие условия.
Г. || х (т) || < В при всех т £ Jm.
2°. Существует значение тр £ [т0, т0 + mN] такое, что
|| х (т) || < А при всех т £ [трУ тр + тJ.
Теорема 31.2. Пусть для системы C11) выполняются
следующие условия.
1°. Существует функция v[m,x], указанная в теореме
31.1, а также функции ц>{(т) и ф2(/я) действительными
значениями при т б «/т> ограниченные на Jm.
2Q. Конечная разность Ах(т) удовлетворяет условию
300

3е. Первая разность функции v[m,x] в области ТВ\ТК
удовлетворяет неравенству
Ди [т, х (т)] < ф, (т) при всех т £ Jm.
4°. Первая разность функции v [т, х] в области!В\Тв_ь
удовлетворяет условию
Ду [т, х (т)] < ф2 (т) при всех т £ Jm.
5е. Выполняются неравенства
при всех (mvm2)£JmJ т2>тг\
б)
нулевое решение системы C1.1) квазисжимающе
устойчиво.
Доказательство. В силу условий Г — 3° и 5®, а)
теоремы 31.2 система C1.1) устойчива относительно коли-
количеств (К В, /я0, mN) по теореме 31.1. Предположим теперь,
что для траектории х(т) с начальным условием ||#(то)||<Х
существует значение mr£Jm, начиная с которого выпол-
выполняется условие || х (т) \\> А ут £ mr, m0 + mN]. В силу
второго условия существует т3 = тг — 1, ms£J, для кото-
которого
А-К\\х(т3)\\<$.
Из соотношения
о К + mN>х К + mw)l = v К.
301

в силу определения i^" [m] получим
v [щ + mN, х (m0 + mN)\ < i££-' [m3]
Далее из неравенства
и условий 4° и 5®, б) теоремы 31.2 находим
v К + mN% х (т0 + mN)] < v*£ [m0 + mN],
в то время как
A<\\x(mQ + mN)\\<B.
Таким образом, существует m^Jm такое, что
||х(т)\\<А ут£[m4,m4 + m^].
Этим теорема доказана.
Определение 31 А. При заданных оценках К А,В>т^ mN
нулевое решение системы C1.1) сжимающе (А,, Л, Б, /я0, т^)-
устойчиво, если для нормы всякого решения х(т) с началь-
начальными значениями х(т0), удовлетворяющими неравенству
выполняются условия
1) нулевое решение устойчиво относительно количеств
(KB,mQ,mN)\
2) существует значение mp£[m0,m0 + mN], начиная с
которого ||*(/я)||<Л при всех т£ [mpim0 +mN].
Теорема 31.3. Пусть для системы C1.1) выполняются
следующие условия.
1Q. Существуют функции v[m,x] и ср^т), ф2(т), ука-
указанные в теореме 31.2.
2°. Конечная разность Ах(т) удовлетворяет условию
НДяИЛК^р^/, а>2, m£Jm, A>1.
302

3*. Первая разность функции v[m,x] в области
удовлетворяет условию
До [т, х (т)] < cpj (m) ут б Л*-
4е. Первая разность функции v [m, х] в области Г
удовлетворяет условию
Av [т, х (т)] < ф2 (т) ут £ «^г
5®. Выполняются неравенства
а) 2
(т1э т2) £ /т, т
о
б) 2
В)
р выполнении перечисленных условий система сжимаю-
ще (iy А, В, т0 т^Уустойчива.
Доказательство этой теоремы проводится аналогично
доказательствам теорем 31.1 и 31.2.
31.3. Декомпозиция систем разностных уравнений. Из-
Изложенные в п. 31.2 теоремы об устойчивости системы C1.1)
эффективно решают вопрос об устойчивости на конечном
интервале при наличии подходящей функции Ляпунова
v [mt х]. Проблема построения функции Ляпунова для
систем разностных уравнений высокого порядка все еще
остается трудной задачей и целесообразно иметь подходы
к решению вопроса об устойчивости, основанные на зна-
знании функций Ляпунова, соответствующих системам мень-
меньшей размерности.
Предположим, что система C1.1) декомпозирована на
ряд подсистем
xslmj =Ha[m+ l,xs(m+ l)]+F8[m+ 1,jc(/w + 1)].
C1.10)
303

Здесь
х(т + 1) = (Xj (m + 1),..., xs-1 (m + 1), xs+1 (m + 1),
Функции Fs осуществляют связь подсистем
xs [m] = tf8 [m + 1, xs (m + 1)], 1 < s < r, C1.11)
на которые распадается система C1.10) при обращении в
нуль функций связи.
Вспомогательную функцию v$ [my х] будем связывать
теперь с s-й подсистемой C1.11). Найдем условия, при ко-
которых полная s-я подсистема из совокупности C1.10) устой-
устойчива в смысле следующего определения.
Определение 31.5. При заданных оценках hs, As, [xs, m0,
mN(\<As) нулевое решение s-й подсистемы (^А,, fV^o»
т^-устойчиво, если для всякой траектории xs(m) выпол-
выполняются условия
ЦЮ||Ь
и
||х5(т)||<Л5
при постоянно действующих связях подсистем Fs, подчинен-
подчиненных условию
где D — область изменения вектора х.
Используем соотношение
vs [m, xs (m)] = vs [mv xs (m{)] + J Avh
Ж-1
I*, x» (*)!. ps [k, x (k)]). C1.12)
В выражении C1.12) суммируются скалярные произве-
произведения векторов, Avhs — первая разность функции Ля-
304

пунова, соответствующей s-й подсистеме при вырожден-
вырожденных функциях связи.
Теорема 31.4. Пусть выполняются следующие условия.
1°. Конечная разность Axs(m) удовлетворяет нера-
неравенству
2е. Для s-й подсистемы из совокупности C1.11) суще-
существуют локально большая функция Ляпунова v8 [m, xs] и
ограниченная функция %(т) такие, что первая разность
функции vs (m, xs] удовлетворяет условию
Avs [m, xs] < ф5 (m), m £ Ут, xs £ Гл\ 1\.
3°. Существует ограниченная функция ps(m) такая,
что
II Ws К* xsl II < Ps (w), m £ /т, xs g Г
4Э. Функции связи подсистем Fs удовлетворяют условию
Il^(mj)||<|i,
5Э. Имеет место неравенство
k~mt
при всех (mvm2)^Jm.
При выполнении перечисленных условий нулевое решение
s-й подсистемы из совокупности C1.10) (Xs, As, (лв, то,
mN)-устойчиво.
Доказательство теоремы аналогично доказательству те-
теоремы 31.1, и по этой причине здесь не приводится.
Определение 31.6. При заданных оценках Л,, As, Bs, \xs, m$
mN {ks < As < В) нулевое решение s-й подсистемы квази-
сжимающе устойчиво относительно (^s, As, Bs> \is, m0, mN),
если
1) ||x8(m0)||<V,
2) \\Fs[mS(m)]\\<iisS^D;
3) нулевое решение (k^ Bs, \is, m0, т^-устойчиво;
4) существует тр£Ут, начиная с которого ||xs(m) ||<ЛЖ.
20 - 4-761 305

Теорема 31.5. Пусть выполняются следующие условия.
1°. Конечная разность Axs(m) удовлетворяет неравен-
неравенству
l|Ax8(m)||<^^-/, a>2, m^Jm.
2°. Для s-й подсистемы из совокупности C1 11) суще-
ствуют локально большая функция vs [m, xs [m)\ и ограни-
ограниченные фикции <pls(m), <p2s(m) такиеt что первая раз-
ноешь функции vs[myx8(m)] удовлетворяет условиям
а) &vH [m, xs] < Ф15(т) в области Г
б) &vHs[myxs] < Ф25(т) в области ГВ\ГА_Г
3°. Существуют ограниченные функции pls(/n), p2s(m)
такие, что
а) Hv»,H,ls
б) || Vvs [m, xs (т)] || < p2s (т), т
4°. Выполняются неравенства
- vfaAH [m3], m3 g Ут, m3 < m0 + mN.
Тогда s-я подсистема из совокупности C1.10) квазисжи-
мающе устойчива.
Теорема доказывается аналогично теореме 31.2.
Определение 31.7. При зада шых оценках Ks, A$t B^ (xs, m0,
mN (A$ < Xs < В) нулевое решение 5-й подсистемы сжима-
юще устойчиво, если
1) ||х.Ю1К**;
2) \\Fs[m,x(m)]\\<ixs]
306

3) нулевое решение xs (m) устойчиво относительно (A,s, В6,
4) существует такое значение mp£J, что
||хя(т)||<Лв, т£(тр, mo + mN].
Теорема 31.6. Пусть выполняются следующие условия.
Г. Конечная разность Axs(m) удовлетворяет нера-
неравенству
||Axs(m)||<t^ = /, а>2, Bs > U m£Jm.
2°. Для s-й подсистемы из совокупности C1.1) суще-
существуют локально большая функция vs [my xs] и ограничен-
ограниченные функции ф1& (т) и cp2s (m) такие, что первая разность
функции vs удовлетворяет условиям
а) ДоЯя[т,хя(т)]<ф1в(т)
б) Ау^ [т, xs (т)] < ф25 (т) \^
3°. Существуют ограниченные функции pls (m) a p2s (m)
таковы, что
а) ||v^tm»xs]H<Pis(m) e области
б) IIV^H>xs]||<p2i(m)
4° Выполняются неравенства
2
20* 307

При выполнении перечисленных условий s-я подсистема
из совокупности C1.10) сжимающе устойчива относи-
относительно количеств (%s, Bs, As, [xs, m0, mN).
Теорема доказывается аналогично теореме 31.3.
31.4. Достаточные условия устойчивости s-й подси-
подсистемы. Будем предполагать, что правые части s-й подси-
подсистемы из совокупности C1.11) таковы, что разностное
уравнение можно представить в виде
xs [т] = Psxs [т — 1] + Х5 [т - 1, хх [т — 1],..., хг$ [т -1]],
C1.13)
где Ps — постоянная матрица, Xs — вектор-функция, компо-
компоненты Xv ..., Xrs которой — абсолютно сходящиеся ряды,
начинающиеся с членов не ниже второго порядка относи-
относительно *!,..., хг&.
Рассмотрим линейную систему
xs{m)=Psxs{m-\) C1.14)
и предположим, что корни характеристического уравнения
det|Ps — Я£8|=0 C1.15)
удовлетворяют условию |А,/| < 1, / = 1, 2, Л . , rs. При
этом наперед заданной знакоопределенной матрице Cs со-
соответствует единственная знакоопределенная матрица BSf
разрешающая уравнение
B, = -C, C1.16)
В этом случае решение матричного уравнения C1.16) можно пред-
представить так:
w,4
v-l
GT\ C1.17)
Здесь G — матрица Вандермонда вида
|| X}-1 || = GJ-1 ((\/= 1> 2,..., г8);
%. и К. — комплексно сопряженные характеристические числа уравне-
уравнения C1.15), || w.j || = Ws — матрица вида

Для квадратичной формы
vs(x8) = (Bsxsyxs) C1.18)
первая разность
«и-***-, <<u-i C1Л9)
в силу s-й подсистемы C1.13). Здесь «sm_, имеет вид
«..«-! = х*(т- 1){ZsEr$-Cs]х (m- 1), C1.20)
где
Из выражения C1.19) следует, что первая разность
Avs (х) будет убывать при т> mQ в области Г^, если
форма usm_{{x) будет определенно-отрицательной.
На основании критерия Сильвестра получаем, что usm_{(x)
будет определенно-отрицательной, если
(-1)%>0, А= 1,2 гв, C1.21)
где Д^ —главные диагональные миноры формы C1.20).
Резюмируем теперь изложенное следующей теоремой.
Теорема 31.7. Пусть выполняются условия.
1°. Для s-й подсистемы C1.14) существует определен-
определенно-положительная квадратичная форма C1.18).
2°. В области Tas выполняются неравенства C1.21).
Тогда s-я подсистема из совокупности C1.13) устой-
устойчива относительно количеств A,s, Aa ()CS < A8) на неогра-
неограниченном интервале [то> + оо).
31.5. Численно-аналитический алгоритм синтеза устой-
устойчивых систем регулирования. Сформулируем предвари-
предварительно одно предложение об использовании ^-функций в
задаче об устойчивости движения [68]. Пусть имеется сово-
совокупность неравенств
Д{ ф) < 0, Д2 (Р) > 0 (- 1)%S ф) > 0. C1.22)
Найдем в множестве Ф хотя бы один набор параметров
Р, при котором выполняются все неравенства C1.22). Для
решения этой задачи построим ^-функцию на основе опе-
операции Я-конъюнкции u/\xv = и + v — У и2 + v2.
309

Согласно неравенствам C1.22) получаем
Я[Д(р)]= ((-Д^ЛД^ЛЛ-ЛзШЛ!...
Учитывая соотношение эквивалентности
{Р : (- IJ А, (Р) > 0, i = 1, 2,..., п} оо {р : Я [А (р)] > 0},
вытекающее из общих свойств ^-функций, получаем сле-
следующее утверждение.
Лемма 31.1. Если в области Ф существует точка
Р* = (Р*,..., р^), в которой выполняется условие
/?[Д(Р*)]>е (е> О — const),
mo в amotf дее точке выполняются все неравенства C1.22).
Рассмотрим случай простых характеристических чисел
Х{,... ДГ5 матрицы Р$ в кекторно-матричном дифференци-
дифференциальном уравнении
dx
PhVi) o=yxs. C1.24)
В этом случае характеристическое уравнение имеет вид
X \>{А = °> C1.25)
где %г — корни характеристического уравнения Л (А,) =
= det (k'E — Ps), a F (X) — присоединенная матрица для
(l'E-Ps).
Уравнение C1.24) преобразуется к виду
C1.26)
v = \Z_ 1 и Pi — вещественные коэффициенты.
Для асимптотической устойчивости линейной системы
регулирования необходимо и достаточно, чтобы все корни
310

уравнения C1.26) лежали слева от мнимой оси, а это, в
свою очередь, обеспечивается неравенствами Гурвица
д1(Р)>о,...,дд(р)>о, /?;>о, р;>о
или
д1(Р)<о,...,дп(р)>о, Р;<о, pi<o.
Если |5£Ф, то, применяя метод R-функций, задача
о выборе параметров устойчивых систем регулирования
сводится к выделению области Ф\ в которой
Я[Д(р)]>е (е > 0-const). C1.27)
Практическое применение сформулированного крите-
критерия синтеза устойчивой системы в виде C1.27) связано с
вычислением максимума функции R [А ф)] на допустимом
множестве методами поиска максимума функций многих
переменных [29].
31.6. Устойчивость в произведении пространств. Пусть
s-я подсистема из совокупности C1.10) имеет начало коор-
координат Oxs (s = 1, 2,..., m) и определена в области Qs (#, т).
Тогда вся система C1.1) имеет начало координат Ох2 X
X Ох2 х ... X Ох- и задана в произведении пространств
Q{ х Ц, х ... х%.
Определение 31.8. При заданных оценках hs, Л5,/п0, mN
нулевое решение композиции систем C1.10) устойчиво от-
относительно (TXlXK2X...XWTAiXA2X...XAj;i)> еСЛИ ВСЯКОе РеШе"
ние х(т) с начальными значениями из области Г\ v> v V5,_
остается в области ГД ХА х хл_ при всех т g Jт.
Теорема 31.8. Пусть выполняются условия.
Г. Для каждой подсистемы || xs (т) \\ < /s, m £ Ут>
s = 1,2,.. . , т.
2°. Каждая подсистема устойчива относительно коли-
количеств
(\, Лв, Л5 + /s_p т0, т^) ^ < As9 s = 1,2,..., т.
Тогда система C1.1) устойчива относительно количеств
( XiXAflX.-.x^»
Доказательство. Пусть решение *(m) системы
C1.1) начинается в области 1\ хх х...хХ~- Зафиксируем ре-
311

шение xk(m) k-й подсистемы и предположим, что ^,
при котором || xk (т) \\ > Ak. По условию теоремы || xk(m) || <
< lk* II х* (т) \\< Ак + /Л, || хк (т) || < Ak. Следовательно,
II xk (m) II < \ Vm £ Jm* Повторяя эти рассуждения для
каждой подсистемы и учитывая второе условие теоремы
31.8, получим, что || xs (т) || < As> s= 1,2,..., m, и, сле-
следовательно, при всех m£Jmt х(гп)£тахха2х...хаь-
Аналогично доказываются теоремы о квазисжатой и
сжатой устойчивости разностной системы в произведении
пространств.
§ 32. Об устойчивости по Четаеву
сложных систем со случайными параметрами
В этом параграфе рассматриваются задачи конечной
устойчивости сложных систем, содержащих параметры,
являющиеся случайными функциями времени. Изложенное
основывается на применении принципа сравнения с реше-
решением скалярного уравнения.
32.1. Постановка задачи. Пусть имеются дифферен-
дифференциальные уравнения возмущенного движения [38]
■§=/('>*> </('))> C2.1)
где х — n-мерный вектор обобщенных координат, f — век-
вектор-функция, компоненты которой непрерывны по всем
аргументам и удовлетворяют условиям Липшица по пере-
переменным х в области G x Jt-
Пусть функция y(t)f описывающая случайный марков-
марковский процесс, является однородной марковской цепью с ко-
конечным числом состояний, т. е. у (t) может принимать в
каждый момент времени одно значение ух из конечного мно-
множества Y (yv ... tyr), причем вероятность pif (А/) смены
значений уг-*у- за время А^ удовлетворяет условию
где символ О (А/) обозначает малую величину более высо-
высокого порядка, чем А^. Будем предполагать, что ft (/, О,
У@) =0, y£Y
312

Как и в [38] решением системы C2Л) будем называть
(п + 1)-мерную случайную функцию {х (/, tQ, xQ, у0), y(t,tQ,
хо>Уо)}> реализации которой {хр (t>tQ,xQyy0), #р Мо> хо> #о)
удовлетворяют уравнениям C2.1). В связи с уравнениями
C2.1) будем рассматривать скалярную функцию v(ttx,y),
определенную и непрерывно дифференцируемую в области G
и обращающуюся в нуль при х = 0. Символом М [г|) (а1э...
..., ап)\ av ..., ап/$] будем обозначать математическое
ожидание функции г|) (av ... ,ап) случайных величин av ...
•. ., ап при условиях E, которые могут представлять собой
некоторую совокупность равенств, неравенств или каких-
либо других условий. В соответствии с этим, выражение'
(t)>y(t)\ x(t),y(D/x(t) = t, y(t)=r)]
(далее для сокращения записи обозначается tA[v(t)]) пред-
представляет собой математическое ожидание случайной функции
v (t, х (I, т, т), f), у (т), т, 0) при t > т
вдоль решения {x{f),y{t)}, порожденного начальными усло-
условиями х = £, г/ = г) при t = т.
Далее будут использоваться следующие обозначения:
= шах(М[(/)] ||||
В соответствии с определением 2.4 работы [38] произ-
производную dPA[v(t)]/dt функции FA[v(t)] в силу уравнений
C2.1) в* точке (|, г), т) будем вычислять по формуле
Надлежит выяснить условия, при которых решение
{х (t)t у (t)} системы C2.1) устойчиво в конечном на огра-
ограниченном интервале времени.
32.2. Вспомогательные леммы. Приведем две леммы о
дифференциальном неравенстве для математического ожи-
ожидания случайной функции Ляпунова. Пусть функция
С (tt у) задана на множестве Е1 и скалярное уравнение
f C2.2)
313

имеет верхнее решение y(tjo>yo), обращающееся в у0 при
t = t0. При этом С (Л у) монотонно возрастает по у при
Лемма 32.1. Пусть существуют непрерывно-дифферен-
непрерывно-дифференцируемая локально большая функция Ляпунова v(l,x,y) и
функция C(t,y) таковы, что выполняется неравенство
C2.3)
при всех (t, x) g JT х Гл, у £ F.
Пусть (х (t)j у (t)) — траектория системы C2.1), я (/0,
#о»'*о) ^ хо> a У (*» V Уц)—веРхн>ее решение уравнения C2.2).
г/0 = М^ах [и (/с)] имеет место неравенство
M[c;@]<^(/,M^x[t;(g],g C2.4)
t£JT, лишь только M[v(t0)] <y0»
Лемма 32.2. Пусть существуют функции v(t,x,y),
C(t,y), указанные в лгмме 32.1, и выполняется неравзн-
ство
d^^L C2.5)
при всех (t,x)£JT x Гл, */£У\ Пусть (*(/), у(t))—траек-
у(t))—траектория системы C2.1) и x(tQ,x0,y0) = х0, a y(t,to,yu) —
верхнее решение уравнения C2.2).
при у0 = М^ах [v (t0)] имеет место неравенство
i.g C2-6)
при всех t^JT^uuib только M[v(to)]^C у0.
Леммы доказываются на основе общей формулировки
принципа сравнения.
32.3. Определения и теоремы о конечной устойчивости
[57]. Сформулируем необходимое определение.
Определение 32.1. При заданных оценках Я, Л, Jr p
@<р< 1) систему C2.1) будем называть (К A, JT, p)-
устойчивой по вероятности, если для любого решения сис-
системы C2.1), которое в момент / = t{) начинается в области
314

при всех / £ Jj будет выполняться условие
Приведем теорему.
Теорема 32.1. Пусть выполняются следующие условия.
Г. Существуют функции v(t,x,y) и С (/,#), указан-
указанные в лемме 32.1.
2Q. Выполняется неравенство C2.5) в области (t,x)
3°. Верхнее решение y(t^t,y^j уравнения C2.2) при
у (t\) = Mmax [v (t[)], t\ £ Jt удовлетворяет условию
при всех t > tv t£Jr
Тогда система C2.1) устойчива по вероятности отно-
относительно величин (Л, Л, JTi p).
Доказательство. Пусть назначены количества X, А>
р > 0 и задан интервал JT = [/0, ^0 + Г]. В виду того, что
функция v (/, х, у) — непрерывно-дифференцируемая и локально
большая, существует а > 0 такое, что вне сферы I>x2s = о2
имеет место неравенство
Выбором с[ достигнем того, что
supv(t,x,y)< pc[y t£JT, C2.6)
лишь только || х01| < X и чтобы поверхность
v{t,x,y) = с[
содержалась внутри области Гл.
Реализация решения {xp(f),y{p) (t)) порождает реализацию
vp (t) случайной функции v(t,'x,y) с соответствующим рас-
распределением вероятностей. Будем рассматривать те значения
t £ JT, для которых т^> < Г, где
х(р) = sup (t: t£ JT> || x (/; x0, t/0, /0) || £ГА) C2.7)
и
v{t,x{p\y{p))<c[.
315

Предположим, что реализация решения (хф) (/), уф) (/))
для t > хф) не существует и v{p) (t) = с\ при t > т(р). Зна-
Значение т(р), определенное выражением C2.7), является момен-
моментом выхода решения (л; (/), у (t)) из заданной области Гл.
Так как
Р, (v {U х9 у) < с\) < Pt (|| х (t) || < Л), C2.8)
то для доказательства теоремы 32.1 достаточно показать,
что для реализации решения (x(f),y(t))> начинающегося в
области ||хо|| < К yQ£ Y, при всех t£J7 выполняется усло-
условие
*t(v(t,x9y)<c\)> I —p. C2.9)
Будем предполагать, что реализации (xiP\yiP)) решения
(х (/), у (t))t нанинающегося в области ||х (tQ) \\ <Kyo£Y,
определены при t < т(р). Пусть решение (х (/), у (/)) выходит из
области || а; ||< Я, уо£У. Предположим, что в момент t2 £ JT
выполняется условие
т.е.
Pt(*p)(tJ<c[)< l-p. C2.10)
При этом должно существовать значение t{ g JT такое, что
Pt(\\x(tl\xQ,yQ9t{)\\ = K)> l-p.
В силу второго условия теоремы 32.1 и согласно лемме
32.2 имеем
для всех t£Jr, t >tv
Согласно третьему условию теоремы имеем
М [v (t2)] < у (t, М^х [v (/,)], tx) < M^n [v (t2)]. C2.11)
Неравенства C2.6) и C2.11) противоречат существова-
существованию t2, при котором выполняется условие C2.10). Теорема
доказана.
Приведем теперь формулировки других теорем об устой-
устойчивости по вероятности системы C2Л), опуская их доказа-
доказательства в силу того, что при незначительных изменениях
и дополнениях они повторяют доказательство теоремы 32.1.
316

Определение 32.2. При заданных оценках X, B,Jrp
(А,>В) систему C2.1) будем называть квазирасширяюще
(к, В, Jr р)-устойчивой по вероятности, если для всякого ре-
решения системы C2.1), начинающегося в области ||хо||<^,
У0£У> существует значение tx такое, что
Pt(\\x(t'ix0,y()J()\\<B)>\-p
при всех t£{tlyt0+T].
Теорема 32.2. Пусть выполняются следующие условия.
1°. Условие 1° теоремы 32.1
2°. Неравенство C2.5) выполняется в области (t,x), где
T
3°. Верхнее решение #(Л £0»у0) уравнения C2.2) с на-
чальным значением у (t\) = Mmax fa (^i)l удовлетворяет не-
неравенству
~У (to + Г, М£ах [» (/l)]) < M^in [^ (/О + Т)].
4°. Имеет место оценка
при всех y
Тогда система C2.1) квазирасширяюще (hB,Jnp)-
устойчива по вероятности.
Определение 32.3. При заданных оценках X, Л, В, «/r p
(В<^<Л)ир>0 систему C2.1) будем называть расши-
ряюще (Я, В, JT> р)-устойчивой по вероятности, если она
(Я, Л, JT, р)-устойчива и квазирасширяюще (X, В,/г, р)-устой-
чива по вероятности.
Теорема 32.3. Пусть выполняются следующие условия
1°. Имеет место условие 1° теоремы 32.1.
2°. 5 области (t, x) £JT X Гл\1\ выполняется нера-
неравенство C2.5).
3°. Верхнее решение y{t,to,yo) уравнения C2.2)
во, что
а) j/ (/, MLx [v (/i)], /0 < M^in [v (t{))9 t £ Jr;
б) у (^0 + Г, M^ [и (^)], /,) < MSin [o (/o + Л1. U £ J.
317

4°. Выполняется оценка
Тогда система C2.1) расширяюще (%> A, В, JT, р)-устой-
чива по вероятности»
Определение 32.4. При заданных оценках %9B,JT,p
(А, < 5) система C2.1) называется квазисжимающе (К, В, Jr,p)-
устойчивой по вероятности, если для всякого решения сис-
системы C2.1) с начальными условиями из области ||.*o||<A,,
y£Y существует t{£JT такое, что
при всех t£(tut0 + T].
Теорема 32.4. Пусть система C2.1) такова, что
1) выполняются условия 1Щ и 2° теоремы 32.3 в облас-
области (t,x), X£TA\TV t£JT\
2) верхнее решение y(t>to>yo) уравнения C2.2) таково,
что выполняются оценки
а) У (to + Т, Мшах [V (tx)], ti) < M^in [V (t0 + T))f
б) у (/0 + Г, М^хчГх [v (g» < Ml [c; (fo + T)];
3) лра всел: а:
система C2.1) квазисжимающе (А,, 5, /7, р)-
устойчива по вероятности.
Определение 32.5. При заданных оценках %yA,B,JT,p
и р > 0 система C2.1) называется сжнмающе (А,, 5, Л, /7,р)-
устойчивой по вероятности, если она (Я, A, J r р)-устойчива
и квазисжимающе (KB,JT,p)-устойчива по вероятности.
Теорема 32.5. Пусть система C2.1) такова, что
1) выполняются условия Г и 2° теоремы 32.1 в облас-
области (t,x)£JT XTA\YX)
2) верхнее решение уравнения C2.2) таково, что
а) у (/, ML* [^ (fi)]) < MS« [о (/)]• ^ > 'ь Сь 0 € ^,
б) у (/о + Г, М£ах [v (W) < ГАш [v (to + T)l U б J,
318

в) у (/0 + г, т^кв [v(gj) < <in н*0 + Г)];
3) ё
Тогда система C2.1) сжимающе (Я, Л, fi, Уг, рУустой-
чива по вероятности.
Пример 32.1*. Пусть имеется твердое тело с тремя плоскостями
симметрии, полностью погруженное в безграничную несжимающую
жидкость, покоящуюся на бесконечности. Считаем, что главные оси
инерции тела совпадают с главными осями инерции поверхности тела
для присоединенных масс. Дифференциальные уравнения рассмотрим
относительно главных осей инерции тела, начало которых совпадает
с центральной точкой для присоединенных масс. Эту систему обозначим
через Oxyz. При таком выборе осей дифференциальные уравнения
возмущенного движения тела имеют вид
dt m-\-a
т + а т + Р
, т + а
° 3 ^ "^+Y
1Г = ЯП Ve + Т+Т ^2^з + МЛ.
dxb у — а С —Л + у— Я> у —а
^в а—р Л — В + А, — р, а —Р
%Х2 + С + v *Л + С + v
Это движение соответствует невозмущенному движению тела в
жидкости с постоянной скоростью «о, направленной вдоль оси Ох. Здесь
т — масса тела; а, Р, у — присоединенные массы для тела; ^, jli, v —
присоединенные моменты инерции для тела; Л, В, С — моменты инер-
инерции для присоединенных масс тела; хъ . . . , х6 — проекции угловой
скорости вращения тела на оси системы координат Oxyz; ulf u2, u3, а4—
случайные параметры рассматриваемой системы.
Примем следующие численные значения параметров системы
C2.12):
т = 200, а = 75, Р = 50, V = 25, А + I = 800, В + jli = 500,
C2.13)
С + v = 400, uQ == 12, ил =и3 = У @. «2 = «4 = 2,1,
* Исследован совместно с А. Г. Бойко.
319

где у (t) описывает случайный марковский процесс. Причем вероятность
ptj(&t) смены значений V ~» и*' (и1 = — 1,1, и2 = — 1,08, и3 — — 1,12)
за время Л/ удовлетворяет условию
1Д'
= Pis = Р12 = P3i = Раз = Р32 = Т
При условиях C2.13) система C2.12) принимает вид
x, ю
dx, ю q
л
J4 , 11 10
3 ХЬ~Г у¥5 ""дГХ2Х4'
dA:e _ 3 , 3 , 1
Г "l + T лг¥
Рассмотрим вспомогательную систему
^ - (У @ + О *г ^ = - 13,2xe - 1,U2,
d/ 3 5 Л 4 a ' e
и построим квадратичную форму
v(xfy) = (B(y)x,x)
согласно уравнению [38)
о
„ [и (х, и<) - а (х, «/)]. C2.15)
320

Приравнивая коэффициенты справа и слева при д^Х
ниях C2.15), находим
в уравне-
уравне2v (х, и*) = 10*? + -^ - 4 + Ж 4 +
-297" 4 + 209,375д:| + 31,875x2*6 + -щ-
2v (х,«
12,5*2 + Щjgp- 4
А1Я7П 2080
+ -297 + 209.375xg + 31,875*2*б + "99"
25
1036,25
383
25
2v(z,u) =
^ 4 + 209,3764 + 31,875х2*6 + ^
Канонический вид функции 2v (я, и) будет следующий:
(z, и1): lOzf + 10,504^1 + 210
+ 10,760*2+141,822*2;
(z, и2): 12,52? + 10,504zf + 210,646z|
+ 12,5zJ + 10,760z|+ 141,822*2;
25
(z, и3): -j- z\ + 10,504z2 + 210,646z| +
25
C2- W
T" г4 + 10>760z6 + 141,822a|.
Вычислим теперь производную по времени от математического
ожидания функции v (xy и) согласно исходной системе
M
— 2v (x, u) +
t+1
Dv (x, и)
Dx
где F (x) — вектор, компоненты которого содержат нелинейные состав-
составляющие системы C2.12).
21 —4-761
321

Нетрудно получить оценку
dfA \v @1 0,5
dt < - Т5"(* *> - 2v {x> M> + 35'108 I x* I"
Определив функцию /г (х, и) формулой
получим неравенство
mint;^, w) max у (a:, w)
2 u u 3
T^maxt;(A:,w) <k(x> u^<minv(x,u) < Y
откуда
^3 M[o(/)|<o(i,a)<jMH/)l.
Известно, что
Где И'тах» H-min — соответственно максимальное и минимальное собст-
собственные числа матрицы квадратичной формы v (x, и). В данном случае
25
Учитывая оценку для (х, х) и v (x, и)у получим
4,127 (М [v @]K/2 - 1,334М [v (t)]. C2.17)
Наряду с неравенством C2.17) рассмотрим соотвештвующую ему
скалярную задачу C2.2). Имеем
~|=ш,3/2-^, C2.18)
где
а = 4,127076; b = 1,333597
г тах)]. C2.19)
Выполняя замену г = у^{/2 в уравнении C2.18) и интегрируя его
при C2.19), находим
У V, 0, ух) = !_ . C2.20)
'2
322

Теперь второе условие теоремы 32.1 принимает вид
1 ^яСиуь <><г
Решение C2.20) позволяет получить достаточные условия других
типов устойчивости системы C2.12) на основе теорем 32.2—32.5.
32.4. Детерминированные системы со случайным вза-
взаимодействием. Пусть xs = 0 решение независимых подсис-
подсистем
-^l = /s(/,xs), l<s<m. C2.21)
Наряду с уравнениями C2.21) рассмотрим систему
-%-=Ut,xJ + R9(t,x,<*), C2.22)
где Rs (t> х> со) — функции связи подсистем C2.21) таковы,
что решение системы C2.22) существует и единственно.
Предположим еще, что случайные процессы
ris (/, со) = sup | Rs (/, х, со) |, 1 < s < т,
имеют конечное математическое ожидание.
Теорема 32.6. Пусть выполняются следующие условия.
Г. Для системы C2.21) существуют функции v^t, xs)>
т
> 0,..., vm (/, х s) > 0 такие, что ^ vs (t> x«) — Функция
s=l
определенно-положительная.
2°. Для любого 8 > 0 в области {\\ х \\ > 6} х {t > /0}
выполняются неравенства
1Г+ Р"вх'Хв) f.(t'*}<Ct{t,\), \<s<m. C2.23)
s
3°. Полуось у = 0 в салу системы сравнения
§ о) C2.24)
устойчива {равномерно устойчива) при случайных возмуще-
возмущениях, малых в каждый момент, в среднем или интегрально.
21* 323

Тогда решение xs = О A < s < m) системы C2.21)
устойчиво (равномерно устойчиво) при случайных взаимо-
взаимодействиях, малых в каждый момент, в среднем или инте-
интегрально.
Доказательство теоремы не приводим из-за его аналогии
другим доказательствам, имеющимся в книге. Отметим
некоторые следствия теоремы 32.6.
Следствие 32.1 ([107], теорема 6.1). Пусть выполняются
гакие условия:
1) s=l;
2) vx — определенно-положительная vx (t9 0) = 0;
3) в области {|| х || > 6} х {/ > /0) выполняется неравен-
неравенство C2.23), где C^f.V)»—c6i>lf c6>0.
Тогда решение хг = 0 системы
Jb-^f^xJ + R^x,®) C2.25)
устойчиво для t > t0 при малых случайных возмущениях.
Следствие 32.2 ([107], теорема 6.2). Пусть выполнены
условия следствия 32.1, где С, (/, V) = — су
Возмущения R(t, х, со) имеют вид
/?(/, х, со) = о (/,%)£(/, со) C2.26 ч
и процесс I (ty со) удовлетворяет такому условию: для любо-
любого е > 0 существует у > 0 такое, что при t0 < s < t
( «
М ехр Ь
I s
Тогда решение ^ == 0 уравнения C2.25) устойчиво для
t > t0 при случайных возмущениях C2.26), малых в каж-
каждый момент.
Можно показать, что и многие другие известные тео-
теоремы об устойчивости систем C2.25) следуют из теоремы
32.6, на чем останавливаться не будем.
Отметим, что исследования конечной устойчивости си-
систем со случайными параметрами методом, отличным от
предложенного, были предметом изложения в моногра-
монографии [118].
324

§ 33. Алгоритмизация оценки параметров
моделей обособленных подсистем
В задачах проектирования сложных систем, рассмо-
рассмотренных в гл. I—II, представляет интерес вопрос об оценке
параметров соответствующих моделей подсистем при задан-
заданных входных и выходных данных подсистемы [9]. В этом
параграфе определяется понятие пакета входов и дается
правило (принцип пакет-
пакетного входа), по которому
задача определения па-
параметров модели обособ-
обособленной подсистемы (агре-
(агрегата), реализующей напе-
наперед заданные свойства
Возмущение
s-f
Вход
Обособленная
подсистема
s
Вы/од
•s+f L
Рис. 10
Рис. 11
процесса, сводится к задаче построения решения рекур-
рекуррентных систем линейных алгебраических уравнений.
33.1. Задачи исследования. Рассмотрим s-ю подсистему,
представленную на рис. 10. Предположим, что в подсистеме
(s — 1) определены параметры и известно, что ее выход
у (t), являющийся входом для s-й подсистемы в процессе
функционирования, образует некоторую совокупность вхо-
входов i|) [ Y] для s-й подсистемы. Пусть также известно, что
для (s + 1)-подсистемы допустимыми являются входные
воздействия х (f) из некоторой совокупности i|) [X], кото-
которая образована из выходов s-й подсистемы. При этом при-
приходим к следующей задаче.
Заданы совокупности входов и соответствующих вы-
выходов s-й подсистемы. Надлежит определить математиче-
математическое описание этой подсистемы (ее модель).
В зависимости от объема априорных данных эта про-
проблема может быть разделена на две: проблему идентифика-
идентификации абсолютно неизвестного объекта (проблему «черного
ящика» [108]) и проблему идентификации объекта с неко-
некоторыми априори известными данными (проблему «серого
ящика» [108]). В этом случае при известном, например,
325

виде уравнений рассматриваемая проблема может интер-
интерпретироваться так.
Каким образом сформировать вектор-параметр q £ Q s-й
подсистемы
C3.1)
или функцию X, чтобы она обращала некоторую совокуп-
совокупность изменяемых входов г|? [ У] в наперед заданную сово-
совокупность выходов i|) [XY? В общем случае проблема иден-
идентификации s-й подсистемы может быть представлена схе-
схемой рис. 11. Здесь необходимо рассмотреть [7]
а) определение структуры модели (т. е. выбрать вид
дифференциальных уравнений модели) и произвести ло-
локализацию неизвестных параметров;
б) выбрать функцию качества для оценки степени сов-
совпадения реакции модели и реальной системы на одно и то
же входное возмущение;
в) выбрать алгоритм или стратегию для настройки пара-
параметров, минимизирующих различие реакции модели и ре-
реальной s-й подсистемы согласно выбранному критерию.
Функцию качества можно выбрать как функцию сравне-
сравнения одного или многих компонент векторов х и г. В пред-
предположении, что х и г имеют одну и ту же размерность,
функцию качества можно представить в форме
т
J G\ q) = f (* — zfW (x - z) dt, C3.3)
6
где W (x ■■— z) — соответствующая весовая матрица. Во-
Вопрос об оптимальном выборе искомого параметра q* ре-
решается путем минимизации функционала C3.3):
JG\<7*)=min/G\?).
33.2. Принцип пакетного входа. Введем некоторые оп-
определения, необходимые для дальнейшего [53]. Пусть
(у! @)"ф=1 ~ квадратная матрица с элементами yf{t), сгро-
ки которой являются линейно независимыми. Предположим,
326

sup vrai sup | (f/Y (t) |
что yV(t) принимают значения из некоторой допустимой со-
совокупности входов {y(t)} и таковы, что
sup max|yJP(OI<<», C3.4)
< oof v = 1, 2,..., ft,
где v —порядок производной функции входа yf(t).
Из дополнительной информации об s-й подсистеме при-
примем соглашение, что ее порядок равен г3.
Определение 33 Л. Пакетом входов будем называть пря-
прямоугольную матрицу г|)[К] с элементами yf{t)> удовлетво-
удовлетворяющими условиями C3.4) и образующими в матрице ty[Y]
линейно независимые строки.
В частном случае, элементы у? (t) могут быть степен-
степенными рядами, полиномами или другими функциями. При-
Применение пакетов с элементами той или иной природы свя-
связано с существом рассматриваемой задачи, так как каждый
из них имеет свои преимущества и недостатки.
Таким образом, если структура модели s-й подсистемы
идентифицируется системой дифференциальных уравнений
вида C3.1), C3.2), то имеем следующее дифференциальное
включение:
-£- 6 X(tyxy */,<?*), y = h(x,t) C3.5)
при х £ i|) [X], у £ i|) [У], q* £ Q. При выполнении условий
существования и единственности решений систем дифферен-
дифференциальных уравнений
^ = Х(/,*Ф,<Д<7*), cp=l,2,...,rs, C3.6)
каждому вектору входа уф£г|5[К] соответствует единствен-
единственный векюр выхода x^Z^lX]. Очевидно и обратное: для
каждого %ф£г|)[Х] существует y^ZtylY] такое, что имеет
место дифференциальное включение C3.5), т. е.
Рассмотрим теперь псевдолинейную систему
P(tx)x C3.7)
327

с неопределенной матрицей P(t,x), реализующей дифферен-
дифференциальное включение
J*--P(ttx)xtWY]9 C3.8)
если
Предположим, что \t —10| < 1 и будем искать элемен-
элементы ptl(t,x) матрицы P(tyx) в виде разложений
m—0
с неопределенными коэффициентами Rijm.
Если
у @ € Ч> [Y], yj @ = 2 ^ С ~ 'оГ' ^L =
а также
где
^ (t) = 2 & (/ - to)m. cln -
io /?|тф определяются из бесконечной системы рекуррентных
линейных алгебраических уравнений
rs m-l ^
£ Г / ) *< А*-1-1 = ^.m-i - Л, т = 0,1, 2,...,
C3.9)
т—1\ (т—1I - о
Систему C3.9) представим в другом виде:
путем введения обозначений
+ P^/l^m-l + • • • +
328

Пусть /п«0, тогда, полагая по очереди i = 1,2,..., rs,
получаем т% систем алгебраических уравнений га-го порядка:
я^|-^ (ср= 1,2,
из которых при det | cf0 \ Ф 0 последовательно определяем р./0
(/, / = 1,2 rs).
По коэффициентам pif0, piV ... восстанавливаются эле-
элементы pif(t,x) матрицы P(t,x).
Сформулируем теперь достаточные условия ограниченнос-
ограниченности функций Н (t, х)у где
Так как xf — сходящиеся ряды по условию задачи, то функ-
функции Н ограничены, если сходятся ряды
('\/= 1,2,...,/г). C3.10)
° Ptfo Pin
Посгроим определители
0
Рцо
Рт
1
0
PiiO
0
1
0
Рцо
0
1
Jij0
Согласно теореме Шура о сходимости, ряды C3.10) бу-
будут сходящимися и sup тах|ф..(/, х)\ < 1, если Л...,
\t-to:<\ x*Q(H) ч '
.. — все положительные или при некоторых числах
si} имеют место неравенства
Л,Л > 0,..., Ai)8i/ > 0,
= ... = 0.
Таким образом, проблема восстановления правой части
системы C3.7) в классе голоморфных функций при пакет-
329

ном степенном входе сводится к алгебраической проблеме,
состоящей в построении решения счетной последователь-
последовательности конечных рекуррентных систем алгебраических урав-
уравнений.
Это утверждение будем называть принципом пакетного
степенного входа.
33.3. Линейные нестационарные системы. Пусть имеется
линейная нестационарная система [70]
-^ = A(t)x + B(t)uy C3.11)
где t £ JTy y=C (t) x, x — я-мерный вектор состояния системы,
u(t)—вектор входных воздействий (управлений) размерности т
(вход), у (t) — вектор измеряемых переменных размерности k
(вектор выхода), Л, В> С — переменные матрицы соответствен-
соответственно размерностей пхп, пхт, kxny m<n, k-Cn. iMaTpmibi
В (t) и С (t) заданы, элементы матрицы A (t) требуется опре-
определить.
Для простоты рассуждений ограничимся случаем п = lk>
где / > 1 — целое число.
Допустим, что x(t), y(t)y u(t) и элементы матриц В (/),
C(t) являются голоморфными функциями в окресгности точ-
точки / = L:
s=0 s=0
s=0 s=0
CO
s=0
Будем искать элементы матрицы A(t) в виде степенного
ряда
со
л (/) = 2 А* V ~~ ^s- (ззлз)
s=0
Из C3.11) в силу C3.12) получим рекуррентную формулу
т=0
330

Формула C3.14) позволяет выразить х8 через х0 и коэф-
коэффициенты разложений A(t), В (t) и u(t) по степеням (t—t0):
DA> + Si) u0],
" Ло (^о^о + Вг) + АгВ0 + В2] a
Докажем справедливость соотношения
1
х = —— (Н х + G ) s=12 C3 15)
где
S—1
I
ttl '"'
т=[
s-2
s-Z-m^mOs-l-m- C3.16)
m=0 m=0
Выразив xs+l из C3.14), с помощью соотношений C3.15),
C3.16) получим
1 "<4^л.+ п -ч
[s s
2 4_m 4" ^Л + QJ + Vo+S 5S_mum =
m=l m=0 -'
)
m=l ' m==l
s—1 s
s—1
m==0
331

что и требовалось доказать.
Нетрудно видеть, что в соотношении C3.16) Hs зависит
от матриц Aiy i = 0, 1, 2,..., As-u включительно. Обозна-
Обозначим это сокращенно так:
Hs = Ht(A0,Al,...,A_i)**Hl(ASJ=r). C3.17)
Аналогично получим
и, наконец,
xs = xs
C3.18)
C3.19)
Выразим коэффициенты разложения вектора выхода
у @ через х0 и коэффициенты разложений и (/), А @>
В (О, С (/). Подставив разложения C3.12) во второе из
соотношений C3.11) и принимая во внимание выражение
C3.15), получим
У0 ~~
C3.20)
m=l
Первые Z уравнений системы C3.20) будем рассматри-
рассматривать как систему Ik = п линейных алгебраических урав-
уравнений относительно п составляющих вектора х0:
у =
D,
C3.21)
!де
с 1.-1 + V — Ci-{-mHm
— Cl-l-mGm
C3.22)
332

При detDo^=0 система C3.21) разрешима относительно хо:
xo = Doly — ДГ'Д C3.23)
откуда, учитывая обозначения C3.21), C3.18), C3.19), на-
находим
хо = хо (УоТТ* ^оГГТ» ^О=Т» ^ол^Т' ио1^т)' C3.24)
Выражения для х0 подставим в следующие из уравнений
C3.20):
s
или, с учетом C3.24) и C3.16), найдем
-[<
S-1
S
2
т=1
Положив в выражении C3.25) s = /, получим k — -j-
уравнений с In2 неизвестными элементами матриц Ло,Av...
,Для определения элементов матриц Ло, А19 . . . , Л/_1
воспользуемся методом п. 33.2. При этом вход связывается
с выходом следующими дифференциальными уравнениями:
C3.26)
где ф = 1,2,..., г; мф и (/ф — соответствующие столбцы мат-
матриц ф [i/] и г|) [F]. В соотношении C3.26) матрицы Л, В,
С представим в виде разложений по степеням (t — /0), t£Ja.
333

Для u*(t)£yb[U\ и #ф(/)ея|>[К] выражения C3.25) при-
принимают вид
- к+-г сол-. + S 4- (с-«+4- СА-»
т=1
-\с+±сл
v /, ф ^ Л о /#Ф \ I
Л0 Vi/o,/—1 ' °0,/—1 » ^О,/—2 ' D0,1—2 у U07l^2' ~f~
C3.27)
Уравнение C3.27) является линейным относительно эле-
элементов матрицы As—\ и нелинейным алгебраическим относи-
относительно элементов матриц Ло, А19..., Л5_2.
Пусть г = Ы, т. е. имеем In входов. Тогда для каждого
s ==/,/+ 1,... получаем kin = п2 уравнений относительно
неизвестных элементов матриц Ло, А19..., Л5_1, причем пер-
первые / — 1 ма1риц Ло, Alf..., Л^_2 могут быть выбраны про-
произвольно, остальные, начиная с Л/_ь определяются из си-
систем линейных алгебраических уравнений C3.27).
Определим теперь г таким образом, чтобы при s = / из
уравнений C3.27) можно было определить Ло, Аъ .. .,Л/_ь
Для этого необходимо иметь Z/г2 уравнений, т. е. следует
положить г = /2/г. Теперь при s = I определяем первые /
коэффициентов разложения А (/), каждое последующее ys
дает еще In2 уравнений и п2 неизвестных, т. е. полученная
система является переопределенной.
Возникает вопрос, каким должно быть минимальное зна-
значение г, чтобы систему можно было однозначно идентифи-
идентифицировать. (Как было сказано выше, при г = nl такую иден-
идентификацию однозначно провести нельзя, а при г = 12п
полученная система уже на втором шаге (s = / + 1) оказы-
оказывается переопределенной.) Очевидно, таким значением явля-
является г = nl + 1. Действительно, пусть s принимает значе-
значения s = /, I + \,... ,1 + q (всего q + 1 значений). Определим
q так, чтобы система, полученная применением г = nl+ 1
входов и q+ 1 коэффициентов разложениям/^) (yf,y?+v —
•-•>yj+q)> была определенной. При этом количество неиз-
неизвестных будет n2(l + q)j а уравнений —k(q+ \)(nl+ \) =
= -j- (nl + l)(q + 1). Приравнивая эти два количества, по-
получим q = (nl + 1) (I — 1) — L
334

Таким образом, придавая s значения s = /, / + 1,...
..., (nl + 1) (/ — 1), получаем нелинейную систему /г2 (/г/ +
+ 1) (/— 1) алгебраических уравнений относительно п2(п1-\-
+ 1) (/ — 1) неизвестных элементов матриц Ло, Av ...
..., Л(л/+1)</-1)-1. Каждое следующее значение у8 дает еще
п2 + -т- уравнений и п2 неизвестных, т. е. система, полу-
полученная таким образом, оказывается переопределенной на
q + 2 = nl(l+ 1)+ 1 шаге.
Каждый из двух описанных способов выбора числа вхо-
входов в пакете имеет свои преимущества. Второй способ
(г = nl + 1) позволяет ограничиться меньшим числом вхо-
входов, зато для определения первых коэффициентов разло-
разложения функции A (t) в ряд Тейлора требует привлечения
значительного количества высших коэффициентов разло-
разложения выхода, что может отрицательно сказываться на точ-
точности определения A (t) (с ростом номера s относительная
погрешность 8ys будет увеличиваться в связи с уменьше-
уменьшением ys). Первый же способ (г = 12п) для определения
первых коэффициентов A (t) требует минимальное количе-
количество высших коэффициентов разложения выхода, но свя-
связан со значительным увеличением пакета степенных вхо-
входов. Решая задачу идентификации, надо рассматривать
каждый из этих способов применительно к данному слу-
случаю. При этом могут быть и промежуточные решения
nl + 1 < г < 12п.
Вопрос выбора количества входов в пакете степенных
входов рассматривался для случая, когда все элементы ма-
матрицы A (t) подлежат определению. Если же некоторые из
них известны заранее, то выбор числа входов должен
быть скорректирован соответствующим образом (например,
уменьшено число входов).
Из вышеизложенного следует, что для идентификации
нестационарных систем невозможно использовать разло-
разложения входов и выходов в ряд Тейлора в нескольких точ-
точках отрезка Uo, t0 + 71, так как в этом случае необходимо
вычислять в тех же точках коэффициенты разложений A (t),
в то же время аппарат степенных входов (пакетов) позво-
позволяет решать эти задачи без особых затруднений.
33.4. Некоторые частные случаи.
1. Пусть / = 1, т. е. матрица С (f) имеет размеры п X п
и, кроме того, t0 выбрано таким образом, что det С(/0)^0,
а так как Со = С (/<>), то и detCo=^=O, т. е. матрица Go —
335

квадратная неособенная. В этом случае, очевидно, долж-
должно быть г = п (ф = 1, 2,... Уп) и, следовательно, пакет вхо-
входов ц пакет выходов оказываются квадратными матрицами.
Для определения х0 достаточно одного уравнения у0 = С^сь%
откуда, учитывая, что det Со Ф О, получим *0 = С^1у0 или,
принимая, что у0 — элемент пакета выходов,
хо ~" °о Уо *
Подставляя выражение для л$ в соотношение C3.27),
получим рекуррентные уравнения для определения матриц As:
Ys=k+4- С<Л-,+s -s- (с—+-г \
4 s
s
X C0-V0+ ^ 4" C.-»nGm, * > 1. C3-28)
где Fg и (/s определяются равенствами
Найдем из уравнения C3.28) A8 (при условии det
4
m==1
— Cs+1 — 2 4" (Cs+'-"' + TTT СЛ-т) Нт . C3.29)
Выражения C3.29) позволяют последовательно опреде-
определить матрицы As при s = 0, 1, 2, ...
Рекуррентные соотношения для определения Лв можно
также получить, не прибегая к помощи уравнения C3.27).
Действительно, пользуясь вторым из соотношений
C3.1), получим
m=0
336

откуда при условии det Со Ф 0 легко определить х8:
Докажем справедливость следующего соотношения:
2
/=0
где FQ = E, а последующие значения Fj определяются рекур-
рекуррентной формулой
Fj
В самом деле,
Xs = С
= -
/-1
i=0
m—1
Gt = Cfirx
I
s s—m
[s s—m n
s-l / e-/
ж + 2(-20^—/>/
/=0 \ m=l /
\ /=o / /=o
Итак, формула C3.30) доказана.
Подставив в первое из соотношений C3.1) разложения
x(t)y u{t)t A(t) и 5@ в виде рядов, получим
т=0
22 - 4-761 337

откуда легко получить рекуррентную формулу для опре-
определения А8:
АЛ - E + 1)*S+I - ЯЛ - 2 (Amxs_m + Bmus_m). C3.31)
Соотношение C3.31) после подстановки в него xs, опреде-
определенного формулой C3.30), принимает вид
«О ^0 v* ' / 0
/=о
— У кс^У^^ « -\ + В и J. C3.32)
Для определения матриц Лв воспользуемся пакетом сте-
степенных входов при г = /г. Тогда в выражении C3.32) вмес-
вместо векторов у8, и8 (s > 0) следует записать матрицы Ys, Us.
Предположив, что detKo^0, Yo = Y(t) — начальное зна-
значение выхода, из C3.32) легко получим рекуррентную фор-
формулу для определения А8\
Л, - Us + 1) Со 2 FjYs+i4-B8U0 -
I /=о
s—l
■ « i .и \ 11 <
• 0.
\/=о
Покажем, что условие det Yo ф 0 можно всегда удовле-
удовлетворить.
Предположим, что матрица Л построена. Тогда связь
между пакетами входов и выходов можно записать следую-
следующим образом:
■|- ф [X] = Лф [X] + Вф [(/], C3.33)
s—-1 г /s—т \
m^oL \/=о /
C3-34)
Подставляя в C3.33) разложения а|)[Х] и t[f/], получим
- ,4т s
т=0
^o7s» Bo^' ^oTs)» s > °' C3.35)
338

Выражение C3.34) после подстановки в него выражения
C3.35) примет вид
=g(XoyA0—v fio^ri^o—р Сог)> *=1.2>-
а при s = О
откуда Хо = Cq~1Y0 и, следовательно,
Yo
Таким образом, при любой матрице A (t) наблюдаемый
вектор-выход y(t) определяется с точностью до начального
значения и, следовательно, матрицу начальных значений
пакета выходов Y (t0) = Yo можно выбирать произвольно, а
значит и так, чтобы det Yq Ф 0. В частности, если принять
YQ = С (/0) = Со, формула C3.32) несколько упростится и
примет вид
s = [S -f- l^ L»o
/=0
s-1
2. Предположим, заранее известно, что матрица А систе
мы C3.1) постоянна. Если матрица В также постоянна,
то соотношения C3.16) запишутся следующим образом:
Gx = Вощ, Gs+1 = 50"з + т
или в явном виде
S-1
т=0
где s= 1, 2,...
22* 339

Найденные Hs и Gs подстаеим в C3.15) и получим
S—1 v
£ т\ ЛГт-'Во«т ) • C3.36)
т=0 /
(
А1х0
Пусть в соотношении у —Сх матрица С (t) = V Cs С
5=0
имеет размеры Л х я (k<£ri). Используя C3.36) и разложе-
разложение y(t) в степенной ряд, находим
ys = J] Cs_m ^ ^o + J] /I ЛГ'
m=0
, 5 = 0, 1,2,...
C3.37)
Выбираем число / наименьшим, для которого kl > я»
и рассматриваем первые / равенств из C3.37) как систему
линейных алгебраических уравнений относительно век-
вектора х0, имеющую число уравнений, не меньше числа
неизвестных:
где
/—i
— L^
vn—0
т=\
340

(матрицы DQ и D имеют размеры kl X п). Из последней си-
системы уравнений находим xQ:
где матрицы DOi D и вектор у получаются из матриц Do, D
и вектора у вычеркиванием одних и тех же kl — n строк.
Найденное значение xQ подставляем в выражения для по-
последующих ys:
III'.
m=0
J
C3.38)
Далее решение задачи можно осуществить различными
способами.
Способ I. Для каждого фиксированного s выражение
C3.38) представляет собой систему k нелинейных алгебра-
алгебраических уравнений относительно п2 неизвестных элемен-
элементов матрицы Ло. Чтобы получить достаточное количество
уравнений, необходимо и достаточно воспользоваться па-
пакетом степенных входов при числе входов г, где г опреде-
определяется как минимальное целое число, удовлетворяющее
условию kr > п2. При этом уравнение C3.38) примет вид
\]
m=0 L /=0 J
(из всех коэффициентов разложения а|) [У] выбираем Y[
как имеющий наименьший номер s при s > /).
Способ II. Определим элементы матрицы Ло, пользуясь
единственным входом и решая систему уравнений, состав-
составленную из C3.38) при s = /, / + 1, . . • , / + г, где г
определяется как наибольшее целое число, удовлетворяю-
удовлетворяющее условию kr < /г2.
Способ III. Для определения Ло рассматривается только
коэффициент разложения г/ (/) с номером I (у^, а достаточ-
достаточное количество уравнений набирается за счет разложения
входа u (f), выхода у (t) и матрицы С (t) в различных
точках отрезка [/0, t0 -j- T], число которых равно г, где
г определяется как и в случае /.
341

33.5. Оценка коэффициента демпфирования в системе второго по-
порядка. В качестве примера рассмотрим колебания маятника длины
/ и массы т. На точку подвеса маятника действует сила, составляющие
которой по вертикали и горизонтали соответственно равны mV (t) и
тН (f). При этом уравнение, описывающее движение маятника, имеет
вид
т/2ё + C(t)Q + ml[g + V @1 sin 9=т/Я (/) cos 9, C3.39)
где С (t) — коэффициент сопротивления маятника (переменная величи-
5Г
Обозначим
Т = <4 —jT = 2<°oz
C3.40)
Учитывая обозначения C3.40), уравнение C3-39) перепишем в виде
в + 2г (т) 6 + [1 - Vofx (т)] sin 9 = Я0/2 (т) cos 9, C3-41)
где 9-=-^.
Рассмотрим колебание маятника на конечном промежутке времени
[/0, tQ + Т] и предположим, что HQ, VQ — величины порядка е < 1, а
г (т) и решение уравнения C3.41) представляются соответственно
рядами
() + + +
где zQ — величина порядка 1; zt и мх — порядка е; z2 и и2 — порядка
е2 и т. д.
После элементарных преобразований получим уравнения для пер-
первого, второго и т. д. приближений:
C3-42)
Рассмотрим подробнее уравнение первого приближения. Предпо-
Предположим; что требуется определить первое приближение m/22(oozo коэф-
коэффициента сопротивления маятника таким образом, чтобы заданным
342

возмущениям Но-~- соответствовали вполне определенные с точностью
о
до величин порядка е колебания маятника их (т). При этом наблюде-
наблюдению доступен только угол отклонения маятника их (т), но не их (т).
Обозначим иу = х1, и^ = х2, —- /2 (т) = а, у = х1. Тогда уравне-
уравнение первого приближения наблюдаемого движения маятника таково:
х1 = х\
х2 = — х1 — 2г0х2 + и, C3.43)
f/ = х1.
Здесь матрицы В и С имеют вид
В=(°), С = A,0),
а в матрице А требуется определить единственный элемент
0 1
Согласно изложенному ранее, определяем х0 по формуле C3-23):
где
""" ' ел / Vo
\C0 Bo uoj
(y \
I.
Подставив найденное выражение для х0 в C3.25), получим
или, учитывая, что s > / = 2,
S-1
Соотношение C3.44) является алгебраическим уравнением относи-
относительно элементов матрицАо, Alf . . . , As_2. Следовательно, при s= 2
343

получаем уравнение для определения а0, каждое следующее ys дает
еще одно уравнение и еще одно неизвестное а&_2. Таким образом, для
определения а (/) можно ограничиться единственным входом. Положим
для определенности
и (т) = sin kxT, у (т) = sin (k^x + у),
где
* к1
Разлагая и (т) и у (т) в ряд Маклорена в окрестности т0 = 0, получи м
Bk)\ 2 • yU+i —К—Ч 2 Bk + 1)!
Полагая s = 2, 3, 4,... , по формулам C3.44) и C3.16) последо-
последовательно определяем aQ, al$ ag, ... При s = 2 из соотношения
находим, что а0 = 0.
1 V^3 335
Аналогично определяем аг = -g-, ^2 = — -у- ' fls ^ 92
Таким образом, если возмущению (входу) HQf2 = ги = е sin -j-
отвечают определенные с точностью до величин порядка е2 колебания
маятника
го коэффициент сопротивления маятника с той же точностью имеет вид
Применение ЭВМ позволило определить следующие коэффициенты
разложения а (т) в степенной ряд:
ао = 0; а± «= 0,5; а2 = — 0,866; а3 = 1,745; а4 = — 3,311;
а6 = 6,334; aQ = 12,1
и т. д. до а20.
344

Легко установить, что полученный ряд сходится при значениях
т <; -«г или, переходя к переменной t:
1 YJL.
C3.46)
Рассмотрим, как влияет точность определения коэффициента демп-
демпфирования на точность оценки параметров колебаний маятника.
Если считать а (т) ^ а*1* (т) = а0 = 0, то решение уравнения перво-
первого приближения наблюдаемого движения маятника имеет вид
или в свернутом виде
2я \ 4 16
j i +
У{) = sin (т + ~j ~ 15" sin т + 15 sin T'
При 0 < т ^ ~2 относительная погрешность первого приближения
укХ) меньше 1,15%.
Полагая а (т) ^ с№ (т) = а0 + ахт, определяем соответствующее
решение уравнения движения маятника
„<2)_ У±_ 1 т_/3 2, 1 3, 15 5
^"2 4 ^ 2-3! 64.5! '
1
При 0 < т < у относительная погрешность второго приближения
меньше 0,08%.
Таким образом, в зависимости от того, с какой степенью точности
необходимо получать движения маятника, следует выбирать число
членов разложения коэффициента демпфирования C3.45).
Вопросы для исследования
1. Развить метод построения функционалов Ляпунова для систем с
последействием и систем с распределенными параметрами путем
использования метода возмущений.
2. Сформулировать принцип сравнения для стохастической вектор-
функции Ляпунова и получить условия устойчивости множеств не-
неизолированных положений равновесия систем со случайными па-
параметрами.
3. Развить аналитический метод исследования устойчивости сложных
стохастических систем на основе способа укрупнения случайных
процессов и принципа сравнения Чаплыгина — Важевского —
Матросова.
345

ЛИТЕРАТУРА
1. Азбелев Н. В. О границах применимости теоремы Чаплыгина
о дифференциальных неравенствах.— Математический сборник,
1956, 39 (81), 2.
2. А н д р о н о в А. А. и др. Качественная теория динамических
систем. «Наука», М., 1966.
3. Б а р б а ш и н Е. А. Введение в теорию устойчивости движения.
«Наука», М., 1967.
4. Б а р б а ш и н Е. А. Функции Ляпунова. «Наука», М., 1970.
5. Барбашин Е. А., КрасовскийН. Н. Об устойчи-
устойчивости движения в целом.— ДАН СССР, 1952, 86, 3.
6. Беллман Р. Теория устойчивости решений дифференциаль-
дифференциальных уравнений. ИЛ, М., 1954.
7. Б и к е й Г. А. Идентификация систем. Введение и обзор.— Меха-
Механика (сб. переводов), 1972, 3 : 133.
8. Боголюбов Н. Н., Митропольский Ю. А., Са-
Само йле н ко А. М. Метод ускоренной сходимости в нелинейной
механике. «Наукова думка», К., 1969.
9. Бусленко Н. П., Калашников В. В., Ковален-
Коваленко И. Н. Лекции по теории сложных систем. «Советское радио»,
М., 1973.
10. Б у с л е н к о Н. П. Сложные системы и машинная математи-
математика.— Вестник АН СССР, 1967, 4.
11. В ал ее в К. Г., Жаутыков О. А. Бесконечные системы
дифференциальных уравнений. «Наука», Алма-Ата, 1974.
12. В а л е е в К. Г., М а р т ы н ю к А. А. Применение метода
возмущений в задаче построения функций Ляпунова.— В кн.:
Математическая физика, 17. «Наукова думка», К., 1975.
13. В а л е е в К. Г., М и с а к В. В. Исследование колебаний не-
нелинейных систем.— Прикладная механика, 1973, 9, 2.
14. В а л е е в К. Г. Об одной теореме Ляпунова.— В кн.: Матема-
Математическая физика, 9. «Наукова думка», К., 1971.
15. Ван Дань-чжи, Степанов С. Я. Численное исследо-
исследование устойчивости на конечном интервале времени.— ЖВМ и
МФ, 1974, 14, 2.
16. В а с и л е н к о В. П., Мартынюк А. А., Я нише в-
с к и й А. П. Об устойчивости движения по заданным координа-
координатам двухроторного гирокомпаса с успокоителями.— В кн.: Мате-
Математическая физика, 16. «Наукова думка», К., 1974.
17. Вол осов В. М. О методе усреднения.—ДАН СССР, 1961,
137, 1.
18. Г е р м а и д з е В. Е., Красовский Н. Н. Об устойчиво-
устойчивости при постоянно действующих возмущениях.—ПММ, 1957, 21, 6.
346

19. Горбунов А. Д. Об одном методе получения оценок решений
системы обыкновенных линейных однородных дифференциальных
уравнений.— Вестник Моск. ун-та. Сер. физ.-матем. и естеств.
наук, 1950, 10.
20. Г о й с а Л. Н., М а р т ы н ю к А. А. Исследование систем
осцилляторов со слабым взаимодействием в окрестности особой
точки.— В кн.: Математическая физика, 15. «Наукова думка», К.,
1974.
21. Горшин С. И. Второй метод Ляпунова в применении к устой-
устойчивости при постоянно действующих возмущениях. — Тр. семи-
семинара-симпозиума «Второй метод Ляпунова и его применение в
энергетике». Ч. 1. СО «Наука», Новосибирск, 1966.
22. Г р е б е н и к о в Е. А., Рябов Ю. А. Новые качествен-
качественные методы в небесной механике. «Наука», М., 1971.
23. Д е м и д о в и ч Б. П. Лекции по математической теории устой-
устойчивости. «Наука», М., 1967.
24. Дубошин Г. Н.К вопросу об устойчивости движения отно-
относительно постоянно действующих возмущений.— Тр. Астрономи-
Астрономического ин-та, 1940, 14, 1.
25. Д ы х м а н Е. И. О принципе сведения.— Изв. АН КазССР.
Сер. мат. мех., 1950, 7, 4.
26. Е р у г и н Н. П. О периодических решениях дифференциальных
уравнений.—ПММ, 1956, 20, 1.
27. 3 а д о р о ж н ы й В. Ф., М а р т ы н ю к А. А. О решении об-
общей задачи агрегирования как проблемы моментов.— В кн.: Ма-
Математическая физика, 14. «Наукова думка», К., 1973.
28. 3 е м л я к о в А. С. К вопросу построения систем сравнения.—
Тр. Казанского авиационного ин-та, 1972, 144.
29. Зубов В. И. Лекции по теории управления. Изд-во Ленингр.
ун-та, Л., 1972.
30. 3 у б о в В. И. Математические методы исследования систем ав-
автоматического регулирования. «Судпромгиз», Л., 1959.
31. Зубов В. И. Методы А. М. Ляпунова и их применение. Изд-во
Ленингр. ун-та, Л., 1957.
32. И м а н а л и е в М., Ведь Ю. А. Интегральные возмущения в
теории устойчивости систем обыкновенных дифференциальных
уравнений.— Zagadn. drgan. riielin., 1973, 14.
33. И ш л и н с к и й А. Ю. Механика гироскопических систем.
Изд-во АН СССР, М., 1963.
34. Калашников В. В. О понятии устойчивости функциони-
функционирования сложных систем.— В кн.: Большие информационно уп-
управляющие системы. Изд. МДНТП, М., 1969.
35. К а л и н и н С. В. Устойчивость периодических движений в
критических случаях. Изд-во Моск. ун-та, М., 1972.
36. Каменков Г. В. Устойчивость движения. Колебания. Аэро-
Аэродинамика. «Наука», М., 1971.
37. К а р а ч а р о в К. А., П и л ю т и к А. Г. Введение в техниче-
техническую теорию устойчивости движения. ГИФМЛ, М., 1962.
38. К а ц И. Я., Красовский Н. Н. Об устойчивости систем
со случайными параметрами.— ПММ, 1960, 24, 5.
39. К о р д у н я н у К- Применение дифференциальных неравенств
в теории устойчивости.— Analele Stiintifice ale univ. «Al. i. Cusa»
din lasi, 1960, Sec. 1, 6 1.
347

40. К р а с о в с к и й Н. Н. Некоторые задачи теории устойчивос-
устойчивости движения. Физматгиз, М., 1959.
41. К р а с о в с к и й Н.. Ы. О применении метода функций
Ляпунова для уравнений с запаздыванием.— ПММ, 1956, 20, 2.
42. К р о н Г. Исследование сложных систем по частям. Диакопти-
ка (i ер. с англ.). «Наука», М., 1972.
43. К у з ь м и н П. А. Устойчивость при параметрических возму-
возмущениях.— ПММ, 1957, 21, 1.
44. К у х т е н к о А. И. Основные задачи теории управления слож-
сложными системами.— В кн.: Сложные системы управления. Изд.
Ин-та кибернетики АН УССР, К., 1968, 1.
45. Л а г р а н ж Ж. Л. Сборник статей к 200-летию со дня рожде-
рождения. Изд-во АН СССР, М.— Л., 1937.
46. Лебедев А. А. Об одном методе построения функций Ляпуно-
Ляпунова.—ПММ, 1957, 21, 1.
47. Л е т о в А. М. Устойчивость нелинейных регулируемых систем.
Физматгиз, М., 1962.
48. Лузин Н. Н. О методе приближенного интегрирования акаде-
академика С. А. Чаплыгина.— Избр. труды. Т. 3. Изд-во АН СССР, М.,
1959.
49. Л я п у н о в А. М. Исследование одного из особенных случаев
задачи об устойчивости движения.— Математический сборник,
1893, 17, 2 (см. также Ляпунов А. М.—Собр. соч. Т. II.
Изд-во АН СССР, М.—Л., 1956).
50. Л я п у н о в А. М. Общая задача об устойчивости движения.—
Собр. соч. Т. II. Изд-во АН СССР, М., 1956.
51. М а л к и н И. Г. Об устойчивости при постоянно действующих
возмущениях.— ПММ, 1944, 8, 3.
52. М а л к и н И. Г. Теория устойчивости движения. «Наука», М.,
1966.
53. М а р т и н ю к А. А. Принцип пакетного степеневого входу.—
ДАН УРСР, сер. А, 1970, 9.
54. М а р т и н ю к А. А. Про (Xt A, t0, T, ||-1/)-ст1йк1сть систем i3
зашзненнями.— ДАН УРСР, сер. А, 1969, 2.
55. М а р т и н ю к А. А. Про спйюсть стандартно'1 системи з по-
стшно дшчими збуреннями.—ДАН УРСР, сер. А, 1973, 5.
56. М а р т и н ю к А. А. Про в1дсутшсть замкнених швар1антних
многовид!в багатовим{рних систем.— ДАН УРСР, сер. А, 1970, 2.
57. М а р т и н ю к А. А. Спйюсть систем з випадковими парамет-
параметрами на скшченному штервал! i диференщальш HepiBHOcrri.—
ДАН УРСР, сер. А, 1971, 5.
58. М а р т ы н ю к А. А. Качественные исследования поведения сла-
слабосвязанных осцилляторов в окрестности положения равновесия.—
Прикладная механика, 1973, 9, 7.
59. М а р т ы н ю к А. А. Метод усреднения в теории устойчивости
движения.— Zagadn. drgan. nielin., 1973, 14.
60. М а р т ы н ю к А. А. Об устойчивости систем при розвиваю-
щихся возмущениях. — ДАН УССР, сер. А, 1975, 7.
61. Мартынюк А. А. Метод усреднения и принцип сравнения в
технической теории устойчивости движения.— Прикладная ме-
механика, 1971, 7, 9.
62. Мартынюк А. А. О неустойчивости положения равновесия
многомерной системы, состоящей из нейтрально неустойчивых под-
подсистем.— Прикладная механика, 1972, 8, 6.
348

63. М а р т ы н ю к А. А. О технической устойчивости движения от-
относительно отдельных заданных координат.— Прикладная меха-
механика, 1972, 8, 3.
64. М а р т ы н ю к А. А. О технической устойчивости сложных си-
систем.— В кн.: Кибернетика и вычислительная техника, 15. «Науко-
ва думка», К., 1972.
65. М а р т ы н ю к А. А., Р и з у н В. И. Об устойчивости решений
слабосвязанных систем.—В кн.: Математическая физика, 18. «На-
укова думка», К-, 1975.
66. М а р т ы н ю к А. А. Теорема о неустойчивости в конечном си-
систем с последействием.— В кн.: Дифференциально разностные урав-
уравнения. Изд. Института математики АН УССР, К., 1971.
67. М а р т ы н ю к А. А. Теорема типа теорем Ляпунова об устой-
устойчивости многомерной системы.— УМЖ, 1972, 24, 4.
68. М а р т ы н ю к А. А. Техническая устойчивость в динамике.
«Техшка», К., 1973.
69. М а р т ы н ю к А. А. Устойчивость связанных систем нелиней-
нелинейных дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом.—
Автоматика, 1973, 1.
70. М а р т ы н ю к А. А., Г о й с а Л. Н. Об идентификации не-
нестационарных наблюдаемых систем.— Автоматика, 1974, 6.
71. Матросов В. М. К теории устойчивости движения.— ПММ,
1962, 26, 6.
72. М а т р о с о в В. М. К теории устойчивости движения.—
Тр. Казанского авиационного ин-та. Математика, механика,
1963, 80.
73. М а т р о с о в В. М. К теории устойчивости движения.— Тр.
Межвузовской конференции по прикладной теории устойчивости
движения и аналитической механике, Казань, 1964.
74. М а т р о с о в В. М. Метод векторных функций Ляпунова в ана-
анализе сложных систем с распределенными параметрами.— Авто-
Автоматика и телемеханика, 1973, 1.
75. Матросов В. М. Метод векторных функций Ляпунова в
системах с обратной связью.— Автоматика и телемеханика,
1972, 9.
76. М а т р о с о в В. М. Принцип сравнения с вектор-функцией Ля-
Ляпунова, I.— Дифференциальные уравнения, 1968, 4, 8.
77. М а т р о с о в В. М. Принцип сравнения с вектор-функцией
Ляпунова, II.— Дифференциальные уравнения, 1968, 4, 10.
78. М а т р о с о в В. М. Принцип сравнения с вектор-функцией
Ляпунова, III.— Дифференциальные уравнения, 1969, 5, 7.
79. М а т р о с о в В. М. Принцип сравнения с вектор-функцией
Ляпунова, IV.— Дифференциальные уравнения, 1965, 5, 12.
80. Матросов В. М. Развитие метода функций Ляпунова в тео-
теории устойчивости. — Тр. II Всесоюзного съезда по теоретической
и прикладной механике. Т. I. «Наука», М., 1965.
81. Мельников Г. И. Некоторые вопросы прямого метода Ля-
Ляпунова.—ДАН СССР, 1956, 110, 3.
82. Механика в СССР за 50 лет. Т. I. «Наука», М., 1968.
83. Миллионщиков В. М. К теории дифференциальных урав-
уравнений -jj — f (x, t) в локально выпуклых пространствах.— ДАН
СССР, I960, 131, 3.
349

84. Митропольский Ю. А. Метод усреднения в нелинейной
механике. «Наукова думка», К., 1971.
85. М о и с е е в И. Н. Асимптотические методы нелинейной механи-
механики. «Наука», М., 1969.
86. Озиранер А. С, Румянцев В. В. Метод функций
Ляпунова в задаче об устойчивости движения относительно части
переменных.— ПММ, 1972, 36, 2.
87. Пионтковский А. А., Рутковская Л. Д. Иссле-
Исследование некоторых задач теории устойчивости с помощью метода
векторной функции Ляпунова.— Автоматика и телемеханика,
1967, 10. ,
88. П е р с и д с к и й К. П. Некоторые критические случаи счет-
счетных систем.— Изв. АН КазССР. Сер. матем. и мех., 1951, 5.
89. П о ж а р и ц к и й Г. К. О построении функций Ляпунова из
интегралов уравнений возмущенного движения.—ПММ, 1958, 22, 2.
90. П у а н к а р е А. О кривых, определяемых дифференциальными
уравнениями. Гостехиздат, М., 1947.
91. Плисе В. А. Нелокальные проблемы теории колебаний.
«Наука», М.—Л., 1964.
92. Р а з у м и х и н Б. С. Об устойчивости систем с запаздывани-
запаздываниями.— ПММ, 1956, 20, 4.
93. Р о з о М. Нелинейные колебания и теория устойчивости. «Нау-
«Наука», М., 1971. "*
94. Рахматуллина Л. Ф. К вопросу об устойчивости решения
нелинейного уравнения теплопроводности.— ПММ, 1961, 25, 3.
95. Р в а ч е в В. Л. Методы алгебры логики в математической
физике. «Наукова думка», К., 1974.
96. Репин Ю. М. Об устойчивости решений уравнений с запазды-
запаздывающим аргументом.— ПММ, 1957, 21, 2.
97. Румянцев В. В. Метод функций Ляпунова в теории устой-
устойчивости движения.— В кн.: Механика в СССР за 50 лет. T.I.
«Наука», М., 1968.
98. Румянцев В. В. Некоторые задачи динамики сложных
систем.— В кн.: Проблемы прикладной математики и механики.
«Наука», М., 1971.
99. Румянцев В. В. Об устойчивости движения по отношению
к части переменных.— Вестник Моск. ун-та, 1957, 4.
100. С п и в а к М. Математический анализ на многообразиях. «Мир»,
М., 1968.
101. Ст а р ж и н с к и й В. М. К теории нелинейных колебаний.
Изд-воМоск. ун-та, М., 1970—1972, I—III.
102. Тонкаль В. Е. Теория, методы построения и исследование
автономных инверторов модуляционного типа с повышенным ка-
качеством выходной энергии.— Автореферат докторской диссерта-
диссертации, К., 1974.
103. Тонкое Е. Л. Устойчивость решений обыкновенных дифферен-
дифференциальных уравнений. Изд. Моск. ин-та химического машинострое-
машиностроения, М., 1972.
104. X а п а е в М. М. Об исследовании на устойчивость в теории не-
нелинейных колебаний.— Математические заметки, 1968, 3, 3.
105. X а п а е в М. М. Об одной теореме типа Ляпунова.— ДАН СССР,
1967, 176, 6.
350

106. X а п а е в М. М. О неустойчивости при постоянно действующих
возмущениях.—ДАН СССР, 1968, 178, 1.
107. Хасьминский Р. 3. Устойчивость систем дифференциаль-
дифференциальных уравнений при случайных возмущениях их параметров. «Нау-
«Наука», М., 1969.
108. Ц ы п к и н Я. 3. Процессы регулирования с адаптацией. «Нау-
«Наука», М., 1969.
109. Чаплыгин С. А. Новый метод приближенного интегрирова-
интегрирования дифференциальных уравнений. ГИТТЛ, М., 1950.
ПО. Чета ев Н. Г. О некоторых вопросах, относящихся к задаче
об устойчивости неустановившихся движений.— ПММ, 1960,
24, 1.
111. Четаев Н. Г. Устойчивость движения. Изд. 2-е. Гостехиздат,
М., 1956.
112. Четаев Н. Г. Устойчивость движения. Работы по аналити
ческой механике. Изд-во АН СССР, М., 1962.
113. Э л ь с г о л ь ц Л. Э. Устойчивость решений дифференциально-
разностных уравнений.— УМН, 1954, 9, 4.
114. Якубович В. А., Старжинский В. М. Линейные
дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами
и их приложения. «Наука», М., 1972.
115. Bailey F. N. The appl. of Lyapunov's sec. meth. to interc.
system.—J. Soc. Industr. Appl. Math., 1965 A966), A3, 3.
116. Bai ley F. N. Vector Lyapunov Funct. for a Class of Interc.
Systems.— Proc. Nat. Electron. Conf., 1965, 21.
117. Bellman R. Vector Lyapunov Funct.— J. Soc. Industr. and
Appl. Math., Ser. A, Control, 1962, 1, 1.
118. В о g u s z W. Stateczno£6 Techniczna. Warszawa, 1972.
119. Corduneanu С Sur la stab. part.— Rev. Roum. math.
l 1964 IX 3
pur. appl., 1964, IX, 3.
Didith V
p pp, , ,
120. Demidovitsch V. B. Eine Verallgemeinerung des Kriteri-
ums von Bendixon.— Zeitschrift fur angewandte Mathematik und Me-
chanik, 1966, 46, 2.
121. Lakshmikantham V., Leela S. Diff. and int. ineq.—
In: Theory and Appl. Acad. Press, N. Y., 1969, 1.
122. L a p 1 a s e P. S. Mechanique seleste. Paris, 1825.
123. Lin Y. H., Kinnen E., Fried ly J. С Const, of Li a pu-
nov funct. for PDE using exter. diff. forms.— In: 14th Joint Auto-
Automat. Cont. Conf. (Columbus. Ohio, 1973). Prepr. techn. pap., N. Y.,
1973.
124. Masse r a J. L. Contr. to stab, theory.—Ann. Math., 1956,
64, 1.
125. M i с h e 1 A. N., W u S. H. Stability of discrete systems
over a finite of time.— Int. J. Control, 1969, 9, 6.
126. Rao M. R. M. Upper and lower bounds of the norm, of
sol. of nonlinear Volterra int. equations.—In: Proc. Nat. Acad.
Scs. (India), 1963, 33, 2.
127. § i 1 j a k D. D. Stability of large-scale systems.— Proc. IFAC 5th
World Congr., 1972. Party. S. I. s. a., C-32 A-е—32I1.
128. Stokes A. The appl. of a fixed-point theorem to a var. of non-
nonlinear stab, probl.— Proc. Nat. Acad. Sci., 1959, 45, 2.
129. Tsokos С P., Leela S. Contr. syst. and fin. time stab.—
Not. com. de Math, 1969, 22.
351

130. T s о к о s G. P., Rao R. M. Finite time stab, of contr. syst.
and int. ineq.— Bui. inst. Politehnic din Iasi, 1969, 15 A9), 1—2.
131. W a z e w s к i T. Sist. des equat. et des ineq. diff. ordin. aux deux,
memb. et leurs ap.pl.— Ann. Soc. Polon. Math., 1950, 23.
132. Weiss L., Infante E. F. Finite Time Stab, under Pert.
Fore, and on Prod. Spac. IEEE Trans. Aut. Contr., 1967, AC-12, 1.
133. Weiss L., Infante E. F. On the stab, of syst. defined over
a finite time int.— Proc. of the Nat. Acad. of Sci., 1965, 54, 1.
134. Weiss L. On uniform and nonun. finite-time stab.— IEEE
Trans. Aut. Contr., 1969, 14, 3.
Анатолий Андреевич Мартынюк
УСТОЙЧИВОСТЬ
ДВИЖЕНИЯ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ
Печатается по постановлению ученого совета Института математики АИ УССР
Редактор И. М. Гладких. Художественный редактор Н. П. Антонюк. Оформ-
Оформление художника Я. П. Мазниченко. Технический редактор Б. А. Пиковская.
Корректоры А. И. Разбицкая, Л. Г. Бузиашеили.
Сдано в набор 15.XI 1974 г. Подписано к печати 4.V 1975 г. БФ 02575.
Зак. 4-761. Изд. №268. Тираж 2С00. Бумага № Ч, 84X108V32. Печ. физ.
листов 11,0. Условн. печ. листов 18,48. Учетно-изд. листов 17,97. Цена
2 руб. 04 коп.
Издательство «Наукова думка», Киев, Репина, 3.
Киевская книжная типография научной книги Республиканского производст-
производственного объединения «Полиграфкнига» Госкомиздата УССР, Киев, Репина, 4.