Физика элементарных частиц. Электромагнитные и слабые взаимодействия - Померанчук И.Я.

Автор: Померанчук И.Я.
Теги: ядерная, атомная и молекулярная физика физика физика элементарных частиц
Год: 1972
Похожие
Физика элементарных частиц. Сильные взаимодействия
Физика элементарных частиц
Кинематика элементарных частиц
Текст
                    ИАПОМЕРАНЧУК
о ание
научных
viрудов

И.Я.ПОМЕРАНЧУК
Собрание научных трудов
в трех томах
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
МОСКВА 1972

И.Я.ПОМЕРАНЧУК
Собрание научных трудов
н
ФИЗИКА
ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ЧАСТИЦ.
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ
И СЛАБЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
МОСКВА 1972

УДК 539.12
Собрание научных трудов в трех томах. Померан-
ч у к И. Я. Физика элементарных частиц. Электромагнитные
ч слабые взаимодействия. Том II. Изд-во «Наука», 1972,
«стр. 296.
В собрание трудов выдающегося советского физика-тео-
физика-теоретика академика И. Я. Помер анчука включены почти все
^го научные статьи, опубликованные в различное время в
отечественных и зарубежных периодических изданиях. Рабо-
Работы И. Я. Померанчука охватывают широкий круг физических
«опросов, они содержат важные результаты в таких разделах
современной физики, как физика элементарных частиц и
ядерная физика, теория ядерных реакторов и теория твер-
твердых тел и жидкостей.
Во второй том вошли статьи по теории электромагнит-
электромагнитных и слабых взаимодействий элементарных частиц.
Издание представляет значительный интерес для науч-
научных работников в области физики, инженеров-физиков, а так-
также преподавателей, студентов и аспирантов физических спе-
специальностей вузов.
РЕДАКЦИОННАЯ КОЛЛЕГИЯ
В. Б. БЕРЕСТЕЦКИЙ (ответственный редактор),
Л. ИОФФЕ, И. Ю. КОБЗАРЕВ, Л. А. КОНДРАТЮК*
Л. Б. ОКУНЬ
¦2-3-7
БЗ № 27-1972-№ 19

ИСААК ЯКОВЛЕВИЧ
ПОМЕРАНЧУК
1964 г.

I
ТЕОРИЯ ФОТОНОВ,
ЭЛЕКТРОНОВ И МЮОНОВ
33
РАССЕЯНИЕ СВЕГА НА СВЕТЕ*
Совместно с А. Ахиезером и Л. Ландау
В своей недавней статье Эйлер и Кокель * вычислили эффек-
эффективное сечение для рассеяния света на свете. Вычисления
были проведены для случая, когда малы частоты (Йсо <^ тс2),
взятые в системе отсчета, где суммарный импульс сталкиваю-
сталкивающихся квантов равен нулю.
Мы рассчитали поперечное сечение в противоположном слу-
случае больших частот (Йсо ^> тс2). Для полного поперечного
сечения было получено выражение вида
где а = е2/Нс, с постоянной а, вычисление которой затруднительно
Согласно Эйлеру и Кокелю, а при малых частотах пропорцио-
пропорционально со6. Поэтому а принимает максимальное значение в об-
области со — тс2.
Вычислить зависимость дифференциального поперечного се-
сечения от угла рассеяния также затруднительно. Мы нашли,
что при малых углах поляризация световых квантов не меняет
ся. Дифференциальное сечение для малых углов равно
где 0 — угол рассеяния, a do — элемент телесного угла. Эта
* Nature, 1936, 138, 206. (См. перевод: Л. Д. Ландау. Собр. трудов, «Наука»,
1969, т. 1, № 25.)
1 Ruler I Kockel. Naturwiss., 1935, 23, 246.

4ормула несправедлива для углов, существенно меньших, чем
mc2/h(d. В последнем случае вместо 0 под знаком логарифма
следует подставить тс2/Тгсо.
Относительная точность формулы составляет 1/1п 6. Попе-
Поперечное сечение возрастает с уменьшением угла, однако не очень
быстро.
Поэтому нельзя утверждать, что эта область играет глав-
главную роль в интегральном сечении.
Детали вычислений будут опубликованы в другом месте1.
Украинский физико-технический институт.
Харьков
1 См. А. И. Ахиезер. Phys. Zs. Sowjet., 1937, И, 263.— Прим. ред

34
КОГЕРЕНТНОЕ РАССЕЯНИЕ
Y-ЛУЧЕЙ ЯДРАМИ*
Совместно с А. И. Ахиезером
Рассматривается когерентное рассеяние 7~лУчей ядрами, вытекающее
из дираковской теории позитронов. Выводятся формулы для эффективного
поперечника рассеяния.
В случае больших частот, удовлетворяющих соотношению /гсо ^> тс2,
малые углы рассеяния играют исключительную роль. Именно дифферен-
дифференциальный поперечник для малых углов рассеяния обратно пропорционален
квадрату угла рассеяния. Интегральный поперечник рассеяния имеет вид
2 л Лео
l
где Z — атомный номер, а — постоянная тонкой структуры и а — численный
коэффициент, вычисление которого весьма затруднительно.
В случае малых частот, удовлетворяющих соотношению /ко <^ тс2у
интегральный поперечник рассеяния равен
б2 \б со4
тс* ) "с4"'
где 8 — заряд электрона, Ъ — неизвестный численный коэффициент.
Эффективный поперечник рассеяния имеет максимум при /Ico ~ тс2.
Из дираковской теории позитронов вытекает возможность
когерентного рассеяния у-лучей ядрами. Эта возможность осу-
осуществляется посредством образования фотоном в кулоновском по-
поле ядра виртуальной пары, которая затем уничтожается с из-
излучением другого фотона той же частоты. Разность импульсов
первичного и вторичного фотонов передается при этом ядру.
Можно было бы думать, что при вычислении амплитуды ве-
вероятности рассматриваемого нами процесса методом теории
возмущений имеет место следующая схема промежуточных со-
состояний. Какой-либо электрон, находящийся в состоянии с от-
отрицательной энергией, под влиянием фотона переходит в состо-
состояние с положительной энергией, затем испускает фотон, энер-
энергия которого равна энергии первого фотона, и переходит при
этом в другое состояние с положительной энергией и, наконец,
под влиянием кулоновского поля ядра возвращается в исход-
исходное состояние.
* ЖЭТФ, 1937, 7, 567; Phys. Zs. Sowjet., 1936, 10, 649.

Эта схема промежуточных состояний дает для амплитуды
вероятности выражение, пропорциональное третьей степени за-
заряда электрона. В самом деле, с одной стороны, амплитуда веро-
вероятности содержит произведение трех матричных элементов воз-
возмущающей энергии электрона, соответствующих трем рассмот-
рассмотренным выше переходам, а возмущающая энергия, имеющая вид
пропорциональна заряду электрона (в написанном выражении е'
означает заряд ядра, А я Ао — векторный и скалярный потен-
потенциалы поля фотонов и а — матрицы Дирака). С другой стороны,
известно, что уравнение Дирака инвариантно по отношению
к замене знака заряда электрона. С одинаковым правом мы мо-
можем считать, что отрицательные уровни энергии заняты не
электронами, а позитронами, электроны же рассматривать как
дырки в позитронном распределении. Из этой инвариантности
уравнения Дирака следует, что Все величины, которые могут
быть наблюдаемы, должны быть не чувствительны к замене
знака заряда электрона.
Амплитуда вероятности рассматриваемого нами процесса в
силу когерентности рассеяния непосредственно связана с фа-
фазой рассеянной волны и является поэтому наблюдаемой величи-
величиной. Отсюда следует, что амплитуда вероятности не может содер-
содержать заряда электрона в третьей степени. Произведя вычисление
по указанной выше схеме, мы должны, следовательно, полу-
получить нуль. Этот вывод и подтверждается расчетом.
Таким образом мы должны воспользоваться такой схемой
промежуточных состояний, при которой имеет место не один
переход электрона под влиянием поля ядра, а два перехода.
Иначе говоря, когерентное рассеяние ядрами является эффек-
эффектом четвертого приближения теории возмущений.
§ 1. Будем рассматривать всю совокупность электронов, на-
находящихся в отрицательных состояниях, вместе с квантами как
одну систему, характеризующуюся заданием импульсов элек-
электронов и чисел квантов. Нам необходимо вычислить вероятность
перехода из состояния
О = Pi» Р2> - • •, % (К> со), щ (к3, со)
в состояние
s = Pv Р2> ---,»i — 1 (ki, со), щ + 1(к3, со),
где р — импульсы электронов, находящихся в отрицательных
состояниях, и п1% п3 — числа квантов с импульсами кх и к3 и
частотой со. Амплитуда вероятности конечного состояния bs
8

выражается следующей, выведенной Вайскопфом, фор-
формулой:
V V V V *> ^ s0 А
v;7 Е
s',s",s'" ^'(r^Vo^o sO
Здесь F8'S" означает матричный элемент возмущающей энергии
без временного множителя, соответствующий переходу из состо-
состояния s' в состояние s"; Es>s>' — разность энергий в состояниях
/ и s". Суммирование распространяется на всевозможные про-
промежуточные состояния системы s', s"', sm.
Возмущение V является суммой членов, каждый из которых
представляет собой возмущающую энергию отдельного электро-
электрона. Последняя складывается из возмущения от фотонов и возму-
возмущения от ядра.
Возмущение от фотона F(p> можно представить в виде
7(р) = е(аА-Л0) = ;ег4г4, A.2)
где уА означает четырехмерное произведение четырехмерного*
потенциала А ДА, iA0) и четырехмерной матрицы yti yt суть
эрмитовские матрицы, связанные сайр следующими соотно-
соотношениями:
Гк = —фай, к = 1,2,3,
Г4 = Р, A.3)
Заметим, что в дальнейшем под выражением вида аЪ мы будем
понимать четырехмерное скалярное произведение четырехмер-
четырехмерных векторов ai(aly а2, а3, а4) и Ъ^Ъ^ Ь2, Ь3, Ь4)-
Считая пространство, в котором протекает явление, огра-
ограниченным и имеющим объем Q, запишем четырехмерный потен-
потенциал в виде
«в*к'+Г«~*ь'). A-4)
Здесь к — импульс фотона и et — четырехмерная поляризация,
удовлетворяющие соотношениям:
е{к{ = ек = О,
*4 = **0. K=ik, A.5)
Переменная ^, входящая в A.2), ответственна за те переходы,
при которых число квантов п частоты со увеличивается на едини-
единицу. Отличный от нуля матричный элемент ? равен
Аналогичным образом переменная ?*, ответственная за те перо-
ходы, при которых число квантов уменьшается на единицу,
9

имеет следующие отличные от нуля матричные элементы:
Возмущающая энергия электрона, происходящая от дейст-
действия ядра F(n), имеет вид
т/(п) _ Ze?
где Zг — заряд ядра.
Для удобства представим
где
в виде ряда Фурье
A.7)
и суммирование производится по всем целочисленным векторам т,
связанным с g соотношением
Щ A.8')
Переходя теперь к вычислению матричных элементов VSS',
заметим, что переходы, при которых изменяется число квантов,
происходят благодаря возмущению V^p\ тогда как переходы без
изменения числа квантов обязаны возмущению от ядра.
Напишем if-функцию системы электронов, необходимую для
вычисления матричных элементов, в символическом виде:
г)?р(г) — волновая функция отдельного электрона:
«р.
Ч>р W = у- ехр [4- (РГ -
A.9)
A.10)
ир представляет собой четырехкомпонентную амплитуду плос-
плоской волны:
l + ul = 1. A.11)
= и\ + и\
Легко показать, пользуясь A.9), что матричные элементы
Jss' = M>ip2...nin8...
отличны от нуля в следующих случаях.
10

Если число квантов меняется, то VSS' отлично от нуля лишь
тогда, когда р{ — pj для всех индексов /, кроме одного какого-
либо значения, и п/ = пе для всех е, кроме одного значения,
для которого п' = п + 1. При этом мы имеем:
гп (п +1)
/ лс2 Гг
A.12)
A.13)
— Pi — ks + pi = 0.
Если числа квантов не меняются, то соответствующие мат-
матричные элементы, отличные от нуля, равны
тг(п) AjtH3Z&2 * /л л /\
где
Для дальнейших вычислений перепишем A.14) в следую-
следующем виде:
Pi,P2...p;n1...ns
где
§ 2. Представив поле ядра в виде суммы плоских волн, ко-
которые для краткости будем называть псевдофотонами, мы можем
при вычислении амплитуды вероятности когерентного рассея-
рассеяния 7"лУчеи ядрами пользоваться следующей схемой промежу-
промежуточных состояний. Электрон, находящийся в состоянии с отри-
отрицательной энергией, под действием фотона с импульсом кх пере-
переходит в состояние с положительной энергией; далее под влия-
влиянием псевдофотона с импульсом g2 он переходит в другое состо-
состояние с положительной энергией. Излучив фотон с имцульсом
к3 и псевдофотон с импульсом g4, электрон попадает в первона-
первоначальное состояние.
Таким образом, когерентное рассеяние 7"лУчеи ядрами мож-
можно описать как столкновение фотона кх с псевдофотоном g2, в
результате которого образуются фотон к3 и псевдофотон g4.
Поскольку при этом имеют место законы сохранения импульса
и энергии и энергия псевдофотона равна нулю, то справедливы
11

следующие соотношения:
К + ga = К + g4»
B.1)
|kl k|
Вектор А = gi — g2 = kx — k3 представляет собой импульс, пе-
переданный в процессе рассеяния ядру.
Чтобы вычислить амплитуду рассеяния у-лучей ядрами bSf
достаточно вычислить амплитуду вероятности рассеяния фото-
фотона кх псевдофотоном g2 и просуммировать затем ее по всем воз-
возможным импульсам псевдофотона g2 (импульс псевдофотона g4
определяется из закона сохранения B.1)). Обозначив ампли-
амплитуду вероятности рассеяния фотона кх псевдофотоном g2 череа
fcg, мы можем, следовательно, написать
где dg = dgxdgydgz и интегрирование совершается по всему
пространству g.
Амплитуда вероятности рассеяния фотона кх псевдофотоном
g2 может быть просто выражена через амплитуду вероятности
рассеяния света светом 1. В самом деле, мы имеем здесь те же
промежуточные состояния, что и при рассеянии света светом,
с той лишь разницей, что роль квантов с импульсами к2 и к4 и
частотами со2, о>4 играют псевдокванты с импульсами g2 и g4
и частотами, равными нулю.
Амплитуда рассеяния света светом может быть представлена
в виде
B.3)
где Na — нормировочный множитель, dp = dpxdpydpz — эле-
элемент пространства импульсов электрона и / — Spur некоторой
функции от матриц уь импульса электрона р, а также импуль-
импульсов частот и поляризаций квантов к*, со^, et (i = 1, 2, 3, 4).
Если в этой формуле заменить к2 и к4 соответственно на g2, g4t
положить частоты со2, ш4 равными нулю (поскольку они отно-
относятся к псевдофотонам) и вместо четырехмерных поляризаций
е2, е4 подставить @, 0, 0, i) — поляризацию псевдофотона A.15),
то с точностью до нормировочного множителя мы и получим bg.
Новый нормировочный множитель, которым мы должны за-
заменить Л"а для того, чтобы получить bg, представляет собой
произведение четырех множителей, входящих в состав матрич-
матричных элементов A.12), A.13), A.14), не содержащих волновых
функций электрона цр. Два из этих множителей должны быть
A. Aclneser. Phys. Zs. Sowjet, 1937, 11, 263.
12

взяты из матричных элементов, происходящих благодаря дей-
действию фотонов с импульсами кх и к3 и частотой со, а два других —
из матричных элементов возмущения, обусловленного действи-
действием ядра. Обозначая искомый нормировочный множитель в амп-
амплитуде bg через Нъ, можно, следовательно, написать:
1V ь — «-Е —т^— I/ ~"— *е I/ -Q- I/ Ь
"" Q3co | ga p
%i P
x
exp [i @K — Q)i) ^] — 1 Qofp
X Я(со3 —(Oi)
T V qmir — h}+ (ел)
^ P
X
6(8)
g
exp [i (й)з — coi) t] — 1
Я (юз — coi) BяЯK •
_ С at V cnnr — (gi)(P — fa}+(g3){p—^1+^з}.Ы{р fa}+(e4){p}_
J 16 (** + ^ + *»i) (^ + E + *N
X
16 (*!-*
^p +
exp [i (oK—o>i)t] —1
Я (соз — coi)
Г TV
Perm v P~Ki- P
Ep_ki_kt + Ep_k3 + hm)-i
" П (cos — 0)i)
= UT52 Spur
, ^_fci+fca + Ep+kz + йшГ1 [exp [ i (соз - Q)i) t] -1]
A @K — 0)i)
— С TV V Яттг (g0 (P ~~ fa}+(gO fP+^2—/сз}_(^з) {'P-H -j-v-fl/ ,x-,- v
)-1 [ехр [I (о)з - coi) <] -

Таким образом,
bg = Nb \\ / (р, kv k2, k3, k4, (x)v co2, oK, co4, ^, e2, e3, e4) dp L=g2,k4=g4.
co2=0,co4=0
B.5)
При вычислении амплитуды вероятности рассеяния света
светом имеется шесть возможностей перехода системы электро-
электронов, причем каждое из промежуточных состояний, входящих в
эти шесть возможностей, может осуществляться под действием
любого из четырех квантов. Соответственно этим шести возмож-
возможностям мы получаем шесть членов: bg\ b(g2\ b(g\ bg\ b(g\ b(g\ ко-
которые в сумме дают frg. Здесь символ 2 означает, что нужно
Perm
произвести суммирование по 24 перестановкам индексов 1, 2, 3, 4
и затем положить
Символы {р}± и (е) имеют следующее значение:
(e) = ye.
Таким образом амплитуда вероятности bs состоит из 6-24 =
= 144 членов. На основании соотношения B.2) мы можем запи-
записать амплитуду вероятности в следующем виде:
bs = const \ \ / (p, g2, kv k3) —^ ^3iJ/(,. ,_лч2 X
exp [i ((оз -r (oi)] — 1 ,9 _
X A (G)8-a)i) ' ^' ^
где const = 32jt3Z2e6ft5c2/Q3co и / представляет собой сумму
144 Spur'oB.
§ 3. При вычислении амплитуды вероятности рассеяния
у-лучей ядрами следует различать два случая: случай больших
частот, когда к ^> тс, и случай малых частот, когда к <^ тс.
В этом параграфе мы будем рассматривать первый случай.
При этом во всех членах можно пренебречь тс. Получающиеся
выражения не представляется возможным проинтегрировать при
любых углах рассеяния. Мы ограничимся поэтому рассмотрением
малых углов рассеяния, которые, как показывают вычисления,
имеют наиболее важное значение. Этот случай мы характери-
характеризуем следующими неравенствами:
к^>А^>тс9 C.1)
где Л = | k-L — k3|.
14

Рассматривая 144 члена, входящих в /(р, g, к1? к3) (см. фор-
формулу B.7)), можно убедиться в том, что наиболее существенны-
существенными являются следующие 12 членов, в знаменатели которых часто-
частоты фотонов входят с отрицательным знаком:
Spur (е8) {р + fa}+ *'Т4 {р + fa — ga}+ t'T4 {P + Ы+ (ei)
16c3 (I p + k31 + |p | — k) (| p + k3 — g-2| + |p| - k) (| p + ki | + | p | — k) '
C.2)
Spur (e3) {p + fa}+ iГ4 {p + fa + gi}+ 1Г4 {p + Ы+ (e) JP}-
16c3 (I p + кз I + i p I - k) (| p + k3 + g» | + | p | - k) (| p + ki | + | p | - k) '
C.3)
— Spur (e3) {p + fa}+ (ei) {p -f fa — fci}_ *T4 {p — ^4},, iu fp)- x
x (lp + k.1 + |p + gi-giI -k)-\ C.4)
— Spur (ез) {p + fa}+ (ei) {P + fa — k1}_i4i{p + g2}+i4A{p}_
+ k3 |+| P I - k) (| P + k3 | + | P | + | P + g2 | + | P - g4 + g2 I -
X (| p + k31 + I p -gi + g21 - Л)-1, C.5)
— Spur (e3) (jp + *з}+ ft* {P + А'з + g4}_ i'T4 {p + M+ gi {/>}-
x
16c» (I p + h I + I P I ~ k) (| p + k31 + | p|+ | p + ki | + I p + k3 + & I - k)
X(!p+ki| + |p|-/c)-i, C.6)
— Spur (e8) {p + ks}+ iu JP + fa — g2?_ /T4 {p + ^i
x
16сз (I p + k31 + I p I - k) (| p + k31 + | p | + | p + ki | + |p + k3 - g-2!- k)
xflp + kiD + ipl-*)-1, C-7)
— Spur (ез) {p + fa}+ IY4 (p + k3 — gaK И {p —
I6c3(| p + k.| + I p |-/c) (I p + k3^ g.|+|pi - k) (I p + k3- ga| + I p - g, I - Л) '
C.8)
— Spur (e3) {p + к3}+ /Т4 {p + fa + ^4}+ (ei) {p + g*}- JU {p}-
16c3 (I p + k,|+|p| - k) (Ip + k3 + |g4|+|p| - k) (| p + k3 + g41 +| p+ga I - k) '
C.9)
— Spur (e3) {p + fa}+ i'T4 {p + fa + g4}+ (ei) {p + g2}_ i^ { p}_
кз|+|р| - Л|) (|р + к3| + |p+ gz I - k) (|p + k3 + g4| +|p + & I - k)'
C.10)
— Spur (g8) {p + fa}+ /T4 fp -?- fa — ga}+ (^i) (p — g4)_ 1Г4 {p}_
16c3 (I p + кз|+1 p | - k) (|p + k3|+|p - g4|- k) (| p + k3 - g2| + |P - g*| - k) '
C.11)
, Spur (ез) {p + fa}+ (ei) {p + gi — gA}_ /T4 {p + g2?_ i
кзИ|Р| - k) (|p + кз|+ |p + g2| - k) (|p + кз| + I p + ga - g41 - A) f
C.12)
Spur (e3) {p + fa}+ (ei) {p + g2 — g4}_ f f4 {p — g4}_ fr4 {p}_
10c» (|p +k3|+|p| - к) (|р + k3| + |p - g*| - k) (|p + k3| + | p - g4 + g21 - k) *
C.13)
15

В дальнейшем достаточно ограничиться рассмотрением шести
членов C.2), C.4), C.6), C.8), C.10) и C.12), поскольку ос-
остающиеся члены отличаются от этих заменой g2 на —g4. Поэтому
при интегрировании членов C.3), C.5), C.7), C.9), C.11), C.13)
по g4 мы получим тот же результат, что и при интегрировании
первых шести членов по g2.
Выберем потенциалы фотонов таким образом, чтобы скаляр-
скалярные потенциалы равнялись нулю. В этом случае имеют место
€ледующие перестановочные соотношения:
(е»)Г4 = УМ). C-14)
Пользуясь этими соотношениями, а также формулой
уЛр)± = {- Р}± Y*. C-15)
легко придать рассматриваемым нами членам следующий вид;
— Srur (ga) {p + кз}+ {—р — кз + g-2}+ {p + fa}+ (ei)
C.16)
+ Spur (ез) {р + /¦«)+ (ei) {p+h-h}-{—p+ h - h + gz}+ {p}-
X (I p + k3 I -Ц p | + I p - ki + k3 - g-21 +| p + Ь - k, I _ k)~\ C.17)
-f Spur (ез) {p+ h}+ {— p — fci — g2}_ {p + fc,}+ (ei) {p}_
16c» (! p + k31 + I p I - *) (I p + ki I + I p I - k) x
X (|p + k.n-|p| + |p + ki| + |p + ki + g*|-*)-1, C.18)
— Spur (ез) {p + fe>}+ {— P — fa + gi}+ (ei) {— P + h — k3 + g-2}_ {p}- x
( | p + k3 | + | P | - ft) ( | P + кз - g2 I + I P I - *)
x (Ip + k. — gtl + ip —ga + k8 — ki| — A)-», C.19)
— Spur (e3) {p + кз}+ {— p — ki — g2}+ (eQ {— p — g2}_{p}_
| p + кз | + | p | - *) ( | r+ks | + | p-t-gs | - ft) (| P+ki+g2 | + |p+g2 I -ft)'
C.20)
- Spur (ез) {p + h}+ (ei) {p+h- fti}_ {-p— g2}- {p}-
16c» (| p+ki | + IP I -*) (I P+ki I + I P+g21 -*) (I P + Ы + | P+ кз-ki | -ft) '
C.21)
причем здесь всюду положено
g4 = g2 + A-
Рассматривая выражение B.7) для амплитуды вероятности,
мы видим, что знаменатель подынтегральной функции обра-
обращается в нуль при g2 = 0 и g2 = — А. Однако при этих значе-
значениях g2 сумма членов C.16) — C.21) обращается в нуль. На-
Например, при g2 = 0 мы имеем:
— Spur (ез) {р + М+ {— Р — **}+ {Р + М
Ш

+ Spur (e6) {p -f fa}+ (gQ {p + fa- ki}_ { — p + ki — кз}+ {/??-
16c3 (| p + кз I + I p I - k) (| p + k3 | + | p + кз - ki | - k)
X (I P + k3 | + |p| + |p-ki + k3| + |p+k3-ki|- k)~\ C.23)
+ Spur (e3) {p + ks}+ {- p - /ci}_ {p + ki}+ (ei) {p}_ v
16c3 ( | p + кз | -h | p i — A:) (|p + к | H- j p | — A:)
|p + k3| + |p| + |p + ki| + |p + ki|- A-i) C.24)
- Spur (e-s) {Р + к3},{-р- h}+ (ei) {- p + ki - кз}. {p}_
16c3 (| p + k31-И p I - k) (I p + k3 i + ! p I - k) (I p + k31 + I p -+- k3 - ki | - k)'
C.25)
v — Spur (e8) {p + h}+ {-p— fti}+ (ei) {- p}_ {p}_ n ?n.
— Spur (g3) {p + fa}+ (eO {P + fe3 — fei}_ {— p}- {p}-
16c3 (I p + k3 I + I p I - k) (I p + кз I + I p I - k) (I p + кз I + I p + кз - ki \-k) '
C.27)
Пользуясь легко доказываемыми на основании A.3) форму-
формулами:
{р}+{-р}- = 0, C.28)
{p}±{-p}i = 2{p}tiT4, C.29)
мы видим, что члены C.23) и C.24) равны нулю. Принимая во
внимание формулу C.15), можно преобразовать числители C.22)
и C.26) к виду:
— Spur (<?8) {р 4- Л8}+ 2tr4 {Р + kiU (ei) {P}- =
= - Spur (es) {p + кд}+ {- р - кг}+ 2гГ, (е±) {р}_, C.30)
— Spur (е3) {р + Аг3}+ {— Р — /ti}+ (ег) {— PL 2ir4 =
= -- Spur (е3) [р + к3}+ {- р - Лх}+ (ех) 2*г4 {р}., C.31)
откуда на основании C.14) непосредственно следует, что сумма
C.30) и C.31) равна нулю.
Аналогичным образом можно показать, что сумма C.25) и
C.27) также равна нулю.
Точно так же доказывается, что сумма выражений C.14) —
C.19) обращается в нуль при g2 = — А.
Таким образом, разложения суммы членов C.16). . . C.21)
вблизи g2 = 0 и g2 = — А не содержат нулевых членов. Что ка-
касается линейного члена, то при интегрировании он даст нуль;
квадратичный же член не может дать особенности.
§ 4. Рассматривая выражение для амплитуды вероятности
B.7), где вместо / следует подставить сумму C.16) — C.21),
мы непосредственно видим, что большие | g2 | не играют роли,
так как при больших ?2(#2 ^> р, к) подынтегральная функция
B.7) убывает по крайней мере как Vg25'
4 обстоятельство имеет место и для больших
17

Pip 3^* к* ё)- В самом деле при
нимают вид:
— Spur (eQ {p}+ {— р}+ {р}+ (ei) {/?}_
16с3-8 | р |3
+ Spur (e3) {p}+ (ei) {p}- {— р}+ {/?}_
16с316 | р |3
+ Spur (е8) {р}+ {— р}- {р}+ (gi) {p}-
16с3-16 | р |3
— Spur (еа) {р}+ {-~р}+ (е1) {- р}_ {р}_
1бс3.16 | р |3
— Spur (е3) {р}+ {— /?К (ei){—p}- {p}
16с3-8|р13
- Spur (ft) {p}+ (ei) {p}_ {- р}_
16с3-8|р|3
р|>Л, g C.16) - C.21) при-
C.16')
C.17')
C.18')
C.19')
C.20')
C.21')
На основании формулы C.28) легко видеть, что C.17') и
C.18') обращаются в нуль. Члены же C.16') и C.20'), а также
C.19') и C.21') сокращаются друг с другом, как это легко заклю-
заключить, пользуясь формулой C.29).
Заметим, что для доказательства того, что большие р не иг-
играют роли, нет необходимости пользоваться равенством нулю
скалярных потенциалов фотонов. И при наличии последних часть
интеграла, соответствующая большим импульсам р, равна нулю.
Как будет подтверждено результатом, наиболее существен-
существенными областями р, g в интеграле B.7) являются следующие:
, D.1)
c. D.2)
Подстановкой k — р = q мы приводим область D.2) к D.1);
поэтому в дальнейшем можно ограничиться рассмотрением об-
области D.1),
Выбирая координатные оси таким образом, как изображено
на рисунке, мы имеем следующие разложения в области DЛ):
I ki — Р I = I кз — Р | = к — рх,
D.3)
18

Эти разложения показывают, что подынтегральная функция в
B.7) не зависит от к. Вводя вместо р и g2 новые векторы |, т):
р = Дт], g2 = Д%,
мы приводим B.7) к виду
7 . Q2 Д6 С , ,с. ч 7t 7 exp fi (сэз — a>i)t] — 1
bs = const -^-^ -зду у A, т,, n, ex, e3) d|d4 h{(b-<oi) '
D.4)
где n — единичный вектор в направлении Д.
Интеграл, входящий в D.4), не имеет нигде особых точек.
Точное его вычисление оказывается невозможным ввиду слож-
сложности подынтегральной функции. Мы можем, однако, утверждать,
что этот интеграл имеет вид
J = «iei°3 + а2 (nei) (пез), D.5)
где ах и а2 — неизвестные численные коэффициенты.
Подставляя в D.4) значение const, получим следующее выра-
выражение для амплитуды вероятности:
s "" Q3co №Ас3 П~((х)з — coi) ' ^ '
Возводя bs в квадрат, умножая на число состояний кванта
<0з?Ы@3^о/BяKс3 (do — элемент телесного угла кванта) и интег-
интегрируя по doK, получаем по разделении на t вероятность рассея-
рассеяния ядрами в единицу времени
Z4e12
d(D №Ае3 + «2 (е^) (e3n)]2 do. D.7)
Деля dw; на поток квантов, равный c/Q, получаем дифференци-
дифференциальный поперечник рассеяния da:
74 о 12
^ [«1 (eies) + a2 (ein) (e3n)]2 do =
= Z4ae -g- [Й1 (еЛ) +a3 (ein) (e3n)]2 do, D.8)
где a — постоянная тонкой структуры.
Подставляя сюда вместо Д /сЭ, где 0 — угол рассеяния, имеем
da = Z*a»-g- К (eie.) + a2 (e.n)(e3n)]2 ^-. D.9)
Эта формула показывает, что в случае малых углов рассеяния
последнее происходит различно в зависимости от того, нахо-
находятся ли поляризации в плоскости (к1? к3) или в плоскости, пер-
перпендикулярной (кх, к3).
19

Ввиду быстрого возрастания da с уменьшением 8 малые углы
рассеяния играют исключительную роль. Благодаря этому об-
обстоятельству мы можем определить интегральный эффективный
поперечник рассеяния с точностью до постоянного множителя.
Заменим для этого в D.8) элемент телесного угла do на [2я
sin9ri8^2jt и проинтегрируем da по А.
Так как при интегрировании мы получаем log А, то знание
точных значений пределов интегрирования является несуще-
несущественным. Поскольку при всех разложениях мы пренебрегали
тс, за нижний предел интегрирования нужно взять А порядка
тс, за верхний предел в соответствии с условиями C.1) мы возь-
возьмем к, В результате получаем выражение для интегрального
поперечника рассеяния
1 л гул б 1 // \ С\\
к2 ° тс со2 ® им2 * \ • /
§ 5. Перейдем теперь к рассмотрению когерентного рассея-
рассеяния ядрами при малых частотах, удовлетворяющих соотношению
к <^{ тс. Поскольку длина волны больше размеров рассеивающей
системы, в данном случае имеет место дипольное рассеяние.
Как известно, эффективный поперечник для дипольного рас-
рассеяния пропорционален четвертой степени частоты. Имея в виду,
что в нашем случае эффективный поперечник пропорционален
Z4e12, мы можем написать следующее выражение для в:
\6 ОL
\ гас2
где Ъ — неизвестный численный коэффициент.
Заметим, что эту же формулу можно получить, разлагая ам-
амплитуду вероятности когерентного рассеяния bs в ряд по степеням
к/тс.
Сравнивая выражения для эффективного поперечника при
больших и малых частотах, видим, что в имеет максимум в об-
области
Если считать постоянные а и Ь, входящие в формулы для эф-
эффективного поперечника, по порядку величины равными еди-
единице, то для максимального значения эффективного попереч-
поперечника мы получим по порядку величины 10~27 см2.
В заключение выражаем искреннюю благодарность профес-
профессору Л. Д. Ландау за указание темы и постоянное руководство
работой.
Украинский физико-технический институт. Получено
Харьков 13 февраля 1957 г

35
ОБ УРОВНЯХ ЭНЕРГИИ СИСТЕМ С Z>137*
Совместно с Я. Смородинским
Исследованы свойства атомных систем конечного радиуса с Z > 137»
Показано, что для заряда Z = ZKp энергия нижнего уровня системы стано-
становится равной — тс2, что соответствует падению электронов на ядро. При-
Приведена зависимость ZKp от радиуса системы.
Как известно, уравнение Дирака для электрона в поле то-
точечного заряда имеет дискретный энергетический спектр только»
в том случае, когда заряд меньше 137 (в единицах электронно-
электронного заряда). В случае зарядов, больших 137, это уравнение не
имеет стационарного решения для нижнего энергетического-
уровня (п = 0, 1 = 0).
При Z = 137 энергия, которая соответствует этому уровнюг
обращается в нуль, как видно из обычной формулы
W = тс2 (l |J2 l~Va
I
Следует, однако, заметить, что такое критическое значение «137»
имеет место только для точечного заряда. Представляет интерес
исследовать поведение уровней энергии в системе с конечным
радиусом. В этом случае исчезновение дискретных уровней энер-
энергии получается не для значения W = 0, как в случае точечного»
заряда. Напротив, с дальнейшим увеличением Z энергия нижней*
дискретного уровня продолжает возрастать и достигает значе-
значения — тс2 для некоторого заряда Z, который назовем ZKp. Только*
в том случае, если Z становится больше, чем ZKp, первый дис-
дискретный уровень исчезает.
Такое поведение уровней энергии несвойственно электри-
электрически заряженной системе. Снайдер, Шифф и Вайнберг [1] по-
показали, что значение нижнего уровня энергии электрона в пря-
прямоугольной потенциальной яме также становится равным — тс2,
если глубина ямы стремится к некоторой величине Уо. Дальней-
Дальнейшее увеличение глубины ямы приводит к тому, что этот уровень
исчезает и переходит в непрерывный спектр (нижний континуум).
Для объяснения этого явления * предположим, что мы уве-
увеличиваем глубину ямы в отсутствие электрона. Если глубина
ямы становится больше, чем Vo, в нижнем континууме (непре-
* J. Phys. USSR, 1945, 9, 97. Перевод Г. А. Лобова.
1 Такая интерпретация дана в работе Шиффа, Снайдера и Вайнберга.
21

рывный спектр с энергиями, меньшими — тс2), который запол-
заполнен электронами, появляется один незанятый уровень, возникаю-
возникающий из дискретного уровня. В этом случае незаряженный ва-
вакуум будет иметь один незанятый уровень, в то время как в
отсутствие потенциальной ямы (или если глубина ямы меньше,
чем У0,или если заряд, как в нашем случае, меньше, чем ZKp)
незаряженный вакуум есть вакуум, все уровни которого заняты.
Если поместить электрон в такую яму (или в поле такого
заряда), то он перейдет на этот незанятый уровень, вакуум при-
приобретает заряд — е, а электрон, так как это есть уровень ненаблю-
ненаблюдаемого вакуума, перейдет в ненаблюдаемое состояние. Таким
образом, результат состоит в исчезновении электрона и умень-
уменьшении заряда вакуума (или, иными словами, заряда нашей системы)
на заряд одного электрона. Можно сказать, что произошло па-
падение электрона на ядро *.
В этой работе мы приведем расчет величины ZKp для данного
конечного радиуса г0. Имея в виду эту проблему, мы в первую
очередь приведем решение уравнения Дирака именно для этого
случая.
Решение уравнения Дирака мы исследуем для следующей
простейшей модели с потенциалом
U = —— для г<г0
и
тт Z/в* \
и = — для г > г0.
Уравнение Дирака для радиальной волновой функции (ум-
(умноженной на г) электрона с угловым моментом I = 0 имеет вид:
где х, w и и — энергия покоя, полная и потенциальная энергия
соответственно, измеренные в единицах he.
Легко видеть, что для малых г <^ г0 решения уравнений A):
f1 = asmkr1 B)
, / , sin kr
f2 = a (^cos kr j—
где к2 = (w — иJ — к2 и а — константа.
Если выберем г0 достаточно малым, то мы можем положить
* = -?-. о)
1 В случае целого спина «падение» такого рода связано с комплексными соб-
собственными значениями. Уравнение Дирака не может иметь комплексных
собственных значений, и в этом случае «падение» будет иметь столь специ-
специфический характер.
22

В этом приближении
ведем обозначения:
И
тогда
Для значений r^>rQ, но все еще малых, решения уравнений
A) имеют вид:
/i=b(r* + Pr-*), G)
/2 = -у-1A ~ ig)r** f P(l + ^К"*],
где ft и |3 — константы, последняя из которых может быть оп-
определена из условий непрерывности при г = го\ ag2=f-l.
Из G) имеем
\ +Р(8V
ig)
Сравнивая равенства F) и (8), получаем
Таким образом, для г <^г0 (вблизи начала координат) волновые
функции таковы:
(-?гу*-к. с},
A0)
U = а{^^-И - ?(r)(i + ^)l(-^-I*- к- с.}.
Вместо функций /х и /2 введем новые функции Gx и G2, которые
определяются равенствами [3]:
Gx = /х sin -у + /2 cos -у-,
(U)l
G2 = — /1sin -f- + /2cos -у-»
где е = arccos И7тс2 (здесь И7 — энергия).
1 Нормировка констант а и b для нас не важна, поэтому мы далее не будем,
определять этих констант.
23

Введем теперь новую переменную
Для новых функций получаем следующие уравнения:
dG\ , 1 п 1 г» •¦ Т /л л \
A3)
dG-2 1 р 1 г т г, г
dx ' ж х 2 2 "• ж sin 8^ 1 2 ;•
Исключая из этих уравнений последовательно Gx и 6?2, перейдем
к уравнениям второго порядка:
1 т ctg 8 -t — i __ Т2
dx*
где двойной знак (+) во втором члене в квадратной скобке от-
относится к двум уравнениям для Gx и G2 соответственно.
Если мы теперь доложим
G = x-^G\ A5)
то придем к уравнениям Уиттекера для функции G':
dW'\ 1 ,
V = 0. A6)
Как показано в [2], решениями уравнений A6) являются функ-
функции Уиттекера:
Мы выбираем решение, которое убывает на бесконечности
как е~х/2. Второе решение уравнений A6) растет на бесконеч-
бесконечности как ех^2 и не удовлетворяет условиям нашей задачи.
Используя разложение функции Уиттекера в ряд (для малых х),
из равенств A6) и A7) окончательно получаем:
A8)
i-r sine j| r(_jg_Tctge) " ig +r ctg e
+ к. c.},
где С — новая константа нормировки.
М

Используя уравнения A1), можно также построить функции
G1 и 6?2 непосредственно с помощью уравнений A0). Тогда сразу
получим
6?х = A sin —
- к. с.}, A9)
и аналогичное выражение можно получить для G2 *.
Очевидно, что с точностью до нормировочных констант фун-
функции A8) и A9) должны быть тождественны. Это и есть то самое
условие, которое определяет уровни энергии.
Хотя 6?2 и может быть получено из Gx с помощью A3), тем не
менее достаточно сравнивать только выражения для Gv
Преобразуя различные члены в фигурных скобках равенств
A8) и A9), можно получить следующее уравнение:
ile r(feTctge) U>
где в соответствии с равенством A2)
W \Чг ШС
)
Уравнение B0) для данного г0 определяет значения энергети-
энергетических уровней рассматриваемой системы.
Для рассматриваемой нами проблемы существенны только
уровни энергии системы, близкие к — тс2. В этом случае уравт
нение B1) можно упростить. Поскольку ctg e очень большая
(и отрицательная) величина, мы можем использовать асимпто-
асимптотическое разложение Г-функции (формула Стирлинга) и тогда
argT(— ig — rctge) = _ glg(— rctge) = — gig-
Вычисляя аргумент выражения, стоящего под знаком Re
в B0), путем подстановки ctg е/2 = 0 (так как, если W ж — тс2г
г ^ я) и используя очевидное соотношение
arg Г(- 2ig) = 4- + arg ГA - 2ig),
1 При постановке уравнений A8) и A9) в A3) полезно использовать следующие
соотношения:
+ T + (l-*g)ctg-g- ^ i+T/sins _ fg-
T/sine-1 •
25

лолучим
* 'в Г ^ -S1 + arg Г A -
Отметим, что из уравнения B0) следует двойной знак (+)
перед членом пп. Однако для данного г0 различные знаки соот-
соответствуют значениям g, которые также отличаются только зна-
знаком. Поскольку знак величины g остается неопределенным
(в задачу входит только g2), мы сохраним только один знак минус
и будем рассматривать, таким образом g как положительную вели-
величину. Значение п = 0 необходимо исключить, так как в этом слу-
случае мы получаем дискретный уровень с отрицательной энергией
для п = 0 (Z = 137), которая стремится к — оо, если г —» 0.
Тем не менее можно показать, что точные уравнения не имеют
дискретных уровней с отрицательной энергией даже в случае
точечного заряда.
Полагая теперь в формуле B2) | W \ = тс2 и U = 0, полу-
получим уравнение для величины критического заряда для данного
«радиуса» ядра г0, иначе говоря для минимального заряда, в
поле которого первый энергетический уровень переходит в
нижний к онтинуум :
¦. 2тсго 1 Г * #кр? (^кр) -п/л о- \ 1
Igrnp—=-[-arctg ^^^ -argr(l-2tgKp)-nj.
B3)
Для очень малых значений ro(ro <^ h/2mc) уравнение B3) может
«быть записано в приближенном виде
Ь- B4>
Таким образом, в случае ядра конечного радиуса исчезно-
исчезновение дискретных уровней (и падение электронов) ожидается не
для Z = 137, а для больших значений заряда, которые опреде-
определяются уравнением B3). Например, для значения г0 = 1,2-10~12сле
Zhp = 200, для г0 = 8-Ю3 см ZKp = 175.
В заключение авторы выражают благодарность профессору
JI. Ландау за интересные обсуждения в связи с рассмотренной
проблемой.
Академия наук СССР Получено 25 мая 1941 г.
ЛИТЕРАТУРА
1. L. /. Skiff, H. Snyder, J. Weinberg. Phys. Rev., 1940, 57, 315.
2. E. Т. Whittaker, G. N. Watson. A Course of Modern Analysis, 4th ed., Ch.
XVI. Cambridge, 1935.
3. В.А.Фок. Начала квантовой механики. Л., КУБУЧ, 1932, стр. 239.

36
ПРАВИЛА ОТБОРА
ПРИ АННИГИЛЯЦИИ ЭЛЕКТРОНОВ И ПОЗИТРОНОВ*1
Аннигиляция свободных электронов и позитронов была рас-
рассмотрена Дираком [1], который вычислил эффективное сечение
аннигиляции с испусканием двух квантов. Полученное Дираком
эффективное сечение является средним значением сечения, ус-
усредненным по взаимным ориентациям спина электрона и пози-
позитрона. Если не производить такого усреднения, то можно легко
обнаружить, что в случае параллельных ориентации спинов
электрона и позитрона, когда суммарный спиновый механи-
механический момент равен единице, сечение двуквантовой аннигиля-
аннигиляции стремится к нулю, когда относительная скорость позитрона
и электрона стремится к нулю.
Для доказательства этого утверждения рассмотрим дираков-
скую амплитуду вероятности а2 двуквантовой аннигиляции,
считая импульсы электрона и позитрона равными нулю:
2 / (и*оаеи')(и'*аеи) (и*оаги")(и""<хеи)
е \ Ео-Е' ' Ео - Е"
где Q — объем, в который заключена система; е и е — поляри-
поляризации испущенных квантов; энергия квантов равна тс2; и0 —
спиновая функция покоящегося электрона; и — спиновая функ-
функция покоящегося позитрона; Ео — начальная энергия системы
(Ео = тс2); Ег — энергия промежуточного состояния, возникаю-
возникающего после испускания кванта с поляризацией е:
Е' = 2тс2 ± /(/we2J + с2к2 - 2тс2 ± /2 тс2 = 2тс2
иг
(к —импульс кванта).
Опуская постоянный множитель, стоящий перед фигурными
скобками, имеем
(имей') (и'*аги) (ujoleu") (u"*a&u)
* Докл. АН СССР, 1948, 60, 213. (Представлено академиком Л. Д. Ландау
5 февраля 1948 г.)
1 Результаты, изложенные в настоящей заметке, доложены в октябре 1947 г.
на теоретическом семинаре в Физическом институте Академии наук СССР.
27

Совершаем обычные преобразования, учитывая при этом,
что у двух испущенных квантов импульсы противоположны;
а2-^ jpj-(u*oaew'u')(и*аеи) ——^ {щагго"и"){")
iuoae (cak + тс2$) аъи + щаг(— сак
mJ { — cak [(ae) (ae) — (ae) (ae)] — 2eemc2p} u.
Так как Р'не связывает состояния с положительной и отри-
отрицательной энергией, то остается только первый член:
а2 -w щак [(ае) (ае) — (ае) (ае)] и. B)
Ввиду того что оба кванта двигаются противоположно друг
другу, достаточно рассмотреть два случая, когда поляризации
е и е параллельны и перпендикулярны друг другу. Когда е парал-
параллельно е, а2 исчезает. Если е и е перпендикулярны, то а2 приво-
приводится к виду
а2 — щ (ак) (ае) (ае) и. C)
Векторы k, e и е в этом случае могут быть выбраны вдоль
-трех координатных осей:
0 0 10
0 0 0 1
10 0 0
0 10 0
D)
Согласно [2] мы видим, что а2 не исчезает только в том слу-
случае, когда сумма спинов равна нулю. Когда спины электрона
и позитрона параллельны друг другу, а2 равна нулю. Таким
образом, двуквантовая аннигиляция медленных позитронов осу-
осуществляется только в том случае, когда позитроны сталкивают-
сталкиваются с электроном, имеющим спин, противоположный спину по-
позитрона.
После ознакомления с изложенными выше результатами
Л. Д. Ландау была доказана общая теорема [3], согласно кото-
которой два противоположно летящих кванта не могут находиться
в состоянии с моментом количества движения, равным единице.
В применении к аннигиляции электронов и позитронов тео-
теорема Ландау не только приводит иным способом к D), но и стро-
строго запрещает двуквантовую аннигиляцию в состоянии с общим
моментом электрона и позитрона, равным единице (даже тогда,
когда относительная скорость не равна нулю).
Невозможность двуквантовой аннигиляции у электрона и
лозитрона с общим моментом, равным единице, имеет важное зна-
значение при рассмотрении свойств позитрония атома, в котором
.28

в качестве ядра находится позитрон. Такой позитроний будет
благодаря аннигиляции обладать конечным временем жизни.
Аннигиляция электрона и позитрона в позитронии практи-
практически будет происходить только в ^-состояниях, так как в других
состояниях вероятность обнаружить электрон вблизи позит-
позитрона будет очень мала. В ^-состояниях момент системы сов-
совпадает со спиновым моментом. Если спиновый момент позитро-
позитрония равен нулю (парапозитроний), то возможна двуквантовая
аннигиляция. Если спиновый момент равен единице (ортопо-
(ортопозитроний), двуквантовая аннигиляция строго запрещена и мо-
может происходить только трехквантовая аннигиляция, вероят-
вероятность которой в несколько сотен раз меньше двуквантовой анни-
аннигиляции. Таким образом должны существовать два сорта пози-
позитрониев, по-разному распадающихся.
1. Парапозитроний, распадающийся двуквантовым образом с
временем жизни, равным т0 = 1,25 -10~10 сек:
1 / е1 \5 тс1
A{a(v)v}v
Здесь Ao(v) — сечение двуквантовой аннигиляции и позитрона,
имеющих общий спиновый момент, равный нулю; a(v) — усред-
усредненное по спинам сечение аннигиляции, вычисленное Дираком;
4 учитывает статистические веса состояний с моментом 0 и 1;
\|) @) — значение волновой функции позитрония в начале коор-
координат в основном состоянии; v — скорость.
2. Ортопозитроний, распадающийся трехквантовым образом
и живущий значительно дольше, чем парапозитроний. Время жиз-
жизни ортопозитрония в основном состоянии, согласно Е. М. Лифшицу
14], равно 8,8-10~8 сек, т. е. в 700 раз больше, чем время жизни
парапозитрония.
Свойства позитрония были рассмотрены Д. Иваненко и А.Со-
А.Соколовым [5], которые, однако, приводят неправильные формулы
для вероятности образования позитрония и не замечают того,
что ортопозитроний не может распадаться двуквантовым обра-
образом. Поэтому приведенная ими цифра 5 «КГ10 сек не имеет отно-
отношения ко времени жизни позитрония. Та же цифра повторяется
и в [6].
В заключение я хочу поблагодарить академика Л. Д. Ландау
за интересное обсуждение результатов, изложенных в настоящей
заметке.
Академия наук СССР Получено 30 января 1948 г#
ЛИТЕРАТУРА
1. P. A. М. Dirac. Proc. Cambr. Phil. Soc, 1930, 26, 361.
2. В. Гайтлер. Квантовая теория излучения. М., Гостехиздат, 1940, стр. 102.
S. Л. Ландау. Докл. АН СССР, 1948, 60, 207.
4. Е. Лифшиц. Докл. АН СССР, 1948, 60, 211.
5. Д. Иваненко, А. Соколов. Вестн. Моск. гос. ун-та, 1947, № 6, 3.
6. Д. Иваненко, А. Соколов. Докл. АН СССР, 1947, 58, 1329.

37
ВРЕМЯ ЖИЗНИ МЕДЛЕННЫХ ПОЗИТРОНОВ*
При определении времени жизни медленных позитронов
иногда исходят из формулы (см. [1, стр. 225])
т = 1/NZov, A)
где N — число ядер в 1 см3, Z — атомный номер, а — сечение
аннигиляции позитрона и электрона, и — скорость позитрона.
Однако при этом не учитывается отталкивание, которое испыты-
испытывает позитрон, находящийся внутри атома, и благодаря которому
медленный позитрон не может проникнуть внутрь атома и ан-
аннигилировать с внутренними электронами. Область атома, до-
доступная позитрону, зависит от энергии, при которой происхо-
происходит аннигиляция.
Как известно [1, стр. 241], почти все позитроны сначала за-
замедляются до очень малых энергий, а потом аннигилируют.
Ионизационное замедление позитрона прекращается тогда, когда
его энергия оказывается порядка нескольких электрон-вольт.
При этих энергиях расположены низшие энергетические уровни
позитрона в конденсированных телах. Такой порядок величины
низших уровней определяется величиной кулоновской энергии
позитрона, находящегося между атомами кристалла. Таким об-
образом в конденсированных телах позитроны аннигилируют,
имея кинетическую энергию порядка нескольких электрон-вольт.
В этих условиях позитрон может аннигилировать только с са-
самыми наружными электронами атома, так как все остальные
электроны находятся в таких местах, куда позитрон с энергией
в несколько электрон-вольт не сможет проникнуть. Отталкива-
тельный потенциал достигает значения порядка нескольких
электрон-вольт уже на самом «краю» атома. Следует учесть, что
вероятность нахождения электрона вблизи позитрона будет
несколько повышена из-за притяжения между ними 1. Поэтому
если написать т в виде
т = i/NovZe, B)
то Ze, будучи порядка единицы, должно, по-видимому, быть
больше единицы.
* ЖЭТФ, 1949, 19, 183.
1 Это соображение высказано А. Д. Сахаровым.
30

Сравнивая A) и B), мы видим, что время жизни позитрона
определяется не числом электронов в 1 см3, а числом ядер и
зависит не от Z, а от структуры самой наружной электронной
оболочки. В свинце т составляет не 0,5•Ю0 сек [1], а по порядку
величины равно 10"9 — 10~8 сек.
Изложенные соображения имеют прямое отношение к углам
между двумя аннигиляционными квантами. Отступление этих
углов от п вызвано импульсами относительного движения. Так
как наружные электроны и позитрон в момент аннигиляции име-
имеют импульсы порядка тс/137, то отклонение квантов от п должно
быть меньше одного градуса. Это соответствует данным Власова
и Цирельсона [2]. Заметим, что при аннигиляции на внутренних
электронах получились бы значительно большие отклонения
углов от п.
Переходя к замедлению позитронов в газах, необходимо оп-
определить время замедления позитронов, когда их энергия недо-
недостаточна для совершения ионизации или возбуждения атомов.
Замедление при этом происходит путем упругих столкновений
позитронов с атомами (молекулами). Учитывая, что энергия
поляризационных сил
U ~ - е V/r4 C)
(а3 — объем атома) быстро падает с возрастанием г, при малых
энергиях позитрона получается постоянное эффективное сечение
рассеяния порядка квадрата размеров атома a: as ~ па2. Те-
Теряемая в 1 сек энергия равна
- dEldt = NvE(mlM)os D)
(М ~ масса атома, т — масса позитрона). Отсюда получаем
время замедления до энергии Е
t = MlmvNos. E)
Отношение E) к времени аннигиляции B) равно
tlx ~ (M/2m) [Ze(av)/uas] = const и'1.
Если М/2т порядка 105, то время замедления до тепловых
энергий оказывается меньше, чем т (или сравнимо с ним). Таким
образом позитроны в газах аннигилируются после замедления
почти до тепловых энергий. Поэтому все предыдущие соображе-
соображения относительно углов между аннигиляционными квантами
применимы также и к газам.
Академия наук СССР Получено 2 декабря 1948 г.
ЛИТЕРАТУРА
1. В. Гайтлер. Квантовая теория излучения. М., Гостехиздат, 1940.
2. Я. А. Власов, Э. А. Цирельсон. Докл. АН СССР, 1948, 59, 879.

38
ОБ ЭЛЕКТРОНАХ,
ОБРАЗУЮЩИХСЯ ПРИ ЗАХВАТЕ ц-МЕЗОНОВ
НА АТОМНЫЕ УРОВНИ*
Совместно с В, Л. Иоффе
При захвате отрицательных fA-мезонов легкими атомами в
фотопластинках, по-видимому, оже-электроны в заметном числе
не наблюдаются [1, 2]. (В фотопластинках могут быть замечены
электроны с энергией, большей 15 кэв.)
Это обстоятельство не вызывало бы особого удивления, если
бы не наличие у (i-мезона в кулоновском поле метастабильного
уровня 2s. Действительно, отношение вероятностей оже-пере-
хода (i-мезона из непрерывного спектра в дискретный (или внутри
дискретного спектра) и радиационного перехода в том случае,
когда переход носит дипольный характер, имеет вид
тс
7SZ A)
и оказывается значительно меньшим единицы при энергиях вы-
вылетающего электрона Е ^> 15 кэв. Наличие же метастабильного
уровня 2s, казалось бы, должно было привести к появлению
заметного числа оже-электронов, так как вероятность захвата
^-мезона на этот уровень не может быть очень малой, а, попав
на уровень 2s, ^г-мезон способен перейти на уровень Is только
при помощи испускания оже-электрона большой энергии из-за
сильного запрета при радиационном 2s —> Is переходе.
Здесь, однако, необходимо иметь в виду следующее. Из-за
конечности размеров ядра, вырожденные в чистом кулоновском
поле уровня 2si/2 и 2р^/2 (мы считаем спин ^-мезона равным
V2), смещаются, так что уровень 2s«/2 оказывается расположен-
расположенным выше 2/?j/2 и появляется возможность оже-перехода 2s./2 —>
--> 2ру2 с вылетом оже-электронов малой энергии (— 50 эв).
Оценим вероятность оже-перехода 2s/2 —> 2/?у2 и сравним ее
с вероятностью оже-перехода 2si/2 —> ls/2, при котором выле-
вылетают оже-электроны больших энергий. (Вероятность радиаци-
радиационного перехода 2si/2 —> 2рцг значительно меньше вероятности
такого же оже-перехода, и поэтому мы ее не рассматриваем.)
Смещение уровня из-за конечных размеров ядра дается фор-
формулой
* ЖЭТФ, 1952, 23, 123.
32

где ф — потенциал внутри ядра, a if^ — волновая функция ме-
мезона. Очевидно, что смещение будет заметным лишь для уровня
2s, но не 2р. Считая ядро равномерно заряженным шаром ради-
радиуса R ж 1,5-10~1зЛ1/з см, для смещения уровня 2&/2 получим
причем а^ = Ti2l\iZe2. Для Z = 6 Д2? = 65 эв, так что энерге-
энергетически возможным будет являться выброс оже-электрона
только из внешних электронных оболочек атома.
Матричный элемент оже-перехода 2si/2 —> 2риг можно записать
в виде
м =
где ^(О и ifp(r') — волновые функции мезона в состояниях
2&/2 и 2/?i/2 соответственно, Хг(г) — начальная и %'(г) — конеч-
конечная волновые функции электрона. В качестве %[ возьмем волно-
волновую функцию последнего внешнего электрона, который будем
предполагать находящимся в s-состоянии:
±/» D)
Xi(r) = =^/
У па3
(а = h2lme2), а в качестве конечной волновой функции электро-
электрона возьмем плоскую волну: %/ = eikr (можно показать, что исполь-
использование плоской волны вместо кулоновской функции не изменит
сильно наши результаты). Беря для ^p(r') и \ps(r#) волновые
функции Паули для состояний 2ру, и 2si2, найдем для мат-
матричного элемента выражение
М = 12* l/4
Г 3
3 lJ/i V ка
и для вероятности оже-перехода 2sy2 ~» 2/?i/a
е<2 \2 / т \2 1 Г/i arctg Ад 12 тс2 /с:ч
) () [1^J -—• E)
Аналогичным образом для вероятности оже-перехода 2s —> Is
с испусканием электрона большой энергии находим
Для Z = 6 имеем ^^^ = 3-1011 се»'1, a W2S-,1S =2,4- 10э сек'1,
и, следовательно, переход с испусканием мягких оже-электро-
нов будет заметно преобладать.
Настоящий расчет, конечно, не свободен от произвола в свя-
связи с неопределенностью, возникающей при выборе начальной
2 И. Я. Померанчук, т. II 33

волновой функции вылетающего электрона. Нужно, однако,
заметить, что правильный учет этого' обстоятельства, по-види-
по-видимому, приведет к увеличению вероятности испускания мягких
оже-электронов. В самом деле, из-за втягивания внешнего элек-
электрона внутрь атома (т. е. в область более сильного потенциала)
волновая функция его уже не будет иметь вида D), а будет (по
модулю) больше этой величины. Далее, кроме учитываемого
нами одного внешнего электрона может происходить также
вылет некоторых внутренних электронов. Оба эти обстоятельства
могут привести к заметному увеличению вероятности испускания
мягких оже-электронов.
Таким образом мы приходим к выводу, что наличие метаста-
бильного уровня не приведет к появлению заметного числа
жестких оже-электронов.
Мы весьма благодарны М. И. Подгорецкому за интересные
обсуждения затронутых выше вопросов.
Академия наук СССР Получено 25 мая 1944 г.
Л И Т Е Р А Т У Р А
1. Р. Браун, У. Камгрипи, К. Лоуэлл и др. Усп. физ. наук, 1949, 38, 526.
2. W. Fry. Phys. Rev., 1951, 83, о94.

39
О СПЕКТРЕ ц-МЕЗОВОДОРОДА*
Совместно с Л. Д. Галаниным
Рассмотрим отрицательный (я-мезон, захваченный протоном
на одну из своих орбит. Время жизни такой системы достаточно
велико для того, чтобы можно было наблюдать ее спектр, так
как оно определяется временем жизни свободного |д-мезона,
т. е. 2-КГ6 сек.
Радиус нормальной орбиты такого «атома» будет меньше,
чем комптоновская длина волны электрона. Известно, что куло-
новское поле протона на расстояниях порядка комптоновской
длины волны электрона искажено так называемой поляриза-
поляризацией электронно-позитронного вакуума [1]. Поэтому можно
ожидать, что в спектре мезоводорода должна наблюдаться «тон-
«тонкая структура», причем расщепление уровней должно быть по-
порядка а = V137 от энергии основного состояния, в то время
как «обычная» тонкая структура является эффектом порядка а2
(для электрона ввиду больших размеров его орбиты смещение
уровней из-за поляризации вакуума есть эффект порядка а3
и составляет только 3% лэмбовского смещения).
Пусть фо(#) есть фурье-компонента внешнего потенциала.
Согласно [2], этот потенциал индуцирует в вакууме поляриза-
поляризационный потенциал, равный
@ \ 1 1 / ч /4 4
o(9). A)
где х — обратная комптоновская длина волны электрона; q% =
= со2 — к2, где со — частота и к — волновой вектор внешнего
потенциала, и 4x2sin20 = g2, откуда
О У**1 — с/'1 • Я
— -arcsm-
tgO "" q tA1"°ltl 2X '
Если фо(г) не зависит от времени (со = 0), то
а Г 4х2 — 2к2 /, /4х- -- к- , , I к I \ , 1
LI1 - |к| Arsh Щ +
Так как для кулоновского поля заряда eZ имеем
еЪ
* Докл. АН СССР, 1952, 86, 251. (Представлено академиком Л. Д. Ландау
14 июля 1952 г.)
2* 35

то переходя затем к координатному представлению и интегри-
интегрируя по углам, получаем
к
, 1 1 sin кг ,7
1-т- \——dk-
Отсюда для изменения энергии ?-го уровня имеем
C)
dk
Относя изменение энергии Ai? к энергии основного уровня,
Ео = e2Z2/2r0, где г0 — радиус нормальной орбиты (л-мезона в
мезоводороде, и вводя rjZ как единицу длины, получаем
E)
где
/ (х) = JL |A _
Arsh z
1щ (к) = J у sin Л?//?^
(У) —- нормированная радиальная функция. Коэффициент 8
равен
е =
где тп^ — приведенная масса [i-мезона, ше — масса электрона.
Для первых уровней имеем
Т (П - Ш Г //л_ Ml -3^
Подставив 1п1 Bех) в E) и произведя приближенное интегри-
интегрирование, получим смещение уровня в электрон-вольтах для
различных Z (всегда отрицательное) (см. таблицу).
IS
2S
2Р
Z-1
1,8
0,2
0,014
Z = 6
320
47
27
Z = 30
20 000
3 200
2 500
36

Расщепление уровня п = 2 для Z = 1 составляет 0,19 эв, что
примерно в 25 раз больше, чем «обычная» тонкая структура
(в предположении, что (я-мезон имеет спин 1/2 и подчиняется урав-
уравнению Дирака).
Смещение уровней 2*S\/2 и 2Pi/2 при 7—6 уже сейчас имеет
экспериментальный интерес. При захвате \i-мезона легким яд-
ядром в фотопластинке имеется заметная вероятность того, что
мезон окажется на уровне 2Si/2. Переход с него на основной уро-
уровень запрещен и может осуществляться только с вылетом элек-
электронов Оже с энергией порядка 70 кэв. Экспериментально таких
электронов Оже не наблюдается [3].
Объяснение заключается, вероятно, в том, что из-за конеч-
конечных размеров ядра уровень 2Sy2 поднимается приблизительно
на 60 эв, а положение уровня 2Р\1г не изменяется [4]. Тогда воз-
возможен переход с вылетом мягких электронов Оже (не наблюдае-
наблюдаемых в фотопластинке) и последующи! оптический переход на ос-
основное состояние.
Рассмотренное здесь явление уменьшает разницу 2S>./2 — 2/\2
до 40 эв, что еще достаточно для указанного объяснения
отсутствия жестких электронов Оже.
Величина сдвига уровней при Z = 30 приведена лишь для
иллюстрации того, как по мере уменьшения размеров орбиты и
втягивания ее внутрь заполяризованной области вокруг точеч-
точечного ядра перестает играть роль ее форма.
Разница в сдвиге уровней с различными п медленно умень-
уменьшается по мере увеличения Z.
Если существуют другие, кроме электрона, заряженные час-
частицы, масса которых заметно меньше, чем масса [х-мезона, то
все они должны внести свой вклад в поляризацию вакуума и
сдвиг уровней [х-мезона. В частности, могут измениться коли-
количественные выводы о расстоянии между уровнями 2Sx/t и 2Pi/2
в легких ядрах, что могло бы увеличить вероятность жестких
электронов Оже при захвате [х-мезона. Поэтому эксперименталь-
экспериментальное наблюдение тонкой структуры и смещения уровней в рас-
рассматриваемых спектрах, а также измерение вероятности появ-
появления жестких электронов Оже при захвате легким ядром [х-
мезона представило бы не только весьма интересное подтвер-
подтверждение выводов современной квантовой электродинамики, но
явилось бы и средством проверки возможных гипотез о существо-
существовании других легких заряженных частиц, кроме электрона и
позитрона.
Академия наук СССР Получено 11 июья 1J52 г.
ЛИТЕРАТУРА
1. R. Serber. Phys. Rev., 1935, 48, 49;
Е. A. Uehling. Phys. Rev., 1935, 48, 55.
.2. R. P. Feynman. Phys. Rev., 1949, 76, 769.
3. W. Fry. Phys. Rev., 1951, 83, 599.
4. Б. Л. Иоффе, И. Я. Померанчук. ЖЭТФ, 1952, 23, 123 (Собр. трудов,
№ 38.)

40
ОБРАЗОВАНИЕ ji-МЕЗОННОЙ ПАРЫ
ПРИ АННИГИЛЯЦИИ ПОЗИТРОНА*
Соел естно с В. Б. Берестецким
Если (я-мезонам несвойственно какое-либо специфическое
взаимодействие, более существенное, чем электромагнитное, то
экспериментальное исследование электродинамических процес-
процессов с участием |я-мезонов может дать важные сведения о грани-
границах применимости современной теории поля и характере физи-
физических закономерностей вблизи этой границы, так как компто-
новская длина волны |я-мезона сравнима с теми размерами,
вблизи которых можно ожидать коренных изменений в простран-
пространственно-временных понятиях 1. Одним из таких процессов может
служить превращение электронно-позитронной пары в пару
u-мезонов (см. рисунок). Минимальная энергия Еп, необходи-
необходимая позитрону для образования такой пары при столкновении
с покоящимся электроном, составляет Еп = B\x/m)[ic2 ^r 4- 1010эв
(|я — масса |А-мезона, т — масса электрона). Этот процесс, как
и двуквантовая аннигиляция, является, в смысле теорий возму-
возмущений, процессом второго порядка. Эффективное сечение о вы-
выражается следующим образом:
¦#) ('--?)*•
Вблизи порога реакции (Е — Еп ^ Еп)
* ЖЭТФ, 1955, 29, 864.
1 //. Я. Померанчук. Докл. АН СССР, 1955, 103, 1005; 104, 51 (Собр. трудов§
Л" 61, 62).
38

При
Максимальное сечение (при Е ж 1,5 Еп) составляет на атом
Smax ~ 0,6Zш(е*1ф*)* Ж Z-100 CM2.
Оно приблизительно в 20 раз меньше, чем сечение двухфотоннои
аннигиляции о\ при таких энергиях:
оу = Z (ле*/тс*Е) In BЕ/тс2) ж Z (e2/\xc2J In (i\x2/m2).
Сведения, о которых упоминалось выше, содержались бы в
отклонении опытных данных от формулы A).
Академия наук СССР Получено 29 сентября 1955 г.

II
ПРОХОЖДЕНИЕ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ
ЧЕРЕЗ ВЕЩЕСТВО. КОСМИЧЕСКИЕ ЛУЧИ.
МАГНИТНОТОРМОЗНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ
41
МАКСИМАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ,
КОТОРУЮ МОГУТ ИМЕТЬ НА ПОВЕРХНОСТИ ЗЕМЛИ
ПЕРВИЧНЫЕ ЭЛЕКТРОНЫ КОСМИЧЕСКИХ ЛУЧЕЙ
ИЗ-ЗА ИЗЛУЧЕНИЯ В ЗЕМНОМ МАГНИТНОМ ПОЛЕ*
Первичные электроны космических лучей, попадая в земное
магнитное поле, не только отклоняются в нем (широтный эффект),
но и теряют энергию на излучение в силу своего движения с
ускорением. Для того чтобы это излучение могло быть описано
с помощью классической электродинамики, необходимо, чтобы
расстояние L, на котором сильно меняется лоренцово сокращен-
сокращенное поле, было бы большим по сравнению с J— [1] (мно-
(множитель Е/тс2, где Е — энергия, появляется при переходе в си-
систему координат, в которой электрон покоится). В земном маг-
магнитном поле таким расстоянием L является длина порядка ра-
радиуса Земли R. При энергиях электронов Е, удовлетворяющих
неравенству
квантовые эффекты в рассматриваемом излучении не играют
роли. Расчет, основанный на классической электродинамике,
показывает, что излучаемое излучение играет заметную рольг
начиная с энергий в 1016 эв, что значительно ниже тех энергийг
при которых могут играть роль квантовые эффекты.
Согласно классической электродинамике, уравнение движе-
движения электрона с приближенным учетом силы лучистого трения
имеет вид [2]
_ е Г? ТТ I 2 e" I d4Ii I T1
m
ЧГ = —F*u* +— —
* ЖЭТФ, 1939, 9, 915; J. Phys. USSR, 1940, 2, 65.
40

где Ui — четырехмерная скорость, т — покоящаяся масса элек-
электрона, е — его заряд, с — скорость света, dS — дифференциал
собственного времени. Как известно, смысл имеют только такие
решения уравнения A), которые могут быть получены методом
последовательных приближений, рассматривая в первом прибли-
приближении только лоренцову силу. Из уравнения A) получаются сле-
следующие выражения для скорости изменения импульса и кине-
кинетической энергии:
d т\ _ в (F г V R]\ 2е* |у , ЗУ (VV) ,
^^1 "ij^ ^
dt Yi^Tp* с \^^1с "ij^ 3c»(l-p*) Г ^ A —
где Е — электрическое поле, В — магнитное поле. Дифферен-
Дифференцирование по времени обозначается точкой над соответствующей
величиной.
Применим уравнения B) и C) к движению электронов в зем-
земном магнитном поле. Из B), учитывая только лоренцову силу,
получаем:
,4)
Подставляем D) в C)
^__A_i!_r^LBl2—[—- LAriJLBlV-2-
rff 3 ?п2с3 lc J 1 — Р2 Зи[с J \ тс2
Ниже будет показано, что поправка в V и V, связанная с лорен-
цовым трением, мала. Из E) видно, что потеря энергии электро-
электрона в магнитном поле Земли растет пропорционально квадрату
энергии электрона. Поэтому при очень больших энергиях элек-
электронов рассматриваемое излучение играет существенную роль.
Магнитное поле Земли с большой степенью точности можно
аппроксимировать полем диполя
в _ Mr2 — Зг(Мг)
где М — вектор магнитного момента Земли,
V 12 /ГУ 1| V 1\ Г V 
— М г4-6гМ — М — г )(Мг) + 9 — г (MrJ
Как мы увидим, излучение в магнитном поле Земли становит-
становится существенным при таких энергиях, при которых широтный
эффект не играет никакой роли. Поэтому траекторию электрона
41

мы можем считать прямой линией (см. рисунок)
2 2 / Е \2
X
(R-Vt)« — M -6(R-VtJ — M — R (M..R-VO
(R — V*I0
-7-R]V R ~
(R—VtI0
3 #^c4
1
J '
(R _ \t)S
+
I V 12
1-н](М,К-У0П
(R —V*)J0 J '
где r = R — Vf, ?"o — энергии электрона на большом расстоя-
расстоянии от Земли, Eg — энергия электрона на поверхности Земли.
Произведя интегрирование, получаем:
Ео
]
2 U
X
Зф — 3 sin ф cos ф — 2 sin3 ф cos <р
'\L~MJ[~RJ/ ^MV^
X
X 1 /o008?—A5ф — 15 cos ф sin ф — 10 cos фsin3 ф — 8cos ф sin5 ф)
f" V 12
— R (MR)*
9 ^
— 48 cos ф sin7 ф — 56 cos ф sin5 ф) — 18
42
Г V 12
— R (MR)(MV)
-t j^tj-
x

Х [шз-т* ф A°5 ф ~~ 105 СЭ8 ф Slfi V ~~ 7° CJS Ф Sin3 ф ""
— 56 cos ф sin5 ф — 48 cos rp sin7 ф) —^- +9 — R (MVJ - /t ., 2 x
Г 15ф — 15 cos ф sin ф — 10 cos ф sin3 ф -j- 8 cos ф sirr* ф 1
X L 48 sin7 ф 4~* +
i^p1 A05гр " Ю5 cos ф sin Ф - 70 cjs ф sin3 ф -
} = —V
(RV)
COS ф =
liV
"•
.-v
где Ф — функция от углов, заключенная в фигурные скобки
в F). Величина скорости V может быть заменена на скорость
света с в интересующей нас области энергий, что и сделало в F).
Из F) получаем
При Ео <^J Ec энергия на поверхности Земли практически не
отличается от Ео. Излучение в магнитном поле Земли играет
малую роль. При Ео > Ес энергия на поверхности Земли оста-
остается равной Ес, т. е. излучается весь избыток энергии электрона
над Е с- Таким образом рассматриваемое нами излучение при-
приводит к тому, что максимальная энергия перв 1чных электро-
электронов космических лучей, поступающих в атмосферу, не может
быть боль пе определенной критической энергии Е с- Эта крити-
критическая энергия зависит от геомагнитной широты и от угла паде-
падения электрона в соответствии с G) и F). Определим величину Е с:
М -8-1025 (см. работу ['Я),
р __ 3_ 0,61-10-гМ293-6-10*° _ 1,3-10' _
с~~ 2 64-1О>о.9.10^ф "" ф ~~
В частности, в плоскости магнитного экватора (геомагнитная
широта 90°) при вертикальном падении электронов ф = 1/ъ
Ес = 4-1017 эв.
При энергиях такого порядка отклоняющее действие магнитного
поля Земли очень мало, и поэтому траекторию электрона можно
считать с достаточной степенью точности прямой линией, что
ж было сделано в F).
43

Вследствие излучения в магнитном поле Земли спектр посту-
поступающих в атмосферу первичных электронов оканчивается при
энергиях порядка 1017 эв. Оже с сотрудниками [4] наблюдали,
по-видимому, легкие частицы с энергией в 1014 эв.
Рассмотренная нами граница лежит не слишком далеко от этой
цифры.
Возникает вопрос, существует ли аналогичная граница для
энергий первичных квантов из-за образования ими пар в земном
магнитном поле. Можно думать, что эта граница будет значительна
выше, чем граница для электронов, а именно что она будет при
таких энергиях квантов, при которых преобразованное поле в си-
системе координат, где /гсо' <^ гас2, будет сравнимо с критически**
полем, приводящим к образованию пар:
Псо д тс2 т*с5 Ю^МО52
Ш* * ~ е (К/тс)» >*(°крит ~ -jgg ~ Ю-МК)-* ~ Ш ~ D*1U Эв'
В заключение докажем, что поправкав V и V, связанная с лу-
лучистым трением, мала.
Рассмотрим сперва ситуацию в той системе координат, где
электрон в данный момент времени покоится. В этой системе все
величины снабжаются штрихами:
dll'. e . , 2 e* W
Первое приближение
"•
dtr'1 с m dtr "• тс dtr тс dtf *
Отношение лоренцова трения к лоренцовой силе
2 е2 dF'u 2 е2 f\a r0E r0 E
dtr ~ 3 mc3F'H f схтс* R тс2*
где т — время (в земной системе), за которое поле заметно меняет-
меняется. В интересующей нас области энергий это отношение значительно
меньше единицы. В системе координат, где электрон в данный
момент покоится, лоренцово трение значительно меньше, чем
лоренцова сила. Так как, однако, эти две силы не параллельны
друг другу, то отношение между ними не лоренц-инвариантно
и зависит от системы координат. В частности, в земной системе
координат лоренцово трение оказывается больше лоренцовой силы
при тех энергиях электронов, которые нас интересуют. Сущест-
Существенным для нас, очевидно, является сравнение не сил, а ускоре-
ускорений, вызываемых этими силами (поскольку ускорениями опре-
определяется излучение). Легко показать, что поправка в ускорениях,
вызываемая лоренцовым трением, оказывается ничтожной при
44

Е ~ Е с. Подставим в B) вместо V такое выражение:
Для W получаем уравнение
mV (VW) _ 2е* ГГУ R] Rl , 2e*X IV [TV R I R"j\ 1
3e {VT^W)-1 Г V R1 ,„„л 3W(VW) 3V
V (VW) йУ (V (WBj)
Учитывая справа только первые два члена, находим
о г2
w = I —
3 т
Оценим пренебреженные члены с помощью A2):
«* - - ±М№
тс3 Yl — Р2
ЗУ (VW) _ ^ rV "I* Vro
L J
(VW) _ ^_ r_V "I
- рЧ2 3 L с J
с4 A - рЧ2 3 L с J m- (I —
45

Мы видим, что до тех пор пока
В ^ _е_
т. е. до тех пор пока поле в системе, связанной с электроном, мало
по сравнению с «полем на краю электрона», формула A1) имеет
место. Сравнивая A2) и A0), видим, что поправка в ускорении,
связанная с лучистым трением, мала:
. — №
\[Н
В заключение выражаю глубокую благодарность профессору
Л. Д. Ландау и профессору И. Е. Тамму за ценные дискуссии при
проведении работы.
Физический институт Ленинградского Получено
государственного университета 13 июня 1939 г.
ЛИТЕРАТУРА
1. Weizsacker. Zs. f. Pliys., 1934, 88, 612.
2. Dirac. Proc. Roy. Soc, 1938, [A], 167, 148; Abraham. Theorie der Elekt-
rizitat, Bd. 2, p. 122.
3. Miehlnickei. Hohenstrahlung, 1938, p. 49.
4. Auger. J. de Phys. et de Rad., 1939, 1, 39.

42
О КОНЦЕ ТРЕКА МЕЗОТРОНА
В КАМЕРЕ ВИЛЬСОНА*
Совместно с А. Мигдалом
В последнее время в литературе появилось несколько снимков,
на которых виден конец мезотронного трека [1]. Исхоя из предпо-
предположения о распаде мезотрона, можно было бы ожидать, что такой
трек окончится электронным следом, чего нет на приведенных
в литературе фотографиях. Следует, однако, иметь в виду, что ме-
мезотрон, прекративший заметно ионизовать, обладает достаточной
энергией, чтобы продиффундировать на некоторое расстояние от
конца своего трека раньше, чем произойдет распад. К сожалению,
указать точно длину диффузионного пути невозможно, так как
она зависит от скорости мезотрона в момент окончания трека.
Исходя из боровского условия для ионизации, эта скорость
должна иметь порядок нескольких единиц на 10~8 см/сек. После
прекращения ионизации мезотрон замедляется в результате упру-
упругих столкновений с ядрами. Таким образом энергия мезотрона
убывает, и коэффициент диффузии зависит от времени.
Из уравнения диффузии
получим следующее выражение для вероятности нахождения мезо-
мезотрона в единице объема:
3- т.
<'"• <2)
где
cv
г* = б\' Ddt;
о
коэффициент диффузии D* как известно, равен
1т Г
~~ " 3jQfoN '
где V — скорость мезотрона, X — число атомов в единице объ-
Докл. АН СССР, 1940, 27, 652; Phys. Rev., 1940, 57, 934.
47

ема. Эффективное сечение для диффузии аэф равно
2ttZV P A — cos 9) sin 9 сШ /Q4
90 sin4 -j
где 0О — угол, определяемый экранированием атомными электро-
электронами и равный по порядку величины
(Ze*\
ft V"^/
0
С помощью (З) получим
2Е/г2
Энергия, теряемая мезотроном на единице пути, равна
где [г — масса мезотрона, р — его импульс, М — масса
атома.
Так как б = 2\ilM <^ 1, то заметное изменение энергии мезо-
мезотрона происходит в результате многих столкновений. Это обстоя-
обстоятельство делает законным применение уравнения диффузии.
Вычислим выражение г2, которое входит в функцию распреде-
распределения B):
?й!3§?-$. (в)
где Хо = l/No^ — энергия мезотрона, соответствующая началу
диффузии.
При Ео = 10 кв получаем в воздухе при нормальных условиях
У г1 = 1,0 см (при |Л = 160т, где т — масса электрона).
Вычислим еще время, в течение которого произойдет замед-
замедление мезотрона:
E Е° dE 2U т
С
J dE/dt ) be^EN " ЗдКо ' V ;
eq о
В нашем примере т —10~8 сек.
При энергии мезотрона, соответствующей 0о ~ 1, формула D)
перестает быть верной. Однако это условие выполняется при таких
48

энергиях, при которых диффузия ничтожна. Поэтому полная
диффузионная длина определяется выражением F).
Отметим также, что потеря энергии при упругих столкновениях
с ядрами после прекращения ионизации должна учитываться при
определении энергии частиц по их пробегам в камере Вильсона
или по суммарной ионизации в ионизационной камере.
В частности, каждый осколок, получающийся при делении
урана, расходует на ядерные столкновения энергию порядка
1 Мэв.
Физико-технический институт Получено
Академии наук СССР. 20 марта 1940 г.
Ленинград
ЛИТЕРАТУРА
1. Я. Meier-Leibnitz. Zs. f. Phys., 1939, B112, 569; У. Nishina, M. Takeuchi,
Т. Ichimiya. Phys. Rev., 1939, 55, 585 (L).
2. H. Bethe, M. Rose, N. Smith. Proc. Phil. Soc, 1938, 78, 573.

43
СПЕКТР МЯГКОЙ КОМПОНЕНТЫ
В ВОЗДУХЕ ПРИ БОЛЬШИХ ЭНЕРГИЯХ*
Совместно с А. Кирпичевым
Спектр мягкой компоненты, обязанной электронам распада и
составляющей главную часть мягкой компоненты в воздухе на не-
небольших высотах, рассматривался Гайзенбергом и Эйлером [1]
и Таммом и Беленьким [2].
Однако Гайзенберг и Эйлер пользовались несовершенной фор-
формой лавинной теории ливней [3, 4], аппарат которой после усовер-
усовершенствования Ландау и Румером [5] может быть применен для
получения значительно более точных результатов. Тамм и Белень-
Беленький не учитывали точного спектра мезонов, заменяя его рассмо-
рассмотрением мезонов некоторой средней энергии. Такая замена на
может быть обоснована при исследовании спектра мягкой компо-
компоненты в области энергий Е, больших по сравнению с критической
8, так как очевидно, что мягкая компонента с большой энергией
может возникать только в результате распада мезонов с большой
энергией, и поэтому форма спектра мягкой компоненты в этой
области весьма чувствительна к виду спектра мезонов при боль-
больших энергиях мезонов.
Рассмотрение спектра мягкой компоненты при Е ^> 8 пред-
представляет особый интерес в свяги с рассмотрением переходных
кривых при больших толщинах, куда проникают только ливниг
обязанные воздушным мягким частицам с Е ^> 8. В следующей
работе будут получены переходные кривые, исходя из найденного
в этой работе спектра мягкой компоненты.
Для определения искомого спектра мы исходим из спектра
электронов распада, непосредственно возникающих при распаде
мезонов:
ф {Ео) dE0 = *°^т^о Г ™ , A)
Ео
где т0 — время распада покоящегося мезона (т0 = 2,5«Ю сек
[6]); Хо — лавинная единица длины в воздухе; ji — покоящаяся
масса мезона; с — скорость света; W — энергия мезона;
Wo — энергия, затрачиваемая мезоном на ионизацию при прохо-
* Докл. АН СССР, 1943, 41, 19 (Представлено академиком С. И. Вавиловым
8 июня 1943 г.).
50

ждении от места образования до места наблюдения (Wo ж 2,2X
X Ю9 эв для уровня моря при вертикальном направлении;
Wo ж const/cos Э = аТ/cos 9, где Э — угол между направлением
движения мезонов и вертикалью, а = 2,2• 106 эв, Т — глубина
воды в см).
Дифференциальный спектр мезонов мы берем в соответствии
€ Гайзенбергом и Эйлером [1] в виде
(W + Wo)y+l
где А — постоянная, у х 2. При этом не учитывается распад
мезонов, что представляется законным, так как нас будут ин-
интересовать мезоны с большой энергией, для которых распад не
оказывает большого влияния на их спектр. Следует отметить при
этом, что учет распада мезонов может быть проведен без боль-
больших затруднений [5]. С помощью A) мы можем найти спектр мяг-
мягкой компоненты F (Е):
оо оо
F (Е) = \ Ф (Ео) dE0 \ а (Ео, Е, t) е* <*-. я. О Л, B)
Е О
где аеф, как обычно [5], означает число частиц с энергией, большей,
чем Е, в ливне, образованном начальной частицей с энергией 2?(),
причем ливень прошел путь t (t измеряется в лавинных единицах);
F означает при этом, очевидно, интегральный спектр — число
частиц с энергией, большей, чем Е.
Так как единственная величина, зависящая от t, есть аеф, мы
проведем сперва интегрирование по t. При этом главную роль
играют t, при которых число частиц с энергией, большей Е, до-
достигает максимума (s = 1) [7]:
C)
Здесь использовано соотношение ср E=1) = In Ео/Е [5], а — мед-
медленно меняющаяся функция по сравнению с <?ф;
2п .» _ (сРЪ
E° R(\\AF { f F A AF { ^X«dW i (W) //ч
Е
f (W) — дифференциальный спектр мезонов (он может и не
совпадать с используемым в A); в частности, в нем может содер-
содержаться учет распада мезонов).
51

Заменим порядок интегрирования в двойном интеграле D)
w
Е Е E)
Отметим здесь, что а (Е, Е) = О, поэтому значение внутреннего
интеграла по Ео определяется верхним пределом.
Воспользуемся теперь выражением для / (W) в виде:
(W
dW
В (с-I W t)
r^>l, r^l, r = const.
Так как В почти не зависит от энергии (исключая случай, когда
PF-v /?), мы можем вынести его из-под знака интеграла. Для за-
заряженных частиц В равно [7, 8]
2я (In -rr — 1
V E -1 ж 0,4.
ш
In -g-—0,37
Для фотонов В равно 9/7 -0,4ж0,5. Окончательно находим, поль-
пользуясь соотношением для полной заряженной мягкой компоненты
Fo, обязанной электронам распада [2]:
F)
E
где индекс у означает кванты, е — электроны и позитроны, No —
полное число мезонов.
Соотношение G) легко получается в результате применения
закона сохранения энергии, предполагая, что нейтрино уносит*
половину энергии мезонов.
Из E) мы видим, что F (Е) выражается непосредственно через
интегральный спектр мезонов \f(W)dW, так как В почти»
постоянно всюду, исключая случай W = Е. Пользуясь E), мы
52

можем получить спектр мягкой компоненты при необходимостиг
например, учета в спектре мезонов распада.
Точное вычисление коэффициента г затруднительно, так как
это требует анализа неразвитого ливня с малым числом интере-
интересующих нас частиц.
При Е ^> Wo в интеграле по W в E) главную роль играет об-
область W ^ Е, т. е. главную роль играют ливни с малым числом
частиц, имеющих требуемую энергию >?\ Отсюда следует, что
численное значение коэффициентов 0,4 и 0,5 при Е ^> Wo не может
быть точным в этой области энергий (по тем же причинам, кото-
которые препятствуют вычислению г).
Из F) мы можем заключить о присутствии заметного количе-
количества частиц с Е ^> е. Например, положив Е = 4е, мы получим*
на уровне моря при г = 2, у = 2
F 4- F по
Fo ~~ 4 ( —
при г = 1,5
Fe + Fy 0,9
— = ю?о.
Ту
1,522)
Можно сказать, что число частиц с энергией, большей, чем 4ег
на уровне моря составляет величину порядка 12—13% от общей
мягкой заряженной компоненты, обязанной распаду мезотронов-
Метод, примененный здесь, легко может быть распространен*
на мягкую компоненту, обязанную б-электронам.
Ереванский государственный университет Получено
Физический институт им. П. Н. Лебедева 8 июня 1943 г».
Академии наук СССР
ЛИТЕРАТУРА
1. В. Гайзенберг, Э. Эйлер. Усп. физ. наук, 1939, 21, 130, 261.
2. И. Тамм, С. Беленький. J. Phys. USSR, 1939, 1, 177.
3. Н. Bhabha, W. Heitler. Proc. Roy. Soc, 1937, A159, 432.
4. J. Carlson, J. Oppenheimer. Phys. Rev., 1937, 51, 220.
5. L. Landau, G. Rumer. Proc. Roy. Soc, 1938, A166, 213.
6. B. Rossi. Rev. Mod. Phys., 1939, 11, 296.
7. Л. Ландау. ЖЭТФ, 1940, 10, 1007.
8. В. Rossi, К. Greisen. Rev. Mod. Phys., 1941, 13, 233.

44
К ТЕОРИИ ПЕРЕХОДНЫХ ЭФФЕКТОВ
В КОСМИЧЕСКИХ ЛУЧАХ*
Совместно с А. Кирпичевым
Как известно, при переходе космических лучей из среды с од-
одним атомным номером Zx в среду с другим атомным номером Z2
возникают переходные эффекты, связанные с зависимостью крити-
критической энергии е лавинной теории ливней от Z. Наиболее важным
переходным эффектом является зависимость числа ливней от тол-
толщины экрана (кривая Росси). Чаще всего рассматривается такой
эффект при переходе космических лучей из воздуха в свинец
так как переходный эффект тем больше, чем больше разнятся
между собою атомные номера субстанций. Кривые Росси дают одну
из наиболее важных количественных закономерностей в космиче-
космических лучах, причем лавинная теория ливней уже при своем еоз-
никновении [1, 2] сумела объяснить ряд качественных характери-
характеристик переходных кривых. Однако до сих пор отсутствует точный
количественный расчет переходных кривых, основанный на ла-
лавинной теории ливней. Росси [3] произвел вычисления переходной
кривой при различных предположениях относительно спектра
мягкой компоненты в воздухе.
Анализ этого спектра, проведенный в [4], показывает, что его
форма отлична от предполагаемой [3], и поэтому переходные кри-
кривые, полученные в [2], не могут быть обоснованы. Ландау [5] вы-
вычислил отношение максимума кривой Росси к ее хвосту в случае
переходной кривой, обязанной ионизующей и неионизующей ком-
компонентам. Полученное им отношение не может быть, однако, не-
непосредственно сравнено с экспериментальными данными по сле-
следующим причинам: 1) не учитывается тот факт, что в максимуме
наблюдаются ливни не только от воздушных электронов и пози-
позитронов, но и от воздушных фотонов (следует отметить, что это об-
обстоятельство существенно и при определении всей энергии, ко-
которая затрачивается на ионизацию мягкой компонентой воздуха
при ее переходе в свинец); 2) используется неправильное распре-
распределение 6-электронных ливней в воздухе по их величине; 3) там же
применяется неверное соотношение между 6-электропами и элек-
электронами распада в воздухе.
Докл. АН СССР, 1944, 42, 396 (Представлено академиком С. И. Вавиловым
8 июня 1943 г.).

В настоящей работе мы рассматриваем форму переходной кри-
кривой за максимум, а также оцениваем отношение максимума кривой
Росси к ее хвосту. Выбор толщины экрана большей, чем те,
на которых наблюдается максимум, обусловлен тем, что в макси-
максимуме кривая Росси обязана главным образом той части мягкой
компоненты воздуха (или любой исходной среды), которая имеет
энергию Е порядка критической энергии воздуха. Так как спектр
мягкой компоненты в этой области мало известен, то точное вы-
вычисление переходной кривой в области около максимума крайне
затруднительно.
В дальнейшем мы подробно разберем форму переходной
кривой за максимумом. Что касается отношения максимума
кривой Росси к ее хвосту, то оно не может быть точно определено
по тем же причинам, по которым не может быть точно определена
кривая Росси вблизи максимума (из-за незнания спектра мягкой
компоненты в воздухе при Е ^ е).
Мы определим зависимость числа частиц от толщины экрана.
Измеряемые на опыте (например, в наиболее совершенных усло-
условиях Росси [3] и Спиваком [6]) число ливней с числом частиц,
большим или равным двум или даже единице, при больших тол-
толщинах экрана должно показывать примерно ту же зависимость от
толщины, как и просто число частиц, так как число регистрации
измеряющей системы, как это будет показано отдельно, примерно
пропорционально числу частиц в ливне.
Следует, однако, отметить, что обычно измеряемая системой
счетчиков величина, строго говоря, не пропорциональна числу
частиц в ливне, поэтому необходим тщательный анализ того, что
именно измеряется, прежде чем производить сравнение теории
с экспериментом. Можно лишь утверждать, что опыты, где изме-
измеряющая система считает ливни с числом частиц, равным или боль-
большим единицы [3], ближе подходят к измерению числа частиц,
чем опыты, где необходимо наличие в ливне по крайней мере двух
частиц.
Количество частиц N (/), наблюдаемое под экраном, имеющим
толщину /, определяется с помощью дифференциального спектра
мягкой компоненты Р (E0)dE0
HP (E)dE. A)
Как обычно [7], аеф(Е> *) означает число частиц, наблюдаемых
на глубине t в ливне, начинающемся частицей с энергией ?\
а вообще различно в зависимости от того, является ли N (t) числом
заряженных или незаряженных частиц, Р может быть спектром
заряженной или незаряженной мягкой компоненты. Если Р отно-
относится к фотонам (Ру), то мы получим переходную кривую, назы-
называемую неионизующей компонентой. Если Р относится и к фото-
фотонам, и к электронам (+ и —), то мы получаем полную переходную
55

кривую. Для Р подставляем выражение [4]
Для фотонов const = 0,52Fo, для электронов const = 0,4 Fo.
Все обозначения такие же, как и в [3, 4]; е — критическая энер-
тия воздуха; Fo — полная заряженная мягкая компонента в воз-
воздухе.
Введем новые обозначения: Е = геу', Wo = ггеу%
N = const [ ае* I _1_?~ 1 И^! 1 du C)
Этот интеграл берем методом перевала.
Рассмотрим подробнее интеграл от первого члена в C)
\ а ехр [ф — у — у In A + еУ-У»)\ dy =
^J ехр [У1 - г/0 - г In A + еУ*-*)]. D)
Величина ух определяется из равенства
?2.\ \ техр(j/1 ~~Уо) _= о f'i5.
W / у» 1 + ехр (yi - i/n) U' \ду
d = 1 , Т ехр (yi — у0)
aw ( ^
V (si) (ехр (у i — у о)
Из E) и F) получаем
Фх-2/о- Г In (e«
ехр [ф (yi, я) — уо] (т +
—l)Tf |/ rf
(8)
Аналогичным образом можно рассмотреть второй член в C).
Он оказывается равным
Здесь
56

Полная переходная кривая получается суммированием (8) и (9)_
Вычисление N (t) должно производиться следующим образом:
1) задаемся значениями %; 2) по формуле G) находим у; 3) при за-
заданном ух и s± находим t (таблицы см. в [7]); 4) исходя из полученно-
полученного значения уг и заданного^, находим ЦI [7]. Задаваясь различ-
различными значениями sl4 получаем возможность построить кривую,
дающую первый член в C) при любой толщине. Аналогичная про-
процедура, примененная ко второму члену в C), дает нам вторую
кривую. Накладывая первую и вторую кривые, получаем окон-
окончательно переходную кривую N (t).
Необходимо отметить, что величина ае*, которой мы пользуемся
как величиной числа частиц в ливне, на самом деле имеет смысл
только для числа частиц в ливне, имеющих энергию Е, много
больше, чем критическая. Дело в том, что при определении ае^
мы не учитываем ионизации. Совершенно несомненно, однако, что
число частиц, имеющих Е ^> 8 (Е ^> 3 — 4е), как функция t
близко совпадает с числом ливней как функцией t (частица, имею-
имеющая Е = 3 -т- 4е, при данном t превращается в маленький ливень,,
пройдя приблизительно одну лавинную единицу длины). Обе
кривые будут сдвинуты друг относительно друга на —1 лавинную-
единицу длины х.
Следует отметить, что от у и г теоретическая кривая зависит
мало.
Из анализа формул (8) и (9) следует, что главную роль в пере-
переходной кривой в широком интервале значений t играют первич-
первичные энергии Ео порядка Wo (у ~ у0). В качестве нижнего предела
для Е мы взяли Е = 2еРЬ, еРЬ = 8 Мэв.
Хорошее согласие между экспериментом [3, 6] и теорией ука-
указывает на то, что экспериментальные точки относятся к величине^,
пропорциональной числу частиц.
В общем виде вероятность регистрации пропорциональна вели-
величине П A — <ГРЛ), где pk — плотность частиц в месте, где рас-
расположен счетчик к\ sk — его площадь. Более подробный анализ-
этого выражения показывает, что при t < 14 -г- 15 измеряемая
[3, 6] величина пропорциональна числу частиц в ливне. Соответ-
Соответствующие вычисления публикуются.
Обращаясь к определению отношения максимума кривой Рос-
си к ее хвосту, мы ограничимся здесь приближенной оценкой,,
оставляя более точные вычисления для другого сообщения.
Количество ливней q на один мезон, обязанных 6-электронам
в хвосте кривой Росси в свинце, равно 11ип [5], п — число ча-
частиц в ливне.
При п = 2 (п = 2 играет главную роль в измерениях типа [7])
мы имеем для свинца q = V48.
1 Уже отсюда, в частности, видно, что кривая, полученная в [3, 6], должна
соответствовать N (/).
57

В максимуме кривой Росси мы имеем ливни, обязанные воз-
воздушным частицам с энергией ^ е^.
В самом деле, пробег ливней с Е ~ е^ составляет примерно
2,5—3 ливинные единицы, что соответствует положению макси-
максимума. Число частиц в таком ливне равно
0,3 '? =^12^2.
Число ливней в максимуме определяется величиной мягкой
компоненты в воздухе, имеющей энергию порядка гА (включая и
фотоны). На уровне моря исковая величина ~V2 всей мягкой
колшоненты на один мезон — порядка 30%. Отсюда для отно-
отношения максимума к хвосту получаем 0,3-48 = 14,4. Более под-
подробный анализ, публикуемый в другом месте, показывает, что это
отношение заключено между 10и 15. Экспериментальное число [6]
равно 7.
Причина расхождения, возможно, лежит в наличии проникаю-
проникающих ливней не каскадного происхождения.
Ереванский государственный университет Получено
Физический институт им. П. Н. Лебедева 8 июня 1943 г.
Академии наук СССР
ЛИТЕРАТУРА
1. Н. Bhabha, W. Heitler. Proc. Roy. Soc, 1937, A159, 432.
2. J. Carlson, J. Oppenheimer. Phys. Rev., 1937, 51, 220.
3. L. Janossi, B. Rossi. Proc. Roy. Soc, 1940, A175, 88.
4. А. Кирпичев, И. Померанчук. Докл. АН СССР, 1943, XLI, № 1 (Собр. тру-
трудов, № 43).
5. Л. Ландау. ЖЭТФ, 1941, 11, 32; J. Phys. USSR, 1943, 4, 375.
6. Я. Спивак. J. Phys., 1941, 5, 5.
7. L. Landau, G. Rumer. Proc. Roy. Soc, 1938, A166, 213.

45
ЭКРАНИРОВАНИЕ ЭФФЕКТИВНЫХ СЕЧЕНИЙ
ДЛЯ ТОРМОЗНОГО ИЗЛУЧЕНИЯ И ОБРАЗОВАНИЯ ПАР
С ПОМОЩЬЮ
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ЗНАЧЕНИЙ АТОМФОРМФАКТОРА*
Совместно с А. Кирпичевым
Как известно [1, 2], при больших энергиях тормозное излуче-
излучение и образование пар происходит на все больших расстояниях от
ядра, и поэтому становится существенным экранирование ядерного
поля атомными электронами. Благодаря этому логарифмический
рост с энергией эффективных сечений прекращается. Предельное
значение для эффективных сечений, соответствующее так называе-
называемому полному экранированию, обычно получается с помощью
метода Томаса — Ферми.
Однако применение этого метода к легким элементам с малым
количеством электронов Z не может быть строго обосновано.
Поэтому представляется желательным найти более точное значе-
значение для эффективных сечений в случае малых Z. Как указано
в [3], эффективные сечения для тормозного излучения ог и для
образования пар ар просто выражаются через атомформфактор:
^^y^{[l + (E0-kf--l-E0(E0-k)] х
У:
X \^\l-F(q)\*d-l + l]+±E0(E0-k)), A)
О
^\\Е; + {Ей-ЕТ + ^Е0{Ей-Е)\х
B)
где
Ze — заряд ядра; Ео в A) — энергия электрона до излучения;
Е — после излучения; к — энергия излученного кванта; Ео в
B) — энергия фотона, образующего пару; Е — энергия одной из
компонент пары; р — плотность заряда в атоме; d% — элемент
объема.
* Докл. АН СССР, 1944, 45, 301 (Представлено академиком И. В. Курчато-
Курчатовым 25 марта 1944 г.).
5»

Пользуясь A) и B), можно вычислить эффективные сечения
на основе экспериментальных значений атомформфактора, из-
известные, например, из рассеяния рентгеновских лучей.
Следует отметить, что разница между получаемыми таким об-
образом эффективными сечениями и теми, которые дает метод
Томаса — Ферми, невелика — порядка 7—8%. В большинстве
вопросов, в которых важны значения аг и ар, особенно в большин-
большинстве лавинно-теоретических вопросов [4, 5], получаемая нами раз-
разница не отражается на порядке величины результатов. Существу-
Существует, однако, область явлений, связанных с большими лавинными
ливнями (ливнями Оже) [6—8], для которых очень важную роль
[9] играет вопрос о толщине атмосферы в радиационных едини-
единицах [5]. Изменение эффективного сечения (а следовательно, и ра-
радиационной единицы длины) на 8% влечет за собой изменение
толщины атмосферы на 2,1 единицы г. Такое изменение приводит,
например, к тому, что плотность частиц в ливнях, создаваемых
«первичными» электронами и имеющими максимум, на Юнгфрау
изменяется в е1»4 = 4 раза. Этот результат весьма важен для тео-
теории совпадений между счетчиками, которые вызываются ливнями
Оже.
Используя приведенные в [11] данные об атомформфакторе,
получаем следующие значения для радиационного логарифма 2.
и-
5^
Z 8 9 И 12 13 14 17 19 20 26
Lr из эксперименталь-
экспериментальных данных 4,95 4,85 4,75 4,71 4,68 4,65 4,65 4,64 4,62 4,55
Lrno Томасу — Ферми 4,56 4,52 4,45 4,42 4,40 4,37 4,31 4,27 4,25 4,17
Из рассмотрения вывода видим, что метод Томаса — Ферми
уменьшает значения эффективных сечений. Это уменьшение в
среднем составляет 6—8%. Радиационные единицы (^-единицы)
длины на самом деле меньше, чем получаемые по методу Томаса —
Ферми (см. таблицу).
^-единица по эксперимен-
экспериментальным данным, г/см2
^-единица по методу То-
Томаса — Ферми, г/см2
Вода
35
38
Алюминий
22,4
23,9
Аргон
19,4
20,8
Железо
13,3
14,4
1 Обычное значение для толщины атмосферы равно 26 t [10].
2 Равного по Томасу— Ферми Lr = In 191 Z/3.
60

Хотя для азота мы не обработали данных, рассматриваемый
эффект для него будет не меньше, чем для кислорода. Отсюдаможно
заключить, что в воздухе ^-единица на 9—10% меньше, чем обычно
принимаемая, т. е. вместо 38 она равна 35 см вод. эквивалента.
Изменение ^-единиц влечет за собой соответствующее изменение
критической энергии 8 лавинной теории.
В заключение мы хотели бы поблагодарить профессора Л. Лан-
Ландау за интерес к этому вопросу.
Ереванский государственный университет Получено
Физико-технический институт 6 декабря 1943 г.
Академии наук СССР. Ленинград
ЛИТЕРАТУРА
1. Я. Bethe, W. Heitler. Proc. Roy. Soc, 1934, A146, 83.
2. W. Heitler. The Quantum Theory of Radiation.
-3. H. Bethe. Proc. Cambr. Phil. Soc, 1934, 30, 542.
4. H. Bhabha, W. Heitler. Proc. Roy. Soc, 1937, A159, 432.
5. /. Carlson, J. Oppenheimer. Phys. Rev., 1937, 51, 220.
6. P. Auger, P. Ehrenfest, A. Freon, R. Maze. J. Phys., 1939, 10, 1.
7. P. Auger, R. Maze, T. Grivet-Meyer. С. г., 1938, 206, 1791.
8. P. Auger. Rev. Mod. Phys., 1939, 11, 288.
9. /. Pomeranchuk. J. Phys. USSR, 1944, 8, 17 (Собр. трудов, № 46).
10. E. Fermi. Phys. Rev., 1940, 57, 485.
11. Landolt-Bornstein. 3 Erganzungs-Band, 1931, S. 584.

46
К ИНТЕРПРЕТАЦИИ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ
О БОЛЬШИХ ЛАВИННЫХ ЛИВНЯХ*
Находится зависимость плотности частиц р в больших лавинных ливнях
от их расстояния до оси ливня (§ 1). Полученное выражение пригодно не-
только в максимуме ливня, но и в любом его месте. Выражение для р при-
применяется для вычисления зависимости числа совпадений двух счетчиков от
их взаимного расстояния (§ 3). Подробное сравнение теорий с эксперимен-
экспериментальными данными Оже и его сотрудников обнаруживает серьезное расхож-
расхождение между теорией и экспериментом (§ 3). Указано на наличие корреля-
корреляционного эффекта (§ 2), который приводит к повышенной вероятности сов-
совпадений при малых расстояниях между счетчиками. Вычислено число сов-
совпадений, обязанное корреляционному эффекту (§ 2), и указана область рас-
расстояний между счетчиками, для которой этот эффект существен.
Введение
Как известно [1—3], Оже с сотрудниками установили существо-
существование больших ливней частиц в воздухе, возникающих в верхних
слоях атмосферы и затем развивающихся при прохождении через
нее. Оже предположил, что наблюдавшиеся им ливни являются
большими лавинными ливнями, начинающимися от электронов,,
позитронов и квантов очень больших энергий (до 1014—1015 эв}г
попадающих в верхние слои атмосферы *. То же предположение
было положено в основу Эйлером и Вергеландом [4, 5], Бете [61
и Нордгеймом [7] при теоретическом анализе экспериментальных
данных Оже на основании лавинной теории ливней. Хильберри
[8, 9], измерявший количество больших ливней как функцию
высоты, сравнивая свои данные с лавинной теорией [10, 11], при-
пришел к выводу, что в больших ливнях (ради краткости мы иногда
будем их называть ливнями Оже) должна существовать мезотрон-
ная компонента, точнее — проникающая компонента. Цель настоя-
настоящей статьи заключается в доказательстве того, что совокупность
экспериментальных данных, полученных Оже относительно боль-
больших ливней, не может быть теоретически интерпретирована без
введения проникающей компоненты в большие ливни. Под сово-
* ЖЭТФ, 1944, 14, 252; J. Phys. USSR, 1944, 8, 17.
1 Положение не изменится существенно, если такие мягкие частицы большой
энергии не попадают из мирового пространства, а создаются в вер л них сло-
слоях атмосферы протонами 122].
62

Купностыо экспериментальных данных мы будем преимуществен-
преимущественно понимать следующее: 1) зависимость числа больших ливней от
высоты (высотная характеристика); 2) зависимость числа совпаде-
совпадений между двумя счетчиками при их раздвижении на данной высо-
высоте от расстояния между счетчиками (совпадательная характери-
характеристика). Оказывается, что без введения проникающей компоненты
в ливни Оже можно на основании лавинной теории объяснить
только одну из двух указанных выше характеристик. Одновремен-
Одновременное объяснение двух характеристик требует введения нелавинной
компоненты в большие ливни, если только можно быть уверенным
в отсутствии побочных эффектов при измерении совпадений между
счетчиками.
Для интерпретации совпадательной характеристики необхо-
необходимо знать, как должно меняться число совпадений между двумя
счетчиками при изменении расстояния между ними. Как видно
будет ниже, ответ на поставленный вопрос требует знания зависи-
зависимости плотности частиц в ливне от расстояния до его оси. Поэтому
мы сначала займемся выяснением пространственной структуры
ливней (плотность частиц, т. е. число частиц на 1 см2 как функция
расстояния от оси ливня), затем (§ 2) рассмотрим своеобразный
корреляционный эффект, приводящий к повышенной вероятности
совпадений двух счетчиков при малых расстояниях между ними,
и, наконец (§ 3), на основании полученных в § 1 и 2 формул про-
проанализируем экспериментальные данные о ливнях Оже.
§ 1. Плотность в больших лавинных ливнях
Вопрос о зависимости плотности частиц р в ливнях от расстоя-
расстояний г до оси ливня рассматривался Эйлером и Вергеландом [4, 5],
Бете [6] и Нордгеймом [7]. Полученные Эйлером и Вергеландом
результаты содержат, однако, неправильные поперечные размеры
ливня (так называемый радиус ливня) и неправильные средние углы
рассеяния. Далее, полученные Эйлером и Вергеландом формулы
для р (г) могут применяться только вблизи максимума лавины;
во всех остальных случаях Эйлер и Вергеланд дают графики для
р (г). Оказывается, что при помощи решения уравнений лавинной
теории ливней, полученных Ландау и Румером [12], можно найти
простое выражение для р (г), пригодное не только вблизи макси-
максимума частиц лавинного ливня, но и в любом месте ливня. Бете и
Нордгейм указывают в своих кратких сообщениях 1 размеры лив-
ливня, значительно большие, чем указанные Эйлером и Вергеландом.
Их радиус ливня, по-видимому, ближе соответствует действитель-
действительному. Однако в сообщениях Бете и Нордгейма также нет выраже-
выражений для р (г) в общем случае (не только вблизи максимума). По-
Поэтому в дальнейшем мы выведем в общем виде выражение для за-
зависимости р (г).
Краткий вывод результатов Нордгейма см. в [13, стр. 306—307].
63

Как уже указывалось Эйлером и Вергеландом [4, 5], Бете [6]
иНордгеймом [7], угловое расхождение частиц в ливнях, а также
их боковое отклонение от оси ливня (т. е. от линии, вдоль которой
двигалась первичная частица, создающая ливень) обусловлены
кулоновским рассеянием электронов и позитронов, входящих в
состав ливня. Так как кванты, излученные отклоненными заря-
заряженными частицами, будут иметь направление излучающих ча-
частиц х, то из-за рассеяния электронов и позитронов возникает
и угловое расхождение квантов в ливнях. Точные значения для
среднего квадрата угла рассеяния 02 электронов (+ и —), и кван-
квантов, как функции их энергии, были найдены Ландау [14]. Он же
получил точные значения для среднего квадрата отклонения ча-
частицы от оси ливня и нашел средний квадратичный радиус ливня
У Я2, который при атмосферном давлении оказался равным2
125 ж (i?o есть средний квадрат расстояния частицы от оси ливня).
Так как рассеяние частиц в ливнях практически не зависит от
пути, пройденного ливнем [4—7], то такой же вывод, очевидна,
относится и к Ro. Полученные в [14] выражения для б2 применимы
только в том случае, если энергия частиц Е велика по сравнению
с критической энергией лавинной теории е. Но все явления уплот-
уплотнения частиц вблизи оси ливня обязаны мало рассеивающимся
частицам, обладающим большой энергией по сравнению с е.
Заметим, между прочим, что их средний угол рассеяния мал по
сравнению с единицей; даже приЕ = е в воздухе У 9^ = 0,15 [14].
Поэтому точные формулы Ландау могут быть применены. Для сред-
среднего квадрата расстояния г2 заряженных частиц в ливнях от оси
ливня и для среднего квадрата угла рассеяния заряженных частиц
0| Ландау дает следующие выражения:
-2 _ _625 fl2 _ 225
Е* * д Еу- '
Е в Мэв, У г2 в единицах длины лавинной теории, У б2, в радиа-
радианах. Вводя сюда лавинную единицу длины в воздухе при нормаль-
нормальных условиях, получаем3
/^=^-330 м =-^-80 м=^-Яу A.1)
R = 80 м при нормальных условиях и растет обратно пропорцио-
пропорционально атмосферному давлению Р.
1 Угол между излученным квантом и излучающим зарядом порядка тс21Е
(т—масса электрона, с—скорость света, Е—энергия электрона,
приближенно равная энергии кванта). Этот угол значительно меньше, чем
угол, получающийся из-за кулоновского рассеяния.
2 Я весьма обязан профессору Ландау за указание того, что Ro — 125 м, а
не 250 м, как ошибочно указано в его заметке [14].
3 е для воздуха с учетом эффекта Ферми [19] равно 108 эв [14].
64

Средняя плотность р (Е) заряженных частиц с энергией Е
получается делением на яг2 их числа, равного [12, 13]
Е •
где Ео — энергия первичной частицы, создающей ливень; t — рас-
расстояние, пройденное ливнем (в лавинных единицах длины):
A.2) получено, считая, что в пределах площади пг2 величина рЛ
является постоянной. Это на самом деле неверно. При у Oz <С I
распределение в пределах яг2 меняется от центра к периферии на
величину порядка единицы. Так как частицы с заданной энергией
могут быть и вне яг2, причем их число вне яг2 немногим меньше,
чем внутри его, можно думать, что совершается ошибка не более
нескольких десятков процентов, когда ря получается делением
числа частиц с энергией Е на яг*. Эта ошибка мало зависит от энер-
энергии, и поэтому из р"я получается р с погрешностью того же поряд-
порядка в отношении абсолютной величины, но с точной зависимостью р
от г, получение чего является нашей основной задачей.
Заметим, что распределение частиц заданной энергии по
расстояниям от оси ливня (Вилльямс [15], Ферми [16]) не является
гауссовым, так как частицы одной и той же энергии проходят раз-
различный путь. Во всяком случае, при г]^> У г2 вероятность найти
частицу очень быстро падает с расстоянием, так что без большой
погрешности мы можем считать эту вероятность равной нулю (как
это сделано в A.3)).
Если нас интересует полная плотность заряженных частиц
на расстоянии г от оси ливня, мы должны проинтегрировать р#
по энергиям, причем учесть, что частицы, имеющие достаточно
большие энергии, не могут отклониться на расстояние г от оси.
Максимальная энергия частицы, могущей отклониться на заданное
расстояние от оси ливня, равняется
n R 1 Ео ¦, Ео v ¦, Н
¦#max = e —, 2/min = ln-r; = ln—-75- = Ц — In —- ,
# = 80 М. A.3)
Все здесь и в дальнейшем (кроме очевидных исключений) отно-
относится к воздуху при нормальных условиях.
3 И. Я. Померанчук, т. II 65

Для получения р (г) мы должны проинтегрировать рЕ по энер-
энергиям, выбрав в качестве верхнего предела интегрирования A.3) 1
Ео
™* S2 Jt/?2 #
В первом приближении этот интеграл может быть взят разложе-
разложением в ряд подынтегральной функции по степеням у — т), где
г] = In (Е01г). Очевидно, что главную роль в интеграле играют
энергии порядка A.3), т. е. большие по сравнению с 8. Поэтому
мы можем в качестве нижнего предела интегрирования подставить
величину порядка 8 {утах ~ г]),так как этот предел несуществен.
(При Е <^ е ЕАе^ падает с уменьшением энергии [12].)
Обозначая (d In Aldy)^ = q, получаем
X
Для ливня, начинающегося от электрона [13, стр.284], q = 0,3 —г- \
для ливня, начинающегося от фотона, q = 0,2-у. При выводе
A.4) мы считали, что 2 — s — q должно быть больше нуля, так
как в противном случае (s > 2 — q ж 2, q <^ 1) мы имеем дело
с ливнем, находящимся далеко за максимумом частиц в нем.
В таком ливне доля частиц большой энергии (Е ^> е) очень мала,
и поэтому уплотнение частиц вблизи оси в нем мало. Ясно, что
в явлениях, связанных с уплотнением частиц в ливнях вблизи
оси, главную роль будут играть ливни с s, отличающимся от
2 — q. В дальнейшем это будет подробно показано. Так как (Ае'*)^
есть число частиц 2Л^ в ливне, имеющих энергию, большую, челх
г на данной глубине, то A.4) можно записать так:
При 5 = 1 (максимум ливня) это выражение было получено 3
в [4-7].
Заметим, что N^ отличается небольшим численным фактором
х 1 от полного числа частиц на данной глубине No: N^ = const • NQ1
const ^^ 1 и мало зависит от t и Ео (исключая очень малые t).
1 Все обозначения (ср, т), s и другие) такие же, как в [12] и [13].
3 Ради краткости мы все время говорим о частицах, имея в виду заряженные
частицы.
8 Не считая небольшой поправки, связанной с д.
66

Формула A.5) неприменима при очень малых г, так как раз-
разложение ф -+- In А в ряд по степеням у — ц перестает сходиться.
Если разложить ц> -^- \п А с точностью до членов второго порядка
в У — г\, то при у = утп получаем [12, 13]:
q) (ymin -
В члене второго порядка в A.6) мы не пишем д2 1пА/ду2 ввиду его
малости. Когда член второго порядка в A.6) становится порядка
единицы, разложение, приведшее к A.5), перестает быть приме-
применимым. Отсюда определяется минимальное значение rmin, при
котором еще можно пользоваться A.5):
= e'V^R. A.7)
'min
2
Например, при rs = 1 (максимум ливня) t= -у 26 = 17,3
(глубина, примерно соответствующая Юнгфрауиох [1—3], где
производились некоторые из измерений Оже и его сотрудников)
получаем:
р - W 17,3-1,56 Пр~7*35 ^ % R
80-Ю2
1500
Таким образом, в рассматриваемых условиях можно пользоваться
A.5) вплоть до расстояний от оси ливня, равных примерно 10 см,
если речь идет о плотности частиц в лавинном ливне, образованном
частицей заданной энергии.
Можно получить более точное, чем A.5), выражение для р (г),
которое, правда, не имеет простого аналитического вида типа
A.5). Именно, интеграл A.4), определяющий р (г), приводится
при помощи новой переменной z = у -\- In Rlr к следующему
виду:
R
El С г / R \ 1
67

В полученном выражении главную роль играют z, близкие к ниж-
нему пределу т] (считая, что s It, ц — Jn— ) <^ 2]. Поэтому является
законнымразложение^ = s(t, rj — In —), qi = q[t, r\ — In —
L
Ae» = [ Ae*] _ ^ exp [(sx + qx) (z — т|)].
r
При помощи этого разложения находим р:
El
о =
Из A.8) можно получить A.5), если произвести разложение
(ф + In ^4)я — in (я/г) в ряд по степеням In (i?/r) и пренебречь разни-
разницей между 5 и sx (q и gt). A.8) является значительно более точным
выражением, чем A.5), если sx < 2, так как (в отличие от A.5),
где играет роль разложение в ряд ср + 1П А для интервала изме-
изменения независимой переменной г/, равного In {R/r)) в A.8) мы ис-
использовали разложение в ряд по степеням z — г\ только для ин-
интервала изменениям, равного 1/B — sx — gxI. Этот интервал край-
крайне слабо зависит от г (s — очень медленно меняющаяся функция
своего аргумента) и, кроме того, он порядка единицы, в то время
как In (R/r) может быть равным 7—8. При помощи разложения
типа A.6) можно оценить точность формулы A.8). Она оказывается
равной
J 1
2 *r(si)(si + gi —2)а *
При t = 17,3, $i — l неточность A.8) равна 2%. Эта неточность
мало зависит от г.
Из A.5) следует, что вблизи оси ливня имеет место уплотне-
уплотнение частиц. В максимуме частиц ливня р — 1/г; перед максимумом
р растет с уменьшением г быстрее, чем 1/г. За максимумом р растет
медленнее, чем 1/г при уменьшении г. Такое поведение р понятно,
потому что перед максимумом ливень богаче частицами больших
энергий (Е ^> е), а за максимумом беднее ими. Так как уплотне-
уплотнение частиц вблизи оси обязано частицам большой энергии, ясно,
что ливень за максимумом будет более размытым, чем в максиму-
максимуме, а в максимуме частиц более размытым, чем до максимума.
Зависимость р от Ео дается выражениями (^4^ф)п-ш(й/г) в A.8)
или С4еф)п в A.5). Согласно A.5) р пропорционально числу частиц
1 Такая рашица является следствием того, что в A.5) мы разлагали вблизи
у~\] B?=е), а в A.8) вблизи существенных энергий 8~р~ ( У = Л — ^п~
68

iVrj, имеющих энергию, большую, чем 8. N п отличается только
численным множителем порядка единицы от полного числа частиц
NQ в ливне. При s = 1 (максимум числа частиц в ливне) No равно
[14, 17, 18]
Следовательно, вблизи максимума 1
р = const ' , const—1. A.9)
В заключение отметим, что при очень малых г (например,
меньших, чем A.7)) р будет возрастать медленнее с уменьшением
г, чем по формуле A.5). Этот вывод следует из того обстоятельства,
что при очень больших энергиях распределение частиц по энер-
энергиям убывает быстрее с ростом энергии, чем по закону dE/Es^^+l
Is — const — s (t — у\)\]< который отвечает за применимость A.5).
Зависимость р от г. очевидно, должна приводить к зависимости
числа совпадений между двумя счетчиками от расстояния между
ними (§ 3).
§ 2. Корреляционный эффект и вызванная им
зависимость совпадений от расстояния
Наряду с эффектом плотности, приводящим к зависимости
числа совпадений от расстояния, существует еще другой эффект,
приводящий к такой зависимости (правда, с другой функцией от
расстояния в выражении для числа совпадений). Наличие дру-
другого эффекта, который имел бы место даже при постоянной, не за-
зависящей от г плотности р, обязано своеобразной корреляции, ко-
которая иногда существует между положением двух частиц в ливне.
Именно когда происходит образование двух частиц в ливне
{-г и — электронов при образовании пары, ити электрона и фотона
при тормозном излучении), образующиеся две частицы находятся
в одном и том же месте пространства (отвлекаясь от совершенно
несущественной разницы положений частиц порядка Тъ21те2 =
= 5-КГ9 см). Поэтому, если образование двух частиц произошло
недалеко от счетной системы, пара не успеет разойтись на боль-
большое расстояние A.1). Обе частицы будут распределены на неболь-
небольшой площади, благодаря чему их плотность окажется повышенной.
Вклад совпадения частиц, образованных недалеко от системы,
должен сильно зависеть от расстояния D между счетными систе-
системами, так как при уменьшении этого расстояния считаемые части-
частицы смогут образоваться на все мечыпем расстоянии I от системы.
Минимальные расстояния /Ш[П определяются из условия, чтобы
Пренебрегая величинами порядка q в A.5) и A.8).
69

частицы успели разойтись на расстояние, не меньшее, чем расстоя-
расстояние между счетными системами. Так как число совпадений, обя-
обязанное рассматриваемому корреляционному эффекту, сильно за-
зависит от Zmirb то оно оказыватся очень чувствительным к измене-
изменению D.
Определим зависимость плотности образовавшихся в одном
месте двух частиц от пройденного ими пути. Как известно [15, 1E],
средний квадрат угла рассеяния Q2, обязанный мгогократному
рассеянию, пропорционален пройденному частицей расстоянию /,
если не учитывать потери энергии частицами. (Этот неучет зако-
законен, ибо в корреляционном эффекте главную роль играют частицы,
проходящие малые пути, так что потери энергии таких частиц
малы). 0| для электрона (+) с энергией Е имеет вид [15]:
7? 8лZV Л «о \7 л mc'L\ , Lr 32ZWn ( & \ \ а0
б/ = 17Г-п[1п-—гг\1 = -KTT-r-rrl -Г7г (-г 1п-т- =
X л
е , 190
X — радиационная единица длины; п — число ядер в 1 см3;
а0 = hVme2; 2лЛ — длина волны; а = e'2/hc; Lt — логарифм,
входящий в выражение для потерь энергии электронами из-за
столкновений с атомными электронами (ионизационные потери и
потери на образование б-электронов). Главную роль, как будет
показано ниже, в корреляционном эффекте играют частицы с энер-
энергиями порядка е. Для них необходимо учитывать эффект Ферми
[19] при определении ионизационных потерь. Как было показано
Ландау *, эффект Ферми приводит к замене в Li (Е/тс2)* (т — по-
покоящаяся масса, Z — заряд ядра, с — скорость света) выраже-
выражением
0,2AZ при E^>mc2Y0jAZ~1 B.2)
А — атомный объем. Если Е = 8, то в воздухе при 8 =
А = 22 400, Z = 7,2 условие B.2) уже начинает выполняться:
Е/тс2 = 200> /224.10-7,2 = 15-12 = 180.
Здесь следует отметить, что Lr — логарифм, входящий в эффек-
эффективные сечения для тормозного излучения и для образования
пар,— определен при малых Z с не очень большой точностью ввиду
недостаточно хорошей применимости метода Томаса — Ферми при
малых Z. Для наших целей эта неточность несущественна.
1 Устное сообщение.
70

При помощи B.1) находим поперечное отклонение частицы,
прошедшей путь /, считая при этом угол отклонения частицы ма-
малым1 ([16], стр. 268, формула A.68))
В B.3) используется равенство In (uq/KZ1^) = 2Lr, имеющее место
при hc/X = е. Учитывая сказанное после A.2), плотность частиц,
соответствующая B.3), равна
B 4)
если поперечное расстояние от первоначального направления дви-
движения меньше, чем
у
В противоположном случае pz = 0.
Пусть на расстоянии I от счетной системы образуется пара заря-
заряженных частиц с энергиями Ех и Е2. Расстояние I отсчитываем
по прямой, перпендикулярной к линии, соединяющей обе счетные
системы А и В. Вероятность W того, что частицы зарегистрируют-
зарегистрируются одновременно двумя системами А и В, будет пропорциональна
эффективным площадям аА и бв, если роА <^ 1 и ров <^ 1. Ниже
будет показано, что это условие выполняется. Расстояние от места
образования частиц до А и В можно считать одинаковым, так как
9
B5>
024 * B-5>
Множитель 2 появляется из-за того, что частица 1 может быть за-
зарегистрирована как первым, так и вторым счетчиками (соответ-
(соответственно частица 2 будет регистрироваться вторым или первым
счетчиком). Выражение B.5) нужно проинтегрировать по различ-
различным местам образования частиц в плоскости I = const. Вводя по-
полярные координаты у, ср, мы должны интегрировать по у от 0 до
г/max, равного
E — наибольшая энергия из Е1 и Е2.
В результате интегрирования получается (Ех ^> Е2)
9 32 nX*L\E\EbAsB # L\ р ^ _ з
512 3 e2Z4L4,.84 е\ Ц
1 Угол j/ q2 мал даже при / ж X (он составляет при Е— & 0,3 рад [14]). В
шем случае / <^ X.
71

Число совпадений пс получится из B.7) интегрированием по всем
парам, образующимся в 1 см3 в единицу времени, и интегрирова-
интегрированием по /:
Ez dEo dlf (EtE0) El -i-, l>Uia,
f (E2EQ) — число пар, образующихся в 1 см3 в единицу времени
с энергиями компонент пар, равными Ег и Ео — Е2 (Ео — Е2 = Ег).
Ео — энергия фотона, образующего пару:
<2-8»
Сначала интегрируем по I:
?«
Из B.9) мы видим, что число совпадений, обязанных корреляци-
корреляционному эффекту, очень быстро растет при уменьшении расстояния
между счетчиками (~ 1/Х)'/з). Число совпадений обратно пропор-
пропорционально расстоянию между счетчиками в степени 4/3. Как будет
показано в § 3, зависимость числа совпадений от расстояния, обя-
обязанная зависимости р от г, приводит к значительно более медлен-
медленному возрастанию числа совпадений при уменьшении D. Поэтому
при очень малых D корреляционный эффект может стать более
существенным.
Для определения абсолютного значения пс необходимо вычис-
вычислить интеграл, входящий в B.9). Точное вычисление требует
знания функций распределения фотонов, образующих пары.
Мы здесь ограничимся оценкой порядка величины B.9). Как будет
видно в § 3, для анализа данных относительно ливней Оже доста-
достаточно знать только порядок величины пс.
Обращаясь к интегралу
^}E)%, ?2<?0/2; B.10)
можно доказать, что главную роль в нем играют Е2 и EQ порядка е.
Это следует главным образом из того, что при Ео, Е2 равновесный
лавинный спектр убывает примерно как \1Е\ [20].
В самом деле, / (Е2Е0) определяется при помощи функции рас-
распределения фотонов ф следующим образом:
72

(множитель при ф есть дифференциальное эффективное сечение
для образования пары фотонов с энергией Ео [21], умноженное
на число ядер в 1 см3).
Подставляем B.11) в B.10):
4
г / т? г? \2 9/7 (J7 J7 \ [ /7^1
= 0,44ocZ2 f-^T>
Из только что проведенного интегрирования по 2?2 видно, что
главную роль в интеграле по Е2 играют Е2 порядка Ео. В инте-
интеграле
B.12)
главную роль играют Ео ~ е, так как при Ео ^> е ф ~ l/El Г20],
а при Ео <^ е ф стремится к постоянному значению [12, стр. 220].
(Основная масса частиц, имеющих энергию ~ е, принадлежит, как
известно, к равновесному спектру. Таким образом, пс обязано
равновесному х спектру.)
Оставляя точное вычисление B.12) для отдельного сообщения,
мы здесь используем приближенное равенство
^ehNp B.13)
(Nv — общее число фотонов, падающих на 1 см2 в единицу време-
времени перпендикулярно линии, соединяющей оба счетчика).
При помощи B.13) получаем окончательное выражение для пс:
= 0,11я :**f. (^f-l^-0-"'^. B.14)
В воздухе при нормальных условиях Хх = 90 м.
Nv в B.14) означает число фотонов, движущихся перпендику-
перпендикулярно линии, соединяющей два счетчика. По отношению к фото-
фотонам, движущимся под углом 9 к перпендикуляру, расстояние D
заменяется на D cos 6. Считая линию, соединяющую оба счетчика,
Что касается мезона.
73

горизонтальной, мы можем легко проинтегрировать B.14) по всем
направлениям движения фотонов 1:
2 ,
o0f cos2 8 sin 8^8 гюгс о
nc = 2nnc \ Tl = —^ 3.
c J (cos 8L/з о
Выражаем здесь Nр через интегральное число фотонов:
cos2 6 sin 6 dQ = ~ Nrj.
о
Окончательное выражение для п°с'-
О °'2зАа.
При выводе B.14) мы считали, что /Эф ^> 0. Отношение
согласно B.8) при энергиях порядка е'равно2
-?)>'• BД6)
Докажем далее справедливость нашего предположения
Среднее значение рв оказывается равным *
если эффективная площадь счетной системы значительно меньше^
чем D2. Заметим, что если на систему падает ливень, состоящий
из v фотонов, тора нужно умножить на v. Но в равновесном спек-
спектре удельный вес ливней с большим v очень мал, так что среднее
значение v порядка единицы.
В заключение этого параграфа укажем, что полученные в нем
результаты непосредственно применимы к равновесному с мезо-
мезонами фотонному спектру, хотя при переходе к неравновесному
спектру результаты, отличные от полученных, могут ожидаться
только для ливней с очень малым 5, в которых удельный вес фото-
фотонов больших энергий велик. При s ~ 1 наши формулы могут
применяться.
Кроме рассмотренного здесь корреляционного эффекта суще-
1 Равновесный с мезонами фотонный спектр под углом 0 к вертикали пропор-
пропорционален cosn0, /2^2. Фотоны с /гсо ^ е в подавляющем большинстве
принадлежат к равновесному спектру.
2 Они играют главную роль в B.12).
74

ствует корреляция, вызванная одновременной регистрацией мезо-
мезона и созданного им недалеко от счетной системы б-электрона.
Простой подсчет показывает, что в воздухе такого типа корреля-
корреляция мала по сравнению с рассмотренной.
§ 3. Число совпадений, обязанных ливням Оже.
[Сравнение теории с экспериментом
С помощью полученных в § 1 и 2 результатов можно найти
выражение для числа совпадений произвольного числа счетных
систем как функцию от взаимных расстояний, высоты над уров-
уровнем моря и эффективных площадей. В дальнейшем мы ограничимся
случаем совпадений двух счетчиков. Совпадения в этом случае
могут зависеть от расстояния как за счет зависимости р от г (§ 1),
так и за счет корреляционного эффекта 1. В § 2 было получено
выражение для двукратных совпадений пс, обязанных корреля-
корреляционному эффекту. Мы получим теперь число совпадений nd, опре-
определяющееся зависимостью р(г). Вероятность регистрации ливней
счетчиком, имеющим площадь а, пропорциональна 1 — ^-р(»*)/-.
Поэтому число совпадений щ равно
nd= Jll — ехр(— ргв(г)си)] [1 — ехр(—ря.(г+D'KB)] X
Xf(Eo)dEordrd(f. C.1)
Векторы г и D' — двумерные. Они расположены в плоскости,
перпендикулярной к оси ливня. Вектор D' по абсолютной величине
равен D cos 8, где 6 — угол между осью ливня и прямой, пер-
перпендикулярной к линии, соединяющей оба счетчика; / (E0)dE0 —
число ливней на 1 см'1 в единицу времени и создающихся частицей
с энергией Ео.
Угловая зависимость ливней Оже неизвестна. Но из сильного
падения числа таких ливней с ростом глубины от Юнгфрауиох
и до поверхности моря следует резкое падение числа ливней Оже
при увеличении их угла с вертикалью @). Поэтому в дальнейшем
мы будем полагать 6 = 0.
В отличие от пс предположение р о <^ 1 не всегда выполняется.
Однако мы его введем здесь по следующим основаниям. Как будет
показано ниже, экспериментальная зависимость числа совпадений
от расстояния дает более сильное возрастание числа совпадений
при сближении счетчиков, чем это получается из теории, даже
если предположить, что ро <^ 1. Очевидно, что при per >, 1 теоре-
теоретическая зависимость п (D) (п = nd + ^c) может только еще боль-
больше расходиться с экспериментом.
1 Корреляционный эффект (§ 2), очевидно, ничего не может дать для трех
и более кратных совпадений. В этих случаях нужно рассматривать корре-
корреляцию между двукратными совпадениями и третьим счетчиком.
75

S:
При помощи A.8) получаем:
rdr с/фз^З^
Y>r> iv j.nv>^(TlA» t)A(i\B, t)exp [фAЦ, 0 4- ф(Лв, 0 — vrjj X
f» с/)] с/фадЗБЛ (r]A, /)
X /0«Л = \^ я-г(г-2 + /_Я +2r7Jcos(p) ^ (Цв' ^ 6XP [ p ^]A} ^ +
T|A = n-lnAf % = r]_jn_A_.
Здесь использовано обычно делаемое предположение о характере
спектра первичных электронов (+ и —) и квантов [231 (в nd глав-
главную роль играют такие большие энергии, при которых роль рав-
равновесного с мезонами лавинного спектра мала)
fdE0 = /0 fc v+1° = foe~VTidt], v ^ 2. C.3)
о
Пределы интегрирования по г будут установлены ниже (см. C.5))#
После работы Шайна, Джессе и Воллана [22] спектр / {E^dE^
при больших энергиях должен рассматриваться не как спектр
частиц, падающих из мирового пространства, а как спектр частиц,,
создающихся в верхних слоях атмосферы под действием, по всей
вероятности, протонов. Для нашего анализа эта разница не играет
роли. Существенно только предположение (обычно всеми делае-
делаемое), что спектр f(E0)dE0 имеется уже в готовом виде в верхних
слоях атмосферы. Если это не так и мягкие частицы, образующие
этот спектр, создаются вдоль всей атмосферы,* результаты нашего
анализа могут быть изменены.
В интеграле C.2) главную роль играют большие энергии (при
v порядка 2). Количество мягких частиц таких больших энергии
определяется неравновесной мягкой компонентой, т. е. мягкой
компонентой, не являющейся вторичным эффектом мезонов1,
а продуктом первичного спектра мягких частиц /oe~vindT]. Именно
поэтому при переходе от C.1) к C.2) мы использовали C.3)»
Интеграл по л берем обычным образом [12, 13]
X Yn\*(Sl)t. C.4)
В показателе и в А мы можем пренебречь разностью между г
и | г -j- D |. Подробнее об этом будет сказано ниже (после C.8)).
Л1 определяется из равенства
+*0h)-4-v = O. C.5)
dr\
1 Равновесная мягкая компонента играет главную роль при малых энергиях,
для нас не представляющих интереса (см. по этому вопросу, например, [17]).
76

С хорошей точностью это равенство можно заменить на сле-
следующее х:
s [ Цдф 1П ~~~ » * ) = ~о~ (о.О )
(d In Ald\\ <^ 1). Решение этого (как и C.5)) уравнения дает для
т]Эф соотношение
т]Эф = const + In — = тH + In -7-, C.6)
const = г]0 зависит от v и i.
Согласно C.6) эффективные энергии зависят от г, т. е. от рас-
расстояния до оси ливня. При различных расстояниях от оси ливня
совпадения вызываются, вообще говоря, различными энергиями.
Зависимость Е^$ от г не является слабой. Максимальное значе-
значение In Rlr в экспериментах Оже с сотрудниками [1] было
In^y = ]п 1200 = 7,1
C/2 появляется из-за изменения атмосферного давления на Юнг-
фрауиох),
Энергии, играющие главную роль, меняются в тысячу раз при
изменении расстояния между счетчиками от нескольких сотен
метров до нескольких десятков сантиметров.
Установим теперь пределы интегрирования по г:
С
ехр [2Ф (ц[) - щ[] А* (ц[) х
В качестве верхнего предела интегрирования здесь нужно выбрать
величину порядка радиуса ливня, т. е. того расстояния от оси,
которое имеет большинство частиц в ливне. Вместо радиуса ливня
можно подставить средний квадратичный радиус ливня /?0, рав-
равный, согласно Ландау [14], 125 м при нормальном давлении и
190 м на уровне Юнгфрауиох. Учитывая, что при гауссовом рас-
пределении частиц разница между/И f г составляет-1 j=l =
У я
= 20%, можно думать, что и в нашем случае не гауссова
распределения частиц заданной энергии погрешность, вносимая
заменой Р на \ г2,— не более 20%. Разница между г и V г2
тем больше, чем размытее распределение. Из-за уплотнения
частиц вблизи оси подынтегральное выражение в C.7) показыва-
1 d In A (s) dh\A I ds\ d In A 1
dr" ~ ds \dr))t- ds tV(s) [121'
77

ет сильный рост при малых г (р2 ~ l/r4~2S). Поэтому степень раз-
размытости нашего распределения меньше, чем у гауссова распреде-
распределения. Это дает основание думать, что погрешность соотношения
''max = ^о не более 20%.
Нижний предел для г, очевидно, равен 0 в том случае, если
всюду р а < 1. В противоположном случае минимальное значение
для г получается из условия р(гтша) = 1. Область меньших г
не играет роли, так как A — ?~р(г)оа) (j — e~^r)QB^ ПрИ таких г
практически постоянно, а элемент площади rdrdy быстро падает
с уменьшением г.
Таким образом
nd = -^ /о ехр [2Ф (ть) - vt|1] А2
X
Интегрирование по г дает различный результат в зависимости от
того, что больше, v или 2. Если v < 2, главную роль в C.8)
играют малые г:
B _ V) (D2'v) ^v f
C.9)
= const = -jL- /Щ^)! ехр [2ф (rji) ~ v
а и b — численные коэффициенты порядка единицы.
При v <C 2 nd обратно пропорционально расстоянию между
счетчиками в степени 2 — v. Когда D <^ rmiI [p(rmin)(T = 1],
число совпадений не зависит от D и остается равным числу сов-
совпадений при D = rmin.
Если v ]> 2, главную роль в C.8) играют большие расстояния
от оси ливня:
nd = ^нГ-2) ехР 12(Р (Л1) - VT1J ^2 (гк) («Г2 - Ях^1) X
YW />>rrain(v); C.10)
r,d = const = .f-?*U os (ЛГ - bSutn) YJ^JsJt, D <rmln (v),
^ Я п (V — 2,)
ал и bj — численные коэффициенты порядка единицы.
Число совпадений слабо зависит в этом случае от расстояния
между счетчиками. Например, если v = б/а, s = 5/4, то, беря
? = 17>3 (высота Юнгфрауиох), находим [12, 14] А<Ъ
78

t/щ = 1,5; -ni = 17,3/1,5 = 11,5; <p (ц'и t) = 0,95-11,5 = 10,9;
A = 1/15;
_ 1 elo>» _ 4-10»
рэф~~ яг2 15 ~" яг* '
Площадь счетчиков в опытах Оже была равна 100 см2. гт[П в этих
4«105
условиях равно g— = 1; rmin = 360 еж. Таким образом, при из-
изменении расстояния между счетчиками от 10 см до 2—3 м число
совпадений, вызванных ливнями Оже, вообще не должно меняться
больше, чем на несколько процентов, в то время как при измене-
изменении D от 3 до 60 м nd должно уменьшиться всего в 2 раза. При
уменьшении D от 2—3 м до 10 см число совпадений не должно
зависеть от D. Такое поведение nd резко отличается от получен-
полученного Оже с сотрудниками на Юнгфрауиох [1] и на Пик дю Миди [21.
Особый случай получается при v = 2. В интеграле C.8) играют
роль как малые, так и большие расстояния:
V^W, (З.И)
—2ii;i АЦц[) |/"^W
а1 и Ь1 — постоянные порядка единицы.
Главную роль играют здесь %, соответствующие 5 = 1, т. е.
такие энергии, которым на данной глубине соответствует макси-
максимум частиц. Для них [12] ср (rji, t) = t% o^-^ ^=г е [13],
^ г2 У Ы
t = 17,3,
1,8 107 па Ю5 /800\2
nd не должно, таким образом, зависеть от D при возрастании D
от 10 еж до 50—80 м и показывает логарифмическое падение при
росте D сверх 80 м. Отношение nd F0)/nd C) получается прибли-
приближенно равным единице.
Экспериментальное значение [1] на Юнгфрауиох для этого
отношения равно 4,5.
Из рассмотрения формул C.6), C.7) и C.8) видно, что расстоя-
расстояния г от оси, играющие наиболее существенную роль, либо велики
по сравнению с D (см. C.7), C.8)), либо порядка D (см. C.6)).
Поэтому | г + D | иг всегда имеют одинаковый порядок величи-
величины. Этим оправдывается замена А (т]2)ефAа2) на А (ц^е^) ? так как
I Лг — Thl^lj разность между s (ц2) и $0^) порядка [12, 131
I/A," (s^t ^ 0,04 на Юнгфрауиох.
Кроме зависимости nd от D, C.9), C.10) и C.11) дают нам еще
зависимость nd от t, т. е. от глубины места наблюдения в атмосфе-
атмосфере. Эта зависимость заключена в факторе [s' (ц', t) = l/2v]
ехр[2ф(ль t) — \r\[]. C.12)
79

Когда 5< 1 (v<2), число совпадений, обязанных ливням Оже,
должно расти по мере увеличения глубины [12, 131:
C.13)
Если v < 2, —% (v/2) ]> 0, что и доказывает наше утверждение.
При v ^> 2— X (v/2) < 0, и число ливней Оже с увеличением глу-
глубины падает; v — 2 дает число ливней Оже, не зависящее от глу-
глубины.
Если считать, что ра больше единицы, число ливней Оже будет
падать при увеличении глубины при всяком v. Такой результат
является следствием того, что в C.1) т]Эф определяется в этом слу-
случае из условия ра = 1. Это означает, что Аё* = const (не зависит
от t), и вся зависимость от t переносится на е~^. С ростом t г],
дающее заданную величину Ае^, растет, а следовательно, nd па-
падает. Очевидно при этом, что зависимость nd от D будет
иметь более слабый характер, чем полученный из условия
ра<1.
Перед тем как произвести сравнение формул C.9) — C.11)
с опытом, необходимо установить соотношение между совпаде-
совпадениями пс B.15) и nd. Для того чтобы это сделать, необходимо за-
зафиксировать значение /0 в C.9) — C.11) и, кроме того, проверить
правильность выбора i?0, сделанного нами. Из измерений числа
двукратных совпадений п (D) можно получить значение гг2^; /?0,
пользуясь формулами
2л оо
f d4>D {n(D)D3dD
2 Г dyD Г п (D) DdD
о о
где DdDdyD — элемент площади.
Выражение C.14) справедливо при рз<^1. Но это условие,
по-видимому, выполнено в опытах Оже на Юнгфрауиох, так как
п (D) в этих опытах сильно меняется при изменении D, что не
могло бы иметь места при ра ^> 1. Доказательство C.14):
/0 = J dyD j n(D)DdD ~ j dyD J dcpr j DdD j rdrp(r)p(r + D) =
0 0 0 0 0 0
оо 2тс «j
= j j j pr dr c%
о о
80

2п 2тс эо
/2 ==¦ J dVD J йфг J DdD J rdr (r2 + ZJ + 2rZ> cos q>) p (r) p (r + D)
0 0 0 0
2т: oo 2тс oo oo 2r,
ж 2 J dq>r j r3 drp (r) j dq>D j DdDp (D) = 27*1 j j rdr d<pp (r)|2,
0 0 0 0 0
J
0 0 0 0 0 0
Если обратиться к экспериментальной кривой для тг (D),
полученной Оже с сотрудниками на Юнгфрауиох [3], то интегралы
J n(D)D3dDm \n (D)DdD не сходятся, что видно из следующей
о
таблицы:
D, м*
n(D)D2
n(D)Di
¦ Здесь
0,1
0,1
выделены
1
• Ю3
•103
большие
з,
з,
D
10
5-103
5-104
50
37-103
107
как играющие главную
75
56-103
3-108
роль.
140
74-Ю3
15-108
270
115-Ю3
85-108
Заметим, что если экстраполировать кривую Оже до D ^> 300 м
на основании наклона кривой в интервале от 100 до 300 м, то ин-
интегралы /0 и 12 расходятся. Поэтому n(D) должна при D > 300 м
убывать быстрее, чем в интервале 100—300 м.
Очевидно, что в интегралах /0 и 12 главную роль играют рас-
расстояния, большие, чем 300 м. Поэтому из рассматриваемых опытов
невозможно определить экспериментальный радиус ливня. Можно
лишь утверждать, что он должен быть больше, чем300/|/ = 214 м.
Такой вывод основан на том, что если в интеграле /0 — \ п (D) D dD
главную роль играют D > 300 ж, то в интеграле /2 — \ п (D) Z>3 dD
будут играть главную роль заведомо большие расстояния. Срав-
Сравнивая полученную цифру с теоретическим значением Ro — 190 м,
мы видим, что цифра, данная Ландау, лучше сходится с экспери-
экспериментальной. Представляется крайне желательным определение
числа совпадений при расстояниях между счетчиками, значитель-
значительно больших, чем 300 м,— максимальные расстояния в опытах Оже
с сотрудниками. Опыты с совпадениями счетчиков, раздвинутых
на расстояния вплоть до 1 км, должны дать возможность точного
экспериментального определения радиуса ливня.
Из согласия между лавинно-теоретическим радиусом i?0 и экспе-
экспериментом следует, что периферия ливня состоит преимущественно
из электронов (+ и —) и фотонов, поведение которых удовлетво-
удовлетворительно описывается лавинной теорией. Поэтому мы можем,
сравнивая число совпадений на больших расстояниях с формула-
формулами C.8) — C.11), получить значение для /0. Мы этого, однако,
делать не будем ввиду обнаруженных ниже расхождений между
81

теорией и экспериментом. Число совпадений п® может играть роль
на Юнгфрауиох только при D порядка нескольких сантиметров.
В самом деле, п°с при аА — ав = 102 см равно (№р ^ Нем1 в ми-
минуту, полагая N% порядка числа электронов (+ и —) на этой же
высоте)
n°c = l0fD4/\ C.15)
Экспериментальное число совпадений при 10 см < D < 60 м
передается формулой
УЩ C.16)
Из сравнения C.13) и C.12) следует, что при D > 3 см тьA не
играет роли. На поверхности моря п® = 1//)'/% а эксперимен-
экспериментальное число совпадений при D~4m равно 0,5 ]/10/400.
Если при D <^ 4 м падение экспериментального числа совпаде-
совпадений, обязанных ливням Оже, по отношению к Юнгфрауиох про-
происходит также в 10 раз, то п°с играет роль при D < 10 см.
На Юнгфрауиох наблюдаемое Оже с сотрудниками число сов-
совпадений не связано с п°с- Корреляционный эффект играет роль
только при очень малых D и на больших глубинах или при из-
измерении в легких конденсационных веществах (например, в воде).
Зависимость п от D, полученная Оже в интервале от 10 см
до 50—100 м, может быть хорошо аппроксимирована законом
п Yl) = const, как видно из следующего вывода:
D, м
n
nVD
0,1
300
90
0,3
150
80
1
100
100
4
50
100
10
35
110
20
25
110
50
15
105
75
10
85
Таким образом, п (D) сильно зависит от D. Такого типа зави-
зависимость требует применения формул типа C.6). Но уже при 5 = 1
с логарифмической (не удовлетворяющей опыту) зависимостью
п (D) величина гШ[П равна 80 м. Если v = 3/2 (чтобы при D ^> rmin
получить п<—1/YD, как того требует эксперимент),
17,3-0,95 .
s = sU, Ае* = е °'бб JL = 3,5-Ю9,
rmin = Ю-б-Ю4 = 6-103 м.
Таким образом, из-за эффекта большой абсолютной величины для
зависимости п<—!/]//> не остается области применения, и п не
должно практически зависеть от D при 10 см < D < 100—200 м1,
если v = 3/2.
1 К этому следует добавить [24], что получающиеся при v = s/4 эффективные
энергии настолько велики, что если бы электроны (-f- и —) с такими энергия-
энергиями поступали из мирового пространства, они из-за излучения в земном маг-
82

Мы видим, 4to полученная Оже с сотрудниками зависимость
п~>1/УЪ A0 см<, D <. 50—100 м) не может быть получена из
теории, так как если считать рог <^ 1, то при v = 3/2 такая зави-
зависимость, правда, получается, но зависимость п от t имеет непра-
неправильный знак. На самом же деле ра при v = 3/4 велико и поэтому
п очень слабо должно зависеть от D. Для получения правильной
зависимости от t необходимо при рз <^ 1 выбрать v из условия:
4")-?- = 2,3, %(-%-) =0,27.
(Число ливней Оже падает от Юнгфрауиох до поверхности моря
в 10 раз. Расстояние между счетчиками 4 м [2].) Отсюда v/2 = 1,33,
а показатель степени в первичном спектре равен 2,66. (Дфф
циальный спектр /0 —^— . Обычно считается v< 2.) Но при
Ео'
таком выборе v зависимость п от D слишком слаба и не удовлетво-
удовлетворяет эксперименту.
Если бы оказалось, что совпадения при D < 30 -ч- 40 м обя-
обязаны не ливням Оже, а каким-либо другим явлениям или другой
компоненте, возможно, имеющейся в ливнях Оже и сконцентри-
сконцентрированной вблизи оси ливня, открылась бы возможность интер-
интерпретации всей кривой, ибо самое трудное — объяснение резкого
роста п (D) при уменьшении/) от 10—20 м до 10 см. Гипотетическая
вторая компонента, находящаяся вблизи оси, должна состоять из
мало рассеивающихся частиц большой энергии. Для нее зависи-
зависимость р (г) должна иметь более крутой характер, чем лавинно-
теоретическая A.5) и A.8). Проникающие частицы в лив-
ливнях Оже были действительно обнаружены экспериментально
[2, 3].
Мы здесь принимали толщину атмосферы равной 26. Если
бы оказалось, что действительная толщина меньше (скажем, не
26, а 22 или 20), произведение ра над Юнгфрауиох было бы
значительно меньше, и открывались бы добавочные возможности
для объяснения экспериментальных данных. Вычисления Lr из
экспериментальных данных о рассеянии рентгеновских лучей
производятся и будут вскоре опубликованы.
Итак, для одновременного объяснения высотной и совпада-
тельной характеристик имеются две возможности:
1. Совпадения при D < 10 ч™ 20 м обусловлены паразитными,
не имеющими отношения к ливням Оже, эффектами. Теория лив-
ливней Оже должна объяснять зависимость п (D), полученную только
при D ^> 10 ~- 20 м. Комбинируя это обстоятельство с уменьше-
уменьшением р из-за утоньшения атмосферы (t Юнгфрауиох < 17,3),
нитном поле приходили бы к поверхности Земли с значительно меньшими,
чем их начальная энергия Ео, энергиями, равными E0Eg (Ео + Eg), где
Eg = 4 • 1017 эв на экваторе при вертикальном падении.
83

по-видимому, будет возможно дать полное объяснение всех экспе-
экспериментальных данных.
2. Совпадения при D < 10 •-- 20 м вызваны второй прони-
проникающей компонентой, сконцентрированной вблизи оси. Для нее
р сильно зависит от г. Вероятнее всего, что такими проникающими
частицами являются мезотроны. Совокупность действия мезотрон-
ной компоненты и уменьшения толщины атмосферы также, по-
видимому, дает возможность объяснения всей совокупности экспе-
экспериментальных данных. Из-за полученных нами расхождений
между теорией и экспериментом мы здесь не делаем из опытов
никаких определенных заключений о характере первичного
спектра (о показателе v C.3) и о величине /0).
Эта работа возникла в результате многочисленных дискуссий
с профессором А. И. Алиханяном относительно больших лавинных
ливней. Считаю своим приятным долгом принести здесь искреннюю
благодарность профессору А. И. Алиханяну, а также Б. С. Дже-
лепову за подробную информацию относительно эксперименталь-
экспериментального материала. Мне доставляет также удовольствие поблагода-
поблагодарить здесь профессора Л. Д. Ландау за интересные дискуссии и
важные указания относительно теоретической стороны вопроса
и постоянный интерес к работе.
Физический институт им. П. Н. Лебедева Получено-
Академии наук СССР 14 января 1944 г.
ЛИТЕРАТУРА
1. P. Auger, Т. Criber-Mayer. С. г., 1938, 207, 228.
2. P. Auger, R. Maze, P. Ehrenfesta, A. Freon. J. Phys. et le Rad., 1939,
10, 39.
3. P. Auger, P. Ehrenfest, R. Maze, /. Daudin, Robley, A. Freon. Rev. MocL
Phys., 1939, 11, 228.
4. H. Eulera, N. Wergeland. Naturwiss., 1939, 27, 484.
5. H. Euler, N. Wergeland. Astrophys. Norw., 1940, 3, 165.
6. H. Bethe. Phys. Rev., 1941, 59, 648 (A).
7. L. Norhheim. Phys. Rev., 1941, 59, 929 (A).
8. N. Hilberry. Phys. Rev., 1941, 59, 763.
9. N. Hilberry. Phys. Rev. 1941, 60, 1.
10. H. Bhabha, W. Heitler. Proc. Roy. Soc, 1937, A, 159, 432.
11. /. Carlson, J. Oppenheimer. Phys. Rev., 1937, 51, 220.
12. L. Landau, G. Rumer. Proc. Roy. Soc, 1938, A, 166, 213.
13. B. Rossi, C. Greisen. Rev. Mod. Phys., 1941, 13, 240.
14. L. Landau. J. Phys. USSR, 1940, 3, 237.
15. E, Williams. Proc. Roy. Soc, A, 1939, 169, 531.
16. E. Fermi. In: B. Rossi. Rev. Mod. Phys., 1941, 13, 265.
17. W. Heisenberg. In: Euler. Zs. f.Phys.. 1940, 116, 103.
18. H. Bethe. Phys. Rev., 1940, 57, 1062 (A).
19. E. Fermi. Phys. Rev., 1940, 57, 485.
20. /. Tamm, S. Belenky. J. Phys. USSR, 1939, 1, 177.
21. H. Bethe, W. Heitler. Proc. Roy. Soc, 1934, A, 146, 83.
22. M. Schein, W. Jesse, E. Wollan. Phys. Rev., 1941, 59, 615.
23. P. Blackett. Proc Phys. Soc, 1941, 53, 203.
24. /. Pomeranchuk. J. Phys. USRR, 1940, 2, 65 (Собр. трудов, № 41).

47
О МАКСИМАЛЬНОЙ ЭНЕРГИИ,
ДОСТИЖИМОЙ В БЕТАТРОНЕ*
Совместно с Д. Д. Иваненко
Недавно Керстом [1] был сконструирован новый прибор —
бетатрон, с помощью которого уже удалось получить пучок элек-
электронов, имеющих энергию 20 Мэв. Принцип действия бетатрона
заключается в ускорении электронов вихревым электрическим
полем, возникающим при изменении во времени магнитного поля,
закручивающего электрон. В отличие от циклотрона, пригодность
которого ограничена нерелятивистской областью, в бетатроне нет
пределов для достижимых энергий из-за зависимости массы от
скорости частиц.
Однако следует указать на наличие другого обстоятельства,
приводящего к появлению предела энергий, которые могут быть
достигнуты в бетатроне. Такой причиной является тормозное из-
излучение электронов в закручивающем их магнитном поле. Дейст-
Действительно, в магнитном поле электрон двигается ускоренно и,
в соответствии с классической электродинамикой, излучает энер-
энергию. Легко видеть, что квантовые эффекты ввиду больших раз-
размеров орбиты не играют роли. Как указано в работе [2], электрон,
движущийся в магнитном поле с напряженностью Н, излучает
на единицу пути энергию, равную
dE _ 2 / е°- \2 / Е \2 / vH \з
dx 3 \ тс1 I \ тс2 j \ с I х '
(е — заряд, т — масса электрона, v — скорость, Е — энергия.
При выводе A) предполагается, что Е^> тс2). В бетатроне Керста
на большой части пути v ^ с и перпендикулярно Я, поэтому
dE 2 2 / EH \* ( ё1 \ /оч
Т~ = ^Г го т \Tq— ). B)
CLX о » YYtC'' I \ f)ZC~ I
Предельная энергия Ео определится из условия, что B) будет
равно энергии, приобретенной электроном в вихревом электриче-
электрическом поле на единицу пути [3]:
3 ° \ тс'1 ) 2пНос ° '
Докл. АН СССР, 1944, 44, 343 (Представлено академиком В. А. Фоком
27 марта 1944 г.).
85

(Ro — радиус равновесной орбиты, Ф — поток индукции,
Н = dH/dt). Отсюда
3 е
2 с
При используемых до сих пор значениях Н, Н и Е мы полу-
получаем Ео ж 5-Ю8 эв. Это значение всего в несколько раз больше,
чем энергии, которые предполагается получить в строящемся
бетатроне на 108 эв.
Согласно D) Ео обратно пропорционально применяемому маг-
магнитному полю и прямо пропорционально корню квадратному
из энергии, приобретаемой в вихревом электрическом поле на
единицу пути. Поэтому для увеличения Ео необходимо перейти
к меньшим Н или большим частотам.
Излучение в магнитном поле должно также оказать влияние
на фокусировку пучка, так как с ростом Н энергия электронов
в данном случае будет расти медленнее, чем при отсутствии лучи-
лучистого торможения. Этот вопрос, однако, заслуживает отдельного
рассмотрения.
Институт физики Получено
Московского государственного университета. 20 января 1944 г.
Физико-технический институт
Академии наук СССР. Ленинград
ЛИТЕРАТУРА
1. D. W. Kerst. Phys. Rev., 1942, 61, 93.
2. /. Pomeranchuk. J. Phys. USSR, 1940, 2, 65 (Собр. трудов, № 41).
3. D. W. Kerst, R. Serber. Phys. Rev., 1941, 80, 53.

48
ИЗЛУЧЕНИЕ БЫСТРЫХ ЭЛЕКТРОНОВ
В МАГНИТНОМ ПОЛЕ*
Совместно с Л. Арцимовичем
Изучается спектральное и угловое распределение излучения быстрых
электронов в магнитном поле. Показано, что практически вся энергия излу-
излучения сосредоточена в плоскости орбиты. Частотный спектр состоит из ряда
разноотстоящих линий. Центр тяжести спектра лежит в области волн, длина
которых равна радиусу орбиты, деленному на (W/moc2K, где W — энергия
электрона. Для невзаимодействующих электронов отмечено отсутствие ин-
интерференции интенсивностеи излучения и выведен признак «малости» взаимо-
взаимодействия электронов. Рассматривается влияние лучистого торможения на
орбиту электрона и выводится формула для величины сжатия орбиты под
влиянием этой силы.
На основании теоретических расчетов обсуждается вопрос о максималь-
максимальной энергии, получаемой в бетатроне.
Как было указано [1, 2], при движении релятивистских элек-
электронов в магнитном поле возникает заметное излучение электро-
электромагнитных волн, вызываемое ускорением, испытываемым электро-
электроном в магнитном поле. На единицу пути
теряется энергия, равная
3
4
3
A)
где W — энергия электрона (включая его
покоящуюся энергию), т0 — покоящаяся
масса, с — скорость света, г0 = е2/т0с2,
v — скорость электрона, Р = v/c, e — за-
заряд электрона, Н—напряженность магнит-
магнитного поля (рис. 1). Из A) явствует, что излучение в данном поле Н
пропорционально W2, т. е. особенно велико в релятивистской обла-
области. В [1] показано, что этот эффект приводит к установлению верх-
верхнего предела для энергий заряженных космических частиц,поступа-
ющих на Землю. В [2] установлено, что излучение в магнитном поле
приводит к практически важному ограничению возможностей полу-
получения очень больших энергий в электронном ускорителе Кер-
ста [3]. В настоящем сообщении рассматриваются некоторые
свойства излучения, возникающего в электронном ускорителе.
* ЖЭТФ, 1946, 16, 379; J. Phys. USSR, 1945, 9, 267.
87

§ 1. Угловое распределение излучения
Вектор Пойнтинга S быстро движущегося заряда имеет вид [4]
о __ е2 [г [г + ftr, у]р = еУ A — ft2) cos2 6 + C + sin 6 cos фJ ((?
4яс3 (r + pr)G 4лг2с* A+ р sinG cos фN ' ^
cos 0 = cos (r, H), sin 8 cos cp = cos (r, v), C)
тде г — расстояние от точки наблюдения до заряда.
Все величины в B) необходимо брать в запаздывающий момент
времени, t' = t — rlc. Формула B) дает излучение в единицу
обычного времени ?, но выраженное через запаздывающее время t'.
Связь между обоими временами имеет вид [4]
JUL = _J_ = L (А\
dt r + pr I+p sine cos ф " v '
Нас интересует случай, когда 1 — C <^ 1. Это условие даст
возможность упростить дальнейшие вычисления.
В B) входит как угол 9 между направлением наблюдения и маг-
магнитным полем Н, так и угол ср, связанный с направлением скорости
электрона v. В приборах типа бетатрона Керста электроны дви-
двигаются по круговой орбите, заполняя ее равномерно. Поэтому
необходимо проинтегрировать B) по всем значениям ср, от 0 до
2я. При этом главную роль будут играть ср, близкие к я. Таким
образом релятивистский электрон излучает в заданном направле-
направлении не все время равномерно (как это, например, практически
имеет место в нерелятивистской области), а основная масса излу-
излучения проявляется в момент, когда скорость электрона имеет тот
же азимут, что и направление наблюдения. Это обстоятельство
играет большую роль при определении частотного спектра излу-
излучения (см. § 2).
Положим
ср = я + х* % = соо?'.
Тогда
cos ф = — 1 + -^-,
1 -ь 3 sin 9 cos ср = 1 — р sin 9 + Щ- sin 9.
Интеграл по х можно распространить до + ос, так как подын-
подынтегральная функция быстро падает при больших х. Мы получаем
следующее выражение для среднего значения S:
о <0о С ,, ,, (Оо Г с dt dl' ,
S ) 6dt \ bdV =
,., -°° A_ 32)cos29+ 3 — sin 9 +sine-9-) \dx
==_!ZrT \ I . v z y J—.. E)
88

Окончательно
Г__3 5A—Р) 1
[ 2 A —р sin 9)8/2 8A—3 sin ОO'2 J
Согласно полученному результату максимум излучения про-
происходит вблизи 9 = я/2, т. е. сосредоточен в плоскости орбиты.
Область е углов 9 — я/2, в пределах которой заключено практи-
практически все излучение, получается из Eа) равной
При энергиях, превышающих покоящуюся энергию в 100 или
больше раз (W ^> 50 Мэв), практически все излучение сосредото-
сосредоточено в интервалах углов порядка нескольких десятых градуса
по отношению к плоскости орбиты.
Интегрируя Eа) по всем углам 9, получаем снова A).
§ 2. Частотный спектр излучения
Как уже отмечалось, электрон в релятивистской области излу-
излучает в заданном направлении неравномерно во времени. Поле
такого электрона существенно зависит от угла между скоростью
электрона и направлением наблюдения. Благодаря этому обстоя-
обстоятельству в разложении полей на гармонические составляющие по-
появляются в большом количестве высшие гармоники основной
частоты, равной частоте соо = eHclW обращения электрона по
орбите. (Ввиду периодического характера движения спектр со-
состоит из дискретных линий — обертонов основного тона.)
Определяющий частотное разложение фактор заключен в мно-
множителе 1/A + C sin 9 cos фK, входящем в напряжение полей реля-
релятивистского электрона.
Если разложить в ряд Фурье напряжение электрического поляг
то амплитуда Фурье к-и гармоники основной частоты соо пропор-
пропорциональна интегралу:
2л/соо
iv иг A + р sin e cos ф)з е% °- (')¦
о
Угол ф есть линейная функция времени f: ф = я + со0?'. Главную
роль играют значения ф вблизи я. Поэтому
к ) A + Р sin e cos ф)-
Gа)
89

Согласно Gа) главную роль играют значения V ^ |/ 1 — [3 sin 9/coq.
В этих условиях можно, используя D), написать
егны = ехр {ikc% yQ _u (I -f p sin 9cos ф)*']). (8)
До тех пор пока частота /ш0 A + р sin 0 cos ф) мала по срав-
сравнению с единицей, деленной на интервал времени t\ в течение
которого заметно меняется подынтегральная функция в Gа), мы
можем ехр [ik(uQf A + C sin 6 cos ф)] заменить на единицу. Те гар-
гармоники, у которых такое условие выполнено, имеют таким обра-
образом примерно одинаковую интенсивность, не зависящую от к,
Указанный только что интервал времени f равен (по порядку
величины)
/1 — ft sine
При излучении под углом 9 к магнитному полю спектр будет
состоять из совокупности равноотстоящих (на величину со0)
монохроматических линий, имеющих примерно одинаковую ин-
интенсивность до тех пор, пока порядок гармоники к удовлетворяет
неравенству
к < ;;-, (9)
A— psin9)/2 '
т. е. пока со не превышает величины
too _ еНс
тах
A _ р sirl е)а/« A—3 sin Э)8'2 W
Когда к превышает предел (9), в Gа) появляется быстро осцил-
осциллирующая функция времени f, и соответствующие гармоники
получают быстро спадающую интенсивность. Общее поведение
спектра изображено на рис. 2.
-Фо
Рис. 2
Более подробный расчет показывает, что при 1 <^ п <^
<^ (WJmc2K (п — порядок гармоники) интенсивность п-ш гармо-
гармоники основной частоты пропорциональна (mc2/WJn1^. При
п ^> (W'mc2K интенсивность пропорциональна n-^ze~(m^'w^nx
X (Ywo^/Wy1- При суммировании по всем п главную роль играют
п — (W/m0c2)*.
90

Число гармоник в спектре зависит от 9. При 6=0 остается
только одна основная гармонка, как этого и следовало ожидать
из-за симметрии движения вокруг направления наблюдения.
Число гармоник растет при увеличении 6 и достигает максимума
в плоскости орбиты (где заключен максимум излучения). Глав-
Главная часть излучения падает на область частот вблизи
coo = g., / W у еН
A рK/г \Jm0c2 у т0с2
Эффективная длина волны излучения равна
- 2лт0с2 ( т0с2 \2
Сравнивая A1) с радиусом орбиты г = WleH, видим, что ХЭф <^L г
при W <^ mQc2. В нерелятивистской области Ихмеет место обратное
соотношение. Там частота излучения равна частоте обращения и
длина волны относится к г, как скорость света относится к ско-
скорости электрона:
В предельном релятивистском случае лоренцово сокращение
поля'приводит к тому, что эффективная длина волны излучения
оказывается значительно меньшей, чем радиус орбиты. В системе
CGS мы имеем
ЭФ= ~77~ \ W ) см' ( '
При Н = 104 э и W = 100 Мэв излучаются волны длиной X ^>
> Ю-4 см.
§ 3. Излучение системы
невзаимодействующих электронов
Все изложенные до сих пор результаты относились к одному
электрону, движущемуся в магнитном поле. При переходе к из-
излучению многих движущихся одновременно электронов возникает
вопрос о влиянии их взаимодействия друг с другом, а также воп-
вопрос об интерференции излучения отдельных электронов друг с
другом. Если бы электроны заполняли идеально равномерно всю
орбиту, то очевидно, что их суммарное излучение было бы равно
нулю из-за взаимного гасящего действия (постоянный ток). Бла-
Благодаря флуктуативным отклонениям распределения от равномер-
равномерного возникает излучение, обязанное этим флуктуациям. Мы по-
покажем, что до тех пор пока можно пренебрегать взаимодействием
электронов друг с другом и рассматривать флуктуации по формуле
Пуассона, интерференционный член в излучении исчезает и мы
91

получаем излучение, пропорциональное числу электронов (а не
их квадрату) и описываемое формулами A) — A2) предыдущих
параграфов. В § 4 мы установим границы такого рассмотрения,
в котором взаимодействие электронов не учитывается.
Если электроны между собой не взаимодействуют, то между
положениями на орбите различных электронов корреляция от-
отсутствует. Следует подчеркнуть здесь, что нас интересует корре-
корреляция в «продольном» расположении электронов вдоль орбиты,
т. е. корреляция в координатах ср (см. рис. 1).
Если значение ф для одного электрона задано, то координата
Ф для другого электрона может принимать любые значения от
О до 2я с одинаковой вероятностью. При таких условиях
флуктуации следуют распределению Пуассона. Нас интересует
та часть силы, оказываемой на г-й электрон со стороны /с-го, кото-
которая направлена вдоль орбиты, так как сила лучистого трения,
действующая на t-й заряд со стороны его же поля, направлена
противоположно его скорости (параллельно орбите). Вопрос за-
заключается в том, будет ли в составе силы взаимодействия парал-
параллельная компонента (могущая, например, компенсировать соб-
собственную силу лоренцова трения). Легко видеть, что при усредне-
усреднении по всем положениям г;-го электрона по орбите сила, с которой
он действует на ?-й электрон, не может содержать продольной
компоненты. Напряженности электрического (Е) и магнитного (Н)
полей получаются из потенциалов Лиенара — Вихерта
Н - rot gP E V - i- д gp /4 q\
tt-rOt ('' + rP) ~V+^\ C Ж (г + гр)'
Если A3) усреднить по всем значениям ф (с одинаковой вероят-
вероятностью), то полученное выражение для Е и Н будет соответство-
соответствовать полям постоянного тока, текущего по орбите.
Следует отметить, что усреднение, о котором здесь говорится,
осуществляется за время одного цикла ускорения благодаря не-
неодинаковости скорости различных электронов. Если разница энер-
ттг » г> 6ТГ (тс2J
гии электронов равна гуу, то разность скоростей будет с '
Изменение взаимного расстояния за время ускорения Т окажется
равным cl -т7п~\1Ш1у.
Для того чтобы произошло усреднение, необходимо выпол-
выполнить неравенство
Здесь X — эффективная длина волны излучения. Пользуясь A2),
находим —г^>~т~ • ^то условие на практике всегда соблюдается.
Ъ постоянного тока отсутствует проекция электрического поля
92

вдоль орбиты (из соображений симметрии эта проекция должна
быть постоянной вдоль орбиты, следовательно, \Edl=?=O, что
противоречит условию стационарности).
Таким образом, до тех пор пока флуктуации в расположении
электронов на орбите подчиняются закону Пуассона, излучение
системы электронов, движущихся на орбите, равно сумме излу-
излучений каждого отдельного электрона (складываются интенсивно-
интенсивности, интерференционные эффекты отсутствуют). Рассматривая сово-
совокупность электронов как источник электромагнитных волн, сле-
следует его сравнивать не с антенной (излучение пропорционально
квадрату числа электронов), а с электрической лампой (излуче-
(излучение пропорционально числу электронов).
§ 4. Границы применимости
рассмотрения невзаимодействующих электронов
Для того чтобы можно было не учитывать при рассмотрении
излучения взаимодействие электронов друг с другом, необходи-
необходимо, чтобы при практически применяемых концентрациях электро-
электронов флуктуации в их распределении вдоль орбиты следовали
закону Пуассона. Благодаря взаимодействию электронов появ-
появляются силы, действующие как в радиальном направлении (раз-
(разбухание пучка из-за кулоновского отталкивания), так и силы,
действующие вдоль орбиты и вызываемые неоднородностью в рас-
распределении электронов вдоль орбиты (флуктуации, интересующие
нас). Так как собственная сила лучистого трения каждого элек-
электрона действует вдоль орбиты, то нас будут
интересовать, как и в § 3, только те силы
взаимодействия, которые связаны с флук-
туациямив распределении электронов вдоль
орбиты. Если концентрации электронов
таковы, что добавочные потенциалы, воз-
возникающие при максимальных эффектив-
эффективных флуктуациях, малы по сравнению
с разностями б И7 кинетических энергий
отдельных электронов, движущихся одно-
одновременно на орбите, то очевидно, что та- рис. з
кие флуктуации не смогут заметно изме-
изменить относительное движение электронов
вдоль орбиты. Оно останется случайно распределенным. В этих
условиях флуктуации не будут рассасываться из-за взаимодейст-
взаимодействия и следовать закону Пуассона.
Величина флуктуационного потенциала зависит от размера
области, в пределах которой происходит флуктуация плотности.
Нам необходимо сравнить наибольший флуктуационный потен-
потенциал с 6W. На рис. 3 изображен электронный пучок, радиус кото-
которого — р, радиус орбиты — г. Если область, в которой происхо-
93

дит флуктуация числа электронов, имеет радиус, меньший р
(область 1 на рис. 3), то среднее число электронов в ней порядка
пР (п — средняя плотность электронов в пучке, I — линейные
размеры области). Средняя флуктуация в числе электронов, за-
заключенных в этом объеме, при пуассоновском распределении бу-
будет равна у nl3. Потенциал F, создаваемый такой флуктуацией
в нерелятивистской области, определяется средним расстоянием
частиц друг от друга. Для области 1 на рис. 3 это расстояние —
порядка I и при этом
Vl~^r УШ* = е уТп. A4)
Пока Z<^p, потенциал Vt растет с увеличением I. Когда
I 5^> р, мы приходим к области 2 на рис. 3. Объем ее теперь равен
яр2/. Среднее обратное расстояние в пределах такой области по-
порядка A/1)\ц1/р и, следовательно,
rgjrye jY^\gl/p. A5)
Из A4) и A5) следует, что в нерелятивистской области наиболь-
наибольшие потенциалы создаются в результате флуктуации в объемах
со всеми линейными размерами порядка радиуса электронного
пучка.
В релятивистской области необходимо вместо кулоновского
потенциала пользоваться лиенар-вихертовским. В нем содержится
добавочный множитель
1 — р cos ф sin 0 1 — р cos гр
(г|з — угол между направлением наблюдения и скоростью). В об-
областях типа 1 этот угол порядка единицы, в областях типа 2
он имеет вид:
W=® при l<loY^
i|>~4~ при />>/0. СП)
Вместо A5) мы теперь имеем:
§,), A8)
A9)
Формулы A8) и A9) выведены в предположении, что
( ™° ) <^\|)min = —» W^>mc2y —. B0)
94

На практике r/p ~ 103 и, следовательно, W должно быть
велико по сравнению с 10 Мэв. В интересующем нас случае по-
получения электронов очень большой энергии условие B0) можно
считать выполненным.
Из A8) и A9) следует, что наибольшие флуктуационные потен-
потенциалы происходят за счет флуктуации в объемах длиной /0:
при W>-mc*yjr. B1)
За счет релятивистских эффектов Fmax возрастает (по сравне-
сравнению с нерелятивистским значением) в (г/рK/* раз.
Критерием применимости распределения Пуассона является
неравенство eVmax <^ 6W. Согласно B1) оно может быть записано
в следующем виде:
1а2-
L-p)
Величина п может быть выражена через среднее значение электрон-
электронного тока на аноде бетатрона
iT
Здесь i — среднее значение электронного тока и Т — период
изменения магнитного поля. Неравенство B2) запишется теперь
в виде
Положим г = 50 см, р = 10~2 см, 1 = 3-10~4 GGSE @,1 ма).
При этих данных для AVF получается условие 6W ^> 100 эв.
В бетатроне разброс электронов по энергиям вызывается двумя
факторами: неодновременностыо впуска электронов в рабочее
пространство и ионизационными потерями энергии. Отношение
отрезка времени, используемого для впуска электронов, ко всему
времени ускорения по порядку величины равно отношению на-
начальной энергии электронов к конечной. Такое различие в на-
начальных моментах ускорения должно приводить к разбросу энер-
энергии порядка начальной энергии электронов. Отсюда следует, что
разброс по энергиям, вызываемый этой причиной, должен быть
по крайней мере порядка 103 эв.
Ионизационные потери при вакууме ~ 10~6 мм рт. ст. и вре-
времени ускорения ~ 10~2 сек будут составлять 102—103 эв.
Мы приходим к выводу, что из-за обеих указанных причин
6ТУ будет во много раз превосходить 60 эв, а эта последняя величи-
величина получена при самых выгодных предположениях относительно
роли объемных зарядов. Следовательно, влиянием взаимодействия
электронов на их излучение в бетатроне можно пренебречь,
95

§ 5. Влияние излучения
на траекторию электрона в бетатроне
Принцип действия бетатрона Керста, как известно, заключает-
заключается в том, что электрон непрерывно ускоряется вихревым электри-
электрическим полем, оставаясь все время на стабильной круговой ор-
орбите, радиус которой определяется условием
Я (/•„) = -?-. B3>
Здесь Н (г0) — напряженность магнитного поля на орбите, а
Н — среднее значение напряженности магнитного поля по пло-
площади круга, охватываемого орбитой. Вследствие того, что напря-
напряженность поля во всех точках пространства, где происходит ус-
ускорение, изменяется со временем по одному и тому же закону, усло-
условие B3) будет выполняться в течение всего периода ускорения
электрона при постоянном значении г0. Однако это условие спра-
справедливо лишь в том случае, если излучение электрона в магнитном
поле мало. Если излучение велико, то сила лучистого торможе-
торможения, которая в данном случае направлена против скорости элек-
электрона, будет оказывать заметное влияние на его движение.
Импульс электрона при наличии излучения будет возрастать со вре-
временем медленнее, чем это необходимо для того, чтобы в возрастаю-
возрастающем магнитном поле радиус орбиты оставался постоянным.
Поэтому радиус орбиты начнет уменьшаться и стабильная круго-
круговая орбита превратится в спираль, которая будет свертываться
по направлению к центру.
Превращение стабильной орбиты в сжимающуюся спиральг
происходящее вследствие лучистого торможения, может пре-
прекратить правильное функционирование всего механизма ускоре-
ускорения значительно раньше того момента, когда энергия, теряемая
электроном на излучение, станет равной энергии, приобретаемой
от вихревого электрического ноля.
Изменение радиуса орбиты нетрудно вычислить для случая,
когда оно мало по сравнению с г0.
Мы можем написать следующие уравнения движения:
^ B4)
¦f- = Hr. B5)
f
Здесь р — импульс электрона; Е — напряженность электриче-
электрического поля; AW — сила лучистого торможения, численно равная
энергии, теряемой на излучение на 1 см пути; г — радус траек-
траектории. Второе из этих равенств указывает, что мы считаем дви-
движение мало отличающимся от кругового (в каждый данный мо-
момент электрон движется по круговой орбите радиуса г). Исклю-
96

чая р из B4) и B5), получаем уравнение траектории
JLJL{Hr) = eE-bW. B6)
При H±W ±= 0 радиус орбиты не зависит от времени и равен г0.
При малых изменениях г все величины, входящие в уравнение
B6), можно разложить в ряд по степенями = г — г0 и ограничиться
первыми членами разложения. Отметим прежде всего, что в выра-
выражениях для Е член, содержащий х в первой степени, исчезает,
так как Е' (г0) = 0. Для доказательства напишем выражение,
определяющее величину Е:
rc dt «.'
о
В электронном ускорителе Н = Нт (г) г|) (/), где Нт (г) — макси-
максимальное значение напряженности магнитного ноля в данной точке.
Следовательно,
' (г) = -i-*'(*)\Нт (г)--7г\Нш {г)
Второй член в скобках, очевидно, равен V2#m (r). Отсюда сог-
согласно условию B3) следует, что выражение для Е' (г) обращается
в нуль при г = г0. Принимая во внимание указанное свойство
функции Е (г), можно написать
-f 4 {Я (г0) г0 + хН (г0) + гохН' (г0)} = еЕ (г0) -
отсюда получаем:
4 {хН (гв) + го^Я' (г0)} = - -f
t
х {Н (г0) + г0Н' (г0)} = - -2- J
О
Вблизи стабильной орбиты
Н~Гп, Н' ~> пг-к-1 (п < 1),
следовательно,
х = —
t
с
еЯ(го)A-/г)
Подставляя сюда выражение для A W, получаем после некоторых
упрощений
х 2с о2 о 1 Г
г *\(\ п\ 9 л mJI ГП \( 0J ли/*\ 1 Т У*) U*. V**'/
А И. Я. Померанчук, т. II

В этой формуле Wm обозначает максимальное значение энергии
электрона, которое могло бы быть достигнуто в приборе при от-
отсутствии излучения.
Если Wm выражается в электрон-вольтах, то формула B7)
принимает следующий вид:
*w.e
B8)
Допустимое значение относительного уменьшения радиуса — xlr
определяется конструкцией электронного ускорителя и, по-види-
по-видимому, не может превышать 0,2—0,25. Из формулы B8) при задан-
заданных величинах Нт, Wт ип и заданном законе возрастания магнит-
магнитного поля со временем можно определить тот момент времени, ког-
когда будет достигнуто это значение xlr, и вычислить предельную
энергию электронов. Рассмотрим для простоты тот случай, когда
поле возрастает по линейному закону. Тогда яр (i) = t/T, где Т —
полное время возрастания поля от нуля до максимального зна-
значения. Из B8) следует
Энергия электрона в момент времени t равна
Wt = ЗООЯг = 300#m (r)r-^r.
Отсюда
Wm T Ят(го)го
Окончательно получаем
го TH*m(ro)Vr
Формулы B9) й C0), очевидно, имеют смысл только в том случае,
если величина t/T, найденная с помощью первой из них, оказы-
оказывается меньше единицы. На рис. 4 изображена зависимость отно-
отношения WtIWm от величины WmH^n (г0) при п = 0,5, Т = 10~2 сек,
(х)/г = 0,2. Предельная энергия значительно отличается от макси-
максимальной только при WmHm (г0) ^> 2'1016<
В бетатронах, которые были построены до настоящего времени,
излучение н,е играет существенной роли и практически не влияет
на процесс ускорения электронов. Так, например, для бетатрона
General Electric Company, который рассчитан на получение
электронов с энергией 108 эв и является, по-видимому, самым боль-
большим из всех построенных и строящихся электронных ускорителей,
величина — xlr, вычисленная по формуле B8), составляет в конце

периода ускорения всего лишь 0.04. Это означает.,, что орбита
смещается внутрь на 2,5 мм. .
Однако влиянием лучистого торможения нельзя будет пренеб-
пренебрегать тогда, когда возникает необходимости в проектировании
и постройке сверхмощных бетатронов, предназначенных для полу-
получения электронов с энергией порядка 109 эв. .:.- .-.
При постройке приборов, рассчитанных на ускорение электро-
электронов до энергии порядка 108 эв, мы столкнемся с лучистым тормо-
торможением только в том случае, если пожелаем воспользоваться маг-
магнитными полями с напряженностью в несколько десятков тысяч
эрстед. Применение таких полей могло бы оказаться весьма цен-
ценным, поскольку при этом удалось бы значительно уменьшить габа-
габариты и вес прибора. Но так как излучение при данном Wm про-
пропорционально Н2т (г0), то применение очень больших магнитных
полей нецелесообразно. Действительно, если при Wm — 108 эв
положить Нт равным 3* 104 а, то из-за лучистого торможения от-
относительное уменьшение радиуса будет равно 0,2 уже при W =
= 107 эв (при указанных выше значениях Тип).
Следует подчеркнуть, что излучение энергии быстрыми элек-
электронами в магнитном поле отнюдь не приводит к тому, что появля^
ется принципиальная верхняя граница для ускорения электронов
вихревым электрическим полем. Из формулы C0) мы видим, что
предельная энергия пропорциональна Нт* r'J*, и поэтому при
увеличении размеров бетатрона и напряженности магнитного поля
она возрастает и в принципе может достигать сколь угодно^боль-
шой величины. Не ограничивая принципиально величину энергии,
которая может быть достигнута в бетатроне, лучистое торможение
чрезвычайно усиливает те затруднения, которые возникают при
Рис. 4
переходе к энергиям порядка 109 эв, так как при наличии лучис-
лучистого торможения для получения электрона заданной энергии
необходимо строить приборы значительно больших размеров^
чем это было необходимо, если бы излучение отсутствовало.
Можно представить себе несколько способов борьбы с влиянием
лучистого торможения на работу сверхмощных электронных уско-
ускорителей. Для полной компенсации силы лучистого торможения
необходимо, чтобы напряженность электрического поля превы-
4* 99

шала на величину АИ7 то значение, которое она должна иметь при
отсутствии излучения. Этого можно достигнуть, если увеличивать
магнитный поток через площадь орбиты быстрее, чем магнитное
поле на орбите. В начальной стадии ускорения, пока энергия
электрона мала, должно удовлетворяться условие B3). В конце
ускорения магнитный поток должен быть больше, чем это следует
из B3), на величину 2nrc \ AWdt. Этот добавочный поток можно
создать при помощи дополнительных катушек, питаемых от от-
отдельного источника напряжения. В практическом отношении
этот способ компенсации лучистого трения вряд ли окажется
удобным, так как для создания добавочного потока потребуется
большая затрата мощности и, кроме того, для питания дополни-
дополнительной обмотки будут нужны очень высокие напряжения из-за
несинусоидальной формы кривой возрастания потока со временем.
Более удобным способом компенсации лучистого трения яв-
является дополнительное ускорение электронов электрическим по-
полем высокой частоты с амплитудой, возрастающей в течение каж-
каждого цикла ускорения пропорционально AW. Период высоко-
высокочастотного электрического поля, очевидно, должен быть равен
2пг!с, т. е. длина волны должна быть равна длине окружности
стабильной орбиты. Рассмотрим конкретный пример. Пусть
г0 =.3-102 см,Нт = 104, Т =2-1(Г2сек. При этом Wm = 900Мае.
В конце ускорения потери на излучение будут составлять
20 кэв на один оборот по орбите. Поэтому если высокочастотное
электрическое поле ускоряет электроны через каждые полоборота
(так же как в циклотроне), то разность потенциалов между элек-
электродами (дуантами) в конце каждого полного цикла ускорения
должна быть равна 10 кэв. Длина волны должна быть равна
1,9-103 см. Такое высокочастотное поле с модулированной ампли-
амплитудой (частота модуляции 50 гц) вполне осуществимо.
В заключение считаем необходимым выразить благодарность
Л. Д. Ландау за совместное обсуждение некоторых вопросов, рас-
рассмотренных в нашей статье.
физико-технический институт Получено
Академии наук СССР. 28 февраля 1945 г.
Ленинград
ЛИТЕРАТУРА
1. /. Pomeranehuk. J. Phys. USSR, 1940, 2, 65 (Собр. трудов. № 41).
2. Д. Иваненко, И. Померанцу к. Докл. АН СССР, 1944, 44, 343 (Собр. тру-
трудов, № 47).
3. D. Kerst. Phys. Rev., 1941, 60, 47.
4. W. Heitler. Quantum Theory of Radiation. Oxford, 1937.

49
ИЗЛУЧЕНИЕ РЕЛЯТИВИСТСКИХ ЭЛЕКТРОНОВ
В МАГНИТНОМ ПОЛЕ*
1. Из классической электродинамики легко получается выра-
выражение х для энергии, теряемой электроном на излучение при дви-
движении в магнитном поле. Этот эффект в нерелятивистской области
энергий электрона очень мал. В релятивистской области излуче-
излучение на единицу пути растет пропорционально квадрату энергии
электрона.
2. В применении к космическим лучам излучение устанавливает
верхний предел для энергий, с которыми могут поступать на по-
поверхность Земли электроны и позитроны, если они входят в состав
первичного излучения, идущего из мирового пространства [2].
Наличие такого верхнего предела должно сказаться только на
явлениях, связанных с частицами очень больших энергий Q=^4«
•1017 эв). В частности, излучение должно приводить к широтной
зависимости частоты появления больших лавинных ливней в
воздухе и больших гофмановских толчков [3]. Постановка соответ-
соответствующих экспериментов дала бы возможность однозначного от-
ответа на вопрос о существовании первичного излучения большой
энергии электронов и позитронов.
3. В применении к электронным ускорителям типа бетатрона
Керста излучение приводит к установлению предела энергий, ко-
которые могут быть получены в таком приборе. Порядок величины
предельной энергии Ео получается из равенства силы лучистого
торможения и ускоряющей силы электрического вихревого поля:
V ~
eRH
где т — покоящаяся масса электрона, е — его заряд, г0 — его
электромагнитный радиус, R — радиус орбиты, Н — напряжение
магнитного поля на орбите, Н = dHldt. В бетатроне с применяе-
применяемыми параметрами {RH, Н) Ео оказывается порядка нескольких
сотен миллионов электрон-вольт. Более точное вычисление Ео
должно учитывать дефокусирующее действие излучения. Такой
* Известия АН СССР, серия физ., 1946, 10, 316. (Краткое содержание док-
доклада на сессии ОФМН АН СССР 20 марта 1946 г.).
1 См., например, [1].
101

расчет был проведен Л. А. Арцимовичем, который показал, что
наличие дефокусирующего действия приводит к снижению пре-
предельной энергии,примерно в 2 раза по сравнению с A) [4].
Из A) можно заключить, что излучение играет в бетатроне
Керста тем меньшую роль, чем -больше частота изменения поля
и чем меньше само поле Н.
4. Излучение, испускаемое электроном, движущимся по кру-
круговой орбите, сконцентрировано практически полностью в не-
небольшой области углов по отношению к плоскости орбиты. Этот
результат имеет место при EQ^>mc2. Область углов, в пределах ко-
коте2 ^€
торой имеет место излучение, составляет величину порядка -^т—<^1.
Таким образом, излучение релятивистских электронов соот-
соответствует в смысле угловой зависимости наложению мультиполей
высокого порядка.
5. Нерелятивистский электрон, двигаясь по кругу, испускает
излучение, частота которого совпадает с частотой обращения.
В релятивистской области, из-за лоренцовского сокращения поля
быстро движущегося электрона, практически все излучение падает
на долю высших обертонов частоты обращения. Интенсивность
высших гармоник сравнительно мало меняется вплоть до частот,
равных (Е0/тс2K(д0, где соо — частота обращения. При еще боль-
больших частотах интенсивность соответствующих линий экспоненци-
экспоненциально падает. Частотный спектр состоит из совокупности равно-
равноотстоящих линий, причем высшие обертоны имеют тем большую
асимметрию по углам, чем больше порядок обертона.
6. При переходе от излучения отдельного электрона к излу-
излучению системы электронов, движущихся одновременно, возникает
вопрос о влиянии взаимодействия электронов на их излучение.
Если бы электроны были идеально равномерно распределены вдоль
орбиты, то электронный ток был бы постоянным и излучение от-
отсутствовало бы. В реальных условиях всегда имеются флуктуа-
флуктуации в распределении электронов; наличие таких флуктуации делает
ток электронов непостоянным во времени и приводит к излучению.
При достаточно малых концентрациях электронов можно не
учитывать их взаимодействия при рассмотрении флуктуации в их
распределении по орбите. Получающиеся при этом флуктуации
следуют закону Пуассона и дают излучение, в точности равное
сумме излучений отдельных электронов. Если бы в каком-нибудь
ускорителе (например, в ускорителе, предложенном Веке л ером
[5]; см. также проект «синхротрона» в [6]) электроны заполняли
только часть орбиты, то, кроме только что указанного некогерент-
некогерентного излучения, возникло бы когерентное излучение, пропорцио-
пропорциональное квадрату числа электронов. Оно происходило бы благо-
благодаря интерференции малых гармоник излучения различных элек-
электронов. Максимальная гармоника, до которой излучение различ-
различных электронов еще когерентно,— порядка отношения длины
орбиты и размерам той части орбиты, которая занята электронами.
102

7. Пределы тех концентраций электронов на орбите, вплоть
до которых можно не рассматривать взаимодействие электронов,
определяются из требования, чтобы пуассоновы флуктуации, от-
ответственные за излучение, могли бы еще беспрепятственно осущест-
осуществляться. При возникновении флуктуации в распределении электро-
электронов вдоль пучка появляются электрические потенциалы, стремя-
стремящиеся рассосать флуктуацию. С другой стороны, благодаря нео-
неодинаковости энергий у отдельных электронов они будут двигаться
с различными скоростями и благодаря этому будет наблюдаться
тенденция к постоянному возникновению флуктуации помимо тех
флуктуации, которые связаны с начальными условиями ускоре-
ускорения. Если разброс энергий электронов значительно больше, чем
потенциалы, стремящиеся рассосать флуктуацию, флуктуации
будут все время такими же, как в случае распределения Пуассона.
Сравнивая наибольшие флуктуационные потенциалы с разбросом
энергий W, мы получаем следующее условие независимости флук-
флуктуации:
где п—число электронов на траектории в 1 см3, г — радиус элек-
тронного пучка. В B) предполагается, что—г^1/ — .Это
условие выполнено при релятивистских энергиях.
Если электронный ток составляет даже 1 А, г = 1 мм,
7? = 10 см, то для соблюдения условия B) W должно удовлетво-
удовлетворять неравенству
9в. C)
В реальных условиях W на несколько порядков величины
больше, чем 1 эв. Можно также убедиться в том, что неодинако-
неодинаковость скоростей в реальном пучке такова, что за время ускорения
взаимные расстояния электронов будут меняться на величины,
большие, чем эффективная длина волны излучения г.
Таким образом, в реальных условиях концентрации электро-
электронов настолько малы, что взаимодействие их друг с другом не ска-
сказывается на их излучении в магнитном поле, если гармоники не
слишком низки.
Академия наук СССР
ЛИТЕРАТУРА
1. Л. Ландау, Е. Лифшиц. Теория поля. М., Гостехиздат, 1941, стр. 174.
2. /. Pomeranchuk. J. Phys. USSR, 1940, 2, 65 (Собр. трудов, N° 41).
3. А. Мигдал. ЖЭТФ, 1945, 15, 313.
4. L. Arzimovich, J. Pomeranchuk. J. Phys. USSR, 1945, 9, 267 (Собр. трудов,
№ 48).
5. McMillan. Phys. Rev., 1945, 7—8.
1 Отсюда следует, что усреднение по флуктуациям будет осуществляться уже
в пределах одного импульса в ускорителе.

50
О ФЛУКТУАЦИЯХ ИОНИЗАЦИОННЫХ ПРОБЕГОВ*
Рассматривается влияние многократного рассеяния на ионизационный
пробег. Получены выражения для удлинения траектории, вызываемого
многократным рассеянием (§1), а также для средней крадратичной флук*
туации длины траектории при заданных начальной и конечной точках (§ 2).
Рассмотрены флуктуации при образовании 6-частиц в толстых слоях ве*
щества. Найдено распределение вероятностей потерь энергии в этом случае.
Оно оказывается гауссовым (§ 3). Указаны пределы точности определения
покоящейся массы при измерении толщины фильтров, поглощающих части-
частицы с заданным импульсом (§ 3).
§ 1. При определении величины ионизационных пробегов в
таких условиях, когда измеряется толщина фильтра, поглощаю-
поглощающего частицу, обычно предполагается, что частица движется прямо-
прямолинейно, не испытывая многократного рассеяния. Однако соот-
соотношение между пробегом и энергией, даваемое теорией иониза-
ионизационных потерь, относится не к прямолинейному смещению час-
частицы от начала ее пути до остановки, а к полной длине пути, ис-
искривленного из-за рассеяния. Эта полная длина пути благодаря
флуктуациям рассеяния сама также флуктуирует, вследствие
чего задание толщины фильтра, поглощающего частицу, не вполне
однозначно определяет начальную энергию частицы. Другим ис-
источником такой неоднозначности являются флуктуации при обра-
образовании б-частиц, которые не рассматриваются существующей
теорией ионизационных пробегов.
Целью настоящей статьи является определение влияния куло-
новского многократного рассеяния на ионизационный пробегг
измеряемый методом поглощения, а также определение флуктуации
величины пробега, вызванных флуктуациями при образовании
б-частиц. При этом мы будем рассматривать случай, когда един-
единственными потерями энергии являются ионизационные. Так как в
дальнейшем нас будут интересовать условия, когда флуктуации
пробегов могут считаться малыми, возможно раздельное рассмот-
рассмотрение флуктуации, вызванных многократным рассеянием, и флук-
флуктуации, обязанных б-частицам.
* ЖЭТФ, 1948, 18, 759.
104

Пусть нам задано начальное и конечное положения частицы
(точки А и Е)\ определим среднюю длину искривленной траекто-
траектории А В. Вводя поперечные по отношению к прямолинейному
отрезку А В координаты у и z и обозначая посредством t коорди-
координату вдоль А В, получаем
t [I + (dyldtf + (
Предполагая угол рассеяния небольшим, находим
в в
s = * + Vi JJ dt [{dyldtf + (dz;dtf] = t + V2$ ё2*, A)
A A
62 — средний квадрат угла многократного рассеяния.
Переходим от интегрирования по пути t к интегрированию по
энергии, считая углы рассеяния малыми. Длину t будем измерять
в лавинных единицах [1]:
— dE/dt = а/р2, а = птЩ2гаЬг, J— t = V2 \ ($2Q2/a)dE, B)
где Ьг — ионизационный логарифм, Lr — радиационный лога-
логарифм, т — покоящаяся энергия электрона, а = e2lhc, Ео —
полная начальная энергия частицы.
Подставляем сюда вместо 02 его выражение [2] как функцию
энергии, считая а в первом приближении постоянной, получаем
(р0 — начальный импульс, \i — покоящаяся энергия частицы,
Es = 21 Мэв). Производя интегрирование, находим среднее удли-
удлинение траектории по отношению к прямолинейному смещению,
вызванное многократным рассеянием:
При выводе C) мы считали а постоянной, пренебрегая лога
рифмической зависимостью а от энергии. Так как в интеграле
определяющем As, главную роль играют энергии Е порядка Ео,
то изменение логарифма с изменением энергии не должно приво-
приводить к большим отклонениям от C).
Для того чтобы максимально уменьшить погрешность, выз-
вызванную заменой а на постоянную, мы можем использовать сле-
следующий прием. Заменим в интеграле B) величину а на ее значение
при Е = Z?x, где \х <С El <^ E. Энергию Et подберем так, чтобы
105

члены первого порядка в разложении а в ряд по степеням Е — Ег
при интегрировании обращались в нуль. В соответствии с этим, рас-
раскрывая точное выражение для 92 ([2], формула A.55)), мы преоб-
преобразовываем его к следующему виду:
= El J du/{u2 — |я2) а (и). D)
Е
Подставим D) в B):
du
Разложим далее а (Е) и а (и) в ряд по степеням Е — Ег, и — Егъ
а(Е) = а (Ег) + (da/dE^ (Е — Ег), а(и) = а (Ег) + (и — Ег) {dajdE).
Отношение Ех (da/dE^) к а (Е^ — порядка единицы, деленной на
ионизационный логарифм (считая, что Ег не очень близко к и;
это предположение .согласно E) действительно выполняется).
Таким образом s — t получается в виде ряда по обратным степе-
степеням ионизационного логарифма.
Рассмотрим члены нулевого и первого порядка в этом разло-
разложении
\i2 \ Т (и — Ei) du ) m
[i Ё *
Ех выбираем так, чтобы второй член обратился в нуль. Это усло-
условие дает
Здесь
ос
К = 4 J A - 6V* )-i A - be~^e-4dt, Ь = (Е0- \i)/(E0 + ц). F)
Если начальная энергия i?0 = 2jx (кинетическая энергия рав-
равна энергии покоя), чему в случае мезотронов с массой \i = 200 т
соответствует кинетическая энергия, равная ?^108 эв, то Ег равно
- 1,75 [I.
При пользовании E) формула C) имеет точность порядка L72,
Li — ионизационный логарифм. Так как L\ — порядка 10—20,
106

то с помощью E) мы достигаем у C) точности порядка 1%, если а
заменить на а (Е^.
Когда Ео = 2 |Л, s — t равно в свинце одной лавинной единице.
Так как пробег мезотрона с этой энергией в свинце равен при-
примерно 10 лавинным единицам, то систематическое среднее увели-
увеличение пути из-за рассеяния составляет в этих условиях 10% по
отношению к полному прямолинейному смещению.
Подставляя вместо а его значение, находим
Вводя ионизационный пробег без учета многократного рассеяния
t = (Ео - |яJ/|яа = BLPZa/rt/w2i) (EQ - 1
(Li — значение ионизационного логарифма для некоторой сред-
средней энергии), получаем отношение s — t к t:
Так как главную роль в интеграле, определяющем s — t,
играют энергии порядка Eoi то^углы рассеяния малы, если ?"<) ^>
^> 107 эв [2]. Поэтому предположение о малости б2, сделанное в
A), справедливо, если начальные энергии Ео больше, чем 101 эв.
§ 2. Кроме систематического увеличения пути s no сравнению с
кажущимся t многократное рассеяние вызывает также флуктуа-
флуктуации путей около s (при заданном прямолинейном смещении t).
Определим среднюю квадратичную флуктуацию пробегов
?_ s2 = (s- tf - (s — tf == v
t t
= lul<%ldx(Q\Ql-m). (9)
0 0
Пусть т^>|. Предполагая углы малыми, мы можем их пред-
представить двумерными векторами. Введем разность углов между
углом в^, соответствующим глубине |, и углом вт, соответствую-
соответствующим глубине т: вт = 6^ +0. Многократное рассеяние в случае
малых углов приводит к тому, что вектор 0 меняется с увеличением
t так же, как и координаты частицы, совершающей броуновское
движение (с коэффициентом диффузии, зависящим от t). Поэтому
в выражении для 6Т векторы й^и О статистически независимы
(т>|):
е? = е| + о2. (Ю)
107

Воспользовавшись этим соотношением, переписываем (9) в виде
/ t
О ?
« г
+ V4 J dl J dx 1(8? + 2втФ + ф2) 9? - @2 + 2втф + ф2) 0?1. A1)
о о
Здесь вектор <p определяется аналогично d: 6^ = 6Т + 9»
Учитывая равенства:
= о, е,ф9? = фете? = о, е^е| = *е*е| = о,
Ф^е?= ф5^, e7f = е;ф= 0,^91 = ^01, A2)
находим
' — s2 = V4 j| d| I [9| — (8|J] dt + lU К d| ^ dt [8? — (8?J] =
О ?, 0 0
f  ~2 Г "~4 "~2 f
О т
(* — t). A3)
При вычислении 9^ — F? J мы можем считать гауссовским
распределение вероятностей рассеяния по углам [3]. Это имеет
место в том случае, когда флуктуации пробегов невелики. В даль-
дальнейшем только такой случай и будет рассматриваться. Вероят-
Вероятность рассеяния на углы Э^. и Qy полагаем равной
WdQxdev = A/яё~2) e-*>dQxdBy A4)
(82 есть функция толщины слоя t). Отсюда 84 оказывается равным
2 (О2J:
t
J—т). A5)
Переходим теперь к интегрированию по энергиям, считая
ионизационный логарифм постоянным:
W s2 — —^1- fV1 ^
Здесь аргументом аэф является энергия Е2, \х < Е2 <С Е01 выби-
выбираемая согласно тому же способу, что и энергия Е1 из E). Интег-
108

рал, входящий в A6), преобразуем, введя новую переменную t
согласно
Ъ (Е + \i)/(E -р) = е\Ь = (Ео - \i)/(E0 + ji),
после чего разлагаем подынтегральное выражение по степеням
Ъ < 1 и интегрируем почленно. В результате простого вычисле-
вычисления получаем для средней квадратичной флуктуации пробега
о^4 V /?п 4- 11 / & (п JL. 9Л2 \ ^0 + у, у
1-Г "^
(До + И-J у. 1 /До-ц\2п| ,,7i
~ (?0 - ЦJ ^ (п + 2J V-^o + (Д.У )* ^"
Отношение s2 — s2 к квадрату среднего пробега равно
?
Мы пренебрегли здесь разницей в значениях аЭф, входящей в
s2 — s2 и аЭф, входящей в выражение для среднего ионизационного
пробега. __
При Ео = 2|л согласно A8) мы получаем в свинце (s2 —
— s2I/2 Г1 ^^ 0,075; флуктуации пробега из-за многократного
рассеяния в этих условиях составляют 7,5% прямолинейного сме-
смещения и лишь немногим меньше систематического увеличения
пробега, равного согласно C) 10% прямолинейного смещения.
В интеграле A5) главную роль играют энергии Е порядка Ео.
Поэтому при Ео ^> 107 предположение^ малости 92 можно счи-
считать выполненным при вычислении s2 — s2. Так как а ~ 1/Z,
то флуктуации пробега тем меньше, чем меньше Z:
Отношение этой величины к t пропорционально Z, как это и сле-
следовало ожидать. При Ео — 2|я в алюминии относительная флук-
флуктуация составляет 1,5—2% вместо 7,5% в свинце.
§ 3. Кроме флуктуации ионизационных пробегов, вызванных
многократным рассеянием, существуют еще флуктуации в иони-
ионизационных потерях энергии около среднего значения потерь, да-
даваемого обычной теорией ионизации [4]. При заданном пути иони-
ионизационные потери флуктуируют около среднего значения. Такие
флуктуации, очевидно, приводят к флуктуациям ионизационных
109

пробегов, 5 которые необходимо прибавить к флуктуациям, вы-
вызванным многократным рассеянием и рассмотренным в § 2. Простое
наложение обеих флуктуации имеет место только в том случае,
когда обе флуктуации малы. Именно этот случай нас интересует.
Флуктуации ионизационных потерь в тонких слоях вещества
были исследованы Ландау [5]. Нас здесь интересуют, однако, флук-
флуктуации в трдстых слоях, сравнимых с полным ионизационным про-
пробегом. В этих условиях результаты, полученные Ландау, непри-
неприменимы. Поэтому мы рассмотрим здесь флуктуации ионизационных
потерь, предполагая с самого начала большую толщину вещества.
В дальнейшем мы уточним, что является критерием, различающим
тонкие и толстые слои.
"Рассмотрим сначала слой вещества, на протяжении которого
среднее изменение энергии из-за ионизационных потерь еще не-
невелико по сравнению с самой энергией. Это дает нам возможность
считать энергию постоянным параметром, благодаря чему можно
легко найти распределение вероятностей ионизационных потерь в
этих условия^..
Пусть w (А) dA есть вероятность потерь от А до Л + dA на
пути t. Функция w удовлетворяет кинетическому уравнению
ф(е){гг;(А — е) —
Здесь ф (е) de — вероятность потери энергии от е до е + de в од-
одном элементарном акте, ф (е) и етах зависят от энергии как от пара-
параметра. Разложим w в ряд Фурье
g B, t) определяется из уравнения
оо
dg/dt = gfa{B){e-*** — i)dz9
B1)
g(z, t) = g(z, 0)exp[tt $ <p(e) {*-«•* - l}cfe] .
При достаточно больших толщинах t можно разложить e~tiz
в ряд по степеням z (условие применимости разложения см. C5))
етах етах
tf(M) = g(*,O)exp{-te* J y(e)eds-l!2z4 J е2ф(е)йе}. B2)
о о
110

Если при t = О частица имеет определенную энергию ?\ то
w (Д, 0) является б-функцией от Д. Поэтому g (z, 0) равно еди-
единице:
г / етх \
expjizlA — t \ еф(е)с?е) —
эо О
!тах
\ е2ф(е)^е|^2, B3)
о
?тах
где л/р2 — средняя потеря энергии на единицу пути (напомним,
что в качестве единицы пути мы выбрали лавинную единицу).
?тах
В интеграле \ е2ф(е)йе главную роль играют е порядка
- Так как етах в наших условиях велико по сравнению с
ионизационными потенциалами основной массы электронов, то
при вычислении ф (е) можно считать электроны свободными и
пользоваться выражением
ф(е)= a/pVLj B4)
(Li — ионизационный логарифм). Введем обозначения
етах
u2 = l/2 J 9(e)cte = aemax/2p2L;. B5)
о
Согласно B3) — B5) w (At) принимает вид
Н-оо
w = BЯ) \ exp Uz ( А — t |Л — zHu2} dz = Djmyv* x
—оо
X exp {— (Д — at^fl^uH}. B6)
Мы получили вероятность в виде гауссова распределения около
средней потери энергии, равной (при Е = const) at/fi2. (В нере-
нерелятивистском случае формулы B6) и B8) без вывода приводятся
в [6].) Средняя квадратичная флуктуация равна
(Д - atl^f = 2иЧ = авшах*^. B7)
Для того чтобы учесть изменение энергии при замедлении час-
частицы, мы должны вместо умножения на t в B7) (и в выражении
для средней потери) произвести интегрирование по dt, превращая
далее это интегрирование в интегрирование по энергии. Такая
Ш

вамена соответствует сохранению гауссовой формы распределе-
распределения вероятностей, причем ширина распределения накапливается
в соответствии с путем, проходимым частицей. В результате по-
получаем:
Ео
w[
1
C
dt
B8)
Используя соотношения | dEldt | = a/p2 и 8тах = 2m\i 2 (E2 —
— fx2), приводим и2 к виду
^L^dEiE'2-^). B9)
и2 = т\Г*
Заменяем L{ на постоянную, равную величине L\, при промежу-
промежуточном значении энергии (аналогично § 1, E)):
м* = i/з'и (Ео — Е) уг2Ц1(Е1 + ЕЕ0 + Е2 — 3|Л2). C0)
Полагая здесь Е = ku, получаем полную среднюю квадратичную
флуктуацию потерь энергии на длине пути, равной среднему
ионизационному пробегу:
2i*2 = 2/3 т (Ео - \1J\1-2Ц1(Е0 + 2\х). C1
Относительная средняя квадратичная флуктуация получится
из C1) делением на (Ео — jj,J, так как на всем пробеге теряется
энергия, равная Ео — [i:
v = 2щи (Ео - \i)~l = [2/3 т (Ео + 2ta) ^Ц1]1'2. C2)
Флуктуациям ионизационных потерь можно сопоставить
флуктуации ионизационных пробегов. Ионизационный пробег
связан с начальной энергией соотношением
Отсюда
= BАЕ0/(Е0 - |х)) - (АЕ0<Е0) = АЕ0 (Ео + ц)/(?0 - ц) Ео.
Подставляя C2) вместо АЕ0/(Е0 — ц), определяем эквивалент
ное At it:
At/t = [2т (Ео + 2n)/3ti2L{]'/! (Eo + у,)/Е0. C3)
При Ео = 2}д, Atlt оказывается равным 4—5%.
112

Полная флуктуация ионизационных пробегов складывается
из C3) и*A9). С уменьшением z возрастает относительная роль
флуктуации потерь C3) по сравнению с флуктуациями, вызван-
вызванными рассеянием.
В некоторых случаях связь между пробегом и начальной энер-
энергией используется для определения массы покоя частицы [7].
Флуктуации в пробегах вызывают в этом случае неопределенность
в значении массы покоя jli. При заданном значении начального
импульса частицы получается соотношение
- Д|1/ц = El BЕ0 + |i)-V1 (№), C4)
В свинце при Ео = 2jx А\х/\л равно 9—10%. В алюминии в тех же
УСЛОВИЯХ Д[Х/[А Ж 6%.
Определим теперь услович, налагаемые на толщину вещества
для того, чтобы можно был^ применить наши формулы для флук-
флуктуации ионизационных пробегов. Разложение e~izz в ряд по сте-
степеням ez требует, чтобы етах2Эф было малым по сравнению с еди-
единицей. 2Эф представляет собой значение z. которое играет главную
роль в интеграле B2): z^ ж (tu2)~lf*. Таким образом, мы прихо-
приходим к условию
Подставляя сюда вместо и2 его значение, согласно B5) получаем
условие
Так как at порядка начальной энергии частицы, то C5) можно
считать выполненным.
В заключение я хочу поблагодарить академика Л. Ландау
за ценные указания при проведении настоящей работы.
Академия наук СССР Получено 20 декабря 1947 г.
ЛИТЕРАТУРА
1. В. Rossi, К. Greisen. Rev. Mod. Phys., 1941, 13, 253.
2. В. Rossi, К. Greisen. Rev. Mod. Phys., 1941, 13, 263.
3. С 3. Беленький. Лавинные процессы в космических лучах. М., Гостех-
издат, 1948.
4. В. Rossi, К. Greisen. Rev. Mod. Phys., 1941, 13, 245.
5. Л.Ландау. J. Phys. USSR, 1944, 8, 201.
6. M. S. Livingston H. A. Bethe. Rev. Mod. Phys., 1937, 9, 283.
7. А. Алиханян, А. Алиханов, А. Вайсенберг. ЖЭТФ, 1948, 18, 301.

51
ПРЕДЕЛЫ ПРИМЕНИМОСТИ ТЕОРИИ
ТОРМОЗНОГО ИЗЛУЧЕНИЯ ЭЛЕКТРОНОВ
II ОБРАЗОВАНИЯ ПАР ПРИ БОЛЬШИХ ЭНЕРГИЯХ*
Совместно с Л. Д. Ландау
Теоретический анализ [1] методов получения формул Бете —
Гайтлера (Б.—Г.) [2] для тормозного излучения и образования пар
приводит к заключению, что они должны быть применимы вплоть
до сколь угодно больших энергий. Этот вывод, однако, относится
к радиационным процессам, происходящим на одном изолирован-
изолированном атоме. Если рассматривать радиационные процессы в среде, то
можно установить, что при достаточно больших энергиях теория
Б.—Г. будет несправедлива.
Для того чтобы самым простым образом выяснить вопрос,
рассмотрим сперва испускание квантов, имеющих энергию 1 о,
много меньшую, чем энергия электрона Е. В этом случае законно
классическое рассмотрение, приводящее к следующему выраже-
выражению для энергии, излученной в элемент телесного угла dn и в ин-
интервале частот dco [3]:
dlnu> = Jl со2 did К [n dr] exp {i [at - kr (t)} \ rfr = V (t) dt, k = nco. A)
Формулы Б.— Г. при малых со получаются из A), если счи-
считать, что V внезапно меняется при столкновении электрона с од-
одним атомом, т. е. V =УХ, Vx = Vlz при t <C 0 и V = V2 при
t ^> 0. Умножая A) на вероятность заданного рассеяния элек-
электрона, можно получить результаты Б.— Г. [4], при этом мы при-
приходим к интегралам:
оо
[nV2] J
ехр [i((o —
B)
{$ — угол между к и осью z).
При малых О (эффективные $ ~ т/Е, т — покоящаяся энер-
энергия электрона) существенный интервал времени оказывается
порядка
te ~ Е21т2а. C)
* Докл. АН СССР, 1953, 92, 535.
114

С ростом Е время te очень сильно растет, и вследствие этого иг-
играют роль расстояния от электрона до ядра, которые значительно
превосходят атомные размеры.
Начиная с ?= у m2L:o, где L — лавинная единица длины
12], существенны расстояния порядка L. В этих условиях совер-
совершенно очевидно, что результаты Б.— Г. не могут быть правиль-
правильными, так как электроны, позитроны и кванты существенно пог-
поглощаются на. этой длине. Однако формулы Б.— Г. нарушаются
при значительно меньших энергиях из-за многократного куло-
новского рассеяния на расстоянии te. Учитывая это рассеяние, по-
получаем
кг@ = К@)ЛA-4-)^11--Г/Л + А*Г'Л' D)
где 6/ связано с V следующим образом:
Величина 8* обязана многократному рассеянию. Подставим D)
в A), считая для простоты 0 = 0. Из-за многократного рассея-
рассеяния в показателе A) появляется член
у* ^6?Л. F)
Для оценки его влияния заменим 0* на 0?, беря последнее из
теории многократного рассеяния [5]. Выражение F) по порядку
величины равно
G)
Подставляя сюда вместо t C), получаем
Е28Е2/т*аЬ. (8)
Когда Е = Ео (со), где
^о (ю) = -я- У coZr = -дг-1/ п" (9)
0V ; ^s Г ^s r 4ZWIn 191Z-1/e V ;
(л — число ядер в 1 с.%3), в показателе A) появляется добавочный
член порядка единицы и, следовательно, формулы Б.— Г. пере-
перестают быть применимы при излучении частоты со.
Если со ~ Е, классическое рассмотрение по порядку величины
еще справедливо, и из (9) мы находим
Е0(Е) ~Е0 = ^ = — — — . A0)
0V ; ° El 4?jZW4nA91Z-1'»)
Так как (Es/mJ = 1700, то Ео = 1/17оо m2L. Для свинца это
дает энергию, равную 5-Ю12 эе\ у элементов в конце системы Мен-
115

делеева Ео падает до 2-Ю12 эв. Когда Е ]> ?0, излучение почти
всех квантов не может следовать Б.— Г., то же относится и к
образованию пар. При меньших энергиях радикальные отклоне-
отклонения от Б.— Г. должны быть при малых со, удовлетворяющих не-
неравенству
(*^Я*/Е0. A1)
Академия наук СССР Получено 22 июля 1953 г.
ЛИТЕРАТУРА
1. С. F. v. Weizsacker. Zs. f. Phys., 1934, 88, 612.
2. См., например, С. 3. Беленький. Лавинные процессы в космических
лучах. М., 1948.
3. Л. Ландау, Е. Лифшиц. Теория поля. М.~ Л., ГТТИ, 1948, стр. 200.
4. A. Nordsieck. Phys. Rev., 1937, 52, 59.
5. См., например, Б. Росси, К. Грейзен. Взаимодействие космических лучей
с веществом. М., ИЛ, 1948, стр. 44.

52
ЭЛЕКТРОННО-ЛАВИННЫЕ ПРОЦЕССЫ
ПРИ СВЕРХВЫСОКИХ ЭНЕРГИЯХ*
Совместно с Л. Д. Ландау
Как было указано [1], развитая Бете и Гайтлером (Б.— Г.)
теория тормозного излучения электронов и позитронов, а также
образования электронно-позитронных пар у~квантами неприме-
неприменима при достаточно, больших энергиях частиц из-за многократ-
многократного рассеяния электронов и позитронов в среде. В работе Ш
был лишь оценен порядок величины энергий, при которых долж-
должны наступать заметные отклонения от формул Б. — Г. Сейчас
мы рассмотрим радиационные процессы в таких условиях, при
которых теория Б. — Г. несправедлива.
Рассмотрим сперва излучение квантов малых частот (со <^ Е).
Энергия, излученная в элементе телесного угла dn и в интервале
частот dco, дается формулой A) [1].
Для того чтобы получить более точные соотношения, проин-
проинтегрируем A) [1] по всем направлениям кванта п. Теряемая в.
интервале dco энергия dl равна
dl = -—^didyX^ndr^ [ndr2] exp
e1 CCC
— i (n, rx — r2) со] dn = -T-rю2dco \\\ exp [ко (tx — *2)] X
X [dr1dr2 — (пйг^ (ndr2)] exp [— i (n, rx — r2) со] dn =
= ? со* dco jj [dr, dv2 + (drjg) (dr2Vg)] -^ e xp [to fo -
Так как эффективные значения g велики по сравнению с еди-
единицей, то в A) можно не дифференцировать l/g:
X [V.V, - (Vl'ri-;^n-r2)]sin g. B)
Здесь
C)
* Докл. АН СССР, 1953, 92, 735.
117

Представим V (t.2 + т) в следующем виде:
v (tt v A ?
= yt[i--2-l + b, v2eT = o,
где вт — угол многократного рассеяния за время т. Выражения
C) и D) дают
Пользуясь малостью 8 и вводя переменные 71 = ?2, ^ — /2 = г,
приводим B) к виду
оо оо
—оо —оо
. E)
Черта означает усреднение по всем углам 6Т. Если пренебречь
% под знаком синуса, то из E), пользуясь теорией многократного
рассеяния [2], получим обычную формулу Б. — Г. в области
Теряемая в единицу времени в интервале dco энергия равна
2corf(o
dt
е*(й а® г at
= ^r~ \ —
X
v-
sin со
Vt —
fJeTdt)M
It J •
F)
Точное проведение усреднения в F) затруднительно ввиду того,
что усредняемая величина 0Т входит под знаком синуса. Поэтому
для оценки порядка величины мы заменим все члены в F) в от-
отдельности на их средние значения, пользуясь [2]:
о о
118

Пользуясь G), имеем
оо
а/ ^г: тг-тъ—у— Es \ at cos со^ sin <
о
оо
е2со rf(o
dt sin
in [A - V)
Рассмотрим теперь случай, когда ы<^Е2/Е0. Интеграл, вхо-
дящии в (о), равен" 1/ -тт 1/ • ^2 » а/ оказывается порядка
2я rf(o
"Г
Отсюда определяется число испущенных в единицу времени кван~
тов в интервале частоты do):
Так как условие со <^ Е2/Е0 всегда будет удовлетворено для:
квантов достаточно малой энергии, то из A0) следует, что инфра-
инфракрасная катастрофа в тормозном излучении никогда не имеет
места, так как при со ->¦ 0 спектр из dco/co перестраивается в
dco/j/lo! Полное число излученных квантов тем самым оказывает-
оказывается конечным.
Переходя к случаю, когда со ~ Е, необходимо пользоваться
квантовым рассмотрением. Точное проведение его связано с труд-
трудными вычислениями. Поэтому мы ограничимсятолько оценками,,
справедливыми по порядку величины.
В матричный элемент, определяющий излучение, входит су-
существенным множителем выражение
exp[i(p-p'-K,r)], (И>
где р — импульс электрона до излучения, р' — после него, К —
импульс кванта. Учитывая малость углов между К, р и р', рас-
рассмотрим сперва случай, когда они все параллельны. Разность
р — р' — К равна т2К/2ЕЕ'. Поэтому г8ф порядка

p, p' меняются из-за многократного рассеяния. Проекции р, р'
на направление К на расстоянии гэф меняются на величину
^~Р"~Т^' ^""^"~Г^ соответственно- С учетом этого A1) при-
приобретает вид
. тЧК . r EsK
е *ЕЕ' е *EE'L . A3)
гэф равно
' ЕЕ' -,/ЕоК
~—~ri4rV IF'
если Е0К/ЕЕ'<^1, и равно A2), если ЕОК1ЕЕГ >> 1. Таким обра-
образом, если Е' < Ео, К ^ Е, то соответствующий акт излучения
будет следовать Б.—Г., в противном случае матричный элемент
будет меньше, чем у Б. — Г.:
A5)
Вероятность испускания кванта данного направления приобре-
приобретает вид
Ш _. ЦТ ЕоК (IQ)
Однако телесный угол, в пределах которого испускаются
кванты, возрастает. Есл и угол между Кир равен Ф, то в A1) появ-
появляется множитель е[Кг^г . Согласно A4) этот множитель не бу-
будет уменьшать излучения вплоть до '&2 порядка
т% л/'ЕЕ' ft2 i/EEf (\1\
МГ У -Ш = *ь.-г.у тп; . A7)
(Выражение для ^2в.—г. легко получается из A2)).
Поэтому проинтегрированная по всем направлениям кванта
вероятность излучения имеет вид
AdK = dKAB.-rJ/ -j^rr ~ -j-~ у EKEr - \Щ
Дифференциальное число квантов имеет минимум при К = Е/2.
Когда Е — К ~ Ео, А переходит в выражение Б. — Г.
Полное число излученных квантов в единицу времени конечно
и равно
Е
\А<1К = а±1/-^-, ae~i. A9)
120

Энергия /, излученная в единицу времени:
Е
^Y ^ Ь~1. B0>
Из B0) мы заключаем, что длина, на которой излучается энергия
порядка Е, растет с ростом энергии пропорционально уЕ. По-
Потери энергии на единицу длины пропорциональны не Е, как у
Б. — Г., a YE. Проникающая способность электронов и позитро-
позитронов растет, когда Е ^> Ео. Вероятность образования пар у-к
тами в соответствии с A8) равна
dA
У
Если Е_, Е+ ^ Ео, то dAy переходит в выражение Б. — Г.
Интегрирование B1) дает полную, вероятность образования
пар Ау за единицу времени
Пробег квантов также растет пропорционально корню квадрат-
квадратному из энергии квантов.
Согласно B0) и B2), когда Е/Ео, К/Ео ~ 300 -ь 500, пробег
«мягкой компоненты» в веществах типа свинца становится рав-
равным 10—15 см и сравнивается с пробегом нуклонов большой
энергии. При сверхвысоких энергиях мягкая компонента приобре-
приобретает свойства жесткой компоненты.
Так как инфракрасная «катастрофа» отсутствует, то должны
быть изменены выражения для радиационных поправок к различ-
различным процессам (упругому рассеянию электронов ядрами, комп-
тон-эффекту, рассеянию электронов электронами), для кото-
которых важное значение имело существование инфракрасной ката~
строфы.
Академия наук СССР Получено 22 июля 1953 г-
ЛИТЕРАТУРА
1. Л. Ландау, И. Померанцу к. Докл. АН СССР, 1953, 92, 535. (Собр. трудов^
№ 51).
2. См., например, Б. Росси, К. Грейзен. Взаимодействие космических лу-
лучей с веществом. М., ИЛ, 1948, стр. 44.

53
О ПРЕДЕЛАХ ПРИМЕНИМОСТИ ТЕОРИИ
ПЕРЕХОДНОГО ИЗЛУЧЕНИЯ*
Совместно с Г. М. Гарибяном
1. При прохождении заряженной частицы из одной среды в
другую происходит перестройка поля частицы, в результате
которой часть поля отрывается от частицы, т. е. образуется пере-
переходное излучение [1], при этом основная доля этого излучения
испускается в крайнерелятивистском случае вперед по направ-
направлению движения частицы [2]. Если частица входит, например,
из вакуума в среду, то спектральное распределение интенсивности
переходного излучения постоянно в интервале от оптических
частот до граничной частоты согр = ( }^б/2) JS/(xc2, где or = AnNe2im,
Е и \i — полная энергия и масса покоя частицы. При этом суще-
существенным является то обстоятельство, что переходное излучение
определенной частоты отрывается от поля частицы не сразу после
прохождения границы раздела сред, а через некоторое время,
т. е. имеется зона формирования переходного кванта. Очевидно,
что для образования переходного кванта существенно, чтобы на
длине этой зоны формирования траектория частицы была бы прямо-
прямолинейной, так как задача о переходном излучения решается имен-
именно в таком предположении. Зона формирования кванта частоты
со равна [2] (с/со) [(\ic2/EJ + о/2(о2]"г. Из этой формулы видно,
что зона формирования переходного излучения для некоторых
частот может оказаться весьма большой, откуда следует, что много-
многократное рассеяние приведет в некоторой части спектра к расстрой-
расстройству процесса излучения.
Таким образом, если поляризационные свойства среды приво-
приводят к появлению переходного излучения, то учет многократного
рассеяния (т. е. опять-таки наличие среды) может привести
к тому, что обычный механизм этого излучения нарушится.
2. Если без учета многократного рассеяния траектория час-
частицы задавалась вектором v?, то теперь она будет задаваться не-
некоторым вектором r(t). В экспонентах фурье-интегралов мы будем
иметь член kr (t), который, как показано в [3], даст лишнее сла-
слагаемое
t
* ЖЭТФ, 1959, 37, 1828.
122

где Ot — угол многократного рассеяния. Так же как в [3], заме-
заменим Э*2 на средний квадрат угла многократного рассеяния и под-
подставим для t время, необходимое, чтобы сформировался квант
частоты о>. Обычные формулы для переходного излучения переста-
перестанут быть применимыми, если это слагаемое окажется порядка или
больше единицы:
«L (^±У ±
y - з/2о>* J
± L (^±У ± Г
4 с \ Е j L [(\icVE
где L — радиационная единица длины, Es = 21 Мэв. Последнюю-
формулу можно представить в виде
^ B)
При этом надо учитывать, что ши?в этом неравенстве не произ-
произвольны, а подчинены условию со ^ (Yo/2)Eliic2.
Принимая во внимание, что для Е/\хс2 ^ 1 левая часть формулы
B) положительна и что корни выражения B) комплексны при
со < (8aL/c) (\xcVEs)\ C>
легко видеть, что многократное рассеяние не будет влиять на фор-
формирование квантов с частотами, удовлетворяющими условию C)t
независимо от энергии частицы. Если же окажется, что согр <С
< (8aL/c) (\xc2/Es)\ т. е.
E/\ic* < EJiic* = A6L Ya/c) (fxc2/?8)S D>
то многократное рассеяние не будет влиять на излучение переход-
переходных квантов всех испускаемых частицей частот.
Пусть теперь неравенство D) не выполняется, и рассмотрим
излучение квантов с частотами, не удовлетворяющими*условию
C). Из'двух корней выражения B) (разрешенного относительно со)
к нашей задаче имеет отношение корень
Ь[сL', E)
удовлетворяющий условию ыг < согр. Таким образом, при
©i << со < о)гр F)
влияние многократного рассеяния существенно. Следовательно»
при невыполнении условия D) частица излучает переходные кван-
кванты до частоты ~ Oj, согласно обычным формулам для переходного
излучения. Излученная в этом интервале частот энергия будет
порядка
ш/*(Ыс)"\ G)
123

тогда как число квантов
Таким образом, учет влияния многократного рассеяния факти-
фактически приводит к тому, что в спектре переходного излучения бу-
будут, грубо говоря, отсутствовать частоты, большие сох (так как
для этих частот нарушается когерентность излучения с разных
участков траектории), тогда как число переходных квантов ос-
останется почти неизменным.
Отметим также, что в отличие от тормозного излучения, когда
многократное рассеяние не оказывало влияния на излучение
квантов предельно большой энергии (близких к энергии частицы),
в переходном излучении многократное рассеяние при Е ^> Ег
всегда расстраивает излучение квантов с частотами, близкими к
граничной частоте.
3. Так как одновременно с переходным излучением в веществе
будет генерироваться и тормозное излучение, то представляет
интерес сравнить число тормозных и переходных квантов в соот-
соответствующих интервалах частот. При этом надо обязательно учи-
учитывать влияние поляризации среды и многократного рассеяния
[3—6] на тормозное излучение.
Если энергия частицы удовлетворяет условию D), то для числа
тормозных квантов, испущенных в единицу времени в интервале
частот от оптических до согр, имеем формулу [4], учитывающую
влияние поляризации среды на тормозное излучение:
' F \2 га2
m
Число же тормозных квантов, испущенных в зоне формирования
переходного излучения, будет равно
^ *"" 137 6jt l
Это число надо сравнить с числом переходных квантов [2]
Из последних двух формул видно, что число переходных квантов
больше числа тормозных квантов. Даже для частиц с энергиями,
близкими к Ех, число переходных квантов примерно в In (El\ic2)
раз больше числа тормозных квантов.
Пусть теперь Е > Ех. Тогда для частот, меньших аI, остается
справедливой формула (9), в которой вместо согр надо подставить
<ох. В результате для числа тормозных квантов, испущенных в зоне
124

формирования переходных квантов до частот ~ (ог, получим вы-
выражение
ЛГ = 1/137- 12я. A2)
Для переходного же излучения получим следующее число
квантов:
™2~ 137 3jt
Мы видим, что переходных квантов опять больше числа тормоз-
тормозных квантов.
В заключение отметим, что, строго говоря, переходное излу-
излучение надо было бы сравнивать не с обычными формулами для
тормозного излучения, рассчитанными в предположении беско-
бесконечной однородной среды и учитывающими многократное рассея-
рассеяние, а с формулами, в которых учтено также влияние границы
раздела сред на тормозное излучение.
Физический институт Получено
Академии наук Армянской ССР. 4 сентября 1959 г.
Институт теоретической
и экспериментальной физики
Академии наук СССР
ЛИТЕРАТУРА
1. В. Л. Гинзбург, И. М. Франк. ЖЭТФ, 1946, 16, 15.
2. Г. М. Гарибян. ЖЭТФ, 1959, 37, 527.
3. Л. Д. Ландау, И. Я. Померанчук. Докл. АН СССР, 1953, 92, 535, 735
(Собр. трудов, № 51, 52).
4. М. Л. "
4. М. Л. Тер-Микаелян. Докл. АН СССР, 1954, 94, 1033.
5. А. Б. Мигдал. Докл. АН СССР, 1954, 96, 49.
6. Е. Л. Фейнберг. УФН, 1956, 68, 193.

Ill
КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ ПОЛЕЙ
54
КУЛОНОВСКИЕ СИЛЫ
И СТРОЕНИЕ НЕЙТРОНА*
Согласно представлениям мезонной теории ядерных сил, поле
ядерных сил должно быть ассоциировано с заряженными части-
частицами —мезонами, обмениваясь которыми тяжелые элементар-
элементарные частицы взаимодействуют между собой. В настоящее время
свойства мезонов мало известны. Однако из имеющихся экспери-
экспериментальных данных [1—3] можно вывести, что спин мезонов не
может быть равным единице. Если не вводить обмен сразу парами
мезонов, то необходимо рассматривать частицы с целым спином.
Исключая спин единица, мы имеем в своем распоряжении только*
две возможности — так называемые скалярные и псевдоскаляр-
псевдоскалярные мезоны.
В отсутствие источников (протонов или нейтронов) мезонное
поле со спином нуль определяется уравнением Клейна — Гор-
Гордона — Шредингера — Фока
(*JLJ|,f A)
где h — постоянная Планка, деленная на 2я; с — скорость света;
т — покоящаяся масса; А — вектор-потенциал электромагнит-
электромагнитного поля; ф — его скалярный потенциал.
Применим уравнение A) к рассмотрению мезонного поля^,
окружающего тяжелые частицы. Очевидно, что в случае протона
мы должны положить ф и А равными нулю, так как общий заряд,
системы равен единице, причем этот единичный заряд то находит-
находится в тяжелой частице в состоянии протона, то находится в мезон-
ном поле, а тяжелая частица при этом находится в состоянии
* Докл. АН СССР, 1943, 41, 162. (Представлено академиком С. И. Вавиловым
8 июня 1943 г.)
126

нейтрона. Мезонное поле, окружающее протон, определяется та-
таким образом уравнением
— ftV2Ai|) -f /Л4г|) = - ft2 Ц- = е2^. B)
Зависимость г|э от времени определяется выражением
$ = %е~ПТ. C)
Очевидно, что в B) е может принимать любое значение. Величина
г определяется из разницы масс протона и нейтрона, так как
плотность источников р мезонного поля составлена из волновых
функций протона Фр и нейтрона Фп обычным образом:
р « Ф*п1Фр = Ф^^ФР0 exp [HE\Ep)t] , D)
где L — некоторый оператор, который зависит от того, являются
ли мезоны скалярными или псевдоскалярными [4, 5]. Существенно
то, что этот оператор не содержит зависящего от времени мно-
множителя. Комбинируя C) и D), имеем
|е| = |Я«-?р|. E)
Оказывается, что е совершенно однозначно определяется из
уравнения A), если его применить к описанию мезонного поля,
окружающего нейтрон. В этом случае, в отличие от протона,
фи Ане равны нулю, так как мезонное поле и тяжелая частица
обладают общим зарядом, равным нулю, причем нейтрон превра-
превращается в протон и отрицательный мезон, между которыми сущест-
существуют электромагнитные взаимодействия. Применим A) к этому
случаю, полагая А в первом приближении равным нулю и ср —
ss= ег1г, где г — расстояние до источника поля, е — заряд элек-
электрона.
Решения полученного таким образом уравнения неоднократно
исследовались (см.. например, [6]). г|э0 в состояниях с наименьшей
энергией имеет вид:
f^f — &А, F)
(орбитальный момент 1 — 0). Обычно у, соответствующее отри-
отрицательному значению корня, отбрасывают. Действительно, к
проблеме водородного атома это решение не имеет отношения.
В нашем же случае именно это решение дает нам мезонное поле
вокруг нейтрона:
V\ a2 1 + «2 (8)
127

б2
Что касается е, то при этом у она оказывается равной -г— тс2
(с точностью до а3):
-е = 4-™2. (9)
Эта величина удовлетворительно передает разность масс протона
и нейтрона и по величине, и по знаку, если т ?^ 200 т0, где
т0 — электронная масса х. С помощью (9) и (8) найдем г|з0:
4. 1 Г rmc
const в^Р[
о 1 \1
-~ а ТJ J • A0)
Это выражение с точностью до величин ~ а2 совпадает с «обычным»
мезонным потенциалом в случае скалярных мезонов, который
получается, например, применением методов теории возмуще-
возмущения (Юкава). Отсюда следует, что именно у из (8) должно быть
взято для того, чтобы получить мезонное поле нейтрона.
До сих пор мы пренебрегали действием магнитного поля спина
протона. Учитывая сферическую симметричность гр0 и сопостав-
сопоставляя протону дираковское значение магнитного момента, получаем
уравнение
-j^L— [sr]2 i|) = (е - *рJ г|>, (И)
где sx, sy, sz — матрицы Паули, они действуют на спиновую пере-
переменную протона; М — масса протона. Рассматривая последний
член слева как малое возмущение, находим Де:
еЧ* \ г|)*
[sr]2
-pr-
ф f 8о+ —
Числитель в A2) расходится при малых г как 1/г3. Очевидно, что
^min 3^> h/Mc, так как поле спина при г ^ %1Мс будет значи-
значительно меньше, чем по формуле А = eh [sr] / 2Mcr3.
Л ^ 2
- Ае<т
ШЧЧ-ГР [ In — +
Таким образом, положение нейтронного уровня у скалярного
мезона меняется магнитным взаимодействием несущественно. Мы
видим, что поведение скалярных мезонов дает возможность не-
непосредственно количественно объяснить разность масс нейтрона
и протона.
Если аналогично рассмотреть положение с псевдоскалярными
мезонами, то необходимо обратиться к состояниям с орбитальным
1 т ^ 200 т0 является наиболее вероятным результатом опытных измеренвй
массы мезона.
128

моментом 1=1. Вместо (9) в этом случае мы получаем для е (не
учитывая магнитного поля спина) значение
?о<О, \го\ = ±атс\ A3)
Магнитное поле спина ухудшает положение. Применяя к A) тео-
теорию возмущения и учитывая наличие орбитального момента,
имеем
dx
— • A4)
Выражение для Де расходится при малых г. По тем же причинам,
что и в A2),rmin должно быть ^> hIMc. Учитывая, что г|) при
гтс
е ~
г <^ hlmc имеет вид const — р (cos 0, ср), легко получить
следующее выражение:
а о h he °
mm
где \iz — магнитное квантовое число мезона* Если спин ней-
нейтрона равен 1/2 (как это обычно принимается), тогда при
s2 = 1 \iz = 1, так как для отрицательного заряда, как известно,
собственные значения умножаются на отрицательную плотность.
При \iz = 1 проекция момента мезона будет — Й, что совместно
с sz = 1 дает полный момент нейтрона, равный 1/2Й:
^° " " ЪМс а га1.п '
Где Гтш есть то минимальное расстояние, до которого имеет
смысл интегрировать в A4): h/Mc <^гт\п<^ hlmc.
Но даже если вместо rmin подставить hlmc, то для Де полу-
получается
Тг 1 тп2с^ m ^ тс^ о о Л1Л71 ^, <уг\г\ „м\
—" On s—-^ U\J\J rVOO).
Существенно, что Де > 0, поэтому е + е0 ]> 0, т. е. нейтрон дол-
должен иметь массу, меньшую, чем протон. Псевдоскалярные ме-
мезоны дают неправильное значение для разности масс нейтрона
и протона.
Обращаясь к аномальным моментам нейтрона и протона, сле-
следует указать, что псевдоскалярные мезоны дают момент примерно
в 100 раз больше требуемого. Аномальный момент к оказывается
равным
ehc У i ~d^dxeke
5 И. Я. Померанчук, т. И 129

Даже если rmin ^ HI Me, \ к \ — 274/с0, к0 — протонный магнит-
магнитный момент согласно Дираку. На самом деле rmill, вероятно,
больше, чем Н1Мс\ во всяком случае, если rmm <^ TilMc, то нужно
учитывать движение протона. Псевдоскалярные мезоны дают
неправильный по порядку величины аномальный магнитный мо-
момент наряду с неправильным значением массы нейтрона.
Если спин нейтрона был бы равен 3/2, то знак разности масс
был бы у всех псевдоскалярных мезонов правильный [Де в A4)
было бы < 0].
Мы приходим к заключению, что одни псевдоскалярные мезоны
не могут дать объяснения свойств нейтрона. Обращаясь снова
к скалярным мезонам, следует отметить, что, вопреки широко
распространенным взглядам, они дают аномальный магнитный
момент правильного порядка величин, но, по-видимому, не равного
нейтронному. Существование такого своеобразного момента вы-
вызывается действием на мезонное состояние магнитного поля спи-
спина протона. В самом деле, при наличии внешнего магнитного поля
мы вместо (И) имеем
i 2 4 е^1
•([sr] [Вг])-ь- = (е —.
1 2Мс
(следует помнить о сферической симметрии г^). Последний член
слева дает магнитный момент, равный
вк = •—. -г-, = теш
Полученный момент не соответствует экспериментальным данным,
хотя правилен по порядку величины. Мы сталкиваемся здесь с
существенной трудностью. Быть может, необходимо рассматри-
рассматривать взаимодействие тяжелых частиц сразу с несколькими мезо-
мезонами.
Физический институт им. П. Н. Лебедева Получено 8 июня 1943 г.
Академии наук СССР
ЛИТЕРАТУРА
1. М. Schein, P. Gill. Rev. Mod. Phys., 1939, И, 267.
2. R. F. Christ, S. Kusaka. Phys. Rev., 1941, 59, 414.
3. J. R. Op/enheimer. Phys. Rev., 1941, 59, 462.
4. Pauli. Rev. Mod. Phys., 1941, 13, 203.
5. AT. Kemmer. Proc. Roy. Soc. A, 1938, 166, 127.
6. Луи де Бройль. Магнитный электрон. Харьков, 1936, стр. 80—81.

00
РАССЕЯНИЕ МЕЗОНОВ,
СИЛЬНО ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ С НУКЛОНАМИ*
Как известно, для описания взаимодействия между мезонами
и нуклонами нельзя применять теорию возмущений. Рассматри-
Рассматривая псевдоскалярные мезоны, Паули и Данков использовали
метод для описания взаимодействия нуклонов с мезонным полем,
дающим возможность не прибегать к теории возмущений. В фор-
формулы, полученные Паули и Данковым (эффективное сечение для
рассеяния мезонов протоном или нейтроном, аномальный магнит-
магнитный момент и собственная «мезонная» энергия нуклонов), входит
некоторая длина а — размеров источника (нуклона). Считая ее
равной комптоновской длине волны протона h/Mc, Паули и Дан-
Данков, получают удовлетворительные результаты для рассеяния
мезонов и магнитного момента нуклонов. Однако следует отме-
отметить, что при этой величине а собственная энергия Е по абсо-
абсолютной величине оказывается значительно больше, чем Мс2.
Согласно формуле F3) [1]
Из формулы A4) [1] следует, что / > 1/а3
Подставляя сюда g2/yia = 7 [1] и полагая массу мезона равной
1/10 массы протона, мы получим при а = hiMc
\Е\ > -j- • 1-ЮМс2 = 52,5Д/са. C)
Этот результат показывает, что выбор а, сделанный в [1],
приводит к трудностям, связанным с необходимостью рассмотре-
рассмотрения собственной массы нуклона. Вопрос о собственной массе мог
бы не играть роли только в том случае, если бы уравнение A)
давало Е порядка Мс2 или меньше. Оправдание выбора а в [1]
может быть сделано только при рассмотрении собственной массы
нуклона.
* Докл. АН СССР, 1944, 44, 13. (Представлено академиком А. И. Алихановым
10 ноября 1943 г.)
5* 131

Если, наоборот, исходить из [1] и выбирать а из требования,
чтобы Е было порядка Мс2, тогда эффективное сечение рассеяния
q = бяа2 (формула A04с) [1]) оказывается равным:
4т?-
х2 Мс
Аномальный магнитный момент (формула A26) [1]) при а,
взятом из D), оказывается равным.
z Збх к
Приравнивая (G) наблюдаемому магнитному моменту нейтрона
A,93 протонного момента), находим
g = 2,5. G)
Подставляя G) в E), находим
q = 4-Ю-25 см2. (8)
Согласно имеющимся экспериментальным данным [2], наблю-
наблюдаемое аномальное рассеяние мезонов соответствует в 1000 раз
меньшему эффективному сечению (q = 5- 10~2s см2). Таким образом,
удовлетворительное рассмотрение рассеяния мезонов нуклонами
в рамках существующих теоретических представлений делается
невозможным, если не входить при этом в детали теории собствен-
собственной массы нуклонов.
Физико-технический институт Получено 11 декабря 1943 г.
Академии наук СССР.
Ленинград
ЛИТЕРАТУРА
1. W. Pauli, S. Dattcoff. Phys. Rev., 1942, 62, 85.
2. В. Р. Shutt. Phys. Rev., 1942, 61, 6.

56
ОБОБЩЕНИЕ ПРЕДЕЛЬНОГО ^-ПРОЦЕССА
И НЕОДНОЗНАЧНОСТЬ В УСТРАНЕНИИ БЕСКОНЕЧНОСТЕЙ
КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ЧАСТИЦ*
Представляется возможным так обобщить предельный Я-процесс Вен-
целя — Дирака, чтобы освободить теорию от всех расходящихся выраже-
выражений (включая и логарифмические). Однако это может быть сделано различ-
различными способами, что приводит к различным конечным выражениям для.
собственной энергии частиц.
Как известно, Венцель [1] обнаружил существование некоторо-
некоторого предельного процесса, приводящего к уравнениям классическо-
классического поля, свободным от расходимостей. Дирак [2] перевел этот про-
процесс на квантовый язык, заменяя обычные соотношения коммута-
коммутации для фурье-компонент поля
[a(k),a(l)J =6kl A)
соотнош ениями
[a (k), a(l)) = dklcos/d, B)
где к = (к, Я4). При А,->0 B) переходит в A).
Здесь а (к) связано с оператором поля ф обычным образом:
Ф = 2 у==- [а (к) exp [i (кг - со*)] + а (к) ехр [- i (кг - со*)] ]. C)
Формулы C) и A) имеют место в таком виде только для скалярного
поля. Их обобщение на случай более общих полей не приносит
с собой принципиально новых моментов, поэтому в этом сообще-
сообщении рассматривается только случай скалярного поля.
С помощью B) удается устранить все классические бесконеч-
бесконечности, т. е. бесконечности, которые получаются уже при чисто
классическом рассмотрении как частиц, так и поля ф. Эти класси-
классические бесконечности приводят к интегралам:
2ndk = oo D)
* ЖЭТФ, 1947, 17, 667; Phys. Rev., 1949, 76, 298.
133

в случае A) и
оо
j 2* = 0 D')
в случае B) [3, стр. 202].
При переходе к квантовой теории задача заключается в решении
системы квантовых уравнений, описывающих взаимодействие
«частиц» с полем ф. Считая «частицы» имеющими спин V2, мы при-
приходим к уравнениям (в естественных единицах):
Еслд поле ф квантовать, а я|) не квантовать, т. е. не заполнять
отрицательных состояний «частиц», то, кроме классических (чет-
(четных) бесконечностей, возникают, как правило, и «квантовые бес-
бесконечности» благодаря нулевым колебаниям поля (поперечная мас-
масса, Валлер [4]). Эти бесконечности проявляются в виде интегралов:
ft2"+ld& = oo F)
о
при пользовании A) и
ос
lim \ /,-2"+ld*CDsA*4 = (-)n+1 B";~21)! -> эо. G)
Таким образом, Х-процесс Венцеля — Дирака не устраняет
квантовых бесконечностей. Именно поэтому Дирак [5] предложил
рассматривать отрицательные вероятности, приводящие к замене
пределов интегрирования от нуля до оо пределами от — оо до оо.
Однако при этом возникают существенные трудности в интерпре-
интерпретации, делающие введение отрицательных вероятностей нежела-
нежелательным. Далее, отрицательные вероятности и простой Х-процесс
не уничтожают логарифмических расходимостей [3, 6].
В настоящей заметке будет показана возможность так обобщить
А-процесс, чтобы можно было суммировать наряду с классическими
также и квантовые расходящиеся интегралы. При этом, однако,
возникает существенная неоднозначность, по-видимому, сказыва-
сказывающаяся также и на «классических» интегралах D). Как и в случае
обычного Х-процесса B), мы будем менять соотношения коммута-
коммутации Ц].
Если перейти от а (к) к ф, то для ф мы имеем следующие пра-
правила коммутации в обычной форме:
[ф fa) фЫ1 = Alfa -r2), (8)
134

где г = (г, t) или в представлении Фурье [7]:
1"^:^2'^ (9)
со2 = к2 + (Л2.
При пользовании B) вместо (9) мы приходим к выражению
1Ф (>'i) Ф (г,)] = -^ J ^р sin (А, гх — г,) dk =
= 4" *Д1 ^ - Г2 + *¦) + Д1 (Г1 - Г2
Переписав A0) в виде
A1)
выясним общее выражение для Z); для этого используем требова-
требование, чтобы правая часть A1) не содержала второй А2 функции
[7] (напомним, что наличие А2 лишило бы уравнения смысла, так
как величины, входящие в уравнения, нигде не коммутировали бы,
т. е. не существовало бы вообще никаких решений; см. Блох [8]
и Марков [9]).
Так как Д2 определяется выражением [7]
= CSF$'
cos(/<;, ri —
то D должно иметь вид
D = 2iAn(ln) cos кХп, A2)
п
где ка — произвольные четырехмерные векторы, удовлетворя-
удовлетворяющие условию
^=^n_-A42,t<0, A3)
если мы хотим, чтобы классические бесконечности оказывались
равными нулю (см. ниже B0)). Сумма в A2) может содержать и
интегралы по X. Величины А (А,,г) подчинены условию
24@)=1 A4)
п
(при hn = 0 осуществляется переход к обычной теории).
Фактор A2) приводит к следующим соотношениям коммутации
для ср:
1Ф ('г), Ф (г*)] = \ 2 А (К) {&i (/ - г2 + К) + Ai (r± -Ч- К)).
A5)
135

Векторы Хп должны быть такими, чтобы сумма или интеграл, стоя-
стоящие в A5), обращались в нуль в какой-то области пространства
г, t. Этому требованию легко удовлетворить, выбрав, например,
все Хп меньшими некоторой определенной величины. Заметим, что
A2) есть наиболее общий вид, только если мы ограничиваемся функ-
функциями, разложимыми в сумму (интеграл) Фурье. Использование
функций, неразложимых в такие суммы (интегралы), заслуживает
отдельного рассмотрения.
С помощью A2) четные (классические) бесконечности уничто-
уничтожаются каждым членом в отдельности. Для уничтожения нечет-
нечетных бесконечностей мы постараемся так подобрать величины А,
чтобы различные члены в сумме A2) давали результаты, сокраща-
сокращающиеся друг с другом. Проиллюстрируем это следующим приме-
примером. Найдем Z), уничтожающее все четные и первую нечетную бес-
бесконечность. Для этого рассмотрим выражение
D = — cos кХ — 4- cos 4- кХ. A6)
О О i-i
Переходим в систему координат, где только Х± =f= 0:
Гк ^ Л 1 OOXl /1-74
D = -у cos <оА,4 cos -j- . A7)
Пусть (ради простоты) покоящаяся масса \х у квантов поля ср
равна нулю (со = к)
ее оо оо
[ Dk dk = -1 \ к cos ккл dk - -L \ к cos i|± dk =
0 0 0
_^_AJ_ i _L_J__o
(см. [З, стр. 202]).
В общем виде, если мы хотим уничтожить первые р нечетных
расходимостей, то А должны удовлетворять равенствам (если все
кп имеют не равную нулю только компоненту А,4)
2^ = °' т=1,...,р-1. A8)
Таким образом, не вводя отрицательных вероятностей, простым
обобщением Х-процесса можно освободить теорию от нечетных бес-
бесконечностей.
Однако сразу же мы наталкиваемся здесь на существенную
неоднозначность теории. Условие, чтобы теория не содержала
нечетных бесконечностей, может быть удовлетворено и в том слу-
случае, если A8) заменяется условием
'т^Т? =5- т = 0,1,...,р-1, A8')
136

где Вт — произвольное конечное число. В частности, вместо A7)
можно рассмотреть следующее выражение (В — произвольное
число):
i
= -i cos/Л - -L (Ч - -i m2) cos
С Г_1 Cos kl - 4- A + 4- #^ cos
С Г
Неоднозначность теории имеет место, по-видимому, также и при
рассмотрении классических (четных) бесконечностей. Можно так
подобрать D (к), чтобы придать любое конечное значение инте-
ос
гралу \ D (к) dk. Но для этого нужно рассматривать наряду с вре-
мениподобными векторами К также и пространственнопол блые
векторы [х:
В самом деле,
оо к
\ ~w cos (kjw — w;j4) — 2я V dA: \ sin 0 dQ cos (|i/i c>s G — cou4) =
= 1Г \ 4r lsin (^ + ^^ + sin (jifr - coii4)]. A9)
0
Ради простоты будем считать, что со = к.
Если \i У> |ы4, A9) оказывается равным 2я2/|л. Если бы \i было
времениподобным вектором (типа X, A3)), то A9) давало бы нуль.
оо
Отсюда D-фактор, дающий интегралу J dkD(k) любое значение,
очевидно, имеет вид о
т>
О = cos k% + ^—г у jli2 — jji2 cos А-ц,
22>0
— произвольное число;
\ *-[cosA-X+ ^fi?^J
Устремляя ц к нулю, мы получаем в пределе любое число между
О ж В.
В общем виде мы можем рассматривать вместо A2) следующее
137

выражение для D:
D = S iAn (К) cos kkn + Fn (ц„) cos jinfr}, B1)
о
Если мы хотим для классического интеграла J dk получить
о
любое конечное значение, мы должны подчинить D условию (если
все \in имеют р,4 = 0):
Ит 2 ^ = В. B2)
В случае нечетных (квантовых) расходимостей мы приходим к ус-
условию
Как и в случае обычного ^-процесса, в пределе кп -> 0, |ып ->• О
теория становится релятивистски инвариантной и примыкает к
обычно рассматриваемой системе уравнений, но из которых изъяты
четные и нечетные бесконечности.
Однако согласно B0) при пользовании векторами \in результат
зависит от способа устремления \in к нулю. Это, возможно, указы-
указывает на незаконность употребления пространственноподобных
векторов. Паули (частное сообщение) предложил усреднить B0')
по поверхности четырехмерного гиперболоида >2 = | р»2 | — И^ =
= s2 = const; | [л | = s ch %, |ы4 = s sh %:
V1-
(Элемент площади гиперболоида равен ch2%d%dQ [14].) Такое инва-
инвариантное усреднение дает для классического расходящегося инте-
оо
грала J dk нуль,
о
Недавно Густафсон [10, 11] применил к устранению расходи-
расходимостей новый метод решения гиперболических уравнений, пред-
предложенный М. Риссом [12]. Густафсону удалось устранить наряду
с четными (классическими) также и нечетные бесконечности. В ме-
методе Рисса применяется некоторый предельный процесс. Вопрос
о соотношении предельного процесса Рисса — Густафсона с обоб-
обобщенным предельным Я-процессом пока не ясен.
В заключение мы рассмотрим еще логарифмические расходи-
расходимости, возникающие при наиболее последовательном решении E),
а именно, когда и ф есть оператор, и if есть оператор (иначе, за-
138

полнение вакуума отрицательными состояниями и рассмотрение
эффектов «поляризации» вакуума). При этом возникают интегралы
типа
B3)
13, стр. 2031.
Обычный ^-процесс и отрицательные вероятности не устраняют
логарифмической расходимости этого интеграла. Обобщенный
Я-процесс легко может это сделать. Проиллюстрируем это приме-
примерами. D-фактор, уничтожающий все четные расходимости и лога-
логарифмическую, имеет вид (после перехода в систему координат, где
у X остается только четвертая компонента Я4):
D = 2 cos kX — cos aX2k, D @) = 1; B4)
С" г/ к-
lim \ {2 cjs IA - cos аХЧ-} =
=-[]nf -HT-lne],B5)
где у — постоянная Эйлера [3, стр. 204].
Примером Д-фактора, уничтожающего все четные, первую не-
нечетную и логарифмическую расходимости, является следующее
выражение:
В = _! [ cos /г>„ - cos -у-] - ~ | cos а/г^2 - cos ^-] . BВ)
В общем виде для уничтожения наряду с р первыми нечетными
расходимостями, также и логарифмической расходимости необ-
необходимо к A8), B2), B2') добавить равенство
2Лп1плп = 0. B7)
и
Хотя таким образом обобщенный Я-процесс A2), B1) делает
конечными или равными нулю все расходящиеся выражения, име-
имеющиеся в теории элементарных частиц, он, как мы видели, приво-
приводит к трудностям, связанным с неоднозначностью получаемых ко-
конечных результатов. Кроме A8Г), B0'), неоднозначность появля-
появляется и в логарифмических расходимостях B3). Поясним эту «ло-
«логарифмическую» неоднозначность примером.
Возьмем наряду с B6) другое D, удовлетворяющее тем же ус-
условиям:
I) -_= 2 COS JxA п- COS -^ тг- 4 COS I. Ok6 —• С )S —k— . (-Ь)
I I b \ I i
Рассмотрим логарифмическую расходимость сначала с фактором
-B6), а затем B8). Используя B5), мы находим в случае B6) конеч-
139

ный результат, равный
)^] B9)
D-фактор B8) дает следующий конечный результат:
+r)-
C0)
Так как а и Ъ независимы, то B9) и C0) не совпадают.
В общем виде B7) может быть заменено на условие
Km 2 М (К) In Кп + F (]in) In | fin |} = B0J
где Бо — произвольное конечное число.
Мы видим, что как четные, так и нечетные и логарифмические
расходимости суммируются неоднозначным образом. В частности,
согласно A8'), B2') поперечная масса (Валлер [4], Гайтлер [13])
может быть сделана равной чему угодно. Поэтому результат Гу-
е2
стафсона [И], согласно которому поперечная масса равна — ~ъ~т>
связан со специальным выбором предельного процесса Рисса [12].
Существенная неоднозначность результатов, получаемых с по-
помощью предельных процессов A2), B1), указывает либо на их
непригодность для решения фундаментальных трудностей теории
элементарных частиц, либо на необходимость дополнить их новыми
постулатами — «правилами отбора».
В заключение я хотел бы поблагодарить профессора В. Паули
за дискуссию по поводу результатов, полученных в работе.
Академия наук СССР Получено 10 декабря 1946 г.
ЛИТЕРАТУРА
1. В. Wentzel. Zs. f. Phys., 1933, 86, 479, 635; 1934, 87, 726.
2. P. A. M. Dirac. Ann. de l'lnst. Poincare, 1939, 9, 13.
3. W. Pauli. Rev. Mod. Phys., 1943, 15, 175.
4. /. Waller. Zs. f. Phys., 1930, 62, 673.
5. P. A. M. Dirac. Proc. Roy. Soc, A, 1942, 180, 1.
6. V. Weisskopf. Zs. f. Phys., 1934, 89, 90; Phys. Rev., 1939, 56, 72.
7. W. Pauli. Rev. Mod. Phys., 1941, 13, 203.
8. F. Blorh. Phys. Zs. Sowjet., 1934, 5, 301.
9. M. Markov. J. Phys. USSR,, 1946, 10, 333.
10. T. Gustafson. Nature, 1946, 157, 734.
11. Г. Gustafson. Nature, 1946, 158, 273.
12. M. Riesz. Congress Internat. d. math. Oslo, 1936, 11, 44; Confer, a la Reun.
Internat. d. Math, a Paris, 1937.
13. W. Heitler. The quantum theory of radiation. Ed. 2fh. Oxford, 1944, p. 183»

57
ПЕРЕЕЮРМИРОВКА МАССЫ
И ЗАРЯДА В КОВАРИАНТНЫХ УРАВНЕНИЯХ
КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ ПОЛЯ*
Совместно с Л. Д. Галаниным и Б. Л. Иоффе
В работе [1] была получена точная система ковариантных
уравнений для задачи одного нуклона, взаимодействующего с ней-
нейтральным псевдоскалярным мезонным полем. При этом, однако,
уравнения были записаны в форме, мало удобной для проведения
перенормировки собственной массы и заряда. В самом деле, мас-
массовые операторы в уравнениях для Gn и Dn появлялись там только
в результате выполнения итераций (см. [1], ф-ла A8)), что делало
затруднительным проведение перенормировок в общем виде.
Введем поэтому с самого начала в уравнения массовый оператор
М (р, р'). Уравнения запишем так:
(р - т0) G (р, р') - Гъ S<C[)(p-q)>G (q, p') d*q -
- J Л/ (A q) G (g, p') d*g = б (р - //), A)
6<Ф(/с')>!
X ?(/.",A-)d4A-d*/.-'dV.-", B)
: - (ij) D (к, h¦') - J /»(/л А") /> (Г, A') d4A" = б (/. - /,'), C)
(обозначения [1]: Ф = —^оф^ ф — внешнее мезонное поле).
Так же как ив [1], представляем функции G, Л/, В, Р в виде
функциональных рядов по <Ф (к)). После исключения б-функций,
выражающих закон сохранения импульса (см. [1]), ф-ла A0)), полу-
получим систему уравнений:
{p-/wo-Mo(p)}Go(p) = l, E)
Gn (A *!,..., sn) = Go (p) [r5 H- Mx (f, sn)] Gn-! (p — sn, sv . . ., s,^) +
n—2 n
+ G0(p) 2 Mn-m(p,sm+u . . . ,sn)Gm(p — 2 sbsv • • • '*m) (rt=hty>
F)
Докл. АН СССР, 1954. 98, 361.
141

o(k) = l, G)
П—l
Dn (/.', SX, . . . , Sn) = A, (/l) 2 *Vm (A', «m+1, •••,«„) X
n
xDm(k- 2 «»*i s») (n=hO), (8)
2 n
fl/n(p,»'lt . . . ,sn) = ^Ts^^ S \°п-т(Р + 'v%H,..,-g X
x \гь + Mi (p -f a- - S «ь '¦• ^¦ 2 si)} + S 2 Gn-i(p +
i— il l\l j+l
u+1
2
Произведем теперь в системе уравнений E) — A0) перенорми-
перенормировку массы и заряда, т. е. вместо фиктивных массы нуклола
т0, массы мезона (i0 и заряда g0 введем экспериментальные зна-
значения т, [А и g.
Заметим, что фиктивная масса нуклона т0 входит только в урав-
уравнение E) для Go, так что перенормировку массы нуклона достаточ-
достаточно произвести лишь в этом уравнении. Если экспериментальная
масса нуклона равна т, то функция Грина нуклона Go (p) должна
иметь полюс при /) = т, т. е. должно выполняться равенство
т — т0 — Мо (т) = 0. Исключая отсюда т0, приводим E)
к виду
{p_7W_ [Mo(p)-Mo(m)]}Go(p) = l. (И)
Тогда при р -» т Go (р) будет равно Go (р) = (о — т)л [1 — М'о (т)\
вместо правильного выражения Go (р) — (р — т)'1. Поступим
поэтому следующим образом: член в лагранжиане, соответствую-
соответствующий свободному движению нуклона, запишем так:
и произведем перенормировку нуклонных волновых функций:
г|) = Z-22 г))*,гр = Ъ\{* г|)*. При этом функция Грина нуклона Go (p)
142

перенормируется как Go = Z2G*0- Запишем A1) в виде
{Р - >* -(Р- w) Ml И - I Л/о (Р) - Л/о (///) -
-(p-/wK/;(w)]}Go(p) = l. A2)
Тогда ясно, что при Z%1 = 1 — Mo (ти) уравнение для G*o (p) будет
ti-m-M0(p)}Gl(p) = l, A3)
где
^о(р) = ^о(/>) - Л/о* И ~ (р-т) V'o(>»), Л/о* = Z21f0 A4)
и, следовательно, б? (р) -> (Р — иг)" при р -*- т. Тем самым пере-
перенормировка массы нуклона закончена. Совершенно аналогично
производится перенормировка массы мезона. Связь эксперимен-
экспериментальной массы мезона [i с фиктивной (х0 будет даваться уравнением
ц2 = |4 + jPo (l^2) и, если мезонные волновые функции и функцию
Грина Do (к2) перенормировать как ср = Z32 ф*, Do = Z3Dl>
7Г\ = 1 — Ро (\i2), то уравнение для перенормированной функции
D't) (к2) будет иметь вид
{Л« _ р.» — Ро (Л-»)} />; (А-*) = 1, A5)
где
Необходимо еще произвести перенормировку заряда g0. Для
того чтобы определить связь между экспериментальным зарядом
g и фиктивным зарядом g0, рассмотрим задачу о взаимодействии
нуклона с внешним мезонным полем <ф(&2)>. Если при этом нук-
нуклон можно считать свободным (р = иг), а внешнее поле слабым и
удовлетворяющим уравнению^2—[12)<ф(&2)> =0 (т. е. к2 = \х2),
то энергия взаимодействия должна выражаться через эксперимен-
экспериментальный заряд g и перенормированные функции нуклона г|э*, г|)*
и внешнее мезонное поле так *:
П] и выполнении двух равенств р = ти к2 =г- jli2 не будет сказыват^я внут-
внутренняя структура нуклона, что необходимо для определения эксперимен-
экспериментального заряда g и силы внешнего поля ср*. В электродинамике (ja = 0)
это соответствовало бы взаимодействию с полем с большими длинами волн.
В мезодинамике ср (к1) в общем случае подчиняется уравнению (к2 — |i2)cp =
=.- /, где / — нуклонный ток. Условие к2 = \х2 означает, что ф не зависит
от нуклонных токов [2]. Члены, пропорциональные (к2 — |12)пф (к2) ~
~ 1^ (/с2), вносят в B0) выражения, зависящие от нуклонного тока и его
производных, которые не могут входить в перенормировку.
143

С другой стороны, в этом случае энергия взаимодействия дол-
должна быть равна
И 1Гъ + Mi К Р)] Ф
так как взаимодействие с внешним полем описывается функцией
<?i (Р, А) <Ф (А): = ^0 (р) [г6 + ^i (р, А)! ^о (р - А) <Ф (Л)>,
в которой вместо функций Грина Go (р) и Go (p — к), соответству-
соответствующих внешним линиям, нужно подставить волновые функции
нуклонов.
Приравнивая A7) и A8) и используя связь между перенорми-
перенормированными и неперенормированными волновыми функциями, на-
находим соотношение между g и g0:
gl = ZtZ-22Z;Y, A9)
где Z71 = 1 + У5^i (m, \i) = I + L, поскольку Мх (m, [i) должно
иметь вид t5L, где L не содержит матриц у. Общее выражение для
взаимодействия нуклона с внешниммезонным полем, когда р фт
и к2 =f= |я2, должно, согласно A9), перенормироваться следующим
образом:
«ГоЧ; (Р) [Го + ЛМР, A)l if (р - /г) <Ф (*)> =
= Р^ (Р) {Гб + ^1 (Р. *)} V (Р " /О <Ф* (*)>, B0)
где
ЛГ, (л, А) - Л/; (р, А-) - М[ (т, |i), Л/; - Zx l/le B1)
Величины Gn, Dni Mn, Pn, которые являются коэффициентами
разложения функг(ий G, D, М, Р по g0 <cp>, должны перенорми-
перенормироваться таким образом, чтобы при всех членах разложения дан-
данной функции в функциональный ряд возникал один и тот же мно-
множитель. Так как g0 <ф> = ZyZ^g^y, то для Gn, Dn, Мп, Рп
получается:
Gn = Zx Z2 Gn, Dn = ZL Z2ZsDa,
B2)
л/„ = zinztlMl, pn - z;nz^pl
Подставляя A9) и B2) в уравнения E) — A0) и учитывая A3) —
A6), B0), B1), получаем следующую систему уравнений для пере-
перенормированных функций G*n, D*n, М*п, Рп (в сокращенной записи):
{/: __ т _ [Л/; (р) - Ml (т) -(р- т) Ml' (m)} Gl (р) = 1,
с« = gi [Го + лг (р, 9j - л/; (m, |i)] gu + g; 2 ^a-mc;,
m=0
144

mi
n
i = ^r zlTb\як 2 {c:_m [r, + л/;(p, ..., /.) - л/;
[P*o (A.a) __ я; ([x2) _ (A2 _ ^2) P; (^2)]} D; (A.2) _ t?
' Zx Sp r5 5 d*pGn+l. B3)
Все множители Z1? Z2, Z3 выпали из B3), за исключением Zj
в уравнениях для Мп и Рп- Наличие этого множителя обусловлено
следующим обстоятельством. Вставка вершинных частей во все
вершины диаграмм для Мп и Рп, кроме самых левых, возникает
за счет членов с Мх, стоящих в правых частях уравнений для Gn
и Мп. Перенормировка их осуществляется путем замены Мг(р, к)
на Мг (р, к) — Мх (т, [i). Вставка же вершинной части в самую
левую вершину диаграммы для Мп происходит от членов ~Мп+1.
Поэтому перенормировка таких вершинных частей должна произ-
производиться путем вычитания выражений типа Мх (т, \х) Мп. Можно
проверить, что, решая уравнения B3) методом итераций, мы полу-
получим результаты теории возмущений с учетом перенормировок,
причем метод перенормировки совпадает с развитым в работах
[3, 4]. Все бесконечности при этом сократятся.
Однако попытка обрыва системы B3) на т-м члене с последую-
последующим точным решением конечного числа уравнений наталкивается
на некоторые трудности, если М* (т, \i) является бесконечным.
Действительно, тогда бесконечные интегралы, возникающие из
множителя Zt (в уравнениях для Мп, п << гм), не будут совпадать
с интегралами от Мп+1 и имевшее место сокращение бесконечностей
нарушится. Поэтому при решении каждой конкретной оборван-
оборванной системы необходимо будет определять Zx таким образом, что-
чтобы ликвидировать все бесконечности, возникающие от левых углов
диаграмм. Отметим, что при проведении перенормировки мы ис-
использовали только чисто физические аргументы о необходимости
замены фиктивных масс и заряда на экспериментальные. Такая
замена должна быть выполнена независимо от того, конечны или
бесконечны массовый и поляризационный операторы. Вопрос
о том, исключены ли этим из теории все бесконечности или нет
(например, рассеяние мезона на мезоне), должен быть решен путем
исследования полученной системы уравнений.
Академия наук СССР По [учено 22 февраля 1934 г.
ЛИТЕРАТУРА
1. Б. Иоффе. Докл. АН СССР, 1954, 95, 761.
2. /. Ashkin, A. Simon, R. Marshak. Progr. Theor. Phys., 1950, 5, 634.
3. F. J.Dyson. Phys. Rev., 1949, 75, 1736.
4. A. Salam. Phys. Rev., 1951, 82, 217.

58
ОБ АСИМПТОТИКЕ ФУНКЦИЙ ГРИНА НУКЛОНА
II МЕЗОНА В ПСЕВДОСКАЛЯРНОЙ ТЕОРИИ
СО СЛАБЫМ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕМ*
Совместно с Л. Д. Галаниным и Б. Л. Иоффе
Рассматривается асимптотика (при | р2 | ^> т2) функций Грина нукло-
нуклона и мезона в псевдоскалярной (со скалярной связью) теории с малой констан-
константой связи. Исходными являются уравнения, предложенные в работе [1]»
В отличие от [1] производится перенормировка массы и заряда согласно мето-
методу, развитому в [2], и показывается, что этот метод устраняет все появляю-
появляющиеся в данной задаче бесконечности.
§ 1. Формулировка уравнений
В работе [2] были получены ковариантные уравнения дли
задачи одного нуклона, взаимодействующего с псевдоскалярным
мезонным полем, и произведена в них перенормировка массы и
заряда. В настоящей работе мы применим этот метод перенорми-
перенормировки массы и заряда к задаче, имеющей методический интерес,—
к исследованию асимптотического (при| р2 \^>т2) поведения функ-
функций Грина нуклона G (р) и мезона D (р2I при малых g2. При этом
мы убедимся, что остающийся в уравнениях работы [2] множитель
Z1? в котором могут содержаться бесконечности, автоматически
исключается и не входит в результат. Таким образом на кон-
конкретном примере будет проиллюстрирован метод исключения бес-
бесконечностей, не связанный с теорией возмущений.
Для изучения асимптотики функций Грина нужно отобрать
из системы бесконечного числа «зацепляющихся» уравнений наи-
наиболее существенные члены. Из теории возмущений известно, что
асимптотически диаграммы для G (р) и D (р2) ведут себя, как
g1>L (In -^- ] » где т^п [3, 4]. При g2<Cl наиболее существенны
диаграммы с п = т. Как было показано в работе [1], условие
п = т позволяет бесконечную систему уравнений свести к трем
уравнениям для трех функций G (р), D (р2) и Г5 (р, р — А; —А).
Функция Г5 (р, р — h ; — А) фактически зависит от двух импульсов
(например, от начального р и конечного р — А* импульсов нуклона).
Для удобства дальнейших оценок мы пишем три импульса, причем
* ЖЭТФ, 1955, 29, 51.
1 В работе [2] эти функции обозначались через Со (р), Do (p2), остальные обо-
обозначения совпадают с [2]. Ссылки на формулы работы [2] будут обозначаться
как II.
146

точкой с запятой отделяем импульс мезона. В случае псевдоска-
псевдоскалярной симметричной теории эти функции подчиняются следующей
системе уравнений [1]:
'\р _ щ _ з Jl Г5 [ d4<G (р - к) Г» (р - к, р; к) D (*»)} G (р) = 1,
A)
- |я02 + 2 Jr ^ <Z4P Sp ГьО (Р) Г5 (р, р + А-; к) G (р + к)} D (А-2) = 1,
B)
^5 (р, р — '¦; — а) = Го — /^
X Г5 (р — g, р — g — /г; — k)G(p — q — к) Г5 (p — q — к, р — />•; д) X
а4д. C)
Выясним соответствие этих уравнений с системой зацепляю-
зацепляющихся уравнений работы [2]. Уравнения A) и B) непосредственно
совпадают х с уравнениями E), II и G), II, если туда подставить
выражения для Мо (р) из (9), II и Ро (к2) из A0), II и учесть, что
Г5 = Тб+ Мг (р, А). Если в уравнениях E) — A0), II мы поло-
положим Мп = 0 при ^>2иРп =0 при п !> 1, то из F), II и (9), II
получим уравнение, несколько отличающееся от C):
? С
1'5 (А Р - Л; - *) - п - 4W Т5 ) С (Р - д) ГВ(Р - СЬ P—q - к;-к) X
X G(p - q - к)Гъ(р - q - к, р - k;q) D (q')d^q. D)
Если мы будем решать итерациями систему уравнений A),
B), D), то обнаружим, что не получатся все диаграммы интересу-
Рис. 1 Рис. 2 Рис. 3
ющего нас класса. Именно будут отсутствовать диаграммы, полу-
получаемые вставкой вершинных частей в крайний левый угол основной
диаграммы рис. 1 для Г5(см., например, диаграмму, изображенную
на рис. 2).
1 Симметричная псевдоскалярная теория отличается от нейтральной появ-
появлением в уравнении A) коэффициента 3 перед интегралом, а в уравнениях
B) и C) коэффициентов 2 и —1 соответственно.
147

Между тем все диаграммы, в которых каждое интегрирование по
внутренним мезонным линиям приводит в неперенормированной
теории к расходимостям, будут принадлежать к интересующему
нас классу. Действительно, после перенормировки каждая расхо-
расходимость заменится на In р2/т2, и асимптотически такие диаграммы
будут вести себя как g2n (In р2/т2)п, т. е. должны нами учитываться.
В частности, диаграмма, изображенная на рис. 2, должна учиты-
учитываться, так как асимптотически она имеет вид
щ 4
Поэтому в уравнениях (9), II для Мп с п > 2 не следует полагать
Мп = 0, а нужно учесть совокупность таких членов, которые со-
соответствуют вставке вершинных частей в крайний левый угол диа-
диаграммы рис. 1. При этом нужно отобрать только такие члены, в ко-
которых каждое интегрирование по внутренним мезонным линиям
приводит к расходимостям, и не учитывать «перекрывающихся»
диаграмм (например, вида рис. 3, которая ведет себя асимптоти-
асимптотически как g4 In p2lm2). Действуя указанным образом, мы при-
приходим от уравнения D) к уравнению C).
Произведем теперь перенормировку массы и заряда в уравне-
уравнениях A) — C). Поскольку уравнения A) и B) совпадают с соот-
соответствующими уравнениями работы II, то перенормировка в них
должна производиться так же, как и в II. Поэтому остается лишь
перенормировать уравнение C). Согласно методу, развитому в II,
введем вместо Г5 (р, р — к; —к) перенормированную функцию
Гз (р, Р — к; —к) = ггТъ (р, р — к; —к), где Z^1 = Г5Г5 (m, my
\ъ) и т — экспериментальная масса нуклона, a jx — эксперимен-
экспериментальная масса мезона. Используем также связь перенормирован-
перенормированных функций Грина нуклона и мезона с неперенормированными
(см. B2), II) G* - Z? G, D* - Zll D, где
Z2 = 1 + Mo И, Zs = l+ P'o (|i2), E)
и экспериментального заряда g с фиктивным зарядом g0 : g\ =
= Z\Z~^Z~^g2, Тогда вместо C) получим следующее уравнение для:
перенормированной функции Г5 (р, р — /с; —к);
XTl(p-q,p-q- к; - к) G*(р - q - к) X
X Г5* (р - q - А', р - к; q) D* (q*) d% F)
Уравнение F) удобно записать иначе, выразив Zx через перенор-
перенормированные функции и экспериментальный заряд:
Z? - 1 + ТзМ 1К И-) = 1+ Тв^ГМ/! (т, v), G>
148

так как М\ = ZXMX. Отсюда
Z^l-TeMi'Kn) СП
и F) приобретает следующий вид:
Г: (р, р - к; - к) = Г5 + ^i (P, *) - Mi ('«. И). (8)
где
ЛЛ"(Р,*)= -^-Jr^Ap-gj-^G'^-^r^p-e, р-
-q-k;-k)G*(p-q- к) Г*6 (р - q - к, р - k;q) D* (g2) d*q. (9)
Уравнения (8), (9) совместно с перенормированными уравнени-
уравнениями B3), II для функций G*(p) и Z)*(/c2).
{р _ т _ [ .и; (р) - Мо* (w) - (р - w) М'о {т)\} G* (р) = 1, A0)
Л/; (Р) = 3 ^ ZlT5 5 G* (р - А) Г; (р - А, р; Л) Я (&«) Й4Л, A1)
; (А-*) = - 2 Д- Z, Sp r5 jj G* (р) Г; (р, р + Л; Л) (? (р + Л) <Z*p A3)
и формулой G') для Zx составляют полную систему для определе-
определения асимптотического поведения функций G* и D*.
2. Уравнение для функции Грина нуклона
Интересуясь лишь асимптотикой функций1 G,2),Г5, мы можем
пренебрегать т2 и [х2 по сравнению с р2 и к2. Поэтому решения урав-
уравнений G) — A3) будем искать в виде 2:
G (р) = p-iF (p*j, D (к') = /-2Ф (А:2), A4)
где F и ф — медленно меняющиеся (например, логарифмические^
функции своих аргументов.
1 Здесь и в дальнейшем под G, D, Г6 будут пониматься уже перенормирован-
перенормированные функции и значок * будет опускаться.
2 Метод решения уравнений A0) — A3) в значительной степени заимствован
из работы [1], где такие уравнения, но без проведения программы пере-
перенормировок в самих уравнениях, до их решения, рассматривались для
случая электродинамики. Несмотря на сходство выкладок, мы будем про-
проводить их достаточно подробно, чтобы яснее проиллюстрировать особен-
особенности, возникающие при работе с перенормированными уравнениями.
Результаты настоящей работы получены также в работе [5], которая была-
выполнена по методу [1].
149

Общий вид функции Гб(р, р — к; —к), когда ее аргументы
велики по сравнению с т и | к2 | ^> | р2 |, следующий:
Г5 (;р — к, р; /t) —
— г '<? Ud />л2 d2 А-21 ^ ¦«? Un /л2 п2 />2i^ п ^
Функция 50 [(р — /гJ, р2, /с2] — медленно меняющаяся функция
своих аргументов, причем зависит только от наибольшего из них
(этот вывод подсказывается теорией возмущений, когда легко вы-
вычислить s0 в первом приближении, и подтверждается дальнейшими
вычислениями).
При | к2 | ^> | р2 | вторая часть в A5) много меньше первой;
ее, однако, и в этом случае надо учитывать, поскольку при подста-
подстановке ее в массовый оператор A1) мы получим все еще логарифми-
логарифмически расходящийся интеграл. Это связано с тем, что функция sx
(как можно получить в теории возмущений и подтвердить дальней-
дальнейшими вычислениями) является функцией двух аргументов sx —
= st (р2, А2) и при | к2 | ^> | р2 | возрастает как In к2/р2, a npi
I к21 ~ | р21 стремится к постоянной, которой мы будем пренебрегать.
На первый взгляд кажется, что в перенормированном массовом
операторе, входящем в уравнение A0), будут при интегрировании
по четырехмерному /с-пространству играть роль импульсы к2
порядка р2. Это верно, однако, лишь в том случае, когда в Г5
берется первый член из A5) — Ts^o- В самом деле, из теории воз-
тмущений известно, что вычитание из Мо (р) выражений Мо (т)
и (р — т) Мо (т) не приводит к исключению всех бесконечностей-
Именно остаются так называемые «Ь-расходимости» 16, 7], исклю-
исключение которых в теории возмущений производится вычитанием
бесконечных частей от Г5, вставляемой поочередно в левую и в
правую вершины диаграмм для массового оператора. В нашем ме-
методе перенормировки эти бесконечности компенсируются множи-
множителем Zl5 стоящим в уравнении A1). То, что именно функция
si (p2i к2) ответственна за «6-расходимости», можно проверить на
примере первого приближения теории возмущений.
Отсюда следует, что при подстановке в массовый оператор функ-
функции, пропорциональной s1? мы получим интеграл, в котором суще-
существенную роль играет область импульсов виртуальных мезонов
i & i > i р21.
Следуя [1], будем считать вектор р{Х в A0) пространственным
{р\ — р2 <^ 0). Тогда будут отсутствовать смещенные полюсы [6],
и при интегрировании по ft4 можно перевести интегрирование на
мнимую ось (&4 —>- ik±). Такое преобразование мы будем называть
переходом к «евклидовой метрике». Сначала рассмотрим ту часть
массового оператора, которая возникает при подстановке функции
Xbs0 вместо Гб. Эту часть массового оператора будем обозначать
индексом @). Поскольку перенормировка делает интеграл по к
сходящимся, то можно считать, что все интегрирования произво-
150

дятся до некоторого верхнего предела порядка р. Поскольку ре-
результат будет лишь логарифмически зависеть от верхнего предела,
точнтзе его знание несущественно. Учитывая формулы A4) и A5)г
получаем для М^ (р) следующий интеграл:
A6)
(мы использовали медленность изменения функций F и s0 и заме-
заменили их аргументы с (р — кJ на к2). Общий вид массового опера-
оператора Л/о (р) таков:
где Д и /2 зависят только от р2. Очевидно, что в перенормировоч-
перенормировочном члене рМ0(т) при больших | р2 | существенно только pfx (m2).
Таким образом рМ@0) (т) определяется той же формулой A6), только
под знаком интеграла следует положить р2 = т2.
Переходя к евклидовой метрике и вводя сферическую систему
координат
d4A-= 4лА3 sin2 ocd/cda, A7),
получаем (нижний предел по порядку равен т2)
^ т2
: (Л р> {) _ B*/| р |) cos a
Интеграл по углу а равен -^- ( 2 — ——) , если | к2 \ < | р2 \
? \ I Р~ I/
-?-Цг-', если |^2| >|р2|.
Следовательно, мы получим:
. |р21
J/oO)(^ = -'eZir#| J ^^(^2)^о(
2l
Из этих формул видно, что главным членом является
Переходя к логарифмической переменной z = In k2lm2 и обозна-
чая g = In ( ^-r ) , A = -f- , имеем
0
A9)
151

Перейдем теперь к рассмотрению второй части массового опера-
оператора, которая получается, если в Г5 взять член, содержащий^.
Будем обозначать эту часть Мо (р) индексомA). Мы получим, оче-
очевидно,
М«1) (Р) = - & Zib \ (Р - ^Г1 Ь ^ ± *i (Р2, *а) F (Л'2) 'Р (Ал) d4,
B0)
причем существенная область интегрирования, как уже было
указано, лежит при | к \ ^> \ р \. Мы можем поэтому пренебречь
в множителе (р — к)'1 под знаком интеграла величиной р по срав-
сравнению с к, а нижний предел интеграла, от которого результат зави-
зависит логарифмически, считать равным р. После перехода к евкли-
евклидовой метрике и интегрирования по углам, получим
Очевидно, что перенормировочный член равен
оо
(р — т) М$у (т) = — SXZtf j F (z) ф (z) ^ @, z) dz. B2)
о
Подставляя A8), B1), B2) в A0), мы можем, после сокращения
на р, следующим образом записать одномерное интегральное урав-
уравнение для функции Грина нуклона:
оо
1 + -L\Zt f F(z) р(з) K(z) -j- 2*! (?, z)l d2 -
[*„(*) +2?1@ z)ldz = ^^y. B'})
Перейдем к составлению одномерного уравнения для Г5и рас-
рассмотрим, прежде всего, уравнение для функции s0 (p2). Положение
здесь аналогично тому, которое имело место при рассмотрении
М§\р): из-за перенормировки (вычитание М1 (т, \х)) интеграл, опре-
определяющий Г5, сходится при | q \ ~ \ р \ (или порядка | к |, поскольку
в той Г5, которая нужна для вычисления массового оператора,
| р | и | к | — одного порядка). Поэтому, так же как для Моо) (р),
главным членом является Мх (иг, |л), который в In p2/m2' раз боль-
больше, чем Мх (р, к). Рассматривая уравнение для s0, можно в правой
части (9) не учитывать в Г5 малых добавок, пропорциональных
$1? поскольку они привели бы к интегралам не логарифмического
вида, и результат оказался бы, по крайней мере, в In p2/m2 раз
152

меньше главного члена. Таким образом уравнение для s0 имеет вид
1 Гь(Р-Я- b-'T^sl (<Z2) X
m, B4)
причем интегрирование должно производиться до |G|~|р|»
Переходя к одномерному уравнению тем же методом, что и npir
получении уравнения для функции Грина нуклона, получаем
s0 (s) = 1-
Попутно отметим, что Zl5 как это следует из G), отличается от
B5) только тем, что интегрирование по z производится до бесконеч-
бесконечности, так что
оо
Z, = s0 (эс) = 1 - Я j 4 (z) /•« (г) Ф (г) dz. B6)
О
Рассмотрим теперь уравнение для функции 5Х. Нас будет инте-
интересовать такая область импульсов, которая существенна для под-
подстановки Si в уравнение для G. Перепишем еще раз интеграл (9),.
явно указав все импульсы:
Xi\(p-k + q,p+q;k)G(p+q)Tb(p+q, PI - q) D (q*) d\. B7)
Как указывалось выше (см. B0)), существенна область импуль-
импульсов, когда |&|^>|р|. С другой стороны, функция s± обращается
в нуль, если нуклоны обладают импульсами одного порядка (ни-
(ниже показано, что это утверждение оправдано). Поэтому в Г5,
стоящей в B7) сяева, функцию sx учитывать не следует. В следу-
следующей Г5, стоящей в середине, нуклонные импульсы, вообще гово-
говоря, разного порядка. Однако, если выписать часть этой Г5, содер-
содержащую функцию 51? т. е.
то можно убедиться, что в возникающем при этом интеграле бу-
будут существенны самые большие импульсы | q |~ | к |. Но тогда
у функции sx [(p + qJ, к2] аргументы оказываются одного поряд-
порядка, и она обращается в нуль. Таким образом функцию sx нужно
сохранить только в правом углу. Подставив A4) и имея в виду
равенство
г5Ср- >' + чГ1 Гь(р-'- q)~lт» = -ГбСр + я- h2 [i - к?+<$]'
153

получим
мх (р - к, Р; /,•) = -^ т5 \, (р +- q - Л) [i - i^f^-l ^ х
X [я0 -f ^F *i (Ра. ?2)] «о • s0F [(Р - А + qf\ F\(p V qf\ Ф (?2) d*q. B8)
Теперь легко выделить члены, пропорциональные кр, которые
определяют sx. Мы получим
. B9)
Интеграл по q сходится, но если | к \ ^> \ р [, то при | р \ <^ \ q \ <^
<^ |&| подынтегральное выражение будет иметь вид dqlq и, следо-
следовательно, интеграл будет логарифмически возрастать с ростом | к2 |,
т. е. функция $! содержит In k2/p2. Если же \к\ ~ \р\, то логарифми-
логарифмического роста интеграла не происходит, и sx мало. Этот результат
оправдывает сделанные ранее предположения о виде функции sx.
В B9) не отмечены аргументы функций s0. Так как существен-
существенная область интегрирования лежит при | р \ <^ | q | <^ | к |, то
аргумент первой функции s0 равен q2, а аргументы двух других
функций s0 одинаковы и равны к2. Аргументы функций F можно
считать равными: у одной к2, а у другой q2. Поскольку интеграл,
определяющий функцию $ь сходящийся, то учитывать перенорми-
перенормировочный член Мх (т, \л) не нужно.
Перейдем к евклидовой метрике и проинтегрируем по углам.
При этом можно пренебрегать р2 и q2 по сравнению с к2 и р2 по
сравнению с д24(но не q по сравнению с р в члене j5 + q). Пределы
интегрирования по q2 можно считать равными р2 и к2; точное зна-
знание их несущественно. В результате получим
¦п
где
Уравнение C0) можно решить, выразив sx (g, r|) через
F, ф. Это удобно сделать [1], введя функцию
Из C0) и B5) легко находим
¦^ lso (Л) Ч (I, П)] = 4"
154

откуда
soO;)?M = 4-xH(z)/1(z)(pC)dz: C3)
при этом мы учли, что q (?, ?) = 0. Таким образом
Ч (?, Л) = 1- Ьо (Л) ^ (Л) S si (z) F (z) Ф (z) dz. C4)
Теперь при помощи формулы C4) мы можем доказать сделанное
нами раньше утверждение о том, что подстановка sx в уравнение
для функции Грина нуклона приведет к интегралам, расходящим-
расходящимся даже после вычитания членов Мо (т) и (р — т) Мо (т). Дей-
Действительно, продифференцируем B3) по ?. Тогда, если бы вычита-
вычитание Мо (т) и (р — т) Мо (т) делало бы интеграл сходящимся,
то после одного (или в крайнем случае двух) дифференцирований
мы должны были бы получить конечные выражения. На самом же
деле, как нетрудно видеть из B3) и C4), после любого числа диф-
дифференцирований интеграл по § в B3) будет оставаться логарифми-
логарифмически расходящимся. Таким образом, подтверждено наше пред-
предположение о том, что в тех частях массового оператора, которые
содержат s± (р2, к2), основную роль играют импульсы | к2 | ^> | р2 \,
3. Уравнение для функции Грина мезона
Рассмотрим сначала малые поправки к Г5, которые необходимо
учитывать при решении уравнений A2), A3) для функции Грина
мезона. Поскольку поляризационный оператор расходится ква-
квадратично, то малые поправки к Г5, убывающие как 1/р2, приводят
еще к логарифмически расходящимся интегралам и должны учи-
учитываться. С другой стороны, функцию sx в поляризационном опе-
операторе можно не учитывать. Действительно, в уравнение A3)
входит Г5 (р, р -f k\ Л), причем в малых поправках к Г5 нас будут
интересовать случаи, когда | р2 | ^> | к2 |. Это обусловлено тем, что
в полной аналогии с массовым оператором подстановка в поляриза-
поляризационный оператор малых поправок к Г5 приводит к интегралам, рас^
ходящимся после вычитания Ро (|я2) и (к2 — \х2) Ро (\х2) («Ь-расходи-
мость» в поляризационном операторе, которая компенсируется
множителем Z1 в A3)). Поэтому функцию s1 (p2, к2), обращающуюся
в нуль при равных нуклонпых импульсах, можно не учитывать.
Следовательно, Г5 (р, р + А; к) нужно подставлять в A3)
в следующем виде:
Гв(/>, р - //; к) = Гь \s0 + ^q^ *2 (А2, ^
где s2 (к2, р2) — медленно меняющаяся функция своих аргументов.
Можно показать, что в Г5 (р, р + к\ к) не нужно учитывать малых
155,

поправок вида (кр (kp)/p*)ss. Действительно, рассматривая неод-
неоднородный член в уравнении для s3, т- е. выражение, получающееся
при подстановке в правую часть уравнения (9) Хь$о вместо Г5,
можно убедиться, что при множителе кр (кр)/р4: не возникает
In p2lk2 при | р2 | ^> | к2 |. Это и означает, что добавки такого вида
в Г5 не следует учитывать.
Составим уравнение для s2 (к2, р2) при | р2 | ^> | к2 |. Запишем
Mi (p, p + к; к) с явным указанием всех импульсов
-д) х
хГ8(р-д,р-? -г- fe; k)G(p — q + к) Гв (/? — g + ft, р -f ft; g) X
XD(q2)d*q. C6)
Функция s2 (ft2* P2) равна нулю (с логарифмической точностью),
если импульс мезона | к2 | — того же порядка, что и импульс нук-
нуклона | р2 | (это подсказывается теорией возмущений и оправды-
оправдывается дальнейшими результатами). Отсюда следует, что в C6)
функцию $2 нужно оставить только в средней из трех Г5, а в двух
крайних положить Г5 = Ybso- Сделаем замену переменных р — q =
= q' в C6). Быстро меняющиеся множители в функциях G, D
будут равны
C7)
Учитывая, что | к2 \ <^ | g'2 | <^ | р2 |, легко установить аргументы
всех медленно меняющихся функций:
X si (р») ^ (д'2) Ф (р2) |50 (g'2) + ^ s2 {k\ q'*)\ . C8)
В неоднородном члене уравнения для 52(т. е. содержащем s0 (g'2))
только второй член в квадратных скобках C7) может дать вклад,
пропорциональный — ш-—. Напротив, в члене, пропорцио-
пропорциональном $2, в C8) следует сохранить только первый член в скобках
{37). Таким образом, мы получим следующее уравнение для функ-
функции 52:
C9)
причем пределы интегрирования должны быть взяты от |*gr'
156

к \ до [ q' | ~ | p |. Переходя к евклидовой метрике и инте-
интегрируя по углам, получаем следующее одномерное уравнение
для s2:
*2 (l, Л) = - 4 sl (Л) Ф (Л) ) [s0 (*) - 292 (?, z)J F2 (z) из, D0)
тде ^ = In (—к21т2), т] = In (—p2lm2). Решение D0) производится
аналогично решению уравнения C0) для sx. Положим
Тогда
¦^ К (Л) Р (б, ЛI = - т" *S (Л) F* (Л) D2)
, Л) = ~ 4-SeS(z)F»(z)dz. D3)
Отсюда
«2 (I, Л) = т Ч (Л) Ф (Л) $ «2 (г) ^2 (г) ds. D4)
Из D4) видно, что 52 (Л:2, р2) обращается в нуль при \ к2 \ ~
~ | р2 |. Кроме того, легко проверить, что после подстановки s2
в поляризационный оператор получается расходящееся выражение
даже после вычитания величин Ро (|Л2) и (А:2 — \х2) Р o(\i2).
Сведем, наконец, уравнение для функции Грина мезона к одно-
одномерному виду. Здесь будет иметь место полная аналогия с со-
составлением одномерного уравнения для функции Грина ну-
нуклона.
Если Вхместо Г5 (р, р + к; к) в A3) взять у5?<ъ то получившиеся
интегралы благодаря перенормировке (вычитанию величин
РО(|Л2) и (к2 — \х2) Р'о (|Л2)) будут сходиться при | р2 | ~ | к2 |. При
этом членами Ро (к2) и Ро (pi2) можно будет пренебречь на тех же
основаниях, что и в уравнении для G (р). Оставшийся член —
(к2 — \х2) Ро (\х2) — сводится к одномерному интегралу неодно-
неоднократно использованным нами способом и дает
- (А2 - |Л2) Р^0)'(^2) = b\Zxk2 J s0 (z) F2 (z) dz. D5)
о
В интеграле, получаемом подстановкой Хь (к2/р2) s2 (к2, р2)
вместо Г5 (р, р + к; к), играют роль импульсы | р2 | ^> | к2
157

Действуя совершенно так же, как при выводе уравнения для G (р),
получаем
<п (А;2) - (Л2 - ц2) />о° V) = - 8^А;2 J" F2 (г) s2 (|, г) dz -+-
^2 (z) s2 @, z) dz. D6)
Собирая вместе A2), A3), D5), D6), получаем одномерное инте-
интегральное уравнение для функции Грина мезона
[ф) - 2*а(Е, г)] dz j
о
^ D7>
4. Асимптотика функций Грина нуклона и мезона
Решим систему уравнений B3), C5), C0), D0), D7). Перепишем:
при помощи C0) и C1) уравнение B3) так:
^ = 1 + 3Zig (g, ос) - 3Z1? @, оо), D8>
а уравнение D7) при помощи D0) и D1) так:
^ 1 - 8ZlP(?, ос) + 8ZlP@, х)). D9)
Дифференцируя D8) и D9) по ? и используя C3), D3) и B6) Л
находим:
rf L 47 ^ (g, сю) 3 л 2 /М Et/txm /t\
тогда как дифференцирование B5) дает
^ ^(|). E2)
Начальные условия к дифференциальным уравнениям E0) —
E2) следуют из интегральных уравнений B3), B5) и D7)
.90@) = <p@) = l. E3)
Уравнения E0) — E2) легко решаются. Решение, соответству-
соответствующее начальным условиям E3), имеет вид:
*0(&) = (l-5bg)V., E4)
158

Подстановка полученных решений E4) в интегральные урав-
уравнения показывает, что интегральные уравнения удовлетворяются,
если при интегрировании обходить особенность, считая, что
/ 2 \ / ^ \
I = In I — _ . j = hi f — —^ j + te,
где e "> 0.
При малых X? можно разложить E4) в ряд по А,?. Результат
непосредственного вычисления асимптотики G, Г5, D по теории
возмущений, как и следовало ожидать, оказался совпадающим
с разложением E1) в ряд (проверка проводилась до второго по-
порядка включительно). Отметим, что при решении интегральных
уравнений множитель Zx сократился, и сами решения E4) оказа-
оказались конечными и свободными от какого-либо произвола.
Решения E4) для функций Грина нуклона и мезона имеют
полюс х в точке In (—р2/т2) = 1/5А,. Физически наличие такого
полюса означало бы появление бессмысленных решений, ибо мас-
масса и, соответствующая такому полюсу, должна была бы быть
чисто мнимой (чтобы при р2 = к2 было возможно равенство
In (—х2/т2)= 1/5Х). Бессмысленность полученного решения вблизи
полюса или за ним можно усмотреть также и с другой точки зре-
зрения. Экспериментальный заряд g связан с фиктивным зарядом g0
соотношением gl = Z\Z~\Z1xg2. Ясно, что как экспериментальный
заряд g, так и фиктивный заряд g0 должны быть действительными
величинами (последнее следует из требования эрмитовости гамиль-
гамильтониана взаимодействия). Следовательно, произведение ZXZ~^Z~^ 2
должно быть действительным и положительным. Но, подсчитывая
его при помощи решения E4), формул E) и E5), можно убедиться,
что ZxZ~^Z~^iz комплексно, если решения E4) считать верными вбли-
вблизи и за полюсом.
Таким образом, мы приходим к противоречию, выход из кото-
которого заключается в том, что решения E4) верны лишь в области
до полюса. Действительно, рассматривая отброшенные нами пере-
перекрывающиеся диаграммы, например изображенную на рис. 3,
можно увидеть, что отношение вклада от нее к вкладу от учтен-
учтенных нами диаграмм будет порядка
X
где а — какое-то положительное дробное число. Поэтому вблизи
полюса при 1—5Xt, <^ К вклад от перекрывающихся диаграмм уже
1 В нейтральной псевдоскалярной теории решения имеют следующий вид:
so (I) = A - 5АДГ1/б,
Полюс появляется и в этом варианте теории.[Его наличие обусловлено, по-
видимому, какими-то общими причинами.
159

не будет малым, и наши решения теряют смысл. Физически это
соответствует тому, что на малых расстояниях взаимодействие
с малой константой связи (слабое взаимодействие на обычных рас-
расстояниях) становится сильным. Таким образом, для построения
асимптотики функций Грина при столь больших импульсах необ-
необходимо учитывать значительно большее число диаграмм, чем это
мы сделали, опустив все перекрывающиеся диаграммы.
Более точное определение границы применимости полученных
формул в области больших импульсов требует дополнительного
анализа, поскольку при 1 — 5X1 ~ X в разложениях E4) по сте-
степеням {Х%)п оказываются существенными члены п ~ Аг1, т. е.
лежащие в области, где асимптотический ряд теории возмущений
начинает уже расходиться. То обстоятельство, что метод перенор-
перенормировок, рассмотренный в работе [2], привел в данной задаче
к исключению бесконечностей, позволяет надеяться, что его можно
будет применить и при решении более сложных задач.
В заключение авторы выражают признательность академику
Л. Д. Ландау, А. А. Абрикосову и И. М. Халатникову за предо-
предоставление возможности ознакомления с рукописью работы [1]
до опубликования и полезные обсуждения.
Академия наук СССР Получено 13 мая 1954 г.
ЛИТЕРАТУРА
1. Л. Д. Ландау, А. А. Абрикосов, И. М. Халатников. Докл. АН СССР',
1954, 95, 497, 773, 1177; 96, 261.
2. А. Д. Галанин, Б. Л. Иоффе, И. Я. Померанчук. Докл. АН СССР, 1954,
98, 361 (Собр. трудов, № 57).
3. А. И. Ахиезер, В. Б. Берестецкий. Квантовая электродинамика. M.s
Гостехиздат, 1953, стр. 210.
4. А. Д. Галанин. ЖЭТФ, 1954, 27, 417.
5. А. А. Абрикосов, А. Д. Галанин, И. М. Халатников. Докл. АН СССР*
1954, 97, 793.
6. F. J. Dyson. Phys. Rev., 1949, 75, 1736.
7. A. Salam. Phys. Rev., 1951, 82, 217.

59
ОБОБЩЕНИЕ ТЕОРЕМЫ У OP ДА
НА СЛУЧАЙ КОНЕЧНЫХ ДЛИН ВОЛН СВЕТА
У ЧАСТИЦ СО СПИНОМ НУЛЬ*
Теорема У орда [1] устанавливает связь между вершинной ча-
частью, относящейся к бесконечно большим длинам волн, и функцией
Грина соответствующего заряда:
МР,Р,О)-^. („
Волновой вектор электромагнитного поля к^ в этом соотношении
имеет все проекции, равные нулю.
Оказывается, что в случае заряженных частиц со спином нуль
можно установить связь между функцией GF и вершинной частью,
отвечающей взаимодействию с полем произвольной длины волны,
но удовлетворяющим условию
к* = 0, к^фО B)
(т. е. с полем светового кванта произвольной длины волны). Воз-
Возможность такого соотношения обязана следующим соображениям.
Условие градиентной инвариантности приводит к замене р на р —
— А в выражении для функции Грина. Производя разложение
GF(p — А) по степеням А и беря линейный член по А, мы получим
в случае частиц со спином, не равным нулю, не все выражение для
Т (р, р — к, к), так как не будут должнымобразом учтены члены,
обязанные спиновому магнитному моменту (или более высоким
моментам в случае частиц со спином ]>V2). Если спин равен нулю,
то такие члены отсутствуют. Однако даже в случае спина нуль
замена р на р — А в GF не может дать всю вершинную часть, так
как в нее может входить член, пропорциональный внешнему току
/у. = &2^- Если к2 = 0, то и такие члены будут отсутствовать.
Таким образом, Г (р, р — /с, к) может быть получено из GF (p — А)
только при указанных выше условиях.
Используем выражение для GF, данное Леманом [2]:
GF (х — х') = J р (х2) dy?G°F (х — х\ х2) = J р (х2) d%2 x
о о
X p-tf+ie б (* - *')> в -> 0, Ах = - %• C)
* Докл. АН СССР, 1955, 100, 41.
И. Я. Померанчук, т. II

Здесь G°F {х — х , х2) — функция Грина частицы массы х, не
взаимодействующей с полем [3]. С точностью до линейных членов х
во внешнем поле C) дает (с учетом условия д^А^ = 0)
GP (х, х\ А) = С р (х2) dx2 ^лу/_х2 , te б (^ - *') =
= GF(x-х') л\Р(х
О
Разлагая Ь (х — хг) в ряд Фурье, находим, подставляя
в виде пу,ег]гх:
GlF(х, х') = \-^\р(х*)dtf (? + ^ix, + ie2(«7) qi_^ + ie X
X еХр li? (x - ,') + to] - ^ Р («2) ^ ^ <ё>г еХР[У+$+гу2И) X
[1 1 ~1
^2_x2 + i8 — (ГУ -{- /СJ — X2 + 18 J * ^5)
Беря фурье-компоненту от E), получаем в соответствии с C)
G1F(Р + А:, р, к) = -^Т $Р{*)d*>[„_«+* ~ {p + k/-K> + ie) X
[Gf {p) ~Gf{p
(здесь уже р не дифференциальный оператор, а число). С другой
стороны [4], Gxf определяется вершинной частью следующим об-
образом:
G1F (p + k,p,k) = - GF {p 4- к) IV (р + к, р, к) avGF (p), G)
поэтому Г согласно F) и G) равно
Мр + *, Р. *) = GТ§^ [g^^ - а^} (8)
Если й:^-*- 0, то из (8) следует обычная теорема Уорда [1].
Академия наук СССР Получено 9 октября 1954 г#
ЛИТЕРАТУРА
1. /. Ward. Phys. Rev., 1950, 78, 182.
2. Я. Lehmann. Nuovo Gimento, 1954, 11, 342.
3. P. Фейнман. Сб. «Новейшее развитие квантовой электродинамики». М.$
ИЛ, 1954, стр. 152.
4. А. Д. Галанин, Б. Л. Иоффе, И. Я. Ломеранчук. Докл. АН СССР, 1954,
98, 361 (Собр. трудов, № 57).
1 В нелинейных членах могут быть выражения типа F* поэтому замена р на
р — А ограничена линейными членами.

60
О ТОЧЕЧНОМ ВЗАИМОДЕЙСТВИИ
В КВАНТОВОЙ ЭЛЕКТРОДИНАМИКЕ*
Совместно с Л. Д. Ландау
В основе квантовой электродинамики лежит идея о точечном
взаимодействии между квантами и электронами. Какизве€тно, при
таком взаимодействии непосредственное вычисление приводит
к бесконечностям. В последние годы была создана релятивистски-
инвариантная теория возмущений [1] и показано, что на ее основе
можно разработать однозначную процедуру, приводящую к конеч-
конечным выражениям для тех эффектов, для которых раньше получа-
получались бесконечности. Иной подход к решению уравнений квантовой
электродинамики был развит в [2]. Он исходит из рассмотрения
точечного взаимодействия как предела некоторого «размазанного»
взаимодействия с конечным радиусом, когда этот радиус умень-
уменьшается до нуля. При этом константа ех, стоящая в виде множителя
при взаимодействии, является функцией радиуса «размазывания»
1/ Л. С ростом Л (приближение к центру частицы) ег растет. Это
связано с очевидным свойством поляризации вакуума уменьшать
всякий заряд, «внесенный» в вакуум (см. также [3]).
Пока el <^ 1, связь между е1 и перенормированным зарядом е
осуществляется при помощи /)-функции, найденной в [2]. Фурье-
компонента этой функции равна
Здесь v — эффективное число различных слабо взаимодействую-
взаимодействующих частиц в природе (подробнее по этому поводу см. [2]). Фор-
Формула A) справедлива, когда к2^>т2 (т — масса электрона).
Если же к2 <^ т2, то в A) к2 нужно заменить на т2.
Связь между el и е2, как известно, получается из соотношения
е2
е2 = el lim k2D (к2) = -i . B)
*2 ve\ л2
Докл. АН СССР, 1955, 102, 489.
6* 163

Выражения A) и B) переходят в более простые:
Зя 1
когда выполнено условие
При е?, не очень малых по сравнению с единицей, это условие
удовлетворяется уже для таких /с2, которые не исчезающе малы
по сравнению с Л2.
Обратная пропорциональность Д-функции е2 указывает на воз-
возможность пренебречь в лагранжиане системы электронов и кван-
квантов действием свободного электромагнитного поля х.
В самом деле, во взаимодействие поля с электронами входит
егА, а в свободное поле само А. Если отбрасывается действие сво-
свободного поля, то среднее значение по физическому вакууму от
(ТА (Х)А (У)> F)
должно быть обратно пропорционально е\. С другой стороны, F)
лишь несущественным множителем отличается от /)-функции, ко-
которая таким образом оказывается обратно пропорциональной el-
Именно этот результат и зафиксирован в C).
Если лагранжиан свободного поля перестает играть сущест-
существенную роль уже при el <^ 1, то представляется естественным ду-
думать, что при дальнейшем возрастании el роль свободного поля бу-
будет еще меньше. Поэтому /^-функция должна быть обратно про-
пропорциональна el и при el ]> 1. Отсюда следует, что elD не зависит
от el и поэтому всегда имеет вид
(если только к2 не очень близко к Л2). Выражения B) и G) при-
приводят к следующей связи е\ и ег:
¦^V-O, A2-->oo. (8)
1 При этом подразумевается, что к2 не очень близко к Л2.
164

по по-
Обращение е в нуль может быть пояснено следующим образом.
Пусть в сфере радиуса 1/Л находится сколь угодно большой заряд
ег (Л). Тогда на расстоянии 1/fc, всего лишь в несколько раз боль-
большем, чем 1/Л, будет заряд l/ e*k2D (к2) ж л/ 5-^- , равный
V vln —
рядку величины единице. Это означает, что «внесенный» заряд elJ
имеющий протяжение 1/Л, окружается плотным облаком размера-
размерами также порядка 1/Л, образованным заполяризованными заря-
зарядами, в результате чего полный заряд внутри радиуса 2/Л будет
порядка единицы. (Ситуация здесь напоминает ту, которая осу-
осуществляется вблизи кулонова центра с зарядом, большим, чем
/137.)
Бр>тстрое падение е\ до единицы фактически означает отсутствие
широкой области сильного взаимодействия в электродинамике,
обсуждаемой в [2]. Только существование этой области могло бы
сделать е2 =f= 0.
Мы приходим к фундаментальному выводу, что из формальной
квантовой электродинамики, по-видимому, следует равенство
нулю заряда электрона. Оговорка «по-видимому» относится к неко-
некоторой нестрогости изложенной выше аргументации.
Полученный нами результат указывает на логическую незам-
незамкнутость квантовой электродинамики. Следует подчеркнуть при
этом, что указываемая здесь несостоятельность теории вызвана
непосредственно не бесконечностями (что считалось послед-
последние 25 лет), а обращением физического взаимодействия в
нуль.
Физические следствия из внутренних противоречий квантовой
электродинамики могут быть различными.
Энергии Ло, при которых
во всяком случае очень велики. При этих энергиях эффекты гра-
гравитационного взаимодействия могут превышать электромагнит-
электромагнитные. Соблазнительна идея, что «кризис» электродинамики проис-
происходит именно при тех энергиях, при которых гравитационное
взаимодействие сравнивается с электромагнитным. Поскольку
эффективный заряд в критической зоне порядка единицы, это со-
соответствует
хЛ?~1, (9)
где х — гравитационная постоянная; (8а) и (9) дают для v значение
v ^ 12. При такой точке зрения величина физического заряда е
автоматически определялась бы из теории. Если v <^ 12, гравита-
165

ционные эффекты наступят значительно раньше, чем эффективный
заряд станет порядка единицы. Напротив, при v ^> 12 гравита-
гравитационные эффекты не «спасут» электродинамики, так как они насту-
наступят слишком поздно.
Вывод о том, что е = 0, был нами получен из рассмотрения
только чисто электромагнитных взаимодействий. Не исключена
возможность того, что учет неэлектромагнитньтх взаимодействий
частиц (типа \i — ^-распада1 и др.) может сильно изменить свойства
электродинамики при больших энергиях, что соответственно от-
отразится на перенормировке заряда.
Изложенный выше способ рассмотрения вопроса о перенорми-
перенормировке заряда не переносится непосредственно на мезонную теорию
[4]. Если, однако, обращение е в нуль есть отражение общих
свойств всякого точечного взаимодействия, то современная мезон-
ная теория окажется полностью несостоятельной. При этом надо
иметь в виду, что из-за большого значения g2 роль гравитации
в мезонной области совершенно ничтожна. По той же причи-
причине в мезонных теориях нет области применимости теории возму-
возмущений.
В электродинамике такая область заведомо есть ввиду ма-
малости е2, и ее свойства не могут серьезно измениться при любом
изменении электродинамики в области больших энергий.
Исправление существующих теорий в том случае, если из тео-
теории следует, что g наряду с е также равно нулю, потребовало бы
введения совершенно новых физических представлений. Такие пред-
представления должны были бы дать возможность отразить в теории
свойства протяженных элементарных частиц. Это означает, что
в физику была бы введена новая универсальная длина, которая
автоматически ограничивала бы Л сверху. Существование новой
длины должно было бы проявиться не только в мезонной области,
но и в чисто электромагнитных процессах. Не исключена поэтому
возможность того, что все электромагнитные процессы, сопровож-
сопровождаемые большими передачами импульса, происходят совсем иначег
чем предсказывает современная теория. Эти отклонения могут на-
наступить в таких условиях, когда передаваемый импульс в системе
центра инерции порядка нескольких сотен мегаэлектрон-вольтг
если новая длина^10~13сж. Таким образом, эксперимент типа комп-
тон-эффекта при энергиях порядка B—5) • 1010 эв мог бы явиться
решающим для современной теории поля. Аналогичную роль могут
играть такие явления, как аннигиляция позитронов очень большой
энергии A010—1011 эв), рассеяние на большие углы электронов
электронами той же области энергий и другие эффекты при тех же
условиях. Важные сведения для теории могут дать экспериментыу
сделанные при меньших энергиях, но зато с большой точно-
точностью.
1 На возможную роль этого взаимоде1ктвия обратил наше г.пиманио
Я. Б. Зельдович.
166

Надо, однако, подчеркнуть, что обычное тормозное излучение
или образование пар у-квантами даже в области сверхбольших
энергий не может пролить свет на область применимости электро-
электродинамики. Дело в том, что, как хорошо известно [5], тормозное
излучение обязано в системе покоя электрона его взаимодействию
с мягкими квантами (со ~ т) совершенно независимо от того, чему
равна начальная энергия частицы в лабораторной системе. Тако-
Такого же типа соображения относятся и к явлению образования
пар.
Академия наук СССР Получено 2 марта 1955 г.
ЛИТЕРАТУРА
1. Р. Фейнмаи. В сб.: Новейшее развитие квантовой электродинамики. М., ИЛ,
1 954, стр. 138—205; Ю. Швингер. Там же, стр. 12—108;
Ф. Датой. Там же, стр. 205—238; Phys. Rev., 1949, 75, 486: A. Salam.
Phys. Rev., 1951, 82, 217.
2. Л. Д. Ландау, А. А. Абрикосов, И. М. Халатников. Докл. АН СССР,
1954, 95, 497; 95, 773; 95, 1177; 96, 261.
3. Н. Lehmann, Nuovo Cimento, 1954, 11, 342.
4. А. А. Абрикосов, А. Д. Галанин, И. М. Халатников. Докл. АН СССР,
1954, 97, 793.
5. С. F. Weizsacker. Zs. f. Phys., 1934, 88, 612.

61
РАВЕНСТВО НУЛЮ ПЕРЕНОРМИРОВАННОГО ЗАРЯДА
В КВАНТОВОЙ ЭЛЕКТРОДИНАМИКЕ*
В недавно опубликованных работах Ландау, Абрикосова и
Халатникова [1] было найдено решение уравнений квантовой элек-
электродинамики, которые определяют гриновские функции электрона
G и фотона D и соответствующие их электромагнитному взаимодей-
взаимодействию вершинные части Г^. В эти уравнения входит неперенорми-
рованный заряд е1ч являющийся функцией радиуса (фиктивного)
размазывания частиц Л". Такое размазывание при Л-*-оо яв-
является воплощением точечного взаимодействия как предела «раз-
«размазанного», когда радиус этого «размазанного» взаимодействия
обращается в нуль. С ростом Л ег растет [2] в силу свойства поляри-
поляризации вакуума уменьшать всякий «внешний» заряд, внесенный
в вакуум. (Зависимость ех от Л отражает, грубо говоря, зависи-
зависимость эффективного заряда электрона от расстояния до центра
электрона.) Решения уравнений квантовой электродинамики,
найденные в [1], применимы, согласно оценкам, сделанным в [1],
только при таких условиях, когда е^<^ 1. Это ограничение не дает
возможности исследовать свойства квантовой электродинамики
при Л ~> оо, так как при этом не исключено обращение е1 в беско-
бесконечность. В [1] использовалось простейшее «размазывание» с одним
параметром Л" в координатном пространстве (Л в импульсном
пространстве). Более общий тип «размазывания» был рассмотрен
Абрикосовым и Халатниковым [3], которые ввели точечное взаимо-
взаимодействие еху\) (х) уц$ (х) А^ (х) как предел «размазанного»:
A)
в котором «ширина» распределения по у и z различна. Как они
показали, радиус «размазывания» по А (по z) A^1 всегда больше,
чем радиус Лр1 (по */), на который «смещается»^ (у) относительно
Используя двухпредельное «размазывание», Абрикосов и Ха-
Халатников получили решение уравнений квантовой электродина-
электродинамики, причем после перенормировок их результаты совпадают
с [1], так как перенормированные величины не содержат никаких
* Докл. АН СССР ,1955, 103, 1005.
168

параметров «размазывания». Решения, найденные ими, имеют
следующий вид, когда dt = 0 [1]:
, (A:2) = к 2 [1 + (Зя) * ve± In xxP^ j , v/mv ^-
B)
Если ,&2 > Л?, то /)= Г2.
Связь между перенормированным зарядом е и е1? полученная
в [3], имеет следующий вид:
е* = е? [1 + (Зя) v*? In Л^/га-2]-1. C)
При /с2 — Л2 /^-функция меняется скачкообразно от значения,
равного Afe2 [1 + (Зя)"Ч^1п ЛрЛк2], до Л^2. При больших значе-
значениях (Зя)~Че? In Л2Л^2 этот скачок 75-функции может быть
большим. Однако в дальнейшем мы покажем, что «резкость» вы-
выключения взаимодействия и вызванное этой «резкостью» скачко-
скачкообразное изменение />-функции не является существенным обсто-
обстоятельством. «Обрезающий» фактор может иметь любую форму,
совместимую с требованием калибровочной инвариантности. Та-
Такой фактор вводится заменой IV на т^Ф [р2Лр2; (р — кJ Ар2; /с2Л^2].
Функцию Ф можно считать равной без ограничений необходимой
общности произведению двух функций:
ф = / (рлГ) g [Р\\;\ (р - kf л;2]. D)
С учетом функции Ф /)-функция и Г^ приобретают следующий
вид:
D^ = Г2 [1 + (Зя) velp (k*i\7k2) In Л^-2]'1 (б^ - ^-) i E)
Т»(р, р - к; к) = г^Ф 1Р2Л;2; (р - /if Л;2; к*А~к2].
Ф (х, у, z)-> 1 при ^<< 1, г/ << 1, z << 1; Ф->0 при о; >> 1,
г/^>1 или 2^>1. Когда Ар = Л^ = Л, B) — E) переходят в
формулы, полученные в [1]. Рассмотрим теперь случай, когда Ар
и АК удовлетворяют неравенству1
1пЛ2Л^>1. F)
Опираясь на это неравенство, можно показать, что формулы B),
E) справедливы при л ю б ы х е2, как малых, так и больших.
Для доказательства этого утверждения рассмотрим те члены в урав-
уравнениях, определяющих G, D, Г, которые считались малыми в ра-
работе Ландау, Абрикосова и Халатникова. Использованные ими
уравнения Дайсона — Швингера, определяющие бий, являются
точными. В отличие от этого Г определялось из приближенного
1 На важность этого неравенства обратил внимание Л. Д. Ландау.
169

«треугольного» уравнения, имеющего вид (в символической форме)
(в вершинах полные Г):
G)
р-к
(8)
р-к
В G) не учитываются все перекрывающиеся диаграммы и эффекты»
связанные с рассеянием света светом. Рассмотрим произвольную
7г-кратно перекрывающуюся диаграмму (8), дающую вклад в Г.
Здесь имеется 2п функций G, п функций Z), 2п функций Г. В этой
диаграмме содержится п 4-кратных интегралов по кх, ..., кп. Как
известно, все интегрирования, кроме одного, не дают логарифми-
логарифмических расходимостей *. Поэтому в логарифмический шкале мы
имеем только однократное интегрирование. Пусть импульсы р,
р — к, к одного порядка и удовлетворяют неравенству*
Р2 — (Р — &J — &2 <С XI. (9)
(Аналогично [1] можно считать все эти импульсы пространственно-
подобными.) Подставляя в интеграл вместо G, D, Г их значения
E), получаем
Г?г ~ е\п [ [f (g2Afe2)]2n [I + (Зэт) ve\f (q'2A'k2) In Alq~2]~n Щ-. A0)
p2
Подчеркнем, что здесь верхний предел определяется Л2, а не Лр
(Ар появляется только при интегрировании по р). Восполь-
Воспользуемся теперь условием (Зя)"^2 1пЛр2^^> 1, которое в интере-
интересующем нас случае е\ >, 1 является следствием из F). Тогда функ-
функция / выпадает из A0), но интегрирование по q2 ограничено усло-
условием2 q2 < Л2. Так как неравенство F) обеспечивает медленную
(логарифмическую) зависимость всех функций от q2, то замена
верхнего предела интегрирования на Л2 не вносит серьезных по-
погрешностей. Выпадение функций/ в остальных графиках аналогич-
аналогично показанному выше примеру. Независимость результатов от вида
/ означает возможность произвольного вида обрезания 3. Кратко-
Краткости ради в дальнейшем мы не будем писать /-функций и заменять
их на «резкое» обрезание интегралов.
Гп = Сп-Х {e\[i + (Зл) vel In Л?Л? Г1}71'1 -
- Cn-i [el [1 + (ЗяГ1 ^2 In Л2/?-2]}'1, A1)
где Сп-х — числовой множитель,
1 Мы считаем здесь и в дальнейшем, что d\ — 0.
2 При этом необходимо, чтобы функция / убывала с ростом ф тем быстрее, чем
больше ег2.
3 Соображения о выпадении функции / принадлежат Л. Д. Ландау.
170

Так как р2 <^ А*, то второй член в A1) меньше первого и по
порядку величины Г71 равно
Гп - Си., {el [1 + (Зя) ve{ In А^ГТ'1- A2)
При очень малых е\ A2) переходит в соотношение Гп ~ Сп-\ е\ ~1 >
дающее повод думать, что при е\ ^ 1 вклад перекрывающихся
диаграмм может стать большим. Однако если Cn)elv^iln ЛрА^2 5^>
^>1, что при е\>, 1 достигается уже при не слишком больших зна-
значениях In Ар Аи2, то A2) дает следующее выражение для Гп:
Г„ « Сп-г 11пЛ^2]-(н-1)<1. A3)
Если вместо условия (9) векторы р, р — к, к удовлетворяют нера-
неравенству
А2 < М < Р2 ~ (Р - к? < Лр, A ¦':)
то для величины перекрывающихся диаграмм мы получим еще
меньшее значение, чем согласно A3). В самом деле, в этом случае
сплошные линии в (8) нужно заменить на р (все &а малы по срав-
сравнению с р). От ка будут зависеть только «пунктирные» множители,
каждый из которых равен к~2 [1 + Cn)~1v^ In Лр/Г2]. Учитывая,
что сплошных линий 2п, мы приходим к следующей оценке Гл,
когда выполнено A4):
л2
с'1 п
Г, ~еГ/Гап ^ йАЧ...ЙА'пПЛ'а2 [1 - (ЗяГЧеЛпЛ^Г1- A5)
M^P^[l+CnrS^liiApAfca]-1)n^{Ajp^-MlnAj^^
Таким образом, вклад всех перекрывающихся диаграмм в Г
имеет вид ^^nl^Jtv1 [inApAfc2]1}'1 и всегда мал независимо от
1
величины е\. Хотя этот ряд, по-видимому, асимптотический [4],
а не сходящийся, тем не менее его сумма аппроксимируется пер-
первыми членами, когда они быстро падают с ростом п.
Пользуясь двухпредельной техникой, легко можно показать,
что все диаграммы, содержащие рассеяние света светом, дают ма-
малый вклад в Г, каково бы ни было значение е\. Тот же вывод от-
относится и к неперекрывающимся диаграммам, входящим в G).
Таким образом, все отклонения Гу, от Ху. малы независимо от
того, чему равно значение el. В силу логарифмичности ситуации
(все существенные величины зависят только от логарифмов пере-
переменных) из теоремы Уорда следует, что при Г^ = х^ гриновская
функция электрона G должна быть равна р~г. В этом можно также
убедиться и непосредственно, производя вычисление любой диа-
диаграммы, входящей в массовый оператор, определяющий G.
171

При T=Y^mG = p1 /^-функция однозначно определяется из
уравнения Швингера — Дайсона в виде B). Полученные выше
результаты означают применимость формулы C) при любых
Лр, Лй, удовлетворяющих условию F). Это обстоятельство при-
приводит к фундаментальному выводу о том, что перенормированный
заряд е оказывается равным нулю в соответствии с C):
е2 = е\ [1 -j- (Зя) vel In Л^т] -* ЗтГ1 [In Л^/Г2] - > О, Л
р
oo.
Этот результат подтверждает вывод о том, что е2 = 0, сделанный
Ландау и Померанчуком [5] на основании общего анализа формул
B) 1. Следует отметить, что пользование двухпредельной техникой
весьма существенно упростило анализ уравнений квантовой элек-
электродинамики по сравнению с той ситуацией, которая складывается
при пользовании одним пределом. В этой связи следует подчерк-
подчеркнуть, что условие F) гарантирует логарифмический характер всех
функций даже при больших е\. Это чрезвычайно облегчает оценку
всех интегралов.
Обращение е2 в нуль есть следствие того, что «затравочный»
заряд е1 под действием мощной поляризации вакуума окружается
облаком противоположно заряженных зарядов, в результате чего
уже на расстоянии от «центра» заряда, лишь немногим большим,
чем размер затравочного заряда Л, полный заряд системы (е1 +
заполяризованные заряды) оказывается порядка единицы, каким
бы большим не был заряд ех. Не существует области сильного вза-
взаимодействия! В области же слабого взаимодействия уже на осно-
основании [1] при Л-^оо е2 оказывается нулем.
В заключение я считаю своим приятным долгом поблагодарить
JI. Д. Ландау, А. А. Абрикосова и И. М. Халатникова за подроб-
подробные и чрезвычайно полезные дискуссии по поводу этой работы,
а также Е. С. Фрадкина за интересные дискуссии по поводу обра-
обращения е2 в нуль.
Академия наук СССР Получено 27 мая 1955 г.
ЛИТЕРАТУРА
{.Л.Д.Ландау, А.А.Абрикосов, И. М. Халатников. Докл. АН СССР,
1954, 95, 497, 773, 1177.
2. G. КаШп. Helv. Phys. Acta, 1952, 25, 417; Н. Lehmann. Nuovo Cimento,
1954, 11, 342.
3. А. А. Абрикосов, И. M. Халатников. Докл. АН СССР, 1955, 103, 993.
4. С. A. Hurst. Proc. Cambr. Phil. Soc, 1952, 48, 625; A. Peterman. Helv.
Phys. Acta, 1953, 26, 291; B. Utiyama, T. I mamma. Prog. Theor. Phys.,
1953, 9, 431; F. J. Dyson. Phys. Rev., 1952, 85, 631; W. Thirring. Helv.
Phys. Acta, 1953, 26, 33.
5. Л. Д. Ландау, И. Я. Померанчук. Докл. АН СССР, 1955, 102, 489 (Собр.
трудов, № 60).
1 Мысль о том, что е2 = 0, была также высказана Е. С. Фрадкиным.

62
О ПЕРЕНОРМИРОВКЕ МЕЗОННОГО ЗАРЯДА
В ПСЕВДОСКАЛЯРНОЙ ТЕОРИИ
С ПСЕВДОСКАЛЯРНОЙ СВЯЗЬЮ*
В работе Ц] было показано, что квантовая электродинамика
частиц со спином V2 приводит к равенству нулю перенормирован-
перенормированного электрического заряда. Представляет большую важность
вопрос о том, является ли этот результат свойством всякого точеч-
точечного взаимодействия. Наиболее существенным при этом представ-
представляется случай мезон-нуклонных взаимодействий. В настоящем со-
сообщении мы рассмотрим перенормировку мезонного заряда g
в псевдоскалярной мезонной теории с псевдоскалярной связью.
Существенное упрощение в рассмотрении, так же как и в электро-
электродинамике, наступает при пользовании двухпредельной техникой
решения неперенормированных мезонных уравнений Щвингера —
Дайсона, развитой Абрикосовым и Халатниковым [2]. Полученные
ими результаты были выведены, полагая неперенормированный
мезонный заряд gt малым по сравнению с единицей. Это давало
возможность пользоваться при определении вершинной части
Г (р, р — к; к) «треугольным» уравнением, учитывающим только
неперекрывающиеся диаграммы [3] (в вершинах полные Г).
A)
Пределы обрезания по импульсам нуклонов Ар и мезонов Л^
удовлетворяют соотношению Лр > Л^.
Найденные в [2] выражения для функций Грина нуклона 6?,
мезона D и Г имеют вид:
G (Р) = p-'Q-^iP), D (к2) = Г2<?/5 (к) 11 + jTVi (LP - Lk)]-\
Q(x) = l + 5Dn)~Yi (?*-?) [1 + п-^1(Ьр-Ьк)Г\ I = In -?, B)
Lk = In Л! m~2, LP = In Лр #Г2.
* Докл. АН СССР, 1955, 104, 51.
173

x = р в выражении для G и х ~ к в выражении для D. В Г (р,
р — к; к) х с логарифмической точностью равно р, когда р2 ~
~ (р— кJ ~ &2. Если аргументы Г неодинаковы, то входит наиболь-
наибольший; т — масса нуклона.
Условиями применимости формул B) являются:
для G: Л?>ра>>/иа;
для D: А|>&2>т2; C)
для Г: Л2, > р\ (р - к)\ кг > т\
Если р2 или /с2 становятся меньше яг2, то \ заменяется нулем.
Когда неравенства C) заменяются на следующие:
Р2>\1 к*>\1 D)
вместо B) справедливы формулы:
С = р-\ ? = /Г2, Г = 0. E)
Если F- < Я,{. но II > р2 > А|, то Г - у5.
Связь между gx и перенормированным зарядом g имеет вид:
i « g2 [l + *-ъ;(lp - l,)]-1, g2 = g2 [i - я-у (Lp - z,»)]-1. F)
С ростом Лр и Л/с gi растет.
Функция Д испытывает скачок при кг = Лк от значения Ajf2
до Л^2 [1 + я"^ (^р — Lk)~x. Этот скачок связан с «резким»
выключением взаимодействия при возрастании к2 сверх значения
Л2;. При плавном выключении такого скачка не будет. Так же как
и в электродинамике [1], можно показать, что скачок /^-функции
несуществен для дальнейших доказательств. Если Лр = Ак, то
B) переходят в «однопредельные» формулы Абрикосова, Галанина
и Халатникова [4]. Пусть g\ <^ 1, но я^2 (Lp — Lk) = я~х^2Х
xln АрЛ^2 ^> 1. Тогда формулы B) переходят в более простые:
G (р) = p-'Qo3110 (P), D = Г2(?о4/5 (к) 4- (Lp - Lk)~\
gl П)
Г = Г5<#*(х), Qo {x) = i + 5/4 (Lp - L,) (Lk - In ^2^2).
Формулы G) указывают на возможность пренебрежения в ла-
лагранжиане действием свободного мезонного поля \dx (—5-] —
+ |Х2Ф2 . Действительно, в этом случае в уравнения ф входит
только вместе с^в виде комбинации ^ф. Поэтому среднее по ва-
вакууму от величины Т <ф (х) <р (г/)>, которому пропорциональна
/^-функция, оказывается пропорционально gi2 (аналогично тому
174

положению, которое имеется в электродинамике [1,5])г. Функция
G (х, у), будучи средним по вакууму значением от величины
7\|) (x)ty (у), не должна в этих условиях зависеть от gl. Вершинная
часть, будучи равной [7] { 5*1ф (z) G1 (х* У' s^\ ¦ также не будет
зависеть от gx. Именно эти зависимости зафиксированы в G).
Мы приходим к выводу, что даже при малых gl свободное поле
перестает играть роль. Представляется естественным думать, что
при дальнейшем возрастании gx роль свободного поля будет еще
меньше. Поэтому зависимость всех величин от g\ должна соответ-
соответствовать G) и при gl^> I. Отсюда следует, что функция g\D
не должна зависеть от gl и, следовательно, ее зависимость от к2
будет при больших gl такая же, как и при малых g\. Те же сообра-
соображения относятся кбиГ. Это значит, что при любых gl (т. е.
при любых сколь угодно больших Лр, Л* F)) Z), G и Г должны
совпадать с G). Отсюда следует, что в формуле, связывающей g2
Lp и Lk могут стремиться к бесконечности. Поэтому g оказыва-
оказывается (так же как и в электродинамике [1, 5]) равным нулю. Важ-
Важность этого результата делает желательным его подтверждения
путем непосредственного рассмотрения уравнений, определяющих
G, D и Г.
Академия наук СССР Получено 3 июля 1955 г.
ЛИТЕРАТУРА
1. И. Померанчук. Докл. АН СССР, 1955, 103, 1005 (Собр. трудов, № 61).
2. А. А. Абрикосов, И. М. Халатников. Докл. АН СССР, 1955, 103, 993.
3. Л. Д. Ландау, А. А. Абрикосов, И. М. Халатников. Докл. АН СССР,
1954, 95, 497; 95, 1157.
4. А. А. Абрикосов, А. Д. Галанин, И. М. Халатников. Докл. АН СССР,
1954, 97, 793.
5. Л. Д. Ландау, И. Я. Померанчук. Докл. АН СССР, 1955, 102, 489 (Собр,
трудов, № 60).
6. К. Yamazaki. Progr. Theor. Phys., 1952, 7, 449.
И. М. Гелъфанд, Р. А. Минлос. Докл. АН СССР, 1954, 97, 209;
Е. С. Фрадкин. Докл. АН СССР, 1954, 98, 47; Н. Н. Боголюбов. Докл.
АН СССР, 1954, 99, 225; S. F. Edwards, R. E. Peierls. Proc. Roy. Soc,
1954, А224, 24; Р. Т. Matthews, A. Salam. Nuovo Cimento, 1954, 12, 563;
К. Symanzik. Zs. Naturforsch., 1954, 9a, 809.
7. /. Schwinger. Proc. Nat. Acad. Sci. USA, 1951, 37, 455.
1 Этот результат особенно наглядно виден при пользовании представлением
/^-функции в виде континуального интеграла [6]
D(xty) = ^T <ф (х) Ф (у)у [exp iS (gl4>)] 6ф / $ [exp iS (gly)] 6<p.
Здесь отброшено действие свободного поля. Производя замену переменных
Ф ~* #1ф» мы сразу видим, что D ~ g^2.

63
ОБ ОБРАЩЕНИИ В НУЛЬ
ПЕРЕНОРМИРОВАННОГО МЕЗОННОГО ЗАРЯДА
В ПСЕВДОСКАЛЯРНОЙ ТЕОРИИ
С ПСЕВДОСКАЛЯРНОЙ СВЯЗЬЮ*
В предыдущем сообщении [1] были приведены некоторые общие
соображения, указывающие на то, что перенормированный мезон-
ный заряд g обращается в нуль в псевдоскалярной мезонной тео-
теории с псевдоскалярным взаимодействием. Рассмотрим этот вопрос
более подробно, исследуя свойства 6?, D и Г при произвольных
g^2i, опираясь на двухпредельную технику Абрикосова и Халат-
никова [2].
Формулы B), E), G) [1] были выведены при учете только непе-
неперекрывающихся диаграмм [3]. Не учитывались перекрывающиеся
диаграммы и диаграммы, содержащие рассеяние мезона мезоном.
Определим вклад всех этих отброшенных членов. Рассмотрим п-
кратноперекрывающуюся диаграмму, входящую в Г. Будем при
этом считать выполненными следующие условия:
р»~(р-&)я~А:'<Л!<Л«. A)
Учитывая, что в этой диаграмме содержится только одно ло-
логарифмическое интегрирование, получаем (аналогично тому, как
это делается в электродинамике [4])
Г« ~ g? 5 dl [Q (DfW.-V.H'/.j! + ^_gl {Lp _
X {i - [l + 4f (l + -^-^ ii)\bk - ЫрЪп->)[\ B)
Второй член в фигурных скобках меньше единицы и при р2 <^J
мал. Отбросив его, мы можем только увеличить величину
* Докл. АН СССР, 1955, 105, 461.
1 Все обозначения совпадают с обозначениями в [1].
176

Гп. В соответствии с этим имеем
Гп < Сл [g\ [l >- 4- g\ (Lv - Lk)}-y\ C)
где Сп — числовой множитель.
При очень малых g? Гп= Cngfn'l). Это соотношение может дать
повод думать, что при больших g\ Yn становится неограниченно
большим. Однако это не так. Даже при Lp — Lk ~ 1 (т. е. при
Лр ~ А\I Тп с ростом g\ стремится к постоянному пределу, рав-
равному
Vn = Cn\n{Lv-L^Y-K D)
Если мы теперь будем считать, что переход к точечному нуклону
осуществляется так: Лр-^оо, Л?->-оо, ЛРЛ^2 ^> 1, то Гп со-
согласно D) оказывается малым при любых значениях g\. Ряд всех
перекрывающихся диаграмм оказывается следующим:
оо
gKL L)]~lf\ E)
Этот ряд, по-видимому, является асимптотическим [5]. При малых
g\ его сумма мала ввиду малости g\. При больших g\ тот же ре-
результат следует из большого значения Lp — LK. (Если, однако,
брать Lp — Lk — 1, то функция, изображаемая рядом E), начи-
начиная с g\ ~ 1, перестает зависеть от gj, хотя и не может быть акку-
аккуратно представлена в виде E). Однако независимость этой функции
от gl дает основание не учитывать ее, так как при g\ ¦—1 сумма
E) порядка единицы, тогда как Г, определяемое B) [1], в этих
условиях будет порядка (Lk — In р2га~2I/5 ^> 1 при р2 <^ Л?.)
До сих пор мы считали, что выполнено условие A). Если
импульс нуклона превышает Ак:
F)
то оценка величины Тп производится следующим образом. Все
нуклонные линии можно заменить на р (аналогично [4]). Инте-
Интегралы по импульсам мезонов определяются областью к2 ~ л?.
При этом D — /Г211 + —gl(Lp — Lk) \ В результате находим
G)
Гп в этом случае оказывается малым не только в силу появления
Lp — Lh в знаменателе, но и благодаря дополнительному множи-
1 Более внимательное рассмотрение случая Лр = Л^ дает указания на то, что
он эквивалентен случаю, когда Lp— Z.^ — 1.
177

телю Л/Г p~2tl- Таким образом, и при условии F) перекрывающиеся
диаграммы не играют роли.
Обратимся теперь к диаграммам, содержащим рассеяние мезо-
мезона мезоном. Простейшая диаграмма такого родаг входящая в 1\
имеет вид
\
\
/ ' | \
I \
(8)
Пусть р2 ~ (р — кJ ~ к2. Матричный элемент, дающий рас-
рассеяние мезона мезоном, равен в соответствии с B) [1]
::;:d-~ a $^4Ж ]
x^-{Q''4l,')-l} + eUL,-L,), (9)
где к — наибольший из векторов кг, /с2, А:3, кг -\- к2 — ks.
Первый член в (9) происходит от импульсов нуклонов, лежащих
в пределах к2 <^ р2 <§: Ан, второй в интервале Al <^ р2 <^ Лр.
Вычитаемое в фигурных скобках в (9) мало, и мы можем его
опустить. Подставляя (9) в (8) и учитывая, что в (8) содержится
однократное логарифмическое интегрирование, находим
(8)~A\i + ±A(LP-Lk)l [ Q(kY'h4S1
Ъ4
X
178

Вычитаемое в обеих фигурных скобках мало, если р2
и может быть опущено (это преувеличивает значение (8))
^. A0)
При больших g\ получаем
(8)~(^-АсГх<1. A1)
Таким образом, (8) перестает зависеть от g\, когда оно становится
большим. Предельное значение, к которому стремится (8), оказы-
оказывается малым при Lp — Lk ^> 1.
Хотя эффект однократного рассеяния мезона мезоном оказы-
оказывается, таким образом, несущественным, следует отметить, что ряд
последовательных актов рассеяния мезона мезоном не дает сходя-
сходящегося ряда и при пользовании двухпредельной техникой. Сравним
две диаграммы:
А В
А равна (9), В содержит однократный логарифмический интеграл
по /2 и в соответствии с (9) оказывается равной
4
X Q~% Uf [l + -5- gf {L, - Lk)\\ A3)
где к — наибольший из векторов /е1? к2, к3, кг + к2 — к3.
При вычислении A3) член, содержащий gl (Lp — Lk), может
быть опущен, если к2 <^ Л? {Q (к2) ^> 1, когда к2 <^ Л?, так что
In Л?АГ2 > In Л^Л;2):
[±]'>(k\ A4)
A4) совпадает по порядку величины с (9) в таких условиях, когда
Q ^> l(fc2 <^ Л?). Таким образом, В и А того же порядка *. Это
обстоятельство делает весьма желательным детальное
1 Отметим при этом, что мы не вводили в гамильтониан член типа ^ф4, кото-
который обеспечивает перенормировку рассеяния мезона мезоном в обычной те-
теории возмущений.
179

рассмотрение совокупности всех диаграмм, приводящих к рассе-
рассеянию мезонов мезонами *. Учитывая, однако, общие соображения,
основанные на выпадении действия свободного поля уже при ма-
малых gl, и что: 1) совокупность всех перекрывающихся диаграмм
оказывается малой; 2) каждая диаграмма, входящая в Г и содер-
содержащая рассеяние мезона мезоном, содержит малый множитель
(Lp — L^Y1 A1), можно с большой степенью уверенности считатьг
что выражения для G, D и Г в виде B) [1] справедливы при любых
значениях gl (т. е. при любых сколь угодно больших значениях
Ар и Л/с). Это обстоятельство приводит к тому, что перенорми-
перенормированный мезонный заряд оказывается в силу F) [1] равным нулю.
Этот результат соответствует выводу из квантовой электродинами-
электродинамики частиц со спином 1/2.
Обращение е и g в нуль в разобранных теориях означает необ-
необходимость радикальных изменений в основах существующих фи-
физических теорий. В первую очередь такое изменение было бы
связано с введением в теорию новой длины, которая сделала
бы, грубо говоря, невозможным стремление Л к бесконеч-
бесконечности [6].
Необходимо иметь в виду, что новая длина г0 не может быть
очень малой, так как в этом случае g2 в соответствии с F) [1] ока-
окажется тоже малым. Из соотношения
следует (полагая Lp = Lk = L и вместо L подставляя сюда
In иг"V (Л = го1))
Если г0 <^ тГ1, то g2 <^ 1. Такое значение g2 не может соответ-
соответствовать данным, полученным из взаимодействий я-мезонов и:
нуклонов [7]. Таким образом, г0 должна быть больше или порядка
комптоновской длины нуклона 2 -10~14см. Л. Д. Ландау указал, что
эта оценка величины г0 может вызвать удивление, если мы вспом-
вспомним о существовании ливней, состоящих из большого числа я-ме-
зонов и нуклонов. Если толкование этих ливней проводить на
основании теории Ферми [8] — Ландау [9], то придется признать
очень вероятным большие передачи импульса, вплоть до величины
порядка 100т. С другой стороны, если ro~ m", то при «наивном»
понимании смысла г0 надо было бы считать передачу импульса
значительно больше т маловероятным событием. Трудность этого
рода подчеркивает необходимость тщательного рассмотрения
1 К. А. Тер-Мартиросян, И. Т. Дятлов, В. В. Судаков просуммировали всю
совокупность диаграмм рассеяния мезона мезоном и показал и, что рассея-
рассеяние мезона мезоном не меняет вывода о том, что g2 = 0.
180

псевдовекторной связи и более общих типов точечного взаимодей-
взаимодействия.
В заключение я хотел бы поблагодарить Л. Д. Ландау за ряд
существенных указаний, а также А. А. Абрикосова, Б. Л. Иоффе,
Е. С. Фрадкина и И. М. Халатникова за интересные дискуссии по
поводу этой работы.
А кадемия наук СССР Получено 12 июня 1955 г.
ЛИТЕРАТУРА
1. И. Померанчук. Докл. АН СССР, 1955, 104, 51 (Собр. трудов, № 62).
2. А. А. Абрикосов, И. М. Халатников, Докл. АН СССР, 1955, 103, 993.
3. Л. Д. Ландау, А. А. Абрикосов, И. М. Халатников. Докл. АН СССР,
1954, 95, 497.
4. И. Померанчук. Докл. АН СССР, 1955, 103, 1005 (Собр. трудов, № 61).
5. F.J.Dyson. Phys. Rev., 1952, 85, 631; A. Peter man. Helv. Phys. Acta,
1953, 26, 291; R. Utiyama, T. Imamura. Progr. Theor. Phys., 1953, 9, 431.
6. Л. Горькое. Докл. АН СССР, 1955, 105, 65.
7. .V. Kroll. M. Ruderman. Phys. Rev., 1954, 93, 233 (Сб. «Проблемы совре-
современной физики», 1955, 3, 167).
8. Е. Fermi. Progr. Theor. Phys., 1950, 5, 570.
9. Л. Д. Ландау. Изв. АН СССР, серия физ., 1953, 17, 51.

64
РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ
ПСЕВДОСКАЛЯРНОЙ МЕЗОННОЙ ТЕОРИИ
С ПСЕВДОСКАЛЯРНОЙ СВЯЗЬЮ*
В работах [1, 2] был разобран вопрос о перенормировке мезон-
ного заряда g. При этом обнаружилось, что найденные Абрикосо-
Абрикосовым и Халатниковым [3] выражения для вершинной части Г,
функции Грина нуклона G и функции Грина мезона D справедливы
не только при g\ << 1 {gx — неперенормированный мезонный
заряд), как это предполагалось в [3], но и при любых g{.
К
—I \
р-н
I
I Kff-K
р-н
-О-
в
В доказательстве этого утверждения имеется один пункт, не
разобранный с достаточной полнотой. Речь идет о влиянии рассе-
рассеяния мезона мезоном на вершинную часть. Хотя простейшая диа-
диаграмма а, включающая интересующий нас эффект (в обозначениях
[1, 2] она пропорциональна [In A,^2]I, мала и не может играть
роли, тем не менее диаграмма б, содержащая еще один акт рассе-
рассеяния мезонов, оказывается такого же порядка, что и а. Таким
образом, возникает задача о суммировании большого числа различ-
различных диаграмм, обязанных рассеянию мезона мезоном. Хотя вряд
ли совокупность этих диаграмм может изменить вывод о равенстве
*1кЭТФ, 1955, 29, 869.
1 Здесь и в дальнейшем используются обозначения работ [1, 2], но вместо Л
пишем X.
182

нулю перенормированного мезонного заряда g, сделанный в [1, 2],.
все же в [2] было привлечено внимание к важности рассмотрения
рассеяния мезона мезоном.
В [1, 2] была использована двухпредельная техника обрезания
расходящихся членов уравнений, определяющих G, Г и D, разви-
развитая Абрикосовым и Халатниковым [3]. При этом использовалось
следующее соотношение между предельными импульсами обре-
обрезания при интегрировании по импульсам нуклонов ^р и мезонов
Если существенно усилить это неравенство
In ^ptfz^J^ln^fctfz, Яр—> оо, Хк ^> ос, A)'
то при такой аппроксимации точечного взаимодействия, как пре-
предела «размазанного» [4] с конечными Х$ и A,fc, можно получить точ-
точные решения уравнений для G, D и Г с полным учетом рассея-
рассеяния мезона мезоном. Мы докажем сейчас, что при использовании
A) G, D и Г в псевдоскалярной мезонной теории с псевдоскалярной
связью оказываются равными:
G = p'\ p2>>m2; B)
Г(р,р-к;к) = Гъ,
Г (р, р — &; к) = 0, р2 ^> Яр или к2 ^> Я2. D)
В формулах B) — D) использована только одна диаграмма дг
входящая в D. Убедимся теперь, что любая неучтенная диаграмма
несущественна. Рассмотрим сначала произвольную /z-кратнопере-
крывающуюся диаграмму, входящую в Г (р, р — к; к). Пусть
Р2 ~ (р — ^J — ^2- Учитывая, что такой диаграмме в соответст-
соответствует только одно логарифмическое интегрирование [р2 <^ /с2, к\У
--, кп<^Хп], находим значение оператора Ь, в который входит
п -+- 1 Х>-функций, 2п -\- 3 Г-функций и 2(п + 1) G-функций:
[In 4^2 = In Km'2 — In ^l™~2 ~ In ^Irrf2]. E).
Мы при этом считали, что g\ не мало по сравнению с единицей.
Если п = 0, то мы имеем совокупность неперекрывающихся диа-
диаграмм, равную по порядку величины In (X^p~2)/ln {Хр^1) <^ 1. Мы
видим, что все перекрывающиеся и неперерекрывающиеся диаграм-
диаграммы дают ничтожный вклад в Г при пользовании A).
Обратимся к рассеянию мезона мезоном. Элементарный квадра-
18а

тик (см. диаграмму г) равен g\ In Xlk~2, где к2 — наибольшая из
величин /с2, k\, к\, (к± + к2 —к3J. В соответствии с этим, а также
учитывая, что диаграмме а соответствует только одно логарифми-
логарифмическое интегрирование (предполагая, что р2 ~ (р —- кJ ~ к2)
в области/?2 <^ к\ — к\ <^ А,2, находим следующую оценку опера-
оператора а:
Если перейти от а к б, то войдет еще одно логарифмическое инте-
интегрирование по /3, приводящее к множителю:
х2
Г2Т2
J
С df'2 U 4- 1 Л2Г2
Мы видим, что условие A) обеспечивает быструю сходимость ряда
последовательных актов рассеяния мезона мезоном, делающую из-
излишней детальное рассмотрение всех диаграмм рассеяния мезона
мезоном. Изложенные выше оценки доказывают справедливость
формул A) — C) при любых g\. В отличие от [1—2], рассеяние
мезона мезоном заведомо играет ничтожную роль. Следствием из
A) — C) является обращение в нуль неперенормированного ме-
зонного заряда
Отметим, что пользование условием A) чрезвычайно сильно упро-
упрощает задачу нахождения G, В и Г. Проведенное здесь рассмотре-
рассмотрение показывает, что рассеяние мезона мезоном (без привлечения
члена tap4) не меняет вывода, сделанного в [1—2], о равенстве нулю
иеренормированного мезонного заряда g.
Недавно Тер-Мартиросян, Дятлов и Судаков, используя остро-
остроумную технику, определили величину совокупности существенных
диаграмм, дающих рассеяние мезона мезоном, и установили, что
в том случае, когда импульсы мезонов малы по сравнению с неко-
некоторым К, вся совокупность диаграмм лишь численным множителем
отличается от простейшего графика г. При этом на Яр и Хк не накла-
накладывалось никаких условий. Результат Тер-Мартиросяна, Дятлова
и Судакова указывает на независимость вывода о равенстве g = О
от соотношения между 1Р и lfe.
Академия наук СССР Получено 24 сентября 1955 г#
ЛИТЕРАТУРА
1. И. Я. Померанчук. Докл. АН СССР, 1955, 104, 51 (Собр. трудов, № 62).
2. И. Я. Померанчук. Докл. АН СССР, 1955, 105, 461 (Собр. трудов, № 63).
3. Л. А. Абрикосов, И. М. Халатников. Докл. АН СССР, 1955, 103, 993.
4. Л. Д. Ландау, А. А. Абрикосов, И. М. Халатников. Докл. АН СССР,
1954, 95, 497.

65
РАВЕНСТВО НУЛЮ ПЕРЕНОРМИРОВАННОГО ЗАРЯДА
В ЭЛЕКТРОДИНАМИКЕ И В МЕЗОННОЙ ТЕОРИИ*
Обсуждаются решения уравнений квантовой электродинамики для
частицы со спином Vi, получаемые рядом авторов сначала с введением одно-
одного параметра «размазывания» и впоследствии с введением двух таких пара-
параметров. Доказывается в разд. 1, что получаемые решения верны для всех значе-
значений неперенормированного электрического заряда ех (как для е\ <<g 1, так и для
е± ^> 1) и что теории обоих типов приводят к следствию, что перенормирован-
перенормированный заряд е оказывается равным нулю. В разд. 2 исследуется, выполняется ли
такое ше свойство для мезонного заряда g в псевдоскалярной теории. Исполь-
Используя двухпредельную технику, развитую Абрикосовым и Халатниковым,
автор приходит к заключению, что g также равно нулю. В разд. 3 детально
рассматривается проблема обращения в нуль перенормированного мезонного
заряда, исследуя свойства функций G. D и Г при произвольных gy Резуль-
Результат такого анализа соответствует ранее сформулированным выводам и под-
подтверждает обращение g в нуль.
1. Равенство нулю перенормированного заряда
в квантовой электродинамике
В статье Ландау, Абрикосова и Халатникова [1] было найдено
решение уравнений квантовой электродинамики, которое опре-
определяет гриновские функции электрона G и фотона Z>^v, а также
вершинную часть Гу,, соответствующую их электромагнитному
взаимодействию. Эти уравнения содержат неиеренормированный
заряд ег, являющийся функцией (фиктивного) радиуса размазы-
размазывания 1/Л частиц. Это размазывание при Л —>- оо соответствует
точечному взаимодействию как пределу размазанного при радиусе
взаимодействия, стремящемся к нулю. Заряд ег увеличивается
[2], когда Л растет, что отражает свойство вакуумной поляризации
уменьшать любой внешний заряд, помещенный в вакуум (грубо
говоря, зависимость ег от 1/Л отражает распределение эффек-
эффективного электронного заряда на некотором расстоянии от его цент-
центра). Решения уравнений квантовой электродинамики, найденные
в [1], могут быть справедливы, согласно вычислениям, выполнен-
выполненным в [1], только при е\ <<g 1. Это ограничение препятствует изу-
изучению свойств квантовой электродинамики при Л—>¦ оо, так как
Nuovo Cimento, 1956, 3, 1186. Перевод М. В. Терентьева.
185

еь по-видимому, становится бесконечным при Л —>¦ оо. Упомяну-
Упомянутые выше авторы использовали очень простое размазывание с од-
одним параметром 1/Л в координатном пространстве (или Л в им-
импульсном пространстве). Более общий тип размазывания был изу-
изучен Абрикосовым и Халатниковым [3], которые ввели точечное
взаимодействие exty (x) ^^\р(х) А^ (х) как предельный случай раз-
размазанного:
s, A.1)
в котором «ширина» распределения по у и z различна. Они дока-
доказали, что радиус размазки для поля А (по координате z ) всегда
больше, чем 1/Лр (размазка по у), определяющей масштаб сдвига
г[) (у) по отношению к г|э (х):
1/ЛЛ>1/Лр. A.2)
Используя размазывание с двумя параметрами, Абрикосов и Ха-
Халатников получили решения уравнений квантовой электродина-
электродинамики. После перенормировки их результаты совпадают с [1], так
как перенормированные величины не содержат параметров размаз-
размазки. Решения, полученные в [3] (когда d\ = 0 [1]), имеют вид:
л (&2ч = 1 V'W*8 G(p) = p~\ A.3)
Если А2 > Л?, то D^ = ^г (в^ - -^-) , Г = 0.
Связь между перенормированным зарядом е и зарядом ег может
быть представлена в виде (см. [3])
е2 fi ц 4)
l + (v/3n)e2lnA2/m2 * ;
При к2 = Al функция D меняется скачком от величины Л^2 [1 +
+ (v/3jx) e\ In ЛрЛ^2]" к величине Л^2. Если велика величи-
величина (v/Зя) е\\п Ар Afc2, то функция D претерпевает большой
скачок.
Мы докажем ниже, что резкость выключения взаимодействия и
возникающие при этом скачки Д-функции совершенно не сущест-
существенны. «Обрезающий» фактор может принимать любую возможную
форму, не противоречащую градиентной инвариантности (попереч-
ности поляризационного тока). Такой фактор вводится подстанов-
подстановкой величины у^Ф (р2 Ар2, (р — /гJЛр2; к2 Л^2) вместо Тц. Функция
186

Ф, без ограничения общности, может быть представлена в виде
произведения двух функций:
При таком выборе Ф-функции D и Г принимают следующий вид:
-1
1\(р, р-к; к) = V-D (р'Лр', (р - А)'Л?; й"Л?).
A.6)
(При Лр = Лй = Л формулы A.3), A.6) совпадают с получен-
полученными в Ц].) Мы будем рассматривать теперь случай, когда Ар и
Л к удовлетворяют неравенству х
In
ос.
A.7)
Используя эти неравенства, можно доказать, что формулы A.3),
A.6) верны для всех значений е\ как малых, так и больших.
Для доказательства этого утверждения рассмотрим те члены
уравнений, определяющих G, D, Г, которые Ландау, Абрикосо-
Абрикосовым и Халатниковым интерпретировались как малые.
Уравнения Швингера — Дайсона, которые использовались в
[1] для определения G ш D, являются точными. Однако Г опреде-
определялась из приближенных «трехвершинных» уравнений, которые
(в символической форме) имеют вид
A.8)
Графики, которые не учитывались в [1], отделены вертикальной
линией.
1 На важность этого неравенства указал Л. Д. Ландау.
187

Все перекрывающиеся диаграммы и эффекты типа рассеяния
света на свете не учитывались в [1]. Рассмотрим произвольный
перекрывающийся тг-кратньтй график, дающий вклад в Г:
A.9)
В нем содержится 2п G-функций, п D-функций и 2п Г-фупкций.
Этот график содержит п четырехкратных интегралов по к\...кп.
Как известно, все интегрирования, за исключением одного, не
дают логарифмической расходимости 1. Поэтому мы имеем только
один логарифмический интеграл. Пусть импульсы р, р — к, к
одного порядка и удовлетворяют неравенству
(Так же, как и в [1], мы можем рассматривать все эти импульсы
пространственноподобными.) Подставляя в интеграл вместо Г[Х,
G и D их выражения A.6), получаем
Необходимо подчеркнуть, что верхний предел определяется вели-
величиной Л|, а не Лр (Лр появляется только при интегрировании
по р).
Теперь используем условие
о
-gUnA^2>l, A.11')
вытекающее из A.7) в случае е\ ^> 1, представляющем для нас
интерес. Неравенство A.11') приводит к исчезновению / из урав-
уравнения A.11), при этом интегрирование по q2 ограничивается усло-
условием q2 < Л?. Поскольку неравенство A.7) обеспечивает медлен-
медленную (логарифмическую) зависимость всех функций от ф, подста-
подстановка Л? в качестве верхнего предела интегрирования не приво-
приводит к заметным ошибкам. Функция / выпадает (так же как и g)
из каждого графика, так же как в рассмотренном примере 2. Не-
1 Мы предполагаем (здесь и в дальнейшем), что d\ = 0 [1].
2 Замечание, что /-функция исчезает, было сделано JI. Д. Ландау.
188

зависимость результатов от вида / обеспечивает возможность вы-
выбора обрезания произвольной формы. Для краткости мы не будем
писать явно /-функции, а будем вводить резкое обрезание в интег-
интегралы:
? In A^-fp, A.12)
где Сп-г — численный фактор.
Так как р2 <^ Л?, второй член в A.12) меньше, чем первый,
и в соответствии с этим порядок величины Гп равен
Г„ ^ С^ [el [l + -J±- in AjAj] '}" \ A.13)
В случае очень малых значений е\ A.13) превращается в
\\~С^е«™\ A.14)
что могло бы привести к заключению, что для е\ ^> 1 вклад пере-
перекрывающихся диаграмм может стать большим. Но если v^/Зя
In Лр Л^2^> 1 (при е\ ^> 1 это уже достигается при не очень боль-
больших значениях ЛрЛ^2), то условие A.13) дает вместо A.14) следую-
следующее выражение:
45т* <*• AД5)
Если вместо условия A.10) векторы р, р — кик удовлетворяют
неравенству
fc4Ak^(P-^<Ap- A.16)
то мы получим для величины перекрывающихся графиков значение,
меньшее, чем A.15). Фактически в этом случае сплошным линиям в
A.9) соответствует фактор р~г (все к малы по сравнению с р).
Только «пунктирные» факторы будут зависеть от к и каждый из
них равен
Учитывая, что имеется 2п сплошных линий, мы получаем следую-
189

щее выражение для Тп в том случае, если выполняются условия
A.16):
а—1
- Ill——
n2/t
Р | "Л
Таким образом, вклад всех перекрывающихся графиков в Г
равен
Эта величина всегда мала независимо от значения е\. Хотя эти ря-
ряды являются, по-видимому, асимптотическими [4], тем не менее
величина, которой этот ряд соответствует, аппроксимируется
первыми членами ряда, где эти члены быстро убывают с ростом п.
Если калибровка потенциалов выбрана в соответствии с условием
dt = 0, то, как показано в [1], вклад неперекрывающихся диа-
диаграмм в Гу,:
I
A.18)
р-н
оказывается малым, если е\ <^ 1.
Так как этот оператор не содержит логарифмических расхо-
димостей, его величина имеет следующий порядок:
е2 11
1 + (ve2/3jl) in л** < In Л^~2 < In
еслир2 — к2 — (р — кJ. Если выполняется неравенство р2^> Л?
(k2<^Al), то вместо A.19) мы получим для оператора A.18)
оценку
_i^ri + 2liniir^ ^ <i A20)
Р2 L + Зя ш Л2 J ^/1Л2Л-2 ^ U ^
Зя Л J /1пЛ
До сих пор мы рассматривали случаи, когда р2 — (р — кJ — к2
1 к2. Легко видеть, что даже для случая неравенства
190

| данные выше оценки выполняются для всех пере-
перекрывающихся операторов, входящих в Г, так же как и для
A.18).
Мы видим, что все перекрывающиеся операторы и A.18) дают
малый вклад в Г при любых значениях^2. Рассмотрим теперь эф-
эффекты в Г, вызванные рассеянием света на свете. Здесь простейшая
диаграмма выглядит так:
I
I
A.21)
Вычисляя A.21), мы должны иметь в виду, что простейший гра-
график, описывающий рассеяние света на свете, сходится и имеет
порядок е\. Поэтому при условии р2 ~ (р — кJ ~ к2 <^j Л?
интеграл A.21) с логарифмической точностью сводится к однократ-
однократному интегралу (к\ — U\ —- {кг + к2J ^> к2) и имеет порядок
A.22)
Для оценки произвольного графика, содержащего рассеяние све-
света па свете, необходимо сравнить две диаграммы х:
A
к,
iii+kz—ki
в
Кг
к
в
A.23)
A.24)
Если А\ с рассматриваемой здесь логарифмической точностью не
зависит от &з, то переход от A.23) к A.24) приводит к дополнитель-
^4| и Л| могут быть связаны друг с другом также и другими линиями. Су-
Существенно, однако, что A.24) отличается от A.23) только квадратиком.
191

ному фактору:
1 ) A* (*
_Jh [
¦ w
.) A:
_ A.25)
Независимость А\ от к3 может быть, например, в следующем
случае:
- С
(квадратик не зависит от .моментов сталкивающихся фотонов, ес-
если к2 ^> т2). Если, напротив, А\ зависит от к3, то А\ уменьшается
с ростом к3. Грубо мы можем представить этот случай следующим
способом:
к3 I 4 3 к3
A.26)
— ^з
Зависимость линии B.3) от /с3 приводит к дополнительному фак-
фактору (р —к± — А2+ ^з)^ который обеспечивает сходимость
интеграла по к3, в противоположность с логарифмической расхо-
расходимостью интеграла A.25). Соответственно переходя от A.23) к
A.24), если А\ зависит от к3, мы получим фактор, который будет
даже меньше, чем тот, который появляется в уравнении A.25).
Таким образом, введение любого графика, выражающего рассея-
рассеяние света на свете, приводит к ряду по малому параметру
ПпЛрЛ-к?], как и в случае перекрывающихся графиков.
Таким образом, все отклонения Г^ от fp, малы независимо от
величины е[. Благодаря логарифмичности всей ситуации (это
означает, что все существенные величины являются медленно ме-
меняющимися логарифмическими функциями) из теоремы Уорда
следует, что при Гу, = ^ гриновская функция электрона должна
равняться р. Это может быть проверено непосредственно вычис-
вычислением любого графика, входящего в массовый оператор, опре-
определяющий G.
При Г^ = Ту- и G = р /^-функция однозначно определяется
из уравнений Швиигера — Дайсона в виде A.3).
Полученные выше результаты обосновывают возмолшость при-
применения равенств A.3) при любых Ар и Л^, удовлетворяющих ус-
192

ловию A.7). Это обстоятельство приводит к следующему фундамен-
фундаментальному выводу: перенормированный заряд е оказывается рав-
равным нулю в соответствии с A.4):]
_3 1 >0, А*-оо. A.27)
Физические аргументы, приводящие к обращению в нуль заряда,
были даны в статье Ландау и Померанчука [5] г. Они были основа-
основаны на том факте, что уже при е\ <^J 1 влияние свободного электро-
электромагнитного поля оказывается, согласно равенству A.3), пренебре-
пренебрежимо малым. Это обстоятельство делает очень правдоподобным^
что и при е\ 5^> 1 эффекты от свободного электромагнитного поля
исчезают. Тогда становится возможным сделать заключение, что
е2 — 0. Нужно отметить, что использование двухпределыюй
процедуры значительно упрощает анализ уравнений квантовой
электродинамики по сравнению с аналогичной ситуацией, когда
используется однопредельная техника. В этой связи нужно отме-
отметить, что условие A.7) обеспечивает логарифмическую зависимость
всех функций даже при е\ ^> 1. Это в большой степени упрощает
вычисление всех интегралов. Если мы вернемся к однопределыюй
теории, весьма вероятно, что мы увидим, в качестве результата
сложного рассмотрения, что ситуация здесь соответствует двух-
предельной теории, когда оба предела одного порядка. Здесь вклад
перекрывающихся графиков (а также эффектов рассеяния света
на свете) более не зависит от е\, когда е\ больше единицы. Это оз-
означает, что ситуация с большими^ эквивалентна случаю с е\ —1.
Поскольку в случае е\ — 1 уравнения выполняются по порядку
величины, поэтому они должны выполняться для всех значений
е\. Таким образом, однопредельная теория дает е2 = 0, так же
как и двухпредельиая, но в последнем случае весь анализ стано-
становится совершенно очевидным. Обращение в нуль е возникает из-за
того, что голый заряд е1 окружается облаком противоположных
зарядов под влиянием процесса интенсивной поляризации ва-
вакуума; в результате этого процесса полный заряд системы (ех +
+ поляризационные заряды) оказывается порядка единицы на
расстояниях, едва превышающих размер голого заряда 1/Л,
причем это не зависит от того, насколько велик заряд ег. Область
сильного взаимодействия отсутствует. С другой стороны, в об-
области слабого взаимодействия е2 оказывается равным нулю при
Л-> оо согласно [1].
1 Идея об исчезновении заряда была также высказана Е. С. Фрадкиным.
7 И. Я. Померанчук, т. II {93

2. Перенормировка мезонного заряда
в псевдоскалярной теории
с псевдоскалярной связью
В разд. 1 был получен результат, что квантовая электродинами-
электродинамика частиц со спином V2 приводит к обращению в нуль перенорми-
перенормированного электрического заряда. Важная проблема состоит в
выяснении, является ли этот эффект свойством любого точечного
взаимодействия. Наиболее существенный случай — это мезон-ну-
клонное взаимодействие .|Вэтомразделерассматривается перенорми-
перенормировка мезонного заряда g в псевдоскалярной теории с псевдоска-
псевдоскалярной связью. Рассмотрение проблемы упрощается, так же как
в электродинамике, если использовать для решения неперенорми-
рованных уравнений Швингера— Дайсона двухнедельную тех-
технику Абрикосова и Халатникова [3]. Их результаты выведены в
предположении, что неперенормированный мезонный заряд мал
по сравнению с единицей. Это делает применимым для определения
вершинной части Г (р, р — к; к) «трехвершинное» уравнение, ко-
которое учитывает только неперекрывающиеся диаграммы [1]:
B.1)
Обрезающие факторы для нуклонных и мезонных импульсов
Ар и Ак удовлетворяют условию Лр > Ак. Полученные в [3]
гриновская функция G для нуклона iiD для мезона, а также вер-
вершинная часть Г имеют вид:
G = p-*Q(pf'\ D = lr\) (Л)-- [l -}- 4 (Lp- L
Г = T5<?Vt, Q(z) = l+-±gi (Lk - In *««r
B.2)
Lv— In Apf/г2, x = Л- в D,
Lft = in Л^/тг2, x — p в G.
Величина х в Г (p, p — к, к) совпадает с логарифмической точно-
точностью с наибольшей из величин/?2, (р — кJ, к2; т — масса нукло-
194

на. Формулы B.2) применимы при условии:
Aj>Aa>/wa, B.3)
для G, D и Г соответственно.
Если р2 или А2 становятся меньше, чем т2, то вместо In x2m~2
должен быть подставлен нуль. Если приведенные выше неравен-
неравенства изменяются
B.4)
то вместо B.2) возникают следующие формулы:
G = p~\ Г=г5. B.5)
Если р* > Лр или к2 > Л|, то Г = О, G = р~\ Д = /с. Связь
между gt и перенормированным зарядом g имеет вид:
g._- g' .2- 
J ' " —- ?И 1 — (g2/^
При к2 = Л^ функция Z> меняется от Л^2 до Лла [1 (й) (p
— Z/J. Этот скачок связан с «резким» исчезновением взаимодей-
взаимодействия, когда к2 становится больше Л2*. Скачка нет в том случае,
когда исчезновение плавное. Можно доказать, что так же, как в
электродинамике [6], наличие скачка у D -функции не отражается
на дальнейшем анализе. С ростом Лр, Лй gl возрастает. Если
Лр = Aft, то B.2) сводится к однопредельной формуле Абрико-
Абрикосова, Галанина и Халатникова [7]. Если g\ <^ 1, но
то формулы B.2) упрощаются:
G (р) = p-^Q-^ (p), D {к) = к-\)?* (к) 4 (Lp - Lk)-\
р - к, к) = Т5<?о/5(*), (Л(х) = 1 + х ^7Р-1Г • B-7)
Формула B.7) подсказывает возможность пренебрежения влия-
влиянием свободного мезонного поля в лагранжиане. Фактически ср
входит в уравнения только вместе с зарядом gt в комбинации g±(f.
Поэтому усреднение по вакууму выражения (Гф(л;) ф (г/)>, ко-
которому пропорциональна /^-функция, приводит к зависимости
7* 195

giA (аналогично случаю электродинамики [5, 8] х). Функция <?>
являющаяся средним по вакууму от Tty (x) г|) (г/), в этих условиях
не должна зависеть от gx. Вершинная часть пропорциональна
[10]
и также не должна была бы зависеть от gl. Эти свойства отражены
в B.7).
Мы приходим к выводу, что даже при малых g\ действие сво-
свободного поля не играет существенной роли. Можно предположить,
что роль свободного поля будет только уменьшаться при дальней-
дальнейшем увеличении gi. Поэтому зависимости всех величин от g\ дол-
должны описываться формулами B.6) также и при g\ J^> 1. Следова-
Следовательно, функция g\D не должна зависеть от gl, и поэтому ее зави-
зависимость от к2 при больших g\ будет такой же, как и при малых g\.
Это означает, что для любых значений gl (т. е. для как угодно
больших значений Ар и Ак в формуле B.6), Г. D и G должны сов-
совпадать с B.7). Следовательно, в формуле, связывающей gl и g2,
g- =
Lp
Lp и LK (Лр, Л/с) можно устремить к бесконечности. Поэтому g2,
так же как в электродинамике, оказывается равным нулю. Важ-
Важность этого результата делает желательным его доказательство
с помощью непосредственного рассмотрения уравнений, опреде-
определяющих G9 D и Г при gl ^> 1.
3. Об обращении в нуль
перенормированного мезонного заряда
в псевдоскалярной теории с псевдоскалярной связью
Предыдущий раздел содержал общее рассмотрение, имеющее
целью доказательство того, что перенормированный мезонный за-
заряд g исчезает в псевдоскалярной мезонной теории с псевдоскаляр-
псевдоскалярным взаимодействием.
1 Этот результат легко видеть в том случае, когда функция представляется
в виде функционального интеграла |9]
D (х, у) = jj 7Чр<(*) ф (*/)> exp[ij (giq>)] 6ф / ^ exp
Здесь мы пренебрегаем частью действия от свободного поля. Заменяя пере_
менные q> -¦ ^хф, мы немедленно получаем, что D ~ g~2.
196

Рассмотрим эту проблему в деталях, исследуя свойства G, D
и Г при произвольных значениях g\ с помощью двухпредельной
техники, развитой Абрикосовым и Халатниковым [3].
Формулы B.2), B.5), B.7) были получены из рассмотрения
только неперекрывающихся графиков [1]. Перекрывающиеся гра-
графики, так же как графики, содержащие рассеяние мезона на ме-
мезоне, не учитывались. Определим вклад всех членов, которыми
пренебрегал ось. Мы рассмотрим тг-кратный перекрывающийся
график, входящий в Г. Мы предположим, что выполняются следу-
следующие неравенства:
Р2 ~ (Р - W ~ к2 < Л2, < Л*. C.1)
Учитывая, что эта диаграмма содержит только одно логариф-
логарифмическое интегрирование, получим (с помощью операций, анало-
аналогичных используемым в электродинамике [8]):
о
г „,, *Г dql /w v-(VioJn-(t.,)nt(Vi)B»i+l) Г, S[ /т т . I
1 - ~ -I \ IF Q {q) Il ~r 1Г {Lp - Lft)J =
C.2)
Второй член в скобках ^1 и при р2 <^ Л| пренебрежимо мал.
Если этот член не учитывается, Г71 может только увеличиться.
Поэтому мы получаем
где Сп — числовой фактор.
При очень малых g\ имеем Тп = Cngfn~l). Эта связь могла бы
привести к выводу, что Гп возрастает неограниченно при больших
g*. Но на самом деле это не так. Даже в случае Lp — Lk ~* 1
(т. е. при Лр — Л^) при возрастании g\ функция Гп не превышает
предельного значения:
Если мы предположим теперь, что переход к точечному нуклону
происходит при Лр ->- сх), А\ -+ оо, ЛрЛ^2^>1, то, согласно C.4),
197

Гп оказывается малой при любых значениях g2. Ряд для всех
перекрывающихся диаграмм имеет вид
о
^ГГ C.5)
Этот ряд является, по-видимому, асимптотическим [4]. При малых
g2 его сумма мала, так как g2 мало. При больших g2 тот же резуль-
результат связан с большой величиной Lp — L^. Однако при Lv — L^ ~
~ 1 функция, выражаемая суммой C.5), не зависит от g2 при g2 >,
^ 1, хотя она и не может быть представлена точно в виде ряда
C.5). Но независимость этой функции от g* позволяет пренебречь
ею, так как при g* —1 сумма C.5) также имеет порядок единицы,
в то время как выражение B.7) имеет порядок (Lk — In p2m)^^^>
^> 1 в тех же условиях, если р2 <^J A\.
До сих пор мы предполагали, что условие C.1) выполнено.
Если нуклонный импульс больше, чем Л^:
Ла<Л?<ра<Л*. C.6)
то оценка величины Г^ выполпяется следующим образом. Все
нуклонные линии могут быть взяты в виде р~г (как и в [8]). Все
интегралы по мезонным импульсам определяются в основном об-
ластьго к2 — Л*: здесь D — /г2 j 1 + ~- (Lp — Lk) | .В результате
получаем
~1)п
) C.7)
В этом случае Гп оказывается малой не только из-за фактора
Lp — Lfe в знаменателе, но также из-за дополнительного множи-
множителя (Л?/р2) . Таким образом, в области C.6) перекрывающиеся
диаграммы также не играют роли.
Перейдем теперь к диаграммам, содержащим мезон-мезонное
рассеяние. Простейший входящий в Гп график такого типа имеет вид
C.8)
Р р-и1 z
Предположим, что р'г ~ (р — кJ — к2.
198

Матричный элемент для мезон-мезонного рассеяния согласно
B.2) имеет вид

= bg\ (Lp - Lk) -ь- bg
^--4^-
{<?<';) (*) - 1)
A19)
где Л — числовой фактор (~1), а 4 — наибольший из векторов:
&15 ^2» "'З» #1 ~Г ^2 "'З'
Первый член в C.9) возникает из-за области нуклонных им-
импульсов в интервале Лк ^> р2 ^> к2, второй член из-за импульсов
в интервале Лр ^> р2 ^> Al, В C.9) член (—1) мал по сравнению
с Q3/* и можно им пренебречь. При этом мы можем только пере-
переоценить мезон-мезонное рассеяние. Подставляя C.9) в C.8) и
учитывая, что C.8) содержит только одно логарифмическое ин-
интегрирование, мы получим для C.8) значение
-3 V,
1 - ^(bp-
§\^</!W х
Г °2
= bgl[i^^-(Lp-Lk
L "I ,r r ,Г
L ГС J
^ ^>A (A-)
4j^
7
X
1 + (gf/л) (Lp - LA.)
Второй член мал во всех фигурных скобках, если р2 <^ Л&,
и им можно пренебречь (это только увеличивает выражение C.8)).
199

Мы получим, таким образом, для C.8) значение
X \l + -2-(JLv—.
(ЗЛО)
При больших ^i мы получаем для выражения C.8) оценку
~(Lp-Lk)-\ C.11)
Таким образом, C.8) перестает зависеть от g\, когда g\ становит-
становится большим. Предельное значение C.8) оказывается малым при
Lp-Lfc>l.
Несмотря на то что однократное мезон-мезонное рассеяние
оказывается малым эффектом, необходимо отметить, что ряд по-
последовательных актов мезон-мезонного рассеяния не дает сходя-
сходящегося ряда, даже если используется двухпредельная техника.
Сравним две диаграммы:
К
К
C.12)
в
Диаграмма А совпадает с C.9), В содержит логарифмический ин-
интеграл только по /2 и согласно C.9) оказывается равной
iL {Lp _ Lk)]
В ~
где k — наибольший из векторов kx, k2, къ, кх + k2 — k3. При
вычислении C.13) член, содержащий gi(Lp ~- Lk), может быть
выброшен, если к2 <^ Л? (Q (к) ^> 1), и мы получаем
C.14)
Выражение C.14) совпадает по порядку величины с C.9), если
Q ^> 1 (к2 <^ Л^). Таким образом, В и А оказываются одного по-
порядка. Этот факт делает желательным детальное рассмотрение
всех диаграмм мезон-мезонного рассеяния. Однако, принимая во
внимание общие соображения, основанные на уменьшении вклада
200

части интеграла действия, соответствующего свободному полю,
уже при малых значениях g\, а также тот факт, что:
1) вся совокупность перекрывающихся диаграмм оказывает-
оказывается малой;
2) каждая диаграмма, содержащая мезон-мезонное рассеяние
и входящая в Г, имеет малый фактор (Lp — L^) (см. C.11)).—
мы можем утверждать, что с большой степенью вероятности
выражения для G, D и Г, приведенные в B.2), правильны при лю-
любых gl (т. е. при как угодно больших значениях Ар и Л^). Это
обстоятельство приводит к тому, что перенормированный мезон-
ный заряд согласно B.6) обращается в нуль [6]. Этот результат
соответствует выводу из квантовой электродинамики частиц со
спином V2 [5, 8].
Недавно Горьков и Халатников обнаружили, что в квантовой
электродинамике частиц со спином нуль перенормированный заряд
также равен нулю [11].
Отмеченные выше факты обращения в нуль перенормирован-
иых зарядов, вероятно, показывают, что все точечные взаимодей-
взаимодействия должны приводить к тому же результату. С этой точки зре-
зрения было бы наиболее важным выяснить, приводит ли векторная
связь к аналогичному результату.
Обращение в нуль зарядов точечных частиц потребовало бы
радикальных изменений в основах существующих теорий. Преж-
Прежде всего такие изменения могли бы привести к введению новой
длины в теорию, и это могло бы, грубо говоря, запретить возра-
возрастание Л до бесконечности.
Необходимо помнить, что новая длина г0 не может быть слиш-
слишком малой. В этом случае согласно B.6) g2 тоже было бы малым.
Из формулы
следует, что при заданных значениях Ар и Ак g2 достигает мак-
максимума при gi = оо:
Предполагая, что Lp = Lk = L, и подставляя In (ilm2r\) вместо
L (Л = 1/г0), получаем
Если r0 <^ 1 m, то g2 <^ 1. Это значение g2 противоречит данным,
полученным из взаимодействий я-мезонов и нуклонов (особенное
внимание необходимо обратить на теорему Кролля — Рудермана
201

[12]). Таким образом, г0 должно быть больше или порядка комп-
тоновской длины волны нуклона, 2-10~14 см. Наиболее вероятно,
чтобы г0 оказалось в интервале 10~14 < rQ < 10~13. Однако, как было
отмечено Ландау, эта величина г0 может привести к некоторым
трудностям, если вспомнить о существовании ливней, образован-
образованных большим числом я-мезонов и нуклонов, так называемых взрыв-
взрывных ливней. Теория Ферми [13] — Ландау [14] для таких ливней
с необходимостью приводит к выводу о высокой вероятности со-
событий с большим переданным импульсом, вплоть до значений
порядка —100 т (для столкновений нуклон-нуклонного типа это
соответствует энергии быстрого нуклона порядка 1013 эв в лабора-
лабораторной системе). С другой стороны, если г0 — 1/т, то, правда
при несколько «наивном» понимании г0, передачи импульса, зна-
значительно превышающие т, должны быть очень маловероятны.
Трудности с взрывными ливнями (если они действительно взрыв-
взрывные) только еще раз подчеркивают необходимость тщательного
изучения таких проблем, как мезон-мезонное рассеяние с псевдо-
псевдоскалярной связью *, псевдовекторная связь и более общие типы
точечных взаимодействий. Однако может случиться, что суще-
существующие теории jt-мезонных ливней придется пересмотреть и
что фактически нет больших передач импульса. Эксперименты,
имеющие целью обнаружение новой фундаментальной длины,
могли бы быть жизненно важными для прогресса теории эле-
элементарных частиц.
Эксперименты с я-мезонами, нуклонами и другими элемен-
элементарными частицами, обладающими сильными взаимодействиями,
не могут непосредственно служить этой цели. Пока отсутствует
новая теория, легко возможна неоднозначная интерпретация этих
опытов, поскольку в случае сильных взаимодействий все процессы
очень сложны (можно считать, что, с теоретической точки зрения, л-
мезоны, нуклоны и частицы, им подобные, даже слишком сложны.
С точки зрения атомной физики они больше соответствовали бы
сложным атомам, чем водородоподобным атомам). Основные экс-
эксперименты должны выполняться с частицами, имеющими сла-
слабое взаимодействие (электрон— электрон, электрон — у-квант,
у-квант — pi-мезон).
В заключение я хотел бы выразить мою благодарность
Л. Д. Ландау за его ценные замечания, а также А. А. Абрикосову,
Б. Л. Иоффе, Е. С. Фрадкину и И. М. Халатникову за их актив-
активное участие в обсуждениях работы.
Академия наук СССР Получено 24 ноября 1955 г.
Недавно Тер-Мартиросян и Судаков выполнили очень тонкие вычисления
мезон-мезонного рассеяния и показали, что оно не нарушает вывода о
g2 =0. Такой же результат был получен[автором в предположении
^> 1П Л| W*2, (Лр -¦ОС, Aft -> ОО).
202

ЛИТЕРАТУРА
1. Л. Д. Ландау, А. А. Абрикосову И. М. Халатников. Докл. АН СССР,
1954, 95, 497, 773, 1177.
2. В. Kallen. Helv. Phys. Acta, 1952, 25, 417; Я. Lehmann. Nuovo Cimento,
1954, 11, 342.
3. А. А. Абрикосов, И. М. Халатников. Докл. АН СССР, 1955, 103, 993.
4. F. J. Dyson, Phys. Rev., 1952, 85, 631; W. Thirring. Helv. Phys. Acta,
1953, 26, 33; С A. Hurst. Proc. Cambr. Phys. Soc, 1952, 48, 625; A. Pe-
terman. Helv. Phys. Acta, 1953, 26, 291; R. Utiyama, T. Imamura. Progr.
Theor. Phys., 1953, 9, 431.
5. Л. Д. Ландау, И. Я. Померанчук. Докл. АН СССР, 1955, 102, 489
(Собр. трудов, № 60).
<5. И. Я. Померанчук. Докл. АН СССР, 1955, 104, 51; 1955, 105, 461. (Собр.
трудов, Л°№ 62, 63).
7. А. Д. Галанил, А. А. Абрикосов, И. М. Халатников. Докл. АН СССР,
1954, 97, 793.
8. И. Я. Померанчук. Докл. АН СССР, 1955, 103, 1005 (Собр. трудов, № 61).
9. И. М. Гелъфанд, Р. А. Минлос. Докл. АН СССР, 1954, 97, 209;
Е. С. Фрадкин. Докл. АН СССР, 1954, 98, 47; Я. Я. Боголюбов. Докл.
АН СССР, 1954, 99, 225; Ю. А. Гелъфанд. ЖЭТФ, 1955, 28, 140; К. Ya-
mazaki. Progr. Theor. Phys., 1952, 7, 449; S. F. Edwards, R. E. Peierls.
Proc. Roy. Soc, 1954, A224, 24; P. T. Matthews, A. Salam. Nuovo Cimen-
Cimento, 1954, 12, 563; K. Symanzik. Zs. f. Naturfor., 1954, 9a, 809.
10. /. Schwinger. Proc. Nat. Acad. Sci. USA, 1951, 37, 455, 459.
11. Л. П. Горькое, И. М. Халатников. Докл. АН СССР, 1955, 104, 197.
12. N. Kroll, M. Ruderman. Phys. Rev., 1954, 93, 233.
13. Е. Fermi. Progr. Theor. Phys., 1950, 5, 570.
14. //. Д. Ландау. Изв. АН СССР, серия физ., 1953, 17, 61.

66
РАВЕНСТВО НУЛЮ ПЕРЕНОРМИРОВАННОГО ЗАРЯДА
В ТЕОРИЯХ ПОЛЯ С ТОЧЕЧНЫМ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕМ*
Совместно с В. В. Судаковым и К. Л. Т ер-Мартиросяном
Дан краткий обзор результатов, полученных применением .метода Лан-
Ландау, Абрикосова и Халатникова к теории псевдоскалярных мезонов. Прос-
Простейшие соображения перенормируемости приводят к независимому выводу точ-
точных выражений для функций Грина и вершинной части. Полученные со-
соотношения между gjj, g* и импульсом обрезания Л таковы, что теория неиз-
неизбежно приводит к результату, что для точечного взаимодействия (т. е. в
пределе Л —* оо) перенормированный заряд должен быть равен нулю.
Показано, что если ввести два обрезающих импульса Ар и Л^ (соответ-
(соответствующих нуклонному п мезонному импульсам), этот результат может быть
строго доказан для любой величины g* при условии, что соответствующие
пределы по отдельности растут достаточно быстро, если А^ —* ос. В процес-
процессе доказательства оцениваются члены, которыми в уравнении для вершин-
вершинной части пренебрегается в нулевом приближении. Эти члены соответствуют
диаграммам с пересекающимися мезонными линиями и замкнутыми нуклон-
ными петлями.
Показано, что для двух различных способов обрезаний:
а) Лк -> оо и [In А*/т2] [In Л?/Л?]-i<g 1,
б) А/с -^ оо и только {In [Лр/Л? J} <^с 1,
вклад этих диаграмм пренебрежимо мал для любых gQ.
Во втором случае показано, что суммарный вклад бесконечной последо-
последовательности диаграмм мезон-мезонного рассеяния имеет тот же порядок
величины, что и простейшая диаграмма этого ряда.
Рассмотрена теория с псевдовекторной связью, которая является непере-
нормируемой в случае разложения в ряд обычной теории возмущений. По-
Показано, что перенормировка может быть выполнена без разложения в ряд;
перенормированный заряд также равен нулю. Этот результат строго получен
только для специального типа обрезаний, а именно, когда выполняется не-
неравенство
в) Aj/m»[ln(Aj/Aj)]-i<l.
В заключение обсуждается возможность экспериментальной проверки
несостоятельности теории поля с точеным взаимодействием.
* Phys. Rev., 1956, 103, 784. Перевод О. Д. Далькарова.
204

1. Введение
В работах Ландау, Абрикосова и Халатникова [1] был пред-
предложен новый подход к проблеме решения уравнений квантовой
теории поля. Точечное взаимодействие трактовалось этими авто-
авторами как предел при А -> оо нелокального взаимодействия,
«размазанного» в радиусе 1/А, причем в общем случае голая кон-
константа go зависит от А.
Если, кроме того, предположить1, что gl <^ 1, то появляется
возможность представить любую из величин (функция Грина,
вершинная часть и т. д.) для больших импульсов, когда —р2 ^>
^> т2, т — нуклонная масса (или масса электрона в электро-
электродинамике), в виде следующего ряда:
/0 [gl In (А2/- р*)] ' gyx [gl In (Л-/—/>2I +
Существенное различие между этим разложением и обычным ря-
рядом теории возмущений заключается в том, что все члены, пропор-
пропорциональные различным степеням величины к = go In (Л2/—р2),
собраны вместе в виде замкнутого выражения /п (>с). Величина %
не может считаться малой даже для gl < 1, так как 1л (Л2 !—р2)
может быть произвольно большим 2. В принципе функции fn (и)
могут быть найдены с помощью интегральных уравнений Дайсо-
на — Швингера. На самом деле Ландау, Абрикосовым и Халат-
никовым был определен таким образом член нулевого порядка
/о (и) в разложении типа A) для функции Грина и вершинной ча-
части в электродинамике.
Аналогичные вычисления для псевдоскалярной мезонной тео-
теории были проведены Абрикосовым, Галаниным и Халатниковым
[3]. В случае — р2 ^> т2 были получены следующие выражения:
Г3~Гб«(^ Аа/-Ра),
\Р)~ Yp^ ^о» I — Р h \ )
\Р) °^ J> 1^о» l I — P h
1 Как будет видно, это условие не является существенным для дальнейшего
изложения.
2 Обычный ряд теории возмущений
П=0 V=:0
(см., например, [2]) следует из A), если /п (х) в A) переписать в следующей
форме:
оо
/п (х) = 2 C«+v, У.
v=0
205

где х в случае симметричной псевдоскалярной теории
а=<?1/б, р=?Г8/», d=Q-*u C)
и для нейтральной теории
а=<?~'\ P=<?-S/I°, d=(f\ D)
где
(> = l-f E^/4яIп(Л2/-/>2). E)
Зависимость go от Л и ?с имеет следующую форму [1]:
где L — In (Л2//п2) или -
G)
Структура выражения G) такова, что независимо от способа изме-
изменения go с Л (единственное условие g\ > 0 — требование эрми-
товости теории) мы получаем gl —> О, когда Л -> оо или L -> оо.
(Если g"o^ ~^ °°> когда L ->- оо, то gc ^ 4я /5L ->¦ 0; если, однако,
^о^ ->¦ ^V, где TV — произвольная константа, то gl ^ N/L-+- 0.)
Итак, современная теория поля приводит к выводу о том, что
перенормированный заряд нуклона равен нулю.
На первый взгляд это заключение может казаться неправиль-
неправильным, так как согласно F) gl возрастает с Л. Начиная с некоторого
Л условие gl < 1 перестанет выполняться и разложение по сте-
степеням gl, на котором основываются выводы C), D) и G), окажется
неудовлетворительным.
Нетрудно видеть, однако, что все соотношения останутся спра-
справедливыми для любого gl, которое не мало, при условии, что
«размазанное» взаимодействие с самого начала берется в общей
форме [6] и точечное взаимодействие
рассматривается как предел для Л/с —>- оо, Ар —>¦ оо взаимодей-
взаимодействия (Лр и Л/с — нуклонный и мезонный предельные импульсы)
go $ Рхрх^х — Vf х — z) У (х) Тб*a-ф (У) % B) dydz,
1 Для больших импульсов вершинная часть Г5 (р, р—к) зависит от макси-
максимального из импульсов р, к и р — к. В дальнейшем предполагается (если
нет особых оговорок), что р — наибольший из импульсов.
2 Соотношения между gjj и g^, аналогичные F) и G), были получены Ли
[4] для специального типа взаимодействия. См. также [5].
206

lf де FA а, (я — у, x — з) не равно нулю, если z и у находятся вбли-
зи ж, внутри областей с радиусами 1/Лр и 1/Л^ соответственно.
Для Лк ->- оо, Ар ->- оо
FApAk(x — y,X — z)~>6 (х — у) 6 (Я — Z)
и Лр всегда больше, чем Л^ (в противном случае результаты
не отличаются от случая обычного обрезания). После перенорми-
перенормировки результат не должен зависеть от способа стремления к пре-
пределу, так как перенормированные величины не содержат никаких
«размазывающих» параметров.
Можно показать (см. [6] и ниже), что в двухпредельной тех-
технике обрезания все соотношения остаются точно такими же (в
области импульсов — р2 < Л?), как и для однопредельного обре-
обрезания, единственное отличие состоит в том, что вместо Л во все
формулы входит величина Л^ и gl заменяется на
(8)
в симметричной теории и на
?, (9)
L)
в нейтральной теории: здесь Lp = In (Лр/m2), Lk — In (Л|/т2).
Величина g0 произвольно мала для любой величины g0, если
разность L9-Lk = In (Л?/Л!)
достаточно велика. Следовательно, разложение A) (в котором
gl заменяется на gl) всегда сходится. Более того, первый
член (B), C), D) или G)) ряда такого типа (нулевой порядок по
#о) будет равен для достаточно малых go 17] сумме всего ряда A)
с любой степенью точности.
Итак, соотношение G), переписанное в виде
— , A0)
справедливо с любой степенью точности для произвольного g0
при условии, что In (Ap/Al) достаточно велик.
Для Ак -> оо или Ьк -> оо это приводит к gl -*- 0 для произ-
произвольной зависимости g0 от Л.
Итак, современная мезонная теория с точечным взаимодей-
взаимодействием оказывается несостоятельной, так как приводит к абсурд-
абсурдному заключению об отсутствии физического взаимодействия (это
утверждение в равной степени применимо к электродинамике [8] *,
1 Л. Ландау указал на появление этой трудности в современной теории еще
207

к мезонной теории со скалярной связью и, как будет показано ни-
ниже, к теории с псевдовекторной связью).^
В этой статье мы дадим простой вывод точных выражений B) —
E) для функций Грина и формулы F) для «голого» заряда с по-
помощью свойств перенормируемости (разд. 2). В разд. 3 будет рас-
рассмотрен случай двухпредельного обрезания [6]. Оценки приме-
применимости формул B) — (9) в нулевом порядке будут даны в разд.
4—7 с помощью техники двухпредельного обрезания.
Для этих целей проделаны оценки членов, которые соответ-
соответствуют диаграммам с пересекающимися мезонными линиями и
замкнутыми нуклонными петлями, т. е. членов, которыми прене-
брегается в нулевом (по go) приближении.
Показано, что для двух возможных случаев ограничений:
если в пределе Lk -*¦ оо, Lp — Lu = In (Лр/Л*) так велико, что
LK/(LP - LK) ж LK/LP < 1 (а)
(так называемое «сверхдвухпредельное обрезание»), и если
только
(LP-L(C)-1<1, (б)
вклад этих диаграмм пренебрежимо мал для произвольных g*.
В случае (б) просуммирован вклад бесконечной последователь-
последовательности диаграмм мезон-мезонного рассеяния, которые оказываются
важными в рассматриваемой проблеме, и показано, что суммар-
суммарный вклад имеет тот же порядок, что и простейшая диаграмма для
этого процесса.
Итак, результат G) (или A0)) и заключение о том, что gc —>¦
->- 0 для Lk ->- оо, могут быть строго доказаны не только при ус-
условии (а), но также и в случае (б).
Мы рассмотрим (в разд. 9) отдельно теорию с псевдовекторной
связью, в которой обычное разложение по g* не может быть пере-
перенормировало.
Однако в более частном случае обрезания, чем (б), для кото-
которого
т? (Lp - Lfc) = тЧп (Л2
т. е.
когда Lfc^oo, не представляет трудности доказательство воз-
возможности перенормировки для псевдовекторной связи, причем
перенормированный заряд также будет равен нулю.
в начале 1954 г.; Фрадкин независимо предположил в конце 1954 г., что
перенормированный заряд должен быть равен нулю.
208

2. Вывод формул B) — F) для функций Грина
и вершинной части
из условий перенормировки
Выражения B) — E), как и следовало ожидать, обладают свой-
свойством перенормируемости:
и (?20> А2/ - р2) = ас (g2, - PVm2)lac (g2, Л»//и2),
Л2/ - ^2) = Рс (в?, - р2/^2)/вс te2, л2/О, A1)
2, Л2/ - р2) = dc (g*, - pa//w2)/dc (^, Л2//тг2),
Условия (И) могут быть получены из C) или D), если переписать
выражения для Q в виде Q = QQQC, где
несли определить ас, (Зс и dc аналогично а, р и d, но с заменой (^
на ()с. (Последнее уравнение A1) будет тогда определять зависи-
зависимость g2 от Л F).)
Покажем, что точные выражения C) и D) для функций а, E
и d могут быть получены без решения интегрального уравнения
с помощью только условий перенормировки F) и соображений,
аналогичных приведенным в статье Гелл-Мана и Лоу [2] (см.
также литературу в статье [10]).
Введем следующую величину:
A) =
L -
L -
L - I) =
A2)
которая может быть названа эффективным зарядом для данной
величины —р2 и которая не зависит от Л. Перепишем теперь в
новых обозначениях логарифмы величин L2/—р2 и —р2/т2,
т. е. L — ? = In (Л2/—р2) и ? = In (— p2/m2) как функции а,
асит. д. Если мы обозначим а' — da/d^ и т. д., то нетрудно ви-
видеть, что логарифмические производные функций а, C и d по ?
могут быть выражены как функции только g2:
A3)
Рассмотрим, например, первое из этих уравнений. Согласно A2)
§ = ? (#с> #2) и> следовательно, величина a'Jac, которая зависит
от g2 и ?» может быть выражена в виде функций g2 и ^2. Следова-
Следовательно, отношение ac/a, которое равно ac/ac, может быть пред-
209

ставлено в форме
а'(ф L - l)la(gl, L-l) = h\ [gl, g*{g\, L-l)]. A4)
Здесь подчеркнуто, что согласно A2) g2 = g2 (gl, L — ?).
Если gl фиксировано, a L и ? изменяются таким образом, что
L— Достается постоянной, то перенормированный заряд gl,который
согласно A1) зависит от gl и Л, будет изменяться, если остальные
величины в A4) не фиксированы. Соотношение A4) будет, следо-
следовательно, выполняться, только если Fx не зависит от g*. В этом
случае мы приходим к первому уравнению A3) — другие уравне-
уравнения могут быть доказаны аналогичным образом.
Можно определить точный вид функций i*\, F2 и F3 в A3),
предположив, что ? -> L. При этом условии величина In (Л2/— р2) =
— L — \ невелика и для gl <C I, go (L — |) также малая величина,
т. е. применима обычная теория возмущений. Согласно A2) для
l^L g2^glna = p = d = 1.
Простые вычисления, выполненные с логарифмической точ-
точностью (т. е. при учете только логарифмически расходящихся
частей интегралов), приводят в первом порядке теории возмуще-
возмущений для симметричной псевдоскалярной теории г к выражениям:
Р = 1 - Cgg/4n)(L - I), gl(L• - Е)< 1,
d=l-(g«/ji
Итак, для !¦ —> L получим:
Например, для вершинной части после учета изоспиновых переменных и
матриц получаем
2 ^
2
- /с) = тз - iL С Т5 (р - f-
Я1 J
где в фейнмановских обозначениях: р = тр = Торо — ТР> ^2 = ^о2 — к2,
d4k = Bn)~2dk0dk1dk2dk3i iG0 (p) ~ i (p — m) соответствует нуклонной ли-
линии и 4яШ0 (/) = 4л;? (Z2— ^2) — мезонной, ^-матрица определена
следующим образом:
S = Г jexp [go ^ГоТа^фа^|| .
Для интегрирования с логарифмической точностью существенна область,
в которой / много больше любого из импульсов р или к (т. е. в логарифми-
логарифмической шкале область ? ^ z < jL, где 2 = In (— 12/т?)). Пренебрегая в этой
области импульсами р и к и массами тицпо сравнению с Z, получаем для
интеграла величину
L L
^ (- ?/4) Т5 ^ ^z = (- ?/4) Т5 (L - &
Значения а приведены в последующем тексте.
210

Подставив в A3), получим в первом порядке по g2:
Fx (?2) = - /?а/4л, F2 (g2) = 3#2/4я, F, (g2) = g*/n.
Так как согласно (8) и (9) (g2Og2 = 2F± + 2F21 мы приходим к
следующему выражению:
[^ FI7^E) = E/4 я) g» (g).
Интегрируя это уравнение по ? от | до L (и учитывая, что соглас-
согласно A2) ?2 (L) = g02), имеем
Подставив это выражение для g2 (^) и явный вид Гг, F% и F3 в
A3), интегрируя по ?, получаем формулу C). Аналогично в слу-
случае нейтральной псевдоскалярной теории:
и мы получаем ^ (g2) = ga/4jt, F2 () ^ 3 ()
Выражение для^2E) тождественно при этом выражению A5), и
после интегрирования A3) по I немедленно получаем формулы
D) для а, р и d.
3. Случай двухнедельного обрезания
Рассмотрим более подробно теорию с двумя пределами обре-
обрезания. Покажем, что все формулы будут тождественны уже полу-
полученным при условии, что во всех формулах следует заменить g20
на go и Л на Л&.
После исключения спиновых переменных и матриц (простые опе-
операции) получим интегральные уравнения Дайсона — Швингера для
симметричной1 псевдоскалярной теории в форме:
Г3 (Р, Р - к) = 0Г5 - ~ \ Г8С (р - I) Г5С (p-k-l) TbD (I) dH, A6)
- т - 1п- $ T*G (Р - к) ®Гь?> (A) d'kj G (р) = 1, A7)
- И2 + §- J Sp [G (p) l\G (p - к) еГ5 -
- (G (р) T6G (p - к) 0r5W] &р\ D(k) = l A8)
1 В нейтральной теории интегральный член в уравнении для Г5 положителен,
а в уравнениях для G и D интегралы входят без коэффициентов 3 и 2.
211

(обозначения см. прим. на стр. 210). Здесь 6 = бд. л (Pi р — к) —
фурье-компонента размазывающей функции F& л (х — у, х — z)
р/с
(для Л/с->оо, Л^-^'оо, 6—^1). По определению 0=0. если
—• р2 ^> Лр или —к2 ^> Л?. В области больших импульсов все
величины изменяются очень медленно (логарифмически) и, сле-
следовательно, конкретный вид этой функции не важен.
Уравнения A7) и A8) есть точные выражения, в то время как
A6) является приближенным уравнением. Последнее уравнение
отвечает учету только простейшей диаграммы (рис... 1, а) и не
учитывает более сложных неприводимых диаграмм (в обычном
дайсоновском смысле) с пересекающимися мезонными линиями
(например, диаграммы на рис. 1, 6, с и др.) или с замкнутыми
нуклонными петлями — диаграммы на рис. 1, d, е и т. д. 1
Возможность пренебрежения этими диаграммами в разложе-
разложении типа A) в нулевом приближении по g\ (или ~gl) будет исследо-
исследована в дальнейшем более подробно.
Если Ар = Л^ = Л, функции B) — C) являются решениями
уравнений A6) — A8) в случае больших импульсов. Действитель-
Действительно, все интегралы обрезаются при — р2 = Л2, поэтому сущест-
Рис. 1. Вершинные части
диаграмм с пересекающими-
пересекающимися мезонными линиями (Ь, с)
и нуклонными петлями (d, e)
венны значения р и /с, не превышающие этого значения. В случае
двухпредельного обрезания Ар 2> Ак и Г5 = 0, если хотя бы
один из импульсов р или к достигает предельного значения (т. е.
если 8 = 0, то согласно A6) Г5 = 0). Итак интегралы A6) и A7)
обрезаются при импульсе Aft, a A8) при Ар. Более того, из A8)
следует, что d (ц) = 1, если —к2 ]> А2 или г| = In (—к2/т2) >
> Lit, так как в этом случае функции Г5 и 8 равны нулю в интег-
интегральном члене в A8).
1 Все линии и точки на рис. 1 соответствуют точным функциям ?, D и Г.
212

Для —к2 < Aft. т. е. г\^Ьк, интегральный член в A8) не
равен нулю. Обозначим (А:2 — jx2) Пту часть интеграла, которая со-
соответствует интегрированию по области Л| < (— р2) < Л^:
jj
_ ц*) П =-^f jj р[(р)ъ()Ъ
A9)
Как будет показано ниже, в наиболее важной области [д2 <^
<^ {—к2) <^ Aft безразмерная (положительная) величина П практи-
практически не зависит от к2. Принимая во внимание A9), уравне-
уравнение A8) может быть переписано в форме
2 2 Л*
{(*• - \i2) A + П) 4- -il \ Sp [G (р) Г5С (р - к) г5 -
- (G (р) Г5С (р - /.) у5)^И d*p} Z> (Лг> = 1.
Подставляя в это уравнение, а также в A6) и A7)
D (к) = A ~- ПГ1 D (к) (пли d (r\) = A + П) d (л)), B0)
получаем для Г5, G и D выражения A6), A7) и A8), которые ана-
аналогичны соответствующим формулам в случае одного предела
обрезания Л = Л&. при условии, однако, что g2 заменяется на
Очевидно, что в области ? ^ Lk решениями для а (?), Р (S) ir
d (|) будут функции C), E) (или D), E) для нейтральной теории),
полученные выше, если сделать замену Л на Л^ и gl на go- Для I =
= L/c эти функции равны единице; для | ]> Lte в области L/, <
< ^ ^ Lp функции а(|) и Р(|) также остаются равными единице.
В отличие от а и р функция d (r\) для г] = Lfe испытывает скачок
[6] от A + П) (в соответствии с B0)) для т] = Lk — 8, е -> 0
до d = 1 для т] >> L/j;х. Приближенные графики а (|), Р (Н) и
d (|) показаны на рис. 2.
Подставляя в A9) величины B) для функций Г5, Z>, G согласно
сказанному выше и полагая a=P = d = l в области интегрирс-
1 Это является следствием того, что интегральный член в A8) равен нулю,
когда т] > Z/ft, согласно сделанному выше предположению о поведении
функции 6.
21а

вания, легко вычислить интеграл
Lk
Следовательно,
n = (g2/^)(Lp— Lk), B2)
ii B1) аналогично соотношению (8). В нейтральной теории нет
множителя 2 перед интегралом в A8), и П в этом случае равно
Итак, мы получаем (9).
Соотношения G), (8) и (9), которые приводят к нулевому пере-
перенормированному нуклонному заряду для точечного взаимодей-
взаимодействия, существенным образом зависят от явного вида C) или D)
функций а, Р и d. Вид этих функций определяется уравнения-
N
d№^—
1
\
I
I
I
I
I
I
I
f
I
|
Рис. 2. Поведение функций
а(|), РE) и <*(?) в симметрич-
ной теории с двумя пределами
обрезания
ми A6), A7) и A8). (Подчеркнем еще раз, что вывод формул C) и
D) из условий перенормируемости эквивалентен асимптотичес-
асимптотическому решению уравнений A6) — A8).)
4. Оценка точности нулевого приближения теории
Рассмотрим теорию с двумя пределами обрезания Л^ и Лр
(в которой gl заменяется на g\ в A6) — A8)). Докажем, что в
этом случае оказывается справедливым пренебрежение диаграм-
диаграммами, изображенными на рис. 1, Ъ — е, т. е. диаграммами с пе-
пересекающимися мезонными линиями и нуклонными петлями.
214

Прежде чем отбросить эти члены в A6), их необходимо оценить.
Для Зтой цели должны быть использованы функции B), C) и E)
в нулевом приближении (по gl).
В общем виде можно показать, что диаграмма с л пересекаю-
пересекающимися мезонными линиями (такого же типа, как на рис. 1, Ь,
сит. д.) соответствует в A6) члену порядка (glI1'1 (более точно,
члену такого порядка в ряде типа A), если gl заменяется на gl и Л
на ЛЛ).
Это есть простое следствие того факта, что в интегрировании
по п виртуальным мезонным импульсам только один из интегра-
интегралов расходится (логарифмически) и результат интегрирования
пропорционален In (Л|/— р2)- Итак, вклад диаграммы такого ти-
типа должен быть следующего порядка (в оценке используются сво-
свободные функции D, G и Г):
Г5 (glr In (Л2/- Р2) = Гь (ИГ'1 п> (А«/- Р2)], B3)
т. е. порядка (glO1'1, поскольку gl In (Л2/ —р2) в разложении ти-
типа A) есть величина нулевого порядка. Более точные оценки, по-
получаемые путем подстановки в интегралы выражений C) или D) для
а, р и d, дают вместо gl In (Л2/— р2) числовую функцию Fn (gl x
X In (Л2/— р2)) порядка единицы. Мы продемонстрируем это в
простейшем случае, когда п = 2; соответствующая диаграмма пока-
показана на рис. 1, Ъ.
Используя выражения B) для Г5, G и D(cD = Dl(\ + П)),
получаем, что вклад этой диаграммы
xTbG(p-k- Г) Г5Л (I) D (V) dHdH'
(в симметричной теории множитель 5 появляется вследствие изо-
изотопических переменных: TyTvTaTpTv = 5та; его нет в случае
нейтральной теории) может быть представлен в форме
Здесь нужно принять во внимание, что важна только логарифми-
логарифмическая область ? ^ z ^ Lk [z = In — 121т2], в которой I и Г
много больше, чем р и к; кроме того, для фиксированной величи-
величины I интеграл по V
сходится и равен единице, поэтому важны значения V — I (со-
(соответственно мы можем всегда положить zr = In (—V2/m2) ^ zr
215.

•G{p — k — l — l')^G\ {p - I _J')«G(-Z-Z')«- (l + У)'1 P (z)
и т. д.). Введя переменную q = 1 + Ego / 4я) (L^ — z) и вы-
выполнив интегрирование, получим следующий результат:
B4)
-P2)
который подтверждает оценку B3) для п = 2, велико In
заменить в B3) функцией F2 (Q):
= - ш A -
которая для произвольных Q = 1 + E?о^4я) (Lft — |) есть
величина порядка единицы или меньше.
Итак, в нулевом по go приближении все диаграммы с пересе-
пересекающимися мезонными линиями оказываются несущественными.
Более трудно оказывается оценить вклад в A6) всех возможных
диаграмм на рис. 1, d, e и т. д., содержащих произвольное число
нуклонных петель.
Рассмотрим диаграмму на рис. 1, d, которая содержит в вер-
вершине мезон-мезонного рассеяния любую произвольную диаграм-
диаграмму этого процесса, представленную на рис. 3—6 и т. д. (скажем,
Hi
Иг.
\
P ^
A.
Рис. 3. Диаграммы однократ-
однократного мезон-мезонного рассея-
рассеяния
диаграммус номером п). Вклад такой диаграммы (см. рис. 1, d) может
быть представлен в форме
- л D) $ г5<? (р -1) i\g (р -1 - V) тьЪ (I) х
X D (Г) D(k-l~ Г) Rn (Z, Г, -k,k — l- V) d4d4\
где
B5)
(причем k± + К + кг + /c4 = 0) обозначает вклад, соответствую"
щий 71-й диаграмме мезон-мезонного рассеяния; А обозначает
216

коэффициент, зависящий от изотопических спиновых переменных *;
этот коэффициент отсутствует в нейтральной теории. Учитывая
в интеграле только логарифмическую область g ^ z ^ Lk, по-
лучаем по аналогии с B4)
a*(z)$2(z)d3(z)ARn(z)dz =
B6)
Здесь Rn (г)ж Rn (q) означают выражения типа Rn (I, V,— к, к —
— I — Z'), где Z, V и к — I — V — достаточноболыпиевеличиныод-
достаточноболыпиевеличиныодного порядка. (В этом случае сумма любых двух импульсов, от
которых зависит Rn, будет того же порядка величины, что и I,
V или к — I — V\ как будет показано, при выполнении этого ус-
условия Rn зависит только от одной переменной, Rn = Rn (z).)
Рассмотрим сначала простейшие диаграммы для одно- и дву-
двукратного рассеяния (рис. 3 и 4). Согласно B5) Ro соответствует
вкладу шести диаграмм на рис. 3 для однократного рассеяния, а
отвечает вкладу диаграмм на рис. 4. для двукратного рассеяния
Рис. 4. Диаграммы двукрат-
двукратного рассеяния. Если каждый
из квадратов на рис 4, а за-
заменить одной из диаграмм на
рис. 3, то получается 18 иден-
идентичных диаграмм. Таким обра-
образом, всего имеется 18x3—54
различных диаграмм
h
(удвоение числа этих диаграмм A08) может быть получено из рис. 4,,
если каждый квадратик на рис. 4 заменить одной из диаграмм на
рис. 3. Рис. 4, а будет состоять тогда из двух наборов, каждый из
которых содержит по 18 идентичных диаграмм). Например, после
1 Если в симметричной теории аъ а2, а3 и а\ обозначают изотопические спи-
спиновые переменные мезонных линий /, I', —к и к— I— Г на рис. 1, d, та
А = то1Та.та.то4и R" (Z> //»~Л» к~ I— Г) = Raia2asa< С» Г» —*» к— ^-1')
зависят от этих переменных.
21Т

выделения gl ! 4jm согласно B5) диаграмме на рис. 3, а будет со-
соответствовать следующее выражение:
= -g- \ Sp [Г5С (р) Тъв (р + А3) Г5С (p~ks + к,) х
X Г6С (р - *t)l d*pTr (га1та2та4та8). B7)
{В нейтральной теории коэффициент Тг (т„,тО2та4таз), разумеет-
разумеется, отсутствует.) Для любой из 18 диаграмм на рис. 4, а мы мо-
можем вычислить величину Rla, где
2ЯЬ, (kv Л,, А-з, А4) = - |f ^ Ло (Ах, *в, Z, V) Ъ A) D {V) X
ХДо(-/,'-*',*8,*4)^, B8)
причем Z' = — Z — А;х — к2 = — Z + ^з 4" ^4« Очевидно, что RQ и
/?!— величины одного порядка (нулевого порядка по gl), поскольку
go в B7) и B8) «поглотился» логарифмически расходящимся ин-
интегралом. Это может быть легко показано непосредственным вы-
вычислением. Рассмотрим для этого только логарифмическую об-
область ri<^<LpB B7) [г| = In (—к2/т2) —квадрат наибольшего
мезонного импульса] и область г] ^ z ^ L^ в B8), тогда получим
Ро W) - A6/з) ФЪ - 1) + D^02/я) In (A^/Aj), B9)
Q
- in- $ pS (?)s'2 (?)d?- C0)
1
для симметричной теории или аналогично
Ro (Q) = 24 A - Q-1'') + F^/л) In (Л;/Л?), C1)
Ri(Q) = -i\ Rl (я) & (?) <% C2)
1
для нейтральной теории.
Подставляя эти величины в B6), можно оценить вклад в A0)
диаграмм на рис. l,d,e, содержащих один или два нуклонных квад-
квадрата. Рассмотрим для простоты случай Q^>1 (т. е. go (¦?& — Л) ^
^> 1), когда B6) максимально. В этом случае мы можем подставить
в B6) согласно B9) р0 ж A6/3)^» или согласно C1) До ж 24 -f
+ Fg?/ji) In (Ар/Л?) = const. Тогда получим следующие выра-
выражения соответственно в случае симметричной и нейтральной тео-
218

рии для вклада диаграмм на рис. 1, d:
Чь E?5/Зл) A - <Г4/б) ~ Г35^о/3я,
Г5 (Д0/24я) gS A - (Г1) ~ Го (^о/24 я) iJ (До = const). C3)
(В C3) учтено, что в симметричной теории A6S = 5таз.) По-
Полученные величины порядка g'l и равны нулю, если g0 —> 0.
Вклад диаграмм типа 1, е для двухкратного рассеяния может
быть аналогично оценен с помощью C0) или C2). Соответствующие
величины также порядка go и> следовательно, в нулевом при-
приближении теории ими следует пренебречь. (В симметричной
теории, например, вклад диаграммы 1, е для Q <С 1 отличается
от вклада диаграммы 1, d только численным множителем, так
как в этом случае согласно C0)
И
5. Сводимые и несводимые диаграммы
мезон-мезонного рассеяния
Трудность рассмотрения состоит, однако, в том, что, кроме
диаграмм на рис. 1, d и е для одно- и двукратного рассеяния, су-
существует еще бесконечное множество аналогичных диаграмм с
?::? ц'В ?::?::?
а ъ 4J I с
пп:ппп::п;/Я R R
и п__п
Рис. 5. Примеры «своди-
«сводимых» диаграмм
от-
I
большим числом нуклонных квадратов, каждая из которых соот-
соответствует вкладу того же порядка в амплитуду рассеяния *. При-
1 На это было указано Ландау и это не относится к электродинамике. В
последнем случае (из-за сокращения расходимостей в суммарном вкладе
диаграмм рис. 3) величина Rх порядка е02 по отношению к Ro будет соответ-
соответствовать диаграммам на рис. 4 с двумя квадратами. Следовательно, даль-
дальнейшее рассмотрение относится только к мезонным теориям.
219г

нимая это во внимание, можно утверждать, что существует бес-
бесконечное число диаграмм мезон-мезонного рассеяния, дающих
такой же вклад, как B9) и C0) или C1) и C2).
Эти диаграммы могут быть названы «сводимыми». Нуклоиные
квадраты в этих диаграммах связаны мезонными линиями таким
образом, что всякие два нуклонных квадрата, связанные мезон-
мезонными линиями, могут быть заменены одним квадратом и, следо-
следовательно, любая диаграмма такого типа приводится к одной из
диаграмм на рис. 3 (например, диаграммы на рис. 5 — «сводимые»,
в то время как на рис. 6 — «несводимые»). И обратно, с помощью
одной из диаграмм на рис. 3 мы можем получить любую диаграм-
диаграмму на рис. 4, 5, Ъ и с и т. д. Замена одного нуклонного квадрата
двумя не изменит порядок величины вклада этой диаграммы,
который отличается только появлением лишнего коэффициента
go и двух расходящихся интегралов (по мезонному и нуклонному
импульсам). В результате, грубо говоря, эти диаграммы будут
отличаться множителем ^ЬрЬк — 1 (если Lp -> оо, g02 Lp -> п
и go LvLh -> п glLk).
Переход от диаграммы на рис. 3 к одной из диаграмм на
рис. 4 является хорошим примером компенсации лишнего коэф-
коэффициента go появлением расходящегося интеграла. Аналогично,
простые оценки показывают, что величина высшего порядка по
g0 соответствует «несводимым» диаграммам.
Если обозначить через
вклад всей совокупности диаграмм мезон-мезонного рассеяния
Ь^~^ | Рис. 6. Примеры «несводимых»
| I диаграмм
(т. е. точное выражение для амплитуды мезон-мезонного рассея-
рассеяния), то в области больших импульсов ft{ величина Р' может быть
представлена в виде ряда, аналогичного A):
Р' = Р (х) + g*N (х) + ..„ х = ?0 In (Л.2к/-к*).
Первый член этого ряда, который определяется суммой бесконеч-
220

ного ряда
( 1> 2> <>, 1*'±) =r= ^/j iln ('•'].> > о? /* W V
содержит вклады только сводимых диаграмм.
Соответственно полный вклад в A6) диаграмм типа рис. 1, d,
е и т. д. с произвольным числом нуклонных квадратов опреде-
определяется выражением B6), в котором Rn заменено на полную сумму
Р. Оценку полученного таким образом выражения можно сделать,
если просуммировать ряд C4) или, по крайней мере, показать, что
ряд не расходится.
В дальнейшем будет показано, что трудности, связанные с не-
необходимостью оценки суммы C4) (так называемая «паркетная»
проблема), могут быть преодолены, если рассмотреть специальный
тип обрезания (б) (так называемое «сверхдвухпредельное обре-
обрезание»).
Возможность оценки суммы в C4) будет обсуждена в разд. 7.
6. «Сверхдвухпредельное обрезание»
Если при Afe -* оо выполнено условие (б), вклад в C4) всех
членов суммы, исключая Но. будет бесконечно мал и
Нт Р = Во.
В самом деле, так как
v ! 4д ! +
где т] ^ Lfc, мы получаем для Lp — Lk-+ oo
и, следовательно, согласно C0) или C2) Ег-^ 0.
Аналогично все другие члены ряда C4) также равны нулю,
так как при замене в любой диаграмме одного нуклонного квад-
квадрата двумя появляется лишний коэффициент g\LvLk, который стре*
мится к нулю в рассматриваемом пределе.
Если Lk I Lp <<1, jR0 согласно B9) или C0) становится констан-
константой порядка единицы и согласно B6) для Р = Ro = const вклад
в A6) всех диаграмм типа 1, <2, е и т. д. будет пропорционален
Ljt/Lp и равен нулю для Ь\ —> оо. (Более точно, в пределе Lk —>¦ оо ,
(Lfr / Lp) ->• 0 и вклад в A6) любой диаграммы с гс-квадратами
пропорционален (Lk I Lp)n.)
2?Л

7. Вычисление амплитуды
мезон-мезонного рассеяния C4I
Сумма C4) «сводимых» диаграмм удовлетворяет интеграль-
интегральному уравнению, вид которого зависит только от величины i?0.
Для того чтобы получить это уравнение, введем понятие приводи-
приводимых и неприводимых диаграмм.
Диаграммами, приводимыми по отношению к «разделению»
мезонных линий кх и к2 от к3 и &4, будут называться такие диа-
диаграммы, которые могут быть разделены по крайней мере на две
части, связанные между собой только двумя мезонными линиями
Предположим, более того, что отделение выполняется таким об-
образом, что линии кх и к2 связаны с однойчастью, а к3 и к4 — с дру-
другой (например, диаграммы на рис. 4, а, 7, а не являются приводи-
приводимыми). Диаграммы, не обладающие этим свойством, являются не-
неприводимыми по отношению к разделению кх и к2 от к3 и к4 (на-
(например, диаграммы на рис. 3, 4, Ь, с, 7, Ь, dJ.
Рассмотрим сначала все диаграммы мезон-мезонного рассея-
рассеяния (т. е. сводимые и несводимые). Обозначим через Р' вклад
всех диаграмм, через Rr (/cx, к2; к3, к4) — сумму всех неприводи-
неприводимых диаграмм (в смысле отделения кх и к2 от к3 и к4) и через
F' (кц к2; /с3, /с4)— сумму всех приводимых диаграмм, т. е.
Р' (кг, &2, к3, к4) = R' (к.,%; к39к4) + F (кг, к2; к3, к,), C5)
где Р' симметрична по отношению к любой перестановке мезон-
7 пЧ
pup-
pupil ^ы н-
__LJ__
Рис. 7. Диаграммы а и с — приводимы, в то время как диаграммы bud
неприводимы в смысле отделения к\ и къ от Н и /с4
На Рис. 7, а показан способ отделения части диаграммы, связанной с к
и &2 от остальной части диаграммы
ных линий, в то время как Rr и F инвариантны только при пере-
становке кх и к2 или к3 и /с4 или, если кх1я.к2 заменяются на к3 и к±.
Величины Р' и R' удовлетворяют интегральному уравнению, ана-
Вычисления были выполнены совместно с И. Т. Дятловым [9].
2 Приводимость или неприводимость диаграммы в этом смысле зависит от
того, как расположены в ней мезонные линии. Так, диаграммы на рис. 4, а
приводимы в смысле отделения кг и к2 от /с3 и /с4, в то время как диаграмхмы
на рис. 4 6, с неприводимы.
222
1

логичному уравнению Бете — Солпитера:
Р' (К К *з, ьх) - & (^ ъ* *,. А-4) - ^ R' (К А-2; ', О Ь (I) х
XD(l')P'(-!,-r,k.s,kA)d49 C6)
где V = — I — kx — k2.
Приведем краткий вывод этого уравнения. Рассмотрим произ-
произвольную приводимую диаграмму (по отношению к разделению
к1 и к2 от кг и /с4) и выберем положение линии разделения таким
образом, чтобы часть, относящаяся к кх и /с2, была всегда непри-
водима (по отношению к отделению /сх и к2 от Z и Г). Пример та-
такого разделения показан на рис. 7, а. Обозначим через рп (/с1?
к2; Z, Г) и ат (— Z, —Z', /с3. &4) вклады от обеих частей диаграм-
диаграммы; тогда очевидно, что для полного вклада получим следую-
следующее выражение:
Гпп (/,, к2; к3, к,) = - ii у;4(;;1? л2; z, Z') /1 (/) х
X D (Г) sw (- Z, - Z', А3, й4) с1Ч. C7)
Просуммируем обе части этого уравнения по всем возможным
диаграммам, т. е. по п и т, тогда получим уравнение
2F' (&„ А2; А3, А4) = - ^- \R' (klt к2; I, V) х
Jit- f)
X ОA)ЪA')Р'(-1,-Г; из, ^)^4^, C8)
которое эквивалентно C6). В уравнении C8) учтено, что, рассмат-
рассматривая все возможные диаграммы в обеих частях приводимой диа-
диаграммы, связанные линиями Z и Г, мы получаем два одинаковых
набора диаграмм. Как результат этого, в левой стороне C8) появ-
появляется коэффициент 2, аналогично уравнению B8).
Рассмотрим теперь только сводимые диаграммы, и соответ-
соответствующие суммы для них обозначим через Р, R и F. В этом слу-
случае мы можем применить полностью предыдущие рассуждения
и в результате получим следующие уравнения:
Р (к19 А2, А'з, кА) = Н (/<!, А-2; />3, /г4) г F (A"i. ^2; /.-3, А),
^(Ai, *2; Аз, *4) = --йг5Я(А>1' /lV'Z' 1')Г){1)ЪA') х (>39)
X P(-Z',-Z',A-3,/,4)dlZ.
Для решения нашей проблемы мы можем использовать соот-
соотношения C9), заметив при этом, что любая «сводимая» диаграм-
диаграмма с необходимостью является приводимой по отношению к от-
отделению некоторой определенной пары мезонных линий от другой
223

пары (при условии, конечно, что эта диаграмма не является про-
простой диаграммой типа изображенных на рис. 3). Несомненно,
что после стягивания любая как угодно сложная «сводимая» диа-
диаграмма может быть преобразована в одну из трех диаграмм,
изображенных на рис. 4, для которых это утверждение
очевидно.
Итак,
Р (&!, /с2, к3, /с4) = Ro (ки fe>, /с3, к4) + F (ku к3, fr2, k4) +
+ F (кг, /с4; й2, к3) + F (к19 к2; Л„ /с4). D0)
Учитывая C9), получаем
Н (/с1? /с2; /с3, к4) = ii0 (к1, /с2, /с3, к4) -f-
~Г -^ (^1» ^2» ^3» ^4) I -^ ("'I» ^3» ^2» ^4/
Z; Л2| Г) +
1, Г; /t2, l)]D(l)D(l') [/?0(Z, - Г, А'3, /r4) - F(-l, /c3; -Z', А4)-
+ ^(-Л А; -^', As) H- /^(-Z, -Z'; /3, A4)]d4Z. D1)
Уравнение D1) однозначно определяет функцию F, если извест-
известно Ro.
Если мезонный импульс достаточно велик и рассматривается
только логарифмическая область, т. е. —I2 ^> — (Ах + А2J>
то D1) принимает более простой вид. Более подробное исследова-
исследование структуры выражения D1) показывает, что если импульсы
&! и к2 достаточно велики, то F будет зависеть только от двух пере-
переменных: ? = 1п[— (кг + к2J/т2] и ч\ = In (—k2lm2), где к —
наибольший из импульсов кг и /с2, т. е. в этом случае г
F (ки к2; Л3, А4) =Ф(Л. О-
Если, однако, все суммы /с^ -f- /c?- мезонных импульсов есть ве-
величины одного порядка (этот случай представляет наибольший
интерес при подстановке в B6)) или если существуют два больших
импульса, принадлежащих к различным парам — первый к кг
и /с2, а второй к другой паре, тогда г\ = ? и F зависит только
от одной переменной F = F (г\) = Ф (г\, г\) (по определению г|
всегда > ?).
Трудность решения уравнения D1) состоит в том, что функция
F от одной переменной оказывается связанной с величиной
F (— Z, — Z'; А3, А4) « Ф (z, г]), зависящей при Z-* с» от двух
переменных.
1 Предполагается, что наибольший из импульсов к3 и /с4 (импульс к') того же
порядка величины, что и /с3 + fo = —(&i + ^2)» другими словами, F =
= Ф (Л. С, Л'), где т|' = In (~A:'2/m2).
224

Например, для нейтральной теории получаем
F (Г]) = ~ Ш \[Ro(z> + 2F (z)] [i?0 ^ ~ 2F W + ф <z' ^ d* W dz-
D2)
Следовательно, F (r\) может быть определена, только если извест-
известна Ф (z, г]). По этой причине сначала рассмотрим случай, когда
кх и к2 велики по сравнению с их суммой. Тогда получим
•?" |Л0 (Л) + 2F (г])] (J 1/?0C) + 2F(z) -. Ф(з, ?)№2(=>*г-
1Я0 (z) + 2F (z)} [Ii0 (z) + 2F (z) + ф B, ?)] d (г) dz D3)
i
и согласно D2) Ф(т|, r\) = F (tj). Уравнения D2) и D3) имеют
единственное решение, которое может быть легко получено для
go (Lk — т|) < 1 или go (Ьц — tj) > 1. Для симметричной теории
все вычисления даны в Приложении, там же приведены сответ-
ствующие этому случаю уравнения типа D2) — D3).
Если все возможные суммы кг -\- kj есть величины одного по-
порядка, то, как мы сейчас покажем, уравнения D2) и D3) эквива-
эквивалентны простому уравнению для функции х
Р (ц) = Яо (Л) + 3F (т|).
Для этого выведем заново уравнение, аналогичное D1). С самого
начала, однако, ограничим наше рассмотрение асимптотическими
значениями функций и будем рассматривать только логарифми-
логарифмическую область r\ ^ z ^ Lk.
Произвольная приводимая диаграмма в смысле разделения кх
и к2 от /с3 и /с4 состоит из набора диаграмм (по крайней мере двух),
связанных мезонными линиями l\, l\ = — 1\ + кх + к2 (рис. 8),
причем каждая из этих диаграмм неприводима относительно раз-
разделения пары линий Zb li от Zi+1, li+1 (см. рис. 8). Если импульсы
lx n/i+1 достаточно велики, то вклад ?-й диаграммы /п. будет за-
зависеть в таком случае только от большего из этих импульсов.
Запишем это следующим образом:
1Щ (zi, zi+1), zt = In (—1\!т2),
где /п. зависит только от большей из'величин zi9 zi+1. В этом слу-
В симметричной теории каждая из трех функций различным образом зави-
зависит от изоспиновых переменных, т. е. Р (ц) = Ro (r\) + Fa (tj) + Гъ (ч) +
+ Fc (т]), где индексы а, Ь и с соответствуют трем диаграммам на рис. 4
(т. е. Fa = F (кхк2\ Аг3&4), Fb = ^(Л^з; Л2А-4), Fc - F (^ ЛЛ))
8 И. Я. Померанчук, т. II 225

чае, аналогично C7), получаем для полного вклада диаграммы
на рис. 8
N (ZNj Л)» D4)
где N — число неприводимых диаграмм в цепочке на рис. 8, со-
соответствующей данной приводимой диаграмме. Область интегри-
интегрирования по z1? z2... zn может быть разделена на N областей, в
каждой из которых одна из переменных, скажем Z\, меньше, чем
другие. Соответственно D4) может быть представлено как сумма N
интегралов по этим областям
Qn^nN (Л) =
Здесь fno,nl...ni__1(Zi) определена точно таким же образом, как и в
D4), т. е. как вклад части рассматриваемой диаграммы (часть /
на рис. 8), которая присоединена к линиям /сх, к2 и Zi? Z$ и кото-
которая должна давать вклад, если /сх и к2 — величины того же поряд-
порядка, что и Z|, Z|. Аналогично /nini+1...niV (zi) соответствует части //
на рис. 8.
*2 fnf ¦
Jl. A
-JL3
Рис. 8. Разделение приводимой диаграммы на N неприводимых диаграмм
в смысле отделения линий 1.% и 1{ от Zi+1 и li+1
По определению
D6)
— вклад всех неприводимых диаграмм (по отношению к разделе-
разделению линий кх и к2 от Z1? lx) и
2 2 z"/^...»,-^)"-^)
— вклад всех приводимых диаграмм (в этом смысле).
D7)
226

Коэффициент 2*-1 (аналогично множителю 2 в C8)) учитывает
тот факт, что при суммировании по всем неприводимым диаграм-
диаграммам в каждой «сводимой»вчасти (часть / на рис. 8) появляется 21'1
совершенно одинаковых приводимых диаграмм.
Согласно D6), D7) и C9)
= R (z) + F(z)='2 S 2i- /„оП1...„Ь1 (z). D8)
Умножая уравнение D5) на 1/2^ и суммируя по Л^ и всем щщ полу-
получаем в соответствии с D7) и D8)
dz. D9)
В нейтральной теории Р (ц) = Ro (r\) + З/7 (г\) и, следовательно,
Р (Л) = В0(ч)-ъг\ Р2 (z)d> (z) dz, E0)
В симметричной теории Р зависит от изотопических спиновых пе-
переменных a>i, Paiatn^4(Vi) = Р (л) й8» гДе &s определено в B9).
Следовательно, для вычисления функции Fa, соответствующей
диаграмме на рис. 4, а, которая неприводима относительно разде-
разделения кх и к2 от /с3, /с4, можно воспользоваться следующим выра-
выражением:
з
2 Ра1агщ (Z) Р.»аМ = 12б8 + 56aja,6asa4] P* B).
Итак, для величины Р (т|) 68 = po6s + ^a + Fb + Fc бу-
будем иметь
HP ^
P (Л) = Ро (Л) - -g^- j| ^2 W d2 (z) dz. E1)
В рассматриваемом здесь приближении (нулевой порядок по
go в разложении типа A)) уравнения E0) или E1) точно определяют
РЬ})-
Эти уравнения могут быть легко решены после подстановки
в них выражений C) — D) для функций d и B9) — C1) для
функций р0 и Ro. Рассмотрим наиболее общий случай, когда по-
помимо обычного взаимодействия в гамильтониан включено прямое
8* 227

взаимодействие вида х Ко ф4. Единственное изменение в этом слу-
случае состоит в добавлении некоторых постоянных в формулы
B9) или C1). Соответственно в E0) или E1) необходимо подстав-
подставлять следующие величины:
( '
для симметричной и нейтральной теории (здесь 50 — константа) 2
После введения согласно E2) переменной х уравнения E0) и
E1) с учетом C) и D), могут быть переписаны так:
} E3)
Р E0, х) = 24 A - х) + Ьо - -§- ) Рг Eо.«) ^г •
X
Здесь, как и в дальнейшем, первая формула относится к сим-
симметричной теории, а вторая — к нейтральной. Дифференцируя
E3) по х, получаем:
dP (bo
ifl_iL и ( РФо, x)Y
t — 3 6 i x ) '
_ 9Д , 3 (P(b~o,x)\*
dP(bo,x)
1 При наливши этого взаимодействия ^-матрица имеет вид
— в симметричной теории и
Т jexp У о } №№<** + W) V
— в нейтральной теории.
2 Эта константа равна
ДОя)?; In (AJ/AJ) + DяХо/7о2) (или 4 +
— в симметричной теории и
F/я)^1п(л2/Л2) + Dя1о/^) (иди 6 +
— в нейтральной теории. Выражения в скобках соответствуют случаю
(#я) In (AJ/AJ) > 1, для которого йо/я) In (A2p/A^) ^1, Io = Q~%.
228

где согласно E3) Р E0, 1) = 50. Решая уравнение E4) с гранич-
граничными условиями, находим
16 В — х-"'* ~з
хх Q
х =
= Q/б;
п/и \ 16
Р (Ьо, х) — -7-г- х
К °' > И в + (Чп)х^' E5)
Р(Ь ^„A45)^ + 1 BxV^
где
B=A + 4-5.)(l-^E.),
48 "°/ / V ^ 48
Эти формулы показывают, что Р E0, х) — величина того же по-
порядка, что и Ro (x). Подставляя E5) в B6), получаем, как и в
C3), что для Q J^> 1 вклад в A6) всех диаграмм с произвольным
числом нуклонных петель имеет следующий порядок:
для симметричной и нейтральной теорий. Очевидно, что для gj—>
-»* 0 этот вклад равен нулю.
8. Перенормировочные свойства
амплитуды рассеяния Р(&0> #)•
Вывод формул E4), E5) из свойств перенормируемости
В обычной процедуре переномировки амплитуда мезон-мезон-
ного рассеяния 1
умножается после перенормировки на величину
Z\ = d?{gl L) = d*(gl L).
Согласно A2) g\ = g*/Q0, Qo = 1 + E^/4я) L и, учитывая C)
и D), имеем Z\ = Q^' в симметричной теории и Z\ = Q^lb в нейтраль-
1 Для простоты мы рассматриваем случай Ар = А^ = Л, когда g^ = g%,
Го = Яо и величина 60 (см. прим. на стр. 225) равна AnlQ/g02. В случае двух-
предельного обрезания величины D, d, g02, Яо, b0 должны быть заменены на
229

ной теории. Итак, получаем
2 2
где x0 = Qo5 в симметричной теории ихо = QTlb ъ нейтральной
теории. После перенормировки Р (Ьо, х) заменяется во всех форму-
формулах на
Рс(х) = Р(Ь0, х)/х0,
которая является амплитудой мезон-мезонного рассеяния после
перенормировки *. Так как х = хохс (где х0 и хс определяются
через Qo и (?с, так же как х определяется через Q), то в соответст-
соответствии с E5) имеем
Р *с), E8)
где Р — функция E5), Ъс — функция Ьо, ^ и L, определенная
следующими формулами:
Если Р (b0, х) и Рс (х) заменить величинами:
л0, I, §)- ^ _ __ ^j
^с (^2, Л,« 6) = -Аг рс (х) = -тЦ- ^(&0'г) , F0)
где согласно E9) S5 (go, Я,о, 0) = 1 (так как Р (Ьо, 1) = Ьо Ддя S =
= L, х = 1), то перенормировочные соотношения E7) можно пере-
переписать в форме, которая полностью аналогична A1).
& и ^с являются вершинными частями диаграмм мезон-мезон-
мезон-мезонного рассеяния до и после перенормировки. Согласно E7)
Ao, L - I) = К<% {& К, L) 3>с (gl, К, I). F1)
где Z~? заменяется d\ (L). Положив \ = L, получаем
^о = Me (gl К, L) 3>с (gl Xc, L). F2)
1 Необходимо заметить, что Рс (х) согласно E5) остается конечнол для любой
величины Ьо.
230

Зта формула определяет зависимость Хо от А,с, L и gc, точная форма
которой приведена выше. Подставляя в F1) величину Хс из F2),
получаем аналогично A1)
? (gl, К L-i) = &c (gl, к, 1)№с (gl К, Ц. F3)
Уравнения A1), F2) и F3) полностью определяют процедуру пере-
перенормировки, если только принять во внимание, что а, |3 и d в соот-
соотношении F) зависят, при учете прямого мезон-мезонного взаимо-
взаимодействия, от А,о; и ас, |3С и dc зависят от Хс.
Покажем, что уравнения E4) и E5) для амплитуды мезон-
мезонного рассеяния могут быть получены из этих уравнений ана-
аналогично тому, как были получены выше выражения C) и D) для
функций а, C и d. Введем аналогично A2) эффективный заряд
прямого мезон-мезонного взаимодействия
Ь (I) = h& {gl К L\- I) d* (gl %0, L - g) =
= bcPc(gl,K,l)(%(glK,l). F4)
С помощью метода, аналогичного тому, который был использован,
чтобы получить A3), найдем из A1) и F3):
F5)
где функции Fx, F2, F3 и Р± зависят только от эффективных заря-
зарядов A2) и F4). В качестве примера приведем доказательство для
F4. Из A2) и F4) получаем:
следовательно, отношение SPJSP'c, которое есть функция gc» ^c
и ?, может быть выражено как функция gl, g2 и Я,. Итак, S5'/^,
которое равно ?P'j?PCi может быть представлено в следующей
форме:
&' (gl, Xo, L - l)l$> (gl, >0, L-t) = Ft (gl"g\ X). F6)
Если величины ^ и ^о фиксированы в этом уравнении и L и ? из-
изменяются таким образом, что разность L — | остается константой,
то можно легко заметить (см. аналогичное уравнение A4)), что
единственной изменяющейся величиной в F6) будет gl. Равенство
F6), следовательно, может выполняться только, если Р± не зависит
от gl, т. е. мы приходим к уравнению F5). Аналогичное доказа-
231

тельство может быть проведено и в остальных случаях. Логариф-
Логарифмические производные эффективных зарядов A2) и F4)
[g*Y/g* = 2Fl (g\ X) + 2F2(g\ X) + F3 (g\ Ц,
MX = F, (g\ X) + 2F3 (g\ X) F7)
могут рассматриваться (если известны функции F) как дифферен-
дифференциальные уравнения для g2 (?) и А, (?). Эти уравнения могут быть
решены, учитывая следующие граничные условия: g2 (L) = g\,
X (L) = А,о. Предположим, что I -» L, A,O<<1, gl << 1 (и А,о ~ go),
и, используя теорию возмущений, определим функции Рг. Для
F-,,, F2 и F3 получим прежние выражения (так как прямое ме-
зонное взаимодействие в этом случае будет эффектом высшего по-
порядка) и, следовательно, для g2 (|) получим выражение A5)
? (Ю = gVQ (Б).
Чтобы получить jF4, необходимо определить Р в первом порядке по
gl и А,о.
Из диаграмм на рис. 9 мы имеем для симметричной и нейтраль-
нейтральной теорий:
(три члена в этих формулах соответствуют диаграммам а, Ъ и с
на рис. 9). Итак, F/k = Cb'j3b)^L =~y^ J>Y для симметрич-
симметричной теории и /^4 = C/2) X — Cg4/2jt2A,) — для нейтральной теории.
^^ — "^ Рис.9. Существенные диаграм-
й
4,/ ^j—|
Л J I
/ \ /' ^
sч Mbl B теоРпи возмущений для
Подставляя в F7) эти значения F± и величины g2, определенные вы-
выше, получаем следующие уравнения:
Л E) И л /^ ьо | ^^о
Эти уравнения непосредственно приводят к E4), если согласно
F4) сделать подстановку К (I) = (go/4 n) P (b0, x) d2 (x) и перейти
к переменной х = Q*/* — для симметричной теории и х = Q~^b —
для нейтральной теории [10].
232

9. Равенство нулю мезонного заряда
в псевдоскалярной теории с псевдовекторной связью
Хорошо известно, что в рамках обычной теории возмущений
теория с псевдовекторной связью неперенормируема. Это, одна-
однако, не может использоваться как аргумент против возможности
подхода, в котором разложение по степеням go не применяется.
Рассмотрим теорию с двумя пределами обрезания. Ограничим-
Ограничимся наиболее простым случаем
(Aj/ma)[ln(Aj/A]t)]-i<l. (в)
Покажем, что в этом случае * уравнения Швингера — Дайсона:
F8)
р - т ~ Л" j Q^G (р ~ ^ VD <*> d*k ] G № = 1'
— (ГС (р) вг-М (р — А))л.=у,] d*p | D (к) = 1 G0)
(где G — обрезающая функция, \i — наблюдаемая масса мезона и
т—«голая» нуклонная масса, которая, как будет показано ниже,
равна наблюдаемой массе) имеют простое решение вида
r/ , f 4J1, езли импульс меньше предельного,
7 @ в ооратпом случае; '
5 (Л),
G2)
Прежде всего докажем, что G2) является следствием G0) и G1)#
Подставив G1) в G0), получим для подынтегрального выражения
Sp
p — m p — k — m] |_ p — m p — k — m
1 В этом случае рассматривается только нейтральная теория, «^-матрица имеет
вид Т {exp l{gQ/m) ( г[/у5(— i Т^ф) "tydx]}, где g0 — безразмерная кон-
константа связи.
233

Член
p — m p — Ъ — m
не дает вклада в интеграл G0) (см. [II]I.
Второй член может быть переписан в следующей форме:
(pi __ т%) цр __ kf — т?) (/?2 — m2J ^ (/?2 — т2J [ (р — А;J — т2] *
G3)
Нетрудно видеть, что второй член в G3) приводит к сходящемуся
интегралу в G0), в то время как интеграл от первого члена расхо-
расходится логарифмически. Эта часть интеграла в области Л? <^
(—Р2) <С Лр может быть записана в форме (к2 — [12)П, где
Учитывая в A0) только наибольшую, логарифмически расходя-
расходящуюся часть интеграла и вынося величину A -f- П) за скобки в G0),
получаем следующее выражение для D = A + П) D (к):
-1 (к) ж (А2 - и-2) [1 - Dfi?/Jt) In (All - ^2)], G4)
;Д G5)
которое тождественно G2), так как gl In (Лр/Л&2) согласно (в)
бесконечно малая величина. В соответствии с G1) и G2) gl есть
перенормированный заряд. Итак, если G2) подставить в F8) п
F9), g2 заменится на gl и свободная функция распространения D
заменится всюду на D.
Уравнения F8) и F9) будут выполнены в этом случае, т. е.
интегральные члены, содержащиеся в них, бесконечно малы. Что-
Чтобы доказать это, оценим интегральный член в F9)
Мы имеем
l G6)
Необходимо заметить, что если процедуру обрезания выполнить таким
образом, что Sp \к (р—т^Ъ (р— к— т)'1] приводит к нулеЕому резуль-
результату, то доказательство равенства нулю перенормировавного заряда
оказывается более простым.
234

с точностью до членов порядка т2/—р2, —р2/Л? по сравнению с 1. Ес-
Если —р- не мал по сравнению с Л?, величина М(р) будет даже меньше.
Если, однако, р = т, то величина М (т) = Am будет соот-
соответствовать изменению массы вследствие взаимодействия с мезон-
ным полем. В этом случае, разлагая (р — к — т)'1 в ряд по т,
получаем
М (т) = Am ж A mglAllm2. G7)
Согласно G5) и (в), gi? Л2/т2 <^ 1, G6) и G7) — пренебрежимо
малые величины (G7), в частности, показывает, что Ат/т <^1,
т. е. «голая» нуклонная масса равна наблюдаемой).
В точном уравнении F8), кроме члена, выписанного выше,
который соответствует простейшей диаграмме на рис. 1, а, должны
быть приняты во внимание также и другие члены, соответствую-
соответствующие диаграммам с пересекающимися мезонными линиями и нуклон-
ными петлями (см. рис. 1).
Рассмотрим сначала случай, когда импульсы р, р — к, к, соот-
соответствующие свободным концам в F8), малы по сравнению с Ak.
Не составляет труда оценить вклад в F8) члена
_?l_ С* I 1 i 1 7 ?L ~ % jL j^L
Очевидно, что это выражение пренебрежимо мало по сравнению
€ Xi к.
Рассмотрим теперь произвольную диаграмму типа рис. 1, 6 и
с с п пересекающимися мезонными линиями. Вклад такого типа
диаграмм пропорционален (gl)n; под интегралом мы имеем п функ-
функций D= (к2 — (а2)'1» %п функций G и 2п функций Г, число ин-
интегрирований по импульсам мезонов кг, к2 ... кп, равно п. Порядок
величины этого интеграла можно только переоценить, если ин-
интегрировать независимо по каждому —к\, начиная с —р2 (или —/с2,
так как для —р2 <^ Л| и —к2<0^ Л2 нижний предел не важен вслед-
вследствие квадратичной расходимости интегралов). Итак, мы получаем
следующую оценку для вклада 1п от рассматриваемой диаграммы
, G8)
где Сп — численный коэффициент. Очевидно, что величина G8)
как угодно мала при g^AVm2 <^1.
Рассмотрим теперь диаграммы типа рис. 1, d, e и т. д., которые
включают мезон-мезонное рассеяние. Элементарный «квадрат» на
рис. 3 в случае псевдовекторной связи не приводит к расходимости
и дает вклад по порядку величины, равный
G9)
23 5

если (-&2) ~ (-14) ~ (-kl) ~ (-/с3J №1 + h \ hz)\ Срав-
ним теперь эту величину с вкладом диаграммы на рис. 4, содержа-
содержащей два квадрата. Используя G1) и G2), получаем следующую
оценку для этой диаграммы:
Итак, по порядку величины (80) отличается от G9) на коэффи-
коэффициент (g2 Al/m2J <<1 и, следовательно, бесконечно мало по срав-
сравнению с G9). Тогда вклад последовательной серии диаграмм мезон-
мезонного рассеяния сходится достаточно быстро и практически
равен G9). Другими словами, вклад всех диаграмм с нуклонными
петлями типа рис. 1, d и е практически равен вкладу Sld одной
диаграммы на рис. id; эта величина может быть непосредствен-
непосредственно оценена
где Cld — константа.
Полученные таким образом оценки показывают, что вклад всех
диаграмм с пересекающимися линиями и нуклонными петлями,
типа показанных на рис. 1, может быть представлен в виде ряда
, (81)
где Вп — численные множители. Очевидно, что этот ряд является
асимптотическим. Однако его сумма может быть сделана как угод-
угодно малой по сравнению с y5& при выполнении условия (в). Итак,
Г действительно равна уък в соответствии с G1).
До сих пор мы считали импульсы р и к малыми по сравнению с
Л/с. Если это условие не выполнено, различие между Г и Хъ^ будет
даже меньше, чем в случае, рассмотренном выше (аналогично слу-
случаю электродинамики или теории с псевдоскалярной связью).
Например, если
то величина lip (вместо ilk) соответствует нуклонной линии в
диаграммах на рис. 1, 6, с и т. д. Вместо G8) получим следующую
оценку вкладов диаграмм с п пересекающимися мезонными ли-
линиями:
которая меньше, чем соответствующая величина в G8).
236

Итак, усиливая неравенство (в) в пределе Л&~> эо, мы можем с лю-
любой степенью точности удовлетворить уравнениям F8)—G0) с функ-
функциями G1) и G2).
Соотношение G5), которое устанавливает связь между пере-
перенормированным и «голым» зарядами, указывает, что для Ah —> оо
аналогично результату, полученному в электродинамике и тео-
теории с псевдоскалярной связью.
10. Заключение
Результат gf. —> 0 был получен строго для теории с псевдоска-
псевдоскалярной связью двумя различными способами (а) и (б) предельного
перехода Л^ —> оо. В обоих случаях в пределе Ak —> оо физическое
взаимодействие исчезало; итак, при этих условиях результат g?. —> 0
на зависит от способа обрезания. Существенно, что в теории не
возникает неоднозначности в результатах и после перенормировки
все результаты не зависят от формфакторов, т. е. от природы про-
процесса обрезания (параметры типа Лр и Л^, которые характеризуют
«размазанность», не появляются в теории после перенормировки;
они остаются только в формулах, относящихся к неперенормиро-
ванным величинам). Это означает, что, с точки зрения теории,
различные способы обрезания эквивалентны, т. е. в пределе Ak—> оо
возможны любые соотношения г между Лр и Л&.
Другими словами, физические результаты для фиксированных
конечных расстояний не зависят от способа обрезания, т. е. от
соотношений между Лр и Л&, которые в пределе относятся к
бесконечно малым расстояниям.
Из предыдущего рассмотрения видно, что необходимы два пре-
предела обрезания для того, чтобы величина эффективного заряда g0
была малой во всей области импульсов, вплоть до Л&, вне зависи-
зависимости от того, насколько велик был голый заряд g0. При этом бла-
благодаря малости go все величины медленно (логарифмически) зависят
от импульсов и могут быть разложены в ряд типа A). Следователь-
Следовательно, введение двух пределов обрезания существенно упрощает ре-
решение проблемы, так как в этом случае теория с произвольным
значением g0 непосредственно приводит к выводу о малости пере-
перенормированного заряда (если П ^> 1) и справедливости разложе-
разложения A) и формулы G) (иначе, проблема непосредственно приводит
1 Это не означает, что размазывающая функция 6 может быть введена произ-
произвольным образом. Она должна удовлетворять требованию, чтобы 8Л^ —» 1,
когда Л/с —* оо. Так как иеперенормированные теории включают логариф-
логарифмические и даже квадратично расходящиеся интегралы, важно, чтобы
бЛ^ стремилась к единице достаточно быстро с увеличением импульса.
В противном случае будут нарушены некоторые более общие условия (на-
(например, представление Лемана), которые должны выполняться в любой
физически обоснованной теории. Результаты, получаемые в этом случае, не
будут иметь физического смысла.
237

к случаю, когда взаимодействие выключено, если (б) П * In (Л2'
/т2) —> 0 или (в) ЕГ1 Afe/m2—>0). Так как результаты не зависят от
способа обрезания, то равенство нулю перенормированного заря-
заряда gl можно также ожидать и в теории с одним пределом обрезания,
в которой Лр = Ак. (Согласно G) для достаточно малых g0 это
утверждение заведомо справедливо.) Если, однако, gl не мало в
теории с одним пределом обрезания, все функции будут зависеть
(не логарифмически) от импульса вблизи верхнего предела и для
решения проблемы потребуется более тонкая математическая тех-
техника. Несмотря на это, уже сейчас можно высказать некоторые об-
общие соображения, которые указывали бы на равенство нулю пере-
перенормированного заряда.
Для простоты рассмотрим случай электродинамики, где el <^
<<1. Тогда [1] а = р = 1 и

d (к) = [1 + (el/Щ In (Л2/- А*2)] ~ (Зя/eJ) [In (Л2/-*2)]
Последнее равенство относится к случаю, когда (el/Зл) In (Л2/
/—к2) ]> 1. Обратная пропорциональность между функцией D =
= к d (к) и el указывает, что в лагранжиане системы можно пренеб-
пренебречь членами, относящимися к свободному полю. (Нетрудно ви-
видеть, что в этом случае среднее по вакууму от Т (Л^ (х) А„ (у))
обратно пропорционально е2,.) Если, однако, лагранжиан свобод-
свободного поля не играет сколько-нибудь существенной роли при el <g; I,
естественно предположить, что с уменьшением el его роль будет
становиться даже меньше. Следовательно, [d (к)]'1 должно быть
также пропорционально el для el ^> 1, т. е. el d (к) не зависит от el
и всегда имеет форму el d (к) ^ Зя [In (Л2/—к2)]'1 (если только
—/с2 не приближается к Л2 слишком близко). Итак, для el получаем
даже в случае, когда el <^ 1.
Следует указать также, что для двух пределов обрезания можно
рассмотреть справедливое в этом случае разложение различных
величин в ряд типа A) по степеням произвольно малой величины go»
Итак, для Г или gl мы получаем следующие разложения:
П=1
где, например, GY (х) = [1 + {bxl^n)] и т. д.
238

Рассмотренные выше ряды являются асимптотическими [121
и расходящимися, однако их суммы (как и для любого асимпто-
асимптотического ряда) могут быть аппроксимированы несколькими пер-
первыми членами с любой степенью точности, если эти члены умень-
уменьшаются с п достаточно быстро. Это непосредственно видно на при-
примере Г5. Аналогично могут быть рассмотрены разложения в ряд
для других величин. Следовательно, для gl—> О возможно разло-
разложение в ряд типа A) любой величины, встречающейся в теории.
Очевидно, что равенство нулю перенормированного заряда —
общая трудность, которая появляется в любой теории с точеч-
точечным взаимодействием. Эта трудность возникает в электродинами-
электродинамике, в псевдоскалярной и псевдовекторной мезонных теориях, в
мезонной теории со смесью различных взаимодействий, в теориях
с мезонами и нуклонами разных типов, которые могут превращать-
превращаться друг в друга без ограничений, если взаимодействие имеет вид
SapY^MIW-o или с определенными ограничениями1 и, наконец,
даже в случае мезонного поля, которое взаимодействует с самим
собой и энергия взаимодействия имеет вид А,0ср4. Соотношение
между перенормированной константой А,с и А,о в последнем случае
может быть непосредственно определено из F2) и F0), так как
согласно F2)
№0, xo)d*(L).
Это уравнение в пределе gl —> 0 (который означает, что свободные
нуклоны и мезоны непосредственно взаимодействуют друг с дру-
другом) приводит к следующему выражению для Кс:
К = ; (82)
1 + (И/2)Ып(Л?/т2) '
—г для симметричной теории и
К = ^ (83)
— для нейтральной теории.
В этих формулах А,о всегда больше нуля, так как в противном
случае минимуму энергии
будет соответствовать произвольно большая величина ср, что явля-
является очевидным абсурдом.
Из формул (82) — (83) следует, что для точечного взаимодейст-
взаимодействия (при Ак -» ос) перенормированная константа А,с также равна
нулю.
1 Теории, включающие смеси различных типов взаимодействий и несколько
мезонов, были исследованы с этой точки зрения А. Д. Галаниным [13].
239

Тот факт, что перенормированный заряд равен нулю, указы-
указывает на существование определенного оператора, который, в слу-
случае точечного взаимодействия, преобразует оператор энергии
Ж к виду
ж = и
в котором остается только сумма операторов энергий свободных
полей, а оператор взаимодействия исчезает. Итак, существенная
трудность современной теории состоит в том, что в предельном
случае точечного взаимодействия мы имеем исчезновение любого
типа физического взаимодействия.
В заключение рассмотрим возможность экспериментальной
проверки несостоятельности теории. Очевидно, что важными экспе-
экспериментами будут те, в которых принимают участие слабо взаимо-
взаимодействующие частицы (электроны, фотоны и, возможно, |л-мезоны),
поскольку количественные результаты теории относятся именно
к этим частицам. Если несостоятельность теории есть следствие
изменения обычных свойств пространства на расстояниях порядка
1/Л, то можно ожидать, что отличие теории и эксперимента будет
наблюдаться, если величина существенного импульса будет порядка
или больше Л. Более того, характерная длина должна быть одного
порядка для электродинамики и для мезонных теорий. Уравнение
G6) показывает, что Л2/т2 не может быть очень велико, так как
тогда физический заряд мезона gl будет мал, что противоречит
эксперименту. Следовательно, Л по порядку величины равно т,
где 11т = h/Mp с ~ 10~14 см. Эта длина соответствует электронам
с энергией 400—1000 Мэв. Итак, отклонение от теории в электрон-
электронном рассеянии (формула Мёллера) можно ожидать при
энергии электрона в системе центра масс порядка 400—1000 Мэв
(т. е. 104 — 106 Мэв в лабораторной системе). По этой причине
представляют большой интерес точные измерения поперечных се-
сечений комптон-эффекта, мёллеровского рассеяния, рождение пар
и т. д. при этих энергиях.
Если [i-мезоны также слабо взаимодействующие частицы (т.е.
не существует замеченного в [14] аномального fx-мезонного рассея-
рассеяния), то эксперименты с fx-мезонами могут оказаться весьма важ-
важными. Наиболее обещающими представляются эксперименты по
рождению мезонных пар у-квантами бэвных энергий, а также
эксперименты по образованию ^-мезонами 5-электронов высокой
энергии.
Существенную помощь при получении некоторых результатов,
представленных в этой статье, оказали дискуссии с Л. Д. Ландау,
и авторы выражают ему свою искреннюю благодарность. Мы так-
также пользуемся случаем выразить нашу признательность И. Дят-
Дятлову, В. Берестецкому, А. Галанину и Б. Иоффе за стимулирую-
стимулирующие обсуждения.
240

При л о же н и е
Предельный вид решения уравнения D1)
в симметричной теории
Рассмотрим здесь в случае симметричной теории уравнения,
аналогичные D2) и D3). Если импульсы кх и к2 очень велики, так
что максимальный из них, /с, много больше, чем (кг + к2) (т. е.
Л ]> I» Л = 1П (—к2/т2), | = In [—(/сх + /с2J//7г2]), мы сможем за-
записать решение D1) в виде
F (кг, к2; А'з, А4) = Ф (г), g) 6S + Фх (л, I) **,«, баз, a4. (а)
Считая г] = ?, Ф (tj, т)) = Z1 (т|), Фх (т|, tj) = ^ (т|), получаем
F {к19 к2; А8, Л4) |^ = F (л) Ss + ^ (л) ««.аА*,.
Согласно D0) для неизвестной суммы
^aia2a3a4 (^1> ^2» ^3> ^4),
отвечающей вкладу всех сводимых диаграмм, имеем:
Ра**** (Л, I) = Р (Л, I) Ss + Р± (Л, ?) б^аАза, (g)
^а.а.аза, (Л, Л) = Р (Л) Ss + Л (л) КаА^
где
• Р(г\)=Р(г\, л) =
Подставляя (а) в D1), рассмотрим отдельно в D1) области1 ин-
интегрирования |<z<t] ит] <z< Lk. Приравнивая коэффици-
коэффициенты перед 88 и 6aiOl Sasa4, получаем:
У
Ф (*,У) = ~ \ [Ро (х) + 2F (х) + Fx (x)\ J [р0 (т) + 2F (т) +
X
X
2F (t) + Fx (т) + Ф (т »уI ?,
1 Следует учесть, что в первой области Ло, F (кг, Z; /с2, V) ж F (къ 1'\ /с2, /)
зависят от г), а во второй — от z.
241

V
,у)=—j- 5 {D-) IP» W
+ Фх (т, у)] + ^ И [O>! (т, у) - ^ (т)]1-$- -
Г S {(-f) tP«(т) + 2^ Wl [Ре (т) + 2// (т) + ф
1
+ Ф1 (т, у)\ + ^(т) [Фа(т, y)-Ft(T)]}?L, (д)
где т|, ^ и z заменены более удобными переменными я, у и х соответ-
соответственно: х = (X8 (л), » = 53/8 (Б), т = ^3/8 B), (gg/4n) d2 B) dz =
= — 1f3dx/x2. Полагая в (в) х = г/, получаем два добавочных
уравнения:
(*) = - i~ ) IPo (*) + IF (X) + Fx (t)] x
1
X [Po (t) + IF (t) + F1 (t) -f Ф (t, x)] ?¦,
(e)
л
(*)= - -Н{E/г) 1р°(т)+2F(T)l [po(t)
1
которые эквивалентны уравнению D2) в нейтральной теории. Сле-
Следует заметить, что уравнения E3) и E4), полученные непосредст-
непосредственно для Р (х) = р0 (х) -f 3 F (х), эквивалентны двум уравнениям
(д) и (е) или D2) и D3), т. е. они могут быть легко получены из
последних после математических преобразований. Однако этот
вывод здесь мы не приводим.
Для простоты рассмотрим случай, когда р0 (х) определяется
формулой E2) для Ьо = 0, т. е. р0 {к) = A6/3) (х — 1). Докажем,
что в предельном случае х — 1 <С 1> У — 1 <С 1 (т. е. ?о (L — Л) ^
<1,^(L~Q<1) и ^г>1, г/>1 (т. е. |J(L-4)>1»
go(L — Q^> 1) можно достаточно легко получить решение
уравнений (д) и (е).
Случай # — 1<^1 иг/ — 1<^1 эквивалентен обычной теории
возмущений. Система (д) и (е) может быть легко решена методом
итераций, если положить в нулевом приближении с прэьой сторо-
стороны этих уравнений F = Fx = Ф = Фх — 0. Мы поручаем:
F(x) = - С/з) 5 Ро (т) dx = - (V,) Aв/3J (х ~ 1)*,
1
242

)))
Ф (х, у) - F (x) = - (Ve) (ie/3J (x - 1) [(у - \f -(х- if],
<J>i (*, У) - Fi (*) = - С/12) Aв/3J (х - 1) [(у - IJ - (х - If].
Если эти выражения подставить в правую часть (д) и (е), то все
функции могут быть определены в виде ряда по степеням (х—1)
и (У - 1).
Если х^>1 и г/^>1, то в (д) и (е) оказываются существенными
большие значения переменной интегрирования х ^> 1. Следователь-
Следовательно, пренебрегая единицей по сравнению с т (или х, или у), мы под-
подставляем р0 (т) — A6/3) т и заменяем во втором члене (д) и (е)
нижний предел интегрирования (единицу) на нуль. Покажем, что
(д) и (е) имеют решение в форме:
F (х) = Ах, F± (x) = Ахх, (ж)
где величины констант А и А1 могут быть определены решением
(д) и (е), т. е. подставляя (ж) в (д) и (е) и дифференцируя (е) по х
дважды,
+ Ф(х, у) + Ф1(х,у)]+А1[Ф1(х, у) — Агх]},
где В = A6/3) + 2А + Av Это дифференциальное уравнение
необходимо решать, учитывая граничные условия:
Ф@, ?/)= ЗД, 2/) = О,
s, У)
дх
xy у)
х=у
дх
= 0,
которые следуют из (д), если принять во внимание выражение (ж)
для F и Fv
Нетрудно видеть, что решения имеют вид:
фг = Агх - -Щ-х»хЫ + 4- К5/з) Б - Аг] x*yi-\
где ^]>0 и v^>0 — положительные корни уравнений:
И(^-1) = 4-5' v(v-\) = ±-B + ±-{B-A). (з)
Из условий Ф (х, х) = F (х) = Ах, Фх (х) = Ахх находим:
4 = [A - ц)/ц] Я, ^ = -E/3)](v/^)-l]5. (и)
243

Последнее уравнение вместе с (з) дает
v = 1 + (б/в)
и, следовательно,
Аг = ~ (Б/з)
(к)
Подставляя выражения (и) и (к) для констант А и At в определе-
определение В
В = Aв/3) + 2А + Л,
получаем следующее уравнение для В:
#2 • JLii2# /32/\„2_0
/5 -j ^— |Л JD ^ /9у |Л — U,
которое должно быть решено вместе с уравнением (з) для \i. Мы
получаем единственное решение для положительных величин р,
и v:
П /16/ \/7/ \2 ,, 49/ v 73/
& — \ /зД 1ц) у (* — /зз> v~ /зз•
Согласно (и) и (к) имеем:
Л /16/ \ /16/ \ Z? /16/ \/40/ \
л— ^ /Зд /121;, -о— ^ /Зд /i2i;.
В соответствии с (ж), (в) и (г) получаем
(ж_1J_(8/з)[B/_1J_
— (ж —1УЧ + .. Л.
Р (х, у) =
- E/i2) A6/зJ (х - 1) {[(У ~ IJ - (х -
Легко видеть, что для Ьо = О, В — 1 формула E5) для Р (х) удов-
удовлетворяет в случае х — 1<1 и г>1 тем же самым граничным
условиям, что и формула (л). Однако здесь мы получили выражение
для Ра1ага,а, не только для т] = С, но также и в случае, когда
Академия
244
СССР
Получено 26 марта 1956 г.

ЛИТЕРАТУРА
1. Л. Ландауч А. Абрикосов, И. Халатников. Докл. АН СССР, 1954, 95f
497, 773, 1177.
2. М. Gell-Mann, F. Low. Phys. Rev., 1954, 95, 1300.
3. А. Абрикосов, А. Галанин, И. Халатников. Докл. АН СССР, 1954, 97,
793.
4. Т. D. Lee. Phys. Rev., 1954, 95, 1329.
5. G. Kdllen, W. Pauli. Kgl. Danske Videnskab. Selskab., Mat.-Fys. Medd.,
1955, 30, № 7.
6. А. Абрикосов, И. Халатников. Докл. АН СССР, 1955, 103, 993.
7. И. Я. Померанчук. Докл. АН СССР, 1955, 104, 51; 105, 461 (Собр. трудов,
№ 62, 63).
8. Л. Ландау, И. Померанчук. Докл. АН СССР, 1955, 102, 489 (Собр. трудов,
№ 60); И. Померанчук. Докл. АН СССР, 1955, 103, 1005 (Собр. трудов,
№ 61).
9. И. Т. Дятлов, К. А. Тер-Мартиросян. ЖЭТФ, 1956, 30, 416; И. Дятлов,
В. Судаков, К. Тер-Мартиросян. ЖЭТФ, 1957, 32, 767; В. В. Судаков.
Докл. АН СССР, 1956, 111, 338.
10. См. также в этой связи: Н. Н. Боголюбов, Д. В. Ширков. Докл. АН СССР,
1951, 103, 400; Nuovo Cimento, 1956, 3, 845; Д. В. Ширков. Докл. АН СССР,
1954, 105. 972; /. С. Taylor. Proc. Roy. Soc. (London), 1956, 234, 296.
11. Е. Н. Аврорищ Е. С. Фрадкин. ЖЭТФ, 1956, 30, 756.
12. С. A. Hurst. Proc. Cambr. Phil. Soc, 1952, 48, 625; A. Peterman. Helv.
Phys. Acta, 1953. 26, 291.
13. А. Д. Галанин. ЖЭТФ, 1954, 26, 417.
14. /. L. Lloyd, A. W. Wolfendale. Proc. Roy. Soc. (London), 1955, A68, 1045;
А. И. Алиханов, Г. П. Елисеев. Изв. АН СССР, серия физ., 1956, 19, 732.

IV
ФИЗИКА СТРАННЫХ ЧАСТИЦ И РЕЗОНАНСОВ.
СЛАБЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
G7
О Р-РАСПАДЕ НЕЙТРОНА *
Совместно с В. Б. Берестецким
Поскольку масса нейтрона превышает массу атома водорода на
755 кэв, он может, находясь в свободном состоянии, претерпевать
C-распад. В литературе встречаются указания на то, что период
такого C-распада должен быть порядка 15—30 мин [1]. Эту оценку
легко получить из периода |3-распада одного из легких ядер с
близкой границей |3-спектра. Так, например, С11 при границе
р-спектра 950 кэв имеет период 20,5 мин.
Однако следует иметь в виду, что такое сравнение предполага-
предполагает, что условия превращения нуклона в ядре и в свободном сос-
состоянии приблизительно одинаковы. Это оправдывается не во всех
вариантах теории |3-распада, эквивалентных в отношении формы
спектра разрешенных переходов. Именно в псевдоскалярном ва-
варианте теории взаимодействие нуклонов с электронно-нейтринным
полем мало при малых скоростях тяжелых частиц. Так как энер-
энергия отдачи при распаде свободного нейтрона мала по сравнению с
кинетическими энергиями нуклонов в ядре, то вероятность
Р~распада нейтрона оказывается значительно уменьшенной по срав-
сравнению с вероятностью |3-распада ядра с одинаковой границей
E-спектра.
Вероятность распада нейтрона с вылетом электрона с импуль-
импульсом ре и нейтрино с импульсом pv в псевдоскалярном варианте
теории равна г
A)
* ЖЭТФ, 1949, 19, 756.
1 В теории C-распада фактически возможны (на это указывал Л. Д. Ландау),
не 5, а 10 вариантов, так как, считая, например, волновую функцию ней-
246

где if>n и г|)р — волновые функции свободного нейтрона и протона*
фе и фу — волновые функции электрона и нейтрино, р2 — матрица,
dOe и dOv — элементы телесных углов, определяющих направле-
направления импульсов легких частиц; 2 означает суммирование по всем
спиновым состояниям частиц. Мы пользуемся релятивистскими
единицами {% = с = те = 1). В системе координат, в которой
нейтрон до распада покоится, имеем
dw = 2rt —
(Pe+PyJ
2M2
1-
РеРу
B)
где М — масса нуклона, а Е — энергия электрона. Интегрируя
B) по углам, получаем энергетический спектр электронов распада
w(E)dE =
- 1(Е0
C)
где Ео — разность масс нейтрона и протона. Полная вероятность
распада получается интегрированием C) по энергиям
D)
где
-J
X
- 1) + (Ео - Ef - A (i?2 - 1) (So - Щ] dE
Вероятность E-распада ядра может быть выражена следующим
образом:
dW =
Bя)«
¦2A —
PePv
"Ж
м
E)
Здесь х?1 и Т2 — нерелятивистские волновые функции ядра в на-
начальном и конечном состояниях, а — оператор спина, суммирова-
суммирование производится по всем нейтронам ядра (множитель exp [i (pe +
-f- pv) r] заменяется единицей). Оценку матричного элемента в E)
можно произвести следующим образом:
= EaMR
12»
трино БсевдосБинорыой, можно составлять из функций легких частиц при
помощи тех же матриц величины с противоположными обычным свойства-
свойствами преобразования при отражении. Например, в псевдоскалярном варианте
возможно сочетание ОЧу^р)» (ф^Рфе)- Для вас °^е эти возможности
эквивалентны, так как существенны лишь функции тяжелых частиц.
247

где Ео — выделяющаяся энергия, a i?12 — «радиус перехода» —
величина порядка ядерных размеров. Интегрируя E) по углам и
энергиям, получаем для полной вероятности |3-распада ядра
где G)
F (Ео) = J Е Y~ЁГ=\ (Е - Ео)* dE.
1
Таким образом, при одинаковом значении Ео отношение вероятнос-
вероятностей |3-распада нейтрона и ядра составляет
и> _ f(E0) 1! (R,
W F(Eo)
Если принять для i?12 значение, например, 4«10~13 см, то wlW ^
^10~4. Таким образом, согласно псевдоскалярному варианту теории
C-распада, период распада нейтрона должен значительно
(в 103 — 104 раз) превышать время жизни ядер с той же границей
|3-спектра. Имеющиеся в настоящее время экспериментальные
данные [2] носят лишь весьма предварительный характер. Они
определенно указывают лишь на то, что период превышает 15 мин.
Дальнейшие экспериментальные исследования могли бы быть су-
существенными для выбора правильного варианта теории |3-распада.
Заметим еще, что угловое распределение электронов и нейтрино
E) не противоречит существующим в настоящее время опытным
данным [3].
Академия наук СССР Получено 26 мая 1949 г.
Л II Т Е Р^А ТУРА
1. Г. Бете. Физика ядра. ОНТИ, 1936; Г. Бете. Лекции по теории ядра. М.,
ИЛ, 1949.
2. А.Н. Snell, Z. С. Miller. Phys. Rev., 1948, 74, 1217.
3. J. S. Allen, Я. R. Paneth, A. H. Morrish. Phys. Rev., 1949, 75, 570.

68
КОРРЕЛЯЦИОННЫЕ ЯВЛЕНИЯ
ПРИ ЗАХВАТЕ JC-ME3OHOB*
Совместно с В, В. Бересгпецким
Явление захвата i^-мезона протоном с последующим распадом
возникающего при этом гиперона, т. е. реакция
К~ + р -> Л° + д° -> р Н- лГ + п°,
может быть использована для определения спина Л-частицы по
угловой корреляции я-мезонов.
Если спин jfiT-мезона равен нулю, то начальная система имеет
момент, равный 1/2 (если if-мезон захватывается в s-состоянии).
Тогда имеют место следующие угловые распределения 1д @) в
зависимости от спина Л-частицы ; и угла 0 между направлениями
пг и п2 относительных импульсов соответственно систем (Л, я0)
и (р, я") (/,/,F) = 1):
Ь2 (8) = 1 + Р2 (cos в) — 1 -г- 3 cos2 0,
Ь2 (в) = 1 + 8/7 Р2 (cos 0) -г 6/7 Р4 (cos 0) ~ 1 — 2 cos2 0 -u
-r 5 cos4 0 A)
(ср. аналогичные формулы для распада Е-частицы [1]). Если спин
А-мезона равен единице, то начальная система может иметь мо-
момент как 1/2, так и 3/2, ввиду чего формулы угловых корреляций
становятся неоднозначными.'
Если система находится во внешнем магнитном поле, то зави-
зависимость угловых распределений от поля Н может служить для
определения магнитного момента Л-частицы. Функция корреляции
при наличии магнитного поля имеет следующий вид (см., напри-
например, [2]):
I- 2 2TTI А« S Т^" у- К) Yw (п2), B)
где со — соответствующая ларморовская частота, т — время жиз-
жизни xV-частицы, Ап —коэффициенты при Рп в формулах A). Если
гиромагнитное отношение для Л-частиц равно протонному, то сот
достигает значения ^ 0,3 при Н ж 3-Ю4 гс.
ЖЭТФ, 1956, 31, 350.
249

В частности, при ; = 3/2 формула B) принимает следующий
вид:
/ = 1 + ^2 (cos 6Х) Р2 (cos G2) + 3/4 sin 26Х sin 292 [cos (фх — q>2) —
— сот sin (фг — Ф2)]/A + со2т2) + 3/4 sin2 Gx sin2 92 [cos 2(фх — q>2) —
- 2o)t sin 2 (фх - ф2)]/A + 4оJт2), C)
где 01? ф1? 82, ф2 — сферические углы векторов nv n2 в системе
координат, в которой ось z направлена по магнитному полю.
Академия наук СССР Получено 15 мая 1956 г»
ЛИТЕРАТУРА
1. Л. Gatto. Nuovo Cimento, 1955, 2, 841.
2. К. Alder. Phys. Rev., 1951, 84, 368.

69
О ЧИСЛЕ РАЗЛИЧНЫХ ТИПОВ JT-ME3OHOB*
Совместно с В. Л. Иоффе и Л. Б. Окунем
Проведены оценки поперечных сечений рассеяния на малые углы if-мезо-
if-мезонов дейтронами как с изменением, так и без изменения заряда. На основе
этих результатов обсуждается вопрос о числе различных типов АГ-мезонов.
Исследуются возможные интерпретации различия в рассеянии АГ-мезонов
свободными и связанными нуклонами.
1. Рассеяние К -мезонов дейтронами
Как известно, массы и времена жизни А-мезонов, распадаю-
распадающихся на два я-мезона (А^-распад) или на три jt-мезона {КпЪ-
распад), в пределах точности экспериментальных данных, по-
видимому, одинаковы. Если предположить, что спины этих
А-мезонов равны нулю (никаких экспериментальных фактов, кото-
которые свидетельствовали бы против этого, не обнаружено), то воз-
возникают следующие возможности.
а) За Кп2 и А-3 распады ответствен единственный тип А-мезона
(например, т-мезон). В этом случае, если все jt-мезоны рассматри-
рассматриваются как псевдоскалярные частицы, четность системы я-мезо-
нов, получающихся в одной из схем распада, должна отличаться
от четности распадающегося А-мезона.
б) За Кп2 и Кпз распады ответственны различные А-мезоны,
один из которых 6 является скалярной частицей, а другой т—
псевдоскалярной. В этом случае равенство масс и времен жизни
требует объяснения.
В настоящее время нельзя исключить ни одной из этих двух
возможностей. Необходимы дальнейшие эксперименты, чтобы
установить, существует один или два типа А-мезонов. В связи с
этим может оказаться, что особый интерес представляет изучение
реакции зарядового обмена и неупругого рассеяния А-мезонов на
дейтронах:
К+ + d -* К0 + 2р, A)
К+ + d -> К+ + р + п. B)
В условиях, когда рассеянный А+-мезон (или рождающийся К°-
мезон) испускается в направлении вперед и его импульс примерно
* iS'ucl. Pliys., 1956/1957, 2, 277. Перевод Г. А. Лобова.
25J

равен импульсу начального 2?+-мезона. При этом энергия нукло-
нуклонов, получающихся в реакциях A) и B), должна быть порядка
нескольких мегаэлектрон-вольт.
Эффективные сечения реакций A) и B) можно легко рассчитать
в импульсном приближении, как для случая, когда четность if-ме»
зона изменяется в указанных реакциях (это возможно, если су-
существуют два типа if-мезонов — бит), так и для случая, когда
четность А"-мезона не меняется.
Рассмотрим процессы рассеяния и изменения заряда ^-мезо-
^-мезонов на нуклонах в том случае, когда четность меняется:
т+ + р -> 0+ + р, C)
т+ _(. п -+ 0+ -|- п, D)
т+ + п -» 9° + р. E)
Амплитуды этих реакций имеют вид р^ (ork) exp (i(pt) (i = 3, 4, 5),
где к — импульс /f-мезона, а р и ф — функции к; тогда соответст-
соответствующие эффективные сечения равны Gt = pi2&2.
Эффективные сечения для реакций A) и B), рассчитанные в
импульсном приближении, можно выразить через р(- и ф; следую-
следующим образом:
Ч = х/з 1Рз + Р4 — 2р3р4 cos (фз — ф4)] к2.
Требование изотопической инвариантности приводит к условию
р3ехр Aф8) = р4ехр(*ф4) +р5ехр (*ф5).
Таким образом, если эффективное сечение at не равно нулю, то
эффективное сечение сг2 также должно быть отлично от нуля и
наоборот.
Легко видеть, что, исключая случай, когда р4 = р3, ф4 = Фз»
эффективные сечения ох и а2 н© обращаются в нуль. С другой сто-
стороны, аналогичным образом можно показать, что если четность
iT-мезона остается постоянной (не меняется) в процессе реакции,
то эффективные сечения процессов A) и B) будут стремиться к
нулю как (Дк/2аJ, когда Дк стремится к нулю. Здесь Дк —
изменение импульса iT-мезона в процессе реакции, а = |/\'lfе,
где М — масса нуклона, а 8 — энергия связи дейтрона. Таким
образом, испускание iT-мезонов в реакциях A) и B) под углом 9,
который значительно меньше, чем 0О = 2 УМе/fc = ]^2Мг/МкЕ^
должно означать существование двух типов if-мезонов, бит,
которые переходят друг в друга в сильных взаимодействиях.
В том случае, если реакции A) и B) запрещены для малых
углов, возникают две возможности: 1) существует только один
тип if-мезона (скалярный или псевдоскалярный); 2) существует
два типа /?-мезонов? но их взаимное превращение в сильных взаи-
взаимодействиях запрещено. (Не исключено, конечно, что эффектив-
эффективные сечения реакций A) и B) могут быть малы вследствие малости
эффективного сечения реакции E).)
252

Необходимо подчеркнуть, что та интерпретация эксперимен-
экспериментальных результатов, которая здесь предложена, существенным
образом базируется на предположении, что спин К -мезона равен
нулю. В этом случае, если спин if-мезона не равен нулю, процессы
распада и зарядового обмена для if-мезонов, которые рассеиваются
на малые углы, могут иметь место даже, если четность if-мезона
остается неизменной в процессе реакции.
2. Рассеяние JK-мезонов свободными
и связанными нуклонами
Экспериментально было обнаружено, что эффективное сечение
взаимодействия К -мезонов со свободными протонами значительно
больше, чем эффективное сечение взаимодействия if-мезонов с
нуклонами, связанными в ядрах [1, 2].
Действительно, эффективное сечение для водорода порядка
20—28 мбарн, в то время как эффективное сечение на один нуклон
в тяжелых ядрах фотоэмульсий порядка 6—9 мбарн.
Как нам кажется, предположение [3], что if-мезоны взаимо-
взаимодействуют с нуклонами главным образом в состоянии с изотопиче-
изотопическим спином Т = 1, не единственное возможное объяснение этого
расхождения. В этом случае эффективное сечение процесса заря-
зарядового обмена и эффективное сечение упругого рассеяния ^-ме-
^-мезонов нейтронами равны друг другу, причем каждое из них со-
составляет V4 от эффективного сечения рассеяния К -мезона на про-
протоне. Даже если учесть, что зарядовый обмен в тяжелых ядрах
является затрудненным процессом (смотри ниже), все равно
эффективное сечение на один ядерный нейтрон !> V4 от эффек-
эффективного сечения на один протон. Это результат, который трудно
согласовать с экспериментальными данными.
Лучшее согласие с экспериментом может быть получено,
предполагая, что сумма триплетной и синглетной изотопических
амплитуд мала. Тогда а4 <^с а5 ^ а3, так что эффективное сече-
сечение процесса зарядового обмена в /?+-мезон-нейтронных столк-
столкновениях значительно больше, чем эффективное сечение упругого
рассеяния. Однако реакция зарядового обмена в ядрах для if-ме-
if-мезонов с энергией, меньше или порядка 50 Мэв, является затруд-
затрудненным процессом. Объяснением этого является то, что при заря-
зарядовом обмене нейтрон должен переходить в протон, но поскольку
все протонные состояния в ядре заняты, то получающийся протон
должен или перейти на возбужденный ядерный уровень, или в
непрерывный спектр. (Аналогичное уменьшение эффективного
сечения в процессах зарядового обмена известно для я-мезонов
[4]. В ядрах для я-мезонов с энергией 50 Мае эффективное сечение
зарядового обмена на один нуклон в 5—10 раз меньше, чем эф-
эффективное сечение зарядового обмена на свободном нуклоне.)
В результате этого ядерные нейтроны практически не участвуют в
рассеянии if-мезонов. Необходимо подчеркнуть, что эффективное
253

сечение рассеяния на ядерных протонах в этом случае не изменя
ется. Прямой проверкой предположения о большом эффективном
сечении зарядового обмена может служить исследование рассея-
рассеяния if-мезонов в дейтерии на большие углы, поскольку в этом
случае принцип Паули несуществен.
Другим возможным объяснением аномально малой величины
эффективного сечения взаимодействия К -мезонов с ядрами явля-
является то, что могут существовать два типа if-мезонов (скалярный и
псевдоскалярный). Если в нуклон-К-мезонном рассеянии четность
мезона изменяется, то спин нуклона будет переворачиваться.
В ядрах этот процесс должен быть затруднен в силу принципа
Паули (аналогично случаю зарядового обмена). Таким образом,
если эффективное сечение процесса с изменением четности состав-
составляет значительную долю полного эффективного сечения if-мезон-
нуклонного взаимодействия, то эффективные сечения для ядер
должны существенно уменьшиться. Уменьшение такого типа долж-
должно быть значительным для if-мезонов, энергия которых меньше
или порядка 50 Мэв, при больших энергиях эффективное сечение
на один нуклон в ядре должно стать сравнимым с эффективным
сечением рассеяния на свободном нуклоне.
Академия наук СССР Получено 10 августа 1956 г.
ЛИТЕРАТУРА
1. J.E. Lannuti, W. HV Chupp, G. Goldhaber, S. Goldhaber, E. Helmyt
E. L. Iloff, A. Pevsner, D. M. Ritson. Phys. Rev., 1956, 101, 1617.
2. N. N. Biswas, L. Ceccarelli-Febrichesi, M. Ceccarelli, M. Cresti, K. Gott-
stein, N. С Varshneya, P. Waloshek. Nuovo Cimento, 1956, 3, 1481.
3. S. Goldhaber. Communication at Rochester Conference, 1956.
4. G. Saphir. Phys. Rev., 1955, 98, 269; W. J. Spry. Phys. Rev., 1954, 95, 1295.

7Q
ЗАМЕЧАНИЕ О ЧИСЛЕ
РАЗЛИЧНЫХ ТИПОВ Ж-МЕЗОНОВ*
Энергетический спектр я-мезонов в #„3-распаде наводит на
мысль, что Кп2 (9)" и ^тсз(т)~мезоны являются, по-видимому,
не тождественными частицами [1]. Для того чтобы решить, су-
существует один или два различных типа i^-мезонов, требуются даль-
дальнейшие эксперименты. Некоторые из этих экспериментов рас-
рассмотрены в работах [2, 3].
В данной работе мы хотим обратить внимание на эксперименты
другого типа, которые являются также пригодными для этой цели.
Рассмотрим реакции на протонах, в которых рождаются два
if-мезона и любые другие частицы. В качестве примеров могут
служить следующие реакции:
Р + Р -> Р + Р + К+ + К~,
Р + Р -* Р -г Р + К+ + К" + я0,
р + р — Л + Л + К+ + К\
р + р -+ Л + Л + К+ + л+ + я" + К\ A)
я- + р -> п + К+ + К~,
тС + р -> п + К+ + К~ + я0,
я" + р -> п + К+ + К' + я+ + я~,
п + р -> п + р + К+ + К',
п + р -> п + р + К+ + К~ + я+ + я~,
р + р -> К+ + К-, р + р -> К+ + К' + я+ + я-
и т. д. (здесь через р обозначен антипротон).
Рассмотрим теперь вероятность того, что получающиеся К-ме-
зоны распадаются на два я-мезона или на три я-мезона. Если
существует только один тип if-мезонов, то вероятности распада
обоих рожденных if-мезонов на два или три я-мезона или одного
из К -мезонов на два я-мезона, а другого на три я-мезона, очевид-
очевидно, будут соответственно равны
Wl Wl 2W«WX, B)
где W% — вероятность распада на два я-мезона, a W% — вероят-
вероятность распада на три я-мезона.
Nucl. Phys., 1956/1957, 2, 281. Перевод Г. А. Лобова.
255

Однако если 0 и т являются различными частицами, то ситуа-
ситуация будет отличаться от предыдущей. Пусть а2 есть вероятность
образования двух 9 мезонов в любой из реакций A) (величина а2,
конечно, может зависеть от типа реакции). Вследствие симметрии
0 —> т, Л —> Л', 2 —> 2' [4] вероятность образования двух
т-мезонов в той же самой реакции также должна быть равна а2.
Тогда вероятность образования х- и 9-мезонов равна 1—2а2.
Если Wq — вероятность 0-распада в пучке, который содержит
одинаковые количества 9- и т-мезонов, то вероятность 9-распада
9-мезона равна 2Wq, а вероятность т-распада т-мезона будет
равна 2W-Z.
Таким образом, вероятности того, что оба if-мезона будут рас-
распадаться на два или три я-мезона или один из .К-мезонов распа-
распадется на два л -мезона, а другой на три я-мезона, соответственно
равны:
№la\ iW*a\ AW^WQ A - 2а2). C)
Следовательно, исключая случай, когда а2 = V4, выражения
C) должны отличаться от B), и это обстоятельство может быть
использовано для того, чтобы определить, существует один или
два различных типа if-мезонов.
Если существуют два типа /f-мезонов, которые не превраща-
превращаются друг в друга в сильных взаимодействиях, то следует ожидать
рождения только 99 или тт пар в тех случаях, когда образуются
только if-мезоны (но не гипероны). В этом случае а2 = V2, и вы-
выражение C) дает
l 2W\, 0. D)
Академия наук СССР Получено 20 августа 1956 г.
ЛИТЕРАТУРА
1. Reports at the Rochester Conference, 1956.
2. M. Gell-Mann. Conference on High Energy Physics. Moscow, 1956.
3. B. Ioffe, L. Okun, /. Pomeranchuk. Nucl. Phys., 1956—1957, 2, 277 (Собр.
трудов, № 69).
4. Т. D. Lee, С. N. Yang. Phys. Rev., 1956, 102, 290.

71
О ВОЗМОЖНОМ ДИПОЛЬНОМ МОМЕНТЕ
ПЕРЕХОДА У А-ЧАСТИЦ*
Совместно с Б. Л. Иоффе
В настоящее время, по-видимому, можно считать эксперимен-
экспериментально доказанным [1], что система двух я-мезонов, возникающих
при распаде 0+-мезона, имеет спин нуль и положительную четность,
тогда как система Зя-мезонов, возникающих при распаде
т+-мезона, находится в состоянии 0~. Это заставляет считать, что
(если не предполагать несохранения четности) 0 и т являются раз-
различными частицами. Для объяснения существования двух раз-
различающихся по четности А'-мезонов с весьма близкими массами
было сделано предположение [2] о том, что кроме двух сортов
if-мезонов @ и т) существуют также два сорта гиперонов (А« и Лт,
2е и 2Т), причем все взаимодействия (кроме слабых) инвариантны
относительно одновременной замены 0 —> т и Ле —> Лт, 2е —* 2Т.
Если принять такое предположение, то разность масс между
Ле и Лт, обусловленная только слабыми взаимодействиями, ока-
окажется чрезвычайно малой (порядка 10" эв), так что возникает
возможность переходов Ле ^ Лт под действием внешнего электро-
электромагнитного поля 1. В том случае, когда электромагнитное поле
мало меняется на протяжении размеров Л-частицы, переходы
подобного рода эффективно сведутся к возникновению дипольного
момента перехода. Ясно, что такой дипольный момент d может
быть направлен только по спину s Л-частицьт, так что
d=erosCp, A)
где г0 — некоторая постоянная размерности длины, определяемая
размерами Л-частицы (всюду в дальнейшем Тг = с = 1), и Ср —
оператор перестановки Ле и Лт [2]:
г
p
i о
Наличие у Л-частицы дипольного момента может привести к
ряду наблюдаемых явлений.
Рассмотрим сначала рассеяние Л-частиц кулоновским полем
ядра. Энергия взаимодействия имеет вид
U = -™pLrsCp. B)
¦ Докл. АН СССР, 1957, 113, 1251.
1 Мы исходим при этом из наиболее общего предположения о том, что
каждый из мезонов бит взаимодействует с обоими сортами гиперонов, так
что, например, могут рождаться совместно как G и Ле, так и 8 и Лт.
i/29 И. Я. Померанчук, т. II 257

Ограничиваясь борновским приближением г и предполагая
Л-частицу нерелятивистской, находим для амплитуды рассеяния
выражение
fKyu=2iZe*rQm^L, C)
где т — масса Л-частицы; q — передаваемый ядру импульс, q =
= 2 р sin (9/2). Если считать спин Л-частицы равным V2, то
дифференциальное сечение окажется равным
***** = ±-*(z*?A EtJm sine^e. D)
Основную роль в полном сечении играет область малых углов.
Поэтому полное сечение можно получить, интегрируя D) по ин-
интервалу углов, соответствующему изменению прицельного пара-
параметра от радиуса ядра R до боровского радиуса а. Это дает
(зкул = я (Ze2J r$ ~y I» "x • E)
Числовая оценка показывает, что (при г0 — 1/\хп = 1,4-10"3
см) сечение кулоновского рассеяния с переходом Aq —> Лт при
энергиях Л-частиц порядка" десятков мегаэлектрон-вольт пре-
превосходит ядерное. Так, для Z —30 и Е — 10 Мэв окул/ояц> — 5.
Если Ле и Лт имеют существенно различное время жизни, то на-
наличие сильного кулоновского взаимодействия можно было бы
наблюдать, установив на пути долгоживущих Л-частиц тонкую
пластинку вещества с большим Z и наблюдая увеличение числа
Л-распадов.
Любопытно отметить, что из-за зависимости амплитуды куло-
кулоновского рассеяния C) от спина и благодаря интерференции куло-
кулоновского рассеяния с ядерным может возникнуть поляризация
Л-частиц в плоскости, перпендикулярной падающему пучку.
Степень поляризации определяется при этом равенством
р q 2Ze2r0m Im /о ™
Я2 |/o|2 + (ZeVom/gJ > W
где /0 — амплитуда ядерного рассеяния с переходом А$ —> Лт.
Кроме того, в том случае, когда спин Л-частицы больше V2, нали-
наличие в C) члена sq приведет к возникновению «выстроенного» пучка
Л-частиц, т. е., например, в случае s = 3/2 после рассеяния число
Л-частиц с проекцией спина на q, равной 4:3/2, будет больше чис-
числа Л-частиц с проекцией спина, равной + У2.
Другим явлением, к которому может привести наличие у
Л-частицы дипольного момента перехода, является возникновение
1 Оценка применимости борновского приближения получается из обычного
условия | U | <^ vlr. Беря в качестве г минимальное расстояние — радиус
ядра R, находим из B) верхнюю оценку Е ^> Vs (Ze2J (ro/RJm. В прак-
практически интересных случаях это условие выполняется неплохо: так, при
Z = 30 и г0 - 1/[1я оно сводится к Е ^> 0,5 Мэв.
258

уровней в кулоновском поле ядра. Действительно, поскольку по-
потенциальная энергия U — Z?2r0/ra/a кинетическая энергия—1/тг2,
то при Ze2r0m 2> 1 можно ожидать возникновения уровней.
В этом случае уравнение Шредингера вне ядра имеет вид
Вместо двухкомпонентных функций гЬ = j } удобно ввести
функции ф = V2 (г|)Ле — г|}Лт) и х = % (^л9 + ^лт), в которых
уравнение G) приобретает диагональную форму:
= ^Ф (8)
и аналогичное уравнение для Х- Ограничимся рассмотрением си-
системы ^-уровней. Решение будем искать в виде
(9)
Подстановка (9) в (8) приводит к следующей системе уравнений
для .волновых функций вне ядра:
d*u/dr2 — она/г2 = у?и, A Оа)
— 2wlr2 — aujr2 = %2w, A0b)
где a = Ze2r0m и к2 = 2m \ E |. Уравнения (Юа), A0b) можно ре-
решить, положив w = Си, где С — постоянная. Значения постоян-
постоянной С определяются таким образом, чтобы A0а) совпадало с A0Ь).
Этого можно достичь, если С удовлетворяет уравнению
аС = (Х/С + 2, A1)
откуда
С1Л = A q= У1 + *2Iа. A2)
Общее решение запишется тогда в виде и = щ + и2, w =
= С1и1 + С2и2, где их и и2 подчиняются уравнениям
"i,2 — <хСи2ии2/г2 = х21гь2. A3)
Решения уравнений A3), обращающиеся в нуль при г—> оо,
можно записать следующим образом [3]:
Ma = 5{^P/^(ixr)-/R(wr)}, P=/(a2 + lI/2 + 5/4- A4b)
Мы примем, что внутри ядра взаимодействие описывается по-
потенциальной ямой с глубиной V. Решения соответствующих урав-
уравнений для области внутри ядра тогда будут:
9* 259

и = A1 sinkry w = Bx [sin kr/kr — cos kr], k2 = 2m (F — | Я |). A5)
Решения A4) и A5) должны быть сшиты на границе ядра R.
Мы будем рассматривать такие уровни, для которых хД <^ 1, ибо
только для них Л-частица находится вне ядра и энергия уровня
определяется в основном кулоновскими силами. Поскольку нас
интересует случай тяжелых ядер, то можно считать kR ^> 1. Ис-
Используя эти два условия и сшивая решения A4) и A5) при г = R,
приходим к следующему уравнению для определения собственных
значений х:
kR = - 4-
X ctg kR + tg kR)\,
*П!2?*> A6)
В левой части A6) стоит большая величина kR. Это требует,
чтобы был велик стоящий в правой части ctg (q In-— г|м .
Отсюда для энергии гс-го уровня находим
^ » A7)
У (аз + 1) 2 - 5Л
Как следует из A7), связанные состояния возникают при (а2 +
_^ iy/2 ^> 5/4^ т. е. при Ze*rom > 3/4. Формула A7) верна при п > 1.
Если считать г0 — 1/{хя, то для тяжелого ядра (Z — 80) энергия
первого уровня будет составлять величину порядка 50—100 кэв.
Нетрудно подсчитать полное число уровней. Последние уровни
должны соответствовать движению Л-частицы на расстояниях по-
порядка боровского радиуса атома а, т. е. у2тЕпа—1. Таким
образом, полное число уровней определяется соотношением
— у =-^111— A8)
У (а2 + 1I/._5-/4 Л
и составляет (при г0 — 1/|ля) около 7 для тяжелых ядер.
Заметим, что размытие уровней, связанное с поглощением
Л-частиц ядрами при (kR) <^ 1, оказывается малым, поскольку,
как следует из A6), в этом случае несущественно, является ли к
действительным или комплексным.
Академия наук СССР Получено 24 декабря 1956 г.
ЛИТЕРАТУРА
1. J.Orear, G.Harris, S. Taylor. Phys. Rev., 1956, 102, 1676.
2. T. D. Lee, C. N. Yang. Phys. Rev., 1956, 102, 290.
3. M. Morse, H. Feshbach. Methods of Theoretical Physics, pt II, 1953, p. 1665.

72
О ВЗАИМОДЕЙСТВИИ 3-ГИПЕР0Н0В
С НУКЛОНАМИ И ЛЕГКИМИ ЯДРАМИ»
Совместно с Л. Б. Окунем и И. М. Шмушкевичем
Определяются спиновые корреляции Л-частиц, возникающих при реак-
реакции Е~ + р —* А + Л (медленные S~). Экспериментальное изучение таких
корреляций даст возможность установить четность Е~-частиц.
При взаимодействии медленного Е~-гиперона с протонами воз-
возможны следующие реакции:
Е~ + р —> S~ -}- р — упругое рассеяние, A)
2" + V —* 3° -f л — перезарядка, B)
Е" + р —> Л° -4- Л° — поглощение. C)
Другие процессы (типа S" + р —> 2° + Л° и др.) имеют порог, и
при малых энергиях ими можно пренебречь. (Мы исходим при этом
из того, что странность S~~ равна 2.) Если окажется, что время
жизни Н~-гиперона достаточно велико и можно экспериментиро-
экспериментировать с медленными Е"-гиперонами, то особенный интерес представ-
представляло бы изучение реакции C) с наблюдением последующих рас-
распадов Л-гиперонов. В частности, изучение этой реакции позволило
бы установить относительную четность Е~-гиперона и нуклона.
В основе дальнейшего анализа лежит предположение о том,
что распад Л-гиперона происходит с несохранением четности.
Если четность при распаде Л° —» р + я~ не сохраняется, то ампли-
амплитуду этого распада можно представить в виде:
аА = а + ton. D)
Здесь а и Ъ — вообще говоря, комплексные числа, п — единичный
вектор в направлении вылета я-мезона.
Угловое распределение я-мезонов при распаде поляризован-
поляризованного Л-гиперона будет иметь при этом вид
1 + >csn, E)
где s — единичный вектор в направлении спина Л-гиперона,
а параметр асимметрии х равен
х = (а*6 + й*а)/(|а|2+|6|2). F)
* ЖЭТФ, 1958, 34, 1246.
261

Таким образом, я-мезоны должны вылетать преимущественно по
(или против) направлению поляризации Л-гиперона.
С другой стороны, спины двух Л-гиперонов, образовавшихся в
реакции C), коррелированы между собой в силу принципа Паули.
В таблице приведены спиновые и орбитальные состояния двух
Л-гиперонов для случая, когда Н~-гиперон захватывается прото-
протоном из ^-состояния. (Мы предполагаем, что спин S-гиперона, так
же как спин Л-гиперона, равен 1/2.)
Состояние системы
Состояние системы Л -j- A
Четность S = -j- 1
Реакция C) запрещена
Четность 3 == — 1
Таким образом, при положительной четности *, -частицы нужно-
принимать во внимание амплитуду только одного перехода
A?о _И50). Вычисляя при помощи D) угловое распределение я-ме-
зонов, возникающих при распаде двух Л-гиперонов, получаем
W(u1,n2)=l-x2(n1n2). G)
Здесь щ (i = 1, 2) — единичный вектор в направлении движения
я-мезона в системе покоя того гиперона, при распаде которого
данный я-мезон возник.
Существенно, что формула G) верна как для поляризованных,
так и для неполяризованных Н-частиц, и получившееся распреде-
распределение не зависит от направления разлета Л-частиц.
При отрицательной четности Е-гиперонов нужно ввести в рас-
рассмотрение две амплитуды А, и \i для двух возможных в процессе C)
переходов *St —> 3РХ и 150 -> 3Р0 соответственно. В этом случае
для углового распределения я-мезонов, образующихся при распа-
распаде Л-частиц, вычисления дают
W (п1г щ) = 1+ -3^- у? (п1Щ) + 33-+2['аар' *2 (knx) (kn2)
ni)(kna)
Здесь а = \i/'k, k — единичный вектор в нап] явлении разлета
Л°-гмперонов и Z,—вектор поляризации 2"-гиперонов, т. е. среднее
значение спина ?~-частиц.
Усреднение (8) по направлениям к дает
W (nlt щ) = 1 + 4" к*
262

Сравнение экспериментальных данных с формулами G) или
(8) и (9) могло бы способствовать определению четности Н-гиперо-
на. Заметим в этой связи, что если 3~ не поляризованы (? = 0). то
при отрицательной четности ^"-гиперона образующиеся я-мезоны
должны лететь преимущественно в одном и том же направлении.
Если же четность Е~ положительна, то я-мезоны преимущественно
будут разлетаться в противоположных направлениях. Далее, если
усреднить (9) по п2, то получится
y"'» «(fax). (Ю)
Усреднение же G) по п2 приводит к изотропному распределению
для пг:
^К) = 1. A1)
Формулы G) — A1) для процесса C) верны как при захвате
медленных 3~-частиц из непрерывного спектра, так и при захвате
из связанных состояний системы В~ -)- р. Неясно, однако, какой
вклад будет при этом вноситься захватом из связанных Р-состоя-
ний. Если этот вклад будет достаточно велик, то угловые распре-
распределения образующихся я-частиц будут заметным образом отли-
отличаться от полученных здесь. Поэтому анализ экспериментальных
данных при помощи формул (8) — A0) или G) и A1) может про-
производиться при отборе таких случаев, которые соответствуют за-
захвату из непрерывного спектра, т. е. при захвате из пучка медлен-
медленных Е~-частиц. Критерием для такого отбора в принципе может
служить установление того факта, что суммарный импульс обра-
образующихся четырех частиц Bр -\- 2я~) хотя мал, но не равен нулю.
Если четность Е~ равна f 1 и если взаимодействие между S и
р таково, что имеется уровень г в состоянии 351, то, как видно
из таблицы, это состояние системы 3~ + Р будет метастабильно,
так как распад на два Л°-гиперона запрещен.
Наиболее вероятным представляется распад этой системы с ис-
испусканием жесткого у~кванта:
S° + p -> Л° + Л° + Y, A2)
который можно было бы обнаружить как непосредственно, так и
по отсутствию баланса энергии — импульса.
Если система 3 -f- нуклон имеет связанные состояния и если
расщепление уровней C~ + р) и C° -f- ri), обусловленное в основ-
основном разностью масс 3~ и 3°-гиперонов, мало по сравнению с рас-
расщеплением __у ровней сГ=1, (Е'р + Е°п) I /2" и Т = 0, (Егр —
— 3°Аг) / 1^2, то система C + нуклон) будет находиться в состоя-
состоянии с определенным изотопическим спином Т. При этом ^-состоя-
^-состояние с Т = 0 будет аналогично дейтрону (/ =1, Т— 0, Р = -\- 1).
1 Эти требования ие противоречат модели странных частиц, предложенной
недавно Гелл-Манном [1], согласно которой четность всех гиперонов
равна +1, а их взаимодействие с я-мезонами так же сильно, как взаимо-
взаимодействие с л-мезонами нуклонов.
263

Следует отметить, что если изотопический спин является хо-
хорошим квантовым числом для системы S + нуклон, то все связан-
связанные состояния этой системы с Т = 1 будут метастабильны, так
как для них запрещена реакция C).
Реакция A2) может наблюдаться и в том случае, если отсутст-
отсутствует ядерное связанное состояние системы 3 4- нуклон, но
гпЕ- + mv — 7кул < тп + тЕо.
В этом случае кулоновский уровень 351 будет метастабилен, так
как реакция перезарядки B) будет запрещена энергетически.
Интерес представляет также взаимодействие медленного
3~-гиперона с дейтроном
а- + а -> л° + л° + п. A3)
Изучение углового распределения гиперонов в этом случае может
дать сведения о взаимодействии между собой двух Л-гиперонов.
Например, наличие уровня вблизи нуля у системы двух Л-гипе-
Л-гиперонов привело бы к тому, что были бы предпочтительны малые
углы между ними. При этом неизвестная пока амплитуда взаимо-
взаимодействия между Л и нейтроном, знание которой необходимо для
интерпретации реакции A3), может быть получена независимо из
реакций типа
К- + d -> Л + р + я",
рассмотренных в работе [2].
Захват S" в Не4 может привести к ряду неупругих процессов;
в том числе возможны реакции образования гиперядер, содержа-
содержащих два Л-гиперона:
- i и 4 р + (AA?m)>
3~ -4- Не4 —>
п -\- (ХАпр),. . .
Наличие таких гиперядер должно приводить к характерным кас-
каскадным распадам.
Заметим, что в зависимости от относительной четности S и
нуклонов отношение сечения неупругого взаимодействия и упру-
упругого рассеяния на Не4 будет различным (в случае отрицательной
четности S неупругие процессы будут подавлены, так как одна из
частиц, образовавшихся в неупругой реакции, должна будет вы-
вылететь в Р-состоянии, а энергия, выделяемая в этом случае, мала
C0 Мэв минус энергия связи Не4 плюс энергия связи образовав-
образовавшихся осколков)).
Авторы благодарны В. В. Судакову за полезные обсуждения.
Академия наук СССР Получено 10 декабря 1957 г#
ЛИТЕРАТУРА
1. М. Gell-Mann. Phys. Rev., 1957, 106, 1296.
2. Л. Б. Окунь, И. М. Шмушкевич. ЖЭТФ, 1956, 30, 979.

73
ОБ ОПРЕДЕЛЕНИИ ЧЕТНОСТИ JRC-ME3OHA*
Совместно с Л. В. Окунем
Определение четности /^-мезонов и гиперонов по-прежнему
является одной из центральных задач экспериментальной физики
элементарных частиц. Поскольку сильные взаимодействия сохра-
сохраняют странность, а слабьте не сохраняют четность, мы можем го-
говорить только об относительной четности /f-мезонов и гиперонов,
т. е. о знаке PKPNP^* PKPNP% и т. д. Ниже рассмотрен экспери-
эксперимент, который дает возможность определить знак PKPNP\.
Рассмотрим захват медленного /?~-мезона протоном из S-coc-
тояния, приводящий к реакциям:
К' + р -> Л° + я0 + я0, A)
/Г + р -> Л° + я+ + п~. B)
Поскольку в сильных взаимодействиях четность сохраняется, то
четность системы Л -j- 2я должна равняться четности системы
К -\- р. Рассмотрим две возможности.
1. Пусть PrP^Pk — +1. В этом случае амплитуды перехода
для обеих реакций имеют вид:
А1 = - {а + bp* + cq*)lY2 + . . . , А2 = (а + Ьр2 + ^2) +
Здесь q — разность импульсов двух я-мезонов, ар — сумма их
импульсов, равная импульсу Л-гиперона. Энергия, выделяемая
в реакциях A) и B), если i^-мезон имел нулевую кинетическую
энергию, составляет соответственно 47 и 38 Мэв, и максимальные
импульсы р и q порядка \1Л (мы пользуемся единицами h = с =
= 1). Еслипредположить,что размер области, в которой имеет место
сильное взаимодействие 1/тр <^ г <^ 1/|я„, то можно считать, что
рг <^ 1 и qr <^ 1, и ограничиться членами, не зависящими от р и q.
В этом случае
Ai = - л//2", Л2 = а, C)
и мы получаем, что угловые распределения в реакциях A) и B)
сферически симметричны, Л-гиперон не поляризован и, следова-
следовательно, угловое распределение я-мезонов, возникающих при его
распаде, изотропно. Если бы энерговыделение в реакциях A) и B)
* ЖЭТФ, 1958, 34, 997.
1 О И. Я^омеранчук, т. II 265

было одинаковым, то из C) мы получили бы для сечений реакций
A) и B)
о2/аг = 2. D)
Учет разности масс я t- и я°-мезонов в фазовом объеме изменяет
это соотношение:
о2/ог = 1,34. E)
2. Пусть PKPj^P\ = —1. В этом случае амплитуда перехода
должна иметь вид
Ах == — aap/Y^y А* = ааР + bcrq, F)
где а — матрицы Паули. Мы опять оставили в выражении для
А минимальные степени ряд. Вычисляя угловое распределение с
учетом возможной поляризации Л-гиперона, получаем:
йзг (р, q, ?) = XU \а |2 р2 dpp G)
da2 (p, q, E) = V2 {P21 а I2 + 421 Ъ |2 + 2 Re (а*6) pq +
+ 2Im(a*b)$[pq]}dpr (8)
где ? — единичный вектор в направлении поляризации Л-гипе-
Л-гиперона, dpf — плотность состояний.
Мы видим из G), что сечение реакции A) по-прежнему изотроп-
изотропно и не зависит от поляризации Л-гиперона, однако в отличие от
случая PkPnPa. = + 1 теперь матричный элемент пропорциона-
пропорционален р и вероятность вылета Л-гиперонов малой энергии резко
уменьшается. Сечение реакции B) анизотропно в этом случае и
зависит от поляризации Л-гиперона. Л-гиперон будет, вообще
говоря, поляризован в направлении, нормальном плоскости, в ко-
которой лежат продукты реакции. В силу несохранения четности при
распаде это приведет к тому, что число я-мезонов, возникших при
распаде Л-гиперонов и вылетевших вверх и вниз относительно
плоскости реакции, будет различно. Угловое распределение двух
я-мезонов и Л-гиперона в реакции B) оказывается пропорциональ-
пропорциональным 1 + a cos О (Ь — угол между р и q), где
а - 2 Re (а*Ь) pql(p2 \ а |2 + q21 Ъ |2).
Если усреднить G) и (8) по углам и энергиям, то отношение пол-
полного числа заряженных я-мезонов к полному числу нейтральных
я-мезонов равно
Использование реакций A) и B) для определения знака PrPnPk
затрудняется тем обстоятельством, что сечение этих реакций сос-
составляет не более 2—3-10~3 от полного сечения неупругого взаимо-
взаимодействия -йГ"-мезонов с протонами. Другая существенная труд-
трудность заключается в том, что для однозначной интерпретации
полученных в реакциях A) и B) распределений необходима уверен-
уверенность, что /?~-мезон был захвачен протоном именно из ^-состояния.
Академия наук СССР Получено И декабря 1957 г.

74
Р-ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ И ФОРМФАКТОР НУКЛОНА"
Совместно с В, В. Берестецким
Одним из характерных свойств р-взаимодействия является
быстрый рост эффективности вызванных им процессов с энергией.
Однако наличие сильных взаимодействий приводит к возникнове-
возникновению у нуклонов формфакторов, которые могут существенно изме-
изменить зависимость |3-процессов от энергии. Исследования р~пре-
вращений при высоких энергиях, например процесса превращения
электрона в нейтрино
е + р -> п + v, A)
могут служить для измерения этих формфакторов.
В настоящее время, по-видимому, можно считать установлен-
установленным [1,2], что р-взаимодействие состоит из векторного и аксиально-
векторного взаимодействий. Общее выражение для матричного
элемента процесса A) должно иметь следующий вид [3, 4]:
м = ~уъ{п^-A + Гъ) Ue) {пп
Здесь ?/v, ue, un, ир — амплитуды нейтрино, электрона, нейтрона
и протона; q — разность импульсов электрона и нейтрино; а, 6, с
и d — вещественные функции от q2, определяющие векторную
(а,Ь) и аксиально-векторную {си d) вершинные функции нуклона.
Если справедлива гипотеза Гелл-Манна и Фейнмана [1], то вершин-
вершинная функция векторного Р-взаимодействия тождественна электро-
электромагнитной вершинной функции. Поэтому функции a (q2) и Ъ (q2)
могут быть определены из опытов по рассеянию электро-
электронов [5].
Приведем выражение для дифференциального сечения процесса
A). Энергию электрона будем считать большой по сравнению с
его массой. При этом последний член в B), содержащий функцию
ЖЭТФ, 1959, 36, 1321.
10* 267

d (g2), не даст вклада в сечение:
= JL do ^Lg, [(«* + с2) D/4 - 2/2 ?2 + |4) - (а2 - с2) МV
+ (а. + 26с) (q* - W) + Ь8 (в4 + -^ — 2Щ + 2abq*} ,
qz = e*(l-cos$), f = е2 A + /Г
где М — масса нуклона, еи#- энергия и угол рассеяния в сис-
системе центра инерции.
Институт теоретической По1учело 6 января 1959 г#
и экспериментальной физики
Академии наук СССР
ЛИТЕРАТ УРА
1. R. P. Feynman, M. Gell-Mann. Phys. Rev., 1958, 109, 193.
2. Е. С. G. Sudarshan, R. E. Marshak. Proc. of the Padua-Venice Conference,
1957; Phys. Rev., 1958, 109, 1860.
3. А.И. Ахиезер, Л. Я. Розенцвейг, И. М. Шмушкевич. ЖЭТФ, 1957, 33, 765.
4. М. Goldberger, S. Treiman. Phys. Rev., 1958, 110, 1478.
5. R. Hofstadter, F. Bumller, M. R. Yearson. Rev. Mod. Phys., 1958, 30, 482.

75
ОБ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОМ ВЗАИМОДЕЙСТВИИ
НЕЙТРАЛЬНОГО ВЕКТОРНОГО МЕЗОНА*
Совместно с И. Ю. Кобзаревым и Л. Б. Окунем
Рассмотрено взаимодействие нейтрального векторного мезона с фото-
фотоном. Эти две частицы могут переходить друг в друга. В связи с этим исследу-
исследуется вопрос о диагонализации функций Грина векторного мезона и фотона.
В последнее время в литературе [1—4] усиленно обсуждается
возможность существования гипотетического нейтрального век-
векторного мезона р°, обладающего сильным взаимодействием. Взаимо-
Взаимодействие р°-мезона с сохраняющимся током сильно взаимодейст-
взаимодействующих частиц /8
В[Х — р°-мезонное поле, g — константа взаимодействия) очень
похоже на взаимодействие фотона с током заряженных частиц je
/4л eApjev.
{Av — фотонное поле, е — электрический заряд). Так как спин,
пространственная и зарядовая четности фотона у и р°-мезона оди-
одинаковы, то возможен виртуальный переход р° —» у, происходящий
за счет того, что имеются сильно взаимодействующие заряженные
частицы, дающие вклад как в ток /s, так и в ток je x. Из соображе-
соображений градиентной инвариантности следует, что амплитуда такого
перехода имеет вид
где к — импульс мезона, jx, v — поляризационные индексы мезона
и фотона. Так как js и /е — сохраняющиеся токи, то второй член в
Р^, никогда не дает вклада и может быть отброшен. В дальнейшем
мы будем считать, что
* ЖЭТФ, 1961, 41, 495.
1 В рамках модели Сакаты мы можем считать, что
(см. в связи с этим [2]). В оба этих тока входит протон.
269

Простейшая диаграмма для Р (к2) изображена на рис. 1. Такая
диаграмма при обычном способе вычисления содержит квадратич-
квадратичную расходимость, дающую градиентно-неинвариантный вклад.
Ввиду этого квадратично расходящуюся часть интеграла необхо-
необходимо отбросить, аналогично тому, как это делается при вычислении
поляризации вакуума в электродинамике. (Заметим, что рассмат-
рассматриваемая петля в точности совпадает с соответствующей петлей
для фотонной поляризации вакуума.) Остающаяся часть интеграла
содержит логарифмическую расходимость. В электродинамике эта
расходящаяся величина входит в перенормировку заряда. В на-
нашем же случае мы должны ввести для р — у-перехода специальную
постоянную.
Наличие р — ^"пеРехоДа приводит [1] к появлению полюса
при к2 = т2 (т — масса мезона) в амплитуде р — е (п — е)-
рассеяния за счет диаграмм, изображенных на рис. 2. Соответ-
Соответствующий матричный элемент имеет вид
М — eg71 у Ь2Р (к2) -гг = тт—-—I
° к'2 — т- ч ' к2 к2 — т2
Такой полюс появится также иве — ^-рассеянии за счет более
сложных диаграмм.
За счет р — 7~пеРехоДа может также происходить излучение
р°-мезона при столкновениях электронов с амплитудой, пропор-
пропорциональной соответствующей вершинной части (рис. 3), равной
Заметим, что выбранная нами амплитуда р — 7"пеРех°Да не
дает вклада в вершинные части для фотонов при к2 = О и поэтому
не сказывается на излучении реальных фотонов. В противном слу-
случае нарушилась бы теорема Уорда в электродинамике и исчез-
исчезло бы равенство между электромагнитными зарядами р и е [5].
Мы видим, что наличие р — 7"пе~
рехода эффективно приводит к по-
появлению взаимодействия р°-мезона
с электрическим током с константой,
равной еР (т2) — e2g. Мы проведем
теперь более подробное рассмотрение
вопроса. Введем D-функции для
р-мезона /)рр (рис. 4, а), фотона Z>™
(рис. 4, б), а также новую функцию D** для диаграмм, изобра-
изображенных на рис. 4, в. Отметим, что заштрихованные петли обо-
обозначают полную совокупность диаграмм (связных и несвязных).
Рассмотрим рассеяние электрона электроном (е — е), электро-
электрона протоном (е — р), электрона нейтроном (е — п) и протона про-
протоном (р — р). Соответствующие полюсные амплитуды равны:
Мре = geD" + еЮ"\ Мрр
Mee = eW\ A)
270

Для простоты мы не будем рассматривать диагональных поляри-
поляризаций вакуума Ррр и Pyy и учтем только амплитуду рм, описы-
описывающую совокупность связных графиков для р — 7~пеРех°Да*
Суммируя цепочки графиков, получаем:
D™ = 1/к2 + Р2 (к2)/(к2 - т2 — к2Р2 (к2)),
D" = 1/(к2 - т2 - к2Р2 (к% B)
DPY = Р (к2)/(к2 — т2 — к2Р2 (к2)).
Введем теперь диагонализованные функции распространения
для ^-кванта и р-мезона:
D%ag =-" 1 /к\ D%ag - 1 /(А2 - т2 - к2Р2 (к2)).
Тогда из A) и B) следует, что
C)
Mnn = g*D%ag, Mne = gePDftag,
Мре =
Полученные формулы C) можно интерпретировать следующим
образом: 1) масса фотона по-прежнему равна нулю; 2) электриче-
электрический заряд не изменился; 3) полюс D9d9ing определяет перенор-
перенормированную массу р-мезона М2, где
М2 - т2 - М2Р2 (М2) = 0 или М2 = та/A - Р (М2));
Рис. 2
Рис. 3
4) перенормированный заряд для взаимодействия р -мезона с /8
равен
gren = gZv%
где
z = [1 - р2 (Д/2) - лрз^/зат1 |,2=М2;
5) в результате диагонализации возникло взаимодействие р-ме-
р-мезона с током ]е с вершинной частью Р (к2) и перенормированным за-
зарядом, равным
271

Так как Р (к2) содержит логарифмическую расходимость, hren
не может быть фактически вычислено и должно входить в виде
новой постоянной.
Произведенную нами диагонализацию можно иллюстрировать
следующим примером. Рассмотрим лагранжиан р- и ^-полей, со-
содержащий р — 7~пеРех°Д и взаимодействие с внешними токами
Js и Je:
= \В^ (к2 - т2) В» + 1
{А^ — фотонное, В^ — мезонное поля). Введем теперь перенор-
перенормированные (диагональные) поля г:
А' = А — KB, В' = ]/T=
Тогда лагранжиан запишется в виде
А»к* А^ + S; (А2 - М2) Bl - gren
где
М2 = т2/([ - 1% gren = g I УТ^Х2", h = le / /Г^Т2".
Мы видим, что в результате диагонализации произошла перенор-
перенормировка массы р-мезона и константы сильного взаимодействия g
и появилось взаимодействие р-мезона с током Jе с константой h.
Полученные выражения Л/2, gren и h совпадают с полученными
ранее в случае, если Р {к2)'=- к = const.
Авторы благодарны А. Д. Галанину, Б. Л. Иоффе и К. А.
Тер-Мартиросяну за полезные обсуждения.
Институт теоретической и экспериментальной физики Получено
Академии наук СССР 28 февраля 1961 г.
Примечание при корректуре A4 июля 1961 г.). Вопрос о р— у-перехо-
де частично был рассмотрен в статье Хаффа (R. W. Huff. Phys. Rev., 1958,
112, 1021), с которой мы ознакомились после того, как наша работа была
направлена в печать.
ЛИТЕРАТУРА
1. Y.Nambu. Phys. Rev., 1957, 106, 1366.
2. У. Fujii. Progr. Theor. Phys., 1959, 21, 232; И. Кобзарев, Л. Окунь. ЖЭТФ,
1961, 41, 499.
3. /. J. Sakurai. Phys. Rev., 1960, 114, 1784.
4. M. Gell-Mann, R. P. Feynman. Proc. of X Rochester Conf., 1960, p. 499^
508.
5. M. Gell-Mann. Proc. of X Rochester Conf., 1960, 792.
6. S. Okubo. Nuovo Gimento, 1960, 16, 963; G. Feinberg, P. Kabir, S. Wein-
berg. Phys. Rev. Letters, 1959, 3, 527; N. Gabibo, R. Gatto, C. Zemach.
Nuovo Gimento, 1960, 16, 168.
1 Аналогичная процедура диагонализации содержится в ряде работ [6].

76
НЕКОТОРЫЕ СЛЕДСТВИЯ ИЗ УНИТАРНОЙ СИММЕТРИИ
ДЛЯ ПРОЦЕССОВ С УЧАСТИЕМ о>, у И /«-МЕЗОНОВ*
Совместно с Б. Л. Иоффе и И. Ю. Кобзаревым
1. В схеме унитарной симметрии S U3 обычно предполагается
(см., например, [1,2]), что состояния со-и ф-мезонов являются
смесью двух состояний: унитарного синглета г)^ и состояния
с Г = 0 и 7 = 0, принадлежащего унитарному октету, г|?8, т. е.
со = аг|>8 + A - а2)''2 фх, Ф = A - а2I/г ф8 - а^. A)
Параметр смешивания а, определенный Окубо [1] исходя из
наблюдаемых на эксперименте масс со- и ф-мезонов и теоретиче-
теоретического значения массы состояния Т= О, У = 0 унитарного октета,
полученного по массовой формуле Гелл-Манна — Окубо, ока-
оказался а ^ 0,64.
Рассмотрим в схеме унитарной симметрии распады некоторого
резонансного состояния ^4 -> С -f ф и 4->С + со. Будем счи-
считать, что эти распады разрешены в SU 3-схеме и что состояния А и
С относятся к представлениям различной размерности группы
Sb\. Тогда очевидно, что в матричный элемент перехода из A)
дает вклад только состояние унитарного октета и, следовательно,
при учете только 5?/3-инваРиантных взаимодействий отношение
квадратов матричных элементов переходов Л -> С + ф и А -*-
—> С + со б удет равно
|2/| А/а-с-н I2 =- A - «2)/«2- B)
Если энергии, выделяемые при распадах А -> С + ф, А ->-
->¦ С + со, невелики, то необходимо учесть различие масс со- и
<р-мезонов. Это можно сделать, записав матричный элемент в виде
Мер, со = а (&ф,«)'» гДе ^ — орбитальный момент системы С + со
или С + ф, /сф и /Со — импульсы ф- и со-мезонов в системе покоя
частицы А. Отношение вероятностей процессов А -> С + ф и
А -> С -f со тогда будет равно
и' (А —» С + со) а2
Если Л и С относятся к представлениям унитарной группы оди-
одинаковой размерности, то, очевидно, никаких заключений об этом
отношении сделать нельзя.
* ЖЭТФ, 1965, 48, 375.
273

Соотношение C) дает возможность исследовать схему унитар-
унитарной симметрии в различных аспектах. Если размерности пред-
представлений, к которым относятся частицы А и С, известны, с по-
помощью C) может быть проверена гипотеза о том, что ф и со описы-
описываются смесью унитарных синглета и октета. Если же размерно-
размерности представлений неизвестны, то на основании измеренного на
опыте отношения w{A —> С + q>)/w(A —> С + со) и C) можно по-
получить определенную информацию об этих размерностях.
Примером реакции рассмотренного выше типа является рас-
распад 5-мезона с массой 1220 Мэв: В —> п + со (см. [3]). Согласно
полученным в [3] экспериментальным данным г
w{B ~> л + ф)/гг(Б -> л + со) < 0,2 + 0,1,
в то время как из C) при 1 = 0 следует [A — а2)/а2] (kjk^) = 0,58.
Из сопоставления этих двух цифр следует, что если В-мегоя имеет
спин и четность 1+, то он должен принадлежать к октету. Это за-
заключение противоречит предложенной Владимирским [4] схеме,
в которой 5-мезон с Jp = 1+ входит в 27-супермультиплет. Если
(в пользу чего говорят данные работы [5]) спин и четность В-ме-
зона равны Jv = 1~ (или 2~), то I = 1 и согласно C)
и(В ~> п + <p)/w(B -> Л + со) ж 0,1.
Такая величина этого отношения не противоречит эксперименту
при существующей точности и, следовательно, такой В-шезов
может принадлежать к любому из представлений, входящему в
произведение {8} X {8}, в том числе и в 27-супермультиплет [4].
2. В настоящее время имеются указания [6—10] на то, что
/°-мезон с массой 1250 Мэв является изоскаляром. Если /°-мезон
лежит на вакуумной траектории, как было предложено Чу, Гелл-
Манном, Фраучи и Захариазеном [11, 12], то он должен являться
унитарным синглетом. Тогда амплитуды реакций ,
мезон A.1) + барион A.1)->барион C.0) + /° D)
должны выражаться через одну унитарную амплитуду. Возни-
Возникающие при этом соотношения между амплитудами различных
зарядовых каналов легко получаются с помощью ^-преобразо-
^-преобразований [13] и изотопической инвариантности, так что соответствую-
соответствующие амплитуды равны:
I. я- + р_>до + /о:Д1 Ц. n+ + /7
III. K- + p-»2l + f:alY2, IV. К* + p->2t + /°: а.
1 Приведенная в тексте верхняя оценка отношения w (В —» я -f- <р)/м? (В —*-
—> п + ю) получена из экспериментальных данных из [3] в предположении,
что все наблюдавшиеся в данном опыте ф-мезоны возникли при распаде
Б-мезонов.
274

Проверка соотношений между сечениями пар реакций 1,11, III и
IV в E) могла бы дать сведения об унитарном спине /°-мезона. Эти
соотношения целесообразно проверять при энергиях, не близких
к порогу рождения /°-мезона в реакции IV и при не малых пере-
передаваемых импульсах. Заметим, что соотношения I—IV верны
также и в случае рождения п /°-мезонов.
3. Вероятности различных каналов распада /°-мезона, если
он является унитарным синглетом, находятся в следующих соот-
соотношениях:
w (/о ^ я+ + я"): w (/° -* К+ + К~): w (/° -> ц° + ц°): w (/° -> л° +
-4- яо): w (/о -> К* + К») = /?*•!: k** . i/a k«+i : i/2 А«« :
: №\ F)
где I — спин /°-мезона, который, как предполагается, равен двум.
Возможность того, что /°-мезон не лежит на вакуумной тра-
траектории, не может быть исключена в настоящее время. В этом
случае /°-мезон не обязан быть унитарным синглетом, а может,
например, принадлежать к унитарному октету. Соотношения
между сечениями различных процессов в реакции IV для мезона —
члена унитарного октета с Т = 0 были получены в [13]. Вероят-
Вероятности различных каналов распада /°-мезона, если он входит в
унитарный октет, должны относиться как
w (/о _> я+ + лг): w (/° -> КП+ К~): w (/° -> г]° + л0): w (/° ^> я0 +
+ я»): w (/о -> Ко + Ко) = kll+1: i/4 k%+1: V. /4/+1: V. ^ :
:V4^+1. G)
Как следует из G) и F), в случае /°-мезона — члена унитарно-
унитарного октета вероятность распада его на 7?°-мезоны должна быть в
четыре раза меньше, чем в случае /°-мезона — унитарного синг-
лета. Подставляя в F) и G) числа для измеряемого на опыте [6]
отношения
(/" - я+ + я-),
при массе /°-мезона 1260 Мэв имеем:
/° — унитарный синглет, Я = 0,048;
/° — член унитарного октета, /? = 0,012. '
Соотношения F) — (8) получены в предположении равного нулю
радиуса взаимодействия частиц, возникающих при распаде /^ме-
/^мезона. Учет конечности радиуса взаимодействия должен увели-
увеличить величину (8). Точность значений R из (8), рассматриваемых
как нижняя граница, определяется нарушением унитарной сим-
симметрии, и можно думать, что так же, как и в других случаях [14],
она будет не хуже 30—50%.
275

Согласно экспериментальным данным [6], R = 0,022 + 0,01.
Возможно, это указывает на то, что/0 не является унитарным синг-
летом. Разумеется, нельзя исключить также и большого наруше-
нарушения унитарной симметрии в этом случае. Кроме того, наблюдав-
наблюдавшийся в [6] распад, возможно, принадлежит Л2-мезону [15].
Если /° принадлежит к унитарному октету, то к нему должен
принадлежать также триплет я2г и два дублета К2+ и К2+. Пар-
Парциальные ширины распадов этих мезонов, являющихся унитар-
унитарными аналогами /°-распадов, следующим образом связаны с ши-
шириной распада /° на я+лГ, я°д°, практически равной его полной
ширине Г:
Г (л2++ -> г]л+) = Г (я°+ ~> г]Я°) = 2/3 {qjKf Г,
¦K+K-) = i/2
К\К\) =
и соответственно
"+->т1^) = 1/6Eз/А:яMГ,
l+-*KW) = 42{qjKfT, A0)
где #i — импульсы мезонов, возникающих в данном распаде.
Измерение соответствующих парциальных ширин и сравнение их
с формулами (9), A0) может оказаться полезным при попытке
отождествить наблюдаемые на опыте резонансы с членами рас-
рассмотренного выше унитарного октета. Например, мезоном я2+
может оказаться резонанс А2 с массой 1310 Мэв и Jp = 2+. Тогда
по формуле Гелл-Манна — Окубо масса резонанса К2+ должна
быть равной 1270 Мэв. Резонанс К со странностью S = +1/2 и
Iz = zhV2, по-видимому, наблюдался [16] при массе 1215 Мэв.
Квантовые числа его в настоящее время неизвестны.
Авторы благодарны А. Г. Мешковскому и В. А. Шебанову за
сообщение результатов работы [6] до опубликования и Л. Б. Оку-
Окуню за полезные обсуждения.
Институт теоретической Получено 5 ноября 1964 г.
и экспериментальной физики
ЛИТЕРАТУРА
1. S. Okubo. Phys. Letters, 1963, 5, 165.
2. С. L. Glashow. Phys. Rev. Letters, 1963, 11, 48.
3. M. Abolins, R. L. Lander, W. A. Mehlhop, N. H. Xuong, P. M. Yager.
Phys. Rev. Letters, 1963, 11, 381.
4. В. В. Владимирский. Ядерная физика, 1965, 2, 1087.
276

5. D. D. Carmony, R. L. Lander, C. Rindfleisch, N. H. Xuong, P. Yager.
Phys. Rev. Letters, 1964, 12, 254.
6. В. В. Б армии, А. Г. Долголенко, И. А. Ерофеев, Ю. С. Крестников^
A. Г. Мешковский, Г, Д. Тихомиров, Ю. В. Требуховский, В. А. Шебанов.
Препринт ИТЭФ, № 223, 1964; Ядерная физика, 1965, 1, 324.
7. G. Benson, L Lovell, E. Marquit, В. Roe, D. Sinclair, J. Van der Veld°,
P. Van Rookhuyzen. Phys. Rev. Letters, 1964, 12, 600.
8. Лг. Gelfand, G. Lutjens, M. Nussbaum, J. Steinberger, H. 0. Cohn, W.
B. Bugg, G. Г. Condo. Phys. Rev. Letters, 1964, 12, 567.
9. L. Sodickson, M. Wahlig, L. Mandli, D. Frisch, 0. Fackler. Phys. Rev.
Letters, 1964, 12, 485.
10. J. J. Lee, B. R. Roe, D. Sinclair, J. C. Van der Velde. Phys. Rev. Letters,
1964, 12, 342.
11. G. F. Chew, S. С Frautschi. Phys. Rev. Letters, 1961, 5, 580.
12. S. C. Frautschi, M. Gell-Mann, F. Zachariasen. Phys. Rev., 1964, 126,
2204.
13. S. Meshkov, C. A. Leuinson, H. J. Lipkin. Phys. Rev. Letters, 1963, 10, 361.
14. S. L. Glashow, A. H. Rosenfeld. Phys. Rev. Letters, 1963, 10, 192.
15. S. U. Chung, O. I. Dahl, ' L. M. Hardy, R. I. Hess, G. R. Kalbfleisch,
/. Kirz, D. H. Miller, S. A. Smith. Phys. Rev. Letters, 1964, 12, 621.
16. R. Armenteros. Intern. Gonf. on High Energy Physics at Dubna, 1964;
Препринт ОИЯИ, E-1804, 1964.

77
«ТЕНЕВАЯ ВСЕЛЕННАЯ» И НЕЙТРИННЫЙ ОПЫТ*
Совместно с Л. Б. Окунем
Для объяснения 6-распада долгоживущего /?°-мезона [1—3]
Нишиджима и Сафури предложили недавно гипотезу «теневой
Вселенной» [4]. Согласно этой гипотезе, наряду с нашей Вселен-,
ной Ua существует Вселенная Ub. Каждой частице а из Ua от-
отвечает частица Ъ из Ub. Сильные и электромагнитные взаимодей-
взаимодействия внутри каждой из ВЬеленных одинаковы, но между части-
частицами из разных Вселенных отсутствуют. Слабое взаимодействие
существует между частицами а, а также между а и 6, слабое вза-
взаимодействие между частицами Ъ отсутствует, так что если бы не
было переходов а <-» Ь, /?ь-мезоны были бы стабильны. Такой
вид слабого взаимодействия предотвращает ненаблюдаемые рас-
распады ./Р-мезонов на Ь-частицы (например, яь-мезоны).
В модели «теневой Вселенной» 7??-ме;зоны вырождены: сущест-
существуют К1 с Га = 1010 сек'1 ъК\сТъ =0. Из-за переходов в ва-
вакууме Kl <-» К\ возникают два диагональных состояния Кг и Кг:
iKb = ХКа + XbKb, A)
^a = И-а — ^Га/2,
Частоты диагональных состояний равны
Х1>3 = кА + у h Хг B)
Если предположить, что р = г г—<^1, то
Аа — КЬ
X, = щ - гГх/2 = Яа + р2(Ха - Хь),
C)
/ 2Я Л
Отсюда следует, что Гх х- Г„ ж 1010 сев, Г3 ^ р2Га. При
р —0,1 Г3~ Ю8 сел.
* Письма ЖЭТФ, 1965, 1, 28; Phys. Letters, 1Г65, 16, 338.
278

Состояния Ка и Кь в вакууме описываются функциями:
Ка = е-*>
Вероятность 6°-распада долгоживущей компоненты равна
Г3Р2е-*У. E)
Опыты [1—3] показывают, что время жизни долгоживущей 0°-ком-
лоненты близко к времени жизни К\-мегоп&. Но эти опыты, по-
видимому, не могут окончательно «закрыть» гипотезу «теневой
Вселенной».
Цель этой заметки — отметить, что гипотеза «теневой Вселен-
Вселенной» находится в резком противоречии с результатами нейтрин-
нейтринного эксперимента [5]. Действительно, число 7?°-мезонов, образо-
образованных в мишени нейтринного эксперимента, порядка 1015. Если
учесть, что детектор находится примерно в 50 м от мишени и имеет
эффективный размер —10 м (искровая камера), то число 0-рас-
падов в детекторе составило бы согласно E) ~ 1011 — 1012 (при
средней энергии /?-мезонов —5 Бэв). Это число практически не
изменится, если учесть наличие железной защиты толщиной 25 м.
Это утверждение является основным в данной заметке и основано
на том, что наличие среды вносит изменения только в коэффициент
%а в уравнении A), оставляя остальные коэффициенты неиз-
неизменными. Это изменение порядка oCN ~ 10~26-3-1010-8-6-1023 —
—1,5-109 сек'1 мало по сравнению с разностью ка — Яьи становит-
становится одного порядка с ней только за счет релятивистских эффектов
при Elm — 10. Таким образом, и в веществе р <^ 1 и Г3 ~ Ю8 сек'1.
Этот результат легко понять качественно, если учесть, что Кь с
веществом не взаимодействуют, а Ка поглощаются в среде нена-
ненамного сильнее, чем в вакууме (при Elm ~ 1 длина взаимодейст-
взаимодействия больше распадной длины). В результате железная стена ока-
оказывается «прозрачной» для /Г3-мезонов. Так как число возможных
6-распадов не превышало в нейтринном опыте 102, то расхожде-
расхождение между опытом и моделью «теневой Вселенной» составляет
10 порядков. (Число 102 является, по-видимому, верхней границей,
оно характеризует фон нейтринного опыта, не связанный с нейтри-
нейтрино; полное число нейтринных событий было ~ 104.)
Приведенные выше соображения не относятся к гипотезам
[6, 7], согласно которым долгоживущий 6/,-мезон может обла-
обладать сильным взаимодействием. Здесь, однако, остается непонят-
непонятным вырождение масс долго- и короткоживущего 9-мезонов, так
как их сильные взаимодействия различны (различны сечения их
рождения). Для проверки этих гипотез было бы разумно поста-
поставить на пути пучка #°-мезонов поглотитель и выяснить, имеет
ли 0L-Me3OH то же сечение поглощения, что /^-мезон. Помеще-
Помещение в пучок 7?2-мезонов пластинок предлагалось рядом авторов
279

[8 — 12] с целью наблюдения интерференции распадов К\- и К\-
мезонов и планируется в ряде экспериментов. Наше предложение
отличается тем, что пластинка должна быть довольнэ толстой и
должна находиться на большом расстоянии от детектора, чтобы
регенерированные i^J-мезоны не дошли до него.
В заключение заметим, что если существует два СР-четных
jfiT-мезона: К1 и Къ, то должны существовать два СР-нечетных
/ST-мезона: К2 и К±. Представляют интерес поэтому поиски двух
экспонент в обычных распадах .К^-мезона (КЛ1, К^, Ке).
Авторы благодарны за полезные обсуждения В. Н. Грибову,
В. Кафтанову, И. Ю. Кобзареву, Б. М. Понтекорво.-
Институт теоретической Получено 10 мая 1965 г.
и экспериментальной физики
ЛИТЕРАТУРА
1. /. Chnstenson, J. Cronin, V. Fitch, R. Turlay. Phys. Rev. Letters, 1964, 13,
138.
2. X. De Bouard, D. Dekkers, B. Jordan, R. Mermod, T. R. Willits, K. Win-
Winter, P. Scharff, L. Valentin, M. Vivargent, M. Bott-Bodenhausen. Phys.
Letters, 1965, 15, 58.
3. W. Galbraith, G. Manning, A. E. Taylor, B. D. Jones, J. Malos, A. Ast-
bury, N. H. Lipman, T. G. Walker. Phys. Rev. Letters, 1965, 14, 383.
4. K. Nishijima, M. H. Saffouri. Phys. Rev. Letters, 1965, 14, 205.
5. G. Bernardini. Труды Конференции по физике высоких энергий. Дубна,
1964.
6. Н. J. Lipkin, A. Abashian. Phys. Letters, 1965, 14, 151.
7. /. Uretsky. Phys. Letters, 1965, 14, 154.
8. M. Levy, M. Nauenberg. Phys. Letters, 1964, 12, 155.
9. R. Sachs. Phys. Rev. Letters, 1964, 13, 348.
10. J.Bernstein, N. Cabibbo, T. D. Lee. Phys. Letters, 1964, 12, 146.
11. В. Л. Любошиц, Э. О. Окопов, М. И. Подгорецкий, У Цзун-фанъ. Пре-
Препринт ОИЯИ, Д-1926, 1964.
12. В. В. Владимирский, М. В. Терентъев. Явление регенерации и полный
опыт в пучке Х°-мезонов. Препринт ИТЭФ, № 323, 1965.

78
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ РАЗНОСТИ МАСС БАРИОНОВ
И SU (б)-СИММЕТРИЯ *
Совместно с А. Д. Долговым, Л. В. Окунем и В. В. Соловьевым
Как известно, SU (б)-симметрия [1] приводит к следствиям [2]г
находящимся в ряде случаев в поразительном согласии с опытом.
Ниже приведен результат расчета электромагнитных разностей
масс барионов 56-плета. Мы исходим из модели «нерелятивист-
«нерелятивистских» кварков [3], предполагая, что они находятся в состоянии
с полным орбитальным моментом, равным нулю, и что электро-
электромагнитные разности масс барионов обусловлены тремя эффектами:
1) различием в электромагнитных массах шкварка и s-, d-квар-
ков (член вида —AS^f);
2) кулоновским взаимодействием между кварками (член вида
3) взаимодействием между магнитными моментами кварков
(член вида ~ MS^A^o*,.).
Такой вид магнитного взаимодействия имеет место, если от-
отсутствуют суперзаряженные частицы. В этом случае полные маг-
магнитные моменты кварков должны быть пропорциальны их за-
зарядам:
Ри- |id : М-8 = 2 : (—1) : (—1).
Таким образом, электромагнитные разности масс барионов мо-
могут быть выражены через три параметра А, 8, М, как это пока-
показано в таблице.
Выражения для Am, приведенные в таблице, разумеется, удо-
удовлетворяют соотношениям, вытекающим из А??7C)-симметрии [9].
Если определить параметры А, г, М по экспериментальным
расщеплениям п — р, 2~ — 2° и 2~ — 2+, то получим:
А ^ 2 Мэв, 8 ^ 1,2 Мэв, М х 0,5 Мэв.
Вычисленные с помощью этих значений параметров остальные раз-
разности масс приведены в последнем столбце таблицы. Уточнение
имеющихся экспериментальных данных по разностям масс в де-
куплете позволит проверить предсказания модели х.
Заметим, что сделанные выше естественные предположения
* Ядерная физика, 1965, 1, 730; Phys. Letters, 1965, 15, 84.
1 Когда эта работа была уже написана, авторы получили препринт [12],
в котором измерена разность масс А0 — А++ (см. последний столбец таб-
таблицы).
281

о характере взаимодействия, осуществляющего расщепление f
эквивалентны требованию того, что электромагнитный ток пре-
преобразуется по регулярному представлению SUF) [2], причем
временная и пространственная части тока принадлежат, вообще
говоря, к различным представлениям, что отвечает на языке мо-
модели наличию, наряду с кулоновским взаимодействием между
кварками, взаимодействия между их магнитными моментами.
Таким образом /4 — C5, 8, 1), j — C5, 8, 3), где — означает «пре-
«преобразуется подобно», а цифры в скобках — размерности соответ-
соответственно SUF), SUC) и б'С/^-представлений. Учитывая сказанное,
для электромагнитного расщепления 56-плета можно получить
следующую формулу:
ЬМ = aQ + bQ* + с [3U (U + 1) - 2/ (/ + 1)],
где Q — заряд частицы, / — пространственный спин, U —
[/-спин. Легко проверить, что этот результат совпадает с получен-
полученным выше, причем параметры а, & и с имеют следующие значения:
а = — у BА + е + ЪМ) ж —3,85 Мэв,
Ъ = 3/28 — М ж -1,3 Мэв,
с = -а/3М« — V3 Мэв.
То, что электромагнитное расщепление барионов определяется
тремя константами, очевидно из того факта, что в разложении на
неприводимые представления произведения представлений 35 X
X 35 и 56* X 56 общими являются 35 и 405, причем в оператор
электромагнитного расщепления дают вклад компоненты C5, 8,
1), D05, 8, 1) и D05, 27, 1) с U = 0. Электромагнитное расщепле-
расщепление мезонов, принадлежащих представлению 35, описывается в
отличие от барионов, вообще говоря, шестью константами, по-
поэтому в данном случае не возникает каких-либо дополнительных
соотношений.
Когда этот расчет был близок к концу, появилась статья Са-
киты [10] и препринт Сингха [11], посвященные электромагнит-
электромагнитным разностям масс в 56-плете. Результат Сакиты [10] отвечает
двум свободным параметрам (М = 0 или С = 0) и противоречит
экспериментальным данным по расщеплению барионного октуп-
лета. Соотношения Сингха содержат четыре свободных парамет-
параметра. Это связано с тем, что он рассматривает как независимые
вклады с Г = 2 (г) и Г = 1 (д), содержащиеся в 27 из 405. Если
положить у Сингха г = —1/6 q и исправить некоторые опечатки,
его результаты совпадут с нашими и будут удовлетворять требо-
требованиям симметрии по [/-спину.
Как видно из предыдущего, параметр М оказался того же по-
порядка, что и е. Это означает на языке модели, что взаимодействие
между магнитными моментами кварков того же порядка, что и
взаимодействие между их зарядами. Это было бы естественным,
282

о
*
и
1
1
М
в
1
1
+
J
1
о
в
1
1
+
1
|
<J
_1_
<\
J
+
1
1
+
<J
о
ы
1
1
м
+
1
1
и
+
+
СО
+
о
+
+
1
СО
1
Т
+
О
+
+
СО
+
1
Т
+
оо
+
+
л!.
+
1 СО
+
00
о*
о
7+3,
[13]
О
LO (
CD''—'
О
о-.
LO i—1
СО
со
о irT
+1 -
со ^.
4,75+0,1
[4, 5]
со ¦—i
«чн '—'
Мэв
с
с
X
ю
сТ
со"
5-
СО
со"
-0,8
1
со"
G5
о"
j

если бы кварки, вопреки ферми-дираковской статистике, нахо-
находились в S-c о стоянии, и представляется странным, если считать,
что кварки находятся в полностью антисимметричном орбиталь-
орбитальном состоянии с L = О типа
где I*!, г2, г3 — радиус-векторы кварков. Но что не является стран-
странным в S U (б)-симметрии?
Авторы благодарны В. Сингху, приславшему препринт своей
работы [И], Я. Б. Зельдовичу и И. Ю. Кобзареву, сделавшим
ряд ценных критических замечаний.
1. После того как письмо было отправлено в редакцию, появился ряд
работ, в которых также вычисляются электромагнитные разности масс для
56-плета (В. S a k i t a. Phys. Rev. Letters, 1964, 13, 643; С. Н. С h a n,
A. Q. S а г к е г. Phys. Rev. Letters, 1964, 13, 731; Д. В. В о л к о в. Письма'
в ЖЭТФ, 1965,1,129; Т. К. К и о, Т. Y а о. Phys. Rev. Letters, 1965, 14, 79).
В первых двух не учитываются магнитные взаимодействия. Их результаты,
по-видимому, хуже согласуются с имеющимися экспериментальными дан-
данными. В последних двух получены те же результаты, что и у нас.
2. Кроме того, недавно были получены более точные значения разностей
масс 2-гиперонов (D о s с h. Phys. Letters, 1965, 14, 239):
2°— 2+ = 3,03 ± 0,13 Мэв, 2"— 2° = 4,86 + 0,07 Мэв.
Это приведет к незначительному численному изменению теоретических пред-
предсказаний.
Институт теоретическей Получено
и экс пери мен талый й физики 5 ноября 1964 г
ЛИТЕРАТУРА
1. F. Gursey, L. Radicati. Phys. Rev. Letters, 1964, 13, 173; A. Pais. Phys
Rev. Letters, 1964, 13, 175.
2. M. Beg, B. W. Lee, A. Pais. Phys. Rev. Letters, 1964, 13, 514.
3. M. Gell-Mann. Phys. Letters, 1964, 8, 214; L. Zweig. CERN, preprint.
4. A, Rosenfeld, A. Barbaro-Galtieri, W. Biswas, P. Bastien, J. Kirz,
M. Roos. Rev. Mod. Phys., 1964, 36, 977.
5. R. A. Burnstein, T. B. Day, B. Rehoe, B. Sechi-Zorn, G. Snow. Phys.
Rev. Letters, 1964, 13, 66.
6. G. Gidal, A. Kernan, S. Kim. Preprint, UCRL — 11543; /. Kirz, J.
Schwartz, R. Tripp. Phys. Rev., 1963, 130, 2481.
7. D. O. Huwe. Preprint, UCRL — 11291, 1964.
8. W. A. Cooper, H. Filthuth, A. Fridman, E. Malamud, E. S Geselwa,
/. C. Kluyver, A.G. Tenner. Phys. Letters, 1964, 8, 365.
9. S. Coleman, S.Glashow. Phys. Rev. Letters, 1961, 6, 423; N. Cabibbo,
R. Gatto. Nuovo Cimento, 1961, 21, 872; S. P. Rosen. Phys. Rev. Letters,
1963, 11, 100; M. Nauenberg. Nuovo Cimento, 1964, 34, 1254; S.Okubo.
Rochester, preprint, UR — 875—26, 1964; E. C. G. Sudarshan. Rochester
preprint, NYO — 10268, 1963; R. Socolov, S. Coleman. Phys. Rev.,
1964, 135, B1451.
10. B. Sakita. Phys. Rev. Letters, 1964, 13, 643.
11. F. Singh. Tata Institute preprint, 1964.
12. M. G. Olsson. University of Wisconsin, preprint COO — 881—42.
13. G. M. Pjerrcu, P. E. Schlein, W. E. Slater et al. Phys. Rev. Letters, 1965,
14, 275.

79
О ВОЗМОЖНОСТИ
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОГО ОБНАРУЖЕНИЯ
ЗЕРКАЛЬНЫХ ЧАСТИЦ*
Совместно с И. Ю. Кобзаревым и Л. Б. Окунем
В связи с обнаружением нарушения СР-инвариантности в распаде
К^ —* 2л обсуждается возможность существования наряду с обычными час-
частицами (L) «зеркальных» частиц (Я), введение которых восстанавливает
эквивалентность левого и правого. Показано, что «зеркальные» частицы не
могут взаимодействовать с обычными частицами ни сильно, ни полусильно,
ни электромагнитно. Допустимо слабое взаимодействие между L- и Л-части-
цами, обусловленное обменом нейтрино. L- и Я-частицы должны иметь общее
гравитационное взаимодействие. Обсуждается вопрос о существовании макро-
макроскопических тел (звезд) из R вещества и возможность их обнаружения.
1. Зеркальные частицы и СРА-инвариантность
В настоящее время представляется почти несомненным, что
в опытах [1—4] действительно наблюдается распад К2° -> 2я и
СР-инвариантность нарушается. Это означает, что эквивалент-
эквивалентность правого и левого отсутствует в мире наблюдаемых частиц.
СР-неинвариантность в отличие от неинвариантности относи-
относительно собственной группы Лоренца не приводит к реальным тео-
теоретическим осложнениям. Действительно, лагранжиан с комп-
комплексными константами дает СР-неинвариантную, но унитарнуюу
аналитическую и СРТ-инвариантную S-матрицу. Вопрос о том,
можно ли понять, как природа выбрала между «правым» и «левым»
вариантом, остается на долю будущей теории.
Следует подчеркнуть, что в СР-неинвариантной теории зер-
зеркальное отражение само по себе (без обращения времени) не пе-
переводит физический процесс в другой физический процесс. Такой
переход происходит только под действием СРГ-преобразования.
Таким образом, отражение пространственных осей обязательно
должно сопровождаться отражением временных осей; простран-
пространственные и временные координаты не являются в этом смысле не-
независимыми. Эта ситуация является качественно новой. До сих
пор физики верили, что «мировой» лагранжиан, описывающий эле-
элементарные частицы, инвариантен относительно всех тех преоб-
¦ Ядерная физика, 1966, 3, 1154.

разований, которые оставляют инвариантным лоренцов интервал:
t2 — х2. Эта вера не была уничтожена открытием Р-неинвари-
антности в 1956 г., так как гипотеза сохранения комбинированной
четности, выдвинутая Ландау [5], давала возможность рас-
рассматривать СР-преобразование как физическую реализацию
пространственной инверсии. При этом Г-преобразование остава-
оставалось независимым и имело обычную интерпретацию.
Если при нарушении СР-инвариантности попытаться сохра-
сохранить независимость Р- и Г-отражений и тем самым сохранить сим-
симметрию между правым и левым в природе, то следует предполо-
предположить, что наряду с нашим миром существует зеркальный мир и
элементарные частицы удвоены. Возможность существования зер-
зеркального мира рассматривали в связи с несохранением Р в сла-
слабых взаимодействиях Ли и Янг [6], которые предположили, что
наряду с известными частицами, которые они назвали левыми
(L), существуют также правые частицы (R). Согласно идее работы
(б], при операции зеркального отражения нужно наряду с обычным
СР-преобразованием совершать операцию перехода L ^± Л, ко-
которую мы будем обозначать А х. Физической инверсии отвечает
операция СРА, относительно которой полный лагранжиан инва-
инвариантен.
В качестве примера мы приведем СР^4-инвариантный лагран-
лагранжиан, описывающий распады Л ->¦ рл~ в случае, когда СР на-
нарушается в обычном слабом взаимодействии:
X = pL (a + pr5) Al9;l + р<1 (а* - р*Т
+ PrR (« - Ш Л?<РяВ + PR («* + Р*Г6) Лйф;й. A)
Здесь Л? = Y2Y4^l и соответственно для р?» Ад, ph. Члены
Al и Лд эрмитовски сопряжены членам с Аь и Ад. Первые дь
члена описывают распады «наших» частиц и античастиц: Аь ->-
->¦ pi Ль и Аь-*- Рьп>ь- Асимметрии в распадах AL -> рьп>г
и Лд —>¦ prKr равны по величине и противоположны по знаку2-
Для модели, в которой СР -инвариантность нарушается в сверх-
сверхслабом взаимодействии с | AS | = 2 [7], СРА -инвариантный лаг-
лагранжиан для перехода К2 -^ Кх с точностью до общего множите-
множителя будет иметь вид
% = i{K[K^-K*K*). C)
1 Уточним, что в [6] рассматривалось не СРА-, а РЛ-преобразование.
2 Вхместо СРА -инвариантности можно рассмотреть РА -инвариантность. В этом
случае соответствующий лагранжиан будет иметь вид
L = }L(a + pTs) AL<tlL + p'L (a* - ?» А^кЬ Н- рв (а - Зт5) ^R<?*nR +
. B)
В дальнейшем мы для определенности будем обсуждать случай С/\4-инва»
риантности.
286

Соответственно в случае С-неинвариантной, но Р-инвариантной
электродинамики [8, 9] эффективный лагранжиан, описывающий
п° ->¦ 2у- и п° -> Зу-распады, можно символически написать как:
E)
причем ?3Y — СР-нечетно.
2. Взаимодействие между Х- и jR-частицами
Основная цель данной работы — рассмотреть возможные
типы взаимодействий между обычными (L) и зеркальными (R)
частицами.
В работе Ли и Янга [6] допускалась возможность электромаг-
электромагнитного и даже сильного взаимодействия левых и правых частиц.
Мы покажем ниже, что в действительности это не совместимо с
экспериментальными данными. Существующие эксперименталь-
экспериментальные данные исключают также полусильное взаимодействие.
В отличие от фотонов нейтрино могут быть общими для
двух миров, а гравитоны должны быть общими, если мы хо-
хотим, чтобы введение й-мира вообще имело физический смысл.
3. Электромагнитное взаимодействие.
Общие фотоны (?)
Начнем со случая общего электромагнитного взаимодействия.
В рассматриваемой теории должны существовать два я°-мезона: n°L
и n°R (яд = —СРЛп°т). При наличии общего фотона возможен
переход
Тогда возникнут два состояния:
где Яц0 — СРА -четен (С А -нечетен), а п20 — СРА -нечетен (СА-
четен). Мы будем считать, что электромагнитное взаимодействие
С/М-четно, Р-четно, и, следовательно, СА-четяо, но не обяза-
обязательно С-четно [8, 9]. у-Квант по предположению при С А -преоб-
-преобразовании переходит сам в себя. Тогда яД который СМ-нечетен,
не может распадаться на два у-кванта — ни реальных, ни вирту-
виртуальных, но может распадаться на три у-кванта. Так как ширина
такого распада мала, то такой я^-мезон был бы долгоживущим^
что противоречит опыту. Так, например, в реакции перезарядки
п~ -> я0 часть образовавшихся я°-мезонов не распадалась бы на
два у-кванта. То же относится и к я°-мезонам, возникающим при
распадах Л° -гиперона и #°-мезона в реакции к~р ->- А0К0.
287

Этот вывод сохраняется также, еслч наряду с общим электро-
электромагнитным взаимодействием Л- и L-частицы имеют общее сильное
взаимодействие.
Таким образом, должны существовать фотоны двух типов:
7l и yR. Отсюда следует, что частицы, общие для двух миров, обя-
обязательно должны быть нейтральными, иначе бы нарушались по
отдельности законы сохранения L-тока и Л-тока. Такими части-
частицами могли бы в принципеJybiTb нейтральные изоскалярные мезо-
мезоны, нейтрино, шизоны W°, W0 [10], гравитоны, а также другие не-
неизвестные пока нейтральные частицы.
4. Сильное взаимодействие.
Общие мезоны (?)
Рассмотрим теперь случай, когда существуют два фотона:
yL и уд и общим для L- и Л-частиц является только сильное взаи-
взаимодействие. В этом случае будут существовать два я°-мезона с
близкими временами жизни, что само по себе не исключается опы-
опытом. Эти я°-мезоны будут распадаться на уьУь, Тд7*ь УьУн- Силь-
Сильное взаимодействие между L- и Л-частицами должно быть изото-
изотонически инвариантно. Поэтому перемешивание к°ь и яд (имею-
(имеющих Т = 1) будет происходить с участием виртуальных фотонов
и будет электромагнитно малым (порядка ос2, см. рис. 1). За время
^кизни я°-мезона произойдет частичное перемешивание я! и яд.
Таким образом, наблюдаемые на опыте я°-мезоны должны были
бы испускать в некоторой доле случаев уд-кванты. Если учесть,
что при удвоении фотонов лептоны также необходимо удвоить (так
как иначе нарушится обычное соотношение между сечениями ее-
и ер-рассеяния), то наблюдаемая вероятность распада я0 ->- уе+е~
оказалась бы меньше обычной (которая согласуется с вычисленной
но стандартной теории): уд-кванты конвертировали бы в невиди-
невидимые Л-лептоны. К сожалению, мы не можем оценить степень пе-
перемешивания л°ь <-* Яд, и поэтому рас-
рассмотрим другие аргументы, исклю-
исключающие сильное взаимодействие меж-
между L- и Л-частицами.
Вообще говоря, наличие общего
ис* сильного взаимодействия между L- и
Л-мирами привело бы к существенным
изменениям свойств сильных взаимодействий. В реакциях образова-
образования пар наряду с обычными парами NlNl, где N — нуклон, рожда-
рождались бы NrNl. Судьба таких Л-античастиц зависела_бы от того, воз-
возможны ли связанные мезонные состояния типа NrNl- Если бы
такие мезонные состояния был i возможны, то они были бы ста-
стабильны в силу того, что Л- и L-нуклоны не переходят друг в
друга даже в слабых взаимодействиях. (В противном случае при
Р-распаде образовывались бы аномальные ядра, содержащие
288

Д-нуклоны.) Опыты [11 —14] указывают на отсутствие в природе-
стабильных заряженных частиц, более легких, чем дейтрон (кро-
(кроме, разумеется, протона и электрона). Если бы связанные состоя-
состояния типа NrNl были невозможны, то /?-антинуклон не анниги-
аннигилировал бы в обычном веществе. К сожалению, данные по анни-
аннигиляции антипротонов, полученные в опытах [15], не имеют отно-
отношения к делу, так как /?-антипротоны не имеют электрического
Z-заряда, с ^-квантами не взаимодействуют и ионизационных тре-
треков не оставляют.
Сильное взаимодействие между L- и 7?-частицами привело бы
к сильному перемешиванию изоскалярных L- и R-мезонов (col '¦»
^v о)н» у\°ь <-* T|R и т. д.). В результате образовались бы Л-четные
и Л-нечетные состояния, которые с равной вероятностью распада-
распадались бы на видимые L- и невидимые Л-частицы (в особенности это
относится к г)-мезонам, которые распадались бы в а2 раз медлен-
медленнее, чем перемешивались). Мы можем заключить таким образом,
что имеющиеся экспериментальные данные противоречат гипо-
гипотезе о существовании сильного взаимодействия между L- и Д-ча-
стицами.
Что касается полусильного взаимодействия между L- и Д-ча-
стицами, то оно исключается данными, полученными в нейтрин-
нейтринном опыте в ЦЕРНе [16]. Действительно, железная стена толщи-
толщиной 25 ж в этом опыте пропустила бы значительное число яд-ме-
зонов (^> 106 частиц), если бы их сечение взаимодействия было
всего лишь на порядок меньше ядерного. В нейтринном опыте ре-
регистрируются нейтрино, рождающиеся с интенсивностью л;-ме-
л;-мезонов и взаимодействующие на 13—14 порядков слабее. Поэтому
зеркальные частицы и, в частности, лд-мезоны, рождающиеся в
106 раз слабее обычных и поглощающиеся с сечением в 106 раз
меньше ядерного (— 10~32 см2), если бы они существовали, были
бы надежно зарегистрированы в этом опыте. Таким образом, мож-
можно утверждать, что взаимодействие между L и 7?-адронами исклю-
исключено, если константа этого взаимодействия g2 удовлетворяет не-
неравенству g2 ^> 10~6.
5. Слабое взаимодействие.
Общие нейтрино1
Никакие из сделанных опытов не противоречат тому, что об-
общими для L- и 7?-частиц являются нейтрино. При этом лагранжиан
слабого взаимодействия может иметь, например, вид
1 Вопрос о месте нейтрино в обсуждаемой схеме удвоения был поставлен пе-
перед нами Б. М. Понтекорво.
289

где
к =
\°iPl + cos Wi*l + sin ep
Рис. 2
В V — .4-теории OR = OL = ух A + у5). В общем же случае
OR = {СР)~Юь (СР). Такой лагранжиан отвечает тому, что W-бо-
зоны, если они существуют, должны быть двух типов: Wl и Wr.
К сожалению, опыты по обнаружению превращения нейтрино в
правые частицы не представляются реальными. Например, рожде-
рождение в нейтринном опыте Д-частиц,
описываемое рис. 2, можно было
бы наблюдать лишь по протону
отдачи с кинематикой, не согла-
согласующейся с упругим vp-рассеяни-
ем. При этом следует учесть, что
для подобных экспериментов нуж-
нужно знать импульс нейтрино и
уметь исключать случаи, когда
протон отдачи испускает тормоз-
тормозной квант.
Неожиданные результаты в связи с рассматриваемыми свой-
свойствами нейтрино могла бы дать нейтринная астрономия. Если
вблизи от нашей Солнечной системы существует яркий Д-объект,
испускающий, подобно нашему Солнцу, потоки нейтрино, то он
не был бы наблюдаем ни по фотонам (уд), ни по корпускулярным
излучениям (eR, pR), но мог бы оказаться самым ярким объектом
на «нейтринном небосводе».
6. Слабое взаимодействие.
Общие ИР0-бозоны (?)
Существование общих W0-бозонов с универсальной констан-
константой взаимодействующих ci- и Д-частицами исключается экспе-
экспериментом, так как в этом случае в распадах гиперонов и К-мего-
нов наряду с Яь-мезоном испускался бы ненаблюденный
зон, а вместо пар я?яь— ненаблюдаемые пары
7. Гравитационное взаимодействие.
Общие гравитоны
Если 7?-материя существует, то она должна взаимодействовать
с L-материей гравитационным образом. Если Л-материя имеет
еще какое-либо общее взаимодействие с обычной материей, то
необходимо, чтобы в гравитационное взаимодействие входил сум-
суммарный тензор L-материи и Д-материи с общей константой G.
В противном случае взаимодействие между обычной материей и
290

Л-материей, при котором тензор энергии — материи для обычной
материи не сохранялся бы, приводило к противоречивости урав-
уравнений гравитации. На первый взгляд кажется, что если гравитон
является единственной общей частицей, то константы GL и Gr
могут быть разные, в частности, допустим предельный случай
гравитона, не взаимодействущего с Л-материей. Очевидно, одна-
однако, что при Gr = 0 и отсутствии других взаимодействий с //-ве-
//-веществом само утверждение о существовании Л-материи теряет
физический смысл. Если GL =f= GR =f= О, то возникнут трудности
связанные с тем, что суммарный «гравитационный заряд» замкну-
замкнутой системы, обладающей внутренней кинетической энергией,
менялся бы по мере того, как эта энергия переходила от ее L-ком-
понент к ее i?-компонентам. Такое несохранение гравитационного
заряда должно было бы привести к появлению у гравитона мас-
массы и, следовательно, к конечному радиусу гравитационного взаи-
взаимодействия в силу аргументов, аналогичных тем, которые были
использованы Любошицем, Оконовым и Подгорецким [17] для до-
доказательства невозможности дальнодеиствующих сил, связанных
с гиперзарядом. Если бы Л-материя взаимодействоваласнашими
частицами только гравитационным образом, то она обладала бы
очень своеобразными свойствами. Например, Л-материя могла
бы образовывать макроскопические тела, абсолютно невидимые
и абсолютно проницаемые (свободно проходящие через обычную
материю). Прохождение такого Л-объекта с массой порядка пла-
планетной через Солнечную систему проявлялось бы только в воз-
возмущении планетных орбит, сильном при близком прохождении.
Некоторое количество Л-материи могло бы находиться в централь-
центральных областях Солнца и планет, двигаясь вместе с ними и проявля-
проявляясь только в том, что их масса, определенная из гравитационных
эффектов, больше их «физической» массы. Такая ситуация, одна-
однако, является очень искусственной, Л-вещество, захватываемое
тяготением Земли при ее образовании, скорей всего должно была
иметь некоторый импульс относительно центра масс системы
L-Земля + Л-Земля. В этом случае L-Земля и Л-Земля соверша-
совершали бы колебания относительно общего центра тяжести. При за-
заметной массе Л-Земли эти колебания были бы обнаружимы. Да-
Даже если в некоторый момент амплитуда таких колебаний была
равна нулю, колебания, как заметил Франк-Каменецкий, возник-
возникли бы под влиянием метеорной бомбардировки. Таким образом,
присутствие больших количеств Л-вещества в нашей Солнечной
системе маловероятно.
Заметим, что если бы вблизи нашей Солнечной системы нахо-
находилась двойная звезда из Л-вещества, то она могла бы явиться
источником столь мощного гравитационного излучения, что его
можно было бы зарегистрировать [18].
291

8. СР^-инвариантность
в модели двух Л-кварков (?)
Выше мы считали, что при ^-преобразовании все адроны пе-
переходят в свои зеркальные двойники. Можно, однако, потребо-
потребовать, чтобы это относилось не ко всем адронам, а только к части
их. Такому требованию удовлетворяет составная модель Владимир-
Владимирского [19], в которой имеются два Л-кварка (Ла и Ль) с одина-
одинаковыми сильными взаимодействиями. ^4-преобразование означает
в этой модели замену Ла «-> Ль. ^-инвариантность нарушается,
согласно [19], взаимодействием, более слабым, чем электромаг-
литное, и поэтому точность соответствующей изогруппы SU2(Aa,Ab)
лучше, чем обычной изогруппы SU2(p,n). Ниже мы пока-
покажем, что требование СРА-инвариантности приводит в рамках
модели двух кварков к противоречию с опытами, относящимися
к нейтральным if-мезонам. Дело в том, что в модели двух Л-квар-
Л-кварков имеется четыре нейтральных if-мезона: Кха, Кхь, К2а, К2,
переходящих друг в друга. Диагональными состояниями явля-
являются два состояния с положительной СРА -четностью — Ег и
Е2 и два состояния с отрицательной СРА -четностью — О1 и О2.
Первые представляют собой линейные суперпозиции состояний
Кга + Кгь и К2 — К2Ь, вторые — линейные суперпозиции со-
состояний Кга — Кгь и К2а + К2'. Система я+я~~ в ^-состоянии
СРЛ-четна, поэтому распады в эту систему доступны только
СРЛ-четным мезонам: Ег и Е2. Если времена жизни Ех и Е2
сравнимы (т^ — t?2 — 10~~10 сек), то нельзя объяснить резуль-
результаты опыта Кристенсона и др. [1—3]. Если же предположить, что
те, ~ 10~~10, а %е2 ~ Ю""8 сек, то опыт Кристенсона и др. объяс-
объяснить, быть может, и можно было бы, однако в этом случае за вре-
время порядка 10~~10 сек на я+я~ распадалась бы не V3 всех ^-мезо-
^-мезонов, родившихся в некоторой реакции, а только Vc. Такое заклю-
заключение противоречит данным по парному рождению /?°-мезонов
<я~р-> Л°Я°) [20] и перезарядке (К+п-+К°р) [21].
9. Заключение
Проведенное вы иге рассмотрение имеющихся эксперименталь-
экспериментальных данных приводит нас к следующим выводам.
1. Зеркальные частицы, если они вообще существуют, взаимо-
взаимодействуют с нашими частицами сравнительно слабо.
2» В пределах Солнечной системы зеркальных частиц сущест-
существенно меньше, чем обычных.
Оба эти вывода отнюдь не означают, что зеркальные частицы
вообще не существуют или если даже существуют, то отсутствуют
в пределах Солнечной системы вообще и внутри Земли в частности
3. Если вблизи Солнечной системы существуют звезды и
7?-вещества, то такие звезды были бы не обнаружимы обычными
292

методами, но могли бы наблюдаться по их нейтринному и грави-
гравитационному излучению.
Основной результат данной работы, заключающийся в том, что
зеркальное вещество может взаимодействовать с обычным только
очень слабо и что верхняя граница его концентрации в Солнеч-
Солнечной системе не велика, не придает дополнительной привлекатель-
привлекательности гипотезе о существовании зеркальной материи.
Авторы благодарны В. Н. Грибову, В. И. Когану, С. Б. Пи-
кельнеру, Б. М. Понтекорзо, Д. А. Франк-Каменецкому, И. С.
Шапиро за интересные обсуждения.
Институт теоретической Получено
и экспериментальной физики 29 декабря 1965 г.
ЛИТЕРАТУРА
1. J. H. Christenson, J. W. Cronin, V. L. Fitch, R. Turlay. Phys. Rev. Let-
Letters, 1964, 13, 138.
2. X. de Bouard, D. Dekkers, B. Jordan, R. Mermod, T. R. Willits, K. Win-
Winter, P. Scharff et al. Phys. Letters, 1965, 15, 58.
3. W. Galbraith, G. Manning, A. E. Taylor, B. D. Jones, /. Malos et aL
Phys. Rev. Letters, 1965, 14, 383.
4. F. L. Fitch, R. F. Roth, J. S. Russ, W. Vernon. Phys. Rev. Letters, 1965,
15, 73.
5. Л. Д. Ландау. ЖЭТФ, 1957, 32, 405.
6. Т. D. Lee, C. N. Yang. Phys. Rev., 1956, 104, 254.
7. L. Wolfenstein. Phys. Rev. Letters, 1964, 13, 562.
$. /. Bernstein, G. Feinberg, T. D. Lee. Phys. Rev., 1965, 139B, 1650.
9. S. Barshay. Phys. Letters, 1965, 17, 78.
10. T.D.Lee, C.N.Yang. Phys. Rev., 1960, 119, 1410.
11. L. Gilly, B.Leontic, A. Lundby, R. Mennier, J. P. Stroot, M. Szeptyka.
Proc. Roch. Conf., 1960, p. 808.
12. G. von Dardel, R. M. Mermod, G. Weber, R. Winter. Proc. Roch. Conf.,
1960, p. 836.
13. V. T. Cocconi, T. Fazzini, G. Fidecaro, M. Legros, N. H. Liprnan,
H.A. W. Merrison. Phys. Rev. Letters, 1960, 5, 19.
14. D. E. Dorian, J. Eades, L. M. Lederman, W. Lee, С. С. Ting. Phys.
Rev. Letters, 1965, 14, 1003.
15. E. Amaldi, G.Baroni, G. Belletini, C. Castagnoli, M. Ferro-Luzzi, A. Man-
fredini. Nuovo Cimento, 1959, 14, 977.
16. G. Bernardini. Proc. of the Conf. on High Energy Physics. Dubna, 1964.
17. В. Л. Любошиц, Э. О. Окопов. М. И. Подгорецкий. ЯФ, 1, 490, 1965.
18. В. Б. Брагинский. УФН, 1965, 85, 433.
19. В. В. Владимирский. Ядерная физика, 1965, 2, 1087.
20. D. A. Glaser. Proc. of 1958 Conf. on High Energy Physics at CERN, p. 273.
21. /. L. Brown, J. A. Kadyk, G. H. Trilling, B. R. Roe. D. Sinclair, J. C. Van-
der Velde. Phys. Rev., 1963, 130, 769.

СОДЕРЖАНИЕ
I
ТЕОРИЯ ФОТОНОВ, ЭЛЕКТРОНОВ И МЮОНОВ
33. Рассеяние света на свете. (Совместно с А. Ахиезером и Л. Ландау).
1936 v : . 5
34. Когерентное рассеяние у-лучей ядрами. (Совместно с А. И. Ахие-
Ахиезером). 1936 7
35. Об уровнях энергии систем cZ> 137. (Совместно с Я. Смородин-
ским). 1945 21
36. Правила отбора при аннигиляции электронов и позитронов. 1948 27
37. Время жизни медленных позитронов. 1949 30
38. Об электронах, образующихся при захвате |л-мезонов на атомные
уровни. (Совместно с Б. Л. Иоффе). 1952 32
39. О спектре ц-мезоводорода. (Совместно с А. Д. Галаниным). 1952 35
40. Образование ц-мезонной пары при аннигиляции позитрона.
(Совместно с В. Б. Берестецким). 1955 38
II
ПРОХОЖДЕНИЕ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ ЧЕРЕЗ ВЕЩЕСТВО.
КОСМИЧЕСКИЕ ЛУЧИ. МАГНИТНОТ0РМ03НОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ
41. Максимальная энергия, которую могут иметь на поверхности Зем-
Земли первичные электроны космических лучей из-за излучения
в земном магнитном поле. 1939 40
42. О конце трека мезотрона в камере Вильсона. (Совместно с А. Миг-
далом). 1940 47
43. Спектр мягкой компоненты в воздухе при больших энергиях.
(Совместно с А. Кирпичевым). 1943 50
44. К теории переходных эффектов в космических лучах. (Совместно
с А. Кирпичевым). 1944 54
45. Экранирование эффективных сечений для тормозного излучения
и образования пар с помощью экспериментальных значений атом-
формфактора. (Совместно с А. Кирпичевым). 1944 59
46. К интерпретации экспериментальных данных о больших лавин-
лавинных ливнях. 1944 62
47. О максимальной энергии, достижимой в бетатроне. (Совместно
с Д. Д. Иваненко). 1944 85
48. Излучение быстрых электронов в магнитном поле. (Совместно
с А. Арцимовичем). 1945 87
49. Излучение релятивистских электронов в магнитном поле. 1946 101
50. О флуктуациях ионизационных пробегов. 1948 104
294

51. Пределы применимости теории тормозного излучения электронов
и образования пар при больших энергиях. (Совместно с Л. Д. Лан-
Ландау). 1953 114
52. Электронно-лавинные процессы при сверхвысоких энергиях.
(Совместно с Л. Д. Ландау). 1953 117
53. О пределах применимости теории переходного"~излучения.
(Совместно с Г. М. Гарибяном). 1959 122
III
КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ ПОЛЕЙ
54. Кулоновские Силы и строение нейтрона. 1943 126
55. Рассеяние мезонов, сильно взаимодействующих с нуклонами. 1944. 131
56. Обобщение предельного ^-процесса и неоднозначность в устране-
устранении бесконечностей квантовой теории элементарных частиц. 1947,
1949 133
57. Перенормировка массы и заряда в ковариантных уравнениях
квантовой теории поля. (Совместно с А, Д. Галаниным
и Б. Л. Иоффе). 1954 , . 141
58. Об асимптотике функций Грина нуклона и мезона в псевдоскаляр-
псевдоскалярной теории со слабым взаимодействием. (Совместно с А. Д. Гала-
Галаниным и Б. Л. Иоффе). 1955. 146
59 Обобщение теоремы Уорда на случай конечных длин волн света
у частиц со спином нуль. 1955 161
60. О точечном взаимодействии в квантовой электродинамике. (Совме-
(Совместно с Л. Д. Ландау). 1955 163
61. Равенство нулю перенормированного заряда в квантовой электро-
электродинамике. 1955 168
•62. О перенормировке мезонного заряда в псевдоскалярной теории
с псевдоскалярной связью. 1955 173
63. Об обращении в нуль перенормированного мезонного заряда
в псевдоскалярной теории с псевдоскалярной связью. 1955 . . 176
64. Решение уравнений псевдоскалярной мезонной теории с псевдо-
псевдоскалярной связью. 1955 182
65. Равенство нулю перенормированного заряда в электродинамике
и в мезонной теории. 1956 185
66. Равенство нулю перенормнрованного заряда в теориях поля с то-
точечным взаимодействием. (Совместно с В. В. Судаковым и К. А. Тер-
Мартиросяном). 1956 204
IV
ФИЗИКА СТРАННЫХ ЧАСТИЦ И РЕЗОНАНСОВ.
СЛАБЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
67. О [3-распаде нейтрона. (Совместно с В. Б. Берестецким). 1949 246
68. Корреляционные явления при захвате ЛГ-мезонов. (Совместно с
В. Б. Берестецким). 1956 249
69. О числе различных типов А"-мезонов. (Совместно с Б. Л. Иоффе
и Л. Б. Окунем). 1956 251
295

70. Замечание о числе различных типов А'-мезонов. 1956 255
71. О возможном дипольном моменте перехода у Л-частнц. (Совмест-
(Совместно с Б. Л. Иоффе). 1957 257
72. О взаимодействии Е-пшеронов с нуклонами и легкими ядрами.
(Совместно с Л. Б. Окунем и И. М. Шмушкевичем). 1958 . . . 261
73. Об определении четности А'-мезона. (Совместно с Л. Б. Окунем).
1958 265
74. Р-взаимодействие и формфактор нуклона. (Совместно с В. Б. Бе-
рестецким). 1959 * 267
75. Об электромагнитном взаимодействии нейтрального векторного
мезона. (Совместно с И. Ю. Кобзаревым и Л. Б. Окунем). 1961 269
76. Некоторые следствия из унитарной симметрии для процессов
с участием со, ерги /°-мезонов. (Совместно с Б. Л. Иоффе и И.Ю. Коб-
Кобзаревым). 1965 273
77. «Теневая Вселенная» и нейтринный опыт. (Совместно с Л. Б. Оку-
Окунем). 1965 278
78. Электромагнитные разности масс барионов и S U F) - симметрия.
(Совместно с А. Д. Долговым, Л. Б. Окунем и В. В. Соловьевым).
1965 281
79. О возможности экспериментального обнаружения зеркальных
частиц. (Совместно с И. Ю. Кобзаревым и Л. Б. Окунем). 1966 285
ИСААК ЯКОВЛЕВИЧ ПОМЕРАНЧУК
Собрание научных трудов. Том II
Физика элементарных частиц.
Электромагнитные и слабые взаимэдействия
Утверждено к печати Отделением ядерной физики Академии наук СССР
Редактор Л. А. Кондратюк. Редактор издательства Л. В. Кудрявцева
Художник Э. Л. Эрман. Художественный редактор И. И. Власик.
Технический редактор П. С. Кашина
Сдано в набор 8/II-1972 г. Подписано в печати 20/VII-1972 г.
Формат 60x?0»/i6. Бумага № 1. Усл. печ. л. 18,5. Уч.-изд. л. 17.1
Тираж 2700. Т-13015. Тип. зак. 180. Цена 1 р. 44.
Издательство «Наука». Москва, К-62, Подсосенский пер., 21
2-я типография издательства «Наука». Москва, г-99, Шубинский пер., 10

ИСПРАВЛЕНИЯ И ОПЕЧАТКИ
Страница
85
87
176
229
276
Строка
11 сн.
7 св.
9 св.
10 св.
6 св.
27 св.
Напечатано
\ с )
разноотстоящих
произвольных
#21
bo
Должно быть
L c J
равноотстоящих
произвольныхх
й
И. Я. Померанчук, Т. II.