Particle Kinematics
E. ByckHng
University of Jyvaskyla, Finland
K. Kajantie
University of Helsinki, Finland
JOHN WILEY AND SONS
London • New York • Sydney • Toronto
1973

Е. Бюклинг, К. Каянти
Кинематика элементарных частиц
Перевод с английского
под редакцией
доктора физ.-мат наук
Г. И. Копылова
ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР»
МОСКВА 1975

УДК 539.12
Монография финских физиков Е Бгоклинга и К Каянти
посвящена кинематике превращений элементарных частиц.
Она отражает самые последние достижения в этой области,
в частности охватывает вопросы, которые до сих пор рас-
рассматривались лишь в журнальных статьях (релятивизация
формул, инклюзивные процессы, кинематические отражения
и др ) Имеющиеся в книге упражнения повышают ее мето-
методические достоинства
Книга доступна не только теоретикам, но и эксперимен-
экспериментаторам, занимающимся физикой ядра и элементарных ча-
частиц, она может быть рекомендована как учебное пособие
студентам старших курсов университетов и преподавате-
преподавателям,
Редакция литературы по физике
^-40—75 © Перевод на русский язык, «Мир», 1975
041@1)—75

ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА
Кинематика элементарных частиц — наука, которой 25 лет
назад еще не существовало. Она создается на наших глазах.
Формально — это та часть теоретической механики, которая
изучает движение с релятивистскими скоростями, и она могла
бы возникнуть сразу после появления теории относительности.
Однако традиционная проблематика теоретической механики не
получила развития в релятивистской физике, ибо была там бес-
беспредметна.
Фактически — это ветвь физики высоких энергий. Она на-
начала развиваться тогда, когда в поле зрения науки появились
объекты, способные двигаться с релятивистскими скоростями.
На первых порах это были частицы космических лучей. Нужды
физики космических лучей в 40—50-х годах вызвали появление
первых кинематических формул.
Сооружение ускорителей, открытие мезонов и странных ча-
частиц дало новый стимул развитию кинематики. Был доказан ряд
красивых теорем о свойствах двухчастичного распада. Были
изучены свойства предельных углов и другие предельные соот-
соотношения. В 1953—1954 гг. появилась диаграмма Далица — спо-
способ наглядного изображения трехчастичных распадов. Были
предприняты первые попытки расчета фазового объема системы
многих частиц. В 1958 г. была высказана идея моделирования
реакций, происходящих с элементарными частицами. Вышел
в свет первый курс кинематики А. М. Балдина, В И. Гольдан-
ского и И. Л. Розенталя.
Новая ветвь кинематики — кинематика резонансов — начала
развиваться в 1960—1961 гг. Понятие инвариантной массы си-
системы частиц приобрело физический смысл: по спектрам этих
масс открывались резонансы. Были предложены формулы для
ожидаемого фона резонансов, разработаны методы определения
их квантовых чисел, изучены эффекты, имитирующие резонансы.
Были написаны и начали снабжать физиков массовой продук-
продукцией программы идентификации каналов реакций. Моделирова-
Моделирование реакций приобрело повсеместное распространение. Расчет
многочастичного фазового объема перестал быть проблемой.
Но к началу 70-х годов эта проблематика исчерпала себя.
Появилась на свет кинематика инклюзивных реакций; это было

в Предисловие редактора перевода
связано с продвижением в область сверхвысоких энергий и
больших множественностей. При этих энергиях уже нельзя отде-
отделять одни реакции от других; при таких множественностях ре-
резонансные пики теряются на фоне многочисленных нерезонанс-
нерезонансных комбинаций. Впереди замаячил тупик. Он исчез с появле-
появлением понятия инклюзивной реакции. Физики принялись
вычерчивать графики структурных функций, искать подтверж-
подтверждение гипотез скейлинга и фрагментации. Вместо спектров эф-
эффективных масс на страницах журналов замелькали распреде-
распределения продольных быстрот, коэффициенты корреляции, спектры
разностей быстрот, бросавшие, как кто-то выразился, вызов тео-
теоретикам. Все это поставило перед кинематикой ряд необычных
задач. Примерно в это же время Ван Хов предложил диаграмму
продольного фазового пространства как средство изучения ди-
динамики квазидвухчастичных процессов при сверхвысоких энер-
энергиях. Возникли достаточно эффективные способы моделирова-
моделирования реакций, разыгрывающихся в цилиндрическом фазовом
пространстве. Резко возросло число феноменологических работ;
кинематика и феноменология теперь нередко переплетаются и
взаимно влияют друг на друга.
Это нынешнее положение вещей зафиксировано в предлагае-
предлагаемой читателю монографии Е. Бюклинга и К. Каянти — молодых
финских физиков-теоретиков, авторов известного способа моде-
моделирования периферических процессов. Им удалось написать
книгу, похожую на учебник и соединяющую систематичность из-
изложения и высокий теоретический уровень с доступностью для
физиков-экспериментаторов.
Листая статьи по теоретической физике элементарных ча-
частиц, мы довольно часто встречаем в них параграф, озаглавлен-
озаглавленный «Кинематика». В нем обычно приводится перечень кинема-
кинематических переменных, характеризующих задачу, и указываются
области их изменения. Там же мы находим значения скалярных
произведений тех 4-векторов, которые встречаются в задаче.
После этого начинается изложение основного содержания
статьи. Таким образом, кинематический раздел играет вспомо-
вспомогательную роль. За многие годы мало-помалу возникла опреде-
определенная культура обращения с кинематическими величинами.
Накопился опыт приведения их к виду, удобному для дальней-
дальнейших теоретических расчетов.
Представим себе теперь теоретика, который из подобных
журнальных статей вырезал кинематические разделы, собрал их
воедино и подытожил. Получилась бы сводка тех правил и прие-
приемов, которые дают эффект при работе с величинами, характери-
характеризующими превращения элементарных частиц. Нечто подобное
представляет собой данная книга.

Предисловие редактора перевода
С другой стороны, книги по кинематике, вообще говоря, пи-
пишутся в расчете на физика-экспериментатора, ибо кинематика
является таким же орудием в его руках, как искровая камера
или компьютер. Кинематику элементарных частиц можно опре-
определить как отрасль теоретической физики, формулирующую
практические выводы из тех ее закономерностей, которые уже
твердо установлены и на которые можно безбоязненно опе-
опереться, исследуя новые факты. Существует ряд традиционных
разделов, всегда включаемых в курс кинематики, ибо они
нужны в работе на каждом шагу: преобразования Лоренца, ки-
кинематика двухчастичных распадов, величина и границы фазо-
фазового объема, формулы для расчета сечений, наиболее ходовые
распределения и многочисленные диаграммы. Все эти важные
сведения авторы также включили в книгу.
Однако нужны ли простому физику-исследователю эти хит-
хитроумные достижения высокой теории.-1 Нельзя ли обойтись без
функций G, без толлеровских переменных и без определителей
Грама, как обходились без них прежде? В принципе можно
действовать и по старинке, обходясь преобразованиями Лоренца
и разбиением многочастичных распадов на цепочки двухчастич-
двухчастичных. Но содержание данного курса доказывает полезность и
этого нового, более богатого, более специального кинематиче-
кинематического языка: к новым понятиям, к обогащенному словарю
быстро привыкаешь; достигается единообразие формул; мощный
аппарат позволяет решать более трудные задачи. Систематизи-
Систематизированное введение в обиход читателя новых, обобщающих поня-
понятий расширяет его кругозор, позволяет свежим взглядом оки-
окинуть многие прежде разрозненные факты и приемы рассуж-
рассуждений.
Упомянем некоторые новинки, впервые нашедшие себе место
в курсе кинематики элементарных частиц (часть из них вообще
существовала лишь в виде «научного фольклора» — приемов
выкладок, которые переходили «из уст в уста», но не публико-
публиковались в журналах, потому что никто не считал себя их авто-
автором) . Таковы, например, приемы инвариантного представления
неинвариантных величин (гл. II, V, VI) или систематическое
употребление четырехчастичной кинематической функции G, по-
позволяющее унифицировать многие формулы кинематики
(гл. III). Подробно обсуждаются свойства углов1- Джексона и
Треймана — Янга (гл. V), параметризация фазового объема не-
нескольких частиц в инвариантных переменных (гл. V, VI), а
также пространственноподобные рекуррентные соотношения
для фазового объема (гл. VI). Очень полезна гл. VII, посвя-
посвященная кинематике инклюзивных реакций (хотя она и остав-
оставляет впечатление неполноты, ибо многие понятия инклюзивной
физики вошли в обращение уже после появления книги).

8 Предисловие редактора перевода
Полезна и гл. VIII о кинематических отражениях. В гл. IX впер-
впервые описаны приемы вычисления фазового объема методом сед-
ловой точки.
В то же время в книге чересчур скупо изложено то, что при-
примыкает к главе о кинематических отражениях и что можно было
бы назвать физической кинематикой: кинематика наблюдений
я°-мезонов и вообще нестабильных частиц в лабораторной си-
системе отсчета, способы восстановления спектров частиц по не-
неполным данным, способы идентификации каналов реакции.
Недостаточны библиографические ссылки. Ориентируясь в
современной журнальной литературе, авторы, к сожалению, сла-
слабо знакомы с историей кинематики, с литературой прежних лет.
В книге, например, совсем нет имени Р. Стернхаймера, который
в работах 50-х годов впервые вывел многие формулы, получив-
получившие теперь широкое распространение. Мало известны авторам
работы советских физиков; между тем по ряду причин кинема-
кинематика многие годы у нас развивалась интенсивней, чем на Западе.
В итоге многие результаты, полученные в 50—60-е годы, в книге
приписываются более поздним исследователям, повторившим
их — порою в ухудшенном варианте — через 10 и более лет.
В других случаях такие результаты приводятся вообще без
ссылки на литературу. Избегая изменений авторского текста, мы
в некоторых случаях пытались исправить эти упущения в редак-
редакторских примечаниях. Добавленные библиографические ссылки
мы отметили звездочкой.
В целом можно надеяться, что книга Е. Бюклинга и К. Ка-
янти окажется полезной как опытным физикам, так и молодежи,
начинающей работу в той увлекательной области науки, которая
называется физикой высоких энергий.
Перевод книги выполнен Г. В. Данилянам (гл. I—III),
А. В. Давыдовым (гл. IV и гл. V, разделы 1—6) и Г. И. Копы-
ловым (гл. V, разделы 7—11, гл. VI—IX и приложения).
Дубна Г. Копылов
июнь 1974 г, v

ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРОВ
Целью настоящей книги является систематическое изложе-
изложение релятивистской кинематики реакций с участием элементар-
элементарных частиц с особым акцентом на практические аспекты приме-
применения ее в области физики высоких энергий.
В последние годы существенно возросли энергии частиц
в ускорителях, и, как следствие, значительно усложнились на-
наблюдаемые реакции. В связи с этим основательное знание реля-
релятивистской кинематики стало крайне необходимым для понима-
понимания важных динамических характеристик. Это знание не только
помогает физику избежать утомительных вычислений, но также
нередко может уберечь его от ошибочных интерпретаций экспе-
экспериментальных эффектов. Понимание простой и привлекательной
структуры релятивистской кинематики может привести к упро-
упрощениям как расчетов, так и самих физических представлений.
Развитие физики элементарных частиц в последние годы сопро-
сопровождалось появлением огромного числа статей, посвященных
выбору переменных и представлению данных в случае многоча-
многочастичных реакций, кинематическому отображению, перифериче-
периферическим эффектам, продольному фазовому пространству, кинема-
кинематике инклюзивных реакций, численным методам расчета (в ча-
частности методу Монте-Карло) и т. д. Весь этот материал рассеян
по различным научным журналам, поэтому все более возрастает
необходимость в детальном и последовательном рассмотрении
кинематики, относящейся как к упомянутым, так и к другим про-
проблемам.
При написании этой книги мы предполагали, что читатель
знаком по крайней мере с основными представлениями физики
элементарных частиц и специальной теории относительности.
Мы надеемся, что она будет полезной для самообразования и в
качестве справочника, а также как учебное пособие по курсу
кинематики элементарных частиц для студентов старших курсов
и аспирантов.
С целью выдержать объем книги в разумных пределах мы
вынуждены были ограничиться рассмотрением лишь бесспино-
бесспиновых частиц. Вопросы, связанные с поляризацией, а также во-
вопросы, относящиеся к проблеме определения спина систему

10 Предисловие авторов
частиц, здесь не обсуждаются. Кинематика бесспиновых частиц
представляет собой завершенное целое, поэтому изучение дан-
данной книги может быть дополнено другими пособиями, посвящен-
посвященными теории и методологии спина.
Авторы признательны Финскому национальному совету по
исследованиям за финансовую поддержку, Исследовательскому
институту теоретической физики Хельсинкского университета за
предоставленную возможность использовать оборудование ин-
института, а также д-рам Нюборгу и Уиппману за критическое
прочтение рукописи.
Хельсинки Е. Бюклинг
27 апреля 1972 г. • % Каянти

Глава I
ВВЕДЕНИЕ
Под кинематикой элементарных частиц в этой книге пони-
понимается наука о тех аспектах реакций с участием элементарных
частиц, для понимания которых достаточно специальной теории
относительности. Последняя представляет собой одну из наибо-
наиболее твердо установленных физических теорий (см., например,
[125]), так что структура кинематики хорошо определена и в
достаточной мере экспериментально обоснована. Напротив, дина-
динамические свойства таких реакций все еще остаются в значитель-
значительной мере неизвестными, и большинство исследований в физике
элементарных частиц производится с целью внести ясность в по-
понимание этих основных свойств. Экспериментальные результаты
и динамические правила всегда выражаются через кинемати-
кинематические переменные и подвержены кинематическим ограничениям,
так что глубокое понимание кинематики частиц является необхо-
необходимым условием правильной интерпретации динамики реакции.
С точки зрения изложенного в этой книге материала частицы
полностью характеризуются значениями энергии и импульса,
комбинация которых определяет 4-импульс. Последний при пре-
преобразованиях Лоренца трансформируется как 4-вектор. Полный
4-импульс системы сохраняется, т. е. сумма всех 4-импульсов в
начальном состоянии равна сумме всех 4-импульсов в конечном
состоянии. Эти весьма простые факты и являются основой кине-
кинематики элементарных частиц.
Несмотря на такую четкую и хорошо установленную теоре-
теоретическую базу, кинематический анализ реакции с участием
большого числа частиц может быть чрезвычайно сложным. Од-
Одной из причин этой сложности является то обстоятельство, что
при описании реакций наиболее удобными переменными, при
которых четко проявляются динамические эффекты, оказы-
оказываются обычно не 4-импульсы, а другие переменные. Например,
резонансные пики наблюдаются по распределению инвариант-
инвариантных масс, периферичность взаимодействий — по распределению
переданных импульсов и т. д. Далее, согласно теории относи-
относительности, описание процесса должно быть лоренц-инвариант-
ньш, так что наиболее подходящими часто бывают инвариант-
инвариантные переменные. Дальнейшие совокупности переменных

12 Глава!
приходится вводить из-за того, что измерения проводятся в од->
ной системе отсчета, а их интерпретация может оказаться более
естественной в других системах отсчета.
Кроме значений энергии и импульса, состояние одной ча-
частицы характеризуется также и другими квантовыми числами,
такими, как спин, четность, изоспин, заряд, барионное или леп-
тонное число, странность и т. д. Эти квантовые числа в нашем
изложении кинематики элементарных частиц будут игнориро-
игнорироваться. Среди этих квантовых чисел спин частицы играет осо-
особую роль, так как он связан [53] со свойствами неоднородной
группы Лоренца (см. ниже) и может рассматриваться как часть
обсуждаемого нами предмета. Но мы игнорировали и спин, глав-
главным образом для того, чтобы не увеличивать объем книги, а
также чтобы избежать введения математического аппарата, бо-
более сложного и имеющего совершенно другую природу, чем тот,
который используется в этой книге Аналогично мы не рассмат-
рассматриваем и очень важные практические проблемы, касающиеся
свойств полного момента системы частиц [73, 140, 143, 160*].
Чтобы пояснить значение, которое имеет пренебрежение спи-
спином, для читателей, знакомых с теорией групп, заметим, что ма-
математически спин возникает [53] при рассмотрении унитарных
представлений группы Пуанкаре, т. е. неоднородной группы Ло-
Лоренца (включающей в себя сдвиги). Эти представления харак-
характеризуются определенными массой и спином. Состояния внутри
представления задаются импульсом и третьей компонентой
спина. Трансформационные свойства состояний хорошо установ-
установлены, но оказываются довольно сложными, если спин не равен
нулю Пренебрегая спином, мы тем самым ограничимся рас-
рассмотрением представлений, отвечающих нулевому спину. Ана-
Аналогично пренебрежение полным моментом системы из п частиц
означает, что мы будем работать с приводимыми представле-
представлениями группы Пуанкаре, а спиновый анализ такого состояния
эквивалентен разбиению представления на неприводимые ком-
компоненты [140, 141].
Единственными книгами по кинематике элементарных
частиц в настоящее время являются книги Балдина, Гольдан-
ского, Максименко и Розенталя [6, 144], Хагедорна [52] и Копы-
Копылова [84]. Книга Копылова посвящена главным образом кинема-
кинематике резонансов и снабжена обширной библиографией статей,
которые имеются только на русском языке и которые не
включены в библиографию данной книги. Кроме того, имеются
публикации лекций по кинематике частиц, прочитанных в раз-
различных физических школах (см., например, [34, 113, 117, 132,
139, 146*]), которые могут дополнить материал этой книги.
План изложения в книге таков. В гл. II мы напоминаем ряд
положений и формул специальной теории относительности, ко-

Введение 13
торые служат основой для последующего изложения. В частно-
частности, мы даем определения различных систем отсчета и подробно
исследуем преобразования Лоренца физических величин из од-
одной системы отсчета в другую В разделе П. 7 и в приложении
А мы показываем, что связь между инвариантными и неинва-
неинвариантными величинами естественнее всего выражать при по-
помощи определителей Грама, и этот результат используется
в книге повсюду.
В процессе распада (или рассеяния) 4-импульс подчиняется
закону сохранения энергии-импульса ро(— Ра -\-рь) — Pi ~Ь •••
• ¦ • + Рп- Для фиксированного 4-импульса начального состоя-
состояния это равенство определяет конечную (Зл — 4)-мерную область
(фазовое пространство) в пространстве компонент импульсов
конечных частиц. Точки фазового пространства соответствуют
наблюденным событиям. В гл. III мы формулируем основные
задачи кинематики элементарных частиц: параметризацию фа-
фазового пространства различными наборами переменных, выте-
вытекающими из эксперимента или теории, вывод соотношений
между этими наборами и вычисление полных или дифферен-
дифференциальных сечений, являющихся интегралами по фазовому про-
пространству.
В гл. IV—VI основные представления применяются пооче-
поочередно к процессам типа 1-*-2, 2-*-2, 1->-3, 2->3 и т. д., где
цифры обозначают числа частиц в начальном и конечном со-
состояниях. Это последовательность постепенно усложняющихся
процессов, в которой последующие элементы тесно связаны друг
с другом (раздел III. 1). В гл. VII мы рассматриваем инклю-
инклюзивные эксперименты, в которых конечные состояния идентифи-
идентифицированы лишь частично. Гл. VIII посвящена краткому описа-
описанию кинематических отражений. Особенности, проявляющиеся в
многократно проинтегрированных дифференциальных сечениях,
иногда могут быть вовсе не динамическими эффектами в наблю-
наблюдаемых переменных, а кинематическими отражениями других
динамических свойств. Наконец, в гл. IX рассматриваются чис-
численные методы интегрирования по фазовому пространству, при-
причем особое внимание уделяется методу Монте-Карло. Большин-
Большинство глав снабжено упражнениями, решения которых приводятся
в конце книги. Многие упражнения и решения содержат допол-
дополнительный материал, который не включен в основной текст книги.
Различные разделы книги существенно отличаются друг от
друга по сложности материала. Основной курс кинематики, как
для экспериментаторов, так и для теоретиков, содержится в сле-
следующих разделах: II. 1—6, III. 1—3, IV. 1, 3,-6, V. 1—6, VI. 1—2,
4—6, VII. 1—7, VIII. 1—3, IX. 1—5, приложение Б. На следую-
следующем более высоком уровне очень полезно понимать свойства
и научиться применять определители Грама (которые рассматри-

14 Глава 1
ваются и используются в разделах II. 7, V. 7—11, приложение А)
и эллипсоиды в импульсном пространстве (разделы II. 8, III. 4).
Разделы этого уровня в оглавлении отмечены одной звездочкой.
Заметим также, что в ряде частей некоторых разделов, отнесен*
ных к основному курсу, используется материал, отмеченный
одной звездочкой; эти части могут быть опущены, если основ-
основной курс кинематики приходится сокращать. Наиболее труд-
трудными являются разделы: VI. 3 —о толлеровских переменных,
VI. 7, 8 —об инвариантных переменных и IX. 6 — о статистиче-
статистических методах расчета фазового объема. (Эти разделы отмечены
в оглавлении двумя звездочками.)
При ссылках в тексте на разделы других глав мы обозна-
обозначаем их римской и арабской цифрами (глава, раздел), а при
ссылках на формулы — римской и двумя арабскими цифрами
(глава, раздел и формула). Однако при ссылках на разделы или
формулы в пределах данной главы римская цифра опускается.
Все буквенные обозначения приведены в конце книги.

Глава II
СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
1. Преобразования Лоренца, 4-векторы, быстроты,
псевдосферические координаты
Всестороннее и систематическое изложение принципов спе-
специальной теории относительности можно найти во многих учеб-
учебниках (см., например, [125]). В этом разделе мы рассмотрим
несколько специальных вопросов, которые нам понадобятся
позднее, а именно: а)' преобразования Лоренца, б) 4-векторы,
в) понятие о быстроте, г) сферические и псевдосферические
координаты.
а. Преобразования Лоренца
Рассмотрим точку в пространстве-времени, определенную
координатами t, x, у, z в данной системе отсчета S. Согласно
специальной теории относительно-
относительности, соотношение между координа-
координатами точки в системе S и ее коорди-
координатами f, х', у', г' в другой инер- ^ _
циальной системе отсчета S' дается s s'
преобразованиями Лоренца. Пред-
Предположим, что система S' движется
относительно системы S с постоян-
постоянной скоростью v. Чтобы получить
простые выражения для преобразо-
преобразования координат из одной системы
в другую, следует направить ось г Фиг. 1.
системы S и ось г' системы S' вдоль
относительной скорости v, а соответствующие координатные пло-
плоскости сделать параллельными друг другу (фиг. 1). Если пред-
предположить далее, что в момент t = V = О начала координат
обеих систем совпадают, то преобразования Лоренца даются вы-
выражениями
Z' = y(z- vt),
A.1)

¦16 Глава II
где
A.2)
— лоренц-фактор. Компоненты хну, перпендикулярные ско-
скорости v, остаются неизменными. Обратные преобразования по-
получаются просто изменением знака v.
Когда скорость v стремится к нулю, скорость света с исче-
исчезает из равенств A.1), и они совпадают с выражениями для
нерелятивистских преобразований Галилея. В макроскопических
масштабах лишь при некоторых астрономических явлениях на-
наблюдаются скорости, столь большие, что необходимо применять
выражения A.1). С другой стороны, в физике элементарных ча-
частиц скорости обычно столь близки к с, что отклонения от пре-
преобразований Галилея велики. И действительно, физика элемен-
элементарных частиц предоставляет многочисленные возможности про-
проверки справедливости равенств A.1)
Если относительная скорость v систем 5' и S не параллельна
осям z и z', равенства A.1) должны быть видоизменены. Од-
Однако, поскольку стандартные выражения для этой видоизменен-
видоизмененной записи преобразований нам здесь не понадобятся, мы оста-
оставим их вывод (см., например, [52]) для самостоятельных упраж-
упражнений (упражнение II. 2).
б. 4-векторы
Преобразования A.1) -г-частный случай преобразований
Лоренца. Преобразования Лоренца в самом общем случае запи-
записываются проще всего, как формально, так и по существу, в че-
четырехмерном пространстве векторов х = (х°, х1, х2, х3) =
= (я0, х) = (ct, х, у, г). Вообще 4-вектор а = (а0, а) представ-
представляет собой объект, преобразуемый так же, как вектор х. (Для
пространственных компонент мы используем равнозначные обо-
обозначения а1 или ах, о2 или ау, а3 или аг) Так, при преобразова-
преобразовании Лоренца относительно систем отсчета, изображенных на
фиг. 1, 4-вектор а преобразуется следующим образом:
а' — у[а° — —), а' =а',
,г 2 ,з ( , va°\
Нтобы определить общее преобразование Лоренца
A.4)

Специальная теория относительности Г7
где L — действительная матрица, мы введем метрический тензор
10 0 0-1
0-400
0 0-1 0 =ё ' (Ь5)
-О 0 0—1-
и скалярное произведение а-Ь двух 4-векторов а и Ъ:
а • 6 = 2] ймб11 = ? g(lva|16v = а 6 —ab. A.6)
И Ц. V
Тогда преобразование Лоренца в общем виде определяется как
линейное преобразование, оставляющее скалярное произведение
х-у инвариантным. Это означает, что матрица L в выражении
A.4) должна удовлетворять условию
gL-'g = Lr. A.7)
Таким образом, матрица, обратная L, получается транспониро-
транспонированием L и изменением знаков компонент Ll0, LOl, i=\, 2, 3.
Преобразование Лоренца в общем виде можно представить как
сдвиг A.3) [см. замечания после формулы A.22)], сопровождае-
сопровождаемый трехмерным вращением.
В кинематике элементарных частиц преобразования A.4)
большей частью являются собственными преобразованиями Ло-
Лоренца. Кроме сохранения инвариантным скалярного произведе-
произведения A.6), они удовлетворяют следующим двум условиям:
detL = +l, т. е. пространственные отражения исключены;
Lo^>1,t. e знак 0-компоненты времениподобного вектора яв-
является инвариантом.
в. Быстрота
Преобразования Лоренца образуют группу, т. е. произведе-
произведение двух преобразований Лоренца также является преобразо-
преобразованием Лоренца. Если произвести два последовательных преоб-
преобразования Лоренца частного вида A.3) с параметрами vt и v2,
то совокупный результат эквивалентен одному преобразованию
с параметрами
„ _
Чтобы отчетливее увидеть это, заменим v новым параметром %
(называемым быстротой), согласно равенствам
f-thi, y = ch |, -f—shi. (J.9)

18
Глд.ва
Эти равенства отображают область изменения скорости
—1 ^ и/с sg; 1 в область изменения быстроты —оо < | < оо.
Формулы A.8) .тогда означают, что быстроты удовлетворяют
следующему соотношению:
v3 = сth 13-
= сthfa + У,
или |3 = ii +12- Таким образом, видно, что при параллельных
друг другу преобразованиях Лоренца бцстроты складываются.
Фиг. 2. Быстрота ? = th (vie) параметризует все векторы а, которые можно
получить из стандартных векторов (л/(а?), 0) и @, ^(—а2)).
Далее, если в преобразованиях A.3) подставить \ вместо v, то
обратные преобразования примут вид
а сп§.
Отсюда видно, что гиперболы (а0J— (а3J = const (фиг. 2)
при этих преобразованиях не изменяются. Если не обращать
внимания на знак минус в этом инвариантном выражении, то
все выглядит очень похоже на вращение в двумерной эвклидо-
эвклидовой плоскости. Таким образом, быстрота | соответствует углу
вращения, и иногда преобразования A.11) называют мнимым
вращением вследствие соотношений cos i% = ch % и sin i| =
==('sh|. Аналогия с вращениями проясняет также и еврйство

i Специальная теория относительности 19
аддитивности быстрот. Если последовательные преобразования
Лоренца не параллельны друг другу, то выражения A.8) и
A.10) должны быть заменены более сложными выражениями
(см., например, "[125], стр. 39 и [140], стр. 342). Мы не приводим
их здесь; в неявном виде они содержатся в равенствах A.26),
A.27), приведенных ниже1).
г. Сферические и псевдосферические координаты
Теперь мы рассмотрим различные параметризации 4-векто-
ров, которые нам потребуются в дальнейшем. Это рассмотрение
не обязательно для понимания основной части книги и может
быть опущено при первом чтении.
Любой 4-вектор а принадлежит к одному из следующих че-
четырех классов.
времениподобный с2 > 0,
изотропный („светоподобный") а2=0,
пространственноподобный а2 < 0, \ < )
нуль а "= 0.
Для простоты мы будем предполагать, что 0-компонента вре-
мениподобного или изотропного вектора положительна. Соот-
Соответствующим преобразованием Лоренца 4-вектор а может быть
преобразован к одному из стандартных видов:
а = (+ Va2, 0, J), О) (а — времениподобный),
а = A,0,0, 1) (а — изотропный), A.13)
а = @, 0, О, V—а2) (а — пространственноподобный).
Если вектор а является времениподобным, то система от-
отсчета, в которой справедливо A 13), называется системой покоя
R(a) вектора а, если же вектор а — пространственноподобный,
то мы будем называть эту систему стандартной системой S(a)
вектора а.
Будем теперь параметризовать произвольный 4-вектор а па-
параметрами того преобразования Лоренца, которое переводит
стандартный 4-вектор в вектор а Идея вполне аналогична за-
записи трехмерных векторов в сферических координатах (прило-
(приложение Б и фиг. 3), т. е записи типа
а = Л (sin 8 cos ф, sin 0 sin ф, cos 9), О Л 4)
где А= |а|. В этом случае параметризация вектора а полу-
получается применением к «стандартному вектору»
а = @,0, А) A.16)
') Многие красивые свойства геометрии быстрот приведены в работе Смо*
родинского [145]. — Прим ред,

20
Глава it
двух последовательных вращений (фиг. 3,с)
[СОЭф
sinV
О
— вШф
СО8ф
0
0"
0
1-
COS46
0
- — sine
0
1
0
sine
0
cos 6
A.16)
(обозначения очевидны). Заметим, что под вращениями в A.16)
понимаются вращения в активном смысле. Например, Ry{Q)
dcht; dp
б
Фиг. З. Сферические и псевдосферяческие координаты в пространствах с ин-
инвариантными формами А2 = (а1J + (а2J + (а3J (а) и А2 = (а0J — (а1J-
~ —(а2J (б).
Параметры Q=(cos Э, Ф) н g=(ch ?, Ф) параметризуют преобразования Лоренца, оста-
оставляющие соответственно а° и а3 инвариантными. Видно, что при такой представлении
времениподобные и пространственноподобные векторы а ничем не различаются.
\
поворачивает вектор вокруг оси у на угол 6% а сами координат-
координатные оси на угол —9. ,
В четырехмерном лоренцевом пространстве мы введем ана-
аналогичные псевдосферические координаты. Их можно определить
различными способами. Мы будем пользоваться следующей па-
параметризацией через два набора переменных Ц, 6,-ф) и (|, ?, ф).
Если вектор а — времениподобный, точмы можем написать.
а«= V^(ch|, sh I sine cos ф, shlsinesii^, sh|cose), A.17)
или
, ch6shCsin«p,sh|). A.18)

Специальная Теория относительности 21
Если вектор а — пространственноподобный, то вместо предыду-
предыдущих равенств мы пишем
а = У— a2(sh|, сп^пОсоэф, ch?sin0sinq>, ch|cos8), A.19)
или
а = д/— a2(shgchg, sh?sh?a^, sh g sh ? sin ф, ch ?). A-20)
Угловые "переменные 0, ф меняются в своих естественных преде-
пределах 0 г^ 0 <с: л, 0 ^ ф < 2я. Чтобы значение каждого 4-вектора
а повторялось не более одного раза, пределы изменения других
переменных должны быть следующими: — оо < g < оо, 0^
^ t, <С оо; лишь в A.17) следует принять 0 ^ ? <С «э. Все выра-
выражения A.17) — A.20), очевидно, удовлетворяют соотношению
Заметим, что выбор стандартной формы пространственнопо-
добного вектора в виде (о, О, 0,1V—fl2) означает, что в равен-
равенстве A.20) направление оси z определяется вектором а. Когда
g->-0(a°->-0) в A.20), вектор а становится параллельным оси
z. Векторы другого вида, скажем @, 0, д/—а2, 0), не могут
быть получены из A.20) ни при каких значениях g, ?, ф. Пара-
Параметризация A.20) будет использована лишь в разделе VI. 3 и
вполне достаточна для рассматриваемых там вопросов.
Чтобы обосновать параметризации A.17) — A.20), мы ука-
укажем те преобразования Лоренца, которые переводят векторы
стандартного вида A.13) в векторы общего вида A.17) — A.20).
Тем самым мы дадим операциональное определение наборов па-
параметров (|, 0, ф) и (g, С, ф). Рассмотрим сначала параметр |,
который есть не что иное, как быстрота из равенства A.9),
Чтобы понять его смысл, положим либо 0 = 0, либо ? = 0
(значение ф произвольно). Тогда
a —V^(ch|, 0, 0, shg), a2>0,
a*-y=^(sh?,0,0,ch6), a2<0. (L2l)
Сразу же видно, что эти формы можно получить из стандарт-
стандартных форм A.13) лоренц-преобразованием (l.ll). В явной мат-
матричной записи это преобразование имеет вид
rchg 0 О
о
A.22)
0
0
11
1
0
0
0
1
0
0
0
ch
Например, если ?*(§) применить к времениподобному век-
вектору -\/с?{1, 0, 0, 0), мы получим вектор <\/a2(eh I» °> °f shi)> T-e(

22 ¦ Глава 11
Lz(l) дает вектору а с нулевыми пространственными компонен-
компонентами а = 0 отличное от нуля значение а, направленное вдоль
оси г. Поэтому преобразование A.22) или A.11) называют
сдвигом вдоль оси z с параметром ?. Заметим, что, подобно по-
повороту A.16), преобразование Lz{\) следует считать преобразо-
преобразованием в активном смысле: будучи применено к вектору, задан-
заданному в своей системе покоя, оно дает (при положительных |)
вектор с положительной 2-компонентой (а новой системе отсчета
придает скорость в отрицательном направлении оси z).
Роль остальных переменных [Э, ф в зыражениях A.17) и
A.19) и ?, ф в выражениях A.18) и A.20)] становится теперь
ясной. Рассмотрим сначала переменные 0 и ф, которые являются
обычными сферическими координатами в трехмерном эвклидо-
эвклидовом пространстве. Формы A.17) и A.19), очевидно, получены из
выражения A.21) вращением сначала вокруг оси у на угол 9,
а затем вокруг новой оси z на угол ф [фиг. 3, а и выражение
A.16)]. Эти преобразования являются элементами группы 0C)
трехмерных эвклидовых вращений, и они оставляют 0-компо-
ненту а0 4-вектора неизменной. Естественными параметрами этой
группы являются координаты Q = (cos 0, ф).
Пара (?, ф) обладает иными свойствами. Формы A.18) и
A.20) получаются из формы A.21)k следующим образом: сна-
сначала производится сдвиг в направлении х с параметром ?. Это
может быть названо также гипервращением на «угол» ? в пло-
плоскости 01, выполняемым по формуле типа A.11). Наконец, вы-
выполняется вращение на угол ф вокруг оси 0 в плоскости 12; оно
заканчивается в положении, показанном на фиг. 3,6. Эти преоб-
преобразования оставляют неизменной компоненту а3 4-вектора. Они
являются элементами группы 0A,2), которая сохраняет инва-
инвариантной квадратичную форму
(а'J-И2. A.23)
Если выразить компоненты а через А, то будем иметь i
a' = Ash?cosq>, A.24)
Эти элементы группы 0A,2) параметризуются парой величин
e). A.25)
Операциональная интерпретация троек параметров (?, 0, <р)
и (?, ?, ф) может быть дана более конкретно, если мы выпишем
в явном виде матрицы, соответствующие преобразованиям век-
вектора от вида A.13) к виду A.17)-— A.20). Взяв матрицы вра-

Специальная теория относительности 23
щения из формулы A.16) и матрицу сдвига из формулы A.22),
найдем
A.26)
chg 0 0 shi
sh g sin 0 cos ф cos 9 cos ф — sin ф ch g sin 9 cos ф
зп^зтЭзтф cos 9 sin ф соэф chg sin 9 sinф
shgcos0 —sin 9 0 chgcos9
Аналогично
A.27)
ch?ch? sh? 0 ' $hgch?' ¦
сЬ|бЬ?со5ф сЬ?созф —этф вЬ^эЬ^оэф
ch g sh ? sin ф ch ? sin ф cos ф sh g sh ? sin ф
shg 0 0 chg
Если операторы L(g, 9, ф) применяются к векторам-\/а2A,0,0, 0)
или V—а2@, 0, 0, 1), то получаются векторы, пропорцио-
пропорциональные первому и последнему столбцам в A.26). Они совпа-
совпадают с формами A.17) и A.19). Практически матрицы
L(g, 0,ф) и L(|, ?, ф) нам понадобятся для лоренц-преобразова-
ний обычных 4-векторов, определенных в стандартных системах
отсчета R(a) и 5 (а), в другие системы отсчета. Матрицы, об-
обратные матрицам A.26) и A.27), получаются по формуле A.7).
Заметим также, что матрицы A.26) и A.27) являются комбина-
комбинациями сдвигов и вращений. Чистый сдвиг с параметром g в на-
направлении 0, ф дается выражением
L = Rz (ф) Ry @) Lz (I) Ry (- 0) Rz (-ф). A.28)
Для вектора а — {ай, 0), естественно, получается
Дифференциальный элемент объема в сферических коорди-
координатах [см. A.14K дается формулой
dax da2 da3 = A2 dA dQ = A2dAd cos 0 dq,. A.29)
Соответственно в лоренцевом пространстве с одной временной
и двумя пространственными координатами, согласно выраже-
выражению A.24), имеем
da0 da1 da2 = A2 dA dg =* A2 rfA d ch g dq>. A.30)
Полная поверхность \ dQ = 4я конечна, но интеграл \ dg, оче-
очевидно, бесконечен. Элемент объема в полном четырехмерном

24 Глава II
лоренцевом пространстве, параметризованном согласно форму-
формулам A.17) —A 20), равен
K sh21 sin BdyTPdZ dQ d<p (a2 > 0), A31)
d*a = (V^2K ch21 sh U V^2 d\ dl dq> (a2 > 0), A.32)
d4a = W^a2K ch2t sin В d^^a?dtdQdq> (a2 < 0), A.33)
d*a = №=:cpyistflsHd<f=i?dldQd<f (a2<0). A.34)
Если мы возьмем в выражениях A.31) и A.33) вместо | в ка-
качестве переменной величину А = |а|, в обоих случаях получим
A.35)
Если же в выражениях A 32) и A.34) в качестве переменной
использовать А из A.23), мы получим
Дифференциал d4a, конечно, лоренц-инвариантен.
2. 4-скорость и 4-импульс
Трехмерная скорость v определена как v = dx/dt. Поскольку
t не является инвариантной переменной, v не преобразуется по-
подобно пространственной компоненте 4-вектора. Чтобы построить
4-вектор скорости, необходимо взять производную от х = (х»)
по некоторой инвариантной переменной, связанной со временем.
Естественным выбором представляется собственное время т, оп-
определенное выражением
dx2 = с~2 dx2 = с2 (с2 dt2 — dx\ — dx\ - dx2). B.1)
Здесь квадрат dx2 = dx^dx^, конечно, является инвариантом,
так что и dx инвариантно. Далее, выражение B.1) можно пере-
переписать в виде
В системе покоя (» «¦ 0) времена t и t совпадают, что объяс-
объясняет название «собственное время». Фактор у в выражении B.2)
вызывает растяжение времени.
Таким образом, 4-скорость ««=» (и*) определяется выраже-
выражением

Специальная теория относительности 25
компоненты ее таковы:
u = y(v)(c,v). B.4)
Пространственная компонента и отличается от v умноже-
умножением на лоренц-фактор у. В системе покоя v = О пространствен-
пространственная компонента обращается в нуль: « = (с, 0). Поскольку и —
4-вектор, и2— инвариант. Действительно, из выражения B.4)
получаем и2 = с2, так что 4-скорость времениподобна.
Основной 4-вектор кинематики — это 4-импульс. Он опреде-
определяется как
(^) B.5)
где m — масса покоя рассматриваемой частицы. ^Эквивалент-
ность двух последних форм записи р означает, что энергия,
масса покоя и скорость частицы связаны соотношением
шу (и) с2.
Так как и2 = с2, имеем
или, что то же самое,
Е2 = с2р2 + (пгс2J. B.6)
Согласно соотношению B.5), скорость и фактор у частицы свя-
связаны с ее импульсом и энергией соотношениями
v = fjL, yW-tSt, vyM—J-. B.7)
Сравнивая равенства B.5) и A.1), находим, что энергия Е и
компоненты импульса р преобразуются следующим образом:
Рх=Рх> Ру = Ру>
»,-?). B-8)
E' = y(E-vp2).
Полезно представить себе равенства B.8) для фиксирован-
фиксированных рх и ру в виде графиков, показанных на фиг. 4. Если отно-
относительная скорость v двух систем отсчета S и S' направлена
произвольно, формулы перехода имеют вид ([52], упражнение
И. 2)
B.9)

Глава //
Соотношения, обратные равенствам B 8), получаются заменой
в них v на —v и взаимной заменой штрихованных и нештрихо-
ванных переменных *
В равенствах B 8) можно заменить, далее, v на быстроту ?.
Зависимость между о и ^ дается соотношениями A.9); обратная
зависимость такова:
1 in l + v'c
2 in l_v/c.
B.10)
Быстрота ? иногда удобнее, чем v, так как она аддитивна
[см, A,10)]. Примеры использования | приведены в гл. VII.
Л
уит'
-yvm' У
ут\
Рг
I
+и'
т'ут'
-Е'
Фиг. 4. Связь между рг и р'г и между Е и Е' при фиксированном от'
Физический импульс р всегда положительно времениподо-
бен, поскольку Е > 0, но мы будем чисто формально рассмат-
рассматривать также и отрицательно времениподобные 4-импульсы.
Если р = (Е/с, р) отрицательно времениподобен, то 4-вектор
—р = (—Е/с, —р) является 4-импульсом физической частицы.
Если мы имеем ряд 4-импульсов ри рч ..., то из них можно
образовать три типа инвариантов, любой другой инвариант мо-
может быть выражен через них Ниже перечислены эти три типа
инвариантов
а. Скалярные произведения импульсов
EiEl ~ - '¦ '- ' 2, ... B.11)
являются инвариантами по определению. Вместо произведения
импульсов двух частиц, например р\-р% обычно используют
квадрат инвариантной массы двух частиц
B.12)

Специальная теория относительности ZT
или инвариантный квадрат переданного импульса
'и = Oi - Р2У = m\c% + тУ ~ 2Pi • Pr B-13)
При заданных ти Щ величины sj2> tX2 и р\-р2 достигают экстре-
экстремальных значений одновременно. При фиксированном pi экстре-
экстремум имеет место, когда
аA">)а^Т-р1'а0. B.14)
или, как следует из равенства B 7), когда vi = v2 Равные ско-
скорости остаются равными в любой системе отсчета (упражнение
II 10), следовательно, это условие лоренц-инвариантно, как и
должно быть Экстремальное значение проще всего вычислить
в той системе отсчета, где Vi = V2 = 0. Имеем
рх • р2> Шут^с2. B 15)
Соответственно
sl2>(ml-\-m2J,
Важно заметить, что равенство достигается при Vi = V2 в любой
системе отсчета.
Если один из импульсов р\ или р2 является отрицательно
времениподобным, а другой — положительно времениподобным,
то соотношение B.15) должно быть заменено на
Р\ ¦ Р2 ^ — mlm2c2 « 0).
б. Знаки энергетических компонент времениподобных 4-век-
торов инвариантны, так как преобразования Лоренца орто-
хронны.
в Если имеются четыре или более векторов, то величина, е,
определенная выражением
»Э8(Р(. Р/. Р» Pi) = ъ*1^Р*Р)р1Рр B-17)
является инвариантом. Здесь s^v—полностью антисимметрич-
антисимметричный четырехмерный тензор [см. (А 15)] Соответственно
e(Pi,p3,Pk,Pi) представляет собой определитель 4X4, образо-
образованный из компонент 4-векторов Чтобы проверить инвариант-
инвариантность е, надо выполнить собственное преобразование Лоренца,
определяемое матрицей ZJJ, detL = +l, gL~]g = LT, La > 0.
Сразу же видно, что
е (Lpi, Lph Lpk, Lpt) = det L • e (p{, ph pk, Pi), B.18)
так что е — инвариант. Далее, просто проверить [см. приложение
А, выражение (А.23)], что
|e(ft,p/, Pk,Pt)? = — det(pm-pn), m, n = i, }, k, I. B.19)

28 Глава II
Так как абсолютное значение е определяется скалярными про-
произведениями, т. е. инвариантно, е порождает лишь один новый
инвариант — знак е. При пространственном отражении (Е, р) -+
->(?,—р) величина е меняет знак, однако другие инварианты
остаются неизменными.
3. Единицы и условные обозначения
Чтобы облегчить переход от специальной теории относитель-
относительности к кинематике элементарных частиц, скорость света с до
сих пор записывалась во всех формулах в явном виде. В даль-
дальнейшем мы везде будем полагать с == 1, как это принято в фи-
физике элементарных частиц. Это чисто формальное упрощение;
оно означает лишь, что с принимается за единицу скорости.
Согласно соотношению Е = тс2 = т, масса покоя эквива-
эквивалентна энергии; таким образом, масса выражается в единицах
энергии. Основной единицей энергии является джоуль Дж =
t=H-M= кгм2/с2, но в физике высоких энергий более распро-
распространенной единицей является электронвольт (эВ):
1 ГэВ = 103 МэВ => 109 эВ = 1,602- Ю-10 Дж, C.1)
1 эрг = Ю-7 Дж = 624 ГэВ = 642-109 эВ.
Ускорители на энергии порядка 100 ГэВ сообщают микро-
микроскопическим частицам макроскопические энергии (порядка
эрга). Переводной множитель между кг и ГэВ можно получить
из соотношения 1 ГэВ = тс2 == т:
1 ГэВ = 1,7827-107 кг. C.2)
Например, масса протона тр =• 1,673-10~27 кг или 0,938 ГэВ.
Энергии пучков ускоренных частиц всегда выражаются в
электронвольтах. Выбор энергетической переменной не является
единственным, и на практике применяются следующие перемен-
переменные.
1. Кинетическая энергия частицы Т » Е — m используется
главным образом в той области энергий, где энергия покоя пре-
превышает кинетическую энергию; Т является обычной переменной
в ядерной физике.
2. Полная энергия Е частиц используется в области высоких
энергий (?> 1 ГэВ).
3. Импульс Р частиц (в единицах МэВ/с или ГэВ/с). Говоря
об энергии, при которой ставится опыт, обычно указывают не
энергию первичного пучка, а его импульс. На сепараторы, фор-
формирующие моноэнергетические пучки частиц, подаются частицы
одного импульса, а не одной энергии. Заметим, что при значе-
значении импульса первичного пучка принято писать единицу измере-
измерения ГэВ/с, чтобы было ясно, что это импульс,

Специальная теория относительности 29
Все эти переменные, конечно, эквивалентны друг другу.
Асимптотически при Е > т, т. е. при Е > 1 ГэВ для адронов
и Е >> 1 МэВ для электронов, они становятся равными друг
другу. Для фотонов это равенство справедливо при любых
энергиях.
Другое упрощение, аналогичное допущению с=1, состоит
в том, что полагают й = 1 . К самой кинематике, где оперируют
лишь с векторами импульсов, это не имеет прямого отношения.
Но это удобно, если надо вычислить какой-то размер, попереч-
поперечное сечение или время жизни. Выше мы отмечали, что соотно-
соотношение Е = тс2 = т позволяет выразить массу в единицах кг
или ГэВ. Соотношения
можно теперь использовать, чтобы выразить длину (метры) и
время (секунды) в единицах 1/ГэВ. Чтобы вычислить перевод-
переводной коэффициент, надо значение т в килограммах, соответ-
соответствующее 1 ГэВ, из C.2) подставить в равенства C.3) и {2>А}
и воспользоваться известными значениями Ь и с. В результате
получим
0,19733 ферми = 0,19733 • 10~18 м, C.5)
= 6,5822. ИГ26 с. C.6)
В соответствии с этим часто полагают
Пс= 197,33 МэВ • ферми,
Й = 6,5822- 10~22 МэВ-с.
Длина в физике элементарных частиц чаще всего нужна для
вычисления площадей или сечений. Обычно единицей сечения
является миллибарн (мб): 1 мб = 10~31 м2=?0,1 ферми2. Из4ра-
Из4равенства C.5) можно получить очень полезное соотношение
Зная массу протона тР и массу' пиона тп, получаем соответ-
соответственно
-V — 0,44232 мб,
-L —19,987 мб.

30 Глава И
4. Системы отсчета для процессов столкновения
До сих пор мы рассматривали общие свойства преобразова-
преобразований от одной системы отсчета к другой. В этом разделе мы вве-
введем ряд конкретных систем отсчета. Они определяются заданием
начального состояния процесса столкновения. Позднее мы также
рассмотрим и системы отсчета, движение которых зависит от
импульсов продуктов реакций.
В двухчастичном процессе соударения сталкиваются две ча-
частицы а и b с 4-импульсами ра = (Еа, ра) и ръ= (?ь, рь) соот-
соответственно. Величины ра и рь обычно фиксированы условиями
эксперимента в пределах ошибок измерения. Система отсчета
определяется требованием, чтобы ра или рь имело то или иное
значение. Чаще всего употребляются:
1. Лабораторная система (ЛС) — система, в которой прово-
проводится эксперимент и измеряются все энергии и импульсы. Это
может быть либо система отсчета, в которой пучок частиц нале-
налетает на неподвижную мишень, либо система, в которой сталки-
сталкиваются два пучка (см. ниже). ЛС в известном смысле является
первичной системой. Импульсы и энергии, измеренные в ней, да-
далее преобразуются в другие системы отсчета. Мы будем обозна-
обозначать величины в системе ЛС значком Л: Ел, рл,
2. Система центра масс (СЦМ) — система, в которой
Величины в СЦМ будут отмечаться звездочкой.
3. Система покоя мишени или, короче, система мишени
(СМ) — система, в которой
Рм = 0. D.2)
Большая часть экспериментов выполняется на неподвижных
мишениях; в этих случаях СМ совпадает с ЛС. По общеприня-
общепринятой терминологии нашу СМ следовало бы называть лаборатор-
лабораторной системой. Однако в экспериментах на встречных пучках СМ
и ЛС не совпадают; мы предпочли избавиться от этой двусмыс-
двусмысленности.
4. Система покоя частиц пучка или, короче, система пучка
(СП) определяется условием •)
Рп=й. D.а)
С кинематической точки зрения СП и СМ равноценны.
5. Система встречных пучков (СВП) определяется как си-
система, в которой две частицы равной массы и равных по абсо-
/ R1"T RT7\
лютной величине импульсов \Ра =Рь ) сталкиваются таким
') Эту систему называют также антилабораторной, — Прим, ред.

Специальная теория относительности
31
образом, что их импульсы образуют угол я — 6, как показано
на фиг. 5. При экспериментах на встречных пучках эта система
совпадает с ЛС, а при 8 = 0 она совпадает даже с СЦМ. Для
общности можно было бы предположить, что в этой системе
Система мишени (СМ)
Система центра масс
(СЦМ)
' * „ " Система встречных
Система пучка (СП) nt/чков (СВП)
Фиг. 5. Определение некоторых систем отсчета.
массы и импульсы сталкивающихся частиц могут быть и не рав-
равными друг другу.
На практике часто требуются переходы от одной из опреде-
определенных выше систем к другой. В следующих разделах мы уви-
увидим, что для этого либо применяют преобразования A.3) в яв-
явном виде, либо, еще проще, выписывают инварианты.
5. Взаимные переходы между системами центра масс, мишени
и встречных пучков
Рассмотрим сначала переход от СМ к СЦМ. Два вектора ра
и рь начальных частиц до столкновения могут быть выражены
в СЦМ и СМ следующим образом:
п"—(F* 0 fl Р*\ п^ — (рм О Л Р^
г п —"" \ д* * * а. /* Нд ~"~ \ а. ' ' ' a J*
Pi = {Е\, 0, 0, - Р;> р« = (mf, 0, 0, 0), {5Л)
где направление движения выбрано вдоль оси г. Системы от-
отсчета движутся относительно друг друга так, как показано на
фиг. 6. Величины в СЦМ и СМ, конечно, связаны между собой
преобразованиями Лоренца. Мы проведем эти преобразования
в явной форме, а затем покажем, что часто более удобно прово-
проводить их неявно, используя инварианты.
Соотношения A.3) для преобразования Лоренца теперь
имеют вид
E>2)

32
Глава П
где уцм — скорость СЦМ в СМ. Чтобы определить уЦм, мы
поступим следующим образом. Если суммарные энергию и им-
импульс группы частиц (состоящей из одной или нескольких ча-
частиц) в некоторой системе отсчета обозначить через Е и р, то,
см
СЦМ
„ЦМ-
=у(СЦМ в СМ)
СП
= ь(СП в СМ)
Фиг. 6.
согласно B.7), скорость v группы в рассматриваемой системе
отсчета определяется соотношениями
^ »? > Y ~, » Y^ — ». i
В
m
E.3)
где т = (Е2 — р2)|/г — инвариантная масса группы частиц. По-
Поэтому для двухчастичной системы ра + Рь скорость СЦМ в СМ
будет даваться выражением
р
им =
Аналогично
E.4)
E.5)
где инвариантная масса Vs системы ра + pj определяется вы-
выражением
*-««»« (Ра + РбJ = (k + ^У2 ~ (Р« + РьГ- E.6)
Ее значение остается тем же в любой системе отсчета; в част-
частности,
E.8)'

Специальная теория относительности 33
Подставив выражения E.4), E.5) в E.2), получаем
рМ.
ПЪиГ п
* ' F.9)
Еа=—W
Аналогично, применив преобразование E.2) к ръ, находим
E.10)
В простых случаях такое преобразование Лоренца делается
чисто механически, но в более сложных случаях подобная про-
процедура утомительна. Идею более простого способа можно
усмотреть из выражений E.6) — E.8). Они связывают все некова-
риантные величины, относящиеся к состоянию ра + рь, с инва-
инвариантом s. Следовательно, чтобы вывести соотношения между
различными величинами, достаточно выразить s через каждую
из них. Мы вернемся к этому подходу в следующем разделе.
Рассмотрим теперь преобразование Лоренца от системы
встречных пучков (СВП) к СЦМ. Введение СВП стало полез-
полезным с тех пор, как появилась возможность ставить экспери-
эксперименты на встречных пучках. Например, наше определение СВП
(фиг. 5) непосредственно описывает ситуацию в накопительных
кольцах со встречными пучками ЦЕРН, если импульсы сталки-
сталкивающихся протонных пучков одинаковы. В случае неравных им-
импульсов нужны лишь небольшие очевидные модификации фор-
формул. Максимальный импульс протонного пучка в накопительных
кольцах равен 28 ГэВ/с, а угол пересечения 0= 14,77° «
« 0,2578 рад.
Следует снова подчеркнуть, что в экспериментах на встреч-
встречных пучках типа ЦЕРН система встречных пучков совпадает
с лабораторной системой. Измеренные импульсы и энергии
можно далее перевести в любую другую систему отсчета, на-
например в СЦМ или систему мишени (которая до появления
ускорителей на встречных пучках обычно называлась лабора-
лабораторной системой). Ниже мы рассмотрим лишь переход в СЦМ.
Для преобразования в СЦМ необходимо знать скорость СЦМ
в СВП ( = ЛС). Так как скорость СЦМ в любой системе равна
(ра + Рь)/(Еа + Еь), то скорость ивп СЦМ в СВП, согласно
фиг. 5, дается выражением
uBn = yesin|-, E.11)
2 Зак, 517 '

34 Глава 11
где va(= Vb) —скорость частицы а в лабораторной системе. Со-
Соответственно лоренц-факторы связаны соотношением
Bn_
6V/
Скорость направлена вдоль ра + рь, как показано на фиг. 5.
Преобразование Лоренца легко выполняется, если направить
ось г по вектору скорости. Тогда импульс в СЦМ просто равен
проекции Рвп *):
|. E.13)
6. Энергии и импульсы сталкивающихся частиц, выраженные
через инварианты
Теперь мы найдем связь между инвариантами s, ma и тъ
и неинвариантными переменными Еа, ра и ?&, рь отдельно для
каждой из систем отсчета СМ, СЦМ и СВП. Результаты для
системы пучка получаются из формул для системы мишени пе-
перестановкой частиц а и Ь.
а. Система мишени
Прежде всего в СМ мы имеем р^ = 0 и Ef = mb. Из равен-
равенства (б 8) имеем также
О 9
щ
и, следовательно,
- ml -
Мы перепишем этот результат в виде
Ра^ЧГ""^' F 2)
') Здесь полезно привести вариант формулы B.9) для преобразований
Лоренца, удобный для практических применений [84, 159] Пусть в системе
отсчета, где р = (Е, р), задан другой 4-импульс pt = (Ех, pj) Тогда
в системе отсчета, где р = (пг, 0), имеем р{ = (е\, р*), где Е\ = (р • р^/пг,
p*s=pj — р ^?1 ^- Е*Л1(Е + т). При обратном преобразовании из системы,
где р = (т, 0), а р1 — (е\, р*)( в систему, где р = (Е, р), имеем р, = (JJ1( p,),
где ?j = (ЕЕ\ + pj ¦ pj)/m, pl = pj + P (^i + ^](E + m). - Ярил. ре<3.

Специальная теория относительности 35
введя кинематическую функцию
Х{х, y,z) = (x-y-zf -4yz= F.3)
=x2 + y2 + z2 — 2xy-2yz — 2zx = ' F.4)
- {* - (V* + Y*J} {x - Wy - УгJ} - F.5)
F.6)
-zJ. F.7)
Особыми случаями, представляющими интерес, являются
Х(х,у,у) = х(х~4у), F.8)
Цх, у, Q) = (x-yJ. F.9)
Из равенства F 4) видно, что Я инвариантно относительно пере-
перестановки аргументов. Причина, по которой мы ввели величину
Я, станет ясна в разделе 7. Иногда К называют треугольной
функцией, так как lJi{—Я(х, У, z)}1/s есть площадь треугольника
со сторонами л/х, л/у, V2-
Согласно формуле F.5), имеем
X (s, ml, ml) = {s- {ma + mbf) {s - {ma - mbj). F.10)
Таким образом, импульс р" в формуле F.2) действителен, если
Уs ^ ma + ть. F.11)
Порог таЦ-ть есть наименьшее достижимое значение л/s;
как было показано в конце раздела 2, равенство имеет место,
когда векторы скоростей частиц а и Ь равны Величину порога
можно также получить, если выразить кинетическую энергию
Та частицы а в СМ через s:
Та = ЕУ-та=* 2«6 Ь •
«Псевдопорог» та — ть играет важную роль в некоторых ки-
кинематических рассуждениях, с которыми мы встретимся ниже.
б. Система центра масс
В СЦМ Ра + Рб = 0 означает, что _
Р*=Р* = Р'. F.12)
Согласно выражению E.7), имеем
д/J = ?; + ?;. F.13)
2»

36 Глава II
Следовательно, инвариантная энергия равна полной энергии
в СЦМ. Подставив (Б. 12) в F.13), получим
V7 = {(Л2 + «*}* + {(РУ + т%\
Возводя равенство д/s ~^*а = Е*ь в квадрат, получаем
Возводя в квадрат вторично, находим
s, m2a, nt.
F.1Б)
Тогда оставшаяся энергия El получается из равенства ?J«=
У а* \ .*'¦
_ S — fflrt -f" /7Zt
д;= 2уГ . (еле)
Отметим в качестве мнемонического правила, что в равен-
равенствах F.14) и F.16) дляЯ| знак плюс в числителе стоит перед
Легко проверить, что полученные таким образом выражения
для величин в СМ и СЦМ удовлетворяют соотношениям E.9) и
E.10), полученным явными преобразованиями Лоренца.
в: Система встречных пучков
При экспериментах на встречных пучках инвариант s дается
выражением
s = (Еа + ЕЬУ -1 ра + р6 Р = 4/п2 + 4 (Рвц cos -|J, F.17)
ТЧГТ RTT "RT7
где Р ==Ра =Рь — лабораторный импульс частиц а и Ь,
a ma = ть = tn. Во втором порядке по 0 имеем
._ „п / б2 Л
Vs«2?Bn(l-^-J, F.18)
где Евп — лабораторная энергия частиц а и b и где использовано
приближение РтжЕвП. Поскольку для накопительных ко-
колец со встречными пучками ЦЕРН 02/8 да 0,0083, поправка
к полной энергии У s в СЦМ, обусловленная тем, что встречные
пучки пересекаются под углом 0, численно очень мала. Обра-
Обращая равенство F.17), получаем окончательно
2cos(e/2) •
¦дп Is - 4от2 sin2 №)\Ъ ' '
' ~~ 2 cos @/2)

Специальная теория относительности 37
Пример 1. Полезно иметь способ численной оценки различ-
различных кинематических величин для обычных экспериментов, кото-
которые характеризуются значением импульса падающего пучка
Р^. Когда импульсы падающих частиц достаточно велики, на-
например Р^^5 ГэВ/с, можно пренебречь массами покоя и пред-
предположить, что Е = Р. Тогда равенство E.8) дает Sfv2mbP^.
Если принять во внимание, что мишень практически во всех без
исключения случаях представляет собой нуклон (пгь « 1 ГэВ),
то можно приблизительно принять, что
s«2P" (в единицах ГэВ). F.20)
Для величин в СЦМ аналогично имеем
'—-. F.21)
Для начального рр-состояния с Р^=19 ГэВ/с точные значе-
значения величин таковы: ?*==?* =3,06 ГэВ, Р*=Р^ = 2,91 ГэВ/с,
5 = 37,45 (ГэВJ, тогда как приближение F.21) дает yPl?l2 =
— 3,08 ГэВ, s = 38 (ГэВJ. Для качественных целей такая точ-
точность вполне достаточна.
Пример 2. Согласно формуле F.20), полезная энергия ус-
ускорителя V5 растет примерно как у2Р^ . Например, при уве-
увеличении начального импульса частиц, бомбардирующих непод-
неподвижную мишень, в четыре раза полезная энергия Vs возра-
возрастает лишь вдвое. Остаток превращается в бесполезную энергию
движения центра масс. Это простое соображение явилось побу-
побудительной причиной, использования встречных пучков. Если два
пучка частиц с импульсами Рвп сталкиваются в лаборатории
«лоб в лоб», то полная энергия Vs приближенно равна 2ЯВП.
Согласно формуле F.20), это соответствует эффективному им-
импульсу падающего на неподвижную мишень пучка частиц
F.22)
При Рвп = 28 ГэВ/с эффективный импульс равен Р^>ф «*
ш 1570 ГэВ/с. Выигрыш впечатляющий.
Используя формулы, выведенные в этом и предыдущем раз-
разделах, мы можем выразить параметры v w у преобразования
Лоренца между тремя стандартными системами — СП, СЦМ и
СМ — через s, ma и гпь. Мы выпишем также асимптотические
выражения, справедливые при s-+oo. В наших предположениях
[см. E,1), E,2)] системы движутся друг относительно друга

3& Глава II
так, как показано на фиг. 6. Используя равенства v = p/?,
у = Е/т, имеем для преобразований между СЦМ и СМ:
М № (ч т2
^^ {s,rn
2mb V« 2mb
s
F.23)
F.24)
для преобразований между СП и СМ:
т^-^\-^~, F.25)
F.26)
*-а а — '"а
Ра'Рь s~m2a — m\ s
х тать 2тать 2тать
и для преобразований между СП и СЦМ:
1 рР I'/sfc
vn,_m=v (сп в
s '
F.27)
s + mz, — m
z — m? л/s
2nta
Конечно, любые две скорости (или фактора у), приведен-
приведенные выше, определяют третью согласно формуле A.8), если
снабдить их правильными знаками. Наконец, относительные
скорости можно выразить через относительные быстроты g со-
согласно формуле B.10)
, F.29)
Тогда ?п= ?цм + ?п> цм и т. д. Явный вид этих формул при-
приведен в разделе VII. 4.
7. Импульсы и углы, выраженные через инварианты
Конфигурация импульсов ри ..., рп может быть описана
либо через геометрические, либо через инвариантные перемен-
переменные. Первые — это углы, быстроты, абсолютные величины
3-импульсов и т. д.; они определяются в заданной системе от-
отсчета. Возможные типы инвариантных переменных выписаны
в разделе 2.

Специальная теория относительности 39
В предыдущих разделах мы видели, как импульсы выра-
выражаются через инвариантные переменные. То же будет проде-
проделано сейчас с углами и быстротами. Кроме очевидного приме-
применения для связи геометрических и инвариантных переменных,
эти формулы важны и в другом отношении. Чтобы выразить
неинвариантную величину в данной системе отсчета через вели-
величины, заданные в некоторой другой системе, часто бывает проще
сначала выразить ее через инварианты, а затем результат рас-
: писать через геометрические переменные, взятые во второй си-
\ стеме отсчета.
I Мы покажем, что с технической точки зрения для записи гео-
\ метрических величин через инварианты естественно применять
| определители Г рама (приложение А). Аналогично, когда позд-
' нее мы перейдем к кинематике многочастичных реакций, то
увидим, что если используются инварианты, кинематика реак-
реакции с участием п+1 частицы (например, процесса 2->п—1)
определяется определителями Грама вплоть до n-го порядка
(один из 4-импульсов исключается законом сохранения энергии-
импульса). Важным преимуществом определителей Грама яв-
является то, что они соединяют идейную простоту с заметной ал-
алгебраической сложностью. Они значительно сокращают кинема-
кинематические вычисления и часто позволяют написать ответ почти
автоматически. Мы в этом не раз убедимся в дальнейшем.
Рассмотрим совокупность 4-векторов р\, р2, рз и р4 и предпо-
предположим сначала, что вектор р\ — времениподобен; к какому типу
принадлежат другие векторы, неважно. Тогда 4-вектор р% опре-
определяет систему отсчета, в которой р\ = (ть0),— систему по-
покоя R(pi) импульса р\. Мы рассмотрим в этой системе следую-
следующие геометрические величины, записанные в порядке возраста-
возрастания их сложности:
длина Р2 вектора р2,
угол 02з между р2 и рз,
угол ф между плоскостями, образованными р2, Рз и р2, Р4.
Эти величины в точности совпадают со сферическими ком-
компонентами импульсов в соотношениях типа A.17). Чтобы уяс-
уяснить это,- введем в R{p\) такую систему координат, чтобы р2
было параллельно оси z, а р3 лежало в плоскости xz так, чтобы
Рзж^О (фиг. 7). В этой системе координат, обозначаемой
R(pu Р2,Рз)> справедливы следующие представления:
р, = (т,, 0, 0,0),
р2^(Е2, 0, 0, Р2),
Рз = (Е3, P3sine23, 0, P3cos9a), . GЛ'
Pi — (?4. Pi sin 924 cos ф, P4 sin 624 sin ф, Р^ cos 824).

40
Глава II
Энергии, конечно," определяются выражением E2t = P; + р\.
Области изменения углов таковы: 0^0^ я, 0 sg; ф < 2я Если
вектор pi(i = 2, 3, 4) времениподобен, то представление A.17)
означает, что 0 < Рг < оо, тг < \ЕХ\ < оо, а если он простран-
ственноподобен, то представление A.19) дает У —1% <i| Р% | < оо
Фиг. 7.
и —оо < Ег < оо. Теперь мы выразим компоненты в G.1) че-
через инварианты; полностью инвариантная запись соотношения
G.1) будет приведена ниже [см. равенства (VI. 7.31)].
а. Величина 3-импульса
Поскольку pi = 0, мы имеем р\-р2 =
п Рг'Рг
; следовательно,
G.2)
Здесь Е%, Pz были выражены в фиксированной системе отсчета
через инварианты. Равенство G 2) далее может быть перепи-
переписано в стандартной форме:
Pi 'Pi Pi'Рч 1
p2-Pi Pi'\
D2 {Р\' Pif - pYi 1
Г 2 5 = г-
Р?
Pi
). G.3)
Здесь мы ввели симметричный определитель Грама Дг(Рьр2)
векторов pj и р2 (приложение А), Поскольку ^р1 ¦ р2у ^ m^m^

Специальная теория относительности 41
[см. B.15)], мы имеем Д2 < 0 nt следовательно, Р| >0. Исполь-
Используя обозначение F.3), можем написать
Отсюда ясен истинный смысл функции Я: это просто раскрытая
запись определителя Д2, который является более фундаменталь-
фундаментальной величиной. Следовательно, к можно назвать базисной грех-
частичной кинематической функцией, так как А2 относится к ре-
реакции, в которой полное число 4-импульсов равно трем (напри-
(например, распад 1->2).
Пример 1. Для начального состояния а-\-Ь мы желаем найти
Ра в системе отсчета, в которой ра-\-pb = i/\Js, 0). Выражение
G.3) после замены рх->¦ ра + рь и р^-^ра дает
Р*а = — — А2 (р« + Pb Ра)-
Из свойства (А.6) (см. приложение А) определителей следует
К2—тЧрь> pa)=i-4s> < О-
Это совпадает с выражением F.15).
б. Угол между двумя импульсами
Теперь мы рассмотрим полярный угол 02з между двумя векто-
векторами р2 и рз в системе, где р\ = (ть 0). Мы должны написать
инвариантное выражение, образованное из ри р2, Рз, в которое
входило бы 023 в системе pi = 0. Очевидно, что это
р2-рз = Е2ЕЪ — P2PS cos 923 =
_ (Pi ¦ Pi) (Pi ¦ Рз) {Да (Ри Pi) A2 (/>„ Рз)}'/г -пс о /7 с\
Pi Pi
Вторая строчка следует из формул G.2) и G.3). Искомый угол,
следовательно, равен
cos923 =
{Д2 (р„ р2) Д2 (р„ рз)}k ч
С точностью до знака числитель этого выражения равен несим-
несимметричному определителю Грама
G
phpi
Pi 'Pi Pi-Рз
G.7)

42
Глава II
Таким образом, угол между импульсами дается выражением
cos 9гз == —
Рз
/fj а\
{Д2 (р„ р2) Д2 (р„ рз)}'/» '
Синус угла 9гз также изящно выражается через инварианты.
Для этого неудобно пользоваться формулой sin2 8=1 — cos2 9.
Предвосхищая результат, мы лучше рассмотрим симметричный
определитель Грама третьего порядка
Рь Рз) =
Pi
Pi -Pi Pi' Pi
В системе покоя /?i он принимает вид
Pi'Pz
Pi
т\
- P|
~Р2
fc2 Pi
Е3 Р2'Рз
- Р2 • Рз
-Pi
Pi
G.9)
Упрощая определитель, мы умножили первую строчку на E2/m.i
или на Ез/tni, а затем вычли то, что получилось соответственно
из второй или из третьей строчки. Используя выражение G.3) и
обозначая A,(p,) = pJ = m^ получаем
sin2 02з =
Ai (Pi) A3(Pi, P2, Рз).
Дг (Pi, Рг) Дг (Pi. Рз) '
G.10)
Различие между выражениями G.8) и G.10) заключается в
том, что Д3 в выражении G.10) дает два значения угла: 9
ил — 0, тогда как выражение G.8) дает однозначный ответ.
в. Угол между двумя плоскостями
Полярный угол 023 был определен выше заданием двух век-
векторов р2 и рз в системе pi = (ть 0). Вводя четвертый вектор р4)
мы определим азимутальные углы, или углы между двумя пло-
плоскостями. Три вектора р2, р3 и р4 определяют сферический тре-
треугольник, как показано на фиг. 7. Все три стороны сферического
треугольника 9гз. 9з4 и 042 определяются лишь тремя 4-векто-
рами и, как было показано выше, могут быть записаны как

Специальная теория относительности
43
функции инвариантов. Углы фг, фз и ф4 определяются четырьмя
4-векторами, и мы хотим их тоже выразить через инварианты.
Ввиду циклической симметрии задачи мы рассмотрим лишь
Ф = ф2.
Легко видеть, что в векторной форме
(P2 X Рз) ' (P2 X 1
I Р2 X РЗ I I Р2 X Р4 I
Pi (Р2 • РЗ X Р4)
I Р2 X Рг | I Р2 X Р4 I
Pl=0
Pl=0 '
G.11)
G.12)
Равенство G.11) выражает тот факт, что ф есть угол между
нормалями к двум плоскостям, образованным соответственно
векторами р2, рз и р2, р4- Поскольку ф изменяется от 0 до 2я,
для однозначного определения ф необходимы как синус, так и
косинус. Неоднозначности в определении азимутального угла
подробно анализируются в конце этого раздела.
Поиски инвариантной записи совф аналогичны выводу фор-
/-7оч г. „(РьРг,Рз\
мулы G.8). Рассмотрим определитель 01 I
\Pl> P2, Pi/
р, = о [см. (АЛ)] и повторим выкладки, проведенные в G.9):
в системе
G
(P\, Ръ Рз\__
\P\, Рг, Pi/
m\
mE2
mE3
2
1
0
0
m?(p2
mxE2
Pi
Рг' Рз
E2
-P2
— P2 • P3
X Рз) • (P
= m
тхЕ^
Рг-Pi
Рз- Pi
=
Ei
- P2 • P4
— Рз • P4
=
2 X P4) =
2P2P p
4 sin 023 sin 024 cos ф.
G.
G.
13)
14)
Подставляя G.10) в G.14), получаем
( Pi, Рг, Рз
С03ф= -PuP^pJ
{А3 (ри рг, Pi) Д3 (Pi, Рг, Pi)}k
G.15)
Связь между углом ф и инвариантными переменными pi-pj,
входящими в выражение G.15), в общем случае довольно слож-
сложная. Исключение составляет переменная ръ-pi- Она представ-
представляет собой лишь один из членов в разложении G по минорам, и,
следовательно, соэф и /?з-р4 связаны между собой линейно.

44
Глава II
Разложение G по минорам дает
Разрешая это равенство относительно p3-pt и учитывая G.15),
получаем
Рз • Pi — ¦
{Д3 (pj, р2, Рз) Дз (Pi, P2» Р4))'/г
— Дг (Pi, Рг)
СОЭф. G.16)
Конечно, рг -Pi связано линейной с косинусом угла 634 между
Рз и р4 [см. формулу G.5) и фиг. 7]; поэтому формулу G.16)
можно получить иначе, заменяя в34 на ср по теореме косинусов
из сферической тригонометрии [см. (Б.4)].
Чтобы выразить sin ф через инварианты, мы должны снова
использовать процедуру понижения порядка определителя в си-
системе отсчета р\ = (ти 0):
Р2,
-Pi
- P2 • Рз
-PS
- P2 • P4
~ РЗ * P4
4>-"*i 0 -p2-p3
о -p2-p4
= - m\ {p2 • (p3 X P4)}2 = - m\P\P\P\ sia2 8^ sin2 924 sin2 <p. G.17)
Подставляя сюда G.3) и G.10), получаем-
sin2 ф
! (Рь Рг) Д4 (Pi, Рг, Рз, Pi)
1 (Pi. Рг. Рз) Дз (Pi. Рг, Р4> '
G.18)
Совместность выражений G.15) и G.18) следует из извест*
ного свойства определителей [см. (А.32)].
г. Телесный угол
Полученные выше соотношения позволяют написать элемент
телесного угла
ddQd G.19)
определенный в системе координат R(pup2, Рз). в инвариантной
форме. Выражение G.5) линейно связывает cos 024 с Р2-рь а вы-

Специальная теория относительности 45
ражение G.16)—cosф с рз-Р4. Дифференцируя эти равенства,
получаем
d (р2 • Pi) == — d cos 92+—j {A2 (ph p2) А2 (Pu рд}''\
Щ
d{ръ • Pi) = sinфdy _h2{pufJ) {А3(Рь Рь Рз) Лз(Ри P2, Р4)}'/2 =
= Лр { - А4 (р,, р2! рз, Р4}'/2 { - А2 (Pi, Р2)}"'/2> G.20)
где эшф мы взяли из формулы G.18). Знаки аргументов квад-
квадратных корней определяются тем, что для физических 4-векто-
ров А2 < 0, Д3 ^ 0, Д4 sg; 0 [согласно равенствам G.3), G.10)
и G.17)]. Заметим, что в формуле G.16) величина рз-Р4 изме-
изменяется от наименьшего до наибольшего значения при изменении
соэф от —1 до +1, или ф от я до 0. Однако так как ф — азиму-
азимутальный угол, то интервал изменения ф простирается от 0 до 2я.
Таким образом, для каждого значения рз-Р4 получаются два
значения ф (ф и 2я — ф), соответствующие отражению р4 отно-
относительно плоскости xz на фиг. 7. Приняв во внимание эту дву-
двузначность, мы получим из G.20)
P)} h
Пределы интегрирования по р2-р4 и рз-^4 следуют из G.5)
и G.16). В этих пределах А2 < 0, А4 < 0.
Выше в этом разделе импульс р\ предполагался временипо-
добным. Случай пространственноподобного р\ нам понадобится
для некоторых теоретических построений в разделе VI.3. Стан-
Стандартной системой отсчета S(p\) в этом случае является система,
в которой pi = (О, 0, 0, V—/J; результаты, полученные выше
для времениподобного рь следует видоизменить по аналогии
с тем, как мы переходили от фиг. 3, а к фиг. 3, б. Этот переход
достаточно ясен, и мы ограничимся лишь упоминанием основных
результатов. Если оси координат связаны с векторами р2 и рз,
как и выше, то геометрические переменные определяются сле-
следующим представлением (фиг. 8):
р, = @,0,0, л/'^Х
р2=(Р2, о, о, р2-), G>22j
Рз = (Р3 ch ?2з, Рз sh ?23, 0, рз*),
pi = (Р4 ch ?24, Р4 sh ?24 cos ф, Р4 sh ?24 sin ф, р4г),
где р\г — Р\ — р]- Вместо Р», 92г- и ф (фиг. 7) теперь геометри-
геометрическими переменными являются Pt-, \s.i и ф (фиг. 8). Области
изменения их определяются сравнением с выражениями A.18)
и A.20): 0<ф<2я, 0<?< оо и для р\ > 0 tni<iPi < 00.

46
Глава II
Для р) < О ситуация несколько сложнее, так как здесь нужно
по-разному параметризовать ветви p\z -\-р\ < 0 и p]z -\-р\ > 9;
мы не будем подробно рассматривать этот случай. Искомые вы-
выражения для Р2, ?гз и ф непосредственно вытекают из следую-
Фиг. 8. Псевдосферические координаты для р4 в системе координат S (pj, p2, рз).
4-вектор Р\ пространственноподобен, его О-компонента в этой системе равна нулю. Пере-
Переменные Рг определяются равенством Р{ тР{г + Р{*
щих преобразований определителей Грама [в системе координат
S(p2,P3), определенной представлением G.22)]:
G.23)
A3(pi, Ръ PaI
A
V— tlPsz P2P3
-1 P
0
0
P2
Ргг
P2P3chg23
Q2
гз

Специальная теория относительности 47
Несимметричные определители Грама вычислены в приложе-
приложении А. Окончательно мы находим, что*
d(p G.24)
в инвариантной форме дается тем же выражением G.21), что
и dQ2i (при /п' = ?,).
Наконец, мы рассмотрим двузначность в определении ази-
азимутальных углов по формулам G.11), G.12). На практике
часто приходится уславливаться о знаках и порядке умножения
векторов р2, рз и р4- Если сохранить направление +р2 в каче-
качестве направления полярной оси и по-разному выбирать-знаки
и порядок перемножения векторов при составлении векторного
произведения, то азимутальные углы будут от этого меняться
на я или на 2я или менять знак. Если обозначить совокупность
векторов, определяющую <р = ф2 согласно формулам G.11),
G.12), через (р2; рз, Pi), так что
(Рг; Рз> Р4) -*¦ Ф>
то [см. также выражение (V. 6.8)] легко видеть, что
(— Рг; Рз, Р4) -» 2я — ф, (р2; — Рз, р4) -> л + ф,
(Р2-. Рз. - р4) -> я + ф, (— р2; - рз, р4) -> л + ф,
/ \ / \ G.20)
(—Рг", Рз- — р4)->я —ф, (р2; — р3, — р4)->Ф,
(—р2; — рз, — р4)->-2я —ф, (р2; р4, р,)-^2я —ф.
8. Детальное рассмотрение преобразования Лоренца
вектора 4-импульса
Рассмотрим теперь преобразование произвольного 4-импуль-
4-импульса р, р2 = т2 из системы отсчета, в которой он имеет форму
р = (Е*,р*), в систему, где он имеет вид р= (Е, р). Как это
видно из наших обозначений, для простоты мы будем считать
первую систему отсчета системой центра масс (СЦМ), а вто-
вторую— системой мишени (СМ), но, конечно, рассмотрение при-
применимо к любым двум системам. Вектор р большей частью яв-
является 4-импульсом одной из частиц в конечном состоянии, воз-
возникшем после столкновения или распада.
В зависимости от задачи пространственную компоненту р
можно представить либо в декартовых, либо в полярных коор-
координатах:
Р = (Рх> Ру, Рг) = | (8Л)
«= Р (sin 8 cos ф, sin 6 sin ф, cos 9) (8.2)
и аналогично р*. Мы выберем направление движения СЦМ
в СМ за положительное направление оси г и одновременно

48
Глава If
за полярную ось. Соответственно z-компонента р называется
также продольной компонентой q вектора р:
<7 = pz = Pcos9. (8.3)
Аналогично поперечная компонента г вектора р определяется
выражением
Обычно наблюдается цилиндрическая симметрия относи-
относительно оси г; существенно лишь значение г, а не рх, ру по от-
отдельности.
Фиг. 9. Сфера импульсов Р* = const до и после преобразования Лоренца.
Если v — скорость СМ в СЦМ и у = A — v2)~'k, то преобра-
преобразования Лоренца B.8) в декартовых координатах имеют вид
Рх~ Р*х> Ру = Р*у' (8-6)
(8.6)
(8.7)
Если обратные соотношения выразить в полярных координа-
координатах, то мы получим
p*sin6* = PsinO, (8.8)
р* cos 9* = уР cos 0 — yvE, (8.9)
(8.10)
Соотношения (8.5) — (8.7) или (8 8) — (8 10) содержат все,
что нужно для детального анализа изменений импульса при
преобразованиях Лоренца [6, 16*, 37, 52].
Удобно начать с переменных Р* и Е*, которые не зависят от
направления р*, т. е. рассмотреть преобразование сферы в СЦМ
(фиг. 9);
р*2 = р*2 = р*2 + р*2 + рч = const. (8t! 1}

Специальная теория относительности 49
В дальнейшем величины Р* и Е* будут нередко выражаться че-
через другие исходные величины, например через массы уча-
участвующих в реакции частиц, но пока это просто некоторые за-
заданные числа, связанные тождеством Е*2 = Р*2 -J- гп2. Вслед-
Вследствие цилиндрической симметрии задачи достаточно выяснить,
как преобразуется окружность радиуса Р* — сечение сферы
(8.11) плоскостью xz. Для ясности мы разобьем анализ на от-
отдельные шаги.
а а. Преобразование азимутального угла
Из соотношений (8.5) имеем
gp
Рх Рх
так что
Ф = Ф*. (8.12)
Это весьма' полезный результат. Общая формулировка его та'
кова: если преобразование Лоренца производится вдоль поляр-
полярной оси, то азимутальный угол при этом не меняется.
б. Преобразование сферы (8.11) в декартовых координатах
Чтобы выразить уравнение (8.11) через рх, рУГРг, перепи-
перепишем выражение (8.6) следующим образом:
Pl=^Pz~vE*- (8-13)
Заметим, что р* выражается через рг и постоянную величину
Е*. Подставим (8.5) и (8.13) в уравнение (8 11); мы найдем,
что сфера (8.11) преобразуется в эллипсоид [16] (фиг. 9)
й+й+*??_,, (8Л4)
где
(8.15)
Расстояние / между фокусом и центром эллипсоида и его
эксцентриситет е даются выражениями
/ = (Ь2 — а2I'2 = vvP*
i КО a) yvf, (g 16)
Этот результат легко понять качественно При преобразовании
Лоренца поперечные размеры сферы (8.11) остаются неизмен-
неизменными, тогда как в продольном направлении она расширяется
в у раз и смещается на yvE*.

50
Глава II
Точки пересечения эллипсоида (8.14) с осью г найдем, взяв
два вектора импульса СЦМ в положительном и отрицательном
—к<—
Рг
Фиг. 10. Преобразование импульса параллельно оси г (показан случай v > v*).
v<v
V=U
Фиг. 11. Классификация преобразованных эллипсоидов импульсов.
Скорость частицы в СЦМ равна v*—P*IE*, о —параметр преобразования Лоренца.
направлениях оси z (фиг. 10) и преобразовав их при помощи со-
соотношения (8.6). Получим
- Р* -> y (— Р* + vE*) = уЕ* (v — v*),
(8.17)
где v* = Р*/Е* — скорость частицы в СЦМ. Мы видим, что
эллипсоиды импульсов можно разбить на три класса (фиг. 11)
в зависимости от относительной величины v и и*:
класс 1: v < v*, начало координат внутри эллипсоида;
класс 2: v = и*, начало координат на эллипсоиде;
класс 3: v > v*, начало координат вне эллипсоида.

Специальная теория относительности 51
Естественно, классификация эллипсоидов импульсов зависит
от скоростей. Предположим, что частица движется в отрица-
отрицательном направлении оси г со скоростью и* = Р*/Е*. Чтобы из-
изменить направление ее движения на противоположное, оче-
очевидно, надо перейти в систему отсчета, движущуюся в СЦМ
против движения частицы со скоростью о, большей чем v*. Да-
Далее, в эллипсоидах класса 3, как это видно из фиг. 11, каждому
углу 0 отвечают два угла 6* и, кроме того, существует макси*
мальный угол вылета 0Макс- Эти свойства проще всего исследо-
исследовать, пользуясь полярными координатами.
Разбиение эллипсоидов импульсов на различные классы
имеет практическое значение, так как частицы, эллипсоиды им-
импульсов которых принадлежат к классу 1, могут двигаться в ла-
лабораторной системе (или в СМ) во всех направлениях, тогда
как частицы, эллипсоиды импульсов которых принадлежат
к классу 3, летят лишь в переднюю полусферу. Чем меньше
масса частицы и чем больше ее скорость v*, тем скорее можно
ожидать, что она относится к классу 1. В частности, эллипсоиды
импульсов частиц с нулевой массой (например, фотонов) всегда
относятся к классу 1.
в. Преобразование сферы (8.11) в полярных координатах
Теперь мы проведем несколько более сложные выкладки,
чем выше, хотя по существу будем говорить о том же самом,
лишь в другой форме. В полярных координатах сфера в СЦМ
(8 11) записывается просто как Р* = const, т. е. Р* не зависит
от 9*. В другой же системе отсчета импульс Р зависит от 9
(фиг. 9). Эту зависимость легче всего найти из соотношения
(8.10), переписав его в виде
Е* + vyP cos 0 = v (P2 + m2)''', (8.18)
возведя в квадрат и решая относительно Р = Р@). Выбор соот-
соотношения (8.10) связан с тем, что в нем присутствуют лишь Р,
cos 0 и некоторые постоянные величины. После ряда алгебраи-
алгебраических преобразований из (8.18) получаем
Р* _ cose(g'±VW) . 1Q.
Р* ~~ v(l -»2cos2fl) ' Ф'1*'
или
р* _ ру* cos е ± (о*у - чу sing e)v'
m — Y(i-»2cos2e) •
где
^;y9 (8.21)

52 Глава II
и, как уже было определено выше,
р* р* р*
я — скорость СЦМ в CM, y = A — о2)"'1'1. Мы ввели также вели-
величину [37]
* v з_ _?_ __ скорость СМ в СЦМ /« пп\
В р*/В* === v* скорость частицы в СЦМ ' \ • )
При g* < 1, g* = 1 и g* > 1 получаются соответственно эллип-
эллипсоиды классов 1, 2 и 3.
Аналогично Е2 = Р2-\-т2 как функция 8_ дается выражением
Е± _ 1 ± оо* cos^ 9 VF
?* — Y(i _ t»2cos2e) •
или
Е± _ у* ± о cos 8 (о<гу*2 — V2 sin2 6)'/a
В этих выражениях для Р± и f* содержатся, например, хорошо
известные соотношения между углом рассеяния конечных ча-
частиц и их импульсом (или энергией) в процессах столкновения
типа 2->2 [см. формулы (IV.3.8), (IV.3 9)].
Наличие или отсутствие физического смысла у обоих реше-
решений Р± связано с проведенной выше классификацией эллипсои-
эллипсоидов. Из формулы (8.19) и фиг. 12 видно, что максимальное
значение бмакс угла 0 получается в том случае, когда оба корня
Р± совпадают друг с другом, т. е. когда D = 0. Согласно (8.21),
это дает
igOuaKC^y-4g*2-ir\ (8.25)
или
^. (8.26)
Подстановка в выражение (8.24) дает
-!=-?- при е=емаке. (8.27)
Максимум возможен лишь при g* ^ 1, или о ^ v*, т. е. когда
эллипсоид импульсов принадлежит к классу 2 или 3 (фиг. 11).
В частности, для эллипсоидов класса 2 g* = 1, v = v*, бмакс =
= 90°. Из выражения (8.21) видно также, что
так что знак разности g* — -\/D или, что то же самое, знак Р-
совпадает со знаком g*2—1, Следовательно, при g* <. 1 он

Специальная теория относительности
53
отрицателен, так что для эллипсоидов класса 1 лишь Р+ соот-
соответствует физическому решению.
"маке
Фиг. 12г Соответствие между полярными углами 0 и 6* в двух системах
отсчета.
Максимальное значение 9 дается формулой tg 9макс = 1/Y (g*2—i)'^2, а соответствующее
значение в*—формулой cos 9
«— \[g . Рисунок относится к случаю 3, когда о > v*t
Когда т = 0, выражения (8.20) и (8.24) непосредственно не-
неприменимы. Вместо них после ряда выкладок мы получаем
P=zE== V(l_0cose) • (8l28)
Если ввести длину волны частицы с нулевой массой (фо-
(фотона) с помощью соотношения Е = /г (с/Я) = 2я/Я, то вместо
(8.28) можно написать
—. = YA—wcos0). (8.29)
Предположим в качестве простого примера, что фотон излу-
излучается в направлении Земли небесным телом, удаляющимся от

54
Глава II
нее со скоростью о. Тогда в выражении (8.29) cos0 = —1 и
Это релятивистская формула эффекта Доплера.
г. Преобразование полярного угла
Преобразование полярного угла 8 легко получить, разделив
выражение (8.8) на обращенное равенство (8.9) Р cos 8 =
= уР* cos 8* -f yvE*:
^y (8-30)
Эта формула достаточно проста, так как g* = vjv* не зависит
то1
so9 о*(емакс) /so0
Фиг. 13. .Качественная зависимость 8 от 8* в трех случаях: v < о*, о =» о* и
>*
от 0*. Чтобы написать обратное преобразование, можно разде*
лить (8.8) на (8.9). Тогда мы получаем
Но здесь сама скорость P±jE± частицы в системе мишени также
зависит от б посредством выражений (8.19) и (8.23). Следова-
Следовательно, удобнее непосредственно обратить равенство (8.30), раз-
разрешив его относительно cos 0*:
К'&У* (8-32)

Специальная теория относительности 55
где D дается выражением (8.21); для сравнения с выражениями
(8.19) и (8.23) полезно воспользоваться тождеством
1 + Y2 tg* 0 = -j^ A - v2 cos2 6). (8.33)
Угол 0* (бмакс) в СЦМ, соответствующий максимальному
углу в СМ, согласно равенствам (8.25) и (8.32), определяется
выражением
cos 0*(9макс) = -¦?¦= ?• (8-34)
Это выражение имеет физический смысл лишь при g* ^ 1.
Поведение решений (8.30) и (8.32) в плоскости 0*0 каче-
качественно показано на фиг. 13 для эллипсоидов всех трех классов,
а для эллипсоидов класса 3 — более детально на фиг. 12.
Фиг. 12 и 13 надо рассматривать в сочетании с фиг. 11.
Упражнения
II. 1. Стенфордский линейный ускоритель длиной 3 км уско-
ускоряет электроны до энергии Е = 20 ГэВ. Энергия электрона про-
пропорциональна пройденному расстоянию. Какова полная длина
ускорителя, «видимая» электроном?
II. 2. Выведите формулу преобразования Лоренца, обобщаю-
обобщающую A.1) на случай, когда скорость системы S'bS имеет про-
произвольное направление. Используйте то обстоятельство, что
компоненты х, перпендикулярные v, остаются неизменными, в то
время как параллельные компоненты преобразуются аналогично
величине z.
II. 3. а) При каких максимальных значениях и и у можно
использовать соотношение Е = т -\- р2/2т с ошибкой, меньшей
чем е-р2/2т?
б) При каких максимальных значениях у и у можно пользо-
пользоваться приближенным равенством Е ж р, чтобы ошибка была
меньше, чем г-р? Сформулируйте условия, при которых спра-
справедливы нерелятивистские и релятивистские приближения, если
II. 4. Имеются три частицы1—электрон, пион и фотон — с им-
импульсами I ГэВ/с.-За какое время каждая из них пройдет рас-
расстояние 3 м?
II. 5. 4-ускорение а» определяется выражением
. а) Найдите а0 и а. "
б) Проверьте, что а-и = 0.
в) Вычислите инвариант а-а, если частица с 4-ускорением
а& движется прямолинейно.

56 Глава II
II. 6. В протон-протонном соударении при 19 ГэВ/с (]/s =
= 6,12 ГзВ) в конечном состоянии наблюдался протон с им-
импульсом 4 ГэВ/с под углом 30° относительно направления пер-
первоначального пучка. Каковы энергия и импульс образованного
протона в системе центра масс?
II. 7. Предположим, что эксперимент по протон-протонному
рассеянию проводится при фиксированном импульсе падающего
пучка Р^\ и рассмотрим вектор импульса конечной частицы, ко-
который в системе центра масс перпендикулярен направлению
первичного пучка. Если его величина изменяется от нуля до
максимального значения (определите это значение), то как со-
соответствующий вектор изменяется в системе мишени? Сделайте
чертеж, взяв численные значения цз упражнения П. 6.
II. 8. Проверьте правильность решений в упражнениях
II. 6 и II. 7, вычислив величину преобразованного вектора им-
импульса как по формуле Р = (рх + ру + pf)/2, так и по формуле
II. 9. Рассмотрите преобразование Лоренца 4-импульса от си-
системы отсчета 5' к системе S (S' движется в системе 5 со ско-
скоростью v параллельно оси -\-z) и разложите 4-импульс на попе-
поперечную [г = (jfx + р°у) ] и продольную {q = pz) составляющие.
а) Как преобразуются векторы с q' — const из системы S'
в S, т. е. как преобразуется плоскость q' = const?
б) Как преобразуются векторы с г' — const, т. е. как'преоб-
разуется цилиндр г' = const?
II. 10. Пусть две частицы имеют одинаковые скорости (по
направлению и величине) в некоторой системе отсчета. Каким
образом связаны их скорости в другой системе отсчета? Что
произойдет, если их скорости заменить на 3-импульсы?
II. 11. Покажите, что при т = 0 соотношение (8.32), опреде-
определяющее 0* через 0, может быть переписано в виде
n* cos 6 — v
COS 0 = -. 5-.
1 — v cos 9
II. 12. а) Ширина rj-мезона равна Г.„ « 2,6 КэВ. Каково время
жизни Ti-мезона?
б) Время жизни п°-мезона равно Тл«~0,89 • 10~16 с. Какова
ширина л^-мезона?
II. 13. Выведите формулу преобразования Лоренца для 3-ско-
рости v, используя а) определение v = dx/dt и трансформацион-
трансформационные свойства х^, б) трансформационные свойства 4-скорости.
II. 14. Рассмотрите преобразование от системы мишени
(рь = 0) к системе пучка (ра = 0). Каковы параметры преобра-
преобразования? Как скорость о^1 частица а в СМ связана со скоро-
скоростью и" частицы Ь в СП?

Специальная теория относительности 57
И.Ж Выражение G.10) определяет sin2923, а выражение
G.&f—cos 02з через инварианты. Покажите прямым вычисле-
вычислением, что эти результаты совместимы.
И. 16. Прямым вычислением компонент векторов в системе
Р! = 0 покажите, что скалярное произведение двух векторов
типа cv = ехкцчР*Р%Р§ [приложение А, формула (А. 16)] дает
(Pu
\Рь
[формула (А.ЗО)].
II. 17. Пусть А есть матрица 4 Х4, образованная компонен-
компонентами 4-векторов ри р2, Ръ, рь a g = (g^v) — метрический тензор.
Покажите, что
Д4 = Det (AgA?) = - (Det AJ.
II. 18. Покажите, что если импульсы ра и р& параллельны, то
разность EaPb — РаЕь есть инвариант относительно лоренцевых
сдвигов вдоль ро и величина этой разности равна
Заметим, что разность скоростей vb — va не инвариантна отно-
относительно этого преобразования, а комбинация ЕаЕь(иь~-va)—¦
инвариантна.
II. 19. Пусть w и w' — значения скорости в системах S и S',
v — относительная скорость движения систем 5 и S', а углы
между w и v и между w' и v равны 0 и 0'. Обозначив быстроты,
соответствующие скоростям v, w и w', через %, ? и ?', докажите,
что
shSsine
l6° ~ ch I sh I cos 9 - sh I ch ? '
Покажите также, что если быстроты интерпретировать как
углы мнимого поворота, то эти формулы эквивалентны выраже-
выражениям (Б.4) и (Б.10). Быстроты |, ?, tf можно рассматривать
как стороны треугольника на псевдосфере и2 = с2 [140,
стр. 342—348].

Глава III
ФАЗОВОЕ ПРОСТРАНСТВО
1. Определение фазового пространства
До сих пор мы по существу рассматривали лишь свойства
начального состояния процесса рассеяния и преобразования Ло-
Лоренца импульсов конечного состояния, на которые не наложено
никаких ограничений. Обратимся теперь к рассмотрению всей
Л
} Неизвестны
а 6
Фиг. 14. Эксклюзивная (а) и инклюзивная (б) реакции.
реакции ра*+рь-*-р\+ ••• +Рп (фиг. 14,а) и наложим на век-
векторы импульсов конечного состояния условие сохранения 4-им-
пульса
п
F 4- F — У F,
{-l
Pa + Pft = Z Pb
где
?< — P; + тЬ i — a, Ь, 1, ..., n,
a m, — фиксированные массы частиц Вследствие сохранения
4-импульса п импульсов рг при фиксированном начальном со-
состоянии не могут принимать любые значения, а должны удов-
удовлетворять четырем условиям A.1) Мы будем называть Зп-мер-
ное пространство не связанных условиями A.1) импульсов р*
конечного состояния импульсным пространством. Условия A.1)
определяют в нем (Зп. — 4)-мерную поверхность, которая будет
называться фазовым пространством. Иногда термины импульс-
импульсное пространство и фазовое пространство считают синонимами,

Фазовое пространство 59
называя так Зи-мерное пространство импульсов, а (Зга —4)-мер-
—4)-мерное пространство называют поверхностью постоянной энергии и
импульса Мы введем наши определения для того, чтобы терми-
терминология была точной и однозначной. При пользовании импуль-
импульсами структура импульсного пространства проста, а структура
фазового — намного сложнее.
Но при изучении динамики процессов с участием элементар-
элементарных частиц импульсы рг редко используются в качестве пере-
переменных. Для того чтобы выявить интересные особенности экспе-
экспериментальных данных или чтобы формулировать теоретические
модели, необходимы другие переменные, например инвариант-
инвариантные массы или переданные импульсы; описать фазовое ПР°"
странство в этих переменных часто оказывается чрезвычайно
сложным. Большая часть последующих наших усилий будет свя-
связана с поисками параметризаций фазового пространства с по-
помощью переменных, введение которых мотивируется динамикой
реакций.
Как кинематически, так и с точки зрения динамики важно
проводить различие между двумя разными типами эксперимен-
экспериментов: исследованием эксклюзивных или инклюзивных реакций.
Эксклюзивная реакция (фиг. 14, а) —это такая реакция, в кото-
которой известны все частицы и их импульсы, как в случае
полностью идентифицированного события в пузырьковой камере.
В инклюзивной реакции (фиг. 14,6) известны лишь некоторые
из частиц и их импульсы, так что конечное состояние не иден-
идентифицировано до конца. Такая ситуация, например, встречается,
в счетчиковом эксперименте с m-плечевым спектрометром. Заме-
Заметим также, что эксклюзивная реакция фиксирует определенный
канал реакции, тогда как инклюзивная реакция включает в себя
сумму различных эксклюзивных каналов с разными множествен-
ностями Эксклюзивные процессы рассматриваются в гл. IV—VI,
инклюзивные —в гл. VII.
На практике встречаются два типа эксклюзивных процес-
процессов: распад частицы
Po-*Pi + P2+ ••• Л-Pm A.2)
и столкновение двух частиц
Pa+Pb-+Pl+P2+ ... +Р„- A.3)
Для краткости первый процесс мы будем называть процес-
процессом 1-уш, а второй — процессом 2-у п. При подсчете числа су-
существенных переменных в этих процессах спином мы будем
пренебрегать (как это делается повсюду в этой книге). В реак-
реакции A.2) из всех переменных рь ..., рт закон сохранения
4-импульса оставляет Ътп — 4 независимых. Далее, отсутствие

60
Глава III
спина означает, что в системе покоя распадной частицы ориен-
ориентация конфигурации импульсов не играет роли. Это значит, чго
три переменные являются тривиальными и остается Зт — 7 су-
существенных переменных. Все массы mo, Щ, ,.., mm здесь счи-
считаются фиксированными В реакции A.3) имеется Ъп— 4 пере-
переменных, описывающих конечное состояние. Ось пучка (направ-
(направление ра в СМ или в СЦМ) выделяет некоторое направление
в пространстве; из трех тривиальных переменных остается
только одна переменная ср, соответствующая вращению вокруг
оси пучка. Таким образом, в этом случае конечное состояние
описывают Ъп—5 существенных переменных. Начальное состоя-
состояние в выражении A.3) дает нам еще одну существенную пере-
переменную— квадрат полной энергии s; следовательно, всего име-
имеется Ъп— 4 существенных переменных. Эти числа переменных
приведены в табл. III. l вместе с некоторыми наборами перемен-
переменных. Л
Таблица III. 1
Различные способы подсчета числа переменных для бесспиновых частиц
Приведены примеры для процессов 1 -> 3 и 2 -> 2. Определение переменных
дано в гл. IV и V. Угол ф описывает вращение вокруг оси пучка
в процессе 2->п или вокруг некоторой оси в процессе 1 -> т.
-
Все переменные
Существенные перемен-
переменные
Переменные конечного
состояния
Существенные перемен-
переменные конечного состоя-
состояния
Число пере-
переменных для
процесса
¦
—
Зяг-4
З/и-7
Пример для
процесса
1->3
—
Si* s2, 0ь
Фь Ф
Si, S2
Число пере-
переменных для
процесса
2->й
Зп-3
Зп-4
Зя-4
Зге,-5
Пример для
процесса
2-»2
s, i, ф
s, t
t
. Если положить т — я + 1, ра = Ро, Рь = —Рт, то легко ви-
видеть, что реакции A.2) и A.3) связаны между собой перекрест-
перекрестным образом, т. е. реакция A.3) получается из A.2) переста-
перестановкой одной частицы из конечного состояния в начальное')
(см. раздел IV. 4). В этом случае полное число существенных
переменных Ъп — 4 = Ъпг — 7 остается одним и тем же для ре-
реакций A.2) и A.3). В действительности имеется более глубокая
связь между кинематикой перекрестных каналов реакции.
В разделах VI. 7 и VI. 8 будет показано, что физические области
в инвариантных переменных таких двух каналов определяются
') Кроме того, частица заменяется на античастицу. — Прим. ред.

Фазовое пространство 61
одними и теми же выражениями и что плотность фазового про-
пространства р(Ф) [определенная выражением B.14)] одинакова
для них обоих.
В итоге мы видим, -что фазовые пространства для процессов
1->га и 2->га при tn2Q = s и при одинаковых массах вторичных
частиц совпадают — это одна и та же Зга— 4-мерная область.
В последнем процессе имеется одно выделенное направление
в пространстве — ось пучка; таким образом, наряду с одинако-
одинаковыми параметризациями фазовых пространств для этих процес-
процессов существуют и такие параметризации, которые для процесса
2-*-п оказываются более сложными. Если этого различия не
учитывать, то совпадение фазовых пространств означает опреде-
определенного типа эквивалентность реакций 1-*-п и 2-»-га. С дру-
другой стороны, процессы 1-+П+1 и 2->й связаны перекрестным
преобразованием и это приводит к другому типу эквивалент-
эквивалентности, которая особенно очевидна при использовании инва-
инвариантных переменных. В цепочке 1->-2, 2-»-2, 1->3, 2-*-3, ...
соседние процессы оказываются, таким образом, родственными
друг другу. Это обстоятельство определило в значительной
мере логическое построение данной книги.
2. Интегрирование по фазовому пространству и сечения
Согласно обычному формализму динамики реакций с эле-
элементарными частицами, вероятность перехода из начального
состояния ра-\-рь в конечное состояние с определенными им-
импульсами pi получается из матричного элемента
<р„ ..., р„|Л|рв, рь) = А(р{). B.1)
Целью экспериментов является исследование структуры функ-
функции Л (рг); их результаты теоретически описываются теми или
иными динамическими моделями, определяющими видЛ(рг).
Ниже мы приведем некоторые общие свойства матричного эле-
элемента А(рг), но в данный момент достаточно считать его неко-
некоторой функцией рг.
Чтобы получить измеряемые на опыте величины (для п>2),
необходимо проинтегрировать по всем допустимым значениям pt
квадрат модуля |Л(рг)]2 матричного элемента B.1), который
обозначим через Т(рг), или просто Т. Полное сечение реакции
получается интегрированием по всем разрешенным значениям
pi, т. е. по полному (Зга — 4)-мерному фазовому пространству.
Соответствующей величиной для распада является обратное
время жизни. Если интегрирование проводится по некоторому
подмножеству фазового пространства, то получается дифферен-
дифференциальное сечение, или если абсолютная нормировка несу-
несущественна — распределение. Точная связь Т(рг) с сечением

62 Глава III
зависит от определенных соглашений о нормировке (одночастич-
ных состояний). Подробнее с этим вопросом можно ознакомиться
в учебниках по физике высоких энергий (например [68}). Для
наших целей достаточно просто изложить результаты.
а. Полное сечение реакции
Обозначив полное сечение фиксированного канала реакции
через ап = on(s; тг), получим
<тя = 7г/в(в), B.2)
где фактор
'h 3* B.3)
измеряет поток падающих частиц (мы включили в его опреде-
определение множитель BяKгг~4), а фактор
п
= J П
ж-
содержит интегрирование по фазовому пространству. Закон со-
сохранения 4-импульса был учтен введением 4-мерной 6-функции,
которая равна произведению четырех б-функций, соответствую-
соответствующих четырем компонентам р^ Зависимость от пгг скрыта. Мы
вскоре рассмотрим соображения, по которым в определение
/n(s) включены множители 2Е Важно подчеркнуть, что выра-
выражение B.2) определяет нормировку А(рг), т е. указывает, ка-
какие постоянные и зависящие от s множители по соглашению
включены в А(рг). В этом смысле выражение B 2) не выво-
выводится; его можно принять как определение.
б. Время жизни
Формула для времени жизни t нестабильной частицы с мас-
массой т, переходящей При распаде в данное конечное состояние,
очень похожа на B.2):
где /„ (т2) определяется выражением
f. B.6)

Фазовое пространство 63
h. Дифференциальное сечение
Если x = x(pi)—некоторая переменная, зависящая от рг,
то для получения дифференциального сечения dan!dx надо сде-
сделать в интеграле B 4) х одной из переменных интегрирования
и проинтегрировать по всем переменным, кроме х Практически
это проще сделать, вставив в подынтегральное выражение б-
функцию, фиксирующую условие х = х(рг), так что
B.7)
Условие \ (dojdx)dx — an удовлетворяется автоматически. Удоб-
Удобной формулой B 7) мы будем пользоваться очень часто. Диф-
Дифференциальные сечения высших порядков d2a/dxdy и т. д. полу-
получаются аналогично введением большего числа б-функций.
г. Распределение
Если da/dx— дифференциальное сечение, то распределение
w(x) определяется выражением
Очевидно, оно нормировано на единицу:
Распределения w(x,y), w(x,y,z) и т. д, зависящие от боль-
большего числа переменных, определяются подобным же образом
через дифференциальные сечения высших порядков.
д. Замена переменных в распределениях
Рассмотрим, например, распределение трех каких-то пере-
переменных w(x,y,z). Если х, у, z и х', у', z' взаимно однозначно
зависят друг от друга, то, обобщая выражение B.8) и поль-
пользуясь обычными правилами замены переменных, найдем рас-
распределение трех новых переменных.
w \х , у , z ) о dx> dy> dz' — о dxdydz д (*', у1, z*)
Строго говоря, формула B.9) справедлива только в том
случае, если между х, у, z и х', у', г' существует взаимно одно-

64 Глава III
значное соответствие. Если это не так, то необходимо тщательно
учесть каждую из областей, соответствующих данной области
изменения х', у', z'. В итоге задача сводится к вычислению яко-
якобиана д(х, yt z)/d(x',y', z') данной замены переменных. Если
формулы перехода от нештрихованных переменных к штрихо-
штрихованным известны, то это чисто техническая задача. По опреде-
определению якобиан всегда положителен. Формула B.9) найдет ряд
применений в разделах 4 и VII. 1. В частности, она будет ис-
использована при преобразовании Лоренца распределений из од-
одной системы отсчета в другую.
Теперь рассмотрим более детально интеграл /n(s). При его
определении B.4) мы выделили в интеграле по р* множитель
11B?'г)~1, где Et — (р^ + mt)'/2- Этот множитель в принципе
можно было бы включить в Л, но мы его выделили, так как
величина d3p/2E инвариантна по отношению к преобразованиям
Лоренца. Инвариантность d3p/E сразу же вытекает из равен-
равенства (II. 1.35). Можно также проверить это непосредственно,
дифференцируя формулы преобразования (II. 8.5) — (II. 8.7)
для 4-импульса. Тогда найдем
dpx = dp'x, dpy = dp'y,
так как dE'\dp'z —p'JE' и Е = у (Е' + vp'z). Следовательно, эле-
элемент объема d3p = dpxdpydpz удовлетворяет равенству
так что комбинация d3p/E есть инвариант.
Выражение (II. 1.35), записанное в интегральной форме, для
времениподобного р означает, что
B.11)
где интегрирование распространяется на все значения компо-
компонент р», ц = 0, ..., 3. Функция-ступенька в(р°) равна нулю
при р° <. О и равна 1 при р° > 0. Она также инвариантна от?,
носительно рассматриваемых здесь собственных преобразований
Лоренца.
Написав тождества р2 = (р°J-^р2 и Е2 = р2 + ш2 и вос-
воспользовавшись следующим сноиством б-функции:
б(д;Х) /W 0, B.12)

Фазовое пространство 65
можно легко проверить формулу B.11) непосредственно. Фор-
Формула B.11) объясняет также появление в инварианте d3p/E
множителя 2. Формулу B.11) часто используют для представ-
.ления интегралов B.4), B.6) и B.7) в других эквивалентных
-формах, например
Впрочем, функцию в здесь обычно не пишут.
Для практических целей интеграл по импульсам B.4) обычно
преобразуется к другому набору переменных. Это может по-
потребоваться в том случае, когда Т выражается через другие
диктуемые динамикой переменные или когда нас интересуют
распределения w(x) по таким величинам х, которые не яв-
являются импульсными переменными. Далее, стоящая в инте-
интеграле B.4) 8-функиия является сингулярной функцией. В ряде
случаев от нее приходится избавляться, например когда мы
хотим численно оценить интеграл B.4). После ее исключения
остается Зл — 4 переменных, которые ограничены лишь преде-
пределами интегрирования, а не сингулярными связями Обозначив
такой набор переменных через Ф, мы можем переписать B.4)
в виде
:, 1п(8)=\а'Фрп(Ф)Т(Ф), B.14)
где йФ— элемент объема в (Зга— 4)-мерном фазовом простран-
пространстве, а фазовая плотность р„(Ф) включает в себя все факторы,
возникающие при переходе от переменных интегрирования pj
к переменным Ф. Это факторы, возникающие при интегрирова-
интегрировании б-функций [см. B.12)], а также якобиан. Точное соотноше-
соотношение между выражениями B.4) и B.14) станет более понятным,
когда мы приведем конкретные примеры.
Когда импульсы рь ..., р„ пробегают все фазовое простран-
' ство, совокупность переменных Ф заполняет (Зп — 4) -мерную
, область, которая представляет собой физическую область из-
' менения Ф. Соответственно если х — какая-то кинематическая
переменная, то физическая область изменения х определяется
как область изменения х при изменении рь ..., рп по всему
фазовому пространств) Так же определяются двумерная физи-
физическая область изменения пары переменных (х, у) или физиче-
физические области изменения нескольких переменных. Если среди
совокупности переменных Ф есть переменные х, ..., г, то фи-
физическая область изменения х z есть проекция (Зп — 4)-
мерной физической области Ф на подпространство х, ,.., z.
3 Зак. 517

66 Глава III
Можно также рассмотреть физическую область изменения х
при фиксированных значениях некоторых других переменных
(см. раздел V. 4). х
3. Фазовый объем
Если квадрат матричного элемента Т в B.4) тождественно
равен единице, то интеграл /n (s) называется фазовым объемом.
Обозначим /„ в этом случае через Rn; тогда
где s = р2. Особых теоретических соображений для того, чтобы
полагать А з= 1, нет; это лишь простейшая возможность. Из
экспериментов известно, что при высоких энергиях А может
значительно меняться внутри фазового объема Если вместо 1п
в выражениях B.2) или B.5) используется Rn, то говорят, что
полное сечение или время жизни задано фазовым объемом.
Аналогично все распределения do/dx и d2e/dxdy и т. д., полу-
полученные из выражения B.7) в предположении А = 1, назы-
называются распределениями [величин х, пар (х, у)] по фазовому
объему1). Обычно экспериментально измеренные распределе-
распределения с ростом энергии все более и более отличаются от распре-
распределений по фазовому объему.
Исторически распределения по фазовому объему сыграли
важную роль фоновых распределений при .изучении резонансов.
Считалось, что предположение А === 1 как-то отражает чистую
кинематику, а всякое отклонение от него означает динамиче-
динамический эффект, например рождение резонанса. Это действительно
так при низких энергиях, где матричный элемент действительно
близок к постоянству, но при высоких энергиях отделение ки-
кинематических эффектов от динамических становится сложным
делом. Этот вопрос рассматривается ниже в связи с кинемати-
кинематическими отражениями (гл. VIII).
Интеграл Rn имеет одно технически очень важное примене-
применение. Если /„ преобразуется к новым переменным Ф, как это де-
делалось в формуле B 14), то фазовая плотность рп(Ф), конечно,
не зависит от матричного элемента. Точно так же физическая
область изменения Ф не зависит от А. Это относится к любым
проекциям физической области, таким, как границы физиче-
физической области по переменной х, или в плоскости ху и т. д. Опре-
Определение физической области включает в себя лишь закон со-
сохранения 4-импульса, а вид А в это определение не входит.
') В русской литературе используются также термины статистическое рас-
распределение, фоновое распределение, статистический фон (в физическом жар*
гоне — фазовое распределение). — Прим. ред.

Фазовое пространство 67
Таким образом, мы видим, что для решения обеих главных
проблем кинематики: определения области изменения Ф и вы-
вычисления веса рп(Ф) данного набора Ф, достаточно исследовать
именно Rn. В последующих главах значительная часть мате-
материала посвящена преобразованиям Rn к различным физически
мотивированным совокупностям переменных Ф Эти выражения
затем можно использовать для определения /„, а или любых
распределений dajdx, просто подставляя \А\2 под знак ин-
интеграла
Можно также рассмотреть и другие варианты выбора А.
Примером может служить нековариантный фазовый объем
R(), определяемый выражением
1=1
или выбором Г = Ц B?j). Для многих целей интеграл C.2)
так же применим, как и C.1), но из-за нековариантности с ним
гораздо труднее работать [17, 28, 92].
Обратимся теперь к другому аспекту интегрирования по
фазовому пространству. Имеется прямая формальная аналогия
между фазовым пространством в статистической физике и фа-
фазовым пространством в физике элементарных частиц. Это об-
обусловлено тем фактом, что как в релятивистской квантовой ста-
статистике, так и в физике элементарных частиц состояние (конеч-
(конечное состояние во втором случае) определяется совокупностью
4-импульсов р\, ..., рп. Чтобы рассмотреть эту связь, мы
должны вспомнить некоторые понятия статистической механики
[57]. Следующие ниже замечания не обязательны для понима-
понимания остальной части книги.
Чтобы сделать спектр импульсов дискретным, в квантовой
механике предполагают, что частицы помещены в ящик объе-
объемом V. Тогда элемент объема d'6p импульсного пространства
включает (V/BпK)йгр состояний. Число состояний релятиви-
релятивистской частицы равно [см. B.11)]
Множитель у1 = m/E обусловлен тем, что ящик «с точки зре-
зрения частицы» претерпел лоренц-сокращение. Величина C.3),
очевидно, является инвариантом.
В физике элементарных частиц вычисляют полные сечения,
а в статистической физике — функции распределения (статисти-
(статистические суммы). И те и другие представляют собой суммы по
всем состояниям, которые разрешены внешними связями. Одна-

68 Глава III
из таких связей — это требование, чтобы полная энергия и пол-
полный импульс, а также полное число частиц (число частиц каж-
каждого типа) имели фиксированное значение. Сумма по состоя-
состояниям тогда равна
^-^Ф=т\11*р№-
Множитель Bя)~4 обусловлен нормировкой 64(...), а функция
Тп определяется изучаемым процессом.
Стандартное выражение C.4) для фазового объема отли-
отличается от настоящей суммы по состояниям тем, что в выраже-
выражении C.3) множитель 2mV опущен. В, результате этого число
состояний не будет безразмерной величиной — размерность вы-
выражения C.4) будет зависеть от п. Поскольку это различие
равносильно переопределению Тп, мы здесь придерживаемся
обычного определения C.4).
Приняв далее Тп = 1, мы видим, что фазовый объем Rn тож-
тождествен функции распределения идеального релятивистского
газа. Точнее говоря, это микроканоническая функция распреде-
распределения, взятая по микроканоническому ансамблю, в котором пол-
полная энергия-импульс и полное число частиц каждого типа фик-
фиксированы.
Теперь можно воспользоваться тем результатом статистик
ческой физики, что термодинамические функции различных ан-
ансамблей отличаются лишь членами, которые по порядку вели-
величины равны N~'h, где N— число степеней свободы системы.
Предположим, что мы взяли канонический ансамбль, в котором
температура Т фиксирована, а энергия может меняться. Кано-
Каноническое распределение релятивистского идеального газа
имеет вид
Q.-7?is=5" S П № (Я ~ «I)'411''}- C.5)
Здесь 4-вектор р — обобщенная обратная температура; его
длина равна |р|= Щ (см. раздел IX.6). Величину C.5), в ко-
которой нет четырехкратной 5-функции, значительно легче вычис-
вычислить, чем соответствующее выражение C 4). Относительная
ошибка (Qn — Rn)/Rn пропорциональна N~'h « (Зя)-1/з [94]. По-
Поскольку п « 1024, в статистической физике различные функции
распределения приводят к одной и той же термодинамике.
В физике элементарных частиц также можно использовать вы-
выражение C.5) для того, чтобы вычислить довольно сложный
фазовый интеграл C.4), т. е. сечения рождения большого числа
частиц. Этот статистический метод расчета изложен в раз-
разделе IX. 6.

Фазовое пространство 69
Если отказаться от фиксирования числа частиц, то соответ-
соответствующий ансамбль является большим каноническим ансамб-
ансамблем. В нем число частиц заменяет дополняющая его перемен-
переменная — фугативность. Такая ситуация встречается при вычислении
полных сечений и при изучении инклюзивных процессов, когда
производится суммирование по различным каналам.
Если А не постоянна, то столкновение элементарных частиц
формально аналогично взаимодействию частиц релятивистского
газа. Поскольку \А\2 и соответствующая ей величина е~$и, где
U — потенциал взаимодействия, имеют весьма различный вид,
аналогия является не очень прямой. Однако многие статистиче-
статистические понятия здесь все еще применимы. Так, например, разло-
разложение по связным группам («кластерам») в статистической
физике [57] также пригодно для вычисления корреляционных
функций для инклюзивных процессов (раздел VII. 7). Можно
даже довести аналогию до уровня термодинамики [161*] или
гидродинамики [91]. Важно понимать, что хотя аналогия со ста-
статистической физикой (основанная на большом числе степеней
свободы) полная, однако сравниваемые величины имеют со-
совершенно различную природу и по-разному истолковываются.
Таким образом, аргументы, основанные на обычной термоди-
термодинамике, как таковые, неприменимы; законы «термодинамики»
процессов с участием элементарных частиц должны основы-
основываться непосредственно на свойствах интеграла /„ и его про-
производных.
4. Преобразования Лоренца распределений для одной частицы
Рассмотрим теперь несколько более подробно свойства пре-
преобразования Лоренца распределений для одной частицы. Этот
раздел при первом чтении можно опустить; он основан на при-
применении формулы B.9).
Одночастичное распределение, или спектр, получается в ин-
инклюзивной реакции (гл. VII)
а + Ъ-*е + Х D.1)
(X — неизвестная система частиц) или в эксклюзивной реак-
реакции. В любом случае подсчитывают число частиц определен-
определенного типа в элементе телесного угла dQ и в интервале импуль-
импульсов dP в окрестности точки (Р, Q). Измеренное распределение
тогда определяется выражением
w{P, cosB, q>)^w(PrQ) = ±-g%Q. ' D.2)
Если имеет место цилиндрическая симметрия относительно
направления пучка (ось г), то w(P,Q) не зависит от <р, и в этом

70 Глава !П
случае
Если к тому же мы не измеряем импульсы, то тогда выражение
D.3) фактически tta ним интегрируется и измеряемое на опыте
распределение имеет вид
ИЛИ
к»(в) = {5^8т9ш(со5в). D.5)
Для двухчастичного конечного состояния при фиксированной
полной энергии импульс Р в СМ определяется углом 6, так что
интегрирование по Р тривиально.-
Выбор переменных в выражениях D.2) —D.5) не единствен;
другие возможности подробно рассматриваются в гл. VII. Здесь
мы рассмотрим лишь, как преобразуются распределения
D.2) — D.5) при переходе из одной лоренцевой Системы в дру-
другую. Эти формулы преобразования следуют непосредственно
из формулы B.9) и результатов, полученных в разделе П. 8.
а. Преобразование одномерного распределения
для одной частицы
При чтении этого раздела полезно представить себе фиг. 12.
Рассмотрим сначала преобразование распределения ш(8) или
да (cos 0). Согласно формуле B.9), мы имеем
w(v) =
Здесь мы учли, что для эллипсоидов класса 3 (см. раздел II. 8)
каждому значению 9 (^0маьс) соответствуют два значения
6** (фиг. 12). Однако, если детектор так анализирует им-
импульсы, что способен отличать друг от друга две ветви Р±, мы
можем написать
»(в) = -^«(П D.7)
Это же выражение применимо и к событиям, в которых век-
векторы импульсов укладываются на эллипсоиды классов 1 и '2
и где должны рассматриваться лишь Р+. Свойства преобразо-
преобразования ш(соэ8) вытекают из свойств преобразования w(Q), так
как
du* _ rfcosB* sin В* rfB* _ Р d& -
~Ж ~ dcose ^ sin е ае ~~ р* «я ¦

Фазовое пространство 71
Дифференцируя выражение (II. 8.30), после ряда алгебраиче-
алгебраических преобразований находим
dQ _cos'9(l+g*cosy)
dQ* ~ v (S* + cos 8*J • ^>y'
Это равенство теперь можно выразить через переменные в СЦМ
или в СМ. В переменных СЦМ, подставив cos20 из выражения
(II. 8.30), получаем
dQ* y2 (в* + cos 9*J + sin2 8* " ^' ^'
Чтобы вычислить d cos Q*/d cos 0, проще всего воспользоваться
формулами (II.8.6) и (II.8.8). Тогда получим
Р2 (Р COS 9J + (Р Sin 9J 9/ « , n*>!> I • »fl. /л 1t\
П*2 ~~ р*2 ' V VS \^ VVJ U у ^^ Э111 и . ^*Т. 1 VJ
Подставляя D.10) и D.11) в D.8), находим
rfcos9 _ уA +gtcos9') .^ j.\
dcosG' ~ {Y2(g*+cos9tJ + sin2e"}1/« ' '
Из D.10) или D.12) видно, что производная dQ*/dQ обращается
в нуль при cos0* = — l/g*, как это уже ранее было показано
в формуле (II. 8.34). Для меньших значений 0* производная по-
положительна, для больших — отрицательна (фиг. 12).
В переменных СМ, которые используются, когда необхо-
необходимо построить w(Q) по ш(8*), снова надо обратить внимание
на возможную двузначность формул (II. 8.32), выражающих
cos©** через 0. Подставив выражение (II.8.32) в формулу
D.9), получаем
rf9** 1 it-.
dQ v(l-,»scos2») (±л/О) Р
где D = 1 + у2 A — g*2) tg2 0, a P±(Q) дается выражением
(II. 8.19). Аналогично
cose (g*±VoJ __/p*V i D14)
Заметим, что из формул (II.8.19) и (II. 8.23) следует
Р* — ?±ocos9
Y
, D.15)
Поэтому D.14) можно переписать в виде
d cos 9 ~ y^* (P* - E±v cos 9) " ' '
Ниже мы еще раз выведем- это соотношение, пельзуясь двух-
двухчастичным фазовым интегралом.

72 Глава III
Суммируя, можно сказать, что если мы знаем a>*(cos8*)
или da/dQ*t то для того, чтобы найти да (cos 0) или do/dQ, надо
подставить в D.6) или D.7) выражение D.14) для якобиана
и выразить 8 через 6* с помощью формулы (II 8.30). Для об-
обратной процедуры якобиан находится из D.12), а 8* выра-
выражается через 6 по формуле (II. 8.32). В обоих случаях следует
обращать внимание на возможную двузначность связи между
8* и 6. Практически, однако, угловые распределения проще
всего преобразовывать, используя инвариантные квадраты пе-
переданных импульсов t и da/dt (раздел IV. 6) вместо cos 8
и do/d&.
Пример 1. Рассмотрим изотропный распад в СЦМ, когда
распределение o>*(cos8*) по косинусу угла вылета 8* является
равномерным:
o>'(cose*) = JL. D.17)
Нормировка учитывает, что угол 8* меняется в интервале
О ^ 6* ^ п. Соответственно
ш* (8*) = 1 sift 6*. D.18)
Предположим, например, что распадающаяся частица дви-
движется в лабораторной системе со скоростью v, равной скорости
v* продукта распада в СЦМ. Тогда g*= 1, и выражение D.14)
для углового распределения в ЛС дает
да (cos 8) = 2 cos 9у-2 О — w2cos28)~2. D.19)
Легко видеть, что это распределение остро направлено вперед:
значение w при 9 = 0 растет как 2у2. Заметим, что теперь об-
область изменения 8 есть 0 ^ 8 < я/2.
б. Преобразование двумерных распределений
для одной частицы
Формулы преобразования в этом случае проще, чем для
одномерных распределений. Якобиан, который входит в фор-
формулу B.9), уже был получен ранее [см. B.10)]:
д (Рх, РУ, Рж) ~ d*p — Е ' l*'zu'
Отсюда следует, что
x,pe,Pz) = E^ D.21)

Фазовое пространство 73
является инвариантом, так что
»(РР)
Такова основная формула. Правило преобразования для рас-
распределений по другим переменным получается преобразова-
преобразованием от декартовых компонент рх, ру, рг к этим другим пере-
переменным. Формула D.22) выглядит столь просто потому, что
она записана через величины, определенные в разных системах
отсчета. В более явной форме, например, распределение в СМ
имеет вид
»(Рх, Ру, Рг) = V?~' (Е - vpz) w* {рк, ру, Y (Рг - vE)}; D.23)
в правую часть подставлены значения переменных в СМ, от-
отвечающие значениям аргументов распределения w* в СЦМ.
Преобразование распределений по другим переменным по-
подробно рассмотрено в гл. VII Здесь мы лишь проиллюстрируем
общую идею двумя важными случаями (Р, Q) и {q, r)s=
sh(Pcos6,PsinG). Соответствующие якобианы получаются из
формул (II. 8.1) — (II. 8.4) чисто механически:
д(рх,Ру,Рг) 2
д{Р, cos9, <р) ~г* К*'^>
д(Р, cos 6) sin 8 г
d(q,r) =—T=-
Это означает, что
w (Р, Q) = ю (Р, cos в) = P2w (рх, ру, pz), D.26)
w(q, r) = rw(px, py, рг). D.27)
Комбинируя эти выражения с D.22), получаем
w(P,Q)"^w(Pt,ff), D.28)
и, приняв во внимание, что г = г*, находим
w(q,r) = -^-w(q*,r). D.29)
Пример 2. Пусть некоторая модель дает для одночастичных
спектров выражение

74 Глава III
где /—известная функция. Мы хотим получить, предсказание
для экспериментально измеряемой величины d3a/dPdQ. Вос-
Воспользовавшись формулами D.25) и D.29), получаем
rf8q Р2 rf2g _^ Р2 Е* d2o _ Р) /¦ vP cos 6
dPdu ~ 2лг dqdr ~~ 2nr E dq* dr ~ 2nr \
Распределение d2afdqdr теперь зависит от <7
Упражнения
III. 1. а) Какова размерность амплитуды A{pi) рождения
я частиц, если размерность а дана в миллибарнах? б) Какова
размерность фазового объема /?„?
III.2. Выразите нерелятивистский фазовый объем 1{Е),
определяемый выражением
через гамма-функцию1).
111.3. Почему для изотропного распределения w(cos9)
:= const, а не w (8) = const?
111.4. Проверьте нормировку выражения D.19).
III. 5. Выведите выражение D.19), приняв до*(8*)=
и использовав подходящую формулу для dQ*/dQ.
') Сохранением импульса пренебрегается. — Прим. ред.

Глава IV
ДВУХЧАСТИЧНЫЕ КОНЕЧНЫЕ СОСТОЯНИЯ
1. Фазовый объем двух частиц
В этом разделе мы рассматриваем простейший из возмож-
возможных процессов: превращение одной частицы в две. Следова-
Следовательно, мы изучаем двухчастичное конечное состояние, связан-
связанное с начальным состоянием лишь сохранением 4-импульса.
Свойства начального состояния можно, таким образом, свести
к одной величине — его полному 4-импульсу р = (Е, р). В кон-
конкретных приложениях р может быть либо 4-импульсом р0 рас-
распадающейся частицы, либо полным 4-импульсом ра -\- ръ на-
начального состояния процесса соударения1).
Для вывода формул, дающих сечения и времена жизни,
а также для получения наборов переменных, удобных при рас-
рассмотрении конечных состояний с п частицами, требуется ввести
фазовый объем двух частиц. В соответствии с определением Rn
он равен
R2(p; m\, mj) =
(p"i-m^6(pl-m^6i(p-Pl-p2). A.1)
Константы m\ и tn\ могут иметь любой знак; мы записали их
в виде квадратов масс только для простоты. Известно, что
вследствие лоренц-инвариантности R2 является функцией лишь
величины
и tn\ и /п|. Мы вычислим интеграл A.1) в отдельности для
случаев -времениподобного, пространственноподобного и изо-
изотропного р.
а.-Времеииподобный р
Сначала приведем простой стандартный вывод формулы для
/?2 в случае времениподобного начального импульса р; осталь-
остальную часть этого раздела при первом чтении можно опустить.
') Импульс р может быть также 4-импульсом, переданным паре конечных
частиц. — Прим. ред.

7б Глава IV
Интегрируем в уравнении A.1) сначала по р%, используя
тырехмерную б-функцию, а затем переходим в систему отсчета,
в которой p = (Vs . О) (систему покоя р):
R2 (s) = \d*pfi (р\ - m]) б {(р - />,)? - пЩ = A.3)
A.4)
= ~ \ Р\ dQ\ dfrfi (s - 2 V« E\ + m? - /n|), A.5)
где телесный угол Q* описывает ориентацию pi в системе по-
покоя р. Благодаря б-функции фиксируются величины импульсов
продуктов распада:
2
Значения этих импульсов для двухчастичных видов распада
различных резонансов приведены в таблицах элементарных
частиц [159*]. Проводя в A.5) интегрирование по Е* при по-
помощи формулы (III. 2.12), находим
A.7)
8s ¦j—i. A-8)
На этой ступени в A.1) проинтегрированы только б-функ-
б-функции; выражение для R2(s) в этой форме нам понадобится
в дальнейшем, поскольку введение матричного элемента
Л(рьРг) в интегралы A.7), A.8) тривиально. Но сейчас у нас
матричный элемент Л(рьр2) равен единице и мы можем немед-
немедленно проинтегрировать в формулах A.7), A.8) по Q*:
A.9)
Все формулы для R2 в действительности должны содержать
9-функцшо e(V$—tru — w2), которая обеспечивает обраще-
обращение в нуль Р2 ниже порога. Формально эта пороговая в-функ-
ция возникает из в-функции в(ро) в уравнении (III.2.11).
После этого простого вывода мы для сравнения с нашими
прежними результатами проведем более общие выкладки и ис-
исключим б-функции из интеграла A.1) в произвольной системе

Двухчастичные конечные состояния 77
отсчета р==(Е,р). Интегрируя в A.1) сначала по р\ и р\
и учитывая ограничения, налагаемые на. импульсы их пребы-
пребыванием на массовой поверхности, получаем
Интегрирование второй б-функции по рг затем дает
R2(E, р) = ^<Ю, ] 4Ei{E_El) 6{f(P|)}- A.10)
Телесный угол Qi == (cosei,cpi) определяет ориентацию pi по
отношению к р (фиг. 15). Мы ввели также
f(p\==p р (р2'л.р-> орр rnsfl 4-m?<\'/' П \\)
I I х ] I "• J-4 L-i л \^ I * I ?~л L | ^UIj vi |^ 1/«п] ¦ 11*111
Условие f(Pi) = O определяет модуль вектора pi как функцию
cos@i) (косинуса угла между р и pi). С двузначностью реше-
решения Pi = Pf мы уже встречались раньше в формулах (II. 8.19),
Фиг. 15. Угол вылета 6, есть угол между р и р^ „
угол ф] (не показан) описывает азимутальную - »^
ориентацию р| относительно вращения вокруг р. - р\
(II. 8.20). Свойства Pf подробно проанализированы в разделе
II. 8. Поскольку интеграл по Pi берется от 0 до со, вклад в R2
дают только положительные решения. Для эллипсоидов классов
1 и 2 (и ^ v*) значение РТ всегда отрицательно, в то время
как для эллипсоидов класса 3 (о > v*) оба значения РТ > 0
ДЛЯ 0 S^ 0i < бшако ВЫЧИСЛЯЯ f (Р) ИЗ A.10)
и используя формулу интегрирования (III.2.12), получаем окон-
окончательно
J dQ^iPtfiEPf-PET cos б,)"'. A.12)
Формула A.12) громоздка, однако из релятивистской инва-
инвариантности следует, что если A.12) проинтегрировать по cosGb
то должен получиться результат A.9), где s = E2 — p2. По-
Поскольку мы интегрировали только б-функции, формула A.12)
остается справедливой при введении в нее матричного элемента
Л(рьр2). Благодаря б-функциям в A.12) войдет лишь зависи-
зависимость А от угловых переменных. Подынтегральная функция

78 Глава IV
в A.12) представляет собой по существу дифференциальное
сечение daddui в произвольной системе отсчета. Когда
p = (Ys, О), формула A.12) сводится, конечно, к A.7).
Сравнивая A.12) и A.7), находим, что для элементов про-
пространственных углов
dQ, Pl[^EPl —PEl cos6,)
Два значения рь которые в эллипсоидах класса 3 соответ-
соответствуют одному и тому же значению 0ь здесь должны подстав-
подставляться порознь. Формула A 13) есть не что иное, как наш
старый результат (III 4.16) для преобразования Лоренца диффе-
дифференциального сечения do/dQ, если в качестве у-фактора, харак-
характеризующего движение СЦМ в СМ, взято y^EJ-y/s. Здесь ре-
результат получился очень просто благодаря использованию ло-
ренц-инвариантности R%.
б Пространственноподобный р
Чтобы найти #2 Для пространственноподобного начального
импульса р, выполним сначала в A1) интегрирование по рг.
Это приведет нас к формуле A.3). Поскольку импульс р про-
странственноподобен, мы можем для интегрирования A.3) пе-
перейти в систему отсчета, в которой р = @, О, О, V—t). Тогда
вторая б-функция фиксирует следующее значение 2-компо-
ненты р\\
Ри*
Интегрирование по р\г теперь дает
=Т)~]6(p]-mf). A.14)
Остающийся интеграл наиболее естественно брать перехо-
переходом к псевдосферическим координатам, введенным на фиг. 8
и в формулах (II. 1.19), (II. 1.20). С их помощью имеем [см.
(II. 1.36)]
dEidPbdp^ptdP^gi, A.15)
где
A.17)
Одна и та же буква Р( у нас обозначает и-леременную ин-
интегрирования и ее фиксированное б функцией значение. Теперь

Двухчастичные конечные состояния 79
просто проинтегрировать по dP\, используя оставшуюся в A.14)
б-функцию. В результате получим
'ёи AЛ8)
Эта формула полностью аналогична A.7) и A8), только
теперь полный фазовый объем бесконечен. При -практическом
применении формулы A.18) появляются некоторые дополни-
дополнительные условия, которые ограничивают диапазон изменения %\
и делают интеграл конечным.
в Изотропный р
Наконец, в случае изотропного начального импульса р мы
должны проинтегрировать A3) при р2 = 0. В соответствующей
стандартной системе отсчета [см. (II. 1.13)] начальный 4-им-
пульс р задается в виде р = (со,0,0,со). Нужная параметриза-
параметризация р^дается выражением
(*++ *-)»/»!*, Piy, у(Я+-Я_)}. A.19)
Иными словами, мы выбираем новые переменные "К± = Е\±ри.
Эти переменные иногда называют переменными на световом
конусе. Тогда
R2(p,
m
\
= ~ J d\+ dk_d2rlb (X+X_ - r\ - mf) fi (m\ - m\
ru A-20)
2{m\ — m,)
где Г] = (p\x, piy) —поперечная часть импульса pi Таким обра-
образом, во всех случаях R2 приводится к интегралу по малой
группе (см., например, [53]) соответствующего стандартного
вектора. В случаях, когда р2 > 0, р2 < 0 и р2 = 0, малыми
группами будут 0C), 0A, 2) и ?B) соответственно [?B) —
группа вращений и трансляций в двумерной эвклидовой пло-
плоскости]. Соответствующими элементами объема являются dQ
A8), dg A.18) и d2r A.20).
Из формул A8) и A.18) видно, что необходимым условием
того, чтобы процесс р-*р\-\-р2 был физическим, является
Pv pi)={p2 - Ш+V^J} {р2 - Ш -
Это условие всегда удовлетворяется, если не все три вектора
являются пространственнолодобными или времениподобными.

80 Глава IV
Если же все они времениподобны, то условие A.21) требует,
чтобы выполнялось неравенство
+- m2 (порог реакции) A.22)
или _
-\/p2^.\mi~ m2\ (псевдопорог реакции). A.23)
Первое из них является естественным условием возможности
распада; последнее соответствует случаю, ко_гда р есть пере-
переданный импульс. Условия A.22) и A.23) следует сравнить
с (II 2.16).
Условие A.21) можно написать в более симметричной
форме, используя определитель Грама Az(puрг) для рх и рг,
введенный формулой (П. 7.3). Тогда мы можем утверждать, что
процесс p-*pi + p2 является физическим, если
ЛгСРь Рг)^0- A-24)
В частности, граница физической области, выраженная че-
через инварианты, дается соотношением A2(/?i,/02) = 0. Для слу-
случая двух независимых 4-векторов это соотношение тривиально,
однако для большего числа частиц, как мы убедимся ниже,
нельзя обойтись без применения определителей Грама.
2. Распределение углов разлета
Распределение O)(cos6i), появляющееся в интеграле A.12),
представляет собой распределение углов вылета (фиг. 15) —
углов 0i между импульсами распадающейся частицы и одного
Фиг. 16. Угол разлета Gt2 является углом между
Pi и р2.
из продуктов распада. Теперь мы определим распределение
углов разлета. Угол разлета 9i2 — это угол между импульсами
двух продуктов распада (фиг 16). Распределение углов вылета
связывает начальное и конечное состояние, в то время как рас-
распределение углов разлета имеет отношение лишь к конечному
состоянию. Можно также выявить различие этих распределений
в системе отсчета, в которой распадающаяся частица покоится;
в этом случае tw(cos0i)—некоторая регулярная функция cosOi,
а ш (cos 612)—6-функция, отличная от нуля лишь при 812 = я
вследствие сохранения импульса.

Двухчастичные конечные состояния 81
Распределение cos0I2 можно вывести, отправляясь от изве-
известного распределения ш* (cos В*), находя соотношение между уг-
углами 0J2 = 01 + 02 И 0* И ВЫЧИСЛЯЯ
d cos 8t
^*(cose')- BЛ)
Углы 0i и 82 можно выразить через компоненты pi и р2, а их
в свою очередь через относящиеся к СЦМ величины Р* = Р1,
01 = л —02 и через параметры преобразования из СЦМ в дан-
данную систему отсчета: v = PIE, y = E/Ys-E> СЦМ скорости
частиц / и 2 равны v\ = P\jE\, i=l, 2. Используя далее со-
соотношение cos 0i2 = cos 0i cos 02 — sin 0i sin 82, получаем
f>9 * * 9 / * *\ л* 9 9 * * О *
yV - о,о2+ fv(Ol - v2) cos9, - yVvlv1 cos^0! -
cos012 = ^ , B.2)
где
h\ = YV + vf + 2y2vv\ cos 0* + y2v2v *2 cos2 0*,
h2 = Y2y2 + y*2 _ 2Y2WO* cos 0* + Y2y2w*2 COS2 6»#
Общий случай, очевидно, очень сложен. Вместо того чтобы
продолжать вывод дальше, мы ниже применим другой метод
нахождения йу (cos 612) для произвольных масс. Отметим только,
что для равных масс (от,==т2, u*=iQ уравнение B.2) можно
решить относительно cos2 0^ и найти точное выражение для
ш (cos 01г). Результат настолько громоздок, что мы не воспро-
воспроизводим его здесь [6*, 84*, 146, 163].
Лишь в том случае, когда массы равны нулю, уравнение
B.2) упрощается настолько, что приводит к компактному ре-
результату. Примерами процессов такого типа являются п°—>уу
и e+e~->YY- В последнем случае зависимость матричного эле-
элемента от cos 0J дается квантовой электродинамикой. Положив
в B 2) mi = m2 = 0 или v] = v*2 = 1, имеем
Отсюда получаем следующее выражение для cosB*:
B.4)
Подстановка в B.1) приводит к результату [163*] (см. также
[68], стр. 32)
да (cos 012) = "" ^COs9'^ ц-. B.5)
V W 4Y2o sin3 (е,2/2) {о2 - cos2 (9,2/2)}'/* v '

82
Глава IV
Распределение ^Fi2) = sin в!2 a;(cos6i2) показано на фиг. 17
для случая w* (cos 6?) = const и нескольких значений v. Отме-
Отметим, что B.5) означает существование минимального угла раз-
разлета (упражнения IV 2 и IV.бI).
Получим теперь выражения для a>(cos0i2) в случае произ-
произвольных масс другим способом. Сначала положим в общей
10
5
п
-
-
1
v=0,9
V.
О"
45'
90°
On
№"
180°
Фиг. 17. Распределение углов разлета для распада на две частицы с нуле-
нулевыми массами при некоторых значеьиях скорости распадающейся частицы.
формуле (III. 2.7) для дифференциального сечения х = cos9i2 =
r=prp2/PiP2. Будем также предполагать, что матричный эле-
элемент постоянен, т. е. w* (cos 0f) = const. В противном случае
конечный результат надо будет умножить на w" (cos 0*), где 0*
выражается через 0i2 посредством формулы B.2). Заметим, что
дифференциальное сечение и Ri различаются только постоян-
постоянным множителем. Таким образом, мы имеем
w (cosB12) ¦¦
RJ1dR2
\ d3p{d3P2 D?i?2)~' 64 (P-Pi- й) 6 (cosG12 - ^
B.6)
R2 дается формулой A.9). Записывая (Рр2 в виде dzp2 =
= 2ЕгЬ (р22 — m|) d%pp интегрируем по d*px и получаем
dR2
d cos 8i
-=5dV1B?1)-'6{(p-P1J-'«2}fibs012-^
dPiPjBEl)
~1
(cos 812 pi '-),
¦) Компактные аналитические формулы получаются также при
[84*] — Прим. ред,

Двухчастичные конечные состояния 83
где 0f — угол между р и рь Интегрирование по ф1 тривиально,
а интегрирование но cos 81 можно выполнить, используя первую
б-функцию. Поскольку PidPi = E\dEu имеем
dR, / я \ 7 „ / 2??, - 2Е] - s + m\ + tn\ \ , ч
где зависимость от переменной интегрирования дана в явном
виде. Чтобы выполнить в B.7) интегрирование б-функции,
нужно знать производную аргумента б-функции /(Ei):
Е2 - Д, - у2 B?,?2 - Д + mf + m22) (E^2 - ?2Р2)
= р^ •
Подставляя в B.6) формулы A.9) и B.7), получаем окбнчд-
тельное выражение (см., например, [139])
X { Е2 -s ?, -1 B?,?2 - s + m] + ml) (?,РГ2 - E2PJ2) }"'. B.8)
Поскольку Рь P2, ?1, ? — сложные функции cos8i2, истинную
зависимость tw(cos0i2) от 6i2 установить нелегко. Чтобы пользо-
пользоваться формулами B.1), B.2) или B.8), нужны численные
выкладки.
3. Рассеяние 2—у 2: соотношения между СЦМ и СМ
Теперь мы приступим к рассмотрению реакции ра-\~Ръ->
-*/0i + /?2, которую мы назовем рассеянием 2->2. Это наиме-
наименование выбрано так, чтобы его легко было обобщить на случай
большей множественности. Фазовое пространство (определен-
(определенное для данного значения s) теперь двумерно; оно параметри-
параметризуется, например, углом рассеяния 8 и азимутальным углом ф,
описывающим вращение вокруг оси пучка. Последняя перемен-
переменная тривиальна; остается только одна существенная перемен-
переменная, описывающая конечное состояние. Общее число существен-
существенных переменных равно двум: одна фиксирует полную энергию,
другая — угол рассеяния. Энергетические переменные (типа
Еа, Ра> Vs) Уже разбирались нами подробно в гл. II. В ка-
качестве угловой переменной мы выберем угол между ра и pi
либо в СЦМ (фиг. 18), либо в системе мишени (фиг. 19):
е? = е*, = п - 0а2, - C.1)
Qi^C C.2)
Эти переменные зависят от системы отсчета. Поскольку будут
рассматриваться только величины, относящиеся к СЦМ и СМ,

84
/V
индекс М будет опускаться. По определению рассеяние на
угол, близкий к 0* = 0, называют рассеянием вперед, а рас-
рассеяние на угол, близкий к 8* = я, — рассеянием назад. Заме-
Заметим, что 8i и Э2=6а2 связаны между собой сложным образом.
Инвариантной переменной углового типа является инвариант-
инвариантный квадрат переданного импульса
^ '«, = (Ра - Р.J = К
= К
l COS 8fl[. C.3)
Анализ рассеяния 2->2 с помощью инвариантов s и t важен
в теоретическом отношении и будет подробно рассмотрен в сле-
следующем разделе. Данный раздел мы посвятим связи между
Фиг. 18. Углы рассеяния Ql и 92 =
Фиг. 19 Углы рассеяния 9j и 02 в си-
системе мишени; в этом случае 8j и
9г связаны между собой сложным
образом.
физическими величинами в СЦМ и4 СМ, особенно тем из них,
которые важны для эксперимента.
В СЦМ рассеяние 2->2 кинематически выглядит предельно
просто, так как нет связи между энергией и углом вылета. Дей-
Действительно, согласно (II. 6.15), импульсы зависят от энергети-
энергетической переменной:
C.4)
(e, m\, mf)
а все углы (фиг. 18) —от одного угла 91. В СМ все выглядит
сложнее. Пусть значение Vs задано, так что фиксировано
начальное состояние ра-\-рь (фиг. 19). Тогда любая из четы-
четырех переменных, характеризующих конечное состояние Р\, 8ь
^2, 82, будет определять остальные три. Наиболее интересные
соотношения связывают а) Р\ с 8j и Рг с 82 и б) 0i с 02.

Двухчастичные конечные состояния 85
а. Зависимость Pt от О,-
Формулы для Рг получаются из формул для Р\ перестанов-
перестановкой индексов 1 и 2, поэтому мы найдем только зависимость
Pi = Pi@i). Ее нетрудно найти прямым вычислением (упражне-
(упражнение IV. 8), но поучительнее будет воспользоваться результатами
раздела II .8. Там было показано, как преобразуется сфера
Pi — const при переходе в СМ. Нам остается только вычислить,
каковы в данном случае параметры v и v*.
Параметры преобразований Лоренца от СЦМ к СМ уже
были вычислены ранее [см. формулы (II.6.23), (II.6.24)]:
Ea+mb s~m2a-
Еа+ть s-mll
Скорость частицы / и ее лоренц-фактор y в СЦМ равны
1 Е, s + mr — mi
' (з-б)
mt 2mj Vs
Характеристический параметр g* [формула (II. 8.22)] дается,
таким образом, выражением
ml-~ m2 л ^s, та, ть)
В зависимости от того, будет ли g\ < 1 или g* ^ 1, частица
pi может оказаться в СМ испущенной либо в любом направле-
направлении @ < 0i < 180°), либо только в переднюю полусферу (О <С
< 8i < бГакс ^ 90°), как показывает подробный анализ, выпол-
выполненный в разделе II. 8. Изменение gi при изменении Vs за"
висит от относительной величины масс. Можно показать, что
существует 10 качественно разных случаев [37].
Подставляя формулы C.5) —C.7) в (II. 8.20) и (II. 8.24)
и выражая все величины через массы и через энергию Еа и

86 Глава IV
импульс Ра частиц пучка в СМ, можно получить следующие ре-
результаты:
- т\т\ - т\Р\ sin* ej'"] {{Ea + mbf - Р» cos* 9,}, C.8)
- т\т\ - т\Р\ sin2 в,]*] {(Яв + mbf - P\ cos2 в,}. C.9)
Уравнение C.8) соответствует в пространстве импульсов эл-
эллипсоиду вращения, параметризованному теперь с помощью че-
четырех масс и начальной энергии.
б. Соотношение между 6i и 62
Во многих экспериментах, проводимых методом совпадений,
важно знать 62, если дано значение 6i. Существует много спо-
способов вывода соотношения между этими величинами. Напри-
Например, можно использовать уравнение 6| = п — 6* в СЦМ Fi
измеряется в направлении против часовой стрелки, а 6г—по
часовой стрелке). Тогда [см. (II. 8.30)]
C.10)
hrfl Sin6l
tg «2 — (
Y(-cos6i+g2)
где у и g* даны формулами C.5) и C.7), a g\ может быть по-
получена из g\ заменой индекса 1 на 2 в формуле C.7). Из этих
выражений легко исключить 6* [применяя (II.8.32)] и получить
соотношение между 0! и 02. Общее соотношение не очень проз-
прозрачно, и на практике проводится численная оценка. Вместо того
чтобы выписывать ее, мы показали на фиг. 20, как 0i и 02 за-
зависят друг от друга при различных комбинациях g\ и g"r
Пример 1. В качестве примера рассмотрим случай упругого
рассеяния частиц с массами |xm->jxm (яг — масса мишени пгь;

Двухчастичные конечные состояния
87
мы принимаем, что ц^т). Для характеристических парамет-
параметров g\ и g*2 из C.7) получаем
§i==—~—гтц—г~==—ъ—"t ^1 (ЗЛ1)
и
^=1. C.12)
Как отмечено выше, g*2 = 1 означает, что испытавшая отдачу
частица р% движется в СМ в передней полусфере @ <=; 62 ^
^л/2). С Другой стороны, частица пучка может рассеиваться
/80°,
0° Ж" 180"
Фиг. 20. Соотношение между 9i и 92 для разных значений g' и g*.
в любом направлении, если массы не равны; если же ц = т,
то и 0] ^ я/2.
В этом частном случае формулы C.8) и C.9) имеют вид
р __ (пгЕа + цг) cos 9, + (Еа + m) (m* - ц» sin2 et)u p
(Ea + mf- Pi cos2 0,
= {mEa + у?) (Ea + m) + P\ cos 9, (m2 - y? sin2 9,)'/'
1 (E + mfPlcosH
C.13)

88 Глава IV
_ 2/я (Еа + т) Ра cos 62
-(*. +„)>-,>» со."*'
Они дополнительно упрощаются, если ц = т (например в
протон-протонном рассеянии) или (х = 0 (например в компто-
новском рассеянии или в электрон-протонном рассеянии при
высоких энергиях). Эти случаи предложено разобрать в каче-
качестве упражнений (упражнение IV. 9). Соотношение между 6i
и 02 в этих случаях также оказывается простым (упражнение
IV. 10).
4. Инвариантные переменные для рассеяния 2—>-2
Инвариантный расчет рассеяния 2->-2 является основной ки-
кинематической задачей физики элементарных частиц, и в той
или иной форме его можно найти практически в любой книге,
Фиг. 21. Инвариантные переменные для процесса
относящейся к этой области. Выше мы уже широко пользова-
пользовались инвариантом s и упоминали инвариант t. По причинам,
связанным с переходом из канала в канал (кроссинг-преобра-
(кроссинг-преобразование), вводят третий инвариант и. Таким образом, опреде-
определения инвариантов для процесса ра + рь -» Р\ + Рг можно сум-
суммировать в следующем виде (фиг. 21):
• = (Ра + РьУ = (Р, + Р2J - (К + КУ -
-т1 + т1 + 2тьЕ*, D.1)
ml + т\ - 2ЕаЕ, + 2РаР, cos 9., =
т2ь + т22 - 2mft?M (в СЦМ или СМ), D.2)
2РаР2 cos 9a2 =
(в СЦМ или СМ). D.3)

Двухчастичные конечные состояния 89
Поскольку существуют только две независимые переменные,
s, t и и должны быть связаны между собой. Действительно,
между ними существует линейная связь:
и = (Ра + рьJ + (ра -р{J + (Рь ~ PiJ =
D.4)
Введение трех зависимых переменных вызвано необходи-
необходимостью перехода из канала в канал (кроссинга) Этот переход
чрезвычайно важен в динамике, однако в кинематике он почти
тривиален. До сих пор мы исследовали реакцию РаЛ-рь-*
->Pi + /?2, предполагая, что все энергии положительны: р =
= (?, р), где ? = + (р2 + /га2/'2 i> m ^ 0. Но уравнение сохра-
сохранения 4-импульса, являясь аналитическим, справедливо также
и в случае, если импульс р времениподобен и имеет отрицатель-
отрицательную 0-компоненту: р = (Е, р), где Е — — (р2 -(- пг2)'1''. Тогда
можно записать условие сохранения 4-импульса в следующих
равнозначных формах: „
D.5)
где во второй строчке р\ и рь имеют отрицательное значение Е,
а в третьей строчке отрицательными значениями Е обладают
Рг и рь- Эти соотношения можно, однако, истолковать как урав-
уравнения сохранения 4-импульса для реакций
Ра + Рь -* Pi + Pi (s-канал),
Pa + Pi ~* Рь + Pi (*-канал), D<б)
Ра + Р2 ~* Pi + Рь (и-канал),
схематически показанных на фиг. 22, где черточка над буквой
отмечает античастицу соответствующей частицы, а все 4-им-
пульсы имеют теперь положительные значения Е. С кинемати-
кинематической точки зрения нет необходимости говорить об античасти-
античастицах; однако если принимаются в расчет динамические свойства,
то следует выполнять сопряжение частица — античастица, когда
частица переносится из одной части уравнения реакции в дру-
другую. Трем каналам реакции даются наименования (s, t и и)
по тем переменным, которые положительны (являются пере-
переменными типа энергии) для рассматриваемого канала. Тогда

90 Глава IV
две остальные переменные являются инвариантными квадра-
квадратами переданного импульса. Например, t всегда определяется
выражением t — (pa— piJ. Однако в ^-канале pi имеет отрица-
отрицательное значение Е\, и поэтому в системе отсчета ра — pi =
= ро + Рт=0 (СЦМ i-канала) энергетическая переменная есть
Канал распада.
Фиг 22. Различные каналы реакции ра + рь -*• р1 + Р2 и канал распада, кото-
который является физическим, если ть > т% + тг + та.
( ) ( \\){ ) Точно так же
можно показать, что s и и являются в ^-канале квадратами пе-
переданного импульса.
В дополнение к каналам рассеяния D.6) могут также суще-
существовать каналы распада. Например, если ть > tna + ту + mi
(фиг. 22), то может иметь место распад
Pb->Pa + Pi + P2- D.7)
Таким образом, возможны четыре канала распада.
Разные каналы могут выглядеть совершенно различным об-
образом, и в динамике при переходе от одного канала к другому
(что выполняется с использованием предположения об анали-
аналитичности амплитуды рассеяния) можно получить много полез-
полезной информации. Но в кинематике связь каналов означает
лишь тривиальную перемену знака 4-импульса. По этой при-
причине если расписать кинематику какого-то из каналов в инва-
инвариантах s, t и и, то следствия для других каналов получатся
автоматически. Значит, когда мы в дальнейшем будем говорить
о канале ра-\-Рь-*Р\ -\-Р2 и о плоскости st, то при этом будет
подразумеваться, что выполняемые расчеты симметричны от-
относительно перехода из канала в канал, несмотря на их внешне
несимметричный вид, т. е. все каналы рассматриваются на рав-
равной основе.
Для практики очень важны соотношения между инвариан-
инвариантами s, t и и и теми величинами, которые зависят от системы
отсчета. Мы приведем некоторые из этих соотношений, всегда
оперируя в системах отсчета для s-канала. Мы свяжем также
инвариантное дифференциальное сечение dojdt с амплитудой.

Двухчастичные конечные состояния 91
а. Соотношения между s, t, и и величинами,
относящимися к СЦМ
Соотношения между s и энергиями и импульсами в СЦМ.
очень простые, поскольку в них не входят углы. Эти соотноше-
соотношения были выведены в разделах П. 6 и IV. 1; здесь мы приводим
их снова:
*:>•(*, ml,
Р=р=
_ , Р,-Р2
Ь =
Е„ _ s + m2l - m22
1 2 л/Т
Из первых двух формул следует, что
2, (mi + m2J} Подставляя D.8) в соотношение D.2), свя-
связывающее t и cosflai, получаем для cos 0ai
COS B'al = ГТ5
2s(/ — rna — m') + (s + m\ — ml)(s + m\ — m])
D.9)
В следующем разделе мы дадим независимый вывод фор-
формулы для sinBai, основанный на результатах, полученных в
разделе П. 7. Зная 6ai, можно найти и другие углы, например
б*2 = л — Bai и т. д. Формулу D.9) полезно также вывести,
воспользовавшись правилом (II. 7.8) (упражнение IV. 13).
б. Соотношения между s, t, и и величинами,
относящимися к СМ
Для величин, характеризующих начальное состояние, мы
уже вывели соотношения
2mb 'u'u' 2mb )' D.10)
Pb = («», 0, 0, 0).

92 Глава IV
В конечном состоянии нам требуется определить две энергии
(Е?, ?*), два импульса (рТ, Р?) и два угла (ей, 6^2) (фиг. 19).
Энергии теперь проще всего связать с переданными импуль-
импульсами. Например, из формулы D.2) сразу получаем
m]-t
Аналогично из формулы 'D.3) находим
Е\ = к- , D.13)
гть
Pf= Х2(и>т°'т0 D.14)
2ть v
Заметим, что соотношения D.12) и D.14) требуют выполнения
условия для псевдопорога A.23): t ^.(ть — т2J, и^.(ть—-
— Ш\J. Из аналогичных соотношений в системе пучка (СП)
следует t ^ (та — tniJ, и ^ (та — т2J. Наконец, углы 8Й и 0^
получаются из соотношений t = (pa — piJ и и = (ра — р2J, и
формулы для них имеют следующий вид:
COS Dai —
— QM _ (S ~ ™'a ~ OTD К + «1 ~ Q + 2«1 (» ~ «a ~ «])
COS Оа2== ~q—( 2 n.v/ 5 5n D.1b)
Xh(s, ml,ml)kh(t, mb, m2)
<- Соотношения D.8) — D.16) относятся к системам отсчета
для s-канала. Для многих теоретических целей важно иметь
возможность выражать нековариантные величины в системах
отсчета для t- и «-каналов через s, t и и. Нужные соотношения
получают из соотношений D.8) —D.16) путем простой пере-
перестановки индексов. Для перехода из s-канала в /-канал меняют
местами индексы 1 и 6 (s -^-*-1, и не меняется); чтобы перейти
из s- в м-канал, то же проделывают с индексами 2 и b (s ¦<-> и,
t не меняется). Например, угол рассеяния в СЦМ ^-канала
дается формулой [ср. D.9)]
) + K-«)K-«D ..,7,

Двухчастичные конечные состояния 93
в. Формулы для сечений
При нормировочном условии (III. 2.2) — (III. 2.4) сечение ре-
реакции ра + Pb-*-pi-\- p2 выражается следующим образом:
Матричный элемент А является функцией двух независимых
переменных. Если вычисляется дифференциальное сечение
do/dx, то интегрировать \А\2 не нужно, поскольку на самом
деле в D.18) имеется только одно нетривиальное интегриро-
интегрирование.
Интеграл D.18) уже вычислялся в разделе IV. 1. На осно-
основании формул A.7) и A.12) нгожно сразу написать для СЦМ
и СМ:
da I Р,
Pa
г\А\г, D.19)
rfQf Ып2тьР*? {E* + mb)pf - Р%Е? cos 9^,
"^М~сл„2„ dm ^1?м + шЧрМ_рМ?МС0.лм I^P- D-2°)
В формуле D.20) Pj4 само зависит от 6^ [см. формулу
C.8)]. Аналогичные формулы для daldQl и da'dQf получаются
заменой 1 ¦<-»¦ 2. В некоторых особых случаях выражения D.19),
D.20) упрощаются (см. упражнение IV. 12).
Вместо нековариантных сечений D.19), D.20) обычно удоб-
удобнее (например, для записи результатов эксперимента) исполь-
использовать инвариантное сечение do/dt. Его можно получить не-
непосредственно из D.19). Согласно D.2),
dt = 2PlP\d cos 9^1 = — PIP] dQl D.21)
Тогда
Лп Лп HO* t Л I2 I A I2
D.22)
m
)
Очень полезно дать непосредственный вывод формулы
D.22). Для этого мы должны взять интеграл
Ж Ж б< 0» + Рь ~Pi- Pi) s V - (Pa ~ Р.П- D-23)
= \
Под интеграл можно поместить и величину \A(s, t)\2, по-
поскольку при интегрировании она является константой (s и t

S-4 Глава IV
теперь постоянные). Подставляя в D.23) формулу (III.2.11)
и интегрируя по d*p2, получаем
Затем, переходя в СЦМ, где должно быть ра + Рь—О, и ис-
используя равенство
dV, P2dP,dQ, ,„ ,
-j^L = _L_J—L _ „p, rf^irf cos 6e,,
находим
oo 1
-^р = nP\ \dE\ \dcos e;,6(s — 2?J V« + m\ - m|) X
X b{t — m\ — m\ — 2E*aE\ + 2?;pj cos 8',).
Интеграл по Е* вычисляется с помощью б-функции (инте-
(интеграл отличен от нуля, если ml^.E* < 00V а для интегрирова-
интегрирования по cos Qai используется вторая б-функция (интеграл не ра-
равен нулю, когда — 1 ^cos9ai ^ 1). Собрав все множители
вместе, найдем явный вид выражения для dR2/dt. В дальней-
дальнейшем (в разделе V. 5) нам понадобится интегральная форма
этого выражения:
#2(s) = i-A,-1/2(s, ma, m\) Jdqp,<fte(l— cos28*,) в (?* — т^- D.24)
Подынтегральное выражение отлично от нуля только при ус-
условии, что E\~^mv — I^cos8*j^l. Будучи выраженными
через s и t, эти требования определяют в плоскости st физиче-
физическую область, которая будет рассмотрена в следующем разделе.
Введение фактора потока F, определяемого выражением
F~l = 8я2х'к (s, ml, ml), снова приводит к формуле D.22).
Сечение реакции можно теперь вычислить по формуле
где f* = f* (s, m9,) — предельные значения t для фиксирован-
фиксированного значения s, которые будут определены в следующем раз-
разделе [формула E 31)].
Полное сечение реакции «ра + рь->что угодно» с помощью
оптической теоремы. [68] выражается через амплитуду рассея-
рассеяния вперед для упругого процесса \im-+\xtn:
Im А (в, / = 0) = г!'1 (s, m\ ц2) 0ПОЛН (s). D.26)

Двухчастичные конечные состояния 95
Ниже мы покажем, что направление вперед соответствует
для упругого рассеяния случаю / = 0 [формула E.8)]; комби-
комбинируя уравнения D.26) и D.22), можно вычислить действитель-
действительную часть амплитуды рассеяния вперед:
\}. D.27)
Это положительная величина, поэтому
*°L > ' о» (j). D.28)
Значение do/dt\t=o, соответствующее знаку равенства, назы-
называется оптической точкой. Пользуясь формулой D.28) или дру-
другими, относящимися к do/dt и сг2(?), следует помнить, что по-
последние имеют размерности мб/(ГэВ/сJ и мб2; при этом
1/(ГэВJ = 0,389 мб (II.3.7).
5. Физическая область изменения s, t и и
Когда реакция ра-\- Рь~* Pi + P2 описывается, например, в
переменных Е\ и 0Si, имеющих прямой физический смысл, то
физическая область для s-канала определяется легко: ?j>m,,
— 1 ^ cos 8*, ^ 1. Другими словами, реакцию ра + рь ->Р\ -j-
+ р2 можно экспериментально измерять в любой точке внутри
этой области. Теперь перед нами стоит проблема определения
этой области в плоскости st. Сложность решения задачи зави-
зависит от того, каковы массы частиц. Сначала мы разберем случай
упругого рассеяния, а затем приступим к общему случаю.
Пример 1. Допустим, что в реакции ра-\- Рь^>-Р\ + Ръ та =
= nil = М-, а ть = Ш2 = т, причем можно принять ц ^ т.
Это упругое рассеяние (например п~р -> п~р) или близкие
к нему процессы перезарядки (например п~р-*-п°п). Поскольку
этот случай весьма важен, мы дадим здесь в упрощенной форме
сводку кинематических соотношений между s, t, и и некото-
некоторыми величинами, относящимися к СЦМ s-канала. Для энер-
энергий и импульсов из формул D.8) имеем
2VF '
^p?, E.1)
2 ys
2 ys
' _ PI _ p« p« = p* — x'/l ($>ffl2'
ZV

96 Глава IV
а для угла рассеяния 8ai из формулы D.9^ получаем
или
,=_ M?L^di!I(i-cose*,) — 2P*2(i-coseso-
= -4P*2sm2y9^. E.3)
Особо отметим простую формулу E.3) (упражнение IV. 14).
Зависимость между и ncosSai получаем из соотношения
в виде
По сравнению с формулой E.3) в E.5) появляется еще один
важный член, который означает, что для направления- назад
„(е;,-*)--*»^, E.6)
в то время как для направления вперед
/(eIi = 0) = 0. E.7)
Этот дополнительный член подробно рассматривается в' раз-
разделе 6.
Границу физической области можно теперь получить из ус-
условия, что cos Qai в уравнении E.2) лежит в пределах
— 1 <^cos6ei ^ 1. Верхний предел t достигается, когда
а нижний предел, когда
f _. Я (s, m\
E.9)
В плоскости st E.8) представляет собой прямую линию,
а E.9) — гиперболу с асимптотами
s = 0, и = 0 (или t = — х + 2т2 + 2ц2) E.10)
(фиг. 23). Кривые E 8) и E.9) пересекаются в точках s =
= (tn±\iJ. Значение s = (m+^iJ соответствует порогу (Р* =
= 0) реакции ра -\-рь-*р\ + Р2- Для каждого значения s, пре-
превышающего это значение, вертикальный отрезок между кри-
кривыми E.8) и E.9) соответствует полному интервалу значений

Двухчастичные конечные состояний
I углов —I^cos6ai^l. Отметим, что пороговое условие ока-
оказывается автоматически включенным в условие E.9) для углов.
Таким образом, физическая область для реакции ро + Р&->
->Р\Л- Р2 определена.
Хотя при выводе уравнений E.8), E.9) мы использовали
только относящийся к s-каналу угол 9ai, эти уравнения дают
Фиг. 23. Физическая область в плоскости st для масс рт
также физические области для u-канала [и ^ (т + цJ] и t-ка-
нала (t^Am2). Эти области тоже показаны на фиг. 23.
Теперь мы можем вернуться д случаю произвольных масс.
Рассматривая распад р ->рг~\- pj, мы убедились выше, что
Равным образоц инвариант
условиям
E.11)'
должен удовлетворять
или
4 Зак. 517

98 " Глава IV
НИМ III ».-.»„,„¦„., и. ,, и , .-. - . ,„ ¦ ||Г .... |
Следовательно, в реакции ра-\- Ръ-> Pi -\~P2 величина s =
= (Ра + РьJ = (Р\ + Р2J должна быть больше, чем каждая из
величин (та-\-тьJ и (mi + тгJ, или меньше, чем любая из
величин (та — тьJ и (mi —т2J. Поскольку то же справед-
справедливо для всех инвариантов, мы видим, что в каналах рассеяния
физические величины s, t и и должны удовлетворять условиям
s > max {{та + mbf, (m, + m2J}
шли
s <4min {(та — mbf, (m, — m2J},
t > max {{ma + m{f, (mb + m2J}
или E.12)
t < min {(ma — ntiJ, (mb — m2J},
ы > max {{ma + m2J, (m& + m^2}
или
и < min {{ma — m2J, (m6 — m,J}.
Имея дело с распадными каналами (сначала мы рассматри-
рассматриваем случай Рй->РЙ + Р^+ Р2)> необходимо помнить, что в
уравнении ра-\-рь — Pi + P2 4-импульсу ра теперь соответствует
отрицательная энергия. Чтобы у ра энергия стала положитель-
положительной, проведем замену ра-*—ра\ после этого $ = (/?& — раJ =
= {р\ + ргJ будет удовлетворять условию {т.\ + m2J ^ s ^
^.(гпь — таJ. Применив ту же процедуру к / ==~(ра + PiJ =
= (рь — ргJ и к и = (рь — Р\J = {Ра + Р2J, найдем
maf,
{та + m,J < t < (m» - «sJ, E.13)
(ma + m2J < и < (m6 — m,J.
Очевидно, эти неравенства могут выполняться только при
условии, что гпь ^ Ш\ + т2-\- пга. Если не ть, а та, т,\ или
т2 больше, чем сумма остальных масс, то для каждого случая
получится свой набор аналогичных неравенств. Вместе с нера-
неравенствами E.12) и E.13) они исчерпывают все условия вида
Д2 ^ 0, выраженные через s, t и и.
Кроме неравенств E.12), следует еще наложить условие
•| cos Oai 1. Как будет показано ниже, оно приводит к усло-
условию вида Д3 ^ 0, которое накладывает ограничения одновре-
одновременно на s и на t. Действительно, подставляя cos0ai=±l
в уравнение D.9) и используя D.8), чтобы выразить энергии

Двухчастичные конечные состояния
99
и импульсы через s, сразу получаем
Т l>/l (s, ml, ml) k'k (s, ml ml)}; E.14)
здесь t+ и t~ соответствуют двум значениям cos0ai = ±l.
В частности, t+ (величина, часто обозначаемая |^|мин) есть
s
-Ю
-IS
Ю cose*=*f 15
го
0,3 .
Фнг. 24. Физическая область для реакции яр->-ЛК в плоскости st.
Показаны также кривые постоянного угла рассеяния
шени.
6а(
в системе покоя ми-
значение t при рассеянии вперед (раздел 6). Для упругого рас-
рассеяния уравнение E.14) сводится к E.8), E.9). В общем слу-
случае уравнение E.14) дает границу физической области для
рассеяния 2-* 2 в плоскости st. На фиг. 24 приведен пример
такой области; другие примеры см. на фиг. 28 и 29.
Уравнение E.14) в действительности дает физическую об-
область во всех возможных каналах, хотя это сразу не очевидно.
Чтобы увидеть симметрию по отношению к различным каналам
и получить результат в компактной форме, проще всего опреде-
определить границу физической области не из условий cos0ai = ± 1
а из эквивалентного условия sin2 Qh = 0 [71]. Для вычисления
sin Bai неудобно исходить из уравнения D.9); лучше выразить
sin B*ai через инварианты, как мы это делали в разделе II. 7. Мы

100
Глава IV
знаем, что Qh — угол между ра и pi в системе отсчета ра + р&"=*
= 0. Тогда соотношение (II. 7.9) позволяет написать .
-sP'tp?sin2e;! = A3(pe + p&; Pa, р1)=а3(р., Рь>Рд> <5Л5>
где использована формула (А.6). Определитель Грама А3 пред-
представляет собой следующую функцию а, / и масс:
Аз
tPa,
Pb,
=
Pl) =
1
T
s-
ml
Pi
Pa'Pb
Pa'Pi
2ml
-m\-r
+ m\ —
Pa-Pb
P\
Pb^Pl
s —
t m\-
Pa-
Pb'
P
m\-
2ml
+ «?
Pi
Pi
-m\
— и
=
; т\ + т\— t
m\ + m\-u
2m\
E.16)
Если раскрыть определитель в правой части E.16), то по-
получается базисная четырехчастшная кинематическая функция
G(x,y,z, и, v, w) [109], связанная с А3 таким же образом, каким
функция k(x,y,z) связана с Аг [см. (II. 7.4)]:
Д3(Ра. Ръ> Pi) =
- ~ 7 G {(Р
- PlJ> (Ра + РЬ- РхУ> Pi Pi' P?} -
'±
= -±G(s,t, ml,т\, ml mf). E.17),
Свойства функции G мы проанализируем весьма подробно. С по-
помощью этой функции можно записать уравнение E.15) в виде
*,=_4s-
Физическая область для рассеяния 2-* 2 в плоскости st
должна удовлетворять, следовательно, кроме условий вида
E.12) или E.13), требованию
А3>0, E.19)
где аргументами могут быть любые три линейно независимые
комбинации ра, рь, pi и ръ, или эквивалентному требованию
G(s,t, m\, m\, m\,
E.20)
Заметим, в частности, что неравенство E.20) применимо
даже в том случае, когда какой-либо из импульсов pi является
4-импульсом не отдельной частицы, а группы частиц. В этом.

Двухчастичные конечные'состояния 101
случае /Иг — инвариантная масса группы. Таким образом, нера-
неравенство E.20) является весьма общим. Полезно запомнить его
в форме мнемонического правила, изображенного на фиг. 25.
реакции
Фиг. 25.
Для вывода условия E.20) можно воспользоваться и углом
рассеяния 0Й в системе мишени. Чтобы выразить 6^1 через ин-
инварианты, используем правило (II. 7.9) для записи в инвариант-
инвариантном виде угла между ро и р^ в системе отсчета рь = 0:
(fmn^=A3(pb, pa, Pl) = ^(pa, Pb, Pl).
Применив определение функции G и формулы D.10)
D.14), получим
E.21)
Разделив выражение E.18) на E.21) и учтя равенства D.8) и
D.14), мы убедимся, что
^?. E-22)
sine» pl
как и следовало ожидать.
Рассмотрим теперь свойства функции G. Так как с нею свя-
связан определитель Грама Аз, функция G удовлетворяет несколь-
нескольким соотношениям симметрии и обладает рядом простых алгеб-
алгебраических свойств. Они аналогичны соотношениям (II. 6.3) —
(П. 6.7) для Цх,у,г).
а. Алгебраическое выражение для G (х, у, г, и, v, w)
Поскольку pa, Рь я pi в уравнении E.16) можно заменить
любой их линейно независимой комбинацией, запись Аз в виде
определителя может быть представлена во многих на первый
взгляд неэквивалентных формах. Все они после преобразований
приводят к единственной универсальной функции G, которая
дается выражением
G{x, у, z, и, v, w) = x2y + xy2 + z3u + zu2 + viw + Mifi + xzw-\-
+ xuv + yzw + yuw — ху {z + и + v + w) —
— zu {x + у + v + w) — vw {x + у + z + w). E.23)

102
Глава IV
Из формулы (А. 13) видно, что функцию G можно также
выразить через определитель Кэли:
О
G(x,y,z,u, v, o»)=s— т
1 1 1
0 v x
v 0 и
X и О
z У
1
Z
У
W
w О
E.24)
та = гп\ = ц, тгаь =
E.25)
Если массы заданы соотношениями ц
= щ2 = т, то функция G упрощается и принимает вид
G (х, у, г, и, г,и) = у {ху + Я (х, z, и)}.
Уравнение E.18) тогда дает
. sin 6*' = k(s.lw [~ st & + % (s' m2' (г2)>1'/2- E'26)
Мы вновь получили физические границы E.8), E.9) для про-
процесса цт -v [xm. Легко убедиться, что уравнения E.2) и E.26)
согласуются друг с другом.
б. Интерпретация G
Подобно тому как функция к(х,у,z) была связана с пло-
площадью треугольника, функция G связана с тетраэдром:
G (х, у, z, и, v, w) = (—144) X (квадрат объема тетраэдра
с попарно противолежащими ребрами -у/х, л/у; <\Jz,
л/Ъ; д/Я УаУ) E.27)
(упражнение IV. 17). Порядок расположения ребер показан на
Фиг. 26.
фиг. 26. В связи с этой интерпретацией G можно называть
функцией тетраэдра.
в. Свойства симметрии G
Функция G инвариантна относительно некоторых перестано-
перестановок своих шести аргументов. Какими могут быть эти переста-
перестановки, легче всего увидеть из интерпретации G как объема тет-
тетраэдра, показанного на фиг. 26. Этот объем явно инвариантен

Двухчастичные конечные состояния 103
относительно любой перестановки четырех граней (или вершин)
тетраэдра. Эти 4! = 24 перестановки граней приводят к опреде-
определенным перестановкам ребер х, у, г, и, v, w. Эти перестановки
можно воспроизвести следующим образом. Сгруппируем аргу-
аргументы G в три группы: ху, zu и vw, соответствующие парам про-
противолежащих ребер Тогда функция G инвариантна по отноше-
отношению: 1) к любой перестановке этих групп, 2) к любой одновре-
одновременной перемене мест аргументов сразу в двух группах.
Преобразования первого типа дают шесть перестановок, и
к каждой из них можно применить три преобразования второго
типа, так что всего получается 6 + 6 X 3 = 24 преобразований.
На языке теории групп группа инвариантности G(x, y,z, u,v,w)
есть подгруппа группы перестановок шести объектов. Она поро*
ждается операциями A) и B) и изоморфна группе перестановок
четырех объектов.
г. Алгебраические свойства
Часто требуется выделить в функции G зависимость от ка-
каких-то двух переменных, например от $ и / в E.20). Благодаря
свойствам симметрии следует рассмотреть только два суще-
существенно различных случая, а в качестве двух переменных до-
достаточно выбрать либо ху, либо хг Кривая G = 0 третьего
порядка по х, у и второго порядка по х, г. Чтобы изобразить
кривую G — 0 в плоскости ху или хг, требуется решить уравне-
уравнение G = 0 относительно х, у и г. Решения этих уравнений вто-
второй степени имеют вид:
х* = г + w — -^ {(у + 2 — и) (у -f w — и) =?
E.28)
z* =x + w — ~{(u + x -v)(u + w-y)±
Решения для рг можно получить из х± путем перестановок
х •*-*¦ у, z -«->¦ и и х ¦*-*¦ г, и ¦*->• у соответственно, но, поскольку
они часто бывают нужны, мы В явном виде выписали решения,

104 Глава IV
соответствующие первой формуле для лс*. Двойные знаки в пра-
правых частях E.28) расставлены с таким расчетом, чтобы (при
у > 0) получалось х+ > хг. Функции К в уравнении E.28) оче-
очевидным образом связаны с площадями граней тетраэдра, пока-
показанного на фиг. 26. Функцию G теперь можно выразить через
ее корни следующим образом:
О(х, у, z, и, v, w) = y(x — х+)(х — х~) = х{у — у+)(у—у-) =
z+){z-z~), E.29)
где коэффициенты при квадратичных членах найдены, сравне-
сравнением с E.23).
Форму выражений E.28) можно понять, заметив, что они
являются аналогами формулы (II. 7.5), куда подставлено
cos 023 — ±1. G или Аз обращается в нуль, когда квадрат си-
синуса какого-либо из углов обращается в нуль; знаки ± в E.28)
получаются, когда соответствующий косинус равен +1 или —1.
Этот косинус вычисляется в системе покоя той переменной, на
которую делятся выражения в скобках в E.28), т. е. в системе
отсчета, где обращаются в нуль пространственные компоненты
того 4-импульса, квадрат которого дает эту переменную. Напри-
Например, если у = s, то системой отсчета является СЦМ. Функции
Я в E.28) связаны с импульсами, а первые два множителя
внутри скобок — с энергиями в этой системе.
Эти выводы очевидны также в том случае, когда мы исполь-
используем соотношения E.28), чтобы изобразить границу физической
области E.20) для реакции ра + Рь-^р\ + Р2 в плоскости st.
Мы можем выразить либо s через /:
± ** (*, т\, ml) я1'* (t, ml «?)}, E.30)
либо t через s:
^ = т1 + т*-±{(з + т1~-т1)(з + т\-т1)^
=F A1/2 (a, ml ml) Av' (s, m\, ml)}. E.31)
Выражение E.31), конечно, совпадает с выражением E.14),
которое было непосредственно получено путем подстановки
в D 9) cos8ai = ±1. Если для определения t применить вторую
форму выражения для х± (или аналогичное выражение для г/±),
то видно, что это соответствует подстановке cos Q*b2 = cos 9*, =
= ± 1 в выражение t=*(pb — p2f = (ра — р,J:
E.32)

Двухчастичные конечные состояния 105
Аналогичным образом знаки ± в выражении E.30) соответ-
соответствуют тому, что косинус угла рассеяния в СЦМ f-канала пола-
полагают равным ±1.
д. Симметричное представление G
С помощью выражений E.30), E.31) можно построить фи-
физические области для всех каналов, хотя из этих выражений
симметрия непосредственно не видна. Чтобы получать границу
Фиг. 27. Треугольные координаты s,
t, и.
U'Emf
) E.34)
- m\m\) {m\ + m\ - m\ - m*),
физической области способом, отличающимся большей симмет-
рией, мы запишем G в форме, которая отчетливо показывает
симметрию этой функции по отношению к s-, t- и и-кана-
лам [71]:
— G(s, t, m% m\, m\, /п|)эФ(», t) = stu - (as + # + yu), E.33)
Ka = (m>|- m]mf)(m2a + ml-m\- m22),
причем
Удобно также воспользоваться не декартовой, а треугольной
системой координат. Ее осями являются три прямые, пересекаю-
пересекающиеся под углами 60°, а величины s, t и и представляют собой
расстояния до соответствующих осей (фиг. 27). Если высота
треугольника равна 2 т»> условие 54-/ + ы==Хт« выполняется
автоматически.
Легко видеть, что кривая третьего порядка Ф (s, t) = 0 имеет
следующие свойства:
1, Ее асимптотами являются s = 0, f = 0 н й = (|,

106
Глава IV
erepetf
Фиг. 28. Физические области для реакции KN -> pY*.
Центральная часть в данном случае не является физической областью. Границы для
*- и и каналов слегка искажены, чтобы лучше были видны касательные Величины t *(s)
даются формулой E.31).
2. Она пересекает асимптоты в следующих трех точках пря-
прямой as + fit -f yu = 0:
л j vK pK
t = —
0-у1
а-
а-р-
3. Имеются 12 касательных к Ф(в, t) = 0, параллельных
трем осям координат; они соответствуют порогам и псевдопоро-
псевдопорогам трех каналов.
s = (ma± mbf, s==(ml± m2J,
t= (ma ± m,J, t=(mb± m2f, E.35)

Двухчастичные конечные состояния
Г07
Имеются 14 типов кривых Ф = 0, зависящих от величины
масс. Здесь мы не пытаемся дать общую классификацию типов
кривых. Это было выполнено Котанским [86] (см также [128])„
Фиг. 29. Физические области для реакции л°<в->¦ я+я~\
Центральная часть теперь является физической областью (диаграмма Далица). Граница
для s канала искажена, как на фиг 28
Кроме рассмотренного выше случая упругого рассеяния, мы раз-
разберем еще «нормальный» случай, когда все массы не равны
нулю и не удовлетворяют никаким специальным соотношениям.
Рассмотрим сначала реакцию
К D94) + N (938) -> р G60) + Y* A660),
физическая область которой, рассчитанная с помощью уравне-
уравнения E.31), изображена на фиг. 28 В этом случае пга + ть<
¦<т\-\-т2, поэтому порог для s-канала есть m, + /n2 = mp +
+ mY«. В s-канале величина t остается отрицательной, в то

tO8 Глава IV
время как и может достигать значения т [ть — fn,J = (mN — mpJ
в направлении назад; f-каналом является реакция Kp-*-NY\
поэтому его порог равен mb + m2= mN + тх*. Порогом «-ка-
«-канала KY*->pN является та + т2 = тк + ту», причем t дости-
достигает значения (та — m,J = {mK — mpJ, a s—<•значения (та —
— тьJ= (тк — тмJ. Остальные три порога и три псевдопо-
псевдопорога касательны к границе центральной области, в которой s, t
и и положительны. В данном случае ни одна из масс не превы-
превышает суммы остальных трех. Это указывает на то, что все по-
пороги, касательные к границе центральной области, превышают
параллельные им псевдопороги, например (та -f- Ш\J > (ть —
— т2J. Следовательно, распад не может иметь места, цент-
центральная область является нефизической. Она удовлетворяет
требованию А3 ^ 0, но для нее не выполняется условие А2 ^ 0.
Если вместо предыдущего случая рассмотреть реакцию
(фиг. 29)
я0 A35) + й G84) -> я+ A40) + п~ A40),
то центральная. область окажется физической, поскольку воз-
возможен распад ю—>-я+я~я°. Отчетливо видно, как удовлетво-
удовлетворяются неравенства E.13). Когда центральная область яв-
является физической, она называется диаграммой Далица. Эта
диаграмма подробно рассматривается в гл. V.
е. Формальная связь между G и X
В качестве последнего замечания укажем любопытный спо-
способ, которым функцию G можно связать с функцией Я. Предпо-
Предположим, что три 3-вектора удовлетворяют условию Р1 + Р2 +
-f- р3 = 0. Тогда из того факта, что Я связана с площадью тре-
треугольника [см. замечание после уравнения (II. 6.9)], следует
Ч F-36)
Применим это соотношение к реакции ра + рь -*• pi + Pi
в СМ: рь = 0, pa —Pi — Р2 = 0. Тогда можно написать
С другой стороны, правило (П. 7.9) показывает, что
т1\РаХРь?=Ь3(ра, pb, Pl) = -lG(s, t, m% m\,mlmf). E.38)
Приравнивая между собой E.37) и E.38) и записывая им-
импульсы в уравнении E>.37) в инвариантном виде с помощью со-

Двухчастичные конечные состояния 109
отношений D.10)—D.14), находим тождество
G{s,i,m\,ml,ml mf) =
_ A{A,(s, ml, ml), X(t, ml, m$), Я (a, ml m])}
С практической точки зрения это тождество не очень по-
полезно.
6. Величина t для рассеяния вперед
Мы видели, что для реакции \km-^\itn величина t при рас-
рассеянии вперед (t+) равна нулю, но при рассеянии назад и —
= (m2—\i2J/s>0. Вообще значения t+ (положительные или
отрицательные), определяемые формулой E.14), . стремятся
к нулю, когда s->oo. По этой причине формула E.14) не-
неудобна, так как представляет малое число t+ в виде разности
двух больших чисел; значения t+ получаются с плохой точ-
точностью. При больших s можно исключить большие члены, про-
проделав следующее разложение [121] (см. также [84*]).
Введем параметры, по степеням которых производится раз-
разложение:
612—
s — т\ —
Эти параметры удобны, так как функции X4a(s, m\, m|) и
A,1/2(s, m\, т]) разлагаются в ряд по степеням в2:
I11' (s, ml, ml) = {(s - ml - m$ -
-(в-т»-т»)A-2в^-2в$ь+ ...). F.2)
и аналогично для другого 'К. Если,эти разложения подставить
в формулу E.14), то член, пропорциональный s, и постоянные
члены сократятся и останется
t*
-/»?- т\
т\) (mFjnl - т\т\) + .... F.3)

110 Глава IV
Если таф т.\ и Шъ Ф т2, то величина t+ пропорциональна
Следовательно, значение -f+ • положительно, если та < ти
ть > т2 или если та > ти тъ <. т2. Например, для процесса
v гпц (та = т2 = ц, тъ~т1 = т)
t+^W-W (цт^тр), F-5)
S
что в точности совпадает со значением и для рассеяния назад
в реакции цт -*¦ \itn (это соответствует вычислению t при рас-
рассеянии вперед в реакции \ktn-^-m\k).
Если та — ту и (или) Шь = tn2, то величина t+ пропор-
пропорциональна 1/s2 Примером служит образование резонанса с мас-
массой т* в реакции цт-»-ц,/л*, т*~>т. При этом
F.6)
и величина t+ при всех условиях отрицательна.
Упражнения
IV. 1. Рассмотрите распад р-*-р\ +/?2 на две частицы с нуле-
нулевыми массами (пг\ = т% = 0) в системе отсчета р = (Е,р).
Выразите угол 0J2 между р] и рг через угол 8] между pi и р.
IV. 2. Для распада р-+р\-\-р2 с Ш\ = т2 = 0 выведите со-
соотношение
1 n m
sin— 612 = -
2 2
и покажите с его помощью, что минимальный угол разлета 9"/™
получается в симметричных условиях, когда 0i = 82- Чему ра-
равен sin V2612?
IV. 3. Существование минимального угла разлета следующим
образом можно использовать для определения массы нейтраль-
нейтральной частицы, испытывающей распад типа YY (например, я0 или
У]). Предположим, что нейтральная частица р2 возникает в ре-
реакции ра + рь -*¦ р\ + рь Рассмотрите YY"Pacna<№J P2 и найдите,
чему равен минимальный угол разлета в СЦМ всей реакции.
Если этот угол равен а, масса pi равна ти а полная энергия
равна Vs» то чему равно т2?
IV. 4 Покажите, что из формулы B.8) при т,\ = m% = О
следует распределение B.5),

Двухчастичные конечные состояния lit
IV. 5. Вычислите для распада 1-^- 2 распределение по попе-
поперечным импульсам ¦ до (п), выразив его через распределение
од (cos 8*). .
IV. 6. Предположим, что для распада p-*~pi-j-p2 мы можем
вычислить величину
где s — спин частицы р, сумма берется по конечным спиновым
состояниям, а Л — матричный элемент распада. Каково время
жизни х частицы /?? Какова размерность Г2? Предположим, что
для распада К°->-я+я~, f = fft — const. Определите fh no
тко = 0,86 • 100 с.
IV. 7. Для распада р-»-яя принимают A = fpnns • (Р[ — р2),
где е — вектор поляризации р. Если Т2 определено, как в упраж-
упражнении 6, то
4
(Можете ли вы вывести эту формулу?) Как выражается время
жизни тр частицы р через fPitn? Чему равна величина /рЯЯ/4я,
если Гр = 0,125 ГэВ?
IV. 8. Рассчитайте зависимость Pi от угла рассеяния 9i в си-
системе мишени (рй = О), выписав уравнение р] = {ра-\- Pb~~ Pif
в СМ и решив его относительно Pi.
IV. 9. Найдите, как импульсы рассеянной частицы pi и ча-
стицы отдачи р2 в реакции ра-\- Рь-^pi + Рг зависят от соответ-
соответствующих углов рассеяния в системе мишени, если энергия на-
налетающей частицы равна Еа и все массы одинаковы ( = т). Ка-
Каковы эти соотношения, если пга = т^ = 0 и ть = т2 = т?
IV. 10. Каково соотношение между двумя углами рассеяния
01 и 8г в системе мишени для реакции ра + Pb-*~Pi+ p%, когда
а) все массы равны (= т) , б) та = т\ = 0, тъ — т2 = т.
Вычертите кривые при у2 = 10 и сравните с фиг. 20.
IV. 11. Чему равны максимальное и минимальное значения
импульсов а) рассеянной частицы {р\) и б) частицы отдачи
в процессе упругого рассеяния ра + ръ ->¦ рi + р?
IV. 12. Покажите, что для электрон-протонного рассеяния при
высоких энергиях (та = mj = 0, m& = т2 — т) в системе по-
покоя мишени
dR2 _ Е\ йЯ, _ Р2 (Е2 + т)
dfi, "~ 2тЕа ' dQ2~ т (Еа + щ) *
IV. 13. Формулы D.9) выражают cos 9*, через инварианты.
Выведите их, используя правило {II. 7.8) и тот факт, что 8*,

112 Глава IV
есть угол между векторами ра и pi в системе отсчета, где р„ +1
IV. 14. Для каких масс частиц, участвующих в реакции ра-?
'+ pb-*-pt + />2. справедливо соотношение ? = — 2Р*2A — cos 9*,)?
IV. 15. Найдите физическую область на плоскости si для слу-
случая одинаковых масс та = ть = гп\ = т2¦= т.
IV. 16. Покажите, что
1 ' 2и х + и — v u + w — y
G {х, у, г, и, v, хю) — —$ x + u — v 2х х — 2 + г
u-\-w — y х — z-\-w 2w
IV. 17. Докажите, что функция G (х, у, г, и, v, w) равна умно-
умноженному на —144 квадрату объема показанного_на фиг. 26 тет-
тетраэдра с ребрами V*» V#> V2» Vu» Vy> л/w.
IV. 18. Покажите, что корни г/± E.28) уравнения
G (х, у, г, и, v,w) =0 удовлетворяют соотношению
- 2лЛ'/г (у*, 2, v) = (- х + и - v) К% (х, z,w)±
-w)%4l{x, и, v).
Как это физически истолковать в применении, например, к урав-
уравнению G(s, t, ml, m\, ml, m\) — Q, описывающему границу фи-
физической области для реакции 2 -*• 2?
IV. 19. (Это более сложное упражнение, требующее умения
обращаться с частицами со спином 1/2.) Стандартной формой
инвариантной амплитуды рассеяния 0"г+ -> 0~У2+ является Г=
= п (р2) {А + V? (Ра + Pi) В} и (Pi), где Л и В — некоторые функ-
функции s vl t. Покажите, что в этом случае результат суммирования
по спинам можно записать в виде
2тьт2 ? | Г Р Н А7 Р {(ть + т*J -
где А3 — определитель Грама для ра, pb, pu a
А'*=А + Щ
причем
{ть + т2) (s - и) + (ть - т2) (т\ -
2{( + Jf}
Эта запись хороша тем, что можно использовать известные
свойства Аз, чтобы написать коэффициент перед членом ампли-
амплитуды, связанным с переворотом спина, в различных вариантах,

Двухчастичные конечные состояния ,113
.причем во всех случаях он обращается в нуль на границе фи-
физической области (Аз = 0). Покажите, например, что
А,(Ра. Р», Pi) = т s {t+ - t) (t— Г) =
=.'1 5 (u+ - «) (и - и') = ml(P*P?? sin2 9Й,
где *±(ы±) —максимальные и минимальные значения *(и). Ка-
Какой результат получается для упругого рассеяния?
IV. 20. Что является в случае упругого процесса цш-*-цт
аналогом центральной области для реакции KN->pY*. изобра-
изображенной на фиг. 28?
IV. 21. Вычислите значение t+ для a) np-^nS. и б) яр-»-рД
при рЛаб= Ю ГэВ/с.
IV. 22. Предположим, что t+ > 0. Какое значение 9ai отве-'
чает t+ — 0 для больших s? Какое значение 8ai отвечает и = 0
при упругом рассеянии? При каком угле рассеяния в реакции
nN-»-rcN при рлаб = Ю ГэВ/с и = 0?
IV. 23. Допустим, что имеется'детектор, охватывающий в ла-
лабораторной системе постоянный телесный угол dQ. Вы изме-
измеряете скорость счета для реакции р&-\-рь~*~Р1 +Рг как функ-
функцию угла 6«1. Как преобразовать эту скорость счета в величину
dojdt (ненормированную)?
IV. 24. Вычислите o(s) для процесса упругого рассеяния
-*¦ ут, если квадрат матричного элемента \А|2 = P(s)e2a(
s)—некоторая безразмерная функция s, a — константа].
IV. 25. Допустим, что измерения дали следующие результаты
для протон-протонного рассеяния:
ог„олн (в) = 40 мб, ~ =- ЮОе9* (Гэд/с)> , а(8)« 11 мб
независимо от s. Опишите эти данные с помощью амплитуды
А($, *)=-(-Ф + 0Р**т-.
где Ф(> 0), р, а и s0 = 1 ГэВ2 — константы.
IV. 26. Дифференциальное сечение электрон-протонного рас-
рассеяния (когда протон рассматривается как дираковская точеч-
точечная частица) можно написать в системе мишени (лабораторная
система) в форме
da ^_ a2 cos2'^, I + BEaEi/M2) cos8 '/^
dQ, = 4E2a sin4 >/»в, 1 + BЕа/М) sin2 Vs 8, '
где а — постоянная тонкой структуры, Еа — энергия налетающей
частицы в ЛС, Ei — энергия электрона отдачи, 0] — угол рас-
рассеяния, М — масса протона, а /«электрон « 0. Найдите da/dt.
(Х/И
»(

114 Глава IV
IV. 27. Определите в плоскости st кривые постоянного угла
рассеяния в системе мишени Qai для упругого протон-протон-
протон-протонного рассеяния.
IV. 28. Покажите, что если (та — т{) (ть — т2) ^ О, то ве-
величина t всегда отрицательна.
IV. 29. Вычислите интегралы
где
dR2 = d*Pld*p# (p\ - т*) б [pi - /в]) 6< (р - Pi - р2).

Глава V
ТРЕХЧАСТИЧНЫЕ КОНЕЧНЫЕ СОСТОЯНИЯ
1. Распад одной частицы на три
Кинематически процесс распада р ->¦ р\ + р2 + рг (фиг. 30)
определяется двумя независимыми переменными (частицы счи-
считаются бесспиновыми). Он связан кроссинг-преобразованием
с рассеянием 2->2 (например, с реакцией р + pi -»- рг + р3), так
Фиг. 30. Трехчастичный распад
р -> р\ + рг + рз с инвариантными
переменными s, и %.
что число инвариантных переменных должно быть, конечно, оди-
одинаковым для обоих случаев. Можно рассуждать иначе. Три 3-
вектора конечного состояния, или девять переменных, связаны
четырьмя уравнениями сохранения энергии-импульса. Кроме того,
начальное состояние изотропно в системе покоя частицы р, и
поэтому конечное состояние не может зависеть от трех углов,
Описывающих ориентацию конечной системы, как целого. Это
приводит к тому, что остаются две независимые переменные
(табл. III 1). В этом разделе мы рассмотрим в отдельности ин-
инвариантные и неинвариантные переменные для процесса 1-*-3.
а. Инвариантные переменные
В качестве инвариантных переменных удобно выбрать s, t и
и, как и в случае рассеяния 2-*-2. Поскольку все они в канале
распада положительны, в качестве инвариантных переменных
мы примем, слегка изменив обозначения,
s,2 = s, = {pi + p2f = (Р — РзJ,
% = «2 = (Р2 + РзJ=(/Э — Plf, A.1)
«31 = *3 == (РЗ + Pif = (P~ Pi)*-
Связывающее их условие (IV. 4.4) при этом имеет вид
*i + «2 + s3 = в+ n

116 Глава V
В разделах 1—3 для массы распадающейся частицы мы упот-
употребляем обозначение Vs- Это сделано для того, чтобы выве-
выведенные формулы можно было в дальнейшем без изменения при-
применять для рассеяния типа 2~>3.
б. Неинвариантные переменные
¦ Неинвариантными переменными являются 3-импульсы и
углы. Системы отсчета, вводимые ниже, соответствуют системе
центра масс и системе мишени для рассеяния 2-»-2.
Фиг. 31. Система покоя распадающейся частицы
( О)
Система отсчета, в которой распадающаяся частица по-
покоится, или общая СЦМ, определяется как система, в которой
Р = р1+Рг + Рз = 0 (фиг. 31). Она аналогична системе ми-
мишени (или системе пучка) для рассеяния 2->-2 в том смысле,
что в ней покоится одна из частиц, участвующих в реакции. Ве-
Величины, относящиеся к этой системе отсчета, отмечаются звез*
дочкой.
Энергии и импульсы в этой системе мы легко найдем, рас-
раскрывая последний части определений A.1) в системе отсчета
p = (Vl 0):
F._s + m2l-s2
s + ml-Sj _
3~ 2-s/T ' 3~
s2)
Отсюда следует правило: величина Е\ такая же, как при
распаде p-^Pi + (р2 + Рз) на две частицы с массами mi и VS2-
Углы между импульсами получаются из определений A.1), если
раскрыть скобки и подставить A.3). Можно воспользоваться

Трехчастичные коленные состояния 11?
также и правилами, приведенными в разделе П. 7. Например,
для угла 9*2 между pi и рг (фиг. 31) имеем
«1 = (Pi + Р2У = m> + ml + 2E\E'2 - 2Р\Р\ cos b\v
откуда следует
(s + и? - s2) (s + ml- s3) + 2s (m] +, m] - s{)
Тот же результат можно получить также из правила (II. 7.6),
заменив ри р2, Ръ на р, —р\, р2. Аналогичным образом формула
(II. 7.10) дает
_ Аз (р, — Pi, рг) __
'12 D2D2
^Н 2
^ -4sQ(Sl, s2, s, m^, m], ntj)
Л (s, ш^, s2) Л («, m|, s3) ' ч
Возможны три системы центра масс пар вторичных частиц
(фиг. 32). Они соответствуют трем системам центра масс для
s-, t- и м-каналов реакции 2->2. Это системы, в которых
A.6)
Величины, определенные в этих системах отсчета (часто на-
называемых системами Готфрида — Джексона), мы будем отме-
отмечать верхними индексами Ц12, Ц23 и Ц31 соответственно. Если
Фиг 32. Система центра масс ча-
частиц 2 и 3 (р2 + р3 = 0).
не может возникнуть путаницы, эти индексы опускают. Доста-
Достаточно рассмотреть одну из этих систем отсчета, скажем Ц23;
уравнения, относящиеся к другим системам, получаются из
уравнений для системы Ц23 циклической перестановкой ин-
индексов.

118 Глава V
Чтобы выразить энергии и импульсы в системе отсчета Ц23
через инварианты, распишем выражение s2 = (р2-\-РгJ в Ц23,
т. е. в системе отсчета j02 + />3 = (Vs2> 0). Это приводит к сле-
следующим формулам:
Ei
i
Ц23 «2
Я1/а (s, s2, m2) Ц23 ц23 %'1г (s2, mf,
^ = Г =
ПЦ23 Оц23 Я/а (s, s2, m) Ц23 ц23
2 /
При описании распада 1 -»»3 в системе Ц23 существен только
один угол, а именно 0I223 (фиг. 32). При рассмотрении процес-
процессов типа 2-»-3 этот угол будет называться полярным углом
спиральности (см. раздел 6, где g действительности исполь-
используется угол я —9i23). Для угла В^23 из формул A.7) находим
m\ + ml + 2ЕГЕ$23 - 2Р?*Р73 cos
- 2^ «»em*(s, яг, mD>.*(s,, ml, m^), A.8)
или
Ц23 (s - s2 - от^) (s2 + m\- mf) + 2s2 (m\ + m\ - s^
COS0l2 » "TT-T 24 , '/, / 2 24 * (ll9J
224(J
Соответствующий синус проще всего получить из формулы
(II. 7.10) заменой ри Рг, Рз~*~р2 + Рз, ри Р*
2
sin2 вТ =
Аз (р2 + Рз, Рь Рг)
-4s2G(s,ts2, s, mf, ro?. mj)
X(s, s2>nif) Я, («2> Ц| «з) »
Отметим большое сходство выражений il.10) и A.5) (уп-
(упражнение V. 1).
Формулы A.8), A.9) показывают, что Si линейно зависит
от cos 6^23 в точности так же, как t зависит от cos 8Ji в реак-
реакциях 2-»-2. С другой стороны, соотношение A4) между s\ и.
cosGJi является более сложной алгебраической функцией, по-
поскольку s3 зависит от Si и s2 [см. A.2)]. Для многих целей в си-

4 Трехчастичные конечные состояния 119
стемах Ц12, Ц23, Ц31 кинематика оказывается более простой,
чем в общей СЦМ. Причина заключается в том, что роль систем
Ц12, Ц23, Ц31 в распаде 1-»-3 такова же, что и роль СЦМ.
в рассеянии типа 2->-2.
2. Диаграмма Далица
Диаграмма Далица [35, 41] определяется как физическая об-
область для процесса p->/?i +/?2 + Рг в плоскости S\s2. В более
общем смысле — это физическая область в любых переменных,
связанных с s\ и s% лиьейно, т. е. преобразованиями, якобиан ко-
которых постоянен. Примерами таких переменных являются:
Фиг. 33. Мнемоническая процедура, дающая физическую область в пере*
менных SiS2.
а) любая пара sx, sy, i, j= 1, 2, 3; б) любая пара Е*, Е*\ в) лю-
любая пара кинетических энергий Тг, Т,(Т — Е — т).
Уравнение, определяющее диаграмму Далица, получается
почти автоматически путем применения мнемонического пра-
правила, показанного на фиг. 25. Для этого изображают реакцию,
представленную на фиг. 30, в форме, показанной на фиг. 33,
сравнивают с мнемоническим правилом, указанным на фиг. 25,
и находят, что значения S\ и s2 в физической области должны
удовлетворять условию
G(s2, slt ml m\, s, m|)<0.
Благодаря свойствам симметрии функции G (раздел IV. 5)
это условие эквивалентно следующему:
G(sv s3, s, ml m\, m|)<0. B.1)
Функция G здесь та же, что и в формулах A.5) и A.10).
Знак равенства дает границу диаграммы Далица. Чтобы изо-4
бразить диаграмму в плоскости S\S2, решают это уравнение, вы-
выражая S\ через s2 с помощью формулы (IV. 5.28):
+ K<'
K<'(s2, s, ml)b'''(s2, ml ml)}. B,2.)

120 Глава V
Это в точности совпадает с уравнением A.8) при cos8^23 =
=± 1. Уравнение, выражающее s2 через sb получается из B.2)
заменой р\ •*-> рг при неизменных р, р%. Эти два уравнения
представляют, конечно, одну и ту же кривую, однако для ее по-
построения может оказаться удобным пользоваться обоими урав-
уравнениями. Потребовав, чтобы квадратные корни в уравнении
B.2) были действительными, мы найдем физическую область
изменения s<z- Из циклической симметрии следует, что S\, s2 и S3
должны удовлетворять условиям
(m, -f m2J < s, < (Vs — m3f,
(ma + m^Oa^CyF-m,J, B.3)
(m, + m3J < s3 < (У s — m2J.
Чтобы дать прямой вывод уравнения B.1) и определить фа-
фазовую плотность на диаграмме Далица, рассмотрим фазовый
объем
\1^(-Е1-Е2-Е3). B.4)
Подынтегральное выражение здесь следует сделать несингу-
несингулярным, проинтегрировав все 6-функции [см. (III. 2.14)] В даль-
дальнейшем мы приведем много вариантов выбора переменных, ко-
которые остаются непроинтегрированными. Для анатиза диа-
диаграммы Далица наиболее удобным является следующий их вы-
выбор.
. Сначала интегрируем по р2 в системе покоя р = 0:
где
El = | Pl + Рз I2 + ml = Р? + Pi + 2Р,Р, cos 9,з + ml B.6)
(Здесь для краткости опущены звездочки.) Далее пишем
л = Р\ dPt dQ, P; dP, dQ3 =
Р?\ dEx dQs P3E3 dEz d cos 0i3
где Q3 = (cos О13, <рз) описывает ориентацию рз по отношению
к рь a fii — ориентацию pi относительно некоторой оси. В рас-
рассматриваемом случае распада выделенное направление в про-
пространстве отсутствует, и можно было бы проинтегрировать по
Qi, получив 4я, а также по <рз, получив 2я. Однако мы сохраним
в формуле dQid(p3, так как они нам в дальнейшем понадобятся-

Трехчастичные конечные состояния ' 121
Энергетическую б-функцию можно употребить для интегрирова-
интегрирования по cos 01з(^?2/^ cos 9]з = PiPzlEz). В итоге получим
C°S 6'з) ~
— cos2 613). B.7)
Здесь в-функция ограничивает cos 0i3 его физическими зна-
значениями. Значения cos0i3 = ±l соответствуют границе физиче-
физической области в плоскости EiE3, т. е. границе диаграммы Далица.
Как следует из B.6), уравнение границы имеет вид
\
= Е\ - т\ + Е\ - т\ ± 2 {{Е\ - т\) (Ef - mg)}1* + m\, B.8)
или
4 (?? - m?) (?l - тз2) = {2Л,?8 - 2 Vs № + Д») +
+ s + т\ - т\ + ml}2. B.9)
Отметим, что возведение в квадрат уравнения B.8) приво-
приводит к потере сведений о знаке импульсов. Этот знак важен в
случае реакции 2->-3. Знак не теряется на диаграммах продоль-
продольных импульсов (раздел VI. 6).
Переменные Е\ и Е3 в уравнении B.9) линейно связаны
с Si и s2 уравнением A.3). Якобиан перехода d(Eh E3)/d(su s2)
равен 1/45 Если подставить в уравнение B.9) выражения A.3),
то после некоторых выкладок оно переходит в уравнение B.1)
для функции G. Следовательно, мы имеем
#з (*) = ш \ <*«! ds2 dQi йфз в {- G (s,, s2, s, ml, m\, mf)}. B.10)
Телесный угол fij описывает ориентацию pi в СЦМ; для за-
задачи о распаде \ dQL = 4л. Аналогично фз описывает вращение
полной конфигурации импульсов относительно некоторой оси.
Формула B.10) представляет собой одну из стандартных форм
записи /?зE). Аналогичные формы записи #з($) с парами Еи
Ei (S2, S3) или Еч, Еъ (su S3) в качестве переменных интегриро-
интегрирования получаются из интегралов B.7) и B.10) циклической пе-
перестановкой индексов.
Уравнение B.8) означает, что на границе Р% = Р\±Ръ\ из
симметрии ясно, что на других участках границы Р3 = ^2 ± ^ь
Pi = Р3 ± Ра- Эти условия можно объединить и представить
в сжатой и симметричной форме в виде утверждения, что на
границе
Ф1 Pi Рз) = 0, B.11)

122 -Глава V '
или что площадь треугольника, образованного импульсами, об-
обращается в нуль1). Конечно, здесь импульсы должны быть по-
прежнему выражены через переменные типа энергии, в которых
строится диаграмма Далица Например, введение Е\ и Е3 при-
приводит к уравнению B 9), введение sx и s2 — к условию B.1) для
функции G. Эти уравнения, конечно, аналогичны уравнениям
(IV. 5 36) —(IV. 5.39) для рассеяния 2-+ 2.
Теперь мы рассмотрим границы диаграмм Далица для неко-
некоторых особых значений масс.
а. Все массы одинаковы
Если три возникших при распаде частицы имеют одинаковые
массы (как в случаях К->-Зя, г]-»-Зя), удобно сделать эту сим-
симметрию явной, пользуясь сразу всеми тремя энергиями и строя
диаграмму в треугольной системе координат (фиг. 27). Именно
такой вид имела диаграмма в первой работе Далица [35] (см.
также [41]). Это симметричное представление подробно описано
в других работах [52, 68] Здесь мы остановимся только на ос-
основных его свойствах. Если в качестве переменных исполь-
используются три кинетические энергии в СЦМ 7\ = Ег — пг, то они
удовлетворяют условию Т\ + Г2 + Т3 = Vs — 3m = Q, где Q —
энерговыделение при распаде. Таким образом, высота равносто-
равностороннего треугольника равна Q. В каждой точке внутри тре-
треугольника выполняется закон сохранения энергии. Чтобы найти
границу физической области, введем полярные координаты
(г, ф), отсчитываемые от центра треугольника (Т\ = Т% = Тз =
= Q/3). Тогда
B.12)
Кривая, ограничивающая кинематически доступную область,
получается подстановкой B.12) в формулу B.9). Ее уравнение
имеет вид
3 B.13)
') Из B 11) следует, что Х(р\, р\, pf) (или подходящая по размерно-
размерности функция от к) может быть принята за меру расстояния точки внутри
фазового объема от его границы (для процесса 1-»-3). Другой такой мерой
является d = Ямин + Pop — Рмакс где импульсы стоят в порядке их воз-
возрастания [83]. — Прим. ред.

Трехчастичные конечные состояние
123
где х = 2е/B — еJ, а е = Q/]/s. Видно, что е полностью харак-
характеризует кривую; величины е для распадов К, я, ю->-Зя равны
соответственно 0,17, 0,23 и 0,47.
б. Две или три массы равны нулю
Возможны три различных случая: пг2 — пг3 = 0, гп\ == т3 = 0
и mi = т2 = т3 = 0, случай Ш\ = т2 — 0 симметричен пер-
первому из них. Из формулы (IV. 5.23) следует, что условие B.1)
при этом упрощается и принимает вид
G^, s2, s, 0, т\, 0) = s2{s1(s1+s2-s)-m2(s1-s)}<0,
G (s,, s2, s, ml, 0, 0) = (s,s2 - s«f) (s, + s2 - s - m*) < 0, B.14)
G(su s2, s, 0, 0, 0) =
Поскольку уравнения границы факторизуются, диаграммы
Далица легко построить (фиг. 34). Результаты остаются при-
приближенно верными, если те массы, которые мы считали рав-
равными нулю, в действительности просто малы по сравнению с V
mf mt\/s s st
s s,
s s,
Фиг. 34. Схематические изображения диаграмм Далица для особых значений
масс, показанных на рисунке.
В частности, когда s-»-oo, диаграмма Далица приближается по
форме к треугольнику.
Формула B.10) обладает одним свойством, которое сыграло
особую роль в развитии техники графического изображения
данных. Распределение по фаювому объему
"**
4s
B.15)
постоянно при фиксированном s. Другими словами, если данные
о трехчастичном распаде изображены в виде точек на диаграм-
диаграмме Далица, то плотность точек пропорциональна квадрату мат-
матричного элемента При этом сразу видны любые изменения мат-
матричного элемента Но в действительности непостоянная фазовая
плотность, свойственная другим диаграммам, тоже не затруд-
затрудняет изучение структуры распределений, если только плотность

124 Глава У
достаточно однородна. Отметим также, .что только для распада
р-+pi-\- P2-\- Рз распределение по диаграмме Далица дает не-
непосредственно квадрат матричного элемента. В других случаях,
например в реакции ра + Ръ -> Р\ 4- Рг + Рз, матричный элемент
зависит более чем от двух переменных, и распределение по диа-
диаграмме Далица дает интеграл от квадрата матричного эле-
элемента по этим неизображенным переменным. Чтобы делать,
зная этот интеграл, какие-то заключения о самом матричном
элементе, очевидно, требуются и новые допущения, и особая
осторожность (гл. VIII).
Исходя из формулы B.10) очень легко выполнить еще одно
интегрирование. Имеем, например,
Т5Г~2Г \ *i—&¦**(*. *> »!)>¦*(*, «I «D. BЛ6)
где sf определяются выражением B.2). Соотношение B.16)
дает проекцию диаграммы Далица на одну из осей координат.
Для полного фазового объема трех частиц получаем далее
=? 5 ¦!*-**(*«. пф.*(*. < mf). B.17)
Под знаком корня стоит полином четвертого порядка по s2,
поэтому интеграл B.17) выражается, вообще говоря, через эл-
эллиптические функции [2, 81, 164]. Только в некоторых специаль-
специальных случаях интеграл B.17) берется в элементарных функциях
(упражнение V. 4). Особенно интересны предельные случаи,
когда s стремится к бесконечности — ультрарелятивистский слу-
случай (УР), или к порогу реакции (rti\ -f-m2 + газJ — нереляти-
нерелятивистский случай (HP). Первый предельный случай получается,
если в интеграле B.17) положить все щ = 0:
«¦?*. B.18)
Для получения второго предельного случая надо разложить
#з по степеням V* —тх — т2 — т3. Результат для общего R%p
приведен в (VI. 2.19); для R3 он имеет вид
?нр(,)-.? {T2mf W. (V* ~ «¦ ~ Щ- m3f. B.19)
2 (/л, + т2 + т3)"
Пример 1. Рассмотрим распады К+ -*п+я+п~ и К+-»-я+яоя;0.
Даже если бы матричные элементы для этих распадов были

Трехчастичные конечные состояния " ¦ . 125
одинаковы, различие в массах тл± Ф тяо приводило бы к раз-
различию фазовых объемов и вероятностей распадов. Поскольку
V« — 2 mt здесь малая величина, можно использовать приб-
приближение B.19) и для отношения фазовых объемов получить сле-
следующее значение (обозначения очевидны):
¦ 00) ™j_fmK-m*+- mn°\ ~ 1,261.
Более сложное приближение использовано в работе [68].
3. Конфигурации импульсов на диаграмме Далица
Как мы уже видели, векторы импульсов рь рг, рз на границе
диаграммы Далица коллинеарны. Теперь мы разберем более
детально, каким образом меняется конфигурация импульсов,
если передвигаться внутри диаграммы Далица. Будут изучены
отдельно импульсы в общей СЦМ (pi -f- р2 + рз = 0) и в си-
системе Ц23 (р2 + рз = 0).
Сначала рассмотрим импульсы в СЦМ (звездочки по-преж-
по-прежнему не ставим). Чтобы увидеть, как меняется конфигурация,
посмотрим на те точки, в которых Si2, 5гз> «31 достигают мини-
минимума или максимума, даваемого формулами B.3). В этом раз-
разделе для большей ясности мы пользуемся обозначением с двумя
индексами s,j. Минимальное значение S\2, а именно Sj2 =
= (mi + ^гJ, достигается, когда р\-р2 = rnim2 или когда (раз-
(раздел П. 2) скорости частиц 1 и 2 равны: vi — V2, или E2pi =
= Е\р2- Равенство скоростей означает, что частицы в любой
системе отсчета движутся вместе, как сгусток вещества (упражне-
(упражнение 11.10). Когда скорости равны, импульсы находятся в отно-
отношении Р\1Рг = mi/m2. Например, когда я-мезон и нуклон дви-
движутся вместе, их импульсы удовлетворяют условию Ря/Рц =
= mjmjn да '/7. Из формул A.3) следует, что, когда величина
«12 предельно мала, Ег и Рз максимально велики:
^ C.1)
(Р3 выражается аналогичным образом). Это полностью харак-
характеризует конфигурацию импульсов в точке Si2 = (mi + m2J,
если пренебречь, конечно, одновременным поворотом всех им-
импульсов. На фиг. 35 соответствующая точка обозначена буквой
А\. Другая координата вгз получается непосредственно из B.2):
=* Г- (т I т VI

126
Глава V
При S12 = (mi-(-тгJ имеем A (s12>mp mf,) = О, и оба корня
SM и S23 совпадают между собой.
Точки Л2 и А3, в которых s23 и s3i минимальны и равны
2
т3J и
р
m3J, интерпретируются аналогичным обра-
обра^ ( + ^f частицы i и / движутся
B + ) (i + 3), р
зом. В точке stj = s^HH = (ть +
в одном направлении с равными скоростями, а третья частица
Фиг. 35. Конфигурации векторов импульсов в общей СЦМ на границе диа-
диаграммы Далица.
k — в противоположном направлении с наибольшим возможным
для нее в данной реакции импульсом в СЦМ.
Обратимся теперь к максимальному значению Si2 saKC =
=(У5 — m3J. Из формулы A.3) можно видеть, что оно соответ^
ствует Р3 = 0, ?3 = т3. Следовательно, частица 3 покоится, а
частицы 1 и 2 движутся в противоположных направлениях
с равными импульсами: pi = —р2 (точка Вх на фиг. 35). Это от-
отвечает нашему интуитивному представлению о том, что, когда
величина si2 предельно велика, частицы 1 и 2 предельно уда-
удаляются друг от друга. Максимальные значения s23 и s3i реали-
реализуются аналогичным образом (точки В2 и Въ на фиг. 35). При
512 = (Vs ~~ тзJ Два корня уравнения B.2) вновь совпадают, а

Трехчастичные конечные состояния
127
соответствующее значение s23 равно
±| / /—. \2} __ m3\s
и для точек 52 и В3 аналогично.
Двигаясь между этими точками Ai и Bj, можно проследить,
как меняется конфигурация импульсов в СЦМ при перемещении
8 -
Фиг. 36. Конфигурации векторов импульсов в системе Ц23 (р2 + рз = 0)
на диаграмме Далица.
Показаны тяйже кривые постоянных значений cos 6y? . Численные значения относятся
к реакции рр->ряД при 7 ГэВ/с.
вдоль границы диаграммы. Чтобы перейти к внутренней части
диаграммы, следует отказаться от условия cos0ij = ±l, i, / =
= 1, 2, 3. Значение 0i2, соответствующее точке si, S2, можно
найти из формул A.4), A.5).
Анализ конфигураций импульсов в системе центра масс Ц23
(фиг. 36) провести проще, чем в общей СЦМ. Причина заклю-
заключается в том, что, зная s23, мы знаем величину всех импульсов.
Например, на фиг. 36 в точке А2 с s2s = (гщ + ш^J имеем
рЦ23==рЦ23==0>

128 Рлава V
а в точке В2, где S23 = (Vs-i-
рЦ23 _
Для любых промежуточных значений х2з все импульсы отличны
от нуля. При движении вдоль линии s23 = const от границы
к границе cos6i223 меняется линейно от + 1 Д° —1 (фиг. 36).
Это следует непосредственно из формул A.8) и B.2). Следова-
Следовательно, если известно распределение событий на диаграмме Да-
лица, можно получить их распределение по полярному углу спи-
ральности.
4. Превращение двух частиц в три
В реакциях типа 2-»-3, ра + рь -*- р\ + Рч + Рз, начальное
состояние обладает в СЦМ выделенным направлением — на-
направлением падающего пучка р* —— р*. Общее число перемен-
переменных равно 3X3 — 4 — 5. Из них переменная, описывающая
вращение вокруг оси пучка, для бесспиновых частиц три-
тривиальна, так что число существенных переменных, описываю-
описывающих конечное состояние, равно 4 (табл. III. 1). Теперь нельзя
уже представлять экспериментальные данные и теоретические
предсказания в полностью дифференциальной форме. Для этого
потребовалось бы изображать число событий на четырехмерной
диаграмме. В лучшем случае мы можем дать диаграмму в двух
измерениях. Чтобы сравнить теорию с экспериментальными дан-
данными, надо проинтегрировать по остальным переменным либо
во всем диапазоне их изменения, либо в каких-то интервалах.
Но интегрирование может скрыть какие-то важные свойства
матричного элемента. Чтобы избежать ошибочных выводов, не-
необходимо полностью учитывать трудности представления экспе-
экспериментальных данных, зависящих от нескольких переменных.
Простейшей реакцией, в которой эти сложности проявляются
вполне отчетливо, является процесс типа 2—>-3. Таким обра-
образом, кроме самостоятельного интереса, процессы типа 2—>3
поучительно исследовать в деталях, чтобы понять некоторые об-
общие проблемы кинематики многих частиц.
В нашем анализе реакций типа 2->-3 мы введем для опи-
описания фазового пространства несколько различных наборов че-
четырех переменных. Для каждого из них будут вычислены плот-
плотность в фазовом пространстве и границы физической области.
Для рассеяния 2->-2 ситуация была очень простой; физической
областью при фиксированном значении s был одномерный ин-
интервал ir ^ t sc; t+ (IV. 5.14), а распределение по фазовому
объему было однородным (IV. 4.24)]. В данном же случае можно
различать физические области разного типа и разного числа
измерений. Если иметь дело с четырьмя переменными х, у, z и

Трехяартичные конечные состояния 129
и, то очевидно, что. при фиксированном значении 5 будут воз-
возможны следующие варианты (ФО— физическая область):
ФО для xyzu, , D.1)
ФО для xyz, D.2а)
ФО для xyz при фиксированном и, D.26)
ФО для ху (диаграмма ху), D.3а)
ФО для ху при фиксированном г, D.36)
ФО для ху при фиксированных z и и, D.3в)
ФО для х («интервал изменениях»), D.4а)
ФО для х при фиксированном у, D.46)
ФО для х при фиксированных у и г, D.4в)
ФО. для х при фиксированных у, z и и. D.4г)
Отметим, например, что переход от D.36) к D.3а) осуществ-
осуществляется интегрированием по z. Следовательно, D.36) всегда ле-
лежит внутри D.3а). Мы уже имели пример набора четырех пе-
переменных: в уравнении B.10) х = sb у = s2, (z, и) = Qi. В этом
Фиг. 37.
случае вариант D.3а) соответствовал диаграмме Далица, полу-
полученной интегрированием по Qj. В случае процессов типа 2-»>3
это интегрирование нетривиально. >
Наша процедура конструирования наборов переменных бу-
будет исходить из первоначальной формы /?3(s), в которую входят
только векторы импульсов, затем будет выполнено интегрирова-
интегрирование б-функций, и после этого оставшиеся четыре неинвариантные
переменные будут шаг за шагом заменены инвариантными. Та-
Таким образом, наборы переменных можно для удобства характе-
характеризовать числом входящих в них инвариантов. Например, набор
переменных в интеграле B.7) Е\, El, Q* не содержит инва-
инвариантов, в то время как совокупность переменных sp s2, Q* из
интеграла B.10) содержит два инварианта.
Угловые переменные, которые будут использоваться, такие,
как углы Джексона, Треймана — Янга, спиральностй, Толлера
и т. д., очень важны для практики. Для их определения надо
б Зак. 517

130 ' Глава V
указать систему отсчета и ориентацию координатных осей. При
этом легко запутаться, если не быть очень точным в выполнении
общепринятых соглашений. Мы дадим эти определения в после;
дующих разделах. Зато инвариантные переменные можно опре-
определить очень просто и раз и цазсегда, Мы будем использовать
-7
6'
Фиг. 38. Вывод соотношения между t/,2 и стандартными инвариантами.
в качестве стандартного набора пять инвариантов, получаемых
сложением (вычитанием, если направления стрелок противопо-
противоположны) импульсов соседних частиц на диаграмме, представлен-
представленной на фиг. 37:
Si == sl2 *= (р, + р2J = (ра + рь — р3J,
S2 = «23 = (Р2 + PzJ<= (Pa + Pb~ PlJ>
'l = tuX •= (ра — PiJ = (p2 + Рз — Pb)\ D.5)
к = hi = (Рь — РзJ = (Pi + Рз — PJ2,
В фазовом пространстве канала ра-\-рь-+ Pi + ^гЧ-Рз фик-
фиксировано значение s и меняются только четыре инварианта. Од-
Однако если ослабить это ограничение, то 5 благодаря возмож-
возможности перехода из канала в канал получает точно такой же ста-
статус, как и другие инварианты. Действительно, набор D.5) явно
обладает циклической симметрией, и в дальнейшем мы убе-
убедимся, что циклическая перестановка
--~Рь->- — Ра. D.6)
означающая, что
s-*f1->s1->s2'->^~*"s» D-7)
очень полезна. Заметим, что такой простой и симметричный вы-
выбор инвариантных переменных возможен только для реакций
типа 2-»-3. Уже для реакций типа 2->-4 появляются инва-
инварианты, относящиеся к трем частицам. Они не равны двухча-
двухчастичным инвариантам [ср. набор D.5)].
В дополнение к набору D 5) можно определить еще пять
инвариантов, связав между собой на фиг. 37 несоседние ча-
частицы. Они линейно зависят от переменных набора D.5). На-
Например, соотношение между tb2 и набором D.5) легче всего по-

Трехчастичныг конечные состояния 131
лучить, начертив диаграмму, показанную на фиг. 38, и применив
соотношение s +1 + и = ^т| к рассеянию 2->2 в нижней вер-
вершине. Используя это правило для всех возможных случаев, по-
получаем соотношения '
'л = (Ра - P2f ЧтгГ ei + ml + mi + !*!•
«5.
si3e (Pi + P3J = s - «i - S2 + «f + «1 + m\.
С помощью наборов D.5) и D.8) легко также выразить все
десять скалярных произведений рг-р} через стандартный набор
инвариантных величин:
2pa-Pb = s — K-ml> 2Рь • P2 =
-m?' 2PrP2 = sl-m\-m% D.9)
-m\, 2prp3 = s-sl-s% + m],
- т\, 2р2 ¦ ръ = s2 - т\ - т\.
Если исследуется фиксированный канал, например
Кр -> Кпр, остается еще свобода в выборе нумерации частиц.
Этот вопрос должен решаться на основе наилучшей примени-
применимости формул, которые будут выведены ниже1).
5. Описание с помощью двух инвариантов и двух углов;
диаграмма Чу — Лоу
Подробное исследование процесса 2->3 в разделах 5—8 ос-
основывается на факторизации фазового объема путем разбиения
процесса 2-*3 на два подпроцесса 2—*2 и 1->2. Для опреде-
определенности мы выберем в качестве промежуточной системы двух
частиц систему р2 + Рз (фиг. 39); другие случаи обсуждаются
в разделе 10. Каждый из процессов — рождение системы 2 + 3
и ее распад — описывается двумя переменными (не считая
угла ф поворота вокруг оси пучка). В этом и следующих разде-
разделах в качестве первых двух переменных используются инва-
инварианты, а второй парой переменных служат углы распада 0 и ф
в системе покоя 2 + 3.
') Наиболее разумная .нумерация диктуется динамикой процесса (как
на фиг. 39). — Прим. редк
Г

132
Глава V
Будем исходить из выражения
E-1)
Чтобы явным образом ввести промежуточную систему, под-
подставим в формулу E.1) тождество^
где Е\ъ = р^з + s2. В результате получим
Это выражение является математическим эквивалентом фиг.9|
в сжатой форме оно имеет вид
(s) = J ds2#2 (s; mj, ea)
s2; m|, я^). E.3)
Подстановка в интеграл E.3) любых выражений для двух
множителей Яг, приведенных в разделах IV. 1 и IV. 4, позволяет
выразить /?з через переменные, связанные с фиг. 39. Мы выбе-
выберем для первого R2 формулу (IV. 4.24), а для второго R2 фор-
формулу (IV. 1.7), относящуюся к системе центра масс 2 + 3; по-
получаем
i 2? с рУ23 п
E.4)
J -J а Л.1 Сл ml
а о
Из соотношения A.7) имеем
РЦ23
Г2 '
Я,'/а (s2, m22, ml)
E.5)

Трехчастичные конечные состояния ' 133
и, следовательно,
2л 1/. / 2 2\
Далее мы проанализируем область интегрирования по перемен-
переменным t\, Si и точно опишем ее в E.16). Определение телесного
угла Q^23 = (cos0^23, ф^23) будет дано в разделе 6.
Фиг. 40.
Инварианты s%, t\ даются в СЦМ выражениями
52=s + mi— 2-y/sEu .
*, = ml + m\- 2E*aE\ + 2P'f\ cos 9^.
Физическую область для процесса ma + mb-> nil + VS" можно
найти из выражения E.7), потребовав, чтобы выполнялись ус-
условия
т. е. _
«2 + ^з^ VS2 ^ л/s —Щ, E.8)
а также условие |cos8i|^l. Однако последнее требование
для процесса 2—» 2 уже рассматривалось, поэтому, применяя
правило фиг. 25, находим (фиг. 40)
Q(s, tt,s2, ml, /и*, m?)<0. E.9)
Условия E.8) и E.9) определяют область интегрирования' в ин-
интеграле E.6).
Область E.9) в плоскости tis2 называется диаграммой
Чу — Лоу [31]. Чтобы вычертить ее контур, надо решить урав-
уравнение E.9), выразив либо U через s2, либо si через k с

134
Глава V
помощью уравнений (IV. 5.28)
E.10)
2m'a
К1
E.11)
Два примера диаграммы Чу — Лоу показаны на фиг. 41, 42.
Эти кривые являются кривыми второго порядка по t\ и s2; гра-
граничная кривая есть ветвь гиперболы. Очевидно, уравнение E.10)
представляет собой уравнение E.7) для случая cos8i = ±l.
Фиг. 41. Диаграмма Чу—Лоу.
Величины if и «* даются формулами E.10), (8.11). В данном случае гипербола 0=0
достигает значения ti~(ma~mi)i за пределами физической области.
Уравнение E.7) показывает, что, когда точка с фиксированным
значением s2 движется поперек диаграммы Чу— Лоу, U линейно
меняется С изменением cosQoi. С другой 'стороны, уравнение
E.11) получается, если вычислить S2 в системе покоя падающей
частицы ро = 0
^-=(P« + Pr-PiJ = * + «I-2?,(«a + ^) + 2PiP1C08eM E.12)
и положить cos бы = ±1 В указанной системе отсчета фикси-
фиксированное значение tx = ml + tri\ — 2maEl означает, что фиксиро-
фиксированы величины Е\ и Рй уравнение E.12) показывает, что тогда
s2 линейно зависит от cos Эьь
Поскольку уравнение E.10) можно также получить из урав-
уравнения (IV. 5.31) путем замены ml на sv можно использовать
выражения для <макс, выведенные в разделе IV. 6. Выведенные

Трехчастшные конечные состояния
135
там приближения для ^мано, если их рассматривать как функции
s2, являются также приближениями для границы диаграммы
Чу — Лоу в случае, когда s превосходит по величине все массы,
в частности когда s >¦ s2.
Как следует из условия E.8), диаграмма Чу — Лоу разме-
размещается между двумя горизонтальными линиями на плоскости
tis2. Верхняя ветвь гиперболы исключается условием s2 ^ (У«—
—/nj2, а соотношение s2 > (m2 + w3J отсекает конечную
Ю (тл-тг)г
Фиг. 42. Диаграмма Чу—Лоу для случая т. =я щ — т, = 1, i
s = 60.
Значение 'i==("»e—niiJ тепеРь является физическим
2, та = 5,
часть от нижней области Q
следующим образом:
l(s, s2,
0. Эти условия можно выразить
E.13)
, k(s2, m22,
откуда следует, что два процесса д/s -> trii + V52 и
+ m3 должны быть физическими.
При ti = (ma — miJ выражение E.11) дает sj=57> а это
показывает, что линия ^ = (та — щJ касательна к гиперболе
G = 0 Здесь ti достигает максимального возможного значения,
и это соответствует ситуации, когда скорости частиц а и 1 оди-
одинаковы. Однако если соответствующее значение s2 лежит ниже
порога, как на фиг. 41, то это значение t\ оказывается нефизи-
нефизическим. Чтобы найти, когда достижимо значение U =
= (та — т^J, найдем значение s2 при ^ = {та — тхJ из урав-
уравнения E.11) и потребуем, чтобы оно было больше порога
т2 + т3J:
в ^" {s (ma ~
m3
J-

136 Глава V
Чтобы сделать это условие более ясным, разберем четыре
различных случая: та + т& ^ т\-f- ^2 + гпг, ma^mi. Тогда
значение ti = (та—тЛJ достигается только в одной из следую-
следующих трех ситуаций:
а) та -Ь ть > тпх -+- /и2 + пц и; nia > rriu
б) та Н- mb > mi + т2 + Щ, rna < mi
(та + тьJ + щ"!?т2 (та + mi — ml—m2 — m3)X
X (/«а + т» — Щ + т2 + /п3); E.15)
в) тЛ + ть < тк+ т2 + т3, та> т,
/И3 -*" Ша — i
X (Щ ~ tna 4- mx + m2 + m3).
Вернемся теперь к интегралу E.6) и выпишем в явном, виде
пределы интегрирования. Это,приведет к следующей важной
формуле:
2л
ea, m\, ml,m])}X
s, ma, mb)
X в {Я E, ««, 52)} в {Я E2> т», «>)} *A^'W^ J dQU23.
Можно сделать несколько замечаний о применении формулы
E 16) и о ее следствиях.
а. Из формулы E.16) следует, что фазовая плотность на
диаграмме Чу — Лоу дается выражением
ds2dt{ 4til2(s, т2а, nQ
Она не зависит от th но зависит от s2. Однако легко заменить
«2 Другой переменной г таким образом, чтобы плотность фазо-
фазового пространства оказалась постоянной по отношению и к t\,
и к г (упражнение V. 3, см. также [84*]).
б. Выражения E 17) можно проинтегрировать по s2 или по
ti. Поскольку плотность не зависит от t\, интегрирование по fr
дает длину tt—t~ отрезка интегрирования [выражение E.10)].

Трехчастйчные конечные состояния 137
Выражение для dR3/ds2, конечно, совпадет с выражением B.16),
полученным из диаграммы Далица. Для. dR3/dti имеем
S2
где
E.18)
a s|= даются выражением E.11). Интеграл E.18) вычисляется
в конечном виде в упражнении V. 2 (см. также [84*]). Формула
E.18) интересна тем, что она показывает, каким образом
dRzldt\ обращается в нуль вблизи t\ = tiMRK0 или tiMm вслед-
вследствие уменьшения интервала интегрирования. Для dR2/dt си-
ситуация иная [уравнение (IV.4.24)]
в. Вводя сокращенное обозначение Q^23 = Q = (cos 9, <р), из
формулы E.16) получаем для распределения w(cosQ,q>) no Q
при фиксированном значении s
w (cos 9, q>)~ $ dtx ds2^^—^- T (s2, tu Q), E.19)
где Г(Рг) =T(s2,ti, Q)—квадрат модуля матричного элемента
для реакции ра -j-pb-*-pi +Рг + Рз- В частности, если
Т = T(s2, ti) зависит только от s2 и tu то w(cos 0, ф) есть кон-
константа. Наоборот, любые экспериментально обнаруженные ва-
вариации плотности да (cos 0, ф) связаны исключительно с зависи-
зависимостью Т от Q. На практике, если есть какое-то представление
о том, в каком спиновом состоянии образуется система 23,
обычно параметризуют t?»(cos0, ф) элементами матрицы плот-
плотности (см, например, [73]).
Пример 1. В качестве примера динамической модели пред-
предположим, что мы хотим описать рождение в реакции ра + рь -*¦
->-pi + р2 + рз резонанса со спином /, распадающегося на ча-
частицы 2 и 3. Экспериментальным данным не противоречит сле-
следующий простой вид квадрата матричного элемента:
Т = e^F (s2) ^±1 {Pt (cos 0)}2, E.20)
где а>0 — константа, F(s2)—некоторая функция s2 (напри-
(например, функция Брейта — Вигнера), а Р/ — полином Лежандра.
Ось, относительно которой измеряется cos0, есть, как мы уви-
увидим в следующем разделе, ось — р6. Согласно формуле E 19),
распределение по cos0 пропорционально (P(cos0)}2, как это и

138 Глава V
должно быть для чистого резонанса со спином I, а распределе-
распределение по ф равномерно. Из формулы E.16) после несложного ин-
интегрирования по tx следует
1 .x4+.*&.Mif«> «г\
где tf = tt(s2) дается выражением E.10). Следовательно, рас-
распределение по S2 состоит из первоначального множителя F(s2),
несколько искажаемого фактором Я \S2, m-, mi)jS2, связанным
с фазовым объемом; из-за него de/ds2 обращается в нуль при
s2 = s^™ = (tn2 + tnS9; имеется еще один множитель, обращаю-
обращающий da/ds2 в нуль при s2 = s)JaKC = (Vs — m\f- Мы вернемся
к уравнению E.21), когда будем обсуждать кинематические от-
отражения в разделе VIII. 2.
Пример 2. В качестве второй иллюстрации рассмотрим об-
обменные модели типа
Т3 = F (*,) | A (sv cos 9; /,, m\, m\, m23) j2, E.22)
где F(t\)—некоторая функция t\, a A — амплитуда процесса
2->2 типа (ра — pi) -\-Pb^-P2 + Рз. Для которого квадрат
массы одной из внешних частиц (фиг. 39) есть t\. Простым при-
примером этого случая является немодифицированная модель од-
нопионного обмена, в которой F (*i) = gNNl^i/(^ ~ т1У> а ^ —
продолжение амплитуды itN-рассеяния за пределы массовой по-
поверхности я-мезона Формула E 16) удобна для интегрирования
амплитуды, имеющей форму E 22) (упражнение V. 5), если до-
допустить, что выход за массовую поверхность не меняет А, т. е.
что в выражении E 22) можно заменить t\ в А постоянной по-
положительной массой Именно в этом контексте первоначально
возникла диаграмма Чу — Лоу [31].
6. Углы Джексона, Треймана — Янга, спиральности
и некоторые другие
• ТТ2Ч
Теперь мы рассмотрим телесный угол QV , который входит
в интеграл E 6) и при распаде VS2 —*• /"г + Щ определяет
ориентацию р3 в системе отсчета Рг + Рз = Ра + Рь — pi = 0
(фиг. 43). В этой системе отсчета векторы ра, рй и Pi опреде-
определяют плоскость рождения, в качестве которой обычно выбирают
плоскость xz Конфигурация этих векторов зависит только от t\
и S2 (а также от s и от масс). Действительно, применяя выра-
выражения (II.7.10) и (IV.5.17) с заменой р\-*• р2 + Рь Рз-+рь Ч

Трехчастичные конечные состояния
139
Рз^-pi, находим, что угол бй23 между р& и pi в системе отсчета
Ц23 дается формулой ¦ ¦' .
Afi (S< h> S2> Пд' Щ' mf)
ЙЦ23 _- __
k(s2,ml,ti)X(s,s2,mf)
F.1)
Другие углы определяются аналогичным образом.
Чтобы определить ориентацию р3, выберем направление по-
полярной оси либо вдоль рь, либо вдоль р]. Если ось направлена
вдоль рь, то говорят о джексоновской системе координат, если
Фиг 43. Определение угла Трей-
мана — Янга <р& и угла спираль-
ности hi в системе отсчета р2 + рз =0.
же вдоль pi, то речь идет о спиральной системе координат. В со-
соответствии с этим угол 061 в формуле F.1) называется углом
между джексоновской и спиральной системами координат. За-
Заметим, что термин «система координат» относится здесь только
к разным выборам осей в одной и той же системе отсчета. По-
Полярный и азимутальный углы в джексоновской и спиральной
системах координат определяются следующим образом.
а. Джексоновская система координат
Поскольку полярная ось направлена вдоль рь, полярный угол,
или угол Джексона [59], определяется формулой
cos ей23 ¦
Р!=-Р|
F.2)
Он меняется от 0 до я и поэтому однозначно определяется
своим косинусом. Отметим, что 0йз23=Эа^-31,2 есть угол рассея-
рассеяния в СЦМ подпроцесса (ра — Р\) + рь->-Р2 + рг Этим объяс-
объясняется также выбор вектора р3, а не р2 для определения углов
вылета в реакции (р2 + Рз) -*¦ Pi + Ръ на фиг. 42 Любой резо-
резонанс, распадающийся на частицы 2 и 3, будет непосредственно
проявляться в распределении углов Джексона.

140 Глава V
Азимутальный угол в джексоновской системе координат на-
называется углом Треймана — Янга и определяется формулами
F.3)
|p*Xp,||p6Xp3| P2=_p
Угол Треймана — Янга фь в сущности представляет собой угол
между плоскостью рождения рь, pi и плоскостью распада р&, р3
(фиг. 43). Индекс b подчеркивает тот факт, что полярная ось
направлена вдоль рь; мы опускаем верхний индекс Ц23 в обо-
обозначениях азимутальных углов.
Следует обратить внимание на знак минус перед соэфь в
формуле F 3). Благодаря ему наше определение совпадает
с общепринятым. Он означает, что угол, определенный на
фиг. 42 векторами рь, pi и р3, есть на самом "деле я — фь, а не
Фь; поэтому при Р2У ~ 0, р2Х > 0, т. е. когда вектор рг близок к pi
(Р1ж>0), угол фь близок к нулю. Заметим также, что отраже-
отражение в плоскости рождения приводит к замене фЬ на 2я — фь.
Если в начальном состоянии ничто не позволяет различить две
стороны плоскости, то распределение по ф6 будет симметрично
относительно я.
б. Спиральная система координат
В спиральной системе координат полярная ось направлена
вдоль pi и полярный угол, называемый в этом случае полярным
углом спиральности, определяется формулой
Угол 8i22 = я — 013 уже рассматривался в разделе 1 [фор-
[формулы A.9), A.10)]. Как было показано выше, распределение на
диаграмме Далица дает непосредственно распределение по по-
полярному углу спиральности (см. замечания в конце раздела 3).
Соответствующий азимутальный угол \г называется углом
спиральности и определяется выражениями
F.5)
t |PiXPi||P,XP3
sin Я
I Pi X Р& 11 Р2 X р3 |
Таким образом, %\ есть угол между плоскостью рождения
Рь рь и плоскостью рь рз, причем ось направлена вдоль ро +*
—}— р& = р! (см. фиг. 42). Как и в случае фь, распределение
обычно симметрично относительно %\ = я.

Трехчастичные конечные состояния 141
Согласно выражениям E.16) и E.19), распределения углов
Джексона, Треймана — Янга, полярного угла спиральности и
азимутального угла спиральности по фазовому объему одно-
однородны.
Определения щ и Ki с помощью формул F.3) и F.5) можно
дать в несколько различающихся, но эквивалентных формах.
Существуют два типа модификаций. В первом случае можно,
оставаясь еще в системе Ц23, применить уравнения ра = pi —
—рь и рг = —Рз, чтобы заменить некоторые векторы, входящие
в F.3) и F.5), другими векторами. Одна из формул, получае-
получаемых этим путем, довольно интересна (упражнение V. 6). Воз-
Возможны менее тривиальные модификации благодаря тому, что
азимутальный угол инвариантен относительно преобразований
Лоренца, параллельных полярной оси. Таким образом, угол ф&
инвариантен относительно преобразований вдоль оси
Vb = Pi - Pa, F.6)
а Л] — ртносительно преобразований вдоль оси
• Pl = Pa + P*- F.7)
Эти преобразования приводят к разным системам отсчета;
только в системе Ц23 могут быть одновременно определены щ
и Х\.
Чтобы продемонстрировать другие возможные определения
в иных системах отсчета, введем следующее обозначение, уже
применявшееся в (П. 7.25):
Pi = 0, (p2; р3, р4)->ф- F.8)
Оно означает, что
— (Р2-Хрз)-(р2Хр4)
— |PixpsIIp*Xp«I '
->, _ -Р2 (Р. -Рз X р«)
ф I Р> X Рз I I Ps X Р« | *
Таким образом, ф есть азимутальный угол вектора р4 в си-
системе отсчета pi = 0, когда вектор рг параллелен оси z и
Ръу = 0, Ргх ^ 0 (фиг. 7). Тогда выражения F.3) и F.5) сокра-
сокращенно записываются в виде
Р2 + Рз = 0, (Рб5 Pi, Рз)-*я —ф», F.9)
Р2 + Рз = 0, (Рь Р», ft)-**,. F.10)
Из уравнения F.6) видно, что угол Треймана — Янга ф&
просто определяется также в системах отсчета р6 = 0 (система
мишени) или ра — Pi = 0. Чтобы иметь возможность преобразо-
преобразовать F.9) в систему отсчета, где р6 = 0, следует переписать

142 • Глава V
F.9) так, чтобы вектор рь отсутствовал. В Ц23 рь *= Pi -^-pa",
это означает, что i
Рг + Рз^-О. (Pi — Ра">.А» Рз)-¦я — Фб-
Следовательно, в системе отсчета р& = 0 угол между pi—j»a,-
pi и pi—pa, рз есть тоже я — щ. . -
Можно слегка изменить результат, применив справедливое
в системе отсчета рь = 0 равенство pi — р0 == —рг — Рз- Это
дает
РЬ = 0, (— р2 — Рз*. Pi. Рз) -* я — Фб-
Согласно формуле (И. 7.25), это эквивалентно выражению
Рь = 0, (р2 + Рз; Pi. Рг) -» Фб- F-11)
Последнее выражение в сущности совпадает с определением
Треймана и Янга [137].
Поскольку разность р0 — pi не входит в F.11), выражение
F.11) можно использовать для определения щ в системе от-
отсчета, где ра — Pi = 0. Однако из-за того, что 4-импульс ра— pi
обычно пространственноподобен, эта система отсчета суще-
существует не всегда. Подходящей системой является тогда система,
в которой ра— Pi = (О, О, О, У-—О; выражение F.11) спра-
справедливо в этой системе без изменения. Для случая упругой
верхней вершины та — т\ такой системой является система
Брейта: Еа = Еи р0 = —pi.
Сходным путем можно убедиться в том, что угол спираль-
ности допускает определения '
Pl = 0, (pa + Рй,- р4, р3)-^Я„ F.12)
р'в + р4 = 0, (р,; ро, р3)->-Я1. F.13)
7. Описание с помощью трех инвариантов и одного угла
Задание ориентации импульса р3 в джексоновской или в спи-
спиральной системе координат означает, что в формуле E.16) мы
полагаем
4jf G.1)
= d cos 9}f dkl = - d cos e«23 d\. G.2)
В этом разделе мы покажем, как можно заменить в G.1)
cos В^з23 на h = h% или как можно заменить в G.2) cos 0^23- на
Si = Si2 и тем самым выразить Rz(s) [формула E.16)] через три
инварианта и один угол.
Соотношение между t2, si и углами можно получить несколь-
несколькими способами. Мы выберем из них самый прямой и громозд-

Трехчастичные конечные состояния
143
кий, а именно запишем
Л = "(ft- РзJ = «5
. Gl3)
Чтобы ввести сюда инвариантные переменные, надо допол-
дополнить перечень обозначений A.7) выражениями для величин Ел
¦¦¦¦' tt
а
в
Фиг. 44. Три диаграммы, описывающие реакцию а + Ь -> 1 + 2 -J- 3.
Физическая область каждой нз них характеризуется неравенствами
• / 2 2 2\
2 2 2\ g- n,
2 2 24
в1 Да (Pa» Pi. Pft)8^ ^Я (^2 "^"Рз?*Рд"^" Рй* Рз) ^ ^* ^(^1* ^3* ^' ^2' ^1» "^3 у ^ ^*
и ?б, которые отсутствовали при распаде. Можно сразу напи-
написать следующие выражения:
,Ц23 S2+ ml — f6i * + fi -- m| — я»?
P?23 =
'l ПЦ23
—•, fa
G.4)
Тем самым мы обнаруживаем линейную зависимость между t2
и 23
+ cos 8 57 l'h (S2> ml> *i) %Ъ (S2> ml mD-
Полагая cos9^= ± 1, мы, очевидно, получаем интервал
изменения /г при фиксированных s2 и t\. Вспомнив, что Qf?
есть угол рассеяния в СЦМ реакции (pa — Pi) + Ръ-+Р2-{-Рз
и применив к этой реакции (фиг. 44) правило, иллюстрируемое
фиг. 25, мы можем записать этот интервал в виде
G(s2, t2> ml *,, m\, /n22)<0 G.6)

144 Глава V ,
Линейное соотношение, связывающее st и cos eJi23, уже было
23
приведено выше [соотношение A.8)], поскольку \
= —cos в^з23. Полагая в этом соотношении cos б!з23 = ± 1, мы по-
получаем интервал изменения s\ при фиксированных s и s2. Варьи-
Варьируя s2, мы получаем, естественно, фигуру Далица. Условия, пр»
которых значения cosOn»23 являются физическими, записы-
записываются через функцию G в виде B.1) (фиг. 44).
Теперь нетрудно заменить полярный угол в G.1) на t2, a
в G.2)—на Si. Подставляя результаты этой замены в E.16),
мы получаем следующие выражения для /?з(з):
X
X \ dt2% {- G (s2, t2, ml /„ m2b, /»!)} J d<pb, G.7)
о
2л
X 5 dsfl{— G (sp s2, s, m|, mf, m»)} $ d^. G.8)
0
Эти выражения для Яз(«) полезны тогда, когда квадрат мат-
матричного элемента имеет вид Т = f(ti,S2,h,qib) или Т =
= f(*i,*s,*iAi).
Пример 1. Если квадрат матричного элемента имеет вид
s2)ebt*, G.9)
то, согласно уравнениям G.7) и (III. 2.2), распределение на
диаграмме Чу — Лоу дается выражением
=
, ds2 ч DЛ)» Л(s, m2a, ml) 4Я1/г (s2, m|,
i_(ы+
где
e«2+_e«2 =2exp[b
Дальнейшие интегрирования проводятся численно.

Трехчастичные конечные состояния
145
Выражение G.8) подразумевает [11.5, 117], что физическая
область в переменных tu su s2 определяется условиями
G(s, tvs2> m\, m\,
G(slt s2, s, m\, m% m23)<0. G.11)
Поскольку функции G здесь содержат только пары переменных
инвариантов {t\S2 и sis2), они представляют собой цилиндры
в пространстве th su s2, и физической областью является общая
фнг. 45. Физическая область изме-
изменения переменных SiSrfi при нуле-
нулевых массах частиц есть пересечение
двух призм (при гщ ф 0 — двух ци-
цилиндров).
Фиг. 46. Физическая область изме-
изменения переменных tls2t2 при нуле-
нулевых массах частиц.
внутренняя часть этих двух цилиндров. На фиг. 45 показано,
на что похожа эта трехмерная область в случае нулевых масс
или очень большого s. Ее проекции на плоскости SiS2 и s2t\ —
это диаграммы Далица и Чу —¦ Лоу соответственно. Проекция
на плоскость t:Si дает t^i-диаграмму. На фиг. 45 видно, что
при больших s она близка к квадрату.
Точно так же выражение G.7) подразумевает, что физиче-
физическая область изменения t\, s2, t2 удовлетворяет неравенствам
[115, 117]
G(s, tv s2, ml, ml /^)<0,
G{s2,t2,m\,tvml, m*)<0 GЛ2)
На этот раз во вторую функцию G входят все три переменных
инварианта, так что физическая область представляет собой
общую внутреннюю часть цилиндра, определяемого первой

146 Глава V
функцией G, и трехмерного многообразия, определяемого вто-
второй функцией Q. На фиг. 46 показана эта физическая область
для нулевых масс. Ее проекции на координатные плоскости суть
диаграмма Чу — Лоу в переменных t\s2, далее /^-диаграмма
и txt^-диаграмма. Из фиг. 46 видно, что граница ^-диаграммы
по мере роста s все меньше отличается от квадрата.
Точные границы диаграмм /jSi, t2s2 и t\t2 намного сложнее
границ диаграммы Далица (s\S2) или Чу — Лоу (tis2 или t2si).
Причина состоит в следующем. Для получения диаграммы
Чу — Лоу мы проводим интегрирование по /2 в G.7), а для
получения диаграммы Далица — интегрирование по t\ в G.8).
В обоих случаях переменная интегрирования встречается только
в одной G-функции — это дает пределы интегрирования; другая
функция G при этом остается постоянной и дает границу диа-
диаграммы. Но для получения /i/г-дчаграммы приходится интегри-
интегрировать в G.7) по s2, а s2 присутствует в обеих G-функциях.
Следовательно, определять границу приходится другими сред-
средствами. Мы не будет здесь излагать их [64], а вместо этого
продемонстрируем свойства /^-диаграммы на примере.
Пример 2. Если массы равны та = т\ = т2 = 0, т& =
= т3 =т т (реакция nN — nitN при тл « 0), то /i/2-диаграмма
(фиг. 47) ограничена частями кривых
/, = 0,
а распределение по фазовому объему имеет вид
я
ш
r
L
4(s-m2) ш L m2 \t1-t2\-tl-t2
В нем наблюдается пик при малых t\, t2, а вдоль границы плот-
плотность распределения стремится к нулю. В пределе т—>0 гра-
граница ^-диаграммы становится квадратом.
Существенное качественное различие между tiS\- и /^-диа-
/^-диаграммами, с одной стороны, и диаграммами Далица (s^)
и Чу — Лоу (/is2)—с другой, может быть охарактеризовано
следующим образом. В последних диаграммах три входящие
в них инварианта (включая s) не все примыкают друг к другу
(фиг. 48). Процесс эффективно оказывается процессом типа
2-»2, в котором квадрат массы одной из внешних частиц равен
отдельному инварианту (s на диаграмме Далица, s2 на диа-
диаграмме Чу — Лоу), А на t\tr и /iSj-диаграммах все три инва-

Трехчастичные конечные сЬстояния
147
рианта {t2, s, t\ и s, tb S\) примыкают друг к другу, и процесс
нельзя свести к подпроцессу 2-»-2. Поэтому границу нельзя
задать одной G-функцией.
\tz
(azmW
Л-
Фиг. 47. Диаграмма txt2 приma
= О, ть — гпз — m-
'ГП2=
Физические области изменения двух инвариантов, когда тре-
третий (в добавление к s и массам) фиксирован, также непосред-
непосредственно даются неравенствами G.11), G.12): это — сечения
трехмерных областей G.11), G.12) плоскостью. Например, об-
область физических значений t\t2 при фиксированном s2 можно
начертить так: вычертить сначала в плоскости tit2 гиперболу,
а б
Фиг. 48. Определение трех инвариантов: а — не примыкающих друг к другу,
б — примыкающих друг к другу.
В случае а —реакция 2 -» 3 может быть сведена к реакции 2 -> 2.
определяемую второй G-функцией в G.12) [в разрешенном от-
относительно t2 виде она приведена в G 5)], а затем двумя пря-
прямыми линиями t\ = const [см. E 10)] отделить от этой гипер-
гиперболы область, отвечающую первой G функции. Эта область при
s2->(/n2 + тъJ приближается к отрезку прямой
(т2 + шЛ) t2 = m^ + m2 (m\ - m\ - m2m3), G.16)
в чем легко убедиться прямой подстановкой в G.5) s2 = (m2 •+-
J
8. Азимутальные углы в инвариантных переменных
В формулах G.7) и G.8) остались две неинвариантные пе-
переменные: в G.7) — угол Треймана — Янга щ, а в G.8) — угол
сциральности Aj. Покажем теперь, что существуют линейные

Ш Глава V
соотношения, связывающие Si и coscpb (при фиксированных s2,
ti, h) или t2 и cos ki (при фиксированных Sj, s2, /i). Эти соотно-
соотношения выражают щ и Ai через инварианты. Зависимость щ от
прочих (кроме Si) инвариантов более сложна; то же относится
к Я,1.
То, что между Si и щ имеется простая связь, качественно
видно из сравнения фиг. 43 и 7. Если азимутальный угол опре-
определен, как на фиг. 7, условиями
Pi = 0, (p2; рз, р4)-»-<Р, (8.1)
то, согласно уравнению A1.7 16), coscp должен зависеть ли-
линейно от рз-Pi- Точно так же косинус угла ф& на фиг. 43 дол-
должен линейно зависеть от инварианта, «связывающего» pi и
рг(=—рз). Этим инвариантом является Sx==si2. Линейная за-
зависимость cosA,i от t2 вытекает из таких же рассуждений.
а. Связь sl с углом Треймана — Янга щ
Применяя для определения угла Треймана — Янга F.11) со-
соотношение (II.7.15), получаем
рь, р2
{дз (Рь> Рг + Pr Pi) дз (Рь, Рг + P
Здесь определители Лз легко выразить через инварианты, если
начертить соответствующие им фейнмановские диаграммы
(фиг. 44). Для вычисления числителя надо подставить скаляр-
скалярные произведения из D.9). Но для большей симметрии формул
мы сначала воспользуемся соотношениями (А.5) и (А.З), что
сразу дает
G (РЬ, Р, J РЗ. РЛ _ Q (Р. Р2 + РЗ, Ра + РЛ
\Pb, Р2 + Рз> Р2/ \Pb, Р2 + Рз> Рз /
Тогда из уравнения D.9) и фиг. 44 следует
s2 — tl-\- m\ 2s2 s2 — n?2 ¦
кга. 2 I 2 I 2
s — ma + njj s + &j — "*i s — Sj 4
п' (o-4)
2 {O (s, tu s2, m2a, ml, mf) G (s2, t2, tn\, tx, m2b, m2,)} г
Уравнение (8.4) имеет два решения: ср& и 2п — щ. Им отвечают
две конфигурации импульсов, каждая из которых является
зеркальным отражением другой в плоскости (рь, pi) на фиг. 43.
Переменные su s2, ti, t2 одни и те же в обеих конфигурациях,

Трехчастичные конечные состояния
D9
После несложных выкладок получаем функцию, обратную
(8.4), в виде
\ —
sl = s + tn\
2т\
2s,
m\
s-\-s2 — m]
+ 2{G(s, tv s2, m\, m2b, mf)Q(s2, t2, m\, tv m\,
(8.5)
б. Связь t2 с углом спиральности hi
Угол спиральности К\, согласно F.13) и (II.7.15), опреде-
определяется выражением
„('.+'**¦
. ~ \Ра + Ръ< Pv
COSAi=— тг • \°-vi
{b3(Pa + Pb>Pl'Pb)b3(Pa + Pb'Pl>P3)}la
Здесь также оба определителя А3 выражаются через функции
G, как показано на фиг. 44. Числитель слегка видоизменяется
и принимает вид
1+л! л, рз)=с (л+л! Ppl+PZ л) (8J)
а скалярные произведения заменяются обычными инвариан-
инвариантами с помощью формулы D.9). В итоге для cos hi имеем
cos hi = -
' 2s
s + s2 — n
s-m2a +
s + s2 — щ
s — Sj +
s ~ m +
2 {G (s, tu s2, ma, m2b, mf) G (su s2, s, m], m], mf)
Явное выражение для t2 через cos hi имеет вид
(8.8)
X
h(s,s2i m,)
2s
s + s, — m?
s — s,
2s,
tn\
+ 2{G (s, f,, s2, m\, m2b, m?) G (sp s2, s, ml m], m2^ cos \]. (8.9)
Приведенные выше выводы являются несколько формаль-
формальными; теперь мы продемонстрируем вкратце, как эти же

150 Глава V
результаты можно получить непосредственно из геометрических
соображений. В системе отсчета Ц23 (р2 + Рз = 0) раскроем
формулу для t2. Мы придем сначала к формуле G.3). Вос-
Воспользуемся далее теоремой косинусов из сферической тригоно-
тригонометрии [см. (Б.4) и фиг. 111 и 43], которая гласит, что cos 6&3 =
= cos вы cos 0i3 + sin 8ai sin 813 cos Xi. Мы получим
t2 = m\ + m\ - 2EbE3 + 2РЬР, cos Bbl cos 913 +
+ 2P6P3sineMsine13cosA,1. (8.10)
Все углы, энергии и импульсы выражены здесь в системе от-
отсчета Ц23. Если записать их в инвариантной форме с помощью
формул A.7), G.4), F.1) и A.8), то мы получим опять выра-
выражение (8.9). Выражение (8.5) можно получить таким же спо-
способом, определив Si = (ра-\-рь — РзJ и вычислив его в системе
отсчета Ц23.
Выражения (8.5) и (8.9) позволяют также уяснить динами-
динамическое значение углов щ и X] [97]. Из G.7), G.8) ясно видно,
что если распределение фь или \\ однородно, то амплитуда
должна зависеть только от трех переменных, т. е. иметь вид
7"з(^1,$2> h) или Уз(^i> *2, Si) соответственно. Выражения (8.5),
(8.9) показывают, как добавочная зависимость от S\ или t2 свя-
связана с зависимостью от ф& или Aj. Если есть какая-то зависи-
зависимость от Si, то должна быть и зависимость от щ. В частности,
поскольку Sj линейно растет с ростом —cos фь, амплитуда, бла-
благоприятствующая появлению больших значений su приводит
также к преобладанию значений фь, близких к я. Именно так
обстоит дело в моделях реджевского типа, когда Т « s\ai, a, ^1.
Чем меньше аь тем должен быть слабее пик вблизи фь « п.
Точно так же t2 тем больше, чем больше +cos X\; амплитуда,
способствующая появлению малых значений \t2\, приводит
к пику в распределении в окрестности ki « 0.
9. Описание с помощью четырех- инвариантов
Запись интеграла по фазовому объему в пространстве всех
четырех инвариантов можно получить либо из формулы G.7),
заменяя в ней щ на sit либо из G.9) заменой %\ на t2, либо
непосредственно из формулы E.16) при помощи формулы
(II.7.21), выражающей dQP3 через инвариантные переменные.
Идя по последнему пути, мы получаем
(9.1)
{- Д2 (Р2 + РУ Р3)}'/2 {- Д4 (Ра' /V PV РзУ11
s2 dt2

Трехчастичные конечные состояния
15!
так что
.„;, .4) \ (_л4)
Здесь А4— симметричный определитель Грама четвертого по-
порядка, составленный из любых четырех независимых векторов,
образованных из ра, рь, pi, P2, Рз- Из-за этой свободы выбора
аргументов мы часто будет опускать аргументы у Д4. Напомним
еще, что множитель 2 в (9.1) появляется из-за двузначности
восстановления конфигураций импульсов по инвариантам (два
набора импульсов с одними и теми же инвариантами могут от-
отличаться азимутальными углами ф и 2я — ср).
Область интегрирования в (9.) является физической об-
областью изменения t]S2t2s1 для канала ра + рь -> Р\ + Pi + Ръ при
фиксированном s. Мы видим, что физическая область в этих
переменных [см. D.1)] должна удовлетворять неравенству
Д4<0.
(9.3)
Граница области получается при знаке равенства.^ Физические
области меньших размерностей получаются, если проинтегриро-
проинтегрировать по одной или нескольким переменным (об этих областях
мы уже говорили) или если фиксировать значения однои-двух
переменных [см. D.26), D.3в) и D.4г)]. Так, например, физи-
физическая область изменения t\S\S2 при данном t2 ограничена той
же поверхностью А4 = 0, но при данном /2. Она лежит где-то
внутри той области, которая получается после интегрирования
по всем t2 и которая показана на фиг. 45 для нулевых масс.
Подобным же образом физическая область изменения t\, t2
при фиксированных su s2 ограничивается кривой Д4 = 0, вы-
вычерченной в плоскости t[t2 при фиксированных Si, s2. Она ле-
лежит где-то внутри диаграммы txt2.
Определитель Д4 выражается через стандартный набор пяти
инвариантов и пяти масс следующим образом:
Д4 = А4(ра, рь, ри р2) =
== — -jgB(st tv в,, $2, /8; /n|, m\, т\, т\, т]) ==
1
m
2ml
2d * Ot
2p • p.
2pa ' p3
2Pa-Pj,
2ml
Zpb'Pi
2Ph' Pi
2Pa-Px
2Pb ' Pi
2m]
2px • p3
2Pa
2pb
2/
¦Ръ
•Pi
•Рз
Щ

152
Глава V
1
IB
2m\
2/n|
2m\ s—s,—
s—s
2—m\
2m\
1
16
2s2
s + s2 —
s2-m| +
m|
V
s-
»|
-/, + m
2/»2u
¦m2a + m
+ m\-
\ s +
s-
f2 s-
S2-
. 2s
- mb
¦ml
S2~
m\
s-
-m\+m\
\-m\-12
¦ s, + m\
2m\
Удобнее другая форма Л4, в которой используются несколько
измененные аргументы:
з. Рь> Р
(9.4)
В ней инварианты t\, S2 и t2 встречаются только в двух симмет-
симметричных положениях. Несимметричный определитель Грама
в формуле (8.4) — это минор элемента (ра + рь) • р3 = V2 (s —
—*]+/«з) определителя (9.4), и мы сразу же видим, что cosqp&
линеен по S\. Подобным же образом обнаруживается, что
fPt
Фиг. 49. Аргументы у Д4 можно выбрать таким
образом, чтобы в определителе Д4 = Д4 (ръ + ри
Рг Рб. Рь рг + Pi) инварианты sn, s23 и s<6 распо-
располагались симметрично.
линеен по t2. Видоизмененные выражения (8.3) и (8.7) мы по-
получили для того, чтобы выявить связь этих определителей
с (9.4). Из фиг. 49 ясен выбор аргументов в Ёыражении (9.4).
Симметрии, скрытые в определителе Д4, легче всего заме-
заметить в представлении Кэли (А. 13)
О
5 =
mi
т\
1
т\
0
«1
Ч
S,
1
S2
т\
0
т\
s
1
ч
т\
0
К
1 ,
т\
S
т\
0
\
1
1
1
1
1
0
(9.6)

Трехчастичнь1е кднечные состояния 163
! '
Предыдущие выражения определяют В как базисную пяги-
частичную кинематическую функцию. Она соотносится с А4 так
же, как % соотносится с А2, a G — с Аз Явный ее вид [109] мо-
может быть найден, если раскрыть любой из написанных выше
определителей. Практически этот явный вид не нужен; для чис-
численных расчетов достаточно определителей Функция В понадо-
понадобится нам лишь тогда, когда нужно будет подчеркнуть, что
у нее 10 аргументов; во всех прочих случаях мы будем пользо-
пользоваться Д4.
Нетрудно провести параллель между свойствами В и 44
и свойствами G и А3. Мы не будем входить в детали, а отметим
лишь основные моменты.
а. Симметрии определителя Д4
Пусть имеется некоторая перестановка A ...E)->-(ti.../5);
применим ее к первым пяти строкам и пяти столбцам определи-
определителя (9.5). Получится перестановка десяти аргументов В, не
Фиг. 50. Симметричные переменные в опре-
определителе Д^
меняющая В Группа симметрии В содержит 5! = 120 переста-
перестановок. Обычно они сводятся к перестановкам одночастичных
и двухчастичных масс, но есть десять нетривиальных переста-
йовок, которые образуют циклические преобразования частиц
1->2-»-3->4-*5 и, кроме того, отражение 1 <-> 5, 2 -*-> 4,
Свойства симметрии В яснее всего можно увидеть, если
ввести обозначения
*«/ = {(/><+ ... +Р5)-(Р/+ ••• +Р5)}2, i, У=1, .... 5.
Ясно, что х1} = хп и х1Х = 0. Соответствие между х1} и обыч-
обычными инвариантами видно из фиг. 50. Сто двадцать переста-
перестановок индексов A,...,5)->(ib..., 15) приводят к таким пере-
перестановкам {хг]}, при которых B({xt]}) остается инвариантным.
Так же как и G, функция В связана с объемом гипертетраэдра
с пятью вершинами 1, ..., 5 и десятью ребрами х1} в четырех-
четырехмерном пространстве.

154
Глава V
б. Д4 как функция одной переменной
Функция В представляет собой однородный многочлен чет-
четвертого порядка по всем своим аргументам и второго — по лю-
любому из них. Следовательно, уравнение А4 = 0 — квадратное
и имеет два решения. Решения эти мы уже знаем, так как Д4
V
Фиг. 51. Если определитель А4 записать в виде 16Д4 = Рх2 + 2Qx + R (х —
произвольный инвариант), то коэффициент Р дается строчкой а, где у и z—
примыкающие друг к другу инварианты, а /га — противоположная им масса.
Дискриминант Q2 — PR получается из строчки б: он равен учетверенному произведению
двух функций G, каждая из которых отвечает такой реакции 2 -> 2, в которой две при-
примыкающие др*уг к ДРУУ двухчастичные системы считаются одиночными частицами
с квадратами масс, равными соответственно у и г.
обращается в нуль, например, при sin2 \\ = 0 или при cos %i =
«= ±1. Значит, два корня tt уравнения
16А4 м Ptl + 2QT2 + R = 0 (9.6)
могут быть получены из формулы (8.9) после подстановки туда
условия _ ¦
cosAi = ±l. (9.7)
Из (9.4) и (9.5) легко видеть, что P = X(s, s2, m^). Наобо-
Наоборот, если предположить, что А4 записано в форме (9.6), то па-
параметры этого уравнения Р, Q и R имеют вид
P = X(s, s2, m]),
Q2_p^ = 4G(s, *„ s2, ml, ml m])G(sv s2, s, m\, m\, «]),
2s2
s-\-s2 —
s —
S2~
2s
s,4
¦«?
s2-*
/n|-
\-rnl
(9.8)
R = I6A4, вычисленному при t2 = 0.
Сходные, выражения для других инвариантов получаются кру-
круговой перестановкой частиц. Для запоминания уравнений (9.8)

Трехчастичные конечные состояния . 155
очень полезно представить себе схему, изображенную на
фиг. 51. Далее, Д4 может быть записано в виде
16Д4 = Я, (s, 82, mX) (t2 - tt) (fe~- Й"), (9.9)
где tt определяется (9.7). Круговой перестановкой получаются
аналогичные соотношения для других переменных.
Пример. 1. Мы можем теперь вернуться от уравнения (9.2)
несколько вспять. Желая проинтегрировать (9.2) сначала по
Si, мы воспользуемся выражением (9.9), с помощью цикличе-
циклической перестановки приведенным к виду 16Д4 = A(s2, tv trC^\{sl —
— s,+) (s, — sj~), где sf даются выражением (8.5) при cos<p6 =
=ь+1. Само интегрирование проводится очень, проста (упраж-
(упражнение V. 2):
/2(s2, tu mf),
но выражения для sf действительны лишь в том случае, когда
две G-функции в (8.5) оказываются одновременно отрицатель-
отрицательными. Тем самым мы возвращаемся к уравнению G.7), в ко-
котором интегрирование по ерь уже проведено. Точно так же мы
могли бы начать с интегрирования по любому из трех осталь-
остальных инвариантов. После первого интегрирования мы всегда
возвращаемся либо к уравнениям G.7), G.8), либо к уравне-
уравнениям, полученным из них преобразованием ра -*-»• рь, Pi ¦*-»¦ Рг,
Р2 •*-»¦ Р2-
в. А4 как функция двух переменных
Если определитель Д4 считать функцией двух инвариантов
[103], то как функция не примыкающих друг к другу инвариан-
инвариантов (таких, как пары ss\, tis2, s\t2, s2s, tit2) он будет многочле-
многочленом второй степени, а по смежным инвариантам (таким, как
пары sfi, *isb sis2, s2t2, t2s)— многочленом четвертой степени.
Чтобы убедиться в этом, достаточно взглянуть на представле-
представление Кэли (9.5), в котором не примыкающие друг к другу инва-
инварианты стоят в одной и той же строке или в одном и том же
столбце. Из определителя (9.5), который для cosq)b = ±l дает
кривую А4 = 0 в виде, разрешенном относительно S\, также
следует, что несмежные инварианты s и t2 встречаются только
в одной G-функции, a s2 и tx — в обеих. Если начертить кривую
Д4 = 0 в плоскости любой пары инвариантов х и у, то, когда
х и у не примыкают друг к другу, она образует коническое се-
сечение, а когда х и у примыкают друг к другу, — кривую

156
Глава V
четвертого порядка. Подчеркнем еще раз различие между этой
кривой и диаграммой ху: последняя является «тенью» (проек-
(проекцией) поверхности Д4 = О на плоскость ху; в ней присутствуют
все физические значения двух оставшихся инвариантов z и и,
в то время как первая чертится для определенных z и « (s
всегда фиксировано). Следовательно, кривая Д4 = 0 всегда ле-
лежит где-то внутри диаграммы ху.
Фиг. 52. Кривая Д4 = 0 на пло-
плоскости txt2.
Для ее построения из уравнения (8.9) было
найдено **как функция ty Пределы i"акс,
f"HH даются формулой (9.13). Формулы
для tf и f"aKC, f»
t
образованием ра
получаются
пре-
Рассмотрим теперь подробнее случай, когда инварианты не
примыкают друг к другу; для определенности пусть это будут
ti и t2. Запишем сначала Л4 в виде
16А4 = At\ + 2Ctxh
BU
2A'U
D, (9.10)
где
= K(s, s2, m
\),
)
(9-11)
B' = Q из (9.8), вычисленное для *i = 0,
Л' = В' после перестановки ра-^Рь, Pi ¦«-> р3»
D=16A4 вычисленное в точке ti = t2 — O-
Тип конического сечения определяется знаком определителя
А С
С В
= — 4sG(sv s2, s, m% m\, ml).
(9.12)
Здесь и ниже параметры, описывающие уравнение (9.10), ока-
оказываются слишком сложными, чтобы формулу для Д можно
было доказать механической подстановкой выражений (9.11).
Вместо этого мы выведем ее, пользуясь известными свойствами
корней уравнении Д4 = 0 и Дз = 0. Поскольку G < 0 и s > 0,
то А > 0, так что коническое сечение оказывается эллипсом
(фиг. 52). Чтобы начертить его, мы просто возьмем уравнение

Трехчастичные конечные состояния
157
(8 9), которое дает функцию ^2 = йГ (ti; s, Si, S2), и положим
в нем cosA,i = ±l. Рассматривая разность t? — ?Г, мы легко
придем к уравнению (9.12). Предельные значения tif т. е.
f"aKC и *"ин, получаются тогда, когда оба корня t* совпа-
совпадают. Согласно уравнению (8.9), это происходит тогда, когда
G (s, tx, s2, m2a, m\, m2,) = 0. Следовательно,
trKC = tt, tr* = tT, (9.13)
где Сдаются формулами. E.10).
Квадратичная форма (9.10) диагонализуется стандартными
приемами. Сначала мы находим центр эллипса
В В'
(9.14)
Затем поворачиваем оси вокруг нового начала координат
(tf\ й0)) на угол а = V^arc tg [2C/(A — В)]; мы получаем уравнение
, 10Д4 = Л1М -р A2f2 ~V U, (У. 10)
где
= l(s, s2,
и где определитель
s, sv tnf)±[{k(s, s2,
, sv
"-¦f
s,, s2, s, tn% m\,
A С А'
С В В'
А' В' D
удовлетворяет тождеству
2s
(9.16)
(9.17)
(9.18)
Гакс — t™m =
Оно вытекает непосредственно из равенства t\
-=2(—С?//Д)& и из (9.13).
Круговой перестановкой D.6) можно получить кривые
Д4 = 0 в плоскостях Sit2, SS2, t{S2 и ss\. Заметим, что в формуле
(9.12) s — просто один из входящих в нее инвариантов. В пло-
плоскостях S\i2 и s2'i он превращается в s2 или S\ соответственно,
так что А>0 и кривые остаются эллипсами. Но в плоскостях

158 Глава V
ssi или s?2 он превращается в tx или U, причем уже А < 0, т. .е.
кривая становится гиперболой (если 11 < 0 ' или i2 < 0)
(фиг, 56).
г. Определитель Д4 для нулевых масс
Когда все т* ==¦ 0, из (9.4) получаем
16А4 = (st{ — t ,5, + sxs2 — s2t2 + 4«J — 4s (s — s, — s2) f ,/2. (9.19)
В первых скобках стоят как раз все пять пар примыкающих
инвариантов, относительно которых А4 оказывается многочле-
многочленом четвертой степени. При желании качественно оценить тот
или иной эффект часто бывает полезно обратиться к уравне-
уравнению (9 19).
10. Циклическая симметрия, угол Толлера
Выбор всех инвариантов и углов, введенных в разделах
б—8, вытекал из определенной факторизации R3, показанной
на фиг. 39. Теперь мы обобщим рассмотрение на случай, когда
Фиг. 53.
в промежуточном двухчастичном состоянии находится произ-
произвольная пара примыкающих друг к другу частиц Для симмет-
симметрии мы будем считать все импульсы выходящими (фиг. 53),
а для обозначения инвариантов введем двойные индексы. При
разбиении, показанном на фиг. 53, описание рассеяния 2->2
требует двух инвариантов S34, S45, а описание распада l-v2 —
введения углов 6, ср импульса pi в системе координат, заданной
векторами р3, р4, Ps, и, кроме того, конечно, введения квадрата
инвариантной массы системы s^. Другой путь состоит в зада-
задании ориентации рь р2 относительно р3, р4, ps при помощи ин-
инвариантов s5\ и s23 или смешанным способом, через один угол
и один инвариант.
Предположим сначала, что Sis > 0, так что мы можем пе-
перейти в систему отсчета pi + р2 = 0. Выберем ось z параллель-
параллельной ps, а ось х направим так, чтобы было piy = 0, pix ^ 0. По-

Трехчастичные конечные сдстоянил
159
лярный и азимутальный угол вектора pi определяются выра-
выражениями [см. F.8)]
A0.1)
Pi +P2 = O,
(р5; Р4, ефр,)->ф.
A0.2)
Мы ввели знаковые множители ее, вф = ±1, чтобы можно было
для разных углов пользоваться одним и тем же определением.
Как выражаются углы через инварианты, мы уже знаем; в част-
частности, 0 и ф задаются равенствами
COS0:
{(«
\- nt}) (s12 -
34
m
) - 2 {
т\
s12} + 2sl2s5l
» «в
СО8ф = |
Pl+p2, Р^ Pi
Pi + Pi, Pb, Pi + i
X (Аз (Pi + P2, РЪ, Pi) Д3 (Pi + Pb Pi, Pi)}~ ''' =
A0.3)
2s,
fflo — S
12 '
»45
«34 ~ «12— '
2m\
S45 - ml
S12'
423 '
. — m,
«45 - mi
ф 2 {G (s34> «', s,5> s12, m^, mj) G (sJ4, s45, m4, s12, /nj, m])}ъ '
A0.4)
Делая в A0.3) и A0.4) всевозможные круговые переста-
перестановки индексов, мы определим различные углы, которые по-
полезны при изучении процесса 2-*3. Мы их перечисляем в
табл. 1, где указаны также знаковые множители ее, еф, отве-
отвечающие общепринятым определениям. Соответствующие инва-
инварианты в A0.3), A0.4) находятся путем указанной в таблице
замены индексов 1 2 3 4 5 на некоторую перестановку индексов
Ьа 12 3; при этом делается соответствующая замена s^, s23,
s34, S45, Ssi на s, t\, S\, s2, t2 Например, если мы хотим записать
cos %i в инвариантном виде [выражение (8.8)], мы просто де-
делаем в A04) замену 1 234 5->23йа 1.
Предположим теперь, что Si2 < 0, так что вместо системы
отсчета Pi + Рг = 0 мы должны прибегнуть к такой системе,
в которой Pi +Р2 = @, 0, 0, V~si2 )• Ориентация системы
фиксируется тем, что полагают р5х = р5у — р4у = 0, p5z > 0,
pix > 0. Выписывая затем р\ в псевдосферических координатах

160
Глава V
Табли
' Углы и быстроты, встречающиеся при описании реакции а + Ь -> 1 —
Верхние индексы при полярных углах указывают систему отсчета, i
рой этот угол определен [Ц12 — система, в которой Pi + p2 = 0. а1
странственноподобная или времениподобная система R (pa—Pi) или S (
(Н.1.13) в зависимости от того, больше "или меньше нуля ^]; ниж:
дексы указывают импульсы, образующие угол. Нижние индексы у
тальных углов отмечают полярную ось. Каждый азимутальный уго,
делен в двух различных системах. Желая выразить какой-нибудь к
через инварианты, надо в выражениях A0.3), A0.4) сделать перест
указанную в первом столбце, и поставить соответствующие знаковь
жители е9 и е .
Индексы
, под-
ставляемые
вместо 12 345
в выражениях
A0.3), A0.4)
а"
1
2
3
b
b
3
2
1
а
b
а
1
2
3
а
b
3
2
1
3
b
а
1
2
Г
а
b
3
2
2
3
b
а
1
2
1
а
Ь
3
1
2
3
Ъ
а
3
2
1
а
b
Наименование
полярного угла
(или быстроты)
Угол рассеяния в СЦМ
в;, (в1
Полярный угол спи-
ральностив Ц12 0g
Джексоновский угол
в Ц23 В^з23
0(ЬЗ) _ ^F3)
аЬ аЬ
Угол рассеяния в СЦМ
л*
о(ЬЗ) == МЬЗ)
Полярный угол спи-
ральности в Ц23 6^23
Джексоновский угол
ее
-1
— 1
+ 1
~ '
— 1
1
— 1
-1
+ 1
— 1
— 1
Наименование
азимутального угла
Азимутальный угол
спиральностивШЗ Х1
Толлеров угол <D2 = со
Азимутальный угол
спиральностивЦ12 Я3
Угол Треймана— Янга
в Ц23 щ
Угол Треймана — Янга
в Ш2 фа
х3
Я,
Фа
ФЬ
наименования
указаны выше
Р, ?, ф [см. (II. 7.22)] и используя уравнение (А.29), мы к
= 8
{(s12 + m] - tnj) (sl2 - s3i + mf) - 2 (m\
sl2)
{l (s34, s12, m]) X (sl2, mf,
где e? = +1, когда EXE5 > 0, и e? = —1, когда EXE5 < L
довательно, ch t, зависит от инвариантов точно таким же
зом, как и cos 0, так что мы вправе формально отожде
быстроту ? с мнимым углом поворота (? = — ?0). При а

Трехчастичные конечные состояния
161
угол 9 действителен, при sl2 < 0 действительно ?. Выражение
A0.4) для ф остается без изменений, каков бы ни был знак Si2.
Любая перестановка в табл. 1 дает новое выражение для
интеграла по фазовому объему R3 [24]. Пределы изменения уг-
углов 8 и ф часто фиксированы: О^0<я, 0^ф< 2я. Но быст-
быстроты Z, меняются не в естественном интервале 0, ос, а их пре-
пределы зависят от величины других переменных и от s. Перемен-
Переменные ti, t2, ?12", ?2з3), со называются переменными Толлера для
процесса 2->-3 (раздел VI. 3).
В выражении A0.4) cos ф линейно связан с одним из инва-
инвариантов, а именно с s23. Следовательно, любой из основных, ин-
Pz
=0
Фиг. 54. Геометрическое определение
толлерова угла ш в системе отсчета,
в которой р2 = 0.
вариантов s, ti, Si, $2, h линеен по отношению к косинусу ка-
какого-либо азимутального угла; можно произвести следующее
разбиение на пары: *
Si и угол Треймана — Янга щ,
s2 и угол Треймана — Янга фа,
t\ и угол спиральности К3, A0.6)
h и угол спиральности %и
s и угол Толлера ш = а2.
Первая и четвертая из этих пар в явном виде были выпи-
выписаны в (8.5) и (8.9). Соответствия для s2 и t\ получаются при
помощи перестановок ра *-*¦ рь, Pi -*-* Pz, Рг *-> Рь Новой для
нас величиной является угол Толлера со. Кинематически его
можно определить как угол, косинус которого линейно связан
с s [7, 29, 104, 105, 107]. Если в уравнении A0.2) ри Pi, Рз, Рь
рь заменить на р3, —рь, —ра, Р\, Рь то определение угла Тол-
Толлера можно представить в форме
Рз —
(Рг; Pi» — Р3)->со.
A0.7)
Поскольку такая система отсчета не обязательно существует,
мы сначала положим в A0.7) р2 = р0 — рь а затем перейдем
в систему отсчета, где рг = 0:
Р2=О, (Pe-Рь Pi, -p3)->«>. (Ю.8)
6 Зак. 517

162
Глава V
Если р2 = 0 (фиг. 54), то pi — ра = Рь — Рз и видно, что в этой
системе отсчета плоскость pi — ра, —Pi совпадает с плоскостью
ра, pi, a плоскость pi — ра, рз — с плоскостью рь, Рз- Следова-
Следовательно, ш — угол между плоскостями ра, pi и рь, рз
A0.9)
Таково стандартное определение угла Толлера (см. также упра-
упражнение V. 6).
Фиг. 55. Реакции 2 -»• 2, входящие в определение угла ш.
Из уравнения A0.4) или из A0.8) и из общего правила
(П. 7.15) легко вывести следующее линейное соотношение
между s и cos <e:
s = s (s, s2> tv t2, <a) = ml + mf +
2, tn2)
-',-<, /»»-«»+*,
u -
sv tv m\,'m\, ml)G(s2, t2, tv m\, m\, m\))
A0.10)
Подпроцессы 2->2, которые отвечают входящим в A0.10)
G-функциям, изображены на фиг. 55. Поскольку обычно s фик-
фиксировано, о не является независимой переменной в том смысле,
в каком ими являлись щ или Aj. Задание со означает установ-
установление некоего соотношения между переменными, описываю-
описывающими конечное состояние. Для иллюстрации на фиг. 56 прове-
проведено несколько кривых cos со = const в плоскости ss2. Заметим
также, что если распределения щ и Ai по фазовому объему рав-
равномерны, то распределение © по фазовому объему сосредото-
сосредоточено вблизи со = 180°, причем тем в большей степени, чем
больше s.

Трехчастичные конечные состояния
163
Линейная связь cos со и s приводит к тому, что после замены
переменных ри рь Рз, Р* на р2, ра — Pi, P\, —p% [см. фиг. 7
и* A0.8)] мы получаем из (II. 7.20) соотношение
ds -= _^ П0 1П
Следовательно, интеграл от #з($) по s должен проето преобра-
преобразовываться в интеграл по ш [104]. Весь полный интервал 0 ^
^ и < 2л отвечает некоторому интервалу изменения s, так что
cos ct»=-/
Фиг. 56. Кривые постоянных значений толлерова угла со на плоскости ss2.
Прочие инварианты взяты равными ^=8, *i = — 4, <г=— 5; выбрана реакция рр -» рлД.
практической пользы от уравнения A0.11) мало. Но мы можем
воспользоваться им формально, подставив в уравнение (9.2)
тождество
1 = Jds6{s-s(slr s2, tu t2, m)} A0.12)
[где s определяется формулой A0.10)] и сделав с помощью
A0.11) замену ds-*-da в A0.12). Результат имеет вид
Дз (s) — -f- %~Чг (s, ml, ml) J <fli <tt2 dsi ds2 d© X
X Я-'А^,, /a, m2) б {s - s (s,, s2, f,f /a, ©)}. A0.13)
Хотя подынтегральное выражение выглядит совсем просто,
но простота эта обманчива: все сложности уравнения (9.2) те-
теперь спрятаны в б-функции. Она определяет область интегриро-
интегрирования в A0.13) как четырехмерную поверхность s = const
в пятимерном пространстве переменных интегрирования. Урав-
Уравнение A0.13) интересно, во-первых, своим поведением при
больших s (раздел 11) и, во-вторых, возможностью обобщения
на произвольные п (раздел VI. 3).

164 Глава V
11. Применение выведенных формул
а. Интегрирование матричного элемента exp f-j atx + -^ ЫЛ
Мы уже знаем, что при.Г= 1 многократный интеграл (9.2)
сводится к однократному B.17). Покажем теперь, что интегри-
интегрирование по t\, t2, которое физически равнозначно вычислению
распределения на диаграмме Далица, может быть проведено
в конечном виде, если Т зависит от t\ и t% только через множи-
множитель ехр(а^ + ^2), где а и 6 не зависят от tu t2 [29, 30]. Такая
мультипериферическая форма квадрата матричного элемента
во многих случаях вытекает Как из эксперимента, так и из тео-
теоретических представлений
Как было показано в предыдущем разделе, область интегри-
интегрирования по U, t2 представляет собой эллипс. Следовательно, мы
должны найти общий вид интеграла
где
Н (х, у) = Ах2 + By2 + 2Сху + 2А'х + Шу + D,
А > 0, В > О, А = АВ — С2 ;з= 0, a U, определенное выраже-
выражением (9.17), меньше нуля. Из последнего условия следует, что
внутри эллипса Н отрицательно. Случай А = 0, когда эллипс
превращается в параболу, также встречается на практике как
предел при Д->0 Производные интеграла A1.1) по а и b при-
приводят к новым формулам, в которых под знаком интеграла
стоят целые степени хну.
Примем сначала, что А > 0. Первое интегрирование по у
проводится при помощи формулы
" (П.2)
где 1о — модифицированная функция Бесселя нулевого порядка
[1]. Интегрирование по х осуществляется по формуле
0 [v {(x+ - х) (х - *-)}Уг] =
A1.3)

Трехчастичные конечные состояния
165
Выражая корни я*, у± через коэффициенты квадратичной
формы #4 мы получаем
(Во2 + Ab2 — 2СаЬ)'1г
wsh {(_ jV2(Ва2 + Ab2 - 2Са6)Ч, A1.4)
где
(х0,
С А'
В В'
Л' A
В' С
является центром эллипса, а Д и U определены формулами
(9.12) и (9.17).
В случае А = 0 один из пределов интегрирования по х ра-
равен бесконечности: в зависимости от знака ц либо х+-*-{-оо,
либо *--*¦— оо. Формулу A1.3) в этом случае следует заме-
заменить формулой (fx > 0)
A1.5)
Выразив корни через коэффициенты, получаем
а — ¦
ЬС_
В
X
Хехр
a* (BD - В'г) + Ь* {АР - А'2) - ЧаЬ {CD - А'В')
2[а-Щ.){СВ'-ВА')
\
A1.6)
где АС = В2.
Пусть теперь Т = f (si,s2)exp(afi + bt2); тогда из уравне-
уравнений (9.2) и (III. 2.2) получаем
]т=шеа'1+м'- <IL7)
Интегрирование производится немедленно с помощью формул
(9.10) и A1.4):
d2a
f (Si, S2)
2яй
S! ds2 DяL Я (s, ml, m2b) (Be? + Ab2 - 2CabL' ^
т-Л&2-2СабI/!), A1.8)
где tf и й" даны в (9.14), а А, В, С —в (9.11). Дальнейшее
интегрирование в конечном виде невозможно. Заметим, что той
же формулой A1.4) можно воспользоваться при интегрирова-
интегрировании по th s2 или по t2, sy но в этих случаях нет основания ожи-
ожидать экспоненциальной зависимости от sj или s2.

166 Глава V
6. Соотношение унитарности с двухчастичным
промежуточным состоянием; «ящичная» диаграмма
В динамическом отношении связь между двумя проблема-
проблемами— описанием реакций 2->3 и формулировкой соотношения
унитарности [68] в приближении, включающем только двухчас-
двухчастичные промежуточные состояния, — очень отдаленна. Но в ки-
кинематическом отношении они тесно связаны, ибо обе они ха-
характеризуются четверкой независимых 4-векторов. В частности,
по этой причине в формулах естественно возникает Д*.
tar
.
ь ь г
Фиг. 57. Двухчастичное соотношение унитарности
Такая фейнманоаская диаграмма называется ящичной на ней две частицы дважды
взаимодействуют посредством некоего механизма.
Избегая каких-либо динамических разъяснений, Двухчас-
Двухчастичное соотношение унитарности мы можем записать в виде
\mA{s, tal) =
Здесь A(s,taX), Ai(s,tai) и A2(s,t\3)— амплитуды реакций 2->2,
показанные на фиг. 57, где также пояснены обозначения и пе-
переменные. Таким образом, мнимая часть A (s, tal) получается
интегрированием по всем возможным двухчастичным промежу-
промежуточным состояниям на фиг. 57. Такое интегрирование всегда
возникает, если мы рассчитываем «ящичную» диаграмму типа
изображенной на фиг. 57, т. е. диаграмму, отвечающую обмену
двумя «блоками». Вспомним теперь наши прежние результаты
[см. уравнение (IV. 1.7)], касающиеся интегрирования по фазо-
фазовому объему двух частиц. Тогда из A1.9) мы получим
lmA{s, га1)=~-Г7= \ dQ*A* (*> t^)Ai(s, Ы. (НЛО)
где Pl = K4'(s, ml, tnfy^^/s, a Q3 описывает ориентацию им-
импульса рз по отношению к закрепленным векторам р„ и pIt
показанным на фиг. 58.

Трехчастичные конечные состояния
16?
Теперь мы можем написать
d cos Эаз d cos 9*з
-—-„ -; -j-r-,
(.cos 9ai, cos баз ,cos9i3)
A1.11)
где K(x,y,z)= 1— #2 — г/2 — 22 + 2л;^ [см. (Б.12)]. Вместо
этого можно воспользоваться формулой (II. 7.21) и отожде-
Фиг. 58.
ствить в ней р\ с ра-\-рь, р2 с ра, р3 с pi и р4 с рз- Тогда мы
получим
{- Д2 (Ра
dta%dtn
/V
Щ (-А4)'1''
A1.12)
Подставив A1.12) в A1 10), мы получим инвариантную запись
двухчастичного соотношения унитарности [71]
lmA(s,
З(в, fia), (П.13)
где А4 зависит от четырех инвариантов и шести данных масс,
например следующим симметричным образом:
Д4=А4E, tav t^, tl3; m2a, m\, m\, tn\, m\, m^)^
4, pa, pu p3) =
1
16
2s
1 a
s-\-m\-
s + m23-
s + ml
-ml 2r
-m\ m2 + n
-ml m2a+n
t — m\ s + m\ — n
n\ m\+m\-\
ч\ s + ml — ml
fal ma+"m3~^3
m2+mi-t13
tl3 2m2
A1-14)

168 Глава V
Элементы матрицы A1.14) определяются из соотношения
Ра + Рь = Р\ + Рг = Рг + /?4- Оно отличается от выполняюще-
выполняющегося для реакции 2 —* 3 соотношения ра + Р& = Pi + Рг + Рз;
поэтому в обеих реакциях Д4 выражаются через инвариантные
переменные по-разному, хотя их векторные аргументы совпа-
совпадают. Но простое сравнение показывает, что уравнение A1.14)
можно получить из А4(Ро + Рб,Ра, РьРз), вычисленного для
' Ра _+ Рь -* Pi + Рг + Рг следующим простым преобразованием:
s2-*tn22, sx->m\, ml-+m\, m]-*t13, t2->ta3 (Ц.15)
при неизменных прочих переменных. Конечно, преобразование
A1.15) не является единственным. Из преобразования A1.15)
ясно видно также, что оно лежит вне физической области реак-
реакции 2—>3. При упругой унитарности, определяемой условия-
условиями та = Ш\ = т3 = (л и т& = т2 = тп± = т, соотношение
A1.14) заметно упрощается. Действительно, в этом случае мы
имеем
ЮД4 ~~ *** \Sy [А > mf'^V'ali ^лЗ> МЗ/"""" ^^ л1 дЗ 13* (ii.lOj
Обратите внимание на то, как в уравнении A1.16) коэффициент
при s2 получается с помощью подстановки A1.15) из извест-
известного коэффициента h(tv t2, m|) при s2 в А4 для реакции 2-»3
(фиг. 51).
Если допустить, что амплитуды А\ и Л2 процессов 2->2 в со-
соотношении A1.13) зависят от ta3 и 1\Ъ экспоненциально, то ин-
интегралы в A1.13) находятся с помощью формулы A1.4). Для
иллюстрации рассмотрим случай упругой унитарности в пределе
больших s, когда массами и последним членом в уравнении
A1.16) можно пренебречь. Положим Ai = /iexp(afa3), A2 =
= /2ехр(^1зК тогда условие унитарности принимает вид
lmA(s,tal) = -
где
ХГ __ \ "^аз "мз ла^/»ч"^"^Лч /11 1 т\
Д ^ \ П7~ в  1л. 111.1 /1
Этот интеграл встречается во многих теориях, оперирующих с
«ящичной» диаграммой (фиг. 57) и предпочитающих работать
лишь с высшими степенями s. Область интегрирования в A1.17)
лежит внутри параболы %{ta\, ta3, t13) = 0, откуда следует, что
Д = 0 в выражении A1.4), т. е. нужно применять уравнение
A1,6). Несложный расчет дает

Трехчастичные конечные состояния
!69
в. Поведение R$(s) в реджевском пределе
С теоретической точки зрения определенный интерес пред-
представляет реджевский предел по всем переменным [7, 8, 29, 30,93],
определяемый условиями
S-*-oo,
mv
—¦
конечно.
Таким образом, здесь предполагается не только, что кинемати-
кинематическая конфигурация является дважды периферической (t\ и t2
Фиг. 59. Физическая область на пло-
плоскости /i/2 в реджевском пределе
представляет собой область внутри
параболы.
K(tu te,тпгг -s,szjs)<0
малы), но и что энергии пар входящих в нее частиц Vsi» л/^г
велики. Последняя оговорка необходима; без нее условия «sb 52
велики» и «*ь t2 малы» несовместимы [см. A1.23)].
Свойства кинематической конфигурации A1.19) просто по-
получаются из условия А4 < 0. Несложные алгебраические мани-
манипуляции приводят определитель Д4 [см. (9.4)] в пределе A1.19)
к очень простому виду
16А4
— ?ft, t
1.20)
В этом пределе кривая Л4 = 0 на плоскости UU (фиг. 59) пре-
превращается в параболу с осью t\ = t2, касающуюся осей коорди-
координат в точках t\ (или У=0и t2 (или t^ = m\ — sxs2js < 0. Фи-
Физическая область находится внутри этой параболы; это предел
эллипсоида на фиг. 52, рассматриваемого в окрестности начала
координат. Уравнение границы можно еще больше упростить,
написав

170 Глава V
Два множителя в A1.21) отличаются только знаком V^i^J они
представляют одну и ту же кривую на плоскости t\t2. Их произ-
произведение должно быть отрицательно, что возможно лишь в том
случае, если первый множитель отрицателен, а второй положи-
положителен. Следовательно, кинематическая конфигурация в пределе
A1.19) удовлетворяет двум неравенствам:
<^-m|> A1.22)
ia.-wS. (П.23)
Первое из них означает просто, что ^ и t2 должны мало разли-
различаться, а второе устанавливает нижний предел величин t\ и t2.
Это приводит к важным практическим последствиям (гл. VIII).
Предположим опять, что Т = f(su s2)exp-(aii + bt2). Поль-
Пользуясь упрощенной записью A1.20), мы можем теперь в пределе
A1.19) вместо A1.7) написать
d2c __ /(si, S2) f dt\ dt% exp (fltfj -f- 6^2) /11 «лд
Интеграл по ^, ^2 в точности тот же, что и в A1.17), и мы не-
немедленно получаем [63]
Конечно, тот же результат можно получить из точной формулы
A1.8) в пределе A1.19). Мы еще вернемся к уравнению A1.25)
в гл. VIII.
Интересно также подсчитать в пределе A1.19) толлеров
угол со [29]. Делая предельный переход A1.19) в уравнении
A0.10), мы после некоторых выкладок получаем
s== —7—~—гТЧ^! — ^i — ^2 ~Ь 2д/^1^2 coscaj, A1.26)
или, решая относительно cos со,
\S\S\S2)M*i> »9. т>) — \(п> — *i — h) ... .
cos со = -h-! —
^. A
Соответствующий ему синус, естественно, пропорционален
sin* со -
*''!''2)

Трехчастичные конечные состояния 171
Отправляясь от A1.27), легко убедиться в том, что
cos <">) = * N + V-^ + др^"}2] х
. A1.29)
Перемножение двух соотношений A1.29) приводит к формуле
A1.28). Теперь мы можем дать новую интерпретацию неравен-
неравенствам A1.22), A1.23): первое из них требует, чтобы cos и был
меньше 1, а второе — чтобы он был больше —1. Тем самым
граница области близ начала координат определяется равен-
равенством cos со = —1 (фиг. 59). Поскольку мы предположили, что
—t\ и —ti остаются малыми числами, следует сделать вывод,
что со, как правило, близко к 180°. Этот результат следует срав-
сравнить с нашим прежним замечанием, согласно которому даже
при равномерном распределении событий в фазовом простран-
пространстве значения и сосредоточены близ 180°. Включение перифе-
ричности уменьшает пик близ 180°, но качественно его не
меняет. Это утверждение очень трудно доказать аналитически,
так как всякий расчет распределения по со требует четырех не-
нетривиальных интегрирований. Но при помощи моделирования
(гл. IX) это доказывается совсем просто.
Упражнения
V. 1. Вычислите отношение sinj)i2/sin бЦ23, пользуясь форму-
формулами A.5) и A.10). Как можно истолковать полученный ре-
результат?
V. 2. Возьмите интегралы
* (х, а, Ъ)
;—
Vх—
К-]
»
В последнем из них дс± — корни уравнения ах2 + Ьх + с = 0 и
а<0.
V. 3. Докажите, что если в формуле E.17) вместо $2 восполь-
воспользоваться переменной
f
_ f
то плотность распределения переменных г, t\ по фазовому объе-
объему будет постоянной. Найдите ее.

172 Глава V
V. 4. Вычислите трехчастичный фазовый объем Rs(s), когда
одна из масс т3 = 0. Что получится, если вдобавок положить
a) mi = т2 = т, m3 = 0, б) тх = т2 = т3 = 0?
V. 5. Вычислите d2azfdt\ds2 для реакции nN -¦ ratN в пред-
предположении, что справедлива модель однопионного обмена [урав-
[уравнение E 22)] и что экстраполяция пионного полюса не меняет
величины А, полученной из экспериментально измеренного сече-
сечения jtN-рассеяния.
V. 6. Покажите, что определение угла Треймана — Янга
(p«XPiHp»XP3)
Pj=-Ps
эквивалентно формуле F 3). Покажите также, что та же фор-
формула, взятая в системе отсчета Ц12 (рг = —Pi), дает угол
Треймана — Янга ф0 в системе Ц12.
V. 7. Каким является распределение углов Джексона 8&з23
в реакции ра + рь —»• pi + р2 + Рз, если квадрат матричного эле-
элемента равен Т = ехр^гK Проинтегрируйте результат для слу-
случая шг = 0.
V. 8. Получите альтернативные определения углов Трейма-
Треймана— Янга F 9) и F 11) и угла спиральности F 12), F 13), вос-
воспользовавшись инвариантной формой уравнений (8 2) и (8 6),
V. 9. Найдите распределение dR3/dMi2 эффективных масс ча-
частиц 1 и 2 в трехчастичном состоянии, когда частицы 2 и 3
образуют резонанс с массой М и нулевой шириной [157*].
V. 10. Канал рр—>рп°р может быть отделен от других кана-
каналов реакции, если измерять импульсы протонов рь р3 и отбирать
лишь такие события, для которых
2 /п | _ _ л \2 м *м2
Найдите поверхность допустимых значений рз при данном фи-
фиксированном значении рь

Глава VI
МНОЖЕСТВЕННОЕ РОЖДЕНИЕ
1. Введение
Как мы видели в гл. III (табл. III. 1), процесс
+рп A.1)
характеризуется Зга — 4 существенными независимыми перемен-
переменными В гл. V мы вводили много разных наборов переменных
для описания реакции 2 —> 3, число их при желании можно
было бы увеличить Ясно, что процессы 2 —> п могут быть опи-
описаны еще более разнообразными путями И действительно, про-
проблема выбора подходящих переменных для описания амплиту-
амплитуды множественного рождения долго не поддавалась решению.
В настоящее время результаты экспериментальных наблюде-
наблюдений реакции типа A.1) обычно стремятся выразить через ма-
матричный элемент реакции. Не исключено, что существует такая
совокупность переменных, при которой матричные элементы
всех встречающихся реакций выражаются совсем просто Но
пока ее не обнаружено, и, вероятнее всего, какой-либо привиле-
привилегированной совокупности переменных не существует. Вместо
этого мы выбираем те или иные совокупности переменных, осно-
основываясь на различных соображениях, набор переменных, полез-
полезный для одной цели, оказывается совсем не нужным для другой.
Главная задача этой главы — познакомиться с различными
наборами Ф тех Зп — 4 переменных, которые описывают точку
в фазовом пространстве. Вводя какую-либо совокупность пере-
переменных Ф, мы должны решить для нее три задачи.
1. Определить физическую область изменения переменных Ф,
т. е. найти пределы интегрирования в интеграле
$- (L2)
2 Определить фазовый фактор рп(ФI который дает плот-
плотность точек в фазовом пространстве, выраженном в перемен-
переменных Ф.
3 Установить связь этой совокупности Ф с другими совокуп-
совокупностями переменных, в частности с импульсными переменными
Pi, • • • » Рп.

174 I лава VI
2. Времениподобные рекуррентные соотношения
Любую многочастичную реакцию можно представить в та-
таком виде, как будто она протекает через рождение и распад
резонансов (фиг. 60). В промежуточных состояниях здесь ока-
оказываются нестабильные частицы, которые последовательно рас-
распадаются на другие нестабильные частицы и т. д, пока не воз-
8
Фиг. 60. Пример каскадного распада.
Двойные линии обозначают системы частиц. Полная энергия фиксирована. На этом ри-
рисунке Af19=(pI + p2+ ••+рдJит. д.
никнет конечное состояние. В других случаях говорят о мульти-
периферическом механизме, который изображается диаграм-
диаграммами типа фиг 61. Независимо от того, верны или нет эти
динамические идеи, можно доказать, что n-частичное конечное
состояние в кинематическом смысле всегда допускает подраз-
подразделение на более простые процессы.
Чтобы быть конкретными, представим себе для реакции
2 -*п дерево импульсов с п-)-2 внешними ветвями, т. е. диа-
диаграмму без замкнутых контуров типа фиг. 60 и 61 Мы покажем,
что каждой такой диаграмме соответствует совокупность Зге —4
фазовых переменных Ф, определяющая вид интеграла Rn и
плотность в фазовом пространстве р„(Ф). Этот вид таков, что
Rn выражается рекуррентно через Rt, I < n Здесь важно раз-
разделять два случая Первый [20, 21, 81*, 133, 152*, 164*] представ-
представлен на фиг. 60. Одна из внутренних линий диаграммы с самого
начала обладает всей энергиейj/s и затем распадается на си-
системы с меньшей массой и т. д. вплоть до конечных частиц.
В итоге все встречающиеся здесь промежуточные системы имеют

Множественное рождение
175
времениподобные полные 4-импульсы Поэтому можно перехо-
переходить в их систему покоя и параметризировать векторы с по-
помощью сферических углов. Во втором случае [7, 136], показан-
показанном на фиг 61, частицы а и b входят не в одну, а в разные
вершины схемы, и есть хотя бы одна линия, связывающая ка-
каждый начальный 4-импульс с каждым конечным. Если начинать
от линии одного из начальных импульсов, то полную энергию
Vs удается фиксировать, лишь дойдя до линии другого началь-
начального импульса. Это накладывает ограничение на параметры
Фиг. 61. Диаграмма, на которой нет про-
промежуточных систем частиц, фиксирующих
полную энергию всей системы.
импульсов, стоящих на диаграмме между ра и рь, и делает вто-
второй случай более сложным, чем первый Импульсы промежу-
промежуточных состояний могут теперь оказаться пространственнопо-
добными, стандартные системы отсчета [формула (II. 1 13)] для
них имеют вид @, 0, 0, -у —t); вместо полярных углов надо
пользоваться лоренцевыми сдвигами В число переменных мо-
могут входить так называемые толлеровы переменные. Первая
трудность отпадает, если отказаться от условия s = const, тогда
оба случая становятся эквивалентными Кроме того, они свя-
связаны друг с другом перекрестным сопряжением, переход на
фиг. 61 к каналу с начальным состоянием а-\- 1, очевидно, при-
приведет к дереву импульсов, раопадная схема которого начинается
с a -f- 1, и позволяет легко фиксировать значение полной энергии.
Важно также понимать, что диаграммы типа деревьев фикси-
фиксируют в качестве переменных только квадраты промежуточных
4-импульсов. Остальные 3/ — 4 переменных в каждом промежу-
промежуточном интеграле Rt остаются нефиксированными. Это оставляет
еще заметную свободу выбора, и надлежащий выбор перемен-
переменных может привести к новым полезным соотношениям.

176 Глава VI
В этом разделе мы рассмотрим только первый случай; вто-
второй случай будет рассмотрен в разделе 3.
Простейшее из мыслимых рекуррентных соотношений осно-
основано на физической картине последовательного распада, пока-
показанной на фиг. 62 [133]. Выделив в выражении (III. 3.1) факто-
факторы, относящиеся к системе 1 п — 1, мы получим
B.4)
Здесь Rn вследствие лоренц-инвариантности зависит только от
р2в=*м2 = s. Зависимость от масс мы будем выписывать явно
Pi
Фиг. 62. Реакция ра + рь -> рх + ... + рп, представленная в виде последо-
последовательности двухчастичных распадов.
лишь в том случае, когда в этом будет необходимость. Точно
также Rn-i зависит только от
К-х - (Р - Pnf = (Pi + Р2 + • • • + Рп-д2 - K-v B-5)
где мы ввели 4-вектор
B.6)
Очевидно, что kn = p, a Mn-i по смыслу обозначений есть ин-
инвариантная масса системы частиц 1,..., п — 1.
Поскольку i?rt_i зависит только от одной переменной, есте-
естественно эту переменную сделать переменной интегрирования в
B,4). Подставим в подынтегральное выражение B.4)
-k^), B.7)
Jp*-^-i). B-8)
Тогда получим
К (К) - \ dK-i S d%-r ] *р„* (K-i - K-iM (Pi - К) X

Множественное рождение 177
Вспоминая определение R2, перепишем это выражение в виде
[164*]
¦4-.
9
Здесь использован явный вид' R2 (IV. 1.8), а щ определяется
выражением B.13). Формулы B.10) и B.11) выражают Rn
через произведение #2 (фазового объема, описывающего распад
Р-+ Pn + kn-i) и Rn-i (фазового объема, описывающего распад
kn~\ —> Р\ + ... -\-pn-i)- Это произведение проинтегрировано по
всем возможным значениям инвариантной массы Л1П_Ь Это пер-
первый шаг слева направо в цепи фиг. 62. При п — 3 формула
B 10) сразу же приводит к выведенной выше формуле (V. 2.17)
()
Из формулы B.10) видно, что Mn-i изменяется в пределах
^-^М^^Мн-тн, B.12)
где введено обозначение
1Н = т1+ ... +т,. B.13)
Ниже порога Mn-i = Цп-i Rn-i обращается в нуль, поэтому
нижний предел равен ц„_1. Точно так же /?2 в B.10) обращается
в нуль, если Мп ниже порога Мп ^ Afn_i + mn; это дает верх-
верхний предел М„_].
Дальнейшие итерации интегралов B.10) или B.11) приво-
приводят к соотношению, отвечающему всей цепи на фиг. 62. Примем
в качестве переменной интегрирования Mi вместо Mi. Мы полу-
получим [164]*
Мг-т,
5
dM2du2\pz\d&x±P2, B.14)
№
где
Теперь 3« — 4 аргументов Ф из выражения A.2) распадаются
на два .ряда переменных:

178
Глава VI
п — 2 инвариантные массы Mi (Мг = fef, i = 2, ..., а— 1)
промежуточных частиц на фиг. 62;
2(я— 1) угла Э,-, ф,- в Qi = (cos0,-, ф4), i = 1, ..., я г- I,
определяющие направление импульса к,- = —pi+i в системе по-
покоя k,-+i = 0 при распаде ki+\ -*¦ pi+\ + кг (фиг. 63).
Фиг. 63. Определение телесного угла
Of = (cos9(, (ft).
Ориентация осей координат выбрана произвольно.
Чтобы получить рекуррентное соотношение B 27)
с мультипериферическими передачами импульсов,
надо в качестве оси г взять р и заменить cos 8»
соответствующими передачами импульсов.
Плотность рп(Ф) в выражении A 2) в фазовом пространстве
переменных, стоящих в интеграле B 14), равна
B.16)
Набор переменных в B 14) является простейшим из возмож-
возможных описаний /г-частичного фазового пространства. По этой
причине он используется во многих приложениях, например как
основа моделирования многочастичных реакций (гл. IX). Урав-
Уравнение B.14) представляет собой также удобную отправную
точку для численной оценки Rn для малых п [2, 17, 81, 102]').
В качестве примера применения уравнения B 14) рассмот-
рассмотрим случай, когда все тг равны нулю, это также даст асимпто-
асимптотический предел Rn. (Мп) при Мп -* оо (ультрарелятивистский
случай). Докажем, что в этом случае
ЛГ (Ml) - Rn (АИ; m? - 0) = (п±П!*Г~1
B.17)
Для п = 2 это дает правильное значение ^р = л/2; легко про-
проверить далее, что B.17) удовлетворяет рекуррентному соотно-
соотношению
') В первых работах [17, 80, 102], использовавших рекуррентные соотно-
соотношения для фазового объема, все интегрирования производились в одной и
той же закрепленной системе отсчета, вследствие чего формулы оказывались
неудобными для счета — Прим. ред.

Множественное рождение 179
которое вытекает из уравнения B.10) при т,-= 0. Полный
объем фазового пространства, как это следует из уравнения
B.17), растет очень быстро — для больших п как iW^"~4. В не-
нерелятивистском пределе Мп -*¦ цп = X mi точно таким же об-
образом можно получить (упражнение VI. 2)
Немногим более сложное представление для Rn получается,
если вместо того, чтобы отделять от дерева частицу за частицей,
Фиг. 64. Физическая картина, отвечающая
формуле расщепления B.21).
мы отделим от него целую группу из частиц 1, ..., /, так что
в другой группе останутся частицы /+ 1, ..., W (фиг. 64). Фор-~
мально это выполняется при помощи подстановок
- kf), 1 = J d%V (p, + • ¦ • + Pi - kt) B.20)
в формулу, определяющую Rn. Тогда получаем формулу рас-
расщепления1)
dMJRn.l+l(M2n; M], mUu .... m2n)X
XRi(Mr, ml .... пи), B.21)
') Эту формулу называют также «формулой удвоения» [82, 164*].—
(Ipm- pea.

180
Глава VI
где I = 2, 3, ..., п — 1. При 1 = п — 1 мы возвращаемся к вы-
выведенному выше соотношению B.10). Пределы изменения М\
в формуле B.21) опять получаются из порогов реакций
p-+kl + pl+i-\-...-\-pn (верхний) и kt-*pi + ... + pi (ниж-
(нижний).
Формулу расщепления B.21) можно итерировать, продолжая
и дальше расщеплять Rn-w и Rt. Поступая таким образом, мы
приходим к знакомым нам деревьям импульсов, подобным
фиг. 60, т. е. схемам, изображающим, как из последовательных
¦Мп-1
a
в
Фиг. 65. Диаграмма процесса рождения я частиц, когда в системе отсчета
к =р -f- p.— 0 в качестве оси г выбрано направление ра (а); область из-
менения /я-1 дается диаграммой Чу — Лоу в переменных M'n_x,tn_{ (б);
диаграмма процесса рождения и частиц на стадии i-й итерации (в).
каскадов распадов возникает конечное состояние. Конечно, чис-
число мыслимых топологических различных деревьев импульсов
быстро растет с п Мы не будем их анализировать более подроб-
подробно, так как, имея перед собой схему, нетрудно найти для нее
Rn, Ф и рп(Ф). Рассмотрим, например, диаграмму на фиг. 60.
Для п = 9 имеется 3X9 — 4 = 23 переменных в Ф, из них 8
в Rit 5 в #з, 3X2 в трех R2 и 4 промежуточные массы. Мы
можем сразу написать (в обозначениях фиг. 60)
; М212,
$) X
Х#2(М?2; ml, ml)R2(Mh; ml ms)X
X J dMliR3 (Мк Ml, ml, ml) R2 (All; ml, mf). B.22>
Как подчеркивалось выше, сами переменные интегрирования
внутри R2, R3 и Ri здесь остаются не определенными.
В качестве примера того, как можно воспользоваться свобо-
свободой выбора переменных интегрирования в промежуточных #,-,
рассмотрим следующий случай [20]. В формуле B.11) оси, от
которых отсчитываются Оп-ь произвольны (см. также фиг. 63).

Множественное рождение 181
Очень полезное соотношение получится, если за ось z принять
направление ра. Тогда угол 9n-i оказывается углом рассеяния
в процессе ра + ръ~+ kn-i + рп (фиг. 65), поэтому его можно
заменить квадратом соответствующей передачи импульса
= ml + Ml-i - 2Eat?n-i + 2PaKn-i cos Qn-u B.23)
где
2M '
к) B>24)
Замена cos 9n-i на ^n-t приводит к замене интервала
—1 ^ cos 9„_1 ^ 1 интервалом tZ-i K,ta-i ^tt-v зависящим от
Мп-\ (фиг. 65,6); здесь/ra_i получаются (фиг. 25) из уравнения
G (я - 1) ^ G (*, tn_v ml, m\, m\, M\_x) = 0. B.25)
В переменных tn-i рекуррентное соотношение B.11) имеет вид
(Mn-mnf- <+_l 2л
J S
(nnf l 2л , 2
2 v
где /?п-1 зависит также и от ?п_ь так как fn_i равно квадрату
массы одной из начальных частиц, образующих Rn-\ (фиг. 65, а).
Чтобы проделать дальнейшие итерации в B 26), мы должны
и Rn~\ представить в таком же виде. Для этого следует только
заменить tn\ = tn на fn-i- Используя опять в качестве перемен-
переменной массу Мп вместо квадрата Ml, мы в конце концов полу-
чаем [20]
Мп~тп
Л~" 1
'2 2я ' *1
8g
-^ J <Ш, S ^.Jrffc-^r i <Mrf(p" B>27)

182 Глава VI
где
Pa — щ v-2*>
tt = q% B.29)
<ll = Pa — pl— ••• —Pl = Pa — ki. B.30)
Пределами tt служат границы физической области реакции
2—*2, показанной на фиг. 65, в. Формулу B.27) можно получить
и прямо из формулы B.14), выбирая в каждой из систем от-
отсчета, в которых k,+i = 0, в качестве оси z направление ра и
заменяя косинусы соответствующих полярных углов cos 8г на U.
>
tz
tn-i
tn-1
•
•
•
Mг Фиг. 65. Квадраты мультиперифери-
3 ческих передач импульса ti =
= (Ра — Р\ — ¦ • ¦ ~ PiY и кваДРаты
¦ энергий пар соседних частиц s{ —
2
Следовательно, формуле B.27) по-прежнему отвечает дерево
импульсов, показанное на фиг. 62.
В формуле B.27) мы встретились с такой формой Rn, в ко-
которой переменными интегрирования являются мультиперифери-
ческие квадраты передачи импульсов t% (фиг. 66). Поскольку
такие t% нередко встречаются в выкладках, интеграл B.27) ча-
часто более полезен, чем первоначальный интеграл B.14). Напри-
Например, формула B.27) служит отправной точкой мощного метода
моделирования (гл. IX. 5). При другом выборе оси г легко по-
получить такое представление Rn, в котором (упражнение VI. 4)
переменными интегрирования являются не tit а энергии пар
частиц VSi (фиг. 66). Далее, можно воспользоваться приемом,
изложенным в гл. II. 7, и заменить азимутальные углы (р{ в
B.27) инвариантными переменными, которые в действительно-
действительности оказываются как раз этими энергиями пар соседних (на
диаграмме) частиц [23]. Это приводит к такой записи Rn, в ко-
которой переменными интегрирования являются, кроме М], все
мультиреджевские переменные на фиг. 66. Наконец, если сами
Мг заменить некоторыми азимутальными углами, используя со-
соотношение, подобное тому (уравнение V. 10.10), которое связы-
связывает s с толлеровым углом со, мы придем к форме Rn C.36),
получаемой ниже совсем другим путем, а именно при помощи
пространственноподобных рекуррентных соотношений.

Множественное рождение 183
Все сказанное выше подчеркивает тот факт, что, отправляясь
от простейшего дерева импульсов (фиг. 62) и выбирая разум-
разумным образом переменные в интегралах R2, можно получить
множество различных наборов переменных интегрирования для
Rn- Ту же процедуру легко обобщить на произвольное дерево
импульсов [фиг. 60 и формула B.22)]. Нетрудно привести дру-
другие примеры (см., например, [84*, 116]), но непосредственно свя-
связаны с идеями современной теоретической физики лишь те на-
наборы переменных, которые были перечислены выше. Из других
наборов переменных для малых п упомянем набор для реакций
1 —¦ 5 [110, 100] и для реакций 1->6[111].
3. Пространственноподобные рекуррентные соотношения;
переменные Толлера
Рассмотрим теперь дерево импульсов, показанное на фиг. 67,
и сравним его с фиг. 62. На фиг. 67 первый «распад» дается
соотношением ръ -*рп -f (—<7n-i) = Рп + (Pi + • ¦ • + Pn-i — Pa),
Рп Pn-i Рп-г . Рг Pi
Фиг. 67.
Чп-t Яп-г Яг Ра
а на фиг. 62 — соотношением ра + Рь -* Рп + К-\ = Рп + (Р\ +
+ • • • + рп-\)- На фиг. 67, «отщепив» от рь импульс рп< мы про-
продолжаем отделять один за другим импульсы рп-\, рп-ъ ... и
встречаемся с ра только в конце; на фиг. 62 рь и ра известны нам
с самого начала. Как следствие этого промежуточные системы
на фиг. 67 могут быть — и преимущественно являются — про-
странственноподобными. Теперь мы установим форму интеграла
по фазовому объему, отвечающего фиг. 67 [7, 33].
Чтобы подчеркнуть различие в ролях рь и ра, мы, определим
следующий интеграл:
Rl(— ЦЬ Ра)=\Т[-2Щ-ЬЧ— Ql-Pl-Pl-l- ••• —Pl+Pa)- C-1)
Заметим, что по аналогии с фиг. 62 индекс / пробегает значения
от -п до 1, поэтому все qu определенные уравнением B.30),
имеют в C.1) знак минус. Полный интеграл по фазовому объе-
объему Rn получается отсюда, если положить t = nnqn = —рь-
#. = Rn{pb, ~pa). C.2)

184 Глава VI
Как и полагается, он зависит только от ра + рь- Интеграл
#г(—йи Ра) удовлетворяет рекуррентному соотношению
r d3p,
— (ft, Р<д—)-Щ- R*-l (— ?*-!• Pa)- C-3)
В частности, в начале цепи
. К (Ры Ра) = 5 4^Г Rn-l Н Чп-U Ра), C.4)
а в конце ее
\gi(-tli-p1 + Pa). C-5)
Таким образом, формально мы можем написать1)
Формула C.3), очевидно, является аналогом формулы B.4)',
поэтому мы применим к ней ту же процедуру, что и к формуле
B.4). Введем в формулу C.3) тождества
C.6)
Тогда она примет вид
Ri (- q» Pa) = \ dti- Mi-id'pfi (qU -',-.)» (p? - «0 x
' X б4 (— qi — Pt + qt-i) Rt-i (— qt-i, Pa) —
-i^2(-^; pf. qti)Ri-i(-qt-v p.). C.7)
Этот результат аналогичен формуле B.10): /?2 описывает рас-
распад —qt-*Pi + (—qt-i), а /?4-1 —распад — q^ -*р4_, +... -\-
¦4-Pi — /V. по всем возможным значениям квадрата промежу-
промежуточной массы ti-i проведено интегрирование. Дальнейшее зави-
зависит от того, каким является qi [см. формулы (IV. 1.8), (IV. 1.18)
и (IV. 1.20)]. Поскольку в большинстве случаев импульс qt про-
странственноподобен (а для некоторых встречающихся на прак-
практике комбинаций масс только таким и бывает), мы рассмотрим
в дальнейшем лишь этот случай, имея в виду, что для q'j^O
формулы должны быть соответствующим образом изменены.
') Здесь

Множественное рождение 185
Для q'\ — tl <0 явный вид R% дается формулой (IV. 1.18), и для
R.2 в C.7) мы можем написать
**{-<* Pb ti-d-*4''-'^ \ **-..
где dgi-\ = d ch^jdcoj+i описывает ориентацию q\-\ в стандарт-
стандартной системе отсчета S(<7t), в которой qi = @, О, 0, д/ — <;)
(фиг. 3,6). Выбор индексов в & и cuj+i будет объяснен ниже
(см. фиг. 69 и соответствующий текст). Однако на первой ста-
стадии <7„ = —Рь — времениподобный 4-вектор, и для /?2 надо при-
применять формулу (IV. 1.8). Тогда вместо gn-\ в C.8) будет
стоять элемент пространственного угла Qn_i, описывающего
ориентацию qn-\ в системе, где рь = (ть, 0). Пределы измене-
изменения переменных в C.7), C.8) мы уточним ниже.
Применяя многократно C.7) и C.8) к формуле C.4), мы
получим в конце концов
Rn (Pb, Ра) - J -1 <«.-1 ^^Ir''^ X • ''
... X J Ло % Я'/2(!!'8<?;ОТ') в» (-?о + Ра)- C.9)
Это наиболее общая форма интеграла Rn, отвечающего дереву
импульсов на фиг. 67. Она аналогична формуле B.14). Новая
деталь здесь — появление в формуле C.9) 4-мерной б-функции
,64(—<]а-\-Ра)- Она уменьшает число независимых переменных
до 3/г — 4. Как мы увидим, эта функция б4 фиксирует значения
cos 8n-i. ton и t0. Остается лишь одна существенная б-функция,
аргумент которой сложным образом зависит от t\, ..., tn-\,
?i, ..., ?„_ь юг, • •., con-i и которая определяет полную энергию
системы. Из-за этой 5-функции область интегрирования в C.9)
оказывается Зга — 4-мерной поверхностью в пространстве Зп — 3
переменных U, ?*, coj, (pn+i. Тривиальная переменная ср„+1 опи-
описывает повороты относительно оси пучка и не связана энергети-
энергетическими ограничениями. В слегка видоизмененной форме фор-
формула C.9) будет выведена ниже еще раз [см. C.22), C.23)].
Ориентацию осей координат в системах отсчета S(<7*) мож-
можно задавать по-разному. Эту свободу можно употребить на то,
чтобы вводить переменные требуемого типа. Покажем, как вы-
выбрать в качестве переменных квадраты энергий пар соседних
частицу (фиг. 66).

186 Глава VI
, Рассмотрим в интеграле C-9) шаг номер i, 2^t^n^-2.
Разности соответствующих qt на фиг. 68 дают
0,-1-О2=>< = < C-Ю)
(^-i-^+iJ=(Pi + ^+iJ = ^ C.11)
(9г_, - qi+2f = (pt + pi+l + р»+2J. C.12)
Тем самым определяется ориентация qt-i по отношению к q,,
Чж и 4i+2, т. е. нужные геометрические переменные выражаются
через инварианты C.10) — C.12).
Рм Ры Pi
Фиг. 68.
Эту связь можно выразить в явном виде, записав <fa-i в псев-
псевдосферических координатах (II. 7.22) в стандартной системе
<S(<7i, Чг+и 4i+2\ (фиг. 69):
0'
—^+1 (—sh%+,, 0, 0, chTii+1),
, 0, o, V-^-i).
Преобразование Лоренца Ь{ц, g, и) было выписано явно в
(II. 1.27). Знак минус при shrit+i появился потому, что если
цг+\ есть быстрота q% в системе отсчета S(<7i+i), то быстрота
qm BS(qx) равна—T]i+i.
Значения параметров в C.13) можно найти из скалярных
4-произведений, куда входит <7<_ь Первое из них дает
-qi-i-qi=* V— *i-\ V11^chтц = j(mf-1,_, -/4), C.14)
Значение ?f связано с S*:
<7«-i ' Qi+i — V— ^г-i л/—U (ch iii-! ch г]г + sh %_1 sh ти ch U) =
= у {ti-i ~{-tt+1 —Si). C.16)

Множественное рождение
187
Связь между ch^{ и s,- можно также получить из уравнения
(А.29). Уравнение C.15) означает, что при фиксированных tj
Угол tOj+i может быть выражен через величины, стоящие
в C.12). Но обычно этого не делают. Фиг. 70 показывает, как
\
Фиг. 69. Расположение осей координат в си-
системе отсчета S (<72), определяемой условием
щ = @, 0, 0, -y/^Ti).
Если q, обозначает три составляющих <ъ в подпро-
подпространстве В, qx, q , т, е. <7/={чу> a/Iij"'/}1 то си"
стема обозначается в тексте S (qi, Чц.
выглядят векторы C.13) в подпространстве (х,у, z). Угол +
остается инвариантным при преобразовании Лоренца, проводи
мом вдоль оси, параллельной оси г. Поэтому мы можем, напри
Фиг. 70. Векторы C.13) в подпростран-
подпространстве xyz.
мер, перейти в систему q* = q»+i или pt+i = 0. Тем самым <o,+i
определится в системе покоя частицы t -f 1 соотношением
C0S<0<+i= ¦ >+1 Уа<+2
X 4,_,
C.17)
p/+i=°
При i= 1 и « = 3 это совпадает с формулой (V. 10.9). Таким
образом, углы о»,- являются толлеровыми углами подпроцесса
2 —> 3, показанного на фиг. 68.

188 Глава VI
На концах дерева импульсов параметризация C.13) невоз-
невозможна, т. е. в C.13) 2 <; i sg: n — 2. В системе отсчета S{qJ
при i = п — 1 отсутствует вектор, фиксирующий плоскость Eqx,
так что угол соп на этой стадии не определен. В остальном фор-
формулы C.13) — C.17) применимы, если положить qn —— pb,
tn—tn\. Далее, поскольку qn = —Ръ — времениподобный век-
вектор, необходимо пользоваться системой отсчета R(qn)'
?„=(— тъ, О, 0, 0),
?„_, = V— in-\ (sh цп, $i цп sin Qn cos <ря+„ C.18)
Где параметризация ^n-i дается соотношением (П. 1.19). Она
получается из стандартной записи qn-l = @, 0, 0, V—tn-t) пре-
преобразованием Лоренца L(r\n, 6„, фп+i), в явном виде представ-
представленным формулой (II. 1.26). Тогда скалярное произведение
qn'Qn-i оставляет только энергетическую составляющую 4-им-
пульса qn-u и мы получаем
9 2 j
Углы б„ и ф„+Гпока не'определены.
На другом конце цепи 4-импульс <7о = Ра параметризуется
в системе отсчета S{q{) следующим образом:
qo = L(r\l, SIf щ)(та, 0, 0, 0), C.20)
где Ь(ц, ?, <о) дается формулой (II. 1.27). Вычисление qo-Qi дает
,—¦-
Из соотношений C.13) легко вывести заново формулу C.9).
Примем сначала qn-i = Рп — Рь, <7п-2 = Рп-\ + <7n-i и т. д. в
качестве новых переменных интегрирования по фазовому
объему:
п
*n(Pb> Pa)- J П[^1-.Ч(^-1 ~^J^ ™W(-% + Pa), C-22)
П
Хд функция б4 выражает сохранение 4-импульса в новых пере-
переменных. Беря для ^Vt-i выражение (II. 1.34), а для ^,- и q{-i

Множественное рождение 189
выражение C.13), можно при i ^ п — 1 написать
-15 dtt^dtudgt-itt-i sh4-i X
X б (*,_, + f, - m\ + 2 л/VZi ch ч,). C.23)
При i = n записываем c?4<7n-i = 72^n-idr)ndQn_itn-i sh2 tin- Ин-
Интегрирование по цг немедленно приводит к формуле C.9).
Теперь мы используем параметризацию C.13), C.18), C.20),
чтобы исследовать ограничение qo = ра, налагаемое в интеграле
C.9) б-функцией 64(ра — <7о). Поскольку р\>0, стандартная
форма 4-импульса qo в системе отсчета R(q0) есть qo = (.-\/to, О).
При переходах в системы отсчета S(qi), ..., S(qn^i), R(qn)
4-импульс <?о получается последовательными преобразованиями
Лоренца с помощью матриц L(t), t,, ©). Проводя всю эту цепь
преобразований, мы получаем в конце концов <7о в системе
отсчета R (qn) '•
qo=L(tin, 9„, фя+1)L(tu-i, b,-t, ©„)X • • •
С„ co2)(V^o, 0, 0, 0). C.24)
Ориентация системы отсчета R(qn) пока не определена. Есте-
Естественно выбрать ее так, чтобы ^(^п) стала системой покоя ми-
мишени, т. е. системой, в которой — qn = рь = {шъ, 0), а
о- »¦ г('^"°)—и№л* о, о,
ь ъ *
C.25)
Из-за наличия ограничения 64(<7o — Ра) мы должны теперь при-
приравнять четыре компоненты выражения C.24) тем же компо-
компонентам в выражении C.25).
Введем q0 = (Ео, q0) и воспользуемся тождествами 6 (Ра — Qo) =
= 2Раб (t0 - ml), б (ра - р0) = Р;2б (Ра - Qo) б (О. - Qo) и
ЕаЬ (Ра — Qo) = Раб (Еа — Ео), а также тем, что
4 (ра - q0) - J Лоб (?а - ?0) б3 (рв - Ро) =
\ dhb (Ea - Ео) Р72Ь (Ра - Qo) б2 (Qa - Q9) =
Z-QO)- C.26)
Следующий шаг состоит в том, чтобы удовлетворить в равен-
равенстве C.26) условию ориентации Qq = й0 для векторов C.24)

190 Глава VI
и C.25). Вспомнив запись (II. 1.26), (II. 1.27) преобразований
Лоренца, мы можем факторизовать самый левый множитель в
выражении C.24):
Яо = R, (<Р«+,) Ry F„) Lz (л,) Rz (©„) q0, C.27)
где значение cjo определяется, как только будут фиксированы
значения переменных с индексами i^.n—1. Теперь ясно, что
для произвольного q0 можно выбрать ш„ так, чтобы вектор qo
оказался в плоскости xz; Lz(r\n) не выводит q0 из этой плоско-
плоскости, а 0П можно выбрать так, чтобы вектор qo был параллелен
оси z. Тогда Qo = Qa всегда, независимо от того, какое выбрано
Фп+ь Следовательно, одна часть формулы C.9) может быть
упрощена и приведена к виду
Qn-x rfcort62 (Qe - Qo) = \ &pa+l. C.28)
Подразумевается, что теперь Qn и со„ имеют вполне определен-
определенные, фиксированные значения, являющиеся сложными функ-
функциями параметров преобразований Лоренца в выражении
C.24). Их явный вид нам не нужен.
Единственная остающаяся в C.26) б-функция
б (Еа - Ео) = 4тьРа1д (s — tna — m\ — 2mbE0) C.29)
'б
фиксирует значение Ео, выражая его через квадрат полной
энергии s; Ео есть энергетическая составляющая 4-вектора
C.24), которую формально можно получить, проецируя C.24)
на вектор A,0,0,0). Применив явные представления (II. 1.26),
(II. 1.27) матрицы L, легко убедиться, что
A, 0, 0, OJLfa,,, en, Ф„+1)/.(т)л_1, &.-1, «>„) =
= (ch i\n ch tin-! ch ln-i + sh цп sh Т1„_„
chtiBshgn_,, 0, chTjreshTin_,ch?n-i -fshrinChTin-!). C.30)
Тем самым ограничение на энергию оказывается не зависящим
ни от фиксированных значений 0„ и соп, ни от неопределенной
величины фп+ь Подставив C.30) в C.29) и учтя C.24), можно
вычислить s как сложную функцию своих Зп — 4 аргументов
s = s{tu ..., ta-i; gi, .... SB-i; (o2, .... ©n-2). - C.31)
Ниже мы выпишем явно эту функцию при п = 3 и в пределе
s-r*oo. Подставляя соотношения C.26), C.28) и C.29) в C.9),

Множественное рождение 191
приходим к окончательному результату
Ра) = .у / т&г—гТ \ d<fn+idh '•• dtn-ydch^ ... dch&,_!X
a11 (s, ma, mb) J
on-2
-S(/b С .,)). C.32)
Как следует из нашего вывода, быстроты и углы меняются
в пределах
<2я, C.33)
а пределы изменения U, .... ^n_i зависят от масс тг и друг от
друга. В формулах C.21), C.14) и C.19) быстроты меняются
в интервале —оо < tj, < oo, t = 1, ..., п. Подстановка каких-то
избранных значений п — 1 переменных т), определяет как th ...
..., tn-u так и оставшуюся быстроту т],. Таким способом можно
определить область изменения совокупности квадратов пере-
передач t\ tn-i. Затем из этой (Зп —3)-мерной области, опре-
определяемой границами изменения tu ..., tn-\ и неравенствами
C.33), условие C.31) вырезает (Зп — 4) -мерное подпростран-
подпространство конечного объема, которое является физической областью
изменения толлеровых переменных.
При некоторых значениях масс та, ть, mi тп часть U
положительна, и тогда соответствующие ?, можно заменить уг-
угловыми переменными. Примером случая, когда все U могут
быть только отрицательными, является диаграмма с крайними
упругими вершинами, т. е. такая, что та = ти ть = mn. При
этом tx суть квадраты передач в процессе mo-f-mb-»(/ni + ...
... + m*) + (ml+i -{-...-\-тп), и, согласно доказанному в упраж-
упражнении IV. 30, они не могут быть положительными.
В формуле C.32) неинвариантные переменные интегрирова-
интегрирования ?< и со3 можно заменить соответствующими инвариантами.
Для этого можно применить к фиг. 69 формулы раздела II. 7,
но можно и прямо взять из уравнения C.15)
*(*,+I, tt, rn\+l)klh{tt, tt_v m])}. C.34)
To же выражение для s{ получается также, если приравнять
нулю функцию G, отвечающую процессу *,_, -\-tt+l-*-m] + m2t+l:
O(st, tt, m», ti+l, t^, «J+I) = 0, C.35)

192 Глава VI
воспользоваться решением этого уравнения (IV 5.31) и заме-
заменить в нем знаки ± на ch?j. Если ch в C.34) заменить на cos,
то аргумент этого косинуса будет углом рассеяния в ^-канале
для процесса ti_l -f- tl+]-+ m\ -f tn] + l, (Хорошо известно, что
этот косинус линейно связан с квадратом импульса S* в /-ка-
/-канале.) Но сейчас мы находимся в s канале; в этом канале ко-
косинус f-канального угла рассеяния больше 1 или меньше —1,
и мы вынуждены для получения действительных величин заме-
заменить его на ch.
Применяя в интеграле C.32) соотношения C.16) и C.14),
преобразуем его к виду
яМ' /о =4я'/! («• <> «a S ^ л-1 • • • *• ds»-> - - -
я—1
... dsx Жй„_, ...d®2 Ц {тЛ"/а ('/' '/-1' тЪ } б is ~ *('*' sf и/)}*
1=2 C.36)
Чтобы лучше уяснить себе этот результат, рассмотрим подроб-
подробнее два случая: а) п = 3 и б) s-> oo.
а. Случай га = 3
Желая найти ограничение на энергию, мы сначала вычислим
ее из уравнений C.24) и C.30):
a a Ъ '
+ sh тJ (ch tfe sh tii ch ?2 + sh ii3 ch г\{ ch t,i) + sh tj3 ch ti2 sh tj, +
+ cosfiJ(ch%chTi1sh^shgI). C.37)
Здесь в соответствии с C.19), C.14) и C.21)
Л'/г (t2, m% ml) ml — ml — t2
СП Т13 = , , SI1 ТЬ = , —,
13 1т1г 13 2m/t
C.3S,
Далее, ?2 и ^i связаны с s2 и Si соотношениями
¦ -2t2(s2-tl-ml)-(ml-ml-t2)(ml-t2-tl)
-2/, («, -12- /n^) - (m^ - ml - tt)(ml -t2- tx)
щ^ц^^щ - C>40)

Множественное рождение 193
Как было отмечено в связи с уравнением C.35), ch?2 и ch?i —
косинусы углов рассеяния в /-канале для двух процессов 2 -» 2;
эти углы аналогичны углу со на фиг. 55. Поэтому sh?2 и sh?i
могут быть выражены через функции G для процессов, показан-
показанных на фиг. 55 [это те же функции Q, что и в (V. 10.10)]. За-
Замена ?2. ?i в выражении C.37) на s2) Si приводит к искомому
выражению для s = s(si,s2, tu t2, cos и), которое было приве-
, дено выше в (V. 10.10).
Приведем две соответствующие записи интеграла #з> полу-
полученные из C.32) и C.36):
C.41)
X5{s-s(/2, f,,s2, s,, ©)}. C.42)
Интегрирование по фп+1 здесь уже проведено. Мы видим, что
выражение C.42) совпадает с (V. 10.13). Поэтому можно вос-
воспользоваться соотношением (V. 10.11), чтобы заменить cfco2 на
ds. После этого тривиальное интегрирование по s приводит
опять к интегралу (V. 9.2).
б. Поведение Rn{s) в мультиреджевском пределе
Обобщая условия для реджевского предела (V. 11.19), мы
определим мультиреджевский предел как кинематическую кон-
конфигурацию, удовлетворяющую условиям
S->oo,
конечно.
Последнее условие необходимо для того, чтобы совместить
предположение о том, что st достаточно велики, с предположе-
предположением о малости \ti\ (упражнение VI. 5). Важно понимать, что
условия C.43) выделяют лишь очень малую часть фазового
пространства. Например, требование мультипериферичности
выполнено в значительно большем фазовом объеме, так как
сводится лишь к малости \ti\. Подходящая для мультиперифе-
рической модели форма Rn уже приводилась выше в B.27).
Теперь мы сделаем добавочные допущения; это упростит ре-
результат за счет уменьшения его общности [8, 32, 44].
7 Зак. 517

194 Глава VI
Анализируя случай га= 3, мы обнаружили, что в пределе
C.43) выражение для энергии C.37) или (V. 10 10) принимает
существенно более простую форму (V. 11.26). Такое же упро-
упрощение, как мы увидим, происходит и при произвольных п, и по
той же причине — из-за того, что все s, велики. Это означает,
что и ?, велики, так что теперь можно считать ch?,- я* sh?, > 1,
и преобразования Ьг в C.24) упрощаются. Мы убеждаемся, что,
начиная с L\ = L{r\\, ?ь иг),
1
C.44)
COSi
sin ©з
О
и т. д. В самом конце этой последовательности стоит соотноше-
соотношение C.30), которое принимает вид
A, 0, 0, 0) LnLn-i = сп?„_1спт],,(сп *)„_!, 1, 0, shi]n_i). > C.45)
Собрав вместе все члены, мы получаем
п-1 в-1
W- ~ bhr да П (ch 5*) Л г\п Д (ch т), + cos ©,) ch г),. C 46)
Подставив сюда явный,вид т],- из C.14), C.19) и C.21), на»
ходим *¦
п—1
|, m})l>h (tn_v ml, m% П {(- Щ~
X Ц(«?-*/-'/_! +2 Vv)Ii cosюу). C.47)
Наконец, в приближении C.43) из уравнения C.34) имеем
72[1Х(. , 5г. C-48)
так что C.47) принимает вид
П *,) П {л-1 ft, *,_,. «D Н - 'i - U-x +2 V*AlI cos со,)}.
1=1 У/=2 C-49)

Множественное рождение 195
Это выражение представляет собой обобщение выражения
(V. 11.26), выведенного для п = 3, на случай произвольного п.
Заметим кстати, что с его помощью можно обобщить на случай
произвольного п неравенство (V. 11.23) (упражнение VI. 5).
Выражения для Rn в мультиреджевском пределе получаются
либо подстановкой C.47) в C.32), либо подстановкой C.49)
в C.36). При этом дальнейших упрощений не происходит, но
переменные интегрирования ch ^ или s, удобно заменить на ?,
или Ins,. Используя соотношение 8(х — а) = д[\п(х/а)]/х, после
некоторых выкладок получаем в мультиреджевском пределе [7]
Я»в"й" 5 Л»-1 • • • *i ico«-i • • • <*«2 <*?„_, • • • <*?i X
ХД
Д4Г, /?
C.50)
Здесь ?+ определяется равенством
n-I
*v« (/,. m*. m?) X1/2 (««, *„_„ ш2„) П («J ~ U ~ '/-i + 2 У V/-! со? со,)
/=2
C.51)
Если в качестве переменных интегрирования выбрать не ?„
a Ins,, то в C 50) надо всюду заменить dt,t на d In s, и под зна-
знаком б-функции вычесть из суммы логарифмов логарифм правой
части C.49). В выражении C.50) ограничение на энергию вы-
выражено в изящной форме — сумма быстрот должна быть равна
быстроте ?+, но, к сожалению, последняя есть сложная функция
t% и coj и интегрирование по tlt к>5 в явном виде провести невоз-
невозможно. Формально проще провести интегрирование по ?,, по-
поскольку пределы интегрирования зависят от. tx и <в;, а в асим-
асимптотическом пределе s -> оо упрощаются. В мультиреджевском
пределе все tt малы; фактически они лежат между некоторой
отрицательной константой и нулем. Распространив наш преж-
прежний анализ пределов изменения со2 в реакции 2-*-3 на случай
реакций 2—*п, легко убедиться, что в пределе s—> оо со_, ме-
меняются от 0 до 2я Пределы интегрирования по ?, теперь опре-
определяются только 6-функцией. Пусть, например, квадрат матрич-
матричного элемента равен
Т = f (*,) П *?• = g (*,) П е2а\ C.52)
1 = 1 1 = 1

196 Глава VI
где }(t3) и g(t3)—произвольные функции t,, связь между ко-
которыми следует из соотношения C 48). Тогда интегрирование
по dt,t проводится до конца:
-x • • ¦ «i П Л (Z Ь - ?+) -1^- «**• C-53)
Остающийся интеграл по tt и со; ае зависит от энергии.
4. Распределения по фазовому объему
В этом разделе мы приведем примеры распределения раз-
различных кинематических величин по фазовому объему1). Из-
Известно, что предположение Г=1 совершенно не выполняется
й высокоэнергетических реакциях: большие поперечные импуль-
импульсы на опыте не наблюдаются (раздел 5). Поэтому распределе-
распределения по фазовому объему имеют смысл лищь тогда, когда пол-
полная энергия не слишком велика, например при условии, что
импульс любой вторичной частицы в СЦМ в среднем значи-
значительно ниже 1 ГэВ/с
а. Распределения инвариантных масс
Рассмотрим инвариантную массу Mz, M2r=(jtl-\- ... -\-Pif
группы частиц с импульсами р\, ..., Pi (фиг. 64).'Ясно, что
общность рассуждений не уменьшается от того, что мы при-
присваиваем интересующим нас импульсам индексы от 1 до /.
Распределение по фазовому объему w(Mt) получится немед-
немедленно из формулы расщепления B 21), согласно которой [83*,
О
Rn(s, м,,..., mn)
Здесь Rn1 нормирует распределение на единицу. В частном
Случае п = 3, 1 = 2 эта формула уже нам встречалась [фор-
[формула (V. 2 16)].
Чтобы проанализировать форму кривой распределения D.1),
заметим, что w отлично от нуля лишь в интервале
ГП\ + . • • + ПИ = Ml, мин < Mi < Ml, иакс =
= \fs — {mi+i + ...+ mrt). D.2)
\ ') Имеется в виду распределение в фазовом пространстве, рассчитанное
в предположении, что квадрат матричного элемента Г е= 1, — Прим. ред.

Множественное рождение
197
Нижнему пределу отвечает порог Rb т. е. ситуация, когда все
частицы рь ..., pi покоятся в своей СЦМ, а в любой другой
системе движутся с одинаковыми скоростями Верхнему пределу
отвечает порог Rn-w, т. е. случай, когда частицы pw рп
вместе с центром масс системы Ri покоятся во всеобщей СЦМ
-*-№,
w(Mt
¦м,
w(Mt)
п>4,
u(Mt)
Фиг. 71. Качественно различные типы распределений w (Mi) инвариантных
масс групп из / частиц (взятых из п конечных частиц) по фазовому объему.
конечного состояния plt ..., рп. На концах кривой при
Mi-+ MiiWm или при Mi-*М",маке распределение D.1) стремится
к нулю по закону B.19), т. е.
) = const X (Mt — Mt, мнн)'/г/-6/г, D.3)
i«-/Mt Di4)
:c: w {Mi) = const X (Mi, макс -
Форма кривой w(Mt) в основном определяется поведением на
концах. Мы видим из D.3), D.4), что касательная к кривой
вертикальна на левом конце при 1 = 2 и на правом при I =
= п—1; при других / касательная горизонтальна На фиг. 71
показаны различные варианты распределений Поведение кри-
кривой на ее концах влияет на ее форму столь сильно, что можно
даже аппроксимировать w(Mt) в виде произведения двух пре-
предельных случаев D 3) и D 4) [83] Если нормировать это про-
произведение на единицу и ввести безразмерную переменную
М j — /и, —
— от,
— ш1— ... — т„
то получим приближенное распределение
'D-4)
(х) ==
XW-* A-«)''¦'
D.5)
D.6)

198
Глава VI
Форма распределения D.6)_не зависит от масс тг, а также от
энергии взаимодействия Vs • Легко видеть, что максимум рас-
распределения wn,i{x) приходится на х-= C/ — 5)/(Зя — 7). На
- ЛКк.
Кяп
Фиг. 72. Распределение инвариантных масс пар ЛК, ля и троек ЛКя, Кия
из реакции зх~р -> ЛКЗя при 7 ГэВ/с в сравнении с его аппроксимацией
D*6) (штриховая линия).
фиг. 72 проведено сравнение да5,2 (я) и дов, зМ с точной формой
w(Mi) для некоторых комбинаций масс.
б. Распределения двух инвариантных масс
Эти распределения легко получить из формул раздела 2. Фор-
Форма его различна для разных деревьев импульсов и разного вы-
выбора частиц в них; мы не будем пытаться дать какую-то общую
классификацию, а вместо этого на нескольких примерах про-
проследим, как поступают в тех или иных случаях.
Пусть нам нужно разбить конечное, состояние р-*Pi +...
... -f- р„ на две группы с квадратами эффективных масс
iW? = (Pi+ ••• +PiJ и М2„-/ = 0/+1+ ... +Pnf. Мы чертим
соответствующее дерево импульсов (фиг. 73, а) и выписываем
связанную с ним форму Rn (s) в виде
Rn (s) == J dM) dMl-tR2 (s; Ail All-/) X
X *,(**?; «if, .... mJ)/?e
По порогам фазовых объемов R в D.7) определим область, ин-
интегрирования, или физическую область MiMn^f, она .представ-
.представляет собой равнобедренный треугольник (фиг. 74)
D.8)
Эта область называется диаграммой Гольдхабера [49, 164*]. Рас-
Распределение по фазовому объему на диаграмме дается подын-

Множественное рождение
199
тегральным выражением в D.7), умноженным на 4Л1/Л1„_, и
деленным для нормировки на 2?n(s). В частности, при п = 4
В,
' (\/s-m3-'mnf
Фиг. 73. Схемы после-
последовательных распадов
(деревья импульсов).
мгз«'
Фиг. 74. Физические области в ин-
инвариантных переменных.
г, п)] <
в - М^23. ^234" В случаях а и б в конеч-
конечном состоянии п. частиц, в случае в— четыре
частицы.
и 1 = 2, обозначая Мг = Mi2, М„_, = М34 и используя явный
вид Яг (IV. 1.7), (IV. 1.8), получаем
'Л (s, Alfa, AfL) ^ (Af?2, /Kb
D.9)
D.10)

200 Глава VI
где Р12, Pi и Pi 4 — импульсы распадных частиц в системах
покоя трех распадов, изображенных на фиг. 73, а.
Если интересующие нас инвариантные массы не пересе-
пересекаются (как М12, М34) или, наоборот, множества их индексов
полностью перекрываются [например, М^23 = (р,+ p2+pdJ, MI2=
= (р, -f- р2J]. т0 всегда можно нарисовать дерево импульсов,
в котором в промежуточных состояниях стоят именно эти массы.
В этом случае нетрудно выписать связанный с таким деревом
импульсов явный вид Rn; он одновременно определяет и рас-
распределение по фазовому объему, и физическую область. В дру-
других случаях надо действовать несколько более сложным обра-
образом; мы-проиллюстрируем это на следующих примерах.
Пусть мы хотим найти распределение в плоскости
^12^23 (Щ]= 0°! "^ Р/J) для "-частичного конечного состоя-
состояния. Тогда следует начать с дерева импульсов, изображенного
на фиг. 73, б. Это приводит к следующей форме Rn-
Rn(s)=\dAPmRn_2(s; М*т, т%..., т*)Я3(^23; т\, т\, mf).
D.11)
Тогда представление (V. 2.10) позволяет выразить R3 через
интеграл по М12, М2з'.
n (*) - Т" 5 ЛМЪdMl 5 dM\^MmRn-2{s\ Af?M, m\ ml) X
Xe{-G(Af?2, Mh, M2m, ml ml m|)}._ D-12)
Таким образом, физическая область в плоскости Мм, М23 по-
получается наложением фигур Далица для всех тех значений
М123, которые удовлетворяют неравенствам
т\ + Щ + Щ^М[2з^Vs ~т4 — ••• —«л- DЛЗ)
Если воспользоваться результатами раздела V. 2, то оказы-
оказывается, что физическая область имеет вид, показанный на
фиг. 74,6. Плотность распределения Mi 2, M23» нормированная
на Rn(s), дается интегралом по Mw, в котором область инте-
интегрирования определяется условием G ^ 0.
В качестве второго примера рассмотрим инварианты 'Мт
и М2з4 четырехчастичного конечного состояния. Отправляясь от
дерева импульсов на фиг. 73, в, мы напишем
(в) = J dMI,R3 E; т\, Ml, ml) R2 (M223; m\, m|) D.14)

Множественное рождение 201
и подставим сюда представление R3 через Mm и Mm (V.2.10):
= IF S dM'23 dM^4 S ^М'з/?2 ^23; m'' m^ X
X в{— G(М223, ML, s, Mlz, mi, m2)}- D.15)
2 9
Теперь физическая область в плоскости Mm, М234 (фиг. 74, в)
получается наложением диаграмм Далица для всех допусти-
допустимых значений масс М23, т. е. для
пг2 + «з ^ ^2з ^ Vs — Щ — тА. D.16)
Плотность распределения УИш, Л1гз4, нормированная на /?4(«),
дается интегралом по М2з в D.15) ').
в. Распределение на диаграмме Чу — Лоу
Теперь мы обобщим на случай реакции 2-+п результаты,
касающиеся распределений на диаграмме Чу — Лоу для реак-
реакций 2->3. Рассмотрим квадрат передачи 4-импульса / =
— (pa — piJ для процесса а + b -> 1 + ... + п. Группируя ча-
частицы 2, ..., п в систему массы -y/s, s = (pa-\- pt, — PiJ =
= (P2+ ••• +pj2. получаем из формулы B.10)
Rn (s) = J dsR2 (s; s, mf) Rn_x (s; m\,..., т\). D.17)
Выразим теперь R2 в виде интеграла по t, как это делалось
в (IV. 4.24). Мы получим распределение s, t по фазовому объему
на диаграмме Чу — Лоу
Это выражение можно сопоставить с плотностью (V. 5.17) для
п = 3. Граница диаграммы Чу — Лоу получается из условия
G = G(s, t, s, ml, ml nif) < 0, D.19)
которое надо сравнить с (V. 5.9). Распределение D.18) не за-
зависит от t. Плотность на диаграмме растет с ростом s, и ско-
скорость этого роста тем выше, чем больше п. Дальнейшее инте-
интегрирование по s дает распределение значений h
К) S dsRn_2(s)X
¦'мин
X@{-G(s, t, §, ml, ml m2)}, D.20)
') Ряд более общих методов расчета распределений по двум инвариант-
инвариантным массам развит в работах [75, 84, 147]. — Прим. ред.

202
Глава VI
где
D.21)
D.22)
(*. ml, m^{tv m\, m])}. D.23)
Формула D.20) является обобщением формулы (V.5.18). Ниж-
Нижний предел § зависит от того, достигается ли реально макси-
максимальное значение t = (та — miJ (оно отвечает условию v0 = vi
§ийв = max {<5~ (*), (т2+ ... + mnf),
и s± дается выражением (V. 5.11)
$* @ = s + т> - Bmiyl {(« + m\- mf)
(тг+-*тп)!
Фиг. 75. Физическая область изменения s и /, где t={pa — р)г, ?=(р2+... +рпJ,
в процессе а + Ь -> 1 + ... -f п.
в любой системе отсчета). Этот вопрос уже был исчерпываю-
исчерпывающим образом разъяснен на примере реакций 2—*3 в разде-
разделе V. 5; чтобы воспользоваться полученными там результатами,
достаточно заменить s<i на s и тч-\-ть на «г2 + • • • + "V
Фиг. 75 соответствует случаю, когда значение t = (ma — т{J
еще не достигнуто из-за того, что соответствующее значение §
лежит ниже порога (т2 + ... + тпJ.
Диаграмма Чу — Лоу полезна при анализе динамики квази-
квазидвухчастичных реакций. Если при каком-то определенном зна-
значении s имеется узкий резонанс, то с диаграммы it считывают
зависимость механизма рождения этого резонанса от t. Часто
при этом отсчитывают t не от t = 0, а от границы диаграммы,
т. е. пользуются переменной V = t —1+, где t+ зависит от s
и дается выражением (V. 5.10), в котором s2 заменено на L
В качестве приложения уравнения D.18) упомянем F(t)-Me-
год [15]. Если предположить, что квадрат матричного элементу

Множественное рождение .203
реакции а-\-Ь—*\-\-2-\-...-\-п зависит только от t, например
по закону F(t), то распределение t с точностью до постоянного
множителя есть w(t) = F(t)dRn(s)ldt. Функцию F(t) мы можем,
следовательно, определить, строя график
р®~жк> <4-24>
где w(t)—экспериментально наблюдаемое распределение по t.
Последнее стремится к нулю при t—>tuaKC, но это — чисто кине-
кинематическое явление, так как к нулю стремится dRn/dt. Чтобы
выделить на фоне этого стремления к нулю динамический ме-
механизм, мы делим в D.24) на фазовый объем. Если квадрат Т
матричного элемента зависит еще и от других переменных, то
F(t) есть результат усреднения Т по этим переменным.
Мы еще вернемся к диаграмме Чу —Лоу, когда перейдем
к инклюзивным реакциям (раздел VII. 3); в частности, мы опре-
определим связь sate составляющими импульса рь
' г. Одночастичные распределения
В конечном состоянии р\, ¦¦¦, рп выберем одну из частиц ру.
Распределение ее импульса по фазовому объему дается выра-
выражением
$=-щ V1 {(р ~ PlT"' m]t"" К]' D'25)
где (р ~ р\J = s = (р2 + ... + РпJ- Эта формула верна в лю-
любой системе отсчета. Используя стандартные приемы замены
переменных, можно так преобразовать выражение D 25), чтобы
оно давало распределение для любых независимых переменных,
определяющих вектор рь Можно, например, ввести t и § и про-
проинтегрировать по всем поворотам вокруг оси пучка; тогда мы
вернемся к уравнению D.18). Такие формулы для одночастич-
ных распределений в эксклюзивных реакциях практически весь-
весьма важны, но, так как они имеют тот же вид, что и в инклюзив-
инклюзивных реакциях, мы рассмотрим их подробнее только в гл. VII.
д. Двухчастичные распределения
Выберем теперь в конечном состоянии р\, рг, ..., рп две
частицы р\, Pi. По аналогии с D.2S) напишем
1%Ж ЧЕЛ *-««' - * ~ р& т»'--> "%> D'26)
где
(Р-Р^-Р2J = Щ...п = (Рз+ ..- +РпТ- D-27)

204 ¦ Глава VI
Можно и здесь ввести другие переменные, задающие шесть со-
составляющих векторов pi и рг. Распределение D.26) является
шестимерным; чтобы получить интересующее нас одно- или
двумерное распределение, необходимо проделывать несколько
сложных интегрирований. В качестве примера приведем резуль-
результат [113, 156*] (упражнение VI. 9) для распределения в СЦМ
косинуса угла 612 между pi и р2. Он имеет вид
где Р2 = Pi (cos 612) — решение уравнения
D>28)
+ О? + Ра + 2Р(Р2 cos 6,2 + Ml... а)\ D.29)
Очень важная особенность формулы D.26) состоит в том,,
что она предсказывает существование корреляций между pi
и р2 чисто кинематического происхождения. Распределение
D.26) не равно произведению двух одночастичных распределе-
распределений. Эти корреляции подробнее анализируются в разделе VII.7.
5. Поперечно-усеченное фазовое пространство
3-импульс рг можно разложить на составляющую qt, парал-
параллельную падающему пучку, — продольную составляющую — и
на составляющую rit перпендикулярную падающему пучку, —
поперечный импульс:
Pi = (Et,qi,r,), E.1)
E] = q) + m?, E.2)
mf = r\ + m]. E.3)
Здесь Tj — двумерный вектор в плоскости, перпендикулярной
пучку; он инвариантен относительно всех продольных (парал-
(параллельных пучку) преобразований Лоренца. В уравнении E.3),
как и в последующих, штрихом помечены те величины, которые
получаются при отделении продольно инвариантпой части ("^)
от лоренц-инвариантных величин (шг). Вектор ах имеет одно
измерение; всегда следует указывать, в какой из стандартных
систем отсчета он задан: в системе центра масс (</*), в системе
мишени (^f) или в системе пучка (q^).
Характерным свойством многочастичных процессов является
то, что средний поперечный импульс (г,) рождающихся частиц
имеет величину порядка 0,3—0,4 ГэВ/с; эта величина почти не

Множественное рождение 205
зависит ни от сорта, ни от числа частиц, ни от энергии взаимо-
взаимодействия. Распределение по /,- довольно хорошо представляется
функцией вида
где а^1, Ь «5. Это дает
оо
<r>= \ drrw{r)= ^(a+O^0'4 ГэВ/с- E'5)
Динамическое происхождение этого обрезания поперечных им-
импульсов пока неясно.
Наоборот, продольные импульсы qt рождаемых частиц силь-
сильно зависят от энергии взаимодействия, от сорта частиц и от их
множественности. Наблюдаемые на опыте значения q% при лю-
любых энергиях взаимодействия распределены по значительной ча-
части кинематически допустимого интервала <7i (т- е- —Vs/2^
^q\^ Vs /2). Таким образом, распределение по ^заметно от-
отличается от распределения по г„ которое всегда ограничено
узким интервалом г, ^ 1 ГэВ/с. Следовательно, область, в дей-
действительности заселенная импульсами конечных состояний реак-
реакции 2 —>п, не сферическая, как все фазовое пространство; она
скорее имеет форму сигары. Мы будем называть соответствую-
соответствующую область (Зл — 4)-мерного фазового пространства попереч-
поперечно-усеченным (цилиндрическим) фазовым пространством. Ко-
Когда энергия взаимодействия растет, 2п — 2 поперечных размера
этой области остаются неизменными, в то_ время как п — 2 про-
продольных размера растут в СЦМ как Vs • Эту область можно
представлять себе, например, как (п — 2)-мерную поверхность
в (Зп — 4)-мерном пространстве; ее толщина в остальных 2я — 2
измерениях равна примерно 0,5 ГэВ/с. Эта толщина почти не
меняется с ростом энергии. Сама же (п — 2)-мерная поверх-
поверхность, наоборот, с ростом энергии растягивается._
При низких энергиях, а точнее, когда Vs Ы достаточно
мало, импульсы рождаемых частиц столь малы, что поперечное
обрезание несущественно Переход по Vs или по п от низко-
низкоэнергетической области, где работает весь фазовый объем, к
области, где становится важным поперечное усечение импуль-
импульсов, является постепенным и не может быть точно определен.
Поведение продольных импульсов столь разительно отли-
чэется от поведения поперечных импульсов при высокой энер-
энергии, что имеет смысл и в фазовом пространстве разделять про-
продольную и поперечные степени свободы. Для этого используем

206 Глава VI
уравнения E.1) — E'3) и соотношение d?Pi = d2ridq. Фазовый
интеграл принимает вид
Г А Г A dq.
= \ ТТ (rf2rf) б2 Brf — г) \ Т] ~ 6(lqi — q)f>{I,Ei — Е) =
1 1
г А
\ I I ((Pf \ g2 /jc т~\ L (Е сг г2 -4- от2^ E 6)
Здесь
Ln (s) = Ln (E, q; m[) = [ ТТ -^ б B^ - ^) 6 B?^ - ?) E.7)
обозначает интеграл в продольном фазовом пространстве [58],
или, короче, продольный фазовый объем. Следовательно, Ln —
интеграл по фазовому пространству векторов, имеющих одну>
временную и одну пространственную компоненты. Благодаря
лоренц-инвар-иантности он является функцией только одного ар-
аргумента, остающегося инвариантным при продольных преобра-
преобразованиях («продольного инварианта»),
s' = ?2_<72==s + r2# E.8)
До сих пор мы не выписывали подынтегральное выражение
(матричный элемент) в E.6) и E.7). Разбиение E.6), E.7)
полезно только в том случае, если подынтегральное выражение'
быстро убывает при больших значениях г,-. Например, простей-
простейший способ ввести поперечное обрезание состоит в том, чтобы
положить квадрат матричного элемента равным
T = flU(rt\ E.9)
где в качестве f, взято, например, выражение E.4). При такой
факторизованной записи исчезают какие-либо корреляции ме-
между частицами, кроме тех, которые обусловлены сохранением
4-импульса. Другой возможный способ — введение мультипвг
риферического матричного элемента; при этом
T = ]lgiU E.10)
где t{ — квадраты передач на мультипериферической диаграмме
(фйг. 66), а функции gi(ti) обрезают большие значения |^|.
Например, можно выбрать

Множественное рождение \ • '207
Обрезания E.9) и E.10) связаны между собой довольно слож-
сложным образом, зависящим от соотношения между tt и г*. В раз-
разделе VII. 3 (см. фиг. 87) мы докажем, что при t да t+ ( = ^мако)
всегда г, мало; однако обратное утверждение неверно. Заметим,
что благодаря матричному элементу E.10) между частицами
должны возникать сложные корреляции.
Как уже было отмечено выше, 2п — 2 компоненты г* факти-
фактически меняются в довольно узких пределах; интересной струк-
структурой обладает лишь распределение п — 2 компонент qu По-
Поэтому естественно изучать отдельно поведение <7,- при фиксиро-
фиксированном Гг в предположении, что структура пространства rt
столь проста, что изменения г, мало существенны. Практически
это означает уменьшение эффективной размерности задачи с
Ъп — 4 до п — 2. Иными словами, вместо того, чтобы рассматри-
рассматривать (Зи —4)-мерное фазовое пространство, можно ограни-
ограничиться рассмотрением (п — 2)-мерного продольного фазового
пространства (ПФП), натянутого на независимые компоненты
продольных импульсов Цг- Способы уменьшения размерности мы
опишем в разделе 6, а различные применения — в гл. VIII.
В математическом отношении основные свойства поперечно-усе-
поперечно-усеченного фазового пространства вытекают из соответствующих
свойств Ln. Мы используем здесь это обстоятельство, чтобы
дать асимптотическую оценку величины поперечно-усеченного
фазового объема.
Для начала прямым вычислением убедимся в том, что
L2 (sf; m[\ m'*) = К''1' (/, m[\ m'>), E.12)
где s' = E^~ q2. При Vs ^* m\ + m\ L2. обращается в нуль.
Продольное фазовое пространство теперь нульмерно: оно со-
состоит из двух точек а\ = — q*2 = ± Я,'/г (s', m^2, m[[)\2^s''. По
аналогии с B.4), зная объе;М L2, можно рекуррентным способом
вычислить Ln. Действительно, если мы напишем
+ ... +ri|2 EЛЗ)
[Мг определено формулами B.5), B.6)], то Ln_i будет зависеть
только от М'п_1У и из E.7) мы получим
\

208 Глава VI
Заметим, что если бы мы вернулись к полному трехмерному
описанию импульсов, Тю Mi являлись бы инвариантами отно-
относительно продольных преобразований Лоренца. Следовательно,
Мп-о, ..., Мл — одна из возможных совокупностей п —2 про-
продольно-инвариантных переменных. Эта совокупность, как мы
увидим в следующем разделе, не является полной: каждой точке
в пространстве Mi отвечает множество точек продольного фазо-
фазового пространства. Можно указать добавочные наборы инва-
инвариантных переменных, образуемые из квадратов 4-передач t% и
из квадратов энергий соседних пар частиц Su по аналогии с
E.13) эти новые переменные можно определить следующим
образом:
= *i + |r,+ ... +ftf, E.15)
«I = (Bt + Ешу - (qt + qi+1f - s{ +1 r, + r,+1 f. E.16)
Всего таких переменных п— 1, так что надо исключить одну из
них путем введения добавочного, желательно симметричного
ограничения (см. упражнение VI. 14).
С помощью рекуррентного соотношения E.14) можно вы-
вычислить объем поперечно-усеченного фазового пространства в
пределе s—>oo (исчерпывающее изложение этого вопроса см.
в [51]). Мы уже видели из уравнения B.17), что при s~*oo
Rn-+sn~2. Следует ожидать, что объем поперечно-усеченной об.-
ласти будет возрастать значительно медленнее.
Асимптотический предел Rn мы получали, полагая т{ = 0.
Но если в интеграле E.7) положить т\ = 0, то стоящие под
интегралом множители \\с\\ создадут при q{ = 0 логарифмиче-
логарифмическую расходимость. Поэтому значения т'1 должны быть ма-
малыми, а не стремиться к нулю. Чтобы правильно перейти к пре-
пределу, проще всего начать с L2(s') ж 1/s', как это следует из
E.12), и затем интегрировать его с помощью соотношения
E.14). При выборе доминирующих членов следует быть осто-
осторожным (детали расчета см. в упражнении VI. 15). Ответ
имеет вид
E.17)
Поскольку выражение E.Д7) справедливо лишь при lns'>n,
масштаб, которым измеряется s' под знаком логарифма, здесь
безразличен. Логарифмы появляются из-за наличия под инте-
интегралом выражений dqi/qu а степень п — 2 — из-за наличия
п — 2 независимых q%.

Множественное рождение _ 209
Чтобы вычислить объем «толстой» (п — 2)-мерной поверх-
поверхности, примем во внимание, что этот объем обладает продоль-
продольной инвариантностью; поэтому мы вправе положить в E.6)
(Е, q, r) = (Vs, 0, О), так что s = s'. Далее, предел E.17) не
' т УР
зависит от /п»> так что в асимптотическом пределе Ln можно
вынести из интеграла E.6). Подставим в E.6) матричный эле-
элемент, описывающий поперечное обрезание; тогда нам оста-
останется взять интеграл
(ЕО(г" •••'Тп) EЛ8)
по всей «толщине» поверхности. Поперечное усечение можно
описать обрезающими функциями типа в (а,— г*), ехр(—щг^
или ехр (—a/j) (упражнение VI. 16), полагая в первом при-
приближении, что аг не зависят от энергии. Во всех случаях полу-
получается, что величина / не зависит от энергии. Следовательно,
мы можем написать: ультрарелятивистский объем поперечно-
усеченного фазового пространства
L? (s) = const X (у) (Ins)"-2, E.19)
где зависящая от п константа берется из соотношений E.17),
E.18). Таким образом, этот объем уменьшается с ростом s.
Может показаться, что здесь имеется противоречие, так как
сама (п — 2)-мерная поверхность, очевидно, растягивается.
Объяснение состоит в том, что среднее значение множителя
I в интеграле E.7) уменьшается.
6. Продольное фазовое пространство
Как уже говорилось выше, (п — 2) -мерное продольное фазо-
фазовое пространство (ПФП) определяется следующими двумя
условиями:
. Е?.=о, F.1)
?*,•=!: (??+<)*=V*. F-2)
налагаемыми на п эвклидовых координат <7»- В этом разделе мы
изучим структуру этого пространства, следуя оригинальной ра-
работе Ван-Хова [138]. Чтобы понять выкладки при произвольном
п, удобно проследить параллельно выкладки для случая п = 3.
Мы рассмотрим только ситуацию в СЦМ (случай произвольной

210 ' Глава VI '
системы отсчета см. в [67]);. поэтому мы будем йисать qt вме-
вместо q\. -
Последовательно налагая на векторы qt ограничения F.1),
F.2), можно определить следующие пространства:
1. n-мерное эвклидово пространство п векторов qu обозна-
обозначаемое Sn. Это аналог Зп-мерного импульсного пространства
векторов рг.
2 (п— 1) -мерное пространство QB-i векторов qu удовле-
удовлетворяющих условию ^ <7i = Я (— 0)-
3. (п — 2)-мерное пространство Ln_2 векторов qu удовле-
удовлетворяющих условиям J^qi = q[= 0) и Yj Et = Е{= л/s). Усло-
Условие 2_jEi = E зависит от то т. е. от фиксированных значений
тг. Мы будем называть это пространство продольным фазовым
пространством по аналогии с тем, как мы прежде условились
называть фазовым пространством (Зп — 4)-мерное пространство
векторов рг, удовлетворяющих условию X Pi — Р (раздел III 1).
Заметим, что сам Ван-Хов называет продольным фазовым про-
пространством Qn-i [138]
В условие F.1) все qt входят симметрично; поэтому было
бы естественно исключить его тоже симметричным образом.
Это можно сделать таким ортогональным преобразованием про-
пространства Sn, чтобы одна из новых координат была равна 2^-
Напишем
4i*=to*kh F 3)
t F.4)
где О — действительная ортогональная матрица, удовлетворяю-
удовлетворяющая условию
X^Oi/O.»¦=«/*. /, *=1, .... я. F.5)
Если мы требуем, чтобы kn было пропорционально 2 qh мы
должны написать
К^п-Ч'Т,^, F.6)
так чтс
О„«=«Л 1=1, ...,п F.7)
удовлетворяет уравнению F.5) при j = k = п. Остальные эле-
элементы матрицы О можно выбрать различными способами*,

Множественное рождение
2И
общепринят следующий выбор:
1
1
1
1
yj ye •"
-1 1
У2
0
о
о
о
У« (п — 1) л/п
1 1
У (я — l)(n —2) V«(«— I)
-2
О
о
о
-(«-2)
О
Vn(« -1)
1
У и (я- 1)
-(n-1)
«(i — i) Vй -
F.8)
Другие столь же удобные формы могут быть получены путем
любых перестановок первых п строк или первых п — 1 столбцов
или путем умножения на —1 любого из п— 1 столбцов. Якобиан
преобразования от q% к kx равен единице; интегрируя E 7) по
kn, мы получаем, что в уравнении F.6) kn = 0 и
Ln{s) = n-ll> \dkx... dkn-x Д BEt)-1 б (? E, - Vs ) • F-9)
Векторы k\, ..., kn~\ образуют ортогональный базис в про-
пространстве Qn-i.
Чтобы распорядиться оставшейся б-функцией, вводят в
Qn-i сферическую систему координат. Она получается обобще-
обобщением хорошо известного трехмерного случая:
kx = p sin 0i sin 02
&2 = р sin 0| sin 02
къ = р sin 0i sin 02 ... sin 0„_2 cos 0„_3
F.10)
p sin 9[ sin 92 ... sin0n_/+1 cos8n_i
Pn-l.

212 Глава VI
e-i
гдеО<р<ооИ0<е(<л?,0<ег1_2<2л;и ? PJ— 1- Поскольку
якобиан равен
;''1^!)= рге~2(sine'r3(sin9гГ2 • • •sin8re'3> F-11}
мы можем написать
dk,... rfCi = P"-2<fydSB-,, F.42)
где
dSn-, = dQx ... Й9„_г (sin в,)"-3 ... sin 9„_з F,13)
является элементом поверхности единичной сферы в (п—1)-
мерном эвклидовом пространстве. Легко убедиться (упражне-
(упражнение VI. 17), что интеграл \ dSm по сфере равен
Подставляя F.10) в F.3), выражаем qt через р и-р,-:
п-1
FЛБ)
Ey1 = 1, Yn = 0.
Тогда условие 2 ?* = Е, или в новых обозначениях
Z(p2Y? + O'/! = Vs, F.16)
определяет р как функцию 9i 8„_2:
§ р = р(в„ :.., Э„_2). F.17)
Интегрирование по р производится стандартным путем с по-
помощью формулы (III. 2.12) и требует взятия производной от
F.16)
В конце концов получаем Ln в виде

Множественное рождение
213
Хотя б-функции и выпали,, но формула очень сложна,' и даль-
дальнейшие вычисления Ln приходится проводить численно. Однако
если ограничиться только исследованием области изменения
переменных в F.18), т. е. самой геометрией продольного фазо-
фазового пространства, то для п = 3 и п = 4 удается получить
вполне наглядные результаты.
а. Случай п = 3
При п = 3 продольное фазовое пространство одномерно, и
мы имеем (полагая 9i = со)
Д2 = Р Sill СО.
Чтобы согласовать с обозначениями Ван-Хова [138], сделаем
в матрице О перестановку и переменим знаки; получим
V3
l
V3
i
л/2* ~ л/б" л/3" _
Тогда, согласно уравнению' F.3), мы имеем '
О
1
1
л/б
1
л/б
1
F.20)
F.21)
, - 1 ,
]~ W 2"
И декартовы координаты ku k2, и полярные координаты q, со
в F.19) дают параметризацию точек <7i> q%, q$ на плоскости
2<7( = 0. Значения qt на ней симметрично изображаются в
треугольной системе координат (фиг. 76). Продольное фазовое
пространство превращается в кривую, представляющую собой
решение относительно р = р(со) уравнения
(P2Y? + <)'А + (P2Y1 + m?)* + (р2^ + т'лу> == V^, F-22)
где
2
F.23)
1 1
1= COS CO 7=г Sin СО.

214
Глава VI
Качественное -^представление о поведении р(ю) получим, пола-
полагая т'{ = 0, так что F.22) дает
i III ill I .. I~Z /R ОЛ\
I Ql I T I Q2 I ~F I Ц% I == V ^ ' \O.Z4)
I
Если перебрать здесь все комбинации знаков, то станет видно,
что кривая F.24) есть шестиугольник в плоскости k\k2 (фиг. 76).
С увеличением т[ р (а>) монотонно убывает. Наружная кривая,
или граница диаграммы продольного фазового пространства
Фиг. 76. Продольное фазовое пространство при я = 3.
Наружная кривая —грайица диаграммы ПФП для реакции nN -> nnN при Vs*=4 ГэВ,
т. е. р=р (<л) при г,=0. Внутренняя кривая отвечает ri=rs=0,4 ГэВ/с, г4=9 5 ГэВ/с
(ПФП-диаграммы), получается, когда все поперечные импульсы
обращаются в нуль, m'l — ml (фиг. 76). При увеличении s эта
граница приближается к шестиугольнику. Все эксперименталь-
экспериментальные события лежат внутри нее. Поскольку поперечные импуль-
импульсы, как правило, малы, точки, изображающие события, кон-
концентрируются близ границы. С увеличением Vs линейные раз-
размеры диаграммы в СЦМ продольных импульсов возрастают
пропорционально Vs» но ПРИ этом ожидается, что ширина
населенной области почти не будет меняться. Именно эта эф-
эффективная одномерность явилась исходной точкой так назы-
называемого ПФП-анализа (анализа событий в продольном фазовом
пространстве). Плотность событий вдоль кривой является ха-
характеристикой данного канала реакции.
Действительно, плотность для чистого фазового объема,
определяемого, как обычно, с помощью условия Т= 1, вычис-

Множественное рождение 215
ляется из соотношения F.18) и оказывается равной
4^- = (8 УЗ (у\Е2Ег + у!* A + Y^А)Г • <6-25)
где Yt находятся из F.23), а Е\ = q\ + m't2 через уравнения
F.21), F.22) зависят от со. Это выражение справедливо при
фиксированных поперечных импульсах. Если эксперименталь-
экспериментальные события при любых г, изобразить на графике как функ-
функции со, то плотность событий на нем получается интегрированием
dLzjdti> по всем тг с учетом подходящим образом выбранной об-
обрезающей функции /(/"):
-J7T = \ й^г^г^гф2 (rj + r2 + r3) I —г- If (rt). F.26)
Для практических целей достаточно аппроксимировать F.26)
более простым выражением F.25). Чтобы качественно понять
поведение dL3jd(D, мы опять положим в F.25) m't = 0. Тогда
Е, да | <7, | да р | Yt |, так что
, F.27)
где р(ш)—радиус-вектор, проведенный к шестиугольнику на
фиг. 76 Распределение по со обладает острыми пиками в точках
цг = 0, обусловленными главным образом множителем 1/П?г
в определении Ln. Наличие асимптотических сингулярностей
при ^г = 0 показывает, что диаграмма продольного фазового
пространства неудобна для исследования событий, в которых
одна из частиц обладает малой скоростью в СЦМ.
Часто важно знать, как ведут себя при изменении со (и при
фиксированных гг) другие переменные, например sb S2, ti и t2.
Качественно их поведение становится ясным, если опять поло-
положить в формулах т\ =0. В СЦМ имеем
в, = т\ + ml + 2ЕХЕ2 - 2Йдг - 2г, > г2да 2( | q, 11 q2 \ - Я{д2),
tt-y/7(\q\-q) F'28)
При т'1 = 0 все qx практически линейно зависят от со; кар-
картина этой зависимости показана на фиг. 77. Если т\ ф 0, то
углы на фиг. 77 скругляются. Те области, где инварианты

516
Глава VI
приблизительно обращаются в нуль, можно охарактеризовать
следующим образом.
Si » 0: Частицы 1 и 2 обе движутся вперед (или обе назад).
Поскольку т'г = 0, скорости частиц одинаковы (и рав-
равны скорости света); по этой причине S\ достигает поро-
порогового значения, равного нулю (см. П.2.16). Так же
интерпретируется область s2 ?к 0.
^i ж 0: Частица 1 движется вперед с той же скоростью (рав-
(равной скорости света), что и частица а.
t2 » 0: Частица 3 движется назад с той же скоростью (равной
скорости света), что и частица Ь.
Нетрудно также убедиться, что каждому значению Sj отве-
отвечают четыре значения ©. Точки А% и А'2) а также Л3 и А\ на
фиг. 77 дают одно и то же S\, так как s\ не меняется от того,
Фиг. 77. Зависимость S\, s2, fi, t2
от а» при m' = 0. (Линейная фор-
форма зависимости — всего лишь при-
приближение.)
120
180" ?А0° 300" 360"
со
что движение вперед заменяется движением назад. На фиг. 77
эти точки также отмечены! Две точки А2, А'2 отвечают одной
точке А2 на границе диаграммы Далица (фиг. 35), а А3, А$ —
другой точке Аз с тем же значением Si.
С помощью фиг. 76 и 77 мы можем также изучить соотно-
соотношение между обрезанием поперечных импульсов и обрезанием
мультипериферических 4-передач [формулы E.9), E.10) при
п = 3]. Обрезание поперечных импульсов приводит фактически
к одномерному распределению постоянной ширины, лежащему
вдоль границы диаграммы на фиг. 76. Если обрезание мульти-
мультипериферических передач имеет вид
exp {atx + Ы$ F.29)

Множественное рождение
217
(что требует малости как t\, так и t2), то, как видно на фиг. 77,
это приводит к двойному неравенству 60° < ш < 180°. Следова-
Следовательно, подобное «периферическое обрезание» ласеляет только
ту часть продольного фазового пространства, которая лежит
вокруг со = 120°. Если перебрать все перестановки конечных
частиц, то видно, что существуют шесть типов периферических
обрезаний, показанных на фиг. 78. Каждое обрезание передач
заполняет некоторую область ПФП-диаграммы, расположенную
вокруг той точки, в которой центральная частица диаграммы
на фиг. 78 обладает нулевым продольным импульсом (а верх-
верхняя— положительным). Эта область простирается на 60° в обе
стороны. Поэтому различные диаграммы на фиг. 78 в значи-
значительной мере перекрываются (упражнение VI. 18).
б. Случай п = 4
' Для п,= 4 мы пишем
kx = p sin 9[ cos 02.
k2 = p sine, sin 92, F.30)
Матрица F.8) теперь имеет вид
1 1
1
1
1
V2"
0
0
V6"
2
V'2
1
О —
F.31)
Поскольку &4 = 2<7* —0> четыре
следующим образом:
УТ2"
выражаются через три k
__ 2 и 1 ,
F.32)
3 ,

218
Глава VI
пу-
пуВеличины у<» Y2. Уз и Y4 можно найти из равенства #< =?=
тем подстановки (б.ЗО) в формулы F.32).
Обобщение фиг. 76 на случай п = 4 показано на фиг. 79;
четыре Qi, удовлетворяющие равенству q\ + Я1 + Яз + Яа = О,
изображены в симметричном виде: Я\ отождествлены с расстоя-
расстояниями точки о/г четырех плоскостей qt = 0 ,в трехмерном про-
пространстве. Нормали п,- к этим плоскостям определяются первыми
tat
Чз
'-аг
Ш** 120"
hi
1*3
Чг
tar
Чг
Фиг. 78. Шесть возможных типов периферических обрезаний для про-
процесса 2 -> 2.
К двум передачам, указанным на каждой схеме, предъявляется требование цалостп,
Каждое обрезание заселяет некоторую часть диаграммы ПФП вокруг значения а>, ука-
указанного на соответствующей схеме.
тремя столбцами матрицы F.31). Например, П] равно (l/V2>
l/Уб, l/Vl2) и т. д.; все nt удовлетворяют соотношению
n,-n, = 6,j — '/4- Плоскости параллельны граням правильного
тетраэдра.
Чтобы представить себе, как выглядит двумерное продоль-
продольное фазовое пространство, рассмотрим опять совокупность то-
точек, удовлетворяющих закону сохранения энергии при т\ = 0:
| + |qr4| = Y^- F-33)
Ясно, что сечения этой поверхности плоскостями qx = 0, / =
= 1, ..., 4 должны представлять собой шестиугольники. Они
видны на фиг. 79. Если же ни одно из qx не обращается в нуль,
выберем для них определенные знаки. Например, пусть Ц\ > О,
а <?2, Яг, Я* <°; тогда из уравнений F.33) и 2<7г = 0 следует
F.34)

Множественное рождение
219
До тех пор пока какое-то из q<i, <7з и qA не обратится в нуль, мы
останемся на этой части поверхности. Следовательно, это тре-
треугольник ABC, параллельный шестиугольнику DEFGHI на
D
.q 0)
*t
Фиг. 79. Система координат для случая qt + q2 + <7з + Qi = 0.
Плоскости CAF соответствует </4=D, плоскости СВЕ — <?j=0, плоскости ABD — <?i=0,
а плоскости DBF — <г,=0. Векторы направлений осей на чертеже относятся к шести-
шестиугольнику CAF.
фиг. 79. Если же qi, #2 > 0, а ^з, <?4 < 0| то мы имеем
F.35)
Эта часть поверхности ограничивается линией, на которой одно
из <7г меняет знак. Имеется четыре <?г, так что получается квад-
квадрат ABEF на фиг. 79. В итоге из 8 треугольников и 6 квадратов
получается поверхность кубоктаэдра (фиг. 79).
Если т'ь > 0, то продольное фазовое пространство, очевидно,
представляет собой некоторую поверхность, лежащую внутри
этого кубоктаэдра; при s->oo она стремится к кубоктаэдру.
Экспериментальные события с преимущественно малыми попе-
поперечными импульсами лежат у самой поверхности кубоктаэдра,
образуя эффективно двумерное распределение. Вопросы анализа
этого двумерного распределения трактуются в специальной ли-
литературе, и мы не будем здесь заниматься ими. В качестве
курьеза упомянем, что шестиугольник и кубокгаэдр (фиг. 76,79),

220 Глава VI
равно как и их обобщения, еще раньше появлялись в физике
в качестве весовых диаграмм группы SU(n). Например, хорошо
известные октетное или нонетное представления группы Sf/C)
выглядят так же, как фиг. 76.
7. Физическая область в инвариантных переменных
Мы уже познакомились в первых главах этой книги с тем,
как описываются на языке инвариантов реакции 2 —> 2 и 2 —»3
(или, что то же, распады 1—>3 и 1-*4). Сейчас мы обратимся
к распаду 1-»п и его перекрестным каналам и дадим их пол-
полное лоренц-инвариантное описание [3—5, 25, 26, 45, 60, 89, 90,
100, 101, 103, 106, 122, 126, 127, 135]. В этом разделе мы опре-
определим на языке инвариантных переменных физическую область
их изменения, а в следующем разделе — плотность в фазовом
пространстве в тех же переменных. Результаты этих двух раз-
разделов имеют математический характер в значительно большей
степени, чем остальные части книги, хотя доказательства и не
обладают особой строгостью. Более строгое изложение можно
найти в работе [26].
а. Физическая область процесса 1-^-п в инвариантных
переменных
Предположим, что распад
0->1 + 2+ ... +п G.1)
есть реальный физический распад с неисчезающими массами
/л,-, так что рг суть времениподобные (с положительной четвер-
четвертой компонентой) векторы, р\ — гп\ > 0, ?1,(^тг)> 0, i =
= 1, ..., п. Естественной совокупностью инвариантных пере-
переменных является набор скалярных произведений
Хц = Рг pj = mlmlchZt,, 1 </</<«. G.2)
Это определяет также переменные Х,ц — относительные быстроты
частиц i и /. Величины Хц линейно связаны с квадратами ин-
инвариантных масс пар частиц i и j:
stj=*m9t + m* + 2xtr G.3)
Квадраты инвариантных масс трех или более частиц sf,-..,A =
= (Pi Л-Pj + ••• + PkJ также являются линейными комбина-
комбинациями Х{}; то же относится и к квадратам любых 4-передач.
Совокупность переменных G.2) состоит из l/an(n—l) вели-
величин Хц. При п ^ 4 они, очевидно, не независимы. Существует
Зга —7 свободных инвариантных переменных и, следовательно,

Множественное рождение
221
между Xij должно существовать '/г (я2 — п) — (Зп — 7) =
= 'Ы — 7п+ 14) соотношений. Одно из них — инвариантное
уравнение, вытекающее из сохранения 4-импульса, я^ —BJ
или
G.4)
Остальные 'Ыя — З) (п —4) уравнений представляют собой
условия на определители Грама; они выражают тот факт, что
в четырехмерном пространстве любые "Пять или более векторов
всегда линейно зависят.друг от друга [см. текст после уравне-
уравнения (А.8)].
Здесь мы определим необходимые и достаточные условия,
которым должны удовлетворять переменные Хц, чтобы соответ-
соответствовать совокупности, физических импульсов р\, ..., рп. Физи-
Физическими импульсами мы называем такие, составляющие ру ко-
которых действительны и при этом p\ = m\, i—\, ..., п. Для
этого полезно определить матрицу составляющих р^
~пг>
А=
Если Ат — транспонированная матрица, то мы имеем
Pi-
Р\ ¦ чг
Pi.--
Pi...
Pi
к
Pi
Pi
G.5)
G.6)
где g — метрическая матрица (II. 1.5), а X — матрица скалярных
произведений
РГР2-'- Рх'Рп
" Р\
Pi
_Pn
G.7)
Det X — определитель Грама Ап(ри ..-, рп)-
Поскольку матрица X симметрична, существует ортогональ-
ортогональная матрица U, диагонализующая матрицу X. Элементы диа-
диагональной матрицы У = UXUT имеют вид
УЧ
Ij
' (S
= qi ¦ qf,
G.8)

222
Глава VI
где <7i — ортогональные 4-векторы, связанные с векторами
соотношениями
i=l, ..., и.
G.9)
Так как матрица U ортогональная, решения этих уравнений
имеют сходный вид:
Pi =
i — 1, ..., п.
G.10)
Уравнения G.9), G 10) показывают, что на совокупности век-
векторов р\, ..., рп и <7i> ..., qn натянуто одно и то же простран-
пространство. Если это пространство Лоренца, так что четыре век-
вектора qi линейно независимы друг от друга, то один из них
должен быть времениподобным, а три — пространственноподоб-
ными. Остальные п — 4 векторов q, могут оказаться ортогональ-
ортогональными всем четырем базисным векторам только в том случае,
если они являются нуль-векторами. Выбрав удобную нумерацию
собственных значений (диагональных элементов) Я,4 матрицы Y,
мы получим
qi • qj = %i-\6ij, G.11)
Ао > 0, Xi < 0, Xs< 0, Я, < 0,
Поскольку матрица V ортогональная, Ао, .... %п-х являются
также собственными значениями матрицы X.
Теперь ясно, что существует система отсчета Q, в которой </*
даются выражениями
43 = @, О, У =17, О), G.13)
*
44 = (о, о, о, У— х3)>
<7* = @, .... 0), t = 5, .,., п.
Образуем из qi матрицу В таким же способом, каким из pt
была образована матрица А:
G.14)
%
0
0
0
0
У—я.
0
0
0
0
У—А2
0
0
0
.0
У^ .
.. 0
.. 0
.. 0
.. 0

Множественное рождение 223
Любая совокупность величин qit удовлетворяющих соотношению
G.11), может быть получена из совокупности G.13) путемпре-
образования Лоренца L. Таким образом, из уравнения G.10)
следует
A = LBU. G.15)
Мы показали, что если р\, ..., рп— физические импульсы,
то собственные значения матрицы X = (xtj) удовлетворяют
условию G.12). Обратно, если собственные значения матрицы
скалярных произведений X удовлетворяют условию G.12), то
матрица А = BU [где В — матрица G.14), а ?/_— матрица, диа-
гонализирующая X] дает явную реализацию р\, ..., рп матри-
матрицы X. Ниже мы покажем (прямым построением ри • ••> Рп),
что эта конфигурация единственна [см. ниже G.31), G.33)]. Тем
самым мы придем к следующей теореме [26].
Теорема 1. Конфигурация физических импульсов ри .-., рп
существует тогда и только тогда, когда матрица X = (хг]) имеет
одно положительное, три отрицательных, а остальные я — 4
равные нулю собственные значения. Эта конфигурация един-
единственна, если не считать зеркальных отражений пространства
и собственных преобразований Лоренца.
Чтобы применять эту теорему, полезно ввести уравнение,
которому удовлетворяют собственные значения матрицы X,—
характеристическое уравнение X. После некоторых математи-
математических выкладок можно убедиться, что оно имеет вид
Г _ Д^ - ... - ld+l%n-d-1 - Ad+2r-<*-2 - ... - А„ = О,
G.16)
где
. Д^-О'-'ЕДгО,, pti, .... ph) G.17)
есть сумма всех диагональных миноров размерности t"X,l опре-
определителя Det X. Отдельные слагаемые в уравнении G.17) пред-
представляют собой симметричные определители Грама [см. (А.2)]:
A/(ptl, Pi2, ..., рн) = Det(*„), /, /=*/„ .... ih G.18)
где »ь • • •. к — некоторое подмножество множества индексов
1, ..., п. Частными случаями А/ являются
Величина А* представляет собой полином /-й степени по пере-
переменным х^ (второй степени по каждому Х{}).

224 Глава VI
Согласно теореме 1, уравнение G.16) имеет п — 4 нулевых
собственных значений. Отсюда следует
А5 = 0, .... Дя = 0. G.20)
Пусть эти условия выполняются. Тогда ц = 1Д удовлетворяет
уравнению четвертой степени
Д4|х4 + А3ц3 + AV + Д,ц - 1 = 0. G.21)
Начертив кривую G.21) и вычислив ее значение при ц = 0 и
ее производные при [а"> 0, легко убедиться, что ура-внение
G.21) имеет один полож-ительный и три отрицательных корня,
если
Ai >0, Д2>0, А3>0, А4>0. G.22)
Простейшими рассуждениями убеждаемся в необходимости
условий G 20) и G.22); таким образом, мы получили следую-
следующую теорему [26].
Теорема 2. Необходимое и достаточное условие того, что
матрица X соответствует физической совокупности 4-импульсов
рь .... рп, дается условиями G.20), G.22).
Мы заканчиваем Эту часть раздела следующими замеча-
замечаниями.
1. Выше мы видели, что хг] связаны 1/2(п — 3)(п — 4) усло-
условиями на их определители Грама; с другой стороны, число
уравнений в G 20) всего лишь п — 4. Но если к этим уравне-
уравнениям добавлено требование действительности всех хг], то си-
система G 20) оставляет как раз нужное количество свободных
параметров Со сходным положением вещей мы встречаемся,
решая систему уравнений х2 -f- у2 + z2 — 3 и xyz~\. Она об-
обладает однопараметрическим множеством решений Но дей-
действительное решение только одно (х2 = у2 = г2 = 1), так как
поверхности касаются лишь в одной точке Поскольку решения
системы G 20) обладают такими же сингулярными точками,
уравнениями G 20) трудно пользоваться на практике Другая
трудность состоит в том, что при больших п число членов в
уравнении G 17) велико (пЩп — /)'/').
2 Элементы матрицы X имеют вид хг] = mtmj ch ?„ (?<j —
относительная быстрота) Можно ввести другие матрицы, из
которых массы т, исключены. Для этого сделаем преобразо-
преобразование /
XtJ = Ttlitn^ib G-23)
где лоренц-факторы
h? = «r«/ G.24)

Множественное рождение 225
равны скалярным произведениям 4-векторов скорости. Мы опре-
определяем
Л? = М«<, «/,). G-25)
Из уравнения (А.4) следует
Л/ = ГЫДь G-26)
поэтому Д; = О эквивалентно равенству Л/ = 0. Следовательно,
в теоремах 1 и 2 матрица X = (хг]) может быть заменена на
Х' = (уг]). Поскольку уц не зависят от масс, физические обла-
области, определяемые А/, универсальны: одни и те же для любых
ненулевых масс
3 Мы определили U как матрицу, диагонализующую X =
= ATgA. Подобным же образом уравнение
AATg = LBUUTBTLTg = L (BBTg) L~l G.27)
[см. (II. 1.7)] показывает, что L~l есть то преобразование Ло-
Лоренца, которое диагонализует AATg. Это L выделяет опреде-
определенную систему отсчета, а именно систему, которая получается
из начальной с помощью преобразования Лоренца L. В новой
системе отсчета составляющие 4-импульсов являются элемен-
элементами матрицы
L~lA = BU. G.28)
[Мы воспользовались соотношением G.15).] Матрица BU обла-
обладает тем свойством, что матрица
BU(BU)T = BBT G.29)
является диагональной, с диагональными элементами |^|. Сле-
Следовательно, в этой системе отсчета строки матрицы, составлен-
составленной из компонент импульсов
а» = (р? pjj), * |i = 0, 1, 2, 3, G.30)
ортогональны в эвклидовой метрике и-мерного пространства.
Легко видеть, что эта система отсчета совпадает с системой Q,
определенной соотношениями G.13).
Пример 1. Пусть р\ и Рг-^-Два 2-вектора, pi = (Et, Pf); a ?
относительная быстрота 1 и 2. Матрица X равна
[m\ mlm2cht,'l
т{т2сИ ml J'
S Зак 517

226 Глава VI
Корни уравнения для собственных значений К2 — (т] -j- /п|) Я —
— т\т\ sh2 ? = 0 равны
Собственное значение Ао всегда положительно, a Ai — отрица-
отрицательно и обращается в нуль на границе физической области
? = 0. В системе отсчета Q векторы имеют вид
р2 = (Уя~о sin -j, V— h cos у),
где а определяется соотношением cosa= \m\ — т22\1(К — А,).
Для равных масс a = л/2, Pi = —Р2 система Q совпадает
с СЦМ.
б. Несимметричные совокупности инвариантов
Сложность уравнений G.20) и сингулярная природа их ре-
решений вынуждают искать более простые инвариантные описа-
описания. Их можно найти ценою отказа от симметрии в индексах
частиц. Различные выборы инвариантных переменных приво-
приводятся в работах Асрибекова [3—5], Френкеля [45], Рорлиха
[126, 127].
Пусть р\, Р2, рз, pi — физические 4-импульсы. В системе от-
отсчета 7?A,2, 3), показанной на фиг. 7, эта совокупность импуль-
импульсов имеет вид, записанный формулами (II. 7.1). Воспользовав-
Воспользовавшись соотношениями (II. 7.3), (II. 7.8), (II. 7.10), (II. 7.15) и
(П.7.18), выражающими компоненты импульсов через инва-
инварианты, вместо (II. 7.1) получаем
}'/2, 0, 0, 0].
'Pi'
GVP2/ л Л - As (Pi, Pi) У'2
Р2'-
G.31)
_ f
1' ' I
g(
?iZ_ As (Pi, Pi, Рз) У'» q \Pi, p%
(Pi))'1' ' I - A, (Pi. Р*Г) ' ' {- A, (p,) Д2 (р,,
Р3 = [-
П = I VP4/ VPl, , Р2,
*- {Д| (Pi)}'1' ' {— А2 (Pi. Рг) Аз (Р
-g(Pi' М I
^_ f — Д4 (Pi, Рг, Рз, Pt) V/j V Pi, PiJ I
\ Дз (Pi, P2, Рз) / {- A» (Pi) A2 (Pi. Рг)L' ¦*
(Pi, Pi) Аз (Pi, Рг,

Множественное рождение ?27
Компоненты векторов действительны при условии, что
Ai (Рх) > О,
A2(Pl'P2)<°' ft G.32)
А3(Pi, Р2, Рз)>0, l '
А4 (Рь Pi, -Pi, Рд < О.
Необходимость этих условий следует из G.22), поскольку
(—1)'->Дг = Д, >0 для физических Ри ..., Pi (l=\, 2, 3, 4).
Обратно, если неравенства G.32) выполнены для некоторой со-
совокупности X = (*„), то уравнения G.31) дают явную реализа-
реализацию импульсов ри ..., Pi-
Если векторов больше, чем четыре, то каждый из векторов
р„ t=5, .... п можно написать в системе отсчета #A,2,3) в
виде, сходном с записью р4 в последнем из равенств G.31):
Г a(Pi) g(p» р* Pt)
p _- vPt^ Vpi. Pt, Pi/
1 L{Ai(Pi)}'/j ' {-A«<Pi. Pi)MPi.Pi.
¦ Pi) \Va
f-MPp P2'%Pt)ya
I A» (Pit Ра» Ра) ) {— Ai
ч. Р»)}'Л
при условии, что
A4(pi, pt, Рз, Р,)<0, /*=5, ..., я. G.34)
Желая выписать Зп — 6 инвариантных переменных в явном
виде, можно для этого выбрать следующие скалярные произве-
произведения:
^12» ^13' ^23>
%\l, X21, X3it t °^ 4, • • •, Л»
Подстановка их в G.31) и G.33) однозначным образом фикси-
фиксирует значения рь ..., рп в системе отсчета R A, 2, 3), за исклю-
исключением знаков PiV. Следовательно, отображение множества
G.35) на множества G.31), G.33)—это отображение «один
к 2"~3». Если, кроме того, задать множество х&, ..., xin, то и
знаки рьу, ..., рПу будут фиксированы. Если к тому же удовле-
удовлетворены неравенства G.32), G.34), то все составляющие им-
импульсов получаются действительными, т. е. мы определим фи-
физическую область.
Если же исходить из совокупности всех 1/2п(п— 1) скаляр-
скалярных произведений xtJ, то сначала надо исключить те из них, ко-
которые не входят в множество G.35), используя для этого усло-
условия на определители Грама, о которых говорилось выше вслед
8»

228 Глава VI
за формулой G.4). Эти условия Moryt быть записаны в~виде
[3-5]
MPi. Рь Рз> Рь Pi) = ®> t = 5, ..., п, G.36)
Уравнения G.37) [всего их lk(n — 4) (п— 5)] линейны по
Хц, 5 ^ i < / ^ п. Уравнения G.36) [их (п — 4)] — квадратичны
по *45, • • •, *4п"> решая их, получаем два знака для р\ в уравне-
уравнении G.33). Мы приходим к следующей теореме.
Теорема 3. Множество Х= (xi:j) со свойствами хи = х/{, хн =
= m2t>0, I, /=1, ..., п, отвечает физической конфигурации
4-импульсов ри ..., рп со скалярными произведениями Pi-Pj =
= Хц тогда и только тогда, когда имеется такая перестановка
индексов i, что выполняются условия G.32), G.34) и G.36),
G.37).
До сих пор мы рассматривали только импульсы р\, ..., рп
'конечного состояния. Сохранения 4-импульса позволяет вклю-
включить в число переменных скалярные произведения xot = ро- Pt
или любые квадраты 4-передач (ро — р/, — ... — Pi/J- Умножая
Ро = 4-| Pi на Р^ получаем
я. G.38)
в. Физическая область в процессе 2-+п — /
Распад G.1) с помощью кроссинг-преобразования может
быть связан с рядом других процессов. Энергии выходящих и
входящих частиц (времениподобные векторы из переднего и зад-
заднего светового конуса) имеют противоположные знаки. Если
взять пару частиц, то в зависимости от знака **j = PrPj
(= ±тД; в системе покоя i) различаются два случая:
Хц > m{mh Su = (pt -f pjJ > (mt + m,f G.39)
и
-m,f. G.40)
Следовательно, в пространстве х^ (i, j = 1, ...,«) физические
области разных перекрестных каналов разъединены. Преобразо-
Преобразование pi -> —Pi меняет знак x{j и равнозначно преобразованию
от одного канала к другому. Однако одновременное изменение
знаков всех рг не меняет матрицу X. Это значит, что процессы

Множественное рождение 229
( ) . + /i я (/n)
|тв пространстве Хц имеют одну и ту же физическую область.
Следовательно, в пространстве инвариантов имеется всего 2п~х
физических областей, отделенных друг от друга, но связанных
кроссинг-преобразованиями.
Согласно равенствам (А.4) и (А.З), когда один из аргумен-
аргументов pi меняет знак, Ai(pu ..., pi) не меняется, а несимметрич-
несимметричный определитель Грама G только меняет знак. Следовательно,
все 2п~1 физических областей определяются одним и тем же на-
набором условий G.32), G.34) и G.36), G.37). Только выбор зна-
знаков я— 1 скалярных произведений (т. е. Х\г, ..., Х\п) позволяет
отличить один кросс-канал реакции от другого. В частности,
физическая область для реакции
0 + «->1+ ... +(«—1) G.41)
определяется теми же теоремами 1, 2 и 3 с ограничением G.4)
И УСЛОВИЯМИ Хп, .. . , Х\г п-1 > 0, Х\п < 0.
Пример 2. При' п == 3 реакции могут быть двух типов:
0 -> 1 + 2 + 3 или 0 + 3 -»¦ 1 + 2. Переменные здесь s = m}-\-
+ tnl + 2xl2, t = ml + ml + 2x23 и u = m] + tn]-\-2xl3. Равен-
Равенство G.4) превращается в s-\-f + и=*т\ + т\ + т\-\- т\.
Условие Аз A,2, 3)> 0 определяет четыре физические области,
показанные на фиг. 28. Далее, должна существовать такая пара
i, и что A2(i, /)<0, т. е.
к («„, т% mj) = {stl - (mt + mtf) {sy - (m, - mtf) > 0. %
Это подразумевает, что
tif или S4 < (mi — mif' GA2)
Сравнивая G.42) с G.39) и G.40), мы видим, что эти два слу-
случая отвечают разным реакциям. При тех массах, что были взя-
взяты на фиг. 28, центральная область запрещена условием G.42)
и физическими являются только каналы s, t, и. На фиг. 29 раз-
разрешен и распад: он удовлетворяет неравенствам Д3 > 0, Д2 < 0.
г. Распад на четыре частицы
Для описания процесса 1 —> 4 имеется пять независимых пе-
переменных. Множество Хц, 1 ^ i < / ^ 4 состоит из шести вели-
величин, связанных равенством G.4). Другое множество образуют
sti = ml + mj + &Хц, связанные равенством
?,*,/ = «о+ 2?"»?. G.43)

230 Глава VI
Четыре трехчастичных квадрата масс линейно связаны с si?-:
stik = sn + sik + sik-m\-m)-K G-44)
Существует много способов выбора пяти независимых перемен-
переменных из хг}, s,;, st]k и т. д. Но благодаря линейной связи между
наборами переменных якобиан перехода от одного набора к дру-
другому есгь просто константа. Следовательно, если не считать три-
тривиальных линейных преобразований, инвариантные переменные
выбираются в этой задаче единственным образом.
Процесс 1 -> 4 связан с процессом 2 —»¦ 3 перекрестным пре-
преобразованием. Их инвариантные описания эквивалентны; как и
для процесса 2 —> 3, удобные переменные для процесса 1 ->• 4
часто выбираются циклически симметричным образом: foi =
*= S234. Si2, s23, s34, ?40 = «123- Физическая область дается нера-
неравенствами G.32) и может быть выражена через кинематические
функции Я, G и В. '
8. Фазовая плотность в инвариантных переменных
Чтобы выразить /„ через совокупность Ф инвариантных пе-
переменных, надо уметь выразить в этих переменных фазовую
плотность рп(Ф), определяемую соотношением A.2). Интегри-
Интегрирование Rn по рп дает
Раскроем скобки в аргументе б-функции и учтем равенство
G.38). Мы увидим, что последняя б-функция равна половине
выражения
Z xtl-?*>t-K + ml-tiA, (8.2)
7</t-i <=i /
где К определено равенством G.4). Следовательно, мы имеем
жв«>- '* (8-3)
Далее рассмотрим порознь случаи п ^ 4 и п > 4, так как
в последнем случае приходится учитывать неприятное ограни-
ограничение G.20).

Множественное рождение 231
а. Случай п*?^4
Чтобы написать Pi в явном виде, следует выбрать систему
отсчета. Для начала мы выбираем систему покоя р0- Из х01 =
= tn0Ei получаем дхо1/дРх = гщРх/Еи а равенство (II. 7.3) дает
Sж=4я\^шг=2W\dx°i{~Аа(АьPi)}Vj-' м
Затем выбираем направление pi в качестве оси г. Якобиан равен
= (8.5)
д(Р2, cos8,2) Е2 '
а равенство (И. 7.3) дает
C dP,Pld cos 9
ScCpr, f dP,Pld cos 9|o r „
1^ = 2я) 2?2 = я J rf*o2 ^^12 {- A2 (po, Л)Г*. (8-6)
После этого рассмотрим (fp3j2E3 = dP3P3 dQ3/2E3 в системе от-
отсчета i? @,1,2). В этом случае xQi = /и0Е3 приводит к
йР„РЦ2Еъ = йхйЪ{— A2)'/2/2mo, a rfQ3 получается прямо из равен-
равенства (II.7.21). Мы получаем
йг = \dXoi
dX]s dXzi i~ Л*(Po> pi'Ръ р^~Чг-
Здесь следует вспомнить, что каждой тройке х0з, *is, х2з отве-
отвечают два значения рз, зеркально отраженные в плоскости pi, p2.
Чтобы это учесть, в правую часть равенства (8.7) мы включили
множитель 2. Заметим также, что в (8.4) —(8.7) не входит Дз-
После того как были выведены соотношения (8.4) — (8.7),
совокупность переменных хг}, 0 sg; i < / ^ п — 1 мы можем не-
непосредственно заменить на хг], 1 ^ i < / ^ п, так как якобиан
такой замены равен единице. Формулы (8.3) — (8.6) дают для
двух- и трехчастичных распадов
R2 = 4" \ dx12 (- Mf б (хп - /() = -iL {- А2(Аь Pi)}\ (8.8)
R3 = ^V [ dxndxn = -^r \ dsi2 ds23 (8.9)
m0 J 4/из J
[см. равенства (IV. 1.10) и (V.2.10)]. Для процесса 1-*4
(8.10)
При переходе к пяти симметричным переменным используются
тождества
% = «012 = 2 (*oi + «02 + -«12) + квадраты масс,
Uu — «ш = 2 (Л12 + ¦% + •%) 4- квадраты масс.

232 Глава VI
Якобиан равен 25; в итогетюлучаем
4 Ъ2щ J (
Явное выражение для —Д4 = Vie-B получается из определителей
(V. 9.4), (V.9.5) заменой tu su s2, t2, s-*tou sl2, s2S, s34) ti0.
б. Случай п>4
При n > 4 заменяем индекс 3 в (8.7) на 4 п — 1 и
подставляем эти выражения в (8.3); в результате находим
р л \ л„ av av ТТ dxotdxudx2i f,(t\ /я 1Ч\
i\n —^- \ UXqi UX(j2 UX[2 I I i! ii ?i " Vb/- \O. 1O^
Равноценная этой (и тривиально с нею связанная) несимметрич-
несимметричная совокупность переменных приведена в G.35), а соответ-
соответствующая физическая область дается неравенствами G.32) и
G.34). Можно заменить рг, i=\, ..., п линейными комбина-
комбинациями рг и получить множество различных неэквивалентных
друг другу представлений. Один из способов получения таких
формул состоит в том, чтобы расписать в явном виде подпро-
подпроцессы на дереве импульсов (написать рекуррентные соотноше-
соотношения), выразив их через чисто инвариантные переменные, — это
даст полностью инвариантную параметризацию Rn- Пример та-
такой записи был приведен в конце раздела 2; он включает пере-
переменные tu s-i, Ni\.
Чтобы вычислить рп(Ф) для полного симметричного набора
всех хг] [удовлетворяющих ограничению G.20)], требуется куда
более мощная техника. Мы приведем лишь окончательные ре-
результаты [25, 26].
Факторизация G.15) предполагает соответствующую факто-
факторизацию дифференциальных элементов объема групп, входящих
в G.15). Это группа Лоренца {/,}, ортогональная группа {U} и
группа {В}, связанная с «диагональными» матрицами В. При
п > 4 матрица U в G.15) может быть заменена на
\U (8.14)
где / — единичная матрица 4X4, а V — любая ортогональная
матрица порядка (п — 4)Х(^ — 4). Эта замена не меняет Л,
так как В,, = 0 при /> 4. Если считать все U, связанные пре-
преобразованием (8.14), эквивалентными друг другу, то число па-
параметров в остающейся совокупности {U} равно 4п— 10.

- Множественное рождение 233
В группе Лоренца {L} имеется шесть параметров, а в группе
{В}---четыре параметра; их можно принять равными Дь ....
.... А4- Пусть d{U'} и d{L) обозначают элементы объема сово-
совокупности ортогональных преобразований V и группы преобра-
преобразований Лоренца L. Тогда можно доказать, что
П d% = d {A} = 2~%п-5Iй4 {U'j d{L} П dlt = (8.15)
V П dxniiH&i). (8.16)
n
Здесь Sv — площадь поверхности единичной сферы х\ +
... +4—1 [см. F.14)].
Подстановка выражения (8.16) в A.2) дает
j
\
v=l t<! i-l
E]0 (8Л7)
Здесь Ь*(ро — р) можно выразить через преобразование Лоренца:
б4 (Ро ~ Р) = 2т-2б (/п20 - т2) б3 (Lo - L). (8.18)
Разбивая {1} на сдвиг L и на трех- и двумерные вращения Q<3),
Q<2>, получаем
\ rfIdaB>d0B»e4(р„ - L ^ р,) - -^ 6 {то2 -
Используя равенство (8.2) и интегрируя по P<==%t находим
^-Ш 57') J П^/^" Д «И)«(О- (8-20)
Индексы t, / могут пробегать значения либо от 0 до п—1;
либо от 1 до п.
Выражение (8.15) позволяет найти представление, которое
полностью инвариантно, симметрично по индексам частиц и
содержит в себе вместо б(Дг) ограничения на xlt. Подставляя
(8.15) в A.2) и используя соотношение (8.19), получаем
/?n=J*L \ d {(Г) П

234 Глава VI
Одной из простых параметризаций множества {?/'} является
совокупность последовательных вращений Q®, каждое из кото-
которых действует в двумерной плоскости /-мерного пространства:
{?/'} = (Q(n). U{n~l\ Q("-2). Q(re-31)- (8.22)
Эта совокупность характеризуется 4и — 10 параметрами; чтобы
задать каждое QW, требуется указать нормаль к плоскости
(/ — 2 параметра) и угол поворота.
в. Процессы столкновения
Если подставить тождество
- рJ- ях%^ mfN {ха{ —1 (s - К-ml)} (8.23)
в выражение A.2), где положено pass=p, и проинтегрировать
по рь мы получим в точности Rn-i{Pa, Рь) для процесса
а-\-Ь-*2-{-...-\-п. Если переменить затем индексы, чтобы они
соответствовали процессу а-\-Ь —> 1 + • • • + я, и проинтегриро-
проинтегрировать по хаь, то из формул (8.8), (8.9) и (8.23) при /1 = 2 и
я = 3 просто получаются выражения (IV. 4.24) и (V. 9.2). При
n ^ 4 из (8.20) следует
-— я п~3 f
/,-/ 2 2 2\ П 5* ' J dx°f ' •dXa.n-idXn. . .rf^,n-iX
"[s, ma, mb) v=1
x П М|/
n (Pa, Pb)=
Поскольку в (8.24) входит б(|), можно провести интегрирова-
интегрирование по любому из их.
Упражнения
VI. 1. Пусть имеется динамическая модель, в которой сечение
On рождения гс-частичного состояния при высоких энергиях
дается выражением
on{E)=XnET2RlP'(?),
где Е — полная энергия в СЦМ, a R%P определяется выраже-
выражением B.17). Выразите
а) 0(?) =
П=2
б) <«>=
через модифицированные функции Бесселя,

Множественное рождение 235
Пусть вместо этого сечение определено как бп(Е)/а{Е); по-
покажите, что при этом экспоненциально подавляются большие
значения 3-импульсов.
VI. 2. Докажите справедливость нерелятивистской формулы
B.19) для R%P(M2n), заменяя Мп в рекуррентном соотношении
кинетической энергией Тп = Мп — \in.
VI. 3. Покажите, что при я = 3 рекуррентное соотношение
B.27) эквивалентно соотношению (V. 7.7), так что <pi можно
отождествить с углом Треймана — Янга в системе покоя 12.
VI. 4. Какое рекуррентное соотношение получается, если, вы-
выбрать ось z вдоль направления кг+2 (&n+i = Ра) в системе от-
отсчета k,+i = 0 на фиг. 63 и заменить полярный угол 8j инва-
риантом
Si+l = (&»+2 — kiJ = (pi+2 -f pi+iJ, pn+l = —Рь?
Покажите, что это соотношение эквивалентно соотношению
(V. 7.8) при л = 3.
VI. 5. Минимум правой части уравнения C.49) достигается
при cosffl, = —1. Выведите из этого следующее условие [44],
справедливое в мультиреджевском пределе:
У=Т2)Ч*
VI. 6. Покажите, что интегрирование б-функции в соотноше-
соотношении C.50) по Ш2 (при п = 3) приводит к выражению (V. 11.24)
для d2a/dsids2.
VI. 7. Граница диаграммы Чу — Лоу дается уравнением
D.19). Найдите наклоны асимптот этой кривой и покажите, что
они всегда положительны для реальных частиц. >'
VI. 8. Выведите формулу
if
где Рп = |pi -f- P21, a f—азимутальный угол рз по отношению
К ОСИ pi + р2-
VI. 9. Выведите уравнение D.29) для распределения в СЦМ
косинусов углов между двумя импульсами по фазовому объему
(реакция ра + Рь -* Pi + ... + рп) ¦ Что получается при п — 3?
VI. 10. Вычислите d2/?4/c?M?23dM?2для распада 1-М. Какова
физическая область в плоскости МизМ^"?
2 2
VI. 11. Какова физическая область в плоскости Ж1234М3456
для шести частиц в конечном состоянии? Что будет, если в ко-
конечном состоянии имеется семь частиц?

236 Глава VI
VI. 12. Покажите, что средние значения поперечногб и про-
продольного импульсов в СЦМ реакции 2—>« в предположении
распределения по фазовому объему связаны соотношением
(Гг) = 42n{qt).
VI. 13. Покажите, что если проинтегрировать L% в уравнении
E.12) по п и г2, то получится известное выражение для R%.
VI. 14. Преобразуйте Ln к форме
п
s, ml ml) J dd... Л,' ]]V'/2D t\-u m?)x
по образцу преобразований Rn в разделе 3. Здесь г\г вычисляет-
вычисляется из соответствующим образом обобщенных на произвольное п
формул C 38); t% заменено на t't, tn = ml, t0 = ml.
VI. 15 Докажите справедливость ультрарелятивистского пре-
предела Ln [формула E.17)], показав, что он удовлетворяет соот-
соотношению E.14).
VI. 16. Оцените интеграл
где а) /г = ехр(— art) б) /, = ехр (— arf).
VI. 17. Проверьте правильность формулы F.14), дающей
площадь поверхности единичной сферы в m-мерном эвклидовом
пространстве.
VI.18. Определите области продольного фазового простран-
пространства, населенные конфигурациями, удовлетворяющими условию
(V. 11.19) реджевского предела по всем переменным и соответ-
соответствующими диаграммам на фиг. 78. Наблюдается ли перекрытие
при s-+oo?

Глава VII
ИНКЛЮЗИВНЫЕ РЕАКЦИИ
1. Одночастичные распределения \
До сих пор мы рассматривали в этой книге только эксклю-
эксклюзивные реакции. Обратимся теперь к инклюзивному процессу
а + Ь->с + Х, A.1)
где X обозначает неизвестную систему частиц. Эксперименталь-
Экспериментально ситуацию A.1) можно реализовать при помощи детекторов,
настроенных только на регистрацию частиц с и измеряющих их
импульс. Для краткости в этой главе нигде (кроме массы тс)
индекс с при переменных (типа Е, Р, О, q, г и т. д.) ставиться
не будет. Итак, в лабораторной системе отсчета измеряется ве-
величина
d3p dPd& ' yi >
Это одночастичное распределение, или одночастичный спектр.
Как было продемонстрировано уравнениями (III. 4.20) —
(III. 4.22), (PoJcPp не является лоренц-инвариантной величиной.
Вместо этого можно определить инвариантную функцию рас-
распределения
я-^—f(p; *). A.3)
Важно себе ясно представлять, что означает инвариантность
f(p;s). Если функция /(р; s) известна в одной системе отсчета,
то можно получить ее в другой системе отсчета, в которой р
имеет значение р', просто выразив р как функцию р'. Если бы
в определении A.3) отсутствовало Е, такая процедура пересчета
одной только шкалы приводила бы к неверному результату —
требовалось бы еще добавочное умножение на якобиан [выра-
[выражение (III. 4.22)].
В процессах, дающих вклад в инклюзивное сечение <т*нкл (s),
может возникать не одна частица с, а несколько. Пусть об-
обсечение рождения п частиц сорта с. Тогда
e ? пап {s) = {Пс) ^ ап ф = ^) Of (s), A.4)
? а

238
Глава VII
где ac(s)—обычное сечение рождения частицы с, (пй) —сред-
—среднее число частиц с, образуемых в реакции а +1>-¦ с-f-X. Сле-
Следовательно, каждое событие, в котором рождается п частиц
сорта с, дает n-кратный вклад в инклюзивное сечение: <тс считает
события, а с?нКЛ — частицы.
Интегрируя соотношение A.3) по р, мы приходим к следую-
следующим формулам:
-4 (р; s) =
= <т«™ = (пс) ас (s),
A.5)
A-6)
В формуле A6) г\с обозначает ту часть полной энергии V5
в СЦМ, которая уносится частицами сорта с; она связана с
Ра
коэффициентом неупругости столкновения. Формула A.6) —
частный случай правила сумм для импульсов (упражне-
(упражнение VII. 13).
В экспериментах с неполяризованными падающими части-
частицами распределение /(р; s) не зависит от поворотов вокруг оси
пучка Следовательно, оно зависит лишь от трех существенных
переменных. Одна из этих переменных — полная энергия ]/s;
в качестве остальных двух переменных обычно используется
один из следующих пяти наборов:
1) Р и 6 — абсолютная величина и полярный угол вектора р
(импульса частицы с), см фиг. 80;
2) q и г — продольная и поперечная составляющие вектора р;
3) t — квадрат инвариантной передачи импульса от частицы
а к частице с, и sx — квадрат инвариантной массы ненаблю-
ненаблюдаемой системы, или недостающей массы.
A.7)
— (Pa
A.8)
4) ^ и v, где v — энергия той виртуальной частицы, которая
осуществляет обмен на фиг, 80,6 в системе покоя мишени; она

Инклюзивные реакции 239
связана с Sx и t равенством
V—?а ? — 2т& , A.
величина v употребляется главным образом тогда, когда ча-
частицы а и с тождественны; тогда v представляет собой просто
потерю энергии частицы а, в этом случае принято обозначать
f=—q2 (этот 4-вектор передачи импульса не следует путать
с продольной составляющей импульса р, также обозначае-
обозначаемой q);
5) т и ?, где ? — продольная быстрота, определяемая по ана-
аналогии с (II. 1.9) как
<7=m'sh?,
с A.10)
? = <chg,
где
разрешив уравнения A.10) относительно ?, получаем эквива-
эквивалентные определения
Эти пять наборов величин можно еще рассматривать в раз-
разных системах отсчета Для одночастичных спектров обычно упо-
употребляют системы отсчета, связанные с продольными преобра-
преобразованиями Лоренца, в частности системы покоя мишени, пучка
и центра масс. Соответственно мы будем отличать друг от друга
переменные qu, q* и <7П; ?м, ?* и ?п и т. д. Можно и дальше
несколько видоизменять эти наборы переменных, например упо-
употребляя г2 вместо г.
В разделах 2—4 мы рассмотрим все эти наборы переменных
и для каждого из них найдем
величину д?р\Е,
физическую область изменения при данном s,
связь с другими переменными и их линии уровня.
Полученные результаты применимы с очевидными модифи-
модификациями и к одночастичным распределениям в эксклюзивных
реакциях. Ограничения на последние гораздо более сильны, по-
поэтому физические области для эксклюзивных процессов лежат
внутри таких же областей для инклюзивных процессов Точно
так же для инклюзивных процессов обычно не определяют по-
понятие распределения по фазовому объему, однако его можно
было бы при желании определить, указав относительные веса

240 Глава VII
тех каналов с различной множественностью, суммированием ко-
которых получается переход от эксклюзивных к инклюзивным ре-
реакциям.
2. Пары переменных (Р, 6) и (q, r)
Пары переменных (Р, 8) и (q, r) удобно рассмотреть одно-
одновременно, так как одна из них выражает р в декартовых коор-
координатах, а другая — в полярных. Для начала заметим, что в лю-
любой системе отсчета
йгр _ PHPdcos 6 _ rdrdq __ йтЧд (с) ..
так что инвариантная функция /(р) —f(p, s) дается выраже-
выражением
Е d*°Е d*aЕ й*а Е d*a <оо\
dPdQ ~ 2яР2 dPd cos G ~ 2nr dqdr ~ я dqdr2 ' l^z'
Другие трансформационные свойства /следуют из формул, при-
приведенных в разделе III. 4.
а. Граница физической области [162*]
Теперь мы хотим рассмотреть ту двумерную область в пе-
переменных (Р, cosB) или (q, r), в которую попадают инклюзив-
инклюзивные события. На фиг. 80, б наименьшая инвариантная масса
ш2 + .*.. + пгп у системы X получается тогда, когда составляю-
составляющие ее частицы покоятся относительно друг друга, т. е. дви-
движутся с одинаковыми скоростями. Среди различных допустимых
каналов имеется, в частности, тот, который дает наименьшее
значение
.. +mnf. B.3)
Значение sJ"H задается однозначно квантовыми числами частиц
a, b и с. Если а = с, то обычно s%™ = ^1, а если аистов
s^HH может входить масса либо одной частицы [как в реакции
я~р —> К°Х, когда s^HH = m|], либо нескольких частиц [как в
реакции рр -+я+Х, когда s?HH = (tnn + «рJ].
В СЦМ наибольшее значение Р* не зависит от 6 и равно
. А ^, mc>sK )
Физическая область определяется неравенствами 0 ^ р* ^ ^акс
0 ^ 0* ^ п. Ё плоскости q*r физическая область оказывается
окружностью
*2 + 2</^ B.5)

Инклюзивные реакции
241
Эта область в СЦМ носит название диаграммы Пейру1)
(фиг. 81). Функция /(р) в уравнении B.2) вне диаграммы Пей-
Пейру обращается в нуль. Значение Е*, отвечающее импульсу B.4),
равно
т2с -
а при больших s
' ? макс ^ п
V«
il-
2mi
B«6)
B.7)
Физические области в других системах отсчета получаются
преобразованиями Лоренца сферы радиуса B.4) в импульсном
Фиг. 81. Диаграмма Пейру в СЦМ [уравнения B.4),
B.5)] и кривые Р*2 = q*2 + ri=%(s, sx, mf)J4s—
линии уровня sx на плоскости q*r.
Численные значения относятся к реакции рр^КХ при
>Т=4.41 ГэВ.
Ч,С
-Р* -/
пространстве с помощью формул, приведенных в разделах II. 8
и IV. 3. Физическая область в переменных (Р, 9) получается из
уравнений (II. 8.19) — (II. 8.22), а в переменных (q, r) —из урав-
уравнений (II. 8.14), (II. 8.15). В системе мишени физическая об-
область изменения (Р, В) дается неравенствами
max {О, Рм~ (cos 9м)} < Рм < Р*+ (cos 9м), B.8)
где, согласно уравнению (IV. 3.8),
РМ± (COS б") = [Plaice V^~ COS 9М±(Ef + ШЬ) X
V (с (V ? _ т2 (Р4J sin2 ftMl'/2l (? -4- (Р^J 4in2flMl~' B 91
Выражение под корнем обращается в нуль, когда
sine
м
— sin Э^акс =
,м
тсРа
B.10)
тсХ "(s, ma, trif,)
При sin бМакс > 1 предельный угол 9^акс отсутствует, и частица
с может двигаться в системе покоя мишени в любом направле-
направлении. Например, для реакций р + р—»я + Х это условие соблю-
соблюдается всегда. При sin 9MaKC ^ 1 частица с всегда оказывается
') Фактически это знакомый нам эллипс Блатона в СЦМ с нанесенными
на нем линиями равной плотности событий. — Прим. ред.

242
Глава VII
внутри конуса 0^8м<[9макс. Например, для реакции p-f-p—»
->р + Х 9"акс = 90°. Подстановка B.10) в B.9) дает значение
Рм при предельном угле 9^аКс
«
9M
8

B.11)
Примеры физических областей типа B.8) приводятся в раз-
разделе 6 данной главы; детальная классификация их формы дана
в работе [37]
В декартовых координатах (qu, r) в системе мишени диа-
диаграмма Пейру получается из уравнений (II.8.14), (П.8.15). Она
имеет вид
B.12)
где уцм и уЦМ даются соотношениями (II. 6.23), (II. 6.24). Ко-
Конечно, уравнение B.9) и уравнение B.12) представляют одну
и ту же кривую; она показана на фиг. 82.
sx-sx *
4,г
М
Фиг. 82. Диаграмма Пейру [уравнение B.12)] в системе мишени и линии
уровня sx на плоскости q^r-
Диаграмма получается из диаграммы фиг 81 преобразованием Лоренца. Численные зна-
значения относятся к реакции рр -> КХ при Vs =4,41. ГэВ.
Для исследований фрагментации мишени (раздел 5) по-
полезно знать приближенную форму уравнения B.12), справедли-
справедливую при s-+oo и конечных дм. Ее легко получить, если прене-
пренебречь (<7МJ в B.12) и разложить уцм и Р*макс IE*uaKc по степе-
степеням 1/s [формулы A1.6 23) и B.7)]. В пределе s-юо при ко-
конечном qM диаграмма Пейру (в системе мишени) сводится к
параболе, форма которой не зависит от s:
т2 т2 , ,2
тс ~~ тЬ + Г
B.13)

Инклюзивные реакции 243
Как показано в работе [10], это эквивалентно равенству
Е - <7М = {(<7МJ + г* + «*}'/• - 9м = mft. B.14)
Кривая B.13) приведена ниже на фиг. 93.
б. Линии уровня на плоскости qr
В качестве примера линий уровня, или кривых постоянных
значений, на диаграмме Пейру рассмотрим линии уровня sx, t
и ? на плоскостях q*r и q4r, линии уровня 9* и Р* на плоскости
qMr и линии уровня 0м и Рм на плоскости q*r. Линии уровня sx
только что были определены: они получаются из уравнений
B.5) и B.12), если заменить в выражении для Рмакс величину
«хин на sx. Следовательно, они являются окружностями на пло-
плоскости q*r и эллипсами на плоскости qur (фиг. 81 и 82) Кривые
постоянного t [96] проще всего получить, если вычислить t в си-
системе пучка:
*=(Ра- РсУ = К + ml~ 2ЕПта' B,15)
Следовательно, в этой системе отсчета линии уровня t оказы-
оказываются сферами:
Преобразование в СЦМ или в систему мишени превращает ли-
линии уровня в эллипсы
где [см. формулы (II. 6.25) —(П. 6.28)]
если Я ~
+ т1 — т\
2mamb
B.18)
еСЛИ ?=<7М-
Поскольку лоренц-фактор у перехода из системы пучка в си-
систему мишени порядка s (при s-*oo), линии уровня t при таком
переходе внезапно приобретают большой эксцентриситет. Эти
линии в плоскости q*r показаны на фиг. 83.
Линии уровня 0* на плоскости qMr получаются при помощи
подстановки q* = r ctg 8* в формулу (II. 8.9), что дает
у _i_ r2 + m2j/2 = r ctg Q.f B.19)

244
Глава VII
а линии уровня 8м в плоскости q*r получаются таким же спосо-
способом из формулы (II. 8.6):
+ Г2+ /пД1/' = г ctg 9м. B.20)
Это — ветви гипербол. Линии уровня Р* на плоскости qMr пред-
представляют собой эллипсы, получаемые из уравнений (Н;8.19)—
(П. 8.22) или из уравнения B.9) после замены в нем Р^акс на
Фиг. 83. Линии уровня t [уравнение B.17)] на диаграмме Пейру в СЦМ
[t = (Ра — РсJ, реакция а + b -> с + X].
?llt рП и у определены формулами B.15), B.16), B.18). Численные значения относятся
к реакции Кр -> яХ при 6 ГэВ/с.
Фиг. 84. Линии уровня />м [уравнение B.22)] на плоскости q*r (Ям — им-
импульс частицы с в реакции а + b -> с + X в системе мишени).
Численные значения относятся к реакция Кр -» лХ при 6 ГэВ/с,
Р* и sTa на sx = s + m2c — 2E*V"s (см. фиг. 12). 'Линии уров-
уровня Рм на плоскости q*r оказываются тоже эллипсами. Их урав-
уравнения получаются преобразованием Лоренца окружности
= (РМJ B.21)
B.22)
из системы покоя мишени в СЦМ; они имеют вид
На фиг, 84 показаны примеры таких эллипсов.

Инклюзивные реакции 245
Наконец, чтобы найти линии уровня ?, следует преобразо-
преобразовать их определение A.10), A.11) к виду
f _r2=m2 B.23)
и вспомнить, что знаки ? и q совпадают. Получаются гипер-
гиперболы; их можно видеть ниже, на фиг. 92, 93. Заметим, что в
уравнении B.23) нет нужды оговаривать систему отсчета ве-
величин: вместо р? можно поставить q , ? ; q , t, и т. д.
в. Влияние фактора 1/Е на d3ofd3p
Наличие фактора Е в определении d3a/dsp = f(p)/E инва-
инвариантной функции распределения /(р) приводит к некоторым
резко выраженным эффектам Эти эффекты, как и величина са-
самого фактора, зависят от выбора системы отсчета. Функция
1/Е = (Р2 -f- ml)*1!' имеет максимум при Р = 0; этот пик осо-
особенно ясно выражен, когда тс мало, например когда это я-ме-
зон. Поэтому в измеряемых распределениях при Р = 0 могут
возникать особенности, ведущие свое происхождение не от /(р),
а от фактора 1/Е. Для примера рассмотрим распределение про-
продольных импульсов w(q) и зависимость среднего поперечного
импульса {r{q)) от q. Они вычисляются по формулам [см. B.2)]
\dr{rE-lf(q,r)}
wfo) = J , B.24)
{l }
(r(q))=Ac . B.25)
где интегрирование распространяется на всю диаграмму Пейру
в соответствующей системе отсчета. На фиг. 85 показаны вели-
величины B.24), B.25), вычисленные с помощью модельной функции
f (q, r) = ехр (- 1,71 q* |) г0-3 ехр (- 6г) B.26)
для реакции рр-+я~Х при 19 Гэв/с. Чтобы проиллюстрировать
влияние множителя Е~1, показаны также распределения для
случая, когда этот множитель из формул B.24) и B.25) исклю-
исключен. Для получения таких распределений каждому событию

246
Глава VII
следует присвоить вес Е. Из фиг. 85 видно, как важен множи-
множитель Е~1. В частности, обращает на себя внимание так называе-
называемый «эффект чайки» [9] — минимум кривой (r(q)) при малых q.
4
s
I/
f
1/
/7
//0,1
' /
/
r 0,01
0,001
1
л
\ч
" V^
\ N
\ \
\l
i i •
-2
-J -2 -1
-з -г -г
о
ч
Фиг. 85. Величины w (<?) и (r(q)) [формулы B.24), B.25)], рассчитанные для
модельной функции B.26) (сплошные линии).
Штриховые линии изображают взвешенные распределения, которые получаются, если
убрать Б~1 из формул B.24), B.25).
Если брать события с весом Е, эффект чайки исчезает; впрочем,
он и тогда может возникнуть, но уже по динамическим причи-
причинам. Дальнейшие примеры такого рода читатель найдет в
упражнениях VII. 4 и VII. 51).
3. Пары переменных (t, sx) и (t, v)
а. Переменные t, sx
\Согласно определениям A.7), A.8), имеем
t=zm\ + m\ — 2E*E* +
= m,a "Ь тс — 2EaE -
cos 9м =
cos 9*
C.1)
C.2)
«m2e-f ml~2maEn, C.3)
sx = s + ml - 2(?« + mb) ?M + 2P«PM cos 9M = C.4)
=*s + ml-2^1}E'. C.5)
Отсюда можно еще раз вывести уравнения линий уровня t a sx
в плоскостях q*r и qMr, но прежние выводы были проще. Заме-
') Из фиг. 85 видно, что множитель ?"' может приводить как к пику, так
и к впадине в спектре, а может и не создавать новых особенностей, — как, на-
например, у импульсного спектра в нуле. — Прим. ред.

Инклюзивные реакции 247
няя в уравнении B.1) dP* на dsx, a dcosO* на dt, мы получаем
1 ^Т^
Следовательно, инвариантная функция f(p)s=f(t,sx) дается
выражением
Из разделов V. 5 и VI. 4 известно, что физической областью
е плоскости tsx является диаграмма Чу — Лоу, определяемая
неравенствами
G (s, t, sx, m\, m\t m2.) < О,
sx>sx™. C<8)
Можно воспользоваться формулами раздела V. 5, заменив в них
m2+m3 на '/
б. Линии уровня на плоскости tsx
Мы рассмотрим линии уровня величин Р*, 0*, Ри, q*, qM и г.
Кинематическая проблема состоит в том, чтобы в реакции
2—>2 с массами та -\- тъ —* тс + V sx связать две величины —
3-импульс частицы с и квадрат передачи sx-
Линии уровня Р* представляют собой прямые, определяемые
уравнение_м C.5). Согласно (IV. 5.18), линии уровня 0* опреде--
ляются уравнением
4sG (s, t, sx, ml, ml m*) + sin20*X (s, m\, m*) I (s, m\, sx)=0. C.9)
Точно так же из формулы (IV.4.13), положив т\-\-т\ — и —
=s+t—sx — ml, находим, что линии уровня Рш также прямые
линии
f sx = t + s - т\ - 2mbE* C.10)
с наклоном, равным единице. Линии уровня 0м получаются из
уравнения (IV. 5.21):
Am\G (s, t, sx;ml, m\, mc2)+sinW (s, m2u, m2) k (и, m2, m2)=0. C.11)
Они, как и линии уровня C.9), являются гиперболами. Чтобы
их начертить, надо, выписать в явном виде функции G и X. Для
0* = 0 и 0м = 0 уравнения C.9) и C.11) сводятся к уравнению

248
Глава VII
границы C.8). На фиг. вб^показаны примеры линий уровня
C.10) и C.11). Шкала t растянута, чтобы была видна важная
область малых |/|.
«ч
8
60
го
ю
о
30
20
10
о
30
20
10
о
-РМЧ5)
Ъм*70мрад
рр*рХ
jf»
рр~КХ
„Л1ВЯ
SK
pp-*7tX
J
Фиг. 86. Кривые постоянных углов и постоянных импульсов в системе
мишени на плоскости tsx для инклюзивных реакций рр -> сХ при 19 ГэВ/е.
Кривая 8^=0 — граница физической области.
При г = Р* sin 6* = Рм sin 9м из уравнений C.8) или C.11)
получается инвариантное представление
2 ,
m2a, mf)
Следовательно, линии уровня г в плоскости tsx также являются
гиперболами. Они показаны на фиг. 87, где видно важное свой-
свойство этих линий: при малых \t\ и больших s поперечный им-
импульс г на самом деле зависит только от /. Это можно опреде-

Инклюзивные реакции'
249
лить количественно, если по аналогии с формулой (IV. 5.29)
написать
здесь ^ даются формулами (IV. 5.31), где положено т\ = т2с и
Фиг. 87. Кривые постоянного поперечного импульса г и продольного им-
импульса q*, <7М в СЦМ и в системе мишени для реакции р+р ->¦ р + X при
19 ГэВ/с.
Этот рисунок в явном виде демонстрирует, что для этих масс малость 11 | означает ма-
малость г (обратное неверно). В общем случае t <=> t+ (t+ может быть большим, см. фиг. ti)
означает малость г. х
m\ = sx. В окрестности t& t+, беря t+— t~ из (IV. 5.31), полу-
получаем ^
Еще проще получается при s > sx, т], когда t+ « 0. При этом
t&-r*. C.15)
Равенство C.15) свидетельствует, что экспоненты от t прибли-
приблизительно совпадают с гауссовой функцией от г [см. также E.13)].
Наконец, из уравнения C.2) следует, что линии уровня q*
. представляют собой прямые
(а + т\- mf) (s + wg - sx) ^ gV' (s, m2a, mf)
*a + m\ —
2s

250
Глава VII
а из уравнений C.1) и C.10) следует, что линии уровня
являются прямыми
(ml,ml). C.17)
Такие прямые показаны на фиг. 87.
в. Переменные (t, v)
Пара переменных (t, v) отличается от пары (trsx) только
небольшой заменой
sx-t-mj
2ть
C 18)
Поэтому нет необходимости анализировать ее отдельно. На
фиг. 88 показан результат преобразования физической области
Фиг. 88. Физическая область для реакции рр -*¦ рХ при 19 ГэВ/е, полученная
переходом от фиг. 87 к плоскости vt.
реакции рр—>-рХ при 19 ГэВ/с (фиг. 87) к плоскости /, v. Все
результаты, касающиеся границы области [уравнение C.8)] и
линий уровня, можно вывести из прежних формул заменой s^
на t + m2b + 2mbv.
Переменные (t, v) чаще всего употребляются при описании
неупругого рассеяния электронов или нейтрино на нуклонах [38].

Инклюзивные реакции
251
При этом полагают та = тс (так как массой электрона -здесь
можно пренебречь), и гипербола C.8) вырождается в две
прямые
** 0
где
2/и6
(ЗЛ9)
C 20)
есть энергия налетающей частицы в системе мишени. Поэтому
W
I
;avfV-*;
"О 5 Ю
V, ГзВ
Фиг.89. Физическая область в плоскости vt при ma='mcs= 0.
Численные значения относятся к случаю Вд =10 ГэВ и т^=о,94 ГэВ. Линии уровня
и «х Даются формулами C.22), C,23).
обычно также —t заменяют на q2. Третья граничная линия
sx==sTa==ml выРажается через v следующим образом:
Физическая область, ограниченная линиями C.19) —C.21), по-
показана на фиг, 89,

252 Глава VII
Поскольку та = mc = 0, соотношение между — t = ф и
углом рассеяния в системе мишени имеет простой вид
q* = 2?М?М A _ cos 9м) = 4?« (?« - v) sin2 -у 9м, C.22)
где вместо Еш с помощью равенства C.18) введена потеря энер-
энергии v. Уравнение C.22) задает на плоскости q2v линии уровня
0м (фиг. 89); см. также фиг. 86 и уравнение C.1). Эксперимент,
проводимый при данной энергии падающей частицы и под дан-
данным углом рассеяния в системе мишени, провешивает ту часть
линии C.22), которая лежит внутри треугольника C.19) —
C.21). Согласно уравнению C.18), линии уровня sx представ-
представляют собой прямые
q — zmbv — sx -+- ть. (o.Zo)
4. Пара переменных (g, r)
Согласно A.10), A.11), соотношение между ?, q и г имеет
вид
или, что то же самое,
D.2)
где E = (q2 + r2 + m2y/*. Инвариантный дифференциал, выра-
выражаемый через ? и г,
if? = SL = dlcPr = 2»ДОг D.3)
приводит к инвариантному распределению
В разделе II. 1 отмечена аддитивность быстрот при колли-
неарных преобразованиях Лоренца. Продольные быстроты ? и
?', измеренные в двух системах отсчета, которые преобразуются
одна в другую продольным преобразованием с лоренц-факто-
ром у> отличаются друг от друга только аддитивной констан-
константой. Ее легко установить, подставив q' = y(q — vE), E' =
(E — vq) в формулу D.1): -

Инклюзивные реакции
253
где
Здесь х —
. D.6)
относительная быстрота двух систем отсчета, а
(Y + V У2 ~ 0- При преобразованиях быстрот ?м, g*
Cmi
30
Фиг. 90. Соотношение q/mc = sh ? в СЦМ и в системе мишени.
Начало координат на плоскости ?V* сдвинуто на %*, чтобы разместить 5* и ?Л1 = Е*+х*
на той же высоте. Численные значения относятся к реакции рр ->КХ при Ра=2 ГэВ/с
а
4,41 ГэВ, х*=1.5), для которой ?* > х* (т. е. в которой К-мезоны могут дви-
мэкс
гаться в системе мишени в любом направлении). Все импульсы измерены в едини-
единицах т'с; х дается формулой D.7), а ?макс=аг ch [(s + m^ — Sj?HH)/2mc У«~]-
и ?п, измеренных в трех стандартных системах отсчета СМ,
СЦМ и СП, согласно (IL 6.23) — (II. 6.28), получаем
D.7)

254
Глава VII
Приближенные равенства здесь написаны для случая
Щ.
Соотношение q = m'esht, между q и ? показано на фиг. 90,
как в СЦМ, так и в СМ. Наклон кривой равен
Следовательно, интервал Aq вблизи q = О (или Е = т'Л отве-
отвечает интервалу Л? = Aqlm'c, в то время как вблизи верх-
верхнего кинематического предела <7макс он отвечает Д?
Фиг. 91. Распределение по q (фиг. 85), преобразованное к продольным бы-
/ стротам t,.
Это означает, что в пределе s->oo переменные q и X, дополняют
друг друга в том смысле, что если брать на оси ? вблизи % = 0
события, покрывающие одну и ту же долю интервала измене-
изменения ?> то они будут занимать все меньшую часть области изме-
изменения q. Это продемонстрировано на фиг. 91, где изображено
распределение по С, следующее из модельной функции B.26)
(упражнение VII. 7). Фиг. 91 следует сравнить с фиг. 85.
Чтобы прикинуть, какие значения продольных быстрот встре-
встречаются на практике, заметим, что, согласно D.1) и D.7), пре-
пределы изменения ?* и ?м даются неравенствами
макс
с+^кс)
\
D.9)
где Рмакс и ?макс определяются формулами B.4) и B.6); быстро-
быстро?п определена подобным же образом (упражнение VII. 9),
та ?п

Инклюзивные реакции 255
Следовательно, для больших s, отбрасывая члены порядка s~l,
имеем
-In
Заметим, что пределы изменения ?* зависят только от тс и что
полный интервал изменения любой из быстрот ? равен ln(s/mjj).
Тем самым для реакции а + р-*п + Х, какова бы ни была на-
налетающая частица а (при начальных импульсах, не превышаю-
превышающих 30 ГэВ/с), имеем
-4,0<Г<4,0,
-1,9<?м<6,1,
а для реакции а + р -> р + X
Пределы изменения ? зависят также от сорта налетающей ча-
частицы а.
Физическая область в плоскости ?*г получается преобразо-
преобразованием кривой Р* = Рмакс' задаваемой уравнением B.5). Это
частный случай линий уровня Р* на плоскости ?*г, определяе-
определяемых уравнением
они показаны на фиг. 92. Если взять быстроту ? в любой другой
системе отсчета, то соответствующая область получится парал-
параллельным сдвигом на величину относительной быстроты %. На
этих рисунках ясно видно различие в поведении ? и q в окрест-
окрестностях G = 0
В физике космических лучей используется переменная, близ-
близко связанная с быстротой ?. В этой науке трудно определять
импульсы частиц, и обычно приходится ограничиваться только
угловыми распределениями. При представлении эксперименталь-
экспериментальных данных принято заменять полярный угол 0 другой перемен-
переменной, которая просто преобразуется из системы мишени в СЦМ
и при этом растягивает ту область близ 6м = 0, где сконцен-
сконцентрирована основная масса событий.

256
Глава VII
Согласно (II. 8.30), 6м и 0* связаны соотношением
. ам v* sin 6*
D.14)
где v* — скорость испускаемой Частицы в СЦМ. Когда оцм и v*
близки к единице, мы получаем
, «м.. "sin в'
YUM(l+cose*) уЦМ g 2 •
Следовательно, переменные
связаны соотношением
им = и* — In
e,
u* _
2ть
D.15)
D.16)
D.17)
до тех пор, пока с* достаточно близко к единице. Конечно, со-
соотношение D.17) неверно в центральной области, показанной
Чм/тс
Фиг. 92. Преобразование линий уровня ?* при переходе от плоскости ?*г
к плоскости q*r я flMr.
Численные значения относятся к реакции рр -> ЯХ при ys=4Al ГэВ/с, %*=*!,&•
на фиг. 93. Из равенств daM = 2cfGM/sin 2вм и cfw* = dQ*[sin в*
видно также, что ым и ы* растягивают области малых 6м и 8*.
Свяжем между собой ым и ?м. Для этого заметим, что, когда
6 = In
^-«~ln-|-
§
|-«-lntg-§-. D.18)

Инклюзивные реакции ' 257
Таким образом, мы получаем
Следовательно, соотношение D.17) эквивалентно соотношению
?М = ? + In (Vs 1>пь)[сы. D.7)]. Но равенство D 7) было точ-
точным (в пределе больших s)> а соотношение D.17) применимо
только к ограниченному классу событий.
5. Кинематика масштабной инвариантности и фрагментации
Динамические понятия масштабной инвариантности, или
скейлинга, [42] и фрагментации [10] существенным образом вклю-
включают в себя некоторые допущения о поведении инвариантного
распределения f(q,r;s) при s—>oo. Мы проанализируем здесь
кинематические факты, являющиеся важной частью упомянутых
теорий.
Вместо того чтобы пользоваться продольными переменными
q и I (выражаемыми в тех или иных системах отсчета), иногда
удобно ввести для них масштаб с тем, чтобы интервал их изме-
изменения был всегда один и тот же. Это не имеет никакого отноше-
отношения к динамике: то же самое мы делаем, когда чертим чертежи
разного масштаба на одном и том же листе бумаги. Мы знаем
полный интервал изменения q [см. B 5) и B 12) и упражне-
упражнение VII. 3] и I [см. D 9) и упражнение VII. 9] в любой системе
отсчета. Поэтому нетрудно ввести новые переменные, которые
меняются всегда в одном и том же интервале. Поскольку точ-
точные выражения для пределов довольно громоздки, а поведение
переменных q и ? нас интересует главным образом при боль-
больших s, выражение для пределов можно упростить. Верхний
предел |<7| изменения продольных импульсов можно прибли-
приближенно положить равным импульсу налетающей частицы и опре-
определить величину х:
после чего использовать приближенные выражения для импуль-
импульсов налетающих частиц при больших s
¦y/s s s
Пределы E.2) действительно достигаются при s-+oo, так что
пределы изменения х становятся равными —1^х*^1,
0 ^ хм ^ 1 и —1 ^ хи ^ 0. Вводить масштаб на шкале бы-
быстрот не очень интересно, так кач полный интервал изменения
просто растет пропорционально In (s/m2c) [неравенства D.10)].
9 Зак 517

258
Глава VII
Вводя его, надо учесть, что разности быстрот трансляционно
инвариантны, и в любой системе отсчета
где ?а и ?ь — быстроты частиц а и b в этой системе, т. е.
E.4)
При больших $ имеем ?а — ?& = In (sfmamb), а с учетом не-
неравенств D.10) получаем
In (mc/mb) ^ ^ ^ ln(s/mbmc) ,_ -.
\n{s/mamb) ^ьаЬ*1'* \n{s/mamb) ' ^°'0'
Асимптотически 0 ^ 1аъ ^ 1, хотя приближение к пределу про-
происходит по логарифмическому закону. Скорость приближения
Фиг. 93. Области фрагментации мишени (ФМ) и падающей частицы (ФЧ) и
центральная область (Ц) при s->go (q — некоторая конечная величина)
Точная форма областей несущественна, требуется лишь,^ чтобы импульсы внутри них
оставались при s -» <х> конечными. Граничные кривые получаются из формул B.13).
к пределу становится пропорциональной s~\ если использовать
неравенство D.10) и написать
t; + in (уТ/те) (х о\
In (s/m*)
^по аналогии с E 2).
Рассмотрим теперь три области, определенные на фиг. 93,—
центральную область (IX), область фрагментации мишени (ФМ)
и область фрагментации падающей частицы (ФП). Теория пре-
предельной фрагментации изучает предел функции f(q,r;s) в этих
трех областях при s—>оо и при фиксированном г. Предпола-
Предполагается, что в двух взаимоисключающих случаях, при фрагмента-
фрагментации мишени и при фрагментации падающей частицы, функция
f (q, r; s) стремится к отличным от нуля пределам:
f (</м, г; s)-»/(<?M, г; со) > 0 (?м в области ФМ),
f (<7П. r,8)-+f {qn> г, оо) > 0 (qn в области ФП).

Инклюзивные реакции 259
Чтобы уяснить взаимоотношение между этими областями, рас-
рассмотрим при г = О интервалы изменения q в разных системах
отсчета (q — произвольное конечное число):
от2 — т2
%т " < <?м < q (ФМ),
-q<q*^q (Ц), E.8)
(ФП).
Их поведение при s->oo в СЦМ и в системе мишени показано
на фиг. 94; там же показаны интервалы E 8) в зависимости
от быстроты ?м. Чтобы вывести уравнения кривых на фиг. 94,
подставьте конечные точки в неравенствах E.8) в соответ-
соответствующие уравнения преобразований (раздел II 6), но оставьте
в них только главные по s члены:
?[«»+(•-?)*¦].
ггМ/
2тать
??¦ = Up _j_ mf\'l2\ так как г = 0] Заметим, что для правильного
преобразования точек близ q" = ±-Р^,акс надо ввести поправоч-
поправочные члены и в те параметры преобразований, которые опреде-
определяются СКОрОСТЬЮ (Рмакс/^макс^ 1 — 2тЦ s). ФиГ. 94, в ПОЛу-
чается из фиг. 94, б простым пересчетом согласно формуле
?м = ln[(?M + qu)/mcl Мы приходим к следующим заключе-
заключениям:
В СЦМ расстояния между областями ФМ, Ц и ФП (пе-
(переходные области) на оси продольных импульсов, а так-
также сами размеры областей ФМ и ФП увеличиваются
пропорционально ]/s.
В системе мишени расстояние по оси продольных импуль-
импульсов между областями ФМ и Ц и размер области Ц про-
пропорциональны ys, а расстояние между областями ФП
и Ц и размер области ФП пропорциональны ^

260
Глава VII
щ
'V
//
I//
в
Фиг. 94. Качественное поведение интервалов E.8), т. е. областей ФМ, ФП и
и Ц (фиг. 93) при s -> оо; а — в СЦМ, б — в системе мишени, в — на оси
быстрот gM.
Здесь q — некоторая конечная величина, а А+=? ±?=^?2 + m^Y^±?. Чтобы получить
точные Физические границы областей, мы выбрали г=0, но та же картина остается при
произвольном фиксированном г.
На оси быстрот ? (в любой из трех систем отсчета) раз-
размеры всех трех областей постоянны, а расстояние от
области ФМ до области Ц и расстояние от области Ц
до области ФП пропорциональны In s.

Инклюзивные реакции 261
Чтобы выразить все это в терминах переменных х* и Xм
[формулы E 2)], возьмем достаточно большое значение s и пре-
преобразуем области на фиг. 94, а, б в области, показанные на
фиг. 95. Поскольку фиксированный импульс q произволен
. ФМ , , Ц , , «РЯ ,
I i i i i i i
-/ -jU -Eg 0 2а А_ +/
mb H W ть
а.
ФМ U ФП
| l l | | д,
1/5 l/s mi
Фиг. 95. Областл ФМ, ФП и Ц при конечных, но больших s в масштабных
, переменных х* и хк.
Число q то же, что на фиг. 93, Ь±=(ч2 +n?c Y'2 — я- Увеличивая q, можно сделать А._
сколь угодно малым.
(фиг. 93), его можно выбрать достаточна большим, чтобы вели-
величина Х_—Е — q7air?cJ2q оказалась достаточно малой. Таким
образом, мы приходим к выводам:
Области ФМ. и ФП в терминах jc* асимптотически расши-
расширяются до интервалов — 1 ^ jc* ^ 0 и 0^л*^1 соот-
соответственно, а область Ц стягивается в точку х? = 0.
Область ФП в терминах хм асимптотически переходит в
интервал 0 < хш ^ 1, а области Ц и ФМ стягиваются
в точку хм = 0.
Если ввести масшта'б на оси быстрот ?, то на основании
фиг. 94, в можно сделать следующий вывод:
В терминах ?аь или | [формулы E.3) и E.6)] области
ФМ, Ц и ФП стягиваются к точкам 0, '/г и 1 соответ-
соответственно, а переходные области заполняют собой интер-
валыО^С^'/зи 7г <?<;!.

262 Глава VU
Выразим продольные импульсы через масштабную перемен-
переменную x = x*. Используя E.9), имеем в интервале 0 < х ^ 1
(область ФП)
а в интервале —I ^ х < 0 (область ФМ)
Следовательно, в обеих областях <?п и qu зависят только от х,
и зависимость 'от s входит только через комбинацию 2q*j л/ s.
Гипотеза предельной фрагментации E.7) в сочетании с этим
фактом приводит к выводу, что в пределе s—> оо инвариантное
распределение f(q,r;s) обращается в функцию одного х:
f(q*,r;'s)-+f(x,r), E.12)
если —1 ^ х < 0 или 0 < х ^ 1. Мы выявили тем самым ки-
кинематическую связь между гипотезой фрагментации мишени и
падающей частицы, с одной стороны, и гипотезой скейлинга,
или масштабной инвариантности E.12), с другой. Анализ того,
что происходит в центральной области х = 0, потребовал бы
дальнейших рассуждений динамического характера.
Заметим, наконец, что, подставив в уравнения C.3) и C.5)
мы можем приблизительно представить t и sx в виде
_5_ +„**•)_._. E.13)
8х = аA-жГ). E-14)
Эти весьма полезные собтношения справедливы при
«*>2(m^ + r2)l/j/Vs- Соотношение E.13) по существу совпа-
совпадает с уравнением C.14),

Инклюзивные реакции 263
6. Кинематика метода недостающих масс •
Данный раздел посвящен применению результатов, полу-
полученных в разделе 2, к методу недостающих масс [98, 99]. Этот
метод заключается в том, что масса mx = -\fsx частицы или' си-
системы частиц X вычисляется не по импульсам системы ча-
частиц X или ее продуктов распада, а по импульсам других уча-
участвующих во взаимодействии частиц [154*]. К вычислению не-
недостающих масс прибегают при кинематической идентификации
реакций со вторичными нейтральными частицами в пузырьковых
камерах. В экспериментах со счетчиками метод недостающих
масс используется для измерения спектра масс. Например, де-
детектируя в инклюзивной реакции п~ + р —>¦ р + Х~ только один
протон в конечном состоянии, можно предпринять поиски тя-
тяжелых отрицательно заряженных бозонных резонансов.
Когда в реакции а + b—>с + Х известны ра и ръ, 4-импульс
системы X определяется импульсом рс. Из четырех компонент рс
азимутальный угол ср роли не играет, а остальные три компонен-
компоненты определяют Рх, Qx и пгх. Для некоторых конфигураций мас-
масса nix малочувствительна к одной из этих переменных или к ее
комбинациям с остальными переменными. Тогда достаточно,
идентифицировав частицу с, измерить одну переменную точно и
одну грубо, чтобы определить пгх. Для искровых камер это по-
позволяет упростить электронику запуска. Недостатком метода
«одной переменной» является ограниченность той кинематиче-
кинематической области, которая может быть так исследована. Мы разбе-
. рем здесь два применения этой идеи: а) наблюдение частицы
с под предельным углом (метод пика в якобиане) и б) наблю-
наблюдение ее под нулевым углом.
Недостающая масса в системе мишени (СМ) вычисляется
по формуле C.4) или по равнозначной ей формуле
тх = т1 + т1 + т1 + 2Еа (ть — Б) — 2mbE + 2PJP cos 9. F.1)
По-прежнему здесь всюду (кроме тс) опущен индекс с; в этом
разделе мы будем работать только в СМ. Скорость изменения
тх при изменении Ра, Р и cos 9 дается производными
тхдтх Ра [ть — Е)
дРа = Та
т^дт
~дР
т"дт" F.4)
X^JL ^а-Г '«Ь_)?_ + ра cos 0) F 3)
Положения, в которых масса тх становится нечувствительной
к изменениям Р или 9, легко увидеть, рассматривая поверхно-
поверхности уровня тх в пространстве р (фиг. 96). Эти поверхности

264
Глава VII
представляют собой эллипсоиды вращения в переменных q ъ. г
B.12). У детектора, расположенного так, как на фиг. 96, а,
Выделяемые
импульсы и
Фиг. 96. Область предельного
угла (а) и область нулевого
угла (б) в эксперименте по изме-
измерению недостающих масс в реак-
реакции а + b -> с + X (</м и г — со-
составляющие импульса р, изме-
измеряемого в системе мишени).
мала производная по Р (dmxfdP), а у детектора на фиг. 96,6
мала производная по 0 (дгпх/dQ).
а. Наблюдение под предельным углом
Пусть теперь s и Шх на фиг. 96, а фиксированы; построим
зависимость cos 0 от Р, даваемую уравнением F.1) или B.9)
1
0,8
0,6
0,4
«ь
/
0,8
0,6
0,4
г г 1 г
Р, ГэВ/с Р, ГэВ/с
а 6 ¦>
Фиг. 97. Зависимость cos 6 от Р при нескольких значениях недостающей
массы т^.
Реакция я*р -»• рХ* а—при 6 ГэВ/с, б—при 8 ГэВ/в [98].
(в виде, разрешенном относительно Р). Она показана на фиг. 97.
Угол 0 имеет максимум (a cos 0 — минимум), когда д cos Q/dP =
= 0. Решая, получаем для sin 0мако выражение B.10), а для

Инклюзивные реакции 265
значения Р или Е при 8=9мако — выражение B.11). Если напра-
направить под углом бмаьо детектор, который выделяет область им-
импульсов и углов, показанную на фиг. 96, то мы найдем значение
тх, не проводя точных измерений импульсов.
Название «метод пика в якобиане» обусловлено тем, что ве-
величина dcos 0*Id cos 0, которая представляет собой якобиан пе-
перехода a»(cos0) к йу(cos в*) [формула (III.4 14)], обращается
в бесконечность при 0 = 0Макс- Это хорошо видно на фиг. 12.
Сравнение фиг. 97, а и б показывает, что при увеличении
импульса пучка «в поле действия» спектрометра попадают
большие массы тх без изменения 0 (и, следовательно, t). Это
позволяет просмотреть в неизменных условиях весь спектр масс.
Согласно уравнению F 4), увеличение Ра требует улучшения
углового разрешения (при данном разрешении недостающих
масс).
б Наблюдение под нулевым углом
• Если детектируемая частица летит вперед, то тх зависит
главным образом от Р и лишь во вторую очередь — от 0
(фиг. 96,6). Экспериментальный интерес представляют как
ветвь малых импульсов P~(Q), так и ветвь больших импульсов (
Р+@) (на фиг. 96,6 рождение резонансов в задней полусфере
не показано). Располагая детектор так, как показано на
фиг. 96, б, можно определить тх с помощью одних только из-
измерений импульсов, без точных измерений углов. Недостатки
метода нулевого угла связаны с тем, что детектор приходится
ориентировать в направлении, близком к направлению падаю-
падающего пучка.
7. Многомерные распределения; корреляции
Обобщая естественным образом реакцию A.1), перейдем
к рассмотрению инклюзивной реакции
a + b-*Cl+ ... +сА + Х. G.1)
Определим связанную с ней инвариантную функцию распреде-
распределения k частиц
Для простоты предположим,' что все частицы с* в G.1) одного
сорта (с). По аналогии с A.4), A.5) мы получим
s)
= t"(»-
(«(n-l)...(«-?+l))ac(s),
G.3)

266 Глава VII
где crj и ас имеют тот же смысл, что и в A.4), а угловые
скобки ( ) обозначают среднее значение величины, стоящей
в них. Иными словами, интегралы от fh по всем переменным
дают факториальные моменты (п...(п — k-\- \)) распределения
по множественности.
Кинематически процесс G.1) совпадает с процессом 2 —* k -f- I
при условии, что одна из масс в конечном состоянии рассмат-
рассматривается как переменная инвариантная масса системы X. Сле-
Следовательно, для неполяризованных начальных частиц функция
Фиг. 98.
fk при фиксированном s зависит от 3& — 1 существенных пере-
переменных. Число переменных быстро растет с ростом k, и мы
здесь встречаемся со знакомой нам проблемой роста числа пе-
переменных и усложнения способов их представления.
Рассмотрим в качестве примера реакцию a + b-*Ci + C2 + X
(фиг. 98). Здесь Ырьрг) зависит от пяти переменных (при за-
заданном s); можно взять 2 + 2 переменных, описывающих Ci и с2
порознь, и добавить еще одну переменную для описания связи
между ними. Так мы приходим к следующим возможным набо-
наборам переменных:
(Pi, б„ Pit e2, р, • ра), G.4)
(<7i. г и Яь г2, г, • г2), G.5)
(*i, s2> t2, slt sx), G 6)
(Си П, Ь, r2, ri • г2), - G.7)
где используются обычные обозначения компонент импульсов,
быстрот и углов, а величины, входящие в G.6), показаны на
фиг. 98. Для получения других наборов переменных можно
прибегнуть к масштабным преобразованиям того же сорта, как
в разделе 5. Затем можно проанализировать форму физических
областей и их преобразований, как это мы делали в разделах
2—5 для одночастичных спектров. В итоге мы получим сложные
формулы (упражнение VII. 14).
В общем случае распределение k частиц нельзя получить из
распределений меньшего числа частиц вследствие наличия кор-
корреляций между ними. Эти корреляции могут быть проанализи-
проанализированы при помощи функций корреляции ск(р\, ..., рй), опре-
определяемых так, что они обращаются в нуль при отсутствии кор-

Инклюзивные реакции 267
реляций. Общий формализм здесь берется из теории реальных
газов [57], где корреляции возникают из-за взаимодействия ме-
между молекулами газа. Определяем
G.9)
f8(l, 2, 3) = c8(l, 2, 3) + c2(l, 2)c1C)+c2(I, 3)c,B) +
и т. д. (здесь 1 обозначает р! и т. д.). Очевидно, что в отсутствие
корреляций, т. е. когда
Mi, •••. *)=М0--- МЬ), G.П)
имеем
е*A, -.., ft) = 0, fe>2, G.12)
и наоборот. Ненулевые ch означают наличие корреляций. Это
делает коэффициенты Съ. удобным средством анализа корреля-
корреляций На практике вследствие большого числа переменных /при-
/приходится прибегать к интегралам от ch.
Есть один тип корреляций, который всегда присутствует в
реакциях между элементарными частицами. Это кинематиче-
кинематические корреляции, обусловленные сохранением 4-импульса В од-
одних областях фазового пространства они существенны, в дру-
других—нет. Если, например, импульсы двух частиц, рожденных
в двухчастичной инклюзивной реакции, малы по сравнению с их
максимальными значениями, то они находятся далеко от гра-
границы фазового пространства; физически ясно, что кинематиче-
кинематические корреляции окажутся здесь несущественными. Общего пра-
правила, позволяющего отделять динамические корреляции от
кинематических, не существует. Мы рассмотрим только три
типичных примера.
Пример 1. Рассмотрим сначала эксклюзивную реакцию,
а + Ь—>1+... + и и углы фн3 = arc cos (г,-г;/г,г3) между по-
поперечными импульсами. Эти углы инвариантны при продольных
преобразованиях Лоренца Вычислим среднее значение (cos <$г)
как функцию множественности п Ясно, что в отсутствие корре-
корреляций (cos фи) = 0 При га = 2 cos ф12 = — 1, так как хх и,г2
полностью коррелированы вследствие того, что r\ -f- г2 = 0. Для
больших п, усредняя квадрат X г* = 0, получаем
Пусть все частицы одинаковы. Тогда

268
Глава VII
Предположим далее, что распределения "абсолютных величин
поперечных импульсов г, и cos cp^- не зависят друг от друга.
Т { ) {J{ )
Тогда {ггг} cos ф„) = (ri>2(cos ф„), так что
Я
GЛ5>
где k = (rf}l(rty ~^\. Конечно, этот результат верен лишь в не-
некотором приближении, но дает иллюстрацию того, как возни-
возникают корреляции, обусловленные кинематикой, и как они исче-
исчезают при п-*оо. Такие кинематические корреляции поперечных
импульсов подробно проанализированы в работах [13, 158*].
Фиг. 99. Предельный вид (при
s-> oo) физической области изме-
изменения переменных q{, q2 в инклю-
инклюзивной реакции а + b -> Ci + С2+Х.
Обчасти А и А' запрещены законом
сохранения 4 импульса, оба продольных
импульса не могут быть одновременно
и велики, и параллельны друг другу.
Для инклюзивной реакции a + b—>Ci + С2 + X среднее зна-
значение (cos 612) равно взвешенной сумме средних вида G.15)
для разных п. Ясно, что кинематические корреляции остаются.
Пример 2. Рассмотрим теперь два продольных импульса <7i
и q2 в какой-нибудь эксклюзивной реакции и примем во внима-
внимание наблюдаемые ограничения на поперечные импульсы (раз-
(раздел VI. 5). При п = 2 <7i — —Я2 (в СЦМ) и корреляция пре-
предельно велика. При п = 3 анализ, проведенный в разделе VI. 6
(фиг. 76), показал, что события лежат в эффективно одномер-
одномерной области плоскости <7i<72, т. е. корреляции имеются, но они
слабее, чем при п ~ 2. Ясно, что эти кинематические корреля-
корреляции остаются при любом п, но с увеличением п они убывают.
В каждом реальном случае ситуация осложняется многими ины-
иными эффектами, наблюдаемыми в спектрах продольных импуль-
импульсов, так что выделение динамических эффектов связано с боль-
большими трудностями (см., например, [165*, 166*, 169*]).
Примерз. Рассмотрим инклюзивную реакцию a-f-b—>
—* Ci + Сг + X. Физическая область в плоскости q* q\ для боль-
больших s показана на фиг. 99 (упражнение VII. 14, см. также

Инклюзивные реакции 269
фиг. 76). Области А и А' нефизические; двухчастичное распре-
распределение /г там тождественно обращается в нуль из-за сохране-
сохранения 4-импульса. Но в этих областях А и А' вполне возможно
образовать произведение /i(l)/iB). Поэтому в областях А и А'
с2A,2) = — fi(\)fiB) имеет отрицательное значение просто
вследствие наличия кинематических корреляций.
Упражнения
VII. 1. Определите пределы изменения продольного импульса
<7М в системе мишени и изучите их зависимость от s.
VII. 2. Когда частица с из реакции a-f-b —»с + Х может
двигаться в любом направлении в системе мишени @ ^ 9м ^
=^180°), а когда — только в переднем конусе (О ^ 9м ^ б^акс)
в пределе s —> оо? Чему равно 9"акс?
VII. 3. Как выглядит диаграмма Пейру в системе мишени
(т. е. физическая область на плоскости q r)?
VII. 4. Пусть в СЦМ f{q, r) = exp[-b(ml + q2 + r2yq, a
Р"маК(, столь велико, что физическую область можно считать про-
простирающейся до бесконечности (f быстро спадает). Покажите,
что при этом
-„<,)- ехр (-*>?„)
{г О/)) = El ехр (ЬЕ0) К, (ЬЕ0), Ео = (У + ml)'1'.
Определите {r(q)) при q-^-oo)n q-+0 и изучите зависимость
{r(q)) от тс.
VII. 5. Вычислите w(q) и {r(q)) [формулы B.24), B.25)],
если в СЦМ f(q,r)= 1. Здесь надо воспользоваться точным ви-
видом физической области.
VII.6 Рассмотрите физическую область реакции а + Ь—>
—*с + Х на плоскости t, и = (рь — рсJ- Покажите, что если s,
|f|, | и | > т\, то a) ttnvsm'*, б) ? = xh Щи/t).
VII. 7. Вычислите de/dt, для данной функции f (q, r).
VII. 8. Докажите, что уравнения D.7) совместны, т. е. %П*==
= х —х-
VII. 9. Чему равен полный интервал изменения ?П (продоль-
(продольной быстроты в системе падающей частицы) ?
VII. 10. Пусть распределение да (cos 9*) изотропно, т. е.
ш(соэ 0*)=='/г F*—угол в СЦМ между а и с в реакции
а + Ь—>-с + X). Каково распределение продольной быстроты ?*
в СЦМ?
VII. 11. Какое соотношение имеется между угловыми рас-
распределениями ш(cos 0м) и O)(cos0*) и распределениями по пе-
переменным и* и мм в D.16)?

270 Глава VII
VII. 12. В двойном разложении инклюзивных распределений
по неприводимым представлениям группы 0A,2) естествен-
естественными переменными являются импульсы Ра = mashi\a, Ръ =
= ть sh ць и угол а между ра и р& в системе отсчета, где рс = О
Покажите, что они связаны с переменными ?, г соотношения-
соотношениями [134]
тс sh тH sh т]ь sin a = г sh %n,
где Iм — продольная быстрота частицы с в СМ, а %п — относи-
относительная быстрота систем падающей частицы и мишени [см.
D.7)].
VII. 13: Докажите, что
где /с — функция распределения частиц сорта с, рождающихся
с импульсом р в реакции a-f-b->c-f X Суммирование прово-
проводится по всем сортам частиц, а — полное сечение взаимодей-
взаимодействия для а + Ь.
VII. 14. Определите физические области инклюзивной реак-
реакции a + b—>-Ci + c2 + X в плоскостях q\q\ и 1\?2. Как связаны
эти области с ПФП-диаграммой (раздел VI.6)?

Глава VIII
КИНЕМАТИЧЕСКИЕ ОТРАЖЕНИЯ
1. Общее описание
Полное дифференциальное описание процесса а + b -*
—>1 + ... + я при помощи квадрата матричного элемента
7"(jcb лг2 xN) требует задания N = 3n — 4 переменных. Воз-
Возникновение любой неоднородности в Т(х{) при фиксированных
%2, • • • > xN в этих условиях должно объясняться вариациями ма-
матричного элемента. Но неоднородности в проинтегрированных
распределениях, например в ш(л:1) = \ dx2 ... dxNT, могут по-
появляться и от других причин. При проецировании данных на
ось х\ распределение w(X\) зависит также от пределов измене-
изменения Х2, ..., хп, а не только от поведения Т как функции этих
переменных. В частности, встречаются ситуации, когда неодно-
неоднородности, наблюдаемые в каком-либо распределении w(x), це-
целиком обусловлены влиянием какой-то другой кинематической
переменной у. Это явление именуется кинематическим отраже-
отражением.
Главная причина, по которой необходимо следить за кине-
кинематическими отражениями, заключается в том, что они могут
привести к ложным эффектам. Иногда странный ход зависимо-
зависимости экспериментальных результатов от некоторой переменной х
приводит нас к выводу, что матричный элемент также сильно
зависит от х. Но при более внимательном рассмотрении обнару-
обнаруживается, что этот эффект можно объяснить кинематическим
отражением динамической структуры, зависящей совсем от дру-
другой переменной. В качестве примера можно привести ложные
пики в спектрах эффективных масс или ложные провалы, пики
и плато в распределениях передач импульсов.
Кинематические отражения возникают во всех случаях, ко-
когда проводится интегрирование по фазовому пространству. Об-
Общее правило минимизации этого эффекта состоит в том, чтобы
пользоваться дифференциальными распределениями по как
можно большему числу переменных. Совершенно свободен от
отражений только анализ явлений в C/г — 4)-мерном фазовом
пространстве. Если по каким-либо переменным проведено инте-
интегрирование, то приходится определять подынтегральное выра-
выражение (квадрат матричного элемента) из результатов интегри-
интегрирования (из некоторого распределения), что, конечно, невоз-

272 Глава VIII
можно без дальнейших допущений. Но «полностью дифферен-
дифференциальный» анализ возможен лишь в процессах 2—*2 и 2—>3
(размерности 1 и 4). ,Для более сложных реакций его трудно
себе представить из-за ограниченности как экспериментальной
статистики, так и возможностей анализа данных; чтобы иссле-
исследовать такие реакции, необходимо иметь достаточные сведения
о кинематических отражениях.
Для практических целей важно знать, какие из основных
переменных могут являться причиной сильных кинематических
отражений. Мы рассмотрим ниже а) отражения, обусловленные
обрезанием поперечных импульсов (раздел 2), и б) отражения,
обусловленные резонансами (раздел 3).
2. Влияние обрезаний поперечных импульсов или 4-передач
Наблюдаемое на опыте обрезание поперечных импульсов
(раздел VI. 5) оставляет от всего фазового пространства лишь
небольшую часть, и это оказывает влияние на все реакции.
Проекции этого поперечно-усеченного фазового пространства на
некоторые оси, т. е. распределения по переменным, отклады-
откладываемым вдоль этих осей, сильно отличаются от тех же проекций
всего фазового пространства. Чтобы изучить отражения обреза-
обрезаний поперечных импульсов, ограничимся простейшим случаем
реакции 2—>3. Более сложные реакции мы рассматривать не
будем, поскольку качественно они ведут себя примерно так же.
Будем различать три типа обрезаний:
1. Обрезание поперечных импульсов
T = Tlft(rt). ' B.1)
2. Периферическое обрезание одной из передач типа
Т = eat>, a > 0. B.2)
3. Мультипериферическое обрезание, например
T = eatl+bti} aj ft>o." B.3)
Из условия B.3) вытекает B.1), так как если t\ и fe близки
к своим максимальным значениям, то г\ и г3 малы (см. раз-
раздел 'VII. 3 и фиг. 87). Из сохранения импульса следует тогда
малость Гг. Из обрезания B.2) следует, что мало только Г\\ по-
поэтому это обрезание нереально; тем не менее полезно посмот-
посмотреть, к каким следствиям оно приводит. Сначала мы попы-
попытаемся определить, как обрезания B.1) — B.3) отражаются на
распределениях инвариантов S\ и $%,

Кинематические отражения 273
В разделах VI. 5, 6 уже объяснялось, что усечение попереч-
поперечных импульсов B.1) приводит к тому, что фазовое пространство
реакции 2-*3 при больших s становится одномерным. При этом
любая динамическая величина зависит только от одной пере-
переменной (в разделе VI. 6 такой переменной был угол со). По-
Построив зависимость этой величины от со, можно сразу увидеть,
какие ее значения совместимы с поперечно-усеченным фазовым
пространством. Например, на фиг. 77 показана зависимость sb
s2, t\ и t2 от со. Сразу видно, что Si и s2 не могут одновременно
достигать своих максимальных значений. Действительно, для
любых su Sj (включая также s3 = s3i) справедливо соотношение
sts^T- У= 1,2,3. B.4)
Это довольно слабое ограничение. Оно также будет выполнено,
если потребовать, чтобы /j было близко к нулю [т. е. выполне-
выполнения условия B.2) наряду с B.1)]. Однако если потребовать,
чтобы t\ и t2 одновременно были малы [условие B.3)], то, как
видно из фиг. 77, это приведет к более сильным ограничениям
на Si и s2: пропорциональное s увеличение большого Si означает
малость s2. Иными словами,
SiS2 ^ const •s. B.5)
Чтобы представить B.4), B.5) в более конкретном виде, полу-
получим распределения по S\ и s2, проинтегрировав Т по t\, t2. Для Т
из B.1) это может быть сделано только численно, поэтому мы
рассмотрим лишь условия B.2) и B.3) — для них необходимые
интегрирования уже проведены в гл. V.
Рассмотрим сначала периферическое обрезание одной пере-
передачи типа B.2). Из диаграмм Чу — Лоу в переменных s2, t\
(фиг. 41, 42) можно понять, как обрезание по t\ отражается на
распределении по s2. Давая большой вес событиям, для которых
^i максимально, мы видим, что если массы таковы, как на
фиг. 41, то увеличивается вероятность малых значений s2, а если
массы такие, как на фиг. 42, то наиболее вероятными оказы-
оказываются большие значения s2. Точная величина эффекта полу-
получается из формулы (V. 11.8) для d2a/dsids2 и формулы (V. 5.21)
для da/ds2. Некоторые результаты численных расчетов величи-
величины do/ds2 приведены на фиг. 100; мы видим, как сильно этот
эффект зависит от масс. Он создает пики, похожие на резонанс-
резонансные, но они либо очень широки, либо соответствуют очень боль-
большим значениям s2.
Чтобы получить приближенное выражение для da/ds2 из
(V. 5.21), предположим, что массы в реакции даются соотноше-
соотношением ц/пь ~> цт2т3, так что диаграмма Чу — Лоу похожа на

274
Глава VIII
фиг. 41. Тогда из_формулы (IV. 6.6) для реакции 2-*2 с мас-
массами цть-* nVs2 получаем
если s^>s2, m\, ц2. Подставляя это в (V. 5.21) и пренебрегая
ехр(а/Г), получаем при (т2 + т3J <s2<s
da aii \s0 — mi)
__ » exp [ * v 2s2 b) j. B.6)
Следовательно, если только s% не находится вблизи границ фа-
фазового пространства, величина do/ds2 спадает по закону Гаусса
0,15 -
0,05 -
1 1
а
- 19ГэВ/с ^Х>?->
а=12
Д
i fi
i i i
1
i i
6
1 1
а =4
$j Л -
¦
- 0,3
- 0,1
10
20
SO
40
вг,ГэВг
SO
Фиг. 100. Нормированное распределение w (s2), получающееся из квадрата
матричного элемента exp (ati) при значениях а, указанных на рисунке.
а—реакция рр-> ряД при 1-9 ГэВ/с, б—реакция с массами 5+1-> 1 + 1+2 при
s=60 ГэВ' (фиг. 42).
(фиг. 100,а). Однако параметр a\i?/s2 при s-*oo быстро убы-
убывает, чем объясняется большая ширина пика на фиг 100, а Мы
приходим к заключению, что периферическое обрезание одной
передачи вряд ли можно спутать с резонансом.

Кинематические отражения
275
Обратимся к мультипериферическим обрезаниям B.3). Их
отражения получаются из распределения d2o/ds\ds2 [формула
(V 118)] Представление об их общем поведении проще всего
получить из формулы (V 11.25), справедливой в мультиред-
Жевском пределе (V. 11.19). Мы видим, что d2oldsids2 ведет
себя как ^
d2a Г аЬ ( <, SiSS \1
ехР [^Ъ И - -Г")J •
иными словами, экспоненциально падает, когда параметр
B.8)
возрастает. Поэтому^ отражения мультипериферического обре-
обрезания передач весьма сильны. Заметим, что, когда обрезана
$i sz=const•$
Фьг. 101 «Угловой эффект» на фигуре Далица (качественная картина), соз-
создаваемый квадратом матричного элемента Т = exp (att + bt2), проекция на
ось si дает эффект Декка.
На диаграмме ПФП такое обрезание пгренасетяет область в) «* 120° (фиг 76 я 78) Дру-
Другие мыслимые MSMibTHnepHijepHqecKHe обрезания (фиг 78) населяют углы, Обозначенные
СООТЕРТСТВ1ЮЩИМИ значениями <»
только одна из передач (аЬ = 0), ведущий член в аргументе
B 7) исчезает и остаются только низшие члены, подобные чле-
членам в B 6) На плоскости Sis2 линии уровня ? представляют со-
собой гиперболы, симметричные относительно линии Sj = s2, и \
возрастает при перемещении в любую сторону от начала коорди-
координат (фиг 101) Вследствие обрезания B 3) на диаграмме Да-
Далица остаются только события, населяющие область близ начала

276 Глава VIII ,
координат. И обратно, если мы видим, что события лежат пре-
преимущественно у начала координат, то для объяснения этого
достаточно предположить, что в матричном элементе проведено
обрезание поперечных импульсов Концентрация событий близ
одного из углов диаграммы Далица — это типичное кинематиче-
кинематическое отражение, называемое угловым эффектом [29]. Те же
утверждения справедливы для точной формулы (V. 118). Одна-
Однако следует иметь в виду, что на экспериментальных диаграммах
Далица по крайней мере до s < 100 Гэв2 угловой эффект маски-
маскируется резонансными сгущениями либо дифракционной диссо-
диссоциацией Но это означает лишь, что матричный элемент не есть
exp (at\ + bt2), и наши рассуждения к нему не относятся.
Если найти проекции распределения фиг 101 на оси sit s2, то
мы увидим, что распределения по sb s2 при малых Si и s2 имеют
узкие пики, подобные резонансным Эти пики представляют со-
собой отражение мультипериферического матричного элемента
B 3). В этой форме отражение известно под названием эффекта
Декка [36]
Если вместо обрезания B 3) применить любое из обрезаний,
показанных на фиг 78, и при этом потребовать малости \tai| и
\tbk\ (i Ф k = 1, 2, 3) при большом s, то распределение собы-
событий на диаграмме Далица сосредоточится в гом углу, где st] и
Sjk ЦФ^Фк) одновременно малы, a stk велико (фиг. 101).
Центр диаграммы Далица во всех случаях остается пустым, от»
носительная ширина населенной области пропорциональна 1/VS
при больших s, так как ширина всей диаграммы пропорциональ-
пропорциональна s, а ширина распределения d2ajds1ds2 пропорциональна Vs»
Ситуация здесь совершенно аналогична той, которая наблюда-
наблюдалась для ПФП-диаграммы на фиг. 76; разница состоит лишь в
том, что на диаграмме Далица мы теряем знак продольного им-
импульса, поэтому при однократном обходе ПФП-диаграммы
(фиг. 76) диаграмму Далица мы обойдем дважды Эти замеча-
замечания подытоживают сущность механизма отражения на пло-
плоскость SiS2 обрезаний поперечных импульсов
Вследствие важности углового эффекта,опишем его еще по-
другому. Границей физической области является Д4 = 0 [урав-
[уравнение (V 9 3)], а когда компоненты поперечных импульсов малы,
то из формулы (II 7.17) следует, что А\ мало Следовательно,
события из поперечно-урезанного фазового пространства оказы-
оказываются где-то близ границы физической области Если теперь
обратиться к обрезанию по th t2 и выбрать фиксированные tu t2,
то физически допустимые точки на плоскости Si, s2 будут ограни-
ограничены кривой А4 = 0, выраженной как функция si и s2 (раздел
V. 9,в). Построив кривую Д4 = 0, легко убедиться (фиг. 102),
что при малых \ti\ и \tt\ Si и s2 не могут быть одновременно

Кинематические отражения
277
большими. В мультиреджевском пределе (V. 11.19) это утвер-
утверждение можно выразить даже в явной количественной форме
(V. 11 23). Так мы опять приходим к угловому эффекту.
Обрезание поперечного импульса сильно сказывается не
только на инвариантных массах, но и на других переменных.
Мы рассмотрим здесь, как видоизменяются при мультипери-
ферическом обрезании распределения угловых переменных
2Sr
го
8
15
10
ю
is го
$г, ГэЕг
Фиг. 102. Кривая А4=«0для реакции рр->ряД при 19 ГэВ/е, построенная
при фиксированных значениях t\ и t2, указанных на фигуре.
3, фь), (e«23,
( ) («, Я;) и «г (гл. V). Все они (кроме ю2) равно-
равномерно распределены по фазовому объему, а о>2 имеет пик в
точке я при больших s. Мы делаем лишь качественные утвер-
утверждения, истинная величина эффектов увеличивается, когда уве-
увеличиваются значения а и Ь в формуле B.3). Мы приходим к
следующим выводам:
распределение косинусов угла Джексона Эьз2 приобре-
приобретает пик при +1, так как, согласно (V. 7.5), значение +1
отвечает малым |^|;
распределение углов Треймана —' Янга щ остается рав-
равномерным, -поскольку обрезание B.3) не содержит зави-
зависимости от Si;

278 Глава Vlll
1123
в распределении полярных углов спиральности 6!з
возникает пик при —1, так как, согласно (V. 1.8), значе-
значение — 1 (или +1 для 8^>23) отвеч
вом эффекте доминируют малые
ние —1 (или +1 для 8^23) отвечает малым s^ а при угло-
в распределении азимутальных углов спиральности Я,]
появляется пик при 0°, так как, согласно (V. 8.9), ?ц fa 0°
отвечает малым значениям 11% \;
в распределении толлеровых углов ю2 пик при jt стано- *
вится менее выраженным.
Заметим, в частности, что экспериментально наблюдаемый
пик при п в распределении толлеровых углов не является отра-
отражением поперечно-усеченного фазового пространства; обрезание
поперечных импульсов только ослабляет пик
3. Влияние резонансов
Резонансы характеризуются
брейт-вигнеровской формой зависимости от их инвариант-
инвариантной массы,
особым распределением углов вылета, определяемым спи-
спином резонансов и механизмом их рождения.
Как уже говорилось выше, эти свойства могут отразиться на
других переменных Поскольку имеется лишь малое число хо-
хорошо выраженных настоящих резонансов, отражения резонансов
не представляют такого интереса, как отражения обрезаний по-
поперечных импульсов Как и прежде, мы не можем дать анализ,
который исчерпывал бы все типы отражений, вместо этого мы
проанализируем несколько типичных случаев
а. Влияние одного резонанса на другой
Рассмотрим реакцию типа 2 -> 3, в которой в каждой из ко-
конечных двухчастичных комбинаций появляется по резонансу.
Примером является реакция я+р-*я+я°р (фиг 103) Ясно, что
каждое из распределений st: должно содержать вклады пиков
в распределениях двух других инвариантных масс Чтобы разо-
разобраться в этих резонансах, надо рассмотреть полное распределе-
распределение по всей диаграмме Далица. Но и этого может оказаться
недостаточно, так как резонансные полосы могут перекрываться.

Кинематические отражения
279
Чтобы проанализировать, что именно происходит в областях
пересечения, следует еще восстановить те две переменные t\ и t2,
по которым было произведено интегрирование, когда строилось
распределение на диаграмме Далица Иными словами, надо
вернуться к предельно дифференциальному представлению со-
событий в четырехмерном пространстве Например, каналы
я+р->л0Д++ и я+р->-р+р на диаграмме Далица перекрываются;
Фиг. 103. Диаграмма Далица для реак-
реакции яр -> ялр с перекрывающимися ре-
резонансными полосами.
правильный способ их анализа состоит в том, чтобы когерентно
сложить их амплитуды и из этой суммы вывести распределение
на диаграмме Далица. Пытаться разделить каналы при помощи
одной только диаграммы Далица бессмысленно.
б Влияние углового распределения резонансов
Резонансы характеризуются определенными угловыми рас-
распределениями, как правило более симметричными, нежели в от-
отсутствие резонанса Например, двухчастичный канал распада
может иметь в распределении углов вылета пик для направ-
направления вперед и пик для направления назад, однако если две
частицы не являются продуктами распада резонанса или (что
приводит к тому же) если имеется несколько перекрывающихся
резонансов, то следует ожидать только пика для направления
вперед В этом случае пик для направления назад может при-
приводить к появлению какой-либо неожиданной особенности в
других распределениях [11]
Пусть, например, имеется резонанс в системе 13 в реакции
а + Ь-*1+2 + 3 и пусть распады этого резонанса создают
пики при cos Э*1 = ± 1, где б1 —соответствующий угол Джек-
Джексона (раздел V. 6). Если этот резонанс к тому же рождается
периферически, то две системы координат — Джексона и спи-
ральности — не очень отличаются друг от друга [формула
(V. 6.1)], так что распределения полярных углов спиральности

280 Глава VIII
также будут иметь пики при 0 и 180°. Но последние распре-
распределения прямо дают распределения на диаграмме Далица (см.
конец раздела V. 3), и на обоих концах резонансной полосы по-
появляются скопления точек (фиг. 104). Тогда в распределениях
Si и S2, следующих из фиг. 104, проявляется структура, напо-
напоминающая резонанс. Можно ли объяснить таким механизмом
наблюдаемую на опыте резонансоподобную структуру? На этот
Фиг. 104. Резонанс в системе 13, рож-
рождаемый периферическим образом.
Распределение углов Джексона имеет пики
при 0 и при 180°; оно создает на диаграмме
Далица максимумы вблизи обоих концов резо-
резонансной поюсы. Проектируя их на оси Si
и s2, мы получаем на этих осях максимумы,
напоминающие резонансные.
вопрос можно ответить лишь путем анализа данных в фазовом
пространстве предельно большой размерности. Подробнее эта
проблема рассмотрена в работе Бергера [11].
в. Влияние резонансов на инклюзивные реакции
Понятие инклюзивных реакций не уточняет, является ли на-
наблюдаемая частица продуктом распада резонанса или же ро-
рождается в каком-то смысле непосредственно. Если в реакции
рождаются резонансы, то, очевидно, следует ожидать, что они
влияют на инклюзивные распределения. Хорошим примером та-
такого влияния является модель Ена — Бергера [142], объясняю-
объясняющая наблюдаемые резкие пики вперед в одночастичных инклю-
инклюзивных распределениях поперечных импульсов. Согласно этой
модели,
эти пики возникают, когда наблюдаемая частица являет-
является продуктом распада периферически рождаемого резо-
резонанса с малым энерговыделением Q;
эти пики особенно остры, когда масса наблюдаемой ча-
частицы мала, например если это пион.
Первое свойство гарантирует малость распадного импульса
в системе покоя резонанса, а второе — малость поперечного им-
импульса легкого продукта распада. Подробное объяснение и оцен-
оценка эффекта содержатся в работах [142, 148*].

Глава IX
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ
ПО ФАЗОВОМУ ПРОСТРАНСТВУ
1. Введение
Важной вычислительной проблемой в физике элементарных
частиц является расчет интеграла
р1~...-РпГГ. (l.i)
Здесь квадрат матричного элемента Т есть функция 3/г — 4 не-
независимых кинематических переменных. Область интегрирова-
интегрирования V представляет собой либо всю физическую область, либо
ее часть. Если V — полное фазовое пространство, то 1п, делен-
деленное на плотность потока, дает полное сечение реакции. Диффе-
Дифференциальные сечения получаются интегрированием по подпро-
подпространствам полного фазового пространства.
Как и выше, практически важно сначала устранить б-функ-
ции в A.1) и привести /„ к виду
In = \ dOpn (Ф) Т (Ф) = J йФЫ (Ф), A.2)
v
где Ф — совокупность координат точки в (Зп—-4)-мерном фа-
фазовом пространстве, получающемся после выбора той или иной
совокупности кинематических переменных (несколько примеров
такого выбора приведены в предыдущих главах). Область интег-
интегрирования V — это та же область, что и в интеграле A.1), но
теперь она выражена в переменных Ф. Подынтегральное выра-
выражение /п(Ф) = рп(Ф)Т(Ф) есть произведение квадрата матрич-
матричного элемента Т(ф) на плотность в фазовом пространстве
Рп(Ф). которая получается перемножением нескольких множи-
множителей, возникающих при заменах переменных (якобианы) и при
интегрировании б-функций.
Основной помехой в вычислении интеграла A.1) является,.
конечно, его многомерность. Далее, хотя 4-мерная б-функция
имеет простой вид, пределы интегрирования обычно получаются
сложными и зависящими друг от друга. При п = 2 задача три-
тривиальна, но уже при п = 3 появляются четыре нетривиальных
переменных. Да и сама область V может оказаться такой, что

282 Глава IX
не удается найти какой-либо совокупности переменных, через
которые просто выражается V.
Обычно применяемые способы оценки интеграла A.2) делят-
делятся на следующие три класса.
1. Прямое численное интегрирование. Это наиболее непосред-
непосредственный способ: по каждой переменной последовательно про-
проводится численное интегрирование (по правилу Симпсона, по
формуле интегрирования Гаусса и т. п). Расчет многомерного
интеграла A 2) сводится к вычислению /П(Ф) в некоторой сово-
совокупности точек, координаты которых фиксируются одномерными
квадратурными формулами. Если интервал интегрирования по
каждой переменной разделен на k— 1 частей, то возникающая
в (Зп — 4) -мерном пространстве решетка состоит из &3n~4 узлов.
Поскольку к приходится выбирать довольно большим (^ 10) >
то /г3™ очень быстро растет с п. Поэтому прямое интегрирова-
интегрирование возможно только для п — 2 или 3 (если не считать некото-
некоторых частных случаев); для больших п время счета слишком
велико. Факторизуемый матричный элемент иногда удается про-
проинтегрировать при помощи рекуррентных соотношений (раз-
(раздел 2 этой главы) ').
Можно также брать значения функции в точках многомер-
многомерного пространства, не образующих регулярную решетку. Однако
задача наилучшего выбора этой решетки не решена (ясно, что
этот выбор зависит ог вида функции) [149*, 150*].
Метоз прямого численного интегрирования был первым ме-
методом, примененным для численной оценки интеграла A.2) в
случае Т = 1 [2, 81, 102, 123].
2. Метод Монте-Карло. Поскольку мы не знаем, как выби-
выбирать узлы многомерной решетки для быстрейшего вычисления
интеграла, по-видимому, имеет смысл перейти к другому край-
крайнему случаю — выбирать их наугад. Этот метод, называемый
методом Монте-Карло, в настоящее время является самым эф-
эффективным, разносторонним и практически удобным методом
оценки интеграла A2). По этой причине мы рассмотрим его
более подробно, чем другие методы2).
Метод Монте-Карло широко используется в различных отрас-
отраслях прикладных наук и в то же время включает в себя немало
глубоких проблем чисто математического характера. Общее
описание метода можно найти в книге Хаммерсли и Хэндском-
') Таким способом были составлены таблицы фазовых объемов наиболее
часто встречающихся систем частиц [84] — Прим ред
2) На русском языке метод Монте Карло в применении к реакциям, про-
протекающим с элементарными частицами, называют еще моделированием реак-
реакций или розыгрышем случайных звезд. — Прим. ред.

Численные методы интегрирования 283
ба [56] и в обзоре Гальтона [54] (см. также [151*—153*]). В фи-
физике элементарных частиц этот метод был впервые применен Це-
рулюсом и Хагедорном [28] для вычисления нековариантного
фазового объема. Копылов [78—81] впервые использовал кова-
риантные свойства формулы A1). Применяемый в настоящее
время метод по существу совпадает с предложенным Копыловым.
Для достижения разумной точности метод Монте-Карло тре-
требует розыгрыша очень большого числа случайных точек (по
крайней мере порядка 103). Он занял видное положение среди
остальных методов только с появлением быстрых ЭВМ и стан-
стандартных программ, доступных любому физику. Наиболее широ-
широко используемая стандартная программа моделирования назы-
называется FOWL [61, 62] Она написана Джеймсом на основе рабо-
работы Линча и Рауболда [95]. Метод моделирования в физике
элементарных частиц постоянно совершенствуется, его эффек-
эффективность в решении тех задач, которые чаще всего встречаются
на практике, растет [20, 22, 46, 47, 72, 82, 85, 119, 167*, 168*].
3. Статистический метод Если Г факторизуется:
.gn(Pn), A.3)
то можно воспользоваться хотя и частным, но весьма мощным
методом оценки интеграла A.1). Мы будем называть этот метод
статистическим, так как он похож на метод, используемый в
статистической физике Применяется и другое название — «ме-
«метод седловой точки»^Этот метод дает величину интеграла A.1)
с точностью до l/Vn> так что точность возрастает с ростом п
в противоположность всем другим методам.
Условию факторизуемости удовлетворяет также случай
Г = 1, для которого впервые был применен статистический ме-
метод [27, 43, 74, 92, 94] Люрса и Мазур [94] дали особенно изящ-
изящную интерпретацию этого метода при помощи центральной пре-
предельной теоремы теории вероятностей [70]. Они также нашли
первый поправочный член и показали, что получающиеся ре-
результаты численно весьма точны. Кривицкий [87, 88] рассмотрел
случай, когда каждое gt в уравнении A.3) зависит только от
величины поперечного импульса частицы i. Этим способом в
работе [66] был оценен интеграл по продольному фазовому объе-
объему; влияние сохранения момента количества движения изуча-
изучалось в работах [69, 129, 131]. В работах [75—77] метод применен
к случаю, когда подынтегральное выражение является вектором
или тензором.
2. Прямое численное интегрирование
Иногда интеграл по фазовому пространству вычисляется
прямыми методами численного интегриоования. Мы коснемся

284 Глава IX
здесь вычисления интеграла в случаях а) трехчастичных конеч-
конечных состояний и б) факторизуемых матричных элементов, когда
можно воспользоваться рекуррентными соотношениями.
i
а. Трехчастичные интегралы
Трехчастичные конечные состояния описываются (если нет
спина) четырьмя существенными кинематическими переменны-
переменными. Расчет распределений по одной или двум переменным, тре-
требующий только трехмерного или двумерного интегрирования,
а иногда также и расчет полного сечения точнее и экономичнее
всего вести при помощи многомерных формул Ньютона — Котса
или Гаусса. Существуют также специальные методы вычисления
двумерных и трехмерных интегралов [55] Недостаток такого
подхода заключается в необходимости составлять для каждой
задачи свою отдельную программу расчета на ЭВМ.
Различные способы выбора кинематических переменных для
процесса а + Ь—»1+2 + 3 следуют из интегралов, приведенных
в гл. V. Какое из этих выражений выбрать, зависит от свойств Т
и от свойств тех величин, которые мы хотим рассчитать Заметим
в этой связи, что в выражении (V. 9.2), куда входят пере-
переменные Si, S2, t\, t2, множитель (—^)~'1г на границах интегриро-
интегрирования расходится, а сами эти границы даются громоздким усло-
условием А4 = 0. Даже если Т достаточно быстро спадает на грани-
границах фазового пространства, из-за последнего условия лучше
брать формулы, в которые входит не А4, а какой-нибудь угол.
б. Рекуррентные соотношения
Если матричный элемент в каких-то переменных фактори-
зуется, так что интеграл по фазовому пространству может быть
выражен рекуррентным соотношением (гл. VI), то численное
интегрирование требует не kn, a nk точек (п — число измерений,
k — число интервалов, на которые разбивается каждый одномер-
одномерный интеграл) [84*, 120]. При этом расчет значительно уско-
ускоряется. Для примера рассмотрим кратко случаи
(обозначения объясняются в гл. VI). Подчеркнем, что условия
факторизуемости A.3), служащие для применения статистиче-
статистического метода расчета, могут отличаться от выписанных только
что разложений матричного элемента.

Численные методы интегрирования 285
Если матричный элемент равен единице, то Rn{M2n) полу-
получается из R/i-i\Mn-\) с помощью рекуррентного соотношения
Rn(M2n)= [ dMn-iKn(Mn,Mn-i)Rn-i(M2n-i). B.1)
Явный вид ядра /(„ расписан в формуле (VI. 2.10). Чтобы вы-
вычислить Rn\Mn), для каждой переменной типа Мп выбирают
дискретную совокупность из k точек. Тогда Rn получается из ^2
при помощи п — 2 умножений на матрицу & X &> т. е. требуется
примерно (ft— 2)k2 умножений и сложений. Элементы матриц
суть произведения /(„ на коэффициенты соответствующей фор-
формулы интегрирования (например, формулы Симпсона). Этот ме-
метод применим и в более общем случае, когда матричный эле-
:мент реакции имеет вид II f%(Ml,Ml_i), что, впрочем, редко
- t
"встречается на практике.
Если п велико, проще вычислять Rn \М2„) статистическим ме-
методом (раздел 6). С другой стороны, рекуррентные соотношения
имеют то преимущество, что распределения Мп-\ получить не-
немногим более сложно, чем одно значение Rn-\ Ow«-i). Действи-
Действительно, если мы начинаем с функции Ri(Mf), определенной
е интервале [Хг ^ М2 ^ Мп — цп-и то после п — 3 матричных
умножений получим Rn-\ (M2a-.i) во всем интервале (xn_i ^
< Mn_i < Мп — пгп.
В качестве второго примера рассмотрим
Согласно соотношению (VI. 2 26), интеграл /„, получаемый ин-
интегрированием Т по всему фазовому пространству, может быть
записан в рекуррентном виде
К (К Q = \ \ dMn_xdtn_xKn (Мп, /.; tn_,) In_x (Ml_v tn_{),
iC» = TA-1/'(Al2n,fe,mS)/n-i(^-1), " B.2)
h{M\, 4) = f Я-'ЧМ!, h,
(обозначения те же, что и выше). Вычисления по формуле B.2)
проводятся так же, как по формуле B.1). Существует довольно
сложная программа таких вычислений, составленная для ЭВМ
[120]. Преимущество этого метода состоит в том, что он позво-
позволяет эффективно генерировать распределения по s или на всей
диаграмме st Чу — Лоу.

286 Глава IX
3. Правила интегрирования методом Монте-Карло
Гораздо более распространенным способом интегрирования
по фазовому пространству является метод Монте-Карло. Это
объясняется следующими его особенностями.
а. Скорость сходимости метода Монте-Карло (в области его
применимости) выше, чем у других методов. Погрешность убы-
убывает пропорционально 1/|/Л/или даже еще быстрее (N — число
точек, в которых вычислено подынтегральное выражение).
б. Метод является весьма общим, т. е. в принципе может
быть эффективно применен ко всем матричным элементам,
встречающимся на практике.
в. Метод позволяет одинаково легко строить как одно рас-
распределение, так и несколько: все гистограммы строятся по одним
и тем же событиям. Легко получить также сложные распределе-
распределения (типа распределений углов Треймана — Янга).
г. Программы Монте-Карло для ЭВМ можно сделать очень
простыми, доступными любому работнику, не получившему спе-
специальной подготовки.
д. В методе Монте-Карло мы обрабатываем моделирован-
моделированные события в точности так же, как при работе с реальными
событиями, полученными, например, в пузырьковой камере.
Следовательно, для обработки моделированных событий можно
пользоваться программами обработки экспериментальных дан-
данных.
Пользуясь в физике элементарных частиц методом Монте-
Карло, мы вычисляем подынтегральное выражение /п(Ф) не в
детерминированной последовательности точек, а в случайной их
совокупности. События разыгрываются случайно с данной плот-
плотностью ё(Ф) в фазовом пространстве, и для каждого из них
вычисляется ^(Ф). Событием здесь называется набор из п век-
векторов импульсов pi, ..., ри (в какой-нибудь системе отсчета),
удовлетворяющих сохранению 4-импульса и лежащих на массо-"
вой поверхности p2t — m2lti=l, ..., п. Плотность ?(Ф)—это
обычная плотность вероятности; вероятность того, что случай-
случайное событие попадет в бесконечно близкую окрестность точки Ф
фазового пространства, равна ?(Ф)^Ф (Ф — элемент объема
фазового пространства). Координатами точки Ф могут быть
любые наборы За—4 переменных. Мы будем пользоваться ин-<
вариантными массами и углами, но можно применять и компо-
компоненты импульсов.
Количество событий, которое нужно разыграть, чтобы полу-
получить разумный результат, зависит от эффективности используе-
используемого метода моделирования. Эффективность может быть опре-
определена как величина, обратно пропорциональная количеству
труда, затраченного на получение результата с данной стати-

Численные методы интегрирования
287
стической точностью. Качественно эффективность тем выше, чем
лучше ?(Ф) аппроксимирует ту функцию /п(Ф). которую нужно
проинтегрировать. В лучших случаях современные программы
моделирования позволяют ограничиться несколькими тысячами
событий
Заметим, что с точки зрения розыгрыша событий имеется
три рода плотностей.
1. Идеальным генератором случайных событий является, ко-
конечно, сама реакция. Целью большинства опытов как раз и яв-
является определение того, с какой плотностью в фазовом про-
пространстве рождаются частицы.
2. Любая модель реакции требует указания матричного эле-
элемента или плотности событий в фазовом пространстве. Часто
Фиг. 105. Интегрирование методом
Монте-Карло функции f(x) на интер-
интервале @, 1) (л? — случайная точка, m —
точное значение интеграла).
эти матричные элементы оказываются очень сложными функ-
функциями (например, в дуальных моделях), так что не видно воз-
возможности разыгрывать на современных ЭВМ события с такой
плотностью.
3. Программы Монте-Карло генерируют события с некоторы-
некоторыми определенными плотностями ?(Ф), которые обычно являют-
являются простыми функциями Ф. В выборе ?(Ф) есть немало свободы,
но следует помнить, что одна и та же плотность g(<$>) может
оказаться пригодной для одной задачи и неэффективной для
другой. Следовательно, при составлении моделирующих про-
программ общего употребления необходимо так оптимизировать
?(Ф), чтобы эти программы могли решать как можно больше
задач.
В дальнейшем нашей основной целью будет объяснить, как
вести случайный розыгрыш событий и какие типы giG)) встре-
встречаются на практике. Для этого рассмотрим сначала простой од-
одномерный интеграл (фиг. 105):
m
= \dxf{x).
C.1)

288 Глава IX
(На практике, конечно, к одномерным интегралам метод Монте-
Карло не применяется, так как обычные численные методы схо-
сходятся гораздо быстрее.) Обозначим численное значение интег-
интеграла т; оно совпадает со средним значением функции f(x) на
интервале @, 1). Подобным же образом можно определить дис-
дисперсию о2 функции f(x):
\x[f{x)-mf. C.2)
Она служит мерой флуктуации функции f(x) в интервале @, 1);
чем больше а2, тем более f(x) флуктуирует относительно своего
среднего значения.
Предположим теперь, что мы умеем разыгрывать случайные
числа rk, О < rh < 1, k = 1, 2, ... так, что каждое значение ме-
между 0 и 1 одинаково вероятно, т. е. гк равномерно распределены
в интервале @, 1). В дальнейшем rk всегда будет обозначать
случайную переменную такого типа. Числа rh лежат в основе
любого метода Монте-Карло; очень важно добиться, чтобы
ЭВМ, которая отнюдь не является случайным устройством, гене-
генерировала такие числа. По этому вопросу мы просто сошлемся на
специальную литературу, уже упоминавшуюся выше. Разыграем
теперь N чисел г\ rN и вычислим подынтегральное выраже-
выражение в этих точках. Тогда т аппроксимируется средним арифме-
арифметическим т всех N чисел f(rk):
N
Это оценка по Монте-Карло интеграла C.1). Если прибегнуть
к терминологии, принятой при моделировании реакций с эле-
элементарными частицами, разыгранные значения rh надо называть
«событиями», a f(rh)— их весами.
Поскольку rh — случайные переменные, т — также случай-
случайная переменная, так что при розыгрыше другой совокупности rh
появляется и новое значение т. При данном N значения т рас-
распределяются так, что математическое ожидание т как раз рав-
равно требуемому значению т интеграла C.1). Отклонения т от
наиболее вероятного значения измеряются величиной
N
tf(rft)-^2' C-4)
которая аппроксимирует выражение C.2) в том же самом смыс-
смысле, ё каком т аппроксимирует т. Выражение C.4) измеряет
отклонение веса f(rh) от оцениваемой величины Ж, а не от

Численные методы интегрирования 289
истинного значения т. Это приводит к увеличению дисперсии в
N/{N— 1) раз. Тогда можно показать, что величина а, опреде-
определенная выражением C.4) с N — 1 в знаменателе, имеет матема-
математическое ожидание, равное о.
Формальное доказательство высказанных утверждений выте-
вытекает из центральной предельной теоремы теории вероятностей.
Предположим, что случайные переменные хг, i—\, ..., N, рас-
распределены так, что их средние значения равны тг, а дисперсии
равны а2. При весьма общих условиях распределение суммы
х = (Х] + ... -\-xN)/N для больших N в этом случае должно
приближаться к нормальному распределению
N (х; т, а) = -i=- e-<*-""W C.5)
N N
со средним rtf={\IN)Yutni и дисперсией o2=(l/N2) ][]cri В дан-
1=1 i=i
ном случае случайными числами являются значения /й = /(гь);
они распределены так, что их среднее равно т, а дисперсия а2.
Следовательно, для больших N т сходится к т, а дисперсия
распределения in есть (l/N)o2. Значение о2, конечно, нам не
известно, но ст2 в выражении C.4) служит оценкой а2. Следова-
Следовательно, результат интегрирования по Монте-Карло может быть
представлен в виде
^ C 6)
Из C.5) следует, что при повторных интегрированиях по методу
Монте-Карло вероятность того, что результат отклонится от
истинного значения т, например, более чем на одно или два
стандартных отклонения aj-\jN, равна 32 или 4,5% соответ-
соответственно. Заметим, что соотношение C.6) ничего не говорит о
"том, какова погрешность отдельного расчета по методу Монте-
Карло.
Пример. Разберем случай, когда функция плотности вероят-
вероятности F(in) вычисляется в явном виде. Пусть f(x) = x, так что,
согласно C.1) и C.2), т = У2 и а2 = Vi2- Значение т, вычис-
вычисленное по методу Монте-Карло, согласно соотношению C 3)
равно
i
т. е. составляет 1/N часть от суммы N случайных чисел, равно-
равномерно распределенных между 0 и 1. Плотность вероятности
F(m) получить величину in в этом случае может быть вычислена
1/г10 Зак. 517

290
Глава IX
стандартными методами теории вероятностей. Действительно,
F(m) есть интеграл
C.7)
где g(r) равно 1 в интервале 0 <Zr < 1 и равно 0 в остальных
точках. Интеграл вычисляется с помощью преобразования
Лапласа:
ft
где (х)+ = (х-{-\х\I2 = xQ(x). Кривая, представляющая F{m),
изображена для различных значении N на фиг. 106. Она состоит
Фиг. 106. Иллюстрация сходимости интегрирования методом Монте-Карло.
Интегрируемая функция f (x)=x, кривые показывают как с увеличением JV нормирован-
нормированные плотности вероятности оценок интеграла по методу Монте Карло приближаются
к точному значению 0,5.
из сшитых кусков iV различных многочленов степени N — 1 в
интервалах @, 1/jV), (AJN,2/N) и т. д. Можно видеть, как F(m)
приближается к гауссовой кривой C.5) с пиком при '/а (точное
значение т интеграла) и как пик сужается с ростом N. Это дает
представление о том, как увеличивается точность интегрирова-
интегрирования по методу Монте-Карло с ростом N.
Обобщение формулы C.3) на большее число измерений ин-
интуитивно очевидно:
1 1 N
4
Здесь случайные точки (rifc), ..., г^) равномерно распределены
в /(-мерном гиперкубе. Раньше мы разыгрывали подынтеграль-
подынтегральное выражение в интервале, теперь — в гиперкубе. Если какие-
то пределы интегрирования сами зависят от некоторых л:,-, их

Численные методы интегрирований 291
можно специально преобразовать к пределам 0 и 1 и уже после
этого применять формулу C.9.). Погрешность дается формулой,
аналогичной C.6). В частности, она пропорциональна ll-s/N не-
независимо от того, какова размерность /С.
4. Уменьшение статистической погрешности
Статистическая погрешность описанного выше грубого рас-
расчета методом Монте-Карло зависит от двух факторов: от диспер-
дисперсии а2 интегрируемой функции и от количества случайных
ючек, в которых берется эта функция. Простейший путь умень-
уменьшения погрешности состоит в увеличении N. Погрешность про-
пропорциональна \\л/N, так что для ее уменьшения в десять раз
приходится увеличивать N в сто раз. Поэтому точность, которой
можно достичь путем увеличения N, ограничивается имеющим-
имеющимся временем на ЭВМ.
Существуют многочисленные более эффективные способы
'меныпения разброса результатов интегрирования методом
^1онте-Карло. Большинство этих способов уменьшения разброса
"(сновано на следующих простых идеях: либо видоизменяется
чсходная постановка задачи так, чтобы функция /П(Ф) после
этого меньше варьировала, либо меняется распределение слу-
случайных событий так, чтобы оно перестало быть полностью слу-
случайным и равномерным. Некоторые способы, как мы увидим,
ложно сформулировать исходя из любой из этих идей. Мы опи-
опишем те способы, которые находят применение в физике элемен-
элементарных частиц Искусство моделирования достигло ныне замет-
юй изощренности, и если вы встретитесь с проблемой, выходя-
выходящей за рамки описанных здесь стандартных процедур, лучше
)братиться к специалисту.
Во-первых, прибегнув к квазислучайным числам, можно
'скорить сходимость метода настолько, что статистическая по-
погрешность станет пропорциональной 1/N. Утверждение, что по-
погрешность в общем случае ведет себя как 1 /л/N, основано на
предположении, что используемые случайные числа действи-
действительно случайны или что они «выглядят случайными» (выраба-
(вырабатываемые ЭВМ псевдослучайные числа). Работая с псевдослу-
псевдослучайными числами, мы не имеем представления, какое число вы-
выкинет машина в следующий раз. Но можно также пользоваться
случайными числами, которые в целом распределены равномер-
равномерно, но строго коррелированы между собой- гг+х зависит от г%
(квазислучайные числа). Например, последовательность -^\~л +
Т'?'~8'?'?' ""¦ 'составленнаяочевидным образом, представ-
представляет собой последовательность квазислучайных чисел. Пользо-
Пользование ими гарантирует при конечных N равномерный розыгрыш
»/2Ю*

292 Глава IX
подынтегральной функции. Можно доказать, что в этом случае
погрешность спадает как 1/N. Тем самым мы делаем шаг в об-
обратном направлении от подлинной случайности к методам пря-
прямого численного интегрирования, в которых положение точек
заранее предопределено Различие между псевдо- и квазислу-
квазислучайными числами практически весьма важно; последние пред-
предпочтительней (ими и пользуется, например, программа FOWL).
Подробней об этой важной и до конца еще не понятой пробле-
проблеме см в работах [54, 56, 61, 149*, 150*, 155*]
Второй способ усовершенствования метода Монте-Карло —
уменьшение вариаций (нивелирование) интегрируемой функции.
Как показывает выражение C 2), для этого нужно преобразо-
преобразовать интеграл так, чтобы функция изменялась как можно мень-
меньше Следовательно, мы должны обладать какой-то информа-
информацией о поведении подынтегрального выражения В физике эле-
элементарных частиц были разработаны специальные методы ре-
решения возникающих здесь проблем Необходимость их иглю-
•стрируется следующим примером.
Пример 1. Рассмотрим интеграл
1
т — \ dxaeax — еа—1, D 1)
о
где а — константа Интегралы такого типа встречаются в фи-
физике высоких энергий при интегрировании по квадратам пере-
передач импульсов t, так как опыт подтверждает наличие в матрич-
матричном элементе зависимости eat Простой расчет зает
D 2)
Следовательно, для больших а относительная погрешность
ъ/тл/м интегрирования по Монте-Карло возрастает как
Va/2N Причиной является растущая асимметрия фугкции
аеах функция разыгрывается равномерно во всем интервале
@, 1), хотя при бочьших а точки, лежащие вблизи нуля, вносят
в интеграл гораздо меньший вклад, чем точки вблизи единицы.
При вычислении интеграла первые из них почти бесполезны.
Для улучшения ситуации надо разыгрывать больше точек в той
области, где подынтегральное выражение велико, т е брать его
в тех участках, которые наиболее важны В нашем примере это-
этого легко добиться, выбрав в качестве новой переменной у = еах.
Тогда
т =
1

Численные методы интегрирования 293
что можно вычислить, разыгрывая точки у равномерно в интер-
интервале A, еа). Подынтегральное выражение теперь постоянно, ва-
вариации обратились в нуль. Заметим, что к такому же преобра-
преобразованию прибегают и тогда, когда (при а •< 0) пределы интег-
интегрирования в D 1) простираются от 0 до оо
Из примера ясно, что если f(x) меняется заметным образом,
то для повышения эффективности метода Монте-Карло надо
генерировать случайные точки так, чтобы их плотность была
близка к |f(#)|. Такой метод называется существенной выбор-
выборкой (выборкой по важности). Для применения этого метода надо
уметь генерировать случайные числа, распределенные с данной
плотностью g(x). Плотность g(x) определим так, чтобы ве-
вероятность того, что выпадет значение между х и х + dx, была
равна (l/G)g(x)dx, где G = G(+ оо) и
X
G(*) = \dtg(t). D.3)
—CD
Рассмотрим тогда интеграл
х+
\, D.4)
где введены произвольные пределы интегрирования (они нам
понадобятся в дальнейшем). Введем новую переменную
G(x)-G(x-) D5)
' G (x+) - G (x-) • . „ ^'^
которая изменяется от 0 до 1 и дифференциал которой равен
dr= S^dx . .
аг о (x+) - a (x-)' {* °>
Интеграл D.4) теперь может быть переписан в виде
х+ х+ 1
/ = J dxf {х) = J dxg {х) -Щ- = [G {х+) — G (x~)] J dr -^r, D.7)
х- х- о '
где
дс = О"*1 {G (х~) + г [G (х+) - G О")]}. D.8)
Применяя к выражению D.7) формулу C.3), получаем
10 Зак. 617

294 Глава IX
где хк выражается через гк с помощью формулы D.8), a wh —
вес, приписываемый &-му событию. Согласно формуле D.6), слу-
случайные переменные хк теперь распределены с плотностью
dN(x) _dN(r) dr _ g(x)
dx ~~ dr dx ~~ G (x+) — G (x~) '
которая в области интегрирования нормирована на единицу.
В интеграле по г D.7) встречается только отношение fig;
если g лучше аппроксимирует /, чем константа, то дисперсия fig
уменьшается. С учетом C.3), C.4) и C.6) результат интегри-
интегрирования по Монте-Карло D.9) может быть записан в виде
/=7±б7", D.Ю)
где
Заметим, что изложенный выше формальный метод розыгры-
розыгрыша случайных чисел с плотностью g(x) не всегда применим на
практике. Ниже мы уточним условия, при которых он пригоден,
а также приведем еще один метод.
1. Метод замены переменных удобен тогда, когда из выра-
выражения D.8) следует простой и быстрый способ перехода от ис-
исходных случайных чисел rh к случайным числам хк. Иначе тру-
трудоемкость выкладок сведет к нулю выгоды от уменьшения
дисперсии. Практически это сводится к требованию, чтобы все
функции g(x), y=G(x) и x=G'l(y) были элементарными1).
В физике элементарных частиц таким образом удается нивели-
нивелировать два часто встречающихся случая резких изменений
подынтегрального выражения — экспоненциальное распределе-
распределение и распределение Брейта — Вигнера. Нужные для этого пре-
преобразования приведены в табл. IX. 1, их можно прямо подстав-
"йять в D.9).
2. Наряду с методом замены переменных существуют другие
пути получения случайных чисел, распределенных с нужной
плотностью g(x), где g{x)—одна из нескольких специальных
') Когда функции G{x) и G~l(x) не элементарны, часто выгодно задать
их численно [численным интегрированием D 3)] и определять х из состав-
составленной таким образом таблицы D 8) путем обратной интерполяции. —
Прим. ред.

Численные методы интегрирования
295
Таблица IX.1
Плотности распределений, их первообразные функции и функции,
обратные первообразным, которые требуются для розыгрыша некоторых
распределений методом существенной выборки
: Брейта —
Фигнера
big
У - (я/2) b
оункций (не обязательно интесрируемых в конечном виде).
лштрим, например, случай, когда g(x)—функция Гаусса
> (х) — e~x*l2al, а интегрирование проводится от —оо до +°°-
I этой ситуацией мы встречаемся, когда периферичность ма-
маличного элемента выражается через поперечные импульсы. Вес
/(х) не интегрируется в конечном виде, но тем не менее розы-
розыгрыш случайных чисел, распределенных по нормальному закону,
ie представляет труда. Мы можем, например, применить цен-
центральную предельную теорему к сумме п равномерно распреде-
распределенных случайных чисел. Как было показано выше, она быстро
годится к функции Гаусса; уже плотность распределения C,8)
•уммы
s = <
D.12)
. ло существу не отличается от своего предела C 5) со средним
значением нуль и дисперсией а2. Когда s, нормально распреде-
распределены в интервале (—оо, сю), формула D.9) прямо дает
D.13)
5. Применение метода Монте-Карло в физике
элементарных частиц
В проблеме применения метода Монте-Карло в физике эле-
элементарных частиц (проблеме моделирования реакций) следует
различать две стороны: а) случайный розыгрыш событий и
б) обработку этих событий. Практически второй аспект — как
обращаться с полученными данными — не менее важен, чем
первый, и мы коснемся его позднее. Здесь же мы опишем с до-
достаточной подробностью генерирование событий.
10*

296 Глава IX
Чтобы вычислить интеграл A.1) по фазовому пространству,
надо исключить из A.1) четырехмерную б-функцию и явно вы-
выразить /„ нерез совокупность- Зл — 4 переменных Ф, как это
сделано в формуле A.2). Значение Ф однозначно определяет
событие, так что по данному Ф можно реконструировать конфи-
конфигурацию импульсов р\, ..., рп.
Чтобы можно было получать события, испЪльзуя стандартные
программы счета на ЭВМ, интеграл A.2) преобразуется так,
чтобы каждая из Зя — 4 переменных, входящих в Ф, обладала^
простым интервалом изменения. Ниже будет указана такая со-
совокупность переменных
Ф' = (ГA>? ..., ,-C/1-4)), E.1)
для которой C/г — 4)-мерный гиперкуб V
0<r(i)<l, 1 = 1,..., Зга — 4 E.2)
и физическая область V взаимно однозначно соответствуют друг
другу. Пусть теперь якобиан перехода от Ф к Ф' есть дФ'ДЭФ.
Тогда интеграл A.2) принимает вид
/n= С dQ>' Р|.[Ф(Ф')]Г*(Ф')., \ ЛФ'1^Ю-, E.3)
где
Сравнивая с D.11), мы видим, что если значения Фь ..., Флг
разыграны равномерно в гиперкубе E.2), то метод Монте-Кар-
Монте-Карло дает следующую оценку:
E-5)
Статистическая погрешность б7„ по-прежнему определяется
формулой D.11), куда вместо wh следует подставить E.5).
Совокупность переменных E.1), удовлетворяющих условию
E.2), можно выбирать бесчисленным множеством способов. Из
E.3) видно, что плотность событий равна
жк-у E:6>
Путем подходящего выбора перехода от Ф к Ф' можно добиться
того, что ?П(Ф) будет имитировать Т(Ф) и дисперсия веса бу-
будет малой. '
Если V является подпространством полного фазовогр про-
пространства, то соответствующее /„ несложно получить, включив

Численные методы интегрирования 297
в сумму E.5) лишь те Ф&, которые лежат в V. Пусть нам нужно
знать "распределение некоторой переменной v, т. е. производ-
производную dlnjdv. Разделим область изменения v на участки длиной
Ли (не обязательно одинаковые); искомая производная
dv До
Здесь Д7„ вычисляется по формуле E.5), но с тем ограничением,
что в сумму входят лишь те события, которые попали в данный
участок v, v + Ду.
Теперь мы подробно изложим метод розыгрыша для одной
особенно простой совокупности Зя — 4 переменных Ф. Рекур-
оентные соотношения позволяют написать формулу A.1) в виде
VI.2.14), где |яг- и Pi даются выражениями (VI.2.13), (VI.2.15).
Совокупность 3/г — 4 переменных Ф состоит из
ф п — 2 инвариантных масс М{, Л^ = ^ = (р,+ ••• +Р<J>
1 = 2, ..., « — 1 (Mi — массы промежуточных распадающихся
частиц на фиг. 62).
2(п — 1) углов Qj = (cos 9г-, ср*), i = 2 п, которые опре-
определяют (фиг. 63) направление вектора kj в системе отсчета
ki+i = р\ + .. • + Pi+\ = (Щ+и 0), т. е. в системе покоя проме-
промежуточной распадающейся частицы.
В этих переменных плотность событий в фазовом простран-
пространстве равна
Область интегрирования в интеграле (VI. 2.14) просто преоб-
преобразуется в единичный гиперкуб. Мы рассмотрим по отдельности
розыгрыш углов, розыгрыш масс и реконструкцию всего со-
события.
а. Розыгрыш углов
Углы фг и 0г можно разыграть в соответствующей системе
покоя ki+i = (Mi+i, 0) с помощью формул
E.9)
cos в, = 2^ — 1, E.10)
где И*) и fW — случайные числа, равномерно распределенные
между 0 и 1. Преобразование E.9), E.10) переводит интеграл
по Q, в интеграл по единичному квадрату с якобианом 4я. Со-
События, разыгранные по формулам E.9), E.10), равномерно рас-
1ределены по срг и по cos 9,, так что выбор полярной оси произ-
произволен. Можно, например, взять для нее направление ki+2 или ра.

298 Глава IX
Но если подынтегральное выражение Г(Ф) является амплиту-
амплитудой рождения п частиц, то импульсы коллимированы относи-
относительно направления ра и надо выбрать такие переменные, кото-
которые учитывают это обстоятельство. Ниже мы вернемся к этому
вопросу.
б. Розыгрыш инвариантных масс
Инвариантные массы М,- изменяются в пределах
г = 2 п-1. E.11)
В границах E.11) любой двухчастичный распад на фиг. 62 яв-
является физическим. В (п — 2)-мерном пространстве переменных
М2, ..., Мп-\ неравенства E 11) определяют симплекс, который
для п = 3 является отрезком, для п = 4 —'равнобедренным тре-
треугольником, для п = 5 — пирамидой и т. д. Мы приведем два
способа розыгрыша Мг внутри этого симплекса.
1. Самый прямой способ заключается в преобразовании
симплекса в (п — 2)-мерный единичный гиперкуб с помощью
линейного соотношения
М{^\ц + ~г^(Мш-цш), / = 2,...,п-1. E.12)
Это превращает каждое интегрирование по Mt p интегрирование
по Я') от 0 до 1. Включая в формулу E 5) для интеграла яко-
якобианы преобразований E.9), E.10) и E.12), мы приходим к
выражению
в котором штрихи опущены. При таком выборе Ф плотность
?П(Ф) событий, разыгрываемых в фазовом пространстве, не-
непостоянна; статистическая погрешность в формуле E.5) тем
больше, чем больше Т(Ф) отличается от ?ГИ(Ф). В частности,
даже постоянный матричный элемент дает некоторую статисти-
статистическую погрешность. Следует обратить внимание на факторы
Мг — ц, в E.13): когда они обращаются в нуль, статистическая
плотность бесконечна. Это видно из фиг. 107; М3 разыгрывается
равномерно между (хз и ]/s — m4, а М2 — на отрезке между щ
и М3 — т3. Длина этого отрезка уменьшается, когда М3 прибли-
приближается к \хз, и плотность точек на нем возрастает пропорцио-
пропорционально 1/(М2 — Ц2)- Аналогичное явление наблюдается при
больших п. ,
Желая генерировать события, в которых часть масс Мг имеет
распределение Брейта — Вигнера, можно прибегнуть к тому же
приему растяжения пределов до постоянных значений. Здесь

Численные методы интегрирования
299
можно воспользоваться соотношениями D.5) D.6) и табл. IX. 1
и написать явный вид плотности ?(Ф). Заметим, что в нее вхо-
входит не просто распределение Брейта — Вигнера, но и другие
множители, подобные тем, которые стоят в E 13). Но вблизи
масс резонансов, конечно, доминир>ет распределение Брейта—
Вигнера. Заметим также, что мы можем ввести таким способом
распределение Брейта — Вигнера не для всяких комбинаций
инвариантных масс, а лишь для тех, которые возникают как
промежуточные состояния в распаде каскадного типа на фиг. 62.
Фиг. 107. Область интегрирова-
интегрирования по массам М% и Мг при п = 4.
Метод можно обобщить таким образом, чтобы включить в
него случаи, когда оба продукта ра'спада далее сами распадают-
распадаются. Эти промежуточные состояния также допускают розыгрыш
по Брейту — Вигнеру. Программа этого типа описана Фридма-
Фридманом [46].
2. Второй способ основан на том факте, что симплекс E.11)
есть часть (п — 2).-мерного гиперкуба
-m + |ii. /==2, ..., п-1. E.14)
А именно, если провести упорядочение М{ согласно соотношению
М(-</И/+1 — mt+u / = 2, ..., п — 1, E.15)
то возникающая в итоге область совпадает с областью E.11).
Следовательно, предлагается равномерно разыгрывать в гипер-
гиперкубе E.14) числа
Mi^un + r^Ws-nJ, E.16)
предварительно расположив в порядке возрастания п — 2 слу-
случайных числа rW:
r<2><r<3>< ... ^r'»-1).
Теперь точки попадают внутрь области E.14), E.15), так как
На фиг. 107 для п = 4 видно, что сначала точки бросают равно-
равномерно внутрь квадрата, но если потом оказывается, что точка

300 Глава IX
попала выше диагонали, ее координаты упорядочивают (отра-
(отражают ее относительно диагонали) и она оказывается внутри
разрешенного законами сохранения треугольника. Поскольку
плотность внутри гиперкуба однородна, она однородна и внутри
симплекса в отличие от того, что было при прежнем способе
превращения симплекса в гиперкуб. Плотность событий в фазо-
фазовом пространстве теперь дается выражением
-[х„Г2, E.17)
где 1/(/г— 2)!—отношение объемов симплекса и гиперкуба.
Заметим, что в последнем методе (п— 2)-мерный единичный
гиперкуб по-разному заселен случайными числами г№. Упорядо-
Упорядочение случайных чисел приводит к тому, что распределения по
№ различны [47].
в. Реконструкция события
После того как мы разыграли п — 2 массы и 2(«— 1) угла,
мы можем воссоздать все случайное событие, т. е. конфигура-
конфигурацию импульсов pi, ... 1 рп в любой системе отсчета. Во-первых,
в системе отсчета р\ + р2 = (М2, 0) длина вектора р2 дается вы-
выражением (VI. 2.15), а его ориентация — разыгранными значе-
значениями 02, фг- Это полностью определяет значения р2 и pi = —р2.
Подобным же образом в системе р\ -\-р2-\-рг = {Щ, 0), зная
63, фз и пользуясь формулой (VI. 2.15), мы находим р3. Векторы
р\ и р2 в этой системе отсчета получаются преобразованием Ло-
Лоренца, т. е. сдвигом вдоль направления pi -fp2 = —р3 из перво-
первоначальной системы отсчета pi -\- р2 = (М2,0). Продолжая та-
таким же образом, мы приходим в конце концов к искомой кон-
конфигурации импульсов в СЦМ').
') Легко видеть, что здесь изложен не самый лучший путь реконструкции
события. Первоначальная идея [81] была проще: реконструкция проводится
не от первых импульсов к последним, а наоборот. Пусть для определенности
мы хотим иметь случайное событие в системе покоя мишени Пусть мы уже
перевели в эту систему импульсы рп, Рп-ь • • ¦ ¦ Рг+ь Тогда мы знаем суммар-
суммарный импульс оставшихся еще не разыгранными частиц /,..., 1:
к/ = Рг + Pz_! + ••• + Р, = к„ ~ Рп — Рп^, - ••• -Р/+1.
Это позволяет перевести в систему покоя мишени разыгрываемый в системе
покоя частиц 1 1 импульс частицы номер /, т. е. узнать pj. Процедура
повторяется с заменой / + 1 -»- /. При такой рекуррентной процедуре каждый
импульс только один раз подвергается преобразованию Лоренца (всего де-
делается п—1 преобразований), в то время как процедура, изложенная в кни-
книге, преобразует импульсы рх и pi п — 2 раза, импульс рз — п — 3 раза и т. д.,
всего 4i(n — 2) (п + 1) преобразований. — Прим. ред.

Численные методы интегрирования 301
Плотности событий, даваемые формулами E.13) и E.17),
сравнительно мало варьируют от точки к точке. Следовательно,
изложенный метод эффективен лишь тогда, когда и подынтег-
подынтегральное выражение Т(Ф) не очень сильно меняется в фазовом
пространстве. Но это не так в том случае, когда полная энергия
велика, а Г(Ф) есть амплитуда рождения не очень большого
числа частиц. В этом случае Т(Ф) велико, только если импуль-
импульсы частиц как-то коллимированы вдоль оси пучка. При высоких
энергиях изложенную процедуру надо видоизменить так, чтобы
плотность событий для больших поперечных импульсов была
. мала. Для этого используются два совершенно разных приема.
Можно применить существенную выборку, чтобы разыграть
углы б, [20, 46], либо можно применить эту выборку, чтобы гене-
генерировать поперечные импульсы, исходя из совершенно другой
совокупности Зга— 4 переменных Ф [72, 119]. Поскольку первая
альтернатива в техническом отношении немного проще, мы из-
изложим ее более подробно.
а'. Розыгрыш углов для периферических событий
Чтобы провести существенную выборку в переменных, опи-
описывающих периферичность, мы допустим, что массы Mk уже
разыграны, и выберем направление ра за ось z в системе от-
отсчета kl+i — Pi + ... -\-Рг+\ = {Цг+и 0). В этой системе отсчета
0г есть угол между кг- и ра (фиг. 63). Теперь было бы несложно
разыгрывать cos 8, и генерировать главным образом события с
малыми 0г-. Но гораздо полезнее заменить cos 6* на квадрат
4-передачи tt — (pa — КJ- Результаты замены в Rn аргумента
cos 0г на tt выписаны в формуле (VI. 2.27), где Ра] дается фор-
формулой (VI. 2 28).
' Как было показано выше [см. формулы D.5) и D.6) и
;дабл. IX. 1], теперь можно каждое t{ разыграть с помощью суще-
существенной выборки, генерируя события с нормированной плот-
плотностью aieaitil\eai ' —eaiti ). Если не менять способ розыгрыша
Ф,- и Mt и собрать вместе все весовые множители, то значение
интеграла (VI. 2.27) можно вычислить по формуле E.5), где
«-2
( }
Здесь для 'определенности принято, что массы Mh разыгрывают-
разыгрываются по изложенному выше методу упорядочения масс.
Видно, что плотность и(Ф) разыгрываемых случайных собы-
2 а#А [другие

302 Глава IX
факторы в g(<D) зависят от масс и меняются не так сильно]. Это
довольно эффективный способ расчета мультиреджевской моде-
модели, в которой подынтегральное выражение имеет примерно та-
такую форму1).
Само событие конструируется, как и раньше: по tt находят
cos Эг; при этом доминируют малые ti и, следовательно, малые 9*.
Теперь в нашем распоряжении имеется метод розыгрыша
случайных событий с различными плотностями ?(Ф) в фазовом
пространстве. Для практических применений программа розыг-
розыгрыша должна быть снабжена набором подпрограмм обработки
разыгранных событий: программ, позволяющих строить гисто-
гистограммы, вычислять статистическую погрешность и предусмат-
предусматривающих другие возможности обслуживания заказчика. Пол-
Полная программа требует следующих исходных данных:
задания реакции и ее матричного элемента Т(Ф),
задания используемой плотности ё(Ф),
количества разыгрываемых событий,
описания гистограмм, которые нужно построить.
Были созданы стандартные программы типа FOWL, выпол-
выполняющие указанные действия. Они весьма гибки и удобны;
научившись ими пользоваться, можно с их помощью решать
много различных проблем. Более детальное описание всех прак-
практических вопросов можно найти в руководстве по использованию
программы [62].
Чтобы продемонстрировать связь между теорией, которую
мы изложили выше, и практикой, на фиг. 108 приведена гисто-
гистограмма, напечатанная программой FOWL. В ней содержится
следующая информация:
а. Гистограмма дает распределение по инвариантным мас-
массам Mi23 — [(р\ +/?2 + /?3J]Vs Для реакции яр—•• яляр (ab -¦
—¦ 1 2 3 4) с импульсом налетающего л-мезона 4 ГэВ/с и с квад-
квадратом матричного элемента Г(Ф) = ехрE/рр). Кроме нормиров-
нормировки, вычисляется также функция dlJdM^, где h определено вы-
выражением A.1).
б) Столбцы, озаглавленные словом INTERVAL, дают верх-
верхнюю и нижнюю границы участков, на которые разбита область
изменения Мщ.
в. Столбец EVENTS дает производную dIJdMm, вычислен-
вычисленную по формуле E.7). Это распределение нормировано на еди-
единицу. В каждой строчке дано значение величины
(нормировка) X ]С и>ь E.19)
•) При больших а, (порядка нескольких ГэВг2) факторы в ' ' в ?п(Ф)
сильно зависят от инвариантных масс и эффективность способа падает. В ра-
работе [85] изложен усовершенствованный способ розыгрыша. — Прим. ред.

Численные методы интегрирования
303
где wk = Г(Ф)/?(Ф), а в сумму включены лишь те события, для
которых Afi23 вошло в соответствующий интервал. В данном
случае была использована плотность ?(Ф), определяемая фор-
формулой E.18).
г. Нормировка A/2ш?1 по всем k) дается после слов SUM
OF WEIGHTS и равна 0,2045-103. Поскольку N = 2000, это
INTERVAL
о.чо
0.45
0.50
0.55
0.60
O.SS
0.70
0.75
0.80
0.85
0.90
0.95
1.00
1.05
1.10
1.15
1.20
1.25
1.30
1.35
1.40
1.45
1.50
1.55
1.60
1.65
1.70
1.75
1.80
1.35
1.90
1.9S
0.М5
0.50
0.5S
0.60
0.65
0.70
0.75
0.80
0.85
0.90
0.95
1.00
1.0S
1.10
1.15
1.20
1.2S
1.30
1.35
1.>«0
1.Ц5
1,51)
1.55
1.60
1.6S
1.70
1.75
1.80
1.85
1.90
1.95
2.00
EVENTS
0.0000
0.0002
0.0007
0.0014
0.0027
0.0041
0.0062
0.0083
0.0112
0.0151
0.0191
0.0229
0.0292
0.0346
0.03S3
0.0478
0.0S07
0.0568
0.0656
о.обчо
0.0639
0.0660
0.0678
0.0651
0.0608
0.0555
0.0500
0.0401
0.0278
0.0X74
0.0065
0.0004
ERROR
0.0000
0.0000
0.0000
0.0002
0.0003
0.000S
0.0008
0.0011
0.0015
0.0020
0.002S
0.0030
0.0038
0.0044
0.0050
0.0062
0.0066
0.0074
0.0084
0.0083
0.0085
0.0086
0.009О
0.0085
0.0081
0.0073
0.0066
0.0052
0.0036
0.0023
0.0009
o.oooi
TOTAL NUMBER OF EVENTS IN PLOT * 2000.
EQUIVALENT UNVEIGHTED EVENTS = 1157.
SUM OF WEIGHTS = 0.2045E OS
I
I
I
Ix
Ix
Ixx
Ixxx
Ixx xx
Ixxxxxx
Ixxxxxxxx
IxxxxxxxxxO
IxxxxxxxxxOx
IxxxxxxxxxOxxxxk
IxxxxxxxxxOxxxxxxx
IxxxxxxxxxOxxxxxxxxx
IxxxxxxxxxOxxxxxxxxxOxxxx
ZxxxxxxxxxOxxxxxxxxxOxxxxx
IxxxxxxxxxOxxxxxxxxxOxxxxxxxx
IxxxxxxxxxOxxxxxxxxxOxxxxxxxxxOxxx
IxxxxxxxxxOxxxxxxxxxOxxxxxxxxxOxx
XxxxxxxxxxOxxxxxxxxxOxxxxxxxxxOxx
IxxxxxxxxxOxxxxxxxxxOxxxxxxxxxOxxx
IxxxxxxxxxOxxxxxxxxxOxxxxxxxxxOxxxx
IxxxxxxxxxOxxxxxxxxxOxxxxxxxxxOxxx
IxxxxxxxxxOxxxxxxxxxOxxxxxxxxxO
IxxxxxxxxxO xxxxxxxxxO xxxxxxx
IxxxxxxxxxOxxxxxxxxxOxxxxx
IxxxxxxxxxOxxxxxxxxxO
IxxxxxxxxxOxxxx
Ixxxxxxxxx
Ixxx
I
Фиг, 108. Пример распределения, печатаемого программой FOWL.
Гистограмма — распределение по Мш в реакции яр -> пяяр при 4 ГэВ/с, Г=ехр
_ Смысл чисел объясняется в тексте
означает, что величина интеграла /4 есть 204,5/2000 = 0,10 [со-
[согласно E.5)]. Точно так же из E.7) можно получить правильное
численное значение 3IJdMl23, хотя приведенных распределений,
выраженных в долях полного интеграла, обычно достаточно для
сравнения с опытом.
д. Столбец ERROR дает статистическую погрешность, вычис-
вычисленную согласно формуле D.11). Было использовано прибли-
приближение
wi

304 Глава IX
следовательно, в каждой строчке приводится значение
(нормировки) X [Е
где нормировка та же, что в E.19).
е. Число N', стоящее после слов EQUIVALENT UNWEIGH-
UNWEIGHTED EVENTS и равное 1157, было вычислено по формуле
"kl
где сумма бралась по всем событиям. Следовательно, оно пред-
представляет собой статистическую погрешность в SUM OF
WEIGHTS, т. е. в значении /4. В данном случае эту статистиче-
статистическую погрешность можно считать равной 1/]А 157=3%. Следо-
Следовательно, число N' очень хорошо помогает представить себе ста-
статистическую значимость гистограммы. Если N' меньше 100,
польза от гистограммы сомнительна.
6. Статистический метод
В статистической механике аналогом формулы A.1) являет-
является объем физически разрешенного фазового пространства для
микроканонического ансамбля. При этом четырехмерная б-фуик-
пия в A.1) заменяется одномерной, требующей, чтобы полная
энергия в пределах б? равнялась Е. Эта б-функция сильно
усложняет расчеты. От возникающих трудностей можно изба-
избавиться, заменяя микроканонический ансамбль каноническим, в
котором энергия может флуктуировать, но температура постоян-
постоянна. В некотором приближении, справедливом в статистической
механике, оба ансамбля приводят к одинаковым результатам.
Для оценки интеграла A.1) мы воспользуемся в сущности тем
же приемом.
Другая отличительная черта статистического метода расчета
состоит в том, что он приводит к формулам, в которые все ро-
родившиеся в реакции частицы входят равноправно. При любом
другом методе расчета нам приходится фиксировать нумерацию
частиц; численное интегрирование или розыгрыш события всегда
начинается с какой-то выбранной частицы, с определенной точ-
точки на диаграмме импульсов. Кроме того, статистический метод
расчета пренебрегает корреляциями между частицами, которые
возникают благодаря сохранению суммарного 4-импульса. Учи-
Учитываются в принципе лишь корреляции, обусловленные квадра-
квадратом матричного элемента Т; но на самом деле метод применим
лишь при отсутствии и таких корреляций, т. е. когда Т факто-
ризуемо.

Численные методы интегрирования 305,
Предположим tenepb, что Т факторизуемо по импульсам ча-
частиц, подобно тому как это было в выражении A.3). (Сейчас
мы увидим, почему это условие необходимо.) Тогда различные
частицы в формуле A.1) связаны между собой лишь б-функ-
цией. Эту связь можно разорвать, проведя преобразование Ла-
Лапласа функции /п(р). Определим функцию
Ф„(«)= \d*Pe-a-»In(p). F.1)
Лапласов образ Фп зависит от времениподобного аргумента —
4-вектора а= (ао,а). Если Т факторизуемо, Т = Ц gi (pi), то
v 1
формула F.1) дает
F-2)
Таким образом, Фп(а) представляет собой "произведение-
п
Ф« («) = П фг (а) лапласовых образов функций g* отдельных ча-
1
стиц ' i
= 5 d%gt (Pt) б (р- - mj) е-™i. F.3>
Функцию 1п(р) можно восстановить обратным преобразованием
Лапласа:
d S Фп (а). F.4>
Мы видим, что б-функция исчезла, причем исчезла симметрич-
симметричным образом. Путь интегрирования С по каждому ар, в F.4)
проходит по комплексной плоскости ссц от —too до +too правее
всех особенностей функции Фп(сс). Если квадрат матричного
элемента Т дается выражением A.3), то полученная формула
точна. Остается только найти способы приближенного вычисле-
вычисления этого интеграла.
Сначала мы подробно разберем случай Т = 1, т. е. вычислим
фазовый объем Rn [27, 43, 65, 74, 94, 130]. Случай, когда g,(P*)
зависит от поперечных импульсов, рассмотрен в работах [51, 87,
88] (см. также [14]). Практически этот случай очень важен, так.

306 Глава IX
как отражает экспериментально наблюдаемую ограниченность
поперечных импульсов.
Предположим теперь, что Т = 1, так что In(p) — Rn(s) есть
лоренц-инвариант, зависящий только от s = р2. Тогда четырех-
четырехмерное преобразование Лапласа F.1) может быть превращено
в одномерный интеграл. Все входящие в интеграл F.1) факторы
являются инвариантами. Поэтому Фп(а) может зависеть только
от длины р = | а |. Проще всего его вычислить в системе отсчета
а = (р, 0):
Г f ' Г
п j J J
оо
Не \ jLJL р—$Еп /»\ \/7с9тг \ /IF IF2 cr* is—P?J? fc\ (R ^\
i it J J
Пользуясь формулой (9.6.23) из работы [1]
tfe-rf (Я — 1)'А, F.6)
где Ki(z)—модифицированная функция Бесселя, мы получаем
оо ^
Ф« (Р) = -у- \ ds V« К, (р У«) /?„ (s). F.7)
о
Интегрирование на самом деле ведется не до оо, так как при
s ^ (Щ + • ¦ • + тпJ Rn{s) обращается в нуль. Эту формулу
можно назвать К-преобразованием [40]; обратное ему преобра-
преобразование имеет вид [27, 74, 94]
С + 1 00
с—i oo
При Т = 1 величину Ф„ можно выразить через функции Бессе-
Бесселя. В системе отсчета а = (р, 0) из F.3) получаем
, (El - m?)'/8 e-p?«- = ^р- Kl фт,). F.9)
Подставляя Ф„ (р) = Д ф, (р) в F.8), мы получаем точное зна-
значение Rn(s) в виде комплексного интеграла.

Численные методы интегрирования 307
Нерелятивистский и ультрарелятивистский пределы фазово-
фазового объема Rn(s), выведенные уже в разделе VI. 2, можно вы-
вывести снова, исходя из формул F.7) — F.9). Асимптотическая
форма Kv(z) имеет вид [1]
1ри р-¦ оо в интеграл F.7) дают вклад лишь значения Rn(s),
п
1ежащие вблизи порога Vs = X mt- Заменяя Ki в F.7) и F.9)
выражением F.10), мы находим (Е2 = s) '
1
FЛ1)
Левая часть есть преобразование Лапласа известной функции;
*ы сразу получаем результат (VI. 2.19). При р -* 0 в F.7) до-
доминируют большие значения Vs- В этом случае нужно вос-
юльзоваться тем, что при г-»0 Hi (г)—» г; из уравнения F.9)
юлучаем
Bя)я p-2n = \ dE (^f) К, W) RlP (E2). F.12)
о
Здесь р-2и опять представляет собой К-преобразование извест-
известной функции [40]- мы получаем то же ультрарелятивистское вы-
выражение (VI. 2 17) для Rlp {s).
Посмотрим теперь, как точное соотношение между Rn{s) и
<Dn(s) F.7) — F.9) позволяет дать простое приближение для
Rn{s) при больших п [27, 74]. В выражении F.7) Rn(s) возрас-
возрастает примерно как sn, a Ki убывает как е~в s. При больших п
подынтегральное выражение в F.7) имеет острый максимум
при значении -\/s —л/s (фиг. 109). По существу ФП(Р) зави-
зависит только от значений Rn{s), близких ks.
Заимствуя терминологию из статистической физики [57], ин-
интеграл по фазовому объему Rn(s) при фиксированном \fs
можно назвать микроканонической функцией распределения,
а его преобразование Лапласа Ф„(р) при фиксированном р —
канонической функцией распределения. Из статистической фи-
физики известно, что при весьма общих предположениях термоди-
термодинамические функции (логарифмы функций распределения и их
производные) в микроканоническом и каноническом ансамблях
совпадают, когда число степеней свободы становится большим.

J08
Глава IX
В частности, это означает, что в нашей терминологии в кано-
каноническом ансамбле с фиксированным р флуктуации Vs малы
(фиг. 109) и значение Vs п0 существу фиксировано.
Точно так же при больших п в микроканоническом ансамбле
с фиксированным Vs флуктуации р должны быть малы, что
делает возможной простую аппроксимацию выражения F.8).
Фиг. 109 Пример ситуации, в которой применим статистический метод.
Подынтегральное выражение в F 7) ys Ki (p ys ) Rn (s) имеет острый пик при V«~h может
быть аппроксимировано функцией Гаусса.
Из уравнения F.9) видно, что подынтегральное выражение в
F 8) имеет глубокий минимум на действительной оси р
(фиг. ПО). Если подынтегральное выражение обозначить ер,Щ
F (р) = In [p2l! (р л/Г) ft ЧЧ (Р)], F.13)
то значение р в точке минимума определяется * условием
dF(p)/#p = O. С учетом свойств функций |v и Kv явный вид
этого уравнения таков:
Корень этого уравнения р = р = р (У$; mi) находится численно
[кроме предельных случаев д/s-x» и -у/7->^т1> см- F 22)].
Решение всегда существует при ys ^ 2 mi и оно единственно.
Функция F($) есть аналитическая функция комплексной пе-
переменной Р; поэтому она удовлетворяет уравнению Лапласа
пГ+ аптн\2 —°- FЛ5)

Численные методы, интегрирования
309
Поскольку в точке р производная <92.F/d(RepJ действительна,
положительна и велика, функция d2F/d(lm рJ принимает в ней
большие отрицательные значения Точка р = р является седло-
вой [108]. Если выбрать путь интегрирования С так, чтобы он
ImjS
fi
Kefi
TlejS
вдоль С
Фиг. 110. Обоснование метода седловой точки.
Подынтегральное выражение в F 8) имеет седловую точку при Р=Р, т. е минимум вдоль
действительной оси р и максимум в направлении мнимой оси, проходящей через $. Если
выбрать контур С, проходящий через (S, то подынтегральное выражение аппроксими-
аппроксимируется функцией Гаусса.
проходил через p\ то на нем F($) будет иметь резкий макси-
максимум (фиг. 110). Обозначим р—р = itj; тогда первые члены
разложения F($) в точке Р по степеням у будут аппроксимиро-
аппроксимировать подынтегральное выражение функцией Гаусса
Величина В — вторая производная F [см. B.13)] по р в точке
§ — равна
В=Bл-2)р-2 +

310 Глава IK
При этом всегда /?>(). Подставляя F.16) в F.8) и интегрируя
по у, получаем
I/O ^
где р — решение уравнения F.14), а В дается выражением
F.17). Таков окончательный вид искомой приближенной фор-
формулы.
Формула F.18) особой прозрачностью не обладает; из нее
трудно усмотреть истинную зависимость от s. Чтобы достигнуть
лучшего понимания, посмотрим, как себя ведет р* = р (s) в не-
нерелятивистском и ультрарелятивистском пределах.
Произведение р Vs растет как п. Воспользуемся- поэтому
в F.13) первым членом формулы
?=± + ...)• F.19)
В нерелятивистском пределе р—>-.оо из F.L9) и F.10) получаем
^ Ф) — Э (V^" — 2 m0 — I" (« — 1) In p, F.20)
а в ультрарелятивистском пределе р—>-0 из Кi(z) —>¦ z~l следует
F(p)~pVs~Brt--|)lnp\ F.21)
Тогда условие dF/d$ = 0 дает
g HP _ 3/2« — 3/2
p 7=—^— '
P ==
Соотношения F.22) позволяют отождествить р-1 = Г с «темпе-
«температурой». Они согласуются с тем хорошо известным фактом, что
кинетическая энергия, приходящаяся н# одну степень свободы,
равна х\гТ.
Вычисление относительной ширины В~Щ$ пика на фиг. 110
дает для двух рассмотренных случаев [3/г(«—1)]~1/а и
Bn — 3h)~11'- Это иллюстрирует тот факт, что флуктуации тем-
температуры в микроканоническом ансамбле пропорциональны N-4*,
где N — число степеней свободы.
Для каждого данного s величину E приходится вычислять
численно, решая уравнение F.14). Приближение нулевого по-
порядка F.18) во всем интервале изменения s обладает почти не-
неизменной относительной погрешностью; эта погрешность при-
примерно пропорциональна п~1, так как условие попадания в седло-

Численные методы интегрирования " 311
вую точку исключает член, пропорциональный п~'12. Чтобы полу-
получить более высокую точность, нужно взять в F.16) члены
высшего порядка. Включение третьей и четвертой степеней раз-
разности р — р приводит к поправочному члену порядка пт1. Тогда
погрешность ~п~31\ что составляет для n ^ 6 менее 1%.
Существует модификация изложенного метода, рассматри-
рассматривающая выражение F.4) как четырехкратный интеграл по пере-
переменным осо, ..., аз и отыскивающая седловую точку по каждой
из этих переменных. Для Т = 1 это дает по существу тот же
результат [94]. При этом вычисления несколько сложнее, но от-
ответ получается немного более простым. Мы приведем здесь для
ссылок лишь основное приближение. Вместо F.18) получается
*(s) 7
где р — решение уравнения
Ко
F.24)
а Ф„ — произведение факторов <pit задаваемых формулой F.9).
Далее,
JL JL r _ К /m.R\ n
F.25)
Заметим, наконец, что статистический метод непосредствен-
непосредственным образом обобщается [51, 130] на вычисление инклюзивных
сумм типа
Пр,*) = ?%-1п(р), F-26)
где z —параметр. По статистической терминологии [57] это
эквивалентно переходу от канонического к большому канониче-
каноническому ансамблю.

Приложение А
ОПРЕДЕЛИТЕЛИ ГРАМА
а. Определения и свойства
Определителем Грама векторов pi, ..., рп; qlt ..., qn на-
называется определитель, составленный из скалярных произведе-
произведений рг-Я}-.
_ ( Рь • • •. Рп \
Ч^ь • ••» Яп/
РсЯ\ Pi
РГЯп
.. Рп'Яп
• (АЛ)
Симметричный определитель Грама, рг = Яг, i=\, .... я, мы
будем обозначать Дп:
Pi, ..., рп
PI Pt'P2 • • • Pi'Pn
Pn'Pl Pn'P2 '•
Pi
. (A.2)
Любое G можно рассматривать как минор определителя Д„, где
п — число различных аргументов G. Например,
Pv Ml tf рГ
Pi, Рз ^ I P2 • Pi P2 •
Рз
Рз
является минором элемента Рз-Рг в определителе Дз(Рьр2, Рз)-
В этой книге аргументами рх являются 4-импульсы частиц или
их линейные комбинации Таким образом, элементы G и Д„, как
и сами О и Дп, суть инварианты.
Зная, как ведет себя определитель, когда его строка или
столбец умножается на константу %, или когда одна строка
(столбец) прибавляется к другой строке (столбцу), или когда

Определители Г рама 313
строки и столбцы меняются местами, мы легко выводим сле-
следующие свойства определителей Грама:
q2, .../ v
ДЛ^Рь Р2, ...) = Я2Д„(рь р2, ...), (А.4)
Q (Рь Ръ • • • ^ /Pi + Яр2, ft, • • • V
= g( ?•*.". ), (А.5)
' V qx + Л^-2, 92> • • • /
ДП (Pi. Р2> ¦ • •) = ДП (Pi "Г" ЬРЬ Р2, • • •). (А.6)
(А.7)
Pt. Рг> •
<7i. qz, -•• / \ qu Чъ
„ / Pi. Р2, • • Л , А о.
=Г-°1 д я и т. д. (А.8)
Тождества (А.З), (А.5) означают, что если векторы pi, ...
..., рп (или q\, ..., qn) линейно зависимы, то определитель
(АЛ) обращается в нуль. Это можно доказать следующим об-
образом. По определению линейной зависимости векторов ри ...
..., рп существует такой набор коэффициентов ось ..., ап (ко-
(которые не все равны нулю), что
п
^aiPi = 0. (A.9)
1
Образуя скалярные произведения тождества (А.9) с «ft, затем
с q2 и т. д. вплоть до qn, мы получаем п однородных линейных
уравнений относительно инвариантов рг-рг Согласно (А.9), эта
система имеет нетривиальное решение аь • • ¦, ссп, а это воз-
возможно лишь в том случае, если образованный из скалярных
произведений определитель обращается в нуль. Этот определи-
определитель и является как раз определителем Грама (А.1). Этот вы-
вывод имеет большое значение для кинематики, в которой любые
пять или более векторов в четырехмерном пространстве всегда
линейно зависимы (раздел VI. 7).
Элементами определителя Грама Дп являются инварианты
pi -р3. Практически часто полезнее бывает пользоваться инва-
инвариантными массами т частиц
s —(Pi-\-Pi-\-Ph~\~ • • •)*• (АЛО)
И Зак. 517

314
Приложение А
Это выражение записано для выходящих из диаграммы частиц;
импульсы входящих частиц надо брать со знаками минус. Что-
Чтобы ввести в определитель Грама величины s%1k , заметим, что
такой определитель Д„ с элементами р,-р} совпадает с опреде-
определителем Кэли размерности п -f 2 с элементами sm.... Послед-
Последний задается соотношением [39, 124]
(-1)"
1
о
Pi
1
р\
о
1
р\
1
Pi (Рг-РгУ
О
(АН)
Для доказательства тождества (АЛ 1) надо просто вычесть вто-
вторую строку из всех последующих строк и второй столбец из всех
последующих столбцов. Чтобы переписать (А.11) на языке
Si3h..., воспользуемся тождеством
К (Pl> Р2> • • •» Ра) =
— К(ри Pt + Рь ••-, P1 + P2+ ••• +Рп), (А.12)
которое следует из (А 6). Разность квадратов любых двух аргу-
аргументов в правой части тождества (А. 12) как раз дает величины
типа st+i,....!• Тогда для явного вида Д„ получаем
2"
0
1
1
1
1
1
0
Si
«12
1
Si
0
s2
S23
1
sa
«2
0
s,
1
• • * S\2 ••• r
. . # 523 ... n
• • • $34 ••• ft
... S45 ... n
(A. 13)
Sl2 ... n S23 ... n S34 ... n • • • 0
б. Геометрическая интерпретация
Определитель Грама (АЛ) линеен по каждому р{ и qt. Со-
Согласно тождеству (А.7), он симметричен относительно замены
Ри •••! Рп на qi, ..., qn, а согласно (А.8)—антисимметричен

Определители Грама
315
относительно перестановок внутри этих двух групп. Эти свой-
свойства позволяют дать ему следующее истолкование. Образуем из
ри ..., рп полностью антисимметричную комбинацию. Другую,
подобную комбинацию образуем из qu ..., qn\ з'атем вычислим
скалярное произведение этих двух объектов. Таким путем, как
мы сейчас увидим, можно получить как определители G, так и
их геометрическое истолкование.
Чтобы это истолкование стало интуитивно ясным, ограни-
ограничимся вначале трехмерным евклидовым пространством. Введем
трехмерный символ Леви-Чивита е*# (i = 1, 2, 3), определяемый
как
8132 — 8213 = Е321 — If
0 «о всех остальных случаях.
Он полностью антисимметричен, еда = — Sjtk и т. д. Пусть те-
теперь даны три 3-вектора pi, рг, Рз. Определим тройку тензоров
Ъ, с и d выражениями
~1/!
Всюду подразумевается, что по повторяющимся индексам про-
производится суммирование. Пусть теперь р[, р'2, р'3 —другая
тройка 3-векторов, а тензоры d', b', с' получаются из них по
тем же формулам, что и d, b, с; тогда легко убедиться в том, что
=ckck=(Pl х р2) • (р; х р;)=
Pi • Pi РГР2
p2-p; p2-p2
i, df) = dd! = (p, X P2 • P3) (Pi X P2 • p;) =
(A.14)
•P,
.'Pi
p2 • p.;
• P2
Следовательно, величины (b,b')t (с, с'), (d,d') оказываются
определителями, составленными из скалярных произведений:
det(p( • р'). Если теперь положить р, = р', i = I, 2,3, то видно,
что квадраты норм \b\2, \c\2, \d\2 равны симметричным опре-
определителям det(pt#pj).
11*

316 Приложение А
С другой стороны, ясно, что \d\ есть объем параллелепипеда,
образованного векторами р,, р2) р3) | с| — площадь параллело-
параллелограмма, построенного на pi и р2, а \Ь\— абсолютное значение pi.
Эти свойства следует считать геометрической интерпретацией
симметричных определителей det(p,-pj). Второй несимметрич-
несимметричный определитель имеет следующий смысл:
где ф — угол между плоскостями р,, р2 и р'{, p'2.
Вернемся теперь к лоренцеву пространству. Здесь можно
определить четырехмерный символ Леви-Чивита г^^ (и = 0, 1,
2, 3 и т. д.) следующим образом:
V
e)Auv полностью антисимметрично,
_, (А. 15)
Антисимметрия означает, что при совпадении двух или более
индексов e^jiv = 0. Величина в преобразуется при преобразова-
преобразованиях Лоренца как псевдотензор четвертого ранга. Отправляясь
от четырех 4-векторов р\, р%, р3> Pi, можно определить четверку
величин
а == ^ *
(А 16)
Поскольку 8ия,(ху — псевдотензор четвертого ранга, а, Ь, с и d
являются псевдотензорами ранга 3, 2, 1 и 0. Теперь мы докажем
следующие их свойства:
1. Если тензор а, Ь, с или d свертывается с подобным же
тензором а', Ь', с' или d'', образованным из другой четверки им-
импульсов р[, р'2> р'3, р'А, то результат равен определителю Грама
G [равенства (А.17), (А 20) — (А.22)]. ^
2. Абсолютные значения тензоров равны | a] =V—Ai.|&! =
= V=^. IcI — V^As. I d I = V— A4.
3. Согласно предыдущему, л/± А; может быть истолкован
как объем параллелепипеда в (/—1)-мерном пространстве [см.
(А.24), (А 25)].
4. При совпадении одной пары аргументов рд = pt определи-
определители могут быть записары в виде (± AjA^cosq» при р\ > 0 и
(± A,A;)V«ch? при р\ < 0 [см. (А.28) — (А.31Ц.

Определители Грана 317
Скалярное произведение тензоров х и у в лоренцевой метри-
метрике gpv есть
(х, у) = х»> - ^ ...J,r = ^iVi ... g^f1 - V1 "'v'-
Чтобы применить это определение к равенствам (А. 16), сначала
отметим тождество
Оно следует просто из того, что три из gw равны —1, а четвер-
четвертая равна +1. Скалярное произведение а из (А.16) на такое же
выражение со штрихом дает
(а, а') = j ея^ХеР^>;р = — i "WvPiVuv^p-
Поскольку ек\цЧ обращается в нуль во всех случаях, когда ин-
индексы не представляют собой некоторую перестановку последо-
последовательности 0 12 3, здесь останутся лишь члены с х = р. Сум-
Суммируя по всем перестановкам K\iv по аналогии с первым из то-
тождеств (АЛ4), получаем
Для тензоров второго ранга Ь и V точно так же находим
, ьг)=i e^vP«p2v<^p;p/4=- у *^р*р\%^р\Л- (A. is)
Легко доказать следующее тождество:
e^nvSpanv = 2! (8иДа - биАр). (А. 19)
Тогда выражение (А. 18) принимает вид
(Ь, Ъ') (р, • р\ р2.р'2-Рг р2 р2 • р\у G Q| *?) . (А.20)
Поступая таким же способом и дальше, находим по аналогии
с (А.14)
Pi> Р2> Рз> P
= - (Л4 (Рр Pv Pv Pi) *4 (P'l> PV Р'з>
В частном случае получаем отсюда норму псевдотензоров
(а, а) = — Л„ (Ь, Ь) = — Л2)

318 Приложение А
Обратимся к геометрической интерпретации. Значения Дь ...
..., А4 в системе отсчета R(pi) для р\ > 0 ив системе отсчета
S(pi) для р\ < 0 рассчитаны в разделе П. 7. В'системе отсчета
pi = 0 имеем [см. формулы (VI. 7.31)]
{— Д2 (р,, р2)}Чг = ntiPt,
{Д3 (pi, p2, p3)}Vj = тх | р2 X Рз I = щРзРг sin 023,
{—Д4(рь р2, р3, p4)}Vi==
= Ю1Р2 X Рз • Р4 = m&PzPi sin 02з sin 924 sin ф.
Углы определены на фиг. 7. В системе отсчета Pi=@,0, 0, V—О
мы пользовались псевдосферическими координатами (II. 7.22)
с р< = Ри —Р«~Рй и получали
{- Д2 (р,, р2)}'/2 = V11^ Р2,
{—A4(pi, ps, Рз> Р4)}'/2 = V— А Р2Р3Р4 sh ?23sh ?24 sinq>.
Здесь можно использовать тот факт, что при р21 = р22 = О мы
имеем Р2 = Е2. Соотношения (А.24), (А.25) верны независимо
от того, какой знак имеют р\, р\ и р\. Заметим, что знаки Ai и
Дз меняются при переходе от (А.24) к (А.25). Соотношения
(А.24), (А.25) показывают, что -\/± А/ пропорционально объе-
объему (/—1)-мерного параллелепипеда в 123-подпространстве
(р\ > 0) или в 012-подпространстве (р\ < 0).
Из несимметричных определителей выберем сначала про-
простейший: G при п= 1. Для обоих интересующих нас случаев
р2{ ^ 0 получаем
ttiiE2 в системе R(p{), (A.26)
— V—\Pi в системе S(pi). (A.27)
При п = 2 определитель (АЛ) имеет простое истолкование в
том случае, когда оба импульса одинаковы, т. е. pi = p[. Тогда
для времениподобных р\ из соотношения (II. 7.8) в системе от-
отсчета jR(Pi) следует
Г
PL P2\ = _
Ри

Определители Г рама 319
При р\ < 0 в системе S(pj) получаем
U — V—^Рз
/ г
— у — ИРгз Р2- Рз
(Р20Р3О — P21P3I ~ Р22Р&)>
(А.29)
При « = 3 величина (АЛ), согласно равенству (А.21), представ-
представляет собой скалярное произведение (с,с') = с-с' двух 4-векто-
ров с и с'. Положим теперь, что два 4-импульса, например
р{ и р\, равны друг другу, и вычислим G в стандартной систе-
системе отсчета р\. Если р\ > 0, то в системе отсчета R(pi) с и с<
будут обычными 3-векгорами. Тогда —G = (c, с') = (с, с') =
= — |с||с' |cos9 = — (А I/2(Аз)'/2созф, и из (А.24) следует
G (Pl' Р2' Р3) = >П]Р2РАР5 Sin 923 Sin 945 C0S Ф- (А.ЗО)
VPi, Pi, р5/
Здесь ф — угол между плоскостями, определяемыми парами
векторов р2) рз и р4, Рб в системе R(p\). Формула (П. 7.14) пред-
представляет собой частный случай этой формулы.
Если вектор pi пространственноподобный, то выбирается си-
система S(pi) с Pi3, P20, Р23 Ф 0. Тогда получаем
\Pi, Рь
Эта формула следует из равенства
— G = (с, с') = — | с 11 с' | cos ф = (— Д/2 (- Аз")<U cos ф
и из (А.25). Здесь также знак р\, р\, р\ произволен.
Величина (d, d') есть произведение двух псевдоскаляров.
Следовательно, при п = 4 G просто равно (AjA^8 [см. равен-
равенство (А.22), а также упражнение II. 17].
В тождествах (А.24), (А 28) и (А.ЗО) мы встречаем как си-
синусы, так и косинусы углов 0 и ф. Приравнивая единице сумму
их квадратов, получаем новые тождества
(Ръ PaV
А2 (Pi. P2) Д2 (Pi, Рз) = Ai (Pi) A3 (Pi, P2, Рз) + GI n „ ) ,
VPi. Рз/
A3 (pi. Ръ Ръ) А3 (Рь Рь Рд = (AM)
= А2 (Ри р2) А4 (Ри Р2, Рз. Рд + G I _ _ . I •
\Ри Рг» Pi/

Приложение Б
СФЕРИЧЕСКАЯ ТРИГОНОМЕТРИЯ
Формулы сферической тригонометрии часто бывают нужны
для расчета дифференциальных сечений или для вычисления
апертур спектрометров. Эти формулы приводятся во многих
Фиг. 111.
учебниках; мы выведем здесь основные из них так, чтобы под-
подчеркнуть их свойства симметрии.
Рассмотрим сферический треугольник со сторонами а, Ь, с и
углами А, В, С, показанный на фиг. 111. Для таких направле-
направлений осей единичные векторы, направленные в вершины тре-
треугольника, равны
в! = @,0,1),
е2 = (sinс, 0, cose), (Б.1)
е3 = (sin b cos A, sin b sin A, cos b).
Правило синусов получается-, если вычислить объем параллеле-
параллелепипеда, построенного на е,:
ei • е2 X е3 — sin b sin с sin А. (Б.2)
Из круговой симметрии следует, что это выражение равно также
sine sin a sin В и sin а sinb sin С, откуда и вытекает правило

Сферическая тригонометрия " 321
синусов
sin a sin b sine
1ЫА ~ "Ип~В ~" sin С Ф ^Ь-6'
Правило косинусов сторон, или теорема косинусов, получается,
если подсчитать скалярное произведение
е2 • е3 = cos a = cos Ь cos с + sin Ь sin с cos Л (Б.4)
и т. д. по кругу.
Чтобы и остальные формулы получить симметричным обра-
образом, надо обратиться к сферическому треугольнику, образуемо-
образуемому векторами еи дуальными ег:
. ei = | ll х е' | и т- Д- по-кругу. (Б.5)
Прямым расчетом из (Б.1) и (Б.5) получаем
et = (— sin В cos с, — cosB, sin В sin с),
е2 = (sin А, — cos Л, 0), (Б.6)
е3 = @, 1,0).
При выводе выражений (B.6J «/-компоненту ei можно было про-
проще получить из равенства
ei •е3 = — cos В и т. д. по кругу. (Б.7)
Объем параллелепипеда, построенного на ei, дает опять правило
синусов, но скалярные произведения е*-е3 приводят к правилу
косинусов углов
— в[ • е2 = cos С =ч= cos A cos В — sin Л sin В cos с (Б.8)
и т. д. по кругу.
Другая совокупность уравнений получается, если вычислить
—ei-e3, пользуясь для вычисления ei один раз формулой (Б.1),
а второй раз — формулой (Б.5)
— е2 X е3 • е3 = sin a cos В = cos'b sin с — sin b cos c cos А. (Б.9)
Замена sin а с помощью пропорции (Б.З) доводит число пере-
переменных до четырех:
sin Actg B = ctgbsinc — cos с cos Л. (Б. 10)
Точно такой же расчет е! -е3 дает
ei " e"i X е2 = cos b sin С — cos с sin В cos Л + sin Л cosB. (Б. 11)
И здесь можно вывести из (Б.З) и (Б.11) формулу с четырьмя
переменными, равнозначную тождеству (Б.10).

322
Приложение Б
Если один из углов треугольника равен 90°, то формулы
упрощаются и могут быть сведены в одно правило Напье. Пусть,
например, С = 90°. Тогда это правило гласит, что на- диаграмме
фиг. 112 косинус любой величины равен:
а) произведению котангенсов смежных с ней величин,
б) произведению синусов несмежных величин.
Телесный угол из, описывающий ориентацию е3 относительно
системы координат, определенной векторами ei и еа, теперь дает
Фиг. 112.
dQ3 = d cos b dA. Выписанные ранее уравнения могут быть ис-
использованы для того, чтобы заменить Ь и А другой парой пере-
переменных на фиг. 111. Важный частный случай получается при
замене А на а. Тогда
,~п d cos ad cos 68 (К)
пЩ — •
К. (cos a, cos Ъ, cos с)
где
К(х, у, z)= 1 -х2 - у2 - г2
1
X
У
X
1
г
У
г
1
(Б. 12)
(Б. 13)

ОТВЕТЫ К УПРАЖНЕНИЯМ
II.2.
С точностью до 1 % можно использовать приближение
Е = т + Р212т, если /> ^ 0,2т, и приближение Е = р,
если р ^ 7т.
И. 4. 10,0 нс, 10,1 не, 13,7 нс.
II. 5. а) а = у (су', y'v + Yv0> гДе у' = y3vv'/c2, а штрихован-
штрихованные символы обозначают производные по времени;
б) а-« = 0 получено дифференцированием и-и = с2;
в) а-а = y6/(и'J.
II. 6. уЦм= 0,952, уцм=3.26, р' = _1;46 ГэВ/с, Я* =
s = 2,65 ГэВ, Р* = 2,48 ГэВ/с.
II. 7. В системе мишени вектор импульса лежит на гипербо-
гиперболоиде
Максимальное его значение в СЦМ Р* <|у Vs — 4/п2.
II. 9. а) Плоскость q' = const представляется в плоскости qr
гиперболой
(?-у<7'J г' =и
Y2f2 (?'2 + /и2) fl'2 + 'я2
б) Цилиндр г' = const остается инвариантом, но внутри,
него <7 и ц' связаны соотношением
В плоскости qq* это гипербола (фиг. 4).

324 Ответы к упражнениям
И. 12. Используя выражение (II. 3.6), получаем
- а) т„ = 2,5-10-19с,
N б) Гя« = 7,4 эВ.
II. 13. См. [52].
11.14. См. выражения (II.6.25), (II.6.26); v% = \
III. 1. а) ГэВ2-"; б) ГэВ2".
III. 2. / (Е) = B шK"/2 Я3"/2 /ГC/г/2).
Указание. Воспользуйтесь формулами
где Г — гамма-функция.
III. 4. Напомним, что 0^0^ я/2.
III. 5. Из выражения (III. 4.13) находим
d9* 2
а из выражения (II. 8.32)
. Л, 2 sin 6 cos в
sin 9* =
IV. 1. sin—— =
Y(l-u2cos26) *
1 — v cos 8)
*y 1 — 2y cos 8i ~|- v^
емакс m , дмакс
е
IV. 2. Когда 9, == 92, Et = ?2 и sin -1!— = -g- *=» у или cos -g-=v.
IV.3. Из равенства P^^^JK(s, m2, m|)/? V^ = Щ ctg (о/2) на-
находим
Vs~- д/m?sin21- + scos2-
. a
sin —
IV. 5. w(r) = r (P2 — г2)'4' w{{\ — rVP2)'1"}, где Р - импульс про-
продукта распада.
iV.6. Используем выражение (HI. 2.5)
1 р' T2

Ответы к упражнениям 325
где P\ — /\J'k(m2, m\, tnf)l2m; T2 должно иметь размер-
размерность (массаJ = ГэВ2; /2</4лт2< = 7,4 • 10"и.
тр 4я Зл1р 4я 12 \ /и2, / ' 4я
IV. 8. См. выражение (IV. 3.8);
IV. 9. Для одинаковых масс g] = g* = 1 и
Р2 получается заменой индекса 1 на 2. Для /ив = /п, = О,
mb — m2 = m,
Е
n 2М (Ea + m) Ea cos 92
Г2 = —; ,-у 2 2 '
IV. 10. a) tge^gG^l/Y2, У = (Еа + т)[л/7;
б) tg(e1/2)tge2=i-0, v = r -
IV. 11. а) РГакс = Ра, РГ* = Ра(пг2-
б) РГКС = 2т (Еа + т) Pe/s = {1 + (m2 - n2)/s] Pa,
РГа = о.
IV. 12. Результаты получаются из выражений (IV.V1.12) и
(IV.3.13), (IV.3.14).
IV. 14. Для упругого рассеяния уип -> цгп.
IV. 15. В s-канале t ^ 0, и = 4т2 — s — t ^ 0. Аналогично для
?- и м-каналов.
IV. 17. Пусть тетраэдр образован тремя векторами ai, аг, аз.
Объем его равен V=Q~l&i X а2-а3 и У2=36~' det(at-aj).
Сделав замену а] = и, а22 — х, a] = w, 2а[~а2 —
= x-\-u—v, 2а2-а3 = х-\- w — z, 2a3-ai = и + w — у,
получаем выражение для G, приведенное в упражнении
IV. 16.
IV. 18. Физический результат заключается в преобразовании
Лоренца рг из СЦМ в систему^ покоя рб для параллель-
параллельных векторов.
IV. 20. Эта область соответствует ветви гиперболы (IV. 5.9),
которая лежит на полуплоскости t > 0. Конечно, эта
область не физическая.
IV. 21. a) t+= — 0,00002 (ГэВ/сJ;
б) *+ = -0,04 (ГэВ/сJ.

326 Ответы к упражнениям
IV. 22. Главный член в разложении по степеням Цв при / = 0
/соответствует 0*, = 2s-1 {(/п2 — m2)(m| — m2)}'^. В случае
упругого рассеяния \im->\im при м = 0 главный член
соответствует 6* 1 = п — 2 (т2 — n2)/s «* 175° для яЫ -> пЫ
при 10 ГэВ/с.
IV. 23. Воспользуйтесь выражениями (IV. 4.19) —(IV. 4.22).
IV. 24. o(s) = $(s)C2naXf1 {1 — ехр(—2аЛ/«)}, Л = А(в, /я2, ц2).
IV. 25. Л = (— 0,47 + /) ЮЗе-4-» (s/1 ГэВ2).
IV. 26. Используя равенство * = — 4ЯД51, sin2F1/2), где Ех опре-
' делено в упражнении IV. 9, можно найти doldt =
= Bяа2/^2) X № + 2s/ + 2 (s - М2J} (s - М2).
IV. 27. (s - 4m2) (s + *) sin2 в" + 4m2/ = 0.
IV. 28. Если / > 0, то в системе q = (q°, 0) имеем Ра = Р{ и
Рь — Р2- Тогда (тй — т,) (т6 — т2) ^ 0 означает, что
(?а — ?\) (?6 — ?2) ^ 0 и Ea — El = q° — E2 — Eb не могут
быть одновременно удовлетворены.
IV. 29. /ц = nPiEtfJs,
^/^b^+^+^w/1}-где pi=
m?
V.I. Сравните выражения (IV.5.22).
V. 2. /, = In {h1'* (x,a,b) + x — a — b),
| a - 6 Jln[{(a - 6J - (a + b) x +1 a - b \tf'(x, a,
= j(x-a-b)ly>{x, a, b)-аЫи
V. 3. -j я\~ъ (s, ml, ml).
V. 4. Воспользовавшись результатами решения упражнения V.2,
находим
' Ос—2 /о (nfi _l- rriF\ 2m2m2\ In \ ¦—¦ Г.
где % — к (s, m\, m2).

Ответы к упражнениям S2T
V.5. Заменив | А Р на anN(s2), согласно равенству (IV. 4.19),
из равенства (V. 5.16) и равенства (III. 2.3) находим
d2a3ldti ds2 = {\6nX(s, ml, ml)}'1 k'k(s2, tu ml)
anS
V. 7. Распределение углов Джексона находим, подставляя
exp (bt2), где t2 определяется выражением (V. 7.5), в выра-
выражение (V.5.16) в качестве подынтегральной функции и
интегрируя по всем переменным, кроме cos Вм . В случае
т; = 0 это приводит к распределению х{х — (x-\-s)e~s'x),
, , г 2 1 Q1123
l/X=Sin у 9Й .
V. 8. Используйте свойства ^несимметричных определителей
Грама (А 3) - (А.8).
V.9. Из диаграммы Далица видно, что dR?/dM2i2~const.
V. 10. В системе ра + Рь — Pi = 0 эта поверхность представляет
собой сферу P2 = X(s2, m\, mfjj4s^ А2. Эта система
получается из системы мишени заданием сдвига у =
= (s2 —1{ -\-tnf)j2mb Vs2 в направлении ра — р, в СМ.
Тогда поверхность в СМ представляет собой эллипсоид
' ( ~ «/>гJ + Pi + Y (ар, + РРг - hj = A\ где
и
а = (Ра — Pi) J Ра — Pi I, Р = (Ра - Pi)z/I Ра — Pi I-
VI. 1. Используйте выражение
/v w=(i *)v I; (i «а)*/*! г (k+v+1),
fc=0
где /v —модифицированная функция Бесселя, чтобы
вычислить
2я (Я л/2^Я
Если необходимо вычислить отношение ап(Е) к а (Е), то
можно использовать Е = X ?*,- чтобы ввести множители
ехр{—?i д/2пХ} в интеграл по фазовому объему.

828 Ответы к упражнениям
VI. 2. Если выразить Rn через Та = Мп — \iat то
п\ п/ ^ п\ \in / 1 " " п ""'
о
Начать надо с
интеграл по Тп-Х сводится к В-функции Эйлера.
где sn = tbn = (pb — pnJ, sn-l = (pn + pn-1f и т. д., а пре-
пределы интегрирования на плоскости M\sl+i определяются
уравнением
O(sl+l, Щ+1, т]+1, М2+2, М% т1+2) = 0,
требующим, чтобы процесс kl+2 — kx =/?,+2 + Pi+i был
физическим. Это форма, в которой в качестве перемен-
переменных в мультипериферической диаграмме, приведенной
на фиг. 66, выступают инвариантные массы пар соседних
частиц.
VI. 9. Проинтегрируйте уравнение (VI. 4.27), задавая ориента-
ориентацию р\ относительно произвольной оси, а ориентацию р2
относительно р\. Тогда интегрирование по углам три-
тривиально. Для п = 3 воспользуйтесь равенством
VI. 10. Воспользуйтесь представлением
0; м?2з> т1) х
XR2(M2m; APl2; n§R2(M\2; tn\, mf).
Физическая область представляет собой треугольник.
VI. 11. Физическая область на плоскости M^aMI^s — прямо-
прямоугольник, описанный вокруг диаграммы Далица для
трехчастичного конечного состояния с массами частиц,
равными Ш\ + т2, т3 + т4) т5 + tn&, исключая область
вблизи начала координат. Для конечного состояния из
семи частиц физической областью является вся площадь
прямоугольника.

Ответы к упражнениям' 329
VI. 12. Используйте полярные* координаты на плоскости
VI. 14. В выражение
П
подставьте
<7* = {0, У—?}, <7/-i = V— U-\ (sh r\i, ch TiO,
VI. 15. Примем, что все массы одинаковы и равны /и', и введем
в выражение (VI. 5.14) с заменой п на п+ 1 новую пе-
переменную а, 0 г^ а <: 1, определяемую равенством
= {(У 7 _ m'J _ n2m'2} a + n2m2 « s (о + я2*2),
Тогда u'/8(s', M^2, w'2)«s(l +2д: —а), и, приняв за еди-
единицу энергии пт', получим
Оба члена дают (Ins')".
VI. 16. Сделайте преобразование Лапласа
а) / = Bя)ге"'/г / {(Зп - 2) а2"-2},
б) / = «-'(я/а)"~1.
VI. 17. Воспользуйтесь равенством
Я/2
J 4
VI. 18. При s->oo эти области стремятся к тем значениям со,
которые указаны на фиг. 78; перекрытия нет; фазовая
плотность в этих точках стремится к бесконечности. *
VII. 1. Используйте выражение (VII. 2.12) при г = 0.
VII.2. sin9MaKc = mfc/mc; разрешены любые направления, если
ть > тс, ср. выражение (VII. 2.10).
VII.3. Выражение (VII.2.12) с заменой t>uM на — о(СП-*
-»-СЦМ), определяемое (II. 6.27).

330 Ответы к упражнениям
VII. 4. Используйте формулу
x"-* A + х)~ъ ехр {— Ь A + хI'1} =
([50], формула C.479)) и Куг (х) = (фх)Чг ехр (— х).
VII. 5. w (q) = (В - Ео) [ЕР - т20 In {(P + Е)/т)у\
{г (q)) = [?р - 4 In «Я + р)/Я0}]/2 (Е - Во), -
макс*
макс
VII. 7. dor/dg = 2я J drrf {(m2c + г2I/» sh I, r),
о
где
гМакс = (Ккс + m2) eh
VII. 9. — In {XY/4mamcs) < gn < In (maX/mcY),
s, ml,
Y = s + ml — ml + ХЧг (s, /»a, mX).
VII. 10. Из равенства th? = Pcos8/? находим d cos 6/d? =
= f/3 ch~2?. Следовательно, ay(cos0*)=l означаем
что t«(^*) = const • ch~2?*> где константа включает в себя
интеграл от функции распределения f (P) по Р.
VII. П. 2
согласно равенству (VII. 4.16), dQ*/du* = sin9* = (chu)~1;
w (ым) == ш (cos 9м) ехр 2«м A + ехр 2«м)~3'!.
VII. 12. Запишите о как сумму по эксклюзивным реакциям.
VII. 14. Уравнение, определяющее границу, следует из неравен-
неравенства (ра -\- рь — рх — p2f ^ (минимальное значение недо-
недостающей массыJ, выраженного через продольные им-
импульсы q], q*2 или быстроты ?*> ^ в СЦМ при г1 = г2 = 0:
s - 2 V* (Е\ + ?*) + m* + ml + 2Е\Щ - 2q\q\ >
^(минимальная недостающая, массаJ.
Граничная кривая — это граница диаграммы ПФП при
и = 3 для реакции 2->3 с массами ть т2 и минималь-
минимальной недостающей массой, но выраженная в декартовых
координатах q\, q^

ЛИТЕРАТУРА
1. Abramowitz M., Stegun I. A., Handbook of Mathematical Functions, Dover
Publications, Inc., New York, 1965.
2. Almgren В., Arkiv for Fysik, 38, 161 A968).
3. Асрибеков В. E., ЖЭТФ, 42, 565 A962).
4. Asribekov V. E., Nucl. Phys., 34, 461 A962).
5. Asribekov V. E., Phys. Lett., 2, 284 A962). ,
С Балдин A. M, Гольданский В. И., Розенталь И. Л., Кинематика ядерных
реакций, Физматгиз, М, 1959.
7. Bali N. F., Chew G. F., Pignotti A., Phys. Rev., 163, 1572 A967).
8. Bali N. F., Chew G. F., Pignotti A., Phys. Rev. Letters, 19, 614 A967).
9. Bardadin-Otwinowska M., Mwhejda L., Otwinowski S., Sosnowski R., Phys.
Letters, 21, 351 A966).
10. Benecke I., Chou Т. Т., Yang C. N.. Yen E., Phys. Rev., 188, 2159 A969).
11. Berger E. L, Phys. Rev. Letters, 23, 1139 A969).
12. Berger E. L, Krzywicki A, Phys. Letters, 36B, 380 A971).
13 Bertocchi L, Zalewski K., Nuovo Cimento, 49, 577 A967).
14. Bialas A., Ruijgrok Т., Nuovo Cimento, 39, 1061 A965).
15. Bialkowski G., Sosnowski R., Phys. Letters, 25B, 519 A967).
16. Blaton I., Kgl. Danske Vidensk. Selskab. Mat.-Fys. Medd., 24, № 2a A950).
17. Block M. M, Phys. Rev., 101, 796 A956).
18. Bubelev E. G., Tsernikov N. A., Acta Physika Polonica, 26, 155 A964).
19 Bubelev E. G., Acta Physica Polonica, 26, 279 A964).
20 Byckting E.t Kajantie K., Nucl. Phys., B9, 568 A969).
21. Byckling E, Kajantie K., Nucl. Phys., B14, 355 A969).
22. Byckling ?., Kaartmen M., Kajantie K, Villanen Я., Journ. Сотр. Phys,,
4, 521 A909).
23. Bycking E., Kajantie K-, Phys. Rev., 187, 2008 A969).
24. Byckling E, Pirila P., Zs. Phys., 250, 379 A972).
25. Byckling E., Whippman M., TFT Preprint, 8-72 A972).
26. Byers N., Yang С N., Rev. Mod. Phys., 36, 595 A964).
27. Campbell G. H., Lepore I. V., Riddell R. J., Jr., Journ. Math. Phys., 8, 687
A967).
28. Cerulus F., Hagedorn R, Nuovo Cimento Suppl., 9, 646 A958).
29. Chan Hong-Mo, Kajantie K-, Ranft G., Nuovo Cimento, 49, 157 A967).
30. Chan Hong-Mo, Kajantie K-, Ranft G., Beusch W., Flaminio E., Nuovo Cf-
mento, 51Л, 696 A967).
31 Chew G F, Low F. E, Phys. Rev., 113, 1640 A959).
32 Chew G. F., Rignotti A., Phys. Rev., 176, 2112 A968).
33. Chew G. F., de Tar C, Phys. Rev., 180, 1577 A969).
34. Czyzewski О., в книге Methods of Subnuclear Physics (ed. M. Nicolid),
Gordon and Breach, New York, 1968, p. 129.
35. Dalitz R. H., Phys. Mag., 44, 1068 A953).
36. Deck R. Т., Phys. Rev. Letters, 13, 169 A964).
37. Dedrick K. G., Rev. Mod. Phys., 34, 429 A962)
38. Drell S. D., Walecka J. D., Ann. Phys, (N. Y.), 28, 18 A964).

332 Литература
39. Eden R. J., Landshoff P. V., Olive P. J., Polkinghorne J. C, The Analytic
S-matrix, pp. 197—204, Cambridge University Press, Cambridge, 1966.
40. Erdelyi A., Magnus W., Oberhettinger F., Tricomi F., Tables of Integral
Transforms, McGraw-Hill Inc., New York, 1953.
41. Fabri E., Nuovo Cimento, 11, 479 A954).
42. Feynman R. P., Phys. Rev. Letters, 23, 1415 A969).
43. Fialho G. E. A., Phys. Rev., 105, 328 A957).
44. Finkelstein J., Kajantie K., Nuovo Cimento, 56A, 659 A968).
45 Френкель Л., ЖЭТФ, 47, 221 A964).
46. Friedman J. H., Journ. Сотр. Phys., 7, 201 A971).
47. Friedman J. H., Lynch G. R., Risk C. G., Zang T. A., Jr., Journ. Сотр.
Phys., 8, 144 A971).
48. Гантмахер Ф. Р., Теория матриц, изд «Наука», М., 1967.
49. Goldhaber G., Chinowsky W., Goldhaber S., Lee W,, O'Halloran Т., Phys.
Letters, 6, 62 A963).
50. Градштейн И. С, Рыжик И. М., Таблицы интегралов, сумм, рядов и про-
произведений, Физматгиз, М., 1963.
51. de Groot Е. Н., Nucl. Phys., В48, 295 A972).
52. Hagedorn R., Relativistic Kinematics, W. A. Benjamin, Inc., New York,
1964.
53. Halpern F. R., Special Relativity and Quantum Mechanics, Prentice-Hall,
Inc., Englewood Cliffs, 1968.
54. Halton I. #., SI AM Review, 12, 1 A970).
55. Hammer P. С, в книге On Numerical Approximation (ed. R. E. Langer),
Madison, 1959.
56. Hammersley J. M., Handscomb D. C, Monte Carlo Methods, Methuea and
Co., London, 1967. ¦>
57. Huang K-, Statistical Mechanics, John Wiley and Sons., Inc., New York,
1963.
58. Huang K., Phys. Rev., 156, 1555 A967).
59. Jackson J. D., Nuovo Cimento, 34, 1644 A964).
60. Jacobson D. A., Nuovo Cimento, 45A, 905 A966).
61. James F., CERN Yellow Report, 68-15 A968).
62. James F., CERN Computer Program Library, W505 (long write-up), 1970,
63. Kajantie K., Nuovo Cimento, 53A, 424 A968).
64. Kajantie K-, Lindblom P., Phys. Rev., 175, 2203 A968).
65. Kajantie K-, Karim&ki V., Сотр. Phys. Commun., 2, 207 A971).
66. Kajantie K-, Karimaki V., Ann. Acad. Sc. Fennicae, VI, Physica, 395
A972).
67. Kajantie K-, Tuominiemi /., Physica Scripta, 5, 155 A972).
68. Челлен Г., Физика элементарных частиц, изд. «Наука», М., 1966.
69. van Keuk G., Zur Anwendung des Statistischen Modells mit Drehimpulser*
haltung, DESY Preprint 68/10, Hamburg, 1968.
70. Хинчин А. Я., Математические основания квантовой статистики, Гостехиз-
дат, М. — Л, 1951.
71. Kibble Т. W. В., Phys. Rev., 117, 1159 A960).
72. Kittel W., Van Hove L, Wojcik W., Сотр. Phys.-Xommun., 6, 425 A970),
73. Koch W., в книге Analysis of Scattering and Decay, (ed. M. Nikoli6), Gor-
Gordon and Breach, New York, 1968.
74. Колкунов В. А., ЖЭТФ, 43, 1448 A962).
75. Колкунов В. А., Мейман Н. Н., Николаевский Е. С, Петрухин В: Н.,
Фазовые интегралы, препринт ИТЭФ, 555, М, 1967.
76. Колкунов В. А., Мейман Н, Н., Николаевский Е. С, Петрухин В. Н.,
К методу перевала, препринт ИТЭФ, 561, М, 1967.
77. Колкунов В. А., Мейман Н. Н., Николаевский Е. С, ЯФ, 9, 552 A969),
78. Комолова В. Е., Копылов Г. И., Моделирование рождения и распада
резонансов, препринт ОИЯИ, Р-2027, Дубна, 1965.

Литература 333
79. Комолова В. ?., Копылов Г. И., Усовершенствование программы случай-
случайных звезд, препринт ОИЯИ, Р11-3193, Дубна, 1967.
80. Копылов Г. И., ЖЭТФ, 35, 1426 A958).
81 Копылов Г. И., ЖЭТФ, 39, 1091 (I960).
82. Kopytov G. /., Nucl. Phys., 37, 425 A962). '
83. Kopylov G. /., Komolova V., Nucl. Phys., 47, 33 A963). \
84. Копылов Г. И. Основы кинематики резонансов, изд. «Наука», М., 1970.
85. Kopylov G. /., Penev V. N., Tevzadze Yu. V., Shklovskaya A. /., Nucl.
Phys., B30, 398 A971).
86. Kotanski A., Nuovo Cimento, 56A, 737 A968).
87. Krzywicki A., Nuovo Cimento, 32, 1067 A964).
88. Krzywicki A,, Journ. Math. Phys., 6, 485 A965).
89. Kumar R., Phys. Rev., 185, 1865 A969).
90. Kumar R., Phys. Rev., D2, 1902 A970).
91. Ландау Л. Д., Известия АН СССР, 17, 51 A953).
92. Lepore J. V., Stuart R., Phys. Rev., 94, 1724 A954).
93. Lipes R. G., Nucl. Phys., B24, 16 A970).
94. Lurgat F., Mazur P., Nuovo Cimento, 31, 140 A964).
95. Lynch G. R., Alvarez Programming Group Note, P-162, Berkeley, 1967.
96. Lyons L, Nucl. Phys., B7, 83 A968).
97. Lyons L, Nucl. Phys, B15, 355 A970).
98. Maglii В., Gosta G., Phys. Letters, 18, 185 A965).
99. McLeod D, Nucl. Instr. Methods, 72, 333 A969).
100. McNeil R. P., Morrow R. A., Journ. Math. Phys., 10, 2185 A969).
101. Michael C, Nuovo Cimento, 42A, 562 A966).
102. Milburn R. H., Rev. Mod. Phys., 27, 1 A955).
103. Morrow R. A., Journ. Math. Phys., 7, 744 A966).
104. Morrow R. A., Phys. Rev., 176, 2147 A968).
105. Morrow R. A., Nuovo Cimento, 61 \, 215 A969).
106. Morrow R. A., Ann. Phys., 57, 333 A970).
107. Morrow R. A., Phys. Rev., Dl, 2884 A970).
108. Морс П. М., Фешбах Г., Методы теоретической физики, ИЛ, М., 1958.
109. Nyborg P., Song H. S., Kernan W., Good R. H., Jr., Phys. Rev., 140, В914
A965).
ПО. Nyborg P., Phys. Rev., 140, B921 A965).
111. Nyborg P., Physica Norvegica, 2, 25 A966).
112. Nyborg P., Am. Journ. Phys., 34, 932 A966).
113. Nyborg P., Skjeggestad О., в книге Kinematics and Multiparticle Systems
(ed. M. Nikolic), Gordon and Breach, New York, 1967.
114. Nyborg P., Nuovo Cimento, 58B, 247 A968).
115. Nyborg P., Frodesen A. G., Physica Norvegica, 6, 67 A970).
116. Nyborg P., Nuovo Cimento, 65A, 544 A970).
117. Nyborg P., Herceg-Novi lectures, 1970.
118. Павлов В. П., ЖЭТФ, 45, 1606 A963).
119. Репе О., Krzywicki A., Nucl. Phys., B12, 415 A969),
120. Pirila P., Byckling ?., Сотр. Phys. Comm., 4, 117 A972).
121. Pilkuhn H., The Interaction of Hadrons, North-Holland Publ. Co., Amster-
Amsterdam, 1967.
122. Poon С H., Nucl. Phys., B20, 509 A970).
123. Proriol I., Nucl. Phys., A126, 689 A969).
124. Regge Т., Barrucchi G., Nuovo Cimento, 34, 106 A964).
125. Rindler W., Special Relativity, Oliver and Boyd, Edinburgh, I960.
126. Rohrlich F., Nucl. Phys., 67, 659 A965).
127. Rohrlich F., Nuovo Cimento, 38, 673 A965).
128. Sakmar I. A., Wojtaszek J. H., Phys. Rev., 163, 1748 A967).
129. Satz #., Fortschr. Physik, 11, 445 A963).
130. Satz H., Nuovo Cimento, 37, 1407 A965).

334 Литература
131. Satz H., van Keuk G., Nuovo Cimento, 50A, 272 A967).
132. Skjeggestad 0., CERN Yellow Report, 64-13, Geneva, 1964.
133. Snvastava P A , Sudarshan G , Phys. Rev., 110, 765 A958).
134. Tan, Chung-I, Phys. Rev., D3, 790 A971).
135. Tarski /., Journ. Math. Phys., I, 149 A960).
136. Toller M., Nuovo Cimento, 37, 631 A965).
137. Treiman S. В., Yang С N.. Phys. Rev Letters, 8, 140 A962).
138. Van Hove L, Nucl. Phys, B9, 331 A9691.
139. Werbrouck А., в книге Methods of Subnuclear Physics (ed. M. Nidolid),
Gordon and Breach, New York, 1968.
140. Werle I., Relativistic Theory of Reactions, North-Holland Publ. Co., Amster-
Amsterdam, 1966.
141. Wick G. C, Ann. Phys., 18, 65 A962).
142. Yen E., Berger E. L, Phys. Rev. Letters, 24, 695 A970).
143. Zemach C, Phys. Rev., 140, B97, В109 A965).
Литература, добавленная при переводе
144. Балдин А. М., Гольданский В. И., Максименко В. М, Розенталь И. Л.,
Кинематика ядерных реакций, изд. 2., Атомиздат, М, 1968.
145. Смородинский Я- А. в книге Эйнштейновский сборник, изд. «Наука», М.,
1971, стр 272.
146. Sternheimer R. M., Kinematics. App. 2 в книге Methods of Experimental
Physics, v. 5B, ed. by Yuan L. С L., Wu С S., Academic Press, N. Y.,—
London, 1963.
147. Pinski G., Nuovo Cimento, 24, 719 A962).
148 Kopylov G. I., Nucl. Phys., B52, 126 A973).
149. Коробов Н. М., Теоретико-числовые методы в приближенном анализе,
Физматгиз, М, 1963.
150. Соболь И. М., Многомерные квадратные формулы и функции Хаара,
изд «Наука», М, 1969.
151. Бусленко Н. П., трейдер Ю. А., Метод статистических испытаний, Физ-
Физматгиз, М, 1961.
152. Копылов Г. И. в сборнике Вопросы физики элементарных частиц, в. 4,
Ереван, 1964, стр. 134.
153. Соболь И. М, Численные методы Монте-Карло, изд. <Наука», М., 1973.
154. Зельдович Я- Б, ЖЭТФ, 34, 1644 A958).
155 Смоляк С. А., ДАН СССР, 131, 1028 A960).
156 Максименко В. М., Кандидатская диссертация, ФИАН, 1960.
157 Копылов Г. И, ЖЭТФ, 46, 2063 A964).
158 Foster M. et al., Phys. Rev., D6, 3135 A972).
159. Tables of Particles Properties, Phys. Lett., 50B, № 1 A974);
160. Kopylov G I., Ogievetsky V. I., Nucl. Phys., 50, 241 A964); 57, 697 A964).
161. Hagedorn R., Nuovo Cimento (Suppl.), 3, 147 A965).
162. Sternheimer R. M, Phys. Rev., 93, 642 A954).
163. Sternheimer R. M., Phys. Rev., 99, 205 A955).
164. Kopylov G. I., The Method of Calculating Statistical Weights and Distri-
Distributions in the Theories of Multiple Production, JINR preprint, E-528,
Dubna, 1960.
165. Berger E., Fox G. C, Krzywicki A., Phys. Lett., 43B, 132 A973),
166. Ludlam Т., Slansky R, Phys. Rev., D8, 1408 A973).
167. Kopylov G I., Nikitin A. V., Popova V. M., Nucl. Phys., B48, 117 (Ю72).
168. Воробьев А. П., Дунаевский А. М, Метод сглаживания для моделиро-
моделирования мультипериферических процессов с блоками распределенной мас-
массы, Препринт ФИАН, № 73, М, 1972.
169. Адамович М. И., Харламов С. П, Краткие сообщ. по физике, ФИАН,
№ 12 A974).

ОБОЗНАЧЕНИЯ
Указаны страницы, на которых дано определение перечислен-
перечисленных ниже величин или объяснен смысл сокращенных обозна-
обозначений.
а — общее обозначение 4-вектора, а = (а^) =
= (а°,а\ а2,а*) = (а°,ах, av, az) 16,
a — пространственная часть а, а = (а', а2, а8) 16,
А — матричный элемент 61,
А — абсолютная величина а 19,
А —абсолютная величина вектора с составляющи-
составляющими (а0, а\ а2) 22,
Б —кинематическая функция, связанная с А4 151,
с — скорость света,
dg — элемент инвариантного объема на группе
0A, 2) 23,
dQ — элемент телесного угла 23,
D — величина, введенная в формуле A1,8.21) 51,
Е — энергия,
f(p, s) — инвариантная функция распределения (струк-
(структурная функция) 237,
F — поток 62,
g — метрический тензор 17,
' g* = v/v* 52,
G — кинематическая функция, связанная с Аз
100—104,
G(/?,,...) —несимметричный определитель Грама 312,
/, /„ — интеграл по фазовому пространству (для п
частиц) 62,
/,W — модифицированная функция Бесселя 164, 306,
kt = pi+ ... +pi 176,
tf (*, у, z) = 1 -х2 - у2- z> + 2xyz 167, 322,
()
Kv (ж) —модифицированная функция Бесселя, 306,
//— преобразование Лоренца 16, 23,

336 Обозначения
Ln — интеграл по продольному фазовому простран-
¦ ству (продольный фазовый объем) 206,
т, пи — масса,
т\ — продольная масса 204,
тх — недостающая масса 238, 263,
Mi—инвариантная (эффективная) масса, М2.=
= (р,+ ... +Pif 196,
п— множественность (число частиц),
р — 4-импульс 25,
р — пространственная часть р, р = (р', р2, р3) 25,
Р — абсолютная величина р,
Р* —два значения Р при данном 0 51,
q— продольная составляющая р 48, 204,
q, qi — 4-вектор передачи импульса, qt — ра — pi —
— ... — />, 182,251,
Г, Ti — поперечная составляющая р 48, 204,
к> тA), ?{1\ f (/) —случайные числа, равномерно распределенные
в интервале @, 1) 288,
R(p) — система покоя времениподобного 4-вектора
Р 19,
R(Pu Рь Рз) — система координат, определенная векторами
Pi, P2, Рг Для р\ > 0 39,
Rn(s) — фазовый интеграл (фазовый объем п частиц)
66,
R2 — фазовый объем двух частиц 75,
R3 — фазовый объем трех частиц 120, 124, 151,
s —квадрат полной энергии частиц в системе по-
покоя их центра масс 32, 88,
Sj—-квадрат инвариантной массы двух частиц,
8г = (рг + рг+1J П5, 186,
S{j — квадрат инвариантной массы двух частиц,
*Ц = (рг + Р}J 26,
sx — квадрат инвариантной массы системы X 238,
S — система отсчета 15,
S(p)— стандартная система отсчета р=@, 0, 0,V—Р2)
для пространственноподобных р 19,
S(pi, p2, Рз) — система координат, определяемая векторами
рь р2, рз для р] < 0 46,
Sn — площадь поверхности сферы xj-\- ... + х\\ =
= 1 212,
t, ti — квадрат 4-передачи импульса 84, 88, 181, 238,
2* — значения t при вылете частицы вперед или
назад 104, 109,

Обозначения 337
Г —квадрат матричного элемента 61,
Т — кинетическая энергия 28, 35,
а—4-скорость 24,
и — инвариантная величина, и = (ра— р2J 88,
v — 3-вектор скорости 15,
v—абсолютная величина v 15,
V, оцм — скорость СЦМ в СМ 32, 38, 52,
vn — скорость СП в СМ 38,
vn, цм __ скорость СП в СЦМ 38,
увп — скорость СЦМ в СВП 33,
v*—скорость частицы в СЦМ 50,
Wk — вес при интегрировании методом Монте-Карло
288, 293,
w(x) — распределение величины х 63,
к—масштабная переменная 257,
Хц — скалярное произведение, хг] = рг'р3 220,
X — матрица (х1}) скалярных произведений 221,
Y — лоренц-фактор 16,
б (х) — дельта-функция Дирака,
Дг — симметричный определитель Грама 312,
Дг — сумма Аи взятая со знаком 225,
Д2— определитель Грама второго порядка 41,
Д3 — определитель Грама третьего порядка 42, 100,
Д4 — определитель Грама четвертого порядка 44,
' 151,
е — полностью антисимметричный тензор e^uv
315,
С, я —быстроты 22, 45, 186,
? — продольная быстрота 239,
%ц — одна из толлеровых переменных (быстрота)
160,
0 — полярный угол,
Э12 — угол между pi и р2 (угол разлета) 80,
ЭЙ23 — джексоновский угол в системе центра масс
частиц 2 и 3 139,
TJ23 о
8i3 — полярный угол спиральности в системе цент-
центра масс частиц 2 и 3 140,
в (л) —функция-ступенька 64,
^i» ^з — (азимутальный) угол спиральности в системе
центра масс частиц 2 и 3 (частиц 1 и 2) 140,
160,
», z) — кинематическая функция, связанная с Д2 35,
41,
(i — масса частицы 86,
[it — нижняя граница Mit уцr = mx + ... + mt 177,

338 Обозначения
v — потеря энергии 239,
|— быстрота 17,
р —радиус-вектор на диаграмме ПФП 211,
Ф) — фазовая плотность в переменных Ф 65,
а — сечение 62,
т—время жизни 62,
Ф — азимутальный угол 42, 47,
Фб> Фа — Угол Треймана — Янга в системе центра масс
частиц 2 и 3 (частиц 1 и 2) 140, 160,
Ф — точка фазового пространства 65,
X — относительная быстрота двух систем отсчета
253,
«>. .<°f — Угол Толлера 160, 187,
© — угол на диаграмме ПФП для п = 3 213,
Q — телесный угол,
* — звездочкой отмечены величины в СЦМ 30,
ВП, СВП — система центра масс частиц встречных пуч-
пучков 30,
Л, ЛС — лабораторная система 30,
М, СМ — система (покоя) мишени 30,
HP — нерелятивистский предел 124,
П, СП — система (покоя частиц) пучка 30,
ПФП — продольный фазовый объем 207,
УР — ультрарелятквистскии предел 124,
ФМ— область фрагментации мишени 258,
ФП — область фрагментации падающей частицы 258,
Ц — центральная область 258,
ЦМ,СЦМ — система центра масс 30,
Ц12 — система центра масс частиц 1 и 2 118,

ЙРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ'
Азимутальные углы 42, 140
выражение через инварианты
44, 147, 149, 160
двузначность в определении 47
преобразование Лоренца 49
¦ циклически симметричное пред-
представление 158
Базисная кинетическая функция пя-
тичастичная 153
— трехчастичная 41
— четырехчастичная 100
Быстрота 17
— преобразование 252
— продольная 239, 252
Времениподобные векторы 19, 39
— рекуррентные соотношения 174
— фазовые интегралы для двух ча-
частиц 76 '
Время жизни 62
Грама определители 39, 40, 46, 312—
319
Дерево импульсов 176
Диаграмма Гольдхабера 198
— Далица 119, 125
— кубоктаэдра 219
— Пейру 241, 269
— ПФП 214
— Чу —Лоу 134,201
Дисперсия веса 288
Единицы 28
Изотропный вектор 19
Импульс продуктов двухчастичного
распада 76
Импульсное пространство 58
Инвариант 17, 26
Инвариантная масса 32
двух частиц 26, 115, 182
— функция распределения 237, 265
Инвариантные переменные для реак-
реакции 1—*3 115
1-^-4 219
2-* 2 88
2-^3 131
Инклюзивная реакция 59, 237
Каналы -распада 90
— реакции 2 -> 2 89
перекрестные 60
Квазислучайные числа 291
Кинематические отражения 271
Корреляции 265
— кинематические 204, 267
— функции 266
Коэффициент неупругости 238
Кроссинг-преобразование 88, 89
Ложные эффекты 271
Лоренца преобразования 15—21
— сдвиг 17, 22
Лоренц-инвариантный элемент фазо-
фазового объема 23, 24, 64
Лоренц-фактор 16
Малая группа 79
Масштабная инвариантность 257
Матрица плотности 137
Метод Монте-Карло 282, 286
— недостающих масс 263
— пика в якобиане 263
— седловой точки 308
— F(t) 202
— численного интегрирования 282,
283
Метрический тензор 17
Мнимое вращение 18
Модель однопионного обмена 138,
— 172
^Монте Карло метод 282, 286
Мультипериферическая модель 164,
- 169, 216, 218
Мультиреджевский предел 193
Недостающая масса 238, 241, 263,

340
Предметный указатель
Область переходная 259
— фрагментации мишени 258
пучка 258
Обрезание поперечных импульсов 204,
272
Определители Грама 39, 40, 312
условия на 224, 227
— Кэли 102, 152, 314
Оптическая точка (теорема) 94, 95
Передача импульса, квадрат 27, 84,
181, 238, 301
минимум 109
Перекрестные каналы реакции 60
Переменные на световом конусе 79
Плоскость распада, рождения 140
Плотность событий 286, 296
Полярный угол спиральности 118,.140
Поперечное обрезание 205, 27&
Порог реакции 35, 80, 106
Потеря энергии частицы 239, 250
Поток частиц 62
Преобразование Лоренца азимуталь
ного угла 49
быстроты 18, 255
в активном смысле 20, 22
4-импульса 25, 48
между СЦМ, СМ и СВП 31,
257
одночастичного распределения
69
полярного угла 54
продольное 206, 239, 261
собственное 17
— Лапласа 305
Преобразования Лоренца 15—21
Программа FOWL 283, 292, 302
Продольная быстрота 239, 252
Продольный фазовый объем 207, 208
интеграл 206, 207, 212, 236
Пространственноподобные 4-векторы
19, 78
— рекуррентные соотношения 183
Псевдопорог реакции 35, 80, 106
Псевдослучайные числа 291
Псевдосферические координаты 20, 45
Распределение 63, 237
— Брейта — Вигнера 137, 295, 298
— на диаграмме Далица при мульти-
периферическом матричном элемен-
элементе 164
— нормальное 289
— по фазовону объему 66
двух инвариантных масс
198
Распределение по фазовому объему
для инклюзивных реакций 239
инвариантных масс 124,
196, 197
квадратов передач 137,
203
на диаграмме Гольдха-
бера 199
Далица 123
Чу —Лоу 136, 171,
201
hh 146
одночастичное 203
толлеровых углов 162,278
• углов Джексона 139
— полярных углов спиральности 128
— продольных импульсов 245
— средних поперечных импульс,ов 245
— углов вылета 77
в мультипериферических
процессах 277
разлета 80, 204
Рассеяние вперед (назад) 84
Реджевский предел по всем перемен-
переменным при п=Ъ 169
произвольном п 193
Рекуррентные соотношения времени-
подобные 174, 285
для продольного фазового
объема 207
пространственноподобные 183
Розыгрыш событий 295
Сечение 29
— дифференциальное 63
— инклюзивное 237
— полное 62, 95
Символ Леви-Чивита 315, 316
Система координат джекерновская
117, 139
спиральная 140
треугольная 105, 122, 214 '
— отсчета Брейта 142
встречных пучков 30
лабораторная 301
.покоя мишени 30
частиц пучка 30
центра масс 30, 35
Скалярное произведение 17, 220
Скейлинг 257
— быстрот 258
— продольных импульсов 257
Скорость СП в СМ 38
— СП в СЦМ 38
— СЦМ в СВП 33
— СЦМ в СМ 32, 38
Случайные звезды 282

Предметный указатель
341
Случайные числа (события) 287
нормально распределенные 289
Событие в методе Монте-Карло 288,
295
Соотношение унитарности 166
Статистические методы 67, 283, 304
Существенная выборка 293
Существенные переменные 60
Сферические координаты 19, 39, 320
Толлеровы переменные Г61, 175, 183
— углы 160, 171
Угловой эффект 276
Угол азимутальный 42, 140
— вылета 77, 80
— джексоновский 139
— между джексоновской и спираль-
спиральной системами координат 139
— полярный 39, 41, 319
инвариантная запись 41, 159
— разлета 80
— рассеяния 83, 88
— спиральности 140
инвариантная запись 149
полярный 118, 140
— телесный 322
— — инвариантная запись 44
— Толлера 160, 171
— Треймана — Янга 139
• инвариантная запись 148
Упругое рассеяние, кинематика 86, 95
Фазовая плотность 65, 174, 230
Фазовое пространство 58
поперечно-усеченное 205
продольное 206
Фазовый объем 66
нековариантный 67
нерелятивистский 179, 235, 307
при п = 2 75
п = 3 120, 124, 136, 144, 151
¦ п = 3 в мультиреджевском
пределе 170
толлеровых переменных
163, 193
п = 4 200, 201, 232, 235
, продольный 206, 207, 212, 236
ультрарелятивистский 178, 307
п частиц 177, 181
—^ — в инвариантных перемен-
переменных 232
мультиреджевском
пределе 195
, толлеровых перемен-
переменных 185, 191, 192
Фазовый объем, формула расщепления
179, 198
Физическая область 65, 128
в переменных (Р, 9) или (а, г)
240
(t,sx) 246
(Е. г) 252
выраженная через инварианты
224
для реакции 1-»-3 119
1-*-4 201,229
2-^2 95
2 -»- 3 в инвариантных пе-
переменных 134, 145
Формула Доплера 54
— расщепления 179
Фрагментация 257
— предельная 262
Функции корреляции 266
Функция В 153
— G 100
— X 35, 41, 108
Функция ступенька 64
Центральная область в инклюзивных
реакциях 258
в реакциях 2 ->- 2 108
— предельная теорема 283
Циклические перестановки частиц в
реакции 2 ->- 3 158
Четыре-векторы 16, 19
Четыре-импульс 25
— инвариантная запись 226
— сохранение 58
Четыре-скорость 24
Четыре ускорение 55
Эксклюзивная реакция 59
Эллипсоид импульсов 48
Энергия в мультиреджевском пределе
194
толлеровых переменных 162,
192
— инвариантная запись 34, 36, 91,
118, 143
— как функция угла рассеяния 52,
86
— полная 25
Эффект Декка 276
— чайки 246
Эффективность метода Монте-Карло
286, 293
Ящичная диаграмма 166

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие редактора перевода 5
Предисловие авторов 9
Глава I. Введение 1J
Глава II. Специальная теория относительности 15
1. Преобразования Лоренца, 4-векторы, быстроты, псевдосфе-
псевдосферические координаты ' 15
2. 4-скорость и 4-импульс 24
3. Единицы и условные обозначения 28
4. Системы отсчета для процессов столкновения 36
5. Взаимные переходы между системами центра масс, мишени
и встречных пучков . 31
6. Энергии и импульсы сталкивающихся частиц, выраженные
через инварианты 34
•7. Импульсы и углы, выраженные через инварианты ... 38
*8. Детальное рассмотрение преобразования Лоренца вектора
4-импульса 47
Упражнения 55
Глава III. Фазовое пространство 58
1. Определение фазового пространства , 58
2. Интегрирование по фазовому пространству и сечения ... 61
3. Фазовый объем • 66
*4. Преобразования Лоренца распределений для одной частицы 69
Упражнения 74
Глава IV. Двухчастичные конечные состояния 75
1. Фазовый объем двух частиц 75
*2. Распределение углов разлета 80
3. Рассеяние 2-*-2: соотношения между СЦМ и СМ .... 83
4. Инвариантные переменные для рассеяния 2-»-2 . , , . v. 88
5. Физическая область изменения s, t и и 95
6. Величина t для рассеяния вперед 109
Упражнения 110
Глава V. Трехчастичные конечные состояния 115
1. Распад одной частицы на три ,,..,..,..,.115
2. Диаграмма Далица ...,,....,.,.,,. 119
3. Конфигурации импульсов на диаграмме Далица ..... 125
4. Превращение двух частиц в три ,128
5. Описание с помощью двух инвариантов и двух углов; диа-
диаграмма Чу —Лоу ,,,....,..,.,.,.. 131

Оглавление 343
6. Углы Джексона, Треймана — Янга, спиральности и некото-
некоторые другие . . ' 138
•7. Описание с помощью трех инвариантов и одного угла . .142
*8. Азимутальные углы в инвариантных переменных .... 147
*9. Описание с помощью четырех инвариантов ....... 150
*10. Циклическая' симметрия, угол Толлера 158
•11. Применение выведенных формул 164
Упражнения 171
Глава VI. Множественное рождение 173
1. Введение 173
2. Времениподобные рекуррентные соотношения 174
**3, Пространственноподобные рекуррентные соотношения; пере-
переменные Толлера ... 183
4. Распределения по фазовому объему 196
5. Поперечно-усеченное фазовое пространство 204
6. Продольное фазовое пространство 209
**7. Физическая область в инвариантных переменных . . . 220
**8. Фазовая плотность в инвариантных переменных < . , . , 230
Упражнения 234
Глава VII. Инклюзивные реакции 237
1. Одночастичные распределения 237
2. Пары переменных (Р, 9) и (q, r) 240
3. Пары переменных (t, sx) и (t, \) ** . . 246
4-Пара переменных (?, г) ,......., 252
5. Кинематика масштабной инвариантности и фрагментации . . 257
6. Кинематика метода недостающих масс 263
у 7. Многомерные распределения; корреляции 265
' Упражнения 269
Глава VIII. Кинематические отражения ............. 271
1. Общее описание 271
2. Влияние обрезаний поперечных импульсов или 4-передач . 272
3. Влияние резонансов 278
Глава IX. Численные методы интегрирования по фазовому пространству 281
1. Введение 281
2. Прямое численное интегрирование 283
3. Правила интегрирования методом Монте-Карло 286
4 Уменьшение статистической погрешности 291
5. Применение метода Монте-Карло в физике элементарных
частиц 295
**6. Статистический метод ..,....,,..,.,. 304
•Приложение А Определители Грама 312
Приложение Б. Сферическая тригонометрия ..,.,.,..., 320
Ответы к упражнениям 323
Литература 331
Обозначения , . 335
Предметный указатель 339