Готовимся к экзамену по физике - Никеров В.А., Тренин А.Е.

Автор: Никеров В.А. Тренин А.Е.

Теги: физика подготовка к экзаменам вступительные экзамены задачи по физике школьная физика

ISBN: 5-7836-0124-1

Год: 2001

Похожие

Физика, 9 класс. Методическое пособие

Физика. 9 класс. Часть 1

Курс физики. Часть первая. Механика

Курс физики. Часть 1. Механика.

Текст

ТРЕНИН, ВИКТОР н

яи п ил я
[ТОВИ1
i# ’Э fl ви
144 Я W1

СОВРЕМЕННЫЙ

КРАТКИЙ КУРС

ДОМАШНИЙ ft РЕПЕТИТОР

Мп

ДОМАШНИМ vA РЕПЕТИТОР

АНДРЕИ ТРЕНИН,ВИКТОР НИКЕРОВ
Г отовимся
к экзамену
по

Современный краткий курс

АЙРИС ПРЕСС

РОЛЬФ

Москва

2001
J

УДК 53(075.4)

ББК 22.3

Н62

Серия «Домашний репетитор»'1 основана в 1996 году.

Тренин А. Е., Никеров В. А.,

Н62 Готовимся к экзамену по физике - М.: Рольф,
2Q01. - 224 с., с илл. - (Домашний репетитор).

ISBN 5-7836-0124-1

В пособии дается краткое систематическое изложение ос-
новного содержания школьного курса физики в соответствии
с программой вступительных экзаменов в вузы. Подробно
рассмотрено решение более 50 задач, предлагавшихся на кон-
курсных экзаменах. В пособии содержатся более 150 задач
для самостоятельного решения с подробными ответами. По-
собие предназначено учащимся старших классов и абитури-
ентам для самостоятельных занятий при подготовке к экза-
мену по физике.

ISBN 5-7836-0124-1 . ©Рольф, 1999.

Учебное пособие

Тренин Андрей Евгеньевич
Никеров Виктор Алексеевич

ГОТОВИМСЯ К ЭКЗАМЕНУ ПО ФИЗИКЕ

Редактор: В. В. Черноруцкий
Художественный редактор: А М. Драговой
Технический редактор: С. С. Коломеец
Компьютерная верстка: К. Е. Панкратьев
Корректор: 3. А Тихонова
Иллюстрации: А А Гурьев

Подписано к печати 06.03.99. Формат 84x108/32, Бумага офсетная.
Печать высокая. Усл. печ. л. 11,76. Тираж 10 000 экз. Заказ № 381.

Гигиеническое заключение № 77.ЦС.00.00.П.5087.Т.98 от 01.09.98 г.

Налоговая льгота - общероссийский классификатор
продукции ОК-005-93, том 2 - 953000.

ЛР №064657 от 27.06.96 г.

ООО «Рольф», г. Москва, пр. Мира, 106, тел, (095) 956Л6-84.

Текст отпечатан с готовых диапозитивов в ГП Владимирская книжная типография.
600000, г, Владимир, Октябрьский проспект, д. 7.

Качество печати соответствует качеству представленных диапозитивов.
ПРЕДИСЛОВИЕ

“ - ► *?•' • . I I I _• - . . , . , _ , . , *

В пособии дается краткое систематическое изложение ос-
новного содержания школьного курса физики в соответствии
с программой вступительных экзаменов по физике в техниче-
ские вузы. Оно предназначается учащимся старших классов
и окончившим среднюю школу для самостоятельных занятий
при повторении изученного ранее материала и при подготовке
к экзамену по физике.

Основной учебный материал пособия разбит на семь раз-
делов, каждый из которых рассматривает соответствующий
программный раздел курса физики средней школы. В раз-
деле приводятся основные физические понятия, величины и
формулы; содержатся примеры решения типовых задач. За-
канчивается раздел перечнем заданий для самостоятельного
решения, подробные ответы к которым находятся в конце кни-
ги.

В пособии используются задачи, которые в большинстве
своем предлагались на конкурсных экзаменах по физике в
разных технических вузах.

Учебная работа по повторению курса физики складыва-
ется из двух основных элементов: работа с учебными мате-
риалами, содержащими теорию всех программных вопросов,
и решение задач, В настоящем пособии данные вопросы объ-
единены вместе. Это обстоятельство, а также простота и крат-
кость изложения делают пособие особенно полезным для чи-
тателей, имеющих перерыв в образовании после окончания
средних учебных заведений.

Поскольку материал экзаменационных билетов по физике
в технических вузах в основном состоит из задач, то особое
внимание в пособии обращается на этот аспект. Мы подробно
рассматриваем решение более 50-ти задач и более; 150-ти за-
дач предлагаем для самостоятельного решения. При решении
задач рекомендуется придерживаться следующего порядка:

1. Подробно рассмотрите теоретический раздел пособия
по теме задачи.
Предисловие

2. Внимательно прочтите задачу и математически запиши-
те условие; проследите, чтобы все заданные величины были
выражены в СИ.

3. Обдумайте условие задачи. Выясните, о каких физиче-
ских процессах (явлениях) в ней идет речь. Запишите основ-
ные законы (формулы), которым они подчиняются. Исполь-
зуйте по необходимости справочные материалы.

4. Если возможно, сделайте чертеж, схему, рисунок с обо-
значением данных и искомых величин.

5. Используя математические записи физических законов,
отвечающих содержанию конкретных задач, запишите урав-
нения или систему уравнений, содержащих явно искомые фи-
зические величины.

б. Решите эту систему уравнений в общем виде, т. е. по-
лучите математическое выражение, в одной части которого
находится искомая величина, а в другой — заданные в усло-
вии задачи и взятые из таблицы величины.

7. П сведите вычисления и проверку размерности искомой
величины.

Для облегчения изучения книги в оформлении использо-
ваны следующие пиктограммы:

В ключевой материал, который необходимо просмотреть,
прежде чем приступать к решению задач;

дополнительный материал, который при первом чтении
можно пропустить;

0 дополнительные задачи, иллюстрирующие неожиданную
и не всегда однозначную связь физики с некоторыми про-
блемами жизни.

В тексте приведены гиперссылки, подчеркивающие взаи-
мосвязь между различными разделами книги.

Авторы выражают благодарность Черноруцкому В.В. за
помощь в работе над рукописью.
Механическим движением тела называется изменение его
положения в пространстве относительно других тел с течени-
ем времени. Кинематика изучает движение тел вне зависи-
мости-от тех причин, которые обуславливают это движение.

Часто при рассмотрении движения тел можно пренебречь
их размерами. Это бывает, например, в тех случаях, когда
размеры тел во много раз меньше прочих размеров, с кото-
рыми приходится иметь дело в условиях данной задачи. Те-
ло, размерами которого можно пренебречь в данных условиях
движения, называется материальной точкой. описания
движения тела необходимо указывать, относительно какого
другого тела будет рассматриваться это движение, и связы-
вать с этим телом систему координат (например, прямоуголь-
ную). Кроме того, для описания движения необходимо отсчи-
тывать время. Совокупность системы координат, тела отсче-
та, с которым она связана, и неподвижных относительно тела
отсчета часов называется системой отсчета.

Линия, которую описывает тело при своем движении, на-
зывается траекторией. В зависимости от формы траектории
различают прямолинейное и криволинейное движение, част-
1, Механика
* -* « • •

ным случаем криволинейного является движение по окруж-
ности.

Пусть материальная точка (тело) переместилась вдоль не-
которой траектории из точки А в точку В (рис. 1). Длина
траектории; по которой тело прошло от тонки А до точки В,
называется путем. Эта величина является скаляром и обо-
значается I.

Вектор з, соединяющий начальное положение тела, (мате-
риальной точки) с его последующим положением, называет-
ся перемещением. Как видно из рис. 2 а, если тело движет-
ся прямолинейно и без изменения направления движения, то
з = /, т. е. модуль перемещения равен пройденному пути.
Если же тело, достигнув точки А, вернется в точку В, то
s == OB, а I — О А + В А. Следовательно, модуль перемещения
5 I (рис. 2 б).

Рис. 2

Для количественной характеристики процесса движения
тела вводится понятие скорости движения. Мгновенной ско-
ростью поступательного движения тела в момент времени t
называется отношение очень малого перемещения Дз к ма-
лому промежутку времени At, за который произошло это пе-
ремещение: ~

Ал

АГ

Мгновенная скорость — вектор, всегда

направленный по касательной к траектории (см. рис. 3).

Рис. 3

Единица пути — метр, [$] = 1 м.

Единица скорости — метр в секунду, [и] — 1м/с.

Относительность движения. Всякое положение тела в
пространстве, его покой и движение относительны. Относи-
тельность положения тела заключается в том, что оно раз-
лично относительно разных тел отсчета и связанных с ними
разных систем координат. Относительность покоя тела состо-
ит в том, что в одних системах отсчета тело может покоиться,
в то время как в других системах отсчета — двигаться. На-
пример, все тела на Земле, находящиеся в покое относительно
нее, движутся вместе с Землей относительно Солнца и звезд.
Движение тела также относительно, т. е. относительно раз-
ных систем отсчета скорости движения тел различны по ве-
личине и направлению и определяются правилом сложения
скоростей, изложенным ниже.

Рассмотрим некоторое движущееся тело и две системы от-
счета. Одну из них условно будем считать неподвижной (лабо-
раторной), другую — движущейся относительно первой. Если
скорости движения тела и подвижной системы много меньше
скорости света, то -I- > гДе v — скорость движения
тела относительно неподвижной (лабораторной) системы от-
счета; vi — скорость движения тела относительно подвижной
системы отсчета; — скорость движения подвижной систе-
мы отсчета относительно неподвижной системы. Напомним,
что так как скорость — вектор, то скорости складываются по
правилу сложения векторов.
При неравномерном поступательном движении скорость
тела, изменяется с течением времени. Процесс изменения ско-
рости тела характеризуется ускорением. Ускорением назы-
вается векторная величина, равная отношению очень малого
изменения вектора скорости Дд к малому промежутку време-
ни Ai, за который произошло это изменение:

где Ди = #2 .

В случае прямолинейного движения направление векто-
ра ускорения а совпадает с направлением вектора скорости
£?2, если скорость возрастает по модулю (рис. 4 а), и проти-
воположно направлению вектора скорости иг, если скорость
убывает по модулю (рис. 4 б). При движении тела по кри-
волинейной траектории вектор ускорения а может оказаться
направлен под любым углом к вектору скорости #2 (рис. 4 в).

Рис. 4

Единица измерения ускорения — Atemp на секунду в ква-
драте, [а] = 1 м/с2.

Равномерным прямолинейным движением называет-
ся движение с постоянной по модулю и направлению
скоростью. При этом тело движется вдоль прямой ли-

нии и за любые равные промежутки времени совершает одина-
ковые перемещения. Уравнение такого движения имеет вид:

s - v>t.
Самый простой тип неравномерного движения это
равноускоренное движение. Равноускоренным движе-
нием называется движение с ускорением, постоянным

по модулю и направлению: а — =г const. При этом изме-
нение скорости со временем описывается следующим уравне-
нием движения:

(1)

где г?о — начальная скорость движения.

При выполнении расчетов скоростей и ускорений необхо-
димо переходить от записи уравнений в векторной форме к
уравнениям в виде проекций векторов на оси системы коор-
динат, выбранные, как правило, из соображений удобства и
простоты описания.

Для построения графика скорости равноускоренного дви-
жения с начальной скоростью воспользуемся проекцией век-
торной формулы (1) на произвольную ось Ох:

v% vqx (2)

По горизонтальной оси будем откладывать время, по вер-
тикальной — проекцию вектора скорости на ось Ох (рис. 5).

Графики I и II показы-
вают изменение проек-
ции скорости тела на ось
Ох при равноускоренном
движении, когда проек-
ция ускорения йд. поло-
жительна, что отвечает
условию движения, изо-
браженному на рис. 4 а.

m СО ""

Так как а® = - ,

то можно показать,
что - tgo, где а —
угол наклона графика к
оси времени. Поскольку
ап >aj, то ускорение у второго тела больше, чем у перво-
го. На графике Ш отображено изменение проекции скорости
на ось Ох при равноускоренном движении с отрицательным
знаком проекции ускорения ах соответствующим условиям
рис. 4 б. По графику скорости можно определить проекцию
перемещения на ось Ох за время ti: которая равна

площади заштрихованной трапеции на рис. 5. График IV —
график скорости равномерного движения, т. е. движения с
нулевым ускорением.

В случае прямолинейного равноускоренного движе-
ния выберем ось Ох вдоль направления движения.
Тогда временные зависимости перемещения тела и его

скорости в проекциях на ось Ох могут быть рассчитаны по
следующим основным формулам, в которых знак проекции
ускорения ах определяется условиями движения:

<M2.

2 ’

Vx(£) — Vox 4* axt‘,

s м = ~

~ 2a,

sx(t) = W +

Свободным падением тел называется движение из состоя-
ния покоя (г?о = 0) под действием силы тяжести в безвоздуш-
ном пространстве (в пренебрежении сопротивлением воздуха).

Ускорение свободно падающего тела при малых высотах
над поверхностью земли (h R?, где R — радиус Земли) счи-
тается постоянным и приблизительно равным g = 9,8 м/с2,
поэтому свободное падение является равноускоренным дви-
жением и для него справедливы все формулы равноускорен-
ного движения с заменой ускорения а на д.

Равномерное движение тела по окружности возможно
при наличии у него скорости и ускорения, перпендикулярно-
го скорости; при этом скорость тела по величине является
неизменной.

Линейной скоростью движения тела по окружности
I I называется скорость его движения вдоль траектории
За один полный оборот по окружности ра-
диуса R тело проходит путь I — 2nR, a t = Т (Г — период
обращения тела, равный времени одного полного оборота), то-
рости

1.2. Основы динамики

' i J 4' • • ‘

гда и = ~ = где п = ? — число оборотов тела

в единицу времени или частота вращения.

Угловой скоростью называется физическая величина, рав-
ная отношению угла поворота радиуса, проведенного к точка,
за некоторый промежуток времени к величине этого проме-
жутка: w = За полный оборот <р == 2тг радиан, a t = Т.
Тогда получаем: щ = у = ^ = 2тгп. Единица угловой скоро-
сти — радиан/секунда — это скорость такого равномерного
вращения точки, при котором ее радиус за одну секунду по-
ворачивается на угол один радиан, [tjJ = 1 рад/с.

Связь между линейной и угловой скоростями. Сравнив
формулу для линейной скорости и = ‘УкЯп с формулой угло-
вой скорости си = 2тгп, получим v — uR.

Ускорение при равномерном движении тела по ок-
ружности (центростремительное ускорение). При
равномерном движении по окружности значение ско-
остается постоянным, а направление вектора скорости

v изменяется в процессе движения (см. рис. 4 в). При ма-

лых интервалах времени At для величины модуля.изменения
скорости Ди можно получить: Ад = •

At, а направле-

ние вектора Ду близко к направлению на центр окружности.
Таким образом в случае At -> О находим, что центростреми-
тельное ускорение направлено по радиусу к центру вращения
и рассчитывается по формуле:

Динамика изучает движение тел в связи с теми причина-
ми (взаимодействия между телами), которые обуславливают
тот или иной характер движения. В основе так называемой
классической или ньютоновской механики лежат три зако-
на динамики, сформулированные Ньютоном в 1687 г. Зако-
ны Ньютона (как и остальные законы) возникли в результате
обобщения большого количества опытных фактов. Правиль-
ность их (хотя и для очень обширного, но все же ограничен-
ного круга явлений) подтверждается согласием с опытом тех
следствий, которые из них вытекают.

В специальной теории относительности, созданной
Эйнштейном в 1905 г., ньютоновские представления
о пространстве и времени подверглись радикальному

пересмотру. Этот пересмотр привел к созданию «механики
больших скоростей» или, как ее называют, релятивистской
механики. Уравнения релятивистской механики в пределе
(для скоростей, малых по сравнению со скоростью света) пе-
реходят в уравнения классической механики. Таким образом,
классическая механика является механикой тел больших (по
сравнению с массой атомов) масс, движущихся с малыми (по
сравнению со скоростью света) скоростями.

Первый закон Ньютона формулируется следующим
образом: всякое тело находится в состоянии покоя
или равномерного и прямолинейного движения, пока

воздействие со стороны других тел не заставит его изменить
это состояние.

Система отсчета, в которой выполняется первый за-
кон Ньютона, называется инерциальной. Само явление со-
хранения состояния движения тела (в частности, состояния
покоя) при компенсации внешних воздействий на тело назы-
вается инерцией. Поэтому первый закон Ньютона называют
иногда законом инерции.

О любой реальной системе отсчета можно сказать,
что она является инерциальной лишь в большей или
меньшей степени. Для большинства практических це-

лей систему, связанную с нашей планетой, можно считать
инерциальной. Однако иногда приходится учитывать уско-
рение нашей Земли за счет вращения вокруг своей оси, а так-
же другие ускорения. Так наблюдаемые отклонения свободно
падающих тел от вертикального направления к востоку есть
следствие не полной инерциальности системы отсчета, свя-
занной с Землей. Опытным путем установлено, что система
отсчета, центр которой совмещен с Солнцем, а оси на соот-
ветствующим образом выбранные звезды, является инерци-
альной в гораздо большей, степени. Эта система называется
гелиоцентрической системой отсчета (гелиос — по-гречески
солнце).

Уравнения динамики не изменяются при переходе от од-
ной инерциальной системы отсчета к другой. Находясь, на-
пример, в вагоне поезда, движущегося без толчков прямоли-
нейно и равномерно, мы, не выглядывая в окно, не сможем
определить, движется вагон или покоится. Свободное паде-
ние тел, движение брошенных нами тел и все другие механи-
ческие процессы будут в этом случае происходить так же, как
и в случае, если бы вагон был неподвижен.

Указанные обстоятельства были выяснены еще Галилеем.
Положение о том, что все механические явления в различ-
ных инерциальных системах отсчета протекают одинаковым
образом, вследствие чего никакими механическими опытами
невозможно установить, покоится данная система или дви-
жется прямолинейно и равномерно, носит название принципа
относительности Галилея.

Свойство тел, состоящее в том, что для изменения ско-
рости тела под воздействием внешних тел требуется время,
называется инертностью. Масса — мера инертности тела.

Единица массы — килограмм, [m] — 1 кг.

Плотностью вещества называется отношение массы т
тела, к его объему V: р — у.

Единица плотности — [/?] — 1 кг/м3.

Мерой механического воздействия на тело со стороны дру-
гих тел или полей является векторная физическая величина,
называемая силой.

Если на тело действуют несколько сил, то находят одну
силу, эквивалентную (равноценную) им по действию, назы-
ваемую равнодействующей силой. Равнодействующая сила
находится по правилу сложения векторов:

п
. s , . 'Г

17 Механика

Второй закон Ньютона. Ускорение, сообщаемое те-
лу, прямо пропорционально равнОдейстаующей силе
и обратно пропорционально массе тела:

(3)

По своей важности и частоте применения в самых разных
задачах второй закон Ньютона можно назвать основным зако-
ном физики. И даже если человек забыл все законы физики,
кроме одного, то и тогда надо помнить второй закон Ньютона.

Подставляя в (3) определение ускорения а — получа-
€М Ау = или тДгТ = Fs -At что можно записать как
A(nw) — Fs • At Произведение т$ называется гшпулъсол^
тела, a Fe • Д£ — импульсом силы. Тогда второй закон Нью-
тона можно сформулировать следующим образом: изменение
импульса тела по величине и направлению определяется им-
пульсом равнодействующей силы {импульсная форма второго
закона Ньютона}.

Единица силы — ньютон, [F] — 1 кг • м/с2 = 1 Н.

Соотношение (3) вызывало и продолжает вызывать
среди физиков много споров. До сих пор нет обще-
принятого истолкования этого соотношения. Слож-

ность состоит в том, что не существует независимых способов
определения величин т й Fs, входящих в уравнение (3). Для
определения одной из них {т или F%) приходится использо-
вать соотношение (3), связывающее эту величину с другой и

с ускорением а.

Подчеркнем, что второй закон Ньютона (так же как и два
других закона) является экспериментальным законом. Он
возник в результате обобщения данных опытов и наблюдений.

Всякое действие тел друг на друга носит характер взаи-
модействия: если тело 1 действует на тело 2 с силой F21, то
и тело 2, в свою очередь, действует на тело 1 с силой Дг-

Третий закон Ньютона утверждает, что силы, с ко-
торыми действуют друг на друга взаимодействующие
тела, равны по величине, противоположны по направ-
лению л, подчеркнем, приложены к разным телам. Содержа-
ние закона можно представить в виде равенства:

Отметим, что третий закон Ньютона бывает справед-
лив не всегда. Он выполняется вполне строго в случае
контактных взаимодействий (т. е. взаимодействий, на-

блюдающихся при непосредственном соприкосновении тел), а
также при взаимодействии находящихся на некотором рассто-

янии друг от друга покоящихся тел.

В качестве примера нарушения третьего закона Ньютона

может служить система из двух разноименно заряженных ча-
стиц, движущихся по взаимно перпендикулярным направле-
ниям, удаляясь друг от друга. При этом в системе возникает
магнитная сила, действующая лишь на один из зарядов.

еч Согласно открытому в 1682 г. Ньютоном закона все-
| мирного тяготения, все тела во Вселенной, обладаю-
р щие массой, притягиваются друг к другу с силой, на-
зываемой гравитационной. Эта сила прямо пропорциональна
произведению масс тел и обратно пропорциональна квадрату
расстояния между ними: F = G-——, где гравитационная
г

постоянная G = 6,67 • 10“11 Н • м2/кг2.

едл'» Сила тяжести F — mg является одной из составля-
| ющих силы гравитационного притяжения тела массы
Р т к Земле (или другой планете). Другой составляю-
щей является центростремительная сила, создающая центро-
стремительное ускорение телу при его вращении вместе с Зем-
лей. Эта составляющая много меньше силы тяжести, поэтому
ею часто пренебрегают и считают, что сила тяжести прибли-
зительно равна силе гравитационного притяжения. Исходя из
равенства силы тяжести на любой высоте над поверхностью
планеты и силы гравитационного притяжения, можно рассчи-
тать ускорение свободного падения тела на любой высоте:

mgk = G.n ,.2,
GMP

откуда дь — ———где Мр — масса планеты, a Rp —
(Яр -I- h)

ее радиус. На поверхности Земли (h = 0) получаем, что

GM3
9 ~
ус Земли.

9,8 м/с2, где Мз — масса Земли, R3 — ради-

При некотором значении начальной скорости тело,
брошенное по касательной к поверхности Земли, под
действием силы тяжести при отсутствии атмосферы
может двигаться вокруг Земли по окружности, не падая на
Землю и не удаляясь от нее. Скорость такого движения на-
зывается первой космической скоростью. Она может быть
найдена из условия равенства ускорения свободного падения
д центростремительному ускорению -щ. Откуда для скоро-
сти получаем: v — у/Яз ~д « 7,9 • 103 м/с. Отметим, что при
достижении скорости 11,2 км/с, называемой второй косми-
ческой скоростью, траектория движения тела вокруг Земли
становится незамкнутой и оно уходит от Земли в космическое

пространство.

Весом тела (Р) называют силу, с которой тело вслед-
ствие его притяжения к Земле действует на горизон-
тальную опору или подвес. Если тело находится в

покое на горизонтальной поверхности или равномерно дви-
жется вместе с нею, то вес тела, который численно равен си-
ле реакции опоры, совпадает с величиной силы тяжести, т. е.
Р = тд. Если же тело вместе с опорой движется равноуско-
ренно в вертикальном направлении, то вес тела отличается
от силы тяжести. Когда вектор ускорения а противоположно
направлен с ускорением свободного падения д, то возникает
состояние перегрузки, при котором Р > тд. В случае совпа-
дения направлений а и д вес тела становится меньше силы
тяжести. Если тело вместе с опорой двигаются с ускорением
а = д, то вес оказывается равным нулю. Состояние с нулевым
весом называют невесомостью.

Сила, возникающая в результате деформации тела и на-
правленная в сторону, противоположную перемещению ча-
стиц тела при деформации, называется силой упругости.
Деформацию растяжения или сжатия характеризует «аб-
солютное удлинение»: Дж = х — хо, где жо — первоначальная
длина образца, а х — его длина в деформированном состоя-
нии. Относительным удлинением тела называют соотноше-
ние £ —

<Ъ0

Закон Гука: Сила упругости, возникающая при де-
формации тела, пропорциональна абсолютному удли
нению'тела и направлена в сторону, противополож-

ную направлению перемещения частиц тела при деформации:

Fy = -&|Дж|.

Коэффициент пропорциональности к называется жесткостью
тела, он зависит от материала, из которого тело изготовлено,
а также от его геометрических размеров и формы. Жесткость
выражается в ньютонах на метр (Н/м).

ft 'рЛ Сила, возникающая в месте соприкосновения тел и
| Sv I препятствующая их относительному перемещению,
называется силой трения. Если тело скользит по
какой-либо поверхности, его движению препятствует си-
ла трения скольжения, которая определяется выражением
FTp — pN, где N — сила реакции опоры, а р — коэффициент
трения скольжения. Коэффициент р зависит от материала
соприкасающихся поверхностей и не зависит от скорости дви-
жения и веса тела. Сила трения скольжения всегда напра-
влена противоположно движению тела. Сила трения покоя
возникает при попытке привести тело в движение. Эта сила

трения направлена в сторону, противоположную возможному
движению, и растет по величине по мере увеличения внешней
силы, приложенной к телу. Сила трения покоя уравновешива-
ет внешнюю силу, не позволяя телу двигаться, в том случае,
когда внешняя сила не превышает максимального значения
силы трения покоя. Это максимальное значение совпадает с
величиной силы трения скольжения.

Раздел механики, изучающий условия равновесия, назы-
вается статикой.
~ i Состояние равновесия ненращающихся тел имеет вид
I. либо прямолинейного поступательного, движения, ли-
/ „бо покоя. Поэтому говорят, что невращающиеся те-
ла находятся в равновесии, если геометрическая сумма сил,
приложенных к телу, равна нулю. Согласно второму закону
Ньютона, это означает, что ускорение тела а — 0, но скорость
мржет оставаться постоянной (в частности, нулевой). Таким
образом, условие равновесия тела, находящегося под действи-
ем сил Fi (i = 1,..., N) и не имеющего ось вращения, может
быть записано:

Fi 4- 7*2 Т ' 4г F^f — 0.

Равновесие тел , имеющих ось вращения, опирается на понятие
момента сил. Если к телу с осью вращения приложена сила Д
то ее моментом М называется физическая величина, равная
произведению модуля силы F на ее плечо d:

M = F-d.

Плечом силы d называется кратчайшее расстояние от оси
вращения до прямой, на которой лежит вектор силы F (рис. 6).
Моментам сил, вызывающих вращение тела вокруг оси по ча-
совой стрелке, принято приписывать положительный знак, а
моментам сил, вызывающих вращение против часовой стрел-
ки, — отрицательный зрак.

Единица момента вращения— ньютон-метр, [М] = 1 Нм,

Рие, б
Момент сил определён здесь для простоты как ска-
I I лярная величина. Однако в более общем определении
момент сил является вектором и определяется через
векторное произведение.

е; 1 Пусть на тело действует система сил Л (i = 1,..., ЛГ),
I тогда условие равновесия тела при наличии оси вра-
f щения формулируется в виде следующего правила
моментов:

Mi 4" М2 + М3 + • -* • + Mpj = 0.

Точку, через которую проходит равнодействующая сил тяже-
сти при любом расположении тела, называют центром тя-
жести (центром масс). Для тел правильной геометрической
формы центр масс совпадает с их геометрическим центром.

Векторная физическая величина, равная произведе-
нию массы тела на его скорость, называется импульсом те-
ла; р = mi?. Импульс системы тел равен векторной сумме
импульсов всех тел этой системы. Выделяют замкнутые си-
стемы, на которые либо не действуют внешние силы, либо их
равнодействующая равна нулю (действие сил скомпенсирова-
но). Можно сформулировать закон сохранения импульса: в
замкнутой системе тел при любых процессах ее импульс оста-
ется неизменным.

Покажем справедливость этого закона на примере системы
из двух тел. При взаимодействии двух тел импульс каждого
из них изменяется в соответствии со вторым законом Ньютона
следующим образом: АД = FiAt и Арг = ДАЛ Изменение
полного импульса системы при этом равно: Др == Api 4- Дрг ==
= + Д)Д£. Согласно третьему закону Ньютона, Д — — Д.

Таким образом, получаем Др = 0.

Наиболее -часто при решении задач используется закон со-
хранения проекции импульса системы. Этот закон справед-
лив и для незамкнутых систем, если только существует ось,
проекция результирующих внешних сил на которую равна ну-
лю, Действительно, пусть проекция результирующей силы на
ось Ох равна Fx = 0, тогда из второго закона Ньютона следу-
ет (при постоянной массе): Арх = Fx&t = 0, т.е. &рх = О,

Важным следствием закона сохранения импульса яв-
ляется существование реактивного движения, когда
от тела с большой скоростью отделяется какая-либо

его часть. Например, реактивное движение совершает ракета.
Перед стартом импульс ракеты равен нулю, таким он должен
остаться и после старта. Применяя закон сохранения импуль-
са (действие силы тяжести не учитываем), можно рассчитать,
какую скорость разовьет ракета после сгорания в ней всего
топлива: mTvT + тг$г — 0) где vT — скорость газов, выбра-
сываемых в виде реактивной струи, тТ — масса сгоревшего
топлива, — скорость ракеты, a — ее масса. Отсюда
рассчитываем скорость ракеты:

Схемы различных ракет были разработаны К. Э. Циолков-
ским, который считается основоположником теории космиче-
ских полетов.

Физическая величина, равная произведению модуля
силы на модуль перемещения и на косинус угла ме-
жду ними, называется механической работой:

A — F s cos

Работа — величина скалярная.

Единица работы называется джоулем (Дж); [А] = 1 Н-м —
= 1 Дж.

В зависимости от знака косинуса утла работа может
иметь положительное или отрицательное значение. Если век-
торы F и s совпадают, то cos 0° = 1, и А > 0. Если векторы F и
s направлены в противоположные стороны, то cos 180° = — 1, и
А < 0. Данная ситуация реализуется для сил сопротивления,
трения и т. п. Если же F и s* перпендикулярны, cos 90° = 0, и
А = 0.
0 Мощность определяет скорость совершения работы А
и вычисляется как отношение работы А ко времени t,
в течение которого эта работа была совершена:

Единица мощности называется ваттом (Вт); [TV] = 1 Вт =
— 1 Дж/с,

Если проекция силы Fa на направление перемещения по-
стоянна, то при прямолинейном движении А = Fa • з, тогда
N = Faj. При неравномерном движении | = г>ср — средняя
скорость движения и = Feucp; при равномерном движении
£ == V и N = Fa • V.

Коэффициент полезного действия (КПД) показывает, ка-
кую долю составляет полезная работа от всей совершенной
(затраченной). КПД равен выраженному в процентах отно-
шению полезной работы (Ап) ко всей совершенной (Аз):

Ч = 4й • 100%.
-

Физическая величина, равная половине произведения мас-
сы тела на квадрат его скорости, называется кинетической
2

энергией тела Ек = Пусть на тело массой т действует
постоянная сила F к при этом направление силы и вектора
перемещения ^совпадают. В этом случае работу силы можно
определить как А = F • з. Модуль силы по второму зако-
ну Ньютона равен F — та, а модуль перемещения при рав-
ноускоренном прямолинейном движении связан с модулями
начальной vi и конечной и? скорости и ускорения а выраже-
нием з = -2'2а 1 (см. с. 10). Отсюда для работы получаем
л — ро тг>2 mv? „ „

Л~Гз = “ “21 = Е*2 “ ^к1'

ВЕсли работа силы по любой замкнутой траектории
равна нулю, силу называют потенциальной. Работа
потенциальных сил не зависит от траектории, а опре-
деляется только начальным и конечным положением тела,
величину, равную работе, которую должна совершить потен-
циальная сила, чтобы переместить тело из рассматриваемо-
го положения в нулевое, называют потенциальной энергией
тела (относительно этого нулевого положения). Выбор нуле-
вого положения произволен и определяется соображениями
удобства рассмотрения. Выделяют потенциальные энергии
для тела, взаимодействующего с Землей и находящегося на
высоте h над ее поверхностью, ,Еп — mgh (нулевое положе-
ние — поверхность Земли), а для тела, на которое действует
кх2

пружина жесткости к, растянутую на величину х, Еп —
(нулевое положение — точка, где х = 0). Работа потенциаль-
ных сил равна изменению потенциальной энергии со знаком
минус; А - ~(ЕЦ? - Лщ).

Сумму кинетической и потенциальной энергий тела
называют его полной механической энергией. Если
система тел консервативна (т. е. на нее действу-

ют лишь не зависящие от времени потенциальные силы), то
для нее справедлив закон сохранения механической энергии:
при любых процессах, происходящих в такой системе тел, ее
полная механическая энергия остается неизменной.

Работа непотенциальных сил зависит от пройденного пу-
ти — это силы трения и сопротивления. Если в системе дей-
ствует хотя бы одна такая сила, то полный запас механиче-
ской энергии изменяется и изменение энергии равно работе
против ЭТОЙ силы: ДЕполн.мех = Е2 ~ Ej = ЛСопр-

Физическую величину, равную отношению модуля силы
F, действующей перпендикулярно поверхности, к площади S
этой поверхности, называют давлением: р = .

Единица давления называется паскалем (Па): [р]=1Н/м2 —

Закон Паскаля для жидкостей и газов. Жидкости и
газы передают оказываемое на них давление без из-
менения в каждую точку жидкости или газа. Это по-
Рис. 7

ложение дает интересные следствия и может быть проиллю-
стрировано на примере работы гидравлического пресса. Схема
гидравлического пресса приведена на рис. 7. Гидравлический

пресс использует закон Паскаля: если на малый поршень пло-
щадью Si действует сила Fi, то давление pi = равно дав-

лению р2, передаваемому на больший поршень жидкостью; но

Р2 =

следовательно:

За один ход поршень 1 опускается на высоту hi, а пор-
шень 2 поднимается на hz; так как жидкость несжимаема, то
объем перемещенной жидкости не меняется, т.е. Sihi = S2/12,
откуда

В результате получаем — = -Д или ^2^2 = Fihi, т.е.

А _ Л ~ -Г1 «2

Ai — Аг- ото будет верно, если не учитывать трение поршней
о стенки цилиндров. При наличии трения Az < Лт и коэффи-
циент полезного действия пресса п = Ф- = < 1.

о Л1 Fihi

зависимость давления жидкости от высоты стол-
ба жидкости. Поместим в сосуд с жидкостью, плот-
ность которой р, тонкую пластинку на глубину h
(рис. 8). На нее будет оказывать давление (сверху вниз) за-
штрихованный столбик жидкости. Это давление можно рас-

Рис. 8

Итак, р = pgh. При неизменных р и д давление прямо
пропорционально глубине погружения h, причем на данной
глубине оно одно и то же для любого направления (и вниз, и
вверх, и вбок), так как определяется только значением h.

Сообщающиеся сосуды — это любые сосуды, соединенные
между собой. Однородная жидкость в сообщающихся сосудах
устанавливается на одном уровне (рис. 9), так как давление
на АВ должно быть при равновесии одинаково, т. е. р\ = р2
или pghi = pgh,2 и = Zl2«

Давление атмосферы. Воздух, окружающий Землю,
давит на ее поверхность и все предметы, находящи-
еся на ней. Это давление зависит от плотности воз-

духа, ускорения свободного падения и высоты столба возду-
ха, Впервые величину атмосферного давления измерил Тор-
ричелли: он взял метровую узкую трубочку небольшого сече-
ния, наполнил ее ртутью, закрыл открытый конец пальцем,
перевернул и опустил в чашечку со ртутью. Ртуть в трубке
опустилась, но вся не вылилась, так как давление столбика
ртути уравновесилось атмосферным давлением. Нормальным
атмосферным давлением считается давление, когда высота
столбика ртути h = 76 см — 760 мм. В системе СИ это давле-
ние будет равно р = = 13,6 • 103 кг/м3 • 9,8 м/с2 • 0,76 м =

= 1,01 • 105 Па. Итак, давление 1,01 • 105 Па является нор-
мальным атмосферным давлением, и ему соответствует вы-
сота столбика ртути 760 мм. Таким образом, вводится допол
нительная (внесистемная) единица атмосферного давления - -

миллиметр ртутного столба: 1 мм. рт. ст. —
= 133 Па.

(1,01-10® Па)

760 ' “

Приборы для измерения атмосферного давления называ-
ются барометрами. Используемая Торричелли трубка с рту-
тью — прообраз ртутного барометра. Однако данные бароме-
тры неудобны, в употреблении, поэтому в практике использу-
ют металлические барометры — анероиды, т. е. «безжидкост-
ные», они не содержат ртути. Главная их часть — металли-
ческая коробочка с гофрированной поверхностью, из которой
выкачен воздух. Чтобы атмосферное давление не раздавило
коробочку, ее крышку пружиной оттягивают вверх. Измене-
ние атмосферного давления меняет изгиб крышки, который
фиксируется с помощью шкалы измерений.

Сила Архимеда. Поместим цилиндр высотой h и пло-
щадью S в жидкость на некоторую глубину hi (рис. 10).
Так как верхнее и нижнее

его основания будут на разных глу-
бинах (/ii и Дг), то давление жид-
кости на них будет разйым:

△р = р2 = ржр(/12 “ Л1) = Mh.

В результате на цилиндр снизу
вверх будет действовать выталки-
вающая сила, равная _ГВЫТ = Др5 =
= РжЗ'Кела* Данная сила называ-
ется силой Архимеда, и выражение для нее справедливо длд
тела любой формы, помещенного в любую жидкость или газ.
Когда тело не целиком находится в жидкости, то в выражение
для силы Архимеда входит объем его погруженной части.

Если сила тяжести тела будет больше выталкивающей си-
лы, тело будет тонуть; если меньше — всплывать на поверх-
ность жидкости (или газа) до тех пор, пока выталкивающая
сила не станет равной силе тяжести. Если сила тяжести равна
выталкивающей силе, тело находится в равновесии в любом
месте внутри жидкости.
Равноускоренное прямолинейное движение

?=^f, 5=^, ?=Й> + 3«,

v,(t) = vo,+ a,t; e,(t) = v0,t+ sx(t) = "*^2a~

Равномерное движение по окружности

Второй закон Ньютона

Третий закон Ньютона

Закон всемирного тяготения

Закон Гука

Сила трения

Закон сохранения импульса

Механическая работа

Мощность

Кинетическая энергия

Потенциальная энергия

F -

Fy = fc|Xx|.

FTp = дЯ.

mivi + тп2^2 = mif/ + т2#2-

A — Fs cos 9?.

л-=4-

Es = ^-, А = Ек2-Ел.

En — mgh, En = 2 ,
A = -AEn = Eni — Fa2>

Закон сохранения энергий
с участием:

потенциальных сил

не потенциальных сил

(сил сопротивления)

Давление на глубине h
Сила Архимеда

в механических процессах

EKi + Eni == ЕК2 + Еп2;

Ек2 4- ЕП2 = ЕК1 + Eni+
“Ь^-сил сопротивления*

Р = pgh.

FД, = ржУтел&д ‘
ОБОЗНАЧЕНИЯ-

** • «4 •

t — время, [с];

з — перемещение, [м];

v — скорость, [м/с];

w — угловая скорость, [рад/с];

Т — период вращения, [с];

п —частота вращения, [1/с];

а — ускорение, [м/с2];

Оц — центростремительное ускорение, [м/с2];

Е — сила, [Н];

к — коэффициент жесткости, [Н/м];

N — сила реакции опоры, [Н];

р> — коэффициент трения;

m — масса, [кг];

А — работа, [Дж];

Ек — кинетическая энергия, [Дж];

Еп — потенциальная энергия, [Дж];

р — плотность, [кг/м3];

N — мощность, [Вт].

КОНСТАНТЫ:

G = 6,67 10"11 (Н • м2)/кг2 — гравитационная постоянная;

g — 9,8 м/с2 — ускорение свободного падения.

При решении любой кинематической задачи надо, в пер-
вую очередь, выбрать систему отсчета, которая состоит из
тела отсчета, связанной с ним системы координат и начала
отсчета времени. Выполняя рисунок к задаче, следует изо-
бразить в нем систему отсчета (если это возможно), траекто-
рию движения, все векторные величины, определяемые усло-
вием и положением тела в начальный момент времени. Дат
лее составляются кинематические уравнения (законы) движе-
н»я для каждого тела в векторной форме и в проекциях на
✓

выбранные оси координат. При необходимости определяются
дополнительные уравнения, которые могут быть кинематиче-
скими, геометрическими, тригонометрическими, конкретны-
ми математическими связями, вытекающими из условия за-
дачи. Полученная система уравнений решается относительно
искомых величин.

Задача 1. Под каким углом к течению должен плыть катер,
чтобы переправиться на противоположный берег реки в крат-
чайшее время? Какой путь он проплывет, если скорость те-
чения реки 1м/с, скорость катера относительно воды 6 м/с,
ширина реки 200 м. Берега реки параллельны.

Дано: «1 = 1 м/с; «2 = 6 м/с; d — 200 м; «=?;/ = ?

Решение: Выбираем за систе-
му отсчета берег, связывая на-
чало координат с отправной точ-
кой движения катера О. Ось Ох
направим по течению реки, ось
Оу — перпендикулярно в сторо-
ну другого берега (рис. 11). Угол
а между вектором скорости
катера относительно воды v? и

осью Ох выберем произвольно. Скорость катера относитель-
но берега V = vi + tf2. Движение катера равномерное, следо-

дательно, векторное уравнение движения имеет вид:

з = (ri +

Уравнение движения в проекциях на координатные оси:
sx(t) - (^i + «2 cos a)t, (1)

sy(t) = («2 sina)t (2)

Из уравнения (2) определяем время движения катера до дру-
гого берега tc. Так как sy(tc) = d, то находим tc — а.
Как видно, время tc минимально при sin а = 1. Следователь-
но, а — 90°, a te(min) = Длина пути I определяется моду-
лем вектора перемещения за время ic(min): I = ds*. + 5$, где
согласно уравнениям (1) и (2) имеем 8г(^(тт)) = vitc(min) =
= Йр a S, = d. Тогда I = .+ <Р = dji + 1-

V v2 \ v2

_ </q'7

Проводим вычисление: I = 200 • — « 202,8 м.
о

Ответ: а = 90°; I = 202,8 м.

Задача 2. За какое время можно остановить автомобиль,
движущийся со скоростью 72 км/час, если при аварийном тор-
можении ускорение равно 5 м/с2? Какова величина тормоз-
ного пути? Чему равна скорость автомобиля на половине тор-
мозного пути?

Дано: Vo = 72 км/час = 20 м/с; ат — 5 м/с2; =?; sT =?;

ъ = ?

= 0, v=0

Рис. 12

Решение: Выбираем начало системы отсчета в точке нача-
ла торможения О (рис. 12), направим ось Ох вдоль линии
перемещения автомобиля. Уравнения равноускоренного дви-
жения имеют вид:

s(t) = vQt + ~, v(t) = v0 + at. (1)

Проектируем уравнения (1) на направление оси Ох, получим
систему скалярных уравнений, в которых ат — модуль век-
тора ускорения, а ах = — ат (см. рис. 4 б]‘.

п t2

sx(t)-vot----V-, vx(£) = Vo - aTt. (2)
Вводим дополнительные условия для момента времени окон-
чания движения tT: vx(tT) *=0. Запишем уравнения (2) в
момент времени t =

: ' • a t2 ' ' -

| Зх (^т) ~ 2 ’ 0 Vq Огх^т •

Решая алгебраическую систему, получаем;

Гт“ат’ ^”2^'

Проводим расчет:

= 40 м.

20 м/с

*т —? к /2

5 м/с

i_ • . .’i :

Для нахождения v2 запишем систему уравнений (2) в мо-

Зт

мент времени прохождения половины пути торможения -у:

s«(t2) = ^ = «о«2 -

^(tj) = V2 = Vq - Ms-

тж , Vq — V2

Из уравнения для скорости найдем время t2 = ——• и под-
ставим его в уравнение для 8Х(12\ Тогда получим известное
выражение для величины перемещения через изменение ско-
рости: -а- — v0 - откуда находим v2 — у Vj, - °т5т- Иро-
водим расчет:

V2 = (400 м2/с2 - 5 м/с2 • 40 м)1/2 ₽з 14 м/с.

’ ; i , . ’ ' • •

< • .

Ответ: fT == 4 с; sT — 40 м; v2 ~ 14 м/с.

I. ' . ’ ’ f ’ • > .

Задача 3. Тело брошено вертикально вверх со скоростью
40 м/с. Ускорение свободного падения 10 м/с2. Определить:
1) максимальную высоту подъема; 2) время набора макси-
мальной высоты; 3) путь и перемещение тела за 6 секунд.

Дано: vq = 40 м/с;, д — 10 м/с2; fi = 6 с; Н =?, =?,

Z(ii)=?, Ф1)=?
Решение: Траектория тела, брошен-
ного вертикально вверх, представля-
ет собой прямую линию. Реализован-
ное движение будет равноускоренным с
ускорением свободного падения д. За те-
ло отсчета целесообразно взять Землю.
Для решения задачи достаточно одной

координатной оси Од. Начало отсчета
совместим с поверхностью Земли. В на-
чальный момент времени тело находит-
ся в точке, координата которой равна

Рис. 13

нулю. Вектор начальной скорости направлен вертикально
вверх, ускорение свободного падения — вниз (рис. 13).

Воспользуемся уравнениями перемещения и скорости в

векторном виде:

at2

s(t) = vot+~~, tf(t)=vb + $- (1)

Спроектируем уравнения системы (1) на ось Оу и запишем их
в момент tn времени набора максимальной высоты Н. В этой
точке мгновенная скорость равна нулю. Получаем с учетом
9у — ~9i где 9 — модуль ускорения свободного падения:

- Н = vqIh -

9*н

Vyttn) = 0 = v0 - giH.

Решая систему (2), находим:

Vq _ 1600 м2/с2
2д ~ 2 >10 м/с2

— S0 м;

in —

40 м/с

10 м/с2

Перемещение s(fi) определяется из пер-
вого уравнения системы (2) заменой in
Haii. Откуда получаем:

(2)

Рис. 14

\ . gtl ч с (10 м/с2) • (36 с2)

s(ti) = voii _ 2 = м/с) ' $ с “ Л~~ ~ 6$ М
Для расчета пути за время ti учтем вид траектории тела,
условно изображенной на рис. 14. Откуда получаем, что путь
тела l(ti) определяется суммой Н-М2. Поскольку 12 =
то 1(h) = 2H-s(h)> Проводим расчет: 1(h) = 2-(80 м)—60 м =
= 100 м.

Ответ: Н = 80 м; tn = 4 с; «(й) = 60 м; 1(h) = 100 м.

Задача 4. Прямолинейное движение точки задано уравнени-
ем x(t) = — 2 + 3£-0,5£2 (м). Написать уравнение зависимости
скорости точки от времени. Построить график этой зависи-
мости. Найти координату и скорость точки через 2 и 8 с после
начала движения. По графику зависимости найти перемеще-
ние и путь за время 2 и 8 с.

Дано: »(i) — —2 + 3i — 0,5i2; h — 2 c; t2 — 8 c; vx(t) = /(£) = ?;
s(*i) 3?(t2) = ?; v(*i) v(h) = ?; s(*i) =?; s(t2) = ?;

Решение: Выберем в качестве тела отсчета Землю и напра-
вим ось Ох в сторону движения точки, также выберем начало
координат (рис. 15 а). Сравним заданное уравнение с уравне-
нием движения в общем виде:

я(£) - т0 + vOxt 4- (1)

В результате находим, что при t = 0 координата точки бы-
ла равна xq = -2 м, скорость vqx = v0 = 3 м/с, ускорение
а* = —а = —1 м/с2. Такцм образом, имеем равноускоренное
движение с уменьшающейся скоростью. Используем общее
уравнение движения для изменения скорости

(i) — Vox И-

и находим искомую зависимость для нашего случая:
vx(f) = 3-l-t (2)

, ’ • *

График этой функции изображен на рис. 15 б. Из него видно,
что через 3 с после начала отсчета времени точка останови-
лась, а затем начинает движение в противоположном направ-
лении с тем же ускорением.

Значения скоростей движения находятся из уравнения (2):

г>(*1) = М*1)| = 1 м/с; v(t2) = ЫМ = 5 м/с.

•

Для нахождения координаты подставим значения й 'и t2 в
уравнение (1) и получим: x(ti) = 2 м, #(£2) .= —10 м. Т. е.
через 2 с точка будет находиться в двух метрах справа от
начала координат, а через 8 с — в десяти метрах слева от
начала координат.

Перемещения находятся следующим образом:

зДЬ) ~ $(*1) ~ ж(°) ~ 4 м> s(*l) ~ 1М*1)1 - 4 м-

Пройденный за это время путь l(ti) = з(£х) = 4 м. Он может
быть вычислен с учетом масштабов и как площадь трапеции
АОМВ.

В момент времени i2 перемещение находится аналогично:

sx(t2) = x(t2) - з(0) - -8 м; s(t2) = isa(i2)j = 8 м.

На графике величина перемещения s(i2) может быть опре-
делена как разность площадей треугольников АОС и CKD,
При этом пройденный за t2 путь определяется суммой пло-
щадей этих треугольников и равен /(<2) = 17 м. Данный путь
может быть определен и как сумма следующих перемещений:
2 ♦ + «(h)? где h = 3 с — момент времени с начала дви-

жения, когда меняется направление скорости.

Ответ: vx(t) = 3-4 м/с; v(4i) = 1 м/с; v(42) = 5 м/с;
«(h) = 2 м; «(h) = -Юм; s(h) — 4 м; з(42) = 8 м; Z(h) = 4 м;
1(«2) = 17 м.

Задача 5. Тело брошено под углом 30° к горизонту со ско-
ростью 10 м/с. Найти зависимость горизонтальной и верти-
кальной составляющих скорости, а также координаты тела
от времени. Определить время подъема, время полета, мак-
симальную высоту и дальность траектории, если д = 10 м/с2..
Дано: Vq = 10 м/с; а ~ 30°; д = 10 м/с2; vx(t) = ?; vy(i) = ?;
х(0 = ?; y(t) = = ?; 4П = ?; H = ?; I = '!

Рис. 16

P e ш e н и e: Выберем начало координат в точке бросания те-
ла, а оси координат направим так, как показано на рис. 16.
Тогда проекции начальной скорости на выбранные оси имеют
вид:

ощ = cos о; Voy. = vq sin а.

Запишем общий вид проекций уравнений движения на вы-
бранные оси. Для перемещения имеем

. 3x(t) = x(t) = BotCOSO, (1)

эДО = 2/(0 = Voi sin O'-У. (2)
Проекции уравнения скорости имеют вид

vx(t) ~ VQCosa, (3)

vy(t) =v0 sin a- gt. (4)

Запишем уравнения (2) и (4) в момент времени подъема t — tB,
тогда:

г / ' ' ' • t ' ' ' * > : • .

sv(tB) = y(tB) = Н ~ vQtB sina - —а, (5)

^(tB) = 0 = Vq sin a- gtB, (6)

Решая систему уравнений (5)-(6), находим, что

,в = Мпа = 0,5 с; Н=^Ц^ = 1,25м. ;

Запишем уравнение (2) в момент времени полета tn:

= = 0 = Votn S1H СХ 2^I

откуда получим, что

/ _ -л '

I гп — ~д Zf£zB — Л с»

Дальность I определяется из уравнения (1) подстановкой туда
найденного tn:

I — Sjr(tn) *“ <$(tn) — д ' ‘ ~ — 8,75 м.

Ответ: tB = 0,5 с; ta = 1 с; Н = 1,25 м; I = 8,75 м. Уравнения
движения (1)-(4) с учетом конкретных значений а и до имеют
вид vx(t) = 5\/3 м/с; vy(t) = 5 - 10t м/с; x(t) - 573 • t м;
y(t) = 5t - 5t2 м.

Задача 6. Из самолета, движущегося горизонтально со ско-
. s ростью 40 м/с, на высоте 500 м сброшен груз без начальной
скорости относительно самолета. На каком расстоянии по го-
ризонтали от места выброса упадет груз? С какой скоростью
1! й под каким углом к горизонту он упадет на Землю?

Дано: vo = 40 м/с; Н = 500 м; д = 10 м/с2; I -?; уп =?;
а=?
Решение: Описываемое движение груза представляет собой
суперпозицию горизонтального равномерного движения и сво-
бодного падения, для которых ход времени един и начинается

в момент сброса груза. Выберем оси координат, как показано
на рис. 17, тогда проекции начальной скорости на выбранные
оси имеют вид:

Vq® ^0) ^'0у ~

Уравнения движения в проекциях можно записать следую-
щим образом:

(0 •— $(0 — (1)

Sy(t) = y(t) = (2)

vx(t)~vQf (3)

МО = gt. (4)

Запишем систему уравнений (1)-(4) в момент времени паде-
ния тела на Землю tn:

(V)

®у(^п) — у(^п) = Н ~ (2Q

Vz(tn)-VQ, (3')

Vj,(tn) — gtn< (4Z)

Решая систему уравнений (1')-(4')} находим: tn = =

= 10 с; / = vo*n = 400 м; vn - v2{tn) + v^(tn) ~ у/+g2t% w
« 108 м/с.
Искомый угол а определяется согласно рис. 17 следующим
образом:

. у/2^п х ^/2дП „0

= = а = arctsтг й 68'

Ответ: I - 400 м; дп = ЮЗ м/с; а == 68°.

Решение задач по динамике следует начинать с выбора
системы отсчета, определения характера и формы траекто-
рии движения рассматриваемых тел и выполнения чертежа,
на который наносятся все силы, действующие на каждое те-
ло, а также кинематические характеристики движения. При
этом надо четко представлять, в результате каких взаимо-
действий возникает та или иная сила, ее характер, природу.
При использовании одной координатной оси ее целесообраз-
но сонаправить с вектором ускорения тела. Далее записыва-
ются основные уравнения динамики в векторной форме для
каждого тела отдельно. Затем основные уравнения динами-
ки записываются через проекции сил на выбранные оси ко-
ординат. Используя дополнительные условия (невесомость
и нерастяжимость нитей и т.д), отыскиваются недостающие
уравнения. Наконец, полученные уравнения решаются отно-
сительно искомых величин.

Задача 7. По наклонной плоскости с углом наклона к гори-
зонту в 30° спускают с помощью каната груз массой 500 кг с
начальной скоростью 4 м/с. Определить силу натяжения ка-
ната, если на участке пути в 10 м скорость груза уменьшилась

вдвое. Коэффициент трения 0,1, cos 30° = 0,86.

Ускорение

свободного падения g = 10 м/с2.

Дано: т = 500 кг; а — 30°; з = 10 м; g == 10 м/с2; д = 0,1;
vq = 4 м/с; v9 — у-; Т — ?

Решение: При решении данной задачи за тело отсчета при-
мем Землю. Траекторией груза будет прямая линия. Вектор
скорости направлен вниз по уклону, а вектор ускорения — в
обратную сторону. На груз при движении будут действовать
1. Механика
' • -J! .

-**••• •• • • - »

четыре силы — сила тяжести тд, направленная вертикально
вниз, сила нормальной реакции опоры N, перпендикулярная
наклонной плоскости, сила трения FTp, направленная против
движения, и действующая в этом же направлении сила натя-
жения каната Т (см, рис. 18).

Рис. 18

Направим ось Ох вдоль наклонной плоскости вверх и пер-
пендикулярно ей вверх ось Оу.

Запишем основное уравнение динамики для данного слу-
чая:

та ~Т + N + тд + Др.

Уравнения проекций на оси Ох и Оу будут соответственно:

Ох :

Оу :

тах -Т -тд sin а + Гтр,
0 = N ~ тд cos о.

Вспомогательными уравнениями будут выражения для силы
трения FTp = /zA? и кинетическое соотношение s = 4. В

данном случае проекция ускорения ах должна быть положи-
тельной, так как ее знак определен направлением оси Ох, т. е.

Vn — Vg ш Зу2

ах ~ 2з ' Учитывая» чт0 ~ ~2> находим ах =

Из проекции основного уравнения динамики на ось Оу по-
лучаем N = тд cos о, следовательно, FTp = цтд • cos а. Под-
ставляя значения и ах в уравнение проекции на ось Ох,
получаем:

— Т — тд • sin о + цтд • cos а.
Откуда находим

3t7Wq
8s

+ mg • sin a — (img • cos a.

Проверим единицы измерения каждого из трех слагаемых,
определяющих силу натяжения Т: [год] = кг • м/с2 = И;
Г mv2 _ кг ♦ м2 _ тт

I 8 J ” м-с2 •

Проводим расчет:

Т = 500 • + 10 • 0,5 - 0,1 • 10 • ОЗб) = 2370 Н.

Ответ: Т = 2370 Н.

Задача 8. Человек массой 80 кг находится в лифте. Опре-
делить вес человека в следующих случаях: а) лифт подни-
мается с возрастающей скоростью; б) лифт поднимается с
уменьшающейся скоростью; в) лифт опускается, ускоряясь;
г) лифт опускается, замедляясь; д) лифт покоится; е) лифт
поднимается с постоянной скоростью; ж) лифт опускается с
постоянной скоростью. Для случаев а), б), в), г) движение
осуществляется с ускорением 0,8 м/с2.
л

Дано: m = 80 кг; а = 0,8 м/с2; Р —Ч

Решение: Во всех случаях по определению вес человека ра-
вен силе Р, с которой он давит на пол лифта. Но по третьему
закону Ньютона, на человека со стороны пола действует си-
ла реакции опоры ЛГ, направленная вертикально вверх. Эти
силы по модулю равны: N — Р, кроме того, в каждом случае
на человека действует сила тяжести mg, направленная верти-
кально вниз. Уравнение 2-го закона Ньютона одинаково для
всех случаев движения человека вместе с лифтом:

2V + mg = ma, или — ma — mg. (1)

• , . . . .. । . ;: , • 1 '

С* - • .... ' '

Спроецируем уравнение (1) на ось Оу, направленную верти-
кально вверх. Будем учитывать, что в случаях а) и г) уско-
рение а направлено вверх и его проекция будет равна av = а;
для случаев б) и в) ускорение а направлено вниз и его про-
екция йу = -а, В случаях д), е) и ж) имеем ау = а - 0. В
результате проецирования получаем:

a) N ~ т(д 4- а) = Р, д) N - тд = Р,

б) N ~ т(д - а) — Р, е) N = тд = Р,

в) N ~ т(д - а) = Р, ж) N = тд = Р.

г) N = т(д + а) = Р,

Проводим расчет и получаем ответ.

Ответ: Р — 848 Н в случаях а) и г); Р = 720 Н в случаях б)
и в); Р — 784 Н в случаях д), е) и ж).

Обратим внимание на то, что вес тела не зависит от того, в
каком направлении движется лифт, а зависит от направления
вектора ускорения а относительно силы тяжести тд. В том
случае, когда модуль ускорения а = Q, вес тела не зависит от
того, движется лифт или покоится, а также от направления
движения.

Задача 9. Математический маятник с длиной нити 6 м вра-
щается в горизонтальней плоскости с частотой 15 об/мин. Ка-
кой угол образует нить маятника с вертикалью?

Дано: I == 6 м; п = 15 об/мин = об/с; а = ?

Решение: На вращающееся тело действуют сила тяжести
тд, направленная вертикально вниз, и сила натяжения нити
Т (см. рис. 19). Основное уравнение динамики можно записать
в виде:

та = тд + Т.

(1)

Поскольку движение происходит по окружности, то а — ац =*
= и2Л. Выбираем оси Ох и Оу, как указано на рис. 19. Про-
ектируем уравнение (1) на эту систему координат и. полу чаем:

Ох : тпц = Т sin а,
Оу. 0 — Т cos а — тд.

(2)
Рис. 19

Исключив из системы (2) величину Т и подставив выражение
для ац, получаем: о?2Л == gtgo. Используем в дальнейшем
вспомогательные соотношения между величинами

шип: ш = 2тгп,

Яна: R — lsaia.

Получаем: cos а = — , , откуда а = arccos — " ~ .

Air^n^l Ai^vcl

т> 9,8.16

Расчет: а w arccos

«49°.

Ответ: а = 49°.

Задача 10. Сани скатываются с горы под углом 30° к гори-
зонту. Длина спуска 60 м. Коэффициент трения скольжения
саней 0,14. Какое расстояние сани прокатятся после спуска
по горизонтали до остановки? g ~ 10 м/с2.

Дано: I = 60 м; д = 0,14; а = 30°; g = 10 м/с2; =?

Решение: Решаем задачу с использованием закона сохране-
ния энергии с учетом работы сил сопротивления, что позво-
ляет существенно упростить процедуру решения:

E% — Ei — Лс.с.

(1)
Выберем Землю в качестве нулевого уровня отсчета потенци-
альной энергии, тогда полные механические энергии тела в
начальный момент Е± и в момент остановки тела Е^ опреде-
ляются формулами

— mgh — mglsina, Е2 — 0.

При движении на тело действуют силы трения Fi на наклон-
ной плоскости и Е2 на горизонтальном участке пути. Следо-
вательно, работа сил сопротивления складывается из работ
сил трения на каждом из участков пути:

4.с.с, ~ где -41 — "~Fi • /, А% == ~F% • sT. (2)

Для определения сил трения необходимо определить силы ре-
акции опор Ni и N2. Выберем координатные оси у\ и .3/2, как
указано на рис. 20. Тогда проекции сил на данные оси могут
быть записаны в следующем виде:

Оу\ : Л'1 - mg cos о• = 0; Ni = mg cos а; ... Л

Оу2 № - тд — 0; N2 - ту.

Учитывая, что FTp — pN, получим:

Fi ~цтд cos a; F2 = ртд. (3)
Подставляя выражения (3). и (2) в уравнение (1), получаем
соотношение для определения з7;

-mgl sin о = —pmgl cos а — p,mgsT.

Из него находим:

Л »(sin ot \ _« лл

&г = ---COS О'1 « 162 м.

Ответ: зт = 162 м.

Задача 11. Маятник с грузом 200 г отводят в горизонтальное
наложение и отпускают. Определить максимальное натяже-
ние нити, после того как’маятник зацепится за гвоздь, вбитый
на середине длины маятника в точке, направление на кото-
рую из точки подвеса составляет с вертикалью угол 60°.

Дано: т = 0,2 кг; а ~ 60°; Т = ?

Решение: При движении маятника, описанном в условии
задачи, натяжение нити будет максимальным в точке М, ко-
гда маятник, зацепившись за гвоздь, вбитый в точку К, будет
проходить через положение равновесия (см. рис. 21). В этот
момент на него действует сила тяжести mg и сила Т, рав-
ная по модулю силе натяжения нити. Запишем второй закон
Ньютона с учетом движения по окружности:

тсц ~ Т + mg,

где ац — центростремительное ускорение при движении по
окружности радиуса КМ = Проецируя это уравнение на
выбранную вертикальна ось Оу, получаем

О?,2

Т - mg — mau = m=j-,

отсюда находим:

Для определения скорости маятника v в точке М восполь-
зуемся законом сохранения энергии. В горизонтальном по-
s

ложении энергия маятника равна его потенциальной энергии
Ei =mgl. В точке М его полная энергия равна:

E^^+mgh

(на рис. 21 горизонталь О — О принята за нулевой уровень
потенциальной энергии). Так как Ei то

mgl = + mgh, или gl = у 4- ght

откуда

V2 = 2^(/- Л). (2)

•Рис. 21

Согласно рис. 21, высота h = I - АВ - ВС. Из треугольника
АВ К найдем, что

АВ = АК cos а = | cos а.

Кроме того, ВС = 1. В результате получаем:

h = 4(1 - cos а). (3)

Подставляя значения (2) и (3) в (1), находим:

Т = тд(3 + 2 cos а).
Проводим расчет:

Т = 0,2 • 9,8 • (3 + 2 • 0,5) = 7,84 И-

Ответ: Т = 7,84 Н.

Задача 12, На столе лежит однородный стер^ень Массой 6 кг
длиной I так, что две трети его длины находятся за краем
стола. Какую минимальную силу надо применить к концу
стержня, находящегося на столе, чтобы удержать его в го-
ризонтальном положении? Ускорение свободного падения
g ~ 10 м/с2. - .

Рис. 22

Решение: На стержень действуют три силв! (См« рис. 22):
сила тяжести mg, удерживающая сила F и си#а Реакции опо-
ры N, которая приложена в точке О, так как в начале враще-
ния эта точка является опорой стержня. ПриМеник* правило
моментов относительно оси вращения в точке

= 0 ==> Mmg 4- Mf — 0 => mgk - Fk = 0, (1)

где Mmg -я Mf — моменты сил mg и F, а к соответ-
ствующие плечи сил.

Момент силы N равен нулю, так как эта £ила проходит
через точку О, относительно которой рассматривается вра-
щение. следовательно, плечо силы N равно ну/110.
Из (1) находим, что F - Поскольку /3 = l2 - U, где

14 = получаем *з = у“2 6’^ ~2Р

Проводим расчет: F — = 30 Н.

Ответ: F — 30 Н. -

Задача 13, Тепловоз массой 130 т приближается со скоро-
стью 2 м/с к неподвижному составу массой 1170 т, С какой
скоростью будет двигаться состав после сцепления с теплово-
зом?

Дано: ?Л1 = 1,3105 кг; Vi —2 м/с; г>2 = 0 м/с; т2 = 1,17-10® кг;

V3 - ? ' м

Решение: По закону сохранения импульса проекции векто-
ра полного импульса системы из тепловоза и состава на ось
координат, направленную по вектору скорости, до сцепления
и после сцепления одинаковы:

mit’ix + mzvzz - (mi + т2)^зж-

Так как состав был неподвижным, векторы скорости <4 тепло-
воза до сцепления и скорости тепловоза вместе с составом
после сцепления параллельны, то проекции векторов vix и
v2x можно заменить их модулями. Отсюда с учетом v2 = 0,
получаем:

mivi — (mi 4- т2)у2,

отсюда скорость v3 тепловоза и состава после сцепления рав-

на

7П1У1
mi + т2

1,3. •Ю5» 2

1,3 -10®

= 0,2 м/с.

Ответ: vs = 0,2 м/с.

Задача 14, Два шара с массами 3 кг и 5 кг движутся по глад-
кой горизонтальной поверхности навстречу друг другу со ско-
ростями 4 м/с и 6 м/с соответственно. Чему равно изменение
внутренней энергии шаров после их неупругого столкновения?

Дано: mi = 3 кг; т2 = 5 кг; vi = 4 м/с; и2 == б м/с; ДЕ = ?
Решение: Схема столкновения изображена на рис. 23. При
неупругом столкновении двух тел выполняется закон сохра-
нения импульса:

mivi 4- m2V2 — (mi + m2)u,

который в проекциях на ось Ох (см. рис. 23) имеет вид:

-miVi Hr m2V2 = (mi 4- m2)u. (I)

Имеет место также закон сохранения механической энергии с
учетом сил сопротивления, работа которых идет на создание
деформаций, повреждений и других необратимых превраще-
ний в сталкивающихся телах. В таких процессах работа сил

сопротивления, взятая со знаком минус (—ЛС.С1), называет-
ся изменением внутренней энергии сталкивающихся тел Д Е,
которая обычно проявляется в росте температуры тел. Ис-
пользуя выражения для кинетических энергий, запишем' за-
кон сохранения с учетом Ас.с.:

^ + 2^ = (т1+т2)^ + дв. (2)

Решая совместно уравнения (1)-(2), находим:

др mitf L m2v| (rn2v2 - mi^i)2 /3^

2 " 2(mi+'^T‘ W

Проводим в (3) вычисления и получаем окончательный ре-
зультат:

ДЕ = 93,75 Дж.

Ответ: △£ = 93,75 Дж.
Задача 15. Тела с массами 2 кг и 3 кг двигаются навстре-
чу друг другу со скоростями 2 м/с и 1 м/с. Найти скорость
тел после абсолютно упругого столкновения. Трением прене-
бречь.

Дано: mi = 2 кг; т2 = 3 кг; = 2 м/с; v2 = 1 м/с; Ui = ?;
и2 = ?

Рис. 24

Решение: Схема столкновения изображена на рис. 24. При
абсолютно упругом ударе двух тел выполняется закон сохра-
нения импульса

mi vi + m2v2 = + m2tt2f

который в проекциях на ось Ох имеет вид:

—miVi + т2п2 — miUi - т2и2.

(1)

Выполняется также закон сохранения механической энергии,
которая в данном случае совпадает с кинетической энергией

тел:

9 9 9 2

miv( т21>2 _ miuf т2и^

2 + 2 ~ 2 + 2

(2)

Решаем совместно систему уравнений (1)-(2), которая при

подстановке числовых данных имеет вид:

-1 = 2ui - 3^2,
11 — + Зи|.

(3)

(4)

Выражаем из (3) скорость Ui = —— и подставляем в (4),
тогда получаем квадратное уравнение для определения и2:

15н| - 6и2 -21 = 0. (5)
Физическое решение уравнения (5) имеет вид:

и2 - 1,4 м/с,, тогда щ = 1,6 м/с.

Заметим, что если сценарий столкновения выбирается отлич-
ным от изображенного на рис. 24, то ответы будут те же, но с
точностью до знаков. При этом в окончательных выражениях
знаки минус надо опустить.

Ответ: «j — 1,6 м/с, и2 — 1,4 м/с.

Задача 16. Тело в форме цилиндра плавает в воде в верти-
кальном положении, будучи погруженным в нее на 80% своего
объема. Какая часть тела будет погружена в воду, если по-
верх нее налить слой бензина, полностью закрывающий тело?
Плотности воды и бензина равны соответственно 1 • 103 кг/м3
и 0,7 • 103 кг/м3. Влияние воздуха не учитывать.

Дано: рв = 103 кг/м3; рб = 0,7 • Ю3 кг/м3; Vi/V = 0,8;
v2/v=?
•

Решение: Когда тело плавает в воде, то на него действует
противоположно направленные сила тяжести mg и сила Архи-
меда Fi со стороны воды. Во втором случае из-за изменения
объема погруженной части сила Архимеда со стороны воды Д
отличается от Fi по величине. Кроме этого, добавляется ар-
химедова сила со стороны бензина F3. В обоих случаях тело
находится в равновесии, условием которого являются следу-
ющие соотношения:

Д + mg = 0; Д + Д + mg = 0.

Проектируя эти уравнения на вертикальную, направленную
вверх, ось Оу, получим

Pi ~ mg = 0; F2 + F3 — mg — 0. (1)

Обозначим объем погруженной в воду части тела в первом
случае через Vi, во втором случае — через V2. Если весь
объем тела V, а плотность материала р, то

Fi = paVig-, F2 — paV2g\ F3 - pg(V - V2)g; m = pV.
С учетом этих соотношений запишем уравнения (.1) в виде:
pBVi9- Pv9, РвУ^д-Урб^У - Уг)9 = рУд.

Так как правые части этих уравнений равны, то

Р»У1 « PbV2 + Рб(У - У2).

Делим обе части на У и после несложных преобразований
получаем

V2 _ Ръ[^/~ ) ~ Рб

У Рв- рб

Проводим расчет:

Уг, 10э • 0,8 - 0,7 • 10э = 1

У ~ 0,3-103 3'

Ответ: Третья часть.

17. На прямолинейном участке шоссе автомобиль увеличи-
вает свою скорость от г>1 == 18 км/час до о2 = 72 км/час за
t = 20 секунд. С каким ускорением двигался автомобиль,
если движение было равноускоренным?

18. Огибая остров, корабль проплыл li = 10 км на север,
12 = 15 км на северо-восток и 1з = 8 км на восток. Найдите
путь, который прошел корабль, и его перемещение. На сколь-
ко километров переместился корабль к северу и востоку?

19. Рыбак, плывя на лодке вверх по реке, уронил под мостом
в воду багор. Через t = 1 час он это обнаружил и, повернув
назад, догнал багор на расстоянии I = 6 км от моста. Какова
скорость течения реки, если рыбак двигался вверх и вниз по
течению реки с одинаковой скоростью относительно веды?
20. Уравнение координаты материальной точки имеет вид*
x(t) = —5t Ч- 5i2 (м). Определить путь и перемещение точки
за 5 секунд.

21. За какое время мимо наблюдателя пройдут первые три
вагона поезда, движущегося равноускоренно, если первый ва-
гон прошел за й — 4 с? Расстоянием между вагонами прене-
бречь. Начальная скорость поезда равна нулю.

* * * * . . . 1 '*

22. Тело двигалось с торможением и через ti = 6 с останови-
лось. Определите путь, пройденный телом за это время, если
за $2 = 2 с до остановки его скорость была v% = 3 м/с.

23. Свободно падающее тело за последнюю секунду падения
проходит путь h — 49 м. Определить высоту, с которой упало
тело, и время его падения. .

24. Аэростат поднимается с Земли вертикально вверх с уско-
рением а — 2 м/<?” Через t\ — 5 с после начала движения
из него выпал предмет. Через сколько времени этот предмет
упадет на землю?

25, Два тела падают с различных высот и достигают Земли
одновременно. Время падения первого тела ti = 4 с, а второго
h — 1 с. На какой высоте от поверхности Земли было первое
тело, когда второе начало падать?

26. Тело бросили горизонтально с начальной скоростью ==
= 12 м/с с вышки высотой Н 20 м» На каком расстоянии
от основания вышки упадет тело, если g = 10 м/с2?

27. Камень, брошенный горизонтально с крыши дома со, ско-
ростью v = 15 м/с, упал на землю под углом, а = 60° к гори-
зонту. Какова высота дома? • ; .

28. Под каким углом к горизонту необходимо бросить тело,
чтобы максимальная высота подъема была в четыре раза
меньше, дальности полета? .

29. Тело, брошенное под углом о — 60° к горизонту, на. высоте
h = 6,25 м имело скорость v — 10 м/с. Определите скорбеть
этого тела через t = 0,5 с после начала движения.
30. Чему равна линейная скорость верхней точки протектора
колеса автомобиля относительно земли, если скорость движе-
ния автомобиля v = 15 м/с?

31. Определить период обращения, угловую и линейные ско-
рости точек на поверхности маховика, если за t = 1 мин. он
совершает п - 3000 оборотов, а его радиус равен 7? = 40 см.

32. Мальчик ростом h — 1,6 м, находясь на расстоянии I =
= 20 м перед забором высотой Н = 2 м, бросает камень под
углом а = 45° к горизонту. С какой минимальной скоростью
надо бросить камень, чтобы он перелетел через забор?

33. По заданному графику зависимости скорости тела от
времени (рис. 25) достроить график зависимости ускорения,
пройденного пути и перемещение тела от времени.

Рис. 25

34. По графику зависимости скорости vx(t) (рис. 26) постро-
ить график зависимости ускорения ax(t), координаты x(t),
считая а?(0) =2 м, а также пути l(t).

35. Тело брошено под некоторым углом к горизонту и
наибольшую высоту Н = 19,6 м достигло, удалившись на
I = 1000 м от точки бросания. Найти скорость тела в этой
точке.

36. С самолета, летящего горизонтально со скоростью t’o =
— 100 м/с, упал предмет. На какой высоте относительно само-
лета скорость предмета будет направлена под углом а = 30°
к горизонту?

37. С наклонной плоскости длиной I — 4 м и углом наклона
а = 45° соскальзывает тело массой т, размерами которого
Задачи для самостоятельного решения

1 I .. - JV - - - — - - . I

пренебрежем, после чего оно проходит некоторый путь по го-
ризонтали. Коэффициент трения равен д = 0,1. Чему равна
скорость тела на расстоянии s = 0,7 м от основания, если
g = 10 м/с2?

38. Определите вес человека массой т = 80 кг в лифте, если
при движении вверх с постоянным ускорением за t = 2 с ско-
рость лифта изменилась с ио = 5,4 м/с до vt — 1 м/с.

39. Через неподвижный блок перекинут нерастяжимый шнур,
на котором укреплены грузы с массами mi = 2 кг и m2 — 8 кг.
Определите значение ускорения движения грузов и натяжение
шнура. Массой шнура, блока и трением на блоке пренебречь.

40. К концам нити, перекинутой через неподвижный блок,
подвешены два одинаковых груза по М = 4 кг каждый. На
один груз положили перегрузок массы т = 2 кг. Определить
значение силы давления перегрузка на груз, g = 10 м/с2.

41. Определить тормозной путь трамвая, если экстренное
торможение осуществляется при скорости Vq = 7 м/с. Коэф-
фициент трения колес о рельсы р, = 0,2.

42. Тело, брошенное вертикально вверх, возвратилось в точ-
ку бросания. Определить отношение времени спуска ко вре-
мени подъема, если масса тела равна т = 0,5 кг, а сила со-
противления F==3H,0 = 1Om/c2.

43. Тело скользит равномерно по наклонной плоскости с
углом наклона от = 30°. С каким ускорением будет двигаться
тело, если угол увеличить до а% ~ 45°?

44. Для удержания тела на наклонной плоскости с углом на-
клона а = 30° нужна минимальная сила Fi — 11 Н, а для
равномерного подъема — F2 = 17 Н. Определить массу тела,
если g = 10 м/с2.

45. Груз, подвешенный на нити, равномерно вращается в го-
ризонтальной плоскости, при этом расстояние от точки подве-
са до плоскости вращения равно I ~ 0,4 м. Определите период
вращения груза, g = 10 м/с2.
46. Автомобиль движется со скоростью v — 72 км/ч. Каков
минимальный радиус дуги, которую он описывает ври пово-
роте, если коэффициент трения равен ц = 0}5, а д — 10 м/с2?

47 о Скорость самолета при выполнении «мертвой петли» по-
стоянна и равна v — 400 м/с. Считая, что человек может пе-
реносить пятикратные перегрузки, определить минимальный
радиус траектории самолета; д — 10 м/с2.

48. Два груза массами mi = 4 кг и т? = 2 кг скреплены
стержнем длиной I = 1 м и массой т. = 2 кг. На каком рассто-
янии от центра стержня находится центр тяжести системы?

t S

49. К стене приставлен однородный стержень массой m =
= 17 кг под углом а — 60° к горизонту. Какую горизонталь-
ную силу надо приложить к стержню на расстоянии одной
трети длины сверху, чтобы верхний торец не давил на стену?
д = 10 м/с2.

50. Автомобиль массой m = 2000 кг начинает двигаться рав-
ноускоренно и за t — 10 с проходит по горизонтальной дороге
путь s — 100 м. Определить работу двигателя автомобиля
за это время и среднюю мощность, если коэффициент трения
равен д = 0,05. Ускорение свободного падения д — 10 м/с2..
Ответ выразить в килоджоулях и киловаттах.

51. Определить работу, затраченную на сжатие пружины на-
#1 = 0,2 м, если ддя деформации этой пружины на Х2 = 0,4 м
необходимо приложить силу F — 6 Н.

52. Конькобежец массой т = 50 кг некоторое время движет^
ся по горизонтальной ледяной дорожке равномерно. Затем,
перестав отталкиваться, он, двигаясь равнозамедленно, про-
езжает до остановки путь з — 60 м в течение t = 25 с. Опреде-
лить мощность, затрачиваемую конькобежцем при равномер-
ном движении.

53. Камень брошен вверх под углом а = 60° к горизонту. На-
чальная кинетическая энергия равна Ек — 30 Дж. Опреде-
лить потенциальную энергию в высшей точке траектории.
54, Тело брошено в горизонтальном направлении с начальной
скоростью v = 20 м/с. Через сколько секунд кинетическая
энергия тела возрастает вдвое? g = 10 м/с2.

55. С вершины гладкой полусферы начинает соскальзывать
тело. На высоте h — 2,5 м от основания полусферы оно отры-
вается от поверхности. Определить радиус полусферы, если
ее основание горизонтально.

5в. Тело движется со скоростью v± — 3 м/с и догоняет второе
тело, скорость которого «а = 1,2 м/с. С какой скоростью ста-
ло двигаться второе тело после их абсолютно упругого столк-
новения, если первое тело остановилось?

57. В ящик с песком массой М == 4,992 кг, подвешенный
на нити, попала пуля массой m =* 0,008 кг, летящая гори-
зонтально со скоростью перед столкновением 500 м/с, и за-
стряла в нем. На какую высоту поднимется ящик с пулей?
На сколько изменится внутренняя энергия системы «пуля-
ящик»? g —10 м/с2.

58. Пуля массой m = 0,03 кг летит горизонтально й попадает
в деревянный брусок массы М = 3 кг, покоящийся на гори-
зонтальной поверхности. После соударения брусок с застряв-

шей в ней пулей движется по поверхности и проходит путь

s — 6 см до остановки. Определить скорость пули до удара,

если коэффициент трения

бруска о поверхность д = 0,3.

59. Из орудия без противооткатного устройства массой
М = 900 кг стреляют под углом а — 60° к горизонту.
На сколько откатится орудие, если скорость снаряда массой
та ~ 13,5 кг равна v — 400 м/с, коэффициент трения д = 0,9,
9 = 10 м/с2?
1

• « • I . • _ |

60, По. наклонной плоскости снизу вверх пускают тело с на-
чальной скоростью vq — 3 м/с. Поднявшись на некоторую
высоту, тело соскальзывает по тому же пути вниз. Какова
будет скорость тела, когда оно вернется в исходную точку?
Коэффициент трения д — 0,8. Угол наклона плоскости к го-
ризонту а — 45°.
61. Работа, затраченная на толкание ядра массой т = 0,5 кг,
брошенного под углом а = 30° к горизонту, равна А - 100 Дж.
На каком расстоянии от места бросания упало ядро? Сопро-
тивлением воздуха пренебречь. I

62. С железнодорожной платформы, движущейся со скоро-
стью =2,4 м/с, выстрелили из пушки в горизонтальном
направлении. Масса платформы с пушкой М — 20000 кг,
масса снаряда т = 25 кг. Определить скорость платформы
после выстрела, если скорость снаряда равна — 800 м/с.
Направление выстрела противоположно направлению движе-
ния платформы.

63. На неподвижной тележке массой т ~ 15 кг стоит человек
массой М = 85 кг. Определить числовое значение скорости, с
которой будет двигаться тележка, если человек пойдет вдоль
нее со скоростью vq = 1,4 м/с относительно тележки.

64. Снаряд массой mi + m2 = 8 кг вылетает из орудия со ско-
ростью v = 500 м/с под углом а = 60° к горизонту. В верхней
точке траектории он разорвался на два осколка. Осколок
массой mi = 3 кг полетел в обратном направлении со скоро-
стью vi — 300 м/с. Определить числовое значение скорости
другого осколка.

65. Снаряд разрывается в верхней точке траектории на высо-
те h — 19,6 м на две одинаковые части. Через время Д = 1 с
после взрыва одна часть падает на Землю под тем местом,
где произошел взрыв. Через какое время после взрыва упа-
дет вторая часть?

66. Снаряд в верхней точке траектории на высоте Н — 19,6 м
разорвался на две части массами mi = 1 кг и mg = 2 кг. Ско-
рость снаряда в этой точке была равна го = 100 м/с. Скорость
большого осколка оказалась горизонтальной, совпадающей по
направлению с Vq и равной v-i — 250 м/с. Определить расстоя-
ние между точками падения обоих осколков. Сопротивление
воздуха не учитывать.

67. В сообщающихся сосудах находится ртуть. Поверх нее в
оба сосуда наливают керосин. Причем высота большего стол-
ба керосина в одном сосуде равна hi = 0,48 м и разность уров-
ней ртути — Ah = 0,02 м. Определить высоту керосина в
другом сосуде. Плотность керосина рк = 800 кг/м, плотность
ртути рр = 136Q0 кг/м, жидкости не перемешиваются.

68. Малый поршень гидравлического пресса за один ход опус-
кается на расстояние h = 0,2 м, а большой поршень поднима-
ется на Н = 1 см. С какой силой F действует пресс на зажатое
в нем тело, если на малый поршень действует сила / = 500 Н?
Коэффициент полезного действия пресса rj = 0,95.

69. Попый свинцовый шар массой т 5,25 кг плавает в воде,
погрузившись наполовину. Определить объем полости, если
плотности воды и свинца равны соответственно рв = 1000 кг/м3
и Де = 10500 кг/м3.

70. Сплошной однородный шар плавает на границе раздела
двух несмешиваюгцихся жидкостей, плотности которых равны
pi = 800 кг/м3 и р2 = Ю00 кг/м3. Определить плотность тела,
если в верхней жидкости находится 30 процентов всего объема
шара.

71. Шар равномерно падает в жидкости, плотность которой
в п = 2,5 раза меньше плотности шара. Определить массу
шара, если сила сопротивления движению равна Fc = 1,8 Н.
g = 10 м/с2.

Известно, что сегодня нормой физической актив-
I r I ности человека считается проходить 5 километров в
Wer день. А в XIX веке эта норма составляла 20 киломе-
тров в день, Сколько часов в день способен проявлять фи-
зическую активность современный человек и наш предок 150
лет назад, если считать, что скорость пешехода за это время
не изменилась и составляет 5 км/час?

Д2. Известно, что средняя календарная продолжи-
I s JI тельность жизни в развитых странах сегодня равна 70
’•гзиг годам, а 150 лет назад — была вдвое корону. Сколь-
ко часов (и лет) составляет продолжительность физически
активной жизни сейчас и сколько составляла тогда? Сколько
условных километров в течение своей жизни проходил чело-
век раньше и сколько проходит сейчас? (См. предыдущую
задачу.)

ДЗ. Правда ли то, что чем быстрее бежишь под до-
ждем, тем — при фиксированном расстоянии — мень-
ше намокнешь? Если в каком-то случае существует

оптимальная скорость передвижения, то чему она равна?

S; । Д4. Как известно, вертикальный отвес довольно точ-
I но показывает направление вниз. Однако вблизи мас-
0 сивной горы возможно ощутимое отклонение отвеса
вбок. Какой угол может составлять это отклонение вблизи
крупнейших земных горных массивов?

V Д5. В чем отличие восточных видов единоборств от
русских и европейских с точки зрения законов физи-
ки? Почему наиболее популярные видеогерои-караг
тисты имеют малую по русским масштабам массу?
2. МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА.
ТЕПЛОВЫЕ ЯВЛЕНИЯ

Молекулярно-кинетическая теория объясняет тепловые
свойства макроскопических тел на основе следующих поло-
жений

1) Все тела состоят из большого числа мельчайших частиц
(молекул, атомов или каких-либо других).

2) Эти частицы непрерывно и хаотически движутся.

3) Частицы взаимодействуют друг с другом. При этом
молекулярно-кинетическая теория пользуется статистически-
ми методами, интересуясь не движением отдельных молекул,
а средними величинами. Отсюда другое ее название — ста-
тистическая физика. Особенное развитие корпускулярных
представлений о строении материи содержится в трудах рус-
ского ученого М. В. Ломоносова (1711-1765).

Положения молекулярно-кинетической теории подтверж-
даются существованием ряда явлений: диффузии — самопро-
извольного перемешивания разных веществ вследствие про-
никновения частиц одного вещества между частицами друго-
го; броуновского движения — беспорядочного движения взве-
шенных в жидкости мелких частиц под действием ударов мо-
лекул жидкости.
Для характеристики молекул (аналогично для ато-
мов) применяется относительная молекулярная мас-
са вещества (сокращенно, молекулярная масса) Мг,
Единица массы, равная массы атома углерода 12С, на-
зывается атомной единицей массы (тед), ее значение равно
тед = 1,66 10-27 кг. Тогда масса молекулы равна Мгтед.

Количество вещества, в котором содержится число
частиц (атомов, молекул, ионов, электронов и т.д.),
равное числу атомов в 0,012 кг изотопа углерода 12С,

называется молем. Употребляется кратная единица кило-

моль (кмоль). Массу моля называют молярной массой М.
М = Мг • 10-3 кг/моль. Постоянная Авогадро Na =
= 6,022 • 1023 моль-1 показывает число атомов или молекул,
содержащихся в одном моле любого вещества. Таким обра-

зом, масса одной молекулы может быть определена как отно-
шение молярной массы к числу Авогадро: то = . Размер

молекулы приближенно определяется следующим образом:

где р — плотность вещества, Vq — объем молекулы.

Взаимодействие молекул. Между любыми двумя молеку-
лами одновременно действуют силы и притяжения и оттал-
кивания, которые проявляются на расстояниях, сравнимых с
размерами самих частиц. На очень малых расстояниях (мень-
ших, чем размеры самих частиц) преобладают силы отталки-
вания, а на больших — силы притяжения. Эти силы имеют
электромагнитную природу, поскольку возникают в результа-
те взаимодействия заряженных частиц — электронов и атом-
ных ядер.

а Для объяснения свойств вещества в газообразном со-
стоянии используется модель идеального газа. В этой
модели газ рассматривается в виде совокупности мо-
лекул — шариков очень малых размеров и почти не взаи-
модействующих между собой, т. е. при рассмотрении законов
идеального газа пренебрегают собственным объемом молекул
(по сравнению с объемом сосуда, в котором он находится) и
силами их взаимного притяжения; при соударениях молекул
друг с другом и со стенками сосуда действуют силы упругого
отталкивания. Идеального газа в природе не существует —
это упрощенная модель реального газа. Реальный газ стано-
вится близким по свойствам к идеальному, когда он доста-
точно нагрет и разрежен. Некоторые газы, такие, как воздух,
азот, кислород, даже при обычных условиях, т. е. при комнат-
ной температуре и атмосферном давлении, мало отличаются
от идеального газа. Особенно близки по своим свойствам к
идеальному газу гелий и водород.

Существует два основных подхода к изучению газов: с уче-
том их молекулярного строения и использования микропара-
метров (масса и скорость молекул, их концентрация и т.д.)
и без учета молекулярного строения, когда газы описывают-
ся макропараметрами (давлением р, объемом V, температу-
рой Т).

В рамках молекулярно-кинетической теории давление,
производимое газом на стенки сосуда, возникает вследствие
того, что молекулы газа, беспорядочно двигаясь, ударяются
о стенки сосуда, передавая им при каждом соударении свой
импульс. Суммарный импульс, переданный за единицу вре-
мени единице площади, — это и есть давление, производимое
газом.

Между микро- и макропараметрами существует связь,
которая выражается основным уравнением молеку-
лярно-кинетической теории газов:

|m0nv2

Это уравнение показывает, что давление газа, масса молекул
которого то, увеличивается с ростом концентрации молекул
(п) и среднего квадрата скорости их движения (v2). Из основ-
ного уравнения молекулярно-кинетической теории газов так-
же следует, что давление газа пропорционально произведению
концентрации молекул на среднюю кинетическую энергию их

поступательного д

кения:

1 2 2 2 2 er

р - ±m0nv2 =

При соприкосновении двух тел частицы, из которых
они образованы, сталкиваясь между собой, будут пе-
редавать друг другу энергию (в результате чего более
быстрые из них будут замедляться, а более медленные начнут

двигаться быстрее) до тех пор, пока не установится тепловое
равновесие. Для количественного описания меры нагретости
тел вводят понятие температуры. При этом исходят из того,
что она должна быть одинаковой у всех тел, находящихся в
тепловом равновесии друг с другом. Для тел, движение ча-
стиц которых рассматривается с помощью законов классиче-
ской механики, таким свойством обладает средняя кинетиче-

г.
ская энергия поступательного движения частиц:

Поэтому именно она положена в основу определения темпе-
ратуры. Величина, пропорциональная средней кинетической
энергии поступательного движения частиц, называется тем-
пературой тела, которую для одноатомного газа можно найти
по формуле:

где fc « 1,38 • Ю~23 Дж/К — постоянная Больцмана. Отсюда
видно, что

Определенную таким образом температуру называют тер-
модинамической или абсолютной, она измеряется в кель-
винах (К).

Термодинамическая температура не может быть отрица-
тельной, ее минимальное значение Т = 0 называется абсо-
лютным нулем. При абсолютном нуле движение частиц пре-
кращается. Подставляя выражение для Ёк в основное уравне-
ние молекулярно-кинетической теории, получим зависимость
давления идеального газа от температуры: р = пкТ.
Часто на практике бывает удобно использовать тем-
пературную шкалу Цельсия, в которой за нулевую
температуру принята температура тающего льда, а за

100° — температура кипящей при нормальном давлении во-
ды. С термодинамической температурой Т температура t по
Цельсию связана соотношением Т — t + 273°.

Используя зависимость давления идеального газа от
его температуры и концентрации молекул р = пкТ}
можно найти связь между основными макроскопиче-
скими параметрами газа — объемом V, его давлением р и

температурой Т. Концентрация п молекул газа равна п = р-,
где N — число молекул газа в объеме V. Число N можно вы-
разить через постоянную Авогадро Na> молярную массу М
и массу вещества m: N = jj-Va- Тогда для описания со-
стояния газа получаем уравнение состояния идеального газа,
которое называется уравнением Менделеева-Клапейрона:

pV = %НТ,

где R’ = N& • к « 8,31 Дж/(моль • К) — универсальная газовая
постоянная.

Если при изменении состояния газа один из макропараме-
тров (р, V или Т) остается постоянным (такие процессы при-
нято называть иэопроцессами), то из уравнения Менделеева-
Клайперона получаются частные газовые законы:

; pV = const при Т = const — закон Бойля-Мариотта-

р
Т

= const при р = const — закон Гей-Люссака;

~ const при V = const — закон Шарля.
Графики данных газовых законов изображены на рис. 27.

Рис. 27

Сумма кинетической энергии теплового движения ча-
стиц вещества и потенциальной энергии их взаимо-
действия называется внутренней энергией тела'.
+ Еп — NEK + Ел, где N — количество частиц в теле,

Ёк — средняя кинетическая энергия одной частицы. Извест-
но, что Ёк зависит от температуры тела, а Ел — от его объема
(поскольку с его изменением изменяется и среднее расстояние
между частицами, а следовательно, и интенсивность их взаг
имодействия). Поэтому в общем случае внутренняя энергия
зависит от температуры и объема тела.

В случае идеального газа потенциальная энергия
взаимодействия молекул равна нулю и внутренняя
энергия равна сумме кинетических энергий хаотиче-
ского теплового движения всех его молекул, так что для од-
ноатомного газа имеем:

U = NEK = ^RT = |pV.

Внутреннюю энергию можно изменить двумя способами: со-
вершением работы, когда внутренняя энергия изменяется на
величину, равную работе внешних сил А', и теплопередачей,
при которой изменение внутренней энергии характеризуется
количеством теплоты Q.
Изменение внутренней энергии тела (системы тел)
определяется первым законом (началом) термодина-
мики: Изменение внутренней энергии системы &U
при переходе ее из одного состояния в другое равно сумме ра-

боты внешних сил А' и количества теплоты Q, переданного
системе:

Работа самой системы над внешними телами А = —А', т.е.
равна работе внешних сил над системой со знаком минус. По-
этому первый закон термодинамики можно записать в виде
Q = Д(7 + А, т. е. количество теплоты, переданное системе,
идет на изменение ее внутренней энергии и на работу систе-
мы над внешними телами (обе формулировки равноправны).

Первый закон термодинамики — это обобщение закона со-
хранения и превращения энергии для термодинамической си-
стемы. Из него следует, что в изолированной системе внутрен-
няя энергия сохраняется при любых процессах (поскольку
для изолированной системы А' ~ 0 и Q = 0, значит, Д?7 = О,
т.е. U = const).

Первый закон термодинамики свидетельствует о невоз-
можности создания вечного двигателя^ который мог бы не-
ограниченно долго совершать работу, не заимствуя энергию
извне (Q — 0). Работу, совершаемую подобным двигателем,
можно рассчитать таким образом: Адв = -А' = Q - А17 =
= -Д?7 = 0, поскольку (71 = Ui.

Рис. 28

Определим работу газа при изобарном расширении газа.
Пусть расширение газа от объема Ц до объема Vs сопрово-
ждается перемещением поршня в цилиндре на расстояние L

3-381

65
2, Молекулярная физика» Тепловые явления
• • • • * • • • е

под действием силы F (рис. 28). Тогда, работа, совершенная
газом, равна:

Л = Fl ^pSl-p^V,

где р — давление газа, S — площадь поршня, ДУ — измене-
ние объема газа. Как видно из рис. 28, при изображении изо-
барного процесса в координатах p-V площадь фигуры, огра-
ниченной графиком процесса, осью абсцисс и ординатами Vi
и Vz, определяет соответствующую величину работы газа.

Произвольный процесс расширения газа можно рассматри-
вать как совокупность чередующихся изобарных и изохорных
процессов (см. рис. 29). Поэтому работа газа в этом случае
определяется площадью фигуры под соответствующим участ-
ком графика процесса на диаграмме p-V.

При сжатии газа направление вектора внешней силы со-
впадает с направлением перемещения поршня, поэтому ра-
бота внешних сил А' положительна, а работа, совершенная
газом, отрицательна (А < 0).

Рассмотрим применение первого закона термодинамики к
процессам в идеальном газе.

Изотермический процесс (Т = const, ДТ = 0). Так как
ДТ = 0, изменение внутренней энергии ДС7 = 0 и Q — А, т.е.
все тепло, получаемое системой, расходуется ею при соверше-
нии работы над внешними силами.

Изохорический процесс (V = const, ДУ = 0). В этом слу-
чае ДУ — О, система не совершает работы, так как газ не
расширяется, поэтому Q = Д77, и все количество теплоты,
полученное телом (системой), идет на изменение его внутрен-
ней энергии, т. е, на его нагрев.

Изобарический процесс (р = const). В этом процессе пер-
вый закон термодинамики имеет общий вид: Q = AZ7 + А.

Адиабатический процесс (процесс, происходящий без
теплообмена между системой и окружающими телами, т. е.
Q = 0). В этом случае 0 = Д17 + А и А = —ДС7, т.е. если
система совершает работу, то ее внутренняя энергия убыва-
ет, и температура ее понижается. Поскольку при адиабати-
ческом сжатии температура газа повышается, то давление с
уменьшением объема растет быстрее, чем при изотермиче-
ском процессе. Понижение температуры газа при адиабатиче-
ском расширении приводит к тому, что давление газа убывает
быстрее, чем при изотермическом расширении. График адиа-
батического процесса в координатных осях p-V представлен
на рис. 27 пунктирной линией.

Устройства, превращающие энергию топлива в механиче-
скую энергию, называются тепловыми двигателями. Любой
тепловой двигатель состоит из трех основных элементов: ра-
бочего тела (обычно это газ), которое: совершает работу в
двигателе; нагревателя, от которого рабочее тело получает
энергию, часть которой затем идет на совершение работы; хо-
лодильника, которым могут являться атмосфера или специ-
альные устройства.

Работа теплового двигателя состоит из повторяющихся
циклов, каждый из которых таков: приобретение рабочим те-
лом энергии Qi от нагревателя (температура которого Ti);
расширение рабочего тела и совершение им полезной работы
Лпол,; передача неиспользованной части энергии Q2 холодиль-
нику (температура которого Т2 всегда меньше, чем темпера-
тура нагревателя 7i); возвращение охлажденного рабочего те-
ла в исходное состояние. Из первого закона термодинамики
следует, что при завершении цикла рабочее тело приходит в
первоначальное состояние и его внутренняя энергия не меня-
ется: Д(7 = U2 ~ Ui = 0, значит, Qi — Q% + Лпол + ^потерь, где
Флотерь — энергия потерь за один цикл, которая расходуется
на теплообмен с окружающей средой, на трение и т. д. Таким
образом, полезная работа, совершаемая за цикл, Лпол

_ q2} Где в случае равенства речь идет об идеальном

двигателе, в котором нет потерь энергии.

Отношение полезной работы к энергии, которую по-
лучило рабочее тело от нагревателя, называется ко-
эффициентом полезного действия (КПД);

_ 4п0Л Qi

Qi Qi ~ Qi'

Из этого выражения видно, что даже у идеального двигателя
г) < 100%, поскольку Q2 не может быть равной нулю. Фран-
цузский инженер Сади Карно (1796-1832) установил важную
для практики зависимость КПД тепловой машины от темпе-
ратуры Ti нагревателя и температуры холодильника Т2: неза-
висимо от конструкции и выбора рабочего тела максимальное
значение КПД тепловой машины определяется выражением

tynax —

В Процесс передачи энергии от одного тела к друго-
му без совершения работы называется теплообменом
или теплопередачей. Энергия, переданная телу в
результате теплообмена, называется количеством теплоты.
Если процесс теплопередачи не сопровождается работой
(4 = 0), то на основании первого закона термодинамики коли-
чество теплоты Q равно изменению внутренней энергии тела
ДУ, которая пропорциональна изменению абсолютной тем-
пературы и определяется алгебраической суммой изменений
энергии всех атомов или молекул. Таким образом, количе-
ство теплоты, необходимое для нагревания тела на ДТ, мо-
жет быть определено по формуле

Q — ДУ = стДТ,

где с — называется удельной теплоемкостью вещества. Ве-
личина С = ст называется теплоемкостью данного тела.
Единица удельной теплоемкости: [с] == 1 Дж/(кг • К).
Удельная теплоемкость показывает, какое количество тепло-
ты необходимо для нагрева 1 кг вещества на 1 К.

В зависимости от температуры и давления одно и то же
вещество может находиться в каком-либо агрегатном состоя-
нии: твердом, жидком, газообразном. Кроме перечисленных
трех, можно выделить и другие агрегатные состояния (плаз-
ма, нейтронное состояние вещества).

Общим для всех состояний вещества является хаотический

характер движения частиц, составляющих вещество, — моле-
кул, атомов или ионов. Расстояния между частицами веще-
ства в газах во много раз превышают размеры самих частиц.
Большую часть времени частицы свободно движутся и лишь
сравнительно редко испытывают соударения друг с другом.
Этим объясняются такие свойства газов, как:

— способность к сжатию;

— - возможность занимать весь предоставленный ему
объем.

Силы притяжения между частицами газа малы и не спо-
собны удержать их друг возле друга.

В жидкостях частицы располагаются практически вплот-
ную друг к другу и совершают колебательное движение око-
ло собственных положений равновесия. Совершив примерно
миллион колебаний, частица скачком переходит на другое ме-
сто. В секунду каждая частица совершает примерно 105-10е
таких переходов. Это определяет такие свойства жидкостей,
как:

— малую сжимаемость;

— способность сохранять определенный объем (силы при-
тяжения между частицами достаточно велики);

— текучесть.

В твердых телах частицы совершают малые колебания
около своих положений равновесия (в кристаллах этими по-
ложениями являются узлы кристаллической решетки). Твер-
дые тела имеют собственную форму и объем, поскольку силы
притяжения между частицами твердого тела достаточно ве-
лики.
В процессе теплопередачи вещества могут менять свои
агрегатные состояния. Плавление — это переход ве-
щества из твердого состояния в жидкое. При этом

разрушается кристаллическая решетка твердого тела, для че-
го ему необходимо получить некоторое количество энергии.
Плавление кристаллического тела происходит при постоян-
ной температуре. Эта температура называется температу-
рой плавления. Пока тело полностью не расплавится, все под-
водимое телу тепло идет на увеличение потенциальной энер-

гии частиц вещества, а не их средней кинетической энергии.

Чтобы расплавить тело массой т, ему необходимо с

щить

количество теплоты Q. равное

Q - А • т,

где удельная теплота плавления А показывает, какое коли-
чество теплоты необходимо для превращения 1 кг кристалли-
ческого тела в жидкость (при температуре плавления). При
кристаллизации (переходе вещества из жидкого состояния в
твердое) выделившееся количество теплоты может быть вы-
числено по этой же формуле.

Единица удельной теплоты плавления: [А] — 1 Дж/кг.

Парообразование — переход жидкости в газообразное
состояние. Вылететь из жидкости в окружающее про-
странство могут лишь наиболее быстрые частицы ве-

щества, способные преодолеть силы притяжения, действую-
щие в поверхностном слое жидкости. При преодолении части-
цами поверхностного слоя жидкости их скорость уменьшает-
ся таким образом, что температура пара оказывается равной
температуре жидкости. Жидкость же в результате вылета
наиболее быстрых частиц охлаждается. Чтобы парообразо-
вание происходило при постоянной температуре жидкости, ей
необходимо сообщать энергию. Для превращения в пар жид-
кости массой т ей необходимо сообщить количество тепло-
ты Q, равное

Q = гт,
где г называют удельной теплотой парообразования, которая
определяется количеством теплоты, необходимым для пре-
вращения в пар 1 кг жидкости при постоянной температуре.
При конденсации (переходе вещества из газообразного состо-
яния в жидкое) количество теплоты может быть рассчитано
по той же формуле.

Единица удельной теплоты парообразования: [г]—1 Дж/кг.

Процесс испарения жидкости сопровождается и обратны-
ми потоками молекул, возвращающихся в жидкость. В ре=-
зультате устанавливается динамическое равновесие между
процессами испарения и конденсации вещества. Вещество в
газообразном состоянии, отвечающем этому условию, назы-
вается насыщенным паром. Это состояние характеризуется
тем, что число молекул, покидающих поверхность жидкости,
равно в среднем числу молекул пара, возвращающихся в жид-
кость за то же время. Название пара — насыщенный — под-
черкивает, что при данной температуре в данном объеме не
может находиться большее количество пара. Если пар еще
не достиг состояния динамического равновесия с жидкостью,
он называется ненасыщенным. Для насыщенного пара харак-
терны следующие свойства:

— при постоянной температуре давление насыщенного па-
ра не зависит от занимаемого объема;

— давление насыщенного пара при постоянном объеме уве-
личивается с ростом температуры, причем быстрее, чем у иде-
ального газа при тех же условиях.

Как известно, в состав атмосферного воздуха входит и во-
дяной пар. Количество водяного пара (в граммах), содержа-
щееся в 1 м3 воздуха, называется абсолютной влажностью
воздуха. Эта величина не позволяет судить о том, насколь-
ко водяной пар в данных условиях близок к насыщению. По
этой причине используют понятие относительной влажно-
сти воздуха, которая равна отношению парциального давле-
ния р водяного пара, содержащегося в воздухе при данной
температуре, к давлению насыщенного пара р$ при той же
температуре (в процентах):

™ • 100%.

Температуру, при которой относительная влажность достига-
ет значения 100%, называют точкой росы. Если температура
2. Молекулярная физика. Тепловые явления
станет хоть немного ниже точки росы, пар начнет конденси-
роваться: появятся роса, туман.

На практике влажность воздуха определяют, например, с
помощью психрометров. Психрометр состоит их двух термо-
метров, один из которых остается сухим, а резервуар друго-
го увлажнен. По разности показаний термометров с помо-
щью таблиц и нахсдят влажность при данной температуре.
Для человека наиболее благоприятна относительная влаж-
ность 40-60%.

Процесс испарения может происходить и внутри жидкости.
Пузырьки пара внутри жидкости расширяются и всплывают
на поверхность, если давление насыщенного пара равно внеш-
нему давлению или превышает его. Этот процесс называется
кипением.

При температуре 100°С давление насыщенного водяного
пара равно нормальному атмосферному давлению, поэтому
при нормальном давлении кипение происходит при 100°С.
При температуре 80° С давление насыщенного пара примерно
в два раза меньше нормального атмосферного давления. По-
этому вода кипит при 80°С, если давление над ней уменьшить
до 0,5 нормального давления.

Таким образом, при понижении внешнего давления темпе-
ратура кипения жидкости понижается, при повышении давле-
ния температура кипения повышается.

В отличие от газов, молекулы жидкости располагаются
настолько близко друг к другу, что силы притяжения между
ними имеют значительную величину. Если молекула нахо-
дится у поверхности жидкости, то она будет притягиваться
молекулами, находящимися внутри жидкости. В результа-
те на каждую молекулу, находящуюся в поверхностном слое,
будет действовать сила, направленная внутрь жидкости, ко-
торая стремится уменьшить свободную поверхность жидко-
сти до минимально возможной, соответствующей минимуму
потенциальной энергии молекул. По этой причине возника-
ет сила поверхностного натяжения, которая действует вдоль
поверхности жидкости перпендикулярно к линии, ограничи-
вающей эту поверхность. Опыты показали, что отношение мо-
дуля силы поверхностного натяжения, действующей на грани-
цу поверхностного слоя длиной Д к этой длине есть величина
постоянная, не зависящая от длины £. Эту величину назы-
вают коэффициентом поверхностного натяжения: а =

Единица коэффициента поверхностного натяжения: [ст] =s
== 1 Н/м.

Наиболее выпукло данные свой-
ства жидкостей проявляются в
капиллярных явлениях. Капил-

ляром называется трубка с круглым
сечением и малым внутренним радиу-
сом г. Опыт показывает, что внутри ка-
пиллярной трубки, погруженной одним
концом в воду, уровень воды оказывает-
ся выше уровня открытой поверхности
воды (рис. 30). Его высота h определя-

Рис. 30

ется из условия равенства силы тяжести
столба жидкости в капилляре и силы
поверхностного натяжения /HJ действующей вдоль границы

соприкосновения жидкости с поверхностью капилляра:

Д-Д,

FT = mg = phitr2g, FH - al = a2irr,

Аморфными называются тела, физические свойства которых
одинаковы по всем направлениям, что связано с беспорядоч-
ностью расположения составляющих их атомов и молекул.
Примером аморфных тел служат куски затвердевшей смолы,
янтарь, изделия из стекла. Твердые тела, в которых атомы
или молекулы расположены упорядоченно и образуют пери-
одически повторяющуюся внутреннюю структуру, называют
кристаллами. В последнее время путем быстрого охлаждения
металлических расплавов достигают такого состояния твер-
дого тела, когда атомы и молекулы не успевают занять упо-
рядоченные положения, как и в случае аморфных тел. Такое
состояние называют металлическим стеклом. Оно обладает
рядом уникальных свойств, в частности, высокой прочностью
в трущихся сочленениях.
v Внешнее механическое воздействие на тело вызывает сме-
шение атомов йз равновесных положений и приводит к изме-
нению формы и объема тела, т. е. к его деформации. Самые
простые виды деформации — растяжение и сжатие.

Их можно характеризовать абсолютным удлинением
AL — L - Lo, равным разности длин образца до растяжения
и после него. Отношение абсолютного удлинения △£ к длине
образца Lq называется относительным удлинением е = .

При деформации тела возникают силы упругости. Физи-
ческая величина, равная отношению модуля силы упругости
к площади сечения тела, называется механическим напряже-
нием а:

Единицей механического напряжения является паскаль:
1 Па = 1 Н/м2.

При малых деформациях напряжение пропорционально
относительному удлинению:

\ I • • • I

Коэффициент пропорциональности Е называется модулем
упругости или модулем Юнга. Модуль упругости одинаков
для образцов любой формы и размеров, изготовленных из од-
ного материала.

Из выше приведенных соотношений можно получить:

F = aS = E|e|S = ^|Д£|.: ’

Сравнивая данное выражение с законом Гука, получим, что
коэффициент жесткости к пропорционален произведению мо-
дуля Юнга на площадь поперечного сечения стержня и обрат-
но пропорционален его длине. ‘ .

Закон Гука выполняется при небольших деформациях.
Предельное напряжение сгп, при котором выполняется закон
Гука, называют пределом пропорциональности. Максималь-
ное напряжение £гул, при котором деформация еще остается
упругой, т е. такой, что после снятия нагрузки размеры тела
Формулы

восстанавливаются полностью, называется пределом упруго-
сти. Большинство металлов испытывают упругую деформа-
цию до значений € 0,1.

Основы молекулярно-кинетической теории

т0 = Л/Гтед =

1 тл 2 mow2
р= ^m0nv2 = %п~7Г~

= |пЕ*; р = н&Т.

Энергия молекул и температура

Т =/4-273°; Ёк = ~кТ.

Уравнение состояния идеального газа

PV=^RT-, R = kNA.

Внутренняя энергия одноатомного идеального газа
и = NEk = | ^RT = |pV.

Первый закон термодинамики

Atf = Л' + Q; Q = AV + А.

КПД теплового двигателя

„ _ -Фюл Ql Qz _ 1 Qz .

п ~ ~0Г~ -1 - 57’

Теплообмен

Q = At/ = cm А Г = CAT; Q — Am; Q =; гт.
ОБОЗНАЧЕНИЯ:

тио — масса молекулы;

Мг — молекулярный вес;

М — молярная масса, [кг/моль], [кг/киломоль];

р —давление, [Па];

п — концентрация молекул, [м~3];

v2 — среднее значение квадрата скорости молекул;

Ё — среднее значение кинетической энергии теплового;
движения молекул;

t — температура по шкале Цельсия, [°C];

Т — абсолютная температура, [К];

V — объем, [м3];

U — внутренняя энергия, [Дж];

Q — количество теплоты, [Дж];

А — работа, совершенная системой над внешними
телами, [Дж];

А‘ — работа, совершенная внешними силами над
системой, [Дж];

г) — коэффициент полезного действия;

Qi — количество теплоты, полученной от нагревателя;

Qz — количество теплоты, отданной холодильнику;

с — удельная теплоемкость, [Дж/(кг 'К)];

С — теплоемкости тела, [Дж/К];

г — удельная теплота парообразования, [Дж/кг];

А — удельная теплота плавления, [Дж/кг].

КОНСТАНТЫ:

тед — 1,66 • 10-27 кг — атомная единица массы;

Яд = 6,022 • 1023 моль-1— постоянная Авогадро;

k = 1,38 10-23 Дж/К — постоянная Больцмана;

R = 8,31 Дж/(моль - К) — универсальная газовая постоянная.

Задачи на расчет параметров состояния идеального газа
можно разбить на две основные группы. К первой группе
относятся задачи, в которых при изменении каких либо пара-
метров масса идеального газа остается постоянной. Причем
масса газа может быть незаданной. В этом случае задачи
могут решаться по объединенному газовому закону, частным
случаем которого, в зависимости от постоянных параметров,
являются законы Бойля-Мариотта, Гей-Люссака, Шарля.

Ко второй группе отнесем задачи с заданной или перемен-
ной массой. В этом случае применяем закон Менделеева-
Клапейрона, причем его записывают для каждого состояния
газов. Полученная система уравнений с учетом дополнитель-
ных условий решается относительно искомой величины.

Кроме того, следует обратить внимание на задачи о наг
гревании и работе газа, решение которых основано на первом
начале термодинамики и уравнении состояния идеального га-
за.

В особую группу можно выделить задачи на пары и влаж-
ность. Их решение практически в большинстве случаев мож-
но свести к решению задач на идеальный газ. Здесь надо по-
мнить, что относительная влажность (р может определяться
р р
как через плотность паров, так и через давления; =
где р и р — соответственно плотность и давление водяного па-
ра при данной температуре, а ро и Ро — плотность и давление
насыщенного пара при той же температуре.

Если по условию задачи связываются температура, давле-
ние и плотность насыщенного пара, то используется уравне-
ние Менделеева-Клапейрона, которое с учетом влажности <р
имеет вид

WV = ^RT или р0^ = ^ЛТ.

Задача 72. В вертикальном цилиндре находится под порш-
нем газ при температуре 400 К. Масса поршня 4 кг, площадь
его 0,004 м2. Какой массы груз надо положить на поршень,
чтобы он остался на месте при медленном нагревании газа на
100 К? Атмосферное давление 105 Па, ускорение свободного
падения 10 м/с2.
Дано: 71 = 400 К; S == 0,004 м2; т = 4 кг; АТ = 100 К;
ро — Ю5 Па; д — 10 м/с2; Дт = ?

Решение: Итак, газ под поршнем будет находиться в двух
состояниях. Состояние газа описывается параметрами р, V
и Т. В первом состоянии давление будет определяться ат-
мосферным давлением и давлением поршня: pi = ро + Рп‘,
ро задано условием задачи, давление поршня найдем исходя
из определения давления рп — F — тд. Следователь-

НО, Р1

ГП? ~

Ро + Температура начального состояния задана

условием задачи. Объем газа примем равным V. Во втором
состоянии давление Р2 увеличится за счет давления, создава-
емого грузом Ат, положенным на поршень: Р2 = Pi +

Температура второго состояния 7г определена условием
Т2 == 71 + ДГ. Поскольку поршень остается в прежнем по-
ложении, то объем будет сохраняться. Следовательно, для
ттт Р1 Р2
решения задачи можно использовать .закон Шарля: jy — уг *
Подставляя выражения для pi и рз, получим

Откуда находим:

тд\ ATS

Проверим единицы измерения:

[Дт]=(Па+^)(К^)=кг,

Подставляя числовые данные, окончательно получим

Ат - (105 + [ЦЮ)

100 . _ и кг

400 10 “ 11 кг’

Ответ: Ат = 11 кг.
Задача 73. Через какое время прекратится утечка воздуха
из проколотой шины автомобиля, если через отверстие в сред-
нем за 1 секунду выходит 10~3 кг воздуха? Начальное давле-
ние 5 • 105 Па, объем шины 8,31 • 10“3 м3, температура воздуха
290 К, молярная масса воздуха М = 0,029 кг/моль.

Дано: vm = 10“3 кг/с; pi = 5 ♦ 105 Па; V = 8,31 • 10-3 м3;
Т = 290 К; М = 0,029 кг/моль; р2 = Юб Па; t = ?

Решение: Время утечки воздуха из шины автомобиля
можно определить, зная массу вытекшего из нее воздуха: t -
mi - m2

= —г-----, где mi — масса воздуха в шине при давлении pi,

а m2 — оставшаяся масса воздуха при нормальном атмосфер-
ном давлении р2. Используя уравнение состояния идеального
газа, находим, что

1 RT ’

т2 - RT ,

™ ~Pi)

7П1 777-2 RT *

Таким образом, t = — ь ~ = ъяД > (и - Ра).
Проверим единицы измерения:

ЭД = м3 • кг• моль ^Па-Дж моль -К -К 1 • кг 1 • с — с.

Подставляя числовые данные, окончательно получим

4 8,31 • 10~3 • 0,029 • (5 • 105 - 105) лл п

* = ~------8,31 290 0,001----= 40 С'

О т в е т: t = 40 с.

Задача 74, Относительная влажность воздуха объемом 1 м3
при 293 К равна 60%. Сколько надо испарить в этот объем
воды до полного насыщения пара, если давление насыщенного
пара при 293 К составляет 2493 Па, а молярная масса воды —
0,018 кг/моль?

Дано: V = 1 м3; Т = 193 К; = 0,6; р„.п. = 2493 Па;
R = 8,31 Дж/(моль • К); Мъ — 0,018 кг/моль; Дт =
= (тн.п. - т) = ?
Решение: Чтобы определить массу воды, которую надо ис-
парить до полного насыщения пара, используем уравнение
состояния идеального газа: pV — -^~RT. Находим отсюда
массу насыщенного пара;

тк.п.

Рн.П. V

Масса пара, находящегося в данном объеме при относитель-

ной влажности 60%, равна т =

pVM3
RT ’

где р — давление не-

р
насыщенного пара. Относительная влажность р = От-

сюда р = (рра.н.‘ Следовательно, получаем: Дт = тк.п. — m =

_ ^Л^вРн.П. (1 УО

Проверка размерности:

[Дт] — м3 • кг моль 1 • Па Дж 1 • моль - К • К 1 = кг.

Вычисления: Дт =

0,018 • 2493 • 0,4

8,31 293

= 0,007 кг.

Ответ: Дт = 0,007 кг.

Задача 75. В баллоне объемом 0,2 м3 находится газ под дав-
лением 105 Па при температуре 290 К. После подкачивания
газа давление повысилось до 3 • 105 Па, а температура уве-
личилась до 320 К. На сколько увеличилось число молекул
газа? Молярная газовая постоянная R — 8,3 Дж/(моль • К),
постоянная Авогадро Na = 6,02 • 1023 моль”1.

Дано: Ti = 290 К; Т2 = 320 К; pt = 105 Па; р2 = 3 • 105 Па;
V = 0,2 м3; R — 8,3 Дж/(моль • К); Na = 6,02 • 1023 моль”1;

Решение: Для решения подобных задач следует помнить,
что в одном моле любого газа содержится число молекул, рав-
ное числу Авогадро Na • Поэтому для ответа на вопрос задачи
необходимо знать, на сколько увеличилось число молей после
подкачивания газа. Так как число молей п — где m —
масса газа, а М — молярная масса газа, то увеличение числа

молей равно

Дп =

Дт

М ’

где Дт = т2 — mi — увеличение массы газа после подкачи-
вания. Учитывая вышесказанное, запишем

AN = JVAAn = Na^.

(1)

Решение задачи сводится к нахождению изменения числа
молей газа в баллоне, объем которого не меняется. Это легко
сделать с помощью уравнения Клапейрона-Менделеева. Вы-
делим два состояния газа: до подкачивания pi, V, Ti, mi и
после подкачивания р2,У,Т2, m2. Запишем для этих состоя-
ний уравнения Клапейрона-Менделеева:

P1V = (2)

= ^ЙТ,. (3)

Из уравнений (2) и (3) найдем

_ mi _ piV _ т2 _ P2V

П1~ М ~ RIX П2~ М " RT2'

Л л „ _ „ — Дт _ V (Р2 Pi \

1огда Дп — п2 Tii — \ 7i /'

Подставив это выражение в уравнение (1), получим

= ДгЛ (В. - Й-) = 8,6 10м.
Н,\12 Л/

Ответ: Д^ = 8,6 • 1024.

Задача 76. Два сосуда наполнены одним и тем же газом под
давлением 4 • 105 Па и 9 • 105 Па массой 0,2 и 0,3 кг соответ-
ственно. Сосуды соединяют трубкой, объемом которой можно
пренебречь по сравнению с объемами сосудов. Найти уста-
новившееся давление в сосудах, если температура газа в них
в» • .1.* » 4

была одинакова и после установления искомого давления уве-
личилась на 20%.

Дано: Ш1 = 0,2 кг; т2 = 0,3кг; pi = 4-10’ Па; р2 = 940s Па;
То = Т + 0,27 = 1,2Т; ро = ?

Решение: При решении задачи следует рассматривать три
состояния одного и того же газа. В первом сосуде газ массой
mi находится в объеме Ц иод давлением pi при температу-
ре Т. Во втором сосуде газ имел параметры m2, У2> Р2, Т.
После соединения сосудов газ занял объем Vi + Ц, его масса
стала равной + m2; давление ро, а температура Т0- Запи-
шем уравнение Менделеева-Клапейрона для каждого состоя-
ния.

Для первого сосуда

РЛ = (1)

для второго сосуда

Ms = ^RT, (2)

после соединения сосудов

Й>(И + И) = 2к+^ЯТ0, (з)

где, по условию, *

То = 1,2 Т. (4)

Выражая из уравнений (1) и (2) незаданные объемы Ц и
V2 и подставляя их в уравнение (3), получим

•

_ (mi + ТП2)Р1Р2То
(miP2 + m2pi )Т '

Окончательно, с учетом выражения (4), имеем

_ (mi +m2)pi -Р2 ' 1,2

Ро —----------;--------♦

Ш1Р2 + m2pi
Проводим вычисления:

, . г • • • л • < •

= (0,2-Ю,3)-4-10*-9-10° 1,2 = 5

М 0,2 • 105 + 0,3 • 4 105 7,2 1

Ответ: ро = 7,2 105 Па.

Задача 77. На рис. 31 дан график изменения состояния иде-
ального газа в координатах p-V. Представить этот круговой
процесс (цикл) в координатах р-Т, обозначив соответствую-
щие точки, объяснить построение,

Рис. 31

Решение: Рассмотрим подробнее заданный на рис. 31 замк-
нутый цикл. Газ из начального состояния (точка 1) изотерми-
чески (кривая 1-2 в осях р-Т — изотерма, т. е. Ti = Т2) сжи-
мается (так как объем уменьшается, а давление растет в соот-
ветствии с законом Бойля-Мариотта) до какого-то состояния
(точка 2), затем изобарно (прямая 2-3 в осях p-V — изобара,
т. е. р2 = рз) расширяется (так как объем растет) до какого-
то состояния (точка 3). При этом его температура растет
(в соответствии с законом Гей-Люссака), т.е. Тз > Т?.
Далее газ изохорно переводится в состояние 4 (прямая 3-4 в
осях p-V — изохора). При этом его давление уменьшается
(Р4 < рз), а следовательно, в соответствии с законом Шар-
ля уменьшается и температура, т. е. Тд < Т3. Наконец, цикл
завершается изобарным сжатием (прямая 4-1 в осях p-V —-
изобара), объем уменьшается до первоначального значения
(К < Рд), уменьшается, следовательно, и температура до
Перенос исходного графика в систему координат р-Т дол-
жен осуществляться в строгом соответствии с изложенными
рассуждениями. Произведем его постепенно, как указано на
рис. 32. Изотермическое сжатие, сопровождающееся ростом
давления, в осях р-Т изобразится изотермой 1-2. Изобарное
расширение, сопровождающееся ростом температуры, изобра-
зится изобарой 2-3. Уменьшение давления при постоянном
объеме, сопровождающееся уменьшением температуры, изо-
бразится изохорой 3-4. Так как на исходном графике завер-
шение цикла происходит изобарно (т.е. р4 = pi), то на ис-
комом графике следует проследить, чтобы изохора 3-4 про-
должалась до такой точки, в которой давление было бы рав-
но первоначальному (pi). Именно в этом случае прямая 4-1
будет являться изобарой, что соответствует условию задачи,
заданному в виде графика.

Рис. 32

Следует обратить внимание на аккуратность при выпол-
нении графиков, иначе они могут оказаться неверными. На-
пример, в разобранной задаче следует проследить, чтобы изо-
терма 1-2 была параллельна оси давления, изобары 2-3 и 4-1
были параллельны оси температур, а продолжение изохоры
3-4 непременно проходило бы через начало координат.

Задачи по тепловым явлениям условно можно разбить на
три группы, но все они решаются на основании закона со-
хранения и превращения энергии для тепловых процессов —
первого закона термодинамики. К первой группе отнесем за-
дачи, для решения которых необходимо применить собственно
первый закон термодинамики: Q = + А, где А — работа,

совершаемая телом.
Задачи второй группы — это задачи, в которых по условию
количество теплоты Q, сообщаемое телу или телам в процес-
се теплообмена с другими телами, входящими в замкнутую
систему, идет только на увеличение внутренней энергии этих
тел AU. Механическая работа по расширению или сжатию
тела или тел при этом равна нулю: Q =

В задачах третьей группы рассматривается процесс взаи-
модействия тел без теплообмена: Q = 0. Тогда первый закон
термодинамики имеет вид:

△С/ = -Л.

Иными словами, внутренняя энергия тела (тел) изменяется
за счет работы, совершаемой этим телом. Изменение внутрен-
ней энергии будет определяться при этом в соответствии
с процессами, происходящими с телом: нагревание (охлажде-
ние), парообразование (конденсация), плавление (кристалли-
зация).

Задача 78. В калориметре теплоемкостью 1,18- 103Дж/К на-
ходится 2 кг мокрого снега. После того как в калориметр
впустили 0,1 кг пара, в нем установилась температура 283 К.
Сколько воды было в снеге?

Дано: С = 1,18 • 103 Дж/К; mi = 2 кг; m2 = 0,1 кг; То =
= 283 К; Тпл = 273 К; Ткип = 373 К; т = 22,6-105 Дж/кг; Л ==
= 3,36 • 105 Дж/кг; Св = 4200 Дж/(кг- К); тв = ?

Решение: Данная задача относится ко второй группе, когда
А = 0 и Q - ДЕЛ Для ее решения используем уравнение
теплового баланса: фОТд = Фполуч-

Необходимо помнить, что входящие в уравнение теплового
баланса количества теплоты и разности температур берутся
строго положительными.

Пар при конденсации отдает количество теплоты Qi —т2Т.
После конденсации пара образуется вода при 373 К, которая
затем охлаждается до равновесной температуры 283 К и отда-
ет при этом количество теплоты Qi = с3т2(Тккп — То). Итак,
Qotr = Q1 4" Q'2 = т^Г + Св7712(/кип То).
Эта теплота идет на плавление снега Q$ — (mi ~~ mB) А и на
нагревание воды и калориметра от 273 К (0°С) до равновесной
температуры 283 К:

Qi = Св'/пДЗо — Тпл) + С (То — Тпл).

Таким образом, получаем:

Рполуч = Фз + $4 - (mi - mB)A 4- cBmi (То - Тпл) + C(TQ - Тпл).

Уравнение теплового баланса будет иметь вид

тзг+свтгСГкип-Го) = (mi-mB)A+cBmi (7о-Тпл)+С(7о-ТПл)‘

• • - ' *’ * , • \ • '
г

Отсюда следует:

j (m2r+cBm2(TKKn~TG')-cBm1 (То-Тпл)-С(7Ь-Тпл)).

Вычисляем:

о 22,6-105-0,14-4200-90-2«4200-10-1,18 10э-10 . _
тев=2------------’-------п - г-------------------= 1,5 кг,

3,36-10б

Ответ: тв = 1,5 кг.

Задача 79. При какой скорости свинцовая пуля, ударившись
о перегородку, расплавиться? Температура пули до удара
303 К. Считать, что при ударе 48,8% механической энер-
гии пули идет на изменение ее внутренней энергии. Темпе-
ратура плавления свинца 603 К, удельная теплота плавления
свинца Ас — 2,5 • 104 Дж/кг, удельная теплоемкость свинца
сс = 120 Дж/(кг • К).

Дано: 1'1—303 К; Тпл = 603.К; 0,488; сс = 120 Дж/(кг- К);

Ас = 2,5 • 104 Дж/кг; ц = ?

Решение: Данная задача относится к третьей группе задач,
так как за счет совершения пулей механической работы про-
тив сил сопротивления и изменяется ее внутренняя энергия,
т. е. АС7 = —А. При этом работа А будет отрицательной и
определяется через изменение кинетической энергии тела:

л - mvl _

2 2 ’

где т — масса пули, v — начальная скорость пули, vK —
конечная скорость пули, равная нулю. Следовательно, А =?
— условию 48,8% кинетической энергии пули идет

на изменение ее внутренней энергии, т.е. на нагревание
(△Е^нагр = ^т(ТТ1Л - 71)) и плавление (Д(7пл = Аст). Следо-.
вательно,

△С/нагр + ДПпл mv2 сст(Тпл - 71) 4- Аст

д-------_ или __ „----------------------.

Сокращая массу пули, как общий множитель, получаем:

Подставляя числовые значения, получим

1 Г i , * * I • * • • f

/2(120 • (603 - 303) 4- 2,5 • 104) КАП ,

v = у ------k---оЖ = 500 м/с.

Оувет: v — 500 м/с.

Задача 80. В вертикальном цилиндре под поршнем находит-
ся 2 кг кислорода. При повышении температуры кислорода
на 5 К его внутренняя энергия увеличилась на 6570 Дж. Най-
ти количество теплоты, сообщенное кислороду; работу, совер-
шаемую им при расширении; его удельную теплоемкость для
двух случаев: а) поршень не закреплен; б) поршень закреп-
лен.
Дано: М - 32 • 10-3 кг/моль; Д21 = 5 К; Д17 - 6570 Дж;
т — 2 кг; Qp = ?; ср =?; =? Qv =?; су = ?; Ау = ?

Решение: Если поршень не закреплен, то кислород расши-
ряется и совершает работу против силы тяжести поршня, си-
лы трения его о стенки цилиндра и силы атмосферного давле-
ния, действующих на поршень. Поскольку процесс нагрева-
ния достаточно медленный, а силы при этом постоянны, мож-
но утверждать, что процесс является изобарным (р = const).

При закрепленном поршне процесс нагревания будет изо-
хорным (V = const).

Таким образом, для случая а) первый закон термодинами-
ки имеет вид:

Qp = bU + Ap, (1)

а для случая б):

Qy = ДСЛ (2)

Изменение внутренней энергии Д(7 кислорода зависит для
идеального газа только от разности температур, поэтому в
обоих случаях оно одинаково.

Работу расширения Ар находим из соотношения Ар —
— р(у2 — Vj), Для случая б) изменение объема равно нулю,
поэтому Ау = 0. *

Для определения Ар воспользуемся уравнением Менделе-
ева-Клайперона, записанным для начального и конечного со-
стояний кислорода:

= р72 = -^Л7’2.

С их помощью выражение для работы можно записать:

Л, = - Тг) = = 2594 Дж.

Тогда из (1) находим Qp = 9164 Дж.

Для случая б) из уравнения (2) следует, что Qv = 6570 Дж.
Удельные теплоемкости кислорода найдем из соотношений
Qp = тср&Т и Qy = mcyAT, откуда получаем:

C» = ^ST = 916 Дж/(кг •к>-

<V = = 657 Дж/(кг • К).

Отметим, что для любого газа имеется заметная разница в
значениях удельных теплоемкостей при р — const и V — const.
Для твердых и жидких тел это не так из-за значительно мень-
шего коэффициента их объемного расширения.

Ответ: Ар = 2594 Дж; Ау = 0; Qp = 9164 Дж; Qv = 6570 Дж;
Ср = 916 Дж/(кг«К); су = 657 Ддс/(кг-К).

81. В координатных осях р-Т на рис. 33 представлен замкну-
тый циклический процесс. Изобразить этот процесс в коорди-
натах V-T.

Рис. 33 Рис. 34

82. Заданный на рис. 34 циклический процесс в координатах
V-T изобразить в координатах p-V.

83. Объем камеры насоса, соединенного с сосудом, равен
VH — 3 • Ю"'1 м3. За один ход поршня насоса давление в сосу-
де увеличивается на 1,5%. Считая температуру постоянной,
определить объем сосуда.
84. Объем, занимаемый газом, уменьшился на 45%, давление
при этом повысилось на 40%. Насколько изменилась темпе-
ратура газа, если начальная была равна Т = 280 К?

85. В узкой стеклянной трубке, запаянной с одного конца
и расположенной вертикально отверстием вниз, заперт воз-
дух столбиком ртути высотой h — 4 • 10”2 м. При перево-
рачивании трубки на 180° длина воздушного пространства в
трубке изменяется на △£ — 3 • 10"3 м. Определить первона-
чальную длину воздуха в трубке, если атмосферное давление
Ро = 105 Па, температура воздуха постоянна, плотность ртути
рр = 13600 кг/м3.

86. В баллоне объемом V = 4,15 • 10~2 м3 при температуре
Т = 300 К находится кислород под давлением pi = 2,3 • 106 Па.
Какую массу кислорода необходимо выпустить из баллона,
чтобы давление уменьшилось до ръ = 0,8 • 10е Па при неиз-
менной температуре? Mq = 0,032 кг/моль.

87. Когда из баллона выпустили некоторую массу газа, дав-
ление в нем уменьшилось на 40%, а температура — на 20%.
Какая часть первоначальной массы газа осталась в баллоне.
Ответ выразить в процентах.

88. Два баллона соединены трубкой с краном. В одном
баллоне находится газ массой mi = 0,6 кг под давлением pi =
= 2,5 • 10е Па, в другом — m2 = 0,2 кг того же газа под
давлением р% = 5 • 105 Па. Какое давление установится в
баллонах, если кран открыть. Температура газа в баллонах
одна и та же и остается постоянной. Объемом соединительной
трубки пренебречь.

89. Смешано mi = 3 кг воды при температуре — 285 К и
m2 = 2 кг воды при То = 350 К. Определить установившуюся
температуру, если тепловые потери составляют Q — 2,1-104 Дж.
Удельная теплоемкость воды Св = 4200 Дж/(кг - К).

90. Смесь, состоящую из тЛ = 5 кг льда и тв = 15 кг воды
при общей температуре То = 273 К, нужно нагреть до Ti —
— 353 К с помощью водяного пара при температуре Тг =
Задачи для самостоятельного решения
> » - . •

= 373 К. Определить необходимое количество пара, если г =
= 22,6 • 105 Дж/кг; Л = 3,36 • 10б Дж/кг; св = 4200 Дж/(кг • К).

91 <• На сколько температура воды у основания водопада
с высотой h — 20 м больше, чем у вершины? Считать, что
вся механическая энергия идет на нагревание воды. св —
= 4200 Дж/(кг • К).

92. Мотоцикл массой т = 400 кг скатывают с горки дли-
ной I — 40 м и углом наклона ся = 30°. Какое количество
теплоты выделилось при трении колес мотоцикла о горку,
если скорсеть мотоцикла изменилась от нуля до v — 6 м/с?
g — 10 м/с2. Ответ выразить в килоджоулях.

93. Для охлаждения воды в холодильнике от температуры
Т1 = 279 К до Д = 273 К потребовалось ii = 840 с. Сколько
времени должен работать холодильник, чтобы эту воду пре-
вратить в лед? Св = 4200 Дж/(кг • К); А = 3,3 • 105 Дж/кг.

94. Две свинцовые пули одинаковой массы летят по взаимно
перпендикулярным направлениям со скоростью v = 260 м/с
каждая. На сколько изменится температура пуль после аб-
солютно неупругого соударения? До удара температура пуль
была одинаковой. сс = 130 Дж/(кг • К).

95. Газ находится в цилиндрическом сосуде под невесомым
поршнем, занимая объем V — 0,3 м3 при температуре Ti —
= 250 К и давлении р — 2 • 10е Па. Определить работу газа
при изобарном расширении, если температура увеличилась
до Т2 = 280 К.

96. В вертикальном цилиндре под тяжелым поршнем нахо-
дится т = 1,8 кг кислорода. При сообщении кислороду Q —
— 9500 Дж количества теплоты его температура увеличилась
на ДТ = 8 К. Чему равно изменение внутренней энергии?
Mq = 0,032 кг/моль.

97. Стальной осколок, падая с высоты h = 800 м, имел у по-
верхности Земли скорость v — 50 м/с. На сколько повысилась
температура осколка, если считать, что р ~ 0,9 работы сопро-
тивления воздуха пошла на его нагрев? сс = 460 Дж/(кг • К).
98. При какой температуре скорость молекул кислорода до-
стигнет первой космической скорости v = 7,9 км/с? Что
случилось бы с атмосферой Земли при такой температуре?
Mq = 0,032 кг/моль.

99. Считая воздух идеальным газом, оцените скорость тепло-
вого движения молекул газа при нормальных условиях, когда
плотность воздуха равна р = 1,3 кг • м“3.

100. В помещении, объем которого V = 150 м3, поддержива-
ется дневная температура 71 = 293 К и относительная влаж-
ность В = 0,6. Сколько воды выделится на окнах при «запо-
тевании» стекол, если ночью температура понизится до
Т2 = 281 К? Давление насыщенного пара pi = 2493 Па при
и pi = 1100 Па при Т2; Мв = 0,018 кг/моль.

Д6. В наглухо закрытой комнате объемом 20 кубо-
метров в течение 5 часов заняты чтением 2 человека.
На сколько процентов за это время в помещении упа-

дет концентрация кислорода? В расчете принять, что человек
генерирует тепловую мощность 150 Вт и на каждые 10 кДж
генерируемой энергии расходуется 1 г кислорода.

Д7. Существует теория, что оптимальная для под-
держания иммунитета человека температура в квар-
тире составляет 15 градусов Цельсия. И превышение

ее на каждые 5 градусов приводит к условному ослаблению
иммунитета вдвое. Этим можно объяснить тот факт, что бо-
лезни ослабленного иммунитета наиболее распространены в
жарких странах. Во сколько раз условия жизни в квартире
со средней температурой 30 градусов менее благоприятны по
сравнению с квартирой с температурой 15 градусов?

Физическая величина, характеризующая интенсивность
электромагнитных взаимодействий, называется электричес-
ким зарядом. Электрически заряд обозначается буквой q. За-
ряды могут быть как положительными так и отрицательными.
Любой заряд, независимо от знака, всегда кратен минималь-
ному элементарному заряду е: q = ne, где е ~ 1,6 • 10~19 Кл,
п = +1,+2,...;—1,-2,.... В этом проявляется свойство дис-
кретности электрического заряда. Носителями элементар-
ного заряда являются электроны, заряд которых отрицатель-
ный (<7е = -1,6 10“19 Кл), протоны, заряд которых положи-
телен (qp = 1,6 • 1019 Кл), и некоторые другие заряженные
элементарные частицы.

За единицу заряда принят кулон: [$] = 1 Кл. Кулон — это
заряд, проходящий за 1 с через поперечное сечение проводни-
ка при силе тока 1 А.

Электризация тел трением объясняется переходом части
электронов с одного тела на другое. При этом первое тело
заряжается положительно, а второе — отрицательно. Элек-
трические заряды могут появляться на телах и при других
взаимодействиях, например под действием света. Однако в
замкнутой системе, в которую не входят извне электрические
заряды и из которой не выходят заряды, при любых взаимо-
действиях тел алгебраическая сумма электрических зарядов
всех тел остается постоянной.

Этот экспериментально установленный факт называется
законом сохранения электрического заряда.

В ходе многочисленных опытов установлено, что за-
| ряженные тела или частицы взаимодействуют между
f собой: одноименные заряженные — отталкиваются,
разноименно заряженные — притягиваются. Величину силы
взаимодействия заряженных тел рассчитать не всегда легко.
В простейшем случае, когда взаимодействуют точечные заря-
ды (или равномерно заряженные сферы), силу их взаимодей-
ствия можно рассчитать по закону Кулона. Он открыт фран-
цузским физиком Шарлем Кулоном в 1785 г. и утверждает,
что сила, с которой взаимодействуют два неподвижных то-
чечных заряда в вакууме, прямо пропорциональна произве-
дению модулей зарядов и обратно пропорциональна квадрату
расстояния между ними, т. е.

Р _ L.l?l| * 1ф|
1 К — Л О |

е - Н

где к « 9 • 109 Н • м2/Кл2. Этот коэффициент часто записыва-
ется в виде

47Г£о ’

где го « 8,85-10"12 Кл2/(Н-м2) — электрическая постоянная.
Сила FK является центральной, так как направлена вдоль ли-
нии, соединяющей точечные заряды или центры заряженных
сфер (рис. 35), и называется кулоновской. Она приложена к
каждому из взаимодействующих тел, а ее направление опре-
деляется знаками зарядов (рис. 35).

Если взаимодействующие заряды находятся в однородном
диэлектрике, а не в вакууме, то кулоновская сила уменьша-
ется в е раз (е — диэлектрическая проницаемость среды).
f2(1=f1|2=fk

Рис. 35

Закон Кулона выполняется не только для точечных заря-
дов, но и для заряженных шаров (расстояние измеряют между
центрами шаров).

Электрическое поле возникает в пространстве вокруг не- *
подвижных зарядов (электростатическое) или движущихся
(электродинамическое); действует оно на любые заряды (по-
движные и неподвижные); оно материально по своей приро-
де, т. е. реально существует независимо от наших ощущений
И является частным случаем электромагнитного поля.

глава

При движении зарядов возмущение электрического
поля распространяется с конечной скоростью, совпа-
дающей со скоростью света с в данной среде, Распро-

странение возмущений осуществляется в виде электромагнит-
ных волн.

Сила, с которой электрическое поле действует на за-
ряд, всегда пропорциональна величине этого заряда:
FK ~ kli поэтому отношение не зависит от вели-

чины заряда и может рассматриваться как характеристика
поля. Эту векторную величину называют напряженностью
электрического поля: Ё = Направление вектора напря-
женности совпадает с направлением силы, действующей на
помещенный в данную точку поля положительный заряд.

Единицей напряженности является [Е] = 1 Н/Кл = 1 В/м.

Если поле создано точечным зарядом до и в некоторую
точку этого поля вносится другой точечный заряд д, то сила
взаимодействия между ними может быть рассчитана по зако-
ну Кулона, и тогда напряженность поля заряда до в данной
точке имеет вид

?к - k' w ‘ М = ь Ifrl

T?l £ г2 • |g| € • г2 ’

В случае, когда электрическое поле создается сразу несколь-
кими зарядами, его напряженность вычисляют, исходя из
принципа суперпозиции полей: напряженность поля, созда-
ваемого несколькими зарядами, равна векторной сумме на-
пряженностей, создаваемых каждым из зарядов в отдельно-
сти, т, е.

Е — Ei + Е% + ' • • 4- ёп>

Для изображения картин электрического поля на чертежах
пользуются условными линиями, которые называются лини-
ями напряженности. Их проводят так, чтобы в каждой точке
поля вектор напряженности был касательным к силовой ли-
нии; где линии идут гуще, там напряженность поля больше.
Силовые линии начинаются на положительных зарядах (или
в бесконечности), а заканчиваются на отрицательных зарядах
(или в бесконечности). На рис. 36 изображены поля одиноч-
ных положительного (а) и отрицательного (б) зарядов и поле
системы положительного и отрицательного зарядов (в).

Рис. 36

Если напряженность поля во всех точках пространства
одинакова, поле называют однородным (поле внутри плоского

i'Vj
конденсатора, а также вблизи бесконечной заряженной плос-
кости). Можно показать, что напряженность электрического
поля вблизи бесконечной плоскости с поверхностной плотно-
fl

стью заряда сг = $ одинакова в любой точке пространства и
равна

а Работу электростатического поля при перемещении
заряда рассмотрим на примере однородного поля, в
котором = const, (см. рис. 37), Работа по пере-
мещению положительного точечного заряда q из некоторой
точки В поля в точку С равна:

Авс = F ' 8 • cos а = qEd; (d = S cos а).

Рис. 37

Рассмотрим работу по перемещению того же заряда д, но на
участке BDC\

Ав do = Abd + Ac d = FS cos 90° + FS cos 0° = gEd.

Можно показать, что работа по любому криволинейному пу-
ти между точками В пС (например, ВМС) тоже будет равна
qEd. Это означает, что в однородном электрическом
бота не зависит от вида траектории и длины пУт^Чек пути,
ляется лишь положением начальной и конечно
Следовательно, однородное электрическое поле является по-
тенциальным, и работало перемещению в нем заряда q может
быть представлена как убыль потенциальной энергии:

А = -МУ = -(ТУ2 - TVi) = Wi - W21

где W — потенциальная энергия заряда q в электростатиче-
ском поле. Начальный уровень потенциальной энергии элек-
тростатического поля (как и гравитационного) выбирается
произвольно (или в бесконечности, или на отрицательном за-
ряде). Сравним две формулы:

А = qEd — qE(ri - r2) = qEri - qEr2 и A = Wi-W2,

где ri и Г2 — расстояния точек В и С до отрицательной пла-
стины. Из сравнения можно заключить, что в однородном по-
ле потенциальная энергия заряда q определяется выражением
W = qEr, где г — расстояние точки расположения заряда до
отрицательно заряженной пластины конденсатора.

Можно показать, что и неоднородное электрическое поле,
возникающее, например, вокруг точечного заряда в простран-
стве является потенциальным. При этом потенциальная энер-
гия заряда q в произвольной точке, удаленной от источника
поля на расстояние г, имеет с точностью до знака тот же вид:
W = qE(f)rt где Е(г) — напряженность неоднородного поля
в точке г.

Потенциалом электростатического поля называют
отношение потенциальной энергии заряда в поле к
величине этого заряда, т. е. потенциальную энергию,

приходящуюся на единицу заряда в электростатическом поле:

Потенциал является энергетической характеристикой элек-
тростатического поля. Если в некоторой точке пространства
двумя зарядами одновременно созданы электрические поля
с потенциалами уц и 9?2, то суммарный потенциал электро-
статических полей равен алгебраической сумме потенциалов:
“V1 + <Р2-
Аналогичным способом можно найти потенциал электри-
ческого поля, созданного любым числом электрических заря-
дов.

Единицей потенциала является вольт (1 В) — это потен-
циал поля в такой точке, в которой заряд 1 Кл обладает по-
тенциальной энергией 1 Дж:

М = 1 в =

1 Кл

Для любого электростатического поля (однородного и неодно-
родного) можно ввести понятие разности потенциалов между
двумя точками поля, связанную с работой, которую необходи-
мо совершить для перемещения заряженной частицы из одной
точки в другую:

△<£ - Ч>1 - <^2 = -у- ~ А = - <р2).

Величина уже не зависит от выбора нулевого уровня по-
тенциальной энергии, поэтому она и выбирается обычно за
характеристику электростатического поля. Разность потен-
циалов называют напряжением U: U = ipi — Напряжение
между двумя точками равно 1 В (вольт), если при переносе
заряда 1 Кл из одной точки в другую совершается работа в
1 Дж.

Поскольку А = - ^2), то в случае q > 0 и <pi > <р2

получаем А > 0. Это означает, что работу совершают силы
поля. Если же 9? < то А < 0 при этом работу совершают
внешние силы против сил поля. Для отрицательного заряда
q < 0 — все наоборот.

Можно установить связь разности потенциалов с на-
пряженностью однородного поля для случая конден-
сатора с напряжением на пластинах U и расстоянием

между ними d:

<Р1 - <^2 — ~ рр = Kri - Ег2 = E(fi - r2) = Ed = U.

Отсюда следует, что единицей измерения напряженности
электростатического поля является также 1 В/м. При этом
1 В/м = 1 Н/Кл.
В случае неоднородного электростатического поля, возни-
кающего вокруг точечного заряда Qq, потенциал может иметь
разный знак в зависимости от знака д0. Жирной линией на
рис. 38 показана зависимость потенциала’ от расстояния до
заряда до- Эта зависимость задается следующей формулой:

fe9o

Ф ~ er '

Тонкой линией на рисунке показано значение потенциала для
г < R, если в качестве источника поля выступает заряженная
сфера радиуса R с распределенным зарядом до- Для г > R ъ
обоих случаях кривые совпадают.

Опыт показывает, что если уединенному проводяще-
му шару сообщать разные заряды gi, , то потен-
циал шара будет соответственно <£>i, <£>2, • • •, а отноше-
91 92

ние заряда к соответствующему потенциалу .

остается постоянным и характеризует свойство проводника,
не зависящее ни от заряда, ни от потенциала, называемое
электроемкостью проводника:

Электроемкость уединенного проводника С — физическая ве-
личина, численно равная величине заряда, изменяющего по-
тенциал проводника на единицу. Электроемкость проводника
зависит от его формы, размеров и среды, окружающей его.
За единицу электроемкости принимается электроемкость про-
водника, потенциал которого изменяется на 1 В при измене-
нии его заряда на 1 Кл.

Единица электроемкости называется фарадой: 1 Ф =
= 1 Кл/В. Таким образом, за единицу электроемкости при-
нимается электроемкость проводника, потенциал которого из-
меняется на 1 В при изменении его заряда на 1 Кл. Практи-
чески используются более мелкие единицы: 1 мкФ = 10“5 Ф
(микрофарада); 1 пФ = 10-12 Ф (пикофарада).

Электроемкость равномерно заряженной сферической
поверхности (или металлического шара) рассчитывается по
формуле

С = 4теое • Я =

где R — радиус сферической поверхности; е — диэлектриче-
ская проницаемость среды, окружающей поверхность.

Конденсаторы — специально созданные системы из двух
проводников — обладают большой электроемкостью. Обычно
используют плоские конденсаторы, состоящие из двух плос-
костей (обкладок), разделенных слоем диэлектрика, толщи-
на которого мала по сравнению с размерами самих проводни-
ков. Практически все поле конденсатора сосредоточено вну-
три него.

По определению электроемкость любого, в том числе и
плоского, конденсатора С = , где q — заряд одной из пла-
стин по абсолютной величине, U — разность потенциалов ме-
жду обкладками конденсатора. Так как поле конденсатора
однородно, то его напряженность Е — и U — Ed, где d —
расстояние между обкладками. Используя ранее приведенное
выражение для напряженности бесконечно заряженной плос-
кости, которое необходимо удвоить для случая конденсатора
и подставляя это все в определение емкости, получим зависи-
мость емкости плоского конденсатора от величины площади
его пластин S, расстояния между ними d и диэлектрической
проницаемости среды, находящейся между обкладками, е:

ft SqsS
° ~ ~3~-
Для зарядки конденсатора его обкладки присоеди-
няются к полюсам источника постоянного напряже-
ния. При этом электрическое поле совершает работу

по разделению положительных и отрицательных зарядов. За
счет этой работы конденсатор, будучи заряженным, обладает

некоторой энергией, которая определяется его электроемко-
стью и напряжением между его обкладками:

w = ^

2 '

Сконцентрированная в поле заряженного конденсатора энер-
гия при его разрядке превращается в другие формы энергии:
внутреннюю энергию проводников, световую энергию и т.д.

Соединения конденсаторов. При последовательном соеди-
нении складываются величины, обратные электроемкостям:

При параллельном соединении конденсаторов их емкости
складываются:

Со = С1 + .-- + С'п.

По электрическим свойствам тела можно разделить
на проводники и диэлектрики. Проводниками назы-
вают тела, через которые электрические заряды мо-

гут переходить от заряженного тела к незаряженному. Спо-
собность проводников пропускать через себя электрические
заряды объясняется наличием в них свободных носителей за-
ряда. Примерами проводников являются металлические тела
в твердом и жидком состоянии.

Диэлектриками, или изоляторами, называются такие те-
ла, через которые электрические заряды не могут переходить
от заряженного тела к незаряженному.' К диэлектрикам от-
носятся, например, воздух, стекло, дерево, бумага.

При внесении проводника в электрическое поле свободные
заряды в нем приходят в движение и перераспределяются та-
ким образом, что напряженность электрического поля в про-
воднике становится равной нулю. При этом вектор напряжен-
мости электрического поля в любой точке поверхности тела
оказывается перпендикулярным к этой поверхности. Таким
образом, поверхность проводника в электрическом поле явля-
ется эквипотенциальной поверхностью.

При внесении диэлектрика в электрическое поле происхо-
дит его поляризация, т. е. смещение в противоположные сто-
роны разноименно связанных зарядов, входящих в состав ато-
мов и молекул вещества. В результате электрическое поле в
диэлектрике Е оказывается меньше внешнего электрического
поля Eq. Физическая величина, равная отношению модулей
Eq к Е, называется диэлектрической проницаемостью веще-
ства:

___Eq

5 ~ Е'

Для вакуума или воздуха е = 1, для воды ев = 81. Умень-
шение напряженности электрического поля в диэлектрике в
g раз по сравнению с напряженностью в вакууме приводит к
такому же уменьшению силы электростатического взаимодей-
ствия точечных электрических зарядов в диэлектрике. Этот
случай отражен в законе Кулона появлением величины е в
знаменателе выражения для кулоновской силы (см. стр. 94).

’'""7^ Электрическим током называется упорядоченное
rjj’v движение электрических зарядов. За направление
электрического тока принято направление движения
положительных зарядов. Ток, у которого величина и направ-
ление с течением времени не меняется называется постоян-
ным. Отношение заряда Sq, переносимого через поперечное
сечение проводника за интервал времени St, к величине этого
интервала называется силой тока:
9
За единицу тока принимается ампер’. [Z] = 1 А. Эта еди-
ница устанавливается на основе магнитного взаимодействия
токов: Ампер — такая сила постоянного тока, который при
прохождении по двум параллельным прямолинейным провод-
никам бесконечной длины ничтожно малого кругового сече-
ния, расположенных на расстоянии 1 м друг от друга в ваку-
уме, вызывал бы между этими проводниками силу магнитного
взаимодействия, равную 2 • 10-7 Н на каждый метр длины.

Закон Ома для участка цепи открыт немецким фи-
зиком Г. Омом в 1926 г.: отношение напряжения V
между концами металлического проводника, являю-

щимся участком электрической цепи, к силе тока I в цепи
есть величина постоянная:

у — R — const.

Величину R называют электрическим сопротивлением про-
водника.

Единица электрического сопротивления — ом’. [Я] = 1 Ом.

Если при напряжении в 1 В в проводнике устанавливается
ток в 1 А, то сопротивление такого проводника равно 1 Ом.

Сопротивление проводника прямо пропорционально
I его длине I и обратно пропорционально площади его
поперечного сечения S:

Коэффициент пропорциональности р называется удельным
сопротивлением. Удельное сопротивление зависит от рода ве-
щества и от температуры (с повышением температуры удель-
ное сопротивление большинства металлов увеличивает-
ся), численно оно равно сопротивлению проводника единич-
ной длины с единичной площадью поперечного сечения.

Единица удельного сопротивления — [р] = 1 Ом • м.

Проводники в электрических цепях постоянного тока мо-
гут соединяться последовательно и параллельно. При после-
довательном соединении проводников конец первого провод-
ника соединяется с началом второго и т. д. При этом сила тока
Z одинакова во всех проводниках, а напряжение U на концах
всей цепи равно сумме напряжений на всех последовательно
включенных проводниках. Используя закон Ома для участка
цепи, запишем

U - Ui Н----1- Un или IR — IRi-l-----И IRn-

Откуда для полного сопротивления участка цепи из последо-
вательно включенных проводников получим:

R — Ri + • • + Rn •

При параллельном соединении проводников их начала и кон-
цы имеют общие точки подключения к источнику тока. При
этом напряжение U на всех проводниках одинаково, а сила
тока I в неразветвленной цепи равна сумме сил токов во всех
параллельно включенных проводниках. Применим закон Ома
для участка цепи, находим:

/ = Ц -р ... 1п или -д = — ------------------------Ь

Таким образом, полное сопротивление участка цепи из парал-
лельно включенных проводников определяется выражением

В замкнутой цепи работа кулоновских сил равна нулю, ра-
бота сторонних сил отлична от нуля, она совершается за счет
энергии источника (химической, тепловой, механической,
атомной и т.д.). Величина работы сторонних сил по пере-
мещению единицы электрического заряда по замкнутой цепи
называется электродвижущей силой источника (£):

Электродвижущая сила (сокращенно, ЭДС) выражается в тех

же единицах, что и напряжение, т. е. в водьтах.

Замкнутая цепь (рис. 39) состоит из источника тока
с ЭДС £ и внутренним сопротивлением г, внешним
сопротивлением R, проводов, сопротивление которых
обычно очень мало по сравнению с R.
Для замкнутой цепи выполняется сле-
дующий закон Ома:

Рис. 39

Режим протекания тока при R = 0 на-
зывается током короткого замыкания:

*к.з. — у •

Работу сил электрического поля, создающего элек-
трический ток, называют работой поля. Работа А сил
электрического поля или работа электрического тока
на участке цепи с электрическим сопротивлением R за время
t равно:

Л = qU = IUt = I2Rt.

Мощность электрического тока равна отношению работы тока
А ко времени t, за которое эта работа совершена:

Р = А = Ш =/2Я =

V jtlf

Работа электрического тока выражается в джоулях, мощ-
ность — в ваттах. Если на участке цепи под действием элек-
трического поля не совершается механическая работа и не
происходят химические превращения веществ, то работа элек-
трического поля приводит только к нагреванию проводника.
При этом работа электрического тока равна количеству те-
плоты, выделяемому проводником с током за время t:

Qr = I2 Ri.

Данное выражение носит название закона Джоуля-Ленца.

На внутреннем участке электрической цепи при протека-
нии тока выделяется следующее количество теплоты:

Qr — I2rt.

На основе этого вводят понятие коэффициента полезного дей-
ствия цепи (??):

Qr + Qr R + г
Природа электрического тока в металлах связана с наличи-
ем в них свободных электронов проводимости, число которых
в 1 см3 достигает ~ Ю22. При отсутствии электрического по-
ля свободные электроны перемещаются в кристалле металла
хаотически. Под действием электрического поля свободные
электроны в дополнение к хаотическому приобретают упо-
рядоченное движение в одном направлении, и в проводнике
возникает электрический ток. Свободные электроны стал-
киваются с ионами кристаллической решетки, примесями и
другими дефектами решетки и изменяют при этом направле-
ние своего движения — результатом этого является появле-
ние сопротивления проводника. При каждом столкновении
иону передается также часть кинетической энергии электро-
на. Это приводит к нагреванию проводника при прохождении
по нему постоянного тока. Удельное сопротивление металлов
при нагревании увеличивается приблизительно по линейному
закону:

p(t) = ро(1 +

где ро — удельное сопротивление при 0°С, а — температур-

ный коэффициент, особый для каждого металла, t — темпе-

ратура проводника по шкале Цельсия.

В 1911 г. было обнаружено явление сверхпроводимости,
когда при понижении температуры ртути до 4,1 К ее удель-
ное сопротивление скачком уменьшалось до нуля. Прохожде-
ние тока в сверхпроводнике происходит без потерь энергии,
поэтому однажды возбужденный в сверхпроводящем кольце

электрический ток может существовать неограниченно долго

без изменения.

Использование явления сверхпроводимости в широкой
практике может осуществиться в ближайшем будущем благо-
даря открытию в 1986 г. сверхпроводящих керамик — соеди-
нений иттрия, бария, меди и кислорода. Сверхпроводимость
таких керамик сохраняется до температур около 100 К.

Полупроводники по электропроводности занимают проме-
жуточное положение между металлами и диэлектриками.
Собственная проводимость полупроводников обычно невели-
ка и связана с движением равного количества электронов и
положительно заряженных дырок. При этом свободные элек-
троны, ответственные за собственную проводимость, образу-
ются при ионизации атомов вследствие неравномерности рас-
пределения энергии теплового движения. Обычно к полу-
проводникам относят кристаллы, в которых для освобож-
дения электрона требуется энергия не более 1,5-2 эВ (1 эВ =
= 1,16 • 10-13 Дж). Вещества с большими значениями энер-
гии связи относятся к диэлектрикам, а с меньшими — к ме-
таллам. Концентрация носителей заряда в полупроводниках
при комнатной температуре значительно меньше, чем в ме-
таллах. Поэтому удельное сопротивление полупроводников
обычно больше, чем металлов, и с понижением температуры
оно, в отличие от металлов, возрастает и все более становится
похожим на диэлектрик.

При наличии примесей в полупроводниках наряду с собст-
венной проводимостью дополнительно возникает примесная.

Если в качестве примеси используется элемент, валент-
ность которого на единицу меньше, чем валентность данного
полупроводника {акцепторная примесь), то для образования
нормальных парно-электронных связей с соседними атома-
ми атому примеси недостает одного электрона: в результате
образуется дырка. Такие полупроводники называются полу-
проводниками p-типа (основные носители заряда в них —
дырки, не основные — электроны). Если же валентность
примеси на единицу больше, чем у полупроводника (донор-
ная примесь), то один из электронов в атоме примеси, не уча-
ствуя в химической связи, легко покидает атом и становит-
ся свободным. Получается полупроводник п-типа (основные
носители — электроны, неосновные — дырки).

Область контакта полупроводников двух типов называют
р-п-переходом. При наличии такого контакта электроны на-
чинают диффундировать из полупроводника n-типа в полу-
проводник p-типа, а дырки — им навстречу. В результате
этого n-область заряжается положительно, а р-область — от-
рицательно, и появляется электрическое поле, которое пре-
кращает диффузию электронов и дырок. Если включить по-
лупроводник с р-п-переходом в электрическую цепь, присо-
единив p-область к положительному полюсу, а п-область —
к отрицательному (прямое включение), то сопротивление пе-
рехода будет незначительным. При обратном включении
р-п-переход практически не пропускает тока. Это свойство
используется в полупроводниковых диодах, которые приме-
няются в электронной технике для выпрямления электриче-
ского тока. В отличие от ламповых аналогов, здесь не требу-
ется источник энергии для накаливания нити катода, что при
использовании в больших и сложных схемах приводит к
значительной экономии энергии и к уменьшению размеров
устройств. Транзистор, или полупроводниковый триод, был
изобретен в 1948 г. Он состоит из трех последовательно со-
единенных разных полупроводников с двумя областями кон-
такта. Среднюю область соединения называют базой тран-
зистора, а две крайние области, обладающие проводимостью
противоположного базе типа, называют коллектором и эмит-
тером. В зависимости от типа проводимости базы разли-
чают транзисторы с р-п-р-переходом и с п-р-п-переходом.
Для приведения в действие на коллектор транзистора типа
п-р-п подают напряжение отрицательной полярности отно-
сительно эмиттера. Напряжение на базе может быть как по-
ложительным, так и отрицательным по отношению к эмитте-
ру. Основным рабочим состоянием транзистора в большин-
стве электрических схем является активное состояние, при
котором к эмиттерному р-п-переходу приложено напряжение
в пропускном направлении, а к коллекторному — в запира-
ющем направлении. Транзистор можно рассматривать как
устройство, распределяющее ток, протекающий через один из
его электродов — эмиттер, в заданном соотношении между
двумя другими электродами — базой и коллектором. Эта
способность транзисторов используется для усиления элек-
трических сигналов, в качестве которых они широко приме-
няются в аудио- и видеоаппаратуре. В виде бесконтактного
переключательного элемента транзистор также используется
в различных приборах автоматического управления.

Молекулы кислот, солей и щелочей при растворении в во-
де распадаются на положительные и отрицательные ионы за
счет уменьшения силы их взаимодействия в воде в 81 раз
(ен2о — 81)* Этот процесс называется диссоциацией, а по-
добные растворы, обладающие электрической проводимо-
стью, называют электролитами. При прохождении через эти
растворы электрического тока положительные ионы переме-
щаются к катоду (отрицательному электроду), отрицатель-
ные — к аноду (положительному электроду). На электро-
дах происходят химические реакции с выделением вещества.
Процесс выделения на электродах вещества при прохождении
тока через электролит называется электролизом. Этот про-
цесс может идти не только в водных растворах кислот, солей
и оснований, но и в расплавах твердых солей.

jf===^Vi Закон электролиза, открытый М. Фарадеем: Масса

вещества, выделившегося на электроде за время t при

прохождении через электролит тока силой I, пропор-

циональна силе тока и времени, т. е.

т = КЛ, К=±%,

где К — электрохимический эквивалент данного вещества.
Он численно равен массе выделившегося на электроде ве-
щества при прохождении через электролит заряда в 1 Кл.
F — 9,65 • 104 Кл/моль — число Фарадея, М — молярная
масса, п — валентность.

Электролиз широко применяется в технике, например в
гальваностегии — покрытии поверхности одного металла тон-
ким слоем другого (хромирование, никелирование и т. д.).

Электрический ток в газах в обычных условиях отсут-
ствует, так как в этом случае вещество в газообразном со-
стоянии является изолятором. Явление прохождения элек-
трического тока через газ, наблюдаемое при условии какого-
либо внешнего воздействия (например, нагрева), называется
несамостоятельным электрическим разрядом. При увеличе-
нии напряженности электрического поля до некоторого опре-
деленного значения, зависящего от природы газа и его да-
вления, в газе возникает электрический ток, обусловленный
ионизацией атомов и молекул вследствие ударов электрона.
Такой процесс называется самостоятельным электрическим
разрядом.
Газ, в котором значительная часть атомов или молекул
ионизована, называется плазмой. Обычно это состояние до-

стигается при высоких температурах газа.

Испускание электронов нагретыми телами называет-
ся термоэлектронной эмиссией. Чтобы вылететь из
тела, преодолев силы притяжения со стороны поло-

жительных ионов, электроны должны обладать достаточной
для этого кинетической энергией. При комнатной температу-

ре таких электронов немного, но с ростом температуры их чи-
сло растет. Термоэлектронная эмиссия у металлов, например,
наблюдается при температурах свыше 1000 К. Работа, ко-
торую должен совершить термоэлектрон, чтобы вылететь за
пределы тела — эмиттера, называется работой выхода (Лв).

Для создания тока в вакууме необходимо, кроме поля,
иметь в наличии носители заряда. Поэтому в электронных ва-
куумных приборах катод (отрицательный электрод) обычно
делается с подогревом (непосредственно — током или косвен-
ным путем), чтобы он испускал электроны — носители тока.
Данный подход широко используется в технике.

Вакуумный диод — это стеклянный или металлический
баллон, из которого выкачен воздух и в который впаяны на-
каливаемый катод и холодный анод. При нагревании катода

он начинает эмитировать электроны, и если включить диод
в электрическую цепь, соединив катод с отрицательным по-
люсом источника, а анод — с положительным, то термоэлек-
троны полетят от катода к аноду: по цепи пойдет ток. Если
же включить диод в обратном направлении, то термоэлектро-
ны будут отталкиваться обратно к катоду и ток через диод
не пойдет. Благодаря односторонней проводимости диода его
можно использовать для выпрямления переменного тока. Ва-
куумный триод устроен так же, как и диод, однако на пути
электронов от катода к аноду в триоде располагается третий
электрод, называемый сеткой. Если на сетку подается по-
ложительный потенциал относительно катода, то значитель-
ная часть электронов пролетает от катода к аноду, и в цепи
анода существует электрический ток. При подаче на сетку
отрицательного потенциала относительно катода электриче-
ское поле между сеткой и катодом препятствует движению
электронов от катода к аноду, анодный ток убывает. Таким
образом, изменяя напряжение между сеткой и катодом, мож-
но регулировать силу тока в цепи анода.

Электронно-лучевая трубка представляет собой стеклян-
ный баллон, из которого выкачан воздух. Передняя стен-
ка баллона покрыта люминофором, светящимся от ударов
электронов. В противоположном конце баллона находится
электронная пушка, основной частью которой является ка-
тод косвенного накала, эмитирующий электроны, из которых
затем с помощью нескольких электродов формируется элек-
тронный луч. Для управления перемещения электронного
луча по экрану используют пары пластин — вертикально-
отклоняющие и горизонтально-отклоняющие. Обычно к гори-
зонтально-отклоняющим пластинам подключают генератор
развертки, а исследуемый сигнал подают на вертикально-от-
клоняющие пластины.

Если по проводникам, расположенным на некотором рас-
стоянии друг от друга, текут токи, то проводники с тока-
ми, текущими в разных направлениях, отталкиваются друг
от друга, в одинаковых —• притягиваются. Если в одном из
двух проводников тока нет, они не взаимодействуют. Причи-
ну взаимодействия нельзя объяснить кулоновскими силами,
так как проводники в целом электрически нейтральны.

Взаимодействие проводников с токами объясняется взаи-
модействием токов с магнитными полями. Магнитное поле
возникает в пространстве вокруг движущихся зарядов, дей-
ствует оно только на движущиеся заряды; оно материально
по своей природе, т. е. существует реально, независимо от на-
ших ощущений и является частным случаем электромагнит-
ного поля.

Магнитное поле ориентирует в определенном направ-
лении магнитную стрелку и рамку с током. Направ-
ление, которое при этом приобретает северный полюс
3.3. Магнитное поле. Электромагнитная индукция
магнитной стрелки (или нормаль к рамке с током), счита-
ют направлением вектора магнитной индукции В, который
является силовой характеристикой магнитного поля. Опыты
показывают, что максимальный момент сил, действующих на
рамку с током в магнитном поле Мт&х, пропорционален силе
тока I в рамке и ее площади S; Mmax ~ IS. Отсюда видно,
что отношение jg— не зависит от свойств рамки, а харак-
теризует само магнитное поле. Его и принимают за модуль
магнитной индукции:

п _ Мтах

Единица магнитной индукции называется тесла (Тл):
1 Тл = 1 Н/(А • м).

Наглядную картину магнитного поля получают, исполь-
зуя понятие о линиях магнитной индукции, касательные к
которым в каждой точке направлены так же, как вектор В в
той же точке. Эти силовые линии всегда замкнуты. Поля с
замкнутыми силовыми линиями называются вихревыми, зна-
чит, и магнитное поле вихревое: это обусловлено отсутстви-
ем в природе магнитных зарядов (на которых силовые линии
могли бы начинаться или заканчиваться). Линии магнитной
индукции магнитного поля прямого проводника с током пред-
ставляют собой окружности, лежащие в плоскостях, перпен-
дикулярных проводнику. Центры окружностей находятся на
оси проводника. Направление силовых линий магнитного по-
ля в этом случае определяется правилом буравчика (правого
винта): если вращать буравчик так, чтобы он перемещался по
току, то направление вращения рукоятки совпадает с направ-
лением силовых линий поля (рис. 40).

Величина магнитной индукции в точке А (см. рис. 40), уда-
ленной от проводника с током величиной I на расстояние г,
определяется выражением

Вд(г) =

где д — магнитная проницаемость среды, ро=47г-1О~7 Н/А2 —
магнитная постоянная.
Рис. 40

Магнитное поле действует на движущийся со скоро-
стью v заряд q с некоторой силой, называемой силой
Лоренца:

— qvB sin а

(а — угол между В и и). Сила Лоренца всегда перпендику-
лярна как В, так и v.

Сила, с которой магнитное поле действует на пря-
молинейный проводник длиной /, по которому течет
ток I (сила Ампера), вычисляется по закону Ампера:

Fa — ВЛ sin а

(а - угол между направлениями тока и В).

Направление сил Лоренца и Ампера определяется по пра-
вилу левой руки: если левую руку расположить так, чтобы
линии индукции входили бы в ладонь, а четыре пальца были
направлены по движению положительных зарядов (или про-
тив движения отрицательных), то отогнутый на 90° большой
палец покажет направление действующей силы (рис. 41).
Когда вещество заполняет пространство вокруг проводни-
ка с током, то магнитное поле создается не только этим током,
но и движением заряженных частиц внутри атомов и моле-
кул вещества — молекулярными токами. Данная гипотеза
была выдвинута Ампером. Она утверждала, что магнитные
взаимодействия во всех случаях являются взаимодействиями
токов. В настоящее время она подтверждена множеством экс-
периментов.

В отсутствии внешнего магнитного поля создаваемые мо-
лекулярными токами поля оказываются скомпенсированны-
ми вследствие хаотического движения атомов. Однако при
наложении внешнего магнитного поля Bq эта компенсация на-
рушается, и поле молекулярных токов изменяет индукцию
магнитного поля в веществе: тело намагничивается. Причем
индукция магнитного поля в намагниченном веществе в одних
случаях становится большей, а в других — меньшей, чем Bq.

Отношение индукции магнитного поля в однородной среде
к индукции магнитного поля в вакууме называют магнитной
проницаемостью среды.

Эта величина характеризует магнитные свойства вещества и
зависит от рода вещества и его состояния.

Большинство веществ являются слабомагнитными: их
магнитная проницаемость слабо отличается от единицы. Сла-
бомагнитные вещества делятся на парамагнетики, которые
несколько усиливают внешнее магнитное поле (д > 1), и диа-
магнетики, несколько ослабляющие внешнее поле (д < 1).

Сильными магнитными свойствами обладают так называ-
емые ферромагнетики (р Э* 1). В этих веществах магнитная
проницаемость зависит от индукции внешнего поля, при этом
способность намагничиваться падает с увеличением темпера-
туры и при определенном ее значении (температуре Кюри)
исчезает вовсе. При выключенном внешнем поле ферромаг-
нетик остается намагниченным.
Потоком магнитной индукции Ф через площадку S
называется выражение:

Ф — В Seos а,

а — угол между нормалью к площадке и вектором магнитной
индукции В (рис. 42).

Рис. 42

Единицей измерения магнитного потока является вебер:
1 Вб — 1 Тл-1 м2. Если в магнитном поле движется проводник,
пересекая силовые линии магнитного поля, или магнитный
поток, пронизывающий некоторый замкнутый контур, меня-

ется с течением времени, то на концах проводника появляет-

ся разность потенциалов, а в замкнутом контуре — ток; это
явление называется электромагнитной индукцией.

По закону электромагнитной индукции Фарадея
ЭДС индукции (£и) определяется скоростью измене-
ния магнитного потока, пронизывающего контур, и

пропорциональна числу (.ZV) витков в катушке:

£и = N, если N = 1, то £и =

Правило Ленца: возникающий в замкнутом контуре индукци-
онный ток имеет такое направление, что создаваемый им маг-
нитный поток через площадь, ограниченную контуром, стре-
мится компенсировать то изменение магнитного потока, кото-
рым вызывается данный ток. В законе Фарадея это правило
учитывается введением знака минус перед скоростью измене-
ния магнитного потока.

Рис. 43

Если проводник равномерно перемещается в однородном
магнитном поле (рис. 43), то ЭДС, возникающая в нем, равна
разности потенциалов на его концах и определяется по закону
Фарадея:

£и = -В • 1‘ v • sin а.

Электрический ток, проходящий по проводнику, создает во-
круг него магнитное поле. Магнитный поток Ф через кон-
тур из этого проводника пропорционален модулю индукции
В магнитного поля внутри контура, а индукция магнитного
поля в свою очередь пропорциональна силе тока в провод-
нике. Следовательно, магнитный поток через, контур прямо
пропорционален силе тока в контуре:

Ф = L • I,

Коэффициент пропорциональности L между силой тока I в
контуре и магнитным потоком Ф, создаваемым этим током,
называется индуктивностью.

Единицей индуктивности является генри (Гн): 1 Гн =
— 1 Вб/А.

Явление возникновения ЭДС индукции в электрической
цепи в результате изменения силы тока в этой цепи называ-
ется самоиндукцией В соответствии с правилом Ленца, ЭДС
самоиндукции препятствует нарастанию силы тока при вклю-
чении и убыванию силы тока при выключении цепи. ЭДС са-
моиндукции, согласно закону о электромагнитной индукции,
имеет вид:

Р _ г Д/

tcM~ де ~ ьдг

Можно показать, что энергия проводника индуктивностью L
с током I имеет вид

IV = —-

W 2 ‘

Закон сохранения электрического заряда

<11 + <?2 + •' ' + Цп — const.

Закон Кулона

р _ k _ _L

s-r2 ' 4те0'

Напряженность электрического поля точечного заряда

Я = -Ш = Цгтг = *М й2 = В1+Й + --- + £„.

|?| егЛ

Напряжение (разность ротенциалов)

А ТГ1 W2 ТТ тт _ kqo

&.ip — tp2 — q q — U] U — Edy <p — .

Работа в электрических полях

Л = q(<pi - (р2)-

Электроемкость

С~ С “ d

Энергия электростатического поля конденсатора

w 2 *
Формулы

эдс

Сила тока

Закон Ома

Сопротивление проводника

Закон электролиза

Магнитная индукция

Магнитное поле вокруг
длинного проводника с током
Сила Ампера

Сила Лоренца

Магнитный поток

Закон электромагнитной индукции

Индуктивность

ЭДС самоиндукции

Астор

' = S (Д^О).

I=U- ! = _£_

R' Я + г’
р _ pl

т = КП; К = ^.

р _ -ЭДтах

~ IS '

В(г) =
4 ’ 2тгг

Fa = BIl sin а.

Fn — qvB sin а.

Ф = BS cos а.

Ls= у.

г _ АФ7У _ Г А/
Сси - At ” L~Kt •

при Ai -> 0.

ОБОЗНАЧЕНИЯ:

q — электрический заряд, [Кл];

FK — модуль кулоновской силы, [Н];

е* — диэлектрическая проницаемость среды;

Е — напряженность электрического

поля, [Н/Кл] или [В/м];

W — потенциальная энергия заряда в электрическом
поле, [Дж];

<Р — потенциал электрического поля, [В];

U — напряжение, [В];
С — электроемкость, [Ф];

I — сила тока, [А];

R — электрическое сопротивление, [0м]:;

р — удельное сопротивление проводника, [Ом м];

г — внутреннее сопротивление источника тока, [Ом];

8 — электродвижущая сила источника тока (ЭДС), [В];

Атор — работа сторонних сил, [Дж];

К — электрохимический эквивалент вещества, [кг/Кл];

В — магнитная индукция, [Тл];

8Я — ЭДС индукции, [В];

ф — магнитный поток, [Вб];

L — индуктивность, [Гн];

Геи — ЭДС самоиндукции, [В];

У — число витков в катушке;

д — магнитная проницаемость среды.

КОНСТАНТЫ:

к ~ 9 •109 Н • м2/Кл2 — константа кулоновского
взаимодействия;

« 8,85 • 10“12 Кл2/(Н • м2) — электрическая постоянная;

F = 96500 Кл/моль — число Фарадея;

д0 = 4тг • 10~7 Гн/м — магнитная постоянная.

Задача 101. Три одинаковых точечных заряда величиной по
-1,7-10~9 Кл каждый расположены в вершинах равносторон-
него треугольника. Найти величину точечного заряда, кото-
рый следует поместить в центре масс треугольника, чтобы вся
система находилась в равновесии.

Дано: q = —1,7• 10~9 Кл; до ==? ,

Решение: При решении подобных задач учащиеся допуска-
ют, в основном, две ошибки. Первая из них является след-
ствием невнимательного прочтения условия задачи. Отсюда
и попытка исследовать условие равновесия самого искомого
заряда.. Между тем из соображений симметрии при данном
условии совершенно очевидно, что любой заряд, помещенный
в центре масс равностороннего треугольника, будет находить-
ся в положении равновесия. Поэтому следует рассмотреть
условие равновесия любого (опять же из соображений симме-
трии) из зарядов, расположенных в вершинах заданного тре-
угольника. Вторая, тоже весьма распространенная, ошибка
заключается в том, что векторные величины складываются
алгебраически и это приводит к заведомо неверному резуль-
тату.

Итак, рассмотрим, например, заряд в правой нижней вер-
шине треугольника (рис. 44). На него действуют три куло-
новские силы: Fi и F2 — силы взаимодействия с зарядами
q, расположенными в других вершинах треугольника, F3 —
сила взаимодействия с искомым зарядом goj расположенным

Рис. 44

по условию задачи в точке пересечения медиан треугольника.
Отметим, что искомый заряд qQ должен быть положительным,
иначе равновесие заряда q невозможно ни при каких услови-
ях. Запишем условие равновесия для заряда q в виде

Fi + F2 4- 7*з = 0.

Спроектируем это уравнение на ось, направленную вдоль век-
тора Г3:
Так как заряды в вершинах треугольника одинаковы, а сам:
треугольник равносторонний, то F± = F2. Поэтому уравнение
(1) можно переписать в виде:

2FiCOs(|)=/’3. (2)

Из условия задачи следует, что а — 60°. По закону Кулона
имеем

kq2

k |g| до
г2 ’

(3)

где а — сторона равностороннего треугольника, г — расстоя-
ние между зарядами q и до- Из геометрии известно, что точка
пересечения медиан делит их в отношении 2:1, считая от
вершины. Так как в равностороннем треугольнике медианы,
высоты и биссектрисы совпадают, нетрудно получить соотно-
шение между а и г:

г = |а cos 30° = ~

3 Уз

(5)

Решая совместно систему уравнений (2)-(5) относительно до,
получим

® = § |д| cos3 30° = 4= = 1>0 10~’ Кл.

у уЗ

Ответ: до = 1,0-10 & Кл.

Задача 102. Ромб составлен из двух равносторонних тре-
угольников со стороной, длина которой равна 0,2 м. В верши-
нах при острых углах ромба помещены одинаковые положи-
тельные заряды по 6-10“7 Кл. В вершине при одном из тупых
углов помещен отрицательный заряд -840-7 Кл. Определить
напряженность и потенциал электрического поля в четвертой
вершине ромба. '
Дано: о = 60°; а —0,2 м; щ =52 —6-10 7Кл;#з = —8-10 7 Кл;
Е = ?;р=?

Решение: Большая часть ошибок при решении подобных за-
дач связана с неумением найти векторную сумму напряжен-
ностей полей, создаваемых несколькими зарядами, особенно
если эти заряды имеют противоположные знаки. Нельзя за-
бывать, что напряженность электрического поля — величина
векторная; ее направление в данной точке поля зависит толь-
ко от знака заряда, создающего это поле.

При решении задач для установления напряженности в
конкретной точке электрического поля в нее мысленно по-
мещают пробный положительный заряд. Так и поступим в

данной задаче. Поместим мысленно в четвертую вершину по-
ложительный заряд. Тогда напряженности полей, создаваг
емых зарядами д2> Чз, направлены так, как показано на
рис. 45. Обозначим их соответственно Д, Д, Д. Согласно
принципу суперпозиции, искомая напряженность в четвертой
вершине

Е — Е\ 4- Е% -Ь Е3.

Потенциал же поля — величина скалярная, поэтому

<p = <pi +(р2 + «РЗ-

(1)

(2)
Выберем систему координат с началом в четвертой вершине
(точка О) так, как показано на рис. 45. Запишем уравнение
(1) в проекциях на выбранные оси

Ех = Ei cos а + Е2 cos а - Ез, (3)

Ev = Е2 sin a- Ei sin а. (4)

Так как Ег = Е2 = Е3 = 1, то выражения (3) и

а а а

(4) принимают вид

Р ЛЯ1 + g2)cosa- |q3|. р _ ,q2 sina-qi sin а

E* = k~------~2-------’ E*~k ? '

По условию задачи qx = q2. Поэтому Еу = 0. Значит, искомая
напряженность по модулю равна

£ = |ВХ|; где £, = fc2gl cos° ~ W. (5)
а

Потенциалы полей в четвертой вершине ромба, созданные за-
рядами qi, q2, Q3, равны соответственно

,Л _ 1Л1 ,Л _ 1.^2 _ d&|

<P2 — К a , 9?3— Я a •

Подставив эти значения в выражение (2), получим

v = + (6)

Подставив в выражения (5) и (6) числовые значения величин,
имеем окончательно: Ех = -4,5 • 104 В/м, <р — 1,8 104 В.

Обратите внимание на знак минус перед значением напря-
женности. Он означает, что искомая напряженность электри-
ческого поля в четвертой вершине ромба направлена в сторо-
ну заряда дз, т.е. в сторону, противоположную выбранному
нами направлению оси Ох. В ответе для напряженности знак
минус надо опустить.

Ответ: Е = 4,5 • 104 В/м, р = 1,8 104 В.
Задача 103. Материальная точка массой 10-7 кг, имеющая
заряд 1 мкКл, имеет скорость 3000 м/с. На какое минималь-
ное расстояние она может приблизиться к точечному заряду
величиной 10 мкКл?

Дано: т = 10~7 кг; q — 10~б Кл; щ =3000 м/с; qq = 10“5 Кл;
г 2 — ?

Решение: Поскольку электростатическое поле, создаваемое
зарядом qo, потенциально, то при движении в нем заряда q
выполняется закон сохранения полной механической энергии:

W, + = W2i

£л

(1)

где Wi и W2 — потенциальные энергии заряда q в электро-
статическом поле заряда qo в начальный момент и в момент
максимального сближения с источником поля. Используем
следующее выражение для потенциальной энергии через по-
тенциал поля 9?(г):

W = ip(r) =

Можно считать, что в начальный момент заряд q бесконечно
далеко удален от 5о> поэтому ^(ri) = 0. Подставляя в (1)
выражение для W2 с учетом ^(гг), получаем уравнение для
определения г2\

mvl _ ь Wo

2 “ к г2 '

Откуда находим:

_ 2kqqo
^2 л •

mvj

Проверим единицы измерения:

r2 = Н • м2 • Кл2 • с2 _ Н с2 _ кг • м с2 _
Кл2 • кг • м2 кг с2 • кг

Подставляем числовые значения и получаем: г2 = 0,2 м.
Ответ: г2 = 0,2 м.
Задача 104. Металлический шар диаметром 40 см, заряжен-
ный до потенциала 1000 В, соединили проводником с другим
металлическим шаром диаметром 8 см. Определить, как рас-
пределятся заряды на шарах после их соединения.

Дано: di = 0,4 м; d2 = 0,08 м; у>1 = 103 В; q{ =?; q’2 = ?

Решение: До соединения шаров весь заряд q был сосредо-
точен на большом шаре:

Я = 01 = С1Ф1.

После соединения шаров проводником этот заряд распреде-
лился между первым и вторым шаром, после чего их потен-
циалы сравнялись: ipi1 ~ <р2 где <^i' и <р2 — потенциалы
шаров после их соединения

- iL - £
’“С1’ ^2“С2'

Таким образом, мы имеем два уравнения:

Решив их, находим gj и q'2‘.

C'a^i

Я1 =

, пЛ > 02

Проведем расчет, исходя из того, что емкость металлического
шара С — где Л = В результате получаем q{ =
= 1,85 • 10"8 Кл, q'2 = 3,7 • IO"9 Кл. \ 1

Ответ: = 1,85 • 10-8 Кл, = 3,7 • 10~9 Кл.

Задача 105, Плоский воздушный конденсатор емкостью
20 нФ заряжен до разности потенциалов 100 В, после чего
источник отключили. Какую работу нужно совершить, чтобы
вдвое увеличить расстояние между обкладками?

Дано: Ci = 20 нФ; U - 100 В; d2 - 2di; А = ?

решение: Искомая работа определяется изменением потен-
циальной энергии заряженного конденсатора:

Wr - W2 = А.

(1)

Так как заряд q на обкладках конденсатора при их раздви-
жении не меняется, то выражение для энергии конденсатора
удобно использовать в следующем виде:

2 2

= й’ W1 = h- ®

Подставляя (2) в (1) и учитывая, что Сг = и q = CiU,
находим:

л _ g2 92 _ ?2 C’l^2

2С: 2С2~"2С1~ 2 •

Проводим расчет:

А = 20 • 10~9 • 10000 = _10-4 д

Отрицательность работы А демонстрирует, что эта работа
должна производиться против сил поля внешними силами.

Ответ: А = -10-4 Дж.

Задача 106. Потенциал поля в точке, находящейся на
расстоянии 5 м от центра металлического шара диаметром
Ю“3 м, равен 2500 В. Найти значение напряженности в этой
точке и величину поверхностной плотности заряда шара.

Дано: г = 5 м; 2R = 10~3 м; ^(г) == 2500 В; Е(г) = ?; <т =?

Рис. 46

1
Решение: Зависимость напряженности и потенциала элек-
тростатического поля вокруг заряженного шара показан на
рис. 46. В виде формул это записывается так:

4>(г) = %, (1)

В(г) = ^. (2)

Из (1) можем найти величину заряда шара:

г<р(г)

(3)

Подставляя (3) в (2), получаем искомое значение напряжен-
ности:

Е(г) = 4^ = = 500 В/м.

Для нахождения поверхностной плотности заряда шара
q
можем использовать следующее выражение: д = где

S = 4тгй2 — площадь поверхности шара.

Таким образом окончательно получаем

<7 =

гу>(г) _ 5 - 2500

k • 4тгЯ2 9 • 109•4 • 3,14 • 25

== 0,11 Кл/м2.

Ответ: Е(г) — 500 В/м; а = 0,11 Кл/м2.

Задача 107. Определить ЭДС и внутреннее сопротивление
элемента в замкнутой цепи, если при одном значении сопро-
тивления нагрузки падение напряжения на нем равно 1,8 В,
а протекающий через него ток 0,2 А. При другом значении
сопротивления нагрузки эти значения равны соответственно
1,6 В и 0,4 А.

Дано: 71 = 0,2 A; Ui = 1,8 В; 12 0,4 A; U2 = 1,6 В; £=?;'-

г=?

Решение: Запишем закон Ома для замкнутой цепи приме-
нительно к двум режимам ее работы:
Перепишем эти выражения в виде системы уравнений:

Л-Й1 + Ilr ~ I2R2 + ^2^ =

(1)

Используем теперь закон Ома для внешнего участка цепи,
содержащего сопротивление нагрузки: RRi = Ifa I2R2 — U2.
Подставим эти выражения в систему (1), тогда она примет
следующий вид:

Ui+hr-e, U2 + I2r = E. (2)

Решаем эту систему относительно переменных г и 5, находим:

r = ^; f = +

12 “11 12 ” 11

Проделав численный расчет, получаем г = 1 Ом; £ = 2 В.

Ответ: г - 1 Ом; £ = 2 В.

Рис. 47

Задача 108. На участке цепи (рис. 47) поддерживается
напряжение U = 200 В. Сопротивления проводников Ri =
= 60 Ом, R2 = R3 = 30 Ом. Найти падение напряжения на
сопротивлении .

Дано: Rx = 60 Ом; R2 = R3 - 30 Ом; U = 200 В; U2 = ?

Решение: Общее сопротивление всей цепи R складывается
из сопротивления R3 и сопротивления Rq , эквивалентного со-
противлению параллельно соединенных проводников R2 и R\:

5-381
Отсюда согласно закону Ома для всей цепи:

U„ U _ U

R R3 4- Ro R3 + j&Ri-'

* Я1-ГЛ2

По закону параллельного соединения напряжение на про.
воднике Ri равно напряжению на проводнике R2 и равно на-
пряжению на эквивалентном сопротивлении Rq. В то же вре-
мя, по закону последовательного соединения, как через со-
противление Ra, так и через Ro протекает один и тот же ток.
Тогда по закону Ома для участка цепи с сопротивлением Rq
находим: Z'Ln

тт _ тр _ U . Ri R2 _ UR1R2_______________________

1 ” ° ’ Rq + ТЧДз- Ri 4*Яг Яз(Ж + R2) 4 R1R2

Проводим расчет:

200 В 60 Ом • 30 Ом

Ui-

30 Ом • (60 Ом + 30 Ом) + 60 Ом - 30 бм

= 80 Ом.

Ответ: /71 = 80 Ом.

Рис. 48

Задача 109. Цепь, состоящая из сопротивлений Ri, R2, Ra,
R4 (рис. 48), замкнута на источник тока с внутренним сопро-
тивлением г. Пластины конденсатора С имеют заряд q. Опре-
делить: 1) полное сопротивление внешней цепи (Rio), 2) пол-
ный ток (7q), 3) ЭДС источника тока (£), 4) полную мощность
источника тока (Аз), 5) полезную мощность (Mi), 6) КПД И6"
пи. в процентах (77), 7) ток короткого замыкания (1к.з.)«
решение: Внешний участок цепи представляет собой сме-
шанное соединение сопротивлений Ri, Rz, R$, R4, а также
конденсатора емкостью С. Сопротивления Я2, R3 соединены
последовательно, поэтому

#23 = R2 + R3 -

Эти сопротивления, в свою очередь, параллельны сопротивле-
нию Л*. Отсюда по закону соединения параллельных провод-
ников получаем

1 _ 1 < 1 _____< р _ (#2 + #з)#4

#234 “ #23 #4 234 “ #2+#3+#4‘

Сопротивление конденсатора можно считать бесконечно боль-
шим, а это означает, что сопротивление параллельно соеди-
ненных сопротивления Ri и конденсатора С равно величине
сопротивления #1:

1 = I । 1 . . 1 , 1 .... 1_

Ria Ri Ra ~ Ri ~ Ri'

Сопротивление #1 последовательно соединено с группой про-
водников #2, #3) Ri, следовательно, полное сопротивление
цепи равно

#0 — #1 4- #234

Найдем падение напряжения на сопротивлении Kj, исходя из
формулы для определения емкости С уединенного цроводни-
Ка: = отсюда Ui — ^ч.

Участок цепи, содержащий сопротивление #1, не имеет
разветвлений (конденсатор представляет собой разорванный
участок). Следовательно, для нахождения полного тока мож-
но использовать закон Ома для участка цепи с сопротивлени-

г _

20 “ #1 ~ CRx ‘

Знад полный ток, полное сопротивление цепи и внутреннее со-
противление источника тока, по закону Ома для полной цепи
°Жно определить ЭДС источника:

£ = Хэ(г + Ло)-
Исходя из определения полной (или затраченной) мощности,
можем записать

’== I$(r + Ro).

Аналогично найдем полезную мощность, понимая под ней
мощность, выделяемую на внешней части цепи:

По определению, КПД можно найти как отношение АГП к Ж

Ч = • 100% = , 25f°p - • 100% = -Aj- • 100%.

' N I$(r + Ro) - r + Ro

Ток короткого замыкания возникает при стремлении внешне-
го сопротивления к нулю:

Задача 110. Две лампочки мощностью 40 Вт и 100 Вт с но-
минальным напряжением 110 В соединяют последовательно и
включают в сеть с постоянным напряжением 220 В. Какую
мощность потребляет каждая лампочка?

Дано: Pi = 40 Вт; Рг ~ 100 Вт; Ъ\ = U2 = НО В; U ~ 220 В;
Р1'=?;Р/=?

Решение: При решении подобных задач не все учащиеся за-
думываются о том, что мощность номинальная и мощность
потребляемая отличны друг от друга, хотя на практике мож-
но встретить и тускло светящие лампочки, и работающие с
явным перекалом спирали нагревательных приборов. Приве-
денные в условии номинальные мощности и напряжения не
являются гарантией того, что потребляемая мощность равна
номинальной. Так как по условию задачи лампочки соедине-
ны последовательно, то падение напряжения на них зависит
от их сопротивлений, а сила тока, проходящего через обе лам-
почки, одинакова. Поэтому искомые потребляемые мощности
можно найти по формулам:

Р/= /2Pi; P2=i2R2^ (1)
Сопротивление нитей найдем из номинальных параметров:

(2)

Силу тока вычислим по закону Ома для последовательного
участка цепи:

(3)

Решив совместно уравнения (1)-(3), получим

U2 U?

. С/2 \ 2 ’

. р,
7? , ЕЛ? \ 2 ’

Подставив числовые данные, находим:

Р( = 81,6 Вт; = 32,6 Вт.

Таким образом, первая лампочка будет светить с явным пе-
рекалом и вряд ли долго проработает. Вторая же лампочка
будет светить слабо.

Ответ: Р/ = 81,6 Вт; Р^ = 32,6 Вт.

Задача 111. Электрон влетает в однородное магнитное поле
с индукцией 6,28 • 10“2 Тл так, что его скорость перпендику-
лярна линиям магнитного поля. Определите период обраще-
ния электрона.

Дано: В = 6,28 • 1СГ2 Тл; а = 90°; е = 1,6 • 1(Г19 Кл;
т — 9,1 • 10-31 кг; Т = ?

Решение: На электрон в магнитном поле будет действовать
сила Лоренца, которая равна Рл = епД, т. к. sin а = 1. Так
как сила Лоренца перпендикулярна к скорости заряженной
частицы, то в магнитном поле она сообщает частице центро-
V2

стремительное ускорение ац = где R — радиус дуги
окружности, по которой движется частица.

Уравнение второго закона Ньютона в векторной форме
имеет вид:

Л ~'таи.
3. Основы электродинамики
г - • --

Проецируя его на ось, направленную вдоль радиуса к центру,
получаем

Перйод обращения электрона Т = ~Д = т.е. не эави
сит от его скорости. Проводим численный расчет:

6,28 • 9,1 • 10“31

1,6 • НГ19 • 6,28 • 10"2

= 5,7 1О“10 с.

Ответ: Т=5,7-1О-10 с.

Задача 112. В однородном магнитном поле с индукцией
0,1 Тл расположен виток, площадь которого 0,1 м2, а сопро-
тивление 2 Ом, таким образом, что его плоскость перпенди-
кулярна линиям индукции. Виток замкнут на гальванометр.
Полный заряд, протекший через гальванометр при повороте
витка, равен 7,5 • 10“3 Кл. На какой угол повернули виток?

Дано: В = 0,1 Тл; S = 0,1 м2; R = 2 Ом; Ад = 7,5 • 10'3 Кл;
а — ?

Решение: Заряд Ад ~ TAt. Сила тока по закону Ома равна

ЭДС индукции определяется законом Фарадея:

с _ АФ __ $2 ~ - ^2

". Ы ~~ kt ~ At ’

где Ф1 = BS — поток магнитной индукции через площадь
витка в начале поворота, а Фз = BS cos а — конечный поток.
Для индукционного заряда имеем таким образом выражение:

Дд =

{BS - BS cos о) Ai _ BS(1 - cos а)
RAt ~ R

Отсюда находим: cos а = 1 —

RAq
~В&'

Вычисляем: cos а = 1 -

2 • 7,5 • 10“3
0,01

== -0,5; а = 120°.

Ответ: а = 120°.
113. Заряды = 40 и ^2 = —10 нКл расположены на рас-
стоянии г = 10 см друг от друга. Какой надо взять третий
заряд и где его следует поместить, чтобы система находилась
в равновесии?

114. Два одноименных заряда qi = 10~9 и & = 2« 10~9 Кл
расположены в вакууме на расстоянии г = 0,2 м. Определите
напряженность поля в точке, находящейся посередине между
ними.

115. Точечный заряд создает в точке А напряженность поля,
равную Ei — 36 В/м, а в точке В — Е2 = 9 В/м. Найдите
напряженность в точке С, л ежащей посередине между А и В
на одной линии с зарядом.

116. В плоский конденсатор влетает электрон со скоростью
v = 3 10~6 м/с, направленной параллельно обкладкам кон-
денсатора. На какое расстояние от своего первоначального
направления сместится электрон за время пролета конденса-
тора, если его длина I — 5 см, а напряженность поля в нем
Е = 10 В/м?

117. В вершинах правильного шестиугольника со стороной
а = 1 м помещены друг за другом заряды +q, +q, 4-g, —qt
-q, -q. Найти напряженность в центре шестиугольника, если
q = 1 Кл.

118. Два одинаковых заряженных шарика подвешены на ни-
тях равной длины, выходящих из одной точки. После того
как шарики опустили в жидкий диэлектрик с диэлектриче-
ской проницаемостью ё — 3, угол расхождения нитей не изме-
нился. Определить отношение плотности материала шарика
к плотности жидкости.

119. Вокруг точечного заряда = -1,96 • 10~8 К л по окруж-
ности радиусом R = 0,49 м с постоянной угловой скоростью
вращается положительный заряд, отношение массы которого
к числовому значению заряда равно ф =1,44 кг/Кл. Опре-
делить период вращения положительного заряда.
120, Три одинаковых по модулю заряда расположены на од-
ной прямой так, что расстояния между соседними зарядами
равны I == 1 см, причем посередине находится заряд со знаком,
противоположным остальным двум. На каком расстоянии от
среднего заряда находится точка, в которой напряженность
поля равна нулю?

121. Определить напряженность и потенциал поля двух то-
чечных зарядов qi = 10”7 К л и q2 — -4-10-6 Кл, расположен-
ных на расстоянии г = 13 см, в точке А, отстоящей от первого
и второго зарядов соответственно на ri = 5 и г2 — 12 см.

122. Электрон (заряд qe — -1,6 • 10“1Э Кл, масса те ~
= 9,1 • 10“31 кг) движется по направлению силовых линий
однородного электрического поля, напряженность которого
Е = 10 В/м. Какое расстояние должен пройти электрон, что-
бы его скорость уменьшилась в п = 10 раз, если начальная
скорость равна 10-в м/с?

123. Шарик массой т = 1 г перемещается из точки Л, потен-
циал которой = 600 В в точку В, потенциал которой равен
нулю. Определить скорость шарика в точке А, если в точке
В его скорость vb = 20 см/с. Заряд шарика q = 10 нКл.

124. Два одинаковых точечных заряда находились на рассто-
янии ri == 2 м. При их сближении на расстояние г2 = 1 м была
совершена работа А = 45 Дж. Определите модуль заряда.

125. Поток электронов, пройдя ускоряющую разность потен-
циалов = 5000 В, влетает в середину между пластинами
плоского конденсатора параллельно им. Какое наименьшее
напряжение нужно приложить к конденсатору, чтобы элек-
троны не вылетели из него, если известно, что его длина
I = 0,05 м, расстояние между пластинами d = 0,01 м?

126. Расстояние между точечными зарядами gi = 10“9 Кл и
52 = -2-10"9 Кл равно г = 1,2 м. Найти напряженность элек-
трического поля в точке на прямой, соединяющей заряды, в
которой потенциал равен 0.

127. Маленький шарик, имеющий заряд q = 5 • 10“9 Кл, под-
вешен на нити в пространстве между пластинами воздуш-
ного конденсатора. Площадь пластины конденсатора равна
S — 10“3 м2. Когда пластинам конденсатора сообщили заряд
Q = 10"8 Кл, сила натяжения увеличилась вдвое. Пласти-
ны конденсатора расположены горизонтально. Найти массу
шарика.

128. Маленькие капли ртути заряжены до потенциала
= 0,2 В каждая. Определить потенциал большой капли,
полученной от слияния п = 125 таких капель,

129. Конденсатор, заряженный до разности потенциалов
Ui = 80 В, соединяется одноименно заряженными обкладками
с конденсатором утроенной емкости, заряженным до разности
потенциалов U2 = 40 В. Какая разность потенциалов устано-
вится между обкладками конденсатора?

130. Определить массу медного проводника, имеющего со-
противление R = 3 Ом и длину I = 100 м. Плотность ме-
ди d = 8,9 • 103 кг/м3, удельное сопротивление меди р =
= 1,8 • 10“8 Ом • м.

131. Два куска железной проволоки длиной L\ и (L2 —
= 2Li) имеют одинаковые массы. Найти отношение их сопро-
тивлений.

132. К проволочному кольцу присоединены подводящие про-
вода. В каком отношении точки присоединения делят длину
окружности, если общее сопротивление в п = 8 раз меньше,
чем сопротивление разогнутого кольца.

133. Чувствительность гальванометра, сопротивление кото-
рого R = 160 Ом, необходимо уменьшить в п = 100 раз, чтобы
гальванометр мог измерять токи в п раз больше номиналь-
ных). Какое сопротивление (шунт) для этого необходимо под-
ключить параллельно гальванометру?

134. При уменьшении внешнего сопротивления на 20% сила
тока в цепи возросла на 20%. На сколько процентов увели-
чится сила тока, если внешнее сопротивление уменьшить на
40%?
135. Чему равен КПД источника тока при силе тока I — 2 А,
если ток короткого замыкания равен Д = 8 А? Ответ выра-
зить в %.

136. Источник с ЭДС £ = 12 В и внутренним сопротивлением
г = 0,8 Ом питает цепь, состоящую из двух параллельных со-
противлений, одно из которых равно Ri = 4 Ом. Определить
второе сопротивление, если через него идет ток Д = 0,6 А.

137. В цепь, составленную из источника ЭДС с внутренним
сопротивлением г — 1 Ом и активным сопротивлением R =
= 100 Ом, включен вольтметр, первый раз — параллельно
активному сопротивлению, а второй раз — последовательно с
ним. Показания вольтметра оказались одинаковыми. Найти
сопротивление вольтметра.

138. Источник замкнули сначала на одно сопротивление, по-
том на другое, и затем на оба соединенные последовательно.
В первом случае ток был равен 3 А, во втором — 2 А, в тре-
тьем — 1,5 А. Какой ток будет проходить через источник при
параллельном соединении этих сопротивлений?

139. Батарейка для карманного фонаря имеет ЭДС £ = 4,5 В
и внутреннее сопротивление г — 3,5 Ом. Сколько таких
батареек надо соединить последовательно, чтобы питать лам-
пу, рассчитанную на напряжение U = 127 В и мощность
N = 60 Вт?
t

140. Сколько параллельно включенных электрических лам-
почек, рассчитанных на напряжение U = 100 В и потребляю-
щих мощность N — 40 Вт каждая, могут гореть полным нака-
лом при питании их от батареи с внутренним сопротивлением
г = 12,5 Ом и ЭДС 8 = 120?

141. Как при последовательном, так и при параллельном со-
единении двух одинаковых источников на внешнем сопротив-
лении выделялась мощность N = 80 Вт. Какая мощность
будет выделяться на этом сопротивлении, если замкнуть на
него лишь один из источников7

142. К источнику тока с внутренним сопротивлением г под-
ключено сопротивление R = г. Затем последовательно под-
ключено сопротивление Ri — 2г. Во сколько раз изменится
мощность, выделяемая на сопротивлении R после подключе-
ния второго сопротивления?

143. Электрочайник имеет две обмотки. При включении од-
ной из них вода в чайнике закипает за ti = 900 с. Другой —
за <2 = 1500 с. Через какое время закипит вода, если обмотки
включить а) — последовательно; б) — параллельно?

144. Источник постоянного тока с внутренним сопротивле-
нием г = 0,2 Ом при токе Д = 4 А отдает во внешнюю цепь
мощность Ni = 10 Вт. Какую мощность он отдает во внеш-
нюю цепь при токе I2 = 6 А.

145. Источник тока замыкается один раз на сопротивление
Ri — 4,5 Ом, другой раз — на R2 ~ 2 Ом. В обоих случаях
на внешнем сопротивлении выделяется одинаковая мощность.
Найти внутреннее сопротивление источника.

146. Между полюсами магнита на тонких вертикальных про-
волочках подвешен горизонтальный линейный проводник
массой т = 10 г, длиной I = 20 см. Индукция однородно-
го магнитного поля направлена вертикально и равна В =
= 0,25 Тл. Весь проводник находится в магнитном поле. На
какой угол от вертикали отклонятся проволочки, поддержи-
вающие проводник, если по нему пропустить ток I = 2 А?
Массой проволочки пренебречь, g — Ю м/с2.

147. Две заряженные частицы с зарядами gi и Q2 и массами
mi и m2, пройдя одинаковые ускоряющие разности потенциа-
лов, влетают в однородное магнитное поле перпендикулярно
к линиям индукции. Найти отношение радиусов вращения
частиц и отношение угловых скоростей.

148. Прямоугольная проводящая
рамка удаляется от прямолинейно-
го проводника с током в перпенди-
кулярном к нему найравлении, как
указано на рис. 49. Указать направ-
ление индукционного тока, возни-
кающего при этом в контуре. Рис. 49
149. В однородном магнитном поле перпендикулярно сило-
вым линиям расположена плоская проволочная рамка пло-
щадью S — 2 10 ~4 м2 и числом витков п = 50. Рамка замкну-
та на гальванометр. При повороте рамки на угол 180° в цепи
гальванометра протекает заряд q — 3 • 10~4 Кл. Определить
индукцию магнитного поля, если полное сопротивление цепи
R = 40 Ом.

150. Плоский виток, площадь которого S = 0,001 м2, поме-
щен в однородное магнитное поле перпендикулярно к линиям
индукции. Сопротивление витка R = 1 Ом. Какой ток по-
течет по витку, если магнитная индукция поля убывает со
скоростью vB — 0,01 Тл/с?

151. Горизонтально р неположенный металлический стержень
длиной I — 1 м отпускают с нулевой начальной скоростью с
высоты h = 5 м, и он начинает падать, пересекая си-
ловые линии горизонтального магнитного поля с индукцией
В = 0,01 Тл. Какова будет разность потенциалов между кон-
цами стержня непосредственно перед ударом? g = 10 м/с2.

152. Поток магнитной индукции через площадь поперечного
сечения катушки, имеющей N = 1000 витков изменился на
— 0,002 Вб в результате изменения тока с Д = 4 А до
/2 — 20 А. Определить индуктивность катушки.

153. Рамка площадью S = 100 см2 вращается, делая п = 100
оборотов в 1 с, в однородном магнитном поле с В = 0,1 Тл,
причем ось вращения, проходящая через середины противо-
положных концов рамки, перпендикулярна силовым линиям.
Найти число витков рамки, если максимальное значение ЭДС
индукции равно ~ 12,56 В.

Д8. В темноте нетрудно заметить свечение при раз-
ламывании кусочков сахара, при растирании в ступе
сахарного песка, при разрыве бумаги, при быстром

разматывании рулона липкой ленты и даже при сходе ноч-
ных лавин в горах. Имеют ли эти факты простое физическое
объяснение?
4. МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ
И ВОЛНЫ

Движения тел, которые точно повторяются через рав-
ные интервалы времени, называются механическими
колебаниями. Гармоническое колебание — это коле-
бательный процесс, при котором периодические изменения

физических величин, характеризующих состояние системы в
зависимости от времени, происходят по закону синуса или ко-
синуса. Уравнение гармонических колебаний имеет вид:

x(t) = хт sin(wi + ^о),

где хт — амплитуда колебаний; (wi + <ро) — текущая фаза
колебаний, — начальная фаза колебаний.

Частота колебаний — количество колебаний за секунду.

Если за время i совершено п колебаний, то

w— собственная круговая (циклическая) частота колебаний,
равная числу полных колебаний за 2тг секунд, т. е.

w = 2?Г1/.

Время, за которое происходит рдно полное колебание, назы-
вается периодом колебания Т,
Единицей частоты и является герц [Гц]: 1 Гц = с-1.

Единицей- круговой частоты и> является рад/с.

Колебания, возникающие в системе под действием вну-
тренних сил, после того как система была выведена из рав-
новесного состояния и предоставлена самой себе, называются
собственными колебаниями. Они могут происходить как в ме-
ханических колебательных системах, так и в электрических.
Свободные механические колебания могут совершать, напри-
мер, груз на пружине или маятник на нити; электрические
колебания происходят в колебательном контуре.

Частота свободных колебаний полностью определяется
свойствами самой колебательной системы и носит название
собственной частоты системы.

а Математическим маятником называют колеблющу-
юся в гравитационном поле Земли материальную точ-
ку, подвешенную на невесомой и нерастяжимой нити
длиной I. Период колебаний математического маятника опре-
деляется формулой

Тело массы т также может совершать гармонические колеба-
ния под действием силы упругости пружины с коэффициен-
том жесткости к. Период колебаний такого пружинного ма-

ятника равен

т = 2^.

Колебания с течением времени могут затухать (например, из-
за сил трения). Однако если эти потери незначительны, то на
протяжении небольших интервалов времени колебания мож-
но считать гармоническими, для которых выполняется закон
сохранения полной механической энергии. В процессе коле-
бания, например, математического маятника происходит пре-
вращение кинетической энергии в потенциальную и обратно
с сохранением полного начального запаса механической энер-
гии (см. рис. 50):

mv2h

+ mgh = mghp,

2
где ho — максимальная высота подъема. Для груза массой т,
колеблющегося под действием пружины жесткости k, можно
записать закон сохранения энергии в Следующем виде:

mw2(t) kx2(t) _ kx%

2 т 2 ~ 2 5

где xq — максимальная деформация пружины в процессе ко-
лебания.

Рис. 50

Колебания, происходящие под действием внешней перио-
дической силы, называются вынужденными колебаниями. В
случае, когда частота вынуждающей силы совпадает с соб-
ственной частотой колебательной системы, происходит резкое
возрастание амплитуды вынужденных колебаний. Это явле-
ние называется резонансом.

Автоколебаниями называют незатухающие колебания в
системе, поддерживаемые внутренними источниками энергии
при отсутствии воздействия внешней переменной силы. В от-
личие от вынужденных колебаний, частота и амплитуда авто-
колебаний определяются свойствами самой колебательной си-
стемы. От свободных (затухающих) колебаний автоколебания
отличаются независимостью амплитуды от времени. Приме-
ром механической автоколебательной системы могут служить
часы с маятником.

Колебания, возникающие в некоторой точке пространства,
за счет того или иного взаимодействия могут передаваться в
разных направлениях. Процесс распространения колебания в
пространстве называется волновым процессом или волной.
В зависимости от направления колебания частиц и направ-
ления распространения волны различают волны поперечные
и продольные. Поперечными называются волны, направле-
ние распространения которых перпендикулярно колебаниям
частиц среды (волны на поверхности жидкости, электромаг-
нитные волны). Продольными называются волны, направле-
ние распространения которых совпадает с прямой, вдоль ко-
торой происходят колебания в упругой среде (волны в газах
и жидкостях, например, звуковые волны).

Продольные волны, сопровождаемые деформациями рас-
тяжения и сжатия, могут распространяться в любых упругих
средах. Поперечные же волны могут существовать только в
твердых телах, поскольку для их возникновения необходимо
появление сил упругости при деформации сдвига (при смеще-
нии отдельных слоев друг относительно друга).

п . Скорость, с которой распространяется возмущение в
I упругой среде, называют скоростью волны vB. Рас-
стояние, на которое распространяется волна за время,
равное периоду колебания Т, называют длиной волны Ав:

Ав — Vb-P.

Можно записать следующее уравнение плоской волны:

= zmsinL'(i - —) 4-^о ,
I \ В /

где г — расстояние о*г источника волн до рассматриваемой
точки среды вдоль направления распространения волны,
х{г. t) — координата гармонического колебания данной точки,
(ро — начальная фаза гармонического колебания источника
волн. Отметим, что частицы среды, удаленные друг от друга
на длину волны А вдоль направления распространения волны,
колеблются в одной фазе:

ж(г,<) = z(r + A,i).

Звуковыми волнами называют процесс распространения ме-
ханических колебаний частиц в среде. Механические коле-
бания распространяются только в упругих средах (в вакууме
они не распространяются). Звуковые волны в газах и жидко-
стях являются продольными.

В разных упругих средах скорость распространения звука
различна: в воздухе v3B « 340 м/с; в воде цэв й? 1400 м/с; в
металле v3B « 5000 м/с; она зависит от плотности и упругости
среды, в которой распространяется звук.

Громкость звука определяется переносимой волной энер-
гией, которая пропорциональна квадрату амплитуды колеба-
ния частиц. Высота тона определяется частотой колебания
частиц среды (чем больше частота колебания частиц, тем вы-
ше звук). Ухо человека воспринимает звук с частотой от 17
до 20000 Гц.

Звуковые волны с частотой колебаний частиц выше
20000 Гц называются ультразвуком. Ультразвук излучает-
ся при высокочастотных колебаниях некоторых кристалли-
ческих пластин (например, кварцевых) в переменном элек-
трическом поле. Ультразвук широко применяется в технике,
медицине и играет большую роль в жизни многих животных,
которые сами излучают и улавливают ультразвуковые волны
(дельфины, летучие мыши).

—Простейшие гармонические колеба-

1 ния электрических величин (заря-
ды на обкладках конденсатора, на-
пряжения между ними, тока в цепи) можно
наблюдать в колебательном контуре, со-
стоящем из конденсатора емкостью С и ка-
тушки индуктивности L (рис. 51). Сопро-
тивлением проводов в таком контуре пре-
небрегают.

Закон изменения заряда, напряжения и
времени выражается формулами:

Рис, 51

тока с течением

~ Ят cos(w0i + ро)>
U(t) — Um cos(woi + 9?о),
/(t) = —Im sin(u>o£ + ‘r’o) •
Существуют следующие соотношения между амплитудными
значениями величин:

т — 1т ~

Период собственных колебаний колебательного кон-
тура определяется формулой Томсона:

Т = 2тг>/1С=

Если в момент времени t = 0 зарядить конденсатор до напря-
жения Umy то энергия электростатического поля конденсато-
ра составит

Wo = ^.

В процессе разрядки конденсатора энергия его электростати-
ческого поля изменяется по закону:

W(t) ~ - Q^rn cos2(Wof + - |УО cos^Q* 4- ^0).

А 4

В цепи начнет нарастать ток, и появится энергия магнитного
поля катушки:

wB(t) = йп3(ыа«+уо).

I я

Поскольку потери энергии отсутствуют, то выполняется за-
кон сохранения полной энергии, запасенной в контуре:

Wo = WE(t) + WB(t) =

- cos2(w0i + 9?о) 4- sjn2(wot 4- <pQ) =

& и

Генератор переменного тока — общее название устройств,
преобразующих какую-либо энергию в электрическую. Так,
электромеханический индукционный генератор преобразует
механическую энергию в электрическую. Основные части та-
кого генератора — индуктор (магнит) и якорь (обмотка). При
относительном вращении якоря и индуктора магнитный по-
ток, пронизывающий обмотку, постоянно изменяется, что и
приводит к появлению в якоре ЭДС индукции. При частоте
вращения w магнитный поток меняется с течением времени
по закону

Ф = BS cos(o;/).

Возникающая в этом случае ЭДС индукции имеет вид

— —Ф? = B5cusin(cuf),

что приводит к появлению гармонических вынужденных элек-
тромагнитных колебаний. Результатом колебательного про-
цесса является возникновение переменного тока со следую-
щей зависимостью от времени:

ОД = An sin(wi 4- ^о),.

Переменный ток используется в осветительной сети квартир,
промышленном производстве, частота промышленного тока в
нашей стране и — 50 Гц.

Мощность в цепи переменного тока очень быстро меняет-
ся со временем, но этих быстрых изменений мы не замечаем.
Обычно нас интересует среднее значение мощности тока на
участке цепи с активным сопротивлением R, которое через
амплитудное значение тока выражается как:

где “ — является средним за период значением квадрата
силы переменного тока:

Черта над /2 означает усреднение по времени. Величина, рав-
ная квадратному корню из среднего значения квадрата силы
переменного тока, называется действующим значением силы
переменного тока:

Аналогично определяется и действующее значение напряже-
ния переменного тока:

Активным сопротивлением R называется физическая вели-
чина, определяемая отношением мощности Р переменного то-
ка на участке электрической цепи к квадрату действующего
значения силы тока I на этом участке:

В любом проводнике, по которому течет переменный ток, воз-
никает ЭДС самоиндукции. Это приводит к возникновению
индуктивного сопротивления цепи Х^:

Xl ~ ioL.

Амплитуда Um колебаний напряжения в проводнике с индук-
тивностью L связана с максимальным значением силы тока
в нем 1т соотношением, близким по форме к закону Ома для
участка цепи постоянного тока:

Т _Um

/т~ XL'

Если в цепь переменного тока ввести конденсатор, то можно
показать, что существует связь между амплитудными значе-
ниями силы тока и напряжения на обкладках конденсатора:

Аналогия с законом Ома для участка цепи с постоянным
током позволяет ввести понятие емкостного сопротивления
конденсатора в цепи переменного тока Хс' Хс =

Если к выводам электрической цепи, состоящей из после-
довательно соединенных активного сопротивления, конденса-
тора С и катушки с индуктивностью L, подвести переменное
напряжение, то в цепи возникают вынужденные электриче-
ские колебания силы тока и напряжения. При частоте

которая совпадает с собственной частотой свободных электри-
ческих колебаний в этой цепи, наступает явление резонанса &
электрической цепи.

В этом случае сила тока в цепи достигает своего макси-
мального значения, а напряжение на активном сопротивлении
оказывается равным полному напряжению.

г—-----------II------ШЛШ----

’ • у

с L

£(t)

......0*1,0- — .

Рис. 52

На рис. 52 изображена простейшая цепь переменного тока:
к зажимам генератора с ЭДС, меняющейся по гармоническо-
му закону, присоединен колебательный контур. Соотношение
амплитудных значений силы тока 1т и ЭДС — во для данной
цепи определяется законом Ома

где Rq — полное сопротивление, равное

Закон Ома в такой форме справедлив и для действующих зна-
чений силы тока, и ЭДС:
Трансформаторы — приборы, в которых осуществляется
такое преобразование переменного тока определенной часто-
ты, при котором напряжение увеличивается или уменьшается
в несколько раз почти без потери мощности. Трансформатор
состоит из замкнутого стального сердечника, набранного из
отдельных изолированных друг от друга пластин, на кото-
рый надеты две (иногда и более) катушки с проволочными
обмотками. Одна обмотка называется первичной — она под-
ключается к источнику; другая обмотка — вторичная, к ней
подключен потребитель.

Если на первичную обмотку подать переменное напряже-
ние Ui, то в ней возникает ЭДС самоиндукции, которая при
малом активном сопротивлении первичной цепи прибли-
зительно равна:

£си = £1^1

где £i — ЭДС самоиндукции, возникающая в одном витке,
Ni — число витков в первичной катушке. Во второй катушке
за счет изменения магнитного поля в первой возникает ЭДС
индукции, которая при разомкнутой внешней цепи равна £я:
£к — £iN2 w U2. Вводят коэффициент трансформации К:

к~ иг N2-

Если К > 1 — трансформатор понижающий, при К < 1 —
трансформатор повышающий. Поскольку в трансформаторе
потерь мощности практически нет, то имеет место следующее
соотношение между токами и напряжениями:

Д Ui fa

Изменять напряжение тока с помощью трансформаторов
особенно необходимо при передаче электрической энергии на
большие расстояния. Чтобы потери энергии в передающих
проводах свести к минимуму, необходимо передавать ток ма-
лой величины, следовательно, большого напряжения, а выра-
батывается и используется ток меньших напряжений. Поэто-
му на электростанциях ставят повышающие трансформаторы,
а у потребителя — понижающие. Наиболее перспективным
способом передачи энергии на дальние расстояния является
использование постоянного тока, так как постоянное напря-
жение можно сделать равным допустимому амплитудному на-
пряжению линии переменного тока и при этом исчезают за-
труднения, связанные с индуктивным сопротивлением и ем-
костью линии.

Однако для этого необходимы устройства, преобразующие
переменный ток высокого напряжения в постоянный и обрат-
но в конце линии.

Электромагнитные волны представляют собой совокуп-
ность быстропеременных, взаимно перпендикулярных элек-
трических (ё) и магнитных (В) полей, совпадающих по фазе
и частоте и распространяющихся в пространстве со скоростью
с « 3 • 108 м/с в направлении, перпендикулярном плоскости,
образованной векторами Е и В (рис. 53). Электромагнитные
волны являются поперечными, так как гармонические изме-
нения величин электрических и магнитных полей происходят
в направлении, перпендикулярном вектору скорости распро-
странения волны.

Электромагнитные волны излучаются ускоренными заря-
женными частицами; поглощаются и рассеиваются средой, в
которой они распространяются; отражаются от границы раз-
личных сред; преломляются в диэлектриках; огибают препят-
ствия, соизмеримые с их длиной волны.

Совокупность всех электромагнитных излучений подраз-
деляют по следующим видам, образующих спектр электро-
лигнитного излучения (или шкала электромагнитных волн):
Низкочастотные (частота не более 30 кГц) — слабо по-
глощаются землей и водой и поэтому применяются'при под-
земной и подводной радиосвязи;

Радиоволны (3 • 104 -г 3«1012 Гц) — применяются в радио-
связи, телевидении и т. п.;

Инфракрасное (ИК) излучение (3 • 1011 -г 4 • 1014 Гц) —
используется в ИК-спектроскопии, ИК-фотографии, в прибо-
рах ночного видения, а также для нагрева и сушки овощей и
фруктов, лакокрасочных покрытий;

Видимый свет (4 4- 8 1014 Гц);

Ультрафиолетовое (УФ) излучение (8 ЛО14—ЗЛО16 Гц) —
используется в УФ-спектроскопии, в люминесцентных лам-
пах, в криминалистике, искусствоведении, медицине;

Рентгеновское излучение (3,7 ЛО15 4 3 • 1О20 Гц) — широко
используется в медицине, в рентгеноструктурном анализе, в
дефектоскопии, в других отраслях экономики;

Гамма-излучение (ЗЛО19 Гц и более) — обладает наиболь-
шей проникающей способностью и используется в медицине, в
промышленности и сельском хозяйстве, в астрономии, в ящер-
ной физике.

Передача речи, музыки и других звуков на расстояние
с помощью электромагнитных волн получила название ра-
диотелефонной связи. Она была открыта русским ученым
А. С. Поповым в 1895 г. Для осуществления этой связи зву-
ковые колебания воздуха с помощью микрофона превращают
в электрические колебания той же формы. Однако частота
этих электрических колебаний слишком низкая для излуче-
ния электромагнитных волн. Поэтому в радиопередатчике
используют генератор высокой — несущей частоты, и у этих
высокочастотных колебаний изменяют какой-либо параметр
(амплитуду, частоту) синхронно с колебаниями, приходящи-
ми от микрофона. Таким образом, высокочастотные колеба-
ния модулируют с помощью электрических колебаний низкой
частоты.

Модулированный сигнал подается на передающую антен-
ну и вызывает в окружающем пространстве быстро изменя-
ющееся электромагнитное поле, которое распространяется в
Формулы

виде электромагнитной волны. Она достигает приемной ан-
тенны и создает в ней вынужденные электрические колеба-
ния той же частоты, при этом для настройки приемника на
несущую частоту используют колебательный контур. Далее
в приемнике из этих колебаний выделяется сигнал звуковой
частоты — происходит демодуляция (детектирование). При
этом с помощью диода получают пульсирующий ток, а за-
тем его сглаживают с помощью конденсатора, который игра-
ет роль фильтра. Выделенный звуковой сигнал усиливается
и подается на громкоговоритель, преобразующий электриче-
ские колебания в механические той же частоты.

Механические гармонические колебания

$(£) = хт sin(urt + Vo), w ~ 2тп/ = уг,

Математический маятник

Пружинный маятник

Волны Ав sj ивТ, x(r, t) = хт sin ш • -

Электромагнитные гармонические колебания

?(0 = 5m cos(o?0i + Vo),

I(t) = sin(wGi + ^o),
U(t) = Um cos(w0i 4- ¥>o),

Um — ~~

T = 2vjLC=%.
Индуктивность, емкость и активное сопротивление в цепи пе-
ременного тока

J(i) = AnSin(wt + <ро)?

Xl =

Закон Ома в замкнутой цепи переменного тока

1т ~ 7^’ £д = = ^R2 + “ йс) ’ I

Трансформатор

ОБОЗНАЧЕНИЯ: I

х — координата, [м]; I

хт — амплитуда колебаний, [м]; I

wt +Фо — текущая фаза, [рад];

— начальная фаза, [рад];

и — циклическая частота, [рад/с];

и — частота периодического процесса, [Гц];

Т — период колебания, [с]; I

I — длина маятника (от точки подвеса до центра

масс маятника), [м];

g — ускорение свободного падения, [м/с2];

к — коэффициент жесткости пружины, [Н/м]; 1

т — масса груза, [кг];

1т — амплитуда колебаний силы тока, [А];

Um — амплитуда колебаний напряжения, [В];

£0 — амплитудное значение ЭДС, [В];

7д — действующее значение переменного тока, [А];

[7ц — действующее значение переменного

напряжения, [В];

£д — действующее значение ЭДС, [В];
R — активное сопротивление, [Ом];

Xi — индуктивное сопротивление, [Ом];

Xq — емкостное сопротивление, [Ом];

Р — мощность переменного тока, [Вт];

Лв — длина волны, [м];

v3 — скорость волны, [м/с];

г — удаление точки среды от источника колебаний;

вдоль направления распространения волны, [м];
К — коэффициент трансформации.

Задача 154. Определите величину смещения, скорости и
ускорения точки, совершающей синусоидальное колебание с
амплитудой 2 м, частотой 0,25 Гц и начальной фазой —, через
две секунды после начала колебания. Чему равна максималь-
ная скорость точки?

Дано: и - 0,25 Гц; хт = 2 м; tpo — ti - 2 с; ж(«1) = ?;
v(ti) =?; a(ii) =?; vm = ?

Решение: Уравнение синусоидального колебания имеет вид:

«(0 = sin(wi + (£>о).

Продифференцируем x(t) по времени, получим выражение
для скорости гармонического колебания точки:

v(t) — x(t)' — XmUCO8(wt -f- 9?о).

Продифференцируем еще раз по времени, найдем выражение
для ускорения:

a(t) = v(t)' = ~хти>2 sinfejf + 9?0)-
Определив циклическую частоту щ = 2тп/ = 0,5тг, получим

z(t) = 2 sin(O,57rt + ?),
□

v(i) = я cos(0,57ri + $),
a(i) — —0,5тг2 sin(0,5Trf + $).

При fi = 2 с находим:

x(ii) = 2sin(?r + $) = -1,73 m,
v(ti) = я cos(я 4-1) = -1,57 м/с,
a(ti) =: -0,5я2 sin (я + ?) = 4,27 м/с2.

Максимальную скорость определяем при максимальном зна-
чении косинуса, равном единице: vm = тг = 3,14 м/с.

Ответ: x(ti) — —1,73 м; v(fi) — -1,57 м/с; a(ti) = 4,27 м/с2;

Vm — 3,14 м/с.

Задача 155. Наибольшее отклонение маятника с длиной ни-
ти 0,8 м равно 6°. Определить максимальную скорость дви-
жения.

Дано: I = 0,8 м; ат = 6° = 0,1 рад; vm = ?

Решение: Так как в системе нет потерь энергии на трение
и т.п., то в любой момент колебания полная энергия, состоя-
щая из кинетической Wx(t) и потенциальной сохраня-
ется:

WQ^WM + Wn(t\

Рассмотрим два энергетических состояния системы в точках
А и С (рис. 54). Поскольку в точке А тело покоится, то
ЖГ(Л) — 0; поэтому

Wo = Wn(A) = m3h. (1)

’Ь

Из рис. 54 видно, что

h = /(1 - cos о).
Энергия колебания в точке С равна:

Wa = WK(C) = (2)

лл

так как Wn(C) - 0.

Решая совместно уравнения (1) и (2), находим:

vm — s/2gl(l — cos а).

Из тригонометрии известно 1 — cos а = 2sin2(^) и при этом
для малых /3 значение sin/? «/3 as tg/З. Следовательно,

vm * ay/gl-

Расчет:

vm - 0,1\/9>8м/с2 *0,8м = 0,28 м/с,

Ответ: vm == 0,28 м/с.

Задача 156, На горизонтальной пружине укреплено тело
массой 10 кг, лежащее на абсолютно гладком столе. В это те-
ло попадает и застревает в нем пуля массой 10 г, летящая со
скоростью 500 м/с, направленной вдоль оси пружины. Тело
вместе с застрявшей пулей начинает колебаться с амплитудой
10 см. Считая началом колебаний момент попадания пули в
тело, написать уравнение колебаний системы. Массой пружи-
ны и сопротивлением воздуха пренебречь.
Дано: М = 10 кг; т — 0,01 кг; v = 500 м/с; хт = 0,1 м;
*(*)=?

Решение: Пуля, попадающая в тело, сообщает ему кинети-
ческую энергию, в результате тело вместе с застрявшей в нем
пулей приходит в движение н сжимает пружину. Это про-
исходит до тех пор, пока кинетическая энергия тела с пу-
лей полностью не перейдет в потенциальную энергию сжатой
пружины. Обратный процесс приводит к возникновению не-
затухающих колебаний, поскольку силы трения отсутствуют.
Уравнение колебания запишем в форме:

$(£)=: sin(w£+^>о)- (1)

Для нахождения начальной фазы учтем, что по условию за-
дачи аг(О) = 0.

Тогда из уравнения (1) имеем: sin(9?o) = 0, откуда

<?о =0.

Для нахождения циклической частоты воспользуемся соотно-
шением

где Т = 2тгу — период колебания тела массой М с
пулей массой т. Тогда

• .

(2)

Коэффициент жесткости пружины найдем из закона сохране-
ния энергии, согласно которому потенциальная энергия сжа-
кх^

той пружины Еа — совпадает с кинетической энергией
тела, которое вместе с застрявшей в нем пулей в начальный
(М + т)и2

момент движения с некоторой скоростью и: ЕК — ---%----•

Из равенства этих выражений находим:

(М + т)и2
х2
Т7Х

(3)
Для нахождения скорости и воспользуемся законом сохране-
ния импульса. До столкновения импульс системы был равен
ту, после попадания и застревания пули импульс системы
стал (М + т)й. Приравнивая эти выражения и проецируя
полученное уравнение на ось пружины, находим:

ту

М + т'

(4)

Решая совместно уравнения (2), (3), (4), получаем

—т?т~-—г ~ 5 рад/с.
хт(М + т) F

Подставляя найденные выражения в (1), находим ответ.

Ответ: x(t) = 0,lsin(5i) м.

Задача 157. Колебательный контур приемника состоит из
слюдяного конденсатора, площадь пластин которого 800 см2,
а расстояние между ними 1 мм, и катушки. На какую дли-
ну волны резонирует этот контур, если максимальное значе-
ние напряжения на пластинах конденсатора в 100 раз больше
максимального значения силы тока в катушке? Активным
сопротивлением контура пренебречь. Диэлектрическая про-
ницаемость среды равна 7.

Дано: а = 7; 5 = 0,08 м2; d = 0,001 м; = 100 В/А; А = ?

Решение: Искомая длина волны зависит от периода коле-
бания заданного контура:

А = сТ, (1)

где с = 3 • 108 м/с — скорость распространения электромаг-
нитных волн, а

Т = 2ttVlC. (2)

По условию задачи’можно найти значение электроемкости
конденсатора:
Так как активным сопротивлением можно пренебречь, то вы-

полняется закон сохранения энергии, согласно которому мак-

си*

симальная энергия электрического поля конденсатора

равна максимальной энергии магнитного поля катушки
Из этого следует, что

2 ’

(4)

Решая совместно уравнения (1)-(4), находим:

А = 2я-.с-ее05 . = 933 м.

Ответ: А = 933 м.

Задача 158. Плоская бегущая волна распространяется вдоль
прямой со скоростью 20 м/с. Точка, находящаяся на этой
прямой на расстоянии 15 м от источника волн, колеблется с
ним с разностью фаз 0,75тг. Амплитуда колебаний источника
волн равна 0,1 м. Определить первый момент времени после
начала распространения волны, в который заданная точка
будет иметь смещение 7,1 см. Считать = 0.

Дано: v — 20 м/с; хт = 0,1 м; г = 15 м; △<£> = 0,75тг рад;
$(М1) = 0,071 м; </>о = 0; h = ?
f

Решение: Запишем уравнение плоской волны:

x(y,t) = a?m sin [w(i - |) + ^0]. (1)

Так как м = ~, где T — период колебаний, a v = где X —
длина волны, то можем записать:

и = 2тг-^. (2)

Точки, находящиеся друг от друга на расстоянии Ау ~
= У2 — У1, колеблются с разностью фаз

Ьр = - ri - 25^1.
Подставляя в это выражение у2 ~г> а 2/1=0, находим

Теперь из (2) можно найти циклическую частоту uj = =

= тг рад/с.

В уравнении (1) подставляем полученное значение и и дан-
ные в условии значения у = г и t = ti*.

#(r,fi) = 0,071 — 0,18т(тг(^1 - ~
\ Л *и

))•

Решая это уравнение относительно ti, получаем

Отсюда находим t\ = 1 с.

Ответ: ti = 1 сек.

159. Тело совершает колебания по закону x(t) =
= 0,3 sin ir(t 4-0,5) м. Найти амплитуду, период, начальную
фазу колебаний и ускорение в момент времени t = 0,5 с.

160. Шарик массой т = 10 г совершает гармонические коле-
бания с амплитудой А = 0,2 м и периодом Т = 4 с. В момент
времени t = 0 смещение ж(£) = А. Найти кинетическую и
потенциальную энергии в момент времени = 1 с.

161. К потолку подвешены два маятника. За одинаковое вре-
мя один совершает щ = 10 колебаний, а другой пъ = 7. Како-
ва длина каждого маятника, если разность их длин I = 51 см?

162. Математический маятник длиной I = 2 м находится в
лифте, который движется вниз с ускорением а = 1,8 м/с2.
Определить период колебаний маятника.

163. Когда груз неподвижно висел на пружине ее удлине-
ние было х = 5 см. Затем груз оттянули вниз и отпустили,
вследствие чего он начал колебаться. Найти период этих ко-
лебаний.

л64. Две пружины с коэффициентами жесткости ki = 2 Н/м
и — 8 Н/м соединены один'раз последовательно, второй
раз параллельно. Во сколько раз будут отличаться периоды
колебаний груза ча таких пружинах?

165. В неподвижном лифте висит маятник, период колеба-
ний которого равен 7! = 1 с. С каким ускорением движется
лифт, если период колебаний этого маятника стал равным
Т2 = 1,1 с?

166. Колебательный контур состоит из катушки индуктивно-
сти L = 0,003 Гн и плоского воздушного конденсатора, состо-
ящего из двух дисков радиусом г = 1,2 см, расположенных на
расстоянии d — 0,3 мм друг от друга. Найти частоту контура.

167. В колебательном контуре емкость конденсатора
С = 2 мкФ, а максимальное напряжение на нем Um = 5 В.
Найти максимальную энергию магнитного поля катушки,
энергию магнитного поля в тот момент, когда напряжение на
конденсаторе Ui = 3 В. Где. сосредоточена энергия в колеба-

1113

тельном контуре спустя ti = gT, t2 = *4 =

(T — период колебаний) после начала разрядки конденса-
тора?

168. Переменный ток через сопротивление R — 10 Ом задан
формулой 1(f) — 0,42 sin(0,628£) А. Найдите, какое количе-
ство теплоты выделяется на сопротивлении за время, равное
периоду изменения тока.

169. Максимальный заряд на обкладках конденсатора коле-
бательного контура qm = 10"1 Кл. Амплитудное значение
силы тока в контуре Im = 10"3 А. Определите период коле-
баний.

170. Волны в первой среде имеют длину Ai = 2 м, а после
перехода во вторую среду — Аг = 4 м. Определите скорость
распространения волн во второй среде, если их скорость в
первой среде «1 = 8000 м/с.
171, Точки, находящиеся на одном луче и удаленные от ис-
точника колебаний на ri = 12 м и Гг = 14,7 м колеблются
о

с разностью фаз △</> = ^тг. Определите скорость распро-
странения колебаний, если период колебаний источника ра-
вен Т ~ 0,001 с.

172, Колебательный контур антенны содержит конденсатор
емкостью С = 10'9 Ф. Какова должна быть индуктивность
контура, чтобы обеспечить прием радиоволн длиной А = 300 м?

173. В колебательном контуре ток меняется по закону
J(t) — 0,1 sin(irt) (А). Найти максимальное значение ЭДС са-
моиндукции, если индуктивность катушки равна £ = 0.05 Гн.

174. Первичная обмотка трансформатора в радиоприемнике
имеет N-\_ — 1200 витков. Чему должно быть равно число
витков во вторичной обмотке трансформатора для питания
кенотрона (напряжение £гк = 3,5 В и сила тока I — 1 А),
если сопротивление обмотки г = 0,1 Ом, а напряжение в сети
U = 120 В?

175. Чему равна разность фаз колебаний в двух точках
звуковой волны, отстоящих друг от друга на расстоя-
нии г = 75 см, если частота колебаний равна и — 453,33 Гц?
Скорость звука равна v3 = 340 м/с.

Д9. Говорят, что хорошая музыка берет за душу. Не-
льзя ли это как-нибудь связать с колебаниями и вол-
нами? И где у человека расположена душа?
Опыт показывает, что в однородной среде свет распростра-
няется прямолинейно. Прямая, указывающая направление
распространения света, называется световым лучом.

При падении света на границу раздела двух сред часть
света отражается в первую среду, а часть проходит во вторую
среду, если она прозрачна, изменяя при этом направление сво-
его распространения, — преломляется.

Закон отражения: Угол падения (о) равен углу отраже-
ния (&). Падающий луч, отраженный луч и перпендикуляр,
восстановленный в точке падения, лежат в одной плоскости
(рис. 55 а).

Отношение скорости света в вакууме к скорости света в
данной среде называют абсолютным показателем преломле-
ния среды:

Закон преломления: Падающий луч (а), преломлен-
ный луч (/3) и перпендикуляр, восстановленный в точ-
ке падения, лежат в одной плоскости (рис. 55 б), при-

- чем отношение синусов угла падения и угла преломления по-
стоянно для данных двух сред и равно отношению скоростей
света в них:

sin о; _ Щ _ П2 _

sin/3 ^2 П1 21 ’

где щ и П2 — абсолютные показатели преломления данных
сред. При этом отношение = nsi называют относитель-

ны
ным показателем преломления второй среды по отношению
к первой.

Рис. 55

Скорость распространения света зависит от оптической
плотности среды: среду, в которой скорость распространения
света меньше, называют оптически более плотной; для нее
абсолютный показатель преломления также больше. При пе-
реходе в оптически менее плотную среду (пг < ni) луч будет
отклоняться в сторону от перпендикуляра к границе разде-
ла двух сред, т. е. угол /3 > а (см. рис. 556). С ростом угла
падения а будет возрастать и превышающий его угол прелом-
ления /3. При а > «о происходит полное внутреннее отраже-
ние; весь свет отражается, а преломление во вторую среду
прекращается. Предельный угол полного отражения ао опре-
деляется следующим образом:

smao = sin/?max = ^sin90° = ~ < 1; а0 = arcsin^.

Ход лучей в трехгранной призме, состоящей из вещества
оптически более плотного, чем окружающая ее среда, пока-
зан на рис. 56. У призмы угол В называется преломляющим
углом, а сторона АС — основанием призмы. Призма откло-
няет падающий луч к основанию. На грани АВ при переходе
из менее в более плотную среду угол fa < от, а на границе
ВС, наоборот, & > «2- В результате выходящий из призмы
луч отклоняется от первоначального направления на угол (р,
называемый углом отклонения.

Рис. 56 Рис. 57

Построение изображения источника света S в плоском зер-
кале показано на рис. 57. Из него следует, что изображение S1
находится простыми геометрическими построениями на осно-
ве закона отражения и оказывается мнимым. Следует отме-
тить, что отрезки SO и S'O на рис. 57 оказываются равными
и это условие сохра-шется, если зеркало перемещать в любом
направлении вдоль линии ОО'.

Линзой называется прозрачное тело, ограниченное двумя
сферическими поверхностями. Выпуклые линзы, у которых
середина толще, чем края, являются собирающими (рис. 58 а),
а вогнутые динзы — рассеивающими (рис. 586). Тонкой на-
зывается линза, толщина которой значительно меньше ради-
усов кривизны поверхностей.

Центры сферических поверхностей образуют главные фо-
кусы линзы. Прямая, соединяющая главные фокусы, назы-
вается главной оптической осью, а точка ее пересечения с
тонкой линзой — оптическим центром. Все линии, прохо-
дящие через оптический центр линзы под углом к главной
оси, называют побочной оптической осью. Плоскость, прохо-
дят,ая через главный фокус линзы перпендикулярно глав-
ной оптической оси, называется фокальной плоскостью (ФЛ.)
(см. рис. 58).
Рис. 58

Строя изображение в тонких линзах, учитывают следую-
щие их свойства:

— проходящие через оптический центр линзы лучи не пре-
ломляются (рис. 58, луч 1);

— параллельные главной оптической оси лучи после пре-
ломления (или их продолжения для случая рассеивающей
линзы) проходят через главный фокус линзы (рис. 58, луч 2);

— параллельные побочной оптической оси лучи после пре-
ломления (или их продолжения для случая рассеивающей
линзы) проходят через побочный фокус, лежащий на этой оси
в месте пересечения с фокальной плоскостью (рис. 58, луч 3).

Расстояние между оптическим центром линзы и ее глав-
ным фокусом называется фокусным расстоянием F. Величи-
на, обратная фокусному расстоянию, называется оптической
силой D ~ -р.

Оптическая сила измеряется в диоптриях, если фокусное
расстояние выражено в метрах: [Р] --- 1 Дп = 1 м~х.

Для построения изображения точки А в линзе необходимо
знать ход двух лучей, исходящих из этой точки (см. рис. 59).
Для случая собирающей линзы (рис. 59 а, б) изображение А±
называется действительным, a Az — мнимым. В рассеива-
ющей линзе (рис. 59 в) изображение Аз всегда оказывается
мнимым.

Обозначим через d — расстояние от предмета до лин-
зы, а через f — расстояние от линзы до изобра-
жения (рис. 59), тогда имеет место формула линзы:

При этом выполняется следующее правило знаков: если
предмет или изображение действительны, то d > 0 и f > О,
если же мнимые, то d < 0 и f < 0. Кроме этого, для со-
бирающей линзы фокусное расстояние F и оптическая сила
D положительны, а для рассеивающей линзы всегда отрица-
тельны.
Увеличением линзы называют отношение высоты изобра-
жения к высоте предмета (рис. 59), равное

Линзы используются в различных оптических устройствах.
Проекционный аппарат служит для получения действитель-
ных и увеличенных предметов на экране. Для этого предмет
помещают на расстоянии F < d < 2J1. При этом получается
действительное, перевернутое и увеличенное изображение на
расстоянии / > 2F (рис. 59 а).

Фотоаппарат используют для получения на фотоплен-
ке (или фотопластинках) уменьшенных действительных изо-
бражений. Для этого предмет располагают на расстоянии
d > 2F, а изображение получается обратное и уменьшенное
на расстоянии F < / < 2F. Ход лучей при этом аналогичен
рис. 59 а.

Лупа служит для получения увеличенных мнимых изо-
бражений по одну сторону от лупы с самим предметом. Для
этого предмет располагают на расстоянии d < F, а изображе-
ние получается прямым на расстоянии j/| > d (см. рис. 59 б).
Поскольку изображение мнимое, то f < 0.

Оптическая система глаза человека подобна оптической
системе фотоаппарата с переменным фокусным расстоянием
объектива. Для получения изображения на сетчатке глаза
основную роль играет преломление света на сферической по-
верхности границы раздела системы «роговица-воздух». На-
ходящийся за радужной оболочкой хрусталик имеет форму
двояко выпуклой линзы. Радиус кривизны хрусталика меня-
ется под действием специальной мышцы. Этот процесс назы-
вается аккомодацией, с его помощью получается четкое изо-
бражение предмета на сетчатке.

Если оптическая система глаза дает изображение дале-
ких предметов за сетчаткой, то человек страдает дальнозор-
костью. Для исправления этого дефекта применяют очки с
собирающими линзами.
При близорукости глаза изображение получается перед
сетчаткой. Для исправления этого дефекта применяются оч-
ки с рассеивающими линзами.

Рис. 60

Свет, как частный случай электромагнитных волн, рас-
пространяется в вакууме и воздухе со скоростью ~ 3108 м/с.
Эта величина впервые достаточно точно была определена на
опыте Майкельсона (в Америке) с помощью вращающейся
призмы (см. рис. 60). Источник света, восьмигранная приз-
ма и труба наблюдателя располагались на вершине одной го-
ры, а на вершине другой горы, расположенной на расстоянии
I = 35,4 км, находились вогнутое и плоское зеркала. Пока си-
стема находится в покое, наблюдатель видит через трубу изо-
бражение источника света. При медленном вращении призмы
вокруг оси, проходящей через точку О, изображение пропа-
дает и появляется вновь, когда за время прохождения лучом
света расстояния 21 зеркало повернется на | часть оборота,
т. е. грань а' займет положение о, а грань Ь’ займет положе-
ние Ь. В опыте была найдена минимальная частота враще-
ния призмы и, при которой мигание изображения источни-
ка исчезает. Зная частоту вращения р, можно получить, что
с = = 16Zp « 3 • 108 м/с.

Зависимость показателя преломления вещества п от ча-
стоты проходящего через него света называется дисперсией
света.
Дисперсия объясняется взаимодействием световой волны
с электронами, входящими в состав молекул и атомов веще-
ства. Под действием электромагнитного поля световой волны
данные электроны начинают совершать вынужденные колеба-
ния с частотой волны. Поскольку амплитуда колебаний при
разной частоте будет разной, то разной будет и диэлектри-
ческая проницаемость вещества е. Показатель преломления
п связан с диэлектрической проницаемостью соотношением
п = у/Ё, поэтому одновременно с е зависит от частоты света и
величина п.

р-
I-
й
в

Рис. 61

Следствием дисперсии света является разложение приз-
мой пучка белого света в спектр (рис. 61). На грани BD
в точке А белый свет разлагается, и на экране получает-
ся сплошная полоса разных цветов: красного (к), оранжево-
го (о), желтого (ж), зеленого (з), голубого (г), синего (с), фи-
олетового (ф). Порядок следования цветов объясняется тем,
что частоты волн разного цвета разные, так vK < ь'ф, поэто-
му пк < Пф и красный свет отклоняется призмой на меньший
угол, чем фиолетовый.

Прибор для визуального наблюдения и изучения спектров
называется спектроскопом (рис. 62). Основными частями
спектроскопа являются призма АВС; коллиматор с линзой
Л1, в фокусе Fi которой находится щель, и зрительная труба.
В фокальной плоскости F2 линзы Лг образуется спектраль-
ная картина. Лупа Лз служит для увеличения спектральной
картины и лучшего ее рассмотрения.

Спектрограф отличается от спектроскопа тем, что вместо
зрительной трубы используется экран.

Спектром излучения называют совокупность частот (длин
волн), содержащихся в излучении какого-либо вещества. Вид
спектра излучения определяется как свойствами отдельных
излучающих атомов, так и взаимодействием атомов друг с
другом. Нагретые тела (твердые, жидкие и газообразные)
под большим давлением испускают сплошной спектр, содер-
жащий излучения всех частот. С помощью спектральных ап-
паратов сплошной спектр можно разложить и получить на
экране сплошную разноцветную полосу.

В сплошном спектре излучения у различных тел распре-
деление энергии по частотам отличаются. У черных тел за-
висимость энергии излучения’ от частоты имеет максимум,
положение которого изменяется с ростом температуры излу-
чающего тела: при повышении температуры этот максимум
смещается в сторону больших частот.

Газы в атомарном состоянии, нагретые до высокой темпе-
ратуры, излучают линейчатый спектр (отдельные цветные
линии на черном фоне). Газ в молекулярном состоянии про-
являет полосатый спектр, в котором отдельные линии сли-
ваются в цветные полосы.

Спектром поглощения называют совокупность частот, по-
глощаемых данным веществом. Спектр поглощения получа-
ют, пропуская белый свет сквозь холодный неизлучающий
5. Оптика
—,

газ, состоящий из атомов исследуемого вещества. При этом
на экране спектрографа можно наблюдать темные линии на
фоне сплошного спектра. Эти темные линии и есть спектр
поглощения. Атомы каждого химического элемента излуча-
ют волны строго определенных частот, поэтому линейчатый
спектр излучения у каждого элемента свой. Атомы вещества
наиболее активно поглощают свет как раз тех частот, которые
они испускают в нагретом состоянии. Эта закономерность ле-
жит в основе спектрального анализа — метода определения
химического состава вещества по его спектру. '

Свет является частным случаем электромагнитных волн,
имеющих частоту (4 -г 8) ♦ 1014 Гц. Вся шкала электромаг-
нитных волн подробно рассмотрена в разделе 4.2. К общим
волновым свойствам относятся интерференция и дифракция.

Интерференция света — это сложение двух или несколь-
ких световых волн, в результате которого наблюдается устой-
чивая во времени картина усиления или ослабления интен-
сивности света в различных точках пространства. Согласно
волновой теории, интенсивность пропорциональна квадрату
напряженности электрического поля в световой волне. Две
волны создают поле, напряженность которого в данной точке
согласно принципу суперпозиции равна Е = Д + Ез. Если
волны приходят в данную точку в одной фазе, то векторы
Ei и Д будут сонаправлены и результирующая напряжен-
ность возрастает. Согласно волновой теории интенсивность
света вследствие этого увеличивается и в данной точке бу-
дет наблюдаться максимум освещенности. Аналогично, если
волны приходят в точку в противофазе, то в ней будет наблю-
даться минимум освещенности. Интерференционная картина
получается устойчивой только в том случае, если волны коге-
рентны, т. е. их частоты одинаковы, разность фаз не меняется
с течением времени.

rf==^=h Интерференцией света объясняется, например, окрас-
j ^2) I ка мыльных пузырей и тонких масляных пленок на
воде. В этом случае интерферируют две волны, отра-
женные от разных границ пленки. Условия максимума и ми-
нимума интенсивности интерферирующих волн с длины вол-
ны Л имеют вид:

Д/ = 2А?4, (максимум)

А? = (2k + 1)4, (минимум)

где к — целое число, Д? — разность хода (разность рассто-
яний по направлению распространения волн от источника до
данной точки пространства). Так как А/ зависит от толщины
пленки, то условия максимума и минимума в точках с разной
толщиной пленки выполняются для разных длин волн, по-
этому освещенная белым светом тонкая бесцветная прозрач-
ная пленка кажется разноцветно окрашенной. Окраска мо-
жет меняться в зависимости от угла падения световых воля и
изменения толщины пленки. Явление интерференции в тон-
ких пленках применяется для контроля качества обработки
поверхностей, просветления оптики.

Дифракцией света называют огибание световыми волна-
ми непрозрачных препятствий. Подобно интерференции, ди-
фракционная картина — это чередование максимумов и мини-
мумов освещенности. Сходство картин объясняется на основе
принципа Гюйгенса-Френеля, согласно которому каждая точ-
ка фронта волны является источником вторичных волн, а ин-
тенсивность света в любой точке пространства — результат
интерференции вторичных волн. Именно вторичные волны,
интерферируя, освещают дбласть, где по законам геометри-
ческой оптики должна быть тень. Дифракция наблюдается
тогда, когда препятствие очень мало или экран расположен
от него достаточно далеко — на расстоянии г > d2/X, где d —
размер препятствия, а Л — длина световой волны. Явлением
дифракции света определяется голубая окраска атмосферы
Земли, поскольку длина волны в этом случае близка к раз-
меру естественных неоднородностей плотности воздуха в ней.

Дифракционная решетка представляет собой про-
зрачную пластину с нанесенной на ней системой па-
раллельных непрозрачных полос, расположенных на

одинаковом расстоянии d друг от друга, называемым перио-
дом решетки. В результате дифракции из каждой щели свет
распространяется не только .в первоначальном, но и во всех
Формулы

других направлениях. Параллельные лучи, идущие от краев
двух соседних щелей, имеют разность хода

AZ = d sin (р,

где <р — угол отклонения световых лучей от первоначально-
го направления падающего света, совпадающего с перпенди-
куляром к плоскости решетки. Расположенная за решеткой
линза собирает пучок дифрагируемых параллельных лучей в
фокальной плоскости. Если выполняется условие

AZ = d sin <р = kX,
где к — целое число, то будет наблюдаться интерференцион-
ный максимум света, так как линза не вносит дополнительной
разности хода. Поскольку условие максимума зависит как
от А, так и от <р, то в результате прохождения через дифрак-
ционную решетку пучок белого света разлагается в спектр.

При прохождении света через определенные кристаллы
(например, исландский шпат) наблюдается явление поляриза-
ции света, т. е. пропускание кристаллом только таких волн,
в которых колебания вектора напряженности электрическо-
го поля Ё совершаются в одной плоскости. Эта плоскость
называется плоскостью поляризации. Данное явление также
доказывает волновую природу света и поперечный вид свето-
вых волн.

Преломление света

sin О! _ V1 _ П2 _ „ — С « _ с

sin/3 v2”n3~n21’ ni vi,n2 v2'

Интерференция волн

AZ = 2k^ — max; AZ = (2k 4-1) к — min.
Л Li

Дифракционная решетка

AZ = d sin tp, = d sin <p = kX — max.
Формула линзы

Увеличение линзы

Оптическая сила линзы

Собирающая линза

11-1
d* f ~ F'

г_я_1Л

г~7Г"Й’

F > 0, d > 0.

Рассеивающая линза

Изображение действительное

F < 0, d > 0.

/>0.

Изображение мнимое

ОБОЗНАЧЕНИЯ:

v — скорость света в среде;

, П2 — абсолютные показатели преломления;

П21 — относительный показатель преломления;

F — фокусное расстояние линзы;

f — расстояние до изображения;

d — расстояние до предмета;

Г — увеличение;

D — оптическая сила линзы, [Дп].

КОН'СТАНТЫ:

с = 2,990 ♦ 108 м/с — скорость света в вакууме.

При решении задач по оптике учащиеся иногда упускают
из вида, что углы падения и преломления определяются лу-
чом и перпендикуляром, восстановленным в точку падения
луча на границе раздела сред, хотя в условии задачи могут
быть заданы углы между лучами и границей раздела сред.
При решении задач на расчет различных параметров с ис-
пользованием формулы линзы, а также на построение изобра-
жений в линзах легче осуществлять контроль за решением
задач, используя следующие закономерности:

— если предмет находится за двойным фокусным расстоя-
нием собирающей линзы, то изображение будет действитель-
ным, обратным (перевернутым), уменьшенным, Г < 1;

— если предмет находится между фокусом и двойным фо-
кусом собирающей линзы, то изображение будет действитель-
ным, обратным, увеличенным, Г > 1;

— если предмет находится между фокусом и собирающей
линзой, то изображение будет мнимым, прямым, увеличен-
ным, Г > 1;

— если изображение предмета получается с помощью рас-
сеивающей линзы, то изображение всегда будет мнимым, пря-
мым, уменьшенным, Г < 1.

Задача 176. На дне пруда глубиной 0,4 м лежит небольшой
камень. Мальчик хочет попасть в него тонким стержнем.
Прицеливаясь, мальчик держит стержень над водой под углом
45°. На каком расстоянии от камня воткнется стержень в дно
пруда? Показатель преломления воды 1,3.

Дано: h = 0,4 м; а — 45°; п = 1,3; АВ = ?
Решение: Задача решается на основании закона преломле-
яия. Записывая закон, необходимо учесть, что показатель
преломления воды больше показателя преломления воздуха.
Следовательно, угол падения больше угла преломления
(см. рис. 63). Камень находится в точке А. Мальчик видит
его на прямой ВС и попадает стержнем в точку В. Искомое
расстояние — это отрезок АВ. Очевидно, что

АВ = BD - AD. (1)

Из треугольников BCD и ACD имеем:

BD — CD • tg а н AD = CD • tg /?.

Подставляя эти значения в выражение (1), получим

АВ = CD Iga - CDfyffl — C*P(tgQi - tg/?). (2)

Будем учитывать, что

= n, a cos2 /? + sin2 в = 1.
sm/? ’ м И

Выразим tg/? через известные величины. Так как

sin 0 = , cos 0 = \/1 - sin2 /?,

то

to-/J — — sin ot __ sintr

COS/3 Пу/Г— sin2 /3 y/n2 - sin2 Ct

Подставляя выражение для tg /3 в формулу (2), получим

AB = Cp(tga- sina==\

Из условия задачи и чертежа видно, что CD = h, a tga =

= tg45° == I, тогда окончательно находим

AB = h(l~ —-sina -
\ y/n2 — sin2 о/
В этом выражении только одна величина имеет размер-
ность — h. Поэтому легко получить, что [АВ] = м.

Как видно, задача решается в основном с помощью гео-
метрических и тригонометрических рассуждений. Иэ законов
физики используется только закон преломления.

Подставляя числовые значения в окончательное выраже-
ние для АВ, получим АВ == 0,14...

Ответ: АВ = 0,14 м.

Задача 177. Построить изображение точки, находящейся на
главной оптической оси в собирающей и рассеивающей лин-

Реш.ение: Необходимые построения изображены на рис. 64.
Проводим на линзу из точки S два луча. Луч 1 по главной
оптической оси, луч 2 произвольно. Луч 1' будет направлен
по главной оптической оси, а для построения луча 2' прово-
дим побочную оптическую ось (П.О.О.) параллельно лучу 2
до пересечения с фокальной плоскостью (Ф.П.). Точка их пе-
ресечения определяет положение побочного фокуса В', через
который проводим луч 2'. Пересечение лучей 1' и 2' дают ис-
комое изображение точки S'. В случае рассеивающей линзы
изображение определяем пересечением продолжений лучей 1'
и 2'.
Задача 178. С какого расстояния был сделан фотоснимок по-
езда, если высота вагона на негативе 0,012 м, а в действитель-
ности она равна 3 м? Главное фокусное расстояние объектива
фотоаппарата 0,15 м. Объектив представляет собой собира-
ющую линзу (или систему линз, которую в конечном счете
можно рассматривать как одну линзу).

Дано: Н = 0,012 м; h = 3 м; F = 0,15 м; d = ?

Решение: Ясно, что изображение предмета, в данном слу-
чае вагона, будет уменьшенным н действительным. Следова-
тельно, предмет находится за двойным фокусным расстояни-
ем. Запишем формулу линзы:.

В качестве дополнительного будет выражение для увеличе-
ния линзы:

(2)

Совместное решение системы (1)-(2) дает:

1 - I -и JL
F ~ d + Hd>

куда d ~ F^l + Jjr). Проверка единиц измерения легко даст
нам [d] = м. Окончательно получаем:

(/ = 0,15(1 + 7^) = 37,65 м.

Ответ: d — 37,65 м.

\ Задача 17,9. Предмет находится на расстоянии 10 см от пе-
реднего фокуса собирающей линзы, а экран, на котором полу-
чается четкое изображение предмета, расположен за задним
фокусом линзы на расстоянии 40 см от него. Найти оптиче-
скую силу линзы и увеличение предмета.

Дано: а — 10 см = 0,1 м; Ь — 40 см = 0,4 м: В = ?; Г = ?
Решение: Прежде всего уточним местонахождение предме-
та. Так как его изображение по условию задачи находится
на экране, то оно является действительным, а это значит, что
предмет расположен перед передним фокусом.

Формула линзы будет иметь вид:

+ у = т ~ W

Самостоятельно выясните, почему в этой формуле все знаки
«+», и сделайте рисунок. Из него вы сможете получить, что

d = F 4- a, f -b + F.

Подставляя эти выражения в (1), находим:

_1_ . п

F + a + F + b~ F ~ "

откуда получаем

= 5 Дп.

По определению линейного увеличения линзы имеем

Ответ: D = 5 Дп; Г = 2.

Задача 180. Точка движется по окружности с постоянной по
модулю линейной скоростью 0,2 м/с вокруг главной оптиче-
ской оси собирающей линзы в плоскости, перпендикулярной
оси и отстоящей от линзы на расстоянии в 1,5 раза большем
фокусного. Центр окружности лежит на главной оптической
оси линзы. С какой линейной скоростью движется изображе-
ние?
Дано: vi = 0,2 м/с; d = 1,5F; V2 =?

Решение: Если точка движется по окружности с постоян-
ной по модулю линейной скоростью, то можно утверждать,
что угловые скорости точки и ее изображения одинаковы.

Обозначим радиусы движения точки и ее изображения в
плоскости, перпендикулярной плоскости рисунка соответст-
венно Ri и Можно считать, что Л 2 является изображени-

ем Ль Поэтому, используя формулу для увеличения линзы,
запишем:

Запишем формулу линзы, которая в нашем случае имеет вид

откуда находим

d _ d _ 1

f ~ F Е

Подставляя значение d, получим: у = 0,5, откуда из (1) име-

ем Г = 2, = 2.

-П-1

Запишем формулу связи между линейной и угловой ско-
ростями для точки и ее изображения vi = и>Л1, V2 — wRz.
Комбинируя эти выражения, выделяем искомую скорость в
виде:

V2 = V1^. (2)

Подставляя в cos а полученное значение для отношения ради-
усов орбит, находим окончательный результат:

V2 = • 2 — 0,4 м/с.

Ответ: i?2 = 0,4 м/с.
181. Определить показатель преломления второй среды от-
носительно первой, если толщина слоя первого вещества di =
= 0,84 м, второго — d2 = 0,5 м. Отношение времени про-
хождения светом первого вещества ко времени прохождения
второго ~ = 1,2 с. Свет идет по кратчайшему расстоянию.

182. Определить глубину водоема, если водолаз, рост которо-
го h = 1,5 м, стоя на дне, видит отраженными от поверхности
те части горизонтального дна, которые расположены от него
на расстоянии I = 15 м. Показатель преломления п = 1,3.

183. Светящаяся точка А расположена перед рассеивающей
линзой. Известен ход одного луча АВС. Постройте ход дру-
гого луча АК (рис. 65).

Рис. 65

184. Определить увеличение линзы, если действительное
изображение предмета находится на расстоянии f = 0,4 м от
линзы, оптическая сила которой D = 7,5 Дп.

185. Определить фокусное расстояние собирающей линзы,
если предмет расположен на расстоянии d = 0,4 м от линзы,
а расстояние от предмета до мнимого изображения I == 0,8 м.
186. Предмет расположен на расстоянии d = 1,2 м от рас-
сеивающей линзы, фокусное расстояние которой F — 0,8 м.
Определить увеличение линзы.

187. Если расстояние от предмета до собирающей линзы рав-
но di - 0,36 м, то высота изображения равна Hi - 0,1 м.
При уменьшении расстояния между предметом и линзой на
I — 0,12 м, высота изображения увеличивается вдвое. Опреде-
лить фокусное расстояние, если изображение в обоих случаях
действительное.

188. На рассеивающую линзу с фокусным расстоянием F =
= 0,3 м падает сходящийся пучок лучей, которые пересека-
ются на главной оптической оси, на расстоянии I = 0,7 м от
оптического центра. На сколько сместится точка пересечения
лучей, если убрать линзу?

189. Собирающая линза увеличивает изображение предмета
в четыре раза. Если предмет передвинуть на I = 7 см, то уве-
личение уменьшится в два раза. Найти фокусное расстояние
линзы. В обоих случаях изображение действительное.

190. На собирающую линзу падает сходящийся пучок лучей.
После преломления в линзе лучи пересекаются на расстоянии
I - 15 см от линзы. Если линзу убрать, точка пересечения
лучей перемещается на = 5 см. Какова оптическая сила
линзы?

ДЮ. Некоторые считают, что, для того чтобы видеть
I I себя в полный рост, необходимо зеркало почти двух-
wEEr метровой высоты. Однако это не так. Постройте ход
лучей при отражении от зеркала и определите его оптималь-
ную высоту» И кстати, какова должна быть его оптимальная
ширина?
В связи с открытием в XIX веке электромагнитных явле-
ний встал вопрос о применимости к ним принципа относитель-
ности Галилея.

Если предположить, что от Земли удаляется космический
корабль со скоростью и, тогда относительно космонавтов на
его борту свет от источника, расположенного на Земле, дол-
жен распространяться со скоростью v = с—и, где с — скорость
света на Земле. Этот вывод следовал из классического пра-
вила сложения скоростей. В результате все оптические и ряд
других явлений происходили бы на борту корабля совсем по
другому, чем на Земле. Однако это не так. Опыты американ-
ского физика А. Майкельсона в 1881 г. показали, что скорость
света в вакууме постоянна и одинакова для всех инерциаль-
ных систем отсчета.

Эти противоречия были разрешены А. Эйнштейном в
созданной им в 1905 г. частной теории относительно-
сти, в основу которой было положено два постулата,

являющихся обобщением опытных фактов:

1. Принцип относительности — любые физические процес-
сы протекают одинаково в различных инерциальных системах
(при одинаковых начальных условиях).

2. Принцип постоянства скорости света — скорость све-
та в вакууме не зависит от скорости движения источника и
наблюдателя.
Принцип относительности, распространенный на все фи-
зические явления, называется принципом относительности
Эйнштейна.

Явления, описываемые теорией относительности, но
не объяснимые с позиций классической физики, называются
релятивистскими явлениями или эффектами.

Из двух постулатов теории относительности вытекают как
следствие выводы о зависимости длительности интервалов
времени и длин отрезков от выбора инерциальной системы от-
счета. Поэтому релятивистский закон сложения скоростей
отличается от классического и имеет следующий вид.

Если тело движется со скоростью v% ц одной системе
отсчета, то в другой системе отсчета, относительно
которой первая система отсчета движется со скоро-

стью Vi(vi tf г^г), скорость тела определяется выражением

где с — скорость света в вакууме.

Зависимость свойств пространства и времени от дви-
жения системы отсчета приводит к тому, что сохра-
няющейся при любых взаимодействиях тел является

величина

называемая релятивистским импульсом. При этом то —
масса покоя тела, а

то

называется релятивистской массой тела.

Возрастание массы тела с увеличением скорости приводит
к тому, что ни одно тело с массой покоя, не равной нулю, не
может достигнуть скорости света в вакууме или превысить
эту скорость.
Закон взаимосвязи массы и энергии, установленный
из экспериментальных фактов, утверждает, что при
любых взаимодействиях изменение полной энер-
гии тела ЛЕ равно произведению изменения массы Лт на

квадрат скорости света в вакууме:

ЛЕ — Дт • с2.

На основании данного закона А. Эйнштейн предположил, что
любое тело, имеющее массу покоя то, обладает энергией по-
коя Eq :

Eq = mQc2.

Полная энергия Е движущегося тела равна произведению его
релятивистской массы на квадрат скорости света:

Е = тс2.

Полная энергия тела складывается из энергий покоя тела и
кинетической энергии, поэтому точное релятивистское выра-
жение для кинетической энергии Ек тела имеет следующий
вид:

Ек = тс2 — то с2.

Согласно специальной теории относительности, ли-
нейный размер тела, движущегося относительно инер-
циальной системы отсчета, уменьшается:

у2

' с2’

где Iq — длина тела в системе, в которой оно покоится. Время
в движущейся системе замедляется:

Здесь to — собственное время или время, измеряемое в систе-
ме отсчета, где тело неподвижно.
.Релятивистский закон сложения скоростей

Релятивистский импульс

Релятивистская масса

Закон взаимосвязи массы и энергии

△Е - Ат • с2.

Полная энергия тела

Е = тс2.

Сокращение линейного размера тел Z = /оу 1 -

Замедление времени t =

ОБОЗНАЧЕНИЯ:

то — масса покоя;

т — релятивистская масса;

— релятивистский импульс;

— изменение массы;

— изменение энергии;

— полная энергия тела;

Zo
to

— собственная длина тела в неподвижной системе’
— собственное время в неподвижной системе ’
КОНСТАНТЫ:

с = 2,990 • 108 м/с — скорость света в вакууме.

191. При какой скорости движения частица ее масса станет
равной утроенной массе покоя этой частицы?

192. Какая энергия выделится при превращении т = 1 г ве-
щества в излучение?

193. Какому изменению массы соответствует изменение энер-
гии на &Е — 4,19 Дж?

Д11. Изображение на экране обычного телевизора
формируется с помощью электронного луча, который
генерируется ускоряющим напряжением 25 кило-

вольт. Чему равна скорость электронов, из которых состоит
этот луч?
Явление испускания электронов под действием света на-
зывается фотоэффектом. Впервые это явление наблюдал
Г. Герц в 1887 г. на опыте с электроскопом: он соединил со
стержнем электроскопа цинковую пластинку и облучал ее
светом от электрической дуги. Если пластинку первоначаль-
но зарядить отрицательно, то при облучении ее отрицатель-
ный заряд уменьшается до нуля и листочки электроскопа
опускаются.

Основные количественные закономерности фотоэффекта
были установлены А. Г. Столетовым в 1888 г. Схема исполь-
зуемой им установки и зависимость фототока от напряжения
изображены на рис. 66. При облучении катода в цепи, даже в
отсутствии поля между катодом и анодом, течет ток, так как
быстрые электроны, выбиваемые из катода, достигают анода
и замыкают электрическую цепь. Чтобы ток стал равен ну-
лю, необходимо приложить встречную разность потенциалов
(U3 — задерживающее напряжение). Измеряя задерживаю-
щее напряжение U3, можно определить максимальную кине-
тическую энергию вылетающих электронов:

^еЧпах

— ]*7е I ’

Если увеличивать напряжение, то сила тока в цепи возрастает
до некоторого предела, называемого током насыщения /н.

А. Г. Столетовым установлены следующие законы
фотоэффекта:

1. Количество электронов, выбиваемых светом с

поверхности металла за одну секунду, прямо пропорциональ-
но интенсивности света.

2. Максимальная кинетическая энергия фотоэлектронов
линейно возрастает с частотой света и не зависит от его ин-

тенсивности.

3. Для каждого вещества существует красная граница фо-
тоэффекта, т. е. минимальная частота света vq (или макси-
мальная длина волны Ло), при которой еще возможен фото-
эффект (при и < vq или Л > Ло фотоэффект невозможен).

Лишь первый из этих законов может быть объяснен на
основе волновой теории света, а два других противоречат ей и
могут быть поняты лишь в рамках квантовых представлений.
В 1900 г. М. Планк высказал гипотезу, что свет излучается
порциями — квантами светау которые получили название
фотонов. Энергия фотона — квант энергии —

г» _ г... he

где и — частота света, А — длина его волны, h —
= 6,62 • 10"34 Дж • с — постоянная Планка, с — скорость све-
та. А. Эйнштейн в 1905 г. дополнил гипотезу Планка пред-
положением, что свет распространяется и поглощается также
фотонами. Зная энергию фотона, можно рассчитать его массу
и импульс:

_E$_hv_h. м ~ „„ ho _ h

ШФ - - с2 - сд ’ РФ ~ тФс ~ с “ Д ’

Надо, однако, помнить, что фотон существует только в движе-
нии со скоростью света и, следовательно, не обладает массой
покоя. Смысл корпускулярное волнового дуализма света за-
ключается в том, что свет имеет сложную природу, которая
в зависимости от условия опыта лишь приближенно может
быть описана с применением привычных нам представлений
о волнах или частицах.

а Исходя из квантовых представлений, Эйнштейн пред-
положил, что при фотоэффекте электрон, поглощая
фотон и приобретая его энергию, совершает работу
выхода Ав и покидает металл. Применяя закон сохранения
энергии, Эйнштейн получил уравнение для фотоэффекта:

lw = A, + = А, + |ge| • СГ„

т. e. энергия поглощенного фотона идет на совершение элек-
троном работы выхода и сообщение этому электрону кинети-
ческой энергии.

Теория Эйнштейна так объясняет законы фотоэффекта:

1. Интенсивность света пропорциональна количеству из-
лучаемых за 1 с фотонов, и чем больше фотонов, тем больше
фотоэлектронов.
2. Зависимость кинетической энергии электронов от ча-
стоты падающего света следует из самого уравнения:

mev . .

—2— = лм — Лв.

3. Из уравнения же следует и существование красной гра-
ницы фотоэффекта:

V - о ==^ Мо = -у, Ло =

Важнейшее значение фотоэффекта в том, что его открытие и
исследование стали экспериментальным основанием кванто-
вой теории.

Сегодня фотоэффект широко используется в технике. На-
пример, на явлении фотоэффекта основано действие фотоэле-
ментов. В них энергия световой волны преобразуется в энер-
гию электрического тока. Фотоэлемент состоит из стеклян-
ного баллона, частично покрытого изнутри слоем металла с
малой работой выхода. Это — катод. В центре расположе-
на проволочная петля' или диск — анод. Через прозрачную
часть стеклянного баллона свет попадает на катод, вырывае-
мые электроны направляются к аноду и замыкают электриче-
скую цепь, которая приводит в действие то или иное устрой-
ство. Комбинация фотоэлемента с реле позволяет конструи-
ровать множество различных «видящих» автоматов, с одним
из которых вы встречаетесь в метро. Такие автоматы могут
вовремя включать и выключать маяки, городское освещение,
сортировать детали, останавливать работу прессов и т. д.

С представлением о свете как о потоке частиц связано
предположение о существовании световз го давления. Если
частица света обладает массой т, то при столкновении ее с
поверхностью твердого тела может произойти либо поглоще-
ние частицы, либо ее отражение. В первом случае изменение
импульса частицы равно Др = mv, во втором — оно в два раза
больше. Поэтому при одинаковой плотности потока светового
излучения давление света на зеркальную поверхность долж-
но быть в два раза больше давления на черную поверхность,
поглощающую свет.

7-381

х93
В опытах П. Н. Лебедева (1900 г.) было экспериментально
доказано существование эффекта светового давления. Лебе-
дев направлял одинаковые световые потоки на два легких ме-
таллических диска, подвешенных на тонкой нити. Один диск
был зеркальным, второй был черным и поглощал падающий
свет. При одновременном освещении двух дисков происходил
их поворот вокруг вертикальной оси. По углу закручивания
упругой нити подвеса можно было измерить момент сил, вы-
зывающих этот поворот.

В обычных условиях световое давление мало. Однако в
недрах звезд потоки светового излучения могут быть столь
велики, что сила светового давления становится сравнимой
с силой гравитационного взаимодействия и препятствует не-
ограниченному сжатию звезд.

Рассмотренные ранее явления электропроводности метал-
лов, жидкостей и газов, а также электронной эмиссии (термо-
и фото-) указывают, что атом не является неделимым, что в
его состав входят электроны и какие-то положительные ча-
стицы, которые в совокупности с электронами делают атомы
нейтральными.

Для выяснения строения атомов Э. Резерфордом в 1911 г.
были проведены опыты по рассеянию о частиц (ионы гелия).
В этих опытах узкий пучок быстрых альфа-частиц, испус-
каемых радиоактивным веществом, направлялся на тонкую
металлическую пластинку. За пластинкой находился экран,
покрытый слоем кристаллов сульфида цинка, способный све-
тится дод ударами быстрых заряженных частиц. Было об-
наружено, что большинство а-частиц отклоняется от прямо-
линейного пути на углы не более Однако небольшая
доля о-частиц испытывала отклонение на значительно боль-
шие углы.
На основе данных опытов Резерфорд предложил планетар-
ную (или ядерную) модель атома:

1) атом состоит из положительно заряженного ядра и окру-
жающей его электронной оболочки;

2) в ядре сосредоточена практически вся масса атома, при-
чем радиус ядра в 105 раз меньше радиуса атома;

3) суммарный отрицательный заряд электронов равен по-
ложительному заряду ядра — атом в целом нейтрален;

4) электроны' движутся вокруг ядра под действием куло-

новских сил.

Однако такая модель атома противоречила законам клас-
сической электродинамики, поскольку ускоренно движущий-
ся электрон (как и любой ускоренно движущийся заряд) дол-
жен был бы излучать электромагнитные волны, теряя энер-
гию. В результате электрон должен достаточно быстро упасть
на ядро. На самом деле этого не происходит.

Постулаты Н. Бора стали основой новой, квантовой те-
ории строения атома и позволили объяснить модель атома
Резерфорда.

Первый постулат: атом может находиться только в
особых квантовых (стационарных) состояниях, каж-
дому из которых соответствует определенная энер-
В стационарныхлсостояниях атом не излучает. Со-

гласно правилу отбора стационарными являются те орбиты-
на которых момент импульса электрона кратен h=

mevnrn = /гп,

где n = 1,2,3,... — целое число, являющееся номером кван-
тового состояния, называется главным квантовым числом;
те — масса электрона; vn — его скорость на n-й орбите, ра-
диус которой гп; К — постоянная Планка.

Второй постулат: атом испускает или поглощает квант
электромагнитного излучения только при переходе из одного
стационарного состояния в другое.

При переходе из состояния с большей энергией ЕП1
в состояние с меньшей происходит излучение кван-
та: ЕП1 - ЕП2 = hv, при этом электрон перескаки-
вает на более близкие к ядру орбиты. В случае поглоще-
ния кванта атом переходит в состояние с большей энергией:
ЕП2 - ЕП1 = hv, а электрон скачком переходит на более уда-
ленные от ядра орбиты.

Состояние атома с п = 1 называют основным, все осталь-
ные состояния — возбужденными. Каждое значение энергии,
которой обладает атом в том или ином состоянии, называют
энергетическим уровнем.

Энергия связи электронов в атомах и молекулах выража-
ется в электронвольтах (эВ): 1 эВ = |де| • 1 В = 1,6 • 10—19 Дж.

Постулаты Бора позволяют объяснить происхождение ли-
нейчатых спектров поглощения и излучения, связывая их су-
ществование с наличием дискретного ряда энергетических со-
стояний атомов. Чем больше номер квантового состояния п,
тем меньше энергетический зазор между ближайшими к нему
энергетическими состояниями. Поэтому система спектраль-
ных линий, связанная с переходами между состояниями с
большими п, имеет вид непрерывной полосы, образованной от
слияния большого числа отдельных линий.

В 1916 г. Эйнштейн предсказал, что переходы электронов
в атоме с верхнего энергетического уровня на нижний с испус-
канием излучения могут происходить под влиянием внешнего
электромагнитного поля с частотой, близкой к частоте излу-
ченного кванта. Такое излучение называется вынужденным
или индуцированным. При прохождении света через вещество
происходит поглощение фотонов атомами и индуцированное
излучение фотонов атомами, находящимися в возбужденных
состояниях. Для того чтобы мощность светового излучения
увеличивалась после прохождения через вещество, надо, что-
бы больше половины атомов находилось бы в возбужденном
состоянии. Такое состояние вещества называется состоянием
с инверсной населенностью уровней. На практике этот про-
цесс реализуется в оптических квантовых генераторах, или
лазерах.

Основными особенностями лазерного излучения является
его когерентность, возможность получения световых пучков с
очень малой расходимостью, а также получение потоков излу-
чения с очень большой мощностью. Все эти свойства широко
используются в технике: от прожигания отверстий в самом
твердом материале до получения с его помощью объемных
изображений предметов-голограмм.

В экспериментах заряженные частицы регистрируются с
помощью газоразрядных счетчиков (счетчиков Гейгера) или
камеры Вильсона. Используется также фотоэмульсионный
метод.

Счетчик Гейгера состоит из цилиндрической трубки, за-
полненной газом (например, аргоном с примесью паров ме-
тилового спирта), на оси которой цатянута тонкая металли-
ческая нить. Нить и корпус трубки разделены изолятором.
Для регистрации ионизирующих частиц между корпусом и
нитью прикладывают высокое постоянное напряжение через
сопротивление R. Пролетающая через рабочий объем счет-
чика быстрая заряженная частица проводит на своем пути
ионизацию атомов наполняющего газа, которая фиксируется
по импульсам напряжения на сопротивлении R.

Камера Вильсона представляет собой цилиндр, верхнее
основание которого прозрачное. Внутри имеется поршень, а
пространство между поршнем и верхним основанием заполне-
но парами воды или спирта. При подготовке камеры к рабо-
те поршень быстро (адиабатически) опускают, объем камеры
быстро увеличивается, пары, охлаждаясь, переходят в пере-
сыщенное состояние. Если в это время пролетит частица, то
на ее пути атомы ионизируются, а на ионах конденсируются
капли жидкости. Траектория частиц (трек) становится види-
мой, и ее можно фотографировать.

Фотоэмульсионный метод использует пластинки с тол-
стым слоем фотоэмульсии, которая содержит большое коли-
чество кристалликов бромистого серебра. Летящая частица
отрывает электроны от атомов брома, а при проявлении пла-
стинки восстанавливается металлическое серебро, и цепочка
зерен серебра образует трек частицы.

Самопроизвольное превращение атомных ядер одного эле-
мента в ядра другого, открытое в 1896 1. А. Беккерелем, по-
лучило название радиоактивности или радиоактивным рас-
падом Радиоактивными являются все элементы с атомным
номером более 83, остальные элементы имеют радиоактивные

изотопы.

Проведенные с радиоактивными веществами опыты
показали, что никакие внешние условия не влияют
на характер и скорость распада. С течением времени
число радиоактивных ядер уменьшается по закону радиоак-

тивного распада'.

N = N02~t/T,

где Nq — число ядер в момент времени t = 0, а Т — период
полураспада, то есть время, за которое распадается половина
из наличного числа радиоактивных атомов.

Изучение радиоактивных излучений в сильном магнитном
поле, 'проводившееся Э. Резерфордом и М. й П. Кюри, пока-
зало, что в результате радиоактивных превращений ядер воз-
никают три вида излучений: альфа, бета и гамма-лучи.

Альфа-распадом называется самопроизвольный распад
ядра (X) на альфу-частицу (ядро атома гелия зНе) и ядро
продукт (Y) во следующей схеме:

jX = ^Не +

А—4л?

Z-2* •

По сравнению с другими излучениями о-лучи обладают наи-
меньшей проникающей способностью.

Явление электронного бета-распада представляет собой
превращение атомного ядра (X) путем испускания электро-
на (е) по схеме

Л у — । А-у

— -Iе "Г z+1 1 •

Проникающая способность /3-частиц (электронов) выше, чем
о-частиц.

Гамма-лучи — это жесткое электромагнитное излучение
очень высокой частоты (на шкале электромагнитных волн
7-лучи непосредственно следуют за рентгеновскими). Из-за
высокой частоты у у-лучей сильно выражены квантовые свой-
ства, и они ведут себя как поток частиц — 7-квантов; 7-лучи
обладают наибольшей проникающей способностью.

Общие свойства радиоактивных излучений:

1) вызывают ионизацию веществ;
2) вызывают свечение некоторых твердых тел и жидко-
стей;

3) обладают химическим действием (например, вызывают
почернение фотопластинок);

4) оказывают биологическое действие.

Атомное ядро — положительно заряженная часть атома,
где сосредоточено до 99,97% его массы. Радиус ядра
R ~ 10“15 м (это примерно в 105 раз меньше радиуса атома).

Ядро состоит из нуклонов — положительно заряженных
протонов (р) с массой 1836 те и нейтральных нейтронов (п)
с массой 1839 те, где те — масса электрона. Число прото-
нов в ядре равно заряду ядра Z и определяет атомный номер
элемента в периодической системе. Сумму числа протонов
и числа нейтронов N в ядре называют массовым числом А:
А = Z + ДТ. Число А равно округленной до целого числа
относительной атомной массе элемента.

Изотопы — ядра с одинаковым числом протонов, но раз-
ным массовым числом (вследствие разного числа нейтронов).

Нуклоны удерживаются в ядре ядерными силами, которые
являются проявлением так называемого сильного взаимодей-
ствия.

Энергия связи — это энергия, необходимая для полного
расщепления ядра на отдельные нуклоны. Если ядру с энер-
гией Ея сообщить извне энергию, равную энергии связи Есв, в
результате образуются нуклоны с энергией Ея. Согласно за-
кону сохранения энергии Ея+Еев — откуда Ея = Еп~-Еса
Таким образом, при образовании ядра из отдельных нуклонов
его энергия оказывается меньше суммарной энергии нуклонов
на величину Есв.

Согласно теории относительности энергия связана с мас-
сой по закону Эйнштейна: Е ~ тс2, где с — скорость све-
та в вакууме. Поэтому уменьшение энергии должно сопро-
вождаться и уменьшением массы: масса ядра должна быть
меньше сумм масс отдельных нуклонов. Разность между сум-
марной массой нуклонов и массой состоящего из них ядра на-
зывают дефектом массы:

Ат = (JZmp+ Nmn) -тя.
Именно такая масса теряется при выделении энергии связи,
применяя закон Эйнштейна, получим: Есъ = Дт ♦ с2. При
образовании ядра эта энергия уносится 7-квантами.

Цепная ядерная реакция — процесс, когда в результате
взаимодействия нейтронов с ядрами урана появляются радио-
активные ядра-осколки с массами и зарядами примерно вдвое
меньшими, чем масса и заряд ядер урана. Образование ядер
осколков сопровождается вылетом нескольких нейтронов, ко-
торые, в свою очередь, взаимодействуют с соседними ядрами
урана, вызывая и их деление. При этом деление продолжа-
ется с быстрым увеличением числа делящихся ядер. Проис-
ходящее в таких реакциях деление атомных ядер называется
вынужденным (в отличие от спонтанного, происходящего при
радиоактивных превращениях). Вот типичные ядерные реак-
ции, вызывающие цепные процессы:

. 235т т _. 144тэл । . л 1__ф

0п + 92^ 5бВа + ЗбКГ 4- 3 • оп,

оп 4- 92U —> 54ле 4- sgKr 4- 2 • оп.

Суммарная энергия связи ядер-осколков меньше, чем энергия
связи ядра урана, Поэтому цепная реакция сопровождается
выделением огромной энергии в виде кинетической энергии
осколков, энергии 7-квантов и энергии вторичных нейтронов.
Так при делении одного ядра 2||U выделяется приблизитель-
но 200 МэВ энергии, а один грамм урана выделяет приблизи-
тельно 83 ГДж энергий, что эквивалентно энергии, выделяе-
мой при полном сгорании 3 тонн угля или 2,5 тонн нефти.

Необходимое условие для цепной ядерной реакции — ко-
эффициент размножения нейтронов к, равный отношению
числа нейтронов в каком-либо поколении к числу нейтронов
в предыдущем поколении, должен быть не меньше единицы:
к 1. Наименьшую массу делящегося вещества, при кото-
рой коэффициент к = 1, называют критической массой ткр.
Если т > ткр, то нейтроны быстро размножаются, и реак-
ция приобретает взрывной характер (такова ядерная реакция
при взрыве атомной бомбы). Если же m — ткр, то реакция
стационарна и управляема; ткр для урана-235 составляет не-
сколько десятков килограммов.
Устройство для поддержания управляемой ядерной реак-
ции называют ядерным реактором. Основные элементы ядер-
ного реактора — это ядерное горючее (^U, ^Pu и др.),
замедлитель нейтронов (лучшим замедлителем является тя-
желая вода, достаточно хорошим — графит), теплоноситель
для вывода образующегося при работе реактора тепла (во-
да, жидкий натрий и др.) и устройство для регулирования
скорости реакции. Управление протеканием реакции в нем
осуществляется посредством регулирующих стержней из ве-
щества, хорошо поглощающего нейтроны (кадмия или бора).
При помощи введения в рабочее пространство реактора ре-
гулирующих стержней и выведения их оттуда поддерживают
fc = l.

Снаружи реактор защищен специальной оболочкой, кото-
рая задерживает 7-излучение и нейтроны. Эту оболочку вы-
полняют из бетона с железным заполнителем.

Термоядерные реакции — реакции соединения легких
атомных ядер. Для соединения одноименно заряженных про-
тонов необходимо преодолеть кулоновские силы отталкива-
ния, что возможно при достаточно больших скоростях стал-
кивающих частиц. Необходимые условия для синтеза ядер
гелия из протонов имеются в недрах звезд. На земле тер-
моядерная реакция синтеза осуществляется при эксперимен-
тальных термоядерных взрывах. Так для синтеза гелия из
тяжелых изотопов водорода — дейтерия и трития — по схеме

. ?Н + ?Н-» $Не + Jn

требуется нагревание примерно до 5 • 107 К.

При синтезе 1 г гелия из дейтерия и трития выделяется
энергия 4,2 • 1011 Дж, что эквивалентно сжиганию 10 тонн
дизельного топлива.

Запасы водорода на Земле практически неисчерпаемы, по-
этому использование энергии термоядерного синтеза в мир-
ных целях является одной из важнейших задач современной
науки и техники.
т — E'b — hv — JL ~ —m — hy _ h
m<b - c2 ~ c? ~ Cz\’ P<b -тфс- c “ д-

Фотоэлектрический эффект

hv = A, + ^ = A. + ]qe\-U„ f0 = ^,
Ал — — тег,тах _ ]_ I rr

^0 — pQ > 2 “ |?e| ^3'

Постулат Бора и правило квантования
• Га • I • * • » ’ 4 - 1

hu = ЕП2 - ЕП1, me -vn -rn = h-n = h-

Энергия связи атомного ядра

Есз = Ат • с2; Дт = (Z тр + Nn > тп) — тя.

Закон радиоактивного распада N = N02 ^Т.

1 м»* 1 ;Л • ' ’ , 1. 1 ' •

Альфа-распад — ^Не +

Бета-распад = _Je + Z+^Y.

Реакция термоядерного синтеза jH + 2Н -> оНе + fyi.

Цепные реакции

Jn+2|’U -4 wjBa+^Kr+3-Jn; ’ Jn+2^U -> ‘“Хе+ЙКг+2-Jn.
Формулы

ОБОЗНАЧЕНИЯ:

Еф — энергия фотона;

Шф — масса фотона;

с — скорость света в вакууме;

v — частота;

А — длина волны;

Рф — импульс фотона;

Ав — работа выхода;

иэ — задерживающая разность потенциалов;

v — скорость фотоэлектронов;

vmax — максимальная скорость фотоэлектронов;

(Ло) — частота (длина волны) красной границы

фотоэффекта;

vn — скорость электрона в атоме на орбите
с квантовым числом п;

Есв — энергия связи атомного ядра;

Z — число протонов в ядре;

Nn — число нейтронов в ядре;

тя — масса покоя атомного ядра;

△т — дефект массы;

тр — масса покоя свободного протона;

тп — масса покоя свободного нейтрона;

N — число не распавшихся радиоактивных ядер
в момент времени t\

Nq — число не распавшихся радиоактивных ядер

в момент времени t = 0;

Т — период полураспада;

qTi< — нейтрон;

_°е —электрон.

КОНСТАНТЫ:

h = 6,62 10~34 Дж • с — постоянная Планка;

те — 9,11 • 10~31 кг — масса электрода;

|q»e] =з 1,6 • 10~19 Кл — заряд электрона (протона).
Задача 194. При переходе атома водорода из одного стацио-
нарного состояния в другое, излучается фотон с длиной вол-
ны 0,486 мкм, Определите, на сколько уменьшилась энергия
атома. Ответ дать в электрон-вольтах.

Дано: А = 0,486 • 10-6 м; ДЕ =?

Решение: Изменение энергии атома равно энергии излуча-
емого фотона:

△£ = Еф = hv.

где v — частота излучения. Выразим частоту через длину
волны:

где с — скорость света в вакууме. Тогда окончательно полу-
чаем:

Д£ = Д^.
Л

Проводим расчет и получаем, что ДЕ = 4,096 * 10"19 Дж.
Поскольку один электрон-вольт равен 1,6 10-19 Дж, то, про-
изведя деление на это число, находим ответ: ХЕ = 2,56 эВ,

Ответ: ХЕ = 2,56 эВ.

Задача 195. Какую скорость получают вырванные из калия
электроны при облучении его фиолетовым светом с длиной
волны 0,42 мкм,. если работа выхода электронов из калия
Ав = 2 эВ?

Дано: А = 0,42-КГ6 м; Ав = 2 эВ = 3,2 • 10~1Э Дж; v = ?

Решение: Запишем уравнение Эйнштейна для фотоэффек-
та:

, . , mev2

hi/ г- Ав Н-2—» ($)
где h = 6,67 • ll)~J Дж • с, v — частота падающего света, те —
масса электрона, равная 9,1 • 10“31 кг.

Определим частоту и = Здесь с = 3408 м/с — скорость
света в вакууме.

Из уравнения (1) получаем выражение для скорости:

V =

• - Лв)

Вычисляем v:

v =

6^-10-^34£ _ 3 2.10-ш

0,42-10-4 'М )

= 5,57-Ю5 м/с.

9,1 • 10“31

Ответ: v — 5,57 • 105 м/с.

Задача 196. Красная граница фотоэффекта для некоторого
металла равна 0,5 мкм. При какой частоте света оторвавши-
еся с его поверхности электроны полностью задерживаются
обратным потенциалом в 3,0 В?

Дано: Ло = 5,0 • 10~7 м; U3 = 3,0 В; е = 1,6 * 10~19 Кл; v = ?

Решение: Основным расчетным соотношением для решения
задачи служит выражение закона сохранения энергии. Чтобы
задержать вылетевший электрон, необходимо приложить за-
держивающее электрическое поле, причем вылет электронов
прекратится тогда, когда потенциальная энергия электрона в
задерживающем поле, равная е * U3, станет равной его кине-

тической энергии —. Поэтому

^-e.Z73. (1)

Кинетическая энергия входит в уравнение Эйнштейна для фо-
тоэффекта; подставляя я него выражение (1), получим:

hv = A, + ^- = A, + e-U,. (2)

А
7. Квантовая физика

—.........' ft

Величина работы выхода определяется через частоту, отвеча-
ющую красной границе фотоэффекта, которая связана с со-
ответствующей длиной волны:

Лв = hvQ - h-^. (3)

Подставляя выражение (3) в уравнение (2), получаем выра-
жение для частоты:

Проводим вычисления:

3,0 ♦ 1018

5,0 10—7

1,6-IO"19-3,0

6,6 • 10“34

= 1,3-1015 Гц.

Ответ: р — 1,3 • 1015 Гц.

Задача 197. Вычислите энергию связи ядра атома дейтерия.
Ответ дать в электрон-вольтах. Используйте необходимые
справочные данные для масс.

Дано: тр = 1,00728 а.е.м.; тп = 1,00866 а.е.м.; MsH =
- 2,01410 а.е.м.; те = 0,00055 а.е.м.; Есэ = ?

Решение: Энергия связи ядра равна

Есъ = Дт • с2,

где Дт — разность суммы масс свободных частиц, входя-
щих в состав ядра, и массы ядра (дефект массы ядра); с —
скорость света в вакууме. Для нахождения разности масс
отыскиваем в справочных материалах по физике сведения о
массах протона тр, нейтрона тп и атома дейтерия AfsH. Для
нахождения дефекта массы ядра дейтерия Дт необходимо
вычесть из массы атома дейтерия массу электрона, находя-
щегося на его оболочке:

Дт = тр + тп - тя = тр + тп - (Мгн - те).

Проводим вычисления:

Дт = 0,00239 а.е.м.

Но 1 а.е.м. = 1,66-Ю-27 кг, поэтому Дт = 0,00239'1,66*10 27 а=
= 3,967 • IO"30 кг.

Отсюда для энергии связи Есв находим:

£св = Дт • с2 = 3,967 * Ю"30 * 9 • 1016 = 3,57 • 10~13 Дж.

Поскольку 1 эВ = 1,6 • 10-19 Дж, то окончательно получаем

СВ

Q К7,1П_13

= 7 7Г 1Й = 2,23 • 106 эВ = 2,23 МэВ.
1,6 *10"19

Ответ: Есв — 2,23 • 10е эВ = 2,23 МэВ.

Задача 198. При бомбардировке ядер изотопа бора нейтро-
нами из образовавшегося ядра выбрасываются а-частицы.
Написать реакцию.

Решение: Составим уравнение ядерной реакции, учитывая,
что а-частица — это ядро атома гелия:

-» $? + jHe.

Вычислим атомную массу X и заряд У образующегося ядра:

X = 10 + 1-4 = 7,
Y = 5 - 2 = 3.

По таблице Менделеева определяем получившийся элемент —
это литий. В результате получаем следующее уравнение:

^В + Jn -> Дд + iHe.

Ответ: ^В + Jn -> 3L1 + gHe.
199. Чему равна максимальная кинетическая энергия элек-
трона, вылетевшего из металла под действием света с длиной
волны А = 3 10“7 м, если работа выхода электрона из металла
равна Лн = 5 • 10~19 Дж? Ответ дать в эВ.

200. Определить «красную границу» фотоэффекта для ме-
талла, если при его облучении светом с длиной волны Л =
= 3 • 10’7 м максимальная кинетическая энергия вылетевших
электронов равна Ек — 2,1 эВ.

201. На металлическую пластину падает монохроматический
свет с длиной волны А = 4,13-10~7м. Поток фотоэлектронов,
вырывающихся с поверхности металла, полностью задержи-
вается тормозящей разностью потенциалов в U = 1 В. Опре-
делите работу выхода электронов из металла и длину волны,
соответствующую «красной границе» фотоэффекта.

202. «Красная граница» фотоэффекта для лития Ло =
= 0,5 • 10-6 м. Какую обратную разность потенциалов нуж-
но приложить к фотоэлементу, чтобы задержать электроны,
испускаемые литием под действием излучения длиной волны
А = 0,2 • 10~6 м?

203. С какой скоростью должен дв^ться электрон, чтобы
его импульс был равен импульсу фотона с длиной волны А =
= 5,2 • IO’7 м?

204. Определить величину задерживающего потенциала, при
котором прекращается ток фотоэлектронов, испускаемых по-
верхностью металла при освещении ее светом с длиной волны
А = 3,3 • 10’7 м, если работа выхода Л3 — 2,24 • 10~19 Дж.

205. Найти массу фотона гамма-лучей, длина волны которых
равна А — 1,24 • 10~12 м.

206. Определить постоянную Планка, если известно, что фо-
тоэлектроны, вырываемые с поверхности металла светом с
длиной волны Ai = 1,36 • 10-7 м, полностью задерживаются
обратным потенциалом Ui — 6,6 В, а вырываемые светом с
длиной волны Л = 0,65 • 10~7 м, задерживаются потенциалом
U = 16,5 В.

207. Найти энергию и импульс фотона, длина волны которо-
го А = 0,7 мкм.

208. При радиоактивном распаде из ядра полония вылетает
а-частица со скоростью v == 1,6 • 107 м/с. Определить энергию
а-частицы. та = 9,8 • 10“13 кг.

209. Определить энергию, которая выделяется при ядерной
реакции gLi + }Н 2 • ^Не.

210. Написать недостающие обозначения в следующей ядер-
ной реакции 1gF + }Н -> :|О+ ?

211. Определить энергию, которая выделяется при термо-
ядерной реакции $Н + |Не + Jn.

212. В планетарной модели атома водорода (по Резерфорду-
Бору) при переходе электрона с одной орбиты на другую, рас-
положенную ближе к ядру, атом испускает фотон. Какова
энергия фотона, испущенного атомом водорода при переходе
электрона с орбиты радиуса Ri = 2,1 • 10~8 см на орбиту ра-
диуса R% = 5,3 • 10-9 см?

Д12. Радиоактивное облучение приводит к каскаду
превращений в веществе: появляются ионизованные
и возбужденные атомы и молекулы; разрываются и,

наоборот, возникают связи между атомами и радикалами; ро-
ждаются фотоны самых различных энергий и др. Эти измене-
ния, происходящие на атомарном уровне, вызывают измене-
ния живого организма в целом. Возможны следующие реак-
ции биологического объекта на радиоактивное облучение: за-
медление роста, стерилизация, генетические изменения, оста-
новка жизнедеятельности, стимуляция развития, химическое
разложение. Необходимо расположить эти реакции в порядке
по мере увеличения дозы облучения.
ОТВЕТЫ К ЗАДАЧАМ

ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

17. V2 . V- = 0,75 м/с2
ъ

= 20,6 км; SB = J3 4- = 18,6 км;

/2 у/2

S = v/S2 + £2 = 27,7 км; I = Ц +12 + /3 = 33 км.

19. £ = 0,83 м/с.

20. S = ж(5) = 100 м, I = х(5) + 2]я(0,5)| = 102,5 м.

21. ta = <1д/3 = 6,9с.

22. s = = 27 м.

23. t = = 5,5 с; Я = = 148,2 м.

25. 11 = ^ - g(<1 9--)2 = 34,3 м.
л» Z

26. I = vQJ^ = 24 м.

27. Н = = 34,4 м.

28. 45°.

29. щ—у/(v2+2gh) cos2 а+(sin aз/v3 + 2gh-gt)2=10,95 м/с.

30. vn = 2v = 30 м/с.

31. T=^=:0,02 с; и = ^ = 314рад/с; v=w-H = 125,6м/с.

32’ Vo = созаУг(ГТеа-(Я-/1))'= 14 M/c*
33, См. рис 67.

34, См. рис 68.

35. vo cos а — 1^1 ~ 500 м/с.

36. h = -g2“’-^ = 170 м.

37. v = \/2g(l sin а — / cos а — д • s) = 7 м/с.

38. Р = т(д - = 608 Н.

39- *=Шг=5'88 м/с2; Т=SSr " А88 *

40'=16 н-

41. sT = = 12,5 м.

43. а = 5(sinn!2 — tgai cos аг) — 2,93 м/с2.
44.

45.

46.

47.

48.

49.

50.

51.

52.

53.

54.

55.

56.

57.

58.

59.

60.

= 2,8 кг.

1,256 с.

Я=^ = 80м.

„2

R s= = 4000 м.

4р

7 -

х 2 (mi + m2 + m) ’

Г = 0,75m5 ctg а 73,6 Н.

А = sm(j£ + Ms) = 500 кДж; 2V = у = 50 кВт.

Г-ж?

А = “25Г = °'3 Дж-

Л' = = 46 Вт.

Е = Ек sin2 а = 22,5 Дж.

i = | = 2 с.

R = 1,5h = 3,75 м.

v= V V 4 " V2V1 ~ 1?$ м'с>

= 0-032 м; ДВ =

2д(М + т)2 ’ ’ 2{М + т)

v = — • ^2цдз — 60 м/с.

m2v2 cos2 а
М22цд

= 0,5 м.

61.

V = Voa/1 ~ T^TT^gT, = 1 м/с.

у 1 + /1 • tg а . 9

! = ~ sin а • cos а = 35,3 м/с.

62.

= IM+2Z^L±S = з,4 м/с.

= 998,4 Дж.

63- v = га = i-19 “/<='
(mi + rn^vcosa 4- m^vi кол ,
64. v2 = —--------------— = 580 м/с.

05. t2 = - 4 с-

9к

66. I = (V2 + g^A+2^ /2Я = 900 м.
\ "И. /у У

67. Л2 =Л1 - ДЛ^ = 0,14 м.

68. F = Ull-Ji = 9500 Н.
а

69. V = 2m-2A-~-g- = 0,01 м3.
РсРъ

70. р = 0,3pi + 0,7р2 = 940 кг/м3,

71. т~ —т---j-r = 0,3 кг.

5(1” п)

81. См. рис 69.

82. См. рис 70.

Рис. 69 Рис, 70

83-у' = оЖ = °’О2м3-

84. ДТ = Т(1 - 0,55 • 1,4) = 64,4 К.

(ро + рР5/г)Д2 о

85. - 2,96 • Ю"2 м.

2ррр/1

86. Дт = -М°-(Р1 = о,8 кг.

87. 75%.
88.

Ро -

. 89.

(mi + m2)pip2

+ Ш171

m2 + mi

= 1,25 • 106 Па.

= 310 К.

90.

тп -

= 3,6 кг.

91. ДТ = ^ = 0,047 К.

• V2

sm а -

93. t —

- = 11000 с.
В

94. △£ = = 130 К.

4сс

ПК Л _ Т' \ _

97. ЬТ-

= 80000 К.
urCiV д

99. v =

— 480 м/с.-

100. Дт=™^

= 0,387 кг.

113.

Гз =

= 2г2 = 0,2 М ОТ 02}

91(^3 - Г2)2

Г2

= 01 = 4 • 10’8 Кл.

114.

115.

£=^(k2|-|ml) = 9oo в/м.

Е =----------- = 16 В/м.
116.

117.

118.

119.

120.

121.

122.

123.

124.

125.

126.

127.

128.

129.

130.

131.

132.

$ = - 2,4 • 10“4 м.

Е = = 36 • 109 В/м.

а2

Рт _ С _ 1 Е

Лк “ S-1 “ ’°'

Т = J-'-XX = 0,195 с.

] Ч’к'М

S = I------- = 0,013 М.

^22/3-1

£ = aJ4 + 4==2,5'106 В/м;

V Г1 Г2

^=^1+ ^ = 2,8.105 В.

s= 2fg"l Е ~ = 28,1м'

«л = = 0Д67 м/с.

g = J . /АГ1Г2 л- = Ю-4 Кл.

V k\.ri ~ rv

U = 2Ду = 4|)0 в

£ = к(а^)!(± + т±1) = 8МВ/м.

т = -Я_Д = 5 8 . ю~4 кг.

e0S -g

ip = п2^3 • tpi = 5 В.

Ц - ^l+3tZ2 _ 5 в

d- p'l2 n
т = —— = 0,534 кг.

Я2 _ fb2\2_

Ri \Lj

U = 2^ ± 7(П11)2 -1 = 5.8; или 0,17.

42 V

133. = 1,62 Ом.

134. 50%.

135. г] = • 100% = 75%.

136. r2 = -R1T 1л— = 16 Ом.

12 (/И + Г)

137. Ry = = 104 Ом. <

138. 3,6А.

139. п = g.^~Nr = 45-

. ln (C-U)-U .

140. п = -— = 4.

141. N • = 45 Вт.

142, Уменьшится в 4 раза,

143. a) t = ii 4-t2 = 2400 с; б) t = - 562,5 с.

144. N2 = + П2 (Л - /2) = 12,6 Вт.

145. г = = 3 Ом.

= 45°.
*

146.

147.

148.

Ri _ Mi <?2 , wi __ т2 qi

R2 V '^ Н1 ^2 rn\ q2

Направление индукционного тока совпадает с обходом

контура по часовой стрелке.

149. В = = 0,6 Тл.

23 • п

150. 7 = -М = ю-5 А.

151. ?7H = BJ^ffK = 0,lB.

152. L = = 0,125 Гн.

J2 — 11

153. =

_____= 20

S • 2тг • В • п

159. А = 0,3 м; Т = 2 с; <pQ = a(t) = 0.
161, 12 =

nj • I
«1-^2

= 1 м; li = l2 - I = 0,49 м.

162. Т==2тпМ— -ЗД4с.

у д-а

163. Т = 27гу| = 0,45 с.

й ft а -^а _ fej + А'2 _ л г

т- з; - W -2Д

165. а = р(1- = 1,7 м/с2.

\ Т2'

/*7/2

167. IK, (max) = ~ 25 мкДж;

Жм(1) = %(Л~ VI) = 16 мкДж;

Распределение энергии таково:

»,(<!) = wK(ti) =

Иэ(^) = о, WM(i2) = WM(max);

W9(t3)^WM(rn^),WM(t3) = 0;

W9(i4) = o, WM(t4) = TVM(max),
где Иэ,1Гм — электрическая и магнитная энергия

соответственно.

168. Q = 0,882 • R = 8,82 Дж.

169. Т = 2тт^- = 6,28 • 10”4 с.

170. v2 = = 16000 м/с.

171. v = -^Г2 ГГ1^ = 3600 м/с.

172.

А2
с24тг2С

= 0,25 • 10-4 Гн.

Л =
173. &пах = 0,1 • тг • L = 1,57 • 10-2 В.

- v (tfK 4-1 г) • м _

174. Л72 = л------у------- = Зо.

175. ’ г- ~ 2тг.

181. П21 — -г- • р — 114.
«2 Ч

182. Н = | 4- = 7 м.

Zr лл

183. См. рис 71.

184. Г = D • f - 1 - 2.

185. F = = О;6 м.

186. Г = = 0,4.

187. F = di - 21 - 0,12 м.

188. Ы = = 0,49 м.

189. F = | = 0,035 м.

190.

D = =1167 Дп'

191. и = су| = 2,83>108 м/с.

192. Е = тс2 = 9 • 1013 Дж.

193- . Am = = 4}б5 • 10"17 кг.

199. Ек = -М -А = 1 эВ.
Л

200. Ао = h-^ . = 6 • 10-7 м.

п • с — Екл

201. Ао = М = 6,15 • 10“7 м; Лв = < 77 = 2 эВ.

-^в А

202.

203.

U = =4,3 В.

ке кА Ло7

I 1 '

* = гк = 1400 м/с-
204,

205. т^-Лг=^1,8- 10~™ кг.
с • Л

206. h = = 6,6 • IO”34 Дж • с.

с • (Ai — л)

207. Е = = 2,84 • 10~19 Дж; р = | = 9,5 • 10"12 кг м/с.

л л

208. Е = Г~- = 8,5 • 10“13 Дж.,

209. 17,35 МэВ.

210. 4Не.

211. 17,6 МэВ.

) = 17,3 -10"19 Дж.

ОТВЕТЫ И КОММЕНТАРИИ К ДОПОЛНИТЕЛЬНЫМ ЗАДАЧАМ

Д1 . 1 час, 4 часа.

Д2. 3 года, 6 дет, 130 тысяч км, 260 тысяч км.

ДЗ. Рассмотреть случаи прямого и наклонного дождя, слу-
чая наличия защищающего сверху зонта н отсутствия зонта,
когда намокание происходит и сверху, и сбоку.

Д4. Отклонение от вертикали может составлять до несколь-
ких десятых долей угловой секунды.

Д5. Очевидно, что такие восточные виды борьбы, как карате
и ушу, созданы для немассивных, худых людей. Они осно-
ваны на резкости, а не на силе, и рассчитаны на короткие и
тонкие конечности. Едва ли для мощного великана восточ-
ные единоборства более эффективны с точки зрения само-
обороны, чем даже простой и проверенный кулачный бой с
блокировками. И это уже не говоря о современных его ви-
дах или борьбе самбоуд, основанной на самообороне ударами
и в военизированном варианте на поражении глаз, суставов и
паха противника. Удары кулака тяжелого и сильного челове-
ка достаточно сокрушительны. Однако, в отличие от ударов
ногами, они более резки, неожиданны, разнообразны и, глав-
ное, сохраняют большие возможности для самообороны и не
приводят к потере опоры в процессе удара. А вот легкому че-
ловеку со слабыми руками приходится пытаться сокрушить
противника ногой, теряя опору и рискуя при этом оказаться
поверженным. Таким образом, если взрослый человек имеет
массу 80 килограммов, то ему подходят русско-европейские
виды единоборства, а если 40 — то восточные. Впрочем, если
бы его масса была менее 20 килограммов, то, как показывают
расчеты, он смог бы парить в воздухе, как птицы, которые
имеют именно такую максимальную массу. И тогда ему стои-
ло бы придумать и взять на вооружение такие эффективные
единоборства с парением в воздухе.

Д6. Истратится почти десятая часть всего кислорода в по-
мещении, и его концентрация может упасть с 21 до 19%. Не-
достаток кислорода оказывается существенным, однако еще
больший вред может принести избыточная концентрация вы-
делений, накапливающихся в непроветриваемом помещении.
Мораль: без проветривания не обойтись.

Д7. Не слишком высокая температура в квартире создает бо-
лее благоприятные, хотя и с некоторыми оговорками, условия
для иммунитета и здоровья примерно в десять раз. Но важно
помнить, что закаливание иммунитета идет не только через
воздух и кожу, но и через ступни человека. Поэтому сравни-
мый эффект дает регулярное хождение по прохладной траве и
земле на своем, достаточно чистом участке земли около дома.
Д8. Явления на разломах, проявляющиеся в свойстве свеже-
образованной поверхности испускать электроны и фотоны вы-
сокой энергии, не имеют пока простого и ясного физического
объяснения. Исследования ведутся и сегодня. При разломах
горных пород удается зарегистрировать электроны, вылетаю-
щие с околосветовыми скоростями. Правда, электронов таких
бывает обычно лишь несколько штук. Так что использовать
кусок гранита как промышленный генератор релятивистских
электронных пучков — вряд ли выгодно. Тем не менее опти-
ческие и электрические эффекты вблизи геологических раз-
ломов могут позволить заранее предсказывать землетрясения
и другие стихийные бедствия. И эффекты обычно выглядят
очень экзотично и часто принимаются наивными свидетелями
за «летающие тарелки» и инопланетян.

Д9. Действительно, интенсивность возбуждения резонанс-
ных колебаний в брюшной полости, воздействующих на сер-
дечные ритмы, можно связать с популярностью многих музы-
кальных произведений. С этой точки зрения понятно, почему
от мелодии может замирать сердце. Попробуйте объяснить,
почему один мотив бодрит, а другой успокаивает и в чем раз-
ница воздействия афро-американской музыкальной культуры
и классики. Но если в Вас сильно романтическое начало, то
отнеситесь к этой задаче с юмором.

ДЮ. Судя по ходу лучей, зеркало должно быть вдвое короче
и вдвое уже, чем человек. А можно ли еще сэкономить на
ширине, если считать, что оба глаза видят одинаково хорошо?
Попробуйте оценить экспериментально.

ДИ. Скорость электрона с кинетической энергией 25 кило-
электрон-вольт составляет почти треть скорости света. При
этом в соответствии с теорией относительности массу элек-
трона уже нельзя считать постоянной — она увеличивается
при ускорении частиц в кинескопе на 5%. И нерелятивистская
формула для кинетической энергии дает ошутимую ошибку,
и, строго говоря, для расчета скорости следует пользоваться
релятивистской формулой. Однако для оценки приемлемы
оба варианта. А на сколько процентов сокращается расстоя-
ние и замедляется время при таких скоростях?

Д12. По мере увеличения дозы облучения возможны сле-
дующие стадии реакции биологического объекта: стимуля-
ция развития, генетические изменения, стерилизация, замед-
ление роста, остановка жизнедеятельности, химическое раз-
ложение. Однако существенно, что при любом облучении че-
ловека даже небольшой дозой, сравнимой с естественным ра-
диационным фоном, имеет место в первом приближении про-
порциональное дозе увеличение числа генетических и прочих
дефектов, онкологических заболеваний и т. д.

- .. .. <

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие ........... ................,............... 3

1. Механика........................................... 5

1.1. Кинематика.................................... 5

1.2. Основы динамики.............................. 11

1.3. Законы сохранения в механике.................... 19

1.4. Жидкости и газы.............................. 22

Формулы.............................................. 26

Примеры решения задач............................ 27

Задачи для самостоятельного решения............. ' 50

2. Молекулярная физика. Тепловые явления............ 59

2.1. Основы молекуляршжинетической теории........... 59

2.2. Тепловые явления............................... 63

Формулы.......................................... 75

Примеры решения задач............................. 76

Задачи для самостоятельного решения................. 89

3. Основы электродинамики ......................... 93

3.1. Электростатика............................. 93

3.2. Законы постоянного тока...................... ЮЗ

3.3. Магнитное поле. Электромагнитная индукция...... 112

Формулы ...................................... 118

Примеры решения задач............................. 120

Задачи для самостоятельного решения............... 135

4. Механические колебания и волны......................... 141

Формулы........................................ 153

Примеры решения задач............................. 155

Задачи для самостоятельного решения................ 161

5. Оптика......................................... 164

Формулы....................................... 175

Примеры решения задач............................. 176

Задачи для самостоятельного решения............... 183

в. Элементы теории относительности................... 185

Формулы.................................... 188

Задачи для самостоятельного решения................. 189

7. Квантовая физика.................................... 190

7.1. Световые кванты............................ 190

7.2. Атом и атомное ядро.......................... 194

Формулы............................................. 202

Примеры решения задач............................. 204

Задачи для самостоятельного решения................. 208

Ответы к задачам для самостоятельного решения ............... 210
Филиппины, Тибет, Сирия

Хотите прикоснуться к лемурианской цивилизации,
которая существовала за сотни тысяч лет
до возникновения Атлантиды?

Переосмыслить свою жизнь?

Избавиться от различных пороков души и тела?

Увидеть диковинные растения и сверкающие водопады?

Искупаться в целебных озёрах в жерле вулкана?

Участвовать в российских исследовательских
и телевизионных проектах изучения
древних цивилизаций?

И прикоснуться к филиппинскому чуду?

Турфирма “Вертикаль”

поможет Вам получить все эти 33 удовольствия
и предоставит возможность испробовать на себе
чудодейственную силу филиппинского феномена
хилерской культуры, а также многое другое
интересное и необычное, что с трудом укладывается
в голове современного человека.

Телефон 955 29 65, телефон / факс 955 27 81
Электронная почта: vertical @ madi.ru
http://www.madi.ru/vertical
Учебный центр

Школа - институт - аспирантура

Преподаватели-консультанты,
профессору, и доценты,
с опытом работы в России и за рубежом

Математика
Физика
Химия
Информатика
Рисунок
Вокал
Музыка
Танец

тел. (095) 116-9564
тел.(095)116-9564
тел. (095) 116-9564
тел. (095) 116-9564
тел. (095) 198-6858
тел. (095) 448-4507
тел. (095) 189-7209
тел. (095) 393-8138

Возможно дистанционное обучение:

Москва, 115533, а/я 3
nik @ cea.ru
Подробные примеры
решения задач

АНДРЕЙ ТРЕНИН, ВИКТОР НИКЕРОВ

Справочный материал
по всем разделам курса

Более 150 задач
для самостоятельного решения
с ответами

Теория
Современный краткий курс

i I
601248

“---

SBN 5-7836-0124-1

' ;IO' 4JI

ОМАШНИЙ « РЕПЕТИТОР

Готовимся
к экзамену

9 785783
•; JiSiSHsa.-t.'sii