Глава 1
ВЕЩЕСТВЕННЫЕ (ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ) ЧИСЛА
§ 1.	Основные понятия
1.	Представление вещественных чисел в виде бесконечных де-
сятичных дробей. Множество вещественных чисел разбивается на
два множества: рациональных и иррациональных чисел. Рацио-
нальным называется число, которое можно представить в виде
p/q, где р и q — целые числа, причем Иррациональным
называется всякое вещественное число, которое не является ра-
циональным.
Любое вещественное число представимо в виде бесконечной
десятичной дроби а, а1} а2, а3... а„ ..., где а — любое целое число,
a at, а2, а3, ..., а„ ... — числа, принимающие целые значения от
0 до 9(0^а„«9).
Всякое рациональное число p/q является либо целым, либо его
можно представить в виде конечной или периодической бесконеч-
ной десятичной дроби. Иррациональное же число представляется
непериодической бесконечной десятичной дробью. Например, ра-
циональные числа 3/4 и 1/3 представляются соответственно сле-
дующими десятичными дробями: 0,75 и 0,333 ...; иррациональные
числа и я представляются соответственно непериодическими^
бесконечными десятичными дробями: 1,41421356... и 3,14159... ,
1.	Определить, какие из данных бесконечных десятичных дро-.
бей рациональные числа, какие — иррациональные: 5,424242...з
0,32375375...; 1,313013001...; 7,1308367...	1
2.	Доказать, что число	]
0,1010010001	1000... 01 иррационально.	|
п нулей	J
3.	Привести пример, показывающий, что сумма двух ирращд
овальных чисел может быть числом рациональным.	Л
4.	Привести пример, показывающий, что разность двух на
рациональных чисел может быть числом рациональным.	3
5.	Доказать, что сумма, разность, произведение и частцЛ
рационального числа а#0 и иррационального числа /? есть чисЛ
иррациональное.	Л
4
6« Доказать, что у 2 — иррациональное число.
7.	Доказать, что у/b не является рациональным числом.
2. Некоторые числовые множества. Пусть X — некоторое
множество вещественных чисел. Тогда запись хеХ означает, что
число х принадлежит X, а запись х/Х означает, что число х не
принадлежит X.
Если Xi...х„ — некоторые числа, то запись Х={хь ..., х„}
означает, что множество X состоит из чисел хь ,х„. Аналогич-
ный смысл имеет запись Х={хь х2, хэ, ...}.
Пусть X и Y—два множества. Запись Ха У означает, что
X есть подмножество множества У.
Пусть Р (х) — какое-то свойство числа х. Тогда запись
{x|PfxJ} обозначает множество всех таких чисел, которые об-
ладают свойством Р(х).
Пусть а и b — два числа, причем а<Ь. Будем использовать
следующие обозначения и терминологию:
{х|в<х<М=[я, f>] — отрезок (сегмент);
х|д<х<&)=(а, Ъ), {х[д<х} = (д, 4-ао), {х|х<6}=(—оо, Ь),
{х| — со <х< 4-оо} —(— оо, +оо) — интервалы;
{х|д<х<М=(д, 6], {х\а^х<Ь}—[а, Ь), {х|д<х}=[д, 4-оо),
{х|х<6}=(— оо, 6] — полуинтервалы.
Все эти множества называются промежутками. Промежутки
[а, 6], (а, 6], [а, Ь) и (а, Ь) называются конечными; а и Ь — их
концами. Остальные промежутки называются бесконечными.
Вещественные числа изображаются точками на координатной
прямой*, поэтому множество всех вещественных (—со, +оо)
называют числовой прямой, а сами числа — точками.
Пусть а — произвольная точка числовой прямой и в (гречес-
кая буква «эпсилон») — положительное число. Тогда интервал
(в—в, а+в) называется е-окрестностъю точки а.
8.	Чем отличается интервал (а, Ь) от отрезка [а, 6]?
9.	Из отрезка [а, 6] удален интервал (а, б). Что осталось?
, 10. Из отрезка [1,8] удален интервал (3,,5). Какие промежутки
Мтались?
К" П. Из интервала (—10, 5) удален отрезок [—5, 3]. Какие
Ьомежутки остались?
“ § 2. Грани числовых множеств
L Пусть X — непустое множество вещественных чисел.
V Определение. Множество X называется ограниченным сверху
ДИКауЛ если существует число с такое, что для любого хеХ
^ЯМНяется неравенство х<с (х^с).
^ШШапомним, что координатной прямой называется прямая, на которой
точка, являющаяся началом отсчета, масштабный отрезок и положи-
направление.
5
Число с в этом случае называется верхней (нижней) гранью
множества X.
Множество, ограниченное и сверху и снизу, называется огра-
ниченным.
Примеры. 1. Любой конечный промежуток ограничен. 2. Ин-
тервал (а, + оо) есть множество, ограниченное снизу, но не огра-
ниченное сверху. 3. Интервал (~ оо, +оо) есть множество, не
ограниченное ни сверху, ни снизу.
Наименьшее (наибольшее) из чисел, ограничивающих множе-
ство X сверху (снизу), называется точной верхней (нижней) гра-
нью множества X и обозначается символом sup X(inf А)*.
Свойство точной верхней (нижней) грани. Как бы мало ни было
число е>0, существует число хеХ такое, что x>supX— е
(х<т/Х+г).
Теорема. Любое непустое ограниченное сверху (снизу) чис-
ловое множество имеет точную верхнюю (нижнюю) грань.
Если множество X не ограничено сверху (снизу), то пишут
sup Х= + оо (inf= — оо).
~ L 1 1 1 )
Пример. Доказать, что множество X =< 1,	... > ограни-
чено. Установить, какие числа являются его гранями. Найти
точные верхнюю и нижнюю грани этого множества.
Решение. При любом натуральном п выполняются неравен-
ства 0< < 1, поэтому данное множество X ограничено. Таким
я
образом, число 1 — верхняя грань, а число 0 — его нижняя
грань.
Докажем, что число 1 является точной верхней гранью множе-
ства X, т. е. что supAr=l. Для этого, согласно свойству точной
верхней грани, надо показать, что для любого е>0 существует
1 ,
натуральное число п такое, что выполняется неравенство > 1
п
Этим числом п является n= 1, так как 1 > 1 — е — верное неравен-
ство для любого е>0, что и требовалось доказать.
Докажем теперь, что число 0 является точной нижней гранью
множества X. Для этого надо проверить, что для любого е>0
существует натуральное число п такое, что выполняется неравен-
1 л 1 1
ство -<0+е или -<е. Решая неравенство, получаем п>-. Взяв
п	п	г
какое-нибудь натуральное число л>-, получим требуемое нераве-
е
нство, а это, согласно свойству точной нижней грани, и означает,
что число 0 является точной нижней гранью множества X, т. е.
infJT=O.
♦Supremum (лат.) — наивысшее,
infinum (лат.) — наинизшее.
6
Отметим, что данному множеству X точная грань 1 принад-
лежит и является его наибольшим числом, а точная нижняя грань
О не принадлежит и в этом множестве нет наименьшего числа.
. Л тт	_ _ f 1 2 3 п }
12.	Доказать, что множество Х= >	•» г ограниче-
но. Установить, какие числа являются его гранями. Найти точ-
ные верхнюю и нижнюю грани этого множества (л — натура-
льное число).
13.	Приведите примеры числовых множеств Х9 у которых:
a) «ирУеУ; б) хирУ^У; в) тГУеУ; г) infy^y. Имеет ли множе-
ство X в случаях а) и б) наибольшее, а в случаях в) и г)
наименьшее число?
14.	Приведите пример числового множества У, когда
infy=supy.
15.	Приведите пример числового множества У, когда inf ХеХ,
a вирУ^У.
16.	Можно ли утверждать, что для неограниченного числово-
го множества У сверху (снизу) найдется бесконечное множество
чисел, больших (меньших), чем любое наперед заданное число
М>0?
17.	Доказать, что множество У=={...— 3, —2, — 1, 0, 1, 2, 3...}
всех целых чисел не ограничено ни снизу, ни сверху, т. е.
sup У— -Foo и infy= —оо.
18.	Доказать, что множество У={1, 2, 3, ...} натуральных
чисел не ограничено сверху, т. е. sup У— 4- оо.
19.	Доказать, что, каковы бы ни были числа а и Ь. 0<а<Ь,
существует такое целое число л>0, что ап>Ь.
20.	Пусть У и У — два непустых числовых множества. До-
казать, что если Ус: У, то: a) sup УОирУ; б) inf У > inf У.
21.	Пусть У и У — два непустых числовых множества. До-
казать, что:
a)	sup {z jz^x+y; хеХ, уе У} = sup У-F sup У;
6)	hrf{z\z=x+y;xeX.yeY}=infX+mfY.
22.	Пусть У и У — два непустых числовых множества. До-
казать, что если каждое хеХ меньше любого уеУ и для любого
£>0 существуют хеХ и уеУ такие, что у —х<е, то sup У= inf У.
§	3. Абсолютная величина вещественного числа
Определение. Абсолютной величиной (или модулем) числа х
называется само число х, если х>0, или число —х, если х<0.
Абсолютная величина числа х обозначается символом |х|.
Таким образом,
, , (х> если х^О,
№ <
х, если х<0.
Например, | + 5| = 5; |-5Н~(-5) = 5; ]0|=0.
7
Основные свойства абсолютных величин:
1°. |х|>0. 2°. |х| = |-х|, 3°. -|х|<х«|х|,
4°. Неравенство |х|<с(б>0) означает, что —е<х<£,
5°. Неравенство |х|>а(а>0) означает, что либо х>а, либо
х< —а.
6°. х±у|£|х| + М. 7°. |х±у|^|хЬМ. 8°. |х у|=|х| Ы-
9°. -=р-(у*0).
у И
Пример 1. Найти решения уравнений: 1) |х|=х+2; 2) |х| =
=х—2; 3) х+2|х|=3.
Решение. 1) При х>0 имеем х=х+2, откуда 0=2 — невер-
ное равенство; следовательно, решений нет. При х<0 получаем
—х—х+2, откуда х= — 1 — решение уравнения.
2) При х>0 имеем х=х—2, откуда 0= —2 — неверное равен-
ство; следовательно, решений нет. При х<0 получаем — х=х—2,
откуда х=1>0, что противоречит сделанному предположению
х<0. Таким образом, уравнение не имеет решений.
3) При х>0 имеем х+2х=3, откуда х( = 1. При х<0 получа-
ем х—2х=3, откуда х2= —3. Следовательно, х^1 и х2= —3 —
решения уравнения.
Пример 2. Решить уравнение |х—5|=х—5.
Решение. По определению, |х|=х при х>0. Следовательно,
данное уравнение представится в виде х— 5>0, откуда х>5.
Пример 3. Решить неравенство |2х—1|>2х— 1.
Решение. Так как |х|>х только при х<0, то неравенство
справедливо для тех х, при которых 2х — 1 <0, откуда х<~-
Пример 4. Решить неравенство |х— 3|>2.
Решение. В силу свойства 5° будем иметь х—3>2 или
х—3< —2, откуда получаем ответ: либо х>5, либо х<1.
Пример 5. Доказать неравенство ||х|—|у]|<|х—у|.
Решение. В силу свойств 2° и 7° имеем
|х-у|>|х|-|у| H|x-y]=|-fx-y;| = ly-x|>|y|-|x).	(1)
Умножая второе неравенство на —1, получаем
-|х-у|<|х|-М.	(2)
Объединяя (1) и (2), найдем — |х—у|<|х| —1у|<|х-у|, откуда в си-
лу свойства 4° ||х| — [у|| < |х—у|.
Решить уравнения и неравенства:				
23.	Х =	— X.	24.	х|>х.
25.	х—2|<3.		26.	х-1|>2.
27.	х| =	х+1.	28.	х|<х+1.
29.	X	X	30. |	|х2—5х+6| = -(х2—5х+6). 1
8	х+1	х+1		
31. |х2 —5х+6|>х2 —5х+6.
41.
43.
45.
47.
49.
51.
К*4—4)—(х2+2)| =
= |х4—4| —|х2+2|.
х-3| + |х+3|>8.
|х-1|+2| = 1.
xl-2|x+l + 3|х+2|=0.
х2—3х—3 >|х2+7х-13|.
х2 — |Зх+2 +х>0.
32.	X—11 X—1 х+1| х+1"
34.	х-1| + |1-2х|=2|х|.
36.	sinx| — sinx=2.
38.	|х|-2|<1.
40.	(х2+2х+5)+(х-5)| = |х2 + +2х+ 5| + |х—51.
42. |х —Зх|>|х2|—|3х|.	
44. х+3| —|х+1| <2.
46. |х+1| + 2|=2.
48. х—1|-|х| + |2х+3|>2х+4.
50. х2—2х—3|<3х—3.
52. х2 + 2|х+3|-10<0.
Глава 2
ЧИСЛОВЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И ТЕОРИЯ
ПРЕДЕЛОВ
§ 1. Числовые последовательности
1. Определение числовой последовательности.
Определение 1. Если каждому числу п из натурального ряда
чисел 1, 2, 3, и, поставлено в соответствие вещественное
Число х„, то множество вещественных чисел
Xi, Х2, х3,	, х„,
называется числовой последовательностью или просто последова-
тельностью.
Числа хь х2, х3,	, х„, называются элементами (членами)
последовательности, символ х„ — общим элементом (членом)
последовательности, ап — номером элемента. Кратко последо-
вательность обозначают символом {х„}.
гея соответственно суммой, разностью, произведением и чцет-
двух последовательностей: {х„} и {у„}.
Пример 1. Дана формула общего элемента последовательно-
Написать пять первых элементов последователь-
L л+1
Шение. Полагая последовательно п=1, 2, 3, 4, 5 в общем
1те х„, получаем Xi = l/2, х2=2/3, х3—3/4, х4=4/5, х5=5/6.
9
1. Написать пять первых элементов каждой из последователь-
ностей, заданных их общими элементами: 1) х„=——; 2) хя=
2л + 1
п+2	я+1	яп(ля/2)
=-г7; 3) Хя=~т,'4)	;5) *«.=-----•
л’ + 1	2»+*	л2	л
2. Зная несколько первых элементов последовательности, на-
писать формулу общего элемента последовательностей:
В 1- 1 1	• 2А 1- 1 •	1	1
’ 1; Зг5»’7а’ -’2> 1; Р2; 1 -2 3; 1-2 3-4’
3) 1; 2-; 2-; 3-; 3-;	4) 2; 10; 26; 82; 242; 730;...
4 9	16 25
5) -1; 1; -1; 1; -1;
3. Написать пять первых элементов и формулу общего элеме-
нта каждой из последовательностей, заданных их рекуррентными
соотношениями:
1) х( = 1, хя+1=х„1; 2) х1 = 1,хя+1=хя+3; 3) X| = l, хя+1 = (л+1)хя;
4)	^==2, хя+1=х„ 3; 5) Xj == 1, хя=х)+х2+... + хя_1.
4.	Последовательность {хя} задается двумя первыми элемен-
тами Xi=0, х2=1 и рекуррентным соотношением хя+2=хя+1—х„
для любого n> 1. Найти х» и хИ5.
2.	Ограниченные и неограниченные последовательности.
Определение 2. Последовательность {хя} называется ограни-
ченной сверху (снизу), если существует число М (т) такое, что
любой элемент х„ этой последовательности удовлетворяет нера-
венству х„ < Л/ (х„^т).
Определение 3. Последовательность {х„} называется ограни-
ченной, если она ограничена и сверху и снизу, т. е. существуют
числа тиМ такие, что любой элемент этой последовательности
удовлетворяет неравенствам т^х„^М.
Определение 4. Последовательность {х„} называется неогра-
ниченной, если для любого положительного числа А существует
элемент х„ этой последовательности, удовлетворяющий неравен-
ству^^ А.	1
Примеры. 1. Последовательность 1, 2, 3,	, п, ограничен»
снизу (т=1), но не ограничена сверху.	J
2.	Последовательность —1, —2, —3,	—п, ограничена
сверху (М = — 1), но не ограничена снизу.	1
л „	,111	J
3.	Последовательность 1,	..., ограничена, так каЯ
2 3 п	Л
0<хя<1 (ш=0,Л/=1).	I
ю
4.	Последовательность —1, 2, —3, 4, —5, ... , (— 1)"л,	—
неограниченная, так как для любого числа А>0 существует
элемент этой последовательности, удовлетворяющий неравенст-
ву |хя] >А (т. е. либо хп>А, либо х„< — А).
5.	Какие из последовательностей являются ограниченными:
В -1-2-	_!•!.	•
)	’2’	3* 4’ 5* б’	’ п ’
2)	2; 4; 6; 8; 10; 12; ... ; 2п;	;
3)	sin 1; sin 2; sin3; sin 4;	; sin л;	;
4)	1; —2; 3; -4; 5; -6; 7; ...; (-l)"+1n;
12345. n
} 2’з’4’5’б’ ”’’л+Г
6) 1; 1; 1; 1; 1; 1;	;
7) In 1; ln2; ln3; ln4; ;lnn; ?
3. Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности.
Определение 5. Последовательность {х„} называется бесконе-
чно большой, если для любого положительного числа А существу-
ет номер N такой, что при n>N выполняется неравенство
|х„|>Л.
Пример 2. Используя определение 5, доказать, что последо-
вательность {л} является бесконечно большой.
Решение. Возьмем любое число Л>0. Из неравенства |хл| =
е|п|> А получаем п> А. Если взять	то для всех n>N будет
Выполняться |хя|>Л, т. е. последовательность {и} бесконечно
большая.
Замечание. Любая бесконечно большая последовательность
Является неограниченной. Однако неограниченная последовате-
льность может и не быть бесконечно большой. Например, не-
ограниченная последовательность 1, 2, 1, 3, 1, 4, ..., 1, п,
L л 4-1,	не является бесконечно большой, поскольку при
Л>1 неравенство |хя|>Л не имеет места для всех элементов
к С нечетными номерами.
Г Определение 6. Последовательность {а„} называется бесконе-
МР малой, если для любого положительного числа е существует
Мир N такой, что при n>N выполняется неравенство < е.
I Пример 3. Используя определение 6, доказать, что последо-
Ннльность 1 является бесконечно малой.
Н Решение. Возьмем любое число е>0. Из неравенства
I	1	гп*
р - <е получаем и>-. Если взять , то для всех n>N
“	е	|_£J
мвол [х] обозначает наибольшее целое число, не превосходящее х.
Г<р, [1]=1, р, 1]=3, [0, 7]=0, [-0, 5]= -1, [я]=3 и Т-Д.
r I
I и
11
будет выполняться |<х„| <е, т. е. последовательность бесконеч-
но малая.
Теорема. Если {х„}—бесконечно большая последователь-
ность, хя#0, то последовательность {aj== J—I бесконечно малая,
и, обратно, если {ая} — бесконечно малая последовательность,
то последовательность {хя}=|—| бесконечно большая.
6.	Доказать, что последовательность {З^} является бесконе-
чно большой.
7.	Доказать, что последовательности: 1) {—л}; 2) {л2};
3) {(— 1)'+* л} —являются бесконечно большими.
„ „	((-’Л)
8.	Доказать, что последовательность •<—Т—}• является бес-
ls,/n+iJ
конечно малой.
9.	Доказать, что последовательности:
*> «п
(*>0); 3)
Ur + lJ
— являются бесконечно малыми.
я
10.	Показать, что неограниченная последовательность {л(-1)}
не является бесконечно большой.
11.	Доказать, что последовательность {а”} является: 1) бес-
конечно большой при |а|> 1; 2) бесконечно малой при |а|<1.
§	2. Сходящиеся последовательности
1. Определение предела последовательности.
Определение. Число а называется пределом последовательно-
сти {хя}( если для любого положительного числа е существует
номер N такой, что при n>N выполняется неравенство
|х„—в|<е.
При этом последовательность {хя} называется сходящейся,
в противном случае — расходящейся.
Обозначение: limx„=a или хя-*о при и-»оо.
л-►со
Пример 1. Используя определение предела, доказать, что
lim ——= 1.
»-.«> " + 1
12
Решение. Возьмем любое число е>0. Так как |хя—1|=
п
л+1
I	tl	1
|х„—1|<£» достаточно решить неравенство---<е, откуда полу-
1—£	П— в“
чим п>—. Если взять А= — ,
в	L в J
няться |хл —1|<£, т. е. lim—^-=1.
я-*оо п + 1
12.	Доказать, что шп—-------=-.
^00Зл2+2л-4 3
13.	Доказать, что lim—=0.
я-*оо2Я
. . _	ч\	л + 1 л 1’ 2л2—Зл+1 2
14.	Доказать, что: 1) lim-—=0; 2) lim —-----
Л-**2	я^Зл2+7л + 8 3
(—1)" л 1. лэ—л—6	.	3*—1
3) hm  ---=0; 4) lim—— -----=1; 5) lim------=1.
Л~»СО П	Я-ЬСО П —Л — 2	Л-.ОС з"
15.	Известно, что lim-=2. Наити номер N, начиная с кото-
Я-*СО л+ 1
рого выполняется неравенство
п .	1
----1 =---, то для нахождения значении п, удовлетворяющих
, то для всех n>N будет выпол-
--2 <е, где 6=0,1; 0,01; 0,001.
л+1
16. Доказать» что последовательность	—> имеет
I 2
своим пределом число 2.
17.	Доказать, что последовательность | имеет своим пре-
делом число 0.
Л*** СО
Замечание. Если последовательность {хя} бесконечно боль-
шая, то пишут lim хя=оо. Если при этом начиная с некоторого
п-юо
номера п все элементы положительны (отрицательны), то пишут
lim х„= + оо (— оо). Говорят, что бесконечно большая последова-
rt-»oo
тельность имеет бесконечный предел.
19.	Привести примеры последовательностей {ул} и {хя}, для
которых limx„=0, limy„=oo, а произведение их {х„ уя} являлось
Я-»00	Л-»СО
13
последовательностью: а) сходящейся; б) бесконечно малой;
в) бесконечно большой; г) расходящейся.
20.	Привести примеры таких последовательностей: {х„} и {у,},
что Umx„=+oo, limy„= —оо и, кроме того: 1) lim(x„+y„)=0;
Л-+00	я-»оо	л-»00
2) 1пп(хя+уя)= + оо; 3) lim(x,+y„)=l; 4) lim(x„+y„) не суще-
л-юо	л-*оо	л-»со
ствует.
2. Основные свойства сходящихся последовательностей.
Теорема 1. Сходящаяся последовательность ограничена.
Теорема 2. Пусть	Umx„—a,	limy„=Z>,	тогда:	a)	11m (х„±
Л-+00	Л-»00	л-юо
±у„)=о±6;б) lim (х/у„)=а'д; в) lim (хя/у„)=а/Ь(д#О).
л-* со	я-*со
Теорема 3. Если lim х„~а,	lim z„=a	и для всех п	выполняют-
Л~*00	«-►ОО
ся неравенства x,<yR<z„, то lim у,=а.
Я -ЬОО
Теорема 4. Если Umx„=0« последовательность {у„} — огра-
л-*оо
ничейная, то Um (хяу„)=0 (произведение бесконечно малой на огра-
я-ьао
ничейную есть бесконечно малая).
	Найти пределы: 2л3+л+1	2л-3
21.	hm —		. «-.со Зл — 1 2л’+4	22. lim ——. л3 + 1 /л1
23.	lim ——. ,-.00 «’+5 / л совл\	24. lim —- .-«0 \" +1 Юл
25.	lim 	+	). п-ао \5л + 11 Юл/ , Юл	26. lim . Юл3
27.	lim —. л-*оо л + !	28. lim . Л->00 Л +1
29. 31.	п2-п hm	=. Л-+00 Л—-у Л .. lim	. (л+1)!—л!	г 5‘3” 30. lim	. л->со зп_2 о летя! 32. lim ——. я-*а> Я +1
Эл3
Зл-1
33.
35.
Um—.
2я+1
Um —=^=
34. lim-JL=.
Л-*00 у/1
..	/ 5л sinn5
36. lim -----+—
\л+1 п ,
14
37. lim (>/«+1 — -у/й).
Л-+00
39. lim (д/л2+л—1 —
л->00
—5/п2-л+1).
38. lim (^2м4-3——1).
л-*оо
40. lim л2(л—д/п2 +1).
л-»оо
42.
lim
Л-+00
111	IX
-+-+-+...+“ .
.2 4 8	2"/
l+4 + 9 + ...+л2
лэ + Зл+2
47	1+3+5+...+(2л—1)
я->со	1+2 + 3 + ...+Л
46. lim
Л-.00
1 + 2+3 + ...+л
х/9л*+1
§ 3.	Монотонные последовательности
1.	Определение монотонных последовательностей.
Определение. Последовательность {хя} называется возраста-
ющей, если Xi <х2<х3 <... <хя<хл.|.| <... ; неубывающей, если Xi<
^х2<х3^...<хя<хя+1<...; убывающей, если Х]>х2>х3>...>хл>
>хя+1>...; невозрастающей, если Xi>х2>х3>..«>хя>хя+|>...
Все такие последовательности объединяются общим названи-
ем монотонные. Возрастающие и убывающие называются строго
монотонными.
Примеры. 1. Последовательность 1,	...» убывающая
и ограниченная.	п
/ „	. . 1 I 1 1	11
2.	Последовательность 1, 1,	невозраста-
2 2 3 3 л л
ющая и ограниченная.
3.	Последовательность 1, 2, 3, л, возрастающая и неог-
раниченная.
4.	Последовательность 1, 1, 2, 2, 3, 3,...»п, п,... неубывающая
и неограниченная.
11	12 3л
5.	Последовательность	, возрастающая
и ограниченная.	п+
48.	Доказать, что последовательность с общим элементом
л
хп=-—’ монотонно возрастающая.
15
49.	Доказать, что последовательность с общим элементом
х„=— монотонно убывающая.
5я
50.	Доказать, что последовательность {л2} монотонно воз-
растающая.
_	[л+ 11	-
51.	Доказать, что последовательность 4--> монотонно убы-
[ л J
вающая.
52.	Доказать, что последовательность {[\/и]} монотонно не-
убывающая.
м ЧЛ	(1° 1
53.	Выяснить, монотонна ли последовательность <—> и есть
I л! J
ли у нее наибольший и наименьший элементы.
54.	Доказать, что последовательность {2я} монотонно воз-
растающая.
55.	Доказать, что:
1)	Последовательность } монотонно убывающая.
(4л—3j
„	(л-11
2)	Последовательность <--> монотонно возрастающая.
( Л J
3)	Последовательность <—-> монотонно возрастающая
1л + 1J
и ограничена.
4)	Последовательность <1 +—} монотонно убывающая и огра-
1	2я-*
ничена.
5)	Последовательность <---1 монотонно убывающая и огра-
I з" J
ничена.
2. Признак сходимости монотонных последовательностей.
Теорема. Монотонная ограниченная последовательность име-
ет предел.
56.	Доказать существование предела последовательности
(11 1 11
(2+1 22 + 1 23+1	. J
57.	Доказать существование предела последовательностей:
1 1 1 1 1
(3 + 1 32 + 2 33+3	J
□ +л
(111	11
2) <-4--1----+ ...4—к.Л;
12 2-3 2*3-4	л! J
16
(11	11
3) -U+—	+-Л.
1 22 З2	п2 J
ео тт	(2"1
58.	Доказать, что последовательность > сходится, и наити
(л О
ее предел.
59.	Последовательность {х„} задана рекуррентным соотноше-
нием Xi=y/3, х,+| =-у/з+х„. Доказать, что эта последователь-
ность сходится, и найти ее предел.
60.	Последовательность {х„} задана рекуррентным соотноше-
нием Х!=-у/2, хя+1—-^2+хп. Доказать, что эта последователь-
ность сходится, и найти ее предел.
61.	Последовательность (хя) задана рекуррентным соотноше-
нием xi = ^/2, хя+1=у/2х„. Доказать, что эта последовательность
сходится, и найти ее предел.
62.	Доказать, что последовательность <—> сходится, и наити
L
п
ее предел,
3.	Число е.
Числом е называется предел lim 11 +-г=е. Это число ирраци-
Л-.0О ' я/
овально и приближенно равно е=2,71828... Логарифмы с ос-
нованием е называются натуральными и обозначаются
1о&.х=1пх.
Найти пределы:
63.	lim 6+-¥+*
И-ЮО \
65. lim fl——¥
я-»« К Зп/
67. limf—¥.
Л—*00	1/
69. lim и [In (л + 3) — In л].
л-»оо
71. lim fl+-V"
л-юо X л/
64. limfl--¥
П-ЬОО V
66. limfl+-¥+3
л-оо \	"/
68. lim fl +-¥+4
л-юо V п/
70. lim л [In л—In (л+2)].
л-^оо
72. limf—У71 72
л-юо \ л /
Глава 3
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
§ 1. Направленные отрезки и их величины. Числовая прямая
1. Ось к отрезки. Прямая с выбранным на ней положитель-
ным направлением называется осью (рис. 1). Рассмотрим на оси
две произвольные точки: А и В.
Определение 1. Отрезок с граничными точками А и В называ-
ется направленным, если указано, какая из точек АиВ считается
началом, а какая — концом отрезка, _
Направленный отрезок обозначается АВ*, где А обозначает
начало, а В — конец отрезка.	_
Определение 2. Величиной АВ направленного отрезка АВ на-
зывается вещественное число, равное [ABI, если направления от-
резка и оси совпадают, и равное — если эти направления
противоположны.
Если точки А и В направленного отрезка АВ совпадают, то
величина АВ равна нулю, а направление не определено.
Основное тождество. Для любых трех точек А, В и С на
оси величина отрезка АС равна сумме величин отрезков АВ и ВС,
т. е. АВ+ВС=АС.
2. Числовая прямая. Координатной прямой называется пря-
мая, на которой выбраны точка, являющаяся началом отсчета,
масштабный отрезок и положительное направление (она стано-
вится осью).
Пусть М — произвольная точка координатной прямой (рис.
2). Координатой точки М называется вещественное число х,
равное величине ОМ направленного отрезка ОМ'. х=ОМ. Число
х называется координатой точки М. Символ М(х) означает, что
точка М имеет координату х.
Итак, вещественные числа изображаются точками координат-
ной прямой. Поэтому множество всех вещественных чисел назы-
вают числовой прямой, а любое число — точкой этой прямой.
Если Mi(xi) и М2(х2)— две произвольные точки числовой
прямой, то формула
Л^\М^2 = Х2 —
выражает величину отрезка MtM2, формула
|-MiAf2|=|x2—xj
выражает его длину.
1.	Построить на числовой прямой точки А (—5), В (+4)
•Иногда обозначают АВ.
18
и С(—2) и найти величины АВ, ВС 1
и АС отрезков АВ, ВС и АС. Прове-
рить, что АВ+ВС=АС.
2.	Какая из двух точек правее: А (а)
или В(—а)?	Ле. 1
3.	Какая из двух точек правее: А (а)
или В(2а)1	__2----"-------->-
4.	Найти величину АВ и длину |45|	2
отрезка ТВ, заданного точками:
1) А(3) и 5(11); 2) А(5) и 5(2); 3) 4(-1) и 5(3); 4) 4(-5)
и5(—3);5) 4(—1)и5(—3).
5.	Вычислить координату точки А, если известны: 1) 5(3)
и 45=5; 2) 5(2) и 45=-3; 3) 5(— 1) и 54=2; 4) 5(-5)
и 54=-3; 5) 5(0) и |45|=2; 6) 5(2) и |45|=3; 7) 5(-1)
и |45|-5; 8) 5(-5) и |45| = 2.
6.	Построить на числовой прямой точки, координаты кото-
рых удовлетворяют уравнениям: 1) |х| = 2;	2) |х—1| = 3;
3) |2х—3|=2х—3; 4) |1-х|=2;5) |2+х[=2.
7.	Охарактеризовать расположение на числовой прямой мно-
жеств точек, координаты которых удовлетворяют неравенствам:
1) х>2; 2) х-3«0; 3) 2х-3<0; 4) 1 <х<3; 5) х2-9<0;
6) х2-5х+6<0;	7) 12—х<0;	8) Зх-5>0;	9) -2«х<3;
10) х2-8х+15<0;	11) х2-8х+15>0;	12) х2-25<0;
13) 16—х2<0. К каждому случаю сделать рисунок.
8. Охарактеризовать расположение на числовой прямой мно-
жеств точек, координаты которых удовлетворяют неравенствам:
1) |х|<1;	2) |х|>2;	3) |х|<2;	4) |х-2|<3;	5) |х-1|>2;
6) |х2—5х+6|>х2 —5х+6; 7) |х|<х+1.
§ 2. Прямоугольная (декартова) система координат
Две взаимно перпендикулярные оси Ох и Оу, имеющие общее
начало О и одинаковую единицу масштаба (рис. 3), образуют
прямоугольную (или декартову) систему координат на плоско-
сти.
уд
Рис. 3
19
Глава 3
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
§ 1. Направленные отрезки  их величины. Числовая прямая
1. Ось и отрезки. Прямая с выбранным на ней положитель-
ным направлением называется осью (рис. 1). Рассмотрим на оси
две произвольные точки: А и В.
Определение 1. Отрезок с граничными точками А и В называ-
ется направленным, если указано, какая из точек АиВ считается
началом, а какая — концом отрезка. _
Направленный отрезок обозначается АВ*, где А обозначает
начало, л В — конец отрезка.	_
Определение 2. Величиной АВ направленного отрезка АВ на-
зывается вещественное число, равное [АВ|, если направления от-
резка и оси совпадают, и равное — |ЛЛ|, если эти направления
противоположны.
Если точки А и В направленного отрезка АВ совпадают, то
величина АВ равна нулю, а направление не определено.
Основное тождество. Для любых трех точек А, В и С на
оси величина отрезка АС равна сумме величин отрезков АВ и ВС,
т. е. АВ+ ВС=АС.
2. Числовая прямая. Координатной прямой называется пря-
мая, на которой выбраны точка, являющаяся началом отсчета,
масштабный отрезок и положительное направление (она стано-
вится осью).
Пусть М — произвольная точка координатной прямой (рис.
2). Координатой точки М называется вещественное число х,
равное величине ОМ направленного отрезка ОМ‘. х=ОМ. Число
х называется координатой точки М. Символ М (х) означает, что
точка М имеет координату х.
Итак, вещественные числа изображаются точками координат-
ной прямой. Поэтому множество всех вещественных чисел назы-
вают числовой прямой, а любое число —- точкой этой прямой.
Если Mt(xi) и М2(х2)— две произвольные точки числовой
прямой, то формула
М\М2=х2—
выражает величину отрезка МХМ2, формула
1Л/1Л/2Н1Х2-Х.1
выражает его длину.
1.	Построить на числовой прямой точки А{—5), В(+4)
•Иногда обозначают АВ.
18
и С (—2) и найти величины АВ, ВС '	1
и АС отрезков АВ, ВС и АС. Прове-
рить, что АВ+ВС=АС.	*"
2.	Какая из двух точек правее: А (а)
или В(—в)?	Рис- 1
3.	Какая из двух точек правее: А (а)
или 5(2в)?	___2---а.--------►
4.	Найти величину АВ и длину |Л5|	2
отрезка	заданного точками:
1) Л(3) и 5(11); 2) А(5) и 5(2); 3) Я(-1) и 5(3); 4) Л(-5)
и5(—3);5) Л(—1) и 5(—3).
5.	Вычислить координату точки А, если известны: 1) 5(3)
и Л5=5; 2) 5(2) и АВ=-3; 3) 5(-1) и 5Л=2; 4) 5(-5)
и ВА=—3; 5)5(0) и |Л5|=2; 6)5(2) и |Л5|=3; 7) 5(—1)
и |Л5| = 5; 8) 5(—5) и \АВ]=2.
6.	Построить на числовой прямой точки, координаты кото-
рых удовлетворяют уравнениям: 1) |х|=2;	2) |х—1| = 3;
3) |2х-3|=2х—3; 4) |1-х|=2;5) |2+х|=2.
7.	Охарактеризовать расположение на числовой прямой мно-
жеств точек, координаты которых удовлетворяют неравенствам:
1) х>2; 2) х—3<0; 3) 2х-3<0; 4)1<х<3; 5) х2-9<0;
6) х2—5х4-6<0;	7) 12—х<0;	8) Зх-5>0;	9) -2<х<3;
10) х2-8х+15«0;	11) х2-8х+15>0;	12) х2-25<0;
13) 16—х2<0. К каждому случаю сделать рисунок.
8. Охарактеризовать расположение на числовой прямой мно-
жеств точек, координаты которых удовлетворяют неравенствам:
1) |х|<1;	2) |х|>2;	3) |х|<2;	4) |х-2|<3;	5) |х-1]>2;
6) |х2 — 5х+6|>х2 —5x4-6; 7) |х|<х4-1.
§ 2. Прямоугольная (декартова) система координат
Две взаимно перпендикулярные оси Ох и Оу, имеющие общее
начало О и одинаковую единицу масштаба (рис. 3), образуют
прямоугольную (или декартову) систему координат на плоско-
сти.
19
Ось Ох называется осью абсцисс, ось Оу — осью ординат,
точка О — началом координат. Плоскость, в которой расположе-
ны оси Ох и Оу, называется координатной плоскостью и обозна-
чается Оху.
Пусть М — произвольная точка плоскости. Опустим из нее
перпендикуляры МА и МВ на оси Ох и Оу. Прямоугольными
координатами х и у точки М называются величины О А и ОВ
направленных отрезков О А и ОВ: х=ОА, у~ОВ.
Координаты х и у точки М называются соответственно ее
абсциссой и ординатой. Символ М(х; у) означает, что точка
М имеет координаты х и у. Начало координат имеет координаты
(0; 0).
Таким образом, каждой точке М плоскости соответствует
пара чисел (х; у) — ее прямоугольные координаты.
Оси координат разбивают плоскость на четыре части, их
называют четвертями, квадрантами или координатными углами
и нумеруют римскими цифрами I, II, III, IV так, как показано на
рис. 4, на том же рисунке указаны также знаки координат точек
в зависимости от их расположения в той или иной четверти.
9.	Постройте точки Л (2; 3), В(4; —1), С(—1; 7), Z>(-2; — 3),
£(0; 2), Г(4; 0).
10.	Не строя точку А (1; —3), выяснить, в какой четверти она
расположена.
11.	В каких четвертях может находиться точка, если ее абс-
цисса положительна?
12.	На оси Ох взята точка с координатой (—5). Каковы ее
координаты на плоскости?
13.	Найти координаты точек, симметричных относительно
оси Ох точкам: 1) Л (2; 3); 2) В(-3; 2); 3) С(-1; -1); 4) В (а; Ь).
14.	Найти координаты точек, симметричных относительно
оси Оу точкам: 1) Л(-1; 2); 2) В(3; -1); 3) С(-2; -2);
4) D(a;b).
15.	Найти координаты точек, симметричных относительно
начала координат точкам: 1) Л (3; 3); 2) В (2; —4); 3) С(—2; 1);
4) D(a\b).
16.	Найти координаты точек, симметричных относительно
биссектрисы первого координатного угла точкам: 1) Л (2; 3);
2) В (5; —2); 3) С(-3;4).
17.	Найти координаты точек, симметричных относительно
биссектрисы второго координатного угла точкам: 1) Л (3; 5);
2) В(—4; 3); 3) С(7; -2).
18.	Дана точка 3/(3; — 1). Написать координаты точек, сим-
метричных относительно оси Ох, оси Оу, начала координат
и биссектрисы координатного угла.
19.	Определить, в каких четвертях может быть расположена
точка М(х; у), если: 1) ху>0; 2) ху<0; 3) х—у=0; 4) х+у=0;
5) х+у>0; 6) х+у<0; 7) х-у>0; 8) х-у<0.
20
§ 3. Простейшие задачи аналитической геометрии на плоскости
L Расстояние d между двумя точками М\ (хь ji) и М2 (х2; у2) на
плоскости
fx2-xj2 + (y2-y()2.
II. Площадь S треугольника АВС с вершинами А(х^ yt),
В(х2; yj) и С(хэ; у3)
8=\ Оэ-Д’О-Схз-хО (уг-уОЦ.
III. Деление отрезка в данном отношении. Если точка М(х; у)
делит отрезок с концами Мх (хй j*i) и Мг (х2; у2) в отношении
Л =----, то
|ЛШ2|
Xi + Ax2	л+Лц
Х=-——; У—------.
1+Л	1+2
В частности, при делении пополам, т. е. в отношении Л—1,
Х1+х2	У1+у2
Х=----; у------.
2	2
20.	Даны точки Л(хй yj и В(х2; у2). Показать, что формула
расстояния между точками А и В не зависит от знаков их
координат.
21.	а) Какая точка дальше от оси Ох: А (2; —5) или В(3; 4)?
б) Какая из этих точек дальше от оси ОуЧ в) Чему равны рассто-
яния от точки А (а; Ь) до осей Ох и Оу соответственно?
22.	Даны точки Л(0; 0), В(3; -4), С(-3; 4); Б(-2; 2) и Е(10;
— 3). Определить расстояние d между точками: 1) А и В; 2) В и С;
3) Л и С; 4) С и D; 5) А и D; 6) D и Е.
23.	Вычислить площадь треугольника, вершинами которого
являются точки: 1) Л(2; —3); Л(3; 2) и С(—2; 5); 2)	2),
Мг(5; -2) и Мз (1; 3); 3) Л/(3; -4), ДГ(-2; 3) и Р(4; 5).
24.	Точка М является серединой отрезка ОА, соединяющего
начало координат О с точкой А (—5; 2). Найти координаты
точки М.
25.	Построить точки А (4; 1), Р(3; 5), С(— 1; 4) и D (0; 0). Если
точки построены правильно, то получен квадрат. Какова его
площадь? Чему равна длина стороны этого квадрата? Найти
координаты середин сторон квадрата.
26.	Площадь треугольника равна 10 кв. ед., две его верши-
ны— точки А(5; 1) и В{~2; 2). Найти координаты третьей
вершины, если известно, что она лежит на оси абсцисс.
21
yi	27. Найти площадь четырехуголь-
ника с вершинами в точках А(3; 1);
В (4; 6); С(6;3)иР(5; -2).
в	28. Определить середины сторон
V*—треугольника с вершинами Л (2; — 1),
\	—В(4; 3) и С(—2; 1).
\	\	29. Точки Л (—2; 1), В(2; 3) и С(4;
л	\ Т	— 1) — середины сторон треугольника.
Найти координаты его вершин.
Рис. 5	30. Найти координаты центра тя-
жести однородной пластинки, име-
ющей форму треугольника с вершинами А (2; 4), В(0; 1), С (4; 2).
31.	Площадь треугольника равна 3 кв. ед., две его верши-
ны— точки Л(3; 1) и В(1; —3). Найти координаты третьей
вершины, если известно, что она лежит на оси ординат.
32.	Площадь параллелограмма равна 12 кв. ед., две его вер-
шины — точки А (— 1; 3) и В (—2; 4). Найти две другие вершины
этого параллелограмма, если известно, что точка пересечения его
диагоналей лежит на оси абсцисс.
33.	Вершины треугольника — точки Л (3; 6), В(— 1; 3) и С(2;
— 1). Найти длину его высоты, проведенной из вершины С.
34.	Три вершины параллелограмма — точки Л (3; 7), В(2; — 3)
и С(—1; 4). Найти длину его высоты, опущенной из вершины
В на сторону АС.
35.	Отрезок, ограниченный точками А (1; —3) и В (4; 3), раз-
делен на три равные части. Определить координаты точек деле-
ния.
36.	Определить координаты концов Л и В отрезка, который
точками В (2; 2) и <2(1; 5) разделен на три равные части.
37.	Прямая проходит через точки 3/(2; —3) и У(—6; 5).
Найти на этой прямой точку, ордината которой равна —5.
38.	Прямая проходит через точки Л (7; —3) и В (23; —6).
Найти точку пересечения этой прямой с осью абсцисс.
39.	Три вершины параллелограмма — точки Л(3; —5), В (5;
— 3), С(— 1; 3). Определить четвертую вершину D, противопо-
ложную В.
40.	На плоскости даны точки Л (0; 0), В(х}; yt) и D (х2; у2) (рис.
5). Какие координаты должна иметь точка С, чтобы четыреху-
гольник ABCD был параллелограммом?
§ 4.	Полярные координаты
Полярная система координат определяется заданием некото-
рой точки О, называемой полюсом, исходящего из нее луча ОЕ,
называемого полярной осью, и масштаба для измерения длин
отрезков.
Пусть задана полярная система координат и пусть М — про-
22
невольная точка плоскости. Обозначим через р расстояние точки
М от точки О, а через <р — угол, на который нужно повернуть
против часовой стрелки полярную ось для совмещения с лучом
ОМ (рис. 6).
Полярными координатами точки М называются числа р и <р.
Число р называют полярным радиусом, а ср — полярным углом.
Символ M(j>\ <р) обозначает, что точка М имеет полярные коор-
динаты р и <р.
Обычно считают, что р и р изменяются в пределах:
0<р<4-оо, 0<ф<2я. Однако в ряде случаев рассматриваются
углы, большие 2я, а также отрицательные, т. е. углы, отсчитыва-
емые от полярной оси по часовой стрелке.
Пусть начало прямоугольной системы координат находится
в полюсе, а положительная полуось абсцисс совпадает с поляр-
ной осью и пусть точка М имеет прямоугольные координаты
х и у и полярные координаты р и ф (рис. 7). Тогда переход от
полярных координат точки М к прямоугольным осуществляется
по формулам
x=pcos ф, y=psin<p,
а выражение полярных координат через прямоугольные следует
из этих формул:
р=^х2+у2, tg<p=-.	(1)
X
Пример. Даны прямоугольные координаты точки (2; 2). Най-
ти ее полярные координаты, считая, что полюс совмещен с нача-
лом прямоугольной системы координат, а полярная ось совпада-
ет с положительной полуосью абсцисс.
Решение. По формулам (1) имеем р=1Л1, tg<p = 1, откуда
Ф=я/4 или ф=5я/4, так как <р изменяется от 0 до 2л. Но так как
х=2>0 иу=2>0, то следует взять ф=я/4.
41.	Построить точки, заданные полярными координатами;
Л (2: я/2); 5(3; я/4); С(3; Зя/4); 5(4; 0); 5(2; Зя/2) и 5(3; л).
42.	Найти полярные координаты точек, симметричных от-
носительно полярной оси точкам Л (3; я/3); В (4; — я/4).
23
43.	Наити полярные координаты точек, симметричных от-
носительно полюса точкам А (1; я/4); В (5; — л/3).
44.	Даны точки в полярной системе координат Л (2; п/4), В (4;
я/2). Наити их прямоугольные координаты,
45.	Даны точки в прямоугольной системе координат Мх (0; 5);
М2{—3; 0); 3/3(^/3; 1). Найти их полярные координаты.
46.	Даны точки в полярной системе координат Л (8; — 2я/3)
и Л (6; я/3). Найти полярные координаты середины отрезка,
соединяющего точки Л и Я
47.	Даны точки в полярной системе координат Л(3; я/6)
и В(5\ 2я/3). Найти расстояние d между ними.
48.	Даны точки в полярной системе координат Л(рь tpi)
и В(р2; Фг)* Найти расстояние d между ними.
49.	Одна из вершин треугольника О АВ находится в полюсе,
две другие — точки А (5; я/4) и В (4; л/12). Найти площадь этого
треугольника.
50.	Найти площадь треугольника, вершины которого — точ-
ки Л(3; я/8), Л (8; 7я/24) и С (6; 5я/8).
51.	Дана точка в полярной системе координат (10; я/6). Найти
ее прямоугольные координаты, если известно, что полюс поляр-
ной системы находится в точке (2; 3), а полярная ось параллельна
оси абсцисс.
§ 5.	Уравнение линии как множество точек плоскости
Равенство вида
F(x,y)=0	(1)
называется уравнением с двумя переменными х, у, если это равен-
ство справедливо не для всех пар чисел х и у. Примеры уравне-
ний: 2x+3j=0, х24-у2—25=0, sinx+siny — 1 =0.
Если (1) справедливо для всех пар чисел х и у, то оно
называется тождеством. Примеры тождеств: (х+у)2 —
-х2-2ху-у2 = 0, (х+у) (х-у)-х2+у2 = 0.
Определение. Уравнение И) называется уравнением линии L (в
заданной системе координат), если этому уравнению удовлетворя-
ют координаты х и у любой точки, лежащей на линии L. и не
удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей на этой
линии.
Из определения следует, что линия L представляет собой
множество всех тех точек плоскости (х; у), координаты которых
удовлетворяют уравнению (1).
Если (1) является уравнением линии L, то говорят, что уравне-
ние (1) определяет (задает) линию L.
Линия L может определяться и уравнением вида
F(p, ф) = 0,
содержащим полярные координаты.
24
52.	Даны точки М,(2; -2), М2(2; 2), М3(2; -1), М<(3; -3),
Ms(5; —5), Мб(3; —2). Установить, какие из данных точек лежат
на линии, определенной уравнением х+у=0, и какие не лежат на
ней.
53.	Установить, какие линии определяются уравнениями (по-
строить их): 1) х—у=0; 2) х2—у2=0; 3) х2+у2=0;
4) х24-у2 + 1=0; 5) р = а<р, где а>0, р и ф—полярные коор-
динаты; 6) а) у=М; б) х=|у|; в) |у|=|х|; г) *+М=у+1л;
7) а) |х| + |у| = 1,б) |х| —|у| = 1.
54.	Даны точки (1; я/3), М2(2; 0), Л/3(2; л/4), Л/4(<3; я/6)
и Л/’s (1; 2л/3). Установить, какие из данных точек лежат на линии,
определенной уравнением в полярных координатах p=2cos<p,
и какие не лежат на ней.
55.	Вывести уравнение множества точек, каждая из которых
отстоит от точки С (а, /?) на расстоянии R. Иными словами,
вывести уравнение окружности радиуса R с центром в точке
с(«; Л-
56.	Показать, что уравнение х+2х+у=0 задает на плоско-
сти некоторую окружность.
57.	На плоскости даны точки А и В. Найти множество точек
М, удаленных от А вдвое дальше, чем от В.
58.	Установить: а) лежит ли точка ЛГ(4,1; 1,9) на окружности
с центром С(1; —2) и радиусом 5; б) лежит ли точка Х(0;
2^/б—2) на этой же окружности; в) лежит ли точка А (160; — 1) на
окружности с центром (147; —6) и радиусом 13.
59.	Написать уравнение окружности с центром С(—2; 3) и ра-
диусом, равным 5. Известно, что точка А (а; — 1) лежит на этой
окружности. Найти а.
60.	Написать уравнение линии, по которой движется точка
Л/(х; у), равноудаленная от точек А (0; 2) и В (4; —2).
61.	Написать уравнение траектории точки М(х; у), которая
при своем движении остается вдвое ближе к точке А (— 1; 1), чем
к точке В (—4; 4).
62.	Написать уравнение множества точек, сумма расстояний
каждой из которых от точек Л (2; 0) иЛ(-2; 0) равна 2^/5.
63.	Написать уравнение множества точек, равноудаленных от
точки F(2; 2) и от оси Ох.
64.	Написать уравнение линии, по которой движется точка
М(х; у), оставаясь вдвое дальше от оси Ох, чем от оси Оу.
65.	Написать уравнение множества точек, равноудаленных от
оси Оу и точки F(4; 0).
66.	Написать уравнение линии, по которой движется точка
М(х; у), равноудаленная от начала координат и от точки
Л(-4;2>.	. ч
67.	Написать уравнение траектории точки М\х; у), которая
при своем движении остается вдвое ближе к точке А (0; — 1), чем
к точке В(0; 4).
25
§ 6. Линии первого порядка
1.	Уравнение прямой с угловым коэффициентом
y=kx+b,	(1)
где к равен тангенсу угла а наклона прямой к оси Ox(k=tga)
и называется угловым коэффициентом, Ь — величина отрезка,
отсекаемого прямой на оси Оу (рис. 8).
Пример 1. Составить уравнение прямой, отсекающей на оси
Оу отрезок 5=3 и образующей с осью Ох угол а=я/6.
Решение. Находим угловой коэффициент: fc=tga=
=tgn/6=Подставляя к и b в уравнение (1), получаем
искомое уравнение прямой:
y=-Lx+3 или ^/Зу—х—З^/З—О.
2.	Уравнение прямой, проходящей через данную точку
М(ха yj с данным угловым коэффициентом:
y—yl—k(x—xi).	ф
Пример 2. Составить уравнение прямой, проходящей через
точку 5/(2; 1) и образующей с осью Ох угол а=я/4.
Решение. Находим угловой коэффициент: fc=tga=
=tg(n/4)=1. Подставляя данные координаты и значение к в ура-
внение (2), получаем искомое уравнение прямой:
у—1=х—2 или у—х+1=0.
3.	Уравнение прямой, проходящей через две данные точки
Мх(хйУх)лМг(Х2,у^.
У~У\ х-*1
Уг~У\
Пример 3. Составить уравнение прямой, проходящей через
точки 5/j (3; 1)и5/2(5;4).
Решение. Подставляя
данные координаты точек
5/( и 5/2 в (3), получаем искомое
„ х—3 у—1
уравнение прямой:	или
Зх—2у—7=0.
4.	Общее уравнение прямой
Лхф£у+С=0, (4)
где А, В, Су— произвольные коэф-
фициенты. (Л и Л не равны нулю
одновременно).
Пример 4. Дано общее уравне-
26
ние 12х—5у—65 = 0. Написать уравнение с угловым коэффициен-
том.
Решение. Разрешив уравнение прямой относительно у, полу-
чаем уравнение с угловым коэффициентом: у=—х—13. Здесь
*=-,*=-13.
5 <
Если в уравнении (4) какой-то из коэффициентов равен
нулю, то:
1)	при С=0 у= — -х — прямая проходит через начало коор-
£
динат;
С
2)	при В=0(А #0) х= — прямая параллельна оси Оу;
С
3)	при Л = 0(5^0) у~ ---=Ь — прямая параллельна оси Ох;
4)	при В=С=0 Лх=0, х=0 — ось Оу;
5)	при Л = С=0 Ву=0, у=0 — ось Ох.
Если ни один из коэффициентов уравнения (4) не равен нулю,
то его можно преобразовать к виду
-+- = 1,
а b
С , С
где а=—- и — величины отрезков, которые отсекает
прямая на координатных осях. Уравнение (5) называется уравне-
нием прямой «в отрезках».
Пример 5. Прямая задана уравнением Зх—5j>+15=0. Соста-
вить для этой прямой уравнение «в отрезках».
Решение. Для данной прямой уравнение «в отрезках»
имеет вид
(5)
—+^=1.
-5 3
68.	Составить уравнение прямой, отсекающей на оси Оу от-
резок Ь=3 и образующей с осью Ох угол: 1) 45°; 2) 135°. Постро-
ить эти прямые.
69.	Составить уравнение прямой, проходящей через начало
координат и составляющей с осью Ох угол: 1) 45°; 2) 60°; 3) 90°;
4) 120°; 5) 135°.
70.	Составить уравнение прямой, проходящей через начало
координат и через точку (—2; 3), и построить ее.
71.	Определить параметры к и b для каждой из прямых:
1)	2х-3у=6; 2) 2х+3^=0; 3) у=-3;4) -+-=1.
4 3
72.	Построить прямые: 1) Зх+4у=12;	2) Зх—4у=0;
3) 2х-5 = 0;4) 2у+5=0.
27
73.	Определить параметры к и b прямой, проходящей через
точку А (2; 3) и составляющей с осью Ох угол 45°. Составить
уравнение этой прямой.
74.	Уравнения прямых: 1) 2х—3^=6; 2) Зх—2j>+4=0 приве-
сти к виду «в отрезках» на осях.
75.	Написать уравнение прямой, проходящей через точку А (4;
3) и отсекающей от координатного угла треугольник площадью,
равной 3 кв. ед.
76.	Написать уравнение прямой, проходящей через точку
А (—4; 6) и отсекающей от осей координат треугольник площа-
дью, равной 6 кв. ед.
77.	Написать уравнение прямой, проходящей через точки
Л(-1;3)и В(4; -2).
78.	Написать уравнение прямой, проходящей через точку А (2;
3) и составляющей с осью Ох угол: 1) 45°; 2) 60°; 3) 135°;
4) 0°, — и построить ее.
79.	Написать уравнения прямых заданными параметрами:
1) Ь= —2, а=60°; 2) Ь= —2, в=120°, — и построить их.
80.	Определить точки пересечения прямой 2х—Зу—12=0
с осями координат и построить эту прямую.
81.	Найти точку пересечения двух прямых Зх—4у—29=0,
2x4-5^4-19=0.
82.	Стороны АВ, ВС и АС треугольника АВС даны соответст-
венно уравнениями 4x4- Зу—5=0, х—Зу4-10=0, х—2=0. Опреде-
лить координаты его вершин.
83.	Написать уравнения двух прямых, проходящих через точ-
ку А (4; 5), так, чтобы одна была параллельна оси Ох, другая
параллельна оси Оу.
84.	Написать уравнение прямой, параллельной оси Оу и от-
секающей на оси Ох отрезок, равный: 1) 4; 2) —5 и 3) 0.
85.	Написать уравнение прямой, параллельной оси Ох и от-
секающей на оси Оу отрезок, равный: 1) 6; 2) —2; 3) 0.
5.	Угол между двумя прямыми. Если известны угловые коэф-
фициенты ki и kt двух прямых, то один из углов <р между этими
прямыми определяется по формуле
tgp=------.
1+*1*2
Второй угол равен п—<р.
Условие параллельности двух прямых: к{
,, . 1
Условие перпендикулярности двух прямых: л2= —.
*2
Пример 6. Две прямые заданы уравнениями у=2x4-3
и у= -3x4-2. Найти угол между этими прямыми.
Решение. Имеем ^=2, к2— — 3. Поэтому по формуле (6)
находим
(6)
=к2.
28
tg«P =
-3-2
-5
l+(-3)2 —5
1.
Таким образом, один из углов между данными прямыми равен
л/4, другой угол л—л/4=Зя/4.
Пример 7. Показать, что прямые 4х— бу+7=0 и 20х—
— ЗОуьЧ1 =0 параллельны.
Решение. Приведя уравнение каждой прямой к виду (2),
получаем у—-х+-и у=-х------, откуда ki=k2=2/3. Следователь-
3	6	3	30
но, прямые параллельны.
Пример 8. Показать, что прямые Зх—5у+7 = 0 и Юх+
+ бу—3=О перпендикулярны.
Решение. Приведя уравнение каждой прямой к виду (2),
3	7	5	1
получаем у=-х+- и у= — ~х+^- Здесь kt = 3/5, к2= — 5/3. Так как
. 1
к2= —, то прямые перпендикулярны.
*1
96.	Определить угол между прямыми: 1) у=2х—3
и у=^х+1; 2) 5х—у+7=0 и 2х—Зу+1 = 0; 3) 2х+у=0
иу=Зх-4;4) Зх—4у = 6 и 8х+6у=11.
87.	Среди прямых Зх—2у+7=0, 6х—4у—9=0, 6х+4у—5=0,
2х+3у—6=0 указать параллельные и перпендикулярные.
88.	В треугольнике с вершинами А (—2; 0), В (2; 6) и С (4; 2)
проведены высота BD и медиана BE. Написать уравнение сторо-
ны А С, медианы BE и высоты BD.
89.	Написать уравнения прямых, проходящих через начало
координат под углом 45° к прямой у=4—2х.
90.	Написать уравнения прямых, проходящих через точку
А(— 1; 1) под углом 45° к прямой 2х+3у=6.
91.	Написать уравнение перпендикуляра, опущенного из точ-
ки А(6; 2) на прямую х—4у—7=0.
92.	Написать уравнение прямой, если точка А (2; 3) служит
основанием перпендикуляра, опущенного из начала координат на
эту прямую.
93.	Написать уравнение прямой, проходящей через точку А (5;
—4) и составляющей с осью Ох тот же угол, что и прямая
5х+2у—3=0.
94.	Написать уравнение прямой, проходящей через точку
А(—4; 3) и параллельной другой прямой х+2у+3=0.
95.	Написать уравнение прямой, проходящей через точку пе-
ресечения прямых 2х—Зу—1 = 0 и Зх—у—2=0 перпендикулярно
прямой у=х+1.
96.	Дан треугольник с вершинами А (—2; 0), В (2; 4) и С (4; 0).
Написать уравнения сторон треугольника, медианы АЕ, высоты
AD и найти длину медианы АЕ.
29
6. Нормальное уравнение прямой. Расстояние от точки до пря-
мой. Пусть на плоскости Оху дана некоторая прямая L. Прове-
дем через начало координат прямую п, перпендикулярную дан-
ной, и назовем ее нормалью к прямой L. Обозначим через N точку
пересечения нормали с прямой L. На нормали введем направле-
ние от точки О к точке N. Обозначим через а угод, на который
нужно повернуть против часовой стрелки осл^Ох дф совмещения
ее с нормалью, через р— длину отрезка ON (рис. 9). Тогда
уравнение данной прямой может быть записано в виде
xcosa+ysinat—р=0,	(7)
которое называется нормальным уравнением прямой L.
Чтобы привести общее уравнение прямой Ах+Ву+ С=0 к но-
рмальному виду, нужно все члены его умножить на нормирующий
множитель
Д=±
1
(8)
взятый со знаком, противоположным знаку С. Если С=0, то знак
нормирующего множителя можно брать произвольно.
Пусть L — прямая, заданная нормальным уравнением (7),
и пусть Л/0(х0; у0)— точка, не лежащая на этой прямой. Тогда
расстояние d от точки Мо до прямой L может быть вычислено по
формуле
d= |х0 cos а+уо si° «—/Н-
(9)
Пример 9. Даны прямая Зх—4у+10=0 и точка М(4; 3). Най-
ти расстояние d от точки М до данной прямой.
Решение. Приведем данное уравнение к нормальному виду
(7). Для этого найдем по формуле (8) нормирующий множитель
р=—. -=—. Умножая данное уравнение на р, получаем
<з2+42	5
нормальное уравнение
Рис. 9
3	4 Л Л
—х+-у—2=0.
5	5
По формуле (9) находим искомое рас-
I 3	4
стояние: rf=—'44—'3—2 = 1—21=2.
I 5	5
97.	Привести к нормальному виду
общие уравнения прямых:
1) 4х-Зу-10=0;	2) \-?у4-10=0;
3) 12х—5x4-13=0; 4) х4-2=0.
98.	Найти расстояния точек А (4; 3),
30
В(2; 1), C(l; 0) и 0(0; 0) от прямой Зх+4у—10=0. Построить
точки и прямую.
99.	Показать, что прямые 2х— Зу—6=0 и 4х—бу—25=0 па-
раллельны, и найти расстояние между ними.
100	Найти к из условия, что прямая y=fcx+5 удалена от
начала координат на расстояние d=y/5.
101'. Написать уравнение множества точек, удаленных от пря-
мой 4х—Зу=0 на 4 единицы.
102.	Написать уравнение прямой, удаленной от точки
Л (4; —2) на 4 единицы и параллельной прямой 8х—15^=0.
103.	Найти длину высоты BD в треугольнике с вершинами
Л(-3; 0), В(2; 5) и С(3; 2).
104.	Написать уравнение прямой, проходящей через точку
Л (2; 4) и удаленной от начала координат на расстояние d=2.
105.	Через начало координат проведена прямая на одинако-
вом расстоянии от точек Л (2; 2) и 5(4; 0). Найти это расстояние.
§ 7. Смешанные задачи на прямую
106.	Составьте уравнения, которые описывают следующие
множества точек: 1) прямую, параллельную осн Ох, проходя-
щую через точку (1; 0); 2) прямую, параллельную прямой у=х
и проходящую через точку (—3; 7); 3) множество точек, находя-
щихся на расстоянии 2 от оси Оу.
107.	Придумать соотношения между х и у, которые задают на
координатной плоскости: 1) пару прямых у=3х и у=х—3;
2) прямую у=х и точку (—1; 2); 3) всю часть плоскости выше
прямой у=х (включая эту прямую); 4) часть плоскости между
прямыми у=0 и у= 1 (без этих прямых); 5) внутренность квад-
рата с вершинами в точках (0; 0), (0; 1), (1; 1), (1; 0).
108.	На плоскости даны три точки: Л(3; —6), В (—200; 400),
С (1000; —2000). Доказать, что они лежат на одной прямой.
109.	Найти, какие три из точек Л(1; 3); В(—2; 1); С(—1; 7);
Z) (3; 1) лежат на одной прямой.
110.	Написать уравнение прямой, параллельной биссектрисе
I координатного угла и проходящей через точку (0; — 5).
111.	Написать уравнение прямой, параллельной прямой
у=2х+1 и проходящей через точку (0; 2).
112.	Даны прямая 2х+у—6=0 и на ней две точки А и 5 с ор-
динатами ул=б и у в— —2. Написать уравнение высоты AD тре-
угольника АО В, найти ее длину и площадь треугольника АОВ.
ИЗ. Найти уравнение прямой, проходящей через точку
(— 1; 1) так, чтобы середина ее отрезка между прямыми
Х+2у—1=0 и х+2у—3=0 лежала на прямой х—у—1 = 0.
114.	Найти уравнения биссектрис углов между прямыми
Зх+4у—1=0 и 4х—Зу+5 = 0.
115.	Найти множество точек М, разность квадратов расстоя-
ний которых до двух данных точек А и В равна данной величине
а. При каких значениях а задача имеет решение?
31
116.	Найти уравнение касательной к окружности л2+у2 = 5,
проходящей через точку (1; 2).
117.	Найти уравнения общих касательных к окружностям
х2+у2=6х и х2 +у2=бу.
118.	Даны точки А (—4; 0) и В(0; 6). Через середину отрезка
АВ провести прямую, отсекающую на оси Ох отрезок, вдвое
больший, чем на оси Оу.
119.	Из начала координат проведены две взаимно перпен-
дикулярные прямые, образующие с* прямой 2х+у=а равнобед-
ренный треугольник. Найти площадь этого треугольника.
120.	Даны уравнения боковых сторон равнобедренного тре-
угольника Зх+у=0 и х—Зу=0 и точка (5; 0) на его основании.
Найти периметр и площадь треугольника.
121.	В треугольнике АВС даны: 1) уравнение стороны АВ
Зх+2у = 12; 2) уравнение высоты ВМ х+2у=4; 3) уравнение вы-
соты AM 4х+у=6, где М — точка пересечения высот. Написать
уравнения сторон АС, ВС и высоты СМ.
122.	Две стороны параллелограмма заданы уравнениями
у=х—2 и 5у=х+6. Диагонали его пересекаются в начале коор-
динат. Написать уравнения двух других сторон параллелограмма
и его диагоналей.
123.	Написать уравнения сторон треугольника, зная одну его
вершину А (0; 2), и уравнения высот ВМ х+у=4 и СМ у=2х, где
М — точка пересечения высот.
124.	Написать уравнение прямой, проходящей через точку
М пересечения прямых 5х—у+10=0 и 8х+4у+9 = 0 и параллель-
ной прямой х+Зу=0.
125.	Написать уравнение прямой, проходящей через точку
М пересечения прямых 2х— Зу+5 = 0 и Зх+у—7=0 и перпен-
дикулярной к прямой у=2х
§ 8. Линии второго порядка
1. Эллипс. Эллипсом называется множество всех точек плос-
кости, для которых сумма расстояний от двух данных точек,
называемых фокусами, есть величина постоянная, большая рас-
стояния между фокусами.
Рис. 10
Фокусы эллипса обозначаю!
буквами и 7*2 (рис. 10), расстоя-
ние между ними [7*1 F2\ — через 2с.
Пусть М — произвольная точке
эллипса. Сумму расстояний oi
точки М до фокусов обозначаю!
через 2а. Так как, по определе
нию, |FlA/] + lJ'2iW]>|F1F2|, т<
2а>2с и а>с.
Через и и г2 обозначают рас
32
стояние от точки М до фокусов (rt == |uFi Af|, r2=|jF23/|). Числа
Г1 и г2 называются фокальными радиусами точки М.
Каноническое (простейшее) уравнение эллипса
где b—yja2 — c2, а>Ь. Числа а и b называются полуосями эллипса.
Отношение с/а=е<1 называется эксцентриситетом эллипса. Фо-
кальные радиусы определяются формулами г} = а+вх, Гг—а—ех.
126.	Построить эллипс 9х2+25у2=225. Найти: 1) полуоси;
2) координаты фокусов; 3) эксцентриситет.
127.	Построить эллипс Зх2+16у2 = 192. Найти: 1) полуоси;
2) координаты фокусов; 3) эксцентриситет.
128.	Написать каноническое уравнение эллипса, если извест-
но, что: 1) расстояние между фокусами равно 8, а малая полуось
6=3; 2) большая полуось а=6, а эксцентриситет £=0,5; 3) рас-
стояние между фокусами равно 6, а эксцентриситет £ = 3/5; 4) рас-
стояние между фокусами равно 6, а а+Ь= 9; 5) расстояние между
фокусами равно 2-^/Тз, а в—6=1.
129.	Написать каноническое уравнение эллипса, проходящего
через точки: 1) Л/,(2; 3) и Л/2(1; 3-/5/2); 2) М,(4; 9/5)
и ^(5^5/3; 2); 3) Мх (2; 0) и Л/2(1; 2).
130.	Найти полуоси, координаты фокусов и эксцентриситет
эллипса, если известно, что эллипс проходит через точки Mt (4;
45/5/5) и Мг (0; 6).
131.	Эллипс проходит через точки М\ (2; -fi) и Л/2(0; 2).
Написать его уравнение и найти расстояния точки М от фокусов.
132.	Эллипс проходит через точку Л/(—4; -\/21) и имеет экс-
центриситет £ = 3/4. Написать уравнение эллипса и найти фокаль-
ные радиусы точки М.
133.	Найти длину хорды эллипса х2+2у2= 18, делящей угол
между осями пополам.
134.	На эллипсе 9х2 +25у2=225 найти точку, расстояние кото-
рой от правого фокуса в четыре раза больше расстояния ее от
левого фокуса.
135.	Ординаты всех точек окружности х2+у2 = 36 сокращены
втрое. Написать уравнение полученной новой кривой.
136.	Определить траекторию точки М, которая при своем
движении остается вдвое ближе к точке F(— 1; 0), чем к прямой
X- -4.
137.	Отрезок АВ постоянной длины а+Ь движется так, что
его конец А скользит по оси Ох, а конец В — по оси Оу. Опреде-
лить траекторию движения точки Л/ отрезка, делящей его части
ВМ=а и МА=Ь (эллиптический циркуль Леонардо да Винчи).
2-186	33
138.	Определить, пересекает ли заданная прямая L данный
эллипс Г, касается его или проходит вне его: 1) L: 2х—у— 3—0, Л
^+^=1;2) L: 2х+у-10=0, Г.^+^ = 1;3) L: Зх+2у—20=0, Л
Xя у1
-+-=1.
40 10
2. Гипербола. Гиперболой называется множество всех точек
плоскости, для которых модуль разности расстояний от двух
данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная,
меньшая расстояний между фокусами.
Фокусы гиперболы обозначают буквами F и (рис. 11),
расстояние между ними F2| — через 2с. Пусть М — произволь-
ная точка гиперболы. Модуль разности расстояний от точки
М до фокусов обозначают через 2а. Так как, по определению,
||Г(Л/|—|^«]|<|fUr2l, то 2а<2с или а<с. Числа IFjA/l и
называют фокальными радиусами точки М и обозначают через
Г1 и г2.
Каноническое (простейшее) уравнение гиперболы
1,
где b—sjc2—a1. Число а называется действительной, а число
Ъ— мнимой полуосями гиперболы. Отношение с/а=в>1 называ-
ется эксцентриситетом гиперболы. Фокальные радиусы опреде-
ь
ляются формулами nelax+al, г2=|вх—a|. Прямые у= ±-х вазы-
и
Xя Vя	/ X3
ваются асимптотами гиперболы. Гиперболы —-—= 1 и
называются сопряженными.
139.	Построить гиперболу 16Х2—9у2=144. Найти: 1) дейст-
вительную и мнимую полуоси; 2) координаты фокусов; 3) экс-
центриситет; 4) уравнения асимптот.
140.	Построить гиперболу Зх2—4у2=12. Найти: 1) действи-
тельную и мнимую полуоси; 2) координаты фокусов; 3) эксцент-
риситет; 4) уравнения асимп-
тот.
141.	Написать каноничес-
кое уравнение гиперболы, ес-
ли известно, что:
1) расстояние между фо-
кусами 2с =10, а между вер-
шинами 2а=8;
2) действительная полуось
а=2у5, а эксцентриситет
6=7172;
34
3)	расстояние между фокусами 2с=6, а эксцентриситет 6 = 3/2;
4)	расстояние между фокусами 2с=20, а уравнение асимптот
5)	мнимая полуось b=4, а расстояние между фокусами 2с = 10.
142.	На гиперболе х2—4у2=16 взята точка М с ординатой,
равной 1. Найти расстояние ее от фокусов.
143.	Гипербола проходит через точку М (6; — 2^/2) и имеет
мнимую полуось Ь=2. Написать ее уравнение и найти расстояния
точки М от фокусов.
144.	Написать уравнение гиперболы, имеющей вершины в фо-
X2 у2
кусах, а фокусы — в вершинах эллипса —+— = 1.
145.	Написать уравнения касательных к гиперболе
х2—4у2 = 16, проведенных из точки /1(0; —2).
х2 у2
146.	Найти расстояние фокуса гиперболы——- = 1 от ее асим-
<г ь1
птот и угол между асимптотами.
147. Определить траекторию точки М(х; у), которая при
своем движении остается вдвое ближе к прямой х= 1, чем к точке
F(4; 0).
148. Определить траекторию точки М, которая движется так,
что остается вдвое дальше от точки F(—8; 0), чем от прямой
х=—2.
149.	Найти множество точек, для которых произведение рас-
стояний до двух данных пересекающихся прямых равно С=const.
3. Парабола. Параболой называется множество всех точек
плоскости, каждая из которых находится на одинаковом расстоя-
нии от данной точки, называемой фокусом, и от данной прямой,
называемой директрисой и не проходящей через фокус.
Пусть М — произвольная точка параболы. Фокус параболы
обозначают буквой F, а через г — расстояние от точки М до
фокуса (r=IFMl), через d— расстояние от точки М до директ-
§исы, а через р — расстояние от фокуса до директрисы (рис. 12).
величину р называют параметром пара-
болы.
Каноническое (простейшее) уравне-
ние параболы
у2=2рх.
Парабола имеет фокус Г(р/2; 0) и дирек-
трису х=—р/2; фокальный радиус
г=х+р/2. Симметрична относительно
оси Ох. Вершина параболы находится
в начале координат.
Парабола х2=2ру симметрична от-
носительно оси Оу, лежит в верхней по-
луплоскости.	Рис. 12
35
150.	Построить параболу у2—вх. Найти: 1) координаты фо-
куса; 2) уравнение директрисы.
151.	Написать уравнение параболы: 1) проходящей через точ-
ки (0; 0) и (1; — 3) и симметричной относительно оси Ох\ 2) про-
ходящей через точки (0; 0) и (2; —4) и симметричной относитель-
но оси Оу.
152.	Написать уравнение окружности, имеющей центр в фоку-
се параболы у2=2рх и касающейся ее директрисы. Найти точки
пересечения параболы и окружности.
153.	Написать уравнение параболы и уравнение директрисы,
если известно, что парабола симметрична относительно оси
Ох и что точка пересечения прямых у=х и х+у=2 лежит
на параболе.
154.	Написать уравнение параболы и ее директрисы, если
известно, что парабола проходит через точки пересечения прямой
х+у=0 и окружности х2Г+у2+4у=0 и симметрична относитель-
но оси Оу.
155.	На параболе у2=6х найти точку, фокальный радиус ко-
торой равен 4,5.
156.	Зеркальная поверхность прожектора образована враще-
нием параболы вокруг ее оси симметрии. Диаметр зеркала 80 см,
а глубина его 10 см. На каком расстоянии от вершины параболы
нужно поместить источник света, если для отражения лучей
параллельным пучком он должен быть в фокусе параболы?
157.	Из вершины параболы у2—2рх проведены всевозможные
хорды. Написать уравнение множества середин этих хорд.
158.	Написать уравнение множества точек, одинаково удален-
ных от точки Г(0; 2) и от прямой у=4. Найти точки пересечения
этой кривой с осями координат и построить ее.
159.	Написать уравнение множества точек, одинаково удален-
ных от начала координат и от прямой х= —4. Найти точки
пересечения этой кривой с осями координат и построить ее.
160.	Найти множество центров окружностей, проходящих че-
рез данную точку А и касающихся данной прямой L.
Глава 4
ФУНКЦИЯ
§ 1. Основные понятия
1.	Определение функция.
Определение. Пусть X u Y — некоторые числовые множест-
ва. Функцией f называется множество упорядоченных пар чисел
(х; у)*, таких, что хеХ, yeY, и каждое х входит в одну и только
♦Пара чисел х и у называется упорядоченной, если указано, какое из этих
чисел считается первым, а какое — вторым. Упорядоченную пару чисел записы-
вают в виде (х; у), где х — первое число, у — второе.
36
одну пару этого множества, а каждое у входит по крайней мере
в одну пару. При этом говорят, что числу х поставлено в соот-
ветствие число у, и пишут y—f(x). Число у называется значени-
ем функции f в точке х. Переменную у называют зависимой
переменной, а переменную х — независимой переменной (или ар-
гументом); множество X — областью определения (или сущест-
вования) функции, а множество Y — множеством значений фун-
кции.
Кроме буквы f для обозначений функций используют другие
буквы латинского и греческого алфавитов, например: у=у(х),
y=g(x), у=(р(х), у=А\х), y=F(x) и т. д. Другими буквами обо-
значают зависимую и независимую переменные. Иногда зависи-
мую переменную также называют функцией.
Пусть на некотором множестве X определена функция /(х);
тогда значение этой функции, соответствующее некоторому зна-
чению аргумента х0, обозначают /(х0). Например, если /(х)=х2,
то/(3)=32=9,/(—2)=(—2)2=4 и т. д.
Функция, все значения которой равны между собой, называет-
ся постоянной. Постоянная функция обозначается буквой
сИх)=с).
Пример 1. Найти область определения и множество значений
функции у=sin х.
Решение. Областью, определения функции у—sinx является
множество всех вещественных чисел, а множество значений функ-
ции есть множество всех чисел, заключенных между — 1 и 1, т. е.
Г=(-оо, +оо) и У=[-1, 1].
Пример 2. Найти область определения и множество значений
функции y=lgx.
Решение. Областью определения функции y=lgx является
множество всех положительных чисел, а множество значений
функции — множество всех вещественных чисел, т. е. Х=(0,
+ оо)и У=(—оо, + оо).
Пример 3. Найти область определения функции у—
\	4-lg(x-l).
у—х2 +х+2
Решение. Так как функция представляет собой сумму функ-
ций, то область определения функции будет состоять из всех тех
значений х, которые принадлежат одновременно области опреде-
ления функций .  ...-и 1g (х — 1). Поэтому область определе-
V~x2+x+2
ния заданной функции определяется как совокупность значений х,
При которых одновременно выполняются неравенства
-х24-х4-2>0 и х— 1 >0. Это будет интервал (1, 2).
2х
Пример 4. Найти область определения функции у=arcsin-.
1+х
Решение. Область определения функции определяется нера-
37
<1. Возводя в квадрат, получим 4х2<14-2Х4-Х2
1+х
венством
или Зх2—2х— 1 <0. Решая это неравенство, найдем, что областью
определения функции будет отрезок [—1/3, 1].
Определить множества значений х, удовлетворяющих нераве-
нствам:
3. х2>16.
5. |2х4-3|<1.
7. 2х2«50.
9. (5х4-6)2>1.
11. х2-Зх-4<0.
13. хг-2x4-5 <0.
2.	х*^4.
4.	|х—2|<1.
6. (х 4-1)4 9.
8. (х+3)2<3.
10. х2—4x4-5=0.
12. х—х2>0.
14. х2 —11х4-10>0.
Найти области определения функций, заданных формулами:
15. у=Зх+2.
Зх—1
17. у=---.
5х+6
19. у=73^1+-^.
</5—х
21. >>=^/х2—5x4-6.
23. у=>/4-х2.
25. y=x+cos2x.
27. y=ctg^.
29. y=arccos(x4-2).
31. _y=slog2log3log4X.
33. _y=log1/3|x|.
35. y=log7(4x—x2).
37. y—3llx
„Л 1
39. y=arcsin—.
x+3
41./(x)=x24-x—2,
найти /(0), /(!),/(-2).
16. y=x3 +5x4-6.
18. y=y/x-2+^2-x.
20. у=ч/2—3x4-lgx.
24. y=sin3x.
26. j=tgx.
28. y=aicsinx.
30. y=arctg (2x4-1).
32. y=log2(-x).
34. ?=log5(2x-l).
log5(l-3*)'
38. у=(ТУ/х’э
W
42. /(x)=arccos (1g x),
найти/(1/10),/(1),/(10).
2. Четные  нечетные функции. Функция /(х), заданная на
симметричном относительно начала координат промежутке, на-
зывается четной, если для любого значения х из этого промежут-
ка имеет место равенство
/(-х)=/(х).
38
График четной функции симметричен относительно оси Оу.
Фунёзщя У* (х), заданная на симметричном относительно нача-
ла координат промежутке, называется нечетной, если для любого
значения х из этого промежутка имеет место равенство
Л-х)= -/(х).
График нечетной функции симметричен относительно начала
координат.
Сумма и разность двух четных (нечетных) функций есть функ-
ция четная (нечетная). Действительно, пусть ?(x)®/(x)+g(x).
Тогда если Дх) и g (х) — четные, то
<₽(-x)=/(-x)+g(-x)=/(x)+g(x)=<p(x).
Если жеДх) и g(x) — нечетные, то р(х) также будет нечетной,
<?(-x)=/(-x)+g(-x) = -/Yx)-g(x)=-[/'(x)+g(x)] =
«-Ф(х).
Аналогичное доказательство для разности функций.
Произведение двух четных или двух нечетных функций есть
функция четная, а произведение четной функции на нечетную есть
нечетная функция. В самом деле, пусть ф(х)=Дх)^(х) и Дх)
a g (х) — четные функции, тогда
ф(-х)=/(-х) f (—x)=/(x)g(x)=p(x);
если Дх) и g (х) — нечетные функции, то
р(-х)»Д-х) g(-х)»[-Дх)] [~Г (х)]=р(х);
если жеДх) — четная, a g(x) — нечетная функции, то
ф(-х)=/(-х) g(-x)=/(x){-g (x)]= -p(x).
Пример 5. Доказать, что функция /(х)=х3—xs+x — нечет-
НЯ Я.
, Решение. Область определения функции: -со<х< + со;
/(—х)=(—xj5—(—х)3+(—х)= —х’ + х’—х® — (х3 —х’+х)=
- —f(x). Следовательно, функция нечетная.
Пример 6. Доказать, что функция Дх)=л/1 -х3 — четная.
Решение. Область определения функции: — 1<х<1;
Д—х)®-^/!—(—х)2®^/! — х3=Дх). Следовательно, функция чет-
ная.
Пример 7. Является ди функция /(х)=х4+ха, определенная
в промежутке —2<х<10, чётной?
Решение. Эта функция не является ни четной, ни нечетной,
так хак ее область определения не дшметрична относительно
начала координат. Хотя формально Д—х)=Дх).
Пример 8. Исследовать на четность и нечетность функцию
Дх)=*х2-|-х-1.
Решение. Область определения, функции: — со<х<+оо;
Д-х)=(-х)2+(-х)-1 =хг-х-1#Дх). т. е. функция не удов-
39
летворяет равенствам/!—х)=/(х) и/(—х)= —/!х). Значит, функ-
ция не является ни четной, ни нечетной.
Определить, какая из функций является четной, нечетной и ка-
кая не является ни четной, ни нечетной:
43. y=cosx+xsinx.	44. у~х‘2~х
45.	46. y=2xsin2x—Зх3.
47. ,»(2У-3*	48. у=—.
W	z sinx
49. y=51og2(x+l).	50. у=х'4~х>
1	2~~х
51. y=log2—.
53. у=5"’
55. у=х3+х2.
57. у=х2+3х—1.
59. у=х3+2х.
54. у=х2—х.
56. y=lgcos2x.
58. у=х*-2х2+3.
60. y=lg(x+-v/i+x2).
61. Пусть Дх) — некоторая функция, определенная на всей
числовой прямой. Показать, что функция <p(x)—f{x)+f\—х) —
четная, а функция ^(х)=Дх)-f\—х) — нечетная.
3. Периодические функци. Функция /рс) называется периода
ческой, если существует число 7V0 такое, что для любого значе-
ния х из области определения функции выполняется равенство
Дх+7)=Дх).
Число Т называется периодом функции. Если Т — период функ-
ции., то ее периодом является также и число — Т, так какДх—
-7)=Я(х-Т> + 7]=/^Л
Обычно под периодомч.функции понимают наименьший из
положительных периодов, еслйп^жой период существует. Напри-
мер, периодом функций sinx и t^osx является число Т~2п:
: sin (х+2я)=sinx, cos(x+2x)=cosx, а'функций tgx и ctgx — чис-
ло Т=п.	к
Если Т — период функции, то ее периодом будет также и чис-
ло кТ, где к — любое целое число (Л>= ±1; ±2;. ...)*. Например,
sin (х+4 л)=sin [(х+2л)+2я]=sin (х+2я)=sin i (к=2).
Пример 9. Показать, что функция /(x)=sin<ox имеет период
Т=-(о)#0).
СО
«	»»	. Г / 2я
Решение. Имеем sin ан хЧ—
I \
= sin (сох+2я) — sin сох.

40
Пример 10. Показать, что функция /(*)=sin (5x4-3) имеет пе-
2л
риод Т=--.
5	2я
Решение. Имеем sm[5(x+y) + 3]=sin(5x+2ff+3)=sin[(5x+
+3)+2я]» sin(5x+3).
Если функции Xх) и g(x) периодические с периодами
Т| и Т2 соответственно, то периодом их суммы, произведения,
разности и частного является число Т, кратное Tt и Т2. Дейст-
вительно, пусть Г=Л1Т1 и Т-к2Т2, где и к2—
целые числа. Как было показано, число Т является периодом
функций/(х) и g(x). Тогда для функции <p(x)=/(x)+g(x) имеем
4> (х + 7) =/(х+7) + g (х + 7) =/(х+к, Г.)+g (х-+ к2 Т) ~/(х)+g (х);
для функции ф(х)=Лх) g(x) имеем
ф(х+ 7)=/(х+ 7) g(x+7)=/(х+kiT{) g(x+k2T^—f(x) g(x) и т. д.
Пример 11. Показать, что число Г=12я есть период функции
f (х) =cos-x+sin-.
2	3
Решение. Период cos-x есть Т(—— (см. пример 9). Период
х	2	3
siil^ есть Т2—6х. Наименьшее положительное число Т, кратное —
и 6я, есть 12я(12л=97’1 и 12п—2Т2).
Следовательно, период функции есть Г=12я.
Найти период функций:
62. у—sin4x.
64. y=sinx+cos2x.
66. y=sin3x+sin2x.
68. y=sin(3x+1).
70. y=sin2(x/3).
63. y=tg(x/2).
65. 7=cos23x.
67. y=|sinx|.
69. y==sin4x+cos4x.
71. у — cos- .
2
72. Доказать, что функция /(xj^cosx2 не является периоди-
ческой.
4. Графческое изображение функций.
Построить графики функций*:
73. у=4х+8.	74. >»——-х+2.
3
75. у=|х|.	76. у=|4х—1|.
*С методикой построения графиков функций можно познакомиться в кн.:
Шилачев В. С. Основы высшей математики. М.» 2002.
41
77. j=2|x+l|.	78. >--|5х+2|.
79. ;B|x|+3.	80. у—|х|+х.
в1.у-1х+М-1.	82. у=х2+2.
83. y=-x2+3.	84. j'=2x2+l.
85. j=3x2-5.	86. у=(х—4)2.
87. у—(х+1)».	88. у=(х+2)2-1.
89. j»=(x—2)2+1.	90. у=2(х—5)2—1.
91. у=хг—4х+1.	92. у=х2-5х+6.
93. у=3х-х2.	94. j>=2x»~4х.
95. j>=4-2x»-2x.	96. у=4х-х2-3.
97. у=\х2+2х—15|.	98. у=|х2—Зх—4|.
99. у=-^х+1.	100. у=71-4х.
101. y=-j2x-l.	102. у=37вх-1.
103. 7=1-\/2*+1-	104. у=Цх+2.
105.	106. у=3-4/х.
107. >=1+—. х—2 х+5	108. у=2——. х+1 5~2х
109. у—	. х+3	110. у =	. х-2 9х+4
111. У=	. ' 2х—5 7х+5|	112.	. Зх+2 л	4—х
113. у=	. 5х+б| 7х+2|	114. у=	. 5+2х
115. у=	. 2х+1	116. у-	. |Зх+5|
117. 4х-1	118. |х+2|
119. У=3Х-2.	120. y»(l/4)x+s
121. j=-2to"‘.	122. у= — (l/2)x+l
123. ^=(1/2)<“3х-2.	124. j=3x/2-2.
125. у=21,х.	126. y=3~llx.
127. >'=2’’"ь. х-1	128. у=(1/2)~их' Зх-1
129. у=2’+1. X	130. ^=(1/2)Эх+‘
131. у=1+3х’1	132. у=2*х
133. у=2“*.	134. y=2xl“‘te+5.
135. y=log1/3(2x—3).	136. y=log2(x—2).
42
g g § 5 g 3 § g
3 g g	g 8 g S g g §
к
I cm
e2
о
191.	1 у=7‘
193.	1 у—	.
	]og2(3*+i)
1<К	1
lzv<	У— ”	-
	arctg(l —Зх)
197.	1 У= /	
	3у/4х-\
199	1
	у—	
	arcsin (3x4-1)
	х2 —1
201.	У=-—.
	х24-1
203.	1 у=	 arccoslx
192.
194.
196.
198.
200.
202.
204.
205. y=log2^.
Хт Z
207. y=x2+-.
209. y=log2(Jv^+T+l).
206.
208.
210.
1
V=-------.
x2 —4x4-1
1
y=777~-
4	4-2
__ 1
У log1/2(l-4x)
1
?=-----.
,x
3 +3
1
y=~F=-
1-x2
l'"
2W-1
3	1
y=x —.
X
y=logI/2|x2 —3x+2|.
212.
§ 2. Предел  непрерывность функции
1. Определение предела функции. Пусть функция Дх) определе-
на на некотором промежутке X* и пусть точка xjeX или х<£Х.
Определение 1. Число А называется пределом функции /(х)
в точке x=Xq, если для любого числа е>0 существует число д>0
такое, что для всех хеХ, х^х0, удовлетворяющих неравенству
|х—Хо|<5, выполняется неравенство \f(x) —А\<е.
Пример 1. Используя определение, доказать, что функция
/(х) = С (С — некоторое число) в точке х=х0 (х0 — любое число)
имеет предел, равный С, т. е. lim С= С.
х->х$
Решение. Возьмем любое о0. Тогда для любого числа <5>0
♦Здесь X может быть любым промежутком вида [а, 6], (а, Ь), (а, 6], (—оо,
4- оо) и т.д.
44
выполняется требуемое неравенство |/(х)—С| = ]С—С|=0<е; сле-
довательно, lim С=С.
Пример 2. Йспользуя определение, доказать, что функция
/(х)=х в точке х=х0 имеет предел, равный х0, т. е. lim х=х0.
Решение. Возьмем любое е>0. Тогда если взять <5 = s, то для
всех х, удовлетворяющих неравенству |х—х0|<5, выполняется
требуемое неравенство |/(х)—х0| = |х—х0|<е; следовательно,
lim х=х0.
х-*Х0
Пример 3. Используя определение, доказать, что функция
/(х)=Зх-2 в точке х=1 имеет предел, равный единице, т. е.
lim (Зх—2)= 1.
х—*1
Решение. Возьмем любое е>0. Задача состоит в том, чтобы
по этому е найти такое <5>0, при котором из неравенства
|х-1|<<5 следовало бы неравенство |Дх) —1| = |(3х—2)—1|<е.
Преобразуя последнее неравенство, получаем ]3(х— 1)|<е, или
|х—1|<е/3. Отсюда видно, что если взять <5<е/3, то для всех х,
удовлетворяющих неравенству |х—1|<<5, выполняется требуемое
неравенство |/(х)— 1 ] < е. Это и означает, что lim (Зх—2)= 1. В ча-
стности, если е— 1, то <5< 1/3, если е= 1/2, то <5 < 1/6 и т. д.
Используя определение, доказать, что:
213. lim(3x'-5)=l.
х-*2
214. limxsin- = 0.
дс->0 X
215. lim(2x-5) = 7.
х-»6
217. Нт (Зх+5)= 11.
219. Нт ^-=2.
у/х~\
221. limJx^V5.
х-*5
216. limcosx=l.
х-*0
218. Нтх2=4.
220. lim |х| = 0.
х-+0
222. limsinx=0.
223. Доказать, что lim(2x—1)=3. Найти такое 5, чтобы для
х->2
|х—2| < д выполнялось |/(х) — 3| = |(2х — 1) — 3| < 0,01.
2. Свойства пределов. Непрерывность функции.
Теорема 1. Пусть функции/(х) и g\x) имеют в точке х0 преде-
лы В и С. Тогда функции f(x)±g(x),f(x) g(x) uf[x)/g(x) (при C/0)
имеют в точке х0 пределы, равные соответственно В+С, ВС
45
и В/С, т. е. lim [Дх)±^(х)]=5±С, lim (Дх) g(x)]=j8C,
X-*XQ	X-*XQ
lim/(x)/g(x)=21/C.
x-+xq
Замечание. Теорема 1 верна также и в случае, когда х0 явля-
ется одним из символов оо, + оо или —со.
Пример 4. Найти lim(3x2+x+5).
x-d
Решение. На основании теоремы 1 (предел суммы и произ-
ведения) имеем lim(3x2+x+5)=lim3 limxlimx+limx+lim5=
x-d	х-*1 х-*1 х-*1 x-»i	х—*1
= 3-1-1 + 1+ 5 = 9, так как lim3 = 3, lim5=5, limx= 1 (см. приме-
х-И	х-*1	х-*1
ры 1 и 2).
Определение 2. Функция f\x) называется непрерывной в точке
х=хь, если предел функции и ее значение в этой точке равны, т. е.
lim/tx^/W
X-*XQ
Пример 5. Используя определение, доказать непрерывность
функции _Дх)=Зх2+2х +1 в точке х=1.
Решение. Сначала найдем предел данной функции при х—► 1:
lim(3x2+2x+l)=lim3 limxlimx+lim21imx+liml = 3-r 1+2 х
Х-1	Х-.1	х-»1	х-*1	х->1	х->1	х-»1
х 1 + 1=6. Затем вычислим значение функции в точке х=1:
/(1)=3 _ 1+2’1 +1 =6. Видим, что предел функции и ее значение
в точке х=1 равны, т. е. 1кп_Дх)=/(1); следовательно, функция
х-Н
непрерывна в точке х= 1.
Теорема 2. Пусть функцииf\x) и g(x) непрерывны в точке х0.
Тогда функции /(x)±g(x), Дх) g{x) uf(x)lg(x) также непрерывны
в этой точке (частное при g(xo)#O).
Пример 6. Найти lim --°—.
x-Mt/2 1—C0S2*
Решение. Так как в точке х=л/2 функции 1, sinx, cos2x
непрерывны, то, по теореме 2, функция /(х)=1—— - непрерывна
1— cos2jc
в точке х=я/2, т. е. предел функции и ее значение в этой точке
равны, тогда, переходя к пределу, получаем
1 + япх	1+яп(я/2)	1 + 1
lim-------=----------=-----=1.
х-»«д 1—cos2x 1—cos(2«/2) 1—(—1)
Используя определение, доказать непрерывность функций:
224. /(х)=С (С — некоторое число) для всех хе (— оо, + оо).
46
всех xg(—co, + со).
для всех хе (—со, + со),
для всех хе(—оо, +оо).
227. /(x)=x3-2x+4
Найти пределы:
228. lim(x2-7x+4).
и-»3
___ .. х^-Зх+г
230. hm—-----.
229. lim(-x:
231. lim	Т .
х-1 х3 —Зх+2
232. lim (sinx—cos2x).
х-»к/2
О оо
3. Раскрытие неопределенностей вида - и —.
О оо
ха+6х+8
Пример 7. Найти lim —--------.
Г	ЗГ-.-2 х> + 8
о
Решение. Имеем неопределенность вида Непосредственно
теорему 1 (предел частного) применить нельзя. Необходимо, как
говорят, раскрыть эту неопределенность. Для этого разложим
числитель на множители и сократим на общий множитель х+2,
который обращает в нуль знаменатель и числитель дроби. Полу-
чаем
х1+6х+8	,.	(х+2)(х+4)	х+4
hm ----------- Inn — --------—= lim ---------.
х-.-2	х*+8	х-.-2 (х+2)(х2—2х+4) *-»—2 Xs—2х+4
Так как знаменатель теперь не равен нулю, то неопределен-
0	’
ность - раскрыта. Применяя теорему 1, окончательно находим
,	hm (х+4)
v х*+6х+8	x-+-2v	-2+4	2 1
11Щ —,	==	---------------------------= — =
X—2 xs+8	„	(—2)a—2(—2)+4 12 6
Hm (x2—2x+4)
—	_ тт * V Зх~4
Пример 8. Найти lim---.
co
Решение. Имеем неопределенность вида —. Разделив на
оо
х числитель и знаменатель дроби, а затем применив теорему 1,
получим
4	/ 4\	4
3—- lim ( 3— I lim 3— Hm -
Зх—4	х	х/ х-*® х-»оох 3—0	_
Нт-----=lim —=-----------------------=—=3.
X-*® х—2	х->«	2	/	2\	2	1—0
1— lim 11—I lim 1— Hm -
47
Найти пределы:
234. lim------.
х^5 X— 5
*п4х
236. lim-----.
х->0 sin5x
1-	х2-5х+6 238. hm	.	
	jf-^з х—3
240.	х2+2х+3 lim —	.
242.	х-^00 2х2 + Зх+4 ..	х3+5 1пп —	.
244.	*-*<*> х2 + 3 ..	2х—3 lim ——.
246.	х-«> х2 + 2 9-х2 lim-^=—.
248.	*-3 s/Зх-З _	sin2x—cos2x— 1 lim	
250.	Х-ФЯ/4 cos х —sinx v V^ + l hm 		.
252.	x-* + oo X+l ..	x/?+l Inn 2	.
254.	x-»0° X+l		 -Ух3-1-\/х3+2 lim  	=—.
256.	7x+4y/x*+l	 ,. v/^+s+Vs^+i hm 		та-	.
258.	Jt-+®	sv*3+3 y/l+X—y/l—X lim 				.
260.	x-»0	X ..	5x lim —===	7—
262.	x“*° \/1+Х—\/1 -X r Vl+^-1 lim —	. X-+0	X
япЗх
235. lim-----.
х-0 X
.. яп22х
237. Inn ——.
Х~>О х2
х2—х—2
239. hm —--------.
Л-*-! Х3 + 1
241.	x+3 lim —	. x-»oo 2x2+3x + 4 5x3 —7x
243.	Inn	r. X-OO 1— 2x3 2x3+4
245.	hm ——. x-*oo x*+5 4.	sinx—cos x
247.	lim 	. x-*x/4 COs2x
249.	lim^. X~*0O (x+l)100
251.	x/x2 + l lim 2	. x->-00 x+1		
253.	3х/х3 + 1-ч/4х2-1 x+7
255.	J2x*+3x Inn -	. x-+«
257.	(x+l)10(x3 + l) 11m	 x-*oo (3x+l)2(x+5)s(x-l)s
259.	lim			. х-*к	яп
261.	<.	\Л+х2-уЛ+х2 lim —	. x-+0	x3+2x2
яп7х
263. lim
х-+0
4. Раскрытие неопределенностей вида оо — оо н 0 * оо.
Найти пределы:
264. lim G/x2+4x—х).
Х-+ + 00
266. lim (5/1 +х2—х).
х-» 4-оо
265. lim (i/x2+4x—х).
X-»" со
267. lim (Vl+x2-x).
Х-ф-сО
48
268.	lim (->7х2 + Зх + 1 —
X-* + <X>
— ^/x2 —3x—4).
269.	lim (Vx2+4-
X-.-00
-Vx2~3*+1).
270.	lim (х->/х2+х+1).
x~* + go
272. lim f—------2_\
X-*1 \X — 1 X2 — 1J
274.	lim (v/x2 —3 —5x).
X-*—00
/ x3	X2 \
276. lim (-4-----—).
г-.» ХЗх2—4 Зх+2/
271. lim (x—</x2+x+l).
x-> —00
273. lim (—
x-^2 \x—2
12
x3-8/
275. lim (J9x2+l-3x).
X—►-f-00
277. lim (~
x-o \sin2x
278. lim(l-x)tg~.
х-и	2
280. lim (x—-)tgx.
\	2)
279. limxctgx.
281. lim
x2-3x+2	x2—3x+2
5. Смешанные задачи на вычисление пределов.
Найти пределы:
282. lim —-----
л-и Зх*+х+2
..	^4х2+1~-х
284. Inn -----------.
Х-++00 Зх+5
283. lim —.
x->«/2 sin4x
о	7x2 + 5x+l
285.	lim-------------.
*-*<*> 34-14x2 + 2x
.. sinlOx
288. lim-----.
л->я sin9x
tgx-sinx
290. lim .
х->0 х3
292. lim f—+-^-\
х^-2 \х + 2 X2"4/
294. lim
sin2 3x
296.	lim . ------------.
*_>0 V1 +xsinx—cosx
287.	lim  ----------.
*-»0	X
1—cos2x
289. lim----;----.
x-o xsmx
291. lim (-v/x2 +1 —5/x2 —4x).
X-+ — 00
293.
2xanx
295. lim------.
x-+o sec2x—1
297. lim (^/x2+x+l-
2x
298. lim 5’
299. lim[xcosx+5(x2—3x+l)].
x->0
49
1. xt8x
301. lim ——.
X“+0 I — cosx
303. lim —
1-%/x
304. lim
305. lim (secx—tgx).
x-Ht/2
§ 3. Сравнение бесконечно малых.
Функция а(х) называется бесконечно малой при х-*х0 (или
в точке х0), если lim а(х)=0. Пусть а(х) и 0(х) — две бесконечно
малые функции при х-*х«. Тогда:
• ч .. «ДО Л / \	-	_ ,
1)	если 1пп -тг=0, то а(х) называется бесконечно малой более
ДДО . .
высокого порядка, чем р\х);
2)	если lim -т\=Л#0 (А — число), то в(х) и в(х) называются
*-»»о Дх)
бесконечно малыми одного порядка;
3)	если lim -т\= 1, то а(х) и Д(х) называются эквивалентными
бесконечно малыми. Эквивалентность обозначается так:
а(х)~/Цх) при х-*хо;
«W
4)	если lim---=Л#0, то а(х) называется бесконечно малой
. УДО ,.
п~го порядка относительно Д\х).
Аналогичные определения имеют место для случаев х-»хь—,
X—*Хо"Ь, Х-> — 00, Х-+ + ОО и х-»оо.
При сравнении бесконечно малых функций часто используют
символ о («о малое»). Если функция а(х) в точке хь — бесконечно
малая более высокого порядка, чем бесконечно малая в (х) в этой
же точке, то это условно записывают так: а(х)=о(Ди))'. Напри-
мер, х2=о(х) при х-*0.
Пример 1. Доказать, что при х-»0 функция х (Л>1) — бес-
конечно малая более высокого порядка, чем х.
*
Решение. Действительно, lim —=lim x*“’e0, так как, по
х-+0 х х-*0
условию, k~ 1 > 0.
Шимер 2. Доказать, что при х-»0 функции sinfcx и 1х (*#0,
/#0) — бесконечно малые одного порядка.
50
Решение. В самом деле,
sinfcx к„ sinfcx
lim---------=-lim-------------
х-*0 lx I x-*0 kx
I I
Пример 3. Доказать, что при х->0 функции sin л и tg х — эк-
вивалентные бесконечно малые (sintgx при х->0).
Решение. Действительно,
smx япх
lim —=lim------------------=limcosx=l.
х-*о tgx х-»о smx *-*о
cosx
Пример 4. Определить при х-+0 порядок бесконечно малой
функции cos3x—cosx относительно бесконечно малой х.
Решение. Требуется найти число п такое, чтобы
о cosЗх—cosx
lim--------был конечным и не равным нулю. Имеем
х-»0 л
X
cos3x—cosx -2sin2xsmx	sin2x ,, sinx1
lim-------=lim---------= —21im---Inn — lim-----=
x-»0 л	x-»0	л	x-+0 x x-*0 X x-*0 л—2
XX	X
= — 2'2 11im —J—= —41imx2-"
x->0 л-2	x-»0
X
При n<2 limx2-"=0, что не подходит, при п>2 limx2 "=оо,
х-Н)	х-*0
что также не годится. Только при п=2 limx2-"=l и искомый
х-»0
предел равен —4, т. е. конечен и отличен от нуля. Итак, п=2
и функция cosЗх—cosx — бесконечно малая второго порядка
относительно бесконечно малой х при х-*0.
Пример 5. С помощью замены эквивалентных найти преде-
ln(l+3x)	In cosx	Influx)	log3*-l
лы: I) lim-------; 2) lim —=——; 3) Inn----------; 4) lim-------;
*-n> sinSx	*-»o ‘-v/l+x1 —1	’"•* 2*—2e »-*3 x— 3
-v/l+x-t-*1-!
5), lim ---------.
x-»0	X
Решение. 1) Имеем ln(l + 3x)~3x; sin5x~5x*. Поэтому
.. ta(l+3x) Зх 3
Inn-------= 1пП
*-•0 sin5x *-*o 5x 5
Incosx	_ In [14-(cosx—1)1	cosx—1
2)	Inn	—=lim —-—---------=4 hm ——=
*-•0	—1	X2/*	*—o X2
. • 1—cosx	.	x*/2	_
= -4 Inn ——-= -4 lim —-= -2.
x-*0 X2	x-*0 X2
*См. задачу 306.
51
In-
_ Inflnx) ln[l+(]nx-l)] Inx-lne	e
3)	lim ——-=hm —— ----------=lim---------==lim------=
x-+e 2x—2e *~*e	2(x-e) x-e 2(x—e) *-*c 2(x—e)
«. L \e /J f. e	x—e	1
—Inn-------------= lim-----=hm----------=—.
x-*e 2(x*-e) x-»e 2(x—e) x-*e 2e(x— e) 2e
,4 r log3*-l r log3x-Iog33	3 ln3
4)	lim-----=lim-----------= hm------=lim------=
Х-*3 X— 3	x->3	X—3	Х-»3 X —3 x“*3 X—3
1	ln[l+(x/3—1)]	1	x/3-1	1
=—lim-------------=—lim---------=----.
1пЗх-*з	x—3	1пЗх-*з x—3	31n3
x+xa
... \/l +x+x2-1 ,,	2	,, х+1 1
5)	lim 2---------=lim-----=lim------==-.
x-»o x	x-*o x x-»o 2	2
306. Доказать, что при x-+0: 1) sinx~x; 2) tgx~x;
3) 1— cosx~—; 4) ln(l+x)~x; 5) ex—l~x; 6) d — l~xlna;
7) (l+x)“—l~ax; 8) arcsinx~x; 9) arctgx~x.
Определить при x-»0 порядки бесконечно малых функций
относительно бесконечно малой функции х:
307. xsin3x.	308.	X2 cosx.
309. xln(l + 2x).	310.	X5 —— arcsill x. x7 + l
311. (5V1 + х — I)10 cos ях.	312.	. 1+x In	. 1 —X
313. tgx—sinx.	314.	
315. (2х—l)ln(l+sin5x).	316.	(e"1-l)ln(ex+l).
317. (3X-I)lncos2x.	318.	Vl+x-l-x/3.
319. e'^-v/l-x2..	320.	sinx — cosx+e
321. ln(l + 3x)~3x.	322.	sin2x—ln(l +x2).
323. Зл/1 + In2 (1 + x2)—cos x2.	324.	e -1—x3.
325. ln2(l+x)-exl + l.	326.	snr xln	. 3x+l , l-3x In	-+3x. 1+x3
327. (Vl-2x-l)100arctgx.	328.	
Пользуясь методом замены бесконечно малых эквивалент-
ными, найти пределы:
52
329. lim	arctg(2x-l) 1 t 4x2 -1
	
331. lim	
x-*0	
	7^/x— 1
333. lim	
x-*l	\/x—1
	3^COSX—1
335. lim	
x-*0	5^cos2x-l
	4/5 ,
	x — 1
337. lim	
x-*I	Ы 1
	X -1
	
	\/cOSX—1
339. lim	
x-+0	sin2 3x
341. lim	Intgx
х->хЦ COS2x	
343. lim	In flog: x)
x-*2	x-2
	4 —64
345. lim	
x-*3	x-3 ’ j
	4x 3x
	e —e
347. lim	
x-*0	sin4x—sin3x
	3x .
	e —1
349.J lim	
z *-.0	$x _
	e -I
	з*,х-з“х
351. lim	
x-»0	(tg(x/2))3 ‘
353. lim-----------.
x-»5 arctg(x—5)
361. lim (tgx)‘i2x
„ л arcsin(x+2)
330. hm —--------------
334. 336.	sina3x
	lim —	—4
	
	*-o VI-Зх3—1
	(sVi-D(2*‘ Inn 	
	x->l cos(x—1)-
338.'	..	5/1+x+x3- lim 		
	x-*o	3x Inx— 1
340.	lim	. x->e x—e in COS XX
342.	lim	. x->0 lncosjJx
344.	.. ln(tgx) lim 	. x-nr/4 1—CtgX 4X-10*
346.	lim	. x->° 3x_f -2x . e —1
Ч4Я	Inn	. x-»0 arcsinx X .
35ty	r 2 -1, Inn	.
	3х-1 4х”2-1
352.	lim	. /-2_1 sVx— 1
354.	lim—	. X-+I X-1 e —1 Зх—1
356.	lim xln	. x-»oo	3x —6
358.	..	/2х+3\х+1 lim 	 X->CD \2X+1/
360.	/cosxW lim 	 *-►0 \cos3x/
362.	/anx\i/x-2 Inn 	 x-»2 \sin2/
-1)
1
53
363. lim(e3x+x)1/x
x-»0
365. lim
x-*oo \7 + X/
№— 1
367.	lim ——--.
*-»i sin(x—1)
.. sin3x-sin2x
369. lim-----------.
sinSx—sin4x
v tg2x-sin2x
371. lim -Ц=—.
»-° Vl+x3-!
364. lim(l+sin2x)l/to“"*
cos 7x— 1
366. lim—7==-
368. lim - — —У—
*-»0	x In (cos 3x)
370. lim
372. lim
x-»*/2
sinx—l
373. lim
x-»3
cos (3x-9)—cos (2x-6)
cos3x-cosx
374. inn----------—.
*-»o logjCS+x2)—1
375. lim
x-*3
v/x+13-2V*+>
log3x—1
376. lim	.
*-’* V2+xJ-2x-l
Глава 5
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ
§ 1. Понятие производной
Определение. Производной функции y=f(x) в точке хь называ-
ется предел при Дх-*0 отношения приращения функции в этой
точке к приращению аргумента (при условии, что этот предел
существует).
Производная обозначается yf (х0) или f (хв).
Итак, по определению,
Ли /(хо+Лх)-/(хо)
/'(*о)= Inn —= lim-----------.
Дх-*0 Ах Дх-»0 Ах
Нахождение производной называется дифференцированием
функции.
Пример. Используя определение производной, найти произ-
водную функции f (х) =х2 в точке х=хь.
Решение. Придавая аргументу х в точке х0 приращение Дх,
найдем соответствующее приращение функции:
Ду =Л*о+Лх)-f(x0)=(х0+Ах)2 - Хо—
=Хо+2хоДх+(Дх)2 — Хо=2хоДх+(Дх)2.
54
Составим отношение
Ду 2х0/кх+(Дх)1
Дх Дх
Найдем предел этого отношения при Ах->0:
lim —=lim ^^=2^
Дж-*0 Дх Лх-М) Дх
Следовательно, производная функции Дх)=х2 в точке хо равна
числу 2хо, что в принятых обозначениях можно записать так:
Г(хо)=2хо.
Используя определение производной, найти производные фу-
нкций в точке х=х«:
1. Дх) а> 5х2.	2. Дх)=х3.
3. Дх)=л/х.	4. Дх)= 1/х.
5. Дх)= 1/х2.	6. Дх) = 1/л/х.
7.Дх)=8ш2х.	8.Дх)=сов^.
9. Дх)=—Ц.	10./(x)=Vl + 3^
2х+1
§ 2.-Вычисление производных
I. Правила дифференцирования:
I) (h±v)'=iZ±/; 2) (uv)'=u'v+uv'; 3) ф ^^^(у^О);
4) если функция и—$(х) дифференцируема в точке х0, а функ-
ция y=f(u) дифференцируема в точке mo=<p(xq), то сложная
функция У=/[<р(хЛ дифференцируема в точке
хо и У (х0)=У (ио) и' (Хо).
П. Формулы дифференцирования:
1) (С)'=0; 2) (х’)'=ах’-1; 3) (1о^х)'=-1о&е, в частности
х
(1пх)'=1/х; 4) (ах)'=а In а, в частности (ех)'«ех; 5) (sinx)'=cosx;
6) (cosx)'«=-sinx;	7) (tgx)'=—8) (ctgx)'=—-Д-;
cos1 x	nn'x
9) (arcsinx)'= 1 ; 10) (arccosx)'=—=L=;ll)(arctgx)'=—
Vl-*1	a/1-*1	,+x^
12) (arcctgx)'= ——.
l+x*
55
Пример. Используя правила и формулы дифференцирования,
найти производные функций: 1)/(x)=54-x34-3x24-sinx4-cosx4-
4-2tgx—3ctgx4-log2x4-31nx;	2) f(x)=——;	3)/(x)=xsinx;
лг + 1
4)	Лх)=х arctg х—- Ь (1 + х1).
Решение.
1)	Г (х) = (5 4- х3 4- Зх2 4- sin х 4- cos x + 2tg x— 3ctg x 4- log2x 4-
4- 3 In x)'=(5)'+(x3)'+(3x2)' 4- (sin x)'+(cos x)'4-(2tg x)' - (3ctg x)' +
2	3	1	3
+(log2 x)' 4- (3 In x)'—3x2 4- 6x 4- cosx—sin x 4- —— 4—-—I— log^ 4-
cos2x sin2x x	x
/vz s («*-1)'(^ + 1)-(x*- 1)(хЧ1Г Zx^ + D-Cx2-!) 2x
2)	f w-----------------------------------------=
2x*+2x-2x’+2x 4x
(x2 + l)2	(x2+l)2’
3)	f (x)=(xsinx)'=(x)' sin x+x (sin x)' = Г sin x-Ь xcosx=
=sinx+xcosx;
4)	/'(x)=(xarctgx)'—Qln(l 4-x2)^'=(x)'arctgx4-x(arctgx)'—
1	1	,,	,	x 2x
— ----(14-x2) =1 -arctgx4-------------=arctg x.
2 l+x24	1+x2 га+х2)
Найти производные функций:
11. у=х*4-3х2 — 2x4-1.	12.	y=lx14- Зх2 — 4x— 1.
13. у=\/х4--—т;4-4. X л	14.	,=V?+^~i+2. X* X3
15. j=4xs—3sinx4-5ctgx.	16.	у=3 y/x 4- 4cos x—2tg x 4- 3.
17. 7=34-4x24-5-v6?4-	18.	j=8-v/x3—4x64-5inx-
4-—4-sin х 4-cos х 4-In х. X2		— 7cos x 4-tg x 4-ctg x.
19. j=log2x4-31og3X.	20.	у=4e* 4- arctg x 4- arcsin x.
21. y=e —	22.	y=5 4-6 4- -
2	4		V/ Q	£. 4 z
23. y=arcsinx4-3\/x4-	24.	О	0 y=—-=	=
4-5arccosx.		*-Jx э-у/х
25. ><=tgx-ctgx.	26.	у=arctg x— arcctg x.
27. y=xcosx.	28.	7=x2tgx.
29. y=\/xlnx.	30.	j=xarccosx.
31. y=3vxarcctgx.	32.	y=x2log3X.
x^ + l		lax
33- J'-ZFT- ЗГ —1	34.	y=	Fxctgx. sinx
56
cosx 35- y=	. l+2sinx 37. y=— у/X 1 +e* 39. у-	. l-e*	36. y=^~. Vx+1 „	xtgx 38.	y=—Ц. z 1+x2 X* 40. f (x)=	x2+x, найти /xox/'bm-i).
41. f(x)=x2--^, найти /'(2)-/'(-2). 43. f(x)—-——, найти /'(0)- 1+ 10*	42. /(x)=——, найти /'(0),/(2)!/'(-2). 44. /(x)=—, найти /'(e)> /'(l/e),/'(e2).
45. f(x)=xlnx, найти 47. y= sin(x2 +5x+2). 49. y=-J\ —x2. 51. y=y2x—sin2x. 53. y=sin3x. 55. y=ln(x4-1 +y/xz+2x+3). 57. j1=In sin x. 59. y=lntg5x. 61. j=e“x. 63. >'=ln (x2+2x). 65. y=—^arctg — V3 V3 67. y=lnln^/x.	46. y=sin3x. 48. y=^cos(a—bx). 50. y=^/\ + 5cosx. 52. y=sin2x. 54. j»=cos100 x. 56. y=tg(x2+3). 58. у=Incosx. 60. j=ln(l+cosx). 62. у=In (x2-3x4-7). 64. y=ln(x4--4/'x2 + 5). 66. y=-arcsin—=. 2	73 68. y=-ln —3. 6	x+3
__	. a^ + x2 69. y=ln	. a /1 +2x 71. v = ln /	. A/ 1—2x 73. j=xlnx+arcsin-^/x.	70. y=ln ———. Z	1-x3 72. y=i(x-t/l— x24-arcsinx). 1 X 74. y=-e (sinx4-cosx).
75. j=xarctg^/2x— 1 — 77. y=sin2x3.	76. y=tg3x—3tgx4-3x. 78. j=ctg3|.
57
(14-cbs4x)s
l+sin2x
81. y=-------.
1—sin2x
83. y=2lx+xs+e~xl+-,
X
85. y-y/xft^.
87. j=(x+2)e”>
i
89.
91. y«101-“’2’.
93. J=?(e’/*+e-*'*).
95. j=ln(e2x+4/c*x+l).
In sin x
97. y—------.
tacoex ___
99. j'elogTCOS-x/l+x
101. ^=ln(-^/x—\/x— 1).
103. ^=ln(sinx+>/l +sin2x).
105. y-arocos(l—2x).
107.^=arcsin->/sinx.
109. у arcsill ^/x.
/ 2x
ill. >>=arctge2x+ln /——.
v « —i
113. )>=lnarccos2x.
x+3
115. y=arctg—
117. ^«arccose-^.
119. у=е***‘,ж.
121. у—lnsintge~*\
123. j^lnarctg-v/l+ x2.
80. j=sin4x+cos*x.
86. у=х*е~*
88. y=ex/5cos(x/3).
90. y^*.
92. y—sin (2х).
X -X
94. y=-----.
X -X
e -e
96. 7=In
98. y=log5cos7x.
100. ^=e’^
l+^l+x2
102. y>=—------.
x
104. y~----U=.
x+Vxs—1_____
106. у=агс8тл/1 — 4x.
108. y=arcsin (e4*).
110. y=arctgv/6x—1.
1 x/x3-!
112. j=arctg--1----
x x
114. j=arctgln(5x+3).
116. j=arcctg2-.
x
118. y=tgsincosx.
120. y=ay/™x'*,3x, 0<a^i.
122. y=ln5sinx.
124. у=ъ\/Insin———.
v 4
58
125. у=г^х
127. v=x2 arcsin Vl — x2.
129. y=arctg(x-x/l+x2).
131. y=V3farctg-^=4-lnx
\	0	*+<3/
133. y=-V(l+lnx)3.
3V v
126. y=5-y/arctg e5*
128. y=>/l — arccos2x.
2	2x+l
130. y=—= arctg—
y/3	y/3
132. y=21n(x24-5)—f/Sarctg—.
<5
134. у=In (x sinx'->/1 — x2).
135. y—xx.	136. y=x'x
137.	у=х*ях	138. y=(tgx)“x
139.	Составить уравнение касательной к параболе Дх)=х2
в точке Л/(1/2; 1).
140.	Составить уравнения касательных к графикам функций:
1)	у—4х—х2 — в точках пересечения с осью Ох;
2)	у=1пх в точке пересечения с осью Ох;
3)	у=е2* в точке пересечения с осью Оу.
141.	При каких значениях х касательные к графику функции
у=х3—х параллельны прямой у=х?
142.	В точках (0; 0), (2; 1), (4; 0) проведены касательные
4х—х*
к параболе у=—-—. Найти углы их наклона к оси Ох.
143.	Найти угол наклона к оси Ох касательной к гиперболе
у= 1/х в точке (1; 1).
144.	Окружность задана уравнением х2+у2— 4х=0. Найти
уравнения касательных к ней в точках ее пересечения с осью Ох.
145.	Составить уравнения касательных, проведенных из точки
М(1; —3) к параболе f (х) =х2.
§ 3. Понятие дифференциала
Если функция у=/(х) дифференцируема в точке х, т. е. имеет
в этой точке конечную производную /'(х), то ее приращение Ду
можно записать в виде
Ду =/' (х) Дх+а (Дх) Дх,
где lim а(Дх) =0.
Лх-Л
Главная, линейная относительно Дх часть /'(х)Дх прираще-
ния функции называется дифференциалом функции и обозначает-
ся dy:
dy=/'(x)Ax.	(I)
59
Положив в формуле (1) f\x)=x, получим dx=(x)'Ax=
= ГАх=Ах, окончательно соотношение (1) принимает вид
dy=/'(x)dx.	(2)
При достаточно малых Ах приращение функции приближенно
равно ее дифференциалу, т. е. Ay«dy.
Пример 1. Найти дифференциал функции у=х2+х+1 в точке
х=2, причем сделать это двумя способами: 1) выделяя главную,
линейную относительно Ах часть приращения функции Ау; 2) по
формуле (2).
Решение. 1) Ау=/(х +Ах)-/(х)=/(2 +Ах)-/(2) = [(2 +
+Ах)2+(2+Дх)+1]—[22+2+1]=5Ах+(Дх)2, отсюда dy=5Ax;
2) по формуле (2), dy=(x2+x+l)'dx=(2x+l)dx, /'(2)=22+
+ 1=5. Следовательно, получаем dy=5dx=5Дх.
Пример 2. Вывести приближенную формулу (1+а)"« 1+ла.
Найти приближенно 5/1,005; (1,03)’.
Решение. Возьмем функцию Дх)=х". Тогда при малых Ах
Ду=(х+Дх)"—x"«dy или (х+Дх)"—х"«(х")'Дх=лх"_1 Ах, откуда
(х+Ах)*«х’+пх"-1Дх.
Полагая х=1, Ах=а, получим (1+а)*«1 + ла. Найдем прибли-
женно J1.005 и (1,03)’. Имеем 71-005=71+0,005 «
«1 + 1/2 0,005=1,0025 (л=1/2, а=0,005); (1,03)’=(1+0,03)’«
«1+5 0,03=1,15(л=5, а=0,03).
Найти дифференциалы функций:
146. y=sm32x. 1	147. y=ln(sinT*)-
4	004х 148. у=е 150. y=xlnx.	149. у=2"’ 151. y=arcsin7*-
152. у=х3+ху/х.	153, у=arctg7х2+1 
154. у=х2ап7*<	х+1 155. у=— 7*+1
156. у=	. 1—sinx	157, y=xarctgx.
158. у=——. arcsinx	159. у=у/хакХ%у/х.	i
160. Найти приближенно приращение Ау функции у—х1, еслЦ х=2иДх=0,01.	
161. Вывести приближенную формулу 7fl2+^«a4—. Найти	
приближенно 7101, -»	Дб4, 741, 379, %/33-	|
60
1
§ 4. Производные и дифференциалы высших порядков
1. Производные высших порядков. Производная/'(х) называ-
ется производной первого порядка. Производная от f'\x) называет-
ся производной второго порядка (или второй производной) от
функции/(х) и обозначается у " или Производная от /"(х)
называется производной третьего порядка (или третьей производ-
ной) от функции/(х) и обозначается у или/'"(х) и т. д.
Производная n-го порядка есть производная от производной
(п— 1)-го порядка, т. е.
Производные начиная со второй называются производными
высшего порядка.
Найти производные второго порядка от функций:
162.	-X2 у=е	163. y=tgx.
164.	y=ctgx.	165. y=arcsin z	2
166.	y=sin2 х.	167. y=cos2x.
168.	у=>/1+х2.	169. y=arctg-. X
170.	у=1п(2х—3).	171. y~xsinx. x+1
172.	y=xarcsinx.	173. y=	. x-1
Найти производные третьего порядка от функций:
174. y=arctg-. 2	175. y=xe-x
176. y=excosx.	177. y=x2sinx.
178. y=x32x	179. y=xlnx.
Найти производные	л-го порядка от функций:
180. y=lnx.	181. y=sin3x.
182. y=ex/2. 184. y=cos2x.	183. j=23x. 185. y=ln(l+x).
186. y=3x	187. y=(4x + l)"
188. y=xcosx.	189. y=x3ex
190. y=x2sin-. 3	191. y—x2lnx.
Применяя формулу Лейбница, найти производные указанных
порядков для функций:
192. y=excosx; найти у".
194. у=х2 sin х; найти у".
196. у=х21пх; найти У".
193. у=ох3; найти у".
195. j=e-*sinx; найти у"’.
197. у=ех(3х2—4); найти У”'*
61
2. Дифференциалы высших порядков. Дифференциал
dy=/'(x)dx называется дифференциалом первого порядка.
Дифференциал d(dy) от дифференциала dy называется диф-
ференциалом второго порядка функции f(x) и обозначается d2y,
т. е. d2y=/w(x)(dx)2.
Дифференциал d(d2y) от дифференциала d2y называется диф-
ференциалом третьего порядка функции /(х) и обозначается dry
ит. д.
Дифференциал d(d"*y) от дифференциала d"~*y называется
дифференциалом п-го порядка функции f(x) н обозначается d"y.
Дифференциал n-го порядка индуктивно определяется по
формуле
dy=yW(dx)",n=l,2,
откуда
(d*/
т. е. n-я производная функции у=/(х) в некоторой точке х равна
отношению n-го дифференциала этой функции в точке х к диф-
ференциалу аргумента в степени л.
Пример. Найти дифференциал третьего порядка функции
у=х*—Зх*+4.
Решение. Последовательно дифференцируя, получим
dy=/dx=(4х3—6х) dx,
d2y=d (dy)=d [(4x3 - 6x) dx]=[(4x3 - 6x) dx]'dx=(12x2 - 6) (dx)2,
d3y ==d (d2y)=d [(12xe -6) (dx)2]=[(12x2 - 6) (dx)2]'dx=24x (dx)3.
Найти дифференциалы второго порядка от функций:
198. у=4х3-7х2+3.	199.	y=cos2x.
200. у=4”*	201.	у=у/]п2х-4.
Найти дифференциалы указанных порядков от функций:
202. y=sinzx; найти d3y.	203. у=у/х-1; найти d*y.
204. y=xlnx; найти d’y.	205. y=xsinx; найти	d10y. J
§ 5.	Дифференцирование функций,
заданных параметрически	•
Производные первого и второго порядков	функции у»/(х)]
представленной параметрически функциями x=<p\t),	вы!
ражаются формулами	I
62
Пример. Найти >»„, если x=cosz, у=sin Г
Решение. Имеем
.	(—sin Г) (—sin f)—(—cos/) (cos/) sin’i+cos’/ 1
у д. 	।	,	। да» ,	, ,n . । । ag; —
°	(—sin 0s	(—sin/)’	sin’/
Найти уж и y^.
206. x=/2, y=y—/.	207. x=e2‘, y=e3‘
208. x—a(t—sin/),	209. x=f2,y=/3+t.
у=й(1—cos/).
210. x=acos3/, y=asin3/. 211. x=e‘cos/, y=e sin/.
§ 6. Основные теоремы дифференциального исчисления.
Правило Лошггаля. Формула Тейлора
1. Теорема Ферма. Пусть функция f(x) определена на ин-
тервале (а, Ь) и в некоторой точке Хо этого интервала имеет
наибольшее или наименьшее значение. Тогда если в точке х0 суще-
ствует производная, то она равна нулю, т. e.f'(x^=0.
212.	Удовлетворяет ли функцияДх)=3х2—1 условиям теоре-
мы Ферма на отрезке [1, 2]7
Теорема Ролли. Пусть на отрезке [a, М определена функция
f[x), причем: 1°)Д*) непрерывна на [а, 6]; 2*) Дх) дифференцируема
на (а, о); 3°) Да)=Дб). Тогда существует точка се(а, 6J, в которой
Лс)=0.
213.	Удовлетворяют ли условиям теоремы Ролля функции:
1) Дх)=х. хе{0,1]; 2) Дх), равная х, если 0 <х<1, и равная 0, если
х— 1; 3) Дх)=|х|, хс[— 1, 1J? Пояснить графически.
214.	Удовлетворяет ли функция Дх)=1—35/х2 условиям те-
оремы Ролля на отрезке [—1, 1]?
215.	Удовлетворяет ли функция Дх)=sinx условиям теоремы
Ролля на отрезке [0, nfl
216.	Доказать, что уравнение х3+Зх—5=0 имеет только один
вещественный корень.
Теорема Лагранжа. Пусть на отрезке [а, Ь] определена
функция Дх), причем: Г) Дх) непрерывна на [а, 6]; 2°) Дх) диф-
ференцируема на (а, Ь). Тогда существует точка се(а, Ъ) такая,
что справедлива формула
217.	Проверить, что функция /(х)=2х—х2 удовлетворяет
условиям теоремы Лагранжа на отрезке [1,3], и найти имеющую-
ся в формуле Лагранжа точку с.
«з
218.	Проверить, применима ли теорема Лагранжа к функци
ям: 1) Дх)=х2 на отрезке [3, 4]; 2) Дх)=1пх на отрезке [1, 3]
3) Дх)=х4(х— 1) на отрезке [—1/2, 1/2]. В случае применимо
ста найти имеющуюся в формуле Лагранжа точку с.
219.	В какой точке касательная к параболе у=хг параллелью
хорде, стягивающей точки А (— 1; 1) и В(3; 9)? Пояснить графи
чески.
220.	В какой точке касательная к кривой у=4—х2 параллель
на хорде, стягивающей точки А (—2; 0) и В(1; 3)? Пояснил
графически.
221.	Построить график функции у=\х—1| на отрезке [0; 3]
Почему здесь нельзя провести касательную, параллельную хор
де? Какое из условий теоремы Лагранжа здесь не выполнено?
Теорема Коши. Пусть функции Дх) и g(x) непрерывны на [а
Ь] и дифференцируемы на (a, b\ Пусть, кроме того,
Тогда существует точка с^а, b) такая, что справедлива формуле
«W-kW g 'И
222.	Проверить, что функции f(x)—x2~2х+3 и g(x)=x3-
—7х2+20х—5 удовлетворяют условиям теоремы Коши на отрез
ке [1, 4], и найти имеющуюся в формуле Коши точку с.
223.	Написать формулу Коши и найти точку с для функций
1) Дх)=х3 и g(x)=x2 на отрезке [а, д]; 2) Дх)—sinx и g(x)=cos;
на отрезке [0, п/2]; 3) Дх)=х2 и Дх)=л/х на отрезке [1, 4].
224.	Удовлетворяют ли условиям теоремы Коши функцш
f(x)=ex и	на отрезке [—3, 3]?
2. Правило Лопиталя.
0
I. Раскрытие неопределенности вида -. Первое правило Ло
питали;	U
Если lim/(x)=limg(x)=0, то lim ^=lim
х-ьа х~+а	х-*а g (х) х-+а g ' (х)
когда последний предел существует (конечный или бесконечный),
„	оо	л	w
П. Раскрытие неопределенности вида —. Второе правило Лопи
тали.	00
Если lim/(x)-limg(x)=oo, то lim lim
х-*а х-*а	х-*а g(x) х-нг g '(х)
когда последний предел существует (конечный или бесконечный).
Правила верны и в том случае, когда х-»оо, х-> + оо, х-> — оо
х-+а— и х-»а+.
III. Неопределенности вида 0 оо, оо —оо, 0°, 1”, оо° и ш
раскрытие. Неопределенности вида О' оо и оо — оо сводятся путеь
64
-	-	О
алгебраических преобразовании к неопределенностям вида -
оо	_
и —, а затем раскрываются с помощью правила Лопиталя.
Неопределенности вида 0°, 1°°, оо° с помощью тождества
_ е« Ыь/Ы
сводятся к неопределенности вида 0* оо.
х2 — 14- In х
Пример 1. Найти lim--------.
О
Решение. Имеем неопределенность вида Применяя прави-
ло Лопиталя, получим
1
. 2х’^-
х2 — 1+1пх о (х —1+1пх)' _ X 3
Inn------------=lim----------------=lim---------=-,
л е
е
(е — е)'
е -е
Пример 2. Найти lim —.
Х-ь + 00 X
е
Решение. Имеем неопределенность
вило Лопнталя п раз, получаем
ОО „
вида —. Применяя пра-
л (л—1)(л—2)...1
lim -----------------
х t. пх л, л(л-1)х
lim —= lim --------= lim ---
Х-*+00 х Х-* + 00 х	X—* + СО	X
ее	е
.. л!
= lim —.
х-* + оо X
е
Здесь уже никакой неопределенности нет. Поэтому
е
«. X .. п! л
Inn —= lim — = 0.
‘-* + 00 х х—* + оо х
е	е
Пример 3. Найти lim xlnx.
1пх
Решение. Имеем неопределенность вида 0 • оо. Но х‘ 1пх=—
1/х
00
и получена неопределенность вида —. Применяя правило Лопи-
00
таля, получим
3-186
65
1. i 1. Gnx) i. 1/x
lim xlnx= Inn -----= hm ------= — Inn x=0.
x-*0+	x-»0+ (l/х/	x-*0+ — 1/x2	x-»0+
Пример 4. Найти lim Xх.
X-.0+
Решение. Имеем неопределенность вида 0°. Но Xх—ех1
и получаем в показателе степени неопределенность вида О'о
которая уже рассмотрена (см. пример 3). Следовательно,
lim xlnx
«. X v XlUX x-*O+	ft -
Inn x = lim e =e =e°=l.
x->0+
Пример 5. Найти lim (1+х2)' 1 *
Решение. Имеем неопределенность вида 1“
1	ta(l+*3)
Но (1-
4-х) =с ив показателе степени получена неопредс
0 „
ленность вида -. Применяя правило Лопиталя, получим
,. taCl+x») (2Х/1+Х3)	2х
hm---------=lim--------—lim------------=lim
\ex-1)(1 +x») '"‘° e'(l +X1)+(e‘- l)2x
=-=2.
1
2
е -1
Следовательно,
InO+x1)
lim - 
lim(l+x2)e “1"x=e
=е2.
Пример 6. Найти lim (tgx)200**
х-*я/2
Решение. Имеем неопределенность вида оо°. Но
2fnt<x
( ^2о»х ^^acotxln tgx eV®»*
и в показателе степени получена неопределенность вид^
00
—. Применяя правило Лопиталя, находим
66
21ntgx	Intgx	l/tgxsec2x
lim ----— = 2 lim —— = 2 lim —----------=
х->я/2 1/cosx x-»r/2 secx х-*я/2 secxtgx
. secx _ secxtgx
= 2 lim -—=2 lim ---------—-= lim cosx=0.
x-nt/2 tg2X x-Mt/2 2tgxsec2x х-»я/2
Следовательно,
lim ICDSxlntgX
lim (tgx)2'o,x=e~’t'2	=e° = l.
x-nt/2
Рекомендуем для приобретения навыка раскрытия неопреде-
ленности по правилу Лопиталя использовать также примеры
помещенные в гл. 4.
Найти пределы:
1-COSX
225. lim —-—.
х-»0 х2
2-(e*+e *)cosx
229. lim —--------—-------.
х-0	X4
И1. ton
х-»4-00	1 X —1
-In----
2 x + l
..	я—2 arctg х
233. lim----------—.
x->00	3/x
e — 1
v In*
235. lim —.
x->0+ 1/X
226. lim —.
x-*0 X
228. lim .
x-*0 ln(l+x)
x шх
230. lim
x^o x—sinx
232. lim
x-»<o n—2 arctg x
i* 1®X
234. Inn —.
x-» + co X
lim
J. вл V*
237. lim —-------
CtgrtX
x
239. lim
x^ + oo X
Ч--
238. lim--------.
х-И Jn(l-X)
.. In (х-в)
240. lim —------
х-ю - z x a
ln(e —e )
241. lim (secx—tgx).
х->я/2
243. lim xe"x
x-»+oo
245. lim (—-------
х-И \X— 1 1ПХ/
242. lim(arcsmx ctgx).
х-Ц)
67
247. lim (—------\
x-»o \sinx x}
249.	lim (tgx)M2x
x-*w/2
248. lim (sinx)*
x-*0
250.	lim(l+x)to*
251.	limx“x
х-»0
253. lim f——-V).
х-*о \xsinx х2/
255. lim (sinx)1**
x-»n/2
252.
limx
254. lim f--—ctg2x\
x-*0 \x2	/
256.
lim(tgx Inx).
x-*0
257. lim(lnx ln(x—1)).
„Л 1- x-arctgx
259. lim-------5-.
х-*0 х3
1-	1П(1-Х)+Х1
261. lim-------------
Х-»О (I+xJ’-l+x2
258. hm-------------
sinx-x
о 1—2 sinx
260. hm------------.
л-*я/6 cos Зх
!• e -1+X-X72
262. lim —- --------
x-+0 x3
e — 1
r- e*-x’/6-^’/2-x-l
264. lim-----------------
x-*o cosx+x3/!—!
266. lim । - arccos x )'/x
\я	J
- 263. lim----—.
*-»o	sin 2x
... 1-	2*—I—X In 2
265. lim-----------.
(1 — x)m—1 +mx
3.	Формула Тейлора.
I. Теорема Тейлора.
а и некоторой ее окрестности производные порядка л + 1. Пустх
х — любое значение аргумента из указанной окрестности, х^а
Тогда между точками а и х найдется точка £ такая, чт1
справедлива формула Тейлора
Пусть функция f(x) имеет в точк1
/(х)=Л)^(х-а)+^(х-в)2 + ...+^(х-в)’+
1!	2!	nl
Л, v+.
Последний член в формуле Тейлора называется остаточный
членом в форме Лагранжа и обозначается 2?л+ j (х).	<
Так как точка £е(а> х), то найдется число в из интервал^
О<0< 1 такое, что £ = а+0(х—а) и остаточный член принимав^
вид
(л 4*1)	Л
Ли+1(х)=------^-^-](x-a)"+1, О<0< 1.
Если функция	ограничена в окрестности точки а, то
остаточный член Ля+1(х) является бесконечно малой более высо-
кого порядка, чем (х — а)” при х->а: Ая+1 (х) = о[(х — а)*| при х-*а.
Последнее соотношение называется остаточным членом в форме
Пеано.
Формулу Тейлора при а-0 принято называть формулой Мак-
ларена'.
2. 7Я)(°) Я_1_Х> М
Дх)=/(0)+—х+—— х2+...+—- х +Л+1М.
1!	2!	л!
Остаточный член имеет вид:
1) в форме Лагранжа Лл+1(х)=-;—^-х"+1, О<0<1;
(л + 1)!
2) в форме Пеано йл+|(х)=о(х").
267. Разложить многочлен P(x)=xs—2х4+х3—х2+2х—1 по
степеням х— 1 по формуле Тейлора.
268. Разложить многочлен Р(х)=х*+2х3 —8х2+4х+4 по сте-
пеням х+1 по формуле Тейлора.
II. Разложение элементарных функций по формуле Маклореиа.
1) /(х)=ех. Так как
т-f
то формула Маклореиа имеет вид
е = 1Ч—Ч—ч-—Н.. + —\-о(х).	(1)
1! 2! 3! л!
2) Ах) =sinx. Так как
f (xj =sinl х+л-I,
Го при n четном,
f ^(0) = sin^n	\
Г(—1) 2 при и нечетном,
то формула Маклореиа имеет вид
3	3	7	2"~1
X , X3 X	„-1 X	Z 2л
sinx=x---1-----Н... + (— 1) ----+о(х ).	(2)
3!	5!	7!	(2л—1)!
3)/(х) =cosx. Так как
69
rW/ \	( ,	( n\ J° ПРИ " нечетном,
/(x)-cosfx+n-),/ (0)=cosln-)=<
' г'	' 2' (.(— 1)"/2 при n четном,
то формула Маклорена имеет вид
cosx=l—1)" ——ho(x2"+1).	(j
21 4! 61	(2л)!	V
В формуле (2) остаточный член записан в виде о(х2л), a s
I 2я-1\
в виде о (х //гак как следующий за последним член равен нул>
(то же самое относится к формуле (3)).
269.	Разложить функциюДх)»In(1 +х) по формуле Маклере
на с остаточным членом в форме Пеано.
270.	Разложить функцию /(x)=tgx по формуле Маклорена д
члена с х3 включительно.
271.	Разложить функции по формуле Маклорена до член
указанного порядка включительно: 1) Дх)=е~* до члена с х!
2) Дх^е141-*3 до члена с х5; 3) Дх)=In (cos х) до члена с xj
4) Дх)=sin sin х до члена с х3.	’
III. Использование формулы Маклорена для вычисления пр
делов.
„	_	„	,. sinx—х
Пример 7. Наити lim —-—.
х^О х3	•
Решение. По формуле (2), взятой при л—2, имеем
хэ .	1 о(х*)
х------1-о(х*)-х	-Н-----—	. ..
..	31	3! Xs 1 ,. о(х*)	1 л 1
lim------------------=lim-------------=----------f-lim —— =-------h0= —.
х->о х3	х-»о 1	3! *-»о х3 31	б
е cosx
Пример 8. Найти lim —?--------.
х-о x’sinx
Решение.
По формулам (1) — (3) получаем
lim
-х’Д
е	— совх ..
----------=1пп
х3 sin х х-.о
------+о(х*)
,.	8 24	..
= lim---------------= lim
х-»0	х* + о(х*)	х-»0
х-»0 X* + d(X*)
1---+-+о(х4)-1 +--------
2 8	2 24_
х3(х+о(х))
1 1 о(х*) 1 1
-----+-2—:-------+о
8 24 х4 _ 8 24	_ 1
о(х^ Г+0	12
Найти пределы:
70
е —е —2х
272. lim —-------
х->о х—sinx
х -* «
„. .. е +е —2
274. Inn---------.
*-»о х1
-^12
,.	cosx—е
276. lim------------.
х-0	х*
х~»о x(sinx—х)
1. tgx+2sinx-3x
273. lim ------:.
х-»0 х*
275. lim (-—L\
х->о \х sinx/
«.	14-х2 cosx
277. lim———---------.
х-»0	X4 ________
„„ ,. sinsinx—х \Zl-x2
279. lim-------,
х-*0	Xя
§ 7. Исследование функций и построение графиков
1. Признак монотонности функции. Функция f(x) не убывает
(не возрастает) на промежутке X, если для любых хь х2еХ из
условия ху<х2 следует неравенствоДх|)<Дх2) ДхО^Дх^).
Если для тех же х из условия xi<x2 следует неравенство
Дх,) <f[x^ Дх,) >f(xj), то функция Дх) называется возрастающей
(убывающей) на промежутке X.
Теорема 1. Если функция Дх) дифференцируема на (а, Ь)
и /'(x)>0(f'(x)<0) на (a, b), то функция Дх) не убывает (не
возрастает) на (а. Ь).
Пример 1. Определить промежутки, на которых функция
Дх)=х3 — 12х+11 возрастает и убывает.
Решение. Область определения функции — вся числовая
прямая. Находим производную функции^/' (х)=3х2—12. Из не-
равенства Зх2—12>0, или х2>4, или 0с2 >2, т. е. |х|>2 (либо
х>2, либо х<—2), следует, что данная функция возрастает на
интервалах (—оо, —2) и (2, +оо), а из неравенства Зх2—12<О,
или х2<4, или -0с2<2, т. е. |х|<2 (—2<х<2), следует, что
данная функция убывает на интервале (—2, 2).
280. Определить промежутки, на которых возрастают и убы-
вают функции:	DДх)=х3+5х+&	2)Дх)=х“2;
3) Дх)=2х2—1пх(х>0); 4) Дх)=3х2—3; 5) Дх)=х3 —Зх+2.
281. Доказать, что функция Дх)= 1—х3 убывает на всей чис-
ловой прямой.
2. Отыскание точек локального экстремума функции. Точка
х0 называется точкой строгого локального максимума (миниму-
ма) функции Дх), если для всех х из некоторой ^-окрестности
точки xq выполняется неравенство Дх)<Дх0) (Дх)>Дх0)) при
Х=£Хо.
Локальный максимум (max) и локальный минимум (min) объ-
единяются общим названием локальный экстремум.
71
Ул
Знаках) ----------_+ -и-------; +++ +
-7 0	2 х7
Рис. 13
Теорема 2 (необходц
мое условие локального экс1
ремума). Если функция f{x
имеет в точке х0 локальны
экстремум и дифференцируй
ма в этой точке, гщ
/'(хс)=0.
Точки, в которых производная функции равна нулю, принят
называть точками возможного экстремума.
Теорема 3 (достаточное условие локального экстремума]
Пусть функция f\x) дифференцируема в некоторой д-окрестност
точки х0. Тогда если f (х) при переходе через точку х0 меняет зна
с «+» на «—», то Хо — точка локального максимума, если f'{x
в точке Хо меняет знак с «—» на «+», то х0 — точка локальное
минимума, если же знак f'(x) в точке Хо не изменяется, т
в точке Хо экстремума не существует.
Пример 2. Найти максимумы и минимумы следующих фушб
ций: 1) /(х)==3х4—4хэ — 12х2+2; 2) Дх)=(х—2)’.
Решение. 1) Область определения функции — вся числова
прямая. Находим производную: /'(х)=12х3—12х2—24х. Реша
уравнение 12х(х2—х—2)=0, получаем три точки возможног
экстремума: Xi= —1, х2=0, х3=2. Исследовав знак/'(х) (рис. 1-
в окрестности этих точек, получаем Xi = —1 и х3=2—точк
локального минимума, /(— 1) = — 3 и/(2) =* — 30 — минимальны
значения функции, х2=0 — точка локального максимум;
/(0)=2 — максимальное значение функции в этой точке.
2) Область определения функции — вся числовая прямая. На
ходим производную: /'(х)=5(х—2)4. Производная обращаете
в нуль в единственной точке х—2. Так как f (х) положительна ка
слева, так и справа от этой точки, т. е. при переходе через точк
х—2 знака не меняет, то данная функция не имеет точек эксз
ремума.
282. Найти максимумы и минимумы функци!
О2) у(х)=х!пх; 3) f(x)=\x*--x3--xz+2
аг-х+З	4	3	2
4) Л*)=77^; 5) Дх)=х2е”
14-х3
Задачи на наибольшее и наименьшее значения.
283. Решеткой длиной 120 м нужно огородить прилегающую
к дому прямоугольную площадку наибольшей площади. Опреде
лить размеры прямоугольной площадки.
284. Разложить число 10 на два слагаемых так, чтобы произ
ведение их было наибольшим.
72
285.	Определить наибольшую площадь прямоугольника,
у которого одна сторона лежит на основании а данного треуголь-
ника, а две вершины — на боковых сторонах треугольника, если
треугольник имеет высоту h.
286.	Из квадратного листа картона со стороной а вырезают
по углам одинаковые квадраты и из оставшейся крестообразной
фигуры склеивается прямоугольная коробка. Какова должна
быть сторона вырезаемого квадрата, чтобы объем коробки был
наибольшим?
287.	Определить размеры открытого бассейна с квадратным
дном объемом V так, чтобы на облицовку его стен и дна пошло
наименьшее количество материала.
288.	Сечение тоннеля имеет форму прямоугольника, завер-
шенного полукругом. Периметр сечения р. При каком радиусе
полукруга площадь сечения будет наибольшей?
289.	В прямой круговой конус радиуса R и высоты h вписан
цилиндр наибольшего объема. Найти этот объем.
290.	В шар радиуса R вписан цилиндр наибольшего объема.
Найти этот объем.
291.	Из сектора круга радиуса R свертывается коническая
воронка. При каком центральном угле она имеет наибольший
объем?
292.	Даны точки Л(0; 3) и 5(4; 5). На оси Ох найти точку,
сумма расстояний которой до точек А и В наименьшая.
3. Направление выпуклости и точки перегиба графика функции.
График функции /(х) имеет на интервале (a, b) выпуклость, напра-
вленную вниз (вверх), если в пределах интервала (a, b) график
лежит не ниже (не выше) любой касательной к графику функции
на (а, Ь).
Теорема 4. Если функция f\x) имеет на интервале (а, Ь)
вторую производную и(f"(х)<0) во всех точках (at b\ то
график функции имеет на \а, й) выпуклость, направленную вниз
(вверх).
Точка Af(x0; Дх0)) называется точкой перегиба графика функ-
ции Дх), если в точке М график имеет касательную и существует
такая окрестность точки х0, в пределах которой график функции
слева и справа от точки х0 имеет разные направления выпук-
лости.
Теорема 5 (необходимое условие точки перегиба! Пусть гра-
фик функции f(x) имеет перегиб в точке Af(x0; Дх0)) и пусть
функция имеет в точке х0 непрерывную вторую производную.
Тогда/"(х) в точке х0 обращается в нуль, т. е./"(хо)=О.
Точки Л/(х0;Дх0)) графика, для которых/"(хо)—О, называются
критическими.
Теорема б (достаточное условие точки перегиба). Пусть фун-
кция Дх) имеет вторую производную в некоторой окрестности
73
У
ЗнакГ'1*Г—  -~Q +++++++++++ х
Рис. 14
точки х0. Тогда еслм
в пределах указанной
окрестности f"(x) име-
ет разные знаки слева
и справа от точки
то график функции
имеет перегиб в точке
M\x0;f(x0)).
Пример 3. Найти интервалы выпуклости и точки перегиба
графика функции Дх)=х2+х+5.
Решение. Область определения функции — вся числовая
прямая. Находим производные: /'(х)=2x4-1; /"(х)=2 >0. Так
как /*(х)>0 при любом значении х, то график функции имеет на
интервале (—оо, 4-ос) выпуклость, направленную вниз. Точек
перегиба нет.
Пример 4. Найти интервалы выпуклости и точки перегиба
графика функции Дх)=х3—Зх.
Решение. Область определения функции — вся числовая
прямая. Находим производные: /'(х)=3х2—3; /“(х)=6х. Из
уравнения 6х=0 получаем одну критическую точку х=0. От-
метив точку х=0 на вспомогательном рисунке (рис. 14) и ис-
следовав знак /"(х) в ее окрестности, получаем слева от точки
х=0 /*(х)<0 (график направлен выпуклостью вверх), а спра-
ва—/'(х)>0 (график направлен выпуклостью вниз). Таким
образом, при переходе через точку х—0 /*(х) меняет знак.
Согласно теореме 6, точка с абсциссой х—0 является точкой
перегиба графика рассматриваемой функции. Ее координаты (0;
0). Кроме того, ясны и интервалы выпуклости: (— оо, 0) и (0,
+ оо).
293.	Найти интервалы выпуклости и точки перегиба графика
функций: 1) Дх)=х3—6х24-х; 2) Дх)==х44-2х — 12х2—5х+2;
3)Дх)=(х-1)4;	4)Дх)=^1;	5) Дх)~2х2-Цнх;
1+дг
6)/w=xarctgx.
294.	При каком значении а кривая у=х3+ах2 +1 имеет точку
перегиба при х=1?
иметь выпуклость вниз на всей числовой прямой?
4.	Асимптоты графика функции. Прямая линия называется
асимптотой графика функции Дх), если расстояние от точки М,
лежащей на графике, до этой прямой стремится к нулю при
движении точки по графику в бесконечность.
Существует три вида асимптот: вертикальные, горизонталь-
ные и наклонные.
Прямая х=хо называется вертикальной асимптотой графика
74
функции Дх), если хотя бы одно из предельных значений lim Дх)
или lim Дх) равно +оо или — оо.
Прямая у=А называется горизонтальной асимптотой графи-
ка функции Дх) при х—» + оо (х—* — оо), еслй lim Дх)=Л.
Х-* +оо
Прямая y=kx+b (ft#О) называется наклонной асимптотой
графика функции Дх) при х-»Ч- оо (х-> — оо), если функцию Дх)
можно представить в виде f\x)=kx+b+a(x), где а(х)->0 при
х-» + оо (х—* — со).
Теорема 7. Для того чтобы график функции Дх) имел при
х-» + оо (х-+ —оо) наклонную асимптоту у—кх+Ь, необходимо
и достаточно, чтобы существовали два предела:
lim —=ки lim Дх)— кх]—Ь.
ж-* + » X	х-*+оо
(х->-со)	(х-»-со)
Пример 5. Найти асимптоты графика функции Дх)=^^.
х-3
Решение. Точка х= 3 — точка разрыва второго рода данной
функции, причем lim --------= — оо ; следовательно, прямая
*“♦3- х—з z , ч
(~з+)	(+оо)
„	х+5
х=3— вертикальная асимптота. Так как fc=lim----------—0, то
х-00 х(х-3)
график функции наклонных асимптот не имеет.
ТГ	1*	* + 5 я	м-
Находим горизонтальную асимптоту: Inn -----= 1. Таким об-
дс-ь + оо х— з
(ж-* —оо)
разом, график данной функции имеет вертикальную асимптоту
х=3 и горизонтальную асимптоту у== 1.
Пример 6. Найти асимптоты графика функции Дх) =
=2x+arctgx.
Решение. Так как функция непрерывна на всей числовой
прямой, то вертикальных асимптот нет. Нет и горизонтальных
асимптот, так как у->оо при х->оо. Будем искать наклонные
асимптоты. Пределы при х-> + оо и х-* - оо будут различными,
поэтому надо рассмотреть отдельно два случая.
Находим правую асимптоту (при х-> 4- оо):
f	2x+arctgx /_ arctgxX A arctgx
k- lim -------— = lim (2+—— 1=2+ lim ——=2,
x-» + cx>	X	x->+oo\ x J	x-* + oo x
b— lim (2x+arctgx—2x)= lim arctgx =A
75
Находим левую асимптоту (при х-* — оо):	J
-	2x+arctgx / arctgxX ~ arctg х _
Inn -----— = inn 2+—— 1 = 2+ lim ——=2,	<
х-»-ос X	X J Х-»-00 х
b— lim (2х+arctgх—2х)= lim arctgx=--.
X-* — оо	х-»-оо	2
Таким образом, получаем, что график функции имеет две различ-
ные наклонные асимптоты: у=2х+п/2 при х-» + оо и у=2х—тг/л
при х-» —оо.
296. Найти асимптоты графиков функций:
2)	Дх)=——+х;	3) /(х)=^+2х;
х-1	2х-1	х2-!
4) Дх)=хе1Д; 5) /(x)=x-2arctgx.	*
5. Схема исследования графика функции. Изучение заданной
функции и построение ее графика целесообразно проводить в сле-
дующем порядке:
1)	найти область определения функции;
2)	найти точки пересечения графика функции с осями коор-
динат;
3)	найти асимптоты;
4)	найти точки возможного экстремума;
5)	найти критические точки;	j
6)	с помощью вспомогательного рисунка исследовать зна!
первой и второй производных. Определить участки возрастали!
и убывания функции, найти направление выпуклости графику
точки экстремума и точки перегиба;
7)	построить график, учитывая исследование, проведением
в п. 1)—6).
Пример 7. Построить по изложенной выше схеме график фун
кции
Л *2+1	*
Л)=—.
Решение. 1) Областью определения функции является мно
жество всех вещественных чисел, кроме х=1 (в этом случа
знаменатель обращается в нуль).	г
2)	Так как уравнение х2 +1 = 0 не имеет вещественных корней
то график функции не имеет точек пересечения с осью Ox, hi
пересекает ось Оу в точке (0; — 1).	।
3)	Выясним вопрос о существовании асимптот. Исследуем
поведение функции вблизи точки разрыва х= 1. Так как у-* — о
при х->1 —, у-» + оо при х-»1 + , то прямая х=1 является вер
тикальной асимптотой графика функции.
Если х—* + оо (х—♦ — оо), то у-» + оо (у-+ — оо); следовательно
горизонтальной асимптоты у графика нет. Далее, из существова
ния пределов	’
76
, /W .. х* + 1	1 + 1/х2 .
к= lim —= lim ——= lim --------------------------= 1,
Х-» + Я> X х-» + оо Хг — Х х-» + со 1 —1/х
(х—-оо)	(х-»—со)	(х-»~со)
. TJ \	,	,.	Г*’+»	1	..	1+Х	..	1 + 1/х .
b= lim [Дх)—кх]= lim------------х = lim —= Um --------------=1
х-» + со	х-» + оо|_х—1	J х-» + оо х— 1 Х-» + <Ю 1 — 1/х
(х-*-оо)	(х-» —оо)	(х-« —оо)
вытекает, что при х-> + оо и при х~* — оо график функции имеет
наклонную асимптоту у=х+1.
4)	Для нахождения точек возможного экстремума вычислим
первую производную функции:
/ v_2x(x-l)-(x1 + l)_2xJ-2x-xJ-l_x2-2x-l
J	(х-1)’	~	(х— I)2	(х-1)2
Решая уравнение х2 — 2х— 1 =0, получаем две точки возмож-
ного экстремума: xt — 1 - у/2 и х2= 1 +ч/2.
5)	Для нахождения критических точек вычислим вторую про-
изводную:
f » М = (2х-2)(х-1)2-2(х-1)(х2-2>:-1) = 4
7 W ’ (*-D4	(*-1)*’
Так как/” (х) в нуль не обращается, то критических точек нет.
6)	Строим вспомогательный рисунок и исследуем знак первой
и второй производных (рис. 15). Точки возможного экстремума,
подлежащие рассмотрению: X] = 1 — \/2 и х2= 1 +72, — разделя-
ют область существования функции на интервалы: (—оо, 1 — 72),
(1-72, 1 + 72) и (1+72, + со). В каждом из этих интервалов
производная сохраняет знак: в первом — плюс, во втором — ми-
нус, в третьем — плюс (в этом можно убедиться, взяв в каждом
из них произвольное значение х и вычислив при нем значение
f (х)). Последовательность знаков/'(х) запишется так: +, —, +.
Получаем, что функция на (—оо, 1—72) возрастает, на (1 — ^/2,
1 + <5) убывает, а на (1 + 7^, + оо) снова возрастает. Точки
экстремума:	максимум при х=1—72, причем
/(1-Л)«2-2^; минимум при х=1 + 1/5, причем
/(1 + <5)=2+272. На ( — оо, 1) график направлен выпуклостью
вверх, а на (1, + оо) — вниз.
Знаках) -И-++++ _---------{-------+-* и-+
Знакр'(х)-----1-/2-0------4+++++л/г++++ 7
Рис. 15
77
7)	По полученным дан*
ным строим эскиз графика
(рис. 16).
Пример 8. Построить
график функции/(х)=—.
х
Решение. 1) Функция
определена при х>0, т. е. * 1
г в интервале 0<х< + оо.
а 2) График функции пере-
секает ось Ох в точке, в ко-
торой 1пх—0, т. е. в точке)
с абсциссой х=1, а с осью
Оу пересечений не имеет, так
как функция определена при!
х>0.	i
3) Вертикальной аснмп^
тотой является прямая х=0,’
,. in* _ >i
так как hm —= —оо. Оты-1
х-*0+ X	I
Дх) tax
скиваем асимптоты: к= lim —= Inn —. Имеем неопределен*
х-*+« X х-> + оо х2	1
00	J
ность вида —. Применяя правило Лопиталя, получаем	j
, о tax о 1/х о 1
к— lim — = hm —= hm —=0,
х-> + х г *-» + » 2х х-И-оо2х2
= lim — = lim —=
х-» + оо X х~* + оо 1
1 л
= hm -=0
«-» + «*	<
(здесь также было использовано правило Лопиталя).
Таким образом, k=b=O, т. е. наклонных асимптот нет; пр»
мая у=0 — горизонтальная асимптота.
4) Для нахождения точек возможного экстремума вычислим
первую производную:
6= lim [f(x)~fcc]= lim I--------O x
x-^+co	x-^ + ool X
1-tax
X2
Решая уравнение 1 — lnx=0, получаем одну точку возможного
экстремума: х=е.	.
5) Для нахождения критических точек вычислим вторую про-
взводную:
у--/ \	2tax—3
X3
78
Решая уравнение 21пх-3=0, 1пх=-, х=е3/2, получаем одну
3/2
критическую точку: х=е
6)	На вспомогательном рисунке (рис. 17) исследуем знак пер-
вой и второй производных.
1-In 1 1-0
Получаем, что на (0, е) производная /'(I)251—j—=—-=
= 1 >0; следовательно, функция возрастает; на (е, + оо) производ-
l-lne2 1-21пе 1-2	1 Л
ная f (е )=—-—=—-—=—— = —- <0 — функция убывает.
е4	е*	е*	е*
Точки экстремума: при переходе через точку х=е производная
/'(х) меняет знак с плюса на минус; следовательно, в точке
х=е — максимум, причем/(с)=-. На (0, е3/2) вторая производная
е
21пе—3	1 _	,
f(e)=—-—= —-<0 — график направлен выпуклостью вверх,
е	с
Z 3/2	X	у».. У 2106^^3	1	_	4
а на (е , + оо) производная/ (е )=--—>0 — график на-
правлен выпуклостью вниз; следовательно, точка х—е3/2 — абс-
Э/2х 3
цисса точки перегиба, причем /(е )=—Таким образом, точка
^еэ/2;	— точка перегиба графика функции.
7)	На основании полученных данных строим график функции
(рис. 18).
Пример 9. Построить график функции/(х)=х2е~*
Решение. 1) Область определения функции — вся числовая
прямая.
2)	График функции пересекает оси координат в точке 0(0; 0).
79
Знаках)---------+ + 4-+++Ч- 2— --------
Знаках)+++++++0 -ь++2-721--*--2*/Г+++
Рис. 19
3)	Так как функция непрерывна на всей числовой прямой, то
вертикальных асимптот нет. При отыскании наклонных асимп-
тот необходимо рассмотреть отдельно случаи — оо и х-+ -Ь оо,
имеем k= lim —= lim хе х=оо. Следовательно, наклонной
х-» —00 X х-»-оо
асимптоты при х-> —оо нет, а так как и lim f(x) — lim х2е~х=
Х-> —00	Х->— 00
— + оо, то горизонтальной асимптоты также нет. Далее имеем
,	Лх) _ X о 1
к— lim —— Inn —= lim “=0;
х-^ + со х X-* + <f> х Х-» + оО х
е	е
х2	Оу	2
b= lim [/Y-*J—O'x]= lim х2е х= lim —= lim —— lim —=0
x-» + oo	x-»4-oo	x-+ + ao x x-»4-a> x x-* + co x
e	e	e
(здесь использовалось правило Лопиталя); таким образом, при
х-+ + оо наклонной асимптоты нет, прямая у=0 — горизонталь-
ная асимптота.
4)	Для нахождения точек возможного экстремума вычислим
первую производную:
/'(х)=х(2-х)е
Решая уравнение х(2—х)е х=0 (е х#0), получаем две точки
возможного экстремума: xj = O, х2=2.
5)	Для нахождения критических точек вычислим вторую про-
изводную:
f” W= (х1 —4х+2) е"х
Решая уравнение х2—4х+2=0, получаем две критические точки:
Х|=2—-у2, х2=2+-^2.
6)	Исследуем знаки первой и вто-
рой производных (рис. 19). Получаем,
что на (—оо, 0) функция убывает, нав
(О, 2) — возрастает, а на (2, + оо) —
снова убывает. Точки экстремума:
при переходе через точку х=0 произ-
водная /' (х) меняет знак с минуса на’
плюс, а через точку х=2 —с плюса
80
на минус; следовательно, в точке х=0 минимум, а в точке х=2
максимум, причем/(0)=0,/(2)=4е~2. На (—со, 2—>/2) график
направлен выпуклостью вниз, на (2—^/2, 2+5/2) — вверх, а на
(2+-у/2,	+ оо)— снова вниз; следовательно, x—l—^Jl,
х=2+у2 — абсциссы точек перегиба, причем /(2—5/2)=
=(2-72/ е-(2~ А /(2+72)=(2+5/2)2 е’(2+А
7)	На основании полученных данных строим график функции
(рис. 20).
Построить графики функций:
297.	у=х3 —Зх.	298. у=12х—х3.
299.	X3	2 у=-+х2.	300. у=——2х2.
	3	4
301.	у=х+2-у/—х- £ /%	302. у=х^/1—х.
303.	у=—	304. у=у/х2 + 1+^х2— 1.
	х+2	
305.	У = у/х2—1~у/х2+1.	306. у=\/?-1.
307.	у=2х—335V/x2.	308. у=1 + \/(х-1)2.
309.	у=(х-2)2/’-(х+2)2/э	310. у=(х-2)2/3+(х+2)2/3
311.	у=х(х—1)2/3	312. у=-^. 1-х2
313.	X у=-г~;- л —4	314. у=х2/э(1-х).
	X	«	2х~ 1
315.	у=——•	316. у=	-.
	х* + 1	(Х-1)2
	3—2х			(х-1)2
317.	У=	1-	318. у=Ц—-.
	(х-2)2	z X2+1
319.	X2 V=~	.	320.
	Л X2 —1	х*+2х
321.	—х/2 у=хе	322. уЛ.
		X
323.	2 М*	324. у=(1—х)ех.
325.	—х*/2 у—Ж	326. у=х3ех.
327..	3 ~х у=лге	328. у=—.
		4(1-х)
	— X	X '	~ X
329.	е у=-—•	330.
	х2—3	х -х е —е
81
331. у=	. е*+е * 333. J=x2e-X1 335. у=х—1пх. 337. y=xln2x. 339.	. lux 341. /=	. X 343. у=	 	 4х2 345. у=2х+-. X1 X3 М7.	. 34». л/х	332.	. е'(х+3) 334. y=xlnx. 1+lnx 336. у=	. 338. у=х2*п2х. 340. (х-1)’ 342. /=—. х—2 _	х 2 344. у=-+~. 2 х X3 346.,=—. X3 350. у=х+arctg х.
351. у=—— (1+х)э	352. у=х—arctg 2х.
Глава 6
ИНТЕГРИРОВАНИЕ
§ 1. Первообразная  неопределенный интеграл
1. Основные сведения. Функция Г(х) называется первообраз-
ной для функции Дх) на промежутке X, если для любого хеХ
выполняется равенство /Г'(х)=Дх).
Пример. Функция f(x)=sinx является первообразной для фу-
нкции /(x)=cosx на Х=(— оо, + оо), так как при любом
х (sinx)'=cosx.
Если Дх) — первообразная дляДх), то функция F\x)+C, где
С — некоторая постоянная, также является первообразной для
функции Дх). так как [Г(х)+С]' =Дх) для любого числа С. Напри-
мер, дляДх)=совх первообразной является не только sinx, но
и функция sinx+C, так как (sinx+C)'=cosx.
Определение. Если функция F(х) —первообразная для функции
f\x), то множество функций F(x)+C, где С — произвольная по-
стоянная, называется неопределенным интегралом от функций
f[x) и обозначается символом
82
J/(x)dx=F(x)+C.
При этом функция f(x) называется подынтегральной функцией,
Дх)бх — подынтегральным выражением, а переменная х — пере-
менной интегрирования.
Восстановление функции по ее производной, или, что то же,
отыскание неопределенного интеграла, называется интегрирова-
нием. Интегрирование — операция, обратная дифференцирова-
нию.
Пример. Проверить, что J3x2dx=x3 + C.
Решение. Дифференцируя результат интегрирования
(х3 +Q'=3x2, получаем подынтегральную функцию. Следовате-
льно, интегрирование выполнено верно.
1. Проверить, что: 1) Jcosxdx=sinx+C; 2) Je“2xdx=
= --е'ЧС;	3) I—^-=tgx+C;	4) (x3dx=- + C;
2	J cos2 x	4
5) |-^-7=arctgx+C; 6) fexdx=—+ C; 7) [-^-=-arctg- + C.
Jl+x2	J Ina	Jx2 + o2 a a
2. Основные свойства неопределенного интеграла.
1°- (f/W dx)'=/(x).
2°. dj/(x)dx=/(x)dx.
3°. JdF(x)=FfxJ+C.
4°. j’A/’(x)dx=fcf/(x)dx.
5°. f[/tx)±g(x)]dx=f/(x)dx±Jg(x)dx.
3. Таблица основных интегралов.
I. JO dx-C.	II. Jl dx=x+C.
a+1	/•
III. fx‘dx=—|-C(a#-1). a+1 V. faxdx=—+ C(0<a#l). Ina VII. f sinxdx= —cosx+C. IX.	=tgx+C. J COS2X f dx XI. -==arcsinx+C. J -s/l-X2	IV.	-=ln|x| + C(x?tO). J x VI.	Jexdx=ex+C. VIII.	f cosx dx=sinx+C. w, 1 dx	_ X. —— =-ctgx+C. J sin2 x f dx	_ XII. 		arctg + C. 1+x2
83
§ 2. Основные методы интегрирования
1. Непосредственное интегрирование. Вычисление интегралов
с помощью таблицы простейших интегралов и основных свойств
неопределенных интегралов называется непосредственным интег-
рированием.
Пример 1. Вычислить интеграл
K5cosx+2—Зх2+-—~ Jdx.
X х2 + 1/
Решение. Применив свойства 4е и 5°, имеем
K5cosx+2—Зх2+-—)dx=
X X^lJ
— 5 |cosxdx+2|dx—3 | x2dx+ f——4
J J J J x
Далее, используя соответственно формулы VIII, П, III, IV, XII
таблицы основных интегралов, находим:
5jcosxdx=5(sinx+CI)=5sinx+5C1;
2jdx=2(x+C2)=2x+2C2;
Г	/ 2+1	\	Г я,
3 x2dx=3(^+C3J=x3 + 3C3; I —=1п|х| + С4;
С dx
4 ——=4(arctgx+C5)=4arctgx+4C5.
J лг+1
Таким образом,
K5cosx+2—Зх2+------—- |dx=
X X41J
= 5sin х+2х—х3+In Iх| — 4arctg x+
+ (5Ci+2C2+3C3 + C4+4C3).
Обычно все произвольные постоянные суммируют, результат
обозначают одной буквой: С=5С1+2С3+ЗС3 + С4+4С3, поэтому
окончательно получаем
84
KI 4 \
5cosx+2 —Зх2Ч-------------)dx=
X x1 + \J
= 5sin x+2x—x3 + In |x|—4arctg x + C.
Пример 2. Вычислить интеграл	.
J -x/16 — X1
Решение. Интеграл табличный. Поэтому можно переходить
к непосредственному интегрированию. По формуле XVI, где
а=4, получаем
dx	X
-	= arcsin - + С.
5/16 —X2	4
Пример 3. Вычислить интеграл
dx
sin2 х cos2 х
Решение. Интеграл не табличный, поэтому преобразуем его.
Так как 1 — sin2 х 4-cos2 х, то интеграл можно записать в виде
dx sin2x+cos2x ,
- - — = — --------------—dx =
sin2xcos2x	sin2 x cos2 x
1 1
F + “^T“
cos2 x sm2 x
Применяя свойство 5°, имеем
KI 1 \ , Г dx f dx
)d*= ~^-+
cos2 x sin2 xj J cos2 X J sin2 X
Получили два табличных интеграла. По формулам IX и X на-
ходим
dx Г dx f dx
—-+ —- = tgX —CtgX+С.
Jsin2xcos2x Jcos2x j sm2x
„	, „	Г 1+2X2 J
Пример 4- Вычислить интеграл J —~—— dx.
Решение. Так как l + 2x2~(14-x2)4-x2, то
Г l+2x2 j	f(l + x2) 4-х2	f 1+x2 Г x2
-------dx= I------— dx= ---------“dx+ --------dx=
Jx2(l+x2) J x2(l+x2)	Jx2(l+x2) Jx^l+x2)
*dx f dx
"4" ------,•
x2 J 14-x2
По формулам III и XII получаем
1+2Х2 , fdx f dx
-------dx= I —+ —
x2 (1 4-x2) J x2 J 1 -hx2
“-4-arctg*4-C.
x
Применяя метод непосредственного интегрирования, вычислить
интегралы:
2. f(x2+3x3+x+l)dx.	3. |fx*4- 5-y/x+3v/x+^-+->)dx. J\	* X/
4. f(-^--==)dx JV+? лЛ-*1/	5. J(2'+3*)dx.
6' P^v)4*’	7. J(sinx+5cosx)dx.
f / x 8. sin-+cos-1 dx J \ 2	2J	л f cos 2x 9-	1	• i dx J cos2xsin2x
10. [—2dx. J 1+x2	Сз-за^х 11. - ^--dx. J COS2 X
fl-sin’x 12. 		—dx. J sin2*	13. Jctg2xdx.
14. |sin2-dx. J 2	15. J V1-*4
f x2 16. hr-dx Jx* + 1	17. |Y——+-=L=^dx.
f/ i	i V	Гх24*2 19. PF^dx. JxJ-l
m. Ip+A+iW J \X X2 X3/	2i-
f / 4”*\ 22. |4x(3+—Idx J \	v*/	23. |exf 1+-Ц- Jdx. J \ cos2x/
24. p^dx.	25. J x
20. f^dx. J sin2x 28. f2'e'dx.	27. j*^sin|—cos0 dx. 29. fcos2-dx. J	2
f3x4+3x2 + l 30. 			dx. J x2+i	fxs-x+l. 31. —		dx. J x^+1
„ f—2x*+4x2—1 32. 		—dx. J 1—x2	Г-З^+Зх3-! 33. 			dx. J X2—1
86
34.
2 +5
10х
35.
dx
16-х*'
2. Метод подстановки. Метод подстановки (или замены пере-
менной) заключается в том, что заменяют х на <p{t), где <p(t) —
непрерывно дифференцируемая функция, полагают dx=<p'(t)dt
и получают
f/(x)dx

При этом получают искомую функцию, выраженную через пере-
менную t. Для возвращения к переменной х необходимо заме-
нить t значением 1=ф{х), которое находится из соотношения
х=М
Указанную формулу применяют также и в обратном направ-
лении:

=J/(x)dx,
<-*W
где /==^(х) — функция, обратная функции х=<р(1).
Пример 5. Вычислить интеграл J cos 3xdx.
Решение. Интеграл не табличный. Применим подстановку
/=3х; тогда d/=(3x)'dx=3dx, dx=l/3dr. Подставив в интеграл,
получаем
Г „ . 1 f
cos3xdx=- cosId/
J I * 3J
— табличный интеграл. Применяя формулу VIII таблицы основ-
ных интегралов, находим
1Г . 1 .
- I cos/dr=-sinf+C.
3j 3
Возвращаясь к переменной х, окончательно получаем
I cos Зх dx=- sin Зх 4- С.
J 3
Данный интеграл можно вычислить и непосредственно, заме-
‘нив dx на ^d (Зх), т. е. внося под знак дифференциала множитель
3 и разделив на него интеграл. В результате получаем
Jcos 3xdx=^ Jcos3xd (3x)=^sin3x+C.
87
Этот экономный и простой прием часто используется при вычис-
лении интегралов.
„	,	Г xdx
Пример 6- Вычислить интеграл - :—
J s/1-Х2
Решение. Вычислим данный интеграл непосредственно, вы-
деляя дифференциал новой переменной интегрирования. Имеем
f = fV2d(^)^ f-l/2d(l-x^ 1
J7T? J 7Г? 2J
= -1-2(1-x2),/2+C= -(1 -X2)t,2+C.
Данный интеграл вычисляется с помощью подстановки t= 1 — х2.
Существует другой несложный, но весьма эффективный при-
ем, позволяющий упростить вычисление интегралов. Если числи-
тель подынтегральной функции Дх) равен производной знамена-
теля, то справедлива формула
E^dx=lnI/tx)| + C.
Действительно, используя подстановку t=/(x), d/=/z(x)dx,
имеем
fe^dx= f-=In|/| + C=ln/(x)H-C.
J /w J '
Пример 7. Вычислить интеграл fctgxdx.
~	cos X
Решение. Так как ctgx=----, то интеграл можно записать
* sinx
в виде
Г , fcOSX _
ctgxdx= ------dx.
J J s*nx
Замечая, что (sinx)'=cosx, получаем
f , fcosx , f(sinx)' , t , .	,	_
|ctgxdx= -----dx= ------dx—ln|sinx|+C.
J	J sinx j cosx
Данный интеграл можно вычислить и с помощью подстановки
f=sinx, и непосредственно, выделяя дифференциал новой пере-
менной.
Пример 8. Вычислить интеграл (-—-dx.
J е*+1
X	<1/
Решение. Полагаем /=е, х=1п/. Отсюда dx=(lnO'df=—.
Следовательно,
е —1
----dx —
J e* + l
'/-Id/ Г2г-(/ + 1)
— _ = ------------;— a/ = 2
/+1 t J (r + l)r
* dr 'dr
r+1 r
~ ’d(r+l) fdr	_
=2 -^-p- y=21n(l + 0-bi/+C.
Возвращаясь к переменной x, окончательно получаем
| — dx=21n (1 + ex) - x 4- C.
J e* + l
Пример 9. Вычислить интеграл
I - /v-Ь
Решение. Имеем
f d*
J Г-V
dx
(V*)2+(%/*)’
Положим t=6<Jx; тогда x=t6, dx=6t5dt. Находим
?d«
= 6
Выделяя делением целую часть дроби, получим
, fpdr ГГХ .	, Г dr ~
6 — = 6 1 (72 —Z+l)dZ— — 
Jr+1 J	I r+lj
t3dt
ГР Р
=6------F/“-In |/4“ 1] 4"С.
L3 2
Окончательно имеем
\/Х —6111 (6у/х
И вообще, если подынтегральное выражение не содержит
т lax+b
других корней, кроме корня /----, где a, bt с, а — некоторые
у cx+d
/а
числа 1-^1; т — натуральное число, то следует применить
\с d)
m ax+b
подстановку	.
v cx^d
Пример 10. Вычислить интеграл
Решение. Сделав подстановку t
~	1 ТЛ
получим г=-—,
«9
2	r’-l	/г2-IV 4rdr
1 — x=-—, x=-—, dx= -— I dr=—-—Далее имеем
?+i	z’+i	v2+i/	а*+1)2
f /l+х dx _ f r3dr _ fr3 +1 -1 . - f . „ f dr
/-----=2 -—=2 —-------dr=2 dr-2 -—
Ja/i-xI-x Jr3+1 J r3+l J Jr3+l
_ - /1+Х .	ll+x _
=2t—2arctgr+C=2 I—----2arctg /--kC.
1 Вычислить интегралы:	
\/ 36. JcosSxdx.	^ASTJjsmlxdx.
38. jsin(3x+5)dx.	' 39. fe^dx.
40. ftgxdx.	 i 41. Je“* xdx.
/» 4* I e	f
42.	dx.	J/ 43. — dx.
1 * J e — 1	У J x3+7
Г dx 44. J coe23x	J	Г dx 45. —.
	f	J . •	an2-
	3
46. f(2+5x)9dx.	47. f-±_
	J V?-3x
48. j\/2x—5dx.	49. fjl-lxdx.
л Г dx	Г dx
50. 	.	51. 	.
j5x+2	j2-3x
52. f-^-dx.	53.	dx.
	J vx+1
Г 5x—6 54. I^==dx.	55. [VEEtJdx.
J Vl-3x	J Vx+1-1
Г sinx	_ f cos3x ,
56. 	dx.	57. 	dx.
J l+3coex	J 3+sin3x
58. Jcos’x'sin xdx.	59. J sin2 x -cos xdx.
60. fe"*xsmxdx.	61. Je-xlx2dx (r=e-’1).
62. fe“*cosxdx.	63. I^Fdx.
л BfCtgX	J “V x
64. P—-dx. J 1+x1	65. fe-t,*sec2xdx.
90
66.
———(/= 1 +lnx).
x(l+lnx)
70. fx2%/x3—8dx(f=x3—8).
’3V*dx ,	1
74.
76.
78.
<80. f 5/3+cos5xsin5xdx.
67.
85. J41-3*dx.
87.	725-^ dx
89.	9x,-f
91.	dx
	
93.	x3dx ,	л. -=O=X*).
J	V?-3
	Г x+l
95.	-7=dx.
	
97	dx
J ! • e	У^+гх+з
99.	dx
	Зх2—2x—Г
	
91
100.
3x4-1
х2 —2x4-5
dx.
5x—1	,
—--------dx.
x2 4-3x4-3
3.	Метод интегрирования по частям. Формулой интегрирова-
ния по частям в неопределенном интеграле называется формула
Judv=uv—fvdu,	(1)
где и и v — дифференцируемые функции от х. Она позволяет
свести вычисление Judv к вычислению интеграла J vdu, который
может оказаться более простым для интегрирования.
Большую часть интегралов, вычисляемых интегрированием
по частям, можно разбить на три группы.
1)	Интегралы вида f/lxlarctgxdx, JP(x)arcctgxdx,
J Р(х) la х dx, J P (x) arcsin x dx, J P(x) arccos x dx, где P (x) — много-
член. Для их вычисления следует положить и равным одной из
указанных выше функций, a dv=P(x)dx (см. пример 11).
2)	Интегралы вида JP(x)e**dx, f P(x)sinfcxdx, fP(x)cosfcxdx,
где P(x) — многочлен, a. к — некоторое число. Для их вычисле-
ния следует положить u=P(x), a dv=e**dx, dv = sinJtxdx,
dv=cosfcxdx соответственно (см. пример 12).
3)	Интегралы Je“cosAxdx, fe“sin6xdx, где а и Ь —некото-
рые числа. Эти интегралы вычисляются двукратным интегриро-
ванием по частям (см. пример 13).
Пример 11. Вычислить интеграл f arctgxdx.
Решение. Положим и=arctgx, dv=dx. Тогда
du=(arctgx)'dx=——; Jdv=Jdx, v=x
1+JT	e
(здесь в качестве v можно взять любую из первообразных вида
х+С, где С — произвольная постоянная. Взято v=x, т. е. С=0)<!
По формуле (1) имеем	;
f „	.	f dx	1 fdfx2-!-!)
arctgx dx=x	arctgx— I x^-j—-=xarctgx—- I	,
и dv v	и \ 3—	j
du	i
=x arctg x—| In (1 + x2)+C.
Пример 12. Вычислить интеграл Jxe*dx.
Решение. Полагая u=x, dv=e*dx, найдем
du=(x)'dx=dx; Jdv=fe*dx, v—e
По формуле (3) получаем
Jxe*dx=xe*—Je*dx=xe*—e*+C.
92
Пример 13. Вычислить интеграл J е cosxdx.
Решение. Положим и=ех, dv=cosxdx (можно положить та-
кже u=cosx, dv=exdx). Тогда
du=(ex)'dx=exdx; Jdv=Jcosxdx, v=sinx.
По формуле (1) имеем
Je*cosx dx=e* sin х—Je'sinxdx.	(2)
Полученный интеграл снова вычисляем интегрированием по ча-
стям, положив и=е, dv=sinxdx, откуда d«=ex, v— —cosx. Тогда
J e*sindx= — ex cos x 4-fex cosxdx.
Подставляя значение полученного интеграла в выражение (2),
находим
Jexcosxdx=exsinx—(—excosx+Jexcosxdx)=exsinx+excosx—
—jex cosxdx.
Перенося интеграл из правой части равенства в левую, получаем
2 Jexcosxdx=ex(sinx+cosx)+ Q
и окончательно имеем
J ех cos х dx=у (sin х+cos х) + С,
где C=Ct/2. (Так как С — произвольная постоянная, то и G/2 —
также произвольная постоянная.)
С помощью метода интегрирования по частям вычислить
интегралы:
102. f х arctg xdx.
Jarcsinx ,
—==dx.
Vl+x
106.
108. JIn xdx.
110. Jxln(3x+2)dx.
112. J(4x3 + 6x —7)lnxdx.
114. Jxexdx.
116. fx3e~xdx.
103. Jarcsinxdx.
105, J arctg ^/7x—1 dx.
. farcsinvx
107. J
109. Jxlnxdx.
dx.
111. J(x2 + 3x+2)lnxdx.
113. Jin(Vi^x+Vl+x)dx.
115. Jxe5xdx.
117. Jx2e-x/2dx.
93
121. fx2 cos xdx.
123. JxVdx.
127. Jebcos3xdx.
129. f(x3 + l)cosdx.
131.Jln(x2+2)dx.
i33 f^dx
135. J^/a2—x^dx.
napart
120. J (x+1) cos 3xdx.
122. Jx2 sin xdx.
Г xdx
124. —.
J sin2x
126. je* sin xdx.
12& Je’sin^dx.
130. Jin2xdx.
132. Jcos(lnx)dx.
134. je^dx^e-y/x).
В заключение вычислим интеграл I„— I——— (n — целое по-
J^+d"
ложительное число), который понадобится в следующем
рафе. При я=1 имеем 7i=arctgx+C. Пусть и>1. Тогда
— Г dx	Г(х2 + 1)—f dx Г x2dx
J(x2 + 1)* J (x2^!)" J(x2 + 1)" * J(x2 + 1)"
Во втором интеграле положим
u=x, du=dx;
, xdx f xdx	1
dv=------- v_ -------_--------------
(x2 + l)"	+	(b-lXx’+l)"-’
поэтому
f x*dx	x	f dx
I------=-----------------1- I ------------.
j(x2 + l)"	(2л—2)(x2 + l)"-1 J (2л—2)(x2 + l)"-*
Таким образом,	i
f dx	x	2л-3 f dx z
I-----------------------1-—- ----------(n > 1).
(2л—2)(x2+l)" ' 2"-2J(x2 + 1)"“1	Г
у
Формулы типа (3) называются рекуррентными. Они позволя
ют свести вычисление интеграла Д к вычислению интеграл
Д_] с индексом, меньшим на единицу, а в свою очередь, вычисли
ние Д-i — к вычислению 1„_2 и т. д. В результате придем к hj
вестному интегралу Д и будет вычислен интеграл 1„.
94
Пример 14. Вычислить интеграл I г
Решение. По рекуррентной формуле (3) имеем
I dx х 3 Г dx
|------—--------_ ---------
](х*+1)3 4(ха + 1)2 4J (х* + 1)2
dx х 1 Г dx f dx
------—--------I— |----- -----— arctgx;
J(x2 + 1)2 ICx^ + l) 2 J x2 4*1 J x*4-l
окончательно получаем
Г dx x 3	3	_
—;---;=--—d—-—+-arctgx+C.
J (J^+I)1 4(x2+l)1 ec^+l) 8
4.	Смешанные примеры.
Вычислить интегралы:
136. f(ex/2+c-x/2)dx.
138.	\/2+1пх —	dx. X
140.	М tgx -Ц-dx. 1 cos*x
142.	Г Зх+5 | 	dx.
144.	1 х3
146. 1	Г е* dx
	1
148. •	£ 1	1 t	
150.	Г cos 5xdx
	1 5/3cos35x-2
152.	Г x*dx
	1 V4-x10‘
1«д 1	Г е *dx
	1	О W
	’ е +2
137.	dx
	х(1+1ах)5 * 4х
139.	-—dx.
	5+2е4х
141. f	%/1—6xsx*dx.
143.	" 2—4х I г	dx. ! <7х-1
145.	Гагссоах ,  — dx. 1 И- х1
147. I	Г sm2x _ 	d*. I 5—cos32x
149. 1	Г 5e*dx
	Ve2*-»
	
151. и	sinx/3dx
	4co»2(x/3)+9
153.	I* xedx | x14 + 5*
155.	Г d*
	
95
(l+x)dx
5x+!l	,
-dx.
V<ix—x3—5
f Зх3-2х2
164.  ----— dx.
Jx2-6x+10
166. J(2x+3)ebdx.
168. fxarcctg(l—x)dx.
fxcosx ,
170. —— dx.
157.	dx
	-У2+ЗХ-2Х2
159.	’ (3x—2)dx
	-^/5—4x—x2
161.	* 7x-l , —	dx. X2 — 6x+l
163.	' 2*3-1 . —	dx. x*-x+l
165.	V-Зх2 	dx. x-3
167. f	xcos2xdx.
169. fsin(lnx)dx.	
171. fxtg2xdx.
В примерах 172—183 применить формулы:
. , 1— cos2x , 1+сов2х	sin2x
snrx=--------: coszx------: sinxcosx=----.
2	2	2
172. f sin3 xdx.
174. Jsin5 xdx.
176. Jcos2xsin2xdx.
178. f cos3 x sin5 xdx.
Г dx
180. I—.
J sin2x
Г dx
182. —.
J sin9x
173. J cos4 xdx.
175. f cos7 xdx.
177. f sin3 xcos2 xdx.
179. f(l+2cosx)2dx.
dx
cos(x/3)
siax+cosx .
---------dx.
sin2x
183.
В примерах 184—187 применить формулы:
sin a. cos /J=11г [sin («+/?)+sin (a—Д)],
cos a cos P = Ч2 [cos (a+Д)+cos (a—Д)],
sin a • sin Д=2/2 [cos (a—/?)—cos (a+Д)].
184.	J sin 3x cosxdx.
186.	J sin (5x—я/4) cos xdx.
fcos’x ,
188. —— dx.
J ЯП X
185. f sin3xsin5xdx.
187.	Jsin(x/3)cos(2x/3)dx.
_ ~~ sin3 x ,
189. —— dx.
a>s2x
96
190.
COS X .	... I ЯП X
—-— dx.	191. I —— dx.
sin5x	J cos3x
192. Jtg4xdx.	193. ftg’xdx.
В примерах 194—199 применить подстановку /=tg(x/2), тогда
2tg(x/2)	2/	1—tg2(x/2) 1-?
sin x=---------=------• cos x=----------=-----
l+tg2(x/2) 1+H	l+tg2(x/2) 1+?
~	,	2d/
x=2arctg/, dx=—-.
194.
194. 196.	1 4-sinx dx
	3smx+4cosx dx
	
198.	
	sin x—cosx
* 200.	
	dx
	
«	3sin2x4-5cos2x
202.	Г d*
	1 8— 4sinx+7cosx Г 2x л x e — 2e .
	
	
204.		dx(7=. 2x
	' e 4-1
206.	Ге* 4-1 л 	dx.
	
208.	cos2x , —— dx.
•	cos*x dx
210.	
cosx+2sinx4-3
212. Jctg5dx.
195. 	.
J 34-COSX
f dx
197. 	.
J 2sinx4-sin2x
f dx
199. 	.
J sinx4-cosx
f	dx
1	
ХАЛ. 1
J sin2x—5sinxcosx
л.
dx

XrviJfl	•
J (sinx4-cosx)3

|e dx
205. 	.
J e+2
* lx - X
I e 4-2e	.
207. I	dx.
| 2x x
* e 4-e 4-1
Г dx 209. ——.
J C0S4X
in.
1 sin2x
f dx
213. 	-.
J 14*3sin2x
Зх3 +x2
x2 + 6x+10
dx.
216. j(5x+3)A/x2+3x+5dx.
218. JV2x2+4x+ldx.
217. j(l-2x)V3x2 + 8xdx.
219. (V3+2x-x2dx.
4486
97
220.	j arc sin (х/2) , —	 dx.	221.	xarcsmx , dx.
222.	J у/2-х f 6x—10 л dx. JV^+Sx+n	223.	J f Зх+! Л —	dx. J д? + 10х+1
224.	i Je — 4e , 	dx.	225.	| e dx
226.	J e2'+4 fin(cosx) . . 2 A*- 1 CIT1-* V	227.	J e* + l fln(x+5/x3-9)|
dx.
228. f(3x— 1)V-x2-8 xdx.
229. fx2arctg(2x+l)dx.
§ 3. Интегрирование рациональных функций
„	Zl	Ч	V Л Р(4
Если знаменатель и правильном рациональной дроби —т-г.
(М
(имеет степень многочлена в числителе меньше степени много-:
члена в знаменателе) может быть представлен в виде
g(x)=А(х-а)'(х-ftf...(x2+2px+q)'(x2+2ux+v)’... ,
где Л — коэффициент при старшей степени многочлена Q(x), aj
Д... — корни уравнения б(х)=О, а трехчлены не имеют вещест-j
венных корней*, то эта дробь разлагается на сумму элементар4
ных дробей следующим образом:	]

A
(t
M\x+N\ Afjx+Nj
Mtx+Nt
^+2рх+9 (x2+2px+q)2 " (х2+2рх+9)'
,АГ, Ми М, M2f N2, ..., М„ N„
где At, А2, ,Аг, ,Mi, Nit М2, N2, ..., Mt, Nt, — некоторы
числа, подлежащие определению. Для их определения умножаю
обе части последнего разложения (1) на Q (х). Так как равенств]
между многочленом Р(х) и многочленом, который получите
в правой части, справедливо для всех х, то коэффициенты, стс
ящие при равных степенях х, равны между собой. Таким образо
получим ряд уравнений первой степени, из которых найдем ней:
вестные числа А2, ..., А„ Мь Nlt М2, N2, ..., Mt, Nt, j
Изложенный метод отыскания разложения рациональной фущ
ции называется методом неопределенных коэффициентов.
*0 комплексных числах см. в гл. 9.
98
Если рациональная дробь —7-т неправильная, то следует пред-
GW
варительно выделить целую часть.
fx*+x3+x2+x+l .
Пример 1. Вычислить интеграл I---(^-И)2—
Решение. Подынтегральная функция — правильная рацио-
нальная дробь. Так как квадратный трехчлен х*+1 имеет комп-
лексные корни, то по формуле (1) имеем
j^+x’+j^+x+l—ji Вх+С Dx+E
х(х2+1)2 х х2+1	(х2-)-!)2*
где А, В, С, D, Е — коэффициенты, подлежащие определению.
Умножая обе части равенства на х(х2+1)2, получаем
х*+х3+х2+х +1 = А (х2 +1)2+(Вх+С) (х2 +1) х+(Dx+£) х,
или
Х*+х3+х2+х+1—{А+В)х4’+Сх3+ (2A+B+D)x2+
+(С+$х+А.
Сравнивая коэффициенты при х°, х1, х2, х3 и х4, придем
к системе уравнений
/'х4:Л+В=1,
|х3:С=1,
Jx2:2A+B+D=1,
) х-.С+Е=1,
11:Л = 1.
Решая эту систему, найдем А = 1, В=0, С—1, D= — 1, £=0,
поэтому искомое разложение имеет вид
х*+х’+х2+х+1 1	1 X
х(х2 + 1)2	х х* + 1 (W + l)1
Следовательно,
Г х4+х,+х2+х+1 , fdx f dx f xdx
	dx= —H-----------=
J	x(x2 + l)2-J X Jx2+1 J (x2+l)2
=In |x|+arctg X+—-jJ—+C.
4-1)
„ л _	f xdx
Пример 2. Вычислить интеграл ——.
J + l
Решение. Подынтегральная функция правильная рацио-
нальная дробь. Так как х3 + 1 = (х+1)(дг—х+1), причем второй
сомножитель имеет комплексные корни, то по формуле (1) имеем
х  л Bx+D
х* + 1 х+1	х2—х+1’
99
где А, В, D — коэффициенты, подлежащие определению. Ум
ножая обе части равенства на (х+ 1)(х2—х+1), получаем
х=А (х2 —х+ 1)+(Bx+D)(x+ 1)=
=и+В)х2+(-Л + В+Л)х+(Л+£>).
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях и
шая систему уравнений, получим: Л = — 1/3; 5=1/3; 5=1/3.
ким образом,
1 Г dx 1
3 I х+1 +3
, I, ,	„ i Г х+1
dx=—In х+1 4— —-----dx.
3	' з1х2-х+1
Для вычисления последнего интеграла выделим в знаменателе
полный квадрат! х2—х+1 = (х—1/2)2 + 3/4— и сделаем подсга
новку t=x—1/2. Тогда
х+1 л	fr+l/2+l .	Г rdr	3
—------dx= —----d/= |-----h-
х2—х+1 J r2+3/4 J r2+3/4 2
=-In (Z2+3/4)+^3 arctg-^+C=
2	V3
=-In (x2—x+1)+7з arctg^-^+C.
2	»/з
f d<
J r2+3/4
Таким образом, окончательно получаем
-y—dx= — -ln|x+l|+-ln(x2 —x4-l)+-^arctg—— + C.
__	-	Г 5x4-3	_
Пример 3. Вычислить интеграл J	dx.
Решение. Подынтегральная функция — правильная рацио
нальная дробь. Так как х2—2х+5 не разлагается на веществен
„	х+р х-1
ные множители первой степени, то положим z=——==——===
V9-PJ V5-1
х~^ 1
=—^~, откудаx=l+2z, dx=2dz, ах2—2x+5=4(z2 +1). Следова
тельно,
f 5х+3	.	(*5(1+2г)+3 f 10z+8 л
— --------- dx=	——-2dz= 1 —-—- dz
J(x2-2x+5)1 J 42(z2 + l)2	Je^+l)2
5 | zdz Г dz
~4 J (z2 + l)1 + J (z2 + i)2'
Ко второму интегралу последнего равенства можно применит!
рекуррентную формулу (см. § 2, формулу (3)), получим .
100
Г zdz 1 1 Г dz z 1
](га + 1)2~ ~2 z2+T J (z2 + 1)2~ 2(z2 +!) + 2arCtgZ'
Таким образом,
f 5x+3	,51 z 1
—---------dx=--------1-—-----1— arctgz+ C=
J^-lx+S)2	8 z2 + l 2(z* + l) 2
4z-5	1
-— ----1—arctgz+C.
8(z2+l) 2	®
Возвращаясь к переменной x, получаем			
	Г 5х+3	2x-7	1	Zx—1\
	—	-dx=	—  +	arctgl	) + C.
	J (х2-2х+5)2	2(x2 —2x+5) 2	\ 2 J
Вычислить интегралы:			
	Г х—4	231.	’	2x+3
230.		dx.					dx
	J (х—2)(х—3)		(x—2)(x+5)
232.	f Зх2+2х—3 ,	233.	’ 2x+3 ,
	1	dx			
	J х(х—1)(х+1)		(x-2)2
234.	f d*	235.	dx
	J (х+1)(х—2)*		(x-l)2(x+l)'
			
236.	f (x2+2)dx	237.	xdx
	J(x+l)2(x-l)’		x2+3x+2
			
238.	fx4+3x3+2x2+x+l ,	239.	x’ + l .
		dx.		—			dx.
	J	JT + X+1		x3-5x24-6x
240.	f dx	241.	dx
	J x44-x2’		(x2+2)(x-1/
			
242.	f d*	243.	dx
			14-x3
	J l-*3*		
244.	fx4—2x3+3x+4 		dx.	245.	dx
			(1+x3)2'
	J	1+x2		
246.	f dx		5x4-2
		247.	—	dx.
	Jx*-1'		x2+2x+10
248.	f x2+2x+7 ,		‘ 7x—6	,
		;	;<br.	249.	—	dx.
	J (x—2)(x3+l)2		2x2-6x+4
250.	Г—-——	dx.	251.	X2 			dx.
	J(x1-l)(x+2)		(x+2)2(x+1)
252.	f 3x4-5	_	253.	3x4-1 ,
	1 —				rrdx
	J(x3+2x+2)2		x(I 4-x2)2
101
§ 4.	Определенный интеграл
1.	Определение определенного интеграла. Пусть функция Дх)
определена на отрезке [а, 6], а <Ь. Разобьем этот отрезок на
п произвольных частей точками а=хь<х1<х2<...<х,_1<х(<...
...<x,=6. В каждом из полученных частичных отрезков [x(_b xj
выберем произвольную точку &fx(_(<£(<xj и составим сумму
а-ДеЗАх^Д^ Ах2+...+Ж) Ах,-	(О
/“I
где Ах(=х(--х(_|. Сумма вида (1) называется интегральной сум-
мой для функции f(x) на [а, Л].
Обозначим через Л длину наибольшего частичного отрезка
разбиения: А=шах{Лх(}.
Определение. Если существует конечный предел I интеграль-
ной суммы (1) при X—*0, то этот предел называется определенным
интегралом от функции Дх) по отрезку [а, />] и обозначается*
следующим образом:
ь	»
1= Дх)бхили |Дх)<1х«4пп	УД^Лх,.	-
J J	/-1
а	а
В этом случае функция Дх) называется	интегрируемой на [а, 6].
Числа а и о называются соответственно нижним и верхним
пределами интегрирования, Дх) — подынтегральной функцией^
х — переменной интегрирования.	1
Для интегрируемости функции достаточно ее непрерывности
на отрезке [а, д].
Пример 1. Используя определение, вычислить интеграл
JCdx, где С — некоторое число.	3
“ Решение. Разобьем отрезок [а, />] на п произвольных чаете
точками а«хб<х1<х2<...<х(_1<х(с...<хя=6 и составим соот
ветствующую интегральную сумму (1). Так как подынтегральна:
функция Дх)=С постоянна, то для любого выбора промежуточ
ных точек & получим интегральную сумму вида а=СДхН
+ СДх2+...+ САх(,= £ СДх,. Далее имеем
/«•I
£СДх(=с£дх,=	’
/—1	i—1
= С [<Х| - а)+(х2- х,)+...+(&- xj] - C(b—a).	i
102
Видим, что интегральная сумма для данной функции не зависит
ни от разбиения, ни от выбора точек & и равна С\Ь—а). Следова-
тельно, и ее предел при A=max {AxJ->0 равен той же величине.
Таким образом, по определению,
ь
|cdx=lim У СДх^С^-а).
J
2.	Основные свойства определенного интеграла.
а
1°. По определению, J/(x)dx=0.
а
Ь	а
2°. По определению, J/(x)dx= — J/(x)dx.
3°. Каковы бы ни были числа а, Ь, с, всегда имеет место
равенство
Ь	с	b
J Дх) dx = J Дх) dx 4-1 Дх) dx.
4°. Постоянный множитель можно выносить за знак опреде-
ленного интеграла, т. е.
ь	ь
J kf(x)dx=k J^x)dx.
а	а
5°. Определенный интеграл от алгебраической суммы функций
равен алгебраической сумме их интегралов, т. е.
ь	ь	ь
J Дх)±Дх)] dx=|Дх) dx± J g(x) dx.
a	a	a
3.	Формула Ньютона—Лейбница. Если функция Дх) непреры-
вна на отрезке [а, 6] и функция F(x) является некоторой ее
первообразной на этом отрезке, то имеет место формула Ньюто-
на—Лейбница
/(x)dx=F(d)-F(e).
103
Пример 2. Вычислить интеграл
Решение, Так как одной из
Дх)=sinx является функция F(x)=
Ньютона—Лейбница, получаем
первообразных для
—cosx, то, применяя
ъ
Jsinxdx= —cos
b
=cosa—cos b.
a
Вычислить интегралы:
ь
254. |x"dx(H^l).
268.
sinlxdx.
о
2
255. (3x2- l)dx.
о
2
257. Jexdx.
1
ж
259. Jsinxdx.
о
*/2
261. cosxdx.
0
я/4
263. f-^-dx.
J l+x2
0
2
265. J^x2+-^dx.
i
2
267. jx(3-x)dx.
0
Зя
269. Jxsinxdx.
2k
104
270. In xdx
i
271.
dx
x*+2x+2’
272. jln2xdx.
i
i
274.	| xe’^dx
-1
a
276. ^x2y/a2-x2dx.
о
4
Г dx
278. ------=.
J l-F^/x
0
М2 -----
a»- J
0
я/2
282. Jsinxcos2xdx.
о
i
284.	.
Je+l
0
1
f dx
286.
J y/^ + l
о
я/4
288. Jtg3xdx.
о
о
275.
arctg xdx.
x2e~xdx.
я/2
f d*
J 2+cosx
о
279. [^-dx.
J л/х+1
dx
о
cos x sin2 xdx.
о
287. I sin4xdx.
о
105
§ 5.	Некоторые физические и геометрические приложения
определенного интеграла
1. Формулы площадей плоских фигур.
ь
S=j/(x)dx,	(1)
а
где S — площадь криволинейной трапеции, ограниченной графи-
ком функции Дх), отрезком [а, б] на оси Ох и прямыми х=а, х=Ь,
а<Ь.
ъ
S=j[/'2(x)-/;W]dx,	(2)
где S — площадь фигуры, заключенной между графиками функ-
ций/2(х) и/Дх), прямыми х=а и x=b,f2a<b.
(3)
где S — площадь криволинейной трапеции, верхняя граница ко-
торой задана параметрическими уравнениями х =<?(?), y=ip(t),
£=И/>2(ф)йф,	(4)
где S — площадь криволинейного сектора, ограниченного кри-
вой, заданной в полярных координатах уравнением р=р(<р),
и двумя полярными радиусами, составляющими с по-
лярной осью углы а и р.
Пример 1. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями
Дх)=1-х2 и у=0.
Решение. Можно считать, что эта фигура ограничена осью
Ох, прямыми х= — 1, х= 1 и графиком функции Дх) = 1 —х2 (рис.
21), поэтому, по формуле (1), ее площадь
5= Г (1— x2)dx=Lx—у
1 _4
-1~з’
Пример 2. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями
У1 =f\ W = 1	У2=/1(х)=х2+2, х=0, х= 1.
Решение. Данная фигура заключена между графиками функ-
106
ций /2(х) и /j(x), прямыми х=0 и х=1 (рис. 22). Поэтому ее
площадь находим с помощью формулы (2):
1
о
[(х2+2)—(1—x2)]dx=
о
Пример 3. Найти площадь фигуры, ограниченной одной ар-
кой циклоиды х=а(/—sin/), y=a(l—cos/), 0</<2я и осью Ох
(рис. 23).
Решение. По формуле (3) имеем
2*	2х
5= Ja (1 — cos /) а (1 —cos /) d/=e2 J (1 —cos /)2 d/=
о	о
bt
, ГЛ ~	l+co»2r\. ,Гз „ .	1 . -T* , i
— a2 | I 1—2cos/-f----|d/=a2 -/—2sm/+-sin2/ =3яа .
J \	2 ) L2 4 Jo
о
Пример 4. Найти площадь фигуры, ограниченной полярной
осью и первым витком спирали Архимеда р=а<р, где а — поло-
жительное число (рис. 24).
Решение. При изменении ф от 0 до 2я полярный радиус
опишет кривую, ограничивающую криволинейный сектор О АВС.
Поэтому по формуле (4) имеем
107
-» 2* <?8я3 4 , ,
=------------=-	л3а	.
о 2 3	3
у2=2рх, x=h.
у=1пх, х=е, у=0.
у=х2, у=2—х2.
у=х2,у=1.
y=cos2x— sin2x, у—О, х=0, x=nj4.
/=|х| + 1, у=0, х— —2, х—1.
y=sinx, у=х2—лх.
_y=arcsin2x, х=0, у= —л/2.
y=sin2x, у=1, х=я/2, где я/4<х<л/2.
х2—у2=1, х=2.
ху=4, х=4,у=4, х=0, у=0.
2к
а2 Г - а2 ф1
<$аюс=у| ф d<P=y —
о
Найти площади фигур, ограниченных линиями:
290.	у=4-х2,у=0.
291.	' *
292.
293.
294.
295.
296.
297.
298.
299.
300.
301.
302.	у=х2, y=-Jx.
303.	у=|х—1|, у=0, х= —2, х=2.
304.	Найти площадь фигуры, заключенной между параболой
у—х2 — 2х+2, касательной к ней в точке (3; 5) и осью Оу.
305.	Найти площадь фигуры, заключенной между параболой
у— —х2+4х—3 и касательными к ней в точках (0; —3) и (3; 0).
306.	Найти площади фигур, изображенных на рис. 25—30.
2. Формулы длин дуг плоских кривых.
»
(5)
где L — длина кривой, заданной уравнением у=/(х), a^x^b.
108

(6)
где L — длина кривой, заданной параметрическими уравнениями
£= Jp(<p)+p'2(<p)d<p,
(7)
где L — длина кривой, заданной в полярных координатах урав-
нением р=р(*р),
Пример 5. Найти длину дуги полукубической параболы у=
=хп от х=0 до х=5 (рис. 31).
Решение. Кривая симметрична относительно оси Ох. Най-
дем длину верхней ветви кривой. Из уравнения у=хп находим
У=-х1/2 По формуле (5) получим
о	о
Пример 6. Найти длину дуги одной арки циклоиды:
x=a(t—sin/),у=а(1 —cos/), 0</<2я (см. рис. 23).
Решение. Из уравнения циклоиды находим ф'(/)=а(1 —
-cos /), <A'W= a sin /. Когда х пробегает отрезок [0,2яа], параметр
/ пробегает отрезок [0, 2л]. Следовательно, по формуле (6) имеем
2я	2я
L=Ja^/(1 —cos г)2+sin2 Гdr—2а Jsin~
о	о
2я
= 8а.
о
, л t
dr— — 4а cos-
2
Рис. 28	Рис. 29
Рис. 30
109
Пример 7. Найти длину первого витка
архимедовой спирали p—aq> (см. рис. 24).
Решение. Первый виток архимедовой
спирали образуется при изменении поляр-
ного угла ф от 0 до 2л. Тогда по формуле
(7) получаем
2я	2я
L=Jу/а^+а1 d<p=a J -у/ф2+1 <1ф.
о	о
Положим «=л/ф2+1> du=—тХ—sdy;
dv=d<p, у=ф. Тогда
Данный интеграл вычислен интегрированием по частям.
Найти длину дуги кривой:
307.	y—xi/l от х—0 до х=4.
308.	у=х2—1, отсеченной осью Ох.
309.	/=-(е*/в+е-х/“) от х=0 до х—а.
2
310.	у=Incosx от х=0 до х=я/6.
311.	у=Insinx от х^п/З до х=2л/3.
312.	у=Х-—-1пх от х=1 до х=е.
313.	у2=^(2—х)3 отх—— I до х=2.
314.	j=x2 от х=0 до х=2.
315.	x=ersin/, _y=e(cosf, 0</<я/2.
ПО
316.	Астроиды x=acos3t. y=asin31 (см. рис. 29).
317.	Кардиоиды p = a(l — cos<p), e>0, 0<<р<2я (см. рис. 27).
3.	Формулы объемов тел вращения.
ь
V~n |y2(x)dx,
(8)
где V— объем тела, полученного вращением криволинейной
трапеции 0<у</(х), а^х^Ь вокруг оси Ох. Дифференциал пере-
менного объема dV=ity2dx.
где V — объем тела, полученного вращением криволинейной
трапеции 0 < х < <р (у), с <у < d вокруг оси Оу. Дифференциал пере-
менного объема dV=nx2dy.
Пример 8. Найти объем тела, образованного вращением эл-
х2 у2
липса —+—= 1 вокруг оси Ох.
tr b1
Решение. Так как эллипс симметричен относительно осей
координат, то достаточно найти половину искомого объема. По
формуле (8) имеем
а	а	а	а
- V=n Гу2(х)<1х=я it>2[ 1 — ]<1х=я62 fdx—fx2dx=
2 J J\e/ J “J
0	0	0	0
/	пЬ2х2\ а	nb2a2 2
= тигх-----— I = nba----~=-яаЬ.
\	За2 J о	За2 3
Следовательно, -V=-nab1, откуда К=-яаЛ2. Если a—b=R, то
2	3	3
эллипс является окружностью. Тогда объем тела вращения окру-
4
ясности вокруг оси Ох есть шар, объем которого К=-яА3.
Найти объемы тел, образованных вращением фигуры, ограни-
ченной линиями:
318.	у2=2рх, x—h вокруг оси Ох.
319.	у=4—х2, у=0, х=0, где х>0 вокруг: 1) оси Ох;
2) оси Оу.
320.	у=х2, у^х вокруг оси Ох.
321.	у—й, х=0, х=1, у=0 вокруг: 1) оси Ох; 2) оси Оу.
322.	у=х2+1, у=0, х=1, х—2 вокруг: 1) оси Ох; 2) оси Оу.
323.	у=хг, у=1, х=0 вокруг: 1) оси Ох; 2) оси Оу.
111
324.	у=х—х2, у=0 вокруг каждой из следующих прямых:
1) ?=0; 2) х=0; 3) х=2; 4) х=-2; 5) 7=-1; 6) у=2. 7
325.	7=1ох. 7=0, х=е вокруг каждой из следующих прямых:
1) 7=0; 2) х=0; 3) 7=-1;4) х=1; 5) х=-1;6) 7= И
326.	7=sinx, 7=0, 0<х<я вокруг каждой из следующих пря-
мых: 1) 7=0; 2) х=0; 3) х=2п; 4) х=—1; 5) х=— 2; 6) 7=1;
7) 7=-2-
327.	х2 — 72=4, 7=2,7=0 вокруг оси Ох.
328.	у=х, у=х2 вокруг: 1) оси Ох; 2) оси Оу.
329.	7=cos2x, 7=0, х=0, где 0<х<я/4 вокруг: 1) оси Ох;
2) оси Оу.
330.	7=sinx, 7=0, где 2я<х<3я вокруг каждой из следу-
ющих прямых: 1) 7=0; 2) х=0; 3) х=я; 4) 7= —2.
331.	7=2х—х2, 7=0 вокруг каждой из следующих прямых:
1) х=0; 2) 7=0; 3) х=-1;4) 7=1.
332.	7=4/х, х=1, х=4,7=0 вокруг: 1) оси Ох; 2) оси Оу.
333.	7=—^—;, х=1, х= — 1,7=0 вокруг: 1) оси Ох; 2) оси Оу.
1+дг
334.	7=х2 +1, 7=3х— 1 вокруг оси Оу.
335.	Шаровым слоем называется тело, получаемое при враще-
нии криволинейной трапеции, ограниченной дугой окружности
y=^jR2—x2, прямыми х=а и x=b (—R<a<b<$ и осью Ох,
вокруг оси Ох. Найти объем шарового слоя, вырезаемого из
шара x2+72+z2=16 плоскостями х=2 и х=3.
336.	Шаровым сегментом называется тело, полученное при
вращении дуги окружности вокруг диаметра окружности, пе-
рпендикулярного хорде, стягивающей концы дуги. Найти объем
шарового сегмента, зная радиус окружности R и высоту Н се-
гмента — длину участка оси вращения, находящуюся внутри
сегмента.
337.	Шаровым сектором называется тело, полученное при
вращении кругового сектора вокруг одного из его граничных
радиусов. Найти объем шарового сектора, зная радиус шара
R и высоту сектора Н.
В задачах 338, 339 найти: 1) площадь фигуры, ограниченной
заданными линиями; 2) объем тела, полученного вращением
этой фигуры вокруг оси Ох.
338.	Параболы х=1 — З72 и х= — 2у2.
339.	Кривая 7=со82^—sin2^ и прямые 7=0, х=0 и х=я/2.
4.	Формулы площадей поверхностей вращения.
ь
S= 2 л Г/(х)	+/'2(х) dx.
(9)
где S — площадь поверхности, образованной вращением кривой,
заданной уравнением 7 =/(х), а^х^Ь, вокруг оси Ох.
ш
S=2я J<p (у) ^/1 + ф'2 (у) dy,
где S' — площадь поверхности, образованной вращением кривой,
заданной уравнением х— <p(y), c^y^d, вокруг оси Оу.
S=2it
(Ю)
где S — площадь поверхности, образованной вращением кривой,
заданной параметрическими уравнениями x=<p(t), y=$\t),
«</<Д
S=2x Ipsinф-у/р2+р'2dip,	(11)
где S — площадь поверхности, образованной вращением кривой,
заданной уравнением в полярных координатах р=р(<р), а<ф<Д.
Пример 9. Часть сферы, вырезаемая двумя параллельными
плоскостями, находящимися ва расстоянии Н друг от друга,
называется шаровым поясом высоты Н. Найти площадь поверх-
ности шарового пояса, если радиус шара равен R, а высота пояса
равна Н.
Решение. Поверхность шарового пояса можно рассматри-
вать как поверхность тела, полученного вращением дуги окру-
жности у=^/я2—л2, где а^х^Ь, Ь — а = Н, вокруг оси Ох (рис.
32). Так как /= .—=, то 1 + |/'(х)]2=——-, поэтому, согласно
у/я^-х1
формуле (9),
ь	ь
S=2n \jR2-x2 -r^dx=2nR \dx=2nR(b-a)=2itRH.
J 7^? J
a	a
Итак, площадь поверхности S' шарово-
го пояса находится по формуле
S=2nRH. Если H-+2R, то в пределе
получим площадь поверхности всей
сферы: 5=4яЯ2.
Пример 10. Найти площадь S пове-
рхности, полученной вращением цик-
лоиды x—a(t—sin/), у=а(1 — cos/),
0</<2п, вокруг оси Ох (см. рис. 23).
Решение. По формуле (10) имеем
2я
S=2it Je (1 — cos t)^(a sin Z)2+[a(l —cos z)]2 dr=
о
2x
=2y/2 na1 J(1—cos Г)3/г dt=~ паг.
о
Пример 11. Найти площадь поверхности, образованной вра-
щением кардиоиды p=e(l +cos<p) вокруг полярной оси (см. рис.
27).
Решение. Имеем р'(р)=—asinp, p2+p'2=4c2cos2^. По
формуле (И) получим
X
5,=4яв2 J(1 +cos^)sin^cos^d^ —
о
-I m ф	|	ф / m\
= 16iwr I cos*- sin - d®= — 32яа2 I cos* -dt cos - 1=
J 2	2	J 2 \ 2j
О	о
" 32 ,
=— iter.
5
= _32яв2^
5 О
Найти площадь поверхности, образованной вращением вок-
руг оси Ох.
340.	Дуги синусоиды у=sinx от х=0 до х—п.
341.	Дуги кривой у=— от х= —2 до х—2.
342.	Дуги кривой у2=4+х, отсеченной прямой х=2.
343.	Цепной линии у=^(ех/в+е л/“)отх=(|
до х=а(в>0).
344.	Полуокружности у=ч/л2—х2.
345.	Дуги кривой у2=4х от х=0 до х—3,<
346.	Дуги кривой x=e sin/, у—е cos t ol*
г=0 до z=n/2.	fl
347.	Астроиды x=ecos3/, у=a sin3/;
0</<2я.	j
348.	Заданы: парабола х=уг и прямы!
у=0, х=а, а>0. Найти: 1) площадь фигуры
ограниченной заданными кривыми; 2) объеЫ
3) плойцадь поверхности тела, образованной
вращением этой фигуры вокруг оси Ох. Пр1
114
вычислении площади поверхности считать сначала 0<6<х<а,
а затем устремить b к 0.
5. Формула работы переменной силы.
ь
Л=|г(х)бх,	(12)
где А — работа переменной силы F(x) на отрезке [а, 6].
Пример 12. Определить работу А, необходимую для запуска
тела массой т с поверхности Земли вертикально вверх на высоту
к (рис. 33).
Решение. Обозначим через F силу притяжения тела Землей.
Пусть /«з — масса Земли. Согласно закону Ньютона,
ттз
F~°^-
где х — расстояние от тела до центра Земли. Полагая Gmm3=
=к, получаем Г(х)=-^, Л<х<Л+Л, где R — радиус Земли. При
X2
x=R сила f(r) равна весу тела P=mg, т. е. ~2=Р, откуда
/С
k=PR2t и Г(х)=^.
х2
Таким образом, по формуле (12) получаем
Х+к	Л+h
Л= Г(х)бх=РЛ2 — = -PR2-	=----.
J	J х2	х л R+h
л	л
Пример 13. Определить работу А, которую необходимо за-
тратить, чтобы выкачать воду из прямого кругового цилиндра.
Радиус основания цилиндра R, высота Л.
Решение. Работа, которую необходимо затратить, чтобы
поднять тело, равна произведению веса тела на высоту подъема.
Введем систему координат так, как показано на рис. 34. Разобьем
объем цилиндра плоскостями, параллельными основанию, рас-
стояние между которыми равно dx. Тогда цилиндр разобьется на
отдельные элементарные цилиндры. Так как речь идет о воде,
удельный вес которой равен единице, то вес цилиндрического
слоя воды численно равен его объему. Поэтому вес элементар-
ного цилиндра равен его объему d7=wJl2dx. Так как сила,
которую надо приложить к этому элементарному цилиндру для
поднятия его, равна его весу, то работа, которую совершает эта
сила, равна
бЛ=хлЛ2бх.
115
Интегрируя, получим всю работу:
Л=яЛ2
лЯ’Л2
2
о
Разумеется, данную задачу можно
решить и другим способом: сначала
найти приближенное значение искомой
величины в виде интегральной суммы,
а затем предельным переходом полу-
чить точное значение в виде интеграла.
349. Электрический заряд еь помещенный в начале коо-
рдинат, отталкивает заряд того же знака е2 из точки х=а
в точку х=Ь(а<Ь). Определить работу силы Гпри перемещении
заряда е2.
350.	Определить работу, которую нужно затратить, чтобы
растянуть пружину на 0,05 м, если известно, что сила, растягива-
ющая пружину на х м, равна F\x)=kx, где к — коэффициент
пропорциональности, зависящий от упругости пружины, и что
для растяжения пружины на 0,01 м необходима сила 1 кг.
351.	Определить работу, которую нужно затратить, чтобы
выкачать воду из котла, имеющего форму полушара радиуса R.
352.	Шар лежит на дне бассейна глубиной h. Определить
работу, которую необходимо затратить, чтобы извлечь шар из
воды, если его радиус равен R и если удельный вес шара и воды
равен 1.
353.	Определить работу, которую необходимо затратить,
чтобы выкачать воду из резервуара, имеющего форму
конуса, обращенного вершиной вниз. Высота конуса А,
радиус основания R.
354.	Под поршнем под давлением Ро в цилиндре находится
газ объемом Ко. Определить работу, которую необходимо затра-
тить для уменьшения объема газа в два раза при постоянной
температуре.
§ 6. Несобственные интегралы
1. Несобственные интегралы с бесконечными пределами интег-
рирования. По определению,
пб
— 00

где С — любое число. Если приведенные пределы существуют
и конечны, то их называют несобственными интегралами первого
рода. В этом случае соответствующие интегралы называют схо-
дящимися. В противном случае — расходящимися.
О
Пример 1. Исследовать сходимость
Решение. По определению имеем
о	о
Г dx .. f dx	_
I —-= lim I —-= lim arctgx
о
= lim (arctg 0 — arctg/?) =
Я Я-»-co
— CO
т. e. интеграл сходится.
Пример 2. Исследовать сходимость I e*dx
-Q0
Решение. Полагая с—0, по определению имеем
интеграл расходится, так как
+ оо
Л тт	Г d*
Пример 3. Исследовать сходимость	—, а — некоторое чи-
} а
X
1
ело.
Решение. 1) Если а^1, то для любого Я>0
117
11 г (г~ПРИа>1’
= lim ___=< а
1 я-+а> 1-а	) оо при а<1.
2) Если а= 1, то для любого Л>0
л
Г dx	Я
lim I —= lim lux = lim 1пЯ=ао.
£-*+« J x £-♦ + <»	1 Л-»+оо
i
Таким образом, данный интеграл сходится при а> 1 и рас-
ходится при а<1.
2. Несобственные интегралы от неограниченных функций. Если
функция Дх) определена на промежутке [а, Ь), интегрируема на
любом отрезке [а, Ь—а], заключенном в [о, Ь), и не ограничена
слева от точки b (ее называют особой), то, по определению,
Ь	b-t
Дх)(1х= lim I Дх)бх.
I «—о+ I
Если этот предел существует и конечен, то его называют
несобственным интегралом второго рода, а интеграл называется
сходящимся. В противном случае — расходящимся.
Аналогично, если х=а — особая точка, то, по определению,
» »
Дх)бх= lim Дх)йх.
J	й-*0+ J
а	а+«
Если внутренняя точка отрезка [а, 6] — точка х=с — особая,
то, по определению,
Ь	с	Ь
j/(x) dx=j/(x) dx+J/(x) dx.
a	a	c	j
Наконец, если а и b — особые точки, то несобственный интег-j
рал определяется как сумма:	j
ь	с	ь	i
где с — любая точка из (я, Ь).
Пример 4. Исследовать сходимость
о
118
Решение. Подынтегральная функция/(х)=—== не ограни-
•у 1 —х2
чена в окрестности точки х=1, т. е. «обращается в бесконеч-
ность». Поэтому точка 1 особая. На любом же отрезке [0,1—е]
она интегрируема, так как является непрерывной функцией. По-
этому по определению имеем
!
t —•	Я
= lim arcsin(l-£)=-.
о в-*о+	2
о	о
= lim I .--------= lim arcsinx
в-*0 + J /j— *2	«->0+
Следовательно, интеграл сходится.
3. Признак сходимости несобственных интегралов.
Теорема (признак сравнения несобственных интегралов). Если
функции /(х) и g (х) непрерывны ца промежутке [а, 4- оо) и удовлет-
воряют на нем условию 0<Дх)<#(х), то из сходимости интег-
рала
+ со
(1)
следует сходимость интеграла
+ 00
/(x)dx,	(2)
а из расходимости интеграла (2) следует расходимость интеграла
Пример 5. Исследовать сходимость I —---.
J Х2(1+х)
Решение. Сравним подынтегральную функцию f(x)~
=—-— с функциейна [1, -Foo). Очевидно, что
х2(1+х)	X2
1 1
—-----
№(1+х) х2
+ <ю
Г dx
Но интеграл I — сходится, так как а=2>1 (см. пример 3).
J **
~ 1
Следовательно, согласно признаку сравнения, сходится и данный
Интеграл.
Аналогичный признак сравнения имеет место для несобствен-
Вых интегралов второго рода.
1	119
Пример 6. Найти площадь фи-
гуры, ограниченной кривой
у— 1+х* (локон Аньези) и осью Ох
(рис. 35).
„ 1
Решение. Функция у—--------
1+JT
непрерывна на всей числовой пря-
мой. Так как lim у—0, то ось Ох является горизонтальной асимп-
Х-»00
тотой. Следовательно, требуется найти конечную площадь бес-
конечной области, т. е. требуется вычислить несобственный ин-
+ оо
| dx _	,	л
теграл I ----В силу симметрии фигуры относительно оси Оу
J
имеем *
+ во
г <и	*
2	-----=2 lim arctgx =2 lim (arctg/?—
J 1+x2	*-+«	0	*- + oo
0
—arctg0)=2 -=it.
Исследовать сходимость:
355. | e"’dx
0
+ <o
357. f —.
J X*+X
1
+ co
f 1+bx
359.	-----dx

о
361. j xedx.
+00
356. J xe-xldx
о
+ 00
358. J arctgxdx.
о
+ Q0
360. J sinxdx.
о
i
Г
362. —.
I «
j X
0
1
364. Jlnxdx
о
J
j
/
1
120
365. J ln2xdx.	366. j ctgxdx.
0 367. Г—^=. J Ч/i—х 0 € I dx 369.	-г,--	. J V(4~x)2 2 +оо Г dx 371.	“. I * * X 0 4-ао 373. J г I	0 3 Г dx 368. 	 J (x-3)2 0 fax 370.	—. J sinx 0 + 00 372. J e~*sinxdx. 0 + 00 Г dx 374.	—— J (Xs +1)2 I
1 4-00 375. ['"'g J 1 + oo Г dx 377.	—=~. J 2 +oo _ 379. | — dx. 1+x 1 + co Г dx 381. t	. J x*+2x+5 — co	1 + 00 f dx 376.	3-3- J x*+x* I + oo __ * e *dx 378.		. X 1 + oo f xdx 380. J Vx* + 1 2 + oo f dx 382.			. J x*+4x+9 -00
383.	Найти площадь, заключенную между кривой у=хе
И ее асимптотой при х>0.
384.	Найти площадь поверхности, образованной вращением
вокруг оси Ох дуги кривой _у=е-* от х=0 до х= + со.
385.	Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси
Оу площади, заключенной между линиями ху=2, ^=1, х=0.
386.	Найти объем тела, образованного вращением ^рШ^£
у=хе"х/2 вокруг ее асимптоты при х>0.	' « j. ,
387.	Какую работу надо затратить, чтобы тело ММШ^ЦМР' л
нести в бесконечность с поверхности Земли? Вычислить вторую
космическую скорость тела, т. е. начальную скорость, при кото-
рой оно способно выйти из поля притяжения Земли.
§ 7.	Приближенное вычисление определенных интегралов
1.	Формула трапеций.
ь
|/(x)dx«^|f(e)+/W+2 £/(х*)|,
а
где /(а)-/(ха), Дх(), Дхг), , /W=/(Z>) — равноотстоящие ор-
динаты функции y—f(x) на отрезке [а, 6]. Погрешность формула
трапеции не больше чем
12л1
где к — наибольшее значение If" (х)| на отрезке [а, Ь].	,
2.	Формула Симпсона.
л
Г , .
Mx)dx«—- £ (у*+4уа+1+уа+т),	:
J *• к_0
а
или в развернутом виде
ъ
Дх) dx»^ [уо+У&+2 (у2 +у< +... + Уъ-2) +
J	6л
+4 (у14-jb+—;
Погрешность формулы Симпсона не больше чем
2880л*	’
где М — наибольшее значение [f (4)(х)| на отрезке [а, 6].	\
388.	Вычислить по формуле трапеций для п = 10 интегра
1= Jx2 dx. Полученный результат сравнить с точным,
о	-
389.	Вычислить по формуле трапеций для п= 10, а по форму,
Г	ж
Симпсона 2л=8 интеграл 1= —. Полученные результаты сраи
J х	Я
J
нить с точными.	*1
122	I
390.	Вычислить по формуле трапеций интеграл ^~je ^dx
Л	о
с точностью до 0,01.
1
391.	Вычислить по формуле Симпсона интеграл /= Je“**dx
о
с точностью до 0,001.
392.	Вычислить по формуле Симпсона длину дуги полуволны
синусоиды у=sin х, разбив отрезок [0, я] на шесть равных частей.
Глава 7
ЭЛЕМЕНТЫ ВЫСШЕЙ АЛГЕБРЫ
§	1. Определители
1.	Определители второго порядка. Определение 1. Определи-
телем второго порядка называется число, обозначаемое символом
ai
аг b2
и определяемое равенством
at bi
а2 b2
~а\Ь2—a2bt.
Числа ai, а2, btf b2 называются элементами определителя.
Вычислить определители:
1.
5.
3-2,2	3 ,	3-2
.2.	.3.
4 6	6 -10	-4 5
a+1 b—c
a2+a ab—ac
sin a cos а	sin2 а cos2 а
—cosa sina' ‘ sin2/? cos2/J
2.	Определители третьего порядка. Определение 2. Определи-
телем третьего порядка называется число, обозначаемое си-
мволом
Д=
ai bl Ct
b2 c2
a3 Ьз c3
и определяемое равенством
123
Д = й\ЬгСз 4- Ь\сга3 + Cj ЛгЬз ~ Ci ^2^3 ~~ Ь^агС^ — а^ cjb^.	(1)
Чтобы запомнить, какие произведения в правой части равен-
ства (1) берутся со знаком «+», а какие со знаком «—», полезно
использовать следующее правило треугольников:
Это правило позволяет легко записать формулу (1) и вычислить
данный определитель.
Вычислить определители:
	3 •		-2		1		1	1 2	0			2		0	5	
8.		-2	1		3	.9.	(	) 1	3	•	10.	1		3	16	>
	2		0		2		4	> 0 •	-1			0		-1	10	
		2	-1	3				2 1	1	)				а	1	а
11.		-2	3	2		12.		1 0		3	. 13.			-1	а	1
		0	2	5				0 5		1				а 	-1	а
3.	Свойства определителей*.
Г. Величина определителя не изменится, если его строку
и столбцы поменять местами, т. е.
Ci bi Ci
Ог bi Ci
<h bi c3
fl2
bi 62 b3
C2 C3
2°. Перестановка двух столбцов или двух строк определителе
равносильна умножению его на — 1.
3°. Если определитель имеет два одинаковых столбца или дв,
одинаковые строки, то он равен нулю.
4°. Умножение всех элементов одного столбца или одно
строки определителя на любое число Л равносильно умножение
определителя на это число Л.	J
5°. Если все элементы некоторого столбца или некоторд
строки определителя равны нулю, то и сам определитель равй
нулю.	,
6°. Если элементы двух столбцов или двух строк определите^
пропорциональны, то определитель равен нулю.
7° Если каждый элемент п-го столбца (п-й строки) определи
теля представляет собой сумму двух слагаемых, то определите^
*3десь сформулированы свойства дик определителей третьего поряди
хотя они присущи и определителям любого порядка.	j
124	1
может быть представлен в виде суммы двух определителей, из
которых один в п-м столбце (п-й строке) имеет первые из упомя-
нутых слагаемых, а другой — вторые; элементы, стоящие на
остальных местах, у всех трех определителей одни и те же.
Например,
dx+a”{ bx Cj
а?2+62 С2
а'з’^а"з бз Сз
Ьх сх
а\ б2 с2
а'з Ьз Сз
Ьх
а,(2 Ь2 с2
а”з Ь3 сз
8°. Если к элементам некоторого столбца (строки) определи-
теля прибавить соответствующие элементы другого столбца
(строки), умноженные на любой общий множитель Л, то величина
определителя не изменится. Например,
ах+Лбх bx
Д2 + Л62 Ь2 С2
а3+ЛЬз Ьз Сз
Й| Ci
аг Ь2 С2
аз Ьз Сз
Следующее свойство определителей связано с понятиями ми-
нора и алгебраического дополнения.
Минором некоторого элемента определителя называется опре-
делитель, получаемый из данного определителя вычеркиванием
строки и столбца, на пересечении которых расположен этот эле-
мент.
Например, минором элемента ах определителя Д является
определитель второго порядка
Ьг е2
&з 03
Алгебраическим дополнением некоторого элемента определи-
теля называется минор этого элемента, умноженный на (— 1/, где
р — сумма номеров строки и столбца, на пересечении которых
расположен этот элемент. Алгебраическое дополнение элемента
обозначается такой же прописной буквой, что и сам элемент.
Например, если элемент а2 находится на пересечении первого
столбца и второй строки, то для него р= 1+2=3 и алгебраичес-
ким дополнением является
Л2=(-1)3
сх
Ьз с3
= ^зс1 ~Ь[Сз.
9°. Определитель равен сумме произведений элементов какого-
нибудь столбца или строки на их алгебраические дополнения, т. е.
Д=ахАх + а2А2+азЛз9 Д=ахАх + bxBx + ciСь
125
A == Z>i Д + biBi+bjBj, A=OiA2+b3Bi+C2C2',
Д=C)Cj + C2C2+C3C3, Д=Оз?4з+Ь3В3-Ь-c3C3.
Запись определителя в виде одного из написанных равенств
называется разложением его по элементам некоторого столбца
или некоторой строки.
Пример. Вычислить определитель
А=
2 4 6
5 12 19
3 9 17
разлагая его по элементам первой строки.
Решение. Имеем
12 19
9 17
А=2
-4
5 19
3 17
5 12
3 9
= 8.
+ 6
10°. Сумма произведений элементов какого-нибудь столбца илц
какой-нибудь строки определителя на алгебраические дополнения
соответствующих элементов другого столбца или другой строю
равна нулю.
В задачах 14—19, не раскрывая определителей, доказать спра<
ведливость равенств:
	1 1 17			sin2 a cos2 a cos 2a			
14.	2 2 15	= 0. 15.		sin2^ cos2jj cos 2/?		=0.	
	3 3 9			sin2 у cos2 у cos2y			
	abt+fa bt Ci				ai	bi		
16.	abj+fa Ьг C2			0.17.	02	bi	Ci	=0.
	ab3+0c3 b3 c3				ai+aai bi+abi Ci+ttCi		у
	3 2 1		3 2 7		1 — 2 3		1 0 0
18.	-2 3 2	=	-2 3 —2	. 19.	-2	1 -5	=	-2 -3	1
	4 5 3		4 5 11		3	2 7		3	8-2
В задачах 20—25 вычислить определители, пользуясь тольк
свойством 9°.
	2	3 4		1	17	-7		2	0	5
20.	5	-2 1	.21.	-1	13	1	.22.	1	3	16
	1	2 3		1	7	1		0	-1	10
126
	1	2	4		1 Ь	1		— X	1	X
23.	-2	1	-3	. 24.	0 ъ	0	. 25.	0	— X	
	3	-4	2		b 0	-ь		X	1	—х
В задачах 26—34 упростить и вычислить определители.
	1 2	5			12 1	5 -4		2 -3 1		
26.	3 -4	7	. 27.		6 -	1 4	. 28.	6-6 2		
	-3 12 -	-15			з:	1 8		2-12		
	а —а а			X2	X 1		1+cosa 1+sina			1
29.	а а —а	.30.		У2	У 1	.31.	1—sina 1+cosa			1
	а —а —а			Z2	z 1		1	1		1
32.
2cos2- sin а 1
2
,я
2cos - sin В 1
2
1	0 1
. 33.
ах а2 + х2 1
ay а2+у2 1
az a2+z2 1
35. Решить уравнения:
36. Решить неравенства:
37. Доказать, что
xi У, 1
§ 2. Исследование системы трех уравнений цервой степени
с тремя неизвестными
Рассмотрим систему трех уравнений первой степени с тремя
неизвестными х, у, z:
127
aiX+biy+cxz—hi,
a2x+b2y+c2z=h2,
aix-i-bjy+c3z=h3
(3
(коэффициенты at, а2, аз, bi, b2, b3, ct, с2, с3 и свободные члены h
h2y h3 считаются заданными).
Тройка чисел хь, у0> £о называется решением системы (1), есд
в результате подстановки этих чисел вместо х, у, z все тр
уравнения (1) обращаются в тождество.
В дальнейшем основную роль будут играть следующие четН
ре определителя:
ai bi
д= а2 Ь2
а3 Ь3
hi bi
с2, h2 b2
сз
h2
b,
Ci
с2, Д>,= h2 с2,
сз
a3 h, c}
at h}
ai
Дг=«2
аз

bi
b2
bi
hx
h2
hi
Определитель Д называется определителем системы (1). Onpd
лители Дх, Д>( Д. получаются из определителя системы Д замен
свободными членами элементов соответственно первого, вторе
и третьего столбцов.
Если определитель Д системы (1) отличен от нуля (Д^О),'
существует, и притом единственное, решение этой системы и q
выражается формулами
Дж Ду	Дг	I
х——, У=“,	(
д д	д
Пример 1. Найти решения системы
< Зх — 5y+3z=l,
(2х+7.у— z=8.
Решение. Составляем определитель системы:
д=
2
-5
7
1
3
-1
= 33.
1
3
2
<^р*^жое реш«
Так как Д^О, то даивал система имеет
определяемое формулами (2). Имеем
По формулам (2) находим:
д*	33	Л>	зз	Ах	зз
х=-=—= l,y=-=-=l,Z=-=-=l.
А	33	А	33	А	33
Следовательно, х= 1, у=1, z= 1 — решение данной системы.
Если определитель Д системы (1) равен нулю (Д=0) и хотя бы
один из определителей Дх, Ду, Д2 отличен от нуля, то система не
имеет решения (несовместна).
Пример 2. Найти решения системы
{х+ z=2,
3x+2y+2z=l,
4x+3y+3z=4.
1 1 1
3 2 2
1 2 1
3 1 2
4 4 3
Решение. Так как Д=
=0, а
Л,—
= 1#0, то
4 3 3
данная система не имеет решения.
Наконец, если Д=0 и Д,=Д1=0, то система (1) либо
совсем не имеет решений, либо если система (1) имеет хотя бы
одно решение, то она имеет бесконечно много решений.
В задачах 38—45 установить, что системы имеют единствен-
ное решение, и найти его.
{2x—4y+3z=i,
x-2y+4z=3,
Зх— y+5z=2.
Г x+2j+3z=5,
40. У- z=l,	41.
( x+3y+4z=*6.
{2х— у+ z=2,
3x+2y+2z= —2,
х-2у+ z=l.
Г2х—4y+9z=28,
/ lx+3y—6z— — l,
(7х+9у—9z=5.
f x+2y— z—2,
)2x—3y+2z^2,
^3x+ y+ z-8.
Jx+y-t»b,
46. Найти решения системы 47. Найти решения системы
Х + у+ z=l,	Г *+ У+ 2=1,
2х+ у+ z=2,	< 2x+2y+2z=3,
3x+2y+2z=3.	|.3x+3y+3z=4.
48.	Найти решения системы
х— y+2z=2,
2x—2y+4z=4,
3x—3y+6z=3.
49.	Найти решения системы
х— у+ z=2,
2x—2y+2z=4,
3x—3y+3z=5.
50.	Определить, при каких значениях а и b система
Зх—2у+ z=b,
5х—3y+9z=3,
2х+ y+az= — 1
1) имеет единственное решение;
2) не имеет решений;
3) имеет бесконечно много решений.
Глава 8
РЯДЫ
<1
§ 1. Понятие числового ряда
1. Основные определения. Пусть дана числовая последовать
льность at, а2, а3,	, ая, Выражение вида	,
1
eI+aj+O3+ —+<%.+ •••= £ в.	(1|
называется числовым рядом или просто рядом.
Числа аь аг, а3,	а*, называются членами ряда, чле
ап — общим членом ряда.	1
Суммы конечного числа членов ряда
|У1 = Дь	+	S3 “ai + аг4“ а^9
130
3’л = Д-в2 + аэ + ---+в>|>
называются частичными "ммами ряда (1). Так как число членов
ряда бесконечно, то частные суммы рада образуют бесконеч-
ную последовательность истинных сумм
•Si Зэ, ...» 3»....	(2)
Рад (1) называется схйящимся, если последовательность его
частичных сумм (2) сходгся к какому-нибудь числу S, которое
называется суммой ряда (’. Символически это записывается так:
СО
5=а14-а24-а-...+д,+... или 3= £в,.
я-1
Если же последователлость частичных сумм (2) расходится,
то ряд (1) называется растящимся.
Пример 1. Показать, по рад
111 1	£ 1
----1---1---(-... 4--+... = V------
1'2 2'3 3'4	л(л+1)
СХОДИТСЯ.
Решение. Составим истинную сумму S„ первых п членов
ряда:
5"s=n+H+-+^T)*
Чтобы упростить выроение для S„, разложим а» на элемен-
тарные дроби. Имеем
А ! В
В ЛЬ 1) л л + 1
отсюда
t__________________________и+Д)я+Л
в(н!)	л(л+1)
Приравнивая коэффишепы при одинаковых степенях п в чис-
лителях обеих частей раваава, получаем А+3=0, Л=1, откуда
A=l, В= — 1, поэтому
1 _1_____I
л(»г1) л	л+1
Слагаемые суммы 5„ приныают вид
_L=1 _ 1. J_= _._!_=1__L
1-2	2’2-з”’	з’’”’л(л+1) л л+1’
131
Поэтому
Приводя подобные члены, получаем
5я=1-—
Переходя к пределу, находим
lim (1—— |=1 — lim —= 1—0=1.
я-»со я-»оо\ л+ly я-*оо Л + 1
Таким образом, данный ряд сходится и его сумма 5 равна 1.
2. Необходимое условие сходимости ряда.
со
Теорема. Если ряд £ а, сходится, то его общий член ciripe-
Л—1
мится к нулю, т. е. lim ц,=0.
«-♦СО
Пример 2. Доказать, что ряд
который называется гармоническим рядом, расходится.
Решение. Так как lima„=lim -=0, то для гармонического
«-♦СО Л~*СО л
ряда необходимое условие сходимости выполнено. Докажем, что!
этот ряд расходится. Действительно, если бы этот ряд сходился^
то, обозначая его сумму через S, мы бы имели
-1
lim (5^-5,)=lim 5^-lim 5„=5-5=0.	]
л-»оо	в-»® л-»оо
г
Но
„„11	111	111
Sz»---------1----—>—I--------F...+—=л—=-,	।
л+1 л+2 2л 2л 2л 2л 2л 2
и
т. е. 5ь,—S„>-. Отсюда следует, что равенство lim (Sy,—S„) =jl
2	л-»оо
невозможно, т. е. гармонический ряд расходится.
Таким образом, условие lima„=0 является необходимым, и
«-♦00
не достаточным условием сходимости ряда-	1
Если же для некоторого ряда его общий член не стремите
к нулю, то теорема позволяет сразу сказать, что такой ря
расходится.	,
132	i
В заачах 1—10 написать первые пять членов по заданному
общему щену.
L а’"ГГ 2-	3' °"-(2л—1) (2л 4-1)’
4- а’=——z? 5- а”~—~—6<	-•
(!л-1)з"	2"(л + 1)	"
„	л-1 л 2*
7. а„=——. 8. а„*=—.
4r+1	л!
9. ц,»^((2л-1)!!-1-3-5-7...(2и-1)).
%я+1
Г>
10. ая^-(2п11=2 4-6...2л).
В задчах 11—20 найти формулу для общегочлена ряда.
11. 1+-I--+- + ... .12. л ,« л Г 3	4	1111 ,	F	F	1	к... In 2 1пЗ to 4 In 5
. 4 9 16 25 13. 14	1	1	Ь... 2 6 24 120	1 1	1	1	1 14. -4—1	F—4—+• 3 6 11 20 37
^,11111 15. 1-	F	*4*... 3 5 7 9 11	ч, ч 1	1111 16. 1	f4~f	-+-=	7: + ... V2 0 у/4 /5 V6
1 1 1 1 17.	4	F 4- 2+3 4+3 8+3 16+3	4-... 18. 14-	4*	4	+... 12 1-2-3 1-23-4
,	- -7	1	6 19. 1+2 + 2- +3-4-3 —-	4-... 20. 2+10 + 26 + 821-242 + 730 +
21.
23.
9	16	25
В задчах 21—30, пользуясь методом, приметенным в приме-
ре 1, выгнить вопрос о сходимости и найти сумиы рядов.
1 + ?-?2+$3 + ..., |«|<1. 22. 1+2+1+^+..
ч 1 1	1	ч 1	1	1
1-------4-..»	24. 14----^4--тН--
3 9 27	з^Д
111	„	1	1	1
---1--1----F... . 26.-1----1---h...
2*3	4 4*5	1’4 2’5 3*6
1 1 1
----------1----4** „
1*2’3 2*3*4 3*4*5
OO	1	00	1	00	1
28. У----------. 29. У-------!-----.30. У—.
(2-1)(2л + 5)	(л + л)(л+я+1)	~ у
Я в А	П 1	Я в 1 £
В задяах 31—36 проверить, выполняется ih необходимое
условие аодимости для ряда.
27.
133
ОО 1
31. £ —.
«-1 2-1
34. У ляп-.
я
32. £ —.
35. £—.
.^1 Л
оо н
33. £
»-i" +1
оо /
36. £ (1+-).
V Я/
§ 2. Риды с неотрицательными членами.
Признаки сходимости
1.	Признак сравнения.
Теорема 1. Пусть даны два ряда с неотрицательными члене
00	оо
ми £ а„ и £Д, и для всех п выполняется неравенство а„^Ь
И“1	qq	QQ
Тогда из сходимости ряда £ Ья следует сходимость ряда а
я-1	я-1
00	°в
а из расходимости ряда £ а„ следует расходимость ряда £ Ь„.
Я"1
Сравнением с гармоническим рядом или с убывающей про
грессией исследовать сходимость ряда.
СО
39. £
» ।
37. £-L.
2
1+2
1
40.
СО
42. £
я*1 (л+1)
00	|
я-i п2
оо 9я
41. £-^_
»-«л(2’+1)
2.	Признак Даламбера
Теорема 2. Пусть дан ряд ^ОяС положительными члене
^+1
и существует предел lim —~=Р- Тогда: а) при р<1 ряд сходе
ся; б) при р>1 ряд расходится.
Замечание. При р—1, как показывают примеры,
СО
£ а, может как сходиться, так и расходиться. В этом сл
»-i -
необходимо дополнительное исследование ряда с помощью .
знака сравнения или других признаков.
С помощью признака Даламбера исследовать, сходятся
расходятся ряды.
00 1 43- &	«0 < 44. £1. »•! П	00	1 45. £-L. я-iV»
оо -я 46. £1. »-1	°0 -Хя 47. £ л-1 2Я	00 1 48. £1. л-1 Л
134
3.	Интегральный признак.
Теорема 3. Пусть дан ряд
Л1)+/(2)+/(з>+... +Ж+-» ЕЖ
члены которого являются значениями некоторой функции j\x\,
положительной, непрерывной и убывающей на полуинтервале [1,
+ 00
с	°®
+ оо). Тогда если I /(x)dx сходится, то сходится и ряд ^f(n);
если же /Wdx расходится, то ряд ^f{n} также рас-
ходится.
С помощью интегрального
или расходятся ряды.
49. Е “(а>0).
п
00 I
52. Е — •
2л-1
признака исследовать, сходятся
€0	1
50. £-Ц.
ш я
53. Е -Ц.
("+D1
51. Е ~.
4.	Смешанные задачи.
Исследовать сходимость рядов.
55. 1 — 14-1 — 1 + ...	56.
«я 1	*	1	1 57. -+-Ч--Ч-—F... . 2 4 6 8	58.
м 1	2	3	4 59. —Ч	1	Ч	F... 101	104	109	116	60.
(I!)2	(2!)2	(З!)2	(4!)2 О1.	1	1	1	... 3!	5!	7!	9!	62.
„ 4’1! 42’2! 43’3? 4**4! 63. 	Ч-^-Ч—Г-+—г + - 1	21	Зэ	44	64.
00	1	00	1 л-1	л—1 3 4-Л	67,
я 1	1	1
1 Ч-F-F-
10 100	1000
1111
12	3	4
—I"—I----1--F...
13 16 19	22
21! 22 21	2*’3!	2* 4!
--- +	Ч------Ч----
1--22 З3 44
з з1
1
68. Е—.
, , «!
л —1
00	1
71- Е—
. Л —ЯП л
w я
69. Е—
л-12Ял!
оо н
72.
л«1 е
w я
70.
"“13 л!
ао 1
73. Е -
л
л-1 л
135
оо 74- Z Я-1	Л+1	75. £Ц-2 „-1 *	00	1 76. я_1 <л(л+3)
00	1	<2. 7	®	5"
77. £		78. 1	79. £	
Я-1	^/л3+л3+5	—1 л-3	»-13"(2л-1)
со 80. £ л-2	1 л (In я)2	СО	1 И- Z—•	82- я-2 п
со 83. £ я-2	1 л—1пл	00	м я-1 1+л	85. 1^. л-1 П
§ 3. Знакопеременные рады
1. Знакочередующиеся ряды.
Признак Лейбница. Теорема 1. Если абсолютные величины
членов знакочередующегося ряда
в1-в1+аз-щ+...Н-1)"+1в»+- - = £ (~1)"+1в» (я»>0)
Я-1
монотонно убывают: а|>а2>вз>... — и общий член ряда стре-
мится к нулю: lim 0.^=0 — , то ряд сходится.
л-* со
Пример 1. Рад 1_1+1_1+...+(-1)’+‘-+...= £ (-1)"+‘-
2 3 4	п “	п
сходится, так как удовлетворяет условиям признака Лейбница:
1)	2) lim-=0.
2 3	п
2.	Абсолютная и условная сходимости рядов. Ряд с членами
произвольных знаков называется знакопеременным.
Возьмем какой-нибудь знакопеременный ряд
а1+в2+аз + ... + а(,+ ...= £ а„,	(1)
я-1
где числа вь а2, ai}..., а„,... могут быть как положительными, так
и отрицательными, причем их расположение в ряде произвольно.
Рассмотрим рад, составленный из абсолютных величин членов
ряда (1):
|в1| + |вг| + |вз| + ••• + |в»| + •..= £ Щ.	(2)
Л —1
Теорема 2. Если ряд (2) сходится, то сходится и ряд (1). Ряд
(1) в этом случае называется абсолютно сходящимся.
Если ряд (1) сходится, а ряд (2) расходится, то ряд (1) называ*
ется условно сходящимся.
136
„ * л , 1 1 1 1 1 1
Пример 2. Ряд 1—-——г—согласно теореме
Г	22 З2 42 53 62 7а
2, абсолютно сходящийся, так как сходится ряд, составленный из
,11111
абсолютных величин членов данного ряда: 1+—+-- Ч—-+—+— +
22 З2 42 52 62
(см. задачу 49).
Пример 3. Ряд У (—1)"+ - условно сходящийся, так как он,
согласно признаку" "Лейбница" сходится (см поимев 1) а вяд
vuiJiavtiu ирилмалу лсиииицй, к/Аодмхьл пример lj9 а ряд
оо J
У составленный из абсолютных величин его членов, расходит-
ся (гармонический ряд).
Так как ряд (2) является рядом с положительными членами,
то для исследования вопроса о его сходимости можно применять
рассмотренные ранее признаки сходимости: признаки сравнения,
Даламбера, интегральный признак и др.
Исследовать на абсолютную и условную сходимость следу-
ющие ряды:
^,11111111
“• 1+Г?"?+?+?~?+?+?+-
00 г 1\л	со Г Пя+13 Гп	00 ( Пл+1я10
91. L L2L. 92. У -------------X? 93. У
toп	"+2	...
I	Лв1	£
«2. /	1	1
94. £<_1)
Л«1
у 96 У (-Ц*41
“ Зл+2 ' Юл+1 ‘
100.	101. т". 102.
я-2 Hyjn	"	я«1 H'S*
§ 4. Степенные ряды
1. Определение и общие замечания. Интервал сходимости. Ряд
вида
137
a0+aiX+aix*+aix3+...+a„x +... = 2_I a„x	(1)
n-0
называется степенным рядом.
Числа Oq, alt а2, а3,	а„, называются коэффициентами
степенного ряда.
Придавая х различные числовые значения, будем получать
различные числовые ряды, которые могут оказаться сходящими-
ся или расходящимися. Множество тех значений х, при которых
ряд (1) сходится, называется областью его сходимости.
Очевидно, что частичная сумма степенного ряда
5л(х)=а0+а|х+...+аях’* является функцией переменной х. Поэто-
му н сумма ряда S’ также является некоторой функцией перемен-
ной х, определенной в области сходимости ряда: S=
=S(x)= X а** (или/(х)= £ а„хя).
»-0	я-0
Число Л называется радиусом сходимости ряда (1), если при
|xl<R ряд сходится, а при |х|>Я — расходится. Интервал (—R,
А) в этом случае называется интервалом сходимости ряда (1).
Если ряд (1) сходится на всей числовой прямой, то пишут R— оо;
если он сходится только при х=0, то пишут А=0.
При х= +R ряд (1) может либо сходиться, либо расходиться.
Этот вопрос решается для каждого конкретного ряда.
“л
Радиус сходимости можно найти по формуле A=lim--------,
дя+1
если соответствующий предел существует.
Пример. Рассмотрим ряд
Это степенной ряд, все коэффициенты его, за исключением а®,
отличны от нуля. Найдем радиус и интервал сходимости данного
~ 1 1 „
ряда. Здесь а„=- и <^+1 =-. Поэтому
п	л+1
_ ,.	*	.. л+1 ,. /, 1\ ,
A=Iim—=lim—=mnl 14—1=1.
Я-+00 л И-+ОО \ nJ
Следовательно, радиус сходимости R— 1 и ряд сходится на ин-
тервале (—1,1). Исследуем поведение ряда на концах интервала
сходимости, т. е. в точках х= + 1. При х=1 получаем гармони-
ческий ряд У а при х= — 1 — ряд У (— 1)"-, который сходится
. , л	.	л
п-1	п-1
138
в силу признака Лейбница. Таким образом, данный ряд сходится
в любой точке полуинтервала [—1. 1) и расходится вне его.
Найти радиус и интервал сходимости ряда и исследовать его
сходимость на границах интервала.
0° J*	оо	00 (—х)" 1	00 ( — ПЯ+1х"
103.	£	104. £ п\х” 105. X . 106. £ 1	.
я-1 "•	л-1	я-1 Л	л-1* л
£ „я я <лл v * 1 -лл .	4л2	8х3
107.	УЗх. 108. У------. 109. 1+—7=+—7=+—7=4-...
Я-1	я-13"-1	3^3	7’7?
Ш.
л-1 ч/л
2л-1
№	2П-1	ОО
111 V(—1>—*-—. 113. У(-1)' -------------.
2?-1 . (2n~,)I
. х X Xs
114.	1----F +--F------F+... .
115.	1 -
.6
со л	со 1	оо
116.	117. £2—. 118. Z (пх)я.
»-1(2л-1)2я	"-1 Ж+1	»-1
2. Разложение функций в степенные ряды. Если функция f(x)
на интервале (—R, J?) разлагается в степенной ряд
/(х)=в0+а1Х+а2х2+...+д,х’+...,	(2)
то коэффициенты этого ряда определяются по формулам
Оо=/(0), а,=7—(и=1,1 3,...).
nl
Подставляя выражения коэффициентов в равенство (2), получаем
Л),Л0)+^.+^^ + ...+^х+...	(3)
Ряд, стоящий в правой части формулы (3), называется рядом
Макларена для функции Дх).
При разложении функций в степенные ряды часто использу-
ются разложения в ряд Маклорена следующих функций:
’'“l+5+i4+"+j+-M<+“1	<4)
139
Xs х5 х7 (-1)"“‘х	. .
sinx=x--1--------------1-..., x< + oo;
3! 5! 7!	(2л—1)!
cosx=l-—+—1)"—+|x|< + oo; (5)
2! 4! 6!	’ (2л)!	'	v ’
ln(l+x)=X-^+y-j+... + (- 1)"	(6)
. «	e(«-l) , a(a—l)(e-2) ,
(1+x) =1+-X+-------X2+-i -------;x3 + ...+
I! 2!	3!
л!
(7)
где a — любое вещественное число.
Пример 1. Разложить в ряд Маклореиа функцию f[x)=ex,
т. е. проверить справедливость формулы (4).
Решение. Имеем /'(х)=/"(х)== ...=/"\x)=ex, откуда при
х=0 получаем/(0)=/'(0)=/"(0)=...=/д0)=1. Подставляя по-
лученные значения в формулу (3), находим
„ ,.	.. л!(л+1)
Я= hm — = lim---------------= оо.
l л-»оо nl
Так как
то рад сходится на всей числовой прямой.
Пример 2. Разложить в ряд Маклореиа функцию f(x) =е"Л
Решение. Воспользуемся формулой (4). Положим /= — х2,
тогда е =е. Имеем
е
При t= — х2 находим искомое разложение
е
1! 21 3!
л!
справедливое, очевидно, для всех значений х.
Пример 3. Разложить в ряд Маклореиа
/(х) = С08^Х.
функцию
140
Решение. Имеем cos2x=-(l+cos2x). Используя формулу
(5), запишем разложение функции cos2x, заменив там х на 2х:
(2х)2 (2х)4	я(2х)\
cos2x=l-------+-----...+(—1) —- +
2!	4!	(2л)!
ИЛИ
„ t 22х* 2*х*
cos2x=l--------1----
2!	4!

(2л)!
Таким образом,
2	1Г. А 2 х ***	/ .ч-2 х
cos2x=- 1+11---------+--------... + (-1)-----
11 V 2!	41	(2л)!
Окончательно
,	,	2Х2 8х*
COS Х=1-----------1-----
21	4!
... + (-D"
(2л)!
Полученный ряд сходится при всех х.
14*х
Пример 4. Разложить в ряд Маклорена функцию Дх)=In--.
1— X
1 +х
Решение. Имеем In—-=1п(1+х)—1п(1 — х). Воспользовав-
1-х
шись формулой (6), можем записать:
1п(1+х)=х~+—+ ...+(-1)" '—+...,
2	3	л
X2 X3 X4	X*
!п(1—х)= —х————----...----...
2 3 4	п
Отсюда получаем
1п(1+х)-1п(1-х)=х——+-——+... + (-1)"-1—+...
2	3	4	л
Раскрывая скобки и приводя подобные члены, находим искомое
разложение:
, 1+х „	2Х3 2Х5	2х
In-=2х+—+— + ...+---
1-х	3	5	2л—1
141
Очевидно, ряд сходится в интервале (— 1, 1).
Пример 5. Разложить в ряд Маклорена функцию f(x)=—=.
1	—1/2
Решение. Имеем —===(1+х)	Воспользовавшись фор-
V>+x
мулой (7), получим разложение
1 -j 1х 13x1	(-1)Я1-3-5„.(2л-1)х"
Vi+Z	2гзГ+",+ Ты +
справедливое для интервала (— 1, 1).
В заключение отметим, что в ряде случаев рассматриваются
степенные ряды более общего вида:
ао+П1(х—а)+в2(х—а)2+...+а,(х—в)"+...= £ вДх-а)’,
л-0
которые приводятся к виду (I) заменой переменной х—a=t.
Разложить в ряд Маклорена и найти интервалы сходимости
функций.
119. f{x)=a, 0<а#1.
121. /(х)=х2е"1’
120. Дх)=—7=.
-у е
122. Дх)=зшх2.
=sin2x.
124. /tx)=x3cosx.
126. Дх)=1п(1+2х2).
127.
129.
131.
133.
=1п(1 + 5х).
=1п(х2-Зх+2).
=1п(х2—10х+9).
128.Дх)=1п—.
. .	1—Зх
130. Дх)=1п(5+2
132.	=1п(х2-
134. Дх)=1п(6+х
135. Дх)=У1+^'
137. Дх)=\/27+х.
139. Дх)=-Д=.
y4-№
141.Дх)«-2-.
1-дг
143. Дх)=—.
1+2х
145.Дх)=
1
3+2х
138. Дх)=-7=Ц.
14О.Дх)=-7Ц.
V9+X2
*42./Ы-^.
144. Лх)=-^-.
—а
142
148. Дх) =
7-2х
х —7х+12
150. Дх)«
2х+3
х2-4х-ьЗ
1» Определение. Рядом Фурье функции f(x), определенной и ин-
тегрируемой на отрезке [—тс, я], называется pid
Оо 00
- + Z cos nx+мь вх)>	(О
2 я —1
коэффициенты которого определяются формулами
як	я
Оо=- |/(x)dx, a«=- I /(x)cosnxdx, bn=- |/(x)sin>xdx.
n J	nJ	nJ
— К	“ я	-я
Если ряд (1) является рядом Фурье функцш Дх), топишут
^0 со
Дх)=-+ £ (a,cosnx+Z>„sinnv).	(2)
л-1
ЕслиДх)=Д —х), т. е. Дх) — функция чепая, то Ь„=0 и
°0 оо
Дх)=у + £ a„cosnxdx.
Если Дх)= —Д—х), т. е. Дх) — функция меченая, то а=0 и
00
Дх)= £ 6„sinnxdx.
It—1
2. Ряд Фурье с периодом 21.
Теорема. Если функция f(x) и ее производная /\х>— непре-
рывные функции на отрезке [—/>/](/ — произвольное положитель-
ное число) или же имеют на нем конечное тело точк разрыва
I рода, то во всех точках х^—1, /), в которых f(x) непрерывна,
сумма ряда равна f(x) и справедливо разложение
Дх)=-+£ ^cos—+6,sinyj,	(3)
где
t	i	i
0o=^ |Дх)ёх, aK=~t ^x)cos^dx, 6„=^j/(x)siiiy dx,
— /	—/	— I
143
а в каждой точке х0 разрыва функции сумма ряда равна
(rb-)+/U+))/2 и на концах отрезка сумма ряда равна
В дальнейшем предполагается, что рассматриваемые функции
удовлетворяют условиям этой теоремы.
Замечание. Ряд (1) является частным случаем ряда (3), он
получается из (3) при /=я.
Пример. Разложим в ряд Фурье функцию
если — я<х<0,
если 0<х<я.
Решение. Имеем:
к	0
До=
(—l)dx=-x
Я
° 1
•’ я
о
1 f г/ х л 1
- /(x)coshxcLx=-
п J	п
-я	0
=-[0-(-я)]--[гс-0]= 1-1=0;
Я	я
0	п
I Г , 1 f .
- cosnxdx— cosnxdx=
я J	nJ
-я	0
0	1 ЯПЛХ
* я п
о
/(x)sinnxdx=- I sinnxdx—- sinwxdx =
я J	я J
t	-я	О
1 япдх
п п
= 0;
о
°	1 СОвЛХ
Я Л
1	2	2	я
Н—(cos ия—cosO)=—(coshtt—cosO)=—[(— 1) — 1].
ял	ял	ял
При четных п выражение в квадратной скобке равно нулю,
4
а при нечетных п оно равно —2. Поэтому £л=---(л=1, 3, 5...).
ял
4
Таким образом, ао=О, ^=0, £*,=0, b2n-1==-----. На основа-
я (2л—1)
нии формулы (2)
1 совах
я л
—п
* 1
=----(cos 0-cos ия)+
и ял
«..1 2л-1
В развернутом виде этот ряд запишется так:
144
Точкой разрыва является точка х=0. На основании теоремы
/(•*о-)+Лхо+) /(0-)+/(0+) ]+(_])
в ней сумма ряда равна-------=---------=—-—=0 и на
г 2
i+(-1) „
концах отрезка сумма ряда равна --------=—-—=0, т. е.
сумма ряда не совпадает со значениями функцииДх). Следовате-
льно, кроме точки х—0 полученный ряд сходится к функции Дх)
во всех точках хД—я, я), в которых Дх) непрерывна.
Указание. Обратите внимание на то, что функция нечетная,
поэтому все коэффициенты ее а„=0 и их можно было не вычис-
лять.
На отрезке [—я, я] разложить в ряд Фурье функции.
151. /(x)=sinx.
153.//	"
155. Дх)=х+я.
157. Дх)=2х+3.
159. Дх)=.1
161. Дх)=-Г*'
154. /,х)=х3.
156. Дх =х—я.
158. Дх)=2-3х.
х2.
О, — я<х<0,
0<х<я.
— я<х<0,
0<х<я.
— я<х<0,
я—х, 0<х<я.
160. /Ы={0,
(х,	0<х<я.
с/ 1 Г0’	-Л^Х<0,
162. f(x)=\ .
(sinx, 0<х<я.
И 1 I0’	-Я<Х<0,
164. Дх)=<1
1-ях,	0<х<я.
4
—я<х<0,
*
-(ях—1), 0<х<я.
На отрезке [—/,/] разложить в ряд Фурье функции.
167./(х)=х.
. „ а \ |0, —я<х<0,
166. Дх)={ ’ л
1х2,	0<х<я.
168. Дх)=|х|.
,„л s4 \ (°- ~Z<X<0,
170. Дх) = <	л ,
lx, 0<x<Z.
-/<х<0,
0<х</.
-1,
Глава 9
КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
Введение комплексных чисел вызвано тем, что в множестве
вещественных чисел не выполнено извлечение корня четной степе-
ни из отрицательного числа.
Определение. Комплексным числом z называется упорядочен-
ная пара вещественных чисел (х; у), т. е. 2—{х; j). При этом
145
х называется вещественной, ay — мнимой частью комплексного
числа.
Комплексное число z=(x; у) изображается на плоскости Оху
точкой с координатами (х; у). Плоскость Оху в этом случае
называется условно комплексной плоскостью.
Комплексное число (х; у) при у^О называется мнимым. Мни-
мое число (0; у) называется чисто мнимым, а чисто мнимое число
(0; 1) — мнимой единицей и обозначается буквой i, т. е. i=(0; 1).
По определению полагают (х; 0)=х, (0; y)—iy, (0; 0)=0.	|
Действия над комплексными числами. Пусть z1=(x1; у^
и z2=(x2; уД — два комплексных числа. Тогда суммой комплекс-
ных чисел zi и z2 называется комплексное число
z=(xj+x2; yi+y2);
разностью — комплексное число
z=(x!-x2; yi-y2);
произведением — комплексное число
z=(xix2-y1y2; Xi/z+x^i);
частным — комплексное число
z=
Х1Х2+У1У1 Х]У1 -лууЛ
, «J+J'i ‘ -4+^ /
, z2#0.
Пример 1. Доказать, что i2= — 1.
Решение. В силу определения произведения комплексных чи-
сел имеем	1) (0; 1)=(—1; 0)=-1, что и требовалось
доказать.
Алгебраическая форма комплексного числа. Любое комплекс-
ное число z—\x‘, у) можно представить в виде
z=(x; у)=(х; 0)+(0; у)=(х; 0)+(у; 0)(0; 1)=х-Ну
и производить над комплексными числами действия по обычным
правилам алгебры многочленов. Запись z=x+ty называется ал-
гебраической формой комплексного числа.
Пример 2. Найти сумму чисел Zi=2+i и z2=3 — i2.
Решение. Имеем
zI+z2=(2+i)+(3-i2)=(2+3)+i(l-2)=5-i.
Пример 3. Разделить число zt=2+ 3 на число z2=1 + *4.
Решение. Практически деление комплексных чисел выполня-
ется по следующему правилу:
г‘_2+Д_(2+й)(1-М)_14->5_14 .5
Т+м-(1 +м)(1- и)
146
Комплексное число z=(x; — у)=х—iy называется комплексно-
сопряженным числу z=(x; y)=x+iy и изображается на ком-
плексной плоскости точкой, симметричной точке г относительно
оси Ох.
Пример 4. Решить уравнение х2+2х+2=0.
Решение. Применив к данному уравнению известное прави-
ло нахождения корней квадратного уравнения, получим
Х1, 2= — 1 ±= — 1 ±1.
Данное уравнение вещественных корней не имеет; его корни
комплексно-сопряженные, т. е. х{ = — 1 + i, xt= — 1 — i.
Тригонометрическая форма комплексного числа. Комплексное
число z=x+iy определяется упорядоченной парой вещественных
чисел (х; у). По формулам x=pcos<p, y=psia<p, связывающим
полярные и прямоугольные координаты (см. рис. 7), получим
тригонометрическую форму записи комплексного числа z—х+ iy:
z=р (cos ф+i sin р).
Число р называется модулем, а число — аргументом комплекс-
ного числа z. Они обозначаются так: р=|г|, <p=Argz, причем
аргумент (р определен с точностью до слагаемого 2пп (л=0, ± 1,
+2,..,), а модуль имеет значение p=\z\=^/x2+y2.
Пример 5. Представить в тригонометрической форме число
z—i.
Решение. Для z=i имеем: х=0, у=1, р=у/х2+у2=1,
х 0	у 1
cos<p=-=~=0, sin ф=-=-=1. Этим значениям косинуса и синуса
р 1	Р 1
соответствует значение аргумента р=-. Следовательно,
. / я . . я\ я . . я
= 1'1 cos--Hsm- )=cos-+zsin-,
\	2	2?	2	2
Пусть (cos^i+xsin^) и Z2==p2(cos^24-zsin^2). Тогда
умножение и деление комплексных чисел и z2 определяются по
формулам
*Г гг-pipz [cos (?i + <pd+i sin fa 4- ^2)];
Pl
--- [cos (pl - Ф2)+i sin (<Pi - <Рг)]-
Z2 Pl
Пусть z=p(cos<p-H‘sin<p). Тогда возведение в степень и извле-
чение корня n-й степени (л — целое положительное число) осуще-
ствляется по формулам
z — p"(cosH4>-M’sinn<p);	0)
147
* Г п г ( Ф+2Ля . . <»+2ьЛ	_ 4Ч
Vz= х/р( cos--------Hsm------I (Л=0, 1, 2..л—1). (2)
\ " п /
В частности, если в формуле (1) положить р=1, то получим
формулу
(cos ф +1 sin <р)"=cos nip+i sin п(р,
которая называется формулой Муавра.
Выполнить действия:
1. (2+i3)(3-i2).
3. (3-i2)2.
5. —\
1 —I
7. (5+i2)+(3—4).
9
2+Д
4. (l + i)3.
6.
8. (5+П) (3-4).
10.^.
5—12
*1*2
11.	—, Zi=2+i, z2=2—i, z3=4—3i.
*э
12.	—, Zi = l + i, z2=-y/3 + i, Zj—1 + ц/з.
*2*3	±5
13.	Решить уравнения: 1) x2 4- 25=0; 2) x2—2x+2=0;
3) x2—2x+5=0;4) x2+4x+13=0; 5) x3-8=0;
6) x4+4=0 — и проверить подстановкой корней в уравнение.
Представить в тригонометрической форме комплексные чи-
ела: 14. 1. 17. 5.	15. 18.	-1. 2+i2y/3.	16. 19.	i. 3+/3.
20. -2.	21.	i6.	22.	-B.
23. 1-\/з.	24.	l+k/З.	25.	^/з+/з.
26. -3+iyfi.	27.	-1-дД	28.	у/3-i.
29. l+i. 1	30.	1—i.	31.	-l + i. 2
32. -.	33. —. i	I +i Найти все значения корней:			34.	1+ц/з
35. V-1.	36.	Vi.	37.	
38.	39.	67+		40.	
41. у/1+i. Вычислить:	42.	yZ-z-u/i.	43.	V-1+z
44. (cos9°+1 sin9°)10. 45. (coslO° + isin Ю0)27. 46. (l + i)10.
47. (1 -ц/З)6. 48. (- l + i)5- 49. (л/з + О3.
,_______________________	Л/з+Л12
50. (1 —i)6. 51- (2+ц/12)5. 52. (^~)
148
Предел последовательности комплексных чисел. Пусть дана
последовательность комплексных чисел
Z19 ^2» ^39 •••> *Л,
где zK=x„+iy„ (п = 1, 2, 3,...).
Комплексное число a=x0+iy0 называется пределом последова-
тельности {z„}, если для любого £> 0 существует номер N, такой,
что при n>N выполняется неравенство |z„—а|<£. Последователь-
ность {z„} в этом случае называется сходящейся к числу а, что
записывается в виде lim гл=а или z„-»a при л-^оо.
л-» со
Необходимым и достаточным условием сходимости последо-
вательности {z„} = {х„+iy„} является сходимость последователь-
ностей вещественных чисел {х„} и {ул}, т. е. limx„=xo, lim у„=у0.
Л-»СО	Л-+О0
Найти пределы последовательностей:
(Sit . 2л2+л\
-----bl —;--].
л +1 Зл — 1J
54. lim
п-»оо
л3 Зл2 Л 5•3й \
л2 + 1 Зл + 1	з"_ 2/
55.	lim
л-*оо
56.	lim
n-» co
57.	lim
л-* со
l+2+З + ...+л .
—г—+|
л
5л+11
58. lim {п[In(л + 3)- 1пл] + /}.
Л-ЬСО
61. Доказать, что если lim z„=a, то справедливо равенство
л~»со
2;+22 + ...4'7я
lim---------------==а.
FI-+CO	Л
149
Числовые ряды с комплексными членами. Ряд вида

(3)
где z„—x„+iy„, называется числовым рядом с комплексными чле-}
нами.
Необходимым и достаточным условием сходимости ряда (3)
оо	со	,
является сходимость рядов £ х„ и £ у„.
Ряд (3) сходится, если сходится ряд, составленный из модулей
00	оо	i
его членов, т. е. ряд £ N= Z	В этом случае ряд (3)
называется абсолютно сходящимся.	<
00	/ | I \	1
Пример 6. Исследовать на сходимость ряд £ I —I- i — I.
»-1 V з"/
ОО 1	со 1	?
Решение. Рассмотрим ряды У - и У Оба ряда сходятся!
Л-i 2Л я-1 3я	j
так как являются геометрическими прогрессиями со знамена-
телами	и х/з< 1- Следовательно, данный ряд также
сходится.
оо / 1 Д
Пример 7. Исследовать на сходимость ряд У I —I- i - }.	i
л-. \2"	«/
Решение. Данный ряд расходится, так как ряд У ~ являет»
гармоническим, который, как известно, расходится.	!
„	_ „	тп sinn+icosn
Пример 8. Исследовать на сходимость ряд >.------------.	.
л-|	»
Решение. Имеем
ппл+гсовл| ® 1	® 1
= У —. Ряд У — сходится (см. задачу 49 гл. 8)
„ Я’	"

п
поэтому и данный ряд сходится, причем абсолютно.
Исследовать на сходимость ряды:
1
62.
СО / 1	1
E(I+’2
:т. \я г
м. £
1
7
1
(sin-,
« я
---1	
7--" -
61. £ /rin-+i^\
V П п\/
150
«о /	1	/_п *
68. У | и sin —+1 ————
.-Л	” з" -
00
71 £
Я «4
V1 /| «
69. У(---Hcos—1.
»-Л "	2«/
75. £
»!
77 yi л(2+<)
»-• г"
Степенные ряды с комплексными членами. Ряд вида
eo+a1z+a2z2+ —4-^"+...= £
л—О
гдег — комплексная переменная; а„ — комплексные числа, назы-
вается степенным рядом.
Радиус R сходимости степенного ряда (4) определяется по
формуле R— lim
(4)
Л,
. Если ряд сходится только в точке z=0, то
л-+со
поаагают Л=0, если же ряд сходится при любой значении z, т. е.
на 1сей комплексной плоскости, то считают R= оо.
« г"
Пример 9. Найти радиус сходимости ряда У —.
л-1 «
„ 11
Решение. Так как а„=~, a,+i=-, то
я+1
1
п
Л—lim
а»
= lim
Л-+00
1
я
lim-------=1.
Л-+00 я
Следовательно, ряд сходится, когда |z|< 1, т. е. в круге радиуса
R=1 с центром в начале координат.
Пример 10. Найти радиус сходимости ряда
п
Z
п\
Решение. Так как a„=—, a.+i=------, то
я! (я+1)!
151
_ ,. Ы V (я + 1)! ,. (n+l)nl
Л= lim--------=lim---------=hm------------=lim (л+1)=оо.
M-»eo taj-f-il я-»оо	л! я-*со	л! Я-.00
Следовательно, ряд сходится при любом значении х.
Найти радиусы сходимости следующих рядов:
80. £ n\z.
Я—1
83. £ (3"+л) z.
л-0

м» X <п+в")г"
и-0
Глава 10
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
§ 1. Прямоугольная система координат в пространстве
Прямоугольная система координат Oxyz в пространстве опре-
деляется заданием масштабной единицы измерения длин и трех
пересекающихся в одной точке О взаимно перпендикулярных
осей: Ох, Оу и Oz. Точка О — начало координат, Ох — осн
абсцисс. Оу — ось ординат, Oz — ось аппликат.
Пусть М — произвольная точка пространства (рис. 36). Про*
ведем через точку М три плоскости, перпендикулярные коор->
динатным осям Ох, Оу и Oz. Точки пересечения плоскостей q
осями обозначим соответственно через Мх, Му и Mt. Прямо-
угольными координатами точки М называются числа	;
х=ОМх, у=ОМу, z=OM.,
Рис. 37
Рис. 36
152
т. е. величины направленных отрезков 0Мх, 0Му, ОМ; при этом
х называется абсциссой, у — ординатой, az — аппликатой точки
М. Символ М (х; у; z) обозначает, что точка М имеет координаты
х, у, z.
Таким образом, при выбранной системе координат каждой
точке М пространства соответствует единственная упорядоченная
тройка чисел (х; у; z) — ее прямоугольные координаты и, обратно,
каждой упорядоченной тройке чисел (х; у; z) соответствует, и при*
том одна, точка М в пространстве.
Плоскости Оху, Oyz, Oxz называются координатными плоско-
стями. Они делят все пространство на восемь частей, называемых
октантами, которые нумеруют так, как показано на рис. 37.
1.	Даны точки А (4; 3; 5), В (-3; 2; 1), С (2; -3; 0) и D (0; 0; 3).
Найти координаты их проекций: 1) на плоскость Оху; 2) на плос-
кость Oxz; 3) на плоскость Oyz; 4) на ось абсцисс; 5) на ось
ординат; 6) на ось аппликат.
2.	Найти координаты точек, симметричных точкам А (2; 3; 1),
В (5; — 3; 2), С (—3; 2; — 1) и D (а; Ь; с) относительно: 1) плоскости
Оху; 2) плоскости Oxz; 3) плоскости Oyz; 4) оси абсцисс; 5) оси
ординат, 6) оси аппликат; 7) начала координат.
3.	В каких октантах могут быть расположены точки, коор-
динаты которых удовлетворяют одному из следующих уравнений:
1) х—у=0; 2) х+у=0; 3) х—z=0; 4) x+z=0; 5) у—z=0;
6) y+z=0?
4.	В каких октантах могут быть расположены точки, если:
1) ху>0; 2) xz<0; 3) yz>0; 4) xyz>0; 5) xyz<0?
5.	Даны следующие четыре вершины куба: А (—1; —1; —1),
В(1; —1; —1), С (—1; 1; — 1) и D (1; 1; 1). Определить его оста-
льные нерпшны.
§ 2. Понятие вектора
Определение 1. Направленный отрезок АВ называется векто-
ром.
Буква А означает начало вектора, а буква В — его конец.
Вектор также обозначают и одной буквой с черточкой наверху,
например а. Направление вектора на рисунке указывают стрелкой
(рис. 38).
Вектор, у которого начало и конец совпадают, называется
нулевым и обозначается 0 или просто 0.
Длина вектора обозначается |ЛВ| или |а|. Если |а] = 1, то вектор
а называется единичным.
Векторы а и b называются коллинеарными, если они лежат на
одной прямой или на параллель-
ных прямых.	а
Нулевой вектор направлен одина- ---------------------►
ково с любым вектором; длина его	8
равна нулю, т. е. jOj—0.	р"с- М
153
Определеяие 2. Векторы aub называются равными (а=Ь), если
они коллинеарны, одинаково направлены и их длины равны.
Проекцией вектора АВ на ось и называется величина А'В'
направленного отрезка А'В' на оси и, где А' — проекция точки
А на ось и, а В’ — проекция точки В на эту ось. Обозначение:
пр„ЛВ.	_
Проекция вектора АВ на ось и определяется формулой
при АВ= |ЛВ| cos <р,	(1)
где (р — угол между вектором АВ и осью и.
Пусть Х=прхЛД Y=npyAB, Z=nptAB. Проекции X, Y, Z ве-
ктора АВ на оси координат называют его координатами. При
этом пишут
АВ={Х; Y-Z}.
Каковы бы ни были две точки А (х,; zj и В (х2; у2; z2), ко-
ординаты вектора АВ определяются следующими формулами:
У=х2-хь У=у2-уь Z=z2-zt.	(2)
Пусть дан произвольный вектор а={Х; У; Z}. Формула
|S|=Vx2+y2+z2	(3)
выражает длину произвольного вектора через его координаты.
Обозначим через а, р, у углы между вектором а и осями коор-
динат (рис. 39). Из формул (1) и (3) получаем:
X	Y	Z	\
cos«=— -	-cosp—-cosy=-^ — —; (4|
y/jp+ir+z2	y/xi+Y1+zi	y/x2+Y2+z2
cos a, cos/?, cosy называются направляющими косинусами вектора!
а. Возводя в квадрат левую и правую части каждого из равенств
(4) и суммируя полученные результаты, имеем	5
.	cos2 a+cos2	cos2 у = 1,	(5|
fa	т. е. сумма квадратов направляющ
/	тих косинусов любого вектора равч
Ч/	на 1’	d
Пример. Даны точки А (1; 2; 3*
/ [ /ь\	и В (3; 5; 9). Найти координаты век*
---т—р q-----------тора АВ, его длину и направляющ®
у------------------косинусы. Проверить формулу (5). ,
/	Решение. По формулам (2) на
xowssA Х=3-1=2,	У=5—2=3
Z—9 — 3=6. Следовательно, АВ=*
Рис. 39	\
154
= {Х; У; Z}={2; 3; 6}. Далее, используя соответственно формулы
(3) и (4), получим
]ЛБ| =-^/22+32+62=7, cosa=2, cos/l=^, cosy=*,
при этом cos2a-f-cos2/l+cos2y=(2/7)2-|-(3/7)24-(6/7)2=l.
6.	Даны точки А (3; — 1; 2) я В (— 1; 2; 1). Найти координаты
векторов АВ и ВА.
7.	Даны точки А (1; 2; 3)и Д (3; —4; 6). Найти длину и направ-
ляющие косинусы вектора АВ.
8.	Найти длину вектора 5={20; 30; —60} и его направляющие
косинусы.
9.	Даны две координаты вектора: Х=4, Y— —12. Определить
его третью координату Z при условии, что |п|=13.
10.	Определить начало вектора я={2; —3; —1), если его
конец совпадает с точкой (1; — 1; 2).
11.	Определить точку N, с которой совпадает конец вектора
а— {3; — 1; 4}, если его начало совпадает с точкой М (1; 2; —3).
12.	Вычислить направляющие косинуса вектора а—{3/13;
4/13; 12/13}.
13.	Даны |а|—2 и углы a =45°, /1=60°, у =120°. Вычислить
проекции вектора а на координатные оси.
14.	Может ли вектор составлять с координатными осями
следующие углы: 1) а.=45°, /1=60°, у=120°; 2) а=45°, /1=135°,
у=60°; 3) a=90°, /1= 150°, у=60°?
15.	Может ли вектор составлять с двумя координатными
осями следующие углы: 1) «=30°, /1=45°; 2) /1=60°, у=60°;
3) а=150°, у=30°?
16.	Вектор составляет с осями Ох и Oz углы а= 120° и у=45°
Какой угол он составляет с осью Oyi
17.	Вектор а составляет с координатными осями Ох и Оу
углы_а=60°, /1=120°. Вычислить его координаты при условии,
что |а|=2.
18.	Определить координаты точки М, если ее радиус-вектор*
составляет с координатными осями одинаковые углы и его длина
равна 3.
19.	Радиус-вектор точки М составляет с осями координат
равные острые углы. Определить эти углы, если длина вектора
равна 2^/3.
20.	Радиус-вектор точки М составляет с осью Ох угол 45°
и с осью Оу — угол 60°. Длина его равна 6. Определить коор-
динаты точки М, если ее координата Z отрицательна.
21.	В точке А (2; 1; — 1) приложена сила, равная 7. Зная две
координаты этой силы Х=2 и Y- — 3, определить направление
и конец вектора, изображающего силу.
•Радиусом-вектором точки М называется вектору идущий из начала коор-
динат в эту точку. Радиус-вектор обозначают г: г= ОМ.
155
§ 3. Линейные операции над векторами.
Разложение вектора по базису
Линейными операциями над векторами называются операции
сложения и вычитания векторов, и умножения векторов на числа.
Суммой а+Б двух векторов а и Б называется вектор, который
идет из начала вектора а в конец вектора Б при условии, что
вектор Б приложен к концу вектора а (правило треугольника)
(рис. 40, а).
Разностью Ъ-а двух векторов Ь и ^называется вектор, кото-
рый в сумме с вектором а дает вектор b (рис. 40, б);
Произведением Ха (л^0_и число А#0) называется вектор, кото-
рый коллинеарен вектору а, имеет длину, равную |А| |а|, и направ-
ление такое же, как и вектор а, если А>0, и противоположное,
если А<0 (рис. 41).
На рис. 41 изображен случай |А|> 1.
Если А—0 или а=0, то произведение Ха считается равным
нулевому вектору.
Имеют место следующие две основные теоремы о проекциях
векторов.
Теорема 1. Проекция суммы двух векторов на ось равна сум-
ме их проекций на эту ось, т. е. пр„ (а, +а2)=приа1+приа2.
Следствие 1. Если a={Xt; Yt; Zj иб={У2; У2; Z2},to a+b=
^{Xx+X2;Y, + Y2;Z,+Z2}.
Теорема 2. При умножении вектора а на число А его проект
ция на ось также умножается на это число, т. е. приАа=Априа,
Следствие 2. Если 5={Т; У; Z}, то Ао={АУ; АУ; AZ} для
любого числа А.
Признаком коллинеарности двух векторов 5={A'l; Yt; Zj,
b={Х2, У2; Z2} является пропорциональность их координат
*2_Ъ_г2
Хх Yx Zi
Пусть векторы 7, j, к— единичные векторы, т. е. |7|=|J| =
= |£| = 1, вектор 7 лежит на оси Ох, вектору — на оси Оу, вектор
к — на оси Oz.u каждый из них направлен на своей оси в положи'
тельную сторону. Тройка векторов 7, J, к называется базисом. .
40
Ри... 4!
‘56
Любой вектор а может быть разложен по базису 7, J, к, т. е.
представлен в виде
5=17+ Hj+Zk,
где X, Y, Z — координаты вектора д. ____
Пример. В треугольнике АВС АВ—а, АС=Ь. Построить:
.к-т 2+5	2—5	2—5
1)	д+6; 2) —; 3)	4) -—.
х	х	х
Решение. Воспользуемся правилом параллелограмма1* (рис.
42):
ЛР=5+6; ЛО=—; СВ=а-Ь; СО=—; СЁ=-~.
г	2	2
22.	Векторы д и 6 взаимно перпендикулярны, причем |д|=5 и
|6J=12. Определить |д+6| и |д—6|. _
23.	Даны: |д|—13, |6|=19 и |д+6|=24. Вычислить |5—6|.
24.	Даны: |д|= Нл |6|=23 и |д—6|=30. Вычислить |д+6|.
25.	Векторы д и бобразуют угол <р=60°, причем |д|=5 и |6|=
=8. Определить |д+6] и |5—6|.
26.	Векторы а и бобразуют угол <р=120°, причем |д|—3 и |6| =
=5. Определить |д+6| и |д—6|.
27.	Доказать, что д+6=6+д.
28.	Доказать, что (5+6)+с=5+(6+с)._
29.	На трех векторах ОА=а, ОВ—Ь и ОС=с построен парал-
лелепипед. Указать те его вектор-диагонали, которые соответст-
венно равны д+6—с, д—6+с, а—6—с и 6—д—с.
30.	В треугольнике АВС сторону АВ точками М и У разделим
на три равные части: AM=MN=NB. Найти вектор СМ, если
СЛ = д, СВ=6.
Jl._ Радиусами-векторами вершин треугольника АВС являют-
ся й, г2 и г3. Найти радиус-вектор г точки М пересечения медиан
треугольника.
32.	В треугольнике АВС прямая AM является биссектрисой
угла ВАС, причем точка М лежит на стороне ВС. Найти AM, если
АВ—Ь, АС=с.
33.	По данным векторам а и 6 построить каждый из следу-
ющих векторов: 1) Зд; 2) —^6; 3) 2д+^ 6; 4) 15—36.
34.	По сторонам ОА н ОВ прямоугольника ОАСВ отложены
*Если векторы а и b приведены к общему началу и на них построен
параллелограмм, то сумма а+Ь есть вектор, совпадающий с диагональю этого
параллелограмма, идущего из общего начала а я Ъ.
157
м с
N
Рис. 43
единичные векторы 7 и J (рис. 43). Выразить через 7 и j векторы
ОА, АС, СВ, ВО, ОС и ВА, если длина ОА=3 и ОВ—4.
35.	В прямоугольнике О АС В (рис. 43) М и N—середины
сторон ВС и АС. Разложить вектор ОС=с по векторам ОМ=5
hON—Ь.	___ _________
_36. На плоскости Оху построить векторы ОА—а—2л, ОВ—
—b^Si+Sj и OC=c=27+6j. Разложить вектор с по векторам
а и Ь-	_
37.	Даны два вектора: а={3; —2; 6} и />={—2; 1; 0}. Опреде-;
лить проекции на координатные оси следующих векторов: 1) а+;
+Ь; 2) а—Ь; 3) 2а; 4) Ь; 5) 2а+3д; 6) a-b.	i
38.	Проверить коллинеарность векторов а={2; —1; 3} и Ь=
= {—6; 3; —9). Установить, какой из них длиннее другого и вс
сколько раз, как они направлены — в одну или в противополож-
ные стороны.
39.	Определить, при каких значениях а, р векторы а= —21+
+3}+Д и 5=а7—(у+2£ коллинеарны.
40.	Дано разложение вектора с по базису 7, J, к: ё= 167—15/-^
+ 12Л. Определить разложение по этому же базису вектора 3
параллельного вектору ё и противоположного с ним направлен
ния, при условии, что |3|=75.
§ 4. Скялярвое произведение векторов
i
1. Определение  основные свойства скалярного произведения^
Определение. Скалярным произведением двух ненулевых век
торов aub называется число (скаляр), равное произведению длц
этих векторов на косинус угла между ними. Если хотя бы один и
векторов нулевой, то угол не определен и екд
лярное произведение по определению полога
ют равным нулю.
Скалярное произведение векторов а и .
обозначают ab. Итак,
a‘b=]al |5| собф,
где <р — угол между векторами а и Ь (рис
44).	J
158
Так как |а| со$ф = пр; а9 |Z>| С08ф = пр; Ь9 то можно записать
a'b=\b\ пр^а=|5| пра Ь.
Свойства скалярного произведения
1°. a'b-b a (свойство перестановочности сомножителей).
2°. (Ла)‘6=Л (ab) (свойство сочетательности относительно
умножения на число).
3°. а • (Ь+с)=а * Ь+а * с (свойство распределительности суммы
векторов).
4°. а а=|а|2 (скалярное произведение а; а называется скаляр-
ным квадратом вектора а и обозначается а2).
5°. ab=O, если аХЬ9 и, обратно, alb, если ab=0 и а#0,
Ь 7^0.	____
Из свойств 4° и 5° для базисных векторов 7, j, к непосредствен-
но получаем следующие равенства:
7‘7=j-j=kk = l9
7j—lk=j'7=jk=k'i=k'j^O.
2. Выражение скалярного произведения через координаты век-
торов.
Теорема. Если векторы а и b заданы своими координатами
о={Аг1; Уь Zj, Ь={Х2; Y2, Z2}, то их скалярное произведение
определяется формулой
ab=XxX2+YxY2+ZiZ2.	(1)
Из теоремы вытекают два важных следствия.
Следствие 1. Необходимым и достаточным условием пер-
пендикулярности векторов 5={Х1; У^ ZJ и Ь—{Хг\ У2; Z2} явля-
ется равенство
(3)
х1г2+У1У2+г1г2=о.	(2)
Следствие 2. Угол между векторами а={Хь Уь ZJ и Ь—
= {Х2, У2; Z2} определяется равенством
XiX2+Y{Yi+Z\Z2
COS ф =	——===.
Vrj+yJ+ZfVAT’+^+Z’
Пример 1. Найти скалярное произведение векторов а={3; 4;
7}и6={2; -5; 2}.
Решение. По формуле (1) находим а'6=3'2+_4 (—5)+7’2=
»0. Поскольку а />=0, согласно свойству 5°,_а Lb.
Пример 2. Найти угол между векторами а= {1; 1; 0} и 6={1;
0; 1).
Решение. По формуле (3) получаем
Г1 + Г04-0*!	1
1
cosy-—	—= ==-.
712 + 12+02 712+02 + 12 у/^у/2 2
159
Следовательно, <j>=60 .	_	_	•
41.	Найти скалярное произведение векторов а и Ь, зная, чтс
|а|=3, |д|=4 и векторы образуют угол p=jt/i
42.	_Даны векторы a—l+j+2k и Б=1-j+4k. Определить пр; с
и npj Б.	_	_
43.	Даны векторы а={4; —2; —4), 6={6; —3; 2}. Вычислить
1) a b\ 2) (22-Зд) (а+2б); 3) (а_+£)_2; 4) (a_-i)2_.
44.	Даны векторы а=л»7+3/+4Л, 6=4i+mj—1k. При каком
значении т эти векторы перпендикулярны?
45.	Вычислить (5а+ЗБ) • (2а—Б), если |а|=2, |5|=3, а 1Б. _ '
46.	Определить угол между векторами а={1; 2; 3} и Ь-
47.	Определить угол между векторами а={2; —4; 4} и £=
={-3;2;6}.	_	_	_
48.	Определить, при каком значении т векторы а=mi — 3J+2
и 6=l+2j—тк взаимно перпендикулярны.
49.	Раскрыть скобки в выражении
(27-J)-J+ (Г- 2к)к+С~ 2*)2-
50.	Раскрыть скобки в выражениях:
1)	(а+Б)2; 2) (а+Б)2+(а—Б)2.	'
Выяснить геометрический смысл полученных формул.	'
51.	Даны точки А (3; 3; -2), В (0;_^3; 4), С (0; -3; 0) и D ((
2; —4). Построить векторы АВ=а и CD=b и найти пр; Б.
52.	Даны точки А (а; 0; 0), В (0; 0; 2а) и С (а; 0; а). Построит
векторы ОС и АВ и найти угол между ними.
53.	Найти угол между биссектрисами углов хОу и yOz. ,
54.	Из вершины квадрата проведены прямые, делящие пр<
тивоположные стороны пополам. Найти угол между этим
прямыми.
55.	Найти угол между диагоналями параллелограмма, п<
строенного на векторах a=H+jub=— 2J+ к.
56.	Вычислить: 1) (m+й)2, если т и п — единичные вектор
с углом между ними 30°; 2) (а—Б)2, если |а|=2^/2, |5|==4 и уга
между векторами а и Б равен 135°.
57.	Даны векторы а, Б, с, лежащие в одной плоскости, приче
|а| = 3, |6|=2, |с| = 5, угол между а и Б равен 60° и угол меж^
Бис — 60°. Построить вектор й=а+Б—с и вычислить его м<
дуль по формуле \й\=у/(а+Б—с)2.
58.	Показать, что угол между диагоналями прямоугольник
построенного на векторах а и Б (a J. Б), определяется формулой
, |S|2-|A?
COSfl>=+——|
Ha+I*l3	1
160
59.	Найти работу А силы F на перемещении з, если |/} = 2,
Й = 5, а угол <р между векторами / и 5 равен я/6*.
60.	Вычислить, какую работу А производит сила /={3; —5;
2}, когда ее точка приложения перемещается из начала в конец
вектора 5= {2; —5; —7}.
-	-	2	-
61.	Векторы а и Ь образуют угол <р=- я; зная, что |а|=3, |6| =
=4,вычислить: 1) а Ь; 2) а2; 3) 62; 4) (а+6)2; 5) (За—26) (а4-25);
6) (а —6)2; 7) (За+26)2.
62.	Проекции перемещения я движущейся точки на оси коор-
динат равны зх=2 м, зу= 1 м, з2= — 2 м. Проекции действующей
силы F на оси координат равны Fx=50 Н, Г,=40 Н и Fz=30 Н.
Вычислить работу А силы F и угол между силой F и перемещени-
ем з.
§ 5.	Векторное произведение
1.	Определение векторного произведения. Векторы а, Ь и с на-
зываются компланарными, если они лежат в одной плоскости или
в параллельных плоскостях.
Тройка векторов называется упорядоченной, если указано, ка-
кой из них считается первым,_ какой — вторым, какой — тре-
тьим. Например, в записи (а; 6; г) вектор а считается первым,
Ь — вторым,_с — третьим; в записи (5; с; а) вектор Ь — первый,
с — второй, а — третий.
Упорядоченная тройка некомпланарных векторов называется
правой, если после приведения их к общему началу из конца
третьего вектора кратчайший поворот от первого ко второму
виден совершающимся против часовой стрелки. В противном
случае тройка называется левой.
Определение. Векторным произведением вектора а на вектор
Ь называется вектор axb, который определяется тремя услови-
ями:
1)	длина вектора axb равна |а| |6| sinp, где <р —угол между
векторами а и Ь;
2)	вектор axb перпендикулярен каждому из векторов а и Ь;
3)	векторы а, Ь, ах Ь образуют правую тройку векторов (рис.
45).
2.	Основные свойства векторного произведения.
1°. ах6 = 0, если а и 6 — коллинеарные векторы.
2°. Длина векторного произведения неколлинеарных векто-
*Если вектор F изображает силу, точка приложения которой перемещается
из начала в конец вектора s, то работа А этой силы определяется по формуле А —
^F s- |F| |j] сокф.
6-186	161
ров алЬ равна площади з параллелограмма,
построенного на_этах векторах (рис. 45).
3°. axb= — Ьха (свойство антипереста-
новочности сомножителей).
4°. (Ха)хЬ=2 (5x6) (свойство сочетате-
льности по отношению к скалярному множи-
телю).
5°. (а+Б)хс=ахс+Ьхс (свойство рас-
пределительности относительно суммы век-
торов).
Согласно определению и свойствам 1° и 3°
векторного произведения, для базисных векторов i, j, к получаем
следующие равенства:
7x7=0; lxj=k't lxk= —j\
jxl= —к; jx _/=0; Jxk=T.
kxl=J'kxj=—l;kxk=O.
Пример 1. Вычислить площадь s параллелограмма, построй
енного на векторах 5+36 и 35+6, если |5|=|6|=1 и угол между
векторами равен 30°.	j
Решение. Согласно определению и свойствам векторного^
произведения, имеем
(5+36)х(з5+6)=35x5+5x6+96x5+36x6=3 (5x5)+5x6— (
-9 (5х6)+3 (6х6)=3 0-8 (5х6)+3 0=-8 (5x6)	;
(поскольку 5x5=0, 6х5=—5x6); д=8 |5х6|=8 |5| |6| sin30°=
1 ’
= 81 Г-=4.
3.	Выражение векторного произведения через координаты век!
торов.
Теорема. Если векторы а и 6 заданы своими координатам
5= {Ль У,; Zi}, 6= {Х2, Y2; Z2], то векторное произведение вектор
а на вектор b определяется формулой	<
5X 6={(y,z2- y2z,); (г,х2-г2хд; (xt y2-x2y})}.
Эту формулу с помощью определителей второго порядка можн
записать в виде	.
axb=
Пример 2. Даны векторы а={2; 5; 7} и 6={1; 2; 4}. Найз
координаты X, Y, Z векторного произведения а х Ь.
Решение. По формуле (1) находим

162
5 7
2 4
=6;
Итак, ах6= {6; — 1; — 1}.	_	_
63.	Определить и построить _вектор ахЬ, если: 1) а=37, 6=2fc;
2) а=7+/ Ь=1—J, 3) а=27+3/, 6=3/4-2Jt. Найти в каждом случае
площадь параллелограмма, построенного на векторах а и Ь.
64.	Вычислить площадь треугольника с вершинами А (7; 3; 4),
В (1; 0; 6) и С (4; 5;—2).	_	_ _
65.	Построить параллелограмм на векторах a=2j+k и 6=7+
+21 и вычислить его площадь и высоту.
66.	Раскрыть скобки и упроститьвыражения:
1)	7х(/+к)-jx(7+к)+кх(7+/“+£);_
2)	(а+6+с)хс+(а+6+_с)х6 + (6—ё)ха;
3)	(2а+6)_х (с—а)+(6+с)_х (а+6);
4)	27-0гхЛ)+37 (7х^+4Л (7х/)._
67.	Доказать, что (2 а+6) х(а+26)= За хб.
68.	Векторы а и 6 составляют угол 45°. Найти площадь
треугольника, построенного на векторах а—26 и За+26, если
Й = |6‘| = 5.
69.	Найти площадь параллелограмма, построенного на век-
торах а—т+2п и Ь=2т+п, где т и п — единичные векторы,
образующие угол 30°.
70.	Построить треугольник с вершинами Л (1; —2; 8),
В (0; 0; 4) и С (6; 2; 0). Вычислить его площадь и высоту BD.
71.	Вычислить диагонали и площадь параллелограмма, пост-
роенного на векторах а~=к— Ju b—i+j+k.
72.	Даны векторы а={2; 3; 5^ и_6={1; 2; 1). Найти коор-
динаты векторного произведения axb.
73.	Вычислить площадь параллелограмма, построенного на
векторах a=67+3j—2fc и 6=37— 2j+6k.
74.	Доказать тождество (а х 6)2_+ (а' 6)2 = а2 • 62.
75.	Доказать, что (а х 6)2<а2 • 62. В каком случае здесь будет
знак равенства?
76.	Даны векторы a={3; —1; —2} и 6={1;_2; — 1^. Найти
координаты векторных произведений:* 1) ах6; 2) (2а+6)х5;
3) (2а—6) х (2а+6).
77.	Даны точки А (2; — 1; 2), В (1; 2; — 1) и С (3; 2; 1). Найти
координаты векторных произведений:	1) АВхВС-,
2) (ВС—2СА)хСВ.
78.	Сила /={3; 2; —4} приложена к точке А (2; —1; 1). Оп-
ределить моменты этой силы относительно начала координат*.
♦Если вектор F изображает силу, приложенную к какой-нибудь точке М,
tвектор ОМ идет из некоторой точки О в точку М, то вектор ОМ xF представля-
ет собой момент силы F относительно точки О.
Т63
79.	Сила /={2; —4; 5} приложена к точке М (4; —2; 3).
Определить момент этой силы относительно точки А (3; 2; — 1).
80.	Сила /={3; 4; —2} приложена к точке С (2; —1; —2).
Определить величину и направляющие косинусы момента этой
силы относительно начала координат.
81.	Вычислить синус угла, образованного векторами а=
={2; —2; 1} и д={2; 3^6}.
82.	Даны векторы а={2; —3; 1}, Ь={—3; 1; 2} и с={1; 2; 3).
Вычислить (а х Ь) х с и а х (Ь х с).
§ 6.	Смешанное произведение трех векторов
1.	Определение и геометрический смысл смешанного произведе-
ПИД.
Определение. Смешанным произведением трех векторов a, Ь,
с называется число, равное скалярному произведению вектора а на
векторное произведение векторов b и Е, т. е.
а * (Ь х с).
Следующая теорема выражает геометрический смысл сме-
шанного произведения.
Теорема 1. Смешанное произведение а(Ьхс) равно объему V
параллелепипеда, построенного на векторах а, Ь, с, взятому со
знаком «+», если тройка а, Ь, с — правая, со знаком «—», если
тройка а, Ь, с — левая. Если же 5, 6, с компланарны, то
а' (дхс)=0.
Следствие. Из теоремы легко выводится тождество
а ’ (6 х с) = (а х i)  с,	(1)
т. е. знаки и х в смешанном произведении можно менять
местами.
В силу тождества (1) смешанные произведения a '(fix с) и
(ах Ь) с можно обозначить более простым символом аbс.
2.	Выражение смешанного произведения через координаты век-
торов.	~	1
Теорема 2. Если векторы а, Ь> с заданы своими координатами
а={Хй YijZ,}. b={X2, Y2;Z2}, с={Х3; Y3; Z3),	}
то смешанное произведение abc определяется формулой
- г_ v y2 z2 v z2 x2 X2 Y2	j
abc=X\ +Yt +Zi .	(2J
13	2-3 A$	Aj Л
Пример 1. Найти смешанное произведение векторов а={2}
-1; —1},£={1; 3; -1} ис={1; 1;4).
Решение. По формуле (2) находим	<
164	J
Пример 2. Найти объем треугольной пирамиды с вершинами
А (2; 2; 2), В (4; 3; 3), С (4; 5; 4) и D (5; 5; 6).
Решение. Объем пирамиды равен */« объема параллелепипе-
да, построенного на векторах АВ, АС и AD\ отсюда и из теоремы
1 заключаем, что v равен 1/< абсолютной величины смешанного
произведения АВ AC AD. Найдем координаты векторов АВ, АС
и AD, совпадающие с ребрами пирамиды: АВ—{2; 1; 1), АС— {2;
3; 2}, AD = {3; 3; 4}. По формуле (2) находим смешанное произ-
ведение векторов АВ, АС и AD:
2 3
3 3
=26 + 1 (—2)+1 (—3)=7.
Отсюда v=7/6.
83.	Найти смешанное произведение векторов а={1; —1; 1),
£={1; 1; 1}ис={2; 3; 4).
84.	Наити объем треугольной пирамиды с вершинами А (0; 0;
1), В (2; 3; 5), С (6; 2; 3) и D (3; 7; 2).
85.	Построить пирамиду с вершинами О (0; 0; 0), А (5; 2; 0),
В (2; 5; 0) и С (1; 2; 4) и вычислить ее объем, площадь грани АВС
и высоту пирамиды, опущенную на эту грань.
86.	Построить параллелепипед на векторах а=37+4/, Ь=
= — 3j+k, c=2j+5k и вычислить его объем. Правой или левой
будет связка векторов (а, Ь, с)1 _	_ - - _	_
87.	Показать, что векторы а=— 7+3/+2Л, b=2i— 3j—4kt с=
= — 37+ 12j+ 6к компланарны, и разложить вектор с по векторам
а и Ь.
88.	Показать, что точки А (2; -1; -2), В (1; 2; 1), С (2; 3; 0)
и D (5; 0; —6) лежат в одной плоскости. _	_
89.	Показать, что: 1) (a_+i)-[(axc)x£] = — a be, 2) (а+2Л—
— c)[(a—b)x(a—b—c)] = 3abc.
90.	Построить пирамиду с вершинами А (2; 0; 0), В (0; 3; 0),
С (0; 0; 6) и D (2; 3; 8), вычислить ее объем и высоту, опущенную
на грань АВС.
91.	Построить векторы a=i+j+4k, b=i—2j и с=37— 3j+4k,
показать, что они компланарны, и разложить вектор с по век-
торам а и Ь.	_ _ _
92.	Определить, _какой является тройка а, Ь, с (правой или
левой), если: 1) а=к, b=i,_c=j; 2) e=7, b=k, c=j', 3) a=j, b=i,
с=к‘, 4) 5=7+7 Ь=], с—к; 5) а—1+j, b—1—j, c=j; 6) 5=7+7
b=l—j, с=к.
93.	Векторы а, Ь, с, образующие правую тройку, взаимно
перпендикулярны. Зная, что |ё|=4, |6|=2, ]ё|=3, вычислить abc.
165
94.	Вектор с перпендикулярен векторам а и Ь, угол между
а и b равен 30°. Зная, что |fl|=6, |5j = 3, |с|=3, вычислить abc.
95.	Доказать, что |а£с|< |п| |Л| |с|. В каком случае здесь может
иметь место знак равенства?
96.	Установить, компланарны ли векторы а, Ь, с, если:
1)	5={2; 3; -1}, *=={1; -1; 3}, с={1; 9; -11};
2)	2={3; —2; 1}, Ь={2; 1; 2}, с={3; -1; -2};
3)	5={2; -1; 2}, £={1; 2; -3}, с={3; -4; 7}.
97.	Показать, что точки А (1; 2; —1), В (0; 1; 5), С (—1; 2; 1),
D (2; 1; 3) лежат в одной плоскости.
98.	Вычислить объем тетраэдра, вершины которого находят-
ся в точках А (2; -1; 1), В (5; 5; 4), С (3; 2; -1) и D (4; 1; 3).
99.	Даны вершины тетраэдра А (2; 3; 1), В (4; 1; —2), С (6;
3; 7), В (—5; —4; 8). Найти длину его высоты, опущенной из
вершины D.
100.	Объем тетраэдра v—5, три его вершины находятся в точ-
ках А (2; 1; —1), В (3; 0; 1), С (2; —1; 3). Найти координаты
четвертой вершины D, если известно, что она лежит на оси Оу.
§ 7. Уравнения плоскости
1. Общее уравнение плоскости. Пусть заданы: прямоугольная
система координат Oxyz; произвольная плоскость п; точка
Мо (х0; у0; 20), лежащая на плоскости л; вектор N={A; В; С},
перпендикулярный плоскости п (рис. 46).
Рассмотрим произвольную точку М (х; у; z). Точка М лежит
на плоскости л тогда и только тогда, когда векторы Л/рЛ/и N вза-
имно перпендикулярны. Так как координаты вектора М^М равны
х—ль, у—у0, z~z0, то в силу условия перпендикулярности двух
векторов [см. § 4, формула (2)] получаем, что точка М (х; у, z)
лежит на плоскости я тогда и только тогда, когда	’
A(x-xo)+B(y-yo)+C(z-io)=O.	(1)
Уравнение (1) есть искомое уравнение плоскости я.
Раскрывая в уравнении (1) скобки й
обозначая число — Ах0— Ву0—Cz0 бук4
вой D, получим	I
Лх+Ду+Сг+Р=0. (2|
Уравнение (2) называется общим уровне!
нием плоскости.	я
Вектор Я={А; В; С}, перпендикуляр!
ный плоскости, называется нормальным
вектором этой плоскости.	|
Пример 1. Составить уравнение плос|
кости, проходящей через точку Мо (1; 111
1) перпендикулярно вектору 2?= {2; 2; 3}j
166
Решение. По формуле (1) искомое уравнение таково:
2 (х—1)4-2 (у—1)4-3 (z—1)=0 или 2x4-2y4-3z-7=0.
Угол <р между плоскостями Alx+Biy + Clz+J)i=0 и А2х+
+B]y+Cjz+D2=b определяется по формуле
AiA2+BiB2+С\С2
COS (D = —-— = —=====—  —	=.
MIMI jA'+Bt+CjjAl+Bl+C*
Второй угол равен 180°—<p.
Условие параллельности плоскостей
Л1_^1 _Q
т<2 В2 Сг
Условие перпендикулярности плоскостей
С!С2=0.
2. Нормальное уравнение плоскости. Расстояние от точки до
плоскости. Пусть заданы прямоугольная система координат Oxyz
и произвольная плоскость я (рис. 47). Проведем через начало
координат прямую, перпендикулярную плоскости я, и назовем ее
нормалью. Обозначим через Р точку, в которой нормаль пересе-
кает плоскость я. На нормали введем направление от точки
О к точке Р. Пусть а, /?, у — углы, которые составляют направ-
ленная нормаль с осями координат; р — длина отрезка ОР.
Выведем уравнение данной плоскости я^ Для этого введем
единичный вектор п на нормали. Так как п — единичный век-
тор, то
й = {cos a; cos Д; cos у).	(3)
Пусть М (х; у; z) — произвольная точка. Она лежит на плоскости
я тогда и только тогда, когда проекция вектора ОМ на нормаль
равна р, т. е.
Прй ОМ=р.	(4)
Замечая, что пр, ОМ—пОМ и 0М—{х9 у; z}> по формуле
(1) из § 4, учитывая равенство (3),
имеем
прй ОМ=п ‘ 0М=х cosa +
+ycos/?+zcosy.	'
Из равенств (4) и (5) получаем
xcosa+ycos /?+zcosy—р=0. (6)
Уравнение (6) называется нормальным
уравнением плоскости.
Если точка Л/* имеет координаты
Рис. 47
167
л*, j*, z*, а плоскость задана нормальным уравнением (6), то
расстояние d от точки Л/* до плоскости определяется по формуле
rf= |х* cos а+у* cos Рcos у—р|.	(7)
Общее уравнение плоскости (2) приводится к нормальному
виду (6) умножением на нормирующий множитель, определя-
емый формулой
1
д= +
у/а2+В2+С2
Знак нормирующего множителя противоположен знаку свобод-
ного члена D уравнения (2). Если в уравнении (2) Z>=0, то знак
нормирующего множителя выбирается произвольно.
Пример 2. Даны плоскость x+2y + 2z — 8 = 0 и точка Л/* (1;
1; 1). Найти расстояние d от точки М* до данной плоскости.
Решение. Чтобы использовать формулу (7), надо прежде
всего привести данное уравнение к нормальному виду. Для этого
найдем нормирующий множитель:
1
1
д= -----==-.
у/12+22+22	3
Умножая данное уравнение на /I, получаем искомое нормальное
уравнение плоскости:
1	2	2	8 Л
- х+- J+- Z-= 0.
3	3	3	3
Подставляя в левую часть этого уравнения координаты точки
Л/*, имеем
12 2 8
?=1.
3
3 3 3 3
101.	Составить уравнение плоскости, которая проходит через;
точку Afo (2; 1; — 1) и имеет нормальный вектор N= {1; —2; 3}.
102.	Составить уравнение плоскости, которая проходит через*
начало координат и имеет нормальный вектор 2V={5; 0; —3}. <
103.	Точка Р (2; — 1; — 1) служит основанием перпендикуляра,;
опущенного из начала координат на плоскость. Составить урав»?
некие этой плоскости.	ij
104.	Даны точки (3; —1; 2) и Мг (4; —2; —1). Составить
уравнение плоскости, проходящей через точку Mi перпендикуляр^
но вектору MiMz.
105.	Даны точки Mt (0; —1; 3) и Мг (1; 3; 5). Составите
уравнение плоскости, проходящей через точку М\ перпендикуляр;
но вектору MiMi-
106.	Построить плоскость 2x+3y + 6z—12 = 0 и найти углы ев
нормального вектора с осями координат.
168
107.	Построить плоскость 2х—2y+z—6=0 и найти углы ее
нормального вектора с осями координат.
108.	Написать уравнение плоскости, проходящей через ось Ох
и точку М9 (0; —2; 3).
109.	Написать уравнение плоскости, параллельной оси Ох
и проходящей через точки Mi (0; 1; 3) и М2 (2; 4; 5).
НО. Написать уравнение плоскости, проходящей через ось Оу
и через точку Мо (4; 0; 3).
111.	Написать уравнение плоскости, параллельной осн Oz
и проходящей через точки Mi (2; 2; 0) и М2 (4; 0; 0).
112.	Написать уравнение плоскости, проходящей через начало
координат и через две точки Mt (4; —2; 1) и М2 (2; 4; —3).
113.	Найти угол между плоскостями х—2y+2z—8=0 и х4-
4-z—6=0.
114.	Установить, какие из следующих пар уравнений опреде-
ляют параллельные плоскости:
1)	2х-3y4-5z-7=0, 2x-3y4-5z4-3 = 0;
2)	4х4-2у—4z4-5=0, 2x+y+2z—1=0;
3)	x-3z+2=0,	2x-6z-7=0.
115. Установить, какие из следующих пар уравнений опреде-
ляют перпендикулярные плоскости:
1)	Зх—у—2z—5=0, х+9у—3z+2=0;
2)	2х+3у—z—3=0, х—у—z4-5=0;
3)	2х—5y4-z=0,	x+2z—3=0.
116.	Написать уравнение плоскости, проходящей через точку
Л/о (2; 2; —2) и параллельную плоскости x—2y—3z=0.
117.	Написать уравнение плоскости, проходящей через точку
Мо(— 1; —1; 2) и перпендикулярной плоскостям х—2y+z—4=0
и х+2у—2z 4-4 = 0.
118.	Написать уравнение плоскости, проходящей через точки
Л/j (— 1; —2; 0) и М2 (1; 1; 2) и перпендикулярной плоскости
x+2y+2z-4 = 0.
119.	Написать уравнение плоскости, проходящей через точки
Мг (1; -1; 2), М2 (2; 1; 2) и Мг (1; 1; 4).
120.	Найти расстояние точки (5; 1; —1) от плоскости х—
—2у—2z 4-4=0.
121.	Найти расстояние точки (4; 3; 0) от плоскости, проходя-
щей через точки М} (1; 3; 0), М2 (4; — 1; 2) и М2 (3; 0; 1).
122.	Найти расстояние между параллельными плоскостями
4x4-Зу—5z—8=0 и 4x4-3y—5z 4-12=0.
123.	Написать уравнение плоскости, проходящей через начало
координат параллельно плоскости 5х—3y+2z—3=0.
124.	Написать уравнение плоскости, проходящей через точку
Мо (3; —2; —7) параллельно плоскости 2х—3z4-5=0.
125.	Написать уравнение плоскости, проходящей через начало
координат перпендикулярно плоскостям 2х—y+3z—1=0 и х4-
4-2y-f-z=0.
169
126.	Написать уравнение плоскости, проходящей через точку
Л/о (2; — 1; 1) перпендикулярно плоскостям 2х—г+1=0иу=0.
127.	Вывести уравнение множества точек, отклонение кото*
рых от плоскости 4х—4у—2z+3=0 равно 2.
128.	Написать уравнения плоскостей, параллельных плоско*
сти 2х—2у—z—3=0 и отстоящих от нее на расстоянии d~5.
129.	Написать уравнение плоскости, проходящей через точку
Мо (0; 2; 1) и параллельной векторам а={1; 1; 1} и 5={1; 1; —1}.
§ 8.	Уравнения прямой
1.	Канонические уравнения прямой. Прямая определяется со-
вместным заданием уравнений двух плоскостей
(Л1Х+В|у+ Cjz+= 0,
( АгХ+В]У++Di—0,
пересекающихся по этой прямой.
Пусть даны какая-нибудь прямая L и ненулевой вектор а, ле-
жащий на данной прямой или параллельный ей (рис. 48). Вектор
а называется направляющим вектором данной прямой. Выведем
уравнения прямой, проходящей через данную точку Мо (х0; у0; z0}
и имеющей данный направляющий вектор 5= {/; т; и}
Пусть М (х; у; z) — произвольная точка. Она лежит на пря-
мой тогда и только тогда, когда координаты вектора М^М=
= {х—х0; у—у0; z—ze) пропорциональны координатам вектора а:
x-xa_y-yo z-za
I т л
(1)
Уравнения (1) и являются искомыми. Они называются каноничес-
кими уравнениями прямой.
Пример. Найти канонические уравнения прямой
3x+2y+4z—11=0,
2х+у—3z— 1 =0.
Решение. Полагая, например, х0=1, из системы
2уо+4z0— 8—0,
у о—3z0+ 1 = 8
Рис. 48
получаем уо=2, z0— 1. Таким образом, точка
Мо (1; 2; 1) прямой найдена. Теперь опреде-
лим направляющий вектор а. Так как пря-
мая определена пересечением плоскостей, то
она перпендикулярна каждому из нормаль-
ных векторов fa и fa. Поэтому в качестве
вектора а можно взять любой вектор, пер-
пендикулярный векторам и например
170
их векторное произведение a=Ni xN2, Так как координаты век-
торов М и известны: 2Vi = {3; 2; 4}, М={2; 1; —3), то по
формуле (1) из § 5 найдем координаты вектора а: а={ —10; 17;
— 1}, т. е. /= —10, т=17, л=-1. Подставляя найденные значе-
ния хь, j0, z0 и /, т, п в равенства (1), получаем канонические
уравнения данной прямой:
-1(Г 17 ~ -1
канонические уравнения прямой, проходящей через две дан-
ные точки Mi (хи jt; zj) и М2 (х2; у2; z2), имеют вид
Х-Х1 _ У-У1 _ Z—ZX
Х2-Х1	У2-У1 Z2-zi
2.	Параметрические уравнения прямой. Обозначив буквой / ка-
ждое из равных отношений в канонических уравнениях (1), по-
лучим
Х-Хь = у-уь = 2-Ъ__1
I т п
откуда
{X=^X0+/f,
j=jo+mf,	(2)
z = z0+nr.
Равенства (2) называются параметрическими уравнениями пря-
мой, проходящей через точку Л/о (хо; Jo; 2о) и имеющей направ-
ляющий вектор □ = {/; т; л}. В уравнениях (2) t рассматривается
как произвольно изменяющийся параметр (— оо</< +оо); х, у,
z — как функции от /.
3.	Угол между прямыми. Угол между двумя прямыми, задан-
ными их каноническими уравнениями
Х-Х1 _У~У1	х-х2_у-у2_2-22
----—----—	 и 	- —-—-,
li mi Л]---------------------------12 т2 п2
определяется по формуле
li l2+mim2+п j п2
cos ф=— .. —;
условие параллельности двух прямых:
Л mi Л1
— =— =—•
/2 т2 п2
условие перпендикулярности двух прямых:
li l2 -h тхт2+ni п2=0.
171
2x+3y—2z+5=0;
5x+4y—z—7=0.
130.	Привести к каноническому виду уравнения следующих
прямых:
[х—2y+3z—4=0,
7 (Зх4-2у—5z—4=0;
(х—2y+3z+l =0,
7 (2х+у—4z—8=0;
131.	Составить канонические уравнения прямой^ проходящей
через точку Мй (2; 0; —3) параллельно: 1) вектору а={2; —3; 5};
-ч	w х— 1 У+2 г+1	_ ..	„	_
2) прямой —^-=—-=—Г» ’) оси Ох; ’) оси Оу; 5) оси Oz.
132.	Составить канонические уравнения прямой, проходящей
через две данные точки: 1) (1; —2; 1), (3; 1; —1); 2) (3; —1; 0),
(1; 0; -3); 3) (0; -2; 3), (3; -2; 1); 4) (1; 2; -4), (-1; 2; -4).
133.	Составить параметрические уравнения прямой, проходя-
щей через точку Af0(l; —1; —3) параллельно: 1) вектору а—
= {2; —3; 4}; 2) прямой	3) прямой x=3t— 1,
у= — 2/4-3, z=5/+2.
134.	Составить параметрические уравнения следующих пря-
мых:
|2х+3у—z—4=0,
’ (Зх—5y+2z+1 =0;
135.	Построить прямые:
1)	?",3' 2>
(z=2; (z=x+l
Определить их направляющие векторы.
136.	Доказать параллельность прямых:
х+2 у-1 г	(х+у—Z=0,
7 з -2 1	[х—у—5г—8=0;
_	fx+3y+z+2=0,
2) x=2f+5, у=	—/+2, z—t—7	и	<	„	„ Л
1	'	(x-y-3z-2=0.
137.	Доказать перпендикулярность	прямых:
x_y-l_z	f3x+y-5z+l = 0,
17 1~^2 “з “ (2x+3y-8z+3=0;
А	А	,	(2х+у—4z+2=0,
2)	x=2t + l,y-3t-2,z--6t+l и <, г , Л
(4х—y-5z+4=0.
138.	Найти угол между прямыми:
x+2y—z —6=0,
2x—y+z + l = 0.
x=4,
у=з.
x=4,
z=j;
172
(x—y+z—4=0,	fx+y+z —4=0,
[2x4-y—2z 4-5 = 0 И [2x4-Зу—z—6 = 0;
. (4x—y—z 4-12=0,	(3x—2y4-16=0,
(y—7—2=0	И (Зх—z=0.
139.	Найти направляющий вектор прямой х+у—z—О, у=х
и найти углы прямой с осями координат (см. указание к задаче
в ответах 138).
140.	Найти угол прямой x=2z— 1, у= —2z4-1 с прямой, про-
ходящей через начало координат и через точку Мо (1; — 1; — 1).
141.	Написать параметрические уравнения прямой: 1) прохо-
дящей через точку Мо (—2; 1; —1) и параллельной вектору а—
= {1; —2; 3}; 2) проходящей через точки (3; —1; 4) и М2 (1;
1;2).
142.	Показать, что прямая -=-=- перпендикулярна прямой
143.	Написать уравнения прямой, проходящей через точку
.. , . „ ЛХ	„	„ (x-2y+z—4=0,
м0 (—4; 3; 0) и параллельной прямой |2х4-у z~0
144.	Написать уравнения перпендикуляра, опущенного из точ-
ки Л/о (2; — 3; 4) на ось Oz.
Х4* 1
145,	Найти расстояние точки Л/о (2; —1; 3) от прямой -у =
_У+2 z-1
~ 4 ~ 5
146.---Найти расстояние между параллельными прямыми
х-2 у+1 z+З х—1 у— 1 z + l
-------=	—--и---=----=----.
12	2	12	2
147.	Написать уравнения перпендикуляра, опущенного из точ-
ки Mq (2; — 3; 4) на ось Оу.
148.	Построить прямую х=3, z=5 и найти ее направляющий
вектор.
149.	Написать уравнения прямой, проходящей через точку
Л/о (— 1; 2; —2) параллельно прямой х—у=2, y=2z+l.
150.	Найти расстояние точки Л/о (3; 0; 4) от прямой у=2х+1,
z=2x (см. задачу 145).
§ 9. Прямая я плоскость
2-Zq	л _
Угол между прямой------=-----=----и плоскостью Ах+Ву+
I т п
+ Cy+D=0 определяется по формуле
173
|Л/+Лп+Сл|
S1D <Р = —	-- - ... ;
^/л’+Д’+С2 у/Р+т1+п1
условие параллельности прямой и плоскости:
/1/+Лл+ Сп—0;
условие перпендикулярности прямой и плоскости:
л_Д_с
/ т п
Точка пересечения прямой и плоскости. Написав параметричес-
кие уравнения прямой х—х^Л-lt, y=yo+mt, z=z0+nt, подставим
в уравнения плоскости Лх+Ву+Сг+Л=0 вместо х, у, z их
выражения через /. Подставляя найденное значение t в уравнения
прямой, находим искомую точку М (х; у; z) пересечения прямой
с плоскостью.
_ т_ „	„ х-2 у—1 г— 3
Пример. Наити точку пересечения прямой -^-=—р с
плоскостью 2x+3y+z=0.
Решение. Параметрические уравнения прямой имеют вид
х=2/+2, y=3f+l, z=r+3. Для определения точки пересечения
прямой и плоскости подставим выражения для х, у, z из уравне-
ний прямой в уравнение плоскости. Получаем
2 (2r+2)+3 (3t+l)+/+3=0,
откуда находим /=—’/7. Следовательно, координатами точки
пересечения будут х=*/7, у= — *1ъ z=t6ly. Итак, прямая и плос-
кость пересекаются в точке М — ®/7; 1вЛ)-
151.	Найти угол между прямыми и плоскостями:
.ч (у=3х— 1,	_	. „
’> U—Зх+2 “ ^+г-4=°-
.. х+1 у+1 2-3
2)	—j	и х+У+Zz—4=0.
152.	Доказать, что прямая х=3/—2, у= —4/+1, z=4t—5 па-
раллельна плоскости 4х—Зу - 6z—5=0.
153.	Найти точку пересечения прямой и плоскости:
.. х—1 у+1 z л	.	„
1)	—=^-у=-, 2x+3y+z-l=0;
2)	x=2t—1, y=t+2, z=l — t, Зх—2y+z—3=0;
x j—1 г+l .	.	„ „
3)	, x+2y+3z-29=0.
««J ТЖ	* + l У+1 г-3
154.	Доказать, что прямая —=——— параллельна плос-
174
кости 2х+у—z=0, а прямая—^—=—лежит в этой плоско-
сти<
(5х-3y+2z-5=0,
155.	Доказать, что прямая	лежит в плос-
кости 4х—Зу+lz—7=0.
156.	Написать уравнение перпендикуляра, опущенного из на-
х—2 у—1 z—3
чала координат на прямую -уj—.
157.	Написать уравнение перпендикуляра, опущенного из точ-
ки (2; 1; 0) на прямую x=3z— 1, y=2z.
158.	Написать уравнение плоскости, проходящей через точку
(—1; 2; —3) и перпендикулярной прямой х=2, y—z—l.
159.	Написать уравнение плоскости, проходящей через ПрЯ-
Х-2 У~3	2+1	Z- . Л.
мую —j—	и ТОЧКУ (?'> 4; 0).
160.	Написать уравнение плоскости, проходящей через пря-
х-1 j+1 г+2	„	_	„
мую ——	и перпендикулярной плоскости 2х+3у —
— z—4.
161.	Написать уравнение плоскости, проходящей через парал-
х—3 у г— 1	х+1 у—1 г
дельные прямые---=-=— и — =-------=-.
2	12	2	12
162.	Написать уравнение плоскости, проходящей через точку
„	. ..	х у—1 z-З х+1 у-1 г+5
(2; —3; 4) параллельно прямым у=—и —
163.	Построить плоскость х+у—z=0 и прямую, проходящую
через точки М (0; 0; 4) и М2 (2; 2; 0). Найти точку пересечения
прямой с плоскостью и угол между ними.
164.	Построить плоскость y—z, прямую х—— z+1, у=2
и найти точку их пересечения и угол между ними.
§ 10. Уравнения поверхности и линии.
•Уравнения цилиндрической поверхности и
поверхностен второго порядка
1. Уравнения поверхности и линии. Пусть заданы прямоуголь-
ная система координат Oxyz, произвольная поверхность S (рис.
49) и уравнение
f(x;y;z)=0.	(1)
Определение. Уравнение (1) называется уравнением поверхно-
сти S в заданной системе координат, если ему удовлетворяют
координаты любой точки М (х; у; z), лежащей на S, и не удовлет-
воряют координаты никакой точки, не лежащей на этой поверх-
ности.
175
Пример, В прямоугольной системе ко-
ординат уравнение
(х-а)24-(у-6)г4-(г-с)2-Л2 = 0
или
(х-а)2+О-&)2 + (г-с)2=Л2
определяет поверхность, являющуюся
сферой радиуса R с центром в точке С (а;
Ь; с). Если центр сферы находится в нача-
ле координат, то ее уравнение имеет вид
x2+y2+z2=R2.
Линия в пространстве рассматривается как пересечение двух
поверхностей, т. е. как множество точек, находящихся одновре-
менно на двух поверхностях, и соответственно этому линия опре-
деляется заданием двух уравнений вида (1)
(х; у; z)=0,
Л (*; У, z)=0,
если им удовлетворяют координаты любой точки, лежащей на
линии, и не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежа-
щей на линии.
165.	Составить уравнение сферы в каждом из следующих
случаев:
1)	сфера имеет центр С (0; 0; 0) и радиус Л=9;
2)	сфера имеет центр С (5; —3; 7) и радиус R = 2;
3)	сфера проходит через начало координат и имеет центр
С (4; —4; -2);
4)	сфера проходит через точку А (2; — 1; —3) и имеет центр
С (3; —2; 1);
5)	центром сферы является начало координат, и плоскость
16х— 15у — 12z+75=0 является касательной к сфере;
6)	сфера имеет центр С (3; —5; —2), и плоскость 2х—у—
— Зг+11 =0 является касательной к сфере.
166.	Составить уравнение сферы радиуса R=3, касающейся
плоскости x+2y+2z+3=0 в точке М (1; 1; —3).
167.	Вычислить радиус R сферы, которая касается плоскостей
3x+2y—6z—15=0, Зх4-2у—6z4-55 = 0.
168.	Сфера, центр которой лежит на прямой
(2х4-4у—z—7=0,
„ касается плоскостей х+2у—2г—2=0, х4-
]4x+5y+z-14=0,
+2у—2z+4=0. Составить уравнение этой сферы.
169.	Составить уравнение сферы, касающейся двух парал-
лельных плоскостей 6х—Зу—2z—35 = 0, 6x—3y—2z 4-63 = 0, при-
чем одной из них в точке м (5; — 1; — 1).
176
170.	Определить координаты центра С и радиуса R сферы,
заданной уравнением x2+y2+z2—х+2у+1 = 0.
171.	Определить координаты центра С и радиус R сферы,
заданной одним из следующих уравнений:
1)	(х—3)2+(y+2)2+(z—5)2 = 16;
2)	(x+l)2+(y-3)2+z2=9;
3)	x2+y2+z2—4х—2y+2z-19=0;
4)	x2+y2+z2—6z=0;
5)	x2+y2+z2+20y=0.
2. Уравнения цилиндрической поверхности и поверхностей вто-
рого порядка. Пусть в плоскости Оху лежит некоторая линия.
Проведем через каждую точку линии прямую, параллельную оси
Oz. Множество этих прямых образует некоторую поверхность S,
которая называется цилиндрической. Указанные прямые называ-
ются образующими поверхности £, а линия — ее направляющей.
Уравнение вида F (х, у)=0 в пространстве определяет цилинд-
рическую поверхность 5 с образующими, параллельными осн Oz.
Аналогично, уравнение F(x, z)=0 определяет цилиндрическую
поверхность с образующими, параллельными оси Оу, nF(y,z) —
цилиндрическую поверхность с образующими, параллельными
оси Ох.
Канонические (или простейшие) уравнения цилиндрических
поверхностей второго порядка:
X2 у2
— Ч—, = 1 — эллиптический цилиндр;
а2 Ь2
х2 у2
——-=1 —гиперболический цилиндр;
а2 Ь2
у2=2рх — параболический цилиндр.
Уравнения всех трех цилиндров с образующими, параллель-
ными оси Oz, не содержат координаты z и совпадают с уравнени-
ями направляющих, определяющих кривые второго порядка, со-
ответственно эллипс, гиперболу и параболу, лежащих в плоско-
сти Оху.
Заметим, что на плоскости Оху уравнение F (х, у)=0 опреде-
ляет линию, но эта же линия в пространственной системе коор-
динат Oxyz задается двумя уравнениями:
(F(x, у)=0,
(z=0.
Например, в пространственной системе координат Oxyz уравне-
ние х2+у— R2=0 определяет цилиндрическую поверхность
круговой цилиндр, а направляющая этого цилиндра (окруж-
ность), лежащая в плоскости Оху, определяется двумя уравне-
ниями:
177
\x2+y2=R2,
(z=0,
Кроме этих трех цилиндров второго порядка существуют еще
шесть поверхностей второго порядка, канонические уравнения
которых имеют следующий вид:
X1 V1 Z2
— Ч—-+—=1 — эллипсоид*;
а2 Ь2 с2
х2 у2 Z2
—Ч—-—-= 1 — однополостный гиперболоид;
а2 Ь2 с2
X2 у2 Z2
— Ч—- —— 1 — двуполостным гиперболоид;
а2 Ъ2 с2
х2 у2
— Ч—=2z (р> О, ?> 0) — эллиптический параболоид;
Р ч
х2 у2
-----=2z (р>0, ?>0) — гиперболический параболоид;
р ч
X1 у2 Z2
—Ч------- = 0 — конус второго порядка.
а2 Ь2 с2
Таким образом, существует девять поверхностей второго по*
рядка.
172.	Какую поверхность определяет уравнение х2=4у?
173.	Какую поверхность определяет уравнение z2=xz?
174.	Какую поверхность определяет уравнение х2Ч-2хЧ-
Ч-у2=0?
175.	Какие поверхности определяются следующими уравне-
ниями: 1) х2+у2—4; 2) -4-^=1; 3) х2—у2=1; 4) у2—2х;
5) z2=y; 6) z4-x2=0; 7) х2+у2=2у; 8) х2ч-у2=0; 9) х2—z2=0;
10) у2=ху? Построить эти поверхности.
176.	Установить, что плоскость у—2=0 пересекает конус
х2+у2—2z2 = 0 по гиперболе.
177.	По какой линии пересекается конус х2—у 2Ч-z2 = 0 с плос-
костями: 1) у=3; 2) z=l; 3) х=0?
178.	Установить, что плоскость х—2=0 пересекает эллипсоид
х2 у2 Z2
—+—по эллипсу; найти его полуоси и вершины.
179» Установить, что плоскость z+l=0 пересекает однопо-
х2 у2 Z2
лостный гиперболоид —-~-1-у = 1по гиперб°ле; найти ее полу-
оси и вершины.
*В случае а^Ь—с эллипсоид является сферой.
178
180. Установить, что плоскость у+6 = 0 пересекает гипербо-
ле2 у2
лический параболоид	—==6z по параболе; найти ее параметр
и вершину.
X2 у2 Z2
181. Построить поверхность —+—+—= 1 и найти площади
ее сечений плоскостями: 1) z=3; 2) у=1.
Глава 11
ПОНЯТИЕ, ПРЕДЕЛ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙ
НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
§ 1. Понятие функции нескольких переменных
и основные сведения
Определение. Пусть X, Y и Z — некоторые числовые множе-
ства. Функцией двух переменных называется множество/упоря-
доченных троек чисел (х; у; z)*, таких, что х принадлежит X,
у принадлежит Y, z принадлежит Z и каждая упорядоченная пара
чисел (х; у) входит в одну и только одну тройку этого множества,
а каждое z входит по крайней мере в одну тройку. При этом
говорят, что упорядоченной паре чисел (х; у) поставлено в соот-
ветствие число z, и пишут z=/(x; у). Число z называется значени-
ем функции /в точке (х; у). Переменную z называют зависимой
переменной, а переменные х и у — независимыми переменными
{или аргументами); множество {(х; у)} — областью определения
функции, а множество Z — множеством значений функции.
Так как каждой упорядоченной паре чисел (х; у) при фик-
сированной прямоугольной системе координат соответствует
единственная точка М плоскости и, обратно, каждой точке М со-
ответствует единственная упорядоченная пара чисел (х; у), то
функцию двух переменных можно рассматривать как функцию
точки М и вместо z=f (х; у) писать z=f {М). Областью определе-
ния функции в этом случае является некоторое множество {Л/}
точек плоскости.
Примеры функций двух переменных.
1. z=x2+y5. Область определения этой функции — множест-
во {М} всех пар чисел (х; у), т. е. вся плоскость Оху, а множество
значений — промежуток Z—[0, 4- оо).
2. z=l/^x2+y2 — l. Областью определения данной функции
является множество всех точек, для которых выражение
1/^х2+у2—1 определено, т. е. множество точек, координаты
•Напомним, что тройка чисел х, у. z называется упорядоченной, если
указано, какое из этих чисел считается первым, какое — вторым, какое — тре-
тьим.
179
которых удовлетворяют неравенству
х2+у2 —1>0 или х2+у2>1. Это мно-
жество точек, лежащих вне круга ради-
уса Л=1 с центром в начале координат,
а множество значений функции предста-
вляет собой промежуток Z=(0, + оо).
Аналогично можно дать определение
функции трех переменных u=f(x; у; z),
четырех переменных и=/(х; у; z; t) и во-
обще п переменных u=f(xt; х2;хД
Функция двух переменных изобража-
ется в пространстве в виде поверхности,
которая определяется уравнением z=f(x-, у), т. е. сама формула,
задающая функцию, и есть уравнение этой поверхности. Так,
например, уравнение z—2х+5у+10=0 является уравнением
плоскости. Данная плоскость есть график функции z=2x—
— 5у—10.
Построение графиков функций двух переменных во многих
случаях представляет значительные трудности. Поэтому суще-
ствует еще один способ изображения функции двух переменных,
основанный на сечении поверхности z=f (х; у) плоскостями z=c,
где с — любое число, т. е. плоскостями, параллельными плоско-
сти Оху.
Назовем линией уровня функции z=f(x; у) множество точек
(х; у) плоскости Оху, в которых функция принимает одно и то же
значение с. Очевидно, при различных с получаются различные
линии уровня для данной функции.
Пример. Построить линии уровня функции z=x2+y2.
Решение. Линии уровня данной функции определяются ура-
внением х2+у2=с (0<с< + оо). Давая с различные значения,
получаем семейство линий уровня, представляющих собой кон-
центрические окружности. При с=0 окружность вырождается в
точку (0; 0) (рис. 50).
Какие поверхности изображают следующие уравнения:
1. x+y+z— 1 =0".	2. Зх—4y+5z—2=0.
3. 2х+3у—4z—12=0.	4. 2х—z+4=0.
5. х+у=0.	6. Зх+2=0.
7. 2z+3=0.	8. x+y+z=0.
9. 2х+7у—6z=0.	10. 2y+llz=0.
11. х+4у—2z—20=0.	12. х2+у2=4.
13. хг+у2=2х.	14. ху-4.
15. z=y2.	16. y=z2.
17. z2=xz.	18. z2 = x2—4.
19. у=х3.	20. x2+y2+z2+2x+6y+2z=0.
180
21. x2+y2+z2 — 6х—4у=0.	22. x2+y2+z2=2x+2y+2z.
23. x2+y2=z.	24. x2+y2+z2=z.
25. x2+z2=2z.	х* Уг 26. —+—=z. 9	4
X2 у2 Z2 27. -+y-+- = L 4	9 25	28. x2—y2=2z.
X2 V2 29.	-+z2=l. 9	4	30. ^+y2-z2=l.
31. x2+y2—z2 = 0.	32. x2+z2=4y2.
33. x2+y2-z2 + l=0.	34. x2 + z2~y2=4.
35. ±+L_L=_i. 9	4	25	36. x2—y2—z2=25.
37. y2—x2=2z.	38. z2—x2=2y?
Найти области определения функций, заданных следующими
формулами:
39.	1 2 =	. x2+y2	40.	1 z==	,
41.	Z-=-s/x2 — y2.	42.	z=jxy.
43.	z=-Jx+y.	44.	z—\Ja2—x2—y2.
45.	1	46.	1 Z”—
	. l+x2+^2		y/x2+y2—a2
47.	/ X2 y2 z— /1—;—;•	48.	, У z=arc sin
	V a2 b2		X2
49.	2=In (x+y).	50.	u=ln (z2—x2—y2 —1).
51.	1 1/ ——		 		52.	x+y—z U — —	—	-.
	y/\-X2 — y2+z2		yj^ — x2— y2— z2
Построить линии уровня следующих функции:
53.	z=xy.	54.	z=x2y+y.
55.	z=x+y.	56.	y—x2 xi- •
57.	X z=-.	58.	z=x л/у-1
У
181
§ 2. Предел  непрерывность функции
двух переменных
Пусть функция z=f(M) определена на некотором множестве
{М} и точка Mqg{M} или Мо${М}, но обладает тем свойством,
что в любой ^-окрестности* этой точки содержится хотя бы одна
точка множества {М}, отличная от Мй.
Определение 1. Чисм А называется пределом функции z=
=f(M) в точке Мо, если для любой сходящейся к Мо последовате-
льности точек Mlt М2,...» Мя,... (МЯУ=МО, Л/„€{ЛГ}) соответст-
вующая последовательность значений функции f (Mi), f (М2),
f (Л/„), — сходится к А.
Обозначение: lim f(M)=A или lim/(x; у)=А.
M-tMn	*-*о
Определение 2. Функция z^f(M) называется непрерывной в
точке Мо, если предел функции в этой точке существует и равен
значению функции в этой точке, т. е.
lim f(M)=f(Ma) или lim/(x; y)=f(xo, уо).
r-vo
На функции нескольких переменных легко переносятся все
положения теории пределов функции одной переменной, в част-
ности справедливы теоремы:
lim [/'(Л/)±£ (Л/)]= lim f(M)+ lim g(M);
U->Uo	M->Mo	M->M0
Mm ZOO
lim	lim f(M)- lim g (M)-, lim —=^! ,
M-Mq	M-Uo	M-*Mo	g(M)
lim g (M)
u->uo
если Jim у(Л/)#0, а также теорема о непрерывности суммы,
произведения и частного непрерывных функций.
Пример 1. Вычислить lim (х2+у2).
х~*1
Решение. Функция/(х; у)=х2+у2 определена на всей плос-
кости. Поэтому для любой последовательности точек схо-
дящейся к точке MQ (1; 2), имеем
lim (xJ+yS=lim x2+lim у2=12+22 = 5.
я-ьоо	я-*оо	л-* со
Точки, в которых функция не обладает свойством непрерыв-
ности, называются точками разрыва этой функции.
Пример 2. Доказать, что функция
•(5-окрестность точки Мо — это все точки, лежащие внутри круга с центром
Мс радиуса
18?
. fx2+y2 всюду, кроме x—1, y=2,
JWW-fy Прих=1, j=2
в точке (1; 2) разрывна.
Решение. Так как lim f(x; у)=5 (см. пример 1), а значение
х-*1
х-2
функции /(1; 2)=0, то, согласно определению 2, точка (1; 2)
является точкой разрыва данной функции.
Вычислить пределы:
<3. Un
х-»о ху
у-*о
«. urn b/SE*.
х-*0 ху
.у—*0
2
67. lim (1 +ху)' +ж>
х-»0
х2 + у2
69. lim	.
;:0°
71. lim =^2.
х-*0 X2
I
73. lim (l+xy)w+w
х-»0
у-Н)
60. lim -.
/Zj y
x2—y2
62. lim --------------.
x-*2 X2+.2x—Xy — 2y
у ^2
64. fen
x-»0 x
y-0
66. Um-----
x-« Vxy+1-i
>
68. lim (l+xy2)'lj'+4’’
x-kO
70. lim (1 +x2+y2)'’+*’
x-»0
/-»0
72. lim
x-»l x2y
y-^Q
74. lim 4^.
x-kO X2+y2
y^*Q
75.	Показать, что функция f(x; y)=----.не имеет предела
х+у
в точке (0; 0).
ху
76.	Имеет ли предел в точке (0; 0) функция f (х; j)= - ,?
x2+yJ
х2у
77.	Показать, что функция /(х; у)=——1) имеет предел,
183
равный нулю при стремлении точки М (х; j) к точке О (0; 0) по
любой прямой, проходящей через точку О (0; 0); 2) в точке
О (0; 0) предела не имеет.
„	.. Ь (1+у)	, х z
78.	Наити lim-----— при стремлении точки М (х; у) к точке
***0 у+х2
у-»0
О (0; 0) по параболе у—х2.
79.	Используя определение непрерывности, показать, что фун-
кция f (х; у)—ху непрерывна в любой точке плоскости.
Найти точки разрыва следующих функций:
«а	. х
84. z = sin
У
__ 5х
81. z=—.
у-х
83. z = ln (4—х2 — у2).
япх япу
оЭ. Z ”*
ху
88.
86.
z—
х2+у2
х2—у2
89. z=sin---.
*+у
94.
1
x2+y2-z2'
14 —	--------.---.
<8 — х2—2у2—4z2
95. u=tg (x2+y2+z2).
Глава 12
ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ
И ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬ ФУНКЦИЙ
НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
§ 1. Частные производные
Пусть функция z—f(M) определена в некоторой окрестности
точки М (х; >’). Придадим переменной х в точке М произвольное
приращение Дх, оставляя значение переменной у неизменным.
Тогда соответствующее приращение функции
184
bxZ=f (x+Ax, y)-f (x, y)
называется частным приращением функции по переменной х в
точке М (х; у).
Аналогично определяется частное приращение функции по
переменной у:
A,z=/(x, y+by)-f(x, у).
__	v*	1 ♦	^Х %	( 1 •	^У % 1
Определение. Если	существует предел Inn	—	( lim	— I,	то
Ах-»О Ах \Ду-*0 ДуJ
он называется частной производной функции z=f (М) в точке
М по переменной х (по переменной у) и обозначается одним из
следующих символов’.
, Г, df 8z ( , г, 8f
• ft > д » д I 2у > fy ' Д • д /•
ax ox \ oy ay J
Из определения следует, что частная производная функции
двух переменных по переменной х представляет собой обык-
новенную производную функции одной переменной х при фик-
сированном значении переменной у. Поэтому частные производ-
ные вычисляют по формулам и правилам вычисления производ-
ных функций одной переменной.
Пример. Найти частные производные функции z=x2 —
—2ху2+у3.
дг
Решение. Частную производную — находим как производ-
ил
ную функции z=f(x\ у) по аргументу х в предположении, что
у=const. Поэтому
— = (х2—2ху2+у3)х' = 2х-2у2 + 0=2 (х-у2).
дх
Аналогично,
dz
— = (х2 — 2ху2+у3)/=0 —4ху+Зу2=у (Зу—4х).
Зу
Найти частные производные от функций:
1.	z—x3+3x2y—у3.	2.	У 7=-.
3.	ху z=	. х-у	4.	у z=arctg - X
5.	z=sin (х+у).	6.	z=x2y.
7.	z=x2y3 + x3y.	8.	х+у z=	. х-у
185
9. 2.= —. х+у	10.	z=x2 sin у.
11. г=е*	12.	_ ^и.х+2>| z=xye
13. х=е""ж	14.	z=ln (x+lny).
15. z—Xy/y-\—^=. \/х	16.	z=xe
17. z=in (-\Д+-\/у);	dz dz 1 доказать, что х — 4-у — дх Z ду 2	
* л г-	Ф у	dz dz	z
18. z=vx	sin	доказать, что x	—|-у —
x	Bx 7 Sy	2
19.
20. Показать, что из существования частных производных по
всем переменным не следует непрерывность функции в точке.
Вывести это из рассмотрения функции
О на осях координат,
1 в остальных точках плоскости
в точке (0; 0).
21. Показать, что из непрерывности функции /(х; у)—
=^х2+у2 в точке (0; 0) не следует существование частных
производных функции в этой точке.
f(x; у)=|
§ 2.	Производные сложных функции
।
Если z=/(x; у), х—х (/), у=у (/), то z=f[x (<); у (/)] являете^
сложной функцией от t. При этом
dr дх dr ду dt	j
Если z=f(x‘, у), где х=х (и; v), у=у (и; v), то	I
Л dz dz дх dz ду	i
J du дх du dy du
J dz dzdx dz dy
v dv dx dv dy dv
Пример 1. Найти производную —, если z~f(x\ у), х=/3+2
dr
у=3/4-1.	;
Решение. Используя формулу (1), имеем
186
dz dz « dz -
-=~ 3t1 2+- 12f3.
dr dx dy
W*V	a V W **	dz dz	2 2
Пример 2. Наити производные — и —, если z=x*y , x=u+v,
du dv
и
У-~-
V
Решение. По формулам (2) получаем
—=2ху21+2х2у~; —=2ху21+2х2у(\
du	v dv	у v2y
22.	Найти по формуле (1) — из уравнений:
d/
1)	z—х2+ху+у2, x=t2, y=t',2) z—^/xt+y2, x=sin/, y=cosf
Проверить предварительной подстановкой значений х и у в выра-
жение для функции z.
у z . а w dz
23.	z—~, х—е,у—1— е ; наити—.
х	dt
л j	2 1	9	dZ
24.	z=x*y, x=t, y=t, наити —.
z	d/
25.	z=xsin x=l + 3f, y=*/l+t2; найти —.
у	dr
у	dz
26.	z—xc, где у — функция x; найти —.
dx
27.	z=eJ°'ln (x+y), x=2t2, y=l — 2t2; найти —.
df
ao	2	2	.	w
28.	z=x^^xy^f x==e , y=sinf; наити —.
(1+л)а	dz
29.	z=arctg-,	; наити —.
у	dx
х2	а ~ 5z dz
30.	z=—, x = «—2v, y==v4-2«; наити — и —.
у	du dv
9 2	u	dz dz
31.	z=xxy , x=u+v, y=-; наити — и —.
v	du dv
аж z ч «	dz dz	dz dz
32.	z=/(x; у). Выразить — и — через — и —, если:
Зх Зу	Зи dv
1) u=mx+ny, v=px+qy; 2) и=ху, v=~.
X
187
33.	z=/(x; у), x—p cos ср, y=psincp. Выразить — и — через —
Вр д<р Вх
Bi
и — и показать, что
зу
/аУ\2 /1 ^*\2_/3z\2 /3z\2
Vp/ + \₽ Вер) \ах/ \ду/
§ 3. Дифференциал функции.
Производная по направлению. Градиент
1. Дифференциал функции. Пусть функция z—f{M) дифферен-
цируема в точке М, т. е. ее полное приращение в этой точке
можно представить в виде
dz-fi (х; у) dx+fj (х; у) Ду+а (Дх, Ду) Дх+/1 (Дх, Ду) Ду, (1)
где а (Дх, Ду) и р (Дх, Ду) — бесконечно малые функции при
Дх-+0, Ду-*0.
Определение 1. Дифференциалом dz дифференцируемой « точ-
ке М функции	называется линейная относительно прира-
щений дх и Ду часть полного приращения этой функции в точке
М, т. е.
dz=^f‘ (*; у) dx+fy' (х; у) Ду.
Дифференциалами независимых переменных х и у назовем
приращения этих переменных: dx—Дх, dy—Ду. Тогда дифферен-
циал функции можно записать в виде
dz=/x' (х; у) dx+fy' (х; у) dy.
Из (1) следует, что
dzxdz,
т. е. при достаточно малых Дх и Ду полное приращение функции
приближенно равно ее дифференциалу.
Пример 1. Найти дифференциал функции z=xyl
Решение. Находим частные производные:
fx (jc; у)=(ху2)/=у2, f„' (x; y)=(xy2)/=2xy,
а затем дифференциал:
dz-y2dx+2xydy.
2. Производная по направлению. Пусть z=f(M)— функция,
определенная в некоторой окрестности точки М (х; у); 7= {cos а;
cos р] — единичный вектор; L — направленная прямая, проходя-
щая через точку М', (х+Дх; у+Ду) — точка на прямой L (рис.
51); Л/ величина отрезка MMr, dz—f (х+Дх, у+Ду)—f(x,
у) - приращение функции f (М) в точке М (х; у).
188
Определение 2. Предел отно-
Аг
шения — при А/-* О (М^М)9 если он
существует, называется производ-
ной функции z=f (М) в точке М (х;
у) по направлению вектора I и обозна-
дг	,. Д? дг
чается т, е. lim —.
31	лмо Д/ Bl
Если функция f (Л/) дифференци-
руема в точке М (х; у), то в точке
М (х; у) существует производная по
любому направлению I, исходящему
следующей формуле:
йг dz dz .
—=— cos а + — cos р,	(2)
Bl dx dy
где cos а и cos fl — направляющие косинусы вектора I.
Пример 2. Вычислить производную функции z=x2+y2x в
точке М (1; 2) по направлению вектора ММ}, где М} — точка
с координатами (3; 0).
Решение. Найдем единичный вектор I, имеющий данное на-
правление:
из М; вычисляется она по
ММХ = {2\ -2}=21-2j- \MMt\=2^2;	j,
|MMli 2y/2 fl 5/2
откуда cos a=l/T2, cos/?= — l/y/2. Вычислим частные производ-
ные функции в точке М (1; 2): fi (х; у)=2х+у2, fy (х; у)=2ху,
откуда fa (1; 2)=6, fy' (1; 2)=4. По формуле (2) получим
dz с 1	. 1	/-
-=6 ——4' —=<2.
si у/г у/2
3. Градиент. Определение 3. Градиентом функции z—f (М)
в точке М (х; у) называется вектор, координаты которого равны
. dz dz
соответствующим частным производным — и—, взятым в точке
у дх ду
М (х; у).
Сdz dzl
Обозначение: grad z — <—; — >.	(3)
(дх ду)
Пример 3. Найти градиент функции z=x2+2y2 — 5 в точке
М (2; -1).
dz	dz
Решение. Находим частные производные: — =2х; —=4у и их
dx	By
значения в точке М (2; —1): fa (2; —1)=2'2=4; fa (2; —1)= —4.
189
По формуле (3) получим
gradz={4; —4}.
Диалогично определяются дифференциал функции и произ-
водная по направлению для функции трех переменных «=
=/ (х, у, z), выводятся формулы
ди , ди . ди , ди ди ди л ди
аи=— ах 4— ау4— az и —=— cos а 4— cospd— cosy,
дх ду z dz dl дх ду	dz	'
вводится понятие градиента
{ди ди du)
дх ду dz)
Найти дифференциалы следующих функций:
34.	z=xy.	35. z=yjx2— y2
36.	z=sinxy2.	37. z=tg -. У
38.	z=ln (x4-5j>2).	39. z=/
40. z=arctg-^=.	41. z=xycosxy.
s/x
42. z=—. Jx2+y2	i	Х+У 43. z=lntg	.
x~y 44. z=arc cos	. 2x+y	45. z=e“’<’’+',)
46.	Найти производную по направлению биссектрисы перво-
го координатного угла в точке М (1; 1) функции z=x’y— 5ху*+9.
47.	Найти производную по направлению функции z=ln (е*4-
4- ех). Рассмотреть направление, параллельное биссектрисе перво-
го координатного угла.
48.	Найти производную по направлению функции z—x2+y2
в точке М (1; 1). Рассмотреть случаи, когда направление состав-
ляет с осью Ох угол: 1) ’/3; 2) ж/4; 3) */2.
49.	Найти производную функции u—x2—2xz+y2 в точке
М (1; 2; —1) по направлению вектора ММЪ где — точка с
координатами (2; 4; —3).
х2 у2
50.	Найти производную функции и=— 4-——zz в точке М (2;
4	9
3; 1). Рассмотреть случаи, когда направление совпадает: 1) с
направлением радиуса-вектора этой точки; 2) с направлением
вектора 5=47— 3j.
Найти gradz:
190
51.	z=4 —x2—у1 точке М (1; 2).
52.	z= .	— в точке М (0; 3).
х2+у2+1
53.	z=(x—у)2 в точке М (1; 1).
2*
54.	z=e* +> в точке М (1; 1).
Найти grad и и |grad и|:
55.	u=x2+y2—z2 в точке М (1; — 1; 2).
56.	«=4—х2 — y2+z2 в точке М (3; 2; 1).
57.	u=yjx2+y2+z2 в точке М (— 1; 2; 0).
58.	u=xyz в точке М (3; — 1; 2).
§ 4.	Частные производные
и дифференциалы высших порядков
1.	Частные производные высших порядков. Пусть функция z —
=f (М) имеет частные производные fx' (х; у) и fy (х; у) (они назы-
ваются частными производными первого порядка) в каждой точке
некоторой окрестности точки М. Если fx' (х; у) и fy (х; у) имеют
в точке М частные производные по переменным х и у, то они
называются частными производными второго порядка от функ-
ции f (Л/) в этой точке и обозначаются следующими символами:
<х; y^=f^ (•*; уУ fc у)=№ (х> уУ
дх2	дудх
7з=Лг(*; у)=№ (*; уУ ^~=f» (*; y)=f% (*; Я
ду2	дх ду
Частные производные второго порядка вида (х; у),
f 'xy (х> У) называются смешанными частными производными.
Частные производные третьего порядка определяются как
частные производные от частных производных второго порядка
и т. д.
Пример 1. Найти частные производные второго порядка фун-
кции z=x4+4x2j3 + 7xy+l.
Решение. Сначала находим частные производные первого
порядка:
—=4х3 +8ху3 + 7у; — = 12х2у2 + 7х.
дх	ду
Затем находим частные производные второго порядка:
д*2 «л 9 л A	<PZ	-
— =12х2+8у3, —=—=24ху2 + 7, — =24х2у.
дх2	дхду дудх	ду2
191
2. Дифференциалы высших порядков. Дифференциал dz назы-
вается дифференциалом первого порядка. Дифференциал от диф-
ференциала dz называется дифференциалом второго порядка фун-
кции z=f (Л/) и вычисляется по формуле
d22=/L (dx)2+2/; dx dy+f'„ (dy)2.	(1)
_	( b '
Символически это равенство можно записать так: dzz=l — dx+
\dx
а У
Ч— dy I f У)* Аналогично,
Sy /
d3z=f^ dx+^ dy) /(x; j)=/p (dx)3 + 3/^ (dx)2 dy+
\a* by j
+з/;, dx(d#+/;,(dy)3
и T. Д.
Пример 2. Найти d2z для функции z = arctg
у
Решение. Непосредственным дифференцированием
дим:
нахо-
у
х2+>2’
х - X2—V2 >
——-2, f 4=—2—г-2 =/>*.
хг+у2 z (х2+у2)2
_ 2ху . _ 2ху
*	(х2+у2)2’ *	(х1+у1)1
Отсюда по формуле (1) получаем
,	— 2ху (dx)2+2 (х2 —у2) dx dy+2ху (dy)2
Q Z =----------------------------------,
(x2+y2)2
Найти частные производные второго порядка:		
__	Xх 59. z =	.	60.	z=sinx cosy.
1—		
ХУ 61. z=x+y4	.	62.	z=xer
х-у		
х-^-у 63. z=arctg— X	64.	z=ln (х+еж?).
65. z=x2y	66.	z=ex (cos у+x sin y).
_	b2z Проверить, что	=	3 2	А. 	для функции:	
bxby	дуох	
х2 67. z=-. У	68.	z=ln (x—2y).
4
192
69. z=——.	70. z—x2 sin y/y.
1-y
71. z=/’	72. z=arctg-.
X
x	d2 z d2 z
73.	z=e cosy. Показать, что —-4—-=0.
z	dx2 dy2
ХУ tt	d2z	d2z d2z	2
74.	z=---. Показать, что —-4-2---F—=--------.
x—у	дх2	дхду ду2 х—у
Найти частные производные третьего порядка:
75.	z=x*+5y2 + 3x—y.	76. z=sin (Зх-2у).
77. z=-.	78. z=x2y3.
У
79. z—хе* 4-уе*. Найти все производные третьего порядка.
80. u==xz4-e*z+y. Показать, что
д3и	д3и	54м д*и
1) —1—=-----;	2) — ---=--------.
дх2ду дхдудх	dx2dydz dxdzdydx
Найти d2 z:
81. 83.	Зж-2у z=e z=ylnx.	82. z=sin (x2+y2).	
		84.	z=xln
85.	z=^/x2+^2.	86.	z=x+xy.
87.	х+уг z=e	88.	z=xsia2y.
Найти d3z:			
89.	z=ylnx.	90.	z=x+y+xy.
91.	7-х z=yc	92.	z=siaxcosy.
93.	Найти d4 z для функции	z= 3x2y+2xy2— 5x+y	
§ 5. Касательная плоскость и нормаль
к поверхности
Уравнение касательной плоскости к поверхности F (х; у; z)=0
в точке Л/о (х0; У<ъ 20) имеет вид
Л' (х-х0)4-Г/ (y-y^+F; (z-zo)=O.	(1)
Уравнение нормали к поверхности F (х, у, z)~0 в точке Мо (х0;
у0; z0) имеет вид
У/ " Ру ~ Рх ‘
7486
193
Если поверхность задана уравнением z=f(x\ у), то его можно
переписать в виде /(х; у)—z=0; тогда имеем F (х, у, z)—f(x-,
y)—z, отсюда получаем Fx—fx, F^f, и Fz'— — 1. Уравнение (1)
в этом случае принимает вид
fx (х-х0)+Л' (у-уо)-(^-г0)=0,	(2)
а уравнение нормали будет иметь вид
X-Xq_J>->q_Z-Zo
А" “ // “ -1 ’	U
Пример. Написать уравнения касательной плоскости и нор-
мали к поверхности параболоида вращения z=x2+y2 в точке
Мо (1; 1; 2).
Решение. Так как поверхность задана уравнением z—f(x; у),
то для уравнения касательной пользуемся формулой (2): fz=2x,
f,'—2y,fz (1; \)=2,fy (1; 1)=2, тогда получаем
2 (х—1)+2 (у—1)—(z—2)=0 или 2х+2у—z+2=0.
Уравнение нормали по формуле (3) пишем в виде
х-1 у-1 z-2
2 “ г ~ -Г
Написать уравнения касательной плоскости и нормали к сле-
дующим поверхностям:
94.	z=-^/9 —х2—у2 в точке Л/о (1; 2; 2).
X2 у2
95.	z=— 4— в точке Мо (2; 3; 2).
96.	z=xy в точке Мо (3; 4; 12).
97.	z=x2—у2 в точке Мо (5; 4; 9).
98.	z = sin - в точке Мо (я; 1; 0).
У
99.	x2+y2+z2=26 в точке Мй (3; 4; 1).
100.	х2+у2 —z2= 1 в точке Мо (1; 2; 2).
101.	х2— у2—z2= 1 в точке Л/о (3; 2; 2).
102.	(z2—х2) xyz—у5 = 5 в точке Мо (1; 1; 2).
103.	е —z+xy=3 в точке Мо (2; 1; 0).
104.	К поверхности 3x2+2y2+z2=21 провести касательные
плоскости, параллельные плоскости 6х—4у—z=0.
105.	К поверхности xy+z2+xz=l провести касательную;
плоскость, параллельную плоскости x+2z—у=0.
I
•i
194
106.	К сфере x2+y2+z2=2x провести касательную плос-
„ 1
кость, перпендикулярную плоскостям x—y—z=2 и х— у—- z—2.
107.	Доказать, что касательные плоскости к поверхности
xyz—a3 (а>0) образуют с плоскостями координат тетраэдр по-
стоянного объема.
108.	Доказать, что касательные плоскости к поверхности
^/x+y/y+yfz=yja (в>0) отсекают на осях координат отрезки,
сумма которых постоянна.
§ 6. Экстремумы функции двух переменных
Необходимые условия экстремума функции /(х; у) в точке
Мй (х0; у0) возможного экстремума заключаются в выполнении
в этой точке равенств fx (х0; Уо)=/у (х0; Уо)=0. При этом функция
f (х; у) имеет в данной точке максимум, если
А=/хх" (Хо; Уо)7>/ (х0;	(*>; л)]2>0	(х0; л)<0,
и минимум, если Д>0 и /7>0 (при условии непрерывности
частных производных). Если Д < 0, то в точке Л/о нет экстремума.
Если Д=0, то функция f (х; у) в точке Мй может иметь экстремум,
но может и не иметь его.
Пример. Найти экстремум функции z=x2+xy+y2 — 2х—Зу.
Решение. Имеем fx'=2x+y—2,fy’=x+2y — 3. Найдем точки
возможного экстремума. Для этого решим систему уравнений
2х+у-2=0,
х+2у—3=0,
решения которой х=1/3, у=4/3. Следовательно,	4/3)—
точка возможного экстремума.
Теперь найдем вторые частные производные и Д: fxx=2,
Д=2 2-1 = 3. Так как Д=3>0 и /„*=2>0, то
в точке Мо (х/3; 4/3) данная функция имеет минимум.
Найти экстремумы функций:
109. z=x2+y2+xy—4х— 5у.
111. z=xy (1 — х—у).
113. z=eri (х+у2).
115. z=3x+6y—х2—ху+у2.
117. z=2xy—4x—2y.
119. z=sinx+siny+sin (x+y)
при 0 < x< л/2, 0 <у < я/2.
110. z=y2 —х2+ху-2х—бу.
112. z=y^/x—y2—x+6y.
114. z=x3— у3 — Зху.
116. z—x3 + 8y3—6ху+1.
118. z=2x3 — ху2 + 5х2+у2.
120. z=sinx+cosy+cos (х—у)
при 0^х^я/2, 0^у^я/2.
121.	Определить размеры прямоугольного открытого бассей-
на, имеющего наименьшую поверхность, при условии, что его
объем равен V.
195
122.	Определить размеры цилиндра наибольшего объема при
условии, что его полная поверхность равна >5=6я дм2.
123.	В круг вписать треугольник, сумма квадратов сторог
которого наибольшая.
124.	Определить размеры конуса наибольшего объема npi
условии, что его боковая поверхность равна S.
125.	Из всех прямоугольных треугольников с данной гипо-
тенузой I найти треугольник наибольшего периметра.
126.	Число р разложить на л множителей так, чтобы сумма ш
была наименьшей.
127.	Из всех эллипсов, у которых сумма осей постоянна и рав-
на т, найти наибольший по площади.
128.	Около данного квадрата описать квадрат наибольшей
площади.
Глава 13
ИНТЕГРИРОВАНИЕ
§ 1. Двойной интеграл
1. Случай прямоугольной области. Двойной интеграл по пря-
моугольной области 2) = {(х; у) | a<x<Z>; c^y^d] вычисляется
по формулам
b d
Л /(х; у) dx dy=J dx j/(x; у) dy,
D	a	c
ff f 0; У) dx dy=J dy f f (x; y) dx.	(1]
D	c	a
В формуле (1), например, интегрирование сначала произвол
дится по х при постоянном у, а затем полученный результат
интегрируется по у, т. е. последовательно вычисляются два он]
деленных интеграла.
Пример 1. Вычислить двойной интеграл jj ху dx dy, где
D
Р={(х; у)| 1 <х<2; 1 <у<2}.
Решение. В соответствии с формулой (1)
2	2
JJ ху dx dy = J dy J ху dx.
D	1 I
Вычисляем внутренний интеграл, считая у постоянным:
J	X2	1
„,-2/--у.
Вычисляем внешний интеграл, для чего полученную функцию
интегрируем по у в пределах от 1 до 2:
2 /	1 \	3	12 9
Следовательно,
2	2	9
И ху dx dy=J dy J xy dx=-.
D	i	i	4
2. Случай криволинейной области. Двойной интеграл по кри-
волинейной области G={(x; у)| а<х<6; yt (х)<у<у2 (х)} вычис-
ляется по формуле
Ь	>2 W
И/(*; у) dx dj=j <Ьс J /(х; у) dy.	(2)
G	а я (х)
Если уравнения кривых, ограничивающих область G, можно
написать в виде jq (у), х2 (у), причем (у)<х2 (у) для	то
двойной интеграл вычисляется по формуле
Nf(x',y)dxdy=jdy f /(x;y)dx.
G	с *1 O’)
Пример 2. Вычислить двойной интеграл ff (x+y)dxdy, где
(?={(х; у)| 0<х<1; х<у<2—х2}.	й
Решение. Область G ограничена слева и справа прямыми
х=0 и х=1; у=х и у=2—х2 — уравнения линий, ограничива-
ющих эту область снизу и сверху, т. е. Ji (х)=х и у2 (х)=2—х2
(рис. 52). В соответствии с формулой (2)
1	2-х’
Д (*+_У) dy=f dx J (х+у) dy.
G	Ox
Вычисляем внешний интеграл:
Рис. 52
197
1
| /х4	, 7	~ л А	.	/х3	х4 7	,	- л \ 1 101
I----х3— х2+2х+2 ) dx=(-------х3+х2 + 2х I =—.
J \ г 2	/	\10	46	у о 60
о
Следовательно,
2-х2
Л (*+?) dx dy=f dx I* (х+у) dy=^.
G	О J	™
х
Вычислить двойные интегралы по указанным прямоугольни-
кам D:
1.	fjху dx dy; 3<х<5,0<у<1.
D
2.	Л xy2dxdy; 2<х<4, 0<у<1.
D
3.	Л х2У dx dy; 3<х<6, 0<у<2.
D
4.	Л У’ dxdy; 1^х<е 4<у^6.
D х
5.	Л (х—у) dx dy; 1 <х<4,1 <у<3.
D
6.	Л (х+у) dx dy; 3<х<5, 0<у^2.
D
7.	Л (х+У2) dx dy; 2<x«3, 1 «y«2.
D	i
8.	Л (x2+j) dx dy; 1<х<2, 0<у<1.	1
D
9.	Л (x2+y2) dx dy; 0<x<], 0<y<l.
D	i
Я3ра dx dp
У -V4	0«x<l,0<y<l.	4
1+x1	1
D	1
11.	Л (3yx2-2x3)dxdy;	0<x<l, l<y<2.	;
л	j
12.	Л si° (x+y) dx dy; 0<x<-, 0<y^-.	(
D	2	2
13.	Л xe” dxdy; 0<x< 1, — 1 <y<0.
D
14.	Л 1<x«2, 3<y<4.
л (x-У)2

198

Вычислить двойные интегралы по областям G, ограниченным
указанными линиями:
15.	Jf (х—у) dx dy; х=0, у=0> х+у=2.
G
16.	ffxydxdy; у=0, у=х, х=1.
G
17.	Я ху dx dy; у=х2, у2-х.
G
18.	ff х dx dy; y=x3, x+y=2, x=0.
G
19.	Я x dx dy; xy=6, x+y—7—0.
G
20.	Я?*х<Ь^у; x2+y2=4, x+y-2=0.
G
21.	Я (x+y) dx dy; О^у^я, (XxCsiny.
G
22.	Я s*n (x+y) dx dy; x=y, x+y=-, y—0.
g	2
23.	Я У dx dy; G — круг радиуса R с центром в начале коор-
G
динат.
24.	Jf dx dy; G — треугольник с вершинами О (0; 0),
В (0; 1),СА (1; 1).
25.	ff х dx dy; G — область, ограниченная осью Ох и аркой
G
циклоиды х—а (t—sin/), у=а (1 —cos/) (0</<2я).
26.	Jj ху dx dy; G — область, ограниченная осями коордн-
с, /	\
нат и частью астроиды x=ecos3/, y=asin3/ (0</<- ).
§ 2. Замена переменных в двойном интеграле
Замена переменных в двойном интеграле производится по
формуле
Л/(^; У) <Ьс ^=И/[Х <«» v)« У <“• *)]
С	О’
О (X, У)
/)(ц V)
du dv,
(1)
где G* — область, в которую преобразовалась область G при
отображении х—х(и, v), у=у (и, v); f[x(u, v), у (и, v)J —
199
и-1
и=-3
Vl
y*£	D (x, y)
	D (u, v)
У =7/J
подынтегральная функция, преобра-
зованная к новым переменным и и v;
— функциональный опреде-
литель, или якобиан, функции х=
= х (u, v), у=у (u, v) по и и v:
-J О
Рис. 53
Д (*, у)
д (w> v)
дх
ди
ду
ди
дх
dv
ду
dv
^0.
1 U
Пример 1. Вычислить двойной интеграл JJ (у—х) dx dy, где
G
G— область, ограниченная прямыми у=х+1, у=х—3, у=
1	7	1
= — х+~, у— — х+5.
3	3	3
Решение. Непосредственное вычисление данного интеграла
было бы затруднительным, однако простая замена переменных
позволяет значительно упростить решение. Прямые у=х 4-1, у=
=х—3 в системе координат Оху переходят в прямые и = 1, и= — 3
Л 1 7 1
на плоскости Owr, прямые же у= —- х+~, У= — - х+5 перейдут
в прямые v=7/3, v=5. Следовательно, заданная область G взаим-
но однозначно преобразуется в прямоугольник G*, который явля-
ется более простой областью интегрирования (рис. 53). Осталось
вычислить якобиан. Для этого выразим х и у через и и v из
равенств (2):
3	3
Х=----и + - V,
4	4
1	3
у-~ v-
4	4
Следовательно,
О (X, у)_	—3/4	3/4______9	з _	з
(«> v) 1/4	з/4	16	16	4
По формуле (1) окончательно получаем
'1	3	\	/	3	3	V
- u+- v 1 — 1 — u4-- v I
4	4	у	\	4	4	Д
3	5	1 3
=JJ - u du dv= J dv J - и du= —8.
G* 3 4	7/3	-3 4
3 ,	1
- du dv=
4
Л (y-x)dxdy=Jf
G
<?• L
200
Пример 2. Вычислить двойной интеграл j] (хг+у2) dx dj, где
G — круг, ограниченный окружностью х2+у2=2х, перейдя к по-
лярным координатам.
Решение. Применим формулу (1), предварительно выразив
уравнения границ области G и подынтегральную функцию в по-
лярных координатах.
Круг G изображен на рис. 54, а. Он ограничен окружностью
х2+у2=2х или (х—1)2+у2 = 1. Формулы, связывающие (х; у)
и полярные координаты (р; <р) с полюсом в точке О (0; 0),
имеют вид
x=pcosp, y=psinp.
(3)
Подставляя выражения (3) в уравнение окружности, получим
p2=2pcosp, откуда р = 0 или p=2cosp (уравнение окружности
в полярных координатах). Эти две кривые на плоскости (р; р) при
—%/2<р<л/2 ограничивают область G*, являющуюся прооб-
разом области G (рис. 54, б). Подынтегральная функция х2+у2
в полярных координатах равна р2. Якобиан
дх дх
D (х, у) др дф
D (р, <р)~ Зу Зу
др дф
coscp — psinp
sin ср р cos ф
=р (cos2 (р 4-sin2 (р)=р.
Таким образом, по формуле (1) получаем
я^2 2сосф
ff (x2+y2)dxdy=Jf р3 dpdp = j d<p f p3 dp=
G	G*	~я/2	0
"f — 2c”* dp=4
4 4 °
J cos4(pd<p=4
я/2
—я/2
Puc. 54
201
[ Д л _ 1+сов4ф\ . /з ,	1 .	’
| I l + 2cos2^4 -— ldp=( - ф+8ш2ф+- 51п4ф
-я/2
я/2	3
= - Л.
-я/2	2
Замечание. Замена переменных в двойном интеграле произ-
водится с целью упрощения области интегрирования. Если в дан-
ном примере перейти к полярным координатам в точке А (1; 0)
(центре круга), т. е. по формулам х— l=pcos<p, y=psin?, то-
прообразом круга G окажется прямоугольник (наиболее простая
область интегрирования) G* = {(p; <р)| 0<р^1; 0<ф^2л) (рис.
54, в). Выражение для подынтегральной функции примет вид
x2+y2 = l+2pcos<p+p2. В этом случае по формуле (1), естест-
венно, получим тот же результат:
Jf (х2+у2) dxd.y=Jf (l+2pcos<jp+p2) pdp d<p=
G	G’
2я
2я 1	f /з 2	\	3
= J dqa J (p+2p2 со8ф+р3) dp = I -+- cos^p j d<p=- it.
oo	J V 3	/	2
о
Вычислить следующие интегралы, перейдя к полярным коор-
динатам:
27.	JJ (х2+у2) dx, dy; G — половина круга радиуса X с цент-
G
ром в начале координат, лежащая в области у > 0.
28.	JJ е* +* dxdy; G — четверть круга х2+у 2=1, располо-
G
женная в I квадранте.
29.	jj е* +> dx dy; G — круг радиуса R с центром в начале
G
координат.
30.	Jf 5/l—x2—у2 dx dy; G — круг х2+у2=х.
G
31.
dxdy; G — четверть круга х2+у2=1, рас-
G
положенная в I квадранте.
Я In (х2+у2) , ,	_
--------dx dy; G — кольцо между окружностями ра-
х*+у2
G
диусов е и 1 с центром в начале координат.
33.	Доказать, что замена переменных х+у—и, y—uv перево-
дит треугольник, стороны которого лежат на прямых х=0, у== 0/
у—1“х, в квадрат {(u; v)|	O^v^l}.
202
34.	Найти замену переменных х=х (и, v), у~у (u, v), при
которой область G, ограниченная кривыми ху=1, ху=4, х—
—2у—2=0, х—2у+1=0 (х>0, у>0), перейдет в прямоугольник
G*, стороны которого параллельны осям координат на плоскости
(«» v)-
35.	Найти замену переменных х=х(и, v), у=у (и, v), при
которой область G, ограниченная кривыми ху=1, ху=2, х—
—у+1=0, х—у—1=0 (х>0, у>0), перейдет в прямоугольник
G*, стороны которого параллельны осям координат на плоскости
(и. V)-
Вычислить интегралы с помощью замены переменных:
36.	Jf ху dx dy; G — область, ограниченная линиями ху=1,
G
х+у=5/2.
37.	jf е(*+>) dx dy; G — область, которая определяется нера-
G
венствами х>0, у>0, х+у=1.
38.	JJ (х2+у2) dx dy; G — область, ограниченная окружно-
<7
стями х2+у2+2х—1=0 и х2+у2+2х=0.
39.	ff dx dy; G — область, которая ограничена параболами
G
у2=2х, у2=3х и гиперболами ху=1, ху=2.
40.	Jf х2у dx dy; G — область, которая ограничена гипербо-
лами ху=р, xy=q (0<p<q), прямыми у=ах, у=Ьх ($<а<Ь)
и расположена в I квадранте.
Kdxdy
.	.	-	.=; G — область, ограничен-
^/(x’-t-y’+a2—h2)—4 (а2— Ь1) х*
G
X2 у2
ная эллипсом —+- =1 (а>6).
а2 Ь2	'
§ 3. Некоторые геометрические и физические приложения
двойных интегралов
1. Вычисление объема. Двойной интеграл Jf f (х; у) dx dy, где
/(х; у)>0, выражает объем криволинейного ^цилиндра, ограни-
ченного сверху поверхностью z—f (х; у)>0, снизу — плоскостью
z=0, с боковых сторон — цилиндрической поверхностью, у кото-
рой образующие параллельны оси Oz, а направляющей служит
контур области G.
Вычислить объемы тел, ограниченных поверхностями:
203
42.	x=0, J=0, z=0, x+y+z—l.
43.	x=0, y=0, z=0, x+y—1, z=x2+y2.
44.	z=x+y+a, y2=ax, x=a, z=0, y=0 (при y>0).
45.	z2=xy, x—a, x=0, y=a, y=0.
46.	z=x2+y2, y=x2, y=l, z=0.
47.	az=x2—y2, z=0, x—a.
48.	z2=xy, x+y=a.
49.	z=xy, x+y—a, z=0.
Перейдя к полярным координатам, вычислить объемы тел,
ограниченных поверхностями:
50.	z—Jx2+y2, х2+у2—а2, z=0.
51.	z=x2+y2, х2+у2=а2, z—0.
52.	z=x, х2+у2=а2, z=0.
53.	z=x2+y2, х=х2+у2, 2х—х2+у2, z—0.
54.	x2+y2+z2=2z, x2+y2=z.
55.	Вычислить объем шара, ограниченного сферой хг+у2+
+г2=Л2.
56.	Найти объем пирамиды, ограниченной координатными
х у Z
плоскостями и плоскостью -+-+- = 1.
а b с
57.	Найти объем усеченной призмы, ограниченной коорди-
натными плоскостями и плоскостями х=2, у=3, x+y+z—4.
58.	Найти объем части цилиндра х2+у2—Л2, снизу ограни-
ченного плоскостью z=0, а сверху срезанного плоскостью z=y.
2.	Вычисление площади. Двойной интеграл JJ dx dy выражает
площадь области G.	°
Вычислить площади областей, ограниченных линиями:
59.	у2 = х+1, х+у=1.
60.	ху=4, х=1, у=2.
61.	ху=4, у=х, х=4.
62.	у=х2, 4у—х2, у =4.
63.	у2=4+х, х+Зу=0.
64.	у=1пх, х—у—1, у= — 1.
65.	у=х2— 2х, у=х.
66.	ах=у2—2ау, у4-х—0.
67.	y=sinx, у—cosx, х=0.
68.	у2=а2—ах, у=а+х.
а2
69.	ху=—, ху—2а2, у=х/2, у=2х.
70.	у2=ах, у2=16ах, ау2=х3, 16ву2=х3.
71.	х2—ау, x2=by, у2=сх, y2=dx (0<a<b, 0<c<d).	4
72.	Эллипсом —+—— 1.
а b	I
Перейдя к полярным координатам, найти площади фигур;’
ограниченных линиями:
204
73.	х2+у2 —2лх=0, х2+у2—2Лх=0 (0<в<6).
74.	х2+у2=а2, х2+у2—2ах—0, у=0.
75.	(х— а)2+у2=а2, х2+(у—а)2—аг.
76.	х2+у2—2ах=0, х2+у2—ах=О.
3. Вычисление площади поверхности. Если поверхность задает-
ся уравнением z—f(x; у), то ее площадь выражается двойным
интегралом Дл/1+Л (*< y)+f?(x; у) dx dy, где G — проекция
G
поверхности на плоскость Оху.
77.	Вычислить площадь той части плоскости 6x+3y+2z—12,
которая заключена в первом октанте.
78.	Вычислить площадь боковой поверхности кругового кону-
са с радиусом основания R и высотой Н.
79.	Вычислить площадь той части плоскости x+y+z=2e,
отсекаемой плоскостями х=0, у=0, х=а, у—а.
80.	Вычислить площадь той части плоскости х+у+г—2а,
вырезаемой цилиндром х2+у2 = а2.
81.	Вычислить площадь той части параболоида z=x2+y2,
вырезаемой цилиндром х2+у2=4.
82.	Вычислить площадь той части параболоида 2z=x2+y2,
вырезаемой цилиндром х2+у2— 1.
83.	Вычислить площадь той части конуса z2=x2+y2, выреза-
емой цилиндром х2+у2=а2 и расположенной над плоскостью
Оху.
84.	Найти площадь части сферы xz+y2 + z2=R2, вырезанной
цилиндром x2+y2—Rx.
85.	Найти площадь поверхности шара радиуса Л.
4.	Вычисление координат центра масс и момента инерции одно-
родной пластинки. Координаты центра масс однородной пластин-
ки (при плотности 1) выражаются двойными интегралами:
И х dx dy	Ц у dxdy
в	а
хе =------; У<--------.
П dx dy	П dx dy
G	G
Интегралы у dx dy, x dx dy называются cma-
g	c	- Л Л
тическими моментами пластинки относительно осей Ох и Оу.
Интегралы
у2 dx dy, 4=jJ х2 dx dy, 70=JJ (x2+y2) dx dy
G	G'	G
выражают моменты инерции пластинки G относительно осей Ох,
Оу и начала координат.
Найти координаты центра масс однородной пластинки, огра-
ниченной линиями:
86.	Двумя параболами у2=х и х2=у.
205
87.	у—О и одной полуволной синусоиды y=sinx.
88.	у=х2, х=4, у=0.
89.	у2=ах, у=х.
90.	х2+у2=а2 и у®0.
91.	Полусегмента параболы у2=ах, х=а, у=0 (при у>0).
у*
92.	Полуэллипса —+—= 1, отсеченного осью Ох.
93.	Полукольца между окружностями радиусов R и г, R>r.
94.	Фигуры, ограниченной синусоидой у=sinx, осью Ох
и прямой х=я/4.
95.	Фигуры, ограниченной кардиоидой р—а (1 +cos<p).
Вычислить момент инерции однородной пластинки, ограни-
ченной линиями:
_ _ х	_
96.	у=-, х—а, у=а относительно оси Ох.
х2
97.	у=а4—. у~2х, х=0 относительно оси Оу.
а
98.	х+у—2, х=2, у=2 относительно оси Ох.
99.	у»4—х2 и осью Ох относительно оси Оу.
100.	Полукруга относительно его диаметра.
101.	Круга относительно его центра.
102.	Прямоугольника относительно основания а и высоты h.
§ 4. Криволинейные интегралы. Формула Грина
1. Криволинейные интегралы. Вычисление криволинейного ин-
теграла первого рода J f (х; у) dl сводится к вычислению опреде-
ли
ленного интеграла:
f /(х; у) dl=f/[<p (0, Ф 0)М<Р' «+[*' (')Р d/.	(1)
At	и
Здесь х=<р (/), у—ф (/) (a^t^P) — параметрические уравнения
кривой АВ.
В частности, если кривая АВ задана уравнением у=у (х),
<х<5. то
f /(х; у) d/=|/[x; у (х)]^1+У5 dx.	(2)
м	в
Криволинейные интегралы второго рода
f Р (х; у) dx. f Q (х; у) dy. f Р (х; у) dx+Q (х; у) dy
АВ	АВ	АВ
также вычисляются сведением их к определенным интегралам по
формулам:
206
f P (X- y) dx= J P [ф (/),	(/)] Ф' (/) de
ла	a
f Q (*; y) dy=f Q [ф (О. «А (0] V (0 d/;
AB	«
J P(x\ y)dx+Q(x\ y)dy=
AB
-J {p (0, * (0J Ф' (0+C [ф (0, Ф (0] V (0} de
Если кривая AB задана уравнением вида у—у (х), а^х^Ь, то
в качестве параметра иногда удобно принять х (/=х).
Пример 1. Вычислить интеграл J у2 dl, где АВ — часть окру-
га
жности х=а cost, у=а sin t, 0<z<w/2.
Решение. Так как y2 = e2sin2f, d/=^/[^' (0]2+№' (/)]2 =
=^/a 2 sin2 / 4- a 2 cos21 it—a dz, то по формуле (1) получаем
г 1 Jf *P 1 • г	J ЯЭ	z, , o’	Г	sin2rl«/2 cJn
J y2 d/= J a2sin2ra	dt=—	J	(1 -cos2/) dz=—	t-----------=—.
лв	о	2	о	2	[_	2 Jo 4
Пример 2. Вычислить интеграл J x2 dl, где AB — кривая, за-
ла
данная уравнением y=lnx, 1 <х<е.
Решение. Для вычисления интеграла применим формулу (2).
_ Л----------,t 7Х Г. y/l+x2
Так как -J 1 +у 2 (х) = /14—- =-, то
v х2 х
е _________
f х2 dl= I* х2 dx=- J (1 +x2)1/z d (1 4-x2)=
AB	J X	2 I
1
=^(l+x2)3/2
У~[(1+с2)зп-2у/2].
Пример 3. Вычислить интеграл J х2 dx+xy dy, где АВ —
лв
четверть окружности х—cost, y=sint, 0</<я/2, А соответствует
Z=0, В соответствует /=я/2.
Решение. Имеем x2=cos2Z, dx=—sinzdz, xy=cosZsinZ,
dy=cosz dz. По формуле (3) получаем
к/2
f х2 dx-f-xy dy= J (—cos2/sin/4-cos2/ sinz) dZ=O.
лв	о
207
Пример 4. Вычислить интеграл f х2 dx+y/xy dy, где АВ —
ля
четверть окружности х2+у2=Л2, пробегаемая против часовой
стрелки и лежащая в первой четверти.
Решение. Уравнение окружности х2+у2—R2 запишем, выра-
жая явно у через x:y=y/R2—x2 (перед корнем взят знак плюс,
так как в первой четверти у>0). Найдем dy:
dy=y' dx=(^R2—x2y dx= — X ***- .
у/r2 -x2
После подстановки у и dy под знак интеграла подынтеграль-
ная функция будет зависеть только от х, а пределы интегрирова-
ния по х, учитывая, что интегрирование ведется против часовой
стрелки, будут +Л и 0. Таким образом,
=J (х2-х<х) dx=f--—) ° =	Л5/2=1 В2 (6^/л—5Я).
'	\3	5 J в 3	5	15	'
Вычислить криволинейные интегралы:
103.	J у d/ по параболе у2=2х от точки (0; 0) до точки (2; 2).
АВ
104.	J х dl по параболе у=х2 от точки (2; 4) до точки (1; 1).
АВ
105.	J х dl по отрезку прямой от точки (0; 0) до точки (1; 2).
АВ
dl	1
106.	Г —= по отрезку прямой у=- х—2 от точки (0; —2)
АВ у/х2+у2
до точки (4; 0).
107.	f ^/х2+у2 dl по кривой х=а (cos/+/sin/), у=а (sin/—
лв
— /cos/), 0</<2я.
108.	f y/у dl по кривой х=а(/—sin/), у—а (1— cos/), 0</<
ЛВ
<2я.
109.	$ (2х+у) dl, где L — контур треугольника АВО с вер-
шинами Л (1; 0), В (0; 2), О (0; 0).
110.	j (х+у) dx, где: 1) АВ — прямая, соединяющая точки
АВ
(0; 0) и (2; 2);
208
2) AB — парабола y=x2j2, соединяющая точки (0; 0) и (2; 2);
3) АВ — ломаная, проходящая через точки (0; 0), (2; 0), (2; 2).
111.	f [(х+у) dx—х dy], где: 1) AB — прямая, соединяющая
лв
точки (0; 0) и (4; 2); 2) АВ — ломаная, проходящая через точки
(0; 0), (2; 0), (4; 2).
112.	Решить задачу 111 для интеграла j у dx+x dy. Почему
лв
здесь величина интеграла не зависит от пути интегрирования?
113.	j х dy, где L — контур треугольника, образованного
L
прямыми у=х, х=2, у=0 (интегрирование вести в положитель-
ном направлении).
114.	f(x2 —у) dx, где L — контур прямоугольника, образо-
L
ванного прямыми х=0, у=0, х=1, у=2 (интегрирование вести
в положительном направлении).
115.	J ху dx по дуге синусоиды у—sinx от х=п до х=0.
лв
116.	J х dy—у dx по кривой у=х3 от точки (0; 0) до точки
(2; 8). Лй
117.	J yfx dx+y/у dy по кривой у=х2 от точки (0; 0) до
лв
точки (1; 1).
118.	J х2 dx+y2 dy по кривой у=^/х от точки (0; 0) до точки
119.	J (х2+у2) dx+xy dy по кривой у=е* от точки (0; 1) до
лв
точки (1; е).
120.	J (х3 — у2) dx+xy dy по кривой у=а от точки (0; 1) до
лв
точки (1; а).
Вычислить криволинейные интегралы, взятые вдоль указан-
ных кривых в направлении возрастания параметра:
121.	J ху dx+y2 dy по кривой x=t2, y—t (1</<2).
лв
122.	f х2у dx+y2x dy по кривой x=t, y—t3 (0<t< 1).
лв
123.	J (х+у) dx+(x—у) dy по окружности x=Rcost, у=
лв
-Rs\nt (0</^я/2).
209
124.	Jy2dx+xydy по эллипсу x=acos/, y=ftsin/
лв
(0</<я/2).
125.	f у dx—xdy по астроиде x=acos3/, y=esin3/
At
126.	f y2 dx+x2 dy по первой арке циклоиды x=a (/—sin/),
At
y=a (1 —cos /) (a>0).
2. Формула Грина
fj(z_Odxd>=^dx+ed?
G
устанавливает связь между двойным и криволинейным интег-
ралами. Двойной интеграл берется по области G, а криволиней-
ный интеграл — вдоль замкнутого контура L, ограничивающего
область G.
С помощью формулы Грина вычислить криволинейные интег-
ралы:
127.	j (х—у) dx+(x+y) dy, где L — окружность x2+y2=R2.
L
128.	4 (х+у) dx - (х—у) dy, где L — эллипс — -I—-=1.
£ « *
129.	j у2 dx+(x+y)2 dy по контуру треугольника ЛВС с вер-
L
шинами Л (в; 0), В (а; а), С (0; а).
130.	f (х+у)2 dx—(x2+y2)dy по контуру треугольника АВС
L
с вершинами А (1; 1), В (3; 2) и С (2; 5).
131.	f (у—х2) dx+(x+y2) dy, где контур L ограничивает кру-
L
говой сектор радиуса К с углом <р (0< <р <я/2).
132.	f е-ж +>1 (cos2xydx+sin2xydy), где L — окружность.
1
х2+у2=Л2.
133.	Написать и проверить формулу Грина для f (х+у) dx—
L
—2xdy по контуру треугольника со сторонами х=0, у—0,
х+у=а.
210
. „.	_	t dx dy
134.	Написать и проверить формулу Грина для ф---------
L У *
по контуру треугольника АВС с вершинами А (1; 1), В (2; 1) и
С (2; 2).
135.	Проверить формулу Грина на функциях Р (х; у)=х2у2,
Q (х'< У)=ху2 в круге радиуса 2 с центром в начале координат.
136.	Применима ли формула Грина для функций Р (х; у)=
У, и Q (х; у)= если область G имеет начало коор-
х2+>2	хг+у2
динат своей внутренней точкой? Проверить вычислением соот-
ветствующих двойного и криволинейного интегралов, приняв за
L окружность х2+у2=а2.
§ 5. Некоторые приложения криволинейных интегралов
второго рода
1. Вычисление площади. Криволинейный интеграл -fxdy—
—у dx выражает площадь области, ограниченной замкнутой кри-
вой L.
Вычислить площади областей, ограниченных следующими
кривыми:
137.	Эллипсом x=acos6 j=6sin/, 0<1<2я.
138.	Параболой (х+у)2=2ах (а>0) и осью Ох.
139.	Гиперболой у= 1/х, осью Ох и прямыми х= 1 и х=2.
140.	Окружностью х2+у2=4 и параболой х2—2—у (область
содержит начало координат).
141.	Астроидой x=acos31, y=asin3/, 0<г<2я.
3/ ЗР .
—У~--------; («декартов лист»).
-L / 3	1 X/3
142. Петлей кривой х=
2. Работа силы. Криволинейный интеграл A— J Р (х; у) dx+
+ Q (х; у) dy выражает работу при перемещении'материальной
точки вдоль плоской кривой ВС под действием силы F, проекции
которой на координатные оси (координаты) равны Р (х; у)
и Q (х; у).
143. Вычислить работу силы F (х; у) при перемещении мате-
риальной точки по эллипсу в положительном направлении, если
сила в каждой точке (х; у) эллипса направлена к центру эллипса
и по величине равна расстоянию от точки (х; у) до центра
эллипса.
144. Поле образовано силой F={P; Q}, Р=х—у, Q=x.
Построить силу F в каждой вершине квадрата со сторонами
х= ±аиу= +аи вычислить работу при перемещении материаль-
ной точки по контуру квадрата.
145. Поле образовано силой Р={Р; С}, где Р=х+у, Q=2x.
211
Построить силу F в начале каждой четверти окружности]
x=acos/, y=asin/ и вычислить работу при перемещении мате-1
риальной точки по окружности.	J
Решить эту задачу при условии Р=х+у, Q—x. Почему здесь!
работа равна 0?	_	1
146.	Поле образовано силой /={у; а}. Определить работу^
при перемещении материальной точки по контуру, образован-»!
ному полуосями координат и первой четвертью эллипса х—
=а cost, y=Z>sint	-j]
147.	Даны точки В (—а; 0) и С (0; а). Вычислить работу силы,
F={P; Q}t где Р—у и Q=y—x при перемещении материальной^
точки: 1) по прямой ВС; 2) по ломаной ВОС; 3) по дуге ВС
параболы у=а----.	!
в
148.	В каждой точке плоскости действует сила /=(ху; х+у}.
Вычислить работу силы при перемещении материальной точки из
начала координат в точку (1; 1): 1) по прямой у=х; 2) по парабо-
ле у=х2.
149.	В каждой точке окружности х—a cos t, у=a sin t приложе-
на сила В={х+у; х}. Определить работу силы F при перемеще-
нии материальной точки по окружности. Почему здесь работа*
равна нулю?
150.	Поле образовано силой, проекции которой на коорди-
натные оси равны Р=х+у2 и 0=2ху—8. Показать, что работа
при перемещении материальной точки в этом поле не зависит от
пути перемещения.
§ 6. Тройные интегралы
1.	Вычисление тройных интегралов. Тройной интеграл по об-
ласти 7={(х;у, z)| a^x^b,yt (х)<у«у2 (х), z, (х; y)^z^z2 (х; у)} (
вычисляется по формуле
* п (*) т2 >)
y;z)dxdy dz=J dx f dy J f(x;y;z)dz, (1)
Г	О л W (jq y)	*
сводящей вычисление тройного интеграла к последовательному
вычислению трех определенных интегралов.
В частности, если область — прямоугольный параллелепипед
К={(х;у; z)| a^x^b, c^y^d, k^z^l}, то формула (1) принима-
ет вид
Ш f(x; у; z) dx dy dz=f dx f dy f f(x; y; z) dz.	(2)
V	ack
Замена переменных в тройном интеграле производится по
формуле
212
*)dxdydz==
V
=JJJ f[x (u; v; w), у (и; v; w), z (u; v; w)]|J] du dv dw,
F»
где F* — область, в которую преобразовалась область V при
отображении х—х (u; v; w), у=у (и; v; w), z=z (и; v; w)\f[x (и; v;
w), у (и; v; w), z (и; v; w)] — подынтегральная функция, преоб-
разованная к новым переменным и, v и w; J — якобиан функции
х=х (u; v; w), у—у (и; v; w), z—z (и; v; w) по переменным и, v и w:
Зх
ди
Sy
ди
дх
ди
дх дх
dv 3w
Ду	Sy	
0V	dw	#0.
дх	дх	
dv	dw	
В частности, при переходе от прямоугольных координат х, у,
z к цилиндрическим координатам р, ср, 2 (рис. 55), связанным с х,
у, z формулами
x=pcos<p, y=psin<p, z=z
(0<р<+ао,	— oo<z<4-oo),
якобиан преобразования J=p, поэтому
$/(х; у; z) dx dy dz=Jjj f (pcosp; psin<p; z) p dp dtp dz.
v	v
При переходе от прямоугольных координат х, у, г к сферичес-
ким координатам р, ср, 0 (рис. 56), связанным с х, у, z формулами
x=p$in0cos<p, у=рsin 0sin ср, z=^pcosO
(0<р< 4-оо, 0<ф><2я, 0<6<я),
якобиан преобразования J=p2sia0, поэтому
213
Mf(x;y;z)dxdydz=
V
~ fjf/[psin6cosp; psin0sin<p; pcosfl] p2sin6dpd<p dO.
F*
Пример. Вычислить интеграл jjf (x+y+z) dx dy dz, где V —
v	,
пирамида, ограниченная плоскостью x+y+z=l и координат-
ными плоскостями х=0, у=0, z=0 (рис. 57).
Решение. Область V проецируется на плоскость Оху в тре-
угольник G, ограниченный прямыми х—0, у=0, у=1 — х. По
формуле (1) имеем
1	i—X	i—X—у
fjf (x+y+z) dx dy dz=f dx J dy f (x+y+z) dz=
V	0	0	0
0
Puc. 57
6 4 8*
Вычислить тройные интегралы по областям К, ограниченным
указанными поверхностями:
151.	JJJ (х+у—z) dx dy dz; x= —1, x= + l, y=0, y—1, z=0,
r
z=2.
152.	JJJ (x+y+z) dx dy dz; x=0, x=l, y=0, y=l, z=0, z=l.
v
153.	JJJ xy dx dy dz; x= 1, x=2, y= —2, у = — 1, z=0, z—1/2.
v
154.	JJJ psinO dp dtp d0; <p=0, (p^it/2, p=0, p—2,0=0, 0=я/2.
v
155.	fff . x=l, x=2, y=l, у=2, z=l, z=2.
JJJ(x+h+*)3	z
v
214
156.	JjJ (x+2y+3z+4) dxdy dz; x=0, x—3, y=0, y=2, z=0,
157.	JJJ (4x+3y+2z+1) dx dy dz; x=0, x=l, y=0, y=2, z—0,
158.	JJf z dx dy dz; x=0, y=0, z=0, x+y+z=l.
v
159.	jfj x dx dy dz; x=0, y=0, z=0, y=l, x+z=l.
v
160.	JfJ yz dx dy dz; x2+y2+z2— 1, z>0.
v
161,	JJf xy dx dy dz; x2+y2=l, z=0, z=l (x>0, y>0).
v
ШЛх d>> dz .	.
---------; x=0, y=0, z=0, x+y+z=l.
(l+x+?+z)3
V
163.	JJJ xyz dx dy dz; x=0, y=0, z=0, x2+y2+z2—l
r
(x>0, y>0, z>0).
164.	JJjy/x2+y2 dx dy dz; x2+y2=z2, z=0, z= 1.
v
165.	fJJ (x2+y2+z2) dx dy dz; x=0, x—a, y=0, y—b, z=0,
v
z=c.
С помощью замены переменных вычислить тройные интег-
ралы:
166.	JJJ (x2+y2+z2) dx dy dz; x2+y2+z2</?2 — шар.
V
167.	fJJ (хг+У2) <1* dy dz; z=x2+y2, z= 1.
168.	jJJ ^/x2+y2+z2 dx dy dz; x2+y2+z2</?2
V
169.	fff z-Jx2+y2 dx dy dz; x2+y2=2x, y=0, z=0, z=3.
v
170.	fJJ z dx dy dz; V — часть шара х2+у2+г2<Л2, находя-
v
щаяся в первом октанте.
171.	fff (х2—у2) dx dy dz; x2+y2=2z, z=2.
v
215
172.	jJJ (x2+y+z2)3 dx dy dz; x2+z2=l, y = 0, y=l. *
v
173.	JJJ zyjx2+y2 dx dy dz; y2=3x—x2, z=0, z=2.
у
2. Некоторые приложения тройных интегралов.
Тройной интеграл JJJ dx dy dz выражает объем тела V. Л
„	_ v	J
Вычислить объемы тел, ограниченных указанными поверхнос?
тями:
174.	2x+3y+4z= 12, х=0, у—0, z=0.
175.	-+-+- = l,x=0,y=0,z=0.
а b с
176.	ax=y2+z2, х=а.
177.	2z=x2+y2, z=2.
178.	z=x2+y2, x2+y2+z2—2.
179.	z=Jx2+y2,z=x2+y2.
180.	x2+y2-z=l,z=0.
181.	z = 0, x2+y2=4z, x2+y2=2x.
Координаты центра масс однородного тела (р (х, у, z)=const)
определяются по следующим формулам:
fff х dx dy dz	JJJ у dx dy dz	JJJ 2 dx dy dz
JJJ dx dy dz	JJJ dx dy dz	JJJ dx dy dz
у	v	у
Найти координаты центра масс однородных тел:
182.	Полушара радиуса R.
183.	x+y+z=a; х=0, у=0, z=0.
184.	z=l—х2—у2; z=0.
185.	2z=4-x2-y2; z=0.
186.	z=4—x2—у2; z=l, x=0, y = 0 (x>0, y>0).
187.	x+y = l, x2+y2=z, x=0, y=0, z=0.
188.	x2+y2+z2=3, x2+y2—2z.
189.	y2+z2=x, x+y+z=0.	t
190.	x2+z2=2y, x+z=y.
191.	x=3—y2—z2 (x>0), x=0.
Интегралы
Jx=JJJ (y2+z2) dx dy dz, /j-=JJJ (x2+z2) dx dy dz,
v	v
j2=JJJ (X2 +y2) dx dy dz	(2>
v
выражают моменты инерции однородного тела V относительно»
216
осей координат. Момент инерции относительно начала коор-
динат
/о=ш (x1 2+y2+z2) dx dy dz.
v
Пример. Найти момент инерции однородного куба со сторо-
ной а относительно одного из его ребер.
Решение. Поместим начало прямоугольной системы коор-
динат в одной из вершин куба, а оси направим вдоль его трех
взаимно перпендикулярных ребер. Найдем момент инерции от-
носительно оси Oz, воспользовавшись третьей из формул (2):
Л==Ш (х2+У2) dx dy dz=J dx f dy J (x2+y2) dz=
v	ooo
= a J dx J (x2+y2) dy=a
о о
Найти моменты инерции однородных тел:
192.	Шара радиуса R относительно его касательной.
193.	Шара радиуса R относительно его диаметра.
194.	Цилиндра радиуса R, высоты Н относительно его оси.
195.	Того же цилиндра относительно диаметра основания.
196.	Кругового прямого конуса относительно его оси.
Найти моменты инерции относительно оси Oz однородных
тел, ограниченных поверхностями:
197.	х=0, у=0, у=а. z—0, x+z=a.
198.	х+у+г=<ц/2, x2+y2=e2, z=0.
199.	z2=2ax, z=0, х2+у2=ах.
200.	x+y+z=2, х2+у2=2, z=0.
201.	Найти моменты инерции относительно осей и начала
координат пирамиды, ограниченной плоскостями х=0, у=0,
„ X у Z ,
2 = 0, -+- + - = 1.
а b с
§ 7. Поверхностные интегралы.
Формулы Остроградского и Стокса
1. Поверхностные интегралы. Вычисление поверхностного ин-
теграла первого рода fj f (х; у; z) dS сводится к вычислению
„	s
двойного интеграла:
217
Рис. 58
JJ/te y;z)ds=
s	*
=Slf[x;y;z(x;y)] x
G
x 1 +zx'2 (x; y)+z/2 (x; y) dx dy.
Пример 1. Вычислить интеграф
болоида вращения z= 1 —х2—у2, отсече^
ного плоскостью z=0 (рис. 58).	J
Решение. Поверхность S, заданная уравнением z=1 —х2—yi
проецируется на плоскость Оху в область G, ограниченную окру}
жностью х2+у2=1 (уравнение окружности получается из уравна
ния параболоида при z=0). Следовательно, областью G являете^
круг х2+у2< 1. Находим z,' (х; у)= —2х, z/ (х; у)—2у. По форй
муле (1) получаем	,
JJ +4х2+4у2 d<S’=JJ 5/1 +4х2+4у2 -,/1 +4х2+4у2 dx dy= J
s	g	’
=JJ (1 +4x2+4y2) dx dy.	1
g	J
Переходя в полученном двойном интеграле к полярным коор}
динатам х=р cos ф, у=р sin <р, находим	j
JJ (1 +4xl+4y2) dx dy= J dtp	f (1 +4p2) p dp=	j
G	0	0	J
2k	2k	I
2я и.
= 3я.
О
= I 2’+p4
J L2 J° 2J 2
о	0
Поверхностные интегралы второго рода
JJ R (x; у; z) dx dy, JJ P (x; y; z) dy dz, JJ Q (x; y; z) dz dx,
s	s	s
JJ Р (х; у; z)dy dz+Q (х; у; z) dz dx+R (х; у; z) dx dy
s
также вычисляются сведением их к двойным интегралам
формулам
JJ Л (х; у; z) dx dy=JJ R [x; y;/(x; y)] dx dy,
S	<7>
jj P (x; y; z) dy dz-JJ P [f(y; z); y; z] dy dz,
ST	G2
218
И Q (х» У» z) d* dx=Jf Q (х; /(х; z); z] dz dx, (5)
£	Gj
где поверхность S задана соответственно уравнениями z—f(x\ у),
x~f(y\ z) и y=f(x‘, z), a G\, Gi и G3— проекции поверхности
S соответственно на плоскости Оху, Oyz, Oxz.
Для вычисления интеграла общего вида (2) используют те же
формулы (3) — (5), если поверхность S однозначно проецируется
на все три координатные плоскости.
Пример 2. Вычислить интеграл JJ (y2+z2) dx dy, где S —
5
верхняя сторона поверхности 2=5/1—х2, отсеченная плоскостя-
ми у=0, у= 1 (рис. 59).
Решение. Проекцией G данной поверхности на плоскость
Оху является прямоугольник, определяемый неравенствами
— 1 <х< 1,	1. По формуле (3) находим
JJ(y2+z2) dxdy=JJ[y2 + (5/l -x2)2]dxdy= f dxf(y2 + l -x2) dy=
S	G	-10
Вычислить поверхностные интегралы первого рода:
202.	JJ х (y+z) dS; S — часть цилиндрической поверхности
s
х=^1—у2, отсеченная плоскостями z=0, z—l.
203.	JJ (3x2+5y2 + 3z2—2) dS; S—часть поверхности y=
s
= y/x2+z2, отсеченная плоскостями y=0, y=l.
204.	JJ (x2+y2+3z2) dS; 5 — часть поверхности z=<Jx2 +y2,
s
отсеченная плоскостями z=0, z=l.
205.	JJ (x2+y2+z-1/2) d$; S' — часть
s
поверхности 2z=2—x2—у2, отсеченная
плоскостью Oxy.
206.	Jf J\+4x2+4z2 dS;
s
поверхности y=2—x2—z2,
плоскостью y=0.
S — часть
отсеченная
219
207.	JJ у (z+x) dS; S' — часть поверхности y=yc2 —z2, отсе«
s
ченная плоскостями x=0, x=a.
208.	JJ ч/1+4у2+4г2 d5; 5 — часть поверхности x=4 — у2—
s
—z2, отсеченная плоскостью x=0.	j
209.	JJ z (x+y) dS; S — часть поверхности z=\/9—x2, отсбч
ченная плоскостями y=0, y=2.
210.	JJ (x2+y2+z) dS) S — верхняя половина сферы x2-k
s
+y2+z2=R2.
Вычислить поверхностные интегралы второго рода:
211.	JJ (x2+y+z2) dx dz; S — внутренняя сторона поверхно-
s
сти x2=2y, отсеченная плоскостями у=2, z=0, z= 1.
212.	JJ (x2+z2+y2) dx dz; S — внешняя сторона поверхности
s
y=-Jx2jfZ2, отсеченная плоскостями y=0, y=l.
213.	JJ (x2+y2+z2) dy dz; S — внутренняя сторона части по-
s
лусферы x=^/j?2—у2—z2, вырезанная конусом x=-\/y2+z2.
214.	JJ (5x2+5y2+z2) dx dy; S — внешняя сторона части
s
верхней полусферы г=^4—хг—у\ вырезанная конусом z=
= sjx2+y2.
215.	JJ (x2+y2 + 3z2) dx dy; S — внешняя сторона поверхно-
s__________
сти z—yjx2Л-у2, отсеченная плоскостями z=0, z=2.
216.	JJ (x2—2y2+6z) dx dy; S — нижняя (внешняя) сторона
s
поверхности y2=6z. отсеченная плоскостями z=6, х=0, х=3.
+2z) dx dy; S — верхняя (внешняя) сторон^
< х~ У	Л
поверхности z— 1 —- -	отсеченная плоскостью z—0.
220
218.	JJ (2x+3y+4z) dx dy; S'— верхняя сторона плоскости
x2 у*
x+y+z—6=0, вырезанная цилиндром —+—= 1.
219.	JJ (x2+z2) dy dz; S— внешняя сторона поверхности
x=y/9—y2, отсеченная плоскостями z=0, z—2.
220.	JJ xdydz+ydzdx+zdxdy; S — верхняя сторона части
s
плоскости x+z— 1 =0, отсеченная плоскостями у—0, у—4 и лежа-
щая в первом октанте.
221.	JJ xdydz+ydzdx+zdxdy; S — внешняя сторона сферы
s
x2+y2+z2=R2.
2. Формула Остроградского
dxdydz=JJ Pdydz+Qdzdx+Rdxdy
г
устанавливает связь между поверхностным и тройным интег-
ралами. Тройной интеграл берется по пространственной области
V, а поверхностный интеграл — по замкнутой поверхности S',
ограничивающей эту область.
Пример. Вычислить интеграл JJ x3dydz+y3dzdx+z3dxdy,
где S — внешняя сторона сферы x2+y2+z2—R2.
Решение. Применяя формулу Остроградского, имеем
jjx3dydz+y3dzdx+z3dxdy=3jjj (x2+y2+z2) dxdydz,
s	v
откуда, введя сферические координаты, получаем
2* я	Я	J2
3 JJJ (x2+y2+z2) dxdydz=3 J dtp J sin# dfl J p4 dp=— itR5.
v	о	о	о	5
С помощью формулы Остроградского вычислить поверхност-
ные интегралы:
222.	JJ xdydz+ydzdx+zdxdy; S — внешняя сторона пира-
s
миды, ограниченная плоскостями x+y+z= 1, х=0, у=0, z=0.
223.	Д x2dydz+y2dzdx+z2dxdy; S — внешняя сторона гра-
s
ницы куба 0<х<1,	1, 0<z<l.
221
224.	Jj xdydz+ydzdx+zdxdy; S — внешняя сторона поверх-
s
x2 у2 z2
ности эллипсоида —+—+— = 1.
a2 b2 c2
225.	JJ x2dydz+y2dzdx+z2dxdy; S — полная поверхность
s
x2 у2 z2
конуса—4—-—-=0,
a2 a2 b2
226.	jj xdydz+ydxdz+zdxdy; S — поверхность цилиндра
s
x2+y2—a2 (—1<z<1).
3. Формула Стокса
$ Pdx+Qdy+Rdz~
L
(SR 8Q\	(BP BRA
cos у 4-1----I cosa+|------I cosp
dz 1	\dz dx J
dS,
где cos a, cos fl, cos у — направляющие косинусы нормали к повер-
хности S, а контур L, ограничивающий S, проходится в положи-
тельном направлении.
Формула Стокса устанавливает связь между поверхностным
и криволинейным интегралами.
Формулу Стокса с помощью формулы, связывающей поверх-
ностные интегралы первого и второго рода, можно переписать
в виде
f Pdx+Qdy+Rdz=
L
dzdx.
(6)
Пример. Вычислить интеграл f x2y2dx+dy+zdz, где L —
L
окружность, заданная уравнениями х2+у2—\, z=0, а поверх-
ностью S' служит верхняя сторона полусферы x2+y2+z2=l
(z>0) и контур L проходится в положительном направлении.
Решение. В данном примере Р—х2у3, Q=l, R=z, поэтому
-ЗхV, ———=0; ---=0.
дх ду	9 ду dz 9 dz дх
По формуле Стокса (6) получаем
222
| x2y2dx+dy+zdz= — x2y2dxdy——.
L	S	8
С помощью формулы Стокса вычислить криволинейные ин-
тегралы:
227.	$ydx+zdy+xdz; L — окружность x2+y2+z2=a2t х+
L
+y+z=0, S' — часть плоскости x+y+z=0, ограниченная дан-
ной окружностью.
228.	f (y+z) dx+(z+x) dy+(x+y) dz; L — окружность x2+
L
+y2+z2—a2, x+y+z=Q, S — часть плоскости x+y+z=0, огра-
ниченная данной окружностью.
229.	Показать с помощью формулы Стокса, что криволиней-
ный интеграл f yzdx+xzdy+xydz по любому замкнутому кон-
L
туру равен нулю. Проверить это вычислением интеграла по
контуру треугольника О АВ с вершинами О (0; 0; 0), А (1; 1; 0)
и В(1; 1; 1).
230.	Написать и проверить формулу Стокса для интеграла
£ (z—у) dx + (x—z) dy+(y—х) dz, взятого по контуру треуголь-
L
ника АВС с вершинами А (а; 0; 0), В (0; а; 0) и С (0; 0; а).
Глава 14
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
§	1. Дифференциальные уравнения первого порядка
1. Основные понятия.
Определение 1. Уравнение вида
^(*.у.у')=о,	(I)
где х — независимая переменная, у — искомая функция, у1 — ее
производная, называется дифференциальным уравнением первого
порядка.
Если уравнение (1) можно разрешить относительно у то оно
принимает вид
y'=f(x.y)	(2)
и называется уравнением первого порядка, разрешенным относи-
тельно производной.
v-r	а ч	-	,	У t
Примеры дифференциальных уравнении: у =хе , у —---,
х
у'=х+у и т. д.
Определение 2. Решением дифференциального уравнения перво-
223
го порядка называется функция
у—ф (х), хе (а, 6)*, которая при nodi
становке в уравнение обращает его
в тождество.	]
График решения дифференциал!^
него уравнения называется интпег*
рольной кривой.	j
Условия	<
У=Уо при Х = Ха, (3^
в силу которых функция У=<Р (*)
принимает заданное значение у0 в за^
Рис, 60
данной точке х0, называют начальными условиями решения. Я
Определение 3. Общим решением уравнения (2) в некоторой
области G плоскости Оху называется функция y=q> (х, С), завж
сящая от х и произвольной постоянной С, если она является
решением уравнения (2) при любом значении постоянной С и если
при любых начальных условиях (3) таких, что (хо; _у0)е(7, сущее*
твует единственное значение постоянной С~С0 такое, что функ*
цияу=(р (х, удовлетворяет данным начальным условиям <р (х0,
Q=yo.	.
Определение 4. Частным решением уравнения (2) в области и
называется функция у=<р (х, Со), которая получается из общего,
решения у=<р (х, С) при определенном значении потоянной С—С&
Геометрически общее решение у=<р (х, С) представляет собой
семейство интегральных кривых на плоскости Оху, зависящее от
одной произвольной постоянной С, а частное решение у—<р (х,
Со) — одну интегральную кривую этого семейства, проходящую
через заданную точку (х0; уо).
Пример 1. Рассмотрим уравнение у '= —i
х	4
Нетрудно проверить, что общим решением данного уравне-
ния в области j>0 и у<0 является функция y—Cfx, где С-Ч
произвольная постоянная. При различных значениях С получаем
различные решения.	]
Найдем частное решение, удовлетворяющее, например, нш
чальным условиям Хо== 1, уо=1- Имеем 1=С/1. Отсюда С=|
и искомое частное решение у= 1/х.
Геометрически общее решение данного уравнения представлш
ет собой семейство гипербол y=Cfx, каждая из которых изо»
ражает частное решение данного уравнения. Задавая начальны
условия ль = 1, уо=1, выделяем из всего семейства ту гипербол)
которая проходит через точку (1; 1) плоскости Оху (рис. 60). г
Проверить, являются ли указанные функции решениями уран
нений:	?
"Интервал может быть сак конечным, так и бесконечным в одну или о(
стороны.
224	t
1.	у=Сх,
2.	y=sinx,
3.	у=х3 + С,
4.	^=-у6с2+С,
5.	y=Cx3,
6.	У=—,
COSX
7.	y-x+Cey,
8uwnCx
• ?=e
9. y=sinx—1 + Ce-“X,
yx—y=0.
j'-y=0.
y'=3x2.
yy'=x.
3y—xy’=0.
y'-tgxy=0.
(x-y+l)y'=l.
xy'=ytglny.
,	1	• A
у — ycosx=- sinzx.
Пример 2. Составить дифференциальное уравнение семейства
окружностей (х— С)2+у2=1.
Решение. Дифференцируя, получаем 2 (х— С)+2уу'=0, от-
сюда у =------. Исключаем теперь произвольную постоянную
У
С. Для этого из последнего уравнения находим х—С= —уу' и,
подставляя в данное уравнение, получим
у2у'2+у2=\.
Это и есть дифференциальное уравнение данного семейства окру-
жностей.
Составить дифференциальные уравнения семейства линии:
10. у=Сх. 12. Су=х2+у2.	11. у=х2+Сх. 13. у=Сех
14. у=Сх+С2.	15. у2=2Сх.
16. y=Jl-x2+C.	17. y=sinCx.
X2 у2 18. -+^=1. С2 4	19. In- = 1 + Су. У
2. Уравнения с разделяющимися переменными.
Определение 5. Уравнение вида
(4)
где fi (х) и f (у) — непрерывные функции, называется дифференци-
альным уравнением с разделяющимися переменными.
Пример 3. Решить уравнение у'=у/х.
Решение. Данное уравнение вида (4), где f (х)= 1/х и fi (у)**
=у. Разделяя переменные, получаем —=— (у '=— |. Интегрируя,
У х \ dxj
имеем
8-186
225
] -= Г-+ln IGI, C1940* или In IpMn |х| + 1п |С,|.
J > J •*
Потенцируя, находим [у| = |С|| |х|, что эквивалентно уравнению
у— ± Qx. Полагая ± Ci = С, окончательно получаем у=Сх.
В следующих уравнениях: 1) найти общие решения уравнений;
2) найти частные решения по начальным условиям уо=4 прц
х0=-2.
20. ху'—у=0.	21.	ху'+у-О.
22. уу'4-х=0.	23.	у'—у.
Найти общие решения уравнений:
24. х2у'4-у=0.	25.	х+ху+у' (у4-ху)=0.
26. (1 4-у2) dx=(l 4-х2) dy. 27.	у—ху'— 14-х2у'.
28.	(ху24-х) dx4-(y—х2у) dy=O.
29.	(14-2y)xdx4-(14-x2)dy=0.
30.	ху (1+х2)у' = 14-у2.
31.	(14-х2) dy—2х (14-ez) dx--O.
Найти частные решения уравнении, удовлетворяющие указан,
ным начальным условиям:
32.	2у'у/х—у,
33.	у'=(2у4-1) ctgx,
34.	х2у'4-у2=0,
35.	(14-е') уу'=е,
36.	у'—2у/у inx,
37.	ху'=—,
tax
38.	y'tgx-y=l,
39.	y'sinx=ylny,
40.	(14-у2) dx—xydy—O,
41.	2>/ydx=dy,
42.	(2x4-1) dy4-y2dx=0,
3. Линейные уравнения.
Определение 6. Уравнение вида
У'+Р (х) У=/(х),
!
I.
Уо—1 прих0=*4.
у®=1/2 при Хо « л/4.
jo= l при х0= -1.
у0=1 при хо=0.
Уо=1 при х0=е.
Уп= 1 при хв=е.
Уо=1 при х0=я/2.
Уо=1 при хс=я/2.
J’a— 1 при хв=2.
у0=1 при хо=О.
_у0=1 при Хо-4.
♦Для упрощения записи мы обозначили произвольную постоянную не
С, а через In |CJ, что возможно, так как In JCj I может принимать любое зна
от — оо до + ао
226
где р(х) и f (х) — непрерывные функции, называется линейным
дифференциальным уравнением первого порядка.
Название уравнения объясняется тем, что неизвестная функ-
ция у и ее производная у' входят в уравнение линейно, т. е. в
первой степени.
Если f (х)=0, то уравнение (5) называется линейным однород-
ным уравнением. Если f (х)0О, то уравнение (5) называется ли-
нейным неоднородным уравнением.
Пример 4. Найти общее решение уравнения у '+3у=е .
Решение. Данное уравнение является линейным. Здесь
р (х)— 3;/(х)=е2*. Решаем сначала соответствующее однородное
dy
уравнение у+Зу=О. Разделяя переменные —=—3dx и интег-
у
рируя, находим
In ]у]= — Зх+ln |Ci| или у= ±Cie-,Jt=Ce“3x
Общее решение данного неоднородного уравнения будем ис-
кать в том же виде у = С (х) е\ только произвольную'постоян-
ную будем считать уже функцией от х. Здесь применен метод
вариации постоянной. Дифференцируя, имеем у'=С'(х)е -
—ЗС (х) е Подставляя в данное уравнение выражения для
у и у', получаем
С' (х) е~3*=е2х, С (х)=е5ж или dC=eix dx,
откуда С (x)=“ е5*+ Сг, где С2 — произвольная постоянная. Сле-
довательно, общее решение данного уравнения имеет вид у=
С / ч -Зх /1 5х _ \ -Зх	1 2х , « -Зх
(х) е =1 - е +С21е илиу=-е +С2е
Найдем теперь общее решение данного уравнения методом
подстановки. Положим y=uv. Тогда будем иметь y'=u'v+uv'.
Подставляя эти выражения в данное уравнение, получим
и'у+ич'+Зиу—е2* или u'v+u (v'+3v)=e2x	(6)
Теперь потребуем, чтобы выражение в скобках обратилось в
dv	1
нуль, т. е. чтобы v'+3v=0, откуда —=—dx; - lnv= —х;
3v	3
ч Г -х -Зх
<^<v==e ; v=e
Подставляя найденное значение v в (6), найдем и'е-3х=е2х;
d«=efadx; и=^ е^+С. Но y=uv, поэтому
-Зх /1 Зх . -Д	1 2х ,	—Зх
у=е 1-е + С1илиу=-е +Се
227
Найти общие решения уравнений:
43. у'—у=е*. 45. у’+х2у=х2. 47. ху'+у=е*.	44. у'=х+у. 46. ху'+у=3. 48. у'-—=х. X
49. у'+2ху=2хе~х' 51. y'+y=cosx.	1—2х 50. /+— У=1. X2 52. у'cosx—у sin х=sin 2х.
53. ху'+у=1пх-|-1.	54. Х+^-—• X	X
55. y'-ytgx=ctgx.	56. y'+ycosxs=sin2x.
57. ху'+2у==х2.	58. у’-2уЛ^. X	X
4. Уравнение Бернулли.
Определение 7. Уравнение вида
у' +Р (х) y=Q (х) у,
где Р (х) и Q (х) — непрерывные функции, называется уравнением
Бернулли.
Уравнение Бернулли решается, так же как и линейное, подста-
новкой y*=uv или вариацией произвольной постоянной. Приво-
дится к линейному подстановкой z—y"
Пример 5. Решить уравнение у'—2ху=3хъу2.
Решение. Это уравнение Бернулли (левая часть у него такая
же, как и у линейного, а в правой части стоит выражение f (х) у”,
где п — постоянное число, в данном примере Зх3у2).
Разделим обе части данного уравнения на у2:
у~2у'—Ъсу~2=2х2.	(7)
Положим z=y-1, тогда — y~2y'=z'. Умножая обе части урав-
нения (7) на —1 и выполняя указанную подстановку, получим
линейное уравнение
z'+2xz= —2х3.
Решая это уравнение, находим
z«Ce-*’+l—х2.
Следовательно, общим решением данного уравнения будет
1
у= ---------.
Се +1- х3
Решить уравнения Бернулли:
59. у'х+у= — ху2.
61. у'+у=ху3.
63. х2у'—у2+ху.
65. у'+ху=ху3.
60. у'—ху——у3е~
62. у'=х3у3 — ху.
64. ху'+у=у21пх.
66. ху’+2у=х5у2.
5. Уравнение в полных дифференциалах.
Определение 8. Уравнение вида
Р (х; у) dx+Q (х; у) dy=0,	(8)
где левая часть представляет собой полный дифференциал некото-
рой функции F (х; у) в некоторой области G, называется уравнени-
ем в полных дифференциалах.
Если уравнение (8) является уравнением в полных дифферен-
циалах, то его можно записать следующим образом: dF (х; у)—0,
где F (х; у) — такая функция, что dF (х; у)=Р (х; у) dx+Q (х;
у) dy. Отсюда следует, что общее решение уравнения (8) имеет
вид F (х; у)—С. Решение сводится к отысканию функции F (х; у).
Пример 6. Найти общее решение уравнения'
(х+у+1) dx+(x—у2 + 3) dy=0.
Решение. Здесь Р (х; у)=х+у+1, Q (х; у)=х—у2+3.
Так как
afr+y+i) _ _ а(х-у2+з)
ду	дх *
то выражение (х+у+1) dx+(x—у2+3) dy является полным диф-
ар во
ференциалом некоторой функции F(x; у). При этом — и-
ду дх
непрерывные функции. Тогда
—-—=х+у+1.
дх
Интегрируя левую и правую части по х, получим
F (х; у)=J Р (х; у) dx+ С (y)=f (x+y+l) dx+ С (у)=
=у + ху+х+С (у).	(9)
Чтобы найти С (у), используем (9) и тот факт, что
3F(x; у)
Зу
х—у2+3.
Имеем
229
8 fx1	\	„ dC
— I—kxy+x+C (y)]=x-y2+3; C (y)=—y2+3; ——-y2+3;
dy \ 2	/	dy
dC=(—y2+3) dy; C (y)=f (-y2+3) dy+C,= —y+3y+C(.
Подставляя найденное С (у) в (9), получаем
№	У3
F(x;y)=—+ху+х-у+Зу+Сь
Данное уравнение принимает вид dF (х; у)=0, а его общее реше-
ние определяется уравнением
X3	У3
Г(х;у)=С2 или —+ху+х—-+3y+Ci = C2.
Полагая 6(С2—CJ=C3 (С3— произвольная постоянная), полу-
чаем окончательное уравнение, определяющее общее решение
исходного уравнения Зх2+6ху+6х—2у3 + 18у=С3.
Проверить, что левые части следующих уравнений — полные
дифференциалы, и решить уравнения:
67.	(Зх2+6ху2) dx+(6x2y+4y3) dy—0.
68.	3x2exdx+(x3e*-l)dy=0.
69.	e->dx+(l— xeTy) dy=0.
70.	2xcos2ydx+(2y—x2sin2y) dy=O.
71.	(3x2+2y) dx+(2x—3) dy=0.
72.	(3x2y—4xy2) dx+(x3—4x2y+12y3) dy=O.
73.	(xcos2y+i) dx—x2sin2ydy=0.
74.	(3x2y—2x3+y3) dx—(2y3—3xy2—x3) dy=O.
75.	(—==+2xy—-} dx+G/l+x’+x2—Inx) dy=0.
Wl+X3 v
y+sinxcosJjn>	/ x	\ .
76.	---------dx+l —-—hsmy I dy=O.
cosxy	\cosxy	/
§ 2. Дифференциальные уравнения второго порядка
1. Основные понятия.
Определение 1. Уравнение вида
Г(х, у, у', у*)=0>
где х — независимая переменная, у — искомая функция, у’ и у" —
230
ее производные, называется дифференциальным уравнением вто-
рого порядка.
Обычно изучают уравнения, которые могут быть записаны
в виде, разрешенном относительно второй производной:
y"-f(x,y,y').	(1)
Решением уравнения (I) называется функция (х), хе (а,
Ь), которая при подстановке в уравнение обращает его в тождест-
во. График решения называется интегральной кривой.
Условия
У-Уо, У'—Уо' при х=х0
(2)
называют начальными условиями.
Функция у— <р (х, Сь С2) называется общим решением уравне-
ния (1) в некоторой области G, если она является решением
уравнения (1) при любых значениях Ct и С2 и если при любых
начальных условиях (2) существуют единственные значения по-
стоянных Ci = C°, С2=С2 такие, что функция у—ч>{х, С®, С °)
удовлетворяет данным начальным условиям.
Любая функция у=(р (х, С®, Ср, получающаяся из общего
решения у = <р (х, С\, С2) уравнения (I) при определенных значени-
ях постоянных Ci — С®, С2=С2, называется частным решением.
Пример 1. Найти общее и частное решения уравнения у"-2
при начальных условиях уЛ= 1, у0'=1 при х0= 1.
Решение. Общее решение данного уравнения найдем дву-
кратным последовательным интегрированием. Последовательно
интегрируя, находим сначала первую производную у'=2х+Сь
а затем и общее решение: y=x2+CiX+C2, где Ct и С2 — произ-
вольные постоянные.
Подставляя значения начальных условий в выражения для
общего решения у—х2 + С1х+С2 и его производной у'=2х+С},
для определения С2 и С2 получаем систему уравнений
1= 1 + Ci + С2,
1=2+Сь
откуда находим Ct— — 1 и С2= 1. Следовательно, искомым част-
ным решением данного уравнения является функция у—х2—х+1,
график которой — парабола, проходящая через точку (1; 1).
Проверить, будут ли указанные функции общими решениями
уравнений:
78.	у=С\ sinx + С2cosх,
79.	у=С1е-х+С2е2х,
80.	у-С^с*+ С2еЭх,
81.	y=Cix+C2x2,
у"+у=0.
у”—у'—2у=0.
у"— 5у'+6у=0.
у”-2-+2У-=0.
X X2
231
82.	y=CiXifi+Ci,	2xy”=y".	1
83.	y—Cix+Ctlnx,	x2 (1—In*) y’+xy'—y—O.	1
2.	Линейные щророw диффергищипчи уривотм второго
порядка е постойными коэффициентами.	1
Определеми 2. Уравнение вида	1
Р*+ру'+«у»О,	|
где у — искомая функция, ар и q — вещественные числа, называв
ется линейным однородным уравнением второго порядка с поспим
янными коэффициентам*?.	j
Пример 2. Найти общее решение уравнения у '+у'-2у=0. I
Решение. Составляем характеристическое уравнение, заме-
няя у* на к2, у* на к, а у на 1. Получаем
F+Jt-2=0.
Корни уравнения =1, —2 вещественные и различные. Этим
корням соответствуют частные линейно независимые решения
yi=e*,y2=е” :yi/yt—e”,J,#const. Общее решение уравнения име-
ет вид y—Cie+Cyt^.
Пример 3. Найти общее решение уравнения у'—2у'+у=0.
Решение. Соответствующее характеристическое уравнение
имеет вид
Р-2*+1=0.
Корни уравнения kt=кг— 1 вещественные и равные. Этим корням
соответствуют частные линейно независимые решения У1=еж,
Уг—хеж: yi/Уг— 1/хэ^ const. Общее решение уравнения имеет вид
у=Ctc+ Сгхе	(С(+Cjx).
Пример 4. Найти общее решение уравнения у"—4у'+13у=0.
Решение. Соответствующее характеристическое уравнение
имеет вид
*2-4Jt+13=O.
Корниуравнения Jtt=2+i3, кг—2—й комплексные. Этим корням,
соответствуют частные линейно независимые решения у\=
=etecos3x, y2=e2xsin3x:y1/y2=ctg3x#const. Общее решение ура-
внения имеет виду=е* (С(совЗх+ С2мп Зх).
Решить уравнения:
84.	у’-5у'+4у=0.
86. у*+8у'+25у=0.
88. у"—4у'+4у=0.
85. у"—6у'+9у=0.
87. у"-Зу'+2у=О.
89. у'-2у'+2у=0.
♦Теоретические пояснения к этому пункту следует искать в учебниках,
в частности в учебнике автора этой книги.
232
90. y"-4y'+3y=0.
92. у*+4у'=0.
94. у"+2ау'+а2у=0.
96. у”-у=0.
91. у — 4у=0.
93. у"+ 3у'4-2у=0.
95. y'4-2j'4-5^=0.
97. у"+у=0.
3. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения вто-
рого порядка с постоянными коэффициентами.
Определение 3. Уравнение вида
y"+py'+qy—f (х),
(3)
где pug — вещественные числа, f(x) — непрерывная функция,
называется линейным неоднородным уравнением второго порядка
с постоянными коэффициентами.
Общее решение уравнения (3) представляет собой сумму част-
ного решения неоднородного уравнения и общего решения соот-
ветствующего однородного уравнения. Нахождение общего ре-
шения однородного уравнения изучено в п. 2. Для нахождения
частного решения воспользуемся методом неопределенных коэф-
фициентов, не содержащим процесса интегрирования.
Рассмотрим различные виды правых частей уравнения (3).
1)	Правая часть имеет вид
f(x)=P. (х),
где Р„ (х) •— многочлен степени п. Тогда частное решение у мож-
но искать* в виде y=Q„ (х) х', где Q„ (х) — многочлен той же
степени, что и Р„ (х), а г — число корней характеристического
уравнения, равных нулю.
Пример 5. Найти общее решение уравнения у"—2у’+у=
=х+1.
Решение. Общее решение соответствующего однородного
уравнения имеет вид Y=e* (Ct + Cix) (см. пример 3). Так как ни
один из корней характеристического уравнения k2 —2k4-1=0 не
равен нулю (kt =fc2=1), то частное решение ищем в виде
у=(Ах+В) х°=Ах+В,
где А и В — неизвестные коэффициенты. Дифференцируя дважды
у=Ах+В и подставляя у, у' я у* в данное уравнение, найдем
—2А+Ах+В=х +1.
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в обеих
частях равенства: А = 1, —244-В =1, — находим А—1, В—3.
Итак, частное решение данного уравнения имеет вид j=x4-3,
а его общее решение
у=е (Ci4-C2x)4-x4-3.
2)	Правая часть имеет вид
Г(х)=е“Р,(х),
233
где Р„ (х) — многочлен степени л. Тогда частное решение у следу-
ет искать в виде
7=й.(х)*е“,
где б, (х) — многочлен той же степени, что и Р„ (х), аг — число
корней характеристического уравнения, равных а. Если а=0, то
f(x)=P„ (х), т. е. имеет место случай 1).
Пример 6. Найти общее решение уравнения у "—4у'4-Зу=хе*.
Решение. Характеристическое уравнение к2—4Л+3=0 име-
ет корни Х1 = 1, Jt2=3. Значит, общее решение соответствующего
однородного уравнения имеет вид Y=Ciex+C2e Так как среди
корней характеристического уравнения имеется только один ко-,
рень kj=a— 1, то г=1. В данном случае Р„(х)=х— многочлен
первой степени. Поэтому частное решение данного уравнения
ищем в виде
у=(Ах+В) хех=(Ах2+Вх) е*.	’
Дифференцируя и подставляя в уравнение, получаем — 4Ах+
4-2Л—2В=х, откуда находим Л»—1/4, В= —1/4. Подставляя.
А и В в выражение для у, получаем частное решение данного
уравнения у = —1/4 (х2+х) е*; общее решение имеет вид
y=y+Y=Cie +С2ех-1/4 (х2+х) е.
3)	Правая часть имеет вид
f(x)—a cos px+b sin px,
где a, b и P — известные числа. Тогда частное решение у надо,
искать в виде	'
y—(AcosPx+Bsinpx) хг,
где А я В — неизвестные коэффициенты, а г — число корней,
характеристического уравнения, равных гр.
Пример 7. Найти общее решение уравнения у"+у—sinх. ,,
Решение. Характеристическое уравнение Л2+1=0 имеет
корни ki = i, k2=—i. Поэтому общее решение соответствующего
однородного уравнения y=CiCosx+Cjsinx. В правой части ра^
венства — функция sinx, т. е. а=0, 6=1, р=1. Так как ifl~i—[
корень характеристического уравнения, то r= 1 и частное реше*'
ние надо искать в виде
у=(А cosx+2? sinx) х.	1
Дифференцируя и подставляя в уравнение, получаем]
2 (—Л sinх+Вcosx)=sinx, откуда Л = — 1/2, В=0. Таким обра^
зом, частное решение у = —(1/2) xcosx; общее решение уравнения-
у=у+ У=С]cosx+С2sinx—- xcosx.
2	v
Пример 8. Найти общее решение уравнения у"+у—sin2х. 'i
234
Решение. Данное уравнение отличается от предыдущего то-
лько тем, что fl—2. Так как ifl=i2 не является корнем харак-
теристического уравнения, то г=0 и частное решение следует
искать в виде
у=A cos 2х+В sin 2х.
Дифференцируя и подставляя в уравнение, получаем
-ЗЛсовЗх—3jJsin2x=sin2x, откуда А = 0, В= —1/3, т. е. част-
ное решение у— —(1/3) sin2x; общее решение уравнения
y=y+y=C1cosx+CIsinx—sin2x.
4)	Правая часть имеет вид
/(х)=е“ [Ря (x)cos)Jx+P„ (х) sin Дх],
где Р„ (х) — многочлен степени л, а Рт (х) — многочлен степени
т. Тогда частное решение следует искать в виде
У=х'ех [2i (х) cos/Jx+62 (х) sin/?x],
где 6j (х) и Q2 (х) — многочлены степени s, j=max {л, т), аг —
число корней характеристического уравнения, равных a+ifl.
Пример 9. Найти общее решение уравнения у"—7=Зе1* cos х.
Решение. Характеристическое уравнение к2—1=0 имеет
корни kt = 1, кг= — 1; общее решение однородного уравнения У=
= Ci е*+С2е~х. В правой части уравнения — произведение много-
члена нулевой степени, показательной и тригонометрической фу-
нкций, так что Ря(х)=3, Рт=0, з=0. Число a+i/l=2+rl не
является корнем характеристического уравнения, поэтому г=0
и частное решение ищем в виде
у=е2х (A cos х+5 яп х).
Дифференцируя и подставляя в уравнение, получаем (2А +
+4В) cos+(2B—4А) sinx=3cosx, откуда Л = 3/10, 2?=3/5. Таким
образом, частное решение у=е2х (3/10cosx+ 3/5 sinx); общее ре-
шение уравнения
ir 2Х X 3	3 .	\	х —.	— X
y=v + У=е I — COSX+- smx 1 + Q е + С2е
\10 5 /
5)	Правая часть уравнения представляет сумму двух функций
y”+py'+qy=fi (х)+/г (*)
Тогда частное решение можно искать в виде
У=У1 +У1,
где Ji — частное решение уравнения y№+pyr+qy=fi (х), а у2 —
частное решение уравнения y"+py'+qy=f2 (х).
235
Првмер 10. Найти общее решение уравнения ytt—2y'+y=*i
=sinx+e-*.
Решение. Характеристическое уравнение к2— 2Jt+i=0 име
ет корни ki=k2=l, поэтому общее решение соответствующей
однородного уравнения Y = Ge* 4- Сгхех=ех (Ct + Cjx).
Так как правая часть уравнения состоит из суммы двух функ|
ции sinx и е *, то частное решение ищем в виде
У=У1+У2,	|
где У1 — частное решение уравнения у"—2у'+у= sinx, а у2 — на*
стное решение уравнения у ”—2у'+у=е *.	j
Сначала найдем частное решение Так как число ш!
является корнем характеристического уравнения (г=0), то част*
ное решение yt будем искать в виде yt —Asinx+Bcosx. Подстав*
ляя ylt yt и у" в уравнение у"—2y'+y=sinx и сравнивая коэф*
фициенты при sinx и cosx, получаем —2Л=0, 2В=1, откуда
А=0, В= 1/2 и, следовательно, Ji =(1/2) cosx.	j
Теперь найдем частное решение у2. Будем его искать в виде!
у2=Ае~х, так как число а= — 1 не является корнем характеристи-
ческого уравнения. Подставляя у2, у2 и у2 в уравнение у”—
—2у'+у—е х, найдем А=1/4. Следовательно, у2=(1/4) е~х i
Таким образом, частное решение данного уравнения имеет
вид
_ , . 1	1
y=yi+yi=- COSX+- е
2	4
а общее решение этого уравнения — вид
у=у+ Y=- cosx+- е '-f-Cie'+Cixe*.
2	4
Решить уравнения:
98. у"+2у'+у=ех.
100. у"+у'—2у=6х2.
102. у*-2у=хе~*
104. у"—5y'+6y=13sin3x.
106. y"+4y=3sin2x.
108. у"+у=х cosx.
110. у"—Зу— 10y=sinx+
+ 3cosx.
112. у"-2у'+2у=
=е* (2cosx—4xsinx).
114. у”+у=х+2ех.
99. у"-3у,+2у=ех.
101. у"+3у’=9х.	л
103. у"-4у=8х3.	J
105. y*+y'+2,5y=25cos2x.
107. y"+4y=sin2x.
109. у"—2y'+3y=e"*cosx.
111. yu—3y'+2y=ix (x2+x).
113. yH-4y=e*[(-4x+4)x
xcosx—(2x+ 6) sinx].
115. jff-2j'+y=3ex+x+l. j
236
116. у*-6у'+3у=е+е	117. у*+2у'-Зу=2хе +(х+
+ 1)е*.
§ 3. Примеры дифференциальных уравнений
разных типов
Решить уравнения. Если даны начальные условия, найти част-
ные решения:
118. 2dy-xdx=0,
х0=2, уо=О.
120. (2x+5)dy+ydx=0,
Хо=О,уо=1.
122. уу'=3,
*о=6, уо=10.
124. y'-^/l+*2—у=0,
*о=О, Уо=4.
126. у' (4+х2)+у2=0,
*о=2, у0=8/я.
128. у/xdy—ydx=dx,
хе=О,уо=О.
130. у'-2ху-у=0,
*о=0, уо=^3.
132. V^Z*idy-ydx=0,
х0=3/2,у0=1.
134. у/х2-4х+Ьу’-
-^/l6-y2=0.
136. (у-4)dx+(x+3)dy=0.
138. у/2+y cosec2 х—
—y'cos2x==0, х0=я/4,
Уо=2.
140. у'=4---
142. у'—5х*у=е*
144. ^/1—х2 (ху'+у) = 1.
119. ydy—xdx=0,
Хо=3,у0=5.
121. ух—у'—О,
*Ь=0,уо=Ю.
123. у'—(2х+2)->/1 —у2=0,
*Ь=0, Уо=1-
125. у'х+^/4—у2=0,
Хо=1,у0=0.
127. у'(4—х2)—4у=0,
*о=О, Уо=5.
129. 71-х2у'+*^9^р=0,
*о=0, Уо=О.
131. 3xdx—2xdy=dx4-dy.
133. dy—2ydx=dx,
Xo=ln2, yo=5/2.
135. х5/25-у2-е',у,=0,
*b=0, yo=O.
137. y'sec5x—5y=0,
^=я,у0=1/5.
139. xdy+ydx=sinxdx,
х0=я/2, уо=2/я.
141. y'sinx—y=sinx sm
143. xy'—y=x-y/x.
145. y'+—=-—.
237
146. ху'+у=1пх+1.	147.	y'-ytgx=ctgx.
148. у'х+у+ху2=0.	149.	у'—ху+уэе~*’=0.
150. у’+ху=ху3.	151.	лу'+у=у21пх.
152. у'+2ху=2х3у\	153.	у*=1пх.
154. y*=sin2x.	155.	хуя—2у'=Ъ.
156. хуя+у'=0.	157.	ху*—у'=0.
158. у*+9у=0.	159.	у"—9у=0.
160. у*—у'=0.	161.	у*+25у=0.
162. у*+25у'=0.	163.	у*-8у=0.
164. у"-25у=0.	165.	у*-2у'+у=0.
166. у"-6у'+9у=0.	167.	у*+4у' + 10у=0.
168. у* + 100у=0.	169.	2у*-Зу'-2у = 0.
170. у*+Зу=0.	171.	у’+у'-12у=0.
172. у*+4у'+4у=0.	173.	у"—4у'—7у=0.
174. у"+у'—е.	175.	у"—4у'=4е4х
176. у" + 3у'+2у=3еж	177.	y*+y'+y=3cos2x.
178. у"+ 3у'+2у=5сж	179.	y*+y=sin5x.
180. y"+y=cosx.	181.	y"4-9y=cos3x.
182. уя+у’—2у=2б~2ж+ех	183.	уя —у'=4+х.
184. уя-2у'-3у~х2.	185.	y"+y=cosx+sin5x.
186. у"+4у'=х+е-4х	187.	у*-4у=е2х+3е’2х
188. у''+9у=4sin3x+x.	189.	у"—Зу'=х3+2.
190. у"+3у'=1.	191.	y*+y=xcosx.
192. уя+у'—хеж	193.	y*+y'=xsinx.
194.	Написать уравнение кривой, проходящей через точк]
М (1; 2), если угловой коэффициент касательной в любой точк
кривой равен абсциссе точки касания.
195.	Написать уравнение кривой, проходящей через точк;
Л/(1; у/1), если угловой коэффициент касательной к криво!
в любой точке равен отношению абсциссы точки касания к ор
динате.	'
196.	Написать уравнения кривой, проходящей через tohjc
М (1; 3), если угловой коэффициент касательной к ней в любо
точке кривой втрое больше углового коэффициента радиусу
вектора точки касания.
197.	Написать уравнение кривой, проходящей через точ|
М (2; 2), если подкасательная в любой точке ее равна удвоенно
абсциссе точки касания. (Подкасательной называется проект!
238
1
отрезка касательной, заключенного между точкой касания и точ-
кой пересечения касательной с осью Ох.)
198.	Определить форму зеркала, представляющего собой по-
верхность вращения и обладающего тем свойством, что все лучи,
выходящие из источника света, помещенного в точке О на оси
вращения, отражаются зеркалом параллельно этой оси.
199.	Скорость распада радия пропорциональна наличному
количеству радия. Известно, что половина первоначального запа-
са радия распадается по истечении 1600 лет. Найти, какой про-
цент радия окажется распавшимся по истечении 100 лет.
200.	Законом «естественного роста» называется такой закон
роста, при котором скорость роста вещества пропорциональна
наличному количеству вещества. Требуется найти формулу для
определения изменения количества вещества у в зависимости от
времени /, считая, что в начальный момент t0=0 количество
вещества было равно у0-
201.	Материальная точка массы т свободно падает под дей-
ствием силы земного притяжения. Найти закон движения точки
без учета сопротивления воздуха, если в момент времени /=0
точка имела скорость v0.
202.	Найти уравнение движения материальной точки массы
т, брошенной вертикально вверх с начальной скоростью v0, без
учета сопротивления воздуха.
203.	При прямолинейном движении материальная точка мас-
сы т удаляется от некоторой точки О (начало координат). При
этом скорость движения в любой момент времени численно
равна половине пройденного пути. Определить путь, скорость
и ускорение как функции времени /, если начальная скорость
v0=3 м/с.
204.	Тело, нагретое до 100°С, охладилось за 20 мин до 60°С
в комнате с температурой 20°С. Найти закон охлаждения тела.
Через сколько минут оно остынет до 30°С, если скорость охла-
ждения пропорциональна разности температуры тела в данный
момент и температуры воздуха в комнате?
205.	За какое время тело, нагретое до 100°С, охладится до
24°С в комнате с температурой 20°С, если до 40°С оно охлажда-
ется за 10 мин?
206.	Цилиндрический сосуд высотой Я и площадью основа-
ния s имеет внизу отверстие, площадь которого равна а. Найти
время Г, за которое жидкость, заполняющая сосуд, вытечет из
сосуда, если известно, что скорость v вытекания жидкости выра-
жается формулой v=y/2gh, где g— ускорение силы тяжести,
h — высота столба жидкости над отверстием.
207.	За какое время вода, заполняющая полусферическую ча-
шу диаметра 2 м, вытечет из нее через круглое отверстие радиуса
0,1 м, вырезанное в центре дна чаши?
239
§ 4. Системы дяффци шмп ньиых уравнений
1. Общие пошли.
Определение. Совокупность уравнений вида
Г Ft (х. yt, у2,...»уя, y't, у г,...»yi)=0,
7 F3 (х, yt, Уг.Уя, y't, У 2, ; Уя)=0,
IF, (х, yit У1.у„ у\, у2,..., y j=o,
гдел — независимая переменная, yh у2,.... у» — искомые функции,
у j, у2,..., у 'Й — их производные, называется системой дифференци-
альных уравнений первого порядка.
Система дифференциальных уравнений, разрешенных относи-
тельно производных от неизвестных функций, называется нор-
мальной системой дифференциальных уравнений и имеет следу-
ющий общий вид:
{7W1 (х, yt, у2, Уя),
dx
dvj
Я.».....Л),	(,)
—==/» (х, У1, У2,...» л),
dx
Совокупность п функций
У1=Ф1 (X), Уг=фг (X), ...»<Р, (X),	(2)
определенных в интервале (а, Ь), называется решением нормаль-
ной системы (1), если эти функции при подстановке в уравнения
системы (1) обращают их в тождества.
Теорема Коши. Если функции ft (х, уь у2,..., y,),f2 (х, уь у2, ..„
у„), —,/я (х, yt, у2,...»Уя) и их частные производные по yt, Уг, ...» Уя
определены и непрерывны в некоторой области G пространства пе-
ременных (х, yi,y2, —, Уя), то, какова бы ни была внутренняя точка
(хь; у»; Уя>; —; Уко) области G, в некоторой окрестности точки х^
существует единственное решение системы (1), удовлетворяющее
условиям
yt =Уи>, Уг=Уго, -, У.=Уяа при х^х^.	(3)
Условия (3) называются начальными условиями решения, а за-
дача отыскания решения по заданным начальным условиям —
задачей Коши.
Совокупность п функций
Г У1=ф1 (х, С|, С2, ..., СД
J Уг=<Рг (х. Ci, С2.С,),	(4)
L Уя=фя (х, Ci, С2,..., С^,
завжящих от х и от п произвольных постоянных Ct, С2, ..., Ся;
240
(5)
будем называть общим решением системы (1) в некоторой облас-
ти G, если при любых значениях постоянных С2, .... С. эти
функции представляют решение системы и если любое решение
этой системы может быть записано в виде (4) при некоторых
значениях постоянных С1; С2,	С„.
Совокупность и функций
pi==Pi(x, с?,с$, с°),
)у2 = (Р1 (х, С?,	С»,
U = Mx, Ct Cl ..., с°д
получающихся из общего решения (4) системы (1) при определен-
ных значениях постоянных Ci = Ci, С2~С2,	С„=С„, будем
называть частным решением системы (1).
Если в области G выполнены условия теоремы Коши, то для
нахождения частного решения (5) достаточно разрешить уравнения
{Ф1 (х0, Сь С2,	Сл)==/ю,
Фг (хо, Сь С2,	Ся)==720>
фя (х0, С|, С2,	Ся) = ^ло
относительно Сь С2, Сп и подставить найденные значения
постоянных в соотношения (4).
Одним из основных методов нахождения решения нормаль-
ных систем является метод исключения неизвестных. С помощью
этого метода данная система сводится к одному уравнению л-го
порядка относительно одной неизвестной функции.
Пример 1. Найти общее решение системы уравнений
dy	dz
— = — 7y + z,	— =	—2y — 5z
dx	dx
и выделить из него частное решение, удовлетворяющее началь-
ным условиям у=0, z= 1 при х=0.
Решение. Продифференцировав первое из уравнений систе-
d2y	„dy dz „
мы по х, находим —- = — 7 —I—. Подставляя в это равенство
dx2 dx dx
dz
выражение — из второго уравнения системы и заменяя функцию
dx
z ее выражением из первого (в этом смысл метода!), приходим
к линейному однородному уравнению второго порядка относите-
льно одной неизвестной функции:
d2y „ dy c(dytn\	л
—— 7 2y—5 1—+ 7y , или —- + 12—h37y = 0.
dx2 dx	\dx J dx2 dx
Решив это уравнение, находим его общее решение
у = е- (Ci cosx + C2siiix).
Дифференцируя последнее равенство, имеем
— = —6e (CiCosx4-C2sinx)4-e-<x (—С( sinx4-C2cosx). 1
J
dp	>
Подставляя	выражения	для	у	и — в первое уравнение системы
dx	ч
и приводя подобные члены,	получим	I
z = — бе-6* (Ci cos х4- С2 sinх)4-e-<Jt (— Ci sinх4-С2cos х)4- -
4-7е-4х (Cicosx4- C2sinx)=e-fa [(C24-Ci) cosx+(C2—C() sinx]. 
Общее решение данной системы имеет вид
у—е-4ж(С1 cos х 4- С2 sin х), z=е”4* [(С2 4- СО cos х 4- (С2—С|) sin х].'
«Я
Решим теперь поставленную задачу Коши. Подставляя в сис-
тему (б) вместо у, z и х их начальные значения 0, 1 и О, получаем
систему уравнений для определения постоянных С] и С2:	'
o=Cj 14-C2 o, MG-i-co i+CG-ca o.
Отсюда Ci = 0, С2=1. Следовательно, искомым частным решени-
ем являются функции
у=е~4' sin х,	z=е-4* (cos х 4- sin х).
Решить системы уравнений:
208.	Лdx | — = 4х — у, J dt j dy	209.	ГФ'	- l-=-y-2z, J d* ] dx J — = 3y+4z. kdx	210.	fdx Л 1 — = 2x-y, J dr | dy |-=x4-2y. \.d/
211.	f— = x-2y, J dr	z J dx 1 —=x—y. Idr	212.	py 1 J dx 1 dz	213. -	I — =y—2z, J dx | dz (r=>7_z kdx
Если правые части нормальной системы (1) являются линейными
функциями относительно неизвестных функций уг, ..., у„, то
такая система называется линейной и имеет вид
(х) Pi +Р12 (х) у24-... 4-Ля (х) y„4-./i (х),
dx	;
=Р2| (х) У14- Р22 (х) уг 4-... 4- Ръ, (х) у„ +fi (х),	!
dx
—=Р„1 (х) у, 4-Р„2 (х) У24-... 4-Рлл (х) У„4-/Л (х).
dx
Если функции /1 (x),f2 (х) f, (х) тождественно равны нулю,
то линейная система называется однородной, в противном слу-jj
чае — неоднородной.
242
2. Системы линейных однородных дифференциальных уравнений
с постоянными коэффициентами. Для простоты записи ограничимся
системой трех уравнений с тремя неизвестными функциями х, у и z:
{dx
dt
dy	/«ч
у = 02i x+а2гУ 4-	(7)
dt
dz
-=a3lx+a32y+a33z,
at
где atJ (i,j= 1, 2, 3) — вещественные числа, t — независимая пере-
менная.
К этой системе можно применить общий метод исключения
неизвестных, но можно решать ее и другим, более наглядным
методом, применимым только к системам линейных уравнений
с постоянными коэффициентами.
Будем искать частное решение системы в следующем виде:
х—ае‘, y—flt', z—y&‘,	(8)
где а, fl, у и к — некоторые числа (причем a2 + /f2+y2#0), кото-
рые надо определить так, чтобы функции (8) были решением
системы (7).
Подставляя функции (8) и их производные в уравнения систе-
мы (7) и сокращая на е , получим
{ka=ana+ai2fl+al3y,
kfl=a2ia+anfl+a23y,
ky=a3ia+a32p+a33y.
Перенося все члены в одну часть равенства и группируя
коэффициенты при a, fl, у, получим систему уравнений
(ан —fc) а+а12Д+а13у=0,
a2iа+(а22-к) fl+a23y = 0,	(9)
a3ia+a32fl + (a33-k) у-0.
Система (9) — это однородная система трех уравнений пер-
вой степени с тремя неизвестными a, fl и у. Как известно, чтобы
эта система имела ненулевое решение, необходимо и достаточно,
чтобы ее определитель был равен нулю, т. е. чтобы число к было
корнем уравнения
ап-Л
а31
Си
ап—к
«32
Он
^23
а3з-£
=0.
(Ю)
Уравнение (10) называется характеристическим уравнением
для системы (7). Оно является уравнением третьей степени отно-
сительно к и имеет три корня: къ к2 и к3. Каждому корню со-
243
ответствует ненулевое решение системы (9) (аь рь а^ р2, у2; ад
Л> Уз), а следовательно, и частное решение данной системы (7):1
о	k}t	5
xi-«ie', У1=Де , 2, =yie ,	(
х2=а2е*2<, У2=Р2^к1> z2=y2zlt;
Хз—а3е , уз=Дэе , г^-узЬ	i
Если корни kt, к2 и кз характеристического уравнения разлив
ны и вещественны, то, как можно показать, общее решен»
системы (7) запишется в виде
{х=С1Х] + С2Х2+С3Х3,	(” х= С^е 1 + С2а2е 2 + СзЯзе 3, j
У=С, у! + Сзу2 + Сзуз, или / у=+ Cjfce**+Cjfte*3', (1
2=Ci2i + C222+Cj23.	(_2=С1у|е*1,+ С2у2е*2Г+СзУэе*3/, j
где Сь Съ С3 — произвольные постоянные.	*
Если среди корней характеристического уравнения имеются
комплексные, то комплексные решения можно заменить вещест
венными, отделяя вещественные и мнимые части найденных фузд
кций.	j
В случае, когда среди корней характеристического уравненш
имеются кратные, корню кх кратности г соответствует частно!
решение системы (7), имеющее вид	\
Х=Л (0 е*”, у=Р2 (I) е*1', 2=Л (/) е*1',	(1|
где Pi (/), Р2 (Г), Рз (0 — многочлены степени не выше г— 1, прй|
чем среди коэффициентов всех этих многочленов г коэффицией]
тов являются произвольными, а остальные выражаются черей
них. Полагая поочередно один из этих произвольных коэффиод
ентов равным единице, а остальные равными нулю, мы построй^
г частных решений.
Пример 2. Найти общее решение системы	’]
dx	dy	dz	„	|
— =	— = 3x4-z,	—	= 3x4-v.
dr	dr	dr	i
Решение. Ищем частное решение системы в виде х = ае*\ уя
—fler,z = ye 1. Подставляя эти функции и их производные в ургц
нения системы и сокращая на е \ получаем систему
Г-оЛ+Д+у=0,
< За—рк + у=О,
( За+/)-уЛ=0.
Составляем характеристическое уравнение (10), соответствующе
данной системе:
t
(15
-к 1	1
3 -к 1 =0,
3	1 -к

или к3—7к—6=0. Корни характеристического уравнения kt— — 1,
к2= —2, к2=3 различны и вещественны.
Найдем частное решение, соответствующее корню fcj=—1.
Подставляем = — 1 в систему (13):
®i+ft+yi=0,	3®i + Д+ У1=0,	Зо^+Д+у^О.
Согласно (9), числа аи Д и yi являются решением системы. Пере-
нося У1 вправо и отбрасывая третье уравнение (оно следует из пер-
вых двух), находим оч и р2: atj = 0, р3 — — уь yi = yb где у] — любое
число. Полагая yi = 1, получим решение х, =0, yi — —е , Zj=е
Аналогично найдем частное решение, соответствующее кор-
ню к2= —2. Подставляем к2= —2 в систему (13):
2®2"b Pi + Уз=О, 3#2+2Д+ Уг=О,	3ot2 + Д+2у3=0.
Решив систему из первых двух уравнений, находим а2 и р2: ^2—
= — Уг, Д=Уз, У2—У2, где у2 — любое число. Полагая у2= 1, полу-
чим решение х2 = — е-2/, у2=е~21, z2=c~2>
Найдем частное решение, соответствующее корню Д = 3. Под-
ставляем к2=3 в систему (13):
— За3+ Д + Уз=0,	За3—Зр3-У Уз=0,	За3 + р3— Зу3=О.
Снова отбрасывая третье уравнение и решая систему из первых
2
двух уравнений, находим а3 и р2: аз=“ Уз, Д=Уз, Уз=Уз, где Уз —
любое число. Полагая уз = 3, получим аз=2, рз = 3. Корню к2=3
соответствует решение %з = 2е3/, у3 = Зе‘, z3=3e3<.
Общее решение данной системы, согласно (11), имеет вид
х=-С2&~1‘+2С^' у= -Схе~‘+С^~2,+ЗС3е}‘,
г^С^'+С^'+ЗС^'
Пример 3. Найти общее решение системы
—=— 1х+у,	—=—2х—5у.
dr	dt
Решение. Ищем частное решение в виде x=aeto, у=Ре“. При
этом получаем
a (к+7)-р = 0,	2а+Д(*+5)=0.	(14)
Составим характеристическое уравнение:
или к2 + 12^+37=0. Корни характеристического уравнения кз =
= — б+i и Лг= —6—1 комплексно сопряженные.
Найдем частное решение, соответствующее корню к3 = — 64-1.
Подставляя kt в систему (14), получаем
(1+0в1-Д = 0,	2a,4-Д (-1+0=0.
245
Второе уравнение — следствие первого. Из первого уравнений
находим Д|»(1+0 в|. Полагая «1 = 1, имеем /?1 = 14-г и, значит]
х1=е<“*+*‘, y! = (l+i) е(-в+0' — решение данной системы.
Аналогично находим частное решение, соответствующее кор^
ню к2= — 6 — г. х2=е	, j2=(l—i)e
Запишем вещественные и мнимые части найденных функций:-
x1 = e-6/cos/-He-</sin/, jY=e-4/(cos/—sinO+fe-* (sin/+cos/); 1
x2=e-ftcos/—fe~*sin/, y2=e~a (cos/—sin/)—ze6‘ (sin/4-cos/).’;
Отделив вещественные и мнимые части, получаем два част*
ных решения:
x(=e-<cos/, yt=e-6/(cos/—sin/), x2=e”ftsin/, j2=e-6((sint+cos/).
Общее решение данной системы, согласно (11), имеет вид 1
х=е-61 (Ci cos / 4- С2 sin /),
у—е-й [Ci (cos/—sin/)4-С2 (sin/4-cos/)].
Пример 4. Найти общее решение системы
у= — 4x4-2^4-5z, у=6х—у—6z, ^= — 8x4-3j4-9z. (15)
Решение. Характеристическое уравнение
-4-Л 2
6 -1-k
-8	3
5
-6
9—к
или к3—4Л24-5Л—2=0 имеет корни ^ = 2, &2=fc3=l.
Найдем сначала частное решение вида х^сце, у^Де2*, z( =
=У1в2*, соответствующее корню кх=2. Числа а2, fih yi можно
найти из системы
— 6оС) 4-2^i 4*5yi =0,	6а,— 3/1[—6yi=0,	— 8«i4-3/?i4-7yi=0.
Получим в]= —3, /li = 6, yi= —6 или (сократив на —3) ai = l, fli =
= — 2, yi=2, так что искомым частным решением являются фун-
кции Xi = e2r, ji = — 2е21, zi=2е
^Теперь найдем два частных решения, соответствующих кратному
корню &2=&з = 1. Согласно формуле (12), ему отвечает решение вида)
x=(At/-M2) е', y={Bit+B^ е, z^Qt+Ci) е. (16)
Коэффициенты At, Л2, Bl} В2, Q, С2 определяются подстановкой
(16) в систему (15). Выполняя эту подстановку и сокращая на е,
получаем	1
{A[t+Ai 4-Л2=(—4Л14-22114- 5С1) /—4Л24-2В2-Ь 5С2,
2Z]/4-Bi4-В2=(6Л1—Д —6Ci) /4-6Л2—В2—6С2,
Ci/4-Ci 4- С2=(— 8Л] 4- 32?i 4- 9С\) /—8Л24- ЗВ24-9С2.
246
Приравнивая коэффициенты при / и свободные члены, имеем
систему
5^4) 4* 2В[ Ч-5Cj= О, 6Ai~~2B^— 6Cj=0, *8^4]4“3Bi4*8C|^0,
— Syij+Zej + SCj^^j, 6А2—2В2—6C2—Bi, —8Л2+ЗВ2+8С2=С1,
откуда Aj = Ci, Bi=О, А2=Ct + С2, В2=ЗСЬ причем Q и С2 произ-
вольны. Решение (16) принимает вид
х=(С1/+С1 + С2) е\ y=3Cie, z=(Cif+C2) е’.
Полагая сначала Q = 1, С2=0, а затем С( = О, С2= 1, находим два
искомых частных решения, соответствующих кратному корню
&2=Лэ=1: х2=(Г+1) е', y2=3er, z2=/e'; Xj=ef, у3=0, z3=e'. Общим
решением данной системы являются функции
х=С1е2'+(С2/+С2+С3)е', у= -гС^' + ЗС^', z=2Cle'+(C2t+C3)e.
Решить системы уравнений:
214. 	<dx	fdx =x+4y,	1—= 2x—y, <d'	215 <d' )dy	21Э- | dy 1—=x+y.	l—=x+2y. Idr	kdr	216.	fdx 1 — — 2x—y, J dr	7 1 dj |—=x+2y. kdr
217. -	f dy	f dy 1— =y + z,	\—=y—z, Jdx	_ie J dx 1 dz	il9’ ) dz l-=-2y+4z.	l-=~4y+4z. 4dx	kdx	219.	№=2,-3:. J dx |^ = 3y+2z. <dx
220.	dx л , л . dy — = 3x+12y—4z, — =— x—3y+z,	dz_	—x—12y+6z.
dx	dv	dz
221. -=2x-y-z, — = 12x—4y—12z, -=~4x+y+5z.
dt	dt	dt
222. — =— y+z, — —z, — = — x+z. Выделить решение, удовлет-
dr	dr dr
воряющее начальным условиям: x= 1, у=1/2, z= 1/2 при t=0.
fdy	fdx
J dx	J <*<
S	224. < .
I dz	„	I dy
1 =— y—3z.	l—=4x—3y.
kdx	Idr
^=10x-3y-9z, ^=-18x+7y+18z, ^=18x-6y-17z.
dx	dv	dz
—	= 5x—y—4z, —= —12x+5y+12z, — = 10x—3y—9z.
dt	dt	dr
dx	dv	dz
—	= 3x—y—3z, — =— 6x+2y+6z, —=6x—2y—6z.
d*	dy	,	_	, dz ,	,
—	=x—z, —=—6x+2y+6z, —=4x—y—4z.
dt	dt	dt
223.
225.
226.
227.
228.
247
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ
Глава 1
2.	Решение. Действительно, между л-й единицей и (л+1)-й стоит п нулей
а между (л + 1)-й единицей и (л + 2)-й стоит л+1 нулей, чего не может бьгй
в периодической дроби; следовательно, данное число иррационально.	|
3.	Например, а=0, 1010010001 ... и 0 = 0,8989989998
4.	Например, 1,2020020002 ... и 0 = 0,2020020002 ... .	4
5.	Решение. Рассмотрим случай суммы чисел а и 0. Предположим, чт<
а+0= у есть число рациональное. Тогда 0=у—а есть число рациональное, ка!
разность двух рациональных чисел, что противоречит условию. Следовательно
число а+0 иррационально. Остальные случаи доказываются аналогично.
6.	Решение. Действительно, предположим, что у/2 — число рациональное
р
Тогда его можно представить в виде несократимой дроби /^, где pvq — целы»
положительные числа без общих множителей. Из равенства lq имееь
р2=2^2, поэтому р2, а следовательно, и р четно, так как в противном случае р
было бы также нечетным, поскольку квадрат любого нечетного числа есть числе
нечетное: (2fc + l)2=4fc2+4fc+l =2(2fc2 + 2Jt)+l. Пусть Р=2к, где к—какое-т<
целое число. Подставляя 2к вместо р, получаем 4Н=2$* или 2k2 =$2. Следовате
р
льно, и q — четное число, но тогда дробь оказывается сократимой (на два
дробью, что противоречит нашему предположению о несократимости дробя
Этим доказано, что у/1 не есть рациональное число; значит, оно иррационально
1
IX infX=“, supX=L 16. Можно. 17. Решение. Допустим обратное, наприме]
2
что данное множество X ограничено сверху. Тогда в силу теоремы оно имеез
точную верхнюю грань. Обозначим ее через ct т. е. sup X = с. Согласно свойству
точной верхней грани, для «=1 существует такое целое число хе¥, что буде]
выполняться неравенство х>с— 1. Но тогда х+1>с, и так как х + 1еУ, то
означает, что с не является точной верхней гранью X. Таким образом, получен!
противоречие, которое доказывает, что данное множество не ограничено сверху
Аналогично доказывается, что множество X не ограничено снизу. 18. Указа
ние: то, что множество X не ограничено сверху, следует из доказанного в задач!
17 утверждения.
19. Решение. В самом деле, в силу утверждения задачи 17 для числа /а най
b
дется такое целое число л>0, что 1а<*- Это число п искомое, так как, умножад
неравенство bja<n на положительное число а, получаем ап>Ь, что и требовалоа
доказать. 23. х<0. 24. х<0. 25. — 1<х<5. 26. х>3 и х<—1. 27. х= — /j
28. х>-1/2. 29. —1<х<0. 30. 2<х<3. 31. 2<х<3. З2.х<—1 или х>1
2
33. х=0. 34. х= /5 и х=2. 35. х = 1/2. 36. х=-я/2 + 2*я (Аг=О; ±1, ±2, ...)
37. xIt 2= ±3. 38. —3<х<-1 или 1<х<3. 39. х< —1/3 или х>5/3. 40. х>5
41. |х|>-^/з. 42. х<0 или 0<х<3. 43. х<—4 или х>4. 44. х< — 1. 45. Неч
248
решений. 46. х_= — 1. 47. х= — 2. 48. х< —3/2. 49. х< —4 и 1 <х<2. 50. 2<х<5.
51. х<-2->/2> х>1+х/з. 52.
ь 1) X! «7з; х2 = 1/5; х3=1/?; *4-1/9; Xs-Vib 2) х1 = 72; х2-79; х3«=7и;
Х4=б/б5; х5=7/12б; з) xi^/i’; х2~2/2э; xj-724; ^/г1; ^=5/г‘; 4) xf~2; х2-
= -7г»; в</э»; Х4= -74»; *5=7$»; 5) xi~l; х2*0; х3- -7з; х4*0; X5«7s-
1	1	/2л -IV	3* 52 I2
1" '(27-17 21	” *-(—) у"3“,е:?
4)	х„=з"+^-1)" Указание: 3-1; 3’ + 1; З’-l; 3*+1; 3J-1; 3* + 1;
5)	х„=(— 1) ИЛИ Хя«=С03 ля.
3.	1) 1!; II; 1'1; 1!; II; хя«1!. 2) 1; 4; 7; 10; 13; хй=Зл-2. 3) II; 2!; 3!; 41; 51;
х„=п!. 4) 2; 6; 18; 54; 162; х„=х1з',_|. 5) 1; 1; 2; 4; 8; xn=2"~2
4.	хя)» — 1; Х8й5=1. Решение. Данная последовательность периодическая с
периодом, равным шести: Х|=0, x2=l, x3 = l, Х4=0, х5= —1, х6= —1, х2®=0,
Поэтому *Я)=*15 ««Х6= - 1, Xg8J-XH7 «+3-X3-l.
5.	1) Ограничена (—1<хя<1/2); 2) нет; 3) ограничена (|хя|<1); 4) нет;
5) ограничена (1/2 <хя < 1); 6) ограничена; 7) нет.
6.	Решение. Возьмем любое Л>0. Из неравенства |xn|=|3v |>Л получаем
неравенство |3^ |-3^ >Л. Прологарифмировав, найдем	<Jn>
lg^	/Ig^V	r/lgXVl
>----, откуда л>[-j . Если взять ^= [-J , то для всех л >Nвыполняется
lg3’	kig3?	L\lg3/ J
|хя| >A, т. e., согласно определению бесконечно большой последовательности,
последовательность {3^ "} бесконечно большая.
8.	Решение. Возьмем любое €>0. Из неравенств
2	2	2
(-D 2
1
w=
получаем неравенство у/п>х18> откуда Если взять	то для всех
n>N будет выполняться |ая|<£, т. е., согласно определению бесконечно малой
последовательности, последовательность <——> — бесконечно малая.
1 1 (-1)
10.	Решение. Данная последовательность имеет вид 1; 2; 4; -;л
Возьмем число А> 1. Тогда неравенство |хя| >А не имеет места для всех элемен-
л
тов хп с нечетными номерами. Это и означает, что последовательность {п 1 } не
является бесконечно большой.	п
11.	Решение. 1) Пусть |4>1. Возьмем любое Л>0. Из неравенства |а| >А
получаем n>logjd|X. Если взять X=[log|d|4, то для всех n>N будет выполняться
|дГ>Л, что и требовалось доказать. 2) Пусть |д| < 1 и д^О. Тогда
1 ................................
Так как - > 1, то последовательность
а
| является в силу случая 1) бесконечно
249
большой, а последовательность
бесконечно малой в силу
2
п
мы, т. е. последовательность {а”} — бесконечно малая при |а| < 1. Бели п«0,;
а*=0, |а"| <в для любого п и, следовательно, последовательность {о*} —
конечно малая.
1
IX Решение. Возьмем любое в>0. Оценим х,
1
3
Поэтому если
л2—л+2
3
5л 5л
3(Зл2—4) < Зл2
л2-л+2	1
3л2+2л-4~3
2
уже -<£, то и подавно будет выполняться неравен
п
—5я+10
3(Зла+2л-4)
1
л — <8. Следовательно, для нахождения значений п, удовлетворяю
Зла+2л-4 3
2	2
неравенству хп— <£, достаточно решить неравенство -<£, откуда л>-.
3	л	£
1
3
взять tf=| - I, то для всех n>N будет выполняться
1 г
т. ег
л2—л+2	1
Ит —-------
л-»оо Зл3+2л—4 3
13. Указание. Воспользоваться формулой бинома Ньютона:
11	1	1
— «=---=-------------<-.
о" /1	л(л+1)	л
2	(1 + 1)	1+л+—--+... + 1
2
14. 5) Указание: представить выражение общего элемента в виде хп=(3 —
- 1)/з" -1 - 1/з" или хя-1 - -1/3".
15. Неравенство
2л+3
------2 <£ выполняется при л>#=[7в— 1J. При £=0,1
неравенство выполняется начиная с ЛГ=10, при £=0,01 — начиная с #=100, при
£=0,001 — начиная с #= 1000.
16. Указание. Для доказательства воспользоваться определением предела
последовательности, но предварительно с помощью формулы суммы геомет-
рической прогрессии представить выражение общего элемента последователь-
ности в виде
111 1
хя=1+-+...Н—=2-— или хя-2=-~.
2	2.	2-	f
17. Указание. Для доказательства воспользоваться определением предела
последовательности, но предварительно с помощью формулы бинома Ньютона
оценить выражение общего элемента последовательности. Имеем
я п л(л—1)
2 =(1 + 1) = 1+л+~-~+... + 1>л+
2
л (я-1)
2
п2
> 2*
л л 2
откуда |х„|
2" п2/2 п
250
18.	Указание. Так как
л-1 =
2
л —1
Л —1
То W
2
1
л—1 лУп— 1
19.
и W=W; б) {*,}
и {Уя}
20.	1) {хя}=^п+4и{уя} = {-л};2) {х„}-{2л} и £р„}-(-л}; 3) {хя}-(л+1}
I п)
и {Уя}={-"}; 4) W = {”+(-!)"} И {у»}“{-«}• (Ответы обоснуйте.)
21.	2/э. 22. 0. 23. со. 24. 73. 25. 7S. 26. 0. 27. 10. 28. оо. 29. оо. 30. 5. 31. 0.
32. 0. 33. 1. 34. 1. 35. 1. 36. 5. 37. 0. 38. +оо. 39. 1. 40. -оо. 41. ‘/2. 42. 1.
43. 4/3. 44. 1/3. Указание: предварительно преобразовать числитель, используя
ж 12 02 э2 2 «(«+1)(2и+1)
формулу 124-224-324-...’х-"1
6
1	1 I
45.	1. Указание: заменить каждое слагаемое по формуле----------------.
л (л 4-1) л л 4-1
л-hl л4-1
46.	7б- 47* 2. 48. Решение. Найдем хя_ц: хя+1=---------=------. Срав-
2(л + 1)+1 2л4-3
л	я4-1
ним значения дробей хя=-----и хл+1 =-------; для этого приведем их к общему
2л4-1	2л4-3
2л24-Зл4-1	2л24-Зл
знаменателю. Получаем	хл+]«^-----------,	хл=-------------. Так как 2л2	4-
(2л 4-3) (2л 4-1)	(2л 4-3) (2л 4-1)
4-Зя 4*1 >2л24-3л, то первая дробь больше второй; значит, хя+1>хл для любого
л, что и требовалось доказать.
49.	Решение. Рассмотрим отношение последующего элемента хя+] к пре-
хя+1	н4-1 л	(л 4-1) 5Я	л 4-1 1	14-1/я	14-1	2
дыдущему хл:-------=----:—=----------=------=-----<-------=-<1; следовате-
х"	5"+1 5’	5" 5л ” 5	5	5	5
льно, хя>хя+1 для любого л, что и требовалось доказать.
50.	Решение. Действительно, хл+ j = (л-h I)2=л2 4-2л 4-1 >л2 =хЯ1 что выпол-
няется при любом л.
51.	Решение. Действительно,
л4-2 л4-1 л(л+2) л24-2л
Л4-Г л (л4-1)2 л24-2л4-1
т. е. хя+1 <х„ при любом л.
52.	Решение. Через [\/л] обозначена целая часть числа ^/л. Поэтому X]«
х2=1; *3=1,' Х|»2; Х5«2 и т. д. Следовательно, данная последовате-
льность является неубывающей, т. е. не является строго возрастающей.
109
53.	Наибольший элемент	, наименьшего нет. Решение. Найдем
9!
участки монотонности. Для этого сравним два последовательных элемента после-
251
ю"+ io" 10	10	10
довательности х„  ж,+1 :дг,+1———-. Итак, хж+1 —— J
(л+1)! л!(л + 1)	л+1	л + 1
10	10	10	J
Выясним, при каких л--~>1 и при каких л---<1. Имеем----->1 при л<
л+1	л+1	л+1
10
----<1 при л>9, т. е. последовательность возрастает при л <9 и убывает щ
л+1
л >10.
54.	Решение. В самом деле, хя+| «2	>2 -хт что очевидно при любом t
55.	3) 1/2<^<1;4) 1<хя<3/2; 5) 1<х„<4/3.
56.	Решение. Установим, что последовательность монотонна и ограничен^
1 *
Из равенства хя+1»-хя +-----следует, что хя+1 >хя, т. е. последовательност]
2 +1	’
монотонно возрастающая и ограничена снизу, например, элементом хр Пока|
1 1
жем, что последовательность ограничена я сверху. Так как-<~ при любой
л .
2+12
л, то
1 1
11	1	1111	1 2 2"+'	1
хя=— ч—-— +—-------1-... +--- < ~ ч—- + ~ +... ч— ----= 1---<1,
2+1 2* + 1 2э + 1	.	2 22 23	1 я
2+1	2	[___	2
2
т. е. последовательность ограничена сверху. Следовательно, последовательность
монотонна и ограничена. Согласно теореме, она имеет конечный предел.
57.	3) Указание:
11 11 11111 111
“г<---------------; хя< 1 +1 —+----------Ь... +--—~ —2—<2.
л2 л (л— 1) л—1 я	22334 л—1л л
58.	Решение. Последовательность монотонно убывающая, так как
n+1	2	2	2 '2 л! 2
---—-----:—=----------=«------< 1 при л > 1, т. е.
(л+1)' л! л!(п+1)2* Л+1
хя+1 <хя, и ограничена сверху, например, элементом xj. Так как хя>0, последова-
тельность ограничена снизу. Следовательно, данная последовательность моно-
тонна и ограничена. По теореме она сходится. Обозначим ее предел через
*л+!	2	2
а и найдем его. Для этого воспользуемся тем, что-=--или хя+1 =----хя.
хя л + 1	л + 1
Переходя к пределу при л-»оо
/ 2	\	2
lim хя+1 = lim [--‘ хя )= lim-- lim хя,
И-»0О	Л-*О>\Л+1	/ Я-*ООЛ+1
2й
получаем й«0д, откуда д=0. Следовательно, lim —«0.
я-*® л!
59.	Решение. Очевидно, что X] <Х2<х3<..,<хя<хя+1 <..., т. е. данная по-
252
следовательность монотонно возрастающая я ограничена снизу элементом X].
Методом индукции докажем, что хя<^3 + 1 при любом л, т. е. последователь-
ность ограничена сверху. Имеем Х1«^3<-ч/34-1. Предположим хя<^3+1
и докажем, что хя+1<
<у (1+VЗ)2**! + v3- Следовательно, хя<5/3 + 1 для любого л. Таким об-
разом, данная последовательность монотонна и ограничена. По теореме,
limxrt существует. Обозначим его через а. Возводя равенство хя+1 ««^/зч-хя
я-»оо
в квадрат и переходя к пределу при л-*оо lim xjj_ = lim 3+ lim хя, получаем
л-*оо л~»со л-»оо
,	1+V13
равенство а2=3+а, откуда д=-----.
2
л!
60.	lim хя=2. 61. lim хя«2. 62. lim —«0.
»-*оо	я-*оо	л-»ао я
Л
63. е. 64. Указание: положить — 5/я«а. <&•
-1/3
66. е4. 67. е"1. 68. е. 69. 3. 70. -2. 71. еб. 72. —^=.
eve
Глава 3
1. АВ-9, ВС« — 6, ЛС=3, 9—6-3. 2. Если а>0, то А правее; если а<0, то
В правее; если же а«0, то точки А я В совпадают. 3. Если а>0, то а+а>0+а,
2а>а и точка В правее точки А; если а<0, 2а<а и точка А правее точки В.
4. 1) ЛВ=8, |ЯВ| = 8; 2) Л5=-3, |ЛВ| = 3; 3) Л Я=4, |ЛВ|«4; 4) ЛВ=2, \АВ\=Ъ>
5) Л6=-2,|ЛВ|~2. 5. 1) -2; 2) 5; 3) 1;4) -8; 5) -2 и 2; 6) -1 и 5; 7) -6 и 4;
8) -7 и —3. 6. 1) Mj(—2) и М2(2). Указание: уравнение |х|=2 равносильно
двум уравнениям: х=2 и х-—2; 2) М3(—2) и М4(4); 3) точки расположены
справа от точки Ms (3/2), включая точку М$. Указание: так как |х| *х при х>0, то
2х—3>0, откуда х>3/2. В остальных случаях решения аналогичны. 7. Точки
расположены: 1) справа от точки (2); 2) слева от точки Mi (3), включая точку
Mi\ 3) слева от точки Мз(3/2), включая точку Му, 4) внутри промежутка, ограни-
ченного точками М4(1) и М5(3), включая точку Ms; 5) внутри промежутка,
ограниченного точками М^(—З^и М7(3). Указание: неравенство равносильно
неравенству х2<9. Так как •ч/х2 = |х|> то |х| <3 или -3<х<3; 6) внутри про-
межутка, ограниченного точками Mg (2) и М9О). Указание: представив корни
Сх—2<0,
трехчлена в виде (х—2)(х— 3)<0, получим две системы: либо <	либо
(х-3>0,
(х— 2>0,
<	Первая система не имеет решения, решение второй: 2<х<3. В оста-
(х—3<0
льных случаях решения аналогичны. 8. Точки расположены: 1) внутри про-
межутка, ограниченного точками М](—1) и М2(2); 2) вне промежутка, ограни-
ченного точками М3 (-2) и М4(2); 3) внутри промежутка, ограниченного точками
Мз(—2) и Mg (2), включая точки М5 и Мб; 4) внутри промежутка, ограниченного
точками М7(—1) и Mg (5); 5) вне промежутка, ограниченного точками М$(-1)
и Мю(3), включая точки М9 я Мю; 6) решение. Так как |х]>х при х<0, то
данное неравенство справедливо для тех х, при которых д?—5x4-6 <0. Как
следует из задачи 7, случай 6), решение этого неравенства: 2<х<3; 7) справа
отточки Мп(-'/2). 13. 1) (2; -3); 2) (-3; -2); 3) (-1; 1); 4) (а; -Ь). 14. 1) (1;
2); 2) (-3; -1); 3) (2; -2); 4) (-д; b). 15. 1) (-3; -3); 2) (-2; 4); 3) (2;
253
Рис. 61
-D; 4) (-а; -*). 16. 1) (3; 2); 2) (-2; 5); 3) (4; -3). 17. 1) (-5; -3); 2) (-3; 4)'
3) (2; —7). 18. (3; 1), (- 3; -1), (-3; 1), (-1; 3). 19. 1) В первой и третьей; 2)
второй и четвертой; 3) в первой и третьей; 4) во второй и четвертой; 5) в первой
второй а четвертой; 6) во второй, третьей я четвертой; 7) в первой, третьей
и четвертой; 8) в первой, второй и третьей. 21. в) |А|; |а|. 22. 1) 5; 2) 10; 3) 5;
4) V5; 5) 2^2; 6) 13. 23. I) 14 кв. ед.; 2) 12 кв. ед,- 3) 25 кв. ед. 24. (-s/2; 1).
25. 1) Длина стороны квадрата а«17 ед.; 2) SABCD= 17 кв. ед.; 3) середины сто-
рон квадрата — точки: М (3,5; 3) (середина стороны АВ); ЛГ(1; 4,5) (середина
стороны ВС); К(—0,5); (середина стороны СВ); L(2; 0,5) (середина стороны АВ).
26. С(32; 0) или С(-8; 0). 27. 13 кв. ед. 29. (0; -3); (-4; 5) и (8; 1). 30. хс-2;
ус= 1. Указание: центр тяжести треугольника находится в точке пересечения его
медиан.
31. (0; -8) или (0; 2). 32. q(~7; -3), Z>i(-6; -4) или С2(17; -3), Р2(18;
33. 5.34. 7,4.35. (2; -1) и (3; 1). 36. Л(3; -1) и Л(0; 8). 37. (4; -5). 38. (-9;
0). ». Л(-Э; 1). «. С<,1+Ч;л+И).«. См. „с. «. «.	Л
/ л\	/ л\	2я\
формулы x«pcos<p, у-ряпр. 45. М\ ( 5; - }, М2(3; я), МА 2; - 1. 46. (1;-1.
_________________\ 2/	\ 6/	3 /
47. ^/з4. 48.	2piP2COs(^2—Ф1). 49. 5 кв. ед. 50. 3(4^/3 — 1) кв. ед.
51. (2+5^/3; 8). 52. Точки Мь Мд и Ms лежат на линии; точки М2, М$ и М^ не
лежат на ней. 53. 1) Биссектрисы I и III координатных углов; 2) две прямые,
содержащие биссектрисы четырех координатных углов; 3) одна точка (0; 0)
уравнения определяет вырожденную линию; 4) так как при любых х и у числа х*
и у2 неотрицательны, то х*+>г + 1>0. Следовательно, нет ни одной точки,
254
координаты которой удовлетворяют данному уравнению. Оно определяет «пус-
тое» множество точек; 5) множество точек, полярные координаты которых удов-
летворяют уравнению называется спиралью Архимеда (рис. 62); 6) см.
рис. 63—65; 7) см. рис. 66-67. 54. Точки М\9 Mt и М* лежат на данной линии;
точки Мэ и Ms не лежат на ней. Уравнение определяет окружность с диаметром
ОМ2. 55. Решение. Расстояние от произвольной точки М(х; у) до точки С вычи-
сдается по формуле |МС|=^/(х—л)2+(у—fi)2. Если точка М лежит на окружно-
сти, то |МС] яЯ иди МС2=А2, т. е. координаты точки М удовлетворяют уравне-
нию (х— а)2 4-(у-fir «Л2. Если же точка М[х; у) не лежит на данной окружности,
то МС2#Я2, т. е. координаты точки М не удовлетворяют уравнению. Полагая
а=0, fi^Qj получим уравнение окружности радиуса R с центром в начале коор-
динат: x2+y2**R2. 56. Решение. Представим данное уравнение в виде
(х24-2х4* 1)4-у2«1 или (x+lp+y2* 1. Это уравнение окружности с центром
в точке С(— 1; 0) и радиусом 1. 57. Искомое множество точек является окружно-
стью (или ее частью). Решение. Выберем систему координат на плоскости так,
чтобы начало координат попало в точку А, а положительная полуось абсцисс
пошла от А к В. За единицу масштаба возьмем длину отрезка АВ, Тогда точка
а имеет координаты (0; 0), точка В — координаты (1; 0), точка М — координаты
(х; у). Условие |ЛЛ/| = 2|ЯА/] запишем в виде у/х2 +у2 ~ 7^/{х— I)2 4-у2. Получено
уравнение искомого множества точек. Возводя обе части в квадрат, раскрывая
скобки и приводя подобные члены, получаем уравнение Зх2 —8х4-44-Зу2=0 или
8	16	4	/	4V	. /Л2
хг---+—4-у =- или в виде I х—- ) 4-у = |~ ) , т. е. уравнение окружности
Зх	9	9	\	3/	\3/
в точке (4/3; 0) и радиусом 2/3. 58. а) Точка N не лежит на данной окружности.
Решение. Запишем уравнение данной окружности (х—1)24-(у4-2)2=25. Подста-
вим в него координаты точки. Имеем (4,1 — I)2 + (1,9 4-2)/«= 25. Раскрывая скобки,
получаем неверное равенство 24,82 «25. 59. а=1 или а«— 5. 60. х—у—2=0.
61. х24-у2=8. 62.— 4-/ = 1. 63. у=-х4*2. 64.у=±2. 65. у2-8(х-2).
5	4
66. 2х—у4-5=0.67. х2 4-у2 =4.68. у»х+3,у=-Х4-3.70. у»-1,5x71. 1) *=-,
2	3
Ь—2; 2)	6=0; 3) *=0, 6=-3;4) *«--,/>=3.73. Jt=l, 6=1, у=х+1.
х	у	х	у	х	у	х2у	х	у
74. 1)-+— = 1; 2)-----+-«1. 75. —- = 1 или —4-—-1. 76. -4— = 1
3	-2	-4/3	2	2	3	4 3	4	3
и—+— = 1.79. 1) у~ху/з-2;2') у= -xJi-2.80. (6;0). (0; -4). 81. (3; -5).
-2-6
82. А (2; -1), Л(-1; 3), С(2; 4). 83. у=5, х=4. 84. 1) х=4; 2) х=-5; 3) х=0.
85. 1) у=6; 2)у=—2; 3) у=0.	86. 1) arctg-; 2)45°;	3)45°; 4)90°.
4
255
1 1
х—Зу + 2=0; 5х—}М; Зх+у = 12. 89. у = 3х и j= — х. 90. х—5у+6^
5х+у+4=0.	91. у 4-4х—26=0. 92. 2х+Зу-13=О,	93. 2у+5х-17*1
94.	х+2у—2=0. 95. 7х4-7у-6=0. 96. AF 2х-5у+4=0; ЛР: х-2у+2~0; Ji.
4	3	4	3	12	5	’
97.	1)-х—-у—2=0; 2) — х+-у-10~0; 3)--------х+—у-1=0; 4) -х-2«(
5	5	5	5	13	13	’
98.	2,8; 0; 1,4; 2. 99. 13/2. Указание: на одной из прямых взять произвольную
точку и найти ее расстояние от другой прямой. 100. к» ±2. 101. Две прямы
параллельные данной: 4х-Зу±20=0. 102. 8х-15у+6=0; 8х—15у— 130=-СЙ
103. -у/10. 104. Зх—4у+10=0; х=2. 105. Прямые: х+у=0 и х-Зу=0; раостояЗ
нис	<£-0,4\/10. 106. 1) у-0; 2) j=x+10; 3) |х|-2. 107. 1) (у-Зх)^
_	,	(0<Х<1,4
х(у-х+3)=0; 2) (у-х)[(х+1)2+(у-2)2]=0; 3) у>х; 4) 0<у<1; 5) {	'
(0<у< 1.1
108. Указание: воспользоваться формулой (3) из п. 3. ПО. у»х—5. 111, у»
=2х+2. ИХ Уравнение высоты AD: у=2x4-6; длина высоты AD: 12/у/б;
=	1В- ед. ИЗ. 2х+7у-5=0. 114. х-7у + 6=0 и 1х+у4-4 = 0. 115. При
любых а. Множество точек М есть прямая 2xd=a, где 4/=|Л/?|. Указание: ввести
прямоугольную систему координат с центром в середине отрезка АВ и осью
1	5
абсцисс, направленной от точки А к точке В. 116. У=~2Х^2 И7.
-35/2=0 и х+у—3+35/2=0. 118. х+2у—4=0. 119. S^a1^ кв. ед.
120. 4 (5/1O+5/5); 20.121. 2х—у+6=0; х—4у—4=0; 2х—Зу+2=0.122. /=х+2;
х-5у=6; у=—х; 2у=х. 123. у—х=2; х4-2у=4; 2х4-у=8. 124. х4-Зу-2=0.
125. 11х+22у-74=0. 126. 1) д=5,2>=3; 2) ^(-4; 0), F2(4; 0); 3) £=4/5. Реше-
х2 у2
ние. Приведем уравнение эллипса к каноническому виду:	Полуоси
эллипса д=5, Ь = 3; 2) координаты фокусов (—с; 0), Fi{c; 0), т. е. F\ (—4; 0),
т. е. е=4/5.
J13
3) £ = -У—.
4
х2 у2
5) - —= 1.
49 36
88.
и
F2(4; °), так как c-Ja2-b2—^ 3) эксцентриситет z=cja,
127.
128.
129.
1) д=8, £=2^/3;
1) -+-=1;
25 9
2)—+-=1; 3) —
36 27	25
х2 у2
1)— +-»1; 2) —«1; 3)- +
16 12	25 9	4
Г
2<5; 0); £=—.
-V	3
13; о), f2 (-25/13; °);
х2 у2
4—
25 16
х2 Эу2
+—=1.
4	16
2 У2
131. — +-«1; е=-
16 4
1; 4)-+—= 1;
25 16
130. а=6; i=4^'1(2V/5; 0);
/3
2 9
х2 .у2	г	/ 15 ч/бЗ\ х2 у2
132. —+- = 1; п=5; г2=11. 133. W3. 134. М\------; ±-^—1135. - + - = !.
64 28	\ 4	4 /	36 4
Решение. Обозначим через х* и У переменные для искомой кривой. Тогда х=х'
и у=3/. Подставляя х и у в уравнение окружности х2+у2=36, получим ответ.
х1 у2	х2 у2
136. —+у = 1. 137. —+—=1. 138* 1) Пересекает. Решение. Решим систему
’2х-у-3=0,
1 j	fy=2x-3,
х у* или <	. Получаем х=0, у=—3 и х=192/73,
1х(73х-192)=0
256
у= 165/73, т. е. прямая пересекает эллипс в двух точках: М\ (0; —3) и М2 (192/73;
4	4
165/73). 139. 1) д=3, 6=4; 2) Fj (-5; 0), Г2(5; 0); 3) £-5/3; 4) у~-х и у~ — х.
3	3
Решение. Приведем уравнение гиперболы к каноническому виду — ——*1.
1) Полуоси гиперболы: а=3, 6=4. 2) Координаты фокусов: (—5; 0), F2(5; 0),
так как c»v/a2+i2=5. 3) Эксцентриситет: е=с/д, т. е. а=5/3. 4) Уравнения
b	b	4	4	г
асимптот у=-х и у=—х, т. е. у=-х и у=—х. 140. 1) а=2, 6=v3J
а	а _	3	3
х2 у2
,’4)у=±—. 141. 1)----—=1;2)-------=1;
2	2	16 9	22 л
X2	V2	X2	V2	X2	V2
3)— — = 1; 4)—- — = 1; 5)—	= 1. 142. и =9, г2 = 1. 143.—-
4	5	36	64	9	16	12
Г Г х2 у2	>J2	b
П = 6<3, г2~2у/3. 144. ——~ = 1. 145. у+2=±-у х. 146. d=b; <p=2arctg~.
£г=
16 9
2
20 4
х2 у2
—=1
12 4
х2 у2	х2 у2
147.	— = 1. 148.------= 1.149. Если с<0 — пустое множество, если с=0 —
4 12	16 48
пара данных прямых, если с>0 — две сопряженные гиперболы. Решение. Выбе-
рем систему координат так, чтобы ось Ох являлась биссектрисой одной из пар
вертикальных углов, образуемых данными прямыми, а начало координат совпало
с точкой их пересечения. Тогда уравнения прямых L] и £2 имеют соответственно
вид у **кх и у— —кх. Пусть М (х; у) — произвольная точка искомого множества,
И хо++С|
тогда, согласно формуле d—----. — - \d — расстояние от точки Mq[x^ уо) до
.	|кх—у|	|А:х+у|	(
прямой L), имеем «А =—т=, d2=—т=— - -, где d\ и d2 — расстояния от М(х; у)
+ l V^ + l
до прямых L\ и La соответственно, а условие задачи можно переписать в виде
|fcx-y| |fcx+y|
- ’— = =С (const) или |(Лх—у)(Лх+у)| = Сь где (^«(F + IJC. Если
С] <0, то искомое множество точек пусто. Если Cj =0, то множество точек — две
данные прямые y=±fcx. Если С]>0, то множество точек — две гиперболы
jPx2-/^ и y2-Fx2 = Cb 150. 1) F(3/2; 0); 2) х= -3/2. Решение. 1) Коор-
динаты фокуса Г(3/2; 0), так как ;=3, а координаты фокуса (р/2; 0). 2) Уравнение
директрисы х— — р/2> т. е. х=—3/2. 151. 1) у2=9х; 2) х2 = -у. 152. (х— р/2)2 +
х2	—
+у*=р2;	±р\ 153. /=х; х= —1/4. 154. у=-----; у=\/2. 155. (3; ±3^2).
2
156. 40 см. 157. /=рх. 158. у^З-х2/*. 159. у2=8(х+2). 160. Парабола. Реше-
ние. Так как для любой точки искомого множества расстояния от нее до точки
Л и до прямой L равны (радиусу окружности), то, по определению, множество
всех таких точек является параболой с фокусом в точке А и директрисой L.
Глава 4
1. (-3; 3). 2. [-2, 2]. 3. (-оо, -4), (4, + оо).4. (1,3). 5. (-2, -1).6. [-4,2].
7. (-5, 5]. 8. [-З-5/3, -З+ч/з]. 9. (-со, -7/5), (-1, + »). 10. Множество
пусто. 11. [—1, 4]. 12. (0, 1). 13. Множество пусто. 14. (—оо, 1), (10, +оо).
15. (-оо, +оо). 16. (-оо, +оо). 17. (-оо, 6/5), (6/5, +оо). 18. х«2. 19. [1/3, 5).
20. (0, 2/3]. 21. (-оо, 2], [3, +оо). 22. (-оо, 0), (3, +оо). 23. [-2, 2]. 24. (-оо,
257
+<*ж <-«>. *«»м	±1. ±2....».	±., ±;
... .28. Г—1, 1]. 29. [— 3, —1]. 30. (—оо, + оо). 31. (4, + оо). Решение. Функци
logjlogjlo&ix определена при logjlog4X>0, оттуда log«x> 1 и х>4. ЗХ (- оо, О
33. (-оо,0),(0,+оо).34. I-,+оо).35. (0,4).36« (-оо,0), {0,-1.37. (-оо,0),(Й
\2	/	\ 3/	<
+оо). 38. (-со, 3), (3, +оо). 39. (-об, -4], [-2, +оо). 40. (-оо, 1), (1, 4), (4
+ оо). 41. -2, 0,0. 42. я, я/2,0. 43. Четная. 44. Ни четная, ни нечетная. 45. Чет<
ная. 46. Нечетная. 47. Нечетная. 48. Четная. 49. Ни четная, ни нечетная. 50. Не*
четная. 51. Нечетная. 52. Нечетная. 53. Четная. 54. Ни четная, ни нечетна^
55. Ни четная, ни нечетная. 56. Четная. 57. Ни четная, ни нечетная. 58. Четная^
59. Нечетная. 60. Нечетная. Решение._______/(—Jc)®lg(— х+%/1+(-х)2)"|
.	>---т. (-х+-ч/Г+х*)(х+х/Г+?)	- х2 + 1+х1	,	1
- 1g (- х + V1+Х1) - 1g---------7=-^-------=1g--------=== = - 1g (х + j
________	x+yl+x2	x+yl+x2	4
+VJ+**)—fk). «. я/2. 63. 2я. 64. 2л. 65. я/3. 66. 2л. 67. я. Решение.^
/ ~ -	/1— cos2x	1
|smx|«vsm2х« /----------, но функция cos2x имеет период Т=я, поэтому
V 2
и заданная функция имеет тот же период. 68. 2п/3. 69. я/2. Решение.
sin4 х+cos4 х - ( sin2 х+cos2 х) 2—2sin2 х cos*x »1 — i/2 sin2 2x «1 — % (1 - cos 4x) »
—3/4+1/<sin(4x+H/2); отсюда Т»2я/4®я/2. 70. Зя. 71. In. 72. Предположим,
что функция имеет период 7\ тогда должно выполняться тождество;
cos (х+ T)2scosх2. В силу условий равенства косинусов при некотором целом
к имеем x2+2Tx+7^±x2s2?dt. Но это тождество невозможно, так как к может
принимать только целочисленные значения, а слева стоят функции, аргументы
которых могут принимать любые значения. 223. 5®0,005. 224. 2/3. 228. —8.
22». 30. 230. 0. 231. 4. 232. 2. 233. -у/5. 234. 10. 235. 3. Указание: восполь-
sinx
зоваться первым замечательным пределом lim-«1. 236. 4/5. 237. 4. 238. 1.
*-♦0 X
239. — 1.240. 1/2. Замечание: при вычислении пределов отношения двух много-
со
членов при х-^оо, х-» + оо и х-* — со для раскрытия неопределенности вида —
00
числитель и знаменатель дроби надо делить на ,х в старшей степени. При этом
если многочлены одной степени, то предел равен отношению коэффициентов при
старших степенях, если разной степени, то предел равен 0 или со. 241. 0. 242. оо.
243. —5/2.244. 0.245. со. 245. -12.247. -1/у/Х248. -^/2.249. 1.250. 1. Ре-
шение. При вычислении пределов функций при х-* +оо, х-> — оо и х-*оо, содер-
жащих корни, надо рассматривать арифметическое значение корня ^/х2®^] при
х>0 и х<0. При х>0 у/х*=х, поэтому
,.	w^i+v? к х^/1+i/x» 1
lim -------» lim ~ — —® мт -----------------=-*«=!,
*-♦+« х+1	л-»+<ю х(1 + 1/х) х-*+оо х(1 + 1/х)	1
251. — 1. Решение. При х<0 л/х2® следовательно,
х/х* + 1	H-^l+1/х2 — ХчУ1 + 1/х2
lim -----= lim —-------г-®—z------г—®
Х-5-С0 х+1 Х^-оо х(1+1/х)	х(1 + 1/х)
1
-’ = -1.
1
252. Не существует, так как пределы при х-> + оо и при х-> — оо разные (см. 250
и 251). 253. 3. 254. -. 255. >/5. 256. 3. 257. 1/9. 258. 1. 259. -1/2. 260. 15/2.
258
261.	—1/12. Решение. Воспользуемся известной формулой алгебры а —Ь «
(л\1	к—2,	."“2	_
а— Ьдл	+ a Ь+„+аЬ +о J, с помощью которой была также решена
задача 260. Имеем
\УГ+^-</1+х5	ч/а+х^-ч/а+х2)3
Нт —------------------Hm —----------------------
х-*о х3+2х2 х-о	2х2Ч-х3
lim (У*1 +*У-*7(> +хг)3)(*7(1 +х*)>0+У(1 -К3)11 +
*-о (2x2+x3)(6V(1 +х3)1,+*>/0 +ха)“+VO 4-*3)13 +
+«7(14-х2)13 + У(1 +х3)13+<70 +хд)14+6у/(1 +х2)13)^
+«7(14-х3)п+‘7(14-х3)14+«7(14-х3)”)
(1+х2)2-(1+х2)э 1	1+2х2+х*—I—Зх2—Зх4—х«
= 1ЦД--------------«-lim---------------------------=
Х’+о 6х2(2+х)	6х-*о	х*(2+х)
1	— 1—2х2—х4	1
«- lim----------------.
6х-40	2+х	12
262.	1/2. 263. 14. 264. 2. Решение. Имеем неопределенность вида оо-оо. Ум-
ножим и разделим на сумму у х2+4х+х, получим
(х/х24-4х - х) (у/х2+4х + х)	4х
lim ------------------------= lim ,  ——. Теперь имеем неоп-
*“*+<*	-ух2+4х + х	х-+оо х2+4х+х
оо
ределенносгь вида —. Делим на х и, переходя к пределу, получим предел, равный
оо
2. 265. + оо, так как сумма двух положительных бесконечно больших функций
есть	бесконечно большая функция. 266.	0.267.	+	оо.	268.	3.269.	— 3/2.270.	—1/2.
11	2	1
271.	-оо.	272.	-. 273. -.	274.	+оо.	275.	0.	276.	-.	277.	-	278.	2/л.	Указание:
2	2	9	4
1
положить 1-х~у. 279. 1. 280. -1. 281. - 282. 2/3. 283. 1/2. 284. 1/3. 285. 1/2.
2
286. 0. 287. 1/2. 288. -10/9. 289. 2. 290. 1/2. 291. -2. 292. -1/4. 293. -2sina.
294. cos*. 295. 1. 296. 9. 297. 1. 298. 25. 299. 5. 300. 1. 301. 2. 302. J1. Указа-
5	1
ние: положить л/6—х«=у, отсюда х«я/6—у, при х-*я/6 у-»0. 303.	304. —
sinx
305. 0. 306. Решение. 1) Так как lim-= 1, то sinx~x при х-*0. 2) Имеем:
х-*0 X
tgx sinx 1 sinx 1
lim — = lim---•----= lim----, lim--=1'1=1; следовательно, tgx~x при
x-*0 X x-*o X COSX x-*0 x X->OCOSX
x	1—cosx	sin2 (x/2)
x->0.	3) Так как 1— cosx=2sirr , то lim— -----------=Iim— ------«
2	x-o x2/2 x-o x2/4
sin(x/2)	sin (x/2)
= lim-----— ‘ Hm------= Г1 = 1, отсюда 1 — cos x~ x*/2 при x->0. 14) Имеем
x-*o x/2 x-+o x/2
ln(l "bx)	\fx	Ifx
lim------* lim ln(l 4-x) «In lim (1+x) =lne-l, t. e. ln(I+x)~x при x-*0.
JC-+O X x-*o	x-*0
x
e -1	x
5) Вычислим lim----. Положим y»e —1, x«ln(l+y). Тогда при x-*0 y->0
x-M) x
259
с — 1	у	1	1	х
и lim-------lim------«------------•»-»!, отсюда е -1 ~х при х-*0. 6) Име?
*-♦0 х ?-*01П (1 +у)	1п(1+у) 1
lim--------
,-0 у
ем: а — 1««е	— 1~х1пд (см. случай 5)), т. е. а — l^xlne при х-+0. 7) Имеем
a aintl-^x)	rfn (1 -f- г)
(1+х) -1«е	-1. На основании случая 5) при х-»0 е — 1~а1п(1+х),
так как при х->0 a In (1 +x)->0t а я In (1 +х)~ лх при х-+0 на основании случая 4).
Отсюда (1+х)“-1~ах при х-0. 307. 1 308. 2. 309. 2. 310. 6. 311. 10. 312. 1.
313. 3. 314. 3. 315. 2. 316. 2. 317. 3. 318. 2. 319. 2. 320. 1. 321. 2. 322. 4. 323. 4.
1	5
324. 6. 325. 3.326. 4.327. 101. 328. 1 329. -. 330. -1/2. 331. 2/9. 332.	333. 8/7.
21п2	8	1	11
334. -6. 335. 5/12. 336.---. 337. —. 338. -. 339.---. 340. -. 341. -1.
5	15 б 54 е
в1 1	in (2/5)	3
342. -. 341-----. 344. 1. 345. 641п4. 346. —347. 1. 348. -2. 349. -.
Д2	21п2	1п(3/7)	5
1п2	1п4	1 I
350. —. 351. 41пЗ. 351 —. 353. 5’1п5. 354. -. 355.--. 356. 5/3. 357. е2.
1пЗ	ЬЗ	5	31п2
Указание: воспользоваться тождеством f\x) =е 358. е. 359. е 2.
360. е*. 361. е-‘. 361 е*\ 363. е4. 364. е'2. 365. е-2. 366. -49/1 367. 3.
368. —8/9. 369. 1. 370. 8/7. 371. 12. 371 -1. Решение. Положим х-я/2-у.
Тогда х=у+л/2, при х->л/2 у->0, имеем
sin х— 1	sin (у+я/2)— 1
lim —	—	—=lim-----у- -	—	--.	.——
*->’/г5Л1-»«+я74 + 1-1	,	я2
V (у+я/2)2—я(у+я/2)+—+ 1 —1
т	4
cosy—1	— у2/2
= lim —т=—=lim —-— *= — 1.
^“*0у1+/-1	//2
373. —5. 374. - 121n3. 375. --.375. —-. Указание: положить х—1-у.
8	41п2
Глава 5
112	1	яп(х0/2)
1. Юх0. 2. Зх2. 3. —4. —. 5. —. 6. ---7. 2cos2xo. 8. -------.
2у/xq	*о 2xqvхо	2
2	3	1
9.--------10. —т=. 11. 2(2х3 + Зх—1). 11 49х6+6х-4. 13. -----
(2хо+1)2	гх/ГТзГо	з^х2
1	6	3	10 9 л	5	3	2
—-4—14.--------—;4—15. 20x4-3cosx--------—. 16. —7=—4sinx——
х2 х3 44х/х х3 х4	sin2x 2у/х	cos2 x
3	2	1	3	5
17. 8x4---+cosx-sinx+-.	18.---p=-24x5+“4-7 sinx—4ctg2x.
SVx2 *’	x	8’v/x2	*
to24	x 1	1	x 1	,	x ,
19.-------. 20. 4e +----+ -7^ — 21. e —sec2x+xs. 21 5 ta5+6 ta6-
xln21n3	1+x2 Ji-x* 2
260
-i	14	2/ 1	1 \	2
—7 In 7. 23.—=---24. - {—=--------- ). 25. 4 co sec 2л. 26.-
V** y/l-x* A\/x ‘y/xJ	1+J
_ hx+7
27. cosx—xsinx. 28. x(sin2x+x)scc2x. 29.-------30. arccosx—
arcctgx
31.----7=—--^—.32.
2+sinx
35.------------.36.
(l+2sinx)2
2 In x+l
'Ъз
1
4x	sinx—x2+xcos x (sinx—lux)
•	—;• 34. —
(x2-l)2
4x+sm2x
.37. -----=---.
1 4xyJxsm2x
xsin2x
(14-x2) (sinx cosx+x)— x2 sin2x
38.	л_ л л l . 39.
(l+x2)2cos2x
In 10
-1/9» -1/25. 43.	. 44. 0, 2e2, -e’4. 45. 1, 2, 0, -1. 46.
48. sin(a— bx). 49.---------л= -.
+5)cos(x2 + 5x+2).
51.
2sin<
52. sin2x.
55.
1
56.
61. et8Xsec3x
62.
67.
1
1
33
. 40. 1, 0, 4. 41. —. 41 -1,
4
1-X2
53. 3 sin2 x cosx.
54.
3cos3x. 47. (2x+
—5sinx
50. —====.
—100 sinx cos9 9 x.
—-— -----. 57. etgx 58. -tgx.
cos2(x*+3)
2x—3
1
68.-—. 69.
x2-9
2(x+l)
63. -. 64. -
x(x+2)
4xa2	2
---7- 70- -----Г-
a4-x4	x(l- x2)
1
74. e cosx.
х	х	5
-ctg -cosec3-. 79. -tg Irsee
3	3	8
83. 3 23xln2+5**-2xe
1
59.
10	х
.------. 60. -tg-
sin 1 Ох	2
1	х
----66. —==.
2
71. -----
1—4X2
76. 3tg*x 77. 3x2sin2x3.
4cos2x — 2cos2x
10 2x 80. -sin4x81. --------.81
(l-sin2x)2
84. а
In a'cosx
90.
93.
sin3x
xe~*(2—x). 87. e*(l—2x’
1/lnx
—4x).
88.
x/3
e
3
cos—sin- J. 89. e
k 3
3.
85. -------
2л/х
i/oo*x sinx
cos2x
xln2x
1 x/a
2" -
91.
IQ3 1111 2x]nlO(—3sin2xsin4x).
94.
4
91
2 Qn2)cos2 .
etgx In cos x+tgx In sin x
(In cosx)2
7tg7x
98.-----—
1п5
(e -e *)
2
96. -------
4х ,
е +1
100. --
77vV
261
101.
105.
109.
113.
1 1 	 mi 			ini 		cosx	104.	-^=4
2yjx(x- 1)	x^/l+x2		AUJs	\ +sin2x		
1 — 1 	1Q6. 	— —	107. - 2	cos	X	108. -		:<
-Ух-X2	-y/x-^x2		Vsinx-	-sin2x		/. 8* / 1-e .
1 1 - 			110.	- 		111.	4e	112.	-1 	 A.		1 ‘
2^/x-x2	2х^/бх-1		e* 1 — e		x2 + l X1	
2arcctg-
-2	5	-3	x
—==------------. 114. --------------------. 115.  ---, 116. -----—.
^/b^arccosx (5x+3)[l+ln2(5x+3)]	x*+9	1+x2
117.
xe
-sinx cos (cosx)
cos1 (sin cosx)
x^ctgJx
xe
119.----------(sin6x-3x).
sin2 3x
120.
Ina
sin x (6—sin2 x)
• / ~x/2
If	2\	e
121. —ctg tge J-----------
2	\	J	2 r
4 zcos2(e .]
122.
125.
128.
132.
3cos x
x+3
arccosx	1	1	9(x2+l)
ТГ-х^ТГ-агссоЛ'	13°‘I+x+x2'
4x— 5	vl+lnx	1	x	x	i/x-2
——. 133.  ------. 134. -+ctgx---135. x (1+lnx). 136. x' (1-
x2+5	x	x	1—x2
tin X	yin лс — 1
—Inx).	137. x cosxlnx+x sinx.
1
138. (tgx)en*[cosx lntgxH-----\
\	cosx/
139. у=x+-. Решение. Уравнение касательной, проходящей через точку графика
2
(xqJ Jo). имеет виду-у0=/,(х0)(х-х0). Таккак/(х)«=х2,то/'(х)в2хи/'(1/2) = 1.
Получаем уравнение искомой касательной у—1*1 (х—1/2) или у«х+1/2.
140. 1) у=4х, у=-4х+16; 2) у-х-1; 3) у=2х+1. 141. х=±^/2/3. Реше-
ние. Так как касательная параллельна прямой у*х, ее угловой коэффициент
равен 1, т. e./Yх) = 1. Поскольку/(х)=х3—x,f(x) *= Зх2— 1, получаем уравнение
Зх2 —1=1. Отсюда x=+v/2/3. MX 45°; 0°; -45°. 143. -45°. 144. х-0 и х=4.
ctg Vх
145. у»—2х-1 и у=*6х-9.	146. 3sin2xsin4xdx. 147.-------j^&x.
iJx
262
148.
-1/олх
-tgxe
-----------dx.
-x1	dx
149. -2x2 Indx. 150. (lnx+l)dx. 151. —..
2<x(l-x)
2xdx	1	r г- . Г
153.----154. -—2=(2xv xs*n V x+x2 cosv x)dx.
2+x	2y/x
dx	1
156. -----.	157.----- [(1 +x2) arctg x+x] dx.
1 — sinx	1+x2
cosx
^3x2+^>/x)dx.
(x—3)dx
2(х-1)^/СЛ
152.
155.
	Г	X | x 2(arcsinx)	t- -	r
158.		.	159. —17=farctgx/x+— ^dx.	160. 0,04 (arcsin x)2	2v x \	1+x/
161.	-x2 Л	2sinx	2 cosx 10,05; 1,02; 6,41; 2,08; 2,01. 162. 2e (2x2-l). 163, ——. 164. —— cos3 x	sin3 x x	1	2x
165.	—	. 166, 2cos2x. 167. —2cos2x. 168.	. 169.	— (4^)’° -4	2—x1	-4
170.		171. 2cosx-xsinx. 172.	7—	173. 	 (2x—З)2	(l-xWl-x2
174.	4(3x-4)	-x	x	x e 0~x). 176. — 2e (cos x+sinx). 177. — 2e (cos x+sinx) X . .	, .	1	(—l)"-1 (л—1)!
178.	2 (хэ1пэ2+9х2)п22 + 18х]п2+6).	179. —-.	180.			 X2	"
181.	X 3"sm^3x+»0. 182. ex/2^	183. 23*(31112)"	184. 2""* cos^2x+«0
185.	(— 1)" 1(л-1)!	хи	я	/ я\ ,	/ я\ 	. 186. 3 (1пЗ)	187. 4 л! 188. xcosl х+л- )+nsin| х+л~ ) (1+х)"	У 2	'	2 х ,	ж	х2 —9л(л—1)	/х л\
189.	е [х3 + Злх2 + Зл (л—1)х+л(л-1)(л—2)].	190.	sin +л )- зл	2'
2лх /х я\ (-1)	(л-3)!	x	x
-----cos(-+n-I. 191. 	. 191 —2e sinx. 193. xa (х21пл+
л-l \3	2/	Я-2
3	'	x
,	-x	2
+6xlna+6).	194. 2sinx+4xcosx-xsinx. 195. 2e (sinx+cosx). 196.
x
191. еХ[Зх2+6лх+Зв(л-1)-4].	198. (80л3-14)(dx)1.	199. -4cos-2x(dx)2.
-x2	,	.	41nx—4-ln3x
200.4	21n4(2x2to4-l)(dx)2. 201. ---(dx)2. 202. -4sin2x(dx)3.
x2^/(ln2x-4)3
-15	6
203.----------(dx)4, (x>l). 204. —-(dx)5, (x>0). 205. (lOcosx—xsinx)(dx)10.
16(х-1)7/2	** Р-1 1+/2	3,3	t 206.	;	.207. -е;—.208. ctg-; 21	41s	2.i	2 4е	1	Зг2 + 1 3?-1 		.209. 	;	—.210. -tgt; t	2t 4/3 4а sin4 - 2
263
1	cosr+ап/ 2
------------. 211. ------;--------------. 212. Решение. Не удовлетворяет,
Засов^+ап/ coe/-rinr--------------------'
так как принимает наименьшее значение при х«1 и наибольшее значение при
х=2, т. е. на концах отрезка, а не на интервале (1, 2). Поэтому как в той, так
и другой точке производная в нуль не обращается, а равна /z(l)«6, /'(2)-12.
213. Решение: 1) удовлетворяет условиям 1° и 2°, но не удовлетворяет условию
3°; 2) удовлетворяет условиям 2° и 3°, но не удовлетворяет условию 1°; 3) удов-
летворяет условиям 1° и 3°, но не удовлетворяет условию 2 . Поэтому для этих
функций теорема Ролля неприменима, для них не существует точки, в которой их
производная обращалась бы в нуль. 214. Решение. Не удовлетворяет, так как не
удовлетворяет условию 2°. Действительно, функция непрерывна на всей числовой
прямой; следовательно, и на отрезке [-1, 1]; /(-!)-/(1)=0, но производная
2
/'(х)=------т= в точке х=0 не существует, т. е. условие существования конечной
З3у/х
производной на интервале (—1, 1) не выполняется. Поэтому теорема Ролля
к данной функции на [— 1,1] неприменима. И действительно, f'(x) ^0 на [—1, 1].
215. Решение. Удовлетворяет, так как она непрерывна и дифференцируема на
отрезке [0, я] и обращается в нуль на его концах: ДО)(я)=0. Следовательно, на
интервале (0, я) существует точка х*=с, в которой/z(eJ=O. Этой точкой является
х=я/2, в которой производная функции /z(x)—cosx обращается в нуль. 216. Ре-
шение. Предположим, что существуют два корня: Х| <х2. Тогда на отрезке [хн
xj функция /(х) —х3+Зх—5 удовлетворяет воем условиям теоремы Ролля: она
непрерывна, в каждой точке имеет конечную производную и обращается на
концах в нуль. Следовательно, в некоторой точке с xj <с<х2, /z(c)—0. Однако
//(х)»3х2 + 3—3(х2 + 1)>0. Полученное противоречие доказывает, что заданное
уравнение имеет только один вещественный корень. Существование хотя бы
одного вещественного корня следует из того, что/(х)«х3+Зх—5 — многочлен
нечетной степени. 217. Решение. Функция Дх) = 2х—х2 удовлетворяет условиям
теоремы Лагранжа, так как она непрерывна на отрезке [1, 3] и имеет конечную
производную Г(х)— 2— 2х в каждой внутренней точке отрезка, т. е. дифферен-
цируема на (1, 3). По теореме Лагранжа, между точками Xi и х2=3 существует
точка х=е, удовлетворяющая равенству /(xj—Дх])=/дс)(х2—xi). Подставляя
/(3)-/(1) (2 ’3-З2)—(21 — I2)
значения х\ «= 1 я х2=3, получаем/'(с)«2—2с=——-
3-1
-4
=—, откуда находим с=2. 218. 1) с -7/2; 2) с«2ДпЗ; 3) неприменима, так как
2
функция не имеет производной в точке х=0. 219. А/(1; 1). Решение. Функция
у—х2 на отрезке [—1, 3] непрерывна и имеет конечную производную, поэтому
к ней применима теорема Лагранжа. Согласно теореме, на дуге АВ найдется хотя
бы одна точка Му в которой касательная параллельна хорде АВ. Напишем
/(3)-/(-1)
формулу Лагранжа для заданной функции на отрезке [-1, 3]: --------—
3 (— 1)
9-1
=----=/z(c)=2c, отсюда с«=1. Подставляя с— 1 в уравнение кривой, найдем
3 + 1
соответствующую ординату: у=I2«1. Таким образом, искомой точкой является
/1 15\
точка Af(l; 1). 220. А/|	—I. 221. Функция у=|х—1| не имеет производной
\2 4/
в точке х—1, т. е. не является дифференцируемой на интервале (0, 3). Поэтому
теорема Лагранжа неприменима. 222. Решение. Функции /(х)-х2—2х+3
и £(х)~х3—7х2 + 20х—5 удовлетворяют условиям теоремы Коши, так как они
непрерывны на отрезке [1, 4], их производные f'(x)=2x—2 и ^(х/^Зх2 —14х+20
существуют во всех точках интервала (1, 4), т. е. дифференцируемы на этом
интервале, и, кроме того, g'(x)#0 на [1, 4]. По теореме Коши, между двумя
точками Xi = 1 и х2=4 существует точка х=с, удовлетворяющая равенству
264
Axi)	n_2
-------------Подставляя значения xi = l и x2=4, получаем 	
g^-gfr) gtc)	27-9
2c-2
=—----------. Решая уравнение, налодим C|»2 и сг—4. Так как точка х=с
з^-ис+го
должна удовлетворять неравенствам 1 <с<4, то искомой точкой является с( «2.
2(а2+д6+62)	. ,-------
223. 1) с»-	—«• 2) с-я/4; 3) с-’<(15ЯА 224. Нет, так как f (-3) =
=g(3). 225. 1/2.226. 1.227. 3/5.228. 2.229. 1/3.230. 1.231. -1.231 0.233. 2/3.
234. 0. 235. 0. 236. +оо. 237. 0. 238. 1. 239. +оо. 240. I. 241. 0. 242. 1. 243. 0.
244. 2/я. 245. -1/2. 246. —1/2. 247. 0. 248. 1. 249. 1. 250. 1. 251. 1. 252. е’1.
253. 1/6. 254. 2/3. 255. 1. 256. 0. 257. 0. 258. -2. 259. 1/3. 260. 1/^/3. 261. -1/5.
1П3 2	-2/я
262. -1/6.263. -1/2.264. 1.265. ----.266. е .267. Решение. Для реше-
т(т— 1)
ния задачи необходимо найти значение многочлена и его производных в точке
*-1. Имеем: Р(1)=0, Р'(1)=0, />'(1)»0, />"(1)=18, ?4)(1)=72, Р(5)(1)=120,
Р (х) =0 (л >6). Подставив найденные значения в формулу Тейлора, получим
?(х) = -(х-1)3 + -(х-1)4 + -(х-1)3 = 3(х-1)3 + 3(х^1)4 + (х-1)3
268. Р(х)^-9 + 22(х+1)+4(х4-1)3-6(х4-1)3 + 2(х+1)4. 269. Решение. Так как
}П\х) = -— -------(0)=( — 1)” 1 (л—1)!, /(0)=In 1 = 0, то формула Макло-
О+Л)	. з
д X*	Я-1Х	. ж
рена имеет вид 1п(14-х)=х——4-ь...+(— 1)	—ho(x ). 270, Решение. Так
2	3	п
как /'(х) = 1 /cos3 х=cos " 3 х; /*(х)=2 cos “ 3 х sin х; /*'(х)« 6 cos " 4 х sin3 х 4- 2 cos ~ 3 х;
/(0)=0, /(0)«1;/*(0)^0;/*(0)==2, то по формуле Маклореиа имеем tgx*=x4-
х3	х3	“у у i	2	5
4— 4-о(х3). 271. 1) е *=1-х4—Ч-оСх3); 2) е * =14-2x4-х3—х3—х4-
3	2!	3	6
1	X3 X4	X3
---х5 + о(х5); 3) ln(cosx)=	4-о(х4); 4) sinsinx==x	4-о(х3). 272. 2.
15	212	3
273.	0. 274. 1. 275. 0. 276. — 1/12. 277. 1/3. 278. -1/4. 279. 19/90. 280. 1) Воз-
растает на (—оо; + оо); 2) возрастает на (—оо; 0) и убывает на (0; + оо); 3) воз-
растает на | -; 4- оо ) и убывает на [ 0; - 4) возрастает на (—оо, —1) и (1, 4-оо)
\2	/	\ 2/
и убывает на (— 1, 1); 5) возрастает на (— оо, — 1) и на (1, 4- оо) и убывает на (— 1,
1). 282. 1) При х=*1/2— минимум, /^-^= — 1/11; 2) при х-1/е — минимум,
1/е; 3) при х= — 1 —минимум, /(—1)== 17/12; при х=0 — максимум,
37
/(0)=2; при х=3 — минимум,/(3)= ——; 4) при х=-1 —минимум, /(—!)=
= —1/2, при х=1 — максимум, /(1) = 1/2; 5) при х-0 — минимум, /(0)=0, при
„	а
х=2 — максимум, /(2)=4е“3. 283. 30 x 60 м. 284. 5 и 5. 285. —. 286. -. 287.
265
/3 \
292.	I О 1.293. 1) При х= 2 — точка перегиба, на (— оо, 2) — выпуклость вверх,
\2 /	i
на (2, + оо)— вниз; 2) при х=-2 и х=1 —точки перегиба, на (-со, -2)
выпуклость вниз, на (—2, 1) — вверх, на (1, + оо) — вниз; 3) на (— оо, + оо)
выпуклость вниз, точек перегиба нет; 4) при х= ~ 1 и х= 1 — точки перегиба, на
(— оо, -1) — выпуклость вверх, на (- 1, 1) — вниз, на (1, +<эо) — вверх; 5) при
х= ip. — точка перегиба, на (0, 1/2) — выпуклость вверх, на (1/2, + оо) — вниз;
6) на (—оо, + оо)— выпуклость вниз, точек перегиба нет. 294. а3.
295. а* ±2. 296. 1) х«1—вертикальная асимптота, у=5 — горизонтальная
асимптота; 2) х—1/2 — вертикальная асимптота, у=х + 1/2 — наклонная асимп-
тота; 3) х*±1 —вертикальные асимптоты, у«2х + 1 — наклонная асимптота;
4) х=0 — вертикальная асимптота, у «х+1 — наклонная асимптота; 5) две раз-
личные наклонные асимптоты: у^х—п при х-* + оо и у=х+я при х->-оо.
297. При х* — 1 — максимум, у“2; при х-1 — минимум, у= -2; при х«0 —
точка перегиба. 298. При х=2— максимум, у-16; при х= —2 — минимум,
у = —16; при х»0 — точка перегиба. 299. При х= -2 — максимум, у-4/3; при
х=0 — минимум, у =0; при х— — 1 — точка перегиба. 300. При х= ±2 — мини-
мум, у» —4; при х=0 — максимум, у«0; при х= ±2^/3 -точки перегиба.
301. Область определения функции (—оо, 0). При х=-1 —максимум, у— 1; на
(— оо, 0) — выпуклость вверх. 302. Область определения функции (—со, 1). При
х=2/3 — максимум, у——на (- оо, 1) — выпуклость вверх. 303. При х —2 —
3^3
максимум, у “З/5/2; при х=*4х/3 — точка перегиба; у-0 — горизонтальная аси-
мптота при х-> + оо. 304. Область определения И > 1; у=2х и у = —2х — наклон-
ные асимптоты при х-^ + оо и при х-> —со. 305. Область определения |х|>1;
у «О — горизонтальная асимптота. 306. При х=0 — минимум, у — — 1. 307. При
х=0— максимум, у=0; при х = 1 —минимум, у=~1. 308. При х=1 —мини-
мум, у=е1. 309. При х-2—минимум, у=—2\/2; при х=—2— максимум,
у=23-^2; при х=0 —точка перегиба; у=0— горизонтальная асимптота.
310. При х« +2 — минимум, у=23>/2; при х—0 — максимум, у=2*^/1.
3	[а
311.	При х=3/5 — максимум, у=*-3	; ПРИ —минимум, у=0; при х=
*=6/5 — точка перегиба. 312. Экстремальных точек нет. х= ±1 — вертикальные
асимптоты, у*» О— горизонтальная асимптота. 313. Экстремальных точек нет;
х=* ±2 — вертикальные асимптоты, у »0 — горизонтальная асимптота. 314. При
2	3 /7	I
х=- —• максимум, У	при Х==0 — минимум, у=0; при х= —- — точка
перегиба. 315. При х = 1 —максимум, у = -; при х= —1 —минимум, у = — 1/2;
2
при х=0, х=+у/з—точки перегиба; у=0 — горизонтальная асимптота.
316. При х=0 — минимум, у = — 1; х=1 — вертикальная асимптота, у—0 — го-
ризонтальная асимптота. 317, При х-1 — максимум, у= 1; при х = 1/2 — точка
перегиба; х»=2— вертикальная асимптота, у-0 — горизонтальная асимптота.
318. При х=-1 — максимум, у =2; при х=1—минимум, у=0; при х«=0,
х=±\/3— точки перегиба; у = 1—горизонтальная асимптота. 319. При
х=0 — максимум, у=0; х=»±1—вертикальные асимптоты, у = 1—горизон-
тальная асимптота. 320. При х= — 1 — максимум, у=0; х=0, х = — 2 — верти-
кальные асимптоты, у=1 — горизонтальная асимптота. 321. При х = 2 — мак-
симум, у=2/е; при х=4— точка перегиба; у=0 — горизонтальная асимптота
при х—* + оо. 322. При х = 1 — минимум,/(1)»е; точек перегиба нет; х=0 — вер-
тикальная асимптота, у=0 — горизонтальная асимптота при х-> —оо. 323. При
х=1/2 — минимум, у«1/4е2; точек перегиба нет; х=0 — вертикальная асимп-
266
тота при х->0+, lim х2е1/х=0. 324. При х—0	максимум, у = 1; при х— — 1 —
ж-4> —
точка перегиба; у «~0 — горизонтальная асимптота. 325. При х«= 1 — максимум,
у«t/^/е; при х« — 1 — минимум, у« ~ 1 /у/е; при х« ±у/з — точки перегиба;
у «0 — горизонтальная асимптота. 326. При х« - 3 — минимум, у « — 27/е3; при
х» — 3±^/з — точки перегиба; у=0 — горизонтальная асимптота при х-* — оо.
327. При х«3—максимум, у«27/ев; при х=0, х^3±^/з—точки перегиба;
у«0— горизонтальная асимптота при х-+ + оо. 328. При х*2 — максимум,
у«-е2/4; х=1 — вертикальная асимптота, у=0 — горизонтальная асимптота
при х-> —со. 329. При х~—3 — минимум, у«е3/6; при х=1 максимум,
у» -1/2е; х= ±у/з — ъефтвх&льние асимптоты, у«0 — горизонтальная асимп-
тота при х-» + оо. 330. Экстремальных точек нет. х=0 — вертикальная асимп-
тота, у=±1—горизонтальные асимптоты, |у|>1. 331. Экстремальных точек
нет. При х=0 — точки перегиба; у==±1 — горизонтальные асимптоты; |у|<1.
332. При х— —4 — максимум, у— — 2е4; х = — 3 — вертикальная асимптота,
у=0— горизонтальная асимптота при х-»4-со. 333. При х=±1 — максимум,
у«1/е; при х=0 — минимум, у=0; у=0 — горизонтальная асимптота; функция
неотрицательная. 334. При х« 1/е — минимум, у = - 1/е; (1; 0) — точка пересече-
ния с осью Ox; lim у=0, точек перегиба нет. 335. При х— 1 минимум, у= 1;
*-►0+
функция положительна, х=0— вертикальная асимптота при х->0 + . 336. При
1/2
x« 1 — максимум, у = 1; при х=е — точка перегиба; х—0 — вертикальная аси-
мптота при х-+0 + , у=0— горизонтальная асимптота при х-»4-со. 337. При
1	4
х»1 — минимум, у«=0; при х»=~ — максимум, lim у~0; функция яеот-
е2	е2 х-*о+
1	1
х—-----максимум, у-—; при х=1 — минимум, у=0,
е	е2
1
и х»-------точки перегиба; функция неотрицательна.
е5/2
ряцательна. 138. При
1
lim у=0; при хх—
1/2
е
339. При х=е — минимум, у«е; при х—е2 — точка перегиба; lim у=0; х= 1 —
ж-*0+
/' 1
вертикальная асимптота. 340. При х=1 +<е — максимум, у=—; при хН +
2е
— точка перегиба; х» 1 — вертикальная асимптота при х-*1 +, у*=0 —
горизонтальная асимптота при х-> + ао. 341. При х=1 — минимум, у—2; при
х» — 1 — максимум, у« —2; х»0 — вертикальная асимптота, у ~х — наклонная
асимптота. 342. При х*=0— максимум, у—0; при х=4 — минимум, у «8;
х=2—вертикальная асимптота, у=х+2— наклонная асимптота. 343. При
х* _з — максимум, у= —49/12; при х= 1 — максимум, у—5/4; при х=2 — ми-
нимум, у*=9/8; при х«9/7 точка перегиба; х*=0 — вертикальная асимптота,
1	5
у=-х—-----наклонная асимптота. 344. При х=2 — минимум, у «2; при
2	4
х« — 2 — максимум, у= —2; х=0 — вертикальная асимптота, у—х/2 — наклон*
ни асимптота. 345. При х«1 —минимум, у=3; точек перегиба нет; х«0 —
вертикальная асимптота, у»2л—наклонная асимптота. 346. При х« — у/з —
минимум,у—3^/5/2; при х«^/з — максимум, ус -3^/з/2; х« ± 1 — вертикаль-
ные асимптоты, у« —х — наклонная асимптота. 347. Экстремальных точек нет.
При хжО, х-±у/~3 — точки перегиба, у«х — наклонная асимптота. 348. При
х=3 — минимум, у«27/4; х=1 — вертикальная асимптота, у=*х+2 — наклон*
ни асимптота. 349. При х« 1/2 — минимум, у=Зх/з/2; х«0 — вертикальная
асимптота при х-*0+, у=х+3/2 — наклонная асимптота при х-+ + оо. 350. Экст-
267
ренальных точек нет. При х«=0 — точка перегиба; у=х+п/2 — наклонная асимцЧ
тота при х-> + оо, у=х—п/2— наклонная асимптота при х-»> — оо. 361. Пр^
13	-j
х~0 — минимум, у*0; при х»-4 — максимум,у» —9—; х— — 1 — вертикаль^
ная асимптота, у—х—3— наклонная асимптота. 352. При х—-1/2— макси*
мум, у- —1/2+я/4; при х—----минимум, у-1/2—я/4; у-х-я/2— наклонная
2
асимптота при х-+ + оо, у«х+я/2 — наклонная асимптота при х-> — оо.
Глава б
х3 Зх4 х3	Xs 5 г г 1
2. — Ч--+—+х+С. 3. —+~ x^v^+^xv х—+1п|х| + С. 4. 2arctgх-
3	4	2	5 6	х
2х зх	х
—3arcsinx+C. 5. —+—+С 6. 2л Ч—- + С. 7. —cosx+5sinx+C. 8. х—
-совх+С. 9. -(tgx+ctgx)+C. 10. y-x+arctgx+C, И. 3tgx+2ctgx+C.
IL cosx—etgx + С.
1
13. -(ctgx+x) + C. 14. -(x-sinx)+C.
15. arcsmx-ln|x+
+^/l+x2j+C.	16. x-arctgx+C.
1
17. —In
10
x—5
20.	ln|x|----^+C.
x 2X2
21.	2Jx-VyJx + C. 22.--------7= + C.	23. e"+tgx+C. 24. x5—^-+C.
ln4	Зх3
25.	-Хх/х-Зх+6лУх—lnfx| + C 26. 3tgx-4ctgx+C 27. x+cosx+C.
3
(2e)	1	,	1.1,
28.	+C. 29. -(x+sinx)+C 30. x3+arctgx+C. 31. -x4— x2+arctgx+C.
ta2+l 2	42
1 Г	x
35.	— 2 arctg-—In
32L	2
+ C. Указание:
умножить
числитель и знаменатель
подынтегрального выражения на число 8 и произвести преобразование:
sin 5х	cos 7х	1
8=4+х2+4-х3. 36.—^— + С. 37. -—^—+С 38. --cos(3x+5)+C. 39.
1 ь	1
-е +С 40. -ln|cosxf + C. 41. --с
2	2
1	«	t«3x
43. ~ln|xs+7| + C. 44.	+ с
„	1 Зх 1 2х
+ С. 42. ~е +— е
3	2
+е +1п|е — 1|+С
45.	-3ctg^+C.
(2+5х)10
46.	'-------+С.
50
2 !---- 1	3/2	3	4/3	1
47.	--V2-3x+C. 48. -(2х-5) +С. 49. “~(3“7х) +с 5°* -1п|5х+2| + С.
51. -Чп|2-3*|+С.	52. 6	6^-\/x+aictg\/r)+C.
268
53. x-Zv^+to^+lV + C u -(442715X) V1~3x+c- 55. х+4л/х+1 +
1--- 1 1
+41п|^х+1 — 1|+C.	56. —to|l+3cosx|+C 57.-to|3+sin3x|+C
3	3
cos4x	sin3x	»ii	1	шх
58.------+ C. 59.----+C. 60. -e + C. 61. —e + C 62. e +C.
4	3	3
63. 2е"*^+С. 64. е"“*Х+С. 65. -e-‘*'+C. 66. --cosec’x+C. 67.	1	+C.
2	4cos4x
68. ln|l +lnx| + C. 69. -(l+fax)3/2+C.7O. —(х’-в^+С.?!. fa
3	18
з1/л
+ C. 72. -—
to3
1
76. --------~- + C
4arccos*x
79. 21n|sinx|—ctgx+C.
(arctgx)101
e
74. arcsin—+ C.
2
101
arcsin2 x /—
77.----------s/1-
sinx-2
78.-------
cosx
7
2
2	3/2
80.	(3+cos5x) + C. 81. ~(3 + 5sin3x) + С
15
4
№
31n4
ln2
86.
88.
2
84. -
3	4/3
- (агсяп x) + C.
1	x
87. - arcsin- 4- C.
2	5
arctg’x
82.
Зх—1
95. arcsin x
96. Решение.
+ 2x+3|+C.
1
89. -In
6
1
92. -arcsin
2
d(x+2)
------—-arctg(x+2)+C 97. Решение.
(x+2)2 + l
d(x+l)
dx
x2+4x+5~J(x+2)2 + 1
dx
1
-to
4
x+1/3
17	2x4-3
----^arctg
\/3
98. arcsin---h C. 99.
2
3	x-1	5
100. -to(x2-2x+5)+2arctg-----+ C. 101. -to(x2+3x+3)-
2	2	2
3
102.----arctgx—+C	103. x arcsin x+v I -
2	2
105. xarctg-^7;
1 F~
-Jlx-\+C.	106.
7^
104. 2^1+xarcsinx+4vl-
arctgx 1 /	1 \
------—toll 4-— J + C.
x 2 \	x2/
107.
109. —tox------
2	4
-1) + C.
/x2	2\	x2 x
110. I-----to(3x+2)-----+-
\2	9J	4 3
269
/х^	3	\	х*	Зх*	/х*	Зх* -
111. — +-Х14-2x1 1пх------------2х+С.	111 (х*4-3х3-7х)1пх- — +—
\3	2	/	9	4	\4	2
—7х^+С 113. х1п(^/1-х+-^/1 +х)—-х+-arcsin х+С. 114. —е *(х+1)+€
Зх	11
115. — (5х—1)4-С. Ив. -е-*(хэ4-Зха+6х4-6)4-С. 117. -2е"'/2(х24-4х4-8)4-С
25	1
х+1	совЗх J
lit» ханx+cosx+C. 119. sinx—xcosx+C.	120.------sm3xd------+СЯ
3	9	’
121. (x*—2)anx+2xcosx+C. 122. — x*cosx+2(xsinx+cosx) + C. 123. e*(x*4
-2x+2)+C.	124. ln|sinx|-“XCtgx+C.	125. xtgx+ln|cosx|+C2
1 x	e2*	2 x/	x	x\	\
126. -e (sinx-cosx)+C. 127. —(3sm3x+2cos3x)+C. 128. -e [ 2sin—cos- ]+
2	13	5 \	2	2/
+C.	129. (x3—6x+l)smx+(3x*—6)cosx+C	130. x[l+(lnx-l)*]+C:
4 x	x
131. xhi(x24-2)—2X4-4—Farctg—7=4-C.	13Z - [cos (In x) 4-sin (tax)] 4-C.
V2	\/2	r2
133. 2^/xarctg^/x—ln|l 4-x|4-C.	134. 2(</t-l)e**+C.	135. - Да-х»4-
a2 x	-x/1
+—arcsin- + C. Указание: положить u^y/a—x2, dv=dx. 136. 2(e —e	) +
2 a	1	3	4/3	14»
+C.	137.-----------+C.	138. -(24-lnx) 4-C.	139.-hi(54-2e )4-C.
4(tax4-l)*	4'	7	8
их	2	<5/4	2x4-9 /-------- 4(17-14x)
140. e 4-C. 141.---(1-бх5) 4-C. 142.----</4x4-14-C. 143. —------- '*
75	4 ’	147
1 1
144. —cos—
2 x*
arccos2x
145. -----------
2
e
146. arcsin—-p
V5
147.—pin
4-C.'148. -ln|(x—2)(x4-2)7|4-C. 149. 5ta|e'4-v42*-4|+
4
1	r	1	2cos(x/3)
+ C. 150. —^arcs^n(v 3sin5x)+C. 151. —arctg-
V3	2	3
lx7	I e X
1	xs
+ C. 151 -arcsin—+
5	2
156. arcsin------+ C.
1	x-3
155. -arctg--+ C.
2	2
-5Убх-х*-5+С.
157. —7= arcsin-+C.	158. -ln|x*+x—1|+—т=1пх
5/2	5	2	2л/5
i----- x+2	x—3
159. — 3^5—4x—x*—8 arcsin-+ C. 160. 26 arcsin-
^32
7	5 x-Z-lJl	x3 ,
161. -to|x*-6x+l|+—pin-+C. 162. -+x* +
2	Х-З+2Д1	3
, .	4 2x-l	3 ,
+4x+81n|xr-2| + C. 163. 2x+ln(x*— x+l)——7^arctg—7^ + C. 164. -x* + 16x+
V3 <3	2
270
+331n(x3-6x+10)+38arctg(x-3)+C.	165. —+x3+3x2+18x+541n|x-3|+C.
4
2x	x1 X	1	X2	X 1
166. e (x+l)+C. 167. — +-sin 2x+-cos 2x-FC. 168. — arcctg (1—x)—— x
4 4	8	2	2 2
,	x	x 1
xln (x3-2x+2) + C. 169.-(sin (tax)-cos (tax))+C. 170.--------ctgx+C.
2	2rin3x 2
x3	cos3 x
171. ln|cosx|-+xtgx+C. 172. -cosx-I--------+ C Указание: sm3x=(l —
2	3
,	3x sin2x sin4x	A ,
-cos3x)sinx. 173. —+----------F-----+C. Указание:	cos4 x* (cos3 x)3*
8	4	32
(l+cos2x)3 2	, cos’x	л	.
----------—. 174. -cos3x	-cosx+C. Указание: sin5x*(l—cos3x)3x
3	5
3 sin5 x sin7 x
x sin x. 175. sin x— sin3 x -1-------
5	7
COS3X, _	.
3
sin6 x sin® x
178.----------"	----
6	8
/я x\
31n tgl-+- ) 4
\4 6/
1
4
x sin4x
176. —------
8	32
——— + C- Указание: sin3xcos3x=(1—cos3x)cos3xsinx, положить r*cosx.
1
179. 3x+4sinx-Fsin2x+C. 180. ~ln|tgx| + C. 181.
1Г *1 /я All
183. -1 In tg-+ta tg(7+- )| l+C.
1 1
184. —(cos4x+2cos2x) + C. 185.-sin2x——sin8x+C. 186.------cost 6x—
8	4	16	12	\	4,
1
—-cos
8
1
182. -In tg—
9	2
9x
2
1
2
cos’x
177.------
5
n \
4/
3x1	1	1
+ C. 187. 7cos-cosx+C. 188.----—sinx+C. 189.---+
3 2	sinx	cosx
1	cos3x	1
----—F2ta|cosx|	FC. 192. -tg’x-
2cos3x	2--3
2
ctg*x
+cosx+C. 190.------—+C. 191.
4
tg4x tg3x
-tgx+x+C. 193.--------------ta|cosx|+C. 194. Решение. Применяя подста-
2t	2d/
получаем sinx*------dx*---------> Таким образом,
1	+ /3	1 + /3
2	2	1
*------+ C*------------+C. 195. —^arctgl
l + r	l+tg(x/2)
1 x| 1 X
FC.	197.	-ta tg- +-tg3- + C.
4	2	8	2
новгу f»tg(x/2),
f-*=—» [_<Ц
Jl+sinx J (1 +/)3
1
196. -ta
5
2tg(x/2) + l
tg(x/2)-2
2
8	2
1
198. —y= x
V2
xln
X tg-+l-^	
tg^+l+->	A
1
199. —Fta
tg(x/2)—1+5/2
+ C
1
200. -~7=x
</15
/V3tgx\	1	tg(x/2)—51
xarctgl- +C.	201.-ta|l-5ctgx|+C. 202. In-------------—+C.
X 5/5 /	5	tg(x/2)-3|
2x
203.--------+C.2O4. -}n(eU+l)-2mctg(e)+C.2O5. --------2e’+4ta(ex+2)+C.
tgx+1	2	2
271
206. 21п|е<-1| —х+С. 207. е*—In (е2*-be*+1)4-х/з arctg—^-4-С. 208. tgx<
2	V3
tg’x	tg3x	/ X \	1	л
—4-С. 209. -у-4-tgx-bC 210. arctg (tg- + l 1+С 211. -(tgx-bln|tgx|)4-<
11	1
212.-—----------— 4-ln |sinxf 4-С	213. —arctg(2tgx) + G	214. -x2-17x
sin2 x 4 sin* x	2	2
4- 36 In (x2 +6x +10) -46 arctg (x 4- 3) 4- C.
220. 4-^/7+ x—2^/2 — x arcsin - 4- C
221. x— y/\ — x2 arcsin x 4- C.
222. 6^ + 5* +17-25In
5	-------- 3
X+-+V* +5x+17 4-C.	223. - In |x2 4- 10x4-1|-
2	2
x	4x 3x 2x
3 2X	e	e e e
224. -In(e 4-4)—2 arctg —4-G 225.- — 4— -
2	2	4	3	2
-e'+ta(ex+l) + C. 126. —ctgxln(cosx)-x+C. 227. 24/x-3Jn(;t+4/xI-9)-
-4-/7+3 + C.
228. -(-x2-^?12
----	X4-4"]
— 8x4- I6arcsin-----
4 J
4-G
(X3	1 \	X2 X	1	/	1\
—- — | arctg (2x4-1)----+—--ini x*+x+- )4-C
3	12/	12 6	24	\	2/
230. 21n|x—21 —
—)n|x-3| + C.	231. ln|x—2|4-ln|x4-5|4-C.	232. 31n jx| -bln |x-11 - In
233.
236.
7	2
-------------+ c
2(x-2)2 x —2
1
234. In
3
3	1
-------+_ In (X4-1)(x_ 1)3 + c.
2(x4-l) 4
+ x2-X’t-—y:arctg—xlx4—14-C. Указание: так как степень числителя выше
у/з 73'
степени знаменателя» т. е. дробь неправильная, то нужно выделить целую часть.
I	9	28	1
239. к4-- In |х| — - In |х—2| 4-—In |х —3| С.	240.-arctgx + C.
6	2	3	х
,	1x12	1
241.-!n(xJ4-2)-—7: arctg—7-----ln|x-l|4-C 242. —ln|x-l| +
9	9y2	5/2 3(*-l) 9	3
272
1	, 1
+—In |x2+x+l|+—arctg
6	<3
I	2x—1
+—= arctg —+C.
V3	<3
8	2x-l
4—arctg—^-+G
<3
1
246. -in
4
-ln|xi-2|-^ta|x4+l|
245.
248.
3
1
—-arctgx+С.
3
3(х3 + 1)
1	1
243.	~ln|x+l| —ln(x2—x+l)+
3	6
x2	4	2
244.	2x+-ta|x+l| —ta(x2.-x+l)+
”	3	3
(x+1)2	2	2x—1
------4----p arctg —=-+C.
?-*+! з^/з */3
2
1
+~1п
9
247.
11
—— arctgx+G
5	,	х+1
-ln(x2+2x + 10)—arctg--
(x-2f
249. In- ,=
252.
250.
X2	1 	TvJ	1-	х—1
— ZX	1D 2	6	(х+1)3
16
Н— in |х + 2| + G
3
4
251.---+ln|x+l| + C.
x+2
_ _	.	3x+l 3
———-+arctg(x+ 1)+C. 253. ta |x|--In (1+X2)+———+-arctgx+
2(x2+2x+2)	2	2(x2 + l) 2
.л + 1	Л+1
b —a
+ C. 254. --------. 255. 6. 256. In2. 257. e(e-l).	258. 1/3. 259. 2.
w+l
/—	я n я3 n	5
260. 1п(3 + <10). 261. 1. 262. я/4. 263. —arctg-. 264. — +arctg- 265. 2-.
4	4	64	4	8
1
266. я/6. 267. 10/3. 268. 0. 269. 5я. 270. 1, 271. arctg 2. 272. e-2. 273. -^-In2.
V3
e2 — 5	ла*	Я\/з
274. 0.	275.------.	276. —.	277.	278. 4-21n3.	279. 21n2-l.
e	16	9
<3	2e
280. я/6 + l-—. 281. 2-ln2. 282. 1/3. 283. 1/3. 284. In-. 285. arctge-%/4.
2	e + 1
r	l-ln2 3	4	/—
286. 1п(1+<2). 287. 1/2. 288. -. 289. In- 290. 32/3. 291. - hJlph. 292. 1.
2	2	3
n	л-2
293. 8/3. 294. 4/3. 295. 1/2. 296. 11/2. 297. 2 + я3/6. 298. 1/2. 299.-.
4
300. 2^-1п(2+^6). 301. 41n(4e). 302. 1/3. 303. 4. 304. 9. 305. 9/4. 306. —;
2a — 1 Зла2	r- 8	/—	г 1 r~
----;-----; 2; Зяа2/8; 4я/3—Уз. 307. — (Юл/10-1). 308. V5+ +~ta(2+V5)-
e 2-------27	2
a(e2 —1)	1	1	14
309.------.	310. -In3.	311. In3. 312. -(e2 + l).	313. —.
2e	2	4	3
314. 5/17+-ln(4+v/n)- 315.	316. Решение. Имеем x>
= —За cos21 sin t,	y,=3a sin2 tcost.	Отсюда -sAi’+у’ ” sin2 r cos2 /=
3a
=За|sin tcos r| =—|sin 2/|. Так как функция |sin 2r| имеет период я/2, то L=4x
«
317. Реш.... Им„м	.Л,,
о
10-186
273
-0+“’»?>)“л/4л,«**(ф/2)-2в|см(<р/2)|--Р*”*°* * **	П<*
(.—24Cos(p/2), *<?<2я.	1
2Х	R	>
этому в силу симметрии L—2a
dp*"4a
318. xph\
о
256	Зя я(е2—1)	,
319. —к; 8я. 320. — 321. —-------; 2я. 322. 178/15*; 21/2*. 323. 6я/7; 3*/5<
*(е2 + 1)	*(е2-3)'
324. */30; я/6; я/2; 5я/6; Пя/30; 19я/30. 325. *(е-2); —---; ле; —-----
2	2
я(е2+5)	я2	я (8—я)
~я (4-е).	326. —;	2я2;	б*2;	2я(я+2);	2я(я+4); — -------f
2	2	2
я(я+16)	32*	л	2я я	я2 я	я2
—------327. —(2</2-1). 328. —;	329.	-(я-2). 330. -; 10я2; 6я*;
2	3	15 6	8 4	2
*(*+16)	8я	16л	16я	8я	я(*+2)
—-------. 331. —; —; —; —	332. 12л; 24я. 333.  ; я!п2.
2	3	15	3	5	4
29
я
334.	335. —я. Указание: данный шаровой слой можно представить как тело»
2	3
полученное вращением криволинейной трапеции» которое ограничено линиями
у--------~	пН2
у—у/16—хг, хж2, х«3 и осью Ох, вокруг оси Ох. 336.-(ЗЯ—Н). Указание:.
шаровой сегмент можно рассматривать как тело, полученное в результате враще-
ния криволинейной трапеции, образованной дугой окружности уа
2жХ»Я
прямыми х« — R и хж—Я+Я и осью Ох, вокруг оси Ох. 337.----------------.
338. 1) 5=4/3; 2) У«я/2 339. 1) 5=1; 2) У=я2/4. Указание: поскольку
cos2(x/2)—sm2(x/2)=cosx, данная фигура— криволинейная трапеция, ограни-
ченная линиями у*cosx, y=0, х=0, х-я/2. 340. 2я[^/2+1п(1 +v^)h
345/17-2	62л	Я42 .	.	56
341. —-------я. 342. —.	343. —(е2+4~е~2).	344. 4яЯ2.	345. —я.
9	3	4	3
2*5/2 ж 12 ,
346. -—-—(е —2). 347. — ха2. Указание: так как кривая симметрична относите-
льно оси Оу, то достаточно вычислить площадь поверхности, образованной
2лу/~а
вращением дуги астроиды, находящейся в первой четверти. 348. 1) S=——;
ЯД2 4яГ/ 1\зд 11	/1 1\
2) F-—; 3) S=—I1 а+- 1 -- . 349. Л «Ле^ --- 1. Указание: электри-
2	3 |_\ 4/ 8J	\4 Ь/
е,е2
ческие заряды отталкивают друг друга с силой F(x)	, где к — постоянная,
в] и 02 — величины зарядов, х — расстояние между ними. 350. Решение. Найдем
сначала значение коэффициента пропорциональности к. Так как в силу условия
задачи при х=0,01 м Я(0,01)=1 кг, т. е. 1“£ 0,01, то коэффициент пропорци-
ональности к=---ж 100. Следовательно, сила, растягивающая пружину от х«0
0,01
274
до х«0,05 м, выражается формулой J’fxJ =»100х. Согласно формуле (12), ис-
комую работу можно найти так:
Ь
f	Г	х* 0,05
Л- F(x)dx- 100xdx=100—
J	J	2 0
(0,05)2
-=100--------0,125 кгм.
2
о
яЯ4	4	1	,
351.---. 352. яТс. 353. —яЯ2Л. 354. Р0^ЬЬ2. Указание: использовать закон
4	3	12
1
Бойля—Мариотта: PK=C=const. 355. 1. 356.	357. In 2. 358. Расходится.
2
1
359. Расходится. 360. Расходится. 361. —1. 362.-при ос<1; расходится при
1—а
a>l. 363. ”. 364. -1. 365. 2. 366. Расходится. 367. 0. 368. Расходится.
2
„ г	я 1п2
369. 63л/2. 370. Расходится. 371. Расходится. 372. 1/2. 373. -н---.
4 2
я-2
374.----.
8
1
я Г dx	1
375. 1. 376. 1--. 377.	—расходится, так как —7=
J \Д3-1	3Vx3-l *
2 v	v
2
f е dx	е _л
расходится. 378.	----сходится, так как при х> 1 — <е , а
СХО-
ДИТСЯ (см. задачу 355).
379. [ ------ расходится, так как при х>1—т=
dx
—Y расходится. 380.
:----------------------------------------------------<----------------------------------------------------------------------, а
xdx
-— расходится, так как при
2
Г dx
а —расходится. 381. я/2. Указание: оба пре-
V	v	2	*
дела интегрирования бесконечны, поэтому предварительно разбить данный ин-
теграл на два. Вместо точки х=0 в качестве промежуточного предела интег-
рирования можно взять любую другую точку оси Ox. 38L пу/5/S. 383. 1.
384. Решение. Площадь поверхности равна несобственному интегралу S=
+ <ю
=2я
dx. Положив /=е , d/= — e dx, получим f=l при x=0,
о
/=0 при х-> + оо, отсюда имеем
S=2n
о
385ч4я. 386. 2я. 387. Решение. Ранее (см. § 5, п. 5, пример 12) с помощью
275
определенного интеграла была вычислена работа, необходимая для запуска
А+А
массой т с поверхности Земли на высоту А: А
\ Выход
в межпланетное пространство означает запуск его на бесконечную высоту (А *> co)j
Вычислим необходимую для этого работу:	j
00
Г	PRh PR
lim Л — I F(x)dx- lim ---« lim ---—PR^mgR,
J A-»<x> Я + А А-*во1+Я/А
где m — масса тела; g — ускорение свободного падения у поверхности Земли
(трение и притяжение других планет при этом не учитываются). Эта работа
совершается за счет изменения кинетической энергии тела. Поэтому кинетическая
энергия тела в начальный момент должна быть не меньше этой работы, т. е.
начальная скорость тела v должна быть такая, чтобы
mv2
2
> mgR или v > yJlgR * \^2 10‘6 400000 м/с «1,4 ’ 8000 м/с «11,2 км/с,
Если начальная скорость тела равна 11,2 км/с, то его траектория движения
представляет собой параболу. При начальной скорости, большей 11,2 км/с, тра-
ектория будет представлять собой гиперболу, а при начальной скорости, меньшей
11,2 км/с, тело будет двигаться по эллиптической траектории, при этом либо
упадет на Землю, либо станет искусственным спутником Земли. 388. 7«21,44.
389. По формуле трапеций, /«0,69377; по формуле Симпсона, /«0,69315.
390. /«0,74 с точностью до 0,01. 391. /«0,747 с точностью до 0,001. 392. При-
ближенно 1,22я.
Глава 7
1.26. 2.-38. 3. 7. 4. 2а. 5.1. 6. sin (а+0) sin (а- fi). 7.0. 8.-12.
9. 29. 10. 87. 11. 0. 12. —29. 13. 4а. 14. Указание: воспользоваться свойством
3°. 15. Указание: воспользоваться свойствами 8° и 3°. 16 Указание: восполь-
зоваться свойствами 7° и 6°. 17. Указание: воспользоваться свойствами 7°, 3°,
6°. 18—19. Указание: воспользоваться свойством 8°. 20> -10. 21. 180. 22. 87.
23. 0.	24. -2А2. k 25. -2х.	26. 144.	27. 72.	28. 10.	29. -4аэ.
30. (х—у)(у—z)(x—z). 31. 1. ЗХ sin0?—а). 33. атп. 34. а(х—z)(y—z)(y—х). Ука-
зание: вынести а за знак определителя, затем из первой и второй строк вычесть
третью и вынести (x-z) и (у--?) за знак определителя. 35. 1) х= —3;
2$ х^-10, х2«2. 36. 1) х>7/2; 2) -6<х<-4. 38. х=-1, у=0, z~l. 39. х«2,
y«-l,z«-3 40. х = 1, у=-1, z=2. 41. х=2, у=3, z=4. 42. х-1/6, у= 13/30,
А+с	а—А	а—с	а+А	А+е
z=l/30. 43. х=1, у —2, z«3. 44. х»-, у®-, z=—45. х=----------, у =-,
2	2	2	2	2
а+с
z=----. 46. Система имеет бесконечно много решений (Д~Дх«Ду=Ах=0),
определяемых формулами х>>1, y=r, z= — t, где t принимает любые значения.
47. Система не имеет решений. Решение. Здесь Д*Дх*сДу«Д2*0. Первое и
второе уравнения противоречивы. Умножая первое уравнение на 2 и вычитая из
второго, получим невозможное равенство 0 — 1» 48. Система не имеет решений.
Решение. Здесь А-Ax=AJ=Az=0. Первое и третье уравнения противоречивы.
Умножая первое уравнение на 3 и вычитая третье, получим невозможное
равенство 0=3. 49. Система решений не имеет. 50. 1) а#—3; 2)	—3, А #1/3;
3) а«-3, А = 1/3.
276
Глава 8
1.
1 1
14— 4-4-4—4-...
5 7
11111
. X ~+~ 4-~ 4—т+“т + ...
2 2* 2Э 24 29
1111	113	15	11111
4. 14—4—+-4"-4".»» . 5. ~4—4- + +-4-... . 6. 1— “4*—_+'-_4-...
9 45 189 729	4 6 32 20 192	2 3 4 5 6
1 3 5 7	9	4 8 16 32	1	3	15
1111 1
_ ------_|--
2 8 48 384 3840
11. в,--. 11 а,-— (п-2, 3,
•	In л
п
П2	1	и—1 1	л—I 1
4, ...). 11 Ял--. 14. ал=-. 15. а,«(-1)	-—-. 16. Ял-(-1)	-у.
»!	2%„	2л—1
1	1	/2л—IV	3’ 52 72
17. я,—---. 18. я„=—. 19. а„=(----) Указание: 14—
»	"л!	\ л )	22 З2 42
20. я,-з"+(-1)’ Указание: (3-l)+(32+l)+(33-l)+(3*+l)+(3s-l)+...
а
21.----. Решение. Данный ряд является геометрической прогрессией со знаме-
1-4?
нагелем q. Частичная сумма Sn этого ряда при \ имеет вид
с. ,	и-1 1-9	1 Я
$i»l+f 4-<* + ...+$	-------------.
\-q \—q \-q
п	1	$	1
При |^| <1 lim q «0, поэтому lim Sw«= lim--------lim----«-----, т. е. ряд схо-
я~*а>	я-*оо я-*оо ] — q я-*«о1 — q 1— q
дится и его сумма S—---------. Замечание. При |?|>1 lim ?"~со, поэтому
1-q	я-юо
lim 5я«=оо, ряд расходится. 22. 2. Указание: данный ряд является геомет-
я-*со
рической прогрессией со знаменателем q= 1/2. 23. 3/4. Указание: данный ряд
является геометрической прогрессией со знаменателем <> —1/3. 24. 24-3\/24-
+\А 25. 1/2. 25. 11/18. 27. 1/4. 28. 23/90. 29. ----. 30. 3. 31. Да. так как
я +1
lim пя«0. 32. Нет, так как lim ^ = 1/2. 33. Да, так как lim 4^=0. 34. Нет,
Л~»00	Л-*СО	Я-*оо
так как lim 35. Да, так как lim дя*0. 36. Нет, так как lima„=e. 37. Ряд
Я-+СО	Я-+00	л-»оо
00	1	i i	«О 1
У —р расходится, так как —т=>“» а гармонический ряд У- расходится
Jn Л	_,Л
* 1 11
(см. пример 2 § 1). 38. Ряд £ —сходится, так как —	, а ряд геометрической
я-i л2*	л2" 2я
® 1
прогрессии У — сходится (см. задачу 21). 39. Сходится. Указание:
я-12я
2я	2я	1	11
-----<—«=—. 40. Расходится. Указание: -<—, так как л>1пл. 41. Рас-
1+22" 2Ь 2"	" to"
2П
ходится. Указание: сравнить с гармоническим радом. 42. Сходится. Указание)
00	|	<
сравнить с радом геометрической прогрессии £ ----‘ 43. Общий член ряде
2И+1
1
определяется формулой ая=—. Заменяя в этой формуле п на л + 1, получаем
nl	-
1
последующий член	Так как
flir+l / 1	1\ л!	1
lim-----= lim I------)= lim------------«* lim---=0<l
an *оо\(л + 1)! л!/ *oo (л+1)! *-*оол+1
то на основании признака Даламбера заключаем, что рад сходится. 44. Так как
5"	5"+‘	в"+1 *	5"+‘п’	5л’	в"+‘	5л’
ая**—; ая+\~-------------=--------=-------- и lim-------* lim --- =
«	(я+1) О. 5я(л+1/ ("+1> ’ио а” ’*-“(»+О3
/ л у / 1 Xs
=5 lim [--) =5 lim /-----\ —5 ‘ 1 «5> 1, то на основании признака Далам-
л-*»\л+1/ я-*оо! 1 1
\ 1+-/
Х П'
Пл+1
бера рад расходится. 45. Имеем lim-----------« lim
Я-»00 ал Я-*0©
= 1. Согласно признаку
Даламбера, сделать заключение о сходимости или расходимости ряда нельзя.
Однако, как было показано ранее (см. задачу 37), этот рад расходится. 46. Ряд
• П	в’+1	(л+1)”+1л!	/л+ц,
) — расходится, так как lim------------= lim ---------lim (--------) -=
,.l»l	(л+1)!я"	'
/	1\.	® у[п	°"+1
= lim (1+-) =е> 1. 47. Рад £ ------- сходится, так как lim ---------«
я-*«\ nJ	2я	л’400 ап
yJn+\ 1 I 1 1	1	ая+1 п
«Пт ------>^«-lim /1+-=-• 1 =-<L 48. Имеем lim -----------* lim----= 1.
Ъу/п 2*-*® у л 2	2	»-*oo ая я-*«л+1
Сделать заключение о сходимости или расходимости ряда нельзя. Однако это
гармонический ряд, который, как было показано ранее, расходится. 49. Общий
член ряда определяется ая=— */(л)(лЧ, 2, 3, ...). Записывая в этой формуле
а
Л
х вместо л, получаем функцию Дх)=— (к >1), которая удовлетворяет условиям
а
X
теоремы 3. Как известно (см. гл. 6, § 6, п. 1, пример 3), несобственный интеграл
+«>
f d*
I — при а>1 сходится, а при а<1 расходится. Следовательно, данный рад
J в
1 1
сходится при а> 1 и расходится при а< 1. 50. Положим/(к)«-Функция/(х)
278
, ч 1
удовлетворяет условиям теоремы 3. Очевидно, Дл1=------Проверим сущест-
1+л2
вование несобственного интеграла от этой функции:
+ оо	Я
Г dx	Г dx
| ----;и: ym I--------;яи Jim arctgx
J 1+Х2 A-*+coJ 1+х3 Д-*+оо
1 1
г	Я Я Я
- lim (arctgЯ—arctg 1)--------
1 д-*+®	2 4 4
Тах как интеграл сходится, то на основании интегрального признака сходится
. . х+2	, .
данный интеграл. 51. Положим Дх)———. Функция Дх) удовлетворяет условиям
х2
теоремы 3. Так как
+ 00	А	X
f х+2	Гх+2	f/1 2\	/	2\ я
I —— dx—lim I—— dx— lim	i-H—;)dx- lim (tax—I — oo,
J x2 A-*«J x2 *-♦+«> J \x x2/	Я-*+оо\ х/I
i	1	1
т. e. интеграл расходится, то на основании интегрального признака расходится
+ 00
Г dx
и данный ряд. 52. Ряд расходится, так как I ------— оо. 53. Ряд сходится, так
J 2х-1
1
+ оо	+с0
f xdx	3	f	dx 1
как I ---------54. Ряд сходится, так как -----------------—--In2. 55. Рас-
J (х+1)3 8	J (2х+1)2 — 1 4
1	i
ходится. 56. Сходится. 57. Расходится. 58. Расходится. 59. Расходится. 60. Рас-
ходится. 61. Сходится. 62. Сходится. 63. Расходится. 64. Расходится. 65. Схо-
дится (см. задачу 49). 66. Сходится. 67. Сходится. Указание: сравнить с рядом
00	|	00	|
£ —~ = £ —. 68. Сходится. 69. Расходится. 70. Сходится. 71. Расходится.
— 1
л + 1 л 1
72. Сходится. 73. Сходится. 74. Расходится. Указание: —7= >—7=——
</лЭ у/Л3 у/п
л-2 л 1
75. Сходится. Указание: —76. Расходится. 77. Сходится. Указа-
л3 л3 л2
ине: л3+л2+5>л3,	—— < ~f=* 78. Расходится. 80. Сходится. Указа-
<у/л3+л2+5 ул3
+00
Г dx 1
ние: I ---------—. 81. Расходится. 82. Сходится. 83. Расходится. 84. Схо-
J х(1пх)2 1п2
2
+ оо	+00
Г	xdx	я	Г 2х-1
дится. Указание: 1 ------—85. Расходится. Указание: I —— dx—оо.
J	1+х*	8	J	х2
1	I
86. Абсолютно сходится. Решение. Составляем ряд из абсолютных величин
111 1
членов данного ряда 1+-Н—-+— + ... Н—+... , который сходится, как геомет-
1
рическая прогрессия со знаменателем $—- < 1 (см. задачу 21). Согласно теореме 2»
279
сходится и данный ряд, причем абсолютно. 87, Условно сходится. Решение. Так
£ 1
как ряд JJ “7= » составленный из абсолютных величин членов данного ряда»
и-1 Vя
расходится (см. задачу 49), то о сходимости исходного ряда пока ничего сказать
нельзя. Это знакочередующийся ряд, удовлетворяющий условиям признака Лейб-
ница: 1) 1 > —7 > —р > —р >..., 2) Нт —у= *0. Следовательно, ряд сходит-
V2 <3 <4	"-*00 Vя
ся. А так как ряд из абсолютных величин расходится, то данный ряд сходится
условно. 88. Абсолютно сходится. Решение. Составляем ряд из абсолютных
величин членов данного ряда:
|sinl| |sin2| |sm3|	|sinn|
—Z—I----I—I-----«—F.-.H--1—1-...	(♦)
I2	22	З2 л2
|sin n| 1
Так как |sinn| < 1, то —, т. e. каждый член ряда (♦) не больше соответст-
л2 л2
« 1
вующего члена сходящегося ряда У — (см. задачу 49, а«2> 1). Согласно призна-
«-1я
ку сравнения, ряд (*) сходится. Следовательно, данный ряд абсолютно сходится.
89. Абсолютно сходится. 90, Абсолютно сходится при а>1; условно сходится
при 0<а<1. 91. Условно сходится. 92. Условно сходится. 93. Абсолютно схо-
дится. 94. Расходится. Указание: в данном случае, поскольку lim
и->со
=« lim fl 4— Y * е, т. е. общий член ряда к нулю не стремится (не выполнен
Я-Ю> \ nJ
необходимый признак сходимости), ряд расходится. 95. Расходится. 96. Условно
сходится. 97. Условно сходится. 98. Условно сходится. 99. Расходится. 100. Аб-
солютно сходится. 101. Абсолютно сходится. 102. Абсолютно сходится.
103. Л ”=оо. Ряд сходится абсолютно на всей числовой прямой. 104. Л»0. Ряд
расходится на всей числовой прямой, кроме точки х=0. 105. А«=1, (— 1, 1].
106. Я=1, [-1, 1]. 107. Х=- { —,	108. Я=3,[-3, 3). 109. Я-х/З/2,
3 \ 3 3/
[-у/з/2, 5/3/21. ПО. R^yfsri, (-5/5/2, 5/5/2). 111. Л—1/10, [-1/10, 1/10).
112. Я-1, [-1, 1]. 113. Я=оо. 114. Я-5/5, [-5/5, 5/5J. 115. Я-5/З, [-5/3,
Г	" 1п"о „
5/З]. 11«. Я=2, [-2, 2). 117. Я-1, (-1, 1). 118. Я=0. 119. £-х . |х|< + оо.
п-о в!
__ . п	_	_л л+2
“ (-1) X	1	-х/2	* я 2 X
120. £--------, |х|< + оо. Указание: —=—е	121. £ (— 1) ----,
Я-О 2Ял!	^/е*	я-0	я!
*	х2<’+,)	“	.г2""1*2"
|х|< + со. 122. У (-1)"-------, |х|<+». 123. У (-1)"+ -------, |х|<+оо.
Л (Э»+.1)!	(2»)!
.о *»+з	«. 7"	оо
124. Z(-l)"~И< + оо. 125. -Е— И<1- 12«. Е (-1)"+---------------------.
я-о С2")'	.-I "	.-1	»
1	2 • х-	“ 32"+1 2я+1	1
127,- I—,	|х|<1.	128. 2 Е— х ,	И<?
5/2	5л_02л+1	я.о2л+1	3
280
•	,+15х	1	1	•	«+i/2\, х 5	5
129. £(-1)-------. -;<*<-. 130.1п5+£ (—1) + (-) —. --<*<-.
я“1	5	5	я—1	Л 2	2
“ (2"+1)х"
131. 1п2— У -----, |х|<1.Указание: разложите трехчлен х* 1 2 *—Зх+2 на мно-
"•I л*2
00	х"	00	х
жители. 132. 1п4— £ (1+4~")-, -1<х<1.133. 1а9- £ (1+9-")-, -1<х<1.
я-1	п	я-1	п
00 (7— Пя+1 1ъ”	X2 00	,*
134. 1п6+ £ ’—--------I—2<х<2.	135. 1+—+ £ (-1) х
.-Л 2*	3"->Я	2 »-1
1-3-5 „. (2л-3) j«
х-----------------х
(2л)!1
х “	»+1 4-9- 14...(5л—6) .
и<1. 136. 1+-+ £ (-1)	--------i--------X, |х|«1.
5 -2	5"л!
X ®	n+i2'5‘8 \.. (3л—4) п
137. 3+- + У (-1)----------------х,	|х|<27.	138. 1 +
27	,	а4я-1
Я-2	3 л!
• 1 35-(2л-1) к	1	* (2п-1)1! j. ( , „
+ £ --------------х |х|<1.	139.-+ £—— --------х |х|<2.
л-1	2"‘л!	»“1 2"+ (2л)!!
1	®	. (2л-1)!! 2л	“ ,	оо
14O.-+£(-l)"-^-J-x2" W<3. 141. W<i. 14Х £(_!)"/"
3 —1	3	(2л)!!	л—о	л-о
00	j	00 хп	00	2 X	3
И<1.143. £ (-l)*2*x", |х|<-. 144. 3 £ ------------- И<4.145. £ (-1)"--------|х|<;.
л-0	2	я-04"+	л-0	З’4 *'	2
оо З^х” И 3 00	/	1 \
146. У (—1)И------, |х[<	147. -+ У (—1)| 14---хя, |х|<1. Указание:
л-о 2	’	я-1	4	2	7
2х+3	1	1
-------—----1---.
х*+Зх+2 1+х 2+х
|х|<3. Указание:
7-2х _ 1
х2-7х+12“’з-х
М<2. 150. £ (5-з‘"")х",
2 я-О
4 * ап(2л-1)х	*	л+1 яплх
|х| < 1.151. - У -------. 152. 2 У (— 1)	----. Решение. Так как функция
Я»-1	2,1	л-1	П
нечетная, то =0 (л«О, 1, 2, 3,...). Имеем
2 f
Лл=- xsinnxdx»
п J
о
u=x, du=dx;
1
dv=sinnxdx, v=—~С08лх
л
2
п
1
— X cos их
л
те 1 Г
+- IcosHxdx
О nJ
о
281
Таим образом, получаем ряд Фурье данной функции
/sinx sin2x sinЗх sin4x	H+isinnx
x-2(-----------+-----------+...+(-1)	-----+ ...
\ 1	2	3	4	n
Это равенство справедливо для любого хе(-я, я). В точках х» ±я сумма ряда
не совпадает со значениями функции /(х)»х в равна----------------«0.
2	2
Я2 * ЯСОБПХ
153. -+4 Y (—1) ——-. Решение. Так как функция четная, то Имеем
“I	и2
Ж	Я	Ж
2f	2я3 *	2f	2px2sinnxn 2f	1	я4
ли- |x3dx*—;	Ixacosnxdx«- I- — Ixsinnxdx 1) —.
«J	3	«J	я(_ л 0 kJ	J ла
оо	о
Значит, ряд Фурье данной функции имеет вид
я2 /cosx cos2x совЗх
2Г'+~35	".
Это равенство справедливо для любого хе[—я, я], так как в точках х» ±я сумма
ряда в данном случае совпадает со значениями функции f(x)~x\ поскольку
я)*яа«----------------------«----. 154. 2 У -----— (— 1) »плх. 155. я+
2 2 ЯЛ’
® я+isinnx	®	я+1 sin лх	®	я+1 sin лх
+2 £ (-1)	------. 156. —я+2 £ (-1)	----. 157. 3+4 £ (-1)	----.
»-1	«	.-1	л	„-1	”
“ яяплх 1 2“ sin(2л— 1)х я “ Г—2cos(2л— 1)х
158. 2+ £ (-1) ------. 159. -+- J ~ ,7 • 1«. -+ L ------------- - +
л-1	»	2 «.-!	2я—1	4 „ГД я(2л—1)’
(-1) smiix
л
2 * со&2лх
“я.?, 4n»-l’
® Г-2сов(2л—l)x (—1) smitx"!
J, L я (2л-1)1 + n J
“ Г2«в(2л— l)x	яаплх~|
•_>L «0-1)* л J
I	1 1
L 162. -+-smx—
I	я 2
I	1
164.——x
16 2
“ Гcos(2л— 1)х	axsmnx"]
х У —:------Г~+(-1) ------ •
£1 С2"-»’	2" J
я3 ® Гсо8(2л-1)х
165.----У -----------
16 „.jL 2(2л-1)а
'я 1\ап(2л—1)х я$1п2лх'
----j----Z+-----------
Д я/ 2я—1	8л
2	»	]	1	2Z® (-1) лях
•1—;[(-!) - 1]>яплх L 167. — £ --------sin —.
ял3	J J яи-1 л /
I 41 ®	1
168. ------У ----------
2
282
(2л-1)ях
xcos-----------.
I
/ 21 “
170.----Y. x
4 "л=1
1	(2л—1)ях (-1)"
---------cos---------4-----
к (2л-1)2 I 2л
лях!
sin— I.
I J
Глава 9
1, 124-/5. 2. a2+b2. 3. 5-/12. 4 -24/2. 5. i. 6. 14/. 7. 8-/2. 8. 24/6.
8	1	14	23	4 3	1	1	r
9.-----iQ.—+j_ И.- + f- IX—/-. IX 5) xi=2, x2 3--l±iy/3.
13 13	29	29	5 5	4 4	’ V
6) xi. 2m — 1 ±/, *3, 4“1 ±i- Указание: дополнить левую часть уравнения до пол-
ного квадрата: x*44j?44—4д?=0; (ха+2)а—4ха=0; (ла42)а—(2х)а«0, откуда,
используя формулу разности квадратов, получим (ха+2+2х) (jt42— 2х)=0.
14. I»r(cos0 + /sin0).	15. -1 = 1 (cos«4/sin я).	16. -/=1 [cos(-tc/2)4
4/sin (—я/2)].	17. 5 = 5(cos04/sin0).	18. 24i2\/3=4[cos(«/3)4/sm(«/3)].
19. 3^2(cos(я/4)+/sin(я/4)). 20. 2(cosя4/sinя). 21. 6(cos (я/2)4/sin(я/2)).
22. 3[cos(—«/2)4ism(—я/2)]. 23. 2(сов(2я/3)4/яп(2я/3)). 24. 2(cos(n/3)4
4/sin (я/3)). 25. 2\/з (cos (я/3) 4/sin (я/3)). 26. 2v6(cos(5x/6)4/sin(5n/6)).
27. 2[cos(—2я/3 4/sin (—2я/3)]. 28. 2(cos(llx/6)4/sin(lln/6)). 29. 5/2(005(71/4)4
4/sin (я/4)). 30. 5/2[cos(~я/4)4/sin(-я/4)]. 31. 5/2(005(Зя/4)4/яп(Зл/4)).
32. [cos(—я/2)4/sin(—я/2)]. 33. cos («/2)4/sin (я/2). 34. [cos(—n/3)4/sin(—я/3)].
1	V3
35.	— 1, - ±/--. Решение. Представляя число — 1 в тригонометрической форме
2	2
и применяя формулу (2), находим
3^/ -1 = 3^/1 (cos л 4/sin я)=
, г( к +
11 cos —-— 4/sin
я42Ля'
3 t
(fc»0, 1, 2).
Придавая к значения 0, 1, 2, получим три значения
2
---при k-Q, —1 при fc=l, - — /-^— при к=2. 36.
2	2	2
±1±/	кк	кп
38.—7^. 39. cos—4/sin—(Jt=O, 1, 2, 3,
./2	3	3
1, — ±—. 37.
2 2
1 4/
4, 5), 40. 4—^.
<2
2
4/sin^——«4fcn^J (fc—0; 1). 43. 6^2(cosp4/sin^), p=45°, 165°, 285°. 44. Z.
45.-/. 46. Д2. 47. 64. 48. 4(1-/). 49. /8. 50. /8. 51. 512(1-/^6). 5X1.
2111	-5
53. 54/-. 54. -4/5. 55. -4/-. 56. 24м. 57. e4/e Указание: положить
3	3	2 5
5	Г * Г	-л"
—	58. 34/. 59. <е-'/3<е. 60. -4/. 61. Решение. Возьмем любое «>0.
п	2
28*
Тогда для числа е/2>0 существует номер N такой, что при n>N выполняется
неравенство |кя—а|<е/2.
У
Имеем
У	я	У
£ |г*-«1	£ kt-4 £ 1%-«1 е в
	Ц.4-ЛШ	< 4=1	+-<-+-ж!1 при я > X] > х. Следователь-
п------------------------п-п 2 2 2
но, согласно определению предела последовательности комплексных чисел
4-2j+...+2Я
Нт -----------—а, что и требовалось доказать. 62.Сходится. 63. Расходится^
л-*ог> п	q
64. Сходится. 65. Расходится. 66. Сходится. 67. Расходится. 68. Расходится. 69.
Расходится. 70. Сходится. 71. Сходится. 72. Расходится. 73. Сходится. 74. Рас-
ходится. 75. Сходится абсолютно. Решение. Применяя к ряду, составленному из
модулей его членов, признак Даламбера, получаем
|z.+1|	|1+4
bm -----= hm------------= bm ------»
W -»(л+Dm+1f "-«"+1
Vla+12	\/2
- lim --------= lim ----=0<l.
я-+® л+1	1
76. Сходится абсолютно. 77. Расходится. 78. Л-1. 79. R = 3. 80. R=0. 81. R^1/^
82. Я-е. 83. R*llt- W. Я=2. 85. Л-1. 86. Л«1 при |а|<1, Я- 1/|л| при |а|>1. 87.
Я=оо.88. Л-1.89. Л»1/].
Глава 10
1. 1) (4; 3; 0), (—3; 2; 0), точка С лежит на плоскости Оху, следовательно, ее
проекция на эту плоскость с ней совпадает, (0; 0; 0); 2) (4; 0; 5), (— 3; 0; 1), (2; 0; 0),
точка D лежит на плоскости Oxz; следовательно, ее проекция на эту плоскость
с ней совпадает; 3) (0; 3; 5), (0; 2; 1), (0; —3; 0), точка D лежит на плоскости Oyz, ее
проекция на эту плоскость с ней совпадает; 4) (4; 0; 0), (- 3; 0; 0), (2; 0; 0), (0; 0; 0);
5) (0; 3; 0), (0; 2; 0), (0; - 3; 0), (0; 0; 0); 6) (0; 0; 5), (0; 0; 1), (0; 0; 0), точка D лежит
на оси аппликат; следовательно, ее проекция на эту ось с ней совпадает. 2. 1) (2;
3; -1); (5; -3; -2), (-3; 2; 1), (а; А; -с); 2) (2; -3; 1), (5; 3; 2), (-3; -2; -1), (а;
-Ь; с); 3) (-2; 3; 1), (-5; -3; 2); 2) (3; 2; -1), (-а; А; с); 4) (2; -3; -1), (5; 3; -2),
(-3; —2; 1), (а; -/>; -с); 5) (-2; 3; -1), (-5; -3; -2), (3; 2; 1), (-а; Л; -с);
6) (-2; -3; 1), (—5; 3; 2), (3; -2; -1), (-д; -6; с); 7) (-2; -3; -1), (-5; 3; -2),
(3; —2; 1), (—а; —/>; —с). 3. 1) В первом, третьем, пятом и седьмом; 2) во
втором, четвертом, шестом и восьмом; 3) в первом, четвертом, шестом и седь-
мом; 4) во втором, третьем, пятом и восьмом; 5) в первом, втором, седьмом
и восьмом; 6) в четвертом, третьем, пятом и шестом. 4. 1) В первом, третьем,
пятом и седьмом; 2) во втором, третьем, пятом и восьмом; 3) в первом, втором,
седьмом и восьмом; 4) в первом, третьем, шестом и восьмом; 5) во втором,
четвертом, пятом и седьмом. 5. (1; 1; —1), (1; -1; 1); (—1; 1; 1), (— 1; -1; I).
6. ЛЯ*={—4;3;-1},ЯЛ = {4; -3; 1}.7. |ЛВ|«7;cosа-2/7,cos6/7,cosy-3/7.
8. Й=70; cosa«2/7, cos Д-3/7, cosy- -6/7. 9. Z- ±3.10. (-1; 2; 3). 11. N (4; 1;
1). 12. сое««3/13, cos/>=4/13, cosy=12/13.13.	У-l, Z—1. 14. 1) Mo-
жег; 2) не может; 3) может. 15. 1) Не может; 2) может; 3) не может. 16. 60° или
120°. 17.	Mi (Ч/З; ^/З; у/з\ М2 (-y/i;
284
->/3; ->/з)- »• cos«-cos0-cosy-l/,/3. 20. Af (З^Д 3; -3). 21. Конец В (4;
-2; 5) или £| (4; -2; -7); cos а «2/7, cos/?--3/7, cosy-±6/7. 22, |2+6|-|2-
-Л|-13. 23. |a-ii-22. 24. |5+ij-20. 25. |а+6|-,/129» 11,4, |5-6|-7.
26. |5+i|»-у/19«4,4, |а—ij-7. 27. Указание: воспользоваться правилом па-
раллелограмма. 28. Указание: воспользоваться последовательным применена-
---------------------------------------------------------- 22+6
ем правила треугольника при сложении многих векторов, 30. СМ—---. Реше-
— _ _	--- 6"-а	---— --------
ние. Имеем АВ^Ь—а. Следовательно, ИМ—--------. Так как СМ—СЛ+ЛМ, то
~	.	-	3
--- _ 6—о 2a-^b	_ rj+^+rj	— _ ~-------------— г2
СМ «ан----------------------------------------------------------------. 31. г-—--. Решение. Имеем АС-гэ—г2; AD—	
3	3	3	2
(D — середина
гг+гз-Зп
аг  ’— - '-•
2
— - _ — — — г3-г2 - -
стороны ВС); AB^r2—ri; AD=BD+AB=—-—±г2—Г| =
-- 2—	-- F2+Fj-27i	_ - _ --
ЛМ--ЛД поэтому ЛМ----------------------; г-ОМ=п+ЛМ=
---|6| с+|с| 6	_ 2 _ -
31 АМ=———. 35. с=- (а+6). Указание: в
1*1+kl 3
F2+'3-2n
3
условие ё—/па+ nb подставить выражения a, 6 и с через 7 и/и сравнить коэффици-
енты слева и справа при 7и J 36. с-26-22. 37. 1) {1; -1; 6}; 2) {5; -3; 6}; 3) {6;
-4; 12}; 4) {1; -1/2; 0}; 5) {0; -2; 12}; 6) {3; -5/3; 2}. 38. Вектор b длиннее
вектора а в три раза; они направлены в противоположные стороны. 39. а—4,
Д--1. 40. 3--487+45/-36*. 41. 6. 41 npfa-4^/2/3. 43. 1) 22; 2) -200;
3) 129; 4) 41. 44. т~4. 45. 13. 46._ <p-arccos2/7. 47. <p=arccos5/21. 48. m--6.
49. 2. 50. (a+b)2 -|2|2+|6|2 + 2 |a| |6| cos<p (теорема косинусов); (2+6)2+(2—5)2-
-2 |ap±2 |6|2 (свойство диагоналей параллелограмма). 51.-6, 52. p-
=arccos 1/v/To. 53. 60°. 54. <p=arccps0,8. 55. 90°. 56. 1) 2+-у6; 2) 40.57. |й|-7.
59. Л=5\/3.60. 17.61. 1) -6; 2) 9; 3) 16; 4) 13; 5) -61; 6) 37; 7) 73.61 80 Дж,
cos 4-^/2/! 5. 63. а*Ь равно: 1) —6/2) — 2к, 3) 67—4/+6*. Площадь равна:
1) 6; 2) 2; 3) 2^22. 64. 24,5. 65. у/ll кв. ед.,	66. 1) 2 (£—7>; 2) 2ахс;
3) а* с; 4) 3. 68. 50^/1 69. 1,5. 70. 5=7^, BD~^^-. 71. |5+ij=|5-ij- Jl,
5«y/b. 71 2x6 —{-7; 3; 1}. 73. j=49. 75. В случае перпендикулярности век-
торов а и Ь. 76. 1) {5; 1; 7}; 2) {10; 2; 14}; 3) {20; 4; 28}. 77. 1) {6; -4; -6};
2) { — 12; 8; 12}. 78. {2; 11* 7}. 79. {-4; 3; 4}. 80. 15; cosa=2/3, cos/?- -2/15,
cosy —11/15. 81. an <р=5^/17/21. 82. (2х6)хс={ —7; 14; -7}; 2х(6хё)-{10; 13;
19}. 83. 4. 84. 20. 85. v-14, j-65/з, А-7^/3/3. 86. v-51, левая. 87. c-5a+6.
90. v-14, A-^/14. 91. ё-2+26. 91 1) Правая; 2) левая; 3) левая; 4) правая;
5) векторы компланарны; 6) левая. 93. 5 6 с-24.94. 56 с-±27,95. В том случае,
когда векторы 2, 6, с взаимно перпендикулярны. 96. 1) Компланарны; 2) не
компланарны; 3) компланарны. 98. 3. 99. 11. 100. Л] (0; 8; 0); Л2 (0; —7; 0),
101. x-2y+3z+3-0. 101 5х—Зх—0. 103. 2х-у-х-6«0. 104. x-y-3z+2-0.
105. x+4y-2z-2«0. 106. cosa-2/7, cos 0-3/7, cosy®6/7. 107. cosa-2/3,
cos/?——2/3, cosy-1/3. 108. 3y+2z—0. 109. 2y-3z+7-0. 110. 3x-4z-0.
111. x+y-4-0. Ill x + 7y+10z=0. 113. 45®. 114. 1) и 3) определяют парал-
лельные плоскости. 115. 1) и 2) определяют перпендикулярные плоскости.
285
’+1 2-1	х-3 у—2 z
— = ; 3) «-—=-;
12	13	12	1
--—; 2)——
7-4	-5
_ х-2 у z+3
'2	-3	5 ’
х-2 у z+3
5)--=- = .
0	0	1
4)ТП
х-2 у 2+3	.. _
- =---; 4) -
0 0 о
' 17
х-2
2)-«-=-; 3)
5	2-11
о
2)-=-—=~;
2-13
131 1) -=-------;
2	3—2
z+4
=--, 131 1) х=2/+1, у=-3/-1, z=4/-3;
О
; 4) —
116. х—2у—3z—4=0. 117. 2x + 3y+4z—3 = 0. 118. 2x-2y+z-2=0. 119. 2х-у +
+2—5=0. 120. 3. 121. -^/б. 122. 2^2. Указание: взять на первой плоскости
любую точку, например (2; 0; 0), и найти ее расстояние от другой плоскости.
123. 5х-3y+2z=0. 124. 2x-3z-27=0. 125. 7x-y-5z=0. 126. x+2z-4=0.
127. 4x—4y—2z+15=0. 128. 2x-2y-2-18=0, 2x-2y-z+12=0. 129. x-
—y+2=0. Указание: искомая плоскость перпендикулярна вектору ахЬ.
х—2
130. 1)---
2
2—1	_
-	. 131.' 1)-=
13
у 2+3
1--------------0 ’
X у + 2 2-3	х+1 у—
3) -=—=------; 4)----=—
3	0-2	10
2) Х-2Г+1, y=4r—1, z= —3; 3) х=3/ + 1, y=-2r-l, Z-5/-3. 134. 1) х=/+1,
у=-7/, z=-19/-2; 2) х= —Г+1, у=3/+2, 2-5/-1. 135. 1) 5 = {1; 0; 0};
2) 3 = {1; 0; 1}; 3) 5-{0; 1; 1};4) 3 = {0; 0; 1}. 138. 1) cos?=ll/26; 2) cos?=20/21.
Указание: направляющий вектор каждой из прямых можно _ определить как
векторное произведение нормальных векторов плоскостей (a=7?i хТ?2)- 139. д=
= {1; 1; 2}, а=Д=атссо8 l/^/б, у-агссоаг/^/б. 140. p=arccos 1/7з. 141. 1) х=
х+4 у—3 z
= -2+/, у =1 — 2/, z=-1+3/; 2) х=1 + /, y=l-r, z=2 + /. 143.-=-=-.
_	13	5
Указание: направляющий вектор й*Мх^=(1; 3; 5}. 144. Зх+2у=0, 2—4.
Указание: искомая прямая проходит еще через точку (0; 0; 4). 145. 0; 3^/38.
Указание: Af0(—1; — 2; 1) — точка на прямой; 5={3; 4; 5} —направляющий
----	|Mq3/| |ах|5xMoW] 4J2
вектор прямой. Тогда </=|МоЛ/| sina=-—-------------z.--------* 146.-.
Д |М»М| И	3
- ,	Х + 1 у-^ z+2	г-
147. у=—3, 2х—2=0. 148. д={0; 1; 0}. 149.----------. 150. </=<17.
2	2	1
151. 1) ипр = 1/<6; 2) sin?=5/6. 153. 1) (2; -3; 6); 2) (5; 5; -2); 3) (6; 4; 5).
х у Z
156. у——2^4 Решение. Составим уравнение плоскости, проходящей через
начало координат и перпендикулярной заданной прямой: 2г+3у+г=0, (Для этой
плоскости можно принять Л =/, 27=т, С**п> 1?=0; использовано условие перпен-
дикулярности прямой и плоскости.)
Найдем точку пересечения этой плоскости и данной прямой. Она ранее была
найдена (см. пример), ее координаты: х=4/7, у= —8/7; z= 16/7.
Остается составить уравнение прямой, проходящей через две точки: через
X у Z
начало координат и через точку А/(4/7; —8/7; 16/7): —=-------=- или
4/7 -8/7 16/7
х у z	х—2 у—1 z
- =—=-. 157.----=----——. 158. y+z+l=0. Указание: уравнение прямой
1 -2 4	-9	8	П
х-2 у-1 2
можно записать в виде—159. х—2у +2+5=0. 160. 8х—5y+z—11 =
=0.161. х+2у—2z—1=0.162. 2х+15у—4z+57 = 0.163. (1; 1; 2); 70°. 164. (-1:2;
2); 30°. 165. 1) х2+у2+22=81; 2) (x-5)2+(y+3)2+(z-7)2=4; 3) [х-4)2 +
+(y+4)2+(z+2)2=36;	4) (х-3)2+(у+2)*+(2-1)2 = 18;	5) х2+/+?-9;
б) (х—3)2+(y+l)2+(z—1)3=21. 166. (х—2)2+(у-3)2+(2+1)*=9 и х2 +
+(у+1Г+(2+5У=9.167. Я-5.168. (х+1)2+(у-3)2+(2-3)2 = 1. 169. (х+1)2+
286
+(y—2)2+(*— I)3*49. 170. C(l/i —1; OX Я—1/2. Решение. Приведем уравне-
ние сферы к виду (x-d)2-h(y—i)2+(z—с)2»Я2, ди чего дополним др полных
квадратов члены, содержащие х, у и z, т. е. перепишем уравнение в следующем
виде:
(х,-ж+1/4)-1/4+(у,+2у+1)-1+та+1-0,
НИИ
(x-l^+OH-lp+P-lM.
Следовательно, центр сферы —точка С (1/2; -1; 0); Я—1/2 — ее радиус.
171. 1) С (3; —2;5)»Я—4;2) С(-1; 3; 0), Я*3; 3) (7(2; 1; -1), Я-5;4) С (0; 0;
3), Я-3; 5) С (0; -10; 0), R-10.172. Параболический цилиндр с образующими,
параллельными оси От. Направляющей является парабола х2-4у, z-0.173. Две
плоскости: плоскость Оху и биссектральную плоскость z-x, проходящую через
ось Оу. Указание: данное уравнение может быть представлено в виде z (z—х)»0
и распадается на два: z-О и z—х. 174. Круговой цилиндр. Указание: данное
уравнение может быть представлено в виде (x1 + 2x-hl)+y2-l> или
(x+l)2+v2-l. Теперь ясно, что это уравнение окружности с центром в точке
С(-1; 0) и радиусом Я-1. 175. 1) Круговой цилиндр; 2) эллиптический ци-
линдр; 3) гиперболический цилиндр; 4) параболический цилиндр; 5) параболи-
ческий цилиндр; 6) параболический цилиндр; 7) круговой цилиндр; 8) ось ап-
пликат х-0, у»0; 9) две биссектральные плоскости: x-z и х«-г, 10) две
плоскости: у—0 и у*х. 176. Решение. Исключив из системы уравнений у,
Z2 X2
получим х2+4—2z2**0 или ~ —— »1 — гипербола, лежащая в плоскости у.-2 =
fx2+z2«9,	(у2 —х2» 1,	(z2 — у2«0,
-0.177. 1) <	(окружность); 2) <	(гипербола); 3) ч
(у*3	(z~l	(х-0
(две прямые). 178, 3, ^/З; (2; 3; 0); <2; -3; 0), (2; 0; у/з), (2; 0; -л/з). 1». 4, 3;
45
(4; 0; -1), (-4; 0; -1). 180. 15; (0; -6; -3/2). 181. 1) 3,84я; 2) — я.
4
Глава 11
39. Вся плоскость, кроме точки (0; 0). 40. Вся плоскость, кроме прямой
у——х. 41. |yi<|x|. 42. х>0, у>0; х<0, у<0 (I и HI квадранты). 43. х>0.
44. х2+у2<д2 (круг с центром в начале координат и радиусом Я»д). 45. |х|<
X2 у2
<+со, |у|<+со, т. е. вся плоскость. 46. х2+у2>я2. 47. ~4—-<1. 48. |у|<х2,
а2 Ьл
xi*0. 49. х+у>0. 50. x2+y2-z2< —1. 51. х2+у2—z2<l. 52. x2+y2+z2<4.
53. Гиперболы y—Cjx. 54. Кривые у«С/х2 + 1. 55. Прямые х+у—С. 56. Пара-
С2
болы у-Сх2. 57. Лучи у—Сх, 58. Кривые у»-~ + 1. 59. 4. 60. 1. 61. 3. 62. 1.
63.	Указание: положить ху»а. 64. 0. 65. -1/4.66. 2. 67. е2. Решение. Пред-
Г i;/ л2>/(дг+>)
я	z. Л/ЧУ) I
ставим функцию в виде (1+ху)	Так как z«xy->0 при
> то
.* „	J/x ~	. ^у
lim (1+ху) -*lim(l+z) -е. Далее, inn--------2. Следовательно, искомый
х-»0	j-*0	ж-*0х+у
у-»2
предел равен е2. 68. е2 69. 2. Решение. Предел функции находится при
где точка Мо есть начало координат, т. е. при р-*0 (р«|МоМ]»^х2+у2 —
расстояние между точками Mq и М). Таким образом,
287
Х2+у2	р2	р’(<Д2 + 1 + 1)	, Г1~х
lim .	j:, . ' =—~hm- .—==—-hm-----------------=lim G/p2+l + l)~2.
M"*J/o>/x2+y2 + l-l ^“*°VP2 + 1“1 p~*° P+1” 1
x2+y2
Заметим, что функция z— ,—=— =— не определена в точке Мо (0; 0), но
>/х2+у2+1 — 1
имеет предел при М->М0. 70. е. 71. 3. 72. 2. 73. 1. 74. 0. 75. Решение. Функция
х—у
/(х; >)“---определена всюду, кроме точек прямой х+у—0. Покажем, что она
<+>
не имеет предела в точке (0; 0). Для этого выберем две сходящиеся к точке (0; 0)
последовательности точек Мп 0) и Л// (0; 1/я); тогда
1/л-0	0-1/л
lim /(Л/я)=Ит -------1 и lim /(МяЭ»11т -----L = -l.
л-»со	я-*а> 1/л + 0	л~*ао	*-»<*> 0+1/л
Таким образом, двум различным последовательностям точек, сходящимся к точ-
ке (0; 0), соответствую! две последовательности значений функции, которые
имеют разные пределы. Следовательно, по определению 1, данная функция не
имеет предела в точке (0; 0). 76. Нет. Решение. Пусть точка М (х; у) стремится
к точке (0; 0) по прямой у**кх9 проходящей через начало координат. Тогда
получим
ху	кх2 к
lim------= lim--------=-----.
x-»o%2 + v2 x-*bx2+k2x2 1+fc2
(X*br)
Таким образом, приближаясь к точке (0; 0) по различным прямым, соответст-
вующим разным значениям к9 получаем разные» предельные значения. Отсюда
следует, что предел данной функции в точке (0; 0) не существует. 77.
2) Указание: рассмотреть случай, когда точка М (х; у) стремится к точке (0; 0)
по параболе у=кх2. 78. 1/2. 80. Разрыв в точке (0; 0). 81. Все точки прямой у—х.
82. Все точки на прямых х=0 и у=0. 83. Все точки окружности х2+у2=4.
84. Все точки прямой у»=0. 85. Вое точки прямых х—0 и у-0. 86. Все точки
параболы у2«=х. 87. Линия разрыва у=х. 88. Разрыв вдоль осей координат.
89. Линии разрыва х=0 и у=0. 90. Линия разрыва окружности х2+у2=4.
91. Все точки прямой у—0. 92. Все точки прямых х±у—пп (п — целое число).
93. Разрыв по поверхности эллипсоида x2+2y2+4z2 —8. 94. Все точки коничес-
кой поверхности x4+y2»z2. 95. Все точки сфер x2+y2+z2—n/2+nkt fc=0, 1,
2, ... . 96. Поверхность разрыва — однополостный гиперболоид х2 +y2-z2 = l.
97. Поверхность разрыва — двуполостный гиперболоид х2 +у2 — z2 = — 1.
Глава 12
1. Зх(х+2у); 3(х2—у2). 2. -у/х2; 1/х. 3.
У1 X1 4 -у
(х—у)2’ (х—у)2	х2+у2’
х	2у
—----5. zx'=z„'=cos (х+у). 6. 2ху; х2. 7. 2ху3+Зх2у; Зх2у2 + х3. 8.----------
х2+у2	(х-у)2
2х	ух2	ху ху лс+2у
-----9. --------10. 2xsiny; x2cosy. И. уе; хе 12. е у (1 +х);
(х-у)2	(х+у)2 (х+у)2
1
х(1+2у). 13. —- е
У
X	у	1
— е 7 14.---------, ---------.
у2	х+1пу у (х+1пу)
15- >4—'
Зх \
288
-7=. 16k е ху (1-ху); — х2с ** 20. Решение. Рассматриваемая
имеет частные производные по х и у в точке (0; 0). Это следует из того, что f (х;
0)=0 и /(0; у)=0; следовательно, Д' (0; 0)«0 и //(0; 0)«=0. Но функция не
является непрерывной в этой точке, так как, например, вдоль прямой у»х
lim f (х; у)-1, а/(0; 0)=0. 21. Решение. В самом деле,
х-*0
>-»о
/(0+Лх; 0)-/(0; 0) /(O+AxJ’+O-O |Дх|
Дх	Дх	Дх
|Дх[
Но функция------не имеет предела при Дх-*0. Следовательно, // (0; 0) не суще-
ствует. Аналогично доказывается, что не существует fy (0; 0). 23. — = -(е +е ).
dt
dz , л л dz / х х х\ х2 х f dz
“ * - - * ----- •	—cos------=.26.—»
24. — — 2ху*' 1 4-Зх2у2 2/. 25. — = 3 I sin -4— cos -
df	dz \ у у у,
dz
» У .. n .» dZ , 21 21 • 2 \ 21 •	1-2 (*+l)’ (l+x)’
=e 4-xe —.27. 0. 28. - =2e (2t 4-sm2z)4-e sm2z. 29. —=-—------e
dx y24-(14-x)2
dz >
—=2x_y2+
dv
dz	dz
—	—+p—; —«л—hq—;	2)—«
"	"	Tj	dv	dx
dz
---------sin<p4-
dtp \ dx
dx
dz 2x /
30. —	;
дм у \
( u
+2* 2y —:
di
х\	dz	х (	х\
1— ;	—= — (44— .
у)	dv	У \	У/
dz	dz du	dz dv
32. 1) —«-------
dx du dx dv dx
dz dz 1 dz
— 3=x — +---.
dy du x dv
dz	, 1
31. — »2xy24-2x2y-
du	v
dz dz dz dz
du r dv dy du
dz dz dz	dz
33. —=— cos^H— sin <p;
dp dx dy
xdx—ydy
35. dz-—. 36. dz=(y2dx4-2xydy) x
<х2 — у 2
л	л x ydx—xdy	dx4-10ydy	x /
xcosxy2. 37. dz=sec2-’--------38. dz----------—. 39. dz»y Iinydx4-
y y2	x4-5y2	\
x \	2xdy—ydx
4—dy I. 40. dz=—y--------• 41. dx«(ydx4-xdy) (cosxy—xysinxy). 42. dx»
У /	2.->J x(x+y2)
y(ydx-xdy)	4 (xdy—ydx) 2 (x+y)	V3(xdy-ydx)
------------ 43 J2--------------cosec	. 44. dz=	7
(x2+/)3/2---x~y----------------------------\2x+y\y/x(x+2y}
ein’(x2 + y,i	л	dz 11 г
45. dz=2e	sin 2 (x24-y2) (xdx4*ydy). 46. — = yj2. Решение. На-
ходим /Х'«3х2у—5y2; fy—x^ — Юху и их значения в точке М (1; 1):/7(1;
1)=3 1 1 — 51 * -2,// (1; 1)«1 —10 -1 ’ 1 = -9. Очевидно, что а«^жл/4. Следо-
вательно, по формуле (2) получаем
dz у dz
=У~—а
du ха dv
dz	\
4— cos <р | р.
ду	/
34. dz=ydx+xdy.
dz J2 J2
—	2‘ — 9’ — =
dl
2
2
2
2
dz е cos а 4-е sins
47. - =
dl
у
289
3) 2. 49. 16/3. Решение. Находим вехтор МЛ/] —{1; 2; —2} и соответствующий
ему единичный вектор
- ММ] 7+ЯГ-2*	1,2,2. (12 2)
/—=--	---------7+-J—	—к
|ММ]| 5/1»+2’+(-2)» 3	3 3	13 3	3J
Таким образом, единичный вектор / имеет следующие направляющие косинусы:
cos а «1/3, сое 0-2/3» сову--2/3.
ди	ди	ди
Теперь найдем частные производные: —-2х“2т; — -2у; — --2х, а также
дх	ду	dz
значения в точке М (1; 2; — 1):
ди
дх х-1
ди
4; —
2.
du
dy
ди
-4; —
I dz х-1
«=—2.
Подставляя в формулу (2) найденные значения частных производных и напра-
вляющих косинусов, получим искомую производную:
ди	1	2	/	2\	16	/ди\	2	2
—-4 -4-4 “+(—2)1—50. I — | -cos а 4—cos 0—2cos у, 1) —
dl	3	3	\	з)	3	\dljM	3	^4
2
2)	51. gradz={—2; -4). 52. gradx—{3; 0}. 53. gradz-{—4; 4}. 54. gradz-{0;
-e}. 55. grad и-{2; -2; -4}; |grad u|56. gradu-{-6; -4; 2}; |grad»»|-
Г-	(12)
“	‘	:J Ok |gradM|-l. 58. gradu-{-2; 6; -3};
14. 57. gradw
d2z	2 &z 4х d2z 8х2	d2z
|gradtt|«7. 59. —----; ----------— ----------60. —-«-sinxcosy,
дх2 1-2у ахду (1-2у)2 ду2 (1-2#	8х2
32х	8*2	2у2
—-—-ЯПХ COS у. 61. —;
ду2	дх2 (х—у)3
^z	^z	у d2Z д2 z
62.—-О, —=ле, ----------------
дх2	ду2 дхду дудх
2ха+2ху d2z д2г
(2х24-2лу+у1)2’ дхду дудх (2х2 + 2ху+у2)3*
d2z х3е^ d2z d2z (x2y+e^)e** d2z
dy2 (х+ъ*)2 Sxdy SySx ‘ ^2 dx2
d2^ 2s .
—--4x^to2x,
fly2
d2z d2z
----=------ —cos л stay,
дхду дудх
д2 2 д22 2ху
дхду дудх	(х—у)2
4ху+2у2	д22
(2х24-2ху+у2)2’ ду2
62z_ytr (ху-2)-1
&С2 I .
—
ду* (х~у)3’
> d2z
. 63. — -
дх2
2у—2
~2У (2у-1) х ,
d2z х
66. —е (cosy+xstay+2stay),
дх2
д22
75. — -24х,
дх2
д22
(х+е У
д2 z &z :
----  =2х'
дхду дудх
—е (xsiny+coey),
d2z
——=о>
дх2ду
18cos (Зх—2у),
дх2ду
d2Z д32
d2Z
Зу2
—е (coey+xcosy—stay).
d2z
76 — = —27 cos (Зх-2у),
дх2
d2z	d2z _ _	_
——8cos (Зх—2у). 77. —-0, ——-0, --------------;
ду2	дх2 дх2ду дхду2
290
'7
‘ •2>“* (l+2ylnx).
g*z а2 г
дхду дудх
-0,	-4-30.
дхду2 ду2
д2 Z
—— —— 12cos (Зх-2у),
дхду2
2 d2z	6х	d2z
—, —--------. 7К—-0,
И3 ду2	у*	дх2
д2 2
S3z 53z	d3z	„ <Pz	*	53z	у 53z d’z
-----—	—12xy, — = 6x2. 79. ——ye , ——xe , ------—------—
5xa5y 5x3y2---------------------------------------------------------Sy3	5x3 dy3 дхдуг дулдх
d3z у d3z d3z d3z x	л 3x-2v
—-------—e ,	—-— ----------------=e 81. d2z=e (3dx— 2dy)2.
Sydxdy	дх3ду дудх3 дхдудх
82. d2z = -4sin (x2+y2) * (xdx + ydy)2+2cos (x2 + y2) • [(dx)2 + (dy)2].
„ 1	Ул	* %	x л
83. d2z«“[2dxdy--(dx)2].	84. d2z=- dxdy—- (dy)2-—85. d2z-
X	X	у у2	X
. 86. d3z=2dxdy 87. d22=ex+>1 [(dx)3+4>dxd>>+(2+4>>2) (dj)1].
(x’+y1)3'2
2y	3
88. d2z-2sin2ydxdy+2xcos2y (dy)2.	89. d3z——- (dx)3—-- (dx)2 dy.	90. 0.
V3	V*
91. d3z^e' [(3 +у) (dy)3 —3 (2+у) (dy)2 dx + 3 (у+1) dy (dx)2-y (dx)3].
92. d3z= —cos xcosy (dx)3 + 3sinxsiny (dx)2 dy—3cosxcosy dx (dy)2 4- sinx sin у
.	,	x-1 y-2 z-2
(dy)3. 93. 24 (dy)4. 94. x+2y+2z~9;	==—. 95. 3x+2y-3z«6;
y—3 z-2
=---=----. 96. 4x + 3y-z = 12;
2/3-1
y—4 z-9
8
z—1
1
z-2
2 ’
x-1 у—2 z-2
Г -- —--:
’1/211
х-3 у—4 z—12
---=	=------. 97. 10х—8y-z=9;
4--3-1
I	х—я у—1 z
. 98. х—яу+z—O; -=-=-. 99. 3x+4y+z=26;
1	1 —я 1
х—1 у—2 z—2
100. х+2у—2z = l; -«-—=-. 101. 3x-2y-2z=l;
12-2
х-2
1
-10
х-3 у—4
3 “ 4
х-3 у-2
--- SS	-
-3-2
102. 2x+y4*llz«25; ---==----=----. 103. x+2y==4; ---=----
2	1	11	12	0
5 /2	R
104. 6x—4y—z=±21. 105. y—x —2z±- /- = 0. 106. x+y—1±2	109. Zmm«
= —7 при x=l, y-2? 110. Экстремума нет. 111. zmax=1/27 при x«y=»l/3.
112. Znan-12 при x-y«=4. 113. Тиш——2/e при x= —2, y-0. 114. z^—l при
x—-1, y-1. 115. Экстремума нет. 116. 2^=0 при x=l, у—^1/2. 117. Экст-
ремума нет. 118. Znnn—0 при х=0 и у—0. 119.	при х=у=я/3.
120. Zm.,.3^/3/2 при х-я/3, у~п/6. 121. x~y=3jw. 2=0,5 15/зЙ. 122. Л-1,
Н>=2. 123. Равносторонний. 124. R=
----. 125. Равнобедрен-
Зя
ный. 126. Сомножители должны быть равны. 127. Круг. 128. Стороны искомого
квадрата перпендикулярны диагоналям данного.
Глава 13
5	5	2
1. 4. 2. 2. 3. 126. 4. 10. 5. 3. 6. 20. 7. 4-. 8. 2- 9.	10. я/4. 11. 1. 11 2.
6	6	3
4	5	3	5
13. 1/e. 14. In 15. 0. 16. 1/8.17. 1/12.18. 7/15.19. 20 -. 20. 1 -. 21. - я. 2X 1/2.
23. 0. 24.	25. З^а3. 26. a*/tO. 27. яЯ‘/4. 28. - (e-1). 29. 2я(еА’-1).
2e 2	4
291
1 /	4\ п (я-2)
30. -1я—). 31.-------. ЗХ 2я. 34. Указание: положить к—ху, v-x—2у.
4 \	3/	8
37	1
36k. 1---1п2. Указание: положить u=x+y, v=xy. 37. ~(е—1). Указание:
128	2
положить х=м—uv, y^uv. 38. 5я/Х Указание: положить х+1*рсо$р, у=
1	3	, 2y/b-y/a г-
=р$т<р. 39. - In Указание: положить м=ху, v«y2/x. 40.-— (у $ -
3	2	5 ^аь
—у/~р*).Указание:положитьх= l-.y^^uv.fl. я1п----.Указание:перейти
у u	а—b
к. полярным координатам. 4Х 1/6. Указание: G — треугольная область интег-
рирования, ограниченная прямыми х=0, у—0, х+у=1. 43. Указание: G —
6
треугольная область интегрирования, ограниченная прямыми х=0, у=0, х+у-1.
79 ,
44. — а . Указание: G — область интегрирования, ограниченная кривыми
у2~дх, х=д, у=0 (у>0). 45. -а3. 46. 88/105. 47. а3/3. 48. ~ а3. 49. а*/24.
9	12
2 па4 4а3	45л	4	abc 1	2
50. - тш3.	51. —.	52. —. 53.	—.	54. я/6. 55. -	лЛ3. 56. —.	57. 9 -.	58. - Л3.
3	23	32	3	663
2	5	11
59. 9/2. 60. 41п2—2. 61. 6-41п2. 62. 10-. 63. 20- 64. —. 65. 9/2. 66. а2/6.
3	6	2 е
г 9 , За1	868
67. <2—1. 68. - а3. 69. — 1п2. Указание: положить ху=м ny«=vx. 70. — а2.
2	2	15
Указание: положить у2 —их, vy2=x3. 71. - (А—а)	Указание: положить
х2=иу, y3«vx. 7Х nab. 73. n(b2—a2). 74. - а2	I. 75. а2 |— 1 }.
2	\3	2 /	\2 /
3 ,
76. - па2. 77. 14. Указание: областью G является треугольник, ограниченный
осями Ох, Оу и прямой 6х+3у* 12, полученной из уравнения данной плоскости
при z-0. 78. лЯ\/л3+Я2. Указание: начало прямоугольной системы коор-
динат поместить в вершине конуса, а ось Oz направить по оси конуса. Уравнение
конуса примет вид z—— у/х2+у2. 79. а2^/з. 80. па\/з. 81. - (П-^/г?— 1).
Л	6
2	_
«2. - (2^2-1) п. 83. яа\/2. 84. 2Я2 (п-2). 85. 4яА2. 86. хс=л=9/20. Реше-
1 Vх 1
ние. Сначала вычислим массу пластинки: m«JJ dxdy^j dx f dy=-. Далее
G	о x2 3
вычислим статические моменты ее относительно осей координат:
1 Vх 3	1 у/х з
M,=Jf xdxd>’=fxdx f dy=—:	jdxdy=Jdx f
G	0 x2 20 G	0 x2 20
Затем по формулам координат центра масс найдем
292
3 19	3 19
хс—ус-—,
20 3 20	20 3 20
87. (я/2; я/8). 88» (3; 4, 8). 89» (2л/5; я/2). 90. (0; 4а/3я). 91. —; —92. (О; —
\ 5 8 /	\ Зп/
/ 4 R2+Rr+r2\ П	г 1	Л"1	/5а \
9Х 0; ;-------------Iм; (<“*) 0 + v% - ("-*) (2+V2) . 95.	0 ).
\ Зя Я+г /	[4	16	J \6 /
17а4	а4	,
9С».--» 97. —. 98. 4. 99. 128/15. 100. яЯ4/8. 101. яЯ4/2. 102. Л-аЛ3/3. Л-
96	30
-а3А/3. Указание: направить ось Ох вдоль основания прямоугольника, а ось
Оу — вдоль его высоты. 103. 1/3 (5^/5-1). Решение. Имеем уа»^2х, у'«—
------------------------	J2x
dx*y 1 +1/(2х) dx. По формуле (2) получаем
,2
J ^d/=J Vl + V(Xx) dx=f	dx j K2x+1)3/2] ’J (5^5-1).
AB 0	0	3	3
1 r~ Г V3	3^5+7 a1 ,3/2
104» — (17V17-5V5).	105» —.	106. In —-----.	107. — [(1 +4я2) 1 -1].
12	3	2	3
108. (2д)3/2 я. 109. 3+2х/5. 1Ю. 1) 4; 2) 10/3; 3) 2. 111. 1) 8; 2) 4. 112. f xdy +
AB
dQ dP
+ydx»8 в обоих случаях. Это потому, что здесь — *—. 113. 2.114. 2.115- —я.
дх ду
3	1	1а2 3(1—а2)
116.8. 117.4/3. 118.2/3. 119.-е2+— 120.+—-------------121. 221/15.
4	12	4 2	4 In а
ab2	3
122. 1/2 123. -Я2.124.--. 125.----па2.126. а3п (5-2я). 127. 2яЯ2. Реше-
3	16
др	dQ
ние. Имеем Р (х; у)**х—у, Q (х; у)=х+ у, —= -1, — = 1. По формуле Грина
ду	дх
получаем:	j (*~У) dx+(x+y) dy=ff [1—(-1)] dxdy«2ff dxdy*e2r»2nX2.
L	G	G
2
128. -2nab. 129. 2a3/3. 130. -46-. 131. 2/3. 132. 0.137. nab. Решение. Имеем
1	12»
dx=-asinfdr, dy=/>cos/dr Тогда s=- f xdy—ydx=- J (a cosri cos
2l	2 q
ab	г
sin Га sin t) dt-~ f =nab. 138. a2/6. 139. In2. 140. 3V3+4n/3. 141. 3a2n/8.
2 о	________
142. 3/2. 143. 0. Решение. По условию |/(х; у)|=%/^+>^> координаты силы
Р (х>	таковы: Р= — х, Q- — у [знак «—» объясняется тем, что сила направлена
к точке (0; 0)]. Тогда Л=—f xdx+ydy, где L — эллипс x=acos/, у «Asin f,
L
O^t^ln. Следовательно,
a2-Z>22«	ai-b2
Л**------ J sm2/d/«-----(-cos2f)|J"*0.
2 о	4
144. 8д2. 145. па2. 146. паЬЦ. 147. 1) За2/2; 2) д2/2; 3) 11д2/6. 148. 1) 4/3;
293
дР dQ
2) 17/12.149. Тах как выполняется условие —-—. 151. —2. Решение. Область
ду дх
V — тфыоугыалаЛ параллелепипед, ограниченный плоскостями х- — 1, х- +1,
у-0, у-1, z=0, z-2. По формуле (2) имеем
112	1 ГГ	Z2"|2
Ш (х+У~х) dxdydz— J dx f dy J (x+y-z) dz- J dx 11 xz+yz-dy-
v	-loo	—i J L 2 Jo
0
II	1	1
- f dxj (2x+2y—2) dy- f [2xy+y2-2y]J dx- f (2x-l) dx-[x2-x]1.l«-2.
-i о	-i	-i
1	128
152. 3/2. 15X -9/8. 154. n. 155. - In —. 156. 54. 157. 54. 158. 1/24. 159. 1/6.
1	5	abc
160.	0. 161. 1/8. 162. - In 2-. 163. 1/48. 164. я/6. 165. — (c2+62+c2).
2	16	3
4 c
166. ~ Указание: перейти к сферическим координатам. 167. я/6. Указа-
ние: перейти к цилиндрическим координатам. 168. лЯ4.169. 8. Указание: перей-
ти к цилиндрическим координатам. 170. лЯ4/16. 171. 16л/3. 172. Зтс/2. 173. 24.
174. 12. 175. - abc. 176. ти3/2. 177. 4п. 178. * (8^6-7). 17». я/6. 180. я/2.
181. Зя/8. 182. хс-уе-0. ге~ЗЯ/3. 183. xe-ye=ze~a/4. 184. x£»yf<0, г,-1/3.
185. Хе-^-0. zc=2/3. 186. хе«л-1б^/з/(15я), zt=2. 187. хс=ус=2/5, ze-7/3O.
5 (6^3+5)
188. x<.=ye=0, ze~~—-------. 189. хс=5/6, yt~ze~-1/2. 190. хе»1, Л=5/3,
83
28 л
ze-l. 191. х^-1, yc=ze=0. 192.—яЯ5. 193. 8%Я5/15.	194. яЯЯ4/2.
195. яЯаЯ2/3+яЯ4Я. 196.—яЯЯ4, где Я—высота, Я — радиус основания
10
л г	г .	л3Ьс Ь3ас
конуса. 197. а74.198. 1ш*/у/2.199. 3272*7135.200. 4я.201. Л=-,7,-----,
60	60
c3ab abc
Jz=——, Jo«— (* 4-62+<г). 202. 1. Указание: уравнение данной поверхности
не содержит z, поэтому применить здесь формулу (1) не представляется возмож-
ным. Так как поверхность задана уравнением, разрешенным относительно х,
необходимо воспользоваться формулой
Л/(*; У. 2) Л5=ПДх (у; z); у; z]x/l+x,’+x'* dydz,
S	G
где G— проекция поверхности S на плоскость Oyz. 203. 2у/2п. Указание:
поверхность задана уравнением, разрешенным относительно у. Поэтому для
вычисления интеграла надо воспользоваться формулой
Jf/te Л* z) d5=Jf/[x; у (х; zX zj^l+y^+y^ dxdz,
5	G
где G — проекция поверхности S на плоскость Oxz. 204. 2^/2 л. 205. - (9-73—1).
294
г
* У
Рис, 68
4
206» 10*. 207. а2с\ 208. 36*. 209. 36.210. - *Я4 +
3
+яЯ\ 211. 28/3. Замечание: проекцией G дан-
ной поверхности (части параболического цилин-
дра) на плоскость Охх является прямоугольник,
определяемый неравенствами — 2<х<2» 0<z<
<1. 212. — Замечание: нормаль к поверх-
ности в точке М образует с осью Оу тупой угол,
поэтому в формуле (5) следует взять знак минус.
Проекцией G данной поверхности на плоскость
Oxz тлятл круг ха+ха<1. 213. -*Я4/2. За-
мечание: в формуле (4), которой надлежит пользоваться, следует взять знак
минус, так как нормаль, соответствующая выбранной стороне поверхности,
составляет с положительным направлением оси Ох тупой угол. Проекцией G яв-
ляется круг уа+za <Яа/2 (получено из уравнений	<jR2-y2—i2t x»V?*+x*)’
214. 16я. 215. -32*. 216. 324. 217. 9*. 218. 144*. 219. 88. 220. 4. Решение. По
определению,
ffxdydz+ydzdx+zdxdy—JJ х (у; z) dydz+ffydzdx+ff z (х; у) dxdy.
s	G|	£
Здесь GjhGj — проекции поверхности 5 на плоскости Oyz и Оху, a jjydzdx-O,
s
так как плоскость S параллельна оси Оу (рис. 68). По формулам (3) и (4)
соответственно получим
ff zdxdy- ff (1 -х) dxdy-f dy f (I -x) dx«2>
s Gz	oo
4	1
Jfxdydz-Jf (l-z)dydz«Jdy f (l-z)dz-2.
s Gi	oo
Следовательно,
fJxdydz+ydzdx+zdxdy-2+0+2>=4.
s
221. 4*/P. 222. 1/2. 223. 3. 224. 4nabc. 225. na2b2/2. 226. 6*aa. 227. -яд\/3‘
a4 /4 n X
228. 0. 230. Каждая из частей формулы равна у I-+—J' У*азание: двойной
интеграл можно взять по любой поверхности, проходящей через периметр тре-
угольника АВС, например по плоскости x+y+z*a.
Глава 14
10. у'х-у=0. 11. у'х-у«=ха. 12. у' (ха-уа)-2ху. 13. у'~2у. 14. у~ху'+
2	Х	у/^У2	*
+у' . 15. у « 2у 'х. 16. у'« — —==. 17. у * «-arcsinу. 18. - хуу'+у= 4.
VI-ха	х
х	.
19. у«ху'1п-. 20. у»Сх, у«-2х. 21. xy»G ху=-8. 22. x2+yJ“C\
У
ха+уа-20. 23. у~Се, у-4е*+2 24. у-Се1/х 25. х+у-1пС (х+1) (у+1).
26. у-
С+х
1—Сх
27. У-1+—.	28. 1+уа«С(1 —ха).	29. у«-
1+х	2(1+ха) 2
295
* (.+,><.+i")-Cx'. 31.	«>. 33. „-г^ 33.
у^Д Г X	Г
34. у~-х. 35. 2е -V* (1 +е )• Зв. з/у-х1пх-х+1. 37. >>-1пх. 38. у-
/2	1\	/1	\
«2япх-1. 39. >«1. 40. х*«24-2/. 41. >«(х4-1)2. 42. ta -х+-)«2 — Ч-
\9	9/	V /
ж	х	—ж’/З	С е 4-С
43. у«(х+С) е . 44. у-Се -х-1. 45. у-1+Се ' . 46. у«3+- 47. у------.
х	х
48. j«Cx3-x2.	49. >«(х24-С)е *	50. ,у«Сх2е1/Х4-х2.	51. у «Се *+
1	С-сов2х	С С-е *
+- (cosx4-sinx). 52. у«-------. 53. >«1пх4—. 54. у**------—. 55. .у=14-
2	2совх	х	2х2
InCtg^		
2 4-	—Вах 56. ^«2 (sinx—1)4-Ce	57. y=— +—.	58. ^«Cx24-eX
cosx	4 x2	
1	- e x	1	1
£Q v				
У — xlnCx	W» у =	• VI» y~	i	 — 	04» у 2x4-C	/	2x	/' X1	-
	x/x4-l/24-Ce	Ce 4-x24-1
X	1 , 1	I
m .. 				
OlS. V =	см. y*^	оз» у —	сю.	у « —	 	л.
C-tax	tax+l + Cx	1+с/	1/Зх3 + Сх’
67. х34-Зх2,у24-у4=С. 68. х3/-у«С. 69. у 4-хе 7=С. 70. x2cos2>4-<y2«C.
л + л	x2cos2y	, л
71. х3 4-2x^—3^= С. 72. х3у—2х2<у2 + 3^4 = С. 73.---------Fx=C 74. х3у-
-х4/24-у3х-у4/2=С.	75. у^/14-х2 4-х2у-^1п|х|«С.	76. tgx>-cosx-
е7—1
-cosj>«C. 77.-----------;*С.	84. y«Cie*4-Cje *	85. у=е x(Ci-l-C2x).
14-х2
—4х	х 2х	2х
86.	у=е	(Cicos 3x4-С2 sin Зх).	87. у=С\е 4-Сге 88. у=е (Ci4-C2x).
89.	у=еХ (Cicosx4-C2sinx). 90. у=С& +С#Х 91. <у=С1е2х4-С2е **
92. ^«С14-Сге 4*	93. у= С^ ^Н-Сге *	94. >=(Cix4-C2) е*Х 95. у=
«е Х (C]cos2x4-C2sm2x).	96. y^Qe*+С?е *	97. >=Ci cos х-|-С2 sinx.
98.	^=(Cix4-C2) е X-h“ eX 99. y=Cie2X4-(C2-x) eX 100. ,y«CieX4-C2e 2x—
4	г Г
-3 (x2+x+l,5). 101. >“C! + C2e“3x+^ x2-x.	102. y^C^1	-
-(x-2) e X 103. ^«Cie2X4-C2e^2*-2x3-3x.	104. y^C^e*+C^X 4-
1
4-- (5 cos 3x— sin 3x).
-хд / 3x 3x\
105.	у«е I Ctcos—4-C2sin — I— 6cos2x4-8sin2x.
3	1
106.	y=C1cos2x4-C2sin2x— xcos2x. 107. y=C]Cos2x4-C2sm2x— xcos2x.
4	4
108.	у=Ci cos x+ C2sin x4-~ x cos x4— x2 sin x. 109. у=eX (C\ со$>/2х4- C2 впцДх) 4-
4	4
296
С	—2х 2	9	х
+— (5cosx—4sinx). 110* у=Qe +Cje ——sinx—— cosx. 111. у-С^е 4-
+ C&*+- e3* (x2-2x+2). 112. y=e (Q cos x 4-C2 sin x)+x2e* cosx.	11X 7=
2
2x	— 2x x	x
«Cie 4-C2e +e (x cosx 4-sinx). 114. 7=C1cosx4-C2sinx4-x4-e . 115. y—
-- e*x2+x+3+ex (C^+Q).	116. y-- e*-- xe^+C^+C^	117.
2	3	2
-3л x 1	, -Зх 1	„ X	X2	X2
=C(€ +Cje — - (2x24-x) e 4-—(2x24-3x) e .	118. y~— + Ct	У=~“ b
C	/5	>/2
119. y2~x2^C, 72-x2 = 16. 120. y* ty** /---------------. 121. y*Ct ,
V2x+5	V2x+5
7=10e*^ 122. 72 = 6x+C, 72 = 6x4-64. 123. 7=sin (x2 4-2x4-0, 7=cos (x24-2x).
2
7=4 (x 4-5/1 +**)• 125. 7=2 sin In7=—2 sin In x.
2	C(2+x)	5(2+x)
126. 7=--------,	. 127. 7=—-----t 7=-^---. 128. 7=Ce V -1,
x	x	2—x 2—x
arctg - 4-C	arctg -
2	2
y=e^-l. 129. y=3sin (C+v/l-x2), j»=3sin (-/l-x2-!). 130.
j-=^eX,+'	131. y2x J hC (2x4-1). 132 у-С<Га*хР,
Ce2x—1	Зе2*—2 
133. 7=-----, 7=-------. 134. 7=4sinln [С (x-24-<х24-4х+8]. 135. 7=
2	4
xx	xx	C4-4x
=5sin(xe -e +C), 7=5sin (xe -e 4-1).	136. 7
7=-eW*5*	138. 5/24-7-C-ctg2x, 5/24-7=2-
137. y=Ce ,
C—cosx
139. 7------,
2 sin2 -
2
7=----------.
142. r=(x+Oe
140.7=---------.	141. 7= 2sin-4-C I tg
1-Cx2	\	2/2
,	1	C-e
143. 7=2xyx4-Cx. 144. 7=- (arcsinx4-C). 145. 7=-------—. 146. 7=lnx4-—.
In (Ctgx/2)
147. 7=14-----------.
cosx
148. 7=———.	149. 72 =
xlnCx
1
150. 72=-------.
*	14-Ce*
151 y2 (x’ + l/Z+Ce2*’)-!- 153. Inx-^ x2+
151. 7 (lnx4-14-Cx) = L __, v	, -	______
+ Cjx+C2- 154.7= — sin2x4-C1x+C2. 155. 7 = CiX34-C2. 155. 7=Cjlnx4’C2.
4
3x ___________________________________________________________3x
157. 7«CjX24-C2. 158. 7= Ci cos 3x4-C2 sin 3x. 159. 7=Qe	160.7=
x	— 25x	2^2x
= Cj4-C2e. 161. 7 = Ci sin 5x4-C2 cos 5x. 162. 7=Q 4- Cje 163. 7=Cje 4-
297
+Cje 164. y-C1e5j'+C2e"S‘. 165. y-t (q+Qx). 166. y~9* (Ci + C2x).
167. ^«e U (Cisin^^x+CjCOs^/бх). 168. y^Cjsin 10x+C2cosl0x. 169. >=
-C1eto+C2e~*/2.170. j—Cirin^/b+Cjcos^/lx. 171. >>-Cieta+C2e~<x. 17X y-
+Cje	174. y-Ci+C& +
17S. >-e'* (C1+x)+C2.	176. >-С|е-2ж+С2е"'+- **
_	-	4
177. у
178.
—2x	(
-e	(C| + Cjx).	173. y=CjC
1	X
+~ C .
2
-х/z/	x/3	V3 \ 6	9
~e I Ci sin — x+ C2cos — x)+— sin 2x----cos 2x.
\	2	2/13	13
-x 5 Sx	1
+-Cje +—e 179.	Cisinx+C2cosx-— sin5x. 180. y«(Cj +x/2) sinx+
/	2 \ -2x x
+ C2 cos x. 181. у - (Cj + x/6) sin 3x+ C2 cos 3x. 182. у «= I Cj -- xJ e + C2e +
1 2x	x X1	—д Зх X2 4	14
+- e 183. j'wQ+Cje-------5x. 184. y-Cje +C2e------+- x—-. 185. y-
4	2	3 9	27
186. y-e~** (С1-х/4)+хг1&-х/16+Сг.
I 2 X x
188. j>»C|sin3x+( C2— x 1 cos3x+-.
\	3	J	9
2
1
-(Ci+x/2) sinx+C2cosx—~ sin 5x.
x\ -2x /	3	\
I— )+e I C2— x ).
4/	\	4	/
3x x4 x3 x2 20
189. y*»C| + C2e----———— x.
12 9	9 27
x2\
4—1 sinx+(C2+x/4) cosx. 192. y-Q+Cae
4 /
x2+3
194. y=*----.
2
187. у-е
-Зх x
190. ^“Cj-hCje +-«
x f x 3\	_л
’€	—~ 1. 1^3.	+
195. y-Vl+Jt1-	196.j-3xJ.
191. у» Q +
+(l-x/2) sinx—— cosx.
197. v3-2x. 198. Параболоид вращения. Уравнение сечения плоскостью Оху.
j^mIxC+C3, если источник поместить в начале координат. 199. «4,3%.
kt	&t2
200. y^ytfi , где fc>0 — коэффициент пропорциональности. 201. у-“—H-vq/.
Решение. Примем за ось Оу вертикальную прямую, являющуюся траекторией
движущейся точки, при этом положительное направление оси Оу установим
к Земле. За начало координат возьмем начальное положение точки (у«0 при
Г»0). Так как ускорение равно второй производной от пути по времени (а«у*),
а при свободном падении ускорение падающего тела равно g«9,81 м/с2, то
получаем дифференциальное уравнение
из которого надо найти зависимость пути у от времени г, т. е. надо найти
решение этого уравнения, удовлетворяющее заданным начальным условиям
У L-o=0 и yr|;-o«vo.
Полагая v (0жу'> получаем уравнение v'«=g или dv^gdr Интегрируя, находим
v=g/4-Cb
Полагая здесь и используя второе начальное условие, имеем уравнение
voxg‘0+С]. Отсюда Ci«v0 я
№g/+V0.
298
„ <v
Заменяя v на — и интегрируя еще раз, имеем
dr
dy	gt2
—“gf+VQ, dy=(g/+v0) d/, y=—+v0r+C2.
dr	2
Для определения C2 заметим, что в силу первого начального условия у=0 при
I ** 0. Подставляя эти значения в последнее уравнение, получим
g-0
0 =	+ vo • 04-С2,
откуда С2=0. Следовательно,
J’-T+vo'-
Таков закон движения точки при свободном падении с начальной скоростью vq.
202. y=VQ/——. 203. S=6e^‘ v=3e^2; a=-	204. /=60 мин. Решение.
2	2
Обозначим температуру тела в некоторый момент времени t через Т (/), тогда
dT
скорость изменения температуры по времени равна производной —. Так как
dr
скорость охлаждения пропорциональна разности температур (закон Ньютона), то
получаем уравнение
dT	dT
— =fc(T—20) или-----=*dr.	(♦)
dr	Г-20
Здесь к — множитель пропорциональности, подлежащий определению. Это урав-
нение с разделяющимися переменными. Интегрируя, находим:
In |T-20|=Jtf+foC| (C|>0), ir-201-Cte*',
T-20=-±Ciefa=Ce*', T=Ce*'+20.
Получили общее решение уравнения (♦). Для выделения частного решения исполь-
зуем начальное условие Т|/в о=100. Подставляя это значение в последнее уравне-
к о
ние, получаем Се 4-20= 100, откуда находим, что С=80. Итак, частное решение
имеет вид
Т-80е*'+20.
Для определения неизвестного множителя к используем второе дополнительное
1
условие: при Г=20 мин Г=60°С. Тогда In 40=20^4- In 80, откуда fc=-In 2.
20
Таким образом, искомое решение уравнения (♦)
Т=20+80|-1
\2/
которое и выражает закон охлаждения тела. При Т=30°С получаем уравнение
/1\"“	т"10 1	t
10=801— | или	=-, откуда находим —= 3 или Г=60 мин. 205. 51og2 20»
\2J	\1J	8_	20
л /2Я	st
«21,5 мин. 206. Г=-	.	207. «35 с. 208. х=е (Cj + C2r), у=
trV g
299
-e5' (C,-C2+C2().	209. у-С1еХ+С2е2Х, z--C1eX-^e2x.	210.x-
2/	21
«е (Ci сов /+C2sin/), (Cj sin Г—C2 cos/). 211. x—Ctcoer+C2sm/, y—
1	X -x x -x
-- [(Ci-Q)cos/+(C| + C2) апф 211 +Qe , z-Cje -C& . 213. v-
2
-2C|cosx+2C2sinx, z-(Ci-C2) cosx+(C|+C2) sinx. 214. x—— 2Cie 1+2С#\
—t 3/	21	21
y~Cje 4-Сге 215. x-e (Cicos/+C2sinr), y—e (Q sin/—C2cosr). 216.x-
21	2t	2x 3x
-e (Cicos/+C2sin/), y—e (Cisin/-C2cosr). 217. y-Cje + Cje , z«
-C^+2C2eX 218. y-q+c/* t~Cl-4C]ex 219. y-t* (qcos3x+
2x	/2/3/
+ C2sin3x), z-e (Cism3x-C2cos3x). 220. x=-2Cie-ЗСге -3Cje , y=
= Ci® +3C2e + Cje z=2Cj6 «HVC^ +3C2e	221. x=2Cj + C2e +Cje	y^
2/	t 21
=3Cj— 2Сзв	z=Ci + C2c 4-2C2c	222. х—(С24-Сз) cos/+(—С2+Сз) sin/, y^
/ / 1
= Cje +С2со$/ + Сзяп/, z-Qe — С2ап/ + Сзсов/; x®cos/, j/=- (cos/4-sin/),
j	2
z=-(cos/-sin/). 223. (Ci + C2x), z=e [-Q + C2 (1-x)]. 224. x=
2
=e (Ci+C2/), y=t [2Cj4*C2 (2/—1)J. 225. x=Qe +C2e, y^— 2С[в +
4-ЗСге-ЗСзе, z«2Cie +Сзе. 226. х—С^е +(С2/+С2+Сз) e, у— —2Cie +
Ч-ЗСхв, Z—2C16 +(С2/+Сз)е. 227. x— С1+С3С , у**ЗС\—ЗС2—2Сзе	z™
*С2+2Сзе . 228. х= Ci+С2 (/+!)+С3С ,j«»3C2—2Cje , z=Ci +• С2/+2С^е
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие.	3
Глава 1. Вещественные (действительные) шсла	.	4
§ 1.	Основные понятия................................................ 4
1.	Представление вещественных чисел в виде бесконечных десяти-
чных дробей (4). 2. Некоторые числовые множества (5).
§ 2.	Грани числовых множеств......................................... 5
§ 3.	Абсолютная величина вещественного числа .	7
Г лава 2. Числовые последовательности в теория пределов .	9
§ 1.	Числовые последовательности	.	9
1. Определение числовой последовательности (9). 2. Ограниченные
и неограниченные последовательности (10). 3. Бесконечно большие
и бесконечно малые последовательности (11).
§ 2.	Сходящиеся последовательности	12
1,	Определение предела последовательности (12). 2. Основные свой-
ства сходящихся последовательностей (14).
§ 3.	Монотонные последовательности	...	15
1.	Определение монотонных последовательностей (15). 2. Признак
сходимости монотонных последовательностей (16). 3. Число е (17).
Глава 3. Асалигическая геометрия на плоскости .	18
§ 1.	Направленные отрезки и их величины. Числовая прямая	18
1.	Ось и отрезки (18). 2. Числовая прямая (18).
§ 2.	Прямоугольная (декартова) система координат ....	19
§ 3.	Простейшие задачи аналитической геометрии на плоскости .	21
§ 4.	Полярные координаты....	......... 22
§ 5.	Уравнение линии как множество точек плоскости .	24
§ 6.	Линии первого порядка	26
1. Уравнение прямой с угловым коэффициентом (26). 2. Уравнение
прямой, проходящей через данную точку М(х^ у0 с данным уг-
ловым коэффициентом (26). 3. Уравнение прямой, проходящей через
две данные точки М\ (q; уО и AfjOq; У2) (26)« Общее уравнение
прямой (26). 5. Угол между двумя прямыми (28). 6. Нормальное
уравнение прямой. Расстояние от точки до прямой (30).
§ 7.	Смешанные задачи на прямую	31
§ 8.	Линии второго порядка . .	32
1.	Эллипс (32). 2. Гипербола (34). 3. Парабола (35).
Глава 4. Фужция	36
§ 1.	Основные понятия	.	36
1.	Определение функции (36). 2. Четные и нечетные функции (38).
3. Периодические функции (40). 4. Графическое изображение функ-
ции (41).
§ 2. Предел и непрерывность функции.............................. 44
301
1. Определение предела функции (44). 2. Свойства пределов. Непре-
0 оо
рывность функции (45). 3. Раскрытие неопределенностей вида - и —
0 оо
(47)	. 4. Раскрытие неопределенностей вида оо—оо и 0 ’ оо (48). 5. Сме-
шанные задачи на вычисление пределов (49).
§	3.	Сравнение бесконечно малых	50
Глава 5. Дифференцирование	54
§	1.	Понятие производной	54
§	2.	Вычисление производных	55
§ 3.	Понятие дифференциала ....	59
§ 4.	Производные и дифференциалы высших порядков .	61
1.	Производные высших порядков (61). 2. Дифференциалы высших
порядков (62).
§ 5.	Дифференцирование функций, заданных параметрически ...	62
§ 6.	Основные теоремы дифференциального исчисления. Правило Лопита-
ля. Формула Тейлора	63
1. Теорема Ферма (63). Теорема Ролля (63). Теорема Лагранжа (63).
Теорема Коши (64). 2. Правило Лопиталя (64). 3. Формула Тей-
лора (68).
§ 7. Исследование функций и построение графиков .	71
1. Признак монотонности функции (71). 2. Отыскание точек локаль-
ного экстремума функции (71). 3. Направление выпуклости и точки
перегиба графика функции (73). 4. Асимптоты графика функции (74).
5. Схема исследования графика функции (76).
Глава 6, Интегрирование	82
§ 1. Первообразная и неопределенный интеграл	82
1. Основные сведения (82). 2. Основные свойства неопределенного
интеграла (83). 3. Таблица основных интегралов (83).
§ 2. Основные методы интегрирования .	84
1. Непосредственное интегрирование (84). 2. Метод подстановки (87).
3. Метод интегрирования по частям (92). 4. Смешанные при-
меры (95).
§ 3. Интегрирование рациональных функций	98
§ 4.	Определенный интеграл	.	102
1.	Определение определенного интеграла (102). 2. Основные свойства
определенного интеграла (103). 3. Формула Ньютона—Лейбница (103).
§ 5.	Некоторые физические и геометрические приложения определенного
интеграла	106
1.	Формулы площадей плоских фигур (106). 2. Формулы длин дуг
плоских кривых (108). 3. Формулы объемов тел вращения (111).
4. Формулы площадей поверхностей вращения (112). 5. Формула ра-
боты переменной силы (115).
§ 6.	Несобственные интегралы	116
1.	Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегриро-
вания (116). 2. Несобственные интегралы от неограниченных функ-
ций (118). 3. Признак сходимости несобственных интегралов (119)
§ 7.	Приближенное вычисление определенных интегралов	122
1.	Формула трапеций (122). 2. Формула Симпсона (122).
Глава 7. Элементы высшей алгебры	123
§ 1.	Определители.............................................   123
302
к Определители второго порядка (123). X Определители третьего
порядка. (123). 3. Свойства определителей (124).
§ 2. Исследование системы трех уравнений первой степени с тремя неиз-
вестными	127
Глава & Ряды .	130
§ 1. Понятие числового ряда....................................... 130
1. Основные определения (130). 2. Необходимое условие сходимости
рада (132).
§ 2. Ряды с неотрицательными членами. Признаки сходимости. . .	134
1. Признак сравнения (134). X Признак Даламбера (134). 3. Интеграль-
ный признак (135). 4. Смешанные задачи (135).
9 3. Знакопеременные ряды.	...	136
1. Знакочередующиеся ряды (136). X Абсолютная и условная сходи-
мости рядов (136).
$ 4. Степенные ряды .	137
1. Определение и общие замечания. Интервал сходимости (137). 137
2. Разложение функций в степенные ряды (139).
§ 5. Ряды Фурье	143
1. Определение (143). X Ряд Фурье с периодом 21 (143).
Глава 9. Комплексные числа	145
Глава 10. Аналитическая геометрия в пространстве	152
| 1.	Прямоугольная система координат в пространстве	152
§ X	Понятие вектора.............................................. 153
§ 3.	Линейные операции над векторами. Разложение вектора по базису 156
§ 4.	Скалярное произведение векторов	158
1.	Определение и основные свойства скалярного произведения (158).
2.	Выражение скалярного произведения через координаты векто-
ров (159).
§ 5.	Векторное произведение .	........ 161
1.	Определение векторного произведения (161). 2. Основные свойст-
ва векторного произведения (161). 3. Выражение векторного произ-
ведения через координаты векторов (162).
§ 6.	Смешанное произведение трех векторов.	164
1.	Определение и геометрический смысл смешанного произведения
(164). 2. Выражение смешанного произведения через координаты
векторов (164).
§ 7. Уравнения плоскости ...	166
1. Общее уравнение плоскости (166). X Нормальное уравнение плос-
кости (167j.
$ 8. Уравнения прямой	...	170
1. Канонические уравнения прямой (170). X Параметрические урав-
нения прямой (171). 3. Угол между прямыми (171).
§ 9. Прямая и плоскость.......................................... 173
§ 10. Уравнения поверхности и линии. Уравнения цилиндрической поверх-
ности и поверхностей второго поряд ка............................. 175
1.	Уравнения поверхности и линии (175). 2. Уравнения цилиндри-
ческой поверхности и поверхностей второго порядка (177).
Глава 11. Понятие, предел и непрерывность фужций нескольких иеременшх 179
§ 1.	Понятие функции нескольких переменных н основные сведения ....	179
303
§ 2.	Предел и непрерывность функции двух переменных .	182
Главк 12. Частные производные  дифференцируемость функций нескольких
переменных	184
§ 1.	Частные производные	184
§ 2.	Производные сложных	функций	....	186
§ 3.	Дифференциал функции.	Производная по направлению. Градиент	188
1.	Дифференциал функции (188). 2. Производная по направлению
(188). 3. Градиент (189).
§ 4.	Частные производные и дифференциалы высших порядков .	191
1.	Частные производные высших порядков (191). 2. Дифференциа-
лы высших порядков (192).
§ 5.	Касательная плоскость и нормаль к поверхности .	193
§ 6.	Экстремумы функции двух переменных .	195
Глава 13. Интегрирование	196
§ 1.	Двойной интеграл	196
1.	Случай прямоугольной области (196). 2. Случай криволинейной
области (197).
§ 2.	Замена переменных в двойном интеграле .	199
§ 3.	Некоторые геометрические и физические приложения двойных интег-
ралов .	203
1.	Вычисление объема (203). 2. Вычисление площади (204). 3. Вы-
числение площади поверхности (205). 4. Вычисление координат цен-
тра масс и момента инерции однородной пластинки (205).
§ 4.	Криволинейные интегралы. Формула Грина .	206
1.	Криволинейные интегралы (206). 2. Формула Грина (210).
§ 5.	Некоторые приложения криволинейных интегралов второго рода.	211
1.	Вычисление площади (211). 2. Работа силы (211).
§ 6.	Тройные интегралы.	212
1.	Вычисление тройных интегралов (212). 2. Некоторые приложения
тройных интегралов (216).
$ 7. Поверхностные интегралы. Формулы Остроградского и Стокса .	217
1.	Поверхностные интегралы (217). 2. Формула Остроградского
(221). 3. Формула Стокса (222).
Глава 14. Дифференциальные уравнена	223
$ 1. Дифференциальные уравнения первого порядка	223
1.	Основные понятия (223). 2. Уравнения с разделяющимися пере-
менными (225). 3. Линейные уравнения (226). 4. Уравнение Бернул-
ли (228). 5. Уравнение в полных дифференциалах (229).
§ 2.	Диффер ^циальные уравнения второго порядка .	230
1.	Основные понятия (230). 2. Линейные однородные дифференци-
альные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
(232). 3. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения вто-
рого порядка с постоянными коэффициентами (233).
§ 3.	Примеры дифференциальных уравнений разных типов	237
§ 4.	Системы дифференциальных уравнений .	240
1.	Общие понятия (240). 2. Системы линейных однородных диффе-
ренциальных уравнений с постоянными коэффициентами (243).
Ответы, решении, указания.................................... 248
В.С.Шипачев
ЗАДАЧНИК
ПО ВЫСШЕЙ
МАТЕМАТИКЕ
Издание третье, стереотипное
Допущено
Министерством образования
Российской Федерации
в качестве учебного пособия
для студентов высших учебных заведений
Москва
«Высшая школа»
2003