А. Н. Колмогоров,
А. Ф. Семенович,
Р. С. Черкасов
ГЕОМЕТРИЯ
УЧЕБНОЕ ЛаХ КЛАССОВ
ПОСОБИЕ ДЛЯ	СРЕДНЕЙ	ШКОЛЫ
ПОД РЕДАКЦИЕЙ
А. Н. КОЛМОГОРОВА
Утверждено
Министерством просвещения СССР
МОСКВА
«ПРОСВЕЩЕНИЕ»
1 979

22. 151я 72
К 60
60601 — 302
К	 —	ннф.	письмо
103 (03) — 79
Издательство «Просвещение», 1979г.

ОГЛАВЛЕНИЕ
6 класс
Г Л А В А I. НАЧАЛЬНЫЕ ПОНЯТИЯ ГЕОМЕТРИИ
1. Что такое	геометрическая фигура?	 8
2. Основные	понятия, принимаемые	без определений .	12
3. Величины	и числа	 13
4. Основные	свойства расстояний	 14
5. Взаимное расположение трех точек на прямой.
Неравенство треугольника	 18
6. Отрезок и луч	 20
7. Координаты на прямой	 23
8. Ломаная 	 26
9. Плоскость. Планиметрия	 29
10. Область 	 33
11. Многоугольник 	 37
12. Полуплоскость. Угол	 40
13. Взаимное расположение дзух	окружностей ....	44
14^. Из истории геометрии	 47
Дополнительные задачи к глазе	I	 50
ГЛАВА II. КОНГРУЭНТНОСТЬ ФИГУР И ПЕРЕМЕЩЕНИЯ
§ 1. Конгруэнтность
15. Отображения фигур	  .	.	54
16. Отображения, сохраняющие	расстояния	 59
17. Конгруэнтные фигуры	 03
18. Измерение углов	 ....	(jg
§ 2. Перемещения
19. Поворот 	   70
20. Центральная симметрия	 75
3

21. Осевая симметрия	 73
22. Пос.рс^гпг.е троу. 	 83
§ 3. Симметрия фигур
23. Оси симметрии окружности	 89
24. Оси си^.^.чрии о . резка	 91
25. Ось симметрии угла и равнобедренного	треугольника 94
26. Рас*.тояиг.е о/ точки д« прямой. Свойстьо биссектри¬
сы угла	 97
27V Симметричнее фш уры 		 .	.	.	•	J
§ 4. Окружность
28 Угловая величина дуги окружности	105
29. Взаимное расположение прямой и окружности .	.	.	107
30. Задачи на построение	110
ДополнИ'слвные задачи к главе II	 114
7 класс
ГЛАВА III. ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ И ПАРАЛЛЕЛЬНЫЙ ПЕРЕНОС
§ 1- Параллельные прямые
31. Параллельность прямых и центральная симметрия . .	119
32. Аксиома параллельных	  121
33^ .Неевклидова геометрия. Геометрия и физика .	.	.	124
§ 2. Параллельный перенос
34. Отношение эквивалентности	127
35. Направления ........	129
36. Параллельный перенос	 ...	132
37. Углы между направлениями ....	137
38. Сумма углов многоугольника ....	139
Дополнительные задачи к главе III ...	142
ГЛАВА IV. МНОГОУГОЛЬНИКИ
§ 1. Треугольники
39. Элементы, определяющие треугольник	146
40. Соотношения между сторонами и углами треуголь¬
ника 	150
§ 2. Четырехугольники
41. Параллелограмм 	 153
42. Взаимно-обратные теоремы	 155
43*. Необходимые и достаточные условия . . .	159
44. Прямоугольник	 162
45. Ромб  	165
4

46. Квадрат 	167
47. Теорема Фалеса	169
48. Трапеция 	171
§ 3. Площади многоугольников
49. Общие сведения о площадях фигур	174
к,,,	50.	Площадь параллелограмма	178
51. Площадь треугольника	180
52. Площадь трапеции	183
53. Площадь многоугольника	 184
Дополнительные задачи к главе IV	185
Г Л А В А V. ВЕКТОРЫ
54. Композиция перемещений	  191	.
55. Векторы и способы их задания	196
56. Сумма векторов	200
57. Законы сложения векторов. Вычитание векторов . .	.	203
58. Умножение вектора на число	207
59. Координаты вектора  	210
60Т. Векторы и векторные величины	в физико ....	212
Дополнительные задачи к главе	V	214
Г Л А В А VI. ПОДОБИЕ
§ 1. Подобие и гомотетия
61. Подобные фигуры	217
62. Гомотетия	221
63. Свойства гомотетии	226
64. Пропорциональные отрезки	229
65^. Преобразования подобия	 232
§ 2. Подобные многоугольники
66. Признаки подобия треугольников	235
67. Теорема Пифагора	 ...	242
68. Подобные многоугольники	246
69. Измерительные работы	251
Дополнительные задачи к главе VI	257
8 класс
ГЛАВА VII. ПОВОРОТЫ И ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
$ 1. Повороты и их композиции
70. Способы задания поворотов	260
71. Угловые величины. Их измерение	в радианах ....	263
72. Композиция поворотов с общим	центром	265
5

§ 2. Тригонометрические функции
73. Задание перемещений с помощью координат .	■	.	267
74. Синус и косинус		 •	2е9
75. Некоторые тождества для функций синус и косин,с	.	274
76. Таблицы синусов и косинусов		 276
77. Тангенс	  278
78 Соотношение между сторонами и углами прямоуголь¬
ного треугольника 	 279
Дополнительные задачи к главе VII	.	283
ГЛАВА VIII. МЕТРИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ В ТРЕУГОЛЬНИКЕ
§ 1. Теоремы косинусов и синусов
79. Теорема косинусов .	  285
80. Формулы для вычисления площади треугольника	.	288
81. Теорема синусов	 290
§ 2. Некоторые применения подобия и формул тригонометрии
82. Применение подобия к решению	задач	 291
83. Измерительные работы	298
84Т. Решение треугольников	 299
Дополнительные задачи к главе VIII	302
ГЛАВА IX. ВПИСАННЫЕ И ОПИСАННЫЕ МНОГОУГОЛЬНИКИ
§ 1. Треугольники и четырехугольники
85. Вписанный угол		 304
86. Вписанные и описанные треугольники ...	.	307
87▼ Вписанные и описанные четырехугольники ....	309
§ 2. Прввипьные многоугольники
88. Построение правильных многоугольников	312
89. формулы для вычисления стороны и площади пра¬
вильного многоугольника	  315
§ 3. Длина окружности и ппощвдь круга
90. Длина окружности	31В
91. Площадь круга	 .	..	323
Дополнительные задачи к главе IX	325
ГЛАВАХ. НАЧАЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ СТЕРЕОМЕТРИИ
§ 1. Прямые и плоскости в пространстве
92. Расположение плоскостей в пространстве ...	.	327
93. Параллельные прямые в пространстве ...	.	329
94. Перпендикулярность прямой и плоскости ....	331
6

§ 2. Многогранники
95. Прямая призма	333
96. Пирьтида .....	.	.	336
97^ . Общие свойства объемов  	ciO
§ 3. Фигуры вращения
98. цилиндр 	341
99. Конус 	 344
100. Шар	   346
Дополнительные задачи к главе X .  	318
Задачи на повторение по курсу 6—8 классов ...	351
Ответы и указания	357
Приложения
О логическом строении геометрии  	372
Язык теории множеств в геометрии .	.	   376
Формулы геометрии ....	 376
Формулы тригонометрии	-	З.Н
Греческий алфавит	 379
Перечень обозначений, встречающиеся в учебнике .	.	380
Предметный указатель	381

6
ГЛАВА 1
КЛАСС
НАЧАЛЬНЫЕ ПОНЯТИЯ
ГЕОМЕТРИИ
ч
В первых пяти классах вы уже за¬
нимались геометрией, знакомились со
многими геометрическими фигурами и
их свойствами; вам известны некото¬
рые определения геометрических поня¬
тий и некоторые доказательства. Те¬
перь вы получаете специальную кни¬
гу, в которой излагаются первые раз¬
делы систематического курса геометрии.
Естественно, что в ней будет уделено
внимание и повторению уже известно¬
го материала. Но при этом почти все
известные вам понятия будут точно
определены, а некоторые предложения,
принятые ранее без обоснований, бу¬
дут доказаны. О том, как развивалась
геометрия и когда возник интерес к
логической	строгости в изложении
геометрии, вы можете прочесть в кон¬
це первой главы.
1. Что такое геометрическая фигура)
1.	Отрезки, окружности,	треуголь¬
ники — все это известные вам гео¬
метрические фигуры. Вам знакомы
также фигуры, изображенные на ри¬
сунке 1.
8

Что же такое «геометрическая фигура»? Начнем с при¬
мера.
Рассмотрим окружность, радиус которой 1,5 см (рис. 2). Она
состоит из всех точек плоскости, находящихся от центра О на
расстоянии 1,6 см. Например, \АО | = 1,6 см (эта запись чита¬
ется так: расстояние \АО\ равно 1,5 сантиметрам). Если точка
М не принадлежит этой окружности, то \МО\ ф 1,5 см.
Радиус окружности, изображенной на рисунке 3, обозначен
через г. Для любой точки X этой окружности | ХО = г. Если
точка М не принадлежит окружности, то \МО\ ф г.
Итак, любая окружность состоит из всех точек плоскости,
которые находятся от центра на расстоянии, равном ради¬
усу этой окружности. Поэтому и принимают следующее опреде¬
ление.
Определение. Множество точек плоскости, находящихся
на данном положительном расстоянии от данной точки этой
плоскости, называется окружностью.
Окружность с центром О и радиусом г будем обозначать так:
Окр (О, г).
Мы определили окрзтжность как некоторое множество точек.
Каждая геометрическая фигура тоже множество точек. В гео¬
метрии принимают следующее определение понятия «геометри¬
ческая фигура».

м
Рис. 4
Определение. Геометричес¬
кой фигурой называется любое мно¬
жество точек*.
2. Окружность определена как
множество точек, обладающих ука¬
занными свойствами. При определе¬
нии других геометрических фигур
поступают так же: указывают свойс¬
тва точек, из которых состоит опре¬
деляемая фигура.
Дадим, например, определение
круга. Нетрудно заметить, что точ¬
ки круга радиуса г лежат в одной
плоскости и удалены от центра О на
расстояние, меньшее или равное г
(рис. 4).
Определение. Мноя:ество то¬
чек плоскости, расстояние от каж¬
дой из которых до данной точки
этой же плоскости не больше дан¬
ного положительного расстояния,
называется кругом.
Круг с центром О и радиусом г
будем обозначать так: Кр (О, г).
3. Вы знаете много предметов,
имеющих форму шара. Поверхность шара называется сферой.
Например, Земля приближенно имеет форму шара (рис. 5),
а ее поверхность можно считать сферой, точки которой нахо¬
дятся приблизительно на расстоянии 6400 км от ее центра.
Определение. Множество точек пространства, находя¬
щихся на данном положительном расстоянии от данной точки,
называется сферой.
Определения сферы и окружности очень похожи. Единствен¬
ное отличие состоит в том, что в определении окружности рас¬
сматриваются лишь точки, принадлежащие плоскости, а в опре¬
делении сферы — точки пространства.
В геометрии множество всех точек называют пространством.
Каждая геометрическая фигура есть подмножество простран¬
ства.
Рис. 5
♦ Пустое множество также принято считать геометрической фигурой.
10

Вопросы н задачи
1й.	1) Назовите известные вам геометрические фигуры *.
2) Назовите какие либо предметы, имеющие форму: а) пря¬
моугольного параллелепипеда; б) шара; в) цилиндра.
2. Постройте окружность с данными центром О и радиусом 4 см.
Отметьте на полученном рисунке (не пользуясь ни циркулем,
ни масштабной линейкой): 1) точки А, В и С такие, что
\0А\ < 4 см, | ОВ | ■< 4 см, | ОС | < 4 см; 2) точки D, Е и F
такие, что \0D\ = 4 см, 10£71 = 4 см, |0F| = 4 см; 3) точ¬
ки L, М и N такие, что \0L\ > 4 см, |0М| > 4 см,
102V | > 4 см; 4) Запишите с помощью знаков d и $: а) точ¬
ка А не принадлежит окружности (О, г); б) точка D принад¬
лежит окружности (О, г); в) точка L не принадлежит окруж¬
ности (О, г).
3°.	1) Принадлежит ли окружности ее центр?
2) Принадлежит ли кругу его центр?
4.	Запишите с помощью знаков	( и |, принадлежат	или не
принадлежат данному кругу	точки, отмеченные	на ри¬
сунке 4.
5. Даны точки А, В и С. Перечислите все геометрические фигу¬
ры, которые содержатся в фигуре: 1) (А, В}; 2) {А, В, С}.
6.	Постройте окружность радиуса	3 см. Можно ли найти	на этой
окружности такие точки М и N,	для которых: 1) |MiV|	= 2 см;
2)	|MN| = 3 см; 3) |MV| = 6	см; 4) |M2V| =- 7 см?
7°. Сколько существует окружностей данного радиуса г с задан¬
ным центром О: 1) на плоскости; 2) в пространстве?
8°. Приближенно Землю можно считать шаром. 1) Назовите из¬
вестные вам из географии названия окружностей с центром
в центре Земли. 2) Назовите окружности, изображенные на
глобусе.
9*. Орбиты спутников Земли часто близки к круговым. Предпо¬
лагая, что спутники движутся по круговым орбитам с центром
в центре Земли, ответьте на следующие вопросы. 1) Можно
ли запустить 1000 спутников Земли так, чтобы их орбиты не
пересекались? 2) Можно ли вывести на разные орбиты два
спутника Земли так, чтобы их орбиты имели одинаковый ра¬
диус и не пересекались?
* Здесь и далее задачи, номера которых отмечены нуликом, рекомендуются
для устного решения. Сложные задачи отмечены звездочками.
11

10. Постройте две окружности с общим центром О и радиуса¬
ми г 1 и г2 (г, < Гг). Выделите штриховкой фигуры, состоящие
из таких точек X, для которых: 1) \ОХ\ ^ г,; 2) jOX"j ^ rj;
3)	г, < |ОХ| г2.
2.	Основные понятия, принимаемые без определений
В предыдущем пункте были даны определения окружности,
круга, сферы, геометрической фигуры. Рассмотрим, как строят¬
ся определения.
Определяя понятие «окружность», мы пользовались понятия¬
ми «множество», «точка», «плоскость», «расстояние». Вообще,
при определении любого понятия употребляются другие поня¬
тия, которые должны быть уже известны. Но нельзя дать опре¬
деления всем понятиям. Поэтому некоторые из них приходится
принимать без определений. Такие понятия называются основ¬
ными. Все другие понятия определяются.
В нашем курсе геометрии в качестве основных геометриче¬
ских понятий приняты следующие четыре понятия: 1) точке
2) прямая', 3) плоскость', 4) расстояние от одной точки до
другой.
Кроме этих специально геометрических понятий, будем
пользоваться и некоторыми общематематическими понятиями.
Например, в пункте 1 мы уже воспользовались понятием «мно¬
жество» (оно относится к числу основных понятий всей матема¬
тики). В следующем пункте мы будем говорить о величинах и
числах, которые тоже являются общематематическими понятиями.
Вопросы и задачи
11°. Назовите несколько геометрических понятий, которым дают¬
ся определения.
12°. Назовите основные геометрические понятия, которые были
использованы при определении: 1) геометрической фигуры;
2) окружности; 3) круга.
13. Начертите смежные углы АОВ и ВОС Какой фигурой являет¬
ся пересечение этих углов? Объединение этих углов? Вспом¬
ните определение смежных углов.
14. Сформулируйте определение вертикальных углов. Какие гео¬
метрические понятия используются в этом определении?
15. Сформулируйте определение шара.
12

16*. 1) Какие фигуры можно получить как пере¬
сечение двух кругов?
2)	На рисунке 6 изображена фигура, кото¬
рую называют «линза». Дайте определение
этой фигуры.
17**. Фигура называется ограниченной, если су¬
ществует круг, содержащий эту фигуру. Яв¬
ляются ли ограниченными фигурами: точка, круг, отрезок,
прямая, угол, треугольник, луч, квадрат? Приведите другие
примеры ограниченных и неофаниченных фигур,
3.	Величины и числа
Вы уже знакомы с натуральными, целыми и дробными числами.
Встречались также и с различными величинами — длинами,
площадями, объемами.
Приведем два примера.
1) Расстояния между точками, длины отрезков, ломаных и
кривых линий — это величины одного и того же рода. Их выра¬
жают в сантиметрах, метрах, километрах и т. д.
2) Длительности промежутков времени тоже величины од¬
ного и того же рода. Их выражают в секундах, минутах, часах
и т. д.
Величины одного и того же рода можно сравнивать между
собой и складывать:
1 м > 90 см,	850 м	+	650 м =-	1	км;
8000 сек <1ч,	2ч	+	3 ч =	5	ч;
1 кг > 720 г,	500 г	+	500 г =	1	кг.
Но бессмысленно спрашивать,	что больше	— 1 метр или
1 час, и нельзя сложить 1 метр с 30 секундами. Длительность
промежутков времени и расстояния — величины разного рода.
Складывать и сравнивать величины разного рода нельзя.
Величины можно умножать на положительные числа и нуль.
В результате умножения величины а на неотрицательное число
х получается величина Ъ = ха того же рода. Приведем несколь¬
ко примеров.
5 - 20 см = 100 см =- 1 м,
0,01 - 20 см = 0,2 см = 2 мм,
0 ■ 20 см =*= 0 см
Рис. 6
13

Приняв какую-лпби величину е за с,'тк-*у измерения, мож¬
но с ее помощью измерить любую другую ~ -гг ^у а того же
рода. В результате измерения получим, что о г, где х —
число. Это число х называется числовым значение: величины а
при единице измерения е. Числовое значение величины зависит
от выбора единицы измерения. Если, например, длина комнаты
имеет числовое значение 5,6 при единице измерения в один метр
(е = 1 м), то эта же длина имеет числовое значение 560 при еди¬
нице измерения в один сантиметр (е — 1 см).
Пусть числовые значения величин о и Ъ при одной и той же
единице измерения е равны х и у, т. е. о = хе, Ь = уе. Если
Ъ =f= 0, то отношение — называют отношением величины а к Ъ.
V
Вопросы и задачи
18°.	Назовите известные вам единицы измерения длины, площади,
времени, массы.
19.	Расположите величины в порядке возрастания:	1) 2 м, 305 см,
24,2 дм, 2416 см; 2) 1050 кг, 1,5 т, 1,052	ц; 3) 90 мин,
3000 сек, 2 ч.
20°.	Составьте задачи, при решении которых необходимо: 1) срав¬
нивать величины; 2) складывать величины; 3) умножать ве¬
личины на числа.
21.	Найдите числовое значение величины о = 3 см, если за еди¬
ницу измерения принят: 1) миллиметр; 2) метр; 3) километр.
22°.	Как изменится числовое значение величины, если единицу
измерения ее: 1) уменьшить в 10 раз? 2) Увеличить в 100 раз?
23.	Найдите отношение следующих величин: 1) 2 км к 40 м;
2)	3 т к 50 кг; 3) 100 кв. м к 4 га; 4) 3 ч к 15 мин.
24.	В одной морской миле 1,852 км. 1) Сколько	километров в:
а)	3 милях; б) 12 милях; в) 200 милях? 2)	Сколько миль
в 1 км?
25.	В одной версте 1066,8 м. 1) Сколько километров содержат
а верст? 2) Сколько верст в 1 км?
4. Основные свойства расстояний
1.	Вы уже умеете измерять расстояния. Каждым двум точкам
соответствует вполне определенная величина — расстояние от
одной точки до другой. Сформулируем свойства расстояний.
14

\ Расстояние от одной точки до другой
больше нуля, если эти точки различ¬
ны, и равно нулю, если они совпадают:
\АВ\>0, если АфВ, и |ЛВ|=0, **
если А=В.	Рис.	7
Расстояние от точки А до точки В
(рис. 7) равно 3 см. А каково расстояние
от точки В до точки А? Конечно, тоже
3 см.	*с
2 | Для любых точек А и В расстояние
от А до В равно расстоянию от В до А: . д	I
|лв| = |вл|.	•
Отметьте точки А, В, С. Измерьте
расстояния |АВ|, |АС|, 1ВС|и сравните Л	р	А
сумму |АВ| + \BC\c расстоянием j АС\.	g
Как бы вы ни выбирали точки А, В и С,
обнаружится, что расстояние \АС] мень-	Рис.	в
ше или равно сумме | АВ|+| £С| (рис. 8).
3 |Для любых точек А, В, С расстояние \АС\ меньше или рав~
| но сумме расстояний | АВ \ и | ВС \:
|ЛС|< |АВ| + |ВС|.
Свойства 1, 2 и 3 принято называть основными свойствами
расстояний.
2/ Основные свойства расстояний практически можно про¬
верить лишь приближенно и на отдельных примерах. В геомет¬
рии считают, что они соблюдаются точно. В нашем курсе гео¬
метрии эти свойства принимаются без доказательства.
С помощью основных свойств расстояний можно доказывать
другие предложения. Докажем, например, что
4 В для любых точек А, В, С расстояние АС | больше или равно
шраэности расстояний |АВ\ и |ВС|:
I	\АС\^\АВ\	—	\ВС\.
Доказательство. По третьему свойству расстоя¬
ний имеем:
| АБ| < 1АС| + \ВС\.
Уменьшив обе части этого неравенства на |£С|, получим:
| АВ\ - \ВС\ < |АС|,
Т. 6«
|АС| > \АВ\ - | JBCj. ■*
* Знак ■ означает, что доказательство закончено.
15

Предложение, истинность
которого доказывается путем
логических рассуждений на
основе принятых ранее пред¬
ложений, называется теоре¬
мой. Предложение 4 в нашем курсе геометрии — теорема.
В пункте 2 уже объяснялось, что нельзя дать определения
всем геометрическим понятиям. Некоторые понятия неизбежно
принять за основные. Таково же положение с геометрическими
предложениями. Чтобы начать их доказывать, необходимо иметь
какие-то предложения, на которые можно опираться при дока¬
зательствах. Эти основные предложения, принимаемые без дока¬
зательства, называются аксиомами.
Например, в нашем курсе геометрии являются аксиомами
свойства расстояний. За аксиому принимается и предложение:
5 I Через любые две точки проходит одна и только одна пря-
|лшя *.
На основе этой аксиомы (ее называют аксиомой прямой)
можно доказать следующую теорему.
( |Теорема. Две прямые имеют не более одной общей точки.
Доказательство. Пусть даны две прямые о и Ъ.
Предположим, что они имеют более одной общей точки — точки
М и N (рис. 9). Тогда через две точки М и N проходила бы не
одна, а две прямые — прямые с и Ъ. Но это противоречил пред¬
ложению 5. В
Вопросы и задачи
26.	При измерении расстояний были получены следующие ре¬
зультаты: |ХТ| =5 дм, |АВ| = 7 дм, |СП| = 1 дм 1) За¬
пишите эти результаты, если за единицу измерения принять:
а) метр; б) сантиметр. 2) Запишите числовые значения этих
расстояний, если за единицу измерения принять миллиметр.
27.	Известно, что \АВ\ —8 см, \ВС\ = 4 см. 1) Может ли при
этом условии расстояние |АС| оказаться равным: а) 20 см;
б) 4,5 см; в) 12 см; г) 4 см; д) 3 см; е) 6 см? 2) Укажите еще
какие-либо возможные значения расстояния АС|.
* Другая формулировка аксиомы прямой приведена на странице ЗС. Заме
тнм также, что говоря далее «две точки», «три прямые» и т. д. будем как пра¬
вило, считать, что рассматриваемые точки, прямые различны.
16

28. Расстояние |АВ| равно 2 см. 1) Каким может быть расстоя¬
ние l-AXJ, где X— произвольная точка окружности (В, 3 см)?
2) Существует ли такая точка С этой окружности, что точки
А, В и С лежат на одной прямой?
29.	Ниже приведено несколько равенств и неравенств. Укажите
те из них, которые: 1) верны для любых точек X,Y,Z', 2) для
любых X, Y, Z неверны; 3) верны для некоторых X, Y, Z.
а) \XZ\ < \ XY\ +	\ YZ |;	e)	\YZ\	<0;
б) \XY\ ^ \ZX\ +	\ZY\;	ж)	\YZ\	>0;
в) \YZ\ > |XY| +	\XZ\;	з)	\XZ\	-\YZ\ > \XY\;
r) \XZ\ > |XY| +	\YZ\;	и)	\XY\	+ \YZ\ ^ \XZ\-,
д)	|XY| = \YX\;	к)	\XY\	= \YZ\ = |ZX|.
30. Запишите в принятых обозначениях: 1) точка М принадлежит
прямой АВ; 2) точка С не принадлежит прямой АВ.
31°.	Прочитайте следующие записи: 1) А £ (ТР); 2) B$(2W);
3) МЦАВУ, 4) 2V € (CD).
32°.	1) Сколько существует прямых, содержащих: а) одну данную
точку; б) две данные точки; в) три данные точки? 2) Сколько
различных линий может проходить через две данные точки?
33°. Могут ли две прямые иметь: 1)-. только одну общую точку,
2)	только две общие точки? Ответ обосновать.
34. Сколько прямых определяются тремя точками? (Покажите
возможные случаи на рисунках.)
35. Покажите, что число точек попарного пересечения трех пря¬
мых может равняться 0,1, 2 или 3.
36*. Сколько точек пересечения могут иметь четыре попарно
пересекающиеся прямые? Для каждого возможного случая
сделайте рисунок.
37*. На рисунке 10 показано, что четыре точки могут определять
одну, четыре или шесть прямых. Докажите, что других слу¬
чаев нет.
38*. Докажите, что для любых п точек Ai, А?, ..., Ап существует
круг, которому принадлежат все эти точки.
17

5. Взаимное расположение трех точек на прямой.
Неравенство треугольника
Отметив на прямой три точки, вы увидите, что одна из них
лежит между двумя другими. Например, точка В лежит между
точками А и С (рис. 11, с). Среди геометрических понятий,
которые выбраны за основные, нет понятия «лежать между*.
Его можно определить, пользуясь понятиями «расстояние*
и «точка». Из рисунка 11, а видно, что расстояние \АС\ равно
сумме расстояний \АВ\ и |ВС|. Это выполняется всегда, ес¬
ли точка В лежит между точками А и С, Дадим теперь опре¬
деление.
Определение. Точка X лежит между точками А и В,
если эти точки различны н \АХ\ |ХВ\ — \АВ\*.
Рассматривая рисунки 11, а и б, естественно предположить,
что: 1) если три точки принадлежат одной прямой (рис. 11, о),
то одна из них лежит между двумя другими; 2) если три точки
не принадлежат одной прямой (рис. 11, б), то ни одна из них
не может лежать между двумя другими.
Эти два предложения мы примем без доказательства и сфор¬
мулируем короче:
7 |згрц точки принадлежат одной прямой тогда и только тогда,
| когда одна из них лежит между двумя другими.
ABC	С	помощью предложения 7
1—| Т |—i—т—i—
докажем следующую теорему.
О 1	2	3	4	5	6
8 Теорема (неравенст во треу¬
гольника). Для любых точек
А, В и С, не принадлежа¬
щих одной прямой, расстояние
\АС\ меньше суммы расстоя¬
ний |ЛВ| и jBC|,
А
С
Рис. 11
* В житейской практике выражение
«лежать между* употребляется п для трех
С	точек,	не лежащих на одной прямой. На¬
пример, двигаясь по дороге, изображенной
на рисунке 12, мы скажем, что пункт В
лежит между пунктами А и D, а пункт D
лежит между пунктами В к С, что не соот¬
ветствует принятому в геометрии опреде¬
лению.
Рис. 12
18

Доказательство. Пусть точки А, В и С не лежат
на одной прямой (см. рис. 11, б). По третьему свойству расстоя¬
ний
\АС\ < |АВ| + \JBCU
т. е. либо |АС\ <|АВ| +- |ВС|, либо |АС\ »|АВ| + \ВС\.
Но равенство | АС | = | АВ | + | ВС | выполняться не может.
В самом деле, это равенство означает, что точка В лежит между
точками Ап С. Но тогда (по предложению 7) точки А, В п С при¬
надлежали бы одной прямой. Это противоречит условию. Итак,
| АС\ < | АВ\ + \ВС\. U
-   - -
Вопросы и задачи
39°. Точка X лежит между точками А и В. Верно ли, что точка X
лежит между точками В и А?
4С°.	Верно ли,	что если точка X не лежит между точками А и В,
то эти три	точки не лежат на одной прямой?
41°. Какие геометрические понятия использованы для определения
понятия «лежать между»?
42. Постройте такие точки А,	В и	С, что:
1)	|АВ|	=5 см,	|АС|	= 3	см,	\ВС\	=2	см;
2)	|АВ|	■= 4 см,	|АС|	=6	см,	|ВС|	«= 2	см;
3)	|АВ|	=5 см,	|j4.C|	= 4	см,	|ВС[	=6	см.
43.	Покажите	на рисунках, как расположены	три точки	Р, Q
и В, если:	1) \PQ\ + |QB| = |РВ|; 2) |РВ|	+ \QR\ =	|PQ|;
3)	|ВР| = |BQ| - \PQ\.
44°. На рисунке 13 даны точки А, В и С, лежащие на одной прямой.
Какие из записанных ниже равенств и неравенств верны:
1) |АВ| + |ВС| = |АС|;
2) \АС\ + \АВ\>\ВС\:
3) | ВС| + |АС] > |АВ|;	Л	  —
4) | АВ | + | ВС | > | АС |;
5) | АС | — | ВС | > |АВ|;	Рис-13
6) |АС| - |АВ| = |ВС|?
45.	Могут ли для трех точек X, Y и Z быть верными равенства:
1)	|ХГ|	=	9	см,	|XZ|	=	3	см,	\YZ\ = 5	см;
2)	\XY\	= 12	см,	\XZ\	=	6	см,	\YZ\ = 6	см;
3)	\XY\	=	5	см,	\XZ\	=	18	см, ’ \YZ\ = 12	см;
4)	\XY\	=	7	см,	\XZ\	=	8	см,	\YZ\ -= 12	см?
Для возможных случаев сделайте рисунки.
19

а)
6)
Рис. 14
6)
46.	Расстояние от дома до школы 2 км, а от дома до станции 5 км.
1)	Может ли расстояние от школы до станции равняться:
а)	2 км; 6) 3 км; в) 6 км; г) 8 км? 2) Укажите наибольшее
и наименьшее из возможных расстояний от школы до станции.
(Сделайте для этих случаев рисунки.)
47*. На рисунке 14 указаны длины стержней, соединенных шарни¬
рами. 1) Для каждого из этих шарнирных механизмов укажите
наибольшее и наименьшее расстояния, на которые можно
раздвинуть концы А и В стержней. Покажите на рисунках
шарнирные механизмы в этих крайних положениях. 2) Может
ли расстояние |АВ| принимать все промежуточные значения
между найденными наибольшим и наименьшим расстоя¬
ниями?
6.	Отрезок и луч
1.	На рисунке 15, а изображен отрезок АВ. Этому отрезку при¬
надлежат точки А и В и все точки, лежащие между ними. Ни¬
какие другие точки отрезку АВ не принадлежат. Поэтому опре¬
деление понятия «отрезок* можно дать следующим образом.
Определение. Отрезком
АВ называется множество,
g состоящее из двух точек А и В
и точек, лежащих между ними.
Рис. 15
Точки А и В называются
концами отрезка АВ, а расстоя¬
ние |АВ| — длиной отрезка АВ.
Точки отрезка, лежащие меж¬
ду его концами, называются
внутренними точками отрезка.
Например, точки X и М (см.
рис. 15, а) — внутренние точки
отрезка АВ.
20

Все внутренние точки отрез- р м
ка АВ принадлежат прямой АВ.
Поэтому отрезок АВ есть под¬
множество прямой АВ, т. е.
[АВ\ <_ {АВ) (рис. 15, б). Го¬
ворят также, что прямая АВ
содержит отрезок АВ, или
отрезок АВ лежит на пря¬
мой АВ.
2. Вы знаете, что каждая
точка произвольней прямой за¬
дает два луча с началом в этой
точке. Теперь разъясним смысл
понятия «луч», пользуясь толь¬
ко основными геометрическими
понятиями, а также понятиями, уже получившими опреде¬
ления.
На горизонтальной прямой р (рис. 16) одни точки лежат
правее точки О, а другие — левее. Можно заметить, что если
одна из точек прямой р лежит правее, а другая — левее точки
О, то точка О лежит между ними. Например, точка О лежит меж¬
ду точками М и N, Р и Q и т. д. Вообще,
9 I любая точка О прямой р разбивает множество отличных от
|0 точек этой прямой на два непустых подмножества, таких,
■ что точка О лежит между любыми двумя точками, принаС-
I лежащими разным подмножествам.
Объединение каждого из этих множеств с точкой О называ¬
ется лучом с началом О.
Чтобы задать луч, надо указать его начало и любую точку
этого луча, отличную от начала. Например, луч АВ (рис. 17)
можно назвать и лучом АС, и лучом AD, и т. д. Поэтому на изо¬
бражении луча АВ точку В обычно не выделяют (рис. 18).
Луч с началом А, содержащий точку В, обозначают \АР).
Луч АВ является подмножеством прямой АВ, т. е. [ АВ) cz {АВ).
Вопросы и задачи
48. Пользуясь обозначениями € и запишите,, какие из указан¬
ных на рисунке 19 точек принадлежа! и какие не принадле¬
жат отрезку АВ.
21

М	А	В
—»	. >	*-
Рис. 20
49°.	Расстояние между	точками
D	А и С равно 10 см	Принад¬
лежит ли точка В отрезку
АС, если 1) \АВ\ = 7 см,
|ВС|=3 см; 2) \АВ\=2 см,
Рис. 19	= 9 см; 2)\АВ\ =
= 6,5 см, \ВС\ = i.i см,
—	4) АВ | = | ВС | ?
50э.	Принадлежат ли точки Л, В
и С одному отрезку, если:
1)	\АВ\	= 5	см,	\АС\	= 4	см,	jBC|	= 6	см;
2)	|ЛВ|	=5	см,	\АС\	—3	см,	|ВС|	=2	см;
3)	|АВ|	= 5	см,	\АС\	= 7	см,	\ВС\	= 2	см?
51°. Могут ли два отрезка иметь: 1) только одну общую '-очку;
2) только две общие точки?
52. Даны различные точки А, В, С и D. Сколько имеется различ¬
ных отрезков, оба конца которых принадлежат фигуре
1)	{А, В, С}; 2) {А, В, С, D}?
53. Точка X является внутренней точкой отрезка АВ Докажите:
1) \АХ\ < |АВ|; 2) \АВ\ > \ВХ\.
54*.	1) Сформулируйте определение середины отрезка.
2) На отрезке CD длиной 18 см взята точка А такая, что
\СА\ =4 см. Вычислите расстояние между серединами от¬
резков: a) CD и СА; б) CD и AD; в) СА и AD.
На рисунке 20 изображена прямая а с отмеченными на ней
точками М, А, В, Укажите на этом рисунке фигуру, состоя¬
щую из таких точек X, что: 1) точка А лежит между точка¬
ми М и X; 2) точка В лежит между точками М и X; 3) точка
X лежит между точками М и А.
56. Запишите в принятых обозначениях: 1) точка М принадлежит
лучу ОА; 2) отрезок АВ является подмножеством луча АВ,
3) луч ОВ является подмножеством луча АВ\ 4) отрезок CD
является подмножеством прямой CD.
51.	1)	Какой фигурой является пересечение лучей АВ и	ВА1
2)	Какой фигурой может быть: а) пересечение двух г	учей,
лежащих на прямой; б) объединение двух лучей, лежащих
на прямой?
58- Даны два луча, АВ и ВА. Какой из этих лучей содержит
точку М, отличную от точек А и В, если известно,	что:
1)	\АВ\ + \ВМ\ = \AM\- 2) \МА\ + \АВ\ = \МВ\;
3) \АМ\ + \ВМ\ = |АВ|?
22

59. Какие основные геометрические понятия были использованы
при определении: 1) отрезка; 2) луча?
60*. Докажите, что если две точки отрезка АВ принадлежат
отрезку CD, то эти отрезки лежат на одной прямой.
61*. Объясните, почему звенья выдвижной антенны приемника
лежат на одной прямой.
62**. Докажите, что если различные точки А и В, отличные от точ¬
ки О, принадлежат одному лучу с началом О, то либо точка
А лежит между точками О и В, либо точка В лежит между
точками О и А.
7.	Координаты на прямой
1.	При выбранной единице измерения расстояния выражаются
числами. Часто бывает удобно сами эти числа называть расстоя¬
ниями. Например, можно сказать, что при единице измерения
\ОЕ \ (рис. 21) расстояния \XZ\, ,XY\ и \YZ\равны соответствен¬
но 3, 4, и 5.
Примем длину некоторого отрезка ОЕ за единицу измере¬
ния (этот отрезок называют единичным). Тогда любому расстоя¬
нию \АВ\ можно поставить в соответствие число—числовое
значение расстояния \АВ\ при единице измерения |ОЕ\. Это
число будем тоже называть расстоянием |АВ|. Но в задача::
практического характера будем обязательно указывать единицы
измерения расстояний (метр, сантиметр и т. д. в зависимости
от характера задачи).
2.	На луче О А отметим произвольную точку М (рис. 22, с).
При выбранной единице измерения \ОЕ | длина отрезка ОМ выра¬
жается определенным числом: \ ОМ\ = Хм- Число Хм есть коорди¬
ната точки М на луче О А. Обратно, по заданному числу х
У
г
р
о t м
1
а)
А
И
X
в
0 £
б)
Рис. 21
Рис. 22
23

можно найти на луче ОА одну-единственную точку М, такую,
что расстояние \ ОМ\ равно числу х. Сформулируем это важное
свойство луча.
10 IДля любого неотрицательного числа х на заданном луче су-
1ществует одна и только одна точка, расстояние от которой
J до начала луча равно х.
8.	В 5 классе вы познакомились с координатами на прямой.
Для того чтобы ввести координаты на прямой р, выбираются
точка О этой прямой — начало координат и единичный отрезок
(отрезок ОЕ, рис. 22, б). Один из двух лучей с началом О (на
рис. 22, б этот луч отмечен стрелкой) называется положитель¬
ным, а другой — отрицательным. Тогда для каждой точки гря-
мой р можно указать вполне определенное число, которое назы¬
вается координатой этой точки: начало координат (точка О)
имеет координату О (нуль); произвольная точка А положитель¬
ного луча имеет координату хА — \ОА\, точка В отрицательно¬
го луча имеет координату хЕ — —| ОБ |. Например, х€ = 1,
ХА = ХВ ~
Таким образом, каждой точке прямой р соответствует опре¬
деленное число — координата этой точки. Верно и обратное:
для любого числа х на координатной прямой существует одна
и только одна точка, имеющая координату х.
4.	Зная координаты двух точек прямой, можно найти рас¬
стояние между ними.
11 (Теор ем а. Расстояние между двумя точками координат-
| ной прямой равно модулю разности координат этих точек:
| АВ | == | хв хА |.
у * Доказательство. Рассмотрим три случая: 1) нача¬
ло координат О лежит между точками А и В; 2) точка А лежит
между точками О и Б; 3) точка
А	о	£ в  В лежит между точками О и А.
Ф
Пусть точка О лежит между
с ^	А	точками Л и Б и хА < О (рис.
■'	»	23,а). Тогда Хц > О. В этом
^	случае
0 £ А	в	\АВ\	=	\АО\	+	ОБ | =.
ft)	=	хА	-Ь	хв	хв	хА
А	В	0	£	~	\хв	*711*
«	■	■	■	а—
* Значками у выделен необязательный
Рис. 23	материал.
24

Если же хА > О, то хв <0 (рис. 23, б) и
|АВ| = \АО\ + \ОВ\ = хА— хв = |дсв — хА\.
Доказател! ство теоремы для второго и третьего случая ана¬
логичны (см. рис. 23, в и г), v
Вопросы и задачи
63.	1) Постройте точки данной прямой р, удаленные от точки
•А£ р на расстояние: а) 1 см; б) 2 см.
2) Сколько существует на прямой р точек, удаленных от точ¬
ки А £ р на данное расстояние с?
64. Отметьте на прямой пять точек — О, А, В, С, D. Введите на
этой прямой координаты и найдите координаты отмеченных
точек, пользуясь масштабной линейкой.
65. На координатной прямой отмечены точки А (—7), В (—5),
С(1), D(5). 1) Укажите расстояния от этих точек до начала
координат. 2) Вычислите расстояния \АВ\, |^4.С|, |Л1>|,
|BCj, \BD\, \CD\.
66. Найдите расстояние |АВ| при помощи масштабной линейки
с отломанным концом (рис. 24).
67.	1) Вычислите длину отрезка, если координаты его концов рав¬
ны: а) 2 и —3; б) 3	и 10; в) —4 и —9; г) —7 и 15; д) —3,7
и 7,3; е) 6,8 и —12.
2) Найдите координату середины отрезка АВ, если известны
координаты его концов:	а)	А(2), В(—3); б) А(3), В(10);
в)	А (—4),	В (	3).
68*. Координаты точек А и В прямой равны соответственно
—7 и 9. Какие координаты может иметь точка С прямой АВ,
если известно, что:1) точка С лежит между точками А и В;
2) точка С не лежит	между точками А и В?
69.	Координаты концов	отрезка CD равны соответственно 2 и 5.
Какими станут координаты концов отрезка CD, если он пере¬
местится вдоль координатной прямой: 1) влево на 2 едини¬
цы; 2) вправо на 5 единиц;	^
3) влево	на	5	единиц;		„м
4) вправо	на	3 единицы;
5) влево	на	а	единиц;
||Ц|||||1?П||||||1111|||1цп|1|1111|Ч11|т1|т|црп,п
5	6	7	8	9
6)	вправо на а единиц?	РИС.	24
25

«о
Рис. 25
ш
)
г)
8. Ломаная
1. На рисунке 25 изображена лома¬
ная АгА2АчА4А&. Она является объе¬
динением отрезков А1А2, А2А8, А3А4,
А4Аь. Эти отрезки называют звеньями
ломаной.
Другие примеры ломаных приведе¬
ны на рисунке 26. Ломаные, изобра¬
женные на рисунках 26, а, в, г, прос¬
тые. Несоседние по порядку звенья
простой ломаной не имеют общих то¬
чек. Ломаные, изображенные на рисун¬
ках 26, б, д, не являются простыми.
Простой ломаной АХА2 ... Ап (где
п > 2) называется объединение отрез¬
ков А4А2, АгА3,..., А„_1Ап, среди ко¬
торых соседние по порядку не лежат
на одной прямой, а несоседние не име¬
ют общих точек.
Точки Alt А2, ...» А, называют вер¬
шинами, точки Ах и Ап называют кон¬
цами ломаной АгАя ... А„.
2. Сумма длин всех звеньев лома¬
ной называется ее длиной.
12 (Т е о рема (о длине ломаной). Дли¬
на простой ломаной больше рас-
I стояния между ее концами.
Докажем эту теорему для лома¬
ных, состоящих из трех звеньев
(рис. 27).
Дано:	АхА2А3Ах	—	простая	ло¬
маная.
Доказать:
\АхА2\ + \А2А3\ +\А3А4\ >\АхА4|.
Доказательство. Точки А,
А2, А 8 не лежат на одной прямой (эти
точки — концы соседних звеньев ло¬
маной). По неравенству треугольни¬
ка (п. 5).
\AiA3\ <C|.AiA2l l-^-8-AI»	(1)
26

Рис- 28
По третьему свойству расстояний (с. 15)
[AiAsI |-As-^-41 ^ А]А^\.	(2)
Заменим в неравенстве (2) слагаемое I-Ai-Asl суммой \AiA2\ ■*-
-f- \А2А5\, которая в силу неравенства (1) больше АгА3\. При
такой замене левая часть неравенства (2) увеличится. Поэтому
\АгАг\ + \А2А3\ + \AbAt\ > \А^|.
Аналогично можно провести доказательство теоремы и для
ломаной с любым числом звеньев. ■
3.	На рисунке 28 приведены примеры замкнутых ломаных.
Замкнутые ломаные, изображенные на рисунках 28, а, в, г,
простые. Замкнутые ломаные, изображенные на рисунках 28, б
и д, не простые.
Объединение простой ломаной А]Аг ... А„ (п >2) и отрез¬
ка AnAi называется простой замкнутой ломаной, если сосед¬
ние (в круговом порядке) отрезки не лежат на одной прямой,
а несоседние не имеют общих точек.
Замечание. Говоря далее о ломаных, мы всегда бу¬
дем иметь в виду простые ломаные (замкнутые или незамк¬
нутые).
Вопросы и задачи
70°. На рисунке 29 изображены различ¬
ные фигуры, являющиеся объедине¬
ниями отрезков. Какие из них явля¬
ются простыми ломаными?
71. Отметьте в тетради точки так, как
показано на рисунке 30, и постройте
несколько простых ломаных, вер¬
шины которых находятся в этих
точках.
□12?Ч
о)	6t в) г. д)
5ЙГВ9
е)	ж) 3) и) hi
Ш9Н
л) м) т оI л;

D
e
А С
a)
в
В
Рис. 31
т.
Л/
N
б)
6)
Рис. 30
72
73.
74.
75.
Рис. 33
Приведите примеры ломаных из ок¬
ружающей обстановки.
На модели куба покажите ломаные!
1) все звенья которых лежат в од¬
ной плоскости; 2) звенья которых
не лежат в одной плоскости
Какое наименьшее число звеньев
может иметь ломаная, два звена
которой лежат на одной прямой?
Начертите такую ломаную.
Постройте ломаную ABCDE, выпол¬
ните необходимые измерения и вы¬
числите ее длину.
76*. Звенья ломаной КРТМ имеют дли¬
ны:	=	1 смг | JPr | = 2 см,
\ТМ\ — 3 см. Может ли расстояние
\КМ\ оказаться равным: 1) С,5 см;
2) 6 см; 3) 1 см; 4) 7 см?
77*. Какую длину может иметь отрезок
АВ, концы которого соединены ло¬
маной, имеющей звенья длиной
1)	3 см, 2 см и 5,5 см; 2) 3 см. 4 см
и 5 см? (Ответ запишите в виде двой¬
ного неравенства.)
Докажите, что длина ломаной ABC
меньше длины ломаной АМС
(рис. 31, с).
Докажите, что длина ломаной ABC
меньше длины ломаной АМТС
(рис. 31,6).
80*. Докажите, что длина ломаной АМС
больше длины ломаной АТКС
(рис. 32).
78.
79.
28

81°. Какие из фигур, изображенных на рисунке 29, являются про¬
стыми замкнутыми ломаными?
82°. Какое наименьшее число звеньев может быть у замкнутой
ломаной?
83. Покажите, что точки М и Т, А и В можно соединить ломаной,
не пересекающей данную окружность (рис, 33). Можно ли
соединить такой ломаной точки А и У; В и М?
84*.	1) Сколько существует двузвенных ломаных, вершинами ко¬
торых являются точки, изображенные на рисунке 30,
а сторонами — отрезки с концами в этих точках?
2) Сколько таких трехэвенных ломаных?
85**. Дан квадрат ABCD. 1) Покажите, что существуют 5 простых
замкнутых ломаных, все вершины которых — вершины этогс
квадрата. 2) Покажите, что существуют 20 простых незамкну¬
тых ломаных, все вершины которых являются вершинами квад¬
рата ABCD.
9.	Плоскость. Планиметрия
Вы уже имеете представление о плоскости. В пространстве
много различных плоскостей. Например, грани куба (рис. 34)
лежат в шести различных плоскостях.
На рисунке 35 изображены некоторые «кривые» поверхнос¬
ти — сферическая, цилиндрическая и др. На любой из этих
поверхностей всегда найдутся такие две точки А и В, что прямая
АВ не будет полностью содержаться в этой поверхности. Для
29.

плоскости это не так (рис.
36). Плоскость обладает сле¬
дующим свойством:
13 I прямая, проходящая че-
■ рез любые две точки
I плоскости, содержится в
тэтой плоскости.
Фигура называется плос¬
кой, если она является под¬
множеством некоторой плос¬
кости, т. е. «лежит в плоскос¬
ти*. Например, окружность и
круг по определению являют¬
ся плоскими фигурами. Сфера
и шар — фигуры неплоские.
На рисунке 37 изобра¬
жен параллелепипед. Ло¬
маная AKHD — плоская фи¬
гура, а ломаная АВСЕ — не¬
плоская.
Из приведенного выше свойства плоскости (предложение 13)
следует, что прямая — плоская фигура. Значит, и отрезок, и
луч тоже плоские фигуры.
Часть геометрии, в которой изучаются свойства и взаимное
расположение фигур, лежащих в одной плоскости, называется
планиметрией*. Весь этот учебник (за исключением главы X
и части главы I) посвящен планиметрии. Далее будем счи¬
тать, что все рассматриваемые точки, прямые и другие фигуры
лежат в одной плоскости.
Замечание. С применением таких понятий теории множеств,
как «множество*, «принадлежит*, «пересечение*, вы уже знакомы.
В геометрии употребляются и другие выражения. Например,
если точка А принадлежит прямой р, то говорят: «точка А ле¬
жит на прямой р* или: «прямая р проходит через точку А».
Выражения «лежит на*, «проходит через» и т. п. надо уметь
формулировать на языке теории множеств и записывать с по¬
мощью знаков €, g, с=, gt. Например, аксиома прямой на язы¬
ке теории множеств формулируется так: для любых двух точек
плоскости существует прямая, их содержащая.
* От латинского planum (равнина, плоскость) и греческого ретгеш (мерю).

Особо отметим принятое по традиции в
геометрии употребление глагола «пересе¬
каться». На рисунках 38, 39, 40 изображе¬
ны пары отрезков, пересечение которых
состоит из одной точки. Но в геометрии
только в одном случае говорят, что эти от¬
резки пересекаются, — в том случае, ко¬
гда эти отрезки имеют только одну об¬
щую внутреннюю точку (рис. 38).
Также считают, что:
1) отрезок и прямая пересекаются,
если прямая содержит одну и только од¬
ну внутреннюю точку отрезка (рис. 41);
2) прямые а и Ъ пересекаются, если
они имеют одну и только одну общую
точку (рис. 42).
Вопросы и задачи
86°. Назовите известные вам: 1) плоские
геометрические фигуры; 2) неплоские
геометрические фигуры.
87. Покажите на моделях: 1) ломаную, все
звенья которой расположены в одной
плоскости; 2) ломаную, не все звенья
которой расположены в одной пло-г
скости.
88. Покажите на моделях примеры плоских
поверхностей и поверхностей, не яв¬
ляющихся плоскими.
89*. Даны три точки А, В и С, не лежащие
на одной прямой. Лежат ли в одной
плоскости: 1) прямые АВ, АС и ВС;
2) отрезки АВ, АС и ВС?
90*. Укажите, какие из следующих предло¬
жений верны:
1) объединение двух отрезков есть
плоская фигура;
2) двузвенная ломаная есть плоская
фигура;
Рис. 39
Рис. А1
Рис. 42
31

3) трехзвенная ломаная есть пло¬
ская фигура;
4) трехзвенная замкнутая ломаная
есть плоская фигура;
5) четырехзвенная замкнутая лома¬
ная есть плоская фигура;
6) объединение двух лучей с общим
Рис. 43
началом есть плоская фигура;
7)	объединение трех лучей с общим началом есть плоская
фигура.
91. Принадлежат или не принадлежат указанные на рисунке 43
точки заданным прямым? Ответ запишите в принятых обозна¬
чениях.
92.	1) Прочитайте	записи:
а) А С [ВС];	г)	L i [MTV];	ж)	[CD) ф (MN) ;
б) М С [АВ);	д)	PC [OF);	з)	{А, В} <= [CD];
в) ЯГ С (AD),	е)	[АВ) с: (CD); и)	[МДГ] ф [KL).
2)	Пользуясь обозначениями, принятыми для отрезков, лучей,
прямых, и знаками G $ ( с:, ф, запишите следующие пред¬
ложения:
а) отрезок ML есть подмножество прямой XY;
б) отрезок АВ есть подмножество отрезка ML;
в) точка L принадлежит прямой XY;
г) точка М не принадлежит отрезку АВ;
д) отрезок MB есть подмножество луча ML;
е) луч AL есть подмножество лучз ML;
ж) отрезок MB не является подмножеством луча BL.
93. На рисунке 44 изображены две пересекающиеся прямые р
и q с отмеченными на них точками. Запишите в принятых
обозначениях следующие предложения:
1)	объединение лучей DE и АС есть прямая р;
32
Рис. 44
Рис. 45

2) объединение лучей FA и АВ есть луч FA;
3) пересечение лучей FA и АВ есть луч АВ;
4) объединение отрезков ED и АС есть отрезок ЕС-,
5) пересечение отрезков ED и АС есть отрезок AD;
6) пересечение лучей CD и AD есть отрезок АС.
94. На рисунке 45 изображена прямая а с отмеченными на ней
точками. Назовите следующие фигуры: 1) [КМ] U [LM]-,
2) [КМ] П [LM] -	3)	[KL]	П	[LM];	4)	[KL)	fl	[ЕМ);
5)	[KL) П [NL).
95. Покажите, выполнив соответствующий рисунок, что пересе¬
чением двух отрезков может быть: 1) пустое множество;
2)	точка; 3) один из данных отрезков; 4) отрезок, отличный
от данных.
96. Покажите на рисунках, какой фигурой может быть объедине¬
ние двух отрезков, лежащих на одной прямой.
97.	1) Может ли объединение двух различных кругов быть кру¬
гом?
2)	Может ли пересечение двух различных кругов быть кругом?
98*. Покажите на рисунках, какой фигурой может быть: 1) пере¬
сечение двух различных окружностей; 2) пересечение круга
и окружности.
99. Укажите ошибки в записях:
1) (АВ) <= [CD);	2)	[АВ]	<£	(АВ);	3)	[MN)	£ (MN);
4) Ас (МА);	5)	[PQ]	<£	[QP1;	6)	[АВ]	4 {CD).
100.	1) Начертите две фигуры, объединение которых — круг, а
пересечение — треугольник.
2) Начертите две фигуры, объединение которых — треуголь¬
ник, а пересечение — круг.
10.	Область
Окружность разбивает множество не
принадлежащих ей точек плоскости
на два множества (рис. 46). Точки
одного из этих множеств находятся от
центра на расстояниях, меньших радиу¬
са окружности; точки другого — на
расстояниях, больших ее радиуса.
Рассматривая рисунок 47, можно
заметить, что каждое из этих множеств
обладает следующими двумя свойствами:
2 Геометрия, 6-8
Рис 46

1) любые две точки множества мож¬
но соединить содержащейся в нем ло¬
маной или отрезком;
2) вместе с любой своей точкой
множество содержит хотя бы один круг
с центром в этой точке.
Любое множество точек, обладающее
этими двумя свойствами, называется
областью. Множество точек М, для
которых \ОМ\ < г, является областью.
Ее называют	внутренней областью
окружности (О, г). Множество точек N,
для которых |OJV| > г, также область.
Она называется внешней областью этой
окружности (см. рис. 46).
Итак, множество точек, не при¬
надлежащих окружности, можно пред¬
ставить в виде объединения двух обла -
стей. Само же это объединение областью
не является: отрезок (или ломаная) с
концами А и	В пересекает данную
окружность (рис. 48). Это же можно сказать иначе:
окружность разбивает множество не принадлежащих ей точек
плоскости на две области.
На рисунке 49 приведены другие примеры областей. Обра¬
тите внимание на то, что граница области (на рисунке границы
областей	выделены	штриховой линией)	не содержится в обла¬
сти. Так,	множество	точек М плоскости	(см. рис. 46), для кото¬
рых \ОМ\ < г, есть область, но объединение этого множест¬
ва с его границей областью не является. В самом деле, для
круга не выполняется второе свойство области. Например,
точка А принадлежит кругу (О, г) (рис. 50), но не существует
круга с центром в точке А, который бы целиком лежал в дан¬
ном круге.
▼ Замечание. Определять геометрическую фигуру как
множество точек стали не так давно. В течение многих веков
геометры представляли себе дело иначе. Прямые или окруж¬
ности считали чем-то самостоятельным, не состоящим из точек.
Терминология, исходящая из таких представлений, сохраняется
по традиции и в настоящее время.
34

Вы могли убедиться в том, что под¬
ход к фигурам как к множествам точек
удобен. Он позволяет дать простые и
ясные определения окружности, круга,
отрезка, луча, простой ломаной, про¬
стоя замкнутой ломаной, а также мно¬
гих геометрических понятий.
Теоретико-множественный подход
иногда приводит к необходимости раз¬
личать фигуры, которые с более наивной
наглядной точки зрения неразличимы.
Как, например, различить на глаз
круг, ограниченный данной окружно¬
стью, и внутреннюю область этой ок¬
ружности или шар и внутреннюю об¬
ласть ограничивающей его сферы? Если
представить себе шар в виде апель¬
сина, то, чтобы представить себе
его внутреннюю область, потребуется
«снять» с него кожуру, которая совсем
не имеет толщины.
Отвлечение от непосредственных
возможностей эксперимента харак¬
терно уже для первых шагов геомет¬
рии. Еще древнегреческие геометры
представляли прямую совсем не име¬
ющей толщины, но зато простирающей¬
ся в обе стороны неограниченно, а
точку — совсем не имеющей протяжен¬
ности. Только для таких идеальных
прямых и точек могут с полной точ¬
ностью соблюдаться такие геометриче¬
ские положения, как, например, аксио¬
ма прямой, в силу которой через две
точки проходит одна и только одна
прямая, ф
Рис. 50
2*
35

Вопросы и задачи
101. 1) На сколько областей разбивают плоскость: а) две окруж¬
ности (рис 51); б) три окружности (рис 52)?
2)	На сколько областей могут разбивать плоскость: а) две
окружности; б) три окружности?
102. На сколько областей разбивают плоскость фигуры, которые
являются объединением лучей (рис. 53)?
103. Даны три точки А, В и С, не лежащие на одной прямой. На
сколько областей разбивает плоскость: 1) замкнутая ломаная
ABC; 2) объединение прямых АВ, ВС и АС?
104. Покажите, что фигуры, изображенные на рисунке 49, являют¬
ся областями.
ЮЗ. 1) Объясните, почему не является областью: а) отрезок;
б)	простая замкнутая ломаная; в) множество точек, не при¬
надлежащих внутренней области окружности.
2)	Верно ли, что объединение внутренних областей любых
двух окружностей есть область?
106.	На сколько областей могут разбивать плоскость: 1) две пря¬
мые; 2) три прямые?
б)
г)
%
°4
Рис, 53
36

11. Многоугольник
1. Простая замкнутая ломаная раз¬
бивает множество не принадлежа¬
щих ей точек плоскости на две об¬
ласти (одна из этих областей на ри¬
сунке 54 заштрихована) — внешнюю
и внутреннюю. Внешняя область
характеризуется тем, что существует
прямая, все точки которой принад¬
лежат этой области; во внутренней
области таких прямых нет (см. рис.
54). Сама ломаная не содержится
ни в одной из этих областей. Она
является их общей границей.
Ijssi I
Рис. 54
шк
с
Определение. Объединение
простой замкнутой ломаной и ее
внутренней области называется мно-
А
Рис. 55
D
гоугольником.
Точки многоугольника, не принадлежащие его границе, на¬
зывают внутренними точками этого многоугольника, точки его
границы — граничными точками. Вершины ломаной, о которой
говорится в определении многоугольника, называют вершинами
многоугольника, а ее звенья — сторонами многоугольника.
Сумму длин всех сторон многоугольника называют периметром
многоугольника.
По числу вершин (сторон) многоугольники делятся на тре¬
угольники, четырехугольники, пятиугольники и т. д. При обо¬
значении многоугольника перечисляют его вершины в порядке
их следования. Например, четырехугольник, изображенный на
рисунке 55, можно обозначить ABCD, BCD A, CDAB и т. д.
Отрезок, соединяющий две несоседние вершины многоуголь¬
ника, называется его диагональю. Например, отрезки АВ, CD,
EF — диагонали многоугольников (рис. 56).
А
F
Рис. 56
37

г)
Рис. 58
2.	Определение. Фигура называется выпуклой, если
она содержит любой отрезок, концы которого принадлежат
этой фигуре.
Например, фигуры, изображенные на рисунках 57, о, г, д,
выпуклые, а фигуры, изображенные на рисунках 57, б, в, е,
невыпуклые.
Любой треугольник является выпуклой фигурой. Много¬
угольники с числом сторон, большим трех, могут быть как вы¬
пуклыми, так и невыпуклыми (рис. 58).
Фигуру, состоящую из одной точки, и пустое множество тоже
считают выпуклыми фигурами.
Вопросы и задачи
107.	Начертите треугольник, четырехугольник, пятиугольник. Про¬
изведите необходимые измерения и вычислите периметры
построенных многоугольников.
38

108°. Какая зависимость существует между числом п вершин и чис¬
лом р сторон многоугольника?
109. Верно ли, что любая ломаная разбивает плоскость на две об¬
ласти?
110. Сколько вершин может иметь многоугольник, если о« явля¬
ется пересечением: 1) двух углов; 2) двух треугольников?
111*. Покажите на рисунках, какие фи»уры могут быгь пересече¬
нием двух треугольников.
112°. Назовите известные вам выпуклые фигуры.
113й. Является ли выпуклой фигурой: 1) отрезок ; 2) луч; 3) фигу¬
ра, состоящая из трех точек?
114°. Является ли выпуклой фигурой: 1) треугольник; 2) четырех¬
угольник?
115°. Является ли выпуклой фигурой: 1) круговое кольцо (рис. 59, а);
2)	круг без одной своей точки — центра круга; 3) плоскость
без одной своей точки; 4) полукруг (рис. 59, б)?
116. Может ли объединение двух кругов быть выпуклой фигу¬
рой?
117*. Покажите на рисунках, что объединение двух выпуклых фигур
может быть как фигурой выпуклой, так и невыпуклой.
118*. Докажите, что пересечение двух выпуклых фигур есть фигу¬
ра выпуклая.
119. Начертите: 1) выпуклый многоугольник; 2) невыпуклый много¬
угольник. Объясните, чем отличается выпуклый многоугольник
от невыпуклого.
120°. Какое наименьшее число вершин может иметь: 1) выпуклый
многоугольник; 2) невыпуклый много¬
угольник?
121. На какое наименьшее число треугольни¬
ков можно разбить выпуклый л-угольник
лучами, начало которых находится в од¬
ной из вершин многоугольника (п > 3)?
122. 1) Какие многоугольники содержат все
свои диагонали?
2)	Какие многоугольники не содержат хо¬
тя бы одну свою диагональ?
123*. Существует ли многоугольник: 1) число
диагоналей которого равно ч 4слу его
сторон; 2) число диагоналей которого
больше числа его сторон?
39

12.	Полуплоскость. Угол
1.	Произвольная прямая р разбивает
множество не принадлежащих ей то¬
чек плоскости на две области (рис. 60).
Точки А, В, С, например, принадле¬
жат одной области, точки D, Е, К —
другой.
Каждая из полученных областей
является выпуклой фигурой, так как
вместе с любыми двумя точками она
содержит и соединяющий их отрезок.
Например, отрезок DE содержится в
одной области. Итак,
U I любая прямая разбивает множество не принадлежащих ей
Н точек плоскости на две выпуклые области.
Если точки А и В принадлежат одной и той же области, огра¬
ниченной прямой р, то существует соединяющий эти точки
отрезок или ломаная, которые не пересекают прямую р. Если
же точки принадлежат различным областям (например, точки
А и Е), то отрезок АЕ (так же как и любая ломаная, их соединяю¬
щая) пересекает прямую р. ■
Определение. Объединение прямой р и одной из огра¬
ниченных ею областей называется полуплоскостью с границей р.
Полуплоскость с границей р принято обозначать так: [р, С.),
где С — произвольная точка этой полуплоскости, не принадле¬
жащая прямой р.
2.	Два луча с общим началом разбивают плоскость на две
области (рис. 61).
Определение. Объединение двух лучей с общим нача¬
лом и одной из ограниченных ими областей называется
углом.
Два луча ОА и ОВ с общим нача¬
лом определяют два угла. Каждый из
них называется углом АОВ (или углом
ВО А) и обозначается Z^AOB (/LBOA).
Лучи ОА и ОВ называются сторонами
угла АОВ, точка О — его вершиной.
Тот из двух углов, который хотят
рассматривать, на чертеже обычно
выделяют дугой.
-А
Рис. 61
Рис. 60
40

Рис. 62
Рис. 63
Кис. 64
Сектор COD
Если лучи О А и О В не лежат на одной прямой (рис. 62),
то один из углов со сторонами ОА и ОВ является выпуклым
углом, другой — невыпуклым. На рисунке 62 выпуклый угол
отмечен одной дугой, невыпуклый —двумя дугами.
Вы знаете, что угол называется развернутым, если его сто¬
роны составляют прямую
(рис. 63).
3.	Пользуясь известными
вам геометрическими поня¬
тиями, а также понятиями
пересечения и объединения
фигур, можно определить не¬
которые другие фигуры.
Угол АОС, изображенный
на рисунке 64, является сум¬
мой углов АОВ и ВОС. Во¬
обще, объединение двух уг¬
лов, имеющих общую верши¬
ну, называется суммой этих
углов, если их пересечением
является луч.
Угол с вершиной е цент¬
ре окружности называется
ее центральным углом
(рис. 65, о). Пересечение круга
и его центрального угла назы¬
вается сектором (рис. 65, б).
Пересечение окружности и
ее центрального угла назы¬
вается дугой окружности
(рис. 65, в).
Два луча О А и ОВ с об¬
щим началом в центре О ок-	Рис.	65
41

а)
Ь)
Рис. 66
ружностп определяют два центральных угла. Две точки А и В
окружности определяют на ней две дуги. Чтобы отличить эти
дуги, на каждой из них отмечают по промежуточной точке
(отличной от концов дуги) и говорят о дугах АСВ и AJDB
(рис. 66, с). Эти дуги принято обозначать так: ^jACBvi ^ ADB.
Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется
хордой этой окружности. Хорда, прсхсдящая через центр ок
ружности, называется ее диаметром (рис. 66, б). Хорду и ди¬
аметр окружности называют также хордой и диаметром круга,
ограниченного этой окружностью.
Пересечение круга и полуплоскости, граница которой содер¬
жит хорду этого круга, называется сегментом (рис. 66, б).
Вопросы и задачи
124°. Укажите полуплоскости \т, Л), [п, А), [т, В), [п. Е)
(рис. 67).
125к В одной или в разных полуплоскостях с общей границей р ле¬
жат две точки А и В, если: 1) отрезок АВ не имеет с пря¬
мой р общих точек; 2) отрезок АВ
имеет с прямой р только одну общую
точку, не совпадающую с концом от¬
резка; 3) точки Л и В можнс соеди¬
ните ломаной, не имеющей общих то¬
чек с прямой р? (Для каждого случая
выполните рисунки.)
Рис. 67
42

126. Даны две прямые го, л и две точки А и В (см. рис. 67). Сде¬
лайте чертеж и отметьте штриховкой пересечение и объедине¬
ние полуплоскостей: а) [го, А) и [л, А); б) [л, А) и [го, В);
в)	[го. В) и [л, В).
127. Покажите, выполнив рисунки, какие можно получить фигуры
при пересечении: 1) двух полуплоскостей; 2) полуплоскости и
круга; 3) полуплоскости и окружности.
128*. Даны прямая р и точка А (А $ р). Какой фигурой является
ллножество таких точек X плоскости, что отрезок АХ: 1) имеет
общие точки с прямой р; 2) не имеет общих точек с этой
прямой?
129°. Является ли областью: 1) угол; 2) полуплоскость?
130е. Назовите геометрические понятия, которые были использо¬
ваны при определении: 1) угла; 2) центрального угла; 3) сек¬
тора; 4) сегмента.
131. (АВ) П {CD) — О. По этому условию выполните рисунок v
запишите в принятых обозначениях образовавшиеся выпук¬
лые углы.
132°. Покажите на рисунке 68 объединение и пересечение углов:
1)	АОВ и COD; 2) АОВ и АОС.
133. Установите, верны ли следующие предложения: 1) два угла,
сумма которых есть развернутый угол, являются смежными
углами; 2) два угла с общей вершиной, объединение сто¬
рон которых есть две прямые, являются вертикальными
углами.
134. Запишите, пересечением каких полуплоскостей, заданных
на рисунке 67, является: 1) каждый из вертикальных углов:
a) Z.1 и Z.3, б) Z-2 и Z.4; 2) каждый из смежных углов:
a) Z. 1 и Z.2, б) Z.3 и Z.4.
135. Углы АОВ и ВОС имеют общую сторону ОВ. Верно ли, что
объединение этих углов является их
суммой?
136. Пересечение двух углов — луч. Вер¬
но ли, что объединение этих углов —
их сумма?
137. Сколько дуг и сколько центральных
углов определяют на данной окруж¬
ности две прямые, проходящие че¬
рез ее центр?
138*. Концы отрезка КМ лежат на сторо¬
нах угла АОВ. Для каких углов	Рис
43

АОВ будет выполняться требование: 1) [МК] rz АЛОВ,
2)	[МК\ ф /_А0В1
139*. Во внутренней области угла АОВ дана точка М. Какой фигу¬
рой является множество таких точек X, что отрезок MX
имеет общую точку хотя бы с одной стороной угла?
13.	Взаимное расположение двух окружностей
На рисунке 69, а изображены две окружности (Ои гх) и (02, г ).
Эти окружности не ижеют общих точек, т. е. не пересекаются
В)
Рис. 6?
44

Сравнив расстояние А между центрами CL и 02 с радиусами
окружностей, заметим, что Л > г, + г8.
Представьте теперь, что первая окружность передвигается
так, что расстояние А между центрами Ог и Ог уменьшается.
Когда расстояние между центрами станет равным сумме
радиусов (А = гх + гг), окружности будут иметь только одну
общую точку. О таких окружностях говорят, что они касаются
внешним образом, а их общую точку называют точкой касания
(рис. 69, б).
При дальнейшем уменьшении расстояния h окружности бу¬
дут пересекаться, т. е. иметь две общие точки (рис. 69, в). При
этом — га < h < Tj + Г* (гг > г,).
В случае, когда А = гх — г2, окружности имеют лишь одну
общую точку — точку касания (рис. 69, г). Все точки окруж¬
ности меньшего радиуса, кроме точки касания, будут располо¬
жены во внутренней области окружности большего радиуса.
В этом случае говорят, что окружности касаются внутренним
образом.
При дальнейшем уменьшении расстояния между центрами,
т. е. при условии А <гх — г2 (рпс. 69, д), окружности не пересе¬
каются, т. е. не будут иметь общих точек, причем окружность
меньшего радиуса расположена во внутренней области окруж¬
ности большего радиуса. В частности, при А = О центры окруж¬
ностей совпадут (рис. 69, е). Окружности, имеющие общий центр,
называются концентрическими. Итак, в зависимости от соотно¬
шений между гх, г2 и А
15 8 две окружности могут не иметь общих точек, могут иметь
I одну или две общие точки.
Вопросы и задачи
140. Каково взаимное расположение двух окружностей, если
расстояние между их центрами 4 см, а радиусы соотьетст-
венно равны: 1) 1 см и 3 см; 2)	3 см	и 5 см; 3)	2 см и 1	см;
4)	3 см и 7 см; 5) 1 см и 4 см; 6)	4 см	и 4 см?
141. Отметьте в тетради такие точки А и В, что |-АВ[ = 5 см.
Постройте точку X, если известно,	что: 1) |.АХ| =3	см,
\ВХ\ = 4 см; 2) \АХ\ = 2 см,	\ВХ\ = 3 см;	3) \АХ\ =
= 6 см, | ВХ\ = 1 см.
142. Начертите окружность (О, г) и постройте точки, принадлежа¬
щие этой окружности и находящиеся на данном расстоя-
45

нии а: 1) от данной вне этой окружности точки М; 2) от дан¬
ной на этой окружности точки В. Сколько решений может
иметь каждая из этих задач?
143.	Постройте две окружности, каждая из которых проходит
через центр другой. Сколько общих точек имеют эти окруж¬
ности? Чему равно расстояние между их центрами?
.144. Постройте точки, находящиеся на расстоянии а от данной
точки А и на расстоянии 6 от другой данной точки В. При
каком условии задача: 1) имеет решение, 2) не имеет ре¬
шения?
145. Постройте окружность, которая касается данной окружно¬
сти (О. 2 см) в данной точке и имеет радиус, равный: 1) 1 см;
2)	2 см; 3) 3 см. Сколько окружностей можно построить
в каждом из этих случаев?
146. 1) Постройте окружность, которая касается данной окруж¬
ности (О, г) в данной на ней точке М. Сколько таких окруж¬
ностей можно построить?
2)	Постройте окружносто данного радиуса г, которая каса¬
ется данной окружности (Oi, rt) в данной на ней точке М.
Сколько решений может иметь эта задача?
147. 1) Постройте окружность, которая проходит через данные
точки А и В (|-ABj = 2 см) и имеет радиус: а) 3 см, б) 4 см;
в)	1 см. Сколько окружностей можно построить в каждом
из этих случаев?
2)	Постройте несколько центров окружностей, проходящих
через точки А и В. Какое можно высказать предположение
о множестве центров всех таких окружностей?
148. На прямой р даны точки А и В, \АВ\ = Л. Сколько сущест¬
вует в каждой из полуплоскостей с границей р таких то¬
чек X, что || — а, |ВХ| = 6? В каком случае точка X:
1)	принадлежит прямой р; 2) не принадлежит прямой р!
О)	6)	6)
Рис. 70
46

149*. Даны три окружности: Окр (0|, г,), Окр (02, г2), Окр (Os, rs).
Выразите расстояния 10|0i:|, |0г03| и |0|0з| через радиусы
ги г2, г3 (рис. 70, а, б, е).
150**. Докажите, что если две окружности (0|, Г|) и (02, г2) касают¬
ся друг друга, то точка касания принадлежит прямой, прохо¬
дящей через центры этих окружностей.
151*. Построй1в окружность, которая касается двух данных кон¬
центрических окружностей. Какой фигурой является множе¬
ство центров всех таких окружностей?
14 ▼ . Из истории геометрии
1. Геометрия возникла из нужд практики. Большое число
правил для решения практически важных задач можно найти
уже в древнегреческих папирусах и древневавилонских клино¬
писных текстах. Древние египтяне умели вычислять площади
прямоугольника, треугольника и трапеции. Площадь круга
„ 8
они считали равной площади квадрата со стороной — диамет¬
ра. Это довольно точное приближение с ошибкой 0,6 %. Наряду
с этим приводилось значительно более грубое приближение для
длины окружности, которую предлагалось считать равной ут¬
роенному диаметру (ошибка около 5%). Египтяне знали, что
треугольник, стороны которого пропорциональны числам 5, 4
и 3, имеет прямой угол. По-видимому, веревочный треугольник
с таким отношением сторон служил для разбивки прямых углов
на местности при делении полей (рпс. 71). Вавилоняне в связи
с задачами астрономии умели измерять углы в градусах и ми¬
нутах.
Но все это были отдельные практически найденные рецепты,
иногда точные, а иногда лишь приближенные. Сами египтяне и
вавилоняне такого различия, по-видимому, не делали. Не было
ни точных определений, ни отчетливых доказательств.
2.	Геометрия как наука систематическая, развивающаяся
при помощи строгих логических рассуж¬
дений, возникла в VI —III вв. до нашей
эры в Древней Греции. Что же позволило
греческим математикам построить строй¬
ное здание науки геометрии? Для этого
им пришлось понять, что при определе*
нии и изучении геометрических фигур	рис. 71
47

следует отьлечься от некоторых свойств,
присущих окружающим нас реальным те¬
лам. Они решили заниматься свойствами
точек, совсем не имеющих размеров,
Свойствами линий, совсем не имеющих
толщины, и т. д. Их не смутило то об¬
стоятельство, что «геометрическую точку*
не имеющую размеров, или прямую, не
имеющую толщины, нельзя увидеть и
«потрогать*. Поговорим об этом не¬
сколько подробнее.
Рис. 72
На практике люди имеют дело с те¬
лами, имеющими конечные размеры. Ку¬
сок оконного стекла — тело, имеющее
длину, ширину и толщину. Лишь отвле¬
каясь от его толщины, мы можем счи¬
тать его моделью геометрической поверх
ности (рис. 72). Кусок проволоки, конеч-
Рии. 73
по, тоже тело, но его поперечное сечение очень мало по срав¬
нению с длиной. Отвлекаясь от размеров поперечного сечения
проволоки, мы получаем представление о геометрической ли¬
нии (рис. 73). Лишь представив себе тело, все размеры ко¬
торого очень малы, и решившись совсем отвлечься от этих раз¬
меров, приходим к понятию геометрической точки
Из геометрических линий проще всего представить себе на¬
глядно отрезок, соединяющий две точки: достаточно натянуть
между этими точками шнурок, чтобы получить хорошую модель
отрезка. Отрезок можно продолжить в двух противоположных
направлениях. Лишь представив себ£ его уже продолженным
неограниченно, «до бесконечности*, получаем наглядное пред
ставление о прямой. При этом мы отвлекаемся от то^о обстоя
тельства, что на практике такое продолжение отрезка «до бес
конечности* неосуществимо.
Мы видим, что геометрические понятия являются отвлечен
ными, или, как принято говорить, абстрактными понятиями
(абстракция — отвлечение), Реальные тела имеют не только
определенную форму и размеры, но и массу, могут быть сделань
из железа, из дерева и т. д. Отвлекаясь от всех их свойств, кро
ме формы и размеров, приходят к представлению о геометриче
ском теле. Отвлекаясь от тех или иных размеров тел, приходят
к представлениям о геометрических поверхностях и линиях и.
48

наконец, к предста влению о геометри¬
ческой мочке. Но геометры нашего вре¬
мени предпочитают обратный путь:
линии, поверхности, тела и вообще гео¬
метрические фигуры они считают лто-
жествами точек.
Можно спросить себя: для чего все
это делается? Зачем нужно это отвле¬
чение? Ответ заключается в том, что
только для абстрактных геометричес¬
ких фигур можно сформулировать
ряд простых и весьма важных предло¬
жений.
Например, в геометрии через лю¬
бые две отличные друг от друга точки
проходит одна и только одна прямая.
В чертежной практике через две дан¬
ные на чертеже точки одна определенная
прямая проводится достаточно уверенно только в том случае,
когда точки расположены не слишком близко (рис. 74). А пред¬
ставьте себе, что в классе московской школы поместили одну
над другой по вертикали две точки на расстоянии 10 см (рис. 75).
С точки зрения геометрии соединяюща я их прямая пройдет
сквозь Землю и выйдет на земную поверхность в определенной
точке. Практически мы не можем указать такую точку совер¬
шенно точно. Она будет находиться в южной части Тихого океа¬
на, но где именно, можно указать лишь приближенно.
3.	Первый систематический курс геометрии (не дошедший
до нас) был написан Гиппократом Хиосским во второй половине
V в. до нашей эры. В III в. до нашей зры достижения древнегре¬
ческих геометров были объединены в знаменитом сочинении
Евклида «Начала».
Евклид стремился дать определения всем геометрическим
понятиям. Понятий, признанных основными и не подлежащих
определению, он совсем не выделяет. Естественно поэтому, что
как раз определения самых простых понятий у него иногда весь¬
ма расплывчаты. Показательны, например, определения: «ли¬
ния — длина без ширины», «прямая линия — такая, которая
одинаково расположена по отношению ко всем своим точкам*.
Евклид перечисляет аксиомы, на которых он считает воз¬
можным обосновать всю геометрию С современной точки
Рис. 74
1
~1Г
Рис. 75
49

зрения некоторые его доказательства содержат пробелы. Совсем
безукоризненное «аксиоматическое* построение геометрии —
дело ученых конца XIX и начала XX в., когда разными автора¬
ми было дано несколько таких изложений геометрии, опираю¬
щихся на разные системы аксиом. (Одна из возможных систем
аксиом сформулирована в приложении на страницах 373, 374.)
Но шаг в этом направлении, сделанный Евклидом, был едва
ли не самым значительным.
Дополнительные задачи к главе I
152. В пунктах А, В v\ С находятся радиостанции местной связи;
\АВ\ — 12 км, |ВС| =г 15 км, \АС = 21 км. Радиус уверен¬
ного приема станции, находящейся в пункте А, равен 9 км,
станции, находящейся в пункте В,—12 км и станции в пункте
С — 18 км. Взяв масштаб (1 см — 3 км), изобразите на чертеже
зоны уверенного приема: 1) каждой станции; 2) двух стан¬
ций— А и В, 3) станций В и С; 4) всех трех станций; 5) хоть
бы одной станции.
153. Расстояние между точками А и В равно 2 с N.. Покажите на
чертеже фигуру, состоящую из таких точек X, что 1) | АХ | =
= \ВХ\ = 0,5 см; 2)\АХ\ = \ВХ\ = 1 см; 3)\АХ\ < 1,5см,
|ВХ| < 1,5 см; 4) \АХ | > 1,5 см, \ВХ\ > 1,5 см. Назовите
полученную фигуру,
154. Постройте пересекающиеся окружности (О;, Г|) и (02 г2). На
полученном рисунке покажите следующие фигуры:
1) Окр (0lf ri) П Окр (02, г2); 4) Кр (Оь п) J Кр (02- г2);
2) Кр (Оь п) П Окр (02, г2); 5) Окр (О,, n) L Окр (02, г2).
3) Кр (О,, г,) П Кр (02, г2);
155. Докажите, что отношение двух величин не зависит от выбора
единицы измерения, т. е. если Х\ и хг — числовые значения
величин о и Ъ при единице измерения е,- а У\ и ys— числовые
значения этих же величин при единице измерения е2, то
: х2 = ух ! у2.
156. Точка А лежит внутри круга (О, г), расстояние ОА | равно о.
Докажите, что круг (А, г — а) содержится в круге (О, г)
157. На рисунке 76 изображена сеть дорог, соединяющих населен¬
ные пункты А, В, С, D, Е, F и G, и указаны длинь этих дорог
в километрах. Назовем «расстоянием» между двумя пунктами
длину кратчайшего пути между этими пунктами, проходящего
по сети дорог. 1) Найдите «расстояния»: а) |^4В| б) |ВС|;
50

р
гт—
л
—
А
В
0
Ё
1
С
1
I
•
|
Рис. 77
в)	|CDj; г) |Ю|. 2) Проверьте, выполняются ли для этих
«расстояний» основные свойства расстояния? 3) Какие точки
лежат между точками А и В; А и Е; А и D?
158. Покажите, что пять точек могут определять 1, 5, 6, 8 или
10 прямых.
159. Точка С лежит между точками А и В, а точка X — между точ¬
ками А и С. Докажите, что точки А, В, С и X лежат на одной
прямой.
160. Точки А, В, С и D не лежат на одной прямой. Докажите, что
| AD | < | АВ | -J- | ВС | + | CD |.
161. На прямой р взяты точки А и В. Покажите на этой прямой
фигуру, состоящую из таких точек X, что: 1) |АХ| = |ВХ|;
2)\АХ\ \ AB\-, 3) |АХ| - |ВХ| = |АВ|; 4) \АХ\ ^ |ВХ|.
Назовите полученные фигуры.
162. 1) Приняв за начало координат точку О, луч ОС за положитель¬
ный, а отрезок ОЕ за единичный, найдите координаты точек
А, В, С и D (рис. 77). Найдите числовые значения расстояний
|АС|, |ВВ|, \ОА\ и |С£>| при единице измерения 10£71.
2)	Найдите координаты точек О, В, С и D и числовые значе¬
ния расстояний |АС|, |ВВ|, |ОА| и |CD|, если принять точ¬
ку А за начало координат, луч AD за положительный, а от¬
резок АЕ — за единичный отрезок,
163. На рисунке 78 изображены различные фигуры, являющиеся
объединением отрезков. Какие из этих фигур являются:
АБВГЛЕЖ1ИЙКЛМН0П
РСТУФХЦЧШЩЪЫЬЭЮЯ
Рис. 78
51

1)	простыми ломаными; 2) простыми замкнутыми лома¬
ными?
164. Существует ли замкнутая ломаная, длины звеньев которой
равны: 1) 2 см, 3 см, 4 см, 10 см; 2) 3 см, 3 см, 4 см, 4 см;
3)	4 см, 5 см, 0,5 см?
165. Покажите, что существует трехзвенная ломаная длиной !о,
содержащая все вершины квадрата со стороной а. Докажите,
что число звеньев и длину такой ломаной нельзя уменьшить.
166. Покажите, что существует семизвемная ломаная длиной 7а,
содержащая все вершины куба с ребром а. Докажите, что
число звеньев и длину такой ломаной нельзя уменьшить.
167. Верно ли предложение: 1) объединение двух областей есть
область; 2) пересечение двух областей является областью?
168. Покажите, что любой выпуклый л-угольмик можно получить
как пересечение п полуплоскостей.
169. Докажите, что сумма длин диагоналей любого выпуклого
четырехугольника меньше его периметра, но больше полу-
периметра.
170. Докажите, что число диагоналей п-уголььика равно
171.
п (л — 3)
172.
173.
174.
175.
Какие геометрические понятия были использованы при опре¬
делении: 1) простой замкнутой ломаной; 2) многоугольника?
Начертите такие два треугольника, что их объединение —
квадрат, а пересечение — отрезок.
Сформулируйте определение: 1) касающихся окружностей;
2)	пересекающихся окружностей; 3) непересекающихся ок¬
ружностей; 4) концентрических окружностей.
Как расположены окружности (0|, п) и (02, г2), если:
1)	|ОА|=5,	г, =	2,	г2 = 3;
2)	|ОА| =7,	г,=	3,	г2 = 3;
3)|ОА|=7,	г, =	10,	г2 = 3;
4)	|0,02| = 3,	г,=	2,	г2 = 5?
На рисунке 79 изображено несколько фигур. Их называют:
1)	кольцо (рис. 79, а); 2) восьмерка (рис. 79, б). Сформули¬
руйте определения этих фигур.
176. Докажите, что множество точек кру¬
га (О, г), не принадлежащих окружно¬
сти (О, г), есть область.
177. На сколько областей могут разбивать
плоскость: 1) прямая и окружность;
2)	прямая и дуга окружности; 3) луч
и окружность?

178. Может л» пересечение двух yiroe быть фигурой: 1) выпук¬
лой; 2) невыпуклой?
179. 1) Найдите множество центров окружностей, касающихся
данной окружности (О, г) в данной точке А.
2)	Постройте окружность данного радиуса г, которая каса¬
ется двух данных окружностей (0|, Г\) и (02, г2), если эти
окружности: а) не пересекаются, б) касаются, в) пересека¬
ются.
180. Стороны АВ, ВС и АС треугольника ABC равны соответст¬
венно 4 см, 5 см и 6 см. Постройте три окружности, центры
которых находятся в вершинах треугольника ABC и каждая
из окружностей касается внешним образом двух других.
181. Окружности (0|, г,), (О?, г2) и (Оз, гэ) имеют общую точку
касания М, первые две из этих окружностей имеют в этой
точке внутреннее касание. 1) Найдите расстояния |0|Ог|г
] 02Оэ ] и |0|0з|. 2) Докажите, что точки Oi, 02, Оз и М лежат
на одной прямой.

ГЛАВА
I!
КОНГРУЭНТНОСТЬ ФИГУР
И ПЕРЕМЕЩЕНИЯ
Рис. 80
§ 1. Конгруэнтность
15.	Отображения фигур
1.	Из курса алгебры вы знакомы с по¬
нятием отображения множестве на
множество. Фигура — множество то¬
чек. Поэтому можно рассматривать
отображения одной фигуры на другую,
Пример 1. Пусть I и I, — две
окружности с общим центром О
(рис. 80, с). Будем считать, что каждой
точке X первой окружности соответст¬
вует та точка Хг второй, которая лежит
на луче ОХ. Например, точке А соот¬
ветствует точка Alt точке Б — точка
Вг (это записывают так:	А -> Аи
В -> Вг).
Итак, каждой точке X первой ок¬
ружности соответствует одна точка
второй. При этом каждая точка второй
окружности посте влена в соответствие
некоторой точке первой окружности.
Множество всех точек, соответствую¬
щих точкам окружности L, — окруж¬
ность £j. Мы получили отображение
окружности L на окружность Lt.
Обозначим это отображение бук¬
вой /. Точку Хг второй окружности,
соответствующую точке X первой ок¬
ружности, называют образом точки X
при отображении f и пишут: Хх =
54

= f (X). Если фигура G — произ¬
вольное подмножество окружности L,
то фигуру Gu состоящую из обра¬
зов всех точек фигуры G, называют
образом фигуры G при отображении
f и пишут: Gi — f (G). Например,
vA1X1 = АХ), Lx = f(L) (см.
рис. 80, о).
Пример 2. Зададим отображе¬
ние окружности (О, г) на ее диаметр
АВ (рис. 80, б). Каждой точке X ок¬
ружности поставим в соответствие
точку Xi, — точку пересечения прямой АВ и перпендикуляра,
проведенного через точку X к этой прямой (точку Хх называют
основанием перпендикуляра). Тогда каждой точке окружности
соответствует одна точка отрезка АВ. (Например, точка А
отображается на себя, точка С отображается на точку F
и т. д.) При этом каждая точка диаметра АВ является образом
хотя бы одной точки окружности. Значит, мы задали отобра¬
жение окружности на ее диаметр АВ. Образом окружности
при рассмотренном отображении является отрезок АВ.
Между этими двумя примерами отображений есть важное
различие. В первом примере каждая точка Хь окружности Lv
является образом только одной точки окружности L. Поэтому
по точке Xi можно найти точку X, для которой точка Хх являет¬
ся образом при отображении f. Такое отображение называется
обратимым.
Отображение множества L на множество Lx обратимо, если
каждый элемент множества Lx является образом только одного
элемента множества L. Для любого обратимого отображения
имеется обратное. Если Xj — образ точки X при отображении
f, то образ точки Хх при отображении g, обратном f, — точка X.
Например, отображение g, обратное f (пример 1), задано на ри¬
сунке 81. Отображение, заданное во втором примере, необра¬
тимо: точка F является образом двух различных точек С и В
(рис. 80, б). Такое отображение не имеет обратного.
2.	В приведенных двух примерах рассмотрены отображения
одной фигуры на другую. Рассмотрим теперь отображения,
при которых образом фигуры является она сама, т. е. отобра¬
жения фигуры на себя.
55
«

Пример 3. Любую фигу¬
ру, в том числе и плоскость,
можно отобразить на себя с по¬
мощью тождественного отобра¬
жения Е, т. е. с помощью ото
бражения, при котором каждая
точка А' этой фигуры отобража¬
ется на себя: Е (А) = X.
Пример 4. Пус"ъ С —
точка внутренней области ок
ружности (рис. 82, с), А-—про¬
извольная точка этой окруж¬
ности Образом точки X будем
считать вторую точку пересече¬
ния прямой СХ с этой окруж¬
ностью — точку X .
Получили отображение ок¬
ружности на себя. В самом де¬
ле, каждой точке окружности
соответствует единственная точ
ка этой же окружности (напри
мер, точке М соответствует точ
ка Afx). Й каждая точка окруж
ности является образом единственной точки этой же окружности
(например, точка Ах есть образ точки А). Рассмотренное ото¬
бражение обратимо.
Пример 5. Введем координаты на прямой р и каждой
точке М (х) прямой р поставим в соответствие точку Afx пря¬
мой р, которая имеет координату х ~г 2. Тогда каждая точка
прямой р отобразится на определенную точку этой же прямой р.
Налрлмор, точка А (3) отобразится на точку Ал (5), точка
В (—6) — па точку Вх (—4); начало координат О отобразится
на точку С (2). И каждая точка прямой будет образом некоторой
точки этой же прямой. Например, точка В (—6) является обра¬
зом точки К (—8) и т. д. Значит, имеем отображение прямой р
на себя. Это отображение тоже обратимо.
у Пример 6. Каждой точке X отрезка АВ (рис. 82, б)
поставим в соответствие основание перпендикуляра, проведен¬
ного через точку X к отрезку CD. При этом А -> Ах, В -> В, ,
М -v Mi и т. д. Каждая точка А отрезка АВ отобразится на
определенную точку Ах отрезка CD. Но среди точек отрезка CD
56

f
есть тпкие точки, которые не являются образами точек отрезка
АВ при заданном отображении (обозначим его через /).
Итак, образы всех точек отрезка АВ составляют только
отрезок A iBi (но не весь отрезок CDI). Значит, f отображает
отрезок АВ на отрезок А1В1. Можно сказать также: «/ отобра¬
жает отрезок АВ в отрезок CD*, но нельзя говорить: «отрезок
АВ отображается на отрезок CD*. ▼
Вопросы и задачи
182.
1£3.
На рисунке 83 задано отображение f ломаной AXBCD на
отрезок AiDi: каждой точке X ломаной соответствует та точ¬
ка отрезка, которая лежит на луче ОХ. Ответьте на следую¬
щие вопросы и запишите ответы в принятых обозначениях
(например, f (А) = At, A -*-Ai).
1) Какая точка является образом точки А1 Точки XI Точки L?
2) Какая точка ломаной отображается на точку Mi? На точ¬
ку L|? На точку Di?
3) Образом какой точки является
точка -Ai? Точка Xi? Точка Сi?
4) Является ли отображение / обра¬
тимым?
На рисунке 84 задано отображение
квадрата ABCD на отрезок A\D\i
каждой точке X квадрата соответ¬
ствует основание перпендикуляра,
проведенного через точку X к пря¬
мой A\D\.
1)	На какую точку отрезка отобра-
если соответствующие точки этих
лучей лежат на окружности с цент-
",
Рис. 84
жается точка С? Точка D1 Точка А1 В
М
К
с
2) Образом какой точки является
точка Hi? Точка Pi?
Р
3) Обратимо ли это отображение?
н
184. Постройте образы нескольких то¬
1
чек при отображении: 1) отрез¬
Х<
ка АВ на отрезок CD (рис. 85, с),
если соответствующие точки отрез- А
N
F
D
ков лежат на лучах с началом М;
2) луча ОМ на луч ON (рис. 85, б),
57

186.
187.
189.
ром О и 0-+0; 3) замкнутой лома¬
ной ABC на окружность (О, г)
(рис. 85, в), если соответствующие
точки лежат на лучах с началом О.
4) Обратимы ли эти отображения?
Две окружности касаются: 1) внеш¬
ним образом, 2) внутренним обра¬
зом. Покажите, выполнив рисунки,
как можно отобразить одну из этих
окружностей на другую.
Задайте (выполниз рисунок) ото¬
бражение, отличное от тождествен¬
ного, при котором отображается на
себя: 1) отрезок АВ; 2) замкнутая
ломаная ABC; 3) квадрат ABCD;
4)	окружность (О, г).
При каких из указанных ниже отоб¬
ражений координатная прямая отоб¬
ражается на себя
1) А (х)—+А\ (2х);
2) А (.г)—*-А
3) А (г)—>-А,(л:2);
4) А (х)—*Ai (х — 1);
5) А (*)—
6) А (х)—кАЦ—я)?
1)	Укажите при помощи стрелок
все отображения фигуры {А, В, С}
на себя (например тождественное
отображение этой фигуры записы-
■А, В-+В, С-+С).
2)	Для одного из этих отображений укажите обратное.
1) На координатной плоскости задана фигура L (рис. 86. с).
Каждой точке В (х, у) поставлена в соответствие точка
а)	Р'(3х, Ъу); б) Р‘ (—2хг —2у). Постройте образы фигуры L
при этих отображениях.
2) На координатной плоскости задана окружность (рис. 86, б).
Каждой точке Р (х, у) окружности поставлена в соответствие
188*.
Рис. 85
вается так: А-
точка Р'(х, jy).
этом отображении.
Постройте образ данной окружности при
18

Рис. 66
16.	Отображения, сохраняющие расстояния
1.	Рассмотрим два примера отображений фигуры на фигуру.
Пример 1. Каждой точке X окружности (О, г) поставим
в соответствие точку Хг пересечения луча ОХ с окружностью
(О, 7i) (рис. 87). Получим отоб¬
ражение первой окружности на
вторую. Измерив расстояние
между произвольными двумя
точками А и В первой окруж¬
ности и расстояние между их
образами Аг и Вл, получим, что
эти расстояния различны. За¬
данное отображение не сохра¬
няет расстояний между точ¬
ками.
Пример 2. Рассмотрим
два отрезка одинаковой длины —
ОМ и ОМх (рис. 88). Зададим от¬
ображение отрезка ОМ на отре¬
зок ОМг. Для этого на прямых
ОМ и OMi введем координаты,
выбрав общую единицу измере¬
ния, приняв за начало координат
точку О, а за положительные
лучи — лучи ОМ и OMj. Поста¬
вим в соответствие каждой точ
ке X отрезка ОМ точку Хг
59

отрезка О Му, имеющую ту же координату, что и точка X. Полу¬
чим отображение отрезка ОМ на отрезок О Му. Длг любых
двух точек А и В отрезка ОМ расстояние между образами Ах
и By этих точек равно \АВ\.
у В самом деле, по теореме 11
\АВ\ = \хА - хв\.
Но образы А, и By точек А и В имеют те же самые координаты,
что и точки А, В. Следовательно,
\А,ВХ\ = \хА - хв\ - \хА - хв\ = |АВ|. ▼
Если отображение фигуры L на фигуру Lx таково, что рас¬
стояние между образами Ау и Вх любых двух точек А и В фигу¬
ры L равно расстоянию |АВ|, то говорят, что это отображение
сохраняет расстояния.
2.	Отображения, сохраняющие расстояния между точками,
обладают рядом свойств, которыми не обладают другие из рас¬
смотренных нами отображений. Так, мы видели, что если ото¬
бражение фигуры на фигуру не сохраняет расстояния, то обра¬
зом ломаной, например, может оказаться окружность, а не лома¬
ная (см. рис. 85, в), образом квадрата — не квадрат, а отрезок
(см. рис. 84). Напротив, при любом отображении, сохраняю¬
щем расстояния, каждая фигура отображается на фигуру того
же названия, т. е. образом отрезка является отрезок, образом
круга — круг, образом прямой - прямая и т, д.
Отображения, не сохраняющие расстояния, могут быть не¬
обратимыми (см. пример 2, п. 15). Для отображений, сохраняю¬
щих расстояния, имеет место следующая теорема.
16 |Те ор е м а. Отображения, сохраняющие расстояния, об~
I ратимы. Обратные к ним отображения тоже сохраняют рас
I стояния.
▼ Доказательство. Пусть f — отображение, сохра¬
няющее расстояния, X и Y — две различные точки и
/ (X) = Хи f (У) = Yy.
Так как точки X и У различны, то | АГУ| > 0 (по первому
свойству расстояний). Но	=	| XY\ (так как отображе¬
ние f сохраняет расстояния). Значит, | .XiYl| > 0, т. е. точки Хг
и УI различны.
Итак, при отображении f две различные точки не могут
иметь один образ, т. е. это стображение обратимо и, значит,
имеет обратное отображение.
60

Отображение, обратное к Д тоже сохраняет расстояния.
В самом деле, если точки Xt и Yt — образы точек X и Y при
отображении Д то при отображении, обратном к Д образами то¬
чек Xt и Yx являются точки X и Y соответственно. А так как f
сохраняет расстояния, то |XY| = | XjYJ. у
Вопросы и задачи
190. На рисунках 89, о и б заданы отображения ломаных на отре¬
зок. 1) Какие из этих отображений обратимы? 2) Выполняют¬
ся ли для этих отображений равенства: |АХ| = |А|Х||,
|XY| = |X,Y,|?
191. Задано отображение фи¬
гуры L на фигуру L\. Про¬
извольной точке X фигу¬
ры L соответствует сим¬
метричная ей относитель¬
но оси I точка фигуры L\
(рис. 90).
1) Назовите образы точек
А, В, С.
2) Образами каких точек
являются точки Q, Хи К1
3) Какому отрезку соот¬
ветствует отрезок КШ
Отрезок ЮС|?
4) На какие фигуры отоб¬
ражаются: точка Р; отре¬
зок ВС; ломаная РАВС?
5) Верно ли равенство
|ХР| = |X|Q|? Сохраня¬
ются ли при этом отобра¬
жении расстояния?
6) Покажите, что это ото¬
бражение обратимо. Ука¬
жите образы нескольких
точек и фигур при ото¬
бражении, обратном дан¬
ному.
192.	Задано отображение кру¬
га L на круг L\ (рис. 91).
Произвольной точке X^L

соответствует тичка Х\, полученная при параллельном переносе
в заданном направлении на заданное расстояние. 1) На какую
точку отображается центр кру.а L — точка О? 2) Образами
каких точек являются точки К, Р? 3) На какую фигуру отобра¬
жается радиус OQ1 Треугольник 0QM1 4) Верны ли равенстса
= \Х[К\, |ОХ| = 10(Х"(|? Сохраняются ли при этом
отображении расстояния? 5) Покажите, что это отображение
обратимо. Укажите образы нескольких точек и фигур при ото¬
бражении, обратном данному отображению.
193. На рисунке 92 задано отображение отрезка АВ на отрезок CD.
1)	Какая точка является образом точки У? На какие фигуры
отображаются отрезки XY и AYI 2) Образами каких фигур
являются отрезки DX\ и CD? 3) Является ли рассматриваемое
отображение обратимым? 4) Сохраняются ли при этом ото¬
бражении расстояния?
194. Дан угол MON. Каждой точке стороны ОМ соответствует та
точка стороны ON, которая лежит на окружности с цент¬
ром О; вершина угла отображается на себя (см. рис. 85, б).
1)	Отображение какой фигуры на какую здесь задано? 2) На
какой отрезок отображается отрезок OY1 Образом какого
отрезка является отрезок ОС? 3) Сохраняются ли пои этом
отображении расстояния? 4) Покажите, что это отображение
обратимо. Укажите образы нескольких
У	точек и фигур при отображении, обрат¬
ном данному.
195.	Каждой точке полуокружности соот¬
ветствует точка ее диаметра (рис, 93).
Точки А и В отображаются на себя.
A Xf	у, 0	2/ В	1) Отображение какой фигуры на ка-
Рис уз	кую здесь задано? 2) Обратимо ли

это отображение? 3) Сохраняются ли при этом отображении
расстояния? (Проверьте измерением.)
196.	Верпы ли предложения: 1) любое обратимое отображение
сохраняет расстояния,- 2) любое сохраняющее расстояния
отображение обратимо?
197*. 1) Укажите все сохраняющие расстояния отображения фигуры
{А, В, С} на себя, если: а) \АВ\ = 3, |ВС| = 4, \АС\ = 5;
б)	\АВ\ _ |ВС| =4, \АС\=5-, в) 1ЛВ| = |ВС| = |^С'Н5‘
2) Для каждого из найденных отображений укажите отобра¬
жение, ему обратное.
198.	Сохраняют ли расстояния следующие отображения коорди¬
натной прямой на себя: 1) Р(х) ->~Р'(2х)\ 2) Р(х) ->Р'(—*);
3) Р(х)-+Р'(х + 2); 4) Р(*)-^Р(-*-3)?
17.	Конгруэнтные фигуры
В 4 классе вы познакомились с понятием «конгруэнтные фигу¬
ры». Например, фигуры и L2, L2 и Ls (рис. 94) конгруэнтны.
О таких фигурах вы говорили, что они «могут совпадать при
наложении*. Но что означает «нало¬
жить фигуры друг на друга», не было
сказано.
В геометрии понимать это выра¬
жение буквально нельзя. Ведь фигу¬
ры для нас множества точек, и «сдви¬
нуть» их с занимаемых ими на плос¬
кости мест нельзя. Вместо «наложения»
фигур будем рассматривать их отобра¬
жения друг на друга.
Пусть, например, треугольник ABC
можно «наложить» на треугольник
А1В1С1 так, чтобы они «совпали»
(рис. 95). Скопируем треугольник ABC
на кальку. Наложим эту кальку на тре¬
угольник Л1В1С1. Тогда копия каждой
точки X треугольника ABC «совпадет»
с определенной точкой Xi треугольни¬
ка АгВ1С1.
Значит, для каждой точки X тре¬
угольника ABC можно указать соответ¬
ствующую ей точку Хг треугольника

А^С^.Получаем отображение треугольника ABC на треугольник
АХВХСХ. Нетрудно заметить, что при этом произвольные две
точки М и N треугольника ABC отображаются на такие точки
Мх и Nt треугольника АХВХСХ, что расстояния \MN\ и MXNX
равны. Итак, треугольник ABC можно отобразить на треуголь¬
ник AiBiCi с силранеьием расстояний между точками.
Следовательно, понятие «конгруэнтные фигуры* можно оп¬
ределить с помощью понятия «отображение».
Определение. Фигура Lx конгруэнтна фигуре i2,
если существует отображение фигуры Lx на фигуру Lz, сохра¬
няющее расстояния.
Если фигура Lx конгруэнтна фигуре Ь.2, то будем писать:
11 = £>2
Рассмотрим еще один пример конгруэнтных фигур. Как по¬
казано выше (пункт 16, пример 2), если длииь отрезков ОМ и
ОхМх равны, то существует сохраняющее расстояния отобр;
жение одного из этих отрезков на другой. Следовательно,
[ОМ] з& [OjM,].
В дальнейшем будем пользоваться следующими свойствами
отношения конгруэнтности фигур:
1) каждая фигура конгруэнтна себе (свойство рефлексив¬
ности): L s* L;
2) если фигура Lx конгруэнтна фигуре Ls, то и фигура Lt
конгруэнтна фигуре Lx (свойство симметричности):
если Lj = Z2, то Ln ^ Lx
(поэтому говорят, что две фигуры конгруэнтны друг другу, не
обращая внимания на порядок, в котором они названы);
3) если фигура Lx конгруэнтна фигуре L2 и фигура L кон¬
груэнтна фигуре L3t то фигура Lx конгруэнтна фигуре L3 (свой
ство транзитивности):
если Z, ^ Ьг и Z2 Zs, то Lx s L3.
Сказанное можно сформулировать короче:
17 8
отношение конгруэнтности фигур рефлексивно, сияметрич-
~ Щно и транзитивно.
V Докажем первое свойство. Пусть L — некоторая фигура
Каждой ее точке X поставим в соответствие эту же точку X.
Получим тождественное отображение фигуры L на себя. Оно
сохраняет расстояния, так как для любых точек А и В имеет
место равенство \АВ\ = \АВ\. Значит, L з* L
Второе свойство конгруэнтности фигур непосредственно сле¬
дует из теоремы 16.
64

Объясним замысел доказательства третьего свойстве . Если
фигура Li конгруэнтна фигуре Li3 то копию фигуры Ll можно
наложить на фигуру Во (см. рис. 94;. Затем эту же копию мож¬
но наложить и на фигуру L3t так как Вг Е3. Поэтому фигуру
Li можно отобрази xd на фигуру L3 с сохранением расстояний,
т е. Li ^ L3. ▼
Вопросы и задачи
199.	Запишите в принятых обозначениях: 1) фигура Т конгруэнт¬
на фигуре Т|, 2) отрезок АВ
3)	луч АС конгруэнтен лучу BD.
200.	Пусть отображение / сохраняет
расстояния и f (A) —P,f (В) — Q,
f(C)=R. 1) Найдите расстояния
|PQ|, |QR|, |РД|, если |АВ| = 7,
| ВС | =7, |АС| = 12. 2) Назовите
подмножества фигуры {Р, Q, R), кон¬
груэнтные фигурам {А, В}, (Л, С},
(В, С)
201°. Конгруэнтны ли две фигуры, сим¬
метричные относительно: 1) данной
прямой; 2) данной точки?
202э. Фигура L отображается при парал¬
лельном переносе на фигуру L\.
Конгруэнтны ли фигуры В и Li?
203. Какие из фигур, изображенных на
рисунке 96, конгруэнтны?
2Q4. Начертите какую-либо фигуру и по¬
стройте фигуру, ей конгруэнтную.
(Для построения можно восполь¬
зоваться линейкой, циркулем, уголь¬
ником или калькой.)
205*. На рисунке 97 задано отображение
f фигуры {С, D, Е} на фигуру
{А, В); |АВ| = jCBj = |DE| =
= j 1. Верно ли, что: 1) отображе¬
ние / сохраняет расстояния; 2) фи¬
гуры (С, D, Е} и {А, В} конгруэнт¬
ны; 3) фигуры {А, В} и {С, D},
{А, В} и {Е, С} конгруэнтны?
конгруэнтен отрезку CD;
8,
Вг
А3
аI
О
©
©
Ь)
Рис. 96
3 Геометрии. 6—8
65

206е. Может ли фигура, состоящая из двух точек, быть конгруэнт¬
ной фигуре, состоящей из трех точек?
207. Отметьте на плоскости три точки А, В, С. Постройте при
помощи циркуля фигуру {Z), Е, М}, коыруэнжую фигуре
{А, В, С).
208**.Начертите два конгруэнтных треугольника ABC и А\В\С\
и отметьте точку X, принадлежащую первому иэ них. Построй¬
те образ точки X при каком-либо отображении первого тре¬
угольника на второй, сохраняющем расстояния.
209**. Начертите два конгруэнтных квадрата ABCD и КМРТ и от¬
метьте точку X, принадлежащую первому из них. 1) ПостроЙ1е
образ точки X при сохраняющем расстояния отображении
первого квадрата на второй, если: а) А-*-К, В-*-М\ б) С-*-К,
В-*-Т. 2) Сколько образов точки X может быть построено при
различных отображениях первого квадрата на второй с сохра¬
нением расстояний?
210*. Докажите, что два отрезка различной длины не конгруэнтны.
211*. Докажите, что две окружности различных радиусов не кон¬
груэнтны.
212**.Три точки А, В и С не лежат на одной прямой. Точки At, В\
и С| — различные точки одной прямой. Докажите, что фигуры
{А, В, С} и {Ait В\, Ci) не конгруэнтны.
18.	Измерение углов
1.	Вы уже умеете измерять углы в градусах. Рассмотрим не¬
которые свойства величин углов.
1)	Как известно, каждый угол можно разделить пополам,
т. е. представить его в виде суммы двух конгруэнтных углов.
Углы можно делить и на большее число частей. Так, проведя
сначала биссектрису угла А ОС, а затем биссектрисы углов АО В
и ВОС, получим четыре конгруэнтных
угла, сумма которых — угол АОС
(рис. 98). Справедливо такое общее ут¬
верждение:
181| любой угол можно разделить на п
Вконгруэнтных углов (п — произ-
I вольное натуральное число).
Разделим развернутый угол на 180
конгруэнтных углов. Величину каждо-
Рис. 98	го	из этих углов называют градусом
66

(обозначается так: 1°). За величину уг¬
ла, являющегося суммой целого числа
k углов в один градус, принимают k°.
Например, величина развернутого уг¬
ла равна ISO1.
Величины углов, не являющихся
суммой целого числа углов в один гра¬
дус, выражают через градусы прибли¬
женно. При измерениях углов, требующих высокой точности (на¬
пример, в астрономии или навигации), пользуются и более мелки¬
ми единицами измерения. Такими единицами являются одна ми¬
нута (1') и одна секунда (1"). Минутой называют — часть градуса.
60
Минута — это величина каждого из 60 углов, полученных при
делении угла в один градус на 60 конгруэнтных углов. Разде¬
лив в свою очередь угол в одну минуту на 60 конгруэнтных уг¬
лов, получим углы величиной в одну секунду:
V = — • 1°,	1" = - ■ 1' = — • 1°.
60	60	3600
2) На рисунке 99 изображены конгруэнтные углы:
Z_ АОВ sg Z. DEF.
Измерив эти углы, мы получим, что они имеют одну и ту же
величину:
АОВ = DEF.
Вообще,
182| два угла конгруэнтны тогда и только тогда, когда их вели-
I чины равны.
3) Пусть угол АОС является суммой углов АОВ и ВОС
(рис. 100). Тогда:
АОС = АОВ + ВОС.
Рис. 100
3*	67

в
Рис.
О)
102
Рис. 103
Справедливо предложение:
1831величина суммы двух углов равна сумме величин этих
I углов.
4)	Построим с помощью транспортира угол с данной стороной,
имеющий заданную величину а (на рис. 101,с а = 80е, на
рис. 101,6 а = 230е). Очевидно, при любом значении а можно
построить два таких угла. Это утверждение сформулируем сле¬
дующим образом:
18J от любого луча можно отложить два угла заданной ве-
I личины.
2.	Прямым углом называется угол, конгруэнтный своему
смежному. Величину прямого угла часто обозначают буквой d.
Так как величины конгруэнтных углов равны, а сумма смежных
углов — развернутый угол, то 2d = 180° и, следовательно,
d = 90°.
При пересечении двух прямых образуются четыре выпуклых уг¬
ла (отличных от развернутого). Пусть один из этих углов прямой
(рис. 102). Тогда, как это легко проверить, и другие три угла
тоже прямые.
Если при пересечении двух прямых образуются четыре пря¬
мых угла, то такие прямые называются взаимно перпендикуляр¬
ными. Говорят также, что каждая из этих прямых есть перпен¬
дикуляр к другой. Для построения перпендикуляра к данной
прямой р, проходящего через данную точку О, пользуются чер¬
тежным угольником (рис. 103, а и б). Проводя такие построе¬
ния, можно наглядно убедиться в справедливости утверж¬
дения:
19 О через любую точку плоскости проходит один и только один
| перпендикуляр к данной прямой.
68

Вопросы и задачи
213°. Сформулируйте определение биссек¬
трисы угла.
214. При помощи транспортира и линейки
постройте углы, величины которых
равны: 1) 70°; 2) 110"; 3) 229°; 4) 330°.	Рис.	ю4
215. Угол величины 45° разделили на п
конгруэнтных углов Запишите величины этих углов: 1) в гра¬
дусах; 2) в градусах и минутах; 3) при единице измерения,
равней d, если п равно 2; 3; 6; 10.	,
216. Запишите следующие величипы в порядке их возрастания:
67° 42'; - d; 67°45"
4
217. Выполните указанные действия:
1)	45°30'45" + 44°29'15"; 2) 83' 05'30" + 22°45'55";
__3) 93°35'20" — 45е40'15"; _4) 102°43'15" - $0*50'30";
5)	3 • 20°15'30"; 6) 4 • 30°25'15"; 7) 144°50'22" : 3.
218. При помощи транспортира измерьте величины всех выпук¬
лых углов, образовавшихся при пересечении двух прямых
(рис. 104). Сколько углов достаточно измерить, чтобы отве¬
тить на поставленный вопрос?
219. Нарисуйте произвольный отрезок АВ. 1) Постройте с по-
мощью транспортира треугольник ABC, если: а) А = 45°,
В = 75°; б) А = 30°, В — 60°. Измерьте угол С, 2) Сколько
различных треугольников можно построить по этим данным?
220.' Постройте прямую, перпендикулярную к данной прямой а
и проходящую через данную точку В, если: 1) В £ о; 2) В$а.
' 221. Докажите, что если один из четырех выпуклых углов, об-
разованных двумя пересекающимися прямыми, имеет вели¬
чину 90°, то и величины трех других углов равны 90°.
222. Постройте биссектрисы смежных углов.
223. Докажите, что угол между биссектрисами двух смежных
углов равен 90°.
224. Сформулируйте определения тупого и острого углов.
225. Как известно, азимутом (магнитным) данного направления
называется угол между осью магнитной стрелки и данным
направлением. Азимуты отсчитываются от направления на
север по часовой стрелке от 0° до 360°. Например, азимут
направления ОМ—острый угол в 70° (рис. 105, с).
На рисунке 105, б дана схематичная карта Подмосковья.
69

1) Определите азимуты направлений от Москвы на Загорск,
Клин, Воскресенск, Каширу, Серпухов, Крюково, Можайск.
2) Чтобы определить по карте маршрут перехода, необходи¬
мо найти азимуты каждого из направлений этого маршрута.
Сделайте это, используя карту Подмосковья, для маршрутов:
а) Кубинка — Малоярославец; б) Кубинка — Волоколамск;
в)	Крюково — Пушкино; г) Барыбино — Подольск.
§ 2. Перемещения
19.	Поворот
Нарисуем на листе бумаги какую-либо фигуру L и отметим
точку О (рис. 106, а). Положим на лист бумаги лист кальки,
покрывающий фигуру L и точку О. Проколем оба листа в точ¬
ке О булавкой. Скопируем на лист кальки фигуру L и повернем
а)	6)
Рис. 106
70

t
6)
Рис. 107
,, Рис. 108
кальку вокруг точки О (рис. 106, б). Тогда копия фигуры L
займет на плоскости новое положение Ll. Говорят, что фтура
Li получается из фигуры L при помощи поворота вокруг цент¬
ра О. Каждой точке X фигуры L при этом повороте соответст¬
вует некоторая точка Хх фигуры Lu и каждая точка фигуры Lv
является образом некоторой точки фигуры L. Получаем отобра¬
жение фигуры L на фигуру Lx.
Легко заметить, что при повороте кальки вокруг точки О
копии всех точек фигуры L перемещаются в одном и том же
направлении (все против часовой стрелки или все по часовой
стрелке) на угол одной и той же величины (эту величину на¬
зывают углом поворота). Иначе говоря, для любых двух точек
X и У фигуры L и их образов Хх и Yx
причем углы ХОХх и YOYx отложены от лучей ОХ и OY соот¬
ветственно в одном и том же направлении (на рис. 107, а пока¬
зан поворот против часовой стрелки на 60°, а на рис. 107,6 —
поворот на 60° по часовой стрелке).
При повороте с центром О на угол а фигура L отобразится
на ту же фигуру Llt что и при повороте вокруг точки О на угол
360° — а, но в противоположном направлении (рис. 108). Один
из углов а или 360° — а не превышает 180°. Таким образом,
любой поворот на угол, больший 180°, можно заменить поворо¬
том на угол, меньший 180°. Поэтому можно ограничиться
рассмотрением поворотов на углы, не превышающие 180°.
Итак, поворот фигуры задается указанием: 1) цент¬
ра О, 2) угла поворота a (0° ^ а ^ 180°) и 3) направления
поворота.
Если центр О, угол а и направление поворота заданы,
то точка Хх — образ точки X — строится так: от луча
ОХ в заданном направлении откладывается угол ХОА величи¬
ХОХх = YOYx = а
71

I
ны а (рис. 109) и на луче ОА нахо¬
дится точка Хи лежащая на' расстоя¬
нии \ОХ\ от центра О.
Описанный способ получения образа
точки X применим к любой точке плоско¬
сти. Что же получится, если за фигуру L
принять всю плоскость? Получится ото¬
бражение всей плоскости на себя, ко¬
торое называют поворотом с центром О
на угол а в заданном направлении.
Действительно, каждая точка плос-
Рис. 109	кости	будет	иметь образ, полученный
указанным способом. И для любой точ¬
ки Mi плоскости найдется такая точка М, образом которой
при этом повороте является Mi- Получить эту точку М очень
просто: надо построить образ точки Mi при повороте вокруг
центра О на тот же угол а в направлении, противоположном
направлению данного поворота (см. рис. 109). Дадим теперь
определение поворота.
Определение. Поворотом с центром О на угол а
(0° а ^ 180е) в заданном направлении называется отображение
плоскости на себя, при котором точка О отображается^на себя,
а любая другая точка X — на такую точку Хи что:
1) расстояния | ОХ | и | OXi\ равны;
2) угол ХОХ1 имеет величину а и отложен от луча ОХ в задан¬
ном направлении.
Поворотом на 0е считают тождественное отображение плос¬
кости.
Примем без доказательства следующее важное свойство по¬
ворота:
20 | при повороте расстояния сохраняются.
Наглядная убедительность этого предложения ясна из ска¬
занного в начале пункта. В самом деле, расстояния между ко¬
пиями произвольных точек X и Y плоскости — точек Xi и
Yi — при повороте кальки вокруг точки О, конечно, не меня¬
ются (см, рис. 106, б). Значит, l-XV^il = \XY\.
Ранее было сказано (теорема 16), что отображение, сохра¬
няющее расстояния, имеет обратное. Отображение, обратное
повороту, есть поворот с тем же центром О и на тот же угол,
но в противоположном направлении.
72

Далее мы познакомимся с другими отображениями плоско*
Ciu на себя, сохраняющими расстояния (в п. 21 рассматривается
осевая симметрия, а в п. 36 — параллельный перенос). В гео¬
метрии такие отображения плоскости играют важную роль и
поэтому получили специальное название — перемещения.
Определение. Отображение плоскости на себя, сохраня¬
ющее расстояния, называется перемещением.
21 |Т еорема. При перемещении любая фигура отображается
Шна конгруэнтную ей фигуру.
Доказательство. При перемещении любая пара
точек X и Y фигуры L отображается на такую пару точек Хх и
Yj фигуры Lx (Lx — образ фигуры L), что I-X^Y^ = \ XY\ (пере¬
мещение сохраняет расстояния!). Это и означает, что I, s I. ■
Вопросы и задачи
226.	Заданы центр поворота О и точка М. Постройте образы точ¬
ки М при поворотах с центром О на углы 30е, 60е, 120°, 180*.
(Направление поворота — против часовой стрелки.)
227°. На какую фигуру отображается при повороте: 1) прямая, про¬
ходящая через центр поворота; 2) окружность, центр которой
совпадает с центром поворота; 3) угол с вершиной в центре
поворота?
228. 1) Постройте образ данного отрезка АВ при повороте вокруг
центра О на данный угол а.
2)	Постройте образ данного угла ABC при повороте на дан¬
ный угол а вокруг данного центра О, лежащего вне угла.
,229- Стороны АО и ВО треугольника АОВ конгруэнтны. Постройте
образ этого треугольника при повороте вокруг центра О:
1) на угол АОВ в направлении против часовой стрелки 2) на
угол АОВ в направлении по часовой стрелке; 3) на угол
а = 100° в направлении по часовой стрелке
230. 1) Постройте образ данного прямого угла при повороте во¬
круг вершины угла на 45е против часовой стрелки.
2) Отметьте штриховкой: а) объединение данного и постро¬
енного углов; б) пересечение этих углов.
231. Постройте несколько центров поворотов, при которых дан¬
ная точка А отобразится на другую данную точку В.
232. Какие фигуры, составленные из конгруэнтных полукругов
(рис. 110), при некотором нетождественном повороте отобра¬
жаются на себя?
233. Укажите центры и углы поворотов, при которых фигуры, изо-
73

0)
A7
A
Ф
О
6)
A,
As
S)
Рис. Ill
a
6)
о/ \
С )
i)
3)
№
e)
*)
Рис. 110
0
•E
Рис. 112
браженные на рисунке 111, а,
отображаются на себя.
234*. Докажите, что фигура, изобра¬
женная на рисунке 111, б, при
некоторых поворотах с цент¬
ром О отображается на себя.
Найдите углы этих поворотов.
235*. Укажите пары конгруэнтных
отрезков и углов, изображен¬
ных на рисунке 111, б.
236*. Начертите несколько фигур,
*
каждая из которых при неко¬
тором нетождественном пово¬
роте отобразится на себя. Для
каждой из этих фигур укажите
центр поворота и возможные
углы поворота.
237*. Сколько существует переме¬
щений, отображающих одну
данную фигуру на другую дан¬
ную фигуру, если этими фигу¬
рами являются: 1) точки; 2) лу¬
чи; 3) прямые; 4) конгруэнт¬
ные окружности; 5) отрезки?
238*. На лучах ОМ и 0\М\ выбраны
такие точки А и А\, что \ОА | =
= |0|Л||. Докажите, что при
любом перемещении, отобра¬
жающем луч ОМ на луч 0\М\,
образ точки А— точка А\.
239.	Постройте образы точек А, В,
С, D, Е при перемещении, ото¬
бражающем луч ОМ на луч
0\М\, а полуплоскость а на по¬
луплоскость сн (рис. 112).
74

240. Ниже заданы отображения плоскости. Покажите, что ни одно
из них не является перемещением.
1) fi(A) = В, fi(B) = А, остальные точки плоскости отобра¬
жаются на себя (А^=В).
2) fi(0) = О, произвольная точка X плоскости отображается
на такую точку Xt луча ОХ, что |ОХ|| = ft \ОХ\ (ft —любое
положительное число, не равное единице).
3) Образом произвольной точки X плоскости является основа¬
ние перпендикуляра, проведенного из точки X к прямой р.
241. Приведите примеры фигур, для которых существует несколь¬
ко поворотов, отображающих эти фигуры на себя.
20.	Центральная симметрия
При а Ф 0° и а ф 180° существуют два поворота с заданным
центром О на угол а: один в направлении по часовой стрелке,
а другой — против часовой стрелки. Но при а = 0° такой по¬
ворот лишь один — это тождественное отображение плоскости.
Особый случай мы получим и при а — 180°. Существует
лишь один луч с началом О, образующий с данным лучсм ОМ
угол 180е, — это луч ОМх прямой ОМ, противоположный лу¬
чу ОМ (рис. 113). На луче ОМг имеется лишь одна точка X,,
удаленная от О на расстояние \ОХ\. Следовательно, образ лю¬
бой точки плоскости при поворотах с центром О на угол 180°
не зависит от направления поворота, и, значит, существует лишь
один поворот с заданным центром на 180е.
Из построения видно (см. рис. 113), что образ произвольной
точки X плоскости при этом повороте — это такая точка Хх,
что центр О — середина отрезка ХХх. Как вы уже знаете, та¬
кие точки ZhXi называют симметричными относительно цент¬
ра О. Поворот на 180° называется центральной симметрией.
Симметрию с центром О обозначают Zo.
Рассмотрим свойства центральной симметрии.
22 | Центральная симметрия есть перемещение.
Справедливость этого свойства сразу следует из предложе¬
ния 20. Свойством 22 мы будем часто пользоваться при доказа¬
тельствах конгруэнтности фигур. Докажем, например, уже
известное вам предложение:
вертикальные углы конгруэнтны.
На рисунке 114 изображены вертикальные углы АОВ и COD.
Рассмотрим симметрию Zo• При этой симметрии точка О ото-
75

fJL
+
м
Рис. 513
Рис. 114
бражается на себя, а лучи ОА
и ОВ — соответственно на лучи
ОС и OD. Следовательно, образ
угла АОВ при симметрии Zo —
вертикальный с ним угол COD.
Так как центральная симметрия
является перемещением и, зна¬
чит, отображает любую фигуру
на конгруэнтную ей фигуру,
получаем: Z. АОВ Z. COD.я
22j| От°бражение, обратное цен¬
тральной симметрии, есть та
же центральная симмет¬
рия.
Доказательство. Пусть X — произвольная точка
плоскости. Если точка Xi симметрична X относительно центра
О, то точка X симметрична Xi относительно той же точки О
(рис. 113). Значит, отображение, при котором точка Хг отобра¬
жается на точку X, т. е. отображение, обратное симметрии Z0,
есть та же центральная симметрия Z &. В
22,9 Любая прямая, проходящая через центр симметрии, ото¬
бражается при этой симметрий на себя.
Доказательство. Пусть центр О симметрии при¬
надлежит прямой р. Возьмем на прямой р любую другую точ¬
ку М. При симметрии Z0 прямая ОМ отображается на прямую,
проходящую через образы точек О и М. Но точка О отображается
на себя, а точка М — на точку М\ прямой р (см. рис. 114). Поэто¬
му прямая р — (ОМ) отображается на прямую О Ми т. е. на себя. ■
Фигура, которая при симметрии относительно некоторого
центра О отображается на себя, называется центрально-симмет¬
ричной (говорят также, что эта фигура имеет центр симмет¬
рии). Из доказанного только что предложения следует, что пря¬
мая — фигура центрально-симметричная.
Вопросы и задачи
242. Отметьте на плоскости точку О и точки А, В, С. 1) Постройте
точки M=Z0(A), P = Z0(B), D=Z0(C). 2) Укажитена этом
же рисунке точки Z0(M), Z0(P), Z0(D), Z0(0).
243°. 1) Какая точка плоскости при центральной симметрии отобра¬
жается на себя?
76

2) Какие прямые при центральной симме:рии отображаются
на себя?
3) Центральная симметрия задана парой соответствующих
точек: А-+-А\. Как найти в этом случае цептр симметрии?
244. Какой фигурой является образ: 1) прямой АВ при симметрии
относительно точки О f (АВ); 2) луча ОС при симметрии от¬
носительно центра О; 3) угла ABC при симметрии относитель¬
но точки В1
245. 1) Постройте отрезок, симметричный данному отрезку АВ
относительно данного центра О, если:	a) Of (АВ); б) 0$
i №).
2) Постройте прямую, симметричную данной прямой АВ от¬
носительно данного центра О $ (АВ).
3) Отметьте штриховкой образ данной полуплоскосги с гра¬
ницей АВ при симметрии Z0l если: a) Of {АВ); б) О £ {АВ).
246. Какая фигура называется центрально-симметричной? Приве¬
дите примеры центрально-симметричных фигур.
247. 1) Имеет ли центр симметрии отрезок, прямая,, луч, окруж¬
ность, объединение двух пересекающихся прямых?
2) Существуют ли треугольники (четырехугольники, пяти¬
угольники), имеющие центр симметрии?
3) Существуют ли фигуры, имеющие несколько центров сим¬
метрии?
248. Какие из фигур, изображенных на рисунке 110, имеют центр
симметрии?
24ф. Постройте фигуры, центрально-симметричные фигурам- дан¬
ным на рисунке 115. В каждом случае центр симметрии выбе¬
рите сами.
250.	Образ треугольника PQR при симметрии Z0—треугольник
ABC (рис. 116). 1) Найдите расстояния |Q#|, АВ\, |QP|.
если известно, что \АС\ = 8, |ДР| = 6, |JBC| = 6. 2) Какой
угол конгруэнтен углу ABC; углу QRP1 3) Найдите расстояния
а)	б)	6)	г)
Рис. 115
77

А М СО
Z\
в
Рис. 114
Рис. 117
\А0\, |ZVC| и |-АР|, если известно, что \ОС] = 1, а точки М
и N — середины отрезков АС и QP соответственно.
251. Найдите величины углов си, а2, Pi и Рг, если а = 35°, р=40°
(рис. 117).
252. Точка О — середина отрезка AAi. Пользуясь одним цирку¬
лем, постройте образ точки В при симметрии Z0, если:
253*. Докажите, что биссектрисы вертикальных углов лежат на
одной прямой.
254*. Докажите конгруэнтность: 1) двух окружностей равных ради¬
усов; 2) двух полуплоскостей, имеющих общую границу.
255. Даны прямая а и точка В$. а. Постройте несколько таких
точек М, что образ точки В пои симметрии с центром М ле¬
жит на прямой а.
256*. Отрезки А\В\ и А2В2 имеют общую середину О. 1) Докажите
конгруэнтность отрезков AiA2 и В1В2, А\В2 и А2В1Ш 2) Дока¬
жите, что середины отрезков А>А2 и В\В2 лежат на одной
прямой с точкой О.
1)	Ве[АА,]; 2) В i [АА|].
21.	Осевая симметрия
П
X
1. Вы уже знаете, что две точки
X и Хх называются симметрич¬
ными относительно прямой р,
если эта прямая перпендику¬
лярна отрезку XXi и проходит
M=4i
р через его середину (рис. 118).
Рис. 118
X.
Будем также считать, что каж¬
дая точка прямой р симметрич¬
на самой себе относительно этой
прямой.
78

Рис. 119
а)	5)
Рис. 120
Определение. Симметрией с осью р называется отобра¬
жение плоскости на себя, при котором каждая точка плоскости
отображается на точку, ей симметричную относительно прямой р.
Симметрию с осью р называют также осевой симметрией.
Обозначают осевые симметрии обычно буквой S, а если нужно
указать и ось р симметрии, то пишут: Sp.
2. Рассмотрим свойства осевой симметрии.
23 | Осевая симметрия является перемещением.
Доказательства этого свойства мы не приводим. Его справед¬
ливость можно усмотреть из наглядных соображений. Для
этого представим себе плоскость в виде листа, изготовленного
из твердого материала (рис. 119). Тогда симметрию с осью р
можно представить как результат вращения в пространстве
этого листа вокруг прямой р на угол 180° (рис. 120). Очевидно,
что расстояния между точками плоскости при этом вращении
не меняются.
2Ъ1 Отображение, обратное осевой симметрии, есть та же осевая
| симметрия.
Доказательство. Пусть X — произвольная точка
плоскости. Если точка Хх симметрична X относительно прямой
р, то точка X симметрична Хх относительно этой же прямой
(см. рис. 118). Значит, отображение, при котором точка Хх
отображается на точку X, т. е. отображение, обратное симмет¬
рии Sp, есть та же осевая симметрия Sp. ■
23? IПри симметрии с осью р :а) любая прямая, перпендикуляр-
иная оси симметрии, отображается на себя; б) полуплоскос¬
ти с границей р отображаются друг на друга.
79

Рис. 121
Доказательство, а) Пусгь
прямая а перпендикулярна оси р
(рис. 121). Если X—произвольная точка
прямой а, то точки X и Хг = St (X) при
симметрии Sp отображаются друг на друга
(по определению симметричных точек).
Следовательно, Sp (а) = а. В
у б) Обозначим полуплоскости с гра¬
ницей р через ocj и а2. Пусть X € «1
и X i р (см. рис. 121). Если точка Xi
симметрична точке X относительно
прямой	р, то прямая р проходит
через	середину	отрезка XXL,	т. е. пересекает этот отрезок.
Следовательно,	точка	Xi (образ точки X при симмет¬
рии	Sp)	принадлежит	полуплоскости аг. Кроме того, каж¬
дая	точка М	полуплоскости	а2 является образом точки
Mi	=	Sp (М),	принадлежащей полуплоскости а,. Поэтому
Sp (ai) = а2. у
3.	Задача. Построить при помощи циркуля точку, сим¬
метричную данной точке X относительно оси р.
Решение. Обозначим точку Sp (X) через Хг. Для по¬
строения Х\ удобно воспользоваться свойствами осевой симмет¬
рии.
Отметим на прямой р две произвольные точки А и В
(рис. 122). Так как осевая симметрия сохраняет расстояния, и
Sp (А) = A, Sp (В) = В (по определению осевой симметрии),
то \АХ\ = \АХу\, \BX\=\BXi\. Следовательно, точка Xi
должна лежать и на окружности с центром А радиуса \АХ\, и
на окружности с центром В радиуса \ВХ\. Эти окружности
пересекаются в двух точках (см. п. 13), одна из которых —
точка X. А так как точка Хг должна принадлежать полупло¬
скости, которая не содержи! X, то
точкой Xi является вторая точка
пересечения построенных окружнос¬
тей. Итак, для построения точки
Хг = Sp (X) надо:
1) отмстить на прямой р две про
извольные точки А и В;
2) построить окружности с цент-
Рис. 122	рами	А и В, проходящие через X.
80

Точка пересечения этих окружностей, отличная от точки X,
искомая. Очевидно, что построение выполнимо с помощью од¬
ного только циркуля. Задача решена.
Вопросы и задачи
257. Запишите в принятых обозначениях: 1) точка Y симметрич¬
на точке X относительно прямой р; 2) отрезок АВ симмет¬
ричен отрезку CD относительно прямой Л; 3) луч ОМ сим¬
метричен лучу 0\М\ относительно прямой р- 4) фигура L
симметрична фигуре L\ относительно прямой с.
258°. 1) Точка А симметрична точке А\ относительно оси I Верно
ли, что точка Ai симметрична точке А относительно э^ой же
оси?
2) Фигура Т симметрична фигуре Р относительно оси I.
Верно ли, что фигура Р симметрична фигуре Т относительно
той же оси?
259°. Как расположена относительно оси а точка X, если:
1)Se(X)=X; 2) 8а(Х)ФХ1
260°. 1) Какие точки при осевой симметрии Sf отображаются на
себя?
2) Какие прямые при осевой симметрии SB отображаются
на себя?
261. 1) Осевая симметрия задана парой соответствующих точек:
S (А) = В. Как построить ось этой симметрии?
2) Две пересекающиеся прямые а и Ъ симметричны относи¬
тельно оси I. Как расположена относительно оси I точка О
пересечения этих прямых?
262. На рисунке 123 изображены различные фигуры. Постройте
образы этих фигур при симметрии Sa.

263.
264.
265.
266*.
267.
268.
269*
Рис. 124
Фигуры, изображенные на рисунке 124 (квадрат, звезда,
Kpyi, полуплоскость), отображаются на себя при некоторых
осевых симметриях. Укажите оси этих симметрий
1) Докажите конгруэнтность треугольников ONB и ОМА
(рис. 125).
2) Укажите пары конгруэнтных отрезков и углов, изображен¬
ных на рисунке 125.
Четырехугольник ABCD симметричен относительно прямой
АС. 1) Найдите длины сторон ВС и AD этого четырех¬
угольника, если |-АВ| = 1 см, \CD\ = 2 см. 2) Найдите ве¬
личины углов ADC и BCD, если СВА = а, ВСА = р.
Каждая точка Р(х, у) плоскости отображается на точку:
1) Pi (—л:, —у); 2) Рч (х, —у); 3) Р3 (—х, у). Покажите, что
эти отображения являются перемещениями.
На плоскости задана прямая I. При помощи одного циркуля
постройте образ при симметрии S;: 1) точки М (М i I);
2) окружности (О, г).
Дан отрезок АВ и две точки С и D такие, что |СМ] = |СВ|
и \DA \ — |ВВ|. Докажите, что точки А и В симметричны
относительно прямой CD.
Как проверить, пользуясь одним циркулем, лежат ли три
данные точки на одной прямой?
270. Окружности (О, г) и (0|, Г|) имеют
две общие точки А и В. С помощью
одного циркуля постройте окружно¬
сти, симметричные данным относи¬
тельно оси АВ.
271*. Данная окружность (О, г) пересекает
сторону В А данного угла ABC в точ¬
ках М и Т. При помощи одного цир¬
куля постройте окружность, симмет¬
ричную данной относительно оси
(ВС).
О
82

272*. Во внутренней области прямого угла BOD взята точка X
и построены точки Xt = S(B0)(X) и Xj = S(DQ)(X). Докажи¬
те, чго точки Х|, О и Х^ лежат на одной прямой.
273**. Даны прямая р и две точки А и В, лежащие в одной полу¬
плоскости с границей р. Наидите на прямой р такую точку С,
для которой сумма расстояний \АС\ и \СВ\ будет наи¬
меньшей.
22.	Построение треугольников
1.	Рассмотрим произвольный треуголь¬
ник ABC. Сторону ВС и угол А тре¬
угольника ABC называют противолежа¬
щими друг другу. Противолежащими
являются также сторона АС и угол В,
сторона АВ и угол С (рис. 126). Углы А и
С называют прилежащими к стороне АС.
(Назовите углы, прилежащие к сторо¬
не АВ, к стороне ВС.)
Длины сторон треугольника ABC обо¬
значают обычно через о, Ъ, с (с = | ВС\,
Ъ = \АС\, с = | АВ\). Для краткости эти
длины а, Ъ, с называют также и сторона¬
ми треугольника ABC.
Величины углов ВАС, ABC, АСВ
часто обозначают через А, В и С или а,
р и у соответственно. Для краткости их
называют также и углами треугольника.
Отрезок биссектрисы угла треуголь¬
ника от его вершины до противолежащей
стороны называется биссектрисой тре¬
угольника. Отрезок, соединяющий вер¬
шину треугольника с серединой противо¬
лежащей стороны, называется медианой
треугольника. Отрезок, соединяющий вер¬
шину треугольника с основанием пер¬
пендикуляра, проведенного из этой вер¬
шины к прямой, содержащей противоле¬
жащую сторону, называется высотой q
треугольника. На рисунках 127—129
изображены биссектриса 1а, медиана та
А
	Ш-Ц-!
С i
Рис. 126
/rfi
С
А0 В
Рис. 127
В А1
Рис. 129
83

а
b
и высота Л„ треугольника АБС,
проведенные из вершины А.
с
Для краткости длину бис¬
сектрисы (медианы, высоты)
треугольника называют также-
просто его биссектрисой (меди<>
ной, высотой).
А
Рис. 130
В
Длины сторон и величины
углов треугольника принятс
называть его основными элемен¬
тами. У треугольника ABC
шесть основных элементов: а, Ь,
/\ /'Ч
с, А, В, С. Длины биссектрис,
медиан, высот треугольника тоже называют его элементами (но
не основными).
Длину отрезка (и величину угла) можно задать геометричес¬
ки, начертив конгруэнтный ему отрезок (угол). В задачах на
построение фигур так часто и поступают: длины отрезков и ве¬
личины углов, данных в условии, задают геометрически.
2.	Решим несколько задач на построение.
Задача 1. Построить треугольник ABC по трем сторо¬
нам а, Ь и с (рис. 130).
Решение. 1) Построим отрезок АВ длины с.
2) Построим окружности (А, Ь) и (В, а). Обозначим одну
из точек их пересечения через С.
3) Соединим точку С отрезками с точками А и В. Треуголь¬
ник ABC искомый.
Окружности (А, Ь) и (В, с) будут пересекаться только тогда,
когда [о— Ь| <с <с+Ь (см. пункт 13). Поэтому задача
имеет решение только в том случае, если |с — Ь| < с <о + Ь.
Выбирая различные положения отрезка АВ на плоскости,
получим бесконечное множество треугольников, имеющих за¬
данные три стороны. Но все эти треугольники конгруэнт¬
ны. Справедлив следующий признак конгруэнтности треуголь¬
ников:
24 I если три стороны одного треугольника конгруэнтны трем
Шсторонам другого треугольника, то такие треугольники кон¬
груэнтны.
Поэтому говорят, что решение задачи 1 с точностью до кон¬
груэнтности единственно.
84

Задача 2. Построить угол
с заданной стороной ОуХу, кон¬
груэнтный данному углу XOY.
Решение. 1) Построим
окружности с центрами О и Оу
радиуса г (рис. 131). Обозначим
точки их пересечения со сторо¬
нами угла XOY и лучом ОуХу
через А, В и A t.
2) Построим окружность с
центром А1 радиуса | АВ\. Обо¬
значим точки пересечения ок¬
ружностей с центрами Оу и Ау
через By и В2.
3) Проведем лучи ОуВу и ОуВг.
Углы АуОуВу и AyOyBs
искомые (это следует из кон¬
груэнтности треугольников ОАВ,
ОуАуВу и ОуАуВ2).
Задача 3. Построить
треугольник по двум сторонам
Ь, с и углу а между ними
(рис. 132).
Решение. 1) Проведем
произвольный луч АХ.
2) Построим угол XAY вели¬
чины ос.
3) На луче АХ отложим от¬
резок АС длины Ъ.
4) На луче AY отложим
отрезок АВ длины с.
5) Проведем отрезок ВС.
Треугольник ABC искомый.
Выбирая различные положе¬
ния луча АХ и выполняя описан¬
ное построение, мы получим
бесконечное множество тре¬
угольников. Но все эти треуголь¬
ники конгруэнтны. Справедлив
следующий признак конгруэнт¬
ности треугольников:
«5
i
)

а
25 если две стороны и угол
между ними одного тре¬
угольника конгруэнтны
двум сторонам и углу меж¬
ду ними другого треуголь¬
ника, то такие треугольни
ки конгруэнтны.
Рис. 133
Итак, все треугольники,
имеющие заданные две стороны
и угол между ними, конгруэнт¬
ны. Поэтому говорят, что зада¬
ча 3 имеет с точностью до конг¬
руэнтности единственное ре¬
шение.
Задача 4. Построить треугольник по стороне а и двум
прилежащим к ней углам р и у.
Решение. 1) Построим отрезок ВС длины а (рис. 133).
2) Построим угол СВХ величины р.
3) Построим угол BCY величины у» расположенный в той
же полуплоскости с границей ВС, что и угол СВХ.
Если лучи ВХ и CY пересекутся, то построенный треуголь¬
ник искомый (на рисунке этот треугольник обозначен через
С точностью до конгруэнтности задача имеет одно реше¬
ние. Справедлив следующий признак конгруэнтности треуголь¬
ников:
26 I если сторона и два прилежащих к ней угла одного треуголъ-
Вныкс конгруэнтны стороне и двум прилежащим к ней углам
| второго треугольника, то такие треугольники конгруэнтны.
Вопросы и задачи
274. 1) Постройте биссектрисы и медианы данного треугольника.
2)	Постройте высоты данного треугольника: а) остроугольно¬
го; б) прямоугольного; в) тупоугольного.
275. Даны конгруэнтные треугольники ABC и DEM.
1) Известно, что [АВ] ^ [Z7£T], [AC] ^ [DM], Укажите углы
треугольника ABC, конгруэнтные углам D,EhM.
2) Известно, что ЛDEF ААВС, ZJ) = Z-A, ZJE ^ ZJB. Ка¬
кие стороны этих треугольников конгруэнтны?
ABC).

3) Докажите, что каждая биссектриса (медиана, высота)
треугольника ABC конгруэнтна некоторой биссектрисе (ме¬
диане, высоте) треугольника DEF, конгруэнтного треуголь¬
нику ABC.
276. Можно ли построить треугольник, стороны которого равны:
1) 13 см, 2 дм, 8 см; 2) 1 м, 1 м, 0,5 см; 3) 45 см, 45 см, 1 м;
4) 1 дм, 5 см, 5 см?
277. Постройте треугольник по трем данным сторонам а, 6 и с,
если: 1) а = 4 см, 6 = 3 см, с = 2 см; 2) а = 4 см, 6 = 3 см,
с = 5 см; 3) а = 4 см, 6 = 3 см, с = 6 см.
278. Постройте треугольник по двум сторонам 6, с и углу а, за¬
ключенному между ними, если: 1)6 = 5 см, с = 4 см, а = 72°;
2) 6 = 3 см, с = 4 см, а = 108°.
279. Постройте треугольник по стороне с и двум углам а и Р, при¬
лежащим к этой стороне, если: 1) с = 5 см, а = 30°, Р = 50°;
2) с = 5 см, а = 100°, р = 30°.
280. Сколько можно построить тре¬
угольников, конгруэнтных данному
разностороннему треугольнику
АВСГ при условии, что данный отре¬
зок АВ будет их общей стороной?
Докажите, что любые два из таких
конгруэнтных треугольников сим¬
метричны относительно некоторой
оси.
Г
281°. Из металлического прутка нужно
сделать деталь, имеющую форму
равнобедренного треугольника. Од¬
на из сторон треугольника долж¬
на иметь длину 250 см, а другая
100 см. Какой должна быть длина I
прутка, чтобы это можно было сде¬
лать?
282. Дано: \АВ\ = \ВС\, |AD| = \DC\
(рис. 134). Доказать: 1) AABD^
s A CDB) 2) (AC) J. (ВО).
283. Дано:	[ВС] ^ [AD],	I'W?
(рис. 135).
Доказать: A ABC ^ A ADC.
284. Дано:	[-47)] — биссектриса угла
ВАС, \АВ\ = \АС\ (рис. 136).
87

Рис. 137
Рис. 138
Доказать:	1)	Z^ABD	^	^ADC;
2)	(ВС} ± (AD).
2S5. Дано [AD] П \ВС] == Е. ВЕ\ =
= \EC\-, АЕ\ = \ED\ (рис. 137).
Доказать:	\CD\	—	[АД|;	ВАЕ =
~ CDE.
286. Дано: [АД] *] [А,В,] =. С; [ВС]si
[СА] Z.A Z-В (рис 138)
Доказать: |АА-| = \ВВ\ , Z_Ai Si
^/LBi.
287*. Постройте треугольник по двум
сторонам и углу, лежащему против
одной из них если:
1) а — 6 см. 6 = 4 см, а = 7С' ;
2) о = 4 см, 6 = 6 см, а = 70°;
3) о — 6 см, 6=3 см, р = 40'
4) 6 = 3,5 см, с = 6 5 см, у = 110°.
288й. Диагонали че~ырехугольника ABCD
в точке пересечения О делятся по¬
полам. Докажите:	1) А АОВ =
S£ A DOC; 2) AAOD & А ВОС
3)	каждая из диагоналей четырех¬
угольника делит его на два конгру¬
энтных треугольника.
289*. Длины всех сторон четырехуголь¬
ника ABCD равны, его диагонали
пересекаются в точке О. Докажете,
что треугольники АОВ, ВОС, COD
и DOA конгруэнтны.
290.	По преданию, древнегреческий математик Фалес* первым
решил задачу о вычислении расстояния от берега до корабля.
Для этого он измерил расстояние АВ | и угол ABC (рис 139),
а затем, произведя на суше некоторые построения и измере¬
ния, вычислил расстояние |АС|. Какие построения и измере¬
ния мог провести Фалес для решения этой задачи? На чем
основывалось это решение?
* Фалес Милетский (639—548 гг, до н. э.) прославился также предсказа¬
нием солнечного затмения (585 г. до п. э.). По-видимому, открытия Фалеса
производили очень сильное впечатление на современников; ег< имя — первое
нз имен ученых, известных и поныне.
88

§ 3. Симметрия фигур
23.	Оси симметрии окружности
На рисунке 140 изображены фигу¬
ры (отрезок, окружность, треугольник,
квадрат), каждая из которых симмет¬
рична себе относительно некоторой
оси. О таких фигурах говорят, что они
имеют ось симметрии.
Существуют фигуры, имеющие не¬
сколько осей симметрии. Например,
квадрат, как мы докажем позднее, име¬
ет четыре оси симметрии (рис. 141).
Прямая имеет бесконечно много осей
симметрии. Во-первых, она сама яв¬
ляется своей осью симметрии. Во-вто¬
рых, осью симметрии этой прямой явля¬
ется любая прямая, ей перпендикуляр¬
ная (рис. 142).
Докажем следующую теорему.
27 IT е о р е м а. Окружность симмет¬
рична относительно любой прямой,
I проходящей через ее центр.
Доказательство. Пусть пря¬
мая р проходит через центр окруж¬
ности (О, г) (рис. 143). Осевая сим¬
метрия сохраняет расстояния (предло¬
жение 23). Но при любом отображении,
сохраняющем расстояния, окружность
отображается на окружность того же
радиуса. А так как при симметрии Sp
центр окружности (О, г) отображается
на себя (О С р)> то и окружность (О, г)
отображается на себя, т. е. она симмет¬
рична относительно прямой р. Я
i Следствие. Точки пересечения
двух окружностей симметричны отно¬
сительно прямой,	содержащей их
центры.
Рис. 140
Рис. 142
89

Рис. 144
В самом деле, пусть X и Хг — точ¬
ки пересечения окружностей (О, г) и
(Ри *4) (рис. 144). При симметрии Sp
каждая из окружностей (О, г) и (Ol, г,)
отображается на себя (теорема 27). Зна-
чиг, и точки пересечения этих окруж¬
ностей при симметрии Sp отображаются
друг на друга, т. е. точки X и Хг сим¬
метричны относительно прямой p. U
28 |Теор ем а. Диаметр, перпенди-
I кулярный хорде, делит ее и стяги-
■ ваемые ею дуги пополам.
Доказательство. Пусть диа¬
метр MN перпендикулярен хорде АВ
(рис. 145). По определению осевой сим¬
метрии точка, симметричная точке А
относительно прямой MN, лежит на
перпендикуляре к прямой MN, прохо¬
дящем через А. Кроме того, точка
S(MW) (А) лежит на данной окружности
(О, г) (теорема 27). Но такой точкой явля¬
ется только точка В. Следовательно,
SiMN)(.A)=BH SiMN)(.B)—А. Поэтому пря¬
мая MN является осью симметрии хор¬
ды АВ и каждой из дуг АМВ и ANB.
Значит, диаметр MN делит хорду АВ
и эти дуги пополам. ■
Вопросы и задачи
291. 1) Сколько осей симметрии данной окружности проходит че¬
рез данную точку?
2)	Сколько осей симметрии может иметь объединение двух
окружностей?
292. Докажите, что диаметр окружности есть наибольшая из хорд
этой окружности.
293. Постройте ось симметрии дуги окружности.
294. Постройте хорду данной окружности, серединой которой явля¬
ется данная точка.
295. Докажите, что диаметр, который делит пополам хорду, не
проходящую через центр, перпендикулярен этой хорде.
90

Рис. 146
296*. Докажите, что две хорды окружности,
пересекающиеся в точке, отличной от
ценфа окружности, не делятся в точке
пересечения пополам.
297. Центр окружности, пересекающей сто¬
роны данного угла, лежит на биссектри¬
се этого угла (рис. 146). Докажите кон¬
груэнтность отрезков ОМ и OK, MN
и KL.
298. Окружности (0|, Г\) и (02, ^2) пересекаются в точках А и В.
Докажите, что прямые 0|Ог и АВ перпендикулярны.
299. Две окружности имеют общий центр, [АВ\ — хорда окруж¬
ности меньшего радиуса, С и D — точки пересечения прямой
АВ с окружностью большего радиуса. Докажите: 1) \АС\ —
= |ББ|; 2) |БС| = |АБ|.
300**. Фигура L является объединением двух окружностей. Дока¬
жите: 1) если фигура L имеет бесконечно много осей сим¬
метрии, то центры этих окружностей совпадают; 2) если
фигура L имеет в точности две оси симметрии, то радиусы
этих окружностей равны.
24.	Оси симметрии отрезка
Рассмотрим оси симметрии отрезка. Каждый отрезок имеет
две оси симметрии. Одна из них — прямая, содержащая этст
отрезок, другая — серединный перпендикуляр к отрезку, т. е.
прямая, перпендикулярная этому отрезку* и проходящая через
его середину.
Действительно,’ прямая АВ является осью симметрии отрез¬
ка АВ, так как при симметрии S, ав) каждая точка отрезка АВ
отображается на себя.
Если р — серединный перпендикуляр отрезка АВ, то (по
определению симметричных точек) точки
А к В симметричны относительно пря-	^
мой р (рис. 147). Значит, серединный
перпендикуляр отрезка является его осью
симметрии.
* Говорят, что прямая (отрезок, луч) АВ пер¬
пендикулярна отрезку (лучу) MN, если (АВ) _1_
J.(MN).	риС,	147
91

29	| | T еорема. Множество точек
плоскости, равноудаленных от
концов отрезка, есть серединный
перпендикуляр к этому отрезку.
Доказательство. 1) Сна¬
чала докажем, что если точка плос¬
кости равноудалена от концов отрезка,
то она принадлежит серединному пер¬
пендикуляру этого отрезка
На прямой АВ имеется единствен¬
ная точка, равноудаленная от точек
А и В, — это середина М отрезка АВ
(рис. 148). Она принадлежит середин¬
ному перпендикуляру отрезка АВ.
Рассмотрим теперь точку X, рав¬
ноудаленную от концов отрезка АВ
и отличную от М. Так как \АХ\ =
= \ВХ\ и \МА\ — |MB , то точки А
и В симметричны относительно пря¬
мой MX (см. построение симметричных
точек, п. 21). Значит, прямая MX есть
ось симметрии точек А и В, т. е. {MX) —
серединный перпендикуляр отрез
ка АВ.
2)	Теперь докажем обратное: еслг
точка принадлежит серединному пер
пендикуляру отрезка^ то она равно
удалена от его концов
Пусть р — серединный перпекдику
ляр отрезка АВ, a У — произвольная
точка прямой р (рис. 149). Тогда точ¬
ки А и В симметричны относительно
прямой р. Поэтому отрезки AY и BY
симметричны друг другу относительно
Рис- 150	оси р. Следовательно, \YA\ — IYB ,
т. е. точка У равноудалена от концов отрезка АЬ.Ш
Задача. С помощью линейки и циркуля построить сере¬
динный перпендикуляр данного отрезка АВ.
Решение. Для построения серединного перпендикуляра
отрезка АВ достаточно найти две точки этого перпендикуляра.
Построим окружности с центрами А и В одного и того же радиу-
92

са, большего половины \АВ\, Эти
окружности пересекаются (п. 13). Точ¬
ки пересечения М\ и М2 равноудалены
от концов отрезка АВ (рис. 150). Зна¬
чит, точки Mi и М2 лежат на середин¬
ном перпендикуляре отрезка АВ, т. е.
прямая М\М2 искомая.
Рассмотренный способ построения
серединного перпендикуляра отрезка
применим и для построения середины
отрезка с помощью циркуля и линей¬
ки. Этим же способом можно восполь¬
зоваться и при построении перпендику¬
ляра к данной прямой р, проходящего
через данную точку М (рис. 151, 152).
Вопросы и задачи
Д01. Сколько осей симметрии имеет:
1) отрезок; 2) луч; 3) прямая?
302. Постройте серединный перпендику¬
ляр к данному отрезку АВ, выполняя вспомогательные по¬
строения: 1) в различных полуплоскостях; 2) в одной полупло¬
скости с границей (АВ).
303. Постройте к данной прямой а перпендикуляр, проходящий
через точку М: 1) лежащую на данной прямой; 2) не лежа¬
щую на данной прямой.
304. Даны прямая МТ и не принадлежащие ей точки А и В. По¬
стройте на этой прямой точку, равноудаленную от точек А и В.
Сколько решений может иметь задача?
305. 1) Постройте точки, принадлежащие данной окружности и
равноудаленные от данных точек А и В.
2) Найдите множество точек, принадлежащих кругу и равно¬
удаленных от данных точек А и В.
306. Постройте центр данной окружности, если на чертеже этот
центр не отмечен.
307. Найдите множество центров поворотов, при которых данная
точка А отображается на другую данную точку В.
308. Найдите множество вершин равнобедренных треугольников,
построенных на данном отрезке как на его основании.
30$*. Постройте ось симметрии данного: 1) сегмента; 2) сектора.
Рис. 152
93

,в 310*. Даны две точки А и Б. Какую фигуру
^ •	образует	мн эжество таких точек X, для
		которых:	1) \АХ\ф\ВХ\; 2) \АХ
~	—=~	^ \BX\i	3) | АХ\ < |ВХ|?
рис_ 153	311**. Населенные пункты А и Б располо¬
жены по одну сторону от трассы
железной дороги (рис. 153). В каком пункте этой трассы сле¬
дует построить железнодорожную станцию С при условии,
что: 1) расстояния |АС| и |ВС| должны быть равны; 2) сумма
расстояний |АС| и |ВС| должна быть наименьшей; 3) раз¬
ность расстояний \АС\ и |ВС| должна быть наибольшей?
25.	Оси симметрии угла и равнобедренного треугольника
30 I? е о р е м а. Прямая, содержащая биссектрису угла, явля-
|ется осью симметрии этого угла.
Доказательство. Обозначим через р прямую, со¬
держащую биссектрису ВМ угла ABC (рис. 154). Рассмотрим
симметрию Sp.
При этой симметрии луч ВМ отображается на себя, а угол
АВМ — на угол со стороной ВМ, лежащий в полуплоскости
аа и конгруэнтный углу АВМ. Но АВМ — СВМ (по ус-
ловию луч ВМ —биссектриса угла ABC). Так как в по¬
луплоскости а а с границей ВМ с^чцест •
вует единственный угол со стороной ВМ,
конгруэнтный данному углу (п.	18,
предложение 184), то образом луча БА
при симметрии Sp является луч ВС, а об¬
разом луча ВС — луч В А. Следователь¬
но, угол ABC при симметрии SF отобра¬
жается на себя.И
С помощью теоремы 30 можно обосно¬
вать построение биссектрисы угла, кото¬
рое сводится к построению оси симме г-
рии данного угла (рис. 155).
Следствие 1. Прямая, содержа¬
щая биссектрису угла при вершине равно¬
бедренного треугольника, является осью
симметрии этого треугольника.
Рис. 154
94

Доказательство. Обозначим
через р прямую, содержащую биссект¬
рису ВМ угла В при вершине равнобед¬
ренного треугольника ABC (рис. 156).
Пользуясь теоремой 30, получаем, что при
симметрии Sp образом луча ВА является
луч ВС, а образом луча ВС — луч ВА.
По условию \АВ\ — |ВС|. Поэтому
Sp (А) = С, Sp (С) = А.
Кроме того, по определению осевой
симметрии Sp (В) = (В) (так как В £ р).
Следовательно, при симметрии Sp равно¬
бедренный треугольник ABC отображается на себя.В
Следствие 2. Биссектриса угла при вершине равно¬
бедренного треугольника является также его медианой и высо¬
той (рис. 156).
31 |Т е о р е м а. Две стороны треугольника конгруэнтны
| тогда и только тогда, когда конгруэнтны противолежащие
I им углы.
Доказательство. Надо доказать два предложения:
1)	если две стороны треугольника конгруэнтны, то кон¬
груэнтны и противолежащие им углы; 2) если углы треугольни¬
ка конгруэнтны, то конгруэнтны и противолежащие этим углям
стороны.
Первое из этих предложений сразу следует из теоремы 30;
углы А и С симметричны относительно прямой ВМ (рис. 156)
и, следовательно, конгруэнтны.
Докажем второе предложение. Пусть углы А и С конгруэнт¬
ны (рис. 157). Проведем серединный перпендикуляр р к отрез¬
ку АС и рассмотрим симметрию Sp. При этой симметрии лучи
АС и С А, а также точки А и С отображаются друг на друга*
А так как по условию угол А конгруэн¬
тен углу С, то образом луча АВ при
симметрии Sp является луч СВ, а обра¬
зом луча СВ — луч АВ.
Точка В пересечения лучей АВ и. СВ
отображается при симметрии Sp на точку
пересечения образов этих лучей, т. е. на
себя.
Следовательно, отрезки АВ и СВ сим¬
метричны и поэтому конгруэнтны. В
В
95

Вопросы и задачи
312. 1) Сколько осей симметрии может иметь угол?
2)	Постройте при помощи циркуля и линейки биссектрису
данного угла.
313. Докажите, что разносторонний треугольник не имеет осей
симметрии.
314. Сколько осей симметрии имеет равносторонний треугольник?
315. Постройте угол, осью симметрии которого является данная
прямая о.
316. Постройте равнобедренный треугольник, симметричный от¬
носительно данной прямой Q. Как можно построить равносто¬
ронний треугольник, осью симметрии которого является эта
прямая?
317. Докажите конгруэнтность: 1) медиан; 2) биссектрис; 3) вы¬
сот равнобедренного треугольника, проведенных к его боко¬
вым сторонам.
318. Высота, проведенная из вершины равнобедренного треуголь¬
ника, отсекает от него треугольник, периметр которого 18 см.
Вычислите длину высоты, если периметр данного равнобед¬
ренного треугольника равен: 1) 24 см; 2) 30 см; 3} 20 см
319. Найдите длины основания и боковой
стороны равнобедренного треугольни¬
ка, если известно, что две его стороны
имеют длины: 1) 3 см и 7 см; 2) 20 см
и 10 см; 3) 7 см и 8 см.
320. Дано:	\АВ\ == \ВС\ BAD —'ВСЕ
(рис. 158).
Доказать; ЛBDE равнобедренный.
321. Постройте равнобедренный треуголь¬
ник: 1) по основанию а и боковой сто¬
роне Ь', 2) по боковой стороне Ь и вы¬
соте Л, проведенной к основанию;
3)	по основанию а и высоте h, прове¬
денной к основанию
322. Через внутреннюю точку данного угла
проведите прямую, отсекающую от
сторон этого угла конгруэнтные от¬
резки.
96

323. Докажите, что если все углы треугольника конгруэнтны то
этот треугольник равносторонний.
324. Как можно воспользоваться шарнирным механизмом, имею¬
щим звенья равной длины (рис. 159), для построения: 1) бис¬
сектрисы данного угла; 2) середины данного отрезка; 3) цент¬
ра данной окружности?
325*. Докажите, что если треугольник отображается на себя при
некотором не тождественном повороте, то этот треугольник
равносторонний.
>
А
о
0,
О, а
В, Р
26.	Расстояние от точки до прямой.
Свойство биссектрисы угла
Рассмотрим произвольные прямую р и точку А $ р. Осно¬
вание перпендикуляра, проведенного из точки А к прямой р,
называется проекцией точки А на прямую р. Например, точ¬
ки О, Oj и О 2 — проекции точек А, Аг и А« на прямую р
(рис. 160). Множество проекций всех точек отрезка АВ на
прямую р называется проекцией отрезка АВ на эту прямую.
Например, отрезок ОВх — проекция отрезка АВ на пря¬
мую р.
Прямая, пересекающая прямую р
и не перпендикулярная ей, называет¬
ся наклонной к прямой р. На рисунке
161 прямая АО — перпендикуляр к
прямой р, а прямая АВ — наклонная
к прямой р. Иногда для краткости
отрезки АО и АВ называют соответст¬
венно перпендикуляром и наклон¬
ной, проведенными из точки А к пря¬
мой р.
32 [Теорема. Расстояние от точки
до ее проекции на прямую меньше
расстояния от этой точки до любой
другой точки данной прямой (крат¬
ко говорят: перпендикуляр короче
наклонной).
Дано:	О	—	проекция	точки	А
на прямую р, В £ р, В ф О
(рис. 161).
Доказать:	|АО\ < \АВ\.
4 Геометрия. 6—3	97
Рис 160

м
А	Доказательство.	В	случае
ЛСр теорема очевидна.
Пусть A g р. Построим точку Л t =>
= Sf (А) и проведем прямую ААх.
Так как В £ р и В Ф О, то В £ (AAt).
Тогда по неравенству треугольника
(п. 5) имеем:
L = 0кр(0,г)
\ААг) < \АВ\ + \ВАХ\. (1)
с.
1
Осевая симметрия сохраняет рас¬
стояния. Поэтому \АВ\ —\А}В\ и
fАОI =	|.	Значит,	\ААг}	-=•	2	|АО
и неравенство (1) можно переписать в
виде:
проекции на прямую р есть наименьшее из расстояний ст точки
А до точек прямой р. Это расстояние называют расстоянием
от точки А до прямой р.
Вообще, если фигура L содержит точку В, самую близкую
из точек фигуры L к данной точке А, то расстояние \АВ\ назы¬
вается расстоянием от точки А до фигуры L (рис. 162).
33 I Теорема. Множество точек выпуклого угла, равноуда-
I ленных от его сторон, есть биссектриса этого угла.
Доказательство. 1) Докажем сначала, что если точ¬
ка М принадлежит биссектрисе ON угла АОВ, то ока равноуда¬
лена от сторон О А и О В (рис. 163), т. е. докажем равенстве
расстояний ME и. MD (точка Е — проекция точки М на пря¬
мую О А, а точка D — проекция точки М на прямую О В). Для
этого достаточно доказать, что эти отрезки симметричны от¬
носительно прямой ON.
Рассмотрим симметрию S с осью ON. Так как точка М при¬
надлежит оси симметрии, то S (М) - М. При симметрии S
луч О А отображается на луч ОВ (по условию ^-^“биссектри¬
са угла АОВ). Поэтому перпендикуляр ME к лучу ОА отоб¬
ражается на перпендикуляр MD к лучу ОВ, проходящий че¬
рез точку М. Образом точки пересечения луча ОА и прямой
98

Рис. 163
ЕМ при симметрии S является точка пе¬
ресечения образов этих фигур, т. е.
S (Е) — D. Итак,
S (ЛГ) - М, S (Е) = D.
Значит, расстояния f ME I и \MD\
равны. Первая часть теоремы доказана.
2)	Докажем теперь обратное: если точ¬
ка М выпуклого угла АОВ равноудалена
от сторон этого угла, то она принадле¬
жит его биссектрисе.
Обозначим проекции точки М на сто¬
роны угла АОВ через Е и D (рис. 164).
По условию \МЕ\ -	\MD\.	Рассмотрим
треугольник MED. Так как \МЕ\ = \MD|,
то этот треугольник равнобедренный и,
следовательно, MED -=> EDM. А так как
OEM = ODM = 90е, то OED = ODE. Это 0 .
означает, что треугольник OED также,	Рис- ,
равнобедренный и \ОЕ\ = \OD\. Итак,
\ЕМ\ — \MD\ (по условию),
\ОЕ\ — \OD\ (по доказанному).
Поэтому точки Е и D симметричны относительно оси ОМ
(см. п. 21) и углы АОМ и ВОМ, симметричные относительно
этой оси, конгруэнтны, т. е. луч ОМ— биссектриса угла АОЕ. Ш
L В
Вопросы и задачи
326. 1) Постройте проекции вершин данногс треугольника АВ"
на прямые АВ, ВС и АС. (Рассмотрите различные случаи: тре¬
угольник ABC может быть остроугольным, прямоугольным
и тупоугольным.)
2)	Постройте проекцию данного отрезка АВ на данную пря¬
мую а. (Рассмотрите различные случаи: отрезок АВ лежит
на прямой а, пересекает эт у прямую и не имеет с ней общих
точек.)
327. 1) Могут ли два различных отрезка иметь одну и ту же проек¬
цию на данную прямую?
4*	99

Р{
♦
_
N
А
/
1
а
0
'д
/
ъ
/
S.
м
с'
Рис. 165
Рис. 166
1
“Г 1 1"Г“
' 1
С
т
—
1 I !
Пруд
у
1
•
J
1
К
\
Pi
т
\а
п
nJ
V
Рис. 168
о
Рис. 169
2) Проекцией какой фигуры на данную
прямую может быть точка?
328*. Дан отрезок АВ. Какой фигурой явля¬
ется множество, состоящее из таких
точек X, что проекция отрезка АХ
на прямую АВ — отрезок АВ1
329. Измерьте расстояния от точек А, В,
в
С, D: 1) до прямой а; 2) до луча MN;
3) до отрезка PQ (рис. 165).
330. Докажите, что наклонная, проведен¬
ная из данной точки к данной пря¬
мой, больше проекции наклонной на
эту прямую.
331. Докажите, что гипотенуза прямоуголь¬
ного треугольника больше его катета.
332*. Внутри треугольника ABC взята точ¬
ка М. Докажите, что сумма расстоя¬
ний от этой точки до вершин треуголь¬
ника больше суммы расстояний от этой
точки до сторон треугольника.
333. Какую фигуру образуют точки, каждая
из которых разноудалена от двух
пересекающихся прямых?
334. Пользуясь планом местности (рис. 166),
измерьте возможно точнее расстояния
от точек Л, Б и С до озера (масштаб
плана 1 : 10 ООО).
335. 1) Внутри угла дана точка М. Построй¬
те точки этого угла, равноудаленные от
сторон и отстоящие от точки М на
заданное расстояние г.
2)	Постройте точки данного выпукло¬
го угла ABC, равноудаленные от его
сторон и от концов данного отрез¬
ка EF (точки Е и F лежат на различных
сторонах данного угла).
336*. Докажите, что расстояние от точки М
до окружности (О, г) равно \МА\
(рис. 167).
337. Двор имеет треугольную форму. Где
нужно вкопать столб для подвески
100

светильника, чтобы одинаково были
освещены углы двора?
338*. На рисунке 168 показан план мест¬
ности. Укажите кратчайший марш¬
рут, которым следует пройти от
пункта С до:	1) пруда; 2) рощи;
3)	железнодорожной станции.
339.	1) Дано: \ОА\ = \ОВ\, (ОМ)±(АВ)
(рис. 169). Доказать: |МА| = \МВ\.
2)	Дано: \ОА\>\ОВ\, (OM)J_(AB)
(рис. 170). Доказать: \МА \ > \МВ\.
О
Рис. 170
27 ▼. Симметричные фигуры
Окружность, отрезок, угол и равнобедренный треугольник име¬
ют оси симметрии. Существуют ли другие перемещения, кро¬
ме осевой симметрии, отображающие эти фигуры на себя?
1) Любое перемещение, отображающее на себя окружность
(О, г), является либо осевой симметрией, ось которой проходит
через центр О (рис. 171), либо поворотом с центром О на произ¬
вольный угол в направлении по часовой стрелке и против ча¬
совой стрелки (в частности, таким перемещением является
симметрия с центром О и тождественное отображение Е). Заме¬
тим, что и поворотов, и осевых симметрий, отображающих
окружность на себя, бесконечно много.
2) Множество перемещений, отобра¬
жающих на себя отрезок АВ (рис. 172),
состоит из двух осевых симметрий—отно¬
сительно прямой АВ и серединного пер¬
пендикуляра к отрезку АВ, а также
симметрии с центром в середине дан¬
ного отрезка и тождественного отоб¬
ражения.
3) Как показано в пункте 25, лю¬
бой угол имеет одну ось симметрии.
Других перемещений, отображающих
угол на себя (за исключением тождест¬
венного отображения), не существует*.
4) Равнобедренный треугольник
имеет хотя бы одну ось симметрии
углов, не являющихся
* Это верно для
развернутыми.
в
Рис. 172
101

(п. 25). Если этот треугольник не яв
ляется равносторонним, то сущест¬
вует единственное нетождественное
перемещение, отображающее данный
треугольник на себя. Это перемеще¬
ние —симметрия, ось которой содер¬
жит биссектрису угла при вершине
равнобедренного треугольника.
Равносторонний треугольник име¬
ет три оси симметрии — это середин¬
ные перпендикуляры к сторонам это¬
го треугольника (рис. 173). Поворо¬
ты с центром в точке пересечения
серединных перпендикуляров на уг¬
лы 0° и 1203 (в направлении по ча¬
совой стрелке и против) также ото¬
бражают равносторонний треуголь¬
ник на себя.
Если фигура отображается на
себя при повороте с центром О на
360’
угол - * то говорят, что эта фи¬
гура обладает симметрией враще¬
ния порядка п, а точка О называется
центром вращения порядка п. Таким
образом, можно сказать, что равно¬
сторонний треугольник обладает сим¬
метрией вращения порядка 3, а от-
Рис. 175
Рис. 178
102

Рис. 179
Рис. 180
Рис. 181
резок — симметрией вращения порядка 2. Пятиконечная звез¬
да (рис. 174) обладает симметрией вращения порядка 5 (дока¬
жите это), а фигура, изображенная на рисунке 175, имеет сим¬
метрию вращения порядка 4, однако эта фигура не имеет осей
симметрии.
Как и многие другие математические понятия, понятие сим¬
метрии фигур появилось в результате наблюдений над объек¬
тами окружающего мира. Например, рассматривая изображе¬
ния растений и животных организмов (эти изображения
можно считать плоскими фигурами), можно убедиться, что
многие из них с большой степенью точности обладают той
или иной симметрией. Так, лист клена (рис. 176) обладает осе¬
вой симметрией. Различными видами'симметрии обладают цветы
(рис, 177, а, б), многие живые организмы — морские звезды
(рис. 178), бабочки (рис. 179). [Симметрией [вращения поряд¬
ка 6 и осевыми симметриями обладают снежинки (рис. 180).
С симметрией мы часто встречаемся в искусстве, технике,
быту. Например, симметричны фасады многих зданий (рис. 181)
и их виды сверху. Симметричны узоры на коврах, узоры бордю¬
ров, многие виды механизмов, например колесо или шесте¬
ренка.
Вопросы и задачи
340. Какими симметриями обладают фигуры, изображенные на
рисунке 182?
341. Постройте фигуру, имеющую центр вращения пятого порядка.
342. Постройте фигуру, которая не имеет осей симметрии и обла¬
дает симметрией вращения порядка 6.
103

343. Приведите несколько примеров живых
организмов и растений, обладающих
какой-либо симметрией
344. Приведите несколько примеров сим¬
метричных фигур, встречающихся в
архитектуре технике бь ту.
345. Вырежьте ножницами какой-либс узор
на сложенном вдвое листе бумаги.
Разверните лист. Покажите ось сим-
ме-рии и симметричные относительно
этой оси фигуры.
346. На рисунке 183 изображен узор, полу¬
ченный при перегибании листа бумаги
и вырезании некоторой фигуры. По¬
пробуйте изготовить этот и друте узо-
рь самостоятельно.
347. Постройте какую-либо симметричную
красивую фигуру, состоящую из отрез¬
ков и дуг окружностей.
348. Восстановите изображение фигуры L,
если известно, что точка О является
цен~ром вращения этой фигуры шесто¬
го порядка и сохранилась часть изо¬
бражения этой фигуры (рис. 184).
349. От луча О А \ откладыьаютст vmbi
AfiA-i, А2СА3
ОА
величинь
3)
Рис. 182
Рис. 183
Рис. 184
104

360°
которых равны . Фигура Zi —
п
произвольное подмножество уг-
ла АхОА2, фигуры Ь2, ..., Ln —
образы фигуры Ь\ при поворотах
с центром О на различные углы,
360°	_	,
кратные 	.	Докажите,	что	объ-
п
единение фигур Lt, L2, ..., L —
фигура, обладающая симметрией
вращения порядка п. (На рис. 185
выполнено построение для л = 8.)
Рис. 18S
§ 4. Окружность
28.	Угловая величина дуги окружности
34 |Теор ем а. Два центральных угла окружности конгруэнт¬
ны тогда и только тогда, когда конгруэнтны соответствую-
I щие им дуги.
Для того чтобы доказать эту теорему, надо доказать два
предложения: 1) если два центральных угла окружности конгру¬
энтны, то конгруэнтны и соответствующие им дуги; 2) если
конгруэнтны две дуги окружности, то конгруэнтны и соответст¬
вующие им центральные углы. Докажем первое из этих предло¬
жений (второе примем без доказательства).
Доказательство. Обозначим точки пересечения
сторон данных центральных углов с
окружностью (О, г) через Alf Bi и А2,
В 2 (рис. 186). Имеем:
АхОА2 = A^OBj -Ь В\ОА2,
В1ОВ2 ~ В\ОА2 -)- А гОВ2.
Но ^4,ОБ! = А2ОВ2 (по условию).
Поэтому АлОА2= -BjOB, = а.
Рассмотрим поворот с центром О на
угол а. При этом повороте окружность	рис. f86
105

(Of г) отображается на себя, а угол АхОВх — на угол АЮВ2
(величины этих углов равны). Отсюда следует, что образом
дуги А^Вг является дуга А»В». А так как поворот есть пере¬
мещение, то w АгВх = w А2В2‘Ш
Определение. Угловой величиной дуги окружности на¬
зывается величина соответствующего ей центрального угла
этой окружности.	w
Угловая величина дуги АВ обозначается так: АВ.
Как известно, два угла конгруэнтны тогда и только тогда,
когда равны их величины (п. 18). Отсюда и из теоремы 34 полу¬
чаем:
две дуги окружности конгруэнтны тогда и только тогдау
когда угловые величины этих дуг равны.
Вопросы и задачи
350. Как разделить дугу данной окружности пополам? Как разде¬
лить окружность на четыре конгруэнтные дуги?
351. С помощью циркуля (способом проб) разделите данную ок¬
ружность: 1) на семь конгруэнтных дуг; 2) на пять конгруэнт¬
ных дуг.
352. Дана окружность (О, г). Пользуясь одной линейкой, построй¬
те: 1) хорду этой окружности, конгруэнтную данной хорде АВ
той же окружности; 2) дугу окружности (О, г), конгруэнтную
данной дуге этой окружности.
353. Две окружности имеют общий центр О; [АВ] — хорда окруж¬
ности большего радиуса, пересекающая вторую окружность
в точках С и D. Докажите, что /LAOC ^ Z_BOD.
354. Сколько градусов содержат центральные углы, соответству¬
ющие дуге АВ, которая составляет: 1)	2)	3)	4)
часть окружности? Запишите с помощью обозначений угло-
вую величину дуги АВ в каждом из этих случаев.
3£Jp Разделите окружность на четыре дуги, угловые величины
которых пропорциональны числам 1, 4, 8 и 11. В каком от¬
ношении находятся величины центральных углов, соответ-
f ствующих этим дугам?
35б\ Окружность разделена двумя точками на две дуги. Какова
угловая величина каждой из этих дуг, если: 1) угловая вели¬
чина одной из них на 30° больше угловой величины дру-
106

гой; 2) угловые величины этих дуг пропорциональна чис¬
лам 1 и 3?
357.	1) Постройте равносторонний треугольник, вершины которо¬
го лежат на данной окружности.
2)	Постройте с помощью линейки и транспортира правиль¬
ную пятиконечную звезду.
358.	1) Какова угловая величина дуги, которую описывает конец
часовой стрелки: а) за 2 ч; 6) за 1 ч 30 мин; в) за 15 мин?
2)	Сколько минут содержит угол, на который поворачивается
минутная стрелка за 1 мин?
359.	1) Докажите, что две дуги окружности конгруэнтны тогда и
только тогда, когда конгруэнтны стягивающие их хорды
(предполагается, что величины обеих дуг либо не превышает
180°, либо больше 180°).
2)	Докажите, что две дуги, лежащие на различных окружно¬
стях равных радиусов, конгруэнтны тогда и только тогда, ког¬
да их угловые величины равны.
360. На окружности даны три точки А, С и D. Постройте при помо¬
щи циркуля дугу АВ, конгруэнтную дуге CD
361. Разделите дугу окружности пополам, если центр этой окруж¬
ности недоступен.
362*. Какую фигуру образует: 1) множество середин хорд данной
окружности, перпендикулярных данному диаметру этой ок¬
ружности; 2) множество середин хорд данной окружности,
имеющих длину а (а < г)?
363. 1) Хорда делит окружность на две дуги, угловые величины
которых пропорциональны числам 4 и 5, Под каким углом'
видна эта хорда из центра окружности?
2)	Под каким углом была бы видна из центра Земли ду1 а
экватора длиной: а) 1 км; б) 2 м? Длину экваторе принять
за 40 000 км.
29.	Взаимное расположение прямой и окружности
Различные случаи взаимного расположения прямой и ок¬
ружности показаны на рисунках 187, а, б, в. Прямая, имеющая
с окружностью только одну общую точку, называется касатель¬
ной к этой окружности, а их общая точка — точкой касания.
Если прямая и окружность имеют две общие точки, то говорят,
что прямая и окружность пересекаются.
107

О)	6)	в)
Рис. 187
Для того чтобы ответить на вопрос, сколько общих точек
имеют данные прямая р и окружность (О, г), требуется срав¬
нить расстояние h от центра О окружности до прямой р с радиу¬
сом г этой окружности.
^Возможнытри случая: 1) h > г; 2) А=г; 3) h < г. Рассмотрим
эти случаи.
1) Если расстояние от центра окружности до прямой боль¬
ше радиуса окружности, то прямая и окружность не имеют об¬
щих точек.
В самом деле, если h > г (см. рис. 187, а), то ближайшая
к центру О точка прямой р (а значит, и любая точка этой пря¬
мой!) не может принадлежать окружности (О, г), так как она
находится от центра на расстоянии, большем радиуса этой ок¬
ружности. ■
2) Если расстояние от центра окружности до прямой рав¬
но радиусу окружности, то прямая и окружность имеют одну
и только одну общую точку.
В самом деле, если h — г (см. рис. 187, б), то ближайшая
к центру О точка прямой р находится на расстоянии, равном
радиусу окружности, и, значит, принадлежит окружности.
Все остальные точки прямой р находятся от центра О на расстоя¬
нии, большем радиуса окружности, и, следовательно, окруж¬
ности не принадлежат.*
Доказанное утверждение можно сформулировать иначе:
35 I Т е о р е м а. Прямая, перпендикулярная к радиусу и прохо-
I дящая через его конец, лежащий на окружности, является
I касательной к этой окружности (рис. 188).
108

3)	Если расстояние от центра ок¬
ружности до прямой меньше радиуса
окружности (Л < г), то прямая и ок¬
ружность имеют ровно две общие точ¬
ки (рис. 187, в). (Доказательство этого
утверждения сложно, поэтому мы его
опускаем.) Итак,
36 I окружность и прямая могут не
I иметь общих точек, иметь одну или
я две общие точки.
Докажем теорему о касательной к
окружности.
37 ЦТеоре м а. Касательная к ок-
ШруЖности перпендикулярна радиу-
I су этой окружности, проведенному
I в точку касания.
Дано: р — касательная к окруж¬
ности (О, г) в точке А.
Доказать: pi (О А) (рис. 189).
Доказательство. По условию все точки прямой р,
кроме точки А, лежат вне окружности. Поэтому для всякой
точки В этой прямой, отличной от А, \ОВ\ > \ОА\. Значит,
| О А [ — наименьшее из всех расстояний от точки О до точек пря¬
мой р. Пользуясь теоремой 32, получаем: (ОА) 1 р. ■
Вопросы и задачи
164°. Даны окружность (О, г) и прямая а. Каково взаимное распо¬
ложение этих фигур, если известно, что расстояние от пря¬
мой а до точки О: 1) больше г; 2) меньше г; 3) равно ri
365. На сторонах данного угла АОВ постройте точки, находящиеся
на данном расстоянии а: 1) от вершины угла; 2) от точки М,
лежащей во внутренней области угла АОВ.
366. Постройте окружность данного радиуса г, которая касается
данной прямой а в данной на ней точке М.
367. Постройте касательную к данной окружности, проходящую
через данную точку этой окружности.
368.	1) Постройте окружность, касающуюся сторон данного угла.
2)	Постройте окружность, которая касается сторон данного
угла, причем одной из них в данной точке.
1С9

369. Найдите множество центров окружностей, касающихся сто
РОН Даг1ги-*ГО уГЛЗ
370. Две окружности касаются друг друга в точке А. Существует
ли прямая, касающаяся обеих этих окружностей и проходя¬
щая через А1
371. Постройте окружность, касающуюся всех сторон данного
треугольника
372. Точка 0(0% р) ближайшая к точке А(А£ р).
Докажите: (ОА) _L р.
30.	Задачи на построение
Вы уже решали довольно много задач на построение — задачи
на построение треугольников по заданным элементам, задачи на
построение образа данной фигуры при осевой симметрии, фигу¬
ры, центрально-симметричной данной, и т. д. Решение этих за¬
дач, как правило, начиналось сразу с построения.
Однако, при решении более сложных задач на построение сразу
найти-требуемое построение трудно. Предварительно проводят
анализ задачи. Предполагают задачу уже решенной и составля¬
ют предположительный чертеж взаимного расположения данных
элементов (точек, прямых, окружностей и т. п.) и искомых. На
этом чертеже пытаются найти вспомогательные элементы, кото¬
рые могли бы помочь построению искомых, а сами могли бы
быть построены при помощи данных. Е случае успеха такого
анализа задачи ее решение становится очевидным. В виде пер¬
вого примера рассмотрим задачу.
Задача 1. Построить прямоугольный треугольник по ги¬
потенузе и катету.
Решение. Проведем анализ. Предположим, что тре¬
угольник, удовлетворяющий условиям задачи, построен
(рис. 190). Отметим на полученном чертеже элементы, данные
в условии.
Рассматривая полученный рисунок, мы видим, что вершины
В и С можно построить, отложив отрезок ВС заданной длины с.
Третья вершина А: 1) лежит на перпендику/ яре к прямой ВС,
проходящем через С, и 2) находится от точки В на расстоянии,
равном длине отрезка АВ, т. е. лежит на окружности (В, с).
Отсюда следует, что для решения задачи (рис. 191) достаточно
построить:
110

1) отрезок ВС длины с;
2) перпендикуляр р к прямой ВС,
проходящий через точку С;
3) окружность с центром В радиу¬
са с;
4) точку А пересечения этой окруж¬
ности с прямой р.
Треугольник, вершинами которого
являются точки А, В, С, искомый.
Треугольник, удовлетворяющий ус¬
ловиям задачи, существует лишь при
условии с >с (объясните почему). При
этом условии задача имеет решецие.
Это решение (с точностью до конгру¬
энтности) единственно. Справедлив сле¬
дующий признак конгруэнтности пря¬
моугольных треугольников:
38 I если гипотенуза и катет одного
прямоугольного треугольника кон-
груэнтны гипотенузе и катету дру¬
гого треугольника, то такие прямо¬
угольные треугольники конгру¬
энтны.
Задача 2. Построить касательную
к данной окружности, проходящую через
данную точку.
Решение. Данная точка А мо¬
жет: 1) принадлежать внутренней облас¬
ти данной окружности (О, г) (| О А | <
</•); 2) лежать на окружности (О, г)
(| О А | = г) и, наконец, 3) лежать во внеш¬
ней области данной окружности (| О А | >
> г). Рассмотрим эти три случая от¬
дельно.
1)	|ОЛ|< г (рис. 192, а). В этом слу¬
чае расстояние от центра О окружности
до любой прямой, проходящей через точ¬
ку А, меньше радиуса г (перпендикуляр
короче наклонной!). Значит, любая пря¬
мая, проходящая через данную точку А,
О)
Рис. 1V2
111

пересекает данную окружность (п. 28).
В этом случае искомой касательной не
существует.
2) \ОА\ = г (рис. 192, б). В этом слу¬
чае точка А лежит на окружности (О, г).
По теореме 37 искомая касательная долж¬
на быть перпендикулярна прямой ОА.
Но существует единственная прямая,
проходящая через точку А и перпенди¬
кулярная прямой ОА. Значит, в рассматриваемом случае реше¬
ние единственно. Для построения касательной достаточно про¬
вести прямую ОА и построить прямую р, перпендикуляр¬
ную прямой О А и проходящую через точку А. Прямая р - ис¬
комая.
3)	\ОА[ > г (рис. 193, о). Проведем анализ. Допустим, что
искомая касательная AM построена. Отложим на прямой ОМ
отрезок MB длины г (рис. 193, с). Тогда точки О и В симметрич¬
ны относительно прямой AM. В самом деле, (ОМ) ± (AM)
(теорема 37). Кроме того, по построению \ ОМ\ — \ ВМ\. Поэто¬
му отрезки АО и АВ симметричны относительно прямой AM и,
следовательно, \ ОА\ — \АВ[. Тем самым мы показали: а) точ¬
ка В принадлежит и окружности (О, 2г), и окружности (А, |ОА|);
б) точка касания М — середина отрезка ОВ — принадлежит
окружности (О, г) и прямой ОВ. Построив точку М искомой
касательной, нетрудно построить и саму касательную: достаточ¬
но провести прямую AM. Теперь можно перейти к построению.
Построим окружности (О, 2г) и (А, |ОА|) (рис. 193, б). Эти
окружности имеют две общие точки (п. 13). Обозначим их через
112

В, и В,. Проведя прямые ОВt и ОВ.,, найдем точки пересечения
этих прямых с окружностью (О, г) — точки Mi и М^. Прямые
АМи AMг — касательные к окружности (О, г).
Таким образом, в этом случае задача имеет два решения:
из точки, лежащей во внешней области окружности, можно про¬
вести две касательные к этой окружности. Отрезки AMi и AM-
этих касательных конгруэнтна. В самом деле, при симметрии с
осью О А точка А отображается ка себя, точки касания Му и М
отображаются друг на друга (см. рис 193, в).
Вопросы и задачи
373. Постройте прямоугольный треугольник; 1) по гипотенузе С и
катет/ Ь; 2^ по катетам а и Ь; 3) по катету а и прилежащему
острому углу р; 4) по гипотенузе с и острому углу а 5) по
катету а и высоте h, проведенной к гипотенузе
374. Постройте равнобедренный треугольник 1) по боковой сто¬
роне Ь и высоте h, проведенной к этой стороне; 2) по основа¬
нию а и высоте h, проведенной к одной из боковых сторон.
375^- Сколько касательных, проходящих через данную точку А,
можно провести к данной окружности (О, г)?
376. Постройте касательную к данной окружности, проходящую
через данную точку.
377. Какую фигуру образует множество точек, дгя любой из ко¬
торых касательные, проведенные к данной окружности, име¬
ют одну и ту же длину а?
373, Постройте окружность, которая отсекает от сторон данно-о
угла отрезки длины а.
379*. Даны окружность (О, г) и прямая а — касательная к этой ок¬
ружности. Постройте окружность, которая касается: 1) дан¬
ной окружности и данной прямой в данной на стой прямой
точке М; 2) данной прямой и данной окружности в данной
на этой окружности точке М.
380*. Две окружности (Oi, г|) и (Oj, г2) касаются внешним обра¬
зом. 1) Найдите такую точку М, что касательные, проведен¬
ные из нее к данным окружностям, имеют равные длины.
2) Какую фигуру образует множество точек М, '•аких, что
касательные к данным окружностям, проведенные из этих
точек, имеют равные длины?
1.3

Дополнительные задачи к главе II
381. Фигура L состоит из всех точек полуокружности с центром О,
за исключением точек А и В (рис. 194). Произвольной точке *Х
этой фигуры поставлена в соответствие точка Х\ прямой р,
лежащая на луче ОХ. Проверьте, что тем самым задано ото¬
бражение фигуры L на прямую./?. Обратимо ли это отобра¬
жение?
382. Приведите примеры обратимых отображений фигуры на фи-
гуру, при которых расстояния между точками: 1) сохраня¬
ются; 2) не сохраняются.
383. Фигура L состоит из точек А, В, С и D; \АВ\ = \ВС\ =
= \CD\ = |AD|. 1) Покажите, что существуют четыре ото¬
бражения этой фигуры на себя, сохраняющих расстояния.
2) Для одного из этих отображений укажите отображение,
ему обратное.
384. Отрезки АВ и CD имеют одинаковую длину. Приведите при¬
мер отображения отрезка АВ на от¬
резок CD: 1) сохраняющего расстоя¬
ния; 2) не сохраняющего расстояния.
В морской практике принято опреде¬
лять направления в румбах. Румб —
это угол между направлением оси
магнитной стрелки и выбранным на¬
правлением. Румбы отсчитываются как
от северного, так и от южного кон¬
ца магнитной стрелки от 0° до 90°.
При этом указывается, какой из че¬
тырех четвертей — СВ, ЮВ, ЮЗ, СЗ—
принадлежит угол (рис. 195, а). Напри¬
мер, для направления I румб равен
СВ 45°, а для направления III румб ра¬
вен ЮВ 60°.
На схеме (рис. 195, б) стрелками пока¬
заны направления движения кораблей
ч
в некотором районе. Определите эти
направления в румбах.
Докажите: 1) любые два луча конгру¬
энтны; 2) любые две прямые конгру¬
энтны; 3) любые две полуплоскости
Рис. 195
114
конгруэнтны.

387. Ученику требуется начертить в тетради фигуру, коь.руэнт-
ную фигуре, изображенной на картинке. Как это можно сде¬
лать?
388. Какие фигуры, изображенные на рисунке 78, имею.: 1) центр
симметрии; 2) осимметрии?
389. Точки Oi и 02, принадлежащие фигуре L, являются центрами
сижме.рии этой фигуры; расстояние ]O1O21 равно 1. Дока¬
жите, что существуют такие две точки фигуры L, расстояние
между которыми равно: а) 2; б) 3; в) 1 000 000.
390. Иовестио, что при некотором перемещении точка А отобра¬
зилась на точку А\, точка В — на точку В-., Как можно по¬
строить образ точки X при этом перемещении, если:
1)Хе(АВ);	2	)Х$(АВу.
391. 1) Докажите, что отрезок имеет только один центр симмет¬
рии.
2) Докажите, что окружность имеет только один центр сим¬
метрии.
392. Докажите, что фигура, являющаяся объединением двух кру¬
гов равных радиусов, имеет центр симметрии. Имеет ли центр
симметрии пересечение этих кругов?
393. Каждой точке Р(х,у) плоскости поставлена в соответствие
точка: 1) Р'(—х— 1, — у — 1), 2) Р'(х, 1 — у); 3) Р'П —х у).
Покажите, что каждое из этих отображений является переме¬
щением.
394. Дан угол АОВ и точка М внутри этого угла. Постройте 'очки
Mi—S{A0}(M) и M2 = S(B0){M 1). Докажите, что величина
угла М\ОМ2 не зависит от положения точки М.
395. Сколько осей симметрии может иметь фигура, если она явт я-
ется объединением: 1) окружности и точки; 2) окружности и
ее центрального угла; 3) окружности и прямой?
396. Две точки А\ и Аг симметричны относительно оси р. Построй¬
те с помощью одной линейки точку, симметричную данной
точке В относительно прямой р(В £ (А\А2))Г
397. Даны взаимно перпендикулярные прямые с и Ь, пересекаю¬
щиеся в точке О, и точка М, не лежащая ни на одюй из этих
прямых Постройте точки — Sa(M], М: - St(M) М3 —
— Sa(M2) и т. д. Сколько различных точек при этом будет
построено?
398. ^Докажите, что при любом повороте с центром О окруж¬
ность (О, г) отображается на себя.
115

Рис. 196
399. Дан угол в 54J. С помощью циркуля и
линейки разделите его на три конгру¬
энтных угла.
400. Дан угол в 17°. Как можно при помо¬
щи циркуля и линейки построить угол:
1)	10е; 2) 22'; 3) 11е?
401. Постройте объединение фигуры, за¬
штрихованной на рисунке 196, и фигу¬
ры, являющейся образом этой фигу¬
ры при повороте на 45° вокруг центра
данной окружности в направлениях
по часовой стрелке и против.
402. Постройте центр поворота и его
угол, если даны точки А и А\ — R(А)
и известно, что центр поворота при¬
надлежит данной прямой а.
403. Даны две концентрические окруж¬
ности (рис. 197). Докажите, что рассто¬
яние между ними равно |АВ|*.
404. Как можно найти расстояние между
двумя окружностями, изображенными
на рисунке 198, а, 61
405. Найдите множество точек, равноуда¬
ленных от сторон угла.
406. Точка М равноудалена от сторон угла
АОВ. Следует ли из этого, что точ¬
ка М лежит на биссектрисе этого угла?
(Сделайте рисунок и покажите на нем
возможные положения точки М.)
407. Постройте фигуру, которая является
объединением данной фигуры (рис. 199)
и фигуры, ей симметричной относи¬
тельно оси S.
408. Для нахождения центра детали, имею¬
щей форму круга, применяется при¬
бор, который называется центроиске-
телем. 1) Объясните, как можно найти
центр круга пои помощи центроиска-
* Расстоянием между фигурами L, и £2
зывается наименьшее из расстояний |ДГУ|,
X £ Lu Y £ L,.
не¬
где
116

□й
теля, изображенного на рисунке 200, а.
(Вершина прямого угла находится в
середине отрезка АВ.) 2) Обьясни.е,
как можно воспользоваться этим при
бором для построения биссектрисы
данного угла.
409. Объясните, почему механизм из трех
звеньев, изображенный на рисунке
200, б, будет жестким (т. е. не шарнир
Нв1м) даже в том сл ^чае, когда все три
его звена соединены шарнирами.
410. Докажите, что если диаметр делит ду¬
гу, стягиваемую хордой, пополам, то
он перпендикулярен этой хорде.
411. Докажите, что сумма высот любого
треугольника меньше его периметра.
412. Докажите, что сумма медиан любого
треугольника меньше его периметра,	ф
но больше полупериметра этого тре¬
угольника.
413. 1) Внутри треугольника ABC взята
точка М. Докажите, чт<5 длина лома¬
ной АМВ меньше длины ломаной АСВ.
2) Докажите, что расстояние между
любыми двумя вершинами замкнутой
ломаной не больше половины суммы
длин ее звеньев.
414. Найдите расстояние от точки А, лежа¬
щей внутри окружности {О, г), до этой
окружности.
415. 1) Докажите, что если через концы хорды данной окружно¬
сти провести перпендикулярные к ней хорды, то их длины
будут равны
2) Можно ли через точку, лежащую во внутренней области ок¬
ружности, провести три хорды равной длины?
416. Постройте прямоугольный треугольник, если даны его катет
и отрезок, длина которого равна сумме длин другого катета
и гипотенузы.
417. 1) Внутри острого угла взята точка М. Постройте треугольник
KLM, имеющий возможно меньший периметр, вершины
К и L которого лежат на сторонах данного угла.
Рис. 200
117

2) Даны прямая а и точки А £ а, В $ а. Построите на пря¬
мой а такую точку X, чю сумма расстоянии \АХ и ХВ|
равнэ длине данного отрезка.
418. Через данную точку А, лежащую во внутренней области
окружности (О, г), проведите хорду наименьшей длины.
419. 1) Постройте четырехугольник ABCD по четырем сторонам
так, чтобы луч АС был биссектрисой у>ла А.
2) Луч АС является биссектрисой угла А четырехугольника
ABCD, периметры треугольников АСВ и ACD равны Дока¬
жите, что эти треугольники конгруэнтны.
420. 1) Из точки М проведены касательные к окружности (О, г);
точки касания — Aj и Аг. Докажите:	a) (AiAo) _L (МО)ш,
б) A.AiMO А-АьМО.
2) Точки А и В принадлежат прямой I, а точки Р и Q расположе¬
ны вне этой прямой. Найдите на прямой I такую точку X, что
QXB = 2АХР. (Рассмотрите два случая: точки Р и Q лежат
по одну сторону от прямой I и по разные стороны от этой
прямой.)

ГЛАВА 111
7
ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ
И ПАРАЛЛЕЛЬНЫЙ ПЕРЕНОС
КЛАСС
§ 1. Параллельные прямые
31.	Параллельность прямых
и центральная симметрия
1.	Определение. Прямые а и Ъ
называются параллельными, если они
лежат в одной плоскости и не име¬
ют общей точки или совпадают.
По определению любая прямая о
параллельна себе: а || а. Из определе¬
ния сразу следует, что если о || Ъ, то и
Ъ II	а.	Ч
39	Теор е м а (о центрально-симме-	j	\
тричных прямых). Если две пря-	]	\
,чые симметричны относительно не-	/	I
которого центра, то они параллель¬
ны.
Дано: Ь — Zo (о).
Доказать: а \\Ь.
Доказательство. Предпо¬
ложим противное: прямые а и Ь не па¬
раллельны. Это значит, что они раз¬
личны и имеют общую точку С (рис. 201).
Эта точка С не может совпадать с цент¬
ром симметрии О, так как тогда прямые
а и Ъ отобразились бы каждая на себя,	^
а не друг на друга.	I	/
Обозначим через Сi образ точки С	1	j
при симметрии Zq . Точки С и Ci раз-	у
личны, так как С фО. Точка С по пред¬
положению принадлежит прямым а и
С
У
Ъ. Поэтому ее образ Сх принадлежит	рИс.	201
119

образам этих прямых, т. е. прямым Ь и а. Получаем, что две
различные прямые а и Ь имеют две общие точки С и Си что про¬
тиворечит аксиоме прямой. Следовательно, предположение, что
прямые с и Ь не параллельны, неверно. Значит, прямые а и Ь
параллельны. ■
В младших классах принималось без доказательства, что
через любую точку можно провести прямую, параллельную дан¬
ной прямой. Сейчас это предложение можно доказать в качест¬
ве следствия теоремы 39.
Следствие. Через любую точку проходит хотя бы
одна прямая, параллельная данной прямой.
Доказательство. Пусть даны прямая р и точка А.
Возможны два случая:
1) А £ р. В этом случае искомой прямой является сама пря¬
мая р.
2) A t Р- Отметим на прямой р точку С и найдем середину О
отрезка АС (рис. 202). Обозначим через q образ прямой р при
симметрии Z . По теореме.39 прямые р и q параллельны.
Я
Прямая q состоит из всех точек, сим¬
метричных точкам прямой р относительно
А	точки	О.	Поэтому	она	содержит,	в	част-
2. Теорема о центрально-симметрич¬
ных прямых является одним из призна¬
ков параллельности прямых. Докажем те¬
перь другой признак параллельности пря¬
мых.
ности, и точку А, симметричную С. Значит,
q — искомая прямая. ■
С
Рис. 202
40 |Т е о р е м а. Если две прямые пер-
пендикулярны одной и той же пря¬
мой, то эти прямые параллельны.
Дано: a j_ р, b _L р, а ф Ъ.
Доказать:	а	||	Ь.
Рис. 203
Доказательство. Предполо¬
жим, что прямые а н 6 пересекаются в
точке М (рис. 203). Тогда через точку М
проходят два перпендикуляра к прямой р,
что противоречит предложению 19. Зна¬
чит, наше предположение неверно. Пря¬
мые а и Ь параллельны. ■
120

Вопросы и задачи
421 . Назовите различные случаи взаимного расположения двух
прямых на плоскости.
422. Верно ли, что любые две прямые пространства либо парал¬
лельны, либо пересекаются?
423 . 1) Какие прямые (отрезки) при центральной симметрии
отображаются на себя?
2) Могут ли две различные центрально-симметричные пря¬
мые иметь общую точку?
424. Каково взаимное расположение прямых с и Ъ, если:
1) a = Z0(b); 2) a=--Z0(a) и Ъ = Z0(b)l
425. 1) Постройте прямую, симметричную данной прямой а от¬
носительно данного центра О (0£а).
2) Постройте прямую, параллельную данной прямой а и про¬
ходящую через данную точку. Какими инструментами можно
это сделать?
426. 1) Даны треугольник ABC и точка М. Постройте прямые, про¬
ходящие через точку М и параллельные прямым АВ, ВС и АС.
2)	Постройте четырехугольник, противоположные стороны
которого попарно параллельны.
427. Прямые о и b касаются окружности в диаметрально противо¬
положных точках М и Т. Каково взаимное расположение этих
прямых?
428. Каково взаимное расположение прямых а и Ь, с и с, b и с,
если: 1) а _1_ с, Ь _1_ с; 2) a _L 6, с _L Ь; 3) а _[_.Ь, с _L а?
429. Какие прямые при осевой симметрии Sp отображаются не
параллельные им прямые?
430. Все углы четырехугольника прямые. Докажите, что его про¬
тивоположные стороны попарно параллельны.
431. Докажите, что биссектрисы двух вертикальных углов лежат
на одной прямой.
32.	Аксиома параллельных
1.	Мы доказали, что через любую точку можно провести'хотя
бы одну прямую, параллельную данной прямой. Сколько ка
самом деле существует таких прямых? Мы знаем, что их не ме¬
нее одной. Примем без доказательства следующее предложение.
41 I А ксиома параллельных. Через данную точку прохо-
I дит не более одной прямой, параллельной данной прямой.
121

Рис. 206
Рис. 207
Следствие 1. Если прямая пере¬
секает одну из двух параллельных пря¬
мых, то она пересекает и другую.
Доказательство. Пусть а || Ъ
и с Па А (рис. 204). Если бы прямая
с не пересекала прямую Ъ, то через точку
А проходили бы две прямые (а и с), парал¬
лельные прямой 0. Это противоречит акси¬
оме параллельных. Значит, прямая с пе¬
ресекает прямую Ь. Ш
Следствие 2. Перпендикуляр и
наклонная к идной и той же прямой
пересекаются.
Доказательство. Пусть пря¬
мая а — перпендикуляр, а прямая Ъ —
йаклонная к прямой с (рис. 205). Через
точку В пересечения прямых бис про¬
ведем перпендикуляр р к прямой с. Тог¬
да прямая р параллельна прямой а (п. 31).
Значит, прямая Ь не может быть парал¬
лельна прямой а, так как в противном
случае через точку В проходили бы две
прямые (b и р), параллельные прямой а,
что противоречит аксиоме параллельных.
Итак, прямые а и 6 пересекаются. ■
Следствие 3. Если прямые а и Ь
параллельны прямой с, то прямые а и Ь
параллельны.
Доказательство. Допустим
противное: прямые а и 6 не параллельны,
т. е. пересекаются в некоторой точке. Р
(рис. 206). Тогда через точку Р будут
проходить две прямые (а и 6), параллель¬
ные прямой с. Но это противоречит акси¬
оме параллельных, и, следовательно, наше
предположение неверно. Поэтому а || б.И
2.	В пункте 31 была доказана теоре¬
ма о параллельности центрально-симмет¬
ричных прямых. Верно и обратное пред¬
ложение.
122

421 Т еорема. Если две прямые параллельны, то они централь-
I но-симметричны.
Доказательство. Пусть а || Ъ. Докажем, что суще¬
ствует точка О, относительно которой эти прямые симметричны.
Возьмем на прямых а и & по одной точке — А и Ах (рис. 207).
Обозначим середину отрезка ААХ через О.
При симметрии Z0 точка А отобразится на точку А,, прямая
а отобразится на прямую Z(} (а), проходящую через точку Ах
и параллельную (по теореме 39) прямой с. По аксиоме парал¬
лельных такая прямая единственна. Но по условию Ъ \ а и,
кроме того, Ау 6 Ь. Значит, образом прямой а при симметрии
ZQ может быть только прямая Ь. Итак, Z0 (а) = Ъ, т. е. прямые
а и Ъ центрально-симметричны. ■
Вопросы и задачи
432. Докажите, что через любую точку плоскости проходит одна
и только одна прямая, параллельная данной прямой.
433. Можно ли провести прямую, параллельную каждой из пере¬
секающихся прямых а и &?
434. Даны прямые а, Ь и с. Верно ли, что: 1) а || а; 2) если а || &,
то & II а; 3) если а || Ъ и а || с, то Ъ || с; 4) если a_L6 и &_Lc,
то а_1_с; 5) если а пересекает b и Ъ пересекает с, то прямые
а и с пересекаются?
435. Обладает ли отношение параллельности, заданное на множе¬
стве прямых, свойствами рефлексивности, симметричности и
транзитивности?
436. Даны прямые а, Ъ и с. Каково взаимное расположение пря¬
мых а и с, если а || Ъ и прямая Ъ пересекает прямую с?
437. Докажите, что прямая, перпендикулярная к одной из сторон
острого угла, пересекает вторую его сторону.
438. Прямые с и Ъ параллельны, а прямая с
пересекает их (рис. 208). Докажите*:
/N	/N	/N
а)	1 = 3;	6)	1 = = 8;	в)	6 = 7;	г)	3 = 5;
/N	/Ч	Л ^	/\ /Ч
Д) 4 = 6;	е)	7 = 2;	ж)	5 = 8;	з)	2= 4;
и)	'2+'в= 180°; к) 9+Т = 180°.
* Такие углы, как 1 и 8, 7 и 2, ..., принято на¬
зывать соответственными углами. Углы 2 и 4. 8 и 5
называют внутренними накрест лежащими при па¬
раллельных а и & и секущей с.
123

439. Сколько центров симметрии имеет фигура, являющаяся:
1)	объединением двух параллельных прямых; 2) объедине¬
нием трех прямых, две из которых параллельны; 3) объеди¬
нением двух прямых?
440*. Противоположные стороны четырехугольника ABCD попар¬
но параллельны. Найдите величины углов и длины сторон это-
го четырехугольника, если А — 30°, \АВ \ =2 см, \ВС \ — А см.
33 ▼. Неевклидова геометрия. Геометрия и физика
Пользуясь уже известными вам предложениями геометрии,
можно доказать, что принятую нами аксиому параллельных А
(«через любую точку проходит не более одной прямой, парал¬
лельной данной прямой») можно заменить другими утверждения¬
ми, равносильными аксиоме А. (Равносильность утверждений
Р и Q означает: из Р вытекает Q, а из Q вытекает Р.) Например,
в качестве такого утверждения Е мо¬
жет быть принято предложение: пер¬
пендикуляр и наклонная пересекают¬
ся или более точно: если прямая а
перпендикулярна прямой с, а прямая
Ъ пересекает прямую с, но к ней не пер¬
пендикулярна, то прямые а и Ъ пере¬
секаются (рис. 209).
Сам Евклид принимал в качестве
аксиомы параллельных такое предло¬
жение: *Если прямая падает на две пря¬
мые и образует внутренние односторон¬
ние углы, в сумме меньшие двух прямых,
то при неограниченном продолжении
этих двух прямых они пересекутся с
той стороны, где углы меньше двух пря¬
мых* (рис. 210).
Многим математикам, работавшим
после Евклида, аксиома параллельных
в том или ином ее виде казалась с на¬
глядной точки зрения недостаточно убе¬
дительной. Поэтому было потрачено
много усилий на ее доказательство. Но
все предлагаемые доказательства ока¬
зывались несостоятельными.
.Рис. 209
ь
а2
^3^
N
а
Рис. 211,
124

Для дальнейшего развития науки особенно плодотворными
оказались попытки доказать аксиому параллельных «от про¬
тивною», или, как говорят иначе, «приведением к абсурду*.
Допускали отрицающее А предложение В («допускали против¬
ное»): если точка Р не лежит на прямой с, то через Р проходит
по крайней мере две прямые бис, параллельные прямой а
(рис. 211).
Из этого допущения извлекали многочисленные следствия
в надежде прийти к противоречию: если бы такое противоречие
появилось, то «противоположное допущение» было бы неверно и
предложение А было бы доказано.
Но противоречия никак не удавалось обнаружить. Вместо
этого получалась длинная цепь предложений, часто отличных
от тех, которые имеются в евклидовой геометрии, не которые
тем не менее складывались в стройную теорию. Например, из
аксиомы А вытекает, что сумма углов треугольника ра вна 2d
(см. доказательство в п. 38), а из В следовало, что эта сумма
всегда меньше 2d, причем разность
✓N
А = 2d К -- R - L
пропорциональна площади S треугольника KLR:
А ~ kS,
где к — некоторая положительная константа.
Особенно полно такую, по его словам, «воображаемую гео¬
метрию» развил русский математик Николай Иванович Лоба¬
чевский (1792	1856). Он впервые открыто высказал убежде¬
ние, что геометрия эта непротиворечива и потому с чисто логи¬
ческой точки зрения равноправна евклидовой. Несколько позже
Лобачевского (но независимо от него) опубликовал аналогичную
работу венгерский математик Янош Бойяй (1802	I860).
В XIX в. были построены и другие системы геометрии, от¬
личные от евклидовой. Например, в геометрии Римана (1820—
1864) совсем нет параллельны х. В этой геометрии два перпенди¬
куляра к прямой непременно пересекаются
(рис. 212). Приведенное в нашем учебнике
доказательство невозможности такого по¬
ложения вещей (см. п. 31) не действует
в геометрии Римана.
С созданием новых геометрий, отличных
от евклидовой, получил более полное осве¬
щение вопрос об отношении геометрии, раз-	Рис.	212
125-

виваемой чисто логически из определенных допущений (ак¬
сиом), к свойствам окружающего нас peaj ьно,о пространства.
В пункте 14 ул\.е было сказано, что в геометрии мы приписы
ваем геометрическим фигурам свойства, которые в применении
к реальным телам наблюдаем только Приближенно. Геометрия
представляет собой математическую модель реальных простран¬
ственных отношений. Модель эта правильна в том смысле, что
она с хорошим приближением отражает свойства доступной
нам части реального пространства.
С развитием науки и измерительной техники оказалось, ^то
выводы евклидовой геометрии остаются правильными со зна¬
чительно большей точностью, чем это могли проверить на прак¬
тике ученые прошлых времен. Например, К. Ф. Гаусс (1777—
1855), одновременно с Лобачевским пришедший к мысли о воз¬
можности неевклидовой геометрии, измерил с большой 'точ¬
ностью углщ треугольника, образовании iX) вершинами трех
немецких гор, и, сложив эти углы, не обнаружил значимого
отклонения от 2d.
Но современная физика не абсолютизирует пригодность ев¬
клидовой геометрии в очень больших космических масштабах
или в очень малых масштабах элементарных частиц. В обоих
случаях остается возможность, что данные физики окажутся
в лучшем согласии с какой-либо геометрией, отличной от евкли¬
довой.
Вопросы и задачи
441. Докажите равносильность предложений А и В
(В)	если прямая с перпендикулярна прямой с. а прямая Ъ
пересекает прямую с, но к ней не перпендикулярна, то пря¬
мые а и b пересекаются;
(А) через любую точку проходит не более одной прямой,
параллельной данной прямой.
442. Приведите примеры теорем, при доказательстве которьи:
используется аксиома параллельных
443. Приведите примеры теорем, доказательства которых не опи¬
раются на аксиому параллельных.
444. Докажите, что если при пересечении двух прямых третьей
соответственные углы конгруэнтны, то эти две прямые парал¬
лельны.
126

445**. Докажите не опираясь на аксиому параллельных, что угол,
смежный с углом А треугольника ABC, больше каждого из
углов В и С.
§ 2. Параллельный перенос
34.	Отношение эквивалентности
Вы знакомы с понятием отношения между элементами множе¬
ства. Известны, например, отношения параллельности и перпен¬
дикулярности между прямыми, отношение конгруэнтности меж¬
ду фигурами. В алгебре вы познакомились с отношениями не¬
равенства (строгого и нестрогого) между числами. Вы знаете так¬
же, как употребляются знаки перечисленных отношений:
а || Ъ, а ± Ъ, Ll ^ L», х < у, х < у.
Утверждение, что предметы хну связаны некоторым отно¬
шением R, записывают так: xRy. В рассмотренных выше при¬
мерах отношением R было отношение параллельности, перпен¬
дикулярности, конгруэнтности, строгого и нестрогого нера¬
венства.
Как в алгебре, так и в геометрии вы встречались со следующи¬
ми свойствами отношений.
1) Отношение R рефлексивно на множестве М, если для
любого х из М выполняется условие: xRx.
2) Отношение R симметрично, если из xRy следует, что
yRx (т. е. если х и у связаны отношением R, То у и jc тоже свяса-
ны этим же отношением).
3) Отношение R транзитивнс, если из xRy и yR? следует,
что xRz.
Отношение может обладать или только одним из э^их
свойств, или двумя из них, или же всеми тремя свойствами
(или не обладает ни одним из них). Проверьте следующую таб¬
лицу, где знак «+» означает, что отношение обладает указан¬
ным свойством, а знак «—» означает, что оно указанным свой¬
ством не обладает.
В
/ч/
<
<
Рефлексивность . . .
+
*—
+
.
+
Симметричность . . .
+
+
+
—
—
Транзитивность . • .
■+
+
+
+
127

Среди рассмотренных отношений име¬
ются два, которые обладают всемт тремя
свойствами: рефлексивностью, симметрич¬
ностью и транзитивностью. Таковы отноше¬
ния параллельности и конгруэнтности. От¬
ношения, обладающие свойствами рефлек¬
сивности, симметричности и транзитивности,
называются отношениями эквивслентности.
у Если множество М каким-либо способом разбито на попарнс
не пересекающиеся классы, то отношение *х и у принадлежат
одному и тому же классу* есть отношение эквивалентности.
Верно и обратное: если между элементами множества М за¬
дано отношение эквивалентности, тс множество М разбивается
на попарно не пересекающиеся классы эквивалентных элемен¬
тов, т. е. отношение эквивалентности для элементов хну будет
выполняться в том и только в том случае, когда хну принадле¬
жат одному и тому же классу. Это формулируют к иначе: каж¬
дое заданное на множестве М отношение эквивалентности опре
деляет разбиение множества М на классы эквивалентности.
Например, отношение параллельности между прямыми пло¬
скости определяет разбиение множества всех прямых плоскости
на классы. Каждый из этих классов состоит из прямых, парал¬
лельных друг другу (рис. 213). Эти классы — пучки парал¬
лельных прямых. Другой пример таких классов — направления
(п. 35). ▼
Вопросы и задачи
446. Является ли отношение конгруэнтности, заданное не множестве
отрезков, отношением эквивалентности7
447. Заданы отношения: 1) многоугольники L и Lt имеют одина¬
ковую площадь; 2) отрезки хну симметричны относительно
данного центра О; 3) прямые а и b имеют общую точку
Ответьте на следующие вопросы: является ли данное отноше¬
ние рефлексивным, симметричным или транзитивным отноше¬
нием; является ли оно отношением эквивалентности?
448. Задайте несколько отношений эквивалентности
449. Ученик сформулировал определение параллельных прямых
следующим образом: «Прямые а и b параллельны, если они
лежат в одной плоскости и не имеют общих точек». Верно л*
что при таком определении отношение параллельности пря¬
мых является отношением эквивалентности]
128

35.	Направления
С понятием «направление» вы уже
встречались в 5 классе. Однако оно не
было определено. Сделаем это сейчас.
Начнем с тихо, что разъясним смысл вы¬
ражений «два луча одинаково направлены*
(или короче — «сонаправлены») и «два лу¬
ча противоположно направлены».
а) Пусть лучи АВ и CD лежат на раз¬
личных параллельных прямых*. Проведя
через точки А и С прямую, получим две
полуплоскости с границей АС. Если лучи
АВ и CD лежат в одной из этих полупло¬
скостей, то они называются сонаправ-
ленными (рис. 214, а). Если же лучи АВ
и CD лежат в разных полуплоскостях, то
они противоположно направлены (рис.
214, б).
б) Пусть лучи АВ и CD лежат на одной
прямой. Эти лучи называются сонаправ-
ленными, если один из них содержится в
другом (рис. 215, а). Если же ни один из
лучей АВ и CD не содержится в другом,
то они называются противоположно на¬
правленными (рис. 215, б).
Сонаправленность лучей АВ и
[АВ) Н [CD). Если лучи АВ и CD противоположно направле¬
ны, то будем писать:	[АВ) |{ [CD).
Рассматривая рисунок 216, с, можно заметить, что отноше¬
ние сонаправленности лучей обладает свойствами рефлексив¬
ности, симметричности и транзитивности:
- 1) [А.В,) || [Аф.У,
2) если [AiBj) || [ЛоВ.,); то [.АоВ.,) || [.А^);
3)] если [.AiBi) If |Л;В2) и	l-A^Bo)	|| [A3BS), тб-
1А&) || изВл).
Значит, отношение сонаправленности лучей есть отношение
эквивалентности.
* Если лучи (отрезки) АВ и CD лежат на параллельных прямых, то будем
говорить, что этн лучи (отрезки) параллельны.
А С в
*	D
а;
L	С	А	В
D	А	Г	В
&
Рис. 215
CD обозначим так:
5 Геомвтрия, 6—S
129

Любой луч определяет мно¬
жество сонаправленных с ним
лучей (рис. 216, б). Множество
лучей, каждый из которых сона-
правлен с одним и тем же лучим,
называется направлением. На
правление можно задавать с по¬
мощью одного луча и говорить
о направлении этого луча.
43 'feop е м а (о симмет¬
ричности противоположно
направленных лучей). Два
противоположно направлен¬
ных луча симметричны от-
носитёлъно середины отрез¬
ка, соединяющего их на¬
чала.
Доказательство. Рас¬
смотрим противоположно на¬
правленные лучи АВ и А1В1,
не лежащие на одной прямой
(рис. 217). Пусть точка О — се¬
редина отрезка ААу.
При симметрии с центром О
точка А отображается на точ¬
ку А]_. Прямая АВ отображает¬
ся на прямую, проходящую че¬
рез точку Ау и параллельную
(теорема 39) прямой АВ, т. е. на
прямую АуВу. Полуплоскость а
(см. рис. 217) отображается на
полуплоскость <*!• Поэтому луч
АВ отображается на луч прямой
АуВу, лежащий в полуплоскости at и имеющий началом точку
Ау. Но этим условиям удовлетворяет лишь луч А1В1. Зна¬
чит, луч АВ отображается при симметрии с центром О на
луч АуВу.
Если прямые АВ и АуВу совпадают, доказательство анало¬
гично. ■	.
Верно и такое утверждение: два центрально-симметричных
луча противоположно направлены.
Рис. 217

Вопросы и задачи
450°. Прямые АВ и CD параллельны. 1) Ка¬
кие лучи, изображенные на рисун¬
ке 218, сонаправлены? 2) Какие лучи
противоположно направлены?
451°. Дап Луч ЛВ. 1) Сколько различных
лучей, сонаправленных с лучом АВ,
имеет свое начало в данной точке М?	Рис.	218
2) Сколько существует лучей, противоположно направлен¬
ных с лучом АВ и имеющих свое начале в данной точке Mi
452.	1) Постройте два соиаправленных луча МА и КВ-. а) не лежа¬
щих на одной прямой; б) лежащих на одной прямой.
2) Постройте два противоположно направленных луча МС
и KD: а) не лежащих на одной прямой; б) лежащих на одной
прямой.
3) Запишите с помощью принятых обозначений: лучи МА
и КВ сонаправлены, лучи МС и KD противоположно направ¬
лены.
453. 1) Сонаправленные лучи АВ и CD лежат на одной прямой
Какой фигурой может быть: а) объединение этих лучей;
б)	их пересечение?
2) Противоположно напоавленные лучи AM и BD лежат на
одной прямой. Какой фигурой может быть: а) объединение
этих лучей; б) их пересечение?
Покажите возможные случаи на рисунках и запишите ответы
в принятых обозначениях.
454°. Сколько существует лучей, сонаправленных с данным лучом?
455. Сколько различных направлений можно задать лучами, кото¬
рые: 1) лежат на данной прямой; 2) лежат на двух данных пе¬
ресекающихся прямых; 3) содержат стороны данного тре¬
угольника?
456°. Является ли отношение противоположной направленности
отношением эквивалентности на множестве лучей плоскости?
457. Дан луч ОМ. Постройте луч, центрально-симметричный лучу
ОМ относительно центра Р: 1) лежащего на прямой СМ;
2) не лежащего на прямой ОМ.
458. 1) Докажите, что два противоположно направленных луча,
лежащих на одной прямой, центрально-симметричны. Как
найти центр симметрии этих лучей?
5*
131

2) Докажите, что при центральной симметрии каждый луч
плоскости отображается на противоположно направленный
луч.
459*. 1) Сколько пар параллельных сторон может иметь: а) выпук¬
лый четырехугольник; б) выпуклый пятиугольник; в) выпук¬
лый шестиугольник?
2) Может ли многоугольник с нечетным числом сторон иметь
центр симметрии?
36. Параллельный перенос
1. Вы уже знакомы с такими перемещениями, как осевая сим¬
метрия и поворот (в частности, центральная симметрия). Сей¬
час рассмотрим еще один вид перемещений — параллельный пе¬
ренос.
Отметим на плоскости две точки А и А1 (рис. 219). Проведем
луч АА±. Он задает на плоскости некоторое направление. Пусть
X — произвольная точка плоскости. Построим луч ХМ задан¬
ного направления и отложим на нем отрезок XXх длины | AAt |.
Точке X поставим в соответствие точку Ху_. Тогда каждой точ¬
ке X плоскости будет соответствовать определенная точка Хг и
каждая точка Yl плоскости будет образом некоторой точки Y.
Получим отображение плоскости на себя — параллельный пе¬
ренос.
Определение. Параллельным переносом называется ото¬
бражение плоскости на себя, при котором каждая точка X
отображается на такую точку Хг, что:
1) луч XX! имеет заданное направление;
2) отрезок XXi имеет заданную длину.
Направление луча XX* называют направлением параллель¬
ного переноса. Параллельный перенос обычно обозначают бук¬
вой Т. Тождественное отображение Е плоскости на себя по опре¬
делению также считают параллельным переносом. Этот парал¬
лельный перенос не имеет направления.
Чтобы задать параллельный перенос, достаточно задать ка¬
кую-либо точку плоскости и ее образ. Действительно, если
образом точки А при параллельном переносе Т является точ-
к& Alt то эти точки определяют и направление параллельного пе¬
реноса, и расстояние \АА1\. Тогда для любой точки X можно
построить ее образ Xt = Т (X) (см. рис. 219).
2. Сформулируем два свойства параллельных переносов.
132'

441 | Параллельный перенос является
перемещением,
у Доказательство. Пусть А
и В — две произвольные точки пло¬
скости; Ах и Вх — их образы при па¬
раллельном переносе (рис. 220). Надо
доказать, что \АХВХ\ = \АВ\.
Обозначим через О середину отрез¬
ка АВХ. По определению параллельно¬
го переноса расстояния | А Ах | и | ВВХ |
равны, а лучи ААХ и ВВХ сонаправле-
ны. Поэтому лучи ААХ и ВХВ противо¬
положно направлены и, следователь¬
но, симметричны относительно точки
О (теорема 43).
При симметрии Zo точка А отобра¬
жается на точку BXt а луч ВХВ — на
луч ААХ. Точка В луча ВХВ отобразит¬
ся на ту точку луча AAXt которая на¬
ходится от точки А на расстоянии
| ВХВ |, т. е. на точку Ах (так как | ААХ | =
= IBiBI). Таким образом, точки А и В
при симметрии Zo отображаются на точ¬
ки Вх и Ах соответственно. По теоре¬
ме 22а \АВ\ = |АХВХ\. у
Из этого свойства следует, что при
параллельном переносе каждая фигу¬
ра отображается на конгруэнтную ей
фигуру.
Образом прямой при параллельном
переносе является параллельная ей
прямая (рис. 221, а), а образом
луча — сонапра в ленный ему луч
(рис. 221, б).
у Доказательство. Так
как параллельный перенос есть пере¬
мещение, то образом прямой р яв¬
ляется' некоторая прямая рх. Дока¬
жем, что рх || р.
Выберем на прямой р две про¬
извольные точки А и В (рнс. 222).
X
Рис. 219
Рис. 220
а)
Рис. 222
.133

Обозначим их образы при параллельном переносе через А1 и
Вг. Тогда Вх и Ах являются образами точек А и В соответст¬
венно при симметрии относительно середины О отрезка АВг
(см. предыдущее доказательство). Следовательно, Zc (р) = Рх-
При центральной симметрии любая пряшая отображается
на Параллельную ей прямую (п. 31), а луч — на противополож¬
но направленный луч. Поэтому прямые ру и р параллельны, а
лучи АВ и ВхАх противоположно направлены. Но так как
IАВ)	[Bi-Ai), получаем: [АВ) ff IАхВг). ▼
Если требуется построить образ фигуры при параллельном
переносе, отображающем данную точку А на другую данную
точку Ах, то можно избежать откладывания отрезков заданной
длины. Второе свойство параллельного переноса позволяет
свести построение к проведению параллельных прямых (это
особенно удобно при пользовании рейсшиной или угольником,
скользящим вдоль линейки). На рисунке 223 показано, как
строится образ точки X, не лежащей на прямой ААг, на рисун¬
ке 224 построен образ точки X, принадлежащей прямой ААХ
(сначала строится образ точки В, не принадлежащей прямой
ААх).
3.	С помощью свойств параллельного переноса докажем
следующую теорему.
45 ЦТ е о р е м а (о параллельных отрезках). Отрезки двух па-
в раллельных прямых, заключенные между двумя другими
I параллельными прямыми, конгруэнтны.
Дано: (АВ) || (CD), (AC) || (BD) (рис. 225).
Доказать: [АВ\ а* [СХ>1.
Доказательство. Рассмотрим параллельный пере¬
нос Т, отображающий точку А на точку С. При этом переносе
прямая АВ отображается на параллельную ей прямую, про ходя¬
щую через точку С, т. е. на прямую CD. Прямая BD отображает¬
ся на себя.
134

-1
п .
0 .
Образом точки В (точки пересечения д	д
прямых АВ и BD) при цараллельном пе¬
реносе является точка D (точка пере¬
сечения прямых CD и BD). Итак,
Т (А) — С, Т (В) = D. Значит, при пере
носе Т отрезок АВ отображается на от-
резок CD. Следовательно, эти отрезки
конгруэнтны. ■
Следствие. Точки одной из двух
параллельных прямых находятся на одном	А	£j_
и том же расстоянии от другой из них
(рис. 226).
Это расстояние называется расстояни¬
ем между данными параллельными пря¬
мыми.
4.	Сформулируем еще одну теорему.	Рис.	227
46 | Т е о р ем а. Любое перемещение, которое каждый луч отоб¬
ражает на сонап рае ленный ему луч, является параллель¬
ным переносом.
у Доказательство. Пусть перемещение F отобража¬
ет любой луч на сонаправленный ему луч. Возьмем на плоско¬
сти произвольную точку А и обозначим через Ах ее образ при
перемещении F: Ах F (А).
Выберем произвольную точку X, отличную от А (рис. 227).
По условию теоремы перемещение F отображает луч АХ на со¬
направленный ему луч с началом в точке А1; образ точки X —■
такая точка Х1 этого луча, что | АХ\ = | АхХх\ (F — перемеще¬
ние). Итак, если Хх — F (X), то [АХ) || | АхХх) и \АХ\ =»
= [А.Х^.
Поэтому при переносе, отображающем точку А на X, точка
Ах отображается на точку Xv
Следовательно,
|АЛ, | = lX-Хц!	(теорема 44j),
IААХ) ft [XXJ	(теорема 44,).
По определению переноса это означает, что перемещение F —■
параллельный перенос.
В начале проведенного рассуждения мы предположили, что
Ах Ф А. Доказательство теоремы в случае Ах = А проведите са¬
мостоятельно, у
.135

Вопросы и задачи
460 . Можно ли задать параллельный перенос указанием: 1) его
направления; 2) расстояния от точки до ее образа при этом
переносе?
461. Даны точки А, В и С. Постройте образ точки С при парал¬
лельном переносе, отображающем: 1) точку А на В; 2) точ¬
ку Дна А. Рассмотрите два случая: а) А £ (ВС); б) А $ (ВС).
462. Дайте обоснование построений, приведенных на рисунках
223 и 224.
463. Задайте параллельный перенос и постройте образы при этом
переносе: 1) отрезка; 2) луча; 3) прямой; 4) окружности;
5)	треугольника; 6) угла.
464 . Отрезки АВ и CD конгруэнтны. В каком случае существует
параллельный перенос, отображающий один из этих отрез¬
ков на другой?
465. Существует ли параллельный перенос, при котором: 1) одна
сторона треугольника отображается на его другую сторону;
2) одна из сторон квадрата отображается на его другую
сторону?
466. Приведите примеры фигур, которые можно отобразить на
себя с помощью параллельного переноса.
467*. Дан треугольник ABC. 1) Постройте сначала АА\В,С] —
образ этого треугольника при переносе Т\ (известно,
что T’i(A) = В), а затем АА2В?С2—образ подученного тре¬
угольника при переносе Т2(Т2(В) — С). 2) Докажите, что
треугольники ABC и А2В^С2 конгруэнтны. 3) Существует ли
параллельный перенос, отображающий треугольник ABC
на треугольник А«В2С21
468.	1) Даны две параллельные прямые а и Ь. Сколько существу¬
ет параллельных переносов, отображающих одну из этих
прямых на другую?
2) Даны два сонаправленных луча. Сколько существует па¬
раллельных переносов, отображающих один из этих лучей
на другой?
469°. При каких перемещениях каждый луч отображается: 1) на
противоположно направленный луч; 2) на сонаправленный
луч; 3) на себя?
470°. 1) При некотором перемещении луч АВ отображается на
сонаправленный ему луч CD. Следует ли из этого, что такое
перемещение есть параллельный перенос?
136

2) При некотором перемещении луч	»А
АВ отображается на противоположи —
но направленный ему луч CD. Следу- ~ — --	 -	—
ет ли из этого, что такое перемеще- -I	I—^	'
ние есть центральная симметрия?
471. Докажите, что сумма расстояний от
точки, лежащей в полосе между дан¬
ными параллельными прямыми, до	•	^
этих прямых есть' величина посто-	рис	^
янная.
472. На стороие ОА острого угло АОВ найдите точку, расстояние
от которой до другой стороны равно т {га = 1,5 см; 2 см).
473. Постройте окружность данного радиуса, которая касается
сторон данного угла.
474*. Найдите множество точек плоскости, удаленных от данной
прямой р на данное расстояние а.
475**. Населенные пункты А и В расположены по разные стороны
от реки с параллельными берегами (рис. 228). Где нужно
построить мост через реку, чтобы соединить пункты А и В
кратчайшей дорогой?
476°. Назовите перемещения, при которых каждая прямая отобра¬
жается на параллельную ей прямую.
477. Верно ли предложение: если перемещение F каждую пря¬
мую плоскости отображает на параллельную ей прямую, то
F — параллельный перенос?
478*. Докажите, что перемещение, отображающее каждый луч
плоскости на противоположно направленный ему луч, явля¬
ется центральной симметрией.
37.	Углы между направлениями
Возьмем два направления. Произволь¬
ная точка О плоскости является началом
одного луча ОА первого и одного лу¬
ча ОВ второго направления (рис. 229).
Отметим какую-нибудь другую точку Ог
и лучи 0LAt и OxBi тех же направлений.
Рассмотрим параллельный перенос, при
котором точка О отображается на точку
0г. Образом луча О А при этом переносе яв¬
ляется сонаправленный ему луч (п. 36) с
137

началом в точке Ох, т. е. луч Oxj1,, а образом луча ОВ — луч
ОхВх. Поэтому выпуклый угол АОВ отображается на выпук¬
лый угол AxOiBi и, следовательно, АОВ = А101В1.
Итак, какую бы точку О плоскости мы ни веяли,, величина
выпуклого угла, образованного лучами О А и О В двух данных
направлений, окажется одной и той же. Эту величину назь вают
углом между направлениями. Считают также, чте каждое направ¬
ление образует с самим собой угол в 0 .
Отметим, что проведенное выше рассуждение приводит к вы¬
воду: два выпуклых угла с соответственно сониправленными сто¬
ронами конгруэнтны.
„■ Обратите внимание, что углом между направлениями назва¬
на оеличина, а не фигура. Два луча О А и О В образуют два угла
АОВ. Углом между лучами О А и О В называют величину выпук¬
лого угла АОВ. Угол между направлениями равен, угпу между
любыми лучами этих направлений, если лучи имеют общее на¬
чало.
Вопросы и задачи
479. На рисунке 230 даны две параллельные прямые пересечен¬
ные третьей прямой. Укажите углы, сторонь которых со-
направлены.
480. Дан угол АОВ. Постройте угол, стороны которого сонаправ-
лены (противоположно направлены) ооронам угла АОВ, а
вершина находится в данной точке М: 1) лежащей на сторо¬
не угла; 2) не лежащей на стороне угла.
4815. Точка В лежит между точками А и С. Найдите угол между
направлениями, которые заданы лучами: 1) [лВ) и [ВС)-
2) [АВ) и [СВ).
Проведите лучи АВ и CD и постройте угол с вершиной в дан¬
ной точке М, величина которого равна углу между направле¬
ниями этих лучей.
483. Докажите, что два выпуклых угла, сто¬
роны которых противоположно на¬
правлены, конгруэнтны.
484. Даны два выпуклых угла, две стороны
которых сонаправлены. а две дру¬
гие — противоположно направлег ы.
Докажите, что сумма величин этих уг¬
лов равна 180".
482.
138

485.	Чему равен угол между направления-	R
ми: 1) на юг и на запад; 2) на юг и на А
север; 3) на восток и на юго-восток?
486.	1)	На	рисунке	231	укажите	все	углы,
величины которых равны «, (АС)| (FE).
2) Найдите угол между направления-
ми, заданными лучами: а) ВС и DE;
6)	ВС и DF- в) ВА и Д/?; г) В/? и DE.
Рис. 231
487*. Докажите конгруэнтность двух острых
(тупых) углов, стороны которых взаим¬
но перпендикулярны.
38.	Сумма углов многоугольника
Пусть \АВ\ и \AF\ стороны выпуклого многоугольника
(рис. 232). Лучи АВ и AF образуют два угла. Тот из них, в ко¬
тором содержится данный многоугольник, называется углом
этого многоугольника. Угол, смежный с углом многоугольника,
например угол BAG, называют его внешним углом*.
Докажем сначала теорему о сумме углов треугольника.
47 (Т е о р е м а. Сумма углов треугольника равна 180°.
Дано: Z. 1, Z. 2, Z. 3 — углы тре¬
угольника ABC.	n	Е
Лучи AF и CF, а также лучи АВ и CN
сонаправлены. Из сонаправленности этих
Доказательство. Проведем
через вершину С прямую MNt параллель¬
ную прямой АВ. Продолжим стороны АС
и ВС (рис. 233).
Доказать:	1+2	+	3	=	180°.
УА
ь
Рис 232
А
лучей следует, что 1 — 4 (п. 37).
Аналогично доказывается, что 3=6.
Так как углы 2 и 5 вертикальные, то
2=5. Значит,
* Для краткости величины углов многоуголь¬
ника (и величины его внешних углов) также на¬
зывают углами (внешними углами) многоуголь¬
ника.
А
Рис. 233
В
139

в
Рис. 234
Рис. 237
Но углы 4, 5 и 6 в сумме состаЕляют
Л.
развернутый угол MCN. Поэтому 1 2 Ч■
+ *3 = 180°. ■
Следствие 1. Если один из углов
треугольника прямой, или тупой, то два
другие — острые.
Следствие 2. Каждый угол рав¬
ностороннего треугольника равен 60°.
Следствие 3. Внешний угол тре¬
угольника равен сумме двух углов тре¬
угольника, не смежных с ним (рис. 234).
Доказательство. По свойст-
ву смежных углов BCD + С — 180 .
По теореме о сумме углов треуголь¬
ника (А + В) + С — 180‘.
В равных суммах вторые слагаемые
(С)	равны. Значит, BCD — А + В. ■
48 f Теор ем а. Сумма углов выпуклого
I п-угольника равна 2d (п —2).
Доказательство. Возьмем
какую-либо точку О внутри данного
л-угольника (рис. 235) и соединим точку О
отрезками с его вершинами. Все эти отрез¬
ки содержатся в данном многоугольнике,
так как он выпуклый. Поэтому такие от¬
резки разобьют многоугольник на п тре¬
угольников с общей вершиной О.
Сумма всех углов полученных тре¬
угольников равна 2dn (имеется п треуголь¬
ников, сумма углов каждого из них рав¬
на 2d). Значит, сумма углов многоуголь¬
ника и углов с вершиной О равна 2dn.
Сумма углов с вершиной О равна М.
Следовательно, чтобы найти сумму углов
выпуклого n-угольника, достаточно из 2 dn
вычесть 4d, т. е. эта сумма равна 2d {п—2). ■
В частности, сумма углов четырех¬
угольника равна 4d.
140

49 ВТ е о рем а. Сумма внешних углов выпуклого много
I угольника, взятых по одному при каждой вершине,
I равна 4d.
Доказательство. Построим при каждой вершине
многоугольника по одному внешнему углу (рис. 236). Сумма
каждого угла многоугольника и смежного с ним равна 2d. Сум¬
ма всех углов многоугольника и всех его внешних углов (по
одному при вершине) равна 2dn. Поэтому сумма внешних углов
выпуклого п-угольника равна 2dn —2d(n — 2), т. е. равна id. И
Замечание. Теорема о сумме углов многоугольника
верна и для невыпуклых многоугольников. Например, сумма
углов невыпуклого пятиугольника (рис. 237) равна сумме всех
углов трех треугольников, т. е. 6tf. Но 6d — 2d (я — 2) при
п = 5.
Вопросы и задачи
488. Вычислите величины углов треугольника, если известно, что
они пропорциональны числам: 1) 1, 2, 3; 2) 3, 7, 8; 3) 1, 1, 3.
489. Докажите, что если два угла одного треугольника соответ¬
ственно конгруэнтны двум углам другого треугольника, то
и третьи их углы конгруэнтны.
490. Через вершины треугольника ABC проведены прямые, па¬
раллельные противоположным сторонам. Найдите углы тре-
угольника, образованного этими прямыми, если А — 25°,
В = 68°.
491. Укажите аксиомы и доказанные теоремы, которые применя¬
лись при доказательстве теоремы о сумме углов треуголь¬
ника?
492. Может ли внешний угол треугольника быть меньше его внут¬
реннего угла?
493. 1) Дайте определения тупоугольного, прямоугольного и
остроугольного треугольников.
2) Установите вид треугольника (по углам), если один из его
углов: а) равен сумме двух других углов; б) больше ее;
в)	меньше ее.
494. Какой вид имеет треугольник, если сумма любых двух углов
его больше 90г?
141

^	495*.	Два	угла треугольника равны 60° и 72'.
Вычислите меньшие из углов, обра¬
зованных двумг прямыми, содержащи-
. ми: 1) высоты треугольника; 2) бис¬
сектрисы треугольника.
496. Внешний угол равнобедренного тре-
Рис. 238	угольника равен 100°.. Вычист ите углы
этого треугольника.
497. Докажите, что треугольник не может иметь два острых
внешних угла.
498. Какой вид имеет треугольник, если один из его внешних
углов: 1) острый; 2) равен внутреннему углу?
499. Дано: (AflV) || (KL) (риг. 238). Доказать: ABC — NAB-\-Bcl.
5{U). Найдите сумму углов:	1) десятиугольника; 2) двенадцати¬
угольника; 3) тридцатиугольника; 4) 96-угольн ика.
501. Сколько сторон имеет многоугольник, если сумма его углов
равна: 1) 1080"; 7) 1620°; 3) 3960"; 4) 1800 ?
502. Сколько сторон имеет многоугольник, если каждый угол
этого многоугольника равен: 1) 144°; 2) 150'; 3) 170°; 4) 17Г7
503. Докажите, что не существует многоугольника, у которого-
1) больше четырех прямых внешних углов; 2) больше трех
тупых внешних углов.
504. Может ли сумма углов многоугольника равняться: 1) 9180°;
\2) 3600°; 3) 2040"; 4) 11с?; 5) 18с??
505*. Придумайте доказательство, отличное от имеющегося в пунк¬
те 38: \) теоремы о сумме углов треугольника; 2) теоремы
о сумме углов выпуклого многоугольника.
Дополнительные задачи к главе III
506. Известно, что образ прямой о при симметрии Z0— прямая Ь.
Докажите, что ZQ(b) — а,
507. Имеет ли центр симметрии фигура, являющаяся объедине¬
нием двух прямых?
508. Постройте фигуру, являющуюся объединением трех прямых
и имеющую центр симметрии.
509. На рисунках 239 и 240 показаны способы построения парал¬
лельных прямых при помощи:	1) угольника и. линейки-
2) рейсшины. Объясните, почему построенные прямые па¬
раллельны.
.142

Рис. 239
510. При столярных и плотничьих работах
для разметки параллельных прямых и
срезов под данным углом употребля¬
ется малка (в середине одной дере¬
вянной планки шарнирно прикреплена
вторая планка, рис. 241). Объясните, на
чем основано применение малки.
511. При столярных работах для разметки
на поверхности бруска прямой, парал¬
лельной краю бруска, применяется
рейсмус. При движении рейсмуса
вдоль края бруска металлическая игла
намечает прямую, параллельную краю
бруска (рис. 242). Объясните, на чем
основано применение рейсмуса.
512. Постройте фигуру, которая является
объединением двух лучей и имеет
центр симметрии.
513. Постройте окружность данного радиу¬
са, касающуюся двух пересекающихся
прямых. Сколько решений имеет за¬
дача?
514. Даны угол АОВ и прямая, пересекаю¬
щая стороны данного угла. Постройте
отрезок данной длины, концы кото¬
рого лежат на сторонах данного уг¬
ла, и который параллелен данной
прямой.
515. Как изменится сумма всех углов мно¬
гоугольника ABCD, если от него «от¬
резать»: 1) треугольник EAF (рис. 243);
2)	четырехугольник АВКЕ (рис. 244)?
516. Найдите число сторон многоугольника,
Рис. 243
Рис. 244
143

519.	Имеет ли объединение двух конгруэнт-
517.	Сколько сторон имеет многоугольник,
если все его внешние углы тупые?
518.	Вычислите сумму всех острых углов
пятиконечной звезды (рис. 245).
сумма углов которого равна сумме
всех его внешних углов.
Рис. 245
ных дуг окружности ось симметрии!
?
520. Какое множество точек образуют середины всех хорд дан¬
ной окружности: 1) параллельных данной прямой; 2) перпен¬
дикулярных данной прямой?
521. Диаметр данной окружности — сторона равностороннего тре¬
угольника. 1) Найдите угловые величины дуг, на которые
стороны треугольника рассекают полуокружность. 2) Дока¬
жите, что расстояние между точками пересечения сторон тре¬
угольника с окружностью равно радиусу этой окружности.
522. Постройте касательную к данной дуге АВ в данной на
ней точке С, не находя центра окружности, содержащей эту
523. Из одной точки проведены к данной окружности две каса-
тельные. Найдите угловые величины дуг, на которые делят
окружность точки касания, если величина угла между каса¬
тельными равна: 1) 100°; 2) 90°; 3) 60°.
524. Полосой называется непустое пересечение двух полуплоско¬
стей с параллельными границами, отличное от полуплоскости.
1) Сколько осей симметрии имеет полоса? 2) Имеет ли по¬
лоса центр симметрии? Какую фигуру образует множество
всех центров симметрии полосы? 3) Существуют ли парал¬
лельные переносы, при которых полоса отображается на
себя?
525. 1) Даны две параллельные прямые и точка, принадлежащая
полосе, образованной этими прямыми. Постройте окружность,
касающуюся данных прямых и проходящую через данную
точку.
2) Постройте окружность, которая касается двух данных па¬
раллельных прямых и окружности, расположенной между
ними.
526. 1) Постройте окружность данного радиуса, касающуюся сто-
угла.
ДУГУ-
2) Построите окружность данного радиуса, проходящую че¬
рез данную точку и касающуюся данной прямой.

3)	Постройте окружность данного радиуса, касающуюся дан¬
ной окружности и данной прямой,
527. Постройте равносторонний треугольник так, чтобы одна из
его вершин находилась в данной точке, другая — на данной
прямой, а третья — на данной окружности.
528. Докажите, что если непустая фигура при некотором (нетож¬
дественном) параллельном переносе отображается на себя,
то эта фигура неограниченна (определение ограниченной фи¬
гуры см. на с. 13).
529. Представив себе лист клетчатой бумаги бесконечным, полу¬
чим фигуру, являющуюся объединением бесконечного мно¬
жества «горизонтальных» и «вертикальных» прямых. При ка¬
ких перемещениях эта фигура отображается на себя?
530. Фигуры L1 и Ьг имеют общий центр симметрии. Докажите,
что пересечение и объединение этих фигур также являются
центрально-симметричными фигурами.
531. 1) Докажите, что если прямые а и Ь являются осями симмет¬
рии фигуры, то прямая, симметричная а относительно прямой
Ь, тоже является осью симметрии этой фигуры.
2)	Докажите, что если точки А и В—центры симметрии фи¬
гуры L, то и точка С, симметричная точке В относительно А,
тоже является центром симметрии этой фигуры.

ГЛАВА
МНОГОУГОЛЬНИКИ
в
Рис. 246
Рис. 247
146
§ 1. Треугольники
39.	Элементы, определяющие
треугольник
1.	Стороны а = \ ВС\, Ь=\СА\,с=\АВ\
и углы а = CAB, р — ABC, у = ВС А*
треугольника (рис. 246) называют ос¬
новными элементами треугольника.
Вы уже решали задачи на построе¬
ние треугольника по трем его основным
элементам (п. 22). Были рассмотрены
три задачи.
Задача 1. Построить треуголь¬
ник по стороне а и двум прилежащим
к ней углам р и у (рис. 247, а).
Задача 2. Построить треуголь¬
ник по двум сторонам а, Ь и углу меж¬
ду ними у (рис. 247, б).
Задача 3. Построить треуголь¬
ник по трем его сторонам а, .Ь, с
(рис. 247, в).
Как известно, в этих случаях три
элемента определяют треугольник с
точностью до конгруэнтности. Напри¬
мер, любые треугольники с данными
элементами с, Р, у конгруэнтны. По-
* Напомним, что для краткости длины сто-
рон и величины углов многоугольника называют
просто его сторонами и углами.

i
^	этому говорят, что каждая из	задач
1	3	имеет не более од ноле решения.
Выясним теперь, при каких	усло¬
виях эти задачи имеют решение.
Первая задача имеет решение, если
сумма данных углов р и у меньше 180°.
у Действительно, проведем луч СК, со-
направленный лучу ВМ (рис. 248). Тогда " Рис 243
,	KCD - р (см. п. 37), КС В -г Р = 180°
I	(углы КС В и KCD смежные), у "I' Р < 180° (по условию).
Значит, КСВ > у и поэтому луч CN отличен от луча СК.
Прямая CN, пересекающая одну из параллельных прямых
СК, пересекает и вторую —ВМ (следствие 1 из аксиомы парал-
^	лельных). Точка пересечения прямых CN и	ВМ	лежит	в полу-
f	плоскости, содержащей лучи ВМ и	СК, так	как	луч CN	лежит
,	внутри угла КСВ. Итак, лучи ВМ и CN пересекаются и, зна-
*	чит, третья вершина искомого треугольника может быть по¬
строена. Следовательно, если р + у < 180е, то задача имеет
•	решение, у
Вторая задача имеет решение, если у < 180°.
I	Третья задача имеет решение при условии [ а — Ъ | <е <
(	< а - Ъ (при выполнении этого условия окружности (А, Ъ) и
(В, а) имеют общие точки, не лежащие на прямой АВ, см. п. 13).
2.	Рассматривая всевозможные тройки основных элементов,
1	можно сформулировать еще три задачи на построение треуголь¬
ника по его основным элементам.
3 а д а ч а 4. Построить треугольник по двум сторонам а
и Ь и углу а, противолежащему одной из них (рис. 249: а).
, Of
а)
Рис. 249
147

Рис. 251
С X .А	С	X А	С	X
а)	5)	в)
Рис. 250
Решение. Построим сначала две -
вершины искомого треугольника. Для
этого на луче АХ построим отрезок АС
(рис. 249, б): \АС\ ~ Ь, а затем от луча
АХ отложим угол XAY, такой, что
XAY - а.
Для построения искомого треугольни¬
ка ABC остается построить его третью
вершину. Эта вершина должна лежать на
луче AY (так как У АХ — а) и на окруж¬
ности (С, а) (так как | СВ |= о). Постро¬
ив эту окружность, найдем ее точки пере¬
сечения с лучом AY. Возможны три
Рис. 252	случая.
1)	Окружность (С, а) пересекает луч
AY в двух точках — и В(см. рис. 249, б). В этом случае
задача имеет два решения (треугольники АВХС и АВ.гС не кон¬
груэнтны).
2) Окружность (С, а) может иметь с лучом AY только одну
общую точку В (рис. 250, о, б). Задача имеет одно решение.
3) Пересечение окружности (С, а) и луча AY может оказать¬
ся пустым множеством (рис. 250, в). В этом случае задача не
имеет решений.
Задача 5. Построить треугольник по стороне а, приле¬
жащему к ней углу р и противолежащему ей углу а (рис. 251).
✓"Ч
Так как В — 180° — а — Р, то решение этой задачи сво¬
дится к первой задаче. Поэтому задача 5 имеет не более одного
решения. Решение существует, если а + Р < 180°.
Задача 6. Построить треугольник по трем его углам
а.
Р и у.
148

Из теоремы о суашс углов треугольника видно, чю задача
разрешима только в случае а-ЬР-Ьу==180. Если это усло¬
вие выполнено, то задача имеет бесконечно много решений: од¬
на из сторон может быть задана произвольно (рис. 252).
Другие тройки основных элементов не приводят к новым
задачам. Например, задача на построение треугольника по эле¬
ментам Ь, а. и р, уже рассмотрена (задача 5): даны сторона,
прилежащий к ней угол и угол, ей противолежащий.
Вопросы и задачи
532°. Какие тройки основных элементов определяют треугольник?
533. Длины двух сторон некоторого треугольника равны а и Ь Ка¬
кую длину может иметь его третья сторона?
534'. Величина одного из углов некоторого треугольника равка а.
Какую величину может иметь один из других углов этого тре¬
угольника?
535. Даны пары основных элементов треугольника 1) а, Ъ. 2) Ъ А;
/-N
3)	А, С; 4) Ъ, с. Укажите еще какой-либо его основной элемент,
чтобы полученная тройка элементов определяла треугольник.
536. Постройте треугольник: 1) по стороне 2 см, прилежащему
к ней углу 40' и противолежащему ей углу 60э; 2) по сторо¬
нам 4 см и 5 см и углу, противолежащему большей из этих
сторон, равному 40°; 3) по сторонам 4,5 см, 5 см и углу, про¬
тиволежащему одной из этих сторон, равному 120°; 4) по
сторонам 4 см и 5 см и углу, противолежащему одной из
этих сторон, равному 9С:.
537. Постройте треугольник: 1) по данной стороне, прилежаще¬
му к ней и противолежащему ей углам; 2) по двум сторо¬
нам и углу, противолежащему одной из них.
538. Постройте треугольник: 1) по высоте, проведенной к осно¬
ванию, и двум боковым сторонам; 2) по стороне а, высоте tia
и медиане та; 3) по стороне Ъ, высоте Л и медиане тпа
539*. Какой вид имеет треугольник, если две его медианы являются
биссектрисами?
540*. Какой вид имеет треугольник, если две его медианы являются
высотами?
541*. Постройте треугольник по двум боковым сторонам и разности
углов при оснозании.
149

40.	Соотношения между сторонами и углами треугольника
501 Т еорема. 1) Против большей стороны треугольника
I лежит больший угол.
I 2) Против большего угла треугольника лежит большая
I сторона.
1)	Д а н о: |ВС| > \АВ\ (рис. 253).
Доказать: А > С.
Докизательс тво. Отложим на стороне ВС отрезок
BD, конгруэнтный отрезку АВ. Так как по условию \ВС\ >
> \АВ\, то точка D — внутренняя точка отрезка ВС. Соединим
точки А и D отрезком. Треугольник ABD равнобедренный.
Поэтому BAD = BDA. По теореме о внешнем угле треугольни-
ка BDA > С. Значит, и
BAD >С.
Но угол BAD составляет часть угла А. Поэтому
А > С. ■
2) Д а н о: “А > С.
Доказать: \ВС\ >|ЛВ|.
Доказательство. Длина отрезка АВ не может быть
больше длины отрезка ВС, так как по предыдущей теореме угол
С был бы больше угла А, что противоречит условию.
Длина отрезка А В не может быть и равной длине отрезка
ВС, так как треугольник ABC был бы равнобедренным и величи¬
ны углов Л и С были бы равны.
Итак, длина отрезка АВ не больше и не равна длине отрез¬
ка ВС. Значит, она меньше длины отрезка ВС. Поэтому
IВСI > |ЛВ|. ■
•
^	Задача.	Доказать,	что	катет
прямоугольного треугольника, лежащий
против угла в 30°, равен половине гипо¬
тенузы.
Доказательство. Построим
треугольник ACD, симметричный тре¬
угольнику ABC относительно оси АС, и
150

рассмотрим треугольник ABD (рис. 254).
Все углы этого треугольника конгруэнт¬
ны, и поэтому он равносторонний.
Значит, \АВ\ - \BD\. Но \ВС\ - \DC\
(по построению). Следовательно,
Отсюда
\АВ\ = \BD | = 2| ВС|
\ВС\-±\АВ\
Вопросы и задачи'
542 . Какая сторона является наибольшей в тупоугольном треуголь¬
нике?
543. Докажите, что против наименьшей из сторон треугольника
всегда лежит острый угол.
544. В треугольнике ABC сторона АВ наибольшая. Какие углы это¬
го треугольника острые? Каким может быть угол С?
545. Каким должен быть угол а при вершине равнобедренного
треугольника, чтобы длина его боковой стороны была:
1) меньше длины основания; 2) больше длины основания?
546. Дано: Z.1 = Z.2, Z.3 ^ Z.4 (рис. 255).
Доказать: 1) А.В = -АО; 2) | ВС] ~ [AZ)].
547. Постройте равнобедренный треугольник: 1) по основанию и
высоте, проведенной к боковой стороне; 2) по основанию и
углу при вершине.
548. Дано: [АВ]^[ВС], [BD]^[BE], [ВО] __ [АС] (рис. 256),
Укажите конгруэнтные треугольники.
549. Дано: A ABC равносторонний, [BD] [СЕ] (рис. 257). Како¬
го вида треугольник DEA1
550. Докажите, что если катет прямоугольного треугольника
А
С
Е
О
D
А
Рис. 256
Рис. 25Т
151

Рис 258
551.
552.
i
равен половине гипотенузы, то один из его
углов раьен 30“.
Найдите расстояния |£D|,	| ^4.Z) |, 'DC\
и |АБ| (рис. 258), если извеоно, что
| АС\ = Ъ, \ВС | = а, ВАС = 30“
Разделите с помощью циркуля и линейки
прямой угол и а три конгруэнтных угла.
553*. Даны шесть множеств: множество А \ со¬
стоит из разносторонних треугольников,
А г— из равнобедренных, Аз — из равно¬
сторонних треугольников, А< — из остро¬
угольных, Aj — из тупоугольных, Аб — из
прямоугольных треугольников. Укажите пары этих множеств
пересечение которых пусто.
§ 2. Четырехугольники
Четырехугольники могут быть выпуклыми (рис. 259) и невыпук¬
лыми (рис. 260). Разобьем множество выпуклых четырехуголь¬
ников на непересекающиеся подмножества по числу пар парал¬
лельных сторон:
1) четырехугольники, имеющие по две пары параллельных
сторон (рис. 261, с);
2) четырехугольники, имеющие только по одной паре парал¬
лельных сторон (рис. 261, б);
*	3)	четырехугольники,	у которых нет параллельных сторон
(рис. 261, в).
Рис. 259
152
Рис. 260
Рис. 261

41.	Параллелограмм
В м
С
На рисуилО 262 изображен параллело¬
грамм ABCD. Отрезки	и	M2N2»
перпендикулярные его противоположным
сторонам, называются высотами парал¬
лелограмма.
Определение. Четырехугольник,
имеющий две пары параллельных сто¬
рон, называется параллелограммом.
А
N, В
Рис. 262
В
с
Доказательство. Пусть точ¬
ка О — середина диагонали параллело-
51 |Теоре м а. Середина диагонали
ром симметрии.
параллелограмма является его цент-
А
D
Рис. 263
грамма ABCD (рис. 263).
При симметрии с центром О прямая АВ отображается на
параллельную ей прямую (п. 31), проходящую через точку С,
т. е. на прямую CD (по определению параллелограмма (АВ) ||
|| (CD)). Прямая СВ при этой симметрии отображается на пря¬
мую AD.
Следовательно, при симметрии Z0 образами прямых АВ и
СВ являются соответственно прямые CD и AD. Точка В — точ¬
ка пересечения прямых АВ и СВ. Поэтому ее образ при симмет¬
рии Zoeсть пересечение образов прямых АВ и СВ, т. е. точка D:
Z0 (В) = D. Значит, точки В и D симметричны относительно
центра О.
Итак, при симметрии с центром О вершины А, В, С, D отоб¬
ражаются соответственно на вершины С, D, А, В:
Значит, и параллелограмм ABCD при симметрии Zo ото¬
бражается на себя, следовательно, середина диагонали парал¬
лелограмма (точка О) есть центр симметрии этого параллело¬
грамма. ■
Следствие 1. Противоположные стороны параллело¬
грамма попарно конгруэнтны.
Следствие 2. Противоположные углы параллелограм¬
ма попарно конгруэнтны.	4
Следствие 3. Сумма углов, прилежащих к одной сторо¬
не параллелограмма, равна 2d.
А
С, В D, С -> A, D
153

/\	/^Ч
Доказательство. А Д +
/''Ч	у^ч	/\	/^Ч /\	Л.
+ С + D Ы (п. 38).	А =	С, В	D
/ч
(следствие 2), Значит, А В — 2d. ■
Следствие 4. Диагонали паралле¬
лограмма делятся точкой их пересече¬
ния нииОЛиМ.
Доказательство. Вершины
А и С (а также В и D) центрально-сим¬
метричны относительно точки О (рис. 264).
Значит, отрезки	АО и	СО,	ВО и	DO
конгруэнтны, т. е.	точка	О делит диаго¬
нали ли и BD пополам. ■
Вопросы и задачи
554. 1) Могут ли все углы параллелограмма быть острыми?
2) Может ли только один из углов параллелограмма быть
прямым?
556. Диагональ параллелограмма образует с двумя его сторонами
углы в 30° и 50\ Вычислите все углы этого параллелограмма.
556. 1) Докажите, что диагональ параллелограмма делит его на два
конгруэнтных треугольника.
2) Докажите, что вершины А у* С параллелограмма ABCD рав¬
ноудалены от прямой BD.
557. 1) Параллелограмм одной из его диагоналей делится на два
*' треугольника, периметр каждого из них 6 см. Вычислите дли¬
ну этой диагонали, если периметр параллелограмма равен 7 см.
2) Параллелограмм, периметр которого равен 50 см, разде¬
лен диагоналями на четыре треугольника. Разность перимет¬
ров двух из этих треугольников равна 5 см. Вычистите сторо¬
ны параллелограмма.
558. Стороны параллелограмма равны 3 см и 5 см. Может ли диа¬
гональ этого параллелограмма равняться: 1) 10 см; 2) 8 см;
3) 4 см?
559. Существует ли параллелограмм, две диагонали и сторона ко¬
торого равны соответственно: 1) 4 см, 10 см, 6 см; 2) 8 см,
10 см, 9 см; 3) 8 см, 10 см, 10 см?
560. 1) Биссектриса одного из углов параллелограмма делит пе¬
ресекаемую ею сторону на отрезки в 4 см и 5 см. Вычислите
периметр этого параллелограмма.
154

Рис. 26?
2)	Длипо! сторон параллелограмма
равны 3 см и 5 см. На какие отрезки
делит большую сторону биссектриса
острою угла этого параллелограмма?
561. Докажите, что биссектрисы двух про- £
тивоположных углов параллелограм¬
ма параллельны.
562. При пересечении биссектрис углов па¬
раллелограмма образовался четырех¬
угольник. Докажите: 1) этот четырех¬
угольник является параллелограм¬
мом; 2) все углы этого четырехуголь¬
ника прямые.
563. Дано (рис. 265): ABCD— параллело¬
грамм, ]АМ[ — |C2V|. Доказать: MBND — параллелограмм.
564. Дано: ABCD — параллели!раммг АМ\ = |C2V| (рис 266).
Доказать: MBND — параллелограмм.
565. Постройте параллелограмм, если даны: 1) две стороны и
угол между ними; 2) диагонали и угол между ними; 3) сторо¬
на, диагональ и угол между диагоналями; 4) две высоты, про¬
веденные из одной вершины, и сторона.
566. Постройте треугольник по двум сторонам и медиане, прове¬
денной к третьей стороне.
567**. Постройте центр симметрии параллелограмма, вершины ко¬
торого недоступны.
Рис 266
42.	Взаимно-обратные теоремы
Часто теоремы можно сформулировать в виде условного предло¬
жения ♦если..., то...». (Так была сформулирована, например
теорема о центрально-симметричных прямых.)
Первая часть теоремы, высказанной в виде условного предло¬
жения (от слова «если» до слова «то»), выражает условие теоремы,
а вторая часть (после слова «то») .— заключение теоремы. В усло¬
вии говорится о том, что дано, а в заключении — о том, что
требуется доказать.
Для теоремы, сформулированной в виде условного предло¬
жения, нетрудно сформулировать обратное предложение', для
этого условие и заключение данной теоремы следует поменять
местами. Полученные при этом предложения называются взаим
но-обратными. Приведем пример.
155

Если
точка равноудалена от концов отрезка,	(А.)
Ти
она лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку. (В)
Эта формулировка дана в виде условного предложения. Бук¬
вой «А» обозначено условие, а буквой «В» — заключение. Сфор¬
мулируем теперь обратное предложение, в котором условие А
будет заключением, а заключение В — условием.
Если
точка лежит на серединном перпендикуляре к отрезку,	(В)
то
она равноудалена от концов этого отрезка.	(А)
Как известно из пункта 24, оба эти предложения верны. Рас
смотрим другие примеры.
Предложение
1. Если углы вертикаль¬
ные, то они конгруэнтны.
2. Если угловые величи¬
ны двух дуг окружности рав¬
ны, то эти дуги конгруэнтны.
3. Если четырехугольник
является параллелограммом,
то его противоположные сто¬
роны попарно конгруэнтны.
4. Если для четырех¬
угольника ABCD выполняется
равенство | АВ |—| CD |, то этот
четырехугольник является
параллелограммом.
5. Если четырехугольник
является параллелограммом,
то две его противоположные
стороны конгруэнтны и па¬
раллельны.
Обратное предло¬
жение
1'. Если углы конгру¬
энтны, то они являются вер
тикальными.
2'. Если две дуги окруж
ности конгруэнтны, то уз¬
ловые величины этих дуг
равны.
3'. Если противополож¬
ные стороны четырехуголь¬
ника попарно конгруэнтны,
то этот четырехугольник —
параллелограмм.
4'. Если четырехуголь¬
ник ABCD является парал¬
лелограммом, то |AjB| =
= \CD\.
5 . Если две противопо¬
ложные стороны четырех¬
угольника конгруэнтны и па¬
раллельны, то этот четырех¬
угольник является паралле¬
лограммом.
156

Если верно некоторое предложение, то это не значит, что
верно и предложение, ему обратное. Например, предложения
1 и 4' верны, а обратные им предложения 1' и 4 не верны. Для
того чтобы убедиться в этом, достаточно привести примеры.
Предложение 1' не верно, потому что существую! конгруэнтные
углы, не являющиеся вертикальными (рис. 267). Предложение 4
не верно, так как существует четырехугольник ABCD, удовлет¬
воряющий условию \АВ\ = | CD \, но не являющийся паралле¬
лограммом (рис. 268).
Предложения, обратные предложениям 3 и 5, верны. (Дока¬
зательства предложений 3 и 5 приведены в г. 41.) Доказатель¬
ства 3' и 5' аналогичны, поэтому приведем доказательство толь¬
ко одного из них.
Докажем предложение 3'.
Проведем диагональ АС и обозначим ее середину через О
(рис. 269). Рассмотрим симметрию с центром О. Имеем:
1) точки А и С при этой симметрии отобразятся друг на
друга;
2) так как по условию \АВ\ — \CD\, | AD = |ВС|, то точ¬
ка В отобразится на точку D, а точка D — на точку В.
Итак, прямые АВ и CD, ВС и DA центрально-симметричны
и поэтому параллельны (теорема 39). Следовательно, четырех¬
угольник ABCD является параллелограммом (по определению
параллелограмма). ■
Если верны некоторая теорема и теорема, ей обратная, то
для краткости обе их часто формулируют в виде одного предло¬
жения, соединяя условие и за ключение словами «тогда и толь¬
ко тогда». Например, предложения 3 и 3' можно сформулиро¬
вать так:
Четырехугольник является параллелограммом тогда и толь¬
ко тогда, когда его противоположные стороны попарно кон¬
груэнтны.
157

Вопросы и задачи
V 568. Сформулируйте в виде условного предложения: 1) теорему
«параллельные прямые центрально-симметричны»; 2) тео¬
рему о симметричности противоположнс направленнь х
лучей.
569. Какие предложения называются взаимно-обратными?
570. Сформулируйте предложения, обратные данным, и устано¬
вите, какие из них истинны, а какие ложны. 1) Если четырех¬
угольник параллелограмм, то сумма его углоь прилежащих
к одной стороне, равна 180е. 2) Если два угла центрально-
симметричны, тс они конгруэнтны. 3) Если _очк£ равноуда¬
лена от концов отрезка, то она лежит на его серединном
перпендикуляре. 4) Если точка лежит на биссектрисе угла,
то она равноудалена от сторон этого угла £) Если две точки
симметричны относительно некоторой прямой, то они равно¬
удалены от этой прямой. 6) Если прямая является осью сим¬
метрии круга, то она проходит через центр это-с коу-а.
7)	Если прямая является осью симметрии отрезке, _о она
проходит через середину этого отрезка.
571. 1) Приведите примеры двух истинных взаимно-обратных
предложений.
2)	Сформулируйте два взаимно-обратных предложения,
одно из которых истинно, а другое—ложно.
572. Приведите примеры теорем, в формулировке которых
встречаются слова «тогда и только тогда».
573. Верны ли предложения: 1) прямые с и Ь параллельны тогда
и только тогда, когда они центрально-симметричны; 2) две
фигуры конгруэнтны тогда и только тогда когда существует
поворот, отображающий одну из них иа другую; 3) различ¬
ные прямые а и Ь перпендикулярны тогда и только тогда,
когда Sa(b) = Ь; 4) диаметр перпендикулярен к хорде, не
проходящей через центр окружности, тогда и только тогда,
когда он проходит через середину хорды?
574. Верно ли предложение: выпуклый четыреху-ольник является
параллелограммом, если: 1) две противоположные стоооны
его конгруэнтны; 2) две противоположные стороны его па¬
раллельны; 3) диагонали точкой их пересечения делятся попо-
‘	лам;	4)	углы,	прилежащие	к одной из его сторон, в сумме со¬
ставляют развернутый; 5) две его противоположные стороны
158

центрально-симметричны; 6) диагона¬
ли его конгруэнтны?
575. Постройте параллелограмм по двум
сторонам и диагонали.
576. Какими элементами может быть задан
параллелограмм?
577*. Дано:	ABCD	—	параллелограмм,
[АЕ] = [AF\ ss {СК] = [CN] (рис.
270).
Доказать: Е, F, N, К—вершины па¬
раллелограмма.
578*. Дано:	ABCD	—	параллелограмм,
[AM]A.[BD], [CN] [BD] (рис. 271).
Доказать: 1) [AM] ^ [CN]; 2) [BN] ^
= [DM]; 3)AMCN — параллелограмм.
579. Докажите, что сумма расстояний от
любой внутренней точки параллело¬
грамма до прямых, на которых лежат
его стороны, постоянна для данного параллелограмма. Чему
она равна?
580*. Постройте параллелограмм: 1) по острому углу и двум вы¬
сотам; 2) по высоте и двум диагоналям.
43Т. Необходимые и достаточные условия
Остановимся еще раз на некоторых примерах предложений, рас¬
смотренных в предыдущем пункте.-
Пример 1.
Предложение А:	Четырехугольник ABCD яеляется
параллелограммом.
Предложение В: | АВ | = | CD |.
В пункте 41 было выяснено, что из А следует В.
О п р е-д е л е н и е. Если из предложения Р следует предложе¬
ние Q, то говорят, что Р есть достаточное условие Q, a Q есть
необходимое условие Р.
Предложение А является достаточным условием предложе¬
ния В. Является ли А в этом примере необходимым условием В,
т. е. следует ли А из В? Ответ отрицателен: предложение А не
следует из предложения В (см. рис. 268). Значит, в примере 1
предложение А достаточно, но не необходимо для В.
А
Рис. 270
159

Предложение В является необходимым условием А, но не
ЯВляеТСЯ достаточным (из В не Следует А).
Обратите внимание на то, что предложения: А достаточно
для В и А необходимо для В являются взаимно-обратными.
Пример 2.
Предложение А: четырехугольник является парал¬
лелограммом.	,
Предложение В: противоположные стороны четы¬
рехугольника попйрно конгруэнтны.
Из предложения А следует предложение В (п. 41). Значит,
А есть достаточное условие В.
Из предложения В следует предложение А (п. 42). Значит,
А есть необходимое условие В.
Следовательно, в этом примере предложение А является
необходимым и достаточным условием В. Поэтому предложения
А и В можно объединить и сформулировать так:
521 Т еоре ма. Для того чтобы четырехугольник был парслле-
I лограммом, необходимо и достаточно, чтобы противополож-
I ные его стороны были попарно конгруэнтны.
Приведем еще один пример.
531 Т ео р ем а. Для того чтобы четырехугольник был паралпе-
I лограммом, необходимо и достаточно, чтобы две его проти-
I воположные стороны были конгруэнтны и паралле/, ьны.
Вопросы и задачи
581. Верны ли следующие предложения: 1) чтобы углы были
смежными, достаточно, чтобы две их стороны были проти¬
воположными лучами; 2) чтобы треугольник был прямо¬
угольным, достаточно, чтобы сумма двух его углов была
равна 90“; 3) чтобы четырехугольник был параллелограм¬
мом, достаточно, чтобы его диагонали делились в точке их
пересечения пополам; 4) ч^обы два углг были конгруэнтны,
достаточно, чтобы они были вертикальными?
582. 1) Сформулируйте условие, достаточное для то-о, чтобы
точка была равноудалена ст сторон угла.
2)	Проверьте, является ли найденное вами условие необхо¬
димым.
583. Сформулируйте некоторые известные вам теоремы с по¬
мощью понятий необходимости и достаточности.
160

584.	Верны ли следующие предложения: 1) чтобы углы были
смежными, необходимо, чтобы две их стороны были проти¬
воположными лучами; 2) чтобы треугольник был прямо¬
угольным, необходимо, чтобы он имел два острых угла;
3) чтобы четырехугольник был параллелограммом, необхо¬
димо, чтобы его диагонали были конгруэнтны; 4) чтобы два
утла были комгруэпгны, необходимо, чтобы они были верти¬
кальными?
5В5. Укажите условия, необходимые для того, чтобы: 1) четы¬
рехугольник был параллелограммом; 2) два луча были со¬
направлены; 3) два треугольника были конгруэнтны; 4) тре¬
угольник был равносторонним.
586. Сформулируйте необходимое и достаточное условие для
того, чтобы: 1) некоторая точка X плоскости была равно¬
удалена от двух данных точек А и В; 2) прямые и и b были
параллельны.
587. Какие из перечисленных ниже предложений верны: 1) что¬
бы треугольник был равносторонним, необходимо и доста¬
точно, чтобы два угла его были конгруэтны; 2) чтобы четы¬
рехугольник был параллелограммом, необходимо и доста¬
точно, чтобы его противоположные углы были попарно
конгруэнтны; 3) чтобы точка была равноудалена от двух
данных точек А и В, необходимо и достаточно, чтобы она
делила отрезок АВ пополам; 4) чтобы два конгруэнтных
отрезка были центрально-симметричны, необходимо и дос¬
таточно, чтобы они были параллельны?
588. Укажите несколько необходимых и достаточных условий
для того, чтобы четырехугольник был параллелограммом.
589. Какие слова — «достаточно», «необходимо», «необходимо и
достаточно»—можно поставить вместо многоточия в следу¬
ющих предложениях, чтобы получить верные предложения:
1)	чтобы произведение двух чисел равнялось нулю..., чтобы
каждое из них равнялось нулю; 2) чтобы сумме двух целых
чисел была четным числом..., чтобы каждое из слагаемых
было четным; 3) чтобы четырехугольник был параллело¬
граммом..., чтобы две стороны его были параллельны;
4) чтобы два четырехугольника были кон-руэнтны..., чтобы
соответствующие стороны их были равны?
590**. Рассмотрите шесть условий:
1) [АВ] || [CD];	3)	\АВ\	=	|CD|;	5)	А	—'С;
2) [ВС] || [AD]-	4)	\ВС\	=	| AD\;	6)
6 Геометрия. 6—8	161

Покажите, что: а) каждое из этих условий необходимо для
того, чтобы четырехугольник ABCD был параллелограммом;
б) ни одно из этих условий не является достаточным для
того, чтобы четырехугольник ABCD был параллелограммом;
в) объединяя их попарно, получим девя1ь необходимых и
достаточных условий для того, чтобы четырехугольник ABCD
был параллелограммом.
44.	Прямоугольник
В младших классах прямоугольник определяли как четырех¬
угольник, все углы которого прямые. Следовательно, понятие
«прямоугольник* было определено с помощью понятий «четы¬
рехугольник* и «прямой угол*.
Одному и тому же понятию можно дать различные определе¬
ния. Например, прямоугольник можно определить как частный
вид параллелограмма с помощью понятий «параллелограмм» и
«прямой угол*.
Определение. Параллелограмм, у которого все углы
прямые, называется прямоугольником.
Оказывается, в определении прямоугольника через понятие
«параллелограмм» не обязательно указывать, что все четыре
угла параллелограмма должны быть прямыми. Можно дать
более «экономное* определение.
Действительно, если один из углов параллелограмма ABCD.
например угол А, прямой (рис. 272), то и три остальные угля
к	_	^
прямые: угол В прямой, так как А + В = 180°, угол С прямой,
так как В + С	180" (п. 41). Но тогда и угол D прямой. По¬
этому определение прямоугольника можно сформулировать к
так: параллелограмм, имеющий прямой угол, называется прямо¬
угольником.
Так как прямоугольник является частным видом паралле
лограмма, то он обладает всеми свойствами параллелограмма
(п. 41). Кроме того, прямоугольник обладает и другими свойствами.
В	С 54 I Теорема. Серединный перпенди-
якуляр к стороне прямоугольника яв-
I ляется его осью симметрии.
Дано:	ABCD	— прямоугольник,
ЛС		О	I	AM) ^ IMD],	(MN) J (AD)
' Рис. 2/2	(рис.	273).
162

Fml. 273
Доказать:	(MN) — ось симмет¬
рии прямоугольника ABCD.
Доказательство. Рассмотрим
симметрию с осью MN. Точки А и D
симметричны относительно оси MN (сере¬
динный перпендикуляр MN отрезка AD
является его осью симметрии, п. 24). По¬
этому прямая AD отображается при этой
осевой симметрии на себя.
Но прямая MN является также сере
динным перпендикуляром отрезка ВС. В
самом деле:
(ВС) р (AD) (по условию),
|БЛП = \АМ\
и |JVC| = \MD\ (теорема 45).
Следовательно, точки В и С симметричны
оси MN.
Итак, при симметрии с осью MN
A —v D, В —к- С, С —v В, D —> А.
Поэтому и прямоугольник ABCD отображаемся на себя. Итак,
прямая MN есть ось симметрии прямоугольника ABCD. Ш
Следствие 1. Прямоугольник имеет две оси симметрг и.
Следствие 2. Диагонали прямоугольника конгруэнтны.
Доказательство. Точки D и В симметричны точ¬
кам А и С относительно оси MN (рис. 274). Значит, отрезки АС
и DB симметричны относительно оси MN. Поэтому [АС]
IDB1. ■
относительно
Вопросы и задачи	*
591. 1) Докажите, что четырехуольник у которого три у_ла пря¬
мые, есть прямоугольник.
2)	Покажите, что четырехугольник, имеющий два г рямых
угла, не обязательно является прямоугольником.
592. 1) Можно ли построить четырехугольник, не являющийся
прямоугольником, диагонали которогс были бы конгруэнтны
между собой?
2)	Докажите, что параллелограмм, диагонали ко-орого кон¬
груэнтны, является прямоугольником.
6*	1йЗ

593. Укажите перемещения, при которых прямоугольник отобра¬
жается на себя.
594. Даны два конгруэнтных прямоугольнике. Сколько сущест¬
вует различных перемещений, при которых один из них
отображается на другой?
595. Укйжите свойства, которыми обладает прямоугольник, но
не обладает параллелограмм, не являющийся прямоуголь¬
ником.
596. Биссектриса одного из углов прямоугольника делит пересе¬
каемую ею сторону на отрезки, равной длины. Найдите пе¬
риметр этого прямоугольника, если длина меньшей стороны
прямоугольника 15 см.
597. Периметр прямоугольника равен 12 см. Найдите сумму рас¬
стояний от произвольной внутренней точки прямоугольнике
до его сторон.
598. Постройте прямоугольник: 1J по двум сторонам, имеющим
общую вершину; 2) по стороне и диагонали; 3) по диагона¬
ли и углу между диагоналями; 4) по диагонали и сумме
прилежащих сторон.
599. 1) Докажите, что медиана прямоугольного треугольника,
проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы.
2)	Сформулируйте и докажите обратную теорему.
600. Какой фигурой является множестве
вершин прямых углов всех прямо¬
угольных треугольников с данной ги¬
потенузой АВ1
601. Как найти на прямой I такую точку С,
чтобы угол АСВ был прямым {А
и В — денные точки)?
602*. Постройте прямоугольник, все верши¬
ны которого лежат не данной окруж¬
ности, причем две из них — в данных
точках.
603. Объясните, на чем основано устрой¬
ство центроискетеля, изображенного
на рисунке 275.
604*. Пользуясь только чертежным уголь¬
ником: 1) постройте оси симметрии
двух данных точек; 2) разделите дан¬
ный отрезок пополам; 3) удвойте дан¬
ный отрезок.
.А
164

605*. Из вершин А и В треугольника ABC проведены высоты. До¬
кажите, что вершины А, В и основания построенных высот
принадлежат одной окружности. Где находится центр этой
окружности? Чему равен ее радиус?
606**. Точка А лежит вне данного круга (рис. 276), [ВС]—Диа¬
метр. С помощью одной линейки постройте перпендикуляр
к прямой ВС, проходящий через А.
45.	Ромб
Определение. Параллелограмм, все стороны которого кон¬
груэнтны, называется ромбом.
Кроме общих свойств параллелограмма (см. п. 41), ромб об¬
ладает и другими свойствами.
55 |Теор е м а. Прямая, содержащая диагональ ромба, явля-
I ется его осью симметрии.
Доказательство. Докажем, что прямая BD являет¬
ся осью симметрии ромба ABCD (рис. 277). Точки В и D лежат
на оси симметрии отрезка АС, так как они равноудалены от
точек А и С. Значит, прямая BD — ось симметрии отрезка АС.
Итак, при симметрии относительно оси BD
А -н С, В -н В, С -и A, D -н D.
Следовательно, при симметрии Sbd
ромб ABCD отображается на себя. ■
Следствие 1. Диагонали ромба
делят, его углы пополам.
Следствие 2. Диагонали ром¬
ба взаимно перпендикулярны.
Доказательство. Ось сим¬
метрии перпендикулярна прямой, со¬
единяющей точки, симметричные отно¬
сительно этой оси. Значит, (АС) _]_
± (BD). Я
Вопросы и задачи
607. Докажите: 1) четырехугольник, у которого все стороны кон¬
груэнтны, является ромбом; 2) параллелограмм, у которого
две смежные стороны конгруэнтны, есть ромб.
608. Докажите, что четырехугольник ABCD, для которого пря¬
мые АС и BD являются осями симметрии,— ромб.
165

609. Докажите, что параллелограмм является ромбом тогда и
только тогда, когда его диагонали взаимно перпендику¬
лярны.
610. Верны ли предложения: 1) четырехугольник является ром¬
бом тогда и только тогда, когда его диагональ делит два
противоположных угла пополам; 2) параллелограмм яеля-
етс» ромбом тогда и только тогда, когда он имеет ось сим¬
метрии, проходящую через его две про-лвоголожные
вершины; 3) че| ырехугольник является ромбом тогда и
только тогда, когда его диагонали взаимно перпендику¬
лярны?
611.	1) Какие свойства ромба следуют из существования у него
а)	осей симметрии; б) центра симметрии?
2)	Укажите перемещения, при которых ромб отображается
на себя.
612°. 1) Какие oi (ределения можно дать ромбу?
2)	Сколькими элементами определяется ромб? Укажите та¬
кие элементы.
613.	1) Вычислите периметр ромба, один из углов которого ра¬
вен 60°, а длина меньшей диагонали 8 см.
2) Может ли длина стороны ромба равняться половине дли¬
ны его диагонали?
3) Может ли диагональ ромба быть: а) перпендикулярга
его стороне; б) конгруэнтна его стороне?
614. Существует ли точка, равноудаленная: 1) от всех вершин
ромба; 2) от всех сторон ромба?
615. Докажите, что если все стороны параллелограмма конгру¬
энтны, то конгруэнтны и его высоты, проведенные из одной
вершины. Сформулируйте обратное предложение. Верно ли
оно?
616. Постройте ромб: 1) по стороне и диагонали; 2) по диа-она-
ля\д; 3) по стороне и углу; 4) по диагонали и углу: 5) по диа¬
гонали и высоте.
617. Сторона ромба ABCD равна ? см, D— 120е (рис. 278).
В	с	1)	Найдите	расстояния AM , \MD\,
\BD\.
2)	Докажите, что треугольник MBN
равносторонний.
618. 1) Как проверить, является ли выре¬
занный иэ картона четырехугольник
ромбом?
166

2) Швея выкроила из материи четы-
рехугольник, который должен быть
ромбом. Как проверить праьильнооо
изготовления выкройки (не пользуясь
никакими инструментами)?
619*. С помощью одной двусторонней ли¬
нейки (т. е. линейки с двумя парал¬
лельными краями) постройте: 1) ось
симметрии двух данных точек Л и В
(ширина линейки меньше АВ |)„ 2) биссектрису угла; 3} пря¬
мую, перпендикулярную данной прямой.
620*. Точки М1, Мг, Мз, М4 — середины сторон ромба ABCD
(рис. 279).
1) Докажите, что четырехугольник М1М2М3М. — прямо¬
угольник.
2) Докажите, что точки В и D лежат на одной прямой с сере¬
динами отрезков М М; и
46.	Квадрат
Определение. Квадратом называ¬
ется прямоугольник, у которого все сто¬
роны конгруэнтны.
Из определений квадрата и ромба
следует, что квадрат (рис. 280] являет¬
ся ромбом, у которого углы прямые. Так
как квадрат является и параллелограм¬
мом, и прямоугольником, и ромбом, то
он обладает всеми их свойствами. В част¬
ности, серединные перпендикуляры сто¬
рон квадрата и прямые, содержащие диа¬
гонали квадрата, являются его осями
симметрии (рис. 281). Следовательно, име¬
ются четыре осевые симметрии, отобра¬
жающие квадрат на себя.
Существуют и другие перемещения,
отображающие квадрат на себя. Это по¬
вороты вокруг центра квадрата на углы
0°, 180° и УС (в направлениях по часовой
стрелке и против часовой стрелки).	Рис.	281
167
J
L
L... . Г
Рис. 280

Вопросы и задачи
621.
622.
623.
624'.
625.
626*.
627.
Дайте определение квадрата с помощью понятия: 1) «парал¬
лелограмм»; 2) «ромб»; 3) «четырехугольник».
Докажите: 1) ромб, у которого один из углов прямой, явля¬
ется квадратом; 2) прямоугольник, у которого две смежные
стороны конгруэнтны, является квадратом; 3) четырехуюль-
ник, у которого все стороны конгруэнтны и один из углов пря¬
мой, является квадратом.
Какими особыми свойствами обладает квадрат по сравнению:
1)	с прямоугольником, не являющимся квадратом; 2) с ром¬
бом, не являющимся квадратом?
Длина проекции одной из сторон квадрата на его диагональ
равна Ь. Найдите длину диагонали.
Постройте квадрат: 1) по его стороне; 2) по его диагонали.
Два конгруэнтных квадрата имеют общую сторону. Укажите
все такие перемещения, которые отображают один из этих
квадратов на другой.
Верны ли предложения: 1) если диагонали четырехугольника
взаимно перпендикулярны и конгруэнтны, то такой четы¬
рехугольник — квадрат; 2) если диагонали четырехугольника
взаимно перпендикулярны и точкой их
пересечения делятся пополам, то та¬
кой четырехугольник — квадрат?
628. Как проверить (не производя измере-.
ний), является ли вырезанный из бу¬
маги или ткани четырехугольник квад¬
ратом?
629*. 1) Дано:	ABCD — квадрат, |-АЕ| =
|jBF| = |САГ| = \DL\ (рис. 282). До¬
казать: EFKL — квадрат.
2) Дано:	ABCD — квадрат, |АЕ| =
= |CF| (рис. 283). Доказать: BEDF —
ромб.
630*. Постройте квадрат: 1) по двум дан¬
ным вершинам; 2) по серединам двух
. противоположных сторон; 3) по сере¬
динам двух прилежащих сторон; 4) по
центру и двум точкам на одной из
сторон.
.168

47.	Теорема Фалеса
56 Т е о р е м а (Фалеса). Если на одной стороне угла от¬
ложить последовательно несколько конгруэнтных отрезков
и через их концы провести параллельные прямые, пересе¬
кающие вторую сторону угла, то они отсекут на второй сто¬
роне угла отрезки, конгруэнтные между собой.
Доказательство. Рассмотрим на стороне ОХ угла
XOY два отрезка АВ и ВС (рис. 284). Пусть \АВ\ s IBC’I и
{AAi) || (ВВ,) || (CC-i). Через точки А н В проведем прямые, па
раллельные прямой OY. Точки их пересечения с прямыми ВВ,
и СС1 обозначим через М и N.
Заметим, что [АВ\ ^ [ВС] (по условию). Углы ВАМ и CBN,
ABM и BCNтоже конгруэнтны (пункт 37). Следовательно, конгру¬
энтны треугольники ВАМ и BCN, и [АМ\ = (ВЛ~|.
Четырехугольники АМВ^АХ и ByBNC^ — параллелограммы
(по построению). Поэтому [АМ\ s: l^Bjl и IBiVj 1B/V
(п. 41). Учитывая конгруэнтность отрезков AM и BN, получа¬
ем: [AiBxl ^ FBiCj. Точно так же доказывается, что [AiBi!
^ ICi-Dj и т. д. ■
Задача. Разделить данный отрезок О А на пять конгру¬
энтных отрезков.
Решение. Проведем через точку О луч ОМ (рис 285)
и отложим на нем последовательно пять конгруэнтных отрез¬
ков:
[OBj] ^ IВ^В2! = ... ^ [В4В5|.
Проведем прямую АВГ> и через точки В, В.,, В3, В4 прямые, па¬
раллельные этой прямой. По теореме Фалеса эти прямые разде¬
лят отрезок ОА на пять конгруэнтных отрезков.
Рис. 284
Рис. 285
1ь9

Определение. Средней линией
треугольника называется отрезок, соеди¬
няющий ^редины двух сторон треуголь
ника.
57 ■ Теорема. Средняя линия тре
I угольника параллельна третьей его
I стороне, а длина ее равна половине
I длины этой стороны.
Дано:	АДС — треугольник, \AD\ \DB , \ВЕ\ \ ЕС
(рис. 286).
Доказать: 1) [DE\ || [АСУ, 2) \DE\ =	|АС,.
Доказательство. 1) Через 'гичку D проведем пря¬
мую, параллельную стороне АС. Эта прямая (по теореме Фале¬
са) разделит отрезок ВС пополам, т. е. пройдет через точку Е.
Значит, |DE\ — средняя линия треугольника ABC. Пс построе¬
нию ЦП?] || IAC1.
2) Проведем (EF) || (АВ). По теореме Фалеса прямая EF
разделит отрезок АС пополам: |AF| — |FC| — i | АС\.
Но [Г>£] ^ [AF\ (ADEF — параллелограмм).
Следовательно, \DE\ =	|АС|. ■
Вопросы и задачи
631. Разделите данный отрезок: 1) на три конгруэнтных отрезка,
2) на четыре конгруэнтных отрезка (двумя способами).
632. Данный отрезок разделите на два отрезка так, чтобы длины
этих отрезков были пропорциональны числам- 1) 1, 2; 2) 2, 3.
633. Проекции двух сторон остроугольного треугольника ABC
на прямую АС имеют длины 6 см и 4 см. Какую длину имеют
проекции медиан этого треугольника на ту же прямую?
634. Одна из сторон треугольника разделена на шесть конгруэнт¬
ных отрезков. Как разделить (возможно более простым спо¬
собом) две другие стороны этого треугольника: 1) на два
конгруэнтных отрезка; 2) на три конгруэнтных отрезка?
635. Докажите, что если на каждой стороне у^ла последователь¬
но отложить отрезки равной длины и через соответствующие
концы отрезков, считая от вершины, провести прямые, то
эти прямые параллельны.
В
170

636.	1)° Периметр треугольника равен р.	В
Найдите периметр треугольника, вер¬
шинами которого явгяются середины
сторон данного треугольника.
2)	Длины диагоналей данного четы¬
рехугольника т и п. Найдите пери¬
метр четырехугольника, вершины ко¬
торого лежат в серединах сторон
данного четырехугольника. Вычисли¬
те этот периметр, если т ■— 3 дм и г. = 8 см..
637*. Каждая из сторон треугольника ABC разделена на три кон¬
груэнтных отрезка и точки деления соединены отрезками
(рис. 287). Найдите периметр образовавшейся на этом
рисунке звездочки, если периметр треугольника ABC ра¬
вен р. "
638**. Докажите, что три медианы • реугольника проходят через
одну точку.
639. Постройте треугольник, если заданы середины ere ctodoh.
640. Внутри угла ABC дана точка D. Проведите через точку D
прямую так, чтобы отрезок ее, отсекаемый сторонами угла
t) делился в точке D пополам; 2) делился в точке D в отно¬
шении 1 : 2.
641. Докажите, что каждый треугольник можно разрезат( на две
части, из которых можно составить параллелограмм.
642*. Докажите, что вершины треугольника находятся на равном
расстоянии от прямой, на которой лежи средняя линия это¬
го треугольника,
643*. Три населенных пункта А, В и С расположены на равнине
и не находятся на одной прямой. Покажите на рисунке,
как проложить дорогу, чтобь она прошла на равном рас¬
стоянии от этих пунктов. Сколько таких дорог можно про¬
ложить?
644*. Как можно воспользоваться свойствами средней линии тре¬
угольника для измерения на местности расстояния между
двумя пунктами, разделенными препятствием?
48.	Трапецся
Определение. Четырехугольник, две стороны которого па¬
раллельны, а две другие не параллельны, называется тра¬
пецией.

в м
N
а)
в
}	G
Е	х	Н
6)
Параллельные стороны трапеции на¬
зываются ее ucnOtsuHUMMU, а непараллель¬
ные — боковыми сторонами (рис. 288, а).
Боковые стороны трапеции могут ока¬
заться конгруэнтными, тогда трапеция
называется равнобедренной (рис. 288, б).
Трапецию, один из углов которой пря¬
мой, называют прямоугольной (рис. 288, в).
Любой отрезок MN (рис. 288, а), пер¬
пендикулярный основаниям трапеции, на¬
зывается ее высотой. Отрезок, соединяю¬
щий середины боковых сторон трапеции,
называется средней линией трапеции.
58 I Т е о р е м а. Средняя линия трапе¬
ции параллельна основаниям, а длина
ее равна полусумме длин оснований.
Дано:	ABCD	— трапеция, \AD \ [|
|! IBCI,	IАН\ = \НВи \СЕ\ \ED\
(рис. 289).
Доказать: 1) \НЕ\ 1AD];
2) \НЕ\ =	■	.
Доказательство. 1) Прове¬
дем через середину Н стороны АВ пря¬
мую НК, параллельную основаниям AD
и ВС. Она (по теореме Фалеса) пройдет через середину отрезка CD,
т. е. через точку Е. Следовательно, средняя линия НЕ трапеции
параллельна ее основаниям. Первая часть теоремы доказана.
2) Проведем диагональ BD и обозначим точку ее пересечения
со средней линией через М. Тогда точка М — середина отрезка
BD (по теореме Фалеса). Отрезки МН и ME — средние линии
треугольников ABD и BCD. Следовательно,
Рис. 289
МЕ\^-\ВС\, \ МН\
^AD\.
| НЕ | — 1 ME | + | МН |“ = 1
ВС\
AD
(j ВС | - AD |).
Вопросы и задачи
645.	Докажите, что в трапеции: 1) не может быть трех прямых
углов; 2) сумма трех углов не может равняться 180'.
172

646. Докажите, что в равнобедренной трапеции:	1)	диагонали
конгруэнтны; 2) углы при основании конгруэнтны.
647. Докажите, что перпендикуляр, проведенный к основанию
равнобедренной трапеции через его середину, является осью
симметрии этой трапеции.
648. Сколько элементов определяют трапецию?
649. Постройте трапецию ABCD ([AD] || [BCJ) по следующим
элементам:
1) |AD\ =	12	см,	\АВ\ = 6	см,	\CD\ = 8 см и А = 35°;
2) \AD\ =	10	см,	\ АВ\ 5	см,	\CD\ - бсми |БД|=8см;
3) \AD\ =	12	см,	А = 40°,	D = 35° и |БС| = 2,Ь см;
A)\AD\=a,	\ВС\=Ь,	|ЛС|=с »\AB\=d.
650*. Докажите: 1) сумма боковых сторон трапеции больше разно¬
сти оснований; 2) суМма диагоналей трапеции больше суммы
оснований; 3) разность оснований больше разности боковых
сторон; 4) диагонали трапеции точкой их пересечения не де¬
лятся пополам.
651. Постройте равнобедренную трапецию ABCD ([AZ)] II [ВС])
по следующим элементам: 1) \AD\, \АВ\, А) 2) |AZ)|, |ВС|,
\AB\-, 3) \AD\, \АВ\, \AC\- 4) \AD\, |ВС| и высоте h.
652. Докажите: 1) если углы при основании трапеции конгруэнт¬
ны, то трапеция равнобедренная; 2) если диагонали конгру¬
энтны, то трапеция равнобедренная.
653. Дан четырехугольник. Середины его сторон последовательно
соединены отрезками. Определите вид полученного четырех¬
угольника, если данный четырехугольник: 1) не трапеция и
не параллелограмм; 2) трапеция; 3) паралле'лограмм (от¬
личный от ромба и прямоугольника); 4) прямоугольник
(отличный от квадрата); 5) ромб. (отличный от квадрата);
6) квадрат.
654. Высота, проведенная из вершины тупого угла равнобедренной
трапеции, делит большее основание на части, имеющие длины
5 см и 2 см. Вычислите среднюю линию этой трапеции.
655. 1) Длина средней линии трапеции равна 10 см. Одна из диа¬
гоналей делит ее на два отрезка, разность длин которых рав¬
на 2 см. Вычислите длины оснований этой трапеции.
2) Длины оснований трапеции равны 4 см и 10 см. Найдите
длины отрезков, на которые делит среднюю линию этой тра¬
пеции одна из ее диагоналей.
173

*56.	1) Основания трапеции имеют длину 8,2 см и 14,2 см. Най¬
дите расстояние между серединами диагоналей.
2) Меньшее основание трапеции имеет длину 6,2 см, расстоя¬
ние между серединами диагоналей равно 4 см. Найдите длину
большего основания.
657*. Как разрезать трапецию: 1) на две части, чтобы из них мож¬
но было сложить параллелограмм; 2) на две части, чтобы
из них можно было сложить треугольник; 3) на три части,
чтобы из них можно было сложить прямоугольник?
658*. Докажите, что прямая, проходящая через точку пересечения
диагоналей равнобедренной трапеции и точку пересечения
продолжений боковых сторон, перпендикулярна основаниям
трапеции и делит их пополам.
§ 3. Площади многоугольников
49.	Общие сведения о площадях фигур
1.	В 5 классе вы уже пользовались формулами для вычисления
площадей некоторых фигур — прямоугольника, треугольника,
круга. В этом параграфе мы приведем более подробные сведения
о 'площадях.
За единицу измерения площадей принимают площадь квад¬
рата, сторона которого равна единице длины. Например, за
единицу измерения площадей можно принять площадь квадра¬
та, длина стороны которого 1 м (1 см, 1 км). Площадь такого
квадрата называют квадратным метром (квадратным сантимет¬
ром, квадратным километром .
Площади являются величинами, и, как все величины одного
и того же рода, их можно складывать между собой и умножать
на положительные числа (п. 3). При сложении двух площадей
и умножении площади на число получаются площади.
Площади будем обозначать заглавной латинской буквой S.
Единицу измерения длин обозначим е, а площадь квадрата со
стороной длины е обозначим е2 и примем за единицу измере¬
ния площадей.
Любую площадь S можно выразить через единицу измере¬
ния площадей в виде S — he2, где k — числовой множитель.
Это число k — числовое значение площади S при единице изме¬
рения е2. Пусть, например, за единицу измерения площадей
принят квадратный сантиметр (т. е. е2 1 см2). Тогда площадь
174

S = 5 см2 имеет числовое значение 5 при единице измере¬
ния 1 см2.
Если две площади и S-, выражены через общую единицу
измерения е2 в виде
St = ае2, So == be2,
то отношение Sj : So равно отношению числовых значений о и Ь:
St : So - а \ Ъ.
В следующих пунктах этого параграфа мы научимся нахо¬
дить площади различных многоугольников, опираясь на основ¬
ные свойства площадей, которые примем без доказательства:
1) конгруэнтные многоугольники имеют равные площади;
2) если многоугольник составлен из неперекрывающихсп
многоугольников, то его площадь равна сумме площадей
этих многоугольников.
Предложение «многоугольник Р составлен из неперекрыва-
ющихся многоугольников* означает, что: а) Р является объедине¬
нием этих многоугольников и б) никакие два из этих многоуголь¬
ников не имеют общих внутренних точек. Примеры многоуголь¬
ников, составленных из неперекрывающихся многоугольников,
приведены на рисунке 290.
2.	Применим свойства 1 и 2 к выводу формулы площади
прямоугольника. Рассмотрим случай, когда основание и высота
прямоугольника равны целому числу единиц длины е:
а = те, А
пе.
В этом случае прямоугольник составляется из тп квадратов
со стороной е (рис. 291). Эти квадраты конгруэнтны и, следова¬
тельно (по свойству 1), имеют одну и ту же площадь е~. Тогда
(по свойству 2) искомая площадь S равна:
S - тпе2.
а=те
Рис. 291
175

Вычисляя по обычным прави- „
лам алгебры, имеем:
ah — (me) (пё) = тпе- — S.
Вообще, разумно условиться,
что длины а и b можно «умножать*
друг на друга, получая при этом
площадь. В данном случае это «про¬
изведение» равно площади прямо¬
угольника с основанием с и высо¬
той Л. Например, принято писать:
5 см 7 см =■ 35 см'.
Полученная выше формула пло
щади прямоугольника верна не
только для целых, но и для всех
положительных а к А. Обычно ее
записывают короче:
S. - ah.
Из этой формулы сразу следует,
что площадь квадрата равна квад¬
рату его стороны, S — а2.
3. По первому свойству площадей любые две конгруэнтные
фигуры имеют равные площади, т. е. равновелики. Обратное
неверно: если две фигуры имеют равные площади, то они не обя¬
зательно конгруэнтны. Например, квадрат со стороной 2 см
и прямоугольник со сторонами 1 см и 4 см (рис. 292) равнове¬
лики (площадь каждой из этих фигур равна 4 см2), но не конг¬
руэнтны.
4. Измеряя площади при помощи палетки, вы уже познако¬
мились с тем, как можно оценивать с недостатком и с избытком
площадь фигуры с криволинейной границей На рисунке 293
в круге помещается полностью 120 квадратов площади е2. Объе¬
динение же всех 172 квадратов на этом рисунке полностью со¬
держит круг. Поэтому для площади S данного круга имеем не¬
равенства:
120е2 <S < 172е2.
Приближенно можно принять:
S ^ 120 ^172 е2 = 146е*.
2
В действительности эта площадь равна яг2 л 15 4Л
4 см
Рис. 292
176

Вопросы и задачи
659. Практическая работа. 1) Произведите необходимые
измерения и вычислите площадь участка прямоугольной
формы. 2) Произведите необходимые измерения и вычисли¬
те площадь поверхности пластинки прямоугольной формы.
660. Практическая работа. Вырежьте из бумаги два кон¬
груэнтных прямоугольных треугольника и сложите из них:
1)	равнобедоенный треугольник; 2) прямоугольник; 3) па¬
раллелограмм, отличный от прямоугольника. Почему пло¬
щади всех получившихся фигур равны?
661. Основание прямоугольника в два раза больше его высоты.
Покажите на рисунке: 1) как разрезать этот прямоугольник
на две части так, чтобы из них можно было составить прямо¬
угольный треугольник; 2) как разрезать его на две части
так, чтобы из них можно было составить равнобедренный
треугольник; 3) как разрезать его на три части так, чтобы из
них можно было составить квадрат?
662. Участок земли имеет площадь 100 га. Найдите числовое зна¬
чение этой площади, если за единицу измерения принять:
1) квадратный километр; 2) квадратный метр; 3) ар.
663. Как изменится площадь прямоугольника, если: 1) основание
и высоту его увеличить в два раза; 2) основание и высоту
уменьшить в три раза; 3) основание увеличить в четыре ра¬
за, а высоту уменьшить в четыре раза; 4) основание увели¬
чить в шесть раз, а высоту уменьшить в два раза?
664. Длина комнаты 5,4 м, а ширина 4,2 м. В комнате два окна
шириной 1,2 м и высотой 1,6 м. Освещенность комнаты счи¬
тается нормальной, если площадь (световая площадь) окон
составляет 20% от площади пола. Нормально ли освещение
комнаты?
665. Практическая работа. Произведите необходимые
измерения и вычислите световую площадь своего класса.
Вычислите отношение световой площади к площади пола и
выразите его в процентах.
666. 1) Известно, что периметр прямоугольника, каждая из сто¬
рон которого измеряется целым числом сантиметров, равен
12 см. Вычислите площадь этого прямоугольника. В каком
случае площадь прямоугольника будет наибольшей?
2) Вычислите площадь поля в гектарах, если поле имеет
форму прямоугольника с размерами:	а) 2 км X 1 КМ1
177

б)	500 м X 500 м; в) 100 м X
X 150 м; г) 0,8 км X 1.2 км.
667.	Дано: Е, F, К и L — середи¬
ны сторон квадрата ABCD
(рис. 294). Сравните площадь
четырехугольника MN0P с
площадью квадрата ABCD.
668*. Дано: ABCD—квадрат (рис.
295), Е, F, K.L.M.N.OhP —
точки, делящие каждую сто¬
рону на три равные части. До¬
кажите, что площадь четырех-
2
угольника QRST равна —
площади квадрата ABCD.
669*. Докажите, что площадь квад¬
рата, построенного на кате¬
те равнобедренного прямо¬
угольного треугольника, вдвое
больше площади квадрата,
построенного на высоте, про¬
веденной к гипотенузе.
670*. Постройте квадрат, площадь
которого в два раза больше
площади данного квадрата.
671*. Пользуясь формулой S—nr2,
проверьте, насколько хорошо
приближение S = 146е2 для
площади круга, вычисленной
по рисунку 293.
672**. Докажите, опираясь на свойства площадей, что при любых
положительных рациональных числах р и q прямоугольник
с основанием а — ре и высотой Ъ — qe имеет площадь pqe2.
7	5
Указание. См. рисунок 296, где р — — и? = —.
3	3
Рис. 295
>
е
a-Ze
ч.
и
-О
Рис. 296
50.	Площадь параллелограмма
59 |Те орема, Площадь параллелограмма равна произве-
I дению его основания на высоту.
Дано:	а	— основание параллелограмма ABCD, h — его
высота.
178

A	BE	FA	■	B=E	F	A	E	В	F
a)	6)	6)
Рис. 297
Доказать: S — a ■ h.
Доказательство. В случае, когда один из углов
параллелограмма прямой, теорема уже доказана (в этом случае
параллелограмм является прямоугольником). Пусть один .из
двух углов (например, угол А, рис. 297), прилежащих к осно¬
ванию AD параллелограмма ABCD, острый.
Проведем через вершины В к С перпендикуляры к прямой
AD. Получим прямоугольник BCFE, вершины F и Е которого
лежат на луче AD. Точка F при этом всегда лежит вне отрезка
AD. В положении точки Е могут встретиться три различных
случая (рис. 297, с, б, в). Во всех случаях
Sabcf = Sabcd + Sdcf = Sbcfe + Sabe •	(1)
Ho A DCF ^ Д ABE. Значит,
Sdcf ~ Sabe•
Поэтому из равенства (1) следует, что
Sabcd = Sbcfe•
Но Sbcfe = |ВС| ■ \ВЕ\.
Поэтому
Sabcd - \ВС\ • \ВЕ\ -- \AD\ ■ \ВЕ\ - а h.
Итак,
Sabcd о • h.
Вопросы и задачи
673. Постройте параллелограмм, произведите необходимые изме¬
рения и вычислите его площадь.
674. Постройте параллелограмм, отличный от прямоугольника, и
покажите, как его разрезать на части так, чтобы из них можно
было сложить прямоугольник.
179

675. Стороны параллелограмма раены 4,2 см и 5,6 см. Высота, про
веденная к большей стороне, равна 3,3 см. Вычислите вторую
высоту этого параллелограмма.
676. Стороны параллелограмма равны 8 см и 10 см, одна из вы¬
сот равна 6 см. Вычислив втоную высоту параллелограмма,
Сколько решений имеет задача?
677. Стороны параллелограмма равны 8 см и 10 см. Одна из вы¬
сот равна 9 см. Вычислите вторую высоту параллелограмма.
Сколько решений имеет задача?
678. Докажите, что прямая, проходящая через центр симметрии
параллелограмма, разбивает его на две равновеликие части.
679. Площади параллелограмма равна 24 см2. Т^чка iпресечения
его диагоналей удалена от прямых, на которых лежат сторо¬
ны, на 2 см и 3 см. Вычислите периметр этого параллело¬
грамма.
680. Постройте два неконгруэнтных равновеликих параллелограм¬
ма с общей стороной.
681. Постройте ромб. Выполните необходимые измерения и вычис¬
лите его площадь.
682. 1) Выведите формулу, выражающую площадь £ ромба через
ею диагонали тип.
2) Выведите формулу для вычисления площади £ квадрата
по его диагонали с.
683. 1) Вычислите площадь ромба, диагонали которого имеют
длины: а) 2,5 дм и 3,6 дм; б) 8,8 м и 9,5 м.
2) Вычислите площадь ромба, если сторона его равна 6,2 см,
а один из углов равен 30°.
684. Вычислите диагонали ромба, если известно, что их длины
пропорциональны числам 2, 3, а площадь ромба равна 12 см2.
685*. Найдите площадь £ параллелограмма, периметр которого
равен т, а точка пересечения диагоналей находится на рас¬
стоянии t от каждой из его сторон.
51.	Площадь треугольника
60 I Т е о р е м а. Площадь треугольника равна половине про-
I изведения его основания на высоту.
Дано: а — основание треугольника ABC, h — его высота
(рис. 298).
Доказать:	Sabc	=	~г~*
180

Доказательство. Проведем
через вершины Б и С прямые, парал¬
лельные сгоропшй АС и АВ. Получим
параллелограмм ABDC, который состо¬
ит из двух треугольников — ■_ ABC и
Л BDC. Диагональ параллелограмма де¬
лит его на два конгруэнтных треуголь¬
ника, и поэтому площадь каждого из
этих треугольников равна половине пло¬
щади параллелограмма ABDC. Так как
Sabdc - ah, то
Sabc —
aft4
Рис. 299
Формулу для вычисления площади
треугольника можно прочитать иначе:
площадь треугольника равна произведе¬
нию его средней линии иа высоту.
Следствие. Площадь прямоуголь¬
ного треугольника равна половине произ¬
ведения его катетов.
Задача. Построить прямоугольник, равновеликий дан¬
ному треугольнику и имеющий с ним общее основание.
Решение. Пусть дан треугольник ABC (рис. 299). Его
площадь равна половине произведения основания на высоту,
или, иначе, произведению основания на половину высоты. А
площадь прямоугольника равна произведению его основания на
высоту. Значит, если взять прямоугольник с основанием, рав¬
ным основанию треугольника, и с высотой, равной половине вы¬
соты треугольника, то он и будет равновелик треугольнику.
Отсюда ясно построение искомого прямоугольника (рис. 299).
Вопросы и задачи
686. Вычислите площадь остроугольного треугольника, если его
высота, проведенная к основанию, равна 6 см, а проекции
> боковых сторон на это основание' равны 12 см и 4 см.
687. Две стороны треугольника равны 18 см и 24 см. Высота, про¬
веденная к первой из них, равна 22 см. Вычислите высоту,
проведенную ко второй данной стороне.
688. Какую фигуру образуют вершины равновеликих треугольни¬
ков, имеющих общее основание АВ?
181

689. Как можно разрезать треугольник на
три части так, чтобы из ни у можно
было сложить прямоугольник, имею¬
щий то же основание, что и даннь й
треугольник?
690. Докажите, что диагонали параллело¬
грамма разбивают его на четыре
равновеликих треугольника.
691. Построите параллелограмм, равнове¬
ликий данному треугольнику.
692*. Дайте несколько различных доказательств теоремы о вычис
лении площади треугольника,
693. Найдите зависимость между площадью S данного треуголь¬
ника и площадью S| треугольника, отвеченного от него любой
из средних линий.
694*. Дан треугольник, площадь которого равна 6 см2. Стороны
его разделены пополам и точки деления последовательно
соединены отрезками. Стороны получившегося треугольника
вновь разделены пополам и также построен треугольник.
Вычислите площадь последнего треугольника.
695. Практическая работа. Вычислите площадь, занятую школьным
садом и огородом (рис. 300). Произведите необходимые по¬
строения и измерения. Масштаб 1 : 5000.
696. Выведите формулу для вычисления площади равнобедрен¬
ного прямоугольного треугольника по его гипотенузе с.
697. Вычислите площадь четырехугольника, диагонали которого
взаимно перпендикулярны и равны 6 см и 8 см.
698*. Выпуклый четырехугольник ABCD называется дельтоидом,
если |-АБ| — \ВС\ и | AD = | Z>C |. Выведите формулу,
выражающую площадь дельтоида через его диагонали тип.
699. Треугольник и параллелограмм имеют равные основания и вы¬
соты. Как относятся их площади?
700. Длины двух сторон треугольника равны 4 см и 3 см. Какой
может быть его площадь?
701*. Какой вид должен иметь треугольник со сторонами с и b
чтобы его площадь была наибольшей? Вычислите площадь
такого треугольника.
702*. 1) Кркой из всех параллелограммов с диагоналями равными
4 см и 8 см, имеет наибольшую площадь? Вычислите ее.
2) Какой из всех параллелограммов со сторонами, равными
4 см и 8 см, имеет наибольшую площадь? Вычислите ее.
Рис. 300
182

52.	Площадь трапеции
В с
С
I оснований на высоту.
Дано: ABCD — трапеция, а и с —
ее основания, h — высота (рис. 301).
61 I Т е о р е м а. Площадь трапеции
I равна произведению полусуммы ее
А
Е В
Доказать: SAbcd = ^-7— • Л.
Л
Рис. 301
Доказательство. Проведя диагональ АС, получим
два треугольника. Примем за основание треугольника ABC от¬
резок АВ, а за основание треугольника ACD — отрезок Си.
Высоты этих треугольников равны высоте трапеции h. Поэтому
Тогда площадь трапеции (по второму свойству площадей)
равна:
Следствие. Площадь трапеции равна произведению
средней линии на высоту.
Вопросы и задачи
703. Вычислите площадь трапеции, основания которой 12 см и
16 см, а высота 15 см.
704. Вычислите площадь трапеции, большее основание которой
38 см, высота 14 см, а проекции боковых сторон на основание
равны высоте трапеции.
705. Верно ли, что площадь трапеции, диагонали которой взаимно
перпендикулярны, равна половине произведения длин диаго¬
налей?
706. Диагонали трапеции взаимно перпендикулярны и равны 3,6 дм,
6 дм. Вычислите площадь этой трапеции.
707. Докажите, что прямая, проходящая через середину средней
линии трапеции и пересекающая основания, делит эту трапе¬
цию на две равновеликие части.
700.	Покажите, как можно разделить трапецию прямыми на п рав¬
новеликих частей (п — 3; 4).
709.	Вычислите площадь прямоугольной трапеции, основания ко¬
торой равны 2 см и 4 см, а один из углов 45°.
183

710. Вычислите площадь равнобедренной трапеции, основания ко¬
торой равны 5 см и 7 см, а один из углов при основании ра¬
вен 45°.
711. Вычислите площадь трапеции, основания которой равь dI 9 см
и 7 см, а одна из боковых сторон образует с основанием угол
в 30° и равна 8 см.
712х. Дана трапеция. Постройте равновеликие ей: 1) параллело¬
грамм (отличный от прямоугольника); 2) прямоугольник.
53.	Площадь многоугольника
Чтобы вычислить площадь многоугольника, можно разбить
его на треугольники, не имеющие общих внутренних точек,
и найти сумму их площадей. Такое разбиение выпуклого
многоугольника можно осуществить,
проведя, например, диагонали из од¬
ной его вершины (рис. 302, с). Иногда
удобно пользоваться другими разбиения¬
ми (рис. 302, б, в).
Вопросы и задачи
713. Выполните необходимые измерения и
вычислите площади фигур, изобиа-
женных не рисунке 303.
714. Практическая работа ') Про¬
изведите необходимые построения и
измерения и вычислите площадь уча¬
стке земли, изображенного не плане
(рис. 304. а). 2) Пользуясь палеткой,
вычислите площадь озера (рис. 304,6).
Найдите ту же площадь приближенно,
заменив контур озера многоугольни¬
ком. 3) Вычислите площадь «живого
сечения реки» * (рис. 304, в)
* «Живое сечение реки» — вертикальное се¬
чение, плоскость которогс перпендикулярна бе¬
регам реки.
а)
б)
6)
Рис. 302
184

а)
О
б)
б)
Ыс. 303
715. Выполните необходимые построения
и измерения и по полученным данным
вычислите площадь четырехугольнике
(рис. 305), если никакие построения и
измерения внутри этого четырех¬
угольника проводить нельзя.
716. Практическая работа. Разметь¬
те на местности участок земли, имею¬
щий форму многоугольника, произве¬
дите необходимые измерения и вы¬
числите площадь этого участка.
717. Постройте треугольник, равновеликий
данному четырехугольнику.
Дополнительные задачи
к главе IV
718. Существует ли треугольник, сумма
любых двух углов которого меньше
120е ?
719. Постройте треугольник, если известны
его периметр, угол при основании и
высота, проведенная к этому основа¬
нию.
720. Можно ли произвольный треугольник
разрезать на два остроугольных тре¬
угольника?
721. Может ли треугольник иметь более
трех осей симметрии?
Масштаб 1-1СС0
С)
Масштаб 1:1000
б)
Масштаб 1:1003
б)
Рис. 304
я
185

722. Постройте треугольник по основанию а и высотам h и ho,
проведенным к боковым сторонам
723. Сколько можно построить параллелограммов с вершинами
в трех данных точках?
724. Постройте трапецию по ее основаниям с и Ь и двум диагона¬
лям тип,
725. Постройте четырехугольник, если даны его стороны а, Ь, с, d
и диагональ 1,
726. Постройте четырехугольник, если даны е~о диагонали т
и п, угол а между ними и сторона о, лежащая против этого
угла.
727. Существует ли многоугольник число диагоналей ко орого:
1) в два раза больше числа сторон 2) в два раза меньше чис¬
ла сторон; 3) в три раза меньше числа сторон?
728. Укажите несколько условий, достаточных для то о, u-гобь че¬
тырехугольник являлся: 1) прямоугольником; 2) трапецией.
729. Какой вид имеет четырехугольник, если проекции его сторон
на каждую из диагоналей конгруэнтны?
730. Пользуясь данными, указанными на рисунках (конгруэнтные
отрезки отмечены одинаковым числом черточек, параллель¬
ные прямые отмечены одинаково напраьленными стрелками),
докажите, что:
(рис. 306):
1)
2)
3)
\DF\ _ 1
I FC |
| ВН,
IHF,
|CF|
2
I^F|
|FC|
1 (рис. 307);
= — (рис. 308).
|СВ| 3
731*. Постройте квадра^: 1) по сумме диагонали и стороны; 2) по
разности диагонали и стороны.
°ис. 308
186

732. Постройте равновеликие:	1) прямо¬
угольники; 2) треугольник и четырех¬
угольник; 3) ромб и прямоугольник
(отличные от квадрата)
733. Покажите на чертеже, как можно
разрезать прямоугольник со сторо¬
нами 6 см и 2 см на две части так,
чтобы из них можно было составить
прямоугольник со сторонами 3 см и
4 см.
734. Разрежьте квадрат на части, из кото¬
рых можно «.оставить квадратную
рамку.
735. Данную фигуру (рис. 309) разрежьте
на части так, чтобы из них можно было
1 *
составить квадратную рамку.
736. Каждая из сторон квадрата KLMN
разделена на два отрезка длиной а
и Ь и выполнены построения, указан¬
ные на рисунке 310. Докажите, что
площадь заштрихованного квадрата
(рис. 310, с) равна сумме площадей
двух заштрихованных квадратов
(рис. 310, б).
737. Найдите площадь четырехугольника,
вершинами которого являются сере¬
дины сторон другого четырехугольни¬
ка, имеющего площадь S.
738. 100 четырехугольников имеют общие
середины сторон. Докажите, что эти
четырехугольники равновелики.
739. Каждая из сторон параллелограмма
меньше 2 см. Какие значения может
принимать площадь S этого паралле¬
лограмма?
740. Выведите формулу для вычисления
площади фигуры, изображенной на
рисунке 311, если известно, что (АВ) II
|| (DE) || (CF), \AB\^\DE\, \AF\ =
= \FE\ и (CF)_L(AE).
Рис. 309
/
ЙР
б)
Рис. 310
N.
187

E e[BD], (KL) || {ВС),
AKEN SEMCL.
741. Докажите, что площадь фигуры, изображенной на рисунке
312, равна (|BD| • |СйГ|--{- \АЕ\ ■ \ОК\) (известно, что
(BD) || (АЕ) и (СК) X (АЕ)).
742. Дано:	ABCD — параллелограмм,
(MN) || (АВ) (рис. 313).
Доказать: AKEN и EMCL—параллелограммы; S
743. Участок земли имеет форму параллелограмма Покажите на
рисунке, как можно разбить его на два участка так, чтобы их
площади были пропорциональны числам 3, 4, а линия деления
была бы параллельна основанию.
744. Через вершину ромба проведите две прямые, делящие ромб
на три равновеликие части.
745. Через вершину параллелограмма про¬
ведите прямые, разбивающие это1 па-
раллелограмм'на: 1) 4; 2) 5 равновели-
ких частей.
746. Постройте треугольник, равновеликий
данному параллелограмму.
747. Диагонали равнобедренной трапеции
ABCD ((-AD) || (ВС)) пересекакгсг в
точке О. Докажите, что треугольники
АВО и CDO конгруэнтны.
748. От участка земли, имеющего форму
трапеции, нужно отделить треуголь¬
ный участок так, чтобы его площадь
была равна площади оставшейся ча¬
сти Как это можно сделать?
749. Участок земли, имеющий форму тра¬
пеции, требуется разделить на четыре
равновеликие части, каждая из кото¬
рых должна быть трапецией. Как это
можно сделать?
Дано:	ABCD — трапеция, \СК\ =
= \KD\, (КЕ)±(АВ) (рис 314).
Доказать: 1) S
Рис. 313
750.
’ АНК
= | АВ
= S
751.
Рис. 314
ЦВСО»
2)	®	АЕСО
Найдите множество вершин парал¬
лелограммов, равновеликих данному
параллелограмму ABCD и имеющих
общее основание длины а.
188

Рис. 317
3
752. Через данную точку проведите пря¬
мую, рассекающую данный паралле¬
лограмм на две равповеликие части.
753. Какие значения может принимать пло¬
щадь параллелограмма, если его диа¬
гонали равны тип?
754. Какие значения может принимать пло¬
щадь ромба, если. 1) его сторона
равна а; 2) высота равна hi
755. Через точку пересечения двух окруж¬
ностей проведите прямую так, чтобы
отрезки, отсекаемые на зтои прямой
окружностями, были конгруэнтны.
756. Найдите площадь фигуры, которая
является объединением равносторон¬
него треугольника, имеющего пло¬
щадь S, и его образа при повороте
на 60° вокруг центра этого треуголь¬
ника.
757. Площадь равнобедренного треуголь¬
ника равна S. Найдите площадь фигу¬
ры, которая является пересечением
этого треугольника и его образа при
симметрии относительно оси, парал¬
лельной основанию и делящей высо¬
ту, проведенную к этому основанию,
в отношении 1 : 2, считая от осно¬
вания.
758. Окружность касается трех сторон тре¬
угольника ABC (рис. 315), \ВС\ = а,
\СА \ = Ь, |АВ| = с. Выразите длины отрезков касательных
л*, у, 2 через а, Ь, с.
759. Внутри выпуклого многоугольника, все стороны которого
конгруэнтны, взята точка М. Докажите, что сумма расстояний
от точки М до прямых, из которых лежат стороны много¬
угольника, есть величина постоянная, не зависящая от поло¬
жения точки М.
760. Через точку Е, расположенную внутри угла ВАС, проведите
прямую так, чтобы она отсекала от угла ВАС треугольник
наименьшей площади.
761. Через точку Е (рис. 316) проведите прямую так, чтобы она
189

имела общие точки с параллельными лучами ВА и CD и отсе¬
кала бы фигуру наименьшей площади.
762. Докажите, что множество всех вершин прямоугольников,
имеющих общую диагональ, есть окружность, для которой
эта диагональ является диаметром.
763. Постройте окружность данного радиуса R, которая касается
данной прямой / и данной окружности (О, г).
764. Две окружности (0\, Г\) и (Ог, гг) касаются внешним образом
Постройте окружность данного радиуса R, которая касается
каждой из данных окружностей.
765. Через данную точку М проведите прямую, которая находит¬
ся на данном расстоянии I: 1) от данной точки А; 2) от данной
окружности.
766. Отрезок данной длины движется так, что концы его скользят
по сторонам прямого угла. При каком положении этого от¬
резка площадь отсекаемого им треугольника будет наиболь¬
шей?
767. На рисунке 317 изображено шарнирное устройство: одна из
сторон параллелограмма CDMN — сторона CD—неподвижнс
закреплена, а к стороне MN жестко прикреплена горизон¬
тальная планка АВ. Объясните, почему при всех возможных
положениях стороны NM планка АВ будет сохранять горизон¬
тальное положение.
768. Найдите множество середин отрезков данной длины а, концы
которых принадлежат сторонам данного прямого угла.
769. На бильярдном столе прямоугольной формы лежат два шара.
Укажите несколько направлений ударов, при которых первый
шар попадет во второй (положение шаров выберите само¬
стоятельно).

ВЕКТОРЫ
54.	Композиция перемещении
1.	Проведем на плоскости две взаимно
перпендикулярные прямые х и у. От¬
метим произвольную точку М плос¬
кости и построим ее образ М\ при сим¬
метрии с осью х (рис. 318). Затем по¬
строим точку Мг— образ точки Мг при
симметрии с осью у. Точке М поставим
в соответствие точку Ма. Любой дру¬
гой точке плоскости поставим в соот¬
ветствие точку, полученную в резуль¬
тате аналогичного построения. Таким
образом, последовательно выполняя
симметрии Sf и Sy, получаем новое
отображение плоскости на себя. Что
это за отображение?
Обратимся к рисунку 318. Углы
1 и 2 симметричны относительно оси хч
а углы 3 и 4 — относительно оси у.
Поэтому 1—2, 3	4.	Так	как	пря¬
мые х и у перпендикулярны, то 2 + 3 ■
= 90 . Значит, 1 + 2 + 3 + 4	180 \
т. е. угол МОМ.г развернутый. Сле¬
довательно, точки М,0 и М2 лежат на
одной прямой.
Отрезки МО и М\0 симметричны
относительно оси х, а отрезки Mfi и
У
Л'
Рис. 318

MtO — относительно оси у. Поэтому \МО[— \МгО\, \МгО\ =■
= \М.20\ и, следовательно, |МО — |М>0|. Таким образом, от¬
резок ММ2 делится точкой О пополам, т. е. течки М и М.„
симметричны относительно точки О.
Итак, в результате последовательного выполнения осевыл
симметрий Sx и Sy получаем новое отображение — центральную
симметрию Z0.
Результат последовательного выполнения отображений на¬
зывают композицией этих отображений. Значит, композицией
двух осевых симметрий с перпендикулярными осями х и у
является центральная симметрия с центром в точке пересечения
этих осей.
Композицию симметрий S, и S записывают так: S.. < Sv.
Обратите внимание на порядок, в котором записаны отображе¬
ния: отображение, которое выполняется первым, пишется спра¬
ва. Например, предложение «композиция Sv и Sy есть Zc* згпи-
сывают следующим образом: Sv с 5Л = Zo.
2.	Рассмотрим другой пример композиции — композицию
осевой симметрии S, и этой же осевой симметрии Sp. Найдем
образ произвольной точки М при композиции S S,. Для
этого надо найти точку Mi - S0 (М), а затем точку М; =
= S , (Mi) Точка М.и будет образом
\
точки м при композиции Sp - Sp
(рис. 319).
Но Sp {Му) = М, т. е. любая
точка М при композиции Sp Sp
JL- отображается на себя. Следовательно,
']/
!
м.
Рис. 319
SP>Sp = E
(Е — тождественное отображение
плоскости).
3.	Рассмотрим композицию двух
центральных симметрий, Zo и Z, t.
При симметрии Zo, каждый луч
плоскости отображается на противо¬
положно направленный луч. При
симметрии Zox любой луч также ме¬
няет направление на противополож¬
ное. В результате получаем (рис. 3201,
что при композиции двух цект-
192

ральных симметрий каждый луч плоскости отображается
на сонаправленный ему луч. Следовательно, по теореме 46 ком¬
позиция двух центральных симметрий есть параллельный пе¬
ренос.
Для того чтобы задать параллельный перенос, достаточно
указать точку и ее образ при этом переносе. Найдя образ точки
А при композиции Zo„ <> Zo., получим: композиция Zo, ° Zb. двух
центральных симметрий — параллельный перенос в направле
нии луча 0Х02 на расстояние 2 |0i02( (если Ох == С->, то
Zo, о Zo, — тождественное отображение плоскости).
4.	Мы рассмотрели три примера композиции перемещений-
В каждом из этих примеров композицией перемещений hbj ялось
снова перемещение. Это не случайно. Справедлива следующая
теорема.
62 |Т е о р е м а. Композиция перемещений есть перемещение.
Т Доказательство. Рассмотрим перемещения Fx и
Р2. Чтобы доказать, что композиция F2 r Fx есть перемещение,
надо доказать: а) композиция F2 о F- есть отображение плоско¬
сти на себя; б) отображение F2 о F: сохранив! расстояния.
а) Пусть М — произвольная точка плоскости. При переме¬
щении Fx точка М имеет определенный образ М , точка Мх при
перемещении F2 также имеет определенный образ М2. Точка
М, — образ точки М при композиции F2 о Рг.
Следовательно, каждой точке ЛГ плоскости соответствует прп
композиции F. <- Fj определенная течка М2.
Докажем теперь, что каждая точка Ко плоскости является
образом некоторой точки К при композиции F2 о Fx. Точка Kt
является образом некоторой точки Кг при перемещении F,,
так как перемещение — это отображение плоскости на себя.
Точка Кг в свою очередь является образом некоторой точкг К
при перемещении Fx. Следовательно, точка Ко является обра¬
зом точки К при отображении F2 о рг.
Итак, при композиции F, о Fx каждой точке плоскости соот¬
ветствует определенная точка этой же плоскости и каждая точка
плоскости является образом некоторой точки этой же плоско¬
сти. Следовательно, композиция F2 о Рг есть отображение пло¬
скости на себя.
б) Пусть А и В — произвольные точки плоскости. Обозна¬
чим их образы при перемещении Fi через Аг и Вг. Образы точек
Аг и Вг при перемещении F2 обозначим через А% и В2. Тогда
точки А2 и В2 — образы точек А и В при отображении F2 о Fx.
7 Геометрия, 6—8	193

Расстояния I^B^ и |АВ\ равны (Ft — перемещение). Так
как и F2 — перемещение, то \А2В2\ = |А1В1|. Значит, [А2В2| =
- АВ |. Отображение F2 0 Fx плоскости на себя сохраняет рас¬
стояния, т. е. композиция F2 ° Fх является перемещением, у
Л?
О
N
Ь
Рис. 322
Вопросы и задачи
770. На рисунке 321 показано
построение образа L? фи¬
гуры L при композиции
двух осевых симметрий Sn
и S (n_Lm). 1) Рззъяс-
т	*	'
ните, кал выполнено это
построение. 2) Назовите
вид перемещения, при ко¬
тором фигура L отобра¬
жается на фигуру L2.
771. Даны две параллельные
прямые типи две точки
А и В. 1) Постройте точки
Ax^-Sm {A), A2=Sn (4,),
Bi = Sm (В), B2 = S„(B,).
2) Каким перемещением
является композиция:
a) SmoS„; 6)S„oSm?
Указание. Сравните:
1)	расстояния |АА2| и
|ВВ2|; 2) направления лу¬
чей АА2 и ВВ2.
772. На рисунках 322, 323, 324
показано построение об¬
раза L2 фигуры L при
композиции двух осевых
симметрий Sa и Sb с па¬
раллельными осями а и Ь.
1)	Разъясните, как выпол¬
нено это построение. 2) На¬
зовите вид перемещения,
при котором фигура L
отображается на фигу-
ру L2.
194

773. Выполняется ли переместительный закон для композиции двух
симметрий с параллельными осями?
774. На рисунне 325 показано построение образа L2 фигуры L при
композиции двух центральных симметрий с различными цен г-
рами Oi и 02. 1) Каким перемещением является композиция:
а) zo,cZot' б) zo°z о, ■ 2) Верно ли, что Z0° Z0 = Z0i о Z0 ?
(Проверьте построением.)
775°. Пусть Fi — произвольное перемещение, F2 — перемещение,
обратное Ft. Найдите композицию: 1) F| о F2; 2) F2 0 F\.
776°. Назовите перемещение, обратное: 1) осевой симметрии £ J
2) центральной симметрии Z0\ 3) повороту.
777. Задайте параллельные переносы Т\ и Т2, композиция которых
является тождественным отображением плоскости на себя:
7*2 ° Т\ = Е.
778*. Приведите какой-нибудь пример композиции трех перемеще¬
ний, которая является тождественным отображением пло¬
скости.
779. 1) Каким перемещением является композиция Z0°Sa, если
О €а?
2) Верно ли, что Sa о Z 0 — Z 0 0 Sa (О ( с)?
780. 1) Покажите, что квадрат ABCD (рис. 326) отображается на
себя при композициях поворота R с центром О на угол 90е по
часовой стрелке и симметрии Sa ; поворота R и симметрии
S ь. Какими перемещениями являются эти композиции?
2) Покажите, что равносторонний треугольник ABC (рис. 327)
отображается на себя при композиции перемещений Sn о Ят.
Каким перемещением является эта композиция? Выполняется
ли для этой композиции переместительный закон?
781*. 1) Докажите, что композиция двух осевых симметрий S cSy
с пересекающимися осями есть поворот R, где центр пово¬
рота— точка О пересечения осей симметрии, а угол поворота

и
•—t—
■ /
м,
м2
—•
Рис. 329
а равен удвоенной величине угла между осями а: и у
(рис. 328).
2) Докажите, что композиция двух осевых симметрий Sx' Sy
с параллельными осями есть параллельный перенос (рис 329).
782.	Скользящей симметрией называется композиция осевой сим¬
метрии и параллельного переноса в направлении, параллель¬
ном оси симметрии. Задайте скользящую симметрию и по¬
стройте образ данного треугольника ЛВС при этом переме¬
щении.
55.	Векторы и способы их задания
1.	В геометрии параллельные переносы имеют и другое назва¬
ние — их называют векторами* и обозначают строчными бук-
вами со стрелкой: а, Ь, с, ..., х, ...
Тождественное отображение плоскости (параллельный пере¬
нос на нулевое расстояние) называют нулевым вектором и обо¬
значают U.
Вы знаете, что параллельный перенос а определяется зада¬
нием произвольной точки Л и ее образа В, т. е. упорядоченной
парой точек (Л, В). Вектор, отображающий точку Л на точку
В, обозначают АВ и изображают в виде направленного отрезка
• Часто для наглядности говорят, что вектор есть напраг пенный отрезок. Но
тогда приходится считать два одинаково направленных отрезка одинаковой дли¬
ны «равными» векторами, т. е. считать такие направленные отрезки двумя изо¬
бражениями одного и того же вектора.
Слово «вектор» в разных разделах математики и физики имеет разный
конкретный смысл (подробнее об этом написано в пункте 60) Но все понятия,
обозначенные этим словом, обладают некоторыми общими свойствами. Поэтому
им и дают одно и то же название.
196

Рис. 330
1.
Рис. 331
с началом А и концом В, т. е. в виде
стрелки (рис. 330). Если этот же вектор а
отображает точку X на точку Y, точку С
на точку £>, его можно записать и в виде
XУили CD и изображать любой из стрелок
(рис. 330):
а АВ = XY — CD — ...
Это разные обозначения одного и того
же вектора. Точно так же 0, АА и ВВ — q
разные обозначения нулевого вектора.
Пример. На рисунке 331 изоб¬
ражен параллелограмм ABCD. Векторы
АВ и DC равны, так как упорядоченные
пары точек (А, В) и (D, С) задают один и
тот же параллельный перенос. Векторы
ВС и DA не равны: хотя расстояния | ВС |
и |DA| равны, векторы имеют различные
(противоположные) направления.
Расстояние | АВ \ называют длиной век¬
тора АВ - а и обозначают |ABj или;а|.
Направление, заданное лучом АВ, назы¬
вают направлением вектора АВ. Нулевой
вектор не имеет направления.
Векторы АВ и CD называются сона-
правленными, если сонаправлены лучи
АВ и CD (рис. 332). Если же лучи АВ и
CD противоположно направлены, то и
векторы АВ и CD называются противопо¬
ложно направленными (рис. 333).
—*
Ненулевые векторы а и Ь называются коллинеарными, если
пх направления совпадают или противоположны. Нулевой век¬
тор считается коллинеарным любому вектору.
2.	Из определения параллельного переноса следует, что для
задания ненулевого вектора а достаточно указать его длину
и направление. Действительно, если задана длина |а| век-
Рис 332
Рис. 333
в
197

-I
тора а и известно его направление, опре¬
деляемое, например, лучом АВ (рис. 334),
то для любой точки X можно построить
ее образ Y == а (X). Для этого нужно по¬
строить тгуч заданного направления с на¬
чалом в точке X, а затем на этом луче по¬
строить точку Y, отстоящую от точки X
на расстоянии |а|. Точка X и ее образ Y
определяют вектор а - XY,
Построение направленного отрезка
XY, такого, что а = XY, называют от-
клидывапием вектора а от точки X.
3.	При отображении, обратном пере¬
носу а (рис. 335), все точки плоскости
«перемещаются» в одном и том же направ¬
лении, противоположном направлению
вектора а, на одно и то же расстояние,
равное длине вектора а. Это означает,
что отображение, обратное вектору,
есть вектор. Этот вектор называется вектором, противополож¬
ным вектору а, и обозначается - а. Например, вектор,
противоположный вектору АВ, есть В А'.
—АВ — ВА.
Рис. 335
Вопросы и задачи
783. 1) Укажите способы задания вектора.
2) Заданы векторы MN и точки А, В, С. Постройте образы этих
точек при параллельных переносах: a) MN-, б) NM.
784. Запишите все переносы, которые вершину А параллелограмма
ABCD отображают на вершину этого же параллелограмма.
785. Какие из векторов, заданных на рисунке 336: 1) равны;
2)	одинаково направлены; 3) противоположно направлены;
4)	коллинеарны?
198

786.
788.
I
с
и
I ! 1
fi
1
0
и
У
7
N
Я
А
г
/
г
а
'
т
Ё
h
v
у
Q
М
L
1
г
/
/
г
/
f
Р
|с
к
1
787.
Рис. 336
В,
В
789.
790.
7J1.
75l
793.
794.
795.
4-
✓
В,
п А
Рис. 337
D
Рис. 338
Сколько существует перено¬
сов, KOiopbie отображают:
1) вершину параллелограм¬
ма ABCD на точку пересе¬
чения ei о «иагоналей; 2) точ¬
ку пересечения диагоналей
этого параллелограмма на
его вершину?
Перенос отображает точку
(0. 0) на точку (—2, 2). На
какие точки отображает
этот перенос точки А (3, 2),
В(-3, 2), С( 1, 1), D (5, 4),
Е<1. -1), F( 5, -4)?
Один и тот же или различ¬
ные векторы определяют
следующие упорядоченные
пары точек координатной плоскости:
1) (2, 3), (3, 2) и (3, 2), (2, 3); 2) (2, 3), (3, 2) и (-2, 3), (-3, 2)?
3) (2, 3), (3, 2) и (0, 0), (1, -1)?
Задайте вектор о и отметьте точки Tf, D, М. Отложите век¬
тор а от каждой из этих точек.
Сколько различных векторов задают упорядоченные пары,
составленные из вершин параллелограмма A BCD1
Диагонали параллелограмма A BCD пересекаются в точке О.
1) Какие упорядоченные пары, составленные из точек А, В,
С, D и О, задают один и тот же вектор? 2) Сколько различных
векторов задаются упорядоченными парами, составленными
из этих точек?
На рисунках 337 и 338 изображены: 1) трапеция ABCD;
2) куб ABCDAiBiClDi. Сколько различных векторов задают
упорядоченные пары точек, составленные из вершин этих
фигур?
Известно, что АВ = CD. Верно ли, что: 1) (АВ) [[ (CD) j
2) \АВ\ = |СГ>|?
Докажите, что если АВ — CD, то АС = BD.
От произвольно выбранной точки О плоскости отложите век¬
торы, противоположные векторам АВ, RS, PQ, EF и KL
(см. рис. 336).
199

В	В	F	79Ь.	Точки	О, А и В различны.
S	Докажите,	что равенство
ОА = ВО справедливо тог¬
да и только тогда, когда
точка О является серединой
отрезка АВ.
797*. На рисунке 339 изображена ломаная со звеньями равной
длины и прямыми углами между смежными звеньями. Пред¬
ставьте себе, что эта ломаная простирается неограниченно
вправо и влево. Докажите, что такая фигура отображается
на себя при переносах BD и АЕ.
АСЕ
56.	Сумма векторов
Как уже известно, параллельный перенос является перемеще¬
нием. Поэтому и композиция переносов (векторов) есть переме¬
щение (теорема 62). Каким видом перемещений является компо¬
зиция переносов?
Возьмем две произвольные точки М и N. Построим их обра-
—* —>
вы Мо и N3 при композиции переносов а и Ъ (рис. 340):
Мх = а (М), М2 =» Ъ (Мг), Nt = a (IV), N3 =	6	(JV,),
тогда
М2 = (Ь о а) (М) и N. = (Ь о a) (N).
Можно заметить, что лучи ММ2 и NN2 сонаправлены и
\ММг\ — |JVJVaI- Поэтому естественно предположить, что ком-
-+■ —>	р.	■».
позицией векторов а и Ь является вектор ММ2. Это предполо¬
жение оказывается верным.
63 | Т е о р е м а. Композиция векторов есть вектор.
—> -ь
Т Доказательство. Пусть даны векторы а и Ъ (рис. 341).
  —>
Выберем произвольный луч А. Построим лучи а (А) — А* и
—*   -> ->
Ь (Aj) = А». Луч Л2 — образ луча А при композиции boa. Так
как при параллельных переносах каждый луч отображается на
сонаправленный луч, то
A ft А, и Ал ff А2.
В силу транзитивности отношения сонаправленности лучей
A ff А2. Итак, композиция векторов а и А отображает произволь-
200

ный луч Л на сонаправленный ему луч h-2.
Но перемещение, обладающее таким свой¬
ством, есть параллельный перенос, т. е.
вектор (см. п. 36). ▼
Композицию векторов о и Ъ принято
—► •+
называть суммой векторов а и Ъ. При этом
■+ —
вместо записи Ъ о о — с применяют за-
пись о -f- Ъ = с. Например, сумма любого
вектора о и противоположного ему векто-
ра —о равна 0: о -f- (—о) = 0.
По теореме 63 сумма векторов есть
вектор. Каждый вектор задается точкой
и ее образом. Поэтому, чтобы отложить
от произвольной точки А вектор a-f Ъ, до¬
статочно построить образ точки А при
композиции векторов о и Ъ. Для этого от¬
ложим от точки А вектор АВ =о (рис. 342),
а от точки В — вектор ВС — Ъ. Компо-
зиция переносов о и Ь отображает точку А
на С. Следовательно,
о -f Ь = АС.
Итак, чтобы отложить сумму векторов
о и Ь от точки А, достаточно отложить:
1)	от точки А вектор АВ — а и 2) от точки Б
вектор Ъ = БС. Тогда о + Ь = АС.
Записав векторы о и Ь иначе (о = АБ,
Ь = ВС), получаем правило, по которому
находится сумма векторов:
АВ + ВС = АС.
Это правило называется правилом тре¬
угольника.
201

Вопросы и задачи
-*■ —► —» —► —► ^ •*
798. На рисунке 343 укажите векторы а -f- Ъ, с + d, Ь + с, f -\-h.
—*	—►
799. Суммой каких двух векторов является вектор f, вектор с, век¬
тор АЪ! (См. рис. 343.)
—► —►	—►	^
800.	Даны векторы а и b (рис. 344).	Найдите вектор с +	6.
801. Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке О.
Верны ли равенства. 1) АВ -f- AD — AC] 2) АВ -f- BD — ВС;
3)	dC + OD = AO + BO\ 4) AC + b'A — CbI 5) OD + OB =
— OA + OC; 6) BD +AC = AD + ВС!
802. От произвольной точки О отложите векторы а и b (оис. 345).
Найдите суммы o f Ь и 6 -(■ а.
—► —► —►	•+	—►	-►
803.	Даны три вектора а, Ь, с (рис.	346). Найдите суммы	(с + Ъ)	+ с
и а + (й + с).
804. Даны точки А{— 1, 2), В (2, 3), С(1, 1) и D(3, 5). 1) От нача¬
ла координат отложите сумму векторов АВ и CD. 2) Найдите
суммы векторов:	a) AB-\-DC; б) AB-j-BC; в) АС + BD;
г) AD -J- ВС.
к
ш
S3
5)
В)
г)
I
д)
Рис. 344
а)
5)
сг.
г;
д)
ь
е)
Рис. 345
202

805. Радиусь. ОА, ОВ и ОС окружности
(О, г) образуют углы в 120° (рис. 347).
1) От точки О отложите векторы:
х = ОА +ОВ, у — ОВ + ОС,
z = ОС + О A, i — (ОА ОВ) + UC.
2) Выразите через г длины векторов
х, у, z и t.
806. От точки О отложите векторы:
1) (ОА+ОВ) +ОС-,
2) ОА + (ОВ +ОС) (рис. 348)
807* Найдите суммы векторов: 1) (ОВ-\-ОС),
2)	(ОЬ + ОА), 3) (AC + DB) (рис. 349).
808. Задайте три вектора а, Ь, с, таких, что
1)	Са + Ь) + с= 6; 2) (а + Ъ)+ С=С
809. На рисунке 350 изображен квадрат;
(СЕ) |[ (BD). Докажите: 1) АС + СЕ=
= аЬ + ВС;	2)	(AO + UD) A-UC =
=АС; 3) (ОА + ОС) + (OBOD) =0,
4) (АВ + ВС) + CD	~АВ + СЕ;
5) АС + Ва — ВС.
57.	Законы сложения векторов.
Вычитание векторов
64 <| Сочетательный закон:
\(а + Ъ) + с=а+ (Ь+с).
Доказательство. Отложим
вектор о от некоторой точки А: и = АВ.
Вектор Ъ отложим от точки В, а вектор
с —от точки С (рис. 351): Ъ--ВС, с —CD.
Пользуясь правилом треугольника, по¬
лучим:
а + Ь = АС, (с + Ь) + с =
Рис 34?

(fl -t-b)+C = Q+(b+C)
Рис. 351
Следовательно,
(а + Ъ) + с - а + (b + с).И
Так как суммы векторов (а + b) J-
+ с и а + (Ь + с) равны, то их
можно записывать без скобок:
(о + 6) + с = а (Ь + с) = а + 6 + с.
64 \ Переместительный закон:
И	а-{-Ь=Ь	-{-а.
Док азательство. Пусть
векторы а	и Ь	не	коллинеаряы
(рис. 352). Тогда при откладывании
их от точки А (а — АВ, b — AD)
получим, что точки А, В и D не
лежат	на	одной	прямой.	Постро¬
им четвертую вершину С парал¬
лелограмма ABCD. Имеем:
а = АВ — DC, Ь = AD = ВС.
По правилу треугольника
а	+ Ъ	= АВ +	ВС	АС,
Ь	+ а	= AD +	DC	- АС,
откуда и следует, что
a, b = Ъ а. ■
Доказанное свойство позволяет выполнять сложение двух
неколлинеарных векторов а и b по «правилу параллелограмма»:
векторы а и 6 откладываются от одной точки А (рис. 352) и стро¬
ится параллелограмм со сторонами АВ и AD. Тогда
АС о -J- Ь.
64з| Закон поглощения нулевого вектора: а О = а.
Доказательство. Отложим вектор а от произвольной
точки А: а — АВ. Тогда
a-t-О АВ + ВВ г АВ а. Я
Рассмотрим теперь вычитание векторов. Для любых двух
204

Рис. 353
векторов о и 6 существует вектор с,
сумма которого с вектором 6 есть вектор


а. Такой вектор называется разностью
векторов a i/i Ъ.
-» *■
Разность векторов а и 6 (обозначает¬
ся а — Ъ) равна вектору а + (—6):
•+ •+
а—6 — а + ( - 6).
Докажем это, опираясь на законы
сложения векторов. Применяя сочета¬
тельный закон, свойство противоположных векторов (( -6) +
-(-6—0) и закон поглощения нулевого вектора, получим:
(а + (—6)) +Ь=о+ ((—6) + t) = о т О = «. ■
Если векторы а и 6 отложены от одной точки О (рис. 353),
то для нахождения разности о — 6 удобно пользоваться таким
правилом:
ОА -ОВ = ВА.
Вопросы и задачи
810.	Найдите сумму векторов а и 6 по
правилу параллелограмма и по пра¬
вилу треугольника (рис. 344, а, б, д).
811» Докажите сочетательный закон сло¬
жения векторов, пользуясь рисун¬
ком 354.
812. Даны векторы ОА, ОВ и ОС (рис. 355).
Найдите различными способами век¬
тор ОА + ОВ^ ОС (АОВ = ВОС =
—СОА).
813. А, В, С, D и Е — произвольные точки
плоскости. 1) Выразите через векто¬
ры а = АВ, Ъ — ВС, с — CD, d—DE
векторы AD, BD и AC. 2) Выразите
через а, Ь, с, d векторы AD, BD, ЕА,
ВС, СЕ.
205

817.
818.
^819.
820.
821.
822.
823.
824*.
814. Докажите: 1) АВ -j- ВС -j- С А — 0;
2) АВ -I- ВС' -г- DA — DC;
3) Ab + ВВ ВС + DB ^ АС'.
815. Найдите векторь:	1) АВ-\-ЕГ;
2)	XY + PQ -{ RS; 3) &F-f MN + RS
(см. рис. 336).
816. На рисунке 356 изображен паралле-
^ лограмм ABCD, {СЕ) || (BD). Докажи¬
те: 1) AC- BD= AD 4 ВС;
2)	IB + BC + CD---. АВ 4 СЕ;
Рис J57	3)	АС	ВО	+	СВ	—	DB	-(- СЕ-г ВС
На рисунке 357 задань векторь АВ = а, ВС — b, CD — й.
Выразите векторы СА, DB и DA черес и. Ъ и d.
От произвольно выбранных точек плоскости отложите век¬
торы с — Ъ, Ъ — с и —с — Ъ (векторы с и Ъ заданы на
рис. 344).
Задайте векторы с и 6 и найдите векторы: ) а—Ь; 2) Ъ—с;
3)	—а—Ь.
В каком случае выполняются равенства: 1) с—Ъ= Ъ — с;
2) о — Ь = —с — Ь ?
Отметьте точки А, В, С D и отложите от -очки О векторы:
1)	АС —АН; 2) АО —АС. 3) ОВ — ОА; 4) AB+CA-frBC;
5)	АВ —СО + СА.
Выразите через векторы а, Ъ и d векторы: 1) ОС ?) DB;
3) СА; 4) ВА (рис. 357).
Упростите выражение: 1) {АЬ АС){ВАСВ); 2) АВ —
-ОВ - СА - СА; 3) (АВ — ВС) — (СО + АО) + (СВ — СО).
От пристани к противоположному берег) реки отправляется
катер со скоростью 40 км/ч. Скорость
течения реки 5 км/ч. В каком направ
лении (покажите его на рисунке) сле¬
дует плыть катеру, чтобы приш ыть
в ближайшую точку противоположного
берега реки.
206

825. Груз спускается на парашюте со скоростью 3 м/с. Ветром
его относит в сторону со скоростью 2 м/с. Под каким углом
к вертикали будет спускаться груз при этих условиях? (Угол
найти построением.)
—Т	—V
826**. Докажите: если векторы а и Ь коллинеарны (рис. 358),
—►	—ь-	—►
то о + Ь = Ь + о.
58.	Умножение вектора на число
1.	Зададим какой-либо вектор о и найдем сумму а -f- а -1 а
(рис. 359). Такую сумму естественно обозначить Зс и назвать
произведением вектора а на число 3. Длина вектора За равна
длине вектора а, умноженной на число 3. Направление вектора
За совпадает с направлением вектора а.
Произведением вектора а на число —1 естественно назвать
вектор —а, противоположный вектору а (рис. 360). Произве¬
дением вектора а на отрицательное число, например на—3, ес¬
тественно считать такой вектор AM, длина которого равна
произведению | — 31 - |а|, а направле¬
ние противоположно направлению век¬
тора а (рис. 361). Сформулируем общее
определение.
Определение. Произведением д
ненулевого вектора а на число л:	0
называется вектор, длина которого рав¬
на произведению длины вектора а на
модуль числа х, а направление совпа-
дает с направлением вектора а при х > 0
Рис 359
-а
и противоположно направлению а при
х < 0.
Произведение вектора а на число
х обозначается через ха (числовой мно- ^
житель пишется слева). По определе- М
- ь	—►
нию |jco| = |*| • Ja|.
Рис. 360
-За
Рис. 361
207

Выше не рассмотрены случаи а — О и х О. Для этих слу¬
чаев принимаются дополнительные определения:
х - О = О для любого числа х,
0-о=0 для любого вектора а.
65 ITeop ем а. Ненулевые векторы а и Ь коллинеарны
\ тогда и только тогда, когда существует такое число х,
|чго ь ха.
Доказательство. 1) Докажем сначала, что еслх^су-
ществует такое число х, что Ъ = ха, то векторы а и Ъ коллине¬
арны. Но это очевидно; по определению произведения вектора
на число векторы а и ха имеют либо одинаковые (если х >0),
либо противоположные (если х < О) направления.
2)	Докажем теперь обратное утверждение: если ненулевые
векторы а и Ъ коллинеарны, то существует число х, такое, что
Ь ха.
По определению коллинеарных векторов направления век¬
торов а и Ъ либо совпадают, либо противоположны. Если векто-
7	г	-	ifcl
ры а и Ь направлены одинаково, то Ь = ха при х = —.
1а|
Если же направления векторов а и Ь противоположны, то Ь= ха
при х = —	■
1° I
2.	Определив сумму векторов и произведение вектора на
число, мы определили тем самым две операции — сложение век¬
торов (любым двум векторам соответствует третий вектор —
их сумма) и умножение вектора на число (любым вектору а и
числу х соответствует вектор ха). Основные законы сложения
векторов были сформулированы выше (п. 57).
Перечислим теперь основные законы умножения вектора на
число.
(ху)а = х(уа)	(сочетательный закон).
66 J ха -(- уа ~ (х 4- у)а	(первый распределительный	закон).
66,1 ха хЪ — х(а Ь)	(второй распределительный	закон).
66, § х • 0 = 0 ■ о — О.
208

Вопросы и задачи
827.	Задан вектор е = ОЕ. Найдите вектор	а, если	1) а	= 2е;
2)	а _ 5е; 3) о — 0,5е; 4) а — —3,5е, 5)	а — 4е +	Зе.
828.	Дан вектор а. Найдите векторы 2а, —За,
, 2 -
1,5а. -а.
829.	При каких значениях числа к векторы а(а 0) и ha: 1) со-
направлены, 2) противоположно направлены; 3) равны?
830*. При каких значениях числа к верны соотношения:
1)	|йх-| < |с|; 2) |fee| > |с|; 3) \kc\ — \с\, где с — ненуле¬
вой вектор?
831.	Задайте векторы а и Ь и найдите векторы:
1)	о—f-J 2) а~~ ; 3) 2а-ЗЬ.
832*.	Укажите, при каких значениях числа k вектор kc -f- с	(с Ф 0):
1)	имеет то же направление, что и вектор с;	2) имеет	направ¬
ление, противоположное направлению вектора с; 3) равен
нулевому вектору,- 4) равен вектору с.
833. На рисунке 362 задано несколько векторов. Какие из этих
векторов коллинеарны, какие не коллинеарны?
834.	Даны точки 0(0),	—1). Найдите такое	число	х,	что
1)	ОА =■ хОВ; 2) ОВ — хОА; 3) ВА — хОА;
4)	ВА = хВО; 5) ОВ — хВА; 6) АО = хВА.
835*. Верно ли утверждение: любые два вектора а и Ъ	коллинеарны
тогда и только тогда, когда существует такое число х,
что Ь = д:а?
836*. Докажите, что если ненулевые векторы а и Ъ коллинеарны!,
то число jc такое, что Ь — ха, единственно.
837*. Докажите, что три точки А, В и С
принадлежат одной прямой тогда и
только тогда, когда существует чис¬
ло к, для которого АВ = kAC.
838.	Какие законы действий над вектора¬
ми выражаются равенствами:
1)	Ь -{- 0 Ь; 2) с d z—1 d -j- с;
3) (?+2) + b-c*+(d+b);
?d-
1
s
4
1 1 1
Рис- 362
209

4)	Ос — АО; 5) ис О, 6) (st)b = s(tb); 7) sa -f- ta— (s + t)a;
8) sb |- sc — s(b |-c)?
839.	Упростите выражения (наживите законы действий над векто¬
рами, которые при этом вы применяете):
1)	За + (-o)-2a-f ЗЬ;	2)	—2^с + 0 • 6)+3-O-f 5а;
3)	3(5и' + 26) + 4(—Зи-f Ь);	4)J_((3a—	2b]	f	5а)	—
-А-(6^-9 Ь).
59.	Координаты вектора
Вектор, длина которого принята за единицу измерения длин,
называют единичным. Обозначим через i и / единичные векторы,
отложенные от точки О в положительных направлениях на осях
х и у прямоугольной системы координат (рис. 363). Рассмотрим
произвольный вектор с = ОС. Проведем через точку С прямые
ССХ и ССу, параллельные соответствэннс осям у и х. Векторы
ОСх — сг и i, а также ОСу - су и j коллинеарны. Следователь-
—I	—►
но, по теореме 65 существуют такие числа сх и су, что сх = сх i
И Су :	Су j.
По правилу параллелограмма имеем: ОС = сх + су.
Значит, с = сх i + су j.
Если вектор с представлен в виде cxi + cyj, то говорят,
что вектор с разложен по векторам i и j. Векторы сх— сх in
—»	-*	—i
Су Су j называются составляющими вектора с по осям х и у.
Коэффициенты сЛ и с разложения вектора с по единичным век-
торам i и i называются координатами
вектора с в данной системе координат*.
Задача. Доказать'. 1) каждая
-f —*•
координата суммы векторов а и Ъ рав-
• Обратите внимание: обозначенш составля-
-+ -* -*
ющих сх и Су вектора с по осям координат отли¬
чаются от обозначений соответствующих коорди¬
нат вектора с только стрелками (составляющая
вектора — вектор, а координата — число).
У
Су
с
«к
Су
с/
7
Сх
0
Т с*
X
Рис 363
210

на сумме соответствующих координатп этих всктироо; 2) каж
дая координата произведения вектора а на чи^лО ft равна про¬
изведению соответствующей координаты этого вектора на чис¬
ло ft.
Т Доказательство. Пусгь
—*	■»	-4	—►	—Ь	^
а = ах i + ау /, Ъ= Ъх i + Ъу j.
Пользуясь законами сложения векторов и умножения век¬
тора на чиело, получим:
—*■ —
а + b = (ах i + ау j) + (bx i + Ъу j) =
= (ах + Ъх) i + (ау + Ъу) j.
Значит, координаты вектора а + Ъ равны ох-\- Ъхи ау-{- Ъу,
что и требовалось доказать.
Легко доказать и второе предложение:
ft (axi + ау j) = (kax) i + (kay) j. ▼
Вопросы и задачи
840. На координатной плоскости даны точки А( 1, 2). В(5, 6) С(7, 8)
и D(5, 12). 1) Разложите векторы АВ и CD по единичным век¬
торам г и j. 2) Найдите координаты векторов АВ и CD. Ука¬
зание. Задачу рекомендуется решать на клетчатой бумаге
841. На координатной плоскости даны точки А(6, 2), В{2, 5)
и С(10, 11). Постройте составляющие векторов АВ и ВС по
осям х и у.
842. Может ли: 1) составляющая ненулевого вектора равняться 0;
2)	обе составляющие ненулевого вектора равняться 0?
-*■	—*■
843. Разложите по векторам й| и ег векто¬
ры (рис. 364): ОА, ОВ, ОС, ОА -j- ОВ,
ОВ + ОС, ОС + ОА, ОА OB-l- ОС,
844. а = Ъе, Ъ = —2е, Запишите в виде
хе векторы За, 5Ъ, а -J- Ъ, 2а -j- 3Ъ.
845. На одной из сторон угла отложены
векторы ОА — а, АВ — 2а. Через точ¬
ки А и В проведены две параллель¬
ные прямые, пересекающие вторую	рис.	354
4
5	-
4 г
3 г-
2
1
ег
В
ё<1 2 3 Ч X
211

в
в
сторону угла в точках Си!) (рис. 365).
Известно, что ОС—Ь. 1) Выразите
через вектор Ь векторы CD и OD.
2)	Выразите через векторы а и b век¬
торы AC, BD, AD и СВ.
846. Дано: \АМ\ = \МВ\, \МЕ\ = \ЕС\,
(МН) || (AF) (рис. 366).
Доказать: ВН = HF = FC.
Разложите по векторам АВ = а и
AD — Ъ векторы AM, МН, AF
(рис. 367), если	= \HD\,
|ВВ| = |МС| =i|BC|.
848*. Дано:	|АВ|	=	|DC|,	|ВЕ|	= |ED|
(рис. 368).
Доказать: ВС = ЪВМ.
849*. Дано:	ABCD	—	параллелограмм,
\0Н\ = \HD\ (рис. 369).
Доказать: CF = 2FD.
850. Разложите по векторам а и 6 векторы
BD, АС, ВН, АН, AF (см. рис. 369),
где а = АВ, b — AD.
60 у. Векторы и векторные величины
в физике'
1.	Поступательным движением тела в фи¬
зике называют движение, при котором
все точки тела за один и тот же проме¬
жуток времени перемещаются в одном и
том же направлении на одно и то же рас¬
стояние. Рассмотрим в виде примера ка¬
тящийся по рельсам подъемный кран
(рис. 370). Пусть за некоторый промежу¬
ток времени все его точки переместились
горизонтально вправо на 40 м. Переме¬
щение крана за этот промежуток време¬
ни полностью характеризуется вектором
212

с
#•
40 м
С1
Рис. 370
s = ААХ = ВВ1 = CClt который физики называют вектором
перемещения.
Таким образом, вектор перемещения в физике есть вектор
в смысле, принятом в нашем учебнике (см. п. 55). Разница со¬
стоит в том, что в учебнике геометрии речь идет только о век¬
торах на плоскости, а физики сразу рассуждают и о векторах
в пространстве, с которыми вы встретитесь в 9 классе.
2.	Но в физике слово «вектор» употребляют и в более широ¬
ком смысле. Например, говорят, что скорость есть вектор. Но
уже из того, что длина геометрического вектора измеряется
в метрах, а абсолютное значение скорости — в метрах в секунду,
ясно, что скорость не есть вектор в смысле, принятом в геомет¬
рии. Мы скажем, что скорость есть не вектор, а векторная вели-
чина.
Пусть подъемный кран (рис. 371) двигается горизонтально
со скоростью и* = 2 м'с. Чтобы изобразить эту скорость
иг
Рис. 371
Рис. 372
213

геометрически, надо выбрать определенный
масштаб. На рисунке 372 скорость vx =
— 1 м/с изображается отрезком в 11 мм,
а скорость v2 2 м с — отрезком дли¬
ной 22 мм.
Пусть, двигаясь горизонтально, наш
Рис 373	кран поднимает вверх ящик со скоростью
1 м/с. Векторная величина скорости ящика
относительно крана изображена на рисунке 372 вектором v±
длиной 2 см, направленным вертикально вверх.
Сумма векторных величин vr и есть скорость ящика от¬
носительно неподвижной системы отсчета. Эта векторная ве¬
личина
v' = I?! + v2
при выбранном нами масштабе изображается геометрическим
вектором.
Вообще, векторные величины, кроме своего модуля, опреде¬
ляются своим направлением. При выборе определенного масшта¬
ба векторные величины изображаются геометрическими векто¬
рами.
При этом сложению векторных величин соответствует век¬
торное сложение изображающих их геометрических векторов, а
умножению векторных величин на числа соответствует умноже¬
ние на те же числа изображающих их геометрических векторов.
Рассмотрим еще один пример. На рисунке 373 вектор v может
изображать скорость при вращательном движении, а вектор
а — ускорение. Но складывать эти векторы физически бессмыс¬
ленно.
Тем не менее в физике говорят просто, что скорость или
ускорение являются векторами. В такой вольности речи нет
беды, если ясно понимать, что за нею скрывается. Подобно
этому мы в свое время условились называть для краткости дли¬
ну стороны треугольника просто его стороной и т. п.
Дополнительные задачи к главе V
[851. Упростите выражение: 1) АВ + ВМ -(- МК\ 2) {АВ-\-МВ)-\-
I +ВС + ОМ; 3 )Ш + А€ + ВМ; 4) —СА — ОС + ОВ — СО.
214

852. На плоскости даны точки М и N. Докажите, что сумма
MN -f- MX + XN не зависит от выбора точки X.
853. Докажите, что дл я любых векторов х и у-.
1) |l*l — lyl|	ss;	1л: -h i/l	^	\х\ + |у|;
2) | 1*1 — 1у11	^	U — у\	^	\х\ f |у|.
854. Даны векторы х, у, z. Отложите от данной точки векторы:
1) X + у — г;	2)	(X-	у)	+ -1 (у - z)	- -| х;
3) (x + y) — 4(y	+ z) + y; 4)5(х—Уу)-	2(у — 2х) f г;
5)	3(х + 2у)-2(г + Зу)~-2(х+1).
855. Решите уравнения относительно вектора jc: 1) о + 5д- =
2) j (а-2х) -Н 3(х- j а) = а; 3) 2(а+±х) Ъ(Ь^х) =
-v
=а — Ь.
856. Докажите, что если АС = 2АВ, то векторы ВС и ВА противо¬
положны (А=£В).
857. Дан параллелограмм ABCD, точка О — его центр.
Докажите, что РА -f- РВ -f- PC -f- PD = АРО, где Р — произ¬
вольная точка плоскости.
858. Какой вид имеет четырехугольник ABCD, если известно, что:
1) AD ■■— ВС; 2) векторы AD и ВС коллинеарны?
859. 1) Точка М — середина отрезка АВ, О — произвольная точке
плоскости. Докажите, что ОМ = у (ОА + ОВ).
2) Точка М—середина отрезка АВ. Докажите, что сумма
ОА + ОВ не изменится при повороте [-АВ] вокруг точки М.
860. 1) Точка М принадлежит отрезку АВ, \АМ\ \ \МВ\ = 2:1,
Докажите, что ОМ = — О А	— ОВ (О — произвольная точка
3	3
плоскости).
2)	Докажите с помощью векторов теорему: медианы тре¬
угольника пересекаются в одной точке, причем то<- ка пересе¬
чения делит каждую медиану в отношении 2*1, считая от
вершины.
861. Докажите с помощью векторов теорему о средней линии тре¬
угольника.
215

862. Отложите от точки (1, 0) вектор о, если известны его коорди¬
наты: 1) (2 4); 2) (3. -4); 3} (-2. -3); 4) (-4, 2).
•* -*•
863. В координатной плоскости XOY задайте векторы а и Ь.
1) Найдите составляющие этих векторов по осям координат.
-* ■+	-*■ -*■
2) Найдите составляющие	векторов o-f-Ь	и	а — Ь по осям
координат. 3) Докажите, что составляющая суммы (разности)
векторов равна сумме (разности) соответствующих составляю¬
щих этих векторов.
864. Докажите единственность разложения вектора по двум не-
коллинеарным векторам е( и Со.
865. Точки А и В симметричны относительно точки О. Докажите,
что MB = 2МО — МА, где М — произвольная точка плос¬
кости.
866. Докажите с помощью векторов, что Z0^ с ZQ^ = 20201ш
867. Докажите, что отрезок АВ — множество	таких	точек X плос¬
кости, что ОХ — kOA (1	— к) ОВ, где	0	k	sj 1 (О — про¬
извольная точка плоскости).
868. 1) Докажите, что прямая АВ — множество таких точек
X плоскости, что ОХ — kOA -|- (1 — k)OB, где к (; R, а О —
произвольная точка плоскости.
2)	Докажите, что луч АВ состоит из таких точек X плоскости,
что ОХ = кОВ + (1 — k)OA, где к ^ 0.
869. Фигура L состоит из всех точек координатной плоскости,
имеющих координаты (тп, п), где тип — целые числа. Дока¬
жите, что перенос а отображает фигуру L на себя тогда и
только тогда, когда а = k,i -|- k2j, где к\ и k2—целые числа.

ГЛАВА VI
ПОДОБИЕ
§ 1. Подобие и гомотетия
61.	Подобные фигуры
К понятию конгруэнтности фигур мы
пришли, рассматривая предметы оди¬
наковой формы и размеров. Однако
часто встречаются предметы одина¬
ковой формы, но разных размеров.
Таковы корабль и его модель, карты,
выполненные в разных масштабах
(рис. 374, 375), фотоснимки, напеча¬
танные с одного негатива при разных
увеличениях и т. п. Все это примеры
подобных фигур.
Рассмотрим еще один пример. На
рисунках 376 и 377 изображены два
треугольника — ДАВС и ДА^хС^.
Отношение длин сторон второго тре¬
угольника к длинам соответствующих
сторон первого равно двум:
]А1В1\_ \В1С1\	ИА1 _ о
| АВ I I ВС I	| АС |
Мы увидим вскоре, что существует
отображение первого треугольника на
второй, при котором любые точки X
и Y треугольника ABC (а не только
его вершины) отображаются на такие
точки Xi и Ylt что
|XxYxl = 2|XY|.
217

33
35
36
В этом случае говорят, что при таком отображении расстояния
изменяются в одном и том же отношении k — 2, а треуголь¬
ник AxBiCi подобен треугольнику ABC, причем коэффициент
подобия равен двум.
Определение. Фигура Ll подобна фигуре L, если суще¬
ствует отображение фигуры L на Llt при котором расстояния
изменяются в одном и том же отношении k > О.
Если фигура Ll подобна фигуре L, то пишут Z,, оо L или
Д
(когда хотят указать коэффициент подобия) Lv cv> L.
2
Например, запись A-AjZ^Ci оо ДАВС означает, что тре¬
угольник ABC можно отобразить на треугольник А1В1С1 так,
что	=	2	| -X'Y’I, где Хх и Y2 образы произвольных то¬
чек X и Y треугольника ABC (см. рис. 376 и 377).
Из определения подобных фигур сразу следует, что кон¬
груэнтные фигуры подобны (коэффициент подобия равен
единице). Рассмотрим другие свойства отношения подобия
фигур.
1)	(Рефлексивность.) Каждая фигура подобна себе (коэф¬
фициент подобия равен единице).
218

2)	(Симметричность.) Если фигура подобна фигуре L с
коэффициентом подобия k, то фигура L подобна Lx с коэффи-
1
циентом —:
k
Li ос L
L оо
у Доказательство. Так как фигура Ег подобна фи¬
гуре L, то существует такое отображение / фигуры L на фигуру
Li, что если X и Y — произвольные две точки фигуры L, а
точки Xi vi Yi — их образы, то X^Yj | = k |XY |. Расстояние
|	[	не	равно нулю, так как |XY, ф 0 и k ф 0. Следователь¬
но, Xi ф Yi, т. е. любые две точки фигуры L при отображении /
переходят в различные точки фигуры Поэтому отображение /
обратимо. При обратном ему отображении расстояния изменя¬
ются в i раз. В самом деле, если / (X) / (Y) = k 1 XI' |, то
k
\XY\ - 1 |/(X)/(Y)|. Т
к
Рис. 37i
219

3)	(Транзитивность.) Если фигура Lx подобна фигуре L
с коэффициентом ftlf а фигура L2 подобна фигуре Lx с коэффи¬
циентом ft2, то фигура L2 подобна фигуре L с коэффициентом
к — кхк2:
kx	А'о	A	jAj
(J[rj c%s £o oo Ex) —/ X^ oj X*
у Доказательство. Пусть А и В — две произвольные
^1
точки фигуры L. Так как Lx со L, то существует отображение
ft фигуры L на фигуру Ь1г такое, что
I АгВ] | -	|А£|
(Ах и Вх — образы точек А и В при отображении fx).
k2
Так как L2 cv> Lx, то существует такое отображение f2 фи¬
гуры Lx на фигуру I/o, что
|А,В2| — кг IAjBxI
(А2 и В2 — образы точек Ах и В| при отображении f2).
Рассмотрим композицию f2 и fx — отображение f2 ° fx. При
этом отображении фигура L отображается на фигуру L2. Кроме
того,
|А2£2| = к2 lAxBxl = к2 (к] |А£|) = к2кх |АВ|.
Значит, фигура Ьг подобна фигуре L, причем коэффициент
подобия равен кх к2. у
Итак,
671 отношение подобия фигур рефлексивно, симметрично и тран-
I зитивно, т. е. является отношением эквивалентности на
I множестве фигур плоскости.
Вопросы и задачи
8701. Приведите примеры подобных фигур.
87Г. Подобны ли любые две конгруэнтные фигуры?
872.	1) Конгруэнтны ли любые две подобные фигуры? При каком
условии подобные фигуры конгруэнтны?
2)	Постройте какие-нибудь две подобные, но не конгруэнт¬
ные фигуры.
k	k
873. О двух фигурах Ь\ и L% известно, что L\ ос Ь2 и Lo ос L\. Мож¬
но ли по этим данным найти значение ft?
874.	1) План одного и того же земельного участка начерчен в
двух видах: первый план имеет масштаб 1 : 100, а второй —
220

1 : 1000. Чему равны коэффициенты подобия этих планов?
2)	Макет плотны выполнен в натуральной величины.
Затем с этого макета сделали второй, уменьшив его размеры
в четыре раза. Каков коэффициент подобия плотины и второ¬
го макета плотины?
875.	1) Расстояние между Москвой и Ленинградом по железной
дороге равно приблизительно 600 км. Какой масштаб надо
выбрать, чтобы изображение железной дороги поместилось
на листе тетради?
2)	Найдите расстояние между Джанкоем и Севастополем,
Севастополем и Симферополем (см. рис. 374), если масш¬
таб равен 1 : 5 000 000.
876. Даны три точки А, В и С, не лежащие на одной прямой. По¬
стройте фигуру {А 1, В\, Ci}, подобную фигуре {А, В, С} с
коэффициенюм подобия, равным: 1) 3; 2) i-.
877. Зададим следующее отображение прямой а на прямую Ь:
каждой точке Р(х) прямой а поставим в соответствие точ¬
ку Pi{kx) прямой Ь (k — постоянное число). Докажите, что
при этом отображении расстояния между точками изменяют¬
ся в отношении |fe|.
878. Известно, что при отображении отрезка АВ на отрезок А\В\
расстояния изменяются в одном и том же отношении 3.
Постройте образ точки X отрезка АВ при этом отображении.
879*. Докажите: окружности (О, г) и (О, ?г) подобны с коэффици¬
ентом 2. Указание. Поставьте в соответствие каждой точ¬
ке X окружности (О, г) точку Х\ окружности (О, 2г) такую,
что точки О, X и Х| лежат на одном луче с началом О.
880*. Докажите подобие любых двух: 1) треугольников; 2) квадра¬
тов, если отношение их сторон равно двум.
881*. Любая прямая подобна сама себе с любым коэффициентом
подобий k > 0. Укажите другие фигуры, обладающие этим
свойством.
I
62.	Гомотетия
В предыдущем пункте было дано определение подобных фи¬
гур. Рассмотрим теперь один из способов построения таких
фигур. Как, например, построить многоугольник, подобный
данному многоугольнику ABCDE с коэффициентом подобия
к — 21
221

Возьмем произвольную точку О (рис. 3/8) и отложим от нее
векторы ОАх = 2ОА, OBt = 2ОВ и т. д. Многоугольник
AxBiCiD^i, как вы убедитесь в дальнейшем, и будет искомым.
При этом построении мы воспользовались отображением
X Хи при котором каждая вершина многоугольника отобра¬
жалась на определенную точку плоскости по указанному пра¬
вилу.
Если каждой точке X плоскости (а не только точкам много¬
угольника ABCDE) поставить в соответствие такую точку Х1л
что ОХг = 2ОХ, то получим отображение плоскости на себя.
На рисунках 379—381 приведены примеры отображений
плоскости на себя, при которых каждая точка X плоскости
отображается на такую точку Х^ что ОХг — к ОХ (к = 3,
k = 1, к - -2).
2
Задача построения фигуры, подобной данной, привела к
новому отображению плоскости на себя, которое называют
гомотетией.
Определение. Гомотетией с центром О и коэффициентом
к ф 0 называется отображение плоскости на себя, при котором
образом произвольной точки X является такая точка Xi, что
ОХг = кОХ.
Гомотетию с центром О и коэффициентом к обозначают Н*.
772

Рис. 380
Рис. 381
Говоря о гомотетиях с каким-либо определенным центром,
букву О в обозначении опускают. Если речь идет о какой-
либо одной гомотетии, ее обозначают просто буквой Н.
Отметим два частных случая. При гомотетии с коэффициен¬
том 1 каждая точка отображается на себя. Значит, тождествен¬
ное отображение может рассматриваться как гомотетия с лю¬
бым центром и коэффициентом k = 1.
При гомотетии с центром О и коэффициентом — 1* кажда я
точка X отображается на точку Хи для которой OX j = —ОХ,
т. е. на точку, центрально-симметричную точке X. Значит,
гомотетия с коэффициентом — 1 есть центральная симметрия:
нд' = го-
По определению гомотетии с центром О и коэффициентом k
точка О отображается на такую точку 0lf что ООх = kOO -- О.
Значит, Ох = О, т. е. при гомотетии ее центр отображается на
себя.
* Обратите внимание иа то, что коэффициент гомотетии может быть и от¬
рицательным числом, в то время как коэффициент подобия фигур — число
положительное.
223

Непосредственно из определения следует также, что если
k > О, то точки X и Хг = Я (X) лежат на прямой ОХ по
одну сторону от центра гомотетии (при ft > 0 векторы ОХ
и UXx — ft ОХ сонаправлены, рис. 382).
Если ft < О, то точки X и Хг — Я (X) лежат на прямой
ОХ по разные стороны от центра гомотетии (при ft < 0 век¬
торы ОХ и ОХг = ft ОХ противоположно направлены,
рис. 383).
68В Те°Р ем а. Отображение, обратное гомотетии с коэффи¬
циентом k есть гомотетия с тем же центром и коэффициент
1
том— .
К
Доказательство. Пусть
Я* (X) - Хг.
По определению гомотетии
ОХг = ft ОХ.
Из этого равенства следует:
ОХ = —OXv
k
а это означает, что
X = Н*{Хх).
Из теоремы 68 следует: если фигура Lx гомотетична фигуре L
с коэффициентом ft (т. е. существует такая гомотетия Н0, что
Но (L) — Lj), то фигура L гомотетична фигуре Ьг с коэффици-
1
ентом —.
к
224

Вопросы и задачи
882э. Как построить точку, гомотетичную данной точке X, если
даны центр О и коэффициент k гомотетии?
883. Отметьте на плоскости точки О, А, В и С.
1)	Постройте	точки	А\, В,	и	С, такие, что: а) ОАi = 3ОА;
б)	03, = -2ОВ,	в)	ОС, = - ОС.
3
:	1	1
2) Постройте точки А2 = Н* (А), В2 = Н1 (В), Сг = Н:п (С).
С	0	0
884°. Найдите значение й, при котором: 1) гомотетия Hq являет-
1
^ —
ся перемещением; 2) HQ (X) = Н*о(Х).
885. Найдите коэффициенты k\, k'., k3, k3l если известно,
что А, = Щ (А), В, =	(В),	С,	=	ну	(С),	В,	=	Н 0- (В),
В, = Щ (Е) (рис. 384).
886. Известно, что фигура L\ — образ фигуры L при гомотетии
HkQ. Можно ли получить фигуру L как образ фигуры L, при
некоторой гомотетии? Найдите центр и коэффициент этой
гомотетии.
887. Как расположены точки А и Ai = H^(A) относительно
центра гомотетии Hq, если: 1) k > 0; 2) к <. 0; 3) 0 < k <. 1;
4)	ft> 1?
888. Укажите центры и коэффициенты гомотетий, обратных гомо¬
тетиям н’, я-3, н\, Н-1.
889. Постройте фигуру, гомотетичную: 1) данной окружности;
2)	данному отрезку; 3) треугольнику; 4) четырехугольнику
(центр и коэффициент гомотетии выберите самостоятельно).
890*. Докажите, что любая гомотетия является обратимым отоб¬
ражением плоскости на себя.
891*. Покажите, что композиция двух гомотетий Ни Н с
общим центром есть гомотетия с тем же центром и с коэф¬
фициентом kik2.
892**. Из результата задачи 891 вытекает,
что композиция гомотетий с общим
центром переместительна. Покажите
на примере, что, вообще говоря, для
гомотетий с произвольными центра¬
ми это не так.
8 Геометрия. 8-8
225

63.	Свойства гомотетии
69i | Гомотетичные фигуры подобны*.
Доказательство. Обозначил! через Ху и У образы
произвольных точек X и У при гомотетии Но • По определе¬
нию гомотетии ОХу = kOX, ОУ\ — kCY (рис. 385). Для
любых трех точек О, Xlt У\
ХуУ\ = OYy - ОХ у.
Значит,
X^Yy - OYy - ОХ у = кОУ кОХ - k (ОУ - ОХ) = kXY.
По определению улшожения вектора на число \XyYy =
= \k\ \Х Y|. Следовательно, при гомотетии с коэффициентом к
расстояния между точкалш изменяются в одном и том же отно¬
шении \k\. А это и означает, что каждая фигура при гомотетии
отображается на подобную ей фигуру. В
69з| При гомотетии с положительным коэффициентом каж¬
дый луч отображается на сонаправленный с ним луч
(рис. 386, а). При гомотетии с отрицательным коэффи¬
циентом каждый луч отображается на противоположно
направленный с ним луч (рис. 386, б).
69зВ При гомотетии любая прямая отображается на парал¬
лельную ей прямую, отрезок — на параллельный ему отре¬
зок, угол — на конгруэнтный ему угол.
Эти свойства мы принимаел! без доказательства.
* Отметим, что из этого свойства вытекает, что многоугольника AxB,C,DyEy
и ABCDE, рассмотренные в пункте 62, действительно подобны.
226

694 1 Если три точки О, А и Ах принадлежат одной прямой,
[ то существует единственная гомотетия с центром О,
I отображающая точку А на А- .
Доказательство. Для задания гомотетии доста
точно задать ее центр и коэффициент. По условию центр изве
стен - это точка О. Найдем коэффициент гомотетии с центром О
отображающей точку А на Av,
По определению гомотетии О А, = UOA. Этим равенством
число ft определяется однозначно. В самом деле, |ft| =
Если О лежит между точками А и А,, то ft = —	Если	же
\ОА\
точки А и Ах принадлежат одному лучу с начали»: О, то ft =	в
| ОА (
Итак, для задания гомотетии достаточно указать ее цен-р,
произвольную точку А и ее образ А-. Теперь рассмотрим, как
строится образ произвольной точки плоскости при таком спо¬
собе задания гомотетии.
Пусть точка В — произвольная точка плоскости, не при
надлежащая прямой О А (рис. 387, а). Проведем прямые О В и
АВ. Затем построим прямую АхМ, параллельную прямой АВ.
Точка Вх — (АХМ) П (ОВ) — образ точки В при гомотетии И.
Действительно, образ точки В при гомотетии Н — некото¬
рая точка прямой ОВ (так как эта прямая при гомотетии Нотоб¬
ражается на себя). Кроме того, прямая АВ отображается на
прямую, ей параллельную (свойство 3) и проходящую через
точку Ах (так как Н (А) = Ах). Поэтому точка h (В) принадле¬
жит и прямой ОВ, и прямохх АХМ, т. е. Н (В) - Вх.
Рис 387
я*
227

В случае, когда точка В принадлежит прямой О А, построе¬
ние приведено на рисунке 387, б. (Сначала строится образ
точки С £ (ОА).)
Вопросы и задачи
(893?.
894.
896°
897.
898°
899,
\90й.
Как изменяются (увеличиваются или уменьшаются) расстоя¬
ния между точками при гомотетии, если:
2) \k\ <1; 3) \k\ — 1?
Можно ли найти центр гомотетии, если известны: 1) только
одна пара соответствующих точек; 2) две пары соответст¬
вующих точек, не лежащих на одной прямой?
1) В каких случаях расстояния между точками при гомотетии
не изменяются?
2) Сохраняется ли при гомотетии параллельность прямых?
Каков коэффициент подобия фигур L\ и L, если L\ гомо¬
тетична L с коэффициентом гомотетии:	1)	2,5;	2)	—3;
3) ml
Лучи О А и OjAi гомотетичны. Каково взаимное расположе¬
ние прямых ОА и Oi-Ai? Где может находиться центр и каков
коэффициент гомотетии, отображающей луч ОА на луч 0\А\,
если эти лучи: 1) противоположно направлены; 2) одинако¬
во направлены?
Могут ли быть гомотетичными: 1) две пересекающиеся пря¬
мые; 2) два луча, лежащие на пересекающихся прямых;
3)	два луча, не лежащие на одной прямой?
Верны ли предложения: 1) если фигуры подобны, то они
гомотетичны; 2) если фигура L конгруэнтна фигуре L\ и фи¬
гура L\ гомотетична фигуре то фигура L подобна фигу¬
ре Ь2; 3) если фигура L гомотетична фигуре L\ и фигура L\
конгруэнтна фигуре L2, то фигура L подобна фигуре Ь2.
Гомотетичны ли фигуры L и L\ (рис. 388)? Если эти фигуры
гомотетичны, укажите центр и коэффициент гомотетии,
Рис. 388
228

отображающей L на L,. Если такой гомотетии не существует,
приведите доказательство.
901.** Постройте центр гомотетии Н по данным точкам X и Y,
X, = Н(Х) и Y] =H(Y).
902*. Докажите: при гомотетии с положительным коэффициентом
каждый луч отображается на сонаправленный луч
903**. Докажите, что композиция двух гомотетий есть либо гомо¬
тетия, либо параллельный перенос.
64.	Пропорциональные отрезки
Отрезки АВ и CD называются пропорциональноши отрезкам А1В1
и ClDl, если пропорциональны их длины:
\ав\ = | A,B, |
I CD | IC.D,
70 IТеор ем а. Параллельные прямые, пересекающие сторо-
I ны угла, отсекают на них пропорциональные отрезки.
Дано: (ААг) || (ВВХ) (рис. 389).
Доказать: J ОАг : | О А | = | ОВг | : | ОВ |.
Доказательство. Рассмотрик гомотетию с цент¬
ром О, при которой точка А отображается на точку В. При этой
гомотетии прямая ОА, отображается на себя, а прямая АА —
на параллельную ей прямую, преходящую через точку В, т. е.
на прямую BBi (по условию (АЛ,) || (ВВ,'). Поэтому образ
точки Ai —точка . Но при гомотетии с коэффициентом k
расстояния между точками изменяются в отношении \k\.
Значит,
\ОВ\ = \k\ • |ОА\ и |ОВ! = \k\ • ОАг ,
откуда
| ОВ | : | О А | = | ОВ] | : , OAL	(1)
и
|OAJ : \ОА\ = IOBJ : |ОВ|. ■
Следствие 1. Если (АЛ,) | {ВВг),
то |ОЛх1 : |ОЛ| = lA^I : \АВ\ (см.
рис. 389).
Доказательство. Из равенст¬
ва (1) следует:
I OBi I х . I ОД I t
(OAjI	\ОА\	'	Рис	389
229

Отсюда
IQBil |ОЛ,1 _ | ов| — |о А|
|0-й, I “ \ОА\
\АВ\
, CM, I	IО А \'
Из последней пропорции получаем, что
\ОАЛ = ! А *4
|<М| IАВ[ ‘
Следствие 2. Прямая, парал¬
лельная стороне треугольника и пересе¬
кающая две другие его стороны, отсекает
от него треугольник, стороны которого
пропорциональны сторонам данного тре-
, опп, ,СА| |СВ1 |Л*\
угольника (рис. 390):  	 =			= ■	'.
J	|СХ»| |СЯ| IDH
Задача. Даны отрезки, длины ко¬
торых а, Ь, с. Построить отрезок длины х,
чпооы выполнялась пропорция а : Ъ —
— с : х (такой отрезок называют четвер¬
тым пропорциональным к трем данным).
Решение. Для построения иско-
мого отрезка на сторонах угла (рис. 391)
Рис 391	отложим	отрезки	ОА,	ОВ и ОС такие,
что \ОА\ = а, ЮВ\ = Ъ, \ОС\ = с. Че¬
рез точку В проведем прямую ВН парал¬
лельно прямой АС. Получим отрезок ОХ, отсекаемый прямой
ВН на луче ОС. Отрезок ОХ искомый (докажите это).
Вопросы и задачи
904. Даны два отрезка: \АС\ = 6 см и |BD| = 12 см. 1) Найдите
отношение длин этих отрезков. 2) Изменится ли отношение
длин взятых отрезков, если длины их будут выражены в деци¬
метрах (в миллиметрах)?
905. Данный отрезок АВ разделите в данном отношении т : п.
Рассмотрите случаи: 1) шил заданы отрезками; 2) т и п
заданы числами, например: т = 5, п ~ 3.
I AM I 1
906. Точка М делит отрезок АВ в отношении —г— = -	1) Най-
I am |	:	вм!	„	1	А/в	1	2
дите отношения 1 и	—-•	Вычислите длины отрезков
1 А В | j А В |
AM и MB, если длина отрезка АВ равна 9 см.
230

С 07.
908.
909.
910.
911.
912.
Отрезок разделен на две части в от¬
ношении 3 : 8. Меньшая его часть ко¬
роче большей на 3,5 см. Найдите дли¬
ну каждой части отрезка.
Вычислите длину отрезка DM
(рис.	392, о), если	известно,	что
(АС) || (DM), i||{ = ± \АС = 9 см.
Прямые а и b пересечены тремя па¬
раллельными прямыми (рис. 392, б).
Вычислите длины отрезков DE и EF,
если	|АВ| =1 см,	|ВС|	=2	см,
| DF | = 6 см.
1) Известны стороны треугольника
АБС:	|АВ| — 6 см,	|ВС|	= 8	см,
|АС| =9 см. Через точку М прове¬
дена прямая MN, параллельная сто¬
роне ВС (рис. 392, в). Вычислите:
а)	стороны треугольника AMN, если
|АМ| = 4 см; б) отношение перимет¬
ров треугольников AMN и ABC, если
\АМ\ : \МВ\ =2:3.
2) Стороны треугольника ABC извест¬
ны:	|АВ|=4 см,	| ВС |	= 6	см,
|АС| = 8 см. Через точку М стороны
АВ(|АМ|=3 см) проведены пря¬
мые, параллельные сторонам АС и
ВС (рис. 392, г). Вычислите: а) пери¬
метр треугольника AMN; б) периметр
треугольника МВК.
Сторона АВ треугольника АБС делит¬
ся точкой D на два отрезка: |AD[ =
— 8сми |ОВ| = 4 см. Найдите отно¬
шение расстояний от точек D и В до
стороны АС этого треугольника.
Стороны угла COD пересечены пря¬
мыми а и Ь (рис. 393), Параллельны
ли эти прямые, если:
1)	| О А | = 4 см, | ЛС| = 2 см,
|ОВ| =— 3 см, ODj = 4,5 см;
А В
в)
М,
N
г:
Рис. 392
23
1

2) \0В\ = 4 см, |ОА | = 2 см, \BD\ = 2 см, | АС] — 1 см;
3) \0С\ = 6 см, | ОА | = 4 см, BD| = 1,5 см, |OZ>| = 3,5 см?
913. Даны три отрезка а, Ь, с. Постройте отрезок:
4 \	АС	>чк
1)	ж = — ; 2) дг = —; 3) д; = •
с	Ь	а
914*. Докажите, что биссектриса BD внутреннего угла треугольни¬
ка АБС делит противоположную сторону на отрезки, пропор¬
циональные сторонам ВС и ВА треугольника
915*. Докажите, что точка пересечения биссектрисы угла разно¬
стороннего треугольника с его стороной лежит между тс1 -
ками пересечения с этой стороной высоты и медианы тре¬
угольника.
65 V ■ Преобразования подобия
1.	Вы уже знакомы с композицией перемещений (п. 54). Можно
рассматривать и композиции отображений плоскости на себг,
не являющихся перемещениями. Рассмотрим, например, гомо¬
тетию Но и поворот R с центром Alt переводящий точку В-
в В.2 (рис. 394). Образами точек А, В, С, ... при гомотетии
Но являются соответственно точки Alt В,, С , ... . Точки
Вг, С2, ... — образы точек Ait Вх, Clt ... при повороте R. Тогда
образами точек А, В, С, ... при композиции R о Н'0 будут
соответственно точки А±,Вг, С2, ... .
При гомотетии Но расстояния между точками изменяются
в отношении \к\. При повороте расстояния сохраняются. Зна¬
чит, при композиции гомотетии Hq и поворота R расстояния
между точками изменяются в отношении | к |. Однако такая ком¬
позиция не является гомотетией, так как она отображает пря¬
мую АВ на не параллельную ей прямую А1В2.
232

Итак, существуют отображения плоскости на себя, отлич¬
ные от гомотетии, при которых расстояния между точками из¬
меняются в одном и том же отношении.
Определение. Отображение плоскости на себя, при ко¬
тором расстояния между любыми двумя точками изменяются
в одном и том же отношении k > О, называется преобразова¬
нием подобия.
Число k называется коэффициентом преобразования подобия.
Частными видами преобразований подобия являются пере¬
мещения (k = 1) и гомотетии (п. 63).
Этот вид преобразования подобия характеризуется тем,
что любая прямая, содержащая точку и ее образ, преходит через
одну и ту же точку плоскости - центр гомотетии.
Преобразование подобия отображает любую фигуру L на
подобную ей фигуру Lx. В самом деле, при этом преобразовании
расстояния между любыми двумя точками фигуры L изменяются
в отношении k (k — коэффициент преобразования подобия).
Верно и обратное: если фигура Lx подобна фигуре L, то су-
ществует преобразование подобия, отображающее фигуру L
на фигуру Lx.
Поэтому можно дать другое определение подобных фигур.
Фигура Lx подобна фигуре L, если существует преобразова¬
ние подобия, отображающее фигуру L на фигуру Lx.
Рассмотрим некоторые свойства преобразований подобия.
71,1 Преобразование подобия с коэффициентом k обратимо.
| Обратное отображение есть преобразование подобия
В с коэффициентом -i*
Доказательство. Пусть А л В — различные точки
плоскости, Ах и Вх — их образы. Тогда | АХВХ | = k \ АВ | ф 0.
Следовательно, Ах ф Вх и потому преобразование подобия
обратимо и, значит, имеет обратное. При обратном преобразо¬
вании точки Ах и Вх отображаются на точки Ал В. Но | АЕ\ =
*= — |АХВХ\. Значит, это обратное отображение есть преобра-
k
вование подобия с коэффициентом —. И
k
71г I Композиция двух преобразований подобия Рх и Рг с коэф-
вфициентами kx и k2 есть также преобразование подобия
|с коэффициентом k = hxk«.
Доказательство. При преобразовании Рх рас¬
стояния изменяются в отношении kx > 0, а при преобразова¬
233

нии Р2 — в отношении ft2 > 0. Значит, при композиции
Р2 о Pi расстояния изменяются в отношении ft = ft,ft2 и, следо¬
вательно, Р2 о Р, есть преобразование подобия с коэффициен¬
том к — fttft2. ■
В частности, композиция гомотетии с коэффициентом ft
и перемещения есть преобразование подобия с леэффициентом,
равным | ft |.
Оказывается, для последнего предложения верно и обратное:
72 й каждое преобразование подобия есть композиция гомотетии
I и перемещения.
Доказательство. Пусть F — произвольное пре¬
образование подобия с коэффициентом ft. Рассмотрим компози¬
цию преобразования F и гомотетии Я с коэффициентом — и
k
произвольным центром О. Тогда отображение Я о F плоскости
на себя является преобразованием подобия с коэффициен¬
том ft - — == 1, т. е. Я о F есть некоторое перемещение Р.
k
Итак,
Н о F — Р.
Поскольку отображения Н о F и Р совпадают, то совпадают
и композиции Н' о (И о F) и II’ о Р (Я' — отображение, обрат¬
ное Н), т. е.
II' о (Я з F) -- Я' о Р.
Отсюда
(Я' с Я) о F = II' -> Р,
Е о F = Я' о Р,
F = Я' о Р.
j_
Но отображение плоскости на себя, обратное гомотетии IIk
есть гомотетия Я*.
Следовательно, F — Я* о р. Итак, произвольное преобра¬
зование подобия с коэффициентом ft мы представили в виде
композиции гомотетии с коэффициентом ft и перемещения.
Утверждение доказано. ■
Вопросы и задачи
9t6. Верно ли, что соответствующие углы подобных фигур кон¬
груэнтны?
917.	Назовите такие фигуры, которые подобны самим себе при
любом коэффициенте подобия,
234

918. Назовите несколько фигур, гомотетии-	д
ных самим себе: 1) при любом коэф¬
фициенте гомотетии; 2) при любом по¬
ложительном коэффициенте гомотетии.
919. Верно ли, что если два угла подобны, то
они и конгруэнтны?
920. Даны два конгруэнтных квадрата. По¬
стройте третий квадрат, конгруэнтный
одному из данных и гомотетичный дру¬
гому.	рис.	395
921. > Равнобедренный треугольник ABC по¬
добен равнобедренному треугольнику А\В\С\ с коэффициен¬
том подобия 2 (рис. 395). Как можно отобразить второй
треугольник на первый при помощи гомотетии и переме¬
щения?
922.	Прямоугольный треугольник ABC подобен треугольнику
А,В,С, с коэффициентом подобия 2. Отобразите первый
треугольник на второй при помощи композиции гомотетии
с центром С и перемещения.
923.	Отобразите квадрат ABCD на квадрат EFTH с вершинами
в серединах сторон квадрата ABCD при помощи гомотетии
и перемещения.
924.	Может ли быть композиция Р °Н* перемещением (Р—пре¬
образование подобия)?
925.	Может ли композиция преобразования подобия Р и переме¬
щения быть перемещением?
§ 2. Подобные многоугольники
66.	Признаки подобия треугольников
73 В Те°Р ем а. Если три стороны одного треугольника пропор¬
циональны трем сторонам другого треугольника, то такие
треугольники подобны.
Дано: | AiBx\ : |АВ1 -	:	|ВС|	=	\А1С1\ : \АС\.
Доказать:	АА1В1С1	ААВС	(рис.	396).
Доказательство. Рассмотрим гомотетию Но о
произвольным центром О и коэффициентом k = | А1В1 | : \АВ\.
Эта гомотетия отобразит треугольник ABC на подобный ему
треугольник AVBVC0 (рис. 396):
235

Рис. 396
ДА0В0С0 ААВС,	(1)
причем
|А0В0| = k \АВ\, |В0С0| = k\BC\, |А0С0[ = k\AC\. (2)
По условию
I^BJ = k |АВ|,	= k \ВС\, \AlC1\ = k\AC[. (3)
Из равенств (2) и (3) следует:
UjBJ - |А0В0|, IBAI = [В0С0[, |AAi = \А0С0\.	(4)
Поэтому
AAiBiCi ~ AAqBqCq,	(5)
а так как конгруэнтные фигуры подобны, можно записать:
А А1В1С1 <*> АА0В0С0.	(6)
Но АА0В0С0 00 ААВС и, следовательно, в силу транзи¬
тивности отношения подобия фигур
AAiBiCi с* ААВС. Ш
74 |Т еорема. Если две стороны одного треугольника пропор-
I ционапъны двум сторонам другого треугольника и углы
■ между этими сторонами конгруэнтны, то такие треугольники
■ подобны.
▼ Дано: \AlB1\ : \АВ\ = |	:	\ВС\,	Вх	=	В	(рис.	397).
Доказать: AALBiCt	A ABC.
Доказательство. Рассмотрим гомотетию Но с
произвольным центром О и коэффициентом k = 1 АгВ^ | : | АВ |.
Эта гомотетия отображает треугольник ABC на подобный ему
треугольник А0В0С0:
АА0В0Сс ~ ААВС,	(1)

(2)
(3)
(4)
(5)
причем
\А,В0| = k\ABU \В0С0\ = k\BCU В0=В. '
По условию
IAiBJ = k\AB\, \в1с1\ = fe|BC|, % = в.
Из равенств (2) и (3) следует:
I AiB11 = | Л0В01,	=	|JB0C0|,	fr0 ~ Bi.
Из равенства (4) вытекает:
AAiBiCi ~= ДА0В0С0,
а так как конгруэнтные фигуры подобны, то
ДА\В\С\ со ДА0В0С0.
Из соотношений (5) и (1) в силу транзитивности отношения
подобия фигур следует, что
AAiBiCi <*> ЛАВС.Т
75 I Теорема. Если два угла одного треугольника конгруэнтны
двум углам другого треугольника, то такие треугольники по¬
добны.
/ч
у Д а н о: А1 — А, Вг — В.
Доказать: ДАгВ1С1 со &АВС (рис. 398).
Доказательство. Рассмотрим гомотетию
с произвольным центром О и коэффициентом k = \АХВХ |:\АВ\,
Эта гомотетия отобразит треугольник ABC на треугольник
AqBqCq (рис. 398). Значит,
ДА0В0С0 ™ ДАВС,	(1)
причем
\А0Во\ = k \АВ\иА0 = А, % = В	(2)
(так как при гомотетии величина угла сохраняется, см. п. 63).
237
До

Рис. 398
Кроме того, по построению к условию
UjBJ = k 1 АВ |, 2, - 2, В! = В.	(3)
Из равенств (2) и (3) следует:
\AyB,\ = \AqBoU А, - А0, В, = В0.	(4)
Поэтому
АА1ВУС1 « АА0В0С0	(5)
и, значит,
ЛАуВуС1 ™ АА0В0С0.	(6)
Из соотношений (6) и (1) в силу свойства транзитивности
отношения подобия фигур следует, что
ААХВХСУ ™ ААВС. ▼
Вопросы и задачи
926°. Подобны ли любые два разносторонних треугольника?
927. В разностороннем треугольнике проведены его средние ли¬
нии. Среди всех образовавшихся треугольников укажите по¬
добные.
923. Что можно сказать о соответственных углах подобных тре¬
угольников? Назовите по рисунку 398 пары соответственных
углов подобных треугольников АБС и А\В\С\.
929.	Подобны	ли два треугольника, если их стороны имеют длины:
~	1)	4	см,	5	см,	6	см	и	8	мм, 10 мм, 12 мм;
2)	3	см,	4	см,	6	см	и	9	см, 15 см, 18 см;
3)	1	дм,	2	дм,	2	дм	и	1	дм, 1 дм, 0,5 дм?
930.	1) Стороны одного треугольника 4 дм, 3,6 дм и 1,5 дм. Вы¬
числите стороны другого треугольника, подобного данному,
если отношение их соответственных сторон равно 1,6.

2) Стороны данного треугольника
8 см, 6 см и 5 см. Меньшая сторона
оторого треугольника, подобного
данному, 2,5 см. Вычислите другие
стороны второго треугольника.
931.	1) Стороны данного треугольника
3.5 см, 4 см, 8 мм. Большая сторона
еторого треугольника, подобного дан¬
ному, 6 см. Вычислите стороны вто¬
рого треугольника.
2) Стороны треугольника 12,6 м,
16.5 м и 18,0 м. Вычислите стороны
треугольника, подобного данному,
если меньшая сторона этого тре¬
угольника конгруэнтна большей сто¬
роне данного треугольника.
932.	Известно, что |^.£| = 16,2 см,
| ВС | = 24,3 см и \АС\ = 32,7 см.
Вычислите стороны треугольника
А\В\С\, подобного данному, если
сторона А\В\ этого треугольника со¬
ответствует стороне АВ первого тре¬
угольника и: 1) больше этой стороны
на 10,8 см; 2) меньше этой стороны
на 5,4 см.
933.	1) Сформулируйте признаки подобия
равнобедренных треугольников.
2) Сформулируйте признаки подобия
прямоугольных треугольников.
934.	Подобны ли прямоугольные тре¬
угольники, если в одном из них име¬
ется угол в 42°, а в другом — угол
в 48°?
935.	На рисунке 399, а, б, в, г параллель¬
ные прямые показаны одинаково на¬
правленными стрелками. Найдите на
этих рисунках подобные треугольни¬
ки и объясните, почему они подобны.
936.	По данным рисунка 400, а, б, в, г
найдите подобные треугольники и
объясните, почему они подобны.
В
а)
б)
6)
в
г)
Рис. 399
239

jj	g	937.	Используя	рисунок	401,	где (ЛС) II
* IK^iCi) || (А2С?), напишите пропорции,
начинающиеся с отношений
1)	И£.‘.;	2)	3)
ИА1	|ВА'
\_Bcr,,	5	\АР\
1САГ '*А|’
а)
938. Прямая, параллельная стороне данно¬
го треуголы- ика ABC, делит другую
сторону в опошении 1:5 (считал от
вершины). Вычислите длины сторон от¬
сеченного треугольника, егли дли. ы
сторон данного треугольника равны:
1)	9 см, 12 см, 18 см; 2) 15 см, 21 см,
24 см.
939. Подобны ли равнобедренные треу оль-
ники, если они имеют: 1) конгруэнтные
тупые углы; 2) по прямому углу; 3) кон¬
груэнтные острые углы?
940. Из вершины прямого угла данного
треугольника проведена высота. Сколь¬
ко пар подобных треугольников обра¬
зовалось на этом чертеже*
941*. Можно ли любой остроугольный иг и
тупоугольный треугольник, не имею¬
щий равных сторон рассечь прямой
проходящей через вершину, на два по
добных треугольника?
942. Подобны ли два треугольника, если
их средние линии соответственно про¬
порциональны?
943.	На одной из сторон	данного угла А от¬
ложены отрезки	\АВ\ — 5 см и
\АС\ =16 см. На другой стороне
этого же угла отложены отрезки
\AD\ = 8 см и |/4F| = 10 см. По¬
добны ли треугольники АСС и ABF1
^	Ответ обосновать
944.	Стороны угла АОВ	пересечены двумя
Рис 4qq	параллельными прямыми CD и C\D\
240

в
Рис. 401
(рис. 402) так, что \ОС\ =
= 8 см, \СС\ | = 6 см,
\OD\ = 12 см. Вычислите
|DD,| и |CiD||, если
| CD | = 9 см.
945. На стороне /1C треуголь¬
ника ABC дана точка D
такая, что ABD = ACB. Вы¬
числите длины сторон тре¬
угольника ABD, если:
1) \АВ\ = 8 см, \ВС\ =
= 12 см, |АС\ = 18 см;
2) |АВ| = 12 см, |ВС| =
= 5 см, | АС | = 13 см.
946. Чтобы определить на мест¬
ности расстояние между
двумя точками А и В, из
которых точка В недоступ¬
на, можно выполнить по¬
строение, план которого по¬
казан на рисунке 403. Опре¬
делите расстояние |АВ|,
если \АС\ = 150 м, [DF] ||
II [АВ], |DF| = 16 м и
\CD\ = 30 м.
947. На рисунке 404 показано,
как можно определить ши¬
рину реки |АВ|, построив
на местности два подобных
треугольника — ААВС и
Рис. 40l
Рис. 403
А
Рис. 404
В
А В	F
Рис. 405
241

ADFC. Определите | AD [, если | ВС | = 50 м, | FC =16 м
и \DC\ 17 м.
948. Наблюдатель, находящийся в точке А (рис 4С5), види- конец
шеста точку С и верхнюю точку D мачты расположенными
на одной прямой. Какова высота мачты, если >1F| =60 м,
| АВ | = 6 м и | ВС | = 3 м?
949. Практическая работа. Измерьте высоту какого-либо
сооружения (моста, высокого здания, телевизионной вышки
и т. п.), находящегося в окрестностях школы.
950. Выполните на местности измерительные работы по опреде¬
лению расстояния между двумя точками, одиа из которых
недоступна.
951. Докажите, что в подобных треугольниках отношение двух
соответственных сторон равно отношению двух соответст¬
венных: 1) высот; 2) биссектрис; 3) медиан.
952. Выполняются ли свойства рефлексивности, симметричности
и транзитивности для отношения: 1) гомотетичности фи'-ур;
2) подобия фигур?
953. Длина основания треугольника АБС равна с. Прямая, про¬
веденная параллельно основанию, делит бокогую сторону в
отношении тп : п (считая от вершины). Выразите через а, т
и п длину отрезка этой прямой, заключенного между сторо¬
нами треугольника. Вычислите длину этого отрезка, если:
5	5
1)	а — 25 см, т : п = у;	2) а = 4,8 см; т : п — — ;
3) а — 12,6 см, т : п = 0,75.
67.	Теорема Пифагора
Определение. Отрезок х называется средним пропорцио¬
нальным (или средним геометрическим) между отрезками а и Ь,
если выполняется равенство а : х = дс : Ь.
768 Теорема. В прямоугольном треугольнике: 1) катет есть
1 среднее пропорциональное между гипотенузой и проекцией
■ этого катета на гипотенузу; 2) высота, проведенная из вер-
| шины прямого угла, есть среднее пропорциональное между
■ проекциями катетов на гипотенузу.
Доказательство. Рассмотрим прямоугольный тре¬
угольник ABC (рис. 406). ПроЕэдем из вершины прямого угла С
242

I
Рис. «06
высоту CD п обозначим |СГ>|
через h. Получив! три пары по¬
добных треугольников:
AADC со ААСВ (угол А об¬
щий, D = (2 = 90°),
ААСВ то ACDB (угол В об¬
щий, С = D = 90°),
AADC со ACDB (по свойст¬
ву транзитивности отношения
подобия фигур).
Так как AADC со ААСВ, то bc : Ь — Ъ : г.
Так как ААСВ со ACDB, тс с : о = а : ас.
Из подобия треугольников ADC и CDB следует:
Ьс : k = h : ас. В
Докажем теорему, открытие которой связано с именем древ¬
негреческого ученого Пифагора (VI в. до н. э.).
771 Т е о р е м а (Пифагора).Квадрат гипотенузы прямоуголъ-
I ного треугольника равен сумме квадратов его катетов.
Доказательство. Ь — Ъс ■ с
реме 76). Сложив почленно эти равенства, получим:
с (по тео-
аг + Ь2
Итак,
с + Ъсс = с (ас + Ьс) = с
с* = а~ + Ь2. В
С = С“
Вопросы и задачи
При решении задач на зависимости между элементами прямоуголв-
ного треугольника будем пользоваться обозначениями: а и & —
длины катетов, с — длина гипотенузы, h — длина высоты, проведен¬
ной из вершины прямого угла, ас и Ъ —длины проекций катетоз
а и Ь на гипотенузу.
954. Докажите:
1)	h =	2)	—	-	3»	Л3	~	ас ■ Ьс.
с	в,	Ьг
955. Постройте среднее пропорциональное между отрезками,
длины которых: 1) 2 см и 3 см: 2) 15 мм и 24 мм
956. Дано: ас = 3 см, Ьс = 2 см, Вычислите с, a, b Л.
957. Выразите длины проекций катетов на гипотенузу через длины
катетов.
243

С h
а)
5)
в
з) *= У‘
958. Биссектриса прямого угла
делит гипотенузу в отноше¬
нии р : д. В каком отноше¬
нии делит гипотенузу осно¬
вание проведенной к ней
высоты?
959. Постройте отрезок х, если:
1) х— уab ! 2) х— У2Ьс ;
^, где а, 6 —
данные отрезки.
960. Сформулируйте и докажите
(предположив противное)
теорему, обратную теореме
Пифагора.
961. 1) В прямоугольном тре¬
угольнике АБС а — 38 см,
Ъ — 16 см. Вычислите пло¬
щадь каждого из заштри¬
хованных прямоугольников,
изображенных на рисун¬
ке 407, а, б, в.
2) В прямоугольном тре¬
угольнике ABC а — 36 см,
с = 45 см. Вычислите пло¬
щадь каждого из заштрихо¬
ванных треугольников, изоб¬
раженных на рисунке 408.
962. Стороны треугольника про¬
порциональны числам 13, 12
и 5. Докажите, что такой
треугольник прямоугольный.
в)
Рис. 407
А
д
Рис. 408
244

963. Вычислите стороны ромба,
если его диагонали равны
4,6	см и 6,4 см.
964. Выразите площадь равно- д
стороннего треугольника
через его сторону а.
965. Внутри круга дана точка.
Какая из всех хорд круга,	Рис.	409
проходящих через эту точ¬
ку, имеет наименьшую дли¬
ну и какая — наибольшую?
966. Б окружности радиуса г проведена хорда. 1) Найдите ее рас¬
стояние от центра окружности, если длина хорды равна а.
Произведите вычисления, если: а) г =14 см, а == 8 см;
б)	г = 8 см, а — 14 см. 2) Выразите длину хорды через ее
расстояние h от центра.
967.	Радиус круга равен 25 см. В этом круге проведены две па¬
раллельные хорды длиной 14 см и 4 см. Вычислите расстоя¬
ние между хордами.
968.	Вычислите расстояния |АС|, |АЕ| и \СЕ\ (рис. 409).
969.	Вычислите расстояния от начала координат до точек:
1)	(0; 15); 2) (18; 0); 3) (3; 4); 4) (5; 12).
970.	Вычислите расстояние между двумя точками координатной
плоскости: 1) А (0; 0), В (2; 4); 2) А (1; 3), В (2; 4); 3) А (— 1; 2),
В (4; -3).
971.	Из точки А, находящейся вне прямой MN,	проведены	к	этой
прямой две наклонные. Одна из них имеет	длину 13 см,	а	ее
проекция на эту прямую равна 5 см. Вычислите длину вто¬
рой наклонной и ее проекцию на прямую MN, если эта на¬
клонная составляет с прямой MN угол: 1) в 30°; 2) в 45°.
972.	Дано: а —9 см, b = 12 см. Вычислите: с,	h, ас fbc.
973.	Дано: а = 12 см, с = 13 см. Вычислите: b,	h, ас, Ъс.
974.	Вычислите катеты прямоугольного треугольника, если
биссектриса прямого угла делит гипотенузу на отрезки
k vi I. Проведите вычисления при к = 12 см и I — 5 см.
975.	Две окружности радиусов 3 см и 5 см касаются внешним об¬
разом. Вычислите длину отрезка их внешней общей каса¬
тельной, заключенной между точками касания.
976.	К окружности (О, г) проведена из точки М касательная. Най¬
дите формулу, выражающую зависимость между расстоя¬
ниями | ОМ , \МА \ = т (А — точка касания) и радиусом г.
245

977.	Расстояние между центрами окружностей радиусов 6 см
и 2 см равно 10 см. Вычислите длину: 1) отрезка общей
оьешпей касательной; 2) отрезка общей внутренней каса¬
тельной.
973.	Докажите, что в одном круге (или в конгруэнтных кру¬
гах):	1) хорды равной длины равноудалены от центра;
2) из двух неконгрузнтных хорд хорда большей длины бли¬
же к центру.
979.	Каждая из двух конгруэнтных окружностей радиуса г прохо¬
дит через центр другой. Выразите через г длину их общей
хорды.
980.	Две конгруэнтные и взаимно перпендикулярные хорды ок¬
ружности точкой их пересечения делятся каждая на отрез¬
ки в 10 мм и 16 мм. Вычислите радиус окружности.
981.	Могут ли длины всех сторон прямоугольного треуголоника
выражаться: 1) четными числами; 2) нечетными?
Рис. 410
С
68.	Подобные многоугольники
1.	В пункте 66 было доказано,
что два треугольника подобны,
если стороны одного из них
пропорциональны сторонам дру¬
гого. В случае многоугольников
с числом сторон, большим "рех,
пропорциональности их соот¬
ветственных сторон уже недо¬
статочно для подобия этих мно¬
гоугольников. Например, квад¬
рат не подобен ромбу, один из
у "лов которого острый, хотя
их стороны пропорциональны
(рис. 410).
Недостаточно для подобия
многоугольников и равенства их
соответственных углов. Напри¬
мер, квадрат не подобен пря¬
моугольнику, не все стороны
которого конгруэнтны.
Достаточное условие подобия
двух многоугольников сфор-
246

мулировано в следующей теореме, которую приведем без до¬
казательства.
781 Теорема. Если стороны одного многоугольника соогеегст-
I венно пропорциональны сторонам другого многоугольника и
I соответственные углы этих многоугольников конгруэнтны,
| го такие многоугольники подобны,
2. Докажем теорему о периметрах подобных многоуголь¬
ников.
791 Теор ем а. Отношение периметров подобных многоуголъ-
I ников равно коэффициенту подобия этих многоугольников.
Доказательство. Так как многоугольники подоб¬
ны (рис. 411), то	=	k\AB\,\B^C1\	=^k\BC\, ...,	|	=;
= ft |EA\.
Сложив почленно эти равенства, находим:
1ад| + | ад | + ... + | ад I =
= ft (\AB\ + IJBCI + ... -I- \EA\),
т. e. P, = kP, где ?! и P — периметры данных многоуголь¬
ников.
Итак Рх\ Р = ft. М
3. Рассмотрим отношение площадей подобных фигур.
Пусть прямоугольник имеет стороны в 5 см и 3 см. Его пло¬
щадь равна:
S =- 5 • 3 см2 = 15 см2.
Если другой прямоугольник подобен первому с коэффициен¬
том подобия ft, то его стороны равны 5ft см и 3ft см, а площадь
Sx равна:
Si — 5k ■ 3ft см2 = ft2 • 15 сма = ft2S.
Мы видим, что отношение площадей Si и S равно квадрату
коэффициента подобия.
801Теор ем а. Отношение площадей подобных многоугольни-
I ков равно квадрату коэффициента подобия.
Доказательство. 1) Рассмотрим сначала подоб-
k
ные треугольники. Если ААХВХСХ со ААВС, то существует
отображение ААВС на ААХВХСХ, при котором расстояния
между точками изменяются в ft раз. Образ высоты CD тре¬
угольника ABC при этом отображении — высота С Dx
(рис. 412).
247

Имеем:
I A*. I
I ад
= ft \АВ\,
= ft | CD |.
Отсюда
Sa,= i (ft [ AB I) ■ (ft | CD I) =
= ft2Q- | ADI • |CD|)=ft*SA,
SA, : SA = ft2.
Длл треугольников теоре¬
ма доказана.
2)	Теперь рассмотрим про¬
извольные подобные много¬
угольники L и Ьу. Пусть мно¬
гоугольник L разбит на тре¬
угольники Дх, Д 2» '
А„
(см. рис. 418, где п = 4). Так
г * г
как Lt rsj L, то существует ото-
бpaжeнIie многоугольника L
на Lх, при котором расстояния
между точками изменяются в
ft раз. Обозначив образ тре¬
угольника Дт при этом ото-
I
бражении через Ат, по до¬
казанному выше получим: S^‘ = ft2S. .
—т
Найдем теперь площадь многоугольника Ll:
S (Хц) = Sbt + Sa'j + ... + S&n —	+	k~Sb2	-f-
ft2 (Sa, + S&, + ... + Sa„) = k2S (L).
1.2
+ ... + ft2Sa
Итак, S (Lx) : S (L) = ft2. ■
Вопросы и задачи
982°. Верно ли, что: 1) любые два конгруэнтных многоугольника
подобны; 2) все квадраты подобны?
983. Верны ли предложения: 1) параллелограммы с соответствен¬
но равными углами подобны; 2) любые два ромба подобны?
248

SC4.
985.
986.
987.
988*.
989*.
990.
991.
992.
993.
994.
27
Рис. 4 4
Могут ли два подобных, но g
не конфуэтных многоуголь¬
ника иметь: 1) по конгруэнт¬
ной стороне; 2) равные пери¬
метры?
Постройте равносторонний
треугольник и проведите пря¬
мую, параллельную одной иэ /
сторон так, чтобы коэффици¬
ент подобия данного и отсе-
113
ценного треугольника был равен: 1) —; 2) — ; 3) — .
Постройте два подобных прямоугольника с коэффициентом
подобия, равным: 1) 0,3; 2) 3.
Постройте два подобных ромба с коэффициентом подобия,
2
равным: 1)0,5; 2) — .
3
В прямоугольнике ABCD АВ\ =а и \ВС\ = Ь (а^>Ь).
Отрезок EF проведен так, что полученный прямоугольник
BCEF подобен данному. Найдите стороны прямоугольни¬
ка ADEF. Произведите вычисления для случаев: 1) а = 8 см,
Ь = 6 см; 2) а = 6,4 см, Ь = 4,8 см.
В ящик плотно сложены коробки, имеющие форму прямо¬
угольного параллелепипеда. (На рис. 414 показан вид свер¬
ху.) Подобны ли показанные на этом рисунке малые прямо¬
угольники прямоугольнику ABCD1
Разрежьте тетрадный лист бумаги на несколько конгруэн--
ных частей прямоугольной формы так, чтобы полученные
после разрезания малые прямоугольники были подобны
взятому листу.
Наименьшие стороны двух подобных многоугольников отно¬
сятся как 2 : 5. Вычислите периметр большего из этих много¬
угольников, если периметр меньшего из них 42 см.
Стороны одного треугольника 1,2 м, 2,4 м и 3 м. Периметр
подобного ему треугольника 11 м. Вычислите сторонь вто¬
рого треугольника.
Отношение периметров двух треугольников равно 0,625.
Стороны меньшего из этих треугольников 4 дм, 5 дм, 7 дм.
Вычислите стороны большего треугольника.
В двух подобных многоугольниках меньшие стороны 35 см и
21 см, а разность их периметров 40 см, Вь числите периметр
каждого многоугольь кка.
249

995.
996.
997.
998.
999*
1000.
1001.
1002.
1003.
1004.
.1005.
Найдите отношение площадей двух квадратов, если отно¬
шение сторон этих квадратов равно: 1) 2:3; 2) }/2 • J 3;
3) 1 : 1,5; 4) k : I.
Как относятся стороны двух квадратов, если отношение пло¬
щадей этих квадратов равно: 1) 4:9; 2) 3 : 4; 3) 0,5 : 2;
4) р : д?
Как изменится площадь многоугольника, если каждая из
его сторон: 1) увеличится в п раз; 2) уменьшится в Ь раз
(а величины углов не изменятся)?
Одна из сторон треугольника разделена на три конгруэнт¬
ные части и через точки деления проведены прямые, па¬
раллельные другой стороне. Найдите отношения площади
данного треугольника к площадям треугольников, отсечен¬
ных построенными прямыми.
Как прямоугольник со сторонами 2 см и 5 см рассечь прямой
на два подобных прямоугольника?
Стороны параллелограмма имеют длины а и Ь. Постройте
прямую, отсекающую от данного параллелограмма подоб¬
ный ему параллелограмм.
1) Докажите, что два выпуклых четырехугольника конгру¬
энтны, если у них имеется одна пара равных соответственных
углов и все соответственные стороны равны.
2) Сформулируйте условие подобия выпуклых четырех¬
угольников.
Соответствующие стороны двух подобных многоугольников
а
относятся как—. Площадь первого многоугольника равнаS.
О
Найдите площадь второго многоугольника. Произведите вы¬
числения при S = 24 см2 для случаев, когда:
1)- = -; 2) -=0,5; 3)- = ^L; 4) - = 1.
Ь 9	Ь	Ъ /3	Ъ 5
Периметры двух подобных многоугольников относятся как
3 : 5. Площадь большего многоугольника равна 40 м2. Вы¬
числите площадь второго многоугольника.
Постройте квадрат, площадь которого равна: 1) четвертой
части площади данного квадрата; 2) половине его площади.
Площади двух подобных треугольников равны Si и S%. Осно¬
вание первого из них ах. Найдите высоту первого, основание
и высоту второго треугольника. Вычислите при S\ — 64 см2,
S2 = 24 см2, ах = 4 см.
250

69. Измерительные работы
1. Поперечный масштаб. Численным масштабом называют от¬
ношение расстояний между двумя любыми точками на чертеже
(плане, карте) к расстоянию между соответствующими им точ¬
ками в натуре. Если, например, расстояние на карте между
точками Ai и В1 равно 1 см, а расстояние между соответствую¬
щими им точками Аи В по. местности равно 10 км, то численный
масштаб этой карты равен	:	\АВ\ = 1 см : 1 ООО ООО см =
= 1:1 ООО ООО.
Значит, численный масштаб — это коэффициент подобия
участка на местности и его изображения на карте.
Линейный масштаб — это отрезок с нанесенными на него
делениями и надписью, указывающей, какой отрезок соответ¬
ствует каждому делению в натуре. На рисунке 415 изображен
линейный масштаб, соответствующий численному масштабу
1 : 1 ООО ООО.
Для определения расстояния между двумя пунктами А и В
по карте нужно одну ножку измерительного циркуля поста¬
вить в точку At другую — в В. Затем, не меняя раствора цир¬
куля, следует поставить его ножки так, чтобы одна из них на¬
ходилась справа от 0 на каком-нибудь крупном делении, а
другая — слева от 0 на мелком делении (или в самой точке 0).
Тогда по линейному масштабу можно определить расстояние
между пунктами А и В в натуре.
Для увеличения точности измерений расстояний по карте
(или плану) используют поперечный масштаб (рис. 416).
В линейном масштабе левый крайний отрезок (масштабная
единица или основание масштаба) делится на 10 равных частей.
Чтобы измерять отрезки с точностью до сотых частей масштаб¬
ной единицы, строят прямоугольник ABCD (рис. 416, а)
и на его основании АВ наносят линейный масштаб. Боковые
стороны прямоугольника делят на 10 конгруэнтных частей и
проводят через точки деления отрезки, параллельные (АВ),
На стороне DC откладывают последовательно масштабную
1:1000 000
10	0	10	20	30	40	50км
Ujjj.lii.aL.,» I 	 Г	 J	 I „	|
Рис. 415
■3^1

единицу и полученные точки соединяют с соответствующими
делениями линейного масштаба АВ. Отрезок DE делят на 10
равных частей и обозначают, как на рисунке (отметки 0, 1,
2, 3, ... сдвинуты на одну влево по сравнению с соответствую¬
щими отметками на отрезке О А). Точки отрезков DE и АО с
одинаковыми отметками соединяют отрезками. Поперечный
масштаб готов.
Рассмотрим треугольник ОЕО, изобразив его для удобства
отдельно (рис. 416, б). Параллельные прямые отсекают от него
подобные треугольники. Из подобия треугольников следует,
что	:	|0£|	=	1	:	10,	\А2В2\	:	|0£|	=2	:	10,|А3В3|	:	|0£|	=
= 3 : 10	\А9В9\	:	|0£|	=	9	:	10.
Следовательно, расстояние \AiBy\ равно 0,01 масштабной
единицы, |Л2В2|— 0,02 масштабной единицы и т. д.
Используют поперечный масштаб следующим образом. Раст¬
вор циркуля, перенесенный с карты, накладывают так, чтобы
острия обеих ножек находились на одной горизонтали, причем
одно острие — в точке пересечения горизонтали с вертикалью,
правее прямой ОЕ (на рис. 416 — в точке N), а другое — на
этой же горизонтали, левее прямой ОЕ (в точке М). Получили:
|iVikf| - |iVQI + |QP| + \PM\. Но |NQ\ = 3,	|PQ|=0,08,
| PM\ = 0,4.
Следовательно, \NM\ — 3,48 масштабной единицы.
2.	Определение высоты предмета, а) Для определения высоты
предмета (например, дерева) ставят на некотором расстоянии
252

от него шест (по отвесу) с вра¬
щающейся планкой (рис. 417)
Планку направляют на верх¬
нюю точку предмета (деревг),
как показано на рисунке. Да¬
лее отмечают на поверхности
земли точку В. Получаются
пары точек А и Ai, С и С, та
кие, что НВ(А) = А,, НВ(С) —
= Ci. Отношения \АХСХ\ : ]АС\
и |ВСг| : |ВС| равны кооффипи-
енту гомотетии. Отрезки ВСХ
и ВС измеряют, длина отрезка
АС известна. Тогда из пропор¬
ции \AiCi\ : \АС\ = \£С^\ :|ВС|
находят:
1	1 11 |ВС| 1
3.	Съемка плана земельного
участка. Мензула представля¬
ет собой квадратную доску
(планшет), помещенную на шта¬
тиве (рис. 418). На планшет
кнопками прикрепляется лист
бумаги. Если нужно снять план
земельного участка, имеющего
форму многоугольника (рис.419),
то внутри его выбирают точку
О, из которой видны все вер¬
шины этого многоугольника.
Над точкой О устанавливают
(с помощью уровней) мензулу
так, чтобы мензульная доска
была в горизонтальном поло¬
жении. Далее на планшете от¬
мечают точку Оц соответству¬
ющую выбранной точке О на
местности.
С помощью алидады или трех¬
гранной масштабной линейки

Рис. 420
/D
Рис. 423
через точку Ot проводят лучи
в направлениях на вехи, поста*
вленные в вершинах много
угольника, план которого снима¬
ется. Измерив расстояния от
точки О до вершин многоуголь¬
ника, откладывают их в выбран¬
ном масштабе на соответст¬
вующих лучах, вычерченных
на планшете. Получают точки
Alt Ви Си Z>i (рис. 419), соот¬
ветствующие вершинам данного
на местности многоугольника.
Многоугольники ABCD и
А^ВъС^ подобны. Коэффици¬
ент подобия равен выбранному
масштабу.
Б Интересна с точки зрения
геометрии возможность при по¬
мощи мензулы снимать планы
почти без измерения расстоя¬
ний на местности. Достаточно
измерить одно расстояние —
базис.
Пусть, например, измерив ни
местности базис АВ (рис. 42С),
мы нанесли его в надлежащем
масштабе на планшете в виде
отрезка AtBi и хотим нанести
на планшет положение вех С,
D н Е. Для этого ставим мензу¬
лу вточке А, ориентируем план¬
шет так, чтобы луч AtBt прохо¬
дил через точку В, и визируем
вехи С, D, Е, проводя нп план¬
шете из точки Ах соответствую¬
щие лучи (рис. 421). Ботом пе¬
реносим мензулу в точку В,
ориентируем планшет так, чтобы
луч BxA} проходил через точку А
(рис. 422), и визируем вновь
254

h
Рис. 424	Рис.	425
вехи С, D, Е. На рисунке 422 видно, как в результате полу¬
чаются на планшете изображения точек С, D, Е.
у Существует еще много приемов съемки без измерения на
местности расстояний, кроме измерения базиса. С ними ин¬
тересно ознакомиться на практике. Рассмотрим одну из возни¬
кающих здесь задач. Пусть мы нанесли на плане точки А, В
и С (рис. 423), причем точка С нанесена засечками из точек А
и В, подойти же к ней нельзя. Веха, посгавленная в точке D,
видна из точки В, но не видна из точки А. Поставив мензулу
в точку В, мы ориентируем ее так, чтобы луч ВуА^ проходил
через точку А, и проводим на планшете прямую х = (ВjD)
(рис. 424). Перенеся мензулу в точку D, можно найти ее поло¬
жение «засечками на себя», как это показано на рисунке 425.
Сначала ориентируют планшет так, чтобы нанесенная ранее
прямая х проходила через точку В на местности, а затем про¬
водят прямую у = (ССг). Пересечение прямых х и у даст
на планшете изображение Dl точки D.
Выполнив на местности измерения базиса и соответствую¬
щих углов, можно находить площади участков, воспользовав¬
шись для этого формулами площади треугольников, у
4.	Пантограф. Для построения фигуры, гомотетичной данной,
служит прибор пантограф (рис. 426).
Возьмем параллелограмм ABCD (рис. 427), сторонами ко¬
торого служат металлические стержни, скрепленные шарнирно.
На продолжении стержня ВС в точке Е закрепим острие ка¬
рандаша. В точке F пересечения АЕ и CD на стержне CD укре¬
пим иглу с тупым концом.

Рис. 427
Теперь будем изменять по¬
ложение нашего шарнирного
параллелограмма ABCD, не
меняя положения вершины А.
Докажем, что точки A, F и Е
будут оставаться на одной пря¬
мой. Пусть ABiCxDi — новое
положение параллелограмма
ABCD.
ААВЕ со AFCE,
откуда
\СЕ\ \AE\i\FE\,	(1)
откуда
Но
\АВ\ : |CF\ = \ ВЕ\
ААВ\Е\ оо AFiCjEi,
\АВА I |СХ2М = \ВМ : ir^xl =\AEt\ : 1№|.
(2)
(3)
| BiEi\ = | ВЕ\, IC^jI = \СЕ\, \ABt\ = | ABU
так как эти отрезки меняют только положение, а не длину. По¬
этому из соотношения (2) получаем: \АВ\ : | CrFу\ = \ BE | : \СЕ|.
Сравнивая это соотношение с (1), заключаем, что | CF | = | Сх Fx |.
Отсюда следует, что точка Ft является новым положением
точки F и, значит, точки A, F и Е при изменении положения
параллелограмма ABCD остаются на одной прямой.
На основании (1) и (2), учитывая равенства (3), находим
также, что |АБХ| : \FiEt\ = \АЕ\ :|Р£|, откуда |AFj| :| AFX| =
= \ АЕ\ : |АР|.
Поэтому точкам F и Fx соответствуют при гомотетии с цен¬
тром А точки Е и Ex. Коэффициентом этой гомотетии является
отношение | BE |: | ЕС |.
256

Таким ОбриЗОга. если острием иглы обводить контур некоторой
фигуры, то острие карандаша нарисует контур фигуры, гомс
тетичной данной.
Дополнительные задачи к главе VI
1006. Постройте треугольник, подобный данному треугольнику
ABC, сторона которого, соответствующая стороне ВС, кон¬
груэнтна данному отрезку.
1007. Постройте треугольник по данному углу, отношению сто¬
рон, образующих этот угол, и данной: 1) медиане, прове¬
денной к третьей стороне; 2) высоте, проведенной к треть¬
ей стороне.
1008. Постройте треугольник по двум данным углам и высоте,
проведенной из вершины третьего угла.
1009. Постройте прямоугольный треугольник: 1) по данному от¬
ношению его катетов и гипотенузе; 2) по данному катету,
отношению второго катета к гипотенузе; 3) по высоте, про¬
веденной к гипотенузе, и отношению катетов.
1010. На каждом из оснований трапеции ABCD построено! вне
трапеции равносторонние треугольники. Докажите, что пря¬
мая, соединяющая вершины треугольников, не лежащие на
основаниях трапеции, проходит через точку пересечения
диагоналей трапеции.
1011. На каждом из оснований трапеции ABCD построены вне
трапеции квадраты. Докажите, что эти квадраты гомотетич¬
ны, причем центр гомотетии — точка пересечения диагона¬
лей трапеции.
1012. На рисунке 428 изображен сегмент. 1) Выразите формулой
зависимость между I — длиной хорды, Л — «стрелкой» (вы¬
сотой) сегмента и г — радиусом. 2) Вычислите радиус, если
1 = 8 см, h = 3 см.
1013. Докажите, что сумма квадратов диагоналей параллелограм¬
ма равна сумме квадратов его сторон.
1014. Найдите величины углов равнобед¬
ренного треугольника, если извест¬
но, что биссектриса угла при его ос¬
новании отсекает треугольник, по¬
добный данному.
1015. Диагонали четырехугольника пер¬
пендикулярны. Докажите, что сумма	рис_ ^
9 Геометрия. 6—8
257

10
в
6
2
10 5	0	10	20	30	40	50	60	10
а)
квадратов противоположных его сто¬
рон равна сумме квадратов двух дру¬
гих его сторон.
1016. Докажите, что разность квадратов
двух сторон треугольника равна разно¬
сти квадратов их проекций на третью
сторону.
1017. Четырехугольник ABCD— прямоуголь¬
ник, О—произвольная точка плоско¬
сти, Докажите:	|(М	|2	+	|ОС|2 =
= |ОВ|2+ | OD |2.
1018. Постройте отрезок
длины х, если:
2) х = у^ПГ,ъ\
данных отрезков
1021.
1022.
1023.
1)	х = \/а- + Ь2;
где а и Ь — длины
(а > Ь).
1019. Докажите, что разность квадратов рас¬
стояний от точек перпендикуляра к от¬
резку АВ до концов этого отрезка
есть величина постоянная.
1020. Найдите множество точек, сумма квад¬
ратов расстояний от которых до кон¬
цов данного отрезка постоянна.
Какую фигуру образуют середины хорд данной окружности,
конгруэнтных данному отрезку? Постройте эту фигуру, если
дана окружность и одна из хорд.
oitf
Постройте отрезок длины х: 1) х = —■—; 2) х =
а \-с	с
(а, Ь, с — длины данных отрезков).
На рисунке 429, а изображены масштабная линейка с санти¬
метровыми делениями и поперечным масштабом. 1) Объ¬
ясните, почему такая линейка позволяет измерять расстоя¬
ния с точностью до 0,1 мм. 2) Найдите по этому рисунку
а? 4- с2—Ь*
2S8

расстояния |£72^|r |АВ|, \CD\ и \KL\ с точностью до 0,1 мм.
1024. На рисунке 429, б изображен пропорциональной (деликт¬
ный) циркуль, позволяющий делить отрезки на конгруэнт¬
ные части и выполнять построения подобных фигур. Объяс¬
ните, на чем основано устройство такого циркуля.
1025. Какими тремя последовательными натуральными числами
могут выражаться стороны прямоугольного треугольника?
1026. Может ли композиция двух гомотетий бьнь перемещением?
1027. Приведите пример фигуры, которая подобна себе с любым
коэффициентом подобия /г = 2", где п — целое число, но
не подобна себе ни при каком другом коэффициенте.
9*

8
ГЛАВА VII
ПОВОРОТЫ
КЛАСС
И ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ
ФУНКЦИИ
§ 1. Повороты и их композиции
70.	Способы задания поворотов
Вы уже знаете (л. 19), что поворот
определяется заданием:	а)	его	цент¬
ра О, б) угла поворота а, в) направ¬
ления поворота.
Угол поворота а при етол считает¬
ся заключенным в пределах
О* < а< 180°.
Поворот на 0° — это тождественное
отображение плоскости: Е (X) — X.
Для любого центра О повороты на
180° в обоих направлениях совпадают
и являются центральной симметрией
относительно центра поворота.
Мы познакомимся теперь с другое
системой задания поворотов, преиму¬
щества которой выяснятся постепенно.
Выберем какое-либо направление
поворота в качестве положительного,
а противоположное направление будем
считать отрицательным. Положитель¬
ным обычно считают направление по¬
ворота против часовой стрелки. На¬
пример, поворот на 80° против часо¬
вой стрелки будем называть поворотом
на 80°, поворот же на 80° по часовой
стрелке — поворотом на минус 80°
260

(рис. 430). При таком соглашении поворот
полностью определяется заданием'.
1)	центра О; 2) угла поворота а
(-180а< а < 180е).
Угол поворота теперь считается на
правленной величиной, числовое значе¬
ние которой может быть как положитель¬
ным, так и отрицательным или нулем.
Поворот с центром О на угол а обознача¬
ется Ro•	Например, повороты, указанные на рисун¬
ке 430 стрелками, обозначаются Re? и	.
Удобно, однако, рассматривать повороты и на углы, лежа¬
щие вне пределов от —180* до 180°. На рисунке 431 показано,
почему поворот на —20* совпадает с поворотом на 340°:
J?340’ = R-™*.
Поворот мы рассматриваем теперь как результат вращения
Чтобы наглядно представить себе вращение, положите на лист
бумаги лист кальки и проколите оба листа булавкой в некото¬
рой точке О. На листе бумаги заранее начертите какую-либо
фигуру. Скопируйте эту фигуру на кальку и после этого вра¬
щайте кальку вокруг точки О. Точка О будет оставаться непод¬
вижной, любая же другая отмеченная на кальке точка будет
двигаться по окружности. Если вначале она занимала на пло¬
скости положение X, то после вращения на 340' против часо¬
вой стрелки она займет положение Хг (рис. 431). Тот же резуль¬
тат получится и при вращении по часовой стрелке на 20" Поэ¬
тому мы и считаем, что записи Д34Р’ и Е-20’ являются просто
разными обозначениями одного и того же поворота. Тот же
поворот можно получить при помощи вращения бесконечным
числом способов. В самом деле, в результате вращения на 360*
по часовой стрелке (или против часовой стрелки) все нанесен¬
ные на кальку точки возвращаются на прежние места, поэтому
поворот на 340° можно получить и в результате вращения на
углы: -20° + 360° = 340°, -20° + 360°	2 = 700°	-20*	-
_ 360* = -380°, -20* - 360° • 2 = —740*
Вообще, поворот Rx получается в результате вращения не
только на угол а, но и на угол а + 360° • п, где п — любое
целее число.
* Рассматривая повороты с каким-либо одним заданным центром, можно
опустить обозначение центра; вместо Rq писать просто Я06.
261

Итак, если |j = о + ЗСи° • п (п — целое, и —180° ^ а ^
^ 180°), то поворотом на угол |3 называется поворот Лу, (По¬
ворот на угол а, где —180° ^ а ^ 180', был определен ра¬
нее.) Например,
Рассматривая приведенные выше примеры поворотов на
определенный угол, мы рассуждали так, как это принято в
физике при изучении вращательного движения. В курсе гео¬
метрии мы не исследуем движения (процесса, проходящего во
времени), а интересуемся только перемещениями Но исполь
зованные нами представления из области кинематики (раздел
механики, занимающийся списанием различных видов движе¬
ния) помогают понять определение и свойства поворотов.
Вопросы и задачи
1031.	Отметьте на листе бумаги центр поворота О и некоторую
точку М. Найдите образ точки М при повороте на следую¬
щие уггы:	1)	35е; 2) 70°; 3) 125"; 4) 160Г°; 5) —145°;
л6)_—110°.	^	W
1032.	Два наблюдателя, стояшие по разные стороны ог велосипе¬
да, заметили, что колеса этого велосипеда вращаются в
направлении по часовой стрелке. Верно ли это?
1033°.	На рисунке 432 стрелкой показано направление вращения
одной из шестерен. Какие из шестерен будут npi этом вра¬
щаться в положительном и какие — в отрицательном на¬
правлениях?
1034.	Точка М отображается на точку Mi при повороте вокруг
центра О: 1) на 40°; 2) на 70°; 3) на 130°. Укажите другие
значения углов поворота, при которых -очка М отображает¬
ся на эту же точку Mi
Рис. 432
1035.	"очке М отображается на
точку М] при повороте
вокруг центра О: 1) на
-130'; 2) на -40°; 3) на
— 90°. Укажите другие
значения углов поворота
при которых точка М ото¬
бражается на эту же точку.
262

1036. Представьте в виде Rrj\—1805^а^18С ) следующие по¬
вороты: 1) д= °'; 2) Д7:0’; 3) Д,4ео’; 4) Л-270’; 5) Д21100°;
6)	К1080’; 7) RM0\
1037. Запишите с использованием обозначения /?*(—180°с ^
^ 180~) повороты на угол: 1) 660°; 2) —570е; 3) —1000е;
4)	890°; 5) 740е; 6) 1100°; 7) 1500°.
1038. При каких значениях числа k справедлива запись:
1)	Дч = i?p+360'-v; 2) R? = Я‘+Ш'-',Ч
71.	Угловые величины. Их измерение в радианах
1. В предыдущем пункте мы рассматривали новый вид углевых
величин — углы поворота. Как и другие угловые величины,
углы поворота можно измерять в градусах. Градусная мера
угла поворота может равняться любому действительному числу.
Вспомним все виды угловых величин, с которыми имели дело.
1) Величина угла а (геометрической фигуры) заключена в
пределах 0° < а < 360°.
2) Угол между направлениями —лежит в пределах
0° < 180°.
3) Угол между прямыми лежит в пределах О’ ^ а ^ 90'.
(Углом между пересекающимися прямыми называется величи¬
на меньшего из углов, образуемых этими прямыми, угол между
параллельными прямыми считается равным CJ.)
4) Угловая величина а дуги окружности может принимать
значения 0° < а < 360°.
5) Вращательное движение в физике характеризуется лю¬
быми угловыми величинами, принимающими любые действи¬
тельные значения, т. е. —оо < а < оо.
Таково же положение с поворотами в геометрии. Однако
здесь имеется важное различие. Например, вращения ка 50°
и на 410е как физические процессы различны. Но в результате
они дают один и тот же поворот
й0’ = Д110\
2.	Вы знакомы с различными единицами измерения уг¬
ловых величин:	градус, минута, секунда, прямой угол
{а — 90°). При измерении угловой величины дуги за еди¬
ницу измерения принимается угловая величина дуги, длина
которой равна радиусу. Эта единица измерения угловых ве
личин называется радианом.
263

Чтобы выразить радиан в градусах, вспомним формулу дли¬
ны окружности радиуса R:
С = 2л R.	(1)
■гг	2лЯ	Л	г.
Длина дуги в один градус равна:	=	~^R>	а	длина
дуги в а градусов равна:
I = — aR.	(2)
180	к >
Дугу длины I = R мы получим, если в формуле (2) поло-
180	т-г
жим а = —. Поэтому радиан выражается в градусах по
л
формуле
1 рад =	(3)
Приближенно 1 радиан равен 57°18\
Из формулы (3) получаем выражение градуса в радианах:
1° = — рад.	(4)
180
Приближенно 1° равен 0,01'745 радиан.
Формула для длины дуги при радианном измерении угло¬
вой величины дуги принимает особенно простой вид: длина I
дуги окружности радиуса R в х радиан равна*:
I = xR.	(5)
Радканное измерение угловых величин оказывается во многих
вопросах математики и физики особенно удобным.
В следующей таблице указаны числовые значения вели¬
чин некоторых углов, если за единицу измерения приняты гра¬
дус, прямой угол, радиан.
Единицы
измерения
Числовые
значения величин углов
Градус
30
45
90
180
270
360
1
1
Прямой угол
3
2
1
2
3
4
л
л
л
Радиан
—
—
л
—Л
2л
6
4
2
2
* Сраиппте с формулой (2).
264

^mpt
Вопросы и задачи
1039. Радиус окружности равен 10 см. Вычислите длину дуги,
угловая величина которой равна: 1) 45°; 2) 18°.
1) Вычислите длину дуги окружности, радиус которой равен
50 см, если: а) угловая величина этой дуги в градусах рав¬
на 144°; б) угловая величина дуги в радианах равна 0,1.
2) Найдите радианную меру дуги, угловая величина которой
равна: а) Г; б) 45°; в) 75°; г) 225°.
Найдите угловую величину дуги в градусах, если ее радиан-
jt	2	тс
ная мера равна: 1) 1; 2) 0,1; 3) 0,3; 4) —; 5) —я; 6)
7)
' 12
1042. В морской практике углы между направлениями измеряют¬
ся в румбах. При таких измерениях окружность делится на
32 румба. Вычислите: 1) сколько градусов в одном румбе;
2)	сколько румбов в одном градусе.
"<04v)
,20°
30°
и Л с общим
72. Композиция поворотов с общим N
центром
Рассмотрим повороты R
центром О. В результате последователь¬
ного их выполнения получится поворот
вокруг точки О на 60°. Например, точ¬
ка А (рис. 433, а) при повороте 7220° ото¬
бразится на точку Аи а при повороте
Лж точка Аг отобразится на точку А2т.
Аг= Лж (А); А2 = Л™ (Лг). Значит,
30°
Лж (7Г (А)) = Л™ (А).
Напомним, что результат последо¬
вательного выполнения двух отображе-
А,
,20Л
50°

ний fug обозначается g > f и называется композицией отобра¬
жений fug (п. 54). В нашем примере композиция поворотов
Д203 и Д30’ оказалась поворотом Д5С , т. е. Я30 с Я20 — Д5"'.
Вообще, при любых углах поворота а и Б сграовдливо равен¬
ство: •
ДЗ о Д* = д*+в.
Например,
Д,30°оД80° = л80’+1зс: =J?210° = J?-15'1' (рис. 433,6),
Д220’оД,40° = Д1405+220’ = Д360’ = Д (рис. 433,e/f
Д 80" о Д80° = д50О+'-80’) = д-зо! (рис 433 г-
д—5Ю’ 0 д-780’ = д 780°+( 510’) __ д 12J0’ = д-2.0’ = д1МГ (рис. 433^-
Так как всегда а + р = Р а, то Дч ° Да = Да(| =
= Да о ДЗ, т. е. композиция поворотов с общим центром пере-
местительна:
Др с = Д*	< Др.
В случае различных центров это	не так.	Например, при	ком¬
позиции двух центральных симметрий До, = До,° е Д; =
■= Дд80’ получаются различные перемещения (рис. 434):
Zo, 3 Zo, — 20iO«, До, 0 До = 2020., До “ До До, ‘ До,*
Вопросы и задачи
1043. Найдите угол а (—180° ^ а ^ 180°) поворота, являюще-ося
композицией поворотов с	общим	цен ром: 1)	на 25°
и -60е; 2) на -35° и 180°; 3)	на 70° и	20°; 4) на 245°	и	135°;
5)	на —170° и —20°; 6) на 90° и 45°
1044. Найдите все значения а. для которых:	1) _Д70°о Яс=-Яъ0',
2)	Я70° о Да = _Д38°;	3) Д70’ о Да = Яж;	4) Д70’ ° Дс = Д;
5)	Да - Д90° = Д30°; 6) Да с Д_20° = Д180';	7) Да с ДТ=ДЛ.
1045.	1) Каким перемещением является композиция двух цент¬
ральных симметрий с общим цен-ром Ml
266

2)	Найдите поворот, для которого Ra{Ra(X)) — X, где
X — любая точка плоскости (короче: Ra . да = Е). Сколь¬
ко решвпий имеет задача?
1046.	1) Композицией каких трех поворотов на один и тот же
угол а является поворот на 90е?
2)	Композицией каких двух поворотов на один и тот же
угол и является поворот на 180”?
1047. Сколько существует различных поворотов (с общим цент¬
ром), для которых R'x о Ra	о Ra = El
1048°.	Обладает ли композиция	поворотов с общим центром
свойством сочетательности?
1049.	При каких значениях к (и любых аир) верно	равенство»
1) R* о ДР=-_ й'-'+Р-'*-Зб0>.	2) Ra° JR3 =	Р^-юо" ?
1050**. Найдите такое наименьшее число п, что композицией п по¬
воротов на 19° является поворот: 1) на 10ь; 2) на 20°.
§ 2. Тригонометрические функции
73.	Задание перемещений с помощью координат
Пусть на плоскости дана прямоугольная система координат.
Любое перемещение можно задать формулами, с помощью ко¬
торых координаты образов точек находятся по координатам
этих точек. Рассмотрим примеры.
Пример 1. При симметрии с	У	,
осью у точка Р (х, у) отображается на	ру.У) в\
точку Р'(х',у'). Координаты х' и у'
выражаются через координаты точки Р \У'=У
(рис. 435) следующим образом:
Pix.y)
У
X = —X,
У' = У-
(1)
Рис. 433
Формулы (1) надо понимать так: ес¬
ли точка Р имеет координаты х, у, то
точка Р' — образ точки Р при симмет¬
рии S,, имеет координаты х\ у' в
той же системе координат, равные
—X и у.
Пример 2. Симметрия с осью
х задается с помощью координат ана¬
логично:	если Р' (*' ,у')—образ точки
267

А'
Р'<
х'
О ж А
У'
3'
Рис. 439
Р (х,у) при симметрии Sx (рис. 436), то
(2)
х = х,
У' = —У-
п р и м е р 3. При симметрии отно¬
сительно прямой I, содержащей биссект¬
рису угла хОу (рис. 437), точка Р (ж, у)
отображается на точку Р' (ж', у'). Коор^
динаты ж' и у' выражаются через коорди¬
наты точки Р так:
х = у,
у' — ж.
(3)
Пример 4. При повороте на 90’
вокруг начала координат точка Р (ж, у)
отображается на точку Р' (ж', у')
(рис. 438).
Координаты ж', у' выражаются через
координаты точки Р так:
X = —у,
у' = х.
(4)
П р и м е р 5. При симметрии относи¬
тельно начала координат точка Р(ж, у)
отображается на точку Р (ж', у )
(рис. 439) с координатами:
(5)
ж = —ж,
У' = -У
Сведем полученные результаты в таб¬
лицу:
Вид перемещения
Sy
sx
Si
90°
«С
Координаты обра¬
х' = —X
X = X
х = у
*' = -</
х' - —X
зов точки
V' "=У
у' = —у
у' = X
У' — х
у■ = —у
268

Вопросы и задачи
1051.	1) Дана точка М (0, —1). Укажите координаты точки Ми
если: a) Af, = S (М); 6) М, = S (М); в) М, = Я $ (М);
г) М\ — Z0(M).
2)	Дана точка -А(3, 4). Укажите координаты точки А\,
если: а) Аг = Sx (А); 6) А \ = Sy (А); в) А, =	(А);
г) А,=Д«» (А).
1052.	Дана система координат хОу На какие прямые отобразят¬
ся оси хну при повороте: 1) Д^0"; 2) Rq6и"; 3) Rq°° 4) R^m?
1053.	Точка М имеет координаты д; и у. Каковы координаты точ¬
ки Mi, если известно, что:
1)	Мх = Дл°с(М); 2) М, = R-90°(M);	3) М, = R~,8°С(М);
4) М, = Sx (М);	5)	М,	=	S	(М);	6)	М, = S (S (М));
7)	М, = Д>»’(Я-«г(М)); в) Mi =Sx(S^(M));
9) Л#! = Д-90' (Д180’ (М)); Ю) Mj = Д1 °’ (Д1 £0° (М))?
1054.	Дана точка Р(1, 0). Какие значения могут принимать коор¬
динаты образа точки Р при поворотах с центром О на углы
от 0° до 50°?
74.	Синус и косинус
1.	Из курса алгебры вам известно уравнение окружности ра¬
диуса г с центром в начале прямоугольной системы координат:
X2 -г у2 г2.	(1)
Уравнению (1) удовлетворяют координаты любой точки данной
окружности. Если же точка не принадлежит этой окружности,
то ее координаты не удовлетворяют уравнению (1).
Окружность с центром в начале координат и радиусом, рав¬
ным 1, будем называть единичной, окружностью. Ее уравнение
х2 + у2 = 1.
На единичной окружности отметим
точку Р0 (1, 0). При повороте До точка
У
Р0 отображается на точку Р„, которая .
тоже принадлежит единичной окружное- /
ти (рис. 440). |
|й
Поставим в соответствие каждому углу 1
0
Г *
а определенное число уа — ординату точ- \
* киРа. Эту ординату называют синусом
угла а и обозначают sin а, т. е. уа =sin а.
Тем самым мы определили функцию, на-	рИс.	440
зываемую синусом.
269

Областью определения функции sin (читается: синус) явля¬
ется все множество угловых величин. А областью значений —
промежуток [—1, 1), так как ординаты точек Ра , лежащих на
единичной окружности, могут принимать значения от —1 до 1.
Аналогично поставим в соответствие каждому углу а аб¬
сциссу хл точки Ра. Эту абсциссу называют косинусом угле а
и обозначают cos а, т. е. х~Л = cos а. Получим функцию, назы¬
ваемую косинусом. Областью определения функции cos (чита-
ei ся: косинус) является все множество угловых величин, а
областью значений — промежуток [—1,11.
2.	На рисунках 441 и 442 показаны значения функций sin
и cos для данных на этом рисунке углов. При увеличении угла а
от 0е до 90е значения функции sin увеличиваются ст 0 до 1,
а значения функции cos уменьшаются от 1 до 0.
На тех же рисунках показаны графики функций sin и cos
для углов, принадлежащих промежутку [ —180'', 180э1. При
любом целом п поворот на угол Р = а 360° • п совпадает с
поворотом на угол а. Поэтому Ра+Зв0°.п = Ра при любом целой
П. ЗнаЧИТ,	Ха (-360°.п = ха , 1/а+360’.л	= Уал т. е.
sin (а + 860® •	п) = sin а,	,9
cos (а + 360° •	п) = cos а.	( ’
270

Любой угол р можно представить в виде р — а 360е - п,
где п — целое число, а а находится в пределах —180° ^ а ^
180°. Поэтому достаточно изучить поведение функций ein
и cos на промежутке [—180е, 180°].
Равенства (2) означают, что функции sin к cos «периодиче¬
ские» с «периодом» 360°. Подробнее вы займетесь свойствами
периодичности тригонометрических функций в 9 классе Нали¬
чие у синуса и косинуса периода в 360° позволяет представить
себе, как выглядят графики этих функций и за пределами проме¬
жутка [—180е, 180°] (рис. 443 и 444).
3.	В пункте 59 было показано, что каждый вектор плоско¬
сти можно разложить по единичным
гжторам прямоугольной системы ко¬
ординат (рис. 445), т. е. представить
любой вектор а в виде суммы
а — ati + ayj.
Еыразим координаты вектор» а =
 >■	—У
=г-ОА через его длину |а| и угол а
между лучом ОА и положительным
направлением сси абсцисс.
271

Пусть е — единичный вектор, сонаправленный с данным
вектором а. Тогда а = | а | е. Координаты вектора е равны cos а
и sin а	(по определению cos и sin),	т. е.
-►	-*•	-*•
е = i cos а -f j sin а.
Значит,
■+	-»■	-*■	-*•
а =|а[е	=	|а[ (icos	а-f ./sin	а)	= i|o| cosa 4- j |а| sin а.
Поэтому	числа	| а |	cos а и | а |	sin а являются координатами
вектора	а	.	Итак,	координаты ах	и ау вектора	а	выражаются
через его длину |о | и угол а между лучом О А и положительным
направлением оси абсцисс по формулам
ах = \а\ •	cos a,
а у = | о | •	sin a.
Вопросы и задачи
1055. Постройте окружность, уравнение которой х2 -j- у2 = 4.
1) Лежат ли на этой окружности точки: а) А (2, 0); б) В(1,1);
в)	С (—2, 0); г) Z)(—1, 1)? 2) Запишите координаты каких-
либо четырех точек, лежащих на этой окружности.
1056. Какие координаты будет иметь точка, симметричная точке
М[0, 8; 0, 6) относительно: 1) начала координат; 2) оси у;
3) оси х?
1057. На окружности, уравнение которой х2-{-у2 = 1, дана точ¬
ка М(х 1, уi). Постройте эту окружность и укажите возмож¬
ное положение точки М, если известно, что: 1) д?! = 0,3;
2) У\ = 0,3;	3) х, = у,;	4) х, = — у,;	5) |*i| = 0,5;
6)	| У. | =0,5.
1058. Укажите координаты точки единичной окружности: 1) Р 0,-
2)	Pi80°; 3) Р—90°; 4) Р_180°; 5) Рг70°; 6) Р_270°*
1059. Чему равны синус и косинус следующих углов: 1) 90°;
2)	180°; 3) —90°; 4) —180°; 5) 270°; 6) —270°?
1060. Существует ли такой угол а, для которого: 1) sin a = 0;
4	3
2)	sin а — — 1; 3) sin a = — —; 4) sin a =—; 5) sin a =
5	2
= —— ;6) sin a = —21 Постройте этот угол, если он су¬
ществует.
1061. Определите знак синуса угла: 1) 122°; 2) 90°30'; 3) —ЮЗ3;
4) 270°; 5) 450°; 6) -725°; 7) 1100°.
272

1062.
1063.
1064.
1065.
1066.
1067.
1063.
1069.
1070.
1071.
На миллиметровой бумаге постройте окружность единично¬
го радиуса, отметьте на ней точки: Р20„; Р!5.; РойА Рв0„.
Найдите значепия sin 20°; sin 45°; sin 60°; sin 80°.
Запишите в порядке возрастания: sin 20°; sin 45°; sin 90°;
sin 30°; sin 60°; sin 70°.
Существует	ли угол	а, для	которого:	1) cos а — —1;
2	5	11
2)	cos а — 0; 3) cos а = — , 4) cos а =	; 5) cos а = —;
3	4	12
6)	cos а = —2? Постройте этот угол, если он существует.
Определите знак косинуса угла: 1) 170°; 2) —91°; 3) 0°20';
4)	290°; 5) -640°; 6) 530°; 7) 3660°.
На миллиметровой бумаге постройте окружность единично¬
го радиуса,	отметьте	на ней	точки Р20=;	Р45-; Р60°»	Ра0>
и найдите значения cos 20°,- cos	45°; cos 60°;	cos 80°.
Запишите в порядке возрастания cos 20°; cos 45°; cos 90°;
cos 30°; cos 60°; cos 70°.
Существует ли угол а, для которого: 1) sin а = cos и;
2)	sin а = —cos а?
Отложите на координатной плоскости вектор ОА, коорди¬
наты которого равны:	1)	(1, 0); 2) (0, 1); 3) (—1, 0);
4)	(—1, 1); 5) (1, —1); 6) (1, 1). Найдите величину угла,
образованного вектором ОА с положительным направле¬
нием оси х.
1) Отложите от начала координат вектор, имеющий коор¬
динаты: а)^, Oji; б) (0, 5); в) (2, —2); г) (—3, 2); д) (4, 3).
2) Отметьте на координатной плоскости хОу точки М, А,
В, С и найдите составляющие векторов ОМ, ОА, ОВ, ОС по
осям X И у.
~¥
3) Координаты вектора а равны 3 и —4. Постройте состав¬
ляющие вектора о по осям координат.
4) Даны составляющие вектора а по осям координат:
ах = —2i, йу — 3/. Отложите вектор а от начала координат.
Выразите координаты вектора через тригонометрические
функции угла а, образованного этим вектором с положи¬
тельным направлением оси х, если даны координаты этого
вектора: 1) (0, 2); 2) (2, 0); 3)	},	4)	(2, -2); 5) (1, 1).
273

У,
\“
V г
\ 0
1 х
5)
75.	Некоторые тождества
для функций синус и косинус
Если точка Ра лежит на единичной ок¬
ружности, то ее координаты удовлет¬
воряют уравнению этой окружности
х2 + уг — 1. Значит, при любом а
выполняется равенство х2а + у\ = 1,
т. е.
sin2 а + ccs2 а = 1.	(1)
Далее нам понадобятся другие фор¬
мулы, к выводу которых мы и перей¬
дем.
Точка Р i8o° >jt является образом
точки Ра при симметрии относитель¬
но оси у (рис. 446, о). Поэтому ко¬
ординаты точки Рiso0—а равны (п. 73):
X 180е—а — —Xat
У iso'—а = Уа-
Значит,
cos (180° — а) — —cos ос, ,<,)
sin (180° — а) = sin а.
Точки Ра и Р—а симметричны отно¬
сительно оси .г (рис. 446, б). Поэтому
(п. 73)
Х—а ~ Xat
У—а	—На¬
значит,
cos (—а) = cos а,	,д\
sin (—а) = —sin а.
При повороте ка 90° (рис. 446, в)
точка Ра отображается на точку Р$о - а.
Поэтому (п. 73):
Значит,
Л"90с-[ а —	На*
Н90°+а =	*а-
cos (90е + а) = — sin а.
sin (90° + а) = cos а.
(4)
Рис. 446
Точки Ра и P -и- -_с симметричны от¬
носительно оси /, содержащей бнссек-
274

трису угла хОу (рис. 446, г). Поэтому (п. 73):
Xw’—a — У'/t
Ут’-а = На¬
значит,
cos (90° - а) = sin п,
sin (90° — а) — cos а.
Замечание. Из второй формулы (4) вытекает, что гра¬
фик функции sin получается из графика функции cos параллель
нш! переносом вдоль сси а вправо на расстояние, соответствую¬
щее углу 90° (рис. 447).
Вопросы и задачи
1072.	Вычислите значение соза, если: 1) sin а = 0,6, 0° < а < 90°;
2)	sin а = 0,96, 90° < а < 180"; 3) sin а = 0,8, 0° < а < 90°;
4)	sin а — i-, 90э <а< 180’; 5) sin а = !QL, 0° < а < 180°.
1073. Вычислите значение sin а, если: 1) cos а =	0°	<	а	<	90’;
3
2)	cosа=—0,5, — 90°<а<ICO’; 3) cosa=0,6, 0°<а<90°;
4)	cosа= —j, 90°< а <180°; 5) cosa = ^, 0э<а<180°.
1074.	Упростите выражение: 1)1— соз2а; 2) sinza—1; 3) С-°3 а- •
1—sin3o'
4)	sin2a-f cos2а—1;	5)	2sin2	a	-f cos2 а — 1; 6)sinctX
X (1 — cos2 а); 7) 2 — sin2 a — cos2 a; 8) (1 — sin a) (1 -f sin a).
1075.	1) Выразите через значение тригонометрической функции
положительного угла, меньшего 90°: а) sin 100°; б) sin 160°;
в)	cos 170°; г) sin 95° 16'; д) sin 103°45'; е) cos 124° 15'.
2)	Выразите через значения тригонометрических функ¬
ций положительных углов, меньших 90°: а) sin (—70°);
275

6)	ccs(—70°); в) sin (—20°); г) cos(— £0C); д) sin (—45°);
e) cos(—45°).
1076*. Докажите, что: 1) sin (a + 180c) — —si ti a;	2) cos (a	+	180°)=
= cos a; 3) (cos a — sin a) (cos u -+- sin a) =	1	—	2 sin2 a;
4) sin (90° — a) cos (t 80° — a) = —cos2 cr
5) cos (90° — a) sin (180° - a) = sin2 a.
76.	Таблицы синусов и косинусов
Значения	синусов	и косинусов	ухлов «, где	0® ^	а	<С	90°,	на¬
ходят	по	таблицам. В школе	употребляются	четырехзначные
математические таблицы.
Заметим сначала, что равенства
sin (90° —	a) = cos a,
cos (90° —	a) — sin a,
известные из пункта 75, позволяют находить значения синусов
и косинусов, пользуясь лишь одной таблицей.
Рассмотрим примеры нахождения значений синуса и косину¬
са по их аргументам.
Синусы
А
0'
6'
12'
18'
2 l'
30'
36'
42'
48'
04'
60'
1'
2'
8'
70°
0,9397
9403
9409
9415^9421
9426
9432'9438 9444
9449
С 9455
19°
1
2
3
71°
9455
9461
9466
9472 9478
9483
9489|9494'9500
9595
9511
18°
1
2
3
72’
9511
9516
9521
9о27|9532
9537
9512 0518 9553
9558
9553
17°
1
2
3
0
СО
9563
9568
9573
9578
9583
9538
95ЭЗ;95Э8'9603
9608
9513
16е
1
2
2
74°
9613
9817
9622
9627
9632
9636
9641|9646|9650
9555
9659
15е
1
2
2
60'
54'
48'
42'
36'
30'
24'
18'
12'
6'
0'
А
1'
2'
8'
Косинусы
Пример 1. Найти sin 70°36'.
Находим число градусов в крайнем левом столбце таблицы,
число минут — в верхней части таблицы. На пересечении соот¬
ветствующей строки и столбца находим искомое число:
sin 70°36' = 0,9432*.
* В записях табличных данных вместо знака приближенного равенства
( =) обычно пишут знак равенства (—).
276

Пример 2. Найти sin 74°55'.
В таблице находим синус уг”Л; ближайшего данному:
sin 74°54' = 0,9655. Затем в столбцах поправок (в правой стори
не таблицы) находим поправку на 1'. Эта поправка равна 0,0001.
Учитывая, что при возрастании угла от 0° до 90° синус также
возрастает, найденную поправку прибавляем. Таким образом,
sin 74°55' = 0,9655 -г- 0,0001 = 0,9656.
Пример 3. Найти cos 16°12'.
Число градусов ищем в правой стороне таблицы (в столб¬
це А), число минут — в нижней строке таблицы. На пересече¬
нии соответствующих строки и столбца находим искомое число:
cos 16°12' = 0,9603.
Пример 4. Найт л cos 18°50\
'По таблицам находим значение косинуса угла, ближайшего
к данному: cos 18°48' = 0,9466. В столбце поправок находим
поправку на 2'. Эта поправка равна 0,0002. Учитывая, что при
возрастании аргумента от 0° до 90° значения косинуса убывают,
найденную поправку надо вычесть. Поэтому
cos 18°50 = 0,9464.
По этим таблицам можно решать и задачи, обратные рас¬
смотренным: по данным значениям синуса и косинуса некото¬
рого угла находить этот угол.
Пользуясь формулой 2 из пункта 74 и формулами 2—5 из
пункта 75, нахождение синуса (косинуса) любого угла можно
свести к нахождению синуса или косинуса угла, лежащего в
пределах от 0° до 90°.
Примеры.
1) sin (—72°) = —sin 72° = —0,9511;
2) cos (-108°) = cos (90° + 18°) = —sin 18° = —0,3090,
3) sin 430° = sin (360° + 70°) = sin 70° = 0,9397;
4) cos &50° = cos (2	360°	—	170°)	=	cos	(—170°)	=
= cos (180J — 10°) = —cos 10° = —0,9848.
Вопросы и задачи
1077.	Найдите по таблицам значения синусов и косинусов следую¬
щих углов: 1) 40°; 2) 14°36'- 3) 25cf>4'; 4) 40°56 , 5) 80°03';
6)	89°50'; 7) 0°54'; 8) 105°; 9) 160°; 10) 170'; 11) —40°;
12) —110°; 13) —1000°; 14) 1100°.
277

1078.	Ичйдите по	таблицам величину острого угла х, зная синус
_или косинус	этого у'гяа: 1) sinx — 0,0175;	2) sin я- = 0.5015;
15'	3)	sin	х = 0,5и14; 4) *w3Jt = 0,06/0;	5)	cos	х	=	0,5673;
6)	cos х = 0,9047.
1079.	Вычислите	без помощи таблиц:	1)	sin 30° + cos 60°;
2)	sin 90° —	sin 180°; 3) sin 90° 4-cos 90°;	4) sin(—1b0°) 4
4-cos (-90°).
77.	Тангенс
1.	Отношение Sin-(l называется тангенсом угла а и обознача¬
ем» а
е-гся tg с;.
Функция tg определена для тех углов а, для которых cos а Ф
ф 0. На промежутке [—180°, 180°] имеются два угла, для ко¬
торых cos а = 0, это углы 90° и —90°. Следовательно, tg а
не определен при а — 90° и а— —90°.
На рисунке 448 показано, как строится график тангенса
для углов а, если —90° < а <90°. В силу подобия треуголь¬
ников OEQa и ОМаРа имеем:
I EQn
\Ра
М„
sin а
ЮМ„
= tga.
Рис. 448
|ОЕ| | a I cos а
Но 10^71 = 1, и, следователь¬
но, \EQa\ = tg a.
Значения функции tg а для
углов а от 0° до 90° даны в че¬
тырехзначных математических
таблицах. Описание таблиц
«.Тангенсы» содержится в объ¬
яснительном тексте к ним.
2. Рассмотрим прямую I,
проходящую через начало ко¬
ординат (рис. 449). Ее уравне¬
ние: у = kx. Коэффициент k на¬
зывается угловым коэффициен¬
том этой прямой.
Пусть М — произвольная
точка прямой L Ее координаты
равны: х = \ОМ\ cos а и у =■
= [OM|sina (п. 74). Коорди¬
наты точки М удовлетворяют
278

уравнению этой прямой. По¬
этому
| ОМ | sin а = ft | ОМ | cos а.
Отсюда
т sin а
ft = 	,
cos а
т. е.
ft = tg а.
Прямые с уравнениями у = kx и у = kx + Ъ параллельны
(см. рис. 449), так как их угловые коэффициенты равны. Верно
и обратное: если угловые коэффициенты двух прямых равны, то
эти прямые параллельны.
Вопросы и задачи
1080.	1) Найдите значения: a) tg45°; б) tg(—45°); в) tg0°; г) tg 30°;
д) tg 60°; е) tg 180°.
2) Не прибегая к таблицам, укажите наименьшее положи¬
тельное значение а, при котором: a) tga = 1; б) tg a = —1.
1081. Докажите, что: 1) tg (—a) = — tga; 2) 1 +tg2a= —.
cos a
1082. Найдите по таблицам значения тангенса угла: 1) 5°; 2) 25°;
3) 35°42'; 4) 46°56'; 5) 80°03'; 6) 89°50\
1083. Найдите по таблицам острый угол х, если: 1) tga: = 0,3227;
2)	tg а; = 0,7846; 3) tg а; = 1,4632; 4) tg х=6,152; 5) tg
= 17,89; 6) tgx= 156,3.
1084*. 1) Найдите угловой коэффициент прямой: а) 2х—у+З — 0;
б) 4л; 4- 4у — 5 = 0; в) у = 5х — 7; г) у — х; д) у = 5.
2) Параллельны ли прямые, заданные уравнениями: а) 4а:
-i~4y = 5 и у = а:-М; б) 4* + 4y = 5 и у = —2 — х1
3) Постройте прямую, уравнение которой: а) x—2i б) у=Ъ\
в) у = 0,5а:; г) у = х; д) у = —х; е) 2х + 3у = 0.
78.	Соотношения между сторонами
и углами прямоугольного треугольника
Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC с катетами с
и 6 и гипотенузой с. Выберем прямоугольную систему коор¬
динат хОу так, как показано на рисунке 450. В этом случае
числа с и 6 являются координатами вектора ОВ (с — ордината,
279

b — абсцисса), с — длина вектора ОВ.
/"N	Л
Поэтому b — ccosA, a = csin.A (п. 74).
Из этих формул находим:
О а
sin А — —,
с
'л Ъ
cos А = —.
е
Отсюда
.	'?'•	81П	А
tgj4 = —-
cos А
а
ь'
Следовательно, в прямоугольном треугольнике АБС
а = b tg А.
Треугольник, как вы знаете, определяется тремя элемента¬
ми. В прямоугольном треугольнике один элемент — прямой
угол — всегда известен. Поэтому прямоугольный треугольник
определяется двумя другими основными элементами, из которых
хотя бы один является его стороной.
Выпишем некоторые из формул, связывающие элементы пря¬
моугольного треугольника:
Л
А + В == 90°;
а~ + Ь2 = с2;
•	'и'	а
sm А — —,
с
^ ь
cos А — —,
с
tgA = T’
О
• 'п Ь
sin В —
е
'о а
cos В = —;
с
✓"s Ъ
tg В =
а
а)
(2)
(3)
(4)
(5)
Формулы 3—5 можно прочитать так:
Синус острого угла прямоугольного треугольника ровен отно¬
шению противолежащего катета к гипотенузе.
Косинус острого угла прямоугольного треугольника равен
отношению прилежащего катета к гипотенузе.
Тангенс острого угла прямоугольного треугольника равен
отношению противолежащего катета к прилежащему.
Решим несколько задач на вычисление элементов прямо¬
угольного треугольника по двум его известным элементам.
280

Задача 1. Дано', а, Ъ. Требуется найти: А, В, с.
1)	tg А = — (формула 5); величину у^ла А находим из
/j
ь
таблиц.
2) В = 90° — >1 (формула 1).
3) с = —-— (формула 3).
sin А
Задача 2. Дано: а, с. Требуется найти: А, 'в, &.
/N	Q
1) sin А = — (формула 3); величину угла А находим из
с
таблиц.
2) В = 90° — ^ (формула 1).
А
3) b — с sin В (формула 3).
А	А
Задача 3. Дано: а, А. Требуется найти: Б, Ь, с.
1) В = 90° — А (формула 1).
/ч
2)	Ъ = a tg Б	(формула 5).
3)	с — —(формула 3).
sin Л
А	А
Задача 4. Дано: а, В. Требуется найти: А, Ъ, с.
1)	Л = 90° — В4 (формула 1).
2)	6 = с tg Б	(формула 5).
3)	с --= —(формула 3).
sin А
A	/S
Задача 5. Дано: с, А. Требуется найти: В, п., 6.
1)	В^ = 90° — Л (формула 1).
А
2)	а ■= с sin А (формула 3).
А
3)	Ъ — с cos Л (формула 4).
Вопросы и задачи
f085. Формулу а = Ъ tg £ можно прочитать так: катет прямо¬
угольного треугольника равен другому катету, умноженно¬
му на тангенс угла, противолежащего первому катету. Про-
А	А
читайте формулы:	1) b = c cos А; 2) а = с sin А;
•	с	b
3)	с = —4) с = —х .
sin A	cosA
281
*

N
1086. Найдите, не прибегая к таблицам,
значения:	1)	sin	30°;	2)	sin	45°;
3)	sin 60°; 4) sin 90°; 5) cos 45°;
6)	cos 60°; 7) tg 30°; 8) tg 45°;
9) tg 60°.
1087. Постройте прямоугольный треуголь¬
ник. Выполните необходимые изме¬
рения и вычислите значения тригонометрических функций
его углов.
1088.	Вычислите неизвестные стороны и углы прямоугольных тре¬
угольников по следующим данным:
1) по двум катетам:
а) 0 = 2,61,	6 = 3,80; б) а =13,6,	6 = 8,23;
в) а = 4,35,	6 = 1,45; г) а = 156,	6= 133;
2) по гипотенузе и катету:
а) с = 65,	а = 63;	б) с = 6,97,	а — 5,28;
в) с =113,	6=112;	г) с = 0,140,	6 = 0,1;
3) по катету и противолежащему ему углу:
а) а = 63,7, А = 85°25'; б) а = 18,0, А = 17°;
в)	6 = 1,74, В= 24°05'; г) 6 = 2,95, В = 25°36';
4) по катету и прилежащему к нему углу:
а) а = 63,7, В = 29°42'; б) а = 380, В = 34°29/;
в)	6 = 528, А = 49° 15'; г) 6 = 3,92, А = 65°14';
5) по гипотенузе и острому yi лу:
а)	с = 4,67, А — 65°15'; 6) с = 62,8, А = 23°32';
в)	с = 0,798, В = 45°30'; г) с = 9,42, В = 68°04\
282

1089. Найдите расстояние от наблюдателя, находящегося на вы¬
соте 30 м, до автомашины, которая видна наблюдателю под
углом 20' (рис. 451, а).
1090.	Пользуясь рисунком 451, б, объясните, как можно опреде¬
лить угол подъема а дороги, зная пройденное по дороге
расстояние I и высоту подъема Л.
1091. Найдите угол подъема шоссейной дороги, если на расстоя¬
нии 200 м высота подъема составила 6 м.
1092.	Горная железная дорога на одном из перегонов поднима¬
ется на 1 м на каждые 60 м пут^,. Найдите угол подъема до¬
роги на этом участке.
1093. На какую высоту h поднялся пешеход, прошедший I км по
прямой дороге, поднимающейся под углом а к горизонту?
Вычислите Л, если: 1) /=1,5 км, а = 4°30'; 2) а = 3 км,
а = 8 18'.
1094. Насыпь, поперечное сечение которой представляет собой
равнобедренную трапецию, имеет у основания ширину 12 м.
Высота насыпи 3 м. Какова ширина верхней части насыпи,
если угол откоса равен 39°?
Дополнительные задачи к главе VII
1095. Композицией какого наименьшего числа поворотов на 70°
является поворот на 10е?
1096. При каких значениях ft:
1)	Л “ = Rq+w '	*;	2)	= К“+4Б° ‘	*?
1097. При каких значениях ft:
1) RaoRo = До+е+45° ‘	2) R о о Rl = Д“+р+50°'
1098.	1)	На	единичной	окружности	найдите	такие точки Ра,
ч	•	/2*	...	.	1	.	1
для которых: a) sina= -—; б) sina= —; в) cosa=—;
2	2	2
,	I
г)	cos a =	.
2
2) В каждом из этих случаев (см. задачу 1): а) укажите наи¬
меньшие положительные значения а; б) запишите все мно¬
жество углов поворотов, соответствующих точкам Ра.
1099.	1)	Какие	значения	может	принимать	сумма:	а)	sin.	JC	+	1;
б)	cos х + 0,5; в) sin2 х + cos2 х1
283

1102.
1103.
1104.
2)	Какие из следующих равенств воз*
можны: а) соза —	б)	sinct=
m-j-П
= т-1	;	в) иоа и = — где tn
т	т1 пг
и п — положительные числа?
1100. Укажите знак разности:
1) sin 31° —sin 30°;	2)	sin	26°	—
—sin 27“;	3)	cos 30° — cos 31°;
4)	cos 27° — cos 26°.
1101. При каких значениях ft:
JT
1) sin a = sin (a H— ft);
2) cos a = cos (a + ft)?
Л. A /\
Докажите, что если А, В и С — углы треугольника, то:
1)	sin А = sin (В + С); 2) cos А = —cos (В + С’).
Чтобы издлерить высоту объекта, основание которого до¬
ступно, измеряют базис \АС\ и угол а прямоугольного тре¬
угольника AiBCi (рис. 452). Докажите, что Н— \АС\ tg a+ft,
где ft—высота угломерного инструмента.
Б момент	времени,	когда высота солнца равна	а, измери¬
ли	длину	тени	от	мачты. Она оказалась равной	а м.	Выра¬
зите через а и а высоту столба. Вычислите высоту столба,
если: 1) а = 15 м, a = 47е; 2) а — 18 м, a = 43°30'.
Рис. 452

ГЛАВА
VIII
МЕТРИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ
В ТРЕУГОЛЬНИКЕ
§ 1. Теоремы косинусов и синусов
79.	Теорема косинусов
В конце предыдущей главы были полу¬
чены соотношения между сторонами
и углами прямоугольного треугольника.
Перейдем к изучению соотношений
между сторонами и углами произволь¬
ного треугольника.
81|Т ео р е м а (косинусов). Квад-
I рат стороны треугольника равен
I сунне квадратов двух других сю-
Врок без удвоенного произведения
В этих сторон на косинус угла меж-
I ду ними:
I а2 = Ъ2 + с2 — 2 Ъс cos Л.
Доказательство. Угол А
треугольника ABC может быть ост¬
рым, тупым или прямым. Рассмотрим
каждый из этих случаев.
А
1)	Угол А острый. Проекция верши¬
ны С (обозначим ее через D) на сторо¬
ну АВ может занимать три положения.
Точка D может лежать: а) между точ¬
ками А и В (рис. 453, а); б) по одну
сторону с точкой В от точки А
(рис. 453, б) и, наконец, в) точка D
может совпасть с точкой В (рис. 453, в).
Обозначив проекции отрезков АС
283

Рис. 453
В ВС на сторону АВ через Ьс и ас, а высоту CD через ht, в
случаях а) и б) по теореме Пифагора получим:
а*	-	ht	+ at,	(1)
h~	=	ft*	- bt-	(2)
Drti равенства справедливы и в случае в) (ас =0, Ьс — с).
Быразим at через Ъс и с. Заметим, что ас равно либо с — Ьс
(см. рис. 453, а), либо бс — с (см. рис. 453, б), либо 0 (см. рис.
4Z 3, е). Но в каждом из этих случаев
at =	(с	-	Ьс)2	-	с2	- 2cfct.	4	(3)
П. дставляя выражение	(см.	(2)) и а? (см. (3)) в равенство
(1), получим:
а* = Ь* - Ь2С + с2 — 2сЬс + bt = Ь* + с2 — 2С&,-.
/\ •
Но bc — b cos А. Следовательно,
а~ = б2 + с2 — 2бе cos Л.
2)	Угол А тупой (рис. 454). Проведем через вершину С
перпендикуляр CD к прямой АВ и рассмотрим прямоугольные
треугольники BCD и ACD. По теореме Пифагора получаем:
о2 = К + at,	(4)
ht = b2 — bt.	(5)
Выразим at через bc и с:
at = (bc	+ с)2 - bt + 2cbc	+ с2.	(С)
Подставим выражение ht (см. (5)) и ас (см. 6)) в равен¬
ство (4):
а» = h2c + at = (б2 — б,') + (bt + 2 cbc + сг) =
= б2 + 2 сЬс + с2.
286

Но Ъс = 6 cos (180° — А) = —bcos'A.
Поэтому о2 = Ь2 + с* — 2 be cos Л.
3)	Угол >1 прямой (рис. 455). В этом ^с
случае cos А = О. Пользуясь теоремой
Пифагора, получаем:
а2 = Ь2 + с2 = Ь2 + с2 — 26с cos А. Ш
Рис. 454
Формула
о2 = Ь2 + с2 — 26с cos а
(7)
Д=4
позволяет вычислять длину одной из сто¬
рон треугольника по данным длинам двух
других сторон и величине угла, лежащего
ПРОТИВ НеИЗВеСТНОЙ СТОРОНЫ.	Рис.	455
Теорема косинусов позволяет также
по данным величинам сторон треугольника вычислять величи¬
ны его углов. В самом деле, из равенства (7) следует:
cos а =
fc3 + с3 -
26с
Вопросы и задачи
1105. Запишите, пользуясь теоремой косинусов, квадрат сторо¬
ны с треугольника ABC, если: 1) у = 60е; 2) у — 30°;
3) у = 45е.
1106. Пользуясь формулой а2 = Ь2 -}- с2 — 2be cos а, исследуйте,
как изменяется сторона а при возрастании угла а от 0е до
180° (при постоянных значениях 6 и с).
1107. При каких значениях угла а квадрат стороны треугольника,
лежащей против этого угла: 1) меньше суммы квадратов
двух других сторон; 2) равен сумме квадратов двух других
сторон; 3) больше суммы квадратов двух других сторон?
1108. Не вычисляя величины углов треугольника, укажите вид
каждого из треугольников (относительно углов), если его
стороны равны: 1) 7; 8; 12; 2) 0,3; 0,4; 0,5; 3) 15; 15; 15;
4) 8; 10; 12.
1109. Вычислите неизвестную сторону треугольника АБС по сле¬
дующим данным: 1) а = 7, 6=10, у = 56°29'; 2) а = 2,
с = 3, р = 123°17'; 3) 6 = 0,4, с =1,2, а = 23028'.
287

1110. Докажите, что сумма квадратов диатом алей параллелограм¬
ма равна сумме квадратов его сторон.
1111. Вычислите больший из углов треугольника ABC, если:
1)	о = 3, 6 = 4, с = 6; 2) а = 40, 6 = 13, с = 37; 3) 0=13.
Ь = 5, с = 12; 4) а = 19, 6 = 80, с = 63.
1112*. Выразите диагонали параллелограмма через стороны а,
6 и его угол а и вычислите их при: 1) а = 12 дм, 6 = 15 дм,
а = 52°; 2) а — 3,5 дм, 6 = 3,5 дм, а = 100°.
80.	Формулы для вычисления площади треугольника
Одна из формул для нахождения площади треугольника извест¬
на: S = —. Выведем другую формулу.
2
82 |Т е о р е м а. Площадь треугольника равна половине про-
I изведения двух сторон на синус угла между ними:
j	S=	-^Ьс sin а.
Доказательство. Обозначим высоту CD треуголь¬
ника ABC через hc (см. рис. 453). Выразим hc через сторону 6 и
синус угла а. Для этого надо рассмотреть несколько случаев.
Но во	всех этих случаях	hc =	6	sin а:
hc =	b	sin а	(см.	рис.	453, a, 6),
hc =	b	sin (180° — a)	=	6 sin a	(см.	рис.	454),
hc =	b	= b sin a (a	=	90°)	(см.	рис.	455).
Подставляя в формулу
выражение hc, получим:
S^ = — 6с sin о. ■
2
ур Древнегреческий математик Герон Александрийский (I в.
н. э.) получил замечательную формулу для вычисления пло¬
щади треугольника по его трем сторонам:
S* = Ур (р - а) (р - 6) (р - сГ,
где р — половина периметра треугольника.
Дадим вывод этой формулы.
288

Пусть а, Ъ, с — стороны треугольника, а ос, р, у — величи¬
ны его углов. Обозначим через р полупериметр этого треуголь¬
ника:
 с + Ь + е
U —	•
2
По теореме косинусов
с2 = Ъ* + с® - 26с cos ос.
Отсюда
Ьг + с* — а*
cos а —
2Ьс
Из формулы Sa = —be sin а находим:
3
25д
sin а =

Ьс
Подставляя найденные выражения sin а и cos а в формулу
sin® а + cos® а = 1, получим:
/2 Si, \*	/Ь» + с3 — с» \a _ j
I be )	\	2be	)
Отсюда, применяя формулу разности квадратов, имеем!
&
е2 4Ь*е* —(Ьа + с* —а*)*	((Ь	+	с)а	—	в»)	(а*	—	(Ь	—	с)*)
«Од —
16 16
_ в + Ь-{_с Ь +с — а с + Ь — с а + с — Ь
~ 2 2 2 2
= р (р — а) (р — 6) (р — с);
= Vp КР — а) (р — Ъ) (р — с), у
Вопросы и задачи
1113. Пользуясь формулой S& = — ab sin у, исследуйте, как
2
будет изменяться площадь треугольника ABC при возра¬
стании у от 0° до 180° (а и 6 постоянны). При каком значении
у площадь треугольника ABC будет наибольшей?
1114. Вычислите площадь равнобедренного треугольника, боко¬
вая сторона которого равна 10 м, а угол при вершине равен
75°20'.
1115. Вычислите площадь треугольника ABC, если: 1) а — 125 м,
6 = 160 м, у = 52°; 2) 6 = 20 см, с — 35 см, о = 79°06'.
10 Геометрия, 6—8
289

1116.	Докажите, что площадь параллелограмма равна произведе¬
нию длин его смежных сторон на синус угла между ними
1117*.	1) Докажите, что площадь параллелограмма равна полови¬
не произведения его диагоналей на синус угла между ними.
2)	Вычислите площадь параллелограмма, если известны его
диагонали dt и cfc и угол а между ними: a) d\ = 10, dj = 15,
u = 57°; б) d, = 12, d2 = 42, a = 49°.
1118. Вычислите плищадь ромба: 1) по его стороне а = 7,5 см и
острому углу а = 22°10'; 2) по его диагонали т = 4,5 см и
углу а = 150°. лежащему против этой диагонали
1119*. По формуле Герона вычислите площадь треугольника, если
его стороны равны 32 см, 18 см и 22 см.
81.	Теорема синусов
83 I Т е о р е м а. Стороны треугольника пропорциональны си-
I ну сам противоположных углов.
Доказательство. Рассмотрим треугольник ABC
со сторонами с, Ъ, с и углами а, р, у»
По теореме 82 из предыдущего пункта
5д = — fccsina — — ac sin р = ~ab siny.
2 2 2
Отсюда
Ьс sin	а — ас sin р и	ас sin £ = ab sin у.
Значит,	Ъ sin а	— a sin Рис sin	р = Ъ sin у, а так как	синус
каждого из углов а, р, у не равен нулю, то
а	Ъ	Ь	с
 =		 и 	—	=	.
sin a	sin р	sin р	sir у
Следовательно,
а   Ь	  с
sin a sin Р	sin ■у
Теорема синусов позволяет по	двум данным сторонам	и углу,
лежащему против одной из них (или по стороне и двум углам),
вычислять остальные элементы треугольника.
Вопросы и задачи
1120.	Вычислите стороны и углы треугольника, если:
1) а = 109,	р = 33°24',	у = 66059';
2) с = 16,	а = 143°08',	р = 22с37';
290

3) а = 20,	Ъ = 13,	а	= 67°23';
4) а = 37,	с = 59,	у	== 23°20'.
1121.	Выведите формулу, по которой может быть вычислен один
из неизвестных элементов треугольника ABC, если извест¬
ны элементы: 1) а, Ь и у; 2) а, Ь и а; 3) а, b и с.
1122*. Диагональ параллелограмма длиной т образует со сторо¬
нами этого параллелограмма углы а и р. Выразите длины
сторон параллелограмма через т, а и р.
1123. Две силы Р и Q приложены к материальной точке. Угол
между их направлениями а. Найди;е величину равнодейст¬
вующей.
1124. Вычислите составляющие силы Р = 5,2 Н, если эти со¬
ставляющие перпендикулярны друг другу и одна из них
составляет с направлением силы Р угол а = 46°,
1125*. Докажите:	площадь четырехугольника равна половине
произведения его диагоналей на синус угла между ними.
§ 2. Некоторые применения
подобия и формул
тригонометрии
82.	Применение подобия
к решению задач
1.	Во многих задачах на постро¬
ение данные в условии задачи
можно разбить на две такие груп¬
пы, чтб одна определяет форму,
а другая — размеры искомой фи¬
гуры.
Дл я решения таких задач сна¬
чала строят фигуру, подобную
искомой. Затем, используя сведе¬
ния о размерах, строят искомую
фигуру. Рассмотрим примеры.
Задача 1. Построить
треугольник ABC по углам а
up и биссектрисе 1С (рис.456,а).
Решение. Проведем ана¬
лиз. Предположим, что задача
решена и треугольник ABC
(рис. 456, б) искомый.
10*
а)
291

в
n/x\
Углы а и Р определяют множестве тре¬
угольников, подобных искомому треуголь¬
нику ABC. Если, например, через произ¬
вольную точку At луча С А провести прямую
АуВу параллельно стороне АВ, то получим
один из треугольников (А АуВуС), ^одобных
искомому, так как Ay = а, By = р. Такой
треугольник построить можно, взяв сторо¬
ну АуВу произвольной длины.
Заметим теперь, что треугольник АуВуС
подобен искомому треугольнику, но его бис¬
сектриса не равна 1С. Поэтому для решения
задачи остается построить треугольник, по¬
добный треугольнику АуВуС и имеющий
С биссектрису 1С. Для этого достаточно по¬
строить отрезок CD длины 1С и через точку D
провести прямую, параллельную прямой
АуВу.
Выполнив указанные построения (рис. 456, в), получик тре¬
угольник ABC. Этот треугольник искомый. В самом деле, сто¬
роны углов А и Ау соответственно сонаправлекы. Поэтому
(п. 37)
А А
А — Ау — а.
лзл
М В Q
б)
Рис. 457
Аналогично
/-Ч	/-Ч
в = в, = р.
Кроме того, по построению луч CD — биссектриса угле С
треугольника ABC, причем |СХ>| = 1С.
Задача 2. В данный остроугольный треугольник вписать
квадрат так, чтобы две его вершины лежали на основании, а две
другие — на боковых сторонах этого треугольника.
Решение. Проведем анализ. Допустим, что искомый
квадрат построен (рис. 457, с). Тогда квадрат, гомотетичный
искомому (с центром гомотетии в точке А), построить нетрудно:
проведем прямую M0N0, перпендикулярную прямой АС, и
построим квадрат со стороной MCN0.
Две вершины построенного квадрата лежат на стороне АС,
а третья вершина — на боковой стороне АВ треугольника ABC.
Остается построить квадрат, который обладает этими же свой¬
232

ствами и, кроме того, его четвертая вершина лежит на стороне
ВС. Этим требованиям удовлетворяет квадрат с вершиной в
точке Р (см. рис. 457, с).
Перейдем к построению. Построим квадрат со стороной M0N0
и проведем через точку Р{ и вершину А прямую АР0. Эта пря¬
мая пересечет сторону ВС в некоторой точке Р. Построим пря¬
моугольник PNMQ. Этот прямоугольник является квадратом
(он гомотетичен квадрату M0N0P0Q0), две его вершины лежат
на основании, а две другие - на боковых сторонах этого тре¬
угольника. Следовательно, квадрат MNPQ искомый.
Эту задачу можно решить и другим способом.
Обозначим длину стороны искомого квадрата через х, дли¬
ну основания данного треугольника через.Ъ и длину соответ¬
ствующей высоты через h. Из подобия треугольников ABC
и NBP (рис. 457, б) получаем:
Ь_ _ А
х Л — х
Выполнив преобразования, находим:
ь + А _ ъ_
А х
Отрезок, длина которого равна х, может быть найден по¬
строением четвертого пропорционального (см. п. 64).
Составленное уравнение позволило нам найти неизвестную
величину, что и привело к решению задачи. Этот метод решения
задач на построение называется алгебраическим методом.
Задача 3. К двум данным окружностям построить общую
касательную.
▼ Решение. Пусть даны две окружности различны:: ра¬
диусов, расположенные, как показано на рисунке 458. Заметим,
что эти окружности гомотетичны и иентр гомотетии лежит ка
прямой ООу. Действительно, проведем радиусы этих окружно¬
стей О А и О^Ау, Oi-Aj, лежащие на параллельных прямых При
гомотетии, переводящей окружность (О, г) в окружность (Ot, г ),
точка О отображается на точку Оц а прямая ОА — на па
раллельную ей прямую 01А1. Точка пересечения окружности
(О, г) и прямой ОА при этой гомотетии отображается на точку
пересечения их образов. Отсюда получаем, что при этой гомо
тетии точка А отображается на точку Av или А2. Поэтому центр
гомотетии, отображающей окружность (О, г) на окружность (0lt г,),
293

лежит и на прямой ООх, и на прямой ААХ или (АА2). Следова¬
тельно, центр Р (или Q) этой гомотетии может быть пост¬
роен — это точка пересечения прямых ООх и ААХ (или прямых
ООх и АА2).
Заметим теперь, что прямая, прэходяшая через течку Р (или
Q), при гомотетии с центром Р (или Q) отображается на себя, а
окружность (О, г) — на окружность (0lf гх). Следовательно, каса¬
тельная, проведенная из точки Р к одной из данных окружно¬
стей, является касательной и к другой окружности, т. е. яв¬
ляется их общей касательной. Таким образом, решение задачи
свелось к построению касательной к одной из данных окруж¬
ностей из точки Р (или из точки Q). Это построение уже из¬
вестно (п. 30).
В зависимости от взаимного расположения данных окруж¬
ностей и их радиусов задача может иметь четыре решения (две
внутренние и две внешние касательные, рис. 458), три, два,
одно решение или ни одного.у
2.	Рассмотрим пример решения задачи на доказательство.
Задача 4. Доказать, что медианы треугольника пере¬
секаются в одной точке и делятся в ней в отношении 2:1, счи¬
тая от вершины*.
Доказательство. Разделим медиану ААХ в отно¬
шении 2:1 и точку деления обозначим через М, т. е.
|АМ\: \МАХ\ =2:1 (рис. 459). Тогда достаточно доказать,
что М £\BBx]t М€ [ССх],п выполняется равенство:
* Точка пересечения медиан треугольника называется его центром тяжести.
294
Рис 458

| AM\ _ \_BM\_ _ \CM\ _ 2^
| max |	| MBX | ~ f MCX | ~ T*
Рассмотрим гомотетию Нм1'5.
Образом точки А при этой гомотетии
является точка At.
Образом отрезка АВ является парал¬
лельный ему отрезок, имеющий вдвое
меньшую длину (п. 63). Отсюда следует, А	В,	С
что образ отрезка АВ совпадает со сред-	рис.	459
ней линией АХВХ треугольника ABC (по¬
скольку лучи АВ и АХВХ противоположно направлены). Сле¬
довательно, образом точки В является точка Вг. Поэтому
М € [ВВХ\ и | ВМ\ : | МВХ\ =2:1.
Рассуждая аналогично, получаем, что образом стороны АС
является средняя линия А1С1 и потому М € \СС^\ и
СМ| : |Ж\| = 2 : !.■
Вопросы и задачи
1126. Постройте треугольник, подобный данному, площадь кото¬
рого составляет: 1) половину площади данного треуголь¬
ника; 2) четвертую часть площади данного треугольника
1127. Постройте ромб по данному отношению диагоналей и дан¬
ной стороне.
1128. Постройте параллелограмм по отношению диа_оналей, углу
между диагоналями и стороне.
1129. Постройте трапецию: 1) по двум углам, прилежащим к од¬
ному основанию, этому основанию и отношению его к вы¬
соте; 2) по отношению ее оснований, двум углам при одном
из этих оснований и высоте.
1130. В данный равносторонний треугольник впишите другой
равносторонний треугольник так, чтобы стороны его были
перпендикулярны сторонам данного треугольника.
1131. В данный треугольник впишите прямоугольный равнобед¬
ренный треугольник так, чтобы вершины его лежали на сто¬
ронах данного.
1132. В данный ромб впишите квадрат, вершины которого лежат
на сторонах ромба.
295

Я133*. В данный сегмент впишите прямоугольник с данным отно¬
шением сторон т : п так, чтобы две вершины прямоуголь¬
ника лежали на хорде, а две другие — на дуге сегмента.
1134. В данный сектор впишите квадрат так, чтобы две его
вершины лежали на радиусах, а две другие — на дуге
сектора.
1135. В данный треугольник впишите прямоугольник с данным
отношением сторон так, чтобы две вершины прямоугольни¬
ка лежали на боковых сторонах треугольника, а две дру¬
гие— на его основании.
1136. Постройте треугольник, подобный данному, и такой, что
его вершины лежат на сторонах данного треугольника.
1137*. Найдите множество точек, отношение расстояний которых
до сторон данного выпуклого угла равно т : п.
1138*. Найдите множество точек, делящих в данном отношении
отрезки прямых, параллельных данной прямой и заключен¬
ные между сторонами данного угла.
1139*. Через точку внутри угла проведите прямую так, чтобы от¬
резок прямой, отсекаемый сторонами угла, делился этой
точкой в данном отношении.
1140. В данный угол впишите окружность, проходящую через
данную внутри угла точку.
1141. В окружности (О, г) проведена хорда. Проведите два ра¬
диуса этой окружности так, чтобы они делили эту хорду
на три конгруэнтных отрезка.
1142. Постройте общие касательные к двум данным окружностям
разных радиусов, если эти окружности: 1) не имеют общих
точек; 2) имеют внешнее касание; 3) пересекаются.
1143. На рисунке 460 изображен изллерительный прибор, позво¬
ляющий с точностью до 0,1 мм измерять толщину раз¬
личных изделий. Разъясните устройство этого прибора.
1144. На рисунке 461 изображен измерительный прибор, по¬
зволяющий определять величину зазора между двумя
стенками детали, внутренний диаметр трубок и т. д. Объ-
296

1145.
1146.
1147
ясните, на чем основано устройство этого
прибора.
На рисунках 462 и 463 показано, как можно
отрезок АВ разделить в данном отношении
т. : п (внутренним и внешним образом).
Объясните этот способ.
На рисунке 464 показано, как можно разде¬
лить на равные части различные бруски,
планки, используя для этого разграфлен¬
ную доску. 1) Укажите, на основании какой
теоремы геометрии можно установить спра¬
ведливость этого приема. 2) Покажите, как
можно при помощи этого устройства разде¬
лить данный брусок АВ в отношении 1 * 2;
1:3; 2:3.
На рисунке 465 показано, как можно разде¬
лить ширину доски на равные части, ис¬
пользуя линейку с имеющимися на ней
равными делениями. Из какой теоремы геометрии следует
справедливость такого приема? Как можно, пользуясь такой
линейкой, разделить ширину доски в отношении 2:1; 3:1;
3:2; 1:4?
Рис. 461
В
Рис. 462
Рис. 463
297

1148.	Разметьте на местности участок, имеющий форму много¬
угольника. Снимите план этого участка в выбранном масш¬
табе и определите по плану площадь участка.
83.	Измерительные работы
1. Измерение высоты предмета. Пусть требуется измерить
высоту предмета, основание которого недоступно (рис. 466).
Воспользуемся следующим приемом. На прямой, проходящей
через основание М предмета ВМ, выберем две точки А( и С0.
Измеряем базис |А.0С0| = Ъ и углы BAD — а и BCD =>
= Р (А € (CD), (CD) || (A0CJ).
По теореме синусов из треугольника ABC имеем:
|АВ| =1^1 sir, ft   b sin P
sin В	siii	(a—P)
Из прямоугольного треугольника ABD имеем:	\BD\	=
= |AB| sin a.
Следовательно, | BD | = --s—.
sin (a — P)
А так как | BM\ = | BD | ft, то
|ВМ| = ^-а-^Р + Л.
sin (а — Р)
2. Измерение расстояния до недоступной точки, а) Расстояние
от точки А до недоступной точки В на местности можно найти,
пользуясь признаками конгруэнтности треугольников. Проще
вто сделать, если воспользоваться признаками подобия тре¬
угольников или формулами тригонометрии.
Для этого на местности выбирают точку С, измеряют отре-
вок АС и углы А и С (рис. 467). Затем на листе бумаги строят
в каком-нибудь масштабе отрезок А,Сi и ААг ^ А А,
Z.CX s Z.C. Получают ДА^С].
По второму признаку подо¬
бия A ABC ДА1В1С1 (п. 66).
Поэтому	[	АВ	|: [ А,В: | =
= | АС |: | АгСх |. Из этой пропорции
находим |АВ|:
I ЛСI • I АуВ, I ^
Рис. 466	I	А1С11
298
Ад С»

Для измерения расстояния | АВ |
можно применить и иной способ.
Измерив расстояние \АС\ =
— Ъ и углы ВАС = а, ВС А = у
(см. рис. 467), находим (по теоре¬
ме синусов):
|АВ( =|_AC_|tinY _
sin В
   Ъ\Bin у	  Ъ	sin	у
sin (1в0:— (а + у))	bin (а + у)
Вопросы и задачи
1149. На рисунке 468 изображен
четырехугольник ABCD и
указаны длина его сторо¬
ны \AD\ = а, величины
углов A, BDA, BDC, CBD.
Найдите расстояние \ВС\А
1150. По одну сторону реки от¬
мечены две точки А и В, Вычислите расстояние между точ¬
ками С и Д находящимися по другую сторону реки,
если \АВ\ = а = 3784 м, ВАС = а= 87°25', -BAD =*
= Р = 47°32/, ABC = 6 = 46°34', ABD = у = 84°35'
1151. Практическая работа. Выполните на местности одну
из измерительных работ (измерение высоты предмета,
основание которого недоступно, измерение расстояния до
недоступной точки и т. п.).
84 Т. Решение треугольников
Рассмотренные в пункте 78 задачи на вычисление элементов
прямоугольного треугольника являются частным случаем за¬
дач, которые принято называть задачами на решение треуголь¬
ников.
Вы решали задачи на построение треугольников по трем эле¬
ментам: 1) по двум сторонам и углу между ними; 2) по сторо¬
не и двум прилежащим к ней углам; 3) по трем сторонам. Мож¬
но решать также задачи на вычисление элементов треугольника
по трем данным элементам.
299

3 а д а ч а 1. 1) Дано а, Ь, у. Требуется найти с, а, р.
Вычислить длины сторон и величины углов треугольника, если
а = 49,4; Ъ = 26,4; у = 47°20'.
Решение (в общем виде).
1) с2 — а2 + Ь2 — 2ab cos у;
2) а2 = Ьа + с2— 2 be cos a; cos а = -	•
2 Ьс
3) р = 180° - (а + Р).
Вычисления.
1) с2 = (49,4)2 +- (26,4)2 — 2 • 49,4 • 26,4 • 0,6778 = 1369,
с = V1369 = 37,0;
2) COS» - 697+J1369 - 2440 = _«4 ^
2 ■ 26,4 37,0	1954
угол а тупой; по таблицам находим угол 180° — а,
180° - а = 79°, а = 180е - 79° = 101°;
3) Р = 180э - (101° + 47°20') = 29°40'.
Задача 2. Дано а, р, у. Требуется найти Ь, с, а. Вы¬
числить длины сторон и величины углов треугольника, если
а = 17,4, р = 44°30'; у = 64°.
Решение (в	общем	виде).
1)	а =.	180° - (Р -Ь у);
о\	а	6	и а sin Р.	о\ с _ с „	_	а sin V
;	—	: тг»	" —	;	•	^	—	.	•
sin а sin р	sin а	sin а	sin	у	sin а
Вычисления.
1) а = 180° — (44°30' + 64°) = 71°30';
2)b =	=	129	3)	с	=	1M-.WB	»	16,5.
0,9483	0,9483
Задача 3. Дано а, Ь, с. Требуется найти а, р, у. Вы¬
числить величины углов треугольника, если а = 24, Ъ = 13,
с = 15.
Решение (в общем виде).
IV 2	,о * о п,	6» + с»_о2
1) а2 = Ь2 + с2 — 2be cos а, cos а = — 	;
•	2Ьс
2) —— = ——, sinp =	3)	у	=	180°	-	(а	+- р).
sin а	sin р	а
Вычисления.
169 + 225 — 576	182	7	_	Л
1) cos а = ——	=			—0,4667;
2-13-15	390	15
угол а тупой, следовательно, а = 180° — 62°11' = 117°49'j
ov . о 13 ■ sin 117‘ 49'	13 ■ sin 62°li'	13	-	0,8845	_	A	.7AA
2) sin p =	  =	~	0,4790,
' v	24	24	24
p = 28337';
3) у = 180° — (117r49' + 28°37') = 180° — 146°26' = 33’34'.
300

Задача 4. Дано а, Ь, а. Требуется найти р, у, и с. Вы¬
числить длину стороны и величины углов треугольника, если
о = 12, 6-10, а = 40°.
Решение (в общем виде).
о . Ь	• о bslna
'	.	л	»	bin р —	•
sin a	sin p	a
Если 6 sin a > а, задача не имеет решений (sin р > 1). Если
6 sin a = о, то р = 90“ и решение единственно:
2') у = 90° — а, с — 6 cos а.
Пусть 6 sin a < о. Тогда существуют два угла, синусы кото-
_	Ь	sin	и	и	„
рых равны	один	из	этих	углов	острый,	а	другой	—	ту-
a
►	пой. Но если о^-Ь, то сс^-Р (теорема 50),	а так как у	тре-
1	угольника не может быть двух тупых углов,	то р — острый	угол
р	и решение единственно. Если же а < 6, существуют два угла рх
►	и р2 (Р2 = 180° — рх), синусы которых равны	"П-^. В этом	слу-
|	а
I	чае задача имеет два решения:
2") у, = 180^ - a - Ь, q =
sm a
y2 = 180° —a —p2,
sin a
Вычисления.
1) sin p = -10 : sin 4°- = 5 ' 0,6428 = 0,5357;
' r 12 6
так как 12 > 10, то p = 32° 23;
2) у = 180° — 40° — 32c23 = 107c37;
i2^nlOT3L_
0,6428
Вопросы и задачи
1152. Решите треугольник по двум сторонам и углу, заключенн э-
му между ними, если:
1)0 = 28,	с = 42,	р =	124°;
2) о = 13,	6	=	20,	у =	75°01
3) с = 143,	6	=	260,	a =	82г07';
4) о = 325,	с = 728,	р =	97с53\
1153. Решите треугольник по стороне и двум углам, если:
1)о = 13,	a = 52°08',	Р = 67°23';
2) 6 = 8,5,	a = 81°12',	р = 24°1Г.
301

1154. Решите треугольник по трем сторонам, если:
1) а = 37,	Ь	= 13,	с —40;
2) а = 44,	Ъ	= 37,	с = 15.
1155. Решите треугольник по двум сторонам и углу, лежащему
против одной из них, если:
1)0 = 34, Ъ = 93, А = 14°15';
2) с = 24, Ъ = 83, С = 26°45'.
1156. Решите треугольник по стороне и двум углам, если:
1) а = 4,	р	= 24°57',	у =	57с30';
2) о — 37,	р	= 86°03',	у =	50с56'.
Дополнительные задачи к главе VIII
1157.
1158.
1159.
1160.
Диагональ прямоугольника равна т, угол между диагона¬
лями а. При каком значении а площадь прямоугольника
наибольшая?
Диагонали параллелограмма равны т и п, угол между
диагоналями а. При каком значении а площадь этого па¬
раллелограмма будет наибольшей? Какой вид имеет парал¬
лелограмм в этом случае?
Вычислите наибольший из углов треугольника ABC. если
даны три его стороны: 1) а = 3, b = 4, с = 6; 2) с = 40,
Ъ = 13, с = 37; 3) а = 16, Ь = 12г с = 20.
Две сил»! Р = 100 Н и Q = 200 Н приложены к материаль¬
ной точке под углом а = 50э друг к другу. Определите
величину равнодействующей R и углы, которые она со¬
ставляет с направлениями Р и Q.
1161. В равнобедренный треугольник АБС
Л	вписаны два квадрата (рис 469).
Основание ВС треугольника равно а,
величина угла А равна а. 1) Найдите
отношение площадей вписаннь-х
квадратов. 2) Произведите вычисле¬
ния, если: а) а = 60°; б) а = 45'.
1162. В треугольник, основание которого
равно а, а высота, проведенная к
основанию, равна ft, вписан прямо¬
угольный равнобедренный треуголь¬
ник так, чю гипотенуза параллельна
основанию треугольника, а вершина
Рис. 469
302

1163.
1164.
1165.
1166*.
1167*
В
/ч
ZLK
Рис. 470
CD
прямого угла лежит на этом основа¬
нии. Найдите площадь вписанного
треугольника, Вычислите эту пло¬
щадь, если а = 30 см, Л = 10 см.
В данный параллелограмм впишите
ромб так, чтобы стороны ромба
были параллельны диагоналям па¬
раллелограмма, а вершины ромба
лежали на сторонах параллело¬
грамма.
В треугольник ABC вписан квадрат
(рис. 470). Найдите площадь квадра¬
та, если \АС\ — а, и высота образу¬
ет с боковыми сторонами углы а
и р. Вычислите эту площадь, если: 1) с=6 см, а — 30°,
Р = 40°, 2) а — 4,5 см, а = 70°, Р = 20°.
На рисунке 471 изображен план участка, выполненный в
масштабе: 1 : 1000. Произведите необходимые измерения
и вычислите площадь участка.
Докажите, что для любого треугольника справедливо со-
А	As
отношение а = Ъ cos С + с cos В.
Докажите, что для любого треугольника
«. 111
с : о : с = — : — : —.
Лд
Рис. 471
1168*. Постройте треугольник, если известны три его высоты#
1169.	В данный сектор впишите прямоугольник с данным отноше¬
нием сторон тп ; п (тп — 2, л = 3).

ГЛАВА
ВПИСАННЫЕ И ОПИСАННЫЕ
МНОГОУГОЛЬНИКИ
§ 1. Треугольники
и четырехугольники
85.	Вписанный угол
Выпуклый угол, вершина которого
принадлежит окружности, а стороны
пересекают ее, называется вписанным
углом. Например, угол ABC (рис.
472) вписанный. Он опирается на
дугу АС.
84 (Теорема. Величина вписанно-
1 го угла равна половине угловой
величины дуги, на которую он опи-
I рается.
Доказательство. Рассмот¬
рим три случая расположения центра
окружности относительно данного впи¬
санного угла.
1)	Центр окружности лежит на
стороне вписанного угла (рис. 473, а).
Вы знаете, что величина центрально¬
го угла равна угловой величине со¬
ответствующей ему дуги (п. 28). Про¬
ведем отрезок ОА и рассмотрим цен¬
тральный угол АОС. Он является внеш¬
ним углом треугольника ВОА. По
свойству внешнего угла треугольника
АОС -- ОБА + ОАВ.
Но ОЕА = ОАВ, так как треугольник
АОВ равнобедренный (| О В [ =| О А \ — R),
304

а углы ОБА и ОАВ — углы при основании
равнобедренного треугольника. Следова¬
тельно,
АОС = 2 АБС.	(1)
По свойству центрального угла (п. 28)
/ S	w
АОС = АС.	(2)
Из равенств (1) и (2) следует, что
АБС = -АС.
2
Для первого случая теорема доказана.
2)	Центр окружности лежит внутри
вписанного угла (рис, 473, б). Проведя луч
ВО, представим данный угол в виде суммы
двух углов — ABD и DBC.
ABC = ABD + ВВС.
Общая сторона BD этих углов проходит через центр окружности.
Значит, по доказанному
ABD = -AD, ВВС = -DC.
2 2
Отсюда
ABC = ABD + ВВС = —AD + -DC = -AC.
2 2 2
Теорема доказана и для второго случая.
3)	Центр окружности лежит вне вписанного угла (рис. 473, в).
Для этого случая доказательство проведите самостоятельно.
Следствие. Вписанный угол, опирающийся на диаметр,
прямой.
Вопросы и задачи
1170.	Окружность • разделена на пять конгруэнтные дуг:
kjAB = kjBC ~ kjCD ~ kjDE ^ к. ЕА. Вычислите величины
вписанных в эту окружность углов ВАС, BAD, ВАЕ, САЕ
и DAE.
305

1171. Хорда АВ делит окружность на две дуги АМВ и АТВ,
Вычислите величины вписанных в эту окружность углов
АМВ и АТВ, если: 1) АМВ : АТВ = 2 : 3; 2) АМВ : АТВ=
= 4 : 5.
1172. Углы АМС и АТС вписаны в одну и ту же окружность.
Что можно сказать о величинах этих углов?
1173. Центральный угол на 35° больше вписанного угла, опираю¬
щегося на ту же дугу. Вычислите величину каждого иэ этих
углов.
1174. Хорда делит окружность на две дуги. Под какими углами
видна хорда из точек окружности, если угловые величины
этих дуг относятся как: 1) 5:4; 2) 7:3?
1175. Постройте центр данной окружности с помощью одного
чертежного угольника.
1176. Конгруэнтные углы ABC и ADC опираются на отрезок АС,
и их вершины лежат по одну сторону от прямой АС. Дока¬
жите, что точки А, В, С и D принадлежат одной окруж¬
ности.
1177*. На одной из двух параллельных прямых отложен отрезок
АВ. Разделите отрезок АВ пополам, пользуясь только ли¬
нейкой, не имеющей делений.
1178*. Дана прямая а и точка D, лежащая вне этой прямой. На
прямой а даны отрезок АВ и точка М — середина этсю
отрезка. Через точку D проведите прямую, параллельную
прямой о, пользуясь только линейкой, не имеющей делений.
1179. Докажите, что величина угла, образованного касательной и
хордой, имеющими общую точку на окружности, равна по¬
ловине угловой величины дуги, лежащей внутри этого угла.
1180*. Докажите, что величина угла между двумя касательными
к окружности, проведенными через одну точку, равна полу-
разности угловых величин дуг, заключенных между его сто¬
ронами.
1181*. Докажите, что величина угла с вершиной внутри круга рав¬
на полусумме угловых величин двух дуг, из которых одна
заключена между сторонами этого угла, а другая — между
продолжениями сторон.
1182*. Докажите, что величина угла между двумя секущими, пере¬
секающимися вне круга, равна полуразности угловых вели¬
чин большей и меньшей дуг, заключенных между его сто¬
ронами.
306

Рис. 47ч
86.	Вписанные и описанные треугольники
1.	Многоугольник, все вершины которого
принадлежат окружности, называется впи¬
санным в эту окружность, а окружность —
описанной около этого многоугольника
(рис. 474).
85 Т е о р е м а. Около любого треуголь¬
ника можно описать окружность и при¬
том только одну. Центр этой окружно¬
сти — точка пересечения серединных
перпендикуляров к сторонам треуголь¬
ника.
Доказательство. 1) Центр О
окружности, описанной около треугольника
ABC, должен быть удален от всех вершин
треугольника на одно и то же расстояние R
(рис. 475). Значит, в частности, должно вы¬
полняться равенство | О А \ — \ ОВ\. Поэтому
точка О должна принадлежать серединному перпендикуляру к
отрезку АВ. Так как | О А | = | ОС |, то центр О должен при¬
надлежать серединному перпендикуляру к отрезку АС. Ука¬
занные серединные перпендикуляры пересекаются. Их точка
пересечения О равноудалена от всех вершин треугольника и,
значит, является центром описанной окружности. 2) Точка О
принадлежит также и серединному перпендикуляру к отрезку
ВС, так как \ ОВ\ = |ОС]. Значит, серединные перпендикуляры
к сторонам треугольника пересекаются в одной точке — цент¬
ре описанной окружности. В
Центр окружности, описанной около треугольника, лежит
внутри его, если он остроугольный (рис. 476, о), и вне — если
Рис. 475
\В
Рис. 476
20*
307

тупоугольный (рис. 476, б). Центр окружности, описанной
около прямоугольного треугольника, является серединой его
гипотенузы (рис. 476, в).
2.	Многоугольник, все стороны которого касаются окруж¬
ности, называется описанным около этой окружности, а ок¬
ружность — вписанной в этйт многоугольник (рис. 477).
86 IT е op ем а. Во всякий треугольник можно вписать ок-
дружность и притом только одну. Центр этой окружности —
I точка пересечения биссектрис треугольника.
Доказательство. 1) Центр окружности, вписанной
в данный треугольник, должен быть равноудален от всех его
сторон (рис. 478). Поэтому он должен быть равноудален от
сторон АВ и АС, а . также от сторон АВ и ВС. Значит, центр
принадлежит биссектрисе угла А, а также биссектрисе угла В.
Указанные биссектрисы пересекаются. Их точка пересечения
равноудалена от всех сторон треугольника и, значит, являет¬
ся центром вписанной окружности. 2) Обозначим точку пере¬
сечения биссектрис AD и BE через О. Она удалена от всех
сторон треугольника на одно и то же расстояние. Поэтому точ¬
ка О принадлежит и биссектрисе угла С. Значит, биссектрисы
углов треугольника пересекаются в одной точке, в
Вопросы и задачи
1183.	1) В данный треугольник впишите окружность.
2)	Постройте окружность, описанную около данного тре¬
угольника.
308

1184.	1) В данную окружность впишите равносторонний тре¬
угольник.
2)	Около данного равностороннего треугольника опишите
окружность.
1185. Вычислите радиус окружности, описанной около прямо¬
угольного треугольника, если отношение его катетов рав-
4
но , а высота, проведенная к гипотенузе, равна 12 см.
5
1186. В прямоугольном треугольнике катеты равны 12 см и 16 см.
Вычислите радиус: 1) вписанной в него окружности; 2) опи-
санной окружности.
V^18Вычислите радиус окружности, вписанной в равносторон¬
ний треугольник, высота которого Л (А = 1 см; 2,5 см),
1188. Докажите, что сумма диаметров вписанной и описанной
около прямоугольного треугольника окружностей равна
сумме его катетов.
1189. Какой вид имеет треугольник, если: 1) центры вписанной и
описанной около него окружности совпадают; 2) центр
описанной окружности лежит на его стороне; 3) центр впи¬
санной окружности лежит на одной из его высот; 4) центр
описанной окружности лежит на одной из его высот или на
продолжении высоты?
1190*. Постройте окружность, касающуюся трех данных прямых,
попарно пересекающихся и не проходящих через одну
точку.
1191**. Впишите в данную окружность треугольник, подобный дан¬
ному.
1192. Докажите, что площадь треугольника равна произведению
его полупериметра на радиус вписанной окружности.
1193*. Докажите, что радиус R окружности, описанной около
треугольника, может быть вычислен по формулам:
1)	R = —;	2)	R = —.
2 h'	4 S
87 ▼. Вписанные и описанные четырехугольники
В пункте 86 было доказано, что около любого треугольника
можно описать окружность и в каждый треугольник можно впи¬
сать окружность. Для четырехугольников эти свойства не вы¬
полняются. Конечно, четырехугольники, около которых мож¬
но описать окружность, существуют (рис. 479). Но не каждый
четырехугольник можно вписать в окружность (рис. 480, а).
309

а)
с
и не каждый четырехугольник описан¬
ный (рис. 480, б).
87 ITeop ема. Сумма противопо-
I ложных углов вписанного четырех-
I угольника равна 2d.
Доказательство. Пусть че
тырехугольник ABCD вписан в окруж¬
ность (О, г). Тогда по теореме о вписан¬
ном угле
A =--L Bc'd, С = j DAB (рис. 481).
Следовательно,
1 W	1	W	■
А + С = - BCD + — DAB =
2 2
= j (BCD + DAB).
Но объединение дуг BCD и DAB есть
окружность. Следовательно, сумма ве¬
личин углов А и С равна угловой ве¬
личине полуокружности, т. е.
А + С= 2d. U
Итак, для того чтобы около четы¬
рехугольника можно было описать ок¬
ружность, необходимо, чтобы сумма его
противоположных углов была равна 2d.
Это условие и достаточно для того,
чтобы четырехугольник был вписанным.
Докажем это.
88 |Т еор е м а. Если сумма двух
I противоположных углов четырех-
Iугольника равна 2d, то около этого
I четырехугольника можно описать
I окружность.
Доказательство. Рассмот¬
рим четырехугольник ABCD, у кото-
■'Ч.
рого сумма В и D равна 2а:
В + D = 2d.
Проведем через вершины А, В и С
четырехугольника окружность. Для

в
Рис. 482
В
доказательства теоремы необходимо по¬
казать, что четвертая вершина D не
может лежать внутри этой окружности
или вне ее.
Допустим, что точка D лежит внутри
окружности (рис. 482, а). Тогда
В -f- D = 2d (по условию теоремы),
В' + В = 2d (по теореме 87).
. Отсюда следует, что D — Е, что не¬
возможно (внешний угол треугольника
-EDC не может быть конгруэнтным его
внутреннему углу Е). Значит, допуще¬
ние неверно: точка D не может лежать
внутри построенной окружности.
Аналогично доказывается, что вер¬
шина D не может лежать и вне этой
окружности (рис. 482, б).
Итак, вершина D не может лежать
ни внутри окружности, ни вне ее. Сле¬
довательно, точка D должна лежать на
этой окружности, т. е. около четырех¬
угольника ABCD можно описать окруж
ность. Я
89 |Теор е м а. Суммы противопо¬
ложных сторон описанного четы¬
рехугольника равны.
Доказательство. Пусть сто¬
роны четырехугольника ABCD касают¬
ся окружности (О, г) соответственно в
точках Мщ Р, Q» N (рис. 483). Тогда по
свойству касательных, проведенных из
одной точки (п. 30), имеем:
|АМ\ = |AN\f JВМ\ = |ВР|, |CQ\ = |СР|, \DQ\ = |IW|.
Сложив эти равенства почленно, получим:
|АВ\ + \CD\ = \AD\ + \ВС\. Я
Итак, необходимое условие того, чтобы в четырехугольник
можно было вписать окружность, получено. Оказывается, что
для выпуклых четырехугольников это условие и достаточно.
311

90 ITeop ем а. Если суммы противоположных сторон вы-
Шпуклого четырехугольника равны, то в этот четырехугольник
I можно вписать окружность.
Вопросы и задачи
1194. Постройте квадрат: 1) вписанный в данную окружность;
2)	описанный около данной окружности; 3) по радиусу опи¬
санной окружности; 4) по радиусу вписанной окружности.
1195. Можно ли описать окружность около четырехугольника
/'Ч	/"Ч	/-Ч
ABCD, углы	А,	В, С и	D которого	соответственно равны:
1)	90°, 90°,	60°,	120°;	2) 70°, 130°,	110°, 50°; 3) 45°, 75°,
135°, 105°?
1196. Можно ли описать окружность около четырехугольника
А	А А А
ABCD, углы	А,	В, С	и D которого относятся как числа:
1)	2, 3, 4, 3; 2) 7, 2, 4, 5?
1197. Докажите: 1) любая трапеция, вписанная в окружность,
равнобедренная; 2) любой параллелограмм, вписанный в
окружность,— прямоугольник; 3) любой ромб, вписанный в
окружность,— квадрат.
1198. Можно ли вписать окружность в четырехугольник, стороны
которого, взятые последовательно, относятся как числа:
1)	2, 2, 3, 3; 2) 2, 5, 3, 4; 3) 3, 5, 3, 1?
1199. Постройте прямоугольник по радиусу описанной около не¬
го окружности и углу между диагоналями.
1200. Постройте ромб по радиусу вписанной в него окружности
и стороне.
1201*. Впишите в данную окружность прямоугольник, подобный
данному.
1202*. Общая хорда двух пересекающихся окружностей длиной тп
служит для одной из них стороной равностороннего вписан¬
ного треугольника, а для другой — стороной вписанного
квадрата. Вычислите расстояние между центрами окружно¬
стей, если иг = 2 см.
§ 2. Правильные многоугольники
88.	Построение правильных многоугольников
1.	Разделим окружность на п (п > 2) конгруэнтных дуг. Это
можно сделать, построив последовательно центральные углы,
312

360L	.
  (рис.
n
величина каждого из которых равна
484). Соединим последова¬
тельно точки деления хордами. Полу¬
чим n-угольник, вписанный в эту ок¬
ружность. При повороте вокруг цент¬
ра окружности на угол а =	,	пост-
360°
п
роенный n-угольник отображается на
себя. Значит, все стороны полученного
n-утольника и все его углы конгруэнтны.
Определение. Многоугольник,у
которого все стороны конгруэнтны и
все углы конгруэнтны, называется пра¬
вильным.
Правильный многоугольник можно
построить также и следующим образом.
Разделим окружность на п конгруэнт¬
ных дуг (п > 2). Через точки деления
проведем касательные к этой окруж¬
ности (рис. 485). Образованный при
этом многоугольник (его вершинами
служат точки пересечения касательных,
проведенных через соседние точки де¬
ления) будет правильным.
2.	Вы знаете, что около правильно¬
го треугольника и около квадрата (пра¬
вильного четырехугольника) можно
описать окружность. Оказывается, это
верно для любого правильного много¬
угольника.
91 |Т е о р е м а. Около всякого правильного многоугольника
Р можно описать окружность.
Доказательство. Построим биссектрисы двух со¬
седних углов А и В этого многоугольника (рис. 486). Они пере-
секутся, так как 1 + 2 < 2d. Точку О пересечения этих бис¬
сектрис соедини^ отрезками с остальными вершинами данного
многоугольника.
Так как углы А и В конгруэнтны, то конгруэнтны и их
половины: АЛ ^ Z.2. Значит, треугольник АОВ равнобедрен¬
ный и IОА\ е* ЮВ\.
313

Рассмотрим треугольники АОВ и ВОС.
Отрезок ОВ — их общая сторона, | А В\ ^
^ \ВС\ (по условию), Z_2 ^ Z.3 (\ВО\ —
биссектриса угла В). Следовательно,
АЛОВ ^ АВОС, откуда ОВ\ |ОС|.
Итак, [ОА\ ^ [ОВ\ ^ [ОС|. j.
Рассматривая теперь треугольники
АОВ и COD, АОВ и DOE и т. д., при¬
ходим к выводу:
\ОА\ = \ОВ\ — \ ОС | = ... =10X1.
Отсюда следует, что все вершины данного многоугольника
лежат на окружности с центром О. ■
3.	Докажем, что во всякий правильный многоугольник
можно вписать окружность.
92 |Т е о р е м а. Во всякий правильный многоугольник можно
I вписать окружность.
Доказательство. Проведем через центр О окруж¬
ности, описанной около правильного n-угольника ABC ... М,
перпендикуляры к его сторонам (рис. 487). Обозначим их ос¬
нования через Ai, Ви Си ..., Мх. При повороте вокруг центра О
360°	/л	ч
на угол — многоугольник и окружность (О, г) отображаются
п
на себя (объясните почему). Поэтому точка Аг отобразится на
точку Вц точка Вх — на точку Сх и т. д. Точка М] отобразится
на точку Аи Следовательно, \ОАх\ = |OBt| = |OCi| = ... =
= |ОМх\ и, значит, точки Alt В,, Си ..., Mi лежат на одной
окружности с центром О. А так как по построению (ОАг) _
_L (АВ), (ОВi) J_ (ВС), ..., то любая сторона данного много¬
угольника касается этой окружности. В
Центр вписанной и описанной около пре вильного много¬
угольника окружностей — одна и та же точка. Эта точка (ее
называют также центром правильного многоугольника) явля¬
ется центром поворотов, отображающих этот правильный мно¬
гоугольник на себя.
Отрезок СМ] (см. рис. 487) перпендикуляра, проведенного
из центра правильного многоугольни ка к его стороне, называ¬
ется апофемой правильного многоугольника (апофема является
радиусом вписанной окружности).
Рис. 487
314

Вопросы и задачи
1203.	1) Вычислите углы правильного л-угольника (л = 3, 4, 5, 6,
8, 10, 12).
2)	Вычислите внешние у>лы правильного л-угольника (л=3,
4, 5, 6, 8, 10, 12).
1204. Найдите число сторон правильного многоугольника, если:
1) его угол равен: а) 135°; б) 150°; в) 140й; 2) его внешний
угол равен: а) 36°; б) 24е; в) 60°.
1205. Докажи>е, что центральный угол правильного многоуголь¬
ника конгруэнтен его внешнему углу.
1206. Постройте правильный л-угольник по его стороне (л = 5,
6, 8).
1207. Впишите в данную окружность правильный: 1) треугольник;
2) четырехугольник; 3) шестиугольник; 4) восьмиугольник;
5)	двенадцатиугольник.
1208. Опишите около данной окружности правильный: 1) тре¬
угольник; 2) четырехугольник; 3) шестиугольник; 4) вось- /
миугольник.
1209*. При каких перемещениях отображается на себя: 1) пра¬
вильный пятиугольник; 2) правильный шестиугольник?
1210*. 1) Сколько осей симметрии имеет правильный л-угольник?
2) Сколько существует поворотов, отображающих на себя
правильный л-угольник?
3) Каждый ли правильный многоугольник имеет центр сим¬
метрии?
89.	Формулы для вычисления стороны
и площади правильного многоугольника
Сторона а„ правильного л-угольника находится пс формуле
on •
an = 2R sm —,
где R — радиус описанной около этого
п-угольника окружности.
В самом деле, пусть \АВ\ — сторона
правильного л-угольника, вписанного в ок¬
ружность радиуса R (рис. 488), и (ОМ) _]_
_|_ (АВ). Тогда
1 ™	1	360"	180°
АОМ — — АО В = —	=	.
2	2	л	п	Рис. 488
315

Из прямоугольного треугольника АОМ:
1 AM | = | АО | sin АОМ = R • sin
Но \АВ\ = 2 |АМ\.
180’
•л
Итак, оп — 2R ■ sin .■
п
Следствие 1. ae = R.
Действительно,
1оло	1
а6 = 2.R sin	= 2R sin 30° — 2R - — = R.
8 6 2
а4 = 2R sin = 2-R • sin 45° = R |/^2.
Следствие 2. o4 = P J^2.
180°
4
Следствие 3. o3 = R YU.
10Л)	_
a3 = 2R sin = 2R sin 60° = R.V3.
93 iTeop ем a. Площадь правильного
многоугольника равна половине про¬
изведения его периметра на радиус
| вписанной окружности:
8 = \р.г,
где Р — периметр многоугольника, а г — радиус вписанной в
него окружности.
Доказательство. Разобьем правильный п-угольник
на п треугольников, соединяя отрезками вершины п-угольника
с центром вписанной окружности (рис. 489). Эти треугольники
конгруэнтны. Площадь каждого из них равна ~слг* гДе ап ~
сторона правильного п-угольника.
Площадь S многоугольника равна ~с„г • п, но ап п «= Р.
Следовательно, S = —Р • г. щ
2
94 |Теор ем а. Площадь Sn правильного п-угольника равна:
„	1	D,	.	360’
Sn = — п - R“- sin ,
2	n
j где R — радиус описанной окружности.
Доказательство (рис. 490).

Но |ОА | = | OB\ = R, ЛОВ = Поэтому
п
*Д АОВ _ 2	Л	'
Так как правильный n-угольник является объединением не-
пересекающихся треугольников, конгруэнтных треугольнику
АОВ, то
с 1	■	360°
S„ = -ni?2sin . ■
Вопросы и задачи
1211.	1) Выразите радиус окружности, описанной около правиль¬
ного л-угольника, через сторону ап этого многоугольника,
если л равно: а) 3; б) 4; в) 6.
2)	Выразите сторону а „ правильного л-угольника через
радиус г вписанной окружности, если л равно: а) 3; б) 4;
в)	6.
1212. Выразите радиус г вписанной окружности через радиус
R описанной около правильного л-угольника окружности.
1213.	1) Из заготовки цилиндрической формы выточен болт с
квадратной головкой наибольших размеров. Каково рас¬
стояние между противоположными гранями этой головки,
если диаметр заготовки равен: а) 20 мм; б) 8 мм?
2)	Из заготовки, имеющей форму правильной шестиуголь¬
ной призмы, изготовлен цилиндр наибольшего диаметра.
Вычислите диаметр цилиндра, если расстояние между про¬
тивоположными боковыми ребрами заготовки равно:
а) 16 мм; б) 12 мм.
1214. В окружность радиуса 6 см вписан правильный треуголь¬
ник, на стороне которого построен квадрат. Вычислите ра¬
диус окружности, описанной около этого квадрата.
1215*. При каких значениях л сторона правильного л-угольника:
1) больше радиуса описанной окружности; 2) равна радиу¬
су описанной окружности; 3) меньше радиуса описанной
окружности?
1216*. 1) Три конгруэнтные окружности, касающиеся между собой
попарно, касаются внешним образом окружности радиу¬
са R. Вычислите радиусы этих окружностейг если R = 2 см
2) Докажите, что для любой окружности (О, R) при любом
п7> 2 можно построить л окружностей радиуса г, каждая

из которых касается двух окружностей радиуса г и окруж¬
ности (О, R). Выразите г через R.
1217*. Выразите через сторону ап наименьшую диагональ правиль¬
ного п-угольника. Вычислите эту диагональ, если:
1) о„ =1 см, п = 5; 2) а„ = 5 см, п = 6.
1218*. Через середины двух смежных сторон правильного четы¬
рехугольника, вписанного в окружность радиуса R, прове¬
дена хорда. Какова длина этой хорды, если: 1) R = 2 см;
2) R = 3 см?
1219. Вычислите площадь правильною п-угольника, вписанного
в окружность радиуса R = 8 см, если: 1) п = 3; 2) п = 4;
3) п = 5.
1220.	Вычислите площадь правильного л-угольника, описанного
около окружности радиуса г = 4 см, если: 1) п = 3;
2)	п = 4; 3) п = 5.
1221.	Стороны двух правильных одноименных многоугольников
равны а и Ь. Как относятся: 1) периметры этих многоуголь¬
ников; 2) площади многоугольников?
1222.	В окружность радиуса R вписаны и около нее описаны
правильные п-угольники. Вычислите отношение: 1) их пери¬
метров; 2) их площадей для п — 3, 4, 6.
1223*.	Докажите, что плэщадь правильного л-угольникаг вписан¬
ного в окружность радиуса R, может быть вычислена по
1	180°
формуле Sn — — РпДс08 , где Рп — периметр много-
2	п
угольника.
1224.	Вычислите радиус окружности, вписанной в треугольник,
если стороны его равны: 1) 3 см, 4 смг 5 см; 2) 10 см,
6 см, 5 см.
§ 3. Длина окружности и площадь круга
90.	Длина окружности
1.	В пункте 8 было дано определение длины ломаной. Строгое
определение длины произвольной кривой линии основано на
понятии предела числовой последовательности, которое изу¬
чается в курсе алгебры и начал анализа 9 класса. Однако вы
внакомы с формулами длины окружности:
С = 2л R — nD
318

Рис. 491
и длины I дуги окружности в а градусов:
, а п а
I — л-— R — п — D.
180	360
Вы знакомы и с приближенным значени¬
ем числа «пи»:
л & 3,14159.
Сейчас будет рассказано, как мож¬
но оценить это число *пи» с любой наперед
заданной точностью, исходя из прос¬
того допущения (рис. 491):	длина
окружности больше периметра любого
вписанного в нее многоугольника и меньше периметра любого
описанного вокруг нее многоугольника.
Рассмотрим окружность диаметра D — 1. Ее длина равна л.
Обозначим периметр вписанного в такую окружность правиль¬
ного о-угольника через рп, а периметр описанного — через qn.
Тогда по сделанному допущению
Рп <п < qn.
Вот результаты вычислений, способ которых объяснен ниже:
п
Рп
...
4п
6
3.00000
3.46414
12
3,10595
3,21554
24
3,13301
3,16005
48
3,13475
3,14665
96
3,14134
3,14284
Уже неравенства рм < л < qM позволяют оценить число
«пи» с довольно большой точностью. Именно при помощи
96-угольников Архимед (II в. до н. э.) получил свои оценки:
3 - < я < 3 -.
71	7
Y 2. В приведенной выше таблице даны значения рп и qn
для номеров п вида
п = 3 • 2m,	(1)
где т = 1, 2, 3, 4, 5.
Объясним, как вычисляются рп и qn для этой таблицы.
(При этом будем пользоваться формулами (3) и (4), вывод кото¬
319

рых дан ниже отдельно, чтобы не затруднять объяснение дета¬
лями вычислений.)
1) Ясно, что
Рп = п °я, Яп = п ьп.	(2)
где ап	—	сторона	правильного вписанного п-угольника,	а	Ьп —
описанного.	Значит, задача вычисления рп и	дп	сводится	к	вы¬
числению ап и Ъп.
2) Для вычисления ап используем формулу удвоения:
«ая= 1/2-2/Г^,	(3)
где сая — сторона правильного вписанного 2п-угольника.
Сторона св правильного вписанного шестиугольника равна
радиусу. Поэтому при D = 1
1
Св=-
По формуле удвоения (3) далее последовательно вычисляются
С12» °24> С48 И °8в-
3) По а„ вычисляются 6Я при помощи формулы
Ь
n=an:V\-al	(4)
Теперь по формулам (2) вычисляются значения рп и д,
для таблицы.
Из формулы (4) получаем:
£г' = {т = г = ^1-«?*	<5>
Яп пЬп Ь,
Увеличивая п, можно сделать ап сколь угодно малым, с.
— & сколь угодно близким к единице. Так как р„ и q, явля¬
ются нижней и верхней оценкой для числа
«пи», то это и значит, что при помощи не¬
равенств
Рп < я < Яп
число «пи» оценивается при достаточно
большом п со сколь угодно большой точ¬
ностью.
3.	Докажем теперь формулу (3).
Пусть [АВ] — сторона правильного
п-угольника, вписанного в окружность
(О, R) (рис. 492). Проведем перпендику¬
320

ляр ОС к прямой АВ. Дуга АВ делится в
точке С пополам (п. 23). Поэтому хорда АС
есть сторона правильного вписанного
2ге-угольника.
Выразим ее длину а2п— \АС\ через
длину стороны с„ = | АВ\ данного п-уголь-
ника и радиус R описанной окружности.
Из треугольника АСО по теореме
косинусов находим:
\АС\г = \ОА\* + |ОС|а - 2 \ОА\ - \ОС\ cos АОС. (6)
Из прямоугольного треугольника AOD имеем: | О А | cos АОС =*
= | OD\. Кроме того, | О А | = \ ОС\ = R. Поэтому равенство (6)
примет вид:
|Ж7|а = 2Да - 2R I OD\.	(7)
По теореме Пифагора из треугольника AOD находим:
\OD\ = Y\ АО\* — |AD|a = "j/ R*—(?gJ =. ]/~R* —
Подставляя значение \OD\ в равенство (7), получим:
aln = 2i?2 — 2R |/ л* —
cM = ]/" 2Да - 2Д	(8)
Если рассматривать окружность диаметра JD = 1, то формула
удвоения (8) примет вид формулы (3), которой мы и восполь¬
зовались выше.
4.	Докажем формулу (4).
Пусть с„ = \АВ\ — сторона правильного n-угольника, впи¬
санного в окружность (О, R) (рис. 493). Через b„ = \ CD | обо¬
значим сторону правильного n-угольника, описанного около
этой окружности.
Рассмотрим прямоугольные треугольники ONO и ОМА.
Они подобны. Поэтому |JVC| : | МА\ = |OJV| : \ОМ\,
т. е.
5s :^ = R : \ОМ\.
2 2
Ц	Геометрия/ б—в
321

Но
I ОМ\ = ]/~Я2
4Д*
Поэтому
—:—=Я:Я
4 Л»'
Отсюда
(9)
Если рассматривать окружность диаметра D = 1, то форму¬
ла (9) примет вид формулы (4), которой мы и воспользовались
при объяснении метода вычисления рп и qn для заполнения
таблицы, у
Вопросы и задачи
1225. Как изменится длина окружности, если: 1) радиус увели¬
чится в п раз; 2) радиус уменьшится в п раз?
1226. Вычислите длину окружности, если радиус ее равен
1) 12,5 см; 2) 6 дм.
1227.	Вычислите радиус окружности, длина которой	равна:
1) 78,5 см; 2) 12,56 дм.
1228. Чтобы найти толщину дерева (диаметр), можно измерить
его обхват (длину окружности). Вычислите толщину дерева,
обхват которого равен: 1) 2 м; 2) 1,5 м
1229. Сторона равностороннего треугольника равна 3 см Вычис¬
лите длину окружности: 1) вписанной в этот треугольник;
2) описанной около него.
1230. Сторона квадрата равна 4 см. Вычислите длину окружности:
1) вписанной в него; 2) описанной около него.
1231. Постройте окружность, длина которой равна: 1) 12 см;
2) 18 см (построение приближенно).
1232. Минутная стрелка Кремлевских курантов имеет длину 3,6 м
Какова длина дуги, которую описывает конец стрелки в те¬
чение: 1) 5 мин; 2) 1 ч?
1233. Вычислите длину дуги окружности радиуса г = 5, если
угловая величина дуги равна: 1) 30е; 2) 40°; 3)
5
1234*. Выведите формулу, выражающую зависимость между раз¬
ностью длин двух окружностей, ограничивающих кольцо,
и толщиной кольца.
322

1235.	Радиусы двух концентрических окружностей равны 10 см
и 26 см. Вычислите длину отрезка наибольшей длины, все
точки которого принадлежат этому кольцу.
1236.	Вычислите длину дуги земного экватора величиной в 1 мин
(радиус земного экватора приближенно равен 6400 км).
1237.	Две дуги разных окружностей имеют одну и ту же длину.
Вычислите отношение радиусов этих дуг, если угловая ве¬
личина одной из них 25°, а другой — 45е.
91. Площадь круга
Сравнивая площади Sn вписанных в круг правильных мно¬
гоугольников, можно заметить, что при возрастании числа их
сторон площади увеличиваются, оставаясь при этом меньше
площади круга (рис. 494, с). Плошади Sr описанных около
этого же круга правильных многоугольников при возрастании
числа их сторон уменьшаются, но остаются больше глощади
этого круга (рис. 494, б). Вычисляя площади правильных впи¬
санных (описанных) многоугольников, можно находить при¬
ближенные значения площади круга с не-
достатком (с избытком).	/у
Площадь правильного п-угольника рав-	Г/	\д
на половине произведения его периметра н/
на радиус вписанной в него окружности Г	»0	j
(п. 89). При возрастании числа его сторон	Л]
периметр Р стремится к длине окружности	V\	/J
2nR, а площадь Sn — к площади круга	^
SKр. Поэтому
SKD = - ■ 2лR ■ R = nR2.
кр 2
а)
Итак,'
•0
жит а градусов, равна
площадь сектора, дуга которого содер-
_	_	л/?2а
360
S,
лЕ2а
360
360-
сект
Рис. 494
11*
323

Вопросы и задачи
1238.	Вычислите площадь круга, диаметр которого равен:
1) 4 см; 2) 10 м.
1239. Как изменится площадь круга и длина его окружности,
если: 1) диаметр уменьшить в четыре раза; в п раз; 2) ра¬
диус увеличить в три раза; в п раз?
1240. Выразите площадь круга через длину его окружности.
1241. Вычислите площадь сечения провода, если его диаметр ра¬
вен: 1) 3 мм; 2) 0,2 мм.
1242.	Произведите необходимые измерения и вычислите площа¬
ди фигур, изображенных на рисунке 495 (масштаб
1 : 10).
1243.	Вычислите площадь поперечного сечения дерева, если его
обхват (длина окружности) равен:
1) 88 см; 2) 5 дм.
Из квадратного листа жес~и выре¬
зали круг наибольшей площади. Ка¬
кая часть листа ушла в отходы?
Вычислите площадь сектора, радиус
г которого равен 6 см, а величина
угла равна: 1) 24°; 2) 30°; 3) - .
Постройте круг, площадь которого
была бы равна: 1) 4 см1; 2) 16 м2
(построение приближенно).
Вычислите радиус окружности, ко¬
торая делит круг радиуса г на две
равновеликие фигуры — кольцо и
круг.
Докажите, что сумма площадей по¬
лукругов, построенных на катетах
прямоугольного треугольника, как на
диаметрах, равна площади полукру¬
га, построенного на гипотенузе.
Докажите, что сумма площадей
двух заштрихованных луночек
(рис. 496) равна площади прямо¬
угольного треугольника.	I
а)	Ъ)
1244.
1245.
б) г)
д)	е)
Рис. 495
1246.
1247*.
1248*.
1249*.
Рис. 496
324

Дополнительные задачи к главе IX
1250. Две окружности с центрами в точках О и Oi пересекаются
в точках А и В. Через точку А проведень диаметры этих
окружностей AAi и ABt. Докажите, что точки Air В и В\ ле¬
жат на одной прямой.
1251. Постройте фигуру, состоящую из точек, из которых даппо.и
отрезок АВ виден под данным углом с.
1252. Докажите, что из всех треугольников, имеющих общее ос¬
нование и равные углы при вершине, наибольшую площад.»
имеет равнобедренный треугольник.
1253. Докажите, что из всех треугольников, вписанных в данкут
окружность, наибольшую площадь имеет равносторонни г
треугольник.
1254. Докажите, что из всех четырехугольников, вписанных в дан
ную окружность, наибольшую площадь имеет квадрат.
1255. Угловая величина дуги сегмента равна 120°, а длина это1
дуги равна I. Вычислите длину окружностиг вписанной в этот
сегмент.
1256. Докажите, что площадь любого описанного многоугольника
равна — Рг, где Р—периметр этого многоугольника,
2 ,
а г—радиус вписанной окружности.
1257. Две окружности пересекаются в точках А и В. Через точку
В проведена произвольная прямая, пересекающая данные
окружности в точках X и У. Докажите, что угол XAY не
зависит от выбора этой прямой.
1258. Постройте треугольник, вписанный в данную окружность
если известны точки пересечения с окружностью продол¬
жений биссектрисы, медианы и высоты треугольника про¬
веденных из одной и той же вершины.
1259. Проведены два диаметра окружности Постройте хорду,
которая делится этими диаметрами на три конгруэнтных
отрезка.
1260. Докажите, что площадь кольца равна площади круга, диа¬
метр которого — хорда окружности (О|, ri) касающаяся
окружности (02, Гг). (Окружности (О|, Г|) и (Ог, Гг) ограничи¬
вают данное кольцо, ri >* г7.)
1261. Даны прямая АВ и две окружности (0, г) и (О,, п) Прове-
•• к * я дите jc донным окружностям секущую, параллельную (АВ),
так, чтобы сумма длин хорд этих окружностей равнялась р.
32 S

1262.
1263.
1264.
1265.
1266.
1267.
1268.
1269.
Постройте треугольник по стороне а, углу а и высоте ha.
Постройте равносторонний треугольник, вершины которого
лежат на трех данных параллельных прямых.
Постройте квадрат, если даны точки А, В, С и D, лежащие
на его сторонах (по одной на каждой стороне).
В окружность вписан равнобедренный треугольник ABC с
углом В при вершине, равным 36°. Из точки А проведена
биссектриса угла А, пересекающая окружность в точке D.
Докажите, что отрезок BD — сторона правильного пяти¬
угольника, вписанного в эту окружность.
Пользуясь только циркулем и линейкой, в данную окруж¬
ность впишите правильный десятиугольник.
Около правильного многоугольника со стороной а описана
окружность, в многоугольник вписана другая окружность.
Вычислите площадь образовавшегося кольца.
Правильный многоугольник вращается вокруг своего цент¬
ра. При каких значениях угла поворота а этот л-угольник
совмещается с самим собой?
Точка О лежит на серединном перпендикуляре к отрезку
АВ. При вращении плоскости вокруг центра О отрезок А В
заметает кольцо с центром О. Докажите, что площадь коль¬
ца не зависит от расстояния от точки О до прямой АВ.

ГЛАВА
НАЧАЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
ИЗ СТЕРЕОМЕТРИИ
В этой главе приведены некоторые
сведения из стереометрии — той час¬
ти геометрии, в которой изучаются и
неплоские фигуры.
§ 1. Прямые и плоскости
в пространстве
92.	Расположение плоскостей
в пространстве
Вы знаете, что любые две отличные
друг от друга точки пространства опре¬
деляют одну и только одну содержащую
их прямую. А как определить положе¬
ние плоскости в пространстве?
На рисунке 497 видно, что плоско¬
стей, содержащих две данные точки А
и В, много. Взяв одну из этих плоско¬
стей, все остальные можно получить
из нее вращением вокруг оси АВ.
Чтобы выделить какую-либо из них,
надо фиксировать еще одну точку С,
не лежащую на оси АВ. Эти наблюде¬
ния убеждают в справедливости сле¬
дующих предложений:
951 три не лежащие на одной прямой
I точки пространства определяют од-
I ну и только одну содержащую их
I плоскость;	I
Рис. 497

£HJ
i 7
Рис. 500
Рис. 499
I прямая и не принадлежащая ей точка
определяют одну и только одну содер-
I жащую их плоскость.
Рассмотрим теперь взаимное 'располо-
жение двух плоскостей в пространстве.
Плоскости пола и потолка класса дают на¬
глядное представление о параллельных
плоскостях. Плоскость пола и плоскость
стены дают представление о пересекаю¬
щихся плоскостях. Их пересечение — пря¬
мая.
Определение. Плоскости аир на¬
зываются параллельными, если они ие
имеют общих точек или совпадают.
Сформулируем теперь основное предложение о возможных
случаях расположения двух плоскостей:
97 В две плоскости или параллельны, или пересекаются по пря-
\мой (рис. 498).
Отношение параллельности плоскостей обозначается тем же
знаком, что и отношение параллельности прямых (||). Подобно
отношению параллельности прямых оно транзитивно:
98 I две плоскости, параллельные третьей, параллельны между
| собой (рис. 499).
Из определения параллельных плоскостей следует, что от¬
ношение параллельности мелсду плоскостями симметрично и
рефлексивно. Таким образом, отношение параллельности меж¬
ду плоскостями является отношением эквивалентности.
Поэтому все множество плоскостей пространства разбива¬
ется на пучки параллельных плоскостей", любые две плоскости
одного пучка параллельны друг другу, а плоскости из разных
пучков не параллельны, у
328

Отметим следующее предложение:
если две плоскости параллельны, а третья им не параллельна,
то эта третья плоскость пересекает две первые по двум парал¬
лельным прямим (рис. 500).
Вопросы и задачи
1270. Почему нлативы фотоаппаратов, геодезических приборов
имеют три опорные ножки? Почему стол, имеющий четыре
ножки, пе всегда уст^йч^в?
1271. Можно ли утверждать, что плоский выпуклый многоуголь¬
ник лежит в данной плоскости, если известно, что этой плос¬
кости принадлежит: 1) одна его точка; 2) две его точки;
3)	три его точки; 4) три вершины многоугольника?
1272. Докажите, что плоскость и не лежащая в ней прямая не мо¬
гут иметь более одной общей точки.
1273*. Докажите, что через две пересекающиеся прямые прохо¬
дит одна и только одна плоскость.
1274. Две прямые одной плоскости параллельны двум прямым
другой плоскости, Верно ли, что такие плоскости всегда па¬
раллельны? Воспользуйтесь моделью.
1275. Две пересекающиеся плоскости пересечены третьей плос¬
костью.'Могут ли линии пересечения этих плоскостей быть:
1) параллельными; 2) не параллельными; 3) не пересекаю¬
щимися и не параллельными? Рассмотрите модели.
93.	Параллельные прямые в пространстве
Определение параллельных прямых вам хорошо знакомо: пря¬
мые а и 6 называются параллельными, если они лежат в одной
плоскости и не имеют общих точек или же совпадают.
Для прямых, лежащих в одной плоскости, бы- с
ла доказана транзитивность отношения параллель¬
ности (см. п. 32). Свойство транзитивности верно
и для прямых в пространстве (рис. 501):
99 I две прямые, параллельные третьей, параллель¬
ны между собой.
у Так как, кроме того, отношение параллельности
I f р прямых симметрично и рефлексивно, то это отно¬
шение есть отношение эквивалентности.	рис.	501
329

А	В
Рис. 503
Множество всех прямых, па¬
раллельных какой-либо одной
прямой в пространстве, называ¬
ется связкой* параллельных пря¬
мых. Множество всех прямых
пространства разбивается на
связки параллельных. Из курса
черчения вы знакомы с употреб¬
лением связок параллельных
прямых при параллельном про¬
ектировании фигур пространст¬
ва на плоскость (рис. 502). ▼
Вопросы и задачи
1276. Укажите несколько приме¬
ров параллельных прямых
из окружающей обстанов¬
ки. Укажите примеры пря¬
мых, которые не пересека¬
ются, но и не параллельны.
(Такие прямые называются
скрещивающимися.)
1277. Верно ли предложение:
если две прямые в про¬
странстве не пересекаются,
то они параллельны?
1278. Может ли прямая быть
параллельна: 1) только од¬
ному ребру куба; 2) только
двум; 3) только трем?
1279. На рисунке 503 изображен
прямоугольный параллеле¬
пипед. Назовите прямые
связки параллельных, со¬
держащие ребра этого па¬
раллелепипеда.
• Слово «свявка» употребляется для
отличия от «пучков» параллельных
мых на плоскости.

94.	Перпендикулярность прямой
и плоскости
1. Рассмотрим прямую О А (рис. 604).
В каждой плоскости, проходящей через
эту прямую, проведем к ней через точ¬
ку О перпендикуляр. Оказывается, что
все эти перпендикуляры лежат в одной
плоскости. Наглядно в этом легко убе¬
диться на модели, изображенной на
рисунке 505.
Определение. Прямая перпен¬
дикулярна плоскости, если она пересе¬
кает плоскость в какой-либо точке и пер¬
пендикулярна всем лежащим в этой
плоскости прямым, проходящим через
эту точку.
Перечислим основные свойства от¬
ношения перпендикулярности между
прямой и плоскостью.
100 {I Через любую точку пространства-
проходит одна и только одна пря¬
мая, перпендикулярная к данной
плоскости.
Все прямые, перпендикулярные к
данной плоскости, параллельны между
собой (рис. 506).
101 Через каждую точку пространства
проходит одна и только одна плос¬
кость, перпендикулярная к данной
прямой.
102 Две плоскости, перпендикулярные
к данной прямой, параллельны
между собой (рис 507).
у Прямые, перпендикулярные к дан¬
ной плоскости, образуют связку па¬
раллельных прямых.	Рис.	508
Из последних двух предложений вытекает, что плос¬
кости, перпендикулярные к данной прямой, образуют пучок
параллельных плоскостей. ▼
2.	Расстояние между полом и потолком комнаты измеря¬
ется вдоль какой-либо вертикальной прямой.
331

Этот способ основан на следующих геометрических фактах:
1031 прямая, перпендикулярная к плоскости а, перпендикулярна
|к любой другой плоскости, параллельной а;
1048 длины отрезков, отсекаемых двумя параллельными плоско-
Iстями на их общих перпендикулярах, равны.
Например, на рисунке 508 \АВ\ — \А^В^\ = |.Ап£г|.
Длина отрезка, отсекаемого двумя параллельными плоско¬
стями а и р на любом их общем перпендикуляре, есть расстоя¬
ние между этими плоскостями.
Вопросы и задачи
1280. Покажите на моделях из окружающей обстановки перпен¬
дикуляры к одной и той же плоскости. Что можно сказать
о взаимном расположении этих перпендикуляров?
1281. Прямые АВ и CD перпендикулярны плоскости а. Существу¬
ет ли плоскость, содержащая эти прямые?
1282. Как расположены две плоскости, перпендикулярные к
одной и той же прямой?
1283. По рисунку прямоугольного параллелепипеда (см. рис. 503)
укажите:	1) грани, перпендикулярные ребру:	а) АА\Ш,
б) АВ\ в) BtC,; 2) ребра, перпендикулярные грани DCCiDJ
1284. На рисунке 509 изображена треугольная пирамида; углы
DCA, DCB, АСВ прямые. Каким ребрам перпендикулярны
грани ACD, DCB, АСВ, ADB1
1285. Верны ли следующие предложения: 1) прямая перпендику¬
лярна плоскости, если она перпендикулярна двум различ¬
ным прямым, лежащим в этой плоскости; 2) две прямые,
перпендикулярные к одной и той же прямой, параллельны?
1286.	1)	Как	на	практике (с помощью отвеса) можно проверить
вертикальность установки столба?
2) Как с помощью уровня может быть проверена горизон¬
тальность установки подставки для прибора?
1287. Ребро куба равно с. Чему равно рас¬
стояние от одной из вершин куба:
1)	до его граней; 2) до других его
вершин?
1288. Диагональ основания куба равна а.
Чему равно расстояние между проти¬
воположными гранями куба?
4	q 1289. Измерьте расстояние между проти-
Рис 509	воположными стенами класса.

§ 2. Многогранники
95.	Прямая призма
1.	На рисунке 510 изо5ражена прямая пятиугольная призма.
На ее примере познакомимся с тем, как вообще получают прямые
призмы.
Рассмотрим две параллельные плоскости и на одной из них
возьмем многоугольник ABCDE. Через его вершины проведем
прямые, перпендикулярные к плоскости. Эти прямые пересекут
вторую плоскость в точках Д, В,, Clf D1aE1. Можно доказать,
что многоугольники ABCDE и AlB1ClD1El конгруэнтны. Они
называются основаниями призмы. В силу предложений 100 и 104
отрезки ААХ, BB1,CCl, DD1nEEl конгруэнтны. Эти отрезки на¬
зываются боковыми ребрам* призмы, а их общая длина — высо¬
та прямой призмы.
Можно также доказать, что четырехугольники ABBXAL, ВССхВи
CDD-fin DEEXDX и ЕААХЕХ являются прямоугольниками. Это
боковые грани прямой призмы. Как боковые грани, так и ос¬
нования призмы называются ее гранями. Стороны граней назы¬
ваются ребрами призмы, а концы ребер — ее вершинами.
Прямая призма, в основании которой лежит параллело¬
грамм, называется прямым параллелепипедом. Если же в ос¬
новании прямой призмы лежит прямоугольник, то она назы¬
вается прямоугольным параллелепипедом (рис. 512). Прямоуголь¬
ный параллелепипед, все ребра которого конгруэнтны между
собой, называется кубом.
Длины трех ребер прямоугольного параллелепипеда, имею¬
щих общую вершину, называют измерениями этого параллеле¬
пипеда.

Задание. Постройте на листе бумаги
два симметричных относительно оси MN мно-
гоуголвника (на рис. 513 построены пяти¬
угольники) так, чтобы одна сторона много¬
угольника была параллельна прямой MN.
Затем постройте прямоугольники, как на ри¬
сунке: |АВа| = |АВ|, |В2Са| = 'ВС|,1 СаПа| =•
= \CD\, |Па£а| = \DE\. В результате вы по¬
лучите развертку прямой пятиугольной приз¬
мы. Если согнуть ее надлежащим образом по
сторонам прямоугольников, то получится по¬
верхность прямой пятиугольной призмы.
2.	Площадь боковой поверхности призмы есть сумма пло¬
щадей прямоугольников, являющихся ее боковыми гранями.
Обозначим через А высоту призмы и через с, 6,..., f — стороны
основания (рис 514). Так как боковые грани прямой призмы —
прямоугольники, площадь боковой поверхности прямой
призмы равна:
■'бок
= сА 4- bh ... -f- fh — (с -I- Ь ... -f- f)h — JP • А,
где Р — периметр основания призмы.
Итак,
®сок — Р • h.
Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произ¬
ведению периметра основания призмы на ее высоту.
Площадь поверхности* прямой призмы равна сумме площа¬
ди боковой поверхности и удвоенной площади основания:
ос	•»
■'бок I "'-'оси-
* Иногда вместо слов «площадь поверхности призмы» говорят «полная по*
верхность приемы».
“Snp ~
334

3.	В младших классах вы уже вычисляли объем прямоуголь¬
ного параллелепипеда по формуле
V = abc,	(1)
где с, бис — соответственно длипа, ширина и высота парал¬
лелепипеда. Формулу (1) можно записать в виде
V = S • h	.	(2)
(S — аЪ — площадь основания, h — высота призмы). Формула
(2) верна для любой прямой призмы.
Объем прямой призмы равен произведению площади ее основа¬
ния на высоту.
Вопросы и задачи
1290.	1) Начертите треугольную и четырехугольную призмы.
2) Начертите развертку правильной треугольной призмы.
1291°.	1) Сколько граней имеет неочиненный шестигранный ка¬
рандаш?
2) Какой многоугольник служит основанием призмы, имею¬
щей п граней?
1292°. Какова зависимость между числом боковых граней прямой
призмы и числом сторон ее основания?
1293. Какое наименьшее число граней (ребер, вершин) может
иметь прямая призма?
1294°.	Какими фигурами	являются	грани прямого параллелепипе¬
да, все измерения	которого	равны?
1295.	1) Существует ли	призма,	число ребер	которой	равно:
а) 8; б) 15; в) 13;	г) 12?
2) Сколько вершин, граней и ребер имеет п-угольная
призма?	,
1296.' Основанием прямой призмы служит прямоугольный тре¬
угольник с катетами 5 см и 6 см. Высота призмы 8 см. Вы¬
числите площадь поверхности и объем призмы.
1297. Основанием прямой призмы
служит ромб с диагоналями
6 см и 8 см, высота призмы
12 см. Вычислите площадь бо¬
ковой поверхности и объем
призмы.
1298. На рисунке 51 5 изображен са¬
рай с двускатной крышей, дли-
335

С,
Рис. 517
Рис. 518
на которого 12 м. Остальные размеры указаны на рисунке.
Вычислите: 1) площадь кровли сарая; 2) емкость чердачно¬
го помещения; 3) емкость всего сарая.
1299. Найдите расстояние от вершины А до вершины С\ прямо¬
угольного параллелепипеда, зная его измерения а — 3 м,
6 = 4мио = 5м (рис. 516).
1300. Практическая работа. Сделайте развертку прямой
призмы, основание которой — прямоугольный треугольник
с катетами 3 см и 4 см, а высота равна 4 см. Согните и склей¬
те ее так, чтобы получилась модель призмы (сообразите,
где нужно оставить выступы для склеивания).
1301. Практическая работа. Возьмите модель прямой тре¬
угольной призмы. Выполните необходимые измерения и вы¬
числите площадь поверхности призмы.
1302*. Выполните необходимые измерения и вычислите по двум
ортогональным проекциям прямой треугольной призмы на
горизонтальную и вертикальную плоскости (рис. 517): 1) пло¬
щади боковых граней; 2) площадь основания.
1303.	Из листа картона, размеры которого 240 ммХ 160 мм, вы¬
резали по углам квадраты со стороной 40 мм и из получив¬
шейся фигуры (рис. 518), загнув края, склеили открытую
сверху коробку. Вычислите площадь дна, площадь всех бо¬
ковых стенок этой коробки и ее объем.
96.	Пирамида
1.	На рисунке 519 изображены пирамиды. Как можно полу¬
чить пирамиду? Возьмем какой-нибудь многоугольник
ABC ... . Вне плоскости этого многоугольника возьмем точ¬
ку S (рис. 520, а). Соединим ее отрезками со всеми вершинами
336

Рис. 519
многоугольника (рис. 520, б). Треугольники SAB, SBC и т. д.
называются боковыми гранями пирамиды, многоугольник
ABC,.. —называется основанием, а точка S- - вершиной пирамиды.
Поверхность пирамиды состоит из многоугольника (основа¬
ния пирамиды) и треугольников (боковых граней). В зависи¬
мости от вида многоугольника, лежащего в основании пира¬
миды, различают треугольные, четырехугольные, пятиуголь¬
ные и т. д. пирамиды.
Высотой пирамиды называется отрезок перпендикуляра, про¬
веденного через вершину пирамиды к плоскости ее основания
(концами этого отрезка являются вершина пирамиды и основа¬
ние перпендикуляра). Отрезок SO (рис. 521) — высота пира¬
миды. (Высотой пирамиды называют и длину этого отрезка.)
Пирамида называется правильной, если основанием ее яв¬
ляется правильный многоугольник, а вершина проектируется
в центр основания. Высота боковой грани правильной пирами¬
ды, проведенная из вершины пирамиды, называется апофемой
пирамиды. Например, отрезки SM и SN (рис. 522) — апофемы.
Все апофемы правильной пирамиды конгруэнтны между собой.
337

5
Прямые призмы и пирамиды являются
частными видами многогранников. Другие
примеры многогранников приведены на
рисунке 523. Поверхность каждого из
многогранников состоит из многоуголь
ников.
С 2. Площадь одной боковой грани пра¬
вильной л-угольной пирамиды равна
2 сгЛо1;» гДеоя -сторона основания, h6m—
А
М
D
Рис. 522
апофема пирамиды. Так как все боко¬
вые грани правильной пирамиды конгру¬
энтны, то площадь боковой поверхности пирамиды ривна:
где Р — периметр основания пирамиды.
Итак,
Если известна апофема ЛоСН основания пирамиды, то по¬
верхность правильной пирамиды находится по формуле:
Объем любой пирамиды равен одной трети произведения пло¬
щади ее основания на высоту:
пир
L±бок. +	=	ip. (Л6ак + лосн).
Рис. 523
338

Вопросы и задачи
1304. Начертите треугольную и четырехугольную пирамиды.
1305. Сколько ребер и сколько граней имеет л-угольная пира¬
мида?
1306. Вычислите площадь поверхности и объем каждой из пра¬
вильных пирамид, изображенных на рисунке 524.
1307. Вычислите объем правильной: 1) треугольной; 2) четырех¬
угольной; 3) шестиугольной пирамиды, сторона основания
которой равна а и высота A (в= 15 см,А = 20 см)-
1308. Выразите объем правильной четырехугольной пирамиды че¬
рез ее боковое ребро Ъ и радиус R окружности, описан¬
ной около основания.
1309. Выразите площадь поверхности и объем правильной четы¬
рехугольной пирамиды через ее высоту А и радиус г вписан¬
ной в основание окружности.
1310. На модели треугольной пирамиды выполните необходимые
измерения и вычислите площади ее боковых граней, пло¬
щадь основания и объем этой пирамиды.
1311. На модели четырехугольной пирамиды, в основании которой
лежит прямоугольник, выполните необходимые измерения и
вычислите площади боковых граней, площадь основания и
объем этой пирамиды.
1312. Начертите развертку треугольной пирамиды, в основании
которой лежит равносторонний треугольник, а все боковые
ребра имеют одну и ту же длину. Изготовьте из этой раз¬
вертки модель пирамиды.
а)	5)	G)
Рис. 524
339

97Т. Общие свойства объемов
Познакомимся с постановкой задачи измерения объемов (срав¬
ните эту задачу с задачей измерения площадей, см. п. 49).
Единицей измерения объема будем считать объем куба с дли¬
ной ребра е, где е — единица измерения длины. Этот объем обо¬
значается ёЛ. Любой объем V выражается через эту единицу из¬
мерения в виде V — v ■ е3, где v — числовое значение объема V
при данной единице измерения е1. В дальнейшем, считая еди¬
ницу измерения выбранной, будем говорить о числовых зна¬
чениях объемов. Задача состоит в том, чтобы каждому много¬
граннику (а по возможности и некоторым другим фигурам)
поставить в соответствие определенное число V {L) > 0, обла¬
дающее такими свойствами:
1) если фигуры Ly и 1>а конгруэнтны, то их объемы равны
V (Zt) = V (£2);
2) если многогранник L является объединением многогран
ников Ll и 1>2> не имеющих общих внутренних точек, то объем
Рис 525
340

многогранника L равен сумме объемов многогранников Lt и Lt;
V(L) = V(Lt) + V (I/s);
3) если фигура L есть часть фигуры Lx (т. е. подмножество
то объем фигуры L не превышает объема фигуры Lt:
V(L)^V (L^;
4) объем куба Е с длиной ребра е равен единице:
V (Е) - 1.
Можно доказать, что при заданной единице длины е эта зада¬
ча для многогранников имеет одно-единственное решение. Только
одним-единственным образом можно каждому многогран¬
нику L поставить в соответствие числа V (L) с соблюдением тре¬
бований 1- 4. Покажем это для прямоугольного параллелепипе¬
да, длина, ширина и высота которого выражаются рациональ¬
ными числами а, Ь, с. Приведя числовые значения длины,
ширины и высоты параллелепипеда к общему знаменате¬
лю п, запишем их в виде
Р	L	Я	г
а	=	—.	Ь	—	— „	с =	—.
п	п	п
Этот параллелепипед составлен из т	—	pqr кубов с ребром —е
п
(на рис. 525 р = 10, q — 11,
г— 9). Так как куб с ребром е
составляется из п3 таких кубов,
числовое значение объема каж¬
дого из них есть 1 : гая.
Следовательно, числовое зна¬
чение объема всего параллеле¬
пипеда есть
я г
п п
\ >
Рис. 526
гг	1	Р
v = pqr — = —
п3 п
= а Ь с.
§ 3. Фигуры вращения
98. Цилиндр
Наглядное представление о ци¬
линдре можно получить, вращая
прямоугольник вокруг одной
из его сторон (рис. 526). Основа¬
ния цилиндра — конгруэнтные
С
Рис. 527
341

Рис. 528
между собой круги. Боковая поверхность —кривая поверхность,
называемая цилиндрической (рис. 527).
Если развернуть боковую поверхность цилиндра, то полу¬
чится прямоугольник, длина основания которого равна длине
окружности основания цилиндра, а высста —высоте цилиндра.
Следовательно, развертка цилиндра состоит из прямоугольника
и двух кругов (рис. 528).
Зная радиус основания цилиндра и его высоту, можно вы¬
числить площадь поверхности цилиндра. Заметим, что пло¬
щадь основания равна я Л2, площадь обоих оснований 2я R2,
площадь боковой поверхности цилиндра равна плошади пря¬
моугольника, основание которого равно 2яR, а высота п, т. е
равна 2 яR • h.
Следовательно, площадь поверхности цилиндра равна:
®цил = 2яЛ2 + 2лRh = 2ni? (R + К).
Объем цилиндра равен произведению площади его основания
на высоту:
= Sh = nR2h.
342

Рис. 529
у Доказательство этой формулы дается в 10 классе. На при¬
мере цилиндра покажем, как оценивать с любой требуемой точ¬
ностью объем произвольной фигуры. На рисунке 529 показано,
что цилиндр с диаметром основания и высотой е помещается
полностью в объединении 88 * 10 = 880 кубов с ребром е : 10 и
содержит в себе объединение 60	10	— 600 непересекающихся
таких же кубов. Поэтому числовое значение объема эюго ци¬
линдра заключено в пределах:
0,6 = — < V < -В- = 0,88.
1000 1000
Выбирая кубы с ребром е : п (при достаточно большом г), мож¬
но было бы оценить объем взятого цилиндра со сколь угодно
большой точностью, у
Вопросы и задачи
J) Как изменится площадь боковой поверхности цилиндра,
если: а) высоту его увеличить в два раза; б) радиус его ос¬
нования увеличить в три раза?
343

2)	Как изменится объем цилиндра, если: а) высоту его уве¬
личить в два раза; б) радиус его основания увеличить в три
раза?
1314. Начертите развертку цилиндра, размеры которого выбери¬
те сами.
1315. Вычислите площадь поверхности и объем цилиндра по сле¬
дующие* Данным: 1) диаметр основания равен 12 см, высота
3,5 см; 2) радиус основания 18 см, высота 2,5 дм.
1316. Выразите объем цилиндра через его высоту h и длину С ок¬
ружности основания.
1317. Вычислите объем резервуара, имеющего цилиндрическую
форму, если: 1) его высота равна 8 м, а длина окружности
основания 30 м; 2) радиус окружности его основания равен
3 5 м, а высота равна диаметру основания.
1318*. Сравните объем трех цилиндров: два из них получаются
вращением прямоугольника со сторонами 6 см и 10 см
Вокруг каждой из двух смежных сторон, а третий — враще¬
нием квадрата, периметр которого равен периметру этого
прямоугольника, вокруг стороны.
1319.	На модели цилиндра проведите необходимые измерения и
вычислите: 1) площадь боковой поверхности; 2) площадь
поверхности; 3) объем модели.
99.	Конус
Наглядное представление о конусе можно получить, вращая
прямоугольный треугольник вокруг одного из его катетов
(рис. 530). Катет SO при этом будет высотой конуса. Второй
катет ОА описывает круг, который называется основанием ко¬
нуса. Гипотенуза SA описывает боковую
поверхность конуса. Отрезок SA называется
образующей конуса.
Развертка конуса состоит из сектора, ра¬
диус которого есть |£У.А|, и круга, лежаще¬
го в основании конуса (рис. 531). Площадь
боковой поверхности конуса, равная пло¬
щади сектора SAB, находится по формуле
0	nL2a
Ой
■’бок. кон
360
где L — длина образующей SA, а — ве¬
личина (в градусах) угла ASB.
344

Дуга АВ имеет длину (см. п. 93).
nLa
Поэтому
S,
бок. кон
I
nL?a
360
180
nLa
180
— — iJL
2 ~ 2 '
Но длина I дуги АВ есть длина
окружности основания конуса. Если
радиус основания конуса R, то I =
= 2 л Д и, следовательно,
St
S,
^бок.кон nRL.
Площадь поверхности конуса рав¬
на S6oK Ь S0CII и, значит,
SK0II = nRL + txR1 = nR (L + Д),
£кон = (fi + L).
Объем конуса равен одной трети
произведения площади его основания
на высоту’.
^ко„=	R*-h.
Формула объема конуса выглядит почти так же, как форму¬
ла объема пирамиды. Это не удивительно, так как конус похож
на пирамиду с основанием в виде правильного многоугольника
с достаточно большим числом сторон (рис. 532).
Вопросы и задачи
1320. Как изменится площадь боковой поверхности конуса, если:
1)	длина его образующей увеличится в три раза; 2) радиус
его основания уменьшится в три раза?
1321. Постройте развертку конуса, размеры которого выберите
сами.
1322. Может ли длина образующей конуса равняться: 1) его высо¬
те; 2) радиусу окружности основания? Ответ обосновать.
345

1323. Вычислите высоту конуса, если его образующая 13 см, диа¬
метр основания 10 см.
1324. Вычислите площадь поверхности и объем конуса по сле¬
дующим данным: 1) образующая равна 1,6 дм и радиус
основания 4 см; 2) образующая равна 15 см и высота 10 см,
3)	высота равна 2,4 дм, а радиус основания 15 см.
1325. Прямоугольный треугольник с катетами 40 см и 20 см вра¬
щается вокруг большего из катетов. Вычислите объем и пло¬
щадь поверхности полученного при вращении конуса
1326. Как изменится объем конуса, если: 1) его высота увеличится
в п раз, а радиус окружности основания не изменится;
2)	радиус окружности основания увеличится в п раз, а вы¬
сота не изменится?
1327. Вычислите объем вырытой в земле конической воронки,
образующая которой равна 2 м, а длина окружности 8 м.
1328. Практическая работа. На моделях правильной пира¬
миды, цилиндра, конуса произведите необходимые измере¬
ния и вычислите площади поверхностей и объемы этих тел.
100.	Шар
Множество точек пространства, находящихся от данной точки О
на расстоянии, не большем данного расстояния г (г > 0), на¬
зывается шаром с центром О радиуса г.
Наглядное представление о шаре мож¬
но получить, вращая полукруг вокруг его
диаметра (рис. 533). Отрезок, соединяю¬
щий две точки поверхности шара (сферы)
и проходящий через его центр, называет¬
ся диаметром шара.
В сечении шара любой плоскостью по¬
лучается круг (рис. 534). Если секущая
плоскость проходит через пентр шара, то
в сечении получается круг, радиус ко¬
торого равен радиусу шара. Такой круг
называется большим кругом. Окружнос¬
тями больших кругов на глобусе, напри¬
мер, являются экватор и меридианы.
Боковые поверхности конуса и цилинд¬
ра — кривые поверхности. Но их можно,
Рис. 534	«разгибая»,	превратить	в	плоские	(т.	е.
346

положить на плоскость, развернуть). Поверхность шара, ока¬
зывается, никаким «разгибанием» нельзя сделать плоской.
Поэтому формулу для площади шара невозможно найти, поль¬
зуясь разверткой. Эта формула (как и формула объема шара)
будет выведена в 10 классе, а пока мы воспользуемся готовы¬
ми результатами.
Площадь поверхности шара равна учетверенной площади
большого круга’.
Sm = 4лR2 или 5Ш = лD2,
где R — радиус шара, D — диаметр шара.
4
Объем шара вычисляется по формуле: Vm = — лR3.
3
Вопросы и задачи
1329. Полукруг, радиус которого равен г, вращается вокруг свое¬
го диаметра. 1) Выразите через г площадь поверхности и
объем шара, полученного при этом вращении. 7) Вычислите
площадь поверхности и объем этого шара, если г равно:
а) 4 см; б) 2,5 см; в) 16,8 мм; г) 1 дм.
1330. Вычислите площадь поверхности и объем шара, диаметр ко¬
торого равен д, если: 1)д = 0,5 м;2)д = 8 м.
1331. Практическая работа. Вычислите объем и площадь
поверхности детали или специально изготовленной модели,
имеющей форму шара, выполнив предварительно необхо¬
димые измерения.
1332. Найдите отношение объемов двух шаров, радиусы которых
ri и г2. Вычислите это отношение, если: 1) rt = 5 см, г2 =
= 3 см; 2) Г| = 6,8 см; г2 — 1,6 см.
1333. Как относятся площади поверхностей двух шаров, радиусы
которых г, и г2? Вычислите это отношение при г 1) г, = 7 см,
г2 — 5 см; 2) п = 5,4 см, г2 = 0,7 см.
1334. Как относятся радиусы двух шаров, если отношение объе¬
мов этих шаров равно: 1) 1 : 8; 2) 8 : 27; 3) 3 : 5; 4) 0,8?
1335*. Принимая, что Земля имеет форму шара с радиусом
6400 км, вычислите: 1) сколько квадратных километров за¬
нимает площадь поверхности Земли; 2) сколько квадрат¬
ных километров Земли занимает суша, если она составляет
около 30% всей поверхности Земли; 3) чему равна длина
земного экватора.	.
347

•4-
<»•
Рис. 535
1336. Вычислите массы шаров диаметром
#	см' изготовленных из свинца, ста-
■ г I 1 ■	ли,	меди,	алюминия.	(Необходимые
для решения задачи дополнитель¬
ные данные найдите в справочнике.)
1337. Сколько дробинок диаметром
2 мм можно изготовить из 1 кг
свинца?
1338. Медный цилиндр, диаметр основа-
ния и высота которого равны 8 см,
переплавлен в шар. Каков диаметр
полученнэго шара?
1339. Шар вложен в цилиндрическую коробку так, что он касает¬
ся цилиндрической поверхности, дна и крышки этой короб¬
ки. Вычислите: 1) объем шара и объем цилиндрической ко¬
робки; 2) площадь поверхности шара и площадь полной по¬
верхности цилиндрической коробки, если известно, что диа¬
метр дна коробки равен 18 см.
1340.	Вычислите объем и площадь поверхности	полушара радиу¬
са г, если: 1) г = 12 м; 2) г = 7 м.
1341.	Резервуар, наибольшая глубина которого	равна 4 м, имеет
форму полушара. Какова вместимость этого резервуара?
1342.	Деталь, осевое сечение которой дано на	рисунке 535, име¬
ет форму полушара с приставленным в центральной части
большого круга цилиндром. Найдите объем детали по
размерам, указанным на рисунке.
Дополнительные задачи к главе X
1343.	Ребро куба имеет длину а. Найдите длину кратчайшего
пути по граням куба из точки Л и С (рис. 536).
1344.
А
/
ч
1345.
i
1
1
Л
/
е.
7
С
1346.
В
Рис. 534
Покажите, что куб можно разрезать
на три четырехугольные пирамиды.
Вообразите, что лучи света перпен¬
дикулярны экрану. Какой может
быть тень: 1) прямоугольника (от¬
личного от квадрата); 2) квадрата;
3)	куба?
Представьте себе, что вы смотрите
на куб вдоль его диагонали. Нари¬
суйте, что вы увидите (для проверки

8
10
11
Рис. 537
возьмите модель куба и посмотрите на нее вдоль диаго¬
нали).
1347. Боковые грани деревянного куба с ребром 10 см покрыли
краской, а затем этот куб разрезали на кубики с ребром
2 см. Сколько получилось кубиков: 1) с двумя окрашенными
гранями; 2) с одной окрашенной гранью; 3) не имеющих ок¬
рашенных граней?
1348. Решите предыдущую задачу при условии, что окрашены все
грани куба.

1349. Какие размеры может иметь пря¬
моугольный лист бумаги, если изве¬
стно, что из него можно вырезать
развертку куба с ребром 4 см?
1350. Какие из данных фигур (рис. 537)
являются развертками куба?
1351. Какие из данных на рисунке 538 фи¬
гур являются развертками прямо¬
угольного параллелепипеда?
1352. Открытый бак, имеющий форму ку¬
ба с ребром а, стоит на плоскости,
наклоненной под углом а к горизон¬
ту (рис. 539). Какой наибольший
объем воды может вместить бак в
таком положении? Вычислите этот
объем, если: 1) в-1,5 м, а — 30°;
2) а= 1,5 м, а = 10°,
1353. Вычислите объем правильной тре¬
угольной пирамиды, боковое ребро
которой равно тп, а плоские углы
при вершине пирамиды прямые.
1354. Вычислите объемы и площади по¬
верхностей геометрических тел,
представляющих собой комбина¬
цию: 1) двух конусов (рис. 540, а);
2) цилиндра и двух конусов
(рис. 540, б), если диаметр основа¬
ния цилиндра равен 5 см; 3) цилинд¬
ра и двух полушаров (рис. 540 в)
4)	конуса и полушара (рис. 540, г).
Необходимые размерь указаны на
чертеже.
1355.	1) Вычислите массу дюралюминие¬
вого пустотелого шара, внешний
диаметр которого равен 2 м, а тол¬
щина стенок 3 см (плотность дюра¬
люминия 2,8 г/см)
2) Утонет ли такой пустотелый шар
(см. задачу 1355, 1)) если его по¬
грузить в воду? А если внутри шара
находится груз в 200 кг?

1356. Диаметр Луны составляет 0,25 диаметра Земли. Вычислит*!
1)	какую часть площади поверхности Земли составляет
площадь поверхности Луны; 2) какую часть объема Земли
составляет объем Луны.
Задачи на повторение по курсу 6—8 классов
1357. Начертите две фигуры, объединение которых — треуголь¬
ник, а пересечение — отрезок.
1358. Начертите два треугольника, пересечение которых: 1) пус¬
тое множество, 2) точка, 3) отрезок, 4) треугольник, 5) че¬
тырехугольник, 6) пятиугольник, 7) шестиугольник.
1359. Сколько вершин может иметь многоугольник, являющийся
объединением двух квадратов?
1360. В озеро впадает река (рис. 541). По ним движется моторная
лодка. Скорость ее больше скорости течения реки. На озе¬
ре течения нет. «Расстояния» между пунктами на берегах
реки и озера будем оценивать по времени, необходимому
для того, чтобы моторная лодка пришпа из одного пункта
в другой. Какие из свойств расстояний (1, 2 и 3) будут вы¬
полняться для такого выбора «расстояния» при любом вы¬
боре пунктов А, В и С на берегах реки и озера? Что можно
сказать о таком «расстоянии», если пункты выбираются
только на берегу озера?
1361. Точка М принадлежит треугольнику ABC. Докажите, что
сумма расстояний точки М до вершин треугольника больше
его полупериметра, но меньше периметра.
1362. В плоскости даны две точки А и В. Какой фигурой является
множество таких точек М этой плоскости, для которых:
1) \МА\ < |MB|; 2) \МА\ > \МВ\; 3) \МА\ = |МВ|?
1363. Дан угол ABC. Какой фигурой является множество таких
точек М этого угла, для которых: 1) расстояние от точки М
до стороны ВА больше расстояния точки М до стороны ВС;
2) расстояния от точки М до сторон угла не равны?
1364. Докажите, что сумма диагоналей
выпуклого четырехугольника боль¬
ше его полупериметра, но меньше	В
периметра.
1365. В выпуклом четырехугольнике най¬
дите точку, сумма расстояний ко¬
торой от вершин четырехугольника
наименьшая.	Рис.	541
351

1366.
1367.
1368.
1369.
1370.
1371.
1372.
1373.
1374.
1375.
1376.
1377.
352
Постройте равносторонний треугольник, вершины которого
лежат на трех данных прямых.
Дайте определения следующих фигур как пересечений двух
или трех других известных вам фигур: 1) треугольника;
2) параллелограмма; 3) прямоугольника; 4) ромба; 5) квад¬
рата; 6) трапеции.
Докажите, что: 1) у любого выпуклого четырехугольника,
имеющего ось симметрии, точка пересечения диагоналей
лежит на этой оси; 2) у любого четырехугольника, имеюще¬
го центр симметрии, этот центр совпадает с точкой пересе¬
чения диагоналей.
Какой вид имеет выпуклый четырехугольник, если: 1) сере¬
динные перпендикуляры к его противоположным сторонам
совпадают; 2) биссектрисы его противоположных углов ле¬
жат на одной прямой?
Луч АС— биссектриса угла А четырехугольника ABCD,
В — D. Докажите, что ААВС = AADC.
Через точку пересечения диагоналей параллелограмма про¬
ведены две прямые, пересекающие противоположные сто¬
роны параллелограмма. Докажите, что полученные че¬
тыре точки пересечения являются вершинами параллело¬
грамма.
Докажите, что два отрезка, концами которых соответствен¬
но являются середины противоположных сторон и середины
диагоналей Четырехугольника ABCD, пересекаются и де¬
лятся точкой пересечения пополам.
Докажите, что площадь треугольника, две стороны которо-
,,	тп
го равны т и п, не больше ——.
Докажите, что площадь четырехугольника ABCD не боль¬
ше |(|АД| + \CD\)(\BC\ + |BD|).
4
Докажите теорему, обратную: 1) теореме Фалеса; 2) тео¬
реме Пифагора.
Вычислите площадь ромба, если его сторона равна 4 см, а
один из углов равен: 1) 80°; 2) 30°.
Длины сторон параллелограмма, отличного от прямоуголь¬
ника, равны 4 см и 10 см. На отрезки какой длины делит
сторону параллелограмма биссектриса: 1) его острого угла;
2) его тупого угла?

1378. Прямая, параллельная основанию треугольника, доли, его
на две равновеликие части. В каком отношении эта прямая
делит боковые стороны треугольника?
1379. Дана трапеция с основаниями а и Ь. Выразите через а и b
длину отрезка, параллельного основаниям и проходящего
через точку пересечения диагоналей.
1380. Постройте прямую, на которой две данные окружности вы¬
секают хорды данной длины.
1381. Докажите, что средние линии четырехугольника в точке сво¬
его пересечения делятся пополам.
1382. Докажите, что наибольшая из площадей треугольников, впи¬
санных в окружность радиуса г, равна -3'	■
1383. Докажите, что наибольшая из площадей четырехугольни¬
ков, вписанных в окружность радиуса л, равна 2г2.
1384. Данный отрезок разделите на две части в отношении 1 :У 2.
Указание. Воспользуйтесь тем, что отношение кв зд-
ратов катетов равно отношению их проекций на гипоте¬
нузу.
1385. Проведите прямую, параллельную одной из сторон данного
треугольника, так, чтобы площадь треугольника делилась
этой прямой пополам.
1386. На гипотенузе и катетах прямоугольного треугольника по¬
строены правильные треугольники. Докажите, что площадь
треугольника, построенного на гипотенуее, равна сумме
площадей треугольников, построенных на катетах.
1387. На гипотенузе и катетах прямоугольного треугольника как
на сходственных сторонах построены подобные много¬
угольники. Докажите, что площадь многоугольника, по¬
строенного на гипотенузе, равна сумме площадей много¬
угольников, построенных на катетах.
1388.	Постройте квадрат, равновеликий	данному треугольнику.
1389.	В плоскости а даны две точки Л и	В. Какой фигурой явля¬
ется множество проекций точки Л	на прямые, проходящие
через точку В и лежащие в плоское и а?
1390. Какой фигурой является множество середин хорд данной
окружности, проходящих через данную точку?
1391. Дана окружность (О, г), которая касается двух параллель¬
ных прямых. Через точку М этой	окружности проведена
к ней третья касательная, которая	пересекает две первые
прямые в 1 очках А и В. Докажите, что: 1) произведение
]2 Геометрия. С—8
353

| MA | • | MB | не зависит от выбора точки М; 2) это произ¬
ведение не изменится, если две параллельные касательные
заменить двумя другими параллельными касательными.
1392.	Через точку М, лежащую вне данной окружности (0, 2),
проведены к этой окружности секущие. Какой фигурой
является множество середин всех образовавшихся хорд?
1393. Докажите, что продолжения боковых сторон трапеции и
прямая, проходящая через середины ее оснований, пересе¬
каются в одной точке.
1394. Докажите, что прямая, проходящая через точку пересече¬
ния продолжений боковых сторон трапеции и точку пере¬
сечения ее диагоналей, проходит через середины основа¬
ний трапеции.
1595.	Докажите теорему: если через точку, взятую внутри круга,
проведены какая-нибудь хорда и диаметр, то произведение
длин отрезков хорды равно произведению длин отрезков
диаметра.
1396. Докажите, что произведение длин отрезков хорд, проходя¬
щих через точку, взятую внутри данной окружности, посто¬
янно для всех хорд.
1397. Из точки, лежащей вне окружности, проведены к ней каса¬
тельная и секущая. Докажите, что квадрат касательной ра¬
вен произведению всей секущей на ее внешнюю часть.
1398.	Найдите множество точек, равноудаленных от двух данных
прямых, если эти прямые: 1) параллельные; 2) пересекаю¬
щиеся.
1399.	Найдите множество точек, находящихся на данном расстоя¬
нии а от данного угла".
1400.	Найдите множество точек, находящихся на данном расстоя¬
нии от данного квадрата.
1401.	Найдите множество точек, находящихся на данном расстоя¬
нии: 1) от данной окружности; 2) от данного круга.
1402.	Проведите прямую, перпендикулярную основанию тре¬
угольника, так, чтобы площадь треугольника делилась этой
прямой пополам.
1403.	Даны параллелограмм ABCD и произвольная точка О.
Докажите, что ОА -f- ОС = ОВ -f- OD.
•> —*
14Q4.	Что можно сказать о векторах а и Ь, если для них выпол¬
няются следующие равенства:
1)	\а + Ь\ = \а-Ь\;	2)	|в	+	Ь\	==	\а\	+	|Ь|;
354

1405.
14С6.
1407.
1408.
1409.
1410.
1411.
1412.
1413.
1414.
1415.
1416.
1417.
1418.
12*
3) |а + 6[ = М - |Ь|;	4)	|а Ь|'=М+1Й?
Докажите, что в параллелограмме ABCD найдется единст¬
венная такая точка О, что О А	ОВ ОС + OD = 0.
Дан правильный шестиугольник ABCDEF. Докажите, что
АВ -I ~АС Ь Xe + AF= 7AD.
Точка О является точкой пересечения медиан треугольни¬
ка ABC. Докажите, что ОА + ОВ -|- ОС = С.
Постройте треугольник по двум углам и радиусу вписанной
окружности.
Постройте треугольник гю двум его углам и периметру.
В данный треугольник впишите треугольник, ему подобный,
так, чтобы вершины построенного треугольника лежали на
сторонах данного (на каждой стороне по одной).
Сколько центров гомотетии имеют: 1) два конгруэнтных
круга; 2) два неконгруэнтных круга? (К ответам дайте соот¬
ветствующие рисунки.)
Докажите, что отношение длины стороны треугольника к
синусу противолежащего угла равно длине диаметра опи¬
санной около треугольника окружности.
Какие из названных ниже отношений являются отношениями
эквивалентности: 1) конгруэнтность фигур; ?) подобие фи¬
гур; 3) гомотетичность фигур; 4) перпендикулярность пря¬
мых; 5) параллельность прямых; 6) сонаправленность лу¬
чей; 7) противоположная направленность лучей; 8) колли¬
неарность двух векторов?
Противоположные стороны шестиугольника ABCDEF по¬
парно параллельны и равны. Какую часть площади этого
шестиугольника составляет площадь треугольника АСЕ1
В круге радиуса R проведены две параллельные хорды,
каждая из которых стягивает дугу в а радиан Вычислите
площадь части круга, заключенную между этими хордами.
Площадь равностороннего треугольника, вписанного в круг,
равна а2. Выразите через а радиус круга.
В угол 60° вписаны две окружности, касающиеся сторон
угла и друг друга. Вычислите отношение их радиусов.
По данным, приведенным в таблице, вычислите: 1) какую
часть площади поверхности Земли составляет площадь по¬
верхности каждой из планет (если принять, что планеты
имеют форму шара); 2) какую часть объема Земли состав¬
ляет объем каждой из планет,
3 Ы

Планета
Экваториальный диаметр
(за единицу измерения принят
диаметр Земли)
1. Меркурий ....
0,39
2. Венера
С,97
3. Марс
0,53
4. Юпитер
11,20
б. Сатурн
9,4
6. Уран
4,2
7. Нептун
3,9
8. Плухон
1
1419. Укажите отображения, при которых полуплоскость отобра¬
жается на себя.
1420. Какими перемещениями отображается на себя фигура, яв¬
ляющаяся объединением двух конгруэнтных кругов?
1421. Какими перемещениями отображается на себя правильный
п-угольник?
1422. Какими перемещениями может быть отображена на себя
плоскость, из которой «выколота» одна точка?
1423. Какими перемещениями может быть отображена на себя
плоскость, из которой «выколоты» две точки?
1424. 1) Каким перемещением может быть композиция двух
центральных симметрий?
2)	Каким отображением может быть композиция двух гс-
мотетий?
1425. Укажите перемещения, при которых: 1) прямая отобража¬
ется на себя, а полуплоскости с границей р отображаются
друг на друга; 2) одна и только одна точка плоскости ото¬
бражается на себя; 3) не существует ни одной точки плоско¬
сти, отображающейся на себя.
1426. Укажите известные вам отображения плоскости на себя,
при которых каждая прямая отображается на параллельную
ей прямую.
1427. Докажите, что любое перемещение плоскости является ли¬
бо поворотом, либо переносом, либо скользящей симметри¬
ей (см. задачу 782).

ОТВЕТЫ
И УКАЗАНИЯ
Глава I. Начальные понятия геометрии
3. 1) Не принадлежит; 2) принадлежит. 5. I) {А}, {В}, {А, В) 0. 6. Можно
в случаях 1), 2), 3). 7. 1) Одна; 2) бесконечное множестве. 8. 1] Экватор, ме¬
ридианы. fl. 1) Можно; 2) нельзя. 12. 1) Точка; 2), 3) точка, расстояние и
плоскость. 17. Ограниченными фигурами являются точка, кру”, отрезок, тре¬
угольник и квадрат. 21. 1) 30. 22. 1} Увеличится в 10 раз: 2) уменьшится в
100 раз. 23. 1) 50; 4) 12. 24. 1) а) 5,556 км; б) 22,224 км; в) 370 4 км
2) =0,540 мили. 25. 1) 1,0668 а км; 2) =0,937 версты. 26. 1) a] \XY\ — 0,5 и,
|АВ| = 0,7 м; | CD\ = 0,1 м. 27. Может в случаях б), в), г), е). Указе ни е.
Воспользуйтесь предложениями 3 и 4. 28. 1) 1 см ^ \АХ\ ^ 5 см. 2) Суще¬
ствуют две такие точки. 29. Равенства или неравенства всегда верны в случаях
а), б), д); в случаях г), е), з) всегда неверны; в других случаях могут быть как
верными, так и неверными. 32. 2) Бесконечное множество, 33. Г Могут;
2) не могут. 34. Одна или три. 36. Могут иметь: одну, четыре или шесть
точек пересечения. 38. Указание. Центром такого круга может служить
любая из данных точек. 39. Верно. 40. Неверно. 45. Могут в случтях 2). А).
*43. 1) а), г) — не может; 2) наименьшее расстояние — 3 км, наибольшее —
7 км. 47. 1) Наибольшее значение |АВ| равно 8. Наименьшее значение АВ\
равно: а) 2; б) 5; в) 1. 49. В б [АС] в случаях 1) и 3); в случае 2] Ь ^ [АС];
в случае 4) В € [АС] лишь при условии |АВ| = |ВС| = 5 см 5С. Принадле¬
жат в случаях 2) и 3). 52. 1) Три; 2) шесть. 53. Указание. Воспользуй¬
тесь равенством | АХ| + | ВХ| = |АВ|. 54. 1) Можно, например, дать такоэ
определение: серединой отрезка называется точка этого отрезка, равноудален¬
ная от его концов. 2) а) 7 см; б) 2 см; в) 9 см. 57. 1) [АВ) [ [ВА) = [АВ];
2) а) лучом, отрезкой, точкой или пустым множеством. 58. 1] Луч АВ, 2, луч
ВА; 3) точка М принадлежит и лучу АВ, л лучу ВА. 59. 1) Точка и расстоя¬
ние; 2) прямая, точка и расстояние. 60. Указание. Воспользуйтесь пред¬
ложением 5. 62. Указание. Воспользуйтесь предложениями 7 и 9. 65.
1) |АО| = 7, |НО| = 5; 2) |АВ| = 2. 67. 1) а) 5; 2) а] —0.5. 68. 1) —7 <
< хс < 9; 2) хс < —7 или хс > 9. 69. 5) (2 — а) и (5 — в); 6) (2 а) и
(5 + а). 74. Четыре. 76. Может в случаях 1) и 3). 77. 1) 0,5 см < |АВ| <
< 10,5 см; 2) 0 см < |АВ| < 12 см. 82. Три. 89. 1); 2) Дь 90. Предложения
2). 4) и 6) верны; предложения 1), 3), 5) и 7) не верны 92. 2) б) [АВ' с [Jlf-fV];
г) М £ [АВ]. 97. 1), 2) Да. 101. 1) а) На три облает;!; б) на шесть областей.

2) ь) На три или четыре области. 102. Данные лучи разбивают плоскость на
три области (рис. 53, с,) на две области (рис. 63, б) на ч^гыро области (рис, 63, в),
на одну область (рис. 53, г). 105. 1) Не выполняется второе свойство области.
2)	Неверно' (еелп, например, две окружности по iWueioT общих точек и ни одни
из них не лежит внутри другой, то объединение их внутренних областей обла¬
стью не является). 106. Л На три или четыре области, 2) на четыре, шесть
или семь областей. 113. 1), 2) Да; 3) нет. 114. 1} Да; 2) не обязательно.
115. Полукруг — фигура выпуклая. 116. Может. 118. Указание. Вос-
польз,йтесь „п^еделепля.,!!! пересечения множеств и выпуклой фигуры.
120. 1) Три; 2) четыре. Izl. п — 2.	122. д.) выпуклые; 2) невыпуклые.
123.1)	Существует, это пятиугольник. 125. В случаях 1) и 3) точки А и В лежат
в одной полуплоскости; в случае 2) — в разных полупли^пи^тях 128. 1) Полу¬
плоскость с границей р, не содержащая точки А-, 2) та нз областей с границей р,
которая содержит точку А. 133. i) да. 136i Не всегда. 137, 12 дуг и 12
центральных углов. 138. 1) Для выпуклого угла АОВ\ 2) для невыпуклого
угла АОВ. 139 Угол со сторонами ОА и ОВ, и1лнчнш5 отданного. 140. 1) Имг-_
ют внешнее касание; 2), 5) и 6) пересекаются; 3) не пересекаются; 4) имеют
внутреннее касание. 142. 1) Задача может не иметь решений, иметь одно или
два решения. 143. Две. 144. Задача имеет решение, если |и — 6| ^	^
^ а + Ь, и не п^СсГ решений, если | АВ\ > а + Ь или \АВ\ < \ а — Ь|. 145. В
случаях 1) и 3) — две окружности, в случае 2) —* одну. 146. 1) Бесконечное
множество. 2) Одно или два решения. 148. JEwm |в — Ь\ < \АВ\ < а -р Ъ,
тб в каждой "нз полуплоскостей с границей р существует одна точка X (АТ ^ р),
удовлетворяющая поставленным условиям. Если \АВ\ = |а — Ь| или \АВ\ =
= а + Ь, то точка X принадлежит прямой р. Если \АВ\ >0+5 пли \АВ\ •<
< [ :?■“- 5|, то тогда таких точек не существует. 149.	|0203| = г2 —
— r3, |OiO,| = гд + г3 (рис. 70, о); |Oi02[ = п + г., |0203| = r2 + r3, |Oi03| =
= п + г3 (рнс. 70,6); |OiO»| г, — г2, |0203| = г» + r3, |Oi03| = п — г3
(рис. 70, в). 150. Указание. Воспользуйтесь предложением 7 и условием
касания окружностей. 153. 1) 0; 2) точка; 3) пересечение внутренних обла¬
стей окружностей (А, 1,5 см) и (В, 1,5 см); 4) пересечение внешних областей
окружностей (А, 1,5 см) и (В, 1,5 см). 155. У к а з а н и е. Если а = XjeL и
Ci — f;e2, то а — (kxi) ег. 157. 3) Точки F и С лежат между А и В. 158. У ка¬
зан и е. Рассмотрите различные случаи: на одной	прямой	лежат пять	точек,
четыре точки и т. д. 160. У к а з а н и е.	Воспользуйтесь	неравенством тре¬
угольника. 161. Искомой фигурой является: 1) точка; 2) отрезок; 3) и 4) луч.
164. 1) и 3) Не существует; 2) существует. 167. 1) Неверно; 2) неверно. 169.
Указание. Воспользуйтесь неравенством треугольника. 171. 1) Точка,_
прямая, отрезок; 2) простая замкнутая ломаная, внутренняя область простой
замкнутой ломаной. 173. 1) Две окружности называются касающимися, если
их пересечение — точка. 174. 1) Окружности касаются внешпим образом.
175. 2) Объединение двух окружностей, касающихся внешним образом, на¬
зывается восьмеркой. 177. На три или	четыре.	181. 1)	|Oj02| = | п	— г2|,
|0»О3| = \г»±г3\, 10,03 | = I Гь ± г3 |.
Глава II- Конгруэнтность фнгур и перемещения
182. 1) f {А) — Aii 2) D Di\ 4) да*. 183. 1) С D,\ 2) например, f (К) =
= Hi, 1 (L) = Hi. Множество точек, образами которых является точка Hi, —
358

Отрезок KF. 3) Hex. 184. 4) Да. 187, Координатная прямая отображается на
себя при отображениях: 1); 2); 4): 6). 188. У к е з'а н и е. 1) Существует
шесть отображений фигуры {А. В, С} не себя. 2) Например, отображение,
обратное отображению Л->-5, Д->-СиС->-Л, таково: А ^ С, С -г- В, I -> А.
190. 1) Отображение, заданное на рисунке 89, а, обратимо, а отображение,
заданное на рисунке 89, б, не обратимо. 2) Не выполняются. 191 1) Точки К,
М, R. 2) Образами точек Р, X, А. 3} Отрезку АВ, отрезку АХ. 4) Hi точку Q,
на отрезок MR, на ломаную QKMR. б] Да. б) Например, при отображении,
обратном данному, образом отрезка KQ является отрезок РА, точки К — точкг А,
ломаной QKMR — ломаная РАВС. 192. 1] На точку Ои 2) Образами точек
А, М. 3) На радиус OiR, иа треугольник OiRP. 4) Да 193. 1) Точка Yi; на
отрезки X\Y\ и DYi. 2) Отрезков АХ и АВ, 3) Да. 4) Нет 194 1) Отображе¬
ние луча ОМ на луч ON. 2) На отрезок OYi, отрезке ОА. 3) Да 195 1) Ото
бражеине полуокружности на ее диаметр. 2) Да. 3) Не сохраняются. 196.
1)	Нет. 2) Да (см. теорему 16). 197. Указание 1) В случае а) существу¬
ет одно такое отображение (тождественное); в случае б) два, а в случае в) шесть.
198. Расстояния сохраняются прн отображениях 2), 3), 4). 199 2) j АВ] =
= [СП1}. 200. 1) | РО| = 7. 201. Конгруэнтны. 205. 1), 2 Неверно, 3) верно.
296. Не может. 208. Указание. Пусть Г АВ] -*• [ AiBi], Тогда при помощи
циркуля можно построить точку Xi треугольника AiBjCi для которой | AiX.| =
= |АХ|, |BiXi| = |ВХ|. 209. 1) См. указание к предыдущей задаче. 2‘ В за¬
висимости от выбора точки X может быть построенс восемь, четыре илн одна
точка, являющиеся ее образом. 210. Указание. На отпезке меньшег дли¬
ны нельзя найти две точки, расстояние между которыми равно длине большего
отрезка. 212. Указание. Для решения задачи предположите, что суще¬
ствует отображение, сохраняющее расстояния, воспользуйтесь свойствами это¬
го отображения и предложением 7. В результате будет получено про^нвоое-
чио с условием. 213. Биссектрисой угла называется луч < начался i вершине
этого угла, делящий его на два конгруэнтных угла. 215. — • 45° = 22,5° =
d	1	d
= 22J30‘ =	—;	—	• 45° = 7,6° = 7°30' =	—.	217.	1)	90°: 2) 105°51’25';
4	6	12
3)	47J55'05"; 4) 51°62'45"; 6} 60°46'30": 6: 121°41', 7) = 48°16'48". 218. Доста¬
точно измерить один угол. 219. 2) Два треугольника. 221. Указание.
Сумма величии смежных углов равна 180°. 227. 2) На себя 3) На угсл, кон¬
груэнтный данному. 232. Фигуры, изображегные иа рисунке 110, а, б, г. 233. В
случае квадрата углы поворотов равны 0°. 180° и 90° (в направлении по часовой
стрелке и против), Центр поворота — точка Н 237. 1), 3), 4) Бесконечное
множество; 2) два; 5) четыре (если длины отрезков равны) ш и ни одиогс (если
их длины различны). 238. Указание- Воспользуйтесь определением пере¬
мещения и предложением 10. 239. Указание, Воспользуйтесь определе¬
нием перемещения и результатом задачи £38 240. 1) Указание. Если
\АС\ф\СВ\, то \АС\ Ф fi (A) fi (С)\. 241. Например, прямая и плоскость.
243. 1) Центр симметрии. 244. 1) Прямая АВ; 21 луч, противоположный лу¬
чу ОС; 3) угол, вертикальный с углом ABC. 247. 1) Прямая имеет бесконечно
много центров симметрии; луч не имеет центра симметрии; у отрезка и объьди-
ие:шя двух пересекающихся прямых один цептр симметрии. 2) Указание.
Многоугольник с нечетным числом сторон не имеет центра симметрии. 3) Сухце-
3S9

ствуют. 248. Фигуры, изображенные на рисунке 110, а, б и г. 250. 1) |<?Я| = 6,
|А£|=6. 1QP| - 8	2) /_АВС = /_QRP. 3) ЛО\ = 9, |ЖГ| = 6, |АР| =
= 18. 25i.	=	«1	= 105°, Ps = 40', а, = За*. 254. Указание Пока¬
жите, что данные фигуры центрально-симметричны. 256. Указание. Рас-
CMuipHTe симметрию с центром О. 257 2) [АВ] = Su ([СВ]). 258. 1) Верно.
259. 2) X $ а. 260. 2) Прямые, перпендикулярные оси р, а также сами пря¬
мая р. 261. 2) О € {.	272.	Указание. Угол XiOXt развернутый.
273. Указание. Рассмотрите точку, симметричную точке А относительно
прямой р. 276. 1), 2) Можно. 280. Четыре треугольника 281 Не меньше
600 см. 282—286. Указание. Воспользуйтесь признаками конгруэнтно¬
сти греу 1 илЬпмпов. 288. Указание. Четырехугольник ABCD симметричен
относительно центра О. 289. Указание Рассмотрите симметрии отно¬
сительно прямых АС и ВВ. 291. 1) Одна или бесконечнс много. 2; Одну, две
пли бесконечно много. 294. Указание. Воспользуйтесь теоремой 28.
295. Укаеание. Проведите прямую, проходящую через центр окружности
и перпендикулярную данной хорде. 296. Указание. Воспользуйтесь ре¬
зультатом задачи 295. 297. Указание. Рассмотрите симметрии относи¬
тельно нрлший, содержащей биссектрису данного угле. 298. Указание.
Рассмотрите симметрию относительно прямой Oi02. 300. Указание. 1) В
результате допущения, что центры окружностей различны, получается про¬
тиворечие с условием. 301. 1) Две; 2) одну; 3) бесконечно много. 304. Воз
можны такие случаи: искомая точка единственна, множество решений — дан
пая прямая МТ, задача ие имеет решений. 307. Серединный перпендикуляр к
отрезку АВ. 308. Серединный перпендикуляр к данному отрезку за исключе¬
нием середины атого отрезка. 310. 1) Множество точек плоскости, не принддле
жащих серединному перпендикуляру к данному отрезку АВ. 314 Три.
318. 1) 6 см; 2) 3 см; 3) 8 см. 327. 1) Могут. 328. Прямая перпендикулярная
прямой АВ и проходящая через точку В. 331 Указание. Воспользуйтесь
теоремой 32. 333. Таким множеством является объединение двух пересекаю¬
щихся прямых, содержащих биссектрисы углов, образованны} данными пря
мыми. 336. Указание. Докажите, что для любой точки N^= М окружности
|ATW| > | МА\. 337. Указание. Воспользуйтесь свойствами серединпог<
перпендикуляра к отрезку. 341. Указание. Постройте угол в 72°. По¬
стройте произвольную фигуру, содержащуюся в этом угле, и образы этой фи¬
гуры при поворотах вокруг вершины построенного угла на углы в 72° и 144°
по часовой стрелке и против. 348. Указание. Искомая фигура обладает
симметрией вращения порядке 6, поэтому, чтобы восстановить ее изображение,
достаточно знать часть этой фигуры, содержащуюся в угле 60° с вершиной О.
та
349. Указание. При повороте с центром О ка угол 360 • — фигура Li
п
отображается на фигуру Lm ,, Ls — на Lm ^ « и т д. 352. Указание.
Воспользуйтесь свойствами центральной симметрии. 353. Указание. Прове¬
дите прямую р, перпендикулярную прямой АВ и проходящую через общий центр
W
окружностей. Затем рассмотрите симметрию Sp. 354. 1) АВ = 72°. 356. 1) 165°,
195°. 358. 1) а) 60°. 2) 360 мин. 362. 2) Окружность. 363. 1) 16С'. 2) а) С,064';
б)	0,0648*. 366. Указание. Воспользуйтесь теоремой 36,,. 376. У к а-
8 а н и е. Рассмотрите различные случаи: 1) А лежит во внутренней области
окружности; 2) А С Окр (О, г); 3) А лежит во внешней области окружности.
360

г
380. 2) Пряная, которая касается окружностей в их общей точке- исключая
эту точку касания. 381. Отображение обратимо 387. Можс.е виси»,льооваться
калькой и котировальной бумагой; только копировальной бумагой. з88. 1) Фи¬
гуры «Ж», «И», «Н», «О», «X*. 389. Указание. Точка Os — Z0^ (Оа) при¬
надлежит фи»уро L и |ОгОэ| = 2. 390. Указание. Если А» — образ точ¬
ки X, то |А»Х,| = |АА|, |£iA,| = |ВХ|. 391. Указание. 1) При любом
перемещении, отображающем отрезок на себя, концы этого отрезка отобража¬
ются на его концы. 2) При перемещениях, отображающих ив себя окружность,
ее центр отображается на себя. 392. Указание. Рассмотрите симметрию,
центр которой — середина отрезка OiOa (Оi и Оа — центры данных кругов).
394. У Казани е. М1ОМ3 = 2 АОВ. 395. 1) Одну или бесконечно много;
2)	одну; 3) одну или две. 397. Будет построено четыре точки (считая М).
399. Указание. 64° = 90° — 36е,	18° = 64° : 3 = 36° ; 2.	400. У ка
з а н и е. а) 17° • 11 = 187°, 10° = 17° — 7е. 408. Указание. Рассмотри¬
те различные случаи: данный угол может быть острым, прямым тупым, развер¬
нутым или большим развернутого. 409. Указание. Выясните, сколько
решений имеет задача на построение треугольника или четырехугольника,
если известны длины его сторон. 412. Указание. Воспользуйтесь предложе¬
ниями 4 и 8. 413.1) Указание. Продолжите отрезок АМцо пересечения со
стороной ВС и воспользуйтесь неравенством треугольника. 417. 1) Указа¬
ние. Рассмотрите образы точки М при симметриях относительно прямых,
содержащих стороны данного угла.
Глава Ш. Параллельность и параллельный перенос
422. Нет; прямые могут не лежать в одной плоскости. 423. 1) Прямые, прохо¬
дящие через центр симметрии; отрезки, имеющие центр симметрии своей сере¬
диной. 424. 1) а || Ь. 2) Прямые а и Ь либо пересекаются, либо совпадают.
427. а || 6. 429. Прямые, перпендпкуляршле или параллельные прямой р.
430. Указание. Воспользуйтесь признаком параллельности прямых.
433. Нет. 434. 1), 2), 3) Да. 438. Прямые а и с пересекаются. 438. У к а.
з а н и е. Рассмотрите симметрию Zqx где О — середина отрезка прямой с,
заключенного между прямыми а и Ь. 439, 1) Бесконечное множество 2) ни
-е.	/А,	Л
одного, один или бесконечное множество. 440. В ~ Ь = 160°, С = 30°, \AD\ =
= 4 см, |С£>| — 2 см. 446. Да. 449. При таком определение отношение парал¬
лельности не рефлексивно. 451. 1), 2) Одни. 453. 1) Лучом. 2) а) Прямой АВ
или подмножеством этой прямой, состоящим из точек, не являющихся внутрен¬
ними точками отрезка АВ\ б) отрезком, точкой или пустым множеством.
454. Бесконечное множество. 455. 1) Два; 2) четыре; 3) шесть. 456. Нет:
свойства рефлексивности и транзитивности не выполняются. 459. 1) а), б) Ни
одной, одну или две; в) ни одной, одну, две или три. 2) Нет. 460. 1), 2) Нет,
464.£Если (АВ) II (CD). 465. 1) Нет; 2) да. 467. 2) Указание. Восполь¬
зуйтесь свойством 1 параллельного переноса и транзитивностью отношения
конгруэнтности. 3) Да. 468. 1) Бесконечное множество; 2) один. 469 1) При
центральной симметрии; 2) только при параллельном переносе, 3) при тожде¬
ственном отображении. 470. 1) Нет, Например, при симметрии	луч	АВ
отображается на сонаправленный луч. 2) Нет. 476. Центральная симыетр-п
261

ii параллельный перенос. 477. Нет. 481. 1) 0°; 2) 180°. 483. Указание.
Рассмотрите центральную симметрию, отображающую вершину первого угла
на вершину второго. 485. 1) 90°; 2) 180°; 3) 45°. 488. 1) 30°, 60°, 90°; 2) 30°,
70°, 80°; 3) 30°, 36°, 108°. 490. 25°, 68° и 87°. 491. Аксиома параллельных, тео¬
рема о конгруэнтности углов с сонаправленными сторонами н свойство вели¬
чины суммы углов. 493. 1) Треугольник, все углы которого острые, называется
остроугольным. 2) а) Прямоугольный; б) тупоугольный. 494. Остроугольный.
493. I) 48°, 00°, 72°. 496. 50°, 50°, 80° или 80°, 80°, 20°. 498. 1) Тупоугольный;
2) прямоугольный. 500. 1) 16d; 2) 20d; 3) 56d; 4) 188d. 501. 1) Восемь; 2) один¬
надцать; 3) двадцать четыре; 4) двенадцать. 502. 1) Десять; 2) двенадцать;
3) тридцать шесть; 4) сорок. 504. 1), 2), 5) Да. 3), 4) Нет. 507. Да. 515. 2)
Увеличится на 2d. 516. Шесть. 517. Три. 518. 2d. 519. Да. 520. 1) Диаметр,
перпендикулярный данной прямой. 521. 1) 60°, 60°, 60°. 523. 1) 280° и 80°.
524. 1) Бесконечное множество. 2) Имеет; множество центров образует пря¬
мую. 3) Да. 527. Указание. Рассмотрите образ данной прямой при по¬
вороте вокруг дайной точки на угол в 60°. 530. Указание. Воспользуйтесь
тем, что образ объединения (пересечения) фигур Li и Lx при перемещении —
объединение (пересечение) образов этих фигур.
Глава IV. Мпогоугольники
✓Ч /S
533. Больше |а — Ь|, по меньше 0 + 8. 535. 2) В, С или с. 539. Треугольник
равносторонний. 541. Указание. Постройте вспомогательный треуголь¬
ник по двум боковым сторонам н углу между ними, равному разности углов
при основании искомого треугольника. 543. У казаиие. Предположение,
что против меньшей стороны лежит тупой или прямой угол, приводит к проти¬
воречию. 544. Углы А и В острые, С > 60°. 545. 1) 60° < а < 180°; 2) 0° <
< а < 60°. 551. \BD\ =	553. Например, А3 (] Ав = 0. 554. 1), 2) Нет.
555. 80° и 100°. 557. 1) 2,5 см; 2) 15 см и 10 см. 558. 1), 2) Нет; 3) да. 559. 1) Да;
2), 3) нет. 560. 1) 28 см или 26 см; 2) 3 см и 2 см. 570. Истинны предложения,
обратные предложениям 3 и 6. 574. 1), 2), 4), 6) Нет; 3), 5) да. 576. Например,
двумя диагоналями и стороной. 577. Указание. Рассмотрите централь¬
ную симметрию, отображающую параллелограмм ABCD на себя. 581. 1) Нет;
2), 3), 4) да. 584. 1), 2) Да; 3), 4) нет. 585. 2) Например, существует парал¬
лельный перенос, отображающий один луч на другой; 4) угол треугольника
равен 60°. 5S6. 1) Точка X принадлежит серединному перпендикуляру к от¬
резку АВ\ 2) существует такая точка О, что Z0 (в) = Ь. 587. Верны предложе¬
ния 2 и 4. 589. 1), 2) Достаточно, 3), 4) необходимо. 592. 1) Да. 594. Если
стороны каждого из этих прямоугольников не равны, то существует 4 переме¬
щения. 595. Например, «диагонали конгруэнтны». 596. 90 см. 597. 6 см.
599. 1) Указание. Достройте прямоугольный треугольник до прямоуголь¬
ника. 600. Окружность (за исключением точек А и В). 601—603. Указа¬
ние. Воспользуйтесь результатом задачи 600. 606. Указание. Высоты
треугольника пересекаются в одной точке. 610. 1), 3) Нет; 2) да. 613. 1) 32 см;
2) нет; 3) а) нет, б) да. 614. 1) Нет, если только угол ромба не является пря¬
мым; 2) да. 617. \АМ\ = 1 см, \MD\ = 1 см, |ВО| = 2 см. 623. 1) Например,
диагонали квадрата перпендикулярны. 626. Указание. Существует 8 пе-
362

г
ромегцепий. 627. 1), 2) Нет. 629. Указание. Можно рассмотреть пе¬
ремещение, отображающее квадрат ABCD на себя. 630. 4) Указание.
Существуют повороты, отображающие квадрат на себя. 633. 1 см, 8 см к 7 см.
636. 2) in +- п\ 38 см. 637. Периметр звездочки равен р. 640. У к а з а н г, е.
Через точку D проведите прямую, параллельную стороне угла. 653. Получен¬
ный четырехугольник является:	1), 2), 3) параллелограммом; 4) ромбом;
5) прямоугольником; 6) квадратом. 654. 5 см. 655._ 11 12 см и 8 см; 2) 5 см
и 2 см. 656. 1) 3 см; 2) 14,2 см. 662. 1) 1; 2) 1 ООО ООО; 3) 10 ООО. 663. 1) Уве¬
личится в 4 раза; 2) уменьшится в 9 раз; 3) не изменится. 664. Нет. 666. 1) Пло¬
щадь прямоугольника равна 5 см2, 8 см2 пли 9 см*. 670. Указание. Сто¬
роной искомого квадрата является диагональ данного. 675. 4,4 см. 676. 4,8 см
или 7,5 см. 677. 7,2 см. 679. 20 см. 682. 1) S =	683. 2) 19,22 см*.
684. 4 см и 6 см. 685. £ = . . 686. 48 см3. 687. 16,5 см. 688. Объединение
22
S
двух прямых, параллельных прямой АВ. 693. Si = —. 634. 37,5 мм*.
4
с2	„	тп
696. S — —. 697. 24 см". 698. £ = — . 699. 1) 1:2. 2) Отношение площадей
2 2
равно отношению высот этих треугольников. 700. Площадь треугольника мень-
ab
ше пли равна 6 см*. 701. S — —.	702. 1) Ромб. 2) Прямоугольник.
703. 210 см2. 704. 336 см2. 706. 10,8 дм2. 709. 6 см2. 710. 6 см2. 711. 32 с:,т*.
718. Нет. 719. Указание. Постройте вспомогательный треугольник,
сторона которого равна периметру, а высота — высоте искомого треугольника.
720. Нет. 727. 1), 2) Да; 3) нет. Указание. Число диагоналей п-угольннкт
п {п — 3)	4	2
равно 	 — . 729. Такой четырехугольник — ромб. 75S. — S. 757. — S.
2	3	3
а + Ь — с Ь + с — а а+с — Ь
758. г =	,	х	=	—	,	у	=		. 7о9. Указание. Соедпни-
2 2 2
те точку М с вершинами данного многоугольника. 760. Отрезок искомой пря¬
мой, заключенный между сторонами угла, должен делиться точкой Е пополам.
761. Указание. Искомая прямая должна проходить через точка С г. Е,
766. Площадь отсекаемого треугольника максимальна, если отрезок перпенди¬
кулярен биссектрисе данного угла.
Глава V. Векторы
771. 2) Параллельным переносом. 773. Нет. 774. 1) Параллельным переносом.
2)	Нет. 776. 1) Sy, 2) Z0 . 779. 1) Sb (Ь 1 а, О t Ь). 786. 1) Четыре. 788. 1),
2)	Векторы различны; 3) один и тот же'вектор. 790. Девять. 791. 2) Тринад¬
цать. 792. 2) Двадцать семь. 793. Beprto, если А =/= В. 794. Указание.
Рассмотрите два случая: точки А, В, С н D лежаг на одной'прямой или нет.
801. Верны равенства 1), 2), 3), 5) и 6). 805. 2) |ж| = |у| = |г| = г. |< = 0.
813.	1) AD = а | Ь + с, BD = Ь + с, АС = а + Ь. 820. 2) о = 0.
629. 1) к > 0; 2) к < 0; 3) k = 1. 830. 1) |&| < 1; 2) |/г| >1; 3) | k\ = 1.
363

832. 1) k > —1; 3) h = —1. 834. 1) x = — — , 3) x — 3. 835. Нет. 836. У к a-
з а и it e. Если xya = x2a, to (xy — x2) a = О. Так как о ф 0, то Ху = х2.
842. 1) Да; 2) нет. 843. ОА = /Ху Н 4et, ОА + 03 — беу + 9гс. 845. 2) ВЬ =
= 36 — За. 851. 3) АС. 853. Указание. Воспользуйтесь свойствами рас-
—►	—►
стояний. 855. 2) х = а. 857. Указание. Воспользуйтесь правилом парал¬
лелограмм*. 858. 1) Четырехугольник ABCD — параллелограмм; 2) четырех¬
угольник ABCD — параллелограмм или трапеция. 859. У к а з а н и е. 1) Вос¬
пользуйтесь правилом параллелограмма и свойством диагоналей параллелограм¬
ма 860. 2) Указание. Сначала покажите, что если О — точка медианы
ААу и - — - = 2, то РО = 1 (РА -|- РВ + PC), где Р — произвольная точка
I ОА [ |	3
плоскости. 861. Указание. Пусть Е и F — середины сторон А В и АС тре¬
угольника ABC. Докажите, что ЕР = — ВС. 884. Указание. Если х =
= хуеу + iде2 и х = х2еу + у2е2, то ху = х2, уу = у2. 866. Указание. Дока¬
жите, что если Х2 = (Zq^ о Zp) X, то = 20i02.
Глава VI. Подобно
872. 1) Нет. 874. 1) Второй план подобен первому с коэффициентом 1/10.
877. Указание. Воспользуйтесь формулой | АВ | = I хА — хв\.
830. Указание. Воспользуйтесь теоремой о средней линии треугольника.
801. Указание. Воспользуйтесь определением гомотетии. 892. Указа¬
ние. Рассмотрите композицию двух центральных симметрий с различными
центрами. 897. Центр Q — любая точка прямой ООу за исключением точек Oi
и О. 8ЭЗ. 1), 2) Нет; 3) могут. 899. 1) Нет. 904. 1) \АС\ : \BD\ = 1 : 2; 2) нет.
1 2
906. 1) —, —; 2) 3 см, 6 см. 907. 2,1 см; 5,0 см. 908. 6 см. 909. 2 см, 4 см.
3	3
910. 1) а) 6 см, =s5,3 см. 911. 2 : 3. 914. Указание. Рассмотрите подоб-
ныэ треугольники ABD л ADyC, где Dy — точка пересечения прямой АВ с
прямой, проходящей через С и параллельной BD. 916. Да. 919. Да. 924. Да,
1
если коэффициент подобия Р равен —. 925. Да, если Р сохраняет расстояния.
h
929. 1), 3) Подобны; 2) не подобны. 930. 1) 6,4 дм; 5,76 дм; 2,4 дм или 2,5 дм,
2,25 дм, 0,9375 дм; 2) 4 см, 3 см. 931. 1) 5,25 см; 1,2 см; 2) 18 м; —23,6 к;
~25,7 м. 932. 1) 27 см; 40,5 см; 61,5 см; 2) 10,8 см; 16,2 см; 21,8 см. 934. По¬
добны. 938. 1) 3 см, 2 см, 1,5 см; 2) 4 см, 3,5 см, 2,6 см. 939. 1), 2) Подобны;
3)	подобны лишь в том случае, если оба угла взяты при вершинах треуголь¬
ников или при их основаниях. 940. Три пары. 941. Нельзя. 942. Подобны.
944. 9 см; 15,75 см. 945. 1) 8 см, —5,3 см, —3,6 см; 2) 12 см, ~4,6 см, —11,1 см.
916. —80 га. 947. —36 jj. 043. ~30 м. 953.	-; 1) 7,5 см; 2) 1,5 см; 3) 5.Л4 см.
т -фп
956. с = 5 см, а = У16 см, b = l/Зб см, h = l/б см. 957. ас =	--,
у а2 + Ьг
364

Ьс = ~	.. .	958.	р2	:	д2. 962. Указание. Воспользуйтесь теоремой,
«2 1/3"
обратной юироше Пифагора. 963. —3,9 см. 964. S =	.	S66.	1)	А	=
4
V 4г2 — о2
=	-	;	2)	с	— 2 У,2 — А*. 967. =48,9 см или =0,9 см. 969. 1) 15; 2) 18;
3)	5; 4) 13. 970. 1) 2 У 5"; 2) /2; 3) о /2 . 971. 1) 24 см, =21 см; 2) =17 см,
12 см. 972. 1) с = 15 см; ас — 5,4 см, bd = 9,6 см; Л = 7,2 см. 973. Ь = 5 см,
flf = 11,1 см, Л = 4,6 см; Ьс = 1,9 см. 974.	^^===2-;	=6,5	см,	=15,7	см.
97э. =7,7 см. 976. |ОЛГ| = Vт? + г2. 977. 1) =9,2 см; 2) 6 см. 980. =13,3 мм.
981. 1) Могут; 2) ке могут. 983. Не верны. 984. 1) Могут; 2) не могут.
988. Ь, 	;	1)	6	см;	3,5 см; 2) 4,8 см; 2,8 см. 989. Не подобны. 992. 2 м, 4 м,
а
5 м. 993. 6,4 дм, 8 дм, 11,2 дм. 994. 60 см, 100 см. 995. 1) 4 : 9; 4) А2 : Р.
996. 3) 1 : 2; 4) у р :	q. 997. 1) Возрастет в п2 раз. 2) Уменьшится в А2 раз.
b2S	„	2S,	a.	V	s.,
998. 9:1; 9 : 4. 1002. - -;	4)	=66,7 см2. 1005. Ai = —, а2 = - г—\
a2	flj	у	Sj
2 УS.S,
Аа = 	.	32	см;	=2,5 см; =19,6 см. 1010. Указанне. Докажите гомо-
ai
тетичность построенных равносторопинх треугольников относительно точки
1	Р
пересечения диагоналей трапеции. 1012. 1) —Р = 2гЛ — А2, откуда г =	1-
4	8А
А
+ —; 2) =4,2 см. 1015. Указанне. Выразите квадраты длин сторон мно¬
гоугольников через квадраты длин отрезков их диагоналей.
Глава VII. Повороты и тригонометрические функции
1032. Для одного наблюдателя направление вращспня будет положительным,
для другого — отрицательным. 1033. Первая и третья шестерни вращаются в
отрицательном направлении, вторая шестерня — в положительном. 1034. 1)
40° + 360°п; 3) 130° + 360°п, где п £ Z. 1035. 1) —130° + 360°п, где п € Z.
1036. 1) Я20°; 2) R30°; 3) Я20°; 4) Л90°; 5) /Г1'00; 6) Я°°; 7) R 140°. 1037. 1) R-eo°;
2)	Л160°; 3) Я80°; 4) Я1700; б) Я20°; 6) Я2ро; 7) Яео°. 1038. 1) При любых целых
значениях к; 2) при любых четных значениях А, 1039. 1) =7,85 см; 2) =3,14 см.
1040. 1) а) =125,6 см; б) 5 см; 2) а) =0,01745; б) =0,785; в) =1,30?;
г)	=3,927. 1041. 1) =57°18’; 2) =5С44‘; 3) =17°12';	4) 60";	Б) 120°;
6; 20";	7) 15°.	1042. 1) 11°,25; 2) =0,09.	1043.	1) R-"°° о Я2*' = R-St°;
2)	Я180° с R~3LO = RUb°\ 3) Я20° о Л70С = Я000;	4) Я13б° о Я21Б0 = Я280° = Я28';
5) Я'200 о R-™0 — Я-1800	Я170°;	6) Я“° о Я80° = Я1380.	1044. 1) —40° +
4- А330°; 2) —35° Ь А360°; 3) А360°; 4) —70° 4 А360°; 5) —10" + А360°; 6) 20° +
4 (2А Ь 1) 180° (где А — любое целое число). 1045. 1) Тождественным ото¬
бражением плоскости на себя. 2) а — А180г (А 6 Z)- Задача имеет бесконеч ;ог
множество решсшш. 1046. 1) Ra о Ra о Ra = Я80°, если а = 30° 4" 12С°А
365

(А € Z); 2) Л* . Rn = Л180°, если a = 90° + 180°A (A € Z). 1047 Л,20°А (A € Z)
1048. Указание. Следует показать, что (Ла о R? ) о Rv = R'10 (rD 0 Rv).
1049.	1) При А С Z;	2) при любых четных значениях	А.	1050. Указа¬
ние. 1) R1‘ ,э0	= R10’ + JC0’ ‘ 1J = Л10’; 2) Л1 )0 1 20 = Лж + 360° = д30° .
1051. 1) а) (0. -1); б) (0,1); в) (1, 0); г) (0, 1). 2) а) (3, —4); б) (—3, 4);
в) (—4, 3); rj (— 3, —4). 1052. 1) Ось х отобразится на ось у, ось у — на ось х
(с переменой направления); 2) ось х — на ось у (с переменой направления),
ось у — на ось X', 3), 4) оба оси отображаются на себя (с переменой направле¬
ния). 1053. 1) (—у, х); 2) (у, —х)\ 3) (—х, —у); 4) (х, —у), 5) {—х, у)-, 6) (—*,
—у)\ 7) (—у, Х)\ 8) (—х, —у)\ 9) (—у, х); 10) (X, у). 1054. Абсцисса х может
изменяться от 1 до 0. Ордината у может изменяться от 0 до 1. Юои. 1) (—0,8;
—0,6); 2) (—0,8, 0,6); 3) (0,8, —0,6). 1053. 1) (0, 1); 2) (—1, 0); 3) (0, —1);
4) (—1, 0); 5) (0, —1); 6) (0, 1). 1059. sin 90“ •= 1, cos 90° = 0; sin (—90°) =
= —l, cos (—90°) = 0; sin 180° - 0, cos 180° = —i; sin 270° = —1, cos 270°
— 0; sin (—270°) = 1. 1060. 1). 2), 3), 5) Углы a, соответствующие указанным
значениям sin a, существуют (точки Pa иа единичной окружности могут быть
построены). 1061.	1),	2), 5), 7) Положителен; 3),	4),	6) отрицателен.
1063. sin 20° < sin 30° < sin 45° < sin 60° < sin 70° < sin 90°. 1064. 1), 2), 3),
5) Углы, соответствующие указанным значениям cos а, существуют. 1065. 3), 4),
5), 7) Положителен; 1), 2), 6) отрицателен. 1067. cos 90° < cos 70° < cos 60° <
< cos 45° < cos 30° < cos 20°. 1068. Да, существуют. Например: 1) a = 45°;
2) a = 135°. 1071. 1) x = 2 cos 90°, у = 2 sin 90°; 2) x = 2 cos 0°, у = 2 sin 0";
t/2	У 2	—
3) x = — cos 135°, у = — sin 135°; 4) x = 2 У 2 cos (—45°), у = 2 У2 sin (—45°);
2	2
5)	x = У 2 cos 45°,	у	= У2 sin 45°.	1072.	1) 0,8;	2)	—0,28,	3)0,6;
2 У 2	У	2	2 У 2	УЗ
4) —	=;	—0,943;	5)	±	-— ~ ^0,707. 1073. 1) —— - 0,943; 2) — =;
3	2	3	2
У 5	У~2
=; 0,866; 3) 0,8; 4) — ~ 0,745; 5)	0,707.	1074. 1) sin2 a; 2) —cos2 а;
О	А
3)	1 (если а Ф 90° + 180°ft, А € Z); 4) 0; 5) sin2 a; 6) sin3 a; 7) 1; 8) cos3 a.
1075.	1)	a) sin 100° = cos 10° = sin 80°;	6) sin 160° = cos 70° = sin 20°;
в) cos 170° = —cos 10° = —sin 80°; r) sin 95°16' = sin 84°44' = cos 5°16';
д)	sin 103°45' = sin 76°15' = cos 13°45'; e) cos 124°15' = —cos 55°45' =
= —sin 34°15'.	2)	a)	sin	(—70°) = —sin 70° = —cos 20°;	6)	cos	(—70°) =*
= cos 70° = sin 20°;	в)	sin (—20°) =	—sin	20° = —cos 70°;	r) cos (—20°) =
= cos 20° = sin 70°; д) sin (—45°) = —sin 45° = —cos 45°; e) cos (—45°) =
= cos 45° = sin 45°. 1080. 2) a) a. = 45°; 6) a -= 135°. 1081. Указание.
Воспользуйтесь свойствами функций sin а и cos а. 1084. 1) a) 2; б) —1; в) 5;
г) 1; д) 0. 1088.
а 1
1
Ь
с
А
В
1 a
2,61
3,80
4,61
34" 29'
55 31'
6
13,6
8,2)
15,9
31 '11'
в
4,35
1,45
4,59
71 23'
18’37'
г
156
133
205
49 33'
40 27'
366

Продтженив
а
Ъ
с
А
В
2 a
63
16
65
75 45'
14 15'
б
5,28
4,55
6,97
49 15'
40-45'
в
15
112
113
7*36'
82 24'
г
0,0у8
0,иЮ
0.14U
44:25
45 £5'
3 a
63,7
5,11
63,9
85 25’
4=35'
б
18,0
58,9
61,6
17
73'
в
3,89
1,74
4,23
65 55'
Sft 05'
г
6,16
2,95
6,83
64 21
2536'
4 a
6,37
3,63
7,33
60'18
29 42'
б
380
261
461
55431
34 29'
в
613
528
809
49 15
40'45'
г
8,49
3,92
9,35
65 14
24е 46’
5 в
4,24
1,95
4.67
65 15'
21 45'
б
25,1
57,6
62,6
23 32'
66'28'
в
0,559
0,669
0,793
44 30'
45'30'
г
3,52
8,74
9,42
21 5"'
68 04'
1089. =88 м. 1091. =1°43'. 1092. =0°57'. 1093. I sin а; 1) =118 м; 2) =43Г м
1094. =4,6 м. 1095. 31. 1096. 1) Ъ — 4л; 2) k 8л (л 8 I) 1097. 1) п = 8л
2)	k = 6л (л£ Z). 1098. 2) п) 45°; 30°; 60°; 120°.
2)	б)	45°	+	360°п,	135°	+	360°л;
30°	+	360° л,	150е +	360сл;
60°	4-	360°л,	—60е 4-	360=л;
120° 4- 380°л,	—120е	4-	360°л (л 8 Z).
1099.	1)	а)	0	sin	д:	+	1	^	2;	б)	—0,5 < cos х + 0,5 <1 1,5; в} sin2 х 4
4- cos2 х = 1; 2) равенство а) возможно. 1101, Например: 1), 2’ It — 4л, где
л 8 Z. 1104. о tg а. 1) =16 ы; 2) =17 м.
Глава VIII. Метрические соотношения в треугольнике
1105. 1) с2 = о2 Ь Ь2 — об; 2) с= = а- + Ъг — аЪ ^ 8, 3) с2 = о2 4- 52— V2 ol.
1106. При возрастании угла а от 0° до 90° значение о возрастает, так как cos &.
при этом убывает, оставаясь положительным. При дальнейшем возрастании
угла а от 90° до 189° значения cos а убывают от 0 дс —1. Следовательно, значе¬
ние о при этом продолжает возрастать. 1109. 1) с = 8,5; 2) Ь = 4,4; 3) о = 0,8.
1111. 1) =117°17'; 2) =93с42'. 1112. 1) =24,3 дм и =12,1 дм 2) =5,4 дм,
=4,5 дм. 1113. При возрастании угле у от 0° до 90° площадь треугольника
в >зрастает. При дальнейшем возрастании угла у от 90° до 180° площадь трс
угольника убывает. Наибольшее значение площади полд’чпм при т = 90"
1114. =18,4 м2.1115. 1) = 7880-м2; 2) =344 см2.1118. 1) =21,2 см2; 2) =2,7 см-.
1119. =190,5 см2. 1120. 1) Ь = 61; с = 102, а = 79°37'; 2) о = 39; Ь = 25,
367

Y = 14=35'; 3) fi = 36°52'; у = 75=45'; с = 21; 4) ~ = 14°23', P = 142°17',
3.	1122. —1—
bin (a
a sin a sin Pt
... Л.. v.	m	sin	P
b = 9J ,3. 1122. 	;	•	и	 1124	=3	6	H;	—3,7	H.	1149.	\BC\
sin (a 1- P) sin (ot + P)	1
—	-. Замечен n с Р^ш„..ием „*„Д задачи
sin (a, -t Pil sin (u |- P)
кожио воспользоваться при вынули.... расстояния до недоступных точек на
Meciiwwu. (В рассмотренном случае, если точка С невидима из точки В, рас
стояние между точками В и С не может быть найдено измерением.)
1150. I CD I = а 1 /~1ц- V . ~ si-‘2 Д _ 2 ■*“ V ^.<« ~ Р)
У oin! (Р + у) sin2 (a + б) sin (a-j • б) sin (Р + у)
Указания. 1) ГТрл решен»» задачи применяются теоремы косинусов и сп
ьусов. 2) Ирн проведении вычислений следует учитывать, что значения углов
Р +	у, a -f- б, a — Р уже	известны. 1152.	1) Ь = 62,1;	a	— 21°55';	г	—	34°05',
2)	с	= 20,8;	Р = 67°51';	a — 37°08';	3)	а = 279, у	=	30°30';	Р	—	67“23 ;
4)	Ь	— 837;	а = 22°37',	у — 59°30’.	1153. 1)6 = 15;	с — 14;	у	—	60°2»';
2)	а	= 20,5;	с = 20; у =	74°37'. 11э4.	1)	a = 67°23';	Р	= 18°55';	у	=	93°42';
2) a — 107=57'; р = 53°08'; у = 18=55'. 1157. a = 90°. 1158. a = 90°, ромб
1159.1)	*	11749'.	1160. R = 275 H. 16е,	34°.	1161. 1) 4(l+tga)2.
a2A2
1162. 	-, 36 см2.
(a 4 2А)а
Глава IX. Вписанные н описанные многоугольники
1170. 1) 36°; 72°; 108°; 72=; 36=. 1171. 1) 108° и 72°; 2) 100° н 80°. 1172. АМС =
= АТС или АМС + Л ГС = 180°. 1173. 35° и 70". 1174. 1) 100° или 80°;
h
2) 54° или 126°. 1185. 12,3 см. 1186. 1) 4 см; 2) 10 см. 1187.	. 1189. 1) Тре-
О
угольник равносторонний; 2) треугольник прямоугольный; 3), 4) треугольник
равнобедренный. 1190. Указание. Задача имеет 4 решения. 1195. 2), 3) Мо:к-
т	,—
но. 1196. 1) Можно. 1198. 1), 3) Можно. 1202.^- (3 ± уТ). 1203. 1), 2) 60°,
120°; 90°, 90°; 108°, 72°; 120°, 60°; 135°, 45°; 144°, 36°; 150°, 30°. 1204. 1) а) 8;
б)	12; в) 9; 2) а) 10; б) 15; в) 6. 1210. 1) п осей симметрии; 2) п поворотов
(включая то кдественный); 3) центр симметрии имеют только правильные мно-
а3 У 3 а4 ^ 2
гоугольникн с четным числом сторон. 1211. 1) а) —-—; б)—-—; в) ae;
2г 1^3	180е
2) а) 2г ; б) 2г; в) 	.	1212.	г	=	R	cos	.	1213.	1) а) =14.1 мы;
3	п
б)	=5,7 мм. 2) а) =13,8 мм; б) =10,4 мм. 1214. 3 у'б см= 7,3 см. 1215. 1) Прн
180°
R sin
п	180°
л< 6; 2) при п = 6; 3) прн п > 6.1216.2) г=	1217.	2a„	cos	-■—,
180	л
1 — sin
п
1)	1,62 см; 2) 8,66 см. 1218. R J 3; 1) =3,46 см; 2) =5,20 см.
368

180°
1210. а) =83 см2; б) 128 см2; в) =152 см2. 1220. S = пг2 tg ; а) =83,1 см2;
п
а а2	1 \rZ /3	1	1	3
б)	64 см2; в) =58,1 см2. 1221. 1) -; 2) -. 1222. 1) —, —,	;	2)	—,	—,	—■
о Ь2	222	424
1226. 1) =78,5 см; 2) =37,7 дм. 1227. 1) =12,5 см; 2) =2 дм. 1228. 1) =64 см;
2) =48 см. 1229. 1) =5,4 см; 2) =10,9 см. 1230. 1) =12,6 см; 2) =17,8 см.
12.J2. 1) =1,9 м; 2) =22,6 м. 1233. 1) =2,62; 2) =3,49; 3) л. 1234. Cj. — С2 =
= 2лI, где Ci — длина внешней окружности, С2 — длина внутренней окруж¬
ности, I — толщина кольца. 1235. 48 см. 1236. =1,85 км. 1237. 1,8.
1238. 1) =12,6 см2; 2) =78,6 и2. 1239. 1) Уменьшится в 16 раз (в л2 раз);
уменьшится в 4 раза (в и раз); 2) увеличится в 9 раз (в п- раз), увеличится в
С2
3 раза (в п раз). 1240. —. 1241. 1) 7,1 мм2; 2) 0,03 мм2. 1243. 1) =616 см2;
4л
2) =2,0 дм2. 1244. =0,21. 1245. 1) =7,6 см2; 2) =9,4 см2; 3) =11,3 см*.
1250. Указание. Надо доказать, что -AiDiJi = 180°. 1251. Указание.
Искомое множество точек — две дуги, общей хордой которых является данкьА
отрезок. Чтобы построить каждую из этих дуг, достаточно найти хотя бы одну
нз ее точек, отличную от точек А и В. 12S5. Указание. Следует дока¬
зать, что хорда BD стягивает дугу ВЛ,угловая величина которой равна 72°.
ла2 _	л	I	АВ	|2
12G7. —-. 1269. Указание. Это следует из того, что SI(0.1bU3  	.
4	4
Глава X. Начальные сведения из стереометрии
1270. Три различные точки всегда лежат в одной плоскости. Этим объясняется
устойчивость «треножников», возможная неустойчивость стола и других
устройств, имеющих четыре опорные точки. 1271. 1), 2), 3) Нельзя; 4) можнэ.
1272. Указание. Доказательство ведется методом от противного.
1273. Указание. Для доказательства возьмите две точки на одной из
данных прямых и одну точку на второй прямой. Докажите, чго проходящая че¬
рез эти точки плоскость единственна и что она содержит обе данные прямые.
1277. Высказывание неверное. 1278. Нет. Указание. Если прямая парал¬
лельна одному из ребер куба, то она параллельна и еще трем другим его ребрам.
1281- Прямые АВ и CD параллельны. Следовательно, существует плоскость,
проходящая через эти прямые. 1282. Плоскости параллельны. 1285. Не всегда.
a VZ
1287. 1) 0 илн а. 2) о, а]/2,аУЗ. 1288. —-—. 1291. 1) 8. 2) Многоугольник,
&
имеющий п — 2 стороны. 1293. Пять граней, девять ребер, шесть вершин.
1295. 1) б) Существует (пятиугольная призма); а), в) не существует. 1296. S =
= 180,6 см2, V = 120 см9. 1297. S6oK — 240 см2, V = 288 см3.1298. 1) =114 м2;
2) =125 м3; 3) =413 м3.1299. =7,1 ы. 1303. 128 см2; 192 см2; 512 см3. 1305. 2п
aVi V3	a*h	tPhVs	2R2
ребер, п+1 граней. 1307. 1) ———; 2)	;	3)	f—. 1308. - - \ГЬ* — R2.
12	8	2	3
	 4
1309. S = 4г (г И- У IP f г2); V =	1315.	1)	=358	см2;	=396	см8;
и
CVi
2) =48,6 дм2; =25,4 дм3. 1316. —. 1318. Vt = 600л см3; V2 = 360л см3;
4л
369

V3 = 512я см3; V* < V3 < Vi. 1322. He может. (Рассмотрите соответствуют;!!
прямоугольный треугольник.) 1323. 12 см. 1324 1)	£ =: 251 см2,	V	=	26( см*;
2)	S = 920 см2, V = 1204 см1; 3) S = 20,4 дм2,	У= 5,7 дм3.1325.	V	=	16	755 ом3,
S = 4037 см2. 1327. =2,6 м3. 1329. 2) а) =201 см2, =268 см3; б) =78,5 см2.
=65,4 см3; в) =3550 мм-, =19 830 мм1; г) =12,6 дм-, =4,2 дм3. 1330. 1) S =
г,1
= 0,79 м2, К = 0,065 м3; 2) S = 201 м* V = 265 вг. 1332	-у;	1) =4.6Ь
г2
rl	J	2
2)	=76,77. 1333. —; 1) =1,96; 2) =69,5.	1334	1) —; 2)	—	3)	=С,Ь43;
i'2	2	3
4)	=0,928. 1335. 1) и 5,10 ■ 103 км'-г 2) = 1,5 • 10s км2 3) 40 • 10s м. 1337- Около
1750 дрооннок. 1338. =9,2 см. 1339. 1; =3050 см1, =4580 см- 2' =1020 см2,
=1530 см3. 1340. 1) =3619 мг, =1357 м2; 2) =718 м\ =462 м2. 1341. =134 м*.
о3
1317.	1) 20; 2) 60; 3) 45.	1343.	1)	36; 2) 54;	3)	27	1352.	-	(2 — tg а).
1Е56. 1) —; 2) —.
16	64
Задачи па повторение по курсу 6—8 классов
1360. Свойства 1 и 3 выполняются. Свойство 2 не выполняется. 13G2 1) Об¬
ласть, содержащая точку А, границей которой являете! серединный
перпендикуляр к отрезку АВ, 2) Область, содержащая tohkj Е- гра¬
ницей которой является серединный перпендикуляр к отрезку АВ. 3, Се¬
рединный перпендикуляр к отрезку АВ. 1363. 1) Этим свойством облада¬
ют точки угла ВВС, не лежащие на луче BD, где [BD) — Ьиссектриса
данного угла. 2) Все точки данного угла, не лежащие на его биссектрисе. П. р и-
м е ч а н и е. Рассматриваются только углы, меньшие развернутого. 1365 Ис¬
комая точка — точка пересечения диагоналей четырехугольника. 1369. 1) Лря-
/ г— ч	2з5
моугольннк. 2) Ромб. 1377. 1), 2) 4 си и 6 см. 1S78 1 : () 2 — 1). 1379 --
о-| Ь
1380. Указание. Пусть длины данных хорд равны о п Ь. Расстояние между
центрами данных окружностей |OiOSl. Задача решается методом, параллель-
о -f- Ь
кого переноса и имеет решение, если 10,0*1 ^ —-—. 1382. У к а : а н г е.
Решение задачи сводится к доказательству того, что указанный вписанный
треугольник является равносторонним. 1383. Указание. Решение сво¬
дится к доказательству того, чте указанный вписанный четырехугольник —
квадрат. 1386. Указание. Доказательство основано на теореме Пифагора
и теореме об отношении площаде?: подобных многоугольников. 1387. Ока¬
зание. Доказательство следует ис теоремы Пифагора и из того, чте плошади
многоугольников относятся как квадраты сторон. 1389. Окружность постро¬
енная на отрезке АВ как на диаметре. 1390. 1) Окружность (если данна! точка
не центр данной окружности). 1391. У к а г а н i: е. Во всех случая: это про¬
изведение равно г2, 1392. Дуга окружности, построенной на отрезке 01Л как на
диаметре, расположенная во внутренней области данной окружности IV -).
1400.	Указание.	Пусть	сторона квадрат;,	равна	а и	данное	I асстоянне	т.
о	а	а
Рассмотрите	случаи;	1)	т = —;	2'	п.	< —;	3'	т	>	—.	(В	последнем	случае
2	2	2
370

искомые точки не содержатся во внутренней области данного квадрата.}
1401.	Пусть радиус окружности равен г и данное расстояние тФО. 1) а) Две ок¬
ружности, концентрические с данной (если т < г), б) Окружность, концентри¬
ческая с данной (если m > г), в) Окружность, концентрическая с данной п
одна точка — центр окружности (если т — г). 2) Окружность, концентриче¬
ская с окружностью (О, г), радиус которой равен т -f г. 1404. Для
каждого случая верны следующие высказывания: 1) а) хотя бы один иг векто¬
ров нулевой; б) направления векторов а к Ъ взаимно перпендикулярны; 2) а) хо¬
тя бы один вектор нулевой; б) направления векторов совпадают; 3) а) век¬
тор Ь нулевой; б) оба вектора нулевые; в) векторы а и Ь противоположно на¬
правлены, прнчэм |а| > |Ь|; 4) а) хотя бы один вектор нулевой; б) векторы а
и Ь противоположно направлены. 1408. Указание. Сначала по данным
двум углам строится треугольник, подобный искомому. Центр вписанной в
этот треугольник окружности принимается за центр гомотетии, н выполняется
построепнс искомого треугольника по заданному радиусу вписанной в него
окружности. 1409. Указание. Для построения можно применить гомоте¬
тию. 1410. Указанне. Около данного треугольника описать треугольник,
ему подобный, так, чтобы каждой из сторон описанного треугольника принад¬
лежала только одна вершина данного треугольника. В общем случае задача
имеет бесконечное множество решений. 1414. —. 1415. R2 (п — а + sin а).
2а 1.
1416. — у 3. 1417. 3. 1418. Указание. При решении рекомендуется
3
применять логарифмическую лниейку. При этом учесть, что площади поверх¬
ностей двух шаров относятся как квадраты их диаметров и объемы — как кубы
диаметров. 1419. Тождественное отображение, параллельные переносы,
осевые симметрии, гомотетии. 1420. Центральной симметрией, двумя осевы¬
ми симметриями, тождественным отображением. 1421. Поворотами на угол
360’
а = k, где k — целое число, п осевыми симметриями. 1422. Поворотами
п
на угол а,—180° < а< 180°, с центром в «выколотой» точке; осевыми симметрия¬
ми относительно осей, проходящих через «выколотую» точку. 1423. Централь¬
ной симметрией с центром в середине отрезка, концами которого являются «вы¬
колотые» точки; двумя осевыми симметриями; тождественным отображением.

ПРИЛОЖЕНИЯ
О логическом строении геометрии
Логически строгий курс геометрии строится следующим об¬
разом:
1. Перечисляются основные геометрические понятия, ко¬
торые вводятся без определений.
2. При их помощи даются определения всех остальных гео¬
метрических понятий.
3. Формулируются аксиомы.
4. На основе аксиом и определений все дальнейшие гео¬
метрические предложения доказываются.
В применении к планиметрии первые два пункта этой про¬
граммы в основном выполнены. Были названы три основных
понятия планиметрии: «точка», «прямая», «расстояние». Боль¬
шинству понятий, рассматриваемых далее в курсе планимет¬
рии («окружность», «круг», «отрезок», «луч» и т. д.), были дань
определения. Отметим, что при изложении планиметрии имеют
в виду какую-либо одну плоскость. Рассматриваются только
принадлежащие ей точки. Поэтому по определению плоскость
есть множество всех рассматриваемых точек*.
Существенный пробел в отчетливости определений допущен
в п. 18, где вводится понятие «величина угла». Смысл этого по¬
нятия здесь лишь поясняется на простейших примерах. Сле¬
довало бы точно определить смысл равенства АОВ = а° (при
любом действительном числе а, лежащем в пределах 0 < а <
< 360).
Но в шестом классе было бы невозможно это сделать, так как
первые представления о действительных числах даются только
* В стереометрии понятие «плоскость» появится в качестве одного из ос¬
новных понятий.
372

в седьмом классе. Но п независимо от этого затруднения стро¬
гое изложение теории измерения углов неизбежно очень гро¬
моздко*.
Для выполнения третьего пункта программы следует пере¬
числить аксиомы, на основе которых можно построить логиче¬
ски строгое изложение планиметрии. Этот список приводится
далее. Следует только заметить, что при построении плани¬
метрии пользуются также правилами логики и свойствами мно¬
жеств как извеитнымн. После того как в одной из аксиом бу¬
дет сказано, что расстояние от точки до точки есть неотрица¬
тельное действительное число, пользуются также изучаемы¬
ми в алгебре свойствами действительных чисел.
Полное осуществление четвертого пункта программы по¬
требовало бы последовательного, без пропусков, доказатель¬
ства па основе аксиом всех геометрических истин, с которыми
вы познакомились по учебнику. Это заняло бы много места.
Все логически строгие курсы элементарной геометрии доволь¬
но трудны для изучения. Поэтому нам пришлось без доказа¬
тельства принять еще ряд предложений, которые могли бы
быть доказаны как теоремы на основе сформулированных ниже
двенадцати аксиом. Предлагаемая система аксиом лишь одна
из возможных. Она соответствует принятой в нашем учебнике
системе изложения. Двенадцать аксиом этой системы разделе¬
ны на пять групп.
I. Аксиомы принадлежности
Аксиома 1х. Каждая прямая есть множество точек.
Аксиома I». Для любых двух точек существует одна и
и только одна содержащая их прямая.
Аксиома 13. Существует хотя бы одна прямая; каждой
прямой принадлежит хотя бы одна точка.
II. Аксиомы расстояния
Расстояния между точками мы будем считать числами. С прак¬
тической точки зрения это значит, что мы уже выбрали единицу
измерения расстояний.
-лт “
* В некоторых учебниках в обход этой трудности понятиэ <велич;ша угча»
причисляется к числу основных геометрических понятий, как это сделано в на-
Ш'_-м учебнике в применении к понятию расстояния.
373

Аксиома II,. Любым точкам А и В поставлено в соответ¬
ствие неотрицательное действительное чис¬
ло , АВ , называемое расстоянием от точ¬
ки А до точки В. Расстояние \АЕ\ равно
нулю тогда и только тогда, когда точки А
и В совпадают.
Аксиома II2. Расстояние от точки А до точки В равно
расстоянию от В до точки А: \АВ\ — \ ВА |.
Аксиома И3. Для любых точек А, В и С расстояние от А
до С не больше суммы расстояний от А до В
и от В до С: |АС\ < \АВ\ -г \ВС\.
III. Аксиомы порядка
Аксиома III,. Три точки принадлежат одной прямой тогда
и только тогда, когда одна из них лежит
между двумя другими.
Аксиома III о. Любая точка О прямой р разбивает множе¬
ство отличных от О точек прямой р на два
непустых подмножества так, что точка О
лежит между любыми двумя точками, при¬
надлежащими разным подмножествам.
Аксиома 1Н3. Для любого неотрицательного действитель¬
ного числа а на заданном луче с началом О
существует одна и только одна точка, рас¬
стояние от которой до начала О равно числу а.
Аксиома Ш4. Любая прямая разбивает множество не при¬
надлежащих ей точек плоскости на две
непустые выпуклые области.
IV. Аксиома подвижности
Аксиома IV. Для любой пары лучей OjA, и 02А2 и
примыкающих к ним полуплоскостей а, и
а2 существует единственное перемещение,
отображающее луч 0,-4, на луч 02А2, а по¬
луплоскость а, на полуплоскость а2.
V Аксиома параллельных
Аксиома V. Через любую точку' А плоскости р проходит
не более одной прямой, параллельной данной
прямой р.

Замечания 1. В формулировки аксиом вошли, помимо
основных понятий, такие геометрические понятия: «лежать меж¬
ду*, «луч», «область», «полуплоскость», «перемещение», «парал¬
лельные прямые*. Напомним, что эти понятия были определены
в пунктах 4, 5, 10, 12, 19 и 31 соответственно.
2. Аксиомы расстояния 11А 3 сохраняются без изменений
в стереометрии (геометрии пространства). Сохраняются они и
в некоторых «неевклидовых» геометриях, например в геометрии
Лобачевского, о которой говорится в п. 33. Из задачи 157 вы
можете получить первое представление о том, что свойства
Их з сохраняются и для некоторых других «расстояний». В
современной математике любое множество, на котором опреде¬
лено «расстояние* со свойствами IIj_3, называют «метрическим
пространством*. Существует целая теория таких «пространств».
3. Содержание почти всех приведенных выше аксиом вам
известно из учебника. Единственным исключением является
аксиома подвижности IV.
Вместо этой аксиомы в нашем учебнике принят без доказа¬
тельств целый ряд допущений о существовании тех или иных
перемещений. Таковы предложения:
при повороте расстояния сохраняются, т. е. любой поворот
Во есть перемещение (предложение 20);
какова бы ни была прямая I, осевая симметрия St есть пере¬
мещение (предложение 23).
В нескольких случаях мы допускали без доказательства
существование тех или иных конгруэнтных фигур. Таково при¬
нятое без доказательства предложение: любЬй угол можно раз¬
делить на произвольное число п конгруэнтных углов.
Все перечисленные сейчас предложения могут быть доказа¬
ны на основе наших двенадцати аксиом. При этом существен¬
ную роль играет аксиома подвижности.
4. Первые одиннадцать аксиом выполняются и в геометрии
Лобачевского. Чтобы получить полную систему аксиом плани¬
метрии Лобачевского, надо аксиому V заменить на следующую:
V*. Через точку, не лежащую ка прямой, проходят по
крайней мере две прямые, параллельные этой прямой.
5. В заключение напомним пример, показывающий возмож¬
ность различного выбора аксиом: аксиому параллельных V
можно заменить на постулат Евклида, сформулированный в
п. 33.
375

Язык теории множеств в
На языке теории
множеств
1. Точка X принадлежит пря¬
мой АВ, или прямая АВ
содержит точку X.
2. Точка X не принадлежит
прямой АВ, или пряьая
АВ не содержит точку X.
3. Точка X принадлежит от¬
резку АВ.
4. Точка X не принадлежит
отрезку АВ.
5. Отрезок АВ есть подмно¬
жество прямой р.
6. Отрезок АВ не является
подмножеством прямой р.
геометрии
На языке геометрии
Точка X лежит на прямой
АВ, или прямая АВ прохо¬
дит через точку X.
Точка X не лежит не пря¬
мой АВ, или точка X лежит
вне прямой АВ, или пря¬
мая АВ не проходит через
точку X.
Точка X лежит на отрезке
АВ.
Точка X лежит вне отрез¬
ка АВ, или точка X не
лежит на отрезке А В.
Отрезок АВ лежит на пря¬
мой р.
Отрезок АВ не лежит на
прямой р.
В обозначениях
X € (АВ)
Xi (АВ)
X € Г АВ]
X ^ | АВ]
[АВ] а р
[АВ] <7 р
Формулы геометрии
(всюду S обозначает площадь, V—объем).
Названия формул
Формулы
Обозначения
Площадь прямоуголь¬
ника
Ь = аЬ
at b — длины сторон
Площадь квадрата
S = а2
a — длина стороны
Площадь параллело¬
грамма и ромба
S = ah
a — длина основания,
h — высота, проведенная
к этому основанию
Площадь треуголь¬
ника
ah
S — —
2
а — длина основания,
h — высота, проведенная
к этому сснованию
Формула Герона (пло¬
щадь треугольника)
р — полупериметр,
а, Ь, с — длины сторон
S=]/ р ip—a) (p—b) (p — e)
Площадь треуголь¬
ника
ab
S = sin у
а, b — длины сторон,
Y — величины угля 1
между сторона
ми а и b
	_
З/о

Продолжение
Площадь прямоуголь¬
ного треугольника
8 = ^
2
а, Ь — длины kliti tob
Теорема косинусов
с4 = а4 + t4 — 2ut >.оь г
u, ts, С —— ДЛИНЫ
треугольника,
Y - величина угла,
лежчщего про¬
тив стороны с
Теорема синусов
а Ь с
sin a sin р sin у
а,Ь,с — длины сторон,
а, р, у — величины у г
лов треуголь¬
ника
Сумма углов тре
угольника
А + В + С = 180
А, В, С — величины уг¬
лов треуголь¬
ника
Площадь трапеции
а -4-Ь
S= —й
2
а.Ь — длины оснований,
й — высота
Площадь трапеция
(другой вид формулы)
S = ей
с — длине средней ли¬
нии,
й — высота
ПлОЩыдь правильно¬
го многоугольника
S = —-гР
2
г — радиус вписанной
в многоугольник
окружности,
Р — периметр
Стороны правильных
многоугольников
180°
а- — 27? б!п ,
п
оэ=7?)/3,
а4 = R У2,
ав= Л
а„ — длина стороны,
7? — радиус описанной
окружности,
п — число сторон мно¬
гоугольника
*
Уравнение окружно¬
сти с центром в начале
координат
х4 -(- у4 = 7?4
• 1 я •
7? — радиус окружности
1 -
Диша - кружи _сти
С = nD,
С — *2л7?
С — длина окружности,
О — диаметр,
7? - р>диус
377

Продолжение
Длина дуги окруж¬
ности
Л/?(Х
180
| — длина дуги,
R — радиус,
а — угловая величина
ДУГИ
Площадь круга
S = nR1, ] R — радиус,
nD2 ; D — диаметр
5- 4 |
Площадь сектора
nR'2a R — радиус круга,
3(;0 а — угловая величина
' дуги
Площадь поверхно¬
сти куба
S = 6о2
S — площадь поверхно¬
сти
о — длина ребре, куба
Объем куба
V =о-
а — длина ребра куба
Объем прямоугольно¬
го параллелепипеда
V = а'га
а, Ь, с — измерение па¬
раллелепипеда
Площадь боковой по¬
верхности параллеле¬
пипеда
5бок = Hh
&оок — площадь боковой
поверхности,
Р — периметр основа¬
ния
h — высота
Площадь боковой по¬
верхности правильной
призмы
®бок =
Р — периметр основа
ния,
h — высота
Объем параллелепи¬
педа, призмы
V = S0CHh
So;h — площади основа
НИЯ,
Л — высота
Площадь боковой по- Sеок = 2aRh
верхностн цилиндра '
R — рг диус основания
h — высот;
Площадь поверхности
цилиндра
S = 2Tili (Л + R)
S — площадь поверхно-
1* сти,
Д1— радиус основания.
й(— высота
Площадь боковой по¬
верхности правильной
пирамиды
( i
1
®00Х ~~2^т
Р — периметр основа¬
ния,
т — апофема (высота бо¬
ковой грани)
378

Продолжение
Объем пирамиды
jS0CHh
®о:и — площадь основа¬
ния, |
h — высота j
Площадь бокзвэй по¬
верхности конуса
Нбок JiRL
R — радиус основания,
L — длина образующей
Площадь поверхно¬
сти конуса
S = лЛ (L + Я)
R — радиус основания,
L — длина образующей
Объем конуса
1
V = — nli-h
3
Я — радиус основания,
h — высота
Площадь поверхно¬
сти шара
S -- 4лЯ2 j R — радиус,
S = лХ>г 1 D — диаметр
Объем шара
V-\»№
Я — радиус,
D — диаметр
Формулы тригонометрии
1)	sin2 а +	cos2 а = 1;	6i	sin	(90е + а) = cos о;
2)	sin	(180°	—	а) = sin	а;	7)	cos	(90° Н а) = — sincr,
3)	cos	(180°	—	а) = —cos а;	8)	sin	(90° — а) = cos а;
4)	sin	(—а)	=	—sin а;	9)	cos	(90е— a)=sin а;
5) cos (—а) — cos а;	10)	tg	а	— -in—.
cos а
Греческий алфавит
Буквы
Названия букв
Аа
Альфа
вр
Бэта
Гу
Гамма
Дб
Д эльта
Ее
Эпсилон
7Х
Дзэта
II *1
^ita
Ни
Тэта
Ь
Йота
К к
Каппа
АХ
Ламбда
Ш
Ми (мю)
Буквы
Названия букв
Nv
Ни(ню)
Кси
Go
Омикрон
Пя
Пи
РР
Ро
Sa
CiirMa
Тт
Тау
Го¬
Ипсилон
фф
Фи
КХ
Хи
Щ
Пси
Омега
379

Перечень обозначений, встречающихся в учебнике
(АВ)	— прямая А В.
[АВ)	— луч АВ.
[АВ]	— отрезок А В.
\АВ\	— расстояние от точки А до точки В.
ДИ ВС	— треугольник ABC.
Окр (О, г) окружность с центром О и радиусом г.
Кр (О, г)	—	круг с центром О и	радиусом	г.
/[ABC,	/В —	угол ABC, угол В.
ABC, В	— величина угла ABC, величина угла	В.
^АвС, АВ — дуга ABC, дуга АВ.
АБС, АВ — угловая величина дуги АВС, дуги АВ.
[р, А)	— полуплоскость с границей р, содержащая точку А.
JL	—	знак перпендикулярности прямых (лучей, отрезков).
||	—	знак параллельности прямых (лучей, отрезков).
~	знак конгруэнтности фигур.
Е	- тождественное отображение плоскости на себя.
S,	-	симметрия с осью р.
Rq	—	поворот с центром О	и	углом	поворота а.
— симметрия с центром О.
Т	— параллельный перенос.
If-	— знак сонаправленности лучей (векторов).
— знак противоположной направленности лучей (векторов).
а, АВ	—	вектор а, вектор АВ.
| о |,	\АВ \	—	глина вектора а, длина	вектора АВ.
О	—	нулевой вектор.
Нф	— гомотетия с центром О и коэффициентом	k.
со	— знак подобия фигур,
о	— знак композиции отображений.
SABC	— площадь треугольника.
S(L)	— площадь фигуры L.
V	— объем.
6	—	знак принадлежности элемепта данному множеству.
$	—	знак отрицания принадлежности элемента данному множеству.
СI	—	знак включения одного мно.чсества в другое данное множество.
с£	—	знак отрицания включения одного данного множества в другое.
0	—	пустое множество.
(J	—	знак объединения множеств.
У	— знак пересечения множеств.
=>	— следует.
ФФ	— равносильны (эксниалснтны).
380

Предметный уназатель
Аксиома
16
Луч
21
— параллельности
121
Медиана треугольника
83
— прямой
16
Между (лежать)
18
Акс номы планныетри!
873
Многоугольник
37
Апофема пирамиды
337
— вписанный
307
Биссектриса треугольника
83
— описанный
308
— угла
66
— правильный
313
Вектор
— нулевой
196
Наклонная
97
193
Направление
130
Векторы коллинеарные
197
Необходимое условие
159
Величина угла
66
Неравенство треугольника
18
Внешняя область многоуголь¬
Объем
340
ника
87
Окружность
9
— — окружности
34
— вписанная
308
Внутренняя область много¬
— описанная
307
угольника
37
Ось симметрии
79
— — окружности
34
Откладывание вектора
198
Высота параллелограмма
153
Отношение рефлексивно
127
— пирамиды
837
— симметрично
127
— призмы
333
— трапэитпвно
127
— трапеции
172
— эквивалентности
128
— треугольника
83
Отображение
54
Гомотетия
222
— обратимое
55
Градус
66
— обратное
55
Грань пирамиды
337
— тождественное
56
— призмы
883
Отрезок
20
Диагональ
37
Параллелепипед
333
Диаметр
42
— прямой
333
Длина дуги
264
— прямоугольный
333
— ломаной
26
Параллелограмм
153
— окружности
318
Параллельные прямые
119
Достаточное условие
159
Параллельный перенос
132
Дуга
41
Перемещение
73
Касательная к окружности
107
Перпендикулярные прямые
68
Квадрат
167
Пирамида
336
Композиция перемещений
192
Площадь
174
Конус
344
Поворот
71
Координаты вектора
210
Полуплоскость
40
— на прямой
23
Построение биссектрисы угла
155
Косинус
270
— касательной к окружности
111
Коэффициент гомотетии
222
— образа точки при гомотетии
222
— подобия
218
— — — — осевой симметрии
ео
Круг
10
— — — — параллельном
Куб
883
переносе 132,
134
Ломаная
26
— — — — повороте
71
— простая
26
— — — — центральной
— — замкнутая
27
си-Л'Г'-Ч “-ИЯ
75
381

Построение окружности, впи¬
Сфера
29
санной в треугольник
308
Тангенс
278
— — описанной около тре¬
Теорема
16
угольника
307
— косинусов
2В5
— параллельных прямых
119
— обратная
СП
**4
— перпендикуляра к прямой
93
— Пифагора
245
— серединного перпендику
-
— синусов
290
ляра отрезка
92
— Фалеса
169
— среднего пропорциональ
Трапеция
1?1
кого отрезка
242
— равнобедренная
172
— угла, конгруэнтного дан
Треугольник вписанный
307
ному
85
— описанный
308
— четвертого пропорцио¬
Угловой коэффициент
нального отрезка
230
прямой
278
Преобразование подобия
232
Угол
40
Приама прямая
333
— внешний (многоугольника)
139
Признаки конгруэнтности
— вписанный
304
треугольников
83
— выпуклый
41
— параллельности прямых
120
— между направлениями
137
— подобия треугольников
235
— — прямыми
263
Проекция (точки, отрезка) на
— поворота
71
прямую
97
— прямой
68
Произведение вектора на
207
— развернутый
41
число
— треугольника
129
Пропорциональные отрезки
229
— центральный
41
Пространство
10
Умножение вектора на число
208
Противоположно направленные
Уравнение окружности
269
лучи
129
— прямой
278
Прямая
12
Фигура
10
Прямоугольник
162
— выпуклая
38
Радиус (круга, окружности)
9,10
— невыпуклая
38
Развертка конуса
344
— симметричная
ю:
— призмы
334
— — относительно оси
89
— цилиндра
842
— — — центра
76
Расстояние
12
Фигуры гомотетичные
224
— от точки до фигуры
98
— конгруэнтные
64
Ромб
165
— подобные
213
Свойства объема
340
— равновеликие
170
— площади
175
Хорда
42
Сегмент
42
Центр (круга, окружности' 9, 10
Сектор
41
— гомотетии
222
Симметрия осевая
78
— поворота
71
— центральная
75
— симметрии
75
Синус
269
Цилиндр
341
Сложение векторов
208
Четырехугольник
152
Сонаправлешгые лучи
129
— вписанный
309
Средняя линия трапеции
172
— описанный
309
— — треугольника
170
Шор
346
Сумма векторов
200

ИБ № 3879
Андрей Николаевич Колмогоров
Александр Федорович Семенович
Ростислав Семенович Черкасов
ГЕОМЕТРИЯ
Учебное пособие для 6—8 классов средней школь-
Спец. редактор Г. Г. Маслова.
Редакторы	Т.	А. Бурмистрова ■:
С. В. Пазельсиий,
Художник С. С. Водчиц.
Художественный редактор Е. Н. Кэрасик.
Технический редактор Т. В. Самсонова.
Корректоры Т. О. Алексина, О. С. Захарова,
Н. И. Новикова.
Сдано в набор 19.09.78. Подписано к печати
22.12.73. 60X90'/i6- Бум. тип. № 2. Гарн школьн.
и журн рубл. Печать высокая. Усп. печ. л.
24+0,25 форзацы. Уч.-иэд. п. 20,88+0,44 форзацы.
Тираж 3 СТО 000 экз. Заказ 810. Цена 35 коп.
Ордена Трудового Красного Знамени издатель¬
ство «Просвещение» Государственного комитета
РСФСР по делам издательств, полиграфии и
книжной торговли. Москва 3-й проезд Марьиной
рощи, 41.
л -г
Саратовский ордена Трудового Красного Знаме¬
ни полиграфический комбинат Росгловполи-раф-
прома Государственного комитета РСФСР по
делам издательств, пот*.рьфми и книжной тор¬
говли. Саратов, ул. Чернышевского, 59.

СВЕДЕНИЯ О ПОЛЬЗОВАНИИ УЧЕБНИКОМ
№
Фамилия и имя
ученика
Учеб¬
ный
год
Состояние учебника
В начале
года
В конце
года
1
2
3
4
5