Автор: Мещеряков Г.А.   Ткаченко П.Н.   Куцев Л.Н.   Чавкин А.М.   Чебыкин А.Д.  

Теги: компьютерные технологии   математика   военное дело   боевые действия   математическое моделирование   вычислительная техника  

Год: 1969

Похожие

Рабочая программа учебной дисциплины ОУДБ.01 "Русский язык"

Игры с МИКРО-ЭВМ

Нетрудная ТРИЗ. Универсальный практический курс

Тренажёр ТЭК-184-РДСП

Текст 
                    МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
БОЕВЫХ ДЕЙСТВИЙ
Математические методы моделирования
боевых действий тактических подразделений
при помощи электронных вычислительных
машин
П. Н. ТКАЧЕНКО, Л. Н. КУЦЕВ, Г. А. МЕЩЕРЯКОВ,
А. М. ЧАВКИН, А. Д. ЧЕБЫКИН
Под редакцией П. Н. Ткаченко
«СОВЕТСКОЕ РАДИО» МОСКВА 1969


УДК 681.3:51
Ткаченко П. Н. и др. Математические модели боевых действий.
М., изд-во «Советское радио», 1969, 240 стр., т. 3 200 экз.,
ц. 71 коп.
В книге изложены основные вопросы применения
математических методов для описания и
моделирования боевых действий. Рассмотрены возможности
количественной оценки целого ряда конфликтных
ситуаций, начиная от простейших боев дуэльного типа до
сложных групповых столкновений при различных
боевых порядках. Изложение теоретического материала
сопровождается большим количеством практических
примеров, иллюстрирующих возможные области
применения рассматриваемых математических моделей.
Книга предназначена для лиц, занимающихся или
интересующихся вопросами моделирования.
Табл. 17, илл. 39, назв. библ. 40.
3-3-14
БЗ-44-68
Петр Николаевич Ткаченко и др.
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ БОЕВЫХ ДЕЙСТВИЙ
Редактор Т. М. Любимова.
Художественный редактор В. Т. Сидоренко.
Технический редактор 3. Н. Р а т н и к о в а.
Корректоры Л. И. Кирильченко, И. Г. Багрова.
Сдано в набор 10/VI 1968 г. Подписано в печ. I3/III 1959 г.
Г-64530 Формат 84Xl08/af Бумага типографская № 2
Объем 12,6 усл. п. л. Уч. изд. л. 11,683 Тиране 3 200 экз.
Москва, Главпочтамт, п/я 693, Издательство „Советское радио".
Зак. 1301. Цена 71 коп.
Московская типография № 10 Главполиграфпрома
Комитета по печати при Совете Министров СССР.
Шлюзовая наб., 10.


ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 5
Глава 1. Общие вопросы моделирования боевых действий войск 9
§ 1.1. Оперативно-тактические вопросы моделирования боевых
действий. Качественные и количественные факторы . 10
§ 1.2. Объекты моделирования. Основные параметры. Задачи
моделирования. Обзор литературы 13
§ 1.3. Типы математических моделей. Основные этапы
моделирования. Анализ результатов и оценка их точности . 21
Глава 2. Математические модели боевых действий дуэльного
типа 25
§ 2.1. Дуэль как основной элемент динамической модели боя 26
§ 2.2. Модель дуэли с учетом корректировки стрельбы . . 37
§ 2.3. Аналитическая модель дуэли с учетом влияния рельефа
местности, случайности обнаружения и перемещения . 51
§ 2.4. Решение задачи на основе применения аналитических
моделей дуэльных боев 65
Глава 3. Аналитические модели группового боя .... 85
§ 3.1. Бой группировок однородных средств. Формализация
реального процесса. Построение модели боя ... 86
§ 3.2. Модель боя неоднородных линейных группировок . . 99
§ 3.3. Некоторые примеры применения линейных моделей . 111
§ 3.4. Упрощенная аналитическая модель боевых действий
группового боя при равномерной плотности боевых
порядков 120
§ 3.5. Примеры применения упрощенной модели .... 135
Глава 4. Некоторые вопросы применения теории массового
обслуживания для аналитического моделирования боевых
действий 144
§4.1. Формализация боевых действий подразделений танковых
войск в виде задачи теории массового обслуживания 144
§ 4.2. Определение вероятностей отказа в зонах обслуживания 147
§ 4.3. Методы определения основных параметров боевого
процесса 160
Глава 5. Стохастические модели боевых действий 167
§ 5.1. Постановка задачи и формализация боевого процесса 168
§ 5.2. Методика моделирования основных процессов боевых
действий 171
3


§ 5.3. Структура алгоритма, моделирующего на ЭВМ
наступательный бой тактического подразделения .... 181
§ 5.4. О точности стохастического моделирования . . . 195
§ 5.5. Примеры применения стохастической модели . . . 204
Приложение 1
Особенности электронных вычислительных машин,
применяемых для моделирования боевых действий 218
Приложение 2
Об одном свойстве редеющих потоков требований . . . 225
Приложение 3
Таблица случайных чисел 232
Литература 235
Алфавитный указатель . 237


ПРЕДИСЛОВИЕ
Предлагаемая вниманию читателей книга
представляет собой коллективную попытку систематизации
математических методов моделирования боевых действий
в достаточно широком диапазоне конфликтных
ситуаций. Помимо математических моделей боевых действий
в однородной среде авторами в ряде случаев
рассматриваются наименее полно освещенные в имеющейся
литературе вопросы моделирования боевых действий
с учетом влияния местности на поиск, перемещение и
поражение боевых средств.
Применение математических методов и электронных
вычислительных машин для моделирования боевых
действий относится к сравнительно новой области
исследований, которая довольно интенсивно развивается и
начинает приобретать все большее практическое значение.
За последние годы в этой области получены
определенные теоретические и экспериментальные результаты,
полная систематизация и обобщение которых пока еще
не представляются возможными вследствие частного
характера отдельных исследований.
Поэтому авторы не ставили своей целью дать
подробный обзор математических методов моделирования
боевых действий с учетом теории эффективности, теории
стрельбы, теории игр и т. д. Задача состояла в том, чтобы
изложить теоретические предпосылки основных,
наиболее широко применяемых методов и показать
возможности их практического использования для решения
конкретных задач. На основе этих методов были
разработаны математические модели боевых действий с той
или иной системой ограничений и допущений, присущих
каждому методу. В качестве математической модели
боевых действий здесь и далее понимается формали-
5


зованное алгоритмическое (аналитическое или
логическое) описание боевого процесса, с требуемой степенью
полноты отображающее основные особенности реального
боевого процесса, учитывающее его основные параметры
и позволяющее с заданной точностью по выбранным
критериям определить результаты боевых действий в
зависимости от начальных условий и основных параметров.
Материал в книге расположен по принципу «от
простого к сложному» и предполагает последовательное
чтение всех глав. Вместе с тем, каждая глава, как
правило, посвящена одному типу моделей и может
изучаться самостоятельно.
В главе 1 (автор П. Н. Ткаченко) кратко
рассматриваются оперативно-тактические вопросы, моделирования
боевых действий и возможные области применения
математических моделей. Приводятся количественные и
качественные факторы, подлежащие учету при
моделировании, и возможные способы их оценки.
В главе 2 (автор Л. Н. Куцев) изложены основные
вопросы построения и применения моделей простейших
форм вооруженных столкновений дуэльного типа.
Несмотря на сравнительную простоту и некоторую
абстрактность таких моделей, они с успехом могут применяться
для комплексной оценки боевых средств
противодействующих сторон и вычисления так называемых
«коэффициентов сопоставимости», позволяющих учитывать
качество вооружения путем сравнения его с эталонными
образцами. Исследование моделей дуэльных
столкновений позволяет дать оценку и некоторым тактическим
приемам, связанным главным образом с порядком и
способами открытия и ведения стрельбы.
Глава 3 (авторы А. Д. Чебыкин § 3.1, 3.2, 3.3 и
П. Н. Ткаченко § 3.4, 3.5) посвящена вопросам
формализации и моделирования групповых боевых действий при
различных боевых порядках. Рассматриваемые модели,
основанные на применении простого математического
аппарата, позволяют получить достаточно разумные
предварительные результаты о ходе и исходе боевых
действий. Модели групповых боевых действий кроме
качества оружия и тактики его применения учитывают
влияние количества оружия и систем управления ими,
что следует отнести к очевидным достоинствам таких
моделей.
6


В главе 4 (автор А. М. Чавкин) приводится методика
применения теории массового обслуживания к
моделированию боевых действий при эшелонированных боевых
порядках. С теоретической точки зрения эта задача
сводится к исследованию многофазной последовательной
системы массового обслуживания при выбывающих из
строя приборах обслуживания и редеющем потоке
заявок на обслуживание. В практическом отношении
рассматриваемая в данной главе методика позволяет
расширять возможности аналитического моделирования
боевых действий и получать такие результаты, которые не
могут быть получены другими методами.
Глава 5 (автор Г. А. Мещеряков § 5.1, 5.2, 5.3)
посвящена стохастическим моделям. Такие модели,
основанные на методе статистических испытаний, обладают
значительно большими возможностями по сравнению
с моделями других типов и позволяют учитывать
значительное количество факторов, оказывающих влияние на
результаты боевых действий. При этом следует иметь
в виду, что применение стохастических моделей требует
больших затрат времени для разработки программ и их
реализации на электронных вычислительных машинах.
В § 5.4, написанном совместно Г. А. Мещеряковым и
А. М. Чавкиным, рассматривается оригинальный метод
статистического анализа, примененный к оценке
результатов математического моделирования.
Примеры к этой главе (§ 5.5) разработаны А. Д. Че-
быкиным.
В приложении 1 (П. Н. Ткаченко) приведены
основные требования к электронным вычислительным
машинам, применяемым для моделирования боевых действий.
В приложение 2 (А. М. Чавкин) вынесено
доказательство одной теоремы из теории массового
обслуживания, на применении которой основан метод
математического моделирования, изложенный в гл. 4.
С целью укрепления практических навыков в
применении математических моделей в книге приведено
большое количество примеров. По целому ряду
соображений модели и относящиеся к ним примеры
разработаны для вооруженных столкновений тактического
масштаба, представляющих наибольший интерес в
методическом отношении. Для чтения книги достаточно знания
высшей математики в объеме вузовского курса, элемен-
7


Тов теории вероятностей и теории массового
обслуживания.
Все замечания по содержанию книги, которые будут
•с благодарностью приняты, просим направлять по адресу
Москва, Главный почтамт, п/я 693. Издательство
«Советское радио».
П. Н. Ткаченко


1
ОБЩ'ИЕ ВОПРОСЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ БОЕВЫХ
ДЕЙСТВИЙ ВОЙСК
Основными особенностями ведения боевых действий
в современных условиях являются: внезапность, большие
масштабы, совершенство средств нападения и защиты
и высокая динамичность, проявляющаяся в резких
изменениях состава и положения сражающихся сторон за
сравнительно небольшие промежутки времени.
История военного искусства подтверждает, что
характер боевых действий определяется не только
количественным соотношением сил сражающихся сторон на
отдельных операционных направлениях, но и
качественным соответствием средств нападения и средств защиты
(танки — противотанковые орудия, самолеты — средства
ПВО и т. п.). Там, где, несмотря на равенство численно-
стей сторон, нарушалось качественное соответствие
между средствами защиты и нападения, боевые действия
немедленно принимали динамический характер. Следует
заметить, что эффективность средств нападения и
защиты определяется не только совершенством боевой
техники, но и в значительной степени способами и
характером боевого применения этой техники.
На результаты боевых действий помимо качества и
количества оружия влияет большое число различных
факторов, таких, как состояние и возможности систем
разведки и управления, подготовка личного состава,
морально-политическое состояние войск, состояние и
возможности тыла, условия местности, погоды и т. п.
Влияние каждого из этих факторов на победу проявляется
сложным путем, через физические и информационные
воздействия (см. § 1.2), функциональные связи между
которыми еще полностью не исследованы и не установ-
9


лены. Вследствие этого решение многих практически
важных вопросов технического оснащения войск,
организации и проведения боевых действий осуществляется
иногда на основе недостаточно проверенных и
обоснованных положений.
К числу таких вопросов относятся: выбор типов и
калибров оружия, определение оптимального соотношения
между видами и родами войск, установление
предельных плотностей боевых порядков, рациональное
соотношение затрат между системой управления и системой
вооружения, вопросы оргштатной структуры войск и
многие другие. Для правильного и полного решения
подобных вопросов необходима научно-обоснованная
методика, которая позволила бы получать не только
качественные, но и количественные рекомендации.
В связи с этим в последнее время значительно
возрос интерес к методам математического моделирования
и возможностям их применения в военном деле.
1.1. Оперативно-тактические
вопросы моделирования боевых
действий. Качественные и
количественные факторы
Различные способы моделирования боевых действий
достаточно широко применялись и применяются в
военном деле. Известно, например, что перед штурмом
Измаила войска великого русского полководца А. В.
Суворова использовали модель крепостных стен. На ней
отрабатывались наилучшие приемы штурма. Во время
второй мировой войны перед нападением на базу
американского флота Пирл-Харбор японцы построили
модель этой базы со всемц заграждениями, чтобы найти
наилучший вариант внезапной атаки.
Обычные командно-штабные учения и военные игры
также можно считать моделями боевых действий. Их
своеобразие как моделей заключается в большом числе
условностей, недостаточно полном учете
противодействия противника и ряде других ограничений.
Учения, проводимые с участием войск, содержат
меньше условностей и позволяют получить гораздо
больше данных для оценки того или иного варианта боевых
Ю


действий. Однако и в этом случае противодействие
противника нельзя учесть с необходимой полнотой и
точностью. Существенный недостаток большинства учений
состоит в том, что они проводятся однократно. Поэтому
их результаты могут оказаться случайными, а значит,
и непригодными для серьезных выводов.
Следует подчеркнуть, что с элементом случайности
нельзя не считаться при моделировании таких сложных
событий, как боевые действия. Несмотря на то что на их
исход влияют вполне определенные объективные
закономерности, в каждом отдельном бою или сражении эти
закономерности могут проявляться случайным образом.
Только при многократном повторении событий в
одинаковых условиях их средний результат будет
устойчивым, не зависящим от воли случая.
Установлено, что устойчивые средние результаты
можно получить 'при наличии достаточно большой
группы случайных событий. Вместе с тем, ясно, что ни одно
учение по целому ряду причин — технических,
экономических, организационных — нельзя провести столько раз,
хотя это и нужно, чтобы выявить все возможные
варианты взаимодействия сражающихся сторон при
одинаковой их начальной численности и группировке. В то же
время очевидно, что совсем отказаться от
моделирования боевых действий в той или иной форме было бы
неправильно и нецелесообразно. Где же выход из этого
противоречия? Выход — в применении методов
математического моделирования боевых действий войск при
помощи электронных вычислительных машин.
Математическое моделирование оказывается 'полезным при
решении вопросов -боевого применения и оценке
эффективности образцов вооружения, при разработке наилучших
способов ведения боевых действий, в обучении и
повышении квалификации командных кадров.
Каждый бой или сражение преследует цель в той
или иной степени нанести поражение противнику. При
малой степени поражения сопротивление противника
уменьшается. Он, как говорят, «подавляется», но не
теряет способности вести бой. При большой степени
поражения противник в той или иной форме прекращает
боевые действия. Наивысшая степень поражения —
полное уничтожение противника.
На исход боевых действий влияют начальная числен-
11


ность сражающихся сторон и темп ввода резервов,
количество и качество вооружения, обученность личного
состава и его морально-политические качества, подготовка
командных кадров, состояние средств управления,
боевое и материально-техническое обеспечение войск,
состояние тылов, метеорологические и топографические
условия. Некоторые из этих факторов пока не поддаются
количественному учету, их влияние может быть оценено
только качественным образом. Прежде всего это
относится к моральному фактору.
Высокий моральный дух войск проявляется в их
стойкости и способности вести боевые действия в
тяжелых условиях, например при больших потерях.
Каждому интуитивно ясно, что с меньшим количеством
морально более стойких войск можно добиться такого же
боевого результата, который может быть получен с
большим количеством менее стойких. Однако количественной
оценки для измерения моральных качеств войск не
существует. К получению такой оценки можно подойти
лишь косвенным путем. Из опыта прошедших войн
установлено, что войска в среднем теряют способность к
сопротивлению и дезорганизуются, когда их численность
начинает составлять менее 60% первоначальной [32].
Морально более стойкие войска не теряют
боеспособности и >при значительно большем проценте потерь.
Широко известны случаи, когда сражение не прекращается
до тех пор, пока есть бойцы, способные держать оружие
в руках, что особенно характерно для революционных
и освободительных войн.
Моральное состояние войск зависит от таких
факторов, как характер и цели войны, социальный состав
армии, уровень воспитательной работы и дисциплины,
поведение командного состава, уровень медицинского и
материального обеспечения войск, длительность их
участия в боях. Выявить влияние всех этих факторов на
уровень боеспособности — далеко не простая задача.
К качественным факторам относят также степень
обученности войск. Она сравнительно легко поддается
количественной оценке. Например, хорошо обученные
наводчики орудий точно и быстро выполняют установку
прицела, что проявляется в результатах и темпе
стрельбы, которые можно объективно и количественным
образом измерить.
12


Наиболее достоверный источник для количественной
оценки качественных факторов — статистические
материалы, получаемые на специальных войсковых учениях,
опытных стрельбах или бомбометаниях. За рубежом на
таких неоднократно проводимых учениях создаются
специальные группы для регистрации и хронометрирования
действий большого 'количества боевых расчетов,
экипажей, команд, постов. Накопленные таким образом
статистические данные обрабатываются и используются для
объективной оценки боевой подготовки войск и при
математическом моделировании.
1.2. Объекты моделирования.
Основные параметры. Задачи
моделирования. Обзор литературы
Объектом моделирования может являться боевая
система в целом или ее основные звенья. Под боевой
системой будем понимать совокупность активных и
пассивных средств, организованно управляемых и
действующих для выполнения поставленной боевой задачи.
Активные средства (оружие, войска) предназначены для
осуществления непосредственного физического
воздействия на противника. Пассивные средства (инженерные,
транспортные, связные, тыловые, подразделения
обслуживания и т. п.) не оказывают непосредственного
воздействия на противника и предназначены для
обеспечения боевой деятельности активных средств.
Любая боевая система имеет следующие (рис. 1.1)
основные звенья: разведки, боевое (исполнительное),
обеспечения и управления. Назначение каждого звена
и порядок его взаимодействия с другими определяется
структурой системы, выполняемыми задачами и
принятыми или установленными правилами функционирования
системы.
Все звенья системы находятся под физическими
воздействиями внешней среды (противника), приводящими
к изменению состояния системы. Обратное физическое
воздействие на внешнюю среду оказывает, как правило,
только боевое звено системы. Помимо внешних
физических воздействий в системе, приводящих к ухудшению ее
состояния, существуют внутренние физические связи,
приводящие к улучшению ее состояния за счет пополне-
13


ния личным составом и материально-техническими
средствами.4
Все звенья системы соединены с звеном управления
прямыми и обратными информационными связями,
предназначенными для передачи команд и донесений об их
исполнении и состоянии управляемых объектов.
Рис. 1.1. Обобщенная структурная схема боевой системы:
обобщенные физические связи; обобщенные информационные
связи; / — контур обнаружения; 2 — боевой контур; 3 — контур обеспечения.
Состояние системы определяется совокупностью
состояний каждого из ее звеньев, характеризующимися
следующими основными параметрами:
со; — обобщенная координата i-то звена,
описывающая его положение или скорость перемещения; щ —
текущая численность, приведенная к однородному составу;
^• — скорость изменения численности;
т,—математическое ожидание результатов выполнения основной задачи;
U — время выполнения основной задачи; |ыг- — мера
точности выполнения основной задачи.
В зависимости от назначения системы и ее состава
приведенные выше параметры могут дополняться и
детализироваться с учетом целей исследования. Во многих
практически интересных случаях боевые системы
сражающихся сторон можно представить в виде одних
боевых звеньев, оказывающих друг на друга физическое
воздействие, как это показано на схеме рис. 1.2.
Выбирая конкретный способ физического воздействия (вид
оружия и способ его применения) и принимая
определенный боевой порядок для каждого звена, при помощи
такой схемы можно решить сравнительно большой
комплекс задач, связанных с количественной оценкой каче-
14


j*
V3 4 JL.
Боевой орган
стороны „ A "
Соевой орган
стороны „В"
Рис. 1.2. Схема физического воздействия сторон
путем обмена огневыми ударами.
ства оружия для каждой из сторон при различных
способах его применения.
Исходными данными для такой оценки должны быть:
— начальные численности боевых звеньев;
— принятые способы построения боевых порядков;
— технические характеристики оружия (дальность
стрельбы, скорострельность, рассеивание, площадь
поражения);
— принятые способы применения оружия
(прицельная стрельба, стрельба по площади, порядок стрельбы
и т. п.).
На основе этих исходных данных и схемы боевого
взаимодействия сторон устанавливаются математические
зависимости изменения численности сторон во времени.
В качестве момента окончания боевых действий обычно
выбирается момент выполнения боевой задачи, т. е.
достижение заданной степени подавления или
уничтожения одной из сторон. Считается, что та сторона, которая
раньше добивается выполнения боевой задачи, имеет
более эффективное оружие или более правильно его
применяет. Сравнивая положение сторон в момент
окончания боевых действий, можно прийти к количественной
оценке качества оружия и установлению коэффициентов
соответствия между различными видами оружия. Эти
вопросы рассматриваются подробно в гл. 1 и 3.
В частном случае, когда боевые звенья с каждой
стороны имеют только по одному активному средству
15


(/7,10=tt2o=l), перед нами вооруженное столкновение
дуэльного типа. Если с каждой стороны в составе
боевых звеньев имеется несколько активных средств, то
вооруженное столкновение принимает характер группового
боя.
На основе схемы рис. 1.2 помимо оценки качества
оружия можно исследовать влияние на результат боевых
действий следующих факторов:
— местности и защитных сооружений;
— построения боевых порядков, их плотности и
скорости перемещения;
— соотношений начальных численностей сторон;
— порядка ведения огня с учетом и без учета
целеуказаний.
Естественно, что к результатам, получаемым на
основе этой простой схемы, следует относиться
достаточно осторожно и определять пределы их
применимости, исходя из принятой системы ограничений и
допущений. В частности, схема рис. 1.2 «е позволяет
учитывать влияние на результат боевых действий звеньев
разведки, управления и тыла, которое, как правило,
оказывается весьма существенным.
Для того чтобы учесть влияние этих звеньев,, часто их
характеристики вводят в состав исходных данных для
боевого звена, что позволяет проводить исследование,
оставаясь в рамках схемы рис. 1.2. Например, если
работу орга<на разведки характеризовать средним
временем поиска целей, то это время можно учесть при
установлении порядка обстрела, считая, что обстрел целей
начинается только после их обнаружения. Влияние
органов тыла, если их рассматривать только с точки зрения
пополнения боевого органа личным составом, оружием
и боеприпасами, можно учесть, вводя в соответствующие
моменты времени изменения в текущую численность
боевого звена, связанные с работой органов тыла. На
рис. 1.3 для примера показана кривая изменения
численности одной из сторон в ходе боя. В момент tv были
введены резервы в количестве Апа=п"а—я'а, после чего
темп потерь снизился и бой стал протекать более
успешно для этой стороны. Аналогичным образом может быть
учтено и влияние органов тыла.
Во многих практических случаях целесообразно
представлять боевую систему в виде совокупности двух
16


звеньев: боевого и управления (рис. 1.4). В этом случае
объектами моделирования становятся система
вооружения и система управления. Исследования таких систем,
как правило, требуют применения более сложного
математического аппарата. Это объясняется тем, что системы
па>
п*о
"а
"а
X с;
^^^
1
1
Рис. 1.3. Изменение
численности стороны А в ходе боя:
naQ — начальная численность;
па — текущая численность;
t — время.
tp t
управления войсками, в отличие от других систем,
обладают целым рядом особенностей. Он относятся к классу
динамических информационных недетерминированных
систем. Их динамичность заключается как в изменениях
самой структуры системы, так и в изменениях ее со-
}нешняя А
ере da

Исполнительный
орган
Управляю*
исии
орган
б _-- —
Рис. 1.4. Типовой контур управления:
-прямая информационная связь; б — обратная информационная связь;
- прямое физическое воздействие; г — обратное физическое воздействие.
става в процессе управления под влиянием внешних
условий (противника). Функционирование таких систем
осуществляется при помощи передачи информации,
количество которой не влияет однозначно на результат
управления. Стохастический характер информационных
связей и определяет главным образом
недетерминированность систем управления, проявляющуюся в неопре-
2—1301 17.


деленности соотношений между входами и выходами
этих систем.
На основе схемы 1.4 при помощи математических
методов можно решать следующие задачи:
— определение количественных характеристик
системы управления и их влияния на результат боевых
действий;
— предварительное обоснование требований к
системе управления в зависимости от ее структуры, от
числа и типов органов управления, времени сбора,
обработки и передачи информации и т. п.;
— оценка влияния надежности и точности работы
системы управления на результат боевых действий;
— установление соотношений между надежностью
системы управления и ее стоимостью;
— определение рационального соотношения между
стоимостью системы управления и системы вооружения
и др.
Подход к приближенному решению некоторых из
этих задач показан на примере упрощенной модели
группового боя, изложенной в § 3.5.
Однако полная методика решения таких задач еще
должным образом не отработана, и законченных
результатов, имеющих общетеоретический интерес, по этим
вопросам, пока не имеется.
Список научно-теоретической литературы по
вопросам математического моделирования боевых действий,
опубликованной за рубежом, главным образом в США,
содержит около двухсот наименований; в основном это
статьи, помещенные в журнале американского общества
исследования операции (ОРСА), начиная с 1956 г.,
и труды научного центра фирмы «Рэнд корпорейшн».
Большинство этих работ посвящено математическому
исследованию боевых действий по схеме рис. 1.2, т. е. по
схеме непосредственных вооруженных столкновений
только боевых звеньев, отличающихся составом,
численностью и вооружением.
Одна из первых работ по математическим моделям
боевых действий была выполнена в Англии математиком
и священником Ланчестером в 1916 г. [32]. В ней
рассматривались боевые действия авиации, которая в то
время только начинала формироваться в
самостоятельный вид вооруженных сил. Эта работа по ряду причин
18


ё свое время не получила признания и находилась
в забвении до 1947 г. Практический интерес к
математическим моделям боевых действий возник в ходе
второй мировой войны и сопровождался появлением
большого количества исследований, довольно подробный
обзор которых сделан в книге Морза и Кимбелла [13].
В послевоенный период исследования в области
математического моделирования боевых действий получили
дальнейшее развитие. Были подвергнуты довольно
подробному анализу простейшие боевые ситуации типа
дуэльных столкновений. Сравнительно полная
библиография этих работ помещена в статье Анкера [33],
опубликованной в журнале ОРСА в 1963 г. Появились
исследования, направленные на применение метода Лан-
честера и его различных модификаций [34, 35, 36]. Во
всех этих работах рассматривались в основном вопросы
динамики боевых действий и эффективности оружия на
примере дуэльных и групповых вооруженных
столкновений однородных средств (самолеты против самолетов,
корабли против кораблей, артиллерия против
артиллерии и т. п.).
Наряду с исследованием динамики боевых действий
военно-воздушных, военно-морских сил и артиллерии, на
основе математических моделей проводились
исследования эффективности средств противовоздушной
обороны [37]. Новым в этих исследованиях считаются
математические методы анализа работы -систем
разведки и управления, реализация которых
потребовала применения электронных вычислительных машин. На
основе этих исследований в дальнейшем была выпущена
монография по математической теории поиска целей
[26]. Что касается анализа работы органов тыла
математическими методами, то первая работа в этом
направлении применительно к тылу ВВС была опубликована
в 1960 г. [38]. В последующем вышло еще несколько
работ по частным вопросам в этой области исследований
[39].
Примерно в это же время в США начали
проводиться исследования динамики боевых действий сухопутных
войск с учетом влияния местности и инженерных
сооружений. Одна из первых работ в этой области,
посвященная моделированию действий усиленной танковой роты
против укрепленного района, была опубликована
2* 19


в 1959 г. [29]. В этой работе впервые ставился вопрос
о применении метода статистических испытаний и
электронных вычислительных машин при моделировании
боевых действий сухопутных войск. В последующих
работах рассматривались вопросы расширения возможных
областей применения этого и некоторых других методов
при математических исследованиях боевых действий
сухопутных войск. В частности, большое внимание
уделялось методам, основанным па теории массового
обслуживания [40].
В отечественной литературе вопросы моделирования
боевых действий нашли отражение в ряде работ,
например в трудах авторского коллектива, руководимого
проф. Ю. В. Чуевым, и в трудах проф. Е. С. Вентцель
[5, 21], посвященных главным образом, теории боевой
эффективности, методам ее оценки и т. д.
Существенную роль в становлении теории
моделирования боевых действий (в развитии положенных в ее
основу математических методов) сыграли работы
Б. В. Гнеденко, Н. П. Бусленко и И. Н. Коваленко [6, 23,
78]. В этих работах изложены теоретические основы
математического описания сложных систем, приведен
необходимый вычислительный аппарат и дана методика
анализа получаемых результатов.
Кроме указанных выше имеется еще довольно
значительное количество других исследований в области
математического моделирования. Эти.исследования
ставились с конкретными целями; не имеющими
общетеоретического характера, и частично опубликованы в виде
статей в отдельных журналах. В методическом
отношении эти исследования особого интереса не
представляют.
В целом можно считать, что разработка
принципиальных положений теории моделирования в настоящее
время в основном закончена. Математический аппарат и
методика проведений исследований при помощи
электронных вычислительных машин имеются. Накоплен
довольно большой опыт количественного анализа
динамики боевых действий в различных ситуациях.
Дальнейшая задача должна состоять в обобщении имеющегося
опыта, развитии математических методов и в их
применении для всестороннего исследования сложных
ситуаций, возникающих в боевых системах полного состава.
20


1.3. Типы математических моделей.
Основные этапы моделирования.
Анализ результатов и оценка
их точности
Создать модель для некоторого физического
процесса (в данном случае для процесса боевых
действий)— значит подобрать такой математический
процесс, который обладает следующими свойствами:
1) между элементами математического процесса и
объектами физического процесса установлено некоторое
соответствие;
2) интервалы изменения времени у обоих процессов
одинаковы;
3) изменение состояния каждого элемента
математического процесса определяется зависимостями,
являющимися математическими образами закономерностей
изменения соответствующего объекта физического
процесса.
Как уже упоминалось выше, для процесса боевых
действий эти закономерности настолько сложны, что
описать их достаточно полно не представляется
возможным. В силу этого математическая модель будет
обладать некоторой степенью приближенности, позволяющей
различать более точные и менее точные модели одного
и того же физического процесса.
В зависимости от методов моделирования
математические модели разделяются на два основных класса:
а) аналитические и б) стохастические.
В аналитических моделях результаты моделирования
связываются с исходными данными формульными
математическими зависимостями. Эти зависимости могут
основываться на методах линейной алгебры, теории
дифференциальных уравнений, теории вероятностей, теории
игр и т. п. Поэтому в названиях аналитических моделей
часто присутствует наименование конкретного
математического метода, на основе которого построена данная
модель.
Статистические модели основываются на методе
Монте-Карло (2], позволяющем в случае сложных или
неизвестных математических зависимостей между
некоторыми объектами найти результат их взаимодействия
21


при Помощи условных стохастических испытаний и
логического описания характера взаимодействия. Если
описываются состояния всех объектов через равные
промежутки времени, то получаем так называемую «А/-мо-
дель». Если описываются состояния объектов только
в моменты взаимодействия между ними — перед нами
так называемая «модель с узловыми точками».
Известны также и комбинированные модели, в
которых часть процессов исследуется стохастическими
методами, а остальные — аналитическими. Такие модели
удобны для исследования боевых действий в крупных
масштабах.
Помимо различий в математических методах, модели
могут классифицироваться то характеру и масштабу
боевых действий. В зависимости от способов построения
боевых порядков принято рассматривать модели
следующих видов вооруженных столкновений: дуэльные бои,
боевые действия линейных группировок и боевые
действия группировок, распределенных в пространстве или на
плоскости. Выбор типа модели и степени ее точности
определяется прежде всего целями исследования,
характером исходных данных, уровнем изученности
моделируемого процесса и возможностями практической
реализации модели.
Для оценки эффективности вооружения в
большинстве случаев достаточно иметь аналитическую модель
боевых действий дуэльного типа. Оценка боевой
эффективности боеприпасов может быть произведена при помощи
аналитической модели боевых действий распределенных
группировок. Анализ тактических приемов и более
глубокое исследование динамики боевых действий может
потребовать разработки стохастической модели и т. п.
К сожалению, дать общих рекомендаций по выбору типа
математической модели для решения конкретных задач
не представляется возможным, так как одни и те же
задачи могут быть решены на основе различных
математических моделей. С другой стороны, каждая
математическая -модель позволяет решать довольно широкий круг
задач, как это показано в гл. 2 и 3. Таким образом, к
выбору типа математической модели следует подходить,
исходя из конкретных условий.
Разработка математической модели боевых действий
включает в себя следующие основные этапы:
22


— постановку задачи и формулировку целей
исследования;
— разработку формализованного описания
исследуемого процесса боевых действий;
— разработку алгоритма модели;
— выбор критериев оценки результатов
моделирования;
— составление программы модели;
— отладку программы на ЭВМ и ее уточнение;
—оценку точности получаемых результатов;
— реализацию модели.
В методическом отношении помимо разработки
алгоритма модели наиболее трудным этапом является выбор
критериев оценки результатов моделирования. В моделях
вооруженной борьбы в качестве таких критериев часто
выбирают время окончания боевых действий,
численность сторон к моменту окончания боевых действий
или скорость уменьшения численности на отдельных
направлениях в различные моменты времени. Момент
окончания боевых действий определяют или то полному
уничтожению одной из сторон, или по достижению одной
из сторон состояния небоеспособности. Моделирование
боевых действий до полного уничтожения одной из
сторон при обычных видах вооружения может дать
завышенные результаты в силах и средствах, требующихся
для побеждающей стороны, и часто оказывается
неправильным, так как ^практически боевые действия обычно
заканчиваются, когда одна из сторон по различным
причинам (нарушение системы управления, нехватка
боеприпасов, потеря боевого духа, дезорганизация
и т. п.) прекращает сопротивление. В каждом
конкретном случае должны выбираться такие критерии, которые
позволяют наиболее полно оценить результаты боевых
действий и определить влияние на них основных
факторов, рассмотренных в § 1.1.
Один из важных вопросов моделирования — оценка
точности получаемых результатов. Для ответа на этот
вопрос необходимо определить, в каких пределах и в
какой степени можно доверяться результатам
моделирования. Известно, что правильность любой теории
подтверждается сравнением ее результатов с опытными
данными, т. е. в широком смысле с данными, которые
получаются практически. Однако подвергнуть теоретическую
23


модель боевых действий практической проверке в полном
объеме не представляется возможным. Поэтому для
оценки точности моделей за рубежом .применяют
частичную проверку, метод исторических аналогий или
экспериментальные учения.
Частичная проверка заключается в сравнении
основных блоков моделей, например блоков поиска, стрельбы,
с реальными устройствами. Считается, что если модель
в своих основных блоках верна и связи между блоками
определены правильно, то результаты моделирования
будут надежными, на них можно полагаться.
Другой способ проверки основан на моделировании
уже проведенных в прошлых войнах боев или
сражений, результаты которых точно известны. Сравнение
теоретических результатов с реальными позволяет оценить
точность моделирования. При этом важно, чтобы
сравнимых результатов было достаточно много.
Наконец, для 'проверки моделей организуют
специальные экспериментальные учения. В армии США на
Абердинском полигоне для этих целей создан опытный
танковый полк, который проводит многократно
повторяющиеся учения с имитацией боевой стрельбы и точной
регистрацией ее результатов. Стрельба из танковых
орудий ведется разноцветными свинцовыми пулями.
Расплющиваясь на броне, они оставляют пятна, но которым
определяют время и результат стрельбы.
Методики учета качественных и количественных
факторов оценки точности получаемых результатов будут
изложены в разделах, посвященных рассмотрению
соответствующих типов математических моделей.


2
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ БОЕВЫХ ДЕЙСТВИЙ
ДУЭЛЬНОГО ТИПА
В гл. 1 были рассмотрены основные цели и общие
задачи математического моделирования боевых действий.
Данная глава будет посвящена рассмотрению вопросов
моделирования простейших форм вооруженного
столкновения — в основном так называемых дуэльных
столкновений, когда противники имеют в своем распоряжении
по одной боевой единице (танку, противотанковому
средству).
Анализ такой сравнительно простой ситуации,
безусловно, не позволяет рассмотреть целый ряд важных
вопросов огневого взаимодействия средств в бою и
управления боем. Однако уже в дуэли удается выявить
важные элементы, присущие динамике боя, проследить
влияние различных возможных условий на ход и ожидаемый
исход столкновения и использовать результаты
математического моделирования для решения некоторых
интересных практических задач, связанных в основном с
ориентировочной оценкой ожидаемой эффективности
образцов вооружения. Именно в связи с потребностью решения
таких вопросов дуэли служили предметом исследования
многих специалистов (см., например, [28, 33]).
Рассмотрение дуэльных столкновений помимо
самостоятельной прикладной роли имеет также важное
методическое значение, так как здесь во всей полноте
предстают основные принципы математического
моделирования, не скрытые многообразием возможностей сторон
в сложных условиях группового боя.
Это позволит читателю, заинтересованному в решении
специфических задач, не укладывающихся в рамки
рассмотренных схем, осуществить самостоятельно все необ-
25


Ходимые выкладки и расчеты для построения и
использования при решении этих задач соответствующих
математических моделей, поможет ему быстрее и легче
ориентироваться при использовании и дальнейшей
разработке современного математического аппарата
исследования операций.
2.1. Дуэль как основной элемент
динамической модели боя
Стрельба по цели является одной из основных
составных частей боевых действий. Результат стрельбы по цели
зависит от многих факторов: от характеристик средства,
ведущего стрельбу, от дальности, от характера защиты
цели и т. д.
Вследствие совместного влияния целого ряда ошибок
при выстреле попадание в цель становится случайным
событием, наступающим или не наступающим в
результате стрельбы с некоторой вероятностью.
В случае промаха при первом выстреле вероятность
попадания в следующем выстреле по цели, вообще
говоря, может быть увеличена, если будут произведены
корректировки, уменьшающие некоторые ошибки,
допущенные при подготовке первого выстрела (например,
ошибки, допущенные при определении точного местоположения
цели).
Попадание в цель не всегда приводит к ее
поражению. Например, для поражения танка необходимо, чтобы
была пробита броневая защита и поражены его
жизненно важные элементы. Результат стрельбы может быть
охарактеризован вероятностью поражения цели (при
условии попадания) либо средним числом попаданий,
необходимых для поражения цели.
Среднее число необходимых попаданий также
зависит от дальности стрельбы, параметров стреляющего
огневого средства, снаряда и ряда других факторов.
Для поражения некоторых целей не обязательно
прямое попадание: разрыв снаряда на некотором расстоянии
от цели может привести к ее поражению. Общим,
объединяющим оба названных типа целей с точки зрения
возможностей их поражения, является понятие
координатного закона поражения, который определяется
заданием вероятности поражения цели для каждого возмож-
26


ного взаимного положения цели и точки попадания (или
разрыва) снаряда.
Определение характера и параметров законов
поражения различных целей и исследование влияния
многообразных условий на рассеивание при стрельбе
составляют предмет теории стрельбы и рассматриваются в
специальной литературе fl4].
Здесь и в дальнейшем мы будем предполагать
заданной вероятность поражения цели в каждом отдельном
выстреле, считая, что при этом учитывается как
рассеивание снарядов, так и координатный закон поражения.
Далее мы будем предполагать, что в результате
выстрела цель может быть либо поражена, либо ей не
причиняется никакого ущерба. Таким образом, мы не
будем учитывать возможное накопление ущерба на цели.
Нашей основной задачей будет определение
ожидаемых результатов боевого столкновения, в котором
стороны оказывают друг на друга взаимное огневое
воздействие. Динамика этого процесса и должна быть
отражена в математических моделях " боевых действий.
Простейшими в ряду таких динамических моделей боя
являются дуэли — математические образы столкновений
двух боевых единиц.
Каждое из сталкивающихся в дуэли средств стремится
в процессе боя поразить противника. Таким образом,
в условиях динамики боя понятие цели как пассивного
объекта, по которому производится стрельба, не
исчерпывает существо реального процесса. Средство, которое
производит выстрел, само является целью, так как по
нему также ведется огонь.
Для отражения существа столкновения сторон
необходимо ввести в рассмотрение противодействие
противника при стрельбе. Одной из форм учета
противодействия является схема последовательных ударов. В этой
схеме моменты взаимного огневого воздействия
сталкивающихся сторон — моменты ударов — считаются вполне
определенными и заранее заданными.
На основе такого подхода может быть оценен
ожидаемый результат столкновения. В качестве
иллюстрации рассмотрим простые примеры. Допустим, что в дуэли
сталкиваются две боевые единицы А и 5, каждая из
которых может произвести неограниченное число
выстрелов. Вероятность поражения противника в отдельном
27


выстреле не зависит от порядкового номера выстрела и
равна р для стреляющего средства А и qy если
стреляет В.
Допустим, что первым стреляет Л, затем £, затем
опять А и так далее. При этом считаем, что результат
предыдущего выстрела достигается прежде, чем
производится следующий. В дальнейшем такое предположение
мы будем формулировать как мгновенное достижение
результата стрельбы. В наших предположениях могут
быть получены количественные оценки ожидаемых
результатов описанной дуэли. В самом деле, вероятность
71в исхода дуэли, состоящего в том, что средство В будет
поражено при условии, что первый выстрел делается
стороной Л, может быть представлена так:
лв = р+ (1-р) (\-q)p+(\-py{\-qyP+ .. .
Записанное выражение может быть упрощено, если
заметить, что нами получена сумма членов
геометрической прогрессии. Учитывая этот факт, при достаточно
большом числе выстрелов получаем
(2.1)
1-(1-/?) (I-?)'
Точно так же может быть определена вероятность яд
поражения средства А:
7С
А 1 -(1-р) (l-q)■
(2.2)
Выражения (2.1) и (2.2) получены при условии, что
первый выстрел производится стороной А. Здесь
проявляется недостаток схемы последовательных ударов.
Можно помимо ранее принятого порядка очередности
рассмотреть другой, когда право первого выстрела
отдается стороне Б, а в остальном принцип чередования
ударов сторон сохраняется. В этом случае выражения для
я*л и я*в будут соответственно равны:
ТЕ"
Л l_(l_p)(l_fli
.* _ Л(1—<7)
г —
28
(2.3)
* B—l-(l-p){l-qy


Если теперь задать конкретные значения
вероятностей поражения в отдельных выстрелах р и q, например
/7 = 0,5, # = 0,25, то, подставив эти значения в (2.1) —
(2.3), получим:
0,25-0,5
1 —0,5-0,75
0,5
1—0,5-0,75
0,25
= 0,2,
0,8,-
л 1—0,5-0,75
0,5-0,75
==0,4,
в 1—0,5-0,75
= 0,6.
По результатам числового примера видно, что от
изменения очередности выстрелов результаты изменяются
весьма существенно. Отсюда следует, что вопрос
очередности в схеме последовательных ударов не может быть
решен произвольно. При условии равноправия в
чередовании выстрелов, отражающем равные возможности
огневых средств сторон, следует ориентироваться на
средние значения из двух полученных результатов,
относящихся к двум разным допущениям об очередности.
Таким образом, в качестве улучшенной оценки
ожидаемых результатов, отражающей более правильно
соотношение сил сторон, можно принять
-а =0L2Jf01_4==03) (2 4)
Произведенное осреднение результатов соответствует
предположению о том, что любая из двух рассмотренных
схем очередности выстрелов сторон имеет место с равной
вероятностью в реальных условиях.
Полученный результат (2.4) можно трактовать таким
образом: из общего числа дуэлей следует ожидать, что
около 30% из них закончится поражением средства А и
около 70% — поражением средства В.
Расчеты по схеме последовательных ударов
достаточно просты, однако определение моментов ударов
заранее представляет определенные трудности и не отве-
29


чает, вообще говоря, реальному характеру
распределения ударов во времени в 'процессе боя.
В действительности значительно чаще бывает так,
что моменты выстрелов являются случайными и точно
заранее определены быть не могут. Более того, в
действительном столкновении общее число выстрелов, которые
делает каждая сторона, также не может быть точно
определено, так как огневое средство может быть
поражено до того, как оно израсходует свой боекомплект.
Моменты выстрелов и общее число выстрелов сторон
в дуэли являются случайными.
Эти обстоятельства могут быть учтены в
математических моделях, построенных на основе схемы случайного
распределения огня в процессе боя. Задача учета
случайного распределения огня в математических моделях
может быть решена на основе рассмотрения случайного
потока выстрелов.
Принципиальные положения этого подхода мы
рассмотрим на простом примере. Пусть, как и раньше,
сталкиваются два огневых средства А и В, имеющие
одинаковые постоянные в течение всего боя скорострельности,
равные К выстрелам в единицу времени, и вероятности
поражения противника в одном выстреле р и q
соответственно. Боекомплекты сторон, как и в ранее
рассмотренном примере, будем считать неограниченными.
Предположим, что оба средства осуществляют
стрельбу по мере готовности, причем степень готовности*
средства к очередному выстрелу не зависит от номера
этого выстрела и от того, сколько времени длится
подготовка. Если в момент t средство уже готовит очередной
выстрел, то к моменту t+At для достаточно малых
значений At очередной выстрел происходит с вероятностью
Я*Д)/+0(Д^), причем для 0(At) выполняется условие
В математических терминах сделанные допущения
относительно случайного распределения огня означают,
что имеет место так называемый простейший поток
выстрелов. Заданная скорострельность средств К играет
здесь роль средней скорострельности или среднего числа
* Здесь и далее (стр. 30—32, 38—41, 50, 54—62) вместо функции
о () набрано 0 ().
30


Выстрелов, которое каждое из средств делает в единицу
времени.
Будем считать, что дуэль начинается с момента
времени / = 0 и что оба средства начинают с этого момента
одновременно готовить выстрелы и наносить удары по
противнику по мере готовности. Обозначим через Ра (О
и PB(t) вероятности поражения средств А и В
соответственно по прошествии t единиц времени с начала дуэли.
Покажем, каким образом можно определить значения
вероятностей Pai('0 и РвШ- Если к любому моменту
t^O дуэль еще продолжалась, т. е. оба стредства не
были поражены, тогда за достаточно малый отрезок
времени At (к моменту t + At) могли произойти следующие
события:
С\ — сторона А произведет выстрел и поразит цель,
вероятность наступления этого события pKAt+
+0Ш);
С2 — сторона В произведет выстрел и поразит цель,
вероятность наступления эгого события q%At +
+ 0(М)\
С3 — сторона А произведет выстрел и не поразит
цель, вероятность наступления этого события
(1— p)hM+0(M)\
С4 — сторона В произведет выстрел и не поразит
цель, вероятность наступления этого события
(l—q)№t+0(M)\
С5 — ни одно из средств не произведет выстрел,
вероятность такого события 1—2М/ + 0(Д/);
Cq — остальные возможные события связаны с
ситуацией, когда оба противника произвели
выстрелы; они могут наступить с вероятностью 0(Д/).
Описанные события составляют полную систему
несовместных событий, одно из которых обязательно
наступит. Предположим теперь, что нам известно значение
Ра (0 и мы хотим определить значение PA(t + At), т. е.
вероятность поражения А к моменту t + AL Событие
«поражение А за время t+A\t» может наступить (если оно
наступает) либо в начальном отрезке времени дуэли
продолжительностью At, либо за оставшееся время L
(При этом обязательным условием будет продолжение
дуэли после начального отрезка). Поэтому, обозначив
через яа(Д/) вероятность поражения А в начальном
31


отрезке [0, А/], а через тсв(М) —вероятность выражения
В на том же отрезке, мы можем записать
РаУ + М)=ла(А1)+[1—лаШ)—Лв№)]Ра(().
Здесь через [1—ла(А/)—nB{At)] обозначена вероятность
того, что после начального этапа длительностью At оба
средства уцелеют, т. с. дуэль будет продолжаться.
Поражение А в отрезке [0, At] происходит лишь в одном
случае, когда наступает событие С2; поражение В
происходит л-ишь при наступлении события С\. Поэтому
7tA(At)=q.X-At + 0(At),
*в(Д*) = />.Я.Д/ + 0(Д*).
Использовав эти выражения, получим, что
PA(t + M) = q-X.U +
Точно так же рассуждая относительно вероятности
поражения В за время /+А/, получим выражение
PB(t + At) = pXAt + (l-(p + q)X-At)PB(t) + 0(At).
После очевидных преобразований и перехода к
пределу при At—^0 из этих выражений получим
дифференциальные уравнения
dPA (0
-£± = Х.д-Х(р + д)РАУ),
dPR (t)
-£L = X.p-l(p + q)PB(t). (2.5)
Решая эти уравнения с начальными условиями
Ра(0) =Рв(0) =0, мы можем для любого момента
дуэльного столкновения определить вероятности поражения
каждого из средств к этому моменту времени.
Поскольку боекомплект сталкивающихся боевых
единиц не ограничен (т. е. дуэль может длиться в принципе
бесконечно долго), нас будут интересовать
установившиеся значения
P*A = iimPA(t) я P\ = Um PB(t).
32


Эти значения могут быть получейы на основе
соотношений (2.5):
р*
A p + q
Р*Й=Ц-Т* (2-6)
В р+q \ >
При получении соотношений (2.6) мы предполагаем,
что
dPA(t) dPB(t)
lim—-г.—=lim —-г.— =0.
f-юо dt ^ dt
Смысл таких предположений будет раскрыт нами
несколько позже.
Подставив в (2.6) значения вероятностей
поражения из рассмотренного числового примера /? = 0,5 и q =
= 0,25, мы получим Р*А = 0,33, Р*в=0,67. Эти
результаты незначительно отличаются от результатов (2.4), но
для их получения не требовалось каких-либо
дополнительных гипотез в отношении уравнения шансов сторон
и очередности выстрелов.
Схема случайного распределения огня и вывод
систем уравнений для определения количественных
характеристик столкновения могут быть успешно применены,
как это будет показано в дальнейшем, для случаев
различных скорострельностей сталкивающихся средств
в условиях, когда учитывается ряд дополнительных
факторов (случайность обнаружения, рельеф местности
и т. д.). Этот же подход может быть распространен на
случай группового боя. Ясно, что в этих условиях
применение схемы последовательных ударов весьма
затруднительно.
Заметим, что схема случайного распределения огня
во времени привела нас к достаточно простым для
расчета формулам (2.6), позволяющим определить
ожидаемые результаты дуэльного боя в предположении
неограниченного боекомплекта. Однако предположение о
неограниченности боекомплектов сторон в большинстве
случаев можно считать лишь удобным методическим
приемом, приводящим к простому аппарату для
вычисления интересующих нас показателей, а результаты,
получаемые в предположении бесконечного числа вы-
3—1301 33


стрелов, можно с успехом использовать для оценки
результатов столкновений, в которых каждое средство
может сделать ограниченное (иногда очень небольшое)
число выстрелов.
Дело в том, что дуэль с большой вероятностью
заканчивается после нескольких обменов ударами, если
вероятности поражения в отдельных выстрелах не
слишком малы. Так, например, в условиях нашего числового
примера сторона Д после пяти выстрелов поражает
противника с вероятностью 0,97. Если же учесть, что имеет
место обмен ударами, то становится очевидным, что
в подавляющем большинстве дуэлей одно из средств
будет поражено (а значит, и дуэль закончится) раньше,
чем сторона А успеет произвести 6 выстрелов. Поэтому
практически совершенно безразлично в условиях дуэли,
считать ли боекомплект А равным 6, 10 или
бесконечному числу выстрелов.
Более того, предположив сначала, что
боекомплекты сторон неограничены, после получения данных об
ожидаемых результатах дуэли мы можем решить вопрос
о том, какое количество выстрелов сделает в среднем
каждая из сторон в течение одного боя. В самом деле,
выше были определены вероятности поражения каждого
из средств в дуэли, и для решения поставленного
вопроса достаточно было вычислить, какое число выстрелов
должны произвести противники для достижения этих
уровней вероятности.
Если обозначить через NA и NB искомые количества
выстрелов сторон А и В соответственно и
воспользоваться результатами (2.6), то из очевидного условия
jfc-'-o-rt"*.
г1т=(1-(|-„"», (2.7)
получим
дг _. lgff —lg (p + q)
А lg О-/?)
34
AT _ lg P - lg (P + <?) /9оч


Таким образом, в условиях рассмотренного нами
числового примера в соответствии с (2.8) средние
количества выстрелов сторон будут
Л/ _ lg (0,25)-lg (0,5+ 0,25) _ , ад
А~ lg (1—0,5) ~ i,u»,
и _1g (0.5)-lg (0,5 +0,25) _ t Д1
iVB~ lg (1 —17) -1'*1-
Это означает, что в среднем каждая -из сторон
сделает в течение одной дуэли менее двух выстрелов.
В связи с тем, что изложенная выше методика может
применяться к решению целого ряда задач,
определенный интерес представляет рассмотрение таких задач и
связанных с ними количественных показателей
эффективности боевых действий сторон.
При отдельном выстреле по цели задача стреляющего
предельно ясна — поражение цели. В дуэли одна из
сторон 'или обе стороны могут также ставить «перед собой
задачу — поражение противника. Эффективность
действий стороны, стремящейся к поражению противника,
целесообразно оценивать вероятностью поражения
средства противника в дуэли. Этот количественный
показатель полностью отражает цель стороны в бою: чем выше
значение показателя, тем чаще бой заканчивается
выполнением поставленной задачи, и наоборот.
В некоторых задачах необходимо учитывать
динамику боя не только во времени, но и в пространстве. В
частности, одна из сторон (скажем, наступающий танк)
может ставить своей целью выход на определенный рубеж,
а другая сторона (противотанковое
средство)—недопущение выхода противника на этот рубеж. Эффективность
действий этих средств в бою естественно оценивать
вероятностью выполнения стоящих перед ними задач: для
танка — вероятностью выхода на заданный рубеж, для
противотанкового средства — вероятностью недопущения
выхода противника на заданный рубеж.
На первый взгляд мы получили различные
возможные критерии для оценки эффективности действий
сторон в дуэли. Однако при более внимательном
рассмотрении оказывается, что все они могут быть выражены
через один-единственный показатель — вероятность
поражения противника в дуэли. В самом деле, средство,
3* 35


стремящееся выйти на определенный рубеж к моменту
выполнения своей задачи, не должно быть поражено.
Его успех, следовательно, может быть оценен
вероятностью его непоражения к определенному моменту
дуэльного боя. А вероятность непоражения связана с
вероятностью поражения, как вероятности противоположных
событий. «Средство», стремящееся не допустить выход
(Противника на определенный рубеж, должно поразить
его до момента выхода на этот рубеж. Опять задача
сводится к определению вероятности поражения
противника.
Взаимное перемещение боевых единиц в
пространстве может происходить как с постоянной, так и с
переменной скоростью. Например, наступающий танк может
осуществить маневр скоростью. Значит для правильного
отражения в математических моделях существа боя
следует предусмотреть возможность учета скорости
перемещения. Это означает, что необходимо учитывать и
возможные изменения дальности стрельбы в процессе боя,
а следовательно, и соответствующие изменения
вероятностей поражения в отдельном выстреле.
В начале боя противники могут не видеть друг
друга. Процесс поиска и обнаружения цели, вообще говоря,
является случайным. Учет особенностей этого процесса
также должен находить свое отражение в
математических моделях дуэльного боя. В оилу случайности поиска
и обнаружения хорошо замаскированное средство может
применять тактику выжидания, т. е. вести огонь не по
мере готовности, а выжидая наиболее благоприятный
для себя момент.
Наконец, значительную роль в реальных условиях
играет рельеф местности и местные предметы. Они
накладывают определенные ограничения на перемещение,
на возможности поиска, обнаружения цели и стрельбы
в процессе столкновения в дуэли.
Кроме перечисленных факторов влияние на ход и
исход дуэли оказывают состав и состояние грунта, время
года, время суток, состояние атмосферы и т. д.
Детальный учет всех факторов в какой-либо единой,
универсальной модели дуэльного боя из-за чрезмерной
сложности практически нерационален.
Поэтому, как правило, формулируют конкретную
задачу, которую предстоит решить на базе математическо-
36


го моделирования, а при построении соответствующей
математической модели дуэли учитывают лишь те
основные факторы, которые могут оказать существенное
влияние на результаты решения поставленной задачи.
Например, если поставлена задача — исследование
вопросов влияния эффективности средств обнаружения
целей на общую эффективность образца вооружения,—
то ясно, что существенным фактором становится рельеф
местности. Влияние рельефа местности проявляется
прежде всего в том, «каким образом устанавливается,
сохраняется и нарушается в процессе столкновения
прямая видимость. Именно в этом плане необходимо
включать рассмотрение рельефа в математическую модель.
Достоинством математических моделей дуэльных
боев является простота расчетов, быстрое получение
желаемых результатов, их наглядность. Круг вопросов,
которые могут быть решены при этом, довольно широк.
Некоторые из них мы уже поставили в ходе общего
знакомства с динамическими моделями дуэлей. Теперь
перейдем .к более подробному рассмотрению некоторых
вопросов, связанных с дуэльными столкновениями, к
построению и использованию соответствующих
математических моделей.
2.2. Модель дуэли с учетом
корректировки стрельбы
Рассмотрим математическую модель, отражающую
столкновение двух боевых единиц, каждая из которых
может осуществлять корректировку в процессе стрельбы.
При построении модели будем предполагать, что
с большой вероятностью дуэль закончится раньше, чем
скажется влияние возможного сближения средств в
процессе боя на вероятности поражения в отдельном
выстреле. Боекомплекты сторон будем считать
неограниченными. Это допущение, как уже отмечалось, вполне
приемлемо, когда вероятности поражения в отдельных
выстрелах не слишком малы. Предполагаем, далее что цели
не имеют 'накопления ущерба и что результат выстрела
достигается мгновенно. Относительно порядка ведения
огня предполагаем, что стрельба осуществляется по мере
готовности средств.
Задаем средние скорострельности огневых средств:
ta выстрелов в единицу времени для А и ^2 выстрелов
37


в единицу времени для стороны В. Считаем, что средние
скорострельности постоянны в течение боя, а степень
готовности той или другой стороны к очередному выстрелу
не зависит от номера этого выстрела, от того, сколько
времени уже длится подготовка и от самого момента
начала подготовки к выстрелу. Подготовка выстрелов
осуществляется противниками независимо друг от друга.
Возможности средств по корректировке учитываем таким
образом: задаем значения pi вероятностей поражения
стороной А цели 'противника в зависимости от номера
выстрела i и значения qi таких вероятностей для
средства стороны В.
При этом считаем, что после нескольких выстрелов
возможности корректировки исчерпываются. Это
обстоятельство учитываем, задавая значения п и т — номера
выстрелов стороны А и В соответственно, для которых
еще ощутимо влияние корректировки на эффективность
огня. Математическая запись этого обстоятельства
такова:
pi = Pn, i=n, /i+l, ...; qj = qm, j=m, m+1, ... (2.9)
В основу динамической модели будет положено
следующее предположение: если в некоторый момент
времени / средство уже готовит очередной выстрел, то к
моменту t+\At, где Д^ достаточно мало, этот выстрел
произойдет с вероятностью XAt + 0(\A)y если готовится
к стрельбе сторона Л, и вероятностью 7^At + 0(At), если
готовится В. Здесь, как и ранее, через 0 (At) обозначена
величина, имеющая более высокий, чем 1Ц, порядок
малости. Из определения 0(At) ясно, что для любой
постоянной величины С будет C-O(Atf) =0(А|0- Вообще,
любая линейная комбинация величин, имеющих порядок
малости О(Д^), будет также величиной 0(At).
Состояние дуэли будем характеризовать парой чисел
(/, /), где i — номер очередного выстрела, который
предстоит сделать стороне A; j — номер очередного выстрела
стороны В. Дуэль будет продолжаться до тех пор, пока
одно из средств не будет поражено. Так как, вследствие
сделанных предположений вероятность одновременного
осуществления выстрелов обоими противниками равна
нулю, в модели исключена практическая возможность
поражения обеих сторон в одном столкновении. Это
означает, чтб события, состоящие в поражении одной из
сторон, образуют полную группу событий сумма вероят-
38


ностей которых равна единице. При этом достаточно
определить вероятность поражения одного из противников
в дуэли.
При сделанных допущениях ход дуэли не зависит от
того, в какой момент времени наступило состояние (i, /),
и зависит только от самого этого состояния.
Обозначив через q>tj(1/) 'вероятность победы стороны
А в дуэли (т. е. вероятность поражения средств В),
начавшейся в состоянии (*', /) за время L Совершенно
естественно, что за время ^=0 ни одна из сторон
победить не может, т. е. q>ij(0) =0 для любых состояний (i, /).
В конечном итоге нас будут интересовать предельные
значения вероятностей <p*ij = lim <p*j (t), в частности <р*1Д —
/-♦во
вероятность победы стороны А в дуэли с
неограниченным боекомплектом (так как за неограниченное время
будет неограниченный расход боеприпасов).
Выведем систему дифференциальных уравнений,
решение которой дает нам возможность найти требуемые
значения вероятностей победы А. Пусть в некоторый
момент времени, который, не ограничивая общности
рассуждения, можно принять за начало отсчета времени,
дуэль находилась в состоянии (I, /), т. е. сторона А
готовила i-й выстрел, а сторона В готовила /-й выстрел.
Требуется определить ^j (0 для текущего значения t.
За малый промежуток времени Д^ может произойти
одно из следующих событий:
1. Сторона А произведет очередной выстрел и
поразит цель. Дуэль на этом закончится победой стороны А.
Вероятность наступления этого события A,i/?;A'/ + 0(A/).
2. Сторона А произведет очередной выстрел и не
поразит цель. Дуэль перейдет в состояние (i +1, /).
Вероятность наступления этого события A,i(l—pj)M + 0(&t).
3. Сторона В произведет очередной выстрел и поразит
цель. Дуэль на этом закончится победой В. Вероятность,
наступления этого события &2qjAlt + 0(At).
4. Сторона В произведет очередной выстрел и не
поразит цель. Дуэль перейдет в состояние (I, /+1).
Вероятность наступления этого события Я2(1—qj)M + 0(At).
5. Ни одна из сторон не произведет выстрелов. Дуэль
останется в состоянии (i, /). Вероятность наступления
этого события 1 — (^i + ta)Atf + 0(A^).
6. Обе стороны произведут выстрелы, которые приве-
39


дут к каким-то результатам. Вероятность наступления
этого события есть (UAt+0{At)) (faAt + 0(At))=O{At).
Таким образом, мы исчерпали возможности и
получили систему несовместных событий, такую, что хотя бы
едно из них наверняка должно произойти за время Л/.
Заметим, что при условии наступления события 1 победа
А достигается с вероятностью 1, а при условии
наступления события 3 — с вероятностью 0.
Итак, пусть к началу дуэли (/=0) имело место
состояние (i, j). Тогда разобьем интересующий нас
интервал i[0,d на начальный участок [0,Д/] и последующий
[ДМ]. Для интервала [0, At] мы имеем полную
систему несовместных событий. Если мы теперь зададим
вероятности достижения победы А на интересующем нас
интервале времени при условии, что происходит одно из
событий этой системы (для всех событий), то наша
задача будет решена достаточно просто. Предположим, что
для любых интервалов времени, меньших по
протяженности, чем t, и в частности для интервала {At,t], значения
вероятностей победы из любого возможного состояния
дуэли нам известны. Тогда рассмотрим возможные
переходы в отрезке времени [0,At] и вероятности победы,
соответствующие этим условиям.
Вероятность победы А при условии, что произойдет
событие 1, равна единице, по самому определению этого
состояния. Вероятность победы А при условии, что
произойдет событие 2, равна фн-i, j(t—At), поскольку
дуэль переходит в состояние (i+l, /) и до конца
интересующего нас отрезка времени остается t—At единиц
времени. Вероятность победы А при условии, что произойдет
событие 3, равна нулю, так как средство А само будет
поражено и дуэль прекратится. Наконец, вероятность
победы А при условии, что произойдет событие 4 или 5,
будет равна <piti+i(t—Ast) или <pi,j(t—At) соответственно.
Событие 6 само имеет вероятность наступления 0(Д/)>
поэтому, как мы далее убедимся, нет смысла уточнять
возможности победы при условии его наступления.
Учитывая сказанное, мы можем выразить вероятность
победы А за время t таким образом:
<F*j (*) =hpiAt+h (I—pi) Д'/фч+i, j (t-^At) +
+ K2qjAt • 0 +^2 (1 — <7j) At • <p<,j+i (t — At) +
[l—(Xi+X2)A\t}yij(t—At) +0(At). (2.10)
40


Из этого выражения после несложных преобразований
получим
+ li(l-pi)<?i+UJ(t-M) + X2(l-qj)9itJ+1(t-M)-
Переходя к пределу при Д£-*0, получим
дифференциальное уравнение, соответствующее этому выражению:
dJij^L=xlPi+xl(\-Pi) ?<+lti (о +
+ *i(l-^)?ij+1(0-(i1 + *i)?iiW- (2.11)
Поскольку условия столкновения не меняются, когда
номера очередных выстрелов сторон уже больше, чем
значения тип, определяющие возможные влияния
корректировок, очевидно, что для i^n и любых /=1, 2, ...
будет выполняться условие ф^(0=фпД0» а Для 1^т
и любых i=l, 2, ... справедливо соотношение ф^-(/)яв
=Фгт(0- В силу этих обстоятельств уравнения вида
(2.11) составляют систему ограниченного числа
дифференциальных уравнений, решение которой позволяет для
любых t и произвольных возможных состояний дуэли
определять значения вероятностей фг-Д0:
%^=V„ - (хгРп+Кйт) ?пт (*);
%w=vi+Ml _pi)94trn{t)_
— (h + K4m)?im(t)
(i=l, 2 л-1), (2.12)
(/=1, 2 m-1),
4t


+ ii(i-^)?«.i+i(0-(*i+*.)?iiW
(i = l, 2,..., л-l; /=1, 2,..., m-l).
Эту систему можно решить при начальных условиях
Ф'г^(О) =0 и получить ответ на вопрос, каковы
вероятности победы стороны А за конечное время /. Эта
постановка задачи представляет определенный интерес.
Решение значительно облегчается, если нас
интересуют предельные значения вероятностей при t—►оо. При
достаточно больших значениях t дуэль практически
всегда заканчивается. Значит изменения вероятностей
победы стороны А уже не будут практически значимыми
с дальнейшим ростом отрезка времени. Это очевидное
обстоятельство выражается таким образом:
*->оо dt
Значит, для получения предельных значений ср*у.
вероятности победы стороны А в дуэли достаточно в системе
(2.12) левые части уравнений приравнять нулю. Тогда
система дифференциальных уравнений превратится
в систему линейных алгебраических уравнений, решение
которой позволит получить искомые значения
.вероятностей победы. Осуществив эти действия, после
несложных преобразований приходим к следующим
выражениям:
ф* К*Р»
СО* . _ *lP* + *l О — Pi) <Р*,г + 1,ж /. 1 9 П \\
у> x.p. + Mi-^tVi-b. 0-=lt 2 m-l),
(2.13)
(i=V, 2,..., л-l; /=1, 2 m-l).
42


Соотношения (2.13) определяют алгоритм,
позволяющий вычислить искомое значение <р*,. Таким образом,
принципиальное решение задачи нами получено.
Практические вычисления на основе соотношений (2.13)
возможны либо с применением средств малой механизации
вычислений, либо на быстродействующих
вычислительных машинах.
Для иллюстрации возможностей построенной
математической модели и характера решаемых задач
рассмотрим несколько примеров, решение которых
производилось на ЭВМ. В этих примерах принималось
m==/z = 5.
Количественные показатели, характеризующие
условия столкновения сторон, и полученные результаты
расчетов .приводятся в табл. 2.1.
Прежде всего результаты расчетов, приведенные
в таблице, представляют собой количественные оценки,
характеризующие соотношение сил сторон в дуэлях для
рассмотренных конкретных условий. Кроме того,
сопоставление результатов, полученных при решении
различных примеров, позволяет сделать ряд полезных выводов
относительно характера влияния тех или иных
параметров на ожидаемые результаты столкновения. Кратко
проанализируем полученные результаты. В примере 1
рассматривается столкновение сторон, огневая
эффективность которых в начале столкновения одинакова. Она
характеризуется равными скорострельностями (в
среднем по 10 выстрелов в единицу времени) и равными
вероятностями поражения цели в одном выстреле (pi =
= <7i=0,2). В дальнейшем за счет корректировок
сторона А повышает вероятность поражения цели в одном
выстреле до 0,3.
Эффективность корректировок у стороны В
значительно выше. Это приводит к тому, что в среднем лишь
38% дуэлей заканчивается в пользу стороны А и 62% —
в пользу В.
Чтобы проследить, как изменится соотношение сил
сторон в столкновении, если сторона А будет иметь
средство с несколько меньшей огневой мощью в начале
столкновения, но с возможностью более эффективных
корректировок, сравним результаты, полученные в примере
1, с итогами расчетов примера 2. В последнем примере
у средства А вероятность поражения цели в первом вы-
43


£ ТАБЛИЦА 2.F
Количественные характеристики условий и ожидаемых результатов дуэлей
iep
мера
й!
1
2
3
4
5
6
Сторона
А
В
А
В
л
в
А
В
А
В
А
В
Вероятность поражения противника в отдельном
выстреле с порядковым номером
1
0,20
0,20
0,10
0,20
0,30
0,20
0,70
0,70
0,75
0,70
0,01
0,03
| 2 | 3 | 4
0,25
I 0,50
0,25
0,50
0,30
0,50
0,75
0,85
0,75
0,85
0,02
0,03
0,30
0,70
0,35
0,70
0,30
0,70
0,75
0,95
0,75
0,95
0,03
0,03
0,30
0,80
0,40
0,80
0,30
0,80
0,75
0,97
0,75
0,97
0,04
0,03
5
0,30
0,82
0,41
0,82
0,30
0,82
0,75
0,99
0,75
0,99
0,05
0,03


стрельность
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
5
5
Вероятность
победы сторон
в дуэли
0,38
0,62
0,36
0,64
0,44
0,56
0,49
0,51
0,51 1
0,49
0,59
0,41
Характеристики ожидаемых
результатов столкновения
Преимущество В
Преимущество В
Некоторое
преимущество В
Равновесие сил сторон
Равновесие сил сторон
Некоторое
преимущество А


Продолжение табл. 2J
лер
мера
£1
7
8
9
10
11
12
Сторона
л
в
л
в
л
в
л
в
л
в
л
в
Вероятность поражения противника в отдельном
выстреле с порядковым номером
1 1 2
0,50
0,70
0,10
0,20
0,10
0,20
0,01
0,01
0,50
0,50
0,10
0,90
0,60
0,70
0,25
0,50
0,20
0,40
0,02
0,02
0,60
0,60
0,20
0,90
3
0,70
0,70
0,35
0,70
0,30
0,60
0,03
0,03
0,70
0,70
0,30
0,90
« 1 «
0,80
0,70
0,40
0,80
0,40
0,80
0,04
0,04
0,80
0,80
0,40
0,90
0,99
0,70
0,41
0,82
0,50
0,99
0,05
0,05
0,90
0,90
0,50
0,90


стрельность
5
5
10
5
10
5
5
10
5
10
20
5
Вероятность
победы сторон
в дуэли
0,43
0,57
0,58
0,42
0,59
0,41
0,31
0,69
0,32
0,68
0,50
0,50
Характеристика ожидаемы'х
результатов столю овения
Некоторое
преимущество В
Преимущество А
Преимущество А
Существенное
преимущество В
Существенное
преимущество В
Равновесие сил сторон


стреле всего 0,1 (т. е. вдвое меньше, чем в примере 1).
Зато в результате корректировок значение этого
параметра увеличивается до 0,41. В итоге результат
получается примерно такой же, как в предыдущем примере:
сторона А выигрывает дуэль с вероятностью 0,36.
Рассмотренные примеры позволяют сделать вывод
о том, что корректировки оказывают существенное
влияние 1на ожидаемый исход дуэли. Это, конечно, не умаляет
значения начальной огневой мощи сталкивающихся
средств. Например, если сторона А имеет огневое
средство с вероятностью поражения цели в одном выстреле
pi = 0,3 и не производит никаких корректировок (см.
пример 3), а в остальном сохранены условия примера 2, то
вероятность победы А в дуэли возрастает до 0,44.
В различных условиях столкновения влияние
корректировок проявляется по-разному. Так, в столкновении,
количественные характеристики сторон которого
представлены в примере 4, стороны, как и в примере 1, в
начале столкновения имеют одинаковые характеристики
огневой мощи средств. Сторона А слабо повышает свою
эффективность за счет корректировок, тогда как
возможности В в этом плане очень велики (^5=0,99). Однако
в результате преимущество стороны В совсем
незначительно: в среднем 49% дуэлей выигрывает А и лишь
в 51% случаев побеждает В. Здесь играет решающую
роль то обстоятельство, что начальные эффективности
выстрелов сторон весьма высокие (pi = qi = 0J), В этих
условиях, по существу, соотношение сил сторон
определяют вероятности поражения в первых выстрелах. В
самом деле, лишь незначительное увеличение до 0,75
вероятности поражения цели в первом выстреле стороны
А в примере 5 уже приводит к перевесу А в дуэли. При
этом то, что сторона В корректирует огонь и может
добиться значительного повышения эффективности, уже
не играет роли.
Этот факт можно было заметить и раньше при
анализе соотношений (2.6), справедливых, правда, для более
ограниченных условий столкновения. В самом деле,
допустим, что сторона А будет изменять значение р. Тогда
изменение вероятности поражения средства стороны
в дуэли может быть охарактеризовано величиной произ-
dP*
водной L.
dp
46


Ясно, что, чем больше значение —^—» тем при равных
приращениях Ар вероятности р больше изменение Р* в .
В соответствии с (2.6) получаем, что dP*B[dp = qf(p-\-q)2.
Анализируя полученный результат, мы можем заметить,
что, чем меньше само значение р, тем большее влияние
может оказать изменение этого значения. Далее, мож>но
сказать, что если противник относительно сильнее
стороны А, то эффективность корректировок снижается
с ростом абсолютной силы противника.
Эти же выводы подтверждаются рассмотренными
примерами для более сложных условий дуэли с
корректировками огня сторонами.
Следующим вопросом, решение которого можно
получить на основе анализа результатов расчетов, является
вопрос о возможности использования средних значений
вероятностей для представления огневой мощи средств.
Для оценки возможности (применения такого
приближенного представления и возникающих при этом ошибок
рассмотрим примеры 6 и 7.
В этих примерах рассматривается столкновение, в
котором участвуют одинаковые боевые средства. Для
расчетов показателей ожидаемых результатов сторона А
представлена действительными, корректируемыми
значениями вероятностей поражения. Учет корректировок,
производимых стороной В, осуществляется приближенно,
путем задания среднего значения вероятности поражения
цели в отдельном выстреле, не изменяющегося в ходе
столкновения. В примере 6, где эффективность стрельбы
низкая, это приводит к тому, что средство А, которое
в действительности равноценно противнику, получает
известное преимущество (59% (побед).
Качественное объяснение этого факта состоит в том,
что первые два выстрела, в которых корректируемые
значения вероятностей меньше среднего, далеко не
определяют исход дуэли; судьба столкновения чаще всего
решается в последующих выстрелах, когда р = 0,05.
Значение q в это время равно 0,03, чем и объясняется
преимущество А. В других случаях подобное осреднение дает
кажущееся премущество В, т. е. приводит к
фактическому завышению показателя эффективности для этого
средства. Это наглядно видно из примера 7, в котором А
в среднем выигрывает лишь 43% боев. Смысл этого
47


результата в том, что дуэль очень часто заканчивается
после обмена двумя-тремя выстрелами; как раз в это
время за счет осреднения сторона В получает некоторое
преимущество.
В двух рассмотренных примерах отклонения от
действительной величины вероятности ^победы сторон (0,5)
не превышали 0,1. Само по себе это отклонение может
показаться незначительным, но, во-первых, оно получено
для случая столкновения равных противников, а
во-вторых, даже это отклонение может привести к зна.читель-
ным ошибкам при решении некоторых задач. Например,
если бы мы хотели охарактеризовать соотношение сил
сторон величиной отношения вероятностей их победы
в дуэли, то в примере 6 вместо действительного значения
1 этого показателя в результате осреднений получили
бы значение 0,41/0,59 — 0,7, т. е. имело бы место уже
заметное отклонение от состояния равновесия сил в бою.
Правда, приведенный пример говорит еще и о несколько
неустойчивом характере выбранного показателя, однако
факт существенного отклонения имеет место и вызван
лишь неоправданным огрублением представления
характеристик сталкивающихся средств.
Если осреднение показателей эффективности вызвано
действительной необходимостью, то 'При его проведении
необходим предварительный анализ условий возможного
применения этого приема с помощью модели дуэльного
боя. При этом анализе может быть найдено такое
значение показателя эффективности выстрела, которое в
интересующих нас условиях приведет к незначительным
ошибкам в дальнейших расчетах. Именно таким образом
могут быть получены значения вероятностей поражения,
которые используются в дальнейшем в математических
моделях, где этот показатель в течение боя считается
постоянным.
Наконец, последний вопрос, который мы рассмотрим
в связи с упрощенными аналитическими моделями
дуэльного боя, касается влияния скорострельности огневых
средств на результаты столкновения.
Прежде всего вернемся к простым условиям дуэли
без корректировок. Математическое описание этой
модели основано на уравнениях (2. 5), однако эти
уравнения 'получены для случая одинаковых скорострельностей.
Предположение о том, что скорострельности сторон А и
48


В различны и составляют в среднем ^i и Я2 выстрелов
в единицу времени, приведет к некоторым изменениям
системы уравнений (2. 5). С формальной точки зрения
эти изменения состоят <в том, что вместо р и q следует
рассматривать некоторые «обобщенные вероятности»
/?* = A,i/7 и q*=h2q — так называемые плотности потоков
поражающих выстрелов, — а величину X в (2.5) заменить
на 1. Тогда преобразуются и выражения (2.6), и для
определения ожидаемых результатов дуэли получим
более общие соотношения:
Р* — **Р (2 6>'\
Р*
В \хр + X2q
А Л,р + X2q
Таким образом, если нет корректировок, то
ожидаемые результаты дуэли при различных скорострельностях
средств сторон могут быть получены из (2.6'). Вопрос
оценки характера влияния этого параметра в общем
виде может быть решен точно так же, как раньше решался
вопрос оценки влияния вероятностей (поражения, с той
лишь разницей, что вместо р и q здесь будут
фигурировать произведения p* = Xip и q*=^2q.
В качестве примеров использования (2.6') расмотрим
дуэль, в которой /?=0,2, <7=0,5, A,i=10, ^2=5. Поставив
эти значения в соотношения (2.6), без труда выясним,
чтоР^=0,44. Это означает, что двукратное превосходство
А в скорострельности не компенсирует относительно
малую эффективность стрельбы этого средства. Если
увеличить скорострельность А, положив Xi=15 и оставив
неизменными остальные условия, то вероятность победы
А возрастает до 0,55, т. е. трехкратное превосходство
в скорострельности уже дает стороне А известные
преимущества в дуэли.
В условиях дуэли с возможными корректировками
огня и различными скорострельностями огневых средств
влияние скорострельностей может быть оценено на
основе расчетов по алгоритму (2. 13). Дадим краткий анализ
результатов решения некоторых примеров, приведенных
в табл. 2. 1.
В примере 8 сторона В имеет в каждом очередном
выстреле вдвое большую вероятность поражения цели,
4—1301 49


зато в два раза меньшую, чем у А скорострельность.
В этих условиях оказывается, что двукратное
превосходство в скорострельности дало больший эффект, чем
двукратное превосходство в эффективности каждого
отдельного выстрела: сторона А в среднем выигрывает 58%
дуэлей. Примерно такая же картина наблюдается в
примере 9, где сторона А побеждает в среднем в 59%
столкновений.
Интересно сравнить результаты решения примеров
8 и 2. Условия этих столкновений отличаются лишь тем,
что в последнем скорострельности средств сторон
одинаковые. Здесь наглядно проявляется влияние
повышения скорострельности стороны А: 'вероятность ее победы
в дуэли возрастает 'весьма значительно (от 0,36 до 0,58).
В условиях столкновения, равных по эффективности,
но различных по скорострельности огневых средств,
каждое из которых имеет возможность корректировки огня
в бою, влияние двукратного превосходства в
скорострельности таково: средство с более высокой
скорострельностью выигрывает в среднем около 70% дуэлей
(см. примеры 10, 11).
Наконец, рассмотрим столкновение двух средств,
резко различных по огневой мощи в отдельном выстреле
(пример 12). Средство А имеет довольно низкую
вероятность поражения цели в первом выстреле (0,1) и доводит
в результате корректировок значение этого показателя
до 0,5; средство В имеет высокую эффективность в
каждом выстреле и корректировок не -производит. Лишь
четырехкратное превосходство А в скорострельности
компенсирует б этих условиях неравенство огневой мощи
выстрелов: в дуэли имеет место равновесие сил сторон
(каждый из противников побеждает с вероятностью
0,5).
Безусловно, произведенный конкретный анализ
справедлив в основном б рамках рассмотренной серии
примеров и не дает исчерпывающей картины для всех
возможных вариантов столкновения. Нашей целью было
показать возможности модели при решении ряда
практических вопросов на конкретных примерах.
Пользуясь результатами и выводами, полученными
на основе расчетов, следует помнить о границах
применимости самой модели. Эти границы определяются
допущениями, принятыми при выводе основных уравнений,
50


на базе которых получен алгоритм (2. 13), используемый
для расчета интересующих нас показателей
эффективности действий сторон в дуэли.
2.3. Аналитическая модель дуэли
с учетом влияния рельефа
местности, случайности
обнаружения и перемещения
Как раньше, будем рассматривать столкновение
двух средств Л и В. К началу боя средства находятся
на некотором расстоянии друг от друга, а в процессе
столкновения это расстояние уменьшается. При этом
боевая единица стороны А перемещается с некоторой
постоянной скоростью va, а средство стороны В — со
скоростью vB. Таким образом, если в начале дуэли
расстояние между противниками было /?0, то 'по прошествии
времени t расстояние R(t) будет
R(t)=RQ—(vA+vB)t (2.14)
Если в какой-то момент времени оба средства не
поражены, то можно предполагать, что дуэль будет
продолжаться до тех пор, пока R(t) не станет меньше
некоторого значения Rmin (в частности, можно
рассматривать случай, когда Rmin = 0)y которому будет
соответствовать некоторое значение t = T, либо пока одно из
средств не будет поражено. Величина Т, которую можно
получить из (2.14), подставив значение R(T)=Rmin,
представляет собой максимальную возможную ародол-
жительность дуэли. Исход дуэли, закончившейся
поражением одного из противников за время, не
превышающее Т, будем называть результативным исходом в
пользу стороны, средство которой уцелело.
Относительно эффективности стрельбы
сталкивающихся средств будем предполагать, что вероятности
поражения зависят только от дальности стрельбы и не
зависят от порядкового номера выстрела, производимого
по цели (т. е. не учитываются корректировки при
стрельбе). Как и раньше, будем обозначать вероятности
поражения символами р и q для сторон А и В
соответственно. Средние скорострельности огневых средств сторон
4* 51


будем считать постоянными, однако предположим, что
на подготовку первых выстрелов по цели тратится в
среднем несколько большее время, чем на подготовку
последующих выстрелов.
Подготовке и ведению огня предшествует процесс
обнаружения цели. Считаем, что обнаружение цели, так
же как и ведение по ней огня, возможно лишь при
'наличии прямой видимости. Если имеет место прямая
видимость, то эффективность средств обнаружения
противников зависит лишь от дальности и от того, вела ли цель
на данном отрезке прямой видимости огонь.
Влияние рельефа местности мы будем учитывать
возможным чередованием наличия и отсутствия прямой
видимости в процессе сближения сторон в дуэли. При
этом характеристики средней продолжительности
наличия или отсутствия прямой видимости будем считать
зависящими только от дальности.
Зависимости упомянутых нами средних значений
параметров от расстояния между противниками будем
представлять в виде ступенчатых функций (т. е. считать
эти параметры кусочно-постоянными). Например, для
вероятности поражения p=p(R) это будет означать, что
заданы некоторые значения Rmin = RN<RN-i< .. • <Ro,
такие, что p(R) = const для всех R^[Ri+iy Ri].
Помимо учета перечисленных факторов будем
считать, что каждый из противников может
придерживаться определенной тактики при решении вопросов выбора
момента открытия огня: сторона А может не открывать
огонь, пока R>Ra, а сторона В — пока R>Rb. Введение
в модель этих возможностей отражает существо
столкновения на местности при необходимости обнаруживать
цель. Поскольку стрелявшего легче обнаружить, в
определенных условиях можно ожидать известного
преимущества, если подпустить противника на более выгодное
расстояние. Правда, при этом имеется определенный
риск: противник вследствие возможного нарушения
прямой видимости может достичь желаемого рубежа и
выполнить стоящую перед ним в дуэли задачу. Степень
этого риска и количественные оценки ожидаемого
выигрыша от применения такого тактического приема могут
быть выявлены в результате моделирования.
При построении модели мы будем считать, что
нарушение прямой видимости приводит к потере противника-
52


ми друг друга: когда восстановится прямая видимость,
они должны вновь вести поиск цели. Относительно
характера поражения целей будем предполагать
выполненными условия, оговоренные подробно в § 2.1 и 2.2.
Таким образом, в рассматриваемой модели дуэльного
боя возможны следующие события:
— установление прямой видимости;
— нарушение прямой видимости;
— обнаружение цели;
— готовность к выстрелу;
— осуществление выстрела (если нет запрета по
дальности в связи с техническими характеристиками средств
поражения или с тактическим замыслом той или иной
стороны);
— поражение цели.
Если установление и нарушение прямой видимости
являются взаимными и действуют одновременно на оба
сталкивающихся средства, то остальные события могут
иметь место как для стороны А, так и для стороны В.
Считаем, что развитие дуэли в пространстве с точки
зрения взаимного положения сторон, определено
соотношением (2.14).
В- соответствии с произведенным словесным
описанием можно установить, что для любого момента времени
дуэль (если она к этому моменту не закончилась) может
находиться в одном м следующих десяти различных
возможных состояний 5:
So — (противники находятся на прямой видимости и
оба ведут активный поиск цели;
Si — сторона В обнаружила противника, но не вела
огонь на текущем отрезке наличия прямой
видимости, сторона А ведет обнаружение цели;
52 — сторона В обнаружила противника и вела уже
огонь на текущем отрезке прямой видимости,
сторона А еще не обнаружила цель;
53 — сторона А обнаружила цель, но не вела еще
огонь, сторона В еще не обнаружила
противника;
54 — сторона А обнаружила противника и вела огонь,
сторона В еще не обнаружила цель;
55 — противники обнаружили друг друга, но ни один
из них не вел още огонь на текущем отрезке
наличия прямой видимости;
53


56 — противники обнаружили друг Друга, сторона В
уже вела огонь, сторона А еще не стреляла на
текущем отрезке наличия прямой видимости;
57 — противники обнаружили друг друга, средство А
вело уже огонь, средство В еще не стреляло;
58 — «противники обнаружили друг друга и оба уже
вели огонь на текущем отрезке наличия прямой
видимости;
Sq — нарушена прямая видимость.
К этим состояниям, при которых дуэль может еще
продолжаться, следует добавить два «финальных»
возможных состояния:
Ыа — средство В поражено, победила сторона Л;
ив — средство А поражено, победила сторона В.
Как только достигается одно из финальных
состояний, дуэль прекращается. Находясь в состоянии S9,
средства продолжают сближение, но никакие другие
активные действия не могут привести к успеху, пока не будет
восстановлена прямая видимость. В процессе дуэли
возможны переходы из одного состояния в другое.
Предположим, что в некоторой окрестности произвольно
выбранного момента времени t, такого, что О^^Г, параметры,
определяющие эффективность обнаружения, стрельбы и
характеризующие нарушение и восстановление прямой
видимости, постоянны*. Тогда возможные переходы
дуэли из состояния в состояние и соответствующие им
вероятности переходов за малый промежуток времени №
могут быть описаны табл. 2. 2. При описании переходов,
связанных с возможным ограничением на выстрелы по
расстоянию, мы будем обозначать символами 9i и 02
следующие величины:
_ Г 1, если R(t)<RA, _( 1, если R(t)<RB,
1_[ 0, если R(t)>RA, а \ 0, если R(t)>RB.
(2.15)
Дадим некоторые пояснения к таблице. При
определении вероятности переходов мы использовали следующие
предположения.
Если средство ведет обнаружение, то за время А/
* За начало отсчета времени принимаем момент начала
сближения средств, которому соответствует максимальная дальность Ro.
54


ТАБЛИЦА 2.2
Структура возможных переходов за время А*
и соответствующие значения вероятностей*
Состояние к моменту
времени t
Обозначение
s.
S,
Характеристика
состояния
Оба
противника ведут
обнаружение
Сторона В
обнаружила
противника
Возможные переходы в другие состояния за время Д/
V
1 2 g
8§s
Si
s>
50
"в
S2
S*
s9
sl
Характеристика
происшедшего
события
Сторона Л
обнаружила
противника
Сторона В
обнаружила
противника
Нарушилась
прямая
видимость
Ничего не
произошло
Сторона В
произвела
первый выстрел и
поразила цель
Сторона В
произвела
первый выстрел,
но не достигла
успеха
Сторона Л
обнаружила цель
Нарушилась
прямая
видимость
Ничего не
произошло
Вероятность Перехода
Y„A*+0(Af)
Y„A*+0(A0
8Д< + 0(Д<)
1 - (Y,. + Y*. + 8) Д* +
+ 0(Д<)
егх21<?д< + о(до
е2л21(1 - <7)Д* + 0(Д0
Y„Af + 0(A0
ды + 0(до
l.-(» + Yu + Mi)A< +
+ 0(А0
• Переходы, которым соответствуют вероятности более высокого порядка
малости г чем Д7, здесь не рассматриваются, так как в дальнейшем они не окажут
влияния на результаты анализа дуэли.
55


Продолжение табл. 2.2
Состояние к моменту
времени t
Обозначение
s8
S,
Характеристика
состояния
Сторона В
обнаружила
противника и
вела огонь
Сторона А
обнаружила
противника
Возможные переходы в другие состояния за А/
д о
32!
J8S
"в
s2
"л
s,
5,
Характеристика
происшедшего
события
Сторона В
произвела
очередной
выстрел и
поразила цель
Сторона В
произвела
очередной
выстрел и не
достигла
успеха
Сторона А
обнаружила
противника
Нарушилась
прямая
видимость
Ничего не
произошло
Сторона А
произвела
первый выстрел и
поразила цель
Сторона А
произвела
первый Выстрел и
не достигла
успеха
Сторона В
обнаружила
противника
Нарушилась
прямая
видимость
Ничего не
произошло
Вероятность перехода
\iiqu + о (д<)
Л22(1-<7)Д< + 0(Д<)
т,.,д< + 0(Д0
9Д<+0(Д<)
l-(»+Y»+*ii)A' +
+ 0(Д<)
е,хи/>д< + о (д<)
8.*» (1-р)Д* + 0 (ДО
тгцА* + о(дд
8Д< + 0 (ДО
+ о(ДО


Продолжение табл. 2.2
Состояние к моменту
времени t
Обозначение
s.
S,
Характеристика
состояния
Сторона А
обнаружила
противника и
вела огонь
Оба противника
обнаружили
Друг друга, ни
один^не
стрелял
Возможные переходы в другие состояния за М
V
и
S g a
"а
s,
5,
54
"а
"в
S.
Характеристика
происшедп.его
1 события
Сторона А
произвела
очередной
выстрел и
поразила цель
Сторона Л
произвела
очередной
выстрел и не
достигла успеха
Сторона В
обнаружила
противника
Нарушилась
прямая
видимость
Ничего не
произошло
Сторона А
произвела
первый выстрел и
поразила цель
Сторона'^/?
произвела
"^первый выстрел
и поразила
цель
Сторона А
произвела
первый выстрел и
не достигла
успеха
Сторона В
произвела
первый выстрел и
не достигла
успеха
Вероятность перехода
А12рД* + 0(Д0
Кг(\-р)Ы + 0(М)
ТцА* + 0(Д0
Ш + 0 (АО
+ о(до
М2!?Д* + 0(до
Ми (1-/0 А*+ 0 (А/)
М21(1-<7)Д* + 0(Д0
67


продолжение табл. 2.2
Состояние к моменту
времени t
Обозначение
s.
S,
Характеристика
состояния
Оба
противника обнаружили
друг друга;
сторона В уже
стреляла,
сторона А не
стреляла
Оба
противника обнаружили
ДРУГ ДРуга;
сторона А
уже стреляла,
Возможные переходы в другие состояния за М
О)
к 6
,2ио
VO о Н
О к о
55
"а
s,
s,
s.
s.
"а
Характеристика
происшедшего
события
Нарушилась
прямая
видимость
Ничего не
произошло
Сторона А
произвела
первый выстрел
и поразила
цель
Сторона В
произвела
очередной
выстрел и поразила
цель
Сторона А
произвела
первый выстрел и
не достигла
успеха
Сторона В
произвела
очередной
выстрел и не
достигла успеха
Нарушилась
прямая
видимость
Ничего не
произошло
Сторона А
произвела
очередной
выстрел и поразила
цель
Вероятность перехода
Ш + 0(Д/)
1 _ (* + х2102 +
+ Mi) М + 0 М
QiKipM + о (до
l22qM + 0(At)
в,Хп(1-р)А/ + 0(А0
Хи(1-?)Д* + 0(А0
«А/ + 0 (At)
+ 0(А0
htpM + 0 (АО


Продолжение табл. 2.2
Состояние к моменту
времени t
Обозначение
s,\
Характеристика
состояния
Сторона В не
стреляла
Оба
противника обнаружили
друг друга
и вели огонь
Возможные переходы в другие состояния за Д/
Обозначение
нового
состояния
"в
S,
S,
S,
"л
Vв
S.
Характеристика
происшедшего
события
Сторона В
произвела
первый выстрел и
поразила цель
Сторона А
произвела
очередной
выстрел и не
достигла успеха
Сторона В
произвела пер-
! вый выстрел
и не достигла
успеха
Нарушилась
прямая
видимость
Ничего не
произошло
Сторона А
произвела
очередной
выстрел и поразила
цель
Сторона В
произвела
очередной
выстрел и поразила
цель |
Сторона А
произвела
очередной выстрел
и не достигла
успеха
Вероятность перехода
9 А^Д/+ о (Д*)
х„(1-/>)д* + о(до
02*21(1-<7)Д* + О(ДО
Ш + 0 (АО
1-(3 + 92А21 + *22)Д/ +
+ 0(Д/)
\12рЫ + 0{Ы)
А,,-7А* + 0(А0
Alt(l-p)A* + 0(A0
Ь9


Продолжение табл. 2.2
Состояние к моменту
времени t
Обозначение
5,
Характеристика
состояния
Нарушена
прямая видимость;
стороны
сближаются
Возможные переходы в другие состояния за Д*
Обозначение
нового
состояния
s8
5,
S.
Характеристика
происшедшего
события
Сторона В
произвела
очередной
выстрел и не
достигла успеха
Нарушилась
прямая
видимость
Ничего не
произошло
Восстановилась
прямая
видимость
Ничего не
произошло
Вероятность перехода
X,, (1-0 4*+0(4*)
Ш + 0 (Д<)
1 _ (8 _ Хг2 + *„) Д< +
+ 0(Д<)
Ш + 0 (Д<)
1 — фд/ _|_ о (At)
обнаружение цели происходит с вероятностью yijAt +
+0(Д^). При этом /= 1, когда противник еще не стрелял
в текущем отрезке наличия прямой видимости, и /=£,
когда противник уже вел огонь. Индекс i определяет
сторону, ведущую обнаружение: когда сторона А ведет
обнаружение, /=1; когда обнаружение ведет В, то t = 2.
Если средство готовит выстрел по цели, то за время
At этот выстрел произойдет с вероятностью Л^-Д/Ч-
+0(Д<). Индекс /. определяет номер подготавливаемого
выстрела: /=1, если готовится первый выстрел; / = 2,
если готовится второй или последующие выстрелы.
Значение /=1, когда выстрел готовит Л, и i = 2, когда
подготовку к выстрелу производит В.
Если существует прямая видимость, то за время At
она может нарушаться с вероятностью 6At+0(\M).
В случае, когда прямая видимость, нарушена, ее
восстановление происходит с вероятностью я|>ДЛ-0(Д1/).
60


Теперь, оперируя приемами, аналогичными
рассмотренным ранее в § 2.2, и воспользовавшись вероятностями
переходов и структурой возможных переходов,
приведенными в табл. 2.2, мы сможем вывести систему
дифференциальных уравнений. Эта система будет описывать
изменение во времени вероятностей результативного
исхода дуэли в пользу каждой из сторон.
Обозначим через fi(t) вероятность результативного
исхода дуэли за время Г, если к моменту ^(0=^<Г)
имело место состояние Si(i=Qy 1, ..., 9). Чтобы
упростить запись выражений, определяющих /i(itf), и не
повторять дважды (для стороны А и В отдельно)
соответствующую систему уравнений, введем вспомогательные
величины pi и рг:
11, если рассматриваются вероятности
результативного исхода в пользу стороны А, (2.16)
О, в противном случае;
(1, если рассматриваются вероятности
результативного исхода в пользу стороны В,
О в противном случае.
Рассмотрим совокупности возможных переходов за
время At в соответствии с табл. 2.2 как полные системы
несовместимых событий (условий). Заметим, что
вероятность результативного исхода при условии, что дуэль
перейдет в одно из состояний, иА или ив, определяется
весьма просто: это либо единица, либо нуль. Вероятность
результативного исхода за время Т при условии, что
к моменту t+At дуэль перейдет в состояние 5г-, будет
fi(t + At). Сделав эти замечания, мы можем теперь
записать:
/о (О = Т..Д*/, (t + М) + Т„Д*Ь (t + M) +
+ш/,(<+Д9 + [1-(т..+т.1+*)ДШ*+л')+о(Д0»
h (О = МА^дг + 6А, (1 - я) Щ* (t + ДО 4-
+ ТиД</. (< + ы + 8) д//. (t + ДО +
+ 11-(8+Т.1-МА1)Д*1Ы* + Д*) + 0(Д<),
61


U (0 = ?AMq + KM (l-q)fM(t + ДО +
+Т1,м/.(' + Д') + 8Д'/.(< + Д0 +
+ [1-(8 + Т.. + *«)Д<]/.(< + А0 + 0(Д0.
fAt) = ?AKAtp + xuAt-b1(i-p)fAt + M) +
+ т..Д'/. С + ДО + 8Д^ С + ДО +
+ 11-(8+Ъ. + М,)ДШ* + а*)+0(Д').
М0 = рА.Д'/>+*«Д/(1-/>)/«(' +Д') +
+ Т..Д'/, (* + ДО + «Д'/, (* + ДО +
+ П-(8+Ти+*..)Д']М< + Д0+О(Д0;
f. (О = р.М«Д*/>+р,е а.Д'<7+6Л.Д* (1 - /О /, ('+ДО -
- е2я21дг (\-q)h(t + ДО+гд*/, (*+ДО 4-
+ [1-(8+еА,+ел,)Д0/5(^+ДО+О(ДО.
h (О = р А.ДИ^+рА,Д^+6 А.Д* (1 - р) f, (* + ДО +
+дггдг(1-<7)/в(* + ДО + &Д^ + ДО +
+ [1 - (8+я2г + ело до fв (г + до + О (до,
/, (О = рА.Д^ + р.^.1Д^+л„Д<(1-/?)/,(/ +ДО+
+ Аг1Д/82 (1 - q) /, (t + ДО + 5ДО» (t + ДО +
+ [1-(8+а1А+а„)Д*]М/+до+0(д*).
/в (О = Р.Я,.Д^ + РА,А*<7 Ч-[(1 —/7) Я,, +
+ (1 - q) я22] ыи (t + ДО + Ш/, (* + ДО +
+ [1-(8 + аи + я1,)д*]М'+ДО+0(Д*),
/, (О = №о (t + ДО + [1 - фД*1 /. С + ДО+О (ДО-
После очевидных преобразований полученных
выражений и предельного перехода при Л/—*0 получим
следующую систему дифференциальных уравнений, описы-
62


Бающую изменение во времени вероятностей li(t)\
ЩР-= - W» И) ~ W. it) ~ 8/, it) +
+ (L, + Yu + 8)M0,
*!±p.= -9JitXnq - 6Ai (1 - M (0 ~
- U, it) - «f. (0 + (8 + Yu + В А.) Л (О,
%^-= -pA*<7 - Кг (1 - ?) /, (0 - Y.Jo (0 -
-8M9 + (* + Y»+ *,,)/.(*).
%P- = - pte A,/> - KA (\-P)h it) - W. (0 -
-8/,(') + (* + Y,. + *ufl.)M0.
£Ш. = _р1я11р_я11(1-/?)/4(о-Ти/7(0-
-»/.(')+ (8+Y.«+*..)/«(');
^yi= -р.бА,/' - pM.? - ел, (i - />) U it) -
-М..(1-?)М0-*М') + (8+М.. + вА.)М0.
^-=-рААр - рА2<7 -М« (1 -/>) и it) -
-КЛ^-q) /. (0 - 8/„ it) + (8+я22+в А.) /в (0.
^1= _РА,р - рАА<7 - Atl (1 - />) /7 (t) -
- M2 (1 - q) U (0 - 8/9 (0 + (8 + М, + Я12) f, (О,
%^ = -рА,/> - рА2<7 -Щ-Р) К +
+ (1 - q) U U it) - 8/„ (*) + (8+я2!+я12) f8 (/),
^=-*М0+ФМ0. (2


Очевидными граничными условиями задачи будут:
■МГ)=0, (/ = 0, 1, ..., 9). (2.18)
Теперь опишем порядок решения системы (2.17) для
получения искомых значений вероятностей fi{t),
соответствующих моменту ^=0, т. е. началу дуэльного боя. Для
определенности будем считать, что ищутся вероятности
успеха Л, поэтому прежде всего необходимо в (2.17)
положить pi=l и р2=0.
Далее определяем моменты времени,
соответствующие отрезкам, на которых заданы постоянные значения
параметров /?, q, 6, i|>, 9i, 62 и т. д. Обозначим моменты
времени, соответствующие границам этих отрезков, через
Tj, а общее количество этих отрезков — через N\ причем
упорядочим номера отрезков так, чтобы было Г = 7'0,
Использовав в качестве граничных значений (2.18),
интегрируем систему (2.17) на отрезке [Г0, 7\] и
получаем значения fi(^i), (i = 0, 1, ..., 9). Затем принимаем
полученные значения в качестве граничных условий и
интегрируем систему (2.17) как систему
дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами на
следующем отрезке. Повторив этот процесс N раз (по числу
отрезков), получим интересующие нас значения /г-(0).
Для стороны В отыскиваем вероятности ее успеха
в дуэли, положив pi=0, а р2=1 и осуществив уже
описанную процедуру решения системы (2.17).
Решение системы (2.17) может быть получено,,
например, численными методами с 'помощью электронной
вычислительной машины. Именно таким образом были
получены результаты для всех числовых примеров,
рассматриваемых в следующем параграфе.
В некоторых случаях не требуется учитывать рельеф
местности, различие во времени подготовки первого и
последующих выстрелов, вероятностях обнаружения
цели до стрельбы и после первого выстрела. В таких
условиях модель упрощается, а вместе с ней упрощается
и соответствующая система вида (2.17). Все это
позволяет записать решение в виде достаточно простых
аналитических выражений и упростить практическое
решение. При более глубоком рассмотрении влияния
отдельных факторов система уравнений усложняется и
единственным путем решения становится применение
численных методов и электронных вычислительных машин.
64


2.4. Решение задач на основе
применения аналитических
моделей дуэльных боев
Аналитические модели дуэльного боя позволяют
решать ряд задач оценки боевых качеств сталкивающихся
средств. Некоторые задачи были рассмотрены в § 2.2.
Модель дуэли, описанная в предыдущем параграфе, дает
возможность решить ряд дополнительных вопросов,
связанных с оценкой эффективности боевых средств.
Рассмотрим решения некоторых задач на основе этой
модели.
Задача 1. Сравнительная количественная оценка
различных образцов вооружения
Предположим, что имеются два образца вооружения
Ai и Л2 стороны Л. Мы хотим произвести сравнительную
оценку возможностей этих средств, предполагая, что
в боевых условиях им будет противодействовать
средство В. Сравнивая ожидаемые результаты дуэлей At с В
и Л2 с В, мы можем получить ответ на этот вопрос.
Такое сравнение, безусловно, следует производить на
нескольких вариантах типичных условий столкновения.
Точно так же может быть произведено сравнение
средств противников. Например, для сравнения средств
Л и В, имеющих одинаковое целевое назначение, но
принадлежащих различным сторонам, между которыми
возможно столкновение на поле боя, можно также
воспользоваться моделью § 2.3. Для этого необходимо
рассмотреть и сравнить ожидаемые результаты
возможного столкновения в различных условиях. Например,
если речь идет о танках, то необходимо моделировать
дуэль при значениях параметров, соответствующих
вариантам, когда Л наступает, В обороняется, ведению
встречного боя, а также вариантам наступательных
действий В. Кроме того, необходимо изменять условия
влияния рельефа, местности обнаружения и т. д. В
полном объеме такое сравнение требует проведения
большой серии расчетов и детального анализа результатов
решения.
5—1301 65


Задача 2. Определение целесообразной дальности
открытия огня в дуэльном бою
При решении этой задачи должны быть рассмотрены
и сопоставлены результаты ряда дуэлей, в которых
изменяется дальность открытия огня сталкивающимися
средствами. В результате такого сравнения могут быть
сделаны определенные выводы о целесообразной тактике
средств в различных условиях дуэльного столкновения.
Задача 3. Выбор целесообразной скорости
перемещения
На основе анализа результатов моделирования и
исходя из задач, стоящих перед средствами, в дуэли
могут быть получены определенные выводы, дающие
ответ на этот вопрос.
Задача 4. Оценка влияния рельефа местности на
результат столкования
Решение этой задачи позволяет определить наиболе
выгодные типичные условия эффективного применения
того или иного образца вооружения, а для конкретных
заданных условий определить целесообразные способы
применения этого образца в дуэльном столкновении.
Задача 5. Оценка эффективности средств
обнаружения
На основе моделирования может быть выявлена роль
средств обнаружения и их влияния на общую
эффективность боевой единицы в дуэли.
Задача 6. Определение величин боекомплектов для
огневых средств
Возможный подход к решению этого вопроса
рассматривался в § 2.1. Этот вопрос может быть решен
также и на основе анализа результатов моделирования
дуэли с учетом случайности рельефа и обнаружения; при
этом результаты будут более обоснованными и близкими
к действительным потребностям сторон в дуэльном
бою.
66


Задача 7. Оценка влияния элементов управления
Сравнивая ожидаемые результаты дуэли для
различных исходных состояний дуэли, можно оценить влияние
такого, например, параметра управления боем, как
целеуказание. Например, если в процессе анализа выясняет*
ся, что вероятность победы одного из противников в
значительной степени зависит от того, видит он противника
или нет, можно ожидать, что целеуказание в
определенных условиях играет существенную роль.
Детальное решение каждой из перечисленных задач
требует, как мы уже выяснили, рассмотрения большого
числа возможных вариантов дуэлей при различных
условиях. Поэтому мы остановимся на анализе сравнительно
небольшой серии иллюстративных вариантов дуэлей.
Эти примеры позволят читателю наглядно представить
себе особенности общего подхода и основные этапы
решения перечисленных вопросов на основе
математического моделирования.
Поскольку основная масса количественных значений
параметров, характеризующих условия дуэлей, в наших
примерах будет повторяться, здесь принята следующая
схема описания условий дуэлей. В табл. 2.3 и 2.3а
приведены значения всех параметров, характеризующих
условия дуэли для первого, «опорного», варианта.
В табл. 2.4 для наглядного представления о
качественной картине влияния этих параметров на выполнение
сторонами отдельных операций, из которых
складываются их действия в бою, приведены средние значения
интервалов времени, необходимого для выполнения этих
операций. В табл. 2.5 представлены условия всех
остальных вариантов, причем приводятся описания
лишь тех параметров, которые отличаются от пара-
метрового первого опорного варианта. В табл. 2.4
значения временных интервалов, зависящие от скорости
перемещения, получены в предположении, что скорость
перемещения vA=W км/час, a vB=0. Интервалы
времени даются в секундах. Дадим краткое пояснение способа
получения этих данных. Определение времени,
необходимого для преодоления фиксированного интервала по
дальности, осуществляется простым делением длины
этого интервала на скорость сближения сторон в бою.
При этом используем соответствующие значения
табл. 2.1 с учетом размерностей. Так, для интервала
5* 67


ТАБЛИЦА 2.3
Количественные характеристики средств сторон
и условий столкновения (основной вариант)
Что
характеризует
параметр

Эффективность
стрельбы средства
А

Эффективность
стрельбы средства
В

Эффективность
обнаружения
стороной А
нестреляв-
шей цели

Эффективность
обнаружения
стороной А
стрелявшей
цели

Эффективность
обнаружения
стороной В
нестреляв-
шей цели

Эффективность
обнаружения
стороной В
стрелявшей
цели
X
X
S
т
о
о
О
Р
Я
Yn
Yl2
Y21
Y22
X
0,
О)
S
т
СО
а
—
—
1/сек
1/cefc
1/сек
1/сек
Интервалы по дальности до цели (м), в
которых значения параметров постоянны
о
о
I
0,9
'0,9
0,05
0,2
0,1
0,2
о
о
?
8
0,9
0,8
0,03
0,2
0,1
0,2
0
8
I
О
Ю
0,7
0,5
0,015
0,15
0,1
0,2
о
S
Т
о
о
о
0,5
0,2
0,015
0,15
0,1
0,2
о
о
J
О
ю
0,2
0,05
0,01
0,1
0,1
0,2 |
8
ю
1
О
0,1
0
0,01
0,1
0,05
0,1
1
8
со
0,05
0
0,01
0,1
0,05
0,1
68


Продолжение табл. 2.3
Что
характеризует
параметр
Длина
отрезка
наличия прямой
видимости
Длина
отрезка
отсутствия
прямой
видимости
Обозначение
д
Ф
Размерность
1/М
1/м
Интервалы по дальности до цели (м),
в которых значения параметров постоянны
о
I
0,02
0,1
200—500
0,01
0,05
500—1000
0,005
0,05
1000—1500
0,002
0,01
1500—2000
0,002
0,01
2000—2500
0,002
0,005
2500—3000
0,002
0,002
ТАБЛИЦА 2.3а
Параметры, не зависящие от дальности до цели
Что характеризует
параметр
Скорость
перемещения
стороны А
Скорость
перемещения
стороны В
Дальность
открытия огня
стороной А
Дальность
открытия огня
стороной В
Обозначение
VA
°В
«А
R
1
Размерность
км/час
км/час
м
м
Значение
10
0
3000
2000
Что характеризует
параметр
Время на
подготовку 1-го
выстрела
стороной А
Время на
подготовку 2-го и
последующих
выстрелов
стороной А
Время на
подготовку 1-го
выстрела
стороной В
Время на
подготовку 2-го и
последующих
выстрелов
стороной В
Обозначение
hi
к*
Кг
Кг
Размерность
\/мин
\/мин
1/мин
\/мин\
Значение 1
2
3
2
5
69


ТАБЛИЦА 2.4
Средние значения отрезков времени (сек), необходимого
для выполнения основных операций
Операции
Преодоление интервала по
дальности
Обнаружение стороной А
нестрелявшего противника
Обнаружение стороной А
стрелявшего противника
Обнаружение стороной В
нестрелявшего противника
Обнаружение стороной В
стрелявшего противника
Подготовка 1-го выстрела
стороной А
Подготовка очередного
выстрела стороной А
Подготовка 1-го выстрела
стороной В
Подготовка очередного
выстрела стороной В
Продолжительность
наличия прямой видимости (с
момента ее установления)
Продолжительность
отсутствия прямой видимости (с
момента ее нарушения)
гры,
[ЯЮ-
резки
s«SS
Сс53£|
VA> VB
Yn
Yia
Y21
Y22
л"
*..
Л21
^22
U,vA,
Vr
MP» VA>
Vrt
в
Интервалы
-200
i
о
72
20
5
10
5
30
20
30
12
18
1,8
1
0
180
33
5
10
5
30
20
30
12
36
3,6
по дальности до цели, м
«=>
°
о
0—1
S |
180
67
7
10
5
30
20
30
12
72
3,6
S
ю
00—
о
180
67
7
10
5
30
20
30
12
180
36
§
о
ОД
1500-
180
100
10
10
5
30
20
30
12
180
36
§
ю
00—
о
см
180
100
10
20
10
30
20
30
12
180
72
о
со
00—
180
100
10
20
10
30
20
30
12
180
180
дальностей от 0 до 200 м получаем
200 200-3600
VA + VF
20000
= 72 сек.
Интервал времени (среднее значение),
необходимого для обнаружения, получается как величина, обратная
значению параметра уц(1, /=1, 2). Например, в
диапазоне изменения дальностей 1500—2 000 м для
обнаружения противника, еще не производившего стрельбы, сто*
70


ТАБЛИЦА 2.5
Количественное описание серии расчетных вариантов
Изменения значений
параметров по сравнению
с табл. 2.3
Предварительная качественная
характеристика соотношения сил сторон
в дуэли и условий столкновения
Значения параметров
приведены в табл. 2.3
5=0, <р=0; остальные
параметры те же, что и
в предыдущем варианте
Значения р заменены
значениями q из второй
строки табл. 2.3
Значения q заменены
соответствующими
значениями р из первой
строки табл. 2.3
Первая и вторая
строки табл. 2.3 меняются
местами
Первая и вторая строки
табл. 2.3 меняются
местами; #в=1000 м
Первая и вторая
строки табл. 2.3 меняются
местами; 5=0; ф=0
Сторона А имеет более высокие
показатели эффективности в отдельных
выстрелах, чем средство В, но
немного меньшую скорострельность.
Сторона В значительно эффективней, чем Л,
производит операцию поиска и
обнаружения цели.
Местность, особенно при малых
дальностях, должна затруднять
обнаружение целей и подготовку к стрельбе
Условия боя тех же средств, что и
в примере 1, но на плоском рельефе
(равнина)
Вероятности поражения цели в
отдельном выстреле у обеих сторон
одинаковы и равны соответствующим
показателям эффективности стрельбы
средства В в примере 1. В остальном
соотношение сил сторон и условия
примера 1 сохраняются
Столкновение двух средств,
имеющих показатели эффективности
стрельбы средства А в примере № 1. В
остальном соотношение сил и условия
примера 1 сохраняются
Сторона В имеет более высокие
показатели эффективности в отдельных
выстрелах, несколько большую
скорострельность, чем Л, и значительно
эффективней обнаруживает цели. В
остальном сохранены условия дуэли
примера 1
Условия примера 5, но сторона В
открывает огонь не раньше, чем
произойдет сближение до дальности
1000 м
Столкновение сторон на плоском
рельефе. В остальном сохранены усло-
вия примера 5 *
71


Продолжение табл. 2.
Номер |
примера
8
9
Изменения значений
параметров по сравнению
с табл. 2.3
Для диапазонов
дальности 0—200 м и 200—
500 м вероятности
поражения в отдельных
выстрелах равны нулю для
обеих сторон. В
остальном сохранены условия
примера 1
Для диапазонов
дальности 0—200 м и 200—
500 м вероятности
поражения равны нулю и
1^=20 км/час. В
остальном сохранены условия
примера 1
Предварительная качественная
характеристика соотношения сил сторон
в дуэли и условий столкновения
Соотношение сил сторон такое же»
как в примере 1. Бой фактически
прекращается, как только стороны
сблизятся до расстояния 500 м
Соотношение сил сторон такое же,
как в предшествующем примере.
Сторона А увеличила скорость
перемещения в процессе столкновения вдвое
рона В в среднем затратит g-j =10 сек. Среднее время
подготовки выстрела определяется как величина,
обратная соответствующему значению параметра hij(i, /=
=1, 2). При этом следует помнить, что в табл. 2.3
значения Xij измеряются количеством выстрелов в минуту
и что скорострельность в нашей модели предполагается
не зависящей от дальности. Таким образом, например,
при всех дальностях для подготовки очередного (не
первого) выстрела сторона А в среднем будет затрачи-
вать-д-=20 сек.
Наконец, средняя продолжительность наличия или
отсутствия прямой видимости определяется как
величина, обратная произведению 6 (va + vb) или соответственно
$(va + vb). При этом, пользуясь табл. 2.3, учитываем
размерности соответствующих величин.
Значения средних затрат времени на выполнение
определенных операций, а также средние временные
характеристики условий столкновения, описанные
в табл. 2.4, дают возможность представить себе
упрощенную картину выполнения отдельных операций. В
самом деле, посмотрим, какое в среднем время затратит А
72


на осуществление операций, начиная с поиска цели до
выстрела, если дуэль начинается с дальности 1 500 м и
к началу дуэли имеет место прямая видимость. Среднее
время на обнаружение составит 67 сек. В сумме со
средним временем на подготовку выстрела (30 сек) получим
что интересующий нас средний отрезок времени
составит 67 + 30=97 сек. Если предположить, что в
действительности требуются для выполнения операций именно
средние значения соответствующих отрезков времени, то
до того, как будет нарушена прямая видимость
(среднее время 180 сек), сторона А успеет сделать 5
выстрелов.
Можно попытаться, не обращаясь к нашей модели,
решить задачу определения ожидаемых результатов
столкновения на основе такого подхода. Заранее
скажем, что далеко не всегда результаты окажутся
удовлетворительными. При этом, кроме того, придется
рассматривать довольно сложную схему последовательных
ударов, недостатки которой мы уже отмечали ранее.
Поэтому значения средних временных показателей
следует рассматривать лишь как характеристики, по
которым можно получить наглядную картину,
представляющую соотношения между различными операциями
в дуэли.
Результаты расчетов, произведенных на основе
решения системы (2.17) с помощью ЭВМ, представлены
в табл. 2.6 и на рис. 2.1 и 2.2.
Произведем краткий анализ результатов,
представленных в табл. 2.6. Предположим, что в табл. 2.3
значения параметров, определяющих эффективность
обнаружения целей и скорострельности боевых средств,
характеризуют условия, когда сторона А наступает, а В
обороняется. (Для удобства описания условий при
дальнейшем назовем средство стороны А в примере 1
средством /, а средство стороны В — средством //.)
Рассматривая результаты решения примера 1 (см.
табл. 2.6), мы видим, что если столкновение начинается
с дальности 3 000 ж, то сторона А имеет существенное
преимущество. Она побеждает в среднем в 70—80%'
дуэлей, тогда как сторона В выигрывает лишь 20—30%
столкновений. При этом ожидаемые результаты
столкновения лишь незначительно изменяются в зависимости
от того, какое состояние Si имело место к началу дуэли.
73


■ч
ТАБЛИЦА 2.6
Результаты расчета вероятностей результативного исхода дуэли для различных
условий столкновения*
Расчетный
вариант
Пример
1
Пример
2
Пример
3
Дальность
R(m), на
которой имеет
место
состояние sfi
200
500
1000
1500
2 000
2 500
3 000
200
500
1000
1500
2 000
2 500
3 000
200
500
Состояние дуэли
So
0,304
0,328
0,298
0,472
0,593
0,705
0,748 ..
0,391
0,350
0,314
0,493
0,636
0,804
0,898
0,304
0,312
St
0,253
0,267
0,259
0,446
0,588
0,705
0,748
0,294
0,267
0,267
0,462
0,628
0,804
0,898
0,253
0,253
S2
0,220
0,246
0,281
0,467
0,604
0,764
0,777
0,210
0,235
0,291
0,480
0,642
0,863
0,917
0,220
0,230
Sz
0,454
0,537
0,557
0,663
0,685
0,779
0,783
0,605
0,626
0,628
0,696
0,732
0,887
0,930
0,454
0,509
S<
0,506
0,590
0,610
0,703
0,704
0,789
0,788
0,663
0,681
0,680
0,736
0,750
0,893
0,932
0,507
0,559
55
0,390
0,455
0,485
0,612
0,667
0,779
0,783
0,489
0,512
0,537
0,639
0,711
0,887
0,930
0,391
0,430
S,
0,285
0,316
0,358
0,519
0,633
0,774
0,782
0,288
0,313
0,372
0,533
0,670
0,870
0,919
0,286
0,295
s7
0,460
0,534
0,564
0,673
0,694
0,789
0,788
0,588
0,609
0,624
0,703
0,738
0,893
0,932
0,460
0,505
S»
0,346
0,388
0,432
0,582
0,660
0,784
0,787
0,375
0,403
0,457
0,600
0,698
0,877
0,922
0,346
0,362
S9
0,297
0,328
0,298
0,459
0,577
0,665
0,709
—
0,297
0,312


Продолжение табл. 2.6
Расчетный
вариант
Пример
3
Пример
4
Пример
5
Дальность
R(M), на
которой имеет
место
состояние 5в
1000
1500
2 000
2 500
3 000
200
500
1000
1500
2 000
2 500
3 000
200
500
1000
1500
2 000
2 500
3 000
Состояние дуэли
So
0,250
0,302
0,324
0,343
0,343
0,305
0,310
0,230
0,259
0,274
0,473
0,550
0,305
0,293
0,191
0,145
0,106
0,130
0,!29
st
0,217
0,284
0,320
0,343
0,343
0,253
0,246
0,188
0,221
0,259
0,473
0,550
0,253
0,233
0,155
0,122
0,099
0,130
0,129
S,
0,231
0,291
0,324
0,339
0,340
0,220
0,221
0,207
0,236
0,273
0,348
0,398
0,220
0,207
0,166
0,123
0,100
0,059
0,072
S,
0,473
0,432
0,369
0,347
0,343
0,454
0,523
0,509
0,512
0,426
0,605
0,614
0,454
0,495
0,426
0,292
0,161
0,134
0,129
54
0,518
0,458
0,378
0,347
0,343
0,507
0,575
0,562
0,556
0,453
0,622
0,622
0,507
0,544
0,469
0,316
0,169
0,134
0,129
S*
0,409
0,395
0,359
0,347
0,343
0,391
0,437
0,428
0,437
0,390
0,605
0,614
0,391
0,413
0,356
0,246
0,146
0,134
0,129
S*
0,293
0,323
0,338
0,339
0,340
0,286
0,292
0,285
0,300
0,319
0,348
0,396
0,286
0,272
0,228
0,156
0,116
0,055
0,070
s7
0,476
0,435
0,371
0,347
0,343
0,460
0,516
0,508
0,509
0,430
0,622
0,622
0,460
0,487
0,422
0,287
0,160
0,134
0,129
S*
0,354
0,361
0,350
0,339
0,340
0,346
0,363
0,356
0,366
0,357
0,370
0,407
0,346
0,337
0,285
0,189
0,129
0,055
0,070
s9
0,250
0,299
0,323
0,339
0,342
0,297
0,309
0,230
0,257
0,273
0,403
0,481
0,297
0,294
0,191
0,149
0,111
0,125
0,129


О)
Продолжение табл. 2.6
Расчетный
вариант
Пример
6
Пример
7
Дальность
R(m), на
которой имеет
место
состояния 5Й
200
500
1000
1500
2 000
2 500
3 000
200
500
1000
1500
2 000
2 500
3 000
Состояние дуэли
50 ,
0,305
0,293
0,191
0,611
0,716
0,734
0,733
0,392
0,314
0,205
0,149
0,107
0,157
0,168
5,
0,253
0,233
0,155
0,611
0,716
0,734
0,733
0,294
0,233
0,161
0,124
0,100
0,157
0,168
52
0,220
0,207
0,166
0,202
0,265
0,309
0,411
0,210
0,195
0,170
0,123
0,101
0,032
0,145
S,
0,454
0,495
0,426
0,750
0,760
0,737
0,733
0,605
0,584
0,496
0,314
0,171
0,170
0,170
S,
0,507
0,544
0,469
0,772
0,766
0,737
0,733 '
0,663
0,634
0,538
0,338
0,181
0,170
0,170
55
0,391
0,413
0,356
0,750
0,760
0,737
0,733
0,489
0,470
0,405
0,262
0,154
0,170
0,170
s6
0,286
0,272
0,228
0,191
0,242
0,286
0,395
0,288
0,268
0,236
0,158
0,118
0,029
0,014
$7
0,460
0,487
0,422
0,772
0,766
0,737
0,733
0,588
0,561
0,480
0,305
0,170
0,170
0,170
s8
0,346
0,337
0,285
0,224
0,253
0,286
0,395
0,375
0,348
0,300
0,194
0,132
0,029
0,014
S.
0,297
0,294
0,191
0,540
0,700
0,729
0,732
—
* В таблице приведены значения вероятностей результативного исхода дуэли в пользу стороны А для столкновений,
количественные характеристики условий которых представлены в табл. 2.3, 2.5.
Вероятности победы В в дуэли в пределах данной серии вириантов (за исключением малых дальностей) в большинстве случаев
определяются как дополнения соответствующих значений вероятностей победы А до единицы. Другими словами, в большинстве
случаев дуэль заканчивается результативно.


Это означает, что преимущество в эффективности
отдельных выстрелов А играет при данных условиях
решающую роль.
Если же дуэль начинается с дальности 1 500 м, то
силы сторон становятся примерно одинаковыми. Уже на
этой дальности более существенным является
состояние, в которым находится бой. Так, например, если имеет
место состояние S0, когда ни один из противников еще
не обнаружил цель, А побеждает с вероятностью 0,47;
если же сторона А уже обнаружила цель, а В еще нет,
то вероятность победы А повышается до 0,66.
Это существенное увеличение эффективности
представляет собой показатель высокой ценности
информации о местоположении цели. Дальнейшее
уменьшение дальности, соответствующей началу
столкновения, приводит к значительному снижению
вероятности победы А в дуэли. Таким образом, можно сделать
вывод, что в условиях примера 1 стороне В выгодно
сближение с противником.
В примере 2 изменены по сравнению с
рассмотренными условиями лишь характеристики местности. Здесь
столкновение сторон происходит на равнине.
Рассмотрение результатов решения и их сопоставление с
соответствующими результатами решения примера 1
показывает, что дуэль на равнине более выгодна (на каких бы
дальностях ни начиналось столкновение) для стороны А.
Таким образом, если сторона В имеет возможность
выбора для занятия позиции в обороне, ей можно
рекомендовать избегать равнинных участков местности.
Условия примера 3 можно для наглядности
трактовать таким образом: сторона А наступает и имеет
в своем распоряжении боевое средство //, сторона В
обороняется и имеет в своем распоряжении также
средство //. Если в этих условиях столкновение начинается
в состоянии So, сторона А выигрывает в среднем от 30%;
до 34% дуэльных боев в зависимости от дальности, на
которой начинается столкновение. Сторона В
соответственно выигрывает порядка 70% столкновений.
При этом ожидаемые результаты при всех
дальностях практически не зависят от налачия или отсутствия
прямой видимости. В этом легко убедиться, сравнив
результаты для соответствующих дальностей R при
начальных состояниях 50 и S9. Далее, если дуэль начинает-
77


Ся с дальностей 2 000—3 000 м, ее вероятные исходы
практически мало зависят от начального состояния.
Другими словами, различия в эффективности
обнаружения и скорострельности при этих начальных условиях не
играют существенной роли.
Условия примера 4 таковы. Наступает и обороняется
средство /. При этом обороняющаяся сторона В
открывает огонь начиная с дальности 2 000 м. Если
столкновение начинается с дальностей 2 500—3 000 м, то такое
«опоздание» стороны В уравнивает силы сторон, (50)
либо дает наступающему средству некоторые
преимущества. В дальнейшем с уменьшением начальной
дальности за счет преимущества обороняющейся стороны
в скорости обнаружения цели вероятность победы А
уменьшается, причем состояние, в котором находится
дуэль, играет существенную роль. Так, например, если
при дальности 1 000 м дуэль находится в состоянии S0,
то вероятность победы А составляет лишь 0,23; если же
средство А обнаруживает цель (53), то это уравнивает
силы сторон и сторона А уже в 51% столкновений
достигает успеха.
В примере 5 у наступающей стороны А средство //,
а у обороняющейся средство /. Рассмотрение
результатов приводит нас к очевидному заключению: сторона В
значительно превосходит сторону А. Вероятность
победы А в дуэли при начальном состоянии So,- имеющем
место на дальностях 1500—3000 м, составляет 0,11 —
0,15. В дальнейшем эта вероятность несколько
повышается, приближаясь к результатам, полученным в
условиях примера 1. Это объясняется выравниванием эффек-
тивностей стрельбы средств / и // на малых дальностях
стрельбы. Как и в предыдущих случаях, с уменьшением
дальности возрастает роль эффективности средств
обнаружения наступающей стороны Л, тогда как
дополнительная информация о местоположении цели для В не
имеет столь существенного значения. Чтобы убедиться
в этом, сравниваем ожидаемые результаты при
исходных состояниях So и Si.
Пример 6 может характеризовать такую ситуацию,
когда сохранены все условия столкновения, описанные
в примере 5, но обороняющаяся сторона В стремится
извлечь дополнительные выгоды для себя, не открывая
огонь до дальности 1 000 м.
78


Сравнив результаты расчетов для этих условий с
результатами решения примера 5, мы легко убедимся, что
сторона В не только не получит каких-либо выгод от
реализации своего решения, но и, наоборот, резко
ухудшит свои шансы на победу в дуэли. Например, если
в примере 5 вероятность победы А при начальном
состоянии S0 на дальности 1 500 м составила 0,145, то та
же вероятность для примера 6 составит уже 0,61.
Другими словами, сторона Л, раньше проигрывавшая около
85%' столкновений, теперь выигрывает более половины
дуэльных боев.
Наконец, пример 7 представляет нам столкновение
тех же противников, что и в примере 5, но на равнинной
местности. Анализируя ожидаемые результаты
столкновения при начальном состоянии S0 и сравнивая их с
соответствующими значениями для примера 5, мы можем
заметить, что равнинная местность несколько
увеличивает вероятности успеха в дуэли наступающего средства.
Здесь картина такая же, как в примере 2, хотя стороны
и поменялись боевыми средствами.
Сопоставление соответствующих результатов
расчетов для примеров 5 и 7 при начальном состоянии 5з
показывает, что информация о местоположении цели
для стороны А оказывается более ценной в условиях
равнины. Это вполне естественно, так как в условиях
пересеченной местности обнаруженная цель может быть
потеряна. С этого момента обороняющаяся сторона
вновь будет иметь определенные преимущества при
обнаружении. В условиях же равнинной местности эти
преимущества действуют лишь до первого обнаружения
цели, которая в соответствии с принятыми
предположениями не может быть потеряна без нарушения прямой
видимости. На равнине таких нарушений быть не может.
Таким образом, мы рассмотрели результаты расчетов,
представленные в табл. 2.6.
Теперь постараемся выяснить, насколько изменяется
соотношение сил в дуэли при условиях, когда не
учитывается рельеф местности и случайный характер
обнаружения. Для этого произведем сравнение ожидаемых
результатов столкновения, начавшегося в состоянии Ss
в условиях примера 2 (т. е. когда оба противника видят
друг друга, потеря видимости исключена и средства
ведут стрельбу только в процессе столкновения), с со-
79


ответствующими значениями вероятностей успеха А
в условиях примера 1 при исходном состоянии S0. Для
наглядности результаты расчетов представлены в виде
графика на рис. 2.1.
Такое же сравнение может быть произведено между
результатами расчетов для примеров 7 и 5. Анализируя
графики, представленные на рис. 2.1, мы убеждаемся,
* \
ко
0.8
аб
ол
ол
0
\
"
*—
■ ,
/
>/ 2_
1 1 1 1—*.
200 500
1000
1500
2000 2500 3000 R
Рис. 2.1. Графики изменения вероятностей победы
Л (Я):
/ — вероятность победы А при состоянии 5s, пример 2; 2 —
вероятность победы А при состоянии «So, пример 1: 3 —
вероятность победы А при состоянии Ss, пример 7; 4 — вероятность
победы А при состоянии So, пример 5.
что учет влияния рельефа и случайного характера
обнаружения при оценках ожидаемых результатов
столкновения имеет существенное значение. И дело не только
в том, что различие между соответствующими
значениями вероятностей победы А с учетом и без учета этих
факторов составляет иногда 0,2—0,25. Еще более
существенным (см. кривые 1 и 2) является то, что оценка
соотношения сил в корне может измениться в
зависимости от того, получен ли результат с учетом или без
учета рельефа местности и случайности обнаружения.
В самом деле, если судить по кривой / (т. е. не
учитывать эти факторы при расчетах), то можно уверенно
сделать вывод о превосходстве Л, на какой бы дальности
ни начиналось столкновение. Если же ввести в рассмо-
80


трение при расчетах характеристики местности и
обнаружение, т. е. получить кривукх 2, то станет ясно, что А
будет иметь преимущество (кстати не столь подавляю
щее!) лишь при условии, что началу столкновения
соответствуют дальности, большие 1500 м. При меньших
дальностях успех чаще сопутствует стороне В.
Рис. 2.2. Вероятности достиже- 0~\ ^—~
ния заданного рубежа: ' I ^s*0*^
1 — вероятность достижения рубе- | ^уу\^0^^я^ у
жа 500 м, ^а = 1° км/ч<*с; 2 — ве- 0,5 \ ^^^^^
роятност.ь достижения того же ру- s^*"^
бежа, уа=20 км/час. п 7 \уг
' 1000 1500 2000 2500 3000 R
До сих пор мы рассматривали примеры, в которых
столкновение в принципе могло продолжаться до тех
пор, пока расстояние между боевыми средствами не
станет равным нулю. На рис. 2.2 в графической форме
представлены некоторые результаты расчетов для двух
примеров, в которых столкновение фактически
заканчивается, как только стороны сблизятся на расстояние, не
превышающее 500 м. Дадим краткий анализ
результатов решения этих примеров.
В примере 8 представлены условия, когда сторона А
стремится выйти на рубеж 500 м. В остальном остаются
в силе условия примера- 1. На рис. 2.2 кривая /
характеризует значения вероятностей выхода А на рубеж
500 м при условии, что столкновение начинается в
состоянии So. Если сравнить эти значения с
соответствующими значениями вероятности победы А в условиях
примера 1, то можно убедиться в том, что различий
практически нет. Это означает, что дуэль, начинавшаяся
с дальностей 1 000—3 000 м почти всегда заканчивается
поражением одного из противников до того, как стороны
сблизятся до 500 м.
Условия примера 9 отличаются от предшествующего
лишь тем, что сторона А увеличивает скорость
перемещения до 20 км/час, т. е. вдвое. Значение вероятностей
достижения стороной А заданного рубежа при условии
начала дуэли в состоянии 50 определяются кривой на
рис. 2.2.
Сравнивая кривые / и 2, убеждаемся в том, что
увеличение скорости в случае начала дуэли на дальностях
1 500—3 000 м снижает значение вероятности выхода А
6-1301 §1


на заданный рубеж. Затем (в пределах 1300—1400 м)
увеличение скорости практически не оказывает влияния.
При дальностях начала столкновения 1000—1300 м
увеличение скорости дает наступающему средству
определенный выигрыш: значение вероятности выхода на
интересующий нас рубеж повышается (кривая 2 выше
кривой 1). Полученный результат позволяет выдвинуть
гипотезу о том, что при определенных условиях имеет
смысл маневрировать скоростью в процессе
перемещения.
Такого рода гипотезы могут довольно часто
выдвигаться в процессе рассмотрения результатов решения,
однако от гипотезы до окончательного вывода довольно
нелегкий путь: требуется, как правило, всесторонний
анализ возможностей и дополнительные расчеты.
В заключение поставим вопрос о степени точности
получаемых результатов. В самом деле, верны ли
первые, вторые или все три знака после запятой у
результатов, приведенных в табл. 2.6?
Если считать, что в действительности выполнены все
те допущения и предположения, которые были сделаны
при выводе системы уравнений (2.17), то ошибки могут
возникать лишь за счет метода вычислений. В этом
смысле точность результатов расчетов может быть
практически любой. Однако, оценивая результаты
расчетов, мы всегда будем говорить о их приближенном
характере.
Приближенный характер этих результатов связан
в основном с двумя моментами.
Во-первых, в модели лишь приближенно учитывается
влияние основных факторов, определяющих ход и исход
столкновения. Степень точности учета этих факторов
ограничивается возможностями построения эффективной
с точки зрения расчетов и удобства анализа результатов
математической модели дуэли. Отсюда возникают
ограничения и допущения, в известной степени искажающие
действительную картину столкновения. Возможный путь
снятия ряда таких ограничений — построение
стохастических моделей боя — рассматривается в гл. 5.
Во-вторых, дуэльная ситуация не является
исчерпывающей для анализа боевых действий. Простое
суммирование дуэлей не дает картину группового боя. Только
в групповом бою в полной мере проявляют себя взаимо-
82


действие боевых средств, особенности и качество
управления боем.
Подводя итоги изложения вопросов математического
моделирования простейших форм вооруженной борьбы,
необходимо сделать ряд замечаний общего характера.
Прежде всего следует отметить, что рассмотренные
в данной главе модели далеко не исчерпывают всего
многообразия результатов, имеющихся в настоящее
время по вопросам математического моделирования дуэлей.
Здесь был изложен тот минимум математического
аппарата, который позволяет познакомить 'Читателя с
основными принципами моделирования дуэлей, с важнейшими
чертами математических моделей как средства
исследования динамики боя.
Наконец, сами принципы математического
моделирования, подход к решению задач отображения
математическими средствами реальных процессов могут быть
широко использованы в приложениях, связанных с
решением вопросов оценки эффективности промышленного
оборудования, сельскохозяйственной техники и т. д.
Однако, говоря о широких возможностях применения
аппарата, не следует забывать о границах практической
применимости, о значимости конкретных количественных
результатов моделирования и характере возможных
конкретных выводов на основе моделирования.
Решая практические задачи с помощью моделей
простейших форм вооруженного столкновения, следует
помнить о том, что результаты моделирования ни в коем
случае не являются абсолютными, точными
количественными оценками эффективности сталкивающихся боевых
средств. Получаемые числовые значения являются
приближенными, а возможные выводы на их основе должны
носить характер ориентировочных рабочих гипотез,
которые подлежат дальнейшей проверке на учениях, в
условиях полигонов и т. д. Другим возможным способом
проверки является создание более точных
математических моделей боя, построенных на менее грубой системе
ограничений и допущений специально для проверки
такого рода гипотез.
Помимо самостоятельного прикладного значения
модели простейших форм вооруженного столкновения
имеют большое значение в чисто методическом плане.
Ввиду сравнительной простоты боевых ситуаций при
6* 83


построений математических моделей простейших форм
столкновения наглядно представляются в действии
основные принципы и приемы математического
моделирования, отчетливо выделяются основные элементы,
присущие всем математическим моделям боя.
Приобретение навыков моделирования и отработка
принципов построения моделей простейших боевых
ситуаций, разработка и совершенствование применяемого
при этом аппарата, постановка и решение практических
задач — все это облегчает описание и анализ групповых
боев и сражений. В этом смысле дуэли являются как
бы первичной ячейкой, основой более сложных
математических моделей.


3
АНАЛИТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ГРУППОВОГО БОЯ
Рассмотренные в предыдущей главе модели
простейших форм вооруженной борьбы, огневых дуэлей
оказываются весьма полезными при решении вопросов,
связанных с оценкой эффективности оружия, приборов
наблюдения и элементарных тактических приемов. Однако
они не дают ответа на основные вопросы, возникающие
при количественных исследованиях боевых действий, и
не позволяют определить параметры, характеризующие
динамику боевых действий. К таким параметрам
относятся: темп потерь,сражающихся сторон, их абсолютная
или относительная численность и ее изменение в ходе
боя, построение и плотность боевых порядков и т. п.
Количественное исследование динамики боевых действий
в целом и определение основных параметров может
быть произведено только на основе математических
моделей группового боя.
В настоящей главе делается попытка применения
аналитического аппарата к исследованию простых форм
группового боя.
С этой целью сначала рассматривается модель боя
однородных линейных группировок, устанавливаются
зависимости, позволяющие определить численности
сторон в ходе боя и в момент окончания боевых действий.
Вводятся коэффициенты соизмеримости средств,
учитывающие качественные и количественные показатели
различных видов оружия. Затем делаются необходимые
допущения, позволяющие обобщить модель на случай
группового боя неоднородных средств путем замены
в каждый момент времени неоднородной группировки
эквивалентной ей однородной группировкой. В
заключение рассматривается упрощенная модель группового
боя при равномерной плотности боевых порядков.
85


В главе приводятся примеры и схемы, дополняющие
методический материал и показывающие возможные
области применения рассматриваемых моделей.
3.1. Бой группировок однородных
средств. Формализация реального
процесса. Построение модели боя
Рассмотрим бой двух противодействующих
группировок, перед каждой из которых стоит задача —
уничтожение огнем средств противника. Группировка А имеет
в своем составе пао боевых средств одного типа,
группировка В — пъо средств другого типа.
Сторона А
/
-/. — +-
-т-\^-/4-----,
I \Л / ЧР
—0-^-0—-0^"—°—^~^—О—О—-<^—-0—-С—
Рис. 3.1. Схема расположения огневых средств сторон.
Предположим, что в начальный момент времени
группировки расположены в линейных боевых порядках
на расстоянии D друг от друга (рис. 3.1). В ходе боя
это расстояние может изменяться по заданному закону,
учитывающему в качестве основных параметров
характеристики ходовых свойств перемещающихся средств и
проходимость местности. Местность в математических
моделях боевых действий подразделений сухопутных
войск играет существенную роль при формализации
реального процесса. Необходимо учитывать ее влияние
на скорость перемещения, на эффективность процесса
обнаружения целей и стрельбы, результативность
которой в значительной мере зависит от времени, в течение
которого движущаяся цель находится в пределах
прямой видимости.
В этой схеме проходимость местности
характеризуется одним параметром: коэффициентом сопротивления
движению f, который определяется по данным полигон-
86


ных испытаний и при известной удельной мощности
двигателя Л^уд позволяет определить скорость отдельного
боевого средства и всей группировки. Муд достаточно
полно характеризует ходовые возможности танков и
других самоходных средств и для большинства из них
колеблется в небольшом интервале, что облегчает зада-
Рис. 3.2. Характер зависимости vmax = vmax (/, Муд).
ние скорости в табличной или графической форме. На
рис. 3.2 показан характер кривых vmax='Vmax(f> Муд), где
Vmax — максимально возможная на местности данного
типа скорость движения, причем NyM>Ny}l2>Nyjl3.
Как правило, вид функции vmax(f, Л^уд) определяется
эмпирически при обработке статистических данных для
выбранного класса грунтов.
Другой аспект воспроизведения местности в
модели— учет ее влияния на обнаружение целей.
Предположим, что в начальный момент противники начинают
поиск целей и лишь после обнаружения цели открывают
огонь. Считаем, что все средства обнаруживаются с
вероятностью Яобн, которая является функцией времени
наблюдения, типа и состояния цели, дальности до цели
и характеристик оптических свойств приборов
наблюдения. В общем виде теория поиска разработана для
достаточно широкого класса задач (см., например, [26]),
и в общем случае вероятность обнаружения цели
определяется как условная вероятность, учитывающая как
вероятность размещения цели в точке обнаружения, так
и вероятность обнаружения ее средствами наблюдения
87


при условии расположения цели в этом месте.
Предположим, что вероятность Я0бн задана на всем диапазоне
дальностей для исследуемой пары боевых средств и
заданных условий маскировки и времени года как
функция времени поиска. Понятие поиска в том виде, в
котором оно здесь употребляется, требует некоторого
пояснения.
Если мы представим себе танк, экипаж которого
пытается обнаружить цель, то, очевидно, обзор местности
будет осуществляться членами экипажа в ограниченном
секторе и в течение определенного времени, зависящего
от состояния атмосферы, дальности до цели, ее
характера и других факторов. Зададим функцию,
определяющую размеры сектора, в котором ведется поиск цели,
в зависимости от этих условий и назовем этот сектор
сектором обнаружения. Предположим, что на
однократный обзор местности в этом секторе экипаж
затрачивает время т. Будем считать, что величина т отражает и
влияние дальности прямой видимости, и степень
разведанное™ обороны противника, и степень
подготовленности экипажа, и время предварительного наблюдения,
а сам однократный обзор местности в секторе
обнаружения в течение времени т назовем поиском. Таким
образом, принимаем, что процесс обнаружения цели
идет в режиме поисков и характеризуется вероятностью
обнаружения цели в поиске, начавшемся в момент t:
Po6H = P(t, Т, D).
При сделанных предположениях, если в секторе
обнаружения находится т целей, математическое
ожидание числа обнаруженных из них за время поиска при
условии независимости событий обнаружения каждой
может быть подсчитано по формуле
(3.1)
где т = тцА(а;
Пь
т — . _
ГПМ А2ь«ЛОь
^обн^'^^обн,
- число целей к
на единицу ширины
фронта в момент t\
A/a = 2Dtg<pn — видимая экипажем часть фронта;
D — расстояние между противниками в
момент t\


tpn— половина сектора обнаружений
средств группировки А\
Д1)ь — интервал по фронту в начале боя
между средствами группировки В;
пъ — текущее значение численности
группировки В.
Предположим теперь, что экипаж танка начинает
стрельбу в том случае, когда т0бн^1, и ведет обстрел
цели до ее поражения, а затем приступает к поиску
новых целей. В этом случае при т0бн^1 время,
затрачиваемое на поиск цели, будет равно т. Если же т0бн<1, то
для обнаружения потребуется повторный поиск, а число
поисков, необходимых для того, чтобы математическое
ожидание числа обнаруженных целей равнялось
единице, будет равно
1
8
/Иобн
Среднее время, затрачиваемое на обнаружение цели,
определим из соотношения
при тобн> 1,
при /я0бн< 1-
После того как экипажем танка проведен поиск и
обнаружено некоторое количество целей, следует
процесс выбора цели. При математическом описании боя
группировок однородных средств, если пренебречь
отклонениями от средних условий на флангах, можно
считать, что все огневые средства каждой группировки
находятся в одинаковых условиях. Ввиду этого для
нанесения противнику максимальных потерь, что принято
в качестве основной задачи боя, наиболее выгодным
будет равномерное распределение огня своих огневых
средств по целям противника. В настоящем параграфе
будем считать, что после успешного поиска выбор цели
произведен, а при описании динамики боя вернемся
к этому вопросу еще раз.
Если цель выбрана, найдем число выстрелов М>
необходимых для ее поражения. При заданных
характеристиках рассеивания, защищенности цели и расстоя-


нии Между целью и Средством поражения
уИ = Я1 + 2Р2(1-Р1) + ЗЯ,(1-Р2)(1-Р1)-Ь
+ ... + /P<(l_Pi.1)...(l-P1) + ..., (3-2)
где Р{ — вероятность поражения цели в i-м выстреле:
Pi = Pi-l~
2i-i
что справедливо при возрастании вероятности
поражения от i-ro выстрела к (/+1)-му за счет корректировки
на величину
Ртах-Рн
2
где
Ртах^^РтахуВб, В$, /?д, Лд, /ц, ТПц)\
Р1=^^Р1(ВбПу Ввп, Ддш Ац, /ц, /Яд);
со — вероятность поражения цели при
условии попадания;
Л(£бп, ^вп, 5ДП)—вероятность попадания в цель
в первом выстреле;
#бп, ^вп, 5ДП — срединные отклонения, причем
BBn = BBn(D)y 5бп = 5бпф), 5дП=
= 5Дпф);
Я1ц, Ац, /ц— ширина, длина и высота цели.
Число членов £ в формуле (3.2) может быть
ограничено, если задаться точностью вычислений е=Яг—Pi-i-
При этом
, 1п—«—
5=1+-
1п2
и формула (3.2) принимает вид
я Ri i-\
где £{£] — целая часть величины ig.
90


При Pi = Pi для любого i, т. е. при стрельбе без
корректировки, из (3.2) получим
M = Pl(l+2q + 3q* + ... + iq*-* + ...) =
— р d я _ *
где q=\—Pi.
При известном 7W среднее время, затрачиваемое на
поражение цели одним средством, будет равно
t =-iL
tn — s ,
где 5 — боевая скорострельность поражающего
средства.
Среднее время, затрачиваемое на поиск и поражение
цели одним средством группировки, найдем как сумму
t )бн И in"
В качестве основной характеристики боевых средств
противников в модели будем использовать величину,
обратную времени, затрачиваемому на поиск и поражение
одной цели, т. е. число целей противника, уничтожаемых
в единицу времени одним огневым средством стороны А:
v«(0= S°
' Ma + Sataga'
и одним средством стороны В:
^=штк^;- <3-3>
Вид формул зависит от принятой схемы
формализации реального процесса. В зависимости от требуемой
точности воспроизведения процесса боя его описание
может быть детализировано в большей или меньшей
степени, чем это описано выше. Предложенная схема
формализации пригодна для предварительных оценок
некоторых параметров боя и вооружения танков, а
также для уяснения основного принципа построения
модели.
91


Из принятой схемы формализации боя следует, что
боевые средства каждой из воюющих группировок
находятся в одинаковых условиях и характеризуются
параметрами Va И V&.
Для описания динамики такого боя необходимо
иметь возможность в любой заданный момент времени t
определить вероятность уничтожения боевого средства
в каждой группировке.
В ряде работ, и в частности в [7], авторы
предполагали, что время уничтожения цели в бою /у есть
случайная величина, подчиненная экспоненциальному закону
распределения. Принятие этого закона предполагает
некоторое искажение свойств реального процесса. Из
него, например, следует, что время tY может быть сколь
угодно малым, что перенос огня после уничтожения цели
происходит без затраты времени и т. д. Однако несмотря
на это, получаемые результаты достаточно хорошо
соответствовали реальному процессу. Примем и мы, что
интегральная функция распределения случайной
величины ^у имеет вид
F{f) = P{tv<t} = l-e*.
Величину jlx найдем из выражения для
математического ожидания /у:
00
1
Л^у]==^шГ^«--^, »*=-
M[t7i
о
т. е. \i есть среднее число цеЛей, уничтожаемых в
единицу времени при обстреле одним боевым средством.
Если в ходе боя пъфпа, то число средств г,
обстреливающих цель, будет отличаться от единицы. При
обстреле цели несколькими средствами
P{ty>t} = P{tn>t; tY2>t;...tYZ>t} =
-ПЯ{<у*>0 = е^
и вероятность уничтожения за время t боевого средства
малочисленной группировки будет
P{t,<t} = l-e
92
—zvt


а при г и v, зависящих от t>
t
— Г г (х) v (x) dx
Р{гу<*} = 1—е о . (3.4)
Ввиду однородности группировок в качестве
выражения для определения величины z(t) при Пь>па можно
принять отношение текущих численностей
z(t)=-
Па
Однако следует иметь в виду, что в реальном бою
число огневых средств, ведущих огонь по одной цели,
обычно ограничено, поэтому в тех случаях, когда
исследуется бой, продолжающийся до полного уничтожения
одного из противников следует ограничивать возможные
значения величины z(t), исходя из целей исследования
или тактических принципов.
При определении вероятности уничтожения средства
более многочисленной группировки (пъ>па), в которой
обстреливаются только па средств, исходя из
однородности группировки, можно считать, что каждое средство
обстреливается с вероятностью
Вероятность уничтожения средства более
многочисленной группировки за время t найдется по формуле
t ( ~ f v (У) dy\
P{tY<t} = ^Po6cT(x) дх° -dx. (3.5)
о
Для группировок А и В уравнения (3.4) и (3.5)
примут вид
t
nb(u)
"^T)v&(w)rf"
Pa{tY<t} = l-e о
u
' - f ve (y) dy
>b{^<0=J^-va(«)e о du. (3.6)
0
93
-I-


Совокупность уравнений (3.6) описывает процесс боя
с учетом ответного огня каждого из противников.
И гак, в любой момент боя мы можем определить
вероятность, с которой в каждой из группировок к
данному моменту времени поражено определенное количество
средств. Ввиду однородности средств, воспользовавшись
формулами биномиального закона, можем найти и
вероятность поражения ровно х средств к моменту t:
Ра {X} = СХПаРХа {ty <t}\\-Pa {ty < t}fan-X , 0<Х<Паа,
pb{x} = c;oPxb{ty<t}[i-pb{t?<t}]nb0~x, o<x<nb0.
(3.7)
Однако в ряде боевых ситуаций боевые действия не
могут продолжаться до полного уничтожения одной из
сторон. Исходя из этого целесообразно задать уровни
в численностях группировок, при достижении которых
они теряют боеспособность в данной тактической
ситуации.
Используя формулы (3.7), при заданных значениях
уровней численности пка и Лль(1^Лла^ла0, 1^Лль^Льо)
можем подсчитать вероятности потери и сохранения
группировками боеспособности к моменту t:
Ра {Па </*„}=£ CXnaQ Р\**~* {ty <t)X
X\^-Pa{ty<t)Y = Pna^
Pb{nb<nhb) = V CxnM Pbb° {ty<t}X
XV-Pb{ty<t}]* = Pnb<nkb,
Pa{na>nha}=l-P
nka
Pb{nb>nhb}=l-Pn^b. (3.8)
94


Если оба противника в момент / имеют средние
Численности больше уровней боеспособности, то можно
считать, что бой в этот момент времени продолжается с
вероятностью
PAB = V-Pnb^JV-Pna&J- (3-9)
При боеспособности одной из группировок и поражении
противника к этому моменту, можем записать
соответствующие вероятности, назвав их вероятностями победы:
РА =Pnb^nhb(l ~Pna^nha)>
Вероятностная оценка боя с помощью (3.8), (3.9),
(3.10) проводится для любого момента времени, и,
следовательно, возможна в момент окончания боя 4, под
которым будем понимать математическое ожидание
времени достижения одной из группировок численности,
меньшей уровня боеспособности. Для определения
величины tu уже получены вероятности Рп <Сп и Рп <п .
Совокупность их значений в ходе всего боя дает
интегральные функции распределения для обеих сторон,
позволяющие вычислить математическое ожидание
времени окончания боя в виде
M[tk\ = mm^tdP{nb<nhb} dt;
0
Jt др1"°<п**У dty (3.11)
о
так как событие пъ^пкъ (па<Пна) эквивалентно
событию tk^t.
Полученная совокупность математических
зависимостей описывает изменение состояний всех объектов
исследуемого процесса во времени.
Таким образом, можно считать, что формулы (3.1) —
(3.11) представляют решение поставленной в этом па-
95


раграфе задачи. Однако для полноты
формализованного описания процесса следует сделать некоторые
предположения относительно перемещения подвижных боевых
средств. Независимо от того, моделируется ли
встречный бой танков или атака танков на обороняющегося
противника, самым простым является задание скорости
как случайной величины с постоянными параметрами.
Не претендуя на исчерпывающее описание тактических
приемов, можно сделать несколько допущений
относительно характера зависимости скорости перемещения
наступающей группировки. Рассмотрим один из
возможных вариантов, который удовлетворяет достаточно
широкому классу боев.
Предположим, что танки движутся в атаку со
скоростью v, находящейся между минимальной vmin,
определяемой из тактических соображений или зависящей
от огневого воздействия обороняющихся, и максимально
возможной скоростью Vmax. Скорость может отражать
необходимость маневрирования и использования
складок местности в зависимости от состава обороняющейся
группировки, от ее огневого воздействия или от типа
местности, затрудняющей прямолинейное движение
танков. Если предположить, что огневое воздействие
противника можно учесть коэффициентом превосходства q,
который равен отношению вероятностей победы
то будем считать, что в начальный момент боя скорость
атакующих танков равна
У = 1>(*7о, Vmin, Vmax),
а при экспоненциальной зависимости от q
V = е \Pmax Vmin) ~т~ ^mm»
где а — коэффициент, подбираемый из соображений
наилучшего согласования с действительностью.
Изменение коэффициента q в ходе боя отражает
характер боевых действий. Если отношение qo/qt растет, то
это значит, что вероятность победы наступающих танков
увеличивается относительно соответствующей
вероятности для группировки противника, и можно предполо-
96


жить, что подразделение будет убеличивать сёою
Скорость, которая будет приближаться к пределу +Vmax-
Если же величина ф/qt уменьшается, то это
свидетельствует о том, что атака успешно отбивается и
наступающее подразделение может предпринять отход и его ско-
.ef
Рис. 3.3. Зависимость скорости движения танков от
характера бОЯ (1>тах = я).
рость будет падать, стремясь к пределу, равному —Umax-
На рис. 3.3 показаны кривые, соответствующие
приведенным рассуждениям в случае экспоненциального
закона изменения скорости в зависимости от отношения
Чо/qt-
vt = 2vmax\0,5-e H Vma* v J. (3.12)
Характер кривой определяется заданием скорости v
и в предельных случаях может отражать самые
разнообразные боевые ситуации, начиная с исключающих
отступление при v^vmax (случай I) и кончая поспешным
отходом из-за неудачи при соответствующем выборе
Vmin И У~Vmin (случай III).
Формулой (3.12), отражающей перемещение
противников, завершается построение модели боя группировок
однородных средств.
На рис. 3.4 показаны графически основные
характеристики боя при яао=10 и пьо=5. Кроме математиче-
7—1301 97


ского ожидания численности каждой группировки в Мб-
менты Va, t"а, ¥"а, Vв, i"в, t'" в на графиках показаны
многоугольники биномиального закона, определяющие
вероятности выживания в эти моменты времени ровно
х средств.
,£. * М. о чи с лен» ост и М [п i с)]
Побеждающая группировка
Вероятность Pb{tu<t\
Рис. 3.4. Распределение численностей сторон в ходе боя.
Поскольку оценку большинства параметров
вооружения боевых средств и способов их применения принято
проводить, рассматривая в качестве основного критерия
численность группировки в ходе боя, можно считать, что,
получив основные характеристики этой величины как
случайной функции, мы достаточно полно
охарактеризовали бой малых группировок однородных боевых
средств сухопутных войск. При переходе к более общей
и более соответствующей реальному процессу
постановке задачи о моделировании боевых действий
разнородной группировки можно предложить несколько путей
98


исследования. Не говоря уже о применении
стохастических моделей как универсального, но обладающего
рядом недостатков аппарата, можно, например, построить
•аналитическую модель, позволяющую учитывать все
разнообразие возможных боевых ситуаций с участием
разнородных боевых средств. Эта модель, очевидно,
будет тем более громоздка, чем крупнее масштаб
исследуемого боя, и ее применение, несомненно, будет
ограничено либо из-за затрачиваемого времени, либо ввиду
ненаглядности получаемых результатов. Вторым, ,-на наш
взгляд, следует считать метод замены объектов
формализованного процесса, обладающих различными
характеристиками, одним стандартным эквивалентом.
Рассмотрению этого вопроса посвящается следующий
параграф.
3.2. Модель боя неоднородных
линейных группировок
В гл. 2 рассматривались коэффициенты
соизмеримости (сопоставимости) боевых средств на основе
математического моделирования боевых действий дуэльного
типа. Переходя к анализу групповых боевых действий,
необходимо помнить, что при замене неоднородных
боевых средств однородными должны быть учтены не
только индивидуальные свойства средств каждого типа, но и
свойства, которые приобретаются ими при объединении
в различные группировки. Эти свойства
обусловливаются дополнительными возможностями группового боя
по сравнению с дуэлью, такими, как возможность
обстрела одной цели несколькими средствами,
варьирование способами группового обстрела с учетом целерас-
пределения и более слабая зависимость результатов
боевых действий от потерь отдельных боевых средств.
В первом приближении влияние так называемого
«фактора массовости» на коэффициенты соизмеримости
разнородных боевых средств может быть установлено
при помощи модели группового боя однородных средств,
рассмотренной в предыдущем параграфе. Предположим,
что рассматривается бой группировок в постановке
§3.1. Будем считать, что эти группировки эквивалентны,
если в ходе боя ни одна из них не получает
преимуществ. Очевидно, при этом можем предположить,
7* 99


что одному средству типа А эквивалентно Пьо/па0 средств
типа В, где пао — начальная численность средств одного
типа в группировке А и пьо — то же для боевых единиц
другого типа в группировке 5. Это отношение назовем
коэффициентом соизмеримости и обозначим
Х(Л-£) = -^-.
Очевидно, что
Поясним на примере смысл коэффициента
соизмеримости. Если, например, для тяжелого и среднего танков
во встречном бою х^М, то это значит, что во
встречном бою 14 средних танков и 10 тяжелых ни один из
противников в среднем не будет иметь преимущества.
Очевидно, что заменял группировку средних танков
10 тяжелыми или группировку тяжелых 14 средними, мы
получим аналогичную картину.
Таким образом, коэффициент % позволяет
эквивалентную замену рассматриваемой группировки. Такая
замена была бы полностью правомочна в течение всего
боя, если бы значение % сохранялось постоянным
независимо от начальных условий и хода боя. На самом
деле тактико-технические параметры оружия зависят от
многих факторов, в первую очередь от расстояния между
противниками и условий наблюдения и для разных
средств изменяются различным образом. Например, для
ствольных средств функции %(£>), как правило,
монотонны, а для противотанковых управляемых реактивных
снарядов (ПТУРС) могут иметь максимумы
(минимумы), соответствующие дальности наименьшей
(наибольшей) эффективности.
После сделанных замечаний относительно понятия
соизмеримости перейдем к более детальному
рассмотрению основной формулировки, определяющей
эквивалентность воюющих группировок, и поясним, что
следует понимать под словами «ни одна из сторон в ходе
боя не получает преимущества».
При постановке задачи § 3.1 было сделано
предположение о том, что противники располагаются по
параллельным прямым и что область действия каждого боево-
100


го средства ограничена сектором обнаружения.
Следствием этого предположения был отказ от допущения
о неограниченном росте относительного численного
превосходства побеждающей стороны. Было принято, что
это превосходство в заданный момент времени
сохраняется постоянным в любой точке соприкосновения
противников и ограничено некоторым пределом. Если
превосходство близко к единице в любой момент боя,
значит результатом боя будет взаимное уничтожение
противников, и в этом случае будет справедливо
заметить, что ни один из них не получил преимущества.
Рассматривая при этом относительные численности сторон,
можем написать:
%i/i^l = L (3,4,
Однако для выполнения условия (3.14) не всегда
удается подобрать такие начальные значения численно-
стей группировок, чтобы можно было пренебречь
отклонениями от единицы отношения относительных скоростей
потерь. Поэтому .зададим предел е возможного
отклонения от единицы отношения (3.14) в ходе боя. Зададим
также момент, до которого должно выполняться это
условие. Этот момент определяется из тех
соображений, что, несмотря на возможность задавать различные
уровни боеспособности, практически большинство
боевых ситуаций не представляет интереса для
исследований после уничтожения одной из сторон на 50—60%.
Таким образом, можно считать, что если до момента
уничтожения половины боевых средств одной из воюющих
группировок значение отношения (3.14) не отличалось
от единицы более чем на величину е, то воздействие
противников друг на друга эквивалентно и ни один из
них не получает преимущества в ходе боя. В этом
случае величину
_'(£)/'(•£)..
^-"Чг^-Чг^' (3-15)
назовем критерием соизмеримости или критерием
равенства скоростей относительных потерь, а соответствующие
коэффициенты соизмеримости будем обозначать %'.


Предложенный критерий К! не является
единственным. В некоторых задачах можно считать, что
противники не получают преимущества в ходе боя и при
других условиях. На основе введенного в § 3.1 понятия
вероятностей победы каждого из противников можно
предложить в качестве второго критерия величину
где индекс «е, 50%'» означает то же самое, что и у
критерия К', т. е. что величина К" не отклоняется от
единицы больше чем на малую величину е при изменении
относительных численностей сторон в интервале 1—0,50.
Критерий (3.16) является несколько более гибким,
а коэффициенты %" существуют для значительно
большего числа типов боевых средств и при меньших
ограничениях по е. Это объясняется тем, что критерий К
предполагает равенство вероятностей
Pa{tl<tY=Pb{ty<t}
при /С'=1, тогда как критерий К!' при
*М0 Р„ <п (1—Яя<=я )
л v ' пь^пкъ v па^пка' |
обусловливает равенство
Р =Р
из которого, используя выражение (3.8), при nha=tihb==
=0 получаем
Paa°{ty<t}=PT{ty<t}
..„_ Па, _1пРо{<у<<> ,о »7ч
1052


При отличных от нуля уровнях боеспособности
критерий К" вычисляется по формуле
па0
£ СХПа0Ру-Х^-РаГХ
К
,, *=пЬа+1
"ьо
х=пкь+1
пкь
х&'/Гс-^
*=гО
nhcL
чу С1 Г* рпаО~~х /1 ~ ч
X.24naQP* 0 -Ах)*
Критерий К" позволяет вычислять коэффициенты
соизмеримости в значительном диапазоне начальных
условий и для большого числа типов боевых средств. На
рис. 3.5 показано изменение функции /С" в зависимости
от вероятностей Рт=\—P{ty<t} для различных
соотношений начальных численностей. Критерию К! здесь
соответствует только кривая х"—!* что является ДОСТаТОЧ-
?,0
P*=t-Pfty<t)
т0^,п0
* -т0
Рис. 3.5. Зависимость критерия К" от
начального соотношения численностей %"=*%" (Ржа,
Pmb).
103


но жестким ограничением, обусловливающим различие
критериев К! и /С".
Расчеты по приведенным формулам показывают, что
для практически наиболее вероятных боевых ситуаций
значения коэффициентов %' и х" незначительно
отличаются друг от друга, поэтому в дальнейшем не будет
отдано предпочтение одному или другому критерию для
вычисления коэффициентов соизмеримости. Следует
только иметь в виду, что критерий К! обязательно
предполагает воздействие противников друг на друга в ходе
боя и не существует в тех случаях, когда один из
противников обстреливается, но сам не может открыть огонь
из-за низких тактико-технических характеристик своего
вооружения. В этом случае для этих же типов средств и
этих же дальностей следует пользоваться
коэффициентом х"> так как критерий К" в этих условиях
существует.
После рассмотрения принципов построения
аналитической модели боя однородной группировки и
определения основных понятий соизмеримости отдельных боевых
средств и эквивалентности противников переход к
построению модели боя танков с разнородной
группировкой не представляет трудностей. Дополнительно к тем
допущениям, которые были сделаны выше, следует
принять, во-первых, что один из противников располагает
N типами боевых единиц, причем средства каждого
типа равномерно распределены по фронту. Во-вторых, для
каждого средства определены на всем диапазоне
дальностей коэффициенты соизмеримости Хгь и хы'
%ib = x(Ai->B),
Xbi=x(B-+Ai)f
i=l 2, ..., М
При сделанных обобщениях для применения метода,
использующего замену разнородных боевых средств
группировки равноценным с точки зрения
взаимодействия с противником количеством однородных средств,
следует остановиться на рациональном выборе
эквивалентного средства для каждой группировки.
Решить этот вопрос можно различными способами.
Во-первых, в качестве единицы приведения можно за-
104


дать постоянно выбранное на весь бой средство, которое
по своим параметрам в какой-то степени лучше других
соответствует этой цели в среднем в течение всего боя.
Например, можно выбрать средство с максимальной
дальностью стрельбы, тогда при исследовании боя на
больших дальностях расхождения с реальным процессом
будут незначительными. При анализе боя на средних
дальностях такая замена допустима уже только в
отдельных случаях.
Задание постоянного эквивалента сокращает объем
вычислений, и им целесообразно пользоваться для
предварительных оценок. При более точных расчетах в
качестве второго варианта выбора средства приведения
можно применить алгоритм, согласно которому на каждом
шаге вычислений выбирается то средство из числа
имеющихся в составе группировки, для которого коэффициент
соизмеримости со средством наступающего
противника— танком — принимает наименьшее, отличное от нуля
значение. Так как характеристики всех боевых средств,
участвующих в бою, приняты известными заранее, то
выбор наиболее эффективного средства не являтся
затруднительным. В результате реализации предлагаемого
алгоритма реальный процесс заменен моделью боя
однородных группировок. (Обобщение описываемой
методики, основанной на использовании коэффициентов
соизмеримости, на случай, когда обе воюющие группировки
состоят из неоднородных боевых средств,
затруднительно.)
При моделировании боя танков с разнородной
противотанковой обороной (ПТО) мы можем определить
ущерб, наносимый им средствами ПТО определенного
типа, а также определить и количества средств ПТО
каждого типа, которые за этот же промежуток времени
нанесут танкам аналогичный ущерб. При определенных
требованиях к виду функций %(D) для всех
участвующих в бою средств ПТО в первом приближении можно
считать допустимой замену средств ПТО одного типа
средствами другого типа в количестве, необходимом для
нанесения эквивалентного ущерба.
При моделировании боя, в котором обе воюющие
группировки состоят из неоднородных средств, пришлось
бы в каждой из них выбирать средство приведения.
Такая замена неправомерна, так как ввиду данного выше
105


определения коэффициентам % они не обладают
свойством транзитивности.
Итак, в момент t требуется заменить некоторое
количество средств tii группировки А эквивалентным
количеством средств Яр, причем для средств р-го типа
в этот момент
%(Af—+B)=mmx(Ar^B), f=l, 2, ..., N.
Произведя замену щ боевых средств при условии,
что эта операция не должна нарушать огневого
взаимодействия с противником, число средств nvu
эквивалентное в этой ситуации боевым средствам /-го типа,
определим следующим образом.
Пусть пы — число средств стороны Я, эквивалентное
щ средствам /-го типа. Если В— наступающий танк, * —
танк в обороне, ар — ПТУРС, то это значит, что в бою
с наступающими танками щ танков в обороне может
быть заменено пы неокопными танками:
Пы = пм(А{—^5).
В свою очередь, эти танки могут быть заменены на
эквивалентное число ПТУРСов:
nPi = nbix(B—+Ap) =п{%(В—»Ар) -хИг—>В),
для всей группировки А в момент t получим
N N
nat = Y nVi = x(B^Ap)Ymx(Ai-+ В), (3.18)
Мтт шшт
1=1 i=\
где np — боевое средство группировки Л, выбранное
в качестве эквивалентного средства на данном шаге
вычислений.
На малом участке At, для которого можно принять
постоянными значения коэффициентов х> вычислим
потери сторон, используя формулы (3.5) и (3.6). Для
численности группировки А в момент t получим выражение
nat = naoPaHi(t),
где Pam(t) = l—Pa{ty<t) есть вероятность того, что
каждое из средств стороны А не поражено к моменту t.
106


В момент t-\-At для стороны А
Па, t+Ы =
и для стороны В
"а. *+« = ««/>»» (t + А/) = nat Р°^+А0
"». <+« —Лм яьш(о '
Потери противников за время Д< определяются в виде
А«,^=^[1-^±^.]. (3.19)
Для того чтобы найти потери группировки А в
средствах каждого типа, предположим, что эти потери про*
порциональны общим потерям группировки. Так, если
коэффициент относительных потерь за время Д|/ равен
^ па, t+u „ * пъ, t+u
то будем считать, что в момент t + At
ni(t + M) = m(t)bAti
nb(t + U) = nb(t)bm. (3.20)
(Заметим, что при замене средств одного типа
средствами другого типа в ситуациях, отличных от равновесных,
т. е. тех, в которых определялись коэффициенты х, в
каждом конкретном случае требуются дополнительные
подтверждения практической приемлемости такой замены.)
Из предположения о том, что все средства одного
типа находятся в одинаковых условиях, на основании
биноминального закона можем провести вероятностную
оценку боя, аналогичную той, которую проводили в § 3.1.
Учитывая, что
р**®=Ш и Pb*v=-Zt>
107


3 место (3.8) получим
Pi{"i<nki} = 2Cx„P*x(t)l\-
х=0
-Аж(0Г *='W (3-21)
pb{nb<nkb}=nfc:bp:b(t)\\-
х=0
Выражения для определения вероятностей Рп >п ,
Р в общем случае определяются исходя из конкрет-
ь^ яь
ной постановки исследуемой задачи. Если, например,
принять, „что группировка теряет боеспособность при потерях
в средствах /-го типа, обусловливающих п^пм, то
N
"a>nha~~~ "( ~ ^nhJ'
Вероятности продолжения боя, победы и поражения
каждой из группировок в этом случае определим по
формулам, аналогичным (3.8):
р _ р р
ЛВ »а>пка пь>пЬь
р _ р /1 р \
А па>пка\ nb>nhbh
Ps-Pnb>n^~Pna>nJ- (3-22)
Прежде чем закончить этот параграф и перейти
к примерам применения обеих моделей для решения
некоторых практических задач, сделаем одно замечание,
касающееся вероятностной оценки боя -в
заданный момент \t по формулам (3.8) и (3.22).
Попробуем найти более простое выражение для оценки
вероятностей Ра{па^пка}9 Ра{па>пка} и аналогичных им
для стороны В.
108


Используя (3.7), можем написать
Ра{х-\}— X(i—Pa{ty<t})
Если теперь для некоторого г справедливо
неравенство
Ра {х} (П0 — Г) Ра {/у < t} п oov
Ра{х-\} ^ (r + \)(\-Pa{ty<t}) • ^°>
Полагая последовательно х=т+1, ..., r+v и
перемножая v неравенств (3.23), получим
Ai^ + v} ^ / (n0-r)Pg{tY<t} у_ v п о^
Ра{г} <\ (r+\)(\-Pa{ty<t}) )-Ч- (6^)
При r^nQPa{ty<t} из (3.24) получим
v=0
_D M (r + \)(\-Pg{ty<t}) n9-
При r<n,P„{^<f}
£Я«М<Я„{г}Х
V=0
Л (л. + 1)Яв{*у<*}-г • ^"^
При малых пао, когда нельзя пренебречь ошибкой,
возникающей при замене конечной прогрессии бесконечной,
вместо (3.25) и (3.26) можно пользоваться формулами:
S1 ппо—г+1
v = 0
_ (А20 - Г) Ра {/у < t} ^ 9- ,
*>— (г+1)(1-Яа{/у<0) ' ^' ^
109


2]я.м<я.{г}Ц^-.
v=0
Формулы (3.25) — (3.26), предлагаемые рядом
авторов, и в частности [18], в некоторых случаях
целесообразно применять вместо формул (3.8) в следующем
виде:
Ра {Па<Пка} = У.Ро {У}<Ра{ПНа} X
V = 0
х (п0 - nna+\)Pa{t7 <t}
(n0+\)Pa{ty<:t}-nka
При nha<naoPa{tV<t},
no—nka+l
Pa К > tlha}= jj Pa {nha+ 1 + V}<
v=0
^n f„ i ii (nka+2)(\-Pg{ty<t})
<. ra \nha-j- 11 лЛв+2-(/1в + 1)Яв{*у<0
при nKa>nauPa{tr<t].
Однако следует заметить, что даже (3.25а) и (3.26а)
при r=n0Pa{ty<t} оценивают искомую вероятность
с ошибкой в 60—70 %! от искомого значения, что
недопустимо 'при исследовании боевых действий
рассматриваемого масштаба. Для получения более точной
приближенной оценки можно использовать примененный при
выводе формул (3.25) и (3.26) способ, изменив его
следующим образом.
Так, если вспомнить, что неравенство '{3.25) получено
из равенства
S*~rp{r+v} . n-r P{ty<t} ,
Р{г} — t- г+1 Q{t7<t} ~*~
v=0
ПО


rn — r — \( P{ty<t} \2Л n — r n — r — \
)'+£
1 r + 1 r+2 ^ Q {/,</} У ' r + \ r + 2
n-r-2 f P {ty < <} \» ■
A г + 3 ^ Q {*, < t) J "f * • *'
wQ{*y<*}=l-P{*y<f},
путем увеличения сомножителей всех членов ряда до
п — г Я {<у < <}
г+1 1-Р{*,<*}'
то, используя и второй член, можем написать:
Srp{r+v}_1 , n-r P{ty<t} v
Р{г} — 1~г r + 1 Q{ty<t} A
X
v=0
X
[1-Г r + 2 Q«y«} "Г"-;'
И .более точную оценку для правой части
биноминального распределения получим по формуле
л—г
£Р(Г + У) = Р{Г}Х
v=0
(г + 1)(г + 2)-(г2 + Зг-Аг+'1)Я{*у<0
А (г+1)(г + 2)-(г + 1)(л + 1)Я{^<0 ' К°'*'>
Аналогичные рассуждения можно применить и при
оценке левой части.
При исследовании боя разнородной линейной
группировки в качестве модели будем рассматривать формулы
(3.1)—(3.6), (3.12) применительно к средствам каждого
типа и формулы (3.18) — (3.22).
3.3. Некоторые примеры
применения линейных моделей
В качестве первого примера применения модели
рассмотрим приведенные на рис. 3.6 графики изменения
коэффициентов соизмеримости. Коэффициенты рассчитаны
как функции дальности начала атаки для наступающей
И!


группировки, состоящей из 10 танков. Все кривые
исходят из единицы при jD = 0, что объясняется принятым
предположением о том, что все средства в
непосредственной близости поражают друг друга с вероятностью,
равной единице. Для противотанковых ружей (ПТР),
ручных противотанковых гранатометов |(РПГ) и
ПТУРС * при D>Dmax, где Dmax — максимальная
дальность открытия огня, значение коэффициента соизмери-
1 i
L ' ' i i 1 *>
О 300 500 ЮОО 1500 2000 д%м
Рис. 3.6. Значения коэффициента % для
различных средств.
мости равно нулю, так как вероятность обнаружения
этих средств, замаскированных на своих позициях, но
не ведущих стрельбу, практически близка к нулю.
Вероятность обнаружения танков на позициях в обороне
существует и при дальностях, больших Dmax\ поэтому
значение коэффициента % несколько возрастает при D>
>Dmax до дальности, при которой Р0бн становится
равной нулю.
Кроме эффективности средства коэффициенты
соизмеримости существенно зависят от параметров процесса
обнаружения, и в первую очередь от величины т. При т=0,
что соответствует идеальным условиям, при которых
состояние атмосферы, маскировка и разрешающая
способность приборов наблюдения обусловливают видимость
целей на любых дальностях с вероятностью, равной
единице, в полной мере проявляется превосходство боевых
* Приводимые здесь и ниже примеры ввиду выбора параметров
огневых средств безотносительно к конкретным образцам
вооружения могут вызвать возражения специалистов. Их публикацией
авторы преследуют цель лишь продемонстрировать возможность
математических методов.
№


качеств одного средства над другим и коэффициент %
принимает свое предельное значение.
При т—>-оо все средства находятся все время в
режиме поиска, совершенно не используя оружия, и,
следовательно, превосходство одного средства над другим
проявиться не может: коэффициент % в этом случае
равен единице. На рис. 3.7 показано, как влияет увеличе-
х »
1,0
0,8
0,6
о,*
о 1 г з <
Рис. 3.7. Зависимость коэффициента
X от условий поиска.
ние постоянной поиска т на коэффициент % при прочих
равных условиях. Все кривые на рис. 3.6 и 3.7
вычислены при следующих исходных данных.
Постоянная поиска т во всех расчетах принималась
равной 1,75. Эта величина выбрана для средних условий
^наблюдения из танков и связана с вероятностью
обнаружения целей на среднепересеченной местности, летом,
при прозрачности воздуха, обеспечивающей дальность
видимости 2,5 км.
Значения остальных параметров выбраны
произвольно для каждого типа боевого средства:
— скорость движения танков в атаку v =15 км/час\
— удельная мощность двигателя танка #уд=15 л. с.\
— коэффициент сопротивления движению М[/]=0,4;
а/=0,16;
— размеры поражаемой части танка в окопе: длина
/=3,0 м, ширина т=2,0 м, высота Л = 0,9 м\
— размеры танка в наступлении: длина /=6,0 м>
ширина т=2,5 ж, высота Л = 2,5 м\
— изменение характеристики рассеивания при стрель-
8-1301 ИЗ


бе из танков линейное в пределах, зависящих от
дальности и способа стрельбы:
а) при стрельбе с места в интервале дальностей
500—2 500 м:
Вв = 0,10-г-0,70, Ввп= 0,20 + 2,0;
Вб = 0,10 ч-0,50, йбп=0,25 + 0,9;
б) при стрельбе с хода в интервале дальностей
500—1 500 м:
£в = 0,40+1,2, Явп=0,45+1,3;
£б = 0,80 + 2,5, 5бп= 0,85+ 2,8;
— среднее число попаданий в танк, необходимое для
его поражения, 1,4—2,0;
— боевая скорострельность танка: с места 4
выстрела в минуту, с хода 3 выстрела в минуту;
— размеры ПТУРС, ПТР, РПГ: вертикальная
площадь /и =1,0 ж, Л = 0,5 ж, площадь осколочного
поражения / = 20 м, т= 10 м\
— вероятность попадания в танк Pi для ПТУРС:
на дальности 500 м 0,4,
на дальности 1 500 м 0,6,
на дальности 3 000 м 0,4;
—< рассеивание при стрельбе из гранатомета Въп-=
= B6n = 0,001D;
— вероятность попадания из ПТР в танк:
при 1-м выстреле Pi = 0,5,
при 5-м выстреле Ps = 0,8;
— вероятность поражения танка при попадании из:
ПТУРС со<=0,8,
ПТР со = 0,7,
РПГ со = 0,6;
— сектор обнаружения от 20° на дальностях около
3 000 м до 360° при углублении наступающих танков
в оборону противника более 1 000 м\
— вероятности обнаружения из танка:
на дальностях 500—3 000 м:
танка в окопе нестреляющего РОбн = 0,9 + 0,3,
танка в окопе после 4 и более выстрелов Р0бн=
= 0,99 + 0,7;
на дальностях 500—2 000 м\
114


ПТУРС, ПТР, РПТ нестрелйющих Робн=0,3-£
-г-0,0, стреляющих Р0бн=0,8-^0,6;
— дальности открытия огня Лпах:
танка в обороне Апах = 2 000 М\
танка в наступлении Апах = 2 500 м>
ПТУРС Z>max = 2 000 м,
ПТР Апах = 500 М,
РПГ Апах = 300 М.
Рассмотренные коэффициенты соизмеримости
рассчитывались при критерии К0 05.50о/о- В некоторых
приложениях, возможно, более целесообразно пользоваться
функциями х» вычисленными -при других значениях уровней
боеспособности. Например, при расчетах с помощью
модели § 3.3 вопрос об использовании коэффициентов %,
вычисленных при различных значениях уровней
боеспособности, требует специальных исследований.
В качестве второго примера рассмотрим задачу по
определению вероятности получить в конце боя
численность не меньше заданной. Предположим, что танковое
подразделение (рота) должно прорвать оборону, состоя-^
щую из известного количества средств ПТО, и, выйдя
на определенный рубеж, иметь в своем составе не менее
•половины боеспособных машин. При однородном
составе обороны и известной дальности начала атаки на
основе формул (3.5), (3.6) и (3.8) для приведенных выше
параметров боя и воюющих средств рассчитана табл. 3.1.
Приведенные в ней вероятности можно рассматривать
ТАБЛИЦА 3.1
Вероятность выполнения задач боя
«ер
ванта
II
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Количество
средств
в обороне
1
2
3
4
5
6
4
5
6
Тип средств
в обороне
Танк в окопе
Танк в окопе
Танк в окопе
ПТУРС
ПТУРС
ПТУРС
ПТР
ПТР
ПТР
Дальность начала атаки
603 м 1 000 м
0,9965
0,9942
0,9811
0,9948
0,9942
0,9840
0,7495
10,3019
0,0000
0,9976
0,8575
0,1719
0,9939
0,9729
0,8932
1 500 м 2 000 м
0,9811
0,6440
10,0202
0,9606
0,8456
0,4438
0,9729
0,5462
0,0016
0,9405
0,7706
0,2587
2 500 л
0,9771
0,5602
|0,0018
8*
115


как вероятности выполнения ротой танков ближайшей
и последующей задач.
Рассмотрим некоторые значения вероятностей
в табл. 3.1. Во-первых, остановимся на вероятности
успеха (т. е. вероятности выполнения ближайшей и
последующей задач) при атаке с дальности 500 м на
окопанные танки. Во всех случаях вероятности достаточно
велики и их значения мало отличаются друг от друга. Это
объясняется тем, что на малых дальностях вероятность
уничтожения ведущего огонь танка в обороне высока и
соизмерима с аналогичной вероятностью для
наступающего танка. В результате математическое ожидание
потерь роты равно приблизительно трем танкам, а
вероятность потери больше пяти машин низка и не
превышает 0,0189.
Во-вторых, из рассмотрения вероятностей успеха
в случае атаки на ПТР и на окопные танки можно
сделать вывод, что на дальности 500 м ПТР
эффективнее танка в окопе. Такой результат вполне объясним,
если учесть, что низкая вероятность обнаружения
замаскированных ружей позволяет им произвести в среднем
больше одного поражающего выстрела.
Для решения аналогичных задач удобно
табулировать или иметь в графическом виде осредненные
результаты типичных боевых ситуаций. Возможный вариант
представления таких данных в достаточно наглядной
форме приведен на рис. 3.8, на котором представлена
кривая математического ожидания числа уцелевших
наступающих танков к моменту уничтожения противника.
Кривые рассчитаны для боя танковой роты, атакующей
с различных дальностей противника, в составе
группировки которого имеются средства одного типа:
окопные танки. По оси абсцисс отложено начальное
количество танков обороняющегося противника, а по оси
ординат— математическое ожидание числа уцелевших к
концу боя танков наступающей роты.
Представление результатов в приведенном виде
позволяет достаточно просто перейти и к вероятностной
оценке исхода боя. Так, если при бое с тремя танками в
обороне, начинающимся с дальности 1 000 м, М[п] = Бу то
вероятность Яа{^у<?0~0>5 и вероятность получить к концу
боя х (я=1, 2, ..., 10) танков определяется по формуле
(3.7) (см. табл. 3.2).
116


*ГАВЛЙЦА 3.2
Вероятность окончания боя с численностью па^ пца
Пка
PloiHha}
Ра {Па >
>Пка} =
10
^Пка+1
0
0,00098
0,99901
l
0,00977
0,98924
2
0,04395
0,94529
3
0,11718
0,82811
4
0,20507
0,62304
5
0,24609
0,37695
Продолжение табл. 3.2
nha
ЛоК}
Ра{Па>
>/Ua} =
10
6
0,20507
0,17188
7
0,11718
0,05470
8
0,04395
0,01075
9
1,00977
0,00098
10
0,00098
Помимо своего прямого назначения рис. 3.8
позволяет приближенно оценить значение коэффициента х'
при нулевых уровнях боеспособности, так как точки
пересечения кривых с осью абсцисс соответствуют случаю
взаимного уничтожения противников. Однако эти
значения х не дадут точного значения %', поскольку
скорости потерь в ходе боя могут быть различными для
воюющих сторон.
В третьем примере рассматривается применение
модели § 3.3 для исследования несколько необычной
боевой ситуации, когда вероятности попадания при
стрельбе из обороняющихся средств, например танков, равны
нулю для всех дальностей. Если представить себе
соответствующий этому случаю реальный бой, то можно
интерпретировать его следующим образом. Пусть
обороняющаяся сторона имеет в своем составе установки про-
117


тивотанковых управляемых реактивных снарядов в
количестве, недостаточном для отражения атаки танков, и
с целью понижения эффективности действий
наступающего подразделения устанавливает на своих позициях
Рис. 3.8. Зависимость М\[п] в конце боя от начальной
численности противника т.
макеты (ложные цели), имитирующие действия танков
в окопах, являющихся наиболее эффективным
противотанковым средством, наносящим наибольший урон
наступающему подразделению. Естественно предположить,
что часть боевых машин наступающей группировки
будет вести огонь в первую очередь по этим целям,
уменьшая воздействие на реальные средства ПТО, в частности
на установки ПТУРС.
Для исследования такой ситуации на модели § 3.3
необходимо на каждом шаге вычислений иметь два
значения эквивалентной численности обороняющейся
группировки:
nu = x(B—+Ap)x(Al—+B)ni
n2t = x(B—+Ap)[na(Al—+B)+na(A2-=*B)l
118


где первый тип соответствует установкам ПТУРС, а
второй— танкам в окопах. Если в качестве средства
приведения в обороне выбрать танк в окопе, то можно
написать
nu = %(B—+A2)x(Ai—+B)nu
n2t=%(B—>А2)х{А\—>В)п{ + п2.
При определении вероятности уничтожения для
наступающих танков используется первое значение эквива-
1 2 3 Z 5 6 7 Г
Рис. 3.9. График зависимости
численности наступающих танков в
конце боя от количества ложных целей
в обороне.
лентной численности, учитывающее только реальные
возможности обороняющихся, а в аналогичном случае для
вероятности уничтожения средств в обороне — второе
значение п2и которое воспроизводит в модели процесс
обстрела ложных целей.
На рис. 3.9 показано влияние применения ложных
целей на исход боя. Как и следовало ожидать,
обороняющаяся группировка увеличивает свою эффективность,
прирост которой можно оценить теперь не только
качественно. Кривая на рис. 3.9 соответствует бою роты
танков с пятью установками ПТУРС при использовании
обороняющимися различного числа ложных целей L.
Дальность начала атаки принималась равной 1 500 м.
Из графика следует, что применение ложных целей
в обороне в определенных случаях может
принципиально изменить исход боя, обеспечив победу там, где
реальных средств для ее достижения даже с низкой
вероятностью недостаточно.
Рассмотренные примеры иллюстрируют возможные
частные применения предложенных в этой главе
моделей. В качестве типичных задач, решение которых может
119


быть осуществлено с помощью этих моделей, можно
предложить следующие:
— исследование влияния дальности открытия огня
на результат боя и выбор ее оптимального значения;
— исследование влияния интервала по фронту
между боевыми средствами;
— исследование влияния способов стрельбы (с хода,
с коротких остановок);
— -исследование влияния на исход боя величины
постоянной поиска и метеорологических условий и ряд
других вопросов.
3.4. Упрощенная аналитическая
модель боевых действий
группового боя при равномерной
плотности боевых порядков
Предположим, что требуется построить модель
боевых действий, которая в пределах достаточно грубых
допущений позволила бы определить влияние численности
боевых средств и их качества на результат боевых
действий и найти условия победы для сражающихся сторон.
При этом будем считать, что системы разведки и
управления обеих сторон работают идеально, что означает
наличие полной информации о целях и ее передачу
совместно с исполнительной информацией без задержек, т. е.
в данном случае в течение времени, которое
пренебрежимо мало по сравнению со временем исполнения
(^и^>^о). Кроме того, не будем учитывать влияние ввода
в бой резервов и относительное перемещение
сражающихся сторон на местности. Влияние местности на ход
боевых действий также рассматривать не будем. Считая
известными размеры целей, примем гипотезу о их
равномерном распределении на некоторой площади и
представим механизм вооруженной борьбы в виде
огневого взаимодействия сторон по схеме рис. 3.10. При этом
будем учитывать только активные боевые средства,
оказывающие непосредственные воздействия на противника.
Вспомогательные (пассивные) средства и органы тыла
учитывать не будем.
Согласно схеме рис. ЗЛО любое боевое средство
одной стороны может оказывать воздействие на любой
120


объект другой стороны, причем для каждой стороны
боевые средства и объекты будем считать однородными.
Влияние различных способов распределения боевых
средств по объектам противника также учитывать не
будем. Введенные ограничения могут быть сняты или
уменьшены при переходе к более тонким исследованиям
Сторона А Сторона В
Рис. ЗЛО. Схема огневого взаимодействия сторон:
га — радиус защиты боевой единицы стороны А; гь — то же
для стороны В; Ra — радиус поражения боевого средства
стороны A; Rb—TO же для стороны В.
на моделях повышенной точности. По схеме рис. 3.10
в упрощенной постановке может проводиться
формализация огневого взаимодействия танков, самолетов,
кораблей и наземных средств, включая артиллерийские и
ракетно-ядерные удары.
Каждое боевое средство характеризуется
следующими основными параметрами: мощностью удара,
скорострельностью, точностью воздействия и степенью
защищенности. Для боеприпасов объемного действия^
мощность определяется радиусом поражения R~ ]/Q, где
•Q—тротиловый эквивалент заряда. В частном случае
для боеприпасов ударного действия (например,
бронебойных) радиус поражения равен радиусу снаряда.
Скорострельность с измеряется числом выстрелов в
единицу времени. Точность воздействия можно учесть либо
при помощи характеристик рассеивания, либо при
помощи интегрального коэффициента результативности
121


стрельбы а, устанавливающего относительное число
боеприпасов, достигающих цель и попадающих на ее
площади. Степень защищенности объекта можно оценивать
различными величинами. В данном случае удобно вос-
Рис. 3.11. Определение
критической площади
попадания для поражения объекта
одиночным ударом по
стороне А.
пользоваться приведенным радиусом защиты /*,
определяющим круг, площадь которого равна площади цели.
Попадание в эту площадь наносит определенный ущерб
цели, а число попаданий &, необходимое для вывода
цели из строя, может являться мерой ущерба. Обозначая
текущую численность сторон через л, начальную
численность— через По, рассмотрим результат воздействия
стороны В по стороне А. Параметры, относящиеся к
средствам соответствующей стороны, будем различать
индексами а или Ь.
Сторона В за время А^ сделает по стороне А
прицельных выстрелов
аьСьПъМ.
Математическое ожидание Апа числа боевых средств
стороны Л, пораженных этими выстрелами (рис. 3.11),
будет
д„ _ п (гa +Rb)2 Па*ъсьпь А4
где Fa — площадь, на которой расположены боевые
средства стороны А.
Подсчитывая аналогичным образом математическое
ожидание Апъ потерь стороны В за At и принимая At—►
•—Ю, получим
dna
dt
=—?апаПъ
-^-Ь= — $ъПаПь
(3.28)
122


где
Р«-~ ^(Га + 7?ь)2;
Рь = "15г(Гь+ *•>"• (3-29)
Переходя к относительной текущей численности
сторон
Па Пь
получим
?о = — Мьо<Ра? *,
?b=—hnao?a?b- (3.30)
В начальный момент времени ^=0 фа=1 и фь = 1.
Поэтому после исключения из (3.30) произведения ф'аф& и
интегрирования получим
^-iS-e-^- <3-31>
Введем в рассмотрение коэффициент потери
боеспособности сторон:
где tiah и пьк — остаточные численности соответствующих
сторон, при которых теряется их способность к
дальнейшему ведению боевых действий. Величины
коэффициентов (pak и щк зависят от многих факторов, и прежде
всего от боевого духа войск, их стойкости, дисциплины,
качества командных кадров, наличия средств управления
и т. п. Эти факторы в основном имеют качественный
характер и не поддаются пока количественному учету. Их
суммарное влияние ца исход боевых действий можно
в первом приближении оценивать при 'помощи
обобщенных коэффициентов потерь боеспособности,
определяемых статистическими методами. В среднем для морально
стойких войск можно применить <р^=0,4-ь0,5, для
морально нестойких войск ф^=0,7н-0,8.
Если обе стороны одновременно достигают
критического состояния потери боеспособности, то это означает
123


динамическое равновесие их боевых возможностей, при
котором обе стороны должны выйти из боя или
объявить перемирие.
Область победы
стороны А
Рис. 3.12. Области победы
сражающихся сторон:
N — линия динамического равновесия;
Еи — критическая точка для
стороны В «рь-ФЬк; Фа^ФаК)
Условие динамического равновесия получается из
(3.31) в виде
k = 7ti!~~ya*? =1- (3.32)
Если обе стороны имеют одинаковое вооружение
'(Ра^'Рь) и обладают одинаковыми моральными
качествами (фаь=Фьь), то для достижения динамического
равновесия достаточно простого равенства начальных чис-
ленностей сторон. Из анализа зависимости фа=,/7(ф,ь)
в виде (3.31) следует, что при k>\ побеждает
сторона Л, а при k<\ —сторона В.
Таким образом, выражение
^_ flaoMl— yaft)
nbofa(l—<?bh)
(3.32а)
может рассматриваться в качестве условия победы
сторон, принимающих участие в сражении. При помощи
критерия k можно оценить влияние на результат боевых
действий (при принятых допущениях) количества и
качества вооружения сторон и их боевой стойкости.
Области победы сторон показаны на рис. 3.12, на котором
Ек— критическая точка, при достижении которой
сторона В выходит из боя. Области победы сражающихся
сторон существуют и при других, более сложных
зависимостях <ра=[Р{щ) по сравнению с соотношением (3.31).
124


Граница областей при одной из возможных
зависимостей F для постоянных значений q>afe и цъи показана
штрих-пунктирной линией на рис. 3.12. Очевидно, что
сфи любом характере зависимости Ц)а=1Р(щ) может быть
определено условие k, устанавливающее влияние на
результат боевых действий параметров яао, яьо, Pa, рь, фаь
и qjftfe.
Однако для анализа хода боевых действий наличие
только одного условия (3.32а) часто бывает
недостаточным. Важное значение имеет продолжительность боя,
определяемая отрезком времени in от начала боевых
действий до момента, когда одна из сторон прекращает
сопротивление.
Зависимость относительной численности сторон от
времени, полученная из (3.30), имеет вид
0 фаПьо — %Пд0
Ъ = рьпйое^^ьо)_раПб; <3-33>
Если |5аЯьо=Е*ьЯао> то из (3.30) следует, что
*«=*ьвпто- (3-34)
Боевые действия закончатся тогда, когда
относительная численность одной из сторон достигнет критического
значения, т. е. когда фа=|фьл или фь = фьь-
В случае победы стороны A (k>l и щ=щь) время
окончания боевых действий определится из выражения
Чу ** j
Если побеждает сторона Z?(&<1 и <ра = ?ал)> то
V fab 1 - yaft>/
125


При k= 1 выражения (3.35) и (3.36) теряют смысл, так
как приводят к значениям 4<0. В этом случае,
например для условий победы стороны А (фьл>ФыО, из (3.34)
Ц8
0,6
QA
0У2
454-
<Рк~-
0,2
\
/
/
/
/
1 Z 3 4 5 к
Рис. 3.13. График зависимости т=т(&).
получаем величину максимальной продолжительности
боевых действий в виде
*h max —
■<?bh
УъИ$аПЬо
(3.37)
Относительная продолжительность боевых действий
в зависимости от значения параметра к>\ будет
(3.38)
Графики зависимости х=х(к) согласно (3.38) при
нескольких значениях ^ак = Щк изображены на рис. 3.13.
Из графиков видно, что при k>3 не достигается
сколько-нибудь заметного сокращения длительности
боевых действий. Поэтому для победы над противником
в сравнительно короткое время не требуется более чем
тройного превосходства в значении критерия к.
Например, если при фь = 0,5 увеличение значения к от 1 до 2
приводит к уменьшению времени боя на 60%, то
дальнейшее повышение величины к до значения k = 3 дает
выигрыш во времени только на 15%. Таким образом,
установлена верхняя и нижняя границы величины k.
126


Для достижения победы в приемлемое время
стороной А необходимо, чтобы соблюдалось условие
2<£<3.
Условие победы k и входящие в него параметры
позволяют в пределах принятых допущений, т. е. довольно
приближенно, получить оценку хода боевых действий и
предсказать возможное время их завершения. Однако
величина k в явном виде не учитывает влияния системы
управления на процесс боевых действий, а тот факт, что
такое влияние имеется и может быть достаточно
существенным, не требует особых доказательств. Система
управления влияет на результаты боевых действий, во-
первых, за счет затрат времени, необходимых для
получения исходных данных, во-вторых, за счет
запаздывания в принятии решений по отношению к фактическому
состоянию сторон и, в-третьих, за счет точности
принимаемых решений и их исполнения. Процесс управления,
как правило, состоит из следующих основных этапов:
поиск и обнаружение целей, передача информации,
обработка данных и принятие решения, передача команд или
приказов и их исполнение. Таким образом, в
соответствии с § 1.3 можно считать, что продолжительность
процесса управления ^у определяется временем организации
исполнения t0 и временем tn, непосредственно
затрачиваемым на исполнение принятых решений, т. е.
ty ==iO"r tj/i.
Количество циклов управления в единицу времени
(например, в час или в сутки) будет
_ 1 _ 1 _ 1 1 _ с
где с — техническая скорострельность оружия или в
более общем случае средняя скорость исполнения команд
войсками.
Величина с с индексом а и Ь соответственно для
каждой из сражающихся сторон фигурирует в
выражениях (3.29), определяющих параметры ра и Рь. Не
исключена возможность того, что часть процессов по
организации управления будет совмещена с процессами ис-
127


полнения. Так, например, могут совмещаться процессы
поиска целей и движения танков, выработки решения и
подготовки ракет к пуску и т. д.
Поэтому в общем виде
сэ= С—Г9 (3.39)
1 i °
Ги
где etc — коэффициент совмещения процессов управления
и исполнения в ходе боевых действий.
Если ас = 0, то процессы полностью совмещены и
задержек в темпах ведения боевых действий не
происходит. При i(Xc=l совмещение процессов полностью
отсутствует.
При to^tn будет иметь место неэффективное
использование оружия за счет несовершенства системы
управления, что может привести к поражению при прочих
равных условиях с противником. Таким образом, критерий
победы в виде (3.32) при условии введения
коэффициента эффективной скорострельности сэ (3.39) позволяет
учесть влияние системы управления на результат боевых
действий. Однако при этом не учитывается
запаздывание данных о фактическом состоянии сторон,
возникающее за счет работы системы управления. В самом деле,
удары по каждой из сторон будут наноситься в момент
>t+<t3, где t3=\acto— время запаздывания в нанесении
удара за счет несовмещенное™ процессов управления и
исполнения.
С учетом запаздывания, уравнения (3.28) принимают
вид
Па = — $аПа У + tb) ПЪ (t) ,
hb = — Ma(0M< + 'a). (3.40)
где na(t+tb) и nb{t+ta) —функции численностей сторон
с запаздывающими аргументами. Времена запаздывания
определяются на основе анализа работы систем
управления сторон, причем
ta = a t
•гг. i
a Oa
th = *~ tt
w
128


Для решения системы (3.40) необходимо принять
гипотезу о виде функций па и пь с запаздывающими
аргументами.
В теории таких систем решение сбычно ищут в виде
функции от е 3 , подбирая вид функции так, чтобы
удовлетворить исходным уравнениям (3.40). С достаточной
степенью приближения функцию n(t + t3) можно
представить в виде ряда и ограничиться элементами
разложения первого порядка. Тогда
na(t+tb) =na{t) +tbna(t)y
Пь {t + ta) = nb (t) -f tanb (t).
При этом система (3.40) принимает вид
$аПдПь
Па = -
1 + №ъПь*
При ta = tb = 0 система (3.41) превращается в систему
(3.28). Переходя к относительным величинам, получим
А _ МьоУоУь
1 + МыЛ?ь'
Решение системы (3.42) при начальных условиях ^ = 0,
¥о = 1. ?ь = 1 имеет вид
где
. 1 + Pbrtao^a,
Va -~ 1 + fotla0ta '
График зависимости i|)a = f Сфь, ta, tb) показан на
рис. 3.14. Переменные i|5a и tyb являются линейными
9—1301 129


функциями соответственно от ср>а и щу причем при фа —Фб
будет я|)а="фй=1.
На рис. 3.14 кривая ^а = Р(г|?ь, ta, h), проходящая
через критическую точку EK(^a=^)aky ^ь=^ьк), будет
соответствовать условиям динамического равновесия. В этой
точке параметры сра и щ одновременно достигают крити-
Рис 3.14. График зависимости ^a=F(^b; ta, tb):
Ек — критическая точка; ДГ — линия динамического равновесия.
ческого значения. Кривые, проходящие выше точки £к,
соответствуют условиям победы стороны Л, так как
текущая точка на этих кривых (характеризующая состояние
сторон) при перемещении из состояния (1.1) в состояние
(0,0) раньше пересекает ординату tyb = tybk, а затем
абсциссу *фа=*фьь. При этом параметр щ раньше, чем
параметр ф>а, достигнет критического значения щ — щи,
при котором сторона В будет вынуждена прекратить
боевые действия.
Следовательно, условие победы стороны А может
быть записано в виде
±<(±) =1^ (3.44)
130


или
tb In i>ah
ta In фьь
>1.
Так как величины ра/*ьо и рь^ао, определяющие
скорости начальных относительных потерь сторон, обычно
меньше единицы, а времена ta и tb значительно меньше
времени окончания боевых действий, то приближенно
условие (3.44) -с учетом (3.43) можно записать
следующим образом:
Ма0(1 — yafc) 1 + МыЛ •> j /3 45)
Воспользовавшись выражением (3.32а), представим
условия победы стороны А в виде
kky>U (3.46)
где
ъ _ 1 + hnhuh
у 1 + §btlaota
Величина k учитывает влияние на результат боевых
действий количества и качества вооружения, а
величина ky — качество системы управления.
Из (3.46) видно, что за счет системы управления
(ta<h) можно получить некоторое превосходство над
противником и при неблагоприятном соотношении по
количеству и качеству вооружения. Однако следует иметь
в виду, что возможности системы управления довольно
ограничены. Если &<Cl, a ky~\, то никаким
усовершенствованием системы управления в принципе не может
быть достигнуто условие победы.
При идеальной системе управления с обеих сторон
&у=1 и неравенство (3.46) превращается в
рассмотренное ранее условие k>\. При исключительно высоких
показателях оружия (раяьо, РьЯао^О влияние системы
управления на результат боевых действий становится
весьма существенным. В этом случае из (3.44) -с учетом
(3.43) получаем
А^>1. (3.47)
/о In cpbft ^ v }
В этом предельном случае результат боевых действий
будет зависеть только от качества системы управления
и морального духа войск.
9* 131


Выражение (3.47), в отличие от общеизвестного
качественного выражения о том, что совершенная система
вооружения требует и совершенной системы управления,
позволяет определить необходимые количественные
показатели систем управления. Аналогично тому, как это
делалось при оценке верхней и нижней границ условия k,
можно показать, что для достижения устойчивой работы
в приемлемое время с учетом влияния системы
управления должно быть
2<&£у<3.
Допустимые пределы изменения произведения
параметров определяются на основе интегрирования системы
(3.42) при аргументе t и вычислений времени окончания
боевых действий.
Полученные зависимости позволяют в первом
приближении связать характеристики системы управления с
результатами боевых действий и показывают, что средняя
продолжительность цикла управления оказывает
существенное влияние на динамику вооруженного
столкновения и должна приниматься во внимание при оценке
качества системы.
Оценка системы вооружения и системы управления
в целом может быть произведена на основе различных
критериев эффективности, позволяющих установить
оптимальные значения основных параметров,
характеризующих эти системы.
В качестве основных можно рассматривать
совокупность следующих критериев:
а) оперативной эффективности Е0,
б) технической эффективности £т,
в) экономической эффективности Еэ.
Критерий Е0 характеризуется математическим
ожиданием (тр) результатов выполнения боевой задачи и
определяет, таким образом, боевую эффективность
системы в целом с учетом средств вооружения и
управления. В числе боевых задач, обеспечение решения
которых возлагается на системы управления войсками, можно
наметить следующие типовые задачи: выдвижение,
наступление, подавление, уничтожение, оборона и
отступление. Каждая из этих задач может бытьохарактеризована
числовой мерой, по величине которой можно судить
о качестве выполнения задачи; так, например, выдвиже-
132


иие характеризуется величиной пройденного расстояния
или средним темпом перемещения, наступление —
величиной захваченной территории или количеством трофеев,
подавление или уничтожение —средним числом
подавленных или уничтоженных целей, оборона — средним
временем удержания обороняемого рубежа (района)
или потерями, нанесенными противнику и т. д.
Выполнение боевой задачи может быть достигнуто
различными средствами при различных средних потерях
{ти) со стороны своих войск. Поэтому можно принять
причем математическое ожидание результатов (тр) и
потерь (тп) может быть как абсолютным, так и
относительным, т. с. отнесенным к единице площади,
расстояния, начальной численности и т. п. В некоторых
американских работах [30] предлагается боевую
эффективность определить отношением стоимости результатов ср
к стоимости потерь сп, т. е. считать
Р ^р_ [долл]
0 сп [долл]'
Однако такой подход вряд ли заслуживает признания,
так как в боевых системах не все может быть оценено
деньгами и, прежде всего, не поддается финансовому
учету стоимость человеческих жизней. Впрочем, не
смущаясь этим обстоятельством, американцы оценивают
стоимость каждого солдата в 10 000 долл., т. е.
величиной страхового полиса.
С точки зрения оперативной эффективности та
система управления будет наилучшей, которая обеспечит
получение заданного боевого результата в наименьшее
время, причем, само собой разумеется, что это время не
должно превышать допустимого значения,
установленного из оперативных требований. Поэтому без учета
времени выполнения боевой задачи оценка системы не
может быть полной. Время выполнения боевой задачи
определяется объемом выполняемых физических и
информационных работ и зависит от численности технических
средств и личного состава, квалификации и обученности
'обслуживающего персонала, надежности аппаратуры и
133


от ряда других факторов. Наиболее полно влияние всех
этих факторов может быть учтено величиной
математического ожидания времени выполнения боевой задачи
mt = m(ty).
Иногда можно считать, что trtt является суммой
математических ожиданий времен выполнения отдельных
процессов, из которых состоит процесс
функционирования системы в целом. В этом случае критерий £т может
быть охарактеризован величиной mt=m(tn)+m(t0)y на
основе которой можно провести оценку технической
производительности системы.
Что касается экономической эффективности системы,
то для ее оценки может быть предложено несколько
критериев. Например, она может быть охарактеризована
средним временем окупаемости системы за счет более
рационального расходования материальных средств,
приращением боевых результатов системы на единицу
затрачиваемых средств, величинами эксплуатационных
расходов в системе и т. д.
Все эти критерии являются частными и могут
применяться для анализа отдельных экономических
показателей системы. Наиболее общим экономическим
показателем системы является математическое ожидание
величины капитальных затрат на создание системы т(с),
которое складывается из затрат на систему вооружения
(св) и на систему управления (су).
Этот показатель входит во все частные критерии и
определяется как сумма
тс=т(с) =т(съ) +т(су).
В ряде случаев можно считать Еэ^тс.
На основе рассмотрения частных критериев можно
ввести обобщенный критерий эффективности системы
в виде
Этот критерий наиболее полно характеризует
качество системы и из всех возможных вариантов ее
построения позволяет выбрать такой оптимальный вариант,
который обеспечивает достижение наибольших результатов
при минимальных потерях с наименьшими затратами и
в наиболее короткое время. Так как все величины, вхо-
134


дящие в выражение для £, зависят не только от системы
вооружения, но и от системы управления, критерий Е
позволяет установить правильное соотношение между
средствами вооружения и средствами управления, чего
нельзя получить при помощи частных критериев. Для
того чтобы воспользоваться критерием £, необходимо
установить зависимости между величинами mp, ,mn, mt
и тс.
Такие зависимости могут быть получены на основе
аналитического или -стохастического моделирования
процессов функционирования систем с учетом их
структурных схем, внешних связей и характера нагрузки.
При применении обобщенного критерия Е следует
иметь в виду его пригодность только для сравнительной
оценки боевых систем и не пытаться оптимизировать
систему путем неограниченного уменьшения величин,
стоящих в знаменателе. Все эти величины по физическим
соображениям ограничены снизу и не могут быть
произвольно приняты сколь угодно малыми.
3.5. Примеры применения
упрощенной модели
С помощью математической модели, рассмотренной
в § 3.4, в пределах сделанных допущений и ограничений
можно решать реальные типовые задачи, характерные
также и для математических моделей более высоких
классов. В качестве примера приведем решение
некоторых задач, основанных на применении обобщенного
критерия эффективности Е.
Определение оптимального соотношения сил и
средств сторон, необходимых для выполнения
поставленной боевой задачи. В предыдущем параграфе было
показано, что соотношение сил и средств сторон,
определяемое величиной k, должно быть в пределах 2<&<3.
Очевидно, чем больше сил, тем меньше времени
потребуется для выполнения боевой задачи, но тем больших
потерь следует ожидать за счет увеличенной плотности
войск при прочих равных условиях. С другой стороны,
при уменьшении плотности боевых порядков темп потерь
уменьшается, но возрастает время выполнения боевой
задачи, что, в свою очередь, приводит к увеличению
общих потерь. Интуитивно можно предположить, что
135


существует оптимальное соотношение сил и средств k,
при котором выполнение боевой задачи достигается при
наименьших потерях в минимально возможное время.
Для того чтобы найти это соотношение, воспользуемся
критерием эффективности в виде
£,= тр
mnmt
где тп=пао(\—ц)а) и mt=ih=%thmax, причем фа и т
определяются соответственно по формулам (3.31) и
(3.38), являющимся частными случаями выражений
(3.43) при условии ta = tb = 0 (идеальная система
управления). Для удобства вычислений аппроксимируем
зависимость (3.38) функцией вида
где а выбирается из условия минимума функции
Л =6
*(«)= [ (t-th)2dk
и tkmax вычисляется по формуле (3.37).
Представляя ср (а) в виде
-2 J ththmaxe-«k-l)dk+ 1 t\dk
и воспользовавшись графиком рис. 3.13, найдем, что
условие (p(a)=min для фтал=ч>ьь='0,5 выполняется при
а = 0,43.
Следовательно, можно принять
(1 — ?ьь)Яьо j? ь-1Л«(Л—1)
Лов(1—faltjtemox-e""^"0
где
136


Из условия -^— = 0 получим
dk
ОьТ
^опт — а •
В данном случае а = 0,43 и оптимальное значение k,
при котором выполнение боевой задачи достигается
в минимальное время с наименьшими потерями, будет
ife = 2,3.
Определение калибра боеприпасов, при котором
выполнение боевой задачи осуществляется с наименьшими
экономическими затратами. Представим с учетом (3.32а)
и (3.29) выражение для k в виде
k = mau(rb+Ray, (3.48)
где % — коэффициент, учитывающий параметры, не
зависящие ОТ Пао, Ra, И k= k0m =COnst.
Из выражения (3.48) видно, что оптимальное
значение &опт можно получить при различных значениях
начальной численности (пао) и калибра боеприпасов (Ra)>
Очевидно, чем больше калибр, тем меньше
боеприпасов требуется для выполнения боевой задачи, но тем
выше будет стоимость каждого боеприпаса, что должно
отразиться на их общей стоимости. С другой стороны,
чем меньше мощность боеприпаса, тем он дешевле, но
зато их расход должен возрасти для выполнения той же
боевой задачи, что также приведет к общему увеличению
экономических затрат. Можно предположить, что
существует такой калибр боеприпасов /?аопт, при котором
выполнение боевой задачи достигается с наименьшими
экономическими затратами.
Для того чтобы найти Raom, примем, что стоимость
отдельного боеприпаса связана с его мощностью
(калибром) зависимостью вида
где Q— тротиловый эквивалент; |я — коэффициент
пропорциональности; п — показатель степени, определяемый
статистическим путем,
137


С другой стороны,
где v — коэффициент пропорциональности.
Поэтому
S, = •/?*, (3.49)
где
V3
Суммарная стоимость выполнения боевой задачи
S=StN,
где N. — общий расход боеприпасов.
В свощ очередь,
N-=^cnadt = cnaQ J <padt.
о о
Воспользовавшись выражением (1.6), получим
N =
= спа0 Г
(pgAZbp — PbA2g0) dt
0 paA2boe(Mbo-Pb«no)^p^ao
СА2а0 -ЧРояьв-Рблав)'
_£Яао_ г| _ -<Рояьв-Мав)'Л|
_ РаА260 ll " е J*
Подставляя значение fo из (3.25) и принимая <ра* =
= ?ьл> после очевидных преобразований получим
РоА2Ьо
[1-._(^М]=^(^ (3-50)
где F(&) не зависит от произведения пао(г&+/?а)2,
138


При помощи (3.48) — (3.50) суммарную стоимость
выполнения боевой задачи можно представить в виде
o_ckF(k) Р?д
Л — х (Гь + Ra)'-
.Заметим, что при /2='«опт =<const величина 5 зависит
только от характера целей (гь) и от мощности
боеприпасов, определяемой в данном случае радиусом пораже-
2
ния /?а. Если п > о"> то 5 является монотонно
возрастающей функцией от Ra, что означает целесообразность
применения в экономическом отношении наиболее мелких
боеприпасов. С улучшением технологии изготовления
боеприпасов и уменьшением их стоимости [ п < ^h
становится выгодным применять боеприпасы более крупных
калибров. Оптимальный калибр (радиус поражения)
Ra опт, обеспечивающий выполнение боевой задачи с
наименьшими экономическими затратами, (находится из
условия ^—=0 или
Зи#3;-' {гь + Ra)* - 2 (rb + Ra) R":= 0.
Отсюда следует, что
АО ОПТ :
гь
Ъп ~~1
При /г = -у получим/?а од, =3'Гь.
Определение оптимального соотношения между за*
тратами на систему вооружения и систему управления.
Для приближенного решения этой задачи воспользуемся
формулой (3.44), которая может быть представлена
в виде
it, у 1 + tyaflbptb
*опт — Я l+pbWa>
где k определяется выражением (3.32а) и &0пт должно
быть в пределах 2<^0ит<3. Увеличение k и уменьшение
ta связано с экономическими затратами, поэтому можно
139


предположить, что между этими затратами существует
наивыгоднейшее соотношение, обеспечивающее
получение необходимой величины
Обозначим:
5В — стоимость средств вооружения,
SY — стоимость средств управления,
со = -^— соотношение стоимостей,
•и сформулируем задачу следующим образом: при
известных значениях tBj |За -и пьо найти такое значение со,
которое приводит к максимуму величину konT для
заданных условий выполнения боевой задачи, например для
задачи полного уничтожения противника (фь3 = 0).
Очевидно, что для решения этой задачи необходимо
установить зависимость между величинами £, ta и со.
Из выражения (3.50) при условии фь3 = 0 и F(k) = \
получим стоимость боеприпасов 5, необходимых для
выполнения поставленной боевой задачи:
$аПЬо [5/,
Стоимость средств вооружения можно представить
в виде
где 6—коэффициент пропорциональности.
Стоимость средств управления можно представить
■в виде
с_5 /^ОГ
где 5у0 —стоимость средств управления,
обеспечивающих определенное значение времени tao\ tn — величина,
определяемая опытным путем.
Обозначая S0 = SB-J-Sy и подставляя значения
1
k~~ bcs, Sb и ta— ("57' io°
140


ft выражение для kom, получим
X
5,
S*,(l+tt) + /o.S Sv„(^-J
Уо
где
о* <*CSi
РьРаА2ь0
Так как при со = 0 и оо имеем &опт = 0> то должно
существовать такое значение со = соопт, при котором ^0ГБТ =
= тах.
Из условия -^-=0 получим
L JL-,
S*, / 5« \т 9 1 Л , 1 \т
*а0^>1
^Syo J "опт т ^ ^ соог.т J
Заметим, что соопт зависит от т, S0, Syo> ^«о» S*i, причем
соопт может быть найдено из уравнения
«0J =J_/1 + _±_Yr~,f (3.5i)
0 опт /я ^ I o)0llT J v ;
где
Если известны первоначальные общие суммарные
затраты Soo=Sbo+Syo (и соответствующее им соотношение
соо), обеспечивающие некоторую степень превосходства
над противником k0 и время задержки tao, то
i--i „ .i-i-
a*=k{
*Mbo*ao <*o \ ' w0 J \ S0 J
В случае, когда со0 также является оптимальным
соотношением, уравнение (3.51) должно удовлетворяться
141


при условии 5o = Soo, вследствие чего
Если о) = 0,01, т. е. если затраты на систему
управления составляют 1 % от затрат на систему вооружения,
Л/»^
)к(1*шш,^
а 02 а ОЧ 0,05 а 06 си опт
Рис. 3.15. Ыомогп ciMMtt ДЛЯ ОПрСДСЛСИНЯ (Оппт.
и т = 0,5, то ао=2-106. При т=1 доля затрат на
систему управления не зависит от общей суммы затрат S0.
Для т<\ с увеличением общих затрат So должна
уменьшаться доля затрат со на систему управления.
Номограмма для определения со0пт = со0пт(ао, т) приведена на
рис. 3.15.
Воспользуемся рис. 3.15 для решения контрольного
примера. Предположим, что требуется определить со0пт
при увеличении общих затрат па средства вооружения
и управления в три раза (S0:Soo = 3) при условиях
feo = 2,0, ^60 = 0,01 \\яас (темп потерь противника), taQ =
= 1 час и w = 0,5.
142


Для этих условий
АоМыЛо 2-0,01-1 ппл
"° = т = 0,5 = 0'04
-?(1+^)(*Г-
Найдя на графике рис. 3.15 точку пересечения линий
с параметрами т=0,5 и cto = 5 • 10\ получим 0)0^ = 0,34 =
= 3,4%. Это означает, что при увеличении общих
расходов в три раза, абсолютные расходы на средства
управления также должны возрасти, но относительная доля
этих расходов несколько уменьшится и составит 3,4%
вместо 4%. Этот результат справедлив для случая, когда
первоначальные относительные расходы на средства
управления (соо = 4%) были определены оптимальным
образом. Если первоначальное соотношение расходов не
было оптимальным (например, со0<0,04), то
одновременно с увеличением абсолютных расходов на средства
управления увеличатся и относительные расходы.


4
НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ПРИМЕНЕНИЯ ТЕОРИИ
МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ ДЛЯ АНАЛИТИЧЕСКОГО
МОДЕЛИРОВАНИЯ БОЕВЫХ ДЕЙСТВИЙ
Одним из наиболее перспективных аналитических
методов, применяемых для моделирования -боевых
действий, является теория массового обслуживания.
Возможность разработки математических моделей «а основе
этой теории обусловливается тем, что многие задачи
динамики боевых действий войск при некоторых,
достаточно общих ограничениях могут быть даны в постановке,
идентичной задачам теории массового обслуживания.
При дальнейшем изложении материала предполагается
знание основных понятий теории массового
обслуживания [7, 10].
4.1. Формализация боевых
действий подразделений танковых
войск в виде задачи теории
массового обслуживания
Рассмотрим постановку одной из задач теории
массового обслуживания.
Пусть имеется г однотипных устройств,
предназначенных для обслуживания потока требований. Отвлекаясь
от физического содержания процесса обслуживания,
можно считать, что продолжительность обслуживания
каждого требования есть случайная величина с законом
распределения G (t) = 1 — е~~^\ где ус — средняя
продолжительность обслуживания одного требования.
Требования поступают случайным образом с
интенсивностью К характеризуемой математическим ожидаии-
144


ем числа требований, поступающих .на обслуживание
в единицу времени. Если свободно хотя бы одно
устройство, поступившее требование подвергается
обслуживанию. Если все устройства заняты, требования
направляются в очередь на обслуживание. Время ожидания
обслуживания также есть случайная величина с законом
распределения <f(t) = l— e~~v', где v — среднее время
ожидания.
По различным причинам обслуживающие устройства
могут выходить из строя. Продолжительность
безотказной работы каждого устройства считается случайной
величиной с функцией" распределения F(t)= 1—е*-^, гДе
а — средняя продолжительность безотказной работы.
Если устройство вышло из строя, то оно может быть
восстановлено, причем время восстановления можно считать
случайной величиной с функцией распределения H(t) =
1 — е~р и параметром р, определяющим
математическое ожидание -времени восстановления. Для этих
условий требуется определить эффективность системы
обслуживания, характеризуемую обычно математическим
ожиданием числа требований, обслуживаемых в
единицу времени или в течение заданного времени Г.
Если теперь предположить, что требованиями,
поступающими на обслуживание, будут являться
наступающие танки, а обслуживающими устройствами будут
средства противотанковой обороны (ПТО), то нетрудно
убедиться в том, что формализованное описание такого
боя может быть дано при помощи математического
аппарата теории массового обслуживания.
В самом деле, отличие боя средств противотанковой
обороны с танками от ситуаций, рассматриваемых в
теории 'массового обслуживания, в основном заключается
в том, что задачи теории массового обслуживания в их
общей .постановке можно рассматривать как некоторые
физические процессы, протекающие только во времени,
а всякий бой, происходящий между средствами ПТО и
танками, является физическим процессом, который
изменяется как во времени, так и в пространстве. Изменение
процесса боя в пространстве может выражаться в том,
что времена обслуживания целей средствами
обслуживания изменяются с изменением местоположения целей
относительно средств обслуживания. Очевидно, для каж-
10—1301 }45


дого конкретного процесса боя :на любой заданный
момент времени U (/=1, 2, ...) можно указать
максимальный интервал на сои времени, равный Att — ti+i—U, в
пределах которого время обслуживания цели средством
обслуживания все еще можно считать независимым от
местоположения цели на поле боя. Поэтому вместо
непрерывного процесса боя можно рассматривать
дискретный процесс, являющийся суммой отдельных процессов,
протекающих в iMi, Л4, ..., Л^г, ... интервалах времени,
в каждом из которых время облуживания цели
средством обслуживания не зависит от местоположения цели.
Рассмотрим задачу в следующей постановке: имеется
некоторый рубеж обороны или некоторый важный
объект, обороняемый от наступающих танков г однородными
средствами противотанковой обороны (ПТО). Танки,
в свою очередь, также ведут огонь по средствам
обороны. При условии, что известны функции распределения
танков в потоке, их число и интенсивность, а также
параметры, определяющие реальные условия боя,
требуется определить исход боя. Для формализации этой
задачи методами теории массового обслуживания
необходимо полосу, в которой наступают танки, разбить по
глубине на последовательность зон таких, чтобы в
каждой из них время, необходимое на уничтожение
(обслуживание) танка средством ПТО, не зависело от
удаленности танка от средства ПТО. При этом предполагается,
что полоса наступления танков имеет ширину, величина
которой не оказывает существенного влияния на
процесс обслуживания.
Назовем зону, в которой обстрел танков средствами
ПТО происходит в интервале времени (^г+i, ^г), i-й зоной
обслуживания, а систему обслуживания, состоящую из
зон, расположенных последовательно, —
аппроксимирующей системой обслуживания. Так как мы допустили, что
в пределах одной зоны обслуживания время
обслуживания танков средствами ПТО не зависит от удаленности
танков от средств ПТО, то поэтому бой, происходящий
в интервале времени (^+ь ^г) между средствами ПТО и
наступающими танками, может быть формализован -в
виде соответствующей задачи теории массового
обслуживания, в которой за поток требований, поступающих на
обслуживание, берется поток обнаруженных
танков-целей. Здесь особо следует оговорить, что требованиями нз
146


обслуживание будут считаться не все танки,
поступающие в зону обслуживания, а только обнаруженные
средствами ПТО. Иначе говоря, цель становитсп требованием
на обслуживание (на поражение) только с момента ее
обнаружения средствами ПТО. Такое понятие потока
целей, поступающих на обслуживание, позволяет
использовать аппарат теории массового обслуживания даже
в тех случаях, когда и цели и средства обслуживания
неподвижны, т. с. когда, казалось бы, ни о каком потоке
целей, поступающих на обслуживание, не может быть и
речи. Действительно, так как цели воспринимаются
средствами поражения только в процессе поиска, который
протекает, как и всякий физический процесс, во времени,
последовательность воспринятых средствами поражения
целей есть поток, поступающий во времени. В отношении
этого потока делается допущение, что он обладает
свойствами простейшего потока.
Если танки проходят последовательно через
несколько зон обороны (зон обслуживания), то потоки целей
будут редеть и \их уже нельзя будет считать
простейшими. Для решения задачи последовательного (зонного)
обслуживания редеющих потоков требований следует
принять во внимание свойства таких потоков,
рассмотренные в приложении 2.
4.2. Определение вероятностей
отказа в зонах обслуживания
Предварительно определим вероятности отказа для
простейшего потока требований, поступающих в зону
обслуживания, в которой все средства обслуживания
однотипны.
С этой целью рассмотрим систему массового
обслуживания, состоящую из г одинаковых устройств. Каждое
устройство независимо от других устройств в случайные
моменты времени может выходить из строя. Примем, что
промежуток времени безотказной работы (от начала
обслуживания требования до момента выхода из строя)
представляет собой случайную величину,
распределенную по экспоненциальному закону F(t)y с параметром а:
F(t)=l-e"ni. (4.1)
10* 147


Предположим далее, что продолжительность
обслуживания требований является случайной величиной
с функцией распределения
G (/) = 1 — е~*. (4.2)
Если прибор вышел из строя, то будем считать, что
время его восстановления * является случайной
величиной с функцией распределения.
H{t)=\ — е":р'. (4.3)
Если в момент поступления требования оказывается,
что все исправные устройства заняты, то поступившее
требование становится в очередь -и ждет случайное
время £, распределенное по экспоненциальному закону ф(/)
с параметрами v, а после истечения времени I покидает
систему обслуживания.
Если устройство вышло из строя в момент, когда оно
было занято, то обслуживаемое им требование остается
в системе обслуживания.
Рассматриваемую систему обслуживания можно
считать математической моделью боя танков со средствами
ПТО в зоне обслуживания, в которой поток
обнаруженных средствами ПТО танков есть простейший, а время
ожидания обнаруженным танком начала его обстрела
распределено по экспоненциальному закону.
Действительно, пусть такая зона есть /-я (/=1, 2, ...) и для нее:
(к — среднее число танков, обнаруженных средствами
ПТО в единицу времени; [i — среднее число танков,
поражаемых одним средством ПТО в единицу времени;
а —среднее число средств ПТО, уничтоженных танками
в единицу времени; v — среднее число танков из числа
обнаруженных, покинувших зону обслуживания
непораженными.
Так как в соответствии с данными, опубликованными
в работе [13], в каждой /-й зоне число выстрелов,
необходимых для одного попадания, есть случайная
величина, распределенная по экспоненциальному закону,
то и время, необходимое для поражения цели в /-й зоне
каждым средством, будет тоже случайной величиной,
* При выводе формулы вероятности отказа также
рассматривается случай, когда а=^0, a |3 = 0.
148


распределенной по экспоненциальному закону с
параметром jli при поражении танков и с параметром а при
поражении средств ПТО. Это означает, что процессы
поражения танков и поражения средств ПТО в /-й зоне
будут идентичны соответственно процессу обслуживания
требований и процессу выхода из строя обслуживающих
устройств в рассматриваемой системе обслуживания.
Таким образом, для решения нашей задачи
достаточно определить вероятности отказа в рассматриваемой
системе массового обслуживания. Для ее изучения
удобно использовать однородный марковский процесс со
счетным числом состояний, в котором каждое состояние
соответствует определенному состоянию
рассматриваемой системы обслуживания.
Обозначим через Eij состояние однородного
марковского процесса, соответствующее такому состоянию
системы обслуживания, когда в ней находится всего I
требований и / (/= 1,2,..., г) устройств вышли из строя.
Пусть h есть промежуток времени бесконечно малой
длины. Тогда в интервале времени (ty t+h) в указанном
марковском процессе с вероятностями, превышающими
0(A) *, могут произойти следующие переходы (переход
из одного состояния в другое будем обозначать
символом «—>-»):
1) из fo.o либо—^£о,о, либо—>Е\,ь либо—н?о, и
2) из Eofj либо—нЕо,.;, либо—^£i, j, либо—^£0, j-i,
либо—нЕо, я-i (0</<г);
3) из Еог либо—^£о, г, либо—*Е1уГу либо—^fo, г-Г,
4) из Ei, j либо —fi, j, либо —£*1_ь j, либо —£"i+li j,
либо—>Eit j-i, либо—►fi, j+1 (0</<r, 0</<r— /);
5) из fr-j+e.j либо —£V_j+s, j, либо —> Er _ j+s-i, j»
либо—►£*,.-j+s+i, д-, либо —£r-j+s. j-i> либо —fr_j+S| j+1
(5=1, 2, ...; 0</<r);
6) ИЗ Es, r Либо — Es,r> ЛИбо—"fs-i, r> Либо—^fs+i.rt
либо—*Es,r-i (5=1, 2, .. .);
7) из fio либо —£;,()> либо—^fi.i, либо — £\+], о»
ЛИбо-^^г-ь о (0<^'<0'
8) из Er+S, о либо—+Er+S, о> либо —£г+5, ь либо—
— fr + s+i, о» ЛИбО — fr + s-ьо (5=1, 2, ...);
9) из £Vi0 либо —f^, либо — Erti, либо —£",.+ ,,0,
либо—*Er_lt 0.
* 0(/г)—бесконечно малая высшего порядка по сравнению с h.
149


t А Б Л И Ц А 4.
Таблица вероятных изменений состояния боя
Изменение
состояния
Enj —> £ij,j
£м-* Etj
Eij -» E\i + itj
E.ij-+ Е$-ио
Ehj -* Eh-1,3
£rij-* £tf,j+l
£.*j-*£iU-i
£Wr ~* Cfi.r
Пределы изменения
0</<r —/;
0</<r
<>/•—/; 0</<r
i^O; 0</<r
0<i<r — /; 0</<r
i>r — j; 0</<r
f ^s0: 0</<r
i ^ 0; 0 < / < г
/>0
Вероятность перехода
1 — Kh — (r — у) aft — /рЛ— /pi*
1 — ХЛ — (г — j) ph —
- (г — j)ah — /PA—(£—г + />Л
М
/[хЛ
(Г — /) jxA + (ё — г + /) vft
(г-/)Аа
/рл
1 —\h — r$h — ivh
Так как функции распределения ^(0> б(/), Я(^) и
ср(<) есть экспоненциальные функции, а поток
требований, поступающий в систему, простейший, то вероятности
перехода из одного состояния рассматриваемого
марковского процесса в другое можно записать, как показано
в табл. 4.1.
Обозначим через pij(t) вероятность того, что в
момент t в системе обслуживания находится * требований
и / устройств вышли из строя. Пусть 0</<г, i<r—/ и
и 5= 1, 2, ... Тогда для рассматриваемой системы
обслуживания можно написать следующую систему
разностных уравнений:
1. ро,о(/+Л)=ро,о(0 (1— АА—rah)+piyo(t)[it+
+ /7о,1(ОЙ + 0(А),
2. PoAt + b) = PoAt)[l-»i-(r-J)*h-№ +
150


3. p,,r(t + h) = ptir(f)(l-Ui-r№ + pur(f)vh +
+ Л.г.1(0«А + 0(А),
4. />«.*(* +A) = /><,, (Oil — ЯЛ — г>Л — (г — /) аА — /рА] +
-H^-.,^)^ + /;i+1,j(0(/+l)^ + /7u-i(0('--/+l)^+
+ />«.i+i(0(/+l)PA + 0(A),
5- Pr-i+s,iit + h) = pr.j+s,iit)\\ — ЯЛ —(г—у>А —
— (г — j) аЛ — /pA — s\h\ + pr_j+s,j+i it) (r — /+ 1) аЛ +
+ Pr-i+:i+i it) (/+ О РА + /;,_,+..,,, (0 Я/г +
+ A-i+.+.jW[(r-/)|iA + (s-l)vA] + 0(A),
6- /7,.r(< + A) = A.r(')(1 -ЯА — rpA-svA) + pt.ur(t)ЯЛ+
+ ^+».r(0(s+l)vA + A.r-.(0«A + 0(A),
7. /*..(< +A) = /;<., (0(1— ЯА — г>Л-гаЛ)+ /?*,,(/) PA+
+ /*«.. (0 (* +1) l»A+ /><-... W*A +0(A),
8- y^r+s.o (* + A) = Pr+s.t it) (1 — ЯЛ — svA — гцЛ — гаЛ) -)-
+ i»r+.+i.e(Of(s+l)vA + rnA] + />r+(l.1.e(OAA +
+ pr+..i(0PA + 0(A),
9- jPr.o(^ + A) = /7r,e(0(l — ЯЛ — Г|хЛ — гаЛ)+
+ A-+... (0 (vA + rpA) + />r>1 (0 ?A + /;r_be it) Я/г + 0(A).
Разделив правую и левую часть каждого разностного
уравнения на А и устремив А к нулю, находим следующую
систему дифференциальных уравнений:
1. /Л.о(0 = -/^о(0(*+™) + л.о(0^+л>.,(ОР.
2- //».;(0 = -А.П0[* + (г-/)" + /Р] + /^(^ +
151


3. p'o,r(t) = -Po,r(t)(l + r$)-]-p1,r(t)v + p<)ir„l(t)a,
4- p'i.iW = -^.iWIi + ^ + ('--/)e + /PI + /'i-..j(04-
+ /'i+..i(Oa+l)«» + ^J-i(0('"-/+l)« +
+/»*J+.W(/+1)P.
5- />'r-j+«,j(*) = — A>r-j+.j (*)[* + (' — /) I* + (' — /) a +
+ (s+I)v] + /?r_j+s>j+1(0(/ + l)P +
4- /?r-j+e.j-i (0 ('' — / +1) *.
6- P',.r{t) = -p..r(t){l + r$ + SV) + pa_i,r(t)X +
+ ft+i.r(0Hi)v + ft,r-i(0«.
7- /7'i., (0 = - /?«.. (0 (Я +1> + ra) 4- /,,,, (/) p +
+ /><+... (0('+!)!* + />«-...(')*.
8. jO'r+s,o (0 = — /»r+«.e (0 (Я + sv + rix + m) +
+ Pr+S>, (0 P+/?r+«+i.o (0 \(s 4-1) Y+/>] + />r+,_,.. (t) я,
9- /7'r.o (0 = - Pr.o (t) (Я 4- /> 4- ra) + /?r.. (0 P +
+/>г+м (0 (* 4-n0 +л--i.o(0*-
Введем обозначение
^j = lim/?f>J(/) («>0, 0</<r). (4.4)
Тогда для установившегося состояния процесса
обслуживания в рассматриваемой системе система
дифференциальных уравнений запишется в виде следующей
системы линейных алгебраических уравнений:
1- — Ро.о(1 + га) + А.оМ- + А.1р = 0,
2- —PoAl + (r — i)* + ft\+Pi.№ + Po.3-i(r — i+l)* +
+ Po.i+i(/+l)P = 0,
3. — Air(* + rp) + pI,rv + Po,r-|a = 0>
15?


4- — Pi.i [я + *>4- (г — /) * + /PI + />i-i.j* + />i+i.j (* +
+ Ol* + A.i-. (»■-/+l)« + ^u+.(/+l)P = 0,
5. — Pr-j+e.i\X + (r — /)!* + ('• — /)* + /P + Sv] +
H-^r-j+.-i.^+^r-j+.+ijK'" — /)H-(s-f-iH +
4-^r-j+..j-i ('' — /+ i)a+Pr-3+s,j+i(/+i)p = o,
6. — Л.г (* + rp + sv)+ />,_,,,.*+ j7e+lif.(s + l) v +
7- ~Pi.o(x-{-¥Jrra)-\-piJ+ pi+uo(i-\-l)\>.^-pi_li0X=^0,
& — /'r+e.e(^ + sv + r|» + ra) + /?r+,llp +
+ />r+«+i.e[(s+l)v4-/>I + /7r+,.ll,i = 0>
9- — Рг,о{Х-{-гР + га)+ Pr,§ + Pr + uo(V +ГР)+ Pr-i,o*=0-
Решая отдельно полученные системы
дифференциальных и алгебраических уравнений вместе с
соответствующими им очевидными условиями
f %рц«) = 1 *%%Ри=1, (4.5)
/=()/=0 1 = 0/=0
можно определить вероятности рц (t) и рц для всех
значений / = 0,1,..., г и / = 0,1,...
Построенные системы уравнений содержат
бесконечное число уравнений, но из них можно выделить такие
подсистемы, содержащие минимальное количество
уравнений, решения которых с заданной точностью все еще
будут являться и решениями соответствующих им
систем.
Чтобы обеспечить точность решения 0,05 при г =10,
в среднем необходимо решить подсистему из 200—250
уравнений.
Для решения такого большого количества уравнений
требуется много машинного времени, поэтому
использовать метод «высекания уравнений» на практике не
всегда рационально.
153


Для нашей задачи важно найти решение системы
уравнений для установившегося состояния процесса
обслуживания, т. е. найти вероятности рц (i = 0, 1, 2, ...;
/=0, 1, 2, ..., г).
Сделаем следующее допущение:
Pi3 = P&j. (4.6)
Это допущение означает, что в установившемся
состоянии процесса обслуживания два события: 1) наличие'
в системе обслуживания i требований, 2) из г устройств
/ устройств неисправно — являются независимыми.
Заметим, что указанное допущение в общем случае
строго не выполняется. Далее мы покажем, в какой
степени оно влияет на определение вероятностей
г
pi=Y Pli'
/=1
На основании принятого допущения система
линейных алгебраических уравнений запишется в виде
следующей системы уравнений:
1. —Xpo+(pi—pir)ii+p\rV = 0,
r—i r
2. — bpi — *>/?i £ Щ — № J <Г — Л ^ "
г—/—1
/=r-/+l ;=o
г г
+ Wi+i £ *i(r — i) + vpi+i V wj(/ —r + * + l) = 0,
y=r—i /=r—f
r r
3. —Ipr+s — Wr+sY, (r-fliCj-V^eJ (5 + /)^ +
/=o y=o
г г
+ lpr+B-i+ ^r+s+iV (Г — />, + Vpr+S + 1 £ (/+S+l)*j=0.
y=0 /=0
154


Введем следующие обозначения:
для /=1,2, ...,г
г—/ г
*i = lpi-г — i\><Pi J] «j — № J (Г _ Л *i —
;=о i=r—/+1
•г
— vpi £ 4(1 —r+ i);
]=r—i + \
ДЛЯ 5= 1,2, ...
г г
гг+8 = ЬРг+в-1 — №+8^ *3(r — J) — yPr+sYt (/ + «)*j-
В принятых обозначениях последняя система алгебраических
уравнений запишется так:
1. г1 = 0,
Откуда следует:
Pi— —t - - ,
(4.7)
n fyfr + 8-1
Pr+s — } }
**• V] «J (r — /) + v Yi *3 (s +1)
ИЛИ
Pi =
I ( r—k r r \
n<^5j"j + K' H "i(r —/)+v 2 **(*+/—r)>
/?r+s =
(4.8)
l=i l ;=o y=o J
155


Для определения вероятности р0 можно
воспользоваться следующим очевидным равенством:
Откуда следует:
где
1 + ^ <Р;г + <Рг ^ Ф*
(4.9)
л*
* f r—k г r 1
П < ^ 5] *j + И У| *j ('' — /) + v V Щ (k+j—r) \
k=l I /=0 j=r—k + l y=r—/г-М J
4>s = -
П |^S *j(r-/) + v]£ «jft + Л i
Вероятность я^(/=1, ..., г) есть вероятность того,
что из г устройств только / устройств будут
неисправны. Для случая, когда возможно восстановление
устройств и известна величина параметра |3, для
определения вероятности щ можно использовать формулу,
приведенную в [7], согласно которой
(Я
"-"'S-FhsKi)"
В общем случае в бою боевые средства не
восстанавливаются и не заменяются новыми, т. е. (3 = 0. При р = 0 и
а=^=0 рассматриваемая система (точнее
соответствующий ей марковский процесс) не будет стационарной, и
тогда значения pi (7 = 0, 1, ...)> полученные для
стационарного состояния системы обслуживания, будут недей-
156


ствительными. Для того чтобы не было нарушения
стационарности системы обслуживания при {$=0, за
вероятность щ будем брать среднее значение ttj(t)
вероятности того, что при р = 0 и афО в момент / / устройств
неисправны. Если Т есть период боя, то
т
4 = -\r\*i{t)dt. (4.10)
6
Вероятность itj{t) определяется из следующей
системы дифференциальных уравнений:
1. *'0(0 = —raiu0(f),
2. *'j(t) = -(r-j)aT4(t) + (r-j+l)ai4_l(t)
(0</<г),
вывод которых ввиду его несложности здесь опускается.
Решая полученную систему дифференциальных
уравнений, находим
«,(0 = <е-Чг-',-'(1-е-у.
Подставив полученное выражение для вероятности
ttj(t) в формулу (4.10) и проинтегрировав, окончательно
получим
ч-Э^Т^Т^О—-***)- (4.11)
Теперь имеются все данные, необходимые для
определения вероятности отказа.
Введем следующие обозначения:
/?отк — вероятность отказа в рассматриваемой системе
обслуживания;
M(s) —среднее число требований, находящихся в
системе сверх г требований;
M(\k)—средняя величина очереди, когда в системе
находятся £ = 0, 1, .. ., г требований и /—0, 1, .. .,г
устройств вышли из строя.
157


Значения M(s) и M(k) находятся из очевидных
равенств:
со
М (s) = £ spr+s,
5=1
Непосредственно из определения вероятности отказа
следует, что
_ v[M(s) + M(k)] U]i?,
Подставив значения M(s) и M(k) в формулу (4.12),
окончательно находим
/?отк :
5=1 fc = l )=r—k + \
(4.13)
.При определении вероятностей pk<r и /7r+s нами было
сделано допущение о том, что pi$ = р^^ (4.6).
Очевидно, в общем случае это допущение не будет строго
выполняться. С целью исследования его влияния на
точность определения вероятностей рк и pr+s для г=1, 2
и всевозможных значений параметров A,, |i, v, а и |3,
используемых в математической модели боя танков со
средствами ПТО, были вычислены значения pk и pr+s при
помощи метода «высекания уравнений» и формул (4.7) и
(4.8). Сопоставление соответствующих значений ри и pr+s,
вычисленных обоими способами, показало, что
абсолютная величина расхождения не превышает 0,0001.
А это значит, что формулы (4.7) и (4.8) в рамках
математической модели танкового боя могут считаться
практически точными.
Теперь перейдем к определению вероятностей отказа
для потоков Пальма, поступающих в рассмотренную
выше систему обслуживания.
Введем следующие обозначения:
9/ — вероятность отказа в i-й зоне обслуживания;
158


Pi отк — вероятность отказа в i-й зоне обслуживания
в предположении, что в i-ю зону поступает
простейший поток с интенсивностью, равной
интенсивности потока Пальма, поступающего в i-ю
зону;
7tj(h)—вероятность отказа /-го устройства в задаче
Пальма при условии, что на него поступает
поток требований с интенсивностью h\i.
Пусть на /-е устройство в задаче Пальма и в i-ю
зону аппроксимирующей системы обслуживания поступают
потоки требований с одинаковой интенсивностью, равной
X/. Из приложения 2 следует, что при обслуживании
потоков Пальма среднее время простоя средств
обслуживания будет тем больше, чем больше пустых областей
и чем больше их размеры в поступающем потоке.
Отсюда следует, что
*l<Plot* + Vr,-I M - «Гц (hi), (4.14)
где hi=Xi[i, Ti— число средств обслуживания в i-ft зоне.
Действительно, по нашему предположению, потоки,
поступающие в i-ю зону и на /-е устройство в задаче
Пальма, имеют одинаковую интенсивность и,
следовательно, одинаковую величину последействия
(одинаковое число пустых областей и одинаковые их размеры).
А так как аппроксимирующая система обслуживания
есть система с ожиданием, а в задаче Пальма — с
отказом, то справедливость неравенства (4.14) становится
очевидной.
Правую часть неравенства (4.14) можно принять за
оценку Qi сверху. За оценку 6/ снизу можно взять
вероятность pi отк. В математических моделях боевых
процессов, и в частности в математической модели
танкового боя, для '8/ в зависимости от задачи исследования
может быть использована либо только верхняя, либо
только нижняя ее оценка. Так, например, если модель
проигрывается с целью оценки эффективности
противотанковой обороны, то вместо 8/ можно взять ее оценку
сверху. Если же поставлена задача рассчитать число
имеющихся видов танков для прорыва заданной
обороны или же оценить эффективность танков относительно
средств обслуживания, то вместо 6/ естественно взять ее
оценку снизу.
159


4.3. Методы определения
основных параметров боевого
процесса
Точность моделирования боевого процесса
существенно зависит от правильного выбора методов определения
каждого из его основных параметров. Чем точнее будут
определены основные параметры боевого процесса, тем
точнее математическая модель будет воспроизводить
моделируемый боевой процесс.
Рассмотрим методы определения основных
параметров моделируемого боя средств ПТО с танками.
Интенсивность потока обнаруженных целей Я. Для
простейшего потока и потоков типа Пальма
интенсивность определяется в виде следующего предела:
a = lim^f (4.15)
где F(t)—вероятность поступления в систему (зону)
обслуживания за промежуток времени t хотя бы одного
требования.
При формализации боевых процессов в виде задачи
теории массового обслуживания необходимо дать
правильную трактовку процессу поиска целей средствами
обслуживания. В бою вероятность поступления целей на
обслуживание, очевидно, можно отождествить с
вероятностью их поиска средствами обслуживания.
Действительно, где бы цель ни находилась, как бы она близко
ни приблизилась к обслуживающему его средству, если
последнее ее не обнаружило, то нельзя считать, что
цель поступила на обслуживание. Из этого следует, что
в формуле (4.15) за вероятность поступления в зону
обслуживания за промежуток времени t хотя бы одной
цели можно брать вероятность поиска в этой зоне за
время t хотя бы одной цели.
Событие поиска цели в заданной области (на
заданном рубеже) есть сложное событие. Оно состоит из
последовательного появления события обнаружения
местоположения цели в заданной области при условии
наличия прямой видимости между средством поиска и
целью и события обнаружения цели в точке положения
цели при условии, что там имеется хотя бы одна цель.
160


Обозначим для /-го средства поиска через ср;
вероятность первого события, через fi(t)—вероятность
второго события, а через г|)< — вероятность наличия прямого
видения между средствами поиска и целями.
Если известно, что имеется N целей и они в области,
в которой ведется поиск, распределены равномерно, то,
очевидно,
?;
=.-(■-!)•
Возможны случаи, когда точное число целей во всей
области поиска неизвестно, но известно их среднее
число на единице области поиска. В этом случае на
основании изложенного в первом параграфе настоящей
главы можно считать распределение целей в области поиска
пуассоновским. Тогда
где {о — плотность целей в области поиска; 5 — общая
площадь области поиска.
Вероятность fi(t) зависит от таких факторов, как вид
средства поиска, вид цели, ее размеры и состояние, в
котором она находится в период поиска, ландшафт
местности, метеоусловия и др. Поэтому вероятность fi(t)
может быть определена только эмпирически в полигонных
условиях.
Вероятность %• зависит от рельефа местности в
районе боевых действий.
Пусть Fr(t) ecfb вероятность поиска целей в
заданной области за время tr средствами поиска. Тогда
г
МО^-ПП-ФтМОЬ
и, следовательно,
_1;^ МО _<*М0
A = lim
f->0
/ dt
t=o
(4.16)
Для случая, когда все средства поиска однотипны и
одинаково удалены от целей, % = \|5, <р,-=<р и fi(t)=f{t).
Поэтому
/v(0=i-[i-W(0Ir.
11-1301 161


Параметр обслуживания обнаруженных целей ц.
Введем следующие обозначения:
П\ — математическое ожидание числа выстрелов по
одной цели из одного средства поражения, необходимых
для одного попадания;
П2 — математическое ожидание числа попаданий,
необходимых для поражения одной цели;
Д — боевая скорострельность средств поражения,
выстрел/мин.
В принятых обозначениях параметр \х запишется
в виде
Величина А для каждого средства поражения
считается известной. За величину п\ может быть взята
величина пЛ-Пц (0^п0<1; л=0, 1, ...), удовлетворяющая
следующему неравенству:
я
max у Po{D) + n0pn+1(D)=l,
где pj(D) (/ = 0, 1, ..., я+1) есть вероятность попадания
в цель /-м выстрелом на дальности D.
Величина #2 определяется для каждого средства
поражения в зависимости от вида цели и от направления
движения.
Параметр ожидания приема на обслуживание v.
В основу метода определения параметра v для каждой
f-й зоны обслуживания положим следующее требование:
средний результат обслуживания танков в i-n зоне
аппроксимирующей системы обслуживания должен быть
равен среднему результату поражения танков в
действительности в интервале времени (ft+i, tt). Будем
предполагать, что в реальном процессе обслуживания любой
обнаруженный танк, где бы он ни находился в зоне
обслуживания, принимается на обслуживание с равной
вероятностью. Нетрудно установить, что это
предположение не является строгим и в общем случае практически
будет выполняться.
На рис. 4.1 зона обслуживания построена в системе
координат tOx в виде прямоугольника OTAF, где Т —
время, в течение которого танки находятся в зоне
обслуживания.
162


Так как по предположению поток обнаруженных
танков есть стационарный поток, поэтому проекции
моментов времени приема на обслуживание обнаруженных
танков, находящихся в зоне обслуживания, на диагональ
TF образуют множество точек, распределенных по всей
длине TF в среднем с одинаковой плотностью. Пусть пря-
Рис. 4.1. Схема обслуживания танков на рубеже обороны.
мая КМ, проведенная параллельно оси Ох, есть рубеж,
после которого танки, если они ранее ,не были приняты
на обслуживание, считаются покинувшими эту зону
обслуживания. Рассмотрим треугольники ТВС и DCE. На
основании изложенного ранее площадь первого
треугольника можно принять за величину, пропорциональную
суммарному времени обслуживания в зоне OTAF
танков, проекции которых на диагональ TF являются
точками отрезка ТВ, а площадь второго треугольника
(DCE) — за величину, пропорциональную (с тем же
коэффициентом пропорциональности) суммарному
времени, недостающему для завершения обслуживания в
зоне OTAF танков, проекции которых на диагональ TF
являются точками отрезка BG.
Следовательно, зависимость времени ожидания
1
^ож= гг можно записать в виде следующего уравнения:
S(TBC)—S(CAD) =0, (4.18)
где S(x) есть площадь фигуры х.
Введем следующие обозначения:
z — расстояние ВС;
11* 163


т — расстояние FN (%= — j;
TC(CE) — расстояние ТС (СЕ).
В принятых обозначениях равенство (4.18) запишется
в <виде
z-TC= (т—г) СЕ.
Откуда, используя подобие соответствующих
треугольников, находим
'o» = 7,-5Jr. (4Л9)
Значение t0m, вычисленное по формуле (4.19),
действительно только для тех зон обслуживания, для
которых выполняется неравенство Г^т. Это следует
непосредственно из рис. 4.1. Для зон обслуживания, для
которых Г<т, аналогичным образом получаем значение
tom, равное выражению
*он« = ^. (4.20)
Таким образом,
v =
t 2jx _^ 1
§~ЩГ=Г' если т* 1Г»
2 ~ . 1
-, если / <—.
(4.21)
?> ' н<
Заметим, что в каждой зоне обслуживания за Т
берется время продолжительности всего боя в этой зоне,
а не только то время, которое необходимо на
обнаружение всех целей.
Среднее число средств ПТО, уничтоженных танками
в единицу времени. Обозначим через щ среднее число
средств ПТО, уничтоженных танками в единицу времени
в интервале времени (ti+], tt), т. е. в i-и зоне
обслуживания. Значение m(i=l, 2, ...) может быть определено
на основании вероятностей поражения средств ПТО
танками по формуле, идентичной формуле (4.17):
*»' = ^Аг--. (4.22)
164


где Д; — скорострельность танков в интервале времени
(ti+\, tL), пц — математическое ожидание числа
выстрелов по одному средству ПТО из танков, которое
требуется для одного попадания в интервале времени (ti+u
U)\ K2i—математическое ожидание числа попаданий
в средство ПТО из танка, которое требуется для его
поражения.
Однако на практике для определения значения
а, (/^2) чаще используют результаты боя в (/—1)-й
зоне, т. е. в интервале времени (tiy ^_i).
Пусть Ti есть число имеющихся в наличии средств
ПТО к моменту начала обслуживания танков в i-и
зоне. Тогда
«' = ^77- (4-23)
Число обслуженных (уничтоженных) танков в одной
зоне обслуживания. Введем следующие обозначения:
Ni — число танков, имеющихся в наличии к моменту
начала их обслуживания в i-Pi зоне;
%i — среднее число танков, обнаруженных в i-й зоне
в единицу времени.
Значение %i находится по формуле (4.16). В i-й зоне
обслуживания за время Ti = ti+i—ti будет обнаружено
в среднем
**, = min{A,7\,tf,}
танков. Число уничтоженных танков в i-Pi зоне
обслуживания находится по следующей формуле:
Ni - Ni+l = Nt- **t-/w (4.24)
где ротк есть вероятность отказа в i-й зоне
обслуживания. Она определяется по формуле (4.13), когда поток
обнаруженных целей в /-й зоне простейший, и по
формуле (4.14), когда поток обнаруженных цепей в i-й зоне
пальмовский.
Среднее число средств обслуживания (ПТО),
уничтоженных танками в 1-й зоне. Среднее число средств ПТО,
уничтоженных танками в i-й зоне, равно г*—rt-+i. Для
его определения можно воспользоваться следующим
очевидным соотношением:
Г*-Г"±1 = N\7N'i+l , (4.25)
165


где Х*{ — среднее число обнаруженных средств ПТО
танками за время, равное, 7\ —/i+1—1%. Величина X*i
определяется по такому же методу, как и величина А**;
Р<0*г) — среднее число средств ПТО (танков),
уничтоженных одним танком (средством ПТО) в интервале времени
(£г+1 — U). Значение \ii(\*>i) находится по формулам (4.22)
и (4.17).
Из соотношения (4.25) следует:
''-''+• = 1^ ("'-"'Л- (4-26)
Изложенную выше методику обслуживания
однородного потока целей однотипными средствами поражения
можно также использовать и для обслуживания
неоднородных потоков, состоящих из различных видов целей.
Для этого достаточно, чтобы поток обнаруженных целей
каждого вида был также простейшим или типа Пальма.
Если указанное условие выполняется, то обслуживание
потока, состоящего из разнотипных целей, в каждой i-й
зоне производится следующим образом:
1. Все средства поражения, имеющиеся в наличии
перед началом обслуживания в i-й зоне, распределяются
по слагаемым потокам таким образом, чтобы по
заданному критерию получить максимальную эффективность.
При этом могут задаваться такие критерии:
а) уничтожить наибольшее число танков
какого-либо одного типа;
б) уничтожить наибольшее число танков независимо
от типов;
в) уничтожить наибольшее число танков, наиболее
опасных для средств поражения и др.
2. По описанной методике проигрывается бой между
танками каждого слагаемого потока и средствами ПТО,
выделенными для их обслуживания.


5
СТОХАСТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ БОЕВЫХ ДЕЙСТВИЙ
Суть любой стохастической модели состоит в том, что
изучаемое случайное явление формализуется в виде
некоторого математического процесса, в общем виде
являющегося случайным.
При помощи специально разработанных алгоритмов,
как правило, на электронной цифровой вычислительной
машине воспроизводятся отдельные реализации этого
случайного процесса. Методом статистических
испытаний учитываются при этом все необходимые
вероятностные закономерности влияния случайных факторов.
Набор необходимого количества таких реализаций
позволяет получить статистические оценки значений
параметров процесса.
При изучении исследуемого процесса можно учесть
достаточно большое число случайных факторов. Эта
возможность появляется за счет того, что каждый раз
методом статистических испытаний по известному
вероятностному закону определяется конкретный исход
случайного события. При этом отсутствует необходимость в
выведении общего суммарного вероятностного закона,
которому подчиняется конечный исход процесса, что при
наличии большого числа случайных факторов является
практически неразрешимым. Это обстоятельство как раз
и позволило стохастическим моделям занять такое
важное место при исследовании боевых действий.
Стохастические модели, позволяя достаточно просто
получать отдельные реализации практически любых
случайных процессов, в то же время требуют весьма много
времени для проведения трудоемкой работы по
статистической обработке большого числа реализаций
изучаемого процесса с целью получения необходимых выводов
и рекомендаций. Исходя из того, что для сложных про-
167


цессов модели получаются громоздкими и требуют
значительных затрат времени и труда для получения
достаточно точных результатов, вырисовываются два
основных случая применения этих моделей.
В первом случае стохастические модели следует
применять тогда, когда метод статистических испытаний
позволяет получить окончательные результаты гораздо
проще, чем при использовании аналитических моделей. Во
втором случае стохастические модели применяются
тогда, когда цели исследования аналитическими методами
достичь невозможно *.
В дальнейшем будут рассматриваться боевые
ситуации и связанные с ними математические задачи,
относящиеся, как правило, ко второму случаю применения
стохастических моделей.
5.1. Постановка задачи
и формализация боевого процесса
С формальной точки зрения, любой бой — это
реальный процесс, происходящий во времени и в
пространстве, характеризующийся наличием двух сторон, состав и
численность которых изменяются под взаимным
воздействием. Каждая сторона стремится выполнить
поставленную перед ней задачу, что достигается чаще всего
нанесением противоположной стороне необходимого
числа потерь при допустимом уменьшении своей
численности. Каждая сторона состоит из некоторого числа
элементов, являющихся участниками боя. В зависимости
от масштаба боя в качестве элементов могут
выбираться: отдельные бойцы, орудия и минометы, танки и
самолеты в одном бою, целые подразделения и части в
другом.
Каждый такой элемент характеризуется некоторой
совокупностью переменных величин, являющихся
функциями времени и определяющих характер его действия
и положение в пространстве. Конкретное значение этих
величин в некоторый момент времени называется
состоянием элемента. Изменение состояний элементов боя во
времени, происходящее в соответствии с конкретными за-
* По крайней мере, в тот период времени, когда ведутся
исследования.
168


кономерностями течения боя, составляет реальную
сущность боя. Бой — процесс конечный и характеризуется
своим исходом. С формальной точки зрения исход боя
можно определить как совокупность состояний всех
элементов в некоторый момент времени, после которого
каждое из этих состояний не меняется.
Исходя из этих интуитивных соображений, можно
дать следующее математическое описание боя.
Даны два конечных множества Q и I/, где
Q = {<7i, Я*, -,Яп] = Ы (/ = 1, 2, ..., л),
U = {Uu U„..., Um} = {U)} (I = 1, 2,..., /и),
определяющие качественный и количественный состав
борющихся сторон.
Для каждого элемента ^6 Q(i=l> 2, ..., п)
существует многомерная случайная функция
М0 = *Ы0; МО; ••.;«*■<«) (0)
для T0<t<Tly где Т0 и Г, соответственно обозначают
моменты начала и конца боя. Случайные функции %ц (/);
5t2 (0> •••;£ir(0 (0 называются параметрами элемента qu
I — реализация случайной функции ^ (t) обозначается через
<Ю=Мп(0;е«(0;--;С)('))-
Сечение случайной функции gt-(tf) при некотором
заданном моменте времени T0^t3^.Ti называется состоянием
элемента qi в t3 и обозначается через Ci(t3).
Неслучайный вектор
i(t3) = (^(t3);kli2(t3);...-Jllrii)(t3)).
называется состоянием элемента q\ в t3 для /-й
реализации и обозначается через С\ (t3). Совокупность
{С. (То)} для всех £=1, 2, ..., л называется начальным
состоянием стороны Q для /-й реализации. Аналогично
описываются элементы Uj(j=l, 2, ..., /п) стороны U
169


и вводятся соответствующие определения и понятия:
с*Ю = с,(С*1(0; с,Л0; ■••;<* «>(')).
^(0 = ^^(0; 4«;...; С^Ю).
Do(ts) = Z>(h) = (Zn)(to); cjt(«;..•; Cjr(j>(0),
dJ('.) = cS(/b) = (c;i(/3); cJ^M;-; cir(J,ft)).
Совокупность {Dj(ro)} для / = 1, 2,..., яг называется
начальным состоянием стороны (/ для /-й реализации, а
совокупность {D^ (ГО} — объективным исходом боя стороны U
для /-й реализации.
Естественно, что {С^(7\)} и {D^. (7\)} вместе называются
объективным исходом боя для 1-й реализации, а {С[(Г0)}
и {#!j(7"o)}—Начальным состоянием боя для 1-й реализации.
Если заданы некоторые критерии оценки результата боя
в виде некоторых функционалов M{Cj(7\)}; {Dlj(Ti)})>
fa ({Cj^(7\)}; {D\(Ti)}) и т. д., то значение этих функций
при конкретных значениях аргументов называется исходом
боя по соответствующему критерию.
Конкретные значения пит, конкретные свойства
случайных функций & и ■£,- будут отличать друг от друга
различные бои по масштабу и физическому содержанию,
по закономерностям развития во времени.
Если бы для каждого боя можно было выделить все
элементы, изменение параметров которых во времени
определяло развитие боя, а также соответствующие этим
элементам случайные функции & и £j, то было бы
получено полное математическое описание боя. Такой бой
можно было бы изучать методами теории случайных
функций. Однако на практике выделить элементы боя
вследствие их многообразия и сложных
взаимозависимостей не представляется возможным. Поэтому надо
выделять лишь те элементы, которые существенно
определяют развитие боя, сводя их число по возможности к
минимуму, причем часто полезно объединять
элементы в группы, считая каждую группу одним элементом.
Следует иметь в виду, что для всех выделенных
параметров характеризующие их одномерные случайные
170


функции будут лишь Некоторыми приближениями
точных, так как задаются они некоторым конечным числом
характеристик (на практике чаще всего ограничиваются
математическим ожиданием и корреляционной
функцией).
В данной главе описывается моделирование
танковых боев в тактическом масштабе. Такой масштаб
позволяет в качестве элементов боя считать отдельные
боевые средства: танк, самоходное орудие,
противотанковое средство. Выделяемые параметры элементов
характеризуют расположение элементов на местности, их
перемещение, характер их деятельности и результат этой
деятельности. Изменение этих параметров во времени
определяется случайными функциями времени, т. е.
некоторыми случайными процессами.
В качестве параметров для выбранных элементов боя
принимаются следующие случайные функции от
действительного аргумента времени t:
tii (0—функция боеспособности;
т]2(0—функция местоположения;
т]з(0—функция скорости;
тн(0—функция характера действия;
т]5(0—функция наличия количества боеприпасов.
Создаваемая модель должна давать алгоритмический
способ получения приближенных реализаций этих
функций, что позволяет ib дальнейшем получить
приближенные характеристики этих функций для практического их
использования. Эти реализации вырабатываются в трех
основных моделях:
— перемещения элементов;
— обнаружения элементов (целей);
— стрельбы.
Методика построения этих основных моделей
рассматривается в следующем параграфе.
5.2. Методика моделирования
основных процессов боевых
действий
Моделирование перемещения. В модели перемещения
реализуются т^СО— функция местоположения, и tj3(^) —
функция скорости. Отличительной чертой всех
сухопутных боев является то, что всякий такой бой происходит
171


на некоторой реальной местности, существенно
влияющей на его ход. В любой стохастической модели
местность можно учитывать двояко [6]:
1) информация о характеристиках местности не
случайна и является частью исходной информации для
проигрывания модели на ЭВМ;
2) информация о характеристиках местности является
случайной, и конкретные значения этих характеристик
в модели учитываются методом статистических
испытаний.
Выбор из этих двух возможностей при
непосредственном моделировании зависит от цели исследования и
имеющихся данных для такого исследования.
Получить постоянную информацию о любой реальной
местности нетрудно, в частности она может быть
непосредственно взята с карты. Однако выводы, полученные
на модели с использованием такого подхода, можно
распространить на довольно узкий класс различных типов
местности. Второй подход значительно расширяет этот
класс, но получение случайных законов изменения
характеристик местностей часто бывает затруднительно.
Непрерывное отображение местности в стохастической
модели невозможно, так как и на картах информация
дается не для каждой точки, а усредненно. Это
относится к любой информации, кроме координат. Поэтому
часто участок местности, на котором происходит реальный
бой, разбивается на элементарные участки, каждая
точка которого характерна тем, что она имеет одинаковую
информацию с остальными точками элементарного
участка.
Принят следующий принцип разбиения
местности на элементарные участки [29]. Участок местности, на
котором происходит бой, разбивается на одинаковые по
величине квадраты со стороной а0. Считается, что все
точки одного квадрата имеют информацию, одинаковую
с центром квадрата. Принцип разбиения всего участка
на элементарные показан на рис. 6.1.
Если реальный участок имеет неправильную
геометрическую форму, то его дополняют до правильного
прямоугольника. Совокупность таких элементарных
участков упорядочена, т. е. каждому участку соответствует
индекс (ij)y где / — номер вертикальной полосы, а / —
горизонтальной (рис. 5.1). Между системой таких ин-
172


дексов и географическими координатами установлено
взаимно-однозначное соответствие, позволяющее по
индексу находить на карте соответствующий участок. Для
каждого участка с индексом (ij) задается необходимая
для модели информация, характеризующая этот
участок как элемент местности: тип рельефа, характер
естественных и искусственных сооружений, проходимость
п .—|—. .—. .—i
J
2 ПТТ^^
1 П П м
12 . * . i , . т
Рис. 5.1. Порядок нумерации элементарных
квадратов.
и т. д. Количество этих признаков зависит от вида и
характера решаемой задачи. Исходя из этого, необходимо
задать совокупность функций от аргумента (ij),
множества значений которых будут определять количественное
значение признаков местности на каждом участке.
Таким образом, информация о местности на каждом
участке определяется значениями некоторого числа признаков
q>iO\ /); ф*(*\ /); •••; фа 0", /),
где ерь <р>2, фз, ..., щ — значения функций.
В первом подходе это детерминированные функции,
как правило задаваемые таблично, во втором подходе
это случайные функции, задаваемые законами
распределения.
Известно, что выработать приближенную реализацию
некоторой случайной функции r\(t)—значит получить
значения ее ординат на некоторой совокупности {/v}f
значений временного интервала боя [Го, Т\], где
U<i<2.< ... <tN и /i = 7o, tN = T\.
173


Местность в модели представлена совокупностью
индексов [i, /}, поэтому выработать реализацию т]2(0 Для
некоторого элемента боя — значит для каждого tv указать
индекс (//) того участка, в котором он находился в
момент времени /v. Сечение случайной функции v\2(t) для
всех tv будет некоторой случайной величиной,
принимающей значения из совокупности {/},'. Совокупность
значений {/}, получается при помощи некоторого1
оператора соответствия, примененного к совокупности^/},
например:
*=1, 2, . . .,т,
/= (j—l)m + i,
/=1, 2, ..., п.
В данном случае этот оператор пронумеровывает все
участки последовательно слева направо и снизу вверх.
Причем легко увидеть, что существует и обратное
преобразование I— Ы- 1 =/, тогда i=l—(j—l)m, где [А]
означает часть от любого числа Л.
Данный переход не имеет принципиального значения
и осуществляется только для снятия некоторых
технических трудностей при моделировании.
Очевидно, что перемещение любого элемента за время
Atv = tv — £v__j характеризуется направлением движения и
средней скоростью движения за время A^v*. В момент
времени ^v—1 любой элемент находится на некотором
участке (fv_p /v_,) (как правило, считается, что элемент
находится в центре участка, это допущение не
принципиально, но зато значительно упрощает моделирование, не
влияя на конечные результаты). Выбрать дальнейшее
направление движения — это значит определить индекс
того участка из восьми соседних [если участок с
индексом (*\_р /v-i) граничный, то число соседних может
уменьшиться до трех], в который элемент должен
переместиться. Выбор индекса такого участка зависит от
свойств реальной местности и может производится де-
* Элементы, которые за все время боя не перемещаются, имеют
постоянный номер участка (индекс) и нулевую скорость.
174


терминированно или случайным образом. В первом
случае он определяется некоторыми априорными
правилами, например уравнением некоторой кривой или
совокупностью таких кривых, которые последовательно
заменяются во времени.
Во втором случае выбор такого участка есть событие
случайное, зависящее от следующих факторов: значений
функций <p-i(j\ /), ..., щ(1, j) в выбираемых участках,
принятого в бою способа управления, направления и
глубины наступления, боевого порядка, и т. д.,
выраженных в количественной форме.
Эти факторы учитываются с помощью некоторой
совокупности функций, зависящих от пары индексов —
индекса участка, откуда элемент перемещается, и
индекса участка, куда элемент перемещается:
i|>i(*'b /ь 4, /2), ..., гЫ*ь h\ *2» /г).
Пусть, например, необходимо учесть уставное
требование о максимальном интервале d между двумя
элементами в бою. Для этого можно ввести некоторую
функцию \|)2i('"b /ь *2, /г), принимающую значение 1, если при
перемещении элемента из участка (м, /i) в участок (^,
/г) расстояние между ним и соседним не будет
превышать d и 0 в противном случае. При этом требование
о допустимом интервале учитывается запрещением
выбора таких участков, для которых функция г|>21=0.
Возможен следующий общий принцип
использования введенных выше функций. Вводится некоторая
весовая функция
(?102. /а) •••(?*(*•. /i); Ы1» iu *a. /2)."M'i> iu *a, /a).
определенная для всех участков и обладающая
следующим свойством: чем предпочтительнее участок (/г, /г)
для перемещения в него элемента из участка (iu /1),
тем больше значение весовой функции для участка (h,
/2) должно быть по сравнению с остальными соседними
участками.
Пусть элемент находится на некотором участке с
индексом (iu /1). Введем случайную величину X,
принимающую одно из восьми значений (1, 2, 3, ..., 8),
соответствующих индексам соседних участков (i\—1); /1),
('1 + 1, /О, (Ъ—1. /1—О. ('i-i; /1 + 1), (м + i; /i—i).
(Ч+'l; /i + l), (iu /1—1) (i l /i + l) с соответствующими
175


вероятностями ри p2i ..., р^ Очевидно, что
00
Выбирая вероятности рг, нужно потребовать
выполнения следующего условия: чем предпочтительнее участок
для выбора, тем большая вероятность выбора ему
должна соответствовать.
Если положить рг = ер , то это требование выпол-
нится в силу свойств весовой функции w:
Г=0О Г=СО 00
г=] г-\ У Шг V Wrr=l
так что нормализованные веса участков можно принять
за соответствующие вероятности выбора и выбор
индекса участка производить методом статистических
испытаний.
Конкретный выбор весовой функции w зависит от
моделируемой задачи, которая накладывает условия
на характер перемещения. Ниже при описании модели
боя танкового подразделения будет дан пример выбора
такой весовой функции. После выбора направления
перемещения необходимо определить скорость
перемещения, т. е. получить реализацию случайной функции т)з('/).
Сечение функции т]з(0 при некотором fv_, < t<tv
представляет собой случайную величину, принимающую
значения на некотором допустимом интервале скоростей,
с заданной функцией распределения F(v), причем до
левого конца интервала функция распределения равна
нулю, после правого — равна 1. Конкретные значениям
при одной и той же реализации функции v\z{t), как
правило, считаются одинаковыми для всех tv_l<t<t4t.
Допустимый интервал скоростей представляет собой
отрезок числовой оси, концы которого определяют
минимальную и максимальную возможные скорости.
Очевидно, что минимально возможной скоростью элемента
т


является нулевая (элемент не двигается).
Максимально возможная скорость элемента определяется его
техническими характеристиками, условиями проходимости по
данной местности и углом наклона движения.
Таким образом, перемещение каждого элемента, для
которого у^О, в модели осуществляется следующим
образом. Для каждого момента времени /v определяется
индекс участка, в котором находится данный элемент.
Далее методом статистических испытаний по заданной
функции распределения определяется конкретное
значение функции т]з(0-
Определив путь, пройденный элементом за время t , —tv ,
узнаем индекс того конечного участка, в который элемент
попадает в момент tv + r Эта процедура проводится для
всех перемещающихся элементов и последовательно
повторяется для всех моментов времени tu t2,..., tv,... , tN-
Если выбор направления движения происходит по
заранее заданным кривым, то индексы участков, в
которых последовательно бывает движущийся элемент,
определяются уравнениями этих кривых. Скорость на
интервалах времени [^v, tv+l\ определяется аналогично
описанному выше.
Моделирование обнаружения целей. Как правило, при
моделировании боев подразделений сухопутных войск
предполагают, что каждый элемент в процессе боя веде г
наблюдение за элементами противоположного цвета *,
являющимися в данном случае целями по отношению
к элементам, ведущим наблюдение.
Все цели в зависимости от расстояния, разницы высот,
рельефа и растительности условно делятся на две
группы: невидимые и видимые.
Цели первой группы обнаружить невозможно, а
некоторые (иногда все) цели второй группы рано или
поздно обнаруживаются. Это значит, что поиск
цели—случайное событие и что каждая цель второй группы имеет
определенную, отличную от нуля вероятность
обнаружения. Естественно, что чем лучше условия наблюдения и
чем дольше оно ведется, тем больше вероятность
обнаружения.
* Для удобства дальнейших рассуждений элементы
противоборствующих сторон можно различать по цвету «красные» и «синие»,
что соответствует традиционному обозначению, принятому в тактике
12-1301 177


Конкретный вид функции 'вероятности обнаружения
может быть самым различным — он зависит от типа
моделируемого реального боевого процесса. Достаточно
общепринято предположение, что вероятность
обнаружения описывается формулой [26]
p(t)=l-e-«, (5.1)
где у—мгновенная плотность вероятности обнаружения.
Это значит, что ydt есть вероятность обнаружения за
достаточно малый отрезок времени dt. Функция у
зависит от расстояния до цели, ее размеров, типов средств
наблюдения, метеорологических условий наблюдения.
После деления целей на группы для целей второй
группы по формуле вероятности обнаружения подсчиты-
ваются конкретные значения этих вероятностей и
методом статистических испытаний по этим значениям
выбираются все видимые цели. Информация о всех
обнаруженных целях используется в модели для решения
задачи об оптимальном целераспределении.
Моделирование целераспределения. Обязательной
задачей при моделировании боевых действий является
задача целераспределения. Однако она имеет и вполне
самостоятельное значение для выработки некоторых
априорных значений параметров управления боевыми
средствами в бою или при подготовке к нему.
Целераспределение как физическая задача
заключается в закреплении выявленных целей за боевыми
средствами таким образом, чтобы при огневом воздействии
по этим целям был получен максимальный эффект в
соответствии с выбранным критерием эффективности. Как
правило, математически задача целераспределения
сводится к целочисленной задаче линейного
программирования. Постановка такой задачи может быть
сформулирована следующим образом.
Имеется некоторое число т боевых средств и
некоторое число п целей. Необходимо образовать матрицу
A=(6tj)» B которой элемент Ьц принимает следующее
значение:
II, если i-e средство может обстрелять обнаруженную
/-ю цель;
О, если i-e средство не может обстрелять /-ю цель,
где l^i^m и 1^/^/г.
178


В описываемой методике естественно приписывать
6ц значение 1, если i-й элемент обнаружил /-й^ элемент
противоположного цвета и расстояние между ними не
выходит из допустимого интервала расстояний, в
котором можно вести огонь по цели. Вводятся переменные Хц
такие, что Хц=\, если /-я цель закреплена за i-м
элементом, и хц=0 в лротивном случае.
В рассматриваемом случае естественно
предположить, что один элемент не может одновременно
обстрелять несколько целей. Это требование приводит к
появлению следующих линейных ограничений:
2*«<1 (/=1, 2,...,т). (5.2)
По одной и той же цели не могут вести огонь больше
средств, чем общее количество элементов, участвующих
в распределении. Это требование приводит к следующим
условиям:
т
%хц<т (/ = 1, 2, 3,...,/i). (5.3)
/=i
Кроме того, нельзя закреплять цели за теми
элементами, которые в этот момент не могут их обстрелять. Это
требование математически выражается так:
т п
££(1-8^ = 0 {1=1, 2,....да; /= 1, 2,... ,п).
1=1 j=i
(5.4)
Введенные таким образом линейные ограничения
позволяют отбросить все неосуществимые варианты целерас-
пределения и оставить конечное множество возможных
вариантов (определяемых требованием целочисленности
искомых переменных), из которых следует выбрать один
или несколько наилучших в соответствии с критерием
эффективности. Чаще всего применяются критерии,
которые линейно зависят от искомых переменных и
записываются в виде
т п
12* 179


где Cij — некоторые действительные числа,
характеризующие эффективность закрепления /-ой цели за /-м
элементом (например, часто Сц является вероятностью
поражения /-й цели 1-ы элементом).
При выборе линейного критерия задача целераспре-
деления свелась к целочисленной задаче линейного
программирования. После решения этой задачи получается
некоторая совокупность переменных хц:
л — ^л и, л 12, ... , л 1П, л 2i> ••• » л 2W> л ти ••• » л mnji
оптимизирующая заданную линейную форму, причем x*ij
принимают значение 0 или 1. Выбрав все л;*^=1 (пусть
это будут #* , х*. . ,...,#*. ), можно получить опти-
l\!\ 'a/a lhJk
мальный вариант целераспределения, состоящий в том,
что цели с номерами /ь .. ., ]\ соответственно
закреплены за элементами с номерами iu /2, . ., iu-
Наряду с применением общих методов не следует
отказываться от частных методов решения задачи
целераспределения. Сущность таких методов состоит в том,
что создается некоторый класс алгоритмов,
реализующих различные принципы целераспределения
(закрепление за средством самой ближайшей цели, самой для
него опасной и т. д.). Этот класс алгоритмов
используется при создании конкретной стохастической модели
для выбора наиболее подходящего принципа
целераспределения, причем правомочность выбора должна
определиться при анализе результатов моделирования.
В этом случае можно получить удовлетворительное
приближенное решение задачи целераспределения.
В конкретных примерах стохастических моделей,
описанных ниже, приводятся результаты такого подхода.
Моделирование стрельбы. После целераспределения,
которое проводится отдельно для элементов «различного
цвета», так что каждый элемент одновременно
выступает в двух ролях: боевого средства и цели, некоторые
элементы получают номера целей и начинают стрельбу.
В модели стрельбы вырабатывается текущая
информация о результате стрельбы средств по выделенным
целям, при этом определяются вероятности поражения
каждой цели.
Вероятность поражения является функцией
следующих аргументов: расстояния до цели, ее размеров, ско-
180


рости движения элемента и цели, количества
предыдущих попаданий в цель (параметр, определяющий
способность цели выдерживать попадания, чаще всего это
среднее количество попаданий, необходимое для
поражения цели). Эта функция обозначается Ф(|3), где |3—
суммарный аргумент, определяющий конкретное
значение вероятности поражения. Методом статистических
испытаний по вычисленному значению вероятности
поражения определяется исход случайного события
стрельбы.
Результаты стрельбы необходимы для определения
реализации функции боеспособности v)i(t).
После поражения цели элемент переходит в
состояние наблюдателя, благодаря этому строится реализация
функции характера действий ^(t).
Так как в этой модели всегда можно подсчитать
количество боеприпасов, израсходованное на каждую
пораженную цель, то при этом получается и реализация
функции количества боеприпасов r)b(t).
Методика моделирования основных процессов на
конкретном примере и получение общей модели боевых
действий в тактическом масштабе изложены в
следующем параграфе.
5.3. Структура алгоритма,
моделирующего на ЭВМ
наступательный бой тактического
подразделения
Пусть необходимо исследовать закономерности
исхода боя танковой роты (батальона) при наступлении на
противотанковый укрепленный район.
Рассматривается следующая тактическая задача.
Танковая рота «красных», состоящая из П\ танков,
должна прорвать противотанковый укрепленный район
«синих». Этот район обороняет п2 танков «синих»,
которые замаскированы и находятся в специально
созданных укрытиях. Рота должна наступать в заданном
боевом порядке в полосе шириной а метров и глубиной с
метров. Общее направление движения роты
определяется взаимным расположением на местности исходной
позиции «красных» и «синих». Направление движения
для каждого танка «красных» определяется совокупно-
181


стью ориентиров, которыми являются хорошо
различаемые местные предметы.
Бой начинается в некоторое заданное время Г0 и
продолжается до того момента, когда силы одной из
борющихся сторон станут небоеспособными. Концом боя
можно также считать тот момент 7\>Го, в который
будет выполнена боевая задача или потери одной из сторон
превысят допустимый относительный уровень.
1
Рис. 5.2. Пример случайной
реализации функции
боеспособности.
Т0 t> 7, t
Одинаковые элементы одного цвета будут отличаться
по присвоенным им порядковым номерам, которые не
меняются в течение боя. Введенная для характеристики
боеспособности случайная функция r\t{t) из-за
однотипности элементов процесса будет иметь один и тот же вид
для всех элементов. Различными для разных элементов
будут лишь ее характеристики: математическое
ожидание, корреляционная функция и т. д. Это утверждение
справедливо и для других параметров элементов.
Сечение функции v)i(t) (для любого To^t^Ti) представляет
собой случайную величину, принимающую значение 1,
если элемент в данный момент боеспособен, и 0 в
противном случае.
Реализация функции r\t(t) показана на рис. 5.2. Это
невозрастающая ступенчатая функция, имеющая скачо*
в некотором tv (T0 < tv < 7\).
Случайная функция т]г(0 характеризует
местоположение элемента в любой момент времени. Так как в
любой момент времени элемент находится в одном из L
участков, то сечение функции r\2{t) представляет собой
случайную величину, принимающую одно из значений:
1, 2, ..., L. Пример возможных реализаций функции
т)2(/) показан на рис. 5.3.
Реализация функции скорости r\3(t) вследствие
округления получаемых значений будет иметь вид,
аналогичный изображенному на рис. 5.3, причем возможные
182


значения ординат этой функции будут выбираться из
интервала (vmin, vmax). Для элементов «синих»
параметры т]2(0 и т]3(0 имеют неслучайный характер и
представляют собой заданные константы — номера
участков, в которых находятся элементы «синих» и нулевую
скорость, так как предполагается, что их танки в течение
боя не перемещаются.
L
L-1\
2г —
Q I : ' 1 I 1 1 1 1 *-
То ^z ty tif. tg tj> • ' ' • Tf f
Рис. 5.З. Пример случайных реализаций функции r\2(t).
В модели принято, что если элемент боеспособен,
то в каждый момент времени он ведет наблюдение
или стрельбу по некоторой цели, порядковый номер
которой известен. Поэтому сечение случайной функции
т|4(0» определяющей характер действия элемента,
представляет собой случайную величину, принимающую одно
из значений 0, 1, 2, ..., п2 для «красных» и 0, 1, 2, ...,
Hi — ДЛЯ «СИНИХ».
Значение 0 означает, что элемент ведет наблюдение;
значение, отличное от нуля, показывает, что элемент
ведет стрельбу по цели, порядковый номер которой равен
этому значению. Вид реализации случайной функции
T|4(f) аналогичен виду реализации на рис. 5.3.
Реализация случайной функции rj5(<) является
убывающей ступенчатой функцией, имеющей скачки
величиной в единицу в некоторой совокупности значений
времени в интервале (То, Ti). Сечение функции r\b(t) при
любом £v представляет собой случайную величину,
принимающую одно из значений 0, 1, 2, ..., 6,-, где 6 —
максимальное возможное значение количества
боеприпасов в i-м элементе.
Значения параметров, рассмотренных выше,
достаточно полно определяют состояние элемента и позволя-
183


ют получать данные, характеризующие весь бой в
целом. Например, если необходимо получить реализацию
случайной функции количества потерь, то сумма
реализаций функции r)i(t) для всех элементов одного цвета и
будет искомой реализацией. Задача состоит в том,
чтобы составить алгоритмы, позволяющие получать
значения параметров состояния элемента в каждый момент
^ (v=l, 2, ..., Л/), используя полученную текущую
информацию для моментов времени tu h, ..., tv_x и
некоторую заданную исходную информацию.
Главной составной частью заданной исходной
информации является информация о местности. Анализ тех
данных о местности, которые существенно влияют на
характер боя, позволяет сделать вывод, что каждый
участок должен характеризоваться следующими
параметрами, являющимися заданными функциями от порядкового
номера участка:
1) параметром проходимости Pi(/), где функция Pi
принимает три значения*:
/ — если участок с номером / непроходим для танков
«красных»;
2 — если труднопроходим;
3 — если хорошо проходим.
Вследствие однотипности танков, участвующих в бою,
можно принять, что функция Pi(/) зависит только от
свойств местности и является постоянной для танков;
2) параметром рельефа Рг(/), где функция
принимает значение, равное высоте над уровнем моря, для
центра участка с номером /;
3) параметром Рз(/), где функция Рз(/) принимает
значение, равное средней высоте искусственных и
естественных предметов, занимающих достаточно большую
часть площади участка с номером 1\
4) параметром Р4(0, где функция р4(/) принимает
значение, равное коэффициенту сопротивления
движения для характерного грунта на участке с номером /.
Моделируемый алгоритм состоит из совокупности
основных и вспомогательных блоков. Основные блоки
предназначены для моделирования определяющих
процессов танкового боя: перемещения, наблюдения, це-
лераспределения и стрельбы. При решении некоторых
* Такая градация параметра Рь естественно, не обязательна во
всех случаях.
1§4


частных задач методом моделирования эти блоки могут
быть использованы как самостоятельные модели.
Вспомогательные блоки предназначены для ввода
исходной информации, определения конкретного вида
решаемого варианта, управления потоком текущей
информации, получаемой в основных блоках и
необходимой для них в дальнейшем, для статистической
обработки результатов моделирования и выдачи
результатов.
Работу всех основных блоков объясняет блок
управления, в котором определяется очередность обработки
элементов и последовательность получения текущей
информации об элементе в основных блоках. Кроме того,
в блоке управления происходит регистрация текущего
времени, благодаря чему через определенные
промежутки происходит выдача текущей информации для
статистической обработки и на печать и проверка конца
работы программы.
Во все блоки информация поступает и
обрабатывается в специально закодированном виде. Всю
информацию, как исходную, так и текущую, можно разделить на
две группы:
1) информацию о танках, которая задается
числовыми значениями параметров состояний элемента;
2) информацию об элементарных участках, которая
для каждого участка задается числовыми значениями
параметров, характеризующих этот участок.
Каждое числовое значение параметра записывается
в виде целого числа в двоичном коде. В задаваемой
совокупности исходных констант предусматриваются
значения масштаба кодирования, необходимые для
декодирования в процессе обработки текущей информации.
Такое кодирование позволяет записывать значение
параметра в специально отведенных двоичных разрядах
ячейки оперативной памяти ЭВМ, причем количество
отводимых разрядов определяется верхней границей
диапазона изменения параметра. Поэтому количество
ячеек, требуемое для записи информации об одном
элементе или участке, зависит от числа параметров и
диапазонов их изменения.
В табл. 5.1 представлено возможное распределение
разрядов ячейки ЭВМ между параметрами состояния
элемента.
185


Таблица 5. i
Возможное распределение разрядов ячейки ЭВМ для
записи параметров состояния элемента
Номер
разряда
1
2
3
4—12
13—17
18—21
22—24
25—30
31—33
34—36
38—42
Код и его смысловое значение
0 — танк небоеспособен
1 —танк боеспособен
0 — „красный" танк
1 —„синий" танк
0 — танк наблюдает
1 — танк стреляет
Номер участка, где стоит танк
v — скорость танка в м/сек
Номер цели, по которой стреляет танк
00 — танк не стреляет
01 —танк стреляет один раз
10—танк стреляет два раза
11 — танк стреляет три раза
Количество боеприпасов в танке
Общее число попаданий в танк
Время непрерывного наблюдения — число
шагов д t
Время, оставшееся у танка при перемещении из
одного участка в другой
ТАБЛИЦА 5.2
Возможное распределение разрядов ячейки ЭВМ для
записи параметров участка
Номер
разряда
1—2
3
Код и его смысловое значение
00 — нет танка \
01 —один танк J
10 — два танка J
0 — «красный" танк
1 —„синий" танк


Продолжение табл. 5.2
Номер
разряда
4—5
6-11
12—17
18—24
25—28
Код и его смысловое значение
01 — непроходимый участок
10—труднопроходимый участок
11 —проходимый участок
Н — Hmin в метрах, где Н — высота участка над
уровнем моря, Hmtn — минимальная высота для всех
участков
hi — высота окружающих предметов, в метрах
f —коэффициент, определяющий характер грунта
0<f<100
00 — нет границы л
01 — 1-я граница 1
10 — 2-я граница >
11 — 3-я граница
100 — 4-я граница /
Зная номера ячеек, отведенных для записи
информации о первом и последних элементах, легко определить
номер элемента, информация о котором записана в
промежуточной ячейке, при условии, что эти ячейки
расположены последовательно.
В табл. 5.2 представлено распределение разрядов
ячейки ЭВМ между параметрами участка. Номер
участка, информация о котором записана в данной ячейке,
определяется номером этой ячейки по способу,
аналогичному при определении номера элемента. Исходная
информация о каждом элементарном участке берется
непосредственно с карты, на которой задается
первоначальное расположение танков обеих сторон.
Для работы блока перемещения в алгоритме,
построенном по изложенным выше принципам, нужно знать
конкретный вид весовой функции w.
Так как танки «красных» однотипны, функция w
будет одинакова для всех танков. Направление
перемещения каждого танка определяется совокупностью
заданных ориентиров, боевым порядком и условиями
проходимости. Так как каждый ориентир обязательно
находится на одном из элементарных участков, то, задавая
номера участков, в которых находятся ориентиры, полу-
187


чим возможность учитывать их влияние на направление
перемещения.
Для определения вида функции w можно считать, что
у каждого элемента имеется только один ориентир. Это
предположение не нарушит общности модели, так как
^>;
* пап раб-
лен ив
ь7
7напраб-\
ление
I'J*
j
i-U
j-i
if
j
i*j*
3
направление
8
направление
j*1
j
j~1
В
6
направление
i;j
ilj*
i*y
1-шпров
пение

.^направление
2
направление
Рис. 5.4. Схема выбора возможных направлений движения.
воздействие ориентиров на направление движения
происходит последовательно. Переход от одного ориентира
к другому происходит в момент, когда данный ориентир
перестает определять общее направление движения, т. е.
тогда, когда движущийся танк поровняется с
ориентиром. Следовательно, направление движения во всех
случаях может определяться по взаимному расположению
танка и ближайшего ориентира. Для каждого
направления из восьми возможных соседних участков
выбираются три.
188


Порядок выбора и характер направлений показаны
на рис. 5.4, где индексы (/*, /*) определяют ориентир,
а индексы (/, /) — рассматриваемый участок.
В зависимости от значения разностей (/*—i) и
(/*—/) получаются восемь возможных направлений:
1 — при i*>i и /*>/,
2— при i*>i и /*</,
3 — при i*<i и /*</,
4— при i*<i и /*>/,
5 — при i*>i и /* = /,
6 —при i* = i и /*</,
7 — при i*<i и /* = /,
8 — при i* = i и /*>/.
Принцип выбора трех участков таков, что, например,
для направления 1 выбираются участки с индексами (*',
/+1), (/4-1, /+1), (* + 1, /), а для направления 5 (/+1,
/4-1), (/4-1, /), (i + l, /—1). Для направлений 2, 3, 4
участки выбираются аналогично направлению 1, а для
6, 7, 8 — аналогично направлению 5.
Выделенные участки проверяются на проходимость.
Эта проверка включает в себя выделение физически
непроходимых участков и выделение участков,
перемещение в которые невозможно из-за недопустимого
нарушения заданного боевого порядка. Если среди трех
выделенных участков есть непроходимые, то каждый такой
участок заменяется ближайшим к нему проходимым.
Выделенным таким образом трем участкам
приписывается положительный вес, остальным участкам—нулевой
вес. Распределение вероятностей (весов) среди
выделенных трех участков зависит от конкретного вида модели,
размеров участка, типов элементов и т. д.).
Если размеры элементов и участка примерно одного
порядка, то участки должны выбираться равновероятно.
Если размеры участков по крайней мере на порядок
больше размеров элементов, то центральный участок
должен выбираться с гораздо -большей вероятностью.
В рассматриваемом случае сторона участка была
выбрана длиной 100 м, размеры элементов составляли 5—7 м
189


и веса участков распределились между собой в
отношении 1:4:1, что дает следующие вероятности выбора:
6 ' 3 ' 6 #
Из всех соседних участков хотя бы один должен быть
проходимым, по крайней мере тот, из которого танк
переместится в данный участок. Кроме того, разбиение на
элементарные участки должно быть согласовано с
размерами допустимых интервалов в принятом боевом
порядке для того, чтобы не допустить случая, когда все
восемь соседних участков будут непроходимыми из-за
нарушения боевого порядка. Для конкретных размеров
элементарных участков и допустимых интервалов это
осуществить достаточно просто.
При выборе конкретного значения скорости
перемещения танка учитывается его тип, характер грунта тех
участков, по которым происходит движение, и угол
наклона движения. Из общей теории танка |[14] известно,
что максимальная скорость его движения определяется
по формуле
Vmax — Gtfcosa+sina)' [p.O)
где Мд — так называемая свободная мощность, л. с;
т]т — к. п. д. танка, учитывающий потери мощности
в трансмиссии и ходовой части; G — вес танка, кг; f —
коэффициент сопротивления грунта; a—угол наклона
движения; vmax — скорость, км/час.
Значение f для каждого участка задано в исходной
информации. При перемещении из участка в участок для
определения vmax берется полусумма соответствующих
значений коэффициента /. Значение угла а определяется
из прямоугольного треугольника (рис. 5.5), где
hi—разность высот центров соответствующих участков; rfi —
расстояние между центрами этих участков, которое
равно или а или а |/2, где а — сторона участка.
Конкретное значение d{ зависит от взаимного расположения
участков. Оба случая показаны на рис. 5.6.
Конкретное значение скорости выбирается методом,
описанным выше, причем vmin, как правило,
принимается равной 0. Характер функции распределения
значений скорости на допустимом интервале вследствие почти
190


полного отсутствия необходимых данных неизвестен.
Поэтому чаще всего принимается, что значение скорости
распределено или равномерно, или по нормальному
закону.
Если движущийся элемент не ведет стрельбу, то
считается, что он ведет непрерывное наблюдение.
Выделение целей в первую группу для каждого танка, ведущего
наблюдение, происходит следующим способом.
Определи
^
h
Рис. 5.5. Угол превышения.
Ри,с. 5.6. Возможные
варианты расположения
соседних элементарных
участков.
ляются расстояния танка до каждой цели. Все те цели,
расстояния до которых превышают некоторое i?3
(слишком удаленные), относятся к первой группе. Для
каждой оставшейся цели строится отрезок прямой,
соединяющий центры участков, на которых расположены танк
и цель, причем построение происходит в трехмерном
пространстве, т. е. третьей координатой является высота над
уровнем моря участка плюс высота окружающих
предметов.
Построенный отрезок проектируется на плоскость
XOY. После этого выделяются номера всех тех участков,
которые пересекаются проекцией. Для каждого такого
участка определяется соответствующая суммарная
высота, которая сравнивается со значениями высот,
полученными подстановкой координат центров участка
в уравнение проекции. Если встретятся такие
суммарные высоты, которые превосходят значения высот, полу-
•ченные из уравнения, то это значит, что рельеф не
позволяет обнаружить соответствующую цель.
Рис. 5.7 поясняет описанную выше невозможность
обнаружения цели, находящейся в точке Л, из точки В.
Поэтому все такие цели также относятся к первой
группе. Оставшиеся цели относятся ко второй группе.
Поэтому для каждой из них подсчитывается вероятность ее
191


обнаружения по формуле (5.1). Так как наблюдение
ведется из танка за танками, то функция мгновенной
плотности может быть определена из следующих
соображений. Глаз наблюдателя расположен на некотором
расстоянии (рис. 5.8) от отверстия, образованного фигурой
Рис. 5.7. Влияние местности на
возможность обнаружения.
B{CiDiFu которую можно считать прямоугольником.
Цель, наблюдаемая площадь которой равна S,
расположена перпендикулярно линии наблюдения и находится
на расстоянии г2 от точки А. При этом может наблю-
Рис. 5.8. Схема наблюдения пели.
даться фигура B2C2D2F2, подобная BiCiDiFu площадь
которой
S = -£-, (5.7)
т\
где S2 — площадь B2C2D2F2; S{ — площадь BiCiDiFi.
Формула (5.7) справедлива при условии г{<^г2 и
Si<^S2) поэтому может быть принято
AB2=AC2=A2=AF2~r2.
Если предположить, что вероятность обнаружения
цели, находящейся в плоскости B2C2D2F2i пропорцио-
192
АК-


нальна отношению соответствующих площадей т. е.
Т = *1^ = *.-=7Г'?. (5-8)
то выражение (5.8) целесообразно записать в виде
Y = *A (5.9)
где S — площадь проекции цели на плоскость,
перпендикулярная линии наблюдения; г — расстояние от
наблюдателя до цели; k — коэффициент, учитывающий
влияние остальных факторов на вероятность
обнаружения.
Таким образом, формула вероятности обнаружения
примет следующий вид:
/7 (0 = 1 — е
*4<
г2
(5.10)
Полученный коэффициент k имеет размерность [Г-1].
Значение коэффициента k для практических вычислений
значений вероятности обнаружения можно получить,
используя имеющийся статистический материал.
Пусть, например, экспериментальным путем
установлено, что на расстоянии /ч вероятность обнаружения
цели площадью Si в течение времени U равна pt. Тогда
имеем
Pi=l— е
откуда
1п(1 — р0 г?
* = зГ • (5Л1)
Таким образом, используя экспериментальные
данные /?i, можно подобрать значение k> достаточно хорошо
учитывающее факторы, действительно влияющие на
вероятность обнаружения. Как правило, единого k для
всех расстояний от 7?3 до 0 подобрать не удается,
поэтому целесообразно интервал (О, R3) разбить на отрезки,
на каждом из которых справедливо одно значение
коэффициента k.
1 3—1301 193


После выяснения всех Обнаруженных целей
происходит целераспределение. В описываемой модели
осуществляется следующий принцип целераспределения.
Из всех обнаруженных данным танком целей сначала
выбираются ближайшие стреляющие по нему цели или,
если таких нет, просто ближайшие.
Для того чтобы распределение сделать более
равномерным, вводятся ограничения: запрещается стрелять по
одной и той же цели более чем и огневым средствам,
где параметр и можно менять, что дает возможность на
модели определять наиболее выгодную степень
концентрации огня в тех или иных случаях. После
целераспределения на следующем шаге каждый танк с признаком
ць = г начинает стрелять по танку противоположного
цвета с порядковым номером /*. Стрельба ведется до тех пор,
пока не произойдет одно из трех событий: танк поразил
цель с номером г, танк поражен каким-нибудь танком
противоположного цвета, у танка кончились боеприпасы
(т]5=0). После каждого выстрела подсчитывается
вероятность попадания в цель по формуле
*=•№)*№)•
0
Ф {$ = -%=[ е-?*'dz, (5.12)
У « J
О
где /, т — параметры, определяющие размеры цели;
Вд — характеристика рассеивания по дальности; В§ —
характеристика рассеивания в боковом направлении;
М- — константа закона рассеивания.
Вследствие невозможности точного аналитического
учета поправок при втором и последующих выстрелах,
рекомендуемых типовыми правилами стрельбы из
танков, в случае непопадания при первом выстреле в
модели применяется следующее правило подсчета
вероятности при последующих выстрелах. Пусть
рг—вероятность попадания при втором выстреле при условии, что
результат первого был отрицателен, тогда
А=1-ЦА (5.13)
где at — константа не меньше единицы.
194


Аналогично
Л=1 -г1 и т- д-
Выбрав соответствующие значения констант на основе
статистических данных, можно подсчитать вероятности
попадания для последующих выстрелов при достаточно
хорошем согласовании с действительными результатами
стрельбы. Каждый раз после вычисления вероятности
попадания методом статистических испытаний
определяется результат стрельбы.
В случае попадания вычисляется вероятность
поражения по некоторой заданной при моделировании
формуле. Не вызывает возражений, например, формула
G(6)= 1 — (1 ^)9 , (5.14)
где 9 — число попаданий.
Функция со зависит от расстояния, на котором
произошло попадание, типа цели и типа танка, ведущего
стрельбу. Она характеризует среднее число попаданий,
необходимое для поражения цели, т. е. огневую мощь
стрелявшего танка и броневую защиту.
5.4. О точности стохастического
моделирования
Оценить точность модели — это значит найти
расхождения результатов, полученных после реализации этой
модели с действительными результатами. Совершенно
ясно, что качество выполнения каждого из этапов
моделирования влияет на итоговую точность модели.
Имеет смысл различать влияние на точность модели
двух основных факторов: 1) схематизации
«физического» процесса и 2) получения в алгоритме модели лишь,
приближенных параметров состояний элементов.
После получения результатов моделирования
точность модели определяется специалистами, достаточно-
компетентными в исследуемом вопросе, в соответствии
с результатами, полученными методами воспроизведения
«физического» процесса в виде натурного эксперимента.
Однако необходимо отметить, что весьма часто органи-
13* 195


лация таких экспериментов вообще невозможна, поэтому
на повестке дня стоит задача разработки методов
определения точности модели теоретическими способами.
При стохастическом моделировании особое значение
для математической точности имеет правильное
определение числа реализаций, необходимое для получения
удовлетворительных оценок характеристик случайных
функций. После каждой реализации получается N
значений ординат этих функций в точках
tu fa, !^з, .. •, ^n-
Пусть проведено п таких реализаций. Требуется
найти подходящие значения выборочных характеристик
некоторой случайной функции x{t): ее математического
ожидания mx(t), дисперсии Dx{t), корреляционной
функции kx(t, t') и т. д. Для этого нужно подсчитать
соответствующие значения этих характеристик в каждом
сечении по известным формулам:
п
п
£[*<<',)-«» (01*
п
Yi ix« с.) - т* е»и [* (g -*«(gi
м*,. y=- —i •
Кроме того, часто бывает необходимо знать частоты
появления возможных значений случайной величины
в каждом сечении для того, чтобы приближенно оценить
функцию распределения этой случайной величины.
После получения простой статистической
совокупности
Xi, #2, • • •> Хп
И образования из нее вариационного ряда
х*1<х*2<... <х*п
196


можно определить эмпирическую функцию
распределения Fn(x):
( 0 при х<х*и
k_
п
Fn(x) = \
— ПрИ *%■<*< Х*л + 1,
[ 1 при х>х*п.
Пусть случайная величина х принимает при этом
проигрывании одно из возможных значений: си с2, ..., ст.
Используя полученный вариационный ряд, нетрудно
получить совокупность чисел trij.
Тогда частота появления каждого значения rrij будет
раЁна
/^=^, /=1, 2,...,яг.
Из теоремы Бореля (8] следует, что частоту, полученную
таким образом, можно принять за приближенную
вероятность, так как при п—>оо частота стремится в пределе
к вероятности. Каково должно быть число я, чтобы, во-
первых, полученные частоты достаточно хорошо
определяли приближение к вероятности и, во-вторых,
эмпирическая функция распределения Fn(x) была хорошим
приближением теоретической функции
распределения F(x).
Так как характер теоретической функции при
моделировании как правило, бывает неизвестным, то на
практике чаще всего поступают следующим образом.
Модель реализуется tii раз, причем щ достаточно
велико, чтобы обеспечить требование т{^Ъ.
По полученным результатам строится эмпирическая
функция Fn(x). Из теоремы Гливенко <[8] следует, что
при п—н-оо вероятность стремления к нулю верхней
границы модуля разности между эмпирической функцией
распределения и теоретической равна единице. Поэтому,
если получить две эмпирические функции для некоторых
достаточно больших tii и я2, то с достаточно большой
вероятностью можно ожидать, что мера расхождения
между ними достаточно мала. Поэтому, проделав еще
некоторое количество реализаций, например /, получим
новые статистические данные для П2=щЛ-1. Определив
функцию Fn2(x)y можно считать ее за теоретическую и
197


проверить гипотезу, что случайная величина г\ по
данным выборки tii подчинена закону распределения
Fnt(x) = F(x).
Эту проверку удобно проводить на основании
критерия соответствия %2 1[9].
Если расхождение выборочных данных с
гипотетическим допущением о законе распределения
существенно, то наша гипотеза бракуется.
В этом случае проделываем еще / проигрываний и
получаем F (х), где n3 = ti2+i, которую принимаем за
гипотетическое распределение, a Fn2 (х) считаем
эмпирической функцией распределения. После этого
необходимо вновь проверить по критерию %2У существенно ли
расхождение Fn<1 (x) *: Fns (x).
Этот процесс продолжается до тех пор, пока
расхождение станет несущественным. Пусть это произойдет для
функции распределения Fnk (х). Тогда можно считать*,
что получена эмпирическая функция Fn(x), достаточно
хорошо приближающаяся к неизвестной теоретической,
где n = nh.
Используя функцию Fn(x), можно получить оценки
для неизвестных вероятностных характеристик тх, Dx,
(их, как правило, бывает достаточно для дальнейших
исследований, другие характеристики можно получить
аналогично).
Проделав это для каждого сечения, можно получить
последовательность значений:
mx(t1)...mx(t)f)...mx(tN),
Dx(tl)...Dx{tJ...Dx(tN),
kx(tv, tjf для всех v и [х между единицей и N.
Зная эти значения, можно построить приближенно
функции
mx(t), Dx(t) и kx(iy f).
Часто эти функции аппроксимируются какими-либо
удобными аналитическими выражениями. Иногда бы-
* Это утверждение в общем виде строго не доказано.
198


вает достаточна проверка: насколько частота р*$
хорошо приближает вероятность появления /-го значения
случайной величины х.
Задача состоит в том, чтобы по наблюденной частоте
указать границы, в которые с достаточно большой
вероятностью попадает неизвестная вероятность.
Пусть этот заданный уровень вероятности
—доверительная вероятность — равен р, тогда можно найти
такое /р>0, что
tv<./m=p5<t9\
V п )
'2« J
*р -II
2
е Л = 2Ф, (/„) = />,
где Фо(х) —функция Лапласа |[9].
Тогда искомые границы доверительного интервала
определяются по следующим формулам:
А (х, п) =
Рг (*, п) +
2пр*{+1*-Ь1ЛГ
2 (л + tp )
2(n + t2p)
где
0 = КЧп/>*,(1-/>**)+''•
В этом случае получается доверительный интервал
Ipi, /7г1, отвечающий заданному уровню доверительной
вероятности а.
Все значения вероятности, лежащие в доверительном
интервале, считаются согласующимися с наблюденной
на опыте частотой pfj, а лежащие вне его —
несогласующимися. Значение tv при каждом выбранном значении
а определяется при помощи специально
составленных таблиц значений Ф(г) 1[4]. Наиболее часто
употребляется при обработке результатов моделирования
значение а~0,95, при котором tv~2.
199


Задавшись точностью исходных данных, например
исходных значений вероятностей, равной Д/?, нужно
осуществлять реализации процесса до тех пор, пока длина
доверительного интервала не станет меньшей или равной
значению А/?, так как добиваться большей точности не
имеет смысла.
Как и при сравнении результатов, полученных с
помощью различных математических моделей, следует
ожидать, что в качестве критерия оценки степени
совпадения результатов натурного и математического
моделирования будут выбраны численности противников.
Предположим, что в результате проведенных 15 боев
получены значения численности т* наступающей роты
в определенный момент боя:
2, 0, 5, 2, 2, 3, 1, 4, 2, 0, 3, 2, 5, 0, 2.
Среднее арифметическое численности наступающих
танков в этот момент будет равно
15
i= 1
и статистическая дисперсия
15
D =7" = -^ Y {т — mi)2 = 2,426; 7= 1,56.
/=i
Статистическое среднее будет распределено
нормально (рис. 5.9) с параметрами
т и *- = -^= = 0,402.
Если теперь провести моделирование разыгранных
боев с помощью математической модели, то при
получении значения численности танков в исследуемый момент
времени в пределах
т + Зом = 3,406 --0,994
можно считать, что результаты натурного и
математического моделирования совпадают.
200


При получении оценок численности с помощью
стохастической модели указанный интервал уменьшится на
величину ±3а-* где а-*—средняя квадратическая
Рис. 5.9. Допустимые
расхождения результатов натурного
и математического моделиро- ^/A,
вания. " ~
Р(т*Л*)\
р(т*6т*)
т-3(в-&*) т Я+з(б-5*)
ошибка математического среднего, полученного
стохастическим моделированием. Если предположить, что*
а* — а, то
= 0,156
и пределы расхождения сузятся до 2,938-f-1,462.
Аналогичную оценку можно провести для любого
фиксированного момента боя, однако она не будет исчерпывающей.
Ниже рассматривается несколько отличный от
известных методов статистического анализа способ оценки
точности математического моделирования по
результатам натурных испытаний.
В рассматриваемом способе дается оценка, когда
число реализаций реального процесса небольшое.
Если для боя танков со средствами ПТО построена
математическая модель, на которой можно определить
число уничтоженных танков и средств ПТО к моменту t
от начала боя, то для оценки этой модели по числу
уничтоженных боевых средств в N (М=10-н15) взаимно
052


независимых реализациях с соблюдением идентичности
всех условий боя, учитываемых в математической
модели, в заданные моменты времени tu t%, ..., tk во всех
реализациях фиксируется количество уничтоженных
боевых единиц для обеих сторон.
Обозначим через о)г(^) и Xi(tj) (/=1, 2, ..., N; / =
= 1, 2, ..., k) отношения числа уничтоженных танков и
средств ПТО к моменту tj в i-й реализации боя к их
исходному числу:
(t) = т.-т(Ц) x (f) = п.-п,(Н)
Тогда средними значениями числа уничтоженных танков
и средств ПТО к моменту tj соответственно будут
N N
i=l i = \
Эти же отношения также к моменту tj, полученные на
математической модели, обозначим через со* ft) и
A* ft). Для проверки точности математической модели
по числу уничтоженных боевых единиц на время боя tj
достаточно оценить разности:
A" ft) = о ft)-co* ft) и AAft) = Aft)-A*ft).
Если бы мы располагали большим числом взаимно
независимых реальных реализаций боя, например N^
1^100, то для оценки этих разностей было бы
естественно непосредственно использовать «критерий х2>>> т- е-
критерий Пирсона, но при малых N применять критерий
Пирсона нельзя.
Пусть Si(tj) и 52(/j) есть выборочные квадратические
отклонения соответственно для Лео ft) и Mft). Тогда
величина
где D — дисперсия случайной величины s/ft), будет
распределена по х2 [9].
202


Так как доверительный интервал для случайной
величины Si записывается в виде
то, зная доверительную вероятность а по таблице
распределения %2, по величине вероятностей
/^>x?) = ^K/,(v>yj)=!±-a
можно найти {9] значения х? и 1Ц и> следовательно,
определить величину доверительного интервала Ji(tj).
Величины co(^j) и %{tj) асимптотически распределены
по нормальному закону, поэтому, используя пределы
доверительных интервалов Ji(tj) и /г(^) соответственно
как максимальные и минимальные значения s{(tj) и
52(/j), можно найти предельные вероятности
p(A(o(/j)<T|i) и p(A^(/j)<T|2),
где т)1 = /и0—т(0 и т]2=«о—n(t) при f^fj—текущие
значения числа уничтоженных боевых единиц
соответственно для обоих противников. Обозначим эти
вероятности для случайной величины A!co(/j) через pi(tj) и
Pi(tj), а для случайной величины AK(tj)—через Gi(tj)
и G2(tj). Так как значения со*(fj) и X*(tj) определяются
в математической модели, то для заданного значения tj
их можно считать неслучайными величинами. Поэтому
доверительными интервалами для вероятностей
совпадения числа уничтоженных боевых единиц к моменту
tj в модели и в реализации моделируемого боя будут
соответственно
Ji{t*) = \Pi{U)> РгШ
И
J\(to) = [Gi(to)> G,ft)].
Отсюда следует, что за точность математической
модели боя танков со средствами ПТО к моменту tj
можно взять следующие вероятности:
/>&)=Т [А ('*) + />.('*)]
203


и
Вероятности p(tj) и G_(tj) HMejOT доверительные
интервалы соответственно Ji(tj) и /г(^) при доверительной
вероятности а.
5.5. Примеры применения
стохастической модели
В соответствии с изложенными выше принципами
'блок-схема стохастической модели построена в виде,
приведенном на рис. 5.10. В блок-схеме можно выделить
следующие основные группы блоков:
— блоки /, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, воспроизводящие
формализованный процесс боя;
— блоки 0, 5, 10, 11, 12, 13, 15, 16, 17 и др.,
обеспечивающие функционирование модели (блок времени,
блоки получения случайных чисел и т. п.);
— блок 14 обработки результатов.
В блоках, воспроизводящих формализованный
процесс, моделируются основные процессы поведения
огневых средств в бою: перемещение, поиск, обнаружение
цели, целераспределение и стрельба. Функционирование
этих блоков координируется блоком времени, который
может настраиваться на работу либо с постоянным
шагом, и тогда модель представляет собой Д^-модель, либо
с переменным шагом A^=var, и переход из состояния
в состояние происходит в момент возможного
скачкообразного изменения одного из параметров. В этом случае
модель становится моделью с квази-узловыми точками.
Такое построение алгоритма модели обеспечивает
автономность каждого блока и возможность замены
отдельных блоков в зависимости от выбранной схемы
формализации процесса.
Приводимые ниже примеры некоторых конкретных
случаев применения модели получены при описанных
выше способах воспроизведения основных процессов.
Результаты, накопленные в ходе отдельных реализаций,
подвергались статистической обработке в блоке 14 и
в зависимости от объема выборки позволяли с той или
иной погрешностью оценить исследуемый параметр. На-
204


блоки получения случайных чисел по
различным законам распределения
вход
Т~Г
F Fk Га
т~т
Выбор At
i
Движение п
1
Обнаружение
х
\3 Целерас-
пределе ни е
Стрельба
п + 1~^ п0
Ё
10
I
Н Стрельба
х
Я Целерас-
лределение
т.
Обнаружение
Я6
I
Движение т LJ
11Датчик
бремени
72 Восстаноб-
ление
программы
73 Число
реализаций
№Обработка
результатов
15 Выдача
Останов
Рис. 5.Ю. Блок-схема стохастической модели.
пример, при оценке математического ожидания
некоторого параметра т в заданный момент боя по N
реализациям максимальная погрешность е определяется в
виде [2]
« = | Ш — М[тЦ<3 у
fT)\n
N
f N
(пц—т)г
(JV-l)
(5.15)
где Шх — значение параметра в заданный момент в i-й
реализации; тп — статистическое среднее параметра по N
реализациям; D[m\ — статистическая дисперсия; М[т]—
математическое ожидание.
Практически, пользуясь формулой (5.15) при оценке
параметра, реализующегося в ходе боя один раз,
можно ограничиться числом реализаций iV= 100-~200. Для
205


других параметров это число соответственно меньше
или больше.
Как и в предыдущих премерах, исходные данные
выбраны произвольно:
— скорость танков v =15 км/час;
— размеры танков: / = 3,0 м, т = 2,0 м, Л = 0,9 м для
танков в обороне и /=6,0 м, т = 2,5 м, Л = 2,5 м для
танка в наступлении;
— характеристики рассеивания при стрельбе из
танков на дальностях 500—2 500 м:
Вв = 0,10 -*- 0,70, Ввп = 0,20 -г 2,0,
Вб = 0,10 -s-0,50, Вбп = 0,25 ч-0,9;
при стрельбе с места и при стрельбе с хода:
53 = 0,40^-1,2, £вп = 0,45+-1,3,
Бб = 0,80 -*- 2,5, Вбп = 0,85 + 2,8;
— среднее число попаданий в танк, необходимое для
его поражения, 1,4—2,0;
— размеры ПТУРС, ПТР, РПГ: вертикальная
площадь mXh= 1,0x0,5 м2, площадь осколочного
поражения /Хт = 20Х'Ю м2\
— вероятность попадания в танк для ПТУРСа на
дальностях 500, 1 500 и 3 000 м соответственно 0,4,
0,6, 0,4;
—рассеивание при стрельбе из гранатомета
56n = BBn = 0,001D;
— вероятность попадания из ПТР в танк в первом
выстреле 0,5, при пятом выстреле P5 = 0,8;
— вероятность обнаружения из танка на дальностях
500—3 000 м:
танка в окопе 0,9-^0,3,
ПТУРС, ПТР, РПГ: нестреляющих 0,3—0,0,
стреляющих 0,8—0,6;
— дальность открытия огня Dmax\
для танков в обороне 2 000 м,
для танков в наступлении 2 500 м,
для ПТУРС 2 000 м,
для ПТР 500 м,
для РПГ 300 м.
206


В первом примере для легких танков «синих» в
окопах:
— среднее число попаданий в танк «синих»,
необходимое для его поражения, 1,76—1,85 на дальностях
соответственно 500—1 000 м,
—■ среднее число попаданий в танк «красных»,
необходимое для его поражения, 1,65—2,25 на дальностях,
соответственно 500—1 000 м.
Приведем результаты моделирования в соответствии
с предложенной в § 5.2 схемой наступательного боя
средних танков «красных» с обороняющимися легкими
танками в окопах «синих».
В табл. 5.3 приведены значения функций г\и
полученные в результате одной реализации боя на модели при
атаке «красных» с дальности 1 км и начальном
соотношении численностей «красные»/«синие»= 10/5.
Статистическая обработка результатов
моделирования при 100 реализациях для каждого исследуемого
варианта позволила определить вероятности победы
каждой из сторон и статистические характеристики
численности в конце третьей минуты боя и в наиболее
вероятный момент его окончания, равный 4,2 мин. Эти
величины приведены в табл. 5.4.
При вычислении вероятностей победы победившей
считалась сторона, имеющая в своем составе хотя бы
один танк к моменту, когда все танки противника
уничтожены, т. е. уровни боеспособности принимались
нулевыми. При одновременном уничтожении последних из
оставшихся неуничтоженными танков на каждой
стороне обе стороны считались проигравшими бой. На
рис. 5.11 представлены зависимости вероятности победы
каждой из сторон от начального соотношения
численностей противников.
Анализ приведенных результатов позволяет сделать
вывод, что для достижения достаточно гарантированной
победы необходимо иметь по крайней мере двойное
численное превосходство. В остальных случаях победа
«красных» менее вероятна, чем победа «синих», а ее
достижение происходит с чрезмерными потерями.
Для проверки правильности задания в
математических моделях секторов обнаружения огневых средств
рассмотрим величины углов обстрела танков в
наступательном бою. Результаты решения этой задачи, во-пер-
207


<
-S
к
On
CQ
О
ffl
«
о
vo
CQ
О
н
я
s
a»
4
m
я
«
о
н
о
s
я
a»
£
со
*
3
*
5*
*
=*
к
со
X
3
<N
*
3
^
к
1 «°
F"
F1
*""
fr
F~
&
F-
F"
F~
F1
F1
F*
F"
F1
F1
J?
F~
^
F1
S я
о a
X *
8
CD
2
a
CO
Си
к
^
J
rf
CO
о
-
00
CD
CO
~
-
t^
CO
^
CO
СЧ
CM
О
h-
CO
о
-
^
СЧ
CO
CO
CO
СЧ
Tf
^
^
о
-
00
о
СЧ
^
о
-
a>
i
ю
со
,~~,
~
rf
тГ
С1
со
о
-
сч
,
о
со
^
со
rf
ю
о
-
00
Tf
^
rf
о
-
ю
ю
1—>
rf
о
-
о
СЧ
со
о
о
см
СЧ
со
UO
rf
о
со
"~*
~
^
О
ГО
СО
-
оо
,
со
t^
СЧ
'ф
CD
со
о
-
СЧ
1
^
со
о
~
СЧ
СЧ
о
со
00
-f
СЧ
СЧ
^
о
~
СЧ
г^-
о
Tj<
о
~
00
о
Ю
со
о
-
о
Tf
со
о
~
СЧ
_^
о
со
о>
СЧ
ю
^
^
о
-
-^
_■
ю
со
о
~
CD
ю
СЧ
со
о
-
со
о
о
со
о
8
0)
S -
03
S
и
т
о
о
*-*
-
о
о
*""*
-
- СЧ СО ^
~*
о
*■*
-
"~'
-
"~*
-
ю


ТАБЛИЦА 5.Ф
Изменение численностей сторон в ходе боя
Соотношение
начальных
численностей
сторон
10:5
10:6
10:7
Среднее количество потерь и его
среднее квадратическое отклонение
через 3 мин боя
танки „красных"
потери
5,46
5,7
6,2

отклонение
1,45
1,55
1,03
танки „синих"
потери
3,53
3,6
3,3

отклонение
1,08
1,10
1,10
Среднее количество потерь и его
среднее квадратическое отклонение
в момент скончания боя
танки "красных"
потери
6,7
7,7
9,3

отклонение
2,26
2,22
1,09
танки .синих, '
потери
4,66
5,2
5,4

отклонение
0,81
1,12
1,54
Вероятность победы и ее
доверительный интервал
танки „красных"

вероятность
0,8
0,6
0,38
интервал
0,664—
—0,902
0,492—
—0,675
0,336—
—0,446
танки „синих"

вероятность
0,2
0,4
0,62
интервал
0,1 —
—0,337
0,325—
—0,508
0,554—
—0,675


rl 0,8
I 0,2
/,* 1,6 1,8 2,0 Z,Z
Соотношение начальных числен-
ностей „ красные %, синие "
Рис. 5.П. Зависимость вероятности
победы от начального соотношения
численности сторон.
вых, могут быть использованы при выработке
обоснованных рекомендаций относительно процесса
наблюдения из танков в ходе боя и, во-вторых, при выборе
параметров броневой защиты.
Углом обстрела »а назовем угол между
направлением движения танка и направлением на
обстреливающее этот танк средство противника (рис. 5.12).
Статистические данные относительно углов а накапливались
при моделировании боя тридцати танков, наступающих
в линию на опорные пункты двух пехотных рот, как
показано на рис. 5.13, и в двух других вариантах, когда
эти опорные пункты находились либо на фланге
атакующих танков, либо в первом эшелоне и удар наносился
на их стыке.
В табл. 5.5 приведены частоты р* появления углов
обстрела для различных интервалов D и а,
наблюдавшиеся в 12 реализациях каждого варианта боя, и
вероятности /?, подсчитанные для этих же'интервалов по
формулам нормального закона при Л1[а] = 0 и аа =17° +
+ 15° (2—D).
В предпоследнем столбце таблицы даны величины
критерия %2, рассчитанные при уровне 0,05 для каждого
значения Д и его контрольные величины. Анализ по
методике, предлагаемой [9], показывает, что распределение
полученных моделированием углов обстрела хорошо
аппроксимируется нормальным законом с заданными
выше параметрами при изменении D от +2 до —2 км.
210
. Краснь/е*


Рис. 5.12. Схема взаимного расположения цели и поражающего
средства в бою:
Q — направление движения; Яц — направление на цель; е — положение
ствола орудия; а —угол обстрела танка; 2фп — сектор обнаружения танка;
2фт — сектор обнаружения противотанкового средства.
Л
I
rV
МНР У\
х\
%
j^JL
-2
МПР
-7[
-1
ю
ю
ю
4
Рис. 5.13. Вариант моделируемого боя.
14*
211


ТАБЛИЦА 5.5
Частоты углов обстрела танков в ходе боя
D, км
2
1
0
—1
—2
Р, Р*
Р
Р*
Р
Р*
Р
Р*
Р
Р*
Р
Р*
Угол обстрела а
10
0,325
0,301
0,174
0,186
0,119
0,113
0,092
0,099
0,072
0,070
20
0,269
0,279
0,166
0,150
0,117
0,113
0,089
0,086
0,071
0,082
30
0,194
0,205
0,158
0,141
0,112
0,120
0,086
0,095
0,070
0,070
40
0,116
0,124
0,126
0,137
0,104
0,106
0,084
0,083
0,068
0,071
50
0,060
0,050
0,106
0,114
0,094
0,098
0,081
0,080
0,066
0,072
60
0,024
0,026
0,084
0,076
0,085
0,090
0,076
0,068
0,064
0,С66
Продолжение табл. 5.5
D, км
2
1
0
—1
—2
р, Р*
Р*
р
Р
Р*
Р
р*
р*
р
р*
Угол обстрела а
70
0,008
0,011
0,062
0,070
0,075
0,081
0,072
0,073
0,062
0,060
8)
0,002
0,003
0,046
0,053
0,063
0,069
0,066
0,069
0,060
0,057
93
0,001
0,001
0,030
0,024
0,053
0,054
0,060
0,061
0,055
0,064
100
0,020
0,022
0,045
0,053
0,052
0,057
0,050
0,049
110
0,012
0,014
0,037
0,031
0,044
0,051
0,046
0,051
120
0,006
0,007
0,029
0,024
0,038
0,042
0,041
0,040
130
0,004
0,004
0,022
0,019
0,033
0,035
0,037
0,038
Продолжение табл. 5.5
D, км
2
1
0
—1
—2
Р,Р*
Р
Р*
Р
Р*
Р
?•
р
р*
Угол обстрела а
140 | 150
0,002
0,001
0,017
0,011
0,029
0,032
0,033
0,036
0,001
0,001
0,012
0,007
0,025
0,028
0,029
0,026
160
0,008
0,005
0,020
0,018
0,026
0,032
170
0,006
0,003
0,016
0,014
0,024
0,017
180
0,004
0,003
0,012
0,009
0,021
0,015!
г2
л0,05
27,6
18,01
27,6
4,41
27,6
10,6 1
п
1350
667
1012
212


Вероятность быть обстреленным из сектора Д|а = а2—
—си при предположении, что танки движутся
прямолинейно, определим по формуле
1 Г &
a Г a,
Основные результаты моделирования максимальных
углов обстрела, появляющихся с вероятностью не более
0,05 и 0,10, и соответствующих им величин секторов
обнаружения для средств в обороне приведены в табл. 5.6.
При формализованном описании боя следует задавать
секторы обнаружения не менее этих значений.
Аналогично предыдущему примеру можно
проанализировать возможность появления тех или иных значений
углов поворота башни -ф наступающего танка в момент
ТАБЛИЦА 5.6
Максимальные углы обстрела
р
D, км
*тах, град
s=^ ^ am a x >
град
0,05
2
47
94
1
88,5
177
0
130
260
—1
171
342
—2
213
360
0,10
2
39,6
79,2
1
74,6
149,2
0
109
218
— 1
144
288
—2
179
358
выбора цели, т. е. решить задачу о величине сектора
обнаружения для танка в наступлении.
Полученные результаты и методику расчетов кроме
использования непосредственно в модели для выбора
углов q>n можно использовать, например, при задании
параметров механизма поворота башни или при
выработке рекомендаций относительно наблюдения из
танков в ходе боя. Поскольку цели, расположенные под
большими углами к направлению движения, выбираются
с малыми вероятностями, возможно ограничить сектор
обнаружения из танка до пределов, показанных на
рис. 5.14. При сокращении сектора обнаружения
эффективность поиска целей в нем увеличится.
213


На рис. 5.15 показаны в полярных координатах
кривые плотностей
х*_
1 2а2
Я. = —4=е \
^
**=—W ф.
В заключение проведем оценку целесообразности
применения некоторых схем целераспределения. При ре-
Рис. 5.14. Вероятность обстрела цели в секторе
данных размеров.
шении проблемы выбора цели в стохастических моделях
боя неоднородной группировки введением ряда
упрощающих допущений можно перейти от решения
методами линейного или динамического программирования
к простым алгоритмам, не требующим больших затрат
машинного времени. В выбранном в модели алгоритме
блока целераспределения в качестве основного
допущения принято условие, согласно которому вероятность
выбора целей одновременно двумя какими-либо
средствами равна нулю. В простейшем случае в качестве
критерия выбора цели в алгоритме предусматривается
выбор наименее удаленной цели (критерий I), так как
в боях рассматриваемого класса наименее удаленная из
обнаруженных целей, как правило, оказывается и
наиболее опасной. В качестве второго критерия можно
предложить выбор, максимизирующий потери противника на
данном шаге вычислений.
214


Ш W 150 160 ПО 180 ПО 160 150 1<+0 НО
Рис. 5.15. Графики функций Ра и Яф ,
215


Пусть в момент t боевое средство должно произвести
выбор очередной цели для обстрела из числа имеющихся
перед ним обнаруженных средств противника.
Поскольку в модели каждое средство обоих противников
характеризуется в любой момент времени параметрами его
состояния, кроме тактико-технических параметров (в том
числе номером цели, по которой оно ведет огонь,
номерами обнаруженных целей, номерами средств
противника, ведущими по нему огонь), то, очевидно, легко
провести выбор цели, максимизирующий потери противника
или минимизирующий свои потери. При стрельбе с
перенацеливанием после каждого выстрела можно найти
вероятность поражения /-й цели противника после того,
как все ведущие по ней огонь средства произведут по
одному выстрелу, в виде
Л=1—(1—Ла)-0 —Aj)=Aj + (l —Aj)ftj +
+ (1-лЛ0-лЛлл + -- + ^П0-лЛ. (5Л6)
5=1
где phj — вероятность поражения /-й цели k-м из
ведущих по нему огонь средств.
Если для всех / (1^/^/гс) можно написать
выражение (5.16), то наиболее эффективным с точки зрения
т
увеличения потерь противника Дт= V Pj на данном
7=1
шаге будет выбор той цели, для которой произведение
k—1
/>« IK1 —Pso)
5=1
в последнем члене формулы (5.16) максимально. Такой
выбор приемлем, когда скорострельности всех
участвующих в бою средств приблизительно одинаковы, что
вполне справедливо для рассматриваемого класса боев.
При выборе цели может быть наложен ряд
дополнительных условий, что зависит от постановки конкретной
задачи. Например, согласно третьему из
рассматриваемых критериев цель выбирается так, чтобы
минимизировать свои потери. Алгоритм при этом не претерпевает
существенных изменений, за исключением того, что веро-
216


ятности pj употребляются с весами, пропорциональными
тому ущербу, который /-я цель наносит обстреливаемому
ею средству. В общем случае эти веса могут зависеть
не только от доли нанесенного ущерба, но и от важности
объекта, которому этот ущерб наносится.
Необходимость анализа целесообразности выбора
того или иного критерия возникает ввиду значительного
увеличения времени одной реализации стохастической
модели при применении критерия II, и особенно
критерия III. Так, если принять за единицу время одной
реализации с использованием критерия I, то при
применении критерия II оно возрастает в 4 раза и критерия III
в 8 раз. В табл. 5.7 приведены результаты, позволяющие
оценить эффективность применения критериев II и III,
из которых следует, что к концу боя численность
группировки танков может быть увеличена на 15% за счет
оптимизации использования своих огневых
возможностей, что составит около одной 'боевой машины в бою,
представленном на схеме рис. 5.13.
ТАБЛИЦА 5.7
Влияние оптимизации целераспределения
на результат боя
Критерий
I
II
III
Дальность, км
1.5
100
100,4
100,5
1
100
100,8
100,9
0.5
100
101,5
101,7
0
100
103,1
103,5
—0,5
100
106,4
107,2
—1
100
112,7
114,2
Следует сказать, что в реальных условиях ни танки,
ни средства противника в обороне не стремятся
оптимизировать использование своих огневых возможностей по
таким жестким критериям целераспределения, поэтому
при моделировании большинства боев используется
критерий I.


ПРИЛОЖЕНИЕ 1
Особенности электронных
вычислительных машин,
применяемых для моделирования
боевых действий
По сравнению с универсальными электронными
вычислительными машинами в машинах, предназначенных
специально для моделирования боевых действий,
считается необходимым иметь дополнительные устройства,
облегчающие реализацию моделей. К таким устройствам
относятся: долговременное запоминающее устройство
(ДЗУ), датчик сигналов времени (ДСВ),
автоматические регистрирующие устройства (АРУ), устройства
отображения (УО) и датчик случайных чисел (ДСЧ).
Долговременное запоминающее устройство
представляет собой разновидность оперативного запоминающего
устройства, обеспечивающего выборку по программе
постоянно записываемой в него информации. В качестве
постоянной информации могут использоваться
табличные данные, тактические и технические нормативы,
наиболее употребительные константы, программы
стандартных и специальных функций (Лапласа, Бесселя,
Гаусса и т. п.). Применение ДЗУ разгружает оперативное
запоминающее устройство от хранения постоянной
информации, повышает возможности электронной
вычислительной машины и сокращает затраты на
моделирование.
Датчик сигналов времени предназначается для
генерирования строго периодических импульсов, их
суммирования и преобразования в отметки времени. При про-
218


граммном обращении к ДСВ в ответную ячейку должно
засылаться значение текущего астрономического или
условного времени. Начальную установку и
корректировку ДСВ необходимо производить с пульта
управления. Наличие ДСВ обеспечивает моделирование в
истинном масштабе времени и позволяет организовать
управление блоками модели по времени.
Для получения результатов моделирования, учитывая
их сравнительно большой объем, весьма целесообразно
использовать современные быстродействующие
автоматические регистрирующие устройства. В настоящее
время отечественной промышленностью выпускаются два
типа таких устройств: автоматическое цифровое
печатающее устройство (АЦПУ-128) и двухкоординатный
регистрирующий прибор (ДРП-3). Наличие АЦПУ-128
позволяет получить конечные и промежуточные результаты
моделирования не только в цифровом виде, но и в виде
схем или таблиц, иллюстрирующих положение и
состояние сражающихся сторон в различные моменты времени
в процессе моделирования. Следует заметить, что
графические возможности АЦПУ-128 используются
сравнительно редко, так как их реализация требует
существенного усложнения программы работы ЭВМ.
В отличие от АЦПУ-128, работающем в дискретном
режиме, ДРП-3 является аналоговым устройством и
работает практически в непрерывном режиме за счет
перемещения пищущей головки на координатной плоскости.
При помощи ДРП-3 графически могут быть описаны
довольно сложные ситуации, включающие расположение
различных боевых единиц, их формуляры, характер
действия, направление перемещения, результаты стрельбы
и т. д.
Особое место среди дополнительных устройств,
придаваемых к электронным вычислительным машинам,
которые предназначены для моделирования боевых
действий, занимают датчики случайных чисел. В случае
необходимости можно обойтись и без таких датчиков, так
же и без перечисленных выше устройств, и проводить
моделирование при помощи обычных универсальных
электронных вычислительных машин. Однако при этом
возникают определенные трудности, связанные с
получением случайных чисел и увеличением времени
моделирования.
219


Случайные числа, необходимые для моделирования
случайных событий, могут вырабатываться различными
способами. Простейшим генератором случайных чисел
является устройство, вырабатывающее равномерно
распределенную последовательность сигналов,
соответствующих значениям 1, 0 или логическим условиям «да»,
«нет». Например, если на вал электромотора насадить
диск, разделенный по диаметру на две равные и
электрически изолированные части, то импульсы различной
полярности, снимаемые с этих частей неподвижным
контактом в момент остановки диска, могут быть
использованы для выработки случайных чисел. Однако
электромеханические устройства вследствие низкой скорости
работы практически не применяются для получения
случайных чисел в ЭВМ.
В электронных датчиках случайных чисел случайные
сигналы, вырабатываемые генератором шумов, проходя
через калибратор, принимают форму прямоугольных
импульсов с двумя уровнями напряжения и попадают
в сумматор, выполняющий операцию логического
сложения. В результате такого сложения, четное число
импульсов дает на выходе сумматора значение 0, а
нечетное число импульсов соответствует значению 1.
Логический сумматор, подсчитывая количество импульсов,
позволяет устранить погрешности, возникающие за счет
отклонений в длительности импульсов, и дает на выходе
равномерно распределенную последовательность чисел
а*, принимающих значения 0, 1. Последовательность
сообразует на выходном регистре в двоичной системе
счисления ^-разрядное случайное число вида
z = a,2-ft + afe.12-U-,) + ... + ai2-' + ...-]-a12-1,
где
а, = / ^ (/ = 1, 2, ...,£).
k
Если все ai=l, то получаем число г = V 2г'=1 — 2~к.
i=i
Если все аг = 0, то г = 0. При случайной
последовательности аг получаем случайное число г, вероятность
появления которого в интервале [0, 1] будет 2~k. Числа г,
расположенные в возрастающем порядке, образуют
следующую последовательность:
220


ft J. A- _L 2'1-1
» 2я » 2fe ''' * * 2k ' '''' 2k '
Математическое ожидание значения z
2k—l
с точностью до k+l , определяемой числом разрядов
датчика случайных чисел, близко к значению т(г)=0,5,
что является необходимым признаком распределения
случайных чисел z по закону равной вероятности.
Проверка по среднему квадратическому отклонению a(z) и
по критериям согласия показывает, что ^-разрядные
числа 2, образованные указанным выше способом,
действительно являются равномерно распределенными в
интервале [0, 1].
Имея последовательность гг-, можно получить
последовательность случайных чисел Wi в произвольном
интервале [а, Ь] для различных законов .распределения
Если интервал неограничен в правой полуплоскости
[а=0, 6 = оо] и известна интегральная функция
распределения F(Wi)y то числа Wi определяются по известным
числам Zi из соотношения
F(Wi)=Zi.
Например, для экспоненциального закона
распределения с параметром Я имеем
откуда
o>i = —-i-ln(l— Zi).
Если интервал [а, Ь] ограничен и известна функция
f(w) плотности распределения величины w, необходимо
перейти к единичному интервалу [0, 1] на оси абсцисс,
что осуществляется заменой переменных
w — а
Z= -г .
Ъ — а
221


Переход к единичному интервалу на оси ординат
Производится заменой переменных
..![а+(Ь-а)г]
и —■ , ,
Im
где fm — наибольшее значение функции f[a+(b—a)z]
в интервале [0, 1]. Теперь для произвольных пар
случайных чисел Z{ и Zi+i совокупности z из условия
z2-^ j
Im
можно отобрать совокупность чисел
Wi = a+ (a—b)zu
подчиняющемуся заданному закону распределения f(u)
в интервале [а, Ь].
При отсутствии ДСЧ можно пользоваться таблицами
случайных чисел, вводя их в оперативное запоминающее
устройство ЭВМ, или получать псевдослучайные числа
по программам. Сущность таких программ заключается
в том, что выбирается одно или несколько случайных
чисел и над ними производятся арифметические или
логические действия, в результате которых получаются
псевдослучайные числа, имеющие распределение,
близкое к равномерному. Например, можно взять два &-раз-
рядных случайных числа г0 и Zi и умножить одно на
другое. Их произведение будет иметь 2k разрядов. Выбирая
средние ^-разрядов произведения, получим
псевдослучайное число г2, после чего из г2 и Z\ можно получить
г3 и т. д. Указанным способом без повторения можно
получить не более 2k псевдослучайных чисел. При
«вырождении» псевдослучайных чисел, т. е. при получении гг- = 0,
необходимо заменить гг- на одно из ранее полученных
чисел и продолжать вычисления.
При применении электронных вычислительных
машин для моделирования боевых действий часто
возникает вопрос об оценке затрат машинного времени на
реализацию той или иной модели с учетом
многократного ее воспроизведения для различных вариантов
исходных данных. Суммарные затраты машинного времени
222


Qn
QbB
Qoe
"ь №
]u.
i
i
n • p
L_
< oa
u»^
Qoa ;
L
Qba I
Qoe+Qoa=Q(?i Qbe + Qba^Qb
Рис. Il.l. Схема распределения запоминающих
устройств ЭВМ:
Qoa—разовый объем результатов; Qhe — полный объем
исходных данных; Qba — полный объем результатов;
Qn — объем программы; Qoe — разовый объем ОЗУ,
занимаемого исходными данными.
h зависят от скорости работы ЭВМ и0> от объема
программы Qn, объема исходных данных Qbe, скорости
обращения к внешним запоминающим устройствам иь и
от принятой организации работы ЭВМ. Для типовой
схемы, изображенной на р'ис. ТТЛ, затраты машинного
времени определяются частотой и скоростью обращения
к медленно действующим внешним запоминающим
устройствам. Определим сначала величину разового
объема информации Q0<?, передаваемого из ВЗУ в ОЗУ,
при которой время ty решения задачи будет
наименьшим. Время tz может быть приближенно определено
из соотношения
*Е === *о Н~" *пе \ *е ~Т~ ^Ua "Т~ *а»
где tQ—время выполнения программы; tne — время
поиска исходных данных в ВЗУ; te — время передачи
исходных данных в ОЗУ; tna — время поиска зоны
результатов в ВЗУ, ta — время передачи результатов в ВЗУ.
Время выдачи результатов на печать или устройства
отображения здесь не учитывается, так как в
современных ЭВМ операции выдачи совмещаются с выполнением
программы и не требуют дополнительного времени. Для
некоторых ЭВМ, имеющих совмещенные операции
поиска зон в ВЗУ, можно также считать tne=tUa=0.
В соответствии со схемой рис. П.1 имеем:
j. Qhe Qn
223


/ I 4- (~ QbelQoe \ Qbc
I / /., Qba I Qoa \ Qba
где ao — коэффициент, учитывающий сложность
программы; ae, aa—поправочные коэффициенты,
учитывающие порядок размещения исходных данных и
результатов (0,3<(Хе<0,5).
Обозначая отношение Q0a'-Qoe=e> и учитывая, что
Qoe + Qoa—Qo, представим выражение для t1 в виде
± Qbe + Qba i /« i „\Qbef „ Qn \ „ Qbe I aa Qba \
Отсюда видно, что для уменьшения времени /г
необходимо использовать весь свободный объем ОЗУ (Q0)
и выбирать оптимальную величину е = е0, которая
находится из условия tz (eo) = min. Дифференцируя tz по ей
приравнивая производную нулю, получим
^а Оьа
Ub Qn 'Qbe
Обычно и0 > ub9 Qbe > Qff и ae ^ aa, вследствие чего
кно пр
tj. будет
можно принять е0 = ^ . При этом минимальное значение
Qbe
± Г "о _• Qn , „ Qb u0 I Qb
Переходя к эффективной скорости работы ЭВМ и
полагая Qn='Qo, получаем
«эф ■£=-
+
Из полученного отношения видно, что эффективная
скорость работы ЭВМ иэф значительно меньше
максимальной скорости работы и0 и уменьшается с
увеличением объема исходных данных. Например, при а0 = 1,
ае = 0,5, uQ/Ub = b имеем аЭф = 0,12 uQ.
224


ПРИЛОЖЕНИЕ 2
Об одном свойстве редеющих
потоков требований
Венгерский математик А. Реньи доказал, что если
в произвольном потоке с ограниченным последствием,
в котором требование сохраняется с вероятностью (1—р)
и исключается из потока с вероятностью /?, причем за
счет изменения масштаба времени сохраняется
интенсивность потока, то такой поток после указанного
преобразования сближается с простейшим [8]. Из этого
следует, что во множестве последовательных зон
обслуживания имеется такая /-я зона, в которой величина
последействия у поступающего в нее потока требований,
последовательно увеличиваясь в 1, 2, ..., г—1 зонах,
достигает максимальной величины. В случае, если i
меньше М — номера последней зоны обслуживания, то у
потока, поступающего последовательно в зоны /+1, ..., М,
величина последействия с переходом в каждую
последующую зону уменьшается, т. е. поток типа Пальма на
множестве зон / + 1, ..., М монотонно сближается с
простейшим потоком. Таким образом, для нас весьма важно
исследовать вопрос в следующей постановке.
Пусть в S-ю и (S+l)-io (5=1, 2, ..., М) зоны
обслуживания поступают потоки с интенсивностью, равной
интенсивности потока, поступающего в S-ю зону.
Спрашивается, будут ли при этом вероятности отказа на
обслуживание (вероятность непоражения обнаруженных
целей) в S-й и (5+!1)-й зонах иметь одну и ту же
величину или же они будут различаться и при этом их разность
будет зависеть каким-то образом от величины 5.
С этой целью рассмотрим так называемую задачу
Пальма. Пусть имеется система обслуживания,
состоящая из г однотипных устройств, в которой всякое
требование, поступившее в систему обслуживания,
обслуживается /-м (/<г) устройством тогда и только тогда,
когда он получил отказ от (/—1)-го устройства. Будем
предполагать, что на первое устройство поступает
простейший поток, а значит, на последующие поступают
потоки типа Пальма.
При этих предположениях вероятность отказа /-м
устройством для потока, поступившего с интенсивностью
15-1301 225


X на первое устройство, при условии, что функция
распределения длительности обслуживания есть
показательная функция со средним числом требований,
обслуженных в единицу времени, равным |я, определяется по
формуле Эрланга
*,--£-.
£=0
где
Если вероятность отказа /-м устройством при
условии, что поток требований поступает на /-е устройство,
обозначить через щ, то, очевидно,
к*=-£г- (ПЛ)
Для изложенной задачи Пальма в настоящее время
доказана следующая теорема [23].
Если «в и яв^ есть вероятности отказа,
определенные по формуле (п. 1) для потоков Пальма,
поступающих с интенсивностью К8 на s-e и (s—\)-е устройства
обслуживания, то для всех s^l справедливо следующее
неравенство:
«.-^Х*. (П.2)
На основании этой теоремы можно сделать
следующий вывод:
1. Обслуживание потоков Пальма происходит с ббль-
шим числом отказов, чем обслуживание простейшего
потока с той же интенсивностью.
2. Обслуживание потока Пальма с последействием,
соответствующим *'-му устройству, происходит с большим
числом отказов, чем обслуживание потока Пальма с той
же интенсивностью, но с последействием,
соответствующим (/—1)-му устройству.
Для того чтобы знать, к каким ошибкам может
привести обслуживание потока требований в i'-й зоне без
учета увеличения зависимости от предыстории, т. е. без
226


учета изменения последействия в потоке требований,
поступающем в £-ю зону, относительно потока требований,
поступающего в (/'—1)-ю зону, необходимо определить
характер изменения и величину разностей:
*.-*";, («=1.2 г—п.
Определим разности
Пусть %я есть интенсивность потока, поступающего на
5-е (5^2) устройство. Тогда
А,8 = Л£в-1 (5 = 2, 3, ...)•
По формуле Эрланга [7]
F — U — ls (l —М
"Sir
Следовательно, согласно формуле (П.1) имеем
9 _ L+As + h)
8 + 1_ M* + /. + 1+l) #
Так как 18 = 1Е8-и то
Из равенства Л2 = Лъ1 следует:
Вычитая из равенства (П.З) для s = 1 равенство (П.4)
получаем
„ _«*._ (
ъ2 те1 — /4 + з/з + 5/2 + 4/ + 2*
Из равенства Л3 = ЛЕ2 и равенства (П.З) следует:
15* 227


3— 3 + /3 '
X3 «*! + /з
2 — 2 + /, '
Я,
/2
Найдем я*!. Так как /а= ^ , то
,h + V /|+4/,
/~~" 2
Откуда
/ '2 + //i+4/2
тт,
1 1 + / 2 + /2 + 1//22+4/2
Следовательно,
*1- 2 + /8 + Vl23+4/f
Учитывая равенства
, /3 - /2
р + 2/ + 2 2 —/+ 1
и, проделав ряд несложных вычислений, получим
*,_ /3 (/3 + Щ + 1 (I3 + d) V l4 + 4/3 + 8/2 + 8/
2 ~~~ (2d + /3)(2d + /» + /) У /4 + 4/3 + 8/2 + 8/
где
Непосредственно из приведенных выражений для т3 и я*3
находим, что
Хз /т + 8/в + 32/* + 72/4 + 108/3 + 96/2+32/
*з ~ *2 = D
228


(/в 4- 4/4 + 8/3 + 16/2 + 12/) Y /4 + 4/3 + 8/2 + Ы
_ ,
где
D = (/• -f 3d)(2d + /3) (2rf+/3 -f ///4-{-4/3 + 8/2+8/).
На рис. П.2 построены графики функций
fi(A) = *.-^ и f1(A) = ^-«^
в которых параметр Л связан с / при помощи следующих
очевидных равенств:
P—lh—h = 0 для /Г(А),
l3—l2h—2lh—2h = 0 для /2(А).
Рис. П.2. Графики функций /i(/z) и Ы^).
Из построенных графиков функций fi(h) и /2 (Л)
следует:
229


1. iu8 + 1 — 7rss <0,75(-n:s — 7Z8S_) Для 5 = 2.
2. Максимальная величина разностей
*s— */-i (5 = 2, 3, ...,r)
достигается при A,s^0,15 \i, причем при увеличении и при
уменьшении величины Ks относительно 0,15 |я она резко
уменьшается.
3. Максимальная величина f\(h) равна 0,09, а
максимальная величина f2(/i) равна 0,065.
Таким образом, максимальная величина ошибок,
которые могут получиться, если считать, что на второе и
третье устройство также поступают простейшие потоки,
а не потоки Пальма, равна соответственно 0,09 и 0,155.
Очевидно, пренебрегать такими ошибками можно не
всегда. Поэтому важно указать, при каких значениях as
на практике поток Пальма можно считать простейшим.
Из построенных графиков функций fv(h) и /$(А)
также следует, что с ошибкой, не превышающей величину
вероятностей отказа на 0,05, поток, поступающий на 5-е
(5 = 2, 3) устройство, можно на практике считать
простейшим, если его интенсивность удовлетворяет одному
из следующих неравенств:
Xs>0,75jx, ta<0,05|i. (П.5)
На основании сказанного выше для потоков Пальма
можно дать следующую геометрическую интерпретацию.
Если в простейшем потоке требования по оси времени
расположены довольно равномерно, т. е. в множестве
поступающих требований не имеется существенных
сгущений и разряжений, то в потоках Пальма за счет
обслуженных в предшествующих зонах требований
окажутся пустые области. При этом число пустых областей и
сами области в потоках, поступающих в i-ю зону, с
увеличением номера зоны будут расти.
Таким образом, мы можем предположить, что потоки
Пальма есть потоки, состоящие из множества сгущений
требований и пустых областей, а увеличение
последействия заключается в увеличении числа пустых областей и
их размеров.
230


Данная выше геометрическая интерпретация потоков
Пальма и теорема А. Реньи позволяют предположить,
что неравенство
сохраняется и для 5>2. Справедливость этого
предположения была проверена численными методами для
5 = 3, 4 и 5, причем получилось, что
it4 — i£< 0,048, я, —1£< 0,039
и
тг6 —*5Хв< 0,032,
а критерий, соответствующий критерию (П.5), для 3^
=^J5<5 выразился в виде следующих неравенств:
Я*>2^, Яз< 0,0045^.
Из всего этого следует, что на практике в тех
случаях, когда вероятности отказа можно вычислять с
точностью, не превышающей 0,05, в задаче Пальма для
значений 5>5 поток, поступающий на 5-е устройство,
очевидно, можно считать простейшим, если его
интенсивность удовлетворяет одному из неравенств:
As > 2|» + (5 - 5) А,, Я, < 0,0045ц - (5 - 5) Д2,
где
Д1== «, — ** = 0,0056,
а
д1 = 7Св_ „0.0045^ = о,0075.


ПРИЛОЖЕНИЕ 3
Таблица случайных чисел
11
21
10
36
73
49
64
51
99
71
16
21
43
79
94
53
20
48
75
32
43
59
84
22
40
31
84
67
62
55
63
17
44
62
47
28
82
28
63
52
18
91
82
36
73
72
37
75
60
17
65
17
95
61
78
62
24
16
59
29
28
26
63
55
13
49
21
97
13
47
59
45
99
57
79
09
66
59
83
85
71
73
97
64
87
92
34
54
95
93
98
27
54
04
68
15
44
28
42
52
93
29
12
14
83
67
64
17
93
82
15
62
63
54
40
64
04
04
03
24
59
16
97
43
38
20
19
89
98
43
50
65
52
71
88
52
90
45
94
43
09
83
91
34
27
04
11
23
16
92
93
09
57
46
08
10
92
35
83
72
99
11
66
49
43
01
42
54
59
11
05
97
64
26
31
17
03
25
52
53
52
48
12
15
91
50
54
58
62
49
44
03
04
94
72
04
31
65
47
85
75
76
66
33
12
14
41
38
64
13
03
83
55
26
03
06
70
60
51
01
13
15
83
66
25
39
17
52
61
57
76
83
76
65
14
31
31
93
79
29
74
78
49
83
14
04
17
41
71
07
12
38
31
83
04
84
21
33
71
50
13
22
19
21
68
98
28
22
16
41
85
42
99
01
98
72
30
65
85
43
30
93
25
18
71
87
70
59
76
19
10
01
58
08
30
59
44
03
09
66
27
62
71
54
09
30
61
97
52
93
42
93
02
71
83
69
04
44
79
60
97
61
01
40
41
74
02
45
51
71
29
24
72
24
13
48
73
99
06
72
18
68
65
01
33
03
09
04
31
20
70
97
47
26
08
83
16
07
18
58
69
30
58
72
32
05
53
30
55
03
32
38
97
95
02
44
00
44
22
69
52
87
83
82
08
11
55
70
94
91
55
01
64
72
39
97
40
10
91
37
93
28
10
77
23
48
18
74
35
23
02
9)
92
80
51
45
16
10
Я8
57
38
65
02
61
06
43
78
89
47
07
89
50
62
24
87
52
46
36
23
57
36
13
99
43
74
69
31
43
07
54
40
41
73
39
57
61
91
58
40
75
60
94
50
41
99
83
40
99
68
97
31
15
58
21
47
45
27
98
49
8)
61
35
34
60
67
91
72
38
99
42
52
85
72
13
48
99
27
80
48
98
34
65
16
52
33
38
58
26
12
33
55
99
38
45
00
71
72
18
89
18
63
05
11
88
78
23
20
83
35
68
98
70
50
88
56
15
36
94
40
13
61
48
69
83
07
12
78
97
48
43
79
48
94
38
04
17
48
30
12
73
89
44
2)
64
29
02
07
15
14
83
32
91
50
80
24
64
07
99
89
87
94
51
42
92
60
97
68
54
22
70
48
02
59
78
28
37
48
50
31
67
73
07
65
38
31
57
24
31
23
28
54
27
12
71
92
23
21
30
75
53
74
79
84
66
17
82
94
94
09
78
37
32
83
13
64
74
10
93
70
43
59
17
34
8)
58
64
90
87
24
95
97
40
41
93
76
02
94
52
03
58
92
53
48
04
83
98
47
29
68
93
94
83
39
03
93
25
97
17
40
92
12
32
29
64
93
79
65
58
36
83
20
22
35
76
00
91
03
22
00
65
83
69
55
11
54
15
79
20
33
08
22
95
95
44
62
43
51
12
88
07
53
83
31
28
74
98
62
51
07
46
73
09
79
93
85
22
10
07
64
20
61
16
57
20
11
85
07
94
13
55
88
25
25
78
92
08
19
51
07
65
26
03
41
35
00
58
18
35
25
09
77
77
68
26
84
83
66
14
58
53
60
75
78
79
48
14
93
77
61
72
68
71
75
13
97
90
02
99
49
82
88
44
68
81
75
85
02
83
31
24
39
12
98
31
66
87
53
77
36
83
25
16
35
37
62
51
19
84
16
39
42
94
05
74
69
21
77
61
03
75
11
38
61
00
54
39
37
15
5')
76
95
79
07
60
73
61
08
02
72
25
63
42
49
21
72
48
53
33
61
65
23
12
32
20
00
75
16
00
95
43
95
17
80
50
83
23
15
24
66
78
55
69
98
99
57
29
78
76
28
51
86
40
17
24
84
50
39
95
52
86
43
48
06
99
97
76
17
93
83
76
19
69
17
04
80
59
00
69
15
55
44
11
82
10
75
19
66
09
53
74
85
22
52
99
04
30
29
47
81
65
07
35
10
90
63
40
43
93
70
85
42
37
98
12
00
77
21
16
97
81
85
92
22
73
21
98
61
76
53
23
88
79
28
33
29
63
26
43
26
18
63
22
07
41
90
82
08
75
93
75
232
02
9)
92
80
51
45
16
10
Я8
57
12
32
29
64
93
79
65
58
36
83


Продолжение прилож. 5
37
53
55
40
18
68
51
92
15
96
10
40
17
35
89
14
55
21
08
46
06
61
28
38
90
12
99
43
95
10
24
38
15
48
96
53
11
33
05
03
92
55
56
07
12
40
59
83
57
04
63
38
18
47
77
92
81
73
33
11
64
51
85
76
54
55
31
45
16
12
24
92
65
74
15
11
06
97
68
02
76
95
90
68
76
13
32
93
70
22
38
00
43
90
75
26
51
59
94
54
54
84
65
87
26
68
42
97
53
23
72
82
79
91
90
05
58
17
29
01
35
88
90
73
78
26
76
65
58
19
65
12
19
85
81
54
81
54
71
41
27
48
Г4
49
73
22
49
16
33
08
53
25
81
48
71
88
88
67
38
29
07
54
36
21
18
46
14
64
26
19
63
83
30
37
92
00
79
20
49
66
82
40
51
17
83
63
97
50
47
51
35
75
73
08
77
52
00
51
08
87
28
66
19
68
75
11
55
11
81
21
17
95
71
75
02
32
23
47
42
77
74
34
22
66
26
37
86
40
28
17
41
47
72
47
53
00
34
87
68
59
11
37
63
57
32
69
70
86
42
63
15
81
84
19
98
90
18
05
60
23
70
12
57
98
60
26
15
59
99
15
57
70
54
79
62
98
82
46
77
19
38
74
98
22
94
92
52
70
96
02
35
93
20
22
51
66
83
45
69
74
75
83
56
27
31
02
89
45
01
90
76
66
72
93
99
98
98
58
07
20
84
87
77
67
46
59
51
72
10
96
95
03
20
80
90
53
02
96
85
85
49
41
36
10
72
03
06
11
30
21
24
66
50
09
37
15
95
98
74
14
54
46
34
61
35
18
83
57
30
29
36
07
73
70
49
25
09
94
57
33
32
56
35
44
30
01
54
24
75
91
85
48
21
08
25
66
06
81
09
94
42
17
05
52
94
00
87
88
20
60
27
69
68
99
51
18
46
69
09
93
81
76
63
24
89
47
26
25
44
58
21
01
02
66
39
21
31
87
29
15
60
14
43
50
84
86
65
16
62
04
32
63
34
89
81
78
79
12
41
50
57
24
12
91
47
90
81
27
38
52
61
73
40
05
86
67
66
34
21
08
42
20
29
73
77
54
16
81
67
21
78
96
36
95
50
8J
30
76
68
53
04
19
50
46
82
61
57
29
06
13
98
74
19
95
54
79
66
80
71
93
26
02
77
4э
96
88
62
56
13
44
84
46
98
75
26
16
90
49
49
68
70
37
69
36
76
00
55
94
39
85
27
97
83
28
31
80
45
66
19
58
87"
37
49
95
12
01
51
87
59
31
51
73
76
88
34
88
80
26
97
58
54
21
87
19
98
47
14
22
62
83
80
12
09
36
99
42
87
30
47
66
51
54
57
02
76
63
27
06
64
28
39
23
89
33
11
31
63
33
14
43
28
94
27
07
52
28
22
56
28
62
59
19
33
47
92
18
15
21
76
54
36
18
94
36
47
85
70
11
76
68
43
79
07
53
55
29
34
44
21
75
89
52
16
27
34
08
27
01
35
23
85
64
09
44
25
52
45
45
88
57
05
62
02
44
12
01
64
25
87
53
96
74
62
68
99
01
26
67
73
70
28
40
47
62
03
26
01
11
31
97
54
87
70
61
04
46
76
76
73
15
99
16
43
11
78
05
42
25
63
54
83
18
83
96
39
05
59
48
16
87
27
03
55
98
81
01
59
06
95
06
99
25
71
09
11
31
69
02
11
52
94
76
70
30
91
73
29
65
52
23
32
75
88
42
60
11
38
15
36
92
53
54
01
92
92
89
98
29
42
18
77
84
17
65
67
38
75
12
13
31
09
93
15
71
78
24
37
35
51
90
52
71
68
71
45
86
28
48
59
66
28
41
15
22
35
06
40
85
55
03
38
54
35
39
48
82
68
24
99
51
55
14
99
14
44
84
44
73
09
71
85
93
58
08
61
19
78
37
35
30
97
71
18
90
50
36
88
63
22
02
31
20
57
74
90
72
75
43
34
19
58
27
38
37
12
90
72
25
49
11
88
42
40
68
45
73
76
69
91
20
31
32
07
26
02
32
26
95
24
36
18
11
06
62
80
30
33
27
27
11
14
58
87
27
55
15
95
40
53
64
96
26
59
41
26
87
69
95
96
21
72
83
47
84
76
01
09
08
32
28
17
67
71
75
22
04
39
81
05
69
23
18
74
16
51
19
33
01
77
40
70
28
36
69
94
33
14
24
79
19
40
90
92
67
78
01
21
24
88
41
Г4
30
85
48
48
42
01
13
00
99
47
13
33
55
21
50
35
00
21
99
50
00
69
66
12
20
84
26
38
62
08
14
90
86
28
20
64
69
06
14
30
04
24
80
80
08
99
89
41
11
71
43
74
18
91
88
77
43
61
92
96
22
53
22
49
19
40
89
56
43
50
89
62
50
82
70
49
35
24
07
59
58
08
75
72
13
19
16
00
60
26
09
22
25
84
63
55
75
87
66
13 89
80 35
69 29
90 18
97 32
233


Продолжение прилож. 3
71 02 52 82 12
65 52 " 21 52 42
27 97 55 49 23
07 30 00 97 04
F.4 35 71 36 89
00 97 70 44 81
13 92 07 87 61
08 39 53 70 43
43 16 66 72 05
87 76 77 76 07
29 88 09 52 88
36 24 8°, 65 66
12 38 62 95 56
52 03 87 38 01
41 72 75 21 71
49 31 97 45 80
81 78 67 69 63
64 85 69 52 02
11 84 92 64 82
54 95 61 75 94
10 95 93 33 49
22 78 40 77 83
85 03 76 17 91
80 03 76 50 89
72 75 18 43 59
18 53 20 38 74
22 93 62 20 58
66 39 77 65 10
89 73 02 32 72
81 82 17 53 23
94 37 78 25 54
68 48 54 99 91
07 33 00 71 84
10 99 31 49 30
20 80 И 51 78
79 24 13 53 47
43 59 33 95 55
29 52 26 27 13
88 83 64 72 90
Q5 90 55 62 53
44 79 85 93 71
35 51 09 91 39
50 12 59 32 23
25 17 39 00 38
68 45 99 00 94
93 36 91 30 44
19 36 05 50 49
47 79 88 98 90
69 22 33 20 07
34 51 15 07 21
54 03 15 93 29
66 72 28 55 15
71 05 90 74 96
45 47 88 60 66
97 24 69 11 21
234
10 47 42 75 22
84 55 47 45 60
90 65 00 61 70
36 09 95 15 77
19 56 90 38 14
42 04 40 85 49
12 31 19 28 08
37 88 03 41 72
01 61 94 37 69
03 74 23 К) 13
21 64 64 65 87
14 89 45 92 73
30 47 42 59 64
52 18 81 94 91
56 71 90 60 54
57 47 01 46 00
12 12 72 50 14
43 98 37 26 55
20 43 19 94 50
57 39 37 32 67
80 71 99 67 51
35 93 30 00 91
33 81 56 39 68
85 91 97 43 91
15 76 91 36 15
66 22 07 90 50
49 17 11 10 27
81 15 00 07 04
65 42 03 50 91
93 06 89 17 24
53 58 61 14 32
53 16 51 98 65
86 78 85 45 77
35 07 23 64 29
64 45 38 33 57
66 85 17 92 47
97 34 55 84 94
33 70 11 71 86
67 27 47 83 62
91 48 23 06 89
07 86 58 17 56
32 03 12 79 25
64 20 94 97 14
63 87 14 04 18
44 99 59 37 18
69 68 67 81 62
94 95 17 63 41
06 89 36 54 83
03 51 36 11 49
84 85 03 41 49
58 96 35 22 20
04 72 39 24 11
38 40 41 81 26
31 13 53 32 43
89 43 72 03 93
65 62 03 43 84
20 24 62 69 41
09 43 30 91 67
95 55 27 34 53
7о 05 30 51 50
34 82 23 58 43
07 75 30 40 73
04 20 49 44 34
96 77 01 94 40
65 98 93 28 43
06 64 49 47 84
88 95 04 60 77
21 48 29 54 22
55 13 76 10 39
98 44 18 15 29
57 16 83 04 58
71 88 66 53 31
40 41 85 95 04
28 83 37 66 61
37 88 36 21 24
44 88 23 35 92
19 08 21 38 73
45 31 62 92 83
22 78 85 54 33
08 29 38 61 93
29 22 37 05 41
22 68 18 01 10
74 58 09 03 54
69 09 37 13 64
40 45 69 12 34
72 92 76 73 49
61 86 93 30 93
40 04 81 65 20
68 77 39 76 69
09 77 43 07 51
43 13 93 66 89
26 56 69 53 23
06 76 55 71 41
35 38 49 03 83
49 33 37 84 82
45 59 51 43 44
79 81 91 53 54
11 97 16 22 34
11 45 28 93 18
38 74 68 12 71
66 37 80 29 19
84 01 93 06 90
17 70 12 12 92
32 54 69 20 72
97 13 86 19 19
35 29 22 79 24
02 73 70 81 68
28 26 13 78 44
80 57 33 06 06
77 15 38 85 52
00 21 00 48 63
41 29 83 47 63
35 16 63 27 31
16 57 88 81 40
99 12 55 94 42
78 46 88 23 80
58 52 08 00 22
62 79 88 19 02
29 70 04 20 93
10 91 73 44 58
66 99 56 18 12
34 65 11 20 38
02 00 23 36 71
02 00 66 99 13
59 60 76 52 25
23 89 20 78 25
38 01 30 93 79
52 38 30 72 32
47 27 79 29 35
62 19 94 95 42
66 23 41 38 21
07 18 42 15 66
89 31 85 58 06
31 18 87 48 82
05 02 62 12 55
67 11 58 45 81
31 59 50 92 46
43 74 42 21 78
08 10 79 69 52
58 09 05 53 42
83 93 25 89 12
81 12 90 64 81
07 63 81 07 97
28 65 68 99 38
49 74 01 13 85
82 58 71 35 83
32 99 38 99 88
48 61 71 82 82
12 31 78 97 02
36 19 91 13 55
56 80 69 91 26
76 17 41 22 06
74 85 74 64 01
53 08 42 19 93
96 26 09 81 37
34 01 25 00 80
25 65 67 29 96
14 88 01 53 86
62 52 22 15 04
97 78 92 85 7о
55 46 74 30 Зо
30 04 36 34 5
12 54 31 43 9
48 64 45 30 0
26 84 31 28 4


ЛИТЕРАТУРА
1. Бусленко Н. П. Математическое моделирование
производственных процессов на цифровых вычислительных машинах.
Изд-во «Наука», 1964.
2. Бусленко Н. П., Г о л е и к о Д. И., Соболь И. М., Сра-
г о в и ч В. Г., Ш р е и д ер Ю. А. Метод статистических
испытаний. Физматгиз, 1962.
3. Б у с л е н к о Н. П., Ю р к е в и ч О. М. Об операциях над
агрегатами в сложных системах. «Известия АН СССР»,
Техническая кибернетика, 1964, № 2.
4. Вен тц ель Е. С. Теория вероятностей. Изд-во «Наука», 1964.
5. Вентцель Е. С. Введение з исследование операций. Изд-во
«Советское радио», 1964.
6. Гнеденко Б. В., Коваленко И. Н. Лекции по теории
массового обслуживания. КВИРТУ, 1963.
7. Гнеденко Б. В. Лекции по теории массового обслуживания.
КВИРТУ, 1960.
8. Гнеденко Б. В. Курс теории вероятностей. Изд-во «Наука»,
1965.
9. Дунин-Барковский И. В., Смирнов Н. В. Курс
теории вероятностей и математической статистики для технических
приложений. Изд-во «Наука», 1965.
10. Кофман А., Крюон Р. Массовое обслуживание. Изд-во
«Мир», 1965.
11. Китов А. И., Криницкий Н. А. Электронные цифровые
машины и программирование. Физматгиз, 1959.
12. Л ь ю с Р. и Р а й ф а X. Игры и решения. Изд-во иностранной
литературы, 1961.
13. Мор з Ф. М., Ким бе л л Д. Е. Методы исследования
операций. Изд-во «Советское радио», 1956.
14. Никитин, Сергеев, Тарасов. Теория танка. Изд. ВБТА,
1956.
15. Романовский В. И. Дискретные цепи Маркова. Гостех-
издат, 1949.
16. Р и о р д а н Д ж. Вероятностные системы обслуживания. Изд-во
«Связь», 1966.
17. С а р ы м с а к о в Т. А. Основы теории процессов Маркова. Гос-
техиздат, 1954.
18. Ф ел л ер В. Введение в теорию вероятности и ее
приложения. Изд-во «Мир», 1964.
235


19. Хинчин А. Я. Математические методы теории массового
обслуживания. Труды математического института им. В. А. Стек-
лова, т. 49. Изд-во АН СССР.
20. Ч е б о т а р е в А. Геодезия. Изд-во геодезической и
картографической литературы, 1948.
21. Чу ев Ю. В., Мел ьн и ко в П. М., Петухов С. И.,
Степанов Г. Ф., Ш о р Я. Б. Основы исследования операций в
военной технике. Изд-во «Советское радио», 1965.
22. Ю д и н Д. Б., Г о л ь ш т е й н Е. Г. Задачи и методы
линейного программирования. Изд-во «Советское радио», 1961.
23. Азларов Т. А. Обобщение одной теоремы А. Я. Хинчина.
Труды Ташкентского университета, 1961, вып. 189.
24. G. Brakney. The dynamics of military combat. Operation Re-
seasch, 1959, v. 7, № 1.
25. С h u г с h m a n С W., А с k о f f R. L, Arnoff E. L. Queuing
models. Introduction to Operation Reseasch, 1957, v. 2.
26. Coop mans B. Target detection. Operation Reseasch, 1956,
v. 4, № 5.
27. G a n e 1 i u s T. Mathematical discribtion of warfare. Artillery
Tidskrift, 1955, v. 84, № 3.
28. L a ch r i s so n L. E. A tank duel with game-theory implications.
Naval Reseasch Logistic Quarterly, 1957, v. 4, № 2.
29. Z i m m e r m a n R. E. A Monte-Carlo model for military
analysis. Operation Reseasch, 1959, v. 2.
30. W a 1 s h J. E. Inadequacy of cost per kill as measure of
effectiveness. Operation Reseasch, 1957, v. 5, № 6.
31. Weiss K. Lanchester-type models of warfare. Papers
International Conference on Operation Reseasch, Bristol—Stonebridge,
1957.
32. L a n ch es t er F. W. Aircraft in warfare. The dawn of the fourth
arm, London, 1916.
33. An eke r C. J. Stochastic duels. Operation Reseasch, 1962, v. 10,
№ 3.
34. С h e 1 m b о 1 d R. Modification of the lanchester models.
Operation Reseasch 1965, v. 13, № 2, p. 5.
35. Artillery Tidskrift, 1965, v. 84, № 3.
36. Weiss H. Dynamics of the warfare. Operation Research, J963,
v. 11, № 1.
37. С о 11 i n s G. J., С u t h r i e D. A model for the analisys of
AEW and CAP aircraft avalability. Naval Research Logistic
Quarterly, 1963, v. 10, № 1.
38. M u г г е у A., G e i s 1 e r. A first experiment in logistic system
simulation. Naval Research Logistic Quarterly, 1960, v. 7, № 1.
39. В а с h R., D о 1 a n s k у L., S p a b b s H. Some recent
contribution to the Lanchester theory of combat. Weiss H. K. The
Fiske model of warfare. Operation Research, 1962, v. 10, № 3,
№4.
40. Col. T г о m e s G. Schreiber. Note of combat value of
intelligence and command control systems. Ooeration Research, 1964,
v. 12, № 3.


АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Азларов Т. А. 226
Алгоритм, моделирующий на
ЭВМ наступательный бой
тактических подразделений
181
Анкер (Ancker С. Т.) 19, 25
Bach R. 19
Боевая система 13, 17
Боевые действия
, влияние различных
факторов 17
, линейные модели 111
, математические
модели 18
, относительная
продолжительность в зависимости
от параметра £-126
системы управления 133
сухопутных войск 19
танков и теория
массового обслуживания 144
Вой, влияние применения
ложных целей 119
— группировок однородных
средств 86
Борьба двух средств
, влияние рельефа
местности, случайности
обнаружения и перемещения 51
, резко различных по
огневой мощи в отдельном
выстреле 50
Вусленко Н. Я. 20, 22
Walsh J. Е. 133
Вариант моделирующего боя
211
Weiss H. 19
Вентцель Е. С. 20, 199
Вероятность обстрела цели
в секторе 214
Весовая функция 176
Влияние оптимизации целерас-
предёления на результат боя
217
Гливенко 197
Гнеденко Б. В. 20, 92, 144, 156,
197
Голенко Д. И. 22
Графики функций Ра и Р. 215
fi(n) и }2(п) 230
Зависимость вероятности
победы от начального
соотношения численности
противников 207, 210
— коэффициента % от условий
поиска 113
— М{п] в ходе боя от
начальной численности противника
118
— скорости движения танков
от характера боя 97
численности
наступающих танков в конце боя от
количества ложных целей в
обороне 119
Задача определения
вероятности получить в конце боя
численность, не меньше
заданной 115, 117
Задачи выбора скорости
перемещения 66
-— о количественной оценке
образцов вооружения 65
— об оценке влияния рельефа
местности 66
— о применении
аналитических моделей дуэльных боев
65—67
— теории массового
обслуживания 144
Zimmerman R. Е. 20, 172
Датчик сигналов времени 218
— случайных чисел 220
At — модели 22
Dolansky L. 19
237


Долговременные запоминающие
устройства 218
Дунин — Барковский И. В. 199,
203, 210
Дуэльный бой 65—67
, аналитические
модели 65
, переходы из одного
состояния в другое и
соответствующие вероятности
(таблицы) 55—60
Изменение состояний
элементов боя во времени 208
— численности сторон в ходе
боя 209
Интенсивность потока
обнаруженных целей 160
Информация о местности 184
Кимбелл Д. Е. 19, 148
Коваленко И. Н. 20
Контур управления 17
Кофман А. 144
Коэффициент потери
боеспособности 123
— превосходства 96
Коэффициент соизмеримости
100, 101
, графики 112
— сопоставимости 6
Критерии оценки результатов
моделирования 23
Критическая площадь
попадания для поражения объекта
одиночным ударом 122
Крюон Р. 144
Ланчестер (Lanchester F. W.)
12, 18, 25
Максимальные углы обстрела
213
Математические модели
боевых действий 5, 7, 9, 20, 23,
83
аналитические 21
дуэльного типа 25, 37
и натурные 201
, статистический анализ
7, 195
стохастические 21
, примеры
применения 204
сухопутных войск 10
Методы Монте—Карло 22
238
Модели боевых действий 5,
113, 21
групповых 6, 85
, качественные и
количественные факторы 10
,
оперативно-тактические вопросы 6, 9, 10
, применение теории
массового обслуживания
7, 144
стохастические 7, 167
Моделирование боевых
действий
е- «, — t литература 13
, оценка точности 23
, применение метода
статистических испытаний
и ЭВМ 20
танковой роты против
укрепленного района 20
— , условия победы
сражающихся сторон 124
Моделирование боя танков ,с
разнородной ПТО 105
, в котором обе стороны
состояли из неоднородных
средств 105
неоднородных линейных
группировок 99
— обнаружение целей 177
однородных средств 86
— перемещений 171
— стрельбы 180
— целераспределения 178
Модели группового бея 85
— при равномерной плот-
ности боевых порядков 120
Модели комбинированные 22
Модели вооруженных
столкновений дуэльного типа 6, 25
— с узловыми точками 22
Морз Ф. М. 19, 148
Миггеу А. 19
Никитин 27, 190
Номограмма для определения
*соопт '142
Области победы сражающихся
сторон 124
Обобщенный критерий
эффективности системы 134
Определение вероятности от-


казов в зонах обслуживания
147
для потоков Пальма
158
— калибра боеприпасов, при
котором задача выполняется
с наименьшими затратами
137
— оптимального соотношения
между затратами на систему
вооружения и систему
управления 139
— параметров боевого
процесса 160
Оптимальное соотношение сил
и средств сторон,
необходимых для выполнения задачи
135
Опенка системы вооружения
135'
— целесообразности
применения некоторых схем целерас-
пределения 214
Пальма-задача 226
— потоки 230, 231
Параметр обслуживания
обнаруженных целей 162
— ожидания приема на
обслуживание 162
Пирсона критерий 202
Порядок нумерации
элементарных квадратов местности
173
Пример дуэли двух боевых
единиц 27, 30
— случайной реализации
функции боеспособности 182
— случайных реализаций
функций 112(0 183
Распределение численности
сторон в ходе боя 98
Редеющие потоки требований
226
Репьи А. 225, 231
Сергеев 27, 190
Системы динамические 17
Смирнов Н. В. 199, 203, 210
Соболь И. М. 22
Состояние элемента 169
Spabbs H. 19
Срагович В. Т. 22
Среднее число средств
обслуживания (ПТО),
уничтоженных танками в j'-й зоне 165
ПТО, уничтоженных
танками в единицу времени
164
Стоимость управления 140
Схема боевой обстановки 14
— выбора возможных
направлений движения 188
— взаимного расположения
цели и поражающи к средств
в бою 211
— обслуживания танков на
рубеже обороны 163
— огневого взаимодействия
сторон 121
— физического воздействия
сторон 15
Суммарная стоимость
выполнения боевой задачи 139
Таблицы вероятных изменений
состояний боя 150
— возможных распределений
разрядов ячейки ЭВМ
между параметрами состояния
элементов 186
— возможных распределений
разрядов ячейки ЭВМ для
записи параметров участка
186
— количественного описания
расчетных вариантов 71
— количественных
характеристик и ожидаемых
результатов дуэлей 44
средств сторон и
условий столкновения 68
— параметров, не зависящих
от дальности до цели 69
— расчета вероятностей
исхода дуэли для различных
условий столкновений 74
— средних значений времени,
необходимого для
выполнения операций 70
Теория боевой эффективности
и методы ее оценки 20
— массового обслуживания
20
239


Точность стохастического
моделирования 195
Феллер В. ПО
Цель 26
Collins G. J. 19
Coopmans В. 19
Cuthrie D. 19
Частота углов обстрела танков
в ходе боя 212
Число обслуженных танков в
одной зоне обслуживания
165
Чуев Ю. В. 20
ЭВМ для моделирования
боевых действий 218
Экономические показатели
системы 134
Эрланга формула 226
Эффективность оружия 15, 22
— средств противовоздушной
обороны 19